Похожие
Текст
Н.И.ЛОБАЧЕВСКИЙ
ПОЛНОЕ
СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
Б.Ф.КАГАНА, А.ІІКОТЕЛЬНИКОВА
А.ПНОРДЕЫА.В.В.СТЕПАНОВА
Н.Г.ЧЕБОТАРЕВА П.А.ШИРОКОВА
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
В. Ф. КАГАН
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МО (ШВА — ЛЕЮЗНГРАД
1849
Н.И.ЛОБАЧЕВСКИЙ
Т ОМ ВТОРОЖ
СОЧИНЕНИЯ
ПО ГЕОМЕТРИИ
ГЕОМЕТРИЯ
О
НОВЫЕ НАЧАЛА
ГЕОМЕТРИИ
С ПОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МООКЕА- ЛЕНИНГРАД
1949
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции 5.
I, ГЕОМЕТРИЯ (1933)
Вводные статьи и комментарии В. Ф. Кагана
Вводные статьи 9
Гсометрпя 43
Прима'іания 108
Приложение 12-L
II. НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
С ПОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ (1835—1338)
Вводная статья и коымшгарми
Б, Л. Лаптева, А. П. Иордана и А. Н. Хованского
Вводная оіатья 137
Новые начала геометрии е полной теорией параллельных . . ш
Приііечащт 455
Приложений . , 589
ОТ РЕДАКЦИИ
Настоящий второй том полного собрания сочинений Н. II.
Лобачевского содержит два ого сочинения — «Геометрия» и «Новые
начала геометрии с полной теорией параллельных».
Первое из них есть краткое руководство по елеыентарной
геометрии, предназначенное дли начинающих студентов, которым
Лобачевсішй читал обзорный куре обычной (евклидовой) геометрии.
История ей издания изложена в приложении к «Геометрии»
(стр. 124—134), которое, как и вводные статьи и комментарии,
составлено В. Ф.- Каганом.
Второе сочинение «Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных» представляет самый обшЕгрный труд Лобачевского по
геометрии. Некоторые авторы — в их числе покойный профессор
А. В. Васильев — считали «Новые начала» главным делом жизни
Н. И. Лобачевского.
Это сочинение делится на три части, существенно различные
по своему содержанию. Первая часть состоит ив «Вступления» и
глав I—VI. Вступление содержит краткое изложение общих
взглядов Лобачевского на построение начал геометрии, включая и
руководящие идеи созданной им новой «воображаемой» геометрии.
Главы Т—VI посвящены той части геометрии, которая не зависит
от постулата о параллельных лилиях («абсолютной геометрии», как
её в настоящее время обычно называют). Эта часть сочинения
подготовлена к печати и снабжена комментариями доцентом Казанского
университета Б. Л. Лаптевым.
Вторая часть (главы VII—XI) содержит обстоятельное
изложение «воображаемой геометрии». Эта часть подготовлена к печати
и комментирована профессором К&аанского университета А. П. Нор-
деном.
а от редакции
Третью часть составляют главы XII и XIII, посвященные
тригонометрическому решению прямолинейных треугольников в
евклидовой тсюметршг п прямоугольных сферических
треугольников. Она не і-вязапа о двумя первыми частями сочинения; в
переводах на иностранные языки она новее опущена. Издание се
трсбоиало тщательной проверки вычислении, которая ^выполнена
доцентом Казанского университета А. Н. Хованским.
Таким образом, в настоящем томе нашли себе место те работы
Е. II. Лобачевского, которые посвящены элементарной геометрии.
После выхода в свет I тома настоящего издания его редакция
понесла тяжелые утраты.
В июле 1944 года скончался А. П. Котельников. Это был
наиболее глубокий шаток работ Н. И. Лобачевского. Его
комментарии к ыеыуару «О началах геометрии», помещенные в I томе,
по только дали возможность познакомиться с этим замечательным
сочинением широкому кругу математиков, но и довели до конца
сложные интегральные вычисления, намеченные Лобачевским.
В феврале того же года скончался П, А. Широков, который
предполагал принять активное участие в подготовке к печати
остальных работ Лобачевского. Его «Краткий очерк основ геометрия
Лобачевского», который помещен в юбилейном сборнике «Н. И.
Лобачевский:», выпущенном Издательством АН СССР в 1943 году,
представляет собой лучшее изложение первых начал «воображаемой
геометрии» Лобачевского.
В вышедшем уже IV томе настоящего издания было сообщено о
кончине Н. Г. Чеботарева, подготовившего к паданию
сочинения Лобачевского по алгебре.
В настоящее время в состав редакции полного собрания
сочинений Н. Ж. Лобачевского в качестве представителя от Казанского
университета и Казанского физико-математического общества
включен профессор А. П. Норден.
,*"■■**+»,
Д*Ѵ-
Ч"
■I V
■>'
V
й
Н, Ж. Лобачевский.
Вариант бюст, выполпвнный художницей М. Л. Диллоп
для актового зала Каоаиекого Университета.
К стр, 1
ГЕОМЕТРИЯ
а із ss
ВВОДНЫЕ СТАТЬИ И КОММЕНТАРИИ
В.Ф. КАГАНА
ГЕОМЕТРИЯ
Вводные статьи:
Упебяпп литература па элементарно)! геометрии в конце ХѴШ
и и налило XIX столстиіі 9
Обзор сочішеыпн «Геометрия» 301
Н. И. Лобачевиііиіі — «Геометрия» 43
Гл, I, Измерение линий (45). Гл. ГГ. Об углах (47). Гл. Ш. О пер-
пендикулах. (о1). Гл. IV. Измерение телесных углов. О
правильных многоугольниках и телах (08). Гл. V. 00 одинаковости
треугольников^]. Гл. VI. О измерении прямоугольников (70). Гл, ѴЯ. OG
измерении треугольников и других фигур {74}. Гл. ѴШ. О пдрпллслограм-
smx (7S), Гл. IX, О измерении призм (82). Гл. X. измерение пирамид
и ясех тел, ограниченных плоскостями (90j. Гл. XI. Измерение
окружности и плоггцідп круга (94). Гл. XII. Об измерении объема
цилиндра и конуса, поверхностен прямого цилиндра « прямого
копуеа (SI9J. Гл. ХШ. О величине объема и поиерхности шара (103).
Примечания юв
Приложение:
Историко-библиографические сведения о сочинении •Геометрия- . . 124
УЧЕННАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В КОНЦЕ ХѴШ И В НАЧАЛЕ XIX СТОЛЕТИЙ
«Геометрия» Лобачевского представляет cofioit краткий обзор
элементарной геометрии, с о ставленные, несомненно, для читателей, уже
усвоивших основной курс геометрии, в первую очередь — для
начинающих студентов, которым Лобачевский неоднократно читал курс
геометрии. Но это во всяком случае—учебная книга; п потому, чтобы дать
по возможности отчетливое представление о том месте, которое она могла
бы занять в учебной литературе, о том ее назначении, которое имел
в виду автор, о ее достоинствах и недостатках, необходимо прежде
всего сделать краткий обзор учебной литературы того времени но
геометрии; необходимо дать представление о той научно-педагогической
обстановке, в которой эта книга составлялась.
Школьные издании Евклида
В XVIII в. в качестве серьезной учебной книги до геометрия
еще бѳараэдѳльно парили «Началав Евклида. В школе и вне ее —
всюду, где преподавание геометрии выходило еа- пределы самых
первых начатков этой науки,—оно проводилось по Евклиду. Это
преобладающее значение Евклида в некоторых странах сохранилось
и в ту пору, когда Лобачевский учился и даже когда он уже
преподавал в Казанском университете. В Англии и в Италии ето
неизменное тяготение к Евклиду, как к учебной книге для средней школы,
настойчиво продолжалось еще до последней четверти прошлого века.
Основной причиной этого были, конечно, неоспоримо высокие
достоинства творения Евклида. 'Еще Кардан дан следующее выражение своему
восхищению іНачаламыг Евклида: «Неоспоримая крепость их догматов
и ах совершенство настолько абсолютны, что никакое другое
сочинение, по справедливости, вельзя о ними сравнить. Вследствие этого
в них отражается такой свет истины, что, повидимому, только тот
способен отличать в сложней вопросах геометрии истинной от
ложного, кто усвоил Евклида».
Здесь неуместно, ■ конечно, входить в общую оценку «Начал»
Евклида, высокие достоинства которых действительно неоспоримы;
.10
ГЕОМЕТРИЯ
об этом замечательном сочинения уже была речь в I томе настоящего
издания (стр. 31—34). Но сам Евклид, невидимому, не смотрел на
свои «Начала» как на подлинно учебную книгу, особенно для
начинающих; и немного найдется и настоящее время людей, которые были
бы склоншл аащшцатг. учебное ашяешіе Евклида. Ееліг при воем
том в интересу юі ну го нас ітаоху «Начала» еще сохранили
первенствующее место в учебной литературе, то это объяснялось, главным обра-
лом, дпулш причинами.
Bo-пѳрвых, среднее образование, включавшее значительный кура
геометрии, было доступно только господствующим влаосам, которые
ггндавна культивировали классическое образование. «Начала» Евклида
представлшот собою одпо из величайших произведений античной
литературы. Восхищение, с которым относились к этой замечательной книге
л средние века, иол у пи о выражение в приведенной цитате из книги
Кардана; оно сохраняло вою свою силу в XVIII в. и в первой
четверти XIX в. Сопоставление «Начал» с библией было обычным в
педагогической литературе п придавало «Началам» облик неоспоримого
авторитета. «Никогда ни одно научное сочинение,-—-писал уже в
начале XIX в. Босою1),—не имело успеха, сравнимого с «Началами»
Евклида. Исключительно по ним в течение веков учили геометрии
во всех математических школах; они переведены на все языки и на
поел языках комментировались, — доказательство их исключительного
пр ѳв о схо д атн a ».
Ha полвека раньше другой французский историк математики,
Моптгакла, птісали): «Напрасно различные геометры, которым ие
нравилось расположение «Начал» Евклида, старались изменить порядок
изложения. Их бесплодные попытки обнаружили, насколько трудно
изменить связь, установленную этим геометром, не понижая силы
доказательства... Английские геометры, которые, повидимому, более
других сохранили вкус к геометрической точности, всегда
придерживались этого мнения; Евклид имел между ними ревностных
защитников, и именно поэтому у них мало таких книг, которые облегчают
жуть к этой науке только путем ее снижения. Англичане почти не
имеют руководств по геометрии, помимо Евклида, и поатому у них
никогда на было недостатка в геометрах». И как бы в новое-
подтверждение этого взгляда Моитюкда известный английский геометр
де-Морган ужа в середине XIX в., т, е. через 50 лет после Босого,
!) Ch. Bossut — Essai sur l'hisfcoire gon&ale Дев matlicmaiaqiies, Paris, 1802,
т. I, стр. 45.
s) J. E. Montuela — Histoire des matli&natitiUQs, Psivie, 1758, т. Т, стр. 205.
Лонпокла, невидимому, имеет в виду, главным образом, Даламбера; об втом ом.
ниже.
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ГГО ЭЛЕМЕНТАРНОД ГЕОЗІЕТРІШ 11
писал1): «Никогда пе было системы геометрии, которая в
существенных чертах отличалась бы от плана Евклида, и до тех пор, дока
я этого не увпн;у собственными глазами, я не поверю, что такая
система мои;ѳт существовать». Так веками поддерживалась зта вера
в нопрѳрѳкаемкге достоинства Евклида.
Конечно, асли бы дѳ-Морган дожил до нашего времени, то он бы
такие сочинения увидел. Такой именно характер отрыва от системы
Евклида носят воспроизводимые в настоящем томе работы
Лобачевского «Геометрия» и «Новые начала геометрии» (первые шесть глав).
Более того,—это именно первые сочинения, которые ставили себе целью
глубоко изменить систему изложения геометрии, установленную
Евклидом; это обстоятельство выяснено в помещенных ниже обзорах втих
сочиненна. В настоящее время наиболее обстоятельным сочинением,
удовлетворяющим современным требованиям точного построения начал
геометрии и соответственно вгому существенно отличающимся от «Начал»
Евклида, является очень своеобразная книга Фордера2). Нужно, однако,
сказать, что ни работы Лобачевского, ни книга Фордера нѳ могут быть
рассматриваемы как учебники геометрии. С другой стороны, не
подлежит сомнению, что многие формулировки, построения, доказательства,
Евклида сохранили свое значение по сей день и в чистом виде
повторяются в современных учебниках.
По существу, в тесной связи со всем характером лиаесичеекого
образования находилась и вторая причина господства Евклида как
учебной книги. Она коренилась в самих задачах, которые связывались
■с преподаванием геометрии. Основную цель іэтого преподавания видели
не в том, чтобы сообщать учащимся фактические сведения о
пространственных образах и соотношениях или развивать в них
пространственные представления. Главную роль геометрии в общей школе
усматривали в том, чтобы при ее посредстве развивать и укреплять
формальную дисциплину ума. Еще только 60 лет тому навад известный
германский педагог Шрвдер писал3): «Задача заключается не в том,
чтобы учить математике, а в том, чтобы при дооредстве математики
.дисциплинировать ум». Естественно, что этой цели формально
выдержанная система Евклида, даже при всех ее изъянах, раскрытых
комментаторами, могла служить лучше, чем какая бы то ни было другая
книга.
J) Dc Morgan —Short supplementary remarks on, tho first six Books of
Euclid's Elements. Статья в известном календаре-альманахе «British. Almanac» за
1849 т,
2) Н. G. Г order — TJie foundations of ЕпеШеан geometry, Cambridge, 1Ѳ27.
&) "W. Schrader —ErsiefUmgs- nnd TJnterrichtslehre, Berlin, 1Ѳ76, стр. 524.
Цитировано по книге: И. Scliotteii —Inbalt unci Methode des planimotrischen
Unterrichts, Leipzig, 1890, ч, I, стр. 5.
12
ГЕСШЕТРИЙ
Когда во второй полошгне ХѴШ в., с повышением роли буржуазии
а сощшдьно-вкономпческой жизни, дрн назревавших во Франции
революционных настроениях, тяготение к обрааованщо стало охватывать
новые, более широкие слога населения, понадобилась и более
доступная учебная книга. Переходной ступенью к ней явились, прежде
всего, таи называемые школьные издания «Начал» Евклида. Такие
школьные издания отличались треля особенностями.
Во-ітераыя, это были переволы Евклида на родной язык учащихся;
этот отказ от «классического» — греческого или, в лучшем случае,
латинского—текста представлял уже существенный шаг вперед,
делавший «Начала» гораздо более достуггньшп.
Правда, переводы Евклида на .новые европейские яеыкп делались
и значительно раньше ]), но они были чрезвычайно мало лоетунны и
во всяком случае пе предназначались для начинающих учащихся.
На обложке немецкого ивдання 1004 г. в переводе Ппркѳнштейна
(Ernst Burkh. v. Pirckenstein) указано, что нянга предназначается для
генералов, инженеров п т, п. Новые переводы, о которых идет речь,
выпускались в гораздо более доступных изданиях.
Второй особенностью школьных паданий Евклида являлось то, что
они почти все оодерасали только восемь книг: первые шееть
планиметрических тгапг, одиннадцатую и двенадцатую стереометрические;
арифметические книги (VII—XX) и трудные книги X и ХШ вовсе
опускались; сохранялось то, что было строго необходимо при обучении
геометрии.
Третью особенность составлял характер примечаний и дополнений.
В них критика отходила на ааднпй план; вместо традиционных еско-
лпй» появляются примечания и. дополнения, имеющие целью пояснить-
текст, сделать его доступным для учащегося.
Первым школьным изданием Евклида, действительно получившим
широкое распространение, считают английский перевод Спмсона,
выпущенный в 1750 г. 2). Он выдержал около 30 изданий. Текст
сопровождается большим числом пояснительных примечаний, по большей части
очень поучительных. Наибольшее число этих примечаний относится
1) Первілй перевод Евклида, на, новый европейский яаык (итальянский) был
сделан в 1543 г. известным мялшп/еивом Тартаиья (Шсоіи Taitaglia) и издан
в Венеции. Перевод сделан, повидимоыу, с латинского ивдмпш Комгсшуш. Во
второе пг-уишпе, появившееся в 1585 г., внесены пояснении, которые, как
утверждает автор, изложены с такой ясностью, что всюснй: «пооредствеш-шЦ ум бега
познаний, оеа подготовки по другим наука» будет в состоянии их усвоить»
Почти в то же время, в I5G2 г., Гольцман (W- Ыоіішіаші, з латинских изданиях,
именуемый Sylanderj выпустил немецкий перевод «Начал», предназначенный
для «художников, архитекторов и любителей».
Ь R. В і m s о и — The Elements of Euclid, viz. The first six books, together with
the eleventh and twelfth, Glasgow, 1756.
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 13
к датой книге. Эта книга, содержащая так насыпаемую евклидову
теорию пропорпай ')> всегда представляла камень преткновения при
изучении «Начал»; примечания Симеона несомненно облегчают ее
изучение. Это издание «Начал» именно в качестве школьного руководства
настолько ценилось, что оно было полностью (со всеми примечаниями)
переведено на немепкий язык а).
Вслед за Симеоном школьное издание Евклида на английском языке
было выпущено Плѳйфером 3), Он пошел далыпа Симеона и внес уже
алгебраические обозначения, модернизировав этим вою теорию
пропорций. К шести книгам Евклида, таким образом вндоизмененным, Ллэй-
фер присоединил еще три свои статьи, содержащие учение о спрямлении
и квадратуре круга н о пересеченны плоскостей; за этим следовали
прямолинейная и сферическая тригонометрии и арифметика. Примечания,
помещенные в конце книги, содера;ат указания о причинах,
побудивших автора внестп те или иные изменения в подлішньШ текст Евклида.
Книга Нлэпфера также получила широкое р ас про стране на ѳ; она
выдержала десять издании.
Издания «Начат» Симеона ы Плэйфера—таковы были учебные
книги, по которым в эпоху, когда Лобачевский, начал преподавание
в Казанском университете, учились геометрии в Англии.
Ту роль, которую в Англии играло издание Симеона, в Германии
пграл немецкий перевод Лоренца (,.1. F- Lorenz). Первое иадашгеего
появилось в 1773 г. Оно содержало 0 первых книг, а в новом
издании 1781 г. содержались уже все 13 книг с присоединением так
называемых книг XIV и XV, составленных, как известно, Гипсиклесом
Александрийским (ТТ в, до н. э.). Посла смерти Лоренца его перевод
был переработан и переиздан известным астрономом и геометром К. Моль-
вейде (Каіі Вѵ. Mblhveide). Лоренц пошел еше дальше в видоизменении
текста Евклида. Оп внес алгебраическую символику везде, где это
возможно. Он сократил самое изложение предложений, соединив общую
формулировку (Оёот;) предложения о его изложением применительно к
чертежу (Іу.й-гсті.^); он опускает повторные доказательства, относящиеся хотя
и к различным, но мало друг от друга отличающимся случаям; он
иногда вносят несколько пояснительных рассуждений в самый текст;
а еще чаще он приводит такие пояснения в примечаниях, которые,
однако, у него никогда не развертываются в обширные рассуждения,
1) Строго говоря, эту теорию пропорций неправильно навьгепть евклидовоіі,
-саа как она, невидимому, Оыла разработана еще Евдокеом, учителем Платона.
s) «Dio SBcbs crsteu BQoher nebet Дет elften uad zwolften des Euclid», heraus-
gegeben von E. S i m s о щ aua dem Englischen ttbersetzt тип J. M, Reder, Pacie-
born, 1808.
Э) J. P1 s, у ¥ a i с — Elements of geometry, containing the first six liooks of Eaulid,
Edinburgh and London, 1797.
14
ГЕОМЕТРИЯ
как это было обычно у комментаторов. «Хотя перевод,—замечает Ло-
ронц,—нельзя назвать дословным, но своеобразный дух «Начал»
вполне сохранен». Изменения, внесенные Лоревцом,— это лишь
поправки, подробности риншталя текста, не существ ѳшіые его
модификация. Но и они несомненно ожпвиліг текст Евклида, облегчили его
усвоение, сделав «Начала», как считали в то время, учебной книгой.
По Лоренцу учились d Германии, как по Симеону н Плэпфѳру —
и Англии. Как мы уже упомянули, п Германии был выпущен в свѳт
и «нѳмедкпК Симеон».
Во Франции школьные издания Евклида появились значительно
раяыпе. Узкѳ в 1072 г. Деталь выпустил фратауасгеий перевод восьми
книг «Начал» с существенной переработкой, имевшей целью сделать
ѳто сочинение значительно более доступпт.ш 1). Хотя этот перевод, по
замечанию Лагранжа п Деламбра в их отзыве о переводе ПоГграра2),
сохранил в сущности только последовательность теорем Евклида п не
мог быть признан удачным, он несколько раз переиздавался и даже
был воспроизведен также на итальянском п английском языках. Это
свидетельствует о том, как велика была потребность в учебнике
элементарной геометрші, более доступном, нежели подлинные «Начала»
Евклида.
Но в тот период, который нас интересует, в котще XVIII и в
начала SIX в., таких школьных изданий Евклида зо Франции не было.
Правда, в 180-1 г. Ilsftpap выпустил в спет французский перевод восьми
книг 3) (как в других учебных изданиях :І—VI, XI, Х1І), попе в том стиле,
в каком в Англии п в Германии выпускались издания Симеона, Плэп-
фера п Лоренца; это был дословный перевод, очень тщательно
выполненный, послуживший основой для полного академического издания
Евклида на трех языках (греческом, латинском и французском),
который и в настоящее время считается одним па лучших 4).
План Далалбвра и реформированные учебники геометрии
С середины ХУПІ в. во Франции нарастали настроения,
знаменовавшие глубовай переворот но взглядах на все общественные отношения
в стране; назревала революция. В области народного образования все
настойчивее становились требования большего его расширения и
придания эму более живого и конкретного характера. Это, естественно,
яе могло не отразиться и на взглядах на преподавание математики.
') С. S\ DeckaJea— Les elements d'Eucliile, cxpliques сГщіе maaiere noirvelle
et trb facile, Paris, 1Й73.
-} Ом. следующую сноску.
s) F. P,eyrard —Lea elements tie g6omftric d'Euclide traduita HtWralomont,
Paris, 1804.
4) F, Peyrard— Lea oeuvres d'Euclide, ѳн greo, latin et й'шеаік, Рагзэ, 181І.
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА "ПО ЭДЕМЕКТАРНОІІ ГЕОМЕТРИИ 15
Как пзвѳотно, новая идеология того времени в большой: мере получила
выражение у «энциклопедистов», которые в значительное степени и
творилгг ее. «Энциклопедия» :) стала выходить в 1751 г.
^Математическим ее разделом руководи.:! Даламбер в сотрудничестве с Боссю.
В 1757 г. появился VII том «Энциклопедии», в котором была, помещена
статья Даламбера «O-oomotrie»3); значительная часть этой статьи (раз-
цел «Elements de Geom<5Lrie») был посвящен вопросу о том, как
надлежит составлять начала геометрии. По существу йта часть статьи
только подробнее развивала в применении к геометрии идеи, уже
изложенные в статье более общего характера—«Elements Дез Sciences» a).
Речь идет о том, как надлежит излагать в учебных целях 4) начала,
науки вообще и начала геометрии в частности. Читатель, знакомящийся
с этой статьей в настоящее время, может получить впѳчй,тлвнне, что-
многие утверждения автора тривщшьиы. Но ото только означает, что
пдеи Даламбера в общем получили такое прпзнаштѳ и такое
распространение, что сейчас представляются тривиальными. На так обстояло'
дело дочти 200 лет тому назад, когда статья Даламбера была
опубликована. Отчетливо высказанные пдеи Даламбера были не только новыми,
so в известном омыслѳ даже революционными. Как иаваетно,
«Энциклопедия» получила широкое распространение, внимательно читалась даже
противниками новых течений; на круги педагогов статья Даламбера
имела огромное влияние, она с большим интересом читается и в
настоящее время. Налощим те основные ее положения, в которых
содержалось существо новых воззрений на составление учебной книга по
геометрии.
Даламбер относится к Евклиду крайне, может быть, даже чересчур
сдержіщно; он посвящает ему только следующие строки в начале
статьи: «Естслид, живший приблизительно на 50 лет позже Платона,.,.
собрал то, что его предшественники открыли в области начал геоиѳт-
ршг; он составил дошедшее до нас произведение, которое многие иа
современных геометров считают лучшим иа сочинений этого рода» D).
і) «Encyclopedia ou dictiormaire L'tiisotma des sciences, des arts at des metiers».
His en оі'СІгѳ раі' Diderot at par d'Alembort, Paris, 1751—1780.
-) D'Al ombei't —Gcometi'to. «Encyclopedic», Paris, 1757, т. VII, стр. Ѳ2В—в38.
в) D1 Alemliert — Elements des sciences, «Encyclopedic», Paris, 1755, т. V,
стр. 4Ѳ1—4Ei8.
*) Это не оговорено аоенатотшто отчетливо, но с несомненной ясностью
вытекает из всего содержания статьи.
в) Бэдо осторожнее высказываются относительно «Начал» Еввдпгда Лагранме
п Деламбр в своем докладе Академик о переводе Пвіірара: «Еще в настоящее
время находятся некоторые ученые, которые, может выть, по прану, а может быть,
благодаря слишком уже исключительному вкусу к методам древних, утверждают,
что" «Начала» Евклида, несмотря на даровании и достижения современных1
авторов, остаются лучшим сочинением этого рода, за исключением разве нескольких
отдельных мест книги». Доклад помещен в указанном выше издании Пэйрара (1814).
Hi
ГЕОМЕТРИЯ
Даламбер, однако, не считает, что начала геометрии должны и в его
время составляться по плану и метолу Евклида. Он вообще не считаем
полезным следовать в учебной книге традициям, освященным веками,
пли излагать все перипетии исторического генезиса руководящих
идей; необходимо только сохранить «внутреннюю концепцию понятий».
Изложение начал геометрии по плану Доламбѳра должно быть
прежде всего сообразовано с тем, для какой цели книга дродна-
яначавтся—для начального ли обучения, имеющего узко
практические цели, для более серьезного научения геометрии пли для
подготовки люден, которые имеют склонность и способности к специальным
занятиям этой наукой; каждой из этих трех основных задач должна
соответствовать учебная книга особого типа.
С втітм должна бтаь сообразована и степень точности построения
системы геометрии; во всяком случае нужно избегать той
«химерической» точности, которая, оставаясь сомнительной в научном
отношении, в учебной книге несомненно вредна и часто даже переходит
в софистику. Даламбер, повидимому, имеет в виду химерическую
точность, на которую претендуют многие комментаторы Евклида и на
которой часто сосредоточивалось внимание преподавателя. В
соответствии с этим Даламбер считает, что начала геометрии не следует
начинать с аксиом, так как построение учебной книги на
предпосланных аксиомах есть претензия именно на такого рода химерическую
точность. Хорошо известно, что построение геометрии в «Началах»
Евклида далеко яе носило строго логического характера. Наглядные
представления, указания глава сопутствуют в этом сочинении
логическим рассуждениям иа всем его протяжении; рассматривать «Начала»
кик систему строгих выводов из предпосланных онродѳлопий и аксиом
ни в каком случае невозможно.
В эпоху Даламбера погоатки построения геометрии на выдержанной
аксиоматике, даже в целях научного изложения предмета, несомненно,
носили еще «химерический» характер в том отношении, что логическая
строгость, которую хотели в ато дело,внести, была кажущейся и при
сколько-нибудь внимательном анализа окааывадась иллюзорной, не
выдерживающей критики. «Какая польза в том, — замечает Лакруа,—
чтобы нагромождать аксиомы в начале книги, ... когда мы вое равно
не можем воспользоваться ими при доказательствах?» Попытки отроить
учебную кнпгу по элементарной геометрии па основе строго
выдержанной аксиоматики несомненно обречены на неудачу еще п в настоящее
время. Но от точности фактической и притом доступной учащемуся
при серьезном изложении геометрии, по взглядам Даламбѳра, ни в коем
случае не следует отказываться. Более того, вот как формулирует
Даламбер ехет мысли в своей статье: «Спрашивается, какому из двух
качеств следует отдать предпочтение при составлении начал: доступ-
ѴЧЕБІІЛЯ ЛИТЕРАТУРА. ПО «ЛКМШТЛГМОИ ГЕОМКТРИИ 17
ностя імп GTporoFf точности? Очевидно, что самый вопрос содержит
неправильное предположение; он предполагает, что строгая точность
может быть литена лосі'усностщ по имеет место протшзоноложноѳ і
чем строже дедукция, тем доступное ома, для восприятия, ибо точность
заключается в сведении всего к наиболее простым принципам. Отсюда
следует также, что строгость в собственном смпсле втого слова
необходимо плачет -а собою наиболее естественный z наиболее прямой метод».
Итак, точность, отчетливая и доступная, свободная от всякой
метафизики и схоластики, часто скрывающейся в пагромо леденил
аксиом,—таково основное требование, которое Дадшибер предъявляет
к составителям «Начала. £1 в атом смысле дедукции заключается на
в выводе всей системы иа небольшого числа аксиом и
определений (по отношению к которым Даламбер также рекомендует большую
осторожность), а в сведении сложных яетіш к простым, достудныы
и очевидный, сколько бы их ни было, без попытки дать полный мж.
перечень. Конечно, указать границы, где кончается «химерическая» и
где начнпаѳтоя «действительная» точность, не так просто, да я вряд
ли вообще возможно; но, по существу, точка арения Даламбера ясна;
с тенденциями Евклида и его комментаторов она глубоко расходилась.
Далее, опять в противоположность Евклиду, б началах, по мнению
Даламбера, преобладающее значение должна иметь метрическая
геометрия. Сообразно атому, учебную книгу ао геометрии следует делить
не па учение о прямой, о плоскости, о пространстве (т. е. на донги-
метрию, планиметрию и стереометрию, как ѳти термины понимаются
в настоящее время), а нв трн отдела, посвященные соответственно
измерению длин, площадей и объемов. Даламбер даст подробные укава-
ния, тсЛк следует строить учение об измерении. Все учение об
измерении основано на пропорциональности одних величин другим;
Даламбер дает подробные указания, какого рода пропорциональности должны
быть устаыав-ігаваемы. Этеі указания в такой мере выполняются ооврѳ-
мешішмп учебниками, что вряд ли нужно на ѳтом останавливаться;
достаточно будет еказать, нто вся ѳта схема идет от Даламбера.
Евклид, как известно, очень осторожно пользуется движением; он
непосредственно прибегает к нему только два раза. Даламбер
рекомендует пользоваться движением систематически, выясняя, однако,
что речь идет здесь не о «грубом механическом движении», а о
геометрическом выяснении того, какие точки, линии и фигуры могут
друг друга покрыть. Эта точка зрения очень близка к идеям «Эратк-
генокой программы» Клейна. Вообще о относящихся в эяому
рассуждениях Даламбер очень близко подходит в понятию о группе
геометрических движений.
Что касается самого установления пропорциональности, то увловым
пунктом здесь является случай несоизмеримых отношений. Даламбер'
За*. 503S. И, И. Ллбячевскн 2
IS
І'ЕСШЕТРІІЯ
считает, что равенство г-іе со измеримых отношений должно устаиавли-'
ваться доказательствам от противного; он решительно отклоняет
совершенную, по очень сложную, мало доступную евклидову теорию про-
порцгій'Ѵ 13 атом есть, конечно, логический дефект, но вряд jm егс
можно избежать и препо да ванна начинающим.
Наконец, в ученіга об измерении длнтш окружности, площади
круга, объема пирамиды, поверхности круглых тел нельзя обойтись
без учения о бесконечно малых; по существу, конечно, они содержатся
уже в теории несоизмеримых отношений. Нельзя сказать, чтобы статья
Даламбѳра содержала, достаточно точные указания относительно того,
как, по его мнению, следует строить учѳшіе о бесконечно малых. Он
ііо всяком случае считает необходимым ввести понятие о предела ті
основных его свойствах, но допускает и применение метода
исчерпывания в различных его формах; оп предлагает, таким образом, пути,
совершенно чуждые Евклиду.
Е атом свободном изложении статьи Даламбера «С-еотёітів» мы
далеко не почерпали содержащихся в ней идеи; в статье имеются
многочисленные ссылки на другие статьи «Энциклопедии», где эти
идеи получают значительное развитие. Выть может, далеко не все,
что предлагает Далалібер, действительно должно быть проведено
в учебной книге по геометрии; многое в настоящее время переври-
стал л шов ал ось, многое отпало. Но существенно то, что во веем
комплексе статей но геометрии, помещенных в «Энциклопедии», Далам-
бер дал самостоятельно разработанный план построения начал геометрии
как учебной книги, который ігочтй во всех основных своих частях
глубоко стличаетел от системы Евклида; он был проникнут новизной,
стремлением отбросить стары!* шаблон, исканием новых путеіі в деле
ігр ело давания.
Те же идеи в еще более развитом виде проводятся Даламбером.
в очень интересном сочинении, опубликованном им в первыіі раа
в 1759 г.й). Четвертый: том этого сочинения посвящоп основным
вопросам философии, а глава XV—-геометрии; она содержит суждения.
о сущности геометрии, ее задачах и способах еѳ построения.
!) Евклид отенг. охотно пользуется довпиатйльотладит О'і1 противггого. Если том
не менее он к атому методу не прибегает в учении о пропорциональности, а со.
эдает ішоеобравкуіо к сложную теорию пропорций, то это имеет глуСюгсн'й овнова-
шгя. Далямбср, а за щш и Лезвандр, исходят из того, что всякие дни, значении
одной п тоИ же величины имеют отношение, выражающееся рациональным или
иррациональным числом; доказательство равенетва двух иррациональных отношений
проводится от противного. Для Евклида отношение несоизмеримых значении
величины, как число, вовсе не существовало; он строит тонкий, но елоіигшіі
аппарат. Ее тробуюэднй вонсо іганятігя аб иррациональном чнелѳ.
^ №larige de UtteraLiu'O, d'histoixe efc de philosophic. Фамилия автора па обложись
да была угагіана и была установлена позднее.
УЧЕННАЯ ЛТІТЕІ'ЛТУІ'Л ПО мЛЕЛІЕИТЛ І'ЕГПІІ ПіОШІТРНП ]!-
Гтатыі Дал ям бе ра получплп тпроіэд распространение в о&мок
Франншг и за ее пределами; с ними пс только считались при ооотнвле-
піхіг новых «Начал» геометрии, но часто оеновьтвалц на них
построение новой: книги. Три сочинения, относящиеся it концу XVШ гг началу
XIX ни., получили при готом преобладающее значение: «Курс» Вечу,
«Качала» Лежандра и «Качала» Лавру а. Ѳти сочинения в различной
стопѳіш шддеряшвагот план Даламбера; они имеют различное»
назначение п раину ю структуру; но вое три руководетпа отражают темденщпо
Даламбѳра оторвать преподавание геометрии от традиционной тяямѵіЫѴ
схемм Евкдадв. Все три книги написаны выдаипцташоя математиками
п талантливыми педагогами; они не снизили уровня преподавания
геометрии, сделав «е гораздо более доступной. Эти три учебника гео-
метрии получили чрезвычайно широкое распространи пне во всех
культурных странах к знаменуют собой новую эпоху в деле преподавания
геометрии. И ато не случайно; три этп книги — ято именно те три типа
учебноіі вяигіі, о которых говорит Даламбер.
Книга Везу была предназначена для артиллерийских и иорокік
учебных заведений1). Курс нашзсян очень доступно и песет па себе
отчетливо выраженный отпечаток установки Даламбера, он явно
предназначен для первой нз трех категорий читателей, о которых он
говорит: изложение носит до некоторой степени повествовательный
характер и не претендует на выдержанную точность; задачи и прав яла
измерительной геометрии составляют почти исключительное
содержание курса; приведены приложения к морским измерениям н приборам.
Учебник предназначен для начинающих учащихся и как
пропедевтический курс геометрии получил очень широкое распространение; даже
англичане перевели его для своих начальных школ3).
Но именно потому, что учебник Везу можно рассматривать только
нак пропедевтическое руководство, была необходима более серьезная
учебная книга, предназначенная для школ повышенного типа—для
средних учебных ваведений, как мы бы сказали в паетоящеэ время,—
для второй категории читателей, по Даламберу. Такую книгу составил
Лежандр. Его «Начала»а) действительно сменили Евклида на
школьной скамье. Правда, следуя тенденции Даламбера реорганизовать
1) В в '.а а Ь — Соіітв des mafchfimfittqiwa S. 1'usage de la marine eh da Pai'tillcris;
зесоткіе partie, contenant, In geometric, la trigonometric reetiligae at Ы trigonomrtrie
spheriqne, Paris, 1770.
"J После смерти Бѳзу Ре it но (A. Raynaud) отармшя: приспособить №о курс
дли лиц, подготовдішііпіхйя в акваменам в Политехническую школу. О атой
целью он снабдил его примечаниями и додониенішми, но размеру превышающий и
текст ІВеау. Такая попытка изменить характер я наеначегоге учебной книги: при
помощг примечаний: всегда бесполавна. И вне же книга Ееэу и я обработке І'вйно
вмдерніаль несколько изданий.
а) А. 51, L е g аѵ. Л г е — Elements de geometric, Paris, 1794.
■;*
20
ГЕСШЕТРІШ
при по датчик' геометрии, Лежапдр все же отнюдь па относился
тс Евклиду пренебрежительно. «Методу древних, — говорит-он в
предисловии,— обыкновенно считают наиболее целесообразной, наиболее
приспособленной для отчетливого выясяанш: геометрических истая.
Она не только приучает учащихся к большой точности рассуждения,
что представляет драгоценное преимущество, но и дает в то же время
своеобразный тип упражнения мысли, по своому характеру отличный
от анализа; что может в парных математических изысканиях сильно
содействовать разысканию наиболее простых и наиболее .изящных
решения». В соответствии о этим взглядом Дожандр сохранил общий
остов «Начал» Евклида и его синтетическое изложение; дѳ-Морган
имел все основания смотреть на новые «Начала» как на переработку
книги Евклида- Но йто была очень глубокая переработка.
Прежде всего, Лежапдр изменил самый стиль «Начал»; он
заменил формально-эшгтеокнй яіядк греческого геометра живым
французским изложением. Оп опустил вес, что не укладывается в рамки
первого ознакомления юношей о геометрией, а доступно лить людям
с высокий общим развитием; он превратил «Начала» в курс
элементарное геометрия. Этоіі элементарной геометрий он придал
метрический характер по общей идее Даламбѳра. Он ввел елементы алгебры,
и вторая книга Евклида отпала, так как в ней уже пе йыло нужды:
она могла только иллюстрировать общне алгебраические соотношения.
Он арифметизировал учение об отношениях и пропорциях—и отпала
трудная книга V. Извлечение квадратного корня, введение радикалов—
оавобождают геометрию от совершенно недоступной книги X. К тому
же Леасакдр вовсе не занимается той задачей, которой посвящена ХІП
книга «Начал»; ему поэтому вовсе не нужна сложная подготовительная
книга X. В теории пропорций, на которой Лѳжаядр строит учение
об измерении по пиану Даламбара, он всегда обрабатывает олучай
несоизмеримых отношений общим приемом приведения к абсурду;
евклидова теория пропорций становится ненужной. Тем же методом
доказательства от протяжного он заменяет п теорию пределов — прием,
несомненно соотавляюппій уже слабую сторону книги. Лажандр
выдерживает возможную для того времени строгость геометрического
рассуждения и лишь изредка впадает в ту иллюзорную точность, от
которой предостерегает Даламбер1).
Лажандр, как уже сказано, превратил «Начала» в .современный
курс элементарной геометрии. Влияние его книги было громадно. Но
нехватало третьего типа учебной книги, нехватало руководства, нрѳд-
1) Таким примером химерической точности служит, например, предлозвение Ш
первой книги, в котором Лезкащф пытается доказать, что при совпадении двух
точек одной прямо! с двуіія точками другой совпадут вд только определенные
этнмк точками прямолинейные отрезки, но л их продолжения.
УЧЕГ.ПЛЯ ЛИТЕРАТУРА НО М.'ІЕМЛІГГЛГ'ІШІІ ГЕОМЕТРИИ 21
назначенного для учащихся, которые подготовляются к углубленному
изучению математики. Такое руководство составил п начале XIX в.
Лакруа1). Этот выдающийся мате маток-педагог составил серпго
руководств «чистой и прикладной математики», вачігаая с
арифметики и кончая дифференциальным и интегральным исчислениями.
Третью книгу этой серии составили «Начала геометрии»"). Свои
ваглилы на преподавание пообщѳ н на преподавание математики
в частности Лакруа подробно развила специальном сочинении8); в нем
подробно наложены также принципы, на которых построены его
«Питала геометрии».
Книга Лакруа нредиазпачалась для так наиываемой «Центрально it
Школы», в которой преподавание математики было поставлено на
ш.т.соьсую ступень со дня ее основания. По своему строению и
изложению эта кнпга, может быть, не так глубоко отличалась от «Начал»
Леясандра; она даіпо несколько меньше по объему, но составлена, боле**
компактно; в ыон более тщательно обработаны догола, в ней
действительно шиша подготовка к научению высшей математики. Книга
начинается о дополнения к курсу арифметики, необходимого для
непосредственного перегода к научению «начал геометрии». Это уже в
большой мере характеризует установку книги в ту пору, когда спор между
«geometriam geomalrice» и «geometriam algebraioe» был особенно
интенсивен. Однако это не значит, что Лакруа совершенно оставил
синтетический стиль Евклида it Леясандра; напротив, общее строение книги
синтетическое; шо во многих местах алгебраические вычисления
упрощают и ѳначмтел&но углубляют материал. Так, в отделе о правильных
многоугольниках вычисления проведены так систематично и глубоко,
кате ни в каком руководстве, того времени. Калькуляционных приемов
і) S. I''. Lacroix — filaments <1ѳ geometric ". I'nsage de Гёсоіа centralo dfis
quotes mitious, Paris, 1303.
-} Как указано вшив в тавоте, Далашбар считал еще необходимым составление
кгаігя, предназначонной: для «Ооиаѳ углубленного поучения геометрии*. Нггагв,
Лакруа не вполне удовлетворяет этому требованию; втеі вое лее еще довольно
меыеитарный учебник. Книги, действительно удовлетворяющие требованию Далям-
бера, появились уже аначительио HD31K0, Наиболее ссвершенной иа ник в XIX вѳие
было папестное сочинение Рушен Кошбѳрус» (Б. Eouche et Oh. Comlie-
гонязѳ— Traitfi do gfiometrie). Б настоящее время ему пришла на смену книга
Адамара: J- Наdamatd — Lecons de geometric Slementaiire, Paris, 1898—1901;
она выдериеялв. уже 11 заданий:; с последнего издания сделан русский
перевод: Ж. Адамар— Элементарная геометрия, перевод иод редакцией проф.
Д. И. Пѳрѳпелкина, Москва, Учпедгиз, 1038. Недавно нышал «Курс влемениа-рной
геометрия» Д. И. Леропелкнна (ч. I, 1948 и ч. И, 1В4Ѳ), з^верищдениып
в качество учебника по элементарной, геометрии для студентов педагогических
институтов.
•■) .В. F. La од: оі х. — Ess si виг l'enaeignemeot ей gea&'ii] of, aur celai fdea mattte-
matiqaes en paiticriller; Paris, 1805,
ГЕОМЕТРИИ
і: книги очень много. Воибіле аналитический метод здесь систематически
приходит на поігпшь синтетическому, иногда выдвигается даже на
перпыіі п.чіш.
Вряд ли эдеоь целесообразно останавливаться подробно на различии
между книгами Беау, Леікандра и Лакруа, которое не носит
принципиального характера. Ыошет Гіить, будет лучше выяснить это раалпчие
на одном-днух примерах.
Во-первых, — учение о параллельных линиях. У Базу вто место
лалоагепо поверхностно, и трудность его совершенно обойдена;
доказательства прямых и обратных предложений одинаково мало выдержаны,
апеллируют к наглядности и, как и вся книга, рассчитаны только на
то, чтобы начинающий учащийся усвоил фактическую сторону дела.
Лѳжандр отмечает предложение, играющее роль V постулата, его связь
с cyiiMoff углов треугольника в отирается его доказать; от издания
к изданию он наменяет доказательства, то «уточняя» предыдущее, то
заменяя его новым '). Эта глава всегда доставляла большие натрудившая
при преподавании по Лелгаадру. Лакруа, слодуя Даламберу, аксиом
не приводит нигде; но, формулировав предложение, что перпендикуляр
и наклон Егая к одной прямой непременно должны и отрешиться, он
говорит: «В трудности непосредственного доказательства этого
предложения заключается несовершенство теории параллельных линия.
Многие авторы делали для достижения цели бесплодные усилия;
другие, как Безу, маскировали дефектное рассуждение; мне кажется,
это противоречит обязанности точного рассуждения, которую несет
актор каждого алѳ.мѳнтарного руководства. Я счел более правильным
ныявить этот тонкий пункт, допуская его в качестве постулата, как
йто делает Евклид, только в более доступной форме».
Другой пример — учение о длине окружности. Везу поясняет, что
на окружность можно смотреть как на .многоугольник с бесконечным
множоогвом сторон,* мы приближаемся поэтому к длине окружности,
вычисляя периметры шраигыіьяых вписанных многоугольников с
возрастающим числом сторон. Лежаидр рассматривает окружность уже как
продел периметров вписапиих п описанных правильных
многоугольников, но почти этого не обосновывает, Лакруа доводит это
обоснование почти до полной точности: доказывает, что периметры впнеан-
жых многоугольников постепенно вовр&статот, описанных — убывают,
что периметры описанных . остаются больше периметров вписанных
«многоугольников, что разность между теми и другими стремится
к нулю, что они, таким образом, ■ имеют общий предел. Осталось
бы только определить длину окружности как общий предел тех
*■) Эти, рассуждения играли очонь важную роль в исследованиях Лобачевского
(см. том I наст, издания, стр. 58—67, а также стр. 149—152 настоптаого тома).
ѴЧЕГіН.ѴЯ ЛИТКРЛТУГЛ ІШ МЛЕЛБНТЛРНОП ГШДГЕТРІШ 33
и друтях периметров. Этот последний шаг сделан и «Геометрии»
Лобачевского.
Наиболее существенным было то обстоятельство, что все три книги
били составлены оченг. талантлив о. Они получили ганрогсое
распространение по oceff .Европе, выдержали огромное число издание; пи
в каком случае не будет преувеличением сказать, чти вер последующие
учебные книги по геометрии в XIX в. в большей или меньшей степени
.попируют ЗЗѳау, Леиандра и Лавруа, смотри по своему назначению,
пли заимствуют отдельные части то у одного, то у другого автора.
Не пошел по этому установившемуся пути только Лобачевский.
Многие немецкие авторы стоят на той точке зрения, что п Германии
Кчстнар сыграл ту ;ве роль, что Леліапдр во Франции; вряд ли это,
■однако, правильно, Кестаер занимал в Гѳггипгенѳ кафадру «Евклида».
Это, несомненно, бг.ш высокообразованный геометр, глубоко лнавкшп
античную геометрию и справедливо почитавшийся во второй
половине ХѴ.ГП п. как наиболее крупный авторитет по Евклиду. Однако
это не был человек широкого научного кругояора. Проведший всю
агиань, главным образом, в изучении Евклида п его комментаторов,
не приобщившись к научному творчеству своего времени, Кестнѳр
несет на енбе печать комментаторов Внклида; это отчетливо отразилось
на его ггвтгге и глубоко отличает его не только от Лѳжандра, но и от
Безу. Дочти в то я;е время, когда, Даламбер опубликовал свой план
реформы начал геометрии, именно в 1758 г., Кестяер опубликовал
руководство по элементам математики3), Вторая часть первого тома
посвящена геометрии, Книга Кѳстнѳра, несомненно, своеобразна, она
не пред отав л нет собой переиздания Евклида, но она далеко не имеет
того отпечатка свежести мьтсли ы наложения, которая отличает Далам-
бѳра, Бету, Лѳжаждра н Лаісруа. Стремление к той химерической
строгости, с которой борется Даламбер, проникает всю книгу Кестнера;
большое число постулатов к аксиом, научное значение которых
ограничено ж зачастую просто ничтожно, большое число примечаний п самом
тексте книги, часто носящих чисто мѳтафианзеокяй характер и во всяком
случае недоступных и не нужных учащимся, отсутствие отчетливого
плана, пргтоущая автору склонность к многослобиго — все это делает
его книгу тяжелой и скучной. Книга Кестнера выдержала в Германии
ряд изданий; но как учебная книга по геометрии она даже в Германии
должна была уступить место «Началам» Лежандра,
Даже крепость английского консерватизма была еломнѳна*- «Начала»
Лежандра, появились в английском переводе Врюстера в 1824 г. 2),
!) А. О. KaestaGT—Aufangegmnde der Arithmetik, Geomatrie, еоиіеи tmd
sphamuhen Trigonometric uad Perspolitive, GOfctingen, 1758.
') A. M. Lagondro—Elements о! geometry and trigonometry, with notes
Edited by D. Brewster, EdmlitivgU, 1824.
24
І'ЕОМЕТГШГ
получили широкое распространение и положили нимало учебной книге
по геометртга:, постепенно вытесиившвіг из школы Евклида. Правда,
Хяо, выпустив уже в 1U08 г. прекрасное англиГіокоо издание Евклида
г. трех томах1), а затем хомпк греческого текста первой книги а), пишет
в предисловии к последней книге: «Я совершил двойное грех,
возвратившись к Евклиду и в его греческому тексту. По и уверен, что
история повторяется, и ми будем свидетелями того, кап Евклид вновь
займет подобающие ему место d пашеіі школе». Вряд ли, однако, этим
надеждам суждено сбыться.
Возвратимся к эпохе Лобачевского.
Не подлежит никакому сомнению, что со всоми этими основными
сочинениями до элементарной геометрии Лобачевский был хорошо
знаком. Руководства Везу, Лежаидра, Лакруа и Кестпера были
переведены на русский панк8) и в преподавании элементарной геометрии
играли руководящую роль; Лобачевский с ними познакомился еще
в гимназии. О работах Лажандра но основам геометрии и о его «Началах»
Лобачевский часто упоминает. Свой, кури анализа, как он сам
указывает, он читает по учебнику Лакруа. «Энциклопедия» в Россия широко
читалась; о пэтішѳ Даламбѳра были и русские статьи 4). Можно поэтому
сказать, что руководя и ;шш сочинениями, под влиянием которых
складывались воззрения Лобачевского на основания геометрии и на их
преподавание, помимо Евклида, были работы Даламбера, Лежаадра,
Лакруа и, может быть, отчасти Кестнера, хотя о нем Лобачевский
нигде не упоминает (руководство Везу было слишком элементарным,
чтобы падать здесь на весы). Но взгляды всех этих геометров в
воззрениях Лобачевского глубоко перекриеталлпаовались иполучали далеко
идущее развитие.
Руесиая утабняя литература но геометрии к начало XIX века,
Какова же была в ту эпоху русская учебная литература по
началам геометрии?
Прежде всего — об изданиях Евклида. Уже в ХѴІП в. было
выпущено в свет три перевода «Начали на русский язык. В 1735 г. был
*) Т. L. Heath — The tliiiteen books ai Euclid's elements. Translated from the-
test of Heiberg with introduction and commentary, Cambridge, 1908.
s) T. L. Ho ath —Euclid in Greek, Booli I, with introduction and notes, Gam-
bridge, 1930.
a) А. Ш. Іеаандр — Начальные оснований геометрии, (ЯТБ, 1819. В. Бесу—
Основы геомоі'рии для назначающих се&т по мореплаванию, firm, 1794.
С. Ф. Лажруа—Основания геометрии, ОПБ, 1835.
4) Например предисловие и «Осноящшям геометрия» акад. Гурьева (ей. шике
стр. 26).
УЧДЫІЛіі .ЩТЦЕ'ЛТѴРЛ ІЮ :-ѴГЕІ1КПТЛРЯ<)И ГЕОМЕТРИИ 25
подан перевод Сатарова, сделанный с латинского текста, Он бил
выполнен лил руководством англичанина Фарвараона (A. Fai'warson).
Этот профессор Абѳрдипокого университета, был приглашен в Россию
Петром I. Фарварсоп вдлцуотил в России ряд учебнііЕсов по математике,
it том числе перевод «Начал» в совращенном и переработанном виде 3).
Хотя этот перевод был, таким образом, предназначен для школы, но
вряд ли он для этой дели служил; распространения он во всяком
случае не получил. Б 1709 г. появился перевод Курганова2) с
французского, повидимому, о издании Дѳвгаля, п, наконец, в 1784 г.
Суворовым и Никитиным был опубликован перевод с греческого3).
Эти переводы вряд лн имели действительное школьное значение (хотя
последний через пять лет вышел вторим изданием); они
предназначались, главным образом, для избранников-любителей и высокими
достоинствами ые отличалась. В 1819 г. появился перевод Патругаѳв-
ского ■'), Ом бьі.п сделан с так называемого оксфордского греческого
издания*') іі выполнен очень тщательно: до оамого последнего времени
мы не имели такого хорошего русского издания Евклида; перевод
Ващенко-Оахарченко11) ему несомненно уступает, в лишь издаваемый
оенчао перевод Мордухаи-Волховского7) стоит на большой высоте.
Издание «Начал» в переводе Нѳтруншвокого получило значительное
распространение в математических кругах, но учебником эта кннгйі
конечно, ые служила: переводчик и сам говорит в предисловии, что
его перевод предназначается для «любителей» геометрии. Таким образом,
пасюящего школьного издания Евклида в Роосии не было. Потрушев-
ский, впрочем, не рекомендуя своего перевода в качестве учебной
') •Евклидовы апОмѳяты, ив двенадцати яефтонових книр выбранные, л
и осеш, книг через профессора, математики Ф. Фархпарсонсі сокращённые, с ла,-
тпнетсого ни российский язык хнрургус ом Иваном Сагароіаым шрсяоменнпе, СПБ,
J.739.
-) «Евклидовы вяемеяты геометрий». Перевал с французского Ник. Курганов,
ОПВ, 1769.
я) Евилндовтл стихии, дерев, с греческого П. Суворов и В. Никитин, СПБ,
1784; второе издание нод том же названием в 178В г.
■!) «Евклидовых Начал восень книг, а именно: нервнв шесть, одиннадцатая и
двенадцатая, содержащие в сабе основания геометрии». Перевод с греческого
Ф. Петрушевсгеого с прибавлениями и примечаниями, СПБ, 1319.
6) Оксфордское издание Евклиде, обработанное Давидом Грѳгорн, в ХѴШ в.
и в первой лолошіяе XIX в. считалось наиводае точной передачей текстов Евклидам
ЕѴКЛШДОГ ТА *$ZOMENA. Buelidis quae aupersimt omnia. Ex reeeusioue Davidig
Gregorii, ОхонІао, 1703.-
°) M. E. Ващенво-Захарчснко — Начала Евклида с пояснительный
введением и толкованиями, Киев, 1880.
') «Начала Евклида». Перевод с греческого Д. Д. Мордухаи-Водоовевог»
при редакционном участии И. К. В еоѳлобового и Ж. Я, Выгодского. Гостехиадат,
М. — Л, ІСниги Г—ѴТ, 1048, нши ѴЛ—XI, 1949. Издание следующих гениг
продолжается.
-2і і
ШОЛЕТРШІ
.BTiiint, считался, повидимому, только с фактическим состоянием
русской школы в то время. По существу он принадлежал к числу тех
.почитателей Евклида, которые согаершенно безоговорочно признавали
«Начата» наиболее совершенным, непревзойденным учебным
руководством по геометрии. В своем предисловии он оспаривает решительно
вое указания, которые делались на недостатки «Начал», хотя бы как
учебно» книга. Пѳ называя Даламбѳра, он оспаривает лее его
положения и даже сложную евклидову теорию пропорций считает
достаточно приспособленной для преподавания учения о геометричеокой
пропорциональности; «Обыкновенная, т. е. арифметическая, теория
пропорций сонерптѳнно недостаточна, ибо оне нарушает главнейшее
и необходимое качество матемагшш—точность». Теория пропорций
ЛзЪдокс а-Евклида, действ иге ль но, представляет собой совершенное
логическое построение; и нужно сказать, что некоторые замѳчапия
Дѳтрушѳвского относительно современного ему арифметического
изложения предмета далеко не лишены оснований. Но школьного ее аиа-
чѳшія никто, конечно, в настоящее время поддерживать не будет, и
повишу здесь нет надобности оспаривать его аргумѳита.цито. Для нас
.важно то, что тяготение к Евклиду даже как к учебному руководству,
хотя еще я недоступному для школы, было із России в начале XIX в.
-очень сильно.
Это тяготение особенно настойчиво проявлял аіі&д. С. В. Гурьев.
В 1798 г. он опубликовал большое сочпнѳигае, посвященное научной
обработке начал геометрии І), а затем в 1811 г. он издал также
■обатоптелыгщп курс элементарной геометрии а).
В предисловии к этому руководству Гурьев приводит план Далам-
бера, но соглашается, строго говоря, только со следующими его
словами, которые мы в переводе Гурьева ж приводим: сДабы составить
превосходные элементы геометрии, Декарт, Ньютон, йплср, Лейбниц,
Еернулли п другие не были бы через меру велики»; и поэтому «шгде
не находя не начал сей. науки, отличительным обравом означенных и
потом сходственно о сим отличением на самое дело употребленных,
низко предмета оной, в надлежащем виде пред отав лепного и потом
соответственно сему виду изложенного, мы принужденными иагшгася
столь известную науку налагать снова». Гурьев считает, что Евклид
.стоит бесспорно выше всех его критиков, в том числе и Даламбера;
но совершенным он его творение не признает и поэтому считает
нужным его усовершенствовать как о научной, так и с учебной стороны.
О О- Гурьев — Опыт о усовершении еяеменаов геометрии, составляющий
.первую квиту математических трудов, ОПВ, 1793.
а) О. Гурьев—Основании геометрий, 074 стр. и 30 листов чертежей ОПВ
леи.
УЧЕБНАЯ ЛПТЕНАТУГА ПО ЭЛЕМЕНТА ГЕІОГІ ГЕОМЕТРИИ 27
Это — лейтмотив всех комментаторов Евклида, к числу моторг-лх Гурьен,
несомненно, принадлежал. И нужно оказать, что некоторые
существенные улучшения он действительно вносит, но именно в тех частях,
где оы все-таки слодуег Далаыберу и Леигандру; он, по оуществу,
■.арифметизярует теорию пропорций, вводит начала учения о пределах,
отводгге большое место метрической геометрии. Но гго всему окладу
сочинения, по интересующим аіѵгора моментам, по самому
наложению— это чрезвычайно тяжелая книга, меігоѳ всего пригодная для
школы. Та хаморитаокая точность, которая, но существу, носит часто
внешний, формально характер, от которой так настойчиво
предостерегает Даламбер, составляет наиболее отличительную черту этого
сочинения. Казалось бы, у лее самые раамѳры книги Гурьева— около-
700 страниц убористого шрифта — говорили ва то, что для обучения
геометрии я школе она непригодна. И при всем том «Основание
геометрии» Гурьева было признано основным руководством; это
произошло при следующих обстоятельствах.
В начале XIX в. требоп&щ-гн к серьеажоі( постановке обучения
■математике в России шли, главным образом, от военного ведомства.
В 1804 г. адмирал Чичагов представил императору Александру I план,
'по которому наиболее выдаютцимея специалистам должно было быть
поручено составление курсов наук, преподававшихся в кадатекам
■корпусе. Этот, несомненно разумный, план был одоброп. Когда дело
дошло до составления руководства по геометрии, в качестве такового
было рекомендовано руководство Гурьева. Трудно себе уяонить,
чем это было вызвано: тем ли, что книга была посвящена «дерзкав-
нейшѳму великому государю—-императору Александру Павловичу»,
или здесь сыграл роль авторитет, которым пользовался автор в руко-
.водящих учебных кругах. Так или иначе, книга была перепечатана
о самыми не значительными изменениями в иаадотпѳ учебного
руководства. Эта книга, несомненно, уступает краткому и доступному
учебнику Бѳзу, который был переведен на русский язык и, может быть,
был в большем ходу, нежели официально рекомендованное
руководство Гурьева.
Остановимся еще на руководстве, составленном академиком Фус-
сом 1). Это тем более существенно, что Фусо дал уничтожающий отзыв
на сочинение Лобачевского «Геометрия» (см, стр. 126—127). Книга Фусса
■также предназначалась для военных учебных заведений, но только
■сухопутных. Нужно сказать, что она, несомненно, гораздо доступнее,
нежели книга Гурьева. На ней лежит явный отпечаток влияния Беау
J) IT. И. Фу со—Геометрия в пользу и употребление обучающегося
благородного юношества в Императорском сухопутном шляхетском кадетском -гсорпуса,
■СИВ, 1812.
2Ь
ГЕОМЕТРИИ
■л не бе:» польуы для дела. Но -roit «иоупустительпон» строгости, кото
part Фусс требует от учебника геометрии с своем отзыве, в ѳго книге
пет п вяеда ')- к '™шу пущено прибавить, что оригинал был написан
по-французски и очень скверно переведен на руоскиГг язык. Книга
в этом впдѳ ііроиаводпт неприятное впечатление, но соответствующее
научному авторитету Фусса.
Останавливаться иа разборе других русских руководств того сре-
мшш по элементарно» геометрия, входить в рассмотрение каждого из
ипх врігд ли целесообразна, Мы должны отметить выдающийся для
того времени курс профессора Харьковского университета Т. Оовноіі-
окого"). В противоположность учебникам Гурьева и Фусоа, он был
■составлен ив для воешшх, а для гражданских: учебник заведений,
пндан Главным Правлением Учалит, и, нужно сказать, составлен
гораздо тщательнее, гораздо лучше не только в педагогическом, но и
із научном отношении. Однако он несет на себе ясно выраженную
печать влияния Лотеолдрв, и Дал&мбсра. Вообще Оеішовышй
несомненно принадлежал к наиболее прогрессивным и просвещенным
педагогам того времени. Однако сам Лобачеисіші'г о его книге нигде
не упоминает.
Существенным выводом ин настоящего обііора является то, что
в России п первую четверть XIX в. в вопросе об учебнике геомва'рии
бклп распространен.!! те же взгляды, что и во Франции. В наиболее
влиятельных академических кругах преобладало тяготение к Евклиду;
в педагогических кругах было сильное влдянио Даламбера, Лѳясапдрц,
и Лакруа. Говоря поэтому о сочинениях, которые могли иметь
влияние на Лобачевского, когда он составлял «Геометрию», можно только
Ч Ивдыяо, уяіггыЕоя этот строгий отзыв о книге Лобачевского, дриведом,
например, следующее место, где автор, доказывая основную теорему о том, что
две параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки,
переходит в еиучшо несоизмеримости их (§ 180):
«Здесь надлѳижт примечать, что всегда можно нообрази'гь себе дашіуш ЛВ,
разделенную на столько равных: частой, что данная ни, ней точка упадет па какую-
либо точку деления, Ибо сия точка находиться будет либо действительно па одной
лга точек деления, либо между двумя точками деления. Ио если представим себе,
что ливня ЛВ разделена па- столь многие равные части, что часть, на которой
находится точка 0, будет бесконечно мала, то расстояние точки G от блиясаитѳп
точки деления будет не чувствительно».
Что может дать это рассуждение, не имеющее в таком виде ппкакой научной
пенностя; учащемуся, котороыу оивд ничего нѳ сообщено о бесконечно малых?
Постулата о параллельных Фусс не вводит; он доказывает, что
перпендикуляр и наклонная к одной ж той же прямой пересекаются с помощью риосуивде-
ния (§ 104), элементарная ошибочность которого была уже совершенно ясна еще
Проппу. Аналогичных примеров можпо привести много,
3) Т. Оскповский-—Курс математики, изданный от Главного Правления.
Училищ, СПБ, 1ѲІ4 (второе издание}.
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА. ПО аіІЮІЕНТЛРПОІІ ГЕОМЕТРИИ "211
повторить, что это были «Начала» Евклида, статьи Даламбѳра и
сНачала> Лежаидра и, возможно, Лакруа. Это были самые крупные
авторы того времени. Их учебные руководства, как уже указано выше,
были в переводах распространены в .России.
Е своих конспектах и проспектах преподавания, в предисловиях
it своим работам Лобачѳиокиі'г всегда ссылается иа ѳтах авторов; и*'
может подлежать сомнению, что это были для него сочинения
руководящего значения. Однако нигде п никогда Лобачевский не был
склонен итти по у станок лен ному шаблону. Повсюду он шел своим
собственным новым путем, ставал себе своеобразные задачи, везде
искал новых методов, новой постановки вопросов. И эти именно его
черты, впоследствии создавшие оливу его имени, встречали
наибольшие возражения и вызывали раздражение. Это относится и к его
учебнику *■ Геометрия».
ОВЗОГ СОЧИНЕНИЯ «ГЕОМЕТРИЯ»
Г) марта 1814 г. Н. II. Лобачевский- получил в Казанском
университете звание адъюнкта физико-матемптичеокпх наук и оо
следующего же учебного гола приступил к чтению лекций. В первые голы —
до перехода, проф. Бартельса в Дорптск-nft университет (1815—1820)х)—
nit преподавал главным образом элементарные предметы: арифметику,
алгебру, геометрию и тригонометрию, кап оказано в отчетах — «по
своим тетрадям» -). 1іт6 представляли собой эти курсы геометрии,
можно судить по сохранившимся тетрадям его слушателя М. Ж. Тем-
никова, о которых впервые сообщил А, В. Васильев в своем
предисловии к первому изданию «Геометрии». Это — очерки основных
принципиальных моментов ялѳме.нтариоя геометрии, наложение которых
модифицировалось из года в год. В какой мере они воспроизводят
«тетради», по которым вел овоЕі курс Лобачевский, конечно, трудно
судить. Из этих «тетрадей», повидлмому, и составилось сначала
«Основание геометрии», о котором идет речь в перечне Магницкого (см.
стр. 125), а затем—сочинение «Геометрия», представленное Лобачев-
еким для напечаташія на казенный счет. «Геометрия» представляет
собой, таким образом, краткое, но систематически проведенное
построение основных чнотѳй (элементарной геометрии, предназначенное
.в качестве руководства, для студентов, которым Лобачевский читал
свои лекции, или вообще для читателей, ужа усвоивших куре
геометрии; для всякого, кто это сочинение прочитает, такое его назначение
не вызовет оомнѳння, и только под этим углом зрения о нем и
надлежит судить а). Именно а этой точки зрения лишена основания
суровая критика Фусса*); но именно с arott точки зрения книге можно
') См. В. Ф, Каган —Лобачевский. Издание 2-а, 1Г., 10і8, стр. 70 н си.
") Ввиду контроля, установленного оа преподаванием, профессор дояжэн был
указать, по каким руководстпаы он ведет свой курс; диффереппнальноо ж
интегральное исчисления Лобпчвпсвкй преподавал по Лаируа.
,;!) С 1822 по 1837 г. ь Казанском универсіітете состоял одочоодстом магкстр'
математиии и физики Н. О. Юферов. Он читал начинающим студентам курс
геометрии ж в своих конспектах иеодяократно унизывает, что курс етот-он читает
по «Геометрии^ Лобачевского.
*) Cst. стр. 126—127 паст. тома.
ОІіЗОГ ГО'ШЫЕШЛГ «ГІХШЕТТШЬ -'J I.
<?д<мат!. другого poia упреки. Совершенным, дяжо тщательно оирабо--
таппы.ч, .это сочинение считать нельзя.
К какому иа воззрений на построепые «ыачал» геометрии
приминал Лобачевский? Прежде всего нужно сказать, что Лобачевский
никогда ив благоговел перед Евклидом. Во введении к первому зкѳ1
опубликованному им сочинению «О началах геомотрпп» он говорил-:
«Кто пе согласится, что никакая математическая наука не должна бы*
начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклшга,
начинаем мы геометрию?»
Человек своеобразного, оригинального склада ума, Лгю&чевскші
всегда, искал своих nyreti всюду, куда направлялась его игыслі-
И общая тендепдпя, отчетливо проходящая через все это небольшой
сочинение,— это стремление порвать со старыми классическими
традициями, мекать других, собственных путей для построения основ
геометрии. II, конечно, здесь, и атой сложной задаче построения всей
системы геометрии, молодой Лобачѳвоіщіі еще не имел большого'
успеха; но л здесь уже он шел тем путем напряженного искания,
который потом привел его в замечательным открытиям. Однако имени»
это стремление освободиться от оков традищш, несомненно, было
главной причпноіі того осуждения, которое встретила первая: же его.'
работа.
Влияние Даламбера отчетливо проникает все сочинение. Но
Лобачевский идет дальше Даламбера, оп гораздо глубже перестраивает
геометрию, нежели это сделали Лежандр и Лавруа. Прежде всего,
влшпшв Даламбера сказывается на самом определении геометрии.
В противовес установке Евклида он начинает свое сочинение
утверждением, что «геометрия есть часть чистой математики, в которой
предписываются способы измерять пространство». Эта
метрическая точка зрения была прогрессивной для тот времени; она
представляла собой реакцию против обучения основам геометрии
по чисто формально!"! системе Евклида, отрывающей геометрию от
каких бы то ни было ее приложений, сводящей ее только к
топкой логической концепции. Нет сомнения, что это был уже
переход от идеалистических тенденций верного ученика Платона к
материалистической установке. Правда, это был еще явно узкий
механический материализм, который и раньше имел немало сторонников.
Ярким представителем его был Даламбер. Однако, для студенческой:
аудитории того времени это уже быя, несомненно, недостаточно
широкий вагляд, не оставлявший в геометрии ничего, кроме метрики,—и
притом взгляд уже недостаточно современный. Оо времени
опубликования плана Даламбера прошло уже GO лат; в ато врѳмя
именного Франции шло возрождение синтетических методов; Монжем уже
была опубликована «изобразительная» или, как теперь говорят, «начер-
;.І2
ГЕОМЕТРИЯ
тательпаю гаомотрпя т), дисциплина, в которое метрические задачи
играют доминирующую роль, но которая имеет уже существенно новые
задачи. Еще раньте появилась «геометрия положения» Картю 2). Делая
школа р.ізтшвалн. атп идеи в «Анналах Жаргона», а в 1822 г. уже
появился знаменитый трактат Понселѳ я); говорить в ту пору
студентам, чго геометрия занимается исключительно измерением
пространственных протяжений, было идеоеторонпим и во всяком; случае ужо
несовременным. Очевидно, в те годы научные течения еще медленно
докатывались до далекой Казани.
Во всяком случае, яа этой метрнчѳскоіі точке зрения Лобачевский
стоит твердо іт притом пе только в этой книге, по и в сочинении
«О началах геометрии», помещенном в первом томе настоящего
издания. «Геометрияв разбивается па тринадцать глав, из которых десять
как по названию, так и по содержанию, посвящены измерению тех
пли других геометрических величин (измерению линии, углов,
телесных углов, треугольников, призм ж т. д.), а остальные три
подготовляют для этого необходимые средства (учения о перпендикулярных
прямых, о равенстве треугольников, о параллельных линиях). IT ьее
содержание геометрии Лобачевский делит на лонгиметрию,
планиметрию и «ттерйометрию» именно в том понимании этих терминов, на
котором настаивает Даламбвр (измерение длин, измерение площадей,
измерение объемов), даже более решительно это отмечая. В этой своей
метрической точке зрения Лобачевский идет так далеко, что угол он
определяет только как чполеипоо значение дуги (а градусах или
радианах), содержащейся между его сторонами; и эту точку зрения
он сохраняет позлее во всех сочинениях 4),
Обращаясь теперь к общей системе изложения, нужно сказать,
что «химерическая», схоластическая строгость Лобачевскому
совершенно чужда. Следует ли он в этом отношении Дадамберу или в
воззрениях Даламбера он нашел опору для овоих собственных взглядов на
втот предмет,—но описка аксиом Лобачевский же приводит нигде, ни
в «Геометрии», ни в последующих сочинениях, «Геометрические
исследования» он начинает пятнадцатью предложениями, которые
принимает за шеходные или известные5); большинство из них представляет
собой теоремы, доказательства которых общеизвестны; другие обычно
входят в определения или аксиомы; Лобачевский не делает между
ними различия. Даже в *Новых началах», в етой фундаментальной
l) &. Jlonge — Gaomefcrie иеаогірМте, Paris, 1799.
fcj L. N. О а г а о t — Geom&rie de position, Гаме, 1803.
s) J. Y, Poacelet—Traite ties ргоргійбз projectivss des figures, Paris, 182S,
*) Оы, .0 началах геометрии», том I, стр. 193, «Новые начала», стр. 204 наст
■тома.
5) См. том I яаоѵ, издания, стр. 80—81. '
ОПЗОР СОЧИНЕНИЯ «ГЕОМЕТРИЯ»
33
попытке построения всей системы геометрии, Лобачевский не
приводит аксиом. Считал ли он аксиомы излилгавмы в этом сочинении, или
вообще полагал, что строгое обоснование геометрии должно быть
построено только на надлежащем определении основных понятий, сказать
трудно. Во полком случае, он хорошо зпал цену аксиоматике своего
времени и предпочитал не давать химерического обоснования
геометрии; для подлинного же обоснования геометрии именно он поаже
и заложил надежный фундамент.
Из основных понятий геометрии Лобачевский в «Новых началах»
выдвигает на первый план «прикосновение тел» и делает ато понятие
тонкой отправления при построении всей геометрии, развертывая вту
идею в целую систему. Первый замысел этой системы ми ппдии уже
здесь, в «Геометрии», в первых же строках; Лобачевский, таким обрн,-
аом, пришел к нему очадь рано. Он еще не пытается сделать это
понятие краеугольным камнем при построении всей геометрии, но
он уже начинает с него изложение геометрии.
Одним из коренных вопросов в деле построения элементарной
геометрии является та роль, которая при этом должна принадлежать
движению. Евклид отводит движению незначительное место:
установив при помощи движения равенство треугольников по двум
сторонам и углу между ними (предложение 4 книги I) и но гром
сторонам {предложение 8 книги I), Евклид в дальнейшем тщательно
ого избегает, заменяя его формальными рассунсдеииями,
основанными на условиях равенства треугольников, Даламбѳр, в противовес
этому, предлагает пользоваться движением и, в частности, наложением
как основным методом геометрического доказательства. Лежандр в
некоторой степени следует ѳтому указанию. Лобачевский идет по этому
пути решительнее, чем это делал кто-либо до него или в ближайшие
годы после иего. Всякое сопоставление в смысле установления
условий равеиотва или неравенства Лобачевский проводи.!', сводя
соответствующие фигуры в пространстве. Хорошо известно, что позднее
Гельмгольцем, Софуеом Ли н Клейном движение было признано
основной характеристикой пространства. Правда, Лобачевский: не
формулирует самых з&коаов движения, т. ѳ. тех его свойств,
которыми оно характеризуется, но, как уже сказано, он избегает
всякой аксиоматики,
Построение метрики н геометрин всегда связано с больше!! илн
меньоіея ее арифмѳтязациеіі; и такая арифмѳтизация Лобачевским
действительно проводится. Олор о геометрической пли арифметической
теории пропорций, таким образом, ропіаетоя оам собой; отнодгениѳ для
Лобачевского всегда есть число. Так как измерение по оути дела
приводитоя к нахождению отношения двух значений величины (двух
«коликих»), то Лобачевокий в первой же главе приводит Евклидов
Зак, 503Й. Н. И. ЛовачеЕсккй, і. tl.
3
34
ГЕОМЕТРИЯ
алгоритм для разыскания общей меры; получающееся в результате
отношение он выражает непрерывной дробью, которая действительно-
наиболее отражает геометрический процесс. Случай несоизмеримости
пграет, как известно, в этом процессе особую роль; его обработка как
с теоретическое, так и С педагогической стороны служила предметом
многостороннего обсуждения п споров со времен Евклида, и, можно
сказать, ііп.іоть до напшх дней. Трудность заключается .здесь в двух,
моментах: во-первых, в самом определении несоизмеримого отношения,
т. е. иррационального числа; во-вторых, в учѳіши о пропорциональных
величинах разного рода, т. е. в доказательстве равенства или
неравенства иррациональных чисел или несоизмеримых отношений. Евклид
сосредоточивает внимание на второй проблема: он определяет не самое
отношение, которое как число для него вовсе не существует, а только ■
условия, при которг.тх два отношения равны пли не равны; для этого
он и излагает своеобразную теорию пропорций. Даламбѳр также
игнорирует первую проблему. Но он молчаливо всегда постулирует1
сущее твое аннѳ числа, выражающего отношение двух несоизмеримых
значений одной и той же величины; доказательство равенства
несоизмеримых отношений он рекомендует всегда производить приведением
к абсурду; Лежандр и Лавру а так ето неизменно и выполняют.
Лобачевский вообще не любит доказательств от противного; к этому приему
он прибегает очень редко, скорее для сокращегшя рас суждения, чем
для придания ему строгости. Его аналитический ум всегда ищет
прямого доказательства каждой истины.
В современной математике в теории иррациональных чисел или
несоизмеримых отношений внимание сосредоточивается на первой
проблеме. В той или иной форме несоизмеримое отношение всегда
определяется совокупностью его последовательных приближений, и
тогда равенство несоизмеримых отношений заключается в равенстве
всех соответствующих приближений. К этой последней точке зрения
по существу приближается и Лобачеиокий. Строгий, всегда
последовательный вмпнрик-материалист, он прпзнает только процессы,
фактически выполнимые. Разыскивая отношение так называемым
алгоритмом Евклида («Начала», книга VII, предложение -2), т. о.
последовательным делением, он считает, что втот процесс заканчивается тогда,
когда остаток перестает быть доступным нашим ощущениям. Он
говорит (гл. I)1): «Наконец не должно выходить остатку или, что все
равно, быть так мялу, что Чувства не могут его давать знать, того
менее орудие мерять». В этот момент процесс обрывается, отношение
представляет собой рациональное число, выражаемое непрерывной
дробью. Для Лобачевского, таким образом, существуют только рацио-
') См. стр. 45—ІВ каст. '.тома.
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «ГЕО.МЕТРИЯ»
8«
налыше приближенные отношения, выражаемые с любой доступпой
нам точностью. Вопрос об иррациональных отношениях как бы
отпадает; это, конечно, дефеіст теоретической установки; ыо при
установлении пропорциональности Лобачепсівий доказывает, что
соответствующие отношения будут равны, какова бы ни была доступная нам
точность. По оуществу йто, конечно, лишь иное выражение тон же
идеи, которая лежит в основе современной постановки вопроса; немного
слов нужно изменит/, в формулировках Лобачевского, чтобы к шш
присоединился современный математик.
Для измерения нужны единицы меры. Лобачевский вводит
метрическую систему с ее децимальными подразделениями, делит угол ва
100 градусов. Как, может, быть, никто другой в России того времени,
он понимал значение единого стандарта іг упрощенной техники
вычислений. И с первого :кв сочинения, предназначенного для печати, он
выступает со обоими своеобразными взглядами, не страшась нападок,
которые не замедлили последовать1).
Как уже сказано, Лобачевсішіі с самого вв.тяа делит геометрию
на лонгимѳтриго, планиметрию и стереометрию, однало п метрическом
(даламберовом) понимании ѳтих терминов (измерение длин, площадей
и объемов). Но во всем, что не составляет предмета прямых
измерений, Лобачевский но отделяет предложений плоской геометрии от
аналогичных предложений, относящихся к пространству. Так, уже во
второй главе он рядом о кругом рассматривает шар и сферу. И здесь
уже лѳясат зародыши той системы геометрии, которую он строит
в «Новых началах». В третьей главе — «О ттерлендикудах»— оп
рассматривает взаимное расположение плоскостей, а в четвертой, рядом
с измерением пртюлщтейвых углов, рассматривает измерение
телесных углов, рядом с многоугольниками—- многогранники. Лобачевский,
таким о браном, уже в начале века стоял на позиции фузиониама,
которую в конце XIX века защищали многие математики и педагоги,
Фуапонжстскуіо точку зрения при построении начал геометрии нельзя
считать общепризнанной; она имеет многих противников; в то время
она была еще совершенно лова; мы на знаем никого, кто до
Лобачевского становился бы на эту точку зрения. Между тем, именно пра
повторном обзоре геометрии проводить ѳти сближения двумерных и
трехмерных соотношений безусловно целесообразно.
Но Лобачевский имеет при этом п своеобразную, характерную
для его дальнейшего творчества цель, о которой ми скажем ниже.
Во всяком случав я в этом сказывается та оригинальность системы,
которая так характерна для Лобачевского вообще к для втого
сочинения в частности.
!} См, стр. 127 и 112 наст, тона.
36
ГЕОМЕТРИЯ
Очень характерным для всякого курса геометрии является изложение
вопроса, об измерении длины окружности, площади круга, объема
пирамиды, поверхностей в объемов круглых тел. По существу еоть
три способа изложения этого материала. Первый заключается в том,
что предложение формулируется и доказывается от противного; так
доказывает Евклид, что треугольные пирамиды, имеющие равновеликие
основании и равные высоты, равновелики; этого же метода
придерживается единообразно и Леікандр. Второй способ ааклгочается в
применении принципа Кавальеры в той или другой форме; так доказывают
теорему о равновелик ости шграмид Безу и Фусс. Третий способ есть
метол прямого вычисления путем перехода к пределу; это —метод
исчерпьшааия, как его понимал еще Архимед; его-—метод
интегрирования, как его понимали Лейбниц и Ньютон. В втом последнем порядке
идей всегда проводит вычисления Лобачевский в притом методом,
который ближе всего подходит к интегрированию; его вычисление
объема шара есть элементарное вычисление интеграла
s
о
Очевидно, сделать ясным для своих слушателей, что здесь мы имеем
дело с чистым интегрированием, и составляло задачу, которую ставил
'себе Лобачевский. Многие педагоги в наши дни настойчиво
отстаивают такое изложение учения об измерении площади круга и объема
шара.
Остановимся еще на том прпыципе, которому Лобачевский следует
при расположении материала. Академик Гурьев в предисловии к своей
книге1) говорит, что система наложения может быть расположена
«или соображенная с началами, или соображенная о предметами».
Расположение, сообразованное с началами, восходит от простейших
понятий к образов к более сложным, рассматривая прямые линии,
углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники, окружности
и т. д.; при изучении более сложного объекта в втой системе можно
пользоваться заранее подготовленными установленными свойствами
более простых объектов: Изложение, сообразованное с предметом,
заключается в том, что каждый раз (а не раньше, не предварительно)
в соответствии с ооновкой задачей приводятся те подсобные
предложения, которые вдесь именно нужны. О точки зрения такого
подразделения, если его считать правильным, система Евклида
«сообразована с наталамя» (так Гурьев н утверждает), система же Лобачевского
'«оообравована с предметами». Постоянно пользуясь непосредственно
движением, Лобачевский отодвигает учение о равенстве треугольников
3) «Основании геометрии», Ом. стр. 2G наот. тома.
ОТІЗОР СОЧИНЕНИЯ «ГЕОМЕТРИЯ»
37
до пятой главы и излагаем даже учение о правильных многоугольниках
п правильных многогранниках без его помощи. Не всегда это дает
хорошие рееультаты. Конечно, непосредственное наложение делает
многие доказательства более наглядными, но это нередко вызывает
длинноты и повторения. Эю отмечено в своем месте и примечаниях
к тексту «Геометрии».
К числу попроеов, значительно отодвинутых в изложении,
принадлежит и учение о параллельных линиях. Его знает дальнейшее
направление работ Лобачевского, тому совершенно ясно, какую роль
учение о параллельных линиях играет уже в «Геометрии». Б первой
части сочинения Лобачевский тщательно отбирает весь тот'материал,
который не зависит от постулата о параллельных линиях. Он делает
это гораздо решительнее, чем Евклид. Первые '27 предложений Евклида,
как известно, не зависят от пятого постулата. Но аатем, в учении
о круге, в различных частях стереометрии, Евклид вновь возвращается
к предложениям, которые доказываются без помощи постулата.
Лобачевский на протяжении первых пяти глав тщательно отбирает вое,
что не зависит от теории параллельных линий; этим, главным
образом, и объясняются его фузиовиетские тенденции. Фуссу, естественно,
могло казаться странным, что Лобачевский налагает учение о
правильных многогранниках до равенства треугольников и притом гораадо
более сложным приемом — на основе теоремы Эйлера, — чем это
делается обыкновенно. Он не понял, что здесь заложена
глубокая мысль—провести это построение без помощи учения о сумме
углов многоугольника.
Учение о параллельных линиях в «Геометрии» нашло себе место
только в шестой главо, прп измерении прямоугольников. Эта глава
начинается с постулата о параллельных линиях, который Лобачевский
здесь вводит в такой форма: «Измерение плоокостей. основывается на
том, что две линии сходятся, когда они стоят на третьей по одну
сторону и .когда одна перпѳндикул, а другая наклонен» под острым
углом, обращенным к перпендикулу..-. Строгого доказательства сей
истины до сих лор по могли спекать. Какие были даны, могут вл-.
зваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в
полном смысле Математическими доказательствами»'). Прямой оговорки,
что это предложение, татеігм образом, является постулатом,
Лобачевский не делает, в согласии с тем, что он вообще нѳ выделяет аксиом
и постулатов. Но это место свидетельствует, что в 1828 г. Лобачевский
уже отдавал себе ясный отчет о том, что ни одно из предложенные
доказательств постулата о параллельных линиях не может быть при-,
знано удовлетворит ель и ыи.
') Оы. стр. 70 наст. тома.
38
ГЕОМЕТРИЯ
Вслед аа этим Лобачевский дает оригинальное доказательство
существования прямоугольника и на этом очень своеобразно строит все
учение о параллельных линиях.
Учение об измерении прямолинейных фигур п многогранников беа
инфишиеаимальных приемов составляет вторую часть «Геометрии»; по
существу оно выполнено по плану Даламбера, но своеобразными
приемами (главы VI—IX).
Наконец, третью часть книги составляют те измерения, которые
выполняются при помощи интегрирования, И этим путам, прямым
интегрированием, Лобачевский ведет вычисления, начиная с площади
круга, с объема пирамиды и кончая.объемом шара.
Таким образом, ясно, что Лобачевский при составлении «Геометрии»
но считал систему Евклида верхом совершенства и искал путей
построения основ геометрии на новых началах. И не только в этих общих
чертах, не только в систематизации и расположении материала, но и
в каждом рассуждении можно видеть оригинальную мысль,
стремящуюся отойти от традиции и провести доказательство своеобразно,
по-новому. И вто не просто желание быть оригинальным во что бы
то ни стало: всюду и всегда можно видеть тѳ принципиальные мотивы,
которые побуждали автора итти не традиционным, а своеобразным
путем. Но всегда этот путь удачен, но всегда моікпо усмотреть ту цель,
которая руководила автором при выборе системы, метода рассуждения.
Наиболее характерная черта всего сочинения — вто искание новых
путей в построй идти начал геометрии, стремление по крайней мере
и этом обзорном курсе отойти от1 укоренившихся, веками
утвержденных традиция. Эти искания занимали Лобачевского уже давпо; в 1810 г.
они сложились в форму сочинения «Основание геометрии»1). В 1823 г.
они были оформлены в виде учебной книги «Геометрия», которую
Лобачевский представил к напечатанию.
ваканчивая етот обзор, мы отметай еще две существенные общие
черты:, характерные как для этого небольшого сочинения, так и для
других более обстоятельных его работ. Во-первых, во всем построении
отчетливо проявляется общее материалистическое направление мысли.
Это сказывается как в самой точке зрения на существо и задачу
геометрии, так и в выборе оояовиых понятий, из которых он исходит.
Во-вторых, яти основные понятия всегда носят топологический характер.
В более обширном сочинении «Новые начала геометрии» эти черты,
проявляются с большей определенностью и там они обстоятельно
отмечены в редакционных примечаниях; по н в настоящем небольшом
сочинении, в «Геометрии», их уже нельзя не усмотреть ~).
') Ом. стр. 125 наст, тома,
2) О материалистическом направлвв^ш а работах Лобачевского см, сочинения;
А. А, Максимов—Очерки по историк борьбы аа материализм в русском еоте-
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «ГЕОМЕТРИЯ» 39
При той характеристике «Геометрия», которая дала выше, оете-
■ственво возникает вопрос, как смотреть на отаыв, данный об ѳтойкннге
-академиком Н. И, Фусоом '). Его резкий тон производит впечатление
уничтожающ ой критики; в ретроспективном сознании, что книга была
написана Н. И. Лобачеиским, мы склонны видеть в атом отзыве только
проявление узости мысли и политического мракобесия. Однако п к этому
нужно отнестись более осторожно.
Ы. И, Фусс был маститый математик. Он был приглашен в Петербург
Эйлером, был его сотрудником, и свое кресло в Академии, несомненно,
нанимал с честью; его многообразные труды по различным вопросам
анализа пользовались в Европе заслуженной известностью; он состоял
также членом академий: германской, шведской и датской. Это был
■серьезный ученый. Политическая печать сановника при императоре
Александре I п эпоху рѳагщитт на нем, конечно, лежала. Он не может
не отметить п на осудить, что Лобачевский вводит метр в качестве
единицы меры длины и даже центе зима дьн о е деление прямого угла,
.которое «выдумано было во время фрашуаской революции, когда
бешенство нации уничтожить все прежде бывшее распрортранилось
даже до календаря и деления круга». Это указывает, конечно, на
прогреооішноо направление Лобачевского, и суждения Фусса не
послужат, конечно, к слава его имени. Академику Фуссу надлежало
бы анатв, что идея центе зима дьного деления угла возникла гораздо
раньше французской революции и притом, нв во Франции; даже первое
ее осуществление имело место не во Франции, в. в Германии п в Англии ");
ему следовало бы внать, что во Франции предложение о создании
единой десятичной системы мер п весов исходило от самых
выдающихся математиков и физиков. Этп строки отзыва проиаводят, конечно,
очень тяжелое впечатление. И все же нельзя думать, что только этот
политический момент сыграл решающую роль при осуждении «Геометрии».
В етот отаыв необходимо вчитаться внимательнее: он отнюдь не похож
на тот грубый паеквпль анонимного автора, который был помещен
в «Сыне отечества» по поводу сочинения «О началах геометрии»в).
Магницкий скрыл от Фусса, что «Геометрия» принадлежит
профессору Казанского университета Лобачевскому *). Ив приводимого в
факсимиле письма Магницкого Фуоо должен был скорее заключить, что
книгу составил рядовой «наставник» Казанского округа, нрѳдназяачав-
етвознаншг," Раздел пторой, Москва, 19І7. Б. И. Нагаева—Педагогические
взгляды: Лобачевского (Диссертации).
*) Ом. стр. 126—127 наш, томв.
2) Подробнее об эгом <іад. стр. 112 (примечание к соответствующему месту
«Геометрии»),
3) См. В. Ф, Каган —•Лобачевский», изд. 2-е, М., 1948, стр. 245 и ел,-
*) Об этом см. стр. 183 иаст. тома.
40
ГЕСШЕТРИЯ
limit ее для учеников. При всем том Фусс начинает свой отзыв словами:
«Сочинение... содержит в себе разные геометрические рассуждения
и исследования, которые. .. по надлежащем выправлении ошибочного
и вылущении бесполезного или уже известного, могли бы быть
представлены Вашему Превосходительству». Речь идет о книге до
элементарной геометрии, которая на новый фактический материал не
претендует и такового не содержит. То, что «уже известно», могло бы,
іаким образом, относиться только к методологической стороне дела.
Приведенные отроки обнаруживают, что Фусс, даже не еная того, что
книга написана не рядовым преподавателем, а «по общему отзыву»
того времени просвещенным и талантливым молодым ученым1), все же
усмотрел.в ней новые методологические расеуждения, заслуживающие
опубликолания." Его математическое чутье подсказало ему, что в ней
есть мысли, имеющие право на внимание. Правда, он требует
исправления ошибочного. Краткость этого указания на дает возможности
усмотреть, "что именно Фусс считал ошибочным. Но нужно признать,
что гагата составлена на так тщательно, чтобы это требование можно
было считать лишенным основания. Попадаются промахи, подчас
довольно дооадные; они отмечены в настоящем издании в примечаниях в
тексту. Иногда эти промахи могут быть действительно квалифицированы
как ошибки. Особенно грешит в этом отношении глава JX «Об
измерении призм». Условия равенства призм выражѳпы неправильно — они
не исключают симметрию; ето привело к прямо ошибочному
утверждению, что всякий параллелепипед разбивается диагональной плоскоотыо
на «одинаковые» (т. ѳ. конгруѳнтные) треугольные призмы. Эта
ошибка ведет свое начало еще от Евклида (см. примечание 89 на стр, 120)
и имеет свою псторшо; но Лежандром и Лакруа она была неправлена;
Лобачевскому следовало бы отнестись к этому внимательнее. Нужно
признать также, что достаточно тщательной обработкой книга вообще
нэ отличается. Более чем вероятно, что Лобачевский выправил бы яти
погрешности:, если бы дело действительно дошло до печатания книги.
Вернемся к отзыву Фусса. «Но сочинение сие, — пишет он,— не
есть геометрия или полное и систематическое изложение всей науки».
В этом отношении. Фусс безусловно прав: «Геометрия», конечно, не
представляет собой нолного, систематически построенного учебного-
курса геометрии. .Это есть обаор геометрии, предназначенный для тех,
кто курс элементарной геометрии уже усвоил, а не учебник геометрии.
Конечно, Лобачевскому следовало бы это отчетливо сказать в
предисловии, и, вероятно, такое предисловие и было бы книге
предпослано, если бы дело дошло до ее печатания. Иввеотно, что предисловие
Обыкновенно пишут после того, как книга готова, — зачастую именно.
) См. отзыв самого Магшщкого, приведенный на стр, 131,
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «ГЕОМЕТРИЯ»
41
тогда, когда она уже набрана. Однако Фуое имел перед собой запрос,
надлежит ли «Геометрию» печатать па казенный счет как учебную
книгу. «Если сочинитель думает, — отвечает Фусс,— что оно может-
служить учебною книгою, то он сим доказывает, что он нѳ имеет
точного понятия о потребностях учебной книги, т. е. о полноте гео-
метричеоких истин, всю систему начального курса науки
составляющих...» Сказано резко, но по существу Фусс прав; автор, который
смотрел бы на вту книгу, как на полный учебный курс начальной^
геометрии, действительно этим обнаруживал бы, что он не имеет
представления о том, как должен быть такой элементарный курс составлен.
Но Лобачевский так на свою книгу, несомненно, не смотрел; он далек
от того, чтобы охватить «всю полноту геометрических истин»; напротив,,
он дает обзор только наиболее важного, существенно
принципиального и набегает подробностей, которые ничего идейно важного не
содержат, которые «должны быть слушателям давно известны»1).
Фусс просмотрел эту характерную фразу, которая в значительной мере
сводит вою его отповедь на-яет. Фусс упрекает автора и в том, что-
он не имеет «точного понятия... о необходимости точных и ясных,
определений всех понятий.. ., о нвупуотительной и, по возможности,
часто геометрической строгости доказательств» и пр. В атом он
безусловно неправ; если оставить в стороне некоторые промахи, то в атом,
отношении молодой геометр был впереди старого ученого,
находившегося во власти изжитых традиций. Лобачевский действительно был в?
оставался врагом той призрачной, «химерической» строгости, к которой'
так тяготели комментаторы Евклида, Эта шнпоаориая строгость
проявлялась всегда в определениях основных понятий: и в попытках бѳв-
надлежащей акоио магической базы доказывать то, что у Евклида
молчаливо принимается по своей наглядной очевидности. Лобачевский этого
не делает; но за этими предела.ми он всегда настолько точен, что его-
рассуждения и в настоящее время, можно сказать, дѳ вызывают
возражений. Так, например, в его определение длины кривой достаточно-
внести несколько дополнительных снов, чтобы оно удовлетворило
строгого современного математика; оно стояло впереди своего времени
(см. «Геометрия», гл. XT).
Фусс чувствует, что он имеет здесь дело на с рядовым
составителем учебника, и ставит себе вопрос, какова ікѳ внутренняя основная-
цель, которую имел в виду автор, перестраивая сиотеыу геометрии.
Она кроется, по его мнению, в том, чао автор хогел избегнуть
введения бесконечно малых, — я это ему не удалось, бто совершенно
несоответствует действительности: ни в «Геометрии», ни в дальнейших,
своих работах Лобачевский не избегает бесконечно малых; напротжв,.
3) Стр. 78.
42
ГЕОМЕТРИЯ
он пользуется приемами, которые составляют существенную часть
анализа бесконечно малых; и хотя самого термина этого он в «Геометрии»
пе употребляет, он систематически применяет методы интегрального
псигслсшгя в элементарном, но чистом виде. Он всюду гоаорит
о проделе—-«границе», которую он разыскивает с полною точностью.
Фусс, несомненно, видел, что книга написана незаурядным автором.
Но он не знал, он не ощутил, может быть, и не мог еіце
почувствовал*, что автор — геометр первого ранга, что он имеет право и
возможность подоПтя крптичеснрг к традициопноГг система Евклида и искать
при наложении начал геометрии других путан.
В предисловия к первому печатному изданию «Геометрии» проф.
А. В. Васильев высказывает мысль, что позже, когда Лобачевские
был ректором Казанского университета п пользовался значительным
влиянием, оіс мог бы «Геометриюя напечатать п «если пе сделал этого,
то, вероятно, потому, что ооааааал сам в этом отношении ее недостатка».
Мы думаем, что это пѳ совсем таге. Несущественные промахи было бы,
конечно, очень легко исправить; но мысль Лобачевского продолжала
усиленно работать над вопросами обоснования геометрии, и и блігжпй-
ішіо эке годы он ушел в »том направлении уже далеко вперед. Уже
в 1824 г. идеи, содержавшиеся в «Геометрии», были для него
пройденным етаиом. Как в вопросе о тех положениях, которые должны
быть взяты аа основу геометрии, так и о формах ее систематического
построения ол занимал ун;е новые позиции. Именно как этап в ходе раз-
.вития идей Лобачевского «Геометрия» представляет большой илтерес.
. tf~ ft
*-SV т&іг&еъ &імъя}&я~ пуинщаы* 3&u*/rz4t&tmab.Jj&*xiti*?/w
Пе[іаяя втриніща рукописи Лобя'іеіѵжого «Геометрия.»
К ст|і. JS.
ГЕОМЕТРИЯ
[ВСТУПЛЕНИЕ]
Часть чистой Математики, в которой предписываются способы
измерять пространство, называется Геометрпею й.
Геометрическое тело удерживает одно только свойство
протяжения от тел природы.
Протяжение есть свойство тел, распространяясь, приходить
в прикосновенно* друг с другом [1]а.
В природе все тела троякого протяжения, но можно
представлять одно только протяжение—в линиях, двоякое—в
поверхностях, и наконец все три в телах. Итак лшіиж, поверхности и тела
составляют Геометрические величины. Посему и Геометрия может
быть разделена на три части: о измерении линий (Лонгиметрия),
о измерении поверхностей (Планиметрия) и о измерении тел
(Дітереомртршт) [5].
Соединение Геометрических величин происходит через пх
взаимное прикосновение. Измерение их состоит в наполнении/
измеряемого несколько раз взятой мерою, или частями ее, соединяя
их через прикосновение9. Начало и конец линии принимает в
Геометрии общее название точки.
Представчяя линию составленною из других, ложно допускать
точки во всем ее протяжении, Линии касаются, если у них общая
* О точно зрения на геометрию, устанавливаемой вікм определением и
проводимой во веем сочинении, ex. в стаіъе аОбзор сочинения „Геометрия"», стр. 3L
наст. тома.
* Си. «Обзор», стр. 33, а также примечание 1,
э Цифры в квадратных скобках указывают на номера примечаний,
помещенных после текста сочинения (охр, 108—123).
S Подробнее об втом см. «Новые начала», га. Ш, стр. 201 наот. тома.
44
ГЕ051ЕТРИЯ
точка it одпа линия остается на одной только стороне в
отношении к другой [Ц. Линии пересекаются, если у них точка общая и
одна линия переходит в отношении к другой с одной сторонж на
другую. Линии сливаются, или совпадают, когда они
неразличествуют, или когда у них есть часть общая. Подобно и поверхности
капаются в точках, или линиях, пересекаются в линиях и сливаются
все, или в частях. Геометрия оканчивается там, где покажутся
способы намерения всех Геометрических величин. За нею следует1
приклад Аналитики к Геометрии [*].
\
ГЛАВА 1-я И
ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНИЙ [в]
Прямыми линиями называются те, которые сливаются, как скоро
_у цих две общие точки, и которые ие могут не сливаться при двух
■пбщих точках '■. Плоскость есть поверхность, которая всегда
сливается с прямой линией [8]. Kjiyz, или, справедливее, круговая линия,
■есть такая линия в плоскости, для которой возможна точка вне
ее на равном расстоянии от всех ее точек. Расстояния сии названы
полуѵоперетжіііамч, а общая точка, от которой они берутся—цепт-
■цюм круга. Посему круги различествуют менщу собою, если у них
іге равны полупоперещники, и сливаются только тогда, когда полу-
лопереншики равны и центр общий. Части круга называются дугами,
■и, по свойству круга, сливаются, когда у них общий центр. Круг,
рассматриваемый в целости, но отдельно от центра и долупопе-
репшиков, называется также ощужиОбть[3].
— *Для измерения прямой линии можно брать за меру также
■прямую липиго, потому что мера такая, будучи несколько раз
взята, или ее части слипаются с измеряемою прямой и могут ее
наполнять. Подобно и для измерения дуги может служить мерою
часть того же круга. Пусть дается линия А, прямая или дуга
круга; и В ее мера таиасѳ прямая линия в нервом случае и дуга
того же круга в другом случае. Пусть В укладывается п раз в А
с остатком В'<_5; пусть потом В' уложится %' раз в В с
остатком В" <іВ'\ остаток В" в В' улояштся п" раз с остатком В'" <.В";
~ Определение примой линии разбито на, дно части:,1 который устанавливают,
' что прямая вполне определяется двумя точками как по своей форме, так и по
'-положению в пространстве. Равные дуги ровных окружностей удовлетворяют
первому требованию: omi стираются, вернее, могут быть приведены к совмещение,
когда у них общие концы, но не удовлетворяют второму — они ыогут'ине
совпадать при общих кояцах['].'
* Знак «—я перед началом айоаца поставлен в тех местах, где абзац сделай
_редякциек.
4(5 ГЕОМЕТРИЯ
остаток В'" в If снова н'" раз <- остатком B1Y <В"' и т. д.
Наконец нодолжпо выходить остатку или, что все равно, быть гак налу,
тіто чувства но могут его давать знать, того менее орудие мерять.
Пусть это случится при линии (?, когда она в предъидущей Р
ляжет р ра;і. Все такое измерение будет представлено уравнениями:
/i = *(.5-h-Bf; В = п'В'-{-В") В' = п"В"Л-В'";
В"^п'"В'"^-В™, и т. д. P=j>Q.
Отсюда ——==и-|-~ -
№ІѴ+ И Т. Д.. . 4~7""
"Что все приводя в одну дробь, величина линии Л будет
произведение сей дроби на Bt а самая дробь — содержание линии А к В [10|.
Для измерения, кат; прямых линий, так и кривых, берется
прямая линия метр и его десятые, сотые, тысячные и т. д. пасти.
Но как для измерения требуется, чтоб мера, или ѳе части, пакла-
дываясь на измеряемую линию, наполняли ее, а кривые линии не
могут сливаться с прямыми, то и их измерение в строгом смысле
невозможно. Что же разумеют в Геометрии под измерением
кривых линий, состоят в том, чтоб разделять кривые линии на весьма
малые части том менее, чем хотят более соблюдать строгости; потом
вместо сих частей принимать прямые, соединяющие их концы,
тогда сумма всех сих прямых дает длину кривой линии. Способ
сей заимствован из самого измерения, употребляемого нами в пргг-
роде: окружности колес меряются цепью, которой звенья
представляют прямые линии, взятые вместо частей кривой лилии.
Измерение почитается тем вернее, чем звенья цепи мельче; а последняя
точность будет достигнута, сели вместо цепи возьмется гибкая
нить, т. е. цепь о неприметно аіамыми звеньями. Впрочем
измерение целых линий составляет часть Аналитики, где
дифференциальное исчисление показывает способ для всякой линии находить
такую величину, к которой тем более приближается мера данной
кривой линии, чем мельче она разделится на части, и эта-то
величина почитаотся истинною мерою кривой линии [п].
[ГЛАВА И]
OJJ УГЛАХ [»]
Для. сравнении дуг в круге величины их выражаются в
четырехсотых частях окруашостн, которые часта называются градусами.
Они разделяются вновь на десятые, сотые, тысячные п т. д.
части [іи]. Градусы выражаются целыми числами со зпажш О наверху,
и аир. 25°; части же градуса выражаются десятичною дробью.
— Двѳ сходящиеся прямые иишш должны встретиться только
в одной точке, пначе они не были бы прямые.
— Углом называется выраженная в градусах дуга между двух
сходящихся линий прямых, описанная из точен их пересечения.
Ясно, что число градусов такой дуги остается то же, какой бы
ни был долупошреіпник; ибо здесь дуги разных подупоперепшиков.
будут соответственно укладываться на их окружностях'-.
-—Углы, о которых здесь говорится, называются линейными,
когда надобно их отличить от других углов, взятых не между
линий. Угол б 100° называется прялым; а две линии,
составляющие такой угол, будут перпендикулярны друг к другу, каждая,
перпендикуляром it другой. Две линии, сходясь под углом 200°,
составляют одну прямую лижжю.
— На линии из всякой точки можно восставать перпѳндикун;.
ибо около всякой точки можно описать полкруга с одной стороны,
* 8то своеоОраонос определение угла свяяадо с метрической точкой зрения,
на которой Лобачевский гвѳрдо стоит. Угол для шго только число (хотя бн и
именованное); самый образ отходит на задний план. Это определение умгя.
Лобачевский сохраняет со всех своих сочинениях. В статье *0 началах геометрии» ■
это определение еще более уточняется: единица дуги выбирается так, чтобы
вел окружность выразилась чаеиом 2я; к атому прибавлено: «Таге выраженная
дуга называется ликейньиі угяолі нли утлом тезе двух линий, которые, идя чрез.
концы дуги, встречаются в центре круга» (ом. «О началах геометрии», т. I наст,.
лад., стр. 193), а также «Новые начала», ст. 39 (стр. 203 вост. тома).
4S
ГЕОМЕТРИЯ
воображать полукруг разделенным пополам; тогда чрез средину
■будот проходить перпендикул. Здесь же видно, что перпендикул
из точки па линии в плоскости может быть только один.
— Угол между двумя .пиниями, когда они но переходят за точку
пересечения, может быть взят с двух сторон, но обыкновенно
берется монЫпим из двух. Угол двух линий, когда они продолжатся
за точку пересечения, может быть взят такяіе различпо. Еслн две
линии а и Ь [черт. J J сходятся в общую точку и продолжения их
за точку пересечения назовем соответственно А и В, то угол между а
и Ь и угол между А и В разнятся только
в положении, но одинаковы по величине;
ибо как тот, так и другой составляют 200°
с углом между и и В. Также углы у а с В
и у Ъ с А будут равны. Такие углы
называются вертикальными. Два угла у а с Ь и
у В с а или нм равные будут как тот, так
и другой принадлежать к двум прямым;
посему надобно всегда означить, который
именно из двух разумеется углом пѳрѳсе-
А кающихся линий.
чс„т j_ —Две плоскости пересекаются в прямой
пинии, что составляет необходимое требова-
лиѳ определения плоскостей f1*], Угол двух плоскостей или
плоскостной угол есть угол между перпендикулярами, проведенными
в доух плоскостях к линии пересечѳния[и]. Продолжение шго-
'скостей за линию пересечения составит вертикальные углы,
[которые,] как и в прямых линиях, между собою равны. Здесь также
надобно означать, ко гор бей из двух углов надобно разуметь
углом двух пересекающихся плоскостей. Когда угол двух
плоскостей прямой, то плоскости будут перпендикулярны одна к другой.
— Углы линейные и плоскостные называются острыми, когда
■они <100э; тупыми когда >100°.
— Угол линии* с плоскостью называется угол, который делает
.линия с лкниего пересечения данной плоскости нлоскостию, к нею ■
перпендикулярного и проходящею вместе чрез линию.
* То-еоть прямой яшііш; Лобачанекий как и «Геомѳтриив, так и в других
■«воих сочинениях чамо говоциі «линия» вместо «прямая лишшя.
ГЛ. II. ОБ УГЛАХ 4И
■—Поверхность шара называется поверхность, которой ел-с точки
ла одинаковом расстоянии от одной —центра шара. Равные
расстояния будут полушнерѳітщикн шара; два полуіюпѳрешнпкі! в
прямой линии г.-оставляют поперсщшік. Частп поверхности шаря зли-
ваются с повѳрхностшо шара во всяком месте, когда у них общин,
центр. Свойство частой поверхности шара сходно по свойстнпм дуг
б отношении к кругу, почему можно допускать н намерение-1 частей
поверхности шара подобным образом [1('|.
■—Поверхности ограничиваются линиями. Плоскости могут быте
ограничены и.тц прямыми, или кривыми линиями. Ограниченные
прямыми ленияіш называются вообще многоугольншишп, коюрых
прямые лшшга будут стороны. Менее трех второй не могѵт
ограничивать плоскости, если сторон три, то плоскость получает
название треугольника, если четыре, то—четтреугольника п т. д.
по числу сторон. Части многоугольников путь; стороны, углы,
[число] которых всегда одинаково с числом сторон, и площад;.,
название, принятое для означения ксей плоскости
многоугольника.
— Треугольники, которых две стороны раины, называются
равнобедренными, а у которых все три стороны равны —
равносторонними:. В равнобедренном треугольнике неравная сторона называется
основанием, две равные стороны—бедрами. Треугольник, у
которого один угол прямой, называют прямоугольным, сторону против
прямого угла —гипотенузою, две прочие—катетами". Плоскость,
ограниченная круговом лішнето, называется обыкновенно крутом,
ограниченная хордою и дугою — отрегисом *, дугою и двумя иолу-
полеречннішами — вырезном®.
— Тела ограничиваются пли плоскостями, нлн кривыми
поверхностями. Если тело ограничивается одними только плоскостями, то
частп такого тела будут: самые плоскости — стороны, плоскостные,
телесные углы и объем — пространство .внутри теля. Отороны тела
встречаются друг с другом в пряных линиях, которые называются
ребрами.
™ Э'іи определении Outfit (ил, шэііеіио, уместнее после того, как докв/мно, что
треугольник ни ыои;ет ньшть более одного пртмоги угли.
* В современное 'гзрмниолоищ— всегмаіітоыи.
л I) иовреігенноИ терминология — «ректором»
ЗйЧ. №39. К.'И. ЛоЗачевсішй, т. И.
4
№ ГТОМВІ'РИЯ
— Если тело ограничиваете я треугольниками, составляющими
телесный угол, н еше треугольником или многоугольником,
который довершает ограничение, то такое тело называется пирамидой.
Они будет треугольная, если все стороны ее треугольники;
многоугольная, если в ней найдется многоугольник, когорый означается
всегда названием: основание шірамиды.
[ГЛАВА III]
О ІТЕРЯЕКДЖКУЖЛХ
Способ восставлять па точек к пишш или плоскости нернен-
дикулн іг опускать ия точки на лгинию, пли еа плоскость перпен-
днкул взят из свойств равнобедренных треугольников, которые
лаключаютея в следующем:
В равнобедренном треугольнике .углы против равных оторон
равны. Пусть б £\АВС [черт. 2] сторона Ь = с, то покрывая такой
треугольник им же, начиная і;даеті> точку
Лил Л, .линию b на с, и как угол остается
тот же, то и с покроет Ь\ тогда по
равенству 5 и с точка О будет в В, точка В
в С. сторона а покроет сторону а и, след.
£^В покроется утлом С, т. е. £_В = £_G.
Обратно, вели в треугольнике два угла
равны, то против них и стороны равны.
Пусть в /\АВС будет j£,B = £0, то
накрывая АЛВС им ;ке, начиная класть
точку О в В, линию а в а, и соединяя
плоскости но равенству углов В и С, сторона Ь должна
сливаться с с, сторона си Ь, а следовательно пересекаться в той асе
точке А, что и покажет, что Ъ = с. Такие треугольники, у
которых два угла равны, будут, следовательно, равнобедренные.
— Равносторонние [треугольники], так как оіш вместе и
равнобедренные, должны иметь все три угла равные, и обратно:
треугольники, у которых все три угла равные, должны быть
равносторонние.
В равнобедренном треугольнике линия, проходя чрез вершину
и средину основания, будет перпендикулярна к основанию1 и раи-
і*
:у2 ГКОМЕГРПИ
де.'тг гг').'і при вершине пополам; если лес проходит чрвя вер
;ішпу л ,'Н'лнт угол пополам, то будет порпслдикулнрла к ос но-
ванши и |іи:да:.чнс осиишшкй пополам; еедн перпендикулярна
г; оснований), то разде.чкт его пополам и угол при вершине. В &АВС
[черт. 3], если £=і е. а след. /.JJ — /.0,
если YJ срѳдгпіа основания «. то ДЛ7>6'
будет покрывать і\АІ)Вх тогда полагаем
один j-jp другой стороною ВС па У.* Я,
стороною & нас, слодовптолі,ко /_ADB =
= ^ А 1>С = ! 00"', /_ SAD = і_ 1>А С.
— Когда А'І) разделяет /_А пополам,
то ошгть {\A'DG покроет AADB, полагая
иднп на другой стороною h па е, удер-
ійшшт АЛ пбідѳіі. а с,-гедояателт,но 1Ф =
^І)С, /_AT)B=/_ADC.
— Если АД ш[іш.чгдику;[ярші в Ж-', то, тгереіюог дЛЛА па
ДЯОД удержнпвіт АЛ общей, еторонп ОС пойдет по «В и не
может окончиться б С, иначе вьпнло бы /_А("В^/_В, а как
l^AOTJ"- так да равен /.В, то 1 Г" должно бы быть
перпендикулярно к УУГ высоте с АЛ1, АС и A-D, что не может боть; ішдта
продолжения Л'' и АВ но другую
сторон;' ВС сошлись бы снова f1'].
U так, тгпбн восставить перпен-
днкул па точки А на .шп-пш [черт. 4],
надобно взять равные пиния AT? и АС,
потоп линию &>Ай, точки В ы (7 ваять
за центры, около них описать круги,
таяие круги необходимо пересекутся
где ннбудь в точке D [IS], п АВ будет
перпендикудоіг к ВС.
Чтоб опустить перпенднкул пи точки
А на 5(7 [черт. а], надобно ваять где
побудь * точку В и около А подупоперешншшм АВ описывать
круг. Если круг не будет переходить па другую сторону линии
* А івгѳсте с 'іои іг уічѵг ЛС"0,
* Конечно, на данной: прямое
ГЛ. ИГ. иПЕГІШГДІШѴЛЛХ
ВС, то взять полупоисрешппк оолее AM, тогда это случится
непременно. Круг, проходя с одной стороны на, другую, перо сечет
.пинию в двух точках В и С- От точек В и С, полагая на другую
сторону равные линии BE и ЕС", потом проводя .типтш АЕ,
составим два треугольника АЕВ и АЕС, которые одинаковы, потому
что шжрыииют друг друга, когда іголоіиатия один на другой
стороною ЕС на ЕВ и АС ля АВ*,
а след. /_BAD = /_CAD и AD
перпендикулярна в ВС.
Перпеыдикулом к плоскости
называют такую линию, которая
Чejiт. (і.
стоит перпендикулярно на- всех лшшях, проведенных в плоскости
чрез точку пересечения. Довольно, чтоб линия стояла,
перпендикулярно иа двух линиях в плоскости, тогда уже она будет
перпендикулярна и ко всем, а следовательно будет перпепдикулом:
[к] плоскости. *
Пусть [черт. 6] АВ перпендикулярна к GC и ВВ' в точке тіх
пересечения В, то АВ будет перпендикулярна и ко всякой третьей
ЕЕ'. Отделяем дишш АВ; ВС, BE, BD, удерживая их взаимное
положение, переносил их на прочие линии так, чтоб точка В оота-
* Нечетки выражено; і-щАчічааіш над выполняется ннріеулеы обычным
приемом.
* Такое совмещение шалюжио потопу, что /_ ABD = /_ АО]}, £_ EBD = /_ ECF)
н, следовагсльно, /_ АВІі <= ,/ АСЕ.
54
ГЕОМЕТРИЯ
валаеь на евомг месте, потом накладываем плоскость A.BD иа
плоскость AMD': то тго раие-петву вертикальных плоскостных углов
плоскость ABC покроет плоскость ЛВС, по равенству іке прямых
углов лишіл 11D ляіест на _#£)', Ж' на ВС п следовательно
плоскость ШЮ на D'BC; наконец по равенству углов .ESi) и Е'ВІУ
линия £'.&' солынтя с лшшею #£ѵ, то есть углы .4^/? и ,-і.йй"
будут раЕШі.т, то есть каждый [т них] прямой ["].
Две шюсксн-ш пересекаются і; линии, перпендикулярной к тре-
■іч.'лг плоскости, ■ к которой они вместе перпендикулярны. Когда
[черт. 7] плоскости
АКВ и СП)
перпендикулярны к
плоскости EF, то
линия пересечения GM
двух первых будет
пйрпендикулом [к]
последней.
Перекосим плоскости ОТ)' и
ATI сохраняя их
ч-'ілпшіое положи-
СтВ. Точку П оставляем на своем:
Ч с-1> т. 7,
ние, на плоскости 0J) и
месте, линию ED кладем на HI, плоскость EF снова im EF, то
равенство углов КІГВ и ЯЯ7 заставит линию ЯЛ* слиться с лн-
нией ИВ, наконец равенство пряных углов требует, чтоб
плоскость QJ) сливалась с плоскостью СИ, плоскость КО с плоскостью &£,
и следовательно их общая линия пересечения будет СИ, углы GEI,
GED, QHK и QSB равны между собою и все прішне*.
ПерпендиЕул к пинии пересечения двух перпендикулярных
друг к другу плоскостей бывает перпендпкулом к одной, к'огда
он лежит в другой. Иначе третья перпендикулярная плоскость
на первой в пересечении со второй, проходя чроз пяту перпенди-
* Доказательство совершенно точное; к поііу также можно отнести
примечание 19. Отметим отчетливее ого детали. Рассматривая три плоскости как твердую
(неиэмеияемуга) систему, повернем всю фигуру так, чтобы угол Ш/> совместился
с рвввиві оыу j-i-aoA, ВНІ, плоскость EF совместится, следовательно, с cniioit
coooft. Плоскости: АВ п CD, пересечении которых с плоскостью EF ее изменили.*,
как шрпевдиуігяряіге к ЖР, также союгапятоя каждая о саиой еобой,
Остальное ffcHii.
ГЛ. І(Г. О ГШЕ'ГШіІДИКУДА.Х
куда, произвела бы другой перпендикул к ланаи пересечения двух
первых плоскостей.
Плоскость, проходя чрел перпендикул [к] другой, бывает к ней
перпендикулярна. Потому что линия, проведенная во второй ил*-
костп чрез пяту лерпендішула под прямым углом к линии
пересечения двух плоскостей, делает прямой угол с нэрпеидпкулс-м,
который и будет углом двух плоскостей.
Из того, что било доказано перед итиіі о перпендикулярных
плоскостях и перпендикулярных линиях, следуют правила, как ім
точки на плоскости
восставить перпенди- ^
кул и опустить на ■**
плоскость
перпендикул из точки.
Чтобы восставить
перпендикул на
плоскости *, надобно ваять
произвольно линию в
данной плоскости вне
данной точки на
плоскости, потом и этой линии вести перпендикул из данной точки,
другой перпендикул вне плоскости*, чрез две последние линий
провести плоскость и в ней перпендикулярную линию к линии
о данной плоскости, которая была проведена ш данной точки3.
Пусть дается точка. А в плоскости ВС [черт. 8], ведем в сей плоскости
произвольно линию DJS, опускаем па нее па точки А
перпендикул J..F и другой перпендикул FG вне плоскости ВО, то плоскость,
проведенная чрез AF ж G'F, будет перпендикулярна к линии BE,
а следовательно п к плоскости СВ\ посему перпендикул ЛЕ на AF
в плоскости AFG будет перпендикулом к плоскости ВС.
Чтоб опустить перпендикул из тачки на плоекэсть, надобно
произвольно провести линию в плоскости, на нее опустить
перпендикул из данной точки, другой перпендикул провести в
Черт. 8.
fll То-ѳсть к данной плоскости на точки, на ней лежащей;.
* Черва точву перссечевзгя серного перпендикуляра с aiolt пинией,
е Здесь два абзаца рз'копиен соединены ыаѵи в одін^как это сделано ааіо-
рои и следующем рассужденда-г.
г;;о\і:лттг
u.:ini'i;afTii чі>с.-: налу норного іг на снго последнюю лішшо опустіт..
ті^рпйндпкѵл і;:-'' лаіптоіі "іч"ігплі. Пусть дастся точка А гі плоскость
ШХ [черт. 9]. Ведом в GR произвольно лшшю ВС, из А опускаем
up, iif'i> перпендикул Alt, чреа точку 1> ведем другой перпендикул
JLD :-. плог;кгі['тв GH и к сей последней лшгпк ведем перпепдицул
J.F, который и будет
иерпѳндикулом
плоскости GH, по тем же
причинам, что п выгае.
Отсюда лее выходит
способ ставить
перпендикулярные
плоскости. Бели дается
линия на плоскости и
требуется чрез нее
пропусти
перпендикулярную плоскость в
данной, то надобно
проводить перпендикулярную лшшю в плоскости к данной линии, и
к этой лш.гаь проведенноіі приставить перлендикул вне плоскости
в точке пересечения двух первых, чрез эту последнюю линию и
данную веепт плоскость, которая и будет требуемая".
— Если надобно провести перпендикулярную плоскость к
другой чриз линию вне ее, то стоит только опустить из двух точек
на данной линии перпенднкуды, и чрез них провести плоскость [№]-.
или, когда данная линия: пересекает плоскость, в точке
пересечения провести по плоскости к ней перпендикулярную линию,
другую перпендикулярную к сей последней в плоскости, чрез
которую уже п данную проводить плоскость [аі]. Последний способ
Черт. У.
* Для ясности иршсвдш построения на чертеже, кап это едопаио ЛоОачев-
еісіш в двух, предыдущих абзацах.
Пусть ЛВ — данная пряная в дашгоИ
плоскости в-ІТ. В этой, плоскости проводим
иряніуш СІ>, перпендикулярную к Л В, затеи
ироводтг. прямую ЕБ, проходящую также
перпендикулярно к CD, но вне плоскости
fiffj тогда ЛВВ я ііудет грабуемаи ттло-
скоеть.
IVL ПГ. О НЕРШІНДШ.'УЛЛХ
j;u]io1;*'1, но ііііидіи.иагаеті.'іЕ, что линия лі-ресекаег плоскость, пли
может пересечь по достаточном продолягентш. Доказательство видно
сіШО ССЮОіО ':'.
Периелдикулы: представляют кратчайшие расстояния точки от
лшпш и от плоскости. Если А.В перпгшдиЕуллриа к CD [черт. 14),
то ЛВ менее всякой
другой лнш-ти ЛЕ,
проведенной от А к той же
пшшш 01). По другую
сторону лішпп АН ио-
ображатг /л ABF,
одинаковый с A ABF, для
чего ну ясно только BE
перенести на другую
сторону точки В. Круг,
описанный іиз точки А
С-
Е
В
Черт. 10.
F
-D
потупонерешником АЕ, пройдет чрез Е и F п не пересечет более
ни в какой третьей точке линии CD, иначе бы вышел
равнобедренный треугольник, в средине которого мог бы привестись другой
перпендигеул из точки Л к. линии CD, Отсюда видно, что ЛВ
должна быть продолжена, чтоб дойти до окружности, описанной
АЕ, и. след. АВ<АЖ\?].
— Перпендпкул па точки на плоскость тоже будет кратчайшее
расстояние, иначе нашлось бы, что на лш-пш ттрршптдинул длиннее
.перпендикулярной * линии.
4 На всо 8ти «построения» следует, собственно, икітреті. только лав па
доказательство существования соответствующих перпендикуляров пли
перпендикулярных плоское те.! 1.
* Несомненно, оппссти еледгует читать «нат:лоішоі[«.
[ГЛАВА IV]
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕЛЕСНЫХ УГЛОВ.
О ІП'АБНЯЫШХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ Ж ТЕЛАХ
Поверхность шара, подобно кругам, разделяется на -=00 равных
частей плоскостями, проходящими чрез один поперешшп:. Сип
части называются градусами, и под разделяются иа десятые, сотые и т. д.
■—Часть поверхности шара, вырезанная плоскостями,
проходящими чреа центр, и которой величина назначается в градусах,
называется ■телесным углом*. Плоскости, составляющие телесный
угол, будут града* угла, и по числу сих плоскостей называется
угод тргірапііъім, четщшранныл и т. д.
Точно так эке как многоугольники могут быть произведены иа
сложении и вычитания треугольников, таю и многогранные
телесные углы производятся из трегранных. Посему измерение телесных
углов вообще приводится к измерению одних только трегранных.
Плоскость, пересекая поверхность шара, дает в пересечении:
врут.
Перпендикул GJE [черт. 11J пв центра шара О на плоскость ADB,
которая пересекает поверхность шара к линии ADB *, не может
падать вне шара, напр. в точку F, иначе бы линия AF,
проведенная но плоскости внутрь шара, дала бы две точки пересечения А
и £ на поверхности шара, которые е центром О образовали бы
равнобедренный треугольник, а в нем мог бы пронестись пе-рпен-
* Лобачевский здесь остается, конечно, верным своей метрической
(численной) тотае зрения на угол. Но устанавливаемые пм метод численного выражении
угла расходится о тем, который принят в настоящее время; имеиао: «еяеониВ;
угол выражаемся у Лобачевского как здесь, так и в но о ле дующих его цочішанияг
вдвое меньшим чуслоы, чем аю имеет место в современной литература. Оо
источнике этого расхождения ей, дриыечашго 23,
* То-есть по ашяі ЛРВ.
ГЛ. IV, ИЗМЕРЕНИЕ ТЕЛЕСНЫХ УГЛОВ
59
днкул к линии AF кроме CF\':i]. Две точки .1 и I), взнтые
произвольно на линии ADB, образуют с центром дна треугольника АСЕ
и ВСЕ, г,-ото[П.тгэ будучи положены один возле другого в одну
плоскость, удерживай ліп-шіо СЕ обідию, составят равнобедренный
треугольник, где СЕ из вершины будет идти перпендикулярно
і; основанию, а следовательно АЕ' = ED. Так и все подобные
линии ЛЕ и FjTj равны между собою, то есть линия ADB круг,
точка Е его центр.
Посеігу тя-ѳ телесные углы ограничены на поверхности шара
кругами равного ію/іупоиѳрешиика с тар он п притом самого
большого полупоперсогаика *.
Бот почему одыоцентрпые круги
с шаром на поверхности его
называются самыми большими
кругами.
Вершина телесного угла есть
общая точка пересечения гранен.
Про додже-нло гранен аа точку
пересечения образует другой
телесный угол, который е. первьш
называются вершинными. IJobho-
икдренныи и равносторонний ' "
[трехгранный] телесный угол [—] те, в которых две, или все три
грани раины.
Вершинные телесные углы раины *. Нужно показать это
только над треграшідаш углами, потому что плоскости,
разделяющие один из вершинных углов на трегранные, разделяют
продолжением на вершину п другой угол на столько же трегран-
нг.тх углов.
Кслп в треграиноы телесном угле GABD [черт. 12] грани АСВ
н AGD равны, то вершинный с ним. угол 0А'.'В'.1У совершенно
м Иныміг елоъаіга, многограпяыіі телесный угол, верпішіа, которого совпадает
с центром сферы, выреаьтпет сфорплеекиВ трі'уго.-іьнив, сторонами которого
служат дуги больших кругов,
* Под тарщщои «равны* Доітчепекиіі никогда we разумеет хотруэнтнояпи;
для этого он пользуется термином «одинаковы». В согласии с оцредедекиеи
телесного угла, доказываемое, предложение выражает, что вертикальные тфлесцые
углы вырезывают на сфере равновеликие сферические многоугольники:.
ГЕОМЕТРИЯ
одинаков-": ік'ю, тк>лаі-йч І^АСВ на /..ГОС, равенство шшскост
ник углов мс'.кдѵ Oili.' іі ОЛ^ ластаЕПТ и плоскость ACD покрыть
іп»-да-п, 1ГПУ. я как лм*-™ и /. .К'2) =/. ВГі)', /.JOB-*
= L A'CD', то лпніііг (75 со-
лг.нт«-»і с О'Л', Си с <75', так
один угол будет
совершенно шшолнііті. друтой[-5].
— Если же телесный
угол САВІ) [черт. 13] но
рагшобѳдренЕ-шй, то
проводим чрез точки А, В, D
на поверхности тат,-я:е
плоскость, опускаем на нее
ч е у т. 12. перпепдикул ОЕ\ то про-
іиоіідут треугольники ЛЕС, ВЕС, DEC с равными углами ЛСД
1'<ѴЕ, І)СЕ: потому что они, удерживая линию общею ОД и
будучи поставлены один возле другого в одну плоскость,
составляют равнобедренный: треугольник, в котором линия чрез
вершину перііегтдпкулярі-га к
основанию. Отсюда следует, что
СЕ, будучи продолжило до F
на поверхности шара, дает
■равные дуги АР, BF п DJ?, _,
то есть, тго телесный угол
^Ь'Г< разделяется тга три
равнобедренные- телесные угла AFB,
BED, DBA, которые должны
все складываться, иліг одни
вычитаться тгз других, смотря Я up т. 13.
по тому, Е упадет ли внутрь телесного угла, или вне, Теперь,
когда телесный угол разделится на три равнобедренных помощіш
трех плоскостей:, вершинный с нилс угол разделится теми же
. '■'■ Следующее за эмш доказательство ішпожено неправильно-, совмещение
гранеіі А(!В я А'ОВ, как это помечено ііа чертеже, цроімнадсно таким образом,
что оно не ігожет повлечь за собой совмещений трехгрплных углов: оотмещѳны
ребра, GA и CD', is которым не прилежаѵ равные двугранные углы, Сохранял
здеаь *екот Лобачѳвстого как прпмор рассуждения, которое Фусе был вправе
паавагъ огаяйочшм, мы даем в прігдгечіітттш 25 неправасиііов доказательство.
tffab*£*J,*} й/$е&$*&^ #ftw****&f «*,$£/ *<*4h*&S.
*u™*r <4**Д-*—* lX^ $**Ж^ *"*$•**■ •X'wJ *., К С у**
fcj mat «J- Ra^v^a^nStJ tun-JuftJ пи^кл lijA UturJJf^ JT*
ДЛД£-ьУ=4»; ДАкЧ-2-ІС
-дал-» n«*»Aj Vw*i» улл^Я сР-уяАи*а *JT «J^n)-
„> Д-І4К елшявЛ***»* <оа, ь«о n^MeJffjJitJ Ев-таЭіт^чч^.
. Страница рукописи Лобвчевскогв «Геометрия».
В игр. 61.
ГЛ. JY. П-иіИ'ЕІШі: ГЕ.ІІ-;''ПЬ!Х ѴГЛ')Ь
41
лдосііостяліі на одинаковые и ними, а с.-и'доштчыи:» вертинЕпл-
углы равны.
Представляем часть поверхности шара, лырезапную плоскостями
трвграішого телесного угла, вершина которого занимает место
центра шара. Линии a, h, с [черт. 14] пусть будут лгггшіг
пересечения плоскостей с поиирхіюстіш шара, точки Л. В, С пусть будут
точки пересечении ,:шішіі. меѵііду собою, і*зятг,тр так, чтоб ^ лежало
против я, і.' против Ь, С против с*. Продолжаем а и обе оторопи
на поверхности тара, покуда
составится полный круг. Дуги Ь и с
продолжаем .за точку тех переселения -4,
покуда оші дойдут до круги от а.
Получатся четыре телесных угла А",
Г, Z л \ГАВ(: *. Оаігячіш чрез \Л
плоскостей угол в У ЛВС против
дуги я, чр«з Ц^В, І\(', два другие угла
против дуг if» и с. Легко видеть, что
Точно также вершинный угол с углом А', а следственно вместо
него іг самый угол X дает
Х.АВС-{-Х=і\:А.
Наконец сумма всех четырех, телесные углпи А', Т. Z и \_ABG
составляет 2U01, что присоединяя ѵ предч.идущим трем уравнениям,
is ьш од им:
Ханс = ^i + 4-.-B+^g-awTa _
Так определяется телесный [трехгранный] угол шшощіш
плоскостных.
':> Таким oBpswuii, ЛВС соті. еферическиіі: треугольник, вырезывавший
трехгранным углом ва, сфере.
* Для обозначения телесных углг>п Лоосчевсіііііі вводит особый знак Y или I ,
польвуяеь в рукописи тем и другим начертанием безразлично; для. обозначения
Двугранных углов а трйхгрлннои Лоііичакіікии также пользуется знаком особого
начертании JL,
u II в'га формула отличимей оі' обычной множителем Цъ по причжнди:, вёсно-
іюиным н примечании 2!).
«2
ІТ.бШЕТРПН
— Оп-юда но трудно вывести, как определяется величина
всякого телесного угла из плоскостных, его еоетатіпшощих. Если
разделяем тслеиныіі угол на трегранные, следуя выше
изъясненному способу, то видим, что для числа граней п величина
телесного угла будет;
—,- -{сумма плоскостных углов — {»,— 2) 200" J.
Отсюда выводятся важные заключения о правильных телах. Но
для полноты предмета [2С] скажем сперт о правильных
многоугольниках. Так называются те, у которых нее стороны и все углы
равны. Правильный многоугольник с п сторонами можно
произвести, разделил круг на п равных частей и точки разделении
соединив линиями. Тогда центр круга называется вместе и центром
правильного многоугольника. Обратно, во всяком правильном
многоугольнике находится центр. Разделяем для сего один но углов
линиею [пополам]. Такая линия пройдет через весь многоугольник
ы разделит его на две одинаковые части.
Отсюда следует, что другая подобная линия
пересечет первую внутри многоугольника.
Пусть -AD разделяет угол А. пополам [черт. 15 j,
BD разделяет угол В, равный с А, пополам,
а 1) их точка пересечения. В д ЛВВ две
стороны AJ) ц BD будут равны, третья ли-
Черт, Ѵі. ци;г (■■& производит д СЕВ, одинаковый
с Д ABB, как, скоро угол С" = В = Л и линия
ВС — ВА*. Ибо, накладывая Д ЛВІ) на ДДВСр7], оставляя BD
общею стороною, линия В А. должна упасть на ВС точкою -4 на О,
следовательно AD=DC и /_шІ)СВ~/тіВАВ^=^Г£_А Так инее
расстояния от D вершин углов в правильном многоугольнике
будут равны АН, то есть В — центр многоугольника.
Итак, правильные многоугольники возможны со всяким числом
сторон, и в каждом правильном многоугольнике есть центр.
ХГравильтиі телом называется то, которое ограничено
правильными многоугольниками и 'которого все телесные и плоскостные
* Для равинеиза треугольников 0BD и ABD, строга говоря, достаточно, чтобы
стороны Я& я ВО были равны, Рявштетно уеяов нужно только, чтобы цоиаааіь,.
что все три расстояния равны.
ГЛ. IV. ИЗМЕРЕНИЕ ТЕЛЕСНЫХ УГЛОВ 'И
углы одивакоЕы. Это требует вместе а одинаковости
многоугольников между собою, и чтоб они во всех телесных углах смыкались
в равном числе.
Телесные углы, которых плоскостные углы равны и грани
одинаковы, могут назваться правильными. В них плоскости,
разделяющие плоскостные углы пополам, пересекаются в общей
линии— оси угла, и каждая из них разделяет телесный угол на две
одинаковые пасти, а (Следовательно, выходя из телесного угла, или
сливается с ребром, или разделяет грань пополам. Оси наклонены
к ребрам под равными углами.
В правильном теле плоскость, разделяющая один из
плоскостных углов пополам, дает в пересечении с поверхностью тела или
правильный многоугольник, или такой, где стороны через одну
■и углы через один равны. В нервом случае не трудно видеть, что
центр многоугольника будет центром правильпого тела, то есть
такою точкою, которая равноотстоит от вершин телесных углов.
Во втором: случае, соединяя концы каждых двух смежных сторон
лшшеш, снова получим правильный многоугольник, центр
которого будет центром правильного тепа.
Пусть число сторон правильного тела п. каждая сторона —
правильный многоугольник с т боков, в каждом телесном угле
пусть смыкаются многоугольники в числе t.
Описываем из центра правильного тела шар, то каждой
стороне будет отвечать при центре правильный телесный угол с т гра-
100°
ними, в котором вааадыи ллосностный угол = —т-, & следовательно
весь телесный угол = —- »і. ~т--—{т—2) ■ 200:' [. А как такой
угол должен быть вместе н[-я] часть .от 400°, то
U
йот —(»!■ —2). Г
Числа іі., I., т должны быть целые и положительные ы притом,
зсак т >3, так и і> 3*. Пусть; яг = 3-4-j», где следовательно j> = 0,
или »>0, тогда п = Гі—;—г.--.»-. Отсюда яидно, что I дол-
fi — I — (С — б)])
жно быть менее 6. Если полагаем т = 0 -f- <j, то ѣ делается
~i'-ul- а —" ' а как 12~4< может быть только нулем, или
* Не вполне точно: должно быет, і»>3 и f>3. Это и сказывается в тси,
что автор нпзке не исключает для р значения 0 и получает случаи, когда (= 3-
(ji ГИШЕТРПЯ
числом отрицательным, а / — 2 всегда положительное число, то ^
должно оыті. отрицательным, то есть w всегда менее (>.
Итак, все предположения [относительно] чисел от и /
заключаются в следующем:
w=^3, / = ;-), « = 4, тело называется mumpaetij) (четыресторонник)
/«=^3 1^-1 іі=8, » » октаедр (осьмиграишік)
)„г=:і.І=~і, it —2U, » » икоі'водр (двадцатигранник)
«1 = 1 і —3 ;і---U, и » к.уб (шестистороннш;)
ш^А, і = 4, знамннатклі. и « делается отрицательным,
следовательно такое тело не возможно.
■/« =г= 3. і = 3, и = 12, тело называется доЬегмгдр (двенадцатигпапшп;.)
,), ^ ;,,/= 1, знаменатель л # отрицательный, следовательно тело
не вонможио,
ы = о, ( = 5, •« также отрицательно п тело пе возможно.
Правильные многоугольники, как мм видели, могут быть «о
всяким числом сторон; напротив, правильных тел возможно то.иы;о
пять *.
— .В правильных многоугольниках еще то особенного пред
правильными телами, что в них число сторон одинаково е числом
углов, в правильных телах этого тот. Пусть г означает число
ѵглов в правильном теле, удерживая прежнее оішачеі-шѳ в прочих,
буквах, п ■ т ■ —,- оудем изображать сумму всех плоскостных углов,
которые произойдут, когда иа центра, правильного тела нроведутся
плоскости чрегз псе бока многоугольников, с другой стороны эта
сумма должна давать ■;■ ■ 4003, следовательно -г = —-. Итак
в тетраедре углов ... 1
и кубе S
в октаедр е 6
в додекаедре .20
в икоеаедре 12.
* TJ тексте приведено только дошзатсдіьстдо «ого, что число правил і.иы:с
іжогоѵраляпкоа не цревшіщвт пятп. ДЪкаагичмтт.стта того, что ілтя пятіі тая дйй»
ствнто.тьно существуют, т. е. что а даротислеиных еяучцях правильные ыпого-
уіЧк-ігівиі»с смыгсаются и действительно образуют? правильныіі многогранник, Лоба-
чошяжіі не дает нп здесь, ын в других сошінэкііях. Ofi этом см. вратчитго 2ft.
[ГЛАВА V]
ОБ ОДИНАКОВОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Геометрические величины называются одинаковыми, когда одну
можно бэятъ без различия вместо другой. Уверяются в
одинаковости тем, что когда одна поставится в другую, линии и
поверхности одной сольются с линиями и поверхностями другой. Если и*
две геометрические величины одинаковы по частям только, тогда
они равны *. Иногда равенство некоторых только частей в двух
величинах производит уже одинаковость; но надобно, чтоб сии
части были той и другой соответственны. Говоря об одинаковости
А А!
BL \с ВЧ Ас-
черт. Іб.
треугольников, мы не будем упоминать о соответственности, как
О необходимом условии, которое само собою должно
подразумеваться; также для краткости вместо того чтоб сказать: сторона,
угол одного треугольника равен стороне, углу другого, будем
говорить: сторона равна, угол равен.
Два треугольника, одинаковы, когда у пик сторона, и при пей
два угла равны. Если в Д ABC и Д А'В'С [черт. 16] будет ВО = В'С,
і_ Как уже было укааано в евдска на, етр. 59, год «оданяковымив Лобачевсниіі
разумеет конгруешшые фигуры, а под кравныыи»—равновеликие. Самая равно-
великосгь, по мнению Лобачевского," заключается в том, что равновеликие фигуры
раяноооетавятіы., т. е. состоят из конгруэнтных, но раялично расположенных,
частей:. Это ншравильпо: за воявяе равновеликие фигуры равносо отав деньг. Об
атом см. конец примечания 42 (етр. 122).
Зшь ШЭВ. Н, И. Лобачпідсккй, т. II.
5
66
ГЕОМЕТРИИ
угол В= І,В', 1_С— І_С, то, полагая один на другой стороною ВС
на В'С, по равенству углов АВ должна итти по А'В\ АО по А'С"
и следовательно сходиться в одной точке.
Два треугольника одинаковы, когда у них сторона равна и два
угла, из которых один против стороны. Если в треугольнике ABG
и Д^В'<7 [черт. 17] сторона 5C = J?X", угол С=£С, £, А^ /_А',
то чтоб они не были одинаковы, надобно, чтоб выходил /\АВВ,
С В1
Ч е р т. 17.
когда один положится на другой равною стороною, в котором
сумма двух углов ВАВ в; ВВА составлялась! 200°*.
— Но если в Д ABB [черт. 18] сумма углов В и J) равна 200",
то, во первых ни В, ни В не может быть прямой, иначе они были
бы оба прямые, а стороны АВ и AD два перпенднкула [к ВВ].
Если ж В например острый, D следовательно тупой, то перпенди-
кул AF на BD должен падать
вне Д ABD на стороне ВВ.
Делаем BE = EF, ведем AF,
то получим два одинаковые
треугольника AMD и AEF,
след. І_АВВ~ £_AFD,z, как
і_ ADF = углу В, то АВ = АІ
ж точка І? должна быть на ере-
дине BF, чего одншмш нет.
Здесь в доказательстве упоминается, что поргандикул так падает
от одного бока угла на другой, что к нему обращается острый
и Вслед аа ѳтии ЛобачѳаогсиЁ докнвывавт, что это не может иметь места. Он
пользуется ври ѳтом другим чертежом (черт. 18), на котором обозначения вершин
на согдааованы о их обовтачѳниямн на черт. 17. На следующий абзац нужно
иоетому смотреть, как на докаеаииьство того, что сумма двух углов треугольника
же можѳт быть равна 2d,
ГЛ. V. ОБ ОДИНАКОВОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 67
угол. Причина этому та, что, когда два перпендикула же могут
сходиться, то еще менее линия не может сходиться с перпенди-
кулом, будучи обращена к нему тупым углом*.
Два треугольника бывают одинаковы, когда у них две стороны
и угол между ними равны [черт. 19]. Если в д ЛВС и /\ А'В'С
сторона АВ=*А'В', AC = A'Ct угол^ = /,^'.
то, полагая один на другой одной из равных
сторон, например АВ на А'В', другая сторона
АС должна будет ложиться на А'С по
равенству углов А и А'. Таким обрааом, один
треугольник будет покрывать другой.
Два треугольника одинаковы:, когда у них
две стороны равны и угод против большей из
равных сторон. В Д ABC и Д А'В'С [черт. 20]
пусть АВ = А'В', АС=А'С, £_В= £_В' и
притом АС~> АВ. Полагаем Д А'В'С жа, д ABC,
стороною А'В' на АВ, тогда В'С пойдет по
ВС, но пусть не кончится в С, а в С
Выйдет Д АСС равнобедренный, в котором пер-
нендикул на основание СС будет проходить
чреэ средину и следовательно углы при осно-
С .В''
Черг. 10.
Черт. 20,
вании будут острые, угол же AGB, то есть угод С
треугольника ABG, будет тупой. Делаем [AD — ВА и как АС > АВ, то
* Если луч ВА образует о ВТ) яупой угол, я DE образует
о ВВ прямой угол, то оня с этой стороны прямой встретиться
не могут, потому ото перпендикуляр ВА' не аотретит ДЕ, л пуч
ВА расположен по другую сторояу ВА'. Вообще некоторая
тяже лов ееноесь этих рассуждений объясняется явно
выраженным стремлением набежать теоремы о внешнем угле тре-
угольйикн.
л
&
5*
OS ГЕОМЕТРИЯ
точка D. должна быть между А ж С; следовательно Д ABC
разделится на Д ABD равнобедренный и др;тоіі д ВВС. В д ABD
угол ADB острый, а в Д BDG углы ВВС и BCD тупые.
Теперь, если представляем себе перпендикулы в точках D и С,
то они должны будут нтти внутри Д ВВС, а следовательно и
пересекаться.
— Если же точна С треугольника А'В'С упадет внутри Д ABC,
тогда обратно, перенося треугольник ABC на Д А'В'С стороною АВ
Л
Черт. 21.
на А'В\ точка С упадет вне Д А'В'С, что не должно быть. И так
точка С может только падать в С
Треугольники одинаковы, когда у ник тріі стороны равны.
Пусть АВ^А'В', АС^А'С, ВС=В'С [черт. 21} в треугольнике ABC
и д А'В'С. Приставляем Д А'В'С к ABC так, чтоб сторона ВС
была общая обоим и.чтоб равные стороны сходились в точках В
и С. Соединяем А и А'.прямого линиею. Произойдут два
равнобедренных треугольника ABA' и АСА', в которых {_ В А А' = /__ВА'А,
£_САА' =.СА'А. Если точка пересечения D линии АА' с ВС будет
тхкуВжС,1о£ВАА' + £САА' — £А-,££А'А-\-£СА'А — 1тД'1
а следовательно и 1_А^= /_А''. Если же точка D надает вне Д АВО
[черт. 22] и & А'В'С, то разность углов ВАА' и С А А' даст £_А,
разность А\ ВА'А и /_ С А'А дает угол А', откуда снова следует,
что угол А => і_ А', Когда же углы А и А' в д ABC и Д А'В'С
ГЛ. V. OB ОДИНАКОВОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ііі>
равны, то они должны быть одинаковы потому, что у них две
стороны равны и угол между сими еторопашг.
Из всех сих случаев одинаковости треугольников видно, что
части треугольника должны находиться в зависимости друг от
друга, и что должен
существовать способ
определения одних
частей треугольника
помощжю прочих.
Даже здесь видно и
то, что три части
треугольника, как
скоро между ними
есть по крайней мере
одна сторона,
определяют три
остальные. Примечание
еие важно потому,
что определение
неизвестных частей
треугольников
составляет предмет Тригонометрии, и здесь следовательно можем
уже назначить наперед, что задачи Тригонометрии должны состоять
в том, чтоб находить величину трех частей треугольника, когда
другие три даны. После будет видно, что треугольники не всегда
бывают одинаковы, когда у них только углы равны, следовательно
и Тригонометрия не может дать способа для: определения сторон
треугольника, когда только его углы известны. Некоторые
Математики невозможность определения линий помощто углов хотели
принять за основание геометрии, но такое основание недостаточно,
потому что разнородные коликие * могут быть в зависимости друг
от друга [5Й].
"Черт. 22.
* Термин «коликое» Лобачевский употребляет в іом значении, в котором
в настоящее время обыкновенно употребляется термин «величина»,
[ГЛАВА VI]
О ИЗМЕРЕНИИ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Измерение плоскостей * основывается на том, что две линии
сходятся, когда они стоят на третьей по одну сторону и когда
одна пѳрпендикул, а другая наклонена под острым углом,
обращенным к псрпендикулу. Линии АВ ж CD [черт. 23] должны
сходиться по достаточном продолжении, если
■" одна из них АВ перпендикулярна к J5C,
а другая CD наклонена к ВС под острым
углом С, обращенным к псрпендикулу АВ.
Строгого доказательства сей истины до сих
пор не могли сыскать, Какие были даны
могут назваться только пояснениями, но не
заслуживают быть почтены в полном смысле
Математическими доказательствами [8U].
Лучшее из них следующее:
— Восставляем перпендикул СЕ, пусть
Черт. 23. . _ _,„ 400° „
/ииЕ = , где и целое число. Кладем
п таких углов, как DCS, один возле другого вершинами вместо:
произойдет круг, которого плоскость может распространяться
во все стороны беспредельно, Между тем когда возьмется
линия в п раз более ВС и на концах такой линии восставятея
перпендикулы, то плоскость между перпендикулами может
распространяться только в одну сторону. Отсюда видно, что
плоскость между линиями DC и СЕ увеличивается гораздо более
от продолжения линий DC ж СЕ, нежели плоскость между АВ
и СЕ от продолжения лнпий АВ іг СЕ и что наконец первая
* То-веть намерение плопвддей илоовдес фигур.
ГЛ. VI. О ИЗМЕРЕНИИ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
71
должна превзойти вторую. Тогда она не будет помещаться более
между АВ а СЕ, что не иначе может произойти, как когда GD
пересечет АВ. Когда угод ВСЕ дробная часть от 400% то при-
200°
ближаем DC к СЕ, покуда составится угол в -—- к где п целое
число. Линия DC в ее новом положении должна будет сходиться
с АВ, тем более, следовательно, всякая другая линия CD, далее
отклоненная от СЕ[Я].
Отсюда следует во первых то, что когда одна линия
перпендикулярна к другой', эта к третьей, третья к четвертой и когда
все четыре линии лежат в одной
плоскости, а прямые углы по одну сторону
линий, то первая будет
перпендикулярна к четвертой, так что составится
четыреугольник с прямыми углами,
который посему и называется прямо-
уіОльник.
Пусть QA перпендикулярна к АВ,
АВ к ВС, БС к CD [терт, 24], то всякая
линия BD, проведенная в угле В,
должна пересекать как AG, так и CD*.
Положим, что BD пересекает прежде AG Черт 24.
в точке Е, потом CD в точке D, тогда продолжение АЕ вступит
б Д BDG я не может встретиться ни с ВС, ни с BD, необходимо
пересечет CD в какой иибудь точке F. То же выйдет, когда BD
пересекает прежде CD, потом AG, Другое предположение, то есть,
что BD сходится вместе с AG и GD, значило бы уже само по
себе, что CD и AG пересекаются. Угол при точке F не может
быть острый внутри четвероугольника; иначе CF и ВА сходились
бы на стороне ВС*, не может быть также тупой: ииаче угол DEA
будет острый и АВ с CD будет сходиться на другой стороне,
что не должно быть, потому что АВ и CD перпендикулярны к ВС.
В прямоугольниках противоположные стороны равны, Если
предположим в прямоугольнике ABGE [черт. 25] сторону АВ
й Соглаеяо установленному предложению, ибо прямая AG- шрпандикулярна
к АВ а, прямая ВП наклонена ж ЗА под острым углом; точно также GF образует
о 'НО прямой угол, а ВТ) — острый,
* То-еоть встретились бы со стороны прямой ВС,
72
ГЕОнтатия
Черт. 25.
более СВ, то, покрывая четыреуголыіш; АВСВ им самим тик,
чтоб ОТ? ложилась на АВ, а Аі? на CD, тогда точка Z> должна
будет упасть между точек А и Д где нибудь в В'; напротив
точка А лис четвероугольника АВСВ, где нибудь в .А', иледова-
^ тельно АВ ж A'D' пересекутся и дадут
два перпендикула на линии из одной
точки,
Два прямоугольника одинаковы,
когда у них стороны равны.
Доказательство атому сделать весьма легко
наложением одного прямоугольника на
другой.
Когда бок прямоугольника
разделится на равные части, в точках
деления восетавятся перпендикулы к боку,
которые проведутся чрез весь
прямоугольник, то прямоугольная; разделится на одинаковые между
собою прямоугольники. Ясно, что перпендикулы должны
отрезывать прямоугольники; ясно ж то, что первый со вторым имеют
два равные бока, так и
второй с третьим, третий
е четвертым и так далее
до последнего.
Отсюда
непосредственно следует, что когда два
бока емежные в
прямоугольнике разделятся
один на п равных
частей, другой на т
равных; частей н от точек
деления проведутся чрез прямоугольник перпендикулы к бокам,
то прямоугольник разделится на одинаковые прямоугольники,
число которых будет произведение чисел % и т.
Пусть в двух прямоугольниках А и В смежные бока CD, BE
[черт. 26] одного содержатся 'іс смежным бокам FO и QS другого,
как числа р к ?і, q к т, то, разделяя CD на р равных частей:
таких частей в FG будет заключаться п. Разделяем ЬЖ на q рав-
В
О *» Н
Черт. 20.
ГЛ. VI. О ИЗМЕРЕНИИ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ 73
вых частей, то таких частей в GS будет т. Прямоугольник А
разделится на pq таких прямоугольников, которых в В будет «w.
следовательно содержание прямоугольника А к В равно еодержа-
pq *
нпго — .
тон.
Прямоугольник е равными боками называется квадратом. Для
намерения плоскостей за единицу берется квадрат, которого бока
линейная единица. Ж так величина прямоугольника есть
произведение двух перпендикулярных боков, которые также называют
высотою ы основанием.
* Случая несоизмеримости ЛобаяѳвекиЙ по общей своей установке (см. «Об-
яор», стр. 34—35} не рассматривает.
[ГЛАВА VII]
01) ИЗМЕРЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ДРУГИХ ФИГУР
Берем прямоугольник, которого а и Ь два перпендикулярные
бока [черт. 27], ведем линию внутри его чрез вершины двух
противоположных углов, такую линию называют Ьиогоиилом*, как
в прямоугольнике, тяк и во всяком четыреугольиикѳ; сим
образом произойдут два
прямоугольные треугольника, которых катеты
линии а и 6j а гипотенуза диого-
нал, и которые будут одинаковы,
Ь потому что у них три стороны
равны. Каждый треугольник
следовательно половина
прямоугольника, Б предъидущем уроке [32]
видели, что площадь
прямоугольника равна произведению двух
перпендикулярных боков, посему площади прямоугольных
треугольников, которые производит диогонал в прямоугольнике,
каждая = у ай, а как все прямоугольные треугольники, которых
катеты а и !>, одинаковы между собою, то отсюда и следует, что
площадь всякого прямоугольного треугольника равна половине
произведения двух катетов.
Пусть теперь Д ABC [черт. 28] будет не прямоугольный. Из
вершины которого нибудь угла, например А, опускаем перпенди-
кул на противоположную сторону а. Как угол С предполагается
не прямой, то перпендикул р не может падать в точку С; но по ту,
или другую сторону. И так надобно здесь различать два случая:
*' Лойіічѳвсюяіі пишет то «диагоная», то "диокшал».
ГЛ, ѴП. ОБ ИНМЕРЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ДРУГИХ ФИГУР 75
или р внутри треугольника ЛВС, или вне. В первом случае р
разделяет а на две части: х одну, а—ж другую, а д А ВО разделится
на два прямоугольных треугольника, так что р и х будут катеты
одного, р и а — х катеты другого. Площадь одпого= ~рх, площадь
1
другого =. ур (а — х), следовательно того и другого вместе дадут
площадь £\ АВС = ^Ра- Во втором случае также происходят два
прямоугольных треугольника: одного катеты $ и я, называя а*
ближайшее расстояние р от угла С, другого катеты jp к а-\-х, то есть
5 С В С
черт, на,
перпендикул и дальнейшее расстояний р от угла В. Площадь
треугольника АВО будет разность площади большего прямоугольного
треугольника без меньшего; но площадь первого = -sР (x-j-a),
площадь второго ■==-§-pre, следовательно площадь Д^ІІ?С = -^ ра,
то же, "что и: в первом случае.
Перпендикул р называют высотою треугольника, а сторону а,
к которой р перпендикулярна,—основанием. Распространяя это.
название и на прямоугольные треугольники, надобно один на
катетов, который нибудь, называть выоотою треугольника, другой
основанием, и тогда площадь всякого треугольника, как
прямоугольного, так и непрямоугольного, будет равна половине
произведения основания на высоту.
Многоугольники могут всегда быть разделены на треугольники,
и таким образом их площади быть измерены. Для сего требуется
знать высоту и основание всех треугольников, происшедших от
71-і
ГЕОМЕТРИЯ
разделения. Если многоугольник дан в его сторонах и углах,
выраженных числами, тогда всего лучше находить вычислением
высоты и основания треугольников, которые его составляют, что
требует уже помощи Алгебры. Если ж многоугольник дан в
чертеже, то вместо того, чтоб мерить высоту ж основание каждого
треугольника порознь, удобнее сперва превращать многоугольник
в один треугольник. Это делается так, что каждый отделенный
треугольник лнннею, проходящею чрез концы двух смежных
сторон, заменяется другим равным,
который бы s присоединении к
остальной части многоугольника
уменьшал число его сторон [на]
одну. Для сего надобно, чтоб вновь
присоединенный треугольник
удержал основание и высоту
отделенного, чтоб одна его сторона была
С Ь • D °бщек) с многоугольником, и чтоб
Черт:. 29 которая выбудь из двух прочих
сторон составляла прямую линию
со смежною стороною многоугольника [83]. Все это должно быть
моим слушателям давно известно, почему и оставляю дальнейшие
подробности.
О прямой трапеции и параллелограммах скажем однако ж
особо. Прямою трапециею называется четыреуг-ольник, у которого
три стороны только друг к другу перпендикулярны. Б четыреуголь-
нике ABD0 [черт. 29], если три стороны а, Ь, с друг к другу
перпендикулярны'1, ыо АС не перпендикулярна к ВА, а следовательно
и к GB, то перпендикул из точки А на противоположную
сторону CD должен быть равен с о и отрезать на CD к стороне с,
линию, ровную с а, что и предполагает уже неравенство сторон b
и а. Пусть Ъ > «, то перпендикул с из Л на Ъ пойдет внутри
трапеции и отрежет по одну сторону прямоугольник, которого
площадь = ас, по другую сторону прямоугольный треугольник,
которого катеты с и Ь — а, площадь = -к с ф — а). Обе площади
вместе дают -^е(а~\-Ъ), то есть площадь прямой трапеции равна
/ °
* То-еоть вХе> с±.Ъ.
ГЛ. ѴП. ОБ ИЗМЕРЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ДРУГИХ ФИГУГ Т7
половине произведения среднего перпендикула на сумму двух
крайних.
Параллелограмм называется четыреугольшш, составленный го
двух одинаковых треугольников, соединенных -гак, что их. равные
стороны противоположны. Оеиопание параллелограмма называется
одна из его сторон, высота треугольника при том же осысаанни
называется высотою основания, следовательно площадь
треугольника равна половине произведения высоты на основание [а4].
[ГЛАВА VIII]
О ИЛРАЛЛЕДОГРЛКНЛХГ»]
С
'F
Две лпншг называются параллельными, когда они в одной
плоскости л когда не могут пересекаться, сколько бы ни были
продолжаемы.
Белл из точки па линии опустится перпендшсул на
параллельную с ион, го он будет вместе перпсвдшсулом и для другой.
Иначе п<?|)пеыдикуд к одной делал бы с другою по ту или другую
сторону острый [угол], и следовательно
предположенные параллельные линии
должны бы сходиться по ту или другую
сторону. Отсюда следует, что чрез
данную точку к данной линии можно
проводить одну только параллельную и что
она будет проведена, когда сделается
перпендикулярна к перпендикулу на
данную линию ив данной точки.
Перпеидикул к одной из двух
параллельных линий, будучи продолжен
по ту или другую сторону, встретит
другую параллельную и будет
следовательно к ней также перпспдикулом.
Если ЛВ параллельна с CD, EF перпендикулярна к ЛВ [черт. 30],
то из какой-нибудь точки В. линии CD опускаем перпеидигсул GS
на ЛВ. Произойдут четыре линии: OR, QS, (УД EF,
перпендикулярный одна к другой, посему последняя HF должна сходиться
под прямым углом и первою СЖ. Когда HG и JSF на противных
сторонах линии АВ, то продолжение EF по другую сторону должно
В
G
И
В
D
Чорг. 30.
ГЛ. ѴПТ. О ПАРАЛЛЕЛОГРАММАХ
79
встречать (JD, как это и было сказано. Наконец, если точка &
случилась бы в 32, тогда пернендикулы 3SF я ѲЯ составляли бы одну
линию.
Две параллельные линия, пересекаясь третиею, дают сумму
двух углов на одной стороне тротией, обращенных друг к другу,
равную двум прямым. Пусть А В
и CD—две параллельные линии,
АС пересекает их [черт. 81].
Делим АС в 32 пополам, опускаем
из 32 перпендикул на АВ,
продолжаем его и в другую сторону
покуда пересечет DG. Такой
перпендикул пусть представляет
линия F32G. Выходят два
треугольника A32F и C33Q- одинаво-
вых, потому что у них два угла и одна сторона равны. Остальные два
утл&ВАЕк £гСІІ7 также равны, следовательно, /_ВАС-\- £_DCA~200'J.
— Обратно, если предположим, что /_ВАС~\-£_DGA=2uOr-' и
только 32F перпендикулярна к АВ, то в Д A32F я Д GJ2C снова
найдутся два угла, равных
при стороне, следовательно и
третий третьему, то есть EG
перпендикулярна на G~C, а две
линии АВ и GD параллельны.
Когда сумма углов ВАС-\-
+ DCA = 200°, то углы
накрест линии АС с АВ и CD
равны [а,э]. .
Чорт. 32*.
Параллелограмм, следуя определению, состоит из двух
одинаковых треугольников, посему диогонал в параллелограмме делает
с противоположными сторонами равные угль: на крест, а
следовательно противоположные стороны параллелограмма параллельны.
В параллелограмме ABGD [черт. 32], два треугольника, его
составляющие, ABC, BCD одинаковы, /_ABC=/J3GB, следовательно
* У Лобачевского ва черт. 32 иатертен прямоугольник, а шѵ черт. 33 —
параллелограмм (ем. приложенные оригинальные риоунян к отр. 10Ѵ наст, тома),
в то время как чертежи: должны быть одинаковы.
НО
ГЕОМЕТРИЯ
АВ параллельна с CD- По той же причине и А С параллельна е BD.
Отсюда видно, что свойство параллелограммов заключается в том,
что 1""" противоположпые стороны равны, 2""° противоположные
угли равны и 3"ио противоположные стороны параллельны.
Полагаем а четыреутольнике ABCD противоположные стороны
равг-гыми [черт. 33]. Ведем диогонял ВО, то выдут два одинаковые
треугольника, потому что у них три
стороны равны, а следовательно четы-
реуголъник ABCD параллелограмм.
"Четыреугольник, у которого две
только противоположные стороны
равны и параллельны, будет уже па-
Черт. 33.
В
Черт. 31, Черт. 3.5.
раллелограмм. Пуоть в ABCD сторона AB=*CD и вместе АВ
с CD параллельны, то угол АВС=/_ВСВ, &АВС одинаков
с ABCD, следовательно ABCD параллелограмм.
Если в четыреутольнике противоположные стороны параллельны,
то чѳтыреугольник будет параллелограмм. Если АВ параллельна
с CD, АС с ДО, то угол АВС^/_ВСВ, /_АСЯ^/_СВѴ, &АВС
одинаков с треугольником BCD, посему ABCD параллелограмм.
Если в нетыреугодышке противоположные углы равны, то он
будет параллелограмм [черт. 34]. Еели в четыреутольнике ABCD
ГЛ, ѴШ. О ІІЛРЛЛЛЕЛОГОЛЛШЛХ 41
чтол Л=/_!), lmB=/j.\ то ABCD— параллелограмм. Можно
доказать, что сумма углов по всяком чі'т[.іреугол[.ник<; = 4.00',
следовательно іі ABCD сумма £_А-\- £_(.'— £.В-\- J_D = 2Q&, то есть
линии А В и (JD параллельны. Также можно доказать, что £^А-\~
+ £,В = 200Л, и следовательно .46' параллельна с ВВ.
Чтоб доказать, іто в каждом чцтыреугольнике сумма угдов=4(№,
Еіадобно начать доказывать, 'іто в каждом треугольника сумма
углов = 200°. В прямоугольнике каждый угол прямой, следовательно
-:умма всех = 400я. В прямоугольном треугольнике, так как их два
доставляют прямоугольник, сумма углоп = 2001. Мы ли дел и, что
всякий треугольник может бьш. составлен из суммы двух
прямоугольных, или разности. В треугольнике А ВО (черт. 35], когда пер-
нендикул 4$) на ВС проходит чреч середину ::', £.В~\- ЦіАВ = 100э,
J_p-\- £_CAD= 1005, следовательно все три угла дАВС=200°.
В треугольнике ЛВС, когда*'перпепдшеул AD на сторону ВС [лежит|
-вне треугольника, то угол В -\-£ВАВ =* lQQ*, £_AGB + ЦЗAD *= 10Оэ
отсюда ltB-\-/_BAC=ACD, то есть /_А + /JB+ ^.ЛСВ = 20іУ)р:і-
* То-есть точка Л падает внутрь основания ВС.
3«, 6039. Н. И. Ловачетекий. т. II.
Т.
[ГЛАВА IX]
OB ЯЗМЕРЕКИИ ІІРЛ8М
Две плоскости называются параллельными, когда они не могут
сходиться, сколько бы ни были продолжаемы. Из сего определения"
следует, что плоскость, пересекая две параллельные, Жет в
пересечении две параллельные линии.
— Представляем две плоскости Л и В параллельные [черт, 30].
Берем на одной из них две сходящиеся линии а и Ь, через пик
проводим две плоскости С и Ю,
перпендикулярные к В.
Произойдут три линии: j> — линия
пересечения С с 2>,
перпендикулярных к Л, линия с от
пересечения С с В н линия d от
пересечения В с В. Линии а и с
параллельны, линии Ьтій также,,
р перпендикулярна [в] б и d,
еле дов атепьно пертгендш .-.улярн п.
к а и &, следовательно J3 перпен-
днкул к плоскости А. И так пер-
Ч в р т. за. иенднкул к одной из двух
параллельных плоскостей [будет] вместе тшрпеидикулом и к другой.
Отсюда тэиден способ проводить чрез данную точку
параллельную плоскость к данной. Именно, надобно опускать перпенднкуя
из данной точки па данную плоскость, а потом к сему перпелдп-
кулу проводить перпендикулярную плоскость чрез данную точку.
Из определения параллельных плоскостей видно так же и то, "что
чрез данную точку к данной плоскости может проходить только,
одна параллельная, иначе пересечении всех их новою ллосвостню-
D
ГЛ. IX. ОБ ИЗМЕРЕНИИ ПРИЗМ
8S
Р
давало бы две линии чрез одну точку, параллельные одной
линии.
Перпендикул на плоскости, будучи продолжен в ту к другую
сторону, должен встречать параллельную плоскость, а
следовательно и к ней быть перпендикулом.
Воображаем плоскость А, другую В, ей параллельную [черт. 37].
Пусть линия р перпендикулярна в Л, Берем произвольно точку
на плоскости В и опускаем из
нее перпендикул а к плоскости А,
потом чрез аир проводим
плоскость, которой пересечение с А
дает линию Ь, а пересечение с В
линию е. Так произойдут четыре
линии с, и, Ь, р в одной
плоскости и перпендикулярные по
порядку одна к другой, следовательно
первая о должна сходиться с
последнею р *.
Величина перпендикулов между
параллельными плоскостями везде
равна, потому что два перпеігди-
нула с пиниями, проведенными между ними в плоскостях,
составляют прямоугольник.
Тело, ограниченное плоскостями, пересекающимися в
параллельных линиях, и двумя параллельными плоскостями,
пересекающими все первые, называется призмою. Две фигуры, которых
плоскости параллельны и пересекают все прочие, будут основания
призмы, перпендикул между двумя основаниями—высота, а
параллельные линии, соединяющие основания,—ребрй. ■
Все фигуры, ограничивающие призму, за исключением
оснований, четыреуголъникя с параллельными противоположными
сторонами, а следовательно параллелограммы. Они называются боками
приемы. Число боков одинаково с числом сторон основания. До-
числу боков призмы бывают трехсторонние, ч&гаресщронние и т. д.
1 <! |І Т. 37.
* Он, гл. "ѴТ, етр. 71. Ѳта теорема играет у Лобвчевеіеого основную ролі.
в теория параллельных линий іг в ее приложениях.
6*
cJ4- ГЕОМЕТРИЯ
В трехсторонней призме основания одинаковы, потому чтп
и двух треугольниках, которые служат основаниями призмы, три
:;тороньг равны. Всякая приамя разделится на трехсторонние
плоскостями, проходящими чрез два ребра двух смежных боков,
а. следовательно во всякой ігрииме основания одинаковы.
Две трехсторонние призмы одинаковы, когда у них одинаковы
основания, один из боков, угол сего бока с основанием и высоты.
Доказательство само собою видно f38].
— Отсюда следует, что когда основанир призмы параллелограмм,
го плоскость чрез соответственные диагонали оснований разделяет
призму на две трехсторонние
одинаковые *. В приаме Р [черт. 88], если
основания ABCD, A'B'C'D'
параллелограммы, то плоскость АСС'А',
проходящая чрез два соответственные
диагонала АС л А'С, разделяет
призму Р на две, у которых
основания одинаковы. Далее, если опустим
перпендикул р от АС на А'С и
ведем а от конца р перпендикулярно
к АС в плоскости AJBCD, воображаем
плоскость чрез р и а, то получится
линия пересечения Ь,
перпендикулярная к А'С к параллельная с а,
следовательпо угол плоскости ABC
« плоскостью АСС'А' равен углу плоскости A'C'D' с плоскостью
АСС'А', да [так] как параллелограмм АСС'А' общий у двух призм,
на- которые разделена Р, высота у них общая также, то оаа
одинаковы*.
Две трехсторонние призмы, у которых основания одинаковы,
один нз боков одинаков и угол наклонения сего бока к
основанию, но высоты' различны^ содержатся, как их высоты [10]. Если
в двух призмах Р и Q [черт. 39] основания одинаковы, но высоты
■содержатся как числа р и q, то разделяем высоту первой па р
* Утверждение ошибочно; ом. примечание 30.
*. В ѳтои именно аавшочѳВик, осцозанном на, предыдущей неяранильно выра,
Женкой теореме, и коренится ошибка, выясненная о примечаниях 38 н 39.
ГЛ. IX, ОП ИЗМЕРЕНИИ ПРИЗМ
85
частей, второй на q частей: те и другие части будут равны. Чркз
точки деления проводим плоскости, перпендикулярные ыа ныеоте.
то призма Р разделится на р одинаковых между собохт прирм
тт одинаковых с ц призмами, на которые разделится прияма Q
плоскостями, перпендикулярными к еѳ высоте в точках деления,
следовательно содержанка величины призмы Р к величине призмы Q
будет такое же, как и содержание высот р и g.
Когда ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то приема
наливается прямою. Две прямые призмы, у которых высоты равни.
а основания прямоугольники,
«сдержатся, как основания.
Пусть даны дв<-' прямые
призмы А и Б основание одной
прямоугольник с боками р u <j,
друі'ой—прямоугольник с
Соками п и т, то разделяя бока
р, q, щ in, соответстпенно на
j;, q, п, т частей, в точках
деления восставляя нерпеидикулы,
а через нерпеидикулы
плоскости, перпендикулярные к основанию, то призма А разделится на
pq призм, призма В на пт призм, одинаковых между собою,
следовательно призмы А и В содержатся, как основания.
Для измерения тел принимается за единицу -куб, которого
ребра линейные единицы. Сравнивая с таким кубом прямук?
приаму -Р, которой высота единица, а основание прямоугольник А,
разумея под А величин;' площади прямоугольника, видим, что-
иедитаиа призмы Р будит А. Сравнивая с призмою Р цругую-
призму Q, которой основание то же, но высота р, видим, что
величина [призмы] Q равна произведению величины призмы р па.
высоту р, следовательно равна рА, то есть, произведению высоты
на основание.-И так прямая призма, которой основание
прямоугольник, равна произведению высоты на основание.
В/прямой призме, которой основание прямоугольник, плоскости
чрез соответственные диагоналы оснований производят две
одинаковых призмы, которых основания прямоугольные треугольники
и могут иметь катетами веяние две произвольные линии, то отсюда
Черт, за
8*5
ГЕОМЕТРИЯ
следует, что величина примой призмы, которой основание
прямоугольный треугольник, равна произведению основания на высоту.
В трехсторонний прямой призме Р [черт. 40], какой бы
треугольник ABC п А'В'С не был основанием, виегда должна
найтись такая сторона ВС, при которой оба угла будут острые.
Опускаем из противолежащего угла А пернендикул AD на ВС и
проводим плоскость чрез AD и Ал'. Такая плоскость пересечет
бок В'С'ВС ъ линии DD', перпендикулярной к основанию ABC,
следовательно она разделит призму Р па две прямых привмы, ко-
Черт. 40. Черт. 41*.
торых основания будут прямоугольные треугольники ABB и ACD.
Пусть р высота призмы Р, М площадь треугольника ABB, Ж
площадь треугольника ADC, то величины двух призм, составляющих Р,
будут рМ и j>iV, а величина обеих $(M-\-N), то есть величина
трехсторонней призмы равна произведению основания на высоту.
Б [наклонной] призме АС" полагаем основания ABCD, A'B'C'D'
параллелограммами [черт. 41]. Опускаем из А' и D' перпеиди-
кул[ы] на АХ>, из В', С иа ВС. Один на хсернендикулов,
например А'А", должен лежать на призме*; тогда и В1 В" также, а
прочие два С'С", D'B" вне призмы. Соединяем точки А" и В", точки
* Чертежи 41 з рукописи Лобачевского нет; он вычерчен по тексту,
* Может, конечно, случиться, что все четыре шрпандпкулярп упадут вне
призмы. Лобачевский этот опучаіі ігижо гфедуематришют.
ГЛ. IX, ОБ ИЗМЕРЕНИИ ПРИЗМ 37
■С" и If линиями. Если В'В" предположит си яиниею пересечения
плоскости чреа А'В' и _4'Д", то 5'5" будет перпендикулярна к SC;
но как двух перпендикулов из В' ыа i?f? не может быть, то все
равно предполагать ли В'В" линиею пересечения плоскости чрез А'В' и
А'А", или прямо опущенным перпендикулом на ВО. Итак точки
А', В', А", В" лежат в одной плоскости, тоже и точки С", I»', О", В".
Призмы, из которых одна отрезывается плоскостшо А'А"В"В',
другая присоединяется плоскостшо D'B"C"C", одинаковы между
собою, потому что у них основания ABB'А' и DCC7)' одинаковы,
£\АА"А' одинаков с &DD"D' и углы сих боков с основаниями.
И так призма между параллелограммов ABOD к A'B'O'D' равна
призме между оснований A"B"C"D" и A'B'O'D'.
— Может случиться [черт. 42], что обе точки A", D", так же
как и В", С", будут вне призмы, 'тогда остается доказательство
Черт. 12 *
также для одинаковости призм АВВ"А"А'В'В и ВСО'ІУ'В'СО,
от которых, отнимая: их общую часть призму АВСРВ"FEB,
получим также два равныѳ тела, которые в соединении с призмою
А' Ш'1 FEO'B' дают две равных призмы: одну меяеду оснований
АВСВ и A'B'O'D't другую между M'^'C'D" и A'B'O'D', как ж в
первом случае. Из веего этого следует, что величина двух призм равна,
если основания одинаковые дараллелотраміш и заключаются между
двух параллельных плоскостей и если которые нибудь противопо-
■ * Чертежа 42 в рулокиеи ЛсЕатевского вот; он пычерчѳн на тексту.
3,8 ГЕОМЕТІ'ІШ
жикаыс бока также лакліо чаются в дяух параллельных плоскостях..
Посему, принимай в рпссуждеіше одну величину, сели бока призмы,
которой основании параллелограммы, ш* лернендішулярпьі it оено-
лашіям, можно наменять противоположные бока другими, перпепдп-
кулярньшя к осношниям. лить бы высота оставалась та же, и
следовательно всякая призма, і;отороіг основание параллелограмм,
равна прямой с таким же основанием и <'■ тою же шшотою.
Как было доказано, что при-зма, которой основание
параллелограмм, разделяется на две трехсторонние одинаковы? плоско-
стию, проходящею чрез диагонали оснований, и как стороны
параллелограмма и диагонал могут быть взяты совершенно
произвольно, то отсюда следует, что всякая трехсторонняя призм»
равна по величине е другой, которой основание и высота те as*.
Прямая же трехсторонняя призма равна произведению высоты
на основание, посему и всякая трехсторонняя призма
равна.произведению высоты на основание.
Призма, которой основание многоугольник, может быть
разделена на трехсторонние призмы. Для сего надобно только
основание разделить на треугольники, потом другое основание разделять-
на соответственные одинаковые треугольники, и проводить
плоскости чрез линии деления. Разделять многоугольники на
треугольники дан уже был способ, но здесь скажем еще о другом,
который заключает - все прочие. Чтоб многоугольник ABCGDE
разделить на треугольники, надобно взять в плоскости
многоугольника внутри, вне его или на окружности его точку F, потом
ив тонки Ж вести во все углы линии а, Ь, е, д, d, е. Таким
образом произойдут треугольники из сторон многоугольников и линий,
проведенных к Ж, числом сколько сторон многоугольника АВСѲВЖ,
Начиная с того из треугольников, который весь или частгао лежит
на плоскости многоугольника, должно присоединять по порядку
следующие, покуда а них углы при Ж будут прикладываться, и-
вьтаитать всякий раз треугольник, как скоро, - угол пры Ж
отнимается, что продолжать до тех пор, пока переберутся все трь-
угодьниви. Такое соединение треугольников дает площадь
многоугольника. Например [черт. 48], когда точка Ж вне
многоугольника ABCGDJS, то площадь многоугольника АВСѲВЕ= Д АЖЕ-^
+ Д АЖВ-\- A BFC— Д CFQ-t- Д &FD ~- Д DFK Площадь много-
гл. іх. от; ішгершші призм
w
угольника ABVGDE, когда] F взято внутри ого [черт. 44), равна
Л AFB+ A BFO- д GFG+ Д ffFD-f- Д J)FJS-\- /±EFA.
Пусть теперь, говоря вообще, площадь О ог-нпваийи призмы Р
происходит и;з соединения треугольников ,-1, Д 6', 7J л т. д. так,
что 0 = А -\-B-\~ С-\-І)~\- и т д., где никоторые из треугольников
должны рассматриваться отрицательными в соединении их для
составлении площади О. Воображаем плоскости чПеч точку F, ич
•I р ]) т. 4-і *.
которой проведены линии, разделяющие основание О на
треугольники, и чрез ребра призмы, то все такие плоскости пересекутся
в одной линии, проходящий чрез F, и разделят прияму F на
трехсторонние призмы А', В\ С, ТУ и т. д., которых оепования
соответственно будут А, В, С, В и т. д., а принимая те на них
отрицательными, которых основания входят со упаком минус в
сумме A.-\-B-\-G-\~ и т. д., ясно, что и призма /'— А'- \-В'-\- С*-\-
~\-Ь' н т. д. Называем р высоту призмы Р, она будет вместе
высотою и трехсторонних призм А', В', С, І)\ и т. д.,
следовательно А'=рА, B'=j>B, G'^=$C, D'=pD] а ВЕЗиичиыа призмы
Р = р {А-\-В-\-С-\-'В-\- и т. д.}=р-0, то есть произведение
высоты на основание.
й Чертежи!! 43 л 4.4 и рукописи Лобановекого нот; они йичерчеии по текст}-.
[ГЛАВА X]
НЗИВРЕНИЕ ННРЛХИД И ВСЕХ ТЕЛ,
ОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКОСТЯМИ
Лирсимда, сеть тело, которого одна из ограничивающих плоско-
■стеіі может быть треугольник или многоугольник и называется
минованием, прочие плоскости треугольники, выходящие ив одной
точки, вершины пиралшды.
Перненднкул, опущенный из верпшнъі пирамиды на основание,
называется — высотою. Треугольники, соединяющие вершину е
основавшей—даіииш; их линии соединения —ребрами.
Пирамида, в которой одно ребро перпендикулярно к основанию
и следовательно служит высотою, будет прямая й.
По числу боков пирамида бывает трехсторонняя, четыресто-
■рошіяя и так далее.
Если чрез высоту пирамиды и ребро нроведутся плоскости, то
□снование пирамиды разделится на треугольники, п самая
пирамида на трехсторонние прямые пирамиды, из которых данная
пирамида составляется чрез такое же соединенно, чрез какое
соединение составляется ее основание из треугольников, здесь
происшедших. Отсюда видно, что для измерения пирамид требуется
только знать величину псякой трехсторонней пирамиды *.
В прямой трехсторонней пирамиде Р высоту І)С=р разделяем
пополам в точке Q [черт. 45]; ведем перпендикулярно плоскость
и высоте DG; она произведет точки пересечения IF ж JS с другими
.двумя ребрами AF, ВВ\ от чего произойдет треугольник FEQ и
трехсторонняя прямая пирамида DFQ-E,—Чрез сторону FH про-
* Это оиределениэ прямой пирамиды расходится о современной термиіюиоиюй.
* Даже только прямой трехотороыаѳй пирамиды; ЛоЙвлевекий; этим именно и
пользуется.
ГЛ. X. ИЗИЕГЕІІШі ППРАШіД
01
водим плоскость, перпендикуляр ну in к основанию ЛВС гпфпшіди: Ъ'\
произойдут точки пересечения К и I со сторонами АС и ВС, [и] лі:-
нтш j№, Ж, JE7.—Сип последние три линии с линиями FE, FG, Е(т,
КС, 1С образуют призму, которой основание треугольник КС/, высота
линия GC, равнял —$, еледоватрльно величина ъс = — /\КС'1--р.
На основании А ВС чрез точку I
ведем линию ІН к стороне АВ,
параллельно АО, точки Ш п Е соединяем
лишіега ЕВ. Параллелограммы ЖЕНА,
FEIK, KJHA с треугольниками FKA,
ЕІН образуют призму, которая может
быть рассматриваема половиною
такой, которой FK высота,
параллелограмм АКШ основание ["], и следов,
величина ее равна половина
произведения площади параллелограмма
АКГК на высоту ^-. Треугольники
BEG, ЕВІ одинаковы, потому что
BG—EI; углы при точках D и Е
равны; углы при точках G и I
прямые; следов., ВЕ=ВЕ = ~ВВ;&Е^
=а£І=-уДС.Яотомузкв FG=AK =
- ~ АС~\aF = FD- -і АВ.
Треугольники FBE, ИЕВ
одинаковы, потому что DE=EB, FD =
= НЕ, углы при точках В и Е равны, следов, FE=KB=—AB.
Треугольники F&E, BIB одинаковы, потону что у них стороны
равные, а как EI = DG, то и пирамиды ЕІВЕ, FGED одинаковы,
в чем легко увериться, перенося одну на другую. Величину
пирамиды FEGD означим буквою Fr Треугольники КСТ, НІВ
одинаковы и равны половине параллелограмма AXIS, следов, площадь
основания ABG обозначая буквою 0, будет площадь
параллелограмма АКІЖ= Г7 О; площадь треугольника КСІ= j- 0. Величина
пирамиды Р5= приеме FGEIKG-\- призма AFKJBE-^-2 пирамиды
FEGD = j-ji ■ 0 -(- 2Р1. Основанием пирамиды Ft можно принимать
треугольник JPGE, то есть -г 0, высотою же линию DG, то есть -^-р.
И так если озпачим чрез Р2 величину такой пирамиды, которой осно-
02 ГЕОМЕТі'ИЯ
зант.' 4г О. іыг'і>'Гіі 55 ,»: чр^.і Р,: которой основание ^ О, высота,-^ у.
jpf.-л Р<, !.ч»тоіі,.іі .х-иовламе ~ О, высота ^ /і. ііопбще 'тре:і /■>„
величину тл.ьтііі іЕИ|іам]іді)і; кпторой основании ^ (>-: высота^, jp, М іде
» дулш,- н-мн.оі;.іітілт.}-№ чиг.ио, то величины пирамид P. Р:, Ра, Р
:і т. д. ДЛ'Р„ могуч1 wri отфрделчны пдла гкшоідшо другой, ни
■пікісі урашиызиіі:
р —1 . ,і. __ (і-л-ѵр
"_,— 4 2"~"]і 4""1 ! "'
Вставляем в первой уравнение вместо Pj значение его ті;і
второго; потом вместо Рг «иачѳние ого из третьего и т. д. до
последнего. Рв_|, находим что-
Если вместо Рй возьмется величина лриимы, которой
основание ™ О. высота 5»j», то такая лрі-шма будет более Pttl и след.
Р—yjtiO <у7Т; ^' Какие °ы числа jj и 0 ни били, всегда момоіО'
приискать такое число п, что—аРО будет менее ж;яші"о данного
■' ■ * |
числа, а следов, разность Р— ,, гіО должна быть менее всякого
1
■числа, то есть Р=-^0 [4а].
■—Ep.uu пирамида не прямая трехсторонняя, то ее можно
разделить плоскостями, проходящими чрея яшюту, на трехсторонний
прямые Л', В', С и т. д., которых основания треугольники Л, В, О
и т. д. л которых величины -j jj.d., -^j?P, -^ рС и т. д., а как
соединение пирамид А\ В\ 6" и т. д. для составлении Р, точно такое
же, какое нужна для соединения треугольников ,4, В, О и т. д.,
чтоб проиэвесть основание пирамиды Р, то отсюда и следует, что.
ГЛ. X. ИЗМЕРЕНИЕ ПШ'ЛШІД '■*''•
аиличина всякой пирамиды равна одной трети щюиаведшмя осн<>
накші на высоту.
Всякое тело,, ограниченное многоугольниками, можно составить
игл пирамид; для сего надобно взять точку гд; ішбудь, вне тиля,
ка поверхности его, или внутри, проводить чрез нее и стороны
многоугольников тела плоскости. Таким пбразіж произойдут
пирамиды, числом сколько многоугольников: n~s них составится тело,
когда, начиная с той, которая вся, или паптшо заключается в теле,
будут сложены вое те, которых телесные углы прикладываются, и
вычтены все те, которых тедесіще углы отнимаются.
[ГЛАВА XI [
ИЗМЕРЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ КРУГА И ПЛОЩАДИ КРУГА
Способ измерения кривых линиіі, плоскостей, ограниченных
кривыми линиями, кривых поверхностей п тел, ограниченных сиіпг
поверхностями, состоит в том, как было уже скпяано, чтоб разделять
кривые линии я поверхности на весьма малые части, ставить
вместо них прямые линии дли плоскости, потом искать ту границу, к
которой приближается величина кривой линии, поверхности пли тела *,
тем более, чем части делении возьмутся менее. Такай гранпца
прш-пшается за искомую истинную величину. В действительном
намерении:, т. е. в измерении помощию ценен, шгтеіі, вообще гибких
тел, стараются также ближе подходить к такой величине [4ІІ].
"Чтобы определить величину прямых линий, которыми заменяют
весьма малке части кривой, и отсюда заключать о величине кривой,
надобно знать, говоря вообще, каким образом находить величину
одпой стороны треугольника, когда даны его часты, составляющие
условия одинаковости. Но для измерения кругов, шаров, и всякой
геометрической величины, куда входят такие линии и поверхности,
нужно знять только, каким образом одна нл сторон прямоугольного
треугольника определяется помощию двух прочих.
Еі'ли в двух треугольниках вес углы равны, то стороны их,
соответственно углам; бывают пропорциональны. Полагаем, что [черт. 4(1]
угол А = /_А\ /_В= l_B\ Z,C= і_0\ полагаем далее, что
содержание стороны а к а' выражается содержанием двух целых читал
MJ, Разделяем сторону а па р частей, сторону «' на г/ частей.
Те и другие части будут равны между собою. Ведем чрез точки
деления линии параллельные стороне Ь в треугольнике ЛЫС и
линии параллельнне стороне Ь' в другом треугольнике. Между еіши
* Точнее, ве.-иглгши ншішшіоіі яомаион, поверхности чли рге,-і,ч.
ГЛ. XI. ИЗМЕРЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ КРУГА
9.)
линиями также чрез точки деления ведем в однпм треугольники
линии параллельные с с, и другом с с'. Например пусть сторона «■
разделена на три части,
ліішіи ef, е'д проведены
параллельно с Ь, а линии «/",
ef" параллельно с с, то
происшедшие здесь
треугольники Bef, ее'/", e'Gf"
будут одинаковы между
собою, потому что у них по
одной равной сторопе и
углы равны, следов. Bf~
= 8/" —в'Л ef=i'f=--Cf".
Откуда видно, что сторона с
разделяется параллельными
линиями на три равные
части. Какое бы деление
стороны а ни было, всегда
будет выходить то же, т. е. Черт, м.
что линии параллельные с. стороною Ь, проііеденные чрез точки
деления, разделят и сторону с на столько же равных частей, на сколько
частей долится сторопа а. То же произойдет п в треугольнике А'В'С/, да
Р притом части стороны е'
будут равнычастям
стороны с, потешу что онн
принадлежат к одинаковым
треугольникам. И так,
если я разделена ыа р
частей, а'на q частей,
которые части нее равны
между собою, то и сторона <~
А
ъ/
s х
Р
\а
с-х \
В
Черт. 47.
разделится также на# частей,.сторона в' на q частей таких же, т. е.
содержание стороны с к с' остается тем же. То же можно
доказать и для сторон Ь н Ъ'. Треугольники, каковы здесь ЛВС к
А'В'С, называются в Геометрии т<о(Ымъш« ["].
Л прямоугольном треугольнике ABC [черт- 47] яа прямого угла С
опускаем перпендакул р на гипотенузу с; часть ее к углу А на-
96
ГЕОМЕТРИЯ
иьшаш А остальная будет с — х, сторону противоположную углу В
означаем 'ірез Ь, другой катет чрев л. Перпендішул %і разделяет
прямоугольный треуг. на два другие
прямоугольные, которые подобны с
треуг. ARC Отсюда следует, что
.!-;=. , с —.'■■=: ■ Соединял оба урав-
с с
ленлш, иаходим са = «5~г^ то есть,
квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов. Так лная два стороны
нрямоуг. треугольника, можно
определить третию [ів].
Полагаем теперь, чтр полупопе-
решник г дуги известен, ее хорда о
также. Отсюда можно найти
величину хорды в' половины данной
дуги. Сперва определяем перпеи-
дикул' р из центра на „хорду" с,
Черт, 48.
его находим р = "[А"2 — ~. В прямоугольном треуг. [черт. 48],
•аот-орого гипотенуза с', катеты -g- с и >■ —J), находим
.иуда вставляя значение pt получим:
-ѵУ,
У-'-'/а-/*-^)'-
Хорда дуги 200' есть поперейник 2/', посему хорда дуги
200*
2
200"
2
г./2.
200°
28
,г.]/"2—]/2+-У2.
-дГ-г-у 2-/2 + Уз+Ѵ?.
.200° /" V , ==
ГЛ. XL ИЗМЕРЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ П ПЛОЩАДИ КРУГА
Отсюда видно уже, что вообще хорда дуги
97
200]
|А — -j/"2 4- У"2 -f V^FT^ и т. д.,
где число 2 под корнями входит ѵ par». Число, которое здесь
умножается на г, должно быть тем менее, чем число и более, к, следуя
правилу, данному для: измерения кривых лшпш, число, о
котором здесь говорится, будучи умножено на 2", даст дугу в 200° и
тем верпее, чем п возвысится более. Таким образом можпо паити,
что дуга в 200э равна
г- 3,141592003.. .
число, на ЕОторое здесь умножается г, может быть найдено только
чрез приближение в десятичных дробях, сто обыкновенно означают
в математических книгах я,
так что величина дуги 200°
будет выражаться ш*.
Величина всякой другой дуги,
которой число градусов q, будет
egg*»'; откуда видно, что дуги
одинакового числа градусов
содержатся как поперешники.
Остается еще показать, что
нод числом я можно разуметь
Черт. 49.
границу, к которой приближается произведение 2" да значение хорды
''(J0J
дуги тяг- тем более, чем число 9і более. Называем а хордѵ, кото-
„ г 200'
рой дуга -=-,. проводим полу попер ешник чрез средину хорды с до
окружности-круга и здесь восставляем перпендикул [черт. 49],
величину которого между полушшередшиками, проходящими чрез концы
хорды с, называем t. Находим:
с ■ г
t)
отегода разность
t — с = с
Зік. Шв. Н. И. ЛовИевсккй, і. U-
7
98 ГДО.МЕТР1Ш
Число г — 1/ іл — -7-й2 изображает расстояние между линиями1
с и t, которое тем менее, чем и более, и может бить сделано менее
мелкого данного числа. Далее называя Ж площадь круга полу-
поперошшша (, видим, что
Ж <2""' ■ tr, и
разность же 2"-1-»'(£—с), так как представляет площадь между-
линией с и t, тем менее, чем более и, и может быть уменьшена
уа всякую величину [л], след. 2"-1 • с- г тем' ближе подходит к К,
чем более -л. Итак т. возможно находить чрез приближение, и
площадь круга
[ГЛАВАXII]
ОБ ИЗМЕРЕНИЙ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА Ц KOHTUA,
ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРЯМОГО ЦИЛИНДРА II ПРЯМОГО КОНУСА
Цилиндром называют тело, ограниченное двумя параллельными
равными кругами и кривою поверхностно, которой свойство таково
что они, пересекается в прямых линиях плоскостями, проходящими
чрез центры кругов. Из сего
определения видно, что
цилиндр есть Приама, которой
основание круг. Лилия,
соединяющая центры кругов
цилиндра, называется oew, а
каждый из кругов основанием,
перііендикул между
основаниями—высотою. Цилиндры
бывают прямые, когда их ось
перпендикулярна к
основанию, наклоненные в противном
случае.
Воображаем окружность
основания цилиндра
разделенною на 2" частей, разумея
под п целое число, чрез точки
деления и ось цилиндра
воображаем плоскости, то весь цилиндр разделится ла 2» частей
такого вида, как едесь представлено в чертеже [черт. 50J.
Линия ОС ось цилиндра, линии AG, ВС, А'С, В'С, равны нолу-
поперепгннку основания, который означим чрез *-, кривые линии АБ,
А'В' представляют 2»[-ю] часть окружности основания, линия■ СІ>
Черт. !>0.
Т"
ion геометрия
высоту цилиндра, которую означим чреа А. Если проводим
плоскость чре-ч линии АА', ВВ', то пересечение сі'іг плоскости с
вырезками кругов АСВ, А'С'В' дает прямие лншш АВ, А'В', которые
будут хордами дуги -.-^" і а величина происшедшей здесь призмы А'С
Сѵдст произведение треугольника .156' на высоту h; а величина всех
подобных призм около осп СС цшшпдра будет 2" • h ■ ABC- Это
количество тем бяігл;е выражает величину цилиндра, чем число п взято
б}*дет более; ибо' истинная величина цилиндра заключается между
2"/і • ЛВС а 2«/( ■ А"СВ", где А"СВ" изображает площадь треугольника,
которая ограничивается продолженными полу попер ешшшамы АС,
ВС и лпнпею А"В", перпендикулярною к полу попер ѳшнику г
в средине дуги АВ. Но разность 2*-А"СВ"— 2а ■ ЛВС, как мы
видели, тем становится менее, чем п более, и может быть сделана
менее всякого произвольного числа, следовательно 2" • /і ■ ABG тем
ближе к истинной величине цилиндра, чем іі более,
произведение же 2" ■ ЛВС тем ближе изображает основание цилиндра, чем и
более; итак пстианая величина цилиндра есть произведение
основания на высоту, так как и величина всякой призмы, то есть
равна ъгЧі,
Чтоб найти величину кривой поверхности цилиндра, надобно
вместо частей ее ABB'А' поставлять параллелограммы ABB'А'
и соединять их площади; но такие параллелограммы тогда только
будут равны между собою, когда цилипдр прямой. В сем случае
лзгко видеть, что параллелограмм ABB'А' будит прямоугольник,
которого площадь = k • АВ, а следовательно сумма всех
параллелограммов на поверхности цшпшдра = 2" ■ АВ ■ h, которое
количество тем ближе выражает истинную величину поверхности
цилиндра, чем и более; но мы видели, что 2" ■ АВ тем ближе
подходит к величине окружности круга, которого полупоиерешник г,
чем ѣ число более; следовательно истинная величина кривой
поверхности прямого цилиндра равна произведению высоты на
окружность основания, то есть 2-к ■ г ■ k.
Конусом называется тело, ограниченное кругом и кривою иоворх-
ностию такого свойства, что на ней есть точка, чрез которую
и центр круга проведенные плоскости пересекают кривую
поверхность конуса в прямых линиях. Такое определение показывает,
что конус есть пирамида, которой основание круг. Круг конуса
ГЛ. XII. ОП ИЗМЕРЕНИИ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА II КОНУСА 101
тзнзывается основанием; точка, чрез которую можно проводить
прямые линии к окружности основания в поверхности конуса,
называется вершимою*, а линия, соединяющая сию точку с центром
основания, — осьЮ) перпендикул из вершины на основание —
высотою. Конусы бывают прямые*, когда их ось будет вместе высотою,
в противном случае конусы получают название -наклоненных.
Воображаем основание конуса разделенным на 2» равных
частей и чрез точки деления н ось конуса проведенные плоскости,
то сими плоскостями разделится конус на 2" частей таких, как
представляет-чертеж [черт. 51]. Точка D вершина конуса, С центр
основания, линии "АО, ВС полупоііерешники основания, которые
пусть будут г, линия DG ось конуса, линия BB = h высота конуса,
кривая линия АВ есть 2* [-я] часть окружности основания.
Проводим плоскость чрез точки В, А и В, величина пирамиды DABG
будет \-h-ABC^ а величина всех таких пирамид в конусе около
оси ВС будет -і- h ■ 2пАВС. Продолжаем: полупоперешники АС и ВС,
покуда они .встретят" Л'В', проведенную перпендикулярно к г
* Эти слова у Лобачевского ив подчеркнуты. «
102 ГБШІЕТРІШ
в средние дуги АВ. Истинная величина конуса заключается: между
~!і-2»Л£Сіі \-k-2"A'CB', разность же 2"АСВ — 2"А'СВ' тем
менее, чем -л более, и может быть сделана менее всякого числа;
с другой і-тороны произведение '2" • ABC тем ближе подходит к
величине круга, которого полу Попер ешник г, чем число п более;
следовательно истинная величина конуса равна произведению основания
на одну греть высоты, так же как и пирамиды, то есть = ■д-д-г-.
В прямом конусе треугольники ABB одинаковы между собою,
посему вместо части кривой поверхности ADB, по[д]ставляя
треугольник АТ)В и умножая на 2", получим величину кривой
поверхности конуса тем вернее, тем число и возьмется более.
Площадь /\ADB = -^ABy JLD3 — -тАВ2; линия AD во всех
треугольниках одинакова и есть расстояние'верпганы конуса от
окружности основания; ее можно найти помощию высоты Л прямого
конуса и полупопереганика г основания, именно AD = ]/Aa-]-rs.
Итак поверхность конуса = — - 2» ■ АВ у Л4 -f- ?■- — -j- АВ'1, которого
выражения должна быть взята граница; но граница
произведения 2>*АВ есть окружность основания 2ш, а линия АВ тем ближе
подходит к пулю, чем число н более; следовательно поверхность
прямого конуса — т. ■ rYW-\-i&. ■
[ГЛАВА ХШ]
О ВЕЛИЧИНЕ ОБЪЕМ! И ПОВЕРХНОСТИ ШАРА
Разделяем шар на две равные части плоскостию чрез центр,
ведем с сею плоскостию параллельные, которые бы о[т] стояли друг
от друга на п частей полупопер ешника шара г, разумея нод п
целое число. Каждая половина шара
разделится таким образом на п частей
параллельными плоскостями, которых пересечение дает
круги. Удерживал одну только из двух по*
ловин шара и пересекая ее снова плоскостию,
проходящей чрез полупопѳрепшик,
разделенный на п частей, разрез сей плоскости с
половиною шара будет иметь вид,
представленный на чертеже [черт. 52]. Означаем чрез гг,
r„t rSt и т. д. полупопер'ешники кругов, ко-
торые отстоят от центра шара на —, —, —
и т. д. Если возьмется сумма п цилиндров
которых всех высота одинаковая и равная
— , а попушшерешншш оснований г, ru rit г3, Черт. 52.
и т. д. до ''л-і> то ясно, что такая сумма будет превышать
половину объема шара; напротив если возьмется сумма и—1 цилиндров,
откинув первый, то такая сумма будет менее половины объема шара I41],
и следовательно истинная величина шара заключается между:
Разность между той и другой границей составляет -^— и еле-
доватепьно может быть сделана менее всякого данного числа,
и
] Оі ГЕОМЕТРИЯ
увеличивая п. Отсюда видно, что объем таара тем ближе подходит
it одной из двух написанных здесь границ, чем число п будет
более. Полупоперешники ги ■/■„, г3, г4 и т. д. определяются из г
л числа, и так:
»■- / 22
1 №а ' і \ П'
^_j = ^l-
rS=r41—^J и т-*■■■
что вставляя, получим величину объема шара [,|.Е];
2«,-»{l-^(l-f2* + 8'+...+(ft-l?
Вместо суммы квадратов, которая здесь умножается на-^ , можно
поставить ~ (2и2 — 3?і -j-1); справедливость сего - можно видеть
по числам п = 1, = 21 = 3; а чтоб это было справедливо и для
всякого целого числа и, надобно чтоб
тгго находится действительно верным. Итак объем шара тем ближе-
подходит к
чем число ѵг. более, а как здесь та часть, где п знаменателем, тем
ближе подходит к нулю, чем п более, следовательно истинная
величина объема шара = ■„-■с*'8 [40].
Способ, который предложен здесь для определения величины
тара, может служить вместе и для определения величины отрезка.'
шара, плоскостиго. Пусть k расстояние между двух параллельных
плоскостей, из которых одна проходит чрѳз центр; пусть
содержание линии h к лолупоперешнику шара г будет содержание двух
целых чисел т и к. Числа я» и п могут быть умножены на равные
числа, и следовательно число п можно увеличивать беспредельно.
Разделяя расстояние h на ю равных частей и проводя в точках
деления параллельные плоскости с двумя данными, часть гаара,
между двумя крайними плоскостями будет тем ближе подходить к
ГЛ. ХШ. О ПЯЛПЧИНЕ ОБЪЕМА И ПОВЕРХНОСТИ ШАРЛ 1«->
чем число іі более. Сумма квадратов, которая здесь
умножается на -j- , как ан видели, = — т3 — — »г2-|- — т. (Следователь-
по, "все выражение = ш* { £-j (■*/ + £ (£ /-^(?) } -
Члены, которые здесь делятся на п, приближаются тем ближе
к нулю, чем число >і более; итак истинная величина части шара
между двумя плоскостями = к (Vй — — A*) h. Вычитая сие
количество из объема половины шара, получим величину отрезка
-к- тг. (2cs — 3?-! ■ 7; -}- &л), или ставя г —р вместо А, величина отрезка-
будет -g- я ■ p's {Zr—p). Если присоединяем к сему отрезку конус,
которого высота А, расстояние вершины от окружности основания г,
то получим конический вырезок шара* -ц-пг^р. Разность такого
комического вырезка с другим, в котором линии и будете — а,
2
найдется -^-та^-я, и следовательно величина такой части шара
не зависит от положения линии а в отношении к деятру.
Чтоб найти величину поверхности, то следуя общему правилу,
надобно разделять ее на чрезвычайно малые части и по[д] ставлять
вместо таких частей плоскости, которые, будучи соединены все,
дадут величину поверхности тем точнее, чем части были взяты
менее. Всего простее разделять поверхность шара сперва
плоскостями вокруг поперешника, потом плоскостями,
перпендикулярными к поперешнику. От сего произойдут части поверхности,
ограниченные четырьмя дугами, и легко видеть, что четыре точки
пересечения дуг лежат в одной плоскости; посему, соединяя четыре
точки прямыми пиниями, надобно будет брать часть плоскости
между четырьмя линиями вместо части кривой поверхности.
Начиная соединять части между двух последующих параллельных
плоскостей, так как здесь число частей не зависимо от частей
поперешника, то, полагая его увеличивающимся беспредельно, вея
часть поверхности между двумя плоскостями будет подходить
к части конической поверхности, проведенной между кругами,
ограничивающими параллельные плоскости, которая следовательно
и будет истинною величиною сей части поверхности. шара [ьо].
41 По современной терминологии — «шарового сегмента».
* По современной терминологии — «даровой сектор*.
10(5 ГЕОІІЕТГИЯ
Называем г полулоперепгаик шара, с расстояние окружностей
двух параллельных последующих плоскостей :"Ѵр полупоперешеик
меньшей окружности, р' полупоперешиш; большей, величина кони-
чеокой поверхности между двумя кругами будет 2т; ■ е('р + ?')*■
Воображаем теперь половину шара, отделенную плоскостию чрез
поперешыик, к которому 'ои р' перпендикулярны, потом пересекаем
сию половину еще плоскостию, проходящею чрез тот же попе-
решник [черт. 53]. На сей последней плоскости будут находиться
-линии 'р л о' п хорда с. Из средины хорды с опускаем перпендыкул р
■на попер ешпик и соединяем также средину хорды о линиею h
-с центром шара. Называем х расстояние между 'р и р'. Если из
средины с опускаем перпендикул на р', то получится
прямоугольный треугольник, которого гипотенуза -х с, катеты -=- ,-к и р' — р, подоб-
ный е прямоугольным треугольником, которого гипотенуза А,
катеты р и расстояние средины х от центра. Отсюда находим
,б = х—. Сумма 'рЦ-р' равна 2р, следовательно 2«е ('о-(-р') =
= 4я • h ■ х®. Для большей простоты пусть хорды с между
параллельными плоскостями равны; тогда и линии Тъ для всех с будут
также равны, а сумма всех конических поверхностей от одного
конца попереигняка до другого сделается 4iw-AS, которая будет
к Точнее—расстояние между теми точками одной и другой оерумсаостіі,
которые лся;ат на одном меридиональной сечении (см. черт. 53).
* Множитель "2. лишний; величина конической поверхности равна пс ('р + р').
■О втим лишним шгикитѳлем Лобачевский: продолжает вычислоние и затем кои-
швноирует его другой ошибкой (см, следующие сноски).
и См. предыдущую сноску.
9 Когда ж стремится к 2г, то 4пАж примет значение 8wA. Но Добачеоивий
(выше ввел лишний иножитель «2», так что окончательный результат int'ft верен.
К ртр, 107.
Рисунки к «Геометрии».
Таблица оригинальных рпсулкил, сделанных на тіоляч рукописи.
Зек. 5033.
ГЛ. XIII. О ВЕЛИЩИ-Щ ОБЪЕМА. И ПОВЕРХНОСТИ ШАРА 107
тем ближе; изображать поверхность шара, чем хорды о будут менее;
но чем хорда с менее, тем /( ближе подходит іс г и следовательно
истинная величина поверхности шара = 4я>а, то есть равна четырем
большим кругам шара.
Можно найти поверхность шара еще так: какое бы деление
поверхности на части ни было, ставя вместо них плоскости *■
и опуская перпеддішул г—j) на g, надобно, чтоб сумма всех пронз-
ведений -h-s(V—j)) давила тем ближе -.--и'1, чем *■ будет менее.
Но чем менее плоскости я, тем р подходит ближе к нулю, а сумма
плоскостей s к поверхности шара, которая, следовательно, и должна
ыть in»-2, как и выше найдено.
ПРИМЕЧАНИЯ
['] Эту точку зрения на соприкосновение как на основное свойство
геометрических тел Лобачевский сохранил и развивал во всех своих
дальнейших сочинениях. См. іО началах геометрии», вступительные
рассуждения (том I, стр. 187), а также іНовьте начала» (стр. 108 наст.
томаХ
[2] Термин «планиметрия» Лобачевский, таким образом, понимает1
не в том смысле, в каком он употребляется в настоящее время, как
геометрия плоскости. Однако именно в том значении, в каком его
употребляет Лобачевский, он был распространен в математической
литературе со времени своего возникновения, повщпшому, в ХП в.
(Hugo Ряуэіош). Как геометрия плоскости, термин «планиметрия»
появляется только в конце XVIII в. в сочинении Мейнерта г) в 1790 г.,
т. е. всего за 30 лет до составления «Гѳомѳтрииа; утвердился же он
в атом значении значительно позже s). Целесообразность ѳтого
подразделения геометрии уже оспаривалаоь в эпоху Лобачевского,
оспаривается она и в настоящее время, Даламбер его принимает примерно в топ
форме, как это приведено здесь у Лобачевского. Акад. С. Е. Гурьев
в предисловии к своим «Основаниям геометрии» а) (1811) писал об
атом следующее: «Сверх того, самый предмет геометрии, как то
читатель усмотрит ниже, совсем не требует столь, повидпмому,
естественного разделения геометрии на геометрию линий, геометрию
поверхностей и геометрию тел. Сне только есть един вид надобности, п
Лежандр, один та математиков первого класоа, предпринявший в сип
последние дни исправить Елементы геометрии, не колебался
пренебречь оною, мешая свойства линий со свойствами поверхностей, как
сделал Евклид». Это замечание автора, со взглядами которого не всегда
можно согласиться, все яге особенно справедливо в том отношении,
что деление это часто оставалось чисто формальным ы авторамп
учебников, даже приводившими его, не выдерживалось. Менее всего ото
J) F. Meinert — Lehrbuch da- Ifcithcmatik, II, Halle, 1790,
3) Подробнее об втом см. J, Т г о р f k е — Gescliichto der ElenieHtar-Mathematik.
2 Aufl,, Betlin und Leipzig, 1023, т. IV, стр. 33—31.
э) Ом. етр. 26 настоящего гама.
ПРИМЕЧАНИЯ
1U9
деление действительно осуществляется в «Геометрии»; Лоиачѳвскпй
в действительности- стоит, напротив того, на так называемой фузно-
кпстскоГ; точке зрении {ом. «Обзор», стр. ЗГ>) ').
р] Это определенно, конечно, дефектно; в точке перегиба плоской
кривой касательная переходит с одной ее стороны на другую; для крц-
воіі: двоякой кривизны это определение лишоео содержания.
Правильное общее определение касательно it, установленное Ферма и
сообщенное Декарту в 1(138 г., как предельного положения се куще it, по
существу, пастолько элементарно, что в сочинении такого типа, как
«Геометрии», могло бы пакта себе место. Лобачевский предпочел
упрощенное определение, инея, повалим ому, в виду, что ему продетая
применять его только к окружности. То же относится и к касанию
поверхностей.
[4] Это определение границы, которая отделяет геометрию в ее
■синтетическом построении от приложении анализа к геометрии,
развито подробно во введенная «Новым началам» (см. стр. 163 и след. наст,
тома). В последующие годы оно имело для Лобачевского
принципиальное значение, поскольку оно указывало, до какого предела нужно
довести синтетическое построение новой, «воображаемой геометрии»,
чтобы иметь уверенность в ее логической правильности, См. также
«О началах геометрии» (том I, стр. 186 и 200).
[Е] За помещенным выше введением в рукописи следует заголовок
«Глава 1-я». Больше нигде таких заголовков нет; поводимому,
Лобачевский предполагал при печатании проставить такие же надписи
с соответствую щими номерами перед каждой на 13 заглавных надцп-
■сей. Во всяком случае, ао содержанию в сочинении трудно усмотреть
дальнейшее разделение на главы этих 13 составных частей,
выделении* заголовками. В соответствии о этим в дальнейшем обозначения
глав вставлены н заключены в прямоугольные скобки, как п все
опущенное в рукописи.
[в[ Хотя глава 1-я названа, повпдимому, в соответствия с
установленным во введении общим делением геометрии, (Измерение .тика»,
оно. фактически разбивается иа трк части: первая содержит
определенно основных геометрических образов, вторая занимается
намерением частей прямой и окружности, третья трактует об измерении
кривых линий. Сообразно этому глава разбита на три абзаца. В оригинале
второй абзац не отделен от первого,
['] Это определение, прямой в той или иной модификации, чаще
всего в той форме, что прямая остается неподвижной, когда
закреплены две ее точки, было широко распространено уже в древности.
і) Подробнее об этом см, Q-. Lori» — La fusions delln planimetria поп la ate-
teometria. .Periodica di Matematica», 15, Livorno, 1899.
110
ГЕОМЕТРИЯ
Его приводят уже Прокл в своих комментариях ко II определению
б «Началах Евклидаэ *). Оно восходит, доводимому, еще к Героиу
Александрийскому (около 100 г. до и, э.). Это определение сохраняет
свое вначение ч до нашего времени. ■ У Гильберта s), принципиально
не отличающего определений ж аксиом, две части определения
Лобачевского в некоторой модификации выражены в аксномах 1х (две
различные точка А и В определяют прямую if), І2 (любые дна точки
прямой определяют эту прямую). Вален во введения к своей
«Абстрактной геометрии» !і) говорит: «Предложение „двумя различными точками
прямая однозначно определяется", повиднмому. в такой мере
неразрывно связано с самым п)питием прямой, лггнии, что определению
прямой естественно дать таков выражение, чтобы это предложение
входило в его состав». Лобачевский ввел, такте образом, в
определение прямой наиболее существенные ее признаки. В какой мере оно
достаточно, это зависит от всей системы построения геометрии; но ао
всяком случав оно должно быть еще дополнено признаками,
характеризующими мощность прямой как множества, точек, расположение
точек на прямой и т. д. Лобачевский не дает еще этих признаков;
аксиоматика его времени еще не стояла на такой высоте, чтобы это
можно были научно оформить, а «химерической строгости» он всегда
избегает. Заметим еще, что ото определение прямой Лобачевский, по
сутееотду, сохранил и в дальней там развитии своих идей по
обоснованию геометрии (см. «Новые начала», гл. П, ст. 25, стр. 187 наст,
тома).
[а] Это определение гаіоскостп, помимо недостаточной точности его
формулировки, страдает 'существеяньши дефектами и по оамому своему
содержанию. Прежде всего, Гаусс еще в очень молодом возрасте
заметил, что существование поверхности, с которой прямая совмещается
всякий раз, как имеет с вею две общие точки, нуждается в
доказательстве в смиголе совместимости этого определения со свойствами
прямой линии. Уже в 1797 г. з его дневнике значится заппсь: «Plani
poBsibilitatom domoastravi» («Я доказал существование плоскости»). На
входа в ббльшые подробности, ограничимся здесь замечанием, что
') -Procli Diaitoohi... Commentsrib, Leipzig, 1873, стр. ПО. Другое, очень
распространенное нздапиа на лмияевом яеыке: «Procli Dwlochi... libri ІШя, Fata^ii
1560, стр. ва. 05 вгпх изданиях комментариев ТІрокяя, сш, мм I імст. над, стр. 35.
'■*) D. Hilbert — Gh'tmcUagen der Gaoraetrie. Первое издание, по которому
приведена цитируемая формулировка, вышло в 1899 г. (русский перевод под род.
к. В. Васильева, Петроград, 1923). Последнее издание, значительно
переработанное и дополненное, вышло в 1030 г. (7-е изд.); (русский перевод е втого
ивдания вышел в 1948 г.: Д. Гильберт — Основания геометрии, пор. под
ред. П К, Рішіввсісого, М,—Л, 1048). В этом издании формулировки аксиом
I] и Ів иамѳв:ены.
3) К. Th. V а Ы о о — Abstrakte Geometrie, Leipzig, 1005. .
ПРИМЕЧАНИЯ
111
Лобачевский, очевидно, и сам пришил к сознанию недостаточности
етого определения. В последующие годы он не считал возможным
сохранить это определение плоскости и строил его в сопершепво ііыом
порядке идей. (См. «О началах геометрии», том I, стр. 191, а «Новые
начала», гл. П, ст. 18, стр. 181 иаст. тома.)
["I Относительно определения круга ограничимся только
следующим замечанием. Лобачевский нп и «Геометрши, ни в последующих
сочинениях не отличает строго круга от круговой лігапп. Однако
проводимое часто в современном литературе разграничение окружности
ісак лншш и круга как части плоскости, ограниченной окружностью,
Лобачевскому пе чуждо (см. гл. II, стр. 40, абзац второй снизу).
Но систематически он зтого разграничения на выдерживает; оно н
в настоящее время далеко не всегда проводится, хотя и имеет свогг
преимущества. Формулированное в конце определение окружности
выясняется из другого определения, данного в «Новых началах*
(ст. 3(і, стр. 190 наст, тома): «Плоскость, ограниченная замкнутой лнниеіі,
называется вообще фигурой, а пограничная линия — окружноатию».
Такіілі образом, Лобачевский разумеет под окружностью периферию-
всякой аамкнутой части плоскости, в частности, круга. Формулировку,
приведенную в тексте, вряд ли можно признать удачной.
[1D] Выражение отношения, которое получается в реаультатѳ
последовательного деления, непрерывной дробью представляется настолько-
естественным, что некоторые авторы называют и самый алгорифм
методом непрерывных дробей. В «Новых началах» (гл. ІН, ст. 38, стр. 201
наст, тома) Лобачевский указывает и значение этого выражения
«содержания (т. а. отношения) двух лилий», дающего своими по;іхо-
дяішшіі дробями нсклгсчптельно хорошие приближения. Лобачевский
вообще очень пепил непрерывные дроби и их приложения '). О
случае несоизмеримости см. іОбаор», стр. 34—35 наст, тома,
["] Нельзя не отметить, что определение длины кривой как
предела длины вписанной в нее ломаной лилии, когда все авенья
последнее бесконечно убывают, вполне соответствует современной точке
зрения на етот вопрос. Вообще в атом абзаце было бы достаточно внѳстіі
незначительные изменения формулировки, чтобы он мог найта
себе место н настоящее время в научном изложении метрической
геометрии.
[lsj Хотя гл. Н названа «Об углах», содержание ее выходит далеко
за эти пределы; последние ее абзацы, трактующие о шаре, о
многоугольниках и многогр а нанках, лишь косвенно связаны с учением об
углах, п было бы, повидиыому, целесообразнее выделить их в отдель-
і) См. Н. И. Лобачевский — Алгебр* нля вычисление конечных, гл. ѴШ„
тим IV наст, над., стр. 100.
1.12
ГЕОМЕТРИЯ
нук> главу. Но в духе этого сочинения, установив понятие об угле,
использовать его возможно шире и привести все, что с ним связано.
Г13] Введение десятичного деления углов и, в частости, цѳнтези-
мального деления прямого угла, которое академик Н. И. Фуес а своем
отзыве о «Геометрия» (стр. 126 наст, тоііа) рассматривает как
порождение французской революции, в действительпойти имеет очень
продолжительную п своеобразную историю >). На дешшальном делении угла
уже в 15S5 г. настаивал известный голландский математик С. Степан
(Simson Stev-Ы, которому принадлежит открытие десятичных дробен.
В ХѴП в, деление градуса на ото частей фактически проводится,
главным образом, в Англии в первых логарифмических таблицах
тригонометрических величии Бриггом (Briggs, 1683), Роэ (Roe, ШЗЗ), Аутре-
дом (Outred, 1657). Мысль сделать в этом направлении последний шаг
и установить деление прямого угла на ото частей возникла в первый
раз в Германии. В 1783 г. Шульие (J. С. Selmlze) выпустил
справочник («Tasohenbucha), в котором сообщает," что для него были ужа
готовы тригонометрические таблицы, когда Лагранж, состоявший тогда
директором Берлинской астрономической обсерватории, пришел к
мысли перечислить их по центѳзимальпой системе деления прямого утла;
это действительно было выполнено, и центѳзимапьные таблицы были
выпущены Гобѳртом и Идѳлѳром 3). Таким образом, не только вовник-
новениѳ идеи о центезимальном делении угла, но даже первое ее осущѳот-
влепиѳимело место не во Франции, а в Англии и Германии. Но в пору
установления метрической системы тот же вопрос возник ш во Франции,
Преимущества пеатѳаимаиьного деления обстоятельно изложил Лаплас в
своей «Системе мира» а); они подробно обоснованы в докладе Парижской
академия наук, сделанном 12 марта 1791 г. комиссией в составе Борда,
Лагранжа, Лапласа и^Моажа. На центезималшом делении: настаивали
также Даламбер, -Леверье, Био и др. Цоняезимальная система была
в начале XIX в. принята в учебных руководствах Лежандра, Лакруа,
Бурде-и др. і
Относительно практического осуществления цѳытезимального
деления мы вынуждены ограничиться ссылкой на указанную выше литѳ-
J) Подробные спадения об атом см. J. W. G1 а і s Іі е г — Report on
mathematical tables. «Report of the British Association» for 1873. A. Seaulke— Zur desimal-
teilung des Wlnkels. «Zeitschrift fur mathem. und rmtmwissenscli. Unteirioht», 21,
1893, Наиболее оіістоігаольно атоі вопрос изложен у Мемке: К. Mehrake— Ве-
riqht Ubet die Wintelteilimg. «Jahresbericut d, Deutsch. Mathem. Vereinigung», fi,
1890. Последний работа содержит детальные литературные- упааания.
2) J. Rh, Hobert u. Oh, L. Ideler—Neue trigoiioraefcrisch'e Tafeta, Berlin
17Ѳа
>) P, S. Laplace-r-Exposition du systeme du monde, Paris, 17BG. В трѳтееи
.издании (Paris, 1308 г.) это изложение заходятся на стр. 72—75.
1ГРІШЕЧЛ1-ШЯ
П.?.
ратуру. Заметим только, что на эти начинании было затранѳпо много
усилий: ошт не имели большого успеха, іѵншгшм образом, потому, что
требовали сложной п тщательной переработки огромного табличного
материала и карг, п также сооружения новых астрономических инстру-
мептоп. II все :і;н специалист считают, чти перед этісмп трудностями
нельип останавливаться.
Вряд .іп может бьпъ сомнение п том, что именно втоіі системе
намерения углов принадлежит будущее. Во венком случае идея эта
исходила, не от «бешенства нации», как это утлерэкдает академик Фѵсс
в своем отзыно; она била результатом глубоких соображении
величайших ученых всего мггра. И то обстоятельство, что ДобачеискиГ!
присоединился в ним, не боясь «крака беогяйцев», говорит о аспвом
прогрессивном чутье и составляет иг» несомненную заслугу.
[и| Лобачевский, поішдимому, хочет сказать, что вто свойство
долиtно лходпть в самое определение плоскости.- Действительно,
толкование, блгшко подходящее к дословному тексту, заключается в
следующем: это'—«необходимое требование», постулат, который должен
быть в той или иной форме иклгочепв определение плоскости или
приобщен к яему. Из того определения плоско е.тп, которое дано выше
7і тексте, оно не. нытекаѳт, В «Новых ітча.тах» Лобачевский дает
.другое определение плоскости [см. стр. 1Н1 паст, тома).
[і3] Таким образом, под двугратшым углом Лобачевский, разумеет
его линейный угол, т. е. опять-таки число (и обычной
терминологии — численное значение лишенного угла). Однако такому
определению должно было бг.т быть предпослано доказательство того, что зен
линейные угли одного и того ѵке двугранного угла равны. Іі, тому
■лге. это доказательство не дол;і:но опираться на свойства
параллельных линий. Такое дотгапате.ттьство действительно может быть дано, но
оно требует некоторой стереометрической подготовки.
[|л] Определение шаровой поверхности приведено пмвшіо ;іді.'сь,
поннднмому, потому, что Лобачсисіші'і отождествляет (метрически.)
телесный угол с поверхностью, вырепын&емой его конической оболочкой
на сфере, подобно тому как прямолинейный угол он отождествляет
с дугой, вырезываемой его сторонами на окрунтости (см. гл. IV). Может
быть, именно с точки зрения его «предметной» системы расположения
материала это определе.ніге было бы уместно поместить в начале,
главы TV. Лобачевский правильно отмечает возможность измерять одни
части сферы другими частями той ;ке сферы, .вследствие, того, что
части сферы могут скользить одна по другой, как дуги одной и той
л;е окружности. Однако аналогия здесь неполная вследствие
дпумерности сферы: движения па Heft происходят не с одной, а с тремя
степенями . свободы; разыскание* отношения двух .частей сферы адесь
поэтому значительно оложяеѳ, чем для дуг круга. Гораздо большее
Зав. 603а. Н, И. ■ ЛпЙячеясккЙ. т. И. 8
114
і. гажттчш
значение имеет именно в той системе, которая проведена в
«Геометрия», другая аналогия: сфера имеет конечную величину и каждая
площадь на пеіі может бить выражена к частях сферы, как луга
окружности в частях всей окружности (ел. ниже, примечание 23}.
[1Т| Последнее соображение фактически имеет в виду доказать,
что из одной и той же точки А не могут выходить два, иерпепдяісу-
ляра АВ и АС к одной и той же прямой ВС. Проще воего это
доказываете)! при помощи теоремы о внешнем угла, кап вто обычно и
делается в наших руков одето их. Но пв «Началах» Евклида
построение перпендикуляра из точки на прямую (I, 12] излагается ■ до
теоремы во внешнем угле (!, 16). Прокл, комментируя это предложение,
вскрывает коренящийся в нем дефект.
Рассуждение Лобачевского сводится к тому, что прямые АВ и АС,.
если бы они обе были перпендикулярны к ВС, при повороте
треугольника ЛВС вокруг ВС до его возвращения в ту же плоскость,
пошли бы по своим продолжениям и встретились бы вторично в
точке А1, симметричной с А относительно ВС. Это рассуждение
проведено в ^Началах» Лежандра (предложение I, 13J. Рисунок
Лобачевского, можно оказать, совпадает с рисунком 31 в ^Началах» ,Те-
жандра..
[1а] Это рассуждение не обосновано, как и совершенно
аналогичное рассуждение в предложении 1 «Начал» Евклида. Точное
обоснование требует соображений, которые опираются на непрерывность
пряной и окружности, или иных постулатов, характер иеующих
строение прямой и плоскости. В ту пору Лобачевский, повидимому,
относил их в область «химерической» строгости. Подробнее об этом см..
«Начала Евклида», примечания к првдложѳнию 1 книги I').
['"] Это доказательство относится к числу тех, которые
Лобачевский осуществляет, пользуясь нѳпо сред ста енпо движением и избегая
более формальных рассуждений, основанных на равенстве
треугольников (см. «Обзор», аѵр. 33).
I2"] Неясно, для чего понадобился второй перпендикуляр.
Достаточно из какой-либо точки данной прямой опустить перпендикуляр
на данную, плоскость; требуемая плоскость проходит через данную,
прямую и этот перпендикуляр. Это тем более существенно, что при
построении, предлагаемом Добачѳвскпм, пу.жно еже доказать, что два
перпендикуляра в денной плоскости сами расположены в огщой
плоскости.
[21] Это построение вызывает еще больше оомнѳшия, чем
предыдущее, так как неясно, как в данной плоскости провести пѳрпвЕдику-
') лНачаив, Еввдщца», кн. I—"VI, пер. а греческою п комментарли Д. Д.
Морду хгШ-В атгапга ого, М. — Л. 1948, Пріщѳчішие 30 (и'гр, 250),
ПРИМЕЧАНИЯ
I 1-j
лнр к пересекаюш,еіі ее .прямой; вряд ли это возможно сделать беа
построения, указанного в предыдущем примечании.
['"] I ібычные доказательства этого предложения распадаются на
два тпиа: а) установив предварительно теорему о внешнем угле п
соотношения между сторонами и углами треугольника, основывают
доказательство на том, что ввтет меньше гипотенузы (нечеткая система:
Кестнер, Вольф); б) продолжив перпендикуляр ЛВ ма точку В на
расстояние ВА' — ВЛ, основывают доказательство патом, что
прямая А А' короче ломаной ЛЕА' (французская
система: Лежандр, Безу).
Лобачевский, невидимому, считал снов
доказательство более наишдным. И о оо
стороны строго логической оіго дефектно:
если предложения о перпендикуляре и
наклонных доказаны, то, основываясь на
них, можно доказать, іто внутренние точки
хорды лежат внутри круга. Лобачевский же
опирается на это предложение, Hf> доказав
его предварительно.
|13] Согласно определению, данному
в тексте, диугранный и телесный углы
отождествляются с числом, выражающим в двугранных градусах
ту часть сферы, которая вырезывается его гранями (см., например,
«О началах геометрии», том I, стр. 192, а также «Новые начала»,
гл. III, стр. 204 наот. тома), С другой стороны, в гл. Л двугранный
(«плоскостной», по Лобачевскому) угол с той же метрической точки
зрения отождествляется со своим линейным углом. Чтобы это
не вызвало расхождения, Лобачевский называет еферпчккам aj пдусом
часть сферы, вырезываемую на ней двугранным углом в один градус,
ребро которого проходит* через цеатр сферы. Располагающиеся вокруг
одного и того же диаметра 400 двугранных градусов делят сферу
на 400 равных частей; градус представляет собой, таком образом,
400-го часть сферы. Лобачевский называет сферическим градусом
всякую часть сферы, имеющую ту же площадь, и измеряет телоспый
угол площадью вырезываемой им части сферы, выраженной в этих
градусах. Трижды ортогональный угол октанта содержит поэтому бС.
Если прямой угол намерять в радианах, то он выразится числом ~ ,
вся сфера — числом 2-х, а октант — числом -~ . Между тем, если
измерять поверхность шара единичного радиуса (.в .один сантиметр) в
единицах площади (в квадратных сантиметрах), то она выравятся числом 47г„
В' настоящее время телесный угол измеряют площадью, иыреаывае-
иоtt пм на единичной сфере, и выражают эту площадь в квадратных
8*
1 [\: гкчмі'Л'і'ті
мерах; это ласт ллл телесного угла йдвое большее-. чпслршюе .чначн-
ние; октант выражается числом -"- . Иначе говоря, и настоящее времи
двугранные углы но относят к числу телесных углов и измеряют их
так же, как это делал Лобачевский, линейным углом, телесные же
углы измеряют площадью вырезываемой ими чисти сферы единичного
радиуса, выраженной в кпядратных единицах.
|-4] В связи с заключительным предложением предыдущей главы
казалось бы мало целесообразным повторять то же рассуждение.
Перпендикуляр СЕ представляет кратчайшее расстояние центра от
секущей плоскости, а потому его основание Е упадет внутрь шара.
|-Г|] При сохранении принятых в тексте обоиначений правильное
доказательство должно Нить наложено следующим образом. Так как
углі.т ЛСВ п Л'СВ' ранцы, то мы приведем их в совмещение таким
образим, чтобы прямая СА совпала
с СА', а СВ—а СП'. Тогда GD и
f 'В' расположатся по одну сторону
совмещаемых граней. Вследствие
равенства /двугранных углов пріг
ребрах СА и СА' плоскость GAB
упадет на плоскость СА'В', а по
равенству углов A.UD а А'СВ' прямая
CD совместится с СВ'] ето влечет за
собоіі совмещрние трехгранных углов.
Связки ОА, СВ, CD п СА', СВ', CD' ■П'і>(И}і/ісоніиір(іа.і"ѵы
(одна—правосторонняя, другая — левосторонняя!. Вследствие равенства углов
ВСЛ, ВСА,, В'ОА' а ІУСА' возможно соішещешіе гиапщиштнш:
связок СА, СВ, GB с СА1, Ой', 67/.
[-''] В порядке принятой Лобачевским спстемы наложения,
«сообразованной с предметами» (см. «Обзор», стр. З'і), он излагает учение
о правильных многоугольниках здесь, где в них встречается нужда.
Для развиваемой вслед за этим теории правильных многогранников
основные свойства правильных многоугольников существенно
необходимы. Неясно поэтому, почему он оправдывает изложение основных
свойств правильных многоугольников словами «для полноты предмета».
[-'] То обстоятельство, что учение о равенстве треугольников
отодвинуто до гл. "V, заставляет автора неоднократно производить
наложение там, где без него можно было бы обойтись, но только не
усложняя, но даже упрощая наложение,
[-я] Доказательство того, что число правильных многогранников не
превышает пяти, составляет не только главный результат, но, повігдп-
мому, и главную цель настоящей главы. Своеобразное изложение,
которое Лобачевсга-iif дает этому предмету, требует пояснения.
ІП'ШІК'ШШН
] IT
Учение о правильных многогранниках (лкіжкт бить, не вполне
правильно называемi-.fi часто и.шшинчвылт ые.ымн) систематически про-
в.-дѳно в тринадцатой кпиго «Начал» Клклпда. Лдесь дана построение
псех правильных многогранников, вернее, дано своеобразное
доказательство еущеотвоиалпк каждого и;і них; по своеобразной
классификации иррацпональноетпп, установление іі и днемтоіі книге, определены
стороны каждого правильного многогранника через радиус описанной
офернг. В конце предложения 1Н в виде особого приложения
наложено доказательство того, что, кроне установленных пяти тел, других
правильных многогранников яе существует. То асе доказательство
последнего предложении изложено и ■ Лѳжандром в общем
приложении к VI и ѴП. книгам его «Начал». Это хорошо известное
доказательство основано на том, что сумма плоских углов .многогранного
угла не «ожег превысить id. В евклгідовой геометрпп угол при вер-
'>
шине красильного треугольника составляет -г d, в четырехугольнике </,
О
в пятиугольнике-г-'', а, при большем числе сторон внутренний угол
■іше больше. Поэтому при вершине правильного многогранника может
схочитьсн нѳ больше пяти правильных треугольников, нѳ больше трех
квадратов и не больше трех правильных пятиугольников; из
правильных же шестиугольников уже нельзя составить даже трехгранного угла.
Но л неевклидовой геометрии {точнее, в геометрии Лобачевского)
угол правильного многоугольника отнюдь не определяется числом
«го сторон. Можно, например, построить равна сторонний треугольник
со сколь угодно малым углом при вершине; поэтому можно составить
многогранный угол с любым числом правильных треугольных граней.
Доказательство Евклида, таким образом, непригодно для
гиперболического пространства. Между там теорема о том, что в пространства
существует только нить правильных многогранников (при конечном
число граней), справедлива и в гиперболическом пространстве.
Лобачевский уже в «Геометрии» явно стремится освободить доказательство
каждого предложения от рассуждений, свойственных собственно
евклидовой геометрии (т. е. зависящих от постулата о параллельных линиях),
если это по существу дела возможно (т. ѳ. б современной
терминологии, «ел и это предложение остается справедливым я в неевклидовой
геометрии). Отсюда своеобразное доказательство этого предложения,
основанное на теореме Эйлера о зависимости между числом граней,
ребер и вершин выпуклого ыногогрелника. 'Соотношению,
устанавливаемому втіш путем для правильного многогранника,, Лобачевский
придавал большое значение. (Ом. «О началах геометрии», том I, стр. 193
П «Новые начала», ет. 71, стр. 237—28В паст, тома.)
Р] Последнее .замечание обнаруживает, что мысли, ведшие К
неевклидовой геометрии, уже глубоко занимали Лобачевского в пору
иь
ГКОМЕТРШІ
составления «Гегшетрші». При попытках доказать постулат о
параллельных линиях от противного многие геометры приходили к
зависимости мешіу прямолинейными отрезками и соответствующими км
углами (см. статью «Учешіѳ о параллельных линиях и открытие но-
ѳвклидоиоіі геометрии», том Т, стр. (і4). 9та зависимость между
отрезком п углом представлялась невозможно!!. Лежапдр после
продолжительных попыток дать доказательство постулата о параллельных линиях
пришел к заключению, что такое доказательство можно осповать только
на том, что разнородные величины — угол и отрезок—не могут быть
связаны функциональной зависимостью, і'+го утверждение часто
называли в литературе «принципом однородности». Мы видим, что
Лобачевский r 1Я23 г. Сіглл уже свободен от итого рода сомнений:
«разнородные гсоликие могут быть в зависимости друг от друга» (см. том I
наст, издания, стр. Гій, примечание редактора).
[sa\ Предыдущими главами печершш весь тот содержащийся
в «Геометрии» материал, который не зависит от постулата о
параллельных линиях. В основе учения об измерении площадей
многоугольников лежит понятие о прямоугольнике и об основных его свойствах'
Самое существование прямоугольника нельзя провести, не прибегая
к постулату о параллельных линиях. Лобачевский поэтому и начинает
главу этим постулатом. Он дает ему то выражение, которое в первый
раз систематически использовано, невидимому, женевским математиком
XVIII в. 31. Бертраном1). Бертран не рассматривает это
предложение как постулат и дает ему доказательство, которое Лобачевский пыже
также приводит. Последние строки о опар у жив ают, что в 1823 г.
у Лобачевского уже ыѳ было сомнений в том, что ни одно из
предложенных доказательств постулата о параллельных линиях не может быть
признано вполне удовлетворительным. О атон оговоркой он помещает
доказательство Бертраиа, которое признает лучшим из существующих.
9то доказательство, действительно, ценили многие геометры.
Р!] Относительно ѳтого доказательства- ем. статью «Учѳпиѳ о
параллельных линиях и открытие неевклидовой геометрии» в I томе
наст, изд., стр. 53—511.
I"'2] Эіа фраза также обнаруживает, что мы имеем здесь дело
с записками по читаемому курсу,
Р!)] Нужно сказать, что это построение изложено нечетко; неясно,
какая сторона должна быть «общей с многоугольником». Речь
l) L. Bert r ami— DeVoloppemeiif nonvoau Лѳ la pai-tio (ШтшЬаітв dus mafciia-
inabiques, Creative, 17TS. Это выражение постулата получшю распространении после
появления IX да.ідашга оЩчал» Леінакдра (1812 г.) и части называется в
литературе лежаидровіУІІ формой постулата о параллельных линиях, Яужно, однако,
сдавать, что им, по і-ущестчу, ггальаувтеи уігее арабский математик, Наостф-В/син ат
Тушг (1201—1274).
ПРИМЕЧАНИИ
1ПЧ
и цат п /тагов а л и, которая припнво'шт отделение п рмс положена
тшутрн многоугольника.
[:м] Лобачевский, очевидно, хочет сказать, что илощадь пая; лог о из
двух треугольников, составляющих параллелограмм, равыа половине
произведен:!я основания пара.іле^шграмма на. соответствующую высоте".
fil:'] Дав в конце предыдущей главы опоеойравное определение
параллелограмма, не опирающееся на понятие, о цараллельит.гх линиях.
Лобачевский переходит теперь к свойствам параллелограмма в
евклидовом пространстве. Для установление этих слоиста ему нужно было
развернуть тоорріш паралделЕ.ных линий и учение о сумме углов
в треугольнике и четырехугольнике. Сообразно этому, настоящая глава
руяшідается на три части: первая содержит учение о параллельных
линиях, вторая излагает свойства параллелограммов, третья
устанавливает предложения о еу\гме углов треугольника и четырехугольника.
[■!G] В атом доказательстве ecTFi дефект. Дано, что £_ BAG ~\-
-\- £^DCA =200'. Требуется доказать, что AB'CD. Газдѳлиа
отрезов А(' в точке Е пополам, автор опускает на Е на АВ
перпендикуляр ЕЕ («только ВУ перпендикуляры:» к АВ»). Ко тогда необходимо
доказать, что этот перпендикуляр пересечет также DO: еслп бы ато
было сделано, рассуждение было бы безукоризненным. Поскольку
этого на сделано, было бы правильнее опустить из £ перпендикуляры EF
п ЕѲ соответственно па прямые АН и DO, Тогда прямоугольные
треугольники будут равны, потому что у них равны гипотенузы АЕ и (JE,
а такяге прилежащие острые угли ЕАѴ и (WE. Поэтому равны также
углы СЕСг и AEF; прямые EG и EF составят продолжения одна
другой и данные прямые будут перпендикулярны в одной и той же
прямой FO.
[";J Сіюеобраапое доказательство теоремы о сумме углов
треугольника овиаи.ыо с рассуждениями Леж»ндра(ом. статью «Учение о
параллельных линиях и открытие неевклидовой геометрии», том J. насг.
издания, отр. 56).
[;,ifJ Очень обычная в .математической литературе неточность,
проскальзывающая именно от того, что доказательство по своей
очевидности опускается. По определению Лобачевского, бока—--это
параллелограммы, составляющие боковые грани приемы. Б точной формулировке
■высказанное адеоь предложение должно быть пыразкено следующим
образом: если основания двух призм равны и две соответствую щи е
грани равны и одинаково наклонены в основанию о той зке стороны
(т, ѳ. если прп совмещении оснований равные углы параллелограммов
дримшдают к общей стороне основания с той же стороны), то призмы
равны. Непонятно, почему Лобачевский присоединил еще добавочное
условие о равенстве йысот (уже вытекающее из предпосланных
условий), а условие согласного расположения граней относительно осно-
ш
1'ШШ'ЛТШІ
вания иовсе опустил п, таким образом, воисѳ исключил случай сим-
мьтрпчпых приам.
[w] Неправильная формулировка лредидуліего предложении сопро-
ізовдается здесь уже пряно оінибочш.гм утверждением. Оно
справедливо только в том случае, когда параллелепипед прямой: и случае
наклонного параллелепипеда лолучаюгсн две равновеликие, но не равные
иршшьі. В этом неправильном виде творена эта формулирована еще
Евклидом (предложение 2S книги XI), Очень любопытно, что вта
прямая ошибка комментаторами Евклида ш была аамечона. Симеон
замечает незначительный дефект: Евклид не доказывает, что
диагонали параллелограммов, череа которые он проводит секущую плоскость,
действительно лежат в одноіт плоскости. Существенной же ошибки,
допущенной Евклидом в самом содержапип теоремы, Огшгон не
заметил, lie обнаружил и исправил Лежандр (см, предложения Іі и К
книги VI его «Начал»). В этом исправленном виде предложение
вошло к современные учебники. Замечательно, что даме Ивйрар1)
издавая «Начала» Евклида на трех языках, в том числе на
французском, в 1814 г., когда «Начала» Лежандра выдержали ужо несколько
паданий, не отмечает атоіі ошибки Евклида; не отмечает ее и Лоба-
невокпй, воспроизводя, до существу, то і&в неправильное докааатель-
стіш Евклида.
[іи] Предложение неправильно формулировано. Коли основания
двух призм равны, если две соответственные грани равны и
одинаково наклонены к основанию, то высоты не могут быть различны.
В действительности Лобачевский предполагает, что призмы имеют
одинаковые основания', что дне боковые граны, придежаш.ие к равным
сторонам оснований, одинаково наклонены к оонованшо и имеют
у соответствующих пер шин освования равные углы, иначе говоря, эти
две боковые грани являются параллелограммами с соответственно
равными углами и одной шцюп равных сторон (см. черт. ЗУ на стр, 85).
Доказательство опирается, правда, на предыдущее предложение, по
в таких условиях, при которых оно действительно справедливо.
["] Этот момент — сравнение трехгранной призмы с
параллелепипедом,— по существу, представляет собой введение так называемых
еыходящіис призм,
[43] Классическое наложение учения об измерении пирамиды ведет
свое начало от Евклида. Предложение 4 книги XII «Начал»
устанавливает, что треугольная пирамида может быть разбита на две
равновеликие приемы я на две равные пирамиды таким образом, что суммы
объемов обеих составлшощпх пир амид меньше половины объема исход-
ноіі пирамиды. На черт. 45 эти прнаыы — EFGIKO, IIEIAFIC, а пира-
') Ом. і;тр, 14 наст, тома.
ІІГ'ШПІЧАШІЯ
121
милы- -DI'TJ£(1, UНИI. ІІо сравнению и рл;.су:кдеішем, содержаіцнмеи
в тексте .Тобачѳвокого, это предложение содержит, таким образом.
,добавочную часть, которая заключается в том. что сумма входящих
в разбиение двух пирамид меньше половины объема всей пирамиды.
В последующих предложениях Евклял производит такое as e
разбиение каждой из составляющих пирамид, .шлее — такое же разбиение
каждой из четырех образовавшихся пирамид и ѵ. л. Смысл всего
построения Евклида заключается в том, что сумма объемов всех
остаточных пирамид стремится к нулю, а потому объем исходной пирамиды
можно рассматривать как предал всех последовательно построенных
пр изм.
Уто разбиение Евклид применяет в предложении ."> книги ХІГ дли
доказательства теоремы, что объемы треугольных пирамид, имеющих
одну и ту же высоту, относятся каі; площади оснований. Самое
доказательство заключается и том, что в каждой из двух пирамид
производится установленное в предложении 4 разбиение; соответствующие
друг другу в двух пирамидах составляющие призмы имеют одну
и ту же вы.сот5', а потому относятся как площади их основании или же
как площади оснований исходных пирамид. Таким образом, к сумма
объпмон составляющих призм одной и другой пирамиды сохраняет
постоянное отпотпѳниѳ, равное отношению основанпй исходных пирамид.
В современной терминологии вывод заключается в том, что то же
постоянное отношение имеют it пределы сумм составляющих призм,
т. е. объемы двух исходных пирамид, Не располагая предложениями
современной теории пределов, Еіиеліід доказывает ту же теорему
рассуждением от противного, или ото часто делается іг в настояя(ее врѳмн
в элементарных учебниках.
В частности, из этого предложения вытекает, что треугольные
пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты,
равновелики. Основываясь на этом, Евклид путем разбиения треугольной
прпьмы доказывает, что объем треугольной пирамиды составляет
третью часть трехгранной приемы, имеющей то же основание и ту же
высоту,
Лежандр упростил рассуждения Евклида. Он останавливав гея на
более простом случае, когда треугольные пирамиды имеют
равновеликие основания и равные высоты. Он разбивает каждую пирамиду
на в уаѳненпых пирамид с равными высотами и в каждой усеченной
пирамиде строит так называемую входящую пршму. Сравнивая
входящие призмы с выходящими, он рассматривает объем пирамиды как
общий предел суммы входящих или выходящих призм. Так как
соответственные призмы двух пирамид при этом построении равновелики,
то равны и суммы их объемов, а вмесіѳ с тем раввы и пределы этих
сумм, т. е. объемы двух ■ пирамид, В дальнейшем Лежандр следует
12-2 ГЕОМЕТРИЯ
Йгжлиду. Схема Леікандра вошла почти без нападения, .можно сказать,
во во« шюднешпие учебники геометрии.
Лобачевский, производит раабпеггив, точно следуй Евклиду. Черт. 4Г»
соіиіадает о рнеуЕШОм приложенным к предложению л книги ХГГ
«Начал» Евклыда. Оа разбивает данную пирамиду на две
равновеликие приішы іс па две равные пирамиды и, подобно Евклиду,
повторяет' wry «перицню не ограниченное число раз. Но рассматривай: объем
л&тшоп треугольной пирамиды как. предел суммы объемов призм
разбиения, он ату сумму непосредственно вычисляет и находит ее предел.
Лобачевский фактически выполняет интегрирование. Схема ,Нея;ацдра,
но которой, .можно сказать, в XIX в. все учились геометрии, прѳдста-
влявт лишь незначительную модификацию системы Ешушда. Схема
іГірбвчатіокого по духу совпадает с методами Архимеда. Того лсѳ метода
для разыскании длин, площадей и объемов Лобачевский
придерживается во всех: дальнейших главах. Они несут па себе печать раооуж-
даний Архимеда.
Присоединим ѳщ« одно замечание. Метод пределов для
доказательства равновелнкоети пирамид, имеющих равновеликие основании
п равные высота, неизбежен потому, что равновеликие многогранники,
как прагііт.'іо, пе могут быть составлена ріэ равных частей1). Поэтому
определение Лобачавекого (см. начало гл. V) расных (по
современной терминологии равновеликих) фигур, кап составленных па
одинаковых (конгруэнтных) частей, неправильно.
||'J] Эта вводная часть, устанавливающая самое понятие длины
кривой лішшг, площади ограниченной поверхности, объема тала,
ограниченного кривой поверхностью, представляет собой развитие идеи,
получившей уи;ѳ выражение в главе I (см. примечание ["]). Этот абзац
формулирован с такой точностью, что он боа существенных изменений
мог бы найти место в современном курсе анализа. Можно сказать,
что содержащиеся в етом абзаце формулировки, несомненно, стояли
впереди впохи.
[і4] По общей своей установка Лобачѳвеіяпі: излагает учение
о подобии треугольников там, где в этом уже ощущается
действительная нужда. Некоторые теоремы теории подобия могли бы быть
уже полезны и раньше, например в предыдущей главе при разбиении
пирамиды. Но общим ооображѳния.м о подобии треугольников
Лобачевский дает место там, где без них обойтись уже невозможно.
I45] Следуя овоей выдержанной метрической точке зрения на
геометрию, Лобачевский, в противоположность Евклиду, дает теорему
Пифагора только в ее таото .метрической форме, как численное ооотно-
!) Си. Б. Ф. іьеігіін—О прйобраііовлиші мчогограинішов, 2-е над., ГТТИ,
ІГ.— Л,, 1D33, Б атоіі брошюру п.хшжеки супцюекгь и истории Вілчхчіа.
Ш'НЛКЧЛНГШ 12:".
шенпе между длинами гипотенузы и катетов ггрямсугольпиго
треугольника.
|!0| Следует отметать, что это. еооктвчшго, не доказано. Точное-
л обязательств о потребовало п"ы несколько более обстоятельных раг-
І'ѴИКДѲЯИІГ.
[4,І Цилиндры, которые Логіачѳковиіі строит, пак sy.ro ншшо на
чі-'ртежс S3, выходят иа пределы половинм шара, а потому сумма пх
превшнает объем половины шара. Если построить также входящш:
цнлпндры, то каждый и;) них равен следующему за ним выходящему
цилиндру. ІІомтому сумма об'ыэмов входящих цилиндров, которая
меньше объема поломины шара, равна сумме обт.,емов всех
выходящих цилиндров без первого.
|<Ш| дтп значения вставляются ті формулу, выражающую сумму
выходящих цилиндров; полученное вырааіеіше представляет собой
не значение объема, шара, а верхнее приближенна
и нему, иоответствующео делению радиуса на и
равных частей.
|'1й] Произведенное идеоь вычисление есть не
что иное, как элементарное вычисление
определенного интеграла
и
выражающего объем полушарии.
[50] Наложенное в этом абзаце рассуждение не
отличается .полной ясностью. Лобачевский
разделяет сферу на части меридиональными плоскостями, а эти
последние — на сферические четырехугольники вида A BDC. Точки А,
В, С, 1) лежат в од ион плоскости; берем, таким образом, плоский
четырехугольник ABDG. Поверхность тара рассматривается кат;
предел суммы этих плоских четырехугольников, т. е. поверхности
вписанного в сферу многогранного тела. Вычислить эту поверхность-—
задача сложная. Но если смещать меридиональные сечения, то
многогранная поверхность, содержащаяся между двумя параллелями,
приближается к поверхности усеченного конуса, с одержала го с я между
этими двумя параллелями. Эту поверхность Лобачевской в
дальнейшем и вычисляет. Утверждение, что она «будет истинною
величиною сей части поверхности шара?, конечно, неточпо.
И/ш.нитпч/е
НСТ0РНК0-ВШ1.Ч ІГОГРАФИЧЕОКНЕ ВВЕДЕНИЯ
О СОЧИНЕНИЯ «ГЕОМЕТРИЯ»
«Геометрия»—самое раннее из дошедших до нас сочинений Лоба-
ченского. Но оно не Аило первым сочинением, подготовленным
Лобачевским к печати.
В 1Й11І г. М. Л. Иитіщкому было поручена произвести ревизию
Казанского университета. Эта ревииим представляла собой одно из
проявлений той і-лубокоіі реакции, которая развернулась в Госсіш
после окончания наполеоновских вон я и яакл гонения так называемого
<.Сиященного союза» (1S15J. Отражая политические настроения
правящих кругов всей .Ёврошл после подавления французской революции,
реакция приняла в Россия совѳрпгеано беоудержныѳ формы. В самом
аііте ооюьа содержались положения, фактически абсолютно
подчинившие науку клерикализму'), О 1811) г., после Карлсбадокого съезда
делегатов германских государств, собранного дли намокания средств
борьбы с революционными настроениями, на. круто реакционный
путь но отношению к вопросам народного просвещения стали все
германские правительства; в России яти тенденции ярко проявились
еще раньше. В духе приведенного текста на акта «Священного союза»
управление народным просвещением было в 1817 г. соединено с
вероисповедными делами путем организации министерства духовных дел
и народного просвещении, «дабы христанское благочестие было всегда-
основанием истинного просьеншшіял. После Карлсбадокого съезда
это министерство широко развернуло меры против «безбожных
университетов». Инициатором и руководителем этой политики в деле
народного просвещения был кн. А. Н. Голицын, возглавлявший
объединенное министерство, Кго разрушительные тенденции шли
очень далеко; вопрос о закрытия всех русоких университетов
обсуждался весьма серьезно и стоял па очереди. Фактическими
исполнителями и даже вдохновителями политики Голицына были попечитель-
Петербургского учебггого округа Д. П. Рупич и особенно член глав-
3) Приводим следующую выдержку: «Самодержец народа хриеташжого ость
тот, кому собственно принадлежит держава (т. е. спаситель), тгаелигеу в нем
едином пйрргвгатсн сотфонища .-іюбнм, ведения и премудрости Сеіі;одачнг.іе».
пгтмі'ішп-г.ішлимп'Л'і'ігшпші-: I'isrc (кішя !-■">
лиги правления училищ М. Л. Магнишшй, попечитель Казаникого
учейпого округа. IГроиеведепнан им ревизия Іі'аанкскоги уішиерситетн
была прелюдией и общему его разгрому. Подробные сведения о о
і-ітоп ревизии можно найти и книге Чагосимла «История Калашчюго
университета», т. ГѴ» (см. сноску на стр. 12И>, и. также і: книіч-
В. Ф. Кагала «Лобачевокнііі ').
Приступив к этой роковой для университета ревизии, Магницкні:
ватребовял, между прочим, сведения о сочинениях, изданных членами
университета, и о хранящихся у них рукописи.';. В представлен іш.ч
ему передне имеется следующая запись-): «П. 8. профессор") чистой
математики Н. Л. Лобачанекий сочини,'] основание геометрии п
несколько рассуждений о нывшей математике, которые еще не изданы».
Обстоятельства еуротні: ревизии были таковы, что допустить какую
ш.7 то ни б н л о неосторожность или неточность в представленных
спедйниях вряд .*ін возможно. Нужно поэтому «читать совершетто
достоверным, что весной lfilrt г, у Лобанове е{ого была рукопись
составленного им сочннешія «Основание геометрии». Ыо никаких
сведений о содержании и характере этого сочинения, а также о
дальнейшей судьбе его мы не имеем. Что же а то могло быть за
произведение? Прежде ноего адесь воашікает вопрос: бил ли вто
первоначальный вариант <с Геометрии*, учебника, представленного
Лобачевским к напечатайте в 1Н23 г., или рассуждение об обосновании
геометрии? Первое предположение представляется гораздо более
вероятным по следующим соображениям. Термин «основания геометрии»
в смысле раосуждеиий о логическом ее обосновании имеет как у нас,
так и на Западе гораздо более позднее происхождение. Сам
Лобачевский нигде в своих с-очииениях не пользуется этим термином
м тиком его значении. Между тем учебные руковедстпа, оодоржатпне
начала различных паук, в то время систематически получали
название «основания». 'Гак, многочисленные учебные руководства акад.
С, Е, Гурьева, все неизменно носят название «оснований! («Основания
арифметики», «Основания геометрии», «Оонов&ния механики»,
«Основания дифференциального исчисления» и т. п.}. Учебник математики
Н. П. Фусса имеет заголовок «Начальные основания чпетоіі
математики». Русский перевод учебника Кестнера также носит название
{Начальные основания математики». Таких примеров можно было бы
привести еще много. Нужно поэтому считать достоверным, что уже
1) В. Ф. Каган — ЛобачавевнМ, над. 2-е,Л., 19-№.
и) І-І, П. 3 агоа вин—История Казанского .ѵыивоуснтста, т. П, стр. 647.
Подлинник перетек, представление го Магницкому, хранятся в архиве Казанского
университета: «Дело попечители Казанского округи на 1819 г.», Ді 1; л.т. 223—23"»
к зза.
■') Ти-есть в публичный экстрдардинарный профессор».
МЬ I'KUlSliTI'IIll
3 начале lSl'J г. у Лобачевского білла рукопись сист&влощ-юго и.ц
сочпненяя, которое содержало иамоэіение о&тшыых шічаа геоиетрш-г.
То обстоятельство, что сочинение, представленное им к напечатавши
в 1 ВУЗ г., носило несколько тікое иакваапе «І'еометрпя», заставляет
думать, что оно было значительно переработано.
(") .ѵоде дела по нзданпю «Геометрии» проф. J-J, П. Загоскин
в циоей капитальной «Hotojmiii Казанского университета» ') (т. Г\',
стр. 64—56) рассказывает следующее:
«Предубежденная мнительность Магницкого распространялась даже
на такую безобидную и чуждую страстям мира сего пауку, какою
.мо;кот быть признана чистая .математика, наглядным примером челу
может служить любопытный инцидент 182ji года с учебником
геометрии, приготовленные: к печати знаменитым творцом неенклпдовой
геометрии — профессором Н. Л. Лооач*"нісімм. Летом 1S23 года проф.
Лобачевский обратился к попечителю с представлением, при котором
препроводил оосгавлепний им курс геометрии, испрашивая
разрешения ..напечатать оный на казенный счет, как учебную книгу". Не
прибегнув к предусмотренному уставом нормальному порядку
разрешения университетом в печати издаваемых членами его научных
трудов, Магницкий препроводил рукопись Лобачевского на
заключение академику Н. И. Фуссу, которым 3 августа того я;е гола и дан
был весьма нѳблагонриятагдй отзыв, приводимый нами ввиду песо-
мыонлото исторического интереса его в полном виде.
Милостивый Государь мой Михаил Леонтьевич!
Сочинение, присланное мне при почтеннейщем отношении В. П, от 91 июля,.
уа № 013, под оаглавпем Геометрия, содержит іі вебе раотіые геометрические
рассуждения н неслодотния, которые иод сил иди иным подобным названием,
по надлежащем вьтправпении шлибочниго и выпуще-нии бесполезного или уже
известного, могли бы быть представиены ІЗашему Превосходительству. Но гочіі-
ненне ске не есть геометрия иди полное систематлческое наложение воеі'і пауки,
л если сачЕШгтель думает, что оно может служить учебною книгою — то он сил
доканывает, что он не имеет точного понятии о потребностях учебной книги,
т. е. о полноте геометрлчесіиіх истин, всю систему начального курса науки соета-
пяяюлтих, о способе математическом, О необходимости точных и нечых
определении: всех понятий, о логическом порядке н методическом расположении предметов,
о надлежащей гоэсгенеішоетп геометрических нетшг, о пеупуетятелишіі и, ті
') ІІ, П. 3 а г О с и и н — Цсторпп императорского Казанского уци вергатета
чишрлыс сто лет его существования (1804—Ц)04 гг.); т. I (1804—.1814 гг.), Каваш.,
1902; т. Я (Д814—1819 гг.), Казань, }30S; т, Ш (1814—1810 іт. л 1810—1827 гг.),
Казань, 1904; т. IV (1819—1827 гг.), Казань,-ІЙ06.
Совет Кяаанокого университета поручил звсиушсшкшу профессору Н. И.
Загоскину, вмгду приближающегося столетия университета, нішисіш. его истории.
Однаісо эта работа (в четырех выпущенных товтя) доведена только до 1827 г.
Это сочинение будем и дальнейшем цитировать оикращетю: Чагоскии, «И. К. У.*.
i
■*ЮТ -Ч_- toynul^i. ДД-J
*- '* -■. .*...
Сопроводительное письмо ItT. Л. Магницкого академику Н, И. фуссу
при посыпке сиу на отзыв сочинения Лобачевского «Гвоііетрин».
1І оі'р. 127.
1ІСТ0РІ-Ж0-Г.ИГСЛІЮГРЛФ1і'ГЕ<:іШЕ і'ВЕ.'ІЕНІШ І2Г
чоамоіиііснітл, чш-то ri-oMtii)ii"soei:oii сгрогиитн их докалат^іЫі'Гі, и пр. О ссек ores:
необходимых качестнах и следу nirr в рассмотренной иною Геометрии, в которой.
.ltfesKjjy прочим, и ч'о странно, что еочшіитй.п, принимает (Ьр&ішуаекліі метр за
"Ѵцінлиу при измерении прямик липни к сотую часть четж-рти круга, пол именем
ерадуеа, за единицу пои намерении дуг і:руга. Навестію, чти сие разделение
выдумано было по время сіірііпцузтеоіі революции, когда йріівдтп-ііо нации1 уничтожить
ві:й прежде ііілвпіер распространилось да'.ко до календаря в делстшп круга; но пия
іюшіиа тнігдй примята не была п іі самоіі Франции: даянч уже оставлена по
причине очеиядных поудобстп.
Впрочем, хотя сочинитель и наипял ііродотаилеипое В. П. сочішешіс—Геа-
ліічирип), но едва, ли он сам думать мои«>т, чти он папнеал угебпуш вшігу сей
науди. Главная цель ого, по моему мнению, бы.чя та, чтоб объяснить некоторые
предметы геометрического учения, коп пи причине няеденного и оные, для
сокращения, понятия бесконечна .каша, казались ему темпыміг. Но при старании
набежать употреблении сего понятия елучшюсь аяу то самое, что и другим лунг
подобном намерении случается. Ііееиопечно малое явно находится л а его гео-
мотрнн, но под другим ниепем и индом, iifio он let общих формул, посредством1
способа его ваіідецпых, дли получении истинных и во всех учебных книгах,
доказанных выражений, бросает члены лишние потому самлагу, что они, — как оп
говорит,--меньше всякого число,, т. е. бесконечно малы; и если б не бт.ши
бесконечно малы, то как же тог бы он выпускать етш члены без пепросг'п'елыіОн
пигрепгяоетн?
Лрп пат.яепепыг.тх мною недостатках сеіі Геометрии н при значительно»
количество полных л к употреблению, хотя и не вое равномерно, гораади более-
годных курсов геометрии: на русском языке (из коих, я упоминаю только о
подлинных: Румовского, Осишнского, Гамалеи и Гурьева, л и переводе иных: о
греческого — Евклидовых начал Суворова, и Никитина и Петрушевского, о фрятгуа-
скоро — Безу, Лмкаядра, Лакроа и пр.), еішо собой разумеется, что сия Геометрия,
как учебная книга, нигде принята, быть ив может и что оную к напечаташпо на
і;й:ііжгіый счет іг рекомендовать никак не могу.
Честь имею и пр.
Ч силу этого сурового отзыва,—продолжает Загоокіш,—Н. П.
Лобачевскому было оG'l..явлено через директора, университета, что „сколько-
бы он, попечитель, есѳ желал ободрить ученые труды г. г.
профессоров Казанского университета", по, к сожалению, по изложенным
л мнении г. Фусса недостаткам в сочинении г. Лобачевского, нѳ мо-
д:ет лри.етупить к надавим его труда, и „поэтому ліелал бы я,—
добавляет Магницкий,—-чтобы г. Лобачевский или исправил
помянутое сочинение, или подал на замечания г. Фусса изъяснение".
Самолюбивый и .. характерный •' казанский математик нѳ пожелал сделать-
ни того, ни другого, даже не взял своего труда обратно, и
подлинная рукопись „Геометрии" считалась утраченного до начала 1BU3 г._
когда нам посчастливилось открыть ее среди старых, дел архива
попечительской ввпцелярцн. Согласно постановлению Совета этот
любопытный автограф великого русского геометра передай, вместе
с самим делом, на хранение в геометрический кабинет Казанского*
З'кийвроатета».
l-lh
ГЕГШЕТІ'ПЯ
Разбор отзыва H. Іі. Фусса по существу приведен в вводной статье
«Обзор сочинения „Геометрия"»1); адесь же мы остановился только
па формальной стороне дела.
оагосиин ставит Магницкому в выну, что он «не прибегнул в
предусмотренному уставом нормальному ыорядку разрешения
университетом к печам издаваемых членами его научных трудов». Но при том
ходе дела, каким его изображает Загоскин, прежде всего обращает иа
себя внимание то обстоятельство, что сам Лобачевский по этой версии
обошел университет п обратился непосредственно к попечителю округа.
Полее того, слова «напечатать оный на кааеігаый счет как учебную
книгу» взяты в кавычки, и потому можно думать, что они
заимствованы непосредственно иа представления Лобачевского, Проф. А. В.
Васильев в своем предисловии к перлому печатному изданию « Геометрии»
шел еще дальше, утверждая, что она была представлена Лобачевским
для иапечат&кпя на казенный счет в виде «классической» книги. В
этом предисловии слово «классической» взято в кавычки; А, В-
Васильѳв, очевидно, считал, что оно заимствовано непосредственно
иа представления Лобачевского. Помучаетоя впечатление, что
Лобачевский смотрел на свою работу как на классическое учебное
руководство, и л эпоху реакции, обойдя университет, ходатайствовал
непосредственно перед. Магницким о ■ ыапечатапии ее на казенны і)
счет. В таком приблизительно виде а описывает это Ѳнгель в свое it
биографии Н. И. Лобачевского -).
Между тем, такое изображение этого дела — только
недоразумение, вызванное недостаточно внимательным изучением подлинных
документов.
Подлинное представление Лобачевского не сохранилось, Дело
Канцелярии попечителя Казанского округа Ms J.3 за 1Й23 г., озаглавленное
-«Об издании книг», найденное Н. Я. Пагоовинъш 27 февраля 1Я9Н г.,
содержит по делу об издании «Геометрии» следующие материалы:
;і) письмо Магницкого к академику Фуссу от 31 июля 1823г.; 2)
цитированный выше отзыв академика Фуооа, помеченный 3 августа 182S г.:
3) предложение попечителя директору университета от і) августа того
же года, при которой рукопись « Геометрии» была возвращена; 4) самую
рукопись «Геометрии». Все дело, как указывает подлинная надпись
от Й августа 1Й23 г,, содержит ГіО листов; все листы с подлинной
нумерацией налицо, и следовательно, об утрате здесь речи быть не
может. Вряд ли может быть сомнение в том, что представления Лоба-
!) Си, стр. 39—43 наст. тона.
*) F. Eng-el — NiJiolaj Iwanoivitsuli r.obalwcHi.'fskij. II Tell: Lobatschefskijs Lebi-ft
Aind Schriften, Kapitel IV, Leipsag, 1898—1861). (і'очинешгѳ яходит в состав гтэдішвп
«Urlainden. am- tresfihichtn еіѳг niehteulclJrtiscdioB Ueometrie», hiirausgegeben von
P. E a g e 1 unci P. H t іі с k v 1, Banrl I.)
ИСТОРИКО-ВИБЛИОГРАФИЧПЗОКИВ СВЕДЕНИЯ 12У
чввского попечителю вовсе не существовало '). Упомянутая выше
препроводительная бу.чага ЭДагшщкого, как уясѳ сказано, была
направлена директору университета3). Так как и она представляет
несомненный исторический интерес, то мы в дополнение к выдержке,
воспроизведенной Загоскиным, приводим еще ее начало:
«Доставленное мне от Казанского университета сочинение под
названием; Геометрия, препровождал я к г-ну шсадеыику Фуссу,
прося его уведомить меня, может ли оно быть напечатано на
казенный счет, в виде классической; книги.
Сообщенное мне по оему предмету мнение г-на Фусеа
препровождаю у сего, поручая Вам, Милостивый Государь мой, объявить
оное г. профессору Лобачевскому о тем, что...» (следует текст,
приведенный выше на стр. 127).
Же этого документа видно, что рукопись «Геометрии» была прислана
Магницкому, имевшему постоянное пребывание в Петербурге3), не
Лобачевским, а «от университета». Отметим еще существенную
подробность: в бумаге было сначала написано, «изй университета, но затем
явно рукой Магницкого исправлено на «от» университета. Не подлежит,
таким образом, сомнению, что Лобачевский представил свою рукопись
в университет, вероятно, без всякой .препроводительной бумаги, и она
при общей университетской переписке была переслана попечителю.
Останавливаясь подробно на этом обстоятельстве, несомненно имеющем
значение для всей характеристики Лобачевского, отметим еще
следующее. Именно Магницкий, а на Лобачевский, говорите «классической»
книге; йто его излюбленное выражение. Магницкий желает
подчеркнуть, что печатать на казенный счет он может только «классические»
рниги, к которым «Геометрия» Лобачевского, по отзыву Фусса, отнюдь
но принадлежит. Эта в значительной мере, конечно, фарисейская точка.
!) Любопытна следующая подробность. Дело М 12, кроме документов по
изданию «Геометрии», содержит еще переписку ой издании «Славянской грамматики»
соетавлмгаоИ преподавателем лааанпвой гимназии Михаилом Рыбушкинвш. Этот
автор действительно обратился к попечителю округа с представлением о напеча-
танаи составленного им учебника. Его раболеиноѳ жщатаЁетво приложено к делу.
Каким обрааом могло би исчезнуть представление Лобачевского, если Сы такое
существовало?
а) Должность директора, университета, уставом не предусмотренная, была
учреждена по настоянию Машинного при выборном ректоре в качестве представ
вятеля попечителя. Это было Магчиккоиу при его тандѳидиях тем более
необходимо, что сам он постоянно проживал в Петербурге. В 1323 г. ѳту должность
эапиыал проф. Г. В. Никольский,
")'Характерно, что Магницкий, закончив ревизию университета, по назначении
его попечителем оставался в Петербурге и за шесть лет управления округом ни
разу ье удосужился посетить Казань. Это было одной иа причин его отставки
после которой оа уже никакой политической роли не играл.
Зи, «Ш. Н. И. Лобиевскиа, т. И. 9
130
ГЕОМЕТРИЯ
зрения, что из университета должны исходить только «клаосическиев
сочинения, сквозит уже в первом предложении, которое Магницкий
направил в университет, приступая к ревизии: от университета,
который как таковой существовал на далекой окраине менее 15 лет
(с 1В05 г.), он требует представления описка изданных членами его
«классических» произведений. Во венком случае Магницкому, а не
Лобачевскому принадлежит наименование «классической книги». Не
подлежит сомнению, что Лобачевский на такую квалификацию своего
учебника геометрии не претендовал.
При всем том в прохождении дела об издании «Геометрии»
остается существенная неясность: нп через Факультет
(физико-математическое отделение), ни через Совет дело об издании «Геометрии» не
проходило.
Устав Казанского университета 1804 г., на основе которого он
в то время функционировал, как указывает Загоскин в приведенном
выше изложении, действительно предусматривает среди предметов,
обсуждаемых на факультетских заседаниях, «рассмотрение достоинотва
сочинений, которые представлены будут для печатания иждивением
университета» (§ 61, ст. 3). Более того, устанавливаемый в § 55
порядок рассмотрения дел в университетских собраниях предусматривает
два случая, в которых решение должно производиться закрытой
баллотировкой: «а) когда делается какое-либо избрание; б) когда требуется
решение в рассуждении сочинений, предлагаемых в чтению в
торжественных собраниях, или к печатанию чего иждивением и с
одобрением университета». Ценаура же всех вообще сочинений, печатаемых
в округе университета, осуществлялась особым «Цензурным комитетом»,'
состоявшим из деканов всех отделений университета; но и от этой
цензуры (§ 179) было освобождено вое то, что печаталось по опрѳде%
лению Совета университета.
При мах условиях, ѳстеотвепно, возникает вопрос, почему
представление об издании «Геометрии» не было пропущено через
Факультет а Совет, после чего оно, как будто, могло быть напечатано и без
разрешения попечителя. Бюрократия, однако, умело использовала
точный тѳвот закона. Предоставляя университету под ответственность
Факультета и Совета издание трудов своих членов «иждивением уни-
вероитѳтаі, устав не предоставил в его распоряжение для этой цели
никаких средств. Приложенный к уставу примерный штат университета
не содержит нн одной статьи, которая давала бы прав о.воспользоваться
ассигнованием для этой цели. Но и предусмотренные штатом
ассигнования осуществлялись в чрезвычайно урезанном виде. При этих
условиях вое дела об издании сочинений на казенный счет во всяком
случав восходили к попечителю для ассигнования средств. Здесь ѳти
сочинения подвергались новому просмотру, дававшему Магницкому
ИСТОРИКО -БИБЛИОГРАФИЧЕСІШЕ СВВДЕНИЯ 131
только материал для третярования Совета. По всей вероятности, поэтому
директор университета Никольский сам направил «Геоматргда»
непосредственно попечителю. К тому же предварительное обращение
в факультет, вероятно, стесняло Лобачевского в другом отношении: оа
только что вступил в исполнение обязанностей декана по избранию
(1 мая 1823 г.) и, может быть, не решался начать свою деятельность
в факультете ходатайством о льготе, которая и то время считалась
значительной. И позже (в сентябре 1825 г.) с представлением об
издании сочпнеиня Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных» вошел
не сам Лобачевский, а тот же проф. Г. Б. Никольский1). Заметил, что
судьба этого последнего ходатайства не говорит в пользу того, что
движение такого рода дел в университетских инстанциях по своему
производству было благоприятно для автора. Нужно удивляться
бюрократизму, которым это делопроизводство было проникнуто. Воѳ
делопроизводство по втому делу сохранилось и приведено в настоящем
издании9).
Так ели иначе, представление об «здании «Геометрии», поступило
к Магницкому от университета, но беа аакдючѳния Совета,
Магницкий, в общем, относился к Н. И. Лобачевскому
доброжелательно. Если Загоскин и неправ, утверждая, что математика есть
наука «безобидная» и «чуждая страстям мира сего», то стрелы.
Магницкого были направлены, конечно, главным обрааом, не в
математиков. Б первом же своем докладе по равивни, еще на видав Лобаг
чевекого, который находился гогда в отсутствии, он отмечает
профессоров фшшко-математического факультета Лобачевского, Симонова,
Срезневского и Яерѳвонгикова, «отличные способности которых не
укроются от внимания начальства». В своем заключительном доклада
шшлстру после ревизии Магницкий писал: «Профессор Лобачевский
ПО' общему отзыву есть человек отлично' знающий». Через два года
он представил его к награде. Казалось бы, таким образом, что обста-
') Никольский Григорий Борисович (1785—18М), занимавший кафедру
математики в Казанском университете с 1814 г., играл немалую роль в идаэни и
деятельности Лобачевского. В iohdcth, в Петербургском педагогическом институте
он обратил на себя внимание 0. Я. Румовского (предшественника Магницкого на
посту попечителя Казанского учебного округа), Когда он окончил институт, Румов-
сянй назначал его магистром в Казанский университет и поручил его бдительному
руководству щюф. Бартеньса, под наблюдением которого рпбогвл я Лобачевский,
По иачалу Бартѳдьс был Никольским очѳвь доволен; однако нвдеисдаМ) которые
на него возлагались, ве суждено было сбыться. Получив кафедру, Никольский: не
пошел -по дуги развития своих богатых от природы дарований, Этому помешала
административная карьера, на иумь которой Никольский очень рало встал. В эпоху
Магницком оа проявил даже черты рассчитанного и неразборчивого в средствах
карьеризма, (См. Загоскин, *И. К. У,«, т. I, стр. 243),
') Том IV, «Алгебра или вычисление конечных», стр. 43ѣ—437.
&к
13-2
ГЕОМЕТРИЯ
bodku, в которой разрешался вопрос об издании «Геометрии», била
для Лобачевского благоприятна. И это обстоятельство, может быть, п
побудило Никольского, уверенного в успехе дела, направить хола-
таіЕство тіепосрѳдственпо Магницкому. К тому же Магшщкип не
раз— и до пред стап.че кия «Геометрии» п после него — давал
университету указании о необходимости составлений учебных
руководств п даже настаивал па том, чтобы профессора составляли по
крайней мере конспекты своих курсов1). Такого рода конспект,
несомненно, и представлял учебник Лобачевского.
Тем на менее Магницкий нашел необходимым иметь о сочппѳішп
Лобачевского компетентное ааключенпе, может быть, потому, что «его
предубежденная мнительность», как говорит Загоскин,
распространялась на все, что исходило от университета; может Сыть, и потому,
что он действительно считал неудобным дать разрешение па издание
учебного руководства) не имея никакого отзыва. Другие дела по
пэданию сочинений, представляемых к напечатайте на казенный счет,
обнаруживают, что Магвипкип всегда направлял такие сочинения на
отзыв (аа исключением разве тех случаев, когда он считал себя самого
достаточно компетентным рецензентом и отказывал «своею властшо»).
Магницкий жал в то время в Петербурге; было естественно
обратиться к кому-либо па столпчных авторитетных ученых. II нужпо
сказать, что академик Н. И. Фусс таким авторитетом заслуженно
пользовался.
В своем письме к Фуссу Магнпщспн скрыл от него, что автором
книгп был Лобачевский. «Один из наставников Казанского округа, —
писал он Фусоу,—яаписал курс Геометрии, представил его мне п
проспт дозволении напечатать оный на казенный счет как учебную
книгу». Фусс, очевидно, понял ото в том смысле, что один из
преподавателей средней шнолгл написал этот учебник, предназначая его
для своих учѳииков. Под этим углом зрения он и дал уничтожающий
отзыв. Слегка подсластив пилюлю, МагпнпкиИ отказал Лобачевскому
в печатании книги.
В 1898 г. Загоскин обнаружил эту рукопись. Манускрипт напи-
сагг в основном рукой переписчиков, а страницы -45—50 рукописи,
содержащие главы ХП и Х1П, -написаны самим Лобачевским.
Рукопись написана чернилами, ва плотной бумаге, на 92 страницах
п 1/4 листа, переплетена в корешок, хорошо сохранилась. Две ее
страницы воспроизведены в настоящем издании (стр. 4!) и 01 наст. тома).
■] Конечно, эти конспекты должны были составляться под определенным
углом зрения it с этой точки зродня должны были до ивгсоторой степени
служить контролен над «луком преподавания.. (См. За го с кип— .II. К. Т.., т. Ш,
стр. 492 ч ел.)
НГТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 133
В 15)09 г. Казанское Математическое Общество выпустило в свет
печатное издание «Геомеірни» *) с предисловием А. Б- Васильева.
Издание во многом отступает от тех норм печатания произведении,
которые являются общепринятыми при опубликовании сочинений
классиков. Например, не выделены олова в тексты, подчеркнутые
автором в рукописи; напротив, имеются курсивы, принадлежащие
редакции (без необходимых отметок); опущены некоторые слова; не
введены некоторые специальные знаки, которыми Лобачевский
пользуется; введены изменения в некоторые чертежи; вставлены
добавочные чертежи без надлежащих оговорок; некоторые явные описки
автора нѳ исправлены; допущены опечатки математического текста,
которых нет в оригинале.
Д.-ія осуществления настоящего издания Казанский университет
охотно предоставил рукопись и другие материалы в распоряжение
издательства и редакции.
Текст настоящего издания тщательно сверен с манускриптом. При
атом приняты следующие нормы:
1) внѳдена современная орфография (и в необходимых случаях —
облегчающая чтение пунктуация),
2) вместе с тем слово «есть ли» всюду заменено современной
формой «если», которой уже и Лобачевский пользуется л позднейших
своих печатных произведениях;
3) явные опечатки текста Лобачевского {главным образом,
математические) исправлены;
4) в тех случаях, когда для уяснения текста было необходимо
вставить одно-даа олова, таковые взяты в прямоугольные скобки
(как и в казанском издании);
Гі) к числу вставленных в этом, порядке слов относятся, слово
«Вступление» (на стр. 42) и обозначения глав (у Лобачевского такое
обозначение имеется только при первой главе);
0) рисунки, имеющиеся на полях рукописи, перечерчены, местами
.несколько видоизменены для большей отчетливости; в особой таблппе
(к стр. 107) помещены все оригинальные чертежи, воспро иве еденные
по манускрипту фотографически;
7) для удобства чтения местами начаты о новой строки те абзацы,
которые в рукописи непосредственно следуют за предшествующим,
тѳкотом; все такие абзацы отмечены знаком тире (—), поставленным
перед началом новой строки;
8) все слова, подчеркнутые Лобачевским в рукописи, набраны
курсивом;
') Н. И. Ло 0 ачевскый — Геоыетрия. Печатало до определению Совета
финике-математического общества при императорском Казанском университете,
Казань, 1009.
13-t
ГЕОМЕТРИЯ
В) чертежи в рукописи не нумерованы; в настоящем тексте, как
п r казанском, введена нумерация.
При этих нормах чптатѳлю, помимо орфографии, всегда ясен
подлинный текст Лобачевского.
К тексту Лобачевского присоединены примечания, частью в виде
сносок в тексте, частью в виде примечание после текста. В сносках
содержатся краткие указания, разъясняющие места, которые при
чтении могут затруднить читателя. В примечаниях, помещенных после
текста, содержатся соображения историко -критического характера,
которые детально обосновывают выводы статьи «Обзор сочинения
„Геометрия"».
НОВЫЕ НАЧАЛА
ГЕОМЕТРИИ
С ПОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
asss-assa
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ И КОММЕНТАРИИ
Б.Л-ЛАПТЕВА, А.П.НОРДЕНА
ИА.Н.ХО ВАНСКОГО
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
С ПОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
Стр.
Вводная статья;
Обзор сочинения «Новые начала геометрии» 137
Ы. И. Лобачевский — «Новые начала геометрии с норной
теорией параллельных» нт
Вступление (Ш). Га. I. Первые понятия и Геометрии (183).
Гл. Д. Определение ювра, сферы, круга, плоскости и прямой
линии (180). Гл, Ш. Намеренна прямых линяй, линейных и плоскостных
углов (201]. Гя. Г?. О линиях и плоскостях перпендикулярных (210).
Гл, V. Измерение телесных углов помощию плоскостных (227).
Гл. VI. Одинаковость треугольников (352). Гл. ѴП. Параллельные гт-
нии (206). Гл. "ѴШ. Линия, поверхностьи треугольники предельные (289).
Гл. IX. Тригонометрические функции (30S). Гл. X. Зависимость угла
аараллельвоати с его перпендашулом (313). Гл. 31, Зависимость углов
и боков треугольника (326). Гл. ХЛ. Решений прямолинейных
треугольников в Употребительной Геометрии (346). Глава ХШ. Решение
сферических ирямоугольных треугольников (420).
Примечания 455
Пряпоиіееия:
1. Жсторико-еяблиографиздсііне сведения о сочинении «Новые начала
геометрии» 589
2. К вычислениям, проведенным Н. И; Лобачевским в «Новых
началах геометрии» 593
згчгвоша з&амзшзи
ИЗДАВАЕМЫЛ
ИМПЕРАТОРСКИМИ
КАЗАНСКИМЪ УНИВЕРСИЕТОМЪ.
1835.
КНИЖКА Ш.
ш
КАЗАНЬ.
ВІ УНИВЕРСИТЕТСКОЙ ТИПОГРДфіН.
1835.
Тлтульииіі «нот ;i;j'pHo.'ia «У'іитшо гшшп.'и Казанского уишю решета»
оа 1ЯЦ.") год.
В кішшве Ш бмль помещено иачц.-іо вшитая Пойич«ві-кого
-Нопыо начала гвомытрнк с нолииіі теорипіі шцііиілулыіых.".
К стр. Ш.
ОБЗОР ООНИНЕНШ
«НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ»
«Новые начала геометрии о полной теорией параллельных»
представляют собою наиболее подробное изложение геометрических идей
Лобачевского. Они охватывают не только построение новой геометрии,
опирающейся на более общую, по сравнению с евклидовой, теорию
параллелей, но и совершенно оригинальное изложение основного
начального геометрического материала, и корне отличающееся от
изложения в «Началах» Евклида.
Переработка отправных пунктов по строена я геометрии вызвав а
стремлением внести-ясность и строгость в начальные понятия
геометрии, которые у Евклида являются, как полагает Лобачевский, уже
адожнпми абстракциями пространственных отношений материальных
тел, а потому должны быть заменены более простыми понятиями,
более близкими к фактам, непосредственно воспринимаемым нашими
чувствами, ■
,!І5щев сочинении «О началах геометрии» (1829 г.) Лобачевский писал:
«Б самом деле, кто не согласится, что никакая
Математическая наука не должка бы начинаться о таких темных понятий,
с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, в что нигде
в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой
принуждены были допустить в теории параллельных линий»1).
Там же был намечен и план необходимых изменений, другого
изложения основных начал геометрий. Нужно заметить, что и
критическое отношение к Евклиду, в: идеи преобразования начал геометрии
зародились у Лобачевского значительно раньше. Первые шаги в его
новом подходе к началам геометрии можно видеть в учебнике
«Геометрия» (183S г.)і где уже введено, как основное понятие,
«прикосновение»1). Затем, в «Обозрения преподавания чистой математики за
1824—1825 год»8) Лобачевский писал:
1) Той I наст, изд., стр. 185.
2) См. стр. 43 наст, тоаа.
3) Центр, гос. архив ТаССР, «Депо физико-математического факультета
Казанского университета", J6 36 за 1835 год (См, примечание [Щ на стр. &в& наст, тома).
138 П. НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
«Нельзя дать ясного понятия о длине, ширине, толщине тел,
когда с втого начинают геометрию. Если собственные чувства
предохраняют от ложных заключений в продолжении геометрии,
то все остается желать избавить одну из частей математики от
нарекания погрешать против обыкновенной своей строгости, быть
темной и недостаточной в самых основаниях. . .>.
«.Я думаю, что в геометрических телах рассматривается то
свойство тел природы, которое называют прикосноветсем».
Лобачевский так понимает содержание «начал геометрии»:
«Начала геометрии буду? заключать в себе только то, что
требует учения необходимо геометрического, то есть что прямо
ведет к отысканию общих правил для намерения линий,
поверхностей: и тел: лее прочее будех отнесено к применению
Аналитика» *).
В соответствии с ѳтой установкой, в настоящее сочинение не
включены ни аналитическая геометрия, .ни дифференциальная геометрия,
ни применения интегрального исчисления к вычислению площадей
и объемов.
Вопросы измерения площадей прямолинейных многоугольников
и объемов проотейших многогранников тоже не рассматриваются, хотя
должны бы были войти в него, что видно иа ряда мест (см.
последний раздел «Вступления», ст. 2, ст. 8, ст. 9 и др.).
Как было ужа отмечено выше, свойственное Лобачевскому
стремление добиться наибольшей строгости и ясности в построении оистемьт
геометрии привело его к пересмотру начал геометрии. Это
пристальное внимание к вопросам самых основ науки и углубленный анализ
первоначальных понятий способствовали тому, что Лобачевский не
только в геометрии, но к в ряде вопросов математического анализа
превосходит достигнутый а то; время уровень науки (уточнение
понятия функции, вопрос о непрерывности функции я ее диффѳрѳнпдруе-
мости и др.).
Самая необходимость переработки начал геометрии и направление,
в котором это нужно было делать, полностью объясняются
материалистическими философскими ввглядами" Лобачевского. Согласно
Лобачевскому, строгость в отчйтливость в развитии геометрии могут
быть достигнуты лишь при такой выборе, понятий, которые наиболее
просты л ясны, т. е. наиболее близки к непосредственно
воспринимаемым нами пространственным отношениям материальных тел.
Что касается формы изложения начал геометрии, то она должна
быть, согласно Лобачѳвокому, строго дедуктивной.
') См. сноску*) ка стр. 137.
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ "НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ» 139
В «Обозрении преподавания чистой математики на 1824—25 год»
Лобачевский писал: «Точные науки отличаются тем, что в начале их
полагаются те понятия'), откуда производится все учение силою
нашего суждении». А в предисловии к неизданному учебнику алгебры
(1825 г.) мы находим: к Для самой науки надобно было всегда желать,
чтоб она стала на твердом основании, чтоб строгость и ясность
сохранялись в самых еѳ началах, как они делаются первым ее
достоинством б продолжении»3).
Основным недостатком традиционного изложения геометрии
Лобачевский считал неправильный выбор основных понятий. Об этом
говорят первые отроки сочинения «О началах геометрии», приведенные
выше; на ѳто указывает Лобачевский в «Обозрении лрѳнодавааия
частой математики на 1825—20 год» 3):
«Мы познаем в природе одни только тела; следовательно,
понятие о линиях я поверхностях суть понятия произведенные, а не
приобретенные, а посему не должны быть принимаемы за
основание математической науки».
Таким образом, Лобачевский полагал, что именно неудачный выбор
основных понятий у Евклида вызывает «темноту» в началах геометрии.
Чтобы исправить атот недостаток, Лобачевский принимает в
качестве нового начального неопределимого понятия «прикосновение»
(или «сечение»), пользуясь которым он но следовательно определяет
геометрическое тело, пространство и конгруэнтность («одинаковость»),
В понятие «прикосновение» включено неявно и геометрическое
движение.
Анализируя разделение тела сечениями на части, Лобачевский:
дает определения поверхности, линии, точки, расстояния и, далее,
сферы, Окружности, плоскости и прямой. При атом он доказывает, как
теоремы, например, такие предложения:
Через две точки в пространстве можно провести плоскость (ст. 21).
В пересечении двух плоскостей гуроисходит прямая линия (от. 31).
Прямые сливаются, как скоро проходят через See точки (ст. 27).
Прямая может 5ыш продолжаема до бесконечности, когда
накладывается сама на себя чадаию, подвигаясь остальною вперед (ст. 27).
Всякую точку на плоскости можно 'принимать ja начало*) кругов
(от. 29). ■
I) Следует заметить, что в современной Лобачевскому' русской матеиаткта.
свой литературе термин «общие понятия» обозначал также аксиомы. Например,
си. цитату ив Евклида в лерѳводо Петрутѳвеяого в списке на отр. 140.
а) См. том ГѴ шаот. издания, стр. 370.
в) См. примечание ["] иа стр. 4Ѳ4 и&ст. тома.
4) То-еотБ за центр.
140
НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
.'/инвітый угол ни зависит от величины полупоперечпина в круге,
но служит только к определению взаимного положения двух пряльыю
(ст. 40).
Но ѳти предложения и очевидные следствия пз них в основном
исчерпывают содержание постулатов и аксиом геометрического
характера, лежащих в основании «Начал Евклида>, правда, за
исключением аксиомы параллельности '). Что же касается втой аксиомы, то
в главе о параллельных прямых Лобачевский отмечает, что он
рассматривает вопрос во всей общности, не вводя каких-либо
специальных требований, тогда как аксиома параллельности Евклида является
до отношению к общей теории ограничением, приводящим,
следовательно, к частному случаю геометрии.
Таким образом, Лобачевскому, как будао, удалось в логическом
построении своей общей геометрической системы обойтись без
евклидовых постулатов и аксиом геометрического характера. Все они, кроме
аксиомы параллельности, вошли в его систему как теоремы, а
последняя оказалась просто ограниченном, оужаюпщм обитую систему
геометрии до ее частного случая—до геометрии евклидовой.
Это ѳаставляет нас думать, что отсутствие аксиом среди первых
предложений «Новых начал» нельзя истолковывать как следотвие
отрицания Лобачевским необходимости, аксиом. Действительно,
рассматривая, например, теорию измерения геометрических величин,
Лобачевский говорит, что «нѳльвя здесь обойтись баз особых
вспомогательных положений, которые принимают уже ѳа аксиомы», и
перечисляет далее три аксиомы измерения площадей, значительно опережая
здесь глубиной своего логического илалвэа современную ему науку3).
J) Приводим текст' постулатов (требований) и аксиом геометрического
характера аш современного Лобачевскому издания: «Эвклидовых начал восемь книг»
(перевод Ф. Летрушенского, СПБ, 1819, стр. 480(:"
Требования
I. Требуется, чтобы можно, от всякой точки до всякой другой проводить
прямую линию.
Ч. Определенную прямую продолжать впрям непрерывно,
3. На нсикого центра, всяким расстоянием, писать круг.
Аксиоми или общие понятия
10. Все прямые углы взаимно равны.
II. Есть ли на две прямые падает третья прямая, и делает углы внутренние
и по ту жѳ сторону меньше двух прямых, то оныѳ две прямые линии,
продолженные бееоредельно,"взаимно встретится по ту сторону, но которую утлы меньше
двух прямых.
12. Две пряшлѳ не заключают пространства. ,
5) См. стр. 166 наст. тома.
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ. 1-11
8атем, критикуя Евклида за нѳдоотаточаую общность в его теория
параллелей, Лобачевский указывает вместе а там на невозможность
логического доказательства евклидова постулата параллельности,
вытекающую из существа самой геометрии (от. 03) іг, таким образом,
признает необходимость впадения его именно в виде постулата в
«употребительной» (евклидовой) геометрии.
Итак, Лобачевский, повядимому, полагал, что удачный выбор
основных неопределимая понятий, тесно связанных с непосредственно
воспринимаемыми нами пространств ев пым и отпопгенипми
материальных тел, и общая теория параллелей позволили ему избежать
введения евклидовых постулатов и аксиом геометричешсого характера.
Конечно, в логическом развитии овоей системы геометрии
Лобачевский фактически опирается на ряд. невысказанных явно аксиом,
и потому его изложение, особенно в первых глазах, отклоняется от
той степени строгости, к требованию которой пришла современная
математика.
Однако следует помнить, что самая постановка проблемы полного
аксиоматизирования геометрической системы и связанный с ней метод
интерпретаций могли возникнуть и развиться лишь поанге, и притом
на основе гениально соаданной Лобачевским «Воображаемой
геометрии». Потребовалась работа не одного поколения геометров в эпоху,
последовавшую аа всеобщим признанием значения неевклидовой
геометрии, чтобы достигнуть Современного, понимания логической
строгости и полноты аксиоматики.
«Новые начала» состоят из «Вступления» и тринадцати глав,
разбитых на 203 отдельные статьи ^параграфы).
Теория параллельных прямых изложена в главе ѴЦ. Таким
образом, первые жесть глав • представляют собой развитие абсолютной
геометрии, то-еоть содержат материал, общий и для евклидова
пространства и для пространства Лобачевского. Только в конце шеотой
главы устанавливаются предложения о возможной величине оуммы
углов треугольника и выделяется признан конгруэнтности
треугольников, имеющий место в геометрии Лобачѳвокаго,
Введя в начале седьмой. главы новую трактовку параллельности,
Лобачевский указывает, что «под втвм видом параллельность уже
рассматривается во всей обширности», тогда как аксиома
параллельности Евклида выделяет лишь частный случай геометрии, являясь
допущением, истинность которого «по существу самой геометрии
доказывать невозможно». Однако, как отмечает Лобачѳвокий, именно
этот частный .случай геометрии вытекает с большой степенью точности
из практики действительных измерений. Поэтому, начиная с седьмой
142
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
глава, Лобачевский не только систематически развивает предложения
своей «Общей» пли «Воображаемой Геометрии», но одновременно он
строит и «Употребительную (т. е. евклидову) Геометрию», получаемую
из его системы как простейший предельный случай, когда
«принимают угол параллельности постоянно прямым».
«Вступление» дает общую характерно гику значения и содержания
геометрических исследований Лобачевского. Оно содержит ряд
интереснейших высказываний о связи между физикой и геометрией,
в которых можно видеть как бы зарождение идей, иа которых рав-
вилась современная теория относительности1}.
Указав в начале вступления на свои предшествующие работы,
r которых дано решение проблемы, стоявшей перед геометрами со
времен Евклида, Лобачевский ставит целью настоящей работа дать
подробное, развернутое изложение основных своих результатов. Показав
порочность ряда попыток доказательства пятого постулата Евклида,
Лобачевский отмечает, что принципиально возможна более общая
геометрическая система, которую он уже развил в своих
предшествующих .работах и назвал «Воображаемой Геометрией* в отличие от
евклидовой «Употребительной», Евклидова геометрия включается в
воображаемую как предельный случай, когда размеры фигур малы до
сравнению с некоторым, абсолютным отрезком, характерным для
рассматриваемого пространства.
Только опыт может решить, какова истинная геометрия реального
пространства. Но если данные приближенных измерений еще не решили
вопрос окончательно, то, считая в практике измерений допустимой
более простую евклидову геометрию, мы вправе оясидать, что
столкнемся в природе с такими областями явлений, где более общая
геометрия будет уже необходима. ■
Далее следует программа перестройки начал геометрии,
подчиненная требованию большей близости в исходных попятиях к
непосредственно воспринимаемым чувствами в природе пространственным
отношениям материальных тел.
Особо подчеркивается важность синтетического метода в егих
вопросах.
Вступление заканчивается общим очерком процесса, измерения,
определяющего геометрическую величину.
Высказывания Лобачевского о геометрий и о ее связи о реальным
миром, приведенные во «Вступлении», свидетельствуют о том, что он
>) Об втоы ш., например, книгу А. А. Максимова— «Очерки ло истории
борьбіЛ'З» материал паи в русском естество знании», 1В47, Раздел второй •В.. И.
Лобачевский». Автор дает в втом разделе развернутую характеристику философских
возареиий Лобачевского.
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОІШТРШІ- 143
стоял на материалистических позициях п совершенно правильно
полагал, что критерием истинности научной теории является практика,
то-есть что истинность теории проверяется на опыге, как соответствие
теории действительно осуществляющимся в природе отношениям
материальных тел.
В гладе I Лобачевский вводит основные геометрические попятия.
Изложение не является строго аксиоматическим. Оно скорее
носит генетический характер. Многие допущения остаются
невысказанными.
Следует отиетнть, что первоначальные понятия у Лобачевского
имеют топологический характер; ето—геометрическое тело
(трехмерное), разделяемое сечениями на части и составляемое, при наличии
прикосновения, па частей. Поверхности, линии, точки являются уже
производными понятии ми.
В этой же главе лается характеристика понятия геометрической
величины и ее измерения.
Конгруэнтность определяется через движение, но свойства
движения явным образом не перечислены. Расстояние двух точек вводится
как их относительное положение, то-есть как инвариант относительно
движений.
В главе Н о помощью понятый расстояния и движения
Лобачевский строит сначала сферы и окружности, а аатеы, опираясь уже ва
последние, получает плоскости д прямые. Интересно заметить, что
впоследствии Д. Гильберт лал строго аксиоматическое -построение
двухмерной геометрии, близкое в основных чертах ходу идей
Лобачевского *).
Глава III содержит тѳорига намерения прямолинейных отрезков
и углов как линейных, так и двугранных.
В главе IV рассмотрены не только теоремы о перпендикулярных
плоскостях, прямых и дугах больших кругов па сфере, в.0 и теоремы
о внешнем угле треугольника, о соответствий между величинами
сторон и углов треугольника, о неравенствах между величинами его
сторон и т. п.
Глава V — самая-обширная. Она заключает:
1) теорию измерения площадей сферических многоугольников;
2) метрическую теорию правильных тел, опирающуюся навыражевпе
площади сферического многоугольника через его углы;
і) D. Hilbert —Ober dio Gmndlagen <іег Geometric, Math. Ало. 59, 1002 г.
Эта работа помещева также как приложение IV в его книге «Qrundlagen der
Georaetrie». Русский перевода Д. Гильберт— Основания геометрии, пар. о 7-го
вем. ивдянпя под ред. П. К. Рпшввского, М. — Л., 1948. Приложение IV: «Об
основанных геометрии», стр. 246.
144
П. НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
3) топологическую теорему Эйлера о многогранкиках;
4) ряд теорем о сравнительной величине сторон, углоп п площади
сферического треугольника.
Глава VI содержит теоремы о конгруэнтности треугольников,
как прямо л ітаейных, так и сферических. В конце главы помещены
теоремы о сумме углов прямолинейного треугольника: сумма углов
но превосходит тс; если в одном треугольнике сумма углов равна я,
то и во веек также (для первой теоремы Лобачевский приводит, кроне
своего доказательства, еіцѳ доказательство Лежандра).
Придя, таким образом, к выводу, что или в каждом треугольнике
сумма углов равна it, или а каждом она меньше т, Лобачевский
доказывает теорему о конгруэнтности треугольников по трем углам в
предположении истинности второй гипотезы.
В главе YH Лобачевский, построив новую общую теорию
параллелей, развивает одновременно как свою «Воображаемую Геометрию»,
так н евклидову, получая последнюю как предельный случай своей
теории, когда угол параллельности равен 4г. Так, уже в этой главе
он. рассматривает следующие специфические факты евклидовой
геометрии: существование параллелограммов, подобие треугольников,
теорему Пифагора и др.
В главе ѴГЛ изучены предельная линия и предельная
поверхность.. При ею и Лобачевский показывает, что геометрия предельных
линий на предельной поверхности является евклидовой.
Таким обрааом, евклидова геометрия оказывается не только простой
и хорошо согласующейся о практикой измерений системой, входящей
как предельный случай в общую систему, но она необходимо
осуществляется на предельных поверхностях пространства Лобачевского,
как и сферическая на сферах (правда, лишь в виде геометрии двух
измерении).
В.главе IX Лобачевский дает теорию тригонометрических
функций, опирающуюся вначале на соотношения между влементамн
прямоугольного треугольника в евклидовой геометрии, а затем развиваемую
во всей общности аналитическим путем. Глава заканчивается
■введением, рядов для синуса и косинуса.
В главе X Лобачевский, установив соответствие между
.сферическими треугольниками и прямоугольными треугольниками своей
плоскости, вводит пятичленную циклическую группу преобразований
последних л получает, применяя евклидову тригонометрию,
аналитическое выражение для угла параллельнооти как функции отрезка
перпендикуляра. В конце главы он дает "свой прежний вывод втой
формулы, который он применял в сочинениях «^positionauoomcte» (1826 г.}
ж «О началах геометрии» (1829 г.).
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ» 1-Ь>
Глава XI содермпт вывод тригонометрических формул для
прямоугольных и всяких прямолинейных треугольников пространства
Лобачевского. Далее показано, что формулы евклидовой тригонометрии
получаются в предельном случае из трстг оно метрических формул
пространства Лобачевского.
В заключение выведены соотношения между элементами
сферического треугольника — как в предположении, что сфера опята в
пространстве Лобачевского, так п в предположении, что она лежит
в евклидовом пространстве, п, таким образом, установлена
независимость сферической тригонометрии от аксиомы параллельности.
Глава заканчивается замечанием о том, что формулы, связывающие
элементы прямоугольных треугольников в пространстве Лобачевского,
переходят в формулы сферической тригонометрии, если длины
сторон а, Ь, с заменить на а У"-—Т Ъ ]/—1, с]/—-1.
Главы ХП и XIII составляют, по существу, работу, не связанную
с первыми главами; глава XII посвящена решению прямолинейных
треугольников в евклидовой геометрии, глава XIII—решению
сферических прямоугольных треугольников. Основная задача, которую
Лобачевский оебн отавит, заключается и том, чтобы установить степень
точности логарифмических вычислений, которыми сопровождается
«решение треугольников».
Автор не делает указаний на причину, побудившую его подробно
рассматривать решение прямолинейных и сферических прямоугольных
•треугольников в работе, посвященной наложению нопых начал
геометрии. Неизвестно также, почвму аа вгями главами не доследовала
глава, посвященная ретѳняю сферических косоугольных
треугольников, Но мы знаем, что Лобачевский: хотел выясннть, не имеет ли
место его геометрия в мировом пространстве, для чего он хотел точно
измерить расстояние между некоторыми звездами, Лоно, что для
выполнения атого намерения ему пришлось бы решать с большой
точностью ряд прямолинейных и сферических треугольников.
Поэтому нам представай е тс я вероятным, что численное решение
плоских косоугольных и сферических прямоугольных треугольников
было включено Лобачевским в работу, посвященную неевклидовой
геометрии, потому, что эти вычисления являлись подготовкой для
опытной проверки справедливости его геометрии с помощью
астрономических измерений. На главы XII п XIII следует, по нашему
убеждению, смотреть как на подготовительные, за которыми могло бы
последовать приложение «астральной геометрии» к вопросам аатроиоміш.
Другие предположения представляются менее убедительными.
Но, несмотря на то, что такая проверка не могла быть Лобачевским
произведена, содержание этих двух глав вое же имеет немалое
значение.
Зан, 5039, Н. И. Лавачвис™:!, т. ЕІ.
10
146
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОЗМЕЕРІШ
Во-первих, данные здесь методы решения треугольников могут
оказать большую помощь при решении многих практических задач:
между тем, ни в одной работе, посвященной тому же вопросу, ве
делается указаний на эти исследования Лобачевского, в то время
iraii н любом курсе приближенных иычислеылй следовало бы дать
в качестве образца несколько примеров, решенных Лобачевским.
В особенности пенно определение им погрешностей; повидимому, не
существует другой книги, где вто определение было бы проведено
более тщательно и подробно.
Во-вторых, ознакомление е ашми вычислениями убедительно пока.-
аывает несправедливость распространенного взгляда на Лобачевского
как на теоретика и мыслителя, далекого от всяких числовых выкладок.
По существу, птот взгляд неправилен уже потому, что Лобачевский
сам многократно подчеркивал практическое значение геометрии.
Многочисленные вычисления определенных интегралов средствами
неевклидовой геометрии, которыми изобилуют его работы «О началах
геометрии», «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой
геометрии к некотором интегралам», так же как главы XII и XIII
«Новых начал», свидетельствуют, что Лобачевский отнюдь не гнушался
непосредственных числовых выкладок.
ШШЕРАТОРСКЛГО КАЗАИСКАГО
УНИВЕРСИТЕТА.
1835.
I. Ш.УЕИ
НОВЫЙ ШЩЛА ЗЖОШТРМ
с г подлой т в »11 о а и а г л а в л б к и к 'S-
- С № JlcGtttesssagOi )
ж-г-у&лтті-
р!.!о члны&ъ да енхъ іюрт оспіавп.ад«& (,і;гопі-п;!іСі;-
l.''j'i. 'Ьярасюо cmapeuic са вргаенл Евк.и^л, и* нро-
.~--і.і!;;і.!;ііі дзуяд мысячь .и'ікге , ааишшиди JKurt ѵюдоз-
вдыаая шиіг іііг,іііііші , которую жоиійлі» //.'КЗ.ііліишй
і£ кошеру© лчеічіиюь, подобно дагіда фішчссішзі*
1»
Пернви страница і'отітмгшя
"Новые начала гвоыетртт с полиоіі теорией ы.ара.тлслшм.х»
в Ш книжке журнала «Уадшв ааписгаг Казанского /ннвориггем*
за l83f> год.'
К стр. 1£7,
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИЙ
(ПІОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ВСТУПЛЕНИЕ [']
j£ | Всем известно, что в Геометрии теория параллельных до cm
'пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен;
Евклида, в продолжении двух тысяч лот, заставили меня
подозревать, 'іто в самых понятиях еще не заключается той истины,
которую хотели доказывать и которую поверить, подобно другим физнче-
1 ским | законам, могут лишь опыты, каковы, например,
Астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец
убежден, и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал
об этом я рассуждение в 182(5 году '-'. Применение новой теории к
аналитике находится также в статьях под названием о началах
Геометрии, помещенных в Казанском Вестнике за 1829 и 1880 годы *. Главное
заключение, к которому пришел я с предположением зависимости
линий от углоіі, допускает существование Геометрии более в
обширном смысле, нежели как её нредстаиил нам ігервый Евклид.
В этом пространном виде дал я науке название 'Воображаемой
Геометриие, где как. частный случай входит Употребительная
* Exposition succinctg des ргідсірев de la G€ometrie, avec une demonstration
rigoraeiise dii theoreme des paralleles, читано -n заседании Фнаико-иатематче-
чпого Отделения при Каяаиокоы Университете 12 феврали 1S2S года, но не было
нигде напечатано. [Примечание Ло&штжмо.) Щ.
* «О началах геометрии» помещено и I томе наст, издания, стр. 1ГГ—115.
о Наевшие а воображаемая геометрия» нельзя признать удачным, так как
вопрос о геометрия реального физического пространства, поставленный самим
Лобачевским, наказывает, что Лобачевский с самого начала предполагал
возможным, что его ноиая геометрия дает более точное отображение реальных
пространственных отношений, чем евклидова. Впоследствии Лобачевсіаііі назвал евою
геометрию «пангеометрпейг, т. е. всеохватывающей геометрией (1855 г.). В
настоящее время в литературе употребляются термины "геометрия Лобачевского»
ч «гиперболическая геометрияя. Последний термин введен Ф. К.теИном (F. Klein —
Uelier die sogenannte nicht-siiklidische Greometrie. Matliematiaebe Аипкіеп, 4,
ІЙ71, 573—825j.
10*
148
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Геометрия '* <: тем ограничением в общем положении, какого
требуют измерения на самом дело *. Достаточность новых начал
предпринимал я доказывать в сочинении, которой было недавно напе-
-• чатано в ученых Записках Казанского Университета0 [3]. Желая
достигнуть этой цели хотя не прямым, но самым кратким
обратным путем, я предпочел в тот раз от оснований предположительных
идти к уравнениям для всех отношений н к выражениям для
всякой Геометрической величины. Если б открытие мое не принесло
другой пользы, кроме пополнения недостатка в начальном учении
то по крайней мере внимание, какое постоянно заслуживал этот
предмет, обязывает уже меня к изложению подробному. Начну
разбором прежних теорий,
Легко доказать, что две прямые, наклоненные под одним углом
іс третьей, никогда не встречаются, делаясь, таким образом,
перпендикулярны к одной. Евклид полагал обратпо, что две линии,
наклоненные неодинаково к третьей, должны всегда пересекаться 9.
Чтоб увериться в справедливости последнего предложения Т,
прибегали к различным способам, то стараясь наперед отыскать сумму
углов в треугольнике, то сравнивая бесконечные плоскости в
отверстии углов и между перпендикулами, то допуская зависимость
углов только с содержанием сторон *®, или, наконец, придавая но-
а вые свойства прямой линии в дополнение к | определению **. Из
всех ѳтих доказательств можно некоторые назвать остроумными,
ао все вообще ложными, недостаточными в своих основаниях и без
■- еУ потребительной геометрией» Лобачевский называет евклидову геометрию.
* То-есть евклидова геометрия является частным, точнее — предельным
случном геометрии Лобачевского. Евклидова геометрия получится ив общей теории,
йсіліс ввести некоторые упрощающие ограничении, ни противоречащие практике
обычных пространственных измерений.
й В шишке I Ученых Вашцюа 1835 года под названием Воображаемая Гео-
жтрая. [Примечание Лобачевского.} Оочииепие «Воображаемая геометрия»
напечатано іі ІП томе нам. издания.
S Пятый постулит в «Началах» Евклида, или, по некоторым спискам,
одиннадцатая аксиома. См. ой атом в I 'соме наст, над., стр. 38.
I То-есть чтобы доказать arc, исходя из прочих аксиом.
*ч С отношением сторон. ЛобачѳвсгсиК всегда применяет слово «содержание»
в смысле- «отношение»,
** Все этя доказательства, кроне последнего, Лобачевский разбирает ниже,
вскрывая допущенные в них логические ошибки. Погрешность, доказательств,
и которой прямой приписываются дополнительные свойства, кроме тех, которые
еа определяют, он считает очевидной,
ВСТУПЛЕНИЕ М*'
должной строгости в суждении: между ними даже лет такого,
которое бы, соединяя с простотой убедительность, могло быть
одобрено для начинающих.
Лежавдр в 1600 году напечатал третьим изданием свою
Геометрию, где поместил предложение, что сумма углов треугольники,
не может быть более -, двух прямых. Тут ate доказывал, что такая
сумма не должна быть < с, выпустив однако ж из внимания то,
что линии могут не составлять более треугольника вместе с тем,
когда значение суммы, выведенное по другому способу,
представляло бы какую-нибудь несообразность*. Не почитаю нужным
распространяться здесь об этой ошибке, в которой сознался после
сам Дежандр, говори, что хотя в основание взятые начала не
подложат сомнению, но встречает однако ж затруднения, не будучи
в состоянии победить их *. В Записках французской Академии
7 183В года прибавил оп еще предложение, что сумма | углов должна
быть it во всех треугольниках, если такова в одном только. То же
мне надобно было доказывать и в моей теории, которую писал я
в 182G году е. Даже нахожу, что Леясандр несколько раз попадал,
па ту дорогу, которую выбрал я так удачно; но вероятно
предубеждения в пользу принятого всеми положения заставляли на.
каждом шагу спешить заключением или дополнять тем, чего бы
нельзя было допускать еще л новом предположении. Рассмотрим
все то, что напечатал он об этом предмете js Записках Французской
Академии 1S33 года?.
* A. Legend™—Elements cle Gfiomutdc. 3 eel., Paris, 1800, стр. 472 (Книга I.
предл. 10 и 20, стр. 21—25). Си. том I наст, издания, стр. 56—60, где иршзедены
ати доказательства.
8 геометрии Лобачевского через точки, лежащие ннутрн угаа, во за
параллелью, прокедевноД з; обеим сторонам, неяовмояшо протеста пряной, ие
проходящей через вершину угла я пересекающей обе его стороны. Отсюда следует,
что допущение Лежавдра эквивалентно постулату Еііклгаа.
■ * Вот собегнеиные "слова Лежавдра: "Sous devons svouer que cette seconds
proposition, qiioique le principe do In demonstration tab bien conmi, nons a preseate
dea dilfienltea que noua п'атоиз pu OEtieremeut rosondre*. (M&noires de l'Acad,
d. ее. da 1'jnst. de ІРгвасс, Tome ХП, 18S3, p. 371). [JTpu.it&tauite ЛоСачевского,]
& Это предложение Лобачевский доказывал еще в лекциях по геометрии1,
читанных и 1817 ѵ. студентам Физико-математического отделения Казанского
Университета (еы. примечание ["] на стр. 504).
9 Изложенное ниже доказательство помещено Ледааадром и в 12:-и изд. «Еіё-
mests de Ge"om6trie» 1823 г. Оно приведено в 1 томе наст, издания на стр. 60—04,
где также дан критический аиайиз его ошибок.
150
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
В треугольнике ABC (чер. 1) ведем из А, чрез средину ./
стороны ВС, линию АС=>АВ; продолжаем АВ, покуда сделается
АВ' =^2AJ\ Произойдет треугольник АВ'С, где В'С' = АС и где
сумма '■? углов та же, что в первом треугольнике ABC, откуда
угол CAB переходит в А АВ'С, разделяясь на два при точках А,
В'!'\ Если к тому АВ самая большая сторона или ме менее двух
других и ААВС, также [если] ВС^АС, то АС'^С'В' *, угол
1 против В'С" в ААЯ'С'Ітю крайней мере вдвое меньше угла CAB.
Так продолжал, можем притти к треугольнику, где два угла как
угодно малы, а сумма всех трех та же і5, что в первом
треугольнике ABC. Лежандр думал заключить отсюда, что с уменьшением
двух углов, приближение противоположных: сторон к третьей
оканчивается необходимо превращением остального угла в два
прямые, а потому S = k в начальном и, следовательно, во всяком
треугольнике (Reflexions stir la thebrie сіез paraUeles. Мётоіиеэ de
l'Acad. d. so. Tome XII. 1883, p. 890). 'Однако ж это рассуждение
неверно, потому что здесь стороны в треугольнике растут бѳско-
* Чтобы уОѳдитьея и этом, достаточно соединить точку С с серединой К
еторовьт АВ'. Получится: треугольник АС'К, кэнгруэа'гяый. треугольнику ABJ,
до двум сторонам іг углу между
^л. ними. Отсюда будет следовать,
^^ \т._£І 'і"і:о треугольники В'КС" и AJO
^—-—" /( '~~~~'——-^^ тоже конгруэнтны по двум сторо-
As^ / ^ ~~>В* пам (B'K=*AJ по построению,
KG' = BJ из парвон дари
конгруэнтных треугольников; но BJ = 1С по построению и, следовательно, KG' = .ТО)
и J углу, ааключенношу ыажду ними. (Угли К ж J—смежные конгруэнтным
углам яѳрвой: пары треугольников.) ІІтав, в треугольнике АВ'С углы А' ж В'
при вершина* А и В' составляют в сумиѳ /_ ВАС треугольника ABC, а угол С
при вершине С равен сумме остальных двух углов троугольникя, ABC.
* Тав как АС = АВ ы С'В' <= АО..
ВСТУПЛЕНИЕ loL
шлпо, я следовательно, можем предполагать и гранту
приближения, покуда угол АС'В'<8, О*. Называем А, В, О углы
а Л ABC при точках с теми лес буквами; называем еще А', В\ С
углы в £\АВ'0 при точках А, В', С; наконец, пусть к тгрпендикул
ші О' на сторону АВ'. По способу Воображаемой Геометрии, в
предположении .?<?: и разумея под с основание Непперовнх
логарифмов, находим [4]
^і/ , , , sin С
tot A =cot.-l-f -—г—.—^,
1 sm A sin В
sin В
Ыі-
eotj9' = eut4
/
5І11 J. Sin 6''
^]/ ,о, і 5 - со. (і.*-,!) • со, (f У-*) ■ cos ({ *-<?).
Из первых двух уравнений видно, что А': В' всегда возможны и
с превращением треугольников уменьшаются до пули. Последнее
уравнение дает всякий раз высоту h и назначает границу
приближения
h = log tot — S,
где логарифм берется Нешгеров.
Лежандр хотя назвал свое доказательство совершенно строгим,
но сам, вероятно, думал иначе, прибавив оговорку, что
затруднение, если б какое встретилось, всегда может быть отклонено. О этой
целпю прибегает он к вычислениям, основанным впрочем па
первых известных уравпепппх прямолинейной Тригонометрии,
которые бы следовало наперед еще поверить и который в атом уже
случае ни к чему не служат и ни к какому заключению не ведут *.
-Желая все сказать в подтверждение своего предложения, Ле-
жандр ѳ замечает, что равные треугольники* будучи сомкнуты везде
* То есть если два угла треугольника стремятся к нулю, а стороны
треугольника при этом возрастают бесконечно, то при усдошиг сохранения суммы углов,
которая предположена меньше п, нет оснований утверждать, что третья вершина
упадет на противоположную сторону, а следует допустить возможность, что она
только приближается к каК на определенное предельное расстояние. Далее
Лобачевский вычисляет атот предел, пользуясь формулами епооіі геометрии,
* Допускап обычные уравнения прямолішейдоіі тригонометрии, ыы этим
самым скрыто вводим: евклидов постулат; так. как не только их вывод основан на
теории подобных фигур, опирающейся на евклидову теорию параллелей, но и
обратно — из формул тригонометрии можно полушть евклидов постулат.
й Это доказательство Лежандра помещено ни 2-м іізд, его «Elements» (1793 г,).
152
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
различными углами, по три к точке, представляют полосу, koto-
jo рую! можно продолжать до бесконечпоети *, тогда как ее граничат
две ломаные линии: вогнутые друг к другу, если #< тѵ, выпуклые—
для Л>тт. ііеясду тем, доказанная невозможность последнего
случая заставляет отвергать и первый, где линии, как две дуги круга,
одна к другой обращенные, должны необходимо пересекаться.
Кажется, не нужно много разбирать и пенить такое суждение, где
нет и тени строгого доказательства. К тому скажем, что вогнутые
друг к другу линии сближаются только по принятому понятию
в У потребительной Геометрии, тогда как с предположением £,<иг
ничто не мешает допускать их продолжение с сохранением
одинаковости в расстояниях *.
Бертран г и по примеру его Лежандр хотели сравнивать
бесконечные плоскости в углах и между перпендикулами. Этого рода
доказательствам должно бж предшествовать определение величины,
которую в Геометрии можно понимать только вместе с
измерением, притом у с ловясь наперед, по каким признакам различаются
большое с меньшим. Например, площадь, ограниченная кривою
линией, почитается больше того мпогоугольниіш, который весь
помещается внутри; менее — когда, наоборот, площадь заключается
вся в многоугольнике, хотя бы средство вымерять ату площадь
ц еще было неизвестно. Что же касается до беспре)дельных
плоскостей, то здесь, как и везде в математике, за содержание S двух
бесконечно великих чисел должно почитать границу, к которой
оно приходит с непрестанным возрастанием числителя и
знаменателя в'дроби. Сверх того, здесь надобно разуметь под
Геометрической величиной по крайней мере ту, какую можно назначать
^'ІІОІГОНИЛГ ЭТО C1ILJ-
ісание чертежом.
* ЛобачеасниН
говорит здесь о двух
линиях рнаныхраестоявий",
имеющих общий бавис
и лежащих по разные стороны от него.
° Лобачевский переходит к рассмотрению я критике доказательства Луи
Бертргаа, (1781—1В13), которое помещено в книге Ъ. Вег tr and — Developpamrat
nouvewi tie Іа partie elementaire Дез mathematjqpes prise dans toute son ebendue.
v. II, Geneve, 1778, стр. 846 (предложения 8, 9, игр. 19—20).
Й -См. сноску ** на стр. 148.
ВСТУПЛЕНИЕ
153
приблизительно, судя по признакам неравенства. В этом отношении
доказательство Бертрана, как и все подобные, далеко не
удовлетворяют требованиям, потопу что в них на видим даже способа
мерить плоскости, не говоря о том уже, кат; плоскости должны,
быть ограничены;
напереди с расширением гра- В_ D
ниц расти до
бесконечности [5].
Пусть надобно
сравнивать плоскость X
(чер. 2) в отверстии угла
DCS, с плоскостью У,
которая простирается от
лппии АС—а между
двух перпендикулов АВ,
CD к АС. Содержание
двух площадей X, Y
будет выходить различное, хотя 6 они возрастали до бесконечности,
смотря по тому, каким образом придумаем их ограничивать в
начале. Полагаем, например, что во всяком треугольнике
сумма углов #=іг. Делаем AB=CD — m., где ѣ целое, потом
ведем прямую DB, а плоскость в отверстии угля ВСЕ
ограничиваем дугой, описанной из центра С полунотіеречникоы. CD = na.
Получим
Ч*фт. Z
У=пда,
Отсюда
4
Y_
X
Л.
rot.
— такое содержание, которое с возрастанием плоскостей 1", А',
для и = оо, исчезает, как принимал и Бертран. Если же вместо
того, чтобы полагать АВ = па, делаем АВ = )іМЭ = иаа*, то в этот
раз уже находим содержание
Х~~ я
* A3 рассматриваетоя каи одна из сторон прямоугольники ABB'G, в
котором AB^GB'^GD.
■І-іі НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОІГЕТРШІ
постоянным для всякого и, а следовательно, также для ;i=soo,
когда две плоскости бесконечно велики. Итак, содержание Y:X
всякий ]~>і\гі выходит различное, смотря по тому, как ограничиваем
плоскости в начале, и как они растут -затем до бесконечности.
Обрезываем теперь обо плоскости X, Y дугой FDE, описанной
и.ч центра С полупоігйрѳчггаком CD = >iu, Полагая во всяком
треугольнике сумму углов $>к или /> = я, нетрудно видеть, что
содержание Y: X обращается в нуль для | я = оо*. Это значит, что
в обоих случаях Y бывает бесконечно великое первого, X —
второго порядка, как разумел и Бертран. Напротив с предположением
#<", находим содержание*
-з—г--, к-,„ -у — 4 аіс sin -'■-, -
"X к(е"в + е~"и — 2)
| где число е>1 но зависит от ■», а следовательно для л = оо
X™TM,offlnU-S+l)
не будет нулем, покуда « >0, н может быть пренебрежено только
за чрезвычайною малостью а[6].
О другой стороны в том увериться нетрудно, что содеріка-
.'ние Y:X не должно почитать нулем для ^=00 и допуская S<-.
* Действительно, AFDG составляет часть ABDG, а площадь ABDC равна, пи?,
тогда как площадь четверти круга равна, -у я)А.а.
* Если под е разумеем осаованио пеппероаых логарифмов, оставляя
неизвестной линяю, принятую единицей;, д нолагаеы®
2
sin г' = ~"Г~Т ■ smty™ tang г'cot ■£,
2 2
tang r' — --:■■■■ ■ —, tang x' =
то находим площадь, вырѳваннуга в круге перпендягсулами в полупоперечнику г ив
центра и на расстоянии я; от центра (Виображаеііая Гвометрня, стр. 30) 6
—!—- arc cot (sin. г' cot Ф) — Ф
[ ilj) імнгсшше ЛЬіТачевекою.]
3 г' является совращенным обозначением угла параллельности для г, то-ѳвть
И (г). См. главу X, формулу (G2).
9 Н. И. Лобачодсияй —Воображаемая Геометрия, том Ш наст, издания.
.Эта формула.выводится ингегрировашюм элемента площади. Аналогичная формула
.выводится и сочинения яО наталах геометрии», том I наст, издания, стр. 332—22-1-
ВСТУПЛЕНИЕ
155
"Пусть ЛВ, CD fie р. 3) пер иендикулы к ДС; берем произвольно
AB = GD. В предположении .?<* углы А2?Д С02 острые; пер-
пеыдикулы ВВ", DD" к SD отклоняются внутри плоскости B'BDD',
'it встречаясь друг с другом и составляя е ВВ\ DTS углы В'ВВ'\
Черт. 3.
D'DD", которых бег конечные плоскости пенсе такой ;ко
плоскости В'.ІС/У, в противность того, іто Бертран хотел утверждать
і всех углах oe-s исключения.
а:
Черт. -1.
Другой вид дает Бертран своему доказательству, рассматривая
бесконечные плоскости в одних углах. В треугольнике А,ВС (чер. 4)
называем А, В, С углы против сторон а, Ь, с, | которые продолжаем:
156 НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМрТРІШ
АС чрез А до А", АВ чрез В до В", ВС чрез С до О". В
отверстии внешних углов ■к — А, тг — В, т:—С плоскости Х~\-х, Y-\-y, Z.
"простираясь беспредельно, составляют такую же плоскость около
точки С во все стороны, за исключением площади ABC, которую
дозволяется пренебречь за малостию. Это значит, что т. — А-\-
+ 7г — £ + * — 0= 2тг, откуда Л-\-В+С = к.
Поверим теперь это суждение, паперед ограничив плоскости
дугами круга с полупоперечником ОС = г и принимая точки А, В, С
за ценгры. Окружность около Сможет пересекать бока угла тс — А
■в А', В', так что разделит плоскость в отверстии г.—А на две
части; одну X внутри, другую х вне полного круга, которого С—
центр. Бока угла тс— В могут быть пересечены тем же полным
кругом в Б', С", так что плоскость в отверстии тс— В разделится
на две части: У внутри, у вне круга, да кроме того часть г из
полного круга не будет принадлежать к углу it — В. Вот все
возможные случаи, которые представляет чертеж, предполагая s'>«,
г>£;»->е; а>с. Оэначая к тому Д площадь треугольника ABC.
2і площадь круга с полу поперечником г, получим
х-м, .
Отсюда находим
A + B+G=* + ~{b-z — y-\-*). (1)-
Оставалось бы теперь доказывать, что /\=х~\-у — s в
предположении суммы углов треугольника >?<« для всякого г, или по
крайней мере для г^=оо; но предпринимать этот труд было бы
напрасно. Напротив, с условием #<ж находим постоянно Д<а;4*
~\-у — г, как сейчас увидим. Возрастание СС' = г удаляет точки В",
В", В'" от точки В во направлению АВ, приближая линии СВ',
GB", СВ"' в известной границе GD (чер. 5J, которую в новой
теории назвал -я параллельпой с АВ, и которая е СА, СВ делает.1
углы
АСВ = к — А — а, ВСВ=В—%
2тс
(«_со=
ВСТУПЛЕНИЕ 137
I так, что а, |3 — какие-нибудь положительный числа. Притом СВ' = г
всегда можно взять довольно большую линию, чтоб углы B'CD
B''CD, B"'CD выходили как угодно малыми. Называл Р площадь
треугольника АСВ', получим, следовательно, для весьма большого г
І'чер. 4) без приметной разности
jj it -jib
■ отсюда
'х=.Р+±яЛ. (2)
Если на время полагаем угол C"CD = № {чер. 5). то данное выше
уравнение
теперь моа;ет быть написано:
куда вставляя иначение
| получим уравнение, которое в соединении с уравнением (2) снова
А
С-
Чир
інрыводит к уравнению (1) и таким образом его поверяет. Если ж
■берем
то находим из уравнения (3)
'.что з соединении с уравнениями (1), (2) дает
15» НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Итак, в доказательстве Бертрана подразумевалось уже я^О, £г = <і.
то самое, 'Что надобно было доказывать.
Подобно тому как Бертран довольствовался сравнением
бесконечных плоскостей в углах треугольника, Лежандр хотел обойтись
'; deyугольника ми (Mangles), разумея под этим названием бесконечные
плоскости между двух нерпендикуловр]. Собственно, доказал он
только то, что бесконечная плоскость CAST) {чер. 6) между пер-
ііендикулами АС, ВВ к АВ равна бесконечной плоскости DEFC.
F
-J)
Черт. 6.
которая происходит из первой с отделением от нее четыреугодь-
пика ABEF ломощию перпендикула EF к ВВ. Это само по себе
впрочем ясно; но Лежандр еще выпустил здесь нз внимания то.
что FE может не встречаться с АС. Чтоб избежать этого небольшого
затруднения, стоит только принимать EF перлендикулом из F
к BD; но далее каким образом отсюда будет следовать FE = AB
и угол EFC^jir, уже нельзя более поправить ложное суждение.
в котором неосмотрительность Лѳжандра была так велика, что, не
примечая грубой ошибки, почитал он свое доказательство весьма
простым и совершенно строгим.
В теории параллельных думали принять еще за основание, что
в треугольниках углы должны зависеть от содержания сторон-.
О первого раза такое положение кажзтся столько .же простым,
сколько необходимым; но когда, вникаем л жаши понятия, откуда
берет оно свое начало, то принуждены называть его так же
произвольным, как и все друі-ие, к которым до сих пор прибегали.
Б природе мы познаем собственно только движение, без которого
чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия,
* Такого рода соображении приводил Лежандр в первом издавай своя*
-Elements» (1794 г.), Note IV, и в «К*Шехіопв..., (1833 г.). См. мм I наст. Иадания,
сэр. 64—Q6, Примером, непосредственно опровергающим сто соображения, является
геометрия вц сфере.
іістѵшшнш:
например, Геометрические, проианедеии нашим умом искусствен ни,
будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство, само
у, собой, отдельно, для |нас не существует. После "чего в нашем уме
не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что
некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой.
Геометрии. Чтобы пояснить эту мысль, полагаем, как и многие
в этом уверены, что силы притягательные слабеют от
распространения своего действия по сфере. Е употребительной Геометрии,
величину сферы принимают 4я»-е,для лолупоперечника г, от чего
сила должна уменьшаться в содержании к квадрату расстояния.
В воображаемой Геометрии нашел я поверхность шара
и такой Геометрии, может быть, следуют молекулярные силы,
которых за тем все разнообразие будет зависеть от числа е, всегда
весьма большого *. Впрочем, пусть ато чистое предположение только,
для подтверждения которого надобно поискать других
убедительнее доводов; но в том однако ж нельзя сомневаться, что силы
всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже
расстояния и углы. С силами всё находится в тесной связи, которую
пе постигая в сущности, не можем утверждать, будто в отношение
разнородных величин между собою должны только входить их
аі содержания Допуская зависимость от содержания, почему не
предполагать и зависимости прямой? Некоторые случаи говорят
уже в пользу такого мнения: величина притягательной силы,
например, выражается массою, разделенной на квадрат расстояния.
Для расстояния нуль это выражение, собственно, ничего не пред-
* Здесь е обоаначает число, которое зависит от единицы для измерения
расстояния. Если ва единицу примять радиус кривианы сроагранотва Лобачевского,
то е будет Неверовым числом е= 2,713... Есяи обозначить величину радиуса,
крявианід б произвольно принятые единицах дпины k, то
.. «7 *.
Следовательно, е будет числом весьма большим, еелк к мало. I: равно питому
расстоянию между концентричесюши дугами предельных яяний, при котором
отполз
шение длин дуг между двумя осяіш равно неперовому чнелр е. (Си. гл. ѴПІ
настоящего сочняавют, стр. 205, я статью П. А. Ш я р о к с в а — Краткий очерк
айнов геометрии Лобачевского в сборнике «Николай Иванович Лобйтевекнйи.Иад.
АН СССР, 1943, стр. 19—55 {§ 4).
ISO
новые начала геометрии
-ставляет. Надобно начинать с какого-нибудь, большого или
малого, -но всегда действительного расстояния, и тогда только сила
появляется. Теперь спрашивается, как же расстояние
производит эту силу? как ѳта связь между двумя столько разнородными
предметами существует в природе? Этого, вероятно, мы
никогда не постигнем; но когда верно, что силы зависят от
расстояния, то липии могут быть также в зависимости с углами. По
крайней мере разнородность одинакова в обоих случаях,
которых различие не заключается собственно в понятии, но только
в том, что мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при
недостатке наблюдений должны предполагать умственно, либо за
пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных
притяжений.
Как бы то ни было, но предположение, что содержание только
расстоянии может определять углы, будет частный случай, к
которому всякий pas переходим, принимая линии бесконечно
малыми*. Способ употребительной Геометрии приводит,
следовательно, всегда к заключениям верным, однако ж не в таком обширном
виде, в каком дает их общая Геометрическая система, которую назвал
я Воображаемая Геожщшя. Разность в уравнениях той и другой
происходят от прибавления нового постоянного, которое должны бы
давать уже наблюдения, но которое без чувствительной разности
находим отсюда таково, что в измерениях на самом деле принятая всеми
Геометрия более нежели достаточна, хотя б она сама по себе не
была строго верной. Это значит, что в природе такая система либо
находится случайно, либо все доступные для нас расстояния в ней
еще бесконечно малы*'. Вообще, всякое положение, которое
Воображаемая Геометрия допускает в элементах величины, будучи принято
для линий в большом размере, ■ должно необходимо приводить
к правилам обыкновенной Геометрии, потому что с таким
предположением удерживаются только первые степени тех чисел,
которые представляют собою липни, а следовательно, везде в
уравнениях войдут их содержания. Таковы положения, например, что
* ЛобачйЕскігіІ показал это в сочинении »0 пачадак гаометрш», том I нает.
издания, стр. 209.
* О проверке сдыткым путем приложимости воображаемой геометрии в
реальному пространству ЛсЗачевский пишет несколько ниже (стр. 161).
ВСТУПЛЕНИЕ
Ш
расстояния между двумя пер іісндиву ламп * везде равны, что ттер-
пеидикул опиливает вершиной прямую линию *, что круг с
возрастанием поперечника переходит в прямую линию. И» всех
известных подобных положений отдать надобно преимущество тому,
ю которое принимает оавненмость содержания | линий от ѵглов; гго
крайней мере здесь простота в понятии близка даже к первой
нашей опытности; но вот и все, что можно сказать в защщценин:
всякое другое суждение будет либо ложно, либо пеосновательно.
Так нельзя затрудняться теп, что с непосредственной зависимостью
линий от углов войдет одна величина столько же произвольная,
как и выбор единицы. Против этого можем отвечать, что ничто
не мешает представлять себе в уравнениях содержание линий не
к одной из тех, которые тут рассматриваются, но к такой, которая
каким-нибудь образом определена в природе, Это показал я в Вооб-
. ражаемой Геометрии, дав уравнения, где все линии входят в
содержании к одной только, которую бы требовалось найти из
наблюдений, если б они были к тому достаточны. Почитаю не нужным
подробно, разбирать другие положения, слишком искусственные,
либо произвольные. Из них одно только заслуживает еще некоторое
внимание: это переход круга в прямую линию. Недостаток виден
здесь, впрочем, с первого раза в нарушении постепенности, когда
кривая, которая не перестает замыкаться, как бы нп была велика,
должна грубо превратиться в бесконечную прямую, потеряв, таким
образом, существенное свойство. В этом отношении Воображаемая
Геометрия гораздо лучше пополняет промежуток. В пей увеличивая
81 круг, | которого все нолупоперечники сходятся в одну точку,
приходим наконец к такой линии, где нормальные [прямые] сближаются
в бесконечности, хотя же могут уже пересекаться. Такое свойство
не принадлежит однако ж прямой, но той кривой линии, которую
назвал я предельной круга в сочинении моем о началах Геометрии ®.
Наконец, если затруднительную задачу параллелизма надобно
решить опытом, то предложенный Лежандром, укладывать шесть
* К одной прямой,
* ЕелИ другой конец отрезка перемещается по прямой, к которой отрезок
перпендикулярен.
а Ом. том I. стр, 195—166. Б «Геометрических исследования!» Лобачевскла
называет |.иреде№нуш лшппо также орициклом. См. том I, стр. 108. В настоящей;
сігпщешш ом, гласу ѴШ, стр. 289 наст, тома,
Звк. Б039- Н, И. Ловаяеескнй. г. П. II
1132
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
ра-з по л у попе ре1 шик. по кругу, без сомнения должен почитаться
слишком недостаточным. В моих началах Геометрии, пользуясь
Аотрономичѳекшш наблюдениями, показал я, что в треугольнике,
которого бока равняются почти с расстоянием земли до солнца,
сумма углов не может разниться с двумя прямыми более 0,0003 се-
куыды градуса'"'. Эта разность увеличивается "в геометрическом
содержании к бокам треугольника, а следовательно до сих нор
употребительная Геометрия, как я заметил выше, более нежели
достаточна в измерениях на самом деле ["]. К такому заключению
можно даже притти с помощью предложений довольно простых
и приличных началам науки, хотя полная теория требует уже1
совершенно переменить порядок в преподавании, с присоединением
сюда Тригонометрии.
| К несовершенству в теории параллельных надобно было
причислять определение самой параллельности. Однако ж это
несовершенство нисколько не зависело, как подозревал Леніандр, от
недостатка в определении прямой линии, ни даже от тех
недостатков, прибавлю, которые скрывались в первых понятиях, и
которые намерен я здесь указать и попытаться, сколько могу сам,,
их исправить,
Геометрию начинают обыкновенно, придавая телам три
протяжения, поверхностям два, линиям одно, в точке не допуская ниаа-
кого. Насыпая три протяжения: длина, ширина, высота, и разумея
под этими навваншши собственно три коордонаты, спешат, таким
образом, преждевременные понятия сообщить словами, к которым
разговорный язык придает уже какое-то, хотя для точной науки,
еще неопределенное значение *. В самом деле, как можно с ясностью
себе представлять измерение в длину, когда не знаем еще, ч*о
такое прямая линия? Как можно говорить о ширине, высоте,
ничего не сказав наперед о перпендикулах, о плоскости, как бывают1
перпендпкулы в одной и в разных плоскостях? Наконец, если
в точке нет ни одного протяжения, то что яге в ней остается затем,
* Ом. том I, стр. 307—SI0 и примечания А. П. Котеяьникова [Щ _ [И] к ним
(г\ I, стр. 283 и след.).
* "Такого рода меяожение начал геометрии можно найти, например, в рас-
ііросгравеяяоы в те годы *Курсе математики» нрофэрсора Харьковском
Университета Т. ОалпоБсного (часть 2; изд. 2, СПБ, 1814 г., стр. 338),
ВСТУПЛЕНИЕ
1С'',
чтоб она могла. быть предметом .-уждения? Пусть и тик, что
прямую линию ж-якніі ясно себе представляй г, хот;: но можі'т евдо
дать отчета і; своем понятии; но спрашивается, каким oopnwojr
помощню прямой' должен оп назначать теперь одно протяжение
и кривой линии, два в кривой поверхности**
Правда, нет необходимости требовать, чтобы длина, ширина,
высота были друг к другу перпендикулярны: довольно когда для1
них взяты линии в различных направлениях. Однако ж и в этом
случае встречаются своего рода затруднения. Принимая аа правило
преждевременно не заимствовать пз тех понятий", которые, должно
раскрыть еще в последствии, — как, спрашивается, вырячигь' теперь
условие, чтобы три размера в телах принадлежали трем прямым
в разных' плоскостях У Потом, различное направление двух частей
от точки перелома на линии не должно смешивать с двойным
протяжением в плоскости, и накоиед. определить вполне, что такое
надобно разуметь иод направлением и под углом. Короче:
пространство, протяжение, место, тело, поверхность, линия, точка,
направление, угол — слова, которыми начинают Геометрию, но
е которыми никогда не соединяют ясного понятия.
1Ге;кду тем, на все такие предметы молено смотреть еще е
другой стороны. Надоб]по заметить, что темноту в понятии здесь
производит отвлеченность, которая в применении к действительным
измерениям делается лишней, а, следовательно, в самую теорию
введена напрасно. Поверхности, линии, точки, как их определяет
Геометрия, существуют только в нашем воображении; тогда как
измерение поверхностей и линий производим, употребляя к тому
тела. Бот почему стоит только говорить о поверхностях, линиях
и точках, как их в действительном измерении разуметь должно,
и тогда будем уже держаться тех самых понятий, которые с
представлением тел в нашем уме непосредственно соединены, к которым
наше воображение приучено, которые можем поверять в природе
прямо, не прибегая наперед к другим, искусственным и
посторонним [J0]. Но с этими новыми понятиями наука в самом начале
получает другое направление, которому следует, покуда же
перейдет в аналитику; так что способ преподавания теперь уже
принимает особенный вид. Постараюсь объяснить, в чем эта перемена
может заключаться.
И*
161
НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕ01ГЕТРШІ
В Математике следуют двум способам: анализу и синтезу.
Отличительную принадлежность анализа составляют уравнении,
которые служат первым основанием всякому суждению и ведут
нз уже ко веем заключениям:. Синтез, или способ построений,
требует того самого представления, которое соединено непосредственно
с первыми понятиями в нашем уме. Главная выгода, в анализе та,
что здесь от уравнений идут всегда прямою дорогой к
предположенной цели. Синтез не подчиняется каким-нибудь общим
правилам, но с него надобно начинать по необходимости, чтобы, наконец,
отніскав уравнения, достигнуть с тем вместе той черты, за которой
все переходит уже в науку чисел. Например, в Геометрии
доказывают, что два перпендикула не пересекаются, что с равенством
некоторых только частей треугольники бывают уже во всем
одинаковы. Напрасно бы хотели такие случаи, как и всю теорию
параллельных, рассматривать аналитически. В этом никогда не
успеют так же, как не могут обойтись без синтеза в измерении
плоскостей, ограниченных прямыми линиями, в измерении тел,
ограниченных плоскостями. Само по себе разумеется, что в синтезе
даже должно пользоваться пособием анализа; но то неоспоримо,
что в началах Геометрии и Механики никогда не может анализ
быть единственным способом. Геометрии до известной степени
всегда будет принадлежать собственно геометрическое, никаким
образом От нее неотъемлемое. Можно стеснять круг синтеза, но
совсем уничтожить его нельзя. Даже в этом старании заменить
sa синтез анализом, не надобно столько спе|шить уже, чтобы допускать
всякий раз функции, где только зависимость предвидеть можно,
не зная в чем еще заключается, того менее, как будет она
выражаться. С этим ограничением в анализе назначаем истинную цель
и надлежащее место другому способу*, который один сперва
начинает науку с таких понятий, откуда суждение производит ужи
все прочее, выводя тотчас из первых его данных новые, так потом
и далее расширяя пределы наших познаний во всех направлениях
до бесконечности. Первыми данными без сомнения будут всегда
те понятия которые, мы приобретаем в природе посредством напшх
чувств. Ум может и должен их приводить к самому меньшему
То-есть синтезу.
ВСТУПЛЕНИЕ Пія
числу, чтобы они служили потом твердым основанием науке.
Однако ж обыкновенно синтетическому способу в этом виде,
і; соблюдением всех сказанных здесь правил, никто не следует,
предпочитая, хотя бы прежде времени, вводить анализ, и
предполагая развитие, хотя бы неполное, тех понятии, которые
составляют природный ум наш, и которым остается придать только
названия, не распространяясь много в объяснениях и не
затрудняясь точностям в определениях. Если легкость и простота
заставляют избирать такой способ преподавания, то на сторопе стротоіі
истины всегда будет свой преимущество, которым когда-нибудь
ао иадобно пользоваться. Пер.вый опыт этому сделал я с Алгеброй*
и талерь предпринимаю то же с Геометрией ["].
Чистый анализ, без всякой уже примеси синтеза, не прежде
может начинаться в Геометрии, как после того, когда всякая
зависимость представлена будет уравнениями и для всякого рода
геометрической величины будут дапы выражения. Величину в
Геометрии можем: понимать только с измерением *, которое для кривых
линий и поверхностей собственно не существует. Как бы малы ни
были взяты части кривой, [они] остаются всегда кривыми,
следовательно, помощию прямой никогда не могут быть измерены. То
же надобно сказать о кривой поверхности, где как бы тесно части
ші были разграничены, никогда не будут плоскими. С другой стороны,
в природе нет ни прямых, ни кривых линии, нет плоскостей и
кривых поверхностей: в ней находим однп тела, так что все
прочее, созданное нашим воображением, существует в одной теории.
Лагранж в основание принимал положение Архпмеда, что две
точки на кривой могут быть всегда взяты так близко, чтобы дуга
между ними почиталась уже более хорды, но меньше двух
касательных к дуге, проведенных от ее концов до взаимной, встречи
(The'orie сіез fonctions analytiques, par Lagrange). Такое положение
эі действительно необходимо, но с ним-1 уничтожается начальная
мысль, мерить кривые линии прямыми. Тот же случай с
поверхностями, когда предполагают мерить их плоскостями. Итак, вычи-
* Н, ЛобачевскнЙ—Алгебра или вычисление конечных. Том ГѴ лист,
из далия.
* О взглядах Лобачевского на теорию ивыереэия ем. ниже а примѳчаивді [Щ.
Лів НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
слепне длины кривой линии, как и величину кривой поверхности,
нисколько ие представляет, так сказать, выпрямление кривизны:
но клонится совсем к другой доли; сыскать границу, к'которой
тем ближе подходит измерение на самом деле, чем что последнее
сделано вернее. Измерение же полагают вернее той цепью, которой
звенья кельте; самым верным, наконец, когда вместо цепи берут
тонкую нить, совершенно гибкую. Бот почему в Геометрии надобно
собственно доказывать то, что сумма касательных уменьшается
вмрстй с тем, как сумма хорд увеличивается, покуда две суммы
перестанут приметно разниться с границей, к которой обе
приближаются, и которую Геометрия принимает уже за длину кривой
якнші. Тьперь ясно, что вычисление по такому правилу тем
согласнее бывает с намерением, чем это последнее вернее. Здесь видно
также, на чем основано положение Архимеда, По примеру кривых
линий должно рассуждать» о величине поверхностей, нисколько
не утверждая, будто весьма малые части способны
выпрямляться ''.
Для плоскостей, ограниченных кривыми линиями, и для тел,
ім ограниченных, кривыми поверхностями, также в строгом смысле не
существует измерения, как скоро мерою должны служить в
нервом случае квадрат, во втором куб*. Однако ж всегда предполагая
найти только границу, к которой действительное вымеривание
приближается, надобно показать, что к такой границе непременно
всякий раз приходим; потом объяснить, каким образом'иамереяне
должно себе представлять и как в нем можем достигать желаемой
точности. Чтобы удовлетворить всем втим требованиям нельзя
здесь обойтись без особых вспомогательных положений, которые
принимают уже за аксиомы: 1) плоскости равны0, когда дли еоста-
* Лобачевский отчетливо формулирует, что необходимо дать тачное
определение покятеиі длины кривой линии, площади ири.ной поверхности и т. п.
как предела, сумм определенного рода, к которому реальные намерения будут
приближаться тем более, чем они точнее, то-есхь чем мельче взята единица
яамироніиг. Наивно утверждать, что малые части способны тсрятг> кривизну,
выпрямляться.
* Замечвлке о квадрате и кубе относится лишь к случаю площадей ж
объемов в евклидовой геометрии. В геометрии Лобачевского квадрсьт и куб не
существуют,
■ ° То-есть ц лошади плоских фигур равны, Равновелкшсть Лобатовевнк вводит
rout равносоставленность.
ВСТУПЛЕНИЕ
ll'u
влегша одной и-і них другая делится па части, которые соедшшмтол
в новом порядке; 2) плоскость'" мопсе той, некоторой она вит
помещается, не наполняя при том еі- ооверш^кно: !)і величина
треугольника исчезает <:• беспредельным уменьшением одноіі
стороны. Последней положение даже необходимо в измерении ''амых
плоскостей. К подобным аксиомам надобно прибегать и п ллморе-
пии тел*.
J: То-есть и.-нщвдь плэдшяс Фигуры,
* При юмерепшг объемов рардовеликость нн сводится в рагшосостапжкшоетк,
как .это било обнаружен" значительно ію-.ідкее М. Дм»™ і 1301 г.) л В. Каганом
{1903 г.). См. брошюру В. Ф. К а гид-— О npcoopiwomHiur многогранников, ГТТИ,
1933.
ГЛАВА I
ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ В ГЕОМЕТРИИ [»]
9В | 1. Прикосновение составляет отличительную принадлежность теп
и дает им название геометрических, когда в них удерживаем это
свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные
ли то будут или случайные [іа].
Кроме тел, предметом суждения бывают, например: время, сила,
скорость движения; во понятие, какое заключается в слове
прикосновение, сюда не относится. Мы соединяем его в нашем уме-
с одними телами, когда говорим об лх составлении, либо
разделении на части. Это простое
представление, получаемое
прямо в природе чувствами,
не происходит из других,
а потому не подлежит уже
толкованию.
Два тела А, В (чер. 1)ъ
касаясь друг друга, составляют
одно Геометрическое тело О,
где составные части .А, В
являются каждая порознь, ие
Черт. 7.
теряясь в целом С.
Обратно, всякое тело С произвольным сечением S разделяется
на две части А, В. Здесь под словом сечение не разумеем тсакую-
34 нибудь но|вую принадлежность тела; но тоже прикосновение,
выраікая в этот раз уже деление тела на две прикосновенные
части. Две части А, В будем называть еще сторонами сечения S
в теле С[и].
Так можно представлять себе все тела в природе частями одного
целого, которое называем пространством^].
\'
\. в
s.
\
\
\
\ь
Чц
ч
ГЛ. Т. ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ В ГЕОМЕТРИИ 1Kb
Ч. Ко всякому телу .-1 (чер. 8) может касаться другое В так, что
прикосновение третьего 0 к Л и к В вместе сделается
невозможным. В таком случае J5 называют окружным пространством,
предполагая, что в нем заіслючается всякое тело С; или местом тела Д,
принимая в рассуждение только прикосновение А ѵ И, и потому дозволяя
всякую часть С, неприкосновенную к А, выбрасывать иа окружного
пространства^6]. Когда тело Л находится в этом роде
прикосновения с В, притом <• .-1 нельзя соединять никакого тела, которое бы
не касалось В, то говорят, что А наполняет-
место В. Все другие тела, которые без всякой
с ними перемены наполняют также место Д
будут уже геометрически во всех отношениях
ѵдичаповы моѵкду собою *.
Дна тела только что равны, как скоро
части | одного должны быть расположены в
новом порядке, чтобы наполняли место
другого *("]. Черт. 8.
Измерение геометрического тела будет произведено, когда
разделяем его с другим, принятым на меру, на равные части. После
чего величина выразится содержанием числа частей в данном теле
к числу частей в мере. Возможность найти величину тел
предполагает, следовательно, возможность составлять веяное тело
повторением одного, которое, прикладываясь само к себе, наполняло бы,
наконец, как измеряемое, так и самую меру. Если нельзя в этом
успеть совершенно, то начинают с того, что мере дают известный
вид, затем разделяют ее так на части, хотя произвольного размера,
но всегда одинаковые, чтоб она сама с собой н с частями
производила сплошное тело, наполняя пространство вне всяких границ.
После чего в составлении можно будет подходить к образованию
всякого тела, достигая той степени равенства, за которой наши
чувства перестают ул;е постигать недостатки. Тогда погрешности
в намерении не превзойдут тех отклонений, какие бывают даже
* Конгруэнтность (одинаковость) двух теп определена у Лобачевского через
движение. Конгруэнтные тепа—это такие, которые движением преоОрнауготсн
в одно ж. то же тело, то-ееть «без венкой о ними перепевы наполняют также
место В».
* Лобачевский пользуется термином «одинаковы» вместо принятого теперь
сковгруентпыі л термином «равны» вместо «равносоставлены».
170
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
в самой природе, которая должна быть всегда главною целию
в науках, и где хотя: мы почерпаем первые понятия, но самою
строгости» в них бываем одолжены несовершенству наших чувств.
Действительно, в | природе непрерывного составления пет, а,
следовательно, правильность образования не поддерживается до
малейших частиц, как она представляется с первого раза для всего
целого и большом размере. С другой стороны, хотя производим
п нашем воображении несоизмеримые тела, как например шар и
куб, однако ж стоит условиться в признаках большего и меньшего,
следовательно допускать уже во bcl-m определенную величину,
потом заключать измеряемое в границы, которые бы можно было
сближать по произволу, тогда будем подходить с какой угодно
точностиго к величине мысленных образцов [iS].
3. Всякое тело может быть разделено на части, которые не
касаются взаимно через одну. Такие сечения назовем
поступательными. Они назначают протяжение, по которому тело простирается
до бесконечности, когда непрестанно прибавляем от окружного
пространства новые части, неприкосновенные через одну.
В чертеже 9 представлены части А., В, С, D, Е тела, которые
по порядку соединены прикосновением, тогда как А не касается
\
\
!\
\s
N
\S'
'\
!\
jiS"
\
к
.1*5*
N
і
V
Черт. 9.
і
ни С, ни Z>, ни JS; также В не касается ни D, ни Ж. Сечения S,
S', S", у?'", которыми такое деление произведено, будут
поступательные [1Э].
зт | 4. Первое течение делит тело на две части; второе, переводя
с одной стороны на противоположную, производит уже четыре.
В таком случае два сечения можно всегда так провести, потом щш-
Давлпть еще новые, чтоои е паою'дым разом увеличивалось двумя число
ГЛ. I. ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ В ГЕОМЕТРИИ
171
частей., которые все взаимна друі Орут касаются- Такие сечения,
которых, следовательно, число неограннчено, будем называть <и1ря-
щательпы.чир"].
В чертеже 10 сечении п/; разделяет тело ка две части;
сечения аі, ef прибавляют еще по лве, так что все шесть частей, АА',
ВВ\ СС, ВВ', ЕЕ', FF\
взаимно касаются. Например, АА'
касается ие только ВВ\ по
даже СС, DD\ ЕЕ', FF'. Три
течения ab. cd, ef будут обра-
. гцательные.
Два сечения, из которых
каждое и отношении к
другому переходит с одноі'г сто-
U»J
с
\FA--.l
VjK-..-1;■-■■--'•■■-,-•■" -■,;■-' - ■*$■-■ Ь. '•'-"■■"--
Чврт. 10.
роиы па противоположную, будем называть для краткости сече-
■иші.\т пакует. Например, в чертеже Ю сечения об, cd проведены
накрест. Из четырех частей, такими сечениями в теле
произведенных, тем двум, которые в отношении к обоим сечениям находятся
па противоположных сторонах, дадим название долей, юѵирест.
В чертеже 10 представлены, доли пакрест АА' с ВВ', ВВ' с ЕЕ',
ш ОС \й FF'. Здесь АА' с ВВ' лежат на противоположных
сторонах как в отношении к сечению о,Ъ, так и к cd.
Надобно заметить, что два сечения накрест
разделяют пногда тело на четыре части
неприкосновенные через одну. Однако ж в таком
случае первая доля соединяется вновь
прикосновением с четвертой, а потому здесь деление
нельзя смешивать с тем, которое происходит
от поступательных сечений. На чертеже 11
представлен вид с боку такого тела.,, которое
сечениями abed, efgh разделяется на четыре части А, В, С, D
неприкосновенные через одну. Между тем, первая часть А соединена
с четвертой В, а потому деление нельзя почитать произведенным
посредством четырех поступательных сечешиі «й, ef, cd, gh.
Отличительный признак сечений поступательных от сечении накрест
будет тот, что первые нѳ переходят с.одной стороны на
противоположную. В чертеже 11, напротив, сечение abed разделяет тело на
172
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
две части аЫ, aed, которые представляют две стороны сѳчеыия abed;
другое лечение efgh с одной стороны асй переходит на другую аЫ.
Если бы часть D, например, была отброшена, через что
прикосновение А с D, I) с С было бы прервано, то в таком случае два
сечения ef, cd сделались бы поступательными. Впрочем е двумя
сечениями накрест должно всегда происходить прикосновение по
| крайней мере двух допей накрест, если не в самом теле, то
в окружном пространство; следовательно, с прибавлением отсюда
какой-нибудь части к телу. Так в чертеже 11 тело может быть
дополнено чаетиго, взятой
от окружного пространства,,
с тем чтобы в этом состав-
Id' , а[ 1 ' )& ном теле два сечения не-
прерывались [!1].
Предполагая еечепия
непрерывными, можем
допускать два случая: или
сечения ad, eh (чер. 12), производят четыре части it, В, 6, И, из
которых каждые две А а С, В ч D касаются накрест: или где только-
две части, например, А с С (чер. 13), касаются, тогда как две.
другие, В с D, нееоединены". В одном только первом иа этих
двух случаев сечения ad, eh (чер. 12) будут обращатепьными.
5. Всякое тело можно треля сечениями разделять па восемь
частей взаимно прикосновенных, так чтобы сечения поступательные-
к каждому из трех отделяли всегда по штыре части взаимно при-
повновенные. В таком случае три сечения назовем главными, которых
уже более числом существовать в телах ■ не может, хотя каждое-
заменяется как обращательным его, так и поступательным.
Четвертого сечения, которому бы могло принадлежать название
главно ного ] под этим условием, никакое тело не допускает. Действительно,,
мы не в состоянии ни одно тело разделять четвертым сечением,,
удваивая число долей взаимно прикосновенных, так чтобы пріь
военовение всех шестнадцати частей сохранялось, когда сечения
заменяем их поступательными [и].
Три главные сечения аЬ, cd, ef (чер. 14) разделяют тело на.
восемь частей А, В, С, D, А\ В', С, D' взаимно, прикосновенных.
ГЛ. Г. ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ В ГЕОМЕТРИИ 173
То же бы произошло, когда бы вместо ей, например, взяли которое-
нибудь из его поступательных, или одно ш обращателг.ных.
Еще не довольно, чтобы все восемь долей взаимно касались,
если три сечения, которыми тѳло разделено, должны быть главными.
Надобно, чтобы поступательные к каждому вырезывали всякий
раз по четыре части,
теперь, что к одному Черт. и.
из трех сечении проведено поступательное: между ними вырежутся
четыре части, которых прикосновение мандат быть одно из трех,
представленных на чертежах 11, 12, 13. Первый: случай не решает
еще, должно ли почитать сечения od, eh аа два главные; но в слу-
4і чае, который видим на чертеже 12, два | сечения ctd, eh могут быть
главными, когда то же повторяется везде между поступательными
сечениями, или по крайней Ѵмѳре только между некоторыми
.. прикосновение накрест со-
А \, всем уничтожается.
— _►. . 1 1 ІІВіІІІ. ■ І-.ІІИ"*С
1 /
\ / ' <і. Когда в теле три
'{ главные сечения прове-
_g :\ дены, с тем вместе восемь
і._ \ долей взаимно прикоено-
^Ат, венных произошли, то в
отношении к первому сече-
Черт. 13. J
нігго две части касаются по-
ваузхноспжо, в отношении к двум сечениям две части накрест
касаются линейно, ъ отношении ко всем трем ' сечениям две части ііп
противоположных сторонах касаются и точке.
Чертеж 7* представляет поверхностное прикосновение двух
частей At Б в толе G. На чертеже 15 видно линейное прикосновение
* Отр. 168 наст, тома.
174
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
двух тол А. В, которые могут бить вырезаны из одного
посредством сечений иЬ, td. В чертеже Iti два теля А, В касаются друг
друга в точке, будучи вырезаны из одного помогцшо трех сиче-
ннй dbe, dbe, fbg.
Вел кое тело і; окружным пространством находится в
поверхностном прикосновении. Сечение, которым оно бывает отделено..
■я
о. .
■ А
В
можно рассматривать го за одно, то за два обращателыіые, то,
« на|конед, за три главные. Итак, две части в теле касаются либо-
поверхностно, либо линейно, либо в точке [п].
7. Если говорим о прикосновении только двух тел*,
следовательно, не принимаем в рассуждение части, которые в одном не
касаготея другого, то два тела получают название поверхности,
мааш, точки, смотря по тому, какого рода прикосновение между
ними будет:
поверхностное, линейное, либо
в точке.
Так, если два тела
А, В (чер. 17) касаются
поверхностно,
находясь на двух сторонах
сечения S, то получают
уже название
поверхности: S, как скоро дозволяется прикладывать и отбрасывать от А
всякую часть я, неприкосновенную к В, от В-всякую часть 6,
неприкосновенную к А. Отделение таких частей: а, Ь должно про-
Черт. 17.
* Олово «только» здесь отвосится£в слову «црикооноБение* («Если говорим
только о прикосновении двух тел»).
ГЛ. 1. ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ В ГЕОМЕТРИИ
175
исходить помощию поступательных сечений S% 8" к 8, и ію;кет
продолжаться, покуда доходим н двух телах до тонкости бумаашого
листа идл как далеко воображение в состоянии следовать «ще за
делением. Обыкновенно в этом виде представляют себе поверхности,
при чрезвычайной тонкости двух тел, устраняя те части в них
от нашего внимания, которые не нужно совсем принимать в рас-
суждение ■
43 | Если два тела А, В (чер. 18) касаются линейно, представляя
сойой части одного, вырезанные двумя сечеииями аЪ, ей; йротом
дозволяется от А
отнимать всякую часть а
неприкосновенную в Д от
В всякую часть |3,
неприкосновенную, к А, то два
тела А, .В под таким,
условием принимают уже
название линии. Отделение
частей a, j3 может
происходить в обоих телах по-
ыощию поступательных
сечений S, S' к двум
сечениям аЬ, cd и доводить
тела до тонкости волоса, или черты ef на бумаге, или как только
далеко воображением в состоянии постигать это деление. Так
обыкновенно представляют линии, наперед сделавши
неприметным в них то, что не должно здесь обращать на себя внимание,
Бели два тела А, В (чер. 19) касаются в точке, следовательно,
могут бить принимаемы за доли, вырезанные в одном, шшощию-
трех главных сечений аЬе, dbe, fbg; то А, В называются точкой
в таком случае, когда дозволяется от А отнимать всякую часть и, р,
которая не касается В; от В всякую часть *[, кеприкосновенную к А.
Отделение таких частей происходит в обоих телах посредством
сечений S, аЧ', 8", поступательных к трем главным abe, АЬе, fbg, я
и доводит, наконец, тело до малости песчинки, | или до точки Ь от
прикосновения пера, откуда заимствовано самое название*.
Черт. 18.
* вТочка» — огго^шное осірна гусиного пера, которым писали во времена
Лобачевского.
L76
НОВЫЕ НАЛАЛА ГЕОМЕТРИИ
Прикосновение всякого тела к окружному пространству
производит поверхность, которая граничит тело. Самое тело будет
внутренняя, окружное пространство — внешняя сторона поверхности,
Сечения в теле производят поверхности, которые называются
внутренними, различаясь тем саыым от наружной в прикосновении
к окружному пространству.
Всякая линия принадлежит к беечислепному множеству
поверхностей, производимых обращательными сечениями (ст. 4). Это
Черт. 19.
самое разумеют, говоря, что поверхности ііерг.сашю7пся в линии,
которая лежит в каждой из них и разделяет ее на две части —
стороны линии. В пересечении наружной поверхности тела со
' внутренней, продолженной вне тела, происходит линия, которая,
замыкаясь, граничит внутреннюю поверхность, иди другими словами:
рааделяет внутреннюю сторону линии от наружной беспредельной
в окружном пространстве.
Точка принадлежит всем линиям, в которых три главные
сечения с их обращательными пересекаются. Каждую линию точка
■м разделяет на |две части, которые назначают две противоположные
стороны точки. Если линия замыкается, то иадобпо вынимать из нее
часть, чтобы не смешивать более две соединенные стороны [8+].
8. Измерение тел требует разделять вх на равные части (ст. 2),
Деление может быть произведено помощию поступательных сече-
ГЛ. I. ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ R ГЕ011ЕТШИ L77
шііі к трем главным; а потому телам принадлежат три протяжения,
назначаемые тремя рядами поступательных селений.
Если предположить, что мы в состоянии: таким образом всякое
тело вымерять, пак это будет доказано в последствии [a"'J, то к
каждому сечению можем провести поступательное, вырезывая между
ними такую часть, которой величина может быть уменьшаема пак
угодно сравнительно с величиной всего тела. С другой стороны,
уменьшения такое в величине тела не переменяет поверхности,
которую первое сечение производит. Итак, в этом отношении
величина поверхности должна почитаться нулем в сравнении с
величиною тела.
У. Измерение поверхности, подобно как измерение тел, требует
деления на равные части. Такое деление возможно, когда к сечо-
1G нию, которое | производит самую поверхность, присоединяем еще
два, чтобы составить три главные; потом к этим двум
прибавленным ведем поступательные. Здесь два ряда поступательных сечений
назначают два протяжения, тогда как в третьем отрезываются
только части, которые к поверхности не принадлежат (ст. 7).
Если предположим, что поверхность таким образом всегда может
быть вымерена, так іка, как и всякая часть ее между двумя
поступательными сечениями, которые назначают одно протяжение,
то часть эту можем уменьшать произвольно в сравнении е
величиною всей поверхности. А как часть поверхности составляет
сторону линии, то в этом отношении величина линии Судет нулем
сравнительно с поверхностью. Итак, в измерении поверхностей
можно, следовательно, поступательные сечения заменять их обра-
щательными: это значит уже, что надобно принимать только в рас-
суждение самые линии, проведенные на поверхности, к каким бы
сечениям впрочем они ни принадлежали и как бы сечения вне
поверхности ни продолжались.
10. Измерении линий требует разделения на части, которые
-і! можно вырезывать одним только | рядом поступательных сечений,
проведенных к третьему главному, принимая за два другие те
самые, где линия находится. Действительно, поступательные
сечения к двум последним отрезывают только части иепрішадлеяшые
к линии (ст. 7).
Зік. 5039. Н. И. Ловачевски*: г. II. 12
1Т& НОВЫЕ НАЧАЛА Г.ЕШШТРИИ
Предполагая возможность найти величину всякой линии, также
исякой части на лей между двумя точками, потоп допуская, что
честь эта может по произволу бить уменьшаема, должны
принимать линию аа нуль в сравнении е величиною поверхности,
потому что псе такие пасти не принадлежат ужо к точке.
11. Величину точки должно во всяком случае почитать за нуль
ъ сравнении е величиною линий, потому что все линии, кок бы
ьдош ни были, могут уменьшаться, без всякого влияния на
величину точки, которая таким линиям принадлежит (ст. 7).
Черт. 20.
Вообще, как линии, ■ так и точки, соединяясь между собою
сечениями, к которым оии принадлежат, и которые, следовательно,
все будут уже друг к другу обращательннми, не могут
увеличиваться с тем вместе, как сечения, заменяясь одно другим, не
"а производят новых линий и тоі'чек. .Итак, в этом роде соединения
величина двух линий остается снова величиной большей из них,
или той же б случае равенства; величина же точки всегда не
переменяется. Это свойство линий и точек, от удваивания не
увеличиваться, между геометрическими величинами то же, какое между
числами принадлежит нулям.
12. Относительное положение двух точек называется раесшоя-,
шем и назначается прикосновением двух тел, в ■ которых
допускаются все те перемены, какие не переменяют самых точек; так.
г;!. ;. шт'вш: понятия h геометрии іти
что расстояние тючитяетсн то же, когда разность прот-ходнт (ч
"ЧІЦ-ГеІІ ОДНОГО тел И. ПСПрІПІОСЫПМ'ННІІХ К ДрЛТОЛѴ, І1ЛІІ ОТ
{.наличных обр а щнтсл т., них 'течонціі, к которым точки равно
принадлежит ["*'],
Рягч.тош-пте точек Л, В (чир. 20) определяется прикосновением
тела. ЬЫ к. АСЕ таи же, как и прикосновением тела X3f к ADB.
потому что здесь различие б телах прикосновенных составляют
или те части и одном, которые не каиаюгея другого; шт такие
части, которых наружные поверхности представляют обращателышо
селения, куда принадлежат две точки.
12*
ГЛАВА II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА, СФЕРЫ, КРУГА, ПЛОСКОСТИ
II ПРЯМОЙ ЛИНИИ Р7]
!,' 13. Шар есть тело с такой наружной поверхности]» — сферой,
которой все точки в равных расстояниях (ст. 12) от одной внутри—
центра шара или сферы. Это расстояние центра до точек сферы
называется полупоперсчкт s шара так ;ке как и самой сферы.
* | С первым понятием о телах в Геометрии принимаем уже центр
внутри шара, представляя себе вокруг всякой точки сферу, как
такую поверхность, которая граничит совершенно часть
пространства в полном ее прикосновении с окружным {ст. 2) [as].
14. Сферы, с равными полупошречпитми бывают одинаковы,
потому что сливаются во всех точках, когда центр у них общий (ст. 2).
Л/ары с равными полупотречпикальы также одинаковы, один
наполняя место другого (ст. 2).
Одинаковые сферы: вокруг одного центра спиваются,- таким
образом, всякий раз, какая бы точка в одной куда бы ни
переносилась на точку другой.
Часть сферы сливается с самою сферой, куда бы здесь ни по-
■ латалась, покуда центр у них общий [в9].
15. У сфер вокруг одного центра — одноцептриых, но с
различными полутоне речниками, не может бить общих точек (ст. 13).
Их шары, следовательно, заключаются один внутри другого.
Одноцентржые сферы с этим их свойством, представляя посту-
s нательные сечения в пространстве!(ст. 3), служат к назначению
протяжения в телах, поверхностях ж линиях.
и Радиус.
ГЛ. Ц.ОПРЕДЕЛЕНИЯ 181
Полупоперечнш;и считаются те менее, которые принадокчпят
одпіщентрным шарам, помещенным внутри других. Это подает
первое средство для сравпения различных расстояний ыезіду собою.
Итак, всякое тело необходимо разделяется ма части помощию
сфер оді-тоцентрш.іх [80].
lfi. Центр может быть один толші внутри тара.
Внутри сферы А (чор. 21) полагаем два центра «, Ь. Воируг
одного, например, и, воображаем сферу В с поту поперечником 'Л *''.
На ней все точки будут также центрами
сферы А, потому что всякая точка с на
сфере Д движением вокруг а, переносится
в 6, тогда как сфера А в своем
обращении по связи в іоару е В не перестает
сливаться сама'с собою (ст. 14); после
чего точке с па месте 6, так же, как п на
прежнем, должно принадлежать то же
свойство. Расстояния всякой точки d на
сфере А до 6, с, и до всех вообще точек
на сфере В, делаются, таким образом, равны. Это значило бы;
что ва дентр сферы В можно почитать точку tl вне сферы (ст. IS).
о | Заметим еще, что шар под сферой В нельзя бы разделять на
части сферами вокруг <і, следовательно, принимать за тело (ст. 15) [ЯІ].
17. Шар сиоей сфероіі не разделяется на часты.
Иначе, между частями шара, разделенного своею сферой,
нашлись бы такие, внутри которых не заключается дентр (ст. 16) и
которые бы, следовательно, не подразделялись более на части
помощию. сфер, однодеитриых с шаром (ст. 15) [3-],
18. Плоскость называется такая поверхность, где пересекаются
равные сферы вокруг двух постоянных центров—полюсов.
Пусть А, В (чер. 22 *)—полюсы, вокруг которых описаны сферы
с одним полупоперечником: АС—ВС. Обпще точки С, Д І?
принадлежат кругу, так же, как ы целой плоскости со всеми другими
*■ У Лобачевского подраауыедиетсв, -тео радиус г равен расстоянию ыежду
центрами а, Ь.
* Чертеж 32 Лобвчеізеного слшттом аяекатнчеп. Его моищо заменить
чертежом 22а.
№ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
точками F, О, Н, общими сферам около ток же полисов А, В с ка-
кньш-иибудь по л у попе речниками AG = BG.
Чвета круга, например, CD, EG, называются думмп круга.
■в Щ
Черт. 22, [Ч ѳ р т. 22л.]
'' | Ш. Іілосктт, бесконечно продолжаясь, разделяет пространство на
дне киети, которые составляют ее две стороны, каждая заключая
в себе свой полюс.
Пусть А, В полюсы. О всякой третьей топке С в пространстве
можем утверждать, что принадлежит самой плоскости, либо той,
либо другой ее. стороне. Если расстоянием АС .двух точек А, О
пр она веде няне сферы вокруг центров А, В не пересекаются', то G
лежит вна плоеиости на стороие полюса А. Если же расстоянием AD
какой-нибудь точки D wA вокруг А, В описанные сферы
проходят обе чрез D, то точка D лежит в самой плоскости, Наконец,
когда расстояние АЕ точки Е в пространстве, взятое за полупо-
іиеречшш, описывает две сферы вокруг А, В, которые входят одна
в другую, тогда точка Е будет ев стороне полюса В.
Первый случай с точкой С принадлежит расстоянию АС<ВС\
второй с точкой В, когда AD = BD\ третий с Е, когда АЕ>ВЕ
(ст. 16). В первом случае сфера вокруг В с полупоперечником ВС
необходимо дает общую точку со сферой вокруг А, которой полу-
попере-вдик АС, следовательно, пересекает уже сферу вокруг А
с полупопер ечви ком, равным BG. Второй случай не требует поясее-
ГЛ. II, ОПРЕДЕЛЕНИЯ !Ч:і
іш;[. В случае ■; точкой Е с<|л'ра вокруг А. с полуио| пер с
чинком BE шве™ но щрисекаит сферу вокруг В ,-.
полупоперечником BE.
Когда, таким образом, всякая точки в пространства должна
принадлежать к плоскости, либо находиться на той, либо па другой
'-<■ стороне, то самая плоскость может продолжаться до
бесконечности, разделяя пространство на две частгг [asj.
■20. Плоокоать покрывает сама моя как дріроР, стороне, так и
■) обращении вокруг полюсов.
Когда полюсы J, В (чср. 23 *) меняются местами *, то сферы
нокруг их; переходя с одной стороны плоскости на другую, каждая
покроет ой равную; следовательно, плоскость а этом новом
положении сольется с плоскости» в прежнем,
" Всякая точка С может быть перенесена в другую точку D на
круге происхождения, покуда центр .1 сохраняет свое место. С этим
переносом соединено "перемещение точек во всех сферах около .л.,
по самые сферы сливаются в прежнем и новом их положении;
следовательно, с плоскостью случается то же [S1].
* Чертеж'аз Лобачевского исправлен. Точки С к D должны лежать я»
одной «круге происхождении» (то-ейМ> на одной из кругов, аоторыыи образована
плоскость), что не видна ив чертежа Лобачевского. Приводим для поясиеаия
также чертим ЭЗа.
* Лобачѳвекжй допускает здесь, что движением' возможно совместить точку
Іі с А, а А с В.
184
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
j 21. Через две точки е пространстве можно провести плоскость.
Две точки А, В (чер. 24 s"), чрез которые требуется провести
плоскость, принимаем сперва за, полюсы плоскости, где пусть СЕВ
будет один из кругов происхождения. На нем каждые две точки С,
D находятся s равных
расстояниях от А и і?, а
потому, когда точки С, D берем
за полюсы, то новая
плоскость пройдет уже чрез
данные две точки А, В.
А
В
Чер т, 24.
[Черт. 24а.]
22. Началом кругов происхождения назовем такую точку, которая
может бить одна только на плоскости и которой расстояния до
всех точек каждого круга равны. Эта точка называется центром-
каждого круга; расстояния точек круга до центра — полупопереч-
■инки круга. Щ.
Когда полюсы А, А' (чер. 25*) меняются местами, между тем
как точка В на круге происхождения ВСВ'С сохраняет свое, то
на том же круге найдется другая точка В', которая, так же как
и В. останется на прежнем месте. Подобные точки, каковы здесь В,
В', будем называть чіративоположиъши на круге. "Чтобы для В найти
противоположную точку В', стонт только взять от В в обе стороны
равные дуги ВО, BF, после него, принимая концы С, F за полюсы,
іо вести плоскость, которая, пройдя чрееІ-А, А' (ст. 21), пересечет
круг ВСВ'С в точке В', потому что с перестановкой А, А' ме-
s Приводим чертеж 24ц, пояапяюлшй схематический чертеж 24.
* Чертеж 25 домдщен также в иппрандевном виде. В оригинале положение
точек на соответствует тексту н пропущены точки ЕЕ'. Мы даем еще чертеж 25а,
поясняющий чертеж Sfi.
ГЛ. П. ОПРЕДЕЛЕНИИ
ISC
ияютсн также С, F местами, но плоскость н круг, сливаясь сами
с собой, сохраняют общую точку В' Сет. 2U). Если теперь точки В,
В' служат полюсами, то кован плоскость, проходя чред А, А', pan-
режет круг ВС'В'С" в противоположных точках Е, Ж'. Она с плое-
костию круга разделяют пространство на четыре части, которые
заменяют одна другую с обращением их около Е, Е', так что
когда Л будет в А', то наоборот А' в -4, тогда как общие точки
двум плоскостям
остаются на своем месте. Это
значит, что каждые две
части накрест касаются
в липни ЕВЕ' (ст. 4
и 7), которую называют
поперечник * [ас] круга
ВС'В'С. Обращая все
.сферы вокруг их центров
A, А', не нарушая
впрочем связи между ними
в пересечении, даем
поперечнику ЕВЕ' новое
положение CDC, так что
прежние точки J$, Е',
B, В' теперь будут в С,
С", G, О', тогда как
найдется точка Д которая
места своего не
переменит. Если б Е, Е'
принимались за полюсы, то плоскость прошла бы не только чрез
А, А', но также чрез В, В'. Подобным образом, если бы С, С
были полюсы, то плоскость прошла бы чрез -4, А' и чрез <■?, &'
на круге. После такого замечания не трудно видеть, что все
дуги СЕ, G'E', BG, B'G' равны между собой, а следовательно,
с обращением плоскости круга на другую сторону и с положе-
и пием[линии ЕЕ" на CG', должна ОС лежать на ЕЖ будет ли Е
в С или в С. Отсюда заключаем, что CB>=EB = C'D=E'I>. Так:
РТері'. 25а.1
Диаметр.
1-8Н НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
кик линии ЕВЕ' дано новое положение CDC произвольное, то D,
на половине попе-рочшіка ЕЕ', должна быть единственной точной,
откуда расстояния до веек точек круга равны. Впрочем,
пересечение двух поперечников в одной только точке нетрудно понять,
когда заметим к тому, что здесь три плоскости разделяют
пространство на восемь частей, из которых каждые две накрест и
шатые на противоположных сторонах в отношении ео всем трем
плоскостям заступают одна место другой, не теряя своей связи;
следовательно, своим прикосновением представляют единственную
точку (ст. 5 и 7).
Расстояние центра до точек круга называют полу поперечником,
который, следовательно, составляет половину поперечника.
Поперечник разделяет крут на две одинаковые части [м].
Кругам принадлежат то же свойства на плоскости, какие
сферам в пространстве. Например, равенство полупоперетаиков делает '
круги одинаковыми; дуги круга слипаются, когда центр у них
общий.
[24] •.
а 1 24. Для круга может быть один только центр на плоскости.
Вне круга, либо на самом круге, нельзя допускать центра,
которого бы расстоянии до веек точек круга были равны. Иначе,
сфера вокруг такого центра не могла
бы разделять того шара на частя,
которому начало кругов на плоскости
служит центром и которого поверхность
пересекает плоскость в данном: круге
(от. 15). Если же кроме начала А
допускаем другой центр В внутри круга
{чер. 26), то сфера около А с полупоперечником АВ пересечет
плоскость в круге ВО (ст. 23), где точка В может быть перенесена
всюду на сфере а полупоперечншшм АВ, так jkc, как точка D на
круге происхождения BE меняется местом со всякой другой иа
сфере около начала А с шжупоперѳчником AD. Итак, два центра А,
В были бы вместе двумя центрами: той самой сферы, которая пере»
s Статья 23 была прапущевй при печатинни «Ученых записок» до опгибйв.
■Си. об этом примечание [эт].
і£ф
ГЛ. ][. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1ST
■:с[;аі.'т плоскость в данном на а«й круги; тогда как невозможность
тгпго б шла доказана (ст. Ѵі) [!Н|,
2.). Прп.ион называется та линия, которая между двух точек
покрывает сама себя во всех положениях [8Л]. Это свойство
принадлежит поперечнику круга.
Пусть ДСД' (тар. 27 ") поперечник круга ДЙД'//; пусть С центр
іі іі, следовательно, начало | кругов той плоскости, которая проходит
чрез С и где лежит круг Д5Д'.Й' (ст. 22 и 24). Около С
воображаем сферу с тем же полупоперечинком АО, который принадлежит
кругу. Новая плоскость с ее полюсами А, А' пересечет сферу
:в круге BDB'D', так что теперь у двух кругов будут общие точки В,
В', в каждом противоположные {ст. 22), потом общая и
поперечник ВОВ'.
Точки, каковы А с А', В с В\ противоположные на большом
круге, называются протиноположнгши ■полюсами сферы, где круг
лежит. Всякая точка на сфере может, следовательно, почитаться за
полюс, которому соответствует другой противоположный. Точки А,
А' называются также противоположными полюсами того большого
круга BDB'D', которого плоскость происходит от пересечения
равных сфер около -А, А', и который лежит вместе с А, А1 на ток
же сфере.
s Приводим 'черт&ж 27а в дополнение к схематике акому -чертежу 27
Лобачевского.
188
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Точки В, В', следовательно, полюсы для круга ADA'D',
который проходит через А, А', пересекая круг ВЬВ'ТУ в полюсах D, D1'
круга ABA'S'.
Здесь "плоскости трех кругов представляют три главные
сечения (ст. 5), разделяя шар иод их сферой на восемь частей, из
которых каждые две противоположные накрест, касаются в общей
і-і точ|ке С (ст. 22). С обращением круга ABA'В' на своем
поперечнике АА', точки В, В' пробегают по кругу BDB'D' так, что когда АВ
находится в части ABD сс{>еры, например, когда В придет в Ж,
то дуга АВ' будет в другой части AB'D', точка В' где-нибудь в Ж'.
При каждой из этих новых положений круги, нельзя допускать
отклонения в точках на полупоперечнике АС, потому что полу-
поперечник должен себя покрывать, когда с продолжением
обращения, наконец, Ж, Ж' переменятся местами, между тем как
отклонившиеся точки в одну сторону необходимо пришли бы. в другую ■
часть шара.
Прямая АА' покрывает опять сама себя во всех положениях
после того, как ее концы А, А' переменились местами, потому
что с этой переменой все круги наперед могут сливаться так же,
как и линии в пересечении плоскостей.
Заметим, что здесь в пересечении трех плоскостей происходят
прямые ланий, как АА', так- ВВ', BD', которые, будучи попереч- ■
никами, разделяют круги на две одинаковые половины.
Прямая вместе с плоскостями, в пересечении которых лежит,.
продолжается в обе стороны до бесконечности, разделяя, таким
и образом, каждую | плоскость ыа две части. Находясь внутри тела,
ограниченного со всех сторон поверхностью, либо внутрн
плоскости, окруженной замкнутой линией, она пересекает по
крайней: мере, в двух точках наружную поверхность и линию, входя,
внутрь и выходя бон *" [іа].
26. На ііря.чой, которая соединяет два полюса, могут быть о
равных расстояниях от качала кругов взяты д'ее точки за новые полюсы
той же плоскости.
* Лобіѵтевевий в теории параллелей часто опирается шл это предложи не.
Б применении к треугольнику вто своііство прямой получило хшоследствии
название «авсыоыы ГГяша», так япк било введено М. Пашем в форме аксномы в его-
курсе М. Р a s с Ь, — "Vorlesvmgea itbet aeuere Geom&tds, Leipzig, 1882, етр. IV -}- U02..
ГЛ. II. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 189
"Две точки А, A' f'icp. 28) принимая :за полюсп, полагаем, что
■ііа плоскости начало В, один нч кругов CDCW о
противоположными точками С и 6", D и Z>' (-ст. 22),
вокруг которых равные сферы дадут
плоскости е прямой линией ABA' в
пересечении (ст. 25). Прямая Л А' о
распространением плоскостей продолжается
беспредельно, так что на ней могут быть взяты
две точки Е, Е' на произвольных и
равных расстояниях БЕ, BE' от начала,
■ ближе, либо далее точек А, А' от В.
■ (і обращенном одной из двух плоскостей,
напр., ЕСЕ'С на общей им линии ЕЕ',
точка С пробегает весь круг CDCD',
которого, следовательно, все точки
находятся Е равных расстояниях от Е, так же,
..как от Е', потому что е оборотом
плоскости на другую сторону полюс Л падает
в А' так же, как Е \ в Е'. Сферы вокруг
Е, Е'. когда палупоперечнга; ЕС, должны, следовательно, пере-
еекатьия в круге CDG'D'. То же надобно скачать о каждом круге
происхождения, которые, таким образом, все, вместе с плоскости»,
происходят от пересечения
равных сфер вокруг Е, _£".
27. Щшмые сливаются^ ѵак
скоро проходят чрез две точки.
До сих пор еще различалась
на прямых точка, которая в
плоскости служит началом кругов.
Покажем, что теперь это
различие более Ее нужно. Около
произвольной точки С (чер. 29) на
прямой воображаем сферу с
каким бы то яи было полупоперечником; СВ. Прямая, продолжаясь
-от центра С в обз стороны, должна пересекать сферу, по
крайней мере, в двух точках В, В' (ст. 25), которые взяв за полюсы,
1У0
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
производим плоскость и в пересечении с ней на, сфере круг
BED'E', где пусть D с. В', Е <• _Е" противоположат.- точки.
Наконец, две плоскости, которым В с 1У, Е с Е" служат полюсами,
дадут в пересечении прямую, так же кик и прежняя, проведенную
чрез три точки Л, С, Б'. Пусть теперь ВВВ'Е' большой круг на
сфере, которого поперечником будет вновь произведенная прямая.
Если далее предположить, что между В, С, или, вообще между
і? каких-нибудь двух точек на полу поп еречни]ке ВС, часть первой
прямой отклоняется от него, выходя віш ия плоскости круга,
либо к одной стороне ни плоскости, тс в том и другом случке
с обращением круга ВВВ'В'
_д. д jl ыа своем поперечнике ВВ',
такая часть первой прямой
Черт. ао. , ■ к
переходила бы с одной
стороны плоскости на другую, либо с одной стороны поперечника.
ВВ' на противоположную, тогда мак эта прямая но всех частях,
своих должна бы сама, себя покрывать (ст. 25). Когда через две
точки А, В {чер. SO) проходит прямая, то, продолжив ее в одну
сторону, например, за точку В, можем сделать продолжение ВА' =
= BAt потом принимать концы .4, А' ви полюсы плоскости, где
начало кругов будет, следовательно, В. После чего прямая АА',
как и все другие проведенные между точками A, Bt должны быті>
те нее, какие произойдут в пересечении плоскостей, которых
полюсы помещены в противоположных точках на круге
происхождения первой плоскости. Но нее такие прямые сливаются, как уже
видели выше.
Итак, две прямые линии либо сливаются, либо пересекаются в одной
точке"".
Прямые служат к измерению расстояний и вообще всех других
линий, как увидим после.
ік Прямая может быть продолжаема до $еско\нечпосши, когда
'накладывается сама па себя частшо, подашаясь остальною вперед.
28. В вякая точка тье •плоскости может почитаться за полюс,
ъо-шрому другой отвечает на противоположной стороне.
* Это предложение допзкио быть уточнено: «две прямые млвгат, имеющие
общую точку, либо слившопзя, либо не имеют яругой общей точки».
171. ]]. ОПГЕДЕЛЕШШ
li-1
Пусть А, А' (чнр. :-іі "■) полюсы, В начало кругов на плоиіиѵ-ги,
CDC один из кругои на пеіі от пересечения равные сфер около J.
Л'. Берем где-нибудь пне плоскости точку Е. вокруг которой
іісикая сфера долж-
на пересекать круг
DCJJ'C, как скоро
входит внутрь его,
и двух точках С,
С". О перемешенном
полюсом Л, Л' один
к другой и тан,
чтобы точки С падала
в С", следовательно,
нноборот С" в С,
точка Е Судет где-
нибудь в Е'\ от чего
произойдут равные
расстояния EG =■-
=» ЕС = Е'С= Е'С.
тогда как
поперечник DBD' круги ыу
переменит своего
места. Если теперь
воображаем около В
сферу с іюлупопе-
речником_й£> = ШУ,
на которойддя
простоты пусть Л, А'
полюсы круга DOB'С
(ст. 26), то с
обращением этой сферы на поперечнике DBD' вместе с сферами
вокруг Е, Е', общие точки первой с последними должны
пробегать по линиям их пересечения, одна, другой заступая место.
(J полуоборотом сфер каждая точка F на половине круга DCFB'
Черт. 31.
[Черт, 31а.]
* Приводим чертеж HI а іі дополнение к схемлшческоыу чертежу 31 ЛоПи-
чемчюго.
192
НОВЫЕ НЛЛАЛА. ГЕОМЕТР [Ш
займет соответственное место F' на другой половине if руга DCE'D',
|подобно прежний точкам С, С, кроме крайних D, D' на
поперечнике, которые места своего не переменяют. Отсюда надобно
заключить, что вее точки С, F, С, I" круга так же, как на нем
гг концы D, D' поперечинка, принадлежат пересечению равных
і:фер вокруг точек Е, Е', которые, следовательно, могут почитаться
за полюсы той же плоскости круга DCD'C [u].
29. Всякую пючку на плоскости можно принимать за начало
кругов.
Произвольно взятую точку А. (чер. 32/*) на плоскости соединяем
пряной АВ с началом ев кругов В. С полупоперечником АС=АС\
также произвольным,
воображаем около А
сферу L, которая пусть
встречает прямую ВАС
в точках С, С. Равные
сферы вокруг С, С
произведут в
пересечении своем плоскость,
которая разделяет
первую сферу, с центром
А в круге DED'E', где
точки Е, Е' общие
с данной плоскостью,
будут
противоположными на круге, потому
что полоборота сферы
на линии ВС
заставляет В, Е' меняться
местами. Из точек Е,
Е' сферы с равными
полупоперечниками произведут еще плоскость, которая пересечет
■сферу L {в круге DCD'C, а крут DED'E' в противоположных
■точках D, D', в чем увериться можем, обращая сферу L*, покуда
к Приводим чертеж 32а в дополнение к схематическому чертему 32
Лобачевского.
* Вокруг лняии ВО.
Черт. 33.
ГЛ. ІГ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1УЗ
*о данная плоскость покроет | сама сі;би другой стороной. Итак, Д V
будут полюсы данной плоскости (ст. '26), тогда кап плоскости кругов
DC'D'C и DED'E' пересекаются в прямой ЛЛ2У, проведенной
от Т) к У?' черни точку .4, которая, следовательно, доля; на быть
началом кругов на данной плоскости.
30. Пересечение сферы е плоезжшию Ыеш tqnj?.
Если плоскость проходит черсчі центр сферы, то центр этот
можно принимать ;за начало кругов происхождения на плоскости
(ст. 29), а, следовательно, пересечение сферы е плосі;остию будет
■один из таких кругов (ст. 23).
Если плоскость не проходит через центр сферы, то можем
этот цептр почитать аа полюс самой плоскости, представляя себе
вместе другой на противоположной стороне (ст. 28). Тогда
пересечение данной сферы
■с равной около другого
полюса будет линией
общей как двум
сферам, так и каждой
сфере с плоскостшо, Я<
следовательно будет
круг (ст. 18).а
Поперечник итого
круга находим, когда
соединяем прямой АВ
(тар. 33) его точки Л,
Черт. 33.
В на плоскости, проведенной через полюсы G, D данной плос-
2і j кости (ст. 25). Как поперечник АВ, таи и самый круг будут,
следовательно, те лее, когда за центр сферы вместо С берем какую-
цибудь точку Е на линии CD или на продолжении этой прямой,
и когда полупоперечником сферы возьмется расстояние АЕ =
— BE точка Е от концов А, В линии АВ*.
31. В пересечении двух плоскостей происходит прямая линия.
Если плоскости АВ, CD (тер. 34*) пересекаются, то еферв
вокруг Е какой-нибудь из общих точек двум плоскостям, с про-
* Это следует из последних предложений ет: 22.
* Приводим чертеж 34а в дополнение к схематическому чертежу 34.
Заі. 5039. Н. И. Ловачеасквй, т. [].
13
194
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
изііолыіьш полу поперечником BF^EV", вырежет из каждой
плоскости круг, которого центр Е (ст. 30). Пересечение двух этих
кругов до.ііікпо давать прямую линию (ст. 25). Увеличивая полу-
|Ч е р т. 34а.]
поперечник EF, то же заключение можем распространить на все1
точки пересечения двух плоскостей.
32. Прямая лежит вся в плоскости, как скоро проходит на ней
через две точки.
Вокруг дпух точек Л, В на плоскости CD (тер. ,45) равные-
сферы- пересекаются в круге, который через данную плоскость
ГЛ. If. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
195
нроіідат в двух противоположных і-ноііх точках Е. Е' (ст. 25).
Шоикость, которой £, Е' ію.і)Ги:ы, должна т только і заключать
н чк'.м: концы А, В прямой АВ, но да-.ке ря-чре^ынать плоскость ("'/)
іі атоіі іке лшши '':', потому что двух различных прямых his
может быть между днух q
точеі; А, В (ст. 27).
Всякий раз,
следовательно, пря.шія*, проходя
через центр, разделяем
wpyi пополам.
А'А, Через три точки ««
« прн.иай .шнии лш-йьші
принесши, плоскость, п
притом оі)иц только.
(і-і трех точек одну, кшіримеі> J (чер. Зі-jJ, о днумя другими В,
С соединяем прямыми линиями \А.В, АО, которые можем
продолжать щ> произволу. В случае неравенства линий АН, АО и
предполагая АВ<А(', делаем АВ—АВ. Ми точек В, В, как полюсов,
ч <j р т. ;).'і.
Ч а р т. Ж
производим плоскость, которая пройдет через А, потому что
АВ — АТ). Такую плоскость прямая BD пересечет в начале Q
кругов, около которого сфера и полупоперечником BQ = QD
проходит через В, В а пересекается плошгастню е круге EFE'F'
* Пересечение цроішходот дю пряітй. ;штш согласна сг. 3).
* Лежащая в плосвоегіг круга.
13*
L»(> НОВЫЕ НАЛАЛА ГЕОМЕТРИИ
(ст. 30), где пусть _£", #' —противоположные точки на прямой,
проведенной иа А через начало Q. Когда берем теперь Е, F/ за
полюсы, то плоскость пройдет через Q и пересечет круг FEF'E'
в противоположных точках J1, _F' (ст. 25). Наконец, эти последние
ая точіш будут поллн-аіги той | плоскости, где лежат уже псе три
точки .1, В, С, потому что BF—FD ~F'B = .F'J), а точка С лежит
на продолжении ДТ),
Другой плоскости через А, В, С провести нельзя, потому что
две пряные ВВ, DA должно бы рассматривать в таком случае
как одну в пересечении двух, плоскостей (ст. 31), следовательно,
предполагать В и С на продолжении АВ.
Отсюда аакмгочаем еще, что две линии, выходя ш одной -точки
и ив составляя одной прялюіі, должны лежать в известной плоскости.
Еще ігожвм заметить, что две іьлоекоети сливаются, когди лежат
одна па другой трели точками пе в прямой линии.
Так плоскость продолжаем до бесконечности, подобно прямой
линии (ст, 27), когда полагаем саму на себя частшо и выдаваясь
вон остальною.
34. Две сферы либо совсем не встречаются, либо касаются Dp-i/t
друга в одной точке, либо пересекаются в круге, смотря- по тому,
сумма полупопервчкшов менее, равна, или йолее расстояния .между
и центрами. В последнем случае па\добмо еще, чтобы разность полу-
поперечников была менее расстояния между центрами.
Пусть у двух сфер около центров А, В (чер. 37) полупопереч-
ігаки АС, ВС таковы, что составляют вместе расстояние АВ
центров друг от друга*1'. Воображаем через точку С ее прямой АВ
плоскость BE, которой полюсы на равных расстояниях от С. Около
точки G и всякой другой, общей двум сферам, если бы другая
существовала, должны допускать возможность обращения как той,
так и другой сферы на своих поперечинках OF, Off, проведенных
от точкіг прикосновения С. То же движение сфер должно быть
возможным в их соединении с плоскоетию Т>Е, как для каждой
й Понятие суммы расстояний опирается на операцию слшеѳнил прямолинейных
отрезков, отчйтлиного определении которой ЛобачеиитсиЙ: здесь не дает, Ояяданнв
сложении отреакоа ішишо было бы дать, походя за ст. 27, где рассматриваетоя
сколыкшне прямой по прямой. В дальнейшем Лобачевский говорит в о вычятюіш
по луігодѳречниіеон.
ГЛ. II. ОНРЕДЕЛЕІ-ШЯ HIT
порознь, так обеих сфер и ивяуи с плоскости*} (2Ъ). Но как
различных прямых: нельзя провести между двух точек (г. F ("'-т. 27),
Til дне аферы капаются необходимо в одной только точке С.
С оставлением центров .-1, Д на ениих местах и с уменыш-чш-.ч!
одного гюлупопсречшша, напр., .-1С, полня сфера пои^шклтя внутри
прежней, а, следовательно, не касается ни плоскости DE. ни сферы
па такой шгоскоетиго. Уто значит, что всякий pay два сферы не
встречаются, когда сумма полуноперцчішков менее расстояния центров.
Черт. 37.
| О увеличением АС, например, до точки Ж, но ни достигая до
точки F, производим пересеченно двух сфер, которые частию только
входят одна внутрь другоіі. Всякая теперь плоскость, проведенная
через центры -1, В, дает две точки L, L', общие двум сферам, и
которые принимая за полюсы, производим плоскость, где лежат
точки А, В и, следовательно, ізея прямая АВ {ст, 32). После чего
в атоіі же плоскости тот круг происхождения, к которому
принадлежит точка В, пересекает линию GF где-нибудь в точке В', так
что BL = BL' = B'L^B'L'. Итак, плоскость с полюшки В, В'
заключает в себе точки L, L', давая, следовательно, в пересечении тот
же круг, как со сферой около А при полуноперечнике АН, так со
еферой около В при полупоперечыике ВС,
IUH НОВЫЕ НАЛАЛА ГЕОМЕТРИИ
Легко видип., что пересечение сфер и круге "' продолжается,
покуда ра^шостг. rm лупоперечников менее расстояния центров между
собою. Когда ік эта ра-'жоілъ делается нулем *, то сферы капаются
только п одной точке; наконец, далее с возрастаниям разности
заключаются сферы, меньшая в большой, уже нигде не встречаясь.
Действительно, когда А, В центры сфер (чар. ~дЬ&), AF один, BF
другой полулоішречннк, то прикосновение должно быть в точке J1,
где будет оно также с плоскостию, произведенной ич полюса В
№ с противоположным В' на расстояниях BF=B'F от конца F и
на продолжении линіш BF за F (ст. 27). Потом вокруг центра А
с увеличением полупопе речника AF будут уже прикладываться
F В'
Ч (і р т. Ж.
к шару, под прежней сферой, такие части, которые через одну
не касаются, следовательно, прерывают и сообщение сфер вокруг
центром А, В.
35. Бее, что сказано было до сих пор о сферах и плоскостях,
применяется к кругам и прямым пишшм 9, потому что плоскость,
проведенная через центры, пересекает сферы в кругах, плоскости
в прямых линиях, а круги в точках. Так, прямую линию Т можно
представлять себе пересечением равных кругов около двух точек—
* Ш кругу.
* Эту фрпну следует исправить тан: «Когда ж разноетг. полупопаречншшв
становится равной расстоянию мезду центрами,...»
ф Чертеж 39 исправлен, Б орпгннме па этом чертѳіка расстоянад BF'Z.B'F.
9 Точное: »Все, что сказано было до сях пор о сферах и плоскостях в
пространстве, применяется к кругам к прямым лнпним на йлоешмли,
^ На плосковти.
ГЛ. U. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ѴМ
нолю/т примой линии. Всякая точка на шшигсги-ти может почптпты-н
ад полюс, которому на другой і-торош.' njuuioii лішті отвечает
противоположный.
Двч круга па плоскости .что гтчг.и ш- еетрмампся, лит ішсиютсп
в одной, либо пересекаю тек н днц.*- точках, гмощш по тому, а/мм»
полунонеречников .менее, равна, или более расстояния между
центрами. В последним случае предполагается к тому, что разность
пол упоперечников минее расстояния цептро» [").
■л 36. Плоскость, ограниченная замкнутой линией, | называется,
вообще, фигурой, а пограничная линия— шружностию *.
Под кругом иногда разумеют плоскость, иногда линию, как до
сях пор что было здесь. Чтобы не смешивать одно название с
другим, часто говорят окружность круга для различия с шюегсоитшо
круга.
Фигура, которой окружность составлена ия одних прямых,
называется прямолинейный многоугольник, а прямые лшпш—бока или
стороны. По числу боков многоугольники бывают; треугольник,
чешіреугольник и проч.
Фигура навивается отрезком круга*, когда грани'штся дугой и
прямой лггшгей—хордой или тетивой; вырезкам круга 0—когда двумя
полупоперечникаыи с дугой.
Дуги больших кругов $ па сфере составляют сферический .много-
угольник, ограничивая часть сферы. По числу дуг — боков или
сторон— многоугольники бывают: тръуюльпш, четыргугольпиіі и т. д.,
подобно прямолинейным. G двумя только боками сферическому
многоугольнику дают название вырезка сферы ~, а под отрезком'"'"
разумеют часть на ней, ограниченную кругом.
* Современное название—ионтур.
* Сегмент круга.
а Сектор круга.
9 Ом. статью 23 (примечание {Щ а ноіі).
1 Офѳріічосшііг вырезкам ЛобачевегоШ назипаот «Іюрлчж'киіі двуугольник,
образованный двумя полуокружностями Оолышгх кругов (ст. 30 и 31), называемый
Ложандрон веретеном (fusaau). Вообще говоря, если дне полуокружности больших
кругов на сфере начинаются в общей точке, то она оканчиваются в другой — тшке
общей точке, оішмѳтрн'той первой относительно центра сферы. Такие две
полуокружности вырвааш на сіідаре два двуугольника, разделяя ев неверность на
две чаем.
=** Теперь употребляется название еег.центная поверхность.
'200 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
28 j Часть шара, отделенную зілоскоетию, называют отрезном
тира * которую, следовательно, граничит отрезок сферы и
плоскость круга.
Тачки, где смыкаются бока многоугольников, прямолинейных
!щіі сферических, будем называть остриями *.
Еще надобно заметить название равнобедренных и равкосторонп'ых
треугольников, когда два, либо все три бока равны. Равные бока
называются баЬры, третий бок — основание, против него острие —
вершина.
Треугольник выражают буквами близ остриев а знаком Д перед
ними.
* Шаровой сегмент.
* Верішшаміт.
ГЛАВА III
ИЗМЕРЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ, ЛИНЕЙНЫХ
И ПЛОСКОСТНЫХ УГЛОВ
s" | 37. Начищая говорить о величине прямых линий, наперед
припомним (ст. 2), что в Геометрии мерить значит наполнять
измеряемое мерой и частями меры. В случае невозможное та мерить строго ,!%
надобно, чтобы чисти меры могли быть уменьшаемы нронжлльно; затем
дозволяется почитать оетптоп в измеряемом менее піой чисти, внутри
которой он весь помещен, и потому пренебрегать. Б«-4 этого
положения, мѳрить и находить таким образом величину всего было бы
невозможно в Геометрии [**].
3S. Величина прямых линий * определяется сравнением е одной
из них, взятой за единицу пли меру. Она выражается дробью,
которой знаменатель показывает, какие, а числитель—сколько таких
частей берется в единице ® Дробь называют здесь также
содержанием 5 двух линий Т —измеряемой к мере.
Если предположить, что величина линии «, сравнительно с
другой Ь, выражается содержанием двух целых чисел л, т, то, взяв.
т раз «, должны получить п раз Ъ. Отсюда видно, па чем отыскнва-
зо ние J чисел п, т может быть основано. Именно, лвішю «■ должно
повторять, покуда в составной прямой будет другая Ь укладываться
несколько раз без остатка. Числа повторений той іг другой линий
будут т, ѣ.
* Лобачевский подриаумсшет: здесь случай дасоивиергшосш измеряем оіі воли-
чипы и единицы меры.
* Длина огреака прямой линии,
в То-есть от единицы.
S Отношением.
Z Олово «линия» употребляется в дгшдоШтш в гзапс Ш в смысле «отрезок,
прямой ливни».
202 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЙОЫЕТРШГ
Моікег однако ж случиться, что сколько бы раз н;і повторялось а,
не будет выходить кратяой линии Ь\ даже в право думать, что
в никоторых случаях и всегда должно так продолжаться. С другой
стороны, как невозможно, так и бесполезЕіо было бы считать такие
доли в линии, которые для наших чувств исчезают. Итак, с
выбором единицы должно назначать и то, какие в ней чисти за мало-
стию дозволяется пренебрегать. Пусть, например, Ь принимается яп
меру, где могут быть отброшены части менее т~м1. Тогда стоит
взятг. линию в т раз более я, на нее полагать всякую Ь, покуда
число п повторений этой последней даст остаток менее Ь[и],
которым пренебрегая, получим — — содержание двух линий,
и к Ь.
От произволу зависит, впрочем, какую часть линии должны
пренебрегать; следовательно, точность измерения так же, как, и
точность вычисления, шмвот быть доведена до какой угодно степени;
по крайней мере, в тех границах, которые полагает недостаток
зі наших чувств и которые предоставляется | расширять искусству
с непрестанным усоэершенствовашгем его способов.
Составление линии повторением одной может представлять
иногда неудобство в исполнении. В таком случае стоит только
класть меньшую линию на большую, потом остаток на меньшую, новый
остаток на прежний, и так далее, покуда совсем пе будет остатка,
либо чрезвычайно малый, который бы дозволялось пренебрегать.
Теперь, предполагая, что содержание меньшей линии к большей
будет дробь с числителем п и знаменателем т > п целыми, должны
получить те иге числа повторений одной линии в другой по
порядку, какие вышли бы в частных при делении т на п, потом
всякий раз остатка на прежнего делителя. Итак, означая числа
повторений-, <j которых говорим, по порядку 2>, р', р", ■ • ■ > получим
содержание меньшей линии і; большей (Алгебра, стр. 127) ":'\
71 1
* Это—ссылка кя, сочившие ЯоСачевоюто ^Алгебра или вычисление коиѳч-
■и:іхл. См. той IV наст, падения, етр, 103 и след.
ГЛ. Ш. ИЗМЕРЕНИЕ ПРЯМЫХ ДИШШ И УГЛОМ 203
Кепи теперь в двух последних приблилсешшх: дробях к "- зііа-
:к мепатели 3, 3''-, то значение всей непрерывной буд'-г раишгты.я
с содержанием ~ менее, нежели дробь {Алгебра, стр. Ѵ.Щ
1
Ш'
Нту разность, если б она сама не уничтожалась <■ измерением
без остатка, можем, таким образом, уменьшить вместе >•
продолжением непрерывной дроби, где прибавляется всегда новый
знаменатель с каждым новым измерением посредством остатка |4:'J.
Заметим однако ж, 'что строгость измерения (.'Оставляют его
точность и тупость. Чем. оно более продолжается, тем делается
точнее; но с другой стороны, чем более повторяется нензбежиых
ошибок, тем верность его становится менее. В двух этих
отношениях должно судить о всяком способе, который слулліт к
намерению на самом дел*;. Преимущество каждого будет, следовательно,
зависеть от того, до какой степени вознаграждает он недостаток
чувств, и как велико бывает повторение в нем ошибок. Но какой
бы способ измерения ни был придуман, всегда существует продол,
за который строгость ужо не переходит. В теории предполагают
ату границу необходимой, но вместе неопределенно)): іг даже про-
із тавольной, а потому, соображаясь с действительным измерением,
почитают всякую Геометрическую величину ;«і содержание двух ш*-
лых чисел*; по пц прежде, как уже способ измерения будет известен.
39. Дуги сливаются с их кругом (ст. 22), иыреаки сферы—с
полной сферой (ст. И). Это свойство дуг в отношении к их кругам,
частей сферы в отношении к полным сферам, такое же, как и
прямых линий в отношения друг к другу, представляют одипакиіг
способ намерения.
Всякая дуга на круге, так же, как и часть на сфере, могут быть
приняты за единицу. Чтобы оставить этот выбор произвольным,
будем означать тг половину круга в измерении дуг и половину сферы
в измерении частей ее. Число п принимают иногда 200, но чаще 180,
в Лобачевский обозначает анам (Житель дроби, подходящей к рассмотренной
непрерывной дроби, русской буквой «3» — первой буквой слова «знаменатель».
* Утверждение, что геометрическую пелігаину считают всегда «содержанием»,
■г. е. отношением, двух делых чисел, следует понимать лишь как относящееся
к приближенным результатам яряктя.чеокя выполненного намерения.
2'і4 ■ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
следуя новому десятичному, либо старому шеетидееятичнаму делению,
В том іг другом случао единицу дуг на круге, или вырвлков на сфер?,
шыыьншт градус, который разделяют по старому на 00 минут, минуту
іш iwj есщ/нЬ\ по новому на II.)0 минут, минуту на 100 секунд.
<.' но ним делением дуги тіыражаются, іледпнательно, десятичными
дробями. Одпако ік эта выгода, собственно вычисления, не так велика,
"irmjli для fn-jii должно было жертвовать удобпостшо старого деления.
!■* Иногда под ~ разумеют число, которое можно исходить только
355
приближением и которое весьма мало разнится с дробью ~ ["].
Величина дуги или части сферы [,!Т], выраженная в градусах и
долях грядуеа, даже вообще по сравнению с тем же кругом или
'■ гон ;ке сферой, навивается угил, который бывает щямой, ісогда
равен — тг, острый <-^-^, ті/иоіі > — т: к <к.
Углы называются линейными, когда выражают величину дуги1
на круге; плоскостными*— величину мырезка. на сфере; другого
родя части па сфере дают телесные угли. В линейных углах
прямые, проведенные ігз центра в
концам дуги, а, в плоскостных и
телесных—плоскости, которые выходят из
центра п вырезывают часть сферы,,
называются боками* угла.
40. Линейный угол не зависит от
величины полупоперечника е круге, ко
служит только % определению-взаимного
положения двух прямых.
Взаимное положение двух пря-
пых гашш'!, которые встречаются,
называют их наклонением. Пусть линии АВ, 'АС выходят из одной
точки А (чер. Й9), которую принимая за деитр, описываем круги
ивлу1юичрчч1шкгшАБ=АС,АВ'=АС",АВ"=АС". Величина дуги В'С
гз на круге В'CD', j которого составляет пасть, будет линейным углом
или наклонением линии „-LB*к AG так ate, как и АО к АВ. Этот
угол находим, полагая В'С по кругу B'CD', покуда конец ее
оомкиетси с другим впереди. Так узнаем, сколько pan должна.
* В современной терминологии"—двугранными,
* Сторожами или, со ответит а енно, гранями.
ГЛ. ПІ. ИЗМЕРЕНИЕ ПРЯЫЫХ ЛИНИИ И ѴІѴЮИ 2'Jo
повторяться луга, чтоб составить одни или несколько полных
кругов, а, следовательно, будем знать самую величину дуги и
отношении к ее кругу (ст. 8S). В тп время как одни конец С дуги
сомкнётся с другим Л', дна бока Л К, А6', проходя через дее
точки А, В\ сливаются (ст. 27), отчего величина дуги В'О' будет
выходить та же, лакая всех дуг ВС; В"С" на своих кругах, с
увеличенным -If? или с уменьшенным АС полупопе речником против
прежнего АС 5"величеыие полупоперечника, покуда возможно,
разумеется, доставляет здесь более верности, делан рилмир дуг болне.
Если б измерение не могло быть строгим *, то надобно приходит!,
к остатку, который за далостию дозволяется пренебрегать и
который столько же будет мал с дугами на других кругах.
Вершиной или острием угла, называется точка, откуда бока
выходят. Линейный угол выражают £_ впереди букв, которые
указывают на бока,
Прямая, проходя через центр, делит круг | па две равные части
(ст. 25); следовательно, две прямые, соединяясь в одну, делают
угол я.
Положение двух линий бывает отвесное*, когда угол их прямой;
косвенное — когда угол острый или тупой. Отвесные линии
называются также перпеидикулсиш. Прямая, встречаясь с другой, делает
в обе стороны углы, которые будем называть снежные и которые,
следовательно, вместе0 составляют -г.. Когда смежные углы раины,
то каждый -к--к, а линии перпендикулярны.
8 прямолинейных многоугольниках углы между боков,
обращенные внутрь фигуры, называются углами многоугольника. Их
число то же, что боков.
Треугольник называется прямоугольным, когда в пом один угол
прямой. Здесь бок против прямого угла—гипотенуза; два другие,
перпендикулярные друг к другу, —катеты.
41. Продолжение двух боков угла за вершину производит угол,
который первому равен и называются с ним вершинные1}.
* Лобачевский подразумевает случаи иесоиэыоримих дуг.
* Взаимно перпендикулярные прямые.
а Лобачевский пропустил определение операции сложения углои, подобное
тому, какое он дал для сложения прямолинейных отрезков.
9 Вертикальные.
20<і
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕ'ПЧШ
І'У.ш прямые .!<", !'■(.' (Ч'Ч>. 4о) соі'т(іи.'шк)т угол а, их продолжения
7 (,'І), ''!'-—чтол Ь, то с,! смежный с '/, оуді'ті-чсиліьімеб, следоЕзатель-
но, ii~\~r.=ss, b-\-c — ~ (ст. 40), после пего а=5,
4'2. И.ічі'Ноіінііиіі і/.-ікі иг .Ш'ііісііііі от полі/ііоиі'.'
речника сферы, ни от мчсти <).иі цічіщхі «к .шпші
//••ресрчения іі'іц.і: іі.іогмк'ііп'.'і, оп]И'дс.!)пг, тніпш обра-
зоіі, одно только наклонение плоскости к другой.
Взаимное ииложчнш-1 двух плоскостей, п poise -
ді.'шіьіх чере;і одну линию, на:;ия:іют пх паило-
ненаем друг к другу- Определяет его плоскостной
угол, которому данные плоскости служат боками,
тогди как центр сферы беретом где-нибудь на
линии пересечений двух плоскостей. Представляя
себе, каким обрааом ятот плоскостной угол
должен бить пайдон поіігорением вырезва на своей
сфере, должно то же скачать здесь о плоскостях,
что оыио сказано в намерения дуг о прямых линиях (ст. 40);
следовательно как линейный угол не лаиггект от ішлупшкзречннка.
круга, тик плоскостной от нолупоперечника сферы.
С
Черт. М.
Чорт, -И.
Пусть теперь на линии АН (чер. 41*) пересечения двух
плоскостей -16', Ш) центры сфер іззяты где-нибудь в точках Е, Ft
вокруг которых полупоперечииком AE—BF описаны так сферы,
чтоб они порееѳкались а круге (ст. 34). Его дуга С7ЙГ| между
плоскостями АО, BD должна сама себя покрывать, когда центрн F, В
s В чертеж 41 Лобаченикого «несены исправлении
ГЛ. Ш. ИЗМЕРЕНИИ ПРЯМЫХ ЛИНИИ И УГЛОВ
2(ь
переменятся устами и.-т. '2".і). Тогда плоскости также сами себя
покроют, потому что проходят через те же три точки Л, Н, В
и А, 6', В (ст. :іЗ); следовательно, два сферические вілрезка между
плоскостями ранни.
Знак плоскостных углов перед буквами будем употреблять тот
же, какой для линейного (ст. 40). Названия: прямые углы, пе.рпен-
Никулярные плоскости, смежные и вирщиюшс уі.ш, здесь те же, что
для линейных углов (ст. J■ і).
Вершимые плоскостные углы рагаш, потому что для них
находится третий, смежныіі пбпгш, как и для линейных углов (ст. 41),
Под углом тух дуг ■' на
сфере будем разуметь угол
их плоскостей (ст. 30), будут
лп плоскости проходить
через центр или нет *; но
всякий раз надобно понимать
дуги больших кругов, если
не будет сказано противное.
Линию пересечения двух
плоскостей назовем реоро
угла; самые плоскости— аока
пли лА/шв.
43. Іілоевосптой угол ривт
■и реору в полах.
| На липгга пересечения АН (чер. 42 Я) двух плоскостей AC, BD,
принимая концы А, В за полюсы, производим плоскость, которой
одни из кругов происхождения пусть будет bed с центром а на
линии АВ (ст. 25). Плоскости AC, BD вырезывают на круге bed
я Подразумевается «дуг окружностей».
* Определение угла двух дуг на сфере, данное Лобачевский, отлича«тсіг от
определения угла двух лпниіі на поверхноати, как угла между касательными
прямыми г: З'иіы вянняи в точке пересечения. В случае двух, дуг больших кругов,
или когда плоскоеіъ малого круга перпендикулярна к плоскости Соаыпого круга,
эти определения дают рашшс углы. Но вообще этаі углы различат. Например,
две окружности, лежащие иа сфере и касающиеся една другой в некоторой точке,
образуют в атоіі точка в обычном смысле угол, равный нулю, а яо
определению Лобачевского пх угол равен двугранному углу между секущими
плоскостями.
° Граіві,
9 Слишком схематичный чертеж 42 несколько изменен.
Черт. 42.
лииШиому между нерпекднку.ммн
■208 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОЛК'П'ИИ
дугу Ьс, которой величину находим повтор «шеи, когда конец
с клещом сомкнутся п.'ш когда промежуток при большом четен;
ноитирошш мои;с;.і пренебречь (п. •']''). Пивторенпям дуги Ье ко
кругу ЬіиІ будут отвечать повторения пир с; и; я АеВоА между
плоскостями ил сферы с полупоперечником Aa — '.tlj (ст. "20),
следовательно, та ж>- величина буд«;т шлходіш.для плоскостного угла Л5/ЛЛ,
какая дли линейного Ьас. Между тим, обращал илог-кгнлъ круга Ьй((
на линия АН, уверяомся, что £_ЬаВ= /_-'«# |ст. '20); далее,
плоскость круга да с должна сама себя покрывать, когда полюсы Л, J?
меняются местами (ст. 18), пріг том дуга Ьг. может сливаться сама с
собою так, что с будет в Л и наоборот Ъ в с (от. 20). Отсюда
заключаем, что ^,.!;.'С= £?ніВ= fji\B = ^Aab; следовательно, все такие
углы прямые (ст. 39), и линия ATJ перпендшгуляриа к ас и к аЬ.
Этому же предложению даѳм еще другой вид, когда скажем,
что в сфврнчетом треугольнике бои равен противоположному углу,
когда чаошдыіі -из других боков -^ъ.
** | 44. Когда телесным угол составляется на сфере дугами большого
круга, то должен оп вместе происходить от пересечения
плоскостей, проведенных через центр сферы (ст. 28). Принадлежности
такого угла: плоскости, проведенные через центр сферы — грани;
общая точка пересечения граней и которая служит центром сферы—
щтшна или острие телесного угла; линии пересечения граней —
ребра; плоскостные углы граней — угли сферического многоугольники,
которые берутся по порядку, пе переходя на другую сторону
плоскости. Наконец, поверхность сферического многоугольника
простирается в ту же сторону граней, по которую считаются углы. Таким
образом, одной окружности" сферического многоугольника
принадлежат всегда два телесных угла, которых сумма 2-*.
Телесные углы по числу граней называются: треграпнъші,
четырегранными и т. д., многогранными <; неопределенным числом
граней. Знак телесных углов оставим тот же, что для плоскостных
и линейных (ст. 40 и 42).
Продолжение граней телесного угла чреа вершину производит
новый .телесный, угол, который вместе с первым назовем вершин-
* Одному и тину mfi контуру,
* См. ой атом примечание [1;] на о тр. 471>.
ГЛ. Ш. ИЗМЕРЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛШІШ'І II УѴ.'ЮІІ "JO',)
ними'". Им принадлежат тщштнып* сферические многоугольники,
л где бока и Іуглы соединяются и том же порядке, но следуют пдіщ
на друггш в противном направленииѳ.
45, Угли и прямолинейном треуголышке сштаитн: в ту сторону,
где* плоскость ограничена боками. Они называются внутренние,
тогда как внешний'? по другую сторону двух бокои с его
внутренним составляют 2те. Продолжение бока не может входить внутрь
треугольника, потому что не должно пересекать в другой рач тѵ
же прямую (ст. 27), следовательно, внешний угол треугольника
всегда более тг, тогда как внутренний менее к Т.
Угол между боком и продолжением другого назовем угол влет-
-пиіі от ііродолоісенкя, который, таким образом, бывает смежный
с углом внутренним.
40. Из трех бокои сферического треугольника дан необходимо
менее тс, чтоб оыи, не пересекаясь, могли достигать третьего.
Два такие бока должны, следовательно, заключаться п одной из
двух половин, на которые большой круг от продолжении третьего
разделяет сферу.
Итак, поверхность сферического треугольника будем всегда
почитать менее ~, разумея ту самую, которая помещается в одной
4^ половине сферы. После [ чего углы, противоположные бокам <тг.
должны быть также < т;, тогда как третий уіол бывает имеете
с боком против неги < ~, =w, >іг. Действительно, когда точку
пересечения тех двух боков, ив которых каждый О, представляем
неподвижной, то третий будет расти вместе с его
противоположным углом н вместе с ним делаться л [43].
* Вертикальными.
* Симметрический относительно центра сферы,
о Ст. 41 ы 42. ■
С Обычно этот угол называют дополнительным к внутреннему до полного.
Т В случае сферического треугольника продолжении стороны может входить
внутрь треугольника, так как ішутренішіі уг«г может быть более is. См, ст. 40 и
примечание к sett [43].
Эік. 6039." Н. И. Лигачевский, т. И.
14
ГЛАВА IV
О ЛИНИЯХ* II ПЛОСКОСТЯХ ИВІ'ПЕНДІШѴГЯРКЬГХ I4
і ±7. Лирнеіідиид.і на точки іш линии* лшжеш бить один только.
Рн'зумг'Сі'Сіі, что продолжение перпендикула за точку
пересечения быиает irep гтеидикудом ч той же линии на противоположной
стороне, как :это следует из равенства
вершинных углов (ст. 41). Но всякая другая.
линия, выходя с перпендикулом из общей
точки, долает в одну сторону тупой, в
другую острый угол0, следовательно, но моілет
быть сама вторым перпендикулом.
48. Лершкдикул its точки к линии лшжеш
ііыіт один только, іпо.'да как из этой точш
всякая другая прямая встречает данную nod
острым углом на стороне, першндихц.ш.
Пусть АВ (чср. 43) нерпепдшеул іш А
к линии ВС; пусть АС прямая из той им;
точки --1 к другой точке С на линии ВС.
Продолжаем АВ по другую сторону ВС, делая В А' = В А, и соединяем
точки А', С прямою. (.) перекладыванием концов А, А' одного
на место другого, середина В линии АА' будет оставаться ілліреж-
нему, также, как ився[лшіияЖ7, потому что 1_АВС' = £_&'ВС'= ~ ■а
(ст. 47)/Отсюда заключаем, что /_АСВ^= £_A'CB\ а кок угол АСА'
менее -к (и. 45), то £АСВ острый.
* Подразумевается 'О прямых лилиях». Пряную лшиію Лойаченскиіі чисто
дааьшает просто «лиикя*.
* К этой линии.
° Это вытекает нз определении прямого jt.'jii (ит, 39 и 40) к аксиомы «часть
меньше целого» (ст. 37).
ГЛ. IV. О ЛШ-ШНХ II ПЛОГкПГТііХ ППЛчТШ. ІШ.'.\"ЛЯГНЬГХ
21]
Кс.'іті по другую сторону то'іі.-іг Н детом продплікеш!'' НС = !Л\
то і- оіІрііщічпіі'М треугольники АСА' ші боку .1.1' тпчтм '' придет
в С\ потому что /,.1/Л"'=£.ІЛ'Г'^І- тт.
После чего [річ'і'і'щішгіі АС ~ АС-.■-■-- А'С =
= .LY/', сле.'ншателыю, J, .-Г--полюсы лри-
мок (!(/, я пнрпендиь-ул г.-іи'/угіія^т есегдіі
ПРОТИВОПОЛОЖНЫ!1 ПОЛЮСЫ Пр.Ч.МОІІ ЛІІШШ.
4!). ]' трву.'о./ьтка лишхш йышь агНін
цго.і itpiutuii и.иі тупой, тогда как 'Jen '';)//-
.чи: в таким с-и/час быочшш острые.
Іі'ли и треугольнике ЛВС (чер. 4іі^
утл .-ІЛ'С"' прямой, то мі.г ннделп с.р-йчас,
чти jfACt> и по топ ік« іі]іі['[шн.' другой
угол /?.4С должны быть острые.
Если в ,л,АВС (чер. 4.4) угол Jfii'' ту-
поіі, то ішешшгіі угол ABD от
продолжения НО за точку _£' будет острый. Пернендикул .17' іѵ\ A a\HD
упадет куда-нибудь п D на линии BD вне треугольника (ег. 4.S)"'.
Тик произойдет прямоугольный трнуго.іь-
шп; ,4_DC « прямым углом при D, слцдова-
телт.ііо, с острым при f,1. Подобный обряаом
.доказывается, что другой угод CAB также
острый.
Чі'I''-- -1-1-
50. В 'раапоор.'Орашіом треугольнике принте
рапньи: Никое у/ли равны. Обратно, а щмі/'о.ть-
иике против равных уг.юс, бот равны.
Равнобедренный треугольник ABC (чер.
•15), где -і вершила, полагаем самого на себя
другой стороной тая, чтоб AG бок шел
по АВ и, следовательно, АВ по АС, Равенство боков АВ, АС
заставит точки В, С перемениться местами, линтго ВС покрыпать
самую себя. Это значит, что /.S= /_С.
Чс р т. ІІі.
* Если бы основание Г.) тіирягадіікулира АЛ лежало на отрезке ВО и:т на
его ііродо:іж«шш за точку С.', то угол ABD, историй необходимо был бы исхрым
(ст. Щ. ешпадал Оы о углом ЛВС, тупым по условии).
П5
~>12 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕі'ШКТРІШ
ГСсліг ',кс предположим /,/>' = ,/,'■', ті> снова треугольник ЛВС
покроет сам себя другоіі стороной, когда рассуждаем, что с перг-
мелцсннем Л к С п 6' іі // бок С Л должен пттіі по ВА, так же
как /?.-! по Г.!, it, глглоііпічѵп.но, дна бока оніпъ истратят* и и тоіі
же точке Л. Что .ішічнт, что Л/> — Л^'.
I Ітак, щреун>.ішш; г Ові/.ик рапными углами оывпсіа раанойаіірі-иний,
is | именно, с двумя бедрами против ратщьіх углов. В треугольника
равностороннем все три угла равны; наоборот, с тремя равными
углами треугольник должен быть равносторонним. В равнобедрен-
ним треугольник? цілы при основании оѵщше, потому что, будучи
рашіы, не могут уікр быть іш прямые, ин тупые (і:т. 49).
51. Прямик мтия. встречаясь с кругом, ■ или -перепекает круг
'і Оііі/иі только точках, или бывает касательной и кругу и oftttofi точке,
когда -ш-рпендикулярна к понерешину. Здесь разумеется прямая
с кругом в одной плоскости.
Если прямая входит в круг, а, следовательно, продолжаясь п
выходит вон (ст. 23), то в третий раз уже не должна пересекать круга,
потом)- что прямая внутри круга составляет с полу поперечинкой
острый угол (ст. 50)®; его смежный тупой не может быть углом
бедры с основанием в другом равнобедренном треугольнике (ст. 50) *.
Если прямая перпендикулярна к поперечнику, то не может уже
входить внутрь круга. Иначе составился бы равнобедренный
треугольник из двух полуяонеречников к общим точкам прямой
і- кругом при вступлении внутрь и при выходе вой (ст. 23).
а В атом треугольнике против одного ііолупопѳреч|ішка прямой угол
по предположению, против другого, следовательно, также был бы
прямой угол (ст. 50) и таким образом, произошло бы два пер-
пендикула к одной прямой иг пентра круга (ст. 48).
То же можно доказывать еще другим образом. Когда
продолжаем полупоперечташ. АВ (чрр. 46 а) вон из крута, делая
продолжение А'В= АВ, потом около А' описываем круг по л у попе
речником А'В, то два круга будут касаться в - одной точке В (ст. 33).
* Проводи iij центра радиусы в дне точки переведения, получим р»Е(нойпд-
ренш.ііі треугояьшіс, в у него углы при основании острые.
* Третью точку, не теряя общности, можно рвисыатрнваті. как лежащую ныв
отрезка, определенного двумн первыми точками.
-3 Чертеж 46 номкиги шіменеіг.
ГЛ. IV. О ЛИІІШІХ П ПЛОСКОСТЯХ ІГЕІЧГЕНДІЖУЛІІРНЫХ -13
Прямая ВС. которой полюсы і: А, .1', днлжна быть
перпендикулярна к АН (ст. 4S). Всякая точка С будет происходить на линіш ВС
<і\ пересечения равных кругов около полюсов Л, Л', когда іпѵгу-
лоперечшікл АС = А'С, так что АС растет имеете с ]'Л.\ Отсюда
следует, что перпешдикул АВ— кратчайшее расстояние точки А
от линлн ВС, тогда как прочие расстояния АС три более, чем
точка С далее от конца В перпеііднкула АВ ("'"]. Ее.ш асе лпнпя Л'С
встречает круг не перпендикулярно к полулпперечішку АС, то
пересекает его необходимо в двух точках С, С и потом остается
вне круга, как скоро расстояния
точек до центра вделаются
болей АС.
52. В равнобедренном
треугольники перп-ендикул ііз щтшѵы %
основанию делит, ітк угол при вершина, тик
и основание попо.іа.м.
| Пусть С АС (чкр. ±8 '")—равно-
бодренный треугольник, где АС =
=АС". Оставляя точки С, С ли
своих пестах, перекладываем
треугольник по другую сторону основания СС\ и пусть теперь
вершина А падает и точку А', которую с точкой А ложем:
принимать ;іа полюсы линии GC, по равенству расстояний АО. АО',
А'С, А'С. Прямая АА' между двух полюсов Л, А' должна быть
перпендикулярна к основанию СО' (ст. 48) и проходить внутри двух
равнобедренных треугольников САС, СА'С, пересекая основание
где-нибудь в В между С и С, так как угол бедрьт с основанием
острый (ст. 48). Концы С, С основания можем почитать за полюсы
прямой J А' по равенству расстояний С А, GA', С А, С А'. Итак,
обращая вею связь на ліппга АА'*, полагаем С в С, наоборот, С
л С, от чего СВ покроет С В, угол CAB покроет G'AB. Это
значит, что <7#= С'В, ЦЗ£В=ЦГАВ.
Заметим в этому, что вершины всех равнобедренных
треугольников с основанием СС должны лежать на линии АА', перпен-
* На стр. 210 наст. тана.
* Вращая вею фигуру подруг прныоіі .]..['.
2U
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
дикуляріюіі к основанию и середине, пли, гл:и равно, проведенной
черен вершины лиух равнобедренных треугольников с общим
основанием СО". В таком свойстве равнобедренных треугольников
заимствован способ делить угол п линии пополам. Когда требуется
до разделить угол С.-Іб" пополам, то берут от вершины:) равные бока
ACt АС. Около концов С, (," описывают равными полу лота
речниками СА', С А'* дуги кругов. Их точку пересечения А' соединяют
прямой АЛ'. Если требуется разделить линию СС пополам, то
равными расстояниями СЛ, С А * описывают дуги кругов; их два
точки пересечения Л, А' соединяют линией АЛ"3. Из двух точек
--А, А мо;кио заменять одну точкой перепечения каких бы то ни было
равных кругов около О, С по ту, либо другую сторону линии СС"2.
Из доказанного здесь предложения следуют обратные. Прямая
бывает перпендикулярна к основанию, когда соединяет вершину
равнобедренного треугольника с серединой основания. Она должна
делить угол при вершине пополам, когда выходит из средины
перпендикулярно к основанию. Она надает перпендикулярно к
основанию в середину, когда выходит из вершины, разделяя здесь угод
пополам. Справедливость всех этих предложений делается ясной,
когда заметим, что перпендикул из вершины к основанию может
быть один только (ст. 48}, следовательно, некоторые уже свойства
такого перпендикула, определяя достаточно положение линии,
предполагают остальные.
Итак, если требуется на прямой СС восставить перпендикул В А
so пз точки В, то стоит только | сделать от данной точки В в обе
стороны ВС=ВС, поташ около концов (7, С описывать равные
круги I, которых точку пересечения А соединять прямою линией с В.
Еели же требуется перпендикул АВ опустить к прямой СС из
точки А, взятой вне линии, то надобно чертить круг около А
произвольным расстоянием АС и так, чтобы данную линию пере-
* Но не обязпталшо равными АС и AG1, тсак это было в предшествующих
раооужданиях. Для пересочинил1 необходимо и достаточно, чтобы сумма радиусов
GA' и С А' превосходила расстояние ОС (от. 35).
* Однако имиіщ чтобы их сумма пе был» меньше расстояния СС.
в Если точка пересечения одна (круги касагогтоі), то она и будет середігпои
отрвгка.
9 Это следует тн етотев 18 к 27.
Т Радиусом: большим ВС, чтобы они пересекались (ст. 35).
ГЛ. IV. О ЛИНИЯХ II ПЛОСКОСТЯХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ 215
сечь Е двух точках С\ С * Вокруг этих точек отшивать дуги по
ту. либо другую сторону линии ОС"*. Наконец, точку Л'
пересечения последних кругов соединять прямою о данной точкой Л®.
53. Угол внешний ѵт продолжения боки в треугольники более двух
ц.'.тіі 9 внутренних с ним несмежных.
В л.ЛВС (чер. 47) продолжаем боге AG: внешний угод BCD
.между продолжением 01) ц боком ВС будет более как угла Л, так
и другого при точке -'1
в треугольнике. Ведом из Л J\ ^f^
линию ЛЕТ через
середину Е бока ВС, делал
АЕ = ЕЕ. Соединяемое?
прямой ЕС. Так произойдут А^^ Ѵ'. В
треугольники ЛЕВ, CEF
одинаковые, которые друг
друга покрывают, когда при равенстве боков BE с ЕС, ЛЕ с ЕЕ
и углов ВЕЛ с EEC (ст. 41) кладам один треугольник на другой
равными боками, |например, обращая дАЙЕ вокруг Е, покуда
BE сольетея с ЕС. Отсюда следует равенство углов ЛВС с BCF.
Заметим к тому, что прямая ЕЛ не может встретить линия AD
в другой точке, кроме Л, откуда выходит; следовательно, точка F.
лежит в отверстии [н] внешнего угла, BCD, который разделяет она
на два: один FGD, другой 1_ВСЕ= /.АЭС, как сейчас видели.
Это значит, что д ЛВС мепее /_ BCD. Так же бы доказали, что
другой угол ВАС менее угла BCD с ним несмежного.
54. В треугольнике против большего бока леэюшп угол более.
Наоборот, против болшего угла лежит ёок более.
В дАВО(чер. 48) пусть бок АВ>АС. Делаем .423 — АС и ведем
прямую DC. Произойдет равнобедренный треугольник ADC, где
* Для того, чтобы ирЗ'г, ошісаявыіі вокруг А, пересекался с прямой,
достаточно лаять его раднуо нѳ меньшим чем AM, где М— кивая-лнОо жочка данноіі
прямой (ст. 51 и 35). Если точка пересечения одна, то она я даст осшва&ивинр-
неедивуяяра; практически ее в итом случае аа-менлть другой.
* Радиусы дуг должны быть ровиы между собоіі, а их сумма до лижа быть
не меньше расстояния ОС.
° JSc.uk точка А' совпадает а А, что возможно, когда радиусы дуг равны
радиусу первого прута,, то нужно брать вторую точку пересечения дуг.
Й Вернее — бодеѳ каждого из двух угпдн.
2 и;
І-ІОІШЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
против рлиных. бокок углы ADC = ACD (ст. 5П); следовательно,
угол АСВ > ADC> ABC (<-;г. Щ.
Отсюда само собш'і следует обратное предложение. Когда в
треугольнике угол бол (/с другого, то против них бока не могут быть
равны (ст. 50); ш1 может быть также против большего угла бок
менее, после того, как сейчас доказали,
что про|тив меньшого бона должен быть
угол всегда менее.
55. В треугольнике ctf.it.ua двух боков
более третьего.
Треугольник не может иначе
составиться, как с пересечением двух кругов,
С которых центры помещены в концах одного
бока, а полуполеречнивами служат два
другие. Между тем, крути пересекаются
только в том случае, когда сумма полу-
іюперечников более, нежели расстояние
Черт. 48.
центров (ст. 85).
Впрочем, это иге w можем доказывать здесь иначе. Когда в
треугольнике ВВС (чер- 48J продолжаем один бок, например BD,
делая продолжение AD равным другому боку ВО*, то произойдет
равнобедренный треугольник ADG, где при точках .4, О углы
равны, следовательно, в A--1SC угол при С более угла при А, а
потому бок АВ^ВП-\-ВС>ЯС0.
ВооЩе. бок мпоюуюльниш .жнее суммы прочіщ потому что
многоугольник происходит постепенно, начинаясь с треугольника, когда
бок заменяем двумя, которых сумма более.
Итак, в этом' смысле говорят справедливо,! что Щямой линией
измеряешя кратчайшее расстояние двух точек.
56. Иержндгекуя к плоскости называется линия, которая
встречает плоскость перпендикулярно к двум линиям на плоскости.
* 'Го-ость предложение, что сумма двух сторон треугольники, больше третьей.
* ЛобалевсКЕІі, экономя количество чертеагей, попользует тот же чертив 48,
который бия составлен ыримі-ннтеиъно к ст. 54. Но здесь нуишо его
использовать только как схему: на черт. 4S AD фВС.
в То-ѳать в треугольнике [BDC суыма сторон ВВ и DC превосходят третью
сторону ВО.
ГЛ. IV. О ЛИНИЯХ П ПЛОСКОСТЯХ ИЕРПШДПКУЛПРНЫХ -217
У&
Он. бывает нернсноцпнлом чт «<.■•'.« .ікиик.и, пром'Ітііг.и от
встречной точки но плоскости.
Это сиош-тво припад;і*;і:нт прямой, которая гчи-диштт два
полюса плоскости. Пѵ..-te, Л, .(' щер. 27 ::J ппдю.-ы, ІФВ'ІУ — круг
происхождения на плоскости, где С центр круга BDB'T)' я начало
віійх кругов. Когда полюсы Л, J' меняются .метами, то всякая
точка В круга может ^охранять
свои*. Это иначмт, чти /_ЕСА~
— /_EG'A'=Y"- TftK и '*'-'.* линии
на плоскости, приведенные в С,
будут перпепдпкулярлш к линии
АА'.
Если теперь, обратно,
предположим линию АВ (чер. 4ііе)
перпендикулярной к двум ЛС, ///>,
которые не составляют одной
пряной, то, продолжая АВ на точку В,
делая продолжение в'А = ВА,
потом ВС=*ВВ -и соединяя концы
С, В прямыми <■ л, Л',
получим связь линий, где АС = АВ,
А'С—А'В- потому что L.A('A'
покрывает /\ADA', кик по равенству прямых углов ABC, ABB
■і так и по равенству линий ВС, ВВ. В этой|с:вя:ш линии заменяют
одна другую, когда точки А с А', С a D перекладываются, потому
что плоскости треугольников ADA\ АСА' падают друг на друга,
равенство АВ с А'В заставляет [точку В сохранять свое место,
равѳнство" прямых углов требует, чтобы линия ВС шла по ВВ.
наоборот, ВВ по ВС, и, наконец, равенство BC=£D приводит
точку С в В, D в С, следовательно, AC = AD = A'C=A'D.
Итак, плоскость, которой А, А' служат полюсами, пройдет черев
точки В, С на равных расстояниях от .4, А', такяге через точку В,
как начало кругов на плоскости (ст. 22). Черев три точки В, С,
В, взятые не е прямой линии, другой плоскости провести нельзя.
» На стр. 187 наст, тола.
* Положение.
ѳ Чсртсік 49—очень с-хеігатичныіі, но вполже разъясняющий лзлсжлиис.
2J-* НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
(ст. :М). Лшпш АА', іо-дш-іяя полюсы, ііудет перпендикул к этой
ПЛпгКОІ-'і'Іі.
37. //.-J іію-п.п ни іілшкасінн мо'іі'-ріп ин:ітг}<иаі> одни ыоль-мі ііерпеи-
(іпі;ц,і, теп; .щ-г, кш; из точки вне n.w.-votmn надает пПип ino.iw;u пкр-
iipiiflinnj.-i ѵ тіоіі it.'ifrtyiiwm'!.
Оішо по і'Обі; разумеется, что продолжение перпендикула по
другую сторону плоскости будет также ш-рпендикулом плоскости
(ет. 47).
Пусп. те по] л. две линии, нр будучи продолжением j одна дру-
roii, выходят ил одноіі точки. Воображаем через них плоскость
(ст. 33) [і линию пересечения с данной. Две первые линии т.-
могут к этой последней быть перпендикулярны Сот. 47 п 43),
следовательно, не должпы быть вместе периендикуламн к плоскости
(ет. 56)..
38. Из ваякоЬ. точки можно восставать перпииднкул w
-плоскости.
Возможность поставить перпендикул т всякой точки па
плоскости следует из того, что всякая точка служит началом кругов
па плоскости (ст. 29), потом в этому началу приискиваются два
полюса, между которишг прямая пройдет черев данную точку
перпендикулярно к плоскости (ет. 56). Если бы требовалось восставить
перпендикул, употребляя к тому черчение прямых линий и
кругов на плоскостях, то называем А данную плоскость *, а на ней
данную точку, через которую ведем произвольно линию а в
плоскости А, потом через а произвольно повую плоскость В,
наклоненную под каким-нибудь углом к прежней А. Ведем из а перпенди-
ісулы к в: один р в плоскости А, другой ? в плоскости Б; наконец,
в плоскости, где лежат р ж -[, перпендикул о из а к р, который и
будет перпендикулом к данной плоскости А. Здесь а перпендикул
к J3 и f, | следовательно, к самой
плоскости таких линий и в ней и 3
(ст. 56), который будет уже
перпендикулом к о. и р, а потому к
плоскости А, где лежат аир,
* Для пояснения текста Лобачевского
ігрігасщим чертеж.
ГЛ. іѵ. О ЛИНИЯХ II ПЛОСКОСТЯХ ПЕРПЕІ-ІДІІКѴЛІІРШіІХ 21!
"»0. Плоскости трпиндпугулпрші к йругоіі, проходя черт пр.ршчіііи-
■ну.і ние.ісднсіі.
Обратно, нгрпепдикул « линии пересечении диу.е перпендикулярны.!:
и.і ос посте/). находясь в одно)'', бывает перпрмдикулил dpi/wii.
Пусть аЬ (чир. гю ") — перпепдпкул і; плоскости АВ. Через ab
проходит плоскость CD, раярвзылая первую в лішші ВС, пврпеггдику-
лярной к об п точке Ъ (ст. 50). На плоскости АН іящем от конца Ь
к лішіщ ВС перпенднкул
Ьс, который, следовательно,
должен с ab составлять
пряной угол *, равный
плоскостному (ст. 43).
Если ж, обратно,
плоскости AB, CD
предполагаются перпепдцкулами, то
перпендикулы ab, Ьс в этих
плоскостях к линии
пересечения ВС будут п между
собою перпендикулярны
(ст. 43). Таким образом, аЬ делается к ВС и б Ьс тгарпендикулом,
следовательно, к самой плоскости АВ.
Отсюда заключаем, что две плоскости, перпен\дітуля,риие і: третьей,
пяреешттся с перпенджуле к последней, потому что к третьей
плоскости перпенднкул пз общей точки пересечения должен быть
в той и другой плоскости, следовательно, быть их линией
пересечения.
GO. Жз всякой точки .можно жрмнйищл опустить к
плоскости.
Всякую точку вне плоскости можно почитать за полюс этой
плоскости, находя противоположный на другой стороне (ст. 28).
Между двух полюсов прямая будет па данной точки лерпендикул
к плоскости (ст. 56).
Черт. ГЮ.
<" В «Ученых" ейішшаіх» номера чертежей 50 и 01 и «яшие чертежи по ошибке
переставлены местами; еда.чви же в тбкоте на яти чертрікп варнъг.
* Эгот прямой угол, образованный перпендикулярами ab и be, является
линейным углом двугранного угла, гранями которого служат плоскости АВ и CD, а
дотом;- дауграажьтіі: угол тоже оудат прямым (ст. 43).
•2-20
НОВЫЕ ПАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Черт. j[.
Если бы требовалось опустить перпендикул, употребляя і; тому
только ітрпміле липіш с кругами и плоскостях, то пусть ,1 данная
точка (чер. 5]'), откуда перпендикул должен падать на плоскость ВС.
Видом здесь
произвольно линию BE;
к псіі нч данной
точки А перпенднкул .F.-1,
потом и-ч J\ куда
падает этот перпенднкул,
ведем еще другой F&
к ED в данной
плоскости; наконец, к FG
опускаем из А
перпендикул Л G, который
будет лерпендикуло.м плоскости. Здесь DE—перпендикул к FG
п FA, следовательно, к плоскости треугольника FAG, которая,'
такіш образом, делается перпендикулярной к. плоскости ВС (ст. 59).
! Прямой угол двух плоскостей будет также прямым углом линии
GA с ѲК, проведенной в плоскости ВС перпендикулярно к FG.
Итак, AG перпенднкул к F6 к GK, следовательно, к. плоскости ВС.
til. Дай пврпендищ/ла к плоскости заключаются о одной плоскости.
Пусть АВ, CD (тер. Й2) — перпеидикулы к одной плоскости FE,
где концы В, В соединяем А, ,6'
прямою BD, через которую
воображаем плоскость,
перпендикулярную к F.F. В ней -£Ѵ-
должнж заключаться пер лен -
дикулы к плоскости FF,
поставленные в точках В, D
(ет. 59) п, следовательно,
самые линии АВ, CD (ст. 57). Ч°Р'Г- 5а
На плоскости ту линию, куда падают все перпендинулы другой,
назовем след ft или проекция. Отбрасывать линию на плоскость будет
* Термин «след» у Лобачппекого употребляется в значении «проекция», я. не
' в обычном для начертательной геометрии вначетш точкгг пересечения лттіі
с плоскостью проекций.
ГЛ. IV, О ЛИНИЯХ II ПЛОСКОСТЯХ ПЕРНЕРЩІІКУЛЯРНЫХ 221
значить опускать нерпенднпуды, чтибід ііссш след. Так, здесь 1)1! —
след линии СА на плоскости FE.
Угол линии г, плоское»!иіи значит угол, который линия делает
с своим следом на плоекогтп.
62. Ни сфере дуга большого круга перпендикул к другой \ когда
делает с чтой последней в обе стороны прямой угол.
Из данной точки па 'дуге * можно ноѵе'ішчишь^аікш только иершн-
'dmiijji, потому что дуги болі.гпнх кругов происходят от пересечения
со сферою плоскостей, проведенных через центр. По той же
причине, іга точки 0 и данной дут может быть опущен один то.шо пер-
птдикул, который, однако ік, с полным кругом, где была взята
дуга, как н со всеми большими кругами на сфере, пересекается
в двух точках. Это пересеченна происходит н концах поперечника
сферы, следовательно, два пергійщшкулп к одному кругу
составляют г. [53].
Расстояние [5S] точки на сфере будем измерять дугой большого
круга, проведенной к другой точке, либо к дуге другого большого
круга перпендикулярно. Расстояние полюса до точек его круга,
везде равное, составляет -^ *, потому что поперечник между
полюсами 9 перпендикулярен к плоскости круга (ст. 56). Расстояний
до круга от всякойт другой точки, кроме полюса, бывает два,
которые составляют вместе полкруга, следовательно, из них всегда
одно <тгя, другое >уте ■■-.
(S3. Оборотные **равнобедренные -треугольники на сфере- бывают ѵОи-
нп'цовы..
Пусть ДЬ'6'(чер. Ш) — сферический треугольник, где бак АЬ= АС.
Пусть А'В'С — оборотный его треугольный, так что здесь А', ТУ, 6"
* Определение угла ыеи;ду дугами на сфере Лобачиь-
«ішгіі дал в от. 42.
* Если нот особой иговорвн, то «душіі» ни сфері<
ЛобачевекиИ называет дугу Опюшгого круга.
® Не являющейся полюсом данной дуги.
9 Диаметр, соединяющий, пп.'ііоем.
1 В оригинала іяоит -ит раіштояшііі до круга всяеоІі.,,..
'•"■'• Си. ііріншчацие [Щ.
** См. ит, іі (стр. 209 наст, тома). Для ігошщешія
приводим чертеж, на котором изображены «оборотные- рянно-
Лсдрішиын треугольшіяіг на оферт.
■22->
ИОВЫІі НЛЧЛЛЛ ГЕОМЕТРИИ
ij" и]н-!дгпіи.-шгот і коыцы ■■* гюг/иріѵп-швдв, проведенных от ,4, В, О
(ст. Wj, ..молоштмьно, Л/1—.А'Іі', ЛС=Л'С, ВС = В'С,
/_ Л ~ £_ Л', /_ В--^/_/I', /_<'=/_С. Еслгг теперь у двух этих
треугольников центры
сфер сно(?іш вместе,
потом точки А, Л' *,
накладывая бок АВ на
А'С, то по равенству
плоскостных углов
при точках А, А' и по
равенству боков АВ о
А'С, АС г. А'В' точка
Чг]>т. .')3. Сбудет в Д Ь" в С.
(і+. 7У кферичесном тр&у-юяинтж п-ротив равных боков углы равны;
нпобороіи, против равных углов бона равны.
Пусть дта треугольника ABC, А'В'С (тер. 63} — оборотные в
отношении друг1 к другу, так что точки А, В, С отвечают в другом
треугольнике точкам A', В', С". Если предположим к тому АВ = А(.\
то два треугольника будут покрывать друг
друга, когда накладываем их точкой В в С,
О в Л' (ст. КЗ). Нто значит £_ В — {_ С" = L О■
Если же предположим /_В= ^С и,
следовательно, /_В— /_('!', £/■' = 1_ в', то
надобно накладывать треуппьншш друг на
друга точкой В1 в С, С в В. По равенству
плоскостных углов бок (УА' пойдет по ВА, д'
В'А' по О А, пересекяяеъ в общей точки А',
после чего ВА=С'А'=СА.
| ііа. В paauootityenuoM сферическом треугольнике перпеидикул из
вершины делит оановашіе пополам.
Пусть в A ABC (чер. 54) бок АВ=АС\ дуга AD соединяет
вершину А с серединой Т) основания ВО. Когда теперь Д АБО покроем
* Вторые конечные точки.
* Лобачевский представляет сначала, что один треугольник ниаівнеіімг) or
другого движение»; перенесен м другое положение в пространстве. Оовмещая
затем сфррьі, он наставляет одіш треугольник скодьшть по сфере другого и
приводит точка .-L, А' а спіщадічтке и т. д.
!.'!. IV. О .ШІТШ1Х Іі ІІЛ'іі 'КОСТЯХ НьТГШіДШ^'ЛПТМиЧ" '-'^'
и'оротним его треугольником, полагал на ВО спит пет стврнііші Суп:.
іі на тпчкп I), А прядут нх еоотп-гетисппие (ст. и':}), гигда как-
утл J W займет место смежного с шім ,-і/'/?. Этп яначпт, ^ ,-! W =
titi. r'Jtijja} itjifKWfift 'tt'jiei iP'jiii'uhm 'Jh/jx ^ipHoowijji.'ttti>it;r щя-і/ігкіь-
mtiidd [iia сферп| "", iiMawim )tepi4'.ni)iini/,if!jji-"i и н.г. odm/.ui/ игнонншин.
іішпоііш'- разгіе.utem также поі>и.іа.\і-, кроме
того і-лучая, когда бока водном
треугольнике служат продолжением боков в
другом *.
Пусть Лі'С, £/J6'[4up. 55J —
два,равнобедренных треугольника (■ общим
основанием ВС\ я-і середины которого ведем
дуги і; вершинам А, .0. Они должны быть
перпендикулярны к ВО (ст. (>5), а потому
с.чішадься н одну дугу ,4IJE (ст. U2). будут
;ін вершник А, I) лежать на той же, пли
па различных сторонах основания ВС. Если
к тому две вершины е центром сферы не
о« находятся в одной прямой ли|шш, то
другой плоскости через ути три точкл,
следовательно, также другой дуги через Л, Д
провести нельзя (ст. 33); а потому дуга ADE
должпа быть перііендішулоы к ВС. Напротив, когда равные бока
ЛВ, АС служат продолжением в другом равнобедренном
треугольнике ВЛ'О [ы], то вершины А, А' с центром сферы будут в одной
прямой, следовательно, может быть и много проведено дуг от ,1
к Л'-
Вообще заметим, что когда в равнобедренном треугольнике
тмзркшна не будет вместе полюс того круга, и которому
принадлежит основание, то перпендикуя ни вершины к основанию мо;г:нт
быть один только (ет. Іі2); следовательно, положение такого пер-
пендикула достаточно определено, а потому два, свойства дуги
* Предполагается, что у них общее основание.
* В1 последнем <Уіучаѳ дуга, соединяющая вершины, не обязательно діілиг
основание лополаіі и не всегда » нему перпендикулярна, так ияй оОраауетм пувдк
луг, проходящих через две вершины.
'-'■* НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕиМЕТІ'НП
г; числе четыр-іХ; перпендикулярность і; основанию, проходить через
вершину, д'-ліпті угол при вершине пополам, делигь основание
пополам, предполагают два другие, как иеооходшше
последствия.
-Так. r-сли требуется дугу ВС рал долить пополам, то вокруг
концов В, С оіш'-ывают произвольным расстоянием АВ* дугу£,
потом то и;»-другим расстоянием .fiD, наконец, точки пересечения А,І)
равных кругов см-днштггг дугой AD, которая, по крайней мере,
і; продолжении сзо>.м, пройдет через | середину Е основания. Можно
точки Л, D сыскать таким образом на одето іі: или на
противоположных і-торгіігах дуги ВС, набегай того случая, когда д;утп одних
кругов выходили бы продолжением других.
Еелн требуется разделить угол ВАС пополам, то делают бока АВ,
АС равными, потом из концов В, С чертят равные круги, которых
точку пересечения D соединяют с острием А дугой AD.
Перпендикул из точкді А будет опущен к дуге ВС, когда
пересекут ВС в двух точках В, С кругом около А^, потом цз точек В, С
начертят равные круги какою-нибудь дугою BB=CD^, наконец',
их топку пересечения*"* соединят с точкой -4 дугой AD, которую
продолжают, если бы понадобилось, до встречи с ВС**.
Чтобы на дуге ВС восставить перпендшеул из точки J?, берут
от £ в обе стороны равные дуги ВЕ= ЕС®0; на концов В, О
* Дальнейший мест ЛоЗачввекяК не сопровождает чертежами, хотя приводит
буквы. Ввиду нонсетк текста мы вдеег, дополнительных чертежей: ташке не
приводив.
* Лобачевский рассматривает ошісьшашіе дуги на сфере сферическим
радиусом— дугою большого круга АВ (от. 82). Чтобы получить пересеченно, дуга АЛ
тс
должна быть меньше .—, но, однако, не меньше, чем половина меньшей на дуг:
дуги ВС к дашышите.чьнаа к ней до г.
° Следовало бы оказать «дуги». Этк дуги геодезических окружностей явлшотоя
дугами просто окружкоетеіі, что и докалывает Лобачевский несколько ниже.
Ч См. сноску™ н-л стр. 215.
Т Меньшей -%і , но не исиьшей чсы меньшая на дуг большого круга, сиедішяго-
іцнх В к С.
*s Не совпадающую і; А\ такая точка, всегда существует, так как, если точки
пересечения одна, то' она лежит на дуге ВС к потому нѳ может совпасть а А]
если sk* имеются две точки пересечения, то одна во всяком случае яе
совпадает 0.1.
** Если точка А янлявсея далюсоы дуг"; ВС, то каждая дуга большого круга,
проходящая черо:: А, будет перпендикулярна ВС.
~3 Но еѳ кратЕіые г..
гл. гѵ. о лишгих и плосіеагпт пкрпкеідш.'ь'ліпчшх -2-і->
чертят равные круги произвольною дугой ЛА =з АС'", и соединяют
.Ms точку пересечения Д * с точкой В дугой Ли.
Одною дугой начерченную ни сфере линию 0 мм пааывнлн эдесь
■кругом. Он действительно будит тот самый, который происходит
от пересечения данной «форы с тою, где неподвижный коней дуги
j берется ва центр, а хорда за полупоперечник. Этот круг называют
параллельный к тому большому, которому неподвижный конец дуги
служит полюсом на сфере. Он также происходит от пересечения
сферы с шюскостиго 9, поставленной перпендикулярно на том
поперечнике, который соединяет полюсы^.
Большой круг на сфере в отношении к прочим
представляет подобные свойства, какие принадлежат прямой линии со
всеми кругами на плоскости. Тан, около двух неподвижных
точек па сфере равные круги пересекаются в большом круге,
■іг которому самое меньшее и самое большее расстояние
точки будут перпендикулярны, поело того как ими начерченные
круги но должны пересекать уже, но только касаться'большого
круга, чтобы не мог составиться равнобедренный треугольник,
и в нём через середину основания пройти новый перпенднкул
<ет. 152 и 65).
67. Правильный многоугольник, прямолинейный или сферический,
называется тот, где как все бока, так углы равные й*\
Внутри правильного многоугольника находится точка — центр,
от которой как расстояния всех остриев, так и боков, равные.
В прямолинейном**многоугольнике дептр назначают своим
пересечением! те линии, которые делят углы пополам. Б центр
сферического120 многоугольника сходятся дуги, в которых сферу
пересекают плоскости, разделяя пополам углы. Например, в прямо-
* См. сноску* на стр. 224.
* См. сноску** ня стр. 354-
° То-ость линию, описанную и» сфере вокруг точки (центра) дугой, большого
круга, имвющей яиатоянаую величину ("сфирилескнм радиусом»),
? Проходящей через вшию-ниОуда положение подвижного коіща'думг.
I Лучше быт бы сказать: соединяй неподвижный конец дуги с точкой., ему
противоположной.
** Лобачевсвий не рассматривает янѳадчатыѳ многоугольнике, ограничении,
.многоугольниками боа сіімопервеечониіі.
** Правильном.
ал Правильного.
Зля. ВОЗЯ. Н. И. Ловачевсвнй, т. II.
15
*22В ПОШЛИ НАЧА.:іЛ ПШМЕТИШ
линейном * многоугольнике лншш Л(\ ВС (чир. "«>*), разделив
углы при точках А, В пополам, приходят и центр, составляя
равнобедренный треугольник АСВ, который, прикладываясь к самому
себе, производит уже правильный
многоугольник. Ясно, что всякий раз
.[(', Вг пересеваются, разделяя каж-
\ дан и продолжении твоем ограничен-
\ ную плоскость на две части, которые
/ должны выходить от той и другой
/ лішші одинаковые [5S]. То же
надобно сказать о правильных
многоугольниках из дуг большого круга на
сфере. Итак, если число боков п в цра-
иильиом многоугольнике, то каждый
угол при центре между .-іиииіі, проведенных сюда от концов бока,
должен быть -" . Круг, описанный расстоянием центра до конца
бона, пройдет, следовательно, через острия всех углов; а круг,
описанный перпендикулом ггліт, псе то же, расстоянием® до
средины бока, будет касаться виех боков а их середине.
* Яравнлык™.
* Ссылки ііа старый чнут&к 55 является, несомненно, ішечатиоіі. йдеиь должен
Сыть новык чертеж, который мы. лор производим я° тексту Лобачевского под
номером 55й.
& От центрп.
ГЛАВА V.
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕЛЕСНЫХ УГЛОВ ПОМОЩИН)
плоскостных и.
6* | 68. 'Іроданный телесный угол равен половине njjt.uu ѵ.кл-пѵѵтных
6ts прямою.
К тому началу, которое приняли для Геометрических
измерений (ст. 37), прибавил* еще повог, столько же необходимое, как
уже было замечено пргг случае выше (ст. 21. Две величины іиі'іѵ-
таюпмя равными, когда .но-
же.и обе составить из одних
чаетеіі, хоти бы в 'другом по-
■рядке. После чего будет
оставаться только вымерить
самые части.
Пусть в сферическом
треугольнике ЛВС (чер. 56)
каждый 6ое < я. Разделяем
AS, SO пополам и точках
В, Е, через которые ведем
дугу FDEG. Пусть на нее падает из точки л перпендішул ли
внутри треугольника ЛВС. В таком случае к той же дуге иерпен-
дикупы из точек А, (' должны быть вив треугольника ABC,
составляя треугольники AFB, СЕв, одинаковые с DBS, ВНЕ. Увериться
в этом можем, обращая, например, д DBS около точки D, покуда BJJ
покроет DA. Тогда равенство вершинных углов заставит бок SD
67 идти по BF и здесь окончиться в точке | Е, потому что дуга BE < ж
(ст. 46), следовательно, перпендивул AJ? из J к дуге ЕВ может
быть один только (ст, 62). Итак, основываясь на том начале, которое
теперь приняли, величину треугольника ABC должны почитать
15*
•г zh
ППНЫК НЛЧЛЛЛ ГЕОМЕТРИИ
равною с. чР'Шреугольниксш AFGC. Замгтіш к этому, что когда
г;у \шу ініек углов треугольника ABC называем S, она в четыре-
угольнико AFC* будет .S'-j-т:,
потому что здесь к углам БАС, ВС А
прибавляют™ FAD+ЕСѲ^ ABC,
да сверх того, AFB-^-EGC = тт.
Если исрпендіпѵул из В к DE
падает в Е (чер. 57), то здесь
fcBDE одинаков с AAFD;
следовательно, поверхность
треугольника ABC снова будет та
же, что четыре угольника AFEC,
где сумма всех углов опять
Черт. 57. А'-|-іГ-
Если перпендикул СНш С к JDJ? падает вне треугольника ABG
(чѳр. 58), то здесь, как ы в первом случае, A AFT) одинаков с а ВСЕ,
&BQE& &ECR, следовательно, снова
поверхность четыреуголъника AFGB
равна с д ABC, к которому
придается Д А1'Ъ, равный сумме двух
отнятых ВСЕ, ВСЕ. В чѳткреугольнике
ABGF опять сумма всех углов &'+ к, Н'
потому что с треугольниками
придается угол FAX) вмес|то суммы двух углов
АСВ, &ВС, да сверх того,
прибавляются прямые углы при точках F, G.
Итак, во всяком случае
поверхность треугольника ABC (чер. 58 "') „
та же, что поверхность четыреуголь-
ника AFGC, который ограничивается
боком АС<к в треугольнике и нер-
пеыдикулами AF, CG из концов его
к дуге, проведенной через середины
двух остальных боков. Е этом четыреугольиике сумма всех углов
будет более двумя прямыми против суммы углов в треугольнике.
Отсюда следует, что сумма углов и величина поверхности остаются
""«ЧЙіГ^р. 227.
Ч а р т. 58,
tVI V. ИЗМЕРЕНИИ ТЫЕСиых УГЛОВ ШШиШДІО ПЛОСКОСТНЫХ 22!)
те асе во всех треугольниках, поставленных на той жв Оику Л6'<я,
тогда как их оотрлв* в третьем угле на раишш расстоянии от
луга, проведенной черва середины боков этого третьего угла [-"J.
Б данном треугольнике ЛВС (пер. 5!)), через точки J5, £', взятые
на середине боков ЛЛ, ВС, ведем дугу 1>К а і: п.чУ шірплл.ѵп.ішіі
і;р,уг Д/*1, покуда
встретит точку F на
продолжении в ту же
сторону бока A.CF. Поели
чего перпендпкул FU
т F к круг)' ДІГ&
будет равен перпендн-
кулу к той лее дуги
п-ч точки В (ст. 06),
следовательно,
поверхность и сумма углов
в треугол шике ABC
те же, что в треугольнике, который получим, соединяя точку F
дугами е точками Л, О, ведя первую через середину Я дуги
JT£?между перпендикулами к ней АК, FO-[iS]. Между тем этот последний
треугольник обращается в вырезок* AHFCA вместе с тем, как угол
при С делается т.. В этом вырезке сумма двух углов Л'—«е,
следовательно,, величина треугольника ЛВС должна быть ^(S—тт)9.
Пусть опять в треугольнике сумма всех углов S, но где
предположим: один бок более полкруга. Заменив этот бок
дополнением, его к целому кругу, составляем с двумя другими повый
треугольник, где, следовательно, сумма трех углов 4п — S, а
величина поверхности -^(Зя — Л') должна составлять тг с величиною
* Вершина.
* Двууг-ольняв.
3 Earn считал, доказанным, что сумма исех углов треугольники АНЬѴА с углом
при О', равным т, выродившегося, таким обраяом, в двуугольник, равна вумла
углов треугольника ABC.
5 Си. ст. 39 ы примечание F] на стр. 478. Согласно единицам меры, принятым
Лобачевским, величина угла между плоскостями сторон двуугольник* равна
величине площади итого двуугольника. Если евгаатъ доказанным, что двууголыіик
AHFOA равжшепюс исходному треугольнику ABG, то получаем, следовательно,
что цлогдадт, треугольника ЛВС равна углу двуугольника AEFGA при его
вершина.
:>:!і і
[ЮНЫЕ ИЛ'ГАЛЛ ПЭТМЕТРІШ
поверхности к ігріжііем треугольнике. Отгвіда находим
поверхность данного треугольника снопа ■ІГ(,?— тг).
.Что предложение доказывают обыкновенно другим образом.
Няаыишш Л, И. С углы сферического треугольника ABC (чер. 60),
где бок АЛ продолжаем, покуда
('О'-тагагп.-л полный круг, потом
и другие два бока чрез их
общую точку С до встречи с этим
кругом. Кроме данного
треугольника, который означим А,
произойдут еще три М, А', Г, так что
сумма нсея L~\-Al-\-N-\-Р = ъ.
1Г(ждутем,й4 P='\L^.M=A,
І.-$-Аг—-Я, после чего ]',—:
= -у{А-\-ІІ-\-С—it). Недостаток
итого доказательства .'заключается
в том, что величину
треугольников надобно предполагать,
Черт. «"■
оставляя способ намерении неизвестным; да к тому и уравнении
] P-j--£= С. собственно, должен быть вместо F оборотный его
треугольник.
Ив нашего предложения следует
уже само собой, что в оборотных
треугольниках поверхности равны*.
Впрочем, к этому заключению можно
нридтн другой дорогой, не
принимая в рассуждение самой величины
треугольников. Б сферическом
треугольнике ABC (чер. 61.) дуги /I'D,
B'D, CD, выходя перпендикулярно ^fc
к бокам ч:> середин А', В', О',
встречаются в общей точке В на
равных расстояниях AD, BD, CD от
остриев. Действительно, когда вместо треугольника BDA' берем,
оборотный его, которого бок ВА' полагаем на А'С от точки А',
* Так как углы б двух таких треугольниках соответственно равны, к, следо-
ватѳлміо, раояы и сумыы этих углов.
[VI. V. ШМИГЧШПКТИЛКГНЫХ МѴКіИ ПШГОПЦШ ПЛОСКОСТНЫХ 2Л1
го перпендикулярность О А' в обоих треугольниках .чаетавнт i?Z>
покрывать ОТ). Подобным образом можпм докалывать, что BD = АО,
когда в точке I) пересекаются два, нррпендикула A'D, CD. В эту
жо топку должен приходить и тіершчіднкул iPD (с:т. 65). Так
данный треугольник ЛВС разделяется на равнобедренные ЛЛД
/<ДГ, CDJ., которым отвечают те же в оборотном.
Доказательство не переменяется также it том случае, когда точка D пае.
треугольника; но только для составления треугольника
потребуется либо вычитать один равнобедренный треугольник и;і
суммы двух других, либо,
наоборот, сумму двух вычитать па
третьего (S!'j.
j 60. Сферический
многоугольник можно составить на треуголь- С
никое, когда ведем дуги ко веем
остриям от произвольно взятой
точки на сфере. После такого
замечания легко видеть, что
величина многоугольника зависит
от суммы п нем углов.
Отточки А (чер. (>2), взятой Черт. «2.
где-нибудь внутри
многоугольника, ведем дуги АН, AC, AD, АЕ к концам бокон «, і, с
многоугольника. Может случиться, что вновь проведенная дуга, например,
AJD, прибавляет к прежнему треугольнику ABC другой ACD.
Зто будет тогда, как с новой дутой AD угол вокруг А растет от
прибавления ВАС. Может еще случиться, что шговь проведенная
дуга, например АЕ, от прежней поверхности отнимает
треугольник .LED. Это будет с тем вместе, как иа утла вокруг А вы-
чтется DAE. Наконец, иногда дуга к новому остршо сливается
л: проведенной прежде, как, например, АЕ с AF: тогда на к
поверхности многоугольника, ни к углу вокруг А ничего не
прибавится. Пусть теперь а—число боков многоугольника, где сумма
веех углов £>'; ш — число треугольников, которые прикладываются,
■я М—сумма в них углов; $ — число вычитаемых треугольников
я Р—сумма в них углов; следовательно, -к — т—р число богсов>
$І2 ШЛіЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕ'ШШ
которые сливаются с дугами, провиденными к остриіш из точки Л.
'•■* Поверхность всех треугольников, которые | прикладываются, должна
оыть -^{М—шя)\ подобным образом, как и поверхность тех,
которые вычитаются, будет -^(F—ръ)\ после чего величину всйгг»
многоугольника находим
Лі-жду тем. когда растет угол вокруг А, то и углам
многоугольника прибывают углы треугольников, что «оставит во всех
таких тииугольшшіх J/. Далее, с уменьшением угла вокруг Л
и.ч углов многоугольника вычитаются углы треугольников, но
г прибавлением на каждый 2^':":', следовательно, в состав всегі
суммы войдет '2рж — £. Наконец, всякий раз, когда дуга,
проведенная к острию, сливается с боком, то к углам многоугольника,
прибавляется «*, всего же ()ь—»і—J))^; да кроме того, надобно
вычесть угол 2- вокруг Л, неириыадлежнын к углам
многоугольника, где сумма всех должна, следовательно, быть
Л' = іи"-|-2ріі— P-f-Oi — w—jp)K — 2ъ=:Ж— Р-4-(и — м+j) — 2)я.
Отсюда, вставляя значение М—Рѳ, получим величину сфери-
ческого многоугольника
П | ^{3-(п-2)тЛ.
То же бы самое нашли, когда бы взяли точку А вне
многоугольника, или на боку между двух остриев, или в самом острие.
Но втором на этих случаев надобно число треугольников лрл-
шшать единицей менее, вычитая в треугольниках из суммы всех
углов я, который при точке А к многоугольнику не принадлежит.
Два другие случая но требуют переменять в треугольниках сумму
всех углов 2; но когда точка взята вне многоугольника, то с по-
* Так как иоялпяѳтея еще новый внутренний угол в многоугольника, ооста-
ждлющий дополнение до Зп в соответствующему углу отнимаемого треугольника.
* Сумма углов треугольника, три несовпадающие вершины которого лежат
на одной дуге, равна я, причем для результата подсчета безразлично,
прибавляется или отнимаѳтсет такой треугольник. .
0 В формулу для площади многоугольника.
9 То-есть не нужно вычитать угол 2п, ісоторыіі был обравоваы вокруг шіу-
«ренвей точки А вспомогательными дугами и не входил ранее в еооч'ав угли*
мидгоу гол ьннка.
ГЛ. V, ІІЩІКГЕШІК ТКДЕШЫХ ѴГЛІЛІ ІЮЖІІЦШо 1ІЛ0і:Кіл:'ГІП,ІХ -М'.'Л
оле-дшш * треугольником in: должно к углам прибавлять 2^,
питому что, хотя .чд'Х'ь угол вокруг -L уменьшаете*!; но треугольник,
лежит вещ. Bin; многоугольник а. Кслн н;« точка Л вгыіта в саном
іліт[іі(о, то число троуголышкон надобно почитать менее двумя.
Лтаі;, ыелі'.сныіі. ц.\ол не мшігкт еиспишитиси. мік сиори чие.ю и.іи-
емхтнші и и су.и.ип act'-'' их 8 таковы, что >' —(«— ~2)г. ш- оі/,,,щ>ч
ноачжиіш'.іыіым числим.
'..'казашюе до пик пор относится к многоугольникам с одішакпн
окпуисноитню *. Если же она диойиая 0, то, соединив лшинч'г
наружную і-о внутренней, вправе почитать окружность одинаков.
пршпшіШ соединительную лішніо за бок, по которому должно'
і ігере[ходпть от одной окруашости к другой, потом опять
возвращаться к первой. Итак, в общем выражении для іюнерхноітп-
•тело н теперь уже заменяется w-j-2. К зто.му же завлгачошш
Приходим, рассматривая данный многоугольник ли, разность двух.
Пусть п'—-число Соков наружной окружности, п"—внутренней;
пусть S' — сумма углом в большем, S"— в мепыпем
многоугольнике; следовательно,
Поверхность большего многоугольника
меньшего
-£-{Я" —К-2)«).
Лх раипость дает поверхность многоугольника с двойной окруа:-
B О (5 ТІПО
* Ііі.ічітпшмым.
* То-есть контур іштоиых гішеоыорфеи оісружЕоитн.
J То-есть, если многоугольник гоысоыорфен кольцу.
9 Лобачевский не рассматривает формулу для площади сферической
многоугольной: облает более высокого порядка свинности, хотя путь вывода ou j!tetr<
на основании от. 73. Получаем
(, = i.[S~(it + 2A — Цк\.
где /* — ііоридин ияттаегга.
-■И НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Говоря мдрсь ч разделении «((к!ричетких многоугольников на
'и треугольники, кстати заметим, что ] разделение прямолинейных
таково жп. Даже как те, так и другие могут быть разделены на
треугольники, которые все складываются. Бок я и произвольно
шитом угле, продолжив, если бы понадобилось, отклоняем к
другому &, покуда встретим острие где-нибудь на расстоянии с от
общей точки линий я, Ъ. Может случиться, что конец бона Ъ будет
вместе теп самым острием, которое встречаем в первый раз,
обращай линию о; тогда, следовательно, с. будет то же, что Ь. Теперь
к двум бокам а, с* третья линия между концов вырезывает
треугольник, внутри которого нет других остриев и боков
многоугольника. Если 6 a, b принадлежали к одной, тогда как линия с
встречалась бы с другой окружностию в многоугольнике, то с
отнятием треугольника не нужно делать уже различия между двух
окружностей, которые таким образом соединяются в одну. Еще
заметим, что линия с всегда многоугольник с одной окрулшоетиш
разделяет да два, где в каждом уже менее боков, нежели в
данном. Так, следовательно, продолжая, можем, наконец, вееь
многоугольник разделить на треугольники. Если полагаем т их число,
а боков в многоугольнике », то в числе Ят всех боков у
треугольником необходимо заключаются п боков многоугольника,
которые входят з треугольники по одиночке, тогда как прочие
8/в — а в них общие по два. Между тем, многоугольник с одной
in окружностию д,е[лптся на т таких треугольников, у которых
общих боков должно быть т — 1; После чего
■=-(3/»— л) = )»— 1,
откуда т = п— 2>—самое меньшее число треугольников, на которое
делится многоугольник с п боками. Напротив, л многоугольнике
с. двойной окружностию т его треугольников должны быть u m
общими боками*; следовательно, здесь Вт — -н=2т, откуда »( = -«.
Углы всех этих треугольников з том й другом случае составляют
* Очеішдно, с не является, кроме рассмотренного выше илу чая, стороной,
многоугольника; однако й оканчивается в вершине многоугольника it является
-общей стороной двух треугольников.
* То-евть чгашо отрезков, обравующиі общие бока в скстезіо т треугольников,
равво т.
ГЛ. ѵ. ГРЩИРЕІШЕ ТЕЛЕПНЫХ УГЛОВ ПО.МЧ1ЩІИІ ІЕЛГіРКОСТНЫХ 235
углы самого многоугольника; л і;ак в сферическом треугольнике
удвоенная поверхность равна сумме углов без к, то н сферическом
многоугольника и и боками в «динакои окружности удвоенная
поверхность должна быть равна сумме всех углов бва (я— 2)т.,
как и выше fiHjio доіт;шт<>.
70. Грани ііромлыіко таенного угла пересекают сферу, для
которой вершина служит центром, в правильном многоугольнике
(ст. 67) *. Ось в этом угле будет n;j вершины проведенная ляаия
через цент[і правильного многоугольника. Правильное тело
называется то, которое граничат одинаковые правильные
многоугольники, смыкаась в равном числи для составления правильных телес-
7т ных углов. Центр этих тел отстоит ни равных расстояниях от
остриев и бывает в точки пересечения как опей, так и перпендя-
кулов к граням ну их центров. Воображаем две смежные грани
А, В\ ведем из центров* перпендтсулы: р, ук плоскостям граней;
д, 6 к общему ребру с в средину (ст. 52). Плоскость, где лежат
а, й, перпендикулярна к с (от. 56) и к граням А, В (ст. 59). Она.
должна также заключать нернендикулы р, q к граням но центров
(ст. 59), пересекая поверхность тела в многоугольнике, когда
встречает все ребра граней перпендикулярно в их средине, либо
попеременно проходит через острие грани, потом уже через середину ребра
перпендикулярно ѳ [я0]. Первый случай тот, когда число боков у
граней четное; второй — когда нечетное. В первом случае плоскость
пернеидивулов р, </, следуя направлению линий а, й, встречает бока
граней всякий раз одинаково, раарезывая, таким образом,
поверхность тела в правильном, многоугольнике, к центру которого должны
сходиться прямые р, q (ст. 67). Біслн же число боков у граней
нечетное, то плоскость по направлению линий а, Ь пройдет наперед
чрез острие двух граней А, В, так чрез все вершины правильных
телесных углов п чрез пх осп, которых след1? на гранях делнг
■'■ Это - - определение правильного телесного угла,
* Граней.
а Последняя фраза имеет следующий смысл: ... и пересекает поверхность
тела по многоугольнику, либо встречая все ребра граней перпендикулярно в нх
средине, либо попеременно проходя через острие грани, потом уже через -еврвдыну
ребра к нему перпеиднкунярво.
9 Проекция.
2.% НОВЫІІ НАЧАЛА геО-МКІ'РІШ
здеі-і, угли [[опилим и, таким образом приходя и центр *, бывает
продол;кишк:м ліпшіі ft, Ь. Далее, шшсііооть, вступая ь смежную
грань, опять проходит через центр и шоиа потом через середину
-ь ребра перпендикулярно *. Так, в пересечении плоскости е поверх-
нистіш тили происходит многоугольник, где вис Сока равные попе-
j.ii.'Mf'HHO смыкаются под тем и другим углом °. Теперь всякий раз,
g когда прямая делит ко-
торыіі-пибудь из этих
углов пополам,
разделяет имеете много-
к угольник на две одина-
\ новые части; после чего
\ такие иинин должны
необходимо сходиться
Чир т. ІіЗ.
я оощеи точки, в чем:
увнршъел легко, шлагая многоугольник еамого па себя боками
равных углов 5. Доказав это, рассматриваем п многоугольнике три
бока а, р, -f с ряду (чср. 63). На них должны быть центры граней
в равных расстояниях от остриев, как видели ішпге. Из центров.
* Грани.
* К этому pefipy. Лобачевеігпі* пропустил случай, когда, плоскость проходит
черек вершину и далее «дет через ребро, общее для двух граней, смежных с дан-
иой, іі только йотой вступает в следующую грань через ее вершину. Ск. приме-'
чииігѳ J00] ш стр. 4ЯВ.
0 Смысл этой фразы таков: у многоугольника сечентиг псе стороны равные,
но урлы будут равными у вершин, раиподоясенных черва одну.
Лобачевский пропустил случай, рассмотренный и приыечошш \Щ, который
дает у многоугольника сечения аналогичную картину я дая длин сторон. В
дальнейших расеулданяях атот случай ив учтен, я доказательство теоромы о центре
правильного тела не полно.
3 Коли прямая допит один из углов мпогоу голышка оѳченил шшоіиш, то она
разделяет многоугольник «а две іюнгрувятные части, расположенные симметрично
относительно згой прямой. Бксеектрнса соседнего угла входит внутрь такой частя'
я, следовательно, должна на нее выйтіг (ст. 25}. Но пересечь сторону
многоугольника, принадлежащую К такой частя, она но может, так кап это
противоречило вы симметрии многоугольника относительно этой второй биссектрисы..
Следовательно, она пересекает разделяющий отрезов примой в некоторой
внутренней точке. Биссектриса угла, симметричного атому второму относительно-
разделяющего отрезка, пересечет по снъшетршг разделяющий отрезок в той
же точке.
Итак, бяссѳкграсы трех последовательных углов яересекаются в одной
внутренней точке. Отсюда 'следует, что все биссектрисы, пройдам чѳраа одну
внутреннюю точку.
ГЛ. V. ГОМЕГЕГШЕ ТЕЛЕГГГЫХ УГЛОВ ПОЗИЦИИ ІІЛОСіѵ'ОГ'ПГЫХ І'17
воображаем, перпеидпку.ты і; Сюкам «, ■!, y и пшоіі плоскости
МНОГОУГОЛЬНИКИ. Пусть К а, И будут OWII "П.1 i-ilMIJc. KOTOpIJC ІПУІНВНЛІ! ДО
■ •их пор )і, с/: а пер ленд нку.т к третьему ■< на-кшем г. О.'Ншчкм », м
липни, которые дгѵлят угли пополам, мо'-кду я н |і, ме;і:ду 3 и ■(■
ІІернеііднкул і/ будет, следовательно, выходить ш бока 3 и
треугольнике, которого дгш другие бока ѵ, т. Кс.тн # встречает у«, то
іістречает I) этой же точке пернендикул с потому, что центры
граней па |3, у и ранних расстояниях от общей точки £ с Y- К'*ли
же 2 встречает и, то и атой же точке встречает ^), потому что
центры граней па я, fi н равных расстояниях от общей точкіг а.
і: J3. До сих пгі]і, следовательно, справедливо, что можно сыскать
две смежные грани, | к которым перпопднкулы тга центров
пересекаются. Теперь, какие бы то пи были дгю смелтые грани, с общим
ли боком или только с общѳі'г точкоіі, они всегда принадлежат
к одному телесному углу№', находясь в одной плоскости с осі.іо,
іга которой и могут только пересекаться. А как одна грань
заменяет другую без различия, тогда как и перпендикул одной яаетушшт
место перпендикула другой, то все вообще перпендикулы к граням
атого телесного угла должны приходить в одну точку. Удержав
две грани с общим боком, можем перейти в другой телесный угол
и так до последнего. Отсюда заключаем, что вое пернендикулы
к граним из центров сходятся в общей" точке, которая также будет
общею точкой осей, в равных расстояниях как от всех граней, так
от всех остриев на теле.
71. Телесный угол, который составляется плоскостями * через
бока граней к пептру0, будем называть угол при центре внутри
правильною тела. Он должен быть, следовательно, всегда кратное
число от 2тг 9. Пусть п — число граней, каждая с т боками; пусть
г — число, по сколько граней смыкается в один телесный угол на
поверхности правильного тела. Значение телесного угла при дептре
находим из его плоскостных (ст. 60), я, таким образом, получим:
* Следует встішпть по смыслу пропущенные п оригинале слова: «л их церпян-
дикулы иа центров находягіііи к выбросить слово «находясь».
* Проводешшмн.
в Правильного тепа.
9 2ге — это величина телесного угла, соответствующего всей поверхности іняра
■(от. 39). щ
2:',Н Н'ШЫК НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
ураин*%ннс
■ir. t i in ,. I
которое даеі
)
*' (4)
• }д<!і:іі как "V, число fin кон и грани, так /', число, но сколько
граней ТОМКІІ.уТО, НО МОГуТ би'П. ЧеііОО A. U ДРУГОЙ СТОРОНЫ, ft Hft
должно быть отрицательным или бесконечно великим [е|], а
следовательно, ш от, ни <• ннльаяг принимать более 5. Затем,
испытывая н мтих границах целг.іи числа т, г. находим в;о случаи:
111 = ?!, »■ = :*, lit-4, пѵго называется ттыреграннаѵ (тетраедр),
щ~~Я, г = 4, w = 8. . .тч>ми/,раннгж (октаедр),
ні = 3, г = 5, л =^20.. .доаОцттмраннш (икоеаедр),
hi = 4( /■—■:), ѣ—б..,иіееншгранн.нк (KyoJ,
)и = о, г = Ц, и = Ѵ2.. .двеиади/.ітн/раіітік (додекаедр) *:'.
Итак, число правильных тел не переходит 'sa Г>, тогда как число
правильных многоугольников бесконечно. Б носледких число боков
si такое ;ке,[і;ак углов, тогда как в правильных телах, кроме четнре-
гранншеа, число граней с числом телесных углов различные. Пусть
t—чшіло в них углов *, следовательно, число всех плоскостных *
в телесяых при центре 9 должно быть пт то зке, что fr- вокруг
оі:нй ?. Таким обрачоы, находим
4-~(«і — 2)[г — '1)'-
№ Пять правильных тал нзіщѳны Лобачевским is абсолютной геометрии, то-
€с*ь зти рассуждения проведены независимо от теории параллелей: и применимы
как в йптишдовоИ геометрии, так п в геометрии Лобачевского. Хотя названия тел
ізаимотвоианн иа еыкпидояоіі геометрии, однако здесь на требуется, чгобьг углы
грант куба были пряными и т. л,
* t—тлело телесных, углов (вершив) в лрашільиоы многограннике.
в То-ест. двугранных углов.
2 Правильного многогранника.
I В первой случае число двугранных углов у телесном угла при центре
миогогріѵьщііва іюдечитывавтея сначала ио іілждоН грани (от), ви второй — сначала,
по каждой верішше (»*).
І'Л. V. ІІІШКІ'ГСШІИ ТЕГІКСШЛХ ѴГ.'ЮН ИИМПЩШО [[ЛОГ КОСТНЫХ ~Я'*-
от к, уди число ілч'х остриев
іі чі'тыреграаникі1 4
— куб» 8
— оеьмиграннике S
— двенадцатигранник'.' 20
—двадцатиграннике 12,
72. Предполагаем вообще тело, где числи граней «. телесных
ѵглои t и всех ребер р. ХІупті. внутри может быть отыскан» такая
точка, куда плоскости черен бока граней приходят, не пересекая
поверхность тела двух ран, и составляя, таким образом, от каждой
грани вокруг общей точки телесные углы, которых' сумма всех
ііудет, следовательно, 2к. Называем а титло ериней с а боками.
3 и 0, '[ с с « т. д. После чего
2j) = eo + pft + 7e+...
Намечая, что сумма noes плоскостных углов вокруг оетрпен тела 2«f,
находим другое выражение для суігмм телесных углов вокруг
общей точки внутри тела (ст. 80). Так получим уравнение
4к = 2і:*—а(« — 3)* — р(* —33) іг — х('—*) = —■■ ■
Отсюда с подгощнго анатенин к, ji лаключаем
jj = п + і~ -2, («)
Правильные тела принадлежат к тому случаю, который ли адесь
раесмагрігаали. В них уию внаем, какое может бытт. число гранеіі
и телесных углов. После чего находим число ребер:
В четыреграынике 6
— кубе 32
— осьшіграннике 12
—двеггадцатнграшшке 30
— двадцатиграннике '. 30.
Зависимость между собой в тело числа граней | с числом ребер'
и телесных углов первый Ейлер сделал известным в записках
С. Петербургской Академии 1758года; потом другое доказательство
дал Лежандр (Elements de Шотеігіѳ); наконец, Г..Коти (Journal
de Ѵ4Ые polyt. Tome IX, p. 76). Между тем, не должно принимать.
•Л 40 ІЮШ,ІІЧ ІІЛ'ШІЛ ГКиМЕТРІШ
аго предложение но всей обширности. Например, тела, где
находятся грани <■ двойной окружностшо, представляют исключение.
Если поверхность теля состоит нз шести полных треугольников:
ЛЯГ, ѵіВД ACD, А'В'С, A'JtD', А'С'В' (чер. 01), л одним
неполным BCD, гді' внутренняя окружность * означает вырезанный
треугольник В'С'Т)', то здесь числа
jj = 12, и = 7, 7 = 8 гге поверяют
уравнения (5) [и].
Т6. Чтобы найти во всяком
теле, как число ребер
определяется числом граней и телесных
углов, надобно составлять
многоугольник из треугольников, а
многогранник из четырегранпи-
ков. Так можно прямо притти
С к уравнению {5) для тел, где все
грани с одігаакой опружиостию;
потом даже в уравнению (4) для
правильных.
Прямолинейный
многоугольник разделяется на
треугольники, которые вокруг одной точки
на той же плоскости частило
складываются, час тига вычитаются, как мы видели подобное составление
на сфере (от. 69), будет ли многоугольник с одной наружной окруж-
m ностию | иди также с внутренними. Стоит только соединять из этик
последних каждую с наружной и потом рассматривать
соединительные прямые за сомкнутые бока того же многоугольшша (ст. 69).
Подобно тому, как многоугольник разделяется на треугольники,
вес многогранные тела делятся на четырегранннки, Предполагаем
тело о одной только наружной поверхности©, разделенной на
треугольники. Ведем через их бока плоскости |к одной, где-нибудь
взятой тоіке, составляя, таким образом, вокруг нее телесные углы,
а с треугольниками на поверхности — четырегранннки, которых
соединение производит так же тело, как треугольники дают его
* Внутренний контур.
ГЛ. V. НАМЕРЕНИИ ТЕЛІіі.ЧШХ УГЛОВ МОМОЩИЮ ПЛОСКОСТНЫХ ЙІ1
поверхность. Іѵ-.чіг і'рині. разделена іы треугольники линиями, прп-
иедгчшьшп к остриям от точки и той av плоскости, то
четырегрциники і-ое.таіѵіяются сложением н вычитанием ігк, вігесг« о грез'голь-
шіками, гак что о возрастанием линейного угла нокруг точки на
и,'Кіг!.'і><:тіг прибывает п-тоскоитной угол вокруг линии, которая
соединяет общую точку треугольников с общеіі точкой четыреграішп-
кои. Как и:; треугольников, следовательно, происходит грань на
ашикрхііости, так и четьгреграпншш соединяются в одно тело,
которое называют тіра.иида, где треугольники — бона* смыкаются в одну
точку—вершину, прилегая затем все к остальной грани—скитанию.
Ч втнреграшшл, тоже принадлежит к пирамидам и называется трех-
^ &}ци)}Ш)іиеп*, тогда как прочие пирамиды по числу боков бывают:
чепшрц/гадь-ная, пятиугольная и т. д. Теперь, когда пирамиды
составились, то следует их соединение, которое бы производило дагшеій
тело. Ясно, что здесь надобно складывать пли вычитать пирамиды,
смотр я по тому, растут или уменьшаются телесные угли, при
вершине. Отсюда заключаем: тело с. гранями происходит от соединения
трехсторонних пирамид вокруг их общей, вершины, когда вповь
прибавленная к связи прежних пирамида всякий рая покрывает
одни, два или три бона, выходя своим основанием на поверхность,
где треугольник ее прилегает одним, двумя или всеми боками
].- сіиыи прежних. Даже разделить многогранник можно на такие
пирамиды, тсоторые нее вкладываются, подобно тому, как ато бывает
в разделении многоугольника на треугольники (ст. 69). Именно,
начинай с какого-нибудь плоскостного угла, надобно грань
отклонять к другой, покуда встретим острие, которое приняв за
вершину, а самую грань в прежнем се положении — за основание,
выделяем уже пирамиду. Так продолжая, наконец, н все тело разделяем
па пирамиды, которые, вместе с тем как их основания делятся на
треугольники, сами подразделяются на трехстороннее.
Означаем и —число граней, р—ребер и t — телесных углов,
т разумея здесь под гранями все без | исключения треугольники на
поверхности тела, под ребрами-—все бока треугольников, а под
телесными углами — все те, которые происходят _ от соединения
тргугольников вокруг одной точки, Далее, допускаем уменьшение
* Боковые і^анй.
* Треугольная,
Зак. МЗЭ, Н. И. ЛийачевскиЯ, т. 11. IS
2-І2
IЮНЫЕ НАЧАЛА ГШШЛТІШ
в числах п. р, f то.чыѵ'п то, которое должно быть необходимым
следствием от покрытия боков у инвалиды во всяком случае. Когда
теперь новую пирамиду прикладываем одним боком, то число
гранен к увеличивается двумя, число телесных углов t одним, число
иеЛор jj тремя, следовательно, р— и — I остается то же. Когда,
шграшіду прикладывннм двумя гранями вместе, то it, t, р пе
переменяются:. Когда, наконец, пирамиду прикладываем тремя гранями,
то /<. ', р дрліштсіг а — 2, I—1, /; — 3, так что р— п — і слова то
же число. Эта разность p — »—t, будучи постоянной с
прибавлением пирамид, не должна, следовательно, переменяться также
с 01-шггаем пирамид. В чотыреграншгке разность эту находим — 2,.
после чего во всех уже телах с треугольными гранями должны
принимать р—п —1= —2. Остается рассмотреть соединение
нескольких треугольников в одну грань. Когда два треугольника
принадлежат к одной плоскости", то числа я, р делаются п — 1,
j, — \t тогда как число t ие переменяется. Вообще, когда несколько
смежных треугольников случатся в одной плоскости, то число
телесных углов t останется то же, тогда как и, р уменьшатся ра.вно.
Если же все яі треугольников ] вокруг точки составляют одну
плоскость, то числа п, і, р делаются к — m-\-{, t — 1, р — т. Наконец,
если in треугольников на плоскости составляют многоугольник
<■. двойной окружностию, то числа л, t, р в этот рая будут п—т-\-1,
t, р — т.
Итак, уравнение (3) справедливо для всякого тела, как скоро
и нем нет граней с двойной окруашостшо, или когда не составляют
его два тела прикосновением только своих остриев 'к ребер.
К уравнению (5) присоединив другое (ст. 71)
к тому эамедал, что в правильном теле 2р = пт, легко находим
опять уравнение (4).
74. Сумма двух углов в сферическом треугольнике бывает вместе
е еуммою двуз; противоположных боков > и, = «, -<тг*.
* То-еоть, если дваирнлеятшкк треуго.іъпика расположи і'«и за одной плоскости...
* Теорема высказана п ее доказательство проведено в предположении, что ви.
одаа из стйрон треугольника не превосходит я, Об ламененшг теоремы для
треугольников с одной стороной. препоеходящеЙ я, ем. [ГО].
іл. ѵ. ш-лікі'шш; ттно-ных ѵглоь шлюішпо шю<.когтш>і.\ и:і
В ^ЛВ('('щі. (>■">) ііусп. і-умміі дт-s Ооісоь АВ^-АС^т.. Продол-
ікиом их черен точки /.', (.' дм ііолоіі кггричи і: А'. 'Гак поставит!
другой троуго.чьшш Л'ІТ на ращшх боков с п]и.ішшм, имнішо
№ оок //С общин. дшіі_ч> J'/,'=.-i(/, Л'С'=ЛЛ|(';т. MJ": . Треугольники
Л/Л', .IYjW пдишікоішг, г: тем мотом улсріггмія, наложил один кл
другой іііішіыіш ухѵшми при точки;. Л, А'. Отсюда імсдут раига-
гі-во двух углоп АС!!, Л'ІК.'; йотом
L AC/J-j- {_ ЛВС^І_ АЧЮ + /_АВѴ = х.
Нміч-то тучки /1 йѴрем другую В' на том яге ооку ЛВ ближе
ѵ А. Составится треугольник АВ'О, гд« А("-\~
~гАВ'<т.. Между тем, углы
. I <7Д' -j- A-Z?' С = Л СВ — ІУГ^' -j- - — ВВ' О =
=*2k — ABC — BCB'~BB'C<* (ел. №) \
Черт. (Jj. Черт. вв.
Ыа дуге ЛСЛ/ берем точку (7' бяижк к А', нежели С. Произойдет
треугольник ABC, где сумма боков АВ-ігАС>,а. Им
противоположные углы
А СВ + ABC - А С'В + ABC + C5C =
= ІСВ-j-ЛСС ■+ С-ЯС > « (м- «8).
Отсюда следует:
В вф&рішехом треуголмшхе виешяна угол от '«^ейо^ж-емм-я йж«
оывает болей, равен или менее внутреннем, смотря по тому, сумма
двух Smos, за исключением им общего, < *, =«, >т. Б д ^5С (чер. 6ti)
* Ссылка на сг. 33 непонятна. Возможна ссылки ни вт. 31 и 32.
* Из ст. 68 следует, что сумма углов сферического треугольника больше п.
16*
2Н
новик нлчллл гт/ші'лтші
пусть ЛИ-- и|ю:«ілякчии.' бока И'1 чсре;: точку /.'. І1|юп.;ойдст угол
ЛІФ>АСП, к-тдн -UH-l'"<"- АВП^АСВ, імгдя Л/,'-[-ЛС--ѵ:;
АІФ < .iriJ, і.-ш-дп ЛЛ'-М'7>~- Тик ;к.- АВП> НАС. когда
,і(/_}.. /,ѵ/<^ АПП = ІІАС, кпѵли Ас |-/>'(.' = *: ADD <-. ВАС, когда
Л'"--г/>'''>-
/fo-'tirt 'і чферичггном щ)пі;о.н>іШ№ сумма ка-itfiifiij: ihujx ihwi <. ~,
то прями// }'лі' >иуіі.<н'і ijzd.i мм-ч-я'пі ~>ыті. один только }. Например,
иго Ошйічт, и треугольниках, где каждый
ООН МСЛІ.'С -.- «*.
Т."). Когда и кферпчрехіиі прял'ау/ольнам
треугольнике хитш <~, «с другиіі кѵеите е
щютшюполи.тшм у.іом > -^ к. = -,- w, > —-.
Пусть и /, ЛЛС (ч*ір. flT'j бок Лй<т,
при н*;м углы <"'Д/;. б'ЙД примые,
следовательно, дна другие бока ЛС'= -д-ж,
RG^~-t;^ (<ѵг. 59). Дуги ДО, откдошгшпиеь
к Л/?, шшуда выходит ыа той. ;кс точки А,
qil|IT fl- но может пересекать бок АН, не
встретил наперед дуги /,'6' где-нибудь іі /7'.
Отклонившись по другую сторону,
пересечет опа продолжение дуги ВС где-нибудь и С" прежде, нежели
достигнет продолжение дуги А/1. Итак, в £__ А НС бок ВО'<С -.. г.
вместе с нротшюышіожным углом; и ±_ ABC бок ІІС= ■%■•*, тогда
как противоположный угол (ЗАВ** ч-т; в д ІЙС?" бок 7?Г,'">-^-тг,
когда противоположный угол В АСУ > -^ тт.
Отсюда следует, что іщті'пдикул "С-д-и ивряеш й острый цгол;
ѵерпеидикуя >-гъ в оіпвчрстие тупого®.
76. І? (іі/І.^«'((;еко,!' треугольнике іірошші бо.имнчп бона бывает угол
бо-гее, либо жнее, смотря по тому, третий бок <ті или > it.
* Дейгстіііітсаыіо, и» а + Ь <к, '» + с<:", * + o<is заключаем, что Л-;-!><; т:,
JS-J-C^c, С^-Л<«, то-есть любые дна на углов таіеют сумму <^5Т, а, потому
два яѳ острых угля, иепонмоікпы.
* Причем один на бокон может быть раыцн ~.
в Если перпендикуляр опускать ив какой-либо точки общей стороны двух
агожныі углов на другую сторону, то получим л»" «ерпнвдивуляра (от. 62), прн-
чеи меньший y бУДвт лежать ті отверстии овтрпго угла, а больший ~~в отввр-
стян тупого.
ГѴІ. \'. II-JMEPKHIIK ТКЛКГНМХ ,ѴГ."ЮЛ ПОМ ГЦ ищи ПЛОСКОСТНЫХ -24Г»
Fit
Ч и fi т. UR.
Называем «. О, с йоки is треугольника Стр. (j&t> против углов
.1, /', С, полагая с > н, і<іг. Продолжаем й, с через острия £, Г,
покуда ві-трешт<-н и точке Л'. Так прои^піідпт .;. Л'ВС, где сумма
двух боков «-[-я—с<е; следовательно, угол /Ы'С=- = .1 < f (от. 74) *.
Кслп :іу йок 6',.- я, тл, заменив іто дополнением і; целому
кругу, получим треугольник, гд« против (jf)KOB <(, с будут углы
і:— -•!. ~ — £', а Tps-
'ШЙ йок 2я— -й<
< я, следовательно,
я-- (?>---.1, откуда
-■1><'-
Обратное
предложение
подразумевается .здесь уже
само гойоіу. ft
сферическом треугольнике щюш-ие большего уг.ги бон йолне., ыиди. к тому
третий йк<-. по -первых потому, что неравенство боков долікію быть
вместе (і неравенством углов (ст. 64); далее
потому, что всякое другое предположение
йн.ио бід противно доказанному выше.
I 77. В сферическом, треугольнике сумма
іівух боков долее того третьего, который сам
менее к,
В А ABC (чир- Ві)) называем а, Ь, с бо-
юа против остриев Л, В, С, полагал: к тому
b < тг, (,'ледователъно, также угол В < к
(ст. 46). Продолжаем а через точку С,
покуда продолжение СС сделается Ь. Так
составится треугольник ЛСС, где против
боков Ъ углы (ХАС, АСС равны (ст. 64),
следовательно, угол ВАС > ВС А; потом в A ABC бок АС <іг
(ст. 46), бок BC>AB(qt. 76), или я-[-5>й.
Так как расстояние двух точек на сфере, взятых не на концах
одного поперечника, менее полкруга, то, заменяя всегда дугу двумя дру-
ч о ij г. бР.
* ДоНствпто.и,но, г. ПЛ'С+ ZflCU'O (ст. 74), откуда £ВА'С<ъ — гВСЛ',
то-рсть .4 <" О.
■24 li
НОЙІ.ТВ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
г ими между теми же точками, должны заключить, чти Нуга
оолите/о прут предапаиляет самое меньшее расстояние, на афере двух точен.
78. ІІерпенаикул на ефгре, будучи менее —л. дает кратчайше
расстояние точки до круги, тик что веяная дуга ме-нидц точкой и кругом
тем палее, чем она ближе и противоположному перпендикулц, кото-
рык измеряет самое большое
расстояние до нри/а и бывает всегда
Пусть ABC— полкруга
(чер. 70), на котором стоят еще
половина круга CD А
перпендикулярно, так что часть его
DA < -J-те, другая CD> \ ѵ.
Вершину периендикула І)А
с какой-нибудь точкой В на
пермом полукруге соединяем дугой ВВ. Составится
прямоугольный треугольник DBA, где бок& ЛА<Ск, AD<1 ^- тг, угол DBA-С., тг
(от. 75)*, следовательно, бока 2}B>DA (ст. 7(>). Теперь, когда
возьмем другую точку В' па том же полукруге ABC, по далее,
нежели В от А, то произойдет д ВТ)В', где углы TJBB' > j is,
DB'B< -=-я *; следовательно, B'D>BD. Таким образом, дуга .SO
растет, подвигаясь от А по кругу до противоположной точки О,
которой расстояние СХ) до точки I) самое большое делается
перпендикулярным к кругу СВА.
Это предложение непосредственно заключается в одном жі
тех, которые были доказаны тзише (ст. 86)®; но здесь можем
прибавить еще аовое. Кратчайшее расстояние до яруга бывает, вместе
самый меньший угол, который из данной точки дуга делает с
кругом?. Пусть ИВ"—-дуга, перпендикулярная к DA, встречает
51 Ыо;кно наметить еще, чтіі BD < т., і-ак как точка, притивоцолоікиая D
лііждт на полуокру ж егостіі, противоположной АІЮ, то-есть вне днууголънигса
АІіООА.
* Иа треугольники DB'A по ег. 75.
0 Заключение ст. В6 (етр. 225 наст, тома).
S Приведем другую формулировку этой "сеоремы; крйтчайшвд. расстояние на
і:ф&рв от данной точки до данного большого круга равно наименьшему as углов,
образованных дугами больших кругов, проходящих череп данную то'Зку, е"д»н-
ыьш большим кругом.
IVГ. V. ИЗМЕНЕНИЕ ТКЛИиНЫХ УІМІОИ ГШМОІЦШП ПЛОСКОСТНЫХ 24-7
круг ЛВС в тпчі,-й II"; л потому ТУ В" = \т тг, Л#" = ~ т., угол
Ш>'",4 равен дуге AD (ст. 43). Теперь и £ DBB" * сумма боков
DB-rDB" О*, следовательно, углы $ВА>І>В"А (ст. 74) я.
В ADB"b" ?, напротив, [ Д£Ч-.ЩГ>к, следовательно, углы
ОТГ'.І < Dif'ji (от. 74).
Отсюда следует. _йм« « ирямѵугольио.и. аферичееком треугольнике
натеш <;,-", «м другой алеете с гипотенузой оыеает <4*«, =4"~i
>-^-л. Ji'e.vn .же ттет > —~j мм* другой или .шиее ~и «огди ютю-
„ 1 - ] л
тепу за >у*, илп раем, -^-іс алеете с гипотенузой, или, наконец,
более -j-ir, коіЗд гипотенуза < —*, В ДШ?'І. катет ХЫ<ія:,
другой АВ'>-і-іг, гипотенуза DiJ'> is. В д ВСВ' катет І>С>4-тс,
другой £В'<у11, гипотенуза І3£">-і-^і и т. д.
79, Когда о сферическом треугольника -кажд-ый бон менее полкруга,
то м-ожно составить треугольник, где бона будут дополнениями да
полкруга к углам в данном, и, наоборот, угли дополнениями к бакам
в данном.
Предложение состоит в тоіг, что когда а < к, Ь<ъ, с?<^ — бока
в треугольнике; А, В, С—им противоположные углы, то моишо
составить треугольник, где я — А, тс—В; я—С бота, іг — а, и— Ь,
«— с углы против них [ы].
Заметим, что когда составлен треугольник ив боков А, В, тт — О
с углами против них j а, і, и—с, то [Стоит только продолжать
бока, А, В по другую сторону бока к—О до встречи друг с
другом, чтобы получить треугольник с боками it — J., тг —Л?, it — С и
с углами против них я — а, я—Ъ, тс — с. От втого последнего
треугольника переходим обратно чс треугольникам; или с боками
А, іг—Д 6' и с углами против них я, и — &, с; или е боками тг—Л, #, G
и с углами против пих к—-я, &, йт-
Полагаем наперед С=~к, а<^іг,Куіі, следовательно, с<-^ тс
(ст. 78)*". Продолжаем а, с по другую сторону Ь, покуда дродол-
4 Гдб В — точка нп дуге В"А.
* Ооглаоно жгаіну ст. 7В, Ш < І)Л", аСЙ"=у
» ^ ШВ" + Z Д2"Л < к, ^ ШЗ"Л О — ^ ДВВ",
^ DB"A < Z ДВА
Э Гда В' — точка на дуге В"0.
I Jtna иояеиеяия текста приводил чертеж,
Яі* Ссылка на предложение, помещенное в иокце ст. 78.
24h ковш; илчллл гкимктріш
;иіш(і{ сд<\еін<і'іѵ:і --, т. — я, ,л, - — г (чер. "П, кптормк і;чіііі,ы смедп-
іші'м дугой /.'. ІѴін'рі. іфоди;і;::;и.-м дуги /-, /.' по другую W
(М>НѴ -л-- — ' ДО ВйіШІІНиіі Ш'Т]""ІІі, ЛдііСГ, .:<><;ТІІІіІ1Тг)І ІфЛМОѴПѴП.ПЫІІ
' - „ 1 , і 1 ,,
грсуголыпп: к гппітчтуади ..r.—b, і.итогііміг т,-~— '■■ .-,- — /•■
і- углами ііJJптиц них -„■- — и, .1, В этом треугольники иридо.іжіі'ім
■ >ш;а -■ - - ■ fi. ~-z -с пи другую іМ'ирону (лжи „it—!U делаем iijh'>-
ДОЛІКі-ШііІ h. ■■ I! i'itt' IIIIHI"\I П\ КОНЦЫ .ТѴІ'иІІ .!, І.'огоруіп ІіеДСМ
далее вместе с боком -^ ж—В по'другую сторону Ь, покуда, всгретяеі.,
составят прямоугольный треугольник с гипотенузой Д
катетами ft, -j т.—А, с углами против пих с,-н-«—а. Не нужно
привил ать в рис суждение самое направление, в котором следуют
здесь бока друг за другом, потому что направление |
переменяется всегда в противное с переходом треугольника в
оборотный (ст. 4*)р].
248 НОВЫЕ ІІЛЧЛДЛ ГЕОМЕТРИИ
ж?ния сде.чшотл.т ^п— а, -., т.— г (ч*'р. 71), которых концы
соединяем дугой Н. Теперь продолжаем дуги h, В по другую сто-
[юпѵ -щт. — ѵ до взаимной встречи. Здесь составится іфямоѵгольшлі
треугольник <; гипотенузой -, ~ — о, катетами -^-ъ—':, тт - — >>•
<- углами против них ^г" — а< -'■ ^ ятом треугольнике продолжаем
йока -^т. — Ь, —т. —с по другую сторону бока -„-it—В, делаем
продолжены;? Ік >■ и *'0<ѵт.шшгм ц\- концы дугоіі .■[, і,тіторую вѳдрм
далее вместе е боком — те—В по'другую сторону 6, покуда, встретяегь,
составят прямоугольный треугольник с гипотенузой В,
катетами Ь, у я — .Л, о углами против них с,-*-ъ—а, Не нужно
принимать в рассуждение самое направление, в котором следуют
*"* здесь бока друг за другом, потому что направление |'
переменяется всегда в противное с переходом треугольника в
оборотный (ст. 44)ffi5J,
ГЛ. V. ИЗМЕІ'ЕНІШ ТВЛЕСНЫХ УГЛОВ 1І0ЫОЩИЮ ПЛОСКОСТНЫХ 24iJ
Пусть, жюшце, ч<-^--, Ь<-ъ~, с<тс (чер. 72). В таком
треугольнике должны найтись два угла острых (ст. 74 й), например, .■(, Б,
к'іторы'і по необходимости таковы в случаи с>а, >fi. Из острим С
недем пертісндпкул jj < -., тс к боку с, который разделится, таким
обрааом, ші две части: х под я, '.- — х под Ь (ст. 75), против
частей X, Г — Лг в угле С. Заметим к этому, что здесь х<~~,
<-■ — *<jk (ст. 78*), также X<-fz, С—Х< — it (ст. 7і>). Оіновы-
інанеіі тіа доказанном впереди, можем составить два прямоугольных
треугольника: в одном катеты j), --тс— А", против них углы а,4; ~—ж.
гипотенуза В; в другом катеты j), — тс—f'+A, ігротив них углы Ь,
..-к — с-\-х, гипотенуза Л- Принмвдмва-н треугольник к другому
і;ііт'"гом р, получим такой, где бока А, В, тс— С, углы против
і'мх «, 6, ~—f. От чтого треугольника переходим, как заметили
выше, к другому, где бока будут тс—Jl, -—В, к — С, углы против
них я — а, г — 6, тс— с, так же, как можем составить треугольник
с боками уі, тс—Д Си е углами а, тс — Ь, с; или с боками тс — J,, Д О,
с углами против них тс — а, Ъ, с; так что все вновь составленные
«s здесь треугольники должны допускать, как ] скоро в данном
найдутся два бока, каждый <ѵІГ> лишь бы третий был <гс.
т, г 1 j 1 л 1
Пусть « = —т:, о < тс, й= —тс, следовательно, ,А = -утс, о = -^-тс,
В = Ь. Продолжив а, Ь по другую сторону с до пересечения:,
получим здесь треугольник, где бока тгтс, -^тс, тс—В\ углы против
них -ія, 4-", * —£• Предложение, таким образом, в этом случае
поверяется.
* Ссылка ва вытекающее жа от. 74, ио не донававнов в тѳвмв
предложение («'],
* Осыпка, нгь предложение в конце ст. 78.
-2Г)П
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕ'ЛЧІІІ
Пусть а — ~тс, й<4"іг, с>~*:, <т- ^а боі! '-' полагаем от
ігфіш 'В дугу ттт (чир. 73), которой конец соединяем <■ острием (7.
Ч с і> т. 73.
■21
Составится треугольник, где бока Ь, М, с — ^-ъ; против них
углы -?т:, Д, С—- в. К тому здесь е—w^<l
<v«,'i?<-g-i:*, Л.<-„-я{ст. 75);
следовательно, может быть ті такой прямоугольный
треугольник, где гипотенуза Л, катеты Д *—О
с углами против них 6, п — с *. Продолжив А, й
по другую сторону it—С до пересечения,
получим треуічш.пше с боками іг— А, іг—/',
■к-—-Си с углами против шіх —я, т. — І/, к — с.
Пусть оі>-н-«, <it; u<it;e>-j it, < it.
Продолжаем а, с до пересечения по другую
сторону Ь. Произойдет треугольник, (тер. 74) с fin-.
вами к — я<-д-ж, 6<«, я —е<-„-«, (.■
углами против них ж—А, Б, я — С От этого
треугольника ма|акем, следовательно, иерей -
ти к другому с боками A, it — В, С и с
углами против них «, it — Ь, с; потом к треуголь-
~-il, it — В, я — О, с углами против яиія — и,
Ч е р т. 74.
нішу с боками я
г. — Ь, я—с.
Так предложение доказано во всех случаях для боков а<к,
* Жѳ треугольника AGD по предложению, помещенному в конце ст, 78.
* Здейь по примоугвльпом? треугольнику ADD найден другой пріійоуголь-
ими. треугольник, согласно вспомогательному предложению настоящей: втіѵ*ыі
(етр. 247—248}.
ГЛ. V, ИЗМЕРЕНИЕ ТКЛІіГНІ'.!Х: УГ.'ГОІі ГЮМОЩИЮ ПЛОСКОСТНЫХ 251
іі<я, <?<*['"]. Отсюда ліигко заключить, что « таком треугольнике
сумма всех бокт бывает всегда менее, полного круга (от. 68)".
80. Поверхность сферическою треугольника вш.да менее, самою
меньшего ооі:а, ко/да сумма каждых дву.г менее полукруга *.
В /\_ABC (чер. 75) иуеіъ из трех бщ«>н а, 6, с в случае
неравенства с — самыіі больлшіі, а —самый меньший, или вообще е не
менее, а—не более других; при том сумма каждых двух <^«,
а, следовательно, _____ ,._•'
против а, 5 углы
Л, В острые (ст. 74).
Перпѳндикул р из
острия С к бойу с
менее -^-к (ст, 7о) тг
делит с на две
части: ж под S, с — .к
под а (ст. 75); далег--,
Ь с ж, и с с—ж менее .4''
четверти круга а;
«>р(ст. 78). Два полукруга, А'АЬВ', Л'ОВ1, перпендикулярные
к р в концах, ограничивают вырезок, которого поъерхноеть р
и в котором помещается данный треугольник ЛВС, следовательно,
поверхность этого треугольника менее р, тем еще меийе, нежели и.
| Итак, с: уменьшением одного бока, когда сумма двух других <тс,
поверхность уменьшается и треугольнике беспредельно, а сумма
всех углов подходит к it так близко, как угодно.
С уменьшением двух боков уменьшается третий бок
беспредельно, потому что сумма двух первых делается более последнего,
а сумма каждых двух становится, наконец, постоянно <тс. Отсюда
заключаем, что с уменьшением двух боков поверхность
треугольника может быть сделана как угодно малой, а сумма в кем углов—
как угодно близкой к я.
* Из ст. 68 имеем, тго сумма углов сферического треугольника больше к.
.Рассмотрев, согласно ст. 70, треугольник, о углатктг %—а. к — 6, it — а, находим
т. — а-\-к — Ь -f- те — с > п, а-\~Ь \-е < 2к.
* Формулировка предложения ст. 80 предполагает, "что введены согласованные
яо Лобачевскому единицы квмереиня линейных и телесньіі углов (от. 30).'
° Каждый по отделмгости.
ГЛАВА VI
ОДИНАКОВОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ і«]
81. Одинаковость двух треугольников требует как одинакового"
расположения, гак равенства всех углов и боков б одном с углами
іі боками в другом. Однако ж иногда, при том лес расположении,,
равенство толыш некоторых частей^-так будем называть, вообще,
в треугольниках и многоугольниках бока с углами —предполагает
у;гсе равенство j прочих и производит одинаковость самых
треугольников. Исследование подобных случаев составляет
предмет этой главы, где для краткости будем всегда говорить, каких
п. сколько частей дается равных, разумея, собственно, что все
такие части в одной фигуре равны таким же частям в другой.
Различая в тому фигуры буквами, станем одинаковость выражать,
знаком й. .
В прямолинейном" многоугольнике все равно, какому направлению'
ни следуют бока в своем порядке, потому что направление
переходит одно в другое с обращением плоскости на противоположную'
сторону, В сферических многоугольниках это направление меняется:
в переходе к оборотному многоугольнику, который отвечает вер-
пгшшому телесному углу, когда плоскости продолжаются "через-
центр сферы. Говоря здесь об одинаковости, будем однако ж из-
двух оборотных многоугольников беа различия брать один вместо
другого *.
Составление многоугольников, прямолинейных и сферических,
представляем себе, когда прикладываем всякие раз под известным1
В оригинале ошибочно оказано «прямоугольном»,
* Таким образом1, на сфере Лобачевский называет одинаковыми как фигуры,,
совмещаемые вращением вокруг центра, так и симметричные относительно центра,,
которые, вообще говори, вращением совмещены быть нь могут.
ГЛ. ѴГ. ОДИНАКОВО!ЛЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
2оЗ
углом одни бок за другим покуда, наконец, последний сошшѳтея
с первым. Бока с углами, таким образом, должігн быть те
существенные части, которые производят одинаковость и с ней
определяют все прочие | принадлежности, так же, как и все, вообще,
свойства многоугольника. Ясно, что последний из боков с его
наклонениями к двум еоегдніщ в многоугольнике определяется
величиною всех других углов и боков.
Составление многоугольников, из его боков с углами по порядку,
приводит, таким образом, к предложениям:
Многоугольники одинаковы, когда в числе всех п боков будут п — 1
равных с п— 2 углами при wax1*.
Многоугольники одинаковы, когда в числе всех п бонов, я-—2 равных-
с и —1 углами при них*.
0 треугольниках прямолинейных и сферических, в особенности
должно оказать;
Треугольники одинаковы, когда два бона с углом между тиш
равны®.
Треугольники одинаковы., когда бок с yi.ia.itu при нем равные.
| Отсюда следует:
Прямоугольные треугольники одинаковы, когда катеты равны,
потому что равенство прямых углов подразумевается.
Прямоугольные треугольники одинаковы, когда катет и при нем
угол равны.
Б круге против равных хорд, углы равны, потому что
равенство полупоперечников дополняет здесь одинаковость
треугольников Т.
* Здесь згадроізузіенаетічг і'оответственнаи конгруэнтность м — 1 сторон одного
многоугольник» га — 1 второины другого, причем соотиетствяе устанавливайтс и
но определенный направлениям обхода по контурам, и »■— 2 соответственно
конгруэнтных угла аакдшчепы между соответственно конгруэнтными сторонами.
* В этом признаке по сравнении с предшествующим ролк сторон а углов
взаимно переменились.
ѳ Это предложение было доказано подутно при рассмотрении: теоремы о виош-
■нем угле треугольника (ст. 53).
Я Частный случай ѳтего признака рассматривался при доказательстве тоореыш
о рішнабедреныом треугольнике (от. 50).
1 Эту теорему следовало бы поместить поена ст. 82, так нем доказательство
■ее опирается на признак конгруэнтности: треугольников по треп сторонаьг.
Возможно также, что проивошла описка, —.- что Лобачевский ныеказывая обротнуш
-теорему: а круге против равных углов хорды равны.
254
ПОНГЛЕ Н.Ѵ-ІЛЛЛ ГЫШЕТРШ1
82. НрпмилинШнън; треугольники, оймиіміочм, кшОа три оака равны-
В треугольниках ABC, А'В'С' (Чер. ТУ) предполагаем бока
АВ^А'В', АС = А'(/, ВС = В'С. Пусть АН тог іга них, при
котором углы А, В острые (ст. 49). Прикладываем Д А.'В1 С к Д.1-5С,
боком А'В' к равному с шга АВ, точкой -1' и А, #' и #. Ооеди-
Р У^
Черт. "о.
яяем теперь огарин С, 6" линией, которая домища проходить между
концов А, В перпендикулярно к боку АВ, |потому что служит
основанием в двух равнобедренных треугольниках АСС, BCG',.
где бок АВ проходиг чрез вершины (ет. 52J. Б треугольниках .AGS',
AG'B углы при точках С, С равны, составляясь из рав]ных частей
(ст. 50), следовательно, самые треугольники одинаковы (ст. 81);,
это значит &ACB]*AA'G'B'.
83. Сферические треугольники одинаковы, коіОа три Пока равны,.
Б треугольниках ABG, А'В'С" (чер. 77) полагаем бока АВ=А'В',.
АС^А'С, ВС*=В'С. Прикладываем &А'В'С к &АВС точкой А'
в А, В' н і?*, потом острия С, С соединяем дугою, которая,
пусть пересекает бок АВ. Составятся два равнобедренных
треугольника AGG', ВСС', где при точках С, С углы равны (ст. 64),
следовательно, в треугольниках АСВ, AG'B тоже; как и всякий раз,
* Предполагается, что С шС расположатся но разные стороны АВ. Если этого-
нет, то нужно вместо одного йа треугольников рассмотреть симметричный ему.
і'.'г. ѵі. одинаковость тіт.ѵічшънішов 2і>'-
буді.'Т ли дуга проходить внутри треугольников, или іш« (_чер. ~8)г,
или, наконец, сливаясь <:. одним ип боков (чер. 79), Во всех сіу.
чипх делается ;:_АВС^,\ЛПС'ёп А'Л'С (ст. Sl|.
Si. Прямолинейные треугольники одинаковы,, когда равны два бак«
е углом против большего.
Пусть в треугольниках ЛВС, А'В'С (чер. 80) б(даа BO^S'C,
АС*=А'С, АО>ВС, углы В = В'. Полагаем ДІ^'С на ДІ5Г
25ГІ
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
меньшим боком В'С" на ВС, точкой і?' л В, С" в С. Тогда бок Д'Б'
следуя направлению JSi-, должен окончиться и А, потому что
= точка А' не может быть ші по ту, | пи до другую сторону. Иначе
составился бы £\АСА', равнобедренный с острыми углями при
основании А А', на которых к одному смежный тупой принадлежал бы
треугольнику ABC, либо треугольнику А'ВС, где был бы вместр
самым большим
углом (ст. 49),
тогда как он леЙгг
против меньшего
бока ВС, лиіт
Я'а (ст. 64).
г/ \ t Отсюда
следует, тіто прямоуголь-
Черт. 80. иые щщ?,олмшш
одинаковы, когда катет и гипотенуза равны, потому что прямой
угол не только равен, но лежит еще против большего бока.
а
95. Прямолинейные треугольники одинаковы, когда равны два бона
с углом против меньшего; притом оба треугольника вместе
остроугольные, либо тупоугольные*.
Пусть в. треугольниках ABC, А'В'С (чер. 81) бока АС = А'С'Г
ВС —В'С, АС>ВС, углы А —А'. Должно предполагать углы:
С С
А
.либо все острые, либо который-нибудь тупой, а два других острые.
В первом случае треугольники покрывают друг друга, когда
переносим точкой А' в А, С в С. Третья В' не может помещаться ни
.между двух А, В, ни по другую сторону В на продолжении АВ.
* Вторая часть форыуяировки нѳ вполне точна. Должао быть: притом в.обоиі
треугольниках против большего из соответственно ращіьпг бовюв пежаг внести
.либо острые, либо не острые углы.
ГЛ. ѴГ. ОДИЕГАНОВОСТЬ ТРЕУГОЛЫ-ПШОП 257
Иначе произошел бы треугольник ОВВ' рапнобедрешшн о острым;;
углами при основании ВВ', из которых | один был бы емеишьш
с тупым либо и лАВО, либо и /I.AfJ'O.
Еплн в треугольниках ЛВС, А'В'С один угол тупой, так он
должен быть против самого большого бока, следонятслыю, либо
против АС= А'С", либо против АВ и .А'іЛ Б тон и другом случае
при наложении треугольников точка В' не может приходить
в другое место, кроме В, чтобы не составился равігабедренныі'г
треугольник ВС'В', в котором один из острых углов принадлежит
либо треугольнику ABC против АО, либо треугольнику АВ'С
против J.C, либо производит смежный угол тупой б данном
треугольнике, сверх тупого угла при точках О, О'.
Итак, если треугольники ЛВС, А'В'С не должны быть
одинаковы, хотя в них бока АС'= А'С, ВО=В'С", £^А = /^А', то разность
их произойти может от того только, что в одном против большего
бока тупой угол, тогда как в другом острый. Пусть, например, угол
В < "2 « в /\,АВС, тогда как АС"> ВО. Описывая круг около С полу-
нонеречником СВ, находим еще точку В пересечения между
концов А, В (ст. 51). Так составится треугольник АВ'С, который должен
быть одинаков с д А'В'С и где, следовательно, В' тупой угол.
£ В'
Черт. 82,
j 86. Сферические треугольники одинаковы, когда равны два ома
с углом против равных боков, но под условием, чтобы углы чгрстич
Эру;иг равных боков были вместе <^"«, =-21гі >1"':г™-
Пусть в треугольниках ABC, А'В'С (чер. 82) бока АВ^А'В',
" Чтобы эта теорема были, верна, нужно еща потребовать, чтобы соаі'веютванно
равные стороны треугольников не были обе перпендикулярны к третьей, то-есть
тгобы аершкна, черѳз которую проходит »ти стороны, не являлась полюсом
-третьей стороны, что возможно во птором случае.
Зіш. В039. Н. И, ЛоЗічеоскк*. т. II. 17
2ЬН 1ЮВЫЕ НАЧАЛА ГЕИЛКТГШ-І
ВП^В'С', / А м / А'. Иолупоперечником ВС чертим на eibepe круг
около точки JS*. Он может коі-луты-я дуги АС и одно» только
ТПТКе С1, ЛИОН, iqjOMt! '■', ИерСССК.аТЬ ІЧЦе 11 ОДНОЙ ТОТ ІфѴГ,
которого АС гог.таиляет чаеть (от. '«))*■ В перьом случае ЛС
перпендикулярна и Л С' так же, как и м \A'lJ'0' бпн І?'С" к А'6". В
другом случае, будет ли точки пересечения 6" между концов Л, С
«ли в (?" на. продолжении AC чере:і октрпс С/, всегда
произойдет равнобедренный треугольник ІУС'С или Ltd'", где углы при
основании равны. Далее, треугольник А./1С' не может быть
одинаков с ДА'і/'f", потопу что, когда угол JJ'L'A' = ВС А, то.
/_В'С'Л' А- ,/. »("Л = /. jyf-'Л 4- /. ЙС'А = *е. Треугольник А'Я'С"
также не может 5ыть одинаков і- \_AUC", потому что как скоро
£І?'6"Л' = ^.ЯСА, то /_£'(!'А' -|- £№А = /.fit'"Л 4- /.ЙСА = тг 9.
Остается необходимой одинаковость только треугольников
А'В'С с ABC.
Отсюда следует одинаковость чіреі/ю.іьников, гмгЬи равны 'два боки
и с у/лом прямым tun ту\ѣым против одного из этих боков,
которых сумма предиилшаетен менее полкруга, потому что против
другого бока в обоих треугольниках должен быть острый угол
(ст. 74)".
87. Прямолинейные шргуголтипи одниакоаи, когда равны- бак, при
нем угол и другой щюпиш нега'"".
"■* (Jxpetncui ВС дуги иольшоіч> круга, как радиусом, будет оппсав, вообще
говоря, малый круг (вторая половина ст. 66).
* Либо совпадать і: ним, когда Л — полюс дуги АС. Хоти н первом случае
углы против равных боков <^^) тт н третьим случае [углы >-'"-) ато
невозможно, но во втором случае ото произойдет, cent конгруэнтные углы и стороніі
все равны -^ .
а
В последнем случае, очевидно, треугольники могут fiwcu II не конгруэнтный а.
Поэтому следует ввести дополнительное условно (іл. сноску на стр. 2fi7).
® Если треугольники ABC и А'ІІ'О' конгруэнтны, то л углы ВС'А'ш B'G'A'
конгруэнтны. Но угол ВС А составляет а оу.чме с углом ВС',0- конгруэнтным
углу BGA (ст. 64), jt, так как ати углы смеіктло. Итак:
гВ>СА' A- A BOA = я.
Э При раиснотренин треугольвтаа ЛВС рассуждении аналогичны
предшествующим.
Т Третья сторона в ойонх треугольника* предполагаете» <т: (ст. 74 и сноска*
на стр. 243|.
** То-еить другой угол, леэпащкй пробив итого бока.
ГЛ. VI. ОДИНАКОВОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 250
Пусть в треугольниках ЛВС, А'В'С (чир. 81й) бок АС=А'С",
углы А=А', В = В'. Когда, переносим /л А'В'С" на Д.ABC
равными боками ЛС=А'С\ точкой А' в А, то бок А'В' пойдет по
направлению АВ и должен окончиться и точке В. Иначе
составится треугольник BGB', где один из равных углов В, В' будет
при линии ВВ' внутренний, а другой внешний, который, однако ж,
всегда более внутреннего (ст. 53).
Итак, прямоугольные, треугольники одинаковы, когда равны ш-
потеиуза с одним острым углом, либо катет с противоположным
углом, потому что равенство прямых углов дополняет
одинаков о сть.
88. Сферические нцм'угольники одинаковы, когда в шіл ровны:
іг бок, при нём, угол и другая про]гшв него'*, под условием, чтобы
сумма двух других боков® против рштыж углов не аоставлн.ш
полкруга.
Пусть в треугольниках ABC, А'В'С (чер. 82) бок. АВ=А'В',
углы А = А', С=С. Когда полагаем і\.А'В'С па А АВС равными
боками А'В' на АВ, то бок. А'С, начинаясь в А, пойдет по АС®
и не может оканчиваться ни в С по сю, пи в С" по ту сторону
точки С на продолжении АС. Иначе составится либо треугольник
СВС, либо СВС", где по равенству углов внешнего с внутренним
при дуге АС" надобно, чтобы сумма противоположных боков,
следовательно, В('!-\-В'(У составляла -я (ст. 74)1.
Если при том угол С=-^ тс, следовательно, 0'=^-т:, то
треугольники В(,'С', ВСС", делаясь равнобедренными, требуют, чтобы
ВС==- iff'= --«-, так',і;р AB=>A'B' = l-*, наконец, угол А=А'= ~ п
(ст. 62). Птаі;, прямоугольные аферичестіе треугольииіш одинаковы,
когда равны гипотенуза с одшиі острим углом*9.
s Возвращаемой, к чертежу 81 на стр. 258.
* То-ѳсть другой угол иронии втого бока.
в То-есть тех боклл, которые нежат в треугольниках против первых равных
уг.тов.
9 Возможно, чти итч-тп Л'11'О1 придется рассматривать треугольник, еіпіше-
трпчный А'В'С, чтобы при нн.-гаже.нпи сторона АС ж ей соответствующая пошли
одна но другой.
I Предпоследняя троррыа ит. 74.
е* Если угол при гипотенузе острый, то противолежащий ему катет не может
быть равен ~ .
17*
■21 in НОГІГ.ГК НАЧАЛА ГНіШЕТИШ
Н'). Сфцтчевпнг треуіо.іі>инѵн одинаковы- с тремя дачными углами.
Пусть б треугольниках ABC, А'В'С' (чир.!84) углы А = А',
В--=В\ С=С. Это предполагает шшерхпостп треугольников
равные fi-r. 08), следовательно, когда переносим ^А'В'С1 на £±АВО
боками двух і'іівиых углов, например, углов Л, А'~, то
неодинаковость треугольников требует, чтобы каждый выходил тастию вше
ц.ч другого. Пусть Л'І?'<ЛЙ, следоьательно, А'С*>АС, так что
В'0", начинаясь пя боку АВ внутри треугольника, пересекает fJ(!
в точке О, потом уже и точке С' встречает продолжение АО аа
точку С. Произойдут дин треугольника BDB1', CDC, где BDA-B'D=Tt,
/![)-!. И'В^т. (ст. 74)*, следовательно, ВС А- ІУ С = 2ъ; но как ВС,
Черт. 8:1.
В'С вместе с утѵю.м А должны Сыть либо <т:, либо — тг, либо >к
(ет. 46), то можно допускать только ВС=В'С =ігѳ. Одшіко ж и
в этом последнем случае треугольники АВС\ А'П'С, делаясь выреа-
каші сферы, бывают одинаковы при равенстве плоскостных углов [№].
90. В пря.шпшейном треугольнике сумма шх углов ме можш
оыть > іг.
Называем в треугольнике сумму веех углов tf. В случае
неравенства полагаем А самый меньший или, вообще, не более двух
других. Мы видели (ст. 53), что всякий треугольник ABC (чер. 47 9)
может быть обращен в другой AFC, где сумма всех углов остается
та же,' тогда как сумма кото[ръгх-ныбудь двух АВСА-АСВ іга
первого треугольника составляет один угол ACF в новом, следо-
* И приток так, таойі.і иершины уг;шв В, В' ложмш на одноіі сторона
(возможно, что для втого придется треугольник 'А'В'С замшить симметрігщин).
* Предпоследняя теорема от. 74. ■
3 Таким образом, если ІІфО ял и Афщ треугольники нонгруянтньг.
? Стр. 215 яаст. типа.
ГЛ. VI. ОДІШЛКШ'.ОГЛ, ТРЕУГОЛЬНИКИ! 2(Я
шѵгслыю, третий ЯАО тюррходпг пила, разделяясь на дна AFC
FAC. Итак, тіуі'Ті. ABC — тот гамыіі треугольник, где >уммя всех
углоп S'; н&тт угол />'А6'= Л но более двух других. В новом
треугольнике .-1W гумма всех углон опять S: один на углов при точках
Л^должснбнть^;—.4. Между тем в треугольник'.1 AOF
ff= ^ACF-t-£FA<'+ £AFf:=r. — £FCD + A<r.^ A.
і';і;іделл»і в последнем треугольники і'щ; 'пополам против угла
■_^^А и продолжая таілш образом вся превращать один
треугольник и другой, должны заключить, вообще, что
где і> — целое положительное число может быть как угодно велико,
п этим пместе '2~"А как угодно мало;после чего нельзя допускать,
чтоб #—л был какой-нибудь положительный угод, но
дозволяется только принимать или $ = т., или Л'<-.
j Это предложение первый доказывал .""Іежандр и своЫі
Геометрии (Elements da Geometric) [">], замечая наперед, что ъ
треугольнике бок растет вместе с противоположи мм углом*. Так, в J\,ABC
В В В"
(чер. 84) пусть бок БС^ДЬ1, следовательно, угол BOA осгрыіі. Даем
боку ВС повое положение BD, уменьшив угол ABC. Произойдут
два треугольника; равнобедренный BCD-с острым углом ВВС*,
да треугольник BDA с оатрьш углом BDA® против бока АВ,
* Дапѳе ЛоЗачавсвиВ: приводит доказательство Лежандра из 3-го падания его
«Elements» (1800 г. кн. I, георема 10, етр. 21—22), но раньте он докапывает
-теорему о треугольниках о двумя соответственно равными морояаык и неравными
углами, заключен иыми1 мезкду этими еторовани. У Лобачевекого эіа теорема ра,-
т-і?е не была доказана, а Лежандр в своей дояаватеяьсіве на нее опираетяя.
* От. 46 и 30.
a ІШ = Ж7, re потому BD>AB.
Ш2
НОВЫЕ ШЛЛЛЛ ГКОЫИТРШ1
следовательно, сумма углов ADB~\-L'DC<.tc. "+го значит, что
точки В, D находятся ыа противоположных сторонах лниии .-1С,
которая с AD [і і.- (.'В составляет, такіш образом, треугольник ADC,
где угол АСВ = ВВС—ВСА< АТ>('*'; после чего бок АП<_АО
{(.-г. і>±). Теперь налыиаеи Ь, с бока в треугольнике ABC против
остриев JJ, С Бок Ь продолжаем в одну сторону через точку С,
а па продолжении кладем непрерывно Ь, подвигая вместе /\,АВС
по направлению от А к С, тик что во всех одинаковых
треугольниках ABC, СВ'С, С'В"С'\... бока AG=CC'—G'C ..., также
АВ=СВ'=<!'В"...; ВС=В'С'=--В''С"... ;углы ВАС=ВСС=В"С'С" ...■
ВСА=В'С'С = В"С"("... Соединив кершшш всех этих
треугольников по порядку линиями ВВ', В'В" ..., получим еще
треугольники: ВОВ', В'СВ".. ., где при точках С, С", ... углы должны быть
іс менее, нежели ABC, если предположим сумму трех углов 1 более те
в /\,АВС. Тогда все бока SB', В'В", ,. . выдут равны между собой
it каждый < Ь. Означив бук- ,
вой и бок ВВ' и буквой л
число таких боков, должны
получить (ст. 55)*
2е> п(Ь—■«),
что невозможно для всякого
целого положительного «.
Отсюда следует, что
внешний угол ош
"продолжения бока может бить или равен, или более, суммы двух углов
внутренних, С ним не смежных в треугольнике.
91. Пали а одном треугольнике сумма всех углов л, то во всяком
другом та же.
В треугольнике АВО (чер. 85) полагаем углы А, С острые,
а сумму sees іс. Из острия В опускаем перпендикул р к боку АС,
который разделится, таким образом, на две части q, г0, а самый
Черт. 85,
» Тан йаа z.l№7 = ^BDV + £АШ.
* Сначала получаем
c-f-"a + с^>пО.
е Упасть вне _ЛС перпендикуляр пе может, так как тогда образовался бы
прямоугольный треугольник, по отношению к которому одни из углов А или G
быя бы внешшга к, следовательно (ет. 53), больше прямого, что противоречит,
условию.
га ѵг. одгшлковогть треугольников
2«3
треугольник на два прямоугольных: один а катетами р, q, где
сумму трех углов положим и-
эта сумма тс — ,3. Б данном
треугольнике ABC сумма
всех углов должна рыть
■тс — «-—- [3 і= тт, но как а, [5
ыель-чн принимать
отрицательными числами (ст. 90),
то | а = 0, р — 0. Это значит,
что в том и другом
прямоугольном треугольнике
сумма, трех углов тс, н сумма
двух острых -g тс. К тре-
— ■>■] другой и катетами р, г, где пусть
£к . J
7
Черт. 86.
С
^
угольнику с катетами pt у,
приставляя такой же,
гипотенузу к гипотенузе, при
том еще так, чтобы равные линии не смыкались, но были друг
против друга, получим читыреуі'ольник с прямыми углами (чер. Sli),
который от этого называют прямоугольник. Из п таких
прямоугольников , прикладывая
бок j) kj», составляем новый
ABCD, где бок АВ^ВС^р,
ДВ = DC = щ. Подобным
образом приходим к
прямоугольнику ABFE, где бока
AB=EF=nq, AE^BF^mp,
разумея под іъ, га
произвольные целые числи. Линией
BE разделяем
прямоугольник ABFE на два
прямоугольных одинаковых
треугольника ABE, BEF
(ст. S1), где сумма трех углов в том и другом равны, следовательно,
в каждом к. Теперь какой бы треугольник ABC (чер. 87) с. прямым
углом ВАС пи был дан, всегда можем взять так велики целые
числа п, щ, чтоЯы катет АВ<.пір, АС<,щ. После чего,
продолжая АВ, АС аа точки В, С, и делая AD = mp, AE=nqt получим
2f>4 НОВЫЕ НА'ІАЛЛ ГЕОМЕТИШ
треуголвиш; DAE, гд<-' сумма всех углов -г., л где внутри иоме-
дшеті'Я треу голыши: ЛВС, так что, проведя линию DC, разделим
тргугилышк ADE іга три: ІХ'Е, BCD, ABC. Если в этих последних
треугольниках полагаем суммы углов ~ — к, г. — р, я — у, то е тре-
н уголіііпшй ЛИВ должна бы пыходіпч, она ~ — ч — fs — Т — л. так ка1>'
после соединения всех углов отнимается 2~ при точках В, С Меікду
тем к, у, f in1 могут оыть отрицательными, следовательно, «s=o,
fs=0, *[ = 0. Уверившись, что 7 = <1. '• чтим вместе доказали, что
но всяком прямоугольном треугольник'.' сумма трех углов я; ѳ, как
п ві-якпн, нообще, треугольник разделяется ыа два
прямоугольных, то сумма трпх углов должна быть я во всех треугольниках.
Это предложение доказывал также Леікаыдр (Elements cle Сгйотё-
trie *)["]; но мы, кроме того, продолжая теперь Геометрию, будем
допускать как. та, так и другое предположение, которые до сих пор
остаются еще возможными. Употребительная Геометрия, согласно
с измерениями на самом деле, принимает сумму трех углов в
треугольниках равною двум прямым. Основанием Воображаемой
Геометрии, которую можем постигать только в нашим уме, служит другое
предположение ,что сумма трех углов во всяком треугольнике долясна
быть менее двух прямых *. Эта сумма в таком случае растет с
уменьшением боков в треугольнике; например, какой бы ни был угол ВАС
(чер. 87), если сумма всех трех углов будет к — а н /\_ABC, * — ft
в л,.BCD, к — y в &DCE, то находим се ъ—а — $-—f в Д ІМ.
| Если же во всех треугольниках принимаем к сумму трех углов,
то в многоугольнике а одной окружностью иен. боками будет она
(■>(• — 2)іг, так как н —2 еамое меньшее "число треугольников, на.
которые данный многоугольник может разделяться (ст. 69). Это
следует также из выражения для поверхности сферического
треугольника (ст. 69), которую должно теперь почитать нулем ["].
(12. Прямолинейные треугольники одинаковы: с равенством трех-
углов, которых сумму не принимаем s0[7!l].
л 12-е падание, 1823 г. Си. том I наст, зсэдашія, стр. 60—61, где приведена
, доказательство Лежаодра.
* Сумма углов прямолинейного треугольника не может быть более я (от. 90);
поэтому теорема доказывается толькй для проатранотва Лобачелского, то-воті>
а предположапии, что сумма углов <^і.
я Это — первое предложение -Новых начал», которое принадлежит только
«Воображаемой геометрии».
гл. vj. <>;iuhak'>b<k:t\> тгкугольнш.-ов
2(іГі
Пуі'ть в прямолинейных треугольниках АПС, Л'В'С (чер, ьь)
углы А = А',Ь' = В', (','=£'', A-f- В-\- С < -. Тѵми полагаем 1_А'В'С
на а А ЕС боками равных углов А, А', го треугольники не могу г
один помещать*'я в другом* (ст. 91). Если ж один Судет выходить
чаитшо только ион пз другого, например, точка В' уітд&т на боку АВ
между концов А, В, тогда как точка С" выдет воп из треуголі,-
Ч <? р г, 88.
ника .1.S6' на продолжении „1(7, то [бок] В'С\ пересекая ВС
в точке В, произведет два треугольника іШІ?', CDC, где сумна трех
углов м каждом ^-\~/_BBB\ что невозможно (ст. 00).
| С предположением суммы трех углов т. треугольники могут
быть ие одинаковы, несмотря на равенство трех углов, которой
значит, собственно, равенство двух только, тогда как один бок
о'-тается произвольным (ст. 81).
* В самом деле, соли Си, например, А'В'О' упало внутрь .1/J'.', то оСравовйлсн
бы четырехугольник ВСС'В'. у которого сумма углов
равна 2п, так как Z -И + (~ — L #') + L с +
+ (к — ,/ С") = 2я. Пронедя диагональ ЛС, разобьем
этот четырехугольник на дна трпугольник.а, При этом,
суммы углов обоих треугольников .составят сумму
углов четырехугольника, то-еегь 2л. Значит, если бы
сумма углов а одпоы треугольнике была меньше «,
то в другом оыа должна бы была Сыть больше п, что
невоаможно (от. DO). Итак, в каждом из этих двух треугольников сумма углов
равна тс, что противоречит предположению (ст. 91).
ГЛАВА VII
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ * ЛИНИИ
| 93. -Линии, ны.гойя из одной точки, л.шю пермчкаюш данную ѵрп-
мціч ч той ж* плоскости, либо никогда с ней не встречаются, сколько
бы ни продолжались. Нядо&но,
следовательно, различать межд/f такими
линиями в отношении к одной
данной: is с тр е ч н ы е или сводные,
г! -и с встречи ы <: или и ее водные,
и которым принадлежат п ар а л-
лелі>ныс, еаставляп переход от
одних к друіим—ра-иіодпыАі. Две
параллельные к данной разделяют
плоскость на четыре части: в двух
протишіололгиъм заключаются
сводные, в двух остальных—разводные
линии*.
Пусть АВ — прямая (іер. 89)
дана о топкой С в одной плоскости,
где все лішші, выходя из точки
С, должны либо перееекать АБ,
пак например, перпендинул CD к АВ; либо не встречаться с АБ,
как например, перпенднкул GE на CD (ст. 481. Эта пиния CD,
* В оригинале слило «параллельный» воздо ш.петатано с одниьг.і; «пяралелг,-
ньгіі». Здесь введена современная орфография.
* В "Ученых аашіекахч каждое предложение, которым начинаеіон статья,
напечатано куршшдаг. Предложение же 93, состав я яющеи основу
«Воображаемой: гоометршг», напечатано ойычныы шрифтом, а курсивом выделены только
термины — встречные, (сводные), невстречные {шнюдные или jia-iioиные) и
параллельные. Это сделано, вероятно, для того, чтобы выделить специально эти важные-
термины, которые при ЕгаОорв всего предложения курсивом сделались бы надо
заметными. Б настоящем ыадашщ все предложение напечатано кураток, а
термины— сверх того — в разрядку.
Черт.
гл. ѵп, плглллг:. іыіыѵ: лішшг 2(>7
обращаясь около точки С, переходит от вводных в угле FOG'
к шчзиодшаШ в угле FC-R, ыотои пп:гт(, п угли (}CF' к таким,
которых продолжение за точку С пересекает *-L6; наконец, к песводным
и угле F'f'G'. Здесь бока четырех углов происходят от пересечения
~ двух лшшй FF', GG\ которые, представляя переход от сводных
к шсітдньш, будут параллельны с АВ. Заметны к іѵгомѵ, что nee
лншш остаются попрсжпему сводными, либо нееводньшн, когда
под тем же углом переходят на другую сторону перііелдпкуля ѴТ>.
Птах:, обе параллельный будут известии, как скоро знаем
положение GF одной из них: в прямом угле ЕСІ). Тогда, СО под тем же
углом (K.'E=ECF на противоположной стороне ЕС дает другую
параллельную с ЛЯ. Наконец, две параллельные 01?, Off с их
продолжениями OF', Off' аа точку С составляют два вершинных"
угла GVF, G'd", где яаключщотся все разводные лішии
с АВ.
Говоря, что линия параллельна другой, ын будем разуметь
в последствии только тот случай, когда обе проведены в одну
сторону какой-нибудь третьей соедпнительоой их линии. Так GF
параллельна к DA, С Or к .ОД находясь на одной стороне лішіш CD.
Из данной точки ко всякой линия может, следовательно, быть одна
только' параллельная, которой отличительное овойство заключается
в том, чтобы с малейшим отклонением в одну сторону делалась
сводной, а в другую разводной. Например, если CF параллельна
к AD, то OR сводная, СК разводная с AD, как бы при том
углы FGM, FOR малы ни были,
аз I Под этим видом параллельность уже рассматривается во всей
обширности. Евклид, не будучи в состояния дать
удовлетворительное доказательство, допускал 2 Употребительной Геометрии тот
частный случай, когда две. параллельные должны быть вместе
дорпендикуламц к одной прямой. Такпы образом, угол EOF, как
и весь угол GGF, о его вершинным F'Cff1 здесь уничтожаются,
следовательно, все линии, кроме параллельной, должны:
пересекать АВ, достаточно 'продолжаясь в ту, либо другую сторону.
Евклидовы последователи затрудняли только предмет дополвлггель-
ными положениями, либо произвольными, либо совеем темными,
* Вер'шгальиых.
2 Kb
H(.H;JilF. НАЧАЛА ГІІОМЕТРШТ
Г
стараясь убеждать в ■ ■пранедлпвастл принятой патины, которую
ло существу гіііюіі Геометрии доказнвпть нниозшэжло f].
Наклонение линии к ^пущенному псрпеяднкулу на, другую,
'.- первой параллельную :". б уд™ называть t/го.і ни/ік.і.іе.іыіостп
к ,'иіо.чі/ іі'-рііі'іі'ПоіЦ.-гц. і'амьгіі угол олкачіш IIQi), когда р перпен-
дш;ул*. Заметим однако :к. что выражение П(р) не представляет
покуда никакой аналитической функции,
но только служит знаком, который указы-
ва*."г на. принадлежность угла HQ)) к
линии р.
'М. Две линии не ехоЬятся, когда третья
itr-iHjieiuciu -іис пи той же стороне под одним
цр.га.и.
Пусть прщіая ЛВ (чар. 90) витрзчает
дне линии CD, BE на одной стороне под
углом АСП — АВЕ, который если будет
- q прямой, то CD, BE не должны сходиться
уст. 48); если ж острый, то с ним смежный
будет тупой. Итак, полагаем ABE острый
угол, в отверстие которого падает пер-
лрндпкуд EG к BE на средины F лн-
шш ВС, тогда как пч той ж<-' средины ЕК приходит в точку К
перпендикулярно к продолжению D С. Составятся два прямоугольных
треугольника СЕЕѵ? GFB, потому что СЕ = ЕВ, /_ЕСЯ= £^FBG
(ет. ВТ); следовательно, два ранних угла OFH, BFG, как
вершинные, должны происходить от пересечения прямых ВС, QH: из этих
к последней GH две перпендикулярные ЕЙ, GE на могут
сходиться р'].
і>5. На линии веящію тощ// можно почитать за начало, откуда
еыс'-одит она параллельно другой.
Пусть АВ (чер. 91) — перпендикул к прямой ВС цз точки А,
откуда выходит линия AD, параллельная с ВО. Это аначпт, что вся-
TJ H]!!-. 01).
* Выражение «с первой параллельную* не обосновано, пика не доказано
предложение о взаимности попяпія параллелміости (ст. 96).
* В сочинении «О началах геиметрші»' Лой&челічііііі употребляет для тоіі же
Функции энак Х'(р), а п ьочлнеиии «Ііоо'фаиѵавмая LPoMO'rjiiia» — аила рі
ГЛ. Vlf. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛШШІІ
24'.'
кан другая линия АС, от А проведенная т; угле параллельности,
пересекает ВО. Должно доканывать, что оудет ли ваита где-нибудь
точка Е по ту, либо точка Е' по другую сторону точки Л на
лігаші А£> с ее продолжением AJ7' ла точку Л, всегда иериеддп-
кули .EF, E'F' к .#(7 і; S"D составляют угол параллельности DEF,
DE'F', г, отверстии которого линия, проведенная из острия Е, Е,
пересекает F'C.
В отверстии угла Доведем из острия JT какую-нибудь линию ЕП.
Конец ее Ѳ, покуда не пересекает она ВС, соединяем с А
прямою АО, которая в продолжении должна встретить i?.Fгде-нибудь
Черт. 91.
в И, потом п ВС где-нибудь в С. Соста.шті-я: треугольник FHG,
куда войдет EG, но по невозможности пересекать в другой pais
ни HF, ни НС, должна пройти чрез FC где-нибудь в К.
В отверстии угла DE'F' ведем из острия Е' произвольно
линию Е'К', которая внутри четыреуголыпша ABF'E' не может
пересекать в другой раз ни E'F'., пп Е'А, но должна пройти
либо через бок BF', либо через А'В где-нибудь в топке Ж'*. Этот
последний случай рассматривая, полагаем, что в д ABC, куда
■входит линия Е'Н', бок АС наклонен к параллельной АВ под
углом BAC = DE'K', так как первый но них совершенно
произвольный. Теперь Е'К', не пересекая более АС (сѵ. 04), ни в другой
и В атом докодотедьствд и даяѳѳ -Лобачевевші опирается, как на очевидные,
на проіяейшие еяедотнин доложена», которое в нмтоящад время известно под
названием «аксиомы Пінш,>. Согласно erott аксиоме, прямая, расположенная а
плоскости треугольника, пересекает лиио дне стороны треугольники, либо на
пересекает ни. одной на икх, либо проходит через его порпіиву.
270
ЖіВЬГЕ НАЧАЛА ГКПМВТІ'ИН
раз АВ, лолшніі і'оіітпсь і' Гюипм ВС треугольника в катіоіі-ішбудь
точки А".
Итак., налган і>~АН, EF, /-,"!<", получим | угол IIQ)) = DAB,
DEF, D£'F',v;w бы точки А, Е, В' ни били імнты на, параллельной.
іИі. /иі.-оа .тихи ѵпі>а.і.іе.-ѣии ''/'.'/■''"''; wo, iiaouojiom, шн вторая
твк.ія-п і'прчл.'4'..vtnit imjieoii.
Щ-ить нч точки .1 (тер. iJ-2) проиѳдепи линии, Лі?
параллельная, АС тгрпеидітулирі-иш і; ГЛ. Jin-m, что псякая линия СЕГ
отклонившись от СВ не в ту
сторону, где лежит АВ, не
может и пересекать АВ.
Остаются доказывать, что всикая
•пиния OF, отклонившись от
CD в противную сторону,
непременно встретит АН, как бы
мал нп был угод отклонения
DCF.
Опускаем пз точки А пор-
пелднкул AF к CF: делаем
AG = AF, еташшперпендикуя
HG к АС в конце О линии
AG, потом пл А ведем AFT
Kile под \vz<mHAG = BAF.
Линия АН должна пересекать.
CD (ст. 98), следовательно,
пересекать и ѲІІ тавжи где-
нибудь и точке К, Составится прямоугольный треугольник AHGy
где гииотенува АН назначает расстояние АВ, на котором CF в
продолжении встречает АВ, потому что д ABFSi Д AHG (ст. 8і).
Итак ѵара.і.і.сіьішшь діи/.в линий oueaem всегда взаимной.
| і)7. Две піі}іалле.шшв шваіопі параллельны tn/решей, е которой-
■пересекаются плоскости, пуове&етыв через две перте.
Пуеть параллельные АВ, CD (чер. 93) лежат в плоскостях,
которых линия пересечения Flu. От произвольной ее точки Е ведем
периендивул ЕА к АВ в .1, потом отсюда другой перпендикул АС
к CD и, наконец, линииj СЕ, которая е двумя перпендикулами ео-
Черт. 83.
ivi. vii. параллельные линии
271
составит треугольник АСЕ. Угол ВАС между лилий ЛИ, АС может
быть острый или прямой (ст. (Щ, следовательно, перпепдикул на
О к АН должен падать куда-нибудь it точку Сі, которая будет или
тіі же точка -I. пли на каком-нибудь расстоянии .iff от А. иорди-
шгтельшиг лннпя G'E точек (!, Е также либо должна не различаться
с АЕ, либо проходит в
отверстии угла AEF. Теперь
параллельность лыциіі ЕЕ
г. А Я надобно доказывать,
уверяясь is том, что всякая
линия пересекает АН, как.
скоро выходит ни острия
Е в угле FEA. Ясно, что на
может быть иначе в той
часты АЕС! всего утла AEF,
которая іі|шнадльіяіит
треугольнику AEG, В
остальной части FEff проведя
линию ЕЯ, потом
воображая череч нее с другой ЕС
плоскость, получим в
пересечении е плоскостью ВАС
лилию ОН, которая в угле
DCG- должна встречать АН,
параллельную с CD где-нибудь в точке Н, куда, следовательно,
при|дет и линия ЕВ, как бы мал угол ЛЕЕ ни был. Подобным
обра;зом доказывается параллельность ЕЕ с GD.
Итак, если на плоскости может быть проведена параллельная
линия с данной вне плоскости, то всякая другая плоскость,
проходя через данную линии», в пересечении с данной плосіюстию,
производит параллельную к данной линии. В таком случае
говорят, что данная плоскоеть и линия друг к другу параллельны.
9S. От точка всегда можно провести линию man, чтобы с данной
составился -тп угодно малый угол.
Пусть АВ (чер. 9+) — иерпендикул нз точки А к .линии 5(7. Ны
знаем уже, что точка JJ чем далее взята будет от конца В перлеи-
27'2 IltjtSbffi НАЧАЛА ПЗиМЕТГШІ
дихула АВ, те>с угол ABB выдет мі.'неі- (ст. 5:іі. Теперь питается
Ячюыыиасѵ., гіТ" і; возрастаниел ED может о» сделаться менее,
J3
^^(7
нежели зиякшг данный угол. На боку DC внеишсто угла ABC от
продолжения бока SZJ в ^ -l_ffZ) беіэеи DD' = AD, отчего
произойдет равнобедренный
треугольник ADD', где угли при А, ТУ
раины; следовательно, уго.п
ADBWZAD'B (г:т. Щ. Делая
СЛ' = AD', получим угол
.467) й=.| т ЙІ)Л. Так продолжая,
можем уменьшать беспредельно
тот угол, который ВО составляет
с. линией, проведенной от нее
к данной точке А [,а].
99. Две линии тараллельпые
с третьей, параллельны .между со-
Рассматриваем сперва три ли-
-і, иии AS, CD, EF (чер. 95) в одной
плоскости. Предполагая крайнюю
АВ параллельной с, двумя
другими, ведем из точки А, взятой
произвольно на АВ, перпенди-
дуды АС к CD, АЕ к EF: Последний пересечет среднюю ліпшто CD
* Форѵу.ТЕфоока тооремы подле;кігт некоторому уточнению и должна ііыеть
следующий вид: две прямые, параллельный третьей а одном направлении,
параллельны ио;кдк собой в том мйе направлении. Действительно, іЗеа указания о
направлении п&рйялелияыа выходило йы, например, что дье прямые, проходящие через
одну точку и параллельные третьей1, иарлллелыш мвжцу собой, что' очевидно
неверно,
ГЛ. "ѴТТ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ,ТШИИИ 273
где-нибудь в С1 либо между концов С, D, если угол DGE < ~чс й, либо
в точке С, сливаясь с AG, если угол DGE = -і-тс. Из точки С пусть
выходит линия GG' и отверстии угла DGE под кшшмуішбудь углом
DGG' к DG. На DC можем воять точку А' так от G далеко, чтобы
угол АА'С был менее DGG' (ст. 98). Несмотря на то, продолжение
линии А А' за точку J.' должно пересечь EF где-нибудь в F', так
как .Ай с EF параллельны. После чего пропвойдет
треугольник AEF', которого бок AF1 наклонен к линии A'D под углом
I)A'F'<DGG'. Если же делаем угол DA'F" = DGG', то A'F" при
невозможности пересекать GE, не- встречаясь с {?<?', пройдет где-
ё« нибудь чрез F" между F', Ё на І^Е, ограничивая, | таким образом,
четыреугольшш A'GEF", где GG' не пересекая A'J1" (ст. 94], должна
сойтись с EF" в какой-нибудь точке О1.
Если же две крайние АВ, EF параллельны к средней DC, то
. всякая линия АА', проведенная в отверстии утла ВАЕ от острия А,
должна пересекать DO где-нибудь в точке А', от которой пусть
пернендикул к FE будет А'К. Теперь продолжение A'F' линии А А.'
вне четыре угольника АА'КЕщйп&ррввлъльші в отверстии угла DA'K,
будет пересекать EF, параллельную с A'D (ст. 96) как бн мал
угол ВАА' ни был.
Наконец, предполагая АВ, CD параллельными с EF в разных
плоскостях) можем АВ почитать за линию пересечения двух
плоскостей BACD, BAEF*, проведенных через две параллельные
CD, EF; следовательно, третья АВ должна быть также параллельна
к CD (ст. 97) Н.
100. Когда три плоскости пересекаются в параллельнъесе линиях,
то сумма п-ло&коатных углов -г.
Ііуеть три плоскости пересекаются в параллельных линиях АА',
ВВ', СО' (чер. 96). Берем на каждой произвольно точки А, В, О,
аі которые соединяем линиями АВ, АС, ВС и воображаем чрез них
плоекоеть, потом еще другую АВ'С через точки А, С и В' где-
s" По ходу доказательства иельая заранее ыовгаочить возможность ■ Z. І)!?Е _> -r ;
однако н в этом предположении прямая GD пересекает отрезок АЕ, концы
которого лежат по разные стороны от CD; а только это и существенно для
дальнейшего.
* Плоскости АВЕЖ и AOD пересекаются по прямой, которая параллельна
прямой ЕЖ (ст. 07) н, следовательно, совпадает о прямой АВ.
Зак. ШЙ. Н. И. Ловлчевсип*, т. II.
18
274
НОГ.ЫЕ ЫЛЧЛЛЛ ГЕОМЕТРИИ
Л
ішйѵдь ни ВЬ"; наконец, описываем сферы вокруг «тих трах точек
и чертим их дуги пересечения на плоскостях А'АВ', АВ'С\ Б'СС\
А'ЛСС". Наяиітем
я, Р, ? плоскостные
-В' Угльі первых трех
плоскостей вокруг
С'-* параллельных J А',
ВВ", ОС; оныачаем
й угол отклонении
плоскости АВ'С от
Л/ЛСС;^, q,
г—телесные углы Л/', d'e'f', «6с. которых вершины в -4, С, Й'.
Плоскостной угол <fe/' находим (ет. t>8)
2jt» -f- те — а — 6,
угол d'e'f"
22-f^ — f —3-
После чего телиед-шй угол
г
Черт. 0S.
■■Ъ—р — я-
.(Я_а—Р_Т).
Угол 3 можно шять как угодно малым, а і; ним уменьшать
беспредельно дуги de, e'f, удаляя точку В' от В (ст. 93). С этим
движением вершины В' исчезают наконец дуги ub, be, следовательно
самый телесный угол г (ст. 80), плоскостной 8 и телесные _#<3,
2<Е, так. что
I ж_я + ?+тн.
101. Если а треуголь-
нішш; сумма трех углов
и, ійо Зав -деуявиЭмкі/лй ^
■к одной линии меиюду
собой ішриллельны.
Пусть АВ, GD (чер. 97) — перпендикулш к одной линия АС,
которой, конец А соединяем линией AD с какой-нибудь точкой В
на СВ. В прямоугольном треугольнике ACD сумма двух 'острых
углов -ітг, так же как углы CAD-\-DAB = у* [следовательно, угол
ВАВ^=АВС; но последний может быть сделан как угодно малым
ГЛ. VII. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ
275
(ст. SB), следовательно, А Г), как ии мало пи отклоняла ел от AS,
вг.егда пізросекаег СВ. Это значит, что CD с J.S параллельны (і-г. 03).
Итак, в том же пргднолоікйннл вообще Зяе линии па^чіллкльпы,
когда третья встречает их па одной стороне под ратіым углом (і;т. U4) *:
а следонатплгло Зон линии пересекаются всякий раз, когда бывают
наклонены к третьей между ними под углами, которых сумма <~.
Обратно, когда допускаем параллельность каких-нибудь двух перпеи-
дикулоо к линии, то в треугольниках сумма всех углов должна быть п.
Если, например, АВ, CD— два пер пен дин ул а ъ\АС — параллельны
между собой, то пусть в треугольнике АСЕ сумма трех углов тг—а,
следовательно угол ВАЕ> а. Делаем угол BAD = a, то линия AD
пересечет CD и произойдет треугольник ADC, где сумма трех
углов it — я -f- /_ ADC должна быть равна, либо менее, нежели
сумма, трех углов в треугольнике АСЕ (ст. 91) *. Отсюда
— неверность, которая может
уничтожиться только с положением а = О
(ст. 93) ѳ П.
102. В предположении суммы всех углов
■треугольника < я, угол Я (а) уменьшается
постепенно с возрастанием а, поминая
с П (я) ~- _ я для а = 0 и приближаясь
к границе Щя) = 0 для а = оо.
Заметим, во-первых, что П (к) > П (ft),
когда а< Ь. Пусть АВ = а; АО*=Ь
(чер. 98), АА'-— перпендшеул к АС\
А'
а
Б
А
Чер т.
ВВ', ОС —параллельные
с. АА'; следовательно, угол ABB' = П (я), AGO' = И (6). Нельзя
полагать Ща)~Е(&) е тем, чтобы не нашлось к одной линии двух
перпендикулов, которые были бы параллельны (ст. 94). Того менее
ві можно допускать П(а)<П(5) для а<&, потому что в ] таком сиу-
чае линия ВВ пересекала бы ОС даже тогда, когда б угол ABD
сделан был равный с АСС.
* Так как в втом случае они имеют общий перпендикуляр.
* Ссылка относится и утверждению того, что если сушіа, углов треугояышва
меньше доух цряыых, та она растет ири уменьшении сторон треугольника..
^Предположение а = 0 исіс:чочает возъгажиоеть пересечения АТ> и СВ.
18*
'27ЕІ
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Теперь докажем, что для всякого угла А между грашщ „1 = 0,
А = -^ тг можно ніійтіг а так, чтоб А = П(а).
На боку угла .4. (чер. 99) из какой-нибудь точки В опускаем
перпенднкул ВВ' к другому боку. Составится прямоугольный
треугольник ABB' с катетами АВ', ВВ', где сумма трех углов пусть
будет тс—я.
Продолжая: бок АВ1, делаем
В'О'^АВ', потом
Ojy=.AC и т. д.
Ставгш периенди-
кулы СС, DD', ...
в точках С, В', ...
к тому же боку,
покуда могут ошг
встречать другой
бок в точках С, D...
Соединяя линиями
точки, В с С, О
с В', ..., получим
Д АВ'В й А В'Ва\
Д АС С м А СС'ІУ, ... Далее сумма трех углов должна быть
к—2а в і\АВС, менее немели тс— 2а в д .4(7(7 (ст. 91),
менее нежели * — 4а в Д АОВ', еще менее в £\АВВ'. Так вообще
должны бы находить эту сумму менее тс— 2"а е целым
положительным числом и. Это требует, чтобы, наконец, перпендикулы .ЕЛ?',
JTJ" к одному боку угла А не сходились более с другим *. Пусть
из них ЕЕ'— тот перпендикул к AS', который сам не сходится
ев с АВ, но: в одну сторону которого к острию А все прочие
пересекают бок AD *, тогда как по другую сторону все
перпендикулы FF', сколько бы ни продолжались, не встречаются с АВ.
В таком] случае бок AD параллелен с перпендикулом ЕЕ1'. Чтоб
Ч a D т.
й Процесс может продолжаться до тех пор, пока яерпѳндияуяяры а
стороне АН' пересекают сторону АВ. Если: бы аго построение могло повторяться
неограниченное число раз, то рааномь п — 2"в стала бьі отрицательной, что не-
вооыожпо.
* Точкн пуча АВ', являющиеся основанием перпендикуляров,
пересекающих АВ, и все остальные точки образуют классы Дедевнвда, а, Е' — сеченнѳ,
существование которого требуется аксиомой: Дедѳкиндв,
ГЛ. VII. ГІЛГЛЛЛКЛЫШЕ ЛІІШІП
■277
в этом увериться, ведем л шиш АО, ЛИ и:: острия угла А внутри
и ши' по другую сторону иска AD. Вторая * не должна сходиться
е ЕЕ', чтоб не составился треугольник, откуда прямая AD могла
іш только выйти, зірресѳкая бок ЕЕ'. Введем еще линию AG' вне
угла А ил его вершины под тем же углом к Соку AIJ', под
каким AG наклонена к AD внутри. Опускаем к AG' перпсыдпкул E'G'
из точки Е'. Получим прямоугольны» треугольник AE'G', где
А&'<АЕ'. Итак, если AG' кладем от острия А па АЕ', го AG
покроет AD, точка G' упадет где-нибудь в К' между точек А, Е'\
после чего нѳрпендикул GG' сделается перпендикулом К 1С к АЕ',
которьтіі назначит расстояние AK=AG точки G, куда лнніш AG
должна прнтти, составляя треугольник AGE, где лишга ЕЕ'
пересечет, следовательно, бок AG. Так AD в обращении свое».: вокруг
точки А, под каким бы малым углом ог прежнего своего
положения ни отклонялась, идя в одну сторону, пересекает ЕЕ', а в про
тпвоположную — с ЕЕ' се встречается [8(1].
Соблюдая постепенность в изменении, мы пополним значение
?,г, 11(a), принимая Ц(іу.} = — п для д=0, | П(а) = 0 для д= оэ и,
наконец, распространяя на все отрицательные линии, будем полагать
ТІ (в)+П (-«)=•*.
где, следовательно, линия я может быть нулем, положительным іг
отрицательным числом, возрастая до бесконечности [81].
Хотя выражение П (а), как мы заметили виню (ст. 93), служит
только знаком для угла, вместе с указанием на линию а, к которой
он принадлежит, однако ж такая зависимость, покуда неизвестна,
может называться геометрической функцией для различия с
аналитической, определяемой или вполне самым действием над числом,
пли посредством условных уравнении..
В Употребительной Геометрии принимают угол параллельности
постоянно прямым. Между тем, этот угол можно полагать также
переменным в Общей или Воображаемой Геожщии, которая
будет обнимать Употребительную Геометрию, как іаетный случай,
однако ж единственный, какой только нам открывают измерения на
самом деле.
w В оригинале ошибочно написано «Первая.. Речь идея, конечно, о
прямой АН, которая *пв должна сходиться с ЕЕѴ
278
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
103 *. В Упогребптолькой Геометрии чртыреуголь|ник, где оро-
тігвоположные боки параллельны, называют параллелограм.
Я параллелограмм протнвоиолот'нме бока равны. Также веяний
чепшреі/гольнш; оииает параллело.-рамом, как скоро н нем щютивопо-
п q ложные бока равны; или два только бона
равны и имеете параллельны.
Четы реу голь ник ABCD (чор. 100) £іаз-
деляем на два треугольника, соединив
острия -4, О двух противоположных
углов линией АС, которую называют
дгюіпнал. Если бока АВ с CD, AD с ВС
Черт. 100.
параллельны, то диоганал АС к той и другой из двух
параллельных будет наклонен под одним углом (ст. 101.). Так /_ВАС^ /_АСВ}
£_BGA = /^ САЗ, следовательно треугольники АВСіаАСЗ (ст. 81),
в них AB—OD, ВС=АП.
Если ж AB=CD, ВС= A3, то снова &АВСй> л. ACD\
следовательно, углы ВС А = CAD, ВАС = АСЗ, бока ВС с A3, АВ с CD
параллельны.
Если наконец АВ с CD равны и параллельны, то углы BAG—AC3,
следовательно Л ABC <м Д АСЗ (ст. 81), после чего ВС с
равны п параллельны.
j Отсюда следует
равенство перпендикулов от
одной параллельной «
другой.
104. В предположении ^
прямых углов параллель-
мости содержание -лщал-
лелькых жж&у боков угла то шее, какое самых отрезков па боках.
Пусть аа', W (чер. 101)—две параллельные между боков АВ,
АС угла А. Внешний угол Ьаа' треугольника Аиа' равен сумме
двух внутренних с ним несмежных аАа', аа'А; следовательно, через
конец « линии аа' параллельная ас с боком Аа' угла А должна
* Предложения1 от, 103, 104 к 105 янляютвя простейшими следствиями
постулата. Еавлида. Они ееобходимы Лобатгсвекоагу, так как его изложение существенно
опирается на факты геоіштрщі Евклида, которая осущѳстиляотеи на предельной
поверхности (см. от. 120).
ГЛ. ѴГГ. ТШ'АЛЛЕЛЫІЫЕ ЛИНИИ
279
делить Ыі' па две части, Ы и Ы/— пѣ' ('ст. 103). Отсюда заключаем,
что параллельные аа', Ы>' между боков угла растут, удаляясь от
острЕія А. К тому в треугольнике пЬе угол й»й = оЛй', «5с = Ааа'\
линия ас — а'Ь\ следовательно, где бы ни ваяли часть аЬ на боку -AS,
везде три бока и треугольнике Ааа' растут одинаково, как скоро
бок аа' заменяем его параллельным ЬѴ. Назышшм теперь х, у, з
бока Аа, Аа', аа' в треугольнике Ааа'\ х\ у', в бока АЬ, АЬ'\ W
в Д АЪЬ'; полагаем, что а.1 разделено на п, х' на т таких же
равных частей. Ясно, что дробь - будет содержание х к ж', у к ;/,
з к з'. Предположим еще в случае нееоітвмеряемоетя линий
I т , т -4-1 ,
п ^ ' п
и следовательно также,
«і , т -4- 1
-у<у';-^-у>>/.
После чего, как сейчас доказали,
т
п
' 11
Итак, содержание целых чисел те, т дает с тот же точности©
содержание линии х, as', с какой и содержание у к у', z к г'. Это
значит, что во всяком случае
х
У
Отсюда следует, что в прямоугольных треугольниках против_
равных острых углов содержание боков равное.
105. Б предположении прямых углов параллельности квадрат гипо-
40 тенуш в nj)a.woywAtrHO*w [треугольнике равен сумме квадратов от
катетов.
Называем а, о катеты, с
гипотенузу (чер. 102) в прямоугольном,
треугольнике. Опускаем из вершины
прямого угла пѳрпендикул р на
гипотенузу, которая, таким образом, разде-
С-х"
Черт. 102*.
* По срипненшо о привычным рисунком, чертик 102 Лобачевский дает
и искаженной виде потому, что он использует далее втот же чертеж и к «вооЗра-
-жаемой геометрии» (ст. 107, страница 282).
280
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
лится на две части; одна х под а, другая с — х под Ь. Самый
треугольник разделится на два прямоугольных: один с гипотенузой я,
катетами р, х\ другой с гипотенузой Ь, катетами jj, с — х.
Сравнивая каждыіі из этих треугольников с данным, получим (ст. 104)
Отсюда находим,
» = «--.,
h
с
исключив х,
ся = ай-|-6в.
Черт. 103.
10(1. В предположении переменных у/лов параллельности ііерпеп-
дикул растет более, нежели тот бок угла, от которою шрпепдипул
опущен; еще более, нежел
тот бок, куда перпендшул
падает,
| Луеть на боку АВ угла
CAB (чер. 103} взяты три
точки D, Е, В, которых
расстояния, ■ первой от второй,
второй от третьей—равные.
В топках I), Е, В ставим1
перпендикулы DF, EG, BG
к АВ, которые пусть пересекают бок АС в точках F, (?, С на
расстоянии р первой от второй, q второй от третьей. Полагаем четьгре-
угольник GEBG на EDEG общим боком GE и равными боками
BE — ED. Бок ВС пойдет по EF и кончится где-нибудь в В вне
треугольника, потому что угол ЕСС>ук, ДѲЕ<.-^п*.
Произойдет треугольник FQ-Ж, где против j? угол менее, нежели против <j'
(ст. 91); следоватедьно, ([~~>р (ст. 54).
Пусть на боку АВ (чер. 104)^взяты три точки D, Е, В,-
которых расстояния, первой [от второй, второй от третьей, Х>Е = ЕВ.
Же точек D, Е, В опускаем к AG перпендикулы 'BF, J?ff, ВС.
Делаем QH=*BF, СК^= GE и соединяем их концы D с Ж, Е с К
линиями ВЖ, ЕХ, (которые должны быть наклонены к перпенди-
кулам под острыми углами ЕВЖ=ВЖѲ, GEK=EKG. Делим GC'
Как внешний и внутренний угол в прямоугольном треугольнике.
ГЛ. VII. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ 251
пополам в L и ставим здн;ь иерпендикул ЬМ, которьГіі, пройдя
через середину ЛГ перпендикулярно к ЕК, пересечет BE в N.
О этим перпендпкулом XL встречается в О продолжение 1>Н,
делая угол DOL острый (от. 91) ;:' в отверстии которого падает
is перпендикул DP из I) к LN. Те[перь в прямоугольных
треугольниках AEG, ABC угол AEG > ABC; в таких же треугольниках DPN,
Черт. 104.
EMN угол NEM>NDP, еще более, нежели EDH. После чего ДЛЙЕ"
должен принять положение DEB', когда переносим его боком BE
на равный DE, так что ВК, 'сделавшись ЕВ', пересечет DM где-
нибудь в Q между Е, В'; следовательно, ВЖ= ійЗ'>_Э(3, >ЕЯ.
* Доказательств п опирается на ред свойств четыреху го пышка е прямыми
углами при основании и равными боковыми огоронаыв:—четырехугольника Оаи-
кери (ем. примечание [И], сноска на стр. 509). Если ми разобьем т&коіі.
четырехугольник, например G-EKG на чертеже 101, на два, восстание перпендикуляр.
и середине ого осЕ.шаиня, то в силу симметрии четырехугольники LGEM и LGKM
будут конгруэнтны. Отсюда, следует: 1) Перпендыщтр к основанию
четырехугольника Оаккери, восставленный і его середяне, делит противоположную сторону
пополам и переакітеіа ее ной пргшыл углом, 2} Углы, которые противоположная,
основанию сшрона образует с боковыми сторонами, уавны ліежду собою.
Каждый из четырехугольников, на которые разбит четырехугольник Са&кери,
будет иметь три прямых угла яии является чтпщіЩ}гольклкам Ла.кберта (см.
том I наст. издания1, стр. 170). Разобьем такой четырехугольник GLMK на дав.
треугольника, например, GLM и GMK. Мы будем: иметь:
где Si ж 82 — иуымьг углов втих треугольников. Б геометрии Лобачевского Si<2it.
зі Sg<<iw, откуда /,К<^~, так что четаертий угол е чтьірщголъхикв
Ламберта а углы при стороне, пртжеолежащек оонааомию е четырехугольнике Сак-
хер и, — острые,
282
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕСШПТРШІ
107. В пред положении переменных углов параллельности квадрат
■шношеиу.ш в прямоугольном треугольнике более суммы квадратов от
двух катетов.
Пусть с — гипотенуза (чер. 102 s'), а, ft—катеты, р—перпендикул
на прямого угла на гипотенузу, которую делит на две части: х под
а, с—-х под Ь. Основываясь па
доказанном шще, находим из сравни идя
треугольников
х > а
а
е
Ъ_
с
^ Из соединения: двух неравенств
заключаем
с" > о»-f ft». '
] 108. В предположении переменных
углов параллельности, две линии,
перпендикулярные % одной третьей, чем
более продолжаются, тем более
расходятся', так что перпендикул от одной
к другой растет до бесконечности.
Пусть АВ, CD (чер. 105) перпендикулярны к АС. От каких-
нибудь точек В, Е одной опускаем перпеядикулы ЕЖ, BD к
другой CD, потом на точки А к ближнему EF ведем перпендикул AG,
который продолжаем за точку (?, покуда пересечет BD в Д делая
'угол GHD <-s-к *. Продолжение (Ш за точку S дает вершинный
утоаВЕЖ, также острый и, следовательно, здесь падает к ПК
перпендикул ВЖ. <BE. Между тем, полагая АВ = а, АВ — Ь, EG=c,
находим (ст. 106)
я тем сильнее
Ш>а-=-.
к См. чертей; 102 и сноску и ному на стр, 279.
* &HD есть угол в -четырехугольнике о прямыми углами в вершинах (?,
F -hlD.
ГЛ. VII, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛШ-НШ 2ЬЗ
Легко видеть, что _EF>AC, HD>GF\, потому что всегда
равные пѳрпендикулы наклонены под острим углом к линии, которая
1 соединяет их|врршгпш, тогда как один перкеігдикул прибывает
вместе с возрастанием угла при другом *. Итак
BD>ED\-c- ~ >EF + c с1^ о_ ■
Откуда следует, что ЛВ = а всегда можем предполагать довольно
большое расстояние, чтобы перпендикул BD сделался более всякой
данной линии.
Заметим еще, что здесь AB*>CD; а следовательно, CD также
всегда можно ваять довольно большое расстояние, чтобы ВТ)
делалось более данной линии.
Обратно загелгочаем, что какой бы перпенднгсул: ВВ к CD пи
был, всегда можем от него постанмть так далеко другой АС\ чтобы
к нему псрпепдиісул из вершины первого цадал как угодно близко
к CD[n].
100. В предположении переменных углов параллельности расатояпш
между двумя ішраллелышми как а одну еторону растут, так
уменьшаются в другую беспредельно.
j Пусть АВ параллельная с CD (чер. 106), к которой из точек
А, Е на первой опущены перпеыдикулы AC, 3SF; следовательно,
* В оригинале вместо НВ^> Q-F напечатано BD^> 1CF— неравенство верное,
но не то, которое используется ниже. Здесь сдадаао иаменение,
* См. лемму 2 примечания [Щ (стр. 50Ѳ), согласна которой в четырехугольника
с двумя пряными углами при оепононии большему углу протішолежит ббльшая
боковая сторона.
в вв = sd-гвв> яо-і-суі iw>ai?=m—c.
284
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИЙ
4Е
углы ВАС, BEF острие- Продолжаем EF за топку Е и водем
в отверстии острого угла AEG перпондикул AG к <?.F, который
всегда можно сделать вместе г; EF как угодно малым,
увеличивая CF (ст. 108).
Напротив, погда продолжаем АЕ, AG за точку Л, то
продолжение АЁ' цервой линии будет еще более расходиться с CF,
нежели AG', продолжение AG, от которого, как видели, перпен-
дикулы к CF растут до бесконечности.
Вот почему назвали мы линии разводными (ет. 93), как. скоро
не принадлежит они к параллельным или к таким, которые
пересекаются. Действительно, когда линия АК делает с АВ угол, то
перпенднісули к АВ от Ре точек растут в направлении к концу К.
Тем более то же должно сказать о перпендикуяах к CD, когда АК
деатает угол КАС<ъ, но более, нежели ВАС.
Итак, надобно различать сторону параллельности, где
параллельные сближаются, от стороны развода, в которую расстояния
двух параллельных увеличиваются до бесконечности.
| 110. Перпендикули е середине к бокам треугольника пересекаются:
в центре круга, который проходит чрез острия, и потому
называется %руг около треугольника *,
Пересечение перпепдикулов необходимо-
для всякого треугольника, как скоро
в нем сумму трех углов
предполагаем 1С.
Б /\АВС (чер. 107) к бокам
АВ, ВС, АС из их средин В, Е, F
ставам церпевдикулы />(?, EG,
FG. Пусть первые два сходятся
в точке G, производя равнобедренные треугольники AGS, CGB
(ст. 52), которым расстояния AG, BG, СС? точки в- до трех остриев
треугольника ABC служат равными боками. Итак, этим
расстоянием описанный круг из центра G будет круг около
треугольника ABC. В равнобедренном треугольнике AGC лерлеидикул FG
должен также приходить в центр G круга (ст. 62).
Чорт. 107,
к Точнее была бш такая формулировка: ееяи два указанных перпендикуляра-
пересекаются, то третий проходит 'черве точку их пвреоечаняя, которая является
центром описанного круга.
ГЛ. ѴП. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ
285
Если предполагаем угол параллельности постоянно прямым,
то пергшидгтулы всегда будут пересекаться. Чтоб это доказать,
принимаем в рассуждепне
только те два бока, АВ, ВС
(чер. 108^, против которых
лежат острые углы С, А.
Пусть периендикулы DL,
ЕМ к бокам АЛ, ВС т
их середины проходят
через плоскость
треугольника'", не встречаясь здесь, его
пересекая третий бок АС
в | точках S, К, так что продолжения IIL, КМ перпеидикулов
составят с линией ЕЖ между иимп на боку AG углы LSK, МХЕ,
равные с углами DEA, EEC в прямоугольных треугольниках АЛЕ,
КЕС. С такими наклонениями к НК линии HL, КМ должны
непременно пересекаться (ст. 101). [аа]
111. С предположением переленных углов шрішіельности, періьеи-
дшулы из средины к бокам трехдольника могут сходиться,, либо
расходиться, либо вае три быть
параллельными *.
Б треугольнике ABC
(чер. 109), где углы А, С
острые, перпендикул ЛЕ к
АС из средины Х>, иро-
ходя нереа плоскость
треугольника, должен или
встретить два другие бока
Черт. 109. в 0бщей точке,' или по
крайней мере, больший из боков АВ где-нибудь в Е. Пусть,
далее, FG— перпендикул к АВ в середине Ж, которой
расстояние FE<= а до точки W. Когда F случится между точек A, Е,
притом угол FEJ)<U(a), то перпендикул FQ необходимо пересечет
* То-ѳсть внутри.
* Формулировка теоремы моаоет быть уточнена добавлением того, что в первом
случае перпендикуляры пересекаются в одной точке, во втором случае они имеют
общий перпендикуляр, а в третьем елушіе они: параллельны в одной направлении.
чье,
НОВЫЕ НАЧАЛА ГШІГЕТГ'ИН
«
Д^уп.ііі/і7Ѵгд<.1-ішиуді.іяіхп[іо;и)Лжспші(ст. 102),куда, следовательно,
прігдм' іі ш'ііш.'ндіікул от средины третьего бока ВС. Если ж
i'EJJ^-Ща), то иериепднкулы FG,l~JEw. сойдутся, а, следовательно,
пересечение і- третьим тоже сделается невозможным. Будем теперь
м доказывать, | что параллельность двух іьі них всегда бывает соединены,
с параллельностью wex трех.
Пусть в ./. ЛВС (чер. 110) ныходят Г)Е, FG из средин Л, F
перпендикулярно к Сокам АН. ВС протпь острых углов А, С, не
истречаясь внутри
треугольника с перпендикулом iffi
из средины Н к боку J.C".
Это будет тот случай,
когда 7)Е, FG, пройди
через треугольник, пересекут
третий бок АО в точках L,
М, между которыми
заключается начало И. перпенди-
кула НК. Таким образом,
пне треугольника ABC отрезки L.E, МѲ перпендшеулов Т)Е, FG будут
наклонены: к LM под острыми углами ELHy GMH. Если
предположим DE с FG параплельЕымі^ то ЯК также с ними не
встретится, но будучи помещена между той и другой, должна быть,
необходимо параллельной. Действительно, когда бы возможно-
было пронести другую параллельную гоЯв LE, а следовательно
к МѲ (ст. 99), то НК встречалась бы « одной ий параллельных
LE, Ш*.
Если предположим BE е НК параллельными, то надобно
различать три случая: АВ = ВС, АВ <, ВС, Aff > ВС. В первом из'них
угол HLB= MMG\ следовательно, MG, так же как LE, параллельна
с ЯК.
|' В случаи АВ < ВС пернеыдикул ЯК (чер. ill) внутри
треугольника ABC пересекает бок ВС где-нибудь в N. Ведем от --І к этой
точке линию AN, которой продолжение NB' за N делаем равно NB,
составляя, таким образом, равнобедренный треугольник BNB", где
через середину Н' основания ВВ' пройдет перпендикулярно UN.
■ ■ s Дальнейшее доказательство приведено значительно прощо и сочинении
Лобачевского -Геометрические исследовании», ем. томIнаст, ивдания, стр. 104—100.
ГЛ. VIL ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛПНИИ
2Ы7
ТѴпорь в /, ABB' диа.пе^пендику.ѵа DE, Н'К выходят из гродпш*
бок™ АЛ, Я/>" шіралл«лыіо друг к другу, следовательно, тшш,
параллельно к перпендикулу PQ ,іа ,фРдШш третьего бока А/Г;
А
3<
h\
-у-
\
\\
Е
і V
< 1
с
Q G
Черт. ш.
а как угол PNK=FNK, то J-G должна быть параллельна
с ж
В случае АВ>ВС (чер. 112) перпвцдаіьул ІЖ, в иередине в АС,
пересекает АВ в точке JV, потом на половине в Н' перпендикулярно
линию ВВ1, которую находим, проведя VNB' черед Лт ж сделав
Черт. 112.
NB' = NB. Когда теперь ставим BE, PQ перпендикулярно к АВ,
В'С в середине к В, F, то получим угол IWK = DNK, а
следовательно, три линии BE, NK, PQ должны быть все три параллельны.
Так в Д В'ВО два пернендин.уэг& В К, PQ выходят из середины
бокон ВВ\ В'С; третий перпендикул FG к боку ВС в середине F
2ЧЧ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
будет также параллелен к КІГ, как. сісоро ВЬ" < ВС. В противной
случае, положив ЛВ = а, ЖР'—й, находим
| ВВ' = -2ВН'
<2h'K
<2DB — 2iYD
<я—2ЛтР
<я—2і.
Пусть jPQ пертеокает .46' и точка Д, перпеыдикул изР к К'К
падает в точки 8\ будот NF>PS, >ЯЙ (от. 109). Продолжая
переходить вс:е к новому треугольнику, так же как от д ЛВС перешли
к д В'ВС, вместе с этил будем заменять бок ВВ' линией менее
нежели в —-2с—2д <« — 4е, потом линией < « — бс и, наконец, с этим
уменьшением дойдем до линия < J?C, следовательно, придем в тому
■случаю, для которого докапано было, что непараллельная сШіГр44].
ГЛАВА ѴШ
ЛИНИЯ, ПОВЕРХНОСТЬ И ТРЕУГОЛЬНИКИ ПРЕДЕЛЬНЫЕ
і 112. О предположением: пергшеншлх углов параллельности м'ояеем
представлять себе кривую, которую назовем предельная, где всякие
две параллельные в одной
данной бывают накэтонеиы
под одыіш углом к хорде.
Из конца А линии AS
(пор. 113) ведем во | всех
направлениях линии АО
под острым углом GAB
і; данной АБ. Переменный
угол С АЛ можем принимать
он, П(а) с принадлежали
к нему лггшгеіг а от я = 0
до а = со (ст. 102). Делая
теперь АС — 2а, получим
точки С на предельной.
В ней, следовательно, вбе
линяй СО, параллельные
а АВ, наклонены ж АС
«нова под углом П(я), под иа-
ким проведена была АС
к АВ. Перпендйвул 3$ІЛ
в середине к хорде АС
будет также паралле,тген с CD*; следовательно, перпенднкул tfff
к'о всякой другой хорде СС в середине <? должея также быть
Черт. 113.
45 Так как АЕ = а, а / JUAB = Е (а},
а,ик. г.шів. В., И. ЛобіічбвЫшй, т. II.
И*
290 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
ипраллелеп <■ AIJ [к о. CD] (гг. Ш)*. Эту последнюю, которая ни
{щ.ілпчиі'ті.-я, таким образом, г; АВ и со всеми Г'/), назовем ось
предельной кривой [*■''].
Мерное і:войі.тііо, которое ен.мо собой и предельной теперь
представляется, будет то, что дуги с.пшакгп-я с кривой, куда бы на
jiot' іш пі'реііопилпі'ь, как скоро го ;і;е бывает и огнями, даже в том
■■лучае, когда плоскость оборачивается другою стороной. Это своіг-
і"гво дуг на предельной указывает па самый способ намерения,
когда сравниваем их одгіѵ и другой, подобно тому, как находил
і'оді'ржаыш' прямых лнг-ші'г к линейных угл<т[ае].
. Другое свойство предельной заметил еще то, что перпендикул
но «ереднны к хорде всегда параллелен с осью *. Отсюда следует,
что круг, встречаясь і: предельной, мояіет быть ігли касательным,
или пер осекать гге более, как и двух точках. Первый случай будет
тот, когда круг проходит чореа конец той1оси, где лежит его центр.
Пересечение предельной с кругом в двух точках необходимо, когда
первую, которой хорды растут бесконечно, ведем внуіри плоскости
круга. Наконец, пересечение .предельной с кругом: в трех точках
невозможно, потому что хорды
первой составляют такие
треугольники, около которых нельзя
начертить круга (ст. 111).
113. В предгіолооіеетш, прямых
углов параллельности круг с
возрастанием поперечники переходит
е прямую линию. .
Пусть АВ— прямая (чер. 114),
к. которой АО, 3£> —яергшнды-
к.у.ііы. Как бы мала линия ВВ ни была, всегда можем найти круг,
который, проходя чрез одни конец А данной л шит. А В, находится
на расстоянии BJ1 от другого В. Стоит только прямую AD разде-
F
. . ,р Таю ініі; перпендикуляр ко всякой іирде СС, Басотан.ченныІІ в ее середине,
парал.іеййі ііряишг 'CD, провиденным в еа концах параллельно All, то аі'а хорда
оОраііует^и прпмьшн ОЦ одинаковые углы, Вследствие этого, построение
предельной' лншііі можно производить, исходя на любой точки О и любой прямой ОН,
откуда и следует ее равноправие с прямой Аѣ.
* А также и <ам совпадает с осью,' ■-•' '
ГЛ. VIII. ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТЬ ИТТЕѴПіЛІ.НИІШ ПРЕДЕЛЬНЫЕ 291
лить и Е пополам ]і ."ід<!<-і, поставить к шчі ннрпендпкул FG,
іготорыті уже пересечет АС в центре такого круга.
Если, продолжив AC за точку С, берем" ;)дві;і, где-нибудь центр Ъ\
то круг, ошіеашшй полупопорстоиком AF, пересечет BD а точке G
іі между | крайних В, D. Отсюда видно, что с возрастанием
поперечника АО друг AT) приближается к его кйсатеіытіі АН до того,
что расстояния иіикду ними наконец іи-че;шот.
114. I! пред положении переменным і/ілім naj>tu.іплиноспиі, крцг-
с возрастанием поперечника пергходит е предельную криицю.
Пусть ABC- (чер. 115) — предельна», АТУ, CIS—оси, которые
с хордой АС составляют равные угли а (ст. 112) и которых
расстояния на стороне
параллельности, как аи гпіасм
(ст. WW), уменьшаются,
делаясь, наконец, леиес
всякой данной линия. Можем,
следовательно, чертить круг
около точки F па оси Аі)
с такшг большим,
полупоперечником AF, чтобы
пересечь не только хорду АС-
■в точках А, (т, по даже
другую ось СЕ где-нибудь
в Н. Тогда два полупотге-
речника AF, ffF с
хордой ,d(?'круга будут делать
углы а; два полупопер ечиика GF, UF будут наклонены в хорда
между ними GH под каким-нибудь углом % а последний іголупб-
перечник HF к оси СЕ — под утлом ? внутри круга. Б Д ОѲП
произойдут углы (7с7Л"=тс— ша — р, Cff<7'=«-—f)~-[, где а—постоянней,
р и f переменяются с движением точки F, которую всегда можно
бэяіъ так, далеко, чтоб угол ч выходил менее всякого данного*,
7 даже в том случае, | когда бы точка Ж сохраняла свое место, того
менее, следовательно, когда с возрастанием поиупопепг.чцика р круге
* 'Гак кик НЬ'ЦМ?, то веяний луч, исходящий ііз точка Я ішже а.Е тт
образующий а ffE достаточно калий угол, переведет -АВ.
19*
292 НОВЫЕ ІІЛЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
она приближается :; концу С"' оси. И'так, пусть а > •(, после чего
^ — j)— «<;^-— jS ~— у, лшіші CH<.CG; но последняя может быть
сделана как угодно налой, потому что нерпендккул и.ч середины I'
к Aff пересечением с J.7) iiaauaiat'T всегда центр круга для всякой
хорды AfJK^AC.
Предельную кривую, так же как и пряную линию («т, 113), можно,
следовательно, принимать ля, круг с бесконечным ыолупоперечником,
смотри но тому, которое из двух предположении об углах
параллельности лахотим допускать.
Из. ХарЬы <1иух ду/, на предельной- и на ѵсшашльшм к ней круге,
тем менее разнятся, чй.н поперечник круга более,, так что с
возрастанием птщмчнипа разность^ наконец, исчезает.
Пусть АВО (чир. 116) — предельная, ABE—к ней касательный
круг, оси Oft, /?D, начинаясь ив двух точек В, С на предельной,
пересекают круг в D, Е, вы-
/ резывая дуги ВО предельной и
„/ ^--" DE круга, который отвечают
/\У"^ хорды ВС=>а., DE== р, соеди-
/ /гЕ~\^ пенные частями двух осей
Sf~£ "\ СЕ=*Ъ ВВ = Ъ. В четыреуголь-
ныве BDEC (ст. 55).
^1 Отсюда следует, что разность
а — 8 по величине менее суммы
тіерт. in;. г ■>
T+S, где как ?, так S с
возрастанием полупоиеречйива может бшъ сделана менее веяной
данной линии (ст. 114).
В этом предложения можем предельную разуметь как прямой,
так и кривой линией.
116. Содержание двух дуг па предельной тем менее 'разнится е.
содержанием двух дуг на ■касоутельмом «ргр.е .между двух оеей, чем попереи.-
•нт более, с возрастанием которого ровность, нештец, иечезает.
Содержание двух дуг на предельной, так же тжак и на круге,
■будет найдено, когда разделяем их обе на равные части (от. 112).
ГЛ. VJJ1. ЛИНИЯ. ПОВЕРХНОСТЬ И ТГЕУГОЛЫ-Шк'Ы ПРПДЕЛЬНЫІ': 24)3
Пусть таким частям, отвечает на, предельной хорда ВО = а (чер. 116),
которую переносим ни. касательный круг А[)Е, положив оѵточки D,
где проходит ш:ь от конца />' хорды ВС, тогда как от другого
конца С и точке Е ось отрезывает дугу ч хордой ВЕ=*$ на
касательном 1,'pJTtt.
г' | Нусті. теперь в этом положении две хорды будут АВ — а(ч.ер. 117),
-■16'= |3> точка Т) -— дентр касательного круга, откуда іде-рпеиди-
кулы BE, DF падают в
середины Е, F двух линий АВ,
АС, составлял прямоугольное
треугидьншш ABB, AFB, где
угол ЕАВ более FAD или мо-
нее, или равен, смотря по тому,
а<р, = [3, > р. Мы
предположим, что а с 3 неравны,
притом <*< fi, так как тот или
другой случай не делает разности
в доказательстве. Перітепди-
кул DE должен, следовательно, пересекать AF где-нибудь в &,
так что AG> АЕ, после чего 2FG<2AF—2 АЕ<$ — к. Отсюда
заключаем, что расстояние FG .может быть сделано как угодно
малым с увеличением подужіперечника AD (ст. 115). Далее,
сравнивая прямоугольные треугольники AEG, DFG и положив GF на, GEr
Ш> на СМ., легко видим, что паи скоро GD>AG, то GF> QE.
Между тем, AG-[- GD > АВ, тогда, как A G может разниться с АЕ менее,
нежели всякая данная линия; следовательно, с увеличением АВ
достигаем, наконец, л того, что AG сделается менее ѲВ, а вместе
о тем -Е67< GF. Итак, о нозрастанием полупоперѳчника АВ пер-
пеидикул Е& л е. ним угол EAG исчезают. Теперь, сделав АМ= АВ>
получим треугольник ВВС, где, как видели (ст. 115), с
возрастанием полупопѳречника АВ бок ЛСуменьшается 6есиредельно;другой
іо бок BE тоже с иочеаанием | угла ВАН; третий ВС<_ВН~{-НС,
наконец, может составлять менее, нежели — част], хорды АС, как
ill
бы целое число іи ни было велико. В таком случае содержание,
хордам ВС, АС'* соответственных углов при центре круга, будет
У ЛЬЗ&здвдкого стоит «хцр/ідас AG, ВС» —ато'и пори да» неверен: —гтт <1 — -
"20-1 KOBUi: НАЧАЛА ПЗОМЕТРШ1 ■ ■
- 1
еще менее разниться , нежели дроиь —; следовательно, полагая
т
хорду а на касательном круге, должны получить то же
содержание двух дуг, какое ііыло найдено для дух1 на предельной между
тех же оиен['*'].
.U7. Со'гкржанш: rteijx <и/г л-, ,*' на придельных кривых между двумя
■нарал.і(Шітіы,ин, которые служат им осями, зависит от пх
расстояния х так, чти
*=.*'в", (6)
где постоянное с>1, когда *•' отступает от & по направлению
параллелі.ноетп.
Пусть АВ, OD (чер. 118J — две параллельные, которые служат
осями дугам .&F= к, Е'Ъ~" = н' между ними на предельных тарнвык,
так что s' в отношении
и s лежит па стороне па?
раллелы-іоити (ст. 100).
Полагаем расстояние
-В FF'=EE' = x{w. 112),
которое пусть
подразделяется на равные
липни аЬ, взятые за
единицу, в числе ж. За-
іі метим, что содержание е той дуги, которая выходит из точки | а
на оси, к дуге, которая выходит из другой точки Ь, должно бить
.постоянное, на какой бы параллельной ей, а'Ь' с аЬ две дуги пи
кончились. Действительно, когда содержание е выражаем дробью —
с целыми числами іь, т; далее, содержание двух дуг ас, а'с па
одной предельной дочитаем за содержание делых чисел р, q, то,
разделив ас на пр, еа' на щ равных частей, потом от точек
деления ведя параллельные с аЬ, получим пя, соответственных дугах bd,
iffl равных частей пр, щ; откуда заключаем, что содержание дуги ао,
к а'с тоже - , Ееак и дуг М к Ь'сі. Доказав это, когда представляем
теперь все расстояние FF" разделенным на х равных частей, йотом
от всякой точки деления воображаем дуги предельных между двух:
осей АВ, CD, то переходя но порядку от первой s ко второй,
й' Сиоио «ряэтеитьшг» излишне.
ГЛ. ѴШ. ЛИНИЯ, ПОВЕРХНОСТЬ II ТРЕУГОЛЬНИКИ иРКДЕ.-|ЬНГ.,10; 21-J5
к третьей и таи далее, получтш />-1,ѵ, е-5»',,. . , іюг;уда на patcmn-
ыии FF' = x придем к дуге в' = *е~х.
Здесь чіііѵіо г надобно почитать более едишщід, с тси чтобы
следующая дуга а-' на стороне параллельности в отношении к *
выходила менее, нежели s. Так пусть направление параллельности
двух линий АВ, CD будет от концов А, С и Л, D: ведем" где-пиоудь
от АВ к 0D две дуги предельных на', М', разделенные пополам
is в точках ! с, d, чрез которые, следовательно, должна пройти ■еѴ,
новая параллельная с яй, ііа половинах е', if' перпендикулярно
к, хордам двух дуг. Здесь перпендгшул ас' > fid', далее самые
хорды ая'>М', как скоро W на стороне параллельности в
отношении к аа' (ст. 109). Между тем, происхождение предельной
требует, чтобы с возрастанием хорды увеличивалась и самая дуга
(ст. 112), следовательно, дуга аа' > ЬЬ',
Выбор единицы для прямых линий совершенно произволен,
а потому можно почитать « также каким угодно числом, лкпт'ь
бы е>1, каково, например, основание непперовых логарифмов."
Если два предположения в отношении к углам параллельности
должны заключаться в общих выражениях, го надобно число е
оставлять неопределенным, с тем чтоб е > 1 относилось к одному,
е = 1 —к другому предположению. Так, уравнение (6) для прямых
углов параллельности, следовательно, для е = 1, дает s = s', или
равенство периендикулов между двумя параллельными.
Число е в том и другом предположении дозволяется также
почитать определенным, нрншшая, например, его за основание неп-
неровьіх логарифмов, по тогда все линии в Употребительной
із Геометрии | делаются бесконечно малыми, так что во всех
уравнениях они войдут только в их содержании друг к другу. Например,
уравнение (6) для ж=0 дает снова а = я', равенство перпендикулов
между параллельными^8].
118. Предельная поверхность дает предельную лігашо' в
пересечении: е плоскостями, проведенными через одну прямую, которую
назовем оеь, а самые плоскости—поперечными3,
я- Это— определение првделыгоіі поверхности. Здесь, "в несколько нелсвШ
фпрме, предельная поверхность определяете* ісак поаерхЕОЕгь вращшия
предельное линии вокруг ее оси. Об нтом Лобачевеьчгй: дальше говорит яснее. .
306 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОЛІЕТРИИ
Оті'іода і'ледут, '1-го предельная поверхность должна быть тою
границей, к котороіі приближается сфера с возрастанием попереч-
іішііі, тогда как большие круги на сфере переходят в
предельную линию.
Я] іе дельную но вер хность можно, следовательно, представлять
себе кап поверхность от обращения придельной линии ніі. сноеіі осп.
В предположении прямых углов
параллельности предельная
поверхность будит плоскость; в другом
предположении надобно принимать
ее за кривую поверхность.
119. ІІлосѵоеть пересекает
предельную поверхность лѵбо в
предельной линии, либо в круге, смотря по
тому, проходит или кет через па-
и.ыелтую с осью.
Пусть А, В, С (черт. 119) -
три точки на предельной
поверхности. Из А выходит ось АА';
другие две В, С нѳ лежат с А
в одной предельной линии.
Воображаем от них ВВ', ОС,
параллельные с АА' в одну сторону
плоскости треугольника ARC;
следовательно, нес три линии АА', ВВ', С'С параллельными между
собой, а каждые две—в одной плоскости {ат. 99). Разделив АО
попонам, ведем на середины В параллельную ВВ' с АА', потом
в плоскости треугольника ABC к АО перлендигеул QJ), которого
величину берем такую, чтобы в конце Q перпендикул QQ' к
плоскости треугольника ABC был параллелен с ВВ' (ст. 102) и,
следовательно, также и АА', ВВ1, СС (ст. 99). Через QQ' с каждой из
трех параллельных АА', ВВ', ОС представляем себе плоскости,
который должны разрезывать плоскость треугольника ABG
перпендикулярно (ст. 59) в линиях AQ, 3Q, CQ. Сферы вокруг точек
А, Вв пересечении « плоскостью треугольника AQB и с плоскостями
линий АА', BB't QQ' производят одинаковые сферические треуголь-
ГЛ, ѴШ. ЛИНИЯ, ПОВЕРХНОСТЬ и ТРЕУГОЛЬНИКИ ПРИДЕЛЬНЫЕ 297
ни к к b'aq', ba'q, потому что кроме прямых углов еще бока b'a = ba'
(гг. 112), угол Ъ'щ'' = a'bqi притом бока a'q<l~-, й'ч" < і-я (ет. 88),
после чего бок а'ц^Ь'і)', потом AQ = BQ. Также бы доказали, что
AQ=VQ, откуда заключаем, что-против равных боков BQ, CQ
угол QB(J=QCB. Теперь из Q перпендггкул QE к ВО должен
падать в середину Е- плоскость Q'QE должна ш)рѳ|еекалъ
плоскость параллельных Ь'В', ОС в лишни ЕЕ' *, перпендикулярной
к ВО (сг. 59); следовательно, угол В'ВС=0'СВ (ст. 102). Если б
угол D'DQ. вышел прямой, тогда бы точка Q соединялась с D па
половине бока АО. Еслп ж угол D'DQ > -=>іг, то вместо Л(3 надобно
пзять линию />(?, ирияадлежную к углу л — D'DQ на другой
стороне бока .АС вне треугольника ABC (ст. 102). Во всех этих случаях
доказательство но переменяется в сущности своеіі и ведет к тому
иаіишчеыию, что плоскость, параллельная с осью АА', пересекает
предельную поверхность в точках В, С, которые принадлежат
к одной предельной линии. Итак, нее равно, из каких бы точек
Д С на предельной поверхности ни выходили параллельные с А А':
они все бывают осями, а плоскости, чнрез них проведенные, —
поперечными.
С предельной поверхностшо сливается, таким образом, всякая
часть ее, куда бы ни переносилась тремя точками.
Если теперь плоскость проходит череа какие-нибудь три точки
А, В, С, взятые на предельной поверхности, не принадлежа к
поперечным, то параллельная с АА' через всякую четвертую толку F,
общую поверхности с плоскостию, будет также параллельна с пер-
ненднгсулом QQ', а, следовательно, | расстояние FQ, точки F до
начала Q перпендикула на плоскости, снова то же, что
расстояния AQ, BQ, OQ. Итак, пересечение непоперечной плоскости
с предельной поверхностию дает яруг, которого центр в Q [я8].
120. Предельная линия на предельной поверхности
представляет нам нее те свойства, какие принадлежат прямым на
плоскости" в предположении постоянных углов параллельности,
следовательно— те самые свойства, которые в Употребительной
Геометрии приняты. Различие, заключается только в том, что на,
плоскости положение двух прямых определяется линейным углом,
9 Линия Ш1 параллельна ВВ' іг ОС, согласно сг. 97.
298
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
& ни предельной поверхности наклонение предел ыіой линии к
другой намеряется плоскостдьш углом двух поперечных плоскостей,
где .іедаат оіімые дуги.
Вот почему все дазвнішя, которые к положению взаимноыу
прямых линий относятся, могут быть удержаны для предельных
лііиші, проведенных но кривой предельной поверхности. Лерпен-
Ьипцл будет также называться та предельная линия, которая;
встречает другую, делая в обе стороны прямой угол. Параллельные
линии будут тс, которые, сколько бы ни продолжались, никогда
и о истречаются. Их пересекает третья предельная под одним углом,
к так же как и, наоборот, две предельные, которые пересекаются
третьей под одним углом, должны быть параллельны ■ (ст. 101), шш,
есі; то же, когда, сумма внутренних углов дает тг J'00].
121, Из предельных линий на предельной поверхности сосгаг
вляштся такие треугольники, где сумма трех углов к (ст.. 100) и
которые назовем предельные треугольники.
Обратим еще внимание на то, что все свойства прямо линейных
треугольников, с предположением в них суммы трех углов іг,
выводили до сих пор, основываясь единственно на том, что бока
равных углов сливаются при наложении друг на друга
треугольников тою, либо другой стороной, Б предельных треугольниках
тоже бока в одном следуют направлению Соков в другом, как
(ікоро предполагаем равенство плоскостных углов, Что же
касается до взгляда на треугольник с противоположной стороны,
то здесь а то заменяется составлением оборотного треугольника, под
которым, так же как на сфере (ст. 14), будем разуметь такой, где
б07;а следуют в другом направлении.
Оборотный прямолинейный треугольник получим, перекладывая
плоскость его на противоположную сторону. Оборотный
сферический треугольник, то же, что вершинный телесный угол, проис-
іа ходит от продолжения плоскостей за центр сферы [в1], Наконец,
всякий треугольник прямолинейный, сферический и предельный —
переходят б оборотный, когда, разделив равными перпендикулами
к .бокам из одной точки, соединяем три части в новом порядке.
Б /\АВС (чер. 120) разделим два угла А, В пополам, ведя
линии AD, BD к их общей точке і>, из которой опускаем пер-
ГЛ. ѴШ. ЛИНИЯ, ПОВЕРХНОСТЬ И ТРЕУГОЛЬНИКИ ПРЕДЕЛЬНЫЕ 2!1П
нендикулы BE, DF, DO к инкаи АВ, ВО, АО. Произойдут
треугольники ADE&ACW, DEB1ZBDF (сг. 87), следовательно ВЕ=~
— J5F = .D(?, хитн пы треугольники были сферические, нотомѵ что
іі шгх углы вокруг /> по дна ни составляют я'а (ст. 88). Так но
всяком треугольник? можно стекать центр I) такого круга
с поиупоперечнпкои DE, который касается всех іішгов. Если теперь
означаем а две ранние липни АЕ, AG; потом h — рапные линии BE,
BF; наконец е—равный линии 00, OF, то соединение четыре-
уголыгаков AGDE, BEDF, 1<Ч)&0 в новом порядке дает нам:
треугольник А'В'С' оборотный с прежним ABC.
Итак, вег, что ни сказано было до сих пор о прямолинейных
треугольниках, в предположении иуммы трех углов -к,
распространяется теперь без ограничения на продслі.иыр треугольники,
ю [ Случаи, в которых предельные треугольники одинаковы, будут
те, когда в них равны:
1) Три бока (ст. 82).
, 2) JIfia йиад с угло.и между ними (ст. 81).
3) Два оока с углом против большего (ст. 84).
4) Eon и два при пел угла (ст. 81).
5) Бок, при тм один угол и другой против пего (ет. S7).
Параллельные линии между ооками в угле содержатся wear отрезки
ооков (ст. 104).
В прямоугольном предельном треугольнике квадрат гипотенузы,
рааеп сумме квадратов от катетов (ст. 105).
і -
* Имеются в вид}' централшде углы, еоответотоугонрЕе дугаіі больших
кругов DH, DQ, bF.
300
Н.0ВТ.ГО НАЧЛЛЛ ГЕОЫКТРИИ
Вперед нет более нужды различать предел ы-шй треугольник
іилі всякий предельный многоугольник с треугольников или много-
уі-олъником прямолинейным, как скоро в прямолинейном тре-
■ія угольнике допускаем сумму трех углов тг; разво
встретится]надобность обратить инимание на то, будут ли бока прямые или
кривые. Так, п следующей статье, как и во шей главе поток о трито-
ітмнтрических функциях, будем говорить о прямолинейных
треугольниках Употребительной Геометрии, хотя в строгостг[ должно
разуметь собственно треугольники Во обр а-каем ой Геометрии на
предельной поверхности, если не хотим допускать никаких про-
и;чнплг.нык предположений [аі].
122. Подобными треугольниками называют те, которых углы равны,
также содержание противоположных им боков одинаковое. Б таком
случае говорят, что бока пропорциональны. Между подобньпги
треугольниками будем, ставить знада с, выражаясь к тону с таким
же сокращением, как и в одинаковости треугольников {ст. 8]).
Треугольники бывают подобны, когда в них равны;
1) Два угла.
2) Содержание двух боте -и между ними угол.
S) Содержание двух боков е углом против большего,
4) Содержание, трех боков равное.
м | Означаем в одном треугольнике Р: бока я, й, с, против них
углы А, В, О] в другом. Q: бока «', Ь', с\ угля против них А', В\ С.
Пусть А = А', В — В"', следовательно С'= С. Треугольник Р
кладем: на второй ф углом А на iL' и так, чтобы бок Ь шел по Ь',
следовательно с по с'. Две линии а, а' покроют одна другую
в случае b = b' или с = с', потому что самые треугольники будут
одинаковы (ст, 81). Если же Ъ с У, с с. о' неравны, то линии а, а'
сделаются параядежьныіш (от/ 101), после чего содержание боков
в одном треугольнике должно быть то же, что в другом (ст. 104),
а самые треугольники подобны.
Пусть
а _ Ъ г—С
Составляем еще треугольник Я, взяв бок а с углами при нем
В", G', как это всегда можно, потому что В'-\- СО (ет. 101). После
ГЛ. ѴШ. ЛИНИЯ, [ІОВЕРХНОСТЬ И ТРЕУГОЛЬНИКИ ПРЕДЕЛЬНЫЕ 30L
тоги, что было пейчас доказано, треугольники Qv-S;
следовательно, боіс против В' ті В будет Ь, угол в Q меигду а, Ь должен
быть C=sC; треугольники P~wR ("ст. І21), наконец I'aiQ,
w \ Пут,
п b
Составляем треугольник Л, взяв бока а, £, угол между ним С".
Тогда .Велф, кап было выше доказано; следовательно, и R.
против а. должен быть угол А'' = А, после чего.Рёлі? (ст. 84, 121),
Пусть
а b с
-$— у~~ ■
Составляем треугольник Д, где бока «, />, между них угон О'.
В таком случае Вот Q; следовательно, третий бок в М против
угла С должен быть с; поело чего RwP(cr. 82, 121J, P™Q.
Вообще, многоугольники называются подобные, когда и них все
бока пропорциональны, вес углы равны, притом бока следуют
в тол же порядке, в каком равные углы,
as Из подобных треугольников составляются по[добныѳ
многоугольники. Например, когда к одной точке ведем от острпев линяй,
потом между ними, примыкая друг к другу, параллельные с
боками многоугольника, то получим новый многоугольник, подобный
данному.
1Y1AIJA IX
П'ПГОНОМКТРПЧКОКІІЕ ФУНКЦШС
і Ѵ2'-і. Г> іцііі.иоугплыюн треугольнике начышем '.' гипотенузу, я,
I) — катеты, .1, Л' — іпютіт них углы. Содержания , —, кате-
г« і: гнлопчіук', ііянііі'Яч* от угла .L пли, тк-« то же, от угла
/>'=-■= ;,- - — Л (і-т. 100, 1U4, 121), так что ■"'■, — постоянвы,
л'і[«о меняются имеете ■■ углами -1, .Л'. Эту ;іпііігі:іглкіСтг. еодеряні-
ішіг — і. углом А называют сииус, и пишут
ч
— = sm.L (7)
Чтобы расщкл.-'фапшъ шмваппе ілшус на ш-с вообще утлы,
каким ии чігелом они ни ішрал;ал]и:ь, хотя о отрицательным, в
доіголіірнші іс уравнению (7) щшпимасм
міи о = о, |
.1 , .14)
- )
sin Л = sin (я — А), (0)
sin {іі,т:-\-Л) = {- l)*sinA, (10)
sin(—-0 = —sin Л. (11)
[ Уравнении (S) пополняйгг значения мтус-оп в четверти круга.
Уравнение (D) дает значение синуса для всякого угла х — А тупого
до утла ъ; уравнение (L0), с и целым положительным числом, служит
для синусов от всех углов ия-j- А>я; с пособием уравнения (11)
находим синус от всех отрицательных углов —Л.
Кстати лдесчі сказать оП онредііленнях в Геометрии, которые
требуется распространять от частных случаев па все прочие. Хотя
иичто не мешает такое расширение в понятии допускать
совершенно произвольным, однако ис с тою целью, чтобы значение всякой
ГЛ. IX. ТРШ'ОНОМПТРИЧЁСКИИ ФУНКЦИИ 3U3
геометрической иеліппшм могло быть обнимаемо в общих
аналитических поражениях, надобно всегда соблюдать постепенность и
соглагпин переход от одного случая к другому. Так, уравнения (8)
приняты потому, что в уравнении (7) угол А с линией a,
уменьшаясь, могут бить даже сделаны; как угодно налышг, тогда как
угол А имейте с линией а возрастая, приближаются, А к -гк, а в с;.
Уравнеши ■ (10) дает синусы и промежутке значений от ліг до
(к-|- 1}к для угла (і полым числом -п. Ко г1 да теперь полагаем А — т;,
то получим
■ аіп (».-)-1)*~(—i)wsm« = 0,
Если м ставим it-J-І вместо «., тогда как .1 = 0, то сиава
находим
а* | 8Іп (Jl-f- 1)« = (— 1)»+1нтт: = 0.
Наконец уравнение (11) для -4 = 0 делается віл(—0) = — sin0, но
sin(—0) = am0; следовательно, на той и другой стороне выходят
нули. Если вместо положительного -і ставил —А, то уравнение (11)
принимает вид
sin А= — si» (— А),
согласный с прежним. Итак, уравнение (11) справедливо ддя всех
значений А, как положительных, так отрицательных ті для J. = 0.
Синус от -^ т. ■— А для всякого, угла А называют -косинус, и
шігаут
(*os А = sin ( — л — А ) і 12)
Содержание минуса тс косинусу нааьшают ліакгейе, а содержание
косинуса к синусу — котангенс. Так пишут для веякого утла' А
. sin А ' /1Ч,
tang Л = -■—-г, <А-і)
(!Ot.i = -: г. (1*)
sin .А ..,..<■_
да ] Последней уравшнШ можно представить, в^ другом виде
cot -4 =з tang I — it — A) .
304 НОВЫЕ ЕІЛЛІАЛЛ. ГШ1ГКТРИІІ
Уравнения (12], (13), (14) и соединении >■ уравнениями (8) дают
tang- ■-и= і,
«osO= 1,
tang О —0,
tang-т 5г= со,
r:oti-K=l,
1
COS -— Я = U,
cot U = ос
COt~T.=().
■л
Итак, значения синусов и косинусои заключаются в границах
-j-1, —1; значения тангенсов и котаигеиоов между—оо, -{-оо.
Синус, косинус, тангона и котангенс называются тршономр.піри-
чеекые функции.
І '2-1. КатЛ угол А ни оуйет, всс.-ди
sin (и -f- А) = — siii-'l. (15)
Для J. = () на одной стороне в уравнении полу|чим 8Ііія = и
[ур. (Э)], на другой также sinU = 0 [ур. (8}j.
Всякий положительный угол А= inz-\-v., где п может быть
нуль или целое положительное число, тогда как я либо нуль,
либо положительный угол <я. После чего [ур. (10)]
sin (я -\- А) = sin {(и-j-i) «-]-«}=»(— l)»i'sma.
На другой стороне в уравнешш (15)
— sin А== — sin (пи-|-а) == (— l)'tiJ эта.
Отрицательный угол А. можем подобным образом полагать —ян —а,
с л = 0, или целым положительным числом с д = 0, или
положительным углом <к. Различаем к тому три случая: л==5 0, «. = 1,
п>1.
Длял=.0 [ур. (9)]*
sin (іг -j- ,4) = si а (ж — а) = аіп а.
и | Далее [ур. (11)]
— аіп А = — sin (— ос) = аіп «.
Для »=1 (ур. (11)]
аіп (it -j- -і) — эіп (— к) = — sin a,
— sin 4 = — 8Іп(—в —в) = sin (я-[-«) = —аіп а.
* Ссылки на уравнения в іеьцдритяых скобках принадлежит ЛойиоведаЛгу.
ГЛ. IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 305
Для я>1 [ур. (11), (HI)]
зіп(*-|-Л.) = зііі J — (л — 1) - — aj = — sin [(л — l)~-f-a] =- — 11" sin a,
—-du_4 ——sin {—и- — а] =зіп fii--j-aj = (—l)"sius.
В уравнении (15) ставя —А вместо .'1. дія всякого угла J
получим [ур. (11)]
so | siii(it —Д) = .чшЛ. (16)
Полагая здесь но порядку Л = «, 2и, Зк и т. д., заключаем вообще
для целых, как положительных, так отрицательных чисел п
[УР- (ИЛ
sin пт.=0. (17)
Если же ч уравнении (16) вместо А ставим тт-f-J, 2«-j-.4,
Зя-f-J. ..., то находим, что уравнение (10) справедливо для всех
целых п и для всех произвольных углов А, именно
sin (»№ 4- Л) = (— О" am Л- (18)
125. Жакой у/ол А им Sydem, всегда
eos(—1) = созХ (19)
Согласно е определением (ст. 123),
cos(—A) — sin (^--+j0 -
Далее [ур. (16)]
sin (^- r-Ll] =sin \-у-г. — л\ =(.:оа^.
зі | После чего уравнения (11), (19) дают (сг. 123) для всех углов А
tang (— Л) = — taug Л, (20)
«оЦ— Л) = — cotl. (21)
126. Для всех углов А и для всех)п целых, кнк положительных,
так отрицательных ■чисел,
cos(пт. 4- А) = (— l)'lcos Л. (-2)
Согласно с определением (ст. 123)
еов(7иг-|-Л) = 8тІуіг — гетс — Aj .
3j«- ЕСЗВ. Н. И. Лойаіевсіиііі. і. II. 20
У'Н-І НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Да-тн» [уіі. (11)]
cos(mt-T~ Л) = — sin I и~ ^- "~Ь"-
потом [y]f. (18)]
сов (;і~-|-.| } = -—(— 1)"яіп ( — -0 --|-.-Н =
= (— 1)"sin (-.Ѵ"~ Л| = (— 1)»соМ-
|Соединение двух уравнений (18), (22) даст для всех углов А,
так же как и для в*',сх целых чисел п (ст. 123)
tang (п-х + .-1) — tang J, (23).
аоЬ(нг. + Л) — коіА. (24)
Из уравнений (18), (22), (23), (24) легко заключить, что значение
ту>игопож)щич№іОй функции не ѵереліеняетсн, 'когда -я углу придаем 2-х
или вычитаем из пего 2«.
127. Для всех углов А
sin А'1 -\- соя А- = 1'".' (25)
Уравнения (11), (19) дозволяют «ода ставить —А вместо А;
следовательно, доказывать предложение нужно только для .4=0,.
и для углов А положительных. Если Д = 0, то значения віп^і = 0'
[ур. (8)], еовхі = 1 (ст. 128) поверяют уравнение (25). Далее,
уравнения {19), (22) дозволяют в уравнение (25) вместо А ставить
А — птг <; целым числом п; следовательно, доказывать остается для
J.>0, <а; а когда поставим теперь *— А вместо Л > — «,
основываясь на уравнениях (10), (22), то довольно рассмотреть одни
значения от А>0 по|юуда і<т^, так как А==-^^ дает віаА = 1,
соэ_4 = 0 (ст. 128).
Называем в прямоугольном треугольнике а, Ъ — катеты, А, В—
против них утлы, с — гипотенузу. Получим (123)
а . .
— = ыіп А,
с
— = sin В = соа А.
в
* Иы сохранней математическую орфографию текста Лойялепсгсого; теперь,
ьмеето жхАі пишут sin? „4.
ГЛ. IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Отч-юяа іет. 121)
«и Л*-- сок Л" = тт = 1.
307
Например, для Л= — -к находим
4
.1 1 І }
sm — - = —_^- , соз — к = —=г-
4 ]/2 4 У2
Разделив уравнение (25) на sin .Л2 или саз А*, получим
l-\-tnnsA' =
і*ий Л"
1-1-cot Л- = -т
sin ,4"
« IИтак, значения всех тригонометрических функция будут известны,
КІІК СКОрО 3HfLUi£ ОДНОЙ И!) НИХ ДЛЯ уГЛОВ ОГ ЫулЯ ДО-т-я,
128. JJona в треугольнике содержатся ка« синусы щютившхолож-
них углов.
Называем а, і, г Сока, Лі -В, О против них углы е
треугольнике. Надобно доказыниті., что
a sin B = h sin Л. (2(5)
Если Л =.,-*) то sin Л = 1, содержание — представляет sinJEf
(ст. 128).
Если Л < -я- я, j5<ti-^, то перпендішул jj из острия с (чер. 131)
к боку с разделяет треугольник на два прямоугольных: н одном
С
гипотенуза Ь, угол Л против катета р; в другом гипотенуза а,
угол В против катета $, следовательно (ст. 328)
р = Ь sin Л, і' = я sin .#.
Если Л > -5- к, то пврпвндивуд р дадает вне треугольника на
ЗБ продолжение бока с за острие угла Л 1 ("чер. 122), производя енот
20*
нон
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
дня прямоугольных треугольника, из которых в одном гнпоте-
ну.ча с, і.-атет р с углом В против него; в другом гипотспупп. Ь,
катет р с углом т: — А против него; но как sin(- — А) = атА
[.УР- (Щ< то в этом случае .'значения перпендпкула р тоікі'
поверяют уравнение (28).
120. /(ля всех у?.иов Л, В
еІп (А -|~ В) = sin .1 cos В ~ «os A віп _#. (27)
Это верно для Л = 0, А = у-, А==«. В первом случае на той
п другой стороне получится sin В. Для А = г. на обеих сторонах
находим—віп .# [ур. (15)]. Для A = -jr. будет [ур. (16)]
Дален,
sinAcos.S-p-cos A sin Й = sin — - cos і>' = cos.fi.
ае Пусть теперь А, 5 — положительные углы, J.>U, ]4 + ѴЗ<,в-
Такие углы А, В, могут быть при бояе й в треугольнике (ст. 101},
где два другие бока против А, В называем а, Ь. Если А <-% ~,
то бои й перленднкулом р к нему из противоположного угла С
разделяется ни две части х а углу Д с—-а; к углу Л (чер. 121),
проивводя два прямоугольных треугольника, где (ст. 123)
е — :c = &cos jl,
х = а cos j9.
Если яг А > т,1^ (чср. 122), то перпендіікул jj падает на
продолжение бока с, так что произойдут два прямоугольных треугольника:
в одном катеты р, х\ в другому, в-\-х с углами я —.Л, £'против #;
следовательно [ур. (22), (19)]
ж = — йсоз.л.,
c-J-a; = « ооз В.
В обоих случаях находим, таким образом,
с= a cos 5-J-5 соя А. (28)
Основываясь на уравнении (26), можем ставить сюда sin G, sin A,
sin .В вместо й, а, Ъ. Так получим
и |. sin С == sin Л соэ ff -j- cqa А віп В, . . ■
гл. гх. тригонометрические Функции ао;»
Между тем, С' = т: —J —Б\ следовательно, sin (7= sin (л ~\-В)
[УР- {Ш
До сих пор уравнение (27) доказано для всех углов от А = (),
С = и до А = я, .8 = я, покуда А-[-У?<іѵ. Оно также справедливо
дли А-{-В=ъ, потому что в этом случае т.п.(А -4-5) = О, <;озБ =
= — ens А Іур. (22)], sin-B = sm J. [yp. (16)].
Полагаем вообще А= ііі:-\~а, В = тъ-\-ф, где и, іл могут быть
нулями, либо целыми положительными 'числами, углы к, ft могут
быть также нулями, либо положительными <іг. Находим [ур. (18)]
sin (! + .#) = {'— 1)" І-™ sin (a -j- ,3),
sin A = (—l)naine,
sin|3=(— l)"'siiip.
Далее [ур. (22)]
еоэ J. = (—l)ficosa,
cos B = {— l)1" cos p.
После чего уравнение (27) делается
J sin(a + fJ) = sma cos {)-]- сов а віп гі
и было доказано для «-f-f^it.. ..В случае «-|~3>7г, <2тс. можем
дать последнему уравнению такой вид:
sin (2тс — a — fl) = sin (тс—я) cos (тс — ft) -j- cos (тс — a) sin (т; — j3)
и почитать это верным, потому что здесь сумма углов тг—а, ъ — *)
менее тс.
Что касается до значений отрицательных А, В, то можем
сделать их положительными, прибавляя несколько раз 2к, от чего
значении самых функций не переменятся (ст. 126).
130. Из уравнения (27) следуют другие, когда ставим —В вместо В,
потом із этом новом и в прежнем j-k — А вместо А. Так получим
sin (А~В)=> sin A cos В — сой A sin. В, (29)
cos (А -\- В) = cos A cos В—sin A sin В, (30)
соэ (А — В) = cos A cot; _Ѳ -f- sin A sin I?. (91)
Уравнения, будучи разделены (27) па (30), (20) на (31), дают
/1 j_ m tang ^+tang Д ,
| tang (.1 -f-3) - "i^rta^J^ny^ ' (82)
tang (,1 -5j = -f+tang^angtf " (SS)
ЗІІІ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
1Я1. Когда в уравнении (27) полагаем А = В, то полуш:.;
sin 2.4 = 2 sin A cos Л. (НЦ
Тоже делан в уравнении (30) и принимая в помощь уравнение (25),
1 ~ ens 2.4 = 2 і-іві А", Ш)
1—cos 2.1^2 зіп ,1s. (ЗК)
Так начиная і: і = тя, постепенно находим
cos ^ = \У* + Ѵ» , sin £ = ^У2-у"2 ,
^.J=i|A + ]/"2"^"|"2 «"£ = ^(/"s-l/i+V^
и т. д. и т. д.,
іо [где все корни должно разуметь положительными, питому что
синус и косинус острых углов не ькнкет быть отрицательный
(ст. 123). Этот тогой" приводит к значению синусов и косинусов
от ьсех углов ~ с, п целым положительным числом. Потом
уравнения (27), (30) служат к определению синусов и косинусов от всех
углов, которые могут быть представлены суммой углов т. 2-".
Наконец, веяний угол вообще выражается произведением-? * на сумму
нескольких положительных степеней от —, ш крайней мере с
разно стаю как угодно малой. Означаем эту разность и, данный угол А,
сумму всех слагаемых, которых вид щ я, назовем В, так что А = В-\- ш.
Уравнения (27), (30) дают
вііі А = віп В соя о> -j- cos В sin ш,
cos A = cosJScoaie — sin .5 sin w,
а ішетавя сюда [ур. (34), (3(і)]
sin « = 2 sin— (осой — оі,
соа о> = 1 — 2 sin -=-«',
іі находим
am A—sin 5 = 2 sin-5-01 cos IB-4- — m j, (37)
cos A — соя В = — 2 sin — ш sin I i? -p — ui j. (38)
ГЛ. IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 311
Залетим к этому, чти в прямоугольном треугольнике
содержание катита к другому предстанляст таыгеыс угла протіш первого.
0 уменьшением ш можно, следовательно, tang -^ ш сделать как угодно
малым, а также зіп-7 w, потому что sin -,т<и< tang -^ ш; к тому
по величине соз (В-j- -^шJ< 1, ainfs-f--,, да J<l. Итак, в
уравнениях (37), (38), уменьшив w до того, чтобы разности sin А — smfi,
cos А — ѵо$В сделались ие чувствительными, в право принимать
значения siiiB, eosJS за віші, cosJ..
Таким образом, вычисленные значения sin л;, сова: для всякого
угла ж, будут те самые, какие дают бесконечные строки (Алгебра.
Глава XIV) •
sin ж = ж — .г*-|-я/;— ж^-г — (30)
і-.овх — 1 —а^-|-а;і — а'""Т ■ ■ ■ |4М)
и которые могут быть еще выражены
1 sin a; = т— , (41)
1 2К-1
С03Й==
asV — I —.сГ-[
2
Н2)
как скоро под е разумеем основание Непперовых логарифмов,
а под л число
r = 3,141592G53o...,
весьма близкое к дроби ~ (ст. 39).
132. Если соединяем уравнения (27) с (29), (30) с (31), положив
2А = и~\-Ь, 2/3 = а — Ь, то находим
sin а -\~ sin Ь = 2 sin -- (а + 6) cos — (а — й), (43)
зіпн — sinu=2cos-=-(M + 6)sin g- (<і —fc), (44)
cos a -\- cos & = 2 cos — (a -|- fc) coa — ((f — 6), (45)
2
1 1
iosa — coafi = —2 sin <r-(«4" &)sin — (« —h). (46)
* "Алгебра или вычисление коночных», ем. том IV наст, издания, стр. 231,
Следуя Варне ль су (J- М. Bartels—Vorlesungen iiber rmitkemiitisclia Analysis, I.
iffy
Dorpat, 13t3l, Лобачевский: пользуется о5озкачспиеи х™ = --
В12 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Ядрі.ь в уравнении (441, детая я = «и, Ь = [п — 1)ш, получим
1 / 1
4;\
S1I) Оію)— ЙІ11(« — 1)оі = 2 5ІП — (UI;OS )! iU —■ — о» j ,
а іюі-тавя сюда ire порядку пелые чш-ла, начиная г. >t=l до
какого-нибудь ji,
, . 1 1
Sill си = 2 Kill — ш COS — U),
зігі 2ш — sin m = 2 sin ~ iueos-^- ш,
■ 1 І.
2
■sin 8м — sin 2 ш = '2 sin -г- ui fjos ~ ш,
sin яш—sin(/i — 1) ш = 2иіп — шеоа (ft——I to.
Сложив уравнения, находим
sin на» i , 3 , , / 1
. _ =eos_o)-j- COS— ш-j- . . . -|-r.*0S I ft — | Ш.
2 sm-^- ui
Здесь члены в сумма но порядку, от начала до последнего,
уменьшаются, не делаясь однако at отрицательными, покуда ию <•=■]:,
Отсюда надобно заключить, что sin іш растет медленнее, яежеліг
угол ftui, как бы мало прибавление ш шг было, так что для п>т
двух целых чисел
еіп » ш it
em m оі ѵд
Вообще для двух углов а > Ъ
sin 6 і
Пря п<-^-.
ГЛАВА X
ЗАВИСИМОСТЬ УГЛА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
О ЕГО ІІЕРПЕНДИКУЛОИ
133. В этой глава будем разуметь угол параллельности лерт-
мсшшм.
В прлмолинейвм и прямоугольном треугольнике ABC (тер. 12а)
означаем с гипотенузу, а, й —катеты, II(а), II (,Ѵ) * — против них
углы, так что a, ft должны представлять какие-нибудь линии,
выраженные положительными числами (ст. 102). Продолжаем п, і: за
их общую точку В, делая
продолжение ВВ' первой произвольным,
й второй до точки D, так чтобы
BD—$ п, следовательно, перпсн-
дпкул DD' в точке 1) к ВВ был
параллелен о ВВ1. Ведем еще с BD'
параллельную АА', которая будет
вместе параллельна с ВВ' (ст. 99).
Получим угол В BD = П (£),
Л'АО = П(и-|-Э). .1'J.C—iL'.lD =
= П(а); следовательно:
П(і)-ІІ(«)-П(о + Э). (47); А*
В том же треугольнике ABG ,,„
кладем линию J3 от I? к J., потом
■л конце D ставим перпендыкул ВВ' на стороне самого треуголь-
■- В свозя период! ьочсшяиаіі »0 гаиалк геолетрин» (1830 г.) Лобачевский
употреблял вместо обозначении а, fs обозначения а', 6' (сы. 'tc.it I шьет, изд.,
стр. 199); теперь он иополт-яует а' и &' для другой цели: он обозначает через «'
отрезок, удиіь-іетворііющиі* уравнению
(ем. стр. 317—31Й>.
:!! і Іі. НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРШГ
I- нігка. В і?лула- '->|"і точка D будет между -1 и В (чар. \ 124).
Ведем .1.4' параллельную к BD', и л и до вал-г ль но, иио.ие к ЯС.
.Эдем, угол />.U' = IIfc — ?). £АЛ' = ГЦй): пог-ле. чего
ІІ^ — ІГСаІ^ГГСс —3). (48) /J
4>рт. 120.
следовательно, П(6) = ітѵ — Ща), но |-тс = П (0) = П (й — ?). Таким
образом, уравнение (48) в этом случае снова поверяется.
гл. х. 8А.вш'ииоить Углл плрлллкльногяи
Когда с<£ (чер. 12G), то пррпепдикул В ТУ будет на продолж*-
ііші г. за точку .1. Теперь угол <7Лі1'— J[(i) ==«—/>.! Л'— П('я) =
= те — П (р — с) — П (а) — Н (с — Й — П (я) [ст. 102]. Итак,
уравнение (48) относится кгі ш-еи прямоугольным треугольникам. Оно
іі соединении с прежним (47) дает
2ІГ(*).= ІІ(і.' —?)-і-ІТ(с+?1, Г4!м
2ПС«) = И(й —?)—ІГ(с+?). foot
Подойньш образом,
2П(в) = П(е- я) + ПГв + я), 1
2 П О) = Л (е — а) — П (с -J- а). } f 51*
] 134. В прямоугольном треугольнике ЛВС (тер. J27) называем
снова с гипотенузу, и, b — катеты, П(а),Л(,3)— против них углы.
Катет а продолжаем яа
острие В угла П ([)), д<-'-
лая продолжение. .ED =
= [9. Ставим в конце
перпеидикул ВТ)' к DC
на стороне,
противоположной треугольнику.
Продолжение ВВ'
гипотенузы с за ту же
точку В должно бить,
следовательно,; парал- ,
лельно с ВТ)'.
Продолжаем еще катет Ъ оа
острие С прямого угла, делая продолжение СЁ=я — b *, потом
в скопце ставим перпендикул ЕЕ' к СЕ на стороне треугольника.
Этот перпендикул должен- быть параллелен с АВ' и е перпенди-
кулом DD\ который также параллелен к линии ОС, проведенной из
острия С параллельно е ЕЕ'. Так произойдет угол 6"СО = П(й4-р),
С'СЕ=ІІ(я—Ь); следовательно
(32)
(58)
Черт. 127.
а(« —ft>-r-U(a + ?) = i-n.
По примерз' чего
П{?-«)
■П(й + «) = ут:.
а>Ь, так как U(a)<^ll(b), а 0>і*ніщця 11 (а-) — убывающая (см. ет. 102).
Зкі
II. НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
]35. Ьо іл.'нкои прямолинейном треугольнике -Л5С (чер. 128)
называем Сока а. Ь, с, против них углы 17(a), ЩЗ), 11(f), которых
о-;тршг в точках Л, 2?, С л где, следовательно, *, ,3, *; могут быть
ш )гли веч положительные линии, или две положительные с одной
отрицательной, Если -;— положительная линия, то кладем ее на
йот; « от острия С к В, л в конце /} ставим перпендикул DD'
к ВС на стороне треугольника ЛЖ"'. Точка ,0 должна падать между
точек _В, С для «>т;
опа будет в точке В
для а = у, наконец —
где-нибудь на
продолжении СВ за точку В
для а < -(. Если у —
отрицательная линия, то
кладем ее в
противную сторону на
продолжение а за точку С.
Бо всех этих случаях
из точки В
параллельная ВВ' с DW
будет вместе
параллельной к СА, которой
продолжение АС за точку А делается параллельным с перпенди-
кулом ЕЕ', поставленным к АЕ=я в точке Е, взятой от острия А
на самом боку с, либо на продолжении, смотря по толу, будет ли а
отрицательная или положительная линия. Периеыдикул ЕЕ' тоже
параллелен с ВВ' (ст. 99); следовательно, разность углов СВВ'=
= ГІ(« —Т), ,і#В' = ІІ(е-^-я) дам
П(р)-Щ«—f)-II{e + e>, №
— уравнение, где заключаются прежние (47), (48), (52) как частный
■ случай, когда полагаем Д(?) = \ « вместе с f^=0, или П(я) = ^г
вместе с « — О, или наконец П ((J) = — -тс вместе с (9 = 0 :;' [эа].
■* Дли любого треугольника, будут ши-ть меети ікевть соотношений типа (Ы):
П» = ТІ(е —£) —ЩЬ+7)яИГЬ —т) —П(е+3),
И (fj = а (в — ■() — И (в + о) =. П (с — в) — П (я 4- ѵ),
Ц(-() = П<* — aj — ]T(e + f!) = II(о—р) —П(Ь4- о).
Поліігіуі іі пик y = О, лолучнм все соотпошмшя (49), (50), (51), (52) и (53).
ГЛ. X. ЗАВИСИМОСТЬ УГЛА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
317
]'і0. В прямоугольном треугольника ABC | (чер. l'2'J) і№іива>?:.:
с —гипотенузу, а, Ь — катеты, П(а),Ц (£)— против ішх углы. Ил
острия А и угле II (я) стаиим к
плоскости треугольника перпендикул АА\
к нему вод ел из двух других остриев JJ,
С параллельные ВВ', СС\ потом из тр<;х
дігшгіі Л А', ВВ\ ОС через каждые дв<"-
воображаеіі плоскости. Между ними две,
нерпепдпкулярные к плоскости
треугольника, пересекаясь я Л..-І' (l-t. 59),
проходят червя Ь, с, будучи наклонены
друг к Другу под углом Д(«) (ет. 43).
Бок а, перпендикулярный к Ь,
должен быть перпенднкулом к плоскости
А'.4.(7С", где лежат линии />, JJ', СО"
(ст. 59); следовательно, будет также
перпендикул ом к линии ОС (ст. 56), Таким образом, угол двух
плоскостей, которые, пересекаясь в СС, проходят через «, h>
делается прямой. Теперь, зная два плоскостных угла 11(a), -г тг,
находим третий ^-х— 11(a) между плоскостями, где лежат линии
а, с с их общей ВВ' (ст. 100). Далее, линейный угол ЛСС = 11(b),
Черт. 129.
га
Черт. 130. Черт. 131,
а перпендикулярность ВС к АО, СО' делает его равным углу двух
плоскостей, которые, пересекаясь в ВС, проходит чрвя АВ, ВВ'.
Итак, три. линии ВА, ВВ', ВС пересекают сферу вокруг В в трех
точках, которые будут остриями прямоугольного сферического
треугольника АВ'С (чер. 130), где гипотенуза СВ' = ІІ(а), катеты
ад=Пф), І?'А => Л (с), против них углы-і-* — И (я), ЩЬ). Полагая
— к — II (я) = П (і'), -з-т. — Ц(й) = П{&0і должны заключать отсюда,
■■'АН
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Г50>
что как данный прнмолишзяныіі: прямоугольный треугольник
производит ифернческші AfJ'(', тик, обратно, с этим сферическим
должен существовать прямолинейный прямоугольный треугольник
('i(jp. 1S1), гдн гипотенуза р, катеты «, а' і: углами против
них П(6')і П(с). От одного прямолинейного треугольника можем,
следовательно, переходить к новому, удерживай катет я, и
переменян і, с, я, ft на я', р, 5', й- Если продолжаем употреблять
ударенно"' и том же смысле над всякой буквой, именно, чтобы
различить две линии, которых углы параллельности составляют -^т., то
имеет четырех уравнений (40), (60), (61), можем написать десять:
2П(сО-Щ(.~р) -Л(в+Р).
2П(Э)=П(е —«) _П(с + а),
2П(с) = Щр—*'} — Щр-f-fi'j,
2 И (с) = II (« — о') — И (а + а'),
2Я(?) = П(й'-а')-П(А' + п').
2П(«) —Л(п' —Я—И(«' + *'),
2 Н (6) = П (а — а') -f IL (я' + а),
2Л(«) = 11(р-й')+Щ// + р),
2Ща) = Щв —а) +і[(с-}-я),
2П(4)=»П(в—Э) +n(c + ?J-
Подобным образом, вместо двух уравнений (62), (63) тоже десять:
I Ц («-А) +П(« + 3) -4*-
П(р-а) +Я(і + а) =|я,
П(о-я) -fnK + i') _.*.*,
Щс-4) + П(?' + а')=4я>
II(a'_c')+II(«'+?)=^1T1
п<«' —Г) + Щ& + <0 =4*,
(Зв>
* Штрих (аначок «'»),
ГЛ. X. 8АШІСШІОГП. УГЛА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ГЛ'.І
1У7. Представляем ■■еОе вновь прямоугольный треугольник ЛВС
(чер. 12У)Гѵ ■■ тр^мя параллельными АЛ', ВТ!', Ѵ(', между
которыми первая выходит и.) огтрия .1 перпендикулярно к. плоскости
треугольника. Три плоскости,
где параллельные лежат но двч,
развертываем на плоскость
треугольники, полагая катеты и, Ь
В ОДЫ}', ПШОТелучу С В Другую CTO-
рону линии _І,і' (чер. 132).
Катет Ь с гипотенузой с соединяются
теперь в одну прямую ВС, будучи
в прежнем их положении
перпендикулярны к .-1,4', которая
параллельна с СС (ст. ІЗй). Катет
CD = ч перпендикулярен к СС",
и которой ведем еще параллелг.-
ные ВВ' через конец В
гипотенузы с п ВВ' через конец D
катета а. Все четыре
параллельные ВВ', АА', СС, ВВ' будут ося-
ми предельное кривой BAGF,
которая, проходя через точку А, пересечет ВВ'', СС", ВВ' в F, О, Н
на расстояниях FB=*BH=x, CQ = y. О тем вместе как а, Ь, с
соединяются в один прямолинейный прямоугольный треугольник, дуги
FG = -p, ACra=q, А1І=ѵ должны смыкаться в один треугольник
придельный и также прямоугольный (ст. 110). Е этом треугольнике
г—гипотенуза, р, q — катеты, Щв)—угол против jj; следовательно
(ст. 123),
р = і- sin П (я), q = r (;оа II (а).
Пусть х = /'(с)) у = f(b), где буква f служит знаком геометрической
функции, которая притом делается нулем вместе с ее корнем.
Ведем теперь из С между параллельных СС, DD' дугу
предельной СК= і, так чтобы СО', следовательно ВВ' тоже, была бы двум
дугам р, t общей осью. Здесь расстояние ДЯ" = ж — і/=/"{«), после
чего
Ас) = Да)+/(£>). (Ь~\
Черт. 13!?.
* На сгр. 317 нам. тома.
■■•гУі НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Дугу / щіѳд^льноіѴ находим [ст. 177, ур. (6)]
t=pe"
г,:: ПЛИ
или, накхлк.ті;,
Подобным оора.юм должно быть
3 = »-e№0smlI((ri),
что сличая с. другим значением q, получим
cos\I(a) = en")shiU№.
Удврікаь «, ыои;ем здесь «, t3 переменить на &', с [ст. 136];
следовательно,
8ІііП(Я = (№)ятП(с),
а в соединении с уравнением (а*)
/т віп П (Ь) = /(,?J sin П (с).
=і | Отсюда заключаем также, тге
i/w •smII(a) = /№)-sin[J(&).
А как два катета а, Ь, совершенно произвольные линии, к тому
/■(й) = 0, Т1(а) = -^ъ для д = 0, то для всех а
е-«и) = віпІГ(а)Н-
Уравнение (57) теперь дает
sin П (с) = sin II (я)sin II (Ь). (58)
Оно с переменой 6, с на а', (3 (ст. 136) делается
эііі И {■!) = sin Л (a) cos П (в) (59)
и предполагает
8ІпІІ(а) = віпП(Ь)созП{|3),
а с переменой здесь а, 6, р на й', а', с (ст. 130),
cos ІГ ф) = сов II (я) cos П (с). (<Ш)
Между тем, ия уравнений (49), (50) находим
1„, „, , 1
cos
вд. t-tang¥nCe-p)tanff?n(e + fl)
008П(в> lT-tangi-ntc-^tangi-TIfe+p)1
ГЛ. X. ЧЛНШЛШінТІ, ѴГ/ІЛ ІГЛРЛЛЛК'ІІ,Ці)(."ПІ .121
чти е. соединении <■■ уравнением (ііп) даг'т
Іинц- --- П (-■)'' == tang — 11 {. ■- У)\лщ — ІІІ-- -у У). ((і1)
Таі; кик .ідесь S, в—произвольные лшггш — не янит-нт дрѵі' от друга,
го полагая $ = г, 2і% :)с, . . ., заключаем шіпііщі,' дли целого *ітѵш к
1 (1 »"
lnrig-^-ІІ 0"'І= 1ші»-_-гП[Ѵ)
'Это требует, чтоіііл: для всех линии ■•■
tftiijf — ILfr) = «-''. (l>2)
Здесь ітстояныон число '■ юти ни шшегакі, но долито быть однако л;
болое единицы, с тем, чтобы tang--., И (■«) ='> дня ./г=оо. Можно
дли простоты в вычислениях [за| с принимать оснонаше Нізіщировых
ЛОГЯрИфМОВ, ОСТаВЛЯЯ ПРОИЗВОЛЬНО!! ИЛИ НРПМВРСТНІШ TV ЛИНИЮ,
іі і/одержашін к которой х ниражаетоя ч долим |'і:,1.
(.' пособием уравясінпя ((і'2) находим для ііроіюволыгах, как
положительных, так отрицательных линий :>:. ц
■ ., і siuIIOJsmHO/) , .
(іі4)
,., . соаЦ(а!)4-сой II (ч)
e„„(a. + tfJe__r_^_^_ ,
* ' ■ i:oaII(.t) + i;Osn(//J
Уравнении (Іі2) служит основанием Воображаемой Геометрии, Оно
было доказано в другом месть й по способу грпниц," не менее
строгому. Я повторю ;ідесь это доказательство. ч- .
Мы видели (от. 136), что когда, дай прямолинейный'
прямоугольный треугольник, где гипотенуза с, катеты а, Ь, против них' углы
II (а), ТТ(|І), то должен существовать такой же треугольник с
гипотенузой В. катетами а, а', с углами против них Л(Ь'), 11(c). Дне
дин ни а', // определяют!.-я іщесь уравнениями
і П(«) + П (*')=--£-г, Щ1>)+ЩЪ')—^\
" Exposition siiurmiste de lii Geomiitrie etc, сочинение, написанное " 18"ІІЗ мцуг,
но которое по напечатано. Также я і:та'п>ях о іівѵ».гт.е Геометрии іічѴі, Ііеитн.
І8Й9; 1830 год;*). [ІІриліч'штіе J[ofia4eteKOto.\
Зак. ВОЮ. H. И. Лобачевский, г. II. 21
КГНШІ-: ИѴЧД.'ІЛ ІТ/ШЕТНШ
Чі^рт. і;!:і.
Пусть ито ну;;"-"!' треугольник АIX! (чер. 133), где точки .1. 7/,
С иреллтаилшит иг-т[чія в уіѵіих П('), 11(&')і — ~, Следовательно
прсітііп них йика ИГ—я'. Л' = ". .1/7=;;. Нокруг ,1 предгтанляем
себе сферу с полу
поперечником % Продолжаем
АС до пересечения и D
со сферой, потом к
треугольнику А ВС ведем
другую плоскость чрез
AT) перпендикулярно; в
псі'і полупоперечник АЕ
сферы иод углом 1)АЕ =
— II С?) a AD. Между
точками 11, J), F, па
сфере дуги оолышгх кругов составили >т прямоугольный
треугольник, где катет ЛЛ = 1І(е), другой DE=U(rp): следовательно,
против шіх углы ВЕТ)^ 11(6), WJE—П(и'). гпшптпуза ВЛ=ТГ[п)
(ст. і-Кі). Опускаем п:і точки С к ,1Л' перпелдикул CF = x, потом
конец ./'' итого перпенднкула соединяем с точкой В линией BF=i/,
которая тшсжа должна быть перпендикулярна к AF, потому что
плоскости двух треугольников ABC, ACF перпендикулярпы между
собой, их лпішя пересечения АС перпендикулярна к ВО;
следовательно. ВО—иерпеидпкул к плоскости CAF; плоскость
треугольника ВСЕ, проходя чрез ВС, перпендикулярна к плоскости CAF;
двум а гни плоскостям общая линии CF перпендикулярна к AF,
иоеле чего AF— перпендикул к плоскости BCF. Ведем теперь чреа
точки В, Упрямые BG, ОН, параллельные о АЕ"', покуда
встретится в tr, Я с предельной поверхности*;», па которой лежит
точка 1С ті которой AF, В(4, СИ служат осями. В предельном
треугольнике ІШЕ полагаем гипотенузу G'J£= rh катет НЕ = ?,
Н(ч = ",. Их содержания будут (ст. ]2;1)
і- = sin I] ф), — = кол Ц (Л).
Уалістіш к атоиу, что когда в треугольника .4i?(7 увеличиваем,
пшотенуау £, на переменяя угол И {Ь') и, следовательно, предяо-
* Сии параллельны между собою а направлении GB, НС и EU.
г.і.х. млвікіімость уімл [іар\."і."іе.'іымитіі ;.і2;>
•ііаг«я < амую линию h іил-шянноіі, гак ;кѵ как угол II (і), го катет іг
растет Л'і оесконечностп, тогда как другой катет t! ве лерсхпдпг
оа границу £'. Мтик. если в . ВСЕ. не переменяя ynu J',FU=Xl\f)),
увеличиваем .г, покуда, наконец, сделаетс-и а'--=>>'. то пока №7,
/УУ'Л f?J? придельного треугольника приобретут то га мое большое
■ шичение, к котСфсшу
приближаются с возрастанием |3, когда,
удерашпан точку Л" на месте,
двигаем А по направлению ЕЛ.
Развертываем теперь плоскости
всех параллельных и плоскости
треуголы-шков, і.'омлінѵтых а
топку А. на плоскость ABE, обращая
каі; те, так и другие на лігмпях
соединения с последней. Вока
сферического треугольника BDE
сделаются дугами ВО, BE, ЕВ' ла
круге ('сер. 134), которого центр
А, полупоперечник AB = AD =
= ЛЕ= АВ' = '$. Бока
прямолинейного треугольника будут
теперь :перпендикул7?'7''= г/от
конца В' полупоперечника АВ' к по-
лупоперёчныку.-ІЕ', продолжение
ЕС = х перлеидпкула B'Fsio
другую сторону АЕ до встречи с лолул о перечником AD и точке С;
наконец, ни атоіі точки перпепдпкул ВС= х' к АВ. Бокл,
предельного треугольника соедини ют''.я в одну дугу G-'ETIG- предельно™,
проведенной черва точку Е, тогда как полуноперечшш АЕ слуікпт
сіі осью, Самые бсіка здесь находим: Е(У •=•/], когда ведем черен
точку В1 параллельную с АЕ до встречи в &' с предельной
кривой; ЕН=-, когда через точку С' ведем параллельную с АЕ до
встречи к Л" с предельной; HG=',, когда ставим в £' к НС пер-
пендикул СИ" ■=«', чре.ч вершину которого ведем .В"(г параллельно
с. „4J2 до встреча с предельной в (?. Ось Ж'должна пересекать
киуг где-нибудь в т между точек ІГ. С. Ось QB" в свозм
продолжении ;за точку #" встретит круг гді-нибудь в п. Ра'етояішл
Черт, і;Н.
•Д'
№± НОВЫЕ НЛЧЛ.ІЛ ГЕОМЕТРИИ
Он, Нт. (■'!-:' на параллельных между предельном іг кругом,
будучи заключены и імисетных границах, назначаемых крашшлш
аначешпши дуг (1Н, НЕ, AY/', улеш.шаютев с. возрастанием £і
и могут быть '-де.тнки как угодно мадшги (і-т. 11-!). Уго.т ВІ 'If =
>*> =в Jif'H <, f'AF, ио | последний цредгтанлиет II (|Э) и, еледоічатнлі.цо.
с волраітанием '? лгчелает, так же кат; и линия ВВ" между двух
точек /Л If. И равнобедренном треугольнике ВС В" угли при
ОеПОВаШШ ІіВ" растут вместе г 3, Приб.'ГИЖЯЯсі. К- -г тг до ТОГО, ЧТО,
наконец, разность может бит*. пренебрежена. Напротив, угол
«J)"7' = .[I(a'_)l ултепьнтлгь, но лгоѵкет переходить ші Гранину П(і'):
следовательно, линия .//"н, іто крайней мере ft возрастанием 3 :ш
известное лвачевие, должна л ходить внутрь треугольника JJCB",
пересекаясь ужо лдееь е іфугодт в и и составляя, таким образом,
треугольник /інИ", где угол /,'и ft" тупой, потому что смежвыіі
ему .Ві'Л" ."ііИіѴі то чается » острой ВпА, когда коноп, ѵ дуги Ви
соединяет полупоперечником /І«. с центром круга- Отсюда следует,
что хорда Іін < ВВ" может бить сделана менее цепкой данной
Л.ИЫИН, тогда как хорда 2а' двойной дуги HI) приближается
непрестанно к 2f/'. Это аыа'шт, что дуга Вп в сравнении со всей ду-
гоіі ВТ) должна быть тгренеброеае.иа при довольно большом полу-
ноперечнш.ѵ j-s. Переходил: теперь і; дуги Е!) на круга, вместо
которой аюжсм брать дуі'у Ем бел раилцішт, как екоро иолу-
іюперечшік (Я достаточно велик. Чтоб это доказать, опускаем ил
точек ш. Е- пергнчідикулы ші, ЕІ. к полупежеречнику AD. Первый
ил них in? минее гшютепууы т(\ еще менее целее,'ш ЖС, следо-
«і вательно, может быть сделан іш произволу ма],тіым, между тем каіѵ
перпеыдикуд і,Х>.і; возрастает вместе с J3. Итак, границы, к кото-
рьш и аолрягмшгем имеете с j? приближаются содержания дѵг
.ПО DK .. нш Km
WE' ~WI' т же' что д'"л ('"ДеР*1«1ыиіі-j^,, -g,-^ ; следовательно,
будут самые содержавши — , _— /туг на предельной (ст. 116). По-
етантт 1Т(с), П'(«), П({3) вместо ВТ), 7)Е, В'Е, мы выразим »то, ни-
писав
1 ІІ(«) г, ■
п.. '"'О 5
* Г)).— границу (і]£нѵі.іиі).
ГЛ. X. ИАЫІгтіінчъ ѴІѴІД ЛАГЛЛЛК'ІШін'ТН Й25
или. ііііі; наш.'ін ныше,
г,^,,іШ.
f іч.-юда
Гр.
1»?
ГГТР) чойі\ (ЬУ
Потом, <-тт -.,- —— II<й") вмоі'тл ІЦ6), imwuiu
а принимая в поліощь третье и иосьмон іѵі уравнений (55),
Так как лдниіі Ji=oc, //—произвольная линия, то разумея
под х, и новые протокольные, можем полагать один jiaa // = .?■,
не "переменяя [і; л другой рні! Ь'= у, переменян 3 ни J: —.л Тяг;
паходіш
п Ш,і — J'l , X ,т . .
lp'-JT7Fr-^fi<,tTIT^
Произведение двух этих уравнении дает
I rp.^~^U(;,)tlTi^.,ot^iia/).
Это -значит [ур. ((><>)]
cot ~ Л (..: ±у) = «ot |- IT (.г) ■ cot у 11 (Д
что ведет снова к ураннеішю ((і2) [""j.
ГЛАВА XI
ЗАВИСИМОСТЬ УГЛОВ ТІ БОКОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
ы | Lay. ['яненство тех 'тетей, ь-оторьгя производит одинаковость
треугольников, предполагает пависі-шоеть с ними трех остальных.
Итак, должны существовать уравнения для частей треугольника,,
взягых из шести по четыре, кроме трех углов, когда рассуждаем
о прямолинейных треугольниках "и Употребительной Геометрии
(ет. 92). Таким образом, уравнении могут заключать в себе чаитіг
как сферического, таг; и прнмолшіеГтого треугольника и
Воображаемой Геометрни:
.1] Три мпш г (jffn)t.w ift.io.it.
І) /к>п йо-ка с двц.ия против 'них углами.
Ч) /.і,ті бока г iit.iti.u между шиш, Ян с iji.io.tt промни а&нгии «.< «ш;.
і) Три tji.io г. одним бином.
В Употребительной Геометрии входят те іе;с случаи, кроме
последнего для прямолинейных треугольников.
іі» | Если называем, как и везде в этой главе будем разуметь
и, h, р. — бока, .1, .£', О— против них угль: треугольника, то
все сказанные елучпи должны приводить и уравнениям, где бы
зпклш'іялиеь:
і) а, />, с, А
2) а, Ь, А, В
3) а, Ь, А, Г
4) д, А, В, С.
Последнее невозможно для прямолинейных треугольников в
Употребительной Геометрии. Во всех этик уравнениях можем буквы
переменять одну на другую по порядку, или вообще сохраняя
ГЛ. XI, НишгіШОі'ТІ, .VI'.'ЮН [1 1','іКиГ; ТГ'І-ІУГн.іЬШГКЛ Й'27
ту и;і) ьзаншюсгі. их отношений, никуда прихпдпм ещ->вя к Lipi-;=:-
нтгм. Тик, чершліі гѵіуіаіі дает уранщчш;! і' иукиамн:
а, !>. <:. А
к, Ь: г, і:
(I, Ь. <; /';
иторои:
•л j третин;
четвертый:
а, Л, ,f, A'
й, с, Л', Г;
«, А, .4, Л
4, '.-, А. .-1
с, о. Г/, й
и, 4. Я, С
Л, '', 'Л -1
'-, ", -I, -S;
a, А, В, С
b, А, В, С
е.. А, В, О,
— всех пятнадцать уравнении.
13В. В ирямоуюльио.и щщгольнпнв. как сферическом, мак и щіямо-
лииеііиом Вшщазктмой Геожщши, для каждых трех- часша можем
предполагать уравнения, разумея к тому ' щіямоіі угол вместо
четвертой данной части. *
Итак, если 6'=—т, то должны иущоитвоиать уравнения между
частей:
т \ а, Ьл с
а, />, А
«, с, -і
а, с, В
а, Л, В -
с, А, В
— веего тесть уравнений, из которых последние два невозможны:
в Употребительной Геометрии для прямолинейных треугольников,
;й8 новые начала геометрии
тогда кат; ѵа;е in'iJBbH- чі'тыіл1 нам ппнстны [чт. іи,і. 12:1], именно
,■- = a- -f і-,
„ = h tang; .1,
«=(>СОК .1,
н = ссіті /Л
140. Мы нидіѵш, что и іі|>я.\кі.'іииеііных треугольниках
Употребительной Геометрии [ур. (28)]
с = м cos /J-т-Ьч'ія А.
Ло примеру чего пишем еще
w , (( = Іійо&С~\-егол ІІ,
Ь = с fjos .1 -j- «і;оа f *.
Умножаем все три уравнения по порядку на с, п, Ь, потом,
вмчитая первое е последним п.ч второго, получим
я"- = &а --!- в* — 2fcj со* А (67)
— травнешк* между a, h, е, Л, которое предполагает еще два
других н:т. 13В):
ft- = с- -|- и- — Ъл eos /',
'■'• = «- -(- і1 — 2аЬ cos f'.
Урашіеіше г «, Л, Л, Л' і'шіо наіідено (ур. (26)]:
я sin Я—£ вііі .4 = 0 (OS)
и предполагает, следовательно, два, других (ст. 188):
Jsin С—«sin Л'== '),
екіп А — гсsin '' = О,
*
{,<, как и дайствителыш последнее исходит мз двух j первых с
исключением 6, прячем sin.fr уиичгтояііаетия имеете сам собою.
.Когда присоединяем сюда положение, принятое в
Употребительной Геометрии,
то можем уравнению (6Ь) дать другой вид:
a sin (. I -f- С) — * ві.іі .1 = 1),
или
— =s Г:08 С -|- КІП f <' COt Л, (69)
— уравнение между а, А, Л, С.
ІѴ1. XI. ЗАШИ ІШОІП'Ь УѴ.ЮІІ И Г.іЖОВ ГРКУГОЛЫПП.'Л -і'2'.і
14]. Для прямолинейного [прямоугольного] трігугплі.щп,-!! Вообра-
ѵшм'моіі ІѴомѵтрпи, когда '■ — гнпотенѵчн, я, b — катсти, іѵ[і\т.она-
■іч'лі.ііо <,'=—^, было найдено [у p. (JH), {Щ, (Щ]:
яіи ИГ'') = slti И (a) sin |[(/л. (7И1
ins ][(«) = cos S cos II (fit, (Til
sin /J = i:os Л sin II (ff)ffi. (7'2)
;(' ігері.'меноіі: «, .# на Ь, Л уравнений (711 дачшггсл
i;os II (7і) = cos Л «os Л (с).
(кода внеі-я лна-и-нии і-ояІГ(і) пз уравнения (То), получим
:., _ і-овЩс)'— oos U (а)-
,:0В " ^ "йпПОО'иияЩс)' '
ДіІЛІЯ1
sin Л- = ѵЫII(«)3 tans? II(с)" *,
it так как угли Л, ІЦч), П(і) оигрыи, то
sin Л tangirc«)== tang И (с). (7:1)
Поі.-тавя пода значение tang IT (с) из уравнения (70)й, поручим
Sin, -„-^.^-^^-^.^ ;
следовательно,
со, Л> = —-,. «^
-sin LI («)- sin II (u)s :
| и, наконец,
tang Л==і!(ВІІ(«)і.апеП(6). 174)
И.ч уравнений (7J), (72), исключив а, находим
,, , ,„ cos Л2—sin Б'
cos 11 (e)- — гп пг~ .
cos Л-«os jB-
no гон
sin Jl((^)== tang Д tang' fl. \7Ь)
* Упвннѳшш (7D) чониядает <; (Г)8), ураниеиие (72) —с (Гі0), а уравнении (71)
получается яз уравнения (80) после памекы й на, га іг а на Л.
* Поели ігишочсииіі соя 31(b). получим
і« _ иіпй 1J (a) — am'j И (с) _ aus'-i 11 (і;) — 1дкаЦ(а) _
*-os-..i— sjnni (<s). «is ^ П (е) ~ email (й).(!,іЯаи ((:j
1 "" w cos- II (е)
откуда
sin- Л = et"'
«^'^[wn-H-1]^^11^^"^
№ II (с) еіп* II (а)зт'-ПІ(Ь)
l* W 1 _ sjn* п (сі 1 — чіпа
(cj 1 — чіпа II (а)яіп«ІІ{Ь) '
:W0 ІІОЬЫЕ ІІЛЧЛЛА ГЕСЙШ'ІТШІ
Уравнения ^70), (71), (7-2), (IS), (74), 175) будут те <-а.\ш;г, которых
существо пан не предполагали. Из нич досгнточно знать три, чтобы
находить остальные; даже мо;і.тю ваять нти три произвольно, но
раатпчг-ші; іі числе всех, которые составится і; прнбавленгшлг сюда
новых, когда переменяем острый угол и катит па другие и
треугольнике. Так, в ирнбаплсшіе к уравнениям {71), |72), (":■)), (74)
вправе писать рщр четыре
r:ns И (i) = rns.-l cos life). (7І>)
sin А = [-он A'sinirfi}. (77)
tang ІІ (г) — sin В tang: П (і), (73|
fang й'= сояЯ(й)tang IT (йі. (79)
[чо'гприе г- ирежшши шестью «оставляют hops уравнений десять
для прямолинейного прямоугольника треугольника а Воображаемо іі
Геометрии С7], Из ных пять (7а), (74), (73), (78), (7й) прямо следуют из
уравнений (55), когда, разделим на2, берем на тоіг и другой стороне
тангенс, принимая к тому в помощь уравнение (62) н полагая на-
конрц II (а) = Л, 11(3) = ©. Например, па уравнений (5.1) пиртюе дает
tang~ 11 (а' — Ь') — lang 4 " {"■' + ь'>
1 — tang^IM"' — *')tajig-^-H f»'--/>') '' l
Это ан-ачнт;
bang А = cos П (a) tang LL (£).
— такое д: уравнение, как и выше [ур, (74)]. То же находим нодоо
ныы образом из второго уравнения (55).
Па уравнений (55) третье* дает
tangij[(j3-fi')+tlHigiuifJ-7-A') j
I tang U (a) =_--_—__-_ _ = —^~ {І' 4. r''').
1—teiig^trtf —u')tang£n(,3-| b'\ it'~1
Это значит1
. tariff i?
— такое ж уравнение, как п выше [ур. (79)]. То же находим из
пятого уравнения (55).
"■ Должно быть: восьми.1.
ГѴІ. ХГ. :'ІАКИ('ИЛЮ'"ТЬ ѴГ.'ЮН !l [І11КОИ ТРКѵТО.'ІІ.ШІКЛ Ч-'Л
'+піх диух пример" в дгжи-'!Ы[<>, чтобы судить. каким nfywiov
уриіяк.'Шія І-'»5) iroucjifiroT некоторое н чпгли дег.шчг для тртуплм.-
нш.-п. ()і-г«л!.ЕГые пять следуют іг-; их соединения между соГюю.
Все ;г,еі-іітіі урапргснііш д,т:і треугольника могут иг.тп, таі;'л:е ши-;-
ді;ны ч-; у|іапш.'нш'і f.iii), когда оере.и и помощь уртш'Чше (і!*2і.
Яаирпмер. дин первых п;і урякжч-шк (оіі) дают
11 fa — Л) — J |. (я -f- Л) = и f^ — го — И О -j- «■I,
П (я — Л} -Ь 11 <* -МI = 1'1 (« — =1 — 11 (" -\-'?)■
і Разделяя каждое на 2, питом ваян іга двух сторонах тангсчи; и
ставя наконец J., /V вме.ето І.І(»), ЩІІ), иолуггш
sin A tang Г] (n) = sin /j'tatig II (/!•),
tang J. tang .7-7 = .sin 11 (a) sin II {b)''.
Исключив отсюда В, находим ѵраві-шшіе (74); если и; шлшичаі.'-м 'л
то приходим к уравнению (72).
,І: Применим тоѵкдоство (в'2) к еоотниіііеішыы
И (И _ Ь) М_(а-ь Ь) 1Цр —«} Щ&+аі
мы получим
e-g(t*-.,.-'') _ ,.-3ff"_ii-M)
L-,."=* ~ [ + С-а>
ЯЛ И
sll /J ___ гіІІЙ
t?ll О ~~ dl І '
во, м> гласно примечанию [#■],
*1і ,4' = ct|( 1 і {м); ell .г = —
иіаН і-г)
отиудя и еледум1 пррвті формула 'іч-кста.
Аии.тпгачно этому, соотношение
Z'\Z^ZhZ^E±Jh== і .j-t-"("—jjiti,iif«a+ji'
L
принимает вид
,.-*f,.»-L,.-») _ f-"(,-f
chi/ _ sli ft
sli о ~ eh a
давудп следует вторая формула текста
S:\-2
НОВЫЕ НАЧАЛА ГКПЛК'І'РІШ
Достаточно двух (ia:j. і пчних уравнении т w.ex девяти, чтоб
очѵиідя ішие'Тіг щ;е прочие, переменяй (ст. 18(і)
1Т(7') П(>! .4 //
ни
-к —Л
Л'
;ут:—Jl(t)
П ('),
(80)
потом ч, Ь, Л, 11 ли Л, с. Л', Л: так продолжал, покуда придем
].-. прежним уравнениям. Например, іюяьмем уравнения (70), (То).
Перипе диет
яш ]"[(«)sin U (4) = sin Я it), ]
win ij (d) cos Л = siu H. |
sin \\[b) cos Л' = sin Л,
cos Л і'онП(>i) = i;os J11b),
eos #cos II (c) = co8 N (cr).
jПодобным образом из уравнения (7f>j происходит
tang Л tang # = win Jl (с),
tang II (5)win.#=tfltifr U|>.),
laiiK LI fa) sin Л — tant>-U{e)>
in tig П['«) cos ![(£)-= tan и А1,
(аіід II(i)ros 11 (a) — tang- Л,
(Ы)
14"2. Лсрвходпм теперь к уравнениям ;ичп четырех частей во
венком иряиолпиейшш треугольнике Воображаемой Геометрии.
Опустив гг;і оитріія С к боку г перпс.идтіву.ч j», получим два,
прямоугольных треугольника: один с гипотенузой й, катетами ji, j;,
і; углші УУ прптгтв р: другой е гипотенузой й, катетами j), fi — а',
с углом Л против р, когда х положительное число (чер. 121)*,
или л углом я — Л против jj, когда х отрицательное (чер. 1221*.
В обоих случаях, тнк же паи іг для .'.' = 1), получіш [ур. (74), (71)|:
taugll(tt) = siu U tang' H(ju\
tang 1"[ (Ь) = sin Л tang И (j?),
сок II (а) сов В = cos И (а:),
cos Л (й) cos А — cos II (t — х).
|Иа первых двух исключив tang II (jj), находим
tang II (я) sin Л г= tang Л (Ь) smi В. (83)
(S2)
* Чертеноі 121 и J22 — на стр. :-)07 шст. тома.
І'Л. XL :іАЕШі-Ш10<ТІ. ѴГ.'ПіГі II llOIC'Jti ТРЕѴП>. ІМШКЛ ;!;!;;
Йто тага»1 следует и;і урпкнешги (~>4), когда :іДі'і], под II (я), \1($).
11(1) разумеем A, A', <". С іи'ррмі'нгіи ", ■;, г. л т\ г. «, и, f оудсч*
HCPJ— П f« — т» — II(^-halT |
Отсюда
ІІ(« + 1)Н-ІТС<# — Y)=int*-H-e)+llfr — а).
Ра^дс.мш ня '2, потом вляк тангенс нн двух сторонах, iid.fiучим
ІУ1'- t«2)]
fit pi-
Это .'інпчігг:
taugn(«l __ taii£_N_(c] ■"
siu С sin A
— уравнение, подобное прежнему |ур. (S;J)|.
J ГІ:і уравнении (42) ш-і.ѵпочпгі а: [ур. (И4||, шшідгш
cos II (tfli-оя Д + сойД(6Х.-08 А *
cos (г) — -: _|_■—1-_^_— д-(6■ і — j--^-^ ■
Отпода
„, . ,, cos II {сі — cos Щй) cos A
потом
I 1 — cos A cos II(b) cos II (>1) ( 1 —cos й cos 11 Ійісин ![(«)} = апі Я fu)2 w.
По примеру чего
{1—со8//с<інИ(в)(-ідаП(гг-) j {I—с(іяГі'шЛ(«)сгіаП(і;і}=ат1[(«Г-,1
[І—cos Г,' соя II {а) cosll (&)! {1—сон A cos IГ (й) cos II fs)} =аш Я(Л)". I
І'І;.і этих трех уравнении нрошш'депш1 парного на последнее, оуду'ш
разделено ш второе, даст
I і, , „„, тт/ ,і« Sill П (б)" Sill II (<•)'
! {1 — роя A cosП (ft) сое П(г.)}- slnI|((t), :
* Предыдущее* {-пстипшенир ігожет Гяііть аотисяио в г.-шдупяцем ніі.'іо:
еіі ■; oh a
sh'f she'
откуда, н іи.іу примечании [Щ, глодует (85).
* Кил еле мне (в4)
' ' к ' 1 -(- сов II (с — .ѵ)еааН.(я)
л ибиакачяя р — cos /I (*osU((J)- q = w>s К cos 11(h); f ==■ сок 1Г (<-j, ми Суд*-'"
иметь )■= гт1". |1 — ™" Л COS И t'')<''"S ІГ(С)1 ^ ~г* L41S В '№Ь П ("J °Ф' " t<;)l ^
=(1 — рг) (1 — tfr) = 1 + 1' fp + У) + №" = 1 — Г {1 + и) -[- і*№" I — і-а = sin-- и (,;).
■■;;я
НОВЫЕ НАЧАЛА ГКПЖТРІШ
,,... ІТ, , . siiin^lsiniKc)
С'і i.S.l''OS П(£)иОІ511(C)™- - ,.—= ,-t = 1- (Ьі)
Сміди ііг)і'т:іі;н уіііічсмие sinl"I('i, ііп ураглкчшп (8'j) находим
i-nt-И (и) #'иі (? ___ .....
MitlH (й)кІ11 -і ~сі№ ІІ [и] сО.чТі (/') '-ОЯ Л sin ''
■'-*то :іі!Ы'и.'шіі' cos II с) (ііісі-к it уряин^жл1 (b<>). получим jkh-.-ц.- iwx
ПрШ!"ДсШІІІ
-nr.lsiiiraiiiTK^-f '•окГд,'!эдц1д]*' ^8>
ІТі-іі/иочііі!'отсюда sin ІІ №) ѳ в і;оедішенші и ураипе-тшом (88),
•-о$П(«} ,. , cos Л sin 6' .,-,,,
, - cos С = J — -. rr - StnTi(rf).
(■us П(//) ' sin /У
М"и;ду тем, \'[>йнш!іше (48) с іифеменоіі а, Ь. Л. на Л, и, И дает
mail (6) 1 '
[|\t днух тиѵшдннх урішнеі-шіі исключив cos П (&)*?, потоп рааделин
ил щі(' и помножив на sin Л', получим1
. . ., ,., sini'sinC ,сй.
cos .4. — сокЛ'еош f.'^---———-—. (Ь9)
SI]} 1І(в)
Уравнения (83), (87), (Н8|, (80)— тс самые, которые мы
предположили пііпгіі дли іфііиолинРйш.іх треугольников (ст. 188). Последнее
может быть ш.тиедено лр:гмо к.ч уравнений (84), когда напород
даем іш такоіі вид:
П.fa — -;) — Л'— И (г '- 2\
Л+иіа~\~») — П(г—я).
■ siiill(t) (іамсшіетсіі бм}кг.кі>іШ(.>м --.—'—(~ц Ч (а) ко* \\ (_е).
* ., „ • і (-osu («>*'" О .,
Полагая cos П (с) = —--.у— -, гди Л -ііиалгепатг-ль гфе.чыдущрги нгціа-
іі«-нгіЯі получим
1 —поя. (сон I! (bjvos 11 (с) — ~ч'т II (й)^іп Д.
Пидставляя п последние іга ічіотвоінсішіг (8tH, мы получим
[I — tos С cos П («) cos П (Ь)\ sin II (1») sin .4 = Л" sin? 11 (It)
ІМІІ
1 — cog 6'cos U((i)cos 11 (Ь) = sin-И (u) + *in II (i)cos IГ (incog [| (я. і:Ц Д ^Іа 6",
откуда и ікіедует соотношение (98),
■- То-еета. полоішш чіа И (й) = tg II (о) '—~ cos П (ijj.
9 То-есть оішічшіі в дредггаследлем соотношении -'-"-.-- его последшш
іяи. 11(b)
ы.гралсением.
ГЛ. Хі. :SAh№-mifVTh ѴГ.ІЙЬ |[ HftKi.iJ! Т1'КѴП.і.]Ьі-|!Ш-\
Ппіѵіе 'ііто
ищу — /; ;-,■-"-■> i-j-raug ;'-/.'■ .;-"-'■'
■. z— ___ . ___—-— —_.___ h,0, ^
• і. _ .і _ - _ л -- і _:
1 — гапц -_- !!■ f-"-"' r'-""'_ranpT£'
і! ПІ
;" ""■] j ~ 1 f 7 — =-=г.)Г- .Is'".
sin Ilia): cot-- г J- tang — B- tang — <" —otanjr — В
| Присоединив к обоим сторонам едшшцу, нотодг умножив на
знаменателя, пилучшг
sinlj(B) sin — А-
sni ( 1-ов — В-
= sinT[(al cot—6'-;- tang-- 77- tang — С I — 2 mug — JS.
У.МІЮЖІГВ na sinCcos-^ #8 іг разделив на этЩй)-
, . 1 ,. , 1 ,,„ 1 _.,.,. 1 ,,„. 1 ,..„ sin Cain ('
2 sm -~ A5 = 2 cos -ГГ- C- r;os -^ І?2 Ч- 2 sin -j- #* sin -^ f" „ -■ ; ■■..
2-2 2 ' 2 2 втП(а)
Откуда легко вывести самой уравнение (SO) *.
Когда к четырем уравнениям (8.?), (87), (88J, (89) прибавляем
подобные с. переменой углов л боков треугольника на другие,
то получим всех уравнений пятнадцать, Ееліс r них полагаем
г, і
c==-~-t, где входит этот угол, то инова находим уравнения для
прямолинейных прямоугольных треугольников (ст. 14Ц [,J'], [im]0.
J 43. Воображаемая Геометрия, как мм сказали (ст. 11"),
происходит n:j общего положения, в котором Употребитольнан Гео-
* Поела ію}ісміі(-нііенл» нужно принять Bit пвиманпе, что
,-■=.«4. <'-' = *т п^+'~'=2Ла=ет^-
.Идя этого вычитаем обо его части на 1, причем в правок части
представляем ату удттяіщу в впде
cos2 -rj -j- sm "5" j I "оя "т "Г В1П -о" I ■
° Общиіі обаор пугаг, на котором ЛоОн-чевский приходит к выводу
соотношение между алемѳвталтг прямолинейного треугольника в Воображаемой Г«<щотрил,
сделан н примечал ид \Щ.
ЗЗП І10ІІЫІ-: НАЧАЛА ГШ.ШЛ'РИП
метрші ицкл'ичистси как частный случніі, когда принимаем линии
я» 6(>fi;oHi!4Hf) малыми. С чтим имеете самые уравнения дли npniioj.'in-
неііпгн:х треѵі'плЕ.нп'.чів Віюбраікнемоіі Геометрии переходит и ѵріш-
ирния для таких же треугольников Употребительной Геометрии.
Пусть бока а. /', с прямолинейного треѵго.м.шгкя стп.ко малы,
что можем пренебрегите их степенями при низших, едедовлтельно.
ли ѣолы-гчо г к! т і.ічі приближенным ■■щатенщ'иг (Алгебри, ст. .177 *)
eut- Л[(а) = l.-4-а
і! с wnr.M вмееті.' прішішать также
cof II (»)" = а,
si ѵі Л («) = 1-— — а-,
coslT(e)= я:
подобным образом— для боков Ь, с, Теперь уравнения
Воображаемой Геометрии (83), (S7), (88), (80) сделаются
6am Л—«sin # = 0,
а- = і" -[- ''2 -— 26с cos Л,
«sin(,-l-f-C) — b&iu A = о.
cos Л-\-сот(Н-\-П = о.
| Нйрвые дни — ти :,ке уравнения (137), (158), которые""^) или найден и;
для ппнмолпнопііыл- треугольников Употребительной Геометрии.
Последние дин и соединении с первым требуют, чтоб
как іі УпотребителипЫ'- Геометрии пришгго.
Показав «гот переход от одной Геометрии к другой, яиравв
теперь (.-делать уже 'іяклюлеиие по всей обширности. Таи как нем
вычисления, в Геометрии могут единственно бшть основаны на тех
уравнениях, которые выряжают чависшюсть углов е боками п
треугольнике, то "Воображяр.ші,)' Геометрия должна всякий раз
переходите в Употребительную і; предположением линии бесконечно
малых, представляй всегда, согласие, которое паклю чается в общем
их источнике, і-імеш-т в уравнениях (8і0, (#'), (88), (Sit) для
прямолинейных треугольнішон [т]-
* ('jr. тпм.'ІѴ лает. Ніѵ(!Ш([и, стр. 227.
гл. хг. ;ілшюшгость углов и шжов треугольника ■,:■'•-
L44. От уравнений даш прямолинейных прямоугольных
треугольников, где сумма трех углов предтіолагается<іг, можно прямо
перейти к уравнениям для прямоугольных сферических
треугольников. Ми видели (ст. 186), что когда в прямолинейном
треугольнике е. — гипотенуза, a, b — катеты, И (а), [ П (ji)— гцкшш них углы,
то существует прямоугольный сферический треугольник (чер. 130'-)
где гипотенуза U(a), катеты H(fl), II(fi) с углами против пііх 11(6),
ѵ я — П(«). Итак, стопт только в уравнениях (80), (NL) тюрсмогагп.
И (а) II (5) 11(c) А В
соответственно на
с Я а ~г. — £і Ь,
чтобы для сферического прямоугольного треугольника получить
нее десять уравнений, которые, таким образом, будут:
sin с sin. Я —sin а,
sincsini?= sin 5, ' "■' '
sin A coa Ь = cos В,
sin Б eos a = cos Я, / '
cos a eos Ъ = cos с, (92)
sin я tang.S= tang 6,
sin S tang A = tang a, J - ^ '
cos 5 tang e = tang a, I
cos Я tang e = tang 6, J l' J
eot Я cot B==coac. (65)
| Заметим однако at, что вдесь бока а, Ь, е с углами .4, Ь'
предполагаются каждый <-g-t, так же как в прямрпшіейыом
треугольнике углы 13(a), 31(6), 31(c), ІІ(«), Пда необходимо острые*. Между
тем, последние уравнения енраиедлнвьі для всех вообще
прямоугольных сферических треугольников. Например, иии поверяются
для д = -ггя, потому что с этим вместе должно быть е = —эг, J.!= ~-я,
B = b, какой бы ни был угол 5. Итак, уравнений справедливы
также для 4==^я: какой бы ни был бок а = А-
Пусть еще e>-g-it, <я, тогда как й<-2-*;следовательно,2?<-^.те,
Л>4те, <я (ст. 75, 46), с>4"^. <" (ст. 76). Продолжаем бока
- * На сір. ;)17 касс. тоыа.
* Имеется в виду прямоугольный треугольник.
Зэк. 6039. Н. И. ЛоВачевстиіі, т. II
8Я8
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
с до взаимно» ветрели по другую сторону бока Ъ (чер. 135), где
иоотанится, таким образом, прямоугольным треугольник с
гипотенузой т. — с <^~тг, с катетами &< —тс, г. — я<—тг, с углами против
них 7*<4-*, к —А <тг- Уравнения (90), (91), (92), (0Я), (94), (95),
Терт. 135.
будучи применены к такому треугольнику, сохраняют прежний
вид, а следовательно, справедливы также для данного
треугольника с катетами а~>-$% <it, и 6<т-«.
1 1 1
Полагаем «>-з-тг, <я, тогда как 6>-„-ж, следовательно, Б>^^
іі"1
■j-l>yrc, < т; (ст. 75, 46); e<-s-ic (ст- ?Ь). Поступая как перед
этим, полупим прямоугольный треугольник с гипотенузой it —с>
>-ц-іг, с т:втетами тс — з<~^, 5 > —тс, с углами против ыых тс — jl<
< — w, 7?>7Г«, которые бока с углами, будучи поставлены
вместо с, я, Ь, А, 3, снова не переменяют уравнения.
Если « = *, то А — ъ (ст. 46), S-|~c = it, # = -; г;, которые
значения поверяют опять уравнения.
Если а > я, т(Г_4 > it (ст. 46). Пополнив я, покуда составится целый
круг, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой с,
катетами 2т;—я, 6, с углами против ник 2тг-—А, ъ-—В, которые не
переменяют однако ж вид уравнений.
Произвольные значения катетов а, Ъ относятся ко всем без
исключения прямоугольным сферическим треугольникам, для
которых, следовательно, найденные уравнения будут общими [ш].
J.45. Рассматриваем произвольно взятый сферический
треугольник, где ведем из угла О в боку с перггендикул р (чер. 136),
который или пройдя внутри треугольника разделит с. на две части:
х под а, С-—Х под Ь; или вне треугольника пстретит продолжение
бока с ыа расстоянии х от острия В, с~\-х от А. Первый случай
будет тот, когда углы А, В вместе острые, или вместе тупые
ГЛ. XI. ЗАВИСИМОСТЬ УГЛОВ II БОКОИ ТРЕУГОЛЬНИКА 339
(г.т. j 75); в другом случае предположим Л<4-'п. #>-т"- Так,
произойдут два прямоугольных треугольника: в одном глпотшіула и,
катетід р, х и углом В лпбо те — В и ротик р] и другом гипотенуза !■,
С С
'5 А
Черт. 130.
катетер, с противоположным углом Л., к катете—;«, либо в-\-эі. Для тіі-
тіих треугольников находим в обоих случаях уравнения [ур. (!>0), (94)]
sin asiiij5=si)ij)1
sin 5 sin A — sin ji,
taugacosi? = tang ж,
tang Ь eds A = tang fe — a),
как скоро принимаем x положительным или отрицательным числом,
смотря по тому, перпондикул jj падает внутри или вше
треугольника. Иа двух первых уравнший следует
sin и sin В = sin. Ъ sin Л. (96)
Из двух других исключив х, находим
tang с
tang я cos В'-{- tang Ь cos A
~ 1 — tangatangu coaAcos/J
I Отсюда
Далее
tang с — tang a- cos В
tang оеоэ J. = ■■ ■ ,---°— -г- ft ■
ь 1 -р- tang a tang с cos .о
(1 -f- eos A tang 5 tang с) (1 ■+ cos S tang с tang и) =
cos'е-
(97)
* Повагяя ;c = tgatiosB, y=i%baosA, г = tgc, ш будем иметь
1 — жу '
вследствие чего
(1 -}- оов A tg Ь tg с) (1 + <лы Б tg о tg с) = (1 -f иг) (1 + !«) =
23*
■ІѴ) НОВЫЕ НЛЧЛЛЛ ГЕОМЕТРИИ
ІТодобыьш образовt,
О -\~ cos В tang с tang о) (1-j- cos С tang r< tang- u) ■
■ cos «-
(Щ
(14~ cos С tang a tang #) (1 ~f- cos Л tang Л tang с) = ——-
COS у
следовательно,
cos а? , ,
^^—^(l + tangAtangreos/,)-.
Отсюда должны заключить, что
cos A sin ?' sin с -j- cos 6 cos e = cos й {99)
или
cos Л sin isin с-j-cos 6 cos e-)-i;os я = 0. ("JO)
* J На время допускаем последнее предположение, которого
неверность будем тедерь доказывать и которое должно бы также, быть
принято Для всех углов и боков треугольника, как итого требуют
уравнения (97), (98). Например,
cos В эіп о sin a -j- cos с cos а -\- cos b ~ 0.
Умножив уравнение (100) ыа sin а н последнее ни sin 6, потом
сложив, получим [ур. (45)]
2 cos -jj- C'l + Щ соэ "о- (-4 — Щ sin в sin b sin й -|--
2
i-ain (a-j-&)(cose-l-cos(ft — Ь)\—0.
{алее [ур. (40)]
соаІ(4 + г)оові-(Л-Д) +
oos-^-(b + e — a) coa— (a-\~c — b)
-\-sin (а -|- й) г- ■ .—, ■■■- ———— = О.
' sin я sm о sm е
.Если теперь полагаем а<_т., 5<тс, в<и, следовательно, также ,4 <іг,
£<к, С<к (ст. 48), b-\-c>a, a-j-e>b (ст. 77), так что между
всеми производителями могут быть отрицательные только
соз~(А+В), зт(я + £),
[ао которые должны быть таковы вместе, именно для A-j-B>n,
(i-j-i>7i (ст. 74), а следовательно, не поверяют уравнение.
ГЛ. XI. ЗАВИСИМОСТЬ УГЛОВ И ТЮКОВ ТРЕУГОЛЬНИКА -J41
Удлинению (.100) ж? .удовлетворяв такте значение a = tr, потому
•по в гаші с-лучш* J=s (<,*т. 4l>), Z>-f-e = к. После чего исльчл
полагать уже ни Ь = it, нгг с = я.
Если «<-, &<~, с>я, то составляете также треугольник іі-'і
боков й, 6, 2тг — е ,. углами 1, G, <>іг~-е<я. Между тем, этому
треугольнику снова принадлежит уравнение (!)0), которое, таким
обрауом, остается лерішм для всех вообще треугольников.
Б ураинеяис (90) внеся значение sine [ур. (96)]
sin С
sin с = sin и -; ,
юн J
получим
cot A sin я sin & sin C-j-cosb cosc=^ cos tt,
потом введя иода значение cos с fyp. (99)]
cos а = cos а сой & -J- sin я sin Ь r.os V
м | ir разделив па sin a sin &, находим
cot-J sin /7-J-fios t'cos&=set;otasm £». (101)
Поставя «юда значение sin Ь иа уравнения (96),
cos A sin С ~\-aos I/cos С sin A —cm a sin В.'
Подобным образом,
cos В sin G-\- cos a cos С sin .5 = соя 5 віп A.
Жи этих двух, уравнений исключение cosu даст
cos и sin Z? sin С—cos I? cos С = cos -4.. (102)
Уравнения (96), (99), (101), (102) — те самый, которые предполагали
найти для сферических треугольников (ст. 138). Последнее прямо
следует из уравнения (99), когда здесь перемежаем а, Ь, с, А на
ъ — J, к—В, 7г—С, * —а (ст. 79).
Если к четырем уравнениям (96), (99), (101), 102) прибавляем
подобные с переменою букв на другие в треугольнике, то получим
всех пятнадцать; а когда полагаем в них С=~тг, там где С
входит, то снова получим десять уравнений для прямоугольных
треугольников.
і I 146. Уравшшш для сферических треугольников можно
находить с пособием одной Употребительной Геометрии, как. это до
сих пор обыкновенно делали.
У42 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Предполагаем в сферическом треугольнике бока ■(*<«, £>< —it,
'-< —~ (тар- I3')- Пусть D — центр сферы, полу попер е чешки AT),
HI), СТ.) проведены к остриям углов Л, В, С, потом продолжены
Черт, 137.
аа точки В, О до встречи в В\ С" ч перііендикулапи ЛЬ", АО'
к AD в конце А понупеперечника AD. Пусть г—■ шлуноперечшш
сферы, В'С'=х, АВ' = у, АС —я, DB' = rs, DO'' — С. Здесь угол
L"DO' = а, В'АО' = j.4. В прямолинейных треу голышках АВ'С,
ОВ'С будет [уp. («7)J
.-и3 = у- -)- ,?2 — 2#.z cos ,4,
х"- = 7,Е + Св —27i;cosa.
Исключив ;г б обоих уравнениях и разделив потом іга г-, получим
—,- 4- — ч- сое Л = -V- -+- ~-s -L cos й.
и [Между тем (ст. 123),
i-^tangd, -^ = tang с,
— = соа £>, — — сов с.
После чего
tang &г -j- tang с" — 2 tang Ь tang с соз іі =
__ 1 , 1 2 cos»
cos5s ' cose3 cosi cose '
•—уравнение, которое принимает вид
cos Л sin Ь sin с -j- cos Ь соз с == еоз a, (10S)
['Л. Хі. ЗЛІШі'ИМОСТЬ УГЛОВ II СОКОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
;ш
как оілло найдено выше [ур. (99)]. Остается рассмотреть случаи,
когда а. Ь, е., А ие удовлетворяют условиям «<«, 5<т,-"> «< —те,
-Л<-. Заметим еще, что .А = тс поверяет
уравнение, потому что с втии вместе
а = -, Ь -f- с = к.
Пусть Ь = — я, но е< —т:;
следовательно, надобно доказывать
CflK .1 Sin(7 = COS «. ■
(104)
Черт. Ш.
1
I Продолжении fim;a й за точку В (чер. 138)
і
делаем равным — т. — с, потом конец «того
продолжения соединяем дугой с острием
угла G. Так составится прямоугольный
треугольник, где гипотенуза а, катеты А, ^-ті—о, угли против них
*—в, *-*—а
Если к тому А<,„ т., то в уравнении (103) можем ставить -„- п,
і **
.А, тг^ — с вместо А, 6, с, оставляя а беа перемены; это дает ітам
"II
ураішешіе (104). Если ,А>—я, следовательно я>~іУя, то
продолжение А, и т! прямоугольном треугольнике по другую сторону
бона-^ г. — о до взаимной встречи производит снова прямоугольный
, треугольник (черт. 139), где
гипотенуза я — a < -^ зг, кл-
ТеТН ТТ ТГ С, Т7 _А < -Г 5Г,
1
против них углы -у -л:—С, It.
В уравнении (103) ггостаия
теперь-^-тг, it — А, тгъ — е,ъ — я
вместо іі, Ь, е, а, лолучнм
опять уравнение (104).
Пусть і>—«, по с<ут:,
J. О; следовательно, а < к.
Черт. 13В. Продолжаем бока а, 6 до
взаимной встречи по другую сторону бока с. Составится новый
треугольник, где бока it—и, it — b^-^n, с<-^я, противник углы т.—А,
і:—В, С. После чего можем етавить л;—А, к — а, тс— Ь, с в
уравнение (103), которое же переменяет от этого своего вида.
Случаи /) — т. поверяет уравнение (103), потому что с этим:
вместе а-\-е = ~.
Ш НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
| Случаи & == -,-те, /* = -j-ic также поверяет уравнение (103), сотому
что с атнм вместе « = jl.
Если й —-,,-гс, і>'і)- я, <£*, то снова надобно доказывать
уравнение (104). Кладем дугу-у* па бок а от острия А (тер. 140):
другой конец атоіі дуги соединяем с острием (>■ (Составится прямо-
уголі.гшй треугольник, где гипотену.ча а, катеты Л, с, —Ѵ|- іг<~тг,
против ник. ѵгльт В, С — -й-к. Удержав сг, -можем, следовательно,
ставить ^я, А, с — -.,-« вместо Л, £; '■
іі уравнение (103), которое, таким обря-
пом, переходит в уравнение (104).
Если 6>-в-я, ко О, е> — я, но <я.
то продолжаем дуги Ь, е. по другую
сторону бока а до взаимной встречи. Из
боков а, -к — Ь, к — с с углами против
них ji, ъ—Б, я— С составится
треугольник, для которого уравнение (108)
сохраняет свой вид.
Если а>тѵ, но &<^, е<т, то,
заменив а дугой 2тс — а<яг, получим
треугольник ч бонами 2п—а<>г, й, е е углами против них 2тг — А,
ff—I?, я —6*. Между тем, уравнение (103) не переменяется дня
такого треугольника.
Если &>тг, НО а<я, fi<;v, то, заменив бов Ъ дугой 2я— Ъ <я.
составим треугольник іта | боков «<«, 2я — і<я, с<лг с углами
проткв них тс — А, 2тт—Д те — С. Уравнение (ЮЗ) сохраняет опять
прежний свой вид.
Из уравнения (103) следует
Ча\\Ч. 140.
COS А =
со.ч а — cos Ь соз с
sin 5 sine
Посла чего 1-j-cosiL, 1—eos.i дшот
віп— (а-|-6+е) sin тГ(&+ с — а)
соя — JP = -— —— .-■■ -, -. —-
2 sm о sm й
sin ~ (a -j- с — Ь) sin — (а -J- # — с)
віп ~А* = * .-*-*—= —
2 sm о sm с
ГЛ. XT. ЗЛИШЛПІОСТь УГЛ01! II Г,Оі;ОИ ТГЕУГСМШтКА :й5
Откуда, для краткости положи» ti-\-h-^~e,=nt, щгходіш
sin A
2 Л/ sin-—s sin 1-^-»— a sin [ — -1 — Ь sin I-}-*— с)
sin я sin a sin й sin с
it матслюча'чг, что
sin -і яіп В
siu я win 6 '
(105)
| по цріпшмая в рассуждение анак перид квадратным корнпзі,
потому что sin .4, siiitt бывают вмйг;тр положительными числами для .Д<я
и имеете отрицательными для Л> г.. То же надобно оказать
п синусах sin S, sin б.
Уравнения (ЮЗ), (Ю->) —■ те салдые, которые были даны выше
ІУР- іЩ< ІЩ] ІГ которых уже довольно, чтобы найти два другие
(101), (102) дли еферпчеекпх треугольников, как это вігдшш (ст. 1І5).
Итак, уравнения (96), (9Я), (10]), (102) для сферических
треугольников остаются те же, принимаем ли постоянным шш
переменным угол параллельности.
Также заслуживает замечания то, что уравнения (83), (87), (88),
(89) Воображаемой Геометрии для прямолиншшых* треугольников
переходят в уравнения (ОС), (9В), (101), (1.02) для сферических
треугольников, когда вместо боков а, Ъ, с прямолинейного
треугольника берем а\Г^Т, й'Т/^Л, «у^Т или, все равно, вместо
произвольного числа с ставим
]и разумеем «нова под «основание Непперовых логарифмов. С этой
переменой должно принимать ужо [ур. (62), (63), (64), (65)]
1
вшЩй) =
«os а
cos П (а) = У — 1 tang а,
ГЛАВА ХІГ
РЕШЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В УПОТРЕБИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ й
'I 147. Решить треугольник, значит ігаіітив нем неизвестные части
помощнш трех данных, между которыми в прямолинейных
треугольниках У потребительной Геометрии по крайней мере должен
быть один бон (ст. 13S).
Решая треугольник, вычисление делают обыкновенно с.
пособием логарифмов, которые в таблицах дани приблизительно,
следовательно, с ошибкой не более половили против последней
десятичной едп|шщы' (Алгебра, ст. 80*). Означаем ч> самую большую
погрешность на кал;дт.тй логарифм, так что б таблицах с
мантиссой из семи десятичных
(и = 0,00000003.
Пусть Ж—модуль логарифмов с основанием 10 (Алгебра, ст. 160,
"■ Комментарии редакции к главам ХП и ЗШТ «Новых на,чаа» (как шетрашхі-
ііша сноски, так и примечания иосдѳ текста) можно разделять на две группы:
пашяшшлшщ где подробно излагаются опущенные автором вычисления или
рассуждения, к иетраплятщис, гда приходами обосновывать изменения, сделанные
и тексте Лобачевского.
Редакцией безоговорочно нсыравлепы числовые ошибки, ниеющжеся в тексте
Лобачевского, например, неточные ш.гщелешія трнгопоиетрических функций,
возникшие вследстнин пользования неточными; таблицами, поі'репшости от
неточного округления, опечатки, вогшіекшиѳ неюмншно при первпипьгаашга рукописи
подлинника, типографский к т. д.
Ошибки, полученные в результате неправ идыгости при лолъчованазі лагарпф-
.шческіиш вычислениями, и примечаниях не указаны, исправлены ж отмечены
в тексте знаком ['""'"j.
Ошибки, являющиеся следствием одслятіых ране а погрешностей, в
примечаниях не указаны, исправлены и отдгечены: в тексте либо зпако>г [гл], либо
атнм же анаком вместе с номером примечания, указывающего на исходную
ошибву; ['"•■І0в], Ошибки, являющиеся следствием этих следствии, отмечены
анаком I0*1].
* Том ГУ лает, издания, стр. 68—ОП.
JVI. XII. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 3J7
17Г> *), следовательно
J/= 0,434294-.*}
Iog'if='T1f)377MS*.
Когда тиш'рь п — -шило, Аа — погрешность о? ошибки ш в log», то
Iog(«-4-A«)— log ft =(о,
ІІ.'ІТІ
Довольствуясь первым членом в строке для логарифма (Алгебра,
і:т. 176э), получим
дм
Arf-y,- (100)
| Если ж «—дуга, ій—и ueii ошибка, которая происходит от ш
"в log sin а, то
log sin (rt-f-Дя)— log sin a = u>,
дли
log (cos Да -+- cot« sin. Да) = w.
Для весьма малого Д«, если притом а но чроашлташга Слизко
в -л-"*, почитая говДя = 1, ашДо = Да[ур. (3!і), (40)], антемвутроке
довольствуясь инрвоіі стішеіп.ю Да, находим
A« = -^.tanga (107)
ІГодойным образом, ошибку Ди в дуге, от ш в log сон о, должно
давать -уранцение
log (1 — Дя tang а) = <в.
Откуда, под условном, что Да весьма мало и я но шеьма бдиако
Д™ = —^ cotf^. (108)
* Том ГѴ наст, над., стр. 216, 225.
* Лоба'іовокій принял аа log К семизначный логарифм чиста 0,43429, ракныи
9,6377798. На самом доле log М = 9,"377а43.
а Том IV вват. издания, с яр. 220.
9 И дальнейшем Лобачевский, ігалъяуяоь уравнением (108), часта птЗ^&еывют
минус, не упоминая оЁ втом. Это отбрасывание производится я целью оаиены
абсолютна!! величины суммы погрешностей cj-mmoH' us абсолютных педігшп.
1548 HODLTF. НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
(Ыакиноц, ошігбі.-у Ли і! а, когда " log tangrt не достаток ш, находгш
и;і урнгщічигя
log | rot a tang (« --■- Д«) I = ш,
гдц [урав. (32)J
ta»g(a + .k() — ■,--- ° ■■ ■ .—-—-г-.
p ' ' 1 — tangft.tiiiig Дд
Доели чм'(і весьма блиако flu"|
ir, гледонатглыю,
Ал __
2M
Ad = ~.sin2ff. (109)
ІІосгавя сюда—<u, Tn—а вместо ш, я, получим
2M
— ошибку Да в дуге «, которая происходит от to в log cot a.
Знак Д здесь употреблен в том: ;ке смысле, | в каком и при
вычислении приращений' (Алгебра, Глава, XV*); но теперь слово
■лрпрпщепне заменим названием точность вычисления, предполагая
вое случаи неблагоприятными, так что погрешности всегда будут
расти й "числом логарифмов, увеличивая друг друга во всяком их
СО<?ДИШЧШИ.
Точность вычисления, таким образом, определяется самой
большой ошибкой, капая только возможна. Итак, если чпедо не дано
строго верным, то всякий раз надобно предполагать ошибку,
когда пршігяшвш;м сто в таблицах, и снова такую же ошибку,
когда берем его в таблицах [""'].
Б отношении г: таблицам логарифмов от тригонометрических
функций заметим, что здесь принимают (ет. 131)
« = 3,14159265... ,
а к самым логарифмам везде * прибавлено число 10, которое,
следовательно, должно наперед вычитать или такое вычитание
показывать чертою над ■характеристикой [107] (Алгебра, ст. 169 0).
* Ом. том IV наит. иадашія, стр, "21)9.
* Разумейте;!, вепде, гсрмге Igtg
10 йг. том IV лпет, изд., стр. —10.
* Разумеят™, вопле, «роме Ig tg ж нря ~ ^ х < -$■ и Ig ctg х при 0 < да <-т-.
ГЛ. XQ, РЕШЕНИЕ ШЛШЮЛШІЕЙНЫХ 'П'ИіТ ОЛЫШКШ :!-W
Оамьш угол, между тем, в употребительны* таблицах определяется
по шеетлдесятичному делению круга, а потому, как скоро хотим
іт точность вычисления выражать it таких ічѵ секундах градуса,
то надобно модуль J\£ умножать 1 всякий ра:; ші дугу в одну
секунду, или fju.'j приметной разности, на снвус от одной с(ч;уе,ды.
которого логарифм находим
lugski і" = Т,(185а74іІ,
после чего
log (Jf sin l") = 4,3233592
— log (Жsin 1 ") = 5,6766408 [l,*j.
Нв.тѵонг.ц, решая треугольники, будем к логарифму цріштавлятр,
букву и, когда должен он отвечать отрицательному числу.
Под а, Ь, с, кташш разуметь бока; под Д, В, (j — против ник
углы, которых, следовательно, сумма, составляет т. (ст. 121).
•
148. Даны a, h, с, требукншя яаіияи А.
Уравнение (67)
а*- — Ь--\-с* — 2Ъсы>& А
дает
Йі_і_оі_вя
сов 4= —4п
а |Положив «-j-fr-j-c = s, находим отсюда
!-/(і
sin^l/ \2—вЛГ-в'
Спо)
4с
/1/1
COS-s Л =
2 ^ Г Ы
Из этих трех выражений каждое может служить к вычислению
дуги Л, но с различною точиостіда. Если предполагаем а, Ь, с
данными верно, то но числу всех логарифмов с уравнением «
Ш'Ш) НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
;И0) долгим допускать в 2 log sin -?А ошибку 4ш {ст. 147),
йотом 2ю и log win-.-Л, наконец Зш в этом ;і;і: логарифме, приискав
fro и таблицах, и, гдедователыю, почитать [ур. (107)]
Подобным обралсш, и уравнении fill) назначаем точность вычш--
Между ті'м как п.ч уравнении (112) находим [ур. (10!))]
; АЛ = irStua.
Откуда индии, что шлчііслоиію с уравнением (112) виегда выгоднее
не;к(ѵіи с двушг другими (110), (111)*.
Например, даютчія,
«=, 2,3769-1.
і = «,81345,
0 = 5,93549.'
Находим
±s= 7,5(524.4
-*' —(f = 3,18G50
— « — 6 = 0,74699
.,ѵ —с = 1,62095
J°S ~s' — М =9,8744760
log(-|* —с)=0,2113748
— log--i.s=o', 1213381
— log | ~S — a\ =9,2851250
8,4923140
* В амои деле:
3<B4 A 2Cf8T Л
em_.|= r<2tS'Vi зіпл = -< 2ctg4-
l + tg»^ l + ots^ 3
ГЛ. ХП, РЕШЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИК ОП 351
log taiip: -?- --L = 0"S2J61570
1
g-A = 9°5!)'4«',J9e
Д^1ЯТУ.)'33"Д72.
I « = 0,00000005
logsin Л. ="3,53390
Iog3i» = 9~17609
— log (Msin 1") = 5,tS7ti64 [ая-1"» ] *
log АЛ = 8,88603 ["■] '■
Д.1=0",<Ш.
149. Дани а, 7), А, пайти В или С.
Уравнение (68) дает
аіп. Л = — sin Л. (113)
Точность вычисления [ур; (107)]:
4-и
iS^-^ta.agS. (114)
Наконец, угол G получим
С=>1В0° — Л~В*
с тіѵшостіш ■вычисления тою іке, что для Д следовательно,
is j Например,
Находим
iC=|°taiig(A-[-C').
а = 5,98549,
Ь= 2,37594,
А = 58а39'4б",94.
log Ь = 0,3758355
— log а = ЁГ,22Й5434
log sin А = 9,0315207
log sin В = §",5338996
7І = 19°59'33",71
С = 101°2о'зэ",35.
:f Обозначения [и- к*], [0"т-] объяснены в свосте ав, етр, 348.
* В других елучялк Лобачевский заменяет 18011 черев тс, хотя углы шшроэк.
ввму выражает в градуаной: ыере.
:iy-2 ІІОЫЫК НЛЧАЛА ГЕСШЕТШІІ
1о#4и> = "3,30103
— ]o<*(Msiu.l")^b,G7GM. ('■'■ ш]
I og іаіі# -й = £,ЗЫШ [■""■■J
ДЛ' = ()",0'2
І£'' = (У',02.
когда u > і, то углу Н и.рішадлеа;пт одно лначепке (ст. S4). Кили ѵі;
я-< й, то /> ножи' быть острый іг тупой угол, тшс чтобы сумма
днух этих іжаченші составляла -г. (гг. 80, 12,1).
Ураишчше (114) покачышет, что ѵ приближением // к тг ~
точность уменьшается. Однако я; ошибка-не может раетіі беспредельно
вместо с tang if, потому что выражение (П4) выведено и
предположении Д#а чргллычаііно малым против ЛЬ'col П (ст. 147). Кслп ж
и уравнении
4-U1
log (cos Д/J-t-sin \В cot. Л) = — -=-,
удерживаем ДА4 * и, следоиатолыю, принимаем
jog U — А ДГР -к- ДЯ со( В \ = — —
лліі'Э
дл»=і-н"+2длсоьг/,
то, принимая в расеуждиние только величину 9, получим
ДП= — cot Л + I/3J+ wtiJ",
где под корнем оба члеіга разумеем положительными, так же как
и cotS, с тою целию, чтобы ошибке A7J дать самое большое зна-
тение г [1М].
Минус в ііраііоіі части поставлен; дли тоги, чтобы п конечной результате
оба слагаемых подкоренного выражения оказались положительными. Вообще,
Лобпчеиекин чисто меняет oiiaiut погрешностей, иѳ делан но етому поводу ого-
иорок.
* То-сеть считан ДЕ и ety 71 одного я того же порядка малостіг.
«> Полагая log Л — -±- ДВ2 -)-ДВ ctz в) = — ~ ДВй-г- ABctgB.
- То-есть с точностью до опака.
^ Подразумевается абсолютное значение АН.
ГЛ. ХЛ. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Далее, п последнем уравнении ставя
333
г, находим
Например:
После чего
Я = 2,32975
6 = 6,81315
log 6 = 0,8833671
— log (i = 9,6826907
log sin А = 9,5338996
1ogsin# = 9,S999574
£ = 89,11'б0".
log 8*1 = 3,60206
—log M = 0,86222 ["■]
log ^ = 3,913428 [<>*■]
M
■ 6,98214
log tangB= 1,85350
log tang a; = 8,83564
x = 3555'5"
-|-ж = lV'32*,5 [д"г-]
/£-*
1°« 1/ £
S8214
(115)
log tang — a = 8,53409 ["■] '
—log sill 1" = 5,31443
log Д5 = 0,83066 [™-l
AB = б", 77.
Самое большое значение АВ дает выражение (115) для Б = — іс
и, следовательно, для af=s-H-ir; именно
— log sin 1" = 5,314.43
log AB = 2,29667
А.й=197"9,6 = 3'і7",93.
Зак. 503й. Н. И. Ловачокинй, т- И.
23
S;H НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
15(i. (fcuwe решение, когда шны «, Ь, А, притом а<Ь і< щре-
г7цгіііг>/ и nit at к Н.
Полагаем
~ =. sin (А + а).
Ураниенвй (113) делается
. ,. sin A
sin (.4-7" а)"
і" ] От'*ю;і;і
,.„ sin в він (2А -1-е) *
c-os.fi" «= -/■' ,- -■„-
и наконец
tang Ь' = , *тА . (116)
Ѵвіпаеіп(2А-\-ч.)
Вспомогательный угол а определяется вернее поыощию выражения
которое назначает ошибку
і««=^8Ііі(2Л + 2*)0
Между тем ошибка в угле і? происходит как от неточности лога-
рифмичепких таблиц, таи от неверности в а. Ее находим из
уравнения (llllj:
2Д£ 3(0 , 1 . , , . ,ІП , , ..
Внеся сюда значение Да, получим
AS = .^tang В { cos fia-f cos (Л -f- af j [Ш] (H8>
и (или
Jtto an 2g
'Ш' cosE' J
положив, ваиеред
- cos (J. -f-«)
tang I = —L^g...i..
cos S
,. . 3.-J -f в о 2A-\-a . a .
зіл* (..4-j- a) sin2 (4 + в)
Bio a Bin (2.4-I-a)
— sin*(jd-i-ej
*И6оеоЯЦ + а)=/і-^ = ^ІІа.
и См. уравиевле (100) и примечание' [Щ
ГЛ. ХМ. І'ЕШИШІЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТІ'ЕѴІ ОЛЫШКОІі 'Ti'-
і'.чіічяя ныражсниг (ІШ) с Прежним (I1-L) для А//, ііяіілючіі'.'ді, что
і миледи ее решение шл'однее лержіго (п\ 119), как ''і;орО
и.'іи, другим обралом, •
Например.
Находим
і- I
а" , *: ■ ..
77, +— Bill А"
« = 6,61845
І = 0,В7020
л. = 7 з'а а 'го ",('<»■
ь 4-«=
і_о —
log (* + «) =
log(6 —«) =
13,08305
0,05(175*
1,1.462020
И ,7 580(15 9
log (6-— а-)=Ті,8!ЮШ
-I log (b! — ns)= £,9450839.
— fog ]/&- —о1 = 0,0549101
log'а = 0,9333071
log tatig (A -4- a) = 0,8882882
A+o = 82*37'4!)',97
a=3*58'2a",31
-IA +a = l(il°17'l0",H3
log sin a = 8,8408452
1 og sin (2A + a) = 9~,506288i
log [em a sin (2 J. -j- a)] = S,:J4713i)3
log Увіпа8Ііі(2А + («) = 0,8264334
logsinJ.^9,9914312
log tang Я = 0,8178846.
# = 81°2іУ,31,
2#=.Ш°4210",(і2.
* Ыто неряненцтио иолучиетон на предыдущего гни:
— сов*Л —<:us*M4- a)> —|-і Яіп'Б 4-sinsU+ *)>■§; ^Jsia"jl+^ >"^ ■
* Малое количество здіачащих цифр в і> — а должно повиаигі. точность
дальнейших ы,і числен и 1і,
23*
35<> НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
log cos (А 4- а) = 9Д0811
— log COS 7? = 0,82283 [л"г-]
log tang J ="9,93094 -['!Л']
> | E = 4(>"27'50"f"-].
logco3? = 9,88l24 ['*].
log :-іш ="3,17609
— log (Jf sin 1") = f>,676R4. [""• m]
— ]og'2 = 9,(>9897
log sm2B = 9,47323 [лог']
— 2 log eoa E = 0,23744. [ол-]
logiS = 8",26237 [""■]
AE = o",018.
Тогда как по способу в статье 149, хотя находим то же значение В *,
но не можем быть уверены далее точности
Д5 = о",62 [112].
Выражение (118) для АВ показывает, что точность вычисления
уменьшается с приближением В к -^ к. Однако ж это возрастание
ДЯ не должно почитать беспредельным, как уже подобное
замечание сделали в статье 149. Если Да cot а так мало, что Дзг не
вправе пренебрегать *, то выражение (118) не может быть допущено.
В таком случав снова берем уравнение (110) и пишем
йЛ
(X-\-ABcotB\ s« 1 . ,. , .
- -|-1о^Ц + ^соЬ(2Л + а))0,
предполагая Да, АВ весьма малыми. От логарифмов® переходя
к числам, получим
Когда В близко к -у я, то можем дочитать [ш]
.^ю^і/і + д, .а1а<М + а"\ (119)
. W _щ„.-.Л і л- sin(2A + 2a)
sin В cos £
* Вьгшспенне smB на формуле sinB = —sinA дает также .В=81 21 5 ,31.
* То-ес№ считая йя и clga имеющими один н тот же порядок малосмі,
и На потенцирования видно, что логарифмы ядась— натуральные.
ГЛ. XII. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
и наконец [11Г|]
Отсюда
АД = sin И сон В { — 1 4- 1/ і -f '^
<оы(_і-|-я]-
COfJ?1
Ab'=-t;mg — 'f т^у сой (J. + a)j/ -^ ,
ят ;
. соя (-4. -4- я)
tang % = —— г;— •
ь cos й
(120)
| Для І>' =-jі7 находил а = 0"*, E = -j-«, ?= уТ7, и, следовательно,
самая большая ошибка в угле В
менее, нежели по способу в статье 149 [урав. (1І&)]*; именно, е
таблицами на семь десятичных она будет
Д£«=17і",44еоеЛ [ш].
Б уравнении (119) могли бы также принимать
sinasin(2A + a)
Ак sin (2А -\- 2а)
числом отрицательным, более или ненее едішіщы, разумея к тому
число дод корнем всегда положительным0; но легко видеть, что с
таким предположением значение для £J3 вышло бы менее;
следовательно, выражением (120) можно довольствоваться во всяком случае.
Например,
« = 2,32975,
&= 6,81845,
Л. = НГ50'33",72.
I Находим
&+« = 9.HS20
Ь — « = 4,48370
log(&-4-a) = O,%10982
log(d — a) = 0,6616305
log (йа —и2) = 1,«127347.
* Ибо зіи£'
tin Л
sin (,'i -J- а)'
* 'Гп-йстъ менее, чем ДД = у -г .
вшоаіп(Я4Ч-°)
< — 1 подщреввое выражение ставо-
ввтея отрицательным. Поэтому неясно, что едесь хотел сказать Лобачевский.
■ілН НОВЫВ НАЛЛЛЛ ГЕОМЕТРИИ
ІОЙП = 0,ЗВ7309.1
— lr.tr yW^tft = э",Ц)36:)27
log іаі)£г (.4 4* *) = а",5{)ОЭ420
А-|-а= l'/oO'll",!!)
s=7,',;iH
2Л-(-« = 3!)°Я9'м",Ч2
log .sill (2.4+ д) = і7>)7Э54і
log fain *аііі (2Д + «)]=* 5,3615354 ['"'■
4- log [йііі а аііі (-2 A -f-«)] = '7,6807927 |'-'-'<-
— ~ !(^|аіііааІіі(2А-1-а)] = 2,:Ш)'207:і [«*■
logshl-4 = 0,f)33899fi [мг-
log tang В = 1,853 L0(i9 f-r.|
i?=S!) 1і'і7,";і9 ['■'
log tos (.4+ «) ="^,07300
— log cos /J =1,35315 ['■-''■I
log tang E = 1,32615
J = 8jT8'42" [""■]
ан | log6o> = 3,47712
— log M= 0,34222
log ^ = 3,830;;+
log j/!~=(Т,9ШІ7
— IogcosS = l,82fil7 [.i-j
log: tang? = «",74.38a ['-*(
a = 3,ll'17" f^-]
i-» = l,35'59" рл]
log tang-| = 8,44003 ['"■■]
log cos (A + a) =Tj,97300
log sin .5=9,99996 fcjr'[
~ log sin І =0,00005 [""■)
— iog sin 1" = 5,31443
logA# = 0;65314 ["-'■]
ДВ = 4",50 ["*■],
тогда как по способу в статье 149 найден был угол В с тот-
ностшо Д#=б",77.
ГЛ. KIT. РЕШЕНИЕ ПГЯМОЛШШІНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
35!)
В атом последним pomiiHiitL мггж?м достигнуть | ищи 6п.ічо точ-
иости, когда к таблпгщи логарнфмлв на <;а,іь десятичных борем
а помощь таблицу тангенсов, какая здег>ь нычигдата на гштшідцять
десятичных в дуги Г114]*'.
манганс
0,001
0,00-2
0,008
0,004
0,005
0,00b1
0.007
0,008
0,0u9
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,0(50
0,070
0,030
0,090
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,300
1,000
дуга
0,00090
0,00199
0,00299
9999(3 66667 >
99073 33340 j
9901О 00049 1
0,00399 9978(3 08871
0.00499
0,00599
0,0069!)
0,00709
0,00899
0,00990
0,01909
0,02999
0,03907
0,04905
99583 33958
90280 01535
9885(3 70028
98293 39S87
97570 11809
06666 36668
73330 73151
10048 58878
80871 -23290
S3957 21943
0,05992 81551 21210
0,0(5938 60016 346І2
0,07982
0,08975
0,09986
0,19739
0,29145
0,38050
0,46361
0,54041
0,61072
0,67474
0,73281
0,78539
99857 12287
81741 89951
86524 91162
55598 49881
67944 77SI37
63771 12305
76O0O 0080(3
95002 70534
5964S 89208
09422 23551
51017 88507
81633 97448
у го.'
О3 8'2S"
О 6 52,
О 10 13,
0 13 45,
0 17 11,
0 20 37,
0 24 3,
0 27 30,
0 30 5(3,
0 34 22,
1 8 44,
113 С,
2 17 26,
2 51 44,
3 28 1,
4 015,
4 34 20.
5 8 33,
5 42 88,
11 IS 35,
16 41 57
21 48 о
26 33 54
30 57 49
34 59 31
38 39 35
41 59 13
45 0 0
20473 74922
52906 24561
79250 23681
05482 47147
31543 69974
57393 «7373
830013 14801
03324 3801.(3
33313 «3117
57931-16(305
74821 74305
08330 5959(І
19615 34987
65831 40023
08930 48219
02258 65537
11053 564S0
95240 83833
13529 49987
75690 64727
27924 23769
07415 08664
18423 7480(3
52351 54645
27271 48108
30971 47237
96498 49898
* См. также приложение 2 на стр. 593 ааот. тома.
360 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
| Б первом столбце таблицы написаны тангенсы, во втором —
содержание соответственных дуг к тюлупоперечнику, а в
последней— угли в градусах, минутах, секундах и долях секунды на
десять десятичных.
Если теперь значение tang (Д 4-а) в уравнении (117) вычислено і,
а близкий к нему тангенс из первого столбца берем і' с углом
к нему Т, го, ставя перед тангенсом arc tang, чтоб означить
угол его, получим [ур. (93)]
ji + a=sr + ai.etaUe(i^
Пусть далее
t — t' _ ,,,
і -н w ~ '
а к. I"— близкий тангенс на первого столбца *'" с углом к нему Т'",
то снова
t" — t"
arc tang t"= Г"+ arc tang I y^™»-
Дриблшкенный тангенс можем брать в нервом столбце либо менее,
либо более данного. В последнем случае придаточный угол и
таблице делается отрицательным.
Так продолжаем, покуда тангенс придаточной последней дуги
не сделается менее написанных в таблице. Тогда вычисляем
наперед дугу, потом самый угол помещаю бесконечной строки
(Алгебра, ст. 180"):
arc tang се = х — a;3 -f- — жв — х1 ~\~ ...
о о 7
Точность вычисления теперь будет более зависеть от угла а,
который с помощшо ?аблицш может всегда быть определен до восьми
десятичных секунды.
Для примера берем снова (ст. 150)
н = 2,32975
5=6,81345
А=19°59'88",72.
Находим
,„Й" . = 0,13239 87468 16501 р"].
о- — а*
* Той IV яаст. ивданвя, стр. 232.
ГЛ. XU. РЕШЕНИЕ ПРЯШЛШЕІІНЫХ ТРЕУГОЛЬНИК fji; SOI
Нотоіі і' шшпщтип лога рифм on приблшнинно
і - ■ ■' ■ - = 0,3H3S6(i3 = L
/(.'■> — (!»
Полагаем для второго приближения
и
: а + ■■>:
-.г жг
и, следовательно,
пренебрегая квадратом от ж, находим
я =0,00000 00859 39274,
потом
у = 0,00000 00000 00020
и, следовательно,
".^ = 0,36380 63S59 39264.
Если довольствуемся приближением
й
-=^=- = 0,36386 03S59,
то
. . . то. . . / 0,06386 63859 \
= arc tang (0,3) + arc tang (0,05) 4-кгс iBtig ("'^Дп-
= arc tang (0,3) -\- are tang (0,05) -[- arc tang (0,007) -f-
/0,0006219175
4-arctang^1|1124120938
Здесь
0,00062 19175 = . 0,00006 57115
1,1124120938 ' Э + 1,11241 20938"
Далее поыощию логарифмов вычисляем
log (0,00000 57115) = "5,8170414
— log (1,11241 20938) ="9,9587343
5,7713767 =
«= log (0,00005 80712) P1].
Следовательно,
t 0,0000219175
1,1124120938'
,0,00005 907114.
36-> НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
'ГГог'Лі! чого н углах.
an; tang (0,3) =ІйЧі'э7",279242
arc. tang (0,05) = 2°5l'4i",R5B8H
act tang (U,007)= 2-t' й",Ч30061
are tang'(0,00055007111)= l'55",316638[m]
J.-J-a=19"5!)'u",0.44:S05
я = 7*,36480
2J.4. + a = 39359'l4",Sn
log аіп а = 5]o527359 (-""'■]
log sin (2Л. -f- «) = 1,8070510
log |аіп a sin (2 J.4- a)} = 5",3fi06899 ["■]
log Уяііі a sin (2A H-a)} = "7,(18034:50 [':-'J
— Log T/smasiQ (2.1+ft) = 2,3106550 [сл|
log эіп А = 9^5338990
log tang S = 1,8535516 [сл-]
B = 8!)oll'50",871[CJI-J.
Ошибка в В назначается уравнением
Ш ~ 4эшазт(2А + а)
Принимая в настоящем примере
д«=о",оооаз.
находим
log " « = 2,87506
— log (Жsin Iй) =s 5,1)7664 ["•''■ ш]
log зіц 2.5=8,4473!) [""■]
log -^ sin 2Й= 6,99909 =
= log (0,000100).
log віп 2£ = 8,44739 [n;r'j
log sin (2Д -f- 2a) =в fl,80797 |"UJI-]
log Да = 5^9897
— Iog4 = 9>9704
— log sin a == 4,44726 [KI-J
— log sia (2A -j-a) = 0,19205
Т',99162= [*»■]
= log (0,0098)
д^==о",оі.
* Это уравнение следует аа (118).
ГЛ. XII. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ -Ш
| Ш. Осо<То<г решение, когда даны л, О, А, притом а>Ь, и іщс-
ъцйіжя иіѵ'ітч угол В фхьлш оли.тий к -^г..
Полагая
~=ш\{В-\-л) (121)
к п уравнении (11S) части на двух сторонах в первый раз
прикладывая і; siii(B-f-a)i в другой вычитая:, получим
(122)
sin — a cos [В~ —а] — ain (В-\-а) sin (7-51 — — А
cos— ct sill (j? + Ta) = si» C-S -j- «J coa [-т- я ™yi-
Отсюда
tang 1« rot [в + j a) - tans (^ * — ~ -i)" - (123)
Уравнение (121) дает другое
taim(5J-a)= .-L-.. , (124)
У a- — <;3
которое служит к определению JS-j-a с точностию
ДВ 4- Ла = ~ sin (-2 Я -|- 2а). (125)
« [Если теперь приближенное значение В по способу в статье 149
тайдепо, следовательно, вспомогательный угол такіке близко знаем
из уравнения (124), но в а должны сделать поправку 3, то
уравнение (123) будет верно, когда сюда вносим я-f-*. ■# — ^ вместо а, В.
Итак,
taug(i-e+T3)cot(-B + ya~"2"3)=staIie(T1t_"T-4) "
Пусть D, D' — разности в логарифмических таблицах отвечают
-a, tang (В + у
тангенсам tang-д-а, fcangfB +-ц-а) > то
logtang /i-«-{-i-8j—Iogtang-|-« + -g-8D,
•log tang (s-f-~* — і-з)- -log tang (ff-|-i«j-|~|-8Z>'.
8(і4- НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
После чего е гкшоіцпю приближенных значений В, я находил
поправку й к угли а
2
./.)+/>'
/1 \ \ tE»ng-2e
2 log tang (_-*__ А j —log —, y~
v "" ' tang ІВ ~f- -a
Хотя, таким образом, уравнению .(123) будет удовлетворено, но
в нем может скрываться недостаток от ыеиерпоеты таблиц до 4ад,
по чшпу всех логарифмов (ст. 147), и который произведет
в углах В, а ошибки ДД Да.
Их определяем из уравнения (125) и такого:
з;і | Да 2ДЬ'-|-Аа _ 4т *
sin а аіп(2£ + а) _ -^ '
где знак отрицательный перед ш поставлен с тем, чтобы дать
самое большое значение ДЗ, которое находим, исключив Дн,
&В ^т?{—-—,г> і \——гг +3 tang 5cos(5-t-e)sHias].
Между тем, из произведения двух уравнений (122) следует
sin a sin (2B-J- я) = sin (5-|- а)" сов &'•
После чего
М сов 5 [ + 2 ши (Я-|-*) сю Л»}
или
где
АД- **«■* , (12в)1
яіасоа 5 cos ®s
t£U1^ = Ho7l]/ Й5 - (127)
* Ѳю уравнение получается но погрешности выражения, й преде дяіощего I
»teT- 1 -/" ааіп.Всоаа(Д + «) " -,-„,, & „„^
Cg?_ еашЛ V 2Sm(S + a) ' н° эт <Э + "> = " (1 5' °ТК7ЛЙ"
соч2 (Л + ц) = й ~ . Поѳго.иу получается формула (137).
ГЛ. ХІС. РШГЕРШЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 365
''■ ] Например,
ff = 6,87020,
6 = 0,6134-5,
Л = Sl°2lV,31.
По способу r статье 140 вычисляем
log й = 0,8333671
— log в = », 1.630308
log sin A = 9,9950333
log3inJ5 = 9,9914312
В = 78°39'20*,70
log4<« = 3,30103
— logfitfsin 1") = 6,67064 j/*-"8]
log taii£5 =s 0,69740 ['™>]
'1,87507 [ei] = logC<>.4732).
Итак, в этом значении 5 можем быть уверены только до 0",5. Чтобы
достигнуть более точности, дочитаем отысканное значение В
приближенным. По способу в этой статье находим
— I" log («а — №) = 0,0549161 [іаі]
log Ъ = 0,8333671
log tang {В -j- a) = 0,8882832
■ B-Y а = 82°37'49",97.
-зв | После чего приближенное значение для а принимаем
к = 3°58'29"127[™1'-]
~- а = Г59'и",63 ['•'■]. ■
Предполагая в « поправку £ секунд, следовательно —3 в угле В,
находим
log tang (~ а Ц- ~ Ь\ =- 8,5403362 [«■] -j- 303,5 S
log cot (s +-£- я — -у в] =■■а'.гіба&аз [«*]+85,6 а
2logtang(jT: —|- А) =7,7572284 [^] + 369,1 3 «.
= 7,7572806 [^-J.
ЗЫІ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Отічодн
:J.fi9J 8 = 22 ['■•''■]
?, = (j".060 ['■'■]
ц = :і'і38'29"і33[,-л-]
£=7Я°3£)'20",64. ['■'■]
Назначаем теперь точность вычисления для последнего апаче-.
ния 5
log 3 = 0,47712
log sin £' = 9,99143
— log 2 ="9,69897
— loga = U~,163Ci3
— log Д = S^ieeea
8.4U718
^«9,24869
lab
log]/
Jog У«^Т- и= 0,94508
— log: «"OS -4 e* 0,82283 {лцг']
log tang ¥ s= 0,01661 [сл-]
» = 465'5'rJ9"fejI-]
Jog 2ш = 3^00000
— log (J/ain I") = 5,67664 [«■• «"в]
2 log cos .A = 8,35434 [вл-}
— 2 log cos'? = 0,31785 \<-n-]
log?-= 0,83337
— log й= 9,16303
— log cos B= 0,70618
8,05131*= Jog 0,0113 [«'-J
С приближением углов A, i? к -^-ir угол а.делается весьма малым.
Полагая А = ^~< следовательно а = 0, ив уравнения (127) находим
<р в= ту-к, ЛОТОМ
C0S-4 -/Звіп5(»а —6sj *
Z1
cosa1 J/ 2и&
., _ cos Л . uqsA
Под -■ здесь следует пошшатъ Іші .
tos? ,4.->вй «OS if
і? -*■ іг/а
ГЛ. XIJ. РЕШЕНИИ ПРН1ЮЛІШЕЦКЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 3ti7
Наконец, уравнение (i'2t!) дает
Вычисление, следовательно, тем будет вернее, чем В ближе к — г..
тогдм как по способу в статье 143 точность уменьшатся т-егда
с приближением В к -^к,
1и2. JXunbi а, Ь, А; найти с, ко/да а~>Ь,
Уравнение (В7) представляем наперед в таком виде:
уѴ — Ьа- Ь cos Л
9то значит (ст. 157);
где У и? — Ь'1 разумеем числам положительным. Между тем [ст. 137,
УР- (И)],
log [ ■■ _^._^zi; ] = lOR COt — III log ■■ J ■ -
іИтак, решение заключатся в таких двух уравнениях®:
h COS --А )
'" "'' — yjF^W' I
1 . (128}
с= i:ot~&'l/K- — ь": j
Первое дает единственное, значение :т, то самое, при котором
cot-^a; положительное число, тогда как другое и-^-х (ст. 12(5)
делает cot-з-ж и, следовательно, бок е числом отрицательным,
а потому невозможным -
Ошибка в х не превосходит [ур. (109)]
2<а .
М
, ,,, ІшЬ А&тВіа 1*-') du> am В и*—Ы Зш ... ,, ,
аЗІсаеВ 2ab М cosB а% М
в дялаом случае о — гнпоіенува.
^ № -t- да — я.а а соа ^| | с Ѵаа—№__ frcos.'l
*' Обозначая log
yrt'J _ f,a
ш
НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
Ошибку в logc должны почитать [ур. (106), (108), (109)]
Д1о°:с = Зи
ЗІАх
sin х
-. ["']■
После чего точность вычисления
luC
До = ^ (3 -j- 4 пой ж)к
■і» Іили
где
Де =
Зшс
і/ еоз ?*
tang 5
-/1
— еоа а;
о
и где cos# всегда разуметь должно положительным числом (ст. 147).
Например,
« = 6,8134,5,
& = 2,37584,
І.=!І01°20'39",34.
Находим
-10
а -\-Ь = 9,18939
п—6 = 4,43751
log(a+&) = 0,9632867
log (a~b) = 0,6471394
Iog(a8—iB) = l, 6104261
log "[/"и3 — fia = 0,8052130
— log & = 9,6241645
— log сіозА = 0,7061676 к [л№-]
log tang а = І,13'5аѲ51н[ея-]
ж = ІН°1іУ,69 рл]
■ія —47'б'84',86[«-]
log cot -' X = 9,9682422 [ая-\
log У я3 — Ь- = 0,8062130
log с = 0,7734552 [ол-]
с = 5,93547 [■"'■]
* Л log с — Зл> 4- 4<а соч ж, іе = |- (S + 4 cos ж) [ур. (108)1
JVI. \-[|. Т'КШШИК ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТІ'ГСЛ І'ОЛЫШІ.'ОП
log <-os.r =Ь,&\зШ>[':1-]
— ioga=_ij,522ss
bg |-,j '■"*<•) = Н,йНВІ8[,,-'-|
Jf)B' 1/ '.Г «fis J1 = Я', 1 !>Ж)И
bg-tang * ="9,4(Ш2 l'-J-J
E = l7aI9'87*|*-*J
— 2 Jog; = 0,04034|l'-'-J
bg3<M = JT,l760tJ
— lug ;l/= 0,30222
log: с — 0,77846
li.gA^ = 4,3r>2111-l|
! іл = 0,0000022 j.
15Й. Л.тш a. A, А; нііііпш t:, voiOti a = b.
У-рявтчшо ((17) и этом гаучае делается
е'- = 'ЛЬсі-ча А
и дает дня знйчрніія: *■ = 0, другое
с = 2ЬѵовА.
Точность вычисления:
Например,
. 4и>
Лгі = -J7-C
6==2,87594,
А = 7S"8'j'2o",liti.
kig 2 = 0,801.0800
lug cos Л =ІГ,2ІШІ24
|og-6 = M7^S3j»3
log-c=!T,970(i7ra
с = 0,934722
bg 4ви= 8,80Ш.Ч
— [ogj¥=0,8ti222
iog-f:=9,970fiB
|ogAc=f3",63833
Ac = 0,000004.
Зік. 5030. H. И. Лобачгпскпй, т. II, ~-i$
S/U
ПОВЫВ НАЧАЛА ГЫШЕТРІШ
154. Дани а. Ь. Л; на&ши с, когда а < £».
Уранпекііе (67) представляем наперед и таком ішдо;
УЬ"- — а" Ь сов .1
Отсюда
2 У А4—я2
sin ГІ ( log.
■2с
У6- — а3
'\ч~~с' уь-~а?} icos.L
где |/йв — а2 [.ія:»ум«оті:я положительным числом. Между тем
[УР- (62)|,
с 1 /
log — ' - ■ ■ = log cot - П ( -
У Ь' — и- '' ° ' '' 2 \ У й- — a'J
А каі: синусу прііыпд.'іежпт діза угла, которых сумма іг, то
решение дает два, значения для а и заключается и таких уравнениях;
Sill Ж =
Ь COS -4.
с —tang-у %УЬ'*
к = cot -- х УЬ" —■ а".
Ошибка к я; не прешойжт [ур. (107)|
Л** = -^ tang л;,
(129)
б значении жр г.
йю
i* = sM--
с Да:
sin а;
и, следовательно, точность вычисления
тощ
где
Д<: =
4
1 cos ж
(130)
tang <■=
JfeoaE* '
2
J/ 3 cos ж
s» = nflog~
M .-,, .. Два уравпощш для с прішедены рядом для: выбора.
V у ЬЗ ~ і^! /
одного па них, а не являются совместными, как может иоказлт^сл иа
записи.
* Де-^(з«4-Alogtg|)=^(3- + ^-)lyp«uBie»Jie (109)].
ГЛ. XII, ТГІІШШі: ПРЯМОДІШКШіиХ'ІТЕѴі'О.'П.ІШКОВ 37 J
<л ] Haiipniicj'!,
if = (i.Sl.:j43(
/, = (і,Н702іі,
h — (/ = 0,05(175
Jog (()---«) = 1,1302020
1 og (7; — (і) = 8, 7ГШ659
log(6'J —«а)==<І,8!ЮШ9
It)»- У> —7(~- = Й/М-ІОвЗЗ
— log &~І)',1639300
— logcos -4. = 0,7061876 [■""'■[
]ng-siii!,c = !>,8143U27|'-|l
.,:=4i"j\nY)5"14!)f"-1-
■^ж = 20 20'57".7Г)|"--1-
log /&*—о* = 9,9450839
log cot- x = 0,43075.44 ["]
Jog с = 0,8 75837a f1-'-1-]
fi = 2,37595 [CJ-|
log !/> — и" = 9/1450839
lop' tang i- a; = 9,5(40246 li (''■"'■]
log c = 9,01-13305 [™-]
(.' = 0,3213837
— log 3 = 9,52288
— log cos x. = 0,12025 [«■]
—lug (3i4.is a-) ==H:(i4313 [''-''•]
>rjs:e) = 9,82156
log 2 = 0,30103
_ I l,,g(3rrjs.r) = 9,8-2156
logttuigS =0,12259
; = 52°56>)2>'-].
'24s
■J'2 НОЫЫК НАЧАЛА rilrtiHE'ti'HH
— ■2 log cos E s= 0,44050 ['■-'■[
І0кЯ(і) = 3,17[Ю!І
— log ЛЬ- -0,<ifi22'2
|IiSe=aO,87.'>.s4|IJ,-|
ЗДГМІиІ'''-J
iogV=-4,a->474M
Д(-=0,0()("іпі.Ѵ2;і
1г)£<;= іТ,5і4:і:і
— |М|78!т ["■■'■[
log .ie= 3,48323 ['■-''■ |
Д^ = 0,00000081.
Выражение (1301 для ie показывает, что точность і начисления
« уменьшаете я с л риал иже н ном л: к ^-т:. | Однако ж когда .'■ весьма
мало ранниті;» о іфямым углом, то мі.і. ішдімш в ггаѵі.е І4!>, чти
положив
т«
^ Иш
iLgr,—tangly ^.
можно принимать
и, еледовател ьно,
.L , /Sui
A.-^tang^-T, у F
■'ІОІГ
Дс =
il/fiOSV '
где
ang' j/ і)щ J' ' ah,,,;
Для j:^^t: будет T| = ^s; после чего
0 логарифмами на семь десятичных это дішт:
1 log N=0,НОШИ
]0gJ/"=fl,fi377H
— log !)м =_(ii84(r7j)
4 log tang С *= 0,887615
гл. >ш. !'і-:іііі:іііп-; иі'Я.чо.ішшіпых "Г-і-кѵі-г».чі,ітіѵол ;-;;:->
lofi tfinjj -. = 1.7-2Г.І]
;^нь°:,4'47"
— ■> l4[r,-ns; = >l,-l4:!!)S| ""■J
lOff :i01=r=.4,17fil)!t
— In;; J/=o,qi)-22-2
Итак, питона к значении к может доходить до тысячной доли,
і.'огда угол /V ічі'і'ііМИ блігипк к л|шш.шу.
Kiij. flrof'oe jii'itti.-y/tr. woiда ііаны ", b. Л, нрпніак а < £.
. 1
и > 2isin ., .4; требуется наііпш іі,
Ѵ|іаішеншс> (іі7) можем дать еще такой вид:
ff — Л)"-|-+Л si и~ .(*(<; — /;) = «* — 46s sin-І Л-[Ші]. (181)
Потом для '( > 2usin -^ .1
(і—Л
]/-•
■ 4&- кіп — ,4-
■>j/V
-44* sin-і-1*
2 (в-ft)
lb sin 4 -1"
l/
a-—i?i-sin-^ A-
j Это аіійчит:
«til П (tog і
_/ tf —4.0-sm — .4-
26 sin -y .4.-
.r—&
і/і^-^внід1
тогда как
cot -^ П
log
iA-
1 1
ii
l/ffl5"
■ 4&2 sin -| J.:
І! — Ь
374-
НОВЫЙ НАЧАЛА ГЕОЫЁТРШГ
Итак, рошгчше :іаі;лиічаетчя а уряинеЕгггл к
•lb . 1 . .,.
аш*-= —sul-2 Л-.
і; = Й-{-Я (.'04'і tilllg — '■!>,
0= Ь II СОЯ 2 ('fit—'!>.
(іа->)
Ошігбкіг иычшл'генни:
д? = т^ tang?,
Дг[> = —_- Si.Il 2'J| Дэ — —і ,
2ІІ£ ' 6iu25
&С *» I A i -и- М I 141 1
—,- = -тт. + A» tang » =t -т-Ц- Ul .
и В последнем уравнении внрхнпй знак относится it j правому,
нижний—ко второму значению с. Отсюда находим для первого
значения:
I1S 21
л ^£Н, , , ■ 10соа-*Л
Atf= - -,г—Ч ;(':озі^1 -J j—■.
М \ ' I'OS 'a- j
Для второго значения с, когда яіп а3> coa'ji
1
Ье-
М
.йо.'ІН Ж ЯГ11о"щ= Г'ОЗ'ІІ, ТО
,)[ Юяіп-^
Г'.ОЙ UJ
ia^^V + a™-*)
ж наконец, когда sin »- < cos d
.(і-о)
Дс
Л*
10sm-~i{J-
9 + 3 еоа 4 ;—і.
1 cos t?J J
(133)
(134)
am
(136)
гл. хп. ркишшк ігря.ио.-пшЕііт.гх трі:ѵпі.-ц,нт,'(іі; з
FIati|i!i,Mi'|j,
іі = 2,37594,
& = G,S1345,
.4 = 19;Г)9'УУ -7-J.
Iog2 = o,30i03oo
1о#4 = <),а*Ш71
— loga--=9,6241645
Jog feiti -T-1 = 9,239.-)! 33
log sin a = 9,9930749
а^^'Зб'яз'Лі.
log tang » = 1,025Ш1
log sm 0- А = 9)2395133
logcdhli = 0,2fi46994
--^ = н',іа'.із",4і
log fl= 0,3758355
log соя а ="8,97'28Й37
log tang-i-t!» = 9,405249a
logfc — &)= «,7539737
e—£ = 0,1)5675
С = 6,87020
tog я =в 0,3758835
log cose— 8,9728887
log eot — % = 0,5947505
log (Й —C) = 9,9434747
&_й = 0,8779Й
a = 5,93549.
Точность вышсаоЕГПя для лирного значения с [уо. (139)];
log eos <(< = 9,94377
log 8 = 0,47712
log 3 cos if = 0.420B9
= log(2,036J["a''']
:'"<: іювыі: нлчллл гііомкчч'іш
logi-ns п '!- = 9,9міі40.
■2 Itiji .-us — '!. = 9,972.НО
— "2 log i'(i.s<p = 2,05422
lii^ 10 = l,UUn()(i
;{,()27U'2 =
=т fog (1064,2).
logi Hitj:),is) = :i,(l27()«
1og(e~- u) = N,7;i:)<J7
— log Л/= 0,36222
ld{rui = 2jj9«S7_
4~,M244 =
= log (O.OOOUl№№4)[■"'*" ■[
^■^ 0,000007.
Точность вичш'пннкя дли пгорого иин'Н'ннп с, і-до sin •!- > uos'}
[УР- (13+)]:
I 2 log sin -^=Я,7іШ0[л"''|
— 2 log eos іі = 2,05422 |!ПГ]
log 10 = 1,00000
1 ,8Я7,Ѵ> = Г1-1 ■]
== log (68,789) [«-J
logt71,42:0=J,8J.485j'!-',J
— log J/= 0,36222
log <u = 2,69897
lofr (i — c) = £,94347
4,85801 = [''■'■]
= tog(O,00()007211)lb1-]
Ли =.0,000007.
156. Особое решение, %o?c)a даны «, b, А, притом, к <&, и < 2b sin 7)- -4,
тре&і/ется найти с.
Уравнений (131) первменяем на та-itoi1:
1 / 4йгьіп = А!~ а-
Ь~с у_ _2
/ — ~ ~*~ 2(Ь~с)
2 I/ 4^ sin , Ая — & ,
У 2 2йвіп~Ла
/
ііЧіп-і-^1
171. XII. 1'КІПЕНШ-: ПРНМОЛИШКІІНЫХ ІТІІЯ'ПЛЫШИЛІ
!-)то яначнт:
win II/ log
■•'■ ' !Мі'и;, і.ѵ тем как
1 ...
Ь — в
■■/ -16=«Іп -і- .*■■= — н* j
it ,, П/Іок -
4 —г
і/ 4?/-sin 1.4- —«-
24 sin-, .1-
і —,
1/44- sin * А* — яМ 1/ 44е sin А
,42 — й-
іі. г.']сдіівнт(ѵі[.ііо, решение ааклю чается и уравнениях
<;OS'J> —
■24 sin A.i
Р11І
sin - .1
с=і — " tang»-tang-|--^,
e. — b — и tang a ■ i'ot-— ■!-.
П
Ошийіш шллиеленші могут быть;
if
ib = 'jy.tang;,]'-|- Д»(іот,«mu^'i E'.
Наконец, и большем значении с
в меньшем аначении
[4(о 2Д* ДФ t
Де = (Ъ — С) ~-Ь 4-=| =Ц р«].
[ilf sin 2» sin^
^ I Куда вставляя Д«, Дй, заключаем о точности
Де
ш(4 —с
.47
am
9J ooaO > ' ' ']'
* аф-Й + А'^і^ф.
Ii:-i7t
373 НОВЫЕ НАЧАЛА ГРЮМЕ'П'ШІ
І'Із у|>апіі''Шій (1Й71 птирое можно заменить еще тііі;ціі:
si п о »
tan»- О — - ~~
у *ш (4 А + ?)яш (т А — ?) (W8)
и которое, диет ошибку в угле 4
Д'1 = ^-=у:ВІи-2і}і-(-Л'і cot» (aii{i'"Lf1:nj.
После ifc.ru отшюкіг ті двух ;щаѵ<ч=гтіях с
ф{Ь — и) I 5 cot?-)
j,. = — „_ ^ 4:4- -. ; 4- 3 cos і -f- ■> ■- "г ■
і¥ ( ■ 8111'f- COS'S )
.U ( ■ am е- ' cos'!, j '■
Надобно ;іаметитъ, что здесь первый член
imSb — i:)
Ж
j может быть взят с пршгзпольиим ялаком, чтоб увеличить
назначение оішібіш.
Это ртшзыпе выгоднее прежнего (ст. 154), как скоро Ь — с весьма
малое число, даже е. углом В ті треугольнике, весьма блжікіш к
прямому. В этом последнем случаи о переходит &~Л, <\і в -^-~*.
Уравнение (13В) і-іяіпгячяет ошибку в -Ь от недостатка и логарифмах и
при неверности в угле а
log { itinjifu - M)rot'l>} = Л?
cot « — — cot I --- A + e
T,"log
sin I -. --i — « — is
Bin 1 -~Л — о
Потом
+ 8м[»1
(1 4-Д^і!ОІф)аlain (-І- и4—-т) —Д!р«оа /i- jL —<p)|
{1 —^tang^amli-^ —«) ■
= 3<u -I- Д»
cot?—^ cot (І-Л 4-
HOI
*! f,r,lJ==.
"J^l —sins 6
j/ sin* ^ _ eills 9 J Д ітх Л
sinl-,- 4- о ) sin, ^ ■?
* IIoo при .ft = ~, = sm . L л cos if = —.
Г.'І. Хіі. І'ОІШШІ.: ПІ'НМПЛИШШШЛХ'П'Г-:ѴГО.'ГЕ,ГГИ!ІОН 3~'->
или всііг.ма іілшіко
1Г|І!
|/«ii,(-^-t+'f)f«iu(^.l-?)-i'fi:os(i-.4--?)
sin — .1 i-os ■!< . -■
2 \ ' sm'b
= :!ш -f- Д-f
ГОІ » t — r(lt [ -; ~А ~J-'
От лпшрифмон и и j»'ход si к, числам, мода^м (Іргі чувствительной pu-i-
ности принимать
S111 --A (»'OS^ . -,
L Зо> Д»Г 1 Лі , , V
х
Х|/ sin (1.1+ ?) [sin (і Д_?)~Д?,,<№(І ,!_<?) ][»*]
НЛП ДІІЛЛ!
гіІІІ -.-,4. I COS '!■ ■—М =
2 \ ' SIZl'i/
-/-(т
А + <э
sin ( -A—-si—Двгоз(-^-А — (?
том ошше ѵ
8111 -г-Л CDS '!< ,—г =
« |/Sin(|A-f «){ ^/\ш (ii-,ji[/A^o9(ii-ij[.
Отсюда
, , sin 6 . /". . / 1 .
Ді!і= j I/ iesm I --Л
sin —
?J «os -£--! — «]flja|.
it г j - *
Для ? = -- A: -i == т т.
f
ді в= "] / 2Д» cot ^-A *;
* Уве.-шчшти upiiii.vju часть. Предыдущим іфиіі.'мѵіжпием siu ее уиеньщклн,
чем ч ои'ьясняготии С'готі «теіг Оо.ич»».
і+ =
/ Дсрвіп („■ -l-f Icosj^- — а) I віп А /- т
JiMJ- UOI-іЫК НАЧАЛА ГКОМКТРИП
ни кон гц.
і'ЛРДОНіігеЛІ.НО. Ш'Ч'ГІІ
V м
ЛІея;ду тем как по способу и статье 134, когда Л1 = — ~, «шибка в с
могла выходигіі
*-У*
бі-як'КИ рнп оолее, как скоро
tang
^<і/І
137. Впрочем, решение пред идущей задачи хшж.ет быть
соединено і- решением, когда при тех же данных отыскиваем угол: В
(кг. J49), который предположив известным, полушм [ур. (Іі8)|
или і'ст. 149)
штісша в в
win 6'
si и л
Де = ^ + у> ДД t-ot fл -f- J). (НО)
Куда вставляя значение Л/1 [ур. (1і4)|, определяем точность
вычисления
Ac=-^|l-j-taii^B('ot(")['^t. (141)
При Ь :^' і, ІІ~Т| і а пало я, ираме тиш, (I* — (!) <jtg — -s& а.
При #эд — а, ря? eigsl. J4a.ui4ua sin Л. в ііиаиѳиатѳле отйрасывавыиго чдвка
щпет ci.'u яорпдѵса, ийі зтоі
оіфушюити треугольника ,4Л6*.
ие пеняет его яорпдѵса, иіЗи этот і.тіж петь —гт- jK, сдр R — радиус оянсанной
I'.l. XII. РКНІКШІК ПСНАГОЛИНШНЫХ TPGSTO. II.HIIK'ul; ?.Sl
Іідссі, tang' /jfot <" принимается всегда ігплспші іе.п.ним числом п,
сіедітательно. дли /'< — ~, ''<-;,-"
, 4(іі*.' йііі А
_.(■ — ,—_ _____
Л/cos A'siu Г '
ІѴ'.ІІІ VI.' />'<-„-"] ^ ' >' Т "і "ЛИ "!>".> S ' ' с' Т.- "■ 'І'і
4ш(.'.чіп (// — Г)..
іѵг = • —— "
Mi-.osBsiu с
| [.Id і'ііііг-обам ті i"raTbfLX 13_ и 154 найдено было с с го'шостшо,
дли которой _w|jaH№iiMtj, когда сюдя внесем лия'Н'нш' j»cni>srf»i,_irr(f.-iT»-
iiiirn углн ,<■, делается таким:
■і'- = -л/ (;і -\- 4 иіт Л taiiy А'}|14/| (142)
іі где <-ot ,4 tiinц; В должно всегда принимать яа полон; [гаѵи.пиі,1
число. Теперь нетрудно .чак.почлпъ, чту подледное р^чп^ии.!1 тіенкніі
ра;: віл'одн''е, нежили пре,:кн.не u статьях ЬѴ2 и 1.14, к Fin скорм
4_ (С COS .1—«COS Г)
да cos В
>1
ді> i-ijs .1, пи U, сой'' рассматриваются числами іиѵтжит'гг.н.іШіі;.
Вставляя значения ео_Д, cos Л', получим
\1>--\-е}—a")zp(</--4-й" — (,!)>-;у w-os Й.
Итак, ііоііледнс! решение предпочитается прежним, если
coa.-i cos і->U
4 (я5 — ff-) > ос Dos /^
и.ін
| cos А сок ('<0
4й- > ад (ins Л',
и когда в ч пел as г"— на, сои Л знаіш не принимаются в
рассуждение..
Д.тіг пришит- берем
и = _,;(7Г>!)4.
ft = (і,81Я4Г)
Л == 19Ѵ)Я'з:і",72.
::■ „■= ,^—^—г, ■ но »'-w С?_ .-даЗ sin С) = -л--- ■ "Л ,'■*',а(-!і -С)-
Л! со.ч Я cos f.' J/ i'os B се- (.
УЯ-2 ыоііьп: нлчл.іл гешікп'іш
П<і riifti-mjy it i-TrtTFii1 1">4 ішчіпѵіясхг
/,_!_„— Е),]КЯі!і"
/;—« = 4,437й1
bf!; (6-[-«) = і>,0іі:і2Ч(і7
log (S — н) = 0,(і471:іі)4
logfi2—n-J= 1,(110421)1
Ion; У й- — (/2 = п,ч0">21 oU
— logi = D.lli<Hi;i2!>
— log cos .1 mU,fi'2(i!l!lll
l(i^siii,i; = !7,™,sS400
.■c==S.->°4S'j.l",25[-
— j; = +2°."H-'*25",(i:i (-■
Jog tang — ;я = ІГ,і)(і82442 ["■'■ j
log V^'-^7T2 = iJ,8052ISO
log с = 0,7734572 |'•■'■)
log- cot — j; = 0,0317йГ)8 t'-'-l
log l///-^- Я- = 0.H052130
log f = (),83GEKiB4 [''•''■]
<" = 6,H7oU).
Точность ііі,['[іі(;,іг'Ш[;[ дл:і нерноі'о значения:
— log г>Ок.):=1ДЗСі73[с:і-'|
— log 3 = U~.V22tiS
— log (8 c((s.j-) = 0,G5fH31 [""l
— log ]/3~|-ой.<; = 0,32981
log 2 = 0,30103
log tang S = o,[i;lG84[r;*-]
; = 7(P4.8,53"[""-J.
— 2log«)sj= L,2S483[CX|
log 3« = .7,17609
— logil/=0,iiG222
І>2Ш ["'■].
1 l0»(ilfSr)e?-a2SH
logC = Q,77340
log Ac = 5,»9в(»о ['••''•]
ie = 0,000395 ["»].
КІГ.
іѵі. хіі. пап шш-: іірішолшшіных 'і'гісуг'ілі.ншійв ;;ь:;
Д.-іп тп'йрпго звачі.'ііня '.'
log: с = п,ваео7
JogAe = 3',fi60U ["■'■]
Ас = 0,0000457 ['--Ч
Бя\однм теперь угил В Іурав. (113)]
log міи .1 = (7,53389УВ
'Iogi = 0,8333671
~ log и = !уШ1645
bfi'Hiu # = ІГ,991<Ш2.
О'іѵюдіі f'-т. 14!Л
А'— іоі'зо'зэѴіир1*],
/і = Г8°За'20",70,
н тик же для трятьогп угла
| Г=5а*39'4и",!38,
Г=81°2іУ,5Ч.
Такие значения удовлетворяют условиям
еоа A cos С> О
4 (с2 — as) > tie ■ еоа В,
следовательно, последний способ решения должен иыть иытодняе.
Действительно, когда
J1 = 101 °2о'зо", 301/-'л- 15°]
то
log a = 0,3758855
І0£нт6' = 9,9815207
— log sin А = 0,4661004
Inge = 0,7734566
с = 5,93549.
log 4ш =3,30103 p11]
— log Af= 0,30222
— log cm В ~ O,7061S ["'"'■]
log sin (» — C) ="9,83117 [15-'J
— lr,gsinC=0,0«848
log6- = 0,7734(>
IogAe~5~04255["u]
Ac = 0,0000110 [ел-].
;Ш НЧІІТ.Н-: плчллл гкшіктрии
[Принимая
("=8І°2іѴ/,,-,ч,
но.) учи st
li)g(( = U,:i7.">8.'J.).")
Iogsiiif" = 5",f1i)50:-i3l)
— lug- «in -4 = 0,4081004
log <■=-■»,8Ш)тп
г = С,8702О.
log-4ш = 8,301О;1 ['''■"■ "'']
---log il/—0,30222
~iogcosiJ=l},70(il!) |"i--,|
l(igsiii.l = iT,,")33!)0
— loj?siiiC=0,(W4W6
log с = 0,83lifl7
loKA,: = -i;74.V27["-'-J
Af:={|J(IOOO0-"lll[l'"3J.
Восиіще для всякой ошибки ДЛ' в угле ./>' ошибка Ле по crmeoov-
в нтоіі статье должна быть |урав. (M0)J
По способам і! стяті.ях 1'>2 и Ь")4|ур. (142)1
М '
Итак1, последнее наше решение выгодней, когда
№"'<м*а-]ішЛ
условие, которое для И весьма близкого к-^-х, делается почти таким
* &e = ~--\--~l<t«Atg.H, Нп [лкшііошіо (lli)j Д.Й = -'£ Іщ Я, откуда пилу-
чается выражены? дан іс.
* Тек ияв ^ -f АН <*£ 6'<Д ft ctg А.
Т'Л. ХІГ. РЕШЕНИЕ ПРН1І0ЛІШЕІІНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 483
В атом случае ррттал-іги; будет заключаться в уравнениях [ур. (UHj,
U17), (68)]
it
tang {.L -\-x} = -
tang Ti;
SIR A
]/3in«siQ(2^1 -f-a)'
sin С
o=a-
sin A '
Ю | Точность вычисления назначаем [ур, (120)]
cos (^1 -f- a)
tang !■ = ■
созВ
1 , /"б о>
tang 7) = ]/ ^y tang j ? toe (J. + я) cot G1/
■ІГІО)
ДС — . ..„ Г1551
JtfcosV1
Для Л = "2 тг делается
tang7|=j/^j/ig[b-.«],
Это значит:
М cos "<]s'
Ас 4иі , . ,, /~Ъ<п ..
— = -тг -г sin -11/ тг "
с М ' у Ж
С таблицами логарифмов на семь десятичных будет
— = 0,000000 4(51 + 0,0021324 sin А [|'"'7].
іі7 | Таким образом, точность вычисления зависит от угла А. Она
бывает достаточна, даже дли J9=-^-*, когда А весьма мшіыіі угол.
Иначе должно прибегать к таблице тангенсов в статье 150, чтобы
найти наперед угол о, потом Д в котором ошибка Ді? зависит
от Дэ:, именно:
АД = *t гід 25 + ^ 2£ВЬ <%* + 8 f Да Г]
2Ж ' 4 am а вщ (2Д ~j- а) L '
•?-5('+--4^S-
Зек. S039. H. И. Ловачевский. т. II. 25
ЬЫ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
или, дли />' письма близкого к прямому,
ШКОЛі'Ц,
. т. ыіи5совЛЁІіі{2^-1Н-2а) ,
Д/^ ^=! ■ ____-_. ѵ * і д^ ■
2 sin я sin {2jA -f- a)
sin ,ЬЛ sin (2 .і -(-- 2 а)
Д#=-
Да.
Дс-=
2 sin -4 Ѵ^йігі я ыіп (*2 J -)- а)
4ею , sin Да sin (2Л + 2«) cot С
Я ^ 2 sin .1 l/sinTsii](2.A + a)
шіи Сем чувп'ьштолытн разности
(/ 2 sra к
158. Датшѵ.и а, Ь, с; т;ре5уетея найти А, В.
\ Из уравнения ((і8)
а sin Л
Ь sin І?
Да
выводим
an-S 2 ѵ ' у 2 ѵ '
потом
£±| = tang -1 (4 + й) cot і- (А _ i?J,
іі как А-\-І>-\- (7=л, то решение заключается в ттшх уравнениях:
Л+В-»* — (7,
tftngl^-^-J^fcotie
(148)
Ошибки могут Сілатъ допущены
ДА +Ді? = 0,
ДД — ДВ«^ат(4 —Л)
:і )и: следовательно, точность вычисления:
Д# = j?eiu(4 —В).
II
1,
с
== (і,8134.5
= 2,3 7St 14
= 58 »',) 4fi
« + i =
«_4 =
,>.
9,189aif
4,43751
ІѴ1. XII. l-'l-UNKHHL: [[Р.ЯМОЛПНКІШЫХ ТГЕѴІТШЫ-ПІКОЛ 3R7
Например.
Вычисііячм
— ■і-С; = 2Э*И)'5й",47
І0К(« — &) = 0,(14718!14
— log (п -j- Ь) = 0,ОУ(і7138
lug cat— Г = 0,2508430
log tang -і-(Л — Я) = 9,УМШ7
-i- (A — Я) = 40*4l)'a-2",a4
і-іД-f £*)= (ІІМОѴ'ЛЧ.
J!
Л = Ш°2о'зя",87
і,= і9°»а'аз",іі!і.
о ; Точность вычисления:
log 2м = 8,00000
— lOKsin (А —В) = 0,99508
— log [Msin 1") = о, (57 №4 {<=*■ ,l*J
logi^ = Ы,671Й7 ["■}
' ДА = О",047
ДЙ*=о",047.
Я» уравнений (148) второе для ft>« должіш Гшті. написано так:
Уряныеняя (143,) во всяком случае дают углам ,4, В единственные
значения. Действительно, когда называем % найденный угол -^{А— В)
в таблицах. следовательно а:>0,<-^тг, то можем допускать при
том же тангенсе fur. 12(1), или
^(А-В) = т. + -Л
35е
mS НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
It.TII
В парном случае
и [ Л = 2к-і-2..;+Л,
тогда как должно быть Л<~('.-т. 4.5). Во игором случае
В=2т. — Ь;+А,
откуда Л'>- и противность статье 45.
1і>!1. Даются и, Ь, С; naiimtt с, когда (?<—я.
Уравнению [ур. [і!7}|
с"- = й! -f I/- — -lab vas G (114)
даем наперед такой вид:
С1 => (а — bf -\- iiib sin — С - :"!;
потом, пологая
28,11-^-С _
tang х = —т—УаЬ , (145)
лолучгш
« — L
с = *
ens ж
" | Это решение, как ушдлм ниже, бывает вернее другого, когда С
— угол острый. Здесь ошибки вычисления
■ 5™ ■ ™
л? зш х ейа ж
и, следовательно, точность вычисления
JtfcosF '
■■■ & = &! + № — *2вй uqs О = (о — Ь/* + 2ай(1 — cos 6') = (a — ^ + 4<i!>sia= ?-.
/-1 ИЩИ т
1
cos .с I ' (л — й)2
° По уравнению (109) и тиклу соуиоигителсіі правой части
23/ jlf
У і logc = Зш — Д Іозсозя, * ' =Зео -j- Jf A-fts*1.
ГЛ. XII. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИК ОЙ
;.:so
где
Например
Находим
S3
tangS
; sin х
/f
а== 6,81845
6 = 2,37594
6,s=oS°3y'-±(;",S)4.
-j^-С = 29*11/5b",47
Ing и = 0,8333671
log&= 0,3758355
n — ii s= 4,48761.
log 2 = 0,3010300
log sin 4 C'=9>J00739
— log {it —- J) =-9,3528801»
log V'aiT= 0,CQ46013
log tang a; = 9,i)48a«58
ді = 41°3с'54°,32.
log (« — J) = 0,6471394
— log сова = 0,1263172
log с = 0,7734560
' C = 5,93549.
log 5 = 0,09897;
— log 3 = 0,52288
lug -~ = У,2218ц,
НУ | = 0,11092
log sin x = ^82225 [лпг-]
log tang £="9,93317 p]
£ = 40°3б'32" ["■].
— 2logcos? = 0,23932
log 3<o = 3,17608
— log Jl/= 0,3(1222
log с = 0,7734ti
log Де = 4,55109
Де = 0,0000036.
&>!> НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
;* [ ltiu. Дины, а, О, О; найти с, когда 6'>-^-~.
Тііітріі уравнение (144) переменяем так:
,?- = (а -\- Ь)- — \пЬ пол ~ С" *,
и полагая
2 cos j С _
« = («-*-&) cosy *.
Ошибки вычисления:
v==-^+d//tangy0- (148)
Отсиди
Ас= :to о
J/ііозР •
гд** _
w | tangj = t<ms;/ 1/ --.
' В зтом репняипг то'июсті. болоо, нежели в прежнем, как скоро
зіія'шнпу Ли :ід«і;іі лгчпно, нежели там; ісогдд, следовательно,
1 апк у < sin г\
Это в соедшшшш с уріпиісншгміі (145), (147), приводит к ;шклю-
чепшо
taiiff-^-OJ
Для щщмера до;<іт>мш
«.■=5,513549
Ь== 2,37594
f7=s]0l'20'39*,34.
■= «г = «а -I- (,а _ ■>„!, ,70s С = (л 4- Ь)й — 2лЬ (1 -4- оов С) = fit 4- Й1а — -\аЬ соя* -^.
' Бымод (148) п|)оіыиоіттся так ікс, как цьшод (146).
, he 3(о , 5ш . ,, Зш л . 5 . ., \
ГЛ. ХІГ. РЕШЕНИЕ ПГЯМОЛІШЕІІЕШХ ТРГСУГОЛЬНШЛЖ :Ш1.
Находим
~(0 = 50°40'і9",Ц7.
ff-j-& = 3,3114-4
_ log a => 0,77345(51)
log 6 = 0,8753355
log; (a 6) =.1,1492921
I log 2 = 0,3010300
log Т/"л5 = 0,5748480
log cos — С = £,8019220
— log (a 4- b) = 50803242
log sin i/= 9,7579231
' ' у = 34°5б'і8",04.
log cos i/=U,91309H
Log(a-j-&) = U,919ti758
log 0 = 0,8333072
С = 6,81345.
Точность вычисления:
log tang // = 9,84423
log]/ 4 = 0,1108-2
log tang £ ="9,05515
ё = 42°2'Э0".
— 2 log COS £ =0,25850
log3<n=siT,17609
— log Ж = 0,36222
loge = 0,83337
log До = 4,63078
До =0,00000427.
I Когда внесем значения Дж, Ар, то выражения-для Д<; по способам
в двух статьях [ур. (146), (148)] будут таковы:
Дс==-^[3 +Баша?}, (Ш)
ДС=-~{8 + 5іапёЛ. (15°J
ЗА2 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Из первого видно, что самое большое значение для Ас будет
8<в£
когда х делается -д-it для я = 6 [ур. (145)].
Второе значение Ас растет е углом у. Между тем, уравнение (147),
покуда С—тупой угол, допускает самое большое значение для у
г, *
вместе с уменьшением С до —it, именно
После чкто
]Но, как всегда
то самое большое значение tang у5 аюягет быть только
'tangy2 = l(
именно в случае и = Ъ, следовательно для Ас самое большое
значение то же, как и выше,
ІІС =■
М '■
когда бока, а, Ъ треугольника делаются равными. С таблицами
логарифмов на, семь десятичных это составит
Ас —
log — = 3,9G42S,
До = 0,000000921 с.
Если б ошибка, бливкая к этой, почиталась еще чувствительной,
то надобно прибегнуть а, способам, которые далее будут изложены и
которые доставляют всегда более точности.
161. Даются а, Ь, С; требуется найти с, которого значение
известно довольно 5лиз%о.
7в | Пусть 8—поправка в приближенном значении С, так что [ур. (112)]
* (JOS « = - ' *~0 " —
о + & ' g V~ & + №'
ГЛ. XII. РЕШЕНИЕ ПГЯМОЛІІНЕІШЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 898
должно Сыть верным. Означай /J, £", F, <f ■ разности, которые
в таблицах отвечают логарифмам от
(а-і-е — Ь), ф-\-с — и), (аЛ-b-r-c), («-}-& —е).
должны получить
Откуда находим поправку
21og tang тг С—log \— , ,■ \) , (і
"~ ■ D-j-E—F+G '
Если такіш образом найденное значение с удовлетворяет уравнению
1 ™ с--—(а — Ь)"
I то ошибка б с произойдет от неполноты ъ логарифмах и, следо-
ІШ
с Де , с іс 4а£е Де
2іу-~ ca_(e_J)« ~ (я+»)я—С [с= — (в — *)»] [(а -f. *)a — o*J;
Аіежду тем [уравн. (110), (Ш)]
4^*шСа={е- —(a — bf\{(a-\-hf — c°-\.
После чего
. 7(о ві .. _.
Ас = -^-г ■ — иш С!
2ДГ с
или
he = j^=t.c sin -1 sin P. (151)
Мел;ду тем, выражения (149), (150), когда сюда внесем since, tang;
[ур. (145), (147)], делаются
ше [„ , 20ab
Дс =-,,
,¥ I ' с5
(ВС
-4<4
20я& 1 „,І
— СОВ — 1.'2>
cs 2 )
* F взята с минусом для получения наибольшей доірешности.
* От а + Ь + е имеем Зш, ота-j- Ь — с, Ъ 4- с—о, с+« — Ь по ш, от таблиц —и.
При извлечении авадритного корня ошибка уменьшается вдвое.
З'-Н НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
-*: | ИЛИ и другом вндр
шс ) , , 5 sin Лат В )
, <ие ' . 5 sin Л sin В \
ж( -bio- Г
Следовательно, во всяком случае более, нежели значение Дс [ур. (151)]
.по последнему способу, который, таким образом, в отношении
к точности должен быть предпочтен двум дрожним [ст. 159, ІНО].
Пусть, например, даны
a s= 5,93549
Ъ = 2,37594
ш приближенное значение
Находим 3:
с = 6,8134-0.
<s
/i-f-fi —a = 3,25885
ft + й—і=10,37293
а-{-'!, + е = 13Д2483
log (а + е — 6 + 8) = 1,0159023 + 4,25
log (5 4- и— ct-j- й) — 0,5123976 4" 13,43 [л"г']
— log (a 4- 5 + с4- 8) = 8,8203095 — 2,95 ['""'■]
— log (a 4- a — с — S) =Л ,8244795 4- 28,73 [-™'-]
2 log tang -^ C = ОД730889 4~ 43,48 = [сл]
= 0,1731108
219 = 43,48*
3 = 0,0000505
с = 6,81345.
* Это равѳясіво по-сущоству означает
0,0000319 = 0,4348,
ГЛ. XII. І'БШЕНПВ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Точность вычисления:
log7u< =5,54407
— log J/= 0,36222
— log 2 = !),C9W)7
log « = 0,7734fi
log й = 0,37584
— logc = ?,16863
2 log sin Pas9,0S28C [-1<",'l
log Ac = 3,90405 ["■]
Д<; = 0,00000080 [«•].
102. Дпии ii, l>, С; HUftmu e, notda n, b почти раты.
I Оперш находим J., В {ст. іаЯ)
.Д + -В =•*-<•-..
.(35
точностью вмігеслеинзі
Потом [ур. ((і8)]
■Отсюда
'Ошибка в і!
A.4 = ~sia(-1 —Й),
й = 6
• аЪ
sin С
sin .4'
siu й'
віц 0-
ain A sin В'
ic
2^1 = ~-\-АЛ^оЬА + \^соЬВ*,
a* | а когда поставим значения Д-1, ДД
д.'—^lJ-L ' *'»U—-Р)'
Af ( 2 sin xL sin Э
* Выражения Д1 к Ш получим, заменяя Д ---у ■ чероз і ~
тая ( й.4і = і АВ\.
* 2ulogt = 7го 4-iIogBmjl-|-dlo^siaK,
І^- =-7<q + Ш. ctg Д + ЖАВ elfj Д.
386 , НОВЫЕ НАЧАЛА ГКОЛЕТРИИ
Здесь
sill (А— -#)'-
ьііі A sin Б
нечувствительно, когда предполагаются а, Ъ почти равными;
следовательно, можно почитать
Ш '
Таким образом, это решение, в том случае, который
рассматривается, всегда бывает вернее прежних в статьях 15!» и 160. Если ж оно^
в точности несколько уступает данному в предыдущей статье, то'
с другой стороны не предполагает приближенного значения с,
а также доставляет большую выгоду по краткости вычисления,
когда требуется не только найти с, но вместе и углы А, В,
Дин примера берем
а = 6,87020
& = 6,81345
С=19°59'зз\'72.
ев I Находим:
~0 = Ь°о9'іб",Ь(і
« — 5 = 0,05676
а-\-Ъ= 13,68365
log (й — 6) s= 8І 7539659
- log (й -j- Ь) = 8І8687980
Jog cot T С= 0,7538481
ы ——— ——
log
%i\ng — (A
>
\«
— log
— log
2 log
-£)•*
-Л) =
+ B) =
А =
я=
loga =
log& =
шла. А .=
віпВ =
$mC =
= 8,8716070
= 1°20'52",85
= 8оѴіз",14
= 81e2l'5',40
= 78°39'20",79
-0,8369694
= 0,8333671
= 0,0040664
= 0,0085688
= 9,0677902
2 log e = 0,7516709
log tf= 0,3758354
i C = 2,:-,7j94.
ГЛ. XII. РЕШЕНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 397
Точность вычисления:
| log 7ш = 3,54407
— log- JT==0,3fi222
— log 2=1,119897
log С = 0,37584 [шг]
log Де = 3,93110 ['■■''■]
Де = 0,0001)00!)!).
103. Даны п, В, О; определить угол А, оока Ь, с.
Угол А находим:
А = т.~ J5 — С.
Подобным образом, третий угол всегда будет известен, когда даны
которые-нибудь два; -затеи Ь находим, также как с, именно,
Гур- №}
с точноетию вычисления
і = «
ій =
эіііі?
am A
4w&
Ж '
Например,
Находим:
а= 6,87020
S = 78°39'20",79
С=19°59'33",72,
J_ = 31°21.'5",40.
log о: = 0,8369694
log sin'#=9,9914812
— log sin .4. == 0,00498134
log £ = 0,8333370
■ 5 = 6,81345-
Точность вычисления: . .-
log 4(o = 3,30103
— logJf —6,86223
log b-= 0,83337
log Ab = 4,40062
Д6 = 0,0000031.
164." Назначая точность вычисления, мы предполагали: все
случаи неблагоприятными (ст. 147), тогда как ошибки в их еоеднне-
-пші могут быть одна другой противньши, следовательно, чаетию
'ЙЙЬ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
цо крайней мире, уничтожиться. Ожидать этого тем скорее должно,
]чем более чисел складываются, а потопу весьма редко бывает,
чтобы -щесь неверность выходила по возможности самая большая.
Итак, достоинство решения будет определено вполне тогда только,
когди сверх точности вычисления покажем, с какою всраятѵоетию
лроиехо;шт ошибки. Под словом вероятность разумеют содержание-
числа благоприятных случаев к числу всех случаев вмести.
Приступая к исследованию такого предмета, наперед наметим,
что выражение
которое наяовем. уступ, для всякого числи р и для целого
положительного ц, будет у нас представлять произведение из q
производителей, именно,
Р(Р —Ij(p —2)...(р-2+1).
Число д —показатель уступа, подобно тому, как говорят, показатель
степени. когда все производители равны. К этому прибавим, что
валкий раз уступ обращается в единиц;', когда показатель нуль,
я делается нулем, когда показатель отрицательное число.
Выражений
! Ра
представляет дробь
Р(Р — 1>СР— 2).-.(л — g+1)
1.2.8... ч
которая, следовательно, может иначе быть написана
**"
Легко доказать [Алгебра, статья 145 ®], что
Пусть еще Сг(т)$ выражает сумму
2 (-1)1' [{г — 2Х) а + я» + г -1 — ).р" ^ г?1,
* См. сочжбѳнир «Алгебра или вычисление конечных*, том IV наст, ивдиния,.
стр. 135 и примечание Н. Г. Чеботарева [И] на стр, 359 тома IV.
* Там же, стр, 184 я примечание р] па стр. 381.
е 'Гам же, стр. 184,
V Как видно -ив дальнейшего, С~руоокия букан, начинающая слово «опучяй-
ттоеть". Вообще, ДоЕачевспиіі неодяокрагао пользуется русскими букнаыи для обо-
аыичеьин і)і}шзадиоаальиой зависимости; в «Алгебра» он оОозначнеа1 через Ц—ии-
дую часть числа, дальше (стр. 404} для обозначения вероятности он пользуется
буквой if.
IVI. XII. РЕШКІ-ШЕ [Ц'ИМиЛИНКННЫХ ТІ'ЕѴГи, ІЬЫИКЧ 111
иин
где ііішк і-уммоііііпші ог)і(ииіі:іі і, целил числам '. от /. = U. іюігуда
lit ~\- 111 -j- I
'S=
•111-
ПОй)
Гі
и где >\ іі — целые положительные, т — ці-лое лоложитмыкк* или
отрицательное [ll)1J. Так, например, для /iigm
№ ! ЗД = 0,
С'2 (т) = 2(( — /н -j-1,
Га(— m.) = 2« — w-f.l. |
Основываясь на уравнении (152), находим
с;(/л+1) = с,, (и)+2 (-j)* *■■" '■ [(■<■—гг.) а+щ -f — і — '-J"г "=-
+ 1{—lf{r~-l)^-l[ir — 2}.tn-\-m + r — J -).j,r'-S=
—2(-1)Ч*—l^'K»1 —2л)« ; *,_2« + j- —2 — л]? '"=* .
Наконец,
Выражению Сг(ш) принадлежит еще такое свойство:
6;{ш) = (7-(""'), (155)
которое поверяется само собой для всякого г. когдйун. — U и также
на уравнениях (lab) для /==0, /'=1. г«2. Полагаем уравнение-
(155) вообще тіраведливнм для какого-нибудь г, Мыкду тем.
уравнение (154) дает
,і | Ст (іч + I) = С'г+, (лі) + С/, (я + * + 1) - UT (>»- - а),
Сг+1(—») = Сг+І(-і« —l)+Cr(tt-«0-Orf~m —в—1)«» '
= СгИ(-і« —l)+CU«t—«) —^(ю+в + И-
0 тс іо да
с,+!('"Ч-і)=6Ѵ+1(-«і — lj + eWiN — Gr+i (-'«)-
Здесь ставя вместо m по порядку числа 0, 1, 2 и т. д., заключаем,
что уравнение (155) должно быть верным іі дли г-\-1,
следовательно для всех чисел г.
* Заменяя ). на ). -f- I.
Ш НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Для і- = 2, w—2а находим
С2 (2а) » І.
Для j- = 2, »і = 2/і + а, гді? а>0, выражение Су(ш) делается
С2(2« + «) = 0®. (156)
Вообще для всяііого »* > 1
С,.(га) = 1. (157)
К тему легко притти, когда ставим —га вместо т в общем
выражении для Сг (та) и пишем, основываясь на уравнении (155)*,
Ясно, что здесь X можно принимать только нулем0; следовательно,
[ Сг(г«)=(г —1)Г'-1=1.
Для всякого г и для «г > га будет
■ С, («0 = 0. ■ (153)
Полагаем, что последнее уравнение справедливо вообще для
какого-нибудь числа г > 1, как этому пример видели, когда г = %
[урав. (156)]. Пусть иі=га + «, где а>0. Уравнение (154) делается
£,(«» + *)-
= Cr{fe + « —1)+Сг-Л(г+1)о + =і]—Сг_, [(г—1)я + к—1].
■Здесь для е=1, как мы доказали,
C,.(ra)^l, Cr^i(r~l)a] = U ■
и, как предположили,
С',-іС''а + «) = 0.
Досле чего
С, (га+ 1)=»0.
і Если ж а>1, то, как предположили,
а-і[(>-Ьі)й + «} = 0, С^К»- —1)а + а —1] = 0.
'"■ При г = 2, ж s=s 2а —1
2а + І ^ ^ 2а 4-1 '
тогда как min ?. = 0.'
* Ссылка да уравн-внив (155) излишняя, ибо С,- (— то) просто получается зга
G,.(m), полагая т = — га.
га+т-\-і 1
"За + 1 ПрЯ * — ю =™Л«« !■< ^7Т
" Из уоловг-гя *.<!—у "L~— "Р11 "і =— го получаем J.^ -—— , т. а, I
может равняться только нулю.
ГЛ. XII. РЕШЕНИЕ Ш'ЯІЮЛПНЕГІтмХ ТРЕУГОЛЬНИК..;; 401
После 'кто
Ставя сюда по порядку s=sl, з = "2 и г. д., заі;л?>'іаі-м '.>
справедливости уравнения (iijh).
Обращаемся теперь к иероятностн "в ошпбких, которые пусть
в каждом значении могут иыть вм целые числа, как
положительные, так и отрицательные, тут же самый нуль, начиная с. -|- « до
— я, впит, пледовятелыю, ііпя.\юіі;нв.гх ошибок 2«-j-i. Когда
подобных значении соединяется г, складываясь или вычіітаясь одно
с другим, то границы самых больших опшбос должны быть -{-га,
— га; число же вгех
(Іи + іу.
Ш них какая-нибудь ш, если но величине нкСга, ястретитея
несколько рай к таком числе, которое назовем глі/чиі'нокніі., и
которое, как сейчас будим доказывать, должно быть
* |Действительно, когда »=1, то каждая ошибка встретится только
раэ, лишь бы но величине было ш^а; следовательно, для такого т
Ох (щ = J, (159)
пак и в уравнениях (133). Дяяее, для всякого «=га елучаііноі.-тЕ.
одшбки ш должна быть
■согласно с уравнением (157). А как ошибка ш>га невозможна, то
для такого т
Г,.(ш) = 0 (160)
I
тоже, как было выше [урав. (Ш.)]. Теперь для всех прочих
значений ш, г довольно рассмотреть только положительные ;в, потому
что случайность отрицательных ошибок та же, что
положительных, и как, с другой стороны, то же было доказано для
выражений Сг[т) [урав. (155)]. Итак, пусть т<га—положительное чиело.
Когда г = 2, то
(7э(іи)=2Сі(і»).
* Ибо погрешность, равная т, может получитыиі пить единствен дым
образом: сложенней г погрешностей, каждая из которых равна а.
Зак. 5039. И. И. Ловачеаский, т. II- ' 2Й
402 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОІІЕТРЙІІ
з'Д'! р — делые числа, которые надобно ставить, начинав с р — т — а
дп р т= а. ІІежду тем, для исех таких чисел jij
I ^ тл о»> = і;
следовательно,
так же, іѵші іі выше [ур. (ItViJJ.
Пусть вообще для г > 1 справедливо, что
('r('")=yi(-lfr7l{(r— 2)0 e + «i + f— 5.-1} Гг_1, (1В1)
где сумма распространяется с целыми числами а от а = 0, покуда
га ~т-т-\-1
^ 2І+7 - (Ш)
Переходя к случайности с числом повторений г-f-l вместо »■, дол-'
жни принимать
от j3 = ;іі — й
<ѵ+і («О — S С> (j>) С'і ('и — jO ,
потому что случайность (^(т—р) возможных ошибок в границах
т —ji = -j- и, іи —р = — а должна помножаться на случайность
С,, (р) всех ошибок, между которыми хотя бы встретились и
невозможные внутри границ р=т — а, р = т-]-а, но как случайность
таких сама собой обращается в нуль [ур. (160)], то всегда [ур. (159)]
(от р = -т — и
' Ідо р =яв-(-н.
Внеся значение Сг(р) [ур. (161)], потом еуммуя в отношении к р,
получим {Алгебра, статьи 18!), 190 ~\
С,„И = 2{-1)^-ГхК»'-2>0а+іі + г-).!Г,' + Ат
где вместо р должны поставить т-\-а, затем определить А так,
чтобы сумма делалась нулем для р = т —- а—1 {Алгебра, стат. 190|;
следовательно,
^=-2(-1)Х*'ГХ[(>'—2Х)д4-»і —о —1+г —а|Гг
от 1 = 0 до [ур. (162)]
га+т — а
— 2а+ 1 L J
* Тми JV наст, изд., стр. 240, 241.
ГЛ. XII. Г КПП'.! П IE ГИЧІМіліПМКПныХ ТІ'!;ѴП.і:]],ІЦ]|гі >|; W"
11.ІІІ f ІІІ/рі'МеНОІІ '/. НИ Л— 1
.)■(' А = II ДО
. ^ (у — 11 ч~-ін -- 1
''■ - '■===--- .}-л,і """
ІІоі-.іг чего
'V- 11«0 = ~ (—1)''*£ ' ! С' + ' -- ЧЦ " -г-'" -г '■-—'■'о г --
+2(-іУ '-сѵ'"' {('--г і —-2і)« + jh +,—а і;''".
где границы дли л в иОиііх суммах те же, именно, ?. = 0 и [ур. (Кі2)]
. __ (V--- ІЫ-j-w-M
''':'"' 57+1 '
''щ'Дішян дер гуммы із одну, получим [ур. (1а"2)|
'Ѵ-1-іИ = ^(--іУ'іі(''-г-і— 2л) п -\-m-\-,■ —і;гѵ V -f !),:''
■—то же выражение (Ш), когда імода ставим >'-j-l іш<ч-то с. и
которое было доказано для г = 1, г = 2, следовательно, должно быть
верным для всех целых чисел г.
В выражении (1(H), ставя —m вместо -]-»*, получим то же
значение для случайности [ур. (156)]
'"',-('»> = 2 (.—>)*'> '' {(!• —*2).J«—ж + г— I — аіГ''"1
иь от )„ = 0 до jyp. (Кі2)]
- _ ''" —'" -Ь 1
Соединяя вес зшічічіия С'г(«г) от известного м до ш = 1. находим
случайность всех ошибок от едш-шцы до ш:
і Г,(и) —4 — Х(-1)'^"' !(/ — 2>.),( — иі + г — а)?г,
-и
где постоянное А. так определяется, чтобы сумма случайностей
обращалась в нуль вместе о яі = 0; следовательно
от ). = О до
■ - ™ +J
404
НОВЫЕ НАЧАЛА П'ІОШіП'РПП
После ЧСѴО
I
2 сго«) = 2<-іГ'"ѴІи('—з^+'—ЧГ'-
— |(г — 2/.) и —/и-[-і — л),''
I Уднсши это ;іначічіиі.', потом іірибавя случіііііюсті. j ошибки нуль,
по.чучнм случмшюгть вг:ех ошибок и границах —ш, -\-ш
- »>
_ | (,- — •>/.) „ _ ш -|- г — *£""} +
+ Х(-'У-'"''!('— 2Л>^Н-г~л —1}-'—J, (Ш)
где иод знаком суммы л растет, покуда т* уступе не сделается
производитель отрицательный.
Для т = гп даіікио быть
_|_[(,-_2Х) « + ,■ — ) 1]?
« у — Ц
(164)
j_.jj
Вероятность ошибок, которую онничстм Нг(ііі)*. между границ
-~-ш, —ш будет содержание случайности "всех таинх ошибок it
числу всех таких ошибок возможных; следовательно
»-№ = &^W%»rW-
Разделив уравнения (16В); (164) на (2а + L/', потом полагая в них.
т
г и
■ = a*, ft = os,
получим
ДМ = ^2<-]>Ѵ
і-'-х1-
_г(1_я)_Х
["Ч
г- = 2ѴИ/,^ (у',-Х)'
Отсюда
Д (я:) ~ 1 - ^-._т ^ (-D* ■'■? '' (Г - ™ - 2л)'',
д
(165)
":і" -Пывод итого соотношения лодоОен ныаеду формулы для Qr(m) (ем,
примечания [Щ и [MSJ).
* В — русский буйна, начинающая слово "Вероятность» (ом. сноску на стр. 398),
i'.'f. XIL Т'КІІІКІІШО Ш'ІІМО.ШНЕІІПЫХ ТІ'В.ѵі'чЛЬНиКТ)]* 4<lf)
где іді'.'ки; к растет, начинал с л = п. покуда / — і'.<:— "2/. полол:и-
тімп.ноі1.
Выражгшге (Иіо) предгтянлнет, таким образом, для чіима / поито-
petlllii Вероятность всех ГИПІтбоТІ В гриніЩНХ-j-r, —;;■, когда і-шпи
большие по величине не иревогходят4- 1, •—'■
І-Гаіірішср для і-==й уря.ишчше (L(>5) де.інеті'Ч
Ь',(х)^1— (L— яг)гв.
Так, находим для чіимт 2 поктопенни
Ошибки
1,0
0,»
0,8
0,7
0,0
0,0
0.4=
0,8
0,2
<>Д
0,0
Вероятность
1,0(1
и,т
0,90
о,!И
0,84
0,75
0,1>4
0,51
0,80
I), И)
0,1)0
Можно, следовательно, дерікать У против 1, что сумме двух чисел
принадлежит та же точность, какая предполагается в каждом
слагаемом. Можно держать, даже с некоторой иыгодой, одни против
одного, что н сумме Двух, чисел ошибка не превосходит трек
десятых тоіі, какая бы могла ныгіти і-амая большая по
возможности.
Если в кяждвді числе дои усилим самую болыігую ошибку ш, то
соединение г таких чисел произведет ошибку rax с вероятноетшо
Вг{х). Например, для г = Н, покуда .л^ ?- выражйняе <1<ы) дает
В,(х)=1-
Если ж
«^-j, то
я» I
Я,(*) = 1--||-(1—*)' + -^а-8аО'Р"].
2—^с—у^о
*Дз(аО=1 — оТч
(- 4J- ■ 5^(2 - 2* - ay = i—Aa-x-f^i-Q-jf.
>. = 0
+ "> Ниі-МЕ НАГІДЛА ГЕОШ;ТРП!Е
К' тому, принимая
л — (|,<)(Ц)ООООо,
ііііходіім |1,:1].
Ошибка
0,00000015
0,00000014
М.ООООООІН
0,0001)001-2
0,00000011
0,00000010
(і ,0001.1' К) (J !1
0,00000008
0,00000007
0,0000000(1
0,000000 Оо
0,0000000-1
0,0000000.4
0,00000002
о.поиоооін
0,1100000011
Не[іоягнметі.
1,000
1,000
0,0117
0,9111
(1,979
0,11.18
D/J2.S
0,44!.'.
0,В29
0,757
0.ІІН7
0,д57
0,432
0,235
0,1-19
0,000
165. Наше рассуждение об ошибках вычислении может быть
применено, кыіс заметили прежде, к, ошибкам в наблюдениях. Они
могут происходить как от неверности самих орудии, у потребляемые
і в | измерении, так оі' неточности и их установке. Влияние тех и
других уменьшают орудия повто$ішіе-лыі,ык, как уетраиваются
преимущественно круги, номопііпо которых шшерегше делаетен ра;і
только, тогда как наблюдение повторяется к несколько приемов,
Рачделян величину ни число ноиторениіі*, получают средне*
наблюдение. От орудия сюда пойдут' ошибки только е іфайшши
наблюдениями; а потому е болі.шим 'шелом повторений яечепдют. От
самых наблюдений ошибки, следовательно, такие, которые
происходят от недостатка наших чувств, повторяясь ней ре стан его, хот.іг
могут оставаться те же в среднем выводе, но, по крайней мере,
различная степень вероятности назначает .для них известные
границы. Бот почему способ повторений особенно выгоден с орудиями
малого размера, тогда как мелкость и верность деления на боль-
'° Ди<І!і'Юв<-і,иІ(, реіюитно. хотел снимать: аРапдйлил оумму іголученны*
величия mi число почт арии nit».
гл. хп. решкипе га'ііііолішЕІіііих ті'і:ѵго,-ц,ш!кин
401
mux, не уменьшив тех оігшбпк, котирыв проиехидят от нішгпх
■іупі-г», может толы;о придавать более ві'роятіюі-тн н иолыіу
желаемой точности.
Означая 4- I, — I і'іі.\[ыс болг.шіи- возможные ошціжи і! <-редш;м
наблюдении, вероятность всякой опшиин :<■ внутри таких грагшц
должны принимать !у\і. 1631
д. м -1 - ,^- S (-1 ,г ^ < '■ - ™ - *- <''■
*'Ц | где целое к растет от *. = <), покуда #' — .'.'—2л положительное
число. Так, для г=.[і), ;іг^-0,8 делается
Для O.B^gn.'^O.S
,, , . 39<Шо . ,. , (4— Г)*-]1"
і'»^ЯВЯІ-та57ІГ'1-,-),+Чві4Іо-
Дли ОДііт-.etS0,(i
в ы і _*>»«*> ...и, | f4-^)'" fa—-^V
'■>ioW — -1 72r>7fj U ■') -г 18144l| 4o820 ■
Для 0,,2^.cg0,4
« M-i :|Ш)(і25и rv" i ^—'"=)'" («-ggJ'" i f^-a-0
ліа\а,)~-і 72Г)Т|;і ч .1 -, 1Я1440 40320
Для ./;і=і>,-2
15130
*inW— ■ 7-2370 (1 ' ' 18144U 40320 г
(3-5»)" И-5Л)" ш
1Гі1-2)> ЗН40 L J'
т.- I Вычисляя, находніг [17Uj
Ігапбк»
1,0
■ 0,9
0,4
0,7
0,(і
0,о
0,4
0,3
0,3
0,1
0,1»
Вероятность
1,00000
1,00000
1,00000
0,99997
0,999-14
0,99500
0,97310
0,89907
0,72220
0,41097
и, ооооо-
-job НПКЫЕ НАЧАЛА ГЕОмЕТРШІ
Л1о;і;ш>, следовательно, держать Я прогни 1, чю после ]0 повторе-
шііг ошибка в среднем числе не превзойдет трех десятых той,
которая бы ігоглй, выйти самая большая л каждом наблюдении.
Можно держать 7 против 3, что такая ошибка менее пятой части
тоіі, і;аіыні бы могла случиться с одніш только наблюдением.
KiLi. Тик как данные треугольника всего чаще бывают
определены непосредственным измерением, а потому не должны
предполагаться строго верными, то весьма важно г-делать ич них выбор,
чтоб уклонения не могли произвести большого влияния на числа
ню искомые. Зависимость ошибок в этих последних от неверности
з измерении находим, когда в уравнениях для прямолинейного
треугольника |ур. (67), (68), (С!))|
ег в= Ь'- -\- С- — '2Ьс г: os Л, I
«sinВ= 6sin Л, і ,,,.,.■,
b \ |ІЬ6*
— =eos<.'+sin (J tint A
a j
рассматриваем псе величины перѳиенными, допуская в кйждоіі
столько малые приращения, чтоб их квадрат н далее степени могли
быть пренобрегнемы. Так получим и;.і первого уравнения (168)
а Да — (6 — с cos _і) АО -j- (<■ — h .-ой л) Дс -4- fo si и л Дд
или Іур. (28)]
«Да — <k.'os (7ДІ> 4- «сок /iic-j-fcsin АД л.
Наконец, раяделип на а,
Да = Д6 cos (7-\~ Дс cos й 4- е sin і? АЛ. (167)
Из уравнении (166) второе дает
Да sin В — Ab sin А = Ь нов X ДА — а сов Б Д#. (І (58)
ют [Из уравнении (ІВв) третье
= \(;і cos С cot. А— sm С\ :—^ ДА,
а- ' ' smj-
а. после умножения на a sin Л
Да біп В-\- Д& sin А = 4- a co$BAC-j- с ДА. (К',9)
Итак, если датотгя м, &, с, то неверности в них Да, Д&, Дс
произведут ошибку ДХвД [ур. (167)|
,, Д« — Ді> сок Г.' — ДссонВ
Ал =—■ г-—= . (1/0)
171. XII. І'КІІШІШО Ml'JJJ(0.'IUHK!ini.lX ІТЕУГОЛЬШіІ.нп
Кечи даилѵц и, b, А, то |ур. (107), fM'Sj|
Дг=^ ,,[ Дя—У/ rnsC — с sin /;Д.-1 1
COS /і (
ХН= ——y-f ДІ.>ов Аі-і4-ДЬіііЛ — Лнпіі /?
« cos /У ' '
Кс'ііі даются і, Ь, <', то |ур. (107), (Ш>)|
Дс s= Д« cuss Д-|-ДбсояЛ-j-Jsin Л Д(' I
ДА = -- ( Да sin /j1— а сиЭ-ВДс—Лі sin Л {.
Если даются а, Л, В, то [ур. (168), (НІЕІ)]
40! *
(171J
\/> = -т
Д«=^
к! и А '
L
sin .1
{ \а яіп В -і~ a соя В\В — Ьк<і< Л ДЛ. J
{ Да sin Г'-{-и.-..* Г Ді??~іД.4 ] ®.
(1"Я>
Отсюда легко видать, в чем должны: постоять условия, самые
выгодные дли решения. Например, когда дины и, Ь, А, то бок <:
і; углом В тем вернее будут отысканы [ур. (171)}, ч*ш угол В
менее; напротив, ошибка лшжет произойти весьма значительная,
как скоро Р близко к прямому углу. То же быте'Г от недостатка
вычие.теиия, как мы видели в статьях 14!і, 154. Вообще неточность
логарифмов может быть отнесена в недостаткам в самых данных,
а следовательно, невыгодное решение в вычислении -всякий раа
служит признаком того, ти выбор уже самых данных не может
обещать желаемой точности в определенны ненавистных.
Общие замечания вправе сделать такие.
Когда даны а, Ь, с, то решение тем выгодное, чем более * пер-
нсидивул из вершины искомого угла на противоположный 6т;
[УР- tt™)]-
Когда даны а, 6, Л, то решение иыгоднее, чем угод В иди w — Л
менее ]ур. (171JJ.
іоо | Когда даны а, А, В, то решение тем ныгоднео, чем угол А
ближе к прямому [ур. (1.73)].
й Дли вывода атдго уравнения переменим местами h іі с и, ьоотвегстн&ныо,
В и С п уравнения (163.
* У ЛоОіиевикйго стой* «менее». Но в уравнении. (170) с sin В стоит; в
знаменателе, я: его уменьшение упеліпнт йл.
TMJ НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМКТРШІ
Когда дапы а, Ь, (\ то в решении точность никогда, т- выходит
іт должных границ (ур. (172)],
Если г-ішііГі-' болыпш1 ошибки в данных какнм-пибудь образом
известны, то уелошш іш годного решения могут быть определены
б.пгже. Например, после того, что было сказано выше о способах
иа.ѵгерегшя Jut. KJ5], нетрудно заключить, что в углах ошибки
должны почитаться постоянными, а в боках — пропорциональными
линиям. Гітяі.'. если в уравнении (170) полагаем
Д# — zC «S,
Ли = ziz ив,
то rjajroe большое значение для ДА выходит
ДА = - --■-„
с sm .£?
или
. , 2ш sin А
ДА = -.—
sin S sin <"'
mo [ Наконец, произведение, sin 7?sin 6' приобретает самое бпльгаое
значение, когда В*= С, следовя.тельно, в самом выгоднолг решении:
AA = 4mtang ~ А *.
Это значит, что тем уго.ч А верней находил, чем он менее, и чем
его бока ближе к равенству.
ІН7. В некоторых случаях и с большею точгеоотиго решение
треугольника может быть сделано помощшо бесконечных строк,
выводом которых ми теперь займемся.
Ставя вместо ятя;, сов.'1 степени с воображаемым показателем
гУ^А. (ур. (4.1), (42)], получим
sin,г ___ 1 с*''-»—'е— ':Ѵ~< __
1 _f_ а5 ___ ->2 соа х 2 |/""^1 1 -4- а- — ъ (''■" ' ~T_j_t,-KJ-ij
1(1 I
2« ),'_] |l _ая-» f-і і_.я,.»^і'"""і
!'.'!. XII. Г'КШЕНІГЁ ПРЯМіМИНКІІІІЫХ ТРКУР i/ibWIUOIl U'<
Здмь последние дне дроби дли п<1 s разлагал по степеням і.
питом переходя r-tif>Kti и тригонометрическим функшіыхі. ■an;.'i!i)titit-ij
и с со
am ;i
in
;.---,- = \5"-ЧШ«/. (1741
' н= і
где дли сосгішлешш строки еімсі гі> ц дол;кни сташіп. ни ноі.т.ді:у
•ич;чп 1, '2, .4, ... іі т. д.
Подгдшьш ибря.зом, разложение-
\og{{L — ac*v~-l)(l~w -гі -п>\
ни итепеним а * дает
Ч =21 L»-'
»
II ==!
Пусть еще
tang .<: = a laiifr і/,
где a < 1 —положительное число. Отсюда
1_"|,'— і tang;,я cos//—■я~^—IrfiJW/
Потом Іп>. (4:1), (12)1 d
— log (Д + a-— 2* сов у) = — V —a" cos /№[,:|). (175)
- 1 + *
Ваян логарифмы, разделяя шг "2]/— L, разлагая по степеням a, it
переходя от гошінательных функций к тригонометрическим, на-
ходггм
Если же берем уравнение
tang .''■ = соя X tang j/,
то *
^ / 1)11
j-= are tang <еоэ Hang//) = У ~т~-huig//-'1'-'ео.-)/.-'1-1-1 ['"*). (177)
* Точнее, чрк |я|<1.
* При |т|<1.
1—j-tgw е-'"
9 У Лобачевского после олова «то имеется -яекст, заканчивающийся другой
формулой (177). В настоящем издании ;пют текст олущев и формула изменена.
Об атом ем. примечание ("Sj.
412 І-ІОВЫі; НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
"н I His. /.' треугольнике, гігигтіия п. Ь, С; iijii'rino.'i'j?'tr,m.csi, Пои а сда.лге)
Krt./w.u: требуемся нніічт с.
bCjji'.M [ур. І67)|
л- ц- -L /,'- — ;>«(, cos ( '
Отсюда
•<>gy-72--l0s(l-f-£f---4-<™t
if, с.'Н'дон;п'елт.но.(ур. (17->)|,
Умножив на модул г і ,1/ логарифмов, получим
ш Вычисляя член за тглегаш в строгие, покуда ;шаче|нші
чувствительны, находим logy- ломощию логарифмов, ч точностню тем
более, чем содержание и ѵ Ь .менее. .Чатем уже можно up моргнуть
к дополнительным таблицам, которые прибавлены на двадцать
десятичных и служ.ят к определению ''.оответственных чисел вполне
со всеми долями.
Оииачая, как. it пре;кд<>, ■" ошибку дли наікдого логарифма,
должны допуск ать в
і lMt,a /Л
сшибку (2н -f- Uj «і, а в соответственном числе [ур. (iOfi)I
а"
а"
(2)1-1-4:) (о —г- i-os и, (Л
и, следовательно,
Alog|=<* V(2)l-f4)^coshC,
с тем однако ас, чтобы каѵкдмй член в строке разумели
положительным. Для а чрезвычайно малого в содержании ге &, можем
довольствоваться первым членом и принимать
ль [ Alogy = -у-совь,
гл. хп. ряіпкник прямолинейных 'Гі'і;уі'члі>ішко!-. іѵл
потом пщіюиу г; самом чис'і"
Если я; " ис тиі; мало, чтоГіи ул("жолг><_'твоз;гп,.:і п>-р;>..ш чл^имм
строки, тгі, по Kpaimeft мере, нгітди
h ---- X.
■і І°£ -,- <«і ) ——— - і— •
и, следовательно.
Откуда видно, что предложенный ними способ всегда может быть
употреблен; однако ж тем выгоднее, чем а менее в содержании г; Л.
Если довольствоваться точностиго, какую могут доставить
полные таблицы логарифмов, то гораздо короче вычислять прямо
неішеров лоіарифи [у]). {17S||, потом переіітп к инглу тоже пгишщгш
бесконечной строки:
Если в логарифмических таблицах м— саман большая ошибка, то
в решения могут ошибки почитаться
All '' 4МЯ I -
Д log; нуі'-т* =—-7— <'<м ' .
Например,
Находим:
Дс=*4м?Ді-оаГр«|.
(( = (1,1)1)714
іі = Іі ,41345
С7 = 81*32'І4.",7в.
1ое«==7,ао:-іІ>ад2
_ loo-й = О". Шііі.Ч-2!)
& . . .
~ со»6' = 0,0001542Ш
D
■Ш НОІІЫЕ ГІЛЧЛЛА ПСОМЕТІ'ШІ
и: ; -2Іок^- = і",040(і(і2-2
liip.-os-2("=iT,nb{i70!Hj*
— loff •> = іТ.іі!ІН!)7іиі
1<>К {^'■о*1-'"} =;t,72(i4(Jlti« І'''-J
~ ~ i:os 2f' = О,000ООО525і! I""1-1
, cosf'= — i»,(i(K)i;ir21ti8
/j —. „ .
1<]<Г fiy|j— = -(і.іНЮІоЖііНО j'""'
■2]og(f),iHHilo,4fi!)H)) = 3,;J7;12!)6S |''r |
— l<)#2 = 9,<)ilHfl70o
log (0,000001101 IK) = 2,07'22(i(iH [,,я- [
1 +]О£Ііу)і-^==0,!Ш8-И>;-і(Ши (•"'■ I
— (Ioghyi)jJ = 0,00000001 1ft J"''-I
-r = о.омшезаон [<■■-■-j
Iftg І^Т-Ч =("i',lWUi15] I''1 |
log/* = IJ,K83:Jfi7l
!'>K(/' — rj = 7,0199822 I1'1!
Л — с -=0,00104700 I''1-1
r=lj,fil2402t)l [«j.
Точность іш числения:
»« ! Iotj4ei=li,3oi(t;j
log (~ cos с) =(T,isaia
logc = 0,fJ33:)O [«■]
log Дс = 0^2241! *
4fi = 0,00000000021.
ItiO. Дп/ш я, J, 6' й предположении а весьма малым; требуется
wiftrnu А, В.
И« у[іаинеі-пій (143) йерем второе
- * (J (іоотвѳтетвует современвоыу о боа качению 10.
IV1. XII. Т'КІІІЕНШС ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 415
Применяя <"-]і>д;> '-гроку И7<>). получим
1! ---■ О
Потом находгш другой угол
Вычисляя член :м членеш іі строке (.17!)), иол учим дугу .J, котирую
выраяим в градусах помощию таблиц, прилагаемых обыкновенно
к логарифмическим. Если самое вычисление делаем посредством
і!і .чоігарифмов и найшзаем <и самую большую ошибку, то п
і f uil ■ Л
* (тай» j
'іна буднт (2/і-j-2) ш, а в соответственном числе
L_L. ніп пС.
nb*M
Довольствуясь первым членом в строке (17»), ошибку в угли А
должны полагать
ЬМ sin 1" "
Если б ошибка в прочих членах могла быть чувствительна, то>
з таком случае
ід<£МѴ(2,,+8) "," ^"l-ifL+slog *Л Г].
.ж: ѵ
Пусть, например, даются,
| rt==O.0O7U
й = (5,8Ш5
6'=70°0'2б"128.
Находим:
log — = 7,0203311.
—log sin С = 5^9730059
Jog ( хвіп С) = М933370
~ sin О = 0,000984775.
411) НОВЫЕ НАЧАЛА ГКСШГОТРИК
21о£-^ = Г,0406622
log'sin 26' ="9,SU79;!5I! [ЛОі-\
— log 2 ~ VS0S970U
log f^siii 2f'j =^ ІГ,547 ЗІІ7.Ч [''■■■■]
^ sili -2C =O.WUW)um:i {':я-\
a
2^
-siii6'=0,00O93477.'>
«-
-^ tsiti гГ= 0,000000353 p'1]
.1 = 0,000935128 = ["■"'■]
= :('284,1972[M].
ТОЧНОСТЬ ЕЫЧШ:Л(>Р[ИЯ:
i I Log 5ш= 8,39794
log ^siuC = 6,99334
— log (Main. 1') = 5,6768-1 I''-1- 10i]
logil=e,0«792 [,,JI-]
Д4 =0,0001160.
170. Даются a, in ц/ал C\ весьма близкий к v; требуется найти ,1, #.
Уравнении (14іі) днет
Применяя сюда строку (1~7), получим
где
Ошибка и значении ), может быть
ДА= -,зті.
М
Из cos Л = ——, получаем
а-\-Ь
ГЛ. ХІГ. РЕШЕНИЕ ГТРГГІЮ.'ІИІГКІШЫХ ТРЕУГОЛЬНИК'! >Н
417
1-22 | Когда ію(.^- |"lsllj тик мало, что можга дшіолы-і'вшшты-;г іі строке
(ІУі)) первым членом, то, вычисляя поиощіпо логарифиол, должны
почитать ошибку в А \,п\
ДА = f -^.-f-Д/. lang A j ііиі i-n(- -J-''*.
Куда вставляя чначснио ДА, получим
ДА = ^(2 i.'Osi.-j-sin A-)L-ot --'Л
Если же в строке (180) нельзя довольствоваться піфвьш только
членом, так ошибка в каждом
будит
:і^ршг{('^ "г*4) м+(2"+ 1) л іо= ''оя ^,;ot -г 6"J"M cos ла"+1=
(■»;> +
=,-,—-гтгтт-U2" -Ь *)ш + м('2" + 1) <-аі1ё '■ Дф'оі- 4- С"»4-1 cos К2»-1"1 =
(2'Н —|— 1J ill 4
< 17- [»• -г 2 + (2и + ]) sin A tang і. ] со t і- Са»+1.
іа:і | Оуимуя в отношении и л, от » = 0 до л = со, ааключаеіі отсюда
ДА<
М
"fT I "С-Г cot ~ С^+1
(l + 2smitaiig а) У еоі~(Яві1 + 3 У 2
»-о 2 „То 2» + 1
cot 4 6'
{!-{--2 sin), tang'A) —-■ j-3log( 1 — cot -^-j
1 __cotЛ С ^ " '
Тем менее, следовательно, ДА, чем С ближе к т..
■■ Определив угол А, находим
jj=.ir_ А— О.
Пусть для примера
й'=В,8.1343
Ь = 2,37594
'С==І79°оЬгЗЭ',2а.
Зек. ВОЮ. И. И. Лобачевский, і, |[.
27
418 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМИТРІШ
Вычисляем
І0й'« = 0,8.3331571
logi = 0,37&8355
Jog — = 77,542+68-t
logtnng -- ). = і),77]23±2
}. = ІП.°7';-Л",2(і.
j log cos /. = 9,6838527
log rot—- (7 s= 7^8040£J_*
Jog Icoe). cot— CM = и,8202618 =
= )og(O,O0OG(ilO92)e
- Л - {- + "2 ^ 2'J<!>«00|;"" ]
А ={і'ой",7400
Й = 2'2В",0300[ЛОІ''1-
* В теките Лобачевского посла итоічэ рявевслвв, стпнт erne
'п_і[,' = (Л>'аі",іи.
4 4
* В теките Лобачевского ыюгчо этого |>инсні:тни стоит loytgi -- — -7-1 = Ь,83;і2871,
При атом log tg I — — — J ни сямом деле рапой 6,83o3788,
и У Лобачевского иысеіся еще третье слагаемой log 2 = 0,3010300, так что
L-j'UMa у него равна
«,8201808 = log (0,0006609;>17G).
Учитывая ошибку в loglgf-', —— J, мід ьолучи.ін ііы
б;а'202й15 = 1о8 (0,000661091/.
(V Лобачевстсога последнее чиі-ло нринедрно « двумя .-іиліннни ;шпч»1лймн
цифрами J
гл. xu. решение пгішолшшіііых тп;ѵго.:іі:ін*;'і.!ы 411>
Точеоі-гь вычиіѵірнші :
\nfs2 =su.;iti]it.1
log ічіиі,==»,683&о [■""■■ |
Jr.g-(2ros?0 =-= !І,ііЯ48Ь |,;-'-]
2 ms). = 0,9Gt>
. 2 log shi /,= <t,8S46N p-1-]
віш.в = 0.7«7
dn ).2-4-2 і;ок л s= 1,733.
log (кііі л2 -j- 2fos"/.) = 0,2388')
—]cjg2<u = ;;,0000<}
- -logfj/ein 1") = 5,67И64 [''-'-"l
log-cot -- f= 7.18641 [-"""■]
logi.4 = t!,031&o
A.4 = 0".i>UOU27 j'*-H
ГЛАВА ХШ.
Р£ШЕНЛЕ ОФЙРИЧИОіШХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
jj 17J.-Означаем а, Ь — катеты, .4, В—противоположшле углы,
^з II с— гипотенузу в прямоугольном сферической треугольнике, для
которого, кате мы: видели (ст. 1.39, 144) существуют шесть различных
уравнении между частями
a, bt с
а, Ь, А
я, е, Л
а, с, В
а, А, В
«. .1, Д.
t [Предполагая по две части данными, прочие неизвестными,
заключаем, что число ра:ллігіных задач может быть предложено
пятнадцать'3, как здесь показано в перечне
Данные Искомые
а, Ь
а, с
а, А
й, £
Л, В
р.
А, В
b
А
Я
!>
с
Ь
ь
с,
А
a, b
е
. * В тегсеті* Лобачевикаго стоит -шаотЕгадиать». На самом дела Лобачевский
решает 18 ііадач: кроме 15-ти, пряаеденнык и перечне, он рѳшаат в конце главк
(і:т. 198 — 301, стр. 449— 454 паи г. тома) «іце 3 задачи: 1) дано е, В, наИти а\
2) дано г,, В, шііти .-1; 3) дано с, А, наіітн а.
IVI. ХПІ. ГЕІІШ-ШЕ СФЕГП'І. Ш'ШІОУГО. 1ЫІ7.1Х ТРЕУГП/ІІ.НІІІі'Гій -521
В С(|іі'|іы4е<;іі-(ш треугольнике мы будулі предполагать ііажді.ш бок,
я, следовательно, тяі;же каждый угол < % (,-л: Щ, Противный к-іу-
чиіі лппі'і") приводим г: нтпму же. і;огдн fmpi-to бокн > - otjp^M его
дополнении і; кругу.
[Ѵшая треугольник1, ѵюмпщшо логарифмических таблиц, будем
допускать і-амук» большую ошибку о на каждый логарифм, от
г> чего в искомом числе , произойдет ошибка, величина которой
назначает у-.кн точность ■вычисления.
.172. Дишшен а. Ь; шрш/rmrrt наііши г.
Значение с дает уравнение (!)2)
i.'0sc = i'0s!ffli'fjsi (181")
« гочноетию вычисления
Дуге а в уравнении (181) могут принадлежать голысо два
значения, которых сумма 2тг; следовательно, в самом: треугольники только
одно (ст. 171).
Например,
й = &1*12'85",27
Ь = Чо°о'п",Ѵ2.
Находим:
Jog сов и = 9,7І)В9СЮ7
log cos & =¥,6245316
log cose ==9.421-4323
с = 74',4і'5Г)",16.
0 1 Точность вычисления:
lof?3«es= ЙД7609
log coU = 9,43710 [-101-]
— log (Л/Bin l") = 5,67t>64 [''-1- ш]
log ie = 8,28088 [<"-]
Дс = о",019.
Из уравнения (182) надобно заключить, что с уменьшением с растет
ошибка Ли. Точность вычисления не должна переходить однако ж
ѣі'2 НОВЫК РІЛЧДЛА П'ЮЗШТРНИ
за границу, которую находим, когда выражение (L82) для зесыіа
малого •.- заменяем таким (ст. 1491:
Дс = —tait я с 4-1 / тг-г tang1 с5 *'
Силгум гіольщѵь) ошибку ттолѵчіш дли с = О:
т /~^"
У М
С таблицамеі логарифмом на сеш> десятичных это составит
log 6<а = 3*,47712
— log М= 0,30222 [л'"']
т I lrjgl/^-=6,91i)67
— log sin 1"= 5,31443
logic =2,28410.
Дй=17Г,44=2'5Г,44*.
173. Если <>ш;а tf, Ъ весьма эіилн или блиаки к к, то решение
перед этил [ур. (181), {182}] послужит только дли. первого
приближения п которого, впрочем, можно достигнуть еще, почитая
треугольник то a, b или из л — я, тг — 6 за- прямолинейный, и к чему
надоояо прибегнуть в особенности тогда, тюгда дуга а, Ъ или тг — а,
г.—Ь не выходят даже за границы опіишл; в вычислении {ст. 172).
Далее, предполагая по величине sin а ;= sin 5, из уровнйнил (181)
ян код ни
1 1
sin —{с-'-й) sin-^ (с — 5}
sin -^ а- = ■
-оаб
! C08-^(fi + 6)C03-g.(fl —*J
COS — и" = -
2 cos i
(183}
* -т? Уравнения (Нэ} заменяется здесь-,— , ибо (131) содержит два множителя
а правой: части, а (113) —три множителя.
* У Лобачевского: 1С =* І7і".43 = 2'si",43.
tVI. XI] I. РИиГЕІШК (МіЕЕ-ИЧ. ГТРЯ1І0ѴІ'О.'ІЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 423
і.,)т(;мда:
| л „ ___
(184)
tniig-jii— 1/ fan «■-,-('<.' f-ft) rang'-^-(> —/<}.
|ІіУлн теперь г — приближенное аначенш, 5—поправка и нем, то
tHug-5-a«-l/ Uuy—(c-t-i + SJteug-i-C'* —* + 8)»
Означая X*, Лт разности, который в таблицах логарифмов отвечают
log tang--(ft-f-e), log tang -^(e — b) для одной секунды в угле,
получим
2 log tang —и = log tang ~ ((?~j-ft)-(-log tang — (e— A)-j-3 (i)-j- E)
it, следовательно,
П + К
pL°«
tiUlg— И*
tang ~ (c -f- A) tang — (c — A)
Еімш теперь исправленное тякиіг образом значение с
удовлетворим' уравнению (134), то могут ошибки быть
2<й
Ас
Аг;
2 Лс sine cos ft
И ніи (а -J- ft) ~ аіп (с — А) яііг(с -|- й) sin (й — А)'
Между тем, уравнения (183) дают
аіп ft- cos fts = sin (fi -|-ft) sin (c — ft),
| и, следовательно,
a> siu a"
UC = -Л-Г— -.- COS ft.
M am e
Это решение всякий раз выгоднее прежних [ур. (181), (182)], как
скоро по величине
Я со.ч^>зтй! [18ij-
Полагая
а
находим:
:} соз і = sin J3; cos т] = —==.,
«rat^"8^16 ^MTii-ifVia [ІМ],
424 НОВЫЕ НАЧАЛА ГІ'ХЖЕТРЛЦ
а вычисляя
Іи
loji-i:-J = J!li:-ifl4:H [■■">'■■],
log VH = 0,55(ia:i7 fM-l;
logS = n,477]21i! [яог-]
— log 1/Тя = 9,4430283 ['"■]
log <чж-,|=ТГ,!120І4Я(і
Tj = 3fiD4I.'2+",-21 [«■]
-і--/( = іе°5'2'42",10[,:л-]
log sin —-/, = 5,4(120745 [a-]
2 log sin -i- t, = 8~,924I490 ["■]
iogl/ia = 0,r)o69717 [""■]
log<:OBE=^,48I1207 [■»■]
J = 72°22,32",24 [i:'].
Так что всякий pa», когда но величине sin «<sin?, последнее
решение должно предпочитать, а первым пользоваться как способом
приближения.
Берем для примера.
а = 17&°2(/і5",24
&= lO'lo'SO^lG.
Находим:
log сова = 9,9985«OS ■ п
log cos Ъ = й^ЭЗООбЗ
log cos с ="9,9915668 ■ те
е = 168*44'40",48.
и 1 Точность вычисления:
log 8м = 8,17(109
log cote = 0,70112
— log(lfsm:T) = 5,67(5M [ы-ы*\
log Afi.=¥,55385 [сл>1
Де = 0*,3&8.
гл. хш. , решение і'ФКРііч. пряліщчгн.ных 'і'гі-:угг*.чішш:сів -і2.".
/
Рассматривай такг»1 лкачсш»: г і,аі; і]|шо.іпл;енно<>. и полагай і; нем
ПОП|!ЯЪКУ '".
~- хг -±- I,) = Ыі°&) *і":л->
— (С — i) = 7'/l4'-Pj",Hi
tnj; tang ™ и = ! ,sswaoo;t [•--" j
Jog lung -i- (f -h 6 -f- 5) = 2,<>5!Ш«Ч -j- Г2и7й
log tang 4 ('■' — * J- £' = ",721347!) -j- 57£ |""-J
2 log tang-^ n = 2,7805607-fl2{54«i [M-J
1,3903003 = 3,3902833 + 15823 ["■]
u = 0",269 ['<'■'-]
i>= HiK*44'40",74H ['■''].
Точность вычисления:
i 2 |t)gsiiw/= 7.82002
1окС08&=0~9У801
— Jogsm<! = 0,70i-.)u6 [™r-J
logio^li.tHJeST
—log(J/win 1") = r>,67ti(i4 ["i"s]
log 4c = tt,8f)820
de = o",0007i).
174. Даютеі/ a, b, найти Л и В.
Пи уравнений (93) второй дает ;шаченн<* .4:
tang a
tang Л =—-.—s
с точностях) вычисления
. . Зю . , ,
ЛА=--ТГ$т2А.
Углу -4. принадлежит здесь одно только значение, потому что
другое ъ~-А рассматривать в треугольнике нал не нужно {ст. 171).
Подобным образом находим угол В.
Пусть
а = 51°12'35",27
Ь = (56° б'ій',12.
4.2-і НОВЫЕ НАЧАЛА Г-КОМЕТНШГ
j Вычисляем
Ьй taut-1 « = »),№М8Й49
— Jog йіпй = 0,0424174
lfio-taiis-l = 01l;-J7402:i
а = ;>;!*54'з.>°,;ііі.
'іѴ'НО'іТ!. ВЬПЕГГЛг.'ЕШЯ :
JoysiiL2.L = !),!)7.Si;.) |ЛІ,І'|
lofj.4ei = 3,17(i09
— log 2 = 9,09807
— Іоц (JjTsiii i") =j>,67_<H)4 ('■'■'»4j
logiA=?,iVtO;-i') I'--' ]
Л.4 = 0*,034.
I 75. Jjlmmiii a, (:, ноліши h.
Ртярнч" выгодное других будет такое [ур. (144)];
tang y* == l/ tang-^-(c-fa)(;mg —((.- — г,) (1ч«)
П ТОЧНПІГТІІЮ ВЫЧИПЛѲШІіГ
w 2* . .....
Д" =-77 8111 « -.
I В уравнении (186) і;аадратныіі корень моікет быть взят с двумя
знаками, откуда происходят-дна значении для 6, которых сумма 2ж.
Для примера берем
л==74*4і'ч5",1(і.
Вычисляем
I » . „
— (С-4-а) =(і2 57 15 ,'21
^-(« —«) = 1 1*44';}0",94
log- tang -j (c-f- a) = 0,2» 107B9
log tang 4 (c — a) = 9,3178521
-2 log U\ug-£(> = $fiQQH2M>
log tang — й = 0,.ЧО49145
6 = 85° 5'ia",10.
*■ От log f rg "^ fg ~:,—) имеем по грешно вть 2w; іывлекая квадратшмй: ко-
рняь, получаем погрешность ш. При пользовании тлг'ілЕцаміі получаем нищую по-
й-ретиост:. 2'«. Далііе применяем формулу (109),
ГЛ. Xi'lf. РѴЛПѴЛШЕ і'ФШ'ІІЧ. ПІ'ЯІЮУПіЛЫГЫѴ ТРГСУГОЛЬНШСОИ 427
Тотші>с'/ь вычисления:
— Іоу(ІУ«ііі 1") = 5,67604 f'-1' '"■*]
bgsiii t = й",9;>7.">3
log Д6 =8,03422 [«■]
4/, = о",043.
г> | 170. Даютѵи я, с, ■нішти Л.
ІЬі уравнении (90) первое диет прямо уншенис
, sin а
sit i ,1 =s ——
sine
с ' точностию вычисления
В уравнении (187) углу А принадлежат дна значения, которых
сумма «. Из них одно находится в треугольнике и боком й<к,
другое г. боком А>тг, как легко заключить из урапнения [ур. (93)]
win 6 = tang «cot А.
Пусть, например,
а = 10°13'20"Д6
^ = 168*44 Ч0",7а.
Находим:
log sin ft = 9,2505163
— log sin <: = 0,7095805
log sin 4 = 9,9600774
iii [Точность вычисления:
log 3(и ="3,17801»
log tang A = 0,34750
— log (Mam I") = 5,671)64 (ra-in>*j
log ДД = £1,20023 [ftl-]
ДА = ()"Д58(5.
Из уравнения (188) надобно заключить, что решение невыгодно,
как скоро tang А весьма большое число; но, впрочем, ошибка в А
никогда не может превзойти 2'51"44*, как это было доказано для
подобного случая выше (ст. 17-2).
* Gv. скоску * ы» і!гр. 422.
(1871
(183)
■52Н НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
177. J/j>ytoe ргтгішг, ко,'іШ Ьниы і, г it шргбугпіся наішп'Л.
И.ч уравнении (1Й7) следутт
1 ^. нін — (г —а) сов ™(е —«)
sin I—- -— , .4.
4 2/ sin <:
4 £ J sin с
Отегодн для вычисления у г.-! и, Д
tB„g ^1 г _ 1 л j -, |/ tang 1 (с — а) '*о1; -(с+ rt).
[Это решение тнкіке дает уіѵгу .4 два чначрнпя, которых сумма я,
погону что квадратный кореш, можно дриншіать отрицательным
тг положительным. Тптносгг. вычисления будет
2ш
— тем бшійр, чем угол А ближе к ~ъ илп к :.уъ. Оамое решение
выгоднее первого |ур. (188)], как скоро ло величине
8 tang .і> 2 cos А
и, следовательно, sin Л по величине более sin .'10"'[m].
Берем снопа пример
«== 10°35'2u",.!fi
Вычисление дает:
— (c-j- я) = 8!)°;)о'о",4.-І5
.- (й—-а) = 7я'н'40",2Н5
| logtang — (в —а) = 0,72.184:іЬ')
log cot ^-{с + а) = 7,94074SiS [■'""'■J
21ogtaiig'(~ s ~--'-А )== 8,662098!["■ J
logtang (~ к — і ,і) = »,Ш0481
-.- * — 4- Л = 12Ѵ40",»63
—-г. — Л = 24:°11'38"ДЗ
* J = 65*48'20",87.
['Л. ѴШ. 1'ЕШЕНПК ГФКРич. ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНШ-.'ОІІ 4'^!І
Точность вычисления:
log't-o-s .1—Ті,іі12."кЧ[-,і"'(
-— log (Main I") = ,ушьЧ[гд- ws|
ІОК ДА = 8,23922 ['■■'[
ЛА = іі",іН9.").
17Я. Диттся и, с; іщкйушія паішт /!.
Из урнннеетші (і.Н) перине даст
гчій #== tang- "cot /■ 1189J
с точнііітігні исчисления
и I Углу £' принадлежат два значении, которых «уіша 2*. Должно
брать #<- вместе и третьим боком Л трсутлькпка («т. 4і>), я как
требует уравнение [ур. (!)(Hj
sin с sin B = a\ab.
Из двух значений В каждое отвечает также идиому ив двух
значений угла A (ет. 17ti), согласно с уравнением (і)г>)
cot A i.'0t.6'=cose.
Для примера берем
« = Ш 15''2(/,1(3,
6= 16В'44'+(.Г,75.
Находим:
log' lang й = 9,2575 J 15
log'cot'c = ll,701120.">(i
logeos.e=9,9J36!(Sta.
Точность вычисления:
зо I log3*>==;S)17(il)rt
JogeotJ? = U,S3!-)l>7*
— log (Л/sin l") = 5,«7fi(t4 ['■'■ lllsj
log AA' = H, 19130 ['-л-3
ДІ? = іГ,13Нр«4--].
* На самом деле log ctg й = 0,31190? и, ни » о-сЛрасмвар-п'я, ийи важно дкшь
.абсолютное значение ІВ-
430
НОВЫ В НАЧАЛА ГВДМЕТѴМИ
Уравнение (190) показывает, что точность уменьшается с иоіршта-
ынсм vol В. Однако ж самая большая ошибка л угле А', именно для
ft = i) ИЛІГ Ь'=т:. не .может произойти "2 51 ,44s (ст. 172).
179. г^ру/№ рынеиие, иоіда даны а, і; и шуебувм-я найти II.
Ог уравнения (189) п<>реходігм к таким:
. 1 _, мне — а)
ssmTS- = —-—:— ,
2 го8«8іпе
sin (с-г-нJ
•2(:t).4-i-J?!
cos a sm с
іі, наконец., определяем угол /:?;
ta
с гочноитйю
* 2 К Ші(й-|-«)
2u>
M
Углу 5 снова принадлежат два значении, которых сумма 2т.
{ст. 178), потому что квддратный корень может быть взят
отрицательный л положительный.
Посмачнее решение выгоднее, прежнего, как скоро 3 vosB^>2nuiS'
[ур. (190)] и, следовательно, когда по неличине sin В лгенее, нежели
синѵс vivid в ЖГ.
Например,
Вычисляем
а = 10 15 20 ,ltt
<• = ] «8*44/4.0"," j.
с + « = І79"оѴ,{Н
в —«=158*29'20",59
log віп [с — га) = !),56428(30
— log sin (c-f a) = 1,7582544 p"'-]
2 log tang J- £ = 1,:322у404 [™-j
1
#■
0 - 77 41 89 ,92,
W=155*23'ltt*,84.
* См. сводку * br і:тр.'£і2.
ГЛ. ХШ. ГЕПІКШІЕ СФЕІ-'ИЧ, ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТІ'ЕѴГОЛЬШЖОіі 4Йі
j Точность вичіпѵн.'ния:
log-2<u = ,-і5()опоа
log sin /?= 9,61057
— log („Vain 1") = 5,li7664 [■■'-'■ к-"j
log AP^ 8,29621 ["-1-]
ЛЯ=о",0]Я7Й.
ISO. Дикчпѵя а, Л; на-fitiin Ь.
Из уравнений ('93j второй дает значение £
sin Ь= tang я cot .і (2Й1)
і- '"о'іностмю
Ді = — rung b. \Ѵ,Щ
Боку 'j принадлежит здесь два значения, которых с-умма тт.
Для примера берем
e = JoV>'2o",16
_4 = «5°48'2ti",87.
[Находим:
log tang « = 9,257«'*11й
log cot A = 9,6524990
logBin6=s8i9100105
6 = 4*а9'44",76.
Точность иы"числен ия:
log Зоі = 3,17609
log-tang 6 = 8,91145 [л*'"']
— log (Jlfsin 1") = 5,67664 [сл-1вй]
log Д6 = 7,76418 [е-1']
Ай = о",004в.
Когда Ь близко к — тг или к -^ it, то может ошибка в &, пак по
называет уравнение (192), простираться до 2 Ы ,44 ('ст. 172).
181. Другое решение, когда данѵі а, Л и требуется найти-Ь.
Нн уравнения (193) следуют еще
' , ■ М li\J аи(А — а)
2ВШ -—іг—— } « 1—,—j- ,
\ 4 2 / cos «amл
,] і.\! віи(і + й)
2сое \--т. — М =■ ■ -
4 ~ I сов я еіс А '
432 НОВЫЕ НЛТЛЛА ГЕОМЕТРИИ
| н, наконец, для вычисления дуги Ь
tai
с точноитши
"'* (Т в - 2 *j и I/ аііфі+7;) (1М>
ill
(104)
й нотомѵ jifnrcHitt* (1'''3) пенсий рав выгоднее, как скоро [ѵр, (192)1
8sinfi> 2 cos б5,
или когда іго вилитигге siiii более, нежели сикуг; угла в 303*.
■ В уравнении (198) дуге 6 также принадлежат два .«шчеычя,
которых су\ша к (ст. 180).
Напртгор.
ci = &l'iS'.L(5",27
Л'=аЗ*54'Зэ",37.
| Вычисляем
A-\-a = L0r,°7'lt}",iH
log' sui (.А — а) = «",67.40348 [ЛІ»'-]
— log' sin (-4 -4- а) = 0,013:500-2
■> log tang ( * те —5-*) ~ 8,6883%0 [^-j
log tang- f — я —— J] =9',344L925
i-ic — І- 6 = 12*S7'2S",42
й=«г/Г)'|3"т1(>.
Точность вычисления:
log 2а» = 8,00000
log' cos 6 = 9,1:2454
— log (ІЬГвіа 1") = 5,Ь76в1|1--11- ш\
log- дг»=8,301 j s [i---i-3
M=[(",02.
182. Даются а, А; найти о.
Ив уравнений (90) первое служит іс определению е:
sin я
am а =
sin A
(193)
* См. примечание [шІ'ыа мр. 58!).
ГЛ. XIII. 1'ЕПІЕШІЕ ІМФЕРИЧ. ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОІІ 433
і?іі j (.' точгіоі'тігігі ш.гщелешгя
Дс='-^-tangfi. (іуіі)
Дугг с б уравнении (195) принадлежат два зшілвншг, которых
<:уіша «.
Ия уравнения (181)
cos е = еое a cos 5
ложно видеть, какие значения боісов Ь, с соответствуют одііо
другому {ст. ISO, 181).
Например,
а = 10°1о'20",11і
А = 65*48'2б",81.
Находим:
log sin а — ІГ.-250Я109
— log sin J, = 0,089822(J
Jog иіп с = 9,2904395
c= ll°15'l9",25.
Точность:
| log 8t» ="3,17609
log tang с = 9,20887 [Л(,г-]
— log (Jlf sin 1") = 5J£7664_[1^,Wi]
logic = 8,15160 [и-]
Де = О" ,0142.
Когда бок е близок к -,т и иди ѵ и, то в значении с может ошибка
доходить до 2.51 ,44е (ст. 172).
183. Другое ■решение, хо?!)а дани а, А и требуется ііайти с.
Из уравнения (195) следуют еще такие:
sin ~т-(А— а)со5-^- (А ~\-а)
cos — (А — a) sin — (А 4~я)
ain A
Наконец, для вычисления дуги с:
tang^~ic— 4"С)=" V іапё^СД — a) cot--(A-f л)
* См. сноску * ни стр. 4В2.
Зав. B0S9. Н. И. Ловр'ювсккГі. т. II-
23
434 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
С ТОЧНОСТЬЮ
2ѵ
лс = -jf cos с.
28 [Это решение выгоднее іфс;киега (ст. 182), как скоро по величине
sine более sin30'.
Наіфлмер,
Находил:
я = 51°Г2'35",27
.L = 53 54 35 ,37.
у (Л — а) = 1°2іѴ,05
-£- (Л +■ а) = 52°33'Зо",32
bg (sing—(А —а) =£,3722960
log eat ^-(i + a) = 0,8840115 [Л1,г-]
21oglaiig (i-*—i-e) =8,2563375 [ел-]
log tang J ^ ___cl =9",1281688[ej!'J
T"«— y<i = 7°39Y,41 [™-|
й = 74*41'о5",18|.№1-
Точность вычисления;
log 2ш = 3,00000
log cos с = ЁТ, 4214.3
— log (Msi-a 1") = 5,lj7664 [*"■ m]
log Ae = 8,09SO7[UJI-]
Дй = 0",О125.
! 184. Даются а, А; тробуетя найти В-
Из уравнений (Ell) второе
COStt
служит к вычислению В с. тотаостюо
, „ сон Л ,,,ь-а
AB = ^tangif. (199>
-til
ГЛ. ХШ. РЕШЕНИЕ СФЕРНЧ. ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 4У5
Углу В а уравЕгеніш (1U7) принадлежат два значения, которых
і*умма -. Из урашіі'ішіі (91) первой
sin A cos Ь = сон В
решает, как значения Ь. В с о ответствуют одно другому (от. 180).
Из у равнений (04) первое
fins В tang с — tang a
указывает, как значения с, В могут быть приняты вместе (і;т. 162).
Например,
« = 10*15'20",16
.1=вГ)°48'2б",87.
•чо I Находим:
log cos .-1=9,6125764
— log cos ft = 0,0069947
I<jgwin/V=9,(il957l1
23 = 2i'm'i0",17.
Точность вычисления:
lug Зо» = 3,17609
log tang В = 9,(1(5093
— log (ДГsin 1") =» 5,67664 [■*■ mj
logAB^aflism^-]
ДВ = 0*,082S. .
Из уравнения (191) должно заключать, что точность уменьшается
с возрастанием tsngJS до того, что с приближением В и -$-ъ или
к —іг ошибка может доходить до 2 61 Д4В (ст. 172).
185. /другое решение, когда дани а, А и требуется пойти В.
Из уравнения (197) находим еще другие:
! і у sin — (Д—и)вт—(А + а)
ЯП -г-IT
-и-
4 2 / еов в
>1 1 \> eosy(^— rt)coB-g-(A-]-a)
' eosl —it-—ѴЛ) = —-—— .
Отсюда для вычисления В;
tang^st—і-в)= }/tang^(A-a)tangі(А-И) (199)
* Ом. сноску * на стр. 432.
28*
436 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
С ТОЧ1ІОСТПЮ
л 7-! — .
м
ДВ= J%osB. (200)
Это решение выгоднее прежнего (ст. 184) псяішіі рач, когда
8вші(>2шэ.ВІ1
следовательно, как скоро по величине аті?>зіп .'.'О5.
Здесь [ур. (190)] углу jS принадлежат тоже дьа иннчеыия,
которых сумма я (ст. 184). потому что квадратный корень берется
с тем и другим знаком.
Например,
г( = 4°й9 44",76
А = 24°Зб'4о",16.
Находим:
— (А + а)™ 14°3«'і-2",4)>
— (J. —а)= 9°5У'27Г',Т[|-
logtang— (1 — а) = 9,24.518011
log fang -І- (А -f а) — 9,410017,4
і ——-
21ogtaiig( — - — уВ) = 8,6820982
49.1
log tang (i-e —-i /?) = 9,3.4104!
^=12°5,4C''
.В = 65°48'2б",8Ь.
^-т: — 4 B== 12°54C°,5(i
Точность вычисления:
log 2<o = 3^00000
logcoB.B=9",61258 Е-'10''-]
— log (ІЫsin 1") = 5,67664 [ол- 1USJ
log Д#;= "8,28922 [рл-]
Ai?==0",Qtfl5.1;'1"1'-]
136. Даіотоя а, В; найти Ъ.
і
Из уравнений (93) первое
tang 5= sm в tang .В (201)
и | служит к вычислению Ь. с точностиго
IV]. XIII. І'ШІШПЕ СФКІ'ІІЧ. ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛІ.НИКОИ 4:"І7
ііоку b is трпугольпш.чі {у]>. ('--'И)] тгрішадлеяіат два шгачоішіі,
КОТОРЫХ )ia:tHOCTI. ~, І1 СЛГ'ДОііЧПЧѴГЫІО, ОДНО ТОЛЬКО ft < я (СТ. 171).
Для примера б(>ррм
Ня ходим:
log sin n = !>,2."jUjlli(]
lop tnng L'= й~,6Ш:ш
big tang Ь — Ъ,{)11Ш<}
ft = 4-°30'44",7fi[JI,r-].
Точность ііычислония:
]о£Уш=і^17ііОЙ
— log 2 = 7,69877 [•""•■)
log sin 24 ='9,20981
— log(Л/sin 1") = 5,07W>4 [.-i- Jisj
IogSi6==7~70131 ['■"'■]
ib = o",ooe.
и | 187. Даются а, В; найти е.
Пп уравнении (94) первое
tang с ■■
tanjr в
(202)
иоиИ
служит іі вшпгслонпю >', с точности
))[D
Дуге « в уравнении (202) принадлежат два значения, которых
разность к. 'Из них надобно взять то, которое <тс.
Например,
а!=10,]5'20"110
Л = 24*3б'40",1«.
Находим:
log tang а а= 9,2575115
-log coB.ff = Q,Q41362u
logtangc = 9,2988785
C=ll°15'l9U,25.
438
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
|Точность вычисления:
— log2="9,69897
log sin 2c = 9,68303 [--""■■]
— log (Msin 1") = 5,67664 [«•''■ ш]
log Дс = 3,13473 [сл-]
Дс = о",013й ["■].
188. Даются а, В; найти А,
Из уравнений (91) второе
cos А =а sin Л ссіэ й
служит it вычислению угла А, с точностию
(203)
зѳ
ДА = —соМ. (204)
Углу 1 в уравнении (203) принадлежат два значения, которых
сумма к. Из гогх одно будет менее л вместе с дугой о.
Например,
й = 10°15'2о",10
Л=24°Зб'4СГ,1(>.
Находим:
| log sin В = 9^6195710 [=<"■•]
logcosffl = 9~,998O053
log (jos .A ="9,6125763 ['«*■]
J. = G5*4S'26*,89 [™-].
Точность вычисления:
1о§Зш = ЗД7609
log cotji = §",65250 [лог-]
— log (Ж sin 1") = 5,67664 [ел' ш}
log ЬА = 8,50523 [«•"■]
ДА = 0 ",032.
Решение невыгодно, как показывает уравнение (204), когда cot A
—весьма большое число, до того, что может ошибка в ДА доходить
до 2'бі',44* (ст. 172).
189. Другое решение, когда дани а, В и требуется найти А.
Уравнение (203) представляем в другом входе:
2 сое А == sin (В~\- а) -\- sin (В — а),
9 См. «носку * на етр. 422.
Г.'Г. XIIt. РЕШЕНИЕ СФЕРИЧ. ПРЯМПУГОЛШЫХ ТРЕУП іДЫШКОІ! і'.Ѵ.і
Потом отсюда находим
Полагаем теперь
\ 1ішк^' = "-— ———- ~- — "—
Шхѵіі; чего
. / J 1 , 1
Bill I -т ~ Г і> -Г "Г «'
2 coS-«V2
Точность вычисления для вспомогательной дуги .<■.'
: 2J\t
л 3» ■ «
для угла А
id. = 2 iang ™j ~+Дл'ГО]і£.-Л [1М].
Куда вставляя значение Да1, получим
нли
Л I —__
Ж
где
AA^^tangi-^T'2 I"14].
соя ? = — sin x ]/:-[.
[ Это решение дает угол А тем выгоднее, чем угол А менее или
бли;ке к 2іс [0Лі іаг']. В уравнении (205) углу А принадлежат также
два значения, которых сумма 2тс (ет. 188), дотом/у что здесь угол х
может быть как отрицательный, так и положительный.
Например,
й = 4*30'4+",Т6
І? = 80°43'2б''.80.
Вычисляем
111»'."
— т.— — £ + 4 а = 2°'2'3'.38'",0о
4 -2 ' 2
440 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕШіЕТРИИ
Jofj siii (- к — — 7?~- rt ] = 8,бѲ10344і* {лог
— log tin j-L J3-f—~ «— 1-jj j = J,373095Sn. [-™--
2 * .
lo£'tang.i:=rf,Q341302 [^-j
я = 42°38'іі",(ІЗ["-]
log tin /і-к — І-Л^. -ід) =8,8269042
— logcosar = 0,1833190 p-']
— log j/F = 0^8494850
log sin-|-,1 = 8,6097091 ["]
зв
Точность вычисления:
І-Л=2*19'68',В2
j. = 4*39'59",(H.
logEin.'c = 9',S308i
— log 2 = £69807
log Y~£ = 0,23850
log cos S = 9~768S4
( = 54V0"
— & = 27Узо\
'Z
2log«os—-£ = 9~,89944
log tang — J ="8,61007 ["'■ ]a"'J
loglC« = 3",90309 [™-is»]
— log (Л£ sin 1") = 5,87664 ["''■ m)
log iA =1T,08924 [*»•]
AA = o",0122 [«■].
190. Дташся Л, В; itailmu а или Ь.
Ш уравнений (01) второе служит к определению а
cosA „„--,
■ oos а = —.—^ (20Ь>
am £
с точноетию
Зоі
Ли = — oota. (207)
іъ j Дуге а в уравнении (208) принадлежат два значения, которых
гл. хліг. Т'шткши-: гфшіч. прямоугольных треугольником -hi
сумма 2т.; одно, слгдоватнлг.но, и том треугольнике, который
рассматривается (<-т. 171). Подобпым оириздч находим другой бок /->■
Решение (200) исішгодно, когда mt я цг'і'і.ма большое чи^ло,
тик что может ошибка и а доходггті. до 2'~<\"Лі ''% когда бок и йліюок"
іс пулы или к т..
Например,
А = H9°48'2C",Sf.;
/; = 4*39'оП",04.
Находим: .
lug («)й Л = 7,5203950 [-■""'■]
— log эіи В = ],08ЯІІ20Я
1о£сояя="і3,6160іа9 [<•■"■]
a = S7<37\>7*,5o ["■],
Точность нг.ічіпмі;іШ!і:
log:j(fl = :7.17{ii)9
log cola ="5,01038 [/""'■]
—-JlPg-p/мІі] 1'] g= 3,(і76В4 ['-'л- 1ІВ]
logifl="7",4t}911 ['■■''■ J
Ди = 0",002fi-
I 191. Друіж решение, когда дани Л, В и, vipeotjemen найти а гит Ь.
Ни уравнения (206) следуют два друічіе:
fflll
Sill — fl" = -
тл+т^-і-)«-(т-+^-^;
•2 t-in //
COS
СПЯ —- It" — -
,(1Д+і^і,)еь(і,+1^Л.
•2 "" аіиЛ
Отсюда дліг млчнслеішя Дугн я:
с точностью
Б уравнении (20S) дуге « принадлежат два значения, которых
суіша 2-, потому что квадратный корень можно брать с тем и
другим знаком. Это решение выгоднее ігреигнего всякий раз, когда.
3coaa>2sinfls,
* См. сноску * на стр. 422.
442
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
следовательно, как скоро sm«<sinG0°.
Например,
А=24°3040"дй
£ = (І5*48'2б",87.
-іг | Находим:
-—■я ~~£—~А = 24*24 Ѵ,643
log tang (-^ Л 4- ~ і. — т " ) — 7^526687 [-■»«'■
log tan g J ■- к — І- Й — -1- ^ ) = 9, S5G729-J
■2 log tang — а = 7,2193032 ["']
log tang~a = 8,6096991 [™-]
-і- a = 2°19'52",Si7
а = 4°39'44",7і.
Точность вычисления:
log 2ш ='3,00000
Iogsma = S~,91001 [ло'-']
-~\og(&[ein. 1") = 5,67(>С4 [''''■ т]
log Л а = 7^58065 [І'л-]
Да = 0*,ОО38(і.
102. Даются А, Б; кай-пш с.
Ив уравнения (95)
(;OMC = COt.A C0ti?
следует еще два таких:
„ . 1 , соа (тг — 1 — II)
1 2 ешДзш-й '
J. „ сов (А —В)
2 <109 — С" = -г-Ц—: =' .
2 ■ sm A sm Л
Отсюда для вычисления дуги с:
1 , /отЫ — А — В)
tang—e=j/ - ^
cos (А — 5)
■С ГОЧПОСТІ-ІЮ
2ш .
At = -:у sm с.
ГЛ. ХЩ. РЕШЕНИЕ СФЕТ'ИЧ. ПРЯЫОУГОЛЪШДХ. ТРЕУГОЛЬЩГКОІ": 4-13
Как уравнение (05), тик И ПОг-лодпес (210) дают с дна чначішші.
которых сумма 2т. Из нггх одио<^, другое >s.
Например,
.■t = 24*3i>W,lii
b'=ii:As'2fi",.gT.
Находіш;
- _ Д — /J == 8934,' J2>7
.1 — І/=41°1і'4(і",ТІ
Log і-ин [я — А — В) ='7,8636929
— log соя (,-1 — В) = 0Д235181
2 log tang-і 0=7,9872110
| log tang -^е = н,9936055
-^с=г/37'39",00[-іаг-]
<; = 11°1o'.].d",20 ["-1-].
Точность вычисления:
log 2w = ^,00000
log sin с = 8",2904-1 [30г']
— lug f j/еш 1") = 5,(S7fi(S4. [«• i*j
log<&tf = f,9<j708 Г6"1']
Дг^-0",0093 [и].
198. Ошибки б искомых еще чавпеят от неверности в данных,
которые прямо находят измерением. Эту зависимость открываем
в уравнениях между ■частями: треугольника (ст. 1MJ, предполагая:
во всех углах весьма малые приращения. Так получим:
Да со t а = Дс со (■ с -j- Д1 cot --1,
Aft cot ft = Ac cot с -f- iff cot B,
LB tang B = Lh tang & — i A cot A,
Д J. tang ..-I = La tang я — LB cot -0,
Aetangn = Да tang ft-j-Aft tang ft,
2 Да ,, . , , 2 LA
-^-— — Aft cot #4--.—^-r-, •
sin 2a ' am 2A
2 Aft . . , 2ДВ
і Да cot »-
sin26 " l вш2В '
2 Да 2Дя ..,,, r,
-г— = -—г- -— Дл1 tana- В,
em 2« sm 2й "
444
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
2 Д& 2 До . , , ,
-т—«т=-^-й Д Я tang А,
аш 26 sin 2с ° '
2ДД , 2ДВ
До tang г. = -—j—j- 4- -,—-т,.
Онов.і пользуясь уравнениями (90), (91), (92), (98), (94), (95),
назначаем ошибки в искомых от нетеерыости данных.
Если даны я, 5, то неверности Ли, Ад произведут ошибки
Дй = Да сое В-\- Д6 иоѳ А *,
.1,4. =-Д— ( Да sin Я—AufosaeoeB 1 Г18"],
sine' ' '
Д£ = -— f Дй sin Л ~ ій cos 6 сои А ].
sin с
Если данъг я, г, то неверности Да, As произведут ошибки
Дй = -——; (Ас—-ДясовТ?),
cos А1 !
ДД = -т—,. j Да— Дсеоэ В 1,
sin і '
cos a sm о j і- j
je j От неверности в данпых а, А. происходят ошибка
AamnB— ДА sin л
Д6 =
Де =
eos а еоа II
Дя— ДА віпй
соэБ
^^Ддяіпй — ДА ш
cos с L J
От ошнбок в далинх а, 5 происходят
Д5 ив .... .. { Да rob & еов A -J- Д5 віп с I,
Дс = ^—г (Да еое & 4- Ді? сое а sin J |,
ДА = Да sin Ь — LB cos с.
Or ошибок в данных А, В:
Д5 = -J— (АВ+ ДА cos с},
sine
sin a sin (
Де = -.-==?75(ДДсов& + ДВоово} [ш]
* Дс^До^ + Ді^^ідемВ + ЛйсояЛ fyp. (fii)J.
tgtf I tge
ГЛ. ХШ. РИШЕКЙЕ і/ФЕ1'ИЧ. ПРЯМОѴГ0ЛЫ1ЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 445
Олпого іі!!глида на такт; ішражснпн довольно, -чтобы судить,
накопи должны бьш. услошпі для выгодного решения.
] 194-. В некоторых случаях моіі:от с. выгодою (шть ушітр<;б,теыо
шлчысление ігомоіцню строк (ст. 107).
/{аытся а. о, при, тол а однако "«"к; mpwyemrn /шиит Ь.
Применяя сюда уравнение (17ІІ), получим:
В логарифме каждого члена
— sin 2nb tang (--г- ^ й" ")
1 1 ^ш
х 1 Г", іэот
ошибка может быть (2ft-|-2)w; следовательно, в самом числе
-^ « аіп 2пй tang ^* — у я J [- »•],
а оо всей строке не может превзойти
Это значит:
jlfsinl" Л п &\ 4 2
tong[Tr-Ta)rote-dloK -^ 'jL
'ІГ sin l"
.is I Еелн я;ѳ довольствуемся первым членом и строке, то
UB=^H^iB9m2itB11KU1t""2 а) '
Например,
a = 89*45'2C",lt>
Ь = 5°7'4о",Ш-
Находим:
І.«-і.а«0Ѵі0',!И
2 log tang (■— к—^ aJ = 4,6ol954t!
logsin2& = 9",2S05169
— log sin 1" = 5,814425.1
log (5 — 6) = 9,2168808
.В —& = 0\l647709 ['■""■■].
44t! НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Точность вычислении:
bg4u> = 3,30103
log sin 25 = 9,25052
•2 log-Lang [-J-л —а) =4,65195
— log (Мт\ 1") = 5,676С4 [<*■10а]
log Д# = 2,88014 [""]
АВ = 0,00000007588.
•и | 195. Даны а, Ь, при том Ь eeeb.ua олизко я —к; пайти В,
Применяя сюда уравнение (177), находим
В = ± * — 2 :^qi т кіл a**"1"1 cot 6"*+! цм).
в ■= 0
Ошибка в каждом члене может быть
(2m-f-.1)J!fsml" L '
Следовательно, в угле В не превосходит
Это значит,
Если довольствуемая первым членом в строке, то
В = ~ к — sin a cot 6 [■"■•1ІІ2],
Д5 = •тг4" ,-г. эіп a. cot & [«-'• ia2-|,
М sin 1" L J
so I Например,
Вычисление дает:
.л = 10 .15 20 ,16
<> = 89'45'2й",16.
log eot 6 = 7,6270094 [е:с- ш]
log sin о = 9,2505169
— .log sin 1" = 5,3144251
log(~ir —&) =2,1919514 [«■">]
-5-я — 6 = 2'й5",57896 р№-> «(.IDS].
ГЛ. Sill. РЕШЕНИЕ (;ФЕРПЧ. ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ і
Точность:
log 3(0 = 8,17009 ["■'■ 1!І-]
logBina = 9,2505*2
log cot & = 7.62701 ['■■■'■ !,,JJ
— log (If sin 1") = 5,(17604 ["■ ш]
tog iZ2= 5,73020 ['■'■ »!'-]
ДБ=0",ООО0537 ['-71Й-].
196. Дітт<-Я и, Д крм »Ш( га eech.ua близко и — -; наіітгі Ь.
] Помощіпо строки представляем Ь [ур. (176)):
Ъ = В-\- ^ t—1)* 9ІЦ 2)t gtfmg /i. ir__*_flW pw^.
Ошибка в каждом члоне менее
с лед сшат с л ьл о,
if sm I" *** n ь \ 4 2 / '■ J
или
^ъ—мкт"[Шщ{\^аѴ0іа-
Я log
2teng||s—І-а1п
cot а
Если довольствуемся первым членом в строке, то
,rj.
b — B — ainSPtang I —я—— а
с точностига
4(0 /1 1 *Іг
if sin 1" ь \ 4 2 '
Например,
а = 89°45'2б",16,
,В = 5Ѵ40*,0В. "
w Это равенство цыпедего в примечании р"1'.
■148 НОВЫЕ КАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Находил:
2 log tang ( х л ~ V й) = 4.°&ій518
Iogsm2i/«{r,250alfi9
-Iogrimlff=u,8141251
= 9,2168968 = log (С)" J (Ш709)р,ог-]
4logtang/y« —i-fl)=0,8089(KKl—
И" ■■■ " -П
log sin 4-#=9,5445523
— log sin 1" = 5,3144251
4,1628870 = log (0,000001455).
jj —J = 0",.L647702.
Точішсть еычік.ѵк-іішіі:
log 4<e =3,30103
log sin 2i3= 9,25052
2log (,nngl~-« — «I =4,fi519fi
— iog(Mainl") = 5,67GQ4 ['■-"■ '°s]
log A5= 2,88014 ['-■■'■]
Д& = 0",00000007588.
J 197. Даются a, IJ; найти с, когда В—весьма малый угол
Решѳгнт іЕОмощині строки [ур. (176)]:
е = и _|~ V _ віп 2 па tang ~ 7S-" [11,і;].
^™* III С*
Ошибка іі ііняідои члене менее:
n¥8ml" & 2 L J
во rtcoji строке;
« vi 2" + 3A 1
it, следовательно,
« = i
'.Т. 1ІІЩ
г i 2 tang-5-73.
'■'■■ Выгод wtoro іяо'пііішеііян см. в примечании pMj,
I1. i. XL!.,. І'ЕІІГКІІЦГ. СФБРПЧ. Ш'ИІІОУГПЛЫШХ Tl'MV 1'и,'ІІЛІШ;ОІ і 14!»
Iv-'.'ii доик.пп.твуемеи irepiiuu членом n строке, it,
I r = я ~j- si n 2« laug — B-,
А<маиі2п , 1 , ,
*"= J/h7u 1"" tau* 2 A'
haпример.
rt==12el8'20",U8,
7і=й"Г-Н)*,08.
Нгіхпдгг.і:
I*igsiit2/r ■= 9,<і19(і71<) [•"'"■■■]
>% l'allS у й" 7,8021370
— log аш 1" = 5,3144231
«2,2382381== Log (17'2.2779:-)) ['л'].
bgsmia=.-9,87923f>0
■1 log tang 4"Д ^ 5,0042740
— log Ип .1" == 5,3144251
= 9,7979381 = log (0,(i2797) [■'"■■■]
,.■—.« = 2',52",59U!1.
Точность вычиолентс ['■'*■ 1117]:
| log 4<o = 3,30103
lug sin 2a ="9,61957
2log taug-І- І'=7,й0214
— log (Msin 1") =5,67664[«■■ i**|
log Ac= "5,89938
Дс=О",О0ОО79а.
198. ІІаіішн а. когда даны с, В; при том В це*:і,мі малый угол.
Значешге а выражается строкою [ур. (94), (170)]
»=і
* Пояоѵгаш іі (176) jse, у = с, а = еозВ и учтя уравнении 194), получим
}jliпопутно, стоящее в тексте. {'У Лобачевского снгівіі проігз-щоно ■—■
Зак. 3039. Н. И. Лпвдчевикіій, *■ II- 29
450 НОВЫЕ НАПАЛА ГЕОМЕТРИИ
Ошибка 1) к п.я; дом члене не превосходит
следоште.'іі.ію,
А« = ;,, . ,„ >, J— [.ana- —-.Л'4» '■■"•:
после «уноситшш:
2 tang-І5
J- т. ± 14 '• T —
Aa =
Mm, 1"
U*e T * tang B—^log -іщ~і ' Г).
до | Если довольствуемся первым 'ілеыом в сітрглсі?,
а = с — sin 2с tan g — LP
с точности вычисления
it» . 1
Да == 1Г . ,„ вщ 2й tang — В-.
Msin 1" ь 2
Наирим«р,
с = 12э2і']2",36
J?^537'40",08.
Находил:
log sin 2c = 0,0211513
2 log tang ~В = 7,3021370
— log einl" = 5,314425]
2,2377134 = log (J 72,86753) [™'-].
в? І log sin 4й = 9,8804862
4 log tang ~ В =4,0042740
— log sin 1" = 5,3144251
9,7991853 = log (0,629775).
с — а = 2'Ь2",552ві [«].
log 4<» = 3,30103
' leg sin 2c = (T,62115
2 log tang' 4- i? -= 7,30214
— log (Mam 1") = 5,67064 [«■ '<«]
log Да = 5,3009й
Д« = 0",00007Э7 [<">■].
* Эта формула вынедона в щишотаяии рт].
4 1- "'
і'-1. Х.ІМ. і'КШКШІК СФЕТЧІЧ. ПІ'іПШУЩЛЫЩХ ТІ'ЕѴГИ.-ІМ-ІШМі: KjI
-1!ЧІ. ІІакпиі у;о.і Л, ко.'йа даны с. В; при том і);і,'п г щті.ми ми.т.
'■Іпі\чс.пи(- .1 ны|»іі]:ііет(;я строкой [yji. (Ю), |17И)|
СО
1 v^ Г—11" 1
.!--*_//- 24т* Si" 2w// '""Sv^ І'"І
Топши-м- ііі,ічіи;.ті'ішіі ко вс(;іі строке, іак; и инши (ст. І!>4):
l*aus г *tftn* b'-ij^-T^^j I'"' ,Ч,І-
(Когда ;w' довольствуемся первым членом, то
Л = -і іс _ л + «in 2 Л tang -J- '-'a
С ТОЧНОСТЬЮ
Например,
с = а 7 -±0 ,03
/?=12"із'20",08.
log sin 2В ="э,иі00710
2 log tang — с = 7,3021370
— log sin 1" = 5,8144251
2,2362331 ["-j =log(17£,27793)
log sin 4.S ="9,8792-390
4. log Lang 4 e = 4,6042740
— log «in!" = 5,3144251
9,707381 = log(0,02797) [":l]
-£-ir—■.#-}-2'5l\925f
.4. = 77°44'3l",S4565 ["■].
,l = -U-~.B-f 2'5l",D250j ]га-'
A
5b [Точность віічиспеииіі [''л-ши]:
log 4(o e= 3,30108
log sin 2и = 9^61957
2 log tfmg~S = 7,30214
— log (Jfrinl*)-*. 5,67664 [<'■'■ ln4
log Дс ="5,39938
Дс = o"0000793.
200. Деются с, А; найти а.
Из уравнений (90) первое дает значение а
еіп й = sin с sin A (211)
20*
4'>-2 НОВЫЕ НАЧАЛА l'i^OMEVIJtni
с ЩИЮСТИЮ llU'Ulc.'ll-iimfl
lu-wzrbrUw%'<- С212)
Л/" кііі .1"
іі'огдй бок ч веіч.мн блцаок к -,-і:, то ішдппіти іі|)Гіштм!ітіі (■■.т. 172)
Аг« =— COt«-j- у ~ -j- nut r*-,
М
где cot и разѵмнгггся положите,'! г.тт/.гм числом. ,.'(ля а — -у тс сам^я
оольшая оптгилга
в" ' До =
і/ —
что (■ логарифмами ни №мь дтгшчпых составит 2 оі ,-Ц *'.
Например.
с=И*15'і!)",25
А = С5°43'2С',,87.
Находим:
log'ain с ==9,2904.395
log sin. A = 9,9600775 [■"'"'■]
Jog sin « = 9,2505170 ["''■]
a=10°35'20",17[c-,r-J.
log Зв) = ІГ,17(50а
log tang «= 9,25751
— log (Жsin 1") = 5,07064 [<*■ ІШ]
log Да ^8,11024 ["-J
Д«==0",012У.
201. JJj/ytos ■решение t ко?да даны с, Л и требуется найти а.
т \ Уравнении (211) ыозкет быть замелено двумя |ур. (93), (94.)]:
tang b = cos A tang с,
tang a = sin Ъ tang „i,
из которых первое служит к определению бока Л и точностию
Д^1 ~ ТП=-= 77/ ЗШ & COW &.
Второе дает а е ошибкой Дй в зависимости с: Дй
sin « eoau ' Ж sin 1'
* См. сноску * ио. (і'г[>. 423.
['."I. Mil. F^HIKllllI-: CiJiKl'lI'l. Ш'ЯМОУПѴПіііііГХ ТІ'КѴРіЛЫПШОВ -i-j-;
] ІОгЛі' ЧГ'ГО
, :ii»sii) -In ,, ,
'ГЯІ.'М'М 0б[ііѴіі-Л!, 'ПІЧІІОСЧЧ, уиеліІЧНВаиТСЯ ЗДС<."Ь і' 1І1ІІНѴІШК0ННі.;М »
к , ~. Лоі.'.'іі'діло |чіііі*чілц венкніі ра-і выгоднее іфс.кік-ч'п |у|). t-1'Jl],
Ifilli i-'.'UltO 11'.! Ut.VIIt'lline
Uuigi*>( I 4-,,(JSi',!)siiLfl»iosH:
ІуічичіііЛі!, которое пирнаспотг.-и короче
и отпосшс-и только і; вилнчггае sin Л, cole.
Например,
(.■ = 74°іІ,."іГ/д2,
.1 = 53°54'3o",38.
Находим:
log tang с = 0,562882(5
logins J = У,77І.)І579
log tang & = 0,3330505
6==(i,j°5'ia",0').
log sin й= 9,9575835
log tang A = 0,1^73024
logtang« = <),0948849
г( = оі".12'35",27.
Точаость вычисления:
2bgeosu = 9,2490fi
cos5- =0,17744 I""'-]
i log-^-- o) = 2,87300
logsin2o = 9",9S972
log (1 + сом 6") = 0,07094 [«--J
— log (Л/ дііі 1") = 5,07664 [M'l№]
Jog Да =U,fil236 [ся •]
Да = о",и-Ш['л-]
202. Даются с, А; найти Ъ.
Втой задачи ршііеяыэ встретилось уже выше (ст. 201).
Уравнение
taiigu = cos A tang с.
служит к вычислению Ь, с точиостию
Д6 = І^.. аіи2і.
2JLT
І54- НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Бе|.іе\і тог же пример:
.Д = 53°54'Зо",38.
Jog tnng с — 0,5028920
log еоа Л = "а,770] 579
log tang 6 = 0,3380505
й = (ЗаѴ 1з",05.
и | Точность вы'іиг'леш-ія:
•л
log — 01 = 2,87000
log sin 2ів= "9,88314 [-""' \
— log (J/sin l") ^ 5,676f>4 ["-««J
log Д6 = 8Д8484 [,VI-J
Д£=-=0",0272,
20.1. Даются с, А; найти .В.
Из уравнения (95) получим для решения
cot J9 = i.'.08 ctniig A
с точігосттію вычпгіления
Например,
ій I Вычпслж™
""Ш™2*
.й. _'-^я
Точное?!»:
й = 74 41 53 ,3 2,
.1 = 5305()'35Ч!38.
log сиьй = 9,4214326 [noi'-J
log tang A = 0,1.373024
log cot .#=9,5587550 [M-j
^=70°5'S5",0C [■"■].
3
'°g -^-«> = 2,8750(i
log am 2.5 =9,80628 [«■]
- log (ДГ sin 1") = 5,(57664 [^ш]
log Д5 = 8,35798 [tJI'j
ДВ = 0",02220[ЛО,'1 [иг-].
Ш'ЮШЧАНИЯ
['J Во вступлении к «Новілм началам геометрии» Лобачевский,
упомянув кратко о своих предшествующих работах по t воображаемой
геометрии», как он называл построенную им геометрическую систему,
указывает, что настоящее сочинение лвляется подробным наложением
его новой геометрии.
Он начинает с детального анализа важнейших современных ему
попыток доказать пятый постулат Евклида.
Далее он выясняет отношение его геометрии к геометрии епкліідо-
зоЕі п рассматривает попрос опытной проверки ггрпложгшости тоіг пли
иной геометрии к реальному пространству.
[фятнкуя обычно принятий способ изложения геометрии,
восходящий еще к іНачад&м» Евклида, при котором вводимые форма гьпо
понятия точки, линии, поверхности, протяжения и г. п. нѳ имеют
яспого содержания-, Лобачевский полагает, что в оежову следует
положить понятие, отражающее, наиболее существенные пространственные
свойства материальных предметов окружающего нао мира, понятие
геометрического тела.
Рассматривая далее роль синтеза и анализа в геометрии,
Лобачевский указывает, что, ігреагде чем прибегать к аналитическим
методам, необходимо уогановить и а основании опытного исследования: и
рассуждений некоторые основные положения^ привести их. в систему
и разработать настолько, чтобы они могли служить твердым
основанием для введения и применения координатного аналитического
метода.
В заключительном разделе вступления Лобачевский высвавывает
основные положения, на которые опирается теория измерения длин,
углов, площадей и объемов.
I3] Рассуждение «Exposition succinete...», то-есть «Краткое
наложение принципов геометрии со строгим доказательством теоремы
о иараллѳльныхі было читано им не 12 февраля 1820 г., как
указывает оз в примечании, а 11 февраля 182В г. Это следует из
найденной в январе 1920 г. а архиве Казанского Университета
препроводительной бумаги от (> февраля 182IS г., с которой «рассуждение» было
4іі<;
НОВЫЕ НАЧАЛА ПЕСПШТРШ-І
пр еде гіі слои п Лобачевским в Отделеппе Фпаако-Матешгтпческях пау;г
(см. фотографию этого доЕіумепта в Т томе настоящего г.зданпя
стр. 43а — 413). ТІадпаси на этой бумаге показывают, что сочинение
Лобачевокого было получено Отделением 7 февраля 1Й26 г., т./утат
II Февраля1). Интересно отметить, что более равняй исылка
Лобачевского (1Н29 г.) на это рассуждение в примечании к заглавию «О
началах гвометрші;* тоже указывает неверпую дату —12 февраля IRiiir.-).
Невидимому и более равней ссылке эта дата Сила ншшеана
Лобачевским по памяти и затем повторена в примечании к «Новші началам.».
Содержание итоги «рассуждения», пак можно заключить іщ
примечаний Лобачевского в сочинению «О началах геометрия»3), вошло
в основном в нервна разделы сочинения <Ю началах геомстрпа»,
опубликованные в книжках «Казанского Вестника» за 1Й29 г.4).
[:!] В сочинении «Воображаемая геометрия» Лобачевский исходит,
а отллчиѳ от сочинения «О началах геометрии», ни иа геометрических
соображений, приводящих ого к новой теории параллелей, нз которой
он получает синтетическим путем зависимости между сторонами и
углами треугольника в «воображаемой геометрии». Наоборот, заБпсп-
моетп между сторонами и углами прямоугольного треугольника,
найденные им ранее в своей геометрии, он принимает заданными a priori
и уже потом выводит из них предложение о сумме углов
треугольника, свойства п&раллельнгііх линий и всю метрическую часть
геометрии. При ѳтом, отмечая, что, после замены величин сторон
треугольника на чисто мнимые величины, основные формулы превращаются
б формулы сферической тригонометрии, он утверждает па основании
этого, что противоречий в выводе следствий из основных формул
получиться яе может, поскольку нет пх в сферической тригонометрии.
Основная часть работы «Воображаемая геометрия» представляет
различные прпмевсішя:
воображаемой геометрии
к вычислению ■
определенных интегралов.
[*] Так как АВ в
треугольнике ЛВС не
меньше других сторон, то
угол С не меньше других углов и, следовательно, только он может
быть оамое большее прямым или тупым, а остальные два угла ■ 1_А
ж /_В обязательно острые; но А' -\-В' = А, и потому углы А' и И
1) Более подробные сведения о5 в том «равсуиздегши» им. в 1 тимо наст,
издания, етр, 411—-113.
8) См. том I, отр, 185.
в) Тим же, стр. 185 и 207.
*) Там же, стр. 185—206, кончая формулой (1.6).
Ш'іпи:чліш;г \'>1
тоще остриц. Таким обратим, основание 1Г пчсота С'іі =л. iijioisi--
.і.ешноіі из нершішы (■", упііпет между А и II'. Применяя уравнения
[Ь'~') ivifi-ізи XL '), имеріі:
tg II (Л) sin JJ = tg III.■) sin С,
tg II {h) sin Л' — t«-TT (/■) ain.//.
отиу.ча находим
sin Л'sin С = sin. Ti' sin./?.
!ItoOjj получить ctjc.C —ctg'.l, рассмотрим sin (J —A') = *ml> u, pii.-i-
лелив обе чисти равенства на произведение sin A sin Л', пахолим вгара-
;і;рние, приведенное и теките:
, ,, sin. В' sin О
atgA — ctg .4 = : -, = -r——: -— .
sin Л sin Л am A sin ii
Лпалогптто, рассматривал sin (J — B') = sin Л', лапдаіі:
sin Л' sini?
CtL'B' — Cti*4. =
sin В' sin Л sin Л sin О
Вираэтшие для Л найдем, иримишш формулу (72) главы XI2) к
треугольникам ЛС.Н и Іі'О'Л,
Обозначив G'j и 6'2 углы в этих треугольниках при верпшні! С-' ,
находим
с[+с;=с/
sin б', = sin II (Л) cos А ,
sin & = sin П (й) сой £ .
Чтоб и исключить Оі и С%, вычисляем cos С = cos(i71-j- G->):
еоа О' = ;i/"l —sin" Щй) cos3.!' УІ ~-вт*П (Л) cos3 В' —
— sin П (/г) oos Л'аіп U(ti) oos В',
откуда, освобождаясь от радикалов, получим
sin3 О' = sin2 П (ft) [oos2 Л' -j- cos'B'-[- 2 oos Л' cos В' cos 6"J. (*)
,.!'_ ,.-ft
Учтем, что otgH(&) = —:,—— , на основании формулн (62) гл. Х-).
Находим ив равенства (*);
. cos3 Л"-f с»з° В'-\-->соьА'сааВ'сочС'—sina 6"
— sin-' О'
J) Отр. 332 наст. тома.
г) Стр. 329 наат. томи.
3) Стр. 321 наст. тома.
458 ШВ1.1Е НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Преобразуем числитель пратіоіі части:
1 _ еша л' „яіпа в' _[_ 2 cos A' cos JJ' cos С" + сон* С" =
■_-f(i — вш'-Л')(] — зІпаЛ') — sin5-4'sin5Я']-f-
-j- coa (7' [cos (.1' -|- B') + °os (Л' — S')I + oos3 G" =
= {»я (.1' -f L") cos U' — «0 + сон (A' -4- Й') cos С -f-
-+- cos С cos (Л.' — B') -|- cos3 С =
= [соя {A' -\- B') -\- cos V'l [cos (.1' — B') + сон О"] =
A'-\-B'-\-C A'A-B'—O' A'-hV'-R' H'-^O' — A'
-.=.-4 cos ■-■'—-y-'—--cos '— cos- cos- ' l) .=:
= 4 cos ~ cos I ^ Л' J cos f -І- — П' J cos / ^- — (7' J,
іаіі как
_4'-|_tf'-|_C'=.i + S+£7—Я.
Таким обрааом, формула дтга Л, приведенная е теките, получена.
Выведенные формулы имеют* мѳото и для каждого последующего
треугольника. Но предельные значении А', В', О' будут таковы:
А' = 0, iJ' = 0, С = Я.
Из уравнение для А найдем соответствующее предельное значение А
откуда
Решая это уравнение, газ ад ратное относите л г-, но с'', берем только
положите льный ісорень
<:'> = ct# -^ ; Д = la ctg -'- .
[5] Лобачевский излагал доказательство Бертрана в своем
учебнике «Геометрня» (1823)1), называя его «не а полном смысле
математическим доказательством», а «пояснением», во лучшим из
существующих.
Перевод доказательства Бертрана помещен а I толе паат. издания
на стр. 54—.55.
Сущность этого доказательства вакдючаетоя в том, что
рассматриваются два рода бе оконечных фигур и бесконечные частя плоскости
ими высекаемые:
с" — (
(Л_-
■~Й =:
1
4 COS" -■■
-
sin ,S'
= 2cltf—.
l) Cm. c-i'p. 70—71 паст, тома.
Ш'ШІІСЧЛНІШ
■l.V.s
1) части плоскости, шл;еі:аешдѳ диумп прямили:, исхо:шщ:!мп іп
концов отрезка прямой я образующими с ним односторонние уели,
сумма которых равна двум прямым углам (Г.ертрап поикает w
фигуру—полосой —1а bantu:).
-2} части плоское™, ішеонавмыѳ двумя полупрямыми, т-ходпгпиш:
ни одной точки [внутренняя область угла).
Коли дяца фигура перппго ттітга, т.. для покрытии ѵ.с^я
плоскости необходимо бесконечное Множество фигур, імнгруяггшик ..-и
(см. чертежа). Если дана фигура
ьторого типа, то , юетаточыо в;іять
конечное число ковгругшгыых і«й
фигур, чтобы покрыть пою пло-
евдоть. (Заметим, что если угол ни равен целой частя от і!д, то
обязательно появится перекрытие, см. чертеж о.) Отсюда Бергран заключав,
что если в -J- р < - (.см.
чертеж и), то полупрямая. VU Ш^^^^^Шх"ШШ>^Л
обязательно пересечет Q/?, так к-ІШМ%/?ж%ШШШшШШк-. і
как фигура Al'R шгеет
площадь в бесконечно больгаоі'
число рас большую чем
площадь фигуры APQB, и
потому первая фигура не иомѳт уместиться целиком внутри второй, щ>
может составлять часть второй.
Лобачавскніі совершенно правильно усмотрел ошибку
доказательства Вертрана а том, что Бертран о беокоыѳчхіыіги частями плоскости
оперировал как с геометрическими величинами. Но для того что6еі
множество элементов образовывало величину, необходимо, чтобы из
транаитипнн5 отношений «больше», «равно» и «меньше» одно га только
одно всегда имело место для двух проиавоиьно вэятыз: элементов1).
Далее, двум конгруэнтным фигурам необходило относят равные
геометрические величины, а чиотя фигуры (понятие разделения фигуры
і) Си. например, В, Ф. К я гаи — Оі-ііонішяп гаомвтрнп. Том I, CXaccta, 1905,
гл. 17; стр. 103—201.
1(10
ІГОБІіІЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
mt части должно быть установлено) относят меньшую геометрическую
величину, чрѵ целой фигуре.
При срашіешш ;ко площадей рассматривавших бесконечных фигур
jMci'ji (см. чг-ртеж), что M'A'N' конгруэнтна MAN ірдна переводится
и другую движением) я и то же время
состаи-'інет ее часть; то-есть этим
фигурам .чолікны быть отнэемшл равные
іш.дичиі-ш гг в то же время неравные.
Таким образом, площади
рассматриваемых фигур иѳ образуют
геометрических величин.
Поэтому, если рассматривать,
как вто делается пры вычислении
несобственных ігатеградоп, отношение площадей ѳтпх бесконечных
фигур как предел отношения площадей конечных фигур,
изменяющихся некоторым образом в даппые бесконечные фигуры, то, конечно,
должно обнаружиться, что этот предел завысит от выбора конечных
фигур и закона их изменения.
Лобачевский и показывает ото низгее.
['■] В сочинении «О началах, геометрия»:) Лобачевский получает
путем интегрирования элемента, площади следующую формулу для
площади, заключенной мйжду двумя
ординатами (одна из которых проходат через
начало, другая — через точку с
абсциссой .<■}, осью абсцисс и окружностью
радиуса г, центр которой помещен в начале
координат:
sin П іг)
ui'c вт
соа П. (ж)
cos Н (г)
-avesm- v '
'сщП(г)
Вели учесть, что [ом. формулу (02) ѵл. X ж примечание [№} к ней2)]
sin П (г):
2
еовЩг) —
-,і-г
el-_f_f.-»''
1) То.у Т насг. яидании, стр. 222—224.
'■*) Стр. 521 и 54"j наст, тома.
ПРИМЕЧАНИИ
-у,;
то находим для рассматриваемых в теисте іг.іоішідрі; і-ѵіе.туклши.- вщи,-
.•чи_!_ ,і~ъа
if
У ~
т. і і>"» -1~ <
аго sin —■ —
--1
(■■■' — (■-"
на которых вытекает прпне.вдшюе п тексте гшралі^шк .і.іи отко-
іпешін — и предельной значение того отношении при і> -* ~«з
А
2 . с" ■
— нгс sm
неравное, очевидно, нулю.
[7] Угол ЛС.В' прп
достаточно большом »■ сколь угодно
близок к 7t — А — а, таи кик
\1В' приближается it пп.рал,яіѵі и
(и смысле Лобачевского) к А II.
Поэтому площадь В'О.і'
близка к ~ (- — Л — и)-Д. Но
пл. B'Ci' —пл. В'АА." —
--пл. B''BM'J/' + пл. Д'СІ.
Это еоотношопис и приводах
к приближенной формуле,
приведенной б тяксге.
Формула (3), следующая ншве, получатся, если рассмотреть
следующее разбпеппе фигур га ВВ'"0" (черт. 4 ші стр. 1Г)5):
пл. ЛВ"'С'" = пл. С»'6"-].-пл. 67/й4-пл. ?/—ші..г
и учесть, что пл. СЙ'Д = нл, С'В'-і—пл. СИЛ.
[s] Доказательство Леішпдра помещено » его «Ueflcxionss;;, на
стр. 400—403. Он рассматривает даццголтпгм (biangles) — таи он
называет фигуры, на которые tnonocas Бертрана') рассекается ее основным
отрезком, то-ѳсть двуугольник Лежандра— это фигура, обр из овинная
отрезком прямой п двумя полупрямыми, исходящими из его концов
и образующими с ним одно сторонни о углічг, сумма которг.тх равна двум
прямым углам. Лежандр рассматривает площади этик двуугольников,
повторяя ошибку Бертрана, вокритуіо Лобачевским. Лежандр
показывает сначала, что для косоугольного диуугольшіка. шнкпо получить
іравиовѳлившіг прямоугольный двуугольник.
г) См. приметшие [5], черте-і.1 п на стр. 450.
41*2
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕШП-ПТИИ
Лз точки -1/, середины отрезка PQ, опускается перпендикуляр МН
на ]'.і и деішеіідивуляр ПК на QB.
И» конгруэнтности прямоугольных треугольников MPS и MQK по
гипотенузе л острому уіѵіу следует конгруэнтность их углов щт
точгсе .1/, откуда вытекает, что ло-
-М маная ПМК является прямой
линией, общим перпендикуляром к РА
и QB. Отнимая от первоначального
~А двуугольника APQB треугольник
MPJI ы прокладывая конгруэнтный
ту треуго.:іг,пітк MQh~, получим прямоугольный двуугольник АНКВ,
который Леліандр считает равновеликим первоначальному
двуугольнику.
Рассматривая прямоугольный двууголышк С'АВІ), Лежандр
восставляет в некоторой точке Е полупрямой BD перпендикуляр ЕР.
Точку пересечения ЕЕ с AG Лежандр обозначает Е. {Необоснованность
Q
А
■%
э і
і
і
s^ С
С
Е L
допущения, что EF пересечет АС,
отметил Лобачевский.) Далее Е
соединяется прямой с
ігочкоЕріГ—серединой отрезка АВ — и из
конгруэнтности треугольников ІІТРВ, MFA
{по катету Е острому углу)
вытекает, по Лежандру, «равновеликостъ» двуугольников CABD и CFPD.
Продолжал РЕ ао, точку Е и откладывая отрезок EQ, конгруонтпый
отрезку PF, и проводя через Q прямую QQ так, чтобы l_ FQG = [_ FPDt
получим двуугольник IQPD, «площадь» которого Лежандр считает
вдвое большей чем «площадь» CPPD, так как IQPD прямой FC
разбивается на два конгруэнтные двуугольпика. Из конгруэнтности
треугольников ЕРЕ и FQG (№"—перпендикуляр, опущенный из F на GQ,
является продолжением ЕЕ) по гипотенузе и острому углу, Лежандр
устанавливает «раввовеликоеть» прямоугольного двуугольника IGED
и косоугольного IQPD, откуда следует, что прямоугольный
двуугольник CABD, «равновеликий» OFPD, имеет «шіовддь», равную половине
«площади» IGED. Но если в точка Е восставить перпендикуляр ЕС'
к EG, то он рассечет IGED на два конгруэнтных прямоугольных
двуугольника IGFC п С FED, сшіощады каждого из которых,
следовательно, будет равна ппощвды CABD.
Далее Лежандр совершенно необоснованно полагает, что два
«равнояеліших» прямоугольных двуугольника будут иметь
одинаковое основание, и приходит отсюда к выводу, что
FE—основание V'EED — и АВ — основание OABD— будут одинаковы. Но иа
FE = AB легко получается, что угол AFE — прямой, то-есть
полупрямая FC слипается с полупрямой FC.
ИГИМІСЧЛШІЯ
-Hi:)
[!'J интересно отметить, что аетроі|іиаич«акн(* данные о плотности
янергпи в пространстве и отпошенпи скоростей ішегаліштячеекіга ту-
маішоотей к их расстоянию от : іошіп, полуіеннда .ад последняя годы,
лают основание, опираясь пи теорию относительности, считать', что
реальное физическое пространство блшко по своим свойствам в
пространству Лобачевского, то-есть к пр ост-ранет и у постоянной
отрицательной кривизны, радиус крнвжшы которого равен приближение
—1,7 - 10"" f.it = — 1,8 ■ ІО11 световых лет 1).
J10] Обрисоватаіуго в атом разделе программу преобразования мало-
;конпя начал геометрии, Лобачевский осуществляет в первой главе
настоящего сочинения. Начатки этой системы построения геометрик
можно видеть в его учебнике «Геометрия» (1S23 г.), оставшемся
неопубликованным при інпэнп Лобачепекого (издан лишь в ІіІОѲ голу -). Черен
год новые идѳіг наложения начал геометрии обрисованы Лобачевским
уікѳ более детально и «Обоарепнп преподавания чистой математики
на 1824—1S'25 год», которое также не б шло опубликовано (см. ниже
примечание ["] па стр. -Ю4).
Наконец, в вышедшем в 1S20 —1S30 годах сочішешш «О началах
геометрии», Лобачевский на первых :кѳ страницах дает сжатое
наложение нового построения начал геометрии 3). В основу положена идея
принять за начальное понятие геометрическое тело, как понятие,
непосредственно возникшее на основе нашей: практики обращения
с окружающими пас материальными телами, на основе практики
измерений, высказанная Лобачевокям еще в упомянутом «Обозрении
преподавания чистой математики на 1S2.4—1825 год 4) (см.
примечания [п] и [13]). Понятия поверхности, линии, точки являются у
Лобачевского производными от понятия геометрического тела и раздѳиантш
тела на части шли составления тела из частей, В построении яовых
геометрических понятий Лобачевский, как видно на первой главы,
опирается на некоторые топологические факты, на свойства движений,
но отчетливого перечисления всех основных допущений у него нет.
Возможно, что на решение Лобачевского предпринять ату
труднейшую работу по оригинальной перестройке основных, начальных
геометрических понятий, с целью избегнуть излишней «темноты» в
первых понятиях, сблизить начала геометрии о практикой изучения
реального пространства, оказали некоторое воздействие высказывания Да-
1) Обетом см. Л. Ландау и Б. Ляфшиц—Теория поля. ГГГИ, 1941 (§ 103,
стр. 273-277).
2) Ом. стр. 43—107 наст, тоыа.
8) Том I наст, издания, атр. 185—1Ѳ4.
*) Это «Обозрение» помещено в "VI тонн азег. издания. Опубликовано в книге:
Л. Б. Мо дач левский—Лобачевский. Мзтериа-лы для его баографші, 837 стр.
Изд. АН СССР, Москва, IMS, стр. 173—185-
464 НОВЫЕ І-ІЛ'ГЛЛЛ ГЕОМЕТРИИ
ламбера, помещенные в Энциклопедическом математическом
стопаре '). Если Лобачевский, стремясь к наибольший строгости изложения, пе
последовал сонетам Даламбера налагать началагеометрии скорее г, форме
проблем, требующих решения, чем в виде цепи висказапиих и доиийи-
лшзмых теорем ы ыѳ отнесся отрицательно и аксиоматической форлге
изложении, то можно предположить, что он обрати.! внимание па
следующее замечание Даламбера: «Что касается определений, то сколь
бга они ни были необходимы и подобной работе, нам кажется лгало
фи. іоеофичііым ы пало соответствующим естественному ходу мыгпдешія
дакать их сразу без всякого исследования; например, говорить
„поверхность есть граница тела, пе имеющий толщины". Лучше рассматривать
оначала тело как оно есть, п показать, как приходят путем
последовательных абстракции к рассмотрению тела, облачающего только
протяженностью и только определенной формой, н далее путем ноиых
абстрасщий последовательно к рассмотрению поверхности, линии и
точки».
[п| Мьіпля Лобн.чѳвокого об особенностях методов синтетического
и аналитического в геометрии, об областях их применения, о малой
ценности формального применения аналитического метода боа
разработки строгих геометрических оснований для его применения, о ые-
возможности избежать применения метода еяптѳ'шчесігого в построении
начал геометрии до иввестыоіі границы, приведенные в втом разделе
я В с ту пленил», возникли значительно раньше 1835 г. В яОбоарѳнии
преподавания чистой математики па 1S24—1825 годэ -) Лобачевский
писал:
«Анализ предполагает yat сделанным измерение тел, времени,
сил, или по крайней мера измерение- возможным, а способ к тому
известным. Действительно, в анализ входят одни числа, которые
представляют меру всякого коликого 3}, а не самые коликиѳ. Итак,
необходимо должны существовать такие части математики, где
пот места анализу. Они должны быть отделаны п продолжаться
не далее, покуда измерение будет найдено; а там уступить уже
превосходству анализа».
А в «Обозрении преподавания чистой математики на 1825—
іаЗО год» ,J) Лобачевский высказывается следующим образом:
иПод началами геометрии разумею я ту часть геометрии, в
которой нельзя обойтись не рассматривать геометрические величины
в пространстве. Ход сой части геометрии такол, что здесь от част-
') Diotioncaii'u EneyclopudiqiiQ dos Matbematiquus, т. J, 178D, ГГодрабпее об атом
см. стр. 14—10 паст. тока.
2) Л. В. ЭДодвал он с ttjr ft--Лобачевский, стр. 174.
s) To-hotj. всякой величины.
*) Л. В. Мод вален о it и ft — Лобачевский, стр. 20G.
іігтіЕчлшш
465
шдх случаев восходят ноетснтшо к более и бочеѳ общам; слодова-
TC.it.HO, совершенно ой ратный иеже-ш и анализе, где от общих
случаев переходят it частным. Способ учения начал геометрии не
подлежит никакому общему правилу и не может быть никак
заменен анализом, до крайней мери црц ныщщпіѳм состоит пг ееп
наукгс, а вероятно, останется и иавсііѵда такавглм. Начала гео-
мнтріш продолжаются до тех пор, покуда будут сысканы общие
правила для определения места в пространств к, для измерения
греугольяиков н пирамид; тогда оканчивается синтез, п
аналитическая геометрия продолжает науку и виде алгебры».
['-] Нельзя не отметить некоторой неопределенности основных
понятий, вводимых Лобачевским, так как многие допущения явно не
уяека'іаны. Например, ЛобачевскШі скрыто пользуется понятием
движения, не указывая, кагсоны его свойства; говоря о телах, он
подразумевает часто только тела гомеоморфные шару п т. п.
Существенно однако, что Лобачѳпский делает первую в истории
математических наук попытку походить в построении геометрии от
топологических свойств тел.
Исходными понятиями у него являются ыред-иирное пі.'лп
(фактически гомеоморфнов шару) н разделение тепа сечением (гомеоморфизм
плоскому сечению шара) на две часты, или составление иа двух тел,
при наличии их соприкосновении, одного тела.
Понятия поеѵрхііоаш., лішія іг точіт определяются у Лобачевского
в терминах сечений и прикосновений тел.
Двум точкам отнесено рассщошшк, как инвариант движений
(отчетливым образом это не сформулировано, но выясняемся н главе 11).
Полезно, прежде чем читать главы I, II н 111, познакомиться со
сжатым я более ранним изложением пдест Лобачевского о построении
начал геомвтрпи в сочинении «О началах геометрии» (1829 г.)1)
іі в сОбоарепии преподавания чистой математики на 1824—1325
годы» -).
Приводим выдержку иа «Обоарені[н>:
«Нельзя дать ясного понятия о длине, ширине, толщине тел,
когда с этого начинают геометрию. Если собственные чувства
предохраняют от ложных аагелкгсеппй в продолжении геометрии,
то неё остается желать избавить одну из частей математики от
нареканий погрешать против обыкновенной своей строгости, быть
темной и недостаточной в самых основаниях. К тому ж, кто внает,
какие от нас скрыты истины в том, чего мы не понимаем?
') Том I наст, издания, стр. 185—192.
3) См, ирииечаиде ("3 на стр. 404.
Зак, 6039. И. И. Лобачевский, т, II.
30
-КіО ПОНЫЕ 1ГЛЧЛЛА ГЕОмЕТРШТ
Я думаю, что в геометрических телах рассматривается ти
свойство тел природы, которое называют прикосновением. Тела едина-
ковы геометрически; те, которые наполняют одно меото, которых
одинаково прикосновение к окружающему пространству. В атом
только отношении измеряются тела в геомотртіп, и это свойство
тел должно быть ее предметом. Рассмотрим теперь, в чем должшл
заключаться оѳ основания.
Точные науки отдичшотси ,те.м, что п начале их полагаются те
понятия, откуда производится всо учинпе силою нашего суждения.
Основания физики бывают до статочные ее предположения; и чистой
.математике онп долзкны быть не сомнительны о для нас истины,
первые наши понятия о природе вещей, которые, будучи раз
приобретены, сохраняются навсегда, которые неразлучны с каждым
умственным представлением и служат первым основанием всякого
суждения о вещах: таковы-то должны быть и основания геометрии.
Далее, начальные понятия применяются прямо it природе іг тем
самим, отличаются от составных, которые необходимо требуют1
существования других, откуда бы сне происходили. Поверхности
п линия не с у шеста ухо ѵ із природе, а только в воображении: они
предполагают, следовательно, свойство гел, познание которых должно
родить в пас понятие о поверхностях и линиях. Никто до сих пор
не предпринимал труда восходить к сим источникам, и основания
геометрии остаются темными; а после этого по мудрено, что в ней
п многое не выдержит строгого разбора. Итак, кстати здесь
признаться, что развитии ума, если таге называть приобретение
способности судить при твердых основаниях, разделяет участь общую
всему человеческому, бывает несовершенно, и чем далее пдет,
тем требует более пособия, а наконец, помощи всего нашего
просвещения.
Думаю, что основании геометрии должны быть почерпнуты ив
свойства тел, которое открываем в воображении, представляя
пространство и в нем троякое деление. Оперва ряд частей смежных,
неприкосновенных черев одну; потом в одной из них такой же
ряд новых частей, прикосновенных ш тем двум первого деления,
между которыми заключалось целое; наконец и в сих пооледних
можно представлять такой же ряд в каждой [из] новых частей,
прикосновенных к частям первого и второго деления, между
которыми заключалось их целое. Но далее уже нельзя
представлять деления на части, которые, будучи смежными, не касались
бы друг друга через одну и вместе касались бы всох частей
прежних трех делений. Короче, нельзя дать более шести сторон телу,
когда воображаем его вынутым изнутри лроотраяатва помощию
такого делания, как здесь сказано: каждое деление обнажит два-
Ш'П.МІ-ЛЛІШП
107
(-Hi степ и ши, і[ с третьим др.-гением лоиѵрігтіі'ічіи его гдіуаяо-
-іатем .можно попять трояки» ирш;оспг)ві'Шіо п-л, например
призмы к плоскому телу ее основанием, острием ребра и острием
угла. Остается спасать, что намерение- тел в отношении ч прінго-
і.іноиѳішш бывает также троякие: полное намерение и еще два. одно
меняв полное другого. Б неполных, измерениях поиполяитоя отіірв-
емвягь те чаотп двух прикосновенных тел, которые, принадлежа
к одному, не касаются другого. Отделяя с, мыслях таким частіг.
кик ненужные, доходят и воображении до тонкости листа бумаги,
нити, точки от пора на бумаге. Под этіга-то видом ті представляются
обыкновенно нашему воображению поверхности, линии, точки, хотя
такой род представления служит едвнотненно для облегчения,
когда рассуікдагот об намерении ил п различных отношениях
к прикосновению. Действительно, измерение пространства, поля1)
ие производится лп на самых телах, прикасаясь к поверхности
его квадратной доской и не принимая п рассуждение кмгтоты
доски».
[l:ij Лобачевский принимает кршшенмаиис как первоначальное
неопределимое понятие, как основное отношение, в котором могут находиться
,ч'Омсіщ>пчесі;не тела. Лобачевский указывает на происхождение этих
понятий, возникающих в результате абстракции определенных свойств,
материальных теп реального мира, свойств, лоотигаемътх «прямо в
природе чувствами», свойств, с которыми человек постоянно сталкивается
в своей жиапапноН практике, прежде всего—при действительных
измерениях, связаыпых уже па первых зтапах развития культуры
с его хозяйственной а общеехзеыно-оковомдческой деятельностью.
Понятия прѵтнженгіе, поверхность, міния, точка — появляются на дал;.-
тгаіігпих ступенях абстракции, и потому Лобачевский полагает, что
о них нельзя начинать геометрию, что они еще «подлежат толкованию».
[и] Лобачевский дает определенна составления тела из частей и
разделения на части, опирающееся на отношение прикосновения.
Если два тела находятся в отношении прикосновения, то они
составляют одно тело. ЛобачѳвоквД говорит тогда о гм-таялешт хѳла ни
частей, имеющих кашше.
Далее он допускает, что всякое тело ыошно бесконечным
множеством способов рассматривать как тело, составленное из двух частей,
имеющих касание. Он говорит тогда о разделении тела па две чаоти
П5'тѳм сечения.
На чертеже 7 в тексте Лобачевского, поясняющем составление п
разделение тела, изображен прямоугольный параллелепипед с плоским
і) То-ѳсть площади плоской области.
30*
408
КОСЫЕ НАЧАЛА ГЕОЛЕТРИТТ
сечением, параллельным одной: паре граней. Но понятия дрикооновѳ-
Ш(л и геометрического тела имеют топологическую природу и не свя-
эатш необходимо с плоскостями и прямыми
линиями; поэтому чертеж 7 можно
заменить приводимым здесь чертежом,
изображающим тело, гомеоморфпоо телу чер-
тѳзгса 7, или, можно сказать, шару,
рассеченному плоскостью.
[l5J Лобачевский определяет првстрап-
спшо как то целое, по отношению к
которому все геометрические тела являются частями. Остается неясным,
считает лы он пространств телом.
[ІІІ] По Лобачевскому каждое тело А можно окрцжшиі. некоторым
телом В, то-еетъ существует такое тело В, находящееся в
прикосновении с Л, что прикосновение какого-либо третьего тела С невозможно.
Ив ѳтого допущения непосредственно нѳ следует конечность тела,
Например, можно рассматривать тела, гомаоморфные бесконечным
круговым цилиндрам или конусам. Но в дальнейшем накладываются
некоторые ограничения, а именно, допускается возможность «измерить»
тело, и, невидимому, рассматриваются только конечные тела, ипритом,
главным образом, тела, гомеоморфные шару.
Однако окружное пространство к телу А тоже называется у
Лобачевского телом.
Заметим, что выбрасывание ив тела В, окружающего тело А, частей,
неприкосновенных к А, приводящее к месту тала, является в сущности
определенном границга тела А, как совокупности граничных точек
множества, точек, образующих тело А.
I1'] Лобачевский прибегает неявно к понятию движения, говоря,
что все тела, без воякой е ними перемены наполняющие место В,
одинаковы между собой, подразумевая возможность перемещения тела
«без всякой с пим перемены».
I18] Лобачевский измерение величин рассматривает как одну из
основных проблем геометрии. Это объясняется, прежде всего, его
философскими взглядами на фиаико -математике с кие науки, как на
средство познавать природу, познавать определенные стороны
реального объективного мира. Так в своей «Речи о важнейших предметах
воспитания»1) он говорит:
«Надобно согласиться и с тем, что Математики открыли прямые
средства к приобретению познаний. Еще но с давнего времени
пользуемся мы сими средствами. Их указал нам знаменитый Бакон.
1) См. Казанский весшик, .ч. 35, кн. 8, отд. 2-а, 1832 і\, стр. 577—599. Вта
реть будет помещена в VI томе шьет, иодяння.
ПГПМГСЧЛПШІ
4 Г; Г)
Остішьти, говорил он, трудиться напрасно, стараясь извлечь из
одного разума всю мудрость; оіфашішаіітѳ природу, она хр&гшт
все истины, н на вопроси наши будет отвечать вам непременно
гі у доплети орите льнов,
В соотпетоттттг с этой материалистической у стан он ко И Лобачевский
проводил опытпуга проверку созданной им іпоображасмоп» геометрии—
проверку того, отражает ли наіідешгая пм геометрическая егштима
реалышо пространственные отношения, если полагать, тгп енот
распространяется прямолинейно ')- Эта проверка потребовала прежде; вееги
действительных точных намерений, основании*: ни астрономических
наблюдениях. Вообще количественная характеристика реальности
неразрывно и необходимо связана с хозяйственной п общественной
деятельностью человека, и потому процессы счета, процеесо. измерения
материальных тел послу игпдп первыми истоками формирования
математических паук. Вопросы измерения расстояпип, углов, площадей, объемов
являются н и настоящее нремн областью постоянных приложений
геометрии к другим ветвям естествознания тг в техническим наукам,
н бѳа зпапия пх в том пли ином объеме по мыслима ни
государственная, ни индивидуальная хозяйственная деятельность.
Эти соображения выясняют причины, побудившие Лобачевского
вопросы метрические считать нейтральными в геометрии, так что
в своем учебнике геометрии он даже определяет геометрию как, науку,
ев которой предпноываются способы измерять пространствоя2).
Верпый своему приндипу принимать за исходное понятпе
«геометрическое тело», Лобачевский прежде всего рассматривает
измерение геометрических тел, т. е. измерение объемов. Он дает здесь только
следующую общую сжатую характеристику процесса измерения объемов,
пе перечисляя явно постулатов сравнения к пс уточняя понятия
геометрической величины3).
Дли измерения некоторого геометрического тела необходимо задать
еще геометрическое тело, называемое единщеіі .щш. Тогда, если удастся
д) ('іг. том I наст, издавал, стр. 307—20S.
а) См. игр. 43 паст. тома.
») О строгом обосновании теории шіипрошга геометрических велн'шн см.
Г. О. Шатуновскнй—О постулатах, лежащих и основании лонатмл о велн-
гціш, В. Ф, Ко-ѵан—Основания геометрия, тоьі I, Одесса, 19QD, стр. XV-1-793.
В. Ф. Каган — О тгреобразошшиа: щіогограннщеов, ГТТИ, 1933, стр. 36.
Ом. тмивѳ Г. Лвйег — Об измерения величин. Учпедгиз, М., 193В. [Перевод
статей Лебега, помещенных в гкуршше L'Enamgnemenfc math&naiique, тт. 31—Зі
аа 1031—1035 гг.!
Виблиографіпо и наложении вопроса ем. -Вопросы элементарной геометрии»,'
сборник статей под ред. Ф. Энриквеса, СПВ, 1013; статья У. А. м а л ь д л — Учение
об эквивалентности (рапеітстве), етр, 157—2Г2,
-ПО НОВЫЕ НАЧАЛА ГЮШТРШІ
разделить [і намеряемое тело и единицу меры на части «равные»
(т. е. равносоставлеішыѳ) между собой, то объел выранится отношением
числа частей в телу ѵ. числу частей в единице меры. Если же это не
удастся сделать, та для намерения необходимо придать
единило меры такой вид, чтобы она могла быть разделена на конгрувпт-
ш,іе части неограниченно малые («произвольного размера»)— яисиома
неограничен ло,'о Я/юй.ммня — и чтобы из повторения адиницы мери и ее
частей могло образовываться сплошное толо неограниченно большое
(«вне всяких границ») — обобщенная иі;с>іо.ча /Молен—Архимеда.
Если эти условия выполнены М, то, как указывает Лобачевсиш,
геометрические погрешности при намерении материальных тел могут
быть сделаны меньшими, чем вызванные атомьшП структурой вещества
отклонения реального физического тела от строгой геометрической
формы. Но конечная даль науки — это ef. приложение в самой природе;
поэтому о точки зрения- практики процесс измерения всегда
закапчивается.
Дли воображаемых теоретически ниеоиапергшых тел,
существование которых легко может быть доказано, можно получать
приближенные значения о недостатком ы о пабыт-
ком с произвольной степенью точности,
что' является теоретическим раіненис.и
проблемы измерения.
[,я1 Тело, разделенное сечениями да
части, гге каоаюгциѳоя через одну,
стелу ет рассматривать как тело, гомѳо-
мпрфпоѳ шару с проведенными в нем
сечениями шгоскосшши, не пмеюдщмп
общих точек внутри илд на поверхности шара, например,
перпендикулярными одному из диаметров.
Чертеж 0 Лобачевского евшша-
лептѳн приводимому здеоь
чертежу д.
lw] Тело, разделенное двумя обра-
щателъвымы сечениями на четыре
части (чертой: <5), гомаоморфно шару с
проведенными в нам сечениями двумя
плоскостями больших кругов.
Дальнейшее прибавление обращатѳльных
сечений соответствует проведению
новых плоскостей больших кругов через диаметр, общий двум порвнм.
*) В ѳвклидовоіі гоометршг «то достигается, если, например, вв. единицу моры
принять куб іі ршл'жиать ого на кубические части плоскостями, параяледыіиия
Г ГО 1ЧІП.ДІІМ.
ШЧШКЧЛНМІІ
47 J
[-1] Полное различии мг-и:ду посгупатмшни.мп и ибращатіѵіышмп
свчеппямп возможно лишь в телах, гомеоморфных шару <■ прпведеп-
йшііі плоскими сеченшшп. Тело, гомеоморф]юн шару (черт. 11 п тексте
Л?>бач'>г.ского), приводится у Лобачевского к толу, гомеоморфноігу шару
или путем отбрасгапашш частя II, пліг путем оаполноннл дыркп ligrf.
Посла ятого Лобачевский получает возможность рассматривать лри-
недеиш.іе сеченіш как поступательные и первом случае, или как
обращательш.іе во втором.
[-"} Главные сечения следует рассматривать лпшь для тал гомео-
морфных шару. Эти сечения гомеоыорфнп трем большим кругам,
плоскости которых не принадлежат одному пучку. Возможность
разделить шар тремя сечениями плоскостями на восемь частой взаимно
прикосновенных и невозможность проведением четвертого течения
удвоить число частей характеризует трехмерность пространства.
[2а] Рассматривая разделение тела на части постунательными,
оправдательными пли главными сеченияшг как понятно пер кона чаль нор,
исходное, Лобачевский дает, определение для трек типов касании ту л:
поверхностного, линейного п п точке.
[uj Отбрасывание неприкосновенных частей is случае трех типов
касания тел — поверхностного, линейного и т: точке— приводит
соответственно к понятиям поверхности, линии и точки. Поверхность,
определяемая с помощью поступательных сечений, — внутренняя
поверхность—топологически вквивалентна куску плоскости, ограниченному
окружностью. Поверхность, определяемая касанием тепа с окружным
пространством — наружная поверхность — топологически: эквивалентна
сфере. Она равдѳляет пространство на две области — внутреннюю и
внешнюю. Замкнутые поверхности, не ограничивающие тело, и вообще
поверхности иеориентируемые, Лобачевскому неизвестны. Первые
работы, связанные с их открытием, появились значительно позже: работа
А. Мёбиуса была опубликована а 181І5 г., работа Листинга—в 1SD2 г.
Прилив аа отправное понятие геометрическое тело, гомеоморфное
тару, Лобачевский прпходнт к замкнутой повершостп, гомеоморфной
сфере, и к простым ее кускам. Свойства тел, пе гоыѳоморфпых иіару,
едва намечены п остались неразработанными.
Ляяптт, определяемая с помовдыо обращатальных сеченны,
топологически эквивалентна отрезку прямой. Она принадлежит
соответствующим обращательным сечениям тт каждое иа пиз разделяет на две части.
Точка, определяемая с помощью главных сечѳнгпг, принадлежит линиям,
по которым перѳоѳкаготся обращательные сечения, входящие в состав
главных. Каждую па этггх линий она разделяет на две часто, дающие
две противоположные стороны точки.
Замкнутая линия возникает при пересечении продолженной
внутренней поверхности с наружной:. Она іюп о логически: вввявалентка
472
НОВЫЕ ИЛЧЛ.'ЕЛ ГЕОМЕТРИИ
окружности. Лобачевский отметает, что замкнутая линия делит
продолженную внутреннюю поверхность на. две области — внутреннюю и
впсинпою, высказывая, таким образом, то предложение, которое полу,
чило вп о сю дети ни название теоремы Жордана. 'Точка, лежащая йа
замкнутой линии, нѳ делит уже линию на две частя. Но замкнутую
линяю можно сделать незамкнутой, если вынуть из нее часть,
[a5j Подробно теорию измерения обт.емов и площадей в настоящем
сочинении Лобачевский не рассматривает. Упоминание о
последующем доказательстве возможности измерять тела позволяет
предположить, что соответствующая глава должна была войти в состав
сочинения, по по неизвестным причинам осталась невключенной. Теория
измерения прямых лилий и углов, линейных и двугранных, изложено,
в глава III. Измерение телесных углов, то-есть величпп сферических
многоугольников, рассмотрено в гл. V (ст. 6Н, G9).
[sa] Выражение Лобачевского «относительное положение двухточеіе
называется рассшяшвм» и дальнейшее употребление понятия
«расстояние» показывают, что расстояние рассматривается, как инвариант
движения. Однако, пользуясь в своих рассуждениях движением,
Лобачевский не описывает явно его свойства, ограничиваясь
замечаниями вроде того, что «тела, которые без всякой с ними перемены
иаполияют также место В, будут уже геометрически во всех
отношениях одинаковы между enfoij» н т. л. При движении тела расстояние
между двумя его любыми точками сохраняется. Этим Лобачевский
пользуется во второй главе. Лобачевский отчетливо не сформулировал,
что расстояние точек А, В такое нее как точек Б, А, но полагал,
яошщішому, что это од од уст из определения.
Чертеж 20 представляет абстрагированное изображение цпрвуля;
касание его поясок с поверхностью дает ын поверхности две точки,
положение которых по меняется ігрп наклонениях циркуля (без рав-
двияеения поясев). Движения циркуля как тела позволят получать-
новые пары точек с тем же относительным положением, то-оеть с тем
же расстоянием.
[27] Отбрасывая в воображаемой геометрии аксиому параллельности
Евклида и заменяя ее своей, более общей, Лобачевский предвидел
возражения, что вта аксиома но соответствует природе прямой, что
она изменяет природу прямой, что благодаря этой аксиомо прямые
получают как бы. некоторое искривление. Действительно, аспмптоти-
чеокое сближение параллелей Лобачевского напоминает нам,
известное п ,в евклидовой геометрии, сближение ветви кривой линии,
например гиперболы, о ее асимптотой, или асимптотическое сближакиѳ-
двух ветвей кривых. Чтобы- отклонить подозрения в наличии
искривленности у прямой линии и плоскости, Лобачевский дает определения
плоскости и прямой лнипы, положив в основу понятие расстояния двух-
ПРИМЕЧАНИЯ
17:;
точек и понятие ефергл, кик мтіолгссічлі точек, ршчшудалг-пгшх чт
данной точки. Определенно плоскости п прямой с помощью сі\щ> и
окруікпостей принадлежит к абсолютной геометрии. Симметричность
построении: полностью убеждает и отоутетшпі кривизны у плоспсмші
и прямой. Таким обраіюм, остаішіеееіі у Ёлилпда «темш.шо иошгш>_'
прямой Лобачепевігіі определяет, опираясь на пшштпе тела,
поверхности, линии, точки и расстояния днух точек — инварианта относительно
дшіжеиніі. Но отит оригинальны.! путь ДоОаченсмщ встает уже в 1S2H г.
п f'uoeM сочшгешш «О началах геометрии».
Впоследствии, независимо ог Лобачевского, Вольфганг Вильни
и своем «Tent.ameni'о (1333 г.) тотее рассматрішач плоскость і:ак
множество точек, равно уд а-лешшх от двух данных точек1); это
определенно ему сообщил его сш-і ТІогаші. В середине XIX века были
опубликованы переписка и ряд рукописей Лейишща, причем оказалось,
что Леііоніщ, ршіптиш пдого прямого геометрического исчисления:,
пользовался таким же определением плоскости 2).
[-н] Сфі-рп рассматривается как множество точек, равноудаленных
от одноН точки —- центра сферы. Допускается, что сфера является
поверхностью, ограничивающей тело («наружной поверхностью»),
которое получает название ииці. Допускается, что сфера разбивает
пространство на две области, образованное соответственно точками
внутренними и виеппшмц. Повидиыому Лобачевский подразумевает, что
невозможно соединить внутреннюю и внешнюю точки непрерывной
линией, не пересекающей сферы, а для двух точек любой одной из
этих областей ато возможно (теорема Жордана). Допускается, что
центр есть внутренняя точка шара. Единственаость центра
доказывается в от. 10.
[2'J] Допускается возможность вращения пространства вокруг центра
сферы, причем сфера преобразуете и в себя н какую-либо точку
сферы можно перевести вращением в какую-либо другую точку этой
сферы. Но Лобачевский «законов вращения» вообще не указывает.
Не отмечено, что при вращепиях внутренние относительно сфер и
точки переводятся во внутренние, а внешние точки — во внешние.
[м] Концентрические сферы Лобачевский называет оияоцемпрн-ы.ии.
У концентрических сфер, имеющих различные радиусы, по самому
определению не ыоясет быть общих точек; а так как сфера ограничивает
тело — тар, то соответствующие тары заключаются один внутри другого..
і) Wolfgang- В о 1 у а і — Tentameo jtiYentutem..- I (1832), стр. 449—450,
") Н. U-raasmaan — Gaometrischa Analyse, geloiflpft an die топ Т,еШпіи-
ffl-fundeiie georaeti-isclie Charakteristik, Leipzig 19І7, стр. 4.
Lei-brazens таШетайзсЬв Schriften (топ О. J. Gerluwdt), т°м H, Berlin, 18oi>
<яр. 23; том V, Halle, 1858, стр. 185—Ш. Русский перевод отрывков ив ЛеІШалца.
им, в «Успехах математических науки, Ш, вып. 1 (23), 1948 г. стр. 201.
І74 ЯОІШБ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Рассматривая концентрические сферы как оачешш в пространстве,
Лобачевский считает эти сечения поступательными, что не согласуется
с прежде установленным понятием поступательных сечений, так кап
сферы представляют замкнутые поверхности. Утверждение, что всякое
тело необходимо разделяется на части с помощью сфер коицоптричѳских,
показывает, что здесь Лобачевский рассматривает и сферическую
■оболочку (слой между двух концентрических сфер) как тело, что
противоречит ряду предложении о типах сечений тел, птраведлнвых
лишь для тел гошзоморфнглх тару (см. прнмѳчатгпя ['*] — ["] на
стр. 407 — 470),
Лобачевский устанавливает для двух данных расстояний крптериіі
сравнения их; нужно рассмотреть концентрические шары, имеющие
радиусами данные расстояния, и тогда то расстояние считать
меньшие, для которого соответствуюпщй шар лежит впутри другого.
Лобачевский не проверяет выполнение всех постулатов сравнения
(см. работу С О. Шатуновского, указанную и сноске па стр. 409).
[3)] Так как расстояния севх точек сферы Л до точки Ь одинаковы,
■то и после вращения вокруг п, когда Ь займет новое положение с
на сфере В, расстояние от с до новых положений всех точен сферы Л
■останется прежним.
Но так как все точки сферы Л в новых положениях остаются на ней,
и каждое новое положение какой-либо точки офарьі Л совпадает в
прежним положением некоторой точки сферы А, то расстояния вези точек
■сферы А до точки с будет равно, как прежде, радиусу сферы Л. Но
■точки с обраауют сферу В. Таким образом, все точки сферы В
удалены на одно и то же расстояние от каждой точки d сферы Л. Это
значит, что у сферы В имеется центр вне ее, что противоречит ст. 13.
[3-] Согласно ст. 13, сфера ограничивает одно тало—гаар; следо-
іттельво, доказательство ст. 17 можно считать излишним.
[к] Признак для раатгтчепнп двух
сторон плоскости, сформулированный
Лобачевским, недостаточен. Когда две сферы,
описанные радиусом А Е вокруг J, В
пересекаются, то итого еще недостаточно,
чтобм точка В лежала на стороне полюса
В (см. чертеж а), хотя это пересечение
необходимо получается, если ТІ лежит на
стороне полюса В,
Признак можно исправить следующим
образом (см. чертеж 5): точка 0 лежит
вне плоскости на сторопе полюса Л, если
она лежит вне сферы, описанной вокруг В радиусом АО. В втом случае
точка С лежит обязательно внутри сферы, описанной вокруг А. ра-
ПРИМЕЧАНИЯ
475
.иітусом В('. Действительно, шар, {'писанный воіфуг центра В радиусом
ВО) содержит в себе шар, описяннші sokpjt центра В радітусом АС,
так как по условию точка
С—внешняя к этому
последнему шару. Помещая центр ѳтих
двух шаров в точку.1, находим,
что точка V попадет на сферу
радиуса AG и, яледопательно,
будет внутри шара радиуса ВС,
тик как этот шар содержит
-внутри себя шар радиуса АС.
Признак расположения: точки на
шюекости не требует
исправлений. Таким образом, для каждой
точки пространства имеем одпо
из трех:
1) или она лежит на стороне
поліооа А и тогда пе лежит на м
стороне полюоаБижаплоскости;
2) или лежит на стороне полюса 3 и тогда не лежит на стороне
нолгоса А и на плоскости;
3) или лежит на плоскости (когда попадает на сферу, указанную
j: признаке) я тогда не лежит ни на сгоронв полюса Л, ни на
стороне полюса В.
Согласіто ст. ІГі, гати признаки можно выразить, сравнивая раоотоя-
игат, так:
1) АѴ<ВС, 2) АЕ>ВЕ, 3) AD = JH).
Деление пространства плоскостью на две части связало у
Лобачевского с выбором фиксированных полюсов Л и В, от которых
плоскооть освобождается в ст. 28.
|34] Точка С аіожет быть перенесена вращением вокруг А в любую
другу10 точку В на тон же сфере с центром А (от. 14). Если G и D
взяты на одном на кругов происхождения, то при яаком вращении
вокруг А точка С, переходя в I), будет оставаться на
соответствующей сфере о центром В. Но у оферы существует единственный центр,
н потому в силу непрерывности полученное движение является
также некоторым вращением вокруг центра В. Но тогда при таком
движении пространства любые две соответственные сферы с центрами Л, В
сливаются в прежнем и новом положении, п, следовательно,
плоскость дрн этом движении скольвит по самой себе.
[Щ Поперечником и долупоперечяиком Лобачевский называет
соответственно диаметр и радиус окружности, подравумевая иногда'
самую линию, а иногда расстояние ыѳщду конечными ее точками.
476 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
(a';J Точка В', противоположна.:* В на окружности, сохраняющая1
свое положение, когда -4 п А' при неподвпзкном В меняются местами,
долят имеете с В окружность па две конгруэнтные дуги, так как онп
совмещаются при рассмотренном движении.
[31] В «Ученых записках» пропущена по ошибке статья 23, которая
несомненно была в орпгішале, так касі в дальнейшем текста Лобэг
челекпй делает на неэ ссылки (в ст. 24, ЯО и 44) и пользуется
термином «большой круг» (ст. 25). Но ссылкам можно предположить,,
что в ст. 23 устанавливаются следующие предложения.
Коли рассмотреть сферу с центром и центре D «кругов
происхождения* плоскости, соответствующе» некоторым полюсам А, А'} то
, ^ ятя. сфера содержит тот на
кругов, образующих пло-
^- —-^ скость, радиус которого ровен
_/ \ радиусу сферы. Этот круг
АЛ- '."Л".""-"-".;:;;; V-- / наеывается <1о.миим. -кругом
("" •!) '.• j / сферы. Ом происходит от пс-
~~~Г~~ ■'■'■' ~^Z-^" / рѳсѳчення сферы с
плоскостью, проходящей через
центр сферы и имеющей
центр кругов происхождения
■-' в центра сферы.
Большой круг делпт сферу і:а две конгруэнтные части, которые
ложно совместить каждым движением, при котором полюсы
плоскости заменяют одни другой. Действительно, при атом движении
точка I) остается ыа месте, так как каждый образующий круг
совпадет о самим собой. Но при неподвижном центра сфера скользит по
самой оѳбе, и потому часть «той сферы, лежащая по одну оторону
плоскости, совпадает с частью, лежащей по другую сторону, так как
большой круг, как- образующий круг, совпадет с самим собой.
Отметим единственность сферы, для которой данный образующий
круг служит большим. Это следует на того, что и оферы л круги,
имеющие одинаковые радиусы, конгруэнтны и сливаются, когда центр
у" ппх общий (ст. 14, ст. 22).
I38] Возможно, нто Лобачевский в заключении ст. 2-1 опирается на
следующее предложение;
Любую точку А сферы вращением вокруг центра при сохранении
еще одной неподвижной точки В мотано перевести в некоторую
точку А' большого круга BE, плоскость которого содержит точку В.
Действительно, тогда все точки А сферы оказываются на
одинаковом расстоянии от В, так как расстояния всех точек А' от В равны
соглаово предположению ст. 24, что В — центр круга BE, а ври:
движении А', В переходят в А, В ж расстояния сохраняются.
ПРИМЕЧАНИЯ 471
Но тогда В является вторым центром сферы, которого не
существует.
["] В ст. 25 Лобачевский даѳт определение прямой, как линии
покрывающей себя, когда ее вращают вокруг двух ее точек. Это
определение встречается у Прешла1), Лейбниц тоже употреблял его").
Гаусс отметил, что именно этим свойотвом прямой пользуются в
геодезических измерениях при работе с теодолитома).
[*"] Лобачевский указывает, что диаметр круга является прямой
линией. Действительно, в ст. 22 найдено, что диаметр покрывает себя
при определенных движениях, сохраняющих его конечные точки,
и что диаметр лежит на пересечении двух плоокоотеи. Но еще
необходимо доказать предложение, что если при некотором движении кроме
двух точек остается неподвижной еще третья, то она остается
неподвижной при всех движениях, при которых две первые точки
неподвижны. Лобалевокий ограничивается тем соображением, что раз
отклонившись, точки диаметра пришли бы в окончательном полоікеипп
в другую часть тара и потому не могли бы совпасть.
Далее Лобачевский показывает, что диаметр докрывает себя,
воли Л и А' поменять местами.
Продолжая плоскости, на пересечении которых лежит диаметр,
Лобачевский получает бесконечную прямую. Он отмечает, 'что прямая
делит плоскость на две части, не рассматривая свойств втого
разделения и ые проводя доказательств. В заключение он утверждает, что
если часть прямой лежит внутри тела, ограниченного оамкнутой
поверхностью, илп внутри плоской фигуры, ограниченной: замкнутой
линией, то прямая пересечет границу пѳ менее чем в двух точках;
он на останавливается на том, что число точек пересечения всегда
■будет четным, если условиться известным образом подсчитывать
точки касания, вершины и прямолинейные часгп контура, лежащие
на прямой, как точки пересечения определенной кратности.
|"UJ Общие точки сфер с центрами В и Е при вращении вокруг DBD'
не будут пробегать по линиям пересечения этих сфер, так как центр
■сферы В будет перемещаться. Точка F не будет1 скользить но сфере
с центром Е, хотя в своем конечном положении F' попадет онова на
.«ту сферу.
[**] Признаки взаимного расположения кругов у Лобачевского
не выраясеыы с достаточной полнотой. Два круга не вотречаютея,
1) Р г о и 1 и я—Іа рі'ітдт Euulidis Elomontoram ИЬі'шп aomiaentai-ii. G-. Fried-
Іѳіп, Leipzig, 1873. (На стр. 110.)
2) Leibaizejis mathematlschc Sutiriften. (von С J. Gorh&rdt), т. I, Bei'lin, 18dH,
т. V, Hulle, 1858, т. ѴП, І-ШІе, ]Ж13.
u) Ganas —Wevke, т. », Wpjig, 19ІЮ.
47а
НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
если расстояние невду центрами больше суммы или менее разности
их радиусов. Два. круга касаются в одной точке, если это расотояннѳ-
par.no сумме гати разности пх радиусов. Два к[іуга пѳресекаюіон
в двух точках, если пто расстоянете мепыім суммы и больше рвд-
ігости пх радпусои.
[■,а] Лобачевский укапывает, что при измерении геометрической
величины, связаывоі? о определенным классом фигур, необходимо,
установив понятие больше и меньше, понятие суммы и части,
потребовать еще, чтобы часть всегда имела меньшую величину чем целое.
Для отрезке» прямгій линии в ст. 15 было установлено понятие
больше и меньше (для расстоянии между двумя точками); и ст. 31-
ошло рассмотрено сложение отрепков, причем легко видеть, что ука-
аішпыѳ выше требования выполняются.
Г*14] Лобачевский показы иает, как, получить результат измерения
длены с напоред назначенной точностью в ~ , где т — целое поло-
т
иштѳльноѳ число; иначе говоря — как выразить длину приближенно
(с недостатком) рациональным числом со знаменателем, равным т (или
равпым некоторому делителю т, если дробь сократима), чтобы ошибка
]
не превышала —.
Лобачевский опирается при ѳтом ни- аксиому Е в докса—Архимеда,
так как допускает, что при откладывании отрезка Ь до отрезку, в ш раз
большему а, всегда найдется такое число а повторений, что остаток-
будет меньше I), то-есть дальнейшее от клала ванне Ь даст отрезок,
больший чем та.
[4Е] Лобачевский показывает, как применение алгоритма Евклида
позволяет дать разложение длшш намеряемого отрезка (для простоты
рассуждений он полагает, что длина рациональна) в непрерывную^
дробь и помучить приближенные рациональные значения втой длины
с точностью до тгуті , так как известно, что подходящая дробь отличается
от непрерывной яа величину мѳньгаую, чем единица, деленная на
произведение знаменателей этой подходящей дроби и ей
предшествующей.
[4В] Подчеркивал произвол, которым мы располагаем в выборе
дуги, принимаемой аа, единицу при намерении дуг окружности, и иѳ-
желая преждевременно связывать вопрос измерения величин дуі1
одной окружности с вопросом. измерения длины дуги кривой линии
при заданной линейной единице, Лобачевский несколько необычно-
обозначает буквой т. не классическое трансцендентное число В,14159. ■.,
равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к
диаметру, а число, получаемое как результат измерения полуокружности
при произвольно условно выбранной единице дуги окружности.
Например, полагая «=180, ми том самым за единицу измерения пршш-
ПРИІІЕЧАНИЯ -17!Г
маем дугу, составляющую ^ полуокружности, называемую
«градус». Придавал т. извеетыое трансцендентное значение 3,141511..., мы
т^м самым за едішшіу измерения принимаем дугу, иааываеыую-
р&дЕіаы, длт-гна которой равна ы евклидовой геометрии радиусу. При
намерении величин «вырѳзков», то-есть двуугольников па сфере и
других частей сферы, приводящих к телесным углам, Лобачевский
обозначает буквой я число, получаемое при измерении полусферы
произвольно выбраоиой: единицей намерения. Таким образом, вся сфера
получает величину 2^. Но для величины площади поверхности всей
сферы имеем в евклидовой геометрии формулу 4яЛ2, где я имеет
классическое значение. Поэтому при обычно принимаем о (I единице
измерения телесных углов, площадь сферической части которой равна
в евклидовой геометрии площади квадрата со стороной, равной
радиусу сферы, тс Лобачевского получает значение, равное удвоенному"
классическому ~, то-есть в этом случае для тг Лобачевского имеем:
я = 2-3,14:150 = 0,28318. ..
Таким образом, чтобы от обычных формул, содержащих иедичш-ш
телесных углов, перейти it формулам в обозначениях Лобачевского,
нужно классическое it заменить на 4г Лобачевского.
Лобачевский обозначает как величину всей сферы, так и величину
всей окружности в соответствующих единицах 2ъ. Это позволяет ему,
рассматривая двугранный угол как частный случай телесного угла,
п определяя его как величину сферического двуугольника, дать
одновременно и для двугранных п для линейных углов определение угла
острого, прямого или тупого, как. угла, величина которого
соответственно меньше, равна или больше £. Си. также примечание [-я|
к сочинению «Геометрия» (стр. 115 наст. тома).
Б дальнейшем (в ст. 43} Лобачевский доказывает, что если
принять одинаковое значение х как при измерении линейных углов, так
и при измерении телесных углов, то величина каждого двугранного
угла будет равна величине соответствующего линейного угла,
сторонами которого служат перпендикуляры к ребру, лежащие в
гранях двугранного угла.
[п] Лобачевский обозначает 2іг величину полного телесного угла,
охватывающего вое пространство, то-есть опирающегося на всю сферу.
Обычпо же едіпшпу измерения телесных углов выбирают так, чтобы
полный телесный угол имел значение 4тт, где тс имеет классическое
значение1).
[4Й] Окружность большого круга, на которой лежит третья сторона
сферического треугольника, представляем себе неподвижной. Тогда.
і) Ст. иредыд) щое примечание [Щ.
48IJ
НОВЫЕ НАЧАЛА Г£ОМЕТР"ИИ
нетрудно убедиться, что третий угол одновременно с этой стороной
будет <, = или > п. Поясним это чертеніааш а, б, а.
Л. Эйлер, работы которого, опубликованные в журналах
Петербургской Академии Наук, лагли в основание современной сферической
тригонометрии ')', рассматривал только такие сферические
треугольники, у которых стороны и углы лежат между нулем и тс. Три точка
на поверхности сферы, не лежащие на одном большом круге,
определяют один к только один сферический треугольник такого рода,
называемый я&леровым треугольником. Лобачевский рассматривает и
более общие треугольники, у которых о.гща сторона (и
соответствующий ей угол) могут превышать г.. Такие треугольники в некоторых
случаях представляют значительный интерес.
Три точки, не лежащие ыа одном большом круге, определяют-
4 сферических треугольник» такого рода. Обобщение понятия
сферического треугольника било сделано А. Мёбиусом г).
Если гга большой круге выделить из двух возможных
определенное направление, которое признаем ноложптеяьшш, то
последовательность любых двух точек А, В на атом круге аыделит некоторую дугу АВ,
меньшую 2іс, получаемую как кратчайшее перемещение от А к В
в положительном направлении, а последовательность В, А выделит
дополнительную к ней до 2п дугу ВА. Одна из этих дуг не больше іг.
Если выделить одно из двух возможных направлений вращения
на сфера и назвать его подояштедькым, то последовательность а, Ь
любых двух, проходящих черев определенную точку, больших кругов
на этой сфере, снабженных выделенными на них полояштедьиьши
направлениями, будет образовывать в этой точке их пересечения
некоторый угол ab, меньший 2w, получаемый как угол кратчайшего
поворота положительного надравденяя круга а вокруг точки в положи-
') Ь. Е а 1 ѳ г — Trigonomotiia gphaoriea universe, ox pvimis ргідеіріія brovitor
(4 di lueide derivatft. Acta Academia Petrouolltanae, Ш9 я др.
E) A. Mftbius—Debar oina neue Behandlungweiae der bnitlytiscbea. Sphttrik (ІЭІ6),
Rntwicketung der Gi'imcHomielii clef epMi-iscliea Trigonoineti'ia щ gi'SastmflgHohor
Allgemombeit (1860). Gosamraolte Wei-Ьѳ, Bd. II, 1883, стр. 1—54 и 71—ВВ.
См. «Энциклопедия алемшітиртюй математики» Вебара it ВсдылтсЙпа, (споешь
ѵш стр. 482 наст. томя).
ПРИМЕЧАНИЯ
481
тельном направлении вращения до совмещения его с положительным
направлением круга Ь. Последовательность й, а определит в этой точке
угол ha, дополнительнг.Кі до 2- к углу чЬ. Один иа ятпх углов не
больше к.
Если на сфере задана последовательность трех точек А, В, С, не
■лежащих ыа одном большом круге, то за стороны а, />, с сферического
треуголі.нива ЛВС принимают дуги ВС, СА, АВ, а за углы it, В, С —
углы Ье, са, аЬ, определенные в вышеуказанном смысле. Заметим,
что если все стороны треугольника меньше тг, и положительное
направление вращения совпадает о направлением обхода ABC, то углы А,
Зяи. Б030. И. И, ЛобімевсііиЛ, -і. II
-182 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
5, С треугольника Мёбиуса равны внешним углам Эйлерова
треугольника, соответствующего этим экѳ трем точкам.
Очевидно, что заданная на офврѳ последовательность трех точек
.-I, Л, С определяет 16 треугольников Мёбиуса, получаемых при
различном выборе положительных направлений на большак кругах его
сторон и положительного направления вращения на сфере.
На странице 481 изображено В таких треугольников, получаемы?
при одном определенном положительном направлении вращеніта
на сфере. Эти рисунки представляют стереографическую
проекцию треугольников. Отметим, что у
треугольников Мёбиуса могут быть
самопересечения '). Треугольники, изображенные на
четырех последних рисунках, обладают
самопересечением.
На приводимом адееь чертеже изображен
в параллельной проѳкцші последний из етпя
восьми случаев.
[4"І В четвертой главе Лобачевский
рассматривает не только теоремы и ыоотроеішя,
непосредственно связанные с
перпендикулярными прямыми на плоскости, перпендикулярными прямыми и пло-.
скостями и пространстве, перпендикулярными дугами больших
кругов на сфере, но и весьма важную для теории параллелей теорему
о внешнем угле треугольника, теоремы о равнобедренном
треугольнике на плоскости и на сфере, о сравнительной величине сторон и
противолежащих им углов треугольника, о неравенствах между
величинами стороп треугольника н некоторые другие. Хотя вопросы,
контрувнтноети треугольников выделены в отдельную (шестую) главу,
Лоб&чевокяй уже я четвертой главе вынужден при доказательстве
некоторых теорем пользоваться первым и вторым признаком
конгруэнтности: треугольников (например, в ст. ГіО, ст. 53), не выделяя
их, однако, в отдельные статьи, а непосредственно проводя рассу-
ждания,
Методы доказательств близки к методам «Начал* Евклида:
применяется движение, наложение треугольников и других фигур.
Наложение выделяется свойственной Лобачевскому краткостью, логической
связностью ш выразительностью.
[Mj Предложение, «перпендикуляр, опущенный из данной точки
на данную прямую, есть кратчайшее расстояние от данной точки
') 0 треугольниках МИСиусп л дальнейших обобщениях см. В а Сі ер н Вень-
ін тей я— Энциклопедии элементарной математики. Перевод с нем., том П, кн. И
и Ш, Одесса, 1910, гл. VI, стр. 40—145.
ПРИМЕЧАНИЯ
■Ш
до данной прямой», Лобачевский почему-м нѳ выделил в отдельную
статью. Его доказательство (ом. приводимый здесь чертеж) опирается
на образование прямой с помощью окружностей, опиоаняыз разными
радиусами вокруг полюсов А, А' (ст. 35).
[51] Отаѳротием угла (меньшего it)
Лобачевский называет область, состоящую иа
всех внутренних точек данного угла, то-
ѳсть из точек, которые лежат для каждого
бока на той его стороне, на, какой лежит
другой бок. (См. ст. іу и применении
к прямым, согласно указанию ст. 35.) Эта
область характеризуется гам свойством,
что отрезок прямой, соединяющий любые
две точки это!» области, лежит в ней
целиком J).
[n2J Для пояснения прилагаем чертежи
(а и о).
Так как- дуги больших кругов образуются от пересечения сферы-
плоскостями, проходящими череа центр сферы О, а плоскости двух
перпендикулярных дуг большого круга образуют прямой двугранный
угол (ст. 42), то для
проведения через А дуги большого
круга, перпендикулярной в
большому кругу ВОВ'',
необходимо провести плоскость,
перпендикулярную к данной
и проходящую через точку
Л на или вне плоскости и
а $ через точку О на плоскости.
Такая плоскость существует.
Она будет единственной, если перпендикуляр из точки А на данную
плоскость ыѳ пройдет через 0 (то-ѳскь если точка Л нѳ является
полюсом данной дуга, что только в первом случае невозможно).
Это следует иэ того, что ѳта плоскость должна пройти через
перпендикуляр А А', проведенный через точку А к данной плоскости
(ст. 59, 57, 33).
[■"'*) Здесь Лобачевский говорит о расстоянии от точки на сфере до
другой точки на той же сфере и одновременно о расстоянии от точки
на сфере до некоторой: дуги большого круга на той нее сфере, о
проведении перпендикулярного болыпого круга см. предыдущее
примечание. Через две точки на сфере, нѳ противоположные друг к другу,
!) См, Д. Гильберт—Основания геометрии, М.—Л., 1948, S 5.
■ 31*
ІІЦ
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
проходит только один большой круг (ст. 23, 33). Однако расстояний
между двумя точками будет два; они составляют вместе всю
окружность, то-ѳоть 2т.
Ist] Приводимый здесь чертеж изображает два; равнобедренных тра-
усольника с общим основанием, у которых боковпе стороны одного
служат продолжением сторон другого. В
втом случае их вѳршпны А, А/ являются
противоположными точками на сфера, и
положение большого круга, через них
проходящего, не будет определяться однозначно.
Если точка А служит полюсом основания,
то вое эти круги будут перпендикулярны
к оонованшо, Еоли ж& А не полюс
основания, то только один круг, делящий
основание яа две равные части, будет к нему
перпендикулярен, и чтобы его провести, нужно построить еще один
равнобедренный треугольник на том же основании.
[r,5j Последняя фраза, начинающаяся словами «йско, что ...», по-
видимому, должна нырнжать свойство правильного многоугольника,
заключающееся в том, что прямая, соединяющая его центр с какой-
либо аго вершиной, рассекает многоугольник на две части, которые
симметричны относительно этой прямой и
конгруэнтны частям, получаемым при
соединении центра о.шобоіі другой вершиной.
Например, для правильного
пятиугольника получаем симметричные части АВСА'А
и A'EDA'A, которые соответственно коег-
груѳжтни BGDB'B и ВАВВ'В, тоже
симметричным между собой.
Но лежащие на плоскости фигуры,
симметричные относительно прямой, являются
тоже и конгруэнтными, так как могут бьмь
совмещены после переворачивания плоскости. Поэтому все части,
полученные описанными выше рассечениями правильного
многоугольника, будут конгруэнтны.
[ъе] В пятой главе Лобачевский рассматривает не только измерение
площадей ■ сферических многоугольников, но и теорию правильных
тел, теорему Эйлера и многочисленные соотношения между
величинами сторон и углов оферичеоких треугольников.
Измерение площадей построено следующим образом.
Бео особого определения Лобачевский пользуется как разделением
многоугольника на части, так и составлением из частей, то-есть
сложением многоугольникон.
ПРИМЕЧАНИЯ
485
Равновеликость двух сферических многоугольников определена как
равносоставленность, то-есть величавы двух сферических
многоугольников считаются равными, лишь если от и многоугольники можно
представить как суммы соответственно конгруэнтных частей.
Предложение, что два, многоугольника, равновеликие третьему,
равновелики между собой, не доказано, хотя постоянно применяется.
Лобачевский показывает, как для каледого треугольника можно
построить равновеликий двуугольник. А намерение площадей
двуугольников сводится к намерению линейных углов, что уже
рассматривалось в третьей главе. Многоугольники сводятся к суммам и
разностям треугольников, так что вопрос об измерении площадей
сферических многоугольников по отношению к площади всей сферы, или, иначе
говоря, вопрос об измерении телесных углов получает.' окончательное
разрешение. Показано, что площади оферыческих многоугольников
образуют класс геометрических величин л приведена известная формула,
выражающая площадь многоугольника через сумму его углов.
[Г|1] Геометрическое мзето вершин равновеликих сферических трѳ-,
угольников, имеющих общее основание-—«круг Лэксаігля»—было
найдено .аналитическим путем петербургским академиком Д. И. Лекселлѳм
в 17В1 г. Работа опубликована в Актах
Петербургской Академии Наук в 1784 г.1).
Однако позднее выяснилось, что еще в 1778 г.
этот результат был открыт чисто
геометрическим путем Л. Эйлером, работа которого
появилась в 17В7 г. в Новых Актах Петер"-
бургской Академии Наук 2). Ѳйлер
показывает, что если по обе стороны некоторого
большого круга в равных от него
расстояниях провести дне параллели, то выбрав
фиксированные точки .А, О на одной из
параллелей и перемещая третью точіеу В по другой параллели, будем
получать, проводя дуги больших кругов АВ, ВС, СЛ, сферические
треугольники ЛВС одинаковой .площади, причем стороны ЛВ и ВО
будут большим кругом делиться пополам.
Лекавдр помѳотші решение Лѳкселля в 8-м издании своих «Начал
геометрии» 3).
:) A. J. Loxell — Solutio і^оЫѳтв^ів geometric! ex doetxinn sphaei'icornm.
Acta Acad, retropolitana. t. 6, 1, 1761 (1784), етр. 112 — 126.
г) L. E u 1 о x — Vni'iae speeulatlones super аѵѳіь trirogulornm sphaericoi'iim.
Notil Acta Acad, Petropolitana. 10, 1792 (1797), <^p. 57 — 62, Доложено на собра-
нш ае. і. 1778 г.
3) А. М. L е g ѳ а й г а — E16mente de Geometrie, S ed, 1809, стр. 421, ва
са-р. 320—321,
iW
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Оригинальное решение Лобачевского было им найдено,
невидимому, до 182(5 г-.,' так как в сочинении «О началах геометрия» он именно
чтем путем приходит в своей «воображаемой геометрии» к вычислению
□ "іощадеа прямоугольных треугольников 1).
Я. Штейнер в 1827 г. а), ссылаясь лишь на аналитическое решение
Лѳкоелля, приведенное у Лезкандра, но по упоминая о работе
•Эйлера,, повторил результат последнего, показав, что малый круг,
образующий рассматриваемое геометрическое место, проходит через
точки, противоположные вершинам общего основания равновеликих
треугольников. Далее он рассмотрел построение двуугольника,
равновеликого данному треугольнику, а затем и многоугольнику, и дал
решение многочисленных эадач на деление площадей фигур на оферѳ,
Я. Гэрвии доказал в 1833 г. 3), что на сфере два равновеликих
многоугольника всегда можно разложить на соответственно
конгруэнтные части, производя построения, сходные с некоторыми
построениями Лобачевского, причем тщательно рассматривал все возможные
случаи.
Отметим также, что я учебнике сферической геометрии Е. Гудѳр-
мана *) форьгула для площади сферического треугольника выводится
методом, сходным с методом
Лобачевского.
Обратимся теперь к
рассуждениям Лобачевского.
Лобачевский утверждает,
что, как оледствиѳ на данного
им построения сферического
четырехугольника с двумя
прямыми углами, равновѳли-
п кого данному эйлерову5)
сферическому треугольнику АВО
(чертеж а)вытѳкает, что малый круг PBQ, проходящий через вершину
треугольника и параллельный дуге большого круга, соединяющей середины
боковых оторон треугольника, представляет собою геометрическое место
вершин треугольников, построенных на том же ооноваыии и имеющих
*) См. том I наст, издании, стр. 210—320 и примечание ['*] на стр. 315 тома I.
s) J. Steinei- — Verw auditing und Theilimg sphllriaoher Pigureu Surah
construction. Journal fur die reina und engaw. Math., 3, 1827, стр. 45—63.
") P. Gerwiea—Zersctamidung jeder beliebigen Menge versohieden gestalte
Figiuon von gleichem bhalt nuf der KugelHiLahe in dleselbSn Stacks. Journal Mr
die jteftie und angow. Math., 10, 1833, стр. 235—240,
4) E. G-ndermann —Lahi'lbueh der niaderan SpMrik, Hunater, 1835, 338 стр.,
nn стр., 61—70.
в) Эйяаровым сферическим треугольником называется такой, все стороны
которого меньше полуокружности « п). См. примечание [Щ на стр. 473.
ПРИМЕЧАНИЯ
487
одинаковую с ланаым треугольником сумму углон и величину
площади. Действительно, пусть В'— какая-либо точка этой параллели и
АВ'С соответствующий треугольник. Тогда перпендикуляр В'ІГ равен
ВП и, следовательно, В'ІІ' = AF и В'ІІ' =--CG. Поэтому получаем два
прямоугольных треугольники J D'A' и В'П'ІІ', имеющие равные
катеты AF и В'ІІ' и равные (вертикальные) углы при !>', противолежащие
чтіш катетам. «
Относительно конгруэнтности треугольников AFD' и D'B'T-f заметим,
что, вообще говоря, если у двух прямоугольных эйлеровых
треугольников на сфере соответственно равны катет а и против о лежащий, ому
угол а ф -^ , то или яти тре- R n
угольники имогат и остальные
члѳмепты соответственно
ранними {треугольники
конгруэнтны илп симметричпы),
или же их вторые катет ьт,
так же как и вторые углы
и гипотенузы, составляют
и сумме я '). Дѳйстшітелыю, пусть нрп точке Л построены два
больших круга AM А' и ANA', образующих угол а (чертеж 6), Они
пересекутся еще в точке А', симметричной, точке А относительно центра
сферы. Пусть один иа данных треугольников помещен нрп точке А
так, что его стороны, заключающие угол а, пошли по дугам больших
кругов. Допустим, например, что гипотенуаа АВ пошла по кругу АЛА'.
Тогда, после отсечения от двуугольника АИА'ЗѴА треугольника ABC,
остается треугольник А'ВС, с тем же углом а при А' ц с тем же
противоположным ему катетом а; при этом легко видеть, что
AG + С А' = тс,
£А.ВС-\-£СВА'=*к.
Таким образом, у двух треугольников ABC и А'ЦО катеты АС и А'С,
так ясѳ как и прилежащие к ним углы /_АВС и /_СВА' и гипотенузы
АВ и А'В, составляют в оуммѳ тс, катет ВС—общий, и противолежащие
ему углы £_ВАС п ^BA'G соответственно равны. О тем же катетом
а и противолежащим ему углом а возможны еще два треугольника,
оимметричпые только что рассмотренным.
Но у треугольников AFD' и D'B'JT (чертеж а) гипотенузы D'A и
D'B' расположены симметрично относительно D', так как В' является
первой точкой пересечения дугн D'B' с параллелью PQ и, аналогично,
А—первой точкой пересечения дуги D'A а параллелью, проведенное
к дуге DE по другую от нее сторону на таком жѳ расстоянии.
Ч Ом. ст. 88, стр. 25Э ипет, тома.
488
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОЛГЕТРИН
В том, что точки В' и А действительно первые, убеждаемся,
опираясь на непрерывность перевода от В к В'. Таким образом,
треугольники оказываются действительно конгруэнтными. Аналогично можно
убедиться в конгруэнтности треугольников Ch'G- и В'Е'Н',
Таким образом, ми убеждаемся, что четырехугольник AFGO равно-
составлен с треугольником АВ'С, гг что сумма углов первого равна.
S' -(- іс, где S' сумма углов треугольника АВ'О. »
Но в начале ст. 68 было доказано, что этот же четырехугольник
равноеоставлбн с треугольником ABG, и чти оумма его углов равна
S-f-я. Итак, доказано равенство сумм углов треугольников ABC и
АВ'С, а также, если учесть, что две фигуры, равносоотавленные
с третьей, равное оставлены между собой'}, то доказана и равновелы-
кость ѳтих треугольников.
Однако, если требовать, чтобы треугольник АВ'С был эйлерова
типа, то не все точки малого круга 1'BQ (параллельного дуге 1>Щ
являются точками рассматриваемого геомѳтрического места, как его
можно предположить на основании утверждения Лобачевского, Те
точіга круга PBQ, которые лежат в той же полусфере относительна
дуги AG, что я точка В, являются точками рассматриваемого
геометрического места, как это следует нз нышепртгаеденныя доказательств.
Мы покажем ниже, что малый круг BBQ обяаатвльно пересекает
большой круг, проходящий через А и V в двух точках А0 и С0,
противоположных на сфера точкам Л и С. Далее обнаружим, что все
точки дуги малого круга, лежащей в топ полусфере, которая не
содержит точки В, не являются точками рассматриваемого геометрического'
места, веля ограничиают.ся эйлеровыми треугольниками, даже если
рассматривать только абсолютную величину площади. Исключением
является случай, когда
большой круг АС делит малый круг
PBQ на две равные части, то-
есть когда плоскость малого
круга BBQ перпендикулярна пло-
с скости большого круга А.О.
„ Оказывается, если соединять,
■какую-либо точку В указанной
дуги с точками А и О дугами больших кругов (чертеж о и г) и считать
стороной такого треугольника дугу АО, меньшую ті, то возможно выделить.
4 различных треугольника е вершинами А, С, В, Только один иа них
будет эйлеров, два других будут треугольниками типа,
рассмотренного Лобачевским (один угод ж противоположная ему сторона больше тг),
*) См. В. Ф. Каган—О преобразовании многогранников, ГГТИ, 193JJ. стр. 35,.
ѵч-р, 8.
ПРИМЕЧАНИЯ
489
четвертый будет иметь самопересечение и две яа его сторон будут
превосходить тс (чертеж а).
Если обозначить площадь треугольника ABC черве с, а величину
полусферы в тех же единицах — через іс (по Лобачевскому), то
абсолютная величина площади первого треугольника будет о = гс — а,
второго и третьего — а, четвертого а =и — о. (Площадь четвертого'
треугольника находят как разность площади .двуугольника BU н
эйлерова трѳуі'Ольника AUG, в соответствии о понятием о площади,
ограниченной контуром с заданным
направлением обхода.)
Таким образом, только введение
обобщенных сферических треугольников
типа Лобачевского повволяот говорить
о дуге АвВО0 малого круга (чертеж г),
как о геометрическом месте вершин
треугольников, имеющих общее
основание с треугольником ABC и
равновеликих ему.
Докажвм высказанные предложения.
Проведем череѳ точку А малый круг^.тО,
параллельный большому кругу $П$М,
а следовательно, и малому кругу PBQ.
Проходя чѳреа А', малый круг пройдет
и чероа С, так как обе точки А т С одинаково удалены от большого,
круга WJt!M па такое же расстояние, как точка В, Плоскости двух
малых кругов, равноотстоящих от большого круга 27ЕМ,
перпендикулярны к диаметру, на, котором лежат их центры, и пѳрѳсѳкают его
в точках, лежащих на равных расстояниях от центра О сферы.
Центр 0 является цоікром симметрии для этих малых кругов, так
как он является центром симметрии сферы и центром симметрии
плоскостей втих кругов. Следовательно, для точек А ж О малого круга
АтС, лѳяеавтих в плоскости большого круга АО, будут существовать
яа PBQ симметричные относительно цаятра О точки Ап п (70, причем
оли тозке будут лежать п плоскости большого круга AG. Таким обра-
ном, доказано, что малый круг PBQ пересекает большой круг АО
в двух точках Ап, СйІ противоположных соответственно Л, G.
Пусть точка В лежит на дуге ЛаС0 малого круга PBQ, не
содержащей точки Л (тот же чѲртѳяс г). На точках А, В, 0, если дуга АО,
меньшая к, должна быть отороной, можно построить 4 сферически*:,
треугольника общего типа, вакѳто оледует ие примечания [4S] на Стр. 478.
Ивобраяим эти треугольники в стереографической проекции. Это будут
490
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
треугольники типа Эйлера (черт. 9), тяда Лобачевского (чертежи в
« ж) и треугольник о самопересечение и (черт, а).
'■м ѵ*> умш;м*т-км~#жяч>;ш
На чертеже и изображены в парам-
дельной проекции все четыре
треугольника чертежей Э, е, sic, s, причем
особо выделен первый.
Коли абсолютную величину площади
первого треугольника назвать а, то
очевидно, что для второго ж третьего
получим я— о, а дня четвертого а.
Остается показать, что о = іс—а, или
о -j~ а в= л, где а — абсолютная величина
площади эйлерова треугольника АВО.
„ Докажем, что айлеров треугольник ABG
равновелик двуугольнику, обраэован-
■ному полуокружностями AGAQ и АЖАа, воли только точка, В'
пересечении Л.ЖІ0 о .Ш? разделят полуокружность ЛЕАа пополам, то-еоть
•если дуги АЕ и #Л„ будут равны £.
ПРЩ1ЕЧАНІШ
491
Действительно, рассмотрим четырехугольник AFGCa двумя прямыми
углами, равновеликой треуголЕ.ыпку ЛВС (чертеж к). Опустим из А»
.перпендикуляр ЛпК на DE. Рассмотрен прямоугольные треугольники
AHF и ЛпПК, имеющие равные гипотенузы и уг.'іы при If, заключаем,
учитывая симметричное
относительно Я расположѳ- Р-
ние гппотенуа и углов,
что треугольники
конгруэнтны. ѵ
Отсюда следует:
A,.K=*AF, FE=UK.
Итак, И являете» еередп- к
ной FK.
Назовем М точку пересечения продолжения дуги АС за точку ('
с tyron Ші (чертежи *■ н „■<). Рассмотрим прямоугольные треуголь-
нтгкіі CMC и АЛМК. У пах катеты CG
и j1„A" равны, таи как CCf — AF? а было
доказано, что AF=Atl\.
Углы при точке if равны как
вертикальные, а гипотенуза СМ= МАа.
Убедимся в последнем равенстве
(чертеж л). Находим, обозначив S it f
центры малых кругов, а V а.
V—середины хор.ч АС и Л0Си, АйСа±_ТѴ,
АдС,, [ ОV, следовательно, A^Cq
перпендикулярно плоскости О ѴТ. Плоскость
большого круга АС проходит через Л(„
л С0; следовательно, плоскость АСО
перпендикулярна плоскости ОѴТ.
Но плоскость большого круга DE перпендикулярна к ST.
Следовательно, плоскость ОѴТ, проходящая через ОТ, тоже перпендикулярна
к плоскости DEO. Но линия пересечения двух плоскостей DEO И
АСО, перпендикулярных к плоскости ОѴТ, тоже к ней
перпендикулярна. Итак, NM перпендикулярна плоскости ОѴТ, и,
следовательно, NM_l_UY. Далее, СМ=МАП; пз равенства гипотенуз QM н
МАЛ (чертеж к), учитывая симметричное относительно точки И на
сфере расположение равных углов при ilf и точек С и AQ, убѳ-
яедаѳмся, что треугольники CMG- и АаМК конгруэнтны.
Отнимая от AFGO треугольник AHF и прикладывая АаВК, отнимая
затем треугольник А0МК и прикладывая к остатку СМО-, находим,
что двуугольник АЫАцСА равновелик AFGC, а следовательно, и
треугольнику АІіС.
492
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Угол двуугольника ЛНАпСА (чертей м) равен углу между радиусами,
проведенными из 0 в середины полуокружностей ЛОАа и ЛЯ.І0, то-есть
если обозначим еерадииу ЛСА{, буквой
Я,„ раваы углу N(lOff, где 0Я( н ОЙ
перпендикулярны ребру ЛА(І
двугранного угла; поэтому, чтобы найти
положение радиуса ОН, лежащего также и
на большом круге DE, нужно пересиль
плоскость круга DE плоскостью,
проходящей через О перпендикулярно
ребру ААа. Прямая пересечения этих
плоскостей опрѳделіэт два
противоположно направленных радиуса ОН в. ОН
концы которых лежат, соответственно,
на полуафере, содержащей точку В, ина-
полусфере, содержащей точку іі. С помощью ОН и ОН определятся два
двуугольника, соответственно равновеликие внлеровым треуголь-
пикам ABG и АВО и составляющие в сумме полусферу, отсеченную
оолыпим кругом ЗАШАй. Двугранные углы, соответствующие этим
двуугольникам, смежные, так как у них общаге грань АСЛіи а грани
АПА„ и АІІАв составляют одна продолжение другой. Таким образом,
если обозначить площади треугольников ABC и ABG соответственно
через о и о, а площадь полусферы—-через я (в единицах меры
Лобачевского), то будем иметь, учитывал, что треугольники равновелики
соответствующим двуугольникамт о -f- о = тг.
Таким образом, предложение о площадях четгарех треугольников -1 ВС
доказано.
Получим одновременно выражение для площади треугольника
через сумму его углов,
Ив рассечения четырехугольника AFGO на треугольники, которым
носполъзовалноь при доказательстве равновеликооти четырехугольника
двуугольнику АНАаОА (чертеж к), нетрудно получить, что сумма
углов при вэршинЕИ А и С четырехугольника AFGC, равная
достоянной сумме углов каждого ив равновеликих треугольников ЛВС, АВ'С
к т. д., равна сумме двух углов при вершинах двуугольника плюс тт.
Обозначая чѳреа а угол двуугольника АІІАйСА и через В сумму углов
треугольника ABG, имеем 8 = 2а -j- it, откуда
ПРИМЕЧАНИЯ '
493
Но площадь треугольника ЛВС равна площади соответствующего
двуугольника, которая (а единицах, принятых Лобачевским) равна
его углу (ст. 43):
"лис = зава„ол = « = —(# — я).
[ія] В оригинале фраза «веля первую через середину II дугл KG
между пѳриенднкуламк к ней А К, FG» отсутствует. Она введена как
поправка в списке опечаток, приложенных в конце кн. П Ученых
Записок Казанского Университета за 183В р. Но В иѳдантти полпого
собрания сочинений Н. И. Лобачевского по геометрии т. I (18Q0 г.)
.эта поправка, не была учтена. Вез нее рассуждения Лобачевского не
пылп бы верными, так как точки Л a F— точка противоположные
(си. предыдущее примечание, где точка F названа A0)s и соединять
F с ,4 мы можем бесконечным множеством дуг, являющихся
полуокружностями, которые будут образовывать с полуокружностью АСѴ
различные двууголміики. Но даже если учесть поправку
Лобачевского, что дугу AF нужно «вести через» определенную точку В", то
ведь необходимо предварите л ьпо* доказать, что череа А и F проходит
не один большой: круг, то-есть что А и F—противополояштле точки
на сфере. Кроме того, необходимо доказать, что именно этот
двуугольник AGFJIA из бесконечного множества двуугольников ЛОРА
является предельным
случаем равновеликих
треугольников, при
приближении точки В' к
точке F, то-ѳсть что втот
Двуугольник
равновелик тому жѳ четыре-
угольнпку.
Поэтому
рассматриваемое доказа/ге.льство, а
смысл которого должен
быть ясен из соображений, приведенных в предыдущем примечании,
нуждается в некоторой переработке. Сам Лобачевский поместил
исправленное доказательство в «Геометрических исследованиях»J)
Мы воспользуемся втим доказательством, внеся некоторые изменения
в целях наглядности. Так как стороны д углы треугольника ABC
меньше к, то в четырехугольнике AGFO с прямыми углами при G-жР
(чертеж я) сторона АС меньше тс, п равные стороны А& и OF тоже
меньше ■к. Далее, так как отрезок дуги І)Е не может пересечь
отрезка ДСв треугольнике ABG, то точки пересечения К и 2Г окружности
1) Ом. том 1 паст, издания, отр. !00—101. ■
494
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
DE с АС лежат вне дуги АС. М п N являются противоположными
точками на сфере, как точки пересечения окружностей двух
больших кругов, то-есть
~ NA СМ = ^ ND КМ = тг.
Учитывая, что дуги AN и СМ каждая меньше С,-, получаем,
рассмотрев прямоугольные треугольники АЖѲ п CMF о равными каге-
тами AG, CF и равными противолежащими им углами (углами М и Ж
двуугольника, если они меньше пли равны -^\ или смежными сними,
(7
если они больше -я-, что возможно — см. чертеж Л), заключаем, что
треугольники или конгруэнтны, или симметричны, откуда
•^AN^-sCM, LAaLv> wЖ' = •— м&-
Поэтому, если отложим по окружности АС от точки М дугу МАй,
равную СМ, сшшегрично СМ относительно М (чертеж д.), то
получим точку Ап, против оно л о жну іо точке .1. Действительно, отнимая от
полуокрувшооти NACM дугу ѴА и прибавляя равную дугу МАйІ мы
опять получим полуокружность; то есть —' АОМАй =т, и,
следовательно, точки А, Ае—противоположные. Опуская из „4и
перпендикуляр AQK на окружность DM, получим прямоугольный треугольник
ЛаМЖ, конгруэнтный треугольнику CMF (гипотенузы равные, по
построению, углы при М равны как вертикальные, а расположение
симметрично относительно точки М), откуда
1_МА^К^ /_MOF,
А„К= GF = AG, MK=MF=> NC.
Точка К оказывается точкой, противоположной G. Действительно,,
отнимая от полуокружности XfGFM дугу NG и прибавляя равную ей
дугу МК, мы опять получим полуокружность, то-есть •—'GFMK=k-.
ПРИМЕЧАНИЯ
■И! о
и, следовательно, точка і7, К противоположны (если углы
двуугольника'тупые, как на чертежа if, то точки Q и F лежат вне
полуокружности NDEM н равные углы при A и G в четырехугольнике AGDEFC
превосходят каждый тг; но изменения л рассуждениях
несущественны). Проведя дугу большого круга через противоположные точки
.1, Ай и через середину Н полуокружности ODER, получим двууголь-
пик AOAt)IJA.
Нетрудно убедиться, что-
1) двуугольник АСЛАНА равновелик четырехугольнику AGFC,
2) угол этого двуугольника на -g- меньше каждого иа равных углоъ-
п етыр ѳ х у го л ьни к а.
А так как четырехугольник равновелик треугольнику ABC, и
каждый из равных его углов равен половине суммы углов
треугольника АВО, то находим, обозначая через з и Я соответственно площадь п
сумму углов треугольника ARC, а через а„—ллогцадь двуугольника
с углом а, и учитывая, что в единицах, принятых Лобачевским дли
намерения площадей, зд = а,
7=5,4 „= — (3 — 1С).
В равновеликоо'Ш четырехугольника A.GFO и двуугольника ACAnfFA
можно убедиться, отнимая и прикладывая соответственно
конгруэнтные треугольники AUG и А^ІІК (по катету и прилежащему острому
углу) и Л0ЛЯ<Г и (ЖР.
Величину угла двууголышка определим так: на венгрувнтностя
napuoft пары треугольников следует, что Л//= 1£Л0, а следовательно,
ЛП= ■£■ = GE, откуда £JTAG = £АОТ£ = -£. Следовательно,
/_СЛН= /_OAG— /JIAG= £CAG — |-.
[r,D] Лобачевский отмечает здесь дефектность вывода формулы для
площади сферического треугольника, основанного на допущении, что.
симметрические относительно центра сферические треугольники
равновелики. Действительно, его допущение требует доказательства. Такого
рода недостаток имеется в распространенных в то время учебниках
и трактатам 1). В 1812 г. на этот недостаток обратил внимание Моль-
вѳЯдѳ2). Но он не указал способа устранить его, хотя Лежандр
і) Например, Cagnoli—TraitS daTrigonometrie rectUigoe et aphariqiie, Paris,
1780 (на стр. 281—282), Т. О екпоясиин, — Курс математики. Часть 2.2-е изд..
ОБЕ, 1814 (на стр. 229—230).
*) AusMg аддв ein&m Sehvciben des Hewn Professor Mollweido. Monatlicho
Correspoadenz znr Befordeviing der Erd- ішіі Himmelskunde, Gotba. 26, 1812,
стр. 001—002.
ш>
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
значительно раньше дал умса сгрогоѳ докапательство равновѳлнкости
двух симметрических сферических треугольников ').
Лобачевский в своем доказательстве близок Деясандру. Он исполь-
зуег точку, равноудаленную на сфере от верпшн. сферического
треугольника, и разбивает трауголг.ник на сумму илп разность трех
равно бодренных треугольников. Но симметричные равнобедренные
треугольники конгруэнтны (ст. ІіЗ). Отсюда непосродствевтго и
вытекает равповеликость симметрических треугольников.
В ответ на замечание Мольяейде несколько иное доказательство
было дано в 1813 Г. Гѳрлігагом -). Герлннг описывает вокруг сим-
метрических треугольников малые круги. Иа конгруэнтности
сферических сегментов и со ответствен но 3 конгруэнтности их частей,
представляющих сегменты, образованные сторонами треугольников и дугами
описанных окружностей, иытѳкаѳт доказываемое предложение.
р") Вторая часть этой фразы Лобачевского описывает случай,
когда плоскость проходит попеременно сначала через середину ребра
перпендикулярно к нему, затем через вершину греки, на которой
лежит его ребро, затем 'іарѳз ату вершину переходит на следующую
грань, гдо пересекает новое ребро, проходя через его середину к нему
перпендикулярно, переходит на смежную граш. и т. д.
Этот случай будет иметь место, если число сторон в грани
нечетное, но и каждой вершине сходится четное число гранен (октаэдр),
Лобачевский опустил случал, когда плоскость проходит
поперечно сначала через середину ребра, перпендикулярно к нему, затем
через вершину грани, содержащей это ребро, аатѳм чѳрѳа ребро,
проходящее через эту вершину и пе принадлежащее к втон грани, затем
через вершину другой грани, черва серѳдипу ребра ©той грани,
переходи в следующую граиь и т. д. Этот случай будет иметь место, если
число сторон в грани нечетное и йсли в каждой d ершике сходится
нечетное число граней. Такого рода правильными телами будут
тетраэдр, додекаэдр и икосаэдр.
(Іі]] Предельный случай, когда я бесконечно велико, то-есть
случаи, когда
4 —(м~2)(г —2) = 0, (*)
тоже может быть рассмотрен, если не требовать, чтобы правильная
многогранная поверхность обязательно ограничивала тело, гомеоморф-
ноѳ піару. Однако при исследовании этого случаи потребуется уже
знание суммы углов многоугольника на плоскости (и в случае при-
]) А. Ы, Logen.fi і'О —EI6meata do GSwniti'ic 3 fid., Paris, ІйОО, кн. 7 нредл.
SI, отр. 248—249.
s) Auazug aus einern Sclireibcu des Herra I'l-ofessoi- G-crling. Mouatllclie Cone-
spomleiiz... 27, 1Ѳ13, отр. 294.—2Э8.
ПРИМЕЧАНИЯ
407
странсгва Еиклида, и в случае пространства Лобачевского). Оси
телесных углов при вершинах многогранной поверхности и
перпендикуляры к граням, проведенные череп нх центры, должны и в
рассматриваемом случае принадлежать к одноіі связке прямых, до ета связка
не будет иметь собствгниого центра.
Это может быть связка параллельных прямых (возможно и в
евклидовом пространстве и в пространстве Лобачевского) пли свяака
прямых, перпендикулярных к одной плоскости (в пространстве
Лобачевского эта свяака отличается от первой, в пространстве Евклида —
совпадает о ней).
Первый случай — случае связки параллельных прямых—даст
в евклидовой геометрии разбиение плоскости на правильные
конгруэнтные многоугольники, а в случае геометрии Лобачевекого—
разбиение предельное поверхности на правильные конгруэнтные
многоугольники, ограниченные дугами предельных линий.
Сумма углов «і-угольпика в обоих случаях равна
(ш—2)я.
Отсюда, так как у каждой вершины смыкаются г многоугольников,
находим, что
т
Ыо sto условие совпадает с (*).
Учитывая, что т ^- 3 п 1*^.3, находим все возможные случая:
ш = 3, г = С (треугольники);
»і = 4, г = 4 (квадраты);
т = 8, г = 3 (шестиугольники).
Итак, в евклидовом пространстве рассматрилаемая многогранная
поверхность вырождается в плоскость, разбитую на правильные
конгруэнтные многоугольники .одного ив трех типов, указанных выше.
В случае пространства Яобачевского получаем повыродившуюся
многогранную поверхность, вершины которой лежат в вершинах
правильных конгруэнтных многоугольников, ограниченных предельными
линиями и представляющих равбиѳпие предельно!! поверхности одного
иа трех указанных выше типов. Линейные размеры ребра могут быть
произвольны, так что существует бесконечное множество
многогранных поверхностей каждого из трех типов.
Рассмотрим теперь второй случай в пространстве Лобачеяского.
Легко показать, что каждое разбиение плоскости Лобачевского на
конгруэнтные правильные многоугольники можно спроектировать
с помощью перпендикуляров к ѳтой плоскости в разбиение того жр
типа на поверхности равных расстояний, имеющей данную плоскость
Зоя. 6039. Н. И. Ловчеве кий, т. II.
32
±т
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
опорное, причем сторонами многоугольников будут являться дуги-
лшпііі равных расстояний, н, тавпм образом, пгроатіі затем к
многогранной поверхности, ужп но плоской, а такой, что осп и
перпендикуляры через центры грапоп образуют свяпку с идеальным центром.
Обратите переход от млогогр&нлоп поверхности к плоской также
возможен.
Итак, рассмотрим раабпешіѳ плоскости Лобачевского. В этом
случае суима углов іл-угольшша может изменяться от значения сколь
угодно близкого it (иг — 2) к, по меньшего его, до нуля (при
возрастании площади). Учитывая правильность многоугольника, получаем
откуда
В драной части стоит функция, недрерываая и убывающая при
w^>3, имеющая при вд = 3 значение (!.
Следовательно, при заданном т (ѵі ^ 3) всегда можно подобрать
г (|'!5>3) таи, чтобы удовлетворить условию (*#), л притом существует
бесконечное множество таких вначеыпи г:
т = 8,
in — 4,
ш = 5,
>п = ІЗ,
г>0
*->4
">т
ѵ>3
то-есть
»
э
'і
ѵ=.7, S, И,. . .
.■=5, С, 7,...
і' —4, П, и,...
>- = -!, 5, 0,...
При »» ^- Т можно положить г равным любому положительному целому
числу, не меньшому 3.
Итак, при заданном т (ік ^. 3) и внбратпгом, согласно найденным
условиям, г, па плоскости Лобачевского будет ыайдвгто разбиение вполне
определенного типа, причем размеры угла а пры вершине, п стороны I
в многоугольнике будут вполне определенными:
?•
Сторона будет найдена из соотношения
Спроектировав с помощью перпендикуляров, восставленных к
плоскости, это разбиѳшге па любую поверхность разных расстояний, для
которой дапнан плоскость служит опорной, мы получим на ѳтоа но-
ПРИМЕЧАНИЯ
409
ворхпости раабиешге того же типа на конгруэнтные правильные
многоугольники, образованные дугами лшшв равных расстояний, причем
величина углов будет такой же. По вершинам этих многоугольников
мы найдем определенную правильную миогограижую поверхность
выделенного типа, вписанную в поверхность равных расстояний,
проведенную на произвольно выбранном расстоянии от опорной плоскости.
["-] В ст. 72 и 73 Лобачевский рассматривает теорему Эйлера о числе
граней, в ерши а и ребер многогранника. Он указывает, что первый
эту теорему нашел Эйлер, что другие доказательства былтт
предложены Лѳжандрои (Лежандр иѳ указал, что теорема принадлежит
Эйлеру) п Коти1). Лобачевский приводит пример многогранника, для
которого эта теорема несправедлива (многогранник гомеоморсрея сфере,
но одна его грань гоыеоыорфна кольцу). Однако он не дает полной
характеристики многогранников, к которым приложила теорема Эйлера.
[GS] Если только одна иэ сторон А В или АО' треугольника АВО1
превосходит -к, то п противолежащий ей угол > іг (ст. 46).
Следовательно, теорема останется справедливой.
Если же в треугольнике АВ'О сторона jB'6"> «, то по ст. ІЧ п угол
В1 АС и дуга ВО*>Т: Следовательно, дуги:ВСжВ'Сбудутпересекаться
еще в одной точке С", противоположной С. Поэтому получать
прежние заключения будет незовмомшо. Теорему нужно изменить
следующим образом:
Если в сферическом треугольнике одна на сторон ;>іг, то сумка
прилежащих к иѳй углов будет соответственно > к, =^, <іг, если
сумма двух других сторон будет < к, = іг, > к.
Доказательство получаем, заменив третью сторону дополнением
до 2іг н применяя уже доказанную теорему от. 74.
[і14] Предложение ст. 79 является в сущнооти известной теоремой
о треугольнике, полярном данному: углы его равны сторонам данного,
а стороны — углам данного. Такую формулировку эта теорема получает,
если, согласно Мёбиусу, у сферического треугольника рассматривать
углы, смежные с внутренними, причем теорема верна для самых об-
о
і) Работы, цитируемые Лобачевским, следующие:
L. .Ёчіег — Blemetifca doctrinae solidornm. (No-vi Солшкэиш-іі Acad. Petropoli-
Іішое, Т. 4 (1762 и 1758). 1756, стр. 109—140.)
Ь. Е u 1 е г — Demonstratio nonnulorum inaigninm. proprietatum quibus solida heci-
tis plania jcclusa sunt praeditno (таи же, стр. 140—160).
A. Legenclr e. Elements de Q-fiomtele, 3 ed, Paris 1800 (стр. 263—'254, преда.
35 із книге VII).
A. Cauohy. Eeclierches sue lea роІуЫгев, II par tie (Journal de l'Eeole Poly
technique, T. 9, Gab 16, 1813, стр. 76-86).
О современной трактовка тѳореігы ЭІЬіера в топологии см., например, Н. Ч е-
«отарев— Курс топология (литогр.), Казань. 1332, П. С. Александров —
Комбинаторная топология, Гостехиздат, 1Ѳ47 (гл. ГГГ, стр. 93—1*3).
32й
500
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТІ'ПК
щих типов сферических треугольников (см. примечание [4П] па стр. 479).
В ічзЙ форме, в какой эта теорема приведена у Лобачевского, они
применима лишь к треугольникам, у которых каждая сторона меньше тс,
как это и отмнчепо Лобачевским.
Однако доказательство Лобачевского имеет вполне оригинальный
характер и связано с изучннпими им в воображаемой геометрии циклами
прямоугольных прямолинейных треугольников. Эти цпкльі он
рассматривал еще в раооте аО началах геометрии* в 1S29 году]).
Подробное наложение этого вопроса помещено в примечании [83]
на стр. -)34—544.
і'""1] Вспомогательное предложение, здесь доказанное, выражает
следующий факт: если рассмотреть на сфере прямоугольный трѳ-
угольник с катетами а <;-,,-, ()<; —
против о лежащими катетам: углами
_■), В, и гипотенузой с [она тог-
я'1
да <іг) > то Еа сфере существует и
другой прямоугольный треугольник,
один катет которого такой же (&}, а
другой равен дополнению до ■,,■ я
углу, противолежащему второму катету
первого треугольника I-;- — Л),
гипотенуза равна углу,
противолежащему одинаковому катету в первом
треугольнике (Б), а углы,
противолежащие катетам, соответственно равны гипотенузе (с) и дополнению
до-,- ко второму катету первого треугольника (-^— «J.
Запишем схематически рассмотренный последовательный переход
от одного треугольника к другому
стороны и, Ь, с
1-й треугольник
2-й треугольник
З-fl треугольник
углы
Д — ;
1Г „It
стороны— .77, — с
углы A, -J— а, ~)
стороны—-—А, Ь, Ті
углы
Т~а> е'Ч
1) См. том [ паст, издания, стр. 100—202.
ПРИМЕЧАНИЯ
501
Походя из этого предложения, можно прилги к геометрическим
основаниям мнемонического правила Непера для тригонометрических
соотношений в прямоугольной сферическом треугольнике, так как
и этом предложении построена цепочка пз трех треугольников,
принадлежащих к полному циклу из пяти треугольников, который
рассматривается в примечании [Э!|].
[би] Можно показать, пользуясь предложениями ст, 74, что еслп
Т"
в треугольнике две стороны it, b<^~ , а третья с меньше т., то г;
треугольнике два угла всегда будут острыми.
Случай а = h рассматривается легко, так как по ст. 7-4, учитывая,
что о -j- h < ~ и с< к, имеем -■' -\- В < я; а так как .1 = В (ст. '14), то
Л, Л<£.
Заметим, что случай с-^— подходит под заключение ст. 74 п,
следовательно, остается
рассмотреть случай: К^-ъг'
Отложив по дуге GB от
точки О дугу, равную Ь
(см. чертеж «), соединим Л
полученную точку А' с
точкой А. По ст. 40 имеем
А А' <С т~' Следовательно,
дуга будет пересекаться
с АВ только в точке л.
Из равнобедренного
треугольника АСА' .по ст. 74
имеем
/_САА'-\- /_СА'А<ъ,
откуда, применив ст. (14,
находим £_САА'< -,,-. Но
/_GAB < І.СЛА', откуда
/J3AB < — . Итак, угол A j
острый.
Отложим теперь по дуге АВ от точки А дугу, равную Ь (чертеж д)
и соединим полученную точку G' с точкой О, По от. 4G имеем GO < іс.
Следовательно, из равнобедренного треугольника GAG' по ст. 74
имеем /_ACG'-\- 1_AG'G<k, откуда, применив ст. 64, находим
502
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
/_Л.(?'С<-^. Следовательно, смежный ему угол—тупой:
£СС'В>±.
Из неравенств /_СА(У < -&■ и /_ЛС'С <C-j- находим, применив от. 74
к треугольнику С АС,
СС + СА<к,
ТО-ѲСТЬ
С'<У + Ь<г.
А так как а *С Ь, то н
откуда, применив ст. 74 к треугольнику О'СВ, получаем
^С?7іС'-)-2ІаС'й<г.
Но угол СС'Л тупой; следовательно,
цтс < ~.
Итак, угол В тоіке острый.
[в,3 Действительно, были рассмотрены следующие случаи
треугольников со сторонами, меньшими тс:
тс
1) две стороны <"5",
2) две стороны = -у,
3) одна сторона = ~ъ-, одна<-^-, одна>-^ ,
СІ ~ .-I
4) две стороны ]> -=- .
Сюда вошли все возможные случаи, так как случай:
одва сторона = ~, две< -% —входит.в 1),
одна сторона = -«, две >-^- — вяодит в 4),
три стороны = -5 входит в 2).
[r,s] В главе VI рассмотрены теоремы о конгруэнтности
треугольников— как прямолинейных, так и сферических. Предложения о
конгруэнтности прямолинейных треугольников сформулированы
независимо оі' предположения о оуммѳ углов треугольника, то-есть
принадлежат абсолютной геометрии. Однако в конца главы Добвлѳвония,
доковав фундаментальные теоремы о сумме углов треугольника:
ПРИМЕЧАНИЯ
303
1) сумма углов треугольника не можеы ѵьтіь больше те и 2) еаліі е одном
глреі/гоАім»кв сумма углаа равна т:, wo она равна т: и ао всяком другом, дае?
одпгт приаиак конгруэнтности треугольников (по трем углам) в
предположении! что сумма углов треугольника меньше я, то-есть в
предположении, что имеет место неевклидова геометрия Лобачевского
(«воображаемая» геометрия).
Следует заметить, что каждый признав копгруэнтпости
прямолинейных треугольников является в то же время предлозкепием,
утверждающим, что треугольник (нпогди удовлетворяющий иекоторым
дополнительным условиям) однозначно определяется с точностью до
движении, если заданы указанные в признаке три его элемента,
конечно, такие, которые могут принадлежать некоторому
треугольнику, і
Способ построения треугольника по этим элементам с помощью
циркуля и лгшейкн очевиден, если геометрия евклидова. Если же
рассматриваете и пространство
Лобачевского, то построение
очевидно по всех случаях, кроме двух:
случая ст. 87 и ст. 92. Сам
Лобачевский не рпссматртгоал вопросов
построения фигур п своей
геометрии с помощью циркуля и
линейки L).
[га] Двуугольники, в которые
вырождаются в этом случае
сферические треугольники, будут
конгруэнтны. Однако сами
треугольники нѳлыэя считать, вообще
говоря, конгруэнтными, так как при
иовмегденим сторон ВС и В'0\ когда двуугольники совместятся, оер-
шппы А и Л' треугольников не будут совпадать, и дуги АВ, АС не
будут соответственно вонгрувытнщ дугам A'TS' и А'С.
'( О построй шип в пространстве Лобпчеоскоі-о си. следующие [щйоты:
Д, Д. Пор д у хаЙ-Б олтов ской—О геометрических построениях ь
пространство ЛоіІиче некого (сСорщда «Ги in стог jam N. I. Lobatsclleyskn», Vol. ІІ),
Каа&нь, 1927, стр. 67—82,
Ы. М. Несторович — Геометрически» построении а пространстве ЛоОачѳи-
ского. Учнітгла Записки МТ,-и. ип-та мат. и физ. при Ростовском уп-тз, т, і, 19І0,
стр. 41—65.
Н. М. Нссторовж'і — О фигурах-двойниках и пространстве Лобачевского
л приложении их т; решению геометрических задач из построение. Там же, том 3,
ІВЗЙ, стр. 93—12а.
Ы, В, Гиршоиич—О гоомотричесинх построениях па плоскости Ловьчвп-
сяого. Доклады Академии Шуя СССР, т. (J0, М 5, 19і8, стр. 751—759.
504
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Треугольники будут конгруэнтны в смысле Лобачевского, если
окажется В = 0, Л =іс и, кроме -того, или AB = J'J3', иди АВ**?. А'О'.
[7(|] До Леэяандра это предложение было доказано Саккери (1733 г.)
и Ламбертом (178В г.)1). Ом. об ѳтом том I наст, издания, стр. 187—172.
[71] До Лежандра это предложение било доказано Саккери (ем,
предыдущее примечание).
Лобачевский доказывал его, очевидно, независимо от Оаккери,
прячем первое его доказательство относится еще к 1817 г., то-еси>
было выполнено раньше доказательства Лажандра. Приводим нпже
текст етого доказательства, извлеченный пз рукописной тетради
студенческих записей лекций Лобачевского, хранящейся в
геометрическом кабинете Казанского Университета («Библиотека Лобачевскох'о»,
№ 1067). Эта тетрадь из серовато-голубой бумаги того времени имеет
заголовок: «Лекции Г. П. Лойаіеиског-о -) от 3.81В—1817. Михаилы
Телшикопа». Она содержит два раздела: о логарифмах (§ 1—§ 9) іг
Геометрия (§ 1 — g 21). «Геометрия» написала на более темной
бумаге. Обе тетради переплетены имеете с другими записками и
конспектами, ■ которые написаны другими почерками. На списков
студентов известие, что в 5816—1817 уч. г. действительно на отделении
физико-математических паук обуіался студент Михаил Григорьевич
Томвнвов (с 10/ѴІІ 1315 г. по 4/ѴП 1819 г.), и по отчетам Лобачевского,
сохранившимся в архиве, мы аваем, что в марте 1817 г. Лобачевский
проходил со студентами теорию параллелей3).
Приводим с сохранением орфографии отрывок, навлеченный из.
части, имеющей заголовок «Геометрия».
«§ 14. Жатьлы сумма /_£_-ов е каком тк'удь Д -е равна двум прямым,
то и во всяком другом Д будет тоже.
Доказательство. I) Пусть а /\АВ0 /_А-\- /^В + ЦУ = ъ.
Продолжаем ВО ж воображаем на ее продолжении дІ)О.Е\ FBG и т. д.,
одинаковые с ААВС и непрерывно друг за другом следуемые, тогда
линей AS, DF и т. д., соединяющие вершины сих ДД, будут
составлять одну прямую тре-у. ЛВС! |со| DBF и т. д. одинаковых с /\АВО след.
l_ADC-\-£_GDB~^/_RDF = IJ)FE-\~ £_EFG-\- l_GFH равно Л. + В +
-]-С = тг. Перпендикулы, опущенные пз вертаа A, D, F и пр. на
') G. Saccheri — Euclides ab omni шжѵо vindicating 1733, стр. XIV+ 101.
Немецкий перевод покошен в книге S t » с к о 1, P. und 13 n g в 1, F, I. Die Theade-
йог Parailellinion, Leipzig, 1805, стр. Ѳ7, предложение 15, 14.
J. Lambert, Theoi'ie Дог ParaUallinien (шлиоано в 1766 г.), Leipaigor Mug. fur
i-eiue umddug.Matli, 1786, 2ч., стр. 157—134, 3 ч., стр. 335—358, Извлечения ив работ
ЛшСврта си, там же, стр. 185, § 51.
3) То-есть господина профессоре. ЛоОачовсімго.
') Центр. Гос. Архив Тат. АСОР. Архив М 812 ев, М 26 Ф. М 077. Рапорт
Н. Лобачевского за март 1617 г.
ПРИМЕЧАНИЯ
505
линею BG будут очевидно равны, наконец, они будут вместе парпен-
дикулами к линей АН, чтоб доказать сие, то надобно показать, что-
А V F
1_АВ1Я'=. /JTBF; для сего полагаем QNDFP на QNDAM, они друг-
друга закроют, имея МГ=ЖР, т. е.
£NDF=*IWDA.
П) На боку /..= ~ перпендикуд
должен встретить другой бок, но
достаточном продолжении. Естьли £jUAB =
= j, то как бы велика линея АЕ ни
была, пѳрлѳядикул РЕ, будучи
продолжен, должен пѳресачь другой бок АС.
Доказательство. Иэ тр-ка в
котором предполагается сумма углов
равною двум прямым, беру я основа-ние
идя вгаооту и кладу ѳго столько раа
по линее НА, чтоб НА было более АЕ,
потом восставляю перпепдикулы BHF и AM и делаю BA=^AD, потом
в точке D вооотавляго парпѳндинул DO, который по продолжении
своем должен пересечь _|_.МГ п какой-нибудь точке С1); естьли мы
!) В расеуасдошшх осталась необоснованной необходимость пересечения DCnBN.
Это объясняется, поипдимому, нагсйНіОішеы рассуждения в студенческой записи-
jy Дсиетгаггвльно, арямоугольнше If ВАМ (стороны которого
равны соответственно высота и осяоввншо данного
треугольника), существование которого доказывалось в
пункте I рассматриваемой теоремы:, остается неие ноль зова анъш
гсав в пункте II, так и ниже, то-есгь пункт I оказывается как-
бы излишним. Исходя из этогоі истинный *од расоузвде-
iwrlt Лобачевского мы восстанавливаем в ояедуіощѳм веде:
Откладывая прямоугольник ffBADM (обовинчѳния
предшествующего чертежа) основанием или высотой
столько раа но линял ВА, чтобы ВА было бояев АЛ,
получаем полоску из вгих прямоугольников, образующую один
прямоугольник со стороной ВА.. Откладывая этот прямо-
500
НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
теперь соединяем линееіо точку О и А, то выдут два треугольника GAD
и БОА, одинаковые между собою *), след. / GAB = £J3AD, то-естъ
£J3AJi=* ~r . И так точка О должна находиться на боку данного угла,
а перпѳндикул РЕ будучи заключаем внутри /^ВОА, должен иа ного
игадти вон, и в сем случае не может пересечь ни какой другой лтшѳи,
кроме АС2).
ІП) Во шсяком прямоугольно и или тупоугольном тр-ке сумма углов
равна т;.
Доказательство. Пусть в /\АВО, {_А или > или =— и
І-Л "+" Z.-S + LP ~ *— *і где а какое-нибудь дол отите л ьно а коли-
чѳсгво. Делаю АО = ОС, ВО = 01), то в ДШ?С сумма £_£_ будет также
= я —■ a. L.BGD есть угол тупой, след. \_І)~Е упадет в отверотне
оотраго угла ВСЕ; а как ДДС.Ё может иметь сумму £_£_-аъ лиао =.-т:
или <[ъІ следовательно сумма ^^-ов в Д ВЙЕ = тс — а или <тс — а.
Теперь остьлн £_BDE=-^ или более, то прибавляя ДДЕІ"' ]оо] о Д ДЕД;
ѳегьли же нет, то делаю /_QDE= ■'. , присоединяю после к ДСШЕ
одинаковый с ним &DEF, получим в обоих случаях Д-в, которого
сумма углов = или < ж—2а и у которого ^Л есть или прямой, или
тупой, Поступая с сиы д также как и с ДЛЙ6', міл найдем новый Д,
которого сумма £.Z.'aB =s шш < ^ —4а н °Дан Z. буле^ прямой или
тупой. Продолжая таким образом мы можем дойти до такого Д, в
котором один {_ будет прямой или тупой, а сумма всех ,/,^,-ов будот =
или < тг—па и где п так велик, что ж— на<-^-, что нѳ вовмояшо а).
IV) Во всякой остроугольном Д суима £_L-"0B =т-
угольник другой его стороной по линші JLlf столько раз, чтобы полутать >l.lf
большое чем _/Ш = БД, нолушм прямоугольник AMNB. Пориеидтсудвр DO
входит внутрь атого прямоугольника, а потому допжен выйти из него (от. 25),
то-ѳсть должен пересечь сторону ЛЛТ в точке С, так ван с другими двумя
сторонами оп пересечься не может (два- перпендикуляра, к одной, прямой пе
пер о с акают ея).
і) По гипотенузе и катету.
в) Так как два порстещижуляра, к одпоіі примой: не пересекаются.
а) Вдееь, довиднмому, искажение. Заключение нужно изменить так; сумма
веек /_£-оъ будет = іыи <«— на и где и так велик, что и — иа. <|0, что
невозможно (сумма неотрицательных величин не может быть отрицательной).
ПРИМЕЧАНИЯ
507
Доказательство. В /±АВО опускаем \_Л1>, которым Д
разделится на два прямоугольных Д-ка ЛПІ1 п ADO. В каждом из сия
прямоугольных Д сумма углов
составляет 7г, т. е. д
LA + LB + LO+
-Іг £BDA+£ADO= 2г.,
отсюда
И так пли надобно полагать, что
сумма /,,/,-ов во всяком Д-ке =к,
или что она во всяком Д-ісс < it.
(Предполагая сумму ^_£_-ов во
всяком !) ДО).» в1
[7І] Последнее замечание можно &
истолковать так:
Если площадь сферического треугольника приблшкаѳтся к нулю,
то сумма углов его приближается к к (ст. (38), т. а. к сумме углов
прямолинейного треугольника (при рассматриваемом допущении). Если
рассмотреть сферический многоугольник, составленный на конечного
числа треугольников, площади которых стремятся а нулю, то и его
площадь стремится в нулю. Но вместе с тем сумма его углов
приближается к сумме углов прямолинейного многоугольника с тем та
числом сторож. Следовательно, сумму углов прямолинейного
многоугольника, при допущении, что сумма углов треугольника равна я,
мы найдем ыв формулы для площади сферического многоугольника
(ст. 09), положив, что площадь равна нулю, что дает
Sz=()i — 2) ж.
[73j К аналогичным выводам приходила и Саккери и Лшберт, при
допущении гипотезы острого угла, однако четкого доказательства этоіі
теоремы ими не было дано. (См. работы, цитируемые на стр. 504.)
[и] Прямая OF называется па&аллеятой прямой DA2) в точке О
и в полуплоскости, ограниченной прямой DO, содѳрлсащей точки A, F,
если луч OF, следуя аа лучом OD в лучке (0), является первым
непере с екающим прямую DA. Доказательство существования втого
луча основано на принципа непрерывности Двдевинда. Действительно:
если вое лучи пучка (С), расположенные в полуплоо кости ADF, разбить
'на класс лучей, пересекающих UA, и класс лучей, ее не пересекающих,
то первый класс содержит лучи (например OD) и второй класс тоже
!) Вместо sbo всяком» по смыслу фразы очевлдво, должно быть «я некотором».
В) Ом. черт. 89 в текста Яобачепского. Прямую QD можно нѳ предполагать
перпендикулярной к DA.
504
НОВЫ1І НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Е К р
содержит лучи (например CJE); всякий луч первого класса
предшествует воякому лучу второго класса, так как луч, предшествующий
пераеокаготему лучу CITt входит внутрь треугольника, образованного-
прямыми DA, CD п СП п, следовательно, должен выйти лз него,
пересевая сторону DA. Итак, указанное разбиение но, классы
удовлетворяет веем требованиям пршщапа Дадѳкпида. Вследствие ѳтого,
существует такой луч CF, который разделяет установленные классы.
Этот луч не пожег быть последний, так как за всякая пересекающим
можно построгать другие переоекающие. Итак, луч- OF есть первый
нспер осекающий, а прямая CF
параллельна DA. Подобными же рассуждениями
убеждаемся, что и во второй полуплоскости
CDG' существует луч 00', следующий в этой
полуплоскости за CD и являющийся перв.ым
лепересѳвающим продолжение прямой DA
в эту полуплоскость,
Простым наложением покажем, что лучи
~В C'FtsOG' симметричны относительно OBJ_I>A
и образуют с ним углы FCD = G'OD = <о, то-
есть угол параллельности, который не может
быть тупым, так как CF ие может следовать
эа прямой СВ в своей полуплоскости.
При тиком определении параллелизма,
когда параллельные определяются отдельно
для каждой из двух полуплоскостей,
разделенных прямой CD, становится очевидным, что следует рассмотроть две
возможности: 1) прямые CF и CG' различны, 2) прямые CFxlCG-'
совпадают. Лобачевский замечает, что первое прел.полоэкение следовало бы
считать более общим, чем второе. При первом из них, которое и
называют ансполШ Лобачелскогй, угол дар аллель ноотя будет острым, а воякиа
прямые, проходящие между параллелями впа угла параллельности,
не будут пересекать прямой DA, не будучи, вместо с тем, ѳй
параллельными. Эти прямые принято шяывв/хь расходящимися*) о прямой DA.
В предположении острого угла параллельности следует также различать
сторону или направление жраллельности, то-есть тот порядок, в котором
следуют друг ва другом на прямой точки, так чтобы те из них, которые
расположены в полуплоскости параллельности, следовали о а теми,
которые1 расположены в дополнительной полуплоскости.
jTt] Положение, сформулированное Лобачевским, сразу вытекает
пе той георемы абсолютной геометрии (ст. 53), согласно которой внешний
угол треугольника больше всякого заутреннего не смежного с ним.
і) Иногда — еверхтраллелаными.
ПРИМЕЧАНИЯ
500
Олаако существенен результат, вытѳкагагцпп на доказательства, прнве-
депгюго в тексте: если дне прямые шре.е.амиот тршыо, о<іри;іця с ней jw*Hwe
еоатпгчпеншнние уг.іы, то :>іни прямые имеют общий ііерпѵлдіаіуляр и,
следовательно, квлиюшея расход іицпм пси в случае острого угли ішрал.іелилма,
["'} Эта важная теорема принадлежит абсолютной геометрии.
Приведем некоторые ее следствии, которые позволяют упростить
доказательств ряда теорем геометрии Лобачевского н способствуют их
лучшему пониманию.
1. Чары всякую точку В вне примой о можно провесит такую прямую,
которая пересекаем а по'О люі'ым данным острым углом. Проведем прямую ВА
и пусть ока сначала, пересекает а в точке А под прямым углом. Будем
затем перемещать точку А. Согласно ст. 08, угол ВАС может быть
сделан с ноль угодпо малым и вследствие непрерывности своего
изменения примет любое значение между 0 н 4 .
2. (Л ѳ м м а). В четырехугольнике с іуіл-ны.ші углами при тіжисм
основании оольшіі боковой сторопе прошможнаш і'ольшиН угол ш доух
углов при верхнем основании; если же ііокош?. сшо- л
роли равны, то и углы при иерхием осноткшх
рптъі между соіюй1].
Восставляя перпендикуляр в середине
нижнего основания и применяя дважды аксяому
Паша, мы убеждаемся, что он пересечет
верхнее осыов&нпе.
Перегнув чертеж по прямой FE и
применяя теорему о внешнем угле треугольника * -*1
(і,т. 5S), докажем первую часть теоремы- Вторая часть вытекает ез
того, что при том ;ке совмещении углы при С іг прп D совпадают.
Обратное утверждение о том, что в том же четырехугольнике
большему углу при верхнем основании противолежит большая
боковая сторона, а равным сторонам противолежат равные углы, легко
доказывается от противного.
3. Если точка М удаляется по стороне а угла (а, Ь) от его еершини О,
то перпендикуляр ІІ/ІѴ, опущенный на д])угую сторощ, возрастает монотонно
и неогратшвнно, іна-всть становится и остается больше ліооого наперед
заданного отрезки PQ.
Монотонность возрастания следует иэ того, что угол- J^Af^O будет
острым как внутренний: угол прямоугольного треугольника NiOMtl
а угол КМА будет тупым как внешний угол треугольника NOM.
Отсюда, вследствие предыдущей леммы, ^ Мі > ЮТ. _
і) В дальнейшем мы будем навивать четырехугольник о прямыми углами при
основании и с равными бовоиыии сторонами: четырехугольником Синксри (ом. том I
наст, иэд, стр. 167—130).
ыо
ПОПЬШ НАЧАЛА ГЕ01ІЕТРІШ
Для (оназіітельет.ііі второіі чаетп теоремы заметим, что вследствие
теоремм 1 міі всегда може-ч построить такой прямоугольный
треугольник, у которого катет будет
равен отрезку ['(), а угол, протігію-
лежащпГГ этому катету, будет
равен углу MO.Y. Совместив угли
іі ппяв точку U так, чтобы иметь
І)М>0Р, мы будем иметь также
Л/.Ѵ >/'<?, что в требовалось дока-
зать.
4. ЛѴ.ш нулыкія ИМ пс
параллельна прямой АС в ііо.іі/плискосшн,
ограниченном iijiii.uoii All it i-iMh'jiHritwe.il точііі/ M, ч точка .If неограниченно
удчлпшсч 'Ш ыочкч />'. іііо №. раігпн)ншіс ЛГУ ow нрп.чоіі АС рпшет но-
сгр(іПііч€)іно.
По услоішіі) теоремы
прямая ИМ либо
пересекает АС в полуплоскости
ЛВМ, лпбо расходитсн с
ней, то-ссть следует за
параллелью іэ атоя же
полуплоскости. В шфвом
случае требуемое теоремой ие-
огранпчешюе позрдетаіше необходимо поступает после того, как точкам
пройдет точку пересеіеЕИя с примой .-1С Предположим теперь, что
ВМ следует аа параллелью 'і, п опустим на b перпендикуляр MP. Так
как он будет меньше MQ, паклошіогс к прямой (>, a MQ составляет
часть MS', то Л/.Ѵ > ЛЛР. ТІо MP растет иоограинчено, как это следует
пз предыдущей теоремы, аііачит и
М MN растет неограниченно пргт уда-
леішіі точки М от В.
5. ,Т[,л«. того, что'ш. прямая ЛЛ/
пили, пііраллс.ѵ.иа щііиюй АО я иолц-
Н плоскошн, огріші'иішюіі примой А13
а содиржащсй ѵіочкц ilt необходимо и
Очеша точно, чпю'Ты периенднкі/лпр MN,
опцік,<-юшЯ ш пріиіцю АС, оставался
ограниченным я лигой ііолцплоскости.
Необходимость следует на того,
что МУ^ІШ, если Д£>—
перпендикуляр, опуіиенвы.11 па АС. Действительно, предположив,
противоположное л пртгалв во вниматго, что уі-ол параллельности щ^-^-, мы
будем иметь, согласно лемме 2, что /_ NMH < ш, то-ееть будет острым.
U
Я
ПРИМЕЧАНИЯ
511.
Но в таком случай перпендикуляр BE, опущенный на прямую №tf,
не может совпасть с ВМ или пройти вышѳ иеѳ, так как в последней
случае внешний угол прямоугольного треугольника ВЕН будет острим.
Таким образом, ІІЕ предшествует ВМ в полуплоскости BGM и вместе
с тем не пересекает АС, имея о ней общий перпендикуляр. Нов таком
случае ВМ не является первой прямой, непере с екающей AG и
рассматриваемой полуплоскости, что противоречит условию теоремы,
согласно которой ВЛІ\\АС.
Достаточность условия непосредственно вытекает аэ предыдущей
теоремы.
Основываясь на доказанных та орем ад абсолютной геометрии, мы
можем дать новое определение параллелизма, пригодное в равной
степени как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.
Назовем взаимно параллельными две прямые, если между их почтмк
можно установить взаимно однозначное и упорядоченное соответствие, тая
чтобы расстояние между всякими двумя- соответствующими точками,
следующими за, некоторыми точками А и В, вило ограничено.
Докажем теперь следующую теорему.
А. Для того, чтобы дне прямые были взаимно параллельными,
необходимо и достаточно, чтобы каэшдам из них была параллельна другой в
каждой из своих точек.
Если прямая b параллельвга а в свовй течке В, то опуская на о-
перпендикуляр ВА, считая что точки прямой b соответствуют своим
ортогональным проекциям на прямую а п принимая во внимание
предыдущую теорему, мы убеждаемся в том, что а и Ь взаимно
параллельны.
Обратно, воли в и Ь взаимно параллельны, то каково бы ни было-
упорядоченное соответствие между их точками М и W, M'N~^> MP,
где MP перпендикуляр, опущенный на а, который становится л оатя.етея
ограниченным вследствие ограниченности MN в точках, следующих
за А и В. Но в таком случае пряные а я 5 не могут ни пересекаться,
ни быть расходящимися пи в какой своей точке, что п доказывает
вторую часть утверждения теоремы.
В определении взаимной параллельности обе прямые играют вполне
оимметричпую роль, а вследствие предыдущей теоремы параллелизм
в омыолѳ Лобачевского на зависит от точки, что -делает очевидным
утверждение ст. S5 и S6.
["] Доказательство теоремы легче всего вытекает из ревультатов,
приведенных в предыдущем примечании. Действительно: пусть
CD [] АВ и АВ ]| ЕЕ. В таком случае перпендикуляры АС и АЕ,
опущенные ив А на CD и BE, остаются ограниченными при движении
в сторону параллелизма, но в таком случае GE^AC-j-AE тоже
ограниченно, откуда следует, что прямые CD и EF взаимно параллельны.
512 НОВЫЕ ІГЛ'ІАЛЛ ГЕОИЕТГИГТ
Это рассуждение сохраняет свото силу и в той случае, когда рас-
сміітриваямнѳ прямые не лежат п одноіі плоскости, но для этого
нуікно предварительно иокиаать, что ограниченность расстояний между
точками двух прямых характеризует пх параллельность, если даже
заранее яепапеетно, лежат ли они в одной плоскости. Чтобы убедиться
зі этом, покажем, что если Л С и НТ) — две скрашивающиеся прямые,
то перпендикуляр DC, опущенный пи BD, растет неограниченно-при
неограниченном удалеыпи точки D от своего первоначального
положения.
Что on доказать это, построим плоскость Л С П. При
неограниченном удалении точки D от /1 длила перпендикуляра, опущенного из I)
на АОІ1, 63'дет возрастать неограниченно; тем более будет
неограниченно возрастать длина перпендикуляра DC, который будет
наклонным к плоскости AVJJ.
Приведенное нами доказательство теоремы от. U9 не опирается на
теорему ст. 97, которая теперь может быть легко ішведепа из ст. S)9.
Действительно, пусть АВ параллельна CD, а плоскости, проходящие
через пнх, пересекаются по EF. Проведем через точку Е прямую ЕЕ',
которая параллельна прямой CD в том же направлении, что п АВ.
Согласно or. B'J, EF' параллельна АВ и, следовательно, лежит
одновременно в плоско стих ОСЕ и ПАЕ, то-ѳетт. совпадает о ЕР.
[,а] Если обозначить внутренние углы прп вершинах сферических
треугольников теми же буквами, киле и эти вершины, и поместить
против каждого такого угла полуплоскости, содержащие его стороны,
то мы получим следующую таблицу:
/■=(Г; ЛСС, AGH'
А; ЛСС, АА'В'
/"; ЛСС, СП'С
с; ЛЛ'ІІ', СП'Л
с'; AGli', СВ'С
Ь; ПИ'Л, ИВ'С
а; ЛСІІ', АВ'П
г; АСВ', СИ'!!.
На рассмотрения этой таблицы следует;
(і = х — «; с = к — а'.
Согласно ст. 68, мера телесного угла, соответствующего площади
■сферического треугольника, равна пол у разности между суммой его
ПРИМЕЧАНИЯ
о 13
ішутренгпіх углов я т., вследствие чего
2(і = с' -\- f -т- о — іг,
Г'кладипая атп три равепстпа п пришімая so внимание
вышеприведенные соотношения, получим
Па теорему ст. 100 Лобачевский опирается позже в ст. 121, доказывая,
что геометрия іш. предельной поверхности будет евклидовой.
Возможность другого доказательства указана п примечании [!'fl] (стр. 528].
I7'1] Обратное утверждение непосредственно вытекает из того, что
и случае прямого угла параллелизма прямая ЛВ параллельна
прямой CD в обоих направлениях сразу п притом л каждой своей точке
(ст. ІІ5). Отсюда вытекает, что угол параллельности будет прямо» п
в любоіі: точке прямой АВ и, значит, существует прлмоуголышн. Но
доказательство того, что сумма углов всякого трѳуголышка равгта г.,
приводимое автором в ст. 91, основано как рае на сущестповаішіі
прямоугольника.
Таи как предположение о том, что сумма углов треугольника
равна я, эввивалопшо аксиоме ДЗоклііда, то положение о том, чту эта.
сумма меньше «, оввивалентно аксиоме Лобачевского, а этот факт
позволяет ослабить требования последней. Действительно: если мы
предположим, что угол параллельности острый а одной точке .1 по
отпошашію к одной прямой CD, то сумма углов прямоугольного
треугольника ACD меньше іс (ст. 101). Но в таком случае эта сумма
меньше « во всяком треугольнике (ст. 01), что было бы невозможно
для всякого прямоугольного треугольника Л1ВІС1, если угол
параллельности пра точке Л1 но отношению к прямой fi^Gy осгрый. Згсачит,
угол параллельности будет
острым п любой точке по отно- 5-^^
шѳнига к любой прямой. Б ^^~-^
Отметим еще одно важное ~ -і ' "
следствие предыдущих теорем.
Всякие дле расходящиеся прямые
имеют оііщий перпендикуляр и
притом только один.
Предположим, что прямые А Л, а'
Л А' и ВВ' — расходящиеся, а НА.
и В'А' перпендикулярны к ЛА'. Если угол АН/У прямой, то первая
часть утверждения уже доказана. Б противном случае допустим, что
/_АВВ'—острый. Мы ужа видели (теорема 3 примечания [7І1]), что
А'В' растет неограниченно при удалении В' от В и, значит, В' молено
Зм. 5030. Н. И. ЛовічспскіА г. и. 33
514
НОВЫЕ НАЧАЛА- ГЕОМЕТРИИ
выбрать так, что А'В'>АВ. Но и таком случае £_А''В 'В < І^АПП'
клемма 2 примечания (;"]1 ж, следовательно, £_СВ'Л' тупой.
Таким образом, угод А'В'С переходит при удалении В' от В от
значений, ыенытшх -£ , к значениям, большом -^ , и, вследствие
непрерывности, должен принять в некоторой промежуточной точке значение
прямого угла.
Отсутствие дпух перпендикуляров следует на веноаможпостгг
прямоугольника.
[^'Приведенное в тексте доказательство того, что асякий острый
IIгол может сыть углом параллельности, основывается па теореме
о сумма углов треугольника к не, принципе непрерывности, который
применив тон для доказательства существования предельного
перпендикуляра..
Гильберт 1) приводит другое доказательство того же положения,
не опирающееся на соображения непрерывности и дающее эффекта-
ный способ построения предельного
перпендикуляра к стороне данного
угла.
Приведем еще одно
доказательство, которое опирается на
непрерывность, по, как лам кажется,
быстрее всего приводит к цели.
Пусть прямая А А' || ЕЕ', а ЕЕ
_1_/Ш. Если точка Л приближается
к точке Е, то угол параллельности ш = /^МАА' будет стремиться
в y > принимая все промежуточные значения. Наоборот, при
удалении точки Л от точки В и) будет
монотонно убыоать, стремясь к
некоторому пределу «„^О.
Если угол <в0:£0, то он не
может бить углом пар аллель ноетіі, ибо
А' А',
г:
А
Л
Е
еслп П (ри)
то значению Ji>j%
соответствует угол и) <[ ш1(, который
снова является углом
параллельное.™. Итак, допустим, что и>„ ^> 0 есть
наибольший угол, не являющийся
углом параллельности. Построим угол
BAC=w*. Возьмем на его стороне АВ точку Ау и проведем
прямую А^Аі || АО. Построив /_-ЛА1СІ = /^ВАС, мы видим, что А1С1 и
АС — расходящиеся (примечание рй]). Нроведѳы А А' ^[АіОі; луч АЛА\.
!) Д. Г и л г. б с р ч — Основания геомйтригг, М.—Л., 19І8 (Добавление Ш,
стр. 229—247).
ПРИМЕЧАНИЯ
516
пойдет внутри угла ААхСу и значат ,ЛВЛ,л1>«>0, то-есть является
углом параллельности. Пусть ЯМ' перпендикулярна к ЛЯ и пар ал-
Лйлъиа Аѵ-І\; в таком случае, в силу транзитивности параллелизма.
(ст. 97), АС |] BE' и, следовательно, тл является углом параллельности,
что противоречит сделанному предположению. Итак, угол:
параллельности w .может принимать все значения межлу 0 и ™-,
Функция !/ = П(ж) устанавливает соответствие между острыми:
углами и отревками. Это соответствие будет взаимно однозначным,
если не различать конгруэнтные отрезки и конгруэнтные углы. Вводя
обычным способом принятые в абсолютной геометрии меру отрезков
и меру углов, мы можем в геометрии Лобачевского отнести всякому
отрезку число, равное мера соответствующего атому отрезку угла
параллельности, а всякому острому углу можно отдѳоти меру того
отрезка, для которого этот угол будет углом двраллольнооги. В этом
смысле можно говорить об угловой мера
отрезков и о линейкой мере углов. Заметим, д./
однако, что обе меры не будут
аддитивны (см. примечание ["""]}. х
[s>] Рассмотрим подробнее то опре-
делотаіѳ, которое Лобачевский даьт а
функции у = II (ж). Пусть А В и А С— две
ориентир о ванные, взаимно
перпендикулярные прямые. Положим х = AM или
х = — AM, соответственно тому, будет q
ли" точки, М предшествовать А, или
следовать аа А на прямой АО. Проведем теперь луч М¥, параллельный:
прямой А В в направлении, соответствующем ее ориентации, и
измерим меньтпіі угол между положительным направлением прямой АО
к лучом MU. Зависимость атого угла у от х и определяется фушгаиой
Лобачевского, заданной для boss
положительных и отрицательных
значений аргумента.
[еЕІ Теорема ст. 10В
непосредственно следует па предложении 4
примечания f111] на стр. 510.
Утверждение последнего
абзаца не является обратным
утверждению теоремы ' п нуя;дается
в особом доказательства.
Мы хотим покавать, что через точку Б можно провести такую
прямую, которая будет иметь о CD сколь угодно малый общий
перпендикуляр АО. Для этого возьмем отрезок АЛСХ ss AG и построим
№і)
33*
Й1ІІ
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
і; конца вги ш-раопдпкуляри .12/?, и CJ)r Если JJJj1 ±_ <.\Dl: то ISlDi
растет неограниченно при удаления точки !>t от (\ тг, к силу
непрерывности, наступит момент, когда Я,/'; станет равным JJD. Совместив
i)t с Л и (-\ с С, лы л докажем теорему.
[ss] Доказательств того, что перпендикуляры к серединам сторон
треугольника еиклпдовоп плоскости пересекаются, приводимое
Лобачевским, нуждается в уточнении. Чтобы оно было вполне строгим,
нужно прѳдларите.'іьпо поісазать, что DL пе может пересечь отрезка НЕ,
а ЕМ не пересекает отрезка. Ш) (чертеж 108 р. тексте Лобачевского).
Чтобы исключить яту возможность, докажем следующую лемму абсо-
лютлоіі геометрии.
Лемма. Перпендикуляры., восставленные к дяум сторонам треугольника
а ім: серединах, необходимо должны пересекать третт сторону, если она
не мвкыпв каждоіі і'.і первых ііау.г.
Пусть АС^-A/l; АС'^ІІС. Предположим, что перпендикуляр DP
к ЛИ, восставлены г* ft пз середіши АН, иересекімуг }>(: в точке F.
В таком случае AF-\-FC > АС.
3 По точки Л, it равноудалены от
^^-"-"""N. люиоіі точки прямой })Ѵ и, сле-
Ъ<**^~'^ \ дсватвльпо, АР=ПР, в. HF-\-
^ N. A- FO'^- АС, что противоречит
,l^fer^— ^(7 сделанному в начало предиоло-
ік еттиы.
После доказательсіва эгой леміш мы можем предполагать, что АС
иа чертежи 108 и тексте Лобачоиского является такой стоііопой
треугольника AVIS, которая не мепьшо кадідой из дпух других, и
повторить доказательство Лобачевского уже боз всяких изменений.
Доказанное положение равносильно утверждению: из постулата
Евіілида следуем, что вокруг всяшиі трех точек плоскости, но
расположенных <на оЭной прямой, .чомно описать окружность. Покажем, что опо
равносильно постулату Егсклнда.
Действительно, осліг чѳреа любые точки Л, IS, С можно описать
окрузвность (чертеж а), то перпендикуляры, косстаиленпые в сере-
ПРИМЕЧАНИЯ
517
дпнах РиІ? отрезков ЛІі и ВС, долашга пересечься. Отсюда следует,
что перпендикуляры к любым отрезкам ГВ тс QD, восставленные в их
точках Р п О, всегда пересекаются, если эти отрезки не лежат на
одной прямой.
Рассмотрим теперь прямую и п точку С вне чтой прямой (черт. <">)
ті провг-дем прямую О.), образующую любой острый угол а с
перпендикуляром СА, опущенным на «. Возьмем теперь любую точку В на
.-1С и опустим пз пев перпендикуляр BQ на CD. Точка Q, очевидно,
не может лежать на прямой АО и, следовательно, CD пересечет а, как
бы нал ни был угол я.
[MJJ Разберем все возможности, которые могут иметь место для
перпендикуляров, восставленных в сторопам треугольника в их серединах,
Если два из них пор асе каются,
то третий проходит через точку их
пересечения (ст. 110). Допустим
теперь, что дна на них, например
F(f п ЯВГ, расходятся. В таком
случае онгі пмагот общий
перпендикуляр G-E (примечание [7!|]). Опустим
на GE перпендикуляры АЛѴ ВВХ
а СС\ ив вершин треугольника ABG.
Совмещая точки 6', F, С четырехугольника G'FCGl о точкаші G, F, Ь,
мы убедимся, что точка С\ совпадает с точкой Вх вследоище
невозможности существования двух перпендикуляров, опущенных иа В
на AlGll откуда следует, что ClC=B1IJ. Аналогично докажем, что
С^ — ^Л.
Пусть теперь DE—яерѳидпкуляр к АВ в ѳѳ середине. Налагпя
точки Е, D, В четырехугольника EDBBl sa точки Е, D, А и принимая
во вяпманпе, что л.-І, = ВВи докажем, что точка .Bj совместится с Аи
откуда, следует, что ED\_EG.
Итак, если на трех перпендикуляров к трем сторонам
треугольника, восставленных в ах серединах, два- перпендикулярны к одной
прямой, то и третий перпендикулярен и этой асе прямой.
Предположим теперь, что два не трех рассматриваемых
перпендикуляров параллельны между собой. В таком случае, согласно
предыдущему, никакие два из них не могут иметь ни общей точки, ни
общего перпендикуляра и, следовательно, всякие Два из них
параллельны между собой. Остается докавать, что они параллельны в одном
направления. Для этого примем во внимание, что все они пересекают
наибольшую сторону треугольника (см, предыдущее примечание).
Пусть нта сторона — АВ; в таком случае два перпендикуляра,
расположенные по разным сторонам третьего, параллельны в одной яз
полуплоскостей, ограниченных прямой АВ. Отсюда следует, что слу-
518
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТПШ
чай, разобранный Лобачевскям во втором абааце его доказательства
(стр. 280 и черт, НО), является совершенно общим, и все остальное
рассмотрение становится ызлиштшм.
Б заключение заметим, что теорему ст. 111 очень удобно сформу-
шіроватА, пользуясь понятием пучка прямых.
Будем говорить, что три прямые плоскости принадлежат одгсому
пучку, если они или имеют общую точку, или имеют общий
перпендикуляр, или параллельны между собою в одном и том же
направлении. Тогда теорема приобретает следующую формулировку:
Перпендикуляры, иоиетаалвнііыл и сторонам шреуго.-инаж в их серединах,
ігри-тд.іежам одному ѵ.'рінц.
[h5] Определенно предельной линии, приводимое Лобачевским
в еНовых началах*, но существу совпадает со следующим
определенном Гаусса, основанным на понятый соответственных точек1). Две
точки А и В, принадлежащие двум прямым J Л' а ВВ', параллельным
в полуплоскости АЗА'В', наоыпагатся соотаететваішыма, если £_А'А.В =
= 1_В'ВА.
Для лучшего шшиштаня изложения Лобачевского приведем
некоторые теоремы о соответственных точках.
1. Длк всякой, -точки. А па прямой а сцщрлг&пуш одна и томно одна,
йоотлетептнімп, точка В па прямой I), noutopan параллельна а.
Доказательство. Пусть СИ' параллельна АЛ.' в полуплоскости
АСА'В'. Если .1С периондпкулярна и ВВ', то
/_ОЛ А '</_Л СВ'.
С другоіі оторояьг, О можно переместить в направлении, протнвоыо-
лоишом направлению параллелизма в положение С' таи далеко от еѳ
первоначального положения, что /_АС'В' стапет сколь угодно малым
(теорешь от. S8), то-есть
^<* менее £_GAAr и тем менее
1_ С А А'. Итак, наступит
момент, когда неравен^
ство, приведенное выше,
заменится неравенством
£J?A.L'>ijL&B'.
В силу нѳпрерывнооти наступит момент, когда точка С совпадет
о точкой В, .цля которой будет иметь место равенство
/_ВАА'=•/^АВВ'
и которая, следовательно, будет соответственна точке А..
г) Gauss — "Wertce. Том ИЛ, стр. 207—Й, Leipzig, 1000. Определенно Гаусса
пс (5ыяо опубликована при іиивни Лобачевского.
ПРИМЕЧАНИЯ 519
Единственность точки В следует из того, что дли всякой другой
точки Бц расположенной от В в сторону параллельности £J>BVA >
> /_В'ВА, как внешний угол треугольника, /_А'АВХ <і^_'ВАА'^=/_В1ВА,
вследствие чего {_1>В^А > /_А'АВ±.
Легко доказать также следующие теоремы о соответственных
течках.
2. Точки двух прямых, равно у дам imus am их соответственных точен
А, В и лежащие по одну сторону от іѵрялюб. АВ, соответственны.
3, Соответственные точим, двух параллелшыя прямик неограниченно
ейлижаются при деиженші в сторону параллельности.
Впоследствии мы воспользуемся этими теоремамж.
Определение Лобачевского равносильно следующему: предельная
линил есть геометрическое меето таких точек плоское™, которые
соответственны точка А прямой а на в сяк oil пряной пучка прямых,
параллельных а в некотором ев направления.
Из приведенной теоремы 1 следует, что предельная літия пересекаем
я;аж<3цю нриліую щ/чт в одной « только в одной точке.
В своем рассуждении ЛЪСачевскнй показывает, что точка А не
играет особой роли в по строен в и предельной линии, гак как
всякая ее хорда ООх наклонена одинаково к прямым пучка CD и
GjDi- При этом доказательстве он опирается на теорему ст. 111,
выводя из иве, что соответствие точен Л с О го Л с Сі па прямых
пучка АВ, CD, С1ВІ влечет за собой, соответствие точек С w С\ па
прямых CD и СХВѴ
[8S] Свойство предельных линий, укапанное Лобачевским з
последнем абааце, заслуживает более подройного рассмотрения- Прежде
всего, можпо сформулировать следующую теорему.
Всяімя прямая, проходящая через точку предельной, линыи и наклоненная
к ее оса под острым углом, пересекает эту линию еще а одной я только
одной точке в той полуплоскости,
е которой расположен этот угол.
Действительно, пусть О есть
точка предельной линии, CD
ее ось, а СЕ—прямая,
наклоненная под острым углом а
к СВ. Согласно ст. 102,
существует такой отрезок п, для
которого а является углом
параллельности. Отложив отрезок OF=ta па стороне угла GE, мы получам
одну и только одну тоіку, принадлежащую предельной линии, так
как в противном случае одному углу параллелизма соответствовали
бы различные отрезки. К скачанному можно добавить, что ось CD
предельной линии и прямая ОЖ, перпендикулярная CD в точке О,
-D
520
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
инеют с предельной линией только одну общую точку С, вследствие
чего О К естественно наавать касательное к нізѳдѳльной линии.
Пола яге л теперь, что сопмещая Оно. полупрямые 07) и 0ЛІ)и которые
начинаются а двух произвольных точках ('■ и Cj двух предельных линий и
направлены а сторону параллелизма их осей, мы совместим эти линии всеми
их точка-ми.
Действительно, после совмещения всякая секущая OF первой
линии, наклоненная под острым углом к к СѴ, должна потратить вторую
предельную линию в некоторой точке Fj. Но
.-п^-п(а),
о тку, да
вследствие чего F совпадает с F-,.
Ия доказанного и вытекает отмеченное Лобачевским свойство
предельной линиП) позволяющее ѳй свободно перемещаться по самой себе;
это свойство имеет в плоскости Лобачевского также прямая,
окружность и третья кривая — штЬистшта, пѳ рассматриваемая в «Новых
началах».
Это свойство позволяет пзмѳрять дуги предельно!"! линии с
помощью некоторой ее дуги, пы&раннгогі- за единицу масштаба, совершенно
так же, как ото делается для отрезков прямой.
Чтобы покивать вто, следует принять во внимание, что теория
измерения отрезков базируется на авспомах порядка и аксиомах
конгруэнтности, позволяющих отлоідкть всякий, отрезок по любой прямой от
гонкой ее точки, и аксиоме непрерывности (например, аксиоме Деде-
кинда). Легко видеть, что все эти принципы применимы и к
предельное дшпга, если соответствующим образом определить для еа точек
понятие «лежать между».
Определение| это таково: точна. Б предельной линии лежит между
двумя друаими ее точками А и С, если ее оси АА' и 00' леоісат в разных
полуплоскостях, разделяемых прішой ВВ'.
Имея в впду возможность такого построения ыері-і дуги
предельной ппт-іш, Лобачевский, однако, нѳ развивает ее подробно, а
пользуется другой возможностью, показывая в последующих теоремах
ст. 114—110, что длину дуги предельной линии можно определить
как предел длины дуги окружности с неограниченно возрастающим
радиусом.
(K7j Уточняем рассуждение Лобачевского. Разделим хорду АО
(чертой; 117 в тексте) и стягиваемую ею дугу иа т равптах частей и пусть
ААІ=~-АС1 В таком случае ш-AA.^iwАО, ААг>-—>БС. Но мень-
ПГШІЕЧЛШІЯ
U21
ігщм хордам соответствуют меньшие дуги, и мы приходим к
неравенству
которое справедлив» н для еоответстг-.уіощцх центральных уіѵюг*.
Далее мы можем рассуждать следующим образом. Пусть дуга
предельное линии PQ разбита ын /;-j-1 одинаковых частичных дуг, каждая
из кото р ых стяг и пнете я
хордами
= . . . = /',,.<? = а.
Спроектируем псе .эти
точки па окружность,
касающуюся PQ в точка Р,
с помощью осеі'г
предельно» липни. При атом
дуга окружности разобьется
па к-\-1 дугу. Эти дуги иераіші.і менаду собоіг, но при до-
, AU
статочпо большом радиуса круга отли'іііются меньше чел на — от
дуги с хордой ЛС=«. Отсюда следует, что какова бы ни была
требуемая точность измерения, всегда можно выбрать столь большой
радиус круга, касающегося предельной линнтг, чтобы отношение двух
дуг пи предельной линии было равно (с нужноіі точностью)
отношению соответствующих дуг на круге.
[ss] Рассмотрим подробнее лычод Лобачевского. Прежде всего, он
доказывает, что отношение дуг s л а' двух предельных лпппй,
заключенных между их общими осями А В и CD, зависит только от длины х
отрезка, отсекаемого на них обеими линиями, то-есть
Далее можно рассуждать следующим образом. Пусть а" есть длина
дуги треть aft линии, заключенной между теми жѳ осями ЛБ и CJJ,
которые являются также осями втоіі третьей линии. Б таком случае
= №+'Л
где у есть длина отрезка осей, заключенного между итороп и третьей
линией. Сравнивая полученные соотношения, мы будем иметь
f(* +:'/) =-/•(«) 'АО/)
— равенство, справедливое для отрезков любых дліга х, </ и отрезка
длины х -{- у.
:yZ2 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
'Это функциональное уравнение играет очень важную роль и
система геометрии Лобачевского, так как к нему же приводит и задача
определения ішда функции 1Г(а.-). Во всех современных изложениях
геометрии или ссылаются пу то, что решение этого уравнения іюиѳ-
стпо на анализа, либо излагают это аналитическое решение с бо.чылоіі
пли меньшей степенью строгости.
Покажем, что ото решение может бить получено ни, чисто
геометрическом пути и япляется следствием теории пнмерепня отрезков,
основывающемся ыа аксиомах абсолютное геометрии.
Как изнестно, црншгв некоторый отрезок PQ за масштабны", можно
однозначно определить ;ілмцу ионного другого отрезка, относя каждому
отрезку число так, чтобі.і пополнялись три следующие требования:
1) конгруэнтным отреякам отнесены равные числа; 2) если В—точна
отрезка АС, и отрезкам АН п НС отнесены числа a a h, то отрезку АО
относится число n-\-l>; 3J отрилку 1'Q отпеооно число I1).
Называя величину, удовлетворяющую первым двум условиям,
аддіжшпоі'і функцией отрезка, мы можем утверждать, таким обра-
аом, что аддитивная функция ompeastt, принимающая значение 1 Эля
отрезка PQ, пыражиет длипу отрезка, измеренную отрезком PQ как ліас-
тпгаоным.
Обратимся теперь в нашему функциональному ураішвышо л
введем новую функцию
где
'Гак как при зтом мы будем иметь
L (A 0)^L (А В) + L (ВС)
31
то для всякого отрезка L(AB) = x, где а: есть длила отрезка АВ,
измеренного отрезком PQ. Вследствие етого
.t-
Последнее соотношение имеет место при произвольном выборе
масштаба измерения отрезков, причем всякому такому выбору
соответствует определенное значение постоянной к. Предположим теперь,
что мы переходим к новой единице масштаба, приняв за масштабные
і) См. например, И. Б. Е фим о и — Высшая геоиотрігя, 194!) г., стр. 07—08.
ЛРІОШ'ІАГШЯ
Г; 2а
отрезок такой отрезок P0QU, длина которого ровпа к. В тиком случае
последнее соотношение примет вид
7 = ^
который и устанавливается теиремог! Лобачевского.
Фундаментальное яначтше полученного результата состоит к том,
что оп устанавливает существовании в пространстве Лобачснского
абсолютной меры длины. Оотаионпмен подробнее па этом вопросе.
Соотношение (ф) показывает, что для всякой предельной линии Г
можно построить такую параллельную ей *) предельную линию Г\,
что отношение соответствующих луг ;*тпх линий будет равно всякому
ианеред заданному положительному числу,
Назовем абсолютным отрезком отрезок Р„0,„ осліі отношение
соответствую тих луг двух параллельных предельных линий,
находящихся на расстоянии PtlQa, равно е, то-есть основанию
Нестеровых логарифмов. Абсолютной мерой произвольного отрезка А В
назовем безразмерную велтгзнт-гу, рагигую отношению длины А В к
длине абсолютного отрезка. .Длина всякого отрезка, численно равна
его абсолютной море, если абсолютный отрезок принят за единицу
масштаба.
"Чтобы истолковать геометрически выбор абсолютной меры длины
для отрезков, установим сначала такую же мору для дуг предельных
линий. Булем называть абсолютной дугой предельной линии дугу ЛВ,
заключенную между двумя ее осями, одна из которых параллельна
касательной, проподмшой в конце другой, а абсолютную меру пропи-
лольпой дуги АС предельной линии определим, как безразмерную
величину, равную отношению длины данной дуги в длипе
абсолютно Н дуги.
Выведем теперь, следуя Лпбману4), два соотношении,
связывающие длины отрозкоз и длины дут предельной линии. Для атого
рассмотрим произвольную дугу предельной линии Г ЛС = и, абсолютную
дугу Діі = а,отрѳзоккасательпойЛІ) = м, ограниченный продолжением
оси СО' линии Г и отрезок этой осы CD = ѵ. Продолжал CG за точку В,
проведем перпендикулярно в ней прямую AJBl, параллельную ЛВ,
в нолуплоскоехп АХС'В. Построим, кроме того, предельную липпго AJix,
параллельную линии Г, гг пусть А1ВІ — ее абсолютная дуга,
ограниченная продолжением оси В'В.
!) Пудсм в дальнеіішеи называть па$аАлелшмміь предельные линии с ойщиыи
осями.
X) Іі. Licbmann — Kiohtenklidischo Geoiuotiia, 1923. стр. о7.
»2І
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Так как АкП есть стрелок, соответствующий углу параллельности
юоторыіі ізортикалѳн с углом £_ADO=ll(n), то Л^ = п и, вследствие {% ]
'±1вв=^
Отложив дуги .іС' = *и
А В = о, симметричные
дугам .40 ц Ail отно-
сптельно Оси Л.і',
построим ось предельной
линии Г, проходящую
через С, и отложим
на ней в направлении
параллельности отрезок
(,'АЛ = fj-fii= w-(- «, а
через точку Дг
проведем перпендикуляр JljJS
к оси 6'-1[,
параллельный A.D, в прежнем
направлении, и
предельную лигшго Л^Ви
параллельную линии Г.
Сравнивая дуги ІЮ = ВА—.16' и А^В\, цы получим, аналогично
предыдущему: д _^_ „.^
Складывая и вычитая правые и левые части полученных равенств,
мы будем иметь
в
к = с)] г
Л:
t = ев * sh -,.
яли
= oih.
Рассмотрим теперь пеко-
тормй отрезок; ЛІ> =а и и
проведем две параллельные предельные кривые AG и ISD, первая из
которых касается A.J). Иа предыдущего следует, что для
соответствующих дуг втих линий мы будем иметь
ПРИМЕЧАНИЯ
525
Назовем выбор единицы масштаба дття измерения отрезков прямых
и дуг предельной линии согласованным, еоли длина всякой ломиноЙ,
вписанной в дугу предельной линии, ыеныгса длины этой дугп, а
длила ломат-roft, оппсаняой вокруг дуги, больше длины этой дуги.
Построив отрезки п дуги, симметричные с AT.) и JJE относительно
ЕЛ н с AD и С А относительно TXJ, мы получим, как необходимое
условие согласованного
выбора единиц масштаба,
следующие неравенства:
и и , ѵ
fcli-r<-.<sh у.
Но если эти неравенства
имеют место при ліобом
значении я, то
' и
а
"-°oh-£-
: ІІП1-
shfT
= 1,
откуда следует, что
и ѳто условие будет не только необходимт-лм, но и достаточным, так
как неравенства
,, и , ѵ, л ѵ.
Ш-<— <sbT
К 1С Ь
действительно выполняются при любом положительном значении и.
Итак: абсолютный отрезок характеризуется тем, что его длина равна
длине абсолютной дуги предельной линии при условии согласованного еыоора
единицы лшештаба для, юмерения того и другого.
[м] Определяя пределыгуго поверхность, как поверхность вращения
предельной линии вокруг ее оси А А'; Лобачевский далее «показывает, что
всякая прямая ВВ', параллельная ЛЛ', является тоже осью вращения
поверхности. К этому результату приводит его выяснепие того факта, что
плоскость, щюходящая через любые две точки В, 0 поверхности параллельно
оси вращения АА', пересекает предельную поверхность по предельной кривоіі.
Действительно, а следствие этого поверхность можно рассматривать,
как геометрическое место точек, пр'ішадлевсащих всем предельнам
кривым с общей осью ВВ', а так как все этп кривые конгруэнтны, то
их можно. считать происходящими друг ив друга при вращении
вокруг оси ВВ'.
?
5-2(1 НОйЪТГС L-ІЛЧАЛЛ ГЕГШЕТГИИ
Тішічо предельную поверхность ложно определит г, как
геометрическое л «сто точек, соотиетстис-шплх (ем. примечание [s:')> топке Л па
всех прямых свя.чш параллелей к прямогі ,ІД , При таком
определении лиона следует доказать равноправие ииех точш: поверхности
а что докиаатольстпо, очевидно, дол ж по опираться іга установление
фанта трашитипностп гоотаетежаи я точек ікі трет нря.иш:, параллельных
между собою в одном наирачлі'ііШі и не лежащих п одной плоскошіі. В
доказательстве, приводимом Лобачевским, оп опирается на тут жо факт
транзитивности соответствия, поклэыгкш, что угол Н'НС ранен углу С'СИ.
Своігстпо трангштішиости соответствия точек для троя параллель-
ці.іе прямых легче всего ирііполит н в доказательству рашшправыя
псех точек предельной кривой (ст. 112, конец иторого п/ізапа), но там
Добачепекші показывает его, опираясь па теорему ст. 111 о трех пер-
иендіікулярнх к сторонам треугольника.
С'рашгилая раалпчпиѳ системы наложения вопроса о с-оотаетотшні
точек па параллельных прямых, ми встретимся всюду со следующей;
или близкой к Hofi последовательностью:
a) лемма, приведенная и примечании fK:'] на стр. ГНС,
b) теорема о трех перпендикулярах к сторонам треугольника,
о) доказательство транзитавпости соотплтетппн точек для трех
прямых па плоскости,
іі) то же доказательство для прямых, не лежащих в одной
плоскости.
Покажем, что этой дліінпоіі иеіш построений можно набежать,
вводя предварительно следующую лемму.
Ле.мма. Если две прямые AM ѵ. ТіУ параллельны между соііою и Л,
В—две неподвижные точки на этих прямых, равноудаленные от двух
неограниченно ейлкжаіощшея
точек М, Л7, то Л и Л—
соответственные точки.
Предположим, что то1:-
ко Л соответствует точка ./^
прямой ПХ. В таком случае
•точке И соответствует на
тоі'[ же примой некоторая
точка Arj, причем АМ = Л11?і (теорема 2 примечании [Кі] ил стр. 510).
Из треугольника Д/Ю^ имеем XNl<iMN~\-JlfiV,. Но если А№-*0, то
и jWW,—*0, так как точка М, приближаясь не ограниченно к нр темой ]№,
дол ясна приближаться неограниченно и к соответствующей ѳЯ точке Nx
(теорема І примечания ["''])■ Таким обрааоы, jYN^-s-O, но ЯЯ1 = ВВ1,.
что'вовмоясно только при ЛЛ1 = 0, то-есть при совпадении Лі с Л.
Теперь нетрудно доказать, что по от зет сто не точек па трех
параллельных прямых (лежащих или па лежащих в одной плоскости) транзи-
ПРИМЕЧАНИЯ
яіито. Пусть a\\b" с и точка .Л примой а соответствует точкам В и С
па прямых /лі с. Рассмотрим точки 31, Д,г и [', перемещающиеся по
прямым-п, h, с и направлении их общего парпллелнамп. так, что при этом
AM = IJX = СТ.
Так как и втом случае точка Л7 и точка /' соответствуют точке М,
то МХ-+ 0 и 3TP-+Q (теорема 3 прч-
.1
М
мечапия [S;|]), а следовательпо п
NP<MX-\-MP->H,
и, вследствие предыдущей леммы,
У и Г соответствуют друг другу па
прямых Іі и с.
Транзитивность соответствия
точек ші прямых параллельного пучка
покалывает, что всякая прямая этого пучка может рассматриваться
как ось предельной поверхности, то-есть как ось врп-щепп.я
предельной кривой, обраауіощей поверхность. Отсюда, в свою очередь, следует
свободная подвижность этой поверхности по самоя себе. Покажем,
что предельную поверхность можпо сопместпть саму о собой всеми ее
точками так, чтоб и при этом совпадали лае ее произвольные точки
А и В и две бесконечные дуги ААг и JiD^ предельных ляпстй,
выходящих из этих точек. Для этого разделим дугу предельной ляпни АТІ
пополам точкой С и будем вращать поверхность вокруг оси СО' до
тех пор, пока точка В не совместится с точкой Л, а затем, вращая
вокруг осп АА',
добьемся и совмещения дуг
ІШ, и .1Л,.
Обратимся теперь ко
второму утверждению
теоремы ст. 110,
согласно которому плоскость,
но проходящая через ось
■предельной поверхности,
пересекает ее по аіфужно-
сти. Прп втом, конечно,
имеются в виду только
такие плоскости,
которые имеют с
поверхностью общие точки и нѳ перпендикулярны в осп поверхности в ее конце,
ибо, как легко видеть, в последнем случае опи будут иметь с
поверхностью только одпу обшую точку, то-есть будут касаться поверхности.
Итак, пусть некоторая плоскость а имеет с поверхностью общую
точку А, причем ось АА' иаклоаеыа к а под некоторым острим углом.
d'2S ІЮІіЫЕ НАЧАЛА РЕОИЕТРШГ
Спроектируем .1-1' па плоскость а и пропедсм в ее проекции ЛЛиер-
пвп/ткуляр DD', параллельный осп АЛ'. Тан как прямая !))У будет
осью поверхности, то при вращении прямо!? --1.1' нокруг DI)' ли
получим окружность радпуса 1>Л, которая будет лішиеп пересечения
поверхности и шюокосш ''■. Они по моі'ут иметь других общих точек
кроме точек этой окружности, так как в противном случае прямая
!>.1 встречала бг.і причельпую кривую, проходящую на поверхности
через точку .1 п плоскости Ш.І' болыпо чем п двух точках.
[!,п] В статье 12(1 Лобачевский устапавлнвает одші па иаяшеншпх
результатов своей системы. На нем базируется вывод формул
гиперболическое геометрии. Кроме того, устанавливая атот результат, Лооа-
чевекпп весьма близко поджогшт к идеи интерпретации, основной идее
современной геометрии, с іюмощг.го которой ппослѳдетвип была строго
доказана непротиворечивость его системы.
С современной точки зрения результат, полученный Лобачевским,
выглядит следующим образом.
Вснкая аксиоматическая система опирается на ряд основных коня-
waft, вводимых без определения. В планиметрии за такие понятия
можно принять следующие пяты 1) точка, 2) прямая, 3) инцидентность
(принадлежность), 1) лежать между, 5) деизісеиие.
Интерпретацией аксиоматической системы напивается возможность
тан пыбрать оспотшые попитая .лаыиоО аксиоматической системы .1
в терминах другой аксиоматическом системы 11, чтобы при атом аксиомы
системы Л обратились п теоремы системы В.
С этой точки зрения Лобаченскші интерпретирует планиметрию
Евклида в терминах enoett стереометрии, давая следующие
определения основным понятиям планиметрии.
1) Тачка — есть точка на предельной поверхности.
2) Прямая.— есть предельная кривая, принадлежащая этой
поверхности.
3) Точка Л инцидентна (притдлвлсит) «прямой» а, если А ложпт
на предельной кривой а.
4) Точка В лежат шэісй{/ точками А н О, если оси АЛ' а СС
леягат в одной плоскости с осью ИВ' по разпг.ш стороны от нее.
Гі) Движением па плоскости называется совокупность
преобразований, испытываемых предельном поверхностью при ее движении по
самой себе и при еѳ оеркальпом отражении от какой-либо плоскости,
проходящей через ее ось.
Чтобы убедиться в том, что такое нетолиов&нне основных понятий
планиметрии есть ее интерпретация, нужно показать, что аксиомы
планиметрии становятся, при условии такого истолкования, теоремами
стереометрии Лобачевского.
Наметим ход такого доказательства.
ПРИМЕЧАНИЯ
529
I, А кс по мы еаязп в планиметрии сводится к четырем
положениям:
1. Через всякие две motif к А п В можно провести прямую.
2. Такая прямая еВшашенна.
3. На всякой прямой существуют «о крайней мере две точки,
і. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Первые два положения оказываются выполненными вследствие
того, что предельная кривая па предельной поверхности есть лиінш
пересечения поверхности плоскостью, проходящей через оси точек А
и II (теорема ст. 119), а такая плоскость всегда существует п
единственна. Выполнение 3 гі 4 очевидно.
II. АкояомыпоряЛЯй сподятся к следующий четырем.
1. Если точка В лежит между точками А и С, то она. принадлежит
прямой АС и лежит также между С и А.
2. Д.ля любых точек А а В мозюно указать такую третью точку-С,
чтобы В лежала между А і( С.
3. Из трех точек только одна моэісет лежать между бяумя другими.
4. (Аксиома Патна). Ест прямая пересекает одну чи трех
сторон треугольника,. не проходя ■через его вершины, то оно, пересекает еще
одну его сторону.
Выполнение первых трех положений очевидно, а для
доказательство, последнего возьмем трп точки А, В, С па предельной
поверхности и проведем через них плоскость а. Всякая предельная кривая Г,
нерѳсопающая сторону АВ предельного треугольника, будет лежать
в диаметральной плоскости поверхности, которая пересекает сторону АВ
плоского треугольника ABC п, вследствие аксиомы Паша, имеющей
место и па плоскости Лобачевского, пересекает также другую его
сторону (например ВС) в некоторое точке Q'. Провели через эту точку
ось поверхности, мы легко убедимся, что она проіідет через точку Q
дуги предельной крітоіі ЛС н будет принадлежать также крипой Г.
Ш. Аксиома непрерывности в форме Дедекинда имеет
следующий над.
Если осе точки прямой разбиты на Dna непустых класса- без общих
элементов так, что всякая точка первого класса предшествует всякой точке
второго класса, то существует такая точка, которая пли будет последней
к нервом классе, или первой ао втором.
Чтобы доказать непрерывность предельной линии, разобьем се
точки на классы Дѳдѳквндап соединим прямой две точки А л В,
принадлежащие различным классам. После этого разобьем на классы
все точки прямой АВ, относя к первому или ко второму классу ее
точку М' в зависимости от того, какому классу будет принадлежать
точка М пересечения оси ММ' предельной линии с атой линией, Легко
видеть, что установленные таким образом классы точек прямой будут
Зак. 5039. Н. И. ЛобичеііскнА, і. II. 34
531)
НОВЫЙ ЯАЧА.'ІА ГЮШЕТРГШ
классами Делекиила и, следовательно, на этой прямой существует
некоторая точка С", замыкающая один на классов. Ось кривой,
проходящая через С', пересечет ату кривую в точке С, которая, как
легко видеть, будет аамыкать один из классов точегс криноіі.
Т.Ѵ. Аксиомы двпжеппя могут быть свадені.т к следующим
трем.
1. Движения суть однозначные точечные отображения плоскости и<г
самое сеоя, образующие грушу.
2. Дапжскіія стпеяш в соответствие точкам отрезка шочі-п отрезка.
Если назовем репером фигуру, состоящую из точки О, луча ОМ я
полуплоскости, ограниченной прямой ОМ, то третья аксиома
движения сформулируется тк:
3. Существует одно it только оіЫо движение, переводящее данный репер ^
а другой данный рапчр Я...
Важно отметить, что последня5і аксиома включает в число
движений и зеркальные отражения.
Первая аксиома, очевидно, выполняется, так. как принятое нами
я стол кование определяет движение как перемещение предельной
поверхности но самой себе, то-есть определяет совокупность движение
как подгруппу движений пространства Лобачевского, переводящих
я себя предельную поверхность.
Выполнимость ш'оport аксиомы тоже очевидна, так как при любом
дниікетпш пространства Лобачевского прямая, расположенная между
двумя параллельными ей прямыми, остается между ними.
Справедливость третьей аксиомы следует ив доказанного в
примечании [В!І] (на стр. Гі27) факта сіюбодішй подвижности предельпоп
поверхности по самой себе. Мы видели там, что двияееіптѳм можно совместить
любые точки и любые дуги, выходшщіе tig этих точек; что же касается
совмещения полуплоскостей, то оно либо происходит автоматически,
либо может быть достигнуто с помощью зеркального отражения
поверхности із диаметральной плоскости, содержащая совмещенные дуги
предельных лішнп, входящих п состав репера. Единств ешіость движения,
совмещающего реперы, следует из аксиомы абсолютной стереометрии,
согласно которой неподвижность точки, луча, исходящего из нее,
полуплоскости, ограничен и ой этим лучѳм, и полупространства,
опирающегося иа ату плоскость, исключает возможность всякого движения.
Остается рассмотреть аксиому параллельности, которую,
согласно примечанию [й!|] (стр. 510), мы можем сформулировать так:
V. Аксиома параллельноетп.
Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность.
Справедливость ѳтого положения уже доказана и теореме ст. 11Й,
так как окружность в смысле нашего истолкования есть также и
окружность и смысле геометрии Лобачевского.
ЛРІШЕ'ШІШІ 581
Для рассмотрения вопроса о сумме углон треугольника па
предельной поверхности пужно выяснить, как следует определить
меру угли, в терминах построенной интерпретации. Для углов
ми имеем, так же как и для длин, следующую теорему
абсолютной геометрии, аналогичную теореме, приведенной в
примечании Н (стр. 522):
Мера угла есть аддитивная функция цела, причем знтенпе этой
функции определяется единсмееюш.и образам іі.ія всем углов, ее.ш оно
определено для одного »<з углов.
Так как мера двугранного угла, образованного двумя
диаметральными плоскостями предельной поверхности, обладает свойством
аддитивности и принимает одинаковое значение для конгруэнтных углов,
то она должна совпадать с мерой углов в евклидовой планиметрии,
истолкованной как геометрии на предельной поверхности, если
предположить, что мера прямого двугранного угла и мѳг.а
соответствующего ему линейного угла равны.
После того, как выяснено, что такое мара угла в геометрии
предельной поворхпости, мы можем, получить теорему о том, что сумма
углов предельного треугольника равна двум прямым либо
непосредственно и8 теоремы ст. 100, либо как следствие аксиомы евклидовой
геометрии, которые выполняются для геометрии на предельной
поверхности. Последняя точка зрения позволяет считать, что теорема ст. 100
есть следствие теоремы о том, что сумма углов предельного
треугольника равна двум прямым, и необходимость в ее особом
доказательстве отпадает.
Iя1] Рассуждения ст. 121 связаны со следующими обстоятельствами.
ІСслп рассматривать плоскость в пространстве, то-еоть присоединить
к аксиомам планиметрии пространственные аксиомы, то зеркальные
отраженна на плоскости могут быть заменены вращениями плоскости
па угол тг вокруг оси симметрии, то-ѳсть вк-дгочепта в состав
собственных движений пространства-. При интерпретации же евклидовой
планиметрии на предельной поверхности зеркальные отражения могут
быть получены только в результате зеркальных отражений
пространства Лобачевского, так как предельная поверхность при повороте
вокруг своей касательной на угол тг пѳ совместится сама с собой.
Далее Лобачевский доказывает, что симметричные многоугольники
равносоставлѳиы.
[3!] Производя циклическую перестановку сторон и углов в
формуле (54), мы получим следующие три соотношения:
П(Р)-И(а —•г) — Ще + а),
Н(1) = ІІ(Й — а) — П(*+Р).
(а)
34*
532
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
В свою очередь, парная перестановка в правой части дает еще
три соотношения:
П(а) = П(Ь—f)-H(e + P),
ЛМ^Ще-еО-ПСа + т). (Ь)
17 (т) = П (« -?) — II (Ь-И).
J la этітх шести формул, полагая в них П (j)= .j, я -[ = 0, и можно
получить все предыдущие формулы ст. 133, 134.
Для удобства обозрения предыдущих соотношений п их много-
числеішых следствии, с которыми кии придется потратиться ниже,
введем следующее обозначение:
у [И f«-tf)+ U(x + v)\ = (■*, У)-
Сравнивая с (4'JJ, мы шццл, что символ Л („*) = (,'.', ;/) выражает
швпси-мості, угловой мары катета II (г) прямоугольного щмугольжш от
линейной моры гипотенузы х и линейной меры угла у, противолежащего
каѵіету г (чертеж а)').
П'іЧе.у!
а и
Отметим некоторые очевидные свойства введенного символа.
1) (х, о) = П(я).
2) Так как II (— у) = іс — IT (у), то
(о. у) = -|-
3) Так как П(ж—-у) = я— П [у— э:), то
і [П (.в— Ѵ) - п (х + у)] = у — (?/, «).
Обращаясь к формула (50) текста, мгл можем записать ее в виде
~— П («) = (?, с),
откуда следует, что еилвол (ж, у) выражает твшишть угловой, мари
дополнения до прямого угла іірямоугол'мЬго треугольника от линейной мери х
другого угла и линейной меры гипотенузы у (чертеж а).
') ОС углоиоіі море огрезісоп и лішоііпоіі мерс углов см. » примечании |е°1
<стр. 515).
ПРИМЕЧАНИЯ
533
Сравнение этого истолкования с предыдущий позволяет;
утверждать, что существование прямоугольного треугольника с
гипотенузой е, углами П (Р) л II (я) влечет аа собой существование
прямоугольного треугольника с гипотенузой а, углом II (с) и таким катетом 3',
что
Отметим, наконец, что tia уо.-іоішй
(ж, у) = {хи yj, [у, ж)=0;І, я,),
вследствие свойстля 3) и однозначности фупкщіи И (z), вытекают
равенства:
Вычитая и складывая первые соотношения групп (а) и (Ь), ш*
получим:
Таким образом, в иаіпих обозначениях система (а) и (Ь) равносильна
системе следующих уравнений:
<=, Й = (*> -і).
(«, -f) = (c, а), (с)
(6, «) = (о, Р),
(1. Ь) + СР, с) = ™-П(а), 1
(?, а) + (а, Ь) = к —Щд). ]
Геометрический смысл (с) весьма прост, гак как, вследствие первого
истолкования символа (х, y)t левые п правые части равенств выражают
угловые меры высот треугольника, опугдепныя на его стороны,
соответственно, а, Ь и с. Что касается соотношений (гі), то в силу второго
истолкования символа (х, у), они выражают, что угол треугольника
равен алгебрапчѳской сумме двух углов, образованных высотой,
опущенной иэ вершины етого угла, м двумя сторонами, выходящими из
тон sue вершины. ч
ГУЛ I
ПОШЛИ НАЧАЛА ГЕОІІГГРШІ
Переходя к случаю прямоугольного треугольники, то-еоть полагая
[J(-j)=.jIi ^ = 0 и принимал но внимание свойства 1) и 2)
символа (.с, у), мы получим на (е) п (J):
Ufa)— (с, я), (А)
(М^КР). (С)
М) + (» = у, (!))
П (?')-(«,*). (А')
П(Ѵ) = <?,')■ (В')
И последних двух соотношениях ми пользуемся обозначением
которой Лобачепсіініі вио'цгг :і ст. 13<і.
Сравншіпя полученные формулы с те .ми, который приведет.! н тексте,
мы вгглим, что (А), (В), (А:) и (В') совладают соответственно о (й1,1),
(49), (51,2) п (jO), а система (С) и (В) равносильна системе (іі2) п (53)
іі получается на нее сложением и вычитанном.
[!,;|] В ст. 130 Лобачевский показывает, прежде псего, что псякому
црішолпнейиому прямоугольному треугольнику ЛВС можно отнести
некоторый сфернчсскн/i прямоугольный
треугольникам' чертежа 130 па стр. 317),
пѳршішы которого для илбежанпя
смешений ми будем обозначать Alt Glt Bv
Если мы будем говорить, что этот сфе-
ричесішіі треугольник присоединен плоыммц
треугольнику ABC л вертит его острого угли
В, то он охарактеризуется следующим
определением {см. черт, о):
Сферический треугольник присоединен ило-
ckq.wj шреугомпих!/ AUC ч верните его острого
угли В, ocj.ii. он расположен на сфере с центром
а В, а его тримнш лежат на сторонах
данного треугольника ВА и ВС <і на прямой, парал-
а яелшой перпендикуляру А А' к плоскости ABC.
Расоуждѳнткг в тексте показывают, что
присоединенный сферический треугольник будет прямоугольным а
вершина его прямого угла лежит па гипотенузе данного прямо-
шінеііиого треугольника.
ГТГІ'ШЕІЛНИЯ
535
Если угловые меры элементов присоединенного треугольника AlBlCl
°УЛ^Т П(0, Щт]>, ТТ(А П(у), ІІ(.:)і).
то соотношения, полученные в тексте, имеют вид:
£ = «', '() = й, г = (?, э.'=|3, у = с. (#)
тГтобы охарактеризовать обратный переход от сферического
треугольника к прямолинейному, введем следующее определение. Будем
говорить, что плоский треугольник присоединим сферическому
прямоугольному треугольнику J.1B1C1 в плоскости его катета -iI.R1, если одна т
вер-тин прямолинейною треугольника совпадает с центром сферы В, а две
другие являются основаниями перпендикуляров, восставленных к щзялшм ВА^
л ВС'і іщшллельно прямой ВВ^. Покажем, что этот прямолинейный
треугольник определяется: однозначно и будет прямоугольным.
Соединим центр сферы В с точками jtj и С,, и восставим
перпендикуляры АА' к BAL и ОС к ВСХ так, чтобы они были параллельны ВВг.
Если плоскость Б^ВАА' проходит через вершину _41 прямого угла
треугольника Л^ВдС,, то она перпендикулярна плоскости ABC,
вследствие чего АЛ' перпендикулярна ABC, а значит и плоскость А'АСС
перпендикулярна к плоскостп ABC.
Ыо ВС перпендикулярна к СО', которая лежит в плоскости А'АОС,
вследствие чего АС_]_СВ так, что треугольник ABC—прямоугольный
и О есть вершина его прямого угла. Таким образом, мы видим, что
всякому сферическому прямоугольному
треугольнику А-ІВ1С1 (черт, о)
соответствует плоский прямоугольный
треугольник, присоединенный ему в плоскости
данного катета, если пи одна пз угловых
мер алиментов сферического
треугольника П(6), П(-п), И (я), ПО), П(г) не
достигает -^-.
Ив соотношений (-Sf) следует, что ли-
нѳіінне меры элементов прямолинейного
треугольника, прпооѳдинеиного сферическому треугольнику jdjl!,^ ч
в плоскости катета А^С^, выразятся так:
£', х, z, г\, у.
Очевидно, что те лес элементы для плоского треугольника,
присоединенного сферическому треугольнику AyBfix в плоскости катета А1Л1
могут быть получены заменой 5 па tj д х на у и будут:
V. У, г. Е, я-
1) Условимся пиѳі'ра приводить элементы прямоугольного треугольника в
следующем поридке: 1) острые углы, 2) противо.чсжешко им катоты в том лее
порядке, пап и углы, 3) гипотенуза.
53S НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Сопоставляя снова с соотношениями (*), мы видим, что
прямолинейному прямоугольному треугольнику
а, $, п, Ь, с (а>
может быть сопоставлен другой прямолинейный прямоугольный
треугольник с линейной мерой его элементов
Ъ', с, а, «', р, (Ъ).
присоединенные тому же сферическому треугольнику, что п данный.
Мы будем называть переход от ир ям о угольного треугольника (а)'
к прямоугольному треугольнику (Ь) преобразованием Лобачевского. Вводя
обозначения
аі = а, р, = р, (71 = «, ft, = й, Сі = с,
а,^сь Рі = Ь,, и3~яі, Ь-, = аі, ^ = рл
ы подвергая последний треугольник преобразованию Лобачѳвогадго, мы
получим третий треугольник с элементами
«a. 3gl а3, Ьа, саі
причем
вв = со = 8; р., = из = а, а3 = а» = с', Ц = ad = в ; е., = (Ja = &'.
' Продолжая применять то же преобразование, мы получим группу
пяти прямолинейгалх прнмоугольннх треугольников с элементами,
ппнейпые меры которых помещены в следующей таблице:
к
1
2
8
4
5
«* j Р*
а
Р
с J //
Р
ft'
л'
л'
а
1!
»*
(1
й'
с'
h
b
а
а'
?'!<■■'
b
Р'
сй
f
Р
//
«'
tt
В результате преобразования пятого треуго.тіьшша мы снова
вернемся к первому, тотс что проведенные пять преобразовании
Лобачевского образуют замкнутой цикл. Леі'КО видеть также, что если
подвергать исходный треугольник преобразованию Лобачевского,
начиная о построения сферического треугольника, присоединенного данному
в вершине острого угла 11(a), то преобразованный треугольник
совпадет о пятым треугольником таблицы, а дальнейшие преобразования
заставят нас пройти вась цикл в обратном направлении.
Разобьем круг на пять равных секторов и помаслим в них
обозначения линейных мер гипотенузы, одного острого угла, доиолжитель-
ПРИМЕЧАНИЯ
537
ного отреака к катету, противолежащему этому углу, дополнительного
отрезка другого катета іг другого угла, как это указано на приводи,
мой эдесь диаграмме:
Сравнив с таблицей (I), мы видим, что преобразование Лобачевского
раішосилгіпо подстановке величин
а, [5, а, Ь, с,
которая соответствует вращепято этой диаграммы на угол ~ против
часовой стрелки. Пользуясь втоіі подстановкой, которую мы будем
называть подстановкой Лобачевского, мы можем получить па цепкого
соотношения вида
f(a, р, а, Ь, е) = 0,
оправ о дл пи ого для веек прямоугольных треугольников, четыре других
соотношения:
Г (с, V «'
а.
Р) = °,
/■ф, о', с', «', '/) = 0,
f (&', а, ,Г, £', а1==0,
/- (а', е, Ь, р', в) = 0.
Этим фактом Лобачсвскнд пользуется для того, чтобы получпть ш
формул (40), (50), (51,1) (51,2), (52), (53) формулы (55) и (50).
Для более легкого'обозрения их удобно переписать в обозначениях,
ішедешішх нами в примечании ['■'"]. Таким образом, мы получим нѵ
формул (А), (В), (С) и (D) на стр. 534 следующие соотношения:
(55,9) П(п) ={с, о),
(55,1) П(а') = (Р, с),
(55,3) ПСО-(Ь'.Р).
(55,5)* а (?') = («'. Ь%
П(!>) = («, д');
П (&)-((, ?),
И (а) =0, Ь'),
П («') = (&',«'),
П(с')=К, «),
П(Г)=(«, с);
(55,7)
(55,10)
(55,8)
(55,6)
(55,4)
(55,2)*
(*)
(Ь)
,538
НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
(50,1,2) (Ь, «) — («,
(515,3,4) (о, с) = С*'.
(5(3,5,0) («', ?) = (е',
(58,7,8) (с', Ь')=№'.
(56,9,10) (Р', я') —('Л '
(56,1,2) (а, 6) + (р, *)
(56,8,4) (с, "•) + (&', «')
(56,5,0) О, (0+(*'. <0
(50,7,8) (1',0 + (*. Р')
(50,9,10)« ?') + (<'. ?').
Цифры в круглых скобках спела я формулах (а) гг (Ь) покаатівают
номер соответствующей группы соотношений в тексте Лобачевского
іт порядковый номер соотношения. В формулах (с) и (d.) первая цифра
имеет тот же смысл, а, вторив дне цяфрга— порядковые номера тех
соотношений текста, которые при тшчитанил да гот соответствующую
формулу группы (с), а при сложении — формулу группы (d). Что
касается: формул (А.') и (В') на стр. 534 или равносильных им
соотношений (51,2) и (50) тэвета, то они не дают ничего нового, так как
получаются сама при подстановке Лобачевского в формулах (А) и (В)
на местах, отмеченных знаком * в циклах (а) и (Ь). Очевидно, что
применение к ним подстановки Лобачевского приведет нас снова
к циклам (а) и (Ъ). Таким образом, подстановка Лобачевского,
примененная к формулам (А) — (В') на стр. 534 приводит па в тридцати
различным соотношениям, как вто можно было ожидать, а только
к двадцати уравнениям (55) и (56) текста
или равносильным им уравнениям (а), (Ъ),
(с), (d) наших примечаний.
Для обоснования своего преобразования
Лобачевский пользуется стереометрическими
соображениями; одітко, оно может быть
получено и на чисто планиметрическом пути.
Такой путь впервые был обоснован Диб-
машш 1), который сопоставлял всяколу прямолинейному
прямоугольному треугольнику а, |3, а, Ь, с четырехугольник о тремя прямыми
углами и сторонами р', а, и, с, из которых дае последние образуют
і) Н. Lіе bто а%п. — NfcliteukliiiielM Geometries, Berlin шіД Leipzig, 1023 г.,
.стр. 33-37.
Р).
Ь') |
«'), >
«о. !
тг
т
т.
2 '
ГС
~2~'
(О
(d)
ПРИМЕЧАНИЯ :>№
острый угол IJ (Ь). Так как свойства итого чвтирехугольннка ишіарп-
?щтиы относительно подстановки
а, ,3, я, и, Л
г., „', У, Ь, а] '
го ему же может быть сопоставлен второй прямоугольный треугольник
с элементами
л', г, й, У, с,
который получается из данного преобразованием Лобачевского, соот-
аетствугощим повороту диаграммы па стр. 537 на угол ~ по часовой
стрелке.
Остановимся подробно на другом пути, предложенном Mukhopad-
hyaya '), заменив приводимое им доказательство более простым.
Поместим вертешу острого угла ІГ (а) прямоугольного
треугольника ABC с элементами
а, J5, «, Ь, г.
и верптпыу прямого угла, одна из сторон которого напраллеиа по
катету Ь н восставим к сторонам итог о прямого угла периепдинулярп
DD' и ЕЕ' так, чтобы они били параллельны соотііетственно катету ОЛ
і[ гипотенузе ВА треугольника. Так как прямые ЕЕ' и SD' будут
расходящимися, то они должны иметь общий перпендикуляр FG. Все
углы пятиугольника BEGPD будут прямыми, я мы будем называть
его прямоугольным пятиугольником .1/-, іірисоедачепным данному
прямоугольном!/ треугольнику. Для двух сторон Мъ мы имеем
ВЕ=а, BS = b',
.а остальные стороны обоаначеиы
EG = x, GF = tl', FD = z.
l) Bulletin Callmtta Math. Soc. V. ХШ, Nr. 4-, 192L r.
540 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Продолжив сторону FD аа вершину D, проведем прямые ED", к
ПО" и KD" так, чтобы они были параллельны прямой В'£>, причем
ВТ)" J_.EC, a KD"±_EB. Легко видеть, что
і, В"ЕК= П (% -j- 6), /. ІГАЧУ — П (х —,,)
так, что
П(а+Ь)-|-Л(*-*)--|-
Но свойства і/0, очеппдно, остаются инвариантными при замене а на а-
и й на у, откуда следует, что
H(j;+tf)4-II («—&) = -•
Складывая и вычитая полученные равенства, мы будем иметь:
{х, ») + («, Ь)-^>
(і/, j:)=(b, a),
ото при сравнении с формулами (D) и (С) предыдущего примечания'
(стр. 534) дает нам
(ж, ц) = ®, ft) (у, *) = («, ?>
или, вследствие свойства символа (а;, #) (см. стр. 5S3),
ж=Р, !/ = "■
С другой оторопи, формулы (В) и (В)', предыдущего примечания
(стр. 534) показывают, что между сторонами 31 я должна существоватЕ,■
зависимость
11(6)-(с, р), П(0-=(Р. ••')•
Но сиойотва Ms должны о ставиться инвариантными при подстановке
или
вследствие чего также должны иметь место соотношения
П(«0-С. *). П(Ь) = (*, О,
где * может рассматриваться как некоторый параметр. Но в таком
случае
(/,*)-#, с), (*,/) = («> Р)
и, вследствие свойства символа (х, у),
ПРИМЕЧАНИЯ
541
Итак; стороны прямоугольного пятиугольника Mit присоединенного
■ прямоугольному треугольнику
*і р. о. ''. с.
равны
я, fi, а', с, I/.
До сих пор мы предполагали, что треугольник ЛВС .задан, а для
наго строится прпсоѳдппѳвиый пятиугольник Щ. Рассмотрим обратное
построение. Будем говорить, что
прямоугольный трез'гольшш
присоединен прямоугольному пятиугольнику
А1АіАъАА,Аь на его стороне АгА%, если
один его катет отложен по этой
стороне от точки Аъ а другое катет п
і гипотенуза соответственно
параллельны сторонам AfA;, fi AtA3,
Согласно атому определению, каждому
напр явлению обхода пятиугольника
соответствуют пять прямоугольных
треугольников, то-есть всего десять
таких треугольников. Выпишем
элементы всех этих треугольников, пользуясь уже полученными ооотно-
.маниями между нами и сторонами М-.
А^А„
Л^з
АА*
А,А,,
А:Л,
а
Р
а'
і:
1/
Р
а'
с
Ь'
а
а
е'
Ь
я'
Р'
ІІ С
а' Ь'
Г а
а р
е' а'
AxAt
AtAt
-Ma
^a^'a
АгА,
h'
с
а'
?■
а
б
п.'
Р
a
V
а
Р'
в'
&
с'
я'
Ь
с'
а
Г
э
а
V
с
а'
Сравнивая оба таблицы1^ мы замечаем прежде всего, тго
треугольники, соответствующие различным направлениям обхода, попарно
і) Составление таблицы (Ш) легче всего начать оо отроки, соответствующей ASA%,
которая получается из первой строкк (II) перестановкой а -*~* Ь,а +-+ (J,
542 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
совпадают между собою. Мы видим также, что они совпадают о тре->
угольниками таблицы (I) на стр. 536, причем переходу между двумя
треугольниками, присоединенными соседним сторонам ІУ5, отвечает-
4я
вращение диаграммы на стр. 537 на угод -.- против часовой стрелки.
при обходе (II) и по часовой стрелке прл обходе (111). Таким образом,
аре угольники таблицы (I) перечисляются либо в порядке
1, 3, 5, 2, 4,
либо в порядке
4, 2, 5, 3, 1.
Итак, пряморгомные треуюльпали, полученные друг па друга послеЬо-
варіемпым применением щ>ео6разовапия Лобачевского, присоединены одному.
и ѵюму же прямоугольному пятиугольнику.
Непосредственное применение преобразования Лобачевского дает
переход от того треугольника таблицы (II) к треугольнику таблицы (III),
которые присоединены МВІ на его сторонах Л^г и АгА^. Отсюда
следует такое определение этого
преобразовании:
Два прямоугольных треугольника.
Сц -" "у [ ^/^ Л МО и A'DiCl связаны
преобразованием Лобтеасхого, если их катеты
АС и AC'it выходящие its оо~іцей вер-
пі'іны А, взаимно перпендикулярны, а
второй катет %ахсдаго пэ них т-
рчАлелчн гипотенузе другого треугом-
"С '" н"т1).
Перейдем к рассмотрению тех пяти прямоугольных сферических,
треугольников, которые присоединены пятя ассоциированным
треугольникам Лобачевского. Пользуясь соотношением (*) на стр. 535,
представим диаграмму, приведенную на стр. 587, в виде диаграммы,,
содержащей элементы сферического треугольника f.t tj, а,', у, г.:
]) Четырехугольник OAOyD а -тремя прямыми угаши G, A, Oj и острым;
углом Z> рассматривался Ллбыааоы Еелк треугодшив .130 имоет элементы,
в', й, a, f), с, то OtD = с; ПО = j); £D = П(а).
ПРИМЕЧАНИИ
548.
Круговая подстановка приведот нас к следующим пята
сферическим треугольникам, присоединенным плоским треугольникам,
таблицы (I) ын стр. 530:
к
1
2
3
4
5
^
f
у'
х'
Ч\
г
■1й
•ц
;і
\
1
х'
хк
X
V
г'
V
У
Ук г&
У х
х \
V ѵ'
z' х'
V 71
(IV)
Построим теперь для первого на ѳтих треугольников пвнтаяраммц
Гаусса ('pentagTamma шігігіса)г). Для втого построим полюсы Р, Q, R
больших кругов его катетов AG, ВО и
гипотенузы АВ. Находя топки
переселения (S, Т), АВ с Р.К ы QR и точки
(Г, U) пересечения BOaQRn. АС с PR,
мы получим пентаграмму с «внешними» і/(
вершинами С, й, Т, U, Т п
«внутренними» вершинами ,4, .В, Р, В, Q.
Легко видеть, что каждая на двух
сторон, пересекающихся во внешней
вершине, проходит через полюс
другой стороны, вследствие чего углы при
внешних вершинах будут прямыми,
и все треугольники ЛОВ, ВНР, PTlf, RUQ, и QTA будут
прямоугольным л.
Предположим, что элементы, определяющие треугольник ЛВС,
будут 6, т], іи, у, z. Так как А есть полюс PR, то дуга АР
соответствует прямому углу и линейная мера ВЗ равна г'. С другой
стороны линейная мера угла ВВР равна £, и треугольник BSP
характеризуется влѳмѳнтами
£="*); ѣ ж, [/=«'; г.
Но прямоугольный сферический треугольник опрвдѳляѳтся двумя-
овоими элементами, вследствие чего в рассматриваемом случае он
совпадает с четвертым треугольником таблицы (ГѴ). Таким образом, переход
О G a u s s —- Werlse, Ш, wp. 4S1. G-ottiEgen, 1876. Хотя название пентаграммы
а принадлежит Гауссу, однако, впервые оші, невидимому, была, рассмотрена
И. Г. Ламбертом в сочинении «BeitrStge aum Qebraucbe der Mstheniatick und Летел
An-venduBgen durcli J. H, Immbeib. 1 Theil, erp. 373—387, Berlin, 1765.
544
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
от одного треугольника пентаграммы к соседнему треугольнику
соответствует повороту диаграммы на стр. 542 на угол ^ по часовой стрелке,
а последовательный переход по всем пяти треугольникам приведет
нас іс треугольникам таблицы: (IV), перечисленным в порядке
1, 4, 2, 5, 3.
Однако, в том же порядке следуют длоокиѳ треугольники,
присоединенные прямоугольному пятиугольнику при обходе (III). Таким
■образом, полунаем следующий результат:
Если плоские треугольники
1, 4, 2, 5, 3
присоединены прямоугольному пятиугольнику в порядке следования его
сторон, то присовОгмвнные іім сферические ыреуголшпті, взятые в том же
порядке, составляют пентаграмму Гаусса.
В заключение сравним jtfs со сторонами
а, р, а', с, I/
и соответствующую сферическую пентаграмму. На ириводеншлх фигурах
.поставим против каждой стороны той и другой фигуры ее линейную
■мару, воспользовавшись снова соотношениями (■&) на стр. 535:
Сравнив обе фигуры, мы видим, что мчжду .тшнейньшп мерами
сторон Мі и сторонами соответствующей пентаграммы: можно установить
таков циклическое з'пврядочеппое соответствие, при котором меры
соответствующих сторон будут дополнительными.
[и] Это соотношение, дающее зависимость между функциями /(ж)
и И (я), может быть получено более непосредственным образом, еолк
предположить, что вершина В треугольника АСВ удалилась в
бесконечность так, что прямые АВ, ОВ л ВВ' стали параллельными
ПРИМЕЧАНИЯ Й45
между собою1). В этом случае чертеж 132 заменяется приводимым
здесь- чертежом, аа котором 11'І[\АВ и D'K\GB, В этом случае мы
будем иметь
г = t =a,
где а — абсолютная дуга предельной линии а), так что
j; = г sin П (к) = osia П (а), р = te~'W =с е—№.
С другой стороны, в асимптотическом треугольнике .1GB угол і.
есть угол параллелизма,
соответствующий перпендикуляру &,
так что а = Ь, откуда
К(Ч=8ІПП(І>].
['"] Обозначим
ре, положив х = с— |3; y = c-[-fl,
мы будем иметь вследствие (61)
но о(0) = 0, а следовательно,
<г 1 у|=<?И,
откуда
? (ж+ #) = ?(>')+ ? (30*
Функция <?(э;) ^сть, таким
образом, аддитивная функция
отрезка и вследствие теоремы, приведенной в примечании [ss], может
отличаться только постоянным множителем от длины отрезка, так что
откуда
>(*) = —
Ч Порученную фигуру можно назвать ае-алвтотпчееким прямоугольным
треугольником.
") Ом, стр. 523 иаат. 'рома.
Загс. 5039. Н. И. ЛобИ'іеискніі т. II.
35
5415 ЛОТВДЕ НАПАЛА ГКОЛІЕТРЛІі
Постоянную о следуат ечитатъ положительной, так ісав выачании Л(х}
т. , II (х)
шключены а пределах от 0 до -^ , п щ —у- есть правильная дробь.
Численное аначеяие « зависит от ныбора единицы дшсшіаба.
Лобачевский предлагает выбрать масштабный отрезок так, чтобы
выполнилось условие
іі = і.
Пользу net, тождествами
а , о, а
atg- і — try aits —
tgo;
, и ., a , a ■
i + tg-T 1 + ^7 1—,,g T
мы легко приходим к следующим соотношениям .между функцией П(.'і),
тритоном ѳтрич<чч;и ми и гиперболическими функциями;
1
він П (У) ■■
сі, I -
сои .11 (.к) = tli
tgll(.r)=-
яіі( —
и
і! получаем формулы (ІіЗ), (іі4) и (G3) как следствия формул сложения
гиперболических функций, согласие которым
sli (х -\- у) = еіі іС ah у --[- еіі у сіі ж,
сіі (j-'-f- у) = сіі ,г сіі т/ — all.»: Eiti i/,
.... th.r + tlij/
t.h (,»; A- if) = — ! .
Решим теперь вопрос о геометрическом вначешш иыбори единицы
длины, соответствующем предположению, что с в формуле (U2) есть
число Недера. Длг атого рассмотрим снова асимптотический іреуголь-
ник ЛСЙ1), предполагая, что с.ѵо вершина В находится в
бесконечности, а- АС=*Ь. В соответствующем троу голышке на ігрѳделыдЖ
поверхности (см. чертеж 132 Лобачевского) катет АС, прилежащий
углу Л (Ь), попрежыаыу ранен д, а гипотенуза ѵ — й есть абсолютная
дуга предельного круга.
Б таком случав мы будем иметь:
(/ = a oos Ц (Ь) = о th { —
]J Ом. предыдущее примечании \Щ,
ПРИМЕЧАНИЯ
:>іі
Но <і р-сть луга предельной лишлі, которое соответствует отрезок
касательной в ее конде, ограниченный темп же осями, вследствие чего
согласно формуле па стр. 524 в примечании [№]
откуда, следует, чтг
7-stli (у
■ к.
Принимая во вшшашіе конечный результат того же примечания [**),
мы впдіш, что единица длины, которую Лобачевский предлагает
принять при выводе формулы (61), есть снова длина абсолютной дуги
предельной линии при условии согласованного измерения отрезков
и луг.
Совпадение абсолютных единиц, принятых Лобачевским в ст. 11?
и в ст. 137, было доказано им в сочинении зПангеометрня»').
[■'Іі| Приведем несколько упрошенный вариант вывода Лобачевского,
Рассмотрим треугольник ESG, образованный ва предельной
поверхности дугами предельных линий и имеющий вершину прямого угла,
р. точке К.
Возьмем на осп ЕЕ
предельной поверхности
точку Л ц построим
сферу радиуса АЕ. Гак
как осп ЕЕ' и GG-1
неограниченно
сближаются в сторону паралле-.
лизма, то точку А можно
ваять так далеко от точки Е, чтобы сфера пересекала ось GGr. Пусть В
есть ближайшая к G точка пересечения сферы с осью GG'. Пересечем
сферу плоскостями АЕН, ABG, A3DJ_ABG, и рассмотрим сферический
треугольник BED с прямым утлом при вершине Э. Мы можем всегда
предположить, что оп присоединен плоскому прямоугольному
треугольнику с вламвнтами
а, £, а, Ь, с
так, что вследствие соотношений (*} на стр. 53&, его углы п стороны
характеризуются линейными мерами:
£_Е— Ь,
L%—«.
ДО—с,
ЕЕ~гр,
ВС —а.
А
Е'
1) Tow Ш на ст. йндания.
Sfi*
548
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Предположим теперь, что точка .1 неограниченно удаляется от Е по
оси ЕЕ'. 3 таком случае все точки сферы неограниченно
приближаются к точкам предельной поверхности и, в частности, точка В
стремится к точке О, а точка D— к некоторой точке Я, па
предельной линия ЕЛ. Но плоскость Л/)В, которая все время остается
перпендикулярной плоскости ЛЕВ, стремится стать параллельной
прямой ЛЕ, то-есть совпасть с плоскостью НПО', вследствие чего точка Ж
совпадает с точкой В, так что все стороны сферического
треугольника ADB стремятся совместиться со сторонами треугольника ASG
на предельной поверхности. Отсюда, пользуясь тем, что оба
треугольника имели? общий угол при вершине Л, а для треугольника на
предельной поверхности имеют место соотношения евклидовой
тригонометрия, мы приходим тем же путем, что и в тексте, к соотношениям
которые показывают, что функция
In. ctg — fl (ж)
есть аддитивная функция отрезка и может отличаться .от его длины
только постоянным множителем.
[э,1 Подстановки по приводимой здесь диаграмме, примененные
к формуле (70), приводят к пяти соотношениям (70), (71), (72), (7G)
и (77). Каждое из них выражает связь между любым ѳлемѳитом ѳтой
диаграммы я двумя противолежащими ему млэментами. Остается
получить еща пять соотношений между всяким
элементом и двумя ему прилежащими.
Перенумеровав все элементы диаграммы, мы
можем обозначить соотношения первой группы
знаками
(1, 3, 4), (2, 4, 6), (3, 5, 1), (4, 1, 2), (5, 2, 3),
а соотношения второй группы — анакамп
(1,2,8), (2,3,4), (3,4,53,(4,5,1), (5,1,2).
Чтобы получить последние соотношения, следует ваять такие два
соотношения первой группы, которые содержат два общих элемента,
и исключить один из них. Так, из соотношении (1, 3, 4) и (4, 1, 2),
следуют соотношения (1, 2, 3) п (2, 8,4). Оба эти исключения п
проводятся в тексте, приводя к уравнениям (73) и (74).
Возникает вопрос: можно ли путем последовательных исключений
получить все десять соотношений аз трех, произвольно ваятых среди
этик десяти? Легко видеть, что при выборе этих трех соотношений
могут представиться следующие три случая.
ПРИМЕЧАНИЯ
549
Два облцих элемента входят:
1) только в одну дару соотношении,
2) в две пары соотношений,
S) во все три дары соотношений.
Начнем со второго случая, взяв за исходные, например,
соотношения
(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5).
Производя исключения, ми получим пз пары (1,2,3) и (2,3,4)
новую пару
(1,2,4) и (1,8,2)-.
Таким образом из (2,3, і) и (3, 4, 5) следую?
(2, 3, 5) в (2, 4, 5).
Испщіъвуя теперь пари (1, 2, 3"), (2, 3, 5) и (3, 4, Б), (1, 3, 4), мы
получим
(1,4,5), (1,3, Ъ) ]і (1,4, Г,),
г. е. вое десять соотношении.
Первый случай может быть представлен соотношениями (1, 2, 3),
(1, 2, 4) и (3, 4, 5), ыо первые два па них дают после исключения
.■элемента 1 соотношение (2, 3, 4), и мы возвращаемся ко и юр ому случаю.
Очевидно, что в третьем случае, когда каждая пара соотношений
имеет два общих элемента, одшы па пяти элементов треугольника не
входит ни в одно нз трех соотношений п, следовательно, все десять
соотношений не могут быть получены. Еслп отсутствующий элемент
определяет катет или угол, то, дополняя исходные соотношения теми,
которые л случаются из них перестановкой катитов и углов, мл снова
вернемся к первому пли ко второму случаю. Наконец, если
отсутствующим элементом является гипотенуза, то ѳе нельзя ввести также и
перестановкой, и получение всех десяти соотношений на этом нузи
оказывается невозможным. Что касается замечания Лобачевского,
приведенного в тексте, то оно остается и силе, так как он утверждает,
что путам исключения и перестановки катетов и углои все десять
соотношений могут быиь получены на (ТО) — (J?>), в. на них только (72)
и (74) не содержат гипотенузы.
[!і8| Чтодш полупить связь между соотношениями (55), (50) и
Уравнениями (80), (81) на более простом и систематическом пути, отметим
некоторые тождества, характеризующие функцию (ж, #), 'введенную
нами в примечании [к] (стр. 532),
Рассуждая так же, как в ст. 137, мы будем иметь из (55,10) п (55,3)
cos Ц (?j) сов (с, р)
созІГ(с) am(j3, с)7
(Ь)
Ъ'?() НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРШ1
но :л силу (ііО)
cos II (Ь) „, ,
— ■„■■■ =созД (с),
сиз II (а)
я ли приходим к тождеству, справедливому для любых .иіачании
х и у;
соа(х, ?у) _
-~ гча cos Л (л), (а)
ащ(й,.е)
С другой стороны ім соотношений (С) гг (D) примечания ['"] (стр. 534)
мы имеем
зіа(3, а) = соя (а, Ь),
sin(i!, f}) = sin (6,а),
или согласно (5И) (сір, 320) и диаграмме на отр. 551
зіп ((),«.)__ am ГГ(3)
ат(а,р)~С°8Я,",_ш11{<()'
Таким образом, снова для любых значений: х іг і/ мм имеем
эіп (х. ?/"і ____ sin П (к)
зт(у,.у)~шіП(у)'
Комбинируя ио.тіучекные формулы, шд придем еще в двум
тождествам:
И
cost-'-1,,'/)_ igiTtv) ,,,
cos (у, ж) tg П (.i:)" *>
Применяя тождество (d) к (55,0), которому мы придали влд
П(«) = («,»}, мы получим
* л («>-**£>
am H (ct)
то-есть соотношение (73). К атому же соотношению приведет нас и
применение тождества (іі)— к уравнеишо (55,4) ила Ще') = («■', а).
Рассуждая аналогично іыпт пользуясь круговой перестановкой, мы
убеждаемся з том, что каждое на уравнений (а) примечания [сз] на
стр. 5-50 равносильно одному нз уравнений (Ь) (таи Мб), к каждое' и»
«тих двух уравнений равносильно уравнению системы (80).
Вьшнптем номера равносильных уравнений в одной отроке:
(55,<>), (55,7), (81,5),
(55,8), (55,5), (81,4),
(55,10), (55,3), (81,2),
(55,2), . (55,1), (81,1),
(55,4), (55,9), (81,3).
ПРИМЕЧАНИЯ
Л.Л
Обратимся теперь к уравнениям (5Ѳ). Даа на них, например ійСіД)
и (ЯС,2), мы можем заменить лвумя уравнениями из (о) и (ji)
примечания р31 (стр. 538), а именно
С'.*) = (я,3),
К'>) + (?, «) = |-
Применяя к их левым частям тождѳотво (а) настоящего
примечания, и к правым частям тождества (Ь) пли (d), мы получим
соа(я, A) sm(3,rt.)
эід (ft, а)
cos D (а) =
то-е,сть уравнение (80,2),
С другой стороны,
sinfn, J9J
am 11(g)
sin П. («) '
зіп (а, Ь) соа (3, ")
cos (b, <х) ~ cos (и, J3)
плп
сое П (ft)' tgll(i.)'
тс мы получаем уравнение (81,4).
Рассуждая аналогично или пользуясь циклнчеокой перестановкой,
ми получим следующие результаты.
Уравнения (50,1) и (5Й,3) равносильны уравнениям (80,2) и (81,4),
» (58,3) и (Й6,4) » » (80,4) п (81,5),
» (5G,j) ег (50,6) » » (S0,5) и (81,3),
(5(5,7) и (50,8) » » (30,3) и (80,1),
» (50,9) н (50,10) » » (ЙОД) и (81,2).
Таким образом, система уравнений (56) равносильна системе всех
десяти уравнений, связывающих элементы прямоугольного трѳуголь-
нпка.
При перестановке по круговой диаграмме
уравнения (80) и уравнения (81) следуют друг
за, другом в следующем порядке:
1, 2, 4, 5, 3.
Пользуясь той экѳ диаграммой, иьі можем
сформулировать следующее правило, охватывающее
все десять соотношений (80) в (81) и
аналогичное прапплу Непера для сферических
прямоугольных треугольников.
Синус угловой меры элемента, помещённого в некотором секторе
диаграммы, равен протведвшк косинусов угловых мер элементов, помвіценкъис
552
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
й противолежащих секторах и произведению тангенсов э.гелеюное,
помещенных а прилежащих секторах ').
Пользуюсь связью между тригонометрическими функциями угловой
мери отрезка и гиперболическими функциями его абсолютной
линейной меры, т. ѳ. формулами
вЬ П (.0 =
сііх
cos П (х) = tli х, xgTl (.г1) ■■
1
мы получим правило Либмана2):
Гиперболический косинус линейной меры элемента, помещенного в не-
s-omopo.it секторе круговой диаграммы, равен произведению гиперболических
„оманренсоз линейных мер элементов, помещенных а противолежащих сен-
торах, и произведению гиперболических синусов линейных мер элементов,
помещенных в прилежащих секторах.
Применяя это правило, мы получим соотношении между
элементами прямоугольного треугольника л следующем виде:
eh с = cfch a' cfh'/ = ѣЬ a sh ft,
ehp =cth*ot]jn' —shcah I/,
ch b' = cth с cth в = sh jl sh «',
ch <t' = cth p cth с «shfc'slia,
oh a != cth u" cth p = s!i и'sli c.
Польауясь связью между гиперболическими функциями и
тригонометрической функцией аргумента П (ж), вследствие которой
еіі ж' = cth л-. $hx'
1
приведем эти соотношения к такому виду, гіто углы будут
представлены своей угловой, а отрезки—абсолютной линейной мероіі:
сіі с = din еіі Ь = ctg.l etgB,
1 oh ii sh с
cos Л ~~ sh ft '
efhc ctgli
L'tll Ь =
cth a =
1
COS -Л
cthV
cos Л*
ch /j
ctg_-4
sh t
she
/(*)
sin Л
con U
НІ1Й
') См. примйчивив А. Б. Кителышкоші в сочинению «О началах геометрии»
и I томе наст, издания (стр. 276J.
') Н, ЫсЬліаап.—NichtouklMische Geometrie, BwJip imd Leipaig, 3023 i:
Стр. 61.
1ІГПМГЛЛ1ШЯ
558
Приведенное иыгпе мнемоническое привило может быть заменено
следующей равносильной ему теоремой, выражающей зависимости
между сторонами прямоугольного
пятпугодьтп-та, рассмотренного в
примечании [г1а1:
Синус, угловоі'і меры стороны iijjii-
моуголтого пятиугольники уавен 'чроиз-
ведению косинусов угловых .щ>
прилежащих сторон и произведшую шапгенсоа
угловых мер противолежащих сторон.
Iм] Соотношения между
элементами прямолинейного треугольника
могут бить проще есйго получены
из формулы (54) п системы
аналогичных ев формул равносильной
системы (с) И ((1) примечания ["] (стр. 53S), если арп этом
воспользоваться тождествами (с, 2} п (Л, 2). Действительно, ш соотношений
(с, «) = («, 7),
(а,с) = it —П(р) — Ст,-0.
мы получим
tg(a,y)z=tg{c,a.)
или, вследствие тождества (с) примечания [ая] (стр.550),
tgll(«l tgII(C|
sift II П) віп II (в) '
то-ѳсть уравнение (У5).
С другой стороны.
яп (а, с) _ sinII (В) cos (т, а) -Ц cos 11(g)віп (т, «)
cos (с, а) cos (((, 7)
откуда, вследствие (а) и (rt) примечания |ж] (там же), мы имеем:
■ = віпП(?)
tgH(ff) . СОБІТ(р)
или
cosjT(c) —""\rj rg.|j ^
ctg С sin # sin II (n)-\- cos 5 =
cos II (a)
coaH (a)
cosIUO"'
то-еоть соотногаиюіе, аналогичное (88).
Наконец,
сов (а, с) _ sin II (fi)sin {у, a) —соз 11(g) ооэ(7,а)
sin (c, a) sin (a, y)
354
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
и мы имеем, вследствие (а) я (1)) примечания (ІКЧІ,
□os Il'(s) = віа II Ср) ^|гЙ — °03 Я (?) cos Гі <ЛІ
sin і.1. і jt і
ял и
gin Я sill С
coa Л 4- cos В соз С = ——гт—;—,
1 sm.ll. (а)
то-есть соотношение (ЗЙ).
Соотношение (.87) tie может бить выведено непосредственно из двух
формул, приводимых в начале этого примечания, так как они
содержат только две стороны треугольника, но оно может быть получено,
.ыак следствие уравнений, выводимых и дальнейшем. Действительно,
рассмотрим уравнение (83):
GtgA. sin (7 sin. II (ft) -J-cos С — -г—т-
coslf('0
Полагая, согласно (85_),
, , . ,, , sin С tg It («.)
eta Л am О = cos Л -— == oo.-;, L —-- ,
ля легко приведем его г; виду
si.nl! {!>) л-'- а =зш U (с),
где
,__ соя л аіпіі (л) cos Л (г)
'' ~ cos II (''J ~ ~ '
Я.
соз С sin II. (с) cos 1і (и)
оовГЦ'О
Заменяя А на С гі « ыа с, мы ыолушм ііторое уриш-іѳнае
л' -f- sin II (b) і/ = зіп II О).
■которое вместе о полученным ранее дает
соз A sin П (а) соя Ц (с) зіп 11 (е) — sin II (a,) sin II (й)
соз II (FT = ~~~~""ooP1T(S}
или
, гг/и гт , ■ і ЗІП II (Й) ЗІП II (с)
cos Л. cos II (ft) соз П (с) -\- —4-тг—г^ = 1 ■
1 ятЩге)
тс-еесь уравнение (87).
[ІМ] Сделаем обзор того пути, на котором ЛобачевсвиИ приходит
к выводу соотношений между элементами прямолинейного
треугольника. Отметим прежде воего, что он устанавливает эти соотношения
■В двух видах: во-первых, в виде (!>£>) и (50) для прямоугольного
треугольника га в ипдѳ (54) для произвольного прямолинейного, во-
вторых, в виде (80) и (81) для прямоугольного и в виде (85), (87),
(88) и (8U) для произвольного прямолинейного.
ПРИМЕЧАНИЯ
-)■>■>
Так как первый вид соотношений, содержащий, кроме знака функ-
■дан II. (ж) it х', только знаки арифметических действий, служит Яазоіі
дли вывода формул второго вода, то мы будем" называть их /штнош'?-
ииямп первой ступени. Мы будем называть также (SO), fSl), (95), (S7),
(83), (8!)), связывающие тригонометрические функции аргумента II (ж) —
лоомкашениялт второй сшулени,. Естественно называть соотношения (*-)
еа отр. 552— сооінношнияші третьей ступени, отметив, что они
связывают тригонометрические функции углов с гиперболическими
функциями отрезков. Лобачевский не приводит эти соотношения в
развернутом виде, хотя и имеет в этому полную возможность после*
вывода основной формулы (02)
Установив чту терминологию, перейдем к обзору основных зтаиов
вывода Лобачевского.
1. В статьях 133, 134, основываясь на геометрическом
определении функции П(ж), Лобачевский выводит шесть основных формул
первой ступени (4У), (50)', (51), (52) и (53) для прямоугольного
треугольника.
2. В ст. 135 он выводит основную формулу первой ступ&ни (Г->4), им
которой с помощью парных п циклических перестановок сторон и углов
можно получить еще пить формул (а) ц (Ъ) примечания [ай] для
прямолинейного треугольника, общего вида. Лобачевский замечает, что
формулы, полученные ранее для прямоугольных треугольников, являются
частными случаями формулы (54).
3. В ст. 136 отмечается связь между прямолинейным и
присоединенным ему треугольником, ц с помощью этой связи устанавливается
принцип циклической перестановки для прямоугольного треугольника,
.позволяющий получать из каждого соотношения, связывающего его
элементы, еще четыре независимых соотношения.
4. В той зке статье, применяя принцип круговой перестановки,
Лобачевский получает систему двадцати соотношений первой ступени
(55) п (50) для прямоугольного 'треугольника.
.5. В ст. 137, основываясь на том, что внутренняя геометрия
предельной поверхности — евклидова (ст. 120), опираясь на соотношение
между длинами дуг параллельных предельных линий (ст. 117) и
пользуясь принципом циклической перестановки, автор находит
соотношение
e~fia) ^аіпЦ(&),
.характеризующее зависимость маікду длиной отрезка касательной и.
;к предельной линии и длиной отрезка ее оси, заключенного между
этой линией и концом касательной.
55(1
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
(і. Далее, с помощью этого соотношения находятся три остальных
соотношения второй ступени (38), (50) л (00) для прямоугольного-
треугольника.
7. Далее, на основе эт;зх соотношений и соотношений первой
ступени составляется функциональное уравнение для II (ж), решение
которого приводит к основному тождеству третьей ступени (62).
8. Наконец, е помощью основного тождества устанавливаются
формулы сложения (A3), {04), (65) для функции П (х).
9. В от. .141 путем исключения ив (58), (50) и (130) выводится пол-'
мая система десяти соотношений второй ступени (80) н (81) для
прямоугольного треугольника. Далее показывается, что те же соошоше--
ния можно получить из соотношений первой ступени (55) и (56),
применяя основное тождество (02).
10. В ст, 142 выводится полная система соотношений второй
ступени для общего случая прям о линейного треугольника. Эти
соотношения тоже выводятся двумя способами. Во-первых, из соотношений
второй ступени для прямоугольного треугольника с помощью
исключений и применения формул сложения (03)—(65). Во-вторых, из
соотношений первой ступени типа (54), е помощью применения
основного тождества (02).
[ш] Пользуясь основным тождеством
. Л(.е) _*
где к есть длина абсолютного отрезка или jtabwyi. и$итшы
пространства1}, мы получим:
■ідД(у)д ,
ch (т)
созІТ(.г-) = (.и/у|.
Разлагая правые части в пяд Тейлора, будем иметь:
ЙІПВД = 1 —|^)! + вя.
совП(;г) = ^- + 6:!,
') См, том I шіст. издании, отр. 142 (примечание Iя] В. Ф. Км-ави к еочнив-
ниш «Гиомѳтрическн.а исспедсшпная»}.
ПРИМЕЧАНИЯ
557
причем остаточный член =,. будет до крайней мере третьего порядка
по отношению к у . Подстановка в формулы (83), (S7), (88) и (SB) дает:
йвіпЛ —iisinB = s4,
o2 — //J—с' — -ІЬесозА = %,
ctsiti (.1 + С) -f-bsla.l = s0,
соз Л -L, соа (Л -f- С) = з7,
где е;. — по крайней мере второго порядка по отношению к -,-. Еоли
длены сторон рассматриваемого треугольника настолько малы по
отношению к длине абсолютного отрезка, что их отношение или даже
квадрат их отношения находится за пределами практически возможной
точности измерений, ю полученные зависимости практически не
отличаются от зависим осте й, приведенных в тексте, то-есть таких
зависимостей, которые характерны для евклидово гг геометрии.
Из этого факта следует оовместлмость практической достоверности
евклидовой геометрии л предположения о том, что реальное
пространство в целом подчиняется законам геометрии Лобачевского с
достаточно большим абсолютным отрезком.
Так, например, известно, что все космические треугольники о вер-
шинами в звездах с известными параллаксами подчиняются
соотношениям евклидовой геометрии в пределах точности, доступшой
современным астрономическим наблюдениям, п это не противоречит
допущению о сущѳствованпи абсолютного отрезка, размеры которого
превышают 4.10й радиусов земной орбиты, или шестьдесят световых лет1).
Проблема связи геометрик Лоб&чѳвокого и строения
действительного мира получила совершенно новое освещение в общѳй'теории
относительности. Как иапѳстно, эта теория опирается на геометрическую
схему рнмановой геометрии четырехмерного
пространственно-временного многообразии, причем геометрпя мира существенно зависит от
распределения тяготеющих масо. Если предположить, что эти массы
равномерно заполняют пространство, то-ѳсть произвести как бы
«осреднение» этого распределения, то можно прнтти к схеме так называемого
«изотропного мира». Эта схема позволяет отделять пространственные
и временные координаты п поставить вопрос о геометрии трехмерного
мирового пространства. Кривизна такого пространства будет
постоянной п a priori может очитаться отрицательной, положительной или
равной нулю.
Выбор того из этих трех предположений, которое соответствует
действительности, моясет быть произведен только на основании
наблюдений, позволяющих определить среднюю плотность материн р п
■ среднюю скорость .движения внегалактических туманностей в ее огно-
1) F. Schilling — Kiebtouklidisclie Geometric, Leipzig imd Berlin. 1931.
■Стр. 213,
yob
ПОЛЫЕ НАЧАЛА ГЕОЛЕТР1Ш
mt-ыин и к рясотоянлю оч наблюдатели. .71- Лаилау и Е. Лпфшип'і
ук'и.чипают, что при значениях а = 1,Ь-10-1' п>.->;~1 и о = Ю""'' ;■ г.и:і
принятых и современной астрономии, кривпднн изотропного простргш-
("пш инпшцтнемна, так что оно является нраі-ыуансінвол Лобнчет-пигч.
Абсолютный отрезок пространства, вычисленный г. согласии с теми я:ь
дннниміі, оказывается равнин 1,8 •10-' световых лет.
I1"-] В прпмечішнп [яа] было установлено, что всякому лрлмоу г
ильному пятиугольнику J/j Плоскости Лобачевского соответствует
сферическая понтагриліма Гаусса, внутренние стороны которой могут быті
постиіілеііы в упорядоченное циклическое соответствие со сторонами
.1/. мц что угловые мери соответствующих сторон дополняют друі
друш до ~. Но стороны J/D сЕязалл
соотношениями, прнведеинымп к конце
примечания |!'s], п ми приходим J*
следующей теорвме:
Ііосшцс с-яцшреч'ми с ширины ііеннш-
гра.ммы Гаусса jieecw пронявеііснлю синуач.
ігрилежащіш сшороп и шш<гіімгнѵші нішші>-
аолі-жащіш опорой.
Обояітачнв через
.[, И, а. Ь, г
углы, протниолежаіцне іш катеты и ш-
иогеыуау прямоугольного сферического треугольника к аиая
расположение соответствующих і-ім сторон
пг-нтаграммы, игл получаем из атой ч-еоремн псе десять
уравнений (УО) — (Wf>J-
Наконец, если расположить элементы
пентаграммы в порядке, соответствующем круговой
диаграмме, то предыдущая теорема примет
форму правила Лешра.
Синус средней части ранен произведению ѵоеинусое
прошкеолежщих и шаигешов прилежащих тагей.
[1"!І] Если обозначить через а, Ь, с длины дуг* больших кругов,
образующих стороны сферического треугольника, то соотношения (00).
{99), (101) и (102) примут следующий вид:
яп у к ч sin у к Ь
CDS--1 ■ sin ]//.■ Ь ■ аІп У" fc с-j-COS У'А-Ь . cos)/"A-r; = cos]//f а. {Ш)-
ctg Л ■ sinG'-j- сое С • cos уіс Ь = ctg уіс<г ■ аіп у"й Ь, (101)
cos]/fc (f • sin В - sin С-—cos.fi - cos 6' = cosj1, (102(
>) Л. .!i n иди у и E. Л it ф «г и Ц — Теория иоля, М. — Л., 1941, стр. 277.
ПРИМЕЧАНИЯ iliib
где, к есть «о.чхал криш'.лш сфери и равна обратнсіі величине кицлра»
радиуса, если сфера погружена і; евклидово пространство
Соотношения сохраняют смысл, если считать величину /,- отрпин-
ѵелы-iofi іі применить формулы Эііперн.
Действительно, полаі'ііп
будем ішеті.-
>—h
COS г— = С] I [ —
Ы11
m — = — sli I — ,
»■ - \ і■;
tg —=—л —
?Г ( \ Г
Если с есть абсолютны:! отрезок пространства Лобачевского, -п.
COS l/ /i*;/' = — ,
Ѵ ШіП (г)
sin У 7' .'•' = — ctg II (j;J.
tg"[/^j; = — cfcsll (j:),
и подстановки в соотношении (9U), (09), (101), (102J приводит их к
следующему виду:
tfi П («) sin Л = tg П (Ь) зіп Іі,
1 1
— сое .-I ctg П (Ь) ctg П (ff) -
sin II (b) sin П (с) sin II («j '
. , ■ ,, , cos С . ctg II (Ь)
ag-'lsin6+5nuTW + ^niH = 0'
sin В sin С „ л
—;—г^-т COsBcOS 0 = 008.-1,
am II (о)
и они совпадают с соотношениями (83), (87), (88) и (89).
Геометрический смысл формулы (101) при отрипателыюм значении
1с был установлен Ѳ. Мивяингом 1) еще при жианн Лобачевского, хотя
п не в связи с его исследованиями, В 1S40 году он опубликовал в XX
томе журнала Крелля статью «Beitruge zhv ТЬеотіе der kiiraesten Ілпіыі
iiuf brum men Flficheni, в которой показывает, что соотношение (101)
') 8, ІІішдинг рпдился и 1S0S году в городе Калише. С ІЬ'43 со 1883 юд ив
состоял ординарным профессором Юрьевского (аын<> Тартуссвого) университета.
Ныл членом-корреспондентом, в. впоследствии почетным академиком
Петербургской Акндсмпи Наук. Уыср в ІОрьсііе в 1885 году.
ЭІІІ")
ЫОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
■при отрицательном к имеет место для геодезических треугольников на
ыовериіостпх постоянной отрицательной кривизны.
Трудно сказать, почему Лобачевский не заметил результата Ыпн-
дпнга. Если бы это произошло, то история р&ивнтня идей
неевклидовой геометрии претерпела бы существенной ыаменешіе, а Лобачѳв-
скаіі мог б и добиться их прпапания еще при жизни.
J1'14] Это условие по существу относятся к получению
приближенного соотношении
lug (1 — Да tg u) = 01
из точного
log соя {і -~- Ди) — log1 соа о. = <я.
[ll,:'j Для уточнения слов «весьма, близко» проведем вычисления
подробнее:
« = log ! etg« *(a + to) J = log \+С£,Г£ІГ *
2 far irr
= log-
°й * '" sin 2d (I— tgfttgAtt)_
2Дл S(tgAft— Дя -)- tg a tg' Ati ■ Art)
sin 2a ' sin 2a (1 — tg a tg An)
Итак, пряближеппѳ Лобачевского справедливо при
2 (tg і" — і*і -Ь 'і? " ^ й" ' л") ^ „
sin2f<(l— tgrttg Да)
[luiij ■q «Полном собрании сочинений по геометрии» Н. IT.
Лобачевского (Казань, 1883) слова «и сяова такую гкѳ ошибку, когда даем
его в таблицах» опущены. Это нарушает смысл всей фразы. Мысль
Л!обачевского молено пояснить так: пусть числа Д'р Л,, . .., ^ верны.
При отыскании ых логарифмов в таблице мы получаем общую
погрешность km. При отыскании Л", ■ Л\> ■ ... ■ Аг* по log (ІѴ", - Х> • ... ■ Xj) с
помощью топ ;іѵс таблипы получаем дополнительную погрешность и>.
Следовательоо, общая погрешность Д", • X, ■ ... ■ Xt, полученного таким
образом, есть (А:-}-1)ш. Редактор Казанского издания отбросил указание
на дополнительную погрешность п тем самим сделал непонятными
вся формулы для определения погрешностей, имеющиеся в главах XII
и Х1И.
j1"7] В современных таблицах черта ыод характеристикой в данном
случае опущена.
[10BJ При вычііслошггі lo{j(jWshil") Лобачевскші пользуется своим
значением М и получает 4,3233:537. При атом допущена ошибка в
сложении; результат сложения есть 4,3233547. Эта огласка повторяется
при получепии і—log'(Л/sin l"), равном не 5,U7U(J4G3, a u,07ljG453
(пользуясь данными Лобачевского). Правильными числами являются соот-
_ветствегшо 4,3233502 н З.ІІТМНОЗ.
ПРИМЕЧАНИЙ 501
Г I Отметим, что при ctg\fl>0 |ЛЯ| пмеет наибольшее значите
при отрицательном іжакѳ перед иориел. пли, что все равно." прп
замене —ctg/J аа ctgB, что, однако, как вид ко на дальнейшего, лает
слишком большое апачі:нпе |ЛВ].
[по] В самом деле,
4Й-- /^^+j/4;^c"^;=
-ѵч
М
•COSjH- 1 -. / Чиі
■ = ]/ -.-^И-
sin .г у М в 2 '
При заменп п (11->) —ctg.B на ctg ft, мы получили бы
t11'] Логарифмируя (ИВ) іг учитывая примечание ['"'']) получим,
Леря сумму абсолютных значений отдельных погрешностей:
Д log tg 1) = Зш -j- — Д log sin я -j- — Д log sin (2.1 -j- al.
Применив уравнения (107) п (109), получим:
откуда следует формула, стоящая в тексте перед (US).
Далее,
2ДВ _ Зоі sin (2.-1-f 2а) _ 3
иіпЗБ"^ .1/ """ 2аіпазіи(2А-|-а) л
Зш
И
1 +
;sins (2J — 2а)
Но
Следовательно,
3w .
АВ = —; sin 5 cos Д
Л/
4ain«sin (2.-1 -4-е) _
sin a sin (аЛ-]-"01) = cos" В sin" (A -j-°)-
ооз- (Л -j- a)
1
= -^12Л[соэ2Д + сое^и4-«)].
соз" іі
pi-] Вычисление погрешности в этом случае производим так:
log/4M = 3,301D3
— log' (М sin l") = Гі,<і7<Ііі4
log tg P = 0,,417SU
log \B =^,79533
ДВ = 0",<!2.
J113] Логарифмируем (llG):
log t-g Ji = log sin .1 — — log эіп а— —log sin (2.1-j- o).
3as. ВОЗЯ. H. H. Лобочевсккй, т. 11.
36
662
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОЛЕТІ->ИИ
Заметим далее, чти
Далее,
log'sin (а -■- Да) — log sin а j=a log' (I -J-Aacr.gaj,
logsin(2,14- a4- Да) —logsin(2,1 +a] = log[1 4 Даetg(2.1 -|-a)].
Множитель 3 получается из-за наличия погрешностей щ при
отыскании log sin Л, ш — при отыскании Jog; lAiin я sin (2у[ — а) и и —при
от ел оканий if по logigJJ. Кроме того, Лобачевский меннет знак у еда-
Зш
гае.мого -гг ■
[ш] При ДВ ы ct#.tf одного и того те порядка, шѵшегп
14i-0cte'-c ' sm#eos/i
Когда if близко і; тгк> Лобачевскпн полагает
1 — \В tg JJ Xll
l-\~£J3Qtf* Й"
1 —
ніп 7і ооэ Й
В от. 140 оп при сходных обстоительстпах сохраняет член fs Д/J-. Под
корнем пренебрегаем членом Да'2 clgoctg (2,1.4к). имеющим третий
порядив малости относительно Да.
ял
[115] Множитель К)"01 Лобачевсаий предстаплнет іыігс і'-1' , ирийчп-
женно замеляѳт его через 1 -f- -ту гт подводит его под кореш, в виде
бгц
.1/
14jTi пренебрегая членом ш5. Далее
sin (2,J 4 2а) Uu> sin" (2.1 + 2а) (іо> оон" (Л ~\~сі)
ніп а віп (2 А 4 а) --І/ cos3 AJriin'2 (Д -|- а) jtf cos^ //
Отсюда
1 --
ДА'
и-
Ііш
sin.3eos« у \ ' Л
пли, снова пренебрегая членом с <а-,
14
(іи> cos'2 (.1 4 а)
Ж
cos- #
sin Jl cos
Следов ат е льно,
ДВ = sin 1J cos .В
,*=/
і4
77
14
соаа (А 4 й)
ооа* Л
-/'+?[.+
сов'2 (.-I -[- а.)'
соя- /J
Здесь Лобаченокий, не делая оговорок, меняет аыак праноіі части.
[ш] Полагая-, как и в начале этой статьи,
cos Б s '
ПРИМЕЧАНИЯ
503
получим
Далее полоысим
1 , / (Jw ,
откуда
1 _^ П[І£ '£/
ЛВ = sin .В сон Б | —1 Ч — I = — sin IJ cos і>' tsc==
cos<a / smo
, ш sin В cos В .. Aeo) J to sin iJ cos (.4 -f- a) , /
J/"
[ш] Вычисление наибольшей погрешности я угле В (при Ь'=-^-)
производится так:
log (5<о = 3,47712
— log if=0,36322
Ecu —" ~~
log-у = 3,33034.
bg Г/ —=«,01967
— log sin 1" = 5,31443
US
log =2,23410
cos .4 '
Д.В = 17і",44соаЛ.
[IISj В имеющейся в нашем распоряжении литературе пет такой
таблицы. Исходя па слов Лобачевского «какая здесь вычислена», мы
предполагаем, что эта таблица составлена ии самим шш под его
руководством. Поэтому мы приводим в приложении к настоящему
сочинению :) подробное описание составления этой таблицы.
Таблица была составлена Лобачевским о 15 десятичными знаками.
Следовательно, пр о м ежу точные вычисления надо производить по вран*
пеіі мера с 16 десятичными знаками. Проверка показывает, что
Лобачевский производил эти вычисления с 15 десятичными знаками.
[па] й2= 5,42773 50625,
йа=4(5,423100(Ю25,
Е.2 —№2 = 40,99530 58400.
Дальнейшие вычисления (деление на многозначное число
совращенным способом Фурье) приведены в приложении к настоящему сочп-
э) См. приложение 2 на стр. 593.
30*
на
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИЯ
пегшю1). Отметим, что Лобачевский считает и и !* точными, ибо, беря
и nut по і> значащих цифр, он удерживает )5 значащих цифр в -~—
і'— а-'
О.ОііЗЧП ІіЗМ.Ѵ.г
|i-t'l iii'ci? --—--■ = arcta,'O.Or> —
-4- arcts
U.U'.M.'j ПОІІІН
О.ОІ'ЗКС гіЗНГіі.1 — O.O.'iB-JriTO'JaS
і,іі2:-і:>з-2~з7Гі
['-'І Для уточнения частного (ибо последнее у Лобачевского
содержит 7 значащих цифр, а соответствующий: угол — іі значащих цифр)
и приложении-) проповедано сократеппое деление способом Фурье.
В лагшіеіігпеи результат Лобачевского п,0О(ЮТ> '.ЮТ 12 .чаменеіг ни
О.ООООіі 907114.
J1-] В тексте Дооачепсімго «гсп* (0,0UOf>."j U0712) = I'.">">",310700
(ем. предыдущее примечание).
I1-'1] Исключение Ля производится таі;:
р— . ) , и_АВ+і;,іп(йл+а,)) ^_,_^
1
■ + -Т
х—\ій-^
sin a sin {'lis -f- я)
. ш sin а эіп (2 /.' -f- a)
4-!-
К
1
эіп(алч-ій)
J/| ' 2 \sina sin(26'-j-a)
3 gin /i'cos(W-(-e)am(2/j-j-Iia)
аіпазііі (a/j'-j-a)
4 +
Л/ 2 sin (/J-f- a) cos /j
и Г 2 sin a sin (2/j-j-a)
.1/ J am (/•'-[- а) соэ/.'
['--•J ffs— ft"-= 0,770547
log (й- — //-) = i),t!ii01G77
'— leg- (n- — I"-) = 0,10U83-23
— fo;* [tr — A'-) = 0,0»-ІЯ1пі.
['-r'] llu ураішення (02)
3tgEco3-(;?-J-a)
ci еду ЦТ
Ho
g-Л]! (.„) = ,-*
ctg—H (log.r)=. a-,
ctg-— II Joar
У,і-~ b'4 y"«-'~b'!'
. V , и 2 coa и
cfg — — [.g ~ = — = 2ctg,/
2 2 am;/ Q
') Гы. ирилчиижна 2. стр. U02.
-) Там ;і;о, етр, C03,
ПРИМЕЧАНИЯ aGo
откуда
ergII (log*) = І- '. — -M=-\~',
,, , , . , ,., v r- — «':-l-b- f)CUS-l
otjrll log
[-
y«».
)
-■*)
■It:
- 1
V й- — b-
[lie] Выражение для с содержит два множителя;' кроме того, от
таблиц ма.бѳгает еще ошибка ш. Всего, такіш образом, имеем Зш. По
от ctg -^ имеем еще [уравнение (109)J
ж 2J/ Ад; .1/іу
Д log ctg — = - = --г— .
- 2 вт-і: -I siiijj
(Следовательно,
Ѵ1~\ Из {(52) следует
Д log <: = Зш -J ;—-
1 sin.c
Но
L't£ — ill log-- ■ ■■-. - ) =!—~-Л-=г~_ .
II . Ч
ctgJ.J_tlg_
огвула (примечание ['"])
2 2.):
«mllOogJ-)= --= , - ,
Х- + -І г
3111 И log —„■ -- = ; г, = —— : = ■
<-» —' ^-tf^—-,-1-1
Зыс , і1 , ri , / 8ю 3w«/ . М , ■<{ -. /"s<n\
3(о<; / , _ / 8Л( ь і \ Зад:
=.^ 1 +
"И \ V Уш sinxj ІІ/совЧ '
где
;>6ti НОВГ.ТЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
11-''| b--\-i--—2be COS Л =а-,
(c — b)- -j~ 2he (I — cos Л) = <f\
(:■ Ь)"-\- ІІК-ЗІГІ-^- 4'/-9Іп"™ — H1 —-І'У" Sill''^ ,
.1 J
(V — lt)"-\- 'M'i1-' — ulsiii8-—- =rt- — 4h- slit- — ,
Выво.ц .тіьнеЯіпих соотношений происходит как в иача;іе ст. І.'гі,
[l3"J Полагая
,' а" — 4//-.ЧІИ- —
имеем
Тогда
II \ log '- ■ ѵ / = -I-
Otg ■!< = ВШ -^-tg О ІСЛІІ Cfcg(l5 -;- <\) ЗІП-^ tg'J.
■_і С — /'
ч і a cos 'J
(г — 4?>- sin2 ~
Отсюда
с = fi -|-о cos » tg" -■- или с = fc — п. cos? eig-^-
[ш] Для получения Дг)< отметим, что
tg iji = сое — ctg'?,
откуда
3<u . , Aiogctg'-s . 3ui . , sm21 ,
M = __ sin2<4 ■?-.-.Р-?.. sim 2-s = -TV4"" Йі г-~Д'*.
Для первого значения А'1
Ac 4oi , Д lug cos'J , 2 4м , , . . Lit
r — /i J/n M ~ "Л/ Л/" ~ ° ' ■ ~ sin -Ji'
Для второго іщачония Ас
Ac 4oi . Діоц'соао , a ^ 2 4ш , Ді
= 2 1J = U Ь is its .
e — h M. ^ M T ,1/' Jl/ ~ ь ■ T sm <\ .
ПРИМЕЧАНИЯ
507
[13-] Приводим вывод ypaBFreKnu (133) — (lSli):
Уравнение (133j;
іс _
-ft
4ео . Гни , , , Зоі , , rnucGSi
j;
J/
Дс = (,-~^
4 -|- 5 tg'- 9 4- 3 СОЭ '!> +
М ROS" О '
а ооэ']/
cos-a
(и (г; —
J/
OJ ((.' —
'>)
• Ь)
— I
г— -4- 3 cos О -4 -—
COS" 9
3 соз й -
Юеоз3^-
-1І" \ ' ' она1!?
Так как важно лппть |Д(.'|, то можем аапиоать h — с вместо с — Ь.
Ниже, в числовом примере, Лобачевсгснй пользуется и <■— ft іг,
фактически, Ь — і'.
Ур авнѳниѳ (134J:
Подобно предыдущему соотношению,
Дс =
oj (с — ft)
М
зд(с~й)
и> (С — ft)
М
4 + 5 tg- э +3 соз 'Ji ■
іі сон у
cos"<?
— 1 Ч -.— + 3 cos i -
соз-о
5cos'l~|
cos-« J
10am-4- 1
3 cos Л — 1 ■
Уравнения (135), (Ші):
Положив при выводе предыдущего равенства cos і = sin" а, имеем:
и (с — 61
Дй==
to (с —ft)
____
(—1 + 5 + 3 oos'}) =
(4 + 3 cosi) [уравнение (135)].
Лобачѳ.вокнй при выводе этих формул постоянно меняет знаки
отдельных слагаемых. Вообще для второго значения с
Дс 4о) . 5аі „ Зш sin Зф , 5ш tg'-? sin 2'{i
,""17 + 17 е * 2Л? ami .17 sin 2<p sin/ii"
, , 5 (sin.5 е + совф)"
4 — 3 oca 'J- + - ' ' ''
М ' М
М
cos-'
Далее Лобачевский1 меняет ваакн и пишет
Ас (о
М
О]
'Л
, 5 (соз-> — am5»)
4 + 3 cos i> J- ——+г— ■ •'■
1 coa- <p
В + 3 cos ф -
10ains-|i
cos- о
[уравнение (136)].
568 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕСШЕТРШГ
[IHj />'' —|— сг- — 2/ii'cos.l = .!-,
(І> -\- і-у-J- 2\н: [I — cos А) = II-,
(?) — •■)"-\- 4br sm-~-L) —-4')asin- ~7/- = 'і- — ib- sin- — ,
(I, — ry- — 4.Ь(І) — <■) $ina ~ ='г — ih" sin- ^- ,
(ft— i:)'3-~ 4''" ягп5 ; •'- = -ib (It — !'}sin-— .
Вывод дальнейших соотношений происхолш1 как в начале ст. 15'2.
I131] Положив
■it)" sin" — (Г- ^ . -■■■-„-
em с = —
Г
2/>вт~ I/ -t?)asin2i
имеем
иоа-і
—j-> ,%' 9 =
l/i^sm3 — .
2&sm —
Положив
пмеем
К / log ■_-;■■ ■■—:.-•■■ \ = ф,
[/■^sm^-
sine , , ,. em's
sin ф = ——— или sin (л — 'ij = .
sin'— sin —
Тогда
ф 6 — с Ь l> — i:
-~ = - ■ - щщ tff —г = ■ ■ ■ .
2 к tg a 2 (i tg'<o
С л ѳ д ов ате л ь ио,
ф
с = й—(/tgwotg-L (ічвтіытіѳе аначешіѳ по Лобачевскому)
или
с
: = /і— ц tjj гу tg ^ (большее іща'ішпіе по Лобачевскому).
ш'| Б 0ольшеи значении с:
АІ , ,Х
Д<: _4ш ilogtge , °Stg"if 4=^ 2Да . іф
ft— <■■ Jf ' . J/" ~ il/ М > вт ■I*?'" sin •!{ '
в меньшем значении с:
?' — с Л/" ■ Л/ "T" j/ ~ jf ~Г sin г-:. sin ф'
Ш'ШІЕ'ІЛНШІ
569
У .Лобачевского в обеих формулах вместо sin 2 а стапт sine.
г 131,1
Ас 4ш
йві
Зад 5щ ctg' '■?
Ь — с М ' J/ sin" « М cos i .U" cos i
0)
: л/
_ +
5
sin1
COS 6
(3 + r>0Tg*?j
У Лобачевского вместо этик форму.ч стоит:
Дс =
■(ь —■■)
, 1
_Ш — .!
4-|-10 ctg2e:__ — {3 + rictg-o)
Наличие 10 ctg2 в> вместо ;т-т—; объясняется пропущенной выше
двойкой перед «; появление Bin™, очевидно, является ошибкой.
Д logtgu —= S»-{-Д log кіп-s-j--—- A log sin (-^--j-? 1 -f---_ log sin I '0 — ? J ;
— = Зш -4-J__» erg « - Д'-ctg т4-о -Да ctg I -. '•
аиійб '3 ' \ 2 / 2
= 3(п-(-Л/Да
Ctg' !В ~
ВП1 ^ cos *
ain(i._|_? Sm|-__?
Зш -|~ М Д ср (otg и -|- ctg в tg'2 ■)) = Зш -
Л/Да ctgw
cos2 6
Зш
Д'|| =: — ВІП _І -]- Дф Ctg !9 tg <1.
[IBS]
. /ii» , 2_s . Д'і
4ш , f>ui . 3oi
№ (b — c)
,1/
—-~ —: 3 cos >Jj __ 5 p
smJ •* сов -p
У Лобачевского e о ответствен ко:
Де =
Ae-
М
_ (Л — с]
_____
, А
5 sin —
4 _j_ Ю ctga f + 3 sin в + ——г- ctg2 f | >
4-{-10 otg* e — 3eins-
co_ у
йетп —
OOE'i
ctg'1* -
-Й70
НОВЫЕ КАЧАЛА. ГЕОМЕ'ПТШ
гШ
1(,§Ч§Ч4-}-Л'Ь) —log tg t^ = log aiii {'&-[-\-s) — log sin 9 —
Ioe
■gain /^--Hf-j-Д'Л— log sin ^
■ / Л |
a'am i -- -f-«
li)S 31П
—Д-£ 1—In" sin j ——о l-4-3(u:
ig { Ц' (u — Aty) otg 41} = І'Ж (с°э Д'* -j- sin <o cLg <э) —
— -^ lr.*j Mal^smiactgr-^-?
sin {- о — A-|
- log-
sm
amI — ■
-Зда^г;
sw 4? [otg * — i-cfg (^ + el — - log ±~
• Д»
-Ню.
sml —- — w еоэ Д* —cost " -j jain Дэ
°B 1 —(,g-Ltgu'l "^ 2
sm I ~ — ?
otg? — — otgf^ + т
(i~t-ijCl,?'i)S
■ іой ■
sm
= 3» -!- Д?
(1 —Ді tgib)-Hm{'- у
I141 J
1 -j- Ц otg $ ^ 1
1 —Д'{< tg- V t1 — Mctg'W (1 — Д-btg'lii
Но из уравнений (137) и (138)
= 3w-i-i» ctg<f —— ctg-i^ + 'j:
COS'i
Д«|і
sin'} cos 'V
COS 'i-
Д'1
sin 7
Поэтому
}
/ am|
,1
Г
+ ?)ші|
Sill —
.1.
-*)
І-Д-ictgO jA"(T
■plslnl ~ — ф
1— Л'ІМ
. Ji / , Д4
am —- соэ'Ь г-1-:
2 \ ' sm-))
ПРИМЕЧАНИЯ
571
откуда следует формула в тексте. «Весьма близко» у Лобачевского
здесь означает пренебрежение величинами порядка малости выше
первого,
[І4-] Потенцируя и заменяя
J О
-,!.., - J
4^Ч'МЫ]=1гтЛЧ*"-4-''*(Ь')І
через
3« До
37 л?
ctg-o — — ct^ U/--T?
получим формулу, стоящую в тексте.
С4'1] Из уравнения (13Я)
sin-
sin I -- 4- а 1 зіп I — — cs 1 = ~-~-
откуда
Л
соме
Ді
Но Іураинѳішѳ (ІЗТЦ
:^4-|/і^т(^ + ср)овв(^— <?).
Знялит,
cos 'Ь -
Л
= яіп О.
sib-
■ = cos <і 4
sm <Ь ' '
S1Q-
7~~Л у u?sin^ + ¥jco9
і.
(4-,
Окончательно, учитывая лишь абсолютное значение Д-j, получаем
формулу в тексте.
[1+4] Из выражений
fj-ui . 2А? Дф |
:1/ ЗІП 2* ~І~ ЗІП. ^ j '
Д,- = (Ь — с)
Д<Ь
= |/2ATotfi-^=|/^
id A.
При а — -'j-, "Ь = — следует
Дс= [Ь-~ г)
ctsr ----
4оі ,10(0 a 2
/іОш , J.
J/ ' Я sinJ.
V тГ
ctg— =
к-
10o>
IT
572 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
ЛоойчеііСі;и(і пренебрегает членом — tg --, что возможно, поо uaii-
билг.шее слагаемой пмеет порядок У т. Вследствие пропуска двойки
в йп 2в (примечание 1ІЯ:'}), у Лобачевского отсутствует вііі.-І в
знаменателе второго слагаемого npanott части.
[ljr,J Hpn 7is=~ имеем
Пренебрегая членом порядка ів, получал
—/!■
Сравнивая два выражении для Дс, имеем
Отметим, что про Н = ~ неравенство
а < 2 й sin —-
переходит в
cos— <1,
то-есть справедливо для любого «< ft и становится поэтому излишним.
Д log г = -!ш -J- Д log sin (,i -j- li),
-1-'--' = -[«,-)- іі/Д/J ctg {Л. -f- В1,
Mi=~igJi,
Уравнение (114) есть
откуда
Вместо ctg-(.і -J- В) можно ваять ctg- С, ибо при учете погрешностей
мы берем сумму абсолютных величин отдельных погрешностей.
Г47] В ст. 152 имеется
Дг= ~ (3-|- і cos ж),
где
boos Л Ь еоя.--і
соя -х =
V гі3оов'-.і
"Ьа sin- J « cos й
! ctgvltg Ѳ.
ПРИМЕЧАНИЯ
573
В от. 154 имеется
д,- == -— | 3 ■
.)/ \ ' COS .і.11
где
1 /і ооа А I' cos.-!
. = ctg .4 tg В.
cos,г у"(,s G0S2 а — ')- + it" у'іі- —І>- мііі- .1
[usj Исходим; из неравенства между Дс ст. 1.">7 и Дс ст. 152 п 154:
4 + 4 tg В ctg С< 3 + 4 ctg Л tg Л,
4tgi5(ctg,4 —ctg6-)>l,
4 ctg К (sin С сов Л — cos С sin A)
sin .-1 sin С
4b(cco9 А —л cos С)
игсоа В
[14!,J У Лобачевского Дс = 0,0003939. В этой статье он берет Дг то
с тремя, то с четырьмя значащими цифрами. Для единообразия мы
сохраняем три значащие щн[)рі..і, ибо такой точности вполне достаточно
для оценки погрешности.
[15°] У Лобачевского значения В поставлены в обратном порядке.
Но оледзгющпѳ ниже значения С он ставит так, что первому
значению В отвечает второе значение С, н наоборот. Поэтому дальнейшие
его вычисления нуждаются в исправлении. Наименьшая: переделка
при этом требуется именно при такоп перестановке значений В.
[ІИ] У Лобачевского log 4т — 3^60208.
[і">-] logsin(7>'—С) вычислен Лобачевский, іісхо,-иіиа верного
сочетания В и С. Кроме того, log sin (В — С) здесь уместен, ибо С>^,
6'<~, тогда как при исходных данных Лобачевского і?<~, С<-^, и
log sin (£ — О) следовало бы заменить log sin A.
[153] У Лобачевского Де = 0,00001082. Отметим, что ошибочное
сочетание В в С и принятие log 4ю = 3,602011 помешало выявить
значительную точность рассматриваемого способа.
[i"4j jj ГІ0Еце ст. Х59 было указано, что последнее решение
выгоднее предыдущего npHtg.l<l/ -^, когдйВя^—. Но у — pa 1; поэтому
условие tg-A<T/ — можно приближенно заменить, условием .!<—.■
llss] По уравггѳниго (140)
4c=~+c*Bofc<V,
но уравнение (120);
^^і^^-^і/
0ш
м
574- НОШЕ НАЧАЛА ГЕСШВТШИ
Тогда
л 4""" J -
М 'і sin К , , . ,,,,-, / ь<а\ 4,л>|"
Г£?_^..__ eos („4 _L. a) estg 6' • 1/ -г? = тт ;—>
где
.,_-./ и in tf « , , . , , „ , / ИМ
|і:'«[ При П=^^-
,, . s К cos Д ' (/ Воі
-/-/£■
[isTj ^£ = o,0000004LU ■-(- ^0,(5008 - Ю-7 gin Л = 0,00000041)1 -f-
~j- Сі,002й2Э sin .1. Лобачевскпй, приняв, как и выше, 4ш = 4.10~в,
долучял
-1 = СОСЮОООІШ-|-О,(Ю202К віп .1.
iliis) Ие уравнения (ІИі)
АЛ = -1^ sin 2/(4-—;,-' |otj?«-[-ct{j(2J -4-я)] Да =
Им . , , эт2Ваш(2Д 4-2a) .
= — em 2И -4- —, .-i_X ' Д0,
2М ' 4эт«зт (2Л-j-a)
[1М] Из уравнении (Ші)
. , г sin tfV'smoam^jl-4-я)
соя Л — зт П сои; Д s= —-—1—.- \__ „"_£
Kin. Л
откуда
, _ sin- W міп I 2Д А- 2а)
ДБ = .- -1 1.— До5
2 sin Л ]/ яіп a sin \2А -4- ее)
откуда олѳдуот шлраясеимѳ Дс в предыдущей формуле. Пренебрегая
первым членом и учитывая, что при Вяа-^ кяг:0, имеем:
дс = ,да__^2е,-_ = ,дЯ|/І^^^сда|/Ж.
2 вт Л у sin a am 2Л |/ sin к sin 2Л у ѣ am и
I1"] На уравнения (МТ)
С
2 еок —
ПРИМЕЧАНИЯ 575
Ив уравнения (145)
2 sin —
зіп j; = ——---1. у ah.
Тогда условие tg // < яіп ж переходит а
О . О С тѵ
юву<вш~, tg — >l, Оу-
[llil] В современных обозначениях
гле ('ы — число сочетаний из т по л и [а|—целая часть а. О, (т)
зависит от №, что не отмечено в обозначения функции. Число щ может быть
рапным гт нулю, что здесь молчаливо подразумевает ел Лобачзосгскм.
|ііі5| p-xq^Q ПрН ^<о а^о_і. Поэтому при ш^пі
Г;и (т) = О, d (м) = 1, 03(ml = 2я -f m -f- 1 — (ш + 1 — 1) 2 =
= 2«— m-f-1, 6'5( — ш) = 2а — то + 1-
[""] Погрешность, равная т, при 0<ст<2« можит подузшъся ив
соединения таких пар погрешностей:
{ш—а, а), (п>—о-)~1,« — I), (т.— а+ 2, и — 2), .. .,
0"» 0), (W-+-1, — 1), .... (w-j-a, —л).
Но не все эти пары возможны, ибо среди них есть я пар
fwi-j-rt—«j-j-1, ж—а— І), (м-f-a—и/ -(-2, ш—й—2),.. ,,(ш+ «,—«),
у которых значения, стоящие в левоП части, больше «, то-есть невое-
можныв.
Поэтому
(7,(т) = 2а —ш-j-l.
Отсюда ясно обозначение Лобачевского;
/пал — и
Несколько ниже он обозначает
с. И» S <ѴЯ
JJ=rtI~0
что но противоречит предыдущему обозначению, ибо dfp)™0 ИРМ
0<# <! лі-j- а.
■576
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
[КІ] В ст. 1ЧУ сочинения «Алгѳора или вычнслѳі-ше конечных» ])
Лобачевский приводит соотігоіяѳнне (для &/;=1 п постоянных -», /і)',
которое по другому можно записать в виде
В данном случае оно имеет вид
= {(>■ — ai)«-fj. + r —МГ— {(г — a).)«+j, + r — х-і)Г .
Учтя границы суммирования, получим формулу, стоящую в теките.
[]іі;] При выполнении оушшрованпл по р верхняя граница дліг л
га +1)4-1 _ , . -і'в-і-ііі + в-і-1
■есть —о~4П—■ J-lpu _;і ™ №-j-а >■ ^ ^Г+І ' пРичем такая
граница принимается для каждого слагаемого, поо лиганиа члены,
получающиеся при яиш, равны пулю. При /> — ш— п. — | X .- " '" """ т~"
[ieoj
1^4-1
аи-И
».
X
(2« + 1)г
Г« — )іі - J .
in 4- ] '
1 \П
+
4- ііт -—* ѵ >; ^ — іу.
[(, — ЗМв + r —Х_1|(У-'
=£S —)Ѵ \l\-i
>. = »■
г
Г111!
*.<*>-1-«та 2
;і—з.о—2«;м)
( — 1)*»?к(Ъ — йх — 2і,у,
>. = »
При #> ~
^И = 1-^27(1-,:Ѵ'=1-|-(1-.;)Л.
При а: < ^
h Том IV ггает. и.іщэніш, і/тр. ЙІО.
ПРИМЕЧАНИЯ 577
flliS] Для вычисления _BS (.с) имеем следующую таблицу:
ЗйИВ
0,00000015
14
13
J3
а
10
9
8
7
6
5
4
,!і
а
1
0
.X'
1
0,9333
0,8667
о,аооо
0,7333
0,6367
0,6000
0,5333
0,4667
0,4000
0,3333
0,2667
0,2000
0,1333
0,0667
0
(l-.Cf
0
0,0002967
0,002369
О.ООЭООО
0,01867
■ 0,03703
0,06400
0,1017
0,1517
0,2160
0,2963
0,8943
0,5120
0,6510
0,8129
[
(1 — Щ»
0
о.ооэооо
0,06400
0,2160
0,5120
1
Ла(*)
1
1,000
0,997
0,991
0,979
0,958
0,92Я
0,880
0,829
0,757
0,667
0,557
0,432
0,295
0Д48
0
1) -ВІ0 (*)=!■
10 — 10Ж—2>. >0
1012"
UX — ИЛ J'U
l = o
При 0,8 0<1
2) При О,0<і;<;о,Б к В1Сі(х) добавляется член
10(3 — 10з?)10_ 2"' (4 — 5а)1" ^(4—5а;)'»
1012" ~ 012° 181440
3) При 0,4<#<0,б те Віа(іе) добавляется член
•10-0
40320 "
4) При 0,2 < ж < 0,4 к #,0 (я) добавится член
1
І0Т^{ J — 3 - 71l J 15120
5) При 0О<0,2 kj310O0 добавляется член
10 ■ 9 ■ 8
3! 101
" 411012" (2~1№Е) — 12-вЛ ^ 8040
Зак. 503В. М. И. ЛоСачевенпА, т. It
37
578
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
[1К] Дня вычисления £f]0(j;) перепишем выражение т&в:
7iw(.r) = 1—5,38329 (1—ж)'°-+- 0,00000551146 (4—За:)™—
—0,0000948016(3—5ж)10-|--о.Оооо,''еі37<5 (2—Гкв)10—
— 0,000115741(3—-йя)1*.
Имеем следующую таблицу:
а;
1,0
0,!)
0,8
0.7
o,s
0,3
од
0,3
о.а
од
0,0
(1 — ж)1*
Jf»4-J0~ln
5,9040- 10~а
0,000104356
C,00097eJSJ
о,ооѳоіев2
0,0383473
0,107374
0,34867Я
(і—йж)™
1024-10" ^
1
57,8650
1024
9536,74
5S049
273855
(3 —5к)1и
1024.. 10"10
1
57,0650
1024
9536,74
(3 ~ 5.гр
L034.10 "к
1
57,6650
<1-5д}» В]0(*>
J,00000
1024.10-1Q
7,00000
1,00000
0,98907
0,09044
0,09506
0,07310
0.80907
0,72220'
0,410(17
0.00000
Г
[111
log (1 — «с»') (1 — afl-tf*} _ а (йп>*_^ е-**) _ ({,ад _|_ Р-^^„
-Ъ&"-г ''-")--•■
3 j а cos ж -j- — coa 2x -(- — cos Зж -|-
откуда
-■ log {1 4~ *a — 2а поз я)
а.і
goshj,'.
11=1 * ' ' й=|
ѵЬі>!^/іп£-\%^ =
1~И
lt(~1.)"/1 — a\" . . „
to
VI (—1)» /1_«\» .
am Зед.
У Лобачевского пропущен множитель — под знакам оуммы.
ѣ
[HBj у Лобачевского после слова «то» следует:
oosy-j-oosXsmyV'—l 1 ~[~ У"^1 tang - yex -1
«^^
cos
;/ — cosXeinj/f/—1 1 —іЛ—1 tang
1 -лѴ-і
ПРИМЕЧАНИЯ 57!)
Вняв от обеих сторон логарифмы, разделяя их ыа 2]/"^Т и разлагая
по степеням tang —У, получим
*=2 2 аЙт*ал»Т9,"1ооа(2я + 1^' <177>
11= 0 ^
Однако, эхо тождество не вполне точно. Чтобы это обнаружить,
перепишем его в виде
(cosy-J- ІС08 J.tin;/) і 1 — ainXtg— —icosXtg--) =
= (cos у — i cos X sin y) j 1 — sin X tg ~- -\- г cos ), tg — 1 .
Действительные части atoro соотношения равны между собой.
Мнимые части его отличаются знаком, откуда приведенное у Лобачевского
тождество справедливо лишь при равенстве мнимых ч&стеіі нулю,
то-есть при
cos X sin у і 1 — sin A tg- — ] = сов A cos # tg ~.
Это равенство справедливо прп соаХ = 0или при ?/ = 0. Прп cos a.-to,
уф 0 оно переходит в
1—em*tg;|- = ctgy tg-|-,
то-есть в
откуда
віп). = ctg —— ctgj»,
віл-
. ѵ sin у
smj/uin —
^
что возможно лишь прпХ = у =— . Поэтому мы заменяем равножѳ-
%
ние Лобачевского Приведенным в тевотв.
Обрывая разложение Лобачевского на втором члене, имеем
£ = 2tg— cos X ~tgs —соаЗл;
обрывая верное разложение на втором члене, имеем
х = tg у ооя X — tga у ооа1 X.
о
Как видим, при малых у ѳти разложения мало отдичаютоя друг
от друга.
37*
580 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
1П4] Из общего разложении следовало бы
, с- вид „
Д log- = -J-вози;
по а данном случае число множителей меньше на единицу, ибо « = 1,
log -- ■—-- — М -,-- соз С.
Ъ b
В log [ЛІ'т- cos С) имеем погрешность 4ш, а и М~~ Ооя С —
погрешность 5tu — cos С. Поэтому
с Ьша
Д log ■-- = -г— cos О.
h о
Но с другой стороны (Ь, как данное, считается точным)
М Ас
Д log с = —- — .
о
Следовательно,
. Ьохіс
Аа = ■——- cos 6.
Л/*
riTJi
to ел со со
V 2П + * ""-. з V ^4- 4 V !!-9Ѵ
Zj и б" " Zj й« "г" Zj ,!/,"" Zj
-йЧ'-іі-
-(^-'К'-МЬ^-іЧ'-т)-
["1
Поэтому
Д m ~ ооэ С = —— cos О.
Ь Ь
Д1п— ———cos С,
Ь I)
Но с другой стороны (Ь, как данное, считается точным)
л, ^
Д hi с = — .
с
Следовательно,
Дс = —г- соз (?.
о
tmj
Л — Л Ь~ a. /it С
ПРИМЕЧАНИЙ 581
Применяем к этому соотношению ряд (170), полагая a = j-^-'-,
I — а а „, ft~rft
откуда у—; = -^ ■ Тогда
В — А тг С . ѵі (— і)'*й« .
2 2 2
« = і
Л і ѵі (—!)'"«"
СО
п = і
Отметим, что Лобачевский здесь учитывает —, пропущенное
в (170).
*(1-у]
2д / а \ 2а ,
MogrA
У Лобачевского правая часть имеет вид:
2<п { а , Ь
■ 3 log;
Jlf ( Ь — а ' Ь — а і
Г170] Лобачевский, дользуиоь неверным разложением (177),
получает
.4=^_i0+22(-l)'^oS(2tl+l)Ug^Hi/5:_^. (180)
■[ш] У Лобачевского стоит: «Когда tangf—it т- 6") » (см.
предыдущее примечание).
[ш] Волѳдствив ошибок, отмеченных в предыдущих замечаниях,
все последующие формулы наотоящей статьи у Лобачевского неверии
и в настоящем издании исправлены. Приводим их здесь в таком виде,
кат;, они даны у Лобачевского:
«АЛ = і — -j- М tang 1.\ coa X tang j — — -7 ) -
Куда вставляя вначѳние ДХ, получим
') По разложению Лобачевсвдго АЛ следовало бы удвоить.
582 НОВЫЕ ЯАЧАЛА ГЕОЫЕТГЧШ
Если зке в строке (ISO) нельзя довольствоваться первьш только
членом, так как ошибка в каждом
2 cu«(2»+l)Ataiigi'>+1 (JL ~
2„-f і —vi/ » \ 4
будет
/1 1 \*и-і 2Ш tang -4-^-г6'
Суммуя а отношении в и от к = 0 до п = оо, ааклгочаем отсюда:
4Л < 1 {(т 4~яЬі я) ooty °+ "Ilog cob г j ^
[ш] Ив соотношения
cos с = coa л cos b
имеем
. «і sin2 a
Jl COS a v
Раньше (ст. 178) имели
л За) і
^ jf c S t-
Отсюда получаем неравенство, стоящее в теіотге.
раз] д3 равенства созі)= -^ имеем
У 1!і
. ., fi '|/із іЛз — ;і
Ш11 — ■ ———■ ■" — ■ —— ■JZZZZ '4
2 2 2 1/111
Иа равенства Заоа£ = 8ща£ имеем
соа2 і -I- 3 cos £—1 = 0, ооз{а=~' ~-¥-■■'-.
Так как —3 — уТз<—2, то
0M^V%=l=eill._JVlB.
2 2
*) Вывод этого ворияанстаа почти одинаков е выводом соответствующего
неравенства в тексте. Но ото выражение является погрешностью члооа
йі
^П«»(Н + і)к8»+>(т-т)'
таи тго в даиьиоіішои погрешность приходится удваивать.
й) Правую часть соответствующего неравенства следует удвоить.
ПРИМЕЧАНИЯ 583
[!і!4] Из неравенства
3 tg /і > 2 cos .1
имеем
3 эт.-і > 2 — 2аіп4Д, 2 sin2 A -f- 3 sin А — 2>0,
2 (яіпЛ -J-2J (sin Л ] >0, 8ІпЛ> ^-вяяііЗО1.
ГІМ]
ДЛ Л /іи> ДІагсовдЛ , Л. /4ш . .
tb'«tU іг-)=*т(л?+Аіе**'
У Лобачевского приведена неверная формула;
ДЛ == віи А I — -f- A? tg х 1 ,
которая, однако, совпадает о верной при малых .-1.
[13вІ
, , sin A eos А , . , , , ., cos А , . , .,
ДЛ = - - -■■ Дд—втЛ. cos Л ctgfc АЬ = - Да—sin A ctg с Ди =
sin а cos a sin с. cos я
[Ур. (90)] (Ур. (94)]
і (Да sin /)' — Дй Qos а оо.
яте
[(Ур. (01)| [Ур. (02)1 [Ур. (91Ц
= — (До sin Б — Дйаіп^І соэл casM=—:—{Д« sin Н — Дй aos a aosB).
Sin с . am а
А А = Дя tg A ctg о — Де tg .1 ctg с = -:—- — Дс соэ В ctg а tg --L =
am о
[Ур. (93)] [Ур. (94)]
= .■■■■ ,■ (До. — Дс cos В);
sin Ь
[Ур. (93)]
otgi' . ctgB . cos.» . smactgb
ДД^■-, Дс— -;— Да = -^ j Д<; = -^- Д« =
sin с eos с sinacosa amboosacosb amaoos»
[Ур. (90)] [Ур. (93)]
1
. , (Ac sin А. — Д» cos ii)
oostzsui b
(Ур- (91)1
.[
■188]
Д£ => -—- (Д» tg а — ДД tg Д) = (Да tg a ctg Л — Д А) ■■
otg.B l cose ч
[Ур. (И)]
> (Да sin Ь — ДЛ).
соз с
ГУр- (S3)]
584
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
Ші
Де>
сов«(яіп.ВсонЛДЛ -{-sin A. cos А А В)
sin а sin A сов A sin D cos і^
sin Л sin .В , .
-7-5у:(йЛ COS О-}- ДВсОВй) =
sin с sin3 у] sinB.B
(Ур. (91)] І(УР. 92)|
-—Г(Д.-І cost-!- ДВсоесі).
sin a sin b
(ш] Положим ы (.176)
х — Ѵ -г
Л=1 * ' '
Тогда
со
я=,Л, ffe=i, «—J—- (УР- (ИЗ)],
sin л
(— 1)" (sin» — 1)" .
(sin« — 1)" . „ , , і ѵл 1 і »> / к » \ ■
У Лобачевского, как и в (176), пропущен множитель— .
4JJ = SSi'
Им)
л/sin г"
У Лобачевского
ДВ =
ie(~—j)'Af!«—blog
2tg
ctgffl
2ш sin'2
я а
МвіпГ'вш'а I 14 2
Для проверки ѳтого равенства рассмотрим сначала суммирование ряда
S
л (»+!)** (J* <1):
СО CQ СО
2 Оі-ии^і- 2 (2»-ик"+4 S35'"
и=і
»=--!
Ивяі
2 dm\l — ж3]+2(1 — ж3)"" 2 (1 —a,'s)*"~ ~
_ ЙД'О—«l + J8* _ »' (8 — «*)
" (1 —жв)а " (1— **)* '
ПРИМЕЧАНИЯ 585
Положим теперь х = tg ш, учтя, что 1 — tgaa == -—~- .
*J ' cos2 2о \ ' сов2 в / cos3 2» '
Тогда
ГО
ш-:вжі*І <■+>><«■ (т-т)-
feP-{-»+-(T-f)}-
2tu SIB5 I -~
jfcf sin:
Формула Лобачевского дает меньшее значение Дй.
[1Я2] Положим в (177)
(-1)"
э«+іх,
п = о
* = !--.», У = у-'Л >- = ^~«-
Тогда
СО
ЛобачевсішЙ исходил из неверного разложения
га
также положив в ней
Тогда
7t = О
^^(т-:-
(2п + 1)—_ (2н + 1) а
откуда следует формула Лобачевского
П«Я
ДВ =
2 о)
И sin 171
s^^^+s
11=0
2и -|-1
58G .НОВЫЕ НАЧАЛА ГВОЛЕТРИИ
Для вычисления второй суммы заметим, что
J 2(1 + 1 J I, ^J j J 1-х' 2 I—a;
1) 'iJffi-0
Поэтому
ЛЛ-ѵгДШ
ctK ft
1 ь-Н^в'
jlfsui 1"Ц — ct£sft ' 2J/ = 1 — ctgft
Jfsml"
Jfsinl*
Main 1"
-te2ft+-T/loff
sin I ft
4
cos i —it — ft
4
tp; 2ft -j- --Jog tg ( ~ it— ft
У Лобачѳгсского
2ш ( 4 ft
dft = if^TT ctsft + ^-Jogotg--.
Эта формула проверяется так:
2ю
Д£;
Ж" sin I"
' Maml"
ча>
2*-*(-Ь4)+*2
n ° \ 4 a
2м - U 1
tp
1 — tg'
U 2"
log.
Я
1-*т-тг
ooa
ft
■jtf«nV|TclBi+jTloe-rx|-
ш / 4 ft \
Ж mil
Очевидно, что ДВ у Лобачевского взято в два раза более иужпого
(примечание ра]).
[ш] Положим в (170) а?==Ь, ?/ = 7?, а = аіпа, пользуясь
соотношением
ПРИМЕЧАНИЯ W>
Тог л а
У Лобачевского, как и в (178), пропущен множитель —■
[1Э5] У Лобачевского:
ДЬ= ,,,■■■ sin — { sin. а + cos-1- -
Маш \" таг а \ 4 2 J \ ' \4 2
Это равенство также выведено в примечании ['"'].
[1Э,І] Положим в (170)
. ѵ ( — 1)" /1 — а\п . „
n = l * ' '
■в = с, ;/ = ", а^г-г»-[УР- (94)]. Тогда
1 aJ w \ eos 7i 4-1 / ' aJ )і 2
И \ COS В -4- 1 ,
У Лобачевского снова пропущено — .
[1B1J У Лобачевского (см. примечание [ш]) вместо этой формулы
стоит:
или, короче,
ш tang Ba
[т] У Лобачевского (см. предыдущее примечание) вместо этой
формулы стоит
или, короче,
со tang — Bs
йй = —гт—. — ».
ilfsinl"
[ш] Перепишем (95) в виде
tg ( -^ J. J^COBfiGtgfi
588 НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИЯ
и шшоясим в (17И) л;=~— Ц, I/= Л, а = сок с. Тогда
л ѵі (—11" е
__ j—И j- уі-Л^вЬхгвВІ^л^-
ПЛЙ
7; ѵ, (—IV ,■
» = j
У Лобачевского (іновн, пропущено — j.
Д log tga = A log sin b -f- 3ui,
jIJ Дйвіп l" , , , . „ ,
- = AJctgfisml".-|-3to,
sm a cos «
-_ — = ibCtgil-'r -7Г-. -„ -
sin it. cos a ' jlfsml
jsoij
1>(1-|-сов3()) cOBaa = coBse-(- cos2 с (yp, (02)],
. . ^ sin a
sin-it > cos-.:, -r~~>clgc, smyl>ctg(? (yp, (30)].
lipиложсние I.
ПСТОРИБО-ВИВЛЯОІТАФНЧЕСКНЕ СВЕДЕНИЯ О СОЧИНЕНИИ
«НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ»
В сочинении «Новые начала, геометрии о по.гіной теорией
параллельных» Лобачевский наиболее подробно и слетематическн развил
свои идеи, касающиеся оснований геометрии я, в частности, теории
параллельных линий.
Стремление дать, совершенно новое наложение основ геометрии,
свободное оі тех недостатков, которые Лобачевский находил у Евклида,
стремление внести строгость ц ясность а построение начальных
геометрических понятий, и теорию параллельных линий, требовало
«представления в совершенно новом виде всей науки», как писал Лобачевский
еще в мемуаре «О началах геометрии» (1820). В этом же мемуаре
Лобачевским был намечен план перестройки отправных пунктов в
основах геометрии. Попыткой осуществить этот план, дать полную и
всеохватывающую перестройку системы геометрии Евклида, и являются
«Новые начала, геометрии о полной теорией параллельных». Самое
название должно указывать, что автор даат иные, отличные от
евклидовых, Начала (отоі](ёЕа), включающие исчерпывающее решение вопроса
о параллелях—-вопроса, имеющего более чем двухтысичелетшою
давность.
Сочинение начало печататься в «Ученых записках, издаваемых
Казанским университетом» в книжке Hi аа 183» год.
Приступив к опубликованию «Новых начал» в 1835 г., Лобачевский
предполагал, что детальное подробное наложение его ваглядов рассеет
выявившееся к тому времени полное непонимание сущности и
значения его идей современниками. Однако его надежды не оправдались:
самая обширность сочинения являлась отчасти тому причиной, как это
признал сам Лобачевокнй. Действительно, издание растянулось более
чем на три года, причем «Новые начала* были напечатаны в шести
следующих книжках сУченых Записок»:
в 1835 г. книжка Ш, стр. 3—48 —Введение и глава I,
II » 3—Э8 —главы П~-Ѵ,
Ш » 3—50 —главы VI—ѴН,
I ѵ '3—97 —главы ѴПТ — XI,
Т » 3—124 — глава XII,
Ш » 3—65 —глава ХШ.
»
»
»
»
»
18В6 »
1836 »
1837 »
1838 »
183S »
»
»
»
»
»
590 1-ГОВЫ13 НАЧАЛА РЕСШЕТІ-ИН
В этом шдаопп имеется много опечаток: только в последних двух
главах имеется 89 опечаток в числовых и буквенных выражениях.
Б 1642 голу Лобачевский опубликовал и журнале Крелля
небольшую статью «О вероятности средних результатов, полученных из
повторных наблюдений», в которую он включил в сильно сокращенном
ег переработанном виде некоторый материал «Нових начал» (стр. 104 —
170). Эта статья будет помещена в V томо настоящего издания.
Во второй раз «Новые начала с полной теорией параллельных»
были напечатаны в еПолном собрании сочинений ш> геометрии»,
изданном Казанским университетом и 1383 г., в первом томе, отр. 219—486 ').
В этом издании никаких примечании нет, опечатки первого издания
нѳ исправлены, за исключением самых очевидных. Кроме того,
появилось много новых опечаток. К тому же редакторы этого издания сочли
возможным изменить в нескольких, местах первоначальный текот,
выбросив, например, ссылки автора на свою «Алгебру». Допущено
значительное количество новых опечаток.
Следующее, н последнее, русское издание было осуществлено
в Харькове в 1912 г.: «Новые начала» вышли отдольной книгой с
приложением предисловия, биографического очерка и примечаниями
Д. Ж. Оянцова.-). В еігоы ивданяи главы XII и ХЩ отсутствуют.
Переводы «Новых начал» на иностранные языки начинают
появляться с 1В07 г. Так, в «Трудах Техасской Академии» за 1897 г.
в Остиие появился английский перевод Вступления к «Новым началам»,
выполненный Г. В. Гальстздом и снабженный его предисловием3).
Немецкий перевод «Новых начал» выполнен Ф. Энгелѳм и издан
в Лейпциге в 1898—1890 гг. вместе с переводом первого мѳмуара
Лобачевского «О началах геометрии»"). Б этом издании главы XII
и ХІП также отсутствуют. Весьма тщательный перевод, в котором
і) 00 отом собрании сочинении Лобачевского см. в I томе наст, издания,
стр. 23.
в) В серии, издаваемой харъковииш Матеміііѵнчесвим: Обществом: «Харьковокая
математическая библиотека», М 2—3. Николай Иванович Лобачевский—
Новые начала геометрии о волной теорией параллельных. С приложением
биографического ■ очерка автора и нримечагагпмн, Харьков, 1912 г. (стр. ХХХШ+ 234,
4 таблицы).
8) Lobachevaky — The Introduction to LoliacbcvsM'g New Elements of
Geometry. Translated from the Russian, with и nvefaca by G. B, Halsted. Transactions
Texas Acad., 2, 1H97, 1—17. Тогда акѳ этот перевод иадан отдельно, Austin, Техан,
«Noomcjue Soi'icsu, V, стр. 27.
4) F. Engel—Nikolaj Iwanowitgch LobataclieMijj. Zwoi eeometraeho АЬЫш-
dlungen, aus dom Busaiadicn uboi'aetat, mi.fc Aumorituneon nnclBiit eiacv Biogmphie
dea Verfassevs. Г Teil: Die irboraet/.ung; П Toil; AnmorJcungen. LobatschaPskija Lob en
and acliriften, Leipzig 1808—1899. XVI -j- d-76. (Квига входит в состав ивдания:
«Urkundea йог Geaohiclite der niohtenldiciiaclion Ojeometrie», borausgegflben von
F. Eng<0 iradP. Stuck el, Band I).
ІТСТОІ'ИКО.ШІИ/гаОГІ-'АФІІЧЕі 'КИЕ СВЕДЕНИЯ іШ
исправлены опечатки предшествующих русских изданий,
сопровождается многочисленными примечаниями. В конце приложено лшзне-
олисаниѳ Лобачевского, дана характеристика его научной п
общественной деятельности, причем при составлении биографии Ф. Энгель
пользовался, главным образом, материалами, др од о ставленными ему
профессором Казанского Университета А. В. Васильевым (1853—1920),
проводившим интенсивную работу по распространению ыдеіі
Лобачевского, по выявлению научного еначення его открытия, и собравшим
обширные архивные данные для подготовлявшейся им монографии
о Лобачевском.
Французский перевод вступления и первых восьми глав «Новых
начал» выполнен Ф. Малье и помещен в Бельгийских «Мемуарах
общества наук г. Льежа» в 1900 г. *). Он снабікен предисловием,
в котором автор указывает, что он имел возможность сравнить свой
перевод о переводом Ф. Энгѳля и воспользоваться его примечаниями
и исправлениями.
В настоящем издаыил «Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных» появляются в полном виде, с'подробными
примечаниями, снабженными дополнительными чертежами. Примечания в
вступлению и главам I—VI написаны В. Л. Лаптевым, главы VII—XI
прокомментированы А. П. Норденом, главыXII—ХШ— А. Н. Хованоким3).
В примечаниях, помимо ссылок исторического п
библиографического порядка и пояснения сжатых или неясных выражений,
восполняются многие, пропущенные Лобачевским, промежуточные вычисления
и дается геометрическое обоснование правила Непера, применяемого
при тритон ом ѳтричѳ оком решении треугольников. Все многочисленные
вычисления глав "УТТ и ХШ проведены ваново, причем обнаружены
некоторые вычислительные ошибки. Их исправление отмечено
специальными знаками8), а важнейшие из исправлении сопровождаются
примечаниями.
В настоящем томе воспроизводится текст первого иадавия (в
«Умных Записках Казанского Университета»). Как его принято по воѳму
изданию, начало новой страницы первого издания отмечено на полях
!) L о b at ell и ѵ a ky— Noirveaux ргщсірен da la gamuetrie aveo una thforie
complete dea рагаШІев. Ti'aduit du rusee pom1 la promise fois par F. Malliaux.
Мшюігев йѳ la Socioto royale des Sciences do Liege. (3) том 2, Nr. 5, стр. 101. том Э,
;№ а стр. 32, 19Q0 г. Этот же перевод вышея в 1801 г. отдельным издаваем
л Брюсселе (Б1. Наум. BnuteHes; отр. 133).
в) Ни в немецкий перевод Знгедя, ни в Харьновсюе издание этаго аочиненпя
Лобачевского ХП н ХШ главы «Ноягах начал» не были включены на том
основании, что они имеют лишь отдаленное отношение к основной задаче этого
сочинения Лобачевского, Поэтому можно считать, что в проверенном н
исправленном виде эти главы появляются здесь впервые,
s) Ом. стр. 346 наст, тома, сноска.
592 НОВЫЕ НАЧАЛА ѴКОМѴЛЧЧШ
знаком | , а начало новой книжки журнала — злаком \] , причем тут
же указывается номер страницы и книжки журнала.
Чертежи, помещенные в первом падании на отдельных таблицах,
приложенных в конце книжек ■ журнала, несколько увеличены п
помещены в самом тексте.
Допущены следующие отклонения от первого издания:
1) Введена новая орфография, по в целях сохранения стиля
подлинника сохранена оригиналілоя и частью устаревшая терминология
(шѳрпендшеулі, «бок», «острие» и т. п.).
2) Алгебраическая и тригонометрическая символика несколько
приближена к современной (например, вместо log. х, tang, ж3,
употребляется принятое теперь log х, tang9 ж н г. п.).
3) Исправлены все замеченные опечатки оригинального
издания, а также ошибки Лобачевского. Исправление опечаток нѳ
оговорено. Поправление других ошибок каждые раз оговорено в
примечаниях.
т
Приложение %
К ВЫЧИСЛЕНИЯМ, ПРОВЕДЕННЫЙ К. И. ЛОВА'ІИІНЖІГН
«В НОВЫХ НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ» •)
Б примечании [1|я] к сочинению еНовые начала геометрии»5) бшю
сказано, что Н. И. Лобачевский составил таблицу вшічеиий функции
erctgjE (тсак в радианах, так и в градусах) с 1Г> десятичными знаками.
Здесь приводится проверка этого вычисления и укааывакшім
(предположительно) те методы, которыми пользовался Лобачевокий при
составлении втой таблицы.
При 0,001 <J и <!0,1 пользуемся известным разложением
даа , жа а'7 ,
агсфж = ж _. _|_-_- — _._]-...
. .0
(1,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0 ,00fi
0.007
0,003
0,009
0,01
0.02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,03
0,09
0,1
ж»
3
333333,3 ■ 10~15
2666668,7- КГ1Г'
іВДюоо.о- т~к
зізззззад- кг15
416686<ІВ,7- 10"11
72000000,0- ИГ1Т
114333333,3. Ю-15
170666663,7. 10~1а
У43000000.0.10"1Г'
333333333,3 -КГ13
5066086666,7
9000000000,0
213333.13333,3
41666666686,7
72000000000,0
111333333333,3
170066666666,7
243000000000,0
333333333333,3
ю-"
ю-и
ю-*
ю-в
іо-'в
10-]3
ю-1й
.■в3
5
0,2. Ю-"'
6,4- 10"тз
48,e-io-ls
2(14,3- 10" "'
625,0-Ш~15
1ГіГі5,2.НГв
3361,4-10"""'
вГ)53,е.10-и
11809,8. ИГ15
20000,0- 10" п
610000,0-ИГ15
4860000,0-Ю"17'
20480000,0-Ш-'5
62500000,0-Ю"15
155520000,0-КГ1В
336140000,0- КГ15
665360000,0-10""1й
паоевоооо.о-іо"15
2000000000,0-HTIS
.1?
7
0,7- 10"1й
1,4.НГ1Й
182,9-10~ш
3124,3.1 ft"1S
23405,7 - 10_1&
1ИШ7,Ы0"15
399808,6 ■ 10~ш
1176490,0 - Ю-15
2995931,4- 10~і5
623281.2,9- Ш-|Г'
14285711,3. HTIS
wetga:
0,00099 99096 0668 SB
0,00199 S9S73 333397
0,00599 99D10 00048 3
0,00399 99786 86871 я
0,00490 01)583 33958 3
О,О0.ДО 0928001655 2
0,00699 08850 70023 1
0,007S9 93293 ЗЭ88Й 9
0,0)896 07570 1IB09 1
0,00990 ШШ 866(1 Г) 3
i) Настонщѳѳ приложение относится re примечаниям ["% fWJ, и [1М]; редакщгиі
к сочииодгао «Новые начала геометрии».
*) Отр. 563 паст, томв.
Зік. КЯО. Н. И. Лобвчспскцй, і, 11.
зь
Г>'І4
НОВЫЕ НАЧАЛА. ГЕОМЕТРИИ
0,42
0,1 УЛ
і и"" J
0,0.">
0,0В
о,і>7
0,(18
(1,00
0.1
;J 2
2Ц1
217,0
1119,7
44ЯЙ,7
ЫШ,\
48046.7
111111,1
- иг
■ КГ
. иг
. ИГ
■ 10"
• ІО-
КГ
иг
!0~
-тг.
І.і
тг.
(.-,
іг,
in
ti.
0,4
:і,з
Ш,0
78,1
2л.-і,;-5
9011,1 - І0~,:"
іо-
10"
14"
10
10-
-U
ІЗ
tlI-4.-t" ■ ,'■
0,4-10"
2,0-10"
■-Ю
-if
o.oi у ва
0,03900
і),Ш997
0,(М99г)
0дг>992
и,ое»88
Г),07983
0,0897л
і,і)99іШ
7;і;ш7;лМ5
10<"І4Й ,-*е87-
3(1871 23290 1
аа9--|7 319-12 8
8І;Ѵ) 1.212078
090Ш 340421-
99R57 13237 3
817+1 ааа.іПй
ае:гі4 9И021
Для вычисления arctg- гв при 0,1 < а; < I пользуемся следующими
ооотыотпйісияші:
и foi'g- я; = агсід- у -]- avctg —-—;
,'/
avutg — = ai'otig(ai~i/)-f-arotjf
1 4-«\Ѵ
i + (2L
1 -j- .'7/
eftl^Ce_tf)_ax4,Jef^Rf|^-1.
Мы получаем:
1) ardg 0,2.
ярАв 0,2 * 2 aretg «,l - wcfc fi~i - 3 м-rtg fi, 1 - ami K 0.002 4- urotg 0~i;
aretg ,^^i = 0,00005 82522 009(12 ,1 — (1Г.,0 -10-» =* 0,0000,") 8а,і220089іІ 1,
1,030004
2) arctg 0,3.
avetg 0,2 = 0,!97Й1> З.ѴіЭВ 498809.
0.00Й
avctg0,3 = nrcfg0;3-4-avctf;0,l —ivrutg-j'-jT---;
*** °J$ - »«* 0,000 + „tg —Щ^ =. ««* 0,000 - „cie ,°>«H3
14-
1,07
'1,070033
= е.пЛц 0,006 — 0,00039 35101 333790,
arcfe 0,3 = 0,39145 0794177807 Я.
if ВЫЧИСЛЕНИЯМ, ПРОВЕДЕННЫМ Н. Й. ЛОЩЧЕВСГШМ 5!)Г>
3) arctg0,4.
■tnfl'l I І„Щ п....I-
1.13
avctg(J,-i = nrotgO,:; -|-arutg 0,1 — artitg -:-т7 і
°-0l^o.o.
+ \,ѵл
0,0U07
°>0007 w,nrt, ■ . 1.]30J- ,„m , 41ХШЗОІЗ
QJmE = «■"tgOflOl + orotg ' 0|0000007 -arcteWOl ~ :і1''^ T^OlW !
lU'l-ts
1 1,13012
= ai-f tti-0,001 —.0,00038 050(15 ІГі044в-|- 18370.У ■ І0~И =
= urelig 0,001 — 0,0(КШ ОГ.9Й+ 366G80.
H'L'ltlC,
arctgO,! - ii™tg0,S4-M<4g0,(H--arr:1g0,00l + пЫ* °f^^ =
= 0,3805063771123643.
4) arctg'0,5.
aretgO,.r) = arr.tgO,4 -|- arntg -r^ ;
ІУ: — 003
avctg -j^ — arefcg 0,04+aretg ■•■ ■?■■ ■ ^-щ- = arctg 0,08 -|- araig j^ ,
S-°'00;J O0O037<3
Hr(!t" ТЙ= ^tgO,0oy-8.rCtg ^доооо,.,- e«tgWM8 + Hcfg £ggg,
+ 1,208
iivotg °'°q°^ = 0,00031 isri.'ii жтя — :гші,4- іп-ь- = о.оооні і25йі 7ві5я4.
Итак,
пгоЦО,Л = aLBtg 0,4 -j-ai:ctg0,08 4- «.retg 0,003 4- arttg ]'a030|2 =
= 0,46364 76000 00606 1.
5) aicbgO,U.
mclig 0,fi = avctg 0,5 4- nrctg tj~;
■ ai'etg ^ = a«tg 0,03 4-iuetg '■-QQoa — arctg 0,0Я — af etg y~^,
M^_0 003
■trot* £SJ5S - «ctg <WXB + *<& і^одоош = «o*e 0.003 + aretg ggg ,
1+ 1,306
arotg?'^n!j = Oi0™» 81034 42476 1 — 65,4.10-к = О.0ГЮ0Г. 31034 424107.
Итак,
0,000076
arctg 0,0 = arotg 0,5 + arctg 0,08 — at dig 0,003 — arctg у^^ь =
= 0,54041 90002 705B41.
38»
596 НОВЫЕ НАЧАЛА ГИШШТРЖИ
«1 arotgO,7-
0,1
£114^1.1» (
1,7 = арц1н0.в + мчі*г у-^і
„tctff ^ -аийкаОТ + моІи i^-g^ =aMtgO,07 + arctg -^?,
arotg -^~ = 0,00042 0-Ш5 08750 6 — 24777,7 • 3.0-13 _ ОДЮ42 04024 93981 В,
Итак,
arehg 0,7 — ftrct«(),fi 4- uretj.' 0,07 + m-ctg J~ = 0,Й1073 5йв43ЯЙ308 4.
7) ajctgO,8.
m-rig0,8 = Eirats0,B—avc(-.g; ~-'~;
«etft -|';4 = '™а.М 0,0(4-ш-ctg--^^ «urotgОЛМ _IWHa ^g,
1,72
0,0032
(1,002
1 L,7'J{i"
ш-etg р£Цщц = 0,00014 fiWl 7 7H L23 i! — Ш7.-І ■ 10 - и = 0,011014. (10017 7.10ЯГ> Я.
Итак (см, тике aretR 0,й),
апЧкО.Я « arflCgfMI —іич:(.й 0,0(1 ■!-№«(» 11,003 — іи-сід ѵ'^иі'^і :=
= 0,(17474 00432 21Г)!Ю!).
8) a,LT.|.gl)t».
ai-(4tg0,0 = Muffll—arcty -r^ ;
«otg M„ „,„,,„,0:, .|-a,,lS W^- = ,„.„,, O.O.'. + ar.-tK g,
"'"■"1,0
+ ],aor.
aciitg ~™ =a 0ДШ7 63251 288733 — 17323,0 • 10.-1" = 0,00087 ІІ32&1 110400
К ВЫЧИСЛЕНИЯМ, ЛРОВЕДШИШІ Н. И. ЛОБАЧЕВСКИМ 597
Итак,
»№(■.!>■ п,и
9) arcty 1
ni-Bll; l
Для того, чтобы перевести полученные величины а градусную
ISO11 180 ■ 3600" П48000
меру, достаточно уміюжиь их на ■ ■■ ■ = — • ^ дри-
мем равным 3,14159 2(5535 89793 23а.
У нас нет указаний, как Лобачевский: производил такие деления.
Вряд ли можно пользоваться здесь логарифмами, а непосредственное
деление слишком слоя:но. Но достаточно вероятно, что Лобачевский
был знаком с книгой Фурье «Analyse des equations», вышедшей в 1822 г.
Б втой книге имеется способ сокращенного деления, весьма полезные
при м и о г оанал но сш делителя. Приведем нвратце основы этого метода
применительно к данному вычислению,
Назовем число, состоящее из нескольких первых (считая слона)
цифр делителя, отмеченным делителем, а число, состоящее иа
остальных цифр делителя:,—неотмеченным, делітіедвм.
Разделим на отмеченный делитель число, состоящее из стольких
цифр делимого, чтобы это число было больше отмеченного делителя.
Сносам в остаток следующую цифру делителя л вычтем из
полученного при атом числа проиевѳдеыие цифры, стоящей в частном
па первую слева цифру неотмеченного далигелл, Если полученная
при этом разность отрицательна,, то повторяем предыдущее деление,
уменьшив частное на единицу.
Делим полученную разность на отмеченный делитель п
приписываем полученное при этом частное к прежнему частному.
Сносим в остаток следующую цифру частного и вычтем иа
полученного при атом числа сумму произведений второй цифры частного
на левую цифру неотмеченного делителя и первой цифры частного на
вторую цифру неотмеченного делителя, ]£оли полученная при этом
разность отрицательна., то повторяем предыдущее деление, уменьшив
частное па единицу.
Продолжаем процесс до получения нужного числа цифр в частном.
Сумму произведений однозначных цифр удобнее получать так:
запишем на отдельной бумажке цифры неотмеченного делители а
обратном порядке, приложим ату бумшвву к частному, и умножим стоящие
друг под другом цифры, идя справа налево и складывая лишь
единицы полученных произведений. Затем снова перемножаем яти цифры,
идя слева направо и овладевая лишь дасяЫи полученных произведений,
arefsr 1 — (irrrtg 0,03 — arctg 0,003 + arctg ™~-5 =
l,0O50Ja
= 0,73281 ГіШ 7 86506%
-a _". -_ ojBiWe 81(Ш !(7448 3.
НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
848(100 ІЗДІІГ.З 28535 89793 ЙЗВ
Й33__ 2П 926-1,80 824 700G
300
іш
ю
890
24
83в
(І38
2080
:ів
204+
1884
ISO0
83
Ы8
12Ш5_
2920
_7+
2?>4ІІ
ЗА 13
3-Ю
ш
3130
110
1080
1884
1)60
lfifi
"79+
№н_
I960
LW4
13М
2480
22fi
22,0+
21Й8
Г)№)
227
зз;іі)
да
:Ю(і і
ЗЗЗІЧ _
аа&о'
:ш
2(і:іі)
.1884.
Тші
Jim
К ВЫЧИСЛЕНИЯМ,'ПРОВЕДЕННЫМ Г-І. Ж. ЛОБАЧЕВСКИМ 590
На странице 598 выполнено требуемое деление, Отмеченный
делитель обозначен черточкой сверху.
Теперь нетрудно деревеоти полученные числи в градусную миру.
Ввиду многоаначности сомножителей умножение производим по частям,
отделенным вертикальной чертой. Множитель 20В264,80е| 24 709(1 пи-
шется на отдельной бумажке и прикладывается к каждому из arctg.i-.
Поэтому мы не записываем этот множитель. В произволении надо
было біл оставлять столыю значащих цифрі сколько их есть н
меньшем (по числу значащих цифр) сомножителе, ни мы оставляем 10
десятичных знаков, чтобы возможно ближѳ следовать Лобачпвскому
и.іЮМЭ 899901660(17
200,26472 3*940 8 '"" -
137510 а
2471_0
arctg O.tlUl =3'2в"/-в473 74922
и.тттв?:-цшю
ifaja'agOS 50850 3
Й878В 7
4941 0
arct.» 11,002 = 6 53 ,5300624581
_ H.UU'JJM'J991U [ 0004Й
в1В,7Р2ав 18197 fi
101 1
7412 9
suvlg 0,008= 10'18*,79а5в23вЯ1
ѣ
OtHOaU8 887Sfl|e3fi71
825,05480 90331 5
137Я31 3
_988Й__8
arclg 0,004= 13'4й",05482 47147
0,00491! i№831 33958
НШ.31542Н7575 fl
70043 4
(23Г.4 7
aretg 0,003 = 17 11 .31543 ВИ74
0,00509 ШИЙОI OliVifi
1237,Г>7.'«Й4,03',Чй"Г
3207 4
14825 в
m'ute о.гюе = -іо 37 ,гі?зр8 итіѵ>
600
НОВЫЕ ЫАЧЛ.:[А ГЕОМЕТРИИ
ч.ШіМ 98856 I70028
Т4ЩЗОО4 530Й1 'J
144443 1
.1729(3 4
!«'Bl,fr 0,007 = 24':}и,83гл« 1480 L
(і.і 'Птоз aaaas j :іозн7
1ЮТ,ІІ8323 8.Г>Ѳ7<5 2
82272 «
1Э767 -і
ilVrfg il.iкiti = 27';Ю",0Я324ЙЙЛІ(І
іі,іШ99 87Г>Т()| il8nQ
ІЯ'куШШвоЗ] 4
24357 Н
22238 О
1 787Г)!) 4
__ 2470В Я
аѵиій 0,1")J = :і4'22",.'17і):іі iBCl't
0,01Ш№ 7ИЗЗЦ)Т31.М
"■ЗЩтІсоТТда*. о
30 072SS О
45)412 (і
lU'sfe 0,02= iVi-l",?40-' 7"1;і,)'"'
0,039$ лкміядатк
ІШіоТШПйШ' "2
17 В7*І»7 7
74100 (і
JV]a087 ВЮ7 |_lji:ffi)ll
8246Д0бТГЗІ897 3
2г>4303 Я
JBTSii '7
іігЫ« 0,04 ^3°пѴлШГ. 34087 "
імчаогі «Зоя! 7 зіш
' [0зіч,(ШГз746Н'~7"
14 8fll W :!
13344Г. 3
№d£ ОД'-""і>і'-1-!",ііі'88іІп6зЯ
0,ійВ922815э |_]_ЗШ8
12:йі1,(.)вВ2й 50129 а"
2 мот і
U8080 !_____
urn; (),!)(;-.'i°2(t'l",00!);{0482I0
0.06028 (Mil О ЗШ2
"14415,02343 83808'" 1 "
13 00043 1
172685 ,г)
a ft lii," d.i 17 ~ iV ІГі'.ОЗаГіЙ СГ,;>37
__ 0.07982 0085] 7 12387
'j «4(3(5,4636 00078 5.
14ѲЭ094 3
_ _I97256__7_
■.int.* !),<)« ^44l'2fi".J IBMШііО
_J^)ai)7i^bl74|18№>l
"і8>іі:і,ПЙ!Н7024а 4
У 1)1802 1
2 21788 Я
ш-Нц (і.пі) = Гі°8'ЗЯ*Дг)240Э383;і
_|ДОШіадг>з н_эі іЛ2
№Г>8,13Г>Н)9001,Г1 1 "
10 13084 3
__ 2 4^277 ;;
шч:|.й ai=,»°42':lt!",l.'l,r,2!)4Q387
_0_І і)730 5,->5 11)8 41)881
"■І071'>,75'1в3 В0133 I)
2031(3837 9
4 37750 Г;
urdig 0,2 = 11° 18*35^7-((3!)l"J 04727
0,21)145 U70 )44 778157
110117727824 07327 4
пззаавз 7
__ 7 20178 1
arel.g (1,3 = 1(і°41'й7*,37Й34 2Я70!1
0,38050 637 | 71 ІЗЗіГі
^ 7В4Ж^72.гіЗ Й81І2- 3
J 46 70305 Я
0 40210 О
arcltf IU =-:Й1* 18':/)074ir,08lifi7
і; [щчнслкшшл, Ш'ОЫашнші п. п. лоБлчкиашм
йэвз4-.і8зав езвіів о
185 Ѳ549."> О
U іГ№і 7
іігі-іц 11,.'! = ■Лі°;«';.+",1Ч42йТ4Й1Иі
O/iJuJl У"іО ,'02 7UJ* I
i іі-іоі),яааіШГи7ТГ~й
.г> 58119 О
ІЗЗГйГіГі (J
arefj- 0,(і = ;мі*Л7*40"..'іЭЗ.,'іJ ".JfiJ.'i
і),ііЮ72:і9(1|4:іВЯЗіЙ
!2Л971,271в5 85(Ш в
60 53391 4
1Г> 00079 4
iirctg 0,7 = :U°f.ll'3l",27271 481(18
(l,G7474.U34|2,3 23'l.-l I
[":ШІ7".],;(ЩІ)8ЭЗГ)7(І 4
4!> ;Ши;і 2
_1(JG72jU_ 1)
ак-tg 0,8 = J.i8°;tfl':!".",^n07L 47'2:i7
0.73J81 5101 17 Я 0ЗД7
1ШГ>3,90443 53700 и
:Ш 8493 a 2
18 1Q75Q 8
ai'ct-й 0,0 = 41°Л0'і:!°,0С4ИѲ 4Й308
Візнду того, что ми производили іііічцслвішя с 1(і десятпчиымн
знаками, пам приш.чось и некоторых случаях уточнить 15-tt
десятичный зпак Лобачевского. ЕдгшствешгоЧІ оіжібкоіі, досуиенпоЦ
Лобачевским при составлении этой таблицы, яйляѳтся ошибка в arotg 11,009,
который у Лобачевского равен
0,0081)0 OT.'jTO 1280!) = U 30'50",іШ18 7;511S.
.Молодом Чіурье, нзложвнешм выше, проверяются 'і'акжѳ
следующий вычисления Лобачевского:
1) К примечанию [ш] на стр. 51)8;
40, И053058400 '
IjOd ЯОВЫ1! ІГАЧАЛА ГЕОМВТРНТІ
100 ' 0,1323987408 16501
Ш7
9
1328
L227_
1017
XI
НЙ5
fUS_
107a'
;sii
Іиз7~
1227
4ш:>"
4053
:і68і
:і72і)
120
:іЖ.
;}272
161
а07г>
азоз
2122
180
ПВО
Lfi30
ЗООГі
_№_
281Л
2-Гі4
ИГійІ)
220
33711
3272
№
28(1
Той
401)
21)10
2084
2454
Нбо
227
207І
304.1
28')
ГІ4
О
040
іГі:(
487
К ВЫЧИСЛЕНИЯМ, иРОШІДКННЫМ U. 11. ЛОБАЧЕВСКИМ С0І
~-2) К примечанию [ш] на crp. ЛЧ.
62 11)175
ШйііиШ-0'000569071"
■'■"'■"' 0ДЮ.).>!Ю7Ш
вОУ
10
"в."ів
ГіГм
1U41
30
1011
127
43
84о
'794
777
170
33
137
1И_
~Ш
93
107
ILJ_
"МО
73
437
PlMirtK'J -*\i Л. Л. УфаНШіЦгиНі
'Гоіті. iKh:iai?Tfijk f'r IS. а.п.і.іілі.
ОгНтітстіъчіішіт Htt|ijji:iiifijt Г. }/. Не.'нЬтя*
Гіі>;ліічмеіо \\ исчлти к-Х lH-itt i\
Тираж frOflG .чіій, 1іг,г4 ізрчіітііик. ліі['т;і + " иклееі*,
аи,4і уч.'ітад. .'[*Тіт«, Зинач Л? Mi:j!i. Л-Ііцоі.
Дмя 21 tijfi. Ніі icon., и«реил№ :( [i;fl<