Похожие
Текст
Н.И.ЛОБАЧЕВСКИЙ
ПОЛНОЕ
СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ
ПОЛ ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
ВФ.КАГАНА,А.П.КОТЕЛЬНИКОВА
В В СТЕПАНОВАН.Г.ЧЕБОТАРЕВА
Л.АШИРОКОВА
ГЛАВНЫЙ РЕЛАКТОР
В. Ф. КАГАН
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА- ЛЕНИНГРАД
10 4 0
Н.И.ЛОБАЧЕВСКИЙ
ТОМ ПЕРВЫЙ
СОЧИНЕНИЯ
ПО ГЕОМЕТРИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ПО ТЕОРИИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ЛИНИЙ
*
О НАЧАЛАХ
ГЕОМЕТРИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНШСО ТЕОГЕТИТЕСІСО!! ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА-ЛЕНИНГРАД
1 04 в
СОДЕРЖАНИЕ
От реляишін Г>
1. ГКОМКТШЧНСКИК ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ
ЯАРАДЛВЛЬНЫХ ЛИНИЙ (ІВД)
Вводные статьи, шренод и комментарии В. Ф. Кагала.
Впкдиыи статьи 31
Геометрические исследования по теории параллельных
ланий 79
Примечания • 138
Пршюжмшн 1G0
II. О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ (1829)
Вводная статьи и киашеатрин А. ГГ. Коте.тьшгкона
Вводная стя/гыі 179
О началах геометрии 187
Яртаіечашін 262
Нридоніѳшш І09
ОТ РЕДАКЦИИ
В заседании Физико-математического факультета Казанского
университета, 11 февраля 1Н2В г., был ;іаслуішш доклад Н. IT.
Лобачевского: «Exposition succinct e сіен principes (le In #і'оіін>1гіе
avec line «li'.inoiistmtion vigoureuse du thuoreme ties pnraJLMes» !).
Хоти btot доклад был пред стаи лея Лобачевским в письменном
виде, он до нас не дошел. Он бшг передни пи аик.'шчеяие трем
профессорам и, — повидимому, ire случайно—не был возвращен
ими в факультет. Но этот доклад составил первую части мемуара
'О началах геометрии», который был опубликован Лобачевским
в «Казанском Вевтнике» —журнале, издававшемся Казанским
университетов; печатание этого сочинения было начато в книжке
«Февраль—март 1820 г.» и окончено в кншккѳ «Июль — август
1830 г.».
ІГѳігуар <0 началах геометрии» иилявтен гранью двух эпох в
истории геометрии.
С одной стороны, им завершается: вопрос о доказательство
постулата Евклида о пдраллольшік линиях —попрос, занимавший
умы. многих видающихся математиков в продолжение дпух тысяч
лет, начиная с Евклида и кончая Лобачевским. В справедливости
этого постулата до начала XIX столетия никто но сомневался, и
усилия математиков были шшраіілеыы на строгое логическое его
доказательство. Исследования Лобачонского привели к
заключению, что эти з'силик но сущостпу сноему били тщетны, что этого
постулата доказать нольен, потому что оы но представляет собоіѴ
следствия остальных аксиом ж постулатов, положенных Евклидом
в основу геометрии.
С другой стороны, мѳмуар Лобачевского открывает новую
страницу и истории геометрии и кладет начало новому еѳ
отделу ■— * неевклидовой геометрии».
Задавшись мыслью проследить как моѵкно дальше влшгиие
V постулата (постулата о параллельных линиях) іла геометрическую-
систѳму, Лобачевский обратился к методу доказательства ог про-
!) «Краткое наложение оснои геометрии со сірігни локааателг.етиом теорѳмм
о лараллсльлых».
<:
ОТ І'КДЛКШШ
■nnjiffiro. Он допустил, что отот постулат неверен. Такое
допущение тотчас :е:о приняло к целому ряду следствий, противоречащих
многим теоремам классической гоометрпи и нашим представлениям
о пространство, которые слоншлпсь па основе многовекового
опі.тта. ОгромЕіая заслуга Лобачоіюкого заключается в том, что он
поіпгл причину этих противоречии. Он уяеппл себе, что эти
противоречия- отнюдь но коренятся в том, что выводы, к которым он
нріппол, нелепы ио существу, а имеют совершенно другой источ-
ппк.
Пуп., но которому пошил Лобачевский, до пего избирали и
другие геометры—Саккерп, Ламберт, Швойкарт, Тауринус,—работы
которых остались Лобачевскому неизвестными. Но эти геометры,
встречая противоречия е нашими привычными представлениями
о пространство, останавливались в самом начале этого пути и ио
давали сабо ясного отчета и том, где эти противоречия коренятся;
они впдолп в них доказательство справедливости постулата
н певозможности его отвергнуть. В атом заключалась коронная
ошибка. В начало своего момуара «Воображаемая геометрия»
Лобачевский пашет: «Кто ни думал найти, решение затруднительного
вопроса, лее без исключения ошибались, будучи предубеждены
ѵ. справедливости того, что ие может ощѳ следовать прямо из
наших понятий о телах без пособия наблюдений». О работах
Лѳжандра, которые б иди Лобачевскому известны, он говорит
в другом сочинении1): «Даже нахожу, что Лѳжандр несколько
раз попадал на ту дорогу, которую выбрал я так удачно; но
вероятно предубеждение в пользу принятого всеми положения
заставляло на каждом шагу спопіить заключением или дополнять
тем, чего бн нельзя было допускать еще л новом
предположении >.
Гений Лобачевского сказался в том, что он не поддался этому
предубеждению; напротив того, смело развивая следствия,
вытекающие из отрицания V постулата, он создал новую
геометрическую систему, которую назвал «воображаемой геометрией». Он
имел решимость отказаться от связующей силы сложившихся
геометрических представлений; более того, вполне доверяя
строгости своих логических суждѳпий, вопреки установившимся
представлениям о пространстве, он ясно понял причину тех про.
тиворѳчий, которые остановили всех его предшественников. Он
ноиял, что они коренятся не в том, что V постулат ость следствие
■остальных геометрических аксиом, так что, отвергал его, мы
впадаем в противоречие с этими последними, а в том, что V посту-
J) «Новыв начала геометрии с uojiFtoit теариѳіі параллельных».
ОТ РЕДАКЦИИ
1
лат ость новое, независимое допущение, па вытекающие из других
постулатов и аксиом; и поэтому, но нарушая последних, мы
лправе ого принять и вправе его отвергнуть. Принимая ого,
Евклид создал свою классическую систему геомотрии; отвергая
его, Лобачевский создал свою <воображаемую геометрию»і столь
же строгую и логически безулрпчную, как и геометрии Евклида,
и не заключающую в себе никаких логических противоречии.
Обе геометрии одинаково правильны а логической точки
ярения, и встретившиеся противоречия, что — различие двух
различных геометрических систем, іш не шутренние противоречия,
присущие той или другой и» пих. Какая же на этих систем
действительно имеет моего в применении к іщтиему пространству?
8то — вопрос,' который не можот бить ряглеп умозрительными
средствами; это—-конкретный вопрос, отпет на который может
дать только надлежащим образом прокедѳнный опыт.
Издавна математика признавалась самой совершенной, самой
точной из всех наук; из всего чиловочѳского знания ©ѳ учения
почитались наиболее достоверными, не вызывающими никаких
сомнении. Геометрия же считалась венцом точного знания как по
незыблемости ее истин, так и по безукоризненной строгости ѳѳ
суждений. История науки знает много открытий, произведших
глубокий переворот в установившихся воззрениях. Ни никогда
рвволіодия в области человеческого знания не требовала такой
исключительной смелости мысли, никогда целая новая наука не
создавалась одним человеком. Новая геометрия была Лобачевским
развернута во всех направлениях, в которых шла классическая
геометрия, и нигде не привела к противоречию.
Если, однако, в «воображаемой геометрии», в той ѳе объеме,
в котором она была развита Лобачевским, нет внутренних
противоречий, то можно ли быть уверенным, что такие противоречия
не встретятся и на дальнейших этапах ее развития; есть ли
действительная гарантия ее безукоризненной правильности? Вопрос
втот, конечно, не _ мог ускользнуть от внимания Лобачевского;
напротив того, он размышлял о нем всю жизнь, и, можно сказать,
все последующие его сочинения прямо или косвенно посвящены
именно этому вопросу.
В том, что этот вопрос должен получить разрешение в утвѳр-
.дитѳльном смысле, Лобачевский уже о 1826 г. никаких сомнений
не имел, но он настойчиво искал этому категорическое
объективное подтверждение. Он шел к втому двумя путями.
Декарт, Ферма, Лейбниц, Ныотон, Эйлер, Мояж, Коти, Гаусс,—
•если называть крупнейшие имена, — создали аналитические
средства геометрического исследования. Эти методы заключаются.
8
ОТ РЕДАКЦИИ
с одной стороны, в том. что соотношения между элементами
геометрических объектов получают выражение в виде уравнений, их
связывающих; дальнейшее исследование геометрических обрядом
становится делом алгебры и анализа— извлечением выводов,
вытекающих и:і этих уравнений. С другой стороны, боло о углубленное
«лш[>ишіте:іима:іыюе» изучению метрической геометрии
(построение шіутреннѳй дпферснпишіыюп геометрии) осуществляется
средствами исчисления бесконечно малых на оеоовѳ выражения,
которое: нолучнот ялемент длины в пространстве и па поверхности,
ііо Лобачевский устанавливает соответствующие уравнения и
диферѳіщкалыше выражения также в своей «воображаемом
геометрии». Он заключает отсюда, что дальнейшее развитие
воображаемой геометрии не может привести к противоречию, поскольку
этого противоречия нет п тех уравнениях, в которые в этой
геометрии облекаются основные соотношения между элементами
геометрических образов — прежде всего, мсѵсду сторопамя и углами
треугольника,— так как пч этих тригонометрических соотношении,
уже вытекают вес остальные. Отсутствие же противоречий я
тригонометрических уравнениях повой геометрии подтверждается
темной их свинью с уравнениями сферической тригонометрии;
нминно, они получаются из уравнений сферической
тригонометрии заменой действительных значений сторон а, Ь, а мнимыми
іі]/ — 1, i>Y—1, сУ—Х. Бот как излагает сам Лобачевский эти
важные соображения л заключительном абзаце сочинения «О
началах гѳомстринз:
іПослѳ того, как мы нашли уравнения (17) М, которые
представляют зависимость углов и боков треугольника; когдя, наконец,
дали мы общие выражения для элементов линий, площадей и
объема тел, все прочее в Геометрии будет уже аналитикой, гдо
исчисления необходимо должны быть согласны между собою и
ничего не is состоянии открыть нам нового, чего бы но
заключалось в тох первых уравнениях, откуда должны быть взяты все
отношения геометрических величин друг к другу, Итак, если
надобно предполагать теперь, что какое-нибудь противоречие
принудит впоследствии опровергнуть пачала, принятые нами в этой
новой Геометрии, то ято противоречие может только скрываться
в самых уравнениях (17). Заметим, однако ж, что эти уравнения
переменяются в (1С) сферической Тригонометрии, как скоро вместо
боков а, Ь, с ставим а У—1, Ь /—Г, с У~\ ; но п обыкновенной
Геометрии и сферической Тригонометрии везде входят одни
содержания линий; следовательно, обыкновенная Геометрия, Тригоио-
') Си. стр. 20в партошцего тиын.
ОТ ГЕДАКЦЕ1ІІ
метрик и эта новая Геометрии всегда будут согласны между
собой».
Другой путь, приводивший Лобачевского к убеждению л
логической правильности поной геометрии, заключайся в ее
применениях к вычислению определенных интегралов. Замысел иго
заключается в следующем. Некоторыеднфѳренцияльные формы, и
особенности содержащие гиперболические функции, могут пить
рассматриваемы как выражения, которые имели бы элементы длілш,
площади, объема, массы, если бы в пространства имела место
повая геометрия, а интеграл, надлежащим образом; взятый от
такого диферепциала, выражал бы длину некоторой линии, площаді.
некоторой поверхности, объем или маису тола. Во многих случаях
этот интеграл удается вычислить, руководясь геометрическими
соображениями, — следовательно, средствами (воображаемой
геометрии». А когда уже найдено значений интеграла, часто
оказывается возможным проверить полученный результат чисто
аналитическим путем. II эта проверка, во всех случаях подтверждает
результат, полученный средствами неевклидовой геометрии. В
этом совпадении Лобачевский видит, с одной стороны,
несомненное подтверждение правильности построенной им геометрической
системы, а о другой стороны, — обширную область ее применения.
Руководясь этим замыслом, Лобачевский и своих работах
уделяет очень большое внимание приложениям своей геометрии к
анализу. Он много занимается вычислением длин кривых линий,
площадей, ограниченных прямыми и кривыми линиями, объемов
тел в «воображаемой геометрии»; пользуясь средствами этой
геометрии, применяя к вычислению одной и той же величины
различные приемы, он получает значения некоторых определенных
интегралов, простых и кратных, и приходит к преобразованиям
одних интегралов в другие. Результаты этих вычислений
порождают у всякого, кто их усвоит, глубокую субъективную
уверенность в незыблемой правильности созданной Лобачевским
«неевклидовой геометрии». Но исчерпывающего доказательства логической
непротиноречи.вости этой геометрии работы Лобачевского всо же не
содержат. Дать такое доказательство стало уделом его
последователей и продолжателей {Бельтрами, Клейн, Пуанкаре, Софус Ли).
Таким образом, отрицание "V постулата не вносит в геометрию
никаких логических противоречий; он не зависит от остальных
постулатов п аксиом, он не представляет собой их следствия) л
поэтому все попытки доказать его, опираясь на эти постулаты,
тщетны. Доказать постулат можно, только заменяя его явно или
неявно тем или иным другим постулатом, ему эквивалентным;
а проверить его «подобно другим физическим законам, могут
JO ОТ ГВДЛКЦГШ
гппші опыт/J, iMKCmrj, например, А-етропомичесісиѳ наблюдения» !).
Доинчо некий давал себе ясный отчет и том. что установить
физический факт умозрительными средствами еоворптонно невозможно.
Геометрическая система, построенная Лобачевским, отличается
весьма существенной особенностью. Все мотрітаоише соотііошопия
ятоіі геометрии л прежде всего уравнения прямолинейной
тригонометрии содержат некоторую постоянную длину; внешним
образом они у Лобачевского обычно скрадывается, потому что он
принимает .чту постоянную за ѳдгшину длины; по он вполне оце-
ншіапт наткнуто роль, которую эта постоянная играет в
«воображаемой геометрии?. Уравнения этой геометрии принимают четкий
характор, т. е. действительно становятся пригодными для
вычислений только после того, как значение атой постоянной
установлено. Теоретически эта постоянная может иметь каков угодно
значение; это есть параметр, от которого неевклидова геометрия
зависит, подобно тому, как метрическая геометрия сферы зависит
от ее радиуса. Неевклидова геометрия Лобачевского в ее метри-
чосііііх соотношениях, таким образом, не однозначна: каждому
ашічошпо параметра отвечает некоторая ее разновидность. Чем
больше шмчопио ятого параметра, том меньше «воображаемая
геометрия» отличается от евклидовой; последняя представляет
собой как бы продольный случай, соответствующий бесконечно
большому -■значению этого параметра. Ыо и при конечном уначе-
нии параметра мотрнчееттаѳ соотношения «воображаемой
геометрии», в частности, соотношения между сторонами и углами
треугольника, отличаются от евклидовых тем меньше, чем меньше
стороны треугольника.
Однако, до тех пор, попа этот параметр сохраняет конечное
значение, пока геометрии остается неевклидовой, она в целом
глубоко отличается от евклидовой. Можно сказать — наиболее
существенная особенность неевклидовой геометрии Лобачевского,
из которой ужо вытекают все остальные, заключается в том, что
в ней сумма углов прямолинейного треугольника меньше двух
прямых.
Исходя из этого, Лобачевский и пытался экспериментально
проверить, имеет лн в нашем пространстве в действительности
место «унотребитѳльная> (т. ѳ. обыкновенная, евклидова) или
«воображаемая) геометрия. И так как в небольшом треугольнике
■отклонение суммы углов от двух прямых должно быть ничтожным,
то Лобачевский пытался определить сумму углов в треугольнике,
двумя вершинами которого служат концы земного радиуса, а тре-
Ч «Новые начщщ геометрии с жмвой теорией параллельяых».
ОТ IT, І.ЛКЦІПІ
и
тьѳіі—неподвижная зие:іда(Сіірііус). Метод, которші он для итого
предложил, основан на сравнении параллаксон двух звезд.
Вычисления на привели ого, однако, пи в какому определенному ро-
■іул і/тгу.
Они показали, что физическое пространство, может быть,
действительно ость пространство евклидово, как теперь часто говорит,
снесет па себе ипклпдопу геометрию», но, моѵкрт быть, и
отличается от евклидова; однако, если оно и отличается от этого
последнего, то эти отклонении: столь ыичтояшы, что ошибки наблюдений
далеко их превосходят, и ючопь вероптко, что евклидовы
положения одни только истинные, хотя и останутся навсегда НеДОКа-
ЗіІПНЫМИ».
Нужно, однако, заметить, что аадача ата не так проста, как
может сначала показаться, и решение ое, предложенное Лобачев-
оглш н основанное на сравнения параллаксов двух зпоад,
опирается на предположение, что лучи света, идущие от янезд, доходят
до пас по прямым линиям.
Все изложенное выше отнюдь не претендует на то, чтобы дать
читателю более или ыѳпѳе ясное представление о геометрии
Лобачевского н о тех многообразных идеях математического,
физического и философского характера, которые с пего связаны; это п
невозможно сделать в пределах нескольких страниц. Овладеть как
математическими рассуждениями Лобачевского, так и идеями, к
которым они приводят, читателю помогут ішодиыѳ статьи и
комментарии, сопровождагаіггиѳ в настоящем издании отдельные сочинения
Лобачевского. Здесь очерчен только самый общий их абрис,
необходимый для предварительного обозрепия работ Лобачевского.
Но прежде чем перойти к втому обзору, остановимся весьма
коротко на главных моментах дальней ітгѳѵо развития идей
Лобачевского.
Известно, что неевклидова геометрия была почти
одновременно, независимо от Лобачевского, открыта ещв двумя гениальными
математиками. Это были — величайший математик XIX отолѳтия
К. Ф. Гаусс л венгерский офицер Иоанн Волиай. Последний
опубликовал основы неевклидовой геометрии в небольшом сочинении,
известном под названием t Аппендикс»'). Оно появилось в свет на
три года позже, чем была опубликована первая работа
Лобачевского «О началах геометрии», воспроизводимая в настоящем томе.
Эта работа Лобачевского содержит уяіѳ изложение неевклидовой
Ч То-есть «Приложение»; ото сочинений помещено в виде приложения к
Рртоводотву его отци (профессора Вольфганге, Волина).
12
от редакции
і'оо.мі!Т|Н[и гг притом л гаком с« развитии, по сравнению с которым
содержание «Аппендикса,-» составляет только первое іэлемеішірныо
«р начала. Обстоятельное наложение неевклидовой геометрии было
сообщено Лобачевским Физико-математическому факультету
Казанского университета еще на три года рапьоіе, т. е. за піеггь лет
до тіоші.тснііц «.Аппендикса» Болиаіі, именно и укяздннші нише
чнамонателышіі день 11-го февраля 1828 г.
Что касается Гаусса, то он не считал возможным предать
гласности шюк воззрения на осноіш геометрии, опасаясь жестоких
нареканий, которые вызовут чти своеобразные идеи, — «крика беотнй-
пеш, как оі[ говорил. Иго взглядr,t иа этот предмет остались
достоянием очень небольшого числа его друзей. Он проявил в этом
много практической прозорливости: ноята ого установка послужила
источником очень тяжелых переживании ряда молодых
математиков.
В шестидесятых годах прошлого столетня, поело
опубликования переписки Гаусса, с дру.-іьямп (.1803 г.), в которой были даны
блоетящио отзывы о работах Лобачевского, па его сочинения было
обращено внимание всего математического мира; толорь нтпидеи
были усвоены, получили широкое распространенно и распитие.
В настоящей статье нет возможности сделать хотя бы краткий
обзор огромной литературы, посвященной неевклидовой геометрии,
ее раявитяю и ее значению. Мы ограничимся только
следующими указаниями.
Во-первых, вскоре после того как идеи Лобачевского обратили,
на себя внимание геометров, обнаружилась возможность их
геометрических приложении, обнаружилось существование не только
«воображаемыхч, по и вполне реальных образов, в применении
к которым осуществляется «воображаемая геометрия». Так, Бель-
трами показал, что геометрия поверхности постоянной
отрицательной кривизны в евклидовом пространстве совпадает с гѳомотрмей-
плоскости Лобачевского; Пуанкаре обнаружил, что геометрия
Лобачевского может быть реально истолкована и геометрии кругов
н тем самым приобретает большое значение и анализе, в теории
автоморфных функций; Ф. Клеён включил воображаемую
геометрию как частный случай в общую теорию проективного
мероопределения А. Кэли. Существование, логическая правильность
геометрии, отличной от классической геометрии, унаследованной
от эллинов, от Евклида, больше не вызывали сомнений. Это имело
огромное философское значение. Б эпоку Лобачевского были широко
распространены идеалистические воззрения, согласно которым
установившиеся истины геометрии считались присущими каждому
человеку от рождении, необходимой формой нашего мышления.
Эту точку яреипя особенно настойчиво отстаивал германски it
ОТ РЕДАКЦИИ 13
философ Ушіанунл Кант, который и то время, можно сказать,
владел умами. Только открытие Лобачевского положило конец
-ч'ічі.м взглядам. Самоа существований геометрии, отличной от той,
которая считалась единственно возможной, необходимость
опытной проверки тоі'О, какая геометрия действительно имеет место
в нашел пространство, совершенно исключали возможность
воззрении Канта, ого прямых н косвенных стороннике-!*. Открытии
Лобачевского сыграло решающую роль в теории незнания.
Во-вторых, после опубликовании посмертного ме-муаря. Рима на
а() гипотезах, лежащих в основании геометрии» (181КІ г.J стало
ясно, что геометрия Лобачевского—далеко не единственно
возможная оистима неевклидовой геометрии. Были построены многий
дрЗ'ГГтѳ геометрические системы, начиная с такой, которая: очень
близка к геометрии Лобачевского, иредетаилня собой пак
биполярную ей антитезу (риманона геометрия в узком смысле итого слова;
в этой геометрии сумма углов прямолинейного треугольника
всегда больше 2d), и кончая весьма далеко идущими ее
обобщениями (римаиова геометрия в широком смысле слова и дальне іі-
ішіѳ формы ее развития). Классическая евклидова геометрии
занимает очень небольшое, хоти и исключительно важное место
в огромном здании современных геометрических дисциплин,
построенных по замыслу Лобачевского и Римана. Ыа базе этих открытий
создалось совершенно новое учение об обосновании геометрии.
•За этим ело дует проблема, на которую обратил внимание еще
сам Лобачевский: ато — вопрос о том, как отразится изменение
свойств пространства на явлениях механики. «Оставалось бы
исследовать,— пишет Лобачевский, — какого рода перемена произойдет
от введения воображаемой Геометрии и Механику, и не
встретится ли здесь принятых уже и песомянтельных понятий о
природе вещей, по которые принудят нас ограничивать или совсем
не допускать зависимости линия ж углов. Однако я* можно
предвидеть, что перемены в Мехашщо при новых началах Геометрии
будут того же рода, какие показал г. Лаплас (MScaniquo celeste,
Т. I, Liv I, Ch. II), предполагая возможной всякую зависимость
скорости от силы, или—выразимся вернее—предполагая силы,
измеряемые всегда скоростию, подчиненными другому закону
в соединении, нежели принятому сложению их* ]). Исследованию
этого вопроса посвящено очень большое число работ, важнейшие
из которых принадлежат Клиффорду, Боллу, Клейну, А. Л. Котѳль-
пикову. Опи показали, что и механика отнюдь не замкнута навсегда
в те рамки п формы, в которые она вылилась в творениях Гали-
') «О началах геометрик», сіе. стр. 29L настоящего тола.
14
ОТ І'ЕДЛКЦШІ
лен, Ныогоіш, .Таграиѵка. Самая мысль о возможности другоіі
повой механики ведет свое начало от Лобачевского.
Особенно актуальный характер вопросы этого рода получили
г, последний досятилетпя посла появления работ Эяиттешіа.
Геометрия Лобачевского нашла свое приложение б специальном
принципе относительности, п, таким образом, отчасти оправдалась
мысль Лобачевского о возможности ігримѳноішя его геометрии
при изучении физических явлений, хотя, быть может, и нѳ в той
формо, в которой она рисовалась уму самого Лобачевского.
В общей теории относительности основным, математическим,
аппаратом является риманова геометрия в широком смысле этого слова.
Эти вопросы находятся еще в стадии разработки и исследования;
по совершенно несомпешю, что идеи Лобачевского в их развитии
в настоящее время пѳ только получили руководящее значение
в геометрии, но играют большую роль в математической обработка
ѳ стѳство з 11 аіш я.
С широко» точки зрения современная механика, современная
физика и космология на некоторых существенных своих этапах
еле дуют замыслу, первое проявление которого имело место в
геометрии—>Б гениальном открытии Н. И. Лобачевского.
Повторяем, это краткое излолсение руководящих идей
Лобачевского отнюдь не претендует на сколько-нибудь полное
освещение его творчества. Исчерпывающий обзор того, что
Лобачевский внес в мировую науку, найдет себе место в последнем томе
настоящего издания. Но и эти строки дают некоторое
представление о том, какое глубокое значение имело его творение. На
современную геометрию, на теорию познания, на механику,
физику, космологию —па все отрасли философии и точного знания
идея Лобачевского положили печать, которая не только никогда
но сотрется, но сохранит основное значение. Лобачевский
принадлежит к числу величайших гениев —творцов современной пауки.
Перечень сочинений Лобачевского ')
Весь сложный комплекс своих замечательных и новых идей
Лобачевский в основных чертах изложил уже в 1829 г. в порвом
опубликованном им сочинении
Щ =0 началах гвомѳтрі-ш».
В этом ыемуарѳ Лобачевский излагает сначала, как и в каком
порядке, по его мнению, следовало бы устанавливать и развивать
') Обстоятельнме библиографические сведения о каждом сочиненіщ приведены
в приложениях к спотвѳтствуювдиы мемуарам.
ОТ ГКДЛКДШІ
15
начальные понятия ц первые теоремы геометрии. Что начало
мѳмуара, однако, не развито им подробно и представляет собой
лиіщ. краткий план построения первых начал обыкновенной
(ѳвклидоноп) геометрии. Затем Лобачевский переходит к болей
подробному изложению теории параллельных лшшіі и адѳоь
развертывает основы своей новой, «воображаемой», геометрии. При
помощи весьма искуси их геометрических построений и
чрезвычайно оригинальных соображении Лобачиишши устішаііливаѳі*
уравнения плоской и сферической тригонометрии, имеющие
место в этой новой геометрии. Располагая этими уравнениями,
он имеет уже возможность обратиться к аналитической геометрии;
ои находит уравнения прямой и важнейших кривых, а затем
бблыпуго часть меиуара посвящает приложениям воображаемой
геометрии к вычислению и преобразованию определенных простых
и кратных интегралов.
Нужно удивляться той чрезвычайной сжатости, с которой
такие своеобразные идеи изложены в этом мѳмуарѳ. Они были в
акой степени неожиданными, они в такой мере опередили своо
время, что и при более доступном изложении усвоение их
потребовало бы большого усилия. В том же конспективном обзоре,
который содержит названное сочинение, новое учение
современникам действительно не было доступно; оно нѳ только пѳ нашло
призвания, но было встречено с нескрываемой иронией. Речь
пдет пе о рядовом читателе; мѳмуара, несомненно, не понял
даже М. В. Остроградский,
В 1885 г. .Лобачевский опубликовал в сУчѳяих записках
Казанского университета» второй момуар
[2] «Воображаемая геометрия»,
за которым в 1836 г. в тех же «Ученых записках» последовал
третий мемуар
[8] «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам».
Во введении к ыѳмуару |2] Лобачевский говорит о первой своей
работе следующее: «... в тесных пределах повременного
сочинения, не мог изложить я моего предмета со всей подробностью.
Много предложений, помещенных без' доказательства, одни
выводы из продолжительных я довольно запутанных
вычислений заставляют мвня подозревать, что мое сочинение, казавшись
с первого взгляда темным, предупреждало охоту заниматься им
с некоторым вниманием и даже могло подать повод усомниться
в строгости моего суждения и в верности выведенных
заключений» ,
к.
ОТ 1'КДЛКЦШГ
ЖѴші сделать спои исследовании Полис доступными,
устранит:, лолшікітгнв сомпшшн п высказанные возражения, Лобачѳв-
«кніі niiioju. нлинравт обратный пуп.: остаилшг в стороне гаомот-
]Ht'[HL*i,'iio постромшін для вывода основных тригонометрических
формул, on исходит от уравнении, выражающих зависимости
сторон и уг.'іоч прямолинейного треугольника воображаемой
геометрии, задания их a priori, затеи ои отирается доказать, что
іэти уравнения никогда не приведут к ложным заключения*!, и
из них уже пыводпт геометрические свойства треугольников и
параллельных линий. После этого он снова подробно оетанавли-
шетеа на приложениях скоей геометрии к анализу и дает им
углубленное развитие.
Оба мѳмуара били почти одновременно с этим (в 1836 к 1887 гг.)
опубликованы с набольшими изменениями на французском языке
в наиболее крупном математическом журнале того времени
Journal fflr die reine and aii^ewamUe llatfiematik» (так
называемый журнал Крѳллн— Огѳіів):
[2а] «СаотеЧгіе imngiiiJiirei,
[За] «Application Jb la geometric iniiiguiaira a quelqiiee iutdgralos».
Ho h эти работы: оказались доступными только Гауссу, который,
однако, ограничился высокой оценкой их лигнь в частной
переписке со своими друзьями.
С 1485 г. Добачѳлский приступил к опубликованию в «Ученых
записках Казанского университета' обширного сочинения,
которое яаыоіі'ішг печатанием только в ІвЗй г.:
[41 'Котле начала геометрии с полной теорией, параллельных».
В этом сочинении Лобачевский начинает изложение всех основ
геометрии е самого начала до тому плану, который уже был вкратце
намечен в момуарѳ «О началах геометрии». «Кто ие согласится,—
писал он в этом мемуарѳ,— что я ик а кап Математическая наука
не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких,
повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию». Нужны совершенно
другие отправные пункты, нужно самые основы геометрии отроить
совершенно пиале. Это он и пытается выполнить в аНовых
началах^.
Основным исходным понятиен в геометрии Лобачевский
считает понятие о геометрическом теле, к которому мы приходим,
отвлекаясь от воех свойств физических тел, кроме одного —
прикосновения. «Между свойствами, общими всем телам, одно должно
назваться Геометрически и — прикосновение. Словами нельзя
передать совершенно того, что мы иод этим разумеем: понятие, при-
ОТ РЕДАКЦИИ
17
•обретсно чувствами, нре-имущественнозреннем^.и сими-то чуиствазга
мы его поетигаом». «Отвлекая- все прочно" свойства, толу дают
ііязвяяаъ — ГёометричРского*. Это было сказано еще в парном
мемуяре — «О началах геометрии»; здесь Лобачевский дает развитие
атоіг ыысліг. Исходя из понятия прикосновения;. .Лобачевский
переходит к понятию о поверхности, потом1—чі понятию о линии
и, наконец, к понятию о точке и к расстоянию менаду двумя
точками. Бот как он сам характеризует этот замысел в последнем
своем еочппоини *ТТангеом&трпгт»: (Вместо того, чтобы начинать
Геометрию прямой линией и плоскостью, как это делают
обыкновенно, я предпочел пачать сферой п кругом, которых определение
пѳ подлежит упреку в пополпото, потому что в этих определениях
яаіслю чается способ, каким образом эти величины происходят.
Потом я.определяю плоскость как поверхность, где пересекаются
равные сферы, описанные около двух постоянных точек. Наконец,
определяю прямую лппию, как пересечение равных кругов в
плоскости, описанных около двух постоянных точек той же
плоскости. Допустим такие определения, вся теория прямых и
плоскостей перпендикулярных может быть изложена строго о
легкостью и краткостью».
Руководясь этой точкой зрения, Лобачовекий в «Новых началах»
подробно останавливается на основных геометрических понятиях,
па начальных, теоремах о перпендикулярных линиях и плоскостях,
о прямолинейных и сферических треугольниках, па измерении
линий, углов и нлощадей; затем оа переходит к теории
параллельных линнй, отроит ее в более общих предположениях, чем в
классической геометрии, я дает геометрический вывод основных урав-
попий тригонометрии как в обыішовѳгшой, так и В| воображаемой
гсомотрии. Начало мемуара посвящено критике доказательств
V постулата, даппых Лѳжандром и Бертраном, а во второй
половине подробно излагается теория ошибок при решении
треугольников употребительной геометрии —прямолинейной и
сферической.
Надо сказать, что в первую половину XIX столетия аксиоцы,
.лежащие в основании геометрии, — аксиомы, опираясь на которые
развитие геометрии можно провѳстн строго логическим: путем, —еще
.далеко не били выяснены, не были отчетливо формулированы;
ігри доказательстве теорем геометрии широко пользовались
наглядными представлениями о пространстве. «Геометрия начиналась, —
как говорит Лобачѳвски.й, — с томных понятий». Создание
неевклидовой геометрии, разностороннее развитие идей Лобачевского
.действительно привели к установлению точной аксиоматики,
геометрия и к строгому логдческому ее построению,, Но. в—t Новых
Тим Яіі ПічГ| Лобачевский, т. I
2
18
ОТ РВДАШЩИ
началах;* эта задача Лобачевским еще не была выполнена; это
было сделано лишь в самом конце XIX столетия. Однако, сочинение
*Новые начала» все жѳ представляет очень большой интерес, так
как око более других характеризует развитие геометрических
воззрений Лобачевского.
Видя, что все его работы остаются непонятыми, Лобачевский
решил изложить основные свои идеи в гораздо более доступном,
виде. В 1840 г. он опубликовал в Берлине отдельным изданием
на немецком языке небольшое сочинение
[5]«Geometriecho Unteuauchungen «иг Theorie der Parallellmien» ')-
Из всех сочинений Лобачевского но геометрии эта небольшая
брошюра, несомненно, занимает первое место ло простоте и
изяществу изложения. Это — настоящий перл геометрического творчества.
В этом сочинении теоремы, предшествующие теории параллельных
и не отличающиеся от соответствующих теорем евклидовой
геометрии, приводятся без доказательств; все внимание автора
сосредоточено па теории параллельных линий и геометрическом выводе
тригонометрических формул в «воображаемой геометрии». Всякому,
начинающему знакомиться с сочинениями Лобачевского, можно
рекомендовать прежде всего прочесть этот мѳмуар. На это
сочинение внимание математиков было обращено в шестидесятых годах
прошлого столетия посмертным опубликованием переписки Гаусса
с друзьями, по этому сочинению математический мир прежде
всего познакомился с замечательны ми идѳп,\ги Лобачевского (см.
ниже, стр. 76). В истории геометрии началась новая эра.
В конце своей жизни, в 1855 г., по случаю пятидесятилетии
Казанского университета, Лобачевский поместил в «Ученых
записках Казанского университета) последнее свое сочинезіио по
геометрии;
(61 «ТЕангеометрияі.
В нем он считает «приличнее* назвать свою геометрию но
«воображаемой*, а «лаш-ѳомѳтрней», потому что »то название
означает «геометрию в обширном виде, где обыкновенная
геометрия будет частный случай*. Это сочинение содержит
несколько иную обработку неевклидовой геометрии, местами
существенно восполняет некоторую недоговоренность прежних
мемуаров,
В следующем, 1856 году в специальном юбилейном сборнике,
посвященном пятидесятилетию Казанского университета, ѳто-
1) «Геометрические исследовании по тоории параллельных линий*.
ОТ РЕДАКЦИИ
lfl
сочинение появилось на французоком языке в несколько
переработанном виде:
|6aj «Pangeometrie ou pro"cis de giiometrie
foil dee sui' шіѳ th£orie generals et rigoureuse dea par alleles» *).
Особняком стоит още одпо геометрическое сочинение
Лобачевского
І7| «Геометрия».
Это было, собственно, первое сочинение, предназначенное
Лобачевским к печати. Оно содержит лекции, дажо скорее
конспект лекций, которые Лобачевский читал начинающим
студентам для углубления их геометрического образования. Б 1823 г.
это сочинение было представлено попечителю Казанского учебного
округа М, Л. Магпицкому с просьбой напечатать «го на
казенный счет, но вследствие отзыва академика Фусса что ходатайство
было отклонено. Сочинение дошло до пас в рукописи; оно
опубликовано впервые лишь л 1909 г.
Кроме этих геометрических сочинений, которые поставили
Лобачевского б ряды леличайпіих математиков, им опубликовано
еще 11 работ, относящихся к различным отраслям алгебры,
анализа и астрономии.
Две из і-ггпх работ не столько по содержанию, сколько по
своему возникновению, находятся на рубеже геометрии и других
отделов математики.
В двух заключительных главах сочинения «Новые начала»
содержатся соображения, относящиеся к установлению вероятной
ошибки, происходящей при решении треугольников. Эти
рассуждения в несколько переработанном виде Лобачевский
опубликовал в 1842 г. на французском языке в журнале Крелля:
[3] «Sur la probability dee resultats moyens, tires
des observations re"petees я)э.
Второй ыемуар, до некоторой степени примыкающий к
сочинению [3], опубликован Лобачевским в 1852 г. в «Ученых
записках Казанского университета»:
[9] «0 значении некоторых определенных интегралов».
1) «Нйнгеоме'грин, jtJK отаріс геометрии, оиноианныЙ: на общей и точной теории
параллельных лвжнй».
*) «О вѳроавдостн средеш: результатов, полученных на повторных
наблюдений'.
2*
20
ОТ ■ РЕДАКЦИИ
В 18Г)5 г. чтот мемуар бил опубликован Лобачойскіш также
па немецком языко в так называемом «Архиве Эрмапа'» ').'
Хотя вычисление ряда определенных интегралов выполнено
в этой работе без пособия геомотряя, но нѳ подложит сомнению,
что к самой птой томе Лобачевского привело многообразное
вычислении определенных интегралов, которое он производил
средствами «воображаемой геометрии*.
Далее следуют дла сочинении но алгебре. В 1831 г.
Лобачевский опубликовал обстоятельное руководство по алгебре:
[101 «Алгебра или вычисление конечных».
Это—учебник, который порвоыачальяо предназначался для
гимназий; прндя, однако, потом к заключению, что это
сочинение для школы недоступно, Лобачевский его переработал и
и втом новом виде предназначал для университетского
преподавания. Сохранялся и первоначальный вариант, написанный
рукон Лобачевского.
В атом сочішешш двучленным уравнениям уделена особая
глава. Часть этой главы посиящона некоторому развитию рѳзуль-
тато?!, изложенных Гауссом л «DiaquisUioiice аѵШііпѳіісае»
(1801). Это исследование и переработанном и расширенном вйдѳ
Лобачевский в том же 1834 г. опубликовал в «Ученых записках
Казанского университета» в виде отдельного мемуара:
[11) «Почяжояиѳ степени в двучленном уравнении, когда
показатель без единицы делится па 8л.
По существу, содержание этого мемуара помещено в XVI
главе «Алгебры».
Далее, три мемуара посвящены учению о сходимости
бесконечных рядов.
Лобачевский начинает с тригонометрических рядов, которые
в ту нору занимали умы. Его не удовлетворяют доказательства
сходимости этих рядон, предложенные Коти, Дирихле, Дирксѳ-
ном, В 1634 г. он посвящает этому вопросу мемуар, помещенный
в «Ученых записках Казанского университета»;
(12] «Об исчозании тригонометрических строк».
В следующем, 1835 году Лобачевский помещает также в (Ученых
записках» обширный мемуар, посвященный общей: теории
сходимости рядов:
1) "<Аго1ііу fur die wiaeeiiflchaftUche Kimda von Russian*», hornuegegebeuYoa
A. Erman,
ОТ РЕДАЛСЦИИ
21
[13] «Способ уверяться в всчѳзании бесконечных отрок
и приближаться к значениям функций от весьма
больших чисел».
Основная задача, которую Лобачевский здесь себе ставит,
заключается и установлении критерия сходимости в том случае, когда
отношение двух последовательных членов ряда стремится, к
единице. К этому жѳ вопросу Лобачевский затем возвращается в 1841 г.
В виде приложения к изданию наблюдений метеорологической
обсерватории Казанского университета'), которым руководил проф.
Э. Кнорр, Лобачевский помещает момуар:
[14J «"frber die Convergent der unendlichon ReHien» в).
Классической проблеме мѳхапиіш посвлщои момуар,
опубликованный Лобачевским в 1834 г. в «Ученых записках Московского
университета»:
[15] «Условные уравнения для движения и положения
главных осой обращения в твердой системе».
Момуар содержит своеобразный вывод уравнений движения
твердого тела и основных свойств главных осей вращения.
В июне 1842 г. происходило полное солнечное затмение. Для
его наблюдения Казанским университетом была сяаряяіена
экспедиция в Понзу в составе астронома-наблюдателя Ляпунова,
профессора физики Кнорра и Лобачевского. В том же 1842 г.
Лобачевский опубликовал в «Ученых записках Казанского
университета» отчет об этой экспедиции:
[16] «Полное затмение солнца в Пензе 26 июня 1842 года».
Отчет содержит, кроме изложения деятельности экспедиции,
обзор взглядов на сущность солнечной короны.
Особняком стоят две работы Лобачевского, не находящиеся
в прямой связи с его научными интересами. Первая из них
опубликована им еще в 1828 г. в журнале «Казанский Вестник»:
[17] «О резонансе или взаимном колебании воздушных столбов».
, Эта статья представляет собой только реферат работы
английского физика Уитетона (Wlie ate tone)s). ,
Д) «Meleorologiacbo Beobachtucgcn aus dem Leirbeziik der Хаіяегіісі.ѳп Ruaeischen,
Univeraitat», Kazan,
') «О сходимости бесконечных рядов».
в) Wheatstono, On the resonances or reciprocated vibrations «f-eolumne
of air, Quarterly Journal, 1829.
2''
ОТ РЕДАКЦИИ
Шораи работа представляет собой отзыв о докторской
диссертации А. Ф. Попова, составленный Лобачевским в 1845 г. Она
помещена іі нидо приложения к печатному пзданию этой дисеор-
тации:
[18] «Подробный разбор рассуждения, представленного магистром
А. Ф. Поповым под названием „Об интегрировании дифсроп-
цпялшьтх уравнений гидродинамики, приведенных к липей-
ному виду"».
Эти все работы, конечно, но имеют того значения, которое
приобрели гоометричѳскио открытия Лобачевского. Но многио из
них содержат идея, весьма своеобразные для того времени. Таге,
Лобачевский, повидимому, первый отличал непрерывную функцию
от дифоронпируѳмой; он первый оперирует понятием;, по
существу не отличающимся от равномерной непрерывности:; он указал
способ приближенного рошеиия алгебраических уравнений, мало
отличающийся от того, который получил распространение под
названием способа Гроффѳ. Нужно, однако, сказать определенно,
что эти работы Лобачевского ѳщѳ очень мало изучены. Но печать
своеобразной оригинальной мысли лежит на всем, что он писал.
Наконец, две статьи, опубликованные Лобачевским, не
относятся к математическим наукам:
119J «Предисловие к 1-й книжке „Ученых записок,
издаваемых Казанским университетом", за 1834 г.».
120] «Речь о важнейших предметах воспитания»,
произнесенная о июня 1828 г. ]),
Когда Лобачевский скончался, его идеи еще не получили
признания, и пмя его еще далеко нв пользовалось той мировой
известностью, которую оно прпобрело уже после ого смерти. Поэтому
не было принято надлежащих мер к устаноилонию и охране его
литературного наследия. Это было в некоторой мера сделано
гораздо позже Казанским университетом и Казанским физико-
математическим обществом. Б архиве университета сохранились
«оставленные Лобачѳнским доклады о программах и методах
преподавания в университете математики, механики и математической
физики, о преподавании хозяйственных наук, о состоянии учебных
заведений Казанского учебного округа.
1) «Казанский вестник», ч. 8, 1Ѳ32 г.
ОТ РЕДАКЦИИ
23
При делах Казанского учебного округа сохранилась рукопись
•«Геометрииі и первый вариант рукописи «Алгебры». . .
В фундаментально it библиотеке Казанского университета хра-
ттится переплетенная тетрадь, содержащая Ш) перенумерованных
страниц листового формата {in 4°) и заклгачающл и большое
количество заметок по различным отделим ігатошітпкп.
Сохранилось большое тпело заметок, записок, конспектов по
различным отделам математики п механики, по физике, по
небесной механике, по логике; очи написание рукою Н. И.
Лобачевского, в небольших тетрадках или на отдельных листках, частью
сгруппированных, частью совершенно разрозненных. Сюда
относятся также отрывки небольших литературных произведения
Лобачевского в прозе и в стихах на русском, французском и
английском языках.
В небольшом чиеле сохранились шісыю, Н. И. Лобачевского к
его родственнику И. В. Вѳлнкопольскому и к М. Н. Мусяпу-Пущ-
кину, частично уже опубликованные.
Первое яяданне собранна сочинений Лобачевского
Как выше уже было упомянуто, внимание математического
мира к замечательным идеям Лобачевского было привлечено поело
1863 г., когда была опубликована переписка Гаусса с Шумахером.
С начала шестидесятых годов и.ч различных научных центров и
от различных геометров ъ Казанский университет стали
поступать просьбы о присылке работ Лобачевского; имя Лобачевского
быстро приобрело всемирную известность. 1С февраля 1867 г.
декан Физико-математического факультета Казанского
университета М. А. Ковальский вошел в Совет университета с прѳдставле-
.ниѳм следующего содержания:
«Сочинения бывшего профессора здешнего университета Н. И.
Лобачевского в последнее время обратили на себя внимание
европейских ученых, особенно те, которые относятся к области
геометрических исследований. Причиною столь поздиѳго
знакомства европейских ученых с трудами покойного знаменитого
нашего сочлена было то обстоятельство, что большая: часть из
них была помещена в „Ученых записках", которые, как известно
Совету, печатались в малом числе экземпляров на удовлетворение
потребностей округа и членов университета. У книгопродавцев
ли петербургских, ни московских они не находились.
Неизвестно, каким путем успели проскользнуть за границу
некоторые мемуары Лобачевского; но дело в томг что перевод,
одного из иих, сделанный французским геомоіром :■ Гуалвм, дал
Чі
ОТ РЕДАКЦИИ
право сказать этому последнему; „truvanx qui а реіве tire's
do 1'ouUi oni. <Ща attire" 1'attontjon (Terninonls geomctrfts* '). w
действительно, кроме требований из-за граиици, полученных
некоторыми членами факультета, о присылке сочинения
Лобачевского, такие же требоиаиня получпл и библиотекарь упиверси-
тетя. Один мсзѳігплнр, я то пеполпыіі, едва удалось собрать.
члонам факультета.
Физико-математический факультет, пртшпмая во внимание-
то, что сочинения Лобачевского составляют библиографическую
редкость и что они по своему эяачонию и важности должны быть,
в Россия, если пѳ более, то по крайней море но монсо известны,.
чем за границей, имеет честь ходатайствовать пород Советом
о попом издания, преимущественно же об издании всех момуарои,.
касающихся теории параллельных линий».
Так, свыше 70 лет тому назад возник вопрос об издании
собрания сочинений Лобачевского. Совет постановил выпустить-
в свет полное собрапиѳ геометрических сочіщений Лобачевского.
Но хотя слава Лобачевского росла с каждым годом, хотя его-
работы приобретали псе большее призвание л значение, прошло-
почтп двадцать лет, цока это постановление било осуществлено.
В 18S3 г. вышол в свет первый том етого издания: «Полное
собрание сочинений по геометрии Ы. И. Лобачевского. Издание
Императорского Казанского университета. Том первый.
Сочинения на русском языке. Каззпь 1883». VH-j-550 стр. *),
Этот том содержит сочинения, отмеченные в приведенном,
выше перѳчпе номерами [і], [2], [31, [4] и [в]. Сочинениям
Лобачевского предпослан весьма краткий очерк его жизни и
деятельности, составленный профессором Казанского упиверситѳта Ф. Г.
Суворовым а); очерк оканчивается пе совсем полным перечнем,
сочинений Лобачевского *).
Второй том этого издания вытаѳл в свет в 1886 г. Он содержит
сочинения, опубликованные Лобачевским на иностранных языках,.,
и имеет дополнительное название: «Collection complete des оѳиѵгѳз.
geometriquee de N. Л. Lobatcneffeky. Edition de I'Univereite Imperial©.
de.Kasan», Казань, 1886.
О «Труди, которые, едва иэвлечелпис ни забвейия, уже пріішіеклк яшіыл-
йтге оьшьгащяхея геометров».
') Это ивдзкне, не каторзе в вводных емтыпе. я прикеадпиях веодаю-
ирятно будут.,делаться ссылки, будем цитировать сокращенно; -Лола. собр. соі..
по ком.».
*)_ Фамилия автора в этом издании не ук&здші.
*/ Полный імречвкь оачивѳопіі Н. И. ЛоСйлевского (ее Считая паспвдяи>
оия впервые сосп&лвв Д. в. Васильввим-и помещен в ого яебольщоМ сочинейи*
«Николай Иванович Лобивеекмп., С:-Петербург, ЗВ14.
ОТ РЕДАКЦИИ
2fi
В этот том вошли французские тексты сочинений [2] и (6) и
сочинение [5]. Французский текст сочинения [3] в него не включен.
Этим сочинениям предпослан тот же очерк Суворова на
французском языке. В конце тома помещен список важнейших сочинений,
имеющих отношение к неевклидовой геометрии. Издание не
содержит никаких пояснительных комментариев.
Это издание сыграло очепь важную роль. Сочинения Лобачевского
сделались доступными как русским, так и иностранным читателям;
почти все они были переизданы за границей с более или менее
обстоятельными коммѳцтариями. Однако, тираж издания составлял
только 400 экземпляров, и к концу столетия оно представляло
уже библиографическую редкость.
Организация н план настоящего издания
Среди научных воззрений, которые принесло с собою XX
столетие, едва ли не первое место по своеобразию замысла, по широте
научного охвата, по глубине производимого переворота во взглядах,
по захватывающему научному и философскому интересу занимало
учение об относительности. В той роли, какую математика играла
в развитии ѳтой-дисциплины, особенно своеобразной является ее
неевклидова база. Правда, здесь приходится говорить о
неевклидовой геометрии в широком значении этого слова, о том ее
развитии, которое справедливо связано с именем Римана. Но, с одной'
стороны, так называемая специальная теория относительности-
непосредственно связана с геометрической системой Лобачевского;
с другой стороны, эта система является первым прообразом
всякой геометрии, отходящей от классической геометрии Евклида,
вернее,—восходящей над нею. Совершенно естественно, что
интерес к неевклидовой геометрии вместе с этим чрезвычайно возрос
и притом не только в среде математиков, но и у физиков,
механиков и астрономов, а вместе с тем возрос интерес к творцу этой
геометрии Н. И. Лобачевскому и к его сочинениям. У нас это-
произошло уже в новой государственной обстановке, в Советском
Союзе, при небывалом подъеме всей жизни страны и научных
интересов, в частности.
В связи с этим в Государственном издательстве возникла мысль
6б'''из'дании полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского.
Эамьтсѳл вотретил одобрение руководящих-государственных органов
И'иосле- этого 'он получил осуществление со всей тбй широтой,''
которая свойственна всякому советскому начинанию. Президиум'
Всесоюзной математической ассоциация', в который дело поступило
для дадкавйісего'.'вго продвижения, организовал Редакционную
■in
ОТ РЕДАКЦИИ
коллегию в составе проф. В. Ф. Кагана и качество главного
редактора издания, профессоров А. П. Котѳлыгакова, В. Б. Стонаноиа,
Ы. Г. Чеботарева и П. А. Широкова. Коллегии получила
поручение окончательно разработать клан нздапия, привлечь к
редакционной работа компетентных учаиых и приступить к
осуществлению этого начинания.
В совместной работе Редакционная коллегия и Издательство
установили следующие начала, на основе которых должно быть
осуществлено издапиѳ:
1. Издание должно воспроизвести все сочинения Лобачевского,
как опубликованные им при жизни, так и сохранившиеся в его
литературной наследии.
2. Сочинения, опубликованные Лобачевским на русском и
иностранном лзыкак, должны быть воспроизведены в обоих текстах.
Это тѳм более существенно, что эти тексты по своему
содержанию не вполне совпадают. Сочинение «Geomel.rische Untersuchungen
zur Тіюогіо der РагаІІѳШіііап», опубликованное Лобачевским только
на немецком іізыкв, в настошцом томе воспроизводится в русском
переводе.
3. Сочинения должны быть снабжены комментариями, которые
делили бы чтение их возможно более доступным.
і. Каждое сочинение должны сопровождать историко-библио-
і'рафический и научны» его обзоры, а гдо это необходимо, — и
статьи, освещающие историю возникновения тех идей, которые
составляют предмет сочинония.
5. В состав издания должно войти подробное жизнеописание
Лобачевского и статьи, освещающие его значение в современной науке.
В соответствии с этими руководящими положениями план
издания рассчитан на 6 томов. Первые три тома будут содержать
геометрические сочинения Лобачевского; четвертый том —
сочинения по алгебре; пятый том — сочинения по анализу, механике и
астрономии. Шестой том будет содержать литературное наследие
Лобачевского, его жизнеописание и подробный обзор его
творчества.
Содержание первого тома
Настоящий первый том составлен в полном соответствии с теми
общими пришщпами, которые приведены выше. Он содержит два
сочинения: «Геометрические исследования по теории
параллельных линий* и »0 началах геометрии».
Первое сочинение — < Геометрические исслѳдопапі'я по теории
параллельных линий»—нарушает хронологическую последоватѳльС
ОТ РЕДАКЦИИ
27
пость воспроизведения сочинений Лобачсізского. Оло помещено
здесь потому, что зто —самое доступиоо из сочинений
Лобачевского и содержит только элементарную геометрию неевклидова
пространства. Как уасе сказано, по этому сочинению
математический мир в шестидесятых годах прошлого столетия познакомился
с замечательными идеями Лобачевского, 0 него должен начать
изучение сочинений Лобачевского и современный читатель.
Это сочинение, опубликованное Лобачевским отдельным
изданием: на немецком языке под заглавием «Goometriache Unteisuehun-
gen киг Theorie der Parallelliniom, воспроизведено здесь в русском
переводе, выполненном Б- Ф. Каганом.
Редакция приложила все усилия в тому, чтобы сделать это
замечательное произведение доступным весьма широкому кругу
читателей. Это сочинение сопровождается статьями, одна из
которых обстоятельно освещает историческое развитие теории
параллельных пиний до открытия неевклидовой геометрии Лобачевским;
другая статья (помещенная в числе приложений) знакомит о
элементами неевклидовой геометрии у других геометров — частью
живших до Лобачѳвекого, частью его современников.
«Геометрические исследования» комментированы особенно
дета льгго.
Второе сочинение Лобачевского — 10 началах "геометрии*,—
помещенное в настоящем томе, возвращает читателя к хронологическому
порядку появления его сочинений. Владея уже элементами
неевклидовой геометрии, подготовленный читатель будет в состоянии
усвоить этот сжатый и трудный: мвмуар. Сочинение требует боло©
глубокого математического образования; с этим сообразован и
текст комментариев.
Более того, сочинение «О началах геометрии» содержит много
результатов, требовавших вывода и проверки. Эту работу
исследовательского характера выполнял профессор А. П. Котельников,
обработавший ту часть настоящего тома, которая относится к этому
сочинению.
* " f**y ,в".^"
Николай Иванович
Лобачевский
tc cip. so
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ПО ТЕОРИИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ЛИНИЙ
а а 4 ®
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ,
ПЕРЕВОД И КОММЕНТАРИИ
В.Ф. КАГАНА
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПО ТЕОРИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Б во л eij.io статьи;
Учение о шраллельных лилиях л открытие вѳѳвклидовоіі
геометрии 31
Обзор сочинении -Геометрические исследования! 75
Н. И. Лобачевский — «Геометрические исследования по
теории параллельных линий» (русский перевод). ... w
Примечания 128
Пр пложен и л:
1. Элементы пеевгслгвдовоіі геометрии у других геометрии 160
2. Историко-бнблиогрлфичсскно сведения о сочинении
«Геометрические исследования» , І72
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫ* ЛИНИЯХ
И ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Обоснование геоігетрни в «Началах» Евклнда
Неевклидова геометрия, элементарному наложению которой
посвящено сочинение < Геометрические исследования по теория
параллельных линий», возникла да почве задачи об обосновании геометрии. Эта
задача, в свою очередь, в древности представляла лишь проны.іеиис
в области геометрии общих воззрении, получивших отчетливое
выражение в школе Платова. Согласно тенденциям Платона всякая
научная дисциплина должна развиваться из небольшого числа ыекодпых
положений, составляющих ее основу. Не взодп в критический анализ
вхих тенденций, окажем только, что в области геометрии, в силу
особенностей математических наук вообще и геометрии в частности, уже
в древности удалюсь подойти к осуществлению этих тенденций ближе,
нем в других науках. Более того, невидимому, и самые эти воззрения
Платона сложились отчасти под влиянием попыток систематического
изложении геометрии, которые в апоху Платона уже имели мвсто:
оформлявшиеся попытки построить систематическое наложение начал
геометрии влияли на общие воззрения философов, а тенденции
философов, сложившиеся п получившие определенное ыыражѳняе а школе
Платона, укрепляли позиции геометров, занимавшихся обоснованием
геометрии. Ida известных нам авторов до Платона составлением нача.т
геометрии занимался Гиппократ Хиооский, шивший во сторон
половине V в. до іг. э.; в япоху Платона этим аанршались Лев и Евдоко;
в самой Акадвмтти Платопа было в ходу сочинение Тѳдия. Ни одно
из сочинений атих авторов по геометрии до пас не дошло; все они
были забыты, когда появилось замечательное сочинение, содержавшее
изложение основ геометрии—«Началам Евклпда.
К сожалению, сведения, которыми мы располагаем относительно
Енвлида, очень скудны. Время расцвета его деятельности относится:
к эпохе, когда лучшие представители греческой науки были
сосредоточены в Александрии. Повидимому, в конце IV или в начале ІП в. до в. э.
Евклид основал |в Александрии математическую школу, для которой:
собственно и было составлено его1 руководство. Евклид писал, таким
32
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
образом, в anosy, когда взгляды Платона уже утвердились, когда
Аристотель уже создал общую схему логического вывода («Органон»).
Согласно этой схеме наглядные методы восточных народов должны
били уступать в геомотрпл место формально-догпчееким
умозаключениям, раанортьшаміштмся в силлогизмы. В известном диалоге Платона
<Фодон> один из участников диалога, Сы.ммнас, наиболее отражающий
воззрения самого Платопа, говорит: гЯ эпаю, что те, которыо велут
доказательство, пеходл от очевидности, поступают тщетно»; это
наречение систематически приводят позднейшие греческие геомотры и
философы1).- Стремление освободить наложение- геометрии от всяких
наглядпыг пи водов составляло основную тенденцию геометров школы
Платова, в том числе и Евклида.
Исходными положениями, на которых Евклид строит систему гѳо-
мвтркн, служат определения, аксиомы и постулаты. Каждая книга
начинается определением тех терминов, которые в ней появляются;
первой книге предшествуют еще аксиоми и постулиты. Как число, так
п точное выражение аксиом и постулатов различны в различных
дошедших до пас списках «Начал», да:ке в основных; в некоторых
списках те и другие соединены в одну группу аксиом. Поэтому не так
просто еебе уяснить, какое различие греческие авторы, в частности
Евклид, делали между аксиомами и постулатами. Пространные рас-
суждения Прокла не проливают на втот вопрос достаточно ииѳта.
Наиболее установившееся воззрение заключается а том, что аксиомы
представляют собой общие достоянии ума (xoivai ёчѵоіаі), необходимые
для ведении рассуждений во всякой пауке (особенно в арнфметтпче
и естествознании); постулаты же представляют собой геометрические
«требования» (alzr^axa), признав которые, приступающий к чтению-
«Начал» вынужден признать все последующие выводы. Однако пет
уверенности, что именно такова была точка зрения Евклида.
Лучшие современные знатоки Евклида ГеВбѳрг и Мепгв,
выпустившие В Германии полное собрание оочипений Евклида на
греческом и латинском языках5), и Гис, выпустивший «Начала» на
английском языке в трех томах с обстоятельными комментариями8), сходятся
на следующем списке аксиом а постулатов:
Постулаты
I. Нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой
другой точке можно было провести прямую линию.
') См., вапрвмер, отрывок нз Прокла{стр. 33 настоящего тома).
5) Euclidis opera omnia. Edidormit I. L. Heiborg efc H. Mengo. Leipzig-,
1863—1895; семь томов, из которых первые-пять содержат «Начали».
в) Т. L. H]eath — ТЬ& thirteen Ьоекв of Euclid» eioraohts. Translated*from the
text of Haiberg with introduction and commqatary. Cambridge, 1C08. * . ,. . i
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
33
II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было
продолжить неопределенно.
Ш. И чтобы из любого центра можно было опаоагь
окружность любым рад ну сои,
IV. И чтобы веб прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, как прямая при пересечения с двумя
другими прямыми образует с ними внутренние односто-
роіішіѳ углы, сумма которых: меньше двух прямых, эти
прямые пересекались с той стороны, с которой ета сумма
меньше двух прямых.
Аксиомы
I. Равные порознь третьему, равны между собой.
П. И если к равным продадим равные, то получим равные.
Ш. К еоли от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. [И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.)
V. [И если удвоим равные, то получим равные.]
VI, [И половины равных равны между собой.]
ѴП. И совмещающиеся') равны.
ѴПТ, И целое больше чаоти.
IX. [И две прямые нѳ могут еаключать пространства-!
Относительно аксиом, заключенных в скобки, ГеіІСерг о Менге
■сомневаютоя, принадлежат ли они Евклиду; Гпс их вовсе опускает.
В тех изданиях, которые объединяют постулаты п аксиомы, V по.
стул&т фигурирует в качестве XI (иногда а качестве ХП, даже ХШ)
аксиомы; поэтому в литературе постулат о параллельных линиях
часто фигурирует под названием XI аксиомы. Так именует
постулат о параллельных линиях также и Гаусс.
Не входя на в общий раэбор аксиом и постулатов, ни в подробное
изложение содержания «Начал>, ограничимся только замечанием,
что первая книга отчетливо распадается на две части. Первую часть
составляют первые 28 предложений, которые оодержая; учение об
углах и треугольниках, а также решение основных задач на
построение (свойства смежных и вертикальных углов, условия равенства
треугольников, соотношения между сторонами и углами одного и двух .
треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, свойства
перпендикуляра в наклонных, построения перпендикуляра по различным
заданиям, деление отрезка ы угла на две равные часги). При втом
нужно заметить, что так называемое предложение о внешнем угле
-треугольника (предложение 16) устанавливает только, что внешний.
1) Подрадуиеаается— веяігппш, обравы.
Зак. 4S8. II. 13. ЛоОьчапснлП. г. I.
3
и
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
угол треугольника больше каждого из внутренних углов, с ним И№
смежных. Особенность этой первой частя кнпгл заключается в томг
чю доказательства нигде не опираются на "V постулат; ату часть
нппгиполочшіу Иоанна Болпай, сведения о котором датш па стр. 165—
100, часто называют (может быть, нв вполне удачно) амолшмпй
геометркай, разумея под этіш ту часть гоолотряи, которая но
завииитог постулата о параллельных линиях. В этом погогмапии слова
абсолютной геометрии принадлежат не только ■ первые 28 предложений
цервой книги, но и ряд предложений третьей книги (учение об
окружности— соотношения между величинами дуг я стягивающих их хорд,
между величинами хорд н их расстояниями от центра, свойства,
касательной к окружности), а также- ряд стереометрических
предложений, содержащихся в одиннадцатой ванте.
Постулат о параллельных линиях
Таким образом, V постулат Евклида (постулат о нараллольных
линиях) существенно отличается от остальных. В то время как к
остальным постулатам Евклид прибегает в первых же своих предложениях,.
V постулат получает первое применение лишь в двадцать девятом
предложении; более того, он как бы делит геометрию на две
существенно различные части: первая часть—так называемая абсолютная
геометрия — от V постулата не зависит; вторая часть — собственно-
евклидова геометрия—вся основана на этом постулате в том омысло,
что ни одно предложение этой части нѳ поддается доказательству,
не опирающемуся на втот постулат. Собственно евклидова геометрии'
содержит бблыпуга часть предложений геометрии—теорему о сумме
углов треугольника, о пропорциональных лилиях и о подобий фигур*
н, следовательно, вею метрику, основанную на учении о подобии,
и, в частности, вою тригонометрию. С другой оторопи, самое
содержание V постулата сложнее остальных: оно содержит уже более-
сложный комплекс понятий, необходимых для его усвоения.
Вследствие этого очень рано появились попытки исключить V
постулат из числа предложений, принимаемых без доказательства,
н логически вывести его из остальные постулатов и аксиом. Этим ■
занимались, главным образом, комментаторы Евклида.
В течение почти двух тысяч лет «Начала» Евклида составляли
единственный учебник геометрии, и конкурировать о ним не рѳшалея-
никто. Но многие авторы переиздавали Евклида, сопровождая его-
яритичеокимя замечаниями и отдельными попытками исправления
и улучшения его текста. Критике текст Евклида, конечно, поддавался^.1
так как при всех высоких достоинствах этого сочинения оно, несом-
"иѳнно, далеко не удовлетворяло строгим требованиям школы Плагона.
УЧКІ-ШЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ 35
логики Аристотеля — построить всю геометршо в порядке
логического вывода, ■ не прибегая в наглядным представлениям. Вскрытие
многих дефектов этого рода составляет несомненную заслугу
комментаторов Евклида, Среди этих попыток улучшить, исправить «Начала»
Евклида, стремление освободить пх от постулата о параллельных
линиях играло весьма видную роль.
Комментирование Евклида началось еще в глубокой древности.
Но многие из этих комментариев до пае вовсе не дошли, другие
дошли только в отрывках, в передане других автороз. В этом отно"
шении очень важную роль играет дошедший до нао полностью
комментарий Дровла к первой книге «Начал>. Провл (410—485 гг.
и. а.) был философ неоплатонической школы, преподававший, между
прочим, геометрию; невидимому, по его лекциям и составлен был
этот комментарий. В печати он впервые появился в приложении
к так называемому Базельсвому а зданию') «Начал» Евклида (1533 г.);
но уже в 1560 г. был выпущен латинский перевод втого сочинения12),
в ХѴШ в. был иадан английский его перевод11) и, наконец, в 1S73 г.
ТеЙбяѳром вылущен комментарий Прокла в подлиннике *). В передаче
Прокла до нас дошли и расоуждѳния более ранних авторов о Y
постулате Евклида (Герона Александрийского, Птолемея, Гемина
Родосского). Составил ли Провл комментарий и к последующті книгам
Евклида, остается яевьгяспенным.
Вслед аа текстом пятого постулата мы находим у Прокла
следующие соображения:
«Это положение должно быть совершенно изъято па числа
постулатов, потому что это — теорема, вызывающая много сомнений,
которые ГГтоламой пытался устранить в одной из своих книг;
однако его доказательство требует многих определений и теорем;
іт сам Евклид дает обра-щеыне этого предложения в качество
теоремы. Но, мозкет быть, некоторые вследствие ошибочных
воззрений подумают, что его положение действительно следовало
поместить среди постулатов; само по себе оно вызывает доверие,
если принять во внимание наклонение прямых линий, образую-
!) Так называемое Баавкьекоѳ падение «Начал» было выпущено Сиыоном
Старшин (Simon Grynaeus) на греческой язілке по рукописи Теопа (Феоаа)
Александрийского. В литературе оно известно под наэааннем >editio ргічеерз" («главаоо
издание»), потону что дослужило оригиналом дпл большого числа других изданий.
2) Pi-oeliDiadoclu... inprimum Euclidis Elementorum ІіЬгша commentariorum...
libri ПП; summa opera a Francisco Baroeio... editi. Patavii, 1560.
s) The pliilosophical and mathematical commentaries of Proclus on the first book
of Euclid's Elements. London, 1702.
J) Prodi Diadochi ia primum Euclidis Elementornra librura. commeotarii. Ex.
roe. Q-. Fridlain, Leipsig, 1873.
3*
30 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
тих с секущей: углы, сумма которых меньше двух прямых,
втого рода людям Гемин справедливо отвечает, что у творцов
науки мы научились не относнтьоя в геометрических раеоуясдѳ-
лшіх с полным доверием к наглядным представлениям нашего
воображения; как говорит по этому поводу Аристотель, wo било бы
подобно тому, чтобы требовать доказательств от автора риторики
и в то же время терпеливо выелушшзать геометра, исходящего
от наглядных представлений. И Симмиас Федонѳ"
говорит: ..Я аиіио, что те, которые ве.дуі доказательство, походя
от очевидности, поступают тщетно". Конечно, совершенно
необходимо пригнать, что прямые линии наклоняются одпа к другой,
когда примите углы заменяются острыми'). Однако, что эти на-
кдашіыѳ при продолжении сойдутся, это остается но достоверным.
ѣ лишь вероятным до тех пор, пока этому нѳ будет дано
логическое доказательство: ибо существуют бесконечные наклонные
лішяЕ, которые никогда не сходятся; и хотя ато представляется
мало вероятным и удивительным, но совершенно достоверно,
что при других формах линий это может иметь место-). Что же,
в случае прямых линий не мояіет иметь места то, что бывает
в случае других линий? До тех пор пока мм этого не обнаружим
путем доказательства, свойства, которые могут проявиться при
неограниченном продолжении других линий, тяготеют пад нашим
воображением. Но если появляется сомнение в том, произойдет ли
пересечение линий, то каким образом должпы мы изгнать па
нашей доктрины это мало вероятное и иррациональное
предположение? Совершенно ясно, что должно- быть найдено
доказательство настоящей теоремы; а такое требование природе
постулатов совершенно чуждо0). Каким образом это предложение
должно быть докааано, это мы увидим ниже, когда придем
к нему, когда элементы геометрии нас этому уже научат. Ибо
необходимо обнаружить ого справедливость, но ив как нечто
представляющееся нам очевидным без доказательства, а как
предложение, становящееся таковым благодаря доказательству».
*) То-всть когда перпендикуляры к секущей заменяются наклонными,
образующими с asfi оотрыо внутренние
conoid' сторонние углы (левый чертеж).
*) Например дав гиперболические ветви
AAS и ВВ' могут асимптотически,
приближаться одпа к другой:, обраеуя острые
углы на концов сѳкущоіі A3 (правый чертеж).
\В 8) Прок л, очевидно, хочет скавьтх»
чтокдоетулмуыы но предъявляем
требования, чтобы он бия доказан; поэтому V постулат Евклида, в которому такое
требование предъявляется, должен быть расомитрштем ве как постулат, а как теорѳиа
УЧШШЗ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ 37
Это — знаменательные стропи. Прокл, как мы видим, идет таи далеко,
что он, по крайней мере a priori, пе исключает даже сомнения в
истинности самого предложения. Бо всяком случае ои делает вывод,
что постулат о параллельных линиях нужно из геометрии изъять, ео
нужно освободить от этого «томного пятпа», надо найти его
доказательства.
Это — лейтмотив, который проходит почти черѳа всю литературу,
относящуюся к обоснованию геометрии. 8ти мысли аанимали уже
Птолемея за 300 лет до Прокла; Птолемей по свидетельству
Прокла написал об этом предмете целую книгу. Эти мысли
систематически повторяются выдающимися геометрами вплоть до XIX в.
Правда, доказательством постулата о параллель игл х линиях занимались
и многие люди, лишенные пе іолько таланта, но и достаточных
познаний; но вместе с тем трудно назвать какого-либо иа выдающихся
геометров, кто не отдал бы дали этой проблеме, кто но посвятил бы
ей времени и мысли.
В литературе накопилось много попыток доказательства евклидов»
постулата. В 17С2 г. Клюгель, ученик известного геометра ІСѳст-
вдра, занимавшего в Гѳттппгенском университета кафедру Евклида,
представил диссертацию на тему «Обзор важнейших попыток
доказательства теоремы о параллельных линиях» ').
В етом сочинении автор рассматривает около тридцати
доказательств V постулата Евклида н приходит к иному выводу, не:вѳли
Прокл.
Приведем вступление к диссертации Клюгѳла, в котором его вілво;е
отчетливо выражен.
«Среди истин, которые прилежно изучали выдающиеся умы,
не последнее место занимает теорема элементарной теометрии
о параллельных линиях. Все пауки храпят в себе загадочные
вещи: неудивительно, что наш ум, заключенный в определенные
пределы, многого но постпгает и не в состоянии раскрыть
источники и причини многих фактов. При всем том я по знаю,
коренится ли больше в слабости нашего ума или в характера самых
истин вина того, что в пределах геометрии существуют
препятствия, которые не дают возможности овладеть подступами к ней
в такой степени, как это было бы желательно. Немногочисленны
истины, которые в геометрии могут быть доказаны баз пособил
теоремы о параллельных лилиях; но еще малочислениев те истины,
1) &. S. Kliigel — Conatuum praccipuomm thooviam раѵвДеІатит demons&Micl
reeensio, quam publico exanuni anbmittent Abran. Gotthelf Kaostner ct auctor гёарой-
dens Georgius Siraon Kliigel. Giitlingen, 1763.
33 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
которые можно попользовать для ее доказательства. Вследствие
этого, нѳ располагая отчетливыми сведениями о прямых п кривых
линиях, мы ые можем выполнить это доказательство па основе
их определения. При этих условиях нельзя поставить геометрии
в вину, если она вносит в основные своп положения такое
предложение, истинность которого не устанавливается
отчетливым рассуждением, а усматривается нспосредствѳндо благодаря
нашим наглядным представлениям о прямой линии. Такова XI
аксиома Евклида, согласно которой две прямые на плоскости:,
пересекающие третью под углами, сумма которых меньше двух
прямых, про неограниченном продолжении неизбежно должны
пересечься.
Многие, опытные в геометрических доказательствах, пыталась
устранить ату иотиыу из числа авоиом; но псе доказательства,
которыми они старались эту истину строго установить, оказались
порочными. Другие предлагала ааыенить ее иными аксиомами,
которые, одпако, иѳ могут сштаться более ясными, нежели
постулат Евклида.
Таким образом, если обозреть все попытки, то окажется
совершенно правильным, что Евклид поместил это предложение
среди аксиом».
Клюгель, конечно, не исчерпал всех предложенных до него
доказательств; многие доказательства были опубликованы и после него.
Но вывод, к которому он пришел, был совершенно правилен: ни одно
пэ предложенных доказательств постулата о параллельных линиях не
оказалось правильным. Одни содержали прямую погрешность, другне
. явно или неявно заменяли в своих рассуждениях постулат другим
вквивалѳнтным ему допущением.
Мы приводам здесь некоторые доказательства и именно те, на
которых в литературе ѳтого вопроса было сосредоточено внимание и
.«оторые содействовали выяснению содержащихся в нем - трудностей.
При втом мы будем давать не собственное наложение доказательств,
« подлинные тексты авторов.
Параллельные липни в «Началах» Евклида
Доказательства V постулата тесно примыкают к изложению теории
параллельных линий в «Началах» Евклида. Мы приведем поатому те
пять теорем, которые в «Началах» составляют ©ту теорию. Первые
три приведены в точной переводе, сделанном с греческого оригинала
{греческие буквы в тексте и на чертежах вамевены, как обычно,
.латинскими).
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
30
«I. 27. Если прямая линия, пересекая две [другие] прямив люит,
образует с ними равные іілкрест лежащие углы, то эти прямые
параллельны.
Положим, что прямая лпнид EF, пересекая прямые АВ п CD,
образует с ними равпыѳ накрест лежащие углы AEF и EFD.
Утверждаю, чти прямая
АВ параллельна CD.
Ибо, если бы они пе
была параллельны, то опп
.пересеклись бы либо со
стороны точек В и D, либо
■со стороны точек А и С.
.Положим, что они продолжены в сторону [точек] В я ІЗ.и
пересекаются в [точке] G. Тогда в треугольнике GEF внешний угол AEF
равен внутреннему не смежному с пнм углу EFO, что
невозможно. Следовательно, прямые АВ н CD, б*уду'іи продолжены
в сторону точек В и D, не пересекаются. Подобным же образом
.может быть доказано, что они не могут встретиться со стороны
точек А а О. Но прямые, которые не встречаются, ни с одной,
ня с другой стороны, параллельны; следовательно, прямая АВ
параллельна CD.
I. 38. Если прямая линия, пересекая две [другие] прямые ланий
образует внешний угол, равный соответствующему внутреннему углу
•или если внутренние односторонние углы составляют вместе два
прямых угла, то зши «ря,и«е друг Оругу параллельны.
Предположим, что прямая EF, -пересекая две прямые АВ п CD,
■образует внешний угол JSGB,- равный соответствующему
внутреннему углу GHD'), ила образует
внутренние односторонние углы
BQB и GIID, составляющие вмѳ- А ^ В
сте два прямых угла. Утверждаю,
что [прямая] АВ параллельна
.[прямой] OD.
Ибо, так как угол EGB равен -
углу GRD, между тем как угол \і
EQB равен углу AGE, то угол
AGE равен углу ОПВ. Но это — углы накрест лежащие.
Следовательно, прямая АВ параллдльпа CD.
Если же углы ВОВ. и GHJD составляют два прямых, а утлы
AGS ж BGE также составляют два прямых, то углы AGS K-BQB
') Евкккд называет угол GSD не соответствующим (соответственным) углу-ЕЯВ,
;» протяводожазщщ ему.
40
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
рпввы углам BGE и GEl)1)- Отнимая общий угол BGE, найдем
что остающийся угол AGS равен остающемуся углу GED; по это —
угли накрест лежащие. Поэтому прямая АЛ параллельна СВ.
Ъ 39. Прямая линяя, пересекающая дйе параллельные пря.ш,іе,
образует с ««ли равные накрест лежащие углы, внешний угол равен
соответствующему внутреннему углу, а сумма внутренних
односторонних углов равна двум прямым углам.
Положим, что прямая EF пересекает параллельные прямые
ЛВ, OD. Утверждаю, что она образует равные накрест лежащие-
углы AGS, GED, что внешний угол EG В равен
соответствующему внутреннему углу GED и внутренние односторонние углы
BGE и GED составляют дна прямых угла. Ибо, если угол AGE
не равек углу GED, то один из них больше другого. Пусть AGS
будет больший угол. Придадим к каждому на них угол ВОН.
Тогда углы AGS и BGS составят больше, чем углы BGE и GIID.
Но углы AGE и BGR составляют два прямых. Следовательно,
В(Ш п GSD составляют меньше двух прямых. Но прямые линии,
которые образуют с секущей односторонние углы, составляющие
меньше двух прямых, при неограниченном продолжении
встречаются2). Следовательно, прямые АВ и GD при неограниченном
продолжении встретятся; но они не могут встретиться, потому
что они по условию параллельны. Следовательно, угол AGE не
может быть неравеп углу GED, а потому он ровен ему.
Далее, угол AGE равен углу Eff.fi; следовательно, угол KGB
также равен углу GEB. Придадим к каждому па них угол BGE.
Получим, что углы BGB п BGE равпт.т углам BGE и GED. Но
углы EGB м BGS составляют два прямых угла; следовательно,
углы BGE и GED составляют два прямых угла».
Мы привели здесь подлинный текст трех основных теорем о
параллельных линиях н их доказательств в «Началах» Евклида. За этим
следует предложение I. 30 — «две прямые, параллельные третьей,
параллельны между собойэ — евклидово доказательство которого по
настоящее время точно воспроизводится в наших учебпнках элементарной
геометрии. Наконец, предложение I. 31 содержит построение прямой,
проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
однозначность втого построения вытекает на предложения I. 29.
Мы видам, что предложение I. 29 может быть рассматриваемо как
обращение предложений I. 27 и I. 28. При атом V постулат получает
применение только один раз в предложении I. 20. Остальные нредло-
') Мы сказали бы: сумма углоп AGS к BQE равна оуммѳ угаоя BGE tc <?Ш>-
!) Постулат о параллельных линиях 1
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
41
жѳпия, непосредственно относящиеся к теории параллельных линий,
выводятся уже из теоремы I. 29, а затем, в свою очередь, служат
основой для построения всей
«собственно евклидовой» гаометрия. д/ъ
Б связи с этим ложно содержание у $
основных теорем о параллельных линиях /
формулировать следующим обравом: /
Обозначим, как показано на чертеже, „ />
отдельными буквами восемь углов, которые 9/h
образуются ори пересечения двух прямых,
расположенных в одной плоскости, третьей прямой. Напишем
следующие 12 равенств:
а = е, u = f, c = g, d = h; c = f, d = e, a=k, 6 = jj;
с -f e = 2d, d-\-f=2tlt a + g = 2d, Ь-f- k = 2d.
Каждое из этих равенств, если оно имеет место, влечет sa собой
все остальные и является достажочны.\і условием для того, чтобы
прямые были параллельны: это и доказывается предложениями I. 27 и
I. 23. Требуется доказать, что эти условия являются также псоі'.гоНи-
-мш(и; его достигается ценой того, что необходимость одного па этих
равенств принимаѳгся в качестве постулата. Евклид принимает в
качестве постулата условие c-\-e = 2d или d~j-f=2d'); можно принять
в виде постулата любое другое из этих условна; иными словами,
можно принять па постулат предложение: если линии параллельны,
то имеет место одно па соотношений (I) (какое угодно); иа этого
тогда вытекает, что прп параллельности прямых имеют место все
перечисленные равенства. Таким образом уже по существу дела
постулат о параллельных линиях допускает 12 формулировок, мало
отличающихся одна от другой. Английскому математику Плейфегу 5)>
но совсем правильно3) приписывают другую формулировку, которая
часто приводится и сочинениях по элементарной геометрии: через
дачную точку может провести тилько одну прямую, параллельную данной.
С именем Лежандра (также, безусловно, неправильно) связывают
следующую формулировку постулата: если одна из двух прямых, лежащих
в одной плоскости, перпендикулярна к секущей, а другая образует с «ей
острый угол, то прямив пересекаются со стороны острого угла. Постулат
может быть выражен в различных других формах,—вернее, без
I) Собственно говоря, обратно противоположное предломсеиио: если с -\-е ф 2d,.
то прямые пересекаютоп.
*| J. Plcyf ait — Elements of geometry, containing the first еіх books of ЕисШ,.
Edinburgh, 1707.
B) He совсем пратдаплго потому, что эта формулировка встречается у друга*
ааторов раньше, — напрвмвр, у Наесир-Эдшша.. То ив относится н к Лежяндру..
(1)
42 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
доказательства может быть принято одно из. многих других
предложений, экиивалеитных V постулату.
Но в течѳпнѳ двух тысяч лет геометры старались вовсе взбежать
вледешш специального постулата в теорию параллельных линий, —
тенденция, отчетливо выраженная в приведенной выше цитате из
сочинения Ирокла. Переходим к изложению наиболее интересных, в том
или иилм отношении характерных или поучительных доказательств
постулата.
Доказательство Ирокла.
Комментируя предложение I. 29 «Начал», Ырокл прежде всего
излагает доказательство этого предложения, принадлежащее Птолемею и
не опирающееся на V постулат. Это с доказательств о» в такой мере
наивно, что п сам Прокл не относится к нему серьезно; мы по будем
его здесь приводить. Свои собственные соображения Прокл также
начинает с рассуждений, пе лишенных некоторого остроумия, но
фактически к делу на относящихся. То, что он собственно считает
доказательством постулата, излажено следующим образом:
*Те, которые желают- получить доказательство, должны быть
осведомлены, что оно предполагает аксиому, которой пользовался
Аристотель в своем доказательстве конечности мира, именно:
если из одной точки выходят две прямые, то при неограниченном их
продолжении расстояние между ними становится больше любой
конечной величины. Он [Аристотель] указывает, что при продолжении
бесконечных прямых линий от центра и периферии расстояние
между ними также будет бесконечно; ибо, еслп бы оно было
только конечным, то оно все же могло бы быть увеличено,
прямые же лилии не были бы бесконечны1). Итак, [пересекающиеся]
прямые линии при, неограниченном продолжении удаляѵжся, одна от
другой на расстояние, которое становится больше ліао~ой конвч«ой
величины,
Прянимая ето, л утверждаю, что прямая, пересекающая одну
ив двух параллельных линий, перѳоѳкает также и другую.
В самом деле, пусть ab и cd будут параллельные прямые и
пусть прямая efg пересекает аЪ; утверждаю, что она переоечет
также cd. В самом деле, так как мы здесь имеем две прямые
линии, которые могут быть неограниченно продолжены от точки f,
именно fb я fg, то расстояние между нтга превысит любую
!) Эти соображения, конечно, очень еботчиви и: дпжо вовсе непонятны; но
читая аксиом», которую формулировал Аристотель и которую Прокл применяет
в следующем предложении, выражена совершенно отчетливо.
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ 43
.конечную величину. . Следовательно, оно правзойдѳт величину
расстоянии между заданными параллельными прямыми линиями.
Так как их расстояние становится, таким образом, больше
расстояния между параллельны л и, то fg пересечет cd.
Установив это, мы можем последовательно провести
доказательство постулата.
• Пуоть аЬ и cd будут две прямые, .которые при пересечении
с прямой ef образуют с ней углы bef и dfe, составляющие меньше
двух прямых. Утверждаю, что прямые пересекутся с той
стороны, с которой сумма углов меньше двух прямых.
В самом деле, так как углы bef и dfe составляют меньше двух
прямых, то пуоть heb будет угол, дополняющий их до двух
прямых; продолжим he до точки к. Таге как теперь прямая ef
пересекает линии Іік и cd и образует с ними внутренние одноото-
роштпо углы, составляющие два прямых, именно углы kef н dfe, то
прямые Іік и cd параллельны; аЬ пересекает Ш, следовательно,
в силу у станов ленного выше предложения, опа пересекает
также и cd.
Таким образом прямые аЬ и cd встречаются с той отороны,
с которой расположены углы, составляющие меньше двух прямых.
Поставленная цель, таким образом, достигнута».
Приведенное рассуждение Прогсла состоит из трех частей. В первой
•части Прокл четко оговаривает, что он допускает добавочную аксиому,
ведущую своо начало от Аристотеля. Во второй части оы при помощи
втой добавочной аксиомы доказывает вспомогательное предложение,
заключающееся в том, что прямая, рашолоасеяная в плоскости двух
параллельных прямых и пересекающая одну из низ, пересекает также
вторую1). Наконец, третья часть посвящена доказательству постулата
О параллельных линиях л том виде, в каком он формулировав;
в «Началах» у Евклида.
') Заметим, что это вспомогательное предложение по существу совпадает
■с приведонной выше ппэйферовой формулировкой постулата о параллельны!
линиях.
44 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Рассуждение ГІрокла- содержит двойную ошибку. Положение,
которое он называет Аристотелевой аксиомой и которое заключается в том,,
что точки, расположенные на одной стороне угла, по мере удаления
от верпгппы неограниченно удаляются от другой стороны угла, отнюдь-
не должно быть причислено к аксиомам. Опо допускает строгое
доказательство, не опирающееся на постулат о параллельных линиях; это
доказательство дано Лобачсврвим в сочинении сНовые начала» (статья ЮС),,
но встречается еще раньше в сочинении Саквѳри (см. стр. 1G7).
Но во второй частя, при доказательстве вспомогательного
предложения, ІІрокл принимает, что расстояние между двумя параллельными
линиями ш всем их протяжении остается огртшчениым (можно даже думать,,
что он считает это расстояние постоянным); это есть допущение, вполпо
эквивалентно а постулату о параллельных линиях. Рассуждение Прокла.
и сохраняет свое значение потому, что оно устанавливает
эквивалентность обоих положений.
Доказательство Нлссцр-Эддпип.
В XIII п. арабскгіП математик Насснр-Эддгпт ат-Туса (1201—1274)
сделал перевод на арабский язык «Начала Евклида и сопроводил его
многочисленными примечаниями и комментариями. Это сочинение
свыше трехсот лет сохранялось в рукописи, а в 15Ѳ4 г. было
выпущено в свет в печатном виде в Риме ').
В 1901 г. в Бомбее оно было выпущено в переводе на санскритский
язык. Сочинение ато мало доступно, потому что перевода его на
европейские языки не существует. Английский математик ХѴП в. Дж. Вал-
лис (lOlti—1703), занимавший в Окофордеком университете кафедру
Евклида, хорошо известили также своими трудами по ангебро и
анализу, в своих лекциях по геометрии излагает доказательство постулата,
о параллельных линиях, предложенное Насеир-Эддпном. Это
доказательство замечательно в том отношении, что в нем впервые постулат
о параллельных лилиях доставлен в связь с учением о сумме углов
треугольника. Воспроизведем здесь доказательство Ыасстгр-Эддпыа
в передаче Валляса, помещенное во втором тома полного собрания
его сочинений5);
*Нассир-Эддип предпосылает доказательству постулата три
ломмы, первую из которых он принимает без доказательства.
Содержание их по существу заключается в следующем:
') Buelidia Elementorum geometricorum libri tredeciiu. Ex tiaditiane doctissimu
Najsiridini Tuaim nunc primum Arabice ітргвэві. Лота, 1504.
2) .7. Wallis—De Postulate quinto; et definitions ijuinta. Lib. 0. Enclidis; dis,-
certatio geometries. (Opera mathematien, Oxoniae, 16S3 -t. E стр. 06э—673).
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
45
D-
Н
F
Лемма I, а) Если АВ и GB суть две прямые линии,
расположенные таким образом, что перпендикуляры ЕР, GH, KB, опущенные
из точек прямой АВ на ОВ, всегда образуют с прямой АВ неравные
углы1), которые все время остаются
острыми со стороны Л и тупыми
со стороны А, то прямые АВ И GB,
до тех пор пока, они не
пересекаются, постоянно сСлижактся со
стороны острых углов, и расходятся со
■стороны, тупых углов, т. й.
перпендикуляры уменьшаются в сторону
точек В и D и возрастают в
сторону точек А и G.
Ь) Обратно, если, проведенные таким образом перпендикуляры
становятся короче я направлении «точкам В, В и длиннее в направлении
к А, С, так что прямые АВ и GD постоянно сближаются в сторону
В, В и расходятся в противополоокнук сторону, -то каждый
перпендикуляр образует с прямой АВ два угла, один из копгорьи: острый,
а другой тупой, причем все острые углы обращены в сторону точен
В, D, а тупые — в противоположную сторону.
Ленка П. Если us концов отрезка АВ восстановим к нему пер-
пекдккуляры АО, BD и на них отложим равные отрезки АС, ВВ «
проведем прямую ВО, то каждый
-чз углов ЛОВ и ВВС Судет яря- "ш
мы.ѵ, а отрезок CD Судет равен АВ.
Доказательство этой леммы
ведется от противного на основе
предыдущей леммы. Если,
например, AGD пѳ пряной угол, то giz. 14
он либо острые, либо тупой;
предположим, что он острый; тогда, соглаоно лемме I, АО больше BD,
что противно условию; и т. д.5).
Доказав, что угли АОВ, BDG прямые, уже нетрудно
обнаружить, что отрезки АВ и GD равны.
Лемма Ш. В каждом треугольнике три угла составляют вместе
два прямых.
[) То-есть неравные смешные углы, которые вазадий перпендикуляр образует
■с прямой АВ, например, углы AEF ж ВЕР.
*) Заметим, что это ѳавлючошів даже не вытекает из предыдущей: ламмы,
.ибо рпссуяндеине молчаливо допупкает, что в том случае, если АСВ есть острый
угол, BDG есть тупоіі угол; не исключена возможность, что оба угла
острые, н тогда ле.мма не может получить применения; пи. рассуждение Сак-
-керьі (стр. 103).
4(1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Для: прямоугольного треугольника это доказывается на
основании предыдущей леммы. В самом деле, если дан
прямоугольный треугольник ЛВС, то мы строим, как это сделано выше,
четырехугольник А ВВС, углы которого в силу предыдущей
лемыы прямые. Диагональ ВС делит этот четырехугольник на
два равных треугольника, о каждом пз которых внутренние
угдгл составляют, таким образом, вместе два пряных. Вместе
с тем теорема, справедлива и для любого треугольника, так как
всякий треугольник может1
быть рааивт на дпа
прямоугольных треугольника.
Теперь Наосир-Ѳддик
переходит к окончательному до.
казательству V постулата.
Здесь возможны три случая:
1) когда один на внутренних
односторонних углов,
составляющих вместе меньше 2d,
прямой, 2} когда они оба
острые з S) когда один иэ
яшх тупой. ІТаесир-Эдднк
обнаруживает, что два
последних случая могут быть
приведены и первому, и
обращается к доказательству
теоремы: если о Ока гіз двух
прямых образует а секущей-
прямой угол, а другая
острый угол, то эта, прямые
встречаются со стороны
острого угла. Предположим, что прямые АВ я GD встреча ют-
прямую FOE, образуя с ней прямой угол BCD и острый
угол СЕВ (чертеж а). Возьмем на ЕВ произвольную точку G и
пз нвѳ опустим перпендикуляр GE на ЕС. Так как угол CEG
острый, то перпендикуляр упадет со стороны точки О; при этом
оп либо совпадет с перпендикуляром DC, либо не совпадет.-
а вом. В первом, случае предложение доказано.
Еоли GS нѳ совпадет с DC и упадет со стороны точки F1),
то прямая OD, входя внутрь треугольника, составленного пер-
1) Соответствующем чертежа нет в тексте Нассир-Эдянна; он дриеоедиэев;
нами (черт. 6).
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ 47
пендикуляром и прямыми ЛВ и GM, должна пересечь Ж*?1).
Пусть, наконец, GMU) додает Со стороны точки Е от прямой CD.
Вдоль KG откладываем ряд отрезков ПК, ICL п т. д.,
равных ЕМ, до тех пор пока точка деления М по упадет аа точку С.
Вдоль ЛВ отметим отрезки GW, N0 и т. д., равные EG, до тех
пор, дока отрезок ЕР не станет таким же относительно отрезка
EG, каким ЕМ является относительно ES. Тогда можно
доказать, что перпендикуляры, опущенные же точек 2Т, О, Р на
прямую EG, падают соответственно в точки Ж, L, М.
В самом деле, проведем первый из ѳтпх перпендикуляров из
точки N и обозначим его череа NS. Проведем, далее, отрезок EQ,
перпендикулярный к ER и равный GH, и на SjV отложим
отрезок SR, также равпый ОМ. Проведем, наконец, прямые GQ ж GR.
Тогда в силу леммы П углы EQG и QGB будут прямые и QG = ЕМ.
Таким же образом п углы SRO я RGM прямые a RG = SE;
следовательно, отрезки RG и GQ лежат на одной прямой и углы,
противоположные при вершине, NGR я EGQ равны. Углы NRG
и GQE прямые, і,И=6!Е по построению. Поэтому RG=GQ
ж вмеотѳ о тем 8М=МЕ; а так как по построению МЕ = ИК,
то 8&=КМе точка S совпадает о К. Совершенно такое же
расоужденив можно провести и относительно остальных
перпендикуляров. Следовательно, прямая РМ перпендикулярна к FE\.
поэтому прямая CD, будучи параллельна MP и проходя внутри
треугольника РМЕ, должна при достаточном продолжении перо-
сечь ЕР*.
В 1733 г. итальянский математик, иезуит ІІерОним Саккери
выпустил в свет «Начала> Евклида с весьма замечательными
комментариями, о которых нам придется подробно говорить ниже в). В
обширных рассуждениях, относящихся к V постулату, Саккери посвящает
доказательству Насспр-Эддгша следующие соображения, отчетливо-
выясняющие не состоятельность этого доказательства. Приводим
перевод ѳтих рассуждений Саккери;
«Насспр-Эддин требует признания двух положений.
Во-первых, что две прямые, расположенные в одной плоскости и
встречающие ряд других прямых линий таким образом, что
1) Это утверясдѳниѳ осноэаяо на аксиоме, которую обыкновенно неправильно
спяеывагат с именем германского геометра Паша: если прямая, пересекающая
сторону треугольника, тсаЗит тутрь его, то она Эолита «з него выйти, т. е. Волжна
встретить периферию треугольника eufs е одной точке. См. ниже, «Геометрические
исследования», предложение 3 и к нему примечание [в] (стр. 80 и 128). Эта аксиома
в том или ином выражении необходима для обоснования абсолютной геометрии*
*) Возвращаемся к оригинальному чертежу (а) автора.
в) Стр. 107.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
последние постоянно перпендикулярны в одноіі: на них, а,
другую постоянно пересекают пол неравпшпт углами и именно: по
одну сторону под острыми углами, а по другую пол тупыми
углами,—что такие две прямые, говорю я, до тех яор лова они
не пересекаются, постоянно приближаются одна к другой в
сторону острых углов и, наоборот, в сторону тупых углов постоянно
расходятся.
Если других трудностей на его пути нет, я, со своей стороны,
охотно признаю это требование Иасснр-Эддана, ибо как ра то,
что ѵ него остается недоказанным, я самым строгим образом
доказал во П приложении к Ш предложению1).
Второе требование Наесир-Эдднна представляет собой
обращение первого; оно заключается в том, что угол должен в ту
сторону, с которой упомянутые перпендикуляры по условігю
уменьшаются, постоянно оставаться острым, а с противоположной
стороны, с которой перпендикуляры возрастают, должен
оставаться тупым.
В втом кроется недоразумение. Почему углы (считая от
некоторого перпендикуляра, принимаемого за пѳрвыгі), будучи
первоначально по одну сторону острыми, не могли бы постоянно
возрастать, пока мы не дойдем до прямого угла, т. е. до
перпендикуляра, который служит общим перпендикуляром обеих
названных прямых; и если это наступит, м хитрые построения
Ыаееир-Эдцина, при помощи которых он весьма остроумно, хотя
и с большими усилиями, доказывает евклидову аксиому, сводятся
иа-пет».
:-)ти соображения Саквври безукоризненно правильны. Поясним их
еще несколько на самом ходе доказательства Нассор-Эддида.
Леммой 1 Насоир-Эддип пользуется
Dr
F" F' F С С
В
Г Е' Е
Л'
лишь для доказательства
следующей II леммы, Здось елгу нужно
показать, что при сделанном жм
построении в четырехугольнике
A-BDG внутренние углы О и D
прямые. Доказывая это от противного,
оп принимает, что угол G острый, и
тогда согласно принятой лемме парпопднкудяры 001', С" л.", ... ,
идущие к D, должны с той: же стороны составлять с CD острые
J) Это первое допущение НйСйнр-ЭдцйНа по существу представляет собой
только некоторое расширение того положения, которое Дроки тшьгааѳт
.Аристотелевой аксиомой»; и именно в этом рашшгренном вице оно действительно было
доказано как Саккери, так и иеэависило от пего Лобачевским.
УЧЕНИЯ О ШГЛЛЛСДЬНЬК ЛИЙИЯХ
W
углы С, С",,., и вместе с тем убивать; поэтому VD пе мо;і;сг
оказаться рапным АС. Между тем, как указывает Саккерп, по исключена
воэм о леность, что эти углы лоэрастают, дорастая и некотором
положении перпендикуляра І'Щ до прямого; тогда FE (общий
перпендикуляр) будет наименьшим расстоянием между прямыми Л.Й и 6'і>,
дальнейшие перпендикуляры J''7>", 1"Л" могут возрастать и вновь
дорасти до liD=AG. Более того, при развитии своих іідеіі Саккѳри
показывает, что отрезок FB, соединяю пгий середины верхней и
нижней стороп четырехугольника, непременно представляет собой общиіі
перпендикуляр; чтобы в этом убедиться, достаточно наложить
четырехугольник на самого себя обратной стороной, т. е. так, чтобы точіси А
и Д а также перпендикуляры AG и BD заместили друг друга; точки
Е и F при этом ые изменят своих положений. Поэтому углы D и V
равны, а прямая SF перпендикулярна к обоим «основаниям» A3 и GD
четырехугольника (см. г Геометрические исследования», дрѳдложѲ'
нне 24%
Продолжая анализ доказательства Нас с up-Э длина, заметим, что
леммой Ш он для доказательства постулата вовсе на пользуется, ему
нужна только лемма Д. Какую асе роль играет я его рассуждениях
лемма ІД? Она выяоняет, что лемма II вполне равносгільна тому, что
сумма, углов треугольника, равна 2d; ыв леммы 11 Наесир-Эддин выводит,
что сумма углов треугольника равна 2d, раарѳаывая четырехугольник
на два прямоугольных трѳугольнива; обратно, если принять, что сумма
углов п треугольнике равна 2d и, следовательно, в четырехугольнике
id, то в четырехугольнике ABJJG, который Нассир-Эддип
рассматривает, углы С и 1), будучи равны между собой, должны быть прямыми.
Основываясь на постулате о параллельных линиях, Евклид
доказывает, что сумма углов в треугольнике равна 2d; если принять, чти
сумма углов треугольника равна 2d, то отсюда вытекает лемма Ц
Нассир-Эддипа и основанное иа ней безукоризненное доказательство
V постулата. Следовательно, допущение, что сумма внутренних углов
треугольника роешь 2d, эквивалентно постулату ЛаклгіОа. Таков
действительный вывод иа рассуждений Насспр-Эддпна. Этот вывод имеет
большое значение; его отчетливо усвоил и формулирован Саккерп;
йто сыграло большую роль в дальнейшей эволюции учения о
параллельных лилиях.
Доказательство Валлиса
Дне. Валлис пользовался весьма больший авторитетом не только
із Англии, но и во всех странах, в которых в ту пору
культивировалась математика. 11 июля 11І03 г. оп прочитал в Оксфорде лекцию,
') Оа-]і. ВЗ.
Заи. 45S. II. Н. Лобал сжигай, т. 1. і
і'і'ХШеті'Н'іі'; <:Ш!Е йсолісДоіШіші
содержавшую доказательство постулата о параллольник; лекции тем
йп.чее інітеиссші, что она, содержит также и изложение взглядов
.ітого выдающегося математика па существо проблемы о
параллельных ливнях. Лвкппя »та опубликована в полном собрании сочииепий
Вал.'шии,1).
Лекция начинается следующими вводными словами, отчетливо
выявляющими взгляды Валлиса:
«Как известно, некоторые как древние, так и новые авторы
делали .Квклігду упрек, что он принял У постулат, или {как
говорили другие) XI аксиому, плк даже (по исчислению Клавия)
ХШ аксиому без доказательства, между тем как он должен был бы
ее доказать. Именно, порицали, что он принял для прямых
линий еа очевидное нечто такое, что для линий вообще неспра-
ведливо> -).
Формулирован постулат о параллельных линиях, Вяллис продолжает:
«Ывиіду тем большинство атпх обвинителей Евклида (по
крайней мере, поскольку я их до спх пор изучил) основывают
свои доказательства на других допущениях) которые, как мне
кажется, ни в коем случае не будут признаны более легкими,
чем то, что требует Евклид. Нередко опи впадают даже в ту
самую ошибку, которой они желают избегнуть; именно, они
принимают для прямых линий за истинное нечто такое, что для
линий вообще несправедливо, как я вто показал в другом месте.
С своей сторопы, я без колебании принимаю то, что требует
Евклид; и это не потому, что доказательства, предложенные
другими, страдают тем же по достатком, который они порицают
у Евклида, или что требования их вовсе не более очевидны;
дело в том, что, как мне кажется, совершенно необходимо либо
принять этот постулат, либо заменить его друг-ям; и наконец,
если даже признать доказуемость этого постулата, то нужно
сказать, что в качестве основного положения обыкновенно
принимают не только то, что совершенно недоказуемо, но и то, что
само по себе настолько очевидно, что не нуждается ни в каком
доказательстве; ибо несомненно, некоторые из других аксиом
могут быть доказаны, и ото было бы нетрудно обнаружить, если бы
в этом была нужда8).
і) Demtrastrotio Poatulati Qtiinti Euclidig, (Operae mathematical Oxonia, 1393
T, IT, стр. 074—678).
г) Явное указанно на соображения Прокля.
!) Очень мтюгно комментитори Евклида укапывали, что II к IV постулата ДО'
иуснамт доказательства.
УЧЕНИИ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
51
Но видя, как многие до настоящего времени іштиліісь дать
доказательство упомянутого постулата в убеждении, что он в
тиковом нуждается, а. также сделать некоторый вклад в эяо дело,
я попытался дать доказательство, которое вызывало бы мепыме
возражений, аем доказательства, прсдлоясенные до сего
времени!.
Как и другие авторы, Еаллпо предпосылает, своему доказательству
ряд вспомогательных пра;(ло;кѳяпй. Одни из них совершенно трп-
виальпн, другие нуждались бы не столько в доказательстве, сколько
в уточнении тех понятий, которыми автор оперирует; во всяком
случае, первые семь предложений но существу ие встречают возражений
и здесь лѳ требуют воспроизведения.
Мы ограничимся поэтому только двумя предложениями Валлпса —
восьмым и девятом.
«ѴШ. Наконец, я приму (считая угяе известными учение об
отношении и понятие о подобных фигурах) следующее
положение: для каждой фигуры всегда ауіцестаі/еш Орушя подобная ей
фигура щхтзвОАьтИ величины.
Кажется, что это допущение (способность к бесконечному
деланию и пропорциональному увеличению) вытекает из существа,
пространственных отношений; именно, ясно, что каждую фигуру
можно неограниченно уменьшать и увеличивать (сохраняй их
форму)».
За этим следует длинный абвоп, в которой Валлис старается еше
убедительнее обнаружить допустимость вводимого им основного
положения.
Далее идет предложение IX, которое к содержит, собственно,
доказательство V постулата.
«IX. Пусть *) АІІ и CD будут прямые, пересекающие
неограниченную прямую ACF а образующие с пего по одну сторону
внутренние углы ЛАС и DOA, которые вместе составляют меньше
двух прямых.
і[ утиерящаіо, что прямые А И и CD при неограниченном,
продолжении встречаются и именно о той стороны прямой А Р,
с которой лежат эти два угла.
В самом деле, представим себе, что прямая АО\
расположенная между ними на неограниченной прямой ACF, прямоли-
1) Чиртож ем. на стр. 52.
5) Собственно отрсяок АО.
гкомі-лтпщскш-: нсслядовлшш
р
л
ітоііно пп jn.-ii продвигается1). Положим далео, чти прямая ІЫ
.ишраюііоі:гсіі на ЛС, лшіясе-гся имеете с этим отрезком, сохраняя
угол ВЛС, ло тех пор,пока а?, т. е.
движущаяся прямая АН, встретит
прямую CD (согласие лемме VII) в
некоторой точке -. Тогда иСа. есть
треугольник5), и (согласно предложе-
пшо ѴІЛ) существует другой
подобны tt ему треугольник любой вели-
чини. Поэтому на отрмкѳ СА (как
на основании) можно построить тре-
угольник, подобный треугольнику
ъСх о оепопаішем Ст.. Пусть ято выполнено и РСЛ есть этот
треугольник».
Авторы докапательстна постулата о параллглышк ,'шпши естественно
стараются обеспечить себя от возможных вог(ра;кі!шиі; они очень, часто
ихолпт s пространные рассуігздетш о со б ерше ни о тривиальных вещах,
которыми правильность вывела совершенно не нарушается. ЬГы
опускаем такого рода трлтмтльпые соображения Валлига и носпроігаио-
ллм продолжепгте доказательства:
«Так как РОЛ есть треугольник, то стороны СГ п АР (по
определению треугольника) встречаются и точке/'3); а так как
треугольник PC А подобен треугольнику ъСа (иолостроешпо), то ка-
;клы)1 угол одного треугольника ранен соответствующему углу
другого треугольника (согласно определению подобных
прямолинейных фигур). В соответствии с этим угол РСА равен углуіс(7я,
т. е. углу DC А, н прямая СР летит па продолжение прямой CD;
ибо если бы прямая лежало, по одну или другую сторону (от СР),
то угол РСА был бы больше или меньше угля ЛСА, между тем
как рапонство их докалвяо.
Точно так ;кѳ угол РАС равен углу мО'. Но тому ;ке углу
■тлС, т. е. углу f,oiF, равен угол КАР или ПАС, а потому и
') Но:імо-,квость такого передвижения пріімолішсіііипго отрезка ло ирямоК, на
готороН он нежитf аодробно обои-яовыппетсн п леммо I.
8 Л ]} s) Доказательству того, что тогсоіі треугольник деііотни-
' тольно обрадуется, ііоеашцецц предпосланные леммы. Эгіі дод-
гшовнтелмп.іс теоремы Оы-ли бы иялиттпгмн, сели бы Еалляс
ограничился тем случаем, когда А.В ±_ АС, а угол ВС А острый
(этим случаем весь вопрос исчерпьтавтея). Онустин >и любой
точки т. па. стороне CD угла AOD иерпендтсуляр т.е. получаем
и треугольник пб'а.
") И аг» фраза характерна п смысла попытки обосновании триоиллыюг'о утвер-
яслопип, что стороны трзуголыиии имеют обтуш точку — вершину.
VI
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ .'іЗ
угол SAC равен углу РАС. Следовательно, прямая .-] Р леікііт
на, продолжении прямой АЛ (если бы она лежала по о;шу іт.-гн
другую сторону ее, то углы ЛАС н РАС не б млн бы равны,
между тем как равенство их доказано).
Таким образом прямая АР совпадает с продолжением
прямой АВ. Совершенно так же СР и продолжение GD образуют
прямую. Но, как уасе бг.тло показало, АР и СР встречаются
в точке JP; поэтому встречаются и продолжения лрямих АВ и
CD и именно в этой точке Р, т. е. о той сторожи прямой ВАР,
о которой лежат два угла, составляющие меньше двух прямых.
Что и требовалось доказать.
Это доказательство я пропел по самим строгим правилам, по
образпу Евклида, чтоб даже и строгий судья не мог мне сделать
упрека в его неполноценности. Однако я совершенно но
порицаю Евклида аа то, что он не дал доказательства: напротив, я
не имел бы ничего против того, чтобы он ввел еідѳ большие число
недоказанных постулатов, например если би оп (вместе а
Архимедом) постулировал, что прямая линия короче всех лшікіі. лрохо-
Опщих между теми же концами; ему бы тогда не пришлось
налагать 19 предложений, раньше чем доказать, что dee стороны
треугольника, о.кеств взятие, і'/ольше мротьсіі, it многое дру.-чіг, что
само по ceSa очевидно».
Существенная заслуга Валлггса заключается в том, что оіг четко
формулирует то допущение, которое н его рассуждении замеинот
постулат о іго-радлелыіых линиях. В отлично от многих других авторов,
который делают такое же допущение молчаливо, скрывая это от себя и от
читателя, Валлыс вілсказывает убѳ;кдеиис, что без специального
постулата учение о параллельных линиях обойтись ни может. Валлио
обнаружил, что допущении с'/іцвстпѵтніія иініоіілыг. фигі/р эквивалентно -постулату
Евклида; в этом —значение ого рассуждений. Саккпріг,
иналігаируядоказательство Валлнса, уточнил этот результат; ок показал, что достаточно,
принять существование двух подобных треугольников, г. е. двух
треугольники, которые нмеют соответственно равные углы, но
неравные стороны, чтобч доказать евклидов постулат.
Доказательство Д. Бертрана
Известно, что ХѴШ век был эпохой упадка точности иыфщштезн-
мальпого метода. Это было время, когда блестящие успехи
исчисления бесконечно малых привели к широкому &го прішеиешш, часто
выполнявшемуся беа того контроля, который гарантирует правильность,
выводов. Те условия, при которых бесконечно малые и бесконечно
большие величины становятся точнкмя математическими понятиями,
•г>4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДОСЛЕДОВАНИЯ
още ші были тпі оыніі.'юпт.і, пи у ста поплины; «следствие «того
применении тіх нередко припо/ш.-ю к выводам, иногда необоснованным,
иногда попсе неправильным. Эта почать япохп, естествешю, отразилось
н та, неелйдоітнтіх, относившихся к теории параллельных лнппй.
] Гоягиг.чіівь дотжштельства постулата при помощи бесконечно малых
к бесконечно ііачышіх величии и, конечно, в таком их применении,
которое не іюш'витстповадо требованиям точного анализа, Наиболее
остроумное н;і итого роли доказательств относится к концу ХѴІП в.
и принадлежит птеіігщрекому математику Луи Бортрану (1731—1812).
В 1778 г. им іііт.-го Tirjirvrrtcim днухтщпгоо сочинение «Ыоное
построение н.іе.монтарішіі части математики^, представлявшее собоіі попытку
обоснованного построении алічібрм и геометрии1).
Второй том этого сочппоишг поепщцен геометрии. В 1312 г. этот
том і'нл выпущен отдельным изданием в значительно сокращенном и
переработанном ішдп2). В обоих изданиях этого сочинения, помещено
одно п то ;і;е доказательство Y постулата, ооповашюе на применении
бесконечно больших прличпн; мы воспроизводим ого в точном переводе.
еТоорема VII. Если две прямые ЛВ, СП (черт. Ы)'л), щюааВен-
ные я одной плоскости, оііралцют с третьей прямой 11(1 внутренние.
углы BKL, BLK, составляющие
вместе Ьт прямых, шо часті, плоскости,
которую они ограничивают, столь мала
ѵо отношению ко всей плоскости, что
содержится в ней бесконечное числораз.
Так как, по пред поло жѳпгао, сумма
углов BKL, DLK равна двум прямым
углам и смаашые углы ЛТЖ, DLM
также составляют два прямых, то
углы BEL и DLAI равны. Еоли по-
тІерт, U. этому отложим отрезок LM=KL
и через точку М проведем прямую MF
в таком направлении, чтобы FML = LLK, а затем передвинем
полосу AGDIS вдоль ІЮ, пока аочва К ые доотигпѳт L\ ѳмш
точка L при втом упадет в Jlf, то полоса AGDB совпадет с
полосой GEFD, ввиду того, что равные углы совместятся, как и
равные отрезки.
Но теперь, рая оказалось возможным, взяв на прямой EG
длину LM, равную ЖЬ, построить па плоскости ABCD полосу
') L, Bortrand — Dfivoloppemont nonvcau de la partio eleraentaire des ma-
hdmatiquaa. Genuve, 1778.
2) L. В e r fc r an d — lil&nanta da gsomStrie. Ратів, 1812.
8) Номира чертежей на книги Бертрана.
УЧЕНИЕ О ШРАПНЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
55
CEFD, равную ACDB, то нет никакого сомнения тг в том, что
посредством бесконечного множества отрезков, равных КЬ и
(пойлвловаталміо) тъттіах па Лв, можно на ято# жѳ плоскости
построить бесконечное множество полос, равных А СПЯ.
Следовательно, осліі две проведенное на плоскости прямые образуют
а третьей внутренние угли, составляющие два прямых угла, то
чисть плоскости, которую они ограничивают, стиль мала по
отношению ко aceii: плоскости, что содержится в иен. бесконечное
число раз. .
Тѳорѳыа ѴИІ. Когда две прямые ойразуют с третьей
внутренние углы, сумма которых ие равна двум прямым углам, аяію прямъіе
яербсекоютея по щу сторону, где ата сумма меньше двух прямых.
Положим, что две прямые LC и КА образуют с третьей KL
внутренние углы AKL и GLKS составляющие п еу.млге меньше,
чем два прямых угла; тогда
существу от некоторая прямая
LM, образующая с LC такой
угол CLM, что AKL~\~KLC-\-
+ СШ=АКЬ+ KLM*= днум
прямым. Следовательно, если
бы прямая LO по пересекала
КА, угол MLC был біі зиклно-
чен целиком внутри полосы
МІЖЛ. Но эта полоса
содержится л плоскости
бесконечное число раз, между тем как угол IthG содержится в ней лишь
столько раз, сколько дуга МС содержится в окружности, опп-
саняоіі из контра L радиусом ЬМ. Стало быть, угол MLC но
заключен целиком ппутрп полосы ЖЬКЛ.\ поэтому его сторопа ЬС
выходит іга і-ѵгоіі полосы и псиееоишэт КА».
Слабая сторопа этого рассуждения, липшощая его доказательной
силы, ваключаотск в том, что іш вся плоскость, ни часть ее,
содержащаяся меж.чу сторонами угла, не могут
быть рассматриваемы как определенные
величины, допускающие точное
количественное сравнений. В евклидовой плоскости
каждый угол может быть последонательно
бесчисленное множество раз пометой внутри
самого себя (см. приведенный здесь чар-
тем); рассуждая, как Берграи( мы могли ом
притти к яакл/очѳгпш, что содержащаяся между сторонами угла
площадь составляет сколь угодно малую часть себя самой.
00 ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯ
При поем том, наглядная образность соображения Бертрана
встретила прппнаяио у многих серьезных математиков того времени. Крелль
еще в JS35 г. поместил в своем журнале модификацию этого
доказательства1). Вообще доказательства ятого рола вносили немало
путаницы в ученпо о параллельных линиях.
Доказательств» Лѳжаядра
XIX век начинается весьма замечательными исследованиями
Лежандра (1752—1833) ио теории параллельных линий:. В 1704 г.
Лежандр выпустил в свет «Начала геометрии» — учебное руководсгоо-
ио элементарной геометрии, получившее весьма широкое
распространение -}.
Невидимому, составление этих «Начал» привело Лѳжапдра к
систематическому размышлению пал теорией параллельных линии. Ле-
жандр в первых восьми изданиях своей книги пѳ вводит вовсе
постулата о параллельных линиях, а даст вместо этого его доказательство.
Это доказательство меняется от пздапші к изданию, так как автор
самостоятельно или по указанию других обнаруживает в своих рас-
су я; до пнях недочеты, лигпающио их доказательной силы. После
восьмого падания Лзжапдр отказывается от .доказательства постулата и
іі девятом издании возвращается по существу к системе Евклида.
Однако в двенадцатом иэдашш (1823) Лезісаидр вновь пытается утешить
одно из прежниж доказательств, и эта новая модификация
доказательства с ох] іан лете я в тринадцатом п четырнадцатом паданиях, вышедших
при жиаып автора. В 1S33 г. Лсжандр изложил все своп соображения
по теории параллельных лилии в обширной статье, помещенной,
в с Мемуарах Парижской академии»:|). ^Гы изложим содержание
исследований Лѳжаняра именно в тоі'с копцаыцни, которая натла
себе место в этом заключительном. мемуаре. Но необходимо иметь в.
виду, что все втп соображения Лѳжаыдра Гнл.ші уже известны
.с 1823 г., т. е. после появлении 12-го падания «Начал».
Мемуар Лежандра озаглавлен ононь осторожно: «Размышления
по теории параллельных линий». Все раесуждѳпття Лежандра
распадаются на два серии, соответственно двум различным замыслам,
двум исходным пушеиш. Первый замысел связывает учение о парал-
') A. L. С г е 11 d-—TUOoric des рягаііііоя, Journal liii die veinc and augewimckfr
Mathemafcik, 11, Berlin, 1835.
-.) A, M, L a g n n <! г в — Elemonts do geomtit.rie. Ратіз, 1704.
s) A. M. Legendl-o — Reflexions anr dilfiirontes monioros de d»moutrar 1*.
Iheorie des paralleles on lfi tlidoreme snv la soxnnio des trois angles dii ti'iangle-
ЛГётоігов do ѴАспйШс des Sciences, Paris, 1833, т. ЭСГГ, стр. 367—410.
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ Ь7
лолъных линиях с суммой углов прямо лилейного треугольника, а второй
овповая на так называемом принципе однородности.
Как обнаружил Нассир-Эддпн, предложение, что сумма углов
прямолинейного треугольника равна двум прямым, ведет к точному
доказательству постулата о параллельных линиях. Сообразно этому
Лѳжандр ставит себе целью доказать, не пользуясь постулатом о
параллельных, что сумма углов треугольника равна двум прямым. Это
и составляет первый замысел Лежапдра.
Само доказательство разбивается на две часты: сначала Лаікатиір
доказывает, что сумма углов треугольника по может превысить двух
прямых, а затем ои старается доказать, что сумма углов треугольника
не может быть и меньше двух прямых. Перлов предложение доказано
безукоризненно; вес ліѳ попытки доказать второо предложение
содержат ту или иную погрешность, Лсжатгдр дает два различных
чрезвычайно остроумных доказательства первого предложения, из которых
одно помещено л третьем издании =Пачалв (1SO0), а другое — в
двенадцатом издании (1823). Эти два доказатѳлт.сгна мы н приводим
в переводе.
Вот первое доказателг.отпо:
«Предложение XIX. Лемма. Сумма трех уг.іое ыреуги.ѣ-
ника иг .может аышь 'тлыча ttaijx прямых у,\гач.
Пусть, еслп возможно, ЛВС Судет троуго.чі.тіш:, а котором
сумма трех углов больше дну ж прямых.
На продолжении прямой -1С возьмем СЙ = -1С; построим
угол ECD^CAB п сторону 67) = .-17?; соединим DE л HD. Тре-
Б П Г If К
Л С Е О II'
угольник СОЕ Судет раоѳн треугольнику ABC, так как они
имеют одинаковый угол, содержагдпйся между соответственно-
равными сторонами; следовательно, угол CED = ACB, угол
CDE = ABC и третья сторона ЕВ равпа третьей стороне ВС. Так
как АСЕ есть прямая линия, то сумма углов АСВ, BCD, ВСЕ
равна двум прямым углам. Однако мы предположили, что сумма
углов треугольника ABC больше двух прямых; поэтому CAB-j-
-]~АВС-^АСВ> AOB+BCD~\-ECB\ отнимая от обеих частей
общее слагаемое АСВ и равные слагаемые САВ=ЕСВ, получим
ABC > BCD, а так как стороны AS, ВС треугольника ЛВС
58 ГКОМЕТРНЧЕСК-ИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
соответственно ранни сторонам CD, СВ треугольника BCD;
то отсюда следует, что третья сторона ..If? больше третьей
стороны ВВ.
Представим себя теперь, что прямая ЛС! неограниченно
продолжена п последовательно построены раізнмѳ а подобным
образом расположелгп.тс треугольники ABC, ODE, EFG, GUI и т. д.
Если соединим соседние вершины прямыми BD, DF, FH, ЕЖ,
то вместе с тем образуется ряд промежуточных треугольников
BCD, DBF, FGH и т. д., которые все будут равны леявду собой,
так как все опп будут иметь по равному углу, содержащемуся
между соответственно рапными сторонами. Следовательно,
BD = DF = № = Я 1С = ...;
имея ато в виду и прптшая по внимание, что AC "j> В1>,
положим разность AG~B1) = 1). Ясно, что п таком случае 2D будет
разность между прямой AG1S, равноіі 'ЛАС и примой няи
ломаной :г оные ft BDF, piumott 1!іГ)\ таким образом ЛЕ—'BF = 2D.
Таким я;е ооразом найдем, что AG—ЛН'= 3-D, AI—BK=4J3
II Т. Д.
Но как Сы мала нп была рвшость D, если мы ее повторим
достаточное число раз, она произойдет любую нал ере т. заданную
величину. Можно, следовательно, предположить, что ряд
треугольников продолжен настолько далеко, что разность ЛР—BQ
будег больше 2ЛѴ; мы будем, таким образом, иметь AF~>BQ-\~
-\-'1АВ, С другой стороны, прямая АР короче ломаной ABQF-T
так что ЛГ< АВ~-\~ BQ + QP нлп AF < BQ -\-ЧЛВ. Таким обра-
аом гипотеза, и» которой мы исходили, привела пае к протяво-
речщо. Следовательно, сумма углов треугольника не может
превосходить двух прямых».
Весьма, замечательно, что чнреа 2Я лот после того, как это
доказательство было опубликовано Лежандром (1800), Гаусс нашел то же
самое доказательство. На титульном листе принадлежавшего Гауссу
экземпляра «Начала Евклида сохранилась запись того же
доказательства с надлпсыо: «Найдено 18 ноября 1.828 года»; доіеаватѳльство
Лвзгсандра, помещенное в несколько упрощенном виде ') в
элементарном учебнике, от Гаусса, очевидно, ускользнуло.
Чтобы доказать, что сумма углов треугольника равна, 2d, оставалось
обнаружить, что она не может быть меньше 2d. Лежандр в том же
издании своих * Начал* выполняет ѳто следующим образом.
') Изложение Ложандрв,, очевидно, имеет в виду учеников, д.ия которых прод-
низначеябг его -Шчаиа».
УШ-ІИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ 50
«Предложение XX. Теорема, В каждом треугольнике
сцлима трех углов рпвна Нац.и црямы.м.
Доковав, что сумма трехуіѵгоп ни может превышать двух прямых,
остается обнаружить, что она не может <>тт. моныгіе двух ігрямых.
Пусть ABG будет данный треугольник и пусть, если ято
возможно, сумма его углов равна 2Р—Z, где Г означает прямой
угол, a Z— какую-нибудь величину, на которую сумма углов,
согласно предположению, меньше двух прямых углов.
Пусть А будет наименьший из углов треугольник а А ВС. При
противоположной стороне ВС построим угол TiCD — Л ПО п угол
GBD = ACB; треугольники BCD
11 ABG будут рщіпы, так как
они имеют общую сторону НО, к
которой приложат
соответственно равные углы'). Через точку J)
проведем какую угодно прямую
EF, по таким образом, чтобы она
встречала продолжения сторон
угла .1 в течках Е л F. Так как
сумма углов а каждом из
треугольников ABC и BCD составляет 2Р— Z, а н каждом на
треугольников ВВП и DGF она но может превзойти ЗР, то сумма
всех углов чптырех треугольников ЛВС, BCD, F11D, DGF не
превосходит 47' — ай-і-4?', т. е. 8Р— 2#.
Если на ятон сушил вычтем сумму углов при точках В, О, D,
которая составляет ИГ (так кат; сумма углов, образовавшаяся
при каждой из точек, есть 2Р), го остаток будет равен сумме
углов треугольника ЛЕЕ, которая, таким оирапом, не превзойдет
8Р —22—ОР, т. с. 2Р —2Z.
Дтак, и то время как сумма углов треугольника ЛВС меньше
двух прямых па Z, ята сумма в треугольнике AEF меньше двух
прямых на 'IZ.
При посредстве треугольника ЛЕЕ ложно таипм лее обравом
построить третий треугольник, сумма углов которого будет меньше
2Р — 42; эптом мы построим четвертый треугольник, сумма углов
которого отличается от ЗР больше чем на 82; его можно
продолжать неограниченно.
*) Ни ПВО можно смотреть кате на треугольник ABC, который в опрокинутом
виде приложен к стороне ВС. При втом сторона BD пройдет внутри угла СВЕ,
потому что угол ВВС — ВСА меньше угла СВЕ {внутренний угон треугольника
меньше внешнего, с ним пѳ смежного); по той нес причине еторопи DO будет
расположена внутри угла BCF. Вершипа D будет, таким образом, лежать внутри
угла EAF по другую сторону ВС относительно А.
СО
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Однако, сколь бы мало пи было 7, по сравнению с прямым:
углом, последовательность 2, 2Я, 4Z, &Z и т. д., члены которой
постоянно удваиваются, рано или поздно приведет і; члену,
равному 2Р пли большему 2Р. Мы прндом тогда к треугольнику,
к сумме углов которого нужно будет прибавить 'IP или больше
2Р, чтобы в результате все-таки получить 2Р. Это—пыпод,
очевидно, пбсуп;щый. Следовательно, гипотеаи,, от которой мы
исходили, ыо лояіот иметь -места; это значит, невозможно, чтобы
сумма углов треугольника ЛВС была, меньше двух прямых.
Л так как сумма углов треугольника в силу предыдущего
предложения пѳ может также препшнать 2Р, то ока равна 2Р».
Это рассуждение, которому нельзя отказать в исключительном
остроумии, все ;кс страдает существенным недостатком, лишающим
его доказательно!'! силы. Оно предполагает, что через точку D,
расположенную внутри угла, всегда, .можно пронести- прямую EF, пересекающую-
сое стороны угла: это есть допущение, яввпвалептпое постулату
Евклида. И Лежандр, очевидно, познавал, что в этом есть дефект.
Это видно на следующего лодстрочпого примечания, помещенного,
и том же третьем издании.
«Мы предположили, что А есть самый меньший па углов.
ЛВС и, следовательно, не превышает двух третей прямого угла;.
этим ми имели в виду сделать более ощутимым, что прямая,
проведенная через точку D, может одновременно встретить про-
доллсѳптгя сторон ЛИ и AG*.
Совершенно ясно, что эта деталь ничего не наменяет. Лежандр.
все лее сохранил .это доказательство с третьего по восьмое издание.
Как уже оказано, в изданиях а девятого по одиннадцатое Лежандр
возвратился к схеме Евклида.; по с двенадцатого по четырнадцатое
появляется другая модификация того же доказательства, первая часть
которого сыграла в литература существенную роль. Приводим
перевод этого второго доказательства.
«Предложение XIX. Теорема. Во всяком треугольнике
сумма трех углов равна, двум прямым.
Пусть ABC будет данный треугольник, в котором будем
считать АВ самой большой и BG самой малой стороной, так что-
ЛСВ есть наибольший, а ВАС — наиыепыгапт угол треугольника.
Черев точку А и через середішу I противолежащей сторопы ВС
проведем прямую AT, которую продолжим до точки G' такий
образом, чтобы АС' = АВ; далее, продолжим AS до В' таким
образом, чтобы АВ1 превышало вдвое АІ.
УЧЕШЦЗ О ПАРЛЛЛЕ.ТЬНЫХ ЛИПГГЛХ
01
Если через Л, В, О обозначим три угла треугольника, ЛВС
п таким же образом через Л\ В', СУ обозначим три угла
треугольника АВ'С, то я утверждаю, что (У = Л-\-С и А = Л' + В';
отсюда следует, что А -\-В-\-С = А'-\-В'-\-С, т. ѳ. что сумма
трех углов п обоих треугольниках одпа іг та ;кѳ.
Чтобы это доказать, отложим ЛК=АІ и соединим точки С'
и К; получим треугольник О'АН, равный треугольнику ВАТ,
ибо в этих лвух треугольниках общий угол Л содержится между
соответственно рапными сторожами; именно: А0Г = ЛВ R АК= АІ\
поэтоігѵ третьи сторона О'К равна третьей стороне ВТ, угол
АС'К = .\ВП и угол АКС'^ЛТВ.
С
KB В1 В* Д~
Теперь утверждаю, что треугольник В'О'К ранен
треугольнику АСІ, пбо сумма двух смежных углов АКС ы СКВ'
равна двум прямим углам, так лее как и сумма двух углов
АТС-\-АІВ; вычитая па обеих сумм равные угли АКС' п АХВ,
найдем, что угол С'КВ'~АІО. Эти равные углы заключены
:в двух треугольниках между соответственно равными сторонами,
именно: СК = ТВ = СІ и KB' =АТГ^ АІ, ибо мы предположили
Л7У = 2АІ = 2АК. Следователе но, два треугольника В'СК и
АСІ ривиі.т; поэтому сторона В'С = АС, угол В'С'К=АСВ и
угол КИ'С = СА1.
Отсюда следует:
1) что угол АСУ Б', обозначенный через С', состоит из двух
углов, равных углам В и С треугольнпка ABC, так что С =
= Я + С;
2) что угол А треугольника ABC состоит из угла А' или
CATS', принадлежащего треугольнику АБ'С, и из угла САІ,
равного углу В' того же треугольника; таким образом Л = A' -j- В';
следовательно, Л. -|- В + С = А' -[- В' -f- С'- ■ С другой стороны, так
как по предположению ЛС< АВ и, следовательно, С'В'<,АС, то
в треугольнике А С В' угол при вѳрпнше А, обозначенный
через А', меньше угла Я'; а так как сумма этих двух углов релна
углу Л данного треугольника, .то .отсюда следует, что угол А'
меньше 4-Д.
Если применим то же построение к треугольнику АВ С , то
■получим третий треугольник АВ"С', углы, которого обозначим
112 ГЕОМгаТРИЧИОКИТЗ ИССЛЕДОВАНИИ
через д", В", С"\ мы будем тогда иметь аналогичное равенство
(? = С-±В', Л' = Л"-\-В", откуда следует, что А'-\-В'-\-С =
_.: Л" -(- В" -\- О". Тик им образом сумма трех углов в обоих
треугольниках одна л та же, по вместе о тем угол .J*<-ji' и,,
следовательно, А" ^ — Л.
Продолжал неопределенно ряд треугольников ЛС'В', ЛС"В"
и т. д., мл придем к треугольнику пЪе, в котором сумма трех
углов будит та же, что в данном треугольнике ЛВС, по в
котором угол (і станет меньше любого данного члена убывающей
прогрессии — ,1, А, ■ Л,... *.
До сих пор раоеуждешж совершенно беиукоріюш-іштл и содержат
в себе новое доказательство того, что сумма внутренних углов
прямолинейного треугольника не может превышать двух прямых. В
самом дело, предположим, что я треугольнике -і НС сумма углов равна
(придерживаюсь обозначении Лежатг.-фя) -lf>-\-ai). В приведенной
выше убывающей геометрической прогрессии нанде-тен член,
меньший а; поэтому, продолжи и достаточное число раа построение
последовательных треугольников, придем к треугольнику «іімт. в котором
угол it < я. По так как сумма углов треугольника нЫ: осталась та же,
что и в треугольнике ЛИС, т. е. раина 2D-j-«, то сулема двух углов
b-f-(: должна оказаться больше, чем 2D; ыо ото по может иметь
места, так как каждый из них меньше угла, смежного со пторт.тм из
ѳтих двух углов. Некоторой модификацией итого доказательства-
пользуется такта Лобачевский: (см. «Геометрические исследовашт»,
предложение 19).
Леясандр идет, олиако, дальше и пытается при помощи того жѳ
построения доказать, что сумма углов треугольника равна /шум
прямым.
Приводим заключительную часть его рассуждении:
«Можно, следовательно, ыре;щоложнть, что этот ряд
треугольников продолжен до тех лор, пока угол а не станет меньше
всякого данного угла.
И если с помощью треугольника аЬс построим следующий
треугольник а'Ь'с', то сумма п'-\-Ь' углов этого последнего
будет равпа углу о п, следователіяіо, будет меньше любого
данного угла; отсюда видно, что сумма трех углов треугольника
а'Ь'с' сводится к одному только углу с'.
Чтобы иметь точпую меру атой суммы, продолжим отороцу
аѴ в направлении к d' и обозначим через х' внешний угол
') В stou иядшіик Лежвндр обозначает прямой угол чирей D.
УЧШПй О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ «8
Ь c'd ; еолп прибавим этот угол к углу треугольника п'а'Ь', то
получим в сумме два прямых угла. Обозначая поэтому прямой
угол через Л, получим с' = 2/'— х'\ следонііте-'іьнг>, сумма углов
треугольника а'Ь'с' будет 2JJ -f- а' ~\- Ь' — :к'.
~ ' ===^А'
По легко понять, что стороны и углы треугольника а'Ь'с' при
той же построении меняются таким образом, что мы
последовательно приходим к треугольникам, в которых углы а' и Ь'
приближаются к своим пределам, т. с. к нулю. В этом предельном
положении прямая а'Ь'с' слипается с а'Ь'; три точки а', с', й',
в конце кондов, располагаются в точности по прямой линии;
тогда углы Ъ' п х' обращаются в нуль вместе с углом а! и
количество 2D -\-а'-\-Ѵ — х', выражающее сумму трех углов
треугольника аѴЬ', сводится к 2D, и, следовательно, сумма углов
треугольника равняется двум прямым».
Это рассуждѳнпѳ обнаруживает, что даже такой геометр, как Лѳ-
ясандр, не был достаточно осторожен в применении метода бесконечно
малых. Когда он говорит, что углы а' и I/ становятся менее любого
данного угла, то получается впечатление, что наступит момент, когда
атщ углы станут мелыпе любого угла, каіс бі.і ыол он ни был; это,
конечно, лишепо смысла. В действительности же доказано лишь то,
что углы а' и Ь' стремятся в нулю; что касается того, что ломаная
а'с'Ь' стремится слиться с прямой а'Ь' п что угол я'стремится к нулю,
ѳто остается совершенно необоснованным, и рассуждение лишено
доказательной силы. Это было указано Штейном в «Анналах Жаргона*
в 1824 г.!).
Таким образом, все эти раесуікдепия Лежандра действительно
устанавливают только, что сумма углов треугольника нѳ может превысить
двух прямых. К этому предложению Лѳжандр в примечаниях и в
упомянутой втлтв статье, помещенной в «Мемуарах Парижской академии»,
присоединяет еще одип важный факт: он обнаруживает, что сумма
углов равна 2d во всяком треугольнике, если она равна 2d хотя бы
в одном треугольнике, к, следовательно, она меньше 2d но всяком
треугольнике, если существует1 хотя бы один треугольник, в котором
сумма углов меньше 2d.
Все изложенные рассуждения Лежандра представляют, как мы
видим, раввитиѳ одного и того же замысла, сводящегося it попытке
]) J". P. W, Stein — "Ехитви do quelquea tentative» <1ѳ tliwrio dos parallulos
«Ammlcs do MutMmutiqiifiS pures et uppHqwies*, J.'i, Штея, 1824.
f',4 ГБОМИТРИЧЕПШК ИССЛЕДОВАНИЯ
докипать, тго опираясь на лпстулат о параллельных линиях, что сумма
углпт! тс прішолннештм треугольнике раина двум прямым. Рассужде-
шгіі, китнкавиипо из .другого замысла и оепоппнпыѳ на так
называемом г.принципа однородности», изложены и приложении в первому
іі;і:і,ішпіо d-JVia.'is (17і>4 г-)1); '>пп рлзвнты такте в tРазмышлениях»,
помещенных в (Момуарахч>. Итн р обсуждения настолько пространны,
что приьо.шть іюлпілп их перевод нецелесообразно. Герлпнг8) в
письме к Гауссу от 11 марта 1810 г. чрезвычайно удачно в
нескольких строках излагает сущность замысла Лежандра. Мы приводим это
письмо Герлппга и отпет Гаусса;
«... В заключение нспомншію, что я уже давно собирался
спросить Вате мнение о лежандровой теории параллельных лпнпй,
наложенной в его «Началах геометрии». Он определяет прямую
линию как кратчайший путь между двумя точками и с помощью
іітого определения доказывает, что сумма трех углов
треугольника ні! превышает 211; зятем он доказывает также, что она лс
может быть и меньше 2Й, при этом он, однако, принимает, что
через точку, лежащую лнутрн угла, меньшего -| Іі, ноегда можно
пронести прямую линию таким оораяом, чтобы она пересекла
і)бе стороны угла. В шестом издании он это допущение пытается
оправдать в особом примечании. Мне кажется, однако, что в этом
кроется та же ошибка, на которую Вы мне указывали во время
моего последнего пребывания в Геттингене. Он признает это
допущение достаточно очевидным (assez evident) и полагает, что
достигнуть больше» строгости невозможно, если не исходить из
другого определения прямой линии.
Вслед за ятим он, однако, доказывает, что сумма трах углов
треугольника должна быть равна %Н, еще другим способом,
который кажется мне убедительным. Рассуждение это состоит
примерно в следующем:
Двумя углами и стороной, к которой эти углы прилегают,
треугольник вполне определяется, так что
С=?(Л,В,с).
Если примем прямой угол за единицу, то О, А, В будут
Числа. Отсюда следует, что с ее должно входить в функцию 'о,
так как в противном случае мы имели бы
с = о {С, А, Іі) = числу,
>) Лоіс IV.
■) ,Gei-J ing, (Ліі'івііші Ludwig (1788—]804|, ученик и друг Гнусов,, в тс виеыа
профессор математики в Марбургскоы университете.
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ"ЛИНИЯХ С5
что нелепо1). ; Вследствие этого в- прямоугольнхш треугольнике
■сумма, двух острых углов равна 2!і, откуда все остальное уже
вытекает2).
Я это предложение читал у Лсташдрп еще "тогда, когда
работал в Гетпгятенѳ; возвращаясь; в лос.тедппп раз на Геттнгена,
я очень огорчался, что »ше
но прппГло в голову Вас
об атом спросить, когда я
имел 'удовольствие
слышать Ваше мнение по
■(всему) этому вопросу.
Теперь, прочитав это вновь,
вижу, что на „сделанное
ему возражение'', связанное с сферическим треугольником,
Леікандр отвечает, что там имеет место не равенство С =
= 9 ('*і -^> с)' а С = ѵ(Л, Л, с rati) ti.ui просто С'= и (Л, В,—),
вполне согласное с законом однородности. Это последнее мпе но-
еоэсем ясно, и я очень хотел бы, чтобы Вы при случае упомя-
пулп обо всем этом предмете в нескольких словах» °).
1) В атом к заключается прігацнп однородности: с предстаплнот собоіі лішвН-
siyio величину, а потому но может выражаться отплаченным числом.
2) К ішпьыу приложен ориподямьШ и .ідееь чертей;, который предназначается
для того, чтобы это утперя;депиа оирццдзть. Ес.тп с из приди.іущего уравнения
выпадает, то оно имоит кпд: С = f{A, В), т. е. каждый угол треугольника
определяется дцумп другими углами. Если .1 есть прямое угол, то это соотношение
пршпгаает вид С =/(B), т. о. и чрішоуголыюм треугольнике каждый осгрый
jсил окредолнетси вторым острим углом. Если поэтому острые углы треугольника
Л НО обозначил через р к ш, то иі = ■/_ (р), р = у. (ш). Если теперь іга вершины
пряного угла опустіЕМ перпендикуляр AD ни гипотенузу, то ое разобьется иа два
прямоугольных треугольника. A11D и Л CD', из прямоугольпого греуго)в>шіка ABD
следует, что /_ BAD = у (р)="° ~ Q таким же обра-том Z. CAD = z(B) = ? = -2;
поэтому иі -j- р = rf. Таким образом Л + Л = іі.
8) Сделанное Лежапдру возражение заключается в том, что в сфоричнекой
треугольнике усол С определяетсн ррумп другими углами Л, В и стороноіі е.
Соотношение
С = ?(Д, В, с),
таким образом, н сфорическоИ тригонометрии имеет место, я принцип
однородности нарушается. Почему же такое ніѳ соотношение не ыожат иметь места и в пря-
молинеипоіі тригонометрии? Лежандр на это, в свою очередь, справедливо
возражает, что упомянутое соотношение а сферической тригонометрии имеет место
в том случае, если под с разуметь угловое значение стороны; если же под с
разуметь длину стороны, то ее угловое значение выразится отвлеченным числом —
где г — радиус сферы. Предыдущее уравнение принимает поэтому вид
н^принцип однородности, таким образом, ке нарушается.
Эік. -as. U. И. Лов»'іевокиа, т. 1.
(JO
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Гаусс ответил Герлингу (в письмо от 11 апреля 1810 г.) следующими
слонами:
іВас интересует мое мпение о дежандровом доказательства
теории параллельных линий. Я должен признаться, что в моих
глазах его вывод не имеет никакой доказательной силы. Он
выводит, что с = о(.-1, С, С), следовательно = числу, что нелепо.
Это „следовательно" в действительности новее по следует;
равенство с = в(Л, В, С) говорит только, что с определено, коль скоро-
задало А, В, С. Это, однако, не исключает возможности, что-
в состав функции ѵ не входпт какая-нибудь постоянная линия.
Из уравнения С = •■? (Л, В, с) сторона с вовсе пѳ должна выпасть ;
опа может вполне оставаться, если функция » содержит постояп-
пую линию, равную м, так что собственно
Как легко докипать, если евклидова геометрия иѳ ость истинная
геометрия, то подобных фигур вовсе не существует; п
равносторонним треугольнике угол меняется вместе с величиной стороны,
в чем я ничего абсурдного не нахожу. Угол представляет собой
в этом случае функцию от сторопы, а сторона—функцию от угла,
однако, естественно, такую функцию, в состав которой еще
входит постоянная линия. Кажется парадоксальным, что возможна
прямая линия, как бы заданная a priori; но я нѳ нахожу в этом
ничего противоречивого. Было бы даже желательно, чтобы
геометрия Евклида не была истинной, потому что мы тогда
располагали бы общей мерой a priori. Например, за единицу длины
молено было 6fj принять сторону равностороннего треуголг.ппка,.
угол которого = 59°59'59",93993* 1).
Приведем еідѳ несколько строк пз другого письма Гаусса,
характерных для тех настроѳвпн, которпѳ по вопросу о теории парал-
і) Отчетливой понимание заключительно!! фразы предполагает уже знакомство-
с неевклидовой геометрией. Б неевклидовой геометрии, которую здесь имеет
в виду Гаусс, любыми тремя углами, сумма которых меньше 180'', ипоянв
определяется некоторый треугольник; ета сумма может сколь угодно мало' отличаться-
от 130°. Если бы в нашем пространстве имела место вта неевклидова геометрия,
то мы могли бы, например, всо три угла впптв равными 5ІР5Э'59",09ОО9 (так что-
сумма углов отличалась бы от 180° на 0",00003); существовал бы вполне опрѳле-
ленныіі равносторонний треугольник, имѳющиіі эти углы. Сторону этого'
треугольника можно было бы принять за единицу меры; ото была бы -общая-,
«абсолютная- мера, — как говорит Гаусс «мера В. priori», т. е. устанавливаемая без
прямого задания эталона.
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛІІШІ5ТХ
87
лельнпх линий сложились е начале XIX в., чсреа 1200-лет после
Прокла, так убежденно утверждавшего, что постулат о парал-'
лельяых надо изъять иа числа недоказуем и it положений.
В 1816 г, Гаусс поместил в Геттивтенском библиографическом
журнале1) рецензию на две брошюры, посвященные доказательству
постулата о параллельных лилиях. Репенэия начинается следующими
словами:
іВ области математики найдется мало вѳщей, о которых
было бы пашісано так много, как о пробеле в начала гоометрип
ири обосновании теории параллельных линий. Редко проходит
год, в течение которого не появлялась бы новая попытка
восполнить втот пробел. И всѳ же, если хотим говорить честно и
открыто, то нужно сказать, что по существу мы иѳ ушли в этом
вопросе дальше, чем Евклид, вв. 2000 лет.
Такое откровенное и открытое признание, на ваш взгляд,
более соответствует достоинству пауки, чем тщетные попыткп
скрыть этот пробел, восполнить который мы нѳ в состоянии,
бессодержательным сплетением призрачных доказательства
Н. И. Лобачѳвскяй
Работы Лежандра, по теории параллельных лилий билп хорошо
известны именно потому, что они были помещены в различных
паданиях его іНачал», получивших очень широкое распространений. ГІовп-'
дымому, они п послужили точкоіі отправления исследований Н, И.
Лобачевского; это можно заключить из его собственных указаний в
различных ого работах. Во всяком случае, в начале 20-х годов
прошлого века Лобачевский- занялся теорией параллельных лягаий п
пролил полный свет на эту задачу, занимавшую геометров в
течение двух тысяч лет; он дал полное ее решение. Мы до сих пор еще
не располагаем обстоятельным жизнеописанием етого гениального
ученого а). Всѳ материалы, которые могут служить для ооставлапия'
такого жизнеописания, нуждаются еще в тщательном изучении.
Редакция настоящего издания надеется иметь возможность поместить
в последнем томе обстоятельную биографию Н. И, Лобачевского'
здесь лее ограничимся следующими краткими сведениями о его жизни
и деятельности.
і) С. F. G а и a a — Bespieelmng von Schwab (1814) und blatternicb (1B15), GSt-
tingeniscbe Gclfthrto An/.eigeu, 03 (20 April), 1816.
5) Более других выведению яеизял, ліечнеотн и истории творчества II. И.
Лобачевского содвііствовал воноііний профессор Казанского университета А. Б.
Васильев. Укажем здесь его брошюру -«Николай Иванович Лобачевекий>,
С.-Петербург, 1014 г.
5-
СЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
II. П. Лобачевский родіілся 22 октября 1793 г. в Нижнем
Новгороде. Отец ого Иван Максимович — по одним сведениям аемле-
мср, л'і другим архитектор,— повидпмому, скончался в 1707 г. '),
Посте его смерти ого вдова, Прасковья Александровна Лобачевская,
вместо о тремя сыновьями-погодками (Николай был средний из них)
переехала в Казань, невидимому, для того чтобы дать детям лучшее
образование: в то время на всю восточную Росс:но существовала
только одна пшпааня в Казани, в которую П. А. Лобачевская и
определила всех троих свопх сыновей. Все дета училиоь успешно;
когда 0Ні[ окончплп гимназию, П. А. Лобачевская в числе других
родителей учеников гимназии получила предложение определить
своих сыновей в открытый незадолго перед тем {1805 г.) Казанский
университет на казенный счет с тем, чтобы они после окончания
университета шесть, лет служили по специальности. Мать дала
на это оогласиѳ; Ы. И. Лобачевский, был аачггелѳы в число
студентов Казанского университета 14 февраля 1307 г., когда ему шел
только четырнадцатой год.
В первые годы своего существования Казанский университет
па имел еще четкого разделения на факультеты; Лобачевский, пови-
дпмому, под влиянием матери, был склонен изучать медицину, но
в уплвѳроитете его интересы были направлены в другую сторону.
При открытнн университета попечителем учебного округа был пааначѳн
виде-президент Академии паук, известный астроном С, Я.. Румоиский,
человек большого образования и широкого кругозора. Благодаря его
усилиям преподавание в новом университете, особенно в области блиа-
кііх ему физико-математических дисциплин, было даже по мнению
профессора Эпгеля поставлено на такую высоту, на которой оно
в то время стояло лишь в немногих германских университетах.
Для преподавания математики были приглашены из Германии
II. Вартельс и К. Реныѳр, для преподавания физики и астрономии—
И. Литтров и К. Броннор. Это были серьезные ученые, прекрасные
педагоги; в дело постановки преподавания в новом восточном:
университете они вложили много труда и настоящего энтузиазма. Эти
профессора направили интересы Лобачевского в область математики,—
он прошел очень хорошую школу. Наибольшее влияние на него имел, по-
видимому, Бартальс, который вел с ним отдельно занятияу себя на дому.
Молодые студенты, пионеры первого восточного университета,
учились с большим рвением; по отзывам профессоров, Лобачевский
занимал среди них выдающееся, если не первое место. Уже в ѳтом
1) В последнее время: обнаружены увавання, заставляющие думать, что втн
даты и сведения яе точны. Яроиэводптся рассводонанка, [результаты котором
удут сообщены в заключительном тома.
г
I
Ь
Казавский Университет
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
09
возрасте он с успехом овладевал такими трудными сочинениями как
«Disquisition.es arithmetical! Гаусса, «Mdcanique analytique» Дагранжа,
«Application tie 1'Analyse a Id Greometria» Мошка. Однако инспектор
университета систематически отмечав* его «дурное поведение» и в
отношении поведения признает его худшим студентом. Правда,
инкриминируемые ему проступки в большинстве случаев обнаруживают только,
что пылкий, может быть, п несколько строптивый юноша но был
склонен к точному выполнению требовании университетской инспекция
п строгому подчинению паса;кдавшейся администрацией казарменной
регламентации, быта; оп был нѳ прочь нной раз самовольно отлучиться,
вырваться из душной атмосферы университетского интерната, — иногда
даже в маскарад; любитель пиротехники, он позволил себе пускать
ракеты в 11 часов ночи; согласно преданию, оо даже проявил однажды
неслыханное озорство, в-ьехав в университетский вестибюль верном
на корове. Но затем обвппения становится более серьезпъши и для
того времени очень опасными: помощник инспектора Копдтірев
отмечает, что «Лобачевский в значительной степени явил
признаки бозбоікпя», что «мнение его получило многие лоясяыѳ аоіга-
тпяе. Заколебались ли действительно у Лобачевского устон
религии, был ли оп в некоторой мере захвачен
распространенными в начале царств оваиы л императора Александра I
либеральными тенденциями или даже революционными настроениями,,
илп все это в большой мере било лишь фантазией усѳр;іного
инспектора, сказать трудно. Но ввиду подымавшейся реакции, при
предписании подвергать неблагонадежных студентов суровым карам, эти
наветы инспектора, поддержанные директором университета Яковкп-
нілм, грозили Лобачевскому исключением пз университета. Бреннер
писал по этому поводу академику Фуосу: ton (Яковкнн) едва не
оклеветал п не погубил иа-аа пустяков пошего лучшего
воспитанника Николая Лобачевского, научные наклонности которого
заслуживают исключительного одобрения, и которого нам с большим
трудом удалось спасти». Так, при настойчивой поддержке ,'цѳыиптпх
его профессоров И не менее настойчивых угрозах университет-
скоп администрации, Лобачевский закончил свое обучение в
университете.
В 1811 г. по представлению Бартельса Лобачевский был
произведен а магистры — звание, которое в то время означало примерно-
то же, что у пае сѳйчае аасплрапт»; ему еще по исполнилось IS лет,
когда он под непосредственным руководством Бартельса стал
готовиться к профеосорской деятельности. В 1814 г. он уже приступил:
к преподаванию, а еще через два года (в 181В г.) первенцы Каеак-
ского университета Лобачевский п -Симонов (астроном) били-
произведены в экстраординарные профессоры.
то
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ІГеаслу том после отечественной войны и п особенности после
заключения Священного союза реакция быстро нарастала; либеральные
'веяния первого периода царствования Александра I сменились арак-
чпевщппой. Пост министра народного просвещения получил крайний
реакционер кЕяаь А. II. Голицын, усматривавший одну па главных
свопх задач в подавлении растлевающей деятельности университетов.
Од обрушился в первую очередь на Казанский университет. В 1819 г.
бывший либерал и друг Сперанского, ренегат и предатель М. Л. Маг-
шщвий получил поручение произвести ревизию Казанского
университета. Эту ревизию он провел с неслыханным пристрастном и окончил
докладом, требовавшим «публичного уничтожения Казанского
университетам. Это предложение но было выполнено; но Магпяцкнй был
назначен попечителем Казанского учебного округа и получил
поручение «нрпвѳстя Университет в должный порядок и устройство». Он
энергично принялся за искоренение его іврвдкего духа». Девять про-
фѳсооров былп немедленно уволены; большинство иностранных
профессоров, в том число Бартельс п Броннер, покинули Роосшо. Казан-
скип университет на семь лот погрузился в атмосферу лицемерия,
фарисейства л грубого мистицизма.
Тяжелые условия жизни Казанского университета под
управлением Магницкого весьма неблагоприятно отразились и на
Лобачевском. Враждебную ему в период его студенческих лет
университетскую администрацию теперь сменило отель же враждебное, но
более высокое начальство. Правда, в первое время Магницкий отнесся
к Лобачевскому благожелательно. В своем докладе после ревизии он
отмечает Лобачевского и Симонова как людей, по общему признанию,
«отменно апающиі». Посла вступления в управление округом
Магницкий давал Лобачевскому ответственные поручения (реорганизация
университетской библиотеки, руководство строительной комиссией), и
ети поручения Лобачевский со свойственной ег.гу добросовестностью
и деловитостью выполнял очень, успешно. Магницкий был доволен.
Нельзя даже сказать, что Лобачевская занял место среди опоаипионно
настроенной профессуры; но он держал себя о достоинством, не
присоединялся в подобострастию большинства профессоров; и этого,
невидимому, было достаточно для того, чтобы вооружить против себя
надменного попечителя.
Во всяком случае к концу правленая .Магницкого Лобачевскому
вновь грозили суровые репрессии, и трудно сказать, чем бы это
окончилось, если бы Магдицкий во всея своей деятельности не
переусердствовал- Новая ревиеия университета привела к его
устранению (1826 г.). ....
В студенческие годы Лобачевский ответил на преследование
университетской инспекции удвоенной энергией в учебной работе.
учение о іш?л;ілельнш; линиях 7і
В эпоху Магницкого, в пору мрачного угнетения университета,
предоставленный в отношении своих научные интересов исключительно
самому себе, оторванный от своих бывших руководителей, от научных
центров математической мысли, Лобачевский погрузился в
наследования по теории параллельных лішші. Очень возможно, что к этому
его привел курс геометрии, который он читал студентам; воэможпо
также, что толчком к этому послу ишлп незадолго перед тем
опубликованные работы Леаиілдра, несостоятельность которых была ему ясна.
Так или иначе, в двадцатых годах прошлого века мысли
Лобачевского были сосредоточены па теории параллельных линий:. Лобачевский
шел при атом по тому же пути, что и все его предшественники: он
пытался доказать постулат о параллельных линиях. В дервыѳ годы
•своей преподавательской деятельности, как уже сказано, Лобачевский
■читал куре, который имел своим назначением углубить сведения
<тудентов по элементарной геометрии. В сохранявшихся записках
■студента Тѳмныкова (от 1817. г.) приведена попытка Лобачевского
доказать постулат.
Однако тщательные размышления привели Лобачевского к
сознанию , что его доказательство ошибочно. В сочинении, * Геометрия»
Лобачевский уже твердо высказывает убеждение, что ни одно
из предложенных доказательств пятого постулата не может быть
признано достаточным, но в то же время никаких указаний на то, что
постулат и не может .быть доказан, что здесь открываются
совершенно новые горизонты, в этом сочинении (1823 г.) еще нет. Не
подлежит, однако, сомнению, что именно с этого примерно времени
мысль Лобачевского получает новое направление.
Выть может, в качестве последней попытки все аса доказать
постулат, Лобачевский (как это и до него делали многие другие) ста:
новится твердо па путь доказательства от противного: он допускает,
что из точки, лежащей вне данной прямой, можно в их плоскости
провести больше одной прямой, яѳ встречающей данную, и
рассчитывает, что выводы, отсюда проистекающие, приведут к противоречию
с установленными предложениями геометрии: они, таким образом,
■опровергнут сделанное допущение, и этим будет выполнено
доказательство постулата. Но к такому противоречию Лобачевский не
пришел. Напротив, тонко я смело развертывая один вывод аа другим,
Лобачевский построил.новую, своеобразную s воображаемую»
геометрии, глубоко отличающуюся оі традиционной геометрии Евклида
и потому известную в настоящее время цод названием
«неевклидовой, геометрии». Эта новая геометрия развернута Лобачевским
чрезвычайно широко и глубоко разработана в целом ряде сочинений—
■от порвого доклада в Совете, физико-математического факультета
.Казанского университета в 1826 г. до последнего сочинения <Пан-
72
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ Л С С ЛЕД OB ЛИП Я
геометрия-) в ІйэГі г., которое он уже слепой продиктовал своим уче-
ііикая. Список всех этих работ, с указанием их последовательного>
р.іявтчш, чіСТіітель папдег в виол пой статье к настоящему толу. По-
<ггро<ші№ повоЁ геометрии было выполнено Лобачевским «мастерски
л истинно геометрическом духеь, по словам Гаусса, с печатью атвор-
■іеокоП гениальности а, по словам Л. Еолгтіі, который о успехом
занимался тем жп вопросом.
Однако чрезвычайно споеоираяшле идеи Лобачевского,
изложенные к тому эт;е в чрезвычайно мало доступной, скажем больше, —
п совершенно недоступной форме, при его даііапп в печати
признания но получили; напротив того, они были встречены резким
осуждением. Печальные свидетельства этого — издевательский пасквиль,
па первое сочипеип© Лобачевского «О началах геометрии>,
пренебрежительная рецензия на сочштпнѳ «Геометрические исоледоваипяз,.
уничгожатощпй отзыв Российской академии наук, которой
Лобачевский- дважды направлял своп работы. Но болі.шая душевная
устойчивость, а также кипучая организационная работа спасли
Лобачевского от отчаяния, и которое такое отношение современников могло»
его ввергнуть.
Всю свою жизнь гениальный русский ученый мужественно боролся:
за свои пдеп. Все силы ого ума и воли были сосредоточены ла том,,
чтобы эаноепать згим идеям- прігаиаиие. Всестороннее развитие повоіі:
геометрии как. в порядке обоснования элементарной геометрии, тик
и путем построения аналитической п диферепциальной геометрии,,
изыскание аналитических се приложений (главным образом, для
вычисления определенных интегралов), размышления над трудными
вопросами о логической ее правильности н О конкретном ее значении —
составили предмет исследований Лобачевского, наложенных в ег-о-
многообразных геометрических сочинениях. Эти сочинения ■ полны
глубочайшей мысли, многогранного математического творчества,
разительных результатов. Однако им недоставало доступности изложения..
Стремление восполнить этот пробел п привело Лобачевского к
составлению небольшого сочинения «Геометрические исследования по теории
параллельных линий», которое было ни опубликовано в 1840 г. на
немецком языке (оно в настоящем издании помещено в
русском переводе). Эта напряженная научная работа развертывалась,
среди кипучей административной деятельности. В первые же выборы,
состоявшиеся после устранения Магницкого, Лобачевский был избран
ректором Казанского университета и вслед аа ѳтим еще пять раз-,
переиебирался на эту руководящую должность. На втом пооту
Лобачевский проявил огромную энергию. Он вдохнул дух
свободной научной мысли в университет, раздавленный Магницким;
он организовал при университете -ученые общества; он создал научныіі
УЧЕНИЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ
7*
орган «Узѳпые засисви Казанского университетам, в которых
опубликовал также п большинство своих собствениых работ; он развернул
строительство университета—до последнего времени главные здания
и учебно-вспомогательные учреждения университета сохранили облик,
который был им придан Лобачевским; он проявил исключительное
мужество и распорядительность во время пожара в Казани в 1S42 г.
и в трудные жги холерной эпидемии п 1830 г.
Вряд лп может быть сомнѳнио в том, что именно эта
разносторонняя деятельность помогла Лобачевско^гу преодолеть тяжелые
переживания, которые были связаны с сознанием, что его новые лдон —
существо и смысл всей его научной жизни— оставались
непризнанными, более того, встречали в математической срѳдѳ пренебраясите.чь-
ноо, оскорбительное отношение. Правда, Гауео оказал Лобачевскому
большое внимание: он предложил принять ого в члены Гегггалген-
ского Ученого Общества, носившего характер академии, п лично
известил его об избрании. Но только в этом и выразился ант
признания: о своих взглядах на существо его идей он не сообщил
Лобачо веко лгу ничего.
В 184S г. вта кипучая деятельность прервалась. Лобачевский был
назначен помощником попечителя Казанского учебного округа.
Лобачевский оставил университет и со свойственной ему ѳлергиѳн начал
развертывать организационную работу. Но через год попечителем был
назначен генерал-майор В. П. Моэгоствов; Лобачевский очень скоро
себе уяснил, что совместная о ним работа для него нѳпоаможыа,
и устранился от дел.
И теперь, когда прекратилась живая работа и наступило
вынужденное бездействие, тяжелые переживания на почве непризнанного
научного творчества стали быстро подтачивать его силы. В ятому
присоединились и другие обстоятельства: тяягвое семейное горе —
смерть старшего сьтаа Алексея—и утрата зрения. По свидетельству
современников, не достигнув еще шестидесятилетнего возраста, Лоба-
чевовий уже производил впечатление дряхлого старика. И именно
в вту пору по случаю пятидесятилетия Казанского университета
Лобачевский написал дли юбилейного сборника свое последнее
произведение Шангеометрия». Это было новое изложение всей его системы.
Конечно, существенно новых идей оно уже нѳ содержало, но
некоторые отдельные моменты заключали ценные дополнения.
Будущему биографу Н. И. Лобачевского предстоит еще выяснпть-
многпб черты, ближе характеризующие его личность, его взгляды,
путп его творчества. Но никакому сомнению нѳ подлежит, что ето
был человек гениального проникновения, оригинальной мысли н
творческой воли. Всей своей организационной деятельностью он нолучил,
конечно, право на памятник, поставленный, ему в. Казани, на уни-
Т4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ворситотсиоп площади; но пвиамерпмо болев прочный— вечный
nUMIITHIU:
аегѳ регешйиз
regalique situ
pyramid цщ altills1)
о» воивщ еѳііе сам открытием поѳвклндовой геометрии, своими
сочинениями, которые и настоящем издании вновь появляются
на свѳт.
')Из Горация; •прочнее меда .а вьше дарственны* иирашід*.
Ч*р ' -*'
t»"~ 'Чч
**/■■■ ' V
/г
щ
/ "
*
і
1
■
' Хм
ь
1
■ /
Памятник Н. И. Лобачевскому
в Казани на Университетской площади
К стр, 7Б
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.
«Геометрические исследования по теории параллельных линий»
представляют собой элементарное изложение пачол неевклидовой
геометрии, созданной Лобачевским (так называемой гиперболической
геометрии). Это сочинение было выпущено Лобачевским в спет в 1840 с,
после того как им были уже опубликованы наиболее крупяыа
геометрические сочинепия: іО началах геометрии» (1829), «Воображаемая
геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к
некоторым интегралам» (183G), «Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных» (1835—1838).
Как указано в общей вступительной статье, характерной особенностью
первых трех сочинений является крайне сжатое изложение воѳго текста.
Краткое, почти схематическое изложение основ новой геометрии
сопровождается многочисленными вычислениями определенных
интегралов, одни из которых нѳпосредствѳнио выражают те или иные
величины (длины, плолтадя, объемы) в «воображаемой геометрии», а
другие приводятся к такого рода величинам.
Между тем эти вычисления предполагают отчетливое анание основ
новой геометрии. II еоди трудно себе представить человека,
изучающего интегральное исчисление в его геомѳтрячѳокиѳ ^приложении
•бѳэ знакомства о элементами геометрии, то в таком именно положении
находились в тридцатых годах прошлого столетия те немногие
математики, которые пробовали разобраться в мемуарах Лобачевского. В
результате они совершенно не были поняты.
Сочинение «Новые начала геометрии» наложено гораздо более
обстоятельно, но оно содержит много материала, чуждого новой
геометрии; печатание его растянулось на четыре года, и оно не
содействовало усвоению «воображаемой геометрии».
Тогда Лобачевский пришел; к мысли дать краткое, но доступное
изложение основных начал новой, «воображаемой», геометрии.' Это
именно им и выполнено в оочинѳнии «Геометрические исследования
пэ теории параллельных линий», опубликованном на немецком языке
в 1840 г. Элементы неевклидовой геометрии изложены -в этом
небольшом сочинении о удивительным искусством. За сто лет, истекших со
7С ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
времени опубликования «Геометрических исследований», иле я
Лобачевского многосортно по ре кристаллизовались в умах мпогочпслеи-
пі,к геомстроа, размышлявших пал этпмп вопросами. Многие выводы
ті настоящее время упрошены л лзмѳнепи, некоторые копцеппип япаче
оформлены; ііо синтетическое наложение начал неевклидовой
геометрии втого типа и по настоящее прстя сохранило общую схему
«Геометрических исследований», подобно тому как построений начал
обыкновенной геомеірші по сие время носит на себе отпечаток схемы,
Евклида. «Геометрические исследования» представляют собой перл
геометрического творчества п навсегда останутся образцом паіоіке-
нип своеобразных новых идей в элементарной форме. По
(Геометрическим исследованиям в с неевклидовой геометрией впервые поэна-
комплись математики конца шестидесятых п начала семидесятых годов
прошлого столетия.
Наппсанпыѳ Лобачевским после других основных его сочинений
«Геометрические иесдѳдолаштяа представляют собой лучшее
введение во все его сочинения. Оно переведено на французский н
английский языки н неоднократно на ятпх языках переиздавалось. Гаусс,
познакомившись с атой броппорой Лобачевского, писал о ней своему
другу Шумахеру в 184(і г.: «Это сочігаѳнпо выполнено Лобачевским
мастерски в истинно геометрпческом духе. Я считаю себя обязанным
обратить Ваше внимание па я то сочігаеппе, которое наверное
доставит Вам совершенно исключительное наслаждение».
По содержанию «Геометрические исследования» можно разбить
на четыре части.
Первую часть составляет краткое введогптѳ и предложения 1 —15;
они содержат перечень важнейших предложений, на зависящих от
постулата о параллельных линиях; одни из этих предложений: нужно
рассматривать как постулаты, другие—как теоремы, устанавливаемые
без пособия V постулата. Этот перечень, конечно, не охватывает всех
предложений так называемой «абсолютной гѳометрийв, т. е. того-
геометрического .материала, который пѳ зависит от постулата о
параллельных линиях, Лобачевский ограничивается теми, которые ему
наиболее необходимы для дальнейшего своеобразного развития
геометрии. Нужно, однако, отметить, что этот перечень лѳ исчерпывает-
и тех предложений, наікоторые автор фактически опирается в
дальнейшем тексте сочинения.
Вторую часть составляют предложения 16—25. Они содержат
наложение тѳорар параллельных линий в новом определении этого
основного понятпяі Здесь устанавливаются две гипотезы, одна па которых
ведет к евклидовой (по Лобачевскому—«употребительной») геометрип,.
другая—к «воображаемой». В связи с этим устанавливается понятие-
об угле параллельности (функция П (ж)) и о свяаанной с втйм. записи-
ОПЗОР СОЧИНЕНИЯ
мост» между суммой углов тр еу го ль кика к постулатом о параллельных
Третью часть составляют предложении 28—34. После необходимых
подготовительных предложений здесь устииаолшніытея. поінгиія о
предельной литш и предельной поверхности н доказывается основная
теорема, что геометрия предельной повврхко&ш формально соипадаат
■с евклидовой планиметрией.
Четвертую часть составляют предложения 35—ЗТ; оіш содержат
неевклидову тригонометрию п вывод основного соотношения:
Ів-ІЩаО — в-*.
Из этого краткого обаора мы видим, что «Геометрические песдедо-
вашщг не охватывают всей элементарной геометрии так называемого
гиперболического пространства. Мы пе находим здееь даже
развернутого учения о расположении прямых и плоскостей; иет вывода длигш
окружности, площади крута, нет даже учения о площадях
прямолинейных фигур, отличающегося такой простотой. В заключительных
■абзацах Лобачевский отсылает для ознакомления с этими вопросами
к другим своим сочинениям. Цель этого сочинения совершенно ясна:
Лобачевский хочет дать такое введение в «воображаемую гѳомѳтрию>,
которое сделало бы внимательному читателю доступным научение
остальных, более глубоких, труднее пзлоивепиых его сочинений. И эта
цель была достигнута Лобачевским.
Совершенно несомненно, что п в настоящее врѳ.мл изучение
сочинений Лобачевского в подлиннике наиболее целесообразно * начинать
■с «Геометрических последов алий >: это — ключ к остальным ого
сочинениям. Именно поэтому, в отступление от хронологической
последовательности, ѳто сочинение помещено ни первом месте.
При всей сравнительное элементарности наложения гГеометриче-
■ских исследований», вто сочинение все же сохраняет достаточно
рассуждений, которые могут оказаться трудными для читателя,
■еще не усвоившего своеобразных идей неевклидовой геометрии. Чтобы
■облегчить усвоение этих идей и чтение сочинения, к нему даны
примечания, помещенные частью в виде сносок под текстом, частью после
текста. В сносках помещены пояснительные примечания, которые
должны содействовать непосредственному уяснению замысла,
определений и рассуждений автора. После текста помещены более обширные
примечания:, которые содержат сопоставление рассуждений
Лобачевского о более поздними приемами раавития этих идей, исторические
и историко-критическиэ справки.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПО ТЕОРИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Перевод е немецкого В. Ф. Кагана
В геометрии я ватѳл покоторыѳ несовершенства, которые я
считаю причиной того, что эта наука, поскольку она не переходит
в анализ, до настоящого времени нѳ вышла пи па один шаг за
пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида.
К этим несонортенствам я отношу неясность в первых понятиях
о геометрических величинах, способы, которыми мы себе
представляем измерение этих величин, и, накопѳп, важный пробел
в теории параллельных .тшпнй, к восполнению которого нее
усилия математиков до настоящего временя былл тщетными*.
Старания Лѳжандра нѳ прибавили к этой теории ничего, так как он
был вынужден оставить единственно строгий ход [исслѳдоваиия],
стать на побочный путь и прибегнуть к вспомогательным
предложениям, которые он без обоснования старается изобразить как
необходимые аксиомы*.
Свой первый опыт по началам геометрии л опубликовал в
«Казанском вестнике» за 1829 г.®. В надежде, что я удовлетворил
всем требованиям, я занялся поело этого обработкой всей этой
пауки и эту свою работу опубликовал отдельными частями в «Учо-
* Настоящее сочинение посвящено исключительно устранению пробела в тео;
рая параллельны* линлВ. О том, в чем Лобачевский усматривал сущность остальных
недостатков геометрии, — неясность порвьш понятпіі и дефекты метрики,—
подробно сказано по «Вступлении» к сочинению -Новые начала». Это обширное
сочинение найдет себе место во второ,ѵ томе настоящего издания.
* Об наследованиях Лвмеашгра, относящихся к теории параллельных. линий
см. статью «Учение о параллельных линиях до соединил неевклидовой геометрии»
(стр. 56 настоящого тома).
в Речь идет о сочинении «О началах гѳоыѳтрян», помешенном ниже в
настоящем томе (стр. 185).
so
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
них записках Казанского ;-ниверситѳта> за ІЗЗй, 1837 и 1838 гг.
под ааглаикем «Нопыо начала геометрии с полной тѳориой па.рал-
деиыіых». Рцзмер этой работы, быть может, мешает моим
соотечественникам следить на предметом, который после Лежапдра
утратил интерес. Я держусь, однако, мноыии, что теория
параллельных линии не должна была бы откааатьсн от своих
притязаний на внимание математиков; поэтому л намерен изложить здесь
сущность моих исследований;при этомішерѳд отмечу, что, вопреки
мнению Лешшдра*, все остальные несовершенства, как, например,
определение прямой линии, оказываются здесь посторонними и
лишены всякого влияния на теорию параллельных линий.
Чтобы не утомлять читателей множеством таких предложений
конх доказательства не представляют затруднений, я привожу
здесь наперед только те из них, знание которых необходимо для
последующего *.
1J Прямая линия покрывает себя самое во всех положениях. Под
зтнм я разумею, что при вращении понерхиоети прямая линии иѳ
меняет своого места, осли она проходит через две неподвижные
точки поиерхноети9.
2) Две прямые не могут пересекаться в двух точках [а].
3) Прямая линия, будучи достаточно продолжена в обе стороны,
должна уходить за всякие пределы и таким образом делит
ограниченную плоскость на две части [3].
* Ом. Legeadr е —-Reflexions, стр. 372. Библиографические донные
приведены на стр. 56 пастопщего тома,
* Приводимые ниже 15 предложений носят различный характер. Первое из
них представляет собой одно из возможных определений прямой линии; другие
должны быть рассматриваемы как постулаты или. аксиомы (например, предложения
2, 3, 5); наконец, остальные суть теоремы, обычно доказываемые в курсах геометрии,
Все эта предложения пе о&висят от постулата о параллельных, пиниях (т. е.
устанавливаются, не опираясь на этот постулат); Лобачевский их приводит как материал
который он может аопьяонаться при развитии своей геометрической системы, не
рискуя власть в ложный круг—воспользоваться положением, независимость
которого он имеет в виду обнаружить. Однако в этот перечень вошли далеко не дев
драдломсекия, не зависящие от постулата о параллельных линиях; более того,
Лобачевский в дальнейшем наложении и еаи пользуется предложениями, не
вошедшими в атот перечень; мы их отметим в своем месте.
®Об ѳтом определении: прямой линии ем. примечание 1 иастр. 128. Заметим, что
Лобачевский систематически употребляет как в настоящем сочинении, так и в
мемуарах, опубликованных по-русски, термин «линия» таи, где речь идет о прямой линии.
Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЕ!—«ІЧіОИЕТРИ'іЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» У1
4) Дво прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей
зіримоіі, никогда нѳ пересекаются, сколько бы мы их пи продолжали.
5) Прямая линия всегда пересекает другую прямую, если
переходит о одной ѳѳ стороны на другую [+].
R) Вертикальные углы, у которых стороны одного составляют
продолжения сторон другого, равны. Это справедливо как в
применении к плоским прямолинейным углам, так и в применении
■к плоскостным двугранным углам.
7) Две прямые нѳ могут ^пересечься, если какая-либо третья
орямая пересекает их под равными углами.
8) В прямолинейном треугольнике равным углам против олея;ат
равные стороны, н обратно.
9) В прямолинейном треугольнике большей стороне противо-
.лежит также больший утоп. В прямоугольном треугольнике
гипотенуза больше каждого из катетов, и прилѳжапщѳ к ней углы
острые.
10) Прямолинейные треугольники конгруэнтны р], если у них
равны сторона и два угла или две стороны и заключенный между
ними угол, или две стороны и угон, противолежащий большей
стороне [в], или три стороны.
11) Прямая линия, перпендикулярная: к двум другим прямым,
■не лежащим с нею в одной плоскости р], перпендикулярна ко всем
прямым, проведенным через точку их общего пересечения в
плоскости двух последних прямых.
12) Пересечение шара плоскостью есть круг.
13) Прямая, которая перпендикулярна к зіинии пересечения
двух [перпендикулярныхк] плоскостей ж расположена в одной из
этих плоскостей, перпендикулярна в другой плоскости.
14) В сферическом треугольнике равным сторонам противолежат
равные углы, и обратно.
15) Сферические треугольники конгруэнтны, если у ник равны
две стороны и угол, заключенный между ними, или жѳ сторона и
прилежащие к ней углы*.
* Это слово, очевидно по недосмотру, в оригинале "опущено. Это отмечшо и:
-в казанском издании: атого «ушнѳкия («Полз. собр. соч. по гѳоа.»).
* Это прѳдлояепиа формулировано нѳ вполне точно: оферячѳсісив
треугольники при этих условияж либо конгруэнтны, пвйо симаатричвы, Жо Яобікадвовий
3»н. 468, Н. И. Лобачевский, т. 1.
в
В2
ГИиМЕ'ШІЧКі'КИК Иі.'ГЛЕДОнЛШГН
С
Начиная отсюда, дальнейшие предлоѵкошш ужо сопровождаются
пішшонііими и доказательствами.
Hi) Все прямые линнп, выходящие л некоторой плоскости из одной
точки, могут Гшть ло отношению к некоторой яидцшіой прямой той
же плоскости разделены на два класса,
именно на пергсаиачщие ее и nenepect.ua-
тпт й. Граничная лішші одного и дру-
г, гого класса мтлх [прямых] линпй
называется параллельной.заданной.щшш]^\.
lbs точки ,1 (черт. 1) опустим на
[заданную] лишга BG ігарпсидикулнр
р АІ), к которому, в свою очередь, вои-
стивіш перпендикуляр АЕ. В прямом
угле JEAD прямые, выходящне пз
точі;н Л, лгшо все встречают линию
JJC, как, например, AF, либо же
ПЕК В нввоторыо, подоив» перпендикуляру
ч е ji т. і. .„.щ по встречают леішщ DC. Не
зпаи, ость ли перпендикуляр АЕ единственная липни, которая но
придерживается своеобразной тпршшолоѵші, по которой две сферические фигуры
«контруэнтны», вели одна из них может быть совмещена со второй либо
непосредственно, либо после ааыоньг одной ив них еидаетричпе-я. Это он определенна ■
оговаркваот в «Ыовмх началах», ст. 81. Пуя;ш> оказать, что гюрвой из втік двух
теорем Лобачевский фоклчгчеекп тго.тьнуотся только в том случае, когда оба
треугольника равнобедренные н боковые стороны одного равпьі боковым сторонам
другого; при равенстве содержащихся ыккду шімн углов сферические
треугольники s втек случае всегда, конгрузнтім в обі.гпюм смысле слова.
* Этими соображениями устанавливается та своеобразная точка зрении,
вернее, то исходное допущение, которое отличает «неевклидову» геометрию
Лобачевского от обычной, веками ;твердившѳйси «евклидовой» геометрии, Лобачевский
допускает, что нз точки Л, лежащее впо прямой ВС, может в плоскости ЛВС
выюдить не одни, а несколько прямых, по встречающих ВС', точнее, он по
исключает этой возможности. Это непосредственно приводит к классификации,
установленной в тексте и обстоятельно изложенной и следующем абзаце Лобачевского;
оно подробно разъяснено п нримочагшті Я.
Геометрия, іювтронішяя на всех аостулатах Евклида, с заменой, однако,
постулат» о параллельных ("V постулат) допущением, что л плоскости из точки,
яеэкшцеП вно прямой, можно провести больше одной прямой, не встречающей,
данной, в есть неевклидова геометрия Лобачевского. Однако название «неевклидова
геометрия» в настоящее вреіій получило гораздо болов широкое зицчепд:е; но в
примечаниях к настоящему еочивешно мы под «неевклидовой гоометркай* всегда
разумеем геометрию Лобачевского; ео в настоящее время обычно наашают татежо
гиперболической геометрией (см. сноску * к предложению 37, стр. 125),
ТІ. II. лиГ.ЛЧЕІІгіаШ— «ГКШІІ'Л'І'ИЧКі.'ііПК ІИѴ.'Ю'ІШШН» Ыі
встречается о DC, будем считать возможным, что і:уіи.і!етну!ит it
другие лішпп, например AG, которые но нотрочатт DC, сколько
йи мы их іш продолжили. При переходи от лоресоиаюіцнх линий AF
к нопор осекающим -Ifr мм должпы встретить .чішш» ЛИ, пярад-
лолыіую ЛС, — граничную линию,— по одну сторону котороіі шг
одна дпппн AG не встречает DC, между ірм как по другую
строну каждая линия Л/'' поросекает дшпш DC. Угол 11ЛТ) между
параллелью .Л..Й" и перпендикуляром Лі> пявываотси углом ііара.і-
jciu (углом параллельности); ни Судом здесь обозначать ого через
П(р) при ЛД=.р#.
— Если IIQ)} есть прямой уго:і*, то продолжение АН'
перпендикуляра ,IJ7TdiwKo будет параллельно продолжению DB лпшш DC;
к этому еще заметим, что в отношении четырех прямых углон,
которые при точко А образуют перпендикуляры АЕ и Alt п их
продолжения АЕ' п JD', каждая прямая лпнггя, выходящая из
точки А, либо сами, либо по крайней мера своим продолженном
расположена в одном но тех дпух прямых углов, которые обра-
щепы к линии ВС, так что, кроме парнлліѵіи ЕЕ', псе другие
[прямые] по достаточном продолжении в обе стороны должны
пересекать лиипю ВС.
Если Н(р)<-і>-яѲі то по другую сторопу [перпендикуляра] .-Ш,
под тем же углом ЛА7Г= II (_р), будет проходить еще одна лпшпі
АК, параллельная продолжению DB липнп ВС; таким образом
при этом допущении ми должны отличать еще сторону najiu.i.w.it-
постиЯ, Бее остальные линии или их продолжения внутри двух
прямых углов, обращенных к ВС, принадлежат к пересекающим,
й Это обозначение основано на том, что угол параллельности в пссоклнкопиП
геометрии, как ото будит ниже обнаружено, представляет uoCoit функцию
расстояние р.
* То-есть в случае геометрии ЕвЕіллда, которому этот небольшой абзап по-
ивяшен.
й То-есть в случае неевклидов оіі геометршг.
9 Иными словами, прямая AS счлтиетсн параллельной врямоіі ВО в сторону DC,
а прямая АК—параллельной тоіі эке пряной в сторону ВВ. Это подучит «по более
точное выражение, если говорить только о лучах, а не о прямых: луч *Ш
параллелен лучу ВО (черт. 1), а луч. АК парамелен лучу ОВ; вместе с тек
через точку Л, лежащую вне луча BG, во вевоом олучае (т. е, как в евкккдовоп,
так и в неевклидовой геометрии) проходит одна и только один параллельный
ему луч АК. Лобачевский втоіі терминологией но пользуется: он вовгда
пишет «лилия АНпараллельна лгашиЛС» кля же «прямая АК
варадлелъв>.л)іlift*
84 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
если они лежат внутри угла ЛЛК=2Л.(р) между параллелями;
напротив того, они принадлежат к неперосекающим А&, если они:
расположены по другую сторону параллелей AS и АК в
отверстии двух углов ЕА2І=~ъ~П(р), Е'АК = ^-ъ — H(j>) между
параллелями н перпендикуляром ЕЕ' к AD. Подобным же
образом по другую стороиу перпендикуляра ЕЕ1 продолжения АН' и
АК' параллелей А И ж АК также будут параллельны ВС;
остальные линии принадлежат в угле К'AS' к пересекающим, а в углах
ІС'АЕ и ІГАИ—к нвперееекающим.
Сообразно атому при предположении П(^з)=-2-,г линии могут
бить только пересекающими или параллельными; если же принять,
что II (р) < ^тс, то лужно допустить две параллели, одну по одну
сторону [перпендигсулира], другую по другую [его] сторону; кроме
того, между остальными линиями нужно различать
пересекающие и лѳпервеекающыв. Как при одном, так н при другом
предположении признаком параллелизма служит то, что линия
становится пересекающей при малейшем отклонении в ту
стороиу, где лежит параллель; таким образом, если AS параллельна
Х)С, то каждая ливня AF, сколь бы мал ни был угол SAF,
пересекает ВС.
17) Прямая линия сохраняет признак параллельности во всех своих
точках *.
Пусть [прямая] АВ (ч&трт. 2) будет параллельна CD* и пусть AG
будет перпендикуляр в последней. Мы рассмотрим две точки,
которые расположены произвольно: одна па линии АВ и другая на
ее продолжении по другую стороиу перпендикуляра. Положим,
что точка Е лежит по ту сторону перпендикуляра, g которой АВ
рассматривается как параллельная CD. Из точки Е опустим
перпендикуляр ЕК на CD, затем проведем ЕЕ так, чтобы она
промок CD». Но ото певгда путано понимать а том смысле, что луч АВ параллелен
лучу CD.
w Содержащееся в предыдущем предложения определенно параллели
связывает ее с точкой, на которой она выходит: иуч АВ параллелен CD (черт. Й), есии
он не встречно? GD и в точке А. отделяет лучи, перосекшощие GD, от пеиѳреееквю-
тдіх Будет ли етот иуч ироивводамь такое а» отделение пересекающих лучей
от нѳшресегсагощнх а другой сяоей точке, скажем, в точке Е или Е'"> Этот именно
іюпроо получает разрешение в предложешш 17.
* Предполагается — в точке А. •
Н. И. ЛОБЛЛЕПОКШІ— -ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВЛЫІШ^ S5
ходила внутри угла ВЕК. Точки А п 1< соедпшш прямой лннипп,
продоллѵопио которой дол;і:по встретить CD где-либо в G
{предложение 16) *. Вместо с тем мм получим треугольник ACG, внутрь
которого входит линия JSF; так как эта цоолоднял не может
пересечь АС в силу самого построения, я также по может вторично
встретить пи AG, пи ЕК (предложение 2), то опа должна встретить
CD в какой-либо точке К (предложение 3)*.
Пусть теперь Е' будет точка на продолжении [линии] АВ и
пусть Ж К' будет перпендикуляр на продолжении линии CD; про-
ведом линяю F'F' под столь малым углом AE'F', чтобы она поре-
сѳтела АС где-либо в F'; затем из А проведем под тем же углом
с ЛЬ' линшч AF, продолжение которой встретит CD в G
(предложение 16). Таким образом мы получаем треугольник AGC, в
который входит продолжение линии E'F'; так как эта линия но может
вторично пересечь АЕ, а также не может пересечь AG, ибо угол
BAG = BE'G' (предложение 7), то она должна встретить CD где-
либо в <?'.
Таким образом, из каких бы точек Е и JS" [прямой АВ] ни
выходили линии EF и F'F" и как бы мало они ни отклонялись от
линии АВ, они всегда пересекут [линию] CD, которой АВ
параллельна, 0.
* Ибо в точке А луч АВ по усповшо отделяет встречающие CD лучп от но-
встречатопдах.
* Ом. предложении 3 и к нему примечание 3.
а Иначе говоря, лучи ЕВ и ШВ в точках В, Е' производят отделение
пересекающих лучей от напервсекшогяих, т, е. как луч ЕВ, так я луг Е'В параллельны
лучу OD.
S4 ГШШ'ГПЧГП'ХЧЛШ ИССЛЕДОВАНИЯ
ІЧі Д'іе линии игвгди взаимно пирпллсльны.
Пусть АС будет перпендикуляр к [липни] OD (чорт. 3),
которой АВ параллельна*; из f7 проводом лгшптп СЕ под каким угодно
острым углом /і'О'і) к W> и из А опустим перпендикуляр AF на
СЕ; получим прямоугольный треугольник AGF, в котором гипо-
тонузп А.І) больше кнтота AF (предложение У). Отложим AG— AV
и наложим АЛ? ия -1''''; тогда -1-й и І(1# займут «сложение АХ н
&Н", причем угол F!AK=FAC*\ следовательно, -1JT должна
пересечь линию 2>(7 где-либо в [топке] К (предложение 16); таким
образом получше" треугольник АКС, внутрь которого [входит]
перпендикуляр GH; он
встречает линию AK.nL
(предложение 3) и тел
определяет на линии АВ
расстояние AL точки
пересечения линий АВ и
СЕ от точки Л0.
Отсюда следует, что СЕ
всегда встретит АВ, сколт>
бы мал пи был угол ВСЮ;
ч „ поэтому CD параллельна
АВ (предложение 16).
19) В прямолинейном щщгольнжр. ц/.іша трех ц?лов па может
ѵрешінатн двух ■прямых.
Допустим, что в треугольнике ABC (чорт. 4) сумма трех углов
равна « + «; если его стороны не равны, воиьмѳм наименьшую из
них ВС, разделим ее пополам: в J), проведем из А через D пинию
AD я па ее продолжении сделаем BE равным AD; затем соединим
точку Ж е точкой С прямой ЕС. В рапных треугольниках ABB и
* Дано, таким образом, что луч АВ параллелен пучу CD; нужно доказать,
что и ауч CD параллелен АВ. Тік как луч CD п© встречает АВ, то остается
только обнаружить, что всякие луч СМ, проходящий внутри угла ПСА, встретит
АВ. Зто докііав.тельсі'во Лобачевский и проводит.
* Полоса ВАТЕ повернута вокруг точки А таким образом, что линия АЖ
совпадает о линией АО, FE с GH, а АВ с АК. Поэтому углы поворота FACkBA Т
раваы.
° Если произведет обратный поворот л возвратим отрезок АѲ в положение
AF, то луч GL пой-дѳт по FE, AL до АВ и точка L совпадет с точкой пересечѳ-
нил лучей АВ к СЕ.
II. П. .■ЮПЛЧКПСК'ШІ —.ГЕОМІ-УП'ІІ'ІЕОКПЕ Ш.:(ѴЦ-:дгтЛ1ШН-
нт
і'/Ж угол ABD~T)Cfi и Л'.1/> —УЗЛ'бЧпредло-.копин іі и Jo); отсыдіі.
с.-л-дуот, что и троуголыгпко А0& сумма углов т;п;ж« дол;кна быть
равна rc-j-a; кроме того, наименьший угол i'JG'треугольника ABC
(предложи иио Oj ігореглел и наныіі треугольник „К'/?, причем он
ра!ИІи.чс([ на дно чаиш JP.-IC н АЛО. Продолжая таілш то обріпом,
равдеѵіігн при »том пополам
каждый, раз ту сторону,
которая иротинолвжит
наименьшему }тлу, ми необходимо
придем к треугольнику, сумма
трих углов которого равна
~-і-Я) но в котором окажутся 'іііі>т. і.
дна угла, каждый пу которых по" ао со лют ной іюлы'шпѳ меньше у*;
так как, однако, третий угол нѳ можот бить больше іг, то а должно
быть либо нулем, либо отрицательным.
20) Вали в шхом-либо прямолинейном треугольнике сумма трех
углов равна двум прямым, <по это имеет место и по вг.яном другом
треугольнике.
Положим, что в прямолинейном
треугольнике ABC (черт, б) сумма
трех углов™-; в таком случае по
крайней мере два его угли должны
быть острые. Иа иерішпш В третьего
угла опустим на противоположную
сторону першлтдикуляр р; тогда
треугольник ABC разобьется на дня прямоугольных треугольника, в
каждом из которых сумма трах углов также должна быть равна я,
ибо ни в одном из них она не может превышать л, а в
составленном из них треугольнике * она но должна быть меныпо к. Таким
Черт. 5.
* Так каіс угол ВАС острый) то основание перпандняуляра, опущенного иа
точжя В на сторону АС, должно в силу предыдущего предложения упасть на луч
AG, а не на его продолжение; по тоИ яаэ причине оно должно утаоть и на луч ОА;
основание перпшдвдез'лира должно, следовательно, лежать йкугіфи стороны АО.
Треугольник равобьетсн понтону ва два составляющих треугольника.
1'аи как сумма ннугрещисх углов треугольника АВО раина ж, я соотявліш-
івдгс же треугольниках к ним присоединяются аіде дна прямых угла,- to сумма
вйугроиниХ углов обоих составляющих треугольников составят Ёж ПоеЪояыеу
.ъ силу предыдущего предложения ни в одном иа двух соетаяляющиж треутошь-
ss
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
образом мы получаем прямоугольный треугольник с катетами р
и q, а из кого* получаои четырехугольник, в котором
противоположные стороны равны, а припѳжащио друг ю другу стороны j?
н q взаимно перпендикулярны (черт. О). Повторно прикладывая
тот же четырехугольник, можно получить подобный же
[четырехугольник] со сторонами щ иди, пдкопѳд, четырехугольник ABCD
со взаимно порпѳпдпкулярвілмн еторопами, в котором АВ^пр,
А2) = щ, DC = np, BC = mq, где т п п. суть произвольные дели©
числа. Такой четырехугольник делится диагональю BD на два равных.
Л
Я D
Р
В
Р
С
Чер г. G.
прямоугольных треугольника BAD л BCD, в каждом иа которые
сумма трех углов равна к*. Числа тип могут быть выбраны так„
чтобы прямоугольный треугольник ЛВС (черт. 7), катеты которого-
АВ=*щ>, BC = tnq, охватил другой заданный [прямоугольный]
треугольник DBS, коль скоро [их] прямые углы будут приведены.
никоп сумме углов иге может оказаться больше т., она должна быть в каждом цз
составляющих треугольников роапа тт.
Весь омыед втой чяетп доказательства заключается s том, чтобы покивать
что при оущостповввЕи какого-либо треугольника, в котором сумма углоя равна пг
всегда возможно построить прямоугольный треугольник, в котором сумма
внутренних углов также равна п.
* Прикладывая к нему вонгруѳнтпыіі ему трѳугользик гипотенузой к гипоте-
нуее, во повернув последнюю п обратную сторону ток, чтобы точка С попали в Ъ
а точка В—в С.
* Вновь по Toft причине, что ни в одном яв втвх двух треугольников сумм»
внутрвігнмх углов не может превысить п.
Н. И. ДОЛ.ѴШІСКШІ —«ГЕіШЛТНЧЕПКНЕ ІИХѴЩДОПАНІШ» Я»
в совмещонио *, Если пуюнедси линию DC, то получим еще
прямоугольные треугольники, ил которых каждые два последовательно
имеют общую сторону*. Треугольник. ЛВС получается путем
соединения двух треугольников A(JD и DCI1, ни в одном из
которых сумма трех углов нѳ может быть больше -; она должна Сыть
поэтому равна іг, поскольку в соеттшбпном треугольники эта сумма
должна быть равна я. Таким ;ко образом треугольник BDC состоит
из двух, треугольников DEC н DBE; поэтому и в треугольнике ])ВЕ
сумма трех углов должна быть равна яе; и вообще это должно
иметь место во всяком треугольнике, так как всякий треугольник
разбивается на два прямо- ^
угольных треугольника 5,
Отсюда следует, что
возможны только два
допущения: либо сумма трах углов
во всех прямолинейных
треугольниках равна ѵ, либо
жо она во всех
треугольниках мѳньша ти ['}.
21) Из данной точки всегда можно провести прямую линию таким
образом, чтобы она образовала о данной прямой сколь угодно малый угол.
Из данной точки А [черт. 8] опустим на данную прямую .'.ВО
перпендикуляр АВ\ на ВС возьмем произвольную точку D и
проведем линию AD; далее, сделаем DE = AD и проведем АЕ. Пусть
* Иначе гопоря, располагая уже прямоугольным треугольником, пі которой
сумма, углов равно г:, можно при его помощи построить другой прямоугольный
треугольник е тоіі же суммой углов (= -), в котором катеты будут сколь угодно
валики (соответственно больше любых двух виданных отрезков). Если поэтому
воэьмам произвольный прямоугольный треугольник ВВЕ {черт. 7), [то можно
будет построить такой прямоугольный треугольник ABG с суммой углов = и, в кото-
ром треугольник ВЕЗ? наймет положѳнае, указанное на черт. 7.
* Это будут прямоугольные треугольники ЛВС и ВВС о общин катетом СВ
и прямоугольные треугольники ВОВ п ВЕВ с общим катетом ВВ.
® Таким образом доказано, что при сделанном предположении: в любом пряло-
угаяыіом трѳутольпике сумма углов равна п.
9 Если ЛВС (черт. 5) ость совершенно произвольный треугольник, то мы
разобьем его на два прямоугольных треугольника; в каждом из нтгт сумма
внутренних углов равпа к, в обоих вместе = 2и; отброска сумму двух прямых углов,,
образовавшихся при дополнительной вершине, придем к выключению, что-
и в исходном треугольнике ЛВО сумма углов равна it.
■.)() riCOMFTI'H'Jl'X'KIIF, ПГ.'С.ЖЧОІІЛШШ
л прямоугольном треугольники ЛУ^/J угол ADB=-/.. В таком случае
и равнобедренном треугольнике Ли# угол AED должен быть
либо pfinoit -щ- ?, либо мппыпѳ (предложишь 8 п 20*). Продолжав
таілш образом, ми, тжоішц, прпдѳм к такому углу ЛЕ7І, который
моньшо любого ладнниого угла.
2-2) Если дт перпендикуляра к одной и шой же прямой линии
параллельны лѵ.ш-дц собой, то а ѵрпмо.'шне/іішх треугольниках сумма
MJW.V углов равна г..
Положим, что лили» Л? и CD (черт. 9) параллолыш между
собой іі перпендикулярны к АС. Пз А проведем линии АЕ и АЕ
к точкам Е и В, взятым
па линии GT) па любых
расстояниях ВО > ЕС от
точки С. Допустим, что
]! прямоугольном
треугольнике АСЕ сумма
трех углов равна тг — а,
и в треугольнике ЛЕЕ
она равда «— р; в
таком случае а треугольнике АСЕ [сумма углов] будет равна
ъ—а—[3, причем ни а, ни § не могут быть
отрицательными. Пусть, далее, угол BAF~a, AFC=b; в таком случае
a-J-fj = a — й*; теперь, удаляя линию AF от перпендикуляра АС,
можно сделать угол а между AF и параллелью АВ сколь угодно
малым; так же можно уменьшать и угол Ь; следовательно, два
угла <* и 'і не могут пметі. никакой другой величины, кроме « = 0
и 3^0®.
к Здесь уместна ссылка на дредлошенио Іі): поскольку сумма ннутреннях
углов треугольники не может превысить п, каждый из внешних углов
треугольника но жикст быть меньше суммы двух внутренних углов, с ним но сметных;
позтому /_ ВЛЕ + Z -D-Eji = 2 ^ Л.Е/1 ■€ «. Ссылка на предложение 20, попидимоыу,
представляет собой недосмотр.
* Так как / СЛЬ' — ^-п — а, /_ ЛР(7= 6, то сумма углов прямоугольного
треугольника ACF равна, я -f- і — а, откуда и вытекает равенства а + ? = ° — &■
а Так как по уелоцдао луч 4 В параллелен UD, то луч AF будет перѳсокать
CD, «коль бы »галым мы ня взллн угол я. Что касается угла If, to он может быть
сделав сколь yraiftro іИлым согласно предложению 21. Таким образом в гір6#ы>
дущеи равенстве в4-Р = а — b левая часть имвет постоянные леотряцатблМЙ**
слагаемые а и {1; праная же 'часть бескопатіно мала; отсюда пынод аятор*.
Н. П. ЛОБЛЧЕІіСКПІГ- «ШШідаиЧЖ'КІІЕ ИССЛЕДОВАНИЯ- 91
Отоіода следует, что во ноех прямо лниоіішлх треугольниках
сумма трох углов либо раигга г, и тогда угол оараллелыгастн
lHp) = f " Дли любой дпшщ jj, лпио по всех треугольниках эта
сумма < к, и тогда такжа 1І(»<-.,-^.
Hojihog предположении служит основой обыкновенной геомшрии
а іілоіатй ш<ршономсщши. Второе предположение также может
быть допущено, нѳ приводя іш к какому противоречию в
результатах; оно обосновывает новое геометрическое учение, которому
и дал название ^воображаемая ?еометрия> и которое я здесь наие-
Чѳрт. 10.
рен изложить вплоть до вывода уравнений между сторонами и
углами прямолинейных и сферических треугольников*.
23) Для лЫого заданного угла а можно найти токую линию $,
что^ІІ(р} = а.
Пусть АВ и АО (черт. 10)—дне прямые линяй, образующие
при пересечении острый угол а; ыа АВ возьмем произвольно
точку В' и из этой точки опустим на AG перпендикуляр В'А.',
сделаем А'А" = АА', восставим в А" перпендикуляр А"В" и так
будем продолжать до тех пор, пока придем к перпендикуляру CD,
который уже пе встречает АВ. Это необходимо должно иметь
* С втого места Лобачевский, таким оОрааом, твердо принимав? второе
возможной допущение, иыегіно, что сумма углов трауголшшка ыеныце г, и в аток
предположении раоеертыкает все оаои дальнейшие раеоуз&вдпвд. Эм вуяеНй
постоянно помнить, следя за дальнейшим текстом. ■'
92 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАШІЯ
ыесто, ибо если в треугольнике Л А'Б' сумма веех трех углов
равна я—а, то в треугольнике АВ'А" она равна - — 2а, в
треугольнике АА"3" она мѳныпѳ тс— 1а (предложение 20)* и т. п.,
пока она, наконец, не станет отрицательной и при этом обнаружит
новозмоленость образования треугольника. Перпендикуляр С1У
может оказаться именно тем, до которого все перпендикуляры на
точек, лежащих ближе к А, пересекают AS; во всяком случае при
переходе от пѳросокающих к попересекагощнм такой перпендикуляр
должен существовать*. Теперь из точки F проведем линию FH„
образующую с FG острый угол ВУ& и именно о той стороны,
с которой лежит точка А. Из какой-либо точки 3. линии FS
опустим на AG перпендикуляр Н.К, продолжение которого,
следовательно, должно переевчь ЛВ где-либо в В®; он образует, таким
образом, треугольник АКБ, внутрь которого входит продолжение-
линия FBT и потому оно должно встретить гипотенузу АВ где-либо-
в Ж. Так как GFE есть произвольный угол и может быть взят
сколь угодно малым, то [линия] FG параллельна ABnAF=p
(предложение 16 и 18).
Летко усмотреть, что с уменьшением р угол а возрастает,
приближаясь при р = 0 к -j тЭ;с возрастанием р угод а уменьшается,.
* Соыляа к здесь, кап п в предложении 21, дояяаза Сыть сделала на.
предложение 10. Существенно то, что сумма углов треугольлшеа, разбитого трппсвер-
еалыо на два составляющих треугольника, всегда мепътпе, нежели г.уммп, углов,
любого яа этих составляющих троугольгопссп. Фактически это было уже
обнаружено при доказательства предложении 22. Там было показано, что в треугольнике-
AGF, разбитой трансварсалыо(Я-В на треугольник АСЕ с суѵыоіі углов л—а
it треугольник AEF и суммой углов те— |Э, сумма внутренних углов равна,
■л — о — JJ. В олучае, о которым мы одесь имеем дело, сумма углов
треугольника АА"В" шэтому мепьгао, нежели в.ітреугольникѳ АА"В'.
* Это докапывается так иге, как и существование параллели (см. предложение
1Ѳ и к нему примечание 8 (стр. 129)]. Принимая это, Лобачевский обнаруживает, что-
луч FG действительна параллелен лучу AS, т. ѳ. что всякыіі луч FH,
проходящий внутри утла GFA, встречает АВ.
0 Это следует из того, что перпендикуляр КЕ выходит"
из точки К, лежащей до основания первого, не
встречающего АВ перпендикуляра FG.
Я Если, как на прилагаемом чертеже, AF есть тот
отрезов р, для которого П (р) = а ( = /_ BAF), и мы возьмем.
AF'<^AF, то луч АВ будет встречать перпендикуляр F' <?',
а потому луч АВ', параллельный F'G', Судет проходить.
выше АВ, т. е. при AF' <AF имеем U(AF')>n(AF)~
Итак, Л (р) есть монотонная функции от jj, убивающая с возрастанием JJ н,
следовательно, возрастающая стубыванием.р. Как было доказано выше (предложение 23),.
Н. П. ЛОБАЧЕВСКИЙ — «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ИССЛЕДОВАНИЯ»
і/з
все более приближаясь к нулю при р = оо. Так как совершенно
произвольно, какой угол разуметь под символом Д [р), когда линия^
выражается отрицательным числом, то мы примем [І0]
U(ph\-4(-P) = ^
канонов равенство должно иметь место для всех значений р, как
положительных, так и отрицательных, а также для р = 0.
24) Чем далее параллельные линии продолжаютая в сторону парал-
■лелъпоспш, тем oo.tee они друг % другу приближаются.
К прямой АВ (черт. 11) восставим два перпендикуляра А С = DD
н конечные их точки соединим прямой линией [CD]. Тогда,
четырехугольник САВВ будет
иметь два прямых угла при
А к В, а при О и D—два
острых угла (предложение 22) *
которые равны между собой,
как в ѳтом легко убедиться,
налагая этот
четырехугольник на самого себя так, что-
■бы линия ВВ упала на АС,
.а АО—на BD. Разделим АВ пополам и в точке деления Е
восставим перпендикуляр EF к АВ. Он должен быть ташке
перпендикулярен к CD, потому что четырехугольники CAEF и FEBD
покрывают друг Друга, если наложим их друг па друга так,
чтобы ,'шгая FE осталась в том же положении [и]. Вследствие
этого линия CD не может быть параллельна АВ*, параллель зке
іс последней в точке G, именно CG, должна быть наклонена в сто-
■рону АВ (предложение 1С) и отсечет от перпендикуляра ВХ> часть
Чер*. 1L
при этом возрастишш функция П(р) должна проходить через все углы, меньшие
^- к; ноатому П (р) отреиится к а я, когда р стреіттся к пулю. И обратно,
убывая с позрасташіелі р, функция П(р) дсикиа проходить через псо сколь
угодно малые углы; она етрамнтсп поэтому к ііушо, когда р нр.ограннчоано поя-
растает.
* Ссылку па предложений 22 нужно относить к концу его, где усташапли-
■нііется, что а дальнейшем исследование будет производиться на основе допущении,
■что суыііа углов треугольника меньше к, а потому сумма углов в ■четырс^угояь'
.ншіс меньше 2іг.
* № предлоимшііО 22.
04
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСЛЕД'іііЛШШ
НО <і С'Л. Так ши; точки С' вибрапя на ;шшш СО произвольно,
то отсюда следует, что СО том Соли1 приближается к ЛВ, чем
дален ни ов продолжаем [12].
2іі) Дев прх.иыс линии, параллельные щтямП., параллельны между
собой.
Примем сначала, что три лнпип .-15, CD и EF (черт, 12) лежат
г одной плоскости. Если две ш ішх но порядку ЛВ и VD
параллельны крайней * лпшпі JEF,
то ЛВ it CD тавіко параллельны
менеду собой. Чтобы это
обнаружить *, опустим іщпроизвольной
точки Л крайней лшпт ЛВ на
другую крайнюю FE
перпендикуляр ЛЕ, который поросечѳт
і-родшот лішшо CD и некоторой
точ к о С (продложошіе 3) под
УГЛОМ ЬСВ < 7,- і: СО стороны 11*1-
ралделп CD it Si1'
(предложение 22)°. Перпішднкулнр -iff,
опущенный из той же точки Л
Е «а СД должен упасть внутри
отверстия острого угла ACQ
(предложение 9); всякая другая
лншія АН, проведенная из А
ипуірп угла 7І.Ц', должна перееечг. [лпшпо] BF, параллельную
ЛВ, где-либо п Л, сколь бы лгал нгг был угол ВАК; следовательно,
CD пересечет в троуголышко ЛЕН дтшмю ЛИ где-либо в К, так
как она нѳ может встретиться с J3.F. Если бы ЛИ проходила из
точки Л внутри угла СЛѲ, то она должна была бы в
треугольнике GAG пересечь продолжение CD где-либо между точками С
* То-ееть яожащѳіі ппо попоем, ограничиваемо!! первыми двумя параллелями.
* Обращаясь к доиазатслызтву этого предложения, нужно прежде иевго
заметить, что црямыо ЛВ и CD встретиться пѳ иогуг, но-гому что ко точки их
пересечения, если бы таковая существовала, йыходата бы два луча, параллельные MFt
что ее может иметь мсотя (см. сноску Я на стр. 83). Остается, ишш образок,
обнаружить, что АЛ есть граакчньтіі луч, па встрочаюіщй 0D\ ато автор к выполняет.
в Угол S01S сеть угол параллельности, соответствующие раоотоянию CJS,
л потому оп меньше прямого.
If. П. ДШ'.Л'ШЦСКШІ — «ГЕОДЕТГИ'ІЕСКІШ ПССЖЛОПАтѴЛ*
і>*
и Сі. Отсюда следует, что АВ и CD пяраллолыш Пфі]дла;і;<'шпг
lli и lb).
Если примем, что обо шимшше липни ЛИ к EF ларііл.'іі і.тьньі
средний СО, то каждая линия „<ІА*, проведении*! іѵі точки А
лпутри угла ВАМ,', пересечет ;шішю СІ> где-либо і; то'мсн К,
сколь 6и мал іш бнл угол ВАК. Ыа продолжении АК иилг.мем
произвольно точку L и соединим і>с с С лпнпеіі £'£<, которая
пересечет ЕЕ гдо-лпбо в 2Г, вследствие чего образуется троугольппи 2-1 СЕ.
Продолжение линтш AL внутрь треугольники 2LOE пе можот
вторично пересечь іш АС, ни СМ; следовательно, оно должно
встретить EF гдо-лпбо
в Я"; поэтому ЛВлЕѴ 4_ G
взаимно параллельны.
Пусть теперь
параллели АВи СО (чирт. 13)
лежат с двух
плоскостях, пересечение
которых есть лплия-ЕУ*.
Из произвольной
точки Е последней
опустим перпендикуляр
ЕА па одну пз двух
паршглѳлеіі, например на АВ\ затеи пз основания А
перпендикуляра ЕА опустим вновь перпендикуляр AG на вторую
параллель CD п соединил концы Е и О обоих перпендикуляров
линией ЕС. Угол ВАС должен быть острым (предложение 22);
следовательно, перпендикуляр CG-, опущенный пз С на АВ, падает
в точку & по ту сторону от СА, в которой считаем лішіш АВ
и CD параллельными. Каждая линия ЕЖ, сколь бы мало она пи
отклонялась от ЕЕ, лежит с ЕС п плоскости, которая должна
пересечь плоскость двух параллелей АВ п CD вдоль некоторой
линии СН. Эта последняя линия пересекает где-либо A3 ц именно
в той же точке Щ которая принадлежит всей трем плоскостям
Черт. 1,1.
* Отсюда уже следует, что линии ЛВ и JIF но пересекаютсл: через общую
их точку, если бы таковая существовала, необходимо проходила бы и прямая CD
потому что трі£ прямые АВ, CD и EF лежат попарно в одной плоскости; но зго
не пожег пыегь места, так как лішіш АВ и CD параллельны.
-Jii
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
іі через которую необходимо проходит также линия ЕН\
следовательно, EF параллельна АВ. Подобным же образом можно
обнаружить параллельность линий ЕЕ ж CD.
Сообразно «тому предположение, что линия ЕЕ параллельна
одной из двух- других параллельных между собой [линий] АВ и
CD, означает не что иное, как то, что ЕЕ рассматривается как
пересечение двух плоскостей, в которых лежат параллели АВ ж
CD. Поэтому две линии параллельны между собой, если они
параллельны одной и той же третьей линии, хотя бы они лежали
и в различных плоскостях. Последнее предложение можно
выразить также следующим образом: три плоскости пересекаются по
линиям, которые все между сооой шрсшіелыш, поскольку
предполагается параллельность двух «з низ;.
20) На поверхности шара, противолежащие друг другу
треугольники имеют одинаковую площадь.
Под противолежащими друг другу треугольниками мы
разумеем здесь такие, которые образуются пересечением поверхности
В В'
шара [теми жѳ] плоскостями по обе стороны центра; и таких
треугольниках стороны и углы имеют поэтому противоположные
направления.
В противолежащих друг Другу треугольниках АВО и А'В'С
(черт. 14, на котором один нз треугольников нужно себе
представить изображенным в повернутом виде) стороны АВ = А'В/,
ВС = В'С, СА=СА' н их углы при точках А, В, С таклсе
равны соответствующим углам в другом треугольнике при точках
А', В', С. Представим себе плоскость, проходящую через три точки
А, В, С, и перпендикуляр, опущенный на эту плоскость из цен-
И. Н, ЛОИАЛЕЗСКНЙ— «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛБДОБАИШІ- 'JT
тра шара; ігродолікогоая итого перпендикуляра п обо стороны
пересекут противолежащие друг другу треугольники в точках: I) и
D' шаровой поверхности. Расстояния точки О от точек А, В, С
на сфере в дугах болыішх кругов должны быть равны
(предложение 12) как между собой, так и расстояниях! D'A', D'B'
D'C is другом треугольники (прод.тоа:ение 6); следовательно,
равнобедренные треугольники, расположенный 'вокруг точек D и
В' в обоих сферических треугольниках ЛВС и А'В'С
конгруэнтны друг другу.
Чтобы вообще судить о равенство двух поверхностей",
принимаю за основу следующее предложение: две поверхности равны,
если, они образуются составлением или отделением равных частей *.
27) Трехгранный телесный угол равен ■полусумме его двугранных
углов 5ез прямого®.
9 В орипшало сказано •Oberflitchon» (поверхностей); н деаствктйяьноети
здесь идет речь о равенстве площадей (т, о. о равновеяккосгн) двух фигур. Во
всех своих сочинениях Лобачевский: называет две фигуры или два тела распыли,
когда они, по современной »ер)ппіологіЕН, равновелики. Напротив, того, когда они
конгруэнтны, оа на немецком языке называет их •congruent», на русском — .оди-
каковыми* (сы. приме чащее 5).
* На это цредложошіе но следует смотреть как на определение равнове.ш[ких
фигур. Лобачевский им пользуется только в точном соответствии с его
выражением, приведенным в тексте: показав в ісаэкдом случаи, что два фигуры могут быть
получены составлением или отделением одепшковых частей, Лобачевский отсюда
заключает, что эта фигуры равновелики. Обратное предложение в таком общем
вида вовсе несправедливо, т. о. но всякие две равновеликие фигуры могут быть
составлены из конечного числа конгруэнтных частей. Вярочѳм, равновеликие пря-
ыолішеііиые фигуры (многоугольники) всегда допускают разбиение на
конгруэнтные фигуры. Об этом си. В. Ф. Каган— О преобразовании: многогранников,
•2-е над,, ГТТИ, Москва—Ленинград, 1933.
0 Трехгранный угол, как и всякий телесный- угол, измеряется площадью той
части сферы единичного ршшуса, которую он на ней: вырезывает. Площадь
сферического треугольника выражается числом Л -)- В + С—т.,
где А, Л, С суть углы треугольника. Сообразно атому
предложение, о котором идет речь, должно было бы гласить:
«трехгранный телесный угол равен сумме его двугранных
углов без двух .пря.кма:». Расхождение обусловливается тем»
что Лобачевский выражает площадь сферы не числом іт.
я. числом 2т: в особого рода единицах. Именно: часть сферы, ко.
торую на ней вырезыиаег двугранный угол о, имеющий ребро
па каком-либо диаметре сферы, Лобачѳвскіів всегда выражает чкелом а. Если эхо
угол в один градус, то Лобачевский называет соответствующие вырезов
градусом (сферы), вея сфера при его (цонтезимал&ном) деления содержит 40Р. Если
линейный, а вместе о том и двугранный ут.'іы, как в настоящем сочинении, изме-
ряютсн в радианах, то вся сфера выражается числом Йг:.
Эиг. -15в. Н. И. Лобтевскцй, т. I, 7
У8 ГІЗОМЕЧТН'ІЕІ.'КИЕ ІІСС.'ШДОВЛНДН
В сферическом треугольнике ЛВС (черт. .15), и котором каж-
да:г сторона < ~, обозначим углы через .1, JJ, С, продолжим
сторону АВ так*, что образуете» полный круг ASA'В'Л, который
разделит сферу на дое равные части. Б тоіі половине, л которой
ноходитец треугольник ABC, продолжим еще две другие стороны
па. точку их взаимного пересечения С до их пересѳчоипіі с кругом
ѵ А' и ./.". Этим полусфера разобьется иа четыре треугольника
ЛВС, АСВ', В'СА', А'СВ, величины
которых пусть будут В, X, Y, Z..
Ясно, что здесь*
P+/=JL.
Величина- сферического
треугольника 3* равна величине
противолежащего ему треугольника ABC, в
котором .сторона АВ общая о тре-
уголышком Р, а третий угол 6"
лежит при коночиоіі точке диаметра
сферы, идущего от С через центр
сферы Т) (предложение 2G). Отсюда следует, что Р+1''= С;.
а так как B-\-X-^-Y-\-Z=^t,, то мы получаем также
К тому то результату ыожпо прцттн такжо п другим путем,
опираясь только па прѳдло/Пеппс, приведенное выше отиосительно
равенства площадей (предложение '26).
В сферической треугольнике ABC (черт. 16) разделим стороны
ЛВ и ВС пополам п через точки деления D и Е проведем
большой круг; ил точек А, В, С опустим па этот круг
перпендикуляры AF, Bit и CG*. Если перпендикуляр из В падает в if
между I) и Е, то образующийся таким образом треугольник ВВП
* Троуголыгтш Рк,\' образуют сфврірісскніі «пмрезок», которые Лобачеа-
(ікісіі (как выяснено в споеко ® ни предыдущей странице) выражает тем я:в числои,
что а угол В.
* Точнее, огерз'Ліпасти больших кругов, порпеішікуяирііыс к. ВВ.
II. И. ДОБАЧЕВСКШ-І —«ГЕОМЭТГПЧЕСІШЕ ИССЛЕДОВАНИЯ»
9'Э
равен AFD, а ВНЕ ранен EGG (прсдлоікопіш С и 15;; отсюда
следует, что площадь треугольника ЛВС равна площади
четырехугольника AFGC (предложение 20}™. Если точка К совпадает
с серединой Е стороны ВС (черт. 1"), то образуется только два
равных прямоугольных треугольника AFT) н BDE, замещая
которые друг другом, докажем равенство площадей треугольника ЛВС
и четырехугольники AFEC. Если, наконец, точка II падает вн«
треугольника ЛВС (черт. 18;,
то мы перейдем от треугольника
AUG к четырехугольнику AFGC,
нрпсоедпшш треугольник І'\Ш==
.q = DBH п отнимая затем
треугольник CGE — ЕВЦ.
В
Черт. 10.
Черт. 17.
"Черт. 18.
Еслп в сферическом четырехугольнпко AFGO представим
себе большие круги, проходящие через точки Л и G н через F
и С, то дуги последних между AG л FC равпы (предложение
15); поэтому копгрз'знтны также треугольники FAG и ЛСб?
(предложение 15), и угол FAC равен углу ACG.
Отсюда следует, что во всех предыдущих случаях сумма всех
трех углов сферического треугольника ровиа сумме обоих равных
* Треугольники ADF и BBS спмметрігаіш отпоспгепміо готкп 23; твжяе
симметричные фигуры всегда иогут- быть приведены в шшожешіс, прц которой они
будут противолежать друг другу на сфере; ноэголу находи? себе применение
предложение 28.
100 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
углов в четырехугольнике, за исключением обоих прямых углов *.
Таким образом, для каждого сферического треугольники., в кото-
рои сумма трех углов есть S, можно пайти четырехугольник с
той же площадью, в котором имеются два прямых угла, двѳ
равные перпендикулярные [к основанию] стороны, а каждый из двух
остальных углов равоп -g S.
Пѵсть теперь ABGD (черт. 19) будет сферический
четырехугольник, в котором стороны AB = DC перпендикулярны к ВО
и каждый из углов при А н D равен ■£-$• Продолжим стороны
AD к ВС 'до нх пересечения в В п далѳѳ за точку НЕ, сделаем
Черт. 19.
HE = EF п на продолжение ВО опустим перпендикуляр FG. Всю
дугу BG разделим пополам и точку деления Н соединим дугами
больших кругов о А и F. Треугольники FFG и ВСЕ копгруентны
{предложение 15); следовательно, Fff = DC=AB. Треугольники
ABS п HQF также конгруэнтны, так как они — прямоугольные
и имеют равные катеты; следовательно, [дуги] AS и HF
принадлежат одному кругу, дуга ABF равна т.*, ADEF также = *, угол
SAD = SFE^ — S— BAH=~S—SFG^\ S—HFF—EFG =
= 1-S~I1AD — K + ~S®; следовательно, угол HFE=*^{S—k) ^,
* То-есть двух равных гглов, которые осгаготсн по исключении двух прямых
углов четыроіупніьшіка.
* Так пак большие круги АМН1 и ABF пересекаются с противоцолдягішх
точках еферм (А. и F).
® EFQ = BDG = t.~-ADO.
Ч Не полученного уравнения JIAD = ~S — MAD — г. -f ~ S находим
SAD =f(S — я), а потому то же виаченно имеет и угол НИЗ, а слѳдоватальш»
к сфаркчесвпІІ вырезок AKFDA, кик это и выражепо и тексте.
н. и. лооллквский — «гещіктрическиі-; исслвдов.шия. іоі
пли, что то же, равѳп величине вырезка ASFDA, который в свою
очередь равен четырехугольнику АВСТ>\ это легко усмотреть, если
перейти от одного к другому, прибавляя сначала [к вырезку]
треугольник IEFG, а затем [треугольник] ВАН и отнимая поело
этого равные им треугольники ВСЕ и HFG. Сообра-іпо этому
-,-('5—ж) есть величина четырехугольника AECD, а вместе с тем
и величина сферического треугольника, в котором суішл. трех
углов равна S[1S].
28) Если три плоскости пересекаются по параллельным линиям,
то сумма трех двугранных углов [ими образуемых) равна двум
•прямым.
Пусть АА', ВВ', СС (черт. 20) будут параллельные линии,
образованные пересечением плоскостей (предложение 25). Возь-
Черт. 20.
нем на них произвольно три точки А, В, С п представим себо
проходящую через них плоскость, которая, следовательно,
пересекает плоскости параллелей по прямым лпшіям АВ, AG и ВС.
Затем через прямую АС и какую-либо точку D на линии ВВ'
проведем еще одну плоскость, которая пересечет две плоскости
параллелей АА' и ВВ', CG и ВВ' по линиям АВ и DC;
наклонение этой плоскости к третьей плоскости параллелей АА' и СС
обозначим через %\ Углы между плоскостями, в которых лежат
параллели, обозначим через X, Г, Z соответственно линиям АА!,
ВВ', СС'; пусть, далвѳ, прямолинейные углы BDC = a, АВС = Ъ,
ADB=c. Представим себе описанную вокруг точки А как центра
шаровую поверхность; еѳ пересечения с прямыми AG, AT), АА
определят сферический треугольник со сторонами р, q иг.
3 0-J ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
величина которого* пусть будет '/*;в пом противолежат стороне
j угол ')'', сгоропе г угол ЛГ, it следоватѳлыго. стороне р [протп-
в»л«и;ит угол] к + 2«— ге —Хэ (лреддожогам 27}. Такте же
образом [прямые] Г.\, ОТ), ОС", пересеют шаровую поверхность
вокруг центра (.', определяют {па пеіі] трсугольнт; величины
3 со сторонами р', <]', г' и углами; w протпв q', Z против
г' и, следовательно, «4-2? —'" — % иротгп! р'. Наконец, ггересочо-
ппямп. шаровой поверхности вокруг D с линиями DA, DB, DC
определяется сферический треугольник со сторонами I, т, я,
которым противолежат углы w-[-Z—~2^, •ш-\-Х. — 2ъ§ и I";
следовательно, тіелп'іішп этого треугольника 3^=-Q- (Х4- І'-\-Я — т:)—■
— с. — 34/""'' С уменьшением w уменьшается также величина,
треугольников а п J3, так что «4~Р—w может быть сделано мены но
любого дапиого числа. В треугольнике 3 стороны I п яг также
могут Сыть уменьшаемы до уппчтожопші (предложение 21).
Следовательно, треугольник. 3 моіиот быть отложен одной пз своих
сторон I и m по большому кругу сферы сколько угодно раз
іс все-таки по заполнит полусферы; поэтому 3 исчезает вместе
с адТ; отсюда следует, что необходимо должно бить А'4- 3*4'
* То-ектг. ллошиль.
* Чігаатс.ио удооипо будет следнгь по по чѵрт. 20 я тексте Лобачевского,
а по прилагаемому чертежу, где добавлены <)0озпя.чоші(т, вводимые в тексте.
Q Если ігскомыі! третий
угол обозначим через £, то в
силу предложения 27 в =
= іг {«* + -^ + * — к), оисуда
0 Легко гащеть, что
стороне I противолежит угод,
смеягаыіі с тем, коіорыіі на
сфере С противолеяліт
сторона р'. Точно тик sue
стороне m противолежит угол,
сложный с tdjc, которыіі на
сфере А про'ишопеліит
стороне р.
I ЛовачешиЕІІ хочет сказать, что при пеограшгтетіом. убывашпі двух сто-
jioh I и № сферического треугольник я, которое имеет место, когда, точка Л>
беспредельно удаляется по параллели JH3', его площадь В стремится к нулю
{неограниченно убывает отпогиепнѳ Е в площади полусферы). В равенстве
-j (X 4- ,Г~-(-Я—г) = а-|-{! _|-ц— w драная часть стремится к пулю, а левая
П. П. Л015АЧЙЮ1ЯШ- .гаОМГЛ'РИтеекПЕ ІГССЛЕДСІШИІЯ» П.ІЗ
29) В прямолинейном іярщролімикс перпепднюг-щш, аошшмлт-
ѵые из середин сторон, либо [noser] ѵп аппречотшея, либо нее щт
■пересекаются а оОноіі точки*.
Предположим, что б треугольнике ABG (черт. 21)
перпендикуляры./?,/.) и DF, восетавлвшше п сторонам Л В и ВС п:з их середин
Е и Е, пересекаются в точке 1>\ внутри утлои треугольника
нроведел лшігаі DA, DB, JJC.
13 равных треугольниках ADE и В1)Е (предложение J щ ЛТ> — Л1)\
также заключаем, что ІШ= CD; следовательно, А1)С есть равно-
бодренный треугольник, а, потому
перпендикуляр, опущенный из верптпны Z>
на осповтшо АС, падает в середину
последнего С
Доказательство нѳ меняется л п том
случае, если точка пересечения ІЗдпух
перпендикуляров ЕВ л FD падает па
самую лшпго .4 С пли вне треугольника.
Если ноэтому примем, что два из этих
перпендикуляров но поресѳкаіотея, той черт. 21.
третий но может сними встретиться [1Й].
30) Перпендикуляры, восставленные к. сторонам- прямолинейного
треугольника из их середин, должны быть аса три друг другу
параллельны, если предположим параллельность двух из них*.
сохраняет постоянное иначе гаге, которое гаатоііу не может Оілть отлігшым
от нуля.
* В спшшховоЦ плоскости около всякого треугольника ііожпо описать
окружность; перпендикуляры, воастпвжишые к сторонам треуголынша іи их есреліш,
всегда пересекают с и ж притом н одпоИ точке, которая и служит центром
списанной около треугольники окружности. В пеевклпдовоН геометрии Лобачевского
дело обстоит иначе; если в леонклидоиоН плоскости два иэ втих лерпридтсулл-
ров пересеваются, то через точку пх пересечения необхошоіо проходит и тротлй
парііендикуяяр; точка пересачѳаня есть центр оішеанной: окружности. Но может
случиться, что лпа перпендикуляра новей пе пересекутся; в талон случае нѳ
пересекаются никакие дна из трез; нерпепдикуляров: описанной около
треугольника окрулшоетк па существует.
* Согласно предыдущей теореме эти три перпендикуляра могут друг с другом
не пересекаться. Б этом последнее случае любые два из пгпс представляют совой
либо параллельные, либо расходящиеся прямые. Настоісщее предложение
утверждает, что если два из трех перпепди кул яров параллелыйьг, то и вив три гіежду
собой параллельны.
104 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
Пусть іі треугольнике ЛВС (черт. 22) пшівп ЕЕ, FG, }1К будут
перпендикуляры, восставленные к его сторонам и их серединах
1), F, И. Примем первоначально, что параллельны
перпендикуляры ЕЕ и FG, которые пересекают лниню -'іі? в L и „\f*. Из
точки L внутри угла BLE проведем произвольно прігмую линию LG,
которая должна истратить FG- где-либо в G, как бы мал ни был
угол отклонения GLE
(предложение 16) *. Так как в треугольнике
LGM перпендикуляр ЕК. не мо-
;кет встретиться с ЖС®
(предложение 29), то оп должен
встретить LG гдѳ-лиСо в Р; отсюда
следует, что ЙЖ должна быть парал-
чер т. 23. лвдьня, DE$ (предложение 16)
л MG (предлоя;ення IS и 25).
Если положим стороны Ж' = 2а, ЛС=2Ь, АВ = 2с, а протпво-
леагалпта этим сторонам углы обозначим через A, L', С, то в
рассмотренном сейчас случае
JL«nc*)-U(c).
С-П(а) + ІІ(й),
как в этом логко убедиться с помощью липни: АЛ.', ВВ', СѴ,
которые проведены нз точек Л, В, С параллельно перпендикуляру НЕ,
а следовательно, п двум другим перпендикулярам ЕЕ и FG
(предложения 23 и 25) Т.
Положим теперь, что параллельны перпендикуляры ПК п FG;
в таком случае третий перпендикуляр ЕЕ по может их пересечь
* Прмияьяость этой конфигурации, на которой построено асе дальнейшее
доказательство предложения 30, разъяснено в примечании 1С.
* Здесь, быть может, была бы уместное ссылка к па предложение 17: луч
ВВ, параллельный F&, сохраняет признак параллельности it в точке L; поэтому
луч Хй необходимо пересечет FQ.
в Ибо по условию периещцгеулоры ЖК п 2TQ не встречаются.
Я Ибо LE не встречает ILK по условию, а всякий луч LP, проходящий внутри
угла ELH, встречает НХ.
Т Вряд ли здесь уиестна ссыива на предложение 23, Ясно, что /_А'АХ> =
= П(Ь), /_А'АН=Л(і:), откуда іг вытекает первое из трех равенств: совершенно
таким м;е образом устанаплігааютея я два других.
Н. II. ЛОБАЧЕВСКИЙ --ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ. 105
(предложение 29); следовательно, он либо параллелен им, либо
пересекает АЛ' *. Последнее допущение означает нѳ что иное, как то,
что угол С> II(a)-j-II(Ь)*. Если
мы этот угол уменьшим так, чтобы
он стал равѳи H(a)-j-H(J)®,
сообщая для этого линии -АСновое
положение CQ {черт. 23), и вели- ^(
чину тротьей еторопыі?С
обозначим через 2сг, то угол CBQ при
точке Д который возрос, должен
согласно доказанному выше быть
равен Л (в) — П (с') > П (а) — И (с),
откуда следует е' > с (предложение 23). Однако в треугольнике ACQ
Черт. 23.
* По условию FG || ЯК. Проводим луч АЛ', параллельны И FG н ЕК (ск.
чертеж а). БеявиИ луч AQ, проходящий внутри угла Л'АК, непременно встречает ЯК,
а потому встречает и Х)Е в некоторой течке S. Если
поэтому луч АЛ' но встречает DE, то он ему параллелей.
* Если порпендагкуляр DE встречает луч АЛ'
в некоторой точке В, (см.
чертеж й), то угол BAD или
A'AD меньше ■£. Если по-
ѳтойу на AD отложим
отрезок AD' так, что П {AD') =
=і /.A'AD, т. о. тате, что
перпендикуляр D'E' к AG
паралле.'іеп АЛ', то точка!)'
доли;на будит упасть за
точку Я, т. <!. АТУ >■ 6, а
Б'С<Ъ, НоЩО'О) ~ ZD'GG\ U(CF) = П(а) = / C'Cff. Поатому О = Д (D'C) -f П(а);
а так какР'С<&, то П(С(7}>П(Ь) л, следовательно, С>П(Ь)+ И (о).
в Установив предьигущее неравенство, автор вращает сторону С А = 2Ь вокруг
точки G по направлению к GB. Длины а и Ь остаются при ѳтом без изменения,
виесте с том сохраняет снос значение п сумма
П (а) -]- П (Ь); угон же С уменьшается. Поя тому
наступит момент, в которые С = П (а) + П (Ь).
Этот момент и изображен на черт. 23,
который мы вдѳсь для ясности пополняем. Если
теперь разделим угол QGB лучом СС' так,
чтобы /РОС' = П (Ь), UGC = П (о), то оба
пуча. BE и F& будут параллельны ОС, а
потому будут параллельны мезкду собой. О другой
стороны, ZQ'QD = i/C'CD = n(b). Поэтому /BQD</QCC</ QCB; отсюда
следует BQ > СВ. Совершенно аналогичным образом докажем, что BQ > QC, т. е.
BQ « в' оотается наибольшей стороЕой в треугольнике BGQ. Мы находимся поэтому
вполне в условиях уже рассмотренного случая. Перпендикуляры DE п FS [пере-
ІПГ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
углы іг])[і А и бранны; поэтому' и треугольнике ABQ угол при Q
доящей бить больше, чем пріг точки Л, следовательно, A7>>BQ,
(пррдло'леішо Ц): »то пначпт с > с! .
■41) Ііррдс-ішай mm пей (оріщик.іо.и) мы 'называем такую
расположенную о плоаштп кривую .чнтт, у которой все, -перпендикуляры,
восставленные ѵз середин, ее хорд,
параллельны между собой.
В согласии с итим
определенном можно представить себе
образование предельной линии, вели
будем проводить к данной
примой АЛ (черт. 24} нз данной на
ней точки А под различными
угляытг САВ=П(п) отрезки ЛС =
=-=т2я; конец С'татіого отрезка будет
лежать па предельной лішни,
точки которой мо я;по таким образом
лостопопно определять.
Перпендикуляр І)Е к хорде АС, восставлѳп-
пый из ѳѳ середины: D, будот параллелен линии АВ, которую мы
будем пазывать осью -предельной лннш. Таким же образом каждый
перпендикуляр 1?0, восставлѳшшп из середины какой-либо хорды АН,
будет параллелен АВ; поэтому это свойство должно принадлежать
также каждом]' перпендикуляру K.L, поссталленному из середины К
хорды GR, между какими бы двумя точками С и Н предельной
линия она ши была проведена (предло'л;енио 30)к[1-!]. Этого рода
перпендикуляры должны поэтому без отлгршя от А В называться
осями ѵредеяьііой лннии[і3].
32) Круг, радиус которого возрастает, -переходит в придельную линию.
Пусть АВ (черт. 25) будот хорда предельной линшт; из ео
концов А к В проведем две оси -АС и ВІ), которые, следовательно,
Черт. 24.
секают сторону QB в точках L и If, причем ссредшга, Л стороны BQ лежит между
шин. А. так как перпендикуляры ХШ и j?tf между собоі* параллельни, то им
параллелен и третніі лерпеттазпеулпр ПК, причем ігмвшт место три равопстза,
установленные пьпае.
* Венду исключит елыгоН важпоети всех соображений:, подержаіщгия в
настоящем предяоясенші, оші подробнее изложены с равлнчпых точек арония в
примечаниях 17—13, которые пплезпо прочесть уже при первом ознакомлении в текстом.
Н. II. ЛОБЛтаВСШПІ— «ГЕШГКТРИЧЕСКИЪ1 ПСі'ЛТЕДОГІЛШИЬ ЮТ
образуют с хордой дна рапных угла ВАС = .(/?7) = а
(предложение 31). Ни одной ил этих осей А<- ио-чьмсм гдс-лгюо точку Е,
примем ѳо па центр круга и проведем дугу і;ругн AF от пачаль-
ігоіг точісп А оси Jf' до ее пересечения с другой осью BJ> ѵ, точке /•*.
Соответствующий точка F радиус круга FFJ образует по одну
сторону угол A.F£=$ с хордоіі J F, а по другую сторону угол ].<JFf) = f
с осью ВТ). Отсюда вытекает, что содержащийся ме;і;ду двумя
хордами jto.t i?Jllr=a—fs<? + 7—а'" (предложение 22);
следовательно, а— ?<7ГТ' Однако угол -[ уменьшается до нули как
вследствие двпжеипя доиграв? при неизменном положении точіш J**
(предложение 21)*, так п вследствие приближения точки _f к Ь'
по оеп BF прп неизменном
положении -центра J7 (предложение 22):
отсюда следует, что прп таком
уменьшении угла f исчезает также
и угол я — J3, т. е. взаимное пакло-
неппе двух хорд АВ п -Л-Р1, а вместе
с том [исчезает] н расстояние
точки В па предельной дпшш от
точки F па круге [1Л].
Поэтому предельная лпшіч моікст называться та к;кв кругом
с бесконечно йо.шипм радиусом.
33} Пусть АЛ' = ВВ' = .-I! (черт. 20) будут две линии,
параллельные в сторопу от А к -1', а их параллели служат осями двух
предельных дуг (.дуг на двух предельных линиях) АВ = .?, А'В' = я';
тогда
г Осп .Л£7 и BD, проярдепшм чороя коппм хорды АЛ предельно» пинии,
оОразуют с зтоіі: хордоіі равгсыо углы (теоремо 4 в приыочаяті 17^. Поэтому
/^ЪАЗ? — /_ВАС—■ £.1?АК= о — % С другой стороны, внащнаа угол AFD
треугольника ABF больше суммы внутренних с вгаг па смежных углов ISAF-j-ABF,
т. е. р -\- 7 І> a — Р -{- аі что совпадает с неравенством, приведенным п теките. Самое
же предложение о том, что ннешниІЬ угол больше суыыы unyrpeimirx, о ним пѳ
смежных, вытекает из заключительных соображений предложения 22, па которой
Лобачевскиіі ссылается.
* Ссылка на предложение 21 неправильна,. Из этого предложения моэкво
Оыло бы только заключить, что угол AEF стрелитея к нулю, когда точка В не-
оі'ригпгтеіщо ;-дітяетск вдоль оел АС. Угол site 3SFD неограниченно убывает
потому, что луч: FD параллелен АС, и тогда луч FE встречает АО при сколь
угодао мялом угла DFF. Бее рассуждении доведено до конца в примечании 19.
108 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
где <• пс заипсиг ни от дуг я іг .«', ни от прямой xt т. ѳ. от
расстояния ДЗ'ГН «' ОТ »',
Чтобы это доказать, примем, что отношение дуги s к я' рппно
отношению двух палых чисел п ж нг. Между двумя осями ЛА',ВВ'
проведем еще третью ось CG', которая, таким образом, отсекает от
дуги А'В часть AC = t, a or дуги А'В* е той же стороны —часть
A'C'=f. Пусть теперь отношение t к s равно отношению двух
целых чисел р и q, так что
Разделим теперь .* осішп на щ рашшх частей; тогда таких частей
ока;кйтси: ѵщ па я' и ?і^ на (. ІГещу тем ати равные части на я и
£ соответствуют также равным
частям на я' и С; следовательно.
^ С -г'
Черт. 26. Таким образом, где Си мы ни
взяли две дуги tvttf между двумя
осями ,-І.І' и ВВ', отношение t к £' остается то же, пока между
ними остается то же расстояние х. Если поэтому для х = 1 положим
,s = я,?', то для любого а; должно быть
Так кап е есть неизвестное число, подчиненное только
условию е > 1, а, с другой стороны, единица для пзмороння длины х
может бить выбрана произвольно, то последнюю можно для
упрощения вычислений выбрать так, что под е можно будот разуметь
основание нѳперовых логарифмов.
Здесь можно'еще отметить, что*' = 0 для# = оо; поэтому аор-
стоішив между двумя параллелями (предложение 24) не только
уменьшается, но при продолжении их в сторону параллелизма
в конца концов (zuletzt) совершенно исчезает. Параллельные линии
имеют, таким образом, характер асимптот,
* Это предложегаге требует обстоятельною рпэт.[;свѳния. Оно проведено в
примечания 31.
Н. II. ЛОІЗЛЯГСССКЕІЦ — «rfiOMKTL'II'H'.CKlUb ИССЛЕДОВАНИЯ. ЮН
34) Прёоельиой ііоверхносіпью'.(оіриси\щ)оіі) называется: поверхность,
которая получается вращением продольной линии вокруг одной
из своих осей, каковаtt вместе со всеми другими оотыг продельной
линии будет также осью поьерхноцти*1.
Хоуда [предельной поверхности] наклонена іюд равными углами
г.- осям, -проведентиі через ее конечные точки, где бы. па поверхности
эти две точки ни выли взяты.
Пусть А, В, С (черт. 27) будут три тонки на предельной полерх-
пости, АА' пусть будет ось вращении, ВВ' п СС — две другие оси;
■следовательно, ЛВ ж АС суть хорды,
к которым оои наклонены код равными
углами: Л'АВ = В'ВА, А'АС = С'СА
(предложение 31")*; две оси ВВ' н СС,
проведенные через концы третьей
хорды ВО, также параллельны д лежат в
одной плоскости {предложение 25).
Перпендикуляр DD', восставленный из
середины D хорды АВ в плоскости двух
параллелоіі, должен быть параллелен А
трем осям АА', ВВ', СС {предложения
-2;J и 23)ѳ, такой жѳ перпендикуляр
JEK1 к хорде АО и и .-in скости
параллелей АА', СС будет параллелен трозг С
осям АА', ВВ', СС и перпендикуляру Черт 27
3D'. Угол между плоскостью, в которой
расположены параллели АА' и ВВ', ц плоскостью треугольника
А ВС обозначим чѳрэа 11(a), где а может быть [числом] пололш-
* Пі>е;июжеяпѳ Зі составляет гласную основу всего дальнейшего развития
неевклидовой; геометрии. Примечание 22 содержит тщатсльньШ его анализ и ряд
указашен для з'яеиешгд даяьвейдіѳго текста.
* Так как АА' есть ось лраіцония, то ВВ' и ОСУ суть оси предельных лилкИ,
служащих лерюттиаіпі; поэтому оси ВВ' и АА' одинаково пакловени к хорде АВ,
а осп СО' и АА' одинаково наклонены к хорде АО (dm. прииѳчание 17 в
предложению 31, теорема і). В предложении 31, на которое Лоба-чѳвскиі! ссылается, ею
•свойство предельное линии, коне"шо, содержится, но явно ае иыралгево.
а Ссылка по. предложение 23 вряд ли обосновав». Пѳрноо утверждение, что
перпендикуляр ПТУ параллелей осям АА' и ВВ', основано аа саком опредалвдик
предельно!! линии (пред.то;кепігѳ 31); вследствие предложения 25 он параллелен
•гякн:в оси ОС.
11U ГЯО.ІШТГЛЧЕСКІШ ИССЛЕДОВАНИЯ
тольшлм, отрицательным или нулем*. Бели а положительно,' то
проведем FD — it. внутрь треугольника ABC в его плоскости
перпендикулярно і: хорд о АН и со середина I). Если а будет числом
отрицательным, то нуяшо пронести FD = a иле треугольника г по
другую сторону хорды ATI; если а = 0, то точка ІГ совпадает
о О*. Во iscex случаях получаем диа равных прямоугольных
треугольники AFD и DBF; следовательно, FA = FB. Теперь
m точки F восставим перпендикуляр FM' к плоскости
треугольника А ВС.
Так как угол D'DF= U(a), DF=*a, то [лгшшя] FF' параллельна
ЬГУ п линии F.F/, с которой она (поэтому] также лежит в. одной
плоскости, перпендикулярной к плоскости треугольника АВС°.
Кслп топорь представим сейе перпендикуляр ЕК, восставленный
к F.F в. плоскости параллелей ЕЕ' п FF', то он будот также
перпендикулярен в плоскости треугольника А.ВС (предложение .13)
и к ложаиьэй в этоіг плоскости прямой АЕ {предложение. 11);
поэтому [линия] AF., перпендикулярная в ЕЕ и ЕЕ', будет также
перпендикулярна к FE (предложение 11) ^. Треугольники AEF
и 2"75С' равны, как прямоугольные) с равными катетами; поэтому
AF = FG = FB. Перпендикуляр па. вершины 7'1 равно бедренного
треугольника iJFG на основание ВС проходит чороз соредшіу
'*" См. прішечяшіе 10 клредлодашшо ІіЗ на стр. 130. Если а есть дзшеййьтіі угол
этого дцуграшшго угла, то оіт ядйуь определяется тем числом а, для которого
П (л) = п.. Этот угол мом;от оіііі.'іятьсіг острым, прямым іглп тз'пым, еоответетЬеішо
чему, как указано л тоюете, ч имеш шлодитсяшос, куяапое или отрицательное
значение. Этим способом определении угла Добатенсыій: в даиьнеИтом пользуется
очень чисто (см. примечание 24 к предлоясепшо 35, стр. 140).
* См. предыдущую споеі;)\
° Плоскость B'DF Псрпевлниулярпа и прялгой АН, а потопу перпендішулярла
it к плоскости ЛВС [это предложение не фигурирует- среди оыгоппых 15
предложений (ем. скоску * на стр. 80), но пало но вавмвнт от постулата, о яарагсгелі.-
ньп. линиях]. Перпендикуляр FF", восгавпеннип в прямой DF в плоскости D'DF,
будет перпендикулярен и в плоскости ABG (предложение 13), иди, иначе,
перпендикуляр FF', восставленные на «очки F и плоскости ЛВС, яеяаіт в
плоскости D'DF. X так кіік £_ D'DF ~ Л (DF), то луч DD' параллелей лучу FF'.
9 Прямая АН перпендикулярна it .-шетпі ЕЕ'; EF есть проекции лішнп ЕЕ'
на плоскость ЛВС] поэтому прямлн АЕ перпендикулярна u\EF. Казалось бы,,
ложно Оьгао непосредственно сослаться на предложение о нердепдшгупяро и
проекции н к проектируемой лшши. Но обычное доказательство этого предвоівешія
сущестпенно предпэяагае.т, что накповцЕш ЕЕ1 іс проектирующий
перпендикуляр FF' пересекаются. Вслеветшіе етого Лоба<геясгапі восполняет вто
доказательство для того случая, когда иуч ЕЕ' параллелен лучу FF'.
II. II. ЛОСЛЛКПСКИІІ — «ГЕОМІЛТІГІЕСКПП ІІССЛЕДОІШШІІ- Ill
последнего G; плоскость, проходящий через этот перпендикуляр
.FG п лшшкі FF', должна быть перпендикулярна' к плоскости
треугольника Л.В6' и пересекать плоскость параллелен ВІІ', ОС
но лилия fj'Cf, которшг такаго нараллелши .l.t' it -/-'/," (иредлО/Ко-
шю 2о); так вав теперь CG пе^шенднкулярни к І,т(<, а потому и
к 6-Y/, то угол CCG*=JrBCt (ирсѵюяхпт 3U).
Отсюда следует, что дліг предельной поверхности каждая п-і си
осеіі мелеет быть рассматриваема как ось поверхности [--].
Хла&пой плоеноимыо мі.і будем нагшиать каѵкдул плоскость,
проведанную через ось зіределыюіі поверхности. Сообразно чтоігу
каждая главная ■іыосііііічпь ее'іет предельную поверхность по
предельной лиыіш ", .между тем как при другом положении секущей
плоскости кто пересечение wil. круг*. Три главные плоскости,
пересекающие друг друга, образуют друг с другом углы, сумма
которых равна т; (предложение 23)- Эти утлы мы Судом
рассматривать как углы в предельном .треугольнике, сторонами которых
служат дуги предельных линий, образуемых пересечением
предельной поверхности этими тремя главными плоскостями ѳ.
* Через ось АА' поверхности проведем плоскость, нотерпя рассечеі.'
поверхность но некоторой лішіііі АС. Кап бы:ю попинано выше, луч -1Д' мояліо
рассматривать как ось, вращением вокруг котироіг яшши АС сира- , г>
эуѳт поверхность; следовательно, АС есть предельцяіг juuiiui. — ~
Ocouctmo отчетливо это QUHCHiicTM, если исходить но другого
определения предельно It линии и поверхности (примсчапіи; 18
ю предложению 31 и приличиюю 23 к настоящем}' предяои;і>-
ошо). До этоку определению С есть точка луча СС, соотпет- ■, „,
ствугойщи точке .1 луча АЛ'; но тогда в плоскости параллелен
АА', ОС" точка С лежит на предельное лінщк, определявигой. точкой А к ouf.ni АЛ1'
* ІЗслц А, Л, С суть три точки сстшшін, то черен івлх, как доказано вшне
(см. иримечшно 22), иронадісг окружность (черт. 27 текста). Перпендикуляр FF'
из центра этоіі окружности представляет еобоіі ось поверхности. Плоскости Fb"AA',
FF'BB', FF'OC секут поверхность до предельным линиям AF, Ш', СУ. При
нрщцепші вокруг оси FF' каздцая па втизс предельных
линий образует рассматриваемую шшерхкосні. Мы можем
эти предельные лндаш рассматривать как меридианы;
плоскость же ЛВС сечет поверхность по параллели, т. е. по
окружности.
* Дусть ABC будет предсльнтлй треугольник, т. е, тре
угояьшпе, составленный па предѳиьыоіі поверхности предель.
ньшы линияавд АН, ВС, QA. Плоскости етнк предельных
линий пѳрасекаютси по осям АА', ВВ', СС Согласно
предложению 28, С}"іШа двугранных угаов, нтимк ллоекоотяыи оОразуемых, равна я. Еоаіі
в вершине А проведем ісасателытыѳ ЛВд и АСі к предельным линиям АВ и А0>
то они образуют ішпеіівыіі угол SLACi двугранного угла АА' (см. црнмича-
112 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОНАШШ
В предельных треугольниках стороны и углы связаны поэтому
томн же зависимостями, которые устажшлшшотся в обыкновенной
гоомѳтрпн для прямолинейных тре-
п' /->' л' угольников* [-3].
35) В дальнейшем мы будем
обозначать величину линий буквой со
штрихом, папримѳр х', чтобы указать, что
таковая находится к другой липия,
обозначаемой той же буквой без штриха,
в соотношении, выраженном уравнением
А ВД-г-П(іО-4* [*]■
Пусть теперь ABC (черт. 28) будет
прямолинейный прямоугольный трѳуголь-
0 ник, в котором гипотенуза АВ=о,кл-
Ч ер т. 23. теты АС= Ь, ВС=а} а противолежащие
им углы суть ВАС = П (о), ABC = И <р) *.
В точке А восставим перпендикуляр АА! к плоскости
треугольника ABC и из точек В ж С проведем ВВ' и СС параллельно
АА'. Плоскости, в которых эти три параллели лежат, образуют
ісѳжду собой углы II(в) при АА', прямой при ОС"2 (предложения
11 н Г,і) и, следовательно, II (а') при ВВ' (предложение 28).
яни 17, теорилу 5 во стр. 13S); о другой стороны, том же углом Б,АСі иэмѳ-
рпвЗ'СЧ и угол А предельно™ треугольника; то же относится и к углам И и С.
Поэтому в предельном треугольнике АВО сумма углов А + В + С = я.
* Последнее соображение устанавливает факт вѳпьыр. большой важности,
обстоятельному выяснению которого посвящено примечание 23.
* Иными словами, каждый из острых углов прямоугольного треугольника ABC
задается еі'О гиперболическим значением а и ft. О гиперболическом значении: углов
си. примечание 24.
® Двугранный угод (АА1) иэмеряв'гся углом А треугольника АВО,
гиперболическое апачаиііе которого обозначено через о; следовательно, (АА') = П(а).
Плоскость С'СА, проходящая черев перпендикуляр АА' к плоскости ABC,
перпендикулярна в последней. Прямая ВС, перпендикулярная в жепш пересечения
взаимно перпендикулярных плоскостей АС В и AA'CG' к лежащая в первой
на нік, перпендикулярна ко второй (ссылка па предложение 13 в тексте). Поэтому
плоскость ВВ'СС, преходящая через ВС, перпендикулярна к плоскости АА'СС,
двугранный угол {СС) прямой. Оуыма двугранных углов (АА1), (ВВ'), (ОС) равна тс
(ссылка да предложение 28 в гѳгеоте); поэтому угол (ВВ') дополняется (АА1)
до прямого; его гиперболическое значение есть а'.
Н. П. ЛОСЛЧЕВСІШІІ —Л'ШМЕТІЧІ'ШЛСІІЕ ПОСЛЕДОВ А ШІІ£- ИЗ
Пересечения линпіі УМ, В(', В В' с шаровой поверхностью,
описанной вокруг точки J3 как центра, определяют сферический
треугольник win jfc, d котором стороны win.= Ц (с), кп= II (Г(), »лі = ІІ(а),
противолежащие же им угли суть Ц (Ь), П(*')і -^и*.
Поэтому имеете с существованием прямолинейного
треугольника со сторонами я, Ь, с л протшюлежащими им углами 11(a),
11(B), тг* нужно допустить также существование сферического трѳ-
угольника (черт. 29) со сторонами 11(c), П (Р), И (а) и
противолежащими углами
11(4), ІІ(*'), -J-*.
Но и, обратно, для этих двух треугольников существование
«ферического треугольника влечет за собой существование
прямолинейного, который поэтому также может иивтг. стороны а, а', $
п противолежащие им углы Л(Ь')і П(с),уя*.
Поэтому от а, Ь, с, «, {3 можно перейти к &, я, с, р, а, а также
к а, а', р, 5', с.
* Сторона mn сферического треуі-о«ыіш;а измеряется углом В'ВА\ так как луч
ВБ' параллелен АА', с А А' перпендикулярен а. АВ, то этот угол есть Q (с); сторона
mk таким же образом измеряется углом В'ВС = П (о); сторона іке кн иамернется
углом В пряыолинаіЬгого треугольника ABG, гиперболическое значение которого
обозначено чероа [і. Угол да сферического треугальшаса измеряется
двугранным углом ВВ' я поэтому равен, кик было показано, Ц (а'); угол ft изігеряѳтцл
двугранным углом ВС или его линеігаьш углом О'ОА^ а потому равен П (6).
Плоскость ВВ'АА', проходя через АА', пврпеядикуллрая, к плоскости АВО;
даугранний угол (ВА), которым намеряется угол п сферического троутольян-
ка, прямой.
* Доказательство этого наложено в примечании 25, с которшг рекомендуется
ознакомиться уже при первом чтении.
Зон «В. П. И. ЛпОачсвскпП, т. I.
8
114
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЙОГ ЛИЛОВ АНИЯ
Ч£в"
Предстлпим себе предельную нонѳрхность, проходящую через
точку А п имеющую осью [лпшда] АА' (черт. 28); [эта поверхность]
пересечет две другие оеи ВВ' п ОС в В" и С", а пересечения ее
с плоскостями параллелей образуют продольный треугольник,
стороны которого В"С"=р, 0"А = ч, В№А=г, противолежащие же
им углы суть II (а), 11 (а'), -^ т. *,
следовательно,
р = г sin 11(a), q = raosU(o.).
Теперь ларушгог соединение трех
главных плоскостей по линии ВВ' и
развернем их таким образом, чтобы онп
вместо со всеми находящимися в них
линиями расположились в одной пло-
-А' скости; в зтой плоскости дуги р, q, r
соединится в одну дугу предельной
линии, проходящей через точку А и
имеющей .-1.-1' сноси осью (черт. 30)*; при
- В' этом по одну сторону [оси .Л А']
расположатся дугп q и р, сторона Ъ
треугольника, которая в точке А
перпендикулярная АА', — ось СС, идущая от конца
Черт. Ж стороны Ь параллельно АА' и
проходящая через точку соединения С" [дуг] р іг ц_;
сторона а—перпендикулярная к СС в точке С, а также
выходящая из конца этой стороны ось ВВ', параллельная АА' и
проходящая через конец В" дуги р. По другую сторону АА' будут
лежать: сторона с, порггендикулярнан и АА' в точке А, и ось ВВ',
параллельная АА' и идущая от копца [стороны] Ь через конечную
точку В" дуги т. Величина линии СС зависит от Ь, каковую за-
А
* Сюроиер противолежат угол А, который и выриа.еи через П (о); стороне q
противолежит угон, измеряемый двугранным углом (В"Б'), который доползает
А ДО у г: и потому равен П (а'). Б прямоугольно" предельном треугольнике
стороны и угли связаны уравношиши обыкновенной (т. о. евклидовой)
тригонометрии,
* Потоку что это будут предельные линия па плоскости, имеющие в каждой.
лз точек вхождения А я С" общую ось (точнее — параллельные оси).
II И. ЛОБАЧЕВСКИМ — .ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» П&
вионмоеть мы выразим черея CG" — f(b). Таким этсѳ образом будет
BB" = f{c)*.
— Если, принимал СО' аа ось, проиедом пз точки С новую
предельную линию до пересечения I) с оеыо ББ1 и обозначим д)ту^
CD через t, то
BD = f(a), BIF = BD 4- DB" — BD 4- <7С
и, следовательно,
f(C) = /» +/■(&)-
Кроме того, мы замечаем (предложении 33), что
t = jpert'') = г sin II («) еГЮ *.
Если бы перпендикуляр к плоскости треугольника -4і?6'(черт. 28)
был восставлен но и точке А, а п В, то линии й и г остались бы
те же, дуги q и t пѳрѳшлп бы в t it '/, прямые а и Ъ в b я а,
а угол И (а) заменился бы углом II ([5) ®, следовательно, мы бы имели
U = г sin П (Р) с/ЗД;
подставляя вместо ql его значение, находим
соа П (а) = sin II (?) е«°>,
заменяя же а и fi через й' и с^:
sin П (6) = віп И (с) еЛо),
и умножая на е№):
sin П [Ь) ег ОТ = sin Ц (с) «гот.
Отсюда, следует также:
віп II (a) ef [") = sin II ф) й«'о.
* Бела Е какой-либо точке Л продельной: лшпш проведан к ней касательную
АО=Ъ и из точки С проведем ось 0(7, параллельную АЛ', которая встретит
предельную линяю в точке С", то длина отрезка 0Q" явно будет фунюткѳй от Ь,
которую Лобачевский и обозпдчаег через /"(й). Соответственно ЛВ" =t f(e).
* Согласно предложению 33, ( = .рел, где х есть длина отрезка СО", выражва-
ная в установленной п предложении 33 единице меры (в оригинале опдавочно-
сделана ссылка па предложение 32 вместо 33), а так как GC" = f(b), то мы в
получаем соотношение, приведенное в тексте,
а Доказательство етого см. в примечании 20.
Э Подстановка производится в найденную выше формулу g = г сов Ц (а).
I Согласно установленной выше возможности пѳрвйтн от элементов а, Ь, с, а, ^
л вяеысЕтам о, а', jJ, о', о; ори этом соа И (о') = спэ [— п — И (6)J нішД (о).
Я"
по
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Так і:ак, однако, прямые а я Ь друг от друга но зависят, а с
другой стороны, при Ъ = 0 f (й) = О, П (Ь) = 2 *> то для л10606 прямой
липни п
е-/" № = sin Л (а);
сообразно этому
sin II (р) = sin П fa) sin П (і),
sin Ц (,9) = cos П (a) sin Л (о) *.
Отсюда изменением букв получаем
sin И (а) = соз И (Р) sin П (й),
cos U (Ь) = сов D (с) сов П (а),
cos Л (а) = cos П (с) cos П (|3) *.
Если іі сферическом прямоугольном треугольнике (черт. 29)®
обозначим стороны 11(c), Л (fl), Л (а) с противолежащими им углами
П(й), II (а') буквами я, Ъ, с, А, Д то найденные уравнения
принимают форму, которая, как известно, устанавливается для
прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, именно:
зіпа = sin с sin-4,
ет'Ь = sin с sin В,
cos А = cos я sin В,
соз .В = оси & sin Д
cos с = cos й cos b;
от этих уравнений можно перейти к уравнениям любых
сферических треугольников. Таким образок сферическая тригонометрия
на зависит от того, равна ли в прямолинейном треугольнике сумма
трех углов двум прямым или нет °,
* Это соотношение получается вэ предыдущего при помощи той иса замены,
которая указана в предыдущем примечании (I па стр. 115).
* Первое из этих трех уравнении получаем из предыдущего, заменяя друг
другой катеты а и Ь, а имеете о тем и противолеясащие им углы П (а) и П (£};
второа получим из парного при помощи подстановки, указанной п
примечании Т да стр. 115; третье иолучям ыа второго иовоіі трансноашшеН катетов и
прилежащих им острых углов.
® Сопутствующем, как показано в тексте нашему прямолинейному
прямоугольному треугольнику.
9 Общий обзор этого довольно сложного рассуждения сдолан в пртючании 27.
П. И. ЛОНЛЛЕВСКІ'Ш - .І'КОМЕТІ'ИЧЕСГШГС ИССЛЕДОВАНИЯ. п"
86) Теперь рассмотрим снова прямолшюшшіі прямоугольный
треугольник ЛВС (чорт. 31), стороны; которого суть а, Ь, с, а
противолежащие углы суть П(а), II <Р), -^ тт. Продолжим гипотенузу с
за точку В и сделаем BD*=$\ из точки D восставим к В1>
перпендикуляр DV, который, следопатѳльно, будет параллелен ВВ'',
т. ѳ. продолжению сторонн о ял точку В. 'Из точки А проведем
Чорт. 31. Черт. 32.
еде к ВВ' параллель АА', которая в то же вреия будет парал-
лолька СВ' (предложение 25). Поэтому угол А'АВ = ~\\{с-\-ф)г
Л'ЛС=Ц.(Ь); следовательно,
1І(і) = И(<0 + Н(е + ?).
Если отложим 3 ыа гипотенузе с от точки В, затем па конечной
точки В (черт. 32)к восставим к АВ внутрь треугольника
перпендикуляр DD' и из точки А проведем А А' параллельно ВВ',
то ВС а ее продолжением СС будет третьей параллелью, тогда,
угол САА'=^'П(Ь), DAA'= ТІ(е — £); следовательно,
П(в —?) = П(«)+П(І).
Поспѳднео уравнение остается в силе и в том случае, когда
с = р или с< р. Если e = j3 (черт. 33), то перпендикуляр АЛ/,
восставленный к АВ из точки А, параллелен стороне ВС = а с еа
* Чертеж сделал в предпопозісетпг с>р; слутан с<(* рассмотрены ниже.
118
ГЕ01ШТРЯГ!Е0КИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
продолжением СО'; следовательно, Я (a) -j- П (6) = -^ тс и в то же
время П (о—ft) — -д тг {предложение 23) *. Если с < j3 (черт. 34),
то конец отрезка JJ падает по другую сторону точки А в D на
ііродо;ггя;ѳнии гипотенузы Л.Й. Боізетнвлеішыіі отсюда
перпендикуляр DD' к j4Z) и параллельная ему линия А А' из [точки] Л. будут
оА
также параллельны стороне ВС=а, о ѳѳ продолжением ОС. Здесь
угол DAA' = ~&($— с), следовательно, П (a)-f-И (£) = и— II(|Э—с) =
= ІІ(с — Э) (предложение 23).
Приведя в связь оба найденных уравнения, получаем
2П(І) = П(С-(І) + ЩС-И),
2П0) = Л(с—р) — П(е-Ь|3),
■откуда следует
cosn(6)_ ^
сов Л (а)
cos |ii(c-pj_|-n(c + p)
Если сюда подставим значение (предложение 35)
созП(Й)
Си. заключительные абзац предложения 23: Л (0) = - п.
л, л. лобаяісвсішй — .гко.мкті'И'ш.тот шатадоіиыпя. по
то полудни
Здесь ? ость произвольное число, так как угол П(]5) с одной
«тороны [гипотенузы] с мо/ісот быть выбраи произвольно я
пределах от О до ^ іг; следовательно, ]3 firoaiOT бить выбрапо| иро-
изиольио между О к ос; полагая здесь по порядку $ = с, 2с, За
и т. д., дли любого положительного числа п получил;
* Написав сообразно этому предыдущее рамнство в виде пропорции
1 "ои^Щв-Й —fn(e + p)J'
-соотаялпем: производную пропорцию:
1 — сов II (а)
l-f-ьоя 11(c) ^
_ом[ІП{е-й—|П(в-!-[і)]+са8^П(0-й-|-^П(с + р)]в
sin і П (с —'?) sin і П (с + W
~ соз і И (с — р) cos і. II (с + [і)'
* При (5 = с, П {о — р) = і л, tg -J- Д (е — ft) = 1, и равенство принимает вид
[і€7П{С)Г=ійІЦ(2С). (I)
Прп |5 = 2с
П(в-р)-П(—в) = «-ІІ(«);*87П(« —й = Ыв|-П(е),
& потому предыдущей равенстио дает
[tgilH^'^tgi-IKS*).
Далее, пря ft = Зс
Л(й-р) = П(—2с) = я —1Т(2<;); tg-|ll<c-3) = cig-in(3c),
ж, таким образом, в силу соотношения (1) при р = 3е
tg ~T!(c-p)=[tgjn(e)]-;!.
.Вместе о тем основное уравнение, установленное в тексте, дает
{tg-|n(c)]* = tg.ln(i<0-
Продолжить аги раееуадѳаия или провести их я общей виде уже нетрудно.
па
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Если будем здесь рассматривать п как отношение двух линий
х и с и примем, что
ctg^-n(c) = ee,
то получим вообще для любой линии х, как положительной, так
и отрицательной,
где е может быть любое число, большее единицы, ибо П (ж) = О
при х= оо.
Так как единица, которой измеряются линии, произвольна,,
то за с можно также принять основание непѳровых логарифмов [3S\r.
37) Из найденных выше уравнений достаточно знать два
следующих :
sin П (с) = sin П (о) sin П (6),
sin П (а) = sin П (Ь) cos IT (j3),
относи иослодпѳѳ к обоим катетам а н Ь, чтобы из их соединении
вывести два остальных (предложение 35) и нрлтом без
двузначности относительно алгебраических знаков, ибо углы здесь-
острые *.
* Кепи фиксируем с, и положим п = ~-, то преднпущее основное соотношение
up и чет вид:
tg \ П (я) = [tg 1 И (с)]" = [tgln (с)] а.
Еели с есть положительное число, то tg-yll(e) есть правильна» дробь, Поэтому
всегда ыожно найти такое число е[> 1, при котором
<^П(с) = е°.
Предыдущее равенство прішет вид
tejn (*)-*-«.
Этим сделан следующий важный шаг: установлена функция П (я).
* Стороны и углы прямолинейного треугольника — я неевклидовой геометрии
даже прямоугольного — связаны тремя независимыми уравнениями. Лобачевский"
указывпет, что за такие три уравнения могут быть приняты те дао уравнения,
которые приведены в тексте в связи с третьим, которое получается и,ч второго
тршепоаяпией. катетов и противоленашцгх им острых углов. Йэ этих трех
уравнений путан исключения то сдоях, то других элементов треугольника могут быть,
получены пѳ только два дополнительных уравнения, приведенные в предложения 35,.
во к еще пять уравнении, которые совместно о приведенными пятью дают
возможность по любым двум алиментам вычислить любой третий влемонт. Ѳти десять,
уравнений (соответствующие числу сочетаний, из 5 элементов по 3) Лобачевский
to отдельными группами, то совместно приводит, можио сказать, во всех Своих.
И. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ —.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, ПЬ
— Аналогичным образом приходим к двум уравнениям:
1. tgn(c) = amrr(a)tgn(a),
2. сов П («) = cos П (с) cos И (?) *.
Рассмотрим теперь прямолинейный треугольник со сторонами
я, Ь, с н противолежащими углащі Л, 5, 6'(черт. 35). Если A is. В
суть острые углы, то перпендикуляр р из вершины угла С падает
внутрь треугольника и делил- сторону е на две части, именно:
С
Черт. Зв,
на часть х со стороны угла Л и с — а: со стороны угла В. Таким
образом получаются два прямоугольных треугольника, применяя
к которым уравнение (1), получаем
tglI(a) = smBtgJI(p),
tgl[(S) = sinAtgII(p),
каковые уравнения остаются Сез изменения, даже если бы один
из углов, например В, был прямым (черт. 36) или тупым (черт. 37).
сочинениях. Они все сгруппированы в ст. 14 «Новых начал». В примечании 20
приведены исѳ ми десять уравнений прямоугольного треугольника и дан их вывод
ив тех трех, которые Лобачевский принимает ва доходные.
* Эти уравнения выведены в примечании 2В. Овн там приведены под
номерами (8) и (Ѳ).
122 ГЕСШЕТРПЧГ.иКЦЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Таким образом получаем общее для веех треугольников
соотношение
3. sm Л tg 11(e) = siu5tg П (ft) *.
Для треугольника с острыми углами ,L, В (черт. 35) получаем
еще [уравнение (2)]
cos EI (х) = cos A cos Ы (0), \ ,., t
cos И (с —■ ж) = cos Л cos П(а), J
каковне уравнения относятся также к треугольникам, с которых
угол A mm В прямой или тупой. Например при В=-^ъ (черт. 36)
нужно взять ю = с, первое уравнение переходит тогда в то,
которое мы получили выше [уравнение (2)], а второе удовлетворяется
само по себе й. При В > у іг (черт, 37) первое уравнение остается
без изменения, вместо то второго нужно написать соотношение
cos П (?• — с) = сов (тт — В) cos П (и);
по cos II (х — «) = — еозП(^—х) (предложение 23), а также
COS (тс _/?);= — COS В.
Если А есть прямой или тупой угол, то вместо х и с — х нужно
взять с—х ж х, в. ..тот случай приведется к предыдущими.
* Если это соотношение ііашгаіть в шіде
ctg П (a) "tg П (6)
ainJ. einB '
то обо наиболее напоыгінаѳт «теорему синусов» сшелддаяоіі. тригонометрии.
* Обозначения формул []], [II] н [ Ш] вставлены нами дня
удобства ссылки на них в примечаниях; ато и отпечено прямоугольными скобками.
°> В этой случае с — х — О, П (е — ж) = — т., а потому обо части второго
уравнения обращаются в нуль.
9 Бели А есть тупой угол, то мы обозначим через х расстояние BD от
вершины угла В до основания перпендикуляра р; тогда АХ>*=з: — с. Иа
треугольника С АЛ в силу уравнения (2) мы .тогда получаем
cos П (я — с) = cos It (b) cos (it—A)
или.
cos П (с — ж) = cos П (6) cos Л.
Точно так же иа треугольника CBD нахо;(им
-2 *-* і е Я соа П (а;) = соэ П (о) cos В.
Оба ѳти уравнения получаются иа тех двух основных уравнений [1]і которые
Ло б ачевекиН^ устанавливает (в тексте), ѳепд эаыешиъ х на о—а, и обратно.
Существенно важно здесь то, что два основных соотношения [I] имеют место
.во всяком треугольнике при надлежащем выборе отрезка *.
II. И. ЛОЯЛ.ЧЕВСІШІІ — «rEOSIETPIWECKHR ИССЛЕДОВАНИЯ. 14iJ
Чтобы лз .гтх двух уравнений исключить .г, заметим, что
-(предложение 30)
COS II (С — ;«) = ^__ = =
1 - tg j Ц № ctg 4 " С*)* соз II (с) - cos IX (х) „
1 + tg >- II [сГ otff III (я)* X - cos u <c>Q03 I[ ^>"
[II]
— Если подставим сюда выражения для oosII(jj), cos II (е — ж),
то получим
„ . __ cos ГІ (a) cos 2? + соз II (Ь)аоа Л г ...
еозіцс) -1 + соаі[(а)СОЗі[(й)созАсозІ?' 11|,]
откуда следует
„ , . „ cos II (о) — cos A cos II (&)
cos II (a) cos if = -p^-L cos Ц (6) cos 11 (o)
в, наісоаѳц,
sin Ц (<!)г = [1 — cos JS ооз II (s) cos II («)]■ [1 —cos J cos II (6) cos E (с)] *.
Таким же образом должно быть
4. віп П(а)2 = [1 — cosCcosII(a)eosII(&)] ■ [1 -cos#ooatt(c)cos 11(a)],
sin И (bf = [1 — cos J.cos II(&)cos 11(c)] ■ [1 — cosСеовП(в)со811(6}].
Из этих трех уравнений получаем еще
аіп ІШ18 sin П (с)* г, . п ... „, ,м
>—>...-—-..S-L = и _ сов Л cos П {&) cos П (о)]*.
Отсюда без двузначности по отношению к ;шакам ® имѳом:
л гт/7ч тт,-, I Sin И (&) Sitl Я (й) ■
5. соз А соз II (й) cos П(е) -+- -—■. ,, . ' = 1.
w w smU(e)
* Выкладок проведены в примечания 30.
* Выкладки проведены п примечании 31.
а Извлечение корня по приводит к дауаначности погоиу, что полученные
в результате выражения
8ілП(а)
имеют положнтеяьяые вначвняя.
124 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Если сюда в согласии с уравнением (3)подставимзначѳниѳеіп П(с):
sin II (с) = ^4г % П (<*)С08 Л <") *•
to получим
cos И (el = ^__ совП(я)вшС__
sin .4. sin П (6) + cos j! sin (7 cos П (a) cos И (р)
или же, подставляя это выражение для сов П (с) в уравнение (4),
6. ctg A sin Csin П (Ь) + cos C= ^-ft-|-j *■
Исключая отсюда sin И (і) с помощью уравнения: (3), получаем.
^^cosC=l-^smC<emII(a)®
cos И (b) sin if
Между тем уравнение (в) изменением букв 3 дает
008 S«\ = ctg В sin Csin П (я) + cos С.
cosH(£) 6
Из двух последних уравнений следует »
„ _ sin 5 віп С
7. Cosl-fcoS5cosC= -п-д-(а)-.
Все четыре уравнения, выражающие зависимости между сторонами
«, Ъ, с и противолежащими углами Л, Д С, согласно этому
[уравнения (3), (5), (в), (7)] ** будут
* Это есть уравнении (3):
smJtgn(o)=:sinCtgn(c),
взятое для сторон а в с и противолежат! ік углов Л ж С.
* Подстановку эту нужно сделать не в первое уравнение (4), а в следующее,
выражающее а!л'Я(й), Выкладка проведены п примечании 32.
а Иначе говоря, ыы подставляем в предыдущее уравнение вместо sin П (by.
выражение, которое дает уравнение (3):
&го дщет непосредственно
сов Л tg П (о) cos П (Ь) яіп О , п _ соз П jb)
smB ооаП(а)
-,. , созП (а)
Умножая site оое "імти еа —ТТ7Т\' получим уравнение) приведенное в теисте.
Э То-есть транопонируя оторовы а и Ь, а соответственно этому и углы А я _В.
I Иоключая из втих уравнений; отношение —■ ;■;. .
Jr cosI[(*J
** Квадратные скобки вдеоь принадлежат ЛоОчевевому.
II. П. ЛСШАДІШСКИІІ — .ГВОМЕТРІІЧЕОІШЕ ІЦ. С.'ІЕДОПАШШ. 125
sin Л f g Ц (а) = si» В tg И (&),
Я.
і іт/і\ ѵг/ч , sin II(7>)sin ИМ
cos Л соз II (h) cos Я (с) H >-^т ■ .'-/«i
4 ' ѵ ' ' smll(a) '
dg.UmCsmllW + cosC^^J,
i , r, s. sin .B sin С „
cos J 4-cos Д cos 6 = . -„, , . *
Если стороны треугольника a, b, г. очень малы, то можно
удовольствоваться дрпближеппымы значениями (предложение 36J:
ol.gir(a) = «,
sin П (а) = 1 — -^- ft",
соз П (а) = л *
* Было flu точнее сказать «е «четыре уравнения», а четыре группы уравнении.
Уравнении парной, группы тлеется три (на гига два неоависимьп). Каждое из
«тих уравнений дает возможность по двум сторонам и углу, прогиволежаще.ку
одной ііа них, определить угол, протішопѳиашшІЬ второіі стороне, кпиясе подиум
углам it стороне, противолежащей одному из шп, определить сторону, протішо-
ленсмцуго второму углу.
Три уравнения второй группы определяют углы треугольника по грея его
■сторонам. Каждое из уравнении атоН группы может также служить для
определения третье!! стороны по двум сторонам и о;щому углу.
УравнешШ третьей группы имеется шесть; каждое из ппк служит для
определения по стороне и дііуѵ прилежащим к неіі углам стороны, против о лежащей
одиоиу из' 8ТКХ углов, или лее по углу и двум подернсагош его стороной—угла,
■противолежащего одыой из этик сторон.
Четвертая группа содержит три уравнении и служит для определения сторон
Треугольника по его углам.
Псе три группы содержат, таким образоас 15 уравнении, исчерпывающих
тригонометрию прямоліше Иного треугольника.
* Установленное в предложешш ЗС соотношение ctg - П (х) = сг дает:
ctgI)(J:)=:'!'-~'"J.,SmnW=eJ+2e_a;,co3n{x)=^~^_^.
Выражая правив части в гиперболических функция!, представил этіг уравнения
в следующем виде:
ctg II (я;) =в all аг, віа П (х) = —. — , соз П (ж) = th x.
Гиперболические фупкшш играгот, таким ойраноы, в неевклидовой: гѳоігетрия
■Лобачевского такую ясе роль, какую в обыкновенной геометрии играют тритопо-
метрігчеекпе функции. Лоэтоиу построенную Лобплавским систему геометрии, как
удаэ упомянуто выше, называют гиперболической геолищичЛ (см. сноску * к стр. 82).
Разлагая гиперболические функции в ряд Маклорепа и сохраняя для малых1
«начсннИ яг только члены по выпіѳ второго порядки, получим выражения, приве-
лоаные в тексте.
12П ГЮМВТРПЧІСІ'ІШЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
и аналогично для других сторон Ь и с. Урапкѳтш (8) переходят
длп таких треугольников ѵ следующие:
ЬяіаА = авіпВ,
а* = &5 -j- ф — 2bc cos А,
a sin (А ~\-С) = Ъ sin Л,
cos А + cos (В -Ь G) — 0. *
Из ятих уравнений первые дна Припяти п обыкновенной геометрии;
последние асѳ с помощью двух первых приводят к заключению,.
что
Таким образом воображаемая геометрия переходит в
обыкновенную, если предположим, что стороны прямолинейного
треугольника очень малы &.
Об намерении крипых линий, площадей плоских фигур,
поверхностей п объемов тел, равно как п о применении
воображаемой геометрии к анализу л опубликовал некоторые исследования
в «Ученых записках Казанского университета» [30].
Уравнения {8J уже сами по себо представляют достаточную-
основу для того, чтобы рассматривать предположения
воображаемой геометрии как возможные. Сообх»азпо этому ігы не располагаем
иикакпм другим средством, кроме астрономических наблюдений,
чтобы судшъ о точности, которую дагот вычисления обыкновенной
геомѳтрнп. Как я показал в одной из моих работ, эта точность
простирается далеко, так что, например, и треугольниках, стороны
которых доступны нашим измерениям, сумма уі'лов не отличается
от двух прямых даже на сотую долю секунды 9.
* Викладкд провсдоны в примечании 33.
* Выкладки проводопы в примечании 34. Послсднігіі вывод ііожыо
формулировать следующим образом; при весьма шалых размерах треугольника царяши»
в нем метрические соотношения но отлнчаготаіі or евклидовых. В настоящее времл
вте- часто формулируют еще таі« геометрии бесконечно палого и гиперболическом
пространства совпадает с ѳвклігдоііоіі. Л евнатс с этим делаются ж заключение
натурфилософского характера. Об атом см. примечании 35,
° Точнее, ес.чн стороны настолько малы, что иошіо пренебречь кубом
отношения каждой стороны к прштятоЛ одтпщо меры.
Э Ом. примечание 35, а также сочинение .0 началах геометрии" (стр. 207—200
настоящего тома).
Н. И. ЛОБЛЧЕВОКИІІ—-ГЕПМІЛ'І'ПЧЕі'ІЛІІ-; т'ГЛЕД(|[!-\НП:Г» 127
Замечательно также, тго уравпгчгшг (Н) п плоской геомѳтртш
переходят в ураянвнгог офорпчеетлгх треугалыткоп, еслп пмѳсто
сторон к, Іі, с подставим аУ—1. h\r—1, <-.\/ — 1; при таком
изменении, однако, нужно Судет также положить
sin Hfa)= ,
cos II (a) = V — i tg «,
tgn(a)=-, I■ ;
em я ]/ — 1
подобные же изменении пужяо сделать и для сторон Ъ, с; этим
путем мы придем: от уравнений (8) к следующим:
sin ,ізіпй = 8ІпВвІпй,
сов й = cos Ь eos с -)- sin 5 эіп б °os -J-.
ctg J. sin С + cos С соз Ь = sin 5 ctg a,
cos j! = cos a sin S sin C— cos i? cos С [;11].
ПРИМЕЧАНИЯ
fl] Столь обычное определений прямой как оси вращения всэ же
выражено в тексте Лобачевского странно. Почему он говорит о
вращения поверхности, а не твердого тела (неизменяемой среды)?
Определение прямой как геометрического места точек, остающихся
неподвижными вместе с двумя точками, принадлежащими движущемуся
геометрическому образу (телу, поверхности), имеет содержание только
в том случае, если речь идет о неподвижных точках этого движущегося
образа: срада референции, относительно которой происходит движение,
вея рассматривается пак неподвижная. Вращающаяся поверхность
неподвижной прямой не содержит, за исключением плоскости и некоторых
особенных поверхностей, содержащих прямые лаппн. Английский
переводчик Гальотед поэтом;- влосит после текста Лобачевского
следующее замечание; «Это эначит: если мя вращаем поверхность, ее
<эту линию) содержащую, около двух точек етой линии, то линия
остается в покое». Кстати оказать, помещая вто замечание в скобках,
переводчик не указывает, что опо принадлежит ему, а пе Лобачевскому.
[а] Евклид дает этому положению такое выражение: <Две прямые
не могут заключать пространства». Это положение встречается в «.Нача-
лах» в виде аргументации, при доказательстве предложения 4 книги I.
Некоторые комментаторы извлекли ого из втого рассуждения и
включили его в число аксиом. Как Гейберг и Манте, так ж Гяо!) изъяли
вто положение из числа агсоиом как ые подлгштгое.
[я) Яод «ограниченной плоскостью* («begrenzte Ebene») Лобачевский
разумеет часть плоскости, ограничвппуго непрерывной замкнутой
кривой, «плоскую фигуру») как чаето говорят теперь. Проходя через
такую фигуру, неограниченная прямая должна из нее выйти и таким
образом делит ее па два части. Самое важное точно выраженное
применение, которое вто положение в дальнейшем получает, заключается
в том, что прямая, пересекая одну сторону треугольника и входя поэтому
внутрь треугольника, волокна из пего выйти, а потому неизбежно
пересекает и другую сторощ треугольника. Отнюдь не будет преувеличенный
"і НовеНшие издатели «Нячал» Еекпнди; он. стр. 32 настоящего тома.
1ІГИМКЧЛІШѴІ
120
«інѵіаіь, 'П'о построение лиовойраагюй тлоріш нярял.эелтлплх ,пішій
Лобачевского опирается преимущественно на, ато положение
[см., например, предложения 17 и IS настоящего сочинении].
Выделенный таким образом чиеший -случай, которого несомненно
достаточно, чтобы и далыіешиѳм (яри правильном определении нгшрерыппон
замкнутой врішоЙ) доказать общее предложенни, в гш.і.інеіі inert ,-ште-
ратуро обыкновенно называют иксікі.іюіііі'аииі. Хотя на пео несомненно
опираются и горничо более ранние апторьг (Саіскери, Лежапдр), но
л совершенно отчетливой форме оно доіісгшітѳлг.ію выражено впаршлс
в сочинении Пажа «Лекции но новой геометрии» ') [IV основное
положение (IV (irufidsatic) в теории плоскости].
[J] Точней: прямолинейный отрезок, соединяющий точку, лежащую
по одну сторону пессоторой прямой, с точкой, лежащей по другую
сторону той :ке прямой, пересекает ту щшмую.
[6] В оригинале «Congruentа. Во ;вси.х своих сочинениях, паписан-
шлх на русском языке, ЛобачовскіШ пааьтает копгруэнтнше фигуры
одинаковыми. В настоящим переводе пеаде сохранен термин «контру-
евтиы >.
|в] В оригинале сказано пеуличво tiler grOsMten Seit.a>,T. е.
наибольшей стороне (треугольника).
[7j Слова *но лежащим с пеіо в одной плоскости», очевидно,
излишня: прямая не моігсет лежать в одной плоскости с двумя,
пересекающимися прямыми, к которым она нерпендпкулярыа
{»} Существование такоі! «граничной
прямой» требует, конечно, доказательства. Оно
основано на непрерывности пучка прямых
или, лучше сказать, лучей, up о ходящих внутри
угла ЕЛИ ни ег» пергешаы А. При
допущении, что, кроме ЛЕ, есть еще лучи, не
встречающие DC, лучи этого пучка
распадаются на две категории: лучи цервой кате- А
горни AF, AF't AF",... встречают луч DO,
лучи второй категории AG, AG', AG",...
его не встречают. При этом вое лучи
неркой категория неизбежно расположены по
одну сторону .лучей второй категории, и
обратно. В самом деле, если лучи AF
и AF" принадлежат первой категории, то
никакой луч второй категории кѳ может лежать между ними,
ибо всякий луч AF', лежащий между двумя лучами AF и AF",
Е
1) М- Р as oil—"VoclasungQE. liber neucre Goometrie. Leipzig, 1Ѳ82, стр. 21; новое
лпдании с обтирпг.тм пррднелопием Дни а (It. Лоііп) пылущено в 1926 г,
Зап. 4&9. Н. И, Лобачевский, т. I.
1,10 ПдаГЕТРИЧЬХІЛІЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
встречающими СП, телам встречает 01) (предложение 3 и к нему
н от го чат щг». 3).
Таким образим положение, что на точки .1 внутри прямого угла EAD
выхолит не одші, и, насколько {и гіслодсгвне итого—- бесконечное мно-
яіпотно) лучей, .по встречающих CD, приводит і: образованию додевни-
дови егі'кяіігя в пучке лучей, проходящих в угле, ЕЛО через его
вершину. Вслидоі'впе итого по принципу Додикшгда, it мтом пучке
необходимо существует ^раничиміі луч, продспшлнющмй собой либо последний
луч лорвой категорпп (последний луч, встречающий ВО), либо
первый луч второй категории (первый луч, из встречающий ВО). Но
последнего встречающего луча существовать не может; в самом дело,
если .1/'' ость встречающий луч, то, в;зяв на ВС точки /<'', F" за
точкой F, мм подучим дальнейшие лучи, встречающие ВС. Следовательно,
существует первый луч второй категории, т. е. первый (граничный).
луч, не встречающий ВО; это п есть луч All, который Лобачевский вазы-
ваот параллельным ВС.
[°] В подстрочных пріімичанігііх к тексту все рассуждения этого
доказательства были нопепепгл о той обстоятельностью, которая
соответствует значению этого основного предложении. Здесь еще отметим, что
оно пред став л нет собой лишь несущественную переработку
доказательства Леікапдра,, опубликованного в «Reflexіопмs (рубр. 7) в 1333 году.
[,0] Согласно изложенному выше, каждому положительному числу р
(при уставов ленной единице меры, в которой опо выраікает опродѳдеи-
ч пый отрезок) соответствует острый угол а,
связанный ар соотношением
Н(р) = а. (1).
Этот угол обращается и ут: npnj) = 0, и
обратно, каждому углу я, по превышающему-^- тс,
соответствует отрезок, а вместе с тем и
положительное число р, при котором имеет место еоот-
J ношение (1). Если на стороне ВС угла АВС = а.
ѵ отложим отрезок BG = p, то перпендикуляр СВ,
восставленный к этой стороне угла на точки С, будет
параллелен В А.
Если р есть отрицательное число, то функция П(—-J?)
геометрически не установлена. С другой стороны, равенство (1) при наличных
определениях не имеет содержания, если а есть тупой угол.
Теперь Лобачевский определяет функцию II (—р) (для
отрицательного аначѳппя аргумента) соотношением
Н(— *> = * —П(р). (!!>
В силу втого соотношения каждому отрицательному числу —р такж»
іичіМШАШІіІ
\ЛІ
ClIOTliUTCTBVGT JTO.'I 7., ДЛЯ і;оТ'1[1ііГ(1
IT Г --/Л--і,
i!!!)
C%
Li.
У
#
no это иулит угол тупой, - — JI (jj) > ^т.. П'ойрішт, і.ч-.шя i:cti, тушіП
угол (у к < я<іг), то ему всегда отпеч;ч-т о <ип и толым одни огри-
ци.гелышіі аргумент—р, для которого ums:ut места иоотпотишк! (!!):
аыбріш г. этом случае у Тін:. чтобы Д (;;) = і; — a, ho;ij"him то ашітешіо р,
ыри котором соотношение (И) имеет мести, При яѵих условиях: в
Функции II {,-») аргумент может измениться „,
от—~одо-)--о; апачежго ate функции
меняется от ъ до 0. Вместо с том,
киков бьг ait бил угол и г: пределах от
О до іг, всегда пай четоя одно и только
одно (положительное пли отрицательное)
значение а:, при котором 1І(а:) = сг.
"Геометрический смысл
положительного значения аргумента jj быясіібы
выіпо. Если а есть тупой угол и при' а; =—jj имеет м«ото
соотношение (II), го в силу определения (И) Ц(р)---^ — х. Если поэтому
теперь на проііалнесшш сторони ВС отложим огреаок ВС'=р, то
перпендикуляр O'D' будет параллелен второй стороне угла.
Определение (Ш) представляется поэтому вполне естественным.
[:і] Четырехугольник АІІІЮ принадлежит пмепно к тому типу,
который рассматривал Саккери (см. статью «Элементы неевклидовой
геометрии у других геометров», стр. 107). EF есть так называемая
средняя линия атого четырехугольника; она перпендикулярна к
обоим его основаниям.
[12] Следующее доказательство того же предложения кажется
несколько проще. Положим, что луч АН параллелен лучу CD. II»
точки 1$, лежащей от .1 в сторону па-
раллѳлыюстп, опустим на CD
перпендикуляр EF. Так ът^ВЕР^ ^АЪ№=к,
а 1_ С А Е + L AEF <тс. то LBEF > 1_ ВАС,
т. е. Г1 (EF) > ТІ(ЛС), а потому
(предложение 23, заключительная часть) ЕР<іАС.
Замогим, что в сторону
параллельности расстояние одной параллели от
другой убывает неограниченно; в
противоположную же сторону (как говорит Лобачевский — «в сторону
развода^ см. «Новые начала») оно неограниченно возрастает.
[1В] Предложение, содержащееся в этой рубрике, было, конечно,
хорошо известно до Лобачевского; как п предыдущее предложение,
опо принадлежит абсолютной геометрии. Впервые оно было, повпди-
F.
J}
!)*
13-2 ГЕиМКТРИ'ШЗКИЬ; ИССЛЕДОІШІІШ
мому, усччшии.н'но в ИІОЗ г. англичанином Гаррпо (Тіі. Т-ІаітіоІ) гг
н.машюимо открыто и опубликовано Жираром (Giranl) в 1020 г. ')■
Либачгчіскпп мог бы tin пего непосредственно сослаться. Приводе, ішыс,
однако, a тексте дна доказательства имеют двоякую цель. Во-нерпих,
Лобачевскому необходимо чатао покалить, что доказательство итого
предложения не зависит от кюрин параллельных. Бо-вторых, прннад-
лежаиузо ему второе догаиіательстио пмпеі то значение, что одо с
несуще отвеяны мн изменениями может быть применено к разысканию
площади прямолітаеітпого треугольника в (іго неевклидовой геометрии.
['■'] Докушанное пдесі. продлоіконііо играет в неевклидовой
геометрии очень важную роль. После установления нового понятия о
параллельно ет и лнух лучей (первого основного момента в неевклидовой
геометрии) "то предложение является шорші основным моментом
и построении пеевклпдовоіі геометрии. Сущность дела заключается
в том, что оно принадлежит к числу тех предложений, которые в
Настоящее время называют аі'ісплттншш, т. е. которые равно
справедливы как в евклидово!), так п в ниеиклндовой
геометрии. Т>ліі прямые .1.1', ІЛ/, СС' параллельны в евклидовом
пространства, а плоскость ЛИС к ним перпендикулярна, то угли Л, В, С
треугольника ЛВС суть линейные углы двугранных углов {АЛ'),
{ВВ'), (СС"), о которых идет речь. Сумма углов треугольника. ЛВС
равна, it, а имеете с тем и сумма трех двугранных углов, которгае
образуются, когда три плоскости пересекаются до параллельным лгтиям
АА', ТіП', СС', также равна те, В неевклидовой геометрии прежде
воего нельзя провести плоскости, перпендикулярной к трем
параллельным прямым. Сумма углов треугольника ЛВС, как бы мы пп выбрали
точки Л, 13, С на параллелях, меньше тс; но сумма двугранных углов
(АЛ'), {!№) и [СС') и здесь остается равной х. Значение этого факта
по замедлит выясниться.
[1В] Приведенное в тексте доказательство пичом не отличается от
того, прп помощи которого издавна доказывается, что около каждого
треугольника можно описать окружность (Евклид, яНлчалая, IV, 6).
Существенным моментом является только то, что при традиционном
доказательстве всегда принимается, что точка пересечения D
перпендикуляров ЕВ и FD всегда существует. Действительное же обоспова-
пио итого неизбежно опирается на евклидов постулат о параллельных
лилиях. Обнаружим ѳто.
В треугольнике ABC во всяком случае существует острый угол.
Положим, что В есть вершина острого угла и АВ'^ВС. Ыз середины Е
]) Подробные сведения об этой открытии можыопецти в книге .1. Tropf be,
Geseliiclilu der Elemantar-Mafliematik, ВогІІп ц. Leipzig, 2-е под,, 1023, т. V,
«тр. 120—130.
і'ішмкчлшіа
іяя
стороны .IU восставляем нерш;цдиі:ул>[р ЕЕ'. Тш; ияі: прямая EF'.'
перпендикулярна к Л 71, а прямая НС обра.чует о нею осгрмй угол, то
прямые ЕЕ' и /ifJ пересекутся .v. некоторой точі.ч- J," І'ітсгулат и
параллельных в так называемой Лежандровой форм»:
см. статг.ю •Уцепив ■] параллельных лішішхэ,
стр. 41). При мтим угол 7№'Л будет остры!:,
так как треугольник МЕЕ' прямоугольный. Если
FF' есть п«рпендп:судяр, wo с ставленный к сто-
рол о ЛО на ее серодшіы Ь\ то ЕЕ .^BE<^EE'\
FF' непременно пересечется с прямой Я'7;,
образующей о DC острый угод, в некоторой
точке U. Таким образом традиционное
доказательство существо ішшія диитра описанной
около треугольника окружности, проведенное со всей необходимой
полкотоіі, дпаждгл опирается на постулат о шіра.плольных лішігих.
В ниелклндоноп геометрии применить налощенное выше
рассуждение пельяя. Более того, если допустить, что около всякого
треугольника можно описать акрунгноеть, го отшо.'т іштѳкает постулат о
параллельных лшішв. Докажем это.
Допустим, следовательно, что №вло валкого треугольника можно описать-
окружность. Пусть теперь прямая ЕЕ' перпендикулярна к прямой:
.IB, а другая прямая-Ш'" образует с noil
острый угол. Шжа'.ке.и, что пріг сделанной
прадполоясешш наклонная IFF' неизбежно
нстречает перпендикуляр .ЕЕ', т. е. нмтп
место постулат о iuijxi.-i.w.HjMm.c .інипих. Для
птого от.чо;кпм па прямой ЕН по обо сто-
реш.і от точки Е pauEi.ro отрезки ЕЛ ^ !■'!!.
'Из точки IS опустим на прямую JIF'
перпендикуляр НЕ, который по может сон-
ласте с А/Т, потому что последняя
прямая is IFF' не перпендикулярна. На
прямой ЕЕ от точи я F по другую он
сторопу отлоиггаі отрезок FC = FJi. Тогда.
три точки Л, Л, С не лежат на одной примой; согласно допущению,
вокруг треугольника АВП можно описать окружность. Центр атой
окруяшоети неизбежно лижет в точке пвреввчеппя прямых ЕЕ' it ЕЕ'.
Полоямщив ічорез любые три точки, но лежищна на одной прямой,
можно пропасти окружность» эквивалентно постулату Евклида; оно
представляет собой одну на форм постулата, устанавливающего
евклидову геометрию.
[ів] На чертеже 22, при помощи которого Лобачевский обосновывает-
все доказательство, оба перпендикуляра ЕЕ и FG, восставленный
m ГІУІМКТШЧЕіЧчЦЕ ЫССЛЕДОЛЛШІІІ
г; сторонам т|н'упі.'іьтші;п Л'.' п ВС пэ их сводил D и }', пересекают
третью сторону Л[! в точках L и М и притом так, что середина If
тротгі'.'іі cwpoutj лс.кігт между точками L и J/. Эту конфигурацию
необходимо П]и",і.ѵс; лоего обосновать. Конечно, могло бгт случиться,
что перпендикуляр J->J? дрт'готлительпо встречает стиролу треугольника
АВ, мсіклу тіе.и кпв перпендикуляр № лптречаііг но ЛЛ, а Л (Л как ;-ш>
имеет мосто на черт. п. Однако, п предігол-оіГіешш, что перпендикуляры
i>JJ, J''t?, ЛА~ не Пересекнюті'я (как это соответствует условию теоремы),
конфигурация, приводнения л тексте, всегда имеет место, если за
основание Л 7? взята пап'юльтая еторопя тр «угольника (AB^s-AC, Л7Ѵ>,Ж;),
см. чехп'. ti. В самом .■(.ела, перпендикуляр 111 к стороне Л Л, выходя
иа треугольника, пересекает большую из двух друпгх сторон
треугольника, окажем, сторону СИ, в некоторое точке Т. Так кик АВ~~> ОН,
то ITB^Fli, а потому во всяком случае IB*>FB (предложение Ч}.
Точка F лежит, следовательно, впутрн стороны ІЛ треугольника ШВ.
Перпендикуляр ЛУ, входя внутрь треугольника ШВ, долікеп
пересечь еще одпу его сторопу; по сторону III он встретить не может,
тли как перпендикуляры ШіГ и FG- по условию не пересѳкаготея.
Следовательно, он встречает сторону ПВ, т. е. точка М лежит между Л и В.
Заметим, что случай Л В = СВ теперь нужно считать исклшчанным.
В самом деле, медиана DB, входя внутрь треугольника FBM, должна
встретить сторону ФМ в некоторой точке N. Если бы ЛВ=СЗ, то
перпендикуляр DE совпал бы с медианой DB и, следовательно,
пересек бы перпендикуляр FG, что противно условию. Итак, АВ > ОБ.
Но в таком случае в треугольниках ABB и GDB лри общей стороне
Х>В и при А В = DO тротьи стороны не равны (ЛЛ > GB).
Следовательно, І^АТ)В~> /_GDB (предложение I, 24 гНачалі Евклида, нѳ
зависящее от постулата о параллельных). Следовательно, угол ADB
тупой. Поэтому перпендикуляр BE входит внутрь четырехугольника
ADP11; выходя из него, он не может встретить стороны РІІ, потому
что он вообще не пересекается с перпендикуляром ЕК. Он
встречает, таким образом, сторону AS в некоторой точке L.
Ш'ШН-ЛЛШІ'І
і;'.г>
С1'] ІІалоікіш уюл-мгпіоч л ѵикего пчитричпие предельноft лпппн
подробнее.
Лобачоискігіі предполагает сначала, что ітри.-шгіг.гкиі .-нгішя ладами
некоторой: он р оделен л nit сіювіі точкой Л и проходящей через эту
точку осью ЛІ> (тот же чпргѵж 24 в тексте).
Под произвольным ошрм.к углом ВАС
к оси он проводят прямую ,'16', ни ней
f спелачшает отрезок .17) = а, для
которого ІГ(«) =Л.(7?, тше что
перпендикуляр і; нему НЕ параллелен АН; аатем
он удйянвает этот отрезок, откдадывая
DG-=-AD. ІІрн панрершшом изменении
угла СУ Л от^-т до 0 точка (7 образует
предельную линию, определяемую
(началом» А и сосью* .IB. Перпендикуляр
НЕ к хорде .16*, ізі.іходішіоіі из начата,
к ее середине J) параллелен оси АВ по самому лостроегшю крпвоп.
Совершенно так мѳ перпендикуляр Ft? к хорде ЛИ в ее середине /'
параллелен -4Д, а следователь но, я D.E. Таким оирааом п треугольнике AGS
перпендикуляры, восставленные к двум его сторонам пз пх
середин, параллельны. В силу предложения 30 перпендикуляр KL к хорде
ВО в ее оервдонѳ также параллелен АЛ] иначе говоря, все
перпендикуляры, восставленішс на середин хорд кривой в надлежащую
сторону, параллельны между couott в соответствии с определенном
предельной лшши, Вместе с тем ясно, что ту ;кв кривую получим,
если будем исходить, скажем, пи точки Я и примем за ось луч, про-
ходящпй через Л параллельно AS. Таким образом каждая точка прь-
де.льиоіі линші может быть принята за начало, а проходящая через нее
ось — ао. начальную ось. Это дюшет быть выражгио в следующем виде:
Теорема 1. ІТішѵчлі'Ния лнння «полке о&ределямяся .шЙой своей
точкой и осью.
В тесной связи а этим находятся еще одно важное свойство
предельной ланий. Передвинем предельную линию АВ так, чтобы точка
А совместилась о точкой В, а луч АЛ' —
с лучом ВВ'. Тогда продельная лппяя
совместится е самой собой, потому что
она так лее определяется точкой В и
осью ВВ', как л точкой Л и осью АЛ'.
'Гак как точку В можно взять сколь
угодно близко к А, то можно этому
результату дать следующее выражение;
Теорема 2. ЛреОелыіая линия может скользишь по сегГе еамдй
подобно тому, как мажт скользить по ссОе самой прямая и окружность.
IRii
ГІіОМЕТѴИЧЕГКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Иплоікѳныоо рассуждении обнаруживает также, что
перпендикуляры, плсстаплопние к хордам предельной лшітгп пи ііх серолиц, не
только параллельны между собой, но параллельны осям кривой;,
опи могут рассматриваться как оо осп. Отсюда еще следующий
вывод:
Теорема 3. Предельная линчи опреОе.гнсшсн диумя своими точками
гіо симметрии относительно прлмоіі, соединяющее, знш точки.
В самом деле, если Л и В суть дно точки предельной линии, то
мы найдем ее ось, ѳосетавіт ппрнепдпкуляр к отрезку ЛВ на ео
середины Г. Однако ята ось-
может быть направлена либо
и сторону ОС', либо в
противоположную сторону ОС". В силу
предыдущей теоремы отсюда
следует, что через точки А и В
проходят дне (и только ,'njej предельные линии; они епшгагрпчжи
относительно прямой ЛВ. Третья точки ужо определяет и сторопу,-
іі которую ось обращена,
Т (мі ре но, ■(. Оси wjiaOeMKOii линии, проведанные черы the се точки,,
одинаково іишлщіеяіА і; хорде, соадияяюінай эти точки.
В самом деле, как мм видели, /_ А'ЛВ = Ці'ВА = И (~ЛВ). Это
свойство предельной литш поело Лобачевского часто принимали за
ее опре делегате н оеловывали на ном ѳе построение (см. елодующее
примечание 18).
Если хорда ЛІІ стремится к пулю, то прѵшан -I />' обращается и-
пределе в касательную; угол II (—.І.Ь) прн мтом стремится к -— ъ.
Таким образом имеет моста предложение:
Теорема 5. 7іаепше.и.пая и предельной линии перпендикулярна к оси,,
проходящей через точку касания.
[ш] Приведем еще другое определение предельно?! лпшш; ОНО'
лгало отличается от того, которое дано Лопачевскіш, но связанное с ним
построение обладает большей наглядностью '). Мы приведем цдѳсь-
подробпоо обоснование этого построения; это требует некоторых
предварительных предложений.
Лемма 1. Пак бы ни шли расположены the прямые ЛВ и CD па
плоскости, через каждую мочку А одной из них можт провести одну
и только одну прямую ЛЕ таким образом, чтобы она образовала ■ с ойеими
данными прямыми равные внутренние односторонние угли, ш. е. чшойы, плело
место равенство
І_ЛЕІ)= /_ЕАЯ.
*) Эго определение принадлежит Гауссу; см. статью -Элементы
неевклидовой геометрии у других геометров», стр. ISO.
Ш-'ПМКЧЛНІ-Ш
131
Чтоби ято доказать, опувтпм ш точки -I перпендикуляр Ліі на
прямую (Я). Если бы окапались, что прямаи Ли перпендикулярна
тикжо ііЛІІ, то это п была бы требуемая
іфямак. Положим поэтому, что AG обра- в'
иувт с АВ а одной стороны острый yi'o.-j
BAG, а с другой оторошд— туігогі угол
В'AG. Со стороны АЛ, такте образом, угол
BAG меньше внутреннего угла 1НІА, і;о-
торын секущая AG образует с той же его-
7>ояы со второй примой GJ). Если точка СІ
нѳро;іаішетси по направлению к точке
О в точку <?', т. о. если оекущая AG
повернется и положенно AG', то угол,
который она образует о лучом Л В,
возрастет; /_ BAG' > £_ BAG. Напротив,
соответствующий односторонний угол ігри
прямой CD уменьшится: ^AQ'JX. /_AGD.
Отложим в сторону ОС отрезок GG" = AG. Тогда £_ GAG" — J_ GG"Ar
а потому £_ BAG" > /_AG"D. Мто значит, что когда секущая AG,
вращаясь вокруг А, перейдет из положении AG и AG", то угол,
который она обрадует с лучом АВ, бгавший сначала меньше соотпчтетвую-
шего ему одностороннего угла при второй прямой, п полол; епше AG"
станет больше его {£_ BAQ" > ^ AG"Л). Между точками G п G" в силу
непрерывности ызменепгш угла ji GD будет поэтому существовать точка Е,
при которой /_ ВАЕ = l_ DEA; АЕ и есть искомая прямая. При
дальнейшем врашенгоі секущей угол при луче АВ возрастает,
соответствующий лее о і посторонний с ним угол
уменьшается, равенство их нарушается. Чв-
р^и точку А проходит, следовательно, только
о.ша прямая, обладающан требуемым
свойством.
Эту прямую моікно называть сскущек равного
наклона прямых АВ и 01). Особенное лначение
имеет тот случи й, когда лучи, [if и CD
параллельны. Если б этом случае АС есть секущая равного
наклона, го Гаусс лаоываот точку V соотовені-
сжую щей точке А на параллели CD. Каждой точке л yea соответствует,
таким образом, одна и только одпа точка на любом параллельном
луче.
В развитие ломмы 1 приведем еще следующее предложение:
Лемма 2, Перпендикуляр, восставленный к секущей равного ■наклона-
АО двух параллельных лучей AS и GD из ее- середины. Е, параллелен шам
луы(М,
13а
ГКПИЕТРИ'ШЛкІІЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
13 сіімом /геле, ни одного на этих лучеп оп но может
потратить, пСо ч«рі:н точку періісочопші, если бы такииан существовали,
вглс.'ргтьіія равшетна угло» Л 1С si ІЮ.\, ппшбожно проходила бы и
вторая параллель. Всяішт'г же луч --ІСг,
проходящий ытутр» угли ЕАН, непременно
истратит луч (77), а потому, пироходн с одной
стороны примой EF пи другую, необходимо
пересечет луч HF в некоторое точке Е
{лро.'иожешге :'і Лобачевского). Это
рассуждение Лоб&чивскші собственно it приводит при
доказательство претложелтгя 30 (чорт. '!%).
Сало»; предложение 30 может быть в
терминологии Гаусса формулировано следующим образом:
Лемма 3. Веди через лс.риѵты А, В,0 ырсу^альника ABO a wo
плоскости нрчвеОклі параллельные, .чгжОу саііай лучи АЛ', ВВ', GG' и притом
так, что тичьи А и В охливешепщют <>рі/г Щщгц ив параллелях А А' и ИВ',
а мочки В и С соотвишптцтн Ару г Лру.'И па параллелях ВВ' к СС, то
ъючкн А и С соответствуют ilpys ііруяу ѵп параллелях АЛ' и СО'.
Еще ниачо: если через вершины А, В, С ■щщго.іыіѵкѣ ABC в ого пло-
схостн нрѵвЫІе.н параллельные лучи АЛ', ВВ', СО' и при шо.н Sac
стороны треугольники служат секущими равного
наклона, по отношению ѵ соответствующим
параллелям, то и третья сторона треугольника служит
текущей равного наклона но отношению к парал-
ясіям, проходящилі через ер. концы.
Обратимся теперь к топ роли, которую
эти предложения: играют в геометрии
Лобачевского пли, лучше, в тон определении
предельной лішіш, которое іш здесь излагаем.
А & В некоторой плоскости представим себе луч
АА' и совокупность всех ому параллельных лучей (пучок параллельных
лучей, мы будем говорить короче: шучок АА'»). Если будем походить
от определенной точки А на АА', то ей на каждом луче ВВ' пучка
соответствует в установленном ааачении олова определенная точка В.
Геометрическое место точек В ни всех лучах пучка именно и есть
предельная літия Лобачевского.
Б самом деле, если В п С суть две точки этой линии, т. е. если
они соответствуют точке А на параллелях ВВ' и СО', то в силу леммы 8
(т. е. предложении 30 и тексте Лобачевского) они и друг другу
соответствуют на своих параллелях, т, е. ВО есть секущая равного
наклона по отношению в параллелям ВВ' и СС. Согласно лемме 2
перпендикуляр ЕЕ', восставленный на середины хордй ВС, параллелен
лучам ВВ', СС, т. е. принадлежит пучку АА'. Построенная линия
ПІ'ИМКЧШПІІ
1 {}<)
оолалает, таспм оОрнііпм, свинігліо.ч, і:отори\г ЛпоачивскнЙ определяет
предельную линию. Обратно, поотроешш Лигачевского устанавливает,
что его и родильная .чгішш ооладяет свойством,
•содержащимся r ятои новом ипри ін.'іргшіі. В on- A,
мом делѳ, если W срті. точки прелелыіоіі линии,
■определяемой началом .1 п осью .!..! . а хоріа
АВ = 2«, то по построению ЛоГііічітского^.І/.іЛ ~
=-.__!}'ВА =H(n).
Ко.ш б и ми исходили при построении
предельной лгпшп не от точки .-I, я от другой
точки В, то точка .f, кат; соответствующая В на
параллели ВВ', о низалась йы на предельной лп-
тшп, определяемой точкой В гг лучом 2Ш'; па ней оказалась бы я
каждая точка О той ікѳ ліггпш. Это акачнт, что люГтя точка предельной
.wiiiai может шті, принята за начало, а ярохо&тцая чгргз же ось—за
ѵаѵиьт/ю ось; результат, к которому приводит также построение
Лобачевского, как это было указано в предыдущем примечании.
['!>] Приведенное в тексте рассужлбнпе несколько сжато, по по
существу совершенно безукоршненяо. Mr адесь четно доведем его до конца.
Приводим слова черт. 25. Здесь ^,п
A F есть дуга окружности, описанной
иа точки Е радиусом Е1 и встре-
■чающѳп примую BD в точке F. ЬЫ
нокаясем прежде всего, что точка F
при ѳтом яетгабежпо леікит па лучо
BD, т. е. расположена относительно
В со стороны точки В- Это следует
из того, что l_AFD > l_A.FR, а, так
как __AFE= __FAE, то ,/, AF.D > __ FAE; менаду там, если бы
точка пересечения палаш бы в F' по другую сторону от В, то угол AF'B
Сил ба меньше угла- АНЬ, воториіі по свойству предельной линии
равен углу ВАЕ. В тексте д
отчетливо докаа&но, что при ~-
этом [_ BAF моиыяѳ і /_ DFE.
Теперь, поолэ того как
центр Е ужо вмбран п точка,
F таким образом
зафиксирована, возьмем произвольно
малый угол а и ыз точки F
проводом луч FB',
образующий с FB угол BFE' < в. Этот
луч встретит луч AG (вследствие параллельности лучей FD и AG)
.в некоторой точке ІВ'. Примем топѳрь точку Ff за центр и Проведем окру ж-
wc
Ни
П'ЗтШП'ДЧЕиКИК .ТЧХ'.'ЩДОИ.ШПЯ
с
с
В
дость радиусом ./І."Л. Эта окружность встретит ось ВВ в точки F', лежащий
относительно J3 также сіа стороны точки £>, но монсду О п J1. Вместе с тим
LBAF'<\l_W'E\ а /_Ш»В''<£.$№> а потому /_ /Ш'"< ^ г.
'Гак і«ів угол а произвольно мал, то точка ¥' с
увеличенном радиуса неограниченно
приближается в В.
(го) Сущность итого рассуждав mi вряд ли
может про;(ставить затруднение. Тем пе менее точное-
обоснованно ятях заключений требует
предварительного установления нескольких простых теорем.
Лемма, 1. Ест а нряно.тисаном
четырехугольнике. АА'В'В рааіш углы при иіижнем основании:*-
(угол Л равен углу В) и «йокояие стороны*
(АА' = ВВ'), шо ровни ьшкже углы іцш верхнем основании (угол А
равен углу В'), а, средняя линии (т. е. прямая СС, соединяющая сере-
діии* обоих оснований) перпендикулярны, к основаниям.
Доказательство осуществляется налоя;ѳннем четырехугольника
самого па себн таи, что ЛВ совмещается с НА, ВВ' с АЛ', и
обратно, и. средняя лшшн СО' совмещается с самой собой.
Лемма 2. Ес:ш л прямолинейном
•четырехугольника АЛ'В'В равны углы ѵрн верхнем и, при нижнем-
основании (^.-Л = 1_В ѵ /_ Л' = /_ В1), то равны
и йоковые стороны. (А А' = ВВ').
Доказательство от противного. Допустим, что
АА'<ВВ'. Отложим на ВВ' отрезок ВВ" = ЛА'.
Теперь в четырехугольнике ABB"Л' углы при
верхнем основании в силу предыдущей тооре-
ц мы должны бить равны: /_ЛА'В" = 1_ВВ" Л', что
несовместимо с равенством углов АА'В' пА'В'В.
Теорема 1. Отрезки осей, которые содержится между предеяшымн
.амиями, имеющими оСіцие оси, равны, между сайаіі.
На чертеже А.А' и ВВ' суть две
общие оси предельных лпішй А В иА'В1.
Вследствие этого угол Л'Л Л ранен уіѵіу
В'В А (си. на стр. 135—]3fi подробное
примечание 17 к предложению 31);
но топ и;с ирігшпе равны также, углы
А А'В' и ВВ'А': л силу дешіы 2
поитому ріівш.і отреапп А А' и ВВ'.
Тгчіерь мы можем с полпим
основанием говорить о расстоянии х меікду двумя * параллельными» (т. ѳ.
имеющими общие оси) предельными линиями: ато расстояние можно-
отсчитывать но любой оси: АА' = В В' = х.
А
С
ДЮШІѵ'ШШ ft
141
Теорема 2. /''nixw.it <іі/га.ч iwlr.ihuofi .ninwi ашлемют равнин <іугн пп
ипрсл.if.ii.itoil преі1і>.и>ноіі линии.
Еслп AG —СИ, то мпі совместим дугу АО с Oft (ем. примечание
17, теорема Э, луга АС нот от скольіщтт, по CJJ). Тогда оси .1.1' и 6'С
пойдут mi oesr.4 6'6" гг lilt' {теорема 3 и том ;ке прпмочаншт); равпіле
отроакіі .1.1' гг СС, а также СС" и Ші' соотистствеггпо совместятся,
вместе с тем луга А 'С совместится с дугоіі С'В' (та же теорема 3).
Теорема 3. Соопжыыпщющт ()//.?« и и $', t и V ііяцх нирпл.ииь-
іш.і- щтік.тіых лпнпИ протіщпонадьны.
Эти тч'орома доказана а тексте на основе теоремli -.
[al] Как показано в тексте, отиощішпе ~f есть функция
расстояния х между пределыиіми дугами; or иелпчгш же луг s и .?' оно
іде зависит. Эту функцию обозначим чере:і f(x).
Воэі.мом три предельные дуги A', s', к", содержащиеся меікду теми
;ке двумя осями. Пусть.»: будет расстояние между дугами» п s', у —
расстояние между дугмш х' іг .«", Тогда
* = *'/•(*), *'=*"Я</),
,, = s" /-(.r-f-//).
Следовательно, функция /(х)
удовлетворяет функциональному уравнению
/4*-j-tf) = /WG/>,
которое зарпгітерггііувт показательную функцию аш. Так как но
условию f(1)---c, то «=-=(•, т. е. .? = лс1 где р, однако, остается еще
неопределенным. Лобачевский замечает, что надлежащим выбором
единицы дліин.і можно принести к толу, что основание с совпадет
с оенопашісм пеперовых логарифмов. При выяснении этого лли
Польпгой отчнтлпвостл будем походить из формулы s^s'a31.
Если ми увеличим одшпщу дліты в к раз, то отношение -,- епхра-
ішт опое значение, число же х аамотгптся числом х= .-. Поэтому мы
будем иметь
Число А- можно выбрать таи, чтобы «* = і>, где'с — основание
неперовых логарифмов. Вместе с тем
s — sV1 пли я' s= sfi-1. (!)
Чьрга над х означает, что длина отрезка выражена в специфической
единице, нрп которой формула (1) имеет место. Лобачевский раз
навсегда устанавливает, что единица меры выбрала именно так, а
потому пашет просто / = да-я. Нужно, однако, твердо помнить, что этим
яафиксиропана единица длипы.
142 ГЁГШГС'ІТПЧЕС'КІІИ ІЮС^ІЕДОТіЛНП.І
I'. связи с »тіш, нужно обратить пппмпипе па следующее весьме
важное обстоятельство. В пшориоличгской геометрии, кат;
обнаруживают вш соображения, сущес.тиует некоторая специфическая Длина,
выбор которой в качество единицы моры име.'.'г абсолютное
преимущество: говорит, что п гиперболическом пространстве поаможн.а кабео-
лютніш мора длипыг. 8та едшпща меры определяется математически
и на основе итого определения может быть фактически установлена
только экспериментально. Абсолютная мера длины гплорболнчосксіо
пространства есть та, и которой имеет место соотношение я = .se-a:;
это-—еа математическое определение.
Какопа же эта единица фактически? Этот вопрос может быті.
разрешен только прямым измерением. Дальнейшие соображения по атому
вопросу читатель найдет ниже, и примечании 35 в предложению 37.
Отрезы к, служащий при установленных соглашениях единицей
длины, в настоящее время часто называют padmjcn.u кривизны прострет-
еіиш. Возможность абсолютной единицы длины долго вызывала
возражения протиіі прпашшпя гипербол пчес-гюіі геометрии. В евклидовом
пространств о такой абсолютной единицы не существует: все прішс-
лпяейные отрезки адеі.ь равноправны, и одтшіщд. меры может быть-
устаыовлепа только надапиам стапдарта — зафиксированного стержня.
Однако на сфере абсолютная мора длины в том смысле, как
понимается этот термин, возможна: за таковую можно, например, принять
длину окружности большого круга плн определенную ее часть. Такой;
абсолютной единицей меры является также радиан, т. е. іт-я часть пол у-
окруяптостк большого круга; в этой именно абсолютной единице
обыкновенно пишутся все метрические соотношения сферпчоской геометрии.
Если в гиперболическом пространстве за единицу меры принять
не радиус кривизны пространства, а другой отрезок, в к раз меньший,
то основное соотношение предложения 33 принимает вид
Яг
s'=se~~. (И)-
Теперь радиус кривизны выражается чистом к. Если радиус сферы
выражается числом Л, то кривизна сферы выражается числом ——; но-
аналогии с этим при соотпотѳстпи (!І) говорят, что кривизна
гиперболического пространства выражается отрицательным числом
к-
Этот выбор отрицательного числа имеет дополнительные основания,
указанные нижа, в примечании 35 к предложению 37.
Лобачевский всегда полагает к =-= 1; нужно, однако, снова оімѳтить,.
что при этом условии единица длины уже зафиксирована,
Is8] Предельную поверхность Лобачевский определяет как такув>
шшерхыость, которая образуется вращением предельной линии вокруг-
ПРИМЕЧАНИЯ 143
одной из своих осагі. Это оліределение, таким образом, существенно
отличается от определении предельной линии. Между тем, эти
определения могут бытт. сближены. Все алементіл для такого
объединения содержатся и в предложении 34 настоящего иочлненщі.
.Предположим, как в тексте, что предельная нов opu_i.ro сгъ обраио-
вапа вращением предельной ;шшш hokjjjt ее оси АА' (чир т. 27).
Лобачевский отмечает прежде всего, что во всякой точке В
поверхности ось ВВ' наклонена т; хорде АВ под тем шѳ углом, под
которым к ятой хорде наклонена ось иращецнм АЛ'. В терминологии
Гаусса это означает, что точка В на луче ИВ' соответствует точ:кѳ А
па луче АЛ'; оно и естественно, так как В есть точка предельной
липли, которая в плоскости осей АА' и ВВ' определяется началом
А И осью АА' (ом. предложение 31, примечание 17). Но так как этим
свойством обладает каждая точка предельной поверхности, -со ято-
приводит it следующему определению последней.
Представим себе асе лучи в пространстве, лараллольиые лучу
ААГ, — «связку параллелей* {лЫ/}. Каждый луч ЯВ' втоп овяаки
лежит с А А' в одной плоскости, и на нем существует одна и только одна,
точка В, соответствующая (см. примечание 18) точке А луча АА'.
Гео.мщтческов место точек В -на всея: лучат, связки ч есть предельна»
поверхность, определяемая точкой Л и осью АА'. Ѳто определение
предельной поверхности явно аналогично определению предельной линии
в плоскости. Исследование продельной линии основывается, глйннш*
образом, на предложении, приведенном в примечании IS в вігдѳ-
леммы 3. Это предложение остается з силе и в том случае, когда
параллельные лучи АА', ВВ', СС расположены не л плоскости ABG,
а как угодно в пространстве. Именно, доказательство этой теоремы
и составляет главное содержание предложения 31 в тексте.
Формулируем ее в атом виде.
Если АА', ВВ' « GG' суть параллельные между aoSou лучѵ,, которые-
•ае распомжекы в одной плоскости, причем пак точка В -на луче ВВ', так
я точка. G на луче СО' соответствуют точке А ил луче АА', то точки В
и С соответствуют Ьруг другу на лучах ВВ' и GO'.
Самое доказательство, приведенное в тексте, устанавливает прежде'
всего, что около треугольника ABG при условиях задания всегда
можно описать окружность. Это не находится в противоречии с тем,
что в гиперболической геометрии около данного треугольника
навсегда возможно описать окружность. Дело в том, что.
рассматриваемый здесь треугольник на произвольный: две его вершины
соответствуют третьей на трех параллелях, проходящих через его вершины: и на-
расположенных в .одной плоскости. Это есть уже треугольник опвпи-
фитеского строения, ври котором описанная окружность всегда,
существует.
144 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИООЛЕДОВЛІ-ШЯ
Доказательство заключается в том, что на перпендикуляре DF,
восотан-ттннном в плоскости треугольника к сторона АЛ из ее сере-
дшііг Т), устанавливается точка F, чярнз которую проходит такме
перпендикуляр EF, восставленный тга середины Е стороны АО. Лрп
атом оказывается, что перпендикуляр, восставленный на точки F
к плоскости треугольника, параллелен связке лучей -1.-1', 6#f, GO'.
Проведя черта вгот перпендикуляр и середину f? третьей стороны ВС
плоскость, получим в сечении с плоскостью пара.'іл<элей JJB' и СС
луч GG-', параллельный им и перпендикулярный к ВС. Поэтому
/_В'ВС~ ,/,ССУ=яП(-|- СВ), т. е. точки В ж С соответствуют друг
другу на параллелях ВВ' к СО'.
Еолж теперь ва начало предельной поверхности примам точку В
и луч ВВ'—щ начальную ось, то точкп А и С, как
соответствующие eft на лучах АА'- п СО', окажутся на поверхности; Это
■опачит:
Наждая. точки предельной поверхности может 'іѣеть принята за начало,
а проходящая черс-з пае ось —за шчалтую оси.
Предельную поверхность можно, таким образом, рассматривать как
поверхность вращения вокруг любой оси (подобно тому как это имеет
место в случае сферы и плоскости).
Теперь уіве нетрудно показать совершенно так же, как яте было
сделано в примечании 17 (теорема 2), что предельная поверхность
моз-квт передвигаться по самой себя так, чтобы каждая ее точка
пришла в совмещение с любой другой ее точкой, а вращением
поверхности вокруг любой со точки можно любой выходящий пв этой точки
предельный луч поверхности привести в совмещение с любым другим
предельный лучом, исходящим из той же точки. На предельной
поверхности, таким образеш, возможны двизісекіш тех ж« типов, что
и на плоскости или на сфере.
[из] Евклидова двумерна.я г-еометриет, так называемая планиметрия,
может быть построена рассуяадетпши, относящимися только к пло-
■с косит, т. е. без обращения в трехмерное пространство. Татеое
построение евклидовой планиметрии осуществляется на основе возможных
в плоскости движений ж постулатов, характеризующих ее основные
образы, главным образом прямую. Движения в евклидовой плоскости
характеризуются следующими «постулатами движения»:
a) Плоскость может бить ііѵремчщаш в самой себе таким at/разом,
чтобы любая ее точка А пришла в совмещение с любой другой ее точкой
А' (принцип транзитивности движения).
b) Плоскость может бить повернута в самой себе вокруг ліобой ее
точки А таким образом, чтобы любой луч АВ, выходлгщй из
центра-вращения, совместился с ліобим другим лучом АВ', также въьхоЬ'ялІщм из
центра вращения (прищш вращения).
ПРИМЕЧАНИЯ
145
■Этими Двумя постулатами устанавливаются возимгаэігѳ в плоскости
движения. С присоединением к ции йостулаяов Евклида О прямой
линии, постулатов, характеризующих расположение (киев на прямой,
постулата непрерывности, постулата Пата (см. примечание 3 накгр. 128),
наконец, постулата о параллельных линиях, получается бава, на которой
строится плоская геометрия Евклида.
Двумѳрвая геометрия может бить и том же иоря:ц:о идей построена
и на другой поверхности, допускающей движейия с Семи ксѳ
степенями спободы. Такими поверхностями в евклййовом npootjwscirae
являются только сферы. На сфере возможны движений,
удовлетворяющие прянтгипу транзитивности и принципу вращений. Но роль
прямых линий здесь играют окруяшостн больших кругов, роль луадп —
соответствующие полуокружности.
Однако постулаты, характеризующие окружности больших кругов
на сфере, существенно отличаются от постулатов, характеризующих
прямые на плоскости. Прямая тшодне определяется любыми двумя
точками, так что две прямые на плоскости могут пересекаться только
а одноті точке; окружности больших кругов па сфере всегда тарѳое-
кагатся г» двух точках. Прямая может быть неограниченно
продолжена в обе стороны; окружность большого круга боть вамкнумш
кривая конечного размера. Это порождает глубокое .различий в
геометриях плоокоети п сферы. В евклидовом пространстве существуют
два типа поверхностей, па которых может быть построена геометрия
по прилипну «свободной подвнжности> 1) — плоскости и сферы; им
соответствуют два типа двумерной геометрии—плоская п сферическая,
как теперь часто говорят, авк.шОоаа и римлнова.
Обращаемся к «пространству Лобачевского», т. ѳ. к пространству,
в котором имеют моего установленные пм постулаты неевклидовой
геометрии. Здесь на плоскости имеет место езоеобрааная transp-
болпчеекая* геометрия, отличная от евклидовой. На сфере в
гиперболическом пространстве имеют место те же движения, чіо
и на сфере евклидова пространства; сферическая геометрия
в гиперболическом пространстве не отличается от обычной, как
она была построена в евклидовом пространстве. Лобачевокий
ниже обнаруживает (см. предложение 85), как далеко идет его сода-
падение.
Но п гиперболическом пространстве существует, кроме того,
замечательный тип поверхностей, ва когортах имеет место свободная
подвижность. Мы видели (заключительный абзац предыдущего приме-
-чания 22), что па предельной поверхности возможны движевня, удо-
шлѳтпоряющие тем же основным двум постулатам, і
1) Этвт термин принадлежит Софусу Ли («fieSe BeWegliolikeit»).
Зля. Ш. И. И. Лоб&чгаскнВ, г. I.
146
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
При построении геометрия предельной поверхности роль прямых:
играют предельные линии. Предельная линия на предельной
поверхности вполне определяется двумя точками. Действительно, еоли через-
точки А и В предельной поверхности проведем ѳѳ оси АА' и ВВ'
и через них проведем плоскость, то osa пересечет предельную
поверхность со той единственной предельной линии, которая на ѳтой
поверхности проходит через точки А я В. Далее, предельную линию можно-
неограниченно продолжить в обе стороны. На предельной поверхности
остаются в силе постулаты, определяющие расположение точек на.
ирѳдельной линии, постулат непрерывности, постулат Паша.
Лобачевский еще даже не обладал точным перечнем постулатов геометрии;,
но иа 15 предложений, приведенных им в начале настоящего
сочинения в качестве базы для всего дальнейшего построения геометрии,.
10 относятся к двумерной геометрии и как бы составляют
принимаемую ям аксиоматику плоской геометрии. Все эти десять предложений,
остаютоя в силе на предельной поверхности, если в них заменить-
прямые предельными линиями. Поэтому для окончательного решения
вопроса о характеро геометрии остается только решить, как обстоит
дело о постулатом о параллельных линиях. Но мы внаем, что ѳтот
постулат еквивалентѳн предложению, что сумма углов в треугольнике,
равна іс. В предельном треугольнике па предельной поверхности-
оумма внутренних углов действительно равна «. Следовательно, на
предельной поверхности имеет место евклидова геометрия. Этот
замечательный результат, таким образом, обнаруживает, что с отказом от
постулата Евклида о параллельных линиях двумерная евклидова
геометрия не превращает своего существования: она только пѳрѳноситеяі
с плоскости на предельную поверхность. В предельном треугольнике
сохраняются соотношения евклидовой геометрии, что служит точкой'
отправления для построения метрики неевклидова пространства.
Полезно отметить, что в гиперболическом пространстве существуют-
поверхности еще одного типа, на которых возможно движение фигур
без деформации с тремя степенями свободы; ето—зквидистантмыв-
поверхности. Под эквидистантной поверхностью разумеют
геометрическое место точек, отстоящих от заданной плоскости (базы поверхности
на .одно и то же расстояние А (параметр поверхности). На плоскость
можно смотреть как на эквидистантную поверхность о параметром
■А=0. Таким образом в гиперболическом пространстве существуѳ
три типа поверхностей, на которых возможны движения о тремя степе
інями свободы: сферические, эквидистантные и предельные поверхности.
[М] в евклидовой геометрии угол обычно измеряется либо в
градусах (прямой угол измеряется числом 90 или 100), либо в радианах
(прямой угол намеряется числом г-). Оба эти способа измерения угла
применяются и в неевклидовой геометрии; но здесь возможен и овоѳоб-
ПІ'ИДГСЧАНШІ
147
разный линейный способ выражения угла. Каждому острому углу 'э
отвечает отрезок, выражаемый в установленной единице иеры числом х,
для которого Д(я;) = »; ©то число х и представляет своеобразное,
только в неевклидовой геометрии существующее выражение угла; его
поэтому можно назвать гиперболическим значением угла; нужно,
однако, иметь в виду, что гиперболическое значение угла не
пропорционально величине угла. Этим гиперболическим значением угла
Лобачевский уже и выше пользовался для выражения угла (см.,
например, предложение 34; двугранный угол выражен своим
гиперболическим значением а); в дальнейшем он пользуется им
систематически. Заметим еще, что П(гс) выражает в радианах тот угол,
гиперболическое линейное аначѳниѳ которого есть х.
Здесь, однако, Лобачевский вводит дополнительное соглашение,
заключающееся в следующем. Обозначая через х гиперболическое
значение некоторого угла, он обозначает через х' гиперболическое
значение дополнительного угла. Таким образом углы Я (х) ц С (х')
всегда дополняют друг друга до ^к; это и выражено уравнением.
I26] Действительно, положим, что существует сферический
треугольник ктп (черт. 28) со сторонами тп = К(с), fcn = II(fl)l юЬ = П(я)
и противолежащими им углами 11(b), П («'), j-x. На луче Вп
отложим отрезок ВА, равный с, и из точки А опустим перпендикуляр АО
на прямую Вк. Полученный таким образом треугольник ABG будет
удовлетворять требованию. Действительно, из точки А восставим
перпендикуляр АА' к плоскости треугольника ABC; луч Вт обоаначим через
ВВ' и прямую пересечения плоскостей В'ВС и А'АС обозначим через
GO'. Угол В'ВА измеряется стороной тп сферического треугольника,
а потому равен 11(c) = й(АВ); следовательно, луч ВВ' параллелен АА';
вместе с тем луч ОС параллелен АА1 и ВВ' (см. заключительный
абзац предложения 25). С другой сторона, по самому построению
плоскость GC'AA' перпендикулярна к плоскости треугольника ABC;
прямая ВО перпендикулярна к плоскости 00'АА', а вследствие этого
она перпендикулярна и к прямой СО'; поэтому /_В'ВС=зК(ВС); но
ѳтот угол измеряется дугой тк сферического треугольника, а потому
равен П(а); следовательно, ВС = а. Далее, 1_0'СА = С(АО); но этот
угол совпадает о утлом к сферического треугольника, а потому равен
11(b); ол вдов are льяо, АС = Ъ. Угол В прямоугольного треугольника
АВО измеряется дугой kn, & потому равен И (|Э). Далее, двугранный
угол (OG1) прямой, двугранный угол (ВВ1) совпадает с углом ві
сферического треугольника, а потому равен II (а'). Наконец, двугранный
угол (ААГ) = ^К — {ВВ'); но утоп (ВВ') совпадает с углом т = П(и')
сферического треугольника, поэтому {АА') = Л (а); а так как угол
(АА') измеряется линейным углом А, то А=]1(а). Итак, в
треугольнике ABG стороны и углы имеют значения а, Ъ, с, ІГ(<*), П(Р)> т. ѳ.
10*
148 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НОСДВДОВАНИЯ
существование сферического треугольника со сторонами II (с), II (3).
11(a) и противолежащими углами Ы (■&), Щ«'), -g ^ обусловливает
существование прямолинейного треугольника со сторонами а, Ь, с -и
противолежащими углами U{«), И({1), —тт.
Заменим теперь обозначения, к которым привели предшествующие
соображения, болоѳ общими. Именно положим]
Тогда стороны п углы сферического треугольника можно будет пред-
ставить таблицей |цМ) ад> HWj
П'5), И (11), у*.
(4)
Мы можем смотреть на х и у как на линейные аргумент»
определяющие катеты этого сферического треугольника, на z—как на
аргумент его гипотенузы, на S л т]—как на линейные аргументы его
острых углов. Теорем л., установленная в тексте и доказанная здесь,
сводится к том;г, что существование сферического прямоугольного
треугольника (А.) влечет за собой существование прямолинейного
прямоугольного треугольника со сторонами п угламп
(В)
г, X, а-,
U(V), ДО/), yt-\
Это станет совершенно ясным, если заметим, что при
ІІ(«) + П(з') = у, ВД + П(Ѵ) = |- и ■»)-*'
необходимо і]' = я,
Ыо в сферическом треугольнике (А.) мы можем транспонировать
катеты гну, транспонируя в то sice время аргументы острых углов
т. е. X п -п. Иначе говоря, тот же сферический треугольник (А) мы
можем, конечно, представить таблицей
ВД, И (я), П(*), 1
а в таком случае он влечет за собой прямолинейный треугольник
г> '1. У.
ы(?0. пс*), -■«■
(В')
ПРИМЕЧАНИИ
i-tn
В 'применении it треугольнику, о котором идет речь в тексте, при
обовн&четгях (I) »го приводят к треугольнику
Итак, существование прямолинейного пряаюугольиого треугольника
о,
Ь, с,
(О
111(a), Ц(3), І.к
влечет за собой существование сферпческого треугольника
11(c), ад ии,
Ц(ь), н(*'), ±ъ
8Т0т же влечет за собой, обратно, эе только существование треуголь-
нпка (С7), но п треугольника (С); ети два прямолинеинти треугольники
поэтому всегда существуют одновременно.
Iя]. Воспроизводим чертежи п
рассуждения, соответствующие ѳтой второй
конфигурации. Заметим првдвярител ьяо следующее: если
из точки Р предельной линии PR (черт, а)
проведем касательную 1'Q, на ней отлокнпх
отреаок PQ и из точки Q проведем луч QQ',
параллельный оса РР, которая,
лстретитпредельную линию в точке Л, то луга PR
вполне определяется длиной отрезка S'Q, jj| mpr
Еслп этот отрезок назовем тангенциальной
высотой предельной дуги PR, то ложно будет Черт. а.
сказать, что предельная дуга определяется своей
таплпнциалшоіі высотой. На черт. 28 п 30 г, q и t суть предельные дуги,
которые соответственно определяются такое нщіольныіш выеотадгпй, бия,
Теперь воспроизведем второе построение Лобачевского.
Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника вос-
ставті не из точки а, а из вершины Б; из вершии жа Си А проведем
лучи GC' лЛА1, параллельные ВВ' (черт. б). Далее, принимая В за
начало, луч ВВ' га ось, построим предельную поверхность, которая
пересечет плоскости параллалеи по предельным дугам ВА", ВС",
С"АВ. Тангенциальной высотой дуги ВА" служит отрезок с, а погону
ее длина имеет то же значение г, тао и в прежней коп фигурации.
150
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Дуга ВС" имеет тангенциальную высоту а, поэтому ее длина
равна. ( (по прежней коа фигу рации). ДугуѴС'Л" обозначим через р'.
Из предельного прямоугольного треугольника А"БС" теперь получим
р' = г sin .В = г Sm II (3); I = г cos Я (3). {1)
Теперь разрежем трехгранную поверхность по прямой АА' и
развернем ее на плоскость (черт, в), подобно тому как это делает
Лобачевский. В этом случае, как мы видим, ВА" = г, ВС" в=а(;
предельная же дуга GD, имеющая тангенциальную^ высоту Ь, равна q,
г остается без изменения, а места дуг q и t занимают дуги t я q
Теперь, аналогично прежней конфигурации, GC"=f(a). Поэтому
Подставляя же сюда вместо р' выражение (!), получим
д = і-шіІГ(3)е№>,
кав в тексте Лобачевского.
ря] Предложение 35—'наиболее важное во воем сочинении. Главное
«го содержание ваключаетоя в том, что в нем устанавливаются
соотношения между сторонами и углами как в прямолинейном,
так и в сферическом прямоугольном треугольнике. Вывод втгас
соотношений прѳдотавляет собой образец тонкой, изумительно искусной
цепи умозаключений, может быть, наиболее характерных оинтѳтичеоких
рассуждений Лобачевского. Вывод нельзя не признать довольно
сложным при всей элементарно охи отдельных его приемов. Но наиболее
ценной его стороной является совместное получение уравнений как пло-
ПРИМЕЧАНИЯ
151
■ской так и сферической тригонометрии неевклидова
(гиперболического) пространства. Сделаем краткий обвор ѳтиз рассуждений.
Предложение 85 разбивается на три части. Первая часть устана-
.яливаѳт, что каждому прямолинейному прямоугольному треугольнику
соответствует некоторый сферический прямоугольный же трѳуголь-
•ник; это соответствие взаимное: сферический треугольник, в свою
очередь, определяет тот же прямолинейный треугольник. Если в этом
сферическом треугольнике транспонируем катеты и противолежащие
им углы, а аатем воспроизведем соответствующий прямолинейный
-треугольник, то последний, как оказывается, получается ив исходного
-прямолинейного треугольника не перестановкой катетов, а особой
подстановкой, которую справедливо назвать преобразованием Лобачевского.
'Таким образом от каждого прямолинейного прямоугольного
треугольника можно в неевклидовой плоскости двояким путем перейти к
другому прямолинейному же прямоугольному треугольнику: один
получается транспонированием катетов и острых углов; ѳтот прямоуголъ-
ннып треугольник отличается от исходного только расположением
катетов, — он ему конгруэнтен; другой получается из исходного
преобразованием Лобачевского, которое приводит к существенно отличному
■треугольнику. Вместе с тем всякое соотношение в прямоугольном
треугольнике приводит в неевклидовой плоскости к ряду новых
соотношений, которые получаются либо перестановкой катетов и острых
_углов, либо подстановкой Лобачевского.
Таким образом, достаточно получить одно соотношение между
элементами прямоугольного треугольника, чтобы из него получить и
■остальные соотношения, алгебраичеови от него не зависящие. Этому
и посвящена вторая часть втого предложения. Вдеоь Лобачевский
■ строит предельную поверхность, проходящую через вершину одного
из острых углов прямоугольного треугольника ABC и имеющую осью
перпендикуляр к этой плоскости на той же вершины. Вместе о осями,.
выходящими из других вершин треугольника, era ось определяет
-трехгранную поверхность, которая вырезывает на предельной
поверхности предельный прямоугольный треугольник, определяемый иоход-
•яыи треугольником, Стороны и утлы этого предельного треугольник»
■ связаны уравнениями евклидовой геометрии. Углы предельного гре-
-угольника выражаются очень просто черев углы данного треугольника.
Поэтому уравнения, связывающие стороны и углы прямолинейного
■треугольника, содержат елѳменты как прямолинейного, так и
предельного треугольника; оторояы предельного треугольника нужно иевл»-
чить; в этом главная задача дальнейшего исследования.
Вершины В и О треугольника отстоят от предельной поверхности-
то осям на расстояниях ВВ" и СО". Длины втих отрезков, очевидно,
.представляют собой определенную функцию с и Ь сторон треугольника.
132
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Яобачевекн>1 обовпачает нх поэтому через /"(с) it f{b). Развернув
трехгранную поверхность иа плоскость, Лобачевский, иеэ труда доказывает,
что грц отреука /"(д), f{b), f(c) евппатш соотношением
По существу это уже и есть соотношение, связывающее пшотспузу и
катеты пряыс!угощ»8ото треугольника; пужно только разыскать
функцию fix).
Лобачевский вторично етронт предельную поверхность, походя пз
вершник второго острого, угла, Соиоставляй евклидовы соотношения
между сторожами предельных тввугольпячов, полученных одна на
aopsottt Другой ко. второй предельной, поверхности, и их розвврткп,
Лобачевский, цолучвда новые соотяотоішя:
sin П (а) еГШ = міп Ц (t) </№ = sin П (с) </И,
Но а и S судьям швцошгыэ величины; всо три частя этих равенств
аредотвьвляют соооВ ооотоаыпив; полагая аргумент равцьщ нулю,,
нниодлм, что era постоянная, равна слішшіе. Функция/"(ж), такпы
обрезом, наОщепа:
Наппсаи теперь соотношение (1) в пндв
до,тучаеи соотношение между катетами п пшотепуаой уже в Оолео-
аоаарешоп форме:
sin 0(c) = sin а (а) sin 0 (6).
Ия этого уравнения он получает еще четыре лрн помощи подстановок,
указанных и первой часты отого предложения.
Наконец, в третьей частд предложения 30, порекодл от прямолп-
найікіго треугольника к сиязацпому с ппм сферическому, ЛобачепскШ■
^стааавлявавт. уравнения ефоричесгсоИ тригонометрия прямоугольного
треугольники, «.обнаруживает, что они совпадают о соотввтетпукшшми
УВавценпями авкладонон геометрии, т. е.. пе завысят от постулата о
парадаадькых ливнях.
1И] В средыдудцем основном соотношении, гдо било введено оио-
авачоптцз ко», о яви говорилось только, что й есть некоторое
положительное число, больдше единицы. Значение отого числа оотается про-
Ивволньвдм.. в том смысле, что лостудаты, на- которих построена,
геометрия Лобвдавскрш, еовмэстумш, о любым значением числа, е.. Но-
оамое установление этого чікупц очевидно, связало с едгшидѳп н&ры-
ш'щтчлшія
к» ■■:
В которой выражается длина х. С изменением едппппы меры опіі-
чение е будет меняться; при надлежащем выборе однпицы число і1
долікпо соипасть о основанием натуральных логарифмов (ел.
примечание 21). При всем тол, в этом рассуждеішп есть некоторая неувязка
с предыдущим. Дело в том, что соверпгеішо аналогичное раеоужденно
ужо было проделано в предложении 33 п применении в соотношению
,і' = se-ast связывающему длины пред елышх дуг, содержащихся между
двумя осями. II там число а зависело от единицы моры, п которой
выражено расстояние х между дугами. Единица меры была уже там
установлена так, чтобы е ішело аналогию основания ігѳпвровых лога-
рпфмои. Стало быть, вновь устанавливать единицу так, чтобы п a
новой показательной фушшпн привести основание в в неаврову числу,
безоговорочно нельзя. В действительности дело обстоит так, что обе
экспонѳнцвальпые функции приводятся кнеперову основаппю при од.
noti в той ніе единице меры. Лобачевский сам обнаружил этот
дефект и поправил его в аПангеом стриги
[2Э] Если перейти к обычным обозначениям углов, т. е. вместо
П(а) іг П(£) писать Л и В, то два уравнения, приведенные в начале
настоящего предложения, примут вид
sin II (с) = sin ІІ.(д) віл Ц (&), (1)
sin А = sin II (Ь) соэ В. (2>
Транспоппруя в последнем уравнении углы Л и В п замеияіг
соответственно этому иіатет Ь катетом а, получим третье ураввѳппѳ, о
котором говорит Лобачевекші:
sin В = sin II (fl) cos А. (3)
Перемножая уравнении (2) п (3) и учитывая (1), получаем
ein[I(c) = te.-lteB. [4)
Исключая В из уравнении (2) п (3), получаем
£т+^а^А=і.
. Оовобождая это уравнение от знаменателя и ааыепяя в силу
уравнения (1) произведение sin II (a) sin II (6) через sin II (с),
получаем
sin°- Д (с) «ма Л ■■= sin3 ЩЬ) — віи2 А
и, следовательно,
cos= П (с) cos3 Л = cos2 И (6).
ш
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Извлекая квадратный корень пз обеих частеп гг принимая по
внимание, как да вто указывает Лобачевский, что всэ углы А, 11(6), 11(c)
■оотрыѳ, получаем
cos II (с) cos Д = cos II (6). (б)
Коли ив урапнѳпий (2) и (3) исключил нѳ угол В, а угол А, то таким
же образом получим
cos П (с) соа В = cos II (а). (С)
Это и есть уравнение, приведенное в тексте ниже, под номером 2.
Оно приведено и 2 предыдущем предложения. Теперь исключим
угол А из уравнений (5) я (і). Если для этого напитом вти уравнения
■а виде
соз А = —■-■„ , ; , tcf Л = sin II (с) ctg В,
cos II (с)
■то исключение дает
cosa Я (с)
= 1+я1п*И(е)о*е*Л,
С08ВД(Ь)
Вычисляя отсюда ctg2 II (й), получим:
ctg П (Ь) = ctg II (с) sin В. (7)
Таким же образом, исключая ыа уравнения (4) и (5) угол В, получим
ctg И (д) = ctg IT (с) sin Л. (8)
Это и есть уравнение (1), приведенное нижа в тексте.
Наконец, перемножая уравнения (5) и (8), получим
otg П (a) cos II (с) cos А = ctg Ц (с) sin A cos И (о).
Так как созІІ(а}фо, то ми можем сократить уравнение на соаП(о).
■Заменяя после этого в силу соотношения (1) sinll(c)=smll(a)sinll(b),
получим
oos И (а) = ctg II (Ь) tg A (9)
в аналогично атому
сов П (Ь) = ctg П (я) tg В. (10)
Уравнения (7) и (9) отличаются от соответствующих уравнений
евклидовой геометрии
a = csinAl Ь = с sin Л
тем, что стороны треугольника а, Ъ, с заменены через ctg П (а),
■ctg И (Ь), ctg II (в).
ПРИМЕЧАНИЯ 1">5
Как иавѳстно, Непером было указано мнемоническое правило, лающее
возможность баз труда аапомиить соотношения между сторонами
» углами сфсрлческого треугольника. Проф. А. ГІ. Котельников
доказал, что это правило и несколько измененном виде может служить
іі для записывания тригонометрических уравнения прямоугольного
■треугольника в гиперболической плоскости. Оно приведено пм в
примечании 20 к статье «О началах геометр mi», стр. 275 настоящего
■тома; оп им очень часто пользуется,
["°) Б предложении 30 было найдено основное соотношение
ig~ll(x) = e~:*, устанавливающее функцию Я (а;). Сообразно втому
.Лобачевский прежде всего дю известной гониометрической формуле
выражает cos II (с—а) через tg-~U(c — ж) п получает вторую часть
комментируемого равенства. Патам по упомянутой формуле оя
заменяет tg-n- Л (с — х) чѳре<і &>~е и получает третью часть равенства.
Теперь он представляет член с-^-^ в вида с-ш • е-8с, выражает обратно
■оба множителя через ctgy£(a:)2 и tg-|-If(f)a и, таким образом, по.
.лучает четвертую часть равенства; наконец, выражая тангенсы
половинных углов по хорошо известной формуле через косинусы целых углов,
он получает последний член равенства. Это имеет двоякое значение.
Во-первых, формула
,т . . cos II (с) — соя Ц (х)
cos II (с — х) з= -тт; тттЧ
4 ; 1 — cos U (с) cos II (ж)
устанавливает для функции II (ее) теорему сложения. Она остается
« силе п для отрицательных значений х, что дает
..-іг/. і --- созП(с) + с°зП(д)
СОВ И (С -4- X) = ; :,7 '. 77"/~"і ■
^ П ' 1 -j- COS 11(c) COS Ц (%)
■См. «Новые начала», ст. 137 (04).
Во-вторых, выражая адѳоь cos Я (г) а сом Я (с — х) по формулам [!],
.Лобачевский получает основные формулы [!ІІ], связывающие в
гиперболическом пространстве стороны и углы любого прямолинейного
треугольника. Однако, подобно так зазываемым нёперовым аналогиям
■сферической тригонометрии, каждое иа этих уравнений содержит пять
элементов треугольника; между тем для решения треугольника их
.должно бить только четыре. Лобачевский переходит поэтому к
уставов л еншо уравнений, связывающих четыре элемента треугольника.
[Dl] Написав предыдущее соотношение в виде
ітмл Ttf, A COS Я (С)— COS Л GOB U (Ь)
1_оо8П(Ь)соаП(С)оозЛ= cbtHWew'B ' ["
мы транспонируем в нем стороны о и Ь, а также противолежащие
1»*; ГЕОШЛ'ШЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
им угли А іх В; получим
„,. .., , „ cos II (с) — cos В cos II (а)
1—соя II (<і) cos 11(e) созЛ = —"іг;іл ; ■
w w cos II (ft) cos -1
Перомнолсая эти равенства, получим
[1 — сок II (я) соя И (с) cos li] [1 — соэ II (&) cos II (с) cos А] =
[сонП(с) — cosBcosH(u)] [cos П(с) — cos Л оовП(Ь)]
cos И (а) соя II (ft) eos A cos В
Выполнив в числителе правой части умножение п разделив член,
не содержащий сояП(с), на знаменатель, приведем правую часть к ветду
.cos И (с) [cos И (с) — cos Л cos II (Ь)— oosP сояП(а)]
cos II (a) cos II (b) cos A cos В
■ «ттг\ I COS 11(c)- Л
= Sill- Д (с) 4 ттг- гт^ттт ; ,
cos U{a) cos II (о) cos A cos Л
где через R обоапачепо выражение
сдаЩе) [l-|-cos Л cosBoosIIfji) cos II(b)]— cosll(rt) cos В — cosIT(b)cos Л_
Вследствие соотношения [I] It обращается в нуль, и мы получаем
уравнение, приведенное в тексте.
[В9] Вычпсленнв протекает в следующем порядке:
1 — сон Л cos II (ft) cos II (с) =
cos A cos 1! (Ь) cos П (я) sin С
sin. A sin II (&) -J- cos A sin О соя II (а) соз II (ft)
sin A sin П (ft)
sin A sin Ц (ft)-j-cos Л sin О cos II («) cos И (ft)'
Выеете с тем уравнение, выражающее sin П (ft)2, после подстановке
и сокращения на sin П (ft) примет вид
гіп И (Ъ) = sin Л {1 — cos С cos П (а) соа П (5) j
sin Л sin Д (&)-}-cos Л sin С cos II (it) cos II (ft)
пли же
sin Л — sin л cos G oos E (a) cos И (&) = sin Л sin И (6)й -\-
-j-smH(&)cos A sin 0cos U (a) cos II (ft)-
Заменлв теперь, разность, первых членов обеих.частей через sin А соя3 3(ЬУ
и разделив обе части на sin А оса II (я) cos И (ft), получим уравнение,-
приведенное в тексте.
Ш'ИМІІЧЛНИЯ 1П7
[Зи] Первое из этих соотношений получаем непосредственно на дер-
эого уравнения (8), написав его п оиде
ctg II (Ь) sin Л = etjr Л (,() sift JJ
и заменяя ctgII [Ь) и ct;*II(rt) приселенными их прпбл пленными,
значениями а и Ь. Второе ураіщешіе (8) посла подстановки и пего
приближенных значений принимает пил
be cos А + — \ — = 1.
■Освобождаясь от знаменателя я отйрасшшг члены, порядок которых
аышѳ двух, получим второе уравнение, приведенное в тексте.
Третье уравнение (8) после такой же подстановки примет іщд
Освобождая от знаменателя, отбраешан члены, нор я до к которых нище
двух, п умножая обо частп уравнения на sin Л, получим третье
уравнение текста. Аналогично получаем и четвертое.
[В*] 0ІО соотношение, строго говоря, вытекает уже пз последнего
уравнения. Чтобы получить его, однако, как указывает Лобачевский,
опираясь на предыдущие уравппшія, проведем вывод в следующем
порядке:
sin (A-\-S~\-0) = sin .1 cos {В -j- С) + cos А яіп (В + С).
Заменяя здесь согласно поелѳдкен формуле cos (Й-f- С) через — оозД,
получаем
біъ {A-j-II-)-С) = bos A [ sin (В -f С) —sin A }.
Заменяя теперь sin (В-j-С) его значенном, заимствованным пз
предпоследнего уравнения той же группы (с заменой А на В), получим
ал{А + В^~С) = ~~- (nsin^ — ЫіпЛ).
■Согласно же первому уравнению той же группы, выратаѳлие, стоящее
в скоб как в правой час$н его го равенства, равжо нулю. По в тому
sin(A-\-B~\-C)=*0; а ток как А-^В-^С больше нуля в не
превышает к, т© А-^-Б-\~С=^.
{№\ Очень ввжков предложение, согласно которому гашарбоди'ювеая
геометрия бесконечно малого совпадает о -евклидовой геометрией',
158 ГЕОЛІЕТИІ'ІЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
нуждается в пояснении. Содержание теоремы в более точной
формулировке выражается следующим образом: соли стороны треугольник»
выражаются настолько малыми числами, что пх степенями, выше
второй, можно пренебречь, то уравнения, связывающие стороны н углы,
треугольника, не отличаются от тех, которые имеют место в
евклидовой геометрии. Но числа, которыми пыраіпаюгея длины отрезков,
зависят от принятой едшшци меры. Эта единица меры, однако,
непроизвольна', она зафиксирована тем требованием, чтобы в уравнении-
ctg 5-II (г) = tf" число е представляло собой основание не
перовых'логарифмов (см. предложение 30 п примечание 2S на стр. 152); это имеет-
место прп строго определенном размере отрезка. Как уже было указано-
выше (стр. 142), этот отрезок часто называют теперь радиусом кривизны-
гиперболического просіпраііатяа. Итак, гиперболическая геометрия
совпадает с евклидовой на протяжении, весьма малом по сравнению с
радиусом кривианы пространства. С этим п связываются соображения,
относящиеся к устройству вселенной. Уже Лобачевский в очень
осторожной форма высказывал пре;(положение, что в нашем пространстве-
в деВетвігтельнооты, может быть, имеет место гиперболическая
геометрия, по что размеры той части вселенной, в которой мы производим
наши намерения, настолько малы по сравнению с радиусом кривианы
пространства, что отклонения наблюдаемых нами метрических
соотношений от евклидовых весьма ничтожны, и мы этих отклонений вовсе
не замечаем: они падают за пределы точности наших измерений (ом.
*0 началах геометрии», стр. 207 — 209 настоящего тома). Вычисления
суммы углов в некотором космическом треугольнике (см. там же) не дали
о снован пй в подтверждению такого предположения. В пастоящѳе
время выяснилось, что размеры вселенной неизмеримо больше, чем
8то себе представляли в эпоху, когда жил Лобачевский, Протяжения,
доступные точному измерению, действительно совершенно ничтожны
по сравнению с размерами вселенной. В связи с этим, а также с
некоторыми течениями в физике и космологии, в последнее время чаще-
высказываштоя предположения, что действительная геометрия космоса
не евклидова (Эйнштейн, Эллингтон). При этом есть основание пред*
полагать, что вта геометрия эллиптическая (риманова), а не
гиперболическая, Нужно, однако, сказать, что па эти соображения можно
смотреть только кале на весьма проблематические предположения,
требующие ѳщѳ тщательной проверки.
[зв] Лобачевский имеет в виду сочинения: «О началах гѳометрииі„
напечатанное, правда, не в «Ученых записках», а в «Казанском
вестнике* (1828—1930 гг.), «Воображаемая геометрия», напечатанное-
в «Ученых вапиоках Казанского университета» за 1835 г.,
«Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам»,
напечатанное в «Ученых записках» за 1830 г.
Ш'ІШВЧЛНШІ 1511-
Р"] Функция II (х) определена Лобачевским геометрически, а затем
установлено ее аналитическое выражение, содержащееся в
заключительной формуле предложения Зіі; в сноске* на стр. 120 ето же
соотношение приведепо в других видах.
Если фушщип, йтчми формулами определяемые, распространить-
и на мнимые значения аргумента а, то получим:
$хі е-яі
ctgll(xi)= й ■-■==» sin ж,
- іг/ -і 2 г
f.Ti ^J_ е-яі соя j.
Ѳти именно формулы Лобачевский п приводит в тексте. Если в
уравнения (8) вместо а, Ь, с подставить аі, Ы, еі и выразить
тригонометрические функции от К(<и), Я(6г), II (сі) по приведенным выше
формулам, то получим заключительные уравнения текста. Это суть
соотношения между сторонами и углами сферического треугольника.
Можно сказать, что и обратно, формулы, сферической тригонометрии,
переходят в уравнения гиперболической тригонометрии, если
заменить стороны треугольника а, Ь, с через -г-, -.-, -г. С другой
стороны, в сферической тригопометрпп под а, Ь, с разумеют угловыэ-
эначения сторон; если под а, Ь, с разуметь длины этих сіорон, то
угловые их значения будут -g-, —, --, где В — радиус сферы.
Уравнения сферической тригонометрии, содержащие вти формулы, парехо-
дят в гиперболические, если заменим ■=-, -тг, ~ через ^"і "(Г* "к"7' т* в"
еслп ваменить R через Ііі. Можно сказать, что уравнения
гиперболической тригонометрия имеют место на мнимой: сфере. В этом именяо-
смыслѳ слова Ламберта; «гипотеза острого угла должна иметь меотс-
на какой-либо мнимой сфере» (см. стр. 170), высказанные им еще
в 1766 г., действительно имеют характер замечательного предвидения.
Сфера радиуса В. имеет кривизну — , С другой стороны, формулы,
гиперболической тригонометрии получаются, если в формулах
сферической тригонометрии наменять R через кг; в втом смысле на
гиперболическую плоскость можно формально смотреть как па сферу
с кривизной ЛГ= —-rj-; ето и служило основанием для присвоения*
гиперболическому пространству кривизны—^. Более глубокое
обоснование ѳтот термин получает в рнмановой геометрии, в широком
смысле этого слова (см., например, В. Каган — Геометрические--
идеи Римава и их современное развитие. М. — Л., 1В38, стр. 14)-
Иіт.іоэісеиир I
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ У ДРУГИХ
ГВОМВГРОВ
К. Ф. Гаусс
Как уже было упомянуто в вводыой статье (стр. 72), основные
работы Лобачевского при его яшаын пс были поняты п, более того, были
подвергнуты суровой крптпкв. Но раз было также указано, что
главной ярпчпной тадсого отношении современников Лобачевского к его
работам било крайне сжатое палоікеппе их, не доступное даже высоко
образованному математику. Математические мемуары по старой
традиции обычпо составляются очень сжато. Но работы Лобачѳвекого
содержали совершенно новый, исключительно своеобразны ft и по
существу очень трудный материал; он требовал особенно четкого,
вразумительного наложения.
Между тем сжатость наложения у Лобачевского выходила далеко
аа пределы обычного. Трудно даже уяснить себе, что его к этому
побуждало. Небольшая брошюра tGeometrisolie I'ntBrsiiclnmgeii ztu*
Tlieorie tier Parallelliiiien» тшешіо и имела целью едэлать влемеігты
неевклидовой геометрии более доступными, обратить на нее впиманиѳ
широкого круга читателей, владеющих математическим образованием.
Но велика была сила ынерцгш в математических кругах, очень
своеобразии были пдегг автора. Выход ятой брошюры по изменил у нас
отношения противников Лобачевского к его идеям. Но и аа .границей
она не привлекла общего внимания, не встретила того признания, па
которое Лобачевский рассчитывал. Напротив, и здесь в
распространенном библиографическом журнале был помещен отзыв о только
что появившейся небольшой книге Лобачевского, подписанной
символически цифрой я140д 1); рецензент пакодил, что достаточно
привести одно пз утверждений алзтора, чтобы быть свободным от
дальнейшей оценки кппгп.
При всем том в Германии все же нашелся читатель, который эту
небольшую книгу Лобачевского прочитан, вполне понял его овое образ
1)Eepertorlntnder gesammtaH deutsclmn Litteratur, Herauagegeben vonE. Geraiorl,
I,dipzig, 1840, 3, стр. 147.
ЙЛЕЛПІНТЫ ІІЁЕВКЛІІДОІЮЙ ГЕОМЕТРИИ У ДРУГИХ ГііШШТІ'іЛі 1U1
шіо идеи п оценил их но /гости ннстну. Эти бил ііьликшг геометр
К. Ф. Гаусс. Он запитерееоиилея нес. шдоішішом ЛоЛа-ишского настолько,
что изучил русский язык, чтобы ознакомится; с си всеми иго работами.
В ре іулг.тііта этого ознакомления он предложил Лоиіічшекого н члены
Готтішіч;некого учаноі'о общества — собственно гетпшге некой Академии
наук — н лично уведомил его о состоявшемся пзбришш. Но в нечатп
Гаусс не цроронпл ни од иного слови о споем отношении к работам
Лобачевского. И нее же математический мир узнал о ник лмонпо
благодаря Гауссу. Зги произошло следующим образом.
Гаусс окончился к 1833 г. В конце питн.десятых голой известный
пемецкяй издатель Потире начал выпускать в спет переписку Гаусса
с его другом Шумахером '). В пятом томе этого шдяиня было
опубликовало письмо Гаусса от 2S/XI 184(3 г., н котором он и восторженных
пыражепыях говорит о замечательной книге Лобачевского tOeoiuetrische
Untersuchungeiu; этим было обращено внимание всего математического
мира на работы Лобачевского, и его (Воображаемая геометрия» была
вновь призвана is жизни.
В дальнейшем научение переписки Гаусса с друэышп искрило
еще ряд других фактов. Самым важным -является то, что
замалчивание в печати своих взглядов на работы Лобачевского но било Для
Гаусса случайным. В сравнительно ранне л возрасте Гаусс уже сам
пришел к идеям, которые предстапллгог собой нериые шаги л области
неевклидовой геометрии. Возникновение этих идей у Гаусса относится
в последним годам ХѴШ века. Однако, оп нродо.икач размышлять
над втими вопросами, и первые годы XIX столетня принесли с собой
ряд колебаний л еомпѳнпіі а). Но в десятых годах Гаусс утвердил од,
в сознании, что возможна другая геометрия, отличная от класспяеекойі
которую он сам назвал неевклидовой. В разработке этой геометрия
он сделал, правда, только первые, элементарные шаги; но сомнений
в том, что они допускают дальнейшее безупречное ее развитие, у него
уже не оставалось. Однако, как человек весьма практический, оя ясно
-отдавал себе отчет, что опубликование отих идей, глубоко
революционных в их научном значении, вызовет бурю возражений и даже
негодование со стороны подавляющего большинства математиков.
Чтобы обезопасить себя от нареканий, нужно было раввернуть новую
геометрию гораздо глубже. Будучи занят другими исследованиями,
*) .BriefwcahBel zwisclien С. F. Gauss iind G. С. Schumacher», Lerausgegebai
yob C. A. Peters. Тоны появились в различные годы, последний— а 1803 г.
5) P. Stackel— Gauss als Geometer. Abdruckauad.Hoft 5 tier «MateriaJcaffir вше
wissenselinftliclio Biograpliie von Gauss-, Nachvicliton clar K. Gcsellachaft der
Wissenscaaften zu GOttLngen, 1917. Этот оОягарныЙ ыемуар выпил такнее отдельным
«зданием в виде приложения к X тоыу полного собрания сочинений Гауосі.
Вик. 158. Н. И. ЛЧЯачсЬеЕИІІ. і. 1.
II
16-2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Гаусс откладивал эту работу, твердо намереваясь все же сохранить-
эти идеп для потомства,. Отрывки ш различных писем п отдельные-
заметки, ішандеппые в его литературном наследии, ие оставляют-
сомпепия в том, что Гаусс действительно владел исходными началами
неевклидовой геометрии; но, как уже скапало, результаты, нолучен-
пыѳ им jju втой области, не выходили за пределы элементарной
геомв трлн.
Так как задача о параллельных линиях была чрезвычайно популярна,
то ѳю в порвоіі половине прошлого вала занимались мпогпѳ, чаще
всего молодые, шюгда очень талантливые математики; онп
обращались к Гауссу за разъяснением возппкаппшх у них в связи о этим
сомнений. Немногих на них он ноевящял э своп взгляды и эти во-
прооы, но строго копфпдошпгально, с непременным требованием пѳ-
оглашать их.
Ф. К. ІПвоіікарт іі Ф. А. Таурннуе
Первые сообщения этого рода пришли из России.
С 1812 по 1810 г. в Харькове состоял профессором права
Фердинанд Швеіікарт (17S0 —1807). Живя в Харькове в глубоком
одиночества, Швейкарт посвящал свой досуг геометрии. Он еще раньше
заинтересовался тоорпѳй параллельных линий н в 1807 г. опубликовал
работу, содержавшую доказательство V постулата '). Убедившись,
потом в неправильности отого доказательства, Швейкарт во время
своего пребывания в Харькове пришел к тем же воззрениям,
которых придерживался Гаусс. В 1817 г. Швейкарт был приглашен
в Марбурѵ, где сблизился с профессором Герлингои, и через него
препроводил Гаусеу заметку следующего содержания:
«Существует двоякая геометрия: геометрия в узком, смысле-
слова — евклидова — п звездное (astralisclie) учение о
величине.
Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что-
сумма трех углов не равна двум прямым.
Принимая вто, можно самым точным образом доказать
следующее:
a) что сумма трех углов в треугольника меньше двух прямых;
b) что сумма ѳта тем меньше, чем больше площадь
треугольника;
c) что выпота прямоугольного равнобедренного треугольника,
постоянно воѳрастая с возрастанием боковых стороп, иѳ может-
превзойти некоторую линию, которую я называю константой.
') Р, К. Scliweiltart — Die Thcorie d<sr Parallellinien, nebst dom Vorsohlaga
ihi-er Verbaimuiig aua (for Geometrie. Leipzig und Jena, 1808.
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕ01ГЕТРШІ >' ДРУГИХ ГЕО1ІЕТГ0В 168
Квадраты имеют по.чтому следующий вил:
7
L-—Л
Еслп вта копстапта для пас равна радиусу Земли (о каковом
случае всякая линия, проведанная в пространстве от одной
неподвижной звезды к другой, отстоящей ог нее на 90", была бы
касательно а к земному тар//), то она бесконечно велика по
сравнению с протяжениями, которые мы встречен в
повседневной жизни.
Евклидова геометрия имеет место только с том случае, еслп
константа бесконечно велика. Только в этом случае сумма углов
каждого треугольника равна двум прямым, и это легко
доказать, если принять, что константа бесконечно велика».
Для осведомленного человека совершенно ясно, что в втпх
немногих словах: содержатся первые основные положения гиперболической
геометрии. Она, конечно, не получила у Шла йкарта сколько-нибудь
углубленного развития; но в этой короткой заметке содержатся все
те элементарные факты, го которых остальное уже непосредственно
выводится.
Швеіікарт, повидпмому, пѳ владел достаточно математикой, чтобы
продвинуть свою «эвеодиую геометрию» дальше того, что наложено
в его ааметко к Гауссу.
В переписке со своим племянником Тауршгусом (1794—1874), в то
время также изучавшим юридические науки, Швейкарт сообщил
последнему о своих занятиях теорией параллельных линий и в общих
чертах познакомил его с результатами, к которым он пришел. Таури-
нус отнесся к вхому сначала совершенно безучастно, но через
несколько лет, случайно познакомившись с упомянутой, выше брошюрой
Швейкарта, он с увлечением занялся теорией параллельных лилий.
В чем собственно его результаты в гу пору заключалась, остается
пепавестным, так как письмо Тауринуса к Гауссу, содержавшее
изложение этих реаультатов, пѳ сохранилось. Ответное письмо Гаусса от
S ноября 1824 г. очень характерно. Он воздает, конечно, молодому
автору должное, но говорит больше о себе, о своих собственных
достижениях, чем об авторе. Гаусс посвящает, его в собственные идѳи
11*
1111 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
по этому вопросу. Чрезвычайно интересную выдержку па этого
ппг-ьмл мы щитоцш в переводе.
«Допуіцсшш, что сумма трех углов треугольника меньше 180\
нршюдит к своеобразной, совершенно отличной от нашей
(евклидовой) геометрии; нта геометрии совершенно послѳдователт.тта, и
іі раавнл ее для себя (i'ur micsh aelhsti) совершенно
удовлетворительно; л имею возможность решить в этой геометрия любую
задачу, пя исключение л определения некоторой постоянной,
значение которой a priori установлено йілть по может. Чем большее
вначеігно мы придаем отон постоянной, тем йлгтіко мы подойдем
к евклидовой геометрии, а бесконечно большое ео апаченне
приводит обе систоми к совпадению, Предложения этой геометрии
отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку
даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении
оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так,
например, все три угла треугольника можно сделать сколь
угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны;
площадь же треугольника по может превысить, даже не может
достичь некоторого продела, как бы велики на былп его стороны.
Все мои старания найти в этой неевклидово!! геометрии ')
противоречие или непоследовательность остались бесплодными, к
единственно, что в этой системе противится нашему раауму, ото
то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива,
должна была бы существовать некоторая сама по себе
определенная (хотя нам и неизвестная) линейная величина. Но мне
кажется, что мы, крона ничего не выражающей словесной
мудрости, метафизиков, знаем очень мало или даже нѳ знаем ничего
о сущности пространства; мы нѳ можем; смешивать того, что
нам представляется на естественным, о абсолютно невозможным.
Кслн бы: неевклидова геометрия была истинна и упомянутая
выше постоянная находилась бы в определенном отношении к таким
величинам, которые доступны нашему измерению на небе или
па аѳмле, то ѳѳ можно было бы определить a posteriori. Я по-
етому иногда в шутку высказывал -желание, чтобы евклидова
геометрия на была истинной, потому что мы тогда имели бы
a priori абсолютную меру длины*.
Благожелательный тон Гаусса побудил Тауринуса продолжать
свои занятия теорией параллельных линий, в результате чего
2) В этом письме, таким образом, впервые появляется термин ■иеевгелвдоаа
геометрия». Заметим, что термин этот н настоящее время имеет более широкое
значение, охватывающее как частный случай: и ту ни евклидову геометрию. t
которая была создана Лобачевским; последнюю в нестоящее время обычно называют
іеомстрит Жобачшокоіо или iiawp6"Juveeicoii \eongmputu.
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕО.ШСТІ'ШІ У ДРУГИХ І'КШШТІ'ОВ ІІіЗ
он в 1625 г. опубликовал броши.ру, посжшичшую марин нарнл-
лелыіых лгашіі1). В ел еду ютом 3 8211 г. он шіуб.іпкоітл ітиѵю
брошюру, содержащую тот и;ч материал и исправленном и лополнеп-
ыом виде'**}.
Стремясь, как уже указано выше, доіптать постулат о ппраллель.-
ных от противного, Таурипус также пришел к константе Гаусса
и Швенкарта и фактически открыл тригонометрию гиперболического
пространства с такой полнотой, что решает при их помощи ряі
аадач, в той числе вычисляет длину о кружке ста, плоішгіі, круга,
поверхность л объем тара. Методы вычисления лово.чі.ло
тяжеловесны, изложение езкато п мало вразумительно, — это и значительной
мере обусловливалось тем, что Тауринус сям не отдаііал себе
полного отчета о содержании н значении проблем, решением которых
ои занимался. По существу, однако, Тауршіусу принадлежит
большая заслуга: он первый опубликовал прямолинейную трпголометрию
неевклидовой (гиперболической) плоскости, повторяем, не огланая
сабе, собственно, отчета, в еѳ значения.
В предисловии к своей последней брошюре Таурннуе в осторожной
форме высказывает пожелание, чтобы Гаусс опубликовал свои взгляды
на основы: геометрии. Брошюры были, конечно, посланы Гауссу; во-
последний уоіо'фел в словах Таурипуса, помещенных в предисловии,
нарушение его воли и прекратил с ним каине бы то пи било
сношения. Нѳ встретив пи малейшего признания своих идей, 1'иурнцус впал
в меланхолию; в припадке болезни он сжег оставшиеся у ііііі'о
экземпляры брошюр. В Европе сохранилось лишь несколько экземпляров
ѳтпх брошюр. Профессор 8нгель их размокал и опубликовал то
материалы, которые представляют интерес, в своем «Собрашш ыерноциточ-
ияков» (си. ниже, стр. 109).
Иоанн Г.олнаіі
Еще трагичнее была судьба молодого венгерок ого математика
Иоанна Болиай, который был сыном друга Гаусса, Вольфганга Волиай.
Молодой офицер получил математическое образование л военной
академии. Назначенный в гарнизон пеболыпего городка в Травсильванігл
и находясь там в глубоком одиночестве, он занялся теорией
параллельных линий и пришел к сознанию возможности другой
геометрии, отличной от евклидовой. После десятилетних размышлении он
построил элементарные начала той геометрии, которая в настоящее
время ио праву называется геометрией Лобачевского. Б 1852 г.
И. Волиай опубликовал ѳтя результаты в виде приложения («Appendix»)
!) F. A: Taurinua — ТЬвогіѳ der РагаНѳШпічп. Koln, I825.
3) F, A. Taurinus—Geomctriae prima elemonta. КйЫ, 1Ѳ26.
1GG ГВОМВТРПЧЕПКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
К учебному руководству своего отца. Отец и сын послали .что
руководство вместе С приложением Гауссу. В ответном письмо Гаусс
после нескольких слов одобрения говорит, однако, что он
затрудняется хвалить работу Иоанна потому, что это зпадпло бы хвалить
самого себя. Он сам давно владеет этими идеями, собирался: их со
временем опубликовать и очень доволен, что теперь освобожден от
этой необходимости. Письмо носило довольно сдержанный характер;
в печати жѳ Гаусс ни единого слова об этой, несомненно
замечательной, работе но проронил.
Не встретив никакой поддержки у Гаусса, И. Болиай также впал
в глубокую меланхолию, близкую к умопомешательству. Это
состояние особенно ухудшилось в 1848 г., когда он получил от отца
экземпляр б Georaetrischo Untersuchungen» Лобачевского. Он
чрезвычайно тщательно научил это оочгщепие, «отмеченное», по его словам,
«печатью гения». Оы написал обширные к нему примечания; по вместе
с тем он пе верил в существование Лобачевского; он бы убежден,
что жадпмй Гаусс хочет вырвать у него приоритет этого открытия и
опубликовал свои собственные исследования под псевдонимом
Казанского профессора Лобачевского. Между тем Болиай никакого права
на приоритет в открытии неевклидовой геометрия не имел: Н. И.
Лобачевский опубликовал своп первый мемуар «О началах геометрии»,
воспроизводимый ниже в настоящем томе, в 1829 г., т. е. за три года до
появления кАппавдпкса», и еще в 1826 г., т. о. за шесть лет до
опубликования книги Болиай, он доложил результаты своих аамѳчаг
тельных исследований Физико-математическому факультету Казанского
унпв ѳрентѳта.
Однако, ыѳ столько в том, что Лобачевский: опередил Болиай на
несколько лет, заключается его общепризнанное преимущество. Уже
в первой работе Лобачевского неевклидова геометрия развернута
несравненно шире и глубже, нежели это бтіло сделано Гауссом и
Болиай; в последующих жѳ работах он дал им еще гораздо более
углубленное развитие. Ложно сказать, что работа Лобачевского
находится в такой же отношении к результатам Гаусса и Болиай, как
современная геометрия во всем ее развитии относится к элементам
геометрии, к «Началам» Евклида. Это — творение несравненно более
высокого порядка.
Оставляя теперь научную и переходя к моральной стороне дела,
нельзя не поставить Лобачевскому в особую заслугу то, что он не
убоялся 4крика боотпнпевя, не устрашился, как Гаусс, «ос, которые
поднялись бы над его головой»; не встретив сочувствия, он не сжег
своих работ, как Тауринус, пе ушел от людей, как Болиай. Он
мужественно боролся вею жиань за свои идеи; не встретив пи единого
человека, который понял и оценил бы их, все же на краю могилы
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОІШТГШІ У ДРУГИХ ГЕОМЕТР Г Ю 1(17
■он аще роз продиктовал для потомства спо« нс.шкое научное
завещание, па база которого геометрия совершенно іюмсппла свой облик н
■слое строение.
И. Саккери и П. Г. .'Іаиберт
Роль всего того круга людсіг, о которых речь шла выше,
выяснилась, как мы видели, поело опубликования переписки Гаусса с друзь-
япи. Но в конце восьмидесятых годов прошлого столетия были как
бы апопь открыты сочинения двух авторов, которых можно отнести
к предшественникам Лобачевского и притом с тем большим правом»
что хронологически они первые приблизились к атому кругу идей.
■Это были итальянский монах Пѳролим Саккери (Cirolamo Saccheri) и
швейцарский философ п математик Гейприх Ламберт (Johaim Ыеіп-
rich Lambert).
Рассуждения Лажандра, как мы видели, установили связь между
теоремой о сумма углов треугольника и теорией параллельных линий.
В дополнение к тому, что было ужо сделано Нассир-Эддпном, Ле-
жандр доказал, что сумма углов треугольника не может быть больше
.двух прямых и что она либо во всех треугольниках равна двум
прямым, либо во всех треугольниках меньше двух прямых. Эта
дилемма считалась существенным достижением Лѳжаняра и: в течение
долгого времени связывалась с его именем. Но в 1889 г. известный
итальянский геометр Е. Бельтрамп обратил внимание на замечательное
-сочинение итальянского иезуита Иеронима Саккерн, в которой все
результаты Лѳжапдра не только уже были опубликованы, но
получили значительно большее развитие. Это сочинение это есть иаданле
-«Начал» Евклида под широковещательным заглавием «Евклид,
■освобожденный от всех пятан, иди опыт, устанавливающий самые
первые принципы универсальной геометрии»1).
Это сочинение, несомненно представлявшее собой труд многих
.лет, было опубликовано в 1733 г., уже после смерти автора,
умершего в том же году. Тонко анализируя Евклида, Саккери очень
подробно останавливается на постулате о параллельных линиях
и действительно дает этому вопросу существенно новое
освещение.
Точкой отправления для Саккери служит четырехугольник,
который фактически встречается уже у Нассир-Эддииа.
Из крайних точек А а. Б отрезка АБ восставим к нему
перпендикуляры ЛЛ' и БВ', расположенные в одной плоскости по одну сто-
>•) U. Sacclteri — Euclides аЪ omni uaevo yindlcatus; slve conatus geome-
tricus quo stabiliuntur prima ipsa urdversae geomatriae principle. Medio-
lani, !733.
108
ГЕОМЕТГИ'-ІЕСІШЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
роыу прямом ЛВ. На зтпх перпендикулярах отложим равные отрезки;
АЛ' л .ВІ1'. Таким образом составится четырехугольник ЛЛ'В'Іі-
с двумя прямыми угламп прп ппаяіем основании ЛВ. Соединим се-
реішш С и С' оснований ЛВ и Л'В'; налагая четырехугольник ЛЛ'Б'ІІ'
па себя другой стороной {ВВ'Л'Л), мы докажем, что прямая ОС
перпендикулярна в оиопм основаниям, а углы Л' п В' равны между
собой. Относительно этих углов аюівет быть сделано три
предположения: либо эти углы тупые, либо они прямые, либо острые. Сак-
кери. нокапываот прежде всего, что, принимая то или другое
предположение относительно одного четырехугольника этого типа, мы тем-
самым должны Припять его такіко относительно всех
четырехугольников того же иша. Иными словами, если какой-либо один из этих,
четырехугольников имеет прп верхнем
основании, например, острые углы, то и все чаты-
А С В рѳхугольпикп этого типа имеют острыо же углы..
Сагскерп называет три различных допущения, ко--
торые здесь могут быть сделаны, «гипотезой!
острого угла', «гшмтозоп прямого углаа н
«гипотезой тупого угла». Оаккѳри доказывает
далее, что при гипотезе тупого угла сумма углов;
всякого треугольника больше двух прямых, при
А С Й
гипотезе прямого угла она равна двум
прямым, при гипотезе, острого угла она меньше-
двух прямых. Далее доказывается, что глпотеэа прямого угла,,
вквивалентна постулату Евклида; чтобы доказать постулат, нужно,,
следовательно, опровергнуть две другие гипотезы. Но если принять,
гипотезу тупого угла, то прямые Л'В' п АВ сближаются по обе
стороны прямой OG' н сближаются настолько быстро, что по обе стороны,
должно произойти пере сеч ѳнио (Сатскери, это доказывает вполне строго)^,
а так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то
гипотеза тупого угла падает. Остается опровергнуть гипотезу острого угла.
Этой гипотезе Саккеры посвящает обширное исследование, занимающеа-
около 80 страниц. Саккари показывает, что при гипотѳаѳ оотрого угла,
две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости,,
либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся,
бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно-
удаляются друг от друга в одну сторожу и неопределенно
сближаются в другую сторону. "Чтобы это обнаружить, пуясѳн ряд
подготовительных рассуждений, которые Саккерщ проводит с безупречной
строгостью. Он показывает при. ѳгом, что перпендикуляр к стороне^
острого угла (при гипотезе острого угла) сначала пересекает вторую»
сторону, а потом, по мера удаления от вертжны, перестает ев
пересевать; что при втом существует предельный— первый не первое—
ЭЛЕМЕНТЫ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМГ/ПЛШ У ДГУЛІХ ШХЧКТІтт ИіО
кающий—перпендикуляр и т. д. Словом, яти — г села я геометрическая
система, соответствующая «гипотеза острого угля*. Но чти тонкая
нить бенуыречшлх рассуждений ъноиаппо прерывается теоремой
ХХХІП, в которой Саккертс заявляет: «Гипотеза острого угла
совершенно ложна, ибо противоречит природа прямой лпгшіс». В чкм ;ко
сказывается эю противоречие? Рассматривая неограниченно
сближающиеся пряные как пересекающиеся в бесконечно удаленной
точке, Сагсгсерн приходит к заключению, что в этой босжешвчно
удаленной тачке в обеим прямым можно было бы провести общий
перпендикуляр, что «противно природе прямой линии». Человек,
чрезвычайно топко разбирающий доказательства Прокла, Нассігр-Э длина-
п Клавня, искусно вылавливающий глубоко сокрытую логическую
ошибку, запутывается сам в элементарных рассуадапнях, потому что
он не имеет твердых оснований для суждения о том, в какой морп
мо;і;яо пользоваться бесконечно удаленными точками. При всей
категоричности, с которой формулирована упомяпутан выше ХХХШ
теорема, Саклѳры, очевидно, чувствует слабость ѳшх рассуждений, пбо
он аакапчиваѳт следующим примечанием:
еНа ѳтом я мог бы спокойно остановиться, ко я не хочу
отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого
угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит
самой себе. Этому посвящены следующие теоремы настоящей,
книга».
Возвращаясь, таким образом, вновь к гипотезе острого угла, Сак-
кѳри показывает, что геометрическое место тсіек в плоскости,
удаленных на данное расстояние от данной прямой, представляет собой
кривую линию («кривел равных расстояний» или «эквидистантн»).
За этим следует подробный анализ ѳтой кривой, совершенно
правильный до тех пор, пока он не приступает к определению ѳе
длины при помощи метода бесконечно малых. Здесь он вновь
впадает в ошибку, которая заставляет его отвергнуть гипотезу острого
угла. Но и здесь оп кончает примечанием, указывающим, что л эти
рассуждения его, в сущности, не удовлетворяли:
«Не могу не указать здесь,—говорит он, — разницы между
приведенными опровержениями обеих гипотез. При гипотеза
тупого угла дело ясно, как свет божий... Между тем опровергнуть,
гипотезу острого угла мне нѳ удается иначе, как доказав,-
что длина вквнднетанты равпа длине ее прямолинейного базиса»').
I) В 1895 г. германские математики Ф. Энтель и П. Штекель выпустили
первый том сочинения, очень важного дая иаутанжя истории неевклидовой гео—
170 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Лналошчоую постановку вопроса мы находим в сочинении
математика, іг философа Генриха Ламберта еТѳорпя параллельных линий»,
«ітіюснідемоя к 17Т(> г. ').
Ламберт рассматривает четырехугольник, имеющий три прямых
угла. Относительно чстаортого угла могут быть опять три гинотеагл:
либо ато угол тупой, лпбо прямой, либо острый. Ламберт
рассматривает каждую гипотезу отдельно и в некоторых отношениях он уходит
значительно дальше Саккѳри.
Во-первых, Ламберт указывает, что гипотеза тупого угла
оправдывается на сфере, если присвоить окружностям большого круга роль
прямых лппігй: так как окружности эти имеют по две общие точки,
то предложение, при помощи которого ©та гипотеза отвергается на
плоскости, здесь не находит себе применения.
Во-вторых, оп ведет гипотезу острого угла еще дальше, нежели
Саккври; он знает, например, что прц этой гипотеза площадь
треугольника должна быть пропорциональна разности между 2d и суммой
его углов. Стройность умозаключений, к которым ведет гипотеза
острого угла, и в особенности упомянутый сейчас факт наводят его
даже на следующее размышление:
«Я склонен даже думать, что третья гипотеза справедлива
на какой-нибудь мнимой сфере. Должна же быть причина,
вследствие которой она на плоскости далеко не поддается
опровержению, как это легко может быть сделано со второй
гипотезой».
Гениальные люди часто иредвидят истину! Слова Ламберта
оправдались ровно через сто лет.
В третьих, наиболее важная ааслуга Ламберта заключается в том,
что он нѳ впал в ааблуждениѳ и пе пртонал достаточным ни одного
доказательства, опровергающего гипотезу острого угла.
і Доказательств а евклидова постулата, — говорит он,—могут
быть доведены столь далеко, что остается, повидимому, ничтожная
ыетрии; оно носит название «Собрание первоисточников по предъистории
неевклидовой гвоагѳтрин»: F. Е n g е 1 und Р. 8 t іі, с к е 1—Die ТЬѳопо der Parallellinien ѵоп,
EukM bis aui Gauss, еІпе ШкипДепэ annulling zurVorgosc)iicbtaderiiich.teuiJidifloheB
Geometric, Leipzig, 18Ѳ5. В ѳточ сочинѳніпі воспроизведен!.! все материалы по
неевклидовой геометрии, появившиеся в печати до сочинений. Лобачевского.
Б нем помещен и немецкий: перевод той частя сочинения Свккори, которая
относится к теории параллельных линий.
і) Johann Heiniieli Lambert жид от 1728 по 1777 г. Он написал ряд
выдающихся сочинении ло фиалке, логике и теории познания. Сочинение ■Tkeoiie der
PcraUollinien» было опубликовано в 1788 г. после сыертіс автора.
J. Н. Lambert — Tlieorie der РагаІІѳШшеп, Magazin fiir die reine und
aogewandte Mathemafcik, Leipzig, 1780; помещено также в книге Энгѳля и Ште-
келя на стр. 152—207.
-ЭЛЕМЕНТЫ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ У ДРУГИХ ГЕОМІГП'ОВ 171
мелочь. По при тщательном анализе о кап шэ ас тог, что в чтоП
ісажупшОся мелочи и заключаете» пен суть вопроса;
обыкновенно она содержит либо докапываемое лредло;г;еыии, лноо
равносильный ему постулат».
Б другом место Ламберт восклицает:
gB этем есть почто восхитительное, что вызывает даже
желание, чтобы третья гипотеза была справедлива.
XI все же я .желал бы, несмотря да это преимущество1),
чтобы ато было ые так, потому что это было бы соцряягепо
о целым рядом других неудобств. Трігго но метрические таблицы
стали бы бесконечно прострадни ми; подобие и пропохщиональ-
ность фигур не существовали бы вовсе; ни одна фигурана могла
бы быть представлена иначе, как в абсолютной своой величине)
гт астрономии пришлось бы плохо...»
Указывая ряд абсурдов, с точки зрения наших представлений,
к которым приводит гипотоза острого угла, Ламберт замечает, что
все это не дает логического доказательства, что псе это, как он
выражается, targumeBta аЪ ашоге ас mvidiaductaa2), аргументы, который
не может быть места в геометрии. Как и профессор ІІестдер, много
занимавпшйея теорией параллельные линий, — быть может, лучший
знаток ѳтого вопроса в ХѴШ в., как и ученик последнего, Клюгель,
Ламберт приходит к твердому выводу, что все попытки доказать
пятин постулат "Евклида не привели пи к чому.
*) Существованио абсолютной: иеры длины.
*) «Аргументы, вывиваемые ліововыа и недоЗражелательством».
Приложение &
ИСТОРИКО-БДБЛИОГРЛФИЧЕОКИЕ СВЕДЕНИЯ О СОЧИНЕНИИ
«ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ*
Сочинение (Геометрические исследования по теории параллельных
линий) было опубликовано Лобачевским в 1840 г. на немецком языке-
под заглавием iGeometriscIie Untarauclrangen zur Theorie der Parallelli-
nient. Опо было выпущено в свет отдельной броішорой издательством
Г. Финке (G. Finoke) в Бѳрлігае; оригинальное издание содержит 01
страницу текста и два титул ьш ах лнста. Брошюра напечатана!.
в формате малой октаны готическим немецким шрифтом; к ней
приложены дие таблицы чертежей. В том же 1840 г. в немецкой
библиографическом издании iGersdorfs Repertorium» ') была помещена
рецензия на (Геометрические исследования!, которую Гаусс
справедливо назвал весьма нелепой.
В 1387 г. сочинение было переиздано Берлинской фирмой Mayer
und Muller автотипическим путем, фотографически
воспроизводящим первое оригинальное издание (факсимиле). Наоколько
нам навестно, и пределах СССР экземпляр оригинального издания
1840 г. имеется только в библиотеке Всесоюзной академии наук.
Иадапие в общем выполнено очань тщательно, но некоторые
опечатки все-таки проскользнули, в том числе и в формулах.
Было бы очень интересно установить, каким образом это сочинение-
казанского профессора, имя которого в Германии в ту пору
совершенно не было известно, попало в небольшое берлинское
издательство Финке и было принято им в печати, несмотря па то, что характер-
сочинения (если издательство отдавало себе в этом отчет) не обещал
сколько-нибудь значительного сбыта. Этим вопросом впервые аанымалея
проф. Ф. Энгѳль, выпустивший на немецком языке перевод двух
больших сочинений Лобачевского («О началах геометрии> и сНовыо-
начала») и его биографиюа). Эягель приходит к заключению, что
передача t&eometrisclie Untersucliungen» издательству Финке была
произведена Эрнстом Кнорром, занимавшим с 1832 по 1840 г. кафедру физика
!) Repertorium. der g-esammten deutachen Litei'ntur. Наганsgegaben топ Е. Gers-
dorf. Leipzig, 1840, 8, стр. 147.
5) F. Engel—Nikol&j Iwanowitech LobafechoTekij. Zwei geornetrisobe Abhimd-
hmgen, aus dem Itussiachen libecaetat, mit АшпегЪщдоп und mit ѳіиѳг Biograpluts
ИСТОРИІШ-ВІШЛЕГОГІ'Л'ГЯІЧКгЖІШ (.'ВЕДЕНИИ 173
и Казанском университете!). Концепция, которая пршюднт Ѳпгеля
к этому занлючешпо, носит письма своеобразный характер. В
переписке Гаусса с друзьями помещено еі-о письмо к известному астро-
.лому Ѳпгсо от 1 февраля 1941 г., которое ми здесь воспроизводим в
ясроводе.
«51 начинаю довольно успешно читать по-русски п нахожу
в этом большое удовольствие. Г. Кнорре*) прислал мне
небольшой мемуар Лобачевского {с Казани), напнсанпыл по-русски,
it как этот мемуар, так и небольшая книжка о параллельных
линиях яа немецком язчве (о ней появилась весьма нелепая
заметка в <Реперторнумс» Герсдорфа) возбудили во мне желание
узнать больше об этом остроумпом (scliarfsinnigeii) математике. Как
мне сказал 2) Кпорре, б напечатанных на русском языке *3апиеках
Казанского университета» имеется много его работ».
К. Ф. Кнорре (К. р. Кпоп'е, 1801—1833) был астрономом, работавшим
«начала при Дерлтсгсой морской отколе, а с 1821 г.—при
Николаевской астрономической обсерватории. Соображения Эягеля начинаются
-с того, что Гаусс назвал астронома Кнорре ошибочно, смешав его
с профессором физики Казанского университета Эрнстом ІСнорром.
-Энгель считает невероятным, чтобы астроном Кпорре прислал Гауссу
мемуары Лобачевского из Николаева; между тем Эрнст Кпорр именно
ів 1840 г. путешествовал по Германии и мог переслать Гауссу брошюру
.Лобачевского. Повшшмому, его било отдельное издание мемуара.
і Tip им ей ей не воображаемой геометрии к некоторым интегралам»,
■Этот же Э. Кпорр мог также, по мнению Энгѳли, передай,
издательству Финке рукопись <tGeomettisnhe Untersucliungen» н прп своих
прежних берлинских связях мог добиться ее напечатанпя.
Строго говоря, в пельзуэтого предположения говорит только одно
■слово в последних строках письма Гаусса к Ѳнке, именно слово
чсі;азал>; дело в том, что астроном Кнорре п те годід в Германии
не был п, следовательно, «сказать» что-лпбо Гауссу устно о работах
Лобачевского не мог. Между тем Э. Кнорр, по свидетельству его
■еъта, был с Лобачевским в Казани в хороших отношениях п именно
и 1840 г. путешествовал по Германии.
■des VerfasserS. I Teil: Die tberaetsimg; П ТеіІ: Anraerkunge». Lobutscbefskijs Leben
und Schrii'tati. Стр. 398, 400, 433, 437, Leipzig, 1868—1888. {Сочкнешю входиг
н состав издания: .Urktiiiden.кііг Geschichta der lucliteaklidiaclien Geometries, Ьегаиэ-
.^egabeu топ F. Eugel und P. St Sick el, Band I.)
!) Erosfc Kaorr (1805—1879), получив оорааоватшѳ в Берлине, состоял
ассистентом при А, Гумбольдте и, повидиыоыу, по его рекомендация быя в 1832 г.
приглашен профессором в Казанский университет: в 1816 г. :ю состоянию здоровья
бып переведен в Киевский университет.
5) Курсив ааш. В. К.
174
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Вся эта вонпепшія представляется нам мало убедительной. Гаусс,
вероятно, находился с астрономом Кнорре в переписке, и трудно думать,,
чтобы он смешил знакомого ему астронома с лгало известным 9. Кнорром.
Нет ничего невозможного в том, что Гаусс просил Кнорре выслать
ему работы Лобачевского, п послѳднпп переслал ему мемуар, который
Гаусс и получил. Ведь переписывался же Гаусс с другим астрономом
В- Струве, при посредстве которого оп получил другие сочинения
Лобачевского. Очень легко допустить, что один па мемуаров ему
ранее прпс.тт Кпорре. Странно авучит, конечно, слово «оказан»; по
нелепее странно звучало бы п слово «прислал» в первых строках
письма, если бы оно относилось к Э. Кнорру: по предположеншо-
Энтеля, Кпорр ллчно посетил Гаусса, и было бы естественно
думать, что он лично же передал бы Гауссу мемуар Лобачевского.
Очень возможно, что слово «сказал» неосторожно употреблено-
Гауссом вместо «сообщила
Упас, со cnoeft стороны, пмеется другое предположение. Дало в том,
чю в Казани с 1 BOO но 1S14 г. состоял профессором права И. А. Финке ').
В 1814 г. II. А. Фшіве скончался, но семья его осталась в Казани:
его дочь выгала замуж за профессора Э. II. Эііхвальда (1825), а сын
в 1824 г. поступил студентом в Казанский университет. Разыскать
их след нам не удалось; но, по наведенным справкам, Фпнке —
мало распространенная в Германии фамилия; не лишено
некоторой вероятности, что профессор Филкѳ находился в родстве С
берлинским издателем К. Фннкѳ н что через членов ого сгагьи было-
организовано издание «Greometrische Unterauchungeni. К
сожалению, разыскать преемников -издательства не удалось ни Эпгелю,
нп нам.
В 18UG г., вскоре после опубликования известной переписки-
Гаусса, обратившей внимание математического мира на сочинения
Лобачевского, французский геометр Гуэль (Cruillauma Jules Houel)
перевел «Greomet.rische Untereuelmngant на французский язык я
опубликовал перевод в «Навестиях общества физических и
естественных наук г. Бордов, а затем известное издательство G-authier-
Villars в Парнасе выпустило его в свет отдельным изданием под.
названием atftudes geometriques вш- la tlnSorie des рагаІШев»г).
В приложениях даны выдержки из переписки Гаусса с Шумахером..
l) Jobsum CJiristoph ЛПпско (в Казани называл себя «Иван Арнольдович»)р
1773—1814 гг.
-) N. J. Lobatscliewsky — iStudes gec-motriqiiee я иг la flidorio des раіаІШея,
suivis й'ип extrait de la eorrespcmdaiice de Gauss et da Schumacher. Traduit par
G-. J. НайѳІ. Uiimoii'oa do la Societe doe sciences pliysiques et natui'dlos de Bordeaux,
4, Bordeaux, 1863. Отдельное издание того жѳ сочинения: Paris Gauthier-Villare,.
I86G, 2 изд., 1895,
ИСТОРІШО-БІГОШІОГРАФЦЧШШЕ СВЕДЕНИЯ 17"»
В 1895 г. этот французский перевод был перепадал той же
фирмой.
В 1891 г. американский профессор Гальстед (G. В. Hals ted),
занимавший кафедру математики в Техасском университете, перевел
tGeometrische tintersucbungen i па английский язык, а Техасский
университет выпустил этот перевод в свет под лаавапием cGeometrical
Researches on tlie Theory of Parallels^ (Austin, 1891). В tos( же 1891 г.
Техасским же университетом было выпущено второе иадаппе ятого
перевода, а в 1892 г. пм были выпущены еще два издания, третье
и четвертое, из которых последнее было целиком отослано в
Японии. В 1314 г. этот же перевод был переиздан в Чикаго (Open.
Com-Ь).
В 18С8 г. в Щ томе журнала «ЗІатоматпчѳскнй Сборник»
появилась статья еО теории парад лельшлх линий II. II. Лобачевского».
Автор, подписавшийся А. Л-ов, в нескольких словах говорит о
попытках доказательства евклидова постулата и о выявившемся после
опубликования писем Гаусса значении трудов Н. II.
Лобачевского. Эта небольшая статья представляет несомненный интерес как
первое очень осторожное прнзнашгѳ работ Н. II. Лобачевскогс-
в России. За собственным текстом автора следует «Извлечение из
переписки Гаусса с Шумахером» п перевод «Geometrisehe Untersu-
chungen» под ааглавием. «Гѳометрпчнекие изыскания о теории
параллельных линий». Перевод выполнен тщательно, в настоящее время
несколько устарел; повпдиному, он сделан не с оригинала, а с
французского перевода Гуаля. Вся статья помещена во втором
отделе журнала, в котором печаталась различного рола научная
хроника; автор предназначает ее, главным образом, для преподавателай
математики, которым она, конечно, не могла быть доступной. На всем
тексте автора лежит печать сугубой осторожности а оценке трудов-
Н. И. Лобачевского. Все это привело к тому, что статья осталась
совершенно незамеченной; онапѳ укааана ни в одном ив
библиографических справочников по неевклидовой геометрии. Лишь в последнее
время ее обнаружил проф. М. Я. Выгодский. Его предположение, что-
статья принадлежит профессору А. В. Лотникову, подтвердилось: она-
указана в описке трудов А. В. Летяиковав Энциклопедии Брокгауза п
Эфрона.
В 188в г. Казанским университетом издан второй том «Полного
собрания сочинений по геометрии» Н. И. Лобачевского. Этот том
содержит сочинения, опубликованные Лобачевским на иностранных
языках. Он начинается сочинением iGeonretrische UntersHcliungen».
Сочинение напечатано готическим немецким шрифтом, но содержит
значительное число опечаток и мелких отступлений от точного текста,
орипшача.
170 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Настоящее ппдіише содержит вглполненный проф. В. Ф. Коганом
РІ'сскіііі перевод мгого сочинения с пояснительными
примечаниями. Черте:ки, несколько уи^лгічеішые, помещены для удобства
чтения в самом текста.
Перопод классических пршктсдешгіі всегда представляет
значительные трудности; здесь яти затруднения усиливаются вследствие того,
что терминология предмета еще п по настоящее враля не вполне
выработана ш еаміліі немецкий текст Лобачевского местами не вполне
безукоризненный. Ми предпочитали ігаогда по;кеі)твовать чистотой стиля
в пользу возмояспо более точного воспроизведения фразеологии автора.
КАЗАНСКІЙ
въстникъ,
ИЗДАВАЕМЫЙ
ПРИ
ИМЛЕРАТОРСКОМЬ
КАЗАИСКОМЪ УНИВЕРСИТЕТЕ.
ЧАСТЬ ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ.
КНИЖКА I.
мѣсяцъ генварь
і а 2 g
Печатано в-ь университетской Типсграфіи.
Титульный лист псрвоП книжки журнала .Казанский всстшік" за 182Э г.
К пр. 177
О НАЧАЛАХ
ГЕОМЕТРИИ
a Q <а ©
ПЛОДНАЯ СТАТЬЯ И КОММЕНТАРИИ
А.Н.КОТЕЛЬНИКОВА
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ.
В водна» стать я:
0бзі>р сочішеяня «О началах геометрии» 179
Н. И. Лобачевский— «О началах гѳометрия> і8.>
Примечания 2Ѳ2
11 р и л о ;к (■ в ия:
1. Отзывы современников о сочинении -О началах геоыетрип» . . . 409
2. Протоколы конференции Росс «Иск ой Академии Наук о работе
Лобачевского «О началах геаиетрни» 4]|>
3. Псторико-библиографические соедевиі/ о сочивевни -О началах
геометрии» 411
ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «О НАЧАЛАХ ГЕОМЕГРИІЬ
В работа «О началах геометрии» Лооачьвекнм намечены все те
теми, которым были посвящены вое последующие ого геометрические
работы; ы дальнейших сочшзонпях втіг темы нашли би.тѳ полное
развитие, а иногда п более простое изложение.
Сочинение «О началах геомѳтршіі можно разделить на три части.
В первой части, представляющей собой извлечение из «Exposition
succinate», устанавливаются основные геометрические понятии,
налагаются свойства треугольников, теории параллельных и выводятся
тригонометрические формулы. Весь этот обширный материал изложен
очень кратко, в подавляющем большинстве случаен почти без всяких
доказательств, и первая часть и.иоет характер краткого конспекта.
«Изложение всех моих исследований в надлежащей связи
потребовало бы слишком много места я представлении в совершенно новом
виде всеН пауки», — пишет Лобачевский. II действительно, план,
набросанный в первой части, совершенно не соответствует тому
порядку, которому следуют обычно при изложении начал геометрии.
Сначала вводится понятие о геометрическом теле, поверхности,
линии п точке, причем за исходное единственное геометрическое
свойство тела принимается прикосновение. Далее вводится расстояние
между двумя точками, понятия о сфере и окружности предшествуют
понятиям о плоскости и прямой линии. Одновременно
рассматриваются углы линейные, плоскостные (двугранные) и телесные, и
определяются все виды правильные многогранников.
Установив основные понятия, Лобачевский перечисляет свойства
прямолинейных я сферических треугольников и далее пишет:
«...сумма углов прямолинейного треугольника не может быть
> ~. Остается предполагать вту сумму = іг или < ". То и
другое может быть принято без всякого противоречия в последствии,
от чего и происходят две Геометрии — одна, употребительная до
ныне по своей простоте, соглашается со всеми намерениями ѵл
самом деле; другая, вооЯражаслмя, более общая...»1).
') Стр. іі)4.
IV»
іао
О ПАЧАЛЛ.Х ГЕОМЕТРИИ
ГІослг' этого перечисляются освоение свойства парачлельпых в
воображаемой геометрии, вводятся угол параллельности и понятое о
продольной лишш и поверхности, в которые обращаются окружность и
сфера, когда их центр удаляется в бесконечкості.. «Геометрия ма
предельной сфере совершенно та же, в каком тшде мы ѳѳ знаем на
плоскости»'),— утверждает Лобачевский без всякого доказательства.
Пользуясь этим свойством продельной поверхности, Лобачевский,
при помощи соотношений между углами прямоугольного треугольника
и углами параллолыіости, соответствующими его сторонам
[формулы (3), (4), (а)), выви-щт основную формулу июображаемоП геометрии»
tang'— F(a) = <?-«,
определяющую связь между длиной отрезка и отвечающим ему
углом параллельностиа). Эта последняя вместе с предыдущими
формулами дает возможность получить трпгчшо метрические соотношения
для прямоугольного, а аатем и косоугольного прямолинейного
треугольника. Выводом тригонометрических формул и закапчивается
первая часть,—извлечение из «Exposition succineLe ties prhioipes (le ia
Geometrie...».
Лобачевского, конечно, очень интересовал вопрос, насколько ого
<воображаѳмая геометрия* отражает геометрические соотношения
нашего физического пространства, іг, переходя ко второй части своей
работы, он показываем, пользуясь параллаксами шеподвшкпых звезд, что
«...все линии, которые подлежат нашему палерѳш-но, даже
расстояния между псбоспымп телами, столько малы в сравнении
с лишіею, принятою в теория за, единицу, что. употребительные
до сих пор уравнения прямолинейно** Тригонометрии беа
чувств нтельном погрешности должны быть справедливы. .. » а),
«,..Как бы то ни было, — закаычввает Лобачевский .свое
натурфилософское отступление,—новая Геометрия, основание которой,
уже адееь положено, еслиине сущѳствуѳтв природе, тем не менее
может существовать в нашем воображении, и, оставляет, без
употребления для измерений на самом доле, открывает новое,
обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики»4).
Приложения воображаемой геометрии к анализу и интегральному
исчислению привлекали особенное внимание Лобачевского. Им он
росвятпл некоторые па евопх работ и вторую п третью част «ТТачал
і) Стр. 103.
'■0 Формула (12) в а стр. 205.
31 Стр. 207.
■') Стр. £09—210.
ОБЗОР СОЧШІКШШ
1st
геометрии». При ятом оп пользуется и большинстве сдучиев
ортогональными системами координат—-сферическими координатами ил к
координатами, которпв представляют обобщение для * воображаемой
і'вометрии» координат Декарта it которые мы будем наіывать
«координатами Лобачевского».
Во второй части Лобачевский спачмла вмпкдит уравнении прямой,
окружности и предельной лпнші и ввдчислиет длину прямолинейного
отрезка, дуги окружпосга и предельной линии. Он дает также общие
выражения для элемента дуги и полярных (37) и в своих (34)
координатах и проверяет их на выведенных раньте формулах.
Затем Лобачевский переходит к вычислению площадей сначала
плоских фигур, ограниченных прямымгг, дугами окружностей пли
предельными линиями, и дает выражение элемента площади,
разбивая ѳѳ или прямыми, выходящими из одной точки (40), пли
прямыми, перпендикулярными к оси х (39), или прямыми,
параллельными оси у (41), (42), (43), Пользуясь той или иной из этих
формул, он получает различные выражения для одной и той же
площади.
При вычислении площади кривой поверхности Лобачевский дает
общее выражение алемента площади в овонз координатах (44) л с
помощью ѳго вычисляет поверхность выреака') сферы, предельной
поверхности" между плоскостями, перпендикулярными к радиусу сферы
или к оси предельной поверхности, и боковой поверхности конуса.
Для вычисления поверхности сферы он пользуется также сферическими
координатами, и сравнение величины поверхности сферы,
вычисленной при помощи его координат я координат сферических, приводит
к значению некоторых новых определенных интегралов (4В), (47).
Переходя к вычислению объема, Лобачевский сначала вычисляет
объем тела, ограниченного двумя предельными поверхностями,
выгнутыми в одну сторону, с общими осями, и б оков ой поверхностью конуса,
образующими которого служат общие оси предельных поверхностей (49).
Пользуясь чаотным случаем полученной формулы (с = со), он
вычисляет объем прямого круглого ісонуоа, ітмѳющего конечную высоту
(55), и конуса с бесконечно большой высотой, образующие которого
параллельпы высоте (53), объем шара (56), конического выреака шара,
сегмента шара и тела, ограниченного предельной поверхностью, и дает
общее выражение объема тела вращения (57).
Далее Лобачевский дает выражение элемента объема, все три
измерения которого бесконечно малы, в своих координатах (59) и в
координатах сферических (<il) и очень подробно останавливается на
вычислении объема трехгранной пирамиды, основанием которой служит
J) иВырееиом» сферы Лобачевский называет часть ее поверхности, ограниченной
двумя большими кругами.
132
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
прямоугольный треугольник, а высотой — перпендикуляр,
восставленный в вершине острого угла.
Если разделим такую пирамиду плоскостями, проходящими через
ее высоту, то получим для ев1 объема формулу (03), Женяя переменную
интегрирования, Лобачевский из (63) выводит три различных выра-
«кения для объема пирамиды: (87), (70) и;(7і).
' Особенно отмечает Лобачевский1 тот случай, когда высота такой
пирамиды делается бесконечно большой1 и ребра ее становятся
параллельными ■■'с перпендикуляром, восставленным 'в вершине острого
угла основания. Рассекал .такую пир амид уішісе костями на
.элементарные пирамиды различным образом, мы получаем несколько' различных
вырая:ений для еэ объема: (72), (73), (74) "ж С75), которые, конечно,
должны быть вой равны меэкду собой.
Далее1 Лобачевский замечает, ."что вояку іо пирамиду с ге.і*г..-.-..-.1,п
выОЪтгоН ■ моигао 'составите черва сложение и вычитание .таких пирамид,
о которых тйлысо что была речь, и таким' образом интегралы (73) и.(75)
могут служить элементами для вычисления. объема всякой пирамиды.
Так, например, объем пирамиды Р, определяемый по формуле (03), можно
представить-'посредством объемов четырех бесконечных пирамид, н,
следовательно, интеграл (63) и различные его видоизменения (67)-, (70),
(71) можно разлоэйить на- сумму четырех .интегралов (80) или (81).
Подобнйм -Яве образом бесконечную пирамиду, у которой основанием
служит четырехугольник о тремя прямыми, углами, одно ребро-, пер-
пещщкупнрно'к основанию в вершине прямого, угла, противолежащего
острому, а -прочие реора с ним параллельны; можно разбить на две
подобные же пирамиды с трнуголыгеши основаниями, и таким обоазом
получить равенства, (82), (84), (85) и (86)
"Чтобы дать еще пример па вычисление н преобразование
определенных интегралов, в" конце второй части Лобачевский онова, другим
способом, вычисляет объем прямого конуса И пирамиды и, сравнивая
их новые выражения с вычисленными прежде '(53) и (65), получает
значение двух определенных интегралов [см. формулы (88), (89) и-не
■отмеченные номером на1 стр 249]. Наконец, вычисляется объем
пирамиды с конечной высотой, в> основании ■которой"1 находится ■
четырехугольник ■ с; "тремя'прямыми углами-.
Рассматривая эту вторую часть, мъі видим, что у..Лобачевского
основная .идея приложении с воображаемой ^геометрии» заключается,
в преобразовании и вычислений определенных, интегралов при помощи
следующего метода: пользуясь геометричеойишг111,ебрааамв:1овоеи-,.«:вообл
ража'елЮй геЙмёЧ'рнйі,' отличными от образов > «употребительной гвомѳк-
рии>,- ЛЬбачевскии -вычисляет шгощадь квкииі-лнбо фигуры ■ или: объем-
какоіто-лжбо> жела іравяичнымщ- -оп-особалш иди раабиаая ИХ различным
-образом па элементы, или употребляя различные системы, «оардинат,
ОІ530Р СОЧШШШЛ
183
или разлагая фигуру и.тн тело на лругло более простые фигуры и тела.
Имея, таким образом, для одного и того же объема или одной и той
же площади различные выражения и сравнивая пх, ои получает
преобразование одного интеграла в другой, или получает для интеграла
.конечное выражение, или разложение одпого определенного интеграла
на сумму нескольких другая более элементарных.
В третьей части сочинения Лобачевский сопоставляет некоторые
напболое интересные из долучепных им по второй части формул и
обращает внимание читателя на большую роль, которую в
вычислении объема пирамид играет иптеграл
L («,«)= f--- *f* .
J ffr+e" *— 2соно)
о '
Он рассматривает некоторые свойства этого интеграла и доказывает
связь его с другим элементарным интегралом:
Ф
(х) = —- J log cos x dx
[равенство (95)], и этот последний разлагает а тригонометрический ряд.
Разлагая объем пирамиды конечной высоты (формула 67, или 70,
,илн 71) на объемы чегыреа бесконечных пирамид, мы получаем
формулы (97), (S3), (99). Сравнение ;иѳ выражений (G7), (70) и (71) для
одного и того же объема дает формулы (100) и (101). Конец
сочинения посвящен преобразованию интеграла (88).
В заключении Лобачевский замечает, что уравнения (17) его <вс
обращаемой геометрия» * переменяются в [уравнения] (20) оферичѳокой
Тригонометрии, как скоро вместо боков а, Ь, с ставим а у—1, by —1,
й |/ — 1» и потому в уравнениях (17) не может заключаться никакого
противоречия; «следовательно, — пишет далее Лобачевский, —
обыкновенная Геометрия, Тригонометрии гг эта новая Геометрия всегда
будут согласны между собойэ. Этим и обусловливается возможность
использовать геометрические образы «воображаемой геометрии»
для вычисления определенных интегралов, «к поананию которых,
одной Аналитике без пособия Геометрии трудно было бы проложить
дорогу».
Затрагивая в заключительных словах вопросы механики, Лобачевский
предполагает, что «силы, измеряемые всегда скоростью», в
воображаемой геометрии будут подчинены с другому закону в соединении,
нежели принятому сложепию их».
178
О НАЧАЛАХЪ Г Е О М Е Т Р I И (*).
(Г. Лобачевскаго.)
дѴажется , трудность покятІи
увеличивается ло мѣр* ихъприбливенія кт. началънымъ
нсгпинаиъ въ природ* j также какъ она вОзра-
етаеті вт> другомъ направленіи , кг той
границ* > куда стремится уічг за новыми поэна-
ніямк. Вотъ почему трудности въ ГсомегарІи
должны принадлежать, вопервыхъ, самому
предмету. Дал-ве, средства, къ которымъ надобно
прибегнуть, чтобы достигнуть эдѣсыіосл-вдней
строгости , едва ли могутъ отвечать ігвли и
простоте сего ученія. Тѣ , которые хотѣли
удовлетворить симъ требованіямъ, заключили
себя въ такой тоской кругъ , что вс8 усилія
мхъ не могли быть вознаграждены усп*хомі>.
Наконецъ скажемъ и то , что со временя
Нютпоиа и Декарта, вся Математик*)
сделавшись Аналитикой , пошла столь
быстрыми шагами впередъ, что оставила далеко за
собой то ученіе, без-ъ котораго могла уже об-
(*) Извлечено самимъ Сочинителемъ иэъ рязсуж-
деніл , подъ нізваміемъ : Exposition tucemtte
dti prineipes de la Glomttrie He. , чи там наго
имь въ засѣданіи Отділеніл
физико-Математических* ндукь, іа февраля \%%6 год*-
Первая страница сочинения ,0 началах геометрии"
(стр. І7В ікурналя .Казанский вестник", кн. 2—3 за 1829 г.)
к стр. iss
КАЗАНСКІИ БЪСТНИКЪ.
ФЕВРАЛЬ иМАРТЪ
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ*
н'Лш Кижѳгси, трудность понятий увеличивается по мере их
приближения к начальный истинам н природе; также, кпк она
возрастает в арѵгом направлении, к тон границе, куда стремятся ум
па новыми по-знанітяыл. Вот почему трудности в Геометрии
должны прип«длѳиаѵгь, во-первых, салону предмету. Далее, средства,
к которым нвдобио прибегнуть, чтобы достигнуть здесь последней
строгости, едва ли могут отвечать цепи и простоте сего ученая.
Те, которые хотели удовлетворить сим требования*!, заключили
себя в такой тесный круг, -что все усилия их не могли быть
вознаграждены успехом. Баковѳи, скажем а то, что со времени
Нютона и Декарта, лея Математика, сдолавшись
Аналитикой, пошла столь быстрыми шагами вперед, что оставила далеко
і" за собоч то учений, бе-і которого могла уікеобіходитьел и которое
с тем вместе перестало обращать на себя внимание, какое прежде
заслуживало. Евклидовы начала, таким образом, несмотря на
глубокую древности их, несмотря; на все блистательные успехи
нашл в Математике, сохранили до сих пор первобытные свои
недостатки.
В самом дѳлѳ, кто не соілнеитея, что никакая Математическал
наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких,
повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию, в что нигде в
Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой
принуждены били допустить в теория параллельных лвьвй. Праіда,
что против ложных заключений от неясности первых и общих
понятий в Геоыеірвп предостерегает вас представление самых
» Извлечено ошхм Сочинителем из р»с суждения, под иазяяизкм: ExpotiUim
suadncle dt» printipa de la eton\Hrit tic, читівного em в в«еед«екиОгдемяв»
Фиенко-Митеывткэдслкх Ніук, 12 февраля J820 год». {Примечание Лойачаскою.Х
1ЧС
о н.ѵчл.'ілх геолііітріш
iij.p-.iMt'iiui л пишем воображении, м в справедливости принятых
поит бил доказательства убеждаемся простотою их и опытом,
например астрономическими паблюденияші; однако ж все это нисколько
не может удовлетворить ум, приученный к строгому суждению.
К тому п но в право пренебрегать решением вопроса, покуда оно
неизвестно л покуда во знаем, не послужит ли оно отце к чему
другому.
]М J І'дсоь пимгроп л іі.'гі.іи-нить. каким образом думаю пополнить
таипе пропуски в-Геометрип. Піілояіенне всех моих исследований
в надложашей связи потребовало бы слишком много места и пред-
стшілонніі совершенно в ионом впдѳ всей науки. О прочих
недостатках Геометрии, мопев важных по аатруднонию, не почитаю
нужным говорить подробно. Ограничусь одним только
замечанием, что они относятся к способу преподавания. Никто не
помышляет отделить . то. что исключительно принадлежит
Геометрии, от того, где наука сия становится ужо другою, т. ѳ.
Аналитикой.
Первый вілипня,. с которых начинается какая-нибудь -наука,
должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда
только дай могут служить прочным и достаточным основанием
утонил. Такие донятия приобретаются чувствами врожденным—
не должно,жрить.
Ничего не может быть простое того попятил, которое служит
основанием Арифметике. Мы познаем легко, что все в природе
«і подложит измерению, все -может быть- сосчитано. | Не таковы
положения Діехяпики: человок с помощью одних олседповных своих
опытов па мог бы придти к ним. Вечность и одинаковость раз
сообщенного движения, где скорость служит мерою оного Р], и
масоы. различных тел г-такого рода истины, которые, требовали
времени,- пособия других познаннйп ожидалл гения *.
* После 8мы оЯщнх соображения ЛоблчовскПІІ ■ перѳ*олит к ово'сновавздаг
начал геометрией. Это вщо.твено ( чрезвычайно козспвк.тивво._г Гораздо обстои-
тельвев ато построение вачал геометрии изложено в сочинении «Новые начала
геоветрнИ о riojraofl теорией тіараЛівльшІт». Поэтому здзвь' '^еэтіетором надакня
сделано только небольшое число примечаний — пояснений, которые нельея
опустить. Комментарий к степс построепп)Т гермфтркк, іерторую. предлагает Лобачѳв-
іч;ігИ, читатель найдет в «Новых началах». Существеітд вопий материал, щчи-
наетоя со сѴрі 1Ш (настоящего издания).
II. П. ЛОБЛЛЬЖГІЛ-Ш —«'! ШѴІЛ'ІЛХ П'.ОМГ.ТРШЬ 1-ч?
Между свойствами, общими всем телам, одно должно ііа;іваті.о(г
/■flfl.«erapj*fe«K!t«,—прішосноийіше. (клопами нельух пободан- couop-
/1IQHHO ТОГО. ЧТО МЫ ПОД ЭТИМ рціэумеом: ПОППТІІѲ Приобретено 'ІѴЬ-
•ствами. преимущественно зрением, и сими-то чунстшшіі мы «го
постигаем. Прикосновение еостанляст отличительное свонстио тел:
ни в силах нлп времени п ппгдо и природе более ого но находим.
Отвлекал псе пргѵіив свойства, телу дашт науішішо — Гтмсщш-
чесі;ою.
Прикосновение соединяет два тола в одно. Так ізее тела
представляем частью одного—пространства. Тело ограничено, когда
прикосновение к.нему другого — окружающего — долаот невозможным
прикосновение всякого третьего. Это второе будет окружающи.»
мз пространством,, если оно с первым составляет делоѳ пространство.
Пустота, занимаема» телом внутри пространства, называется
местом. Два тела одинаковы, если каждое, бея всякой перемены,
наполняет место, т, е. дополняет пространство. Они равны только,
если наполнение места одного требует в другом разделения па
части и соединения сих частой в иовом порядке [а].
Воображаемое разделение тола на две части будем напылить
■сечением. Каждая из двух частей, служит для назначении стороны
■сечения.
.: Геометр річеские свойства тел познаем в различном делении их
на части. Они служат основанном Геометрии и заключаются в
следующем.
I. Всякое тело может быть разделено на части, которые не
касаются черев одну. Такие сечения назовем посту пательныли^
число ах ли ограничено.
II.1. Всякое тело может быть разделено на части, которые все
касаются-взаимно, и которых число с каждым новым сечением
увеличивается- двумя. , Таки,ѳ. сечения вазовом ооращамельными;
число их не ограничено,
.іяз |.. ■ ІІІ... Всякое тело можрт быть разделено трема сечениями на
8 частей, которые вое касаются взаимно;.по далее невозможно уже
новым -сечением- .удваивать число частей,, Такие сечения
назовем тремя главными [а].
■Образдаіей&ные сечения, ѵогуг-. увеличивать число "асэ;ей п
одним только. Это будет., тогда,; когда, недостающее число faciei
Хин
о НЛ'ІЛЛЛХ ГЕІШКТІ'ІШ
пополняется ирпсордишпшем нового теля п продолжением сюдл
cficrniif,' так что прн.чігак обраптательных сачеппіі будет собственно
ни число частей, но ікншмыоо прикосновение вх. Однако ж этого
одного недостаточно. Надобно, чтобы поступательные сечения
к іиіонм обраіцатсльлнм и тех двух долях тела, которые
находятся на противоположных сторонах, всегда отделяли части
в одной, неприкосновенные к другой.
Подобное замечание относится к к трем главным сечениям,
ил которых каждые два бывают вместе обращательными, и чего
уже довольно, чтоб они были главными.
Поступательные сечения к трем главным назначают в теле его-
три протяжения,
н* | Измерять тело значит исчислять одинаковые части, яа которые
разделяется это тело и другое, принятое за меру, в трех
протяжениях поступательными сечениями.
Соединении двух тел в одно будет вместе сечением в этом'
одном. Смотря по тому, прикосновенно принадлежит одному
только, или нескольким обращателышм, пли трем главным
сечениям, оно будет -поверхностное, липейное, в точке. Воображаем толо-
разделѳнным тремя главными сечениями на восемь частей,
которые бы от других сечений происходить нѳ могли. В таком случае
с первым сечением получим поверхностное прикосновение двух
частей. Вторым сечением произведем две части, которые, находясь
на противоположных сторонах обоих сечений, касаются линейно.
С третьим сечением происходят две части, которые, находясь на.
противоположных сторонах всех трех сечений, касаются в точке.
Тело получает название поверхности, когда оно касается
другого поверхностно и когда принимают в рассуждение только-
взаимное прикосновение сих двух тел; а потому дозволяют
отбрасывать все части одного, неприкосновенные к другому, Так уни-
IBs чтожается | одно из трех протяжений, и так отделением ненужных
частей поверхности доходим до тонкости листа бумаги пли как.
далѳко может идти воображение.
Два тела, которых прикосновение здесь рассматривается, будут
две стороны поверхности.
Линией называется тело, которое касается линейно . другого,
и от которого дозволяют отбрасывать части, неприкосновенны».
Н, II. Л0І1АЧКВСКШІ — «и ПЛ'ІЛЛЛХ ГКОМЕТРШГ ISM
к этому другому. Так доходим до тонкости полоса, чирти от пира
на бумаге и пр. С обращенном тола в линию уничтожается дна
протяжения, потопу что линию образуют в пространство два і?ич«-
нггіг, к которым по ступа толь пн ѳ отделяют одни излпгапи» части.
Тело получает название «ісікн, ііогда рассматривают его
прикосновение к другому в точке, а потому дозволяют отбрасывать
части первого, неприкосновенные к другому. Так можно доходить
до малости песчинки или точки от острая пера па бумаге.
Точка образуется тремя главными сечешіямп в пространстве,
«ев к которым поступательные отделяют одни лишние части:
следовательно в точке нет ни одного протяжения.
В поверхности, линии и точке обращают внимание только да
прикосновение двух тел. Это значит, допускают все изменения
и одном, которые бга не питала части другого их прикосновения
и не придавали бы новых частой, прикосновенных к другому.
Вот почему при измерении поверхностей н линий дозволяется все
поступательные сечения, которыми назначают протяжения,
заменять их обращатѳльльгми. Отсюда следует, что линия не изменяет
величины поверхности, а точка—линии. Отсюда также видно, что
линия должна принадлежать всей системе обращательных
сечений, а потому для образования линии необходиміі две
поверхности, о которых говорят, что оіта пересекаются в линии. Каждая из
сих поверхностей разделяется линией на две части, которые будут
двумя сторонами линии,
Точка принадлежит. не только трем главным сечениям, но и
всем с ними обрагцательным; а потому для образования точки
необходимы две линии, о которых говорят, что они пересекаются
»в" в точке. Каждая линия разделяется | точкой на две части, которые
служат для назначения двух сторон точки.
Точка не имеет величины, будучи без протяжения, а потому
и не допуская измерения.
Когда два тела А, В касаются; каждое третьего С в точке,
когда относительное положенно двух точек или так называемое
расстояние их друг от друга, всякий раз будет определено, как
скоро А и В соединены телом D, неприкосновенным к С, хотя бы
при этом в Л, В, I) происходили перемены отделением, или
присоединением новых частей, неприкосновенных к С, или те
J!J«
П НАЧАЛАХ І'ЕПМЕТІ'ІШ
изменения я А п В, которые дозволяются в еѳм роде прнкосно-
бошш А, В с С. Так, циркуль служит для назначения расстояний.
LhS»,
іѵ || 0 такими понятиями о пространство и епосооѳ измерять его-
протяжѳния, Геометрия может быть вѳдѳпа со всею строгостию
доказательств и том порядке, в каком здесь ниже излагается, и где,
если не д пет си новых определений, названия разумеются уже-
принятые всеми.
Сферой называется поверхность, которой все точки от одной—
центра—находятся в равном расстоянии. Это расстояние будет
полупоперечник сферы. Внутренняя сторона сферы та, где ее центр;
другая—внешняя.
Тело, ограниченное сферою, называется тарам, которого центр-
и полу поперечник то же, что и сферы.
іи | Шары и сферы одинаковы, когда пх цолупоперѳчники равны..
Одипаковые сферы сливаются, т, ѳ. покрывают друг друга,
когда центры их вместе, каково бы в прочем положение их
ни было.
Напротив, у сфер одноцѳнтрных при разных
полупоперечниках не может быть ни одной общей точки. Такие сферы
представляют поступательные сечения в пространстве. Полупоперечник
той, которая помещается внутри другой, почитается менее. Это-
служит первым сравнением расстояний между собою.
Сфера ограничивает со всех сторон пространство, потому что-
другая, одноцѳнтрная, находясь вне первой, присоединяет такой
слой, который делает уже невозможным прикосновение всякого-
нового тела к жару первой.
F* "Две сферы около разных центров, входя одна внутрь другой
и выходя вон, разделяют пространство на четыре части: одна А
гаи принадлежит внутренней стороне той и дру|гой сферы, другая В—
внешней обеих, третья С—внешней стороне одной и внутренней
другой, а четвертая D — наоборот. Новые сферы около тех же»
центров будут отделять от А части, неприкосновенные к Б, или
обратно; так же от С неприкосновенные части к D, или обратно.
Итак, пересечение двух сфер дает линию, которую называю?
кругом.
H. 11. ЛОБАЧЕБСКИІІі-«0 НАЧАЛАХ ГЕШ1ЕТПШ. 301
Посему две сферы, пересекаясь, иродстаиллют дна главных или,
что вео равно, два обрапщтельных сечения и пространстве. По той
жа причине три сферы, если пересекаются, представляют тріг
главных сечения,
Плоскостью называется поверхность, в которой лежат ѵ.цц круги
от пересечения одинаковых сфер около двух точек — центров
происхождения. Плоскость может следовательно продолжаться
неограниченно, с увеличением полупоперечников одинаковых сфер.
Круг, от пересечения одинаковых сфер, покрывает сам себя,.
гэі какою стороною и в йаком бы положении ни накладывался,
покуда центры сфер сохраняют свое место, или один ставится на
место другого.
Внутри всякого круга на плоскости находится точка — центу
круга, которой расстояния—полупоперечники—от всех точек круга
одинаковы. Беем таким кругам, производящим плоскость, одна
только точка может служить центром.
Прямая линия называется та, которая между двух точек сама.
себя покрывает во всех положениях. Такова в плоскости круга
линия, которой точки остаются на месте, когда круг покрывает
сам себя другою стороной.
Расстояние двух точек может быть определено прямой линией,,
по свойству которой всякое расстояние составляется из
повторения другого и частей его.
Прямая линия лежит вся в плоскости, как скоро две ее точки-
на плоскости.
т | Через три точки, не в прямой линии, можно провести одну
только плоскость.
Всякая точка вне плоскости может быть принята за центр-
происхождения плоскости, и тогда на противоположной стороне-
находится другой соответствующий центр.
Две плоскости пересекаются в прямой линии.
Величина прямой линии определяется сравнением ее с другой.
Подобным образом определяется и величина дуги крута по-
сравнению ее с окружностью, которой дуга будет часть. Это
содержание не зависит от величины полупоперечника, но от взаимного
положения тех двух полупоперечников, которые проходят чрез
концы дуги. Чтобы оставить на произвол, какая дута принимается:
1H-J О [I ѴЧЛЛЛ.Х ГКОШ'ЛТІШ
:ііі "дшшну. мы иудой о-'ішічяті. 2~ окружность. Так
выражения я душ называется лиміінші іцло.ч или углом тех двух
линий. і;аторни, идя тфй:і концы дуги, встречаются в центре круга,
юз I 'Гик;!:.! будем означать 2- и сферу [*j. определяя с иею
сравнительно о в вырезки. Когда ішрилоі: происходит от двух плоскостей,
про поденных чрез центр, тогда неличшга его будет плоскостной
і/.'и.і; других же вырезков— me.tecrtM.if цг.-шм.
Плоскостной и телесный углы не зависят от полупоперечника
сферы, чо от шгшмиого положения плоскостей, которые идут от
центра сферы. Плоскостной угол таісжѳ нѳ зависит от места, где
будет центр сферы на липни пересечения двух плоскостей.
Плоскостпой угол ряпізн линейному между перлендикулами
в плоскостях к линии пересечения енх последних, и проведенных
к одной точке.
Чтобы линия была перпендішу.том [i;J плоскости, довольно, чтоб
оігп пила перпендикулярна к дпум лішшім в плоскости.
Сумма угловпрямолинейно го треугольника поможет быть > в ["];
напротив, сумма углов сферического треугольника всегда >іг.
та* | Сумма двух углов сферического треугольника бывает вместе
с суммою противоположных бонов >-, =ъ, <-.
Если один катет в прямоугольном сферическом треугольнике
< -, то другой вместе с противоположным углом > --, = ~ < ' - ..
Б прямолинойпом треугольнике против большего бока лежит
угол более, и обратно.
Сумма двух бокоп прямолинейного треугольника более третьего.
В сферическом треугольника угол против большего из двух
боков более или менее, смотря по тому третий бок < л или > ^.
Сумма боков сферического треугольника более третьего, если
этот третий < -г-
Величина телесного угла =—— ■ ,?——— , где S—сумма углов
сферического многоугольника, п — число его боков [°].
-as [ Полагаем п число граней или фигур, ограничивающих
правильное- тело; т число боков фигуры; ( число граней,
смыкающихся в один телесный: угол. Каждой грани тела отвечает при
центре угол —, которого число плоскостных углов т, а вѳличи-
наіпс-т-і после чего, сравнивая два значения: телесного угла,
находим р]
H. И. ЛОНЛЧЕВСІШИ —«О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ» 103
= _ 4f
11 Іт — (щ_- 2) t '
Здесь іи Е ( но могут быть болео 5, иначе п делается отрипа-
тельным; следовательно, всо предположения могут бить таковы ;
m = 3, і=3, и= 4; тело называете!! тетраедр-
т=_В, t = i, га= 8 > > октаедр.
т=Ъ, t=a, п = 20 > > икосаеЭр.
m = 4, (=3, n=s 6 > > куб.
mj = 5, ( = 3, «==12 » » ЭоЗекаеі?^.
Число углов пли оетрѳев на правильном тело = ~,
следовательно :
т в тетраѳдре 4,
» октаедре 6,
> икосаедрѳ 12,
> куАѳ 8,
» додѳкаѳдре 20.
Достойно примечания, что выше данное значение п может быть
найдено, не принимая в рассуждение, каким образом телесный
угол определяется из его плоскостных. Действительно, число ли-
- пт
нпп, в которых смыкаются грани, ясно должно быть -=- по
известному правилу Ейлѳра * оно будет -г~-\-п— 2; сравнивая то
и другое выражение, снова получим то же ?і, что и выше.
Все случаи одинаковости треугольников могут быть теперь
доказаны без помощи теории параллельных линий.
«j |' Прямолинейные треугольники бывают одинаковы, когда у пих
равны:
1) один бон и два угла;
2) два бока и угол между ними;
3) два бока и угол против большего;
±) три бока;
Сферические треугольники — когда у них равны:
1) три бока;
2) два бока и угол между ними;
* Самое простое доказательство него предложения сделал І^рнерт (он. Jo№
в a] fur die Mathemat. т. Crelle, Tom. 2, p. 367). [Прилбнани* Лойачиского] Iя].
Зап. а». Н. И. ЛоваіеввѵиВ, т. I.
13
104
(J ИЛ'ШІДХ ГЕОМГШШ
;і) два бока и угол протнн одного, но сумма углои в обоих
треугольниках против другого бока пв = т.;
■1) одни бок н при нем дни угли;
5) два угла и бок против одного, по сумм» tfoiioit против
другого в обоих треугольниках но составляет ~;
(!) три угла.
Два прямолинейных треугольника, когда у них три угла раішы,
могут быть не одинаковы, если предположить сумму углов
ю п каждом «. Напротив, ошт должны быть одинаковы, если в них
сумма углов, подобно как в сферических, разнится от -.
Мы видели, что суыма углов прямолішеііцого треугольника пе
может быть > к. Остается предполагать мту сумму = -г. или <-"'.
То и другое моікот Гі/лть принято без псикого протшюрѳчігл
в последствии, от чего и происходит дво Геометрии: одна, цпотрс-
битслѵкая до кино но своей простоте, соглашается со всеми из
мерѳниями на самом доле; другя.ч, аооари-шшмая, более общая и
потому затруднительная и своих исчислениях, допускает
возможность зависимости линии от углов.
Если в одном прямолинейном треугольнике почптать сумму
углов «, то она будет такой ужо п но всох. Напротив, допуская
еѳ в одном мѳеео я, легко доказать, что она уменьшается с
возрастанием боков треугольника*.
Всякий роз, следовательно, две линии встречаться па плоскости
т по могут, когда они с третьего составляют углы, которых сумма те.
Они могут нѳ пересекаться п в том случае, когда .эта сумма < -,
если к тому предположить сумму углов в треугольнике < я.
Итак, все линии на плоскости в отношении к одной могут быть
раздолѳпы па сходящиеся и ■несходящиеся. Последние будут называться
параллельными, если они представляют границу, или, иначе сказать,
* Начинал с этого места, Лобачевскиіі от схемы общего обоснования
геометрии переходит к валоженига ослов «воображаемо» гсонотріщ». Отсутствующие
доказательства основных ее положении Лобачевскиіг позднее приводит в мчим-
ниях -Новые натаяв* jt ■ Геометрические исследования». Поэтому здесь мы пѳ
две* необходимых примечании, я отсылаем читателя к соответствующему тексту
сочинения "Геометрические исследования» в этой же томе. Подробные
доказательства етих теореи читатель найдет также в «Новых началах», статьи 96, 97,
89, 100.
* «Геометрические исследования», предложении 20 (стр. 87 пастопщего тома)-
210,
и. н. лопллюііі'кігіі-^', ил'ілллк гкимгтш» юз
переход от одшіх к другим мои:ду нссми, выходящими из одтж
точки*.
Вооііражаем ш точки Іопѵщіяпшіі перпеидшеул а на даппую
линию и к этой параллельную ла тоіі ;кі> точки; огшатаем F (я)
УѴОЯ МСЖДу С1 И ПЦрИЛЛСТЬКОК *. ЛоГКО ДОІІІѴИІТЬ, ЧТО ДЛЯ ВІІНКОІІ
линии а угол ]?(«) = -;-, соли сумма уг.ю» » треугольнике= -;
по с другом предположении угол У (а) меняется с а, уменьшаясь
до пули с увеличением лишш а и оставаясь постоянно < -^ . Чтобы
распространить, в сои последнем предположении, означение К(я)
на все линии я, мы будем принимать
.F,U)=|, F(-.) = ,-F№
I Тогда для цепкого острого угла .-1 можно воображать положи-
имнмИ/ м-тельную, а для всякого тупого А — отрицательную линию а, такѵю,
ѵ«р сірмнпы
МО ошябочио чтоб Л = F (и) 0.
□•пор(в Д"»
«И*втраввиі* Впрочем в том и другом предположении параллельным лшпгнм
°ы«І"*"""] принадлежат следующие свойства 9,
Когда две линии параллельны, то пересечение проведенных
чрез них плоскостей дает также линию, параллельную обеим.
Две параллельные третьей, параллельны между собою.
Когда три плоскости пересекаются в параллельных линиях, то
сумма плоскостных внутренних углов = т:.
Предположен не суммы-углов в треугольнике < s иѳдет к тому,
что круг е увеличением полу попе речника- приближается не к
прямой линии, а к особенного рода кривой, которую пазовом
предельной круга?. Сфера и таком случав будет приближаться так;ка
мо> к кривой | поверхности, которую подобным образом назовем ■njte.'
дельной сферой. Эта поверхность в пересечении с плоскостпю дает
или круг или предельную круга**.
* .Геометрические исследовании», предложении 16 (стр. 82>.
* В -Геонвтрѵгческнх кселсдопашгях» (и воовщо по всех последующих сочп-
нешшх но геометрии) Лобачевскиіі называет втм- угол углом параялсльноши и
обоэкает его не через F<a;), а чарез II(ж).
и «Геометрические исследования», предложение 25 (стр. 81).
в .Геометрические исследования», предложение 25 (стр. 94) и предложение 28
(стр. 101).
- ■ J «Геометрические исследования», предпомсекне 32 (стр. 10Ѳ).
fis .Г&оѵетричеекнѳ последоваикя», предложение 34 (стр. 109).
13*
1Ш
о плллллх гЕОіттріш
Геоиоіршг на предельном сфере совершенно та же, в каком
виде ми с»' лнаом па плоскости. Продельная круга заменяет в
последней примут ялняіо, а углы между плоскостей, в которых
предельные лежат, наступают место углов между прямыми линиями.
Предельные кругов том 'ближе подходят к прямым линиям,
чем их дуги менее, так что разность в содержании к длине дуги
можно сделать как угодпо малой. II потому все, что принадлежит
одним, принадлежит я другим, ѳсти принимать те и другие
чрезвычайно малыми.
Итак, если в природе существующая Геометрия такова, что
дно параллельные линии должпи быть наклонены к третьей линии
»4і под углами, которых сумма <.\~, то Геометрия | употребительная
нами будет Геометрии |чрозвьгчаішо малых линий в сравнении
с темп, при которых сумма углов треугольника может лримотпо
рнзвнті.сн от т.?:.
£"ЦИ Сказано было, что Геометрия на продольной сфере та же, что
ш и яа плоскости. В первой предельная круга заменяет прямую;
углы между плоскостями, в которых лежат предельные, заступают
место углов между прямыми линиями. Однако ж измерению
треугольников на предельной сфере 'должно предшествовать учение
о тригонометрических функциях; а что касается до гѳомѳтри-
«в ческого | строения, то с треугольниками на предельной сфере
должно поступать как бы с сферическими. Плоскости, в которых
лежат предельные и которые можно назвать нормальными, будут
представлять плоскости больших кругов сферы; а линии
пересечения первых между собою, следовательно, нормальные линии или
оси предельной сферы, будут то же, что поперечники
обыкновенной сферы.
После этого, не делая различия, будем говорить о
прямолинейных треугольниках, разумея под ними также и треугольники на
предельной сфере, составленные из дуг предельной круга ['].
Означаем в прямолинейном треугольнике а, Ь — катеты,
А, В — противоположные углы, с—гипотенузу.
* «Геометрические исследования-, предложение 37, соображения, следующие
ва <г>ормулаіт (8) (стр. 125— 126).
Н. II. ЛОГ.ЛЧЕВСКШІ —«О НАЧАЛАХ ГЕСЛПЛЧЧШ* 1ST
Содержание — л таком триуго.ѵьшіко нзагон.чатся по нвачо,
как с углом Л. Эту заішсчгмостъ -°- от -1 означают
а .
— = sin л
с
£39 я— называют синус Л.. Определенно sin-I[распространяют на
другие углы, кроме острых положительных А, принимая
■л
вш 0 = 0, sin — = 1,
Bin(«ir-j~ji) = (—1)>*ящД; sin (эт—А) = втА,
■ где А—угол от 0 до ■>-, іг—положительное целое число. Наконец,
для всякого положительного А
ёіп {—А) = — sin А;
следовательно, и для А отрицательного и для А = О.
Так можно еннуо всякого утла привести к синусу нуля, или
-я-, или острого положительного. Значения первых двух даны;
вначення последних представляют содержание двух линий в
прямоугольной треугольника.
После втого легко видеть что какой бы угол ,1 ни был, всегда
аіп (я -J- А) = — sin A.
Кроме тригонометрической функции, названной синус, употре-
гзо бнтельны еще другие: косинус, тангенс и котангенс, которых|
определение и означение показывают следующие уравнения:
еоа.4. = вш (-^ A], tajigA =
sin A . . cos A
, cot А = -~г
сов А ' ' sin A
Значения всех сих тригонометрических функций не изменяются,
когда я углу прибавляем 2л.
Б прямоугольном треугольнике находим
sin^ + cosA^l*,
что справедливо ж для всякого угла А.
* ЛоСачевсииіІ вместо eins_4 и cos2A шішет smA2 и cos Л* н
соответствующий образом я в других случая*. Зтй сбооначввяѳ сохранено в настоящем аэ
дани».
J'.'* (j ПЛЧЛЛЛХ І'КоМКТІ'ШІ
Hd іиінкіш прямолинейном треугольнике, которого бока а, Ь, с,
противоположные углы .1. Іі, (.',
__--...-„-—; С = П COS /J'+('(30SJ.
І Sill /j
Последнее; урашнчшо о шмогцшо liupiioro. іі так как sin С =
siii(.i -i-TVl = siti Леон 7?-f-cn.q Л "in 77
д.'пг itei'x положительных yivton -1, Д которых сумма < я. Легко
S3: ішдеті.. что адись углы А п 11 могут быть: Л = 0, В=0, \А-\~В^ж.
Иуить далее -1 = »« -J- з, В = шя -j- S; », w — целые положите л ышо-
числи; а, [5 — положительные углы>0, <^; тогда, разделяя
уравнение па {—])"+w, паходпм то же с переменою только А на а., В
па ?, и где, слидшщгелыю, «-|-|)<ж. Но так как уравнение пѳ
порі'мішнотся, когда тн-сто «, 3 сташш -п — а, и— £!, то a-f-|3
мо;ком принимать н ^ --. Так уравнение доказано дли всех
положительных углов .1, Іі; отрицательны» ;і;о можно нродстаилять
произведенными выштиипем 2- пз положнтолыгых, но такое
вычитание не переменяет вид уравнения.
Полагай -j А,—В вместо Л, В, получим
соя (Л -f- В) = еоз Л eos В — sin Л si u В.
Полагая Л*=В, потом Л = -"-, -'-и т. д., находим значение
трпгопометрплеекпх функции для всех углов ™-к, где т,
п—целые числа.
Всякий другой угол А может бытг> выражен суммою В-{-2а>,
'•- гдо и=-^ъ с т и и | целыми числами, ашугол как угодно малый.
Тогда [10]
sin А = sin В -j- 2 віп ю'соз {В -\- ш),
соа Л = cos 77 — 2sm<n*sin(7J-{-oi).
С уменьшением острого угла и прямоугольном треугольнике,
уменьшается противоположный катет и так, что содержание сего
катета к другому может быть сделано как угодно малым. Сделавши
tang ш по желанию малым, получим він ш ^ещѳ менее, тогда 'как
sin (В -j-to), cos {В -\- ю) но превышает единицы. Итак, разности
sin. Л — зіпД cos .4—сов В мсгут быть столько малы, чтобы віп В,
И. II. ДОПД.ЧЕР.СШШ — яП НЛ'ІЛЯЛХ ГЕОМЕТРИИ* 19Ф
сон/г принимать за sin.-l, cos Д. Так можно разуметь, что
значения тригонометрических фупкциі'і для всех углов определены
в числах. —
Теперь эаіімомсн изморенном троуголытакоп п решением задачи
о параллельных.
Принимаем только то предложение справедливым, что порпѳк-
дщсул іпг лннші параллельной встречает другую под острым
»э углом*. Ми условились означать такой острый|угол F(a), когда
(і перпендикул. Другое предположение н одно, которое до сих
пор допускали Геометры, заключается также в этом общом, е тем
ограничением, что линии должно раисматривпть бесконечно малыми,
следовательно, в исчислении пренебрегать их производеншиш,
иторілми и далее стопѳшшн в сравнѳнин с первыми.
Итак, в прямоугольном треугольнике острые углы против
катетов а, Ъ должны быть F(a'), ^ Ф'), где а', 6' — прямые линии
со знаком -1- перед числами, выражающими их меру*.
Продолжаем
катет Ь и гипотенузу
с через точку -1
{черт. 1) их
пересечении. AD,
продолжение е, делаем = а'
и л конце D пташм
перпендикул DE на
стороне AG,
продолжения Ь.° Ведем от g
точки В, вершины:
угла Р(і'),
параллельную ВІІ о AG па той же стороне, Три линия ВЗ, AGt DE
будут параллельны также с Ь, которой точку пересечения о а
означим С-
* Точнее—прямая, терпепдигеулярнал к данпоМ п встречающая параллель,
образует о последов!! со стороны параллелизма остры!! угод (си, черт, I).
* Устіііавшшаешіго асяод за этим формулы (1) — (5) не отличаются на по
содержанию, шг по выводу от формул, установленных в предложении 86 »Гео-
кетршесяих исследований.. Поэтому мы отсылаем читателя кок к
примечаниям II—13 к настоящему сотаднеиию, так и к предложению 36 ■Геомвтритевккх
ие следовании» {стр. 117).
Ѳ Т. о. в ту сторону, куда направлено AG—продолжепиѳ Ъ.
L24<)
n іілчлллх гкимктгии
;Чд«от.
ТО-ОСТЬ
UlBA-\- L-Wc>=-- LEW*
F(c + a') + F(//)=»F(«). (i;
■«* | IS том же is ABC, если Си и' положили от Л к В по линии с.
в конце Іѵ носташіли ішрпслдпкул DE и пели к нему параллель-
J/
/У(Ь')
D/
а
%/
уф
\а)
кЕ
Черт. 2.
Ч с р т. 3.
ную ВН от точки В, следовательно, вместе и параллельную к £,
то нашли бы новое отношение между линиями с, а, а', Ь'. Надобно;,
однако ж, различать три случая:
Если с > я' (черт. 2), то находим
или
^ ДЯД-= £ ВВС+ L ОВЯ
F{c — a') = F(i') + F(a).
Бели с = а' (черт. 3), то
-2- = F(i>')-bF(a).
Если с < а' (черт. 4), то
х — F (а' — с) = F (Ь') -|- F (а).
(2>
п. и. лшичшллш-.-о тчлллх ітоііетрші.
201
Но во втором случае -j; =F(u)»F(c —а'), а б последнем
-— F (я' — /-j=F (с—с'); следователыгп. по всех трех случаях
уравнение (2) справедливо.
Соединение ураит>-
ииіі (1), (2) дает
2F(fl) = F<c--a') +
+ F(c + e'). (;і)
— F(c+a'). (+)
Продолжаем еще fi л с,
2*ь чрез точку .4 (черт. 5), | a
через точку С; делаем Лі"=«', С.Ѵ = &'— а; ставим перпендику-
лы ІК, ХО к С/ и СЛГ, то JA", .4£, (WT будут
параллельны- Ведем еще им
параллельную СМ; тогда
/_ МСХ + /. -.YCT = -?-,
то-ѳсть
+F(«'+S) = -J. (5)
Означаем теперь а
линию, определенную
уравнением
Означаем fl, ■(, a', f/ подобные линии в отношении к Ь, с, а , Ь'_
Уравнение (4) может быть иначе представлено:
2F (Я = F (д' — с) + F (я' -f с), *
* Потоку что F ф')'=-я- —1Г (6'), а я — F (о — а') =F {*' — о).
ід->
О НАЧАЛАХ ГКОМК'П'ІШ
и предполагает "ущеетвованш? прямоугольного треугольника, ко-
торшо п' — гшюткиуза, !У —■катет, F(i) —прогшюположный ому
уілхі (чорт. Ч)[п].
После «того должно заіслшчяті., что и ураішопиях (3), (-1), (J),
як пив к дли и(лп;оіиірйлпі'»лагавігоіі лшлгигшости уг-лоті и боков |
прямоугольного треугольника, можно по
только шзромшгнть а на Ь с пера-
(3 мопою а' па й', по и
я на (1'
е ... «'
я'... г
*'...*
а на 0
7 ... в
«'...Т
3'... а
Ч с р г. Я.
оставлявши то же время h ч 'і очз пире мены. Так уравнения (3)
я (і) дают [1В]:
21-' (я) = F (е — ft') + ^ (с -і- я')
2F (й) = F (і— й') + F (а■+■»')
2F (*)=.¥ (я' —a)-j-F(a'-r-«)
2F (д) = F (£' — ?) + F{&' -f'p)
2F{b') = P(c —aO —FCe-f-o7)
2F(a')=F (в— fi') —F(e-|-ft')
2F(c) =F(«' —а)—Ffa' + я)
2F(o) = F(// —p) — P (A' -f- p)
2F(a') = F(s _j») _Jb-(« + P)
2F(5') = Ftf _„)—F(« + p)
яи j Уравнение (5);
F(4'-«)H-F(e4-J)=-|
(6)
(7)
(8>
F(e~a) + F^+e') = -g-
F{a'-p') + I,(? + T) = f
F(&' + a)4-F(«'-&) = -J
Ftc+laJ + Ftp —0 = |-
F(fl' + p')+F(?—f)-~
(9)
(10)
П. И. .ІОПЛ'И'ІІГКШІ — «" НЛЧЛЛЛХ ГЮ'іМЕ'П'ІШ»
203
Bun mm уршшешиг, представляя г. различных видах .чавнси-
моеть иоі;оп і: углов прямоугольного треугольника, служат имеете
дли определения лишенности пчяко'Л лпеші <і от угла, F(a); но
к решению итого последнего попроси мо'.кно цридти следующим
образом.
К ПЛОСКОСТИ „IJjC ТОГО 'ЛШ ПрЯМОѴІ'ОЛЬШИ'О ТріМ'ГОЛЫІШСІІ ОТ1111НМ
з) точке 7/ порно ид ішу.т /И!' (черт. 7), к ному от точек А к С
.' иодом и&ралпе.-гыто „L4', СО'.
І.'умма внутренних углов плоско-
cTfif, в которых ле;кят трн парал-
лельпыо, даст -| F (Ь') угол
при лсолсе -■Li'. Вообрцжшш около А, как центра, сферу;
пересеченно ос линиями АА', АВ, АС произведет сферический
прямоугольный треугольник А'ВС'І (черт. 8), где.і'С —F(J)—гипотенуза,
A'B = F(ii), JSG = ?(«') — катеты, F(«), ~
F(7/)—противоположные угли5.
Можно вдет, мимоходом .заметить, что существование такого
треугольника предполагает прямоугольный прямолинейный (черт. 6),
где гипотенуза и', катеты |Э'( Ь, им противоположные углы F(fi),
~ F (а); следовательно, точно тот жо треугольник, которого
составление доказали вылів [!S]. Такая поверка заключений
необходима, покуда остается неизвестным, которое из двух
предположений истинное.
Воображаем снова сферический треугольник А'ВС и дентр его
сферы А (черт. 9). Из А' опускаем перпепдикул A'D к АВ. Ведем
■■ * См. сноску * па стр. 113 к сочянѳпяю «Геометрические исвоѳдоввпич».
ZUi О НАЧАЛАХ І'ШИЕТШШ
it AG параллельные: DM чрез точку D в плоскости ,-І.ВС; .-Г£-
чреп точку Я' в плоскости -1Л1С'. ІІустг. £Д/_Ѵ—треугольник на
предельной сфере,
которой A'L, DM, СЛ —оси.
Можно доказать, что-
содержание боков в
ЬА'ВО и ALMN тем
менее разнится, чем
более лодупоперечник АС
или, что все равно, линия
Черт. 9. а' в i«?s=F(a') п что эта.
раз|шості> моя:вт быть
сделана как угодно милой [и]. Границу, к которой приближается;
содержание двух линий, мы означим, ставя впереди lim. Tait
пишем:
.. А'С LN ,. А'В 'LM
і1т-Ж7^Ш' hm~BG"SBNMt
то-есть
Из уравнений (6) п (7):
F(4)+F(e)=-F(a'~ а),
Р(6)—F(c) = F(a' + a);
следовательно [16],
мо Первое уравнение показывает, что последнее справедливо л
для всех отрицательных линий а [«], Основываясь на этом послед-
Отсюда
И. И. ЛОиЛЧЕЕСКІІІІ —„О ІПІЛ.'ІЛХ ГЕОМЕТРИИ*
ним, заключаем, что дли всяких двух линий «, '*.
205
■то-еетъ
tang^F(a-^).t!1ug-J-Fa) = t;mg~FWH.
Это требует, чтоб
tangvF{.) = e- ["J,
(П)
(12)
где е — доопределенное постоянное число, но под которым можем
разуметь основание Непперовых логарифмов, по причине неиавест-
еоети, какая линия борется единицей при измерении прямых,
Помощью уравнения (12) найденные выше (6), (7), (8) дают:
sin F (с) -~ віа F (а) sin F (6),
tang F (с) = tang F (a) sin F (a'),
cos F (b) = cos P (c) cos F (a'),
sin F (c) = tang F (a'):tang F (У),
tangF (a') = 003 F (я) fcang F (6),
ain F (b') = sin F (a) cos F (a')
["1
(13)
raa
и другие, которые непосредственно отсюда следуют.
Итак, в прямоугольном треугольнике, которого катеты а, Ь,
противоположные углы А, В, гипотенуза с, будет:
в прямолинейвом:
sin F (с) = sin F (a) sin F (Ь),
tang F (с) = tang F (a) sin А,
соз F (5) = соэ F (с) соз Л,
sin F (с) = tang A tang В,
tang А = соэ F (а) tang F (Ь),
віп В = sin F (n) cos -і;
(14)
е сферической:
cos с = сов а cos &,
sin a = sin .A sin с,
tang а = tang с cos -ff,
cos с = cot A cot 5,
tang а = tang 4 sin b,
сов A. = cos a ain .B
РЧ
(15)
И06
о началах гксан-птпн
— нзшістіши уравнения гфо^н'п'сшж тригонометрии, и помощиі»
us которых легко ітііти дли | цепкого сферического треугольника, гд©
боки и. />, с, прптшюположние углы А, Л, С
і'оя Л у in Д sin с -і— cos Л (.*i>s f =— t'os f»,
sin я sin i' = sin & sin .1,
cot Л sin 6'-(-cos б'еоаЛ — cot к sin Л = 0,
«OS я sin В sin С—cos /Ji:osf'=4osA.
н
(10)
Иамирошш сферических треугольников, следовательно, пе зависит
от предположения для параллельных. Нѳ таково намерение
прямолинейных. Подобно, как уравнения (15) дают (1С), так с помощью
уравнений (14) лаходпм дан цепкого прямолинейного
треугольника, которого а. Ь, ч боки, .1, .//, (.' противоположные угли:
t:iiiL|rF(n)siii.-i — іан«гР{Л)ші l>,
cos.L cos 1' ф) cos V [r) -
, sin "F г'Л-) sin F (*■■)
с in F(«)
■1-0,
cot A sin В sin F (c) 4- cos Г. — ™ ~tp- = 0,
„ . . „ Rin.tsinyy
соз C-\- cos A cos B— :—t" . - = U.
Гэаі
(17>
sin F (c)
Когда a, b, с предполагаются весьма малы, так что дозволяется
ыі пренебрегать степе[нями и пропав еденшіміг, которых размер выше»
тогда можно ставить [8*]:
sinF(«) = l—2 «в> cosF(«) = «(l-—o-f2)'
чрез что уравнения (17) сделаются [*■'']:
йвт-4 = я8Іп В,
аа=*і" + в« —2йесов.Л,
sin (А -f- В) = __ sin /(.
cos С-\- cos (A-\-F) = 0,
из которых первые два — известные уравнения прямолинейной
тригонометрии; а дю» последние показывают, что А-^-В-{-С^
и. и. .■іоілчш.'кіііі-.-.іг нлчлллх п-:имі"і'пш- -лот
1FS0 и л; тг
ін-іѵ II .изложенная ними теории ітраллилмшх предполагает линии
С углами it такой заниенмоетн, которая, кат; после унпдим,
находится или нет и природе, дшмпать никто но л состоянии. По
крайней перо наблюдении астрономические убе'.кдимт и том, что
вев лпііші, которые подлеа;ат нашему измерению, дан:о расстояния
меяеду небесными телами, столт.ко ма.чц ь сранпогтп с лнпнего,
принятою л теории на единицу, что унщребптелмше .до енх пор
уравнения прилголпнаііноіі Тригонометрии і1п:і чулстгнш.'лыіші
погрешности должны быть спранодлішы.
Начинаем а поперечник зимпого пути вокруг солнца; 2j самый
*и большой годовой | пар а лаке неподвижной звезды: это пначпт 4г — 2р
будет угол можду а п расстоянием одного конца а до зввзды,
тогда как расстояние звезды до другого конца перпендикулярно
к (і *- Необходимо
отсюда
^1 + tangj? _
*" 1 —tangj/
2 я< tang ji + —tBiigjj:, +-,-tangp5-[-...,
тем более
e<te»g2; И-
Расстояние аневды сделается к а иерпопднкулярпо, если
разность в долготе звезды с солнцем составит прямой угол. Это-
будет тшѳппо то условие, которого должно держаться для выгода
самых наблюдений над парапаксом.
~ Уравнении (17) и иес, что е:і ними миѵіует, прибавлено ужо Сочинителен
после к тому рассуждению, которое бы.-іо м« представлено 183в года в Отделение
Физико-Математических наук. [Примечание Лобачевского.]
* Лобачевский рассматривает пряііоугольиыіі треугольник монету солнцем,.
еемпои я авовдоИ (соответствующий чертеів см. на стр. 2В4 к примечанию 28).
В этом треугольнике нам навестил одна сторона (поперечник земного пугн) и два
прилежащих в ней. угла: -=■ я -^- — 2р. Треугольник может бить построен; однако-
длп определения третьего угла мы но можем воспользоваться подобием
треугольников, ибо подобия в геометрии Лобачевского по существует, и не ножом вое-
полъаонатьсн формулами (14) дли вычисления этого треугольники, ибо шчізвеетва
длина, прилитая в формуле (12) во единицу. Чтобы набежать втого аатруяпеиия>
Н ваитн верхний продел лля т[»еті.его угли, Лобачевский сравнивает параллаксы,
двух вдаал, употребляя очень остроумии!! прием, приводимый ниже. (Сы. также;
примечааия 20, 28, 29).
20Я О ІГА'ІЛЛЛХ ГНпМГСТІ'ШІ
Кажется всего более можно положиться на способ, прндуман-
тііі Г-н Дпсса-Мопдардье (СоппяЫя. ilos tom[p]s do 1Й31) [■"]. On
s tit ходит годовой парплаке звезды Кеііды (20 Еридгагт) 2", Ригеля
l",4:t, Сириуса 1",24. Последний дает
«< 0,00000002.
Самыіі большой
а < 0,000000006.
) Сколько пи мало такте образом должно полагать а,
следовательно и пса вообще линии, какие могут подлежать нашему
измерению, н уравнениях fl7) том болео можем довольствоваться
низшими стонекями бокоъ треугольника, что здесь в функции
входят или одни четные пли одни нечетные степени.
Сумма углов, даже и в таких треугольниках, которые топерь
рассматриваем, чрезвычайно мало раз питал от двух прямых. Если
означаем 2ш эту разность, то из последнего уравнения в (17),
полагая В = -'ъ ; А = ~^ 2р; С = 2р — 2ш, легко находим [2а]
а
отсюда
сОэ F [ -=-) ss= у tang ш • tang (2^ —■ ш),
sin (j) — (u)2 = sinp- — cos 4p • cot F (
Если $>' другой паралакс, менее р, то
\2 I cos2j)'L J
Итак, с тою точностию вычисления, какую здесь надобно соблюсти,
можно полагать
я V sin да'., /~cos2p
о~ , где зт£= -.■■-■ 1/ z--,.
21 ' " smj) У cos2y'
в5і Например для Сириуса jj' = 0'',G2; для Кѳйды|_р = і",
следовательно, в треугольнике, который простирается до второй из сих
звезд
2<й < 0",43.
Если б расстояние до звезды было тоже а, тогда tang« =
= cosF (oj [DCI] < tang _p-, где 2$ — самый малый известный паралаке
П. П. ЛОНЛ'ІШОКІІП — -О ILV'I.V-'ІАК ГКШІИТІЧШ. 200
для a[alJ, Например, полагая j> = o",ti2, находим, тіто сумма углов
о таком треугольнике рл;шитс;і от двух прямых меиѳв, позколи яа
O",0iiO;i72[llL'|.
Вообще в прішоугольном треугольнике, которого а, !• катеты,
іг— 2ш сумма углов,
*ne»-(£ff)(£=f).
Чем менее, следовательно, треугольник, тем сумма углов его
менее разнится от двух прямых. После этого можно воображать,
сколько эта разность, на которой основана наша теория
параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной
Гѳомѳтрші, и дозволяет принятые начала этой последней
рассматривать как- бы строго доказанными.
**( | Между тем нельзя !іе увлекаться мнением Г; Лапласа [""J, что
видимые нами звезды и млечный путь принадлежат к одному
только собранию небесных светил, подобному тем, которые
усматриваем как слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона,
Андромеды, Козерога и проч. Итак, нѳ говоря о том, что в воображении
пространство может быть продолжаемо неограниченно, сама
Природа указывает нам. такие расстояния, в сравнении с которыми
исчезают за малонтию даже и расстояния нашей земли до
неподвижных заезд.
После этого нельзя утверждать более, что предположение,
будто мера линий не зависит от углов — предположение,
которое многие Геометры хотели принимать за строгую истину, не
требующую доказательства, — может быть оказалось бы приметно
ложным еще прежде, нежели перейдем за пределы видимого нами
мира.
С другой стороны, ыы нѳ в состоянии постигать, какая бы связь
могла существовать в природе вещей и соединять в вей величины
зи | столь разнородные, каковы линии и углы. Итак, очень вероятно,
что Евклидовы положения одни только истинные, хотя и
останутся навсегда недоказанными.
Как бы то ии было, новая Геометрия, основание которой уже
здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее
может существовать в нашем воображении, и, оставаясь без
Зак. 4G3. Н. И. ЛобачевсквВ, т. I 14
iil'l
и ііѵіл.пх п:имілч*ші
уио'ірі'илиння дли измерений на симом деле, оікрыиает новое, ои-
пшріше ноле для взаимных применении Геометрии и Аналитики.
или
Touopii рассмотрим, каким образом и этоіі сообразнаѳмоіі
Геометрии определяются величина кривых лшшн, площадей, критч.ік
поверхностей іі объема тел.
Во-первых, займемся исследованием уравнений у потребит ел ь-
нейгаах лпинй.
В прямоугольном треугольнике, которого ж, // — катеты, Л—угол
против у [см. урав. пятоо из (14)]:
tang А = tangF (х) • сом F (у) [аі]. (18)
Это—уравнение прямой, которая пересекает ось зг-ов под
углом А.
J Ставим сюда г вместо а;; потом ѵ-\-х вместо х; Ь вместо у..
Сравнивая звачоиия Л, получпм
tangF (г) - cos F (у) = tang F (г -|~зі) • coaF(S)
sin F (х) cos F (г)
cos F (я) -(- cos F (г)"
Полагая г = оо, находим
cos F (у) = е-* • cos F (b). (10>
Уравнение прямой, параллельной с осью я; в ту сторону, куда-
считаются х, п проведенной чрез вершину парпѳндшеула Ь к оси х
в начале сих коордонат.
Пусть теперь прямая
(черт. 10) наклонена к
оси у, па расстоянии f
от оси х, под углом
А < -£, но > F (I). Такая
линия нэ встречается'
с осью х, сколько бы ни
была продолжаема,
сое F (у) = cos F (й)
Л
■71
2
__£
а
2
&
ее
У
Черт. 1С.
Идем линию о так, что [и]
tang F (!) = tang;j. ■ cos F (a),
следовательно.
(20)
2 esin[4 —F(Q]'
н. п. лиі;.ѵі№і'і.'иіі—.о началах пшметггін.
211
гм | В прямоугольном треугольники, которого катеты а, I, называем
л гипотенузу, А' — угол против a; L — против I. Применяя і-юди
уравнения (14), находим
t,(iugA = cosF(0 tiiiigF(a),
tnng 4' = cosF(rt) tang F (!),
siu F (с) = sinF (я)sin F (/).
Полагаем теперь я па ось х от ( в сторону, гдо йѳрогся
угол А. Опускаем из другого конца перпѳнднкул 5 к данной
линии, который упадет на каком-нибудь расстоянии t от
вершины I. Составится прямоугольный треугольник, которого
гипотенуза с, катетн b, t, угол против первого А — А', против
последнего назовем £'. Получим
tang // = віп F (с) cot (A—A'),
сов F (Ь) = соѳ L' cos F (с),
tangF(ft t*ng(A-A') _ sinFfQ-cotL'
tang*(tj- coeF(6) SoTF(3) l Ji
В первое уравнение, вставляя значения tangyl п tang А',
выраженные вьппо поыоіцию «и?, открываем, что I/ = -Z— L,
следовательно Ь перпендикулярно к я f87].
Итак, две прямые линяп в лло-
»* скости | должны (іыть или сходящп-
ігися, или параллельными, плп пор-
пендикулами к одной.
Наконец, два последние
уравнения дают [ш]
cosF(6) = amF(a}-cos F(L), (21)
tang F(() = sin F(Z)-tangF(a). (22)
Примечательно, что уравнения (20), (21), (22), если к тому
положим ji = F(a/)J принадлежат прямоугольному треугольнику
(черт. 11), где а, а' — катеты, F(0. ~2 ^(&) — противоположные
им углы, t—гипотенуза ре, *о, «]_ . }
14*
2Ѵ2 'I НЛЧѴІЛХ ГИШВТРІШ
У])япімііію прямой лпяіш теперь может бить очень просто
иредіішілояо. иеліг считаем коордошѵгы ;с от />; пмѳяпо [*"]:
cos I* ('<) == sin Г (.?;) ■ eos F (у)
л ли
sin К (я) • cos F (I) = sin F (./;) • cos F (y), (23)
где линия а определяется уравнением (20), откуда, вставляя :ша-
чеппо а іі считан коордонаты -г от I, находим
cosF (ij) = g^23 — £І11 F W ■ cot А ■ cot F (ж) [«], (24)
что можно представить еще так:
2 sin А ■ cos F (?/) = ег - бііі [Л — F (7)] + е-* sin [Л + F (!)]. (25)
ям [ Уравнение общее, как легко поверить, леем, прямым линиям,
п где Л может бить всякий угол; ыо х на сторопѳ угла Л принн-
маотоя положительным, а тга противоположной отрицательным ["].
В круге, если считаем ісоордонаты х от центра, г называем
полуиопѳречнші:
sinF (г) = sin F (х) ■ sin F (у). (26)
Если же х считаем от окружности
sin F (г) = sin F {у) - sin F (г — x),
которое уравнение можно представить иначе [46]:)
sia F (я) ■ sin F (у) = 1 — cos F (г) • cos F (х).
Полагаем здесь г = оо, получим уравнение предельной круга:
sinF(j/) = e-«, (27)
Иначе можно приттп к этому 'уравнению, рассматривая
прямоугольный треугольник, которого х, у— катеты, г —
гипотенуза, F(-tj-) — Я (у), F(y)—углы против х, у. Здесь находим
cot F (у) = 2 cot F (-І Л
tangW-g- g\ = cosF(y) ■ tangF(ж),
откуда стоит только исключить г [1в].
Л. И. ЛОГ.ЛЧЕНОк'ІШ —-О НАЧАЛАХ ІТ.ОМІГГРИІІ.
213
Терт. 12.
Кривая линия но может быть составлена-ич прямых, а потому
измерение кривой по|мощию прямоіг дает только условную
величину, за которую обыкновенно принимают границу приближения,
когда соединяют прямыми точки на кривой, блгоко л ближе друг
от друга взятые. Легко видеть, какая цель предположена с таким
исчислением. Кривые линии измеряются на самом деле помощпю
цепи, которая, почитают, тем вернее определяет величину кривой,
чем звенья менее; так что гибкая
нить дает ужа эту величину без
приметной погрешности.
Надобно, следовательно,
доказывать только, что гранила
приближения существует; потом показать,
каким образом ее отыскивать.
Пусть АВ (чорт. 12)—дута круга;
AC, BD — линии, от кондов дуги
направленные к цвптру; BE, FA —
перпѳндакулы^ к АС: один опущен
из конда В дуги, другой восставлен из конца А п ограничен
в F продолжением BD.
Пусть BG, из точки В перпендикулярная к BD, встречает в G
линию AF. Здесь АВ>ВЕ; AF> A&4-BG-. Отсюда легко видеть
как для круга, так и для всякой кривой, что разделение дуг
увеличивает сумму хорд и уменьшает сумму касательных. Между ] той
и другой суммой должна, следовательно, находиться граница,
которая и будет величина кривой линии.
Под прямыми линиями в чертеже 12 ничто не мешает
представлять предельные круга, проведенные на предельной сфере. Пусть
дуга АВ принадлежит кругу, которого полупоперечник s,
измеряемый дугою предельной круга от окружности до центра,
взятого на предельной сфере [*']. Называем а угол при центре. Будет
BE=$ ■ sin a,
AF=s ■ tang а.
Если <t = ~, где п — целое число, то 2"-BE и 2" ■ AF с увеличе-
2
нием п .приближаются к границе, которая представляет половину
ai-t
и НАЧАЛАХ ГКОМИТ'НП
ок|іѵіі:иосіп і:рупі; -л 2'1 ■ sin а и 2" • tang* — к числу
c = :U-U592...,
■.■лодошггельио, окружность круга
2- • я,
л дуга для неопределенного угла a
a-s.
Вели АВ—дуга круга, и прочий линии все прямые, то называя
»' і угол при цептро для | дуги АВ круга, которого полупопѳрѳч-
икк г; хорду АВ означаем с; t касательную AF. Будет
eotF(-|-)"-8tn-J-'eotFM'
сон F (() =* taug a - cot F (r) [«].
Если а = —", гдо я- —какое-нибудь целое число, то умножая
уравнения па п [iS], получим границу:
1- cot F (г),
к которой приближаются 2»cotFf — J и ?icosF(t) с
увеличением числа п, а вместе с тем уменьшение е дает границы
2d cot F (-5-1 = пс, «cosF (f) = nt, которые обе должны
представлять окружность круга. Дня неопределенного угла а величина
дуги будет, следовательно,
а ■ cot F(r) = -g-a'O*"—e~r)- (28)
Если г весьма мало, то находим дугу аг верною до гл.
Воображаѳл теперь круг вместе и на плоскости, где
полупоперечник его у, и на предельной оферѳ, где полупоперечник его,
измеряемый предельною круга, s. Окружность круга должна
выражаться 2irs и 2«eotF(j/), следовательно,
*м ; s = cotF(y) (28)
— дуга предельной круга, выраженная помощию перпендикула,
опущенного от конца дуги на ось, проведенную чрез другой.
То же можно найти, выражая а в значении (28) помопщю
лолупопѳречника г и перпендикула, опущенного от одного конца
Н. II. ЛОНАЧШіСІЛШ — .О НАЧАЛАХ ГКШІШТШЬ
215
дуги круга на поперечник чрез другой, и потом, рассматривал
только г пѳрэменяющийся, искать содержание
d tang F (r)
ГиО
'J-
Наконец, в треугольнике, которого все острѳя лежат на
предельной круга так, что бока а, Ь представляют хорды двух дуг,
бок с — хорду составной из них, противоположные углы должны
быть
Ъ
С
г, F ТІ-
•^ІтІ.
*<тМтІ-
У-У
Уравнения (17} в таком случае дают ["']:
Отсюда следует, что соіР(-£Л пропорционально дуге предельной
*з«в крута, для которой с — хорда; |а как'хорда, уменьшаясь, сливается
с оѳ дугою, то 2cotFf'-g-j должно
изображать самую дугу, которой с
хорда. Так еще доказывается
справедливость уравнения (29).
Соединяя уравнения (19), (27) и
(29), находим
s = aoaF(t) ["'-J, (30)
где t — касательная к дуге
предельной круга з в одном конце и
усеченная осью чрез другой.
Ітобы найтп, каким образом
выражается бесконечно малая хорда,
или элемент дуги кривой, помошдю
перпендикулярных коордонат х, у, рассматриваем прямую трапецию
^черт. 13), где у'>у перпендикулярны к а. Отделяем на у' линию,
V
Л^Т-ъ
і
1
■к
2
2
S
/
1
''(О
т
15
~2
У
2а
1а
Черт. 13,
1І1Ч (і НЛЧЛ.'ІЛХ 1Т.0МЕТГШІ
jiiiniivm у. <чк!Дііш»;м исрпппіы у липпею 1q, верншпы і/, і/ лпниею f
в называем Т угол между 2? и у'~у, <*> — между і п )/; «' —
меягду * и у'- Линия чрез середины а п 2<і должна быть
перпендикулярна к я и 2$, следовательно [омот. уравн. 20, 22 и 17] (wj:
tangF(y) = — tang Т. coeF (•£-),
tang F (2) = біп F (y) ■ tang F f-^-Jj
■ , it m „ BinF(2g)-sinF(y' — y)
«и (t; - t_ eos 2, _ ц08 F (ад # cQs F (?/,_ ff),
cot«.' ■ tang J' ■ sin J {V' — y) +1 = ^^/--г/)
ь ,J -" ' cos 7 • eos F (2?)
| отсюда
eos T ■ cos Г (27) 2£ggg(7/) [М]>
2 + 8inF(p)stangp(-lj
что встаплля, находим
шFй = l-Si»F(«)-coBF(y).coSF(?/) [ ]' m
51П
cot«' cos F (a) sin F (?/') -f sin F (a) cos F (y) = cos F fy') [M].
Подобным образом
cot ю cos F (a) sin F (y) -j- Fin F («) cos F (y') = cos F (у) [K].
Два послодпие уравнения то же, что и (24), но выведенные здесь
без всякого предположения, сходятся mm нет лииии t и «.
Далее находим еще р8]:
tang(. + „')« CQBFfa)BinIPfT/) + g(ga. (32>
уравнение, которое нужно нам будет в последствии.
Заметим еще, что уравнение (91) для £ л а параллельных
делается !Щ
-^—I = smF(y)=. (33)
Если теперь полагаем y'=y-j-(?y, a = dx,'tz=cls, разумея х, у
перпендикулярные коордонаты кривой, которой s дуга, то
*» 1 1 — dnF(0—j-*8: F(y)~F(i/) = ^yBinF(y).
R. II. ЛОВЛЧКНСКІШ—-О НЛЧЛЛЛХ І'КОМІІТІ'ІШ. 21'
Ураваенііс (31) и значении cotш переменится в
coU' = gamF(y) И. (35)
Первое дает елѳнент кривой линии, последнее определяет угол
касательной с коордопатою у.
Можно легче найти уравнения (34), (35), заметив, что в
бесконечно малом треугольнике Т=-^-;
2(7 L J
Для круга, где х считается от центра, т — полупоперѳчник [си.
ур. 26]:
, , coaF(x)
интегрирование дает
. -rw \ „ ■ COS J? (Я) ,,„,
s = cotF<r)-fircsm —_4-: [6al.
v cosF(r) L J
ги Здесь —^™-g /rr представляет кссипуе угла |при центре против
!/[**]; следовательно, это выражение для s совѳршевпо то же,
что и (28).
Из урашіѳііия (27) для предельной круга находим [w]
■г
Интегрируя, получим
я = cotF(?/),
как и выше [см. урав. (29)].
Из уравнения для прямой (25) находим
dy «„ F („у- = ' UL-j I" *.,
далее,
idx ■ бІо F (j) sin A
rfs =
4віп^й— {sin [Л — F(Q]«* + rfn[.A + F(l)]«—J
-ВІЯ'
21S .1 НЛ.ЧЛЛА.Х ГЕОМЕТРИИ
интегрируя от х*=0:
Г Л — F(0TJ
е-'-г соэ I „ '' —
L 2 J
■cos
* = Tlog
A-|-F(0
sin
2
отсюда
COd F (s) i
— е'-'л si
cos F (.r)
sin
-P(0
sin A sin F (I) -j- cos Л cos F (I) coa F (л)
P»J-
[6al-
To жѳ бы пашли и прямо из разрешения треугольников [67].
Полагая здесь Л = F (I), получим для я параллельной е х
SIS |
е^ — і
*'-■" — 1
>sinF(!)- Щ
то же уравнение, что и (33). Его можно найти прямо и весьма
легко, ѳеліг рассматриваем церпенднкулы у, у' (черт. 14),
опущенные от кондов линии t на параллельную а ней, где а измеряет
рлсстоігаиѳ между у и у'; далее воображаем еще от концов t дуги
s, s' предельной круга, которых t— общая ось и которые
отсекаются другою осью а и еѳ
продолжением. Будет [см. урав.
29, 19]:
*■ = cot F (у); я' = cot F (у');
cos F (у'\ = й-° сов F (у),
отсюда
Черт. 14.
ainF(y)
Воображаем еще касательные q, q' к дугам s, s', проведѳн-
ные в концах перпендикулярно к оси, сливающейся с а, и отрѳ-
ванные другою осью Ін ее продолжением. Будет [см. урав. 30]:
я = cos F (q); я' — coa F (q'); cos F (17) = e' cos F (q'),
следовательно:
(86)
уравнение, которое можно найти и прямо, основываясь на свой-
•отвах предельной круга.
л. гг. .'Юі;л'п-:нп-;ін'і~.п іглчл.'ілх гкчуікгрціі.
ііа
*-■« I Вставляя сюда яігіічешщ .т, пынго іпшдрнион. ігяходнм fJIj:
«-'-'" — 1
или
Если г называем расстоіпгпо точки до цвицм гсоордонат, ?—
угол г о х, то
*---
(J-f соз -? cos F (г) -}- с/г siii ѵ
У'Х — соа-р-сазТ?(г)2
dx dr cos a sin F (г) — <fo sin ? cotF (r)
sin F [у) УI — соз ?* сов F (t*)*
что вставляя в выражение для й* (34), получим
(37)
В круге г постоянно, следовательно, dr = 0, $;=?cotF(?-) как
и выше.
Измерение площадей основано в Геометрии па положениях:
1-е. Площади равны, когда омы составляются из одинаковых частей,
хотя бы и в другом порядке. 2-е. Площадь .«еиее другой, если ока
*п s этой второй помещается, оставляя часть незакрытой. | 8-е. Площадь
уменьшается до бесконечности, когда хоть один 6~ох ее так
уменьшается, а другие не выходят за
известную границу [7В|.
Без сих положений нельзя
дать общего способа для
измерения площадей. Легко видеть,
что действительное изморѳниѳ
основано на той же.
Начнем с треугольников, как
таких фигур, из которых со ставля-
ются все прочие прямолинейные, д
В треугольнике ABC (черт. 15)
делим два бока AJ3, ВС
пополам. Через середины ведем линию DE и опускаем на нѳѳ пѳрпен-
дякулы AF, СО-, ВІ на осхрѳев треугольника ABC. Произойдут'
Черт. 15.
22U и ГГЛЧЛЛЛХ ГКОМГ.ТШІІ
одинаковы»1 треугольники AF1> с DBI, UGE с ВІЕ. Отсюда
следует, что площадь треугольника ЛВС равна площади чѳтырѳ-
уголышка AFGC и что площади всех треугольников на./і£'равны
меікду собою, когда их вершины отстоит равно от DE—линии,
ироиедоннон чрез суредіту двух боков, соединяющих вершину В
с основавшим АС \"*\. Полагаем ВІ= h, J_ ВАС = А, AB = cr
В Л AFD находим
. cos F(А) ,
етА= fj? Г'],
cosF^
уравнение, возможное, как скоро с не менее 2Л, и которое опрѳ-
гта делает угол А, когда даны | Лис. Обратно, наводим с, когда даны
А и А. Так вешшіі треугольник ABC превращается в
прямоугольный, которого катеты будут АС-я линия с', определяемая
уравнением
cos F [ —) = sin А соз F ( — I.
Пусть теперь в дьух треугольниках бока не равны, например-
с < с', в одном из нах А' угол при с': то из предыдущего легко-
видеть, что без перемены площади этого последнего
треугольника, вместо бока с' можно поставить с, когда вместо А' поста-
витсп угол А" из уравнения
eo3F(|-
sin А = sui А —
cos F (-|-
Итак, при сравнения площадей двух треугольников всегда,
ложно полагать, что у них по одному боку равному, который
и будем называть основанием. Далее, каждый из сих
треугольников, оставаясь на том же основании, может быть превращен
в прямоугольный. Б этом виде два треугольника необходимо
одинаковы, как скоро суммы пх углов равны, иначе разности их
площадей произвели бы треугольник, где сумма углов я. Вообще,.
*7s | следовательно, площади двух треугольников равны, если в них:
суммы углов равны [?*].
Когда же площадь А треугольника более площади А' другого*
то сумма углов первого, которую означим w — s, менее суммы
II, И. ЛОГ.Л'ШІІІ.'КГШ —.0 НАЧАЛАХ ГГСПМЕТІ'ШГ. 221
углов " — я' второго, следовательно, s > ■<'. Іі этом: можно также
увериться, полагая один треугольник піі другой равными
основаниями л прямыми углами ["]. Разность обоих треугольников
<Іудѳт тоже трѳугольпик, где сумма углов т. — («—я') < -.
Пусть я' = — .*, где п < m — целые числа. Называем: в
треугольника -1 катоты а, Ь\ означаем к тому а, '} такие лішіш, чтобы
P(a) + F(aj-^-,
F(*) + F(?)—jj-.
Применяя сюда уравнения (8), находим
Если означаем с, t такие линяй, что
F(C) + F(7) = ~,
*(. + Т) = £..
то площадь прямоугольного треугольника из катетов а, с будет
А' [76]. Далее, если бы в последнем уравнении вместо п ставили
аи псе чпсла от 1 до те по порядку, то различные | отсюда значения
с разделили б треугольник А па га равных частей, из которых п
должны составить А'; следовательно, А'= — А.
Должно заметить, что при делении треугольника А на m
частей катет Ь разделится тоже на m частей; следовательно, когда
содержание ~ не выражается точно содержанием целых чисел, то
по крайней мере с увеличением чисел п и m потребуется
пренебречь треугольником, которого один бок может быть сделан как
угодно малым [™].
Итак, площади двух треугольников содержатся как недостатки
в суммах углов их до двух прямых р°]. Мы будем принимать
-этот недостаток в сумме углов до -к за самую площадь
треугольника, оставляя до времени неопределенным тот треугольник,
которого площадь единица.
22В О НАЧАЛАХ ГКОМЕТРШІ
иашічая a, b катет и прямоугольного треугольника, Д его
площадь, ниходіш [nlJ
tang —Д = cos W~J cosFI ~J.
«i ] Когда а, Ь чрозвіічаііпо малы, т.ік что можно пренебрегать кубы,
ті »u[e]m[iiJo стопоиіі, то
_ub
как и обыкновенной Геометрии принимается.
Площадь многоугольника с п боками будет недостаток в сумме
ого углов до (и. — 2) т..
В трапеции, которой бока а, а' перпѳпдпкулы к Ь; четвертый
бок с, А—угол между а и с, А'— угол между «' и с, находим [ем.
урав. (82)]:
ыпЬ ^і + --1J- cos ( F (a,j_|_ F (ы)} _fihlF (ft) ■
Полагая здесь
F(&)=|—Р(Э),
F(o) + P(o') = P(*J,
подуши площадь трапеции
я—Л —.A' —F(p —a) ps].
Площадь, ограниченная кривого линией, более площади
многоугольника, который вместо кривой ограничивается ѳѳ хордами,
и менее многоугольника, который вместо кривой ограничивается
ата касательными к ней. Можно доказать, | что о уменьшением боков
разность площадей того и другого многоугольника может быть-
сделана как угодно малой. Граница, к которой, таким образом,
приближаются площади многоугольников, принята ва величину
площади, окруженной кривою линией. Измерения на самом деле
производятся подобным образом.
Зозьмѳм для примера круг. Когда от конца одного полупопѳ-
рѳчника опускаем нѳрпендикул на другой, а в конце этого-
и[ос]ставляем перпендикул, продолжая, покуда он встретит первый
полу поперечник, то составятся два треугольника, из которых
один менее, а другой более площади вырезка круга между двумя.
Н. П. ЛОГ.ЛЧКІіі'СііП-.-іі НЛТЛЛЛХ ІТ.СіМК/П'ИП- 2'ІЗ
полуноперечниками. Назывном « угол при центре; А,
Л'—недостатки в сумме углов малого и большого треугольника до т.;
пусть г полу поп ер оч пик. Будет
л 1—einF(j-)
tang А = , —.—. ■'-■■; tan к а,
& tangaa + smF(r) ь '
., cos а — у sm F (г)2 — вш а- .
sm F (r) l J
С увѳличеппем содержания — как "" tang А, так и — ein J.'
2?т будут приближаться к | одной границе
«(ea"-C"^)"=4rcotF^y H, (38)
которая изображает площадь круга. Когда г чрезвычайно мало,
то это выражение с отбрасыванием г* и т. д. делается тг2.
Вообще для кривой пинии, которой перпендикулярные коор-
донаты х, у, площадь dS трапеции между у, y'=y-$-dy и da-
будет, как мы видели,
F(p-«),
где
F С?) = J - F №h F (в) = F (у) + F fo'),
следовательно [**]:
то-есть
d8 — dxaotF(y) ("J. {39>
Если вместо трапеции из у, у', которая менее элемента
площади, ограниченной кривою, рассматриваем хранению из dx, у
и г — продолженной у', покуда касательная к кривой чрез
вершину у ее встретит,—то элемент dS будет приближаться к
Гранине выражения
F (?-«').
278 | которого он постоянно менее, и где
2ІІ4 О ИѴІЛЛЛ.Х ГЕОМЕТРИИ
Значение г о продел яотси урившншом [см. урап. 2-і к 35]
со, f (*) = е ~^е соз F (у) + —g^— ■ ^ «п F №
«ледовательно, z = j/' [°~].
Для круга
,, , ., /sinFfa.-^
где г — полупоперечник; коордонаты х считаются от центра.
Интегрируя, находпм
1 . cosFte) . cofcF(a:) гнн,
S = -—Err-; are sm —-„->—; — art: sin —. „ . . [И ■
sin F (r) cos F (r) cot F (r) L J
Можно поверить это выражение так. Если называем да угол
при цоптре, то площадь вырезка круга для угла ~—в при
центра будет [см. выраж. (38)]:
2 9) (вшВД Ѵ"
Площадь прямоугольного треугольника из х, у, г:
cob F (х)
ate cos —1_ ; . — »,
cot F (г)
в ] сумма сих двух площадей дает снова S, и где
cos 9 = тгИ [ш]-
т cos F (r) l J
Когда х считается о? окружности к центру, то [во]
о 1 cosF(r — х) cotF(r— х)
о = -—тггт аге соа \гт~. arc cos. ' ;-.—■'-
sm F (г) cos F (r) cot F (r)
или
a 1 . tang F (r) . coa F (y)
o = -.-7-_-r-r arc sm г—■■■Ct-H — arc sm т=гг4 •
sm'.F(r) tangF(t/) eosF(r)
Полагая здесь r = oo, получим площадь между коордонатаіщ
в дугою предельной круга:
3=40bF(y)-~-^F(y).
"То же бы самое нашли рі], если бы: в общее выражение (39)
составили значение х из уравнения .(27),- потом интегрировали.
Н. II. ЛОБАЧЕВСКИЙ —«<J НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ. 225
Заметим, что ~ — F {;/) Гіір(!детіт,-гнот шкжрш., бесконечно
простирающуюся в одну сторону п ограниченную с других сторон
двумя осями л коордонатою ;/; елодощте,-іыіо, площадь между
дугою кривой н коордопатамн х, ц р8] будот
cot !•'(?/) Г"!,
то же, что и самая дуга [см. ураи. (21)}].
зва | Наконец, площадь между двух осей и днух дуг продел ыі о іі
круга, на расстоянии t одна от другой, когда называем s большую
Дугу, будет [см. уран. (36)]:
*(1—«-') (39а)
или
*'№— I).
где s' — малая дуга из двух [м].
Сии два значения площади можно ыайты подобно уравнению
•(36), не предполагая известным[п] уравнения (12) и (17). Для сего
стоит только представлять себе площадь, разделенную на равные
части осями и дугами прѳдѳлъпоіг круга.
Если г означает расстояние точки кривой от начала коордонат,
-<р — угол г с постоянною осью чрез то жѳ начало коордонат
проведенною, то элемент dS площади может бить представлен так
[ем. выр. (38)]:
<ts—ih(. * . — П.
'^smF(i-) }
Интегрирование дает
S
—'+/^те- <40>
] Например, в предельной круга F ("5-) = 4-—»( следовательно,
*-J-5 = —cp + tangT [»].
Здесь расстояние г берется от точки на кривой, а угол <в
считается от касательной в той же точке.
Площадь может разделяться еще на элементы параллельными
линиями. Пусть от конца коордонаты и параллельная с осью у
встречает кривую на расстоянии и (черт. 16). Площадь, бесконечно
Зон, «В. Н. Я. Лоб«чевоипй, і. I. 15
2211
о нл'іл.'ілх іі:ош:тгии
црогшрндощааог м^;і;ду днѵ.ч параллельных, чрез копии х и x-\-do?
ііідіио;у.'Ніі»х, (іѵдіт
— </F(z),
и часть -тиіі площади, ограшічошіал кршюю [см. вир. 39]:
,tS=* — ,lV{x)\i — <■-'] [м]\
отсюда итерирование даст
.v^Ji — F (:.-.] — Г (/.-•«-" ьіп1"(.г-). (41)
Если и' ни-чиішсм расстояние, на котором параллельная с осью
Черт. 1С.
у встречает кривую по другую сторону оси х, то элемент площади
может быть такжо выражоп
dS= — d¥(x)[e«'—i]\
*sa 1 следовательно, площадь,
S= f dx (е"' — е-") ain-F (%).
(42>
Если v, и'—расстояния (черт. 17), на которых параллельная
с осью у встречает кривую два раза по одпу сторону оси х,
проведенной вне площади кртівоіі, то
5= J* dx (е-« —e-»')sra T(x).
(т
II. II. ЛОБАЧЕВСКИЙ —.О НАЧАЛАХ №лМІЛТПІІ. 227
Б круге, когда х счптаотс;і от цсптра, череп который проходит
осп коордопит х и у, троу голыши п.'і .г, и и полупонорочішка г
с противоположным сему последнему углом F (.'с) дает
cos F (r)J cos !■ («)+—-HiuF(r) l ]i
отсюда
v J sinF(r) '
„, ._ sin F fo) 1 -f- lAcos F (r)-' — sin F (г)'-'eos F (ж)» f
аез [Уравнение (41) дает поело интегрирования [иэ]
S = v — arcsiu [sin*taBgF(j-}] ;Ті?ѴлІ'5 arc tang (sin») +
SJ.ll -L \? J I с»
( ]/"cos F (r)* — біп F {rf віпЭ\\
+ arc tang ^ b!___ 1 ,jj,
где -.?= ~ —F (ж). Тоіка бы самое наптлн, рассматривая S, соста-
влѳнной из вырезка круга и треугольника, которого бока о:, г,
против г угол F(a:) [,0°],
ѵн'-ѵпі II Кривые поверхности измеряются плоскостями сомкнутых трѳ-
"' угольников, ііоторых острен лежат па поверхности и которых
размер должен быть тем менее, чем более точности требуется
в исчислении. Граница приближения будет воображаемая и
математическая величина поверхности, которую непосредственно дает
дифференциальное исчисление в предположении бесконечно малых
плоскостей.
Пусть коордонаты: х, в ней порпендикулярная у; к у
перпендикулярная z определяют место точки. Вместо F (ж), F (у), F (г)
пишем для краткости X, У, Z. Кроме точки (х, у, г) рассматриваем
еще две, которых коордонаты
х, y + dy, *-г-Ь») dV>
15»
228 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРІШ
зті | Шходпм квадраты расстояний [смотри урав. 34] {ш\:
нерпой от второй ^J ^+jjJ^S<
первой от третье!* ^j ^- + віиГ,8Іп^'
пторой от п>втьвй[(^)^-(^)^]ЧЗ^
tf.»;8
'* ~ sin 1~'г sin Z-'
Площадь бесконечно малого треугольника из сих трех
расстояний, и п которой сумму углов должно уже полагать т, будет
•ledу 1 / (fa
sin # У \rf*
derfy 1/ /'И2 і Wi// i. - rioa
__ I rioai
2smZf \dr,j Tsinr*Tsinrj8m^ L J'
Еслп б вместо шѵрінж it-іялн вщѳ точку, которой коордонаты
происходят е поремоцою х m x-\-dx, у па у + йі/, то расстояния,
а следовательно и площадь треугольника, остались би те же.
Соединение двух такпх площадей дает приращение поверхности, когда
т х увеличится | на dx, у на dij. Называя S поверхность, получим
\dxdyj~smZ f \dx) ^ sin Г» ^ sin Y*эіп &' ѵ**>
Для сферы, которой полупоперечник г, коордонаты х, у, t
считаются от центра, F (г) = R,
sin X sin J"эіп Z= sin M,
da\ cos X /dz\ coa У
dz\_
dy)"
dxj cos.2 ' \dyj cosZ '
(_*S\ 1 ,/cosX° c"oT^- 1 —
U^d*"/ яшВК cos^^ cos^^sin^sm-Z* [ J'
Вставляя значение Z, находим
/_d^_\ соаД # віп Г sin X3
\dX dY ) = eiaR' * /sin X"sin Y* — ain. Л" *""**
Умножая на 4ЙГ [l06] и интегрируя от зіп ^=^у Д°
F = -*-, получим для целой Окружности
н. н. лоилчЕвпшн—«о нлчл.-jjvx гешіктрші. аг&
/ЛУ\ _ . ѵ сон Л
\dXj SUlJP
Умножая на <?Д* н интегрируя от А' до ,¥ = -£-, находим
— вырезок сферы между плоскостями, иерпеидикулярнымл к гіо-
лупопѳрѳчнику, из которых одна проходит чрез центр, а другая
на расстоянии & от центра.
Вен сфера будот
4- cot Л2 = я (ег—с-т)п-. (45)
Отрезок па расстоянии х от центра:
. созій , _ ,,, 2-cos 1'cos.й ■
2- —.—m (cos S — cos X) или = s- [""]
на расстоянии х от поверхности. Это последнее выражение для
г=со дает отрезок предельной сферы:
Ж(^І*_1) [106].
Полагая для всякой сферы
cos*!' = tang Scot Г; cos Я" = сое Я sin 6 sin e,
паходпм [10°]
d*S \ cos #а sin <і ]/і — cos Да si и <!<2 зіп <за
d'l rf? / зіп Д 1 — cos Зі? sin "1>а
Ь7в | Умножая на 8 Ц йъ и интегрируя от 6 = 0 до і/ = -~, от » = 0
до щя=-^- снова должны найти величину целой сферы; слѳдова-
тѳльно,
3 2
2 sin Е ~~ j J 1 —cosiFeini3 ' *- '
Интеграл, в котором видно свойство эллиптической функции
х
о
230 о НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
ішоішо:
2 к '
1 — ^ ""J (1—afJV'""—я-
п"
Если послом в помощь другую полную эллиптическую функцию
*<"-/
<Ь
іЛі—аа8ш»г
о
іг заметим, что
3 Я"
J J 1 — sra J2B sm'^ v
=7« | -r-г—т г*. — *.»» »mY »uv ^gfsmje) n»T
О D
или, что лео равно:
жВД-J "J~I
то уравнение (46), когда здесь ставки ~а В вместо В, будучи
умножено на соя В dB и интегрировано от R = О, дает [ш]
з 'г'
кВ с г dtyd&BLa.B, sink
кВ ___ Г г йфй-
2 J J УТ^ІГ
sin ІЙ2 sin i}a sin <рм
о о
Далее, интегрируя в отношении к 4 между назначенными
границами, получим [ш]
1 -|- sin В sin »
■ sin В sin <с
J sin ш ° ( 1 — sii
что можно представить еще иначе, полагая « = F (ж),
со
■о С j, і Гев»4-1 + 2е«атЛ ] MW1
Яг или, интегрируя по частям,
ІГ. К. ЛОилЧІ'.ПиКіІІІ — ■'} ІЕЛ'ІЛ.ТЛК ГКиіііПТШІ- 3:Ц
— иптоі'рил, который .шалп только для 1?.= ~-, ішиішо:
СП
'-' „ Г •,',/-''',с
Оптжводлииость интеграла (17) мо'.кио іііцп локаут, и п том слѵ-
чав, когда вместо соэЗЙ будит числи Солод одшшци, Наиш;іам с
г,
J d\ log cot J-', = .
пля
( <*;< log (e* cot-]■•!-]=* та [l'°].
0
Полагаем здось eI = e"cot-^-4. ІГптограл переменится в [1,7J
37Я |
Разделяем ого на две іастп: одну от ж = 0 до х=со, другую
от х = —оо до x=sQ. Последняя может быть представлена иначе:
a
Обе вместе дадут
Г (е* — е~д) .г (й; _ -.а
о
Если здесь ставим &Ѵ — 1 вместо а, то гголучям снова (47).
Для поверхности обращения около оои х в уравнении (44)
должно ставить
. __, . _ . „ / йг \ чоіЕ ldR\ і dn\ соэ Г
dx cosZ \dx Г \dy I coa Z'
где B = T?(r);% и r — коордопаты точек производящей линии.
После сего находии [І1В]
/^т
233 11 НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Ушюзиія на idl' и интегрируя от У=Я до ЗГ=-£-. получим
Дли прямого конуса [см. уряв. 18| [І,э]
tang ji = tan# A" cos /?:
следовательно,
2гс cos /і! rfA'
sin ^ sin A'cos А '
Если означаем Г Сок конуса и полагаем F(l)*=L, то [см. урин. 14J
cos Ь соз А = cos Л*; tang L = sin Л tang Е [т],
2"piii,4 uosLiHj _
sin Л-
интегрирование дает
£=2іг8Іп J [-.—,-—l|.
\ sin Ь )
мв | Для предельной круга sinJ? = e-*, что вставляя в
уравнение (48), находим то же, что и выше [ш\.
Сдх примеров довольно, чтобы даті. понятие об исчислении
величины кривых поверхностей:. Теперь займемся определением
объема тел.
Объем тела, — ограниченного двумя предельными сферами,
выгнутыми в одну сторону и которым взаимное их расстояние с
служит общею осыо, далее — коническою новѳрхностию, которой
производящая с остается всегда параллельною оси двух сфер,
должен быть пропорционален вырезку S на одной из двух
предельных сфер, завися при том от с; следовательно, оп будет SG,
где G—функция от с. Если S больший из двух выреаков, т. е. тот,,
на внутренней стороне которого лежит с, и если он представляет
прямоугольник из дуг а, Ь предельной круга, то 8=ab\ а мень-
8і ший вырезок п6е-Вв [смотри урав. 36]. Вообще, какой бы выре|зок 5"
ни был, другой, который его менее, должен быть е~іе3. Теперь,
поело чего
AST
Н, II. ЛСШЛЧКІЮКИІІ — .О НЛЧЛ.'ІАХ ГЕОМЕТРИИ- 233
продолжай коническую поверхность за меньший и па каждом рае-
стоянии с пересекая ее продольной сферой, перпендикулярной к е,
получим тела, которых объем будет
8G] е-**8С; e-«SG и т. д.
и которых сумма, следовательно, тем более приближается к
SG
1-е--'"'
чем коническая поверхность простирается далее; таи, что эта
граница представляет ул;ѳ объем тела е бесконечно продолженною
поверхностью. В таком случае производитель при S нѳ может
Солее зависеть от с, а, следовательно, объем усеченного конуса
с высотою с, какой наперед рассматривали, должно принять
~S(1 — е-ас) [1ва] (49)
SS2 е тем, чтобы для весьма малого с он | был еЗ, как в обыкновенной
Геометрии.
После сѳго исчисление объема всякого тела может быть
сделано разделением его на элементы помощшо конических
поверхностей, которых производящие параллельны с какой-нибудь осью,
взятою произвольно.
Для примера, пусть четыре плоскости, перпендикулярных но
порядку друг к другу, пересекаются в параллельных линиях.
Наконец, тело ограничивается еще цилиндрическою поверхности:»,
которой управляющая дуга Ъ большого круга [ш] на одной из
четырех перпендикулярных плоскостей, и где две параллельные от
пересечения двумя другими плоскостями будут вместе осями
дуге Ь, а производящая линия цилиндрической поверхности пусть
перпѳндикул а к Ь, отрезанный: противоположной плоскостью.
Воображаем предельную сферу чрез Ь и называем s дугу, которая
происходит на ней от пересечения с боковой плоскоетию чрез а
ess и которая отрезывается противоположной. Пусть у—расстоя[нив'
между вершинами а и s. С изменением сих двух последних линий
объем тела Р разделяется параллельными плоскостями на элементы.
234 О НАЧАЛАХ ГКОМВ'ГРШІ . .
ТѴтаіштм ігмда [см. ypau. 29, .10 it 30]
s = eosF(«); e~» = aiiiY (a) [Iffi]
J>*=-J-ffft. (50)
Удось под Ь молено разуметь также и плопгадь, ограниченную
дугою 6 и от концов «в двумя бесконечно продолженными осями.
Итак, если х — расстояние от прямой, ib;—бесконечно малая
часть х мйінду двух параллельных с этою прямой, тогда
5 = — dF(x) [i»J.
Пусть теперь «, й — катеты прямоугольного треугольника,
А — угол против а. Рассматриваем пирамиду, которой основание
такой треугольник и которая продолжается бесконечно, будучи
aw ограничена тремя плоскостями тик, что все j три линии пересечения
или peojxi пирамиды параллельны между собою, а одна
перпендикулярна к основанию в острее угла А. Принимаем а, Ъ
переменяющимися, А—постоянным. Пирамида Р разделится плоскостями,
параллельными к пертацдикулу, так на элементы, что (50)
ЛР« —^adF(6) ['П (51)'
куда вставляя
B = F(p)\ cob£ = CDt^cosF(a),
находим:
ДР—j-JBlog-frg+.A) Г], (ю)
4 ъ аш(й—A) l J к '
Если удерживаем одну первую степень tang А, вместо которой
ставим 2іс, потом интегрируем от В=-^-, то подучим
i> = _wlogBm^=*log^i^~6 [™]
(63)
— объем прямого конуса, бесконечно простирающегося, которого
основание круг о полупоперечником Ь и которого ось параллельна
боку,
ses J Дифференцируя аго последнее уравнение в отношении к 6,
получим
, ii>=n(MicoaF(5) ■ (54)
II. И. ДОБАЧЕВОКИІІ —«О ІГЛЧЛЛЛХ ГЕОМГСТГІІП- 23Г)
— величина конической оболочки, которой толстота tfh по
направлению іголуітоперочника b круга в основании, і[ которая
простирается бесконечно, идя параллельно с осью конуса.
Чтобы паііти велпчипу прямого конуса с высотой конечною,
надобно разделять поверхность его па элементы
перпендикулярными плоскостями it высоте [1В0]; потом, начиная от вершины,
складывать все конические оболочки, которые идут от сих яло-
мѳнтов параллельно к высоте конуса, и сумму вычесть из объема
конуса, ограниченного уже последнею оболочкою. Так, пусть
х—высота конуса, у—полупоперечник основания, с—бок, А—угол
при вершино между х и- с. Означаем для краткости X, У, G углы
F(as), F(i/), F(c). В прямоугольном треугольнике из катетов я?, у,
гипотенузы с, будет
мі | cos Х= cos A cos С; tang А = соэ У tang X; tang £7= sin ^4. tang T.
Рассматривая здесь А. постоянным, все прочие величины
переменяющимися, находим
л л соаГ
° 8ІП Xм СОВ X
Таково изменение у в конусе, которого высота х; но если б
д; = оо, тогда бы приращение у было (19)
сов Г
dx
Разность того и другого'даѳт
sin У
3S67
2<&еіп-і-^созГ
cos X sin J»
— отрезок следующей ордонаты эа у помощню параллельной о х
проведенной чрез вершину у. После этого объем конуса (54=):
. (.dxsm\XacoBYa
Р^ъ j ^совГ-atJ- созХвігіГ* ' =
= и Г йусов ГсовХ = ч' j tfocot y*|=* j -^-^ — its,
где интегралы начинаются от # = 0, у = 0. Далее, уравнение для
С и X дает
do ѳіп X9 = АГсов Л вт С,
йЗіі U НЛЛЛЛАХ ГЕОЖТРШІ
которое умножая un еш Г- и вставляя сюда sin Л'sin Y = sin С,
получим
dx = rfu cos -i sin J"a;
ел u; ion (mi л ь а о,
./'= r. (t cos -1 — x). (55)
Чтобы ввести сюда одни буквы с а А, надобно вместо х ставить
' I131]
Xlo f ^ + «"7^(^ — 1)
3 °ffj l^f-siu-i-i^e*6— 1)
-ит.д.„
иди, строкою [1SS],
а продолжая приближение до са,
а = cos -1 (с— -^- сэ sin -1в1
ив 1 после чего
Р = -^- -кс11 соа .A sin -4В = -g- тг(/а^,
как в обыкновенной Геометрии принято.
Если у так мало, что можно довольствоваться его вторыми
степенями, то [ш]
cos А = 1 — -5" tang С* cot Гг,
1 + cos A cos С \ cot Г3
Л cos С 1 2 cos С '
Вставляя сии значения в уравнение (55), потом разделяя на.
величину основания конуса и умножая на поверхность шара,
которого полупоперечник, с [(38) п (45)], находим объем шара:
Л-(е?=_е-2с_4с) р«]. (56>
Помоідию конических, бесконечно простирающихся оболочек,
можем находить объем. и всякого тела, ограниченного
поверхностно обращения. Пусть х, у—перпендикулярные коордонаты
производящей липли—ечнтащтся от точки пересечения
поверхности тела с осью х, которая служит вместе и осью обращения,
ев» Если ! с переменою х. на ді-^<£скоордонатау переменяется в y-\-dyr
П. И. ЛОІІЛЧЕВСКіШ —.0 НЛЛЛ.ЛЛХ ГЕОМКТРИИ» 237
то параллельная с а: чрез тшршіщу у отрежет от y + rfi/, как ми
видели выше, линию
, і . cos У „.,.,
Умножая на ѵаов У, получим коническую оболочку, подобную
той, которой зпаченпѳ дапо уравнением (54). Потом интегрируя
•от х = 0 к отбрасывая
и J dif cos У,
т. в. конус на круге о полупоперечником у (53), находим объем
тела
KJdjtcotY*, (57)
где границы интеграла произвольны л где х может считаться в ту
или другую сторону. Например, для шара
sinXain У=зіпЙ,
где И = И"(г), г — полупопѳре'чшпе, Х=Р(ж), коордонатаа: считается
от центра. Находим объем шара:
после интегрирования от х = 0, вырезок шара будет [,se]
умножая на 2 и полагая X = R, получим весь шар, как выше (56).
Называя А угол ыѳяеду жиг, потом умножая величину всего
шара на sin -у А3, находим конический вырезок шара:
*(£&-)"»т* П.
Если жѳ от половины шара отнимаем вырезок (58), то получим
■отрезок на расстоянии х от центра [18Я];
'гсоаЛаіпі-А2
-(г-*)).
Разность сих двух последних выражений дает объем конуеа,
как найдено было выше (55)-
ULW U ПЛ'ІЛЛЛХ ГКПМЕ'ШШ
»oj 1 Еи.'ш .л с'шгішм or поіігрхіюсти шара, то отрезок шюсвостшо
цц jHicL'-iuKiiiin х будит
./ с°?л: л пщ
\ 1—cos A'cos й } ' J'
Дли / —оо находим отролок тела, огрнничейного продольного
сферой
• Г,-* -*) m
Общей днффоренцпалыюе выражение для вычисления объема
винііого тола мо;кит бить дано и элементах, ил которые делится
тело ііомоіциіо предельных ефир и диумя рядами параллельных
плоскостей, нормальных к продельным сферам и
перпендикулярных, один рнд к другому. В таком случае называем : расстояние-
от начала коордокат па одпоіі из осой продольных сфер, которая
вместо будет, слодонатилыіо, осью коордонат 5. Называем і\ дугу
на продельной сфоро, порішпдпкулирцую к Е, и пусть С — такая жо
mj дуга, проведенная от ] другого конца -q п плоскости,
перпендикулярной к той, гдо лежат 5, -ц. Ясно, что элемент тела может быть
псродставлоп [(49) и (50)) произведением,
Воображаом перпѳндикулы: г от вершины С на плоскость
линии ;, т|1 у от конца г ца ;, и называем х отрезанную часть этой
поеледоон от начала коордонат ["'-}. Означая X, Y, Z углы F(a;jb
F(y), F(.-), получим [(27), (29), (36)];
- n t r, cot У
C=cotZ ■!-!=■ . - -.
aiaZ
Принимая сперва одно г переменяющимся, потом одно у,
наконец, одно х,
после чего элемент тела
sin У Bin 2*'
(59)
То же бы нашли, разделяя тѳло перпендикулярными друг к-другу
ub« плоскостями и принимая произведение-трек боков-1 за объем бес-
іі. и. лоі;л']косшш —.к пл'іл.'ілх псилплтіш. 23»
кошчяо малого ялемеити ["*]. Интегрируя (.">0) от х = 0, ;/ —О,
г = о, получим
(^ 1^.
\ іІіі<Іг) sin Г sin J?8'
_<P7J \_ cot Г
dxdy) Чкіи Г1 ' . *-» L |.
(<i0>
гдо ■'£, у, г относятся у;ке к поверхности тола. Для шара, когда
коордонаты считаются от центра, уравнение (СО) делается
\tfXtlZ) 8І]1^Э У ВІПЙ»
["%
віц Х- sin Zs
где Ji^Ffr); г — полу поперечник. Умножая па dZ и интегрируя
от Z= -g- до sin І2 = віп Xain X, паходпы снова выражение (5(5).
Если »'—расстояние точки от начала коордоиат, Ь — угол г
tit с плоскоетвю ху, ш — угол проекции г на плоскости хі/ с |осью л,
то выражение (59) дает элѳыонт тела в полярных коордоватах:
<rjP = -]-tfio <?')</<■ cos Off— c~rf [»'], (61)
которое выражение еще легче служит к исчислению объема шара
и прямого конуса.
Ищем теперь величину пирамиды, которой основание
прямоугольный треугольник из катетов a, b я гнпотенуаы с; высота к,
перпендикулярная к основанию в точке пересечения я с с
Называем ^ угол мб/кду а и с; г — гипотенузу d прямоугольном
треугольнике из катетов с, А; в ѳтом же треугольнике пусть »— угол
против с. Пирамида, которую назовемР, разделится па влеменгы (55)
йР=-і-^(гсо8о— A) [>«J, (62)
откуда чрез интегрирование
СОБО-
4**--
(63)
Точно так же, если называем ш угол против А в треугольник»
из л и А, Ѳ — угол методу Ь иг:
Р = £ J-dw ■ *• COS в — -g*Z|m [>«],
зйС
О НАЧАЛАХ ГКОМЕТРИИ
Зависимость гшшгіі н углон а. А, г, », '!•, «и между собою
определяется уравнениями:
tang о eos 0 = cos Д tang Я. [1Е0]
tnng iu = cos II tang A, {*•■*)
«os 7f = cos э cos .Й,
где H=sF{rt), H=¥{h)l R = V(r). Здесь можно переменять Я, »,
<*,, ш па И, Ч, ш, <;*, разумея под В угол F(&); следовательно,
tang О cos ш = cos A tang Д 1
tang 6 = cos В tang A, і (60)
соз I?=cos 'J cos Л. 1
Отсюда находим [|й1]
cos if = -
cos Д sin Я
СОЗ о
cos І2
COS 'i Bill iu
У~йшД-' —
cot Л V sin
sin iu~
A* —
8111
sm
у
«*
>
31П
-p
(66)
2P= —coa Д sia2ff
cos ш cos '!>
зов Выражение (63) мояіот быть представлено различно. Если
вводим величины А, Я, В, то
йй sinolog cot-|-.#
J (sin № — sin JP) /ein J* sin Я8—sin Лв_
соэ Л sin Я , , 1 ,r ,,=n, ,„„,
-arocos . . logcot-"-ff П 67
у sm Яи — sin B2 2
где интеграл оканчивается о sin В = sin J. sin Я, как можно видеть
в уравнениях (G4).
Переменяя буквы и сравнивая два значения Р, получим [15S]
dR sin Slog cot i В
воз A sin 2Я
Г
J {sin-ffs—sin№)ysin A^sinffs — smiJ9
sin ЛЙ log cot ~ В
С dB si
— cos Д sin 21? |
J (sin В2 —sin i#
(sin #> — sin Й3) У sin Да ѳіп B* — flin ІЙ*
= 2 arctang(tang4 cos B) log cot -я-Я'—
— 2 arctang(tang Д сон Я) log cot -5- Я,
Н. И. ЛОВЛЧПШ'ІШІГ —«Q НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ. 241
где интегралы начинаются, как &;ол:ііл даклмчнгь из уравнений
(64), (G5), о
sin Л = 8Іч Деіц Вя'т II
ып |и оканчиваются, когда ішражишщ под квадратным корном пііто-
грала делается пулом.
Если полагаем [1!14]
sin ш (ііа і
Sl!13= і —L («8)
am ,1 *■ '
то находим
21>=*г — ■•Л— Г а,/г,
куда надобно поставить [1Г,Б]
і , / сон <п cos ■I'-j- cos А сов а \
г = -й- log Р- ^ , (69)
* ° \ eos ш cos 7 — cos „4. соз a /
ыоелѳ чего [1MJ
.Tit, ПІТ V ■ a f Я'?Я «І11 °
4P=2ar—2^A—совЛ.віп2«і ■
J (sin (»,J—sin а-j у shi ша—sin a'- sin A*.
(70)
n
а сравнивая два значения Р, получим []й~]
а dt sin а
(sine,2 —sin 3s)у
, . С а «я sin а
cos J. sin 2ш I ———-—■—.:. i^.^-—-. ■■ ^±- —
J (sin (u2 — siu 3s) у siu uj- — sin a'J am A*
, . С tdi sin а
— COS A Sill 2'V =^^=-^ - ■-•■== =
J (sin '!>'J — sill а-) У siu ■У — siu a'J Sin A*
и
. sin {1 -f 4) , , sin (Д -(- «)
1 s sin (A — •!/) • ь sin (-4 — w)
где углы Л, </, ш но зависят друг от друга п где. интегралы
оканчиваются с
біп ш sin •!/
Sill «'
sinA '
.но где необходимо і>ія ><и.
Наконец, ыы видели, что
Гd-J* reos»= Гrda.
о
Зап. *8, Н. И, ЛоСачсвскпй, т. I 1в
242 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Если ставим сюда значение г (69), то последний интеграл можно-
представить, рассматривал в ном А, « независящими, <{> функцией
от А и і, а прочие постоянными [1И]:
С , С sin А ЛА
2 COS UJ (Ы COS Я —! 77, : Г
J J (Sill Л'— Sill »-
') COS •>
f sin .A , Г dA
= 2 cos <o I — еоз a m —, 7s ■
J cos * J sm Aa — si
sin uia
tua
I ! f J Г <*Л C03 A Л Sm С"4 4"ш) rtggi.
H—. (fa COS a rz- log -i—7-,—*— 4 [I6B]
В1П ш J J COS'iJ ° В1П(А— ш)
О А
в послодпѳи двойном интеграле, изменяя порядок интегрирования:
находим [|в0]
„Г , , , біп (А -4- ш) , еІп а Г (ІА соз А . sin (А + и)
J b sm{A — ш) ' sin e> J cos^ 6sin(A —ш)'
что вставляя в уравнение (63), получим [1в|]
ч
1
аш(А + и))5іп(Л — ш) т < l j
по где надобно вместо ty поставить значение (68) и потом
рассматривать одно только А переменяющимся, следовательно [5И],
d 1 ,, , 1 . , f bdb cos Л , „
J>= i4+ —С08швіпаа r ■;- ■■' , (71>
2 2 J (sin 6s—sin ай) у ein аа—аіпиг'вщ^
где одно ty рассматривается переменяющимся, а интеграл берется
от ф до
віп a
sin Ф
іі==.
sin u
•oo | Для ty — A делается 6 = оа, и пирамида Р простирается
бесконечно. Тогда уравнение (63) дает [1В1]
л
2Р= J tty.j-cos? — ІЛ, (72>
н. и. лобачевскнй—.о началах геометрии. 243
Но можно ещо ипачо imih'ii значение Р, применял сюда
выражение (51), именно:
т
2Р= j kdA
л
или, оставляя значение /і из уравнений (64),
Наконец, основываясь на уравнения (53), ещо ложно писать [,es\
2Р=— f dui log (sin A sin Ж),
о
где Л рассматривается функцией от щ а вставляя значение И
из уравнений (64), получал
и
то и другое выражение для Р одннакопо, нак можно увериться
дифференцированием [|<п].
Таким же образом, полагал в (71) угли ty н А равными,
следовательно, и а = ш, находим
а г, ■ с Г AdA ., ВІП (-d-j-iu)
J sin (А + ») аш (Л—«) авіп(Л— ю) L J'
то жѳ выражение, что и (73). Такое значение определенного
интеграла
Г tb\ • Г СОВ <р
можно, следовательно,расоматрнват-ькак доказанное геометрически
н аналитически;
1в«
•іи
О ІЬѴІЛЛЛХ ГЕОМЕТРИИ
Ураннешю (7;і), когда ставим сюда значение А из (64), может
быть ащл нродстаилопо [WJ]
Р=вш2ш Г -„.--.— *й-„ ь-. (75)
J ё'!> -\- е-3" — 2 cos 2ui l '
u
I Чрел ело;копиѳ и вычитание подобных пирамид с
параллельными ребрами, н которых величину определили мы выражениями
(73) н (75), можно составить вообщо всякую пирамиду, Так,
Р в уравнении (03) может быть представлено
Р = Р'-1>"~{-Р1—Ръ, (76)
где Р', Р", Pj п Р3— трехсторонние пирамиды, которых рѳбра
параллельны высоте b ппрампды Р [по]. Из сих пирамид у Р'
основание общее с Р, т. о. прямоугольный треугольник, которого
катеты а, ft, угол ш против ft. Чтобы показать, какие треугольники
служат основаниями остальным трем лпрамидам и каково их
положенно, заметим прежде следующие липни и утлы. Б
прямоугольном треугольнике лз катетов а, Ъ, и где 6 угол против Ъ, назы-
паэм с гипотенузу. В прямоугольном треугольнике из катетов ft, с
наоываем, как это было выше, г гипотенузу и о угол против с
(см. урав. 63), *[ угол против h. Параллельная а Ь от прямого угла
между о и Л делает с с угол
| A-4 = F(e + d). (77)
Линия d происходит от продолжения с чрез вершину
пирамиды Р и определяется тем, что от конца ее параллельная с Ъ
делается перпендикулярна к d и, следовательно, к плоскости
треугольника из Л, с, г. Опускаем теперь перпѳндикул д от итого
конца d на продолжение г чрез вершину дираігады Р и называем I
отрезок от продолжения г. Так произойдут прямоугольные
треугольники: с катетами ft, c-\-d, который будет основанием
пирамиды Р", и где пусть X — угол против ft; с катетами #,
г-\-1—основание пирамиды Р,; наконец, основание пирамиды Ра, с
катетами д, I, и где пусть у—угол^против I. Зависимость углов и
боков в сих треугольниках определяется в дополнение к
уравнениям (64) и (65) с означением подобно тому, как было выше
C=F(c), D-]?(d), ff-FCsr), L = W(T)t
601
Н. П. ЛОБАЧЕВСКИЙ — -О НАЧАЛАХ ГКОМКТІ'ІШ.
еще уравнениями:
j соз С cos і|і = соз Л,
cos D сое іі = соз і?,
sin C = sin ,1 sin В,
tang ]i = cos L tang G,
tang X = coaHtang (Д—fy,
sin Л = sin К sin C,
tang -f = cos Я" tang C,
sin Z>= tang -[ tang ц;
из дпух последних находим
sin D = tang ;i cos S tang C\
заметим, что (77) дает [|:1]
sin D =
241
(78V
sin (A — ty) sin С
cosD =
1 — cos (A —'}) coa С'
cos(-i— ty)— cos С
1 — cos(A— '})eosC
куда вставляя соѳ С из первого уравнения (78),
8inZ>:
sin С cos &
sin A
cosD =
6ІП ф
sin A'
ггаі
После чего
tang ja =
cot A _
'cos'S'
«к j сравнивая с значением tang» в уравнениях (GA), заключаем [,13]t
,, = --*,
Уравнение (98) и второе уравнение из (78) дают
sin а = cos (7,
следовательно [17*J,
Вставляя сии значения в уравнения (78), получим
cos С cos ^ = cos A,
sin С = sin A sin i?,
cos it=cot« tang a, (79)
tang X = сов if tang (Л —^),
sin Л = віп М sin Д sic Б\
ли
о нлчлллх геометрии
«1
оі:.ш іс тому полагаем
го, применяя сюда- уравнение (7и), находим
hdh
V = sin 2л Г -
Р* = вш2л I -
gKA_j_e-L'h — 2 СОЭ 2d)'
ft dA
A' ah'
f; ш
J !«« + «-*•■
Ра = ain 2w
rnci
(80)
1 -f 2 ооа 2ш '
гдв все интегралы начинаются от пуля. Или, употребляя
выражение (73) для подобных пирамид:
а
4Р'= dA log-:——— Т,
А
J б em (4 — X)
і-Ф
-л Г j 1 ЙІП (л + ш — А)
аіц(ш — а — X)
4Pa = da log -^-j—-—f .
1 J ь sin «i — a)
n
(81)
«07 j В сих значениях (80) я (81) пирамид можно переменять А, <■>
на Ь, ty, н обратно, оставляя Лив, для составления значения (7G)
пирамиды Р [""J,
Рассматриваем еще пирамиду, которой основание трапеция
Из линий А, а, а', А', перпендикулярных по порядку друг к другу,
и которой одно ребро, перпендикулярно к основанию в точке
пересечения а с а', прочие с ним параллельны. Продолжая означать
A = F(a), H=F(fc), A'=V(a'), ST = T(A/)
величину такой пирамиды, находим (51) [">]:
,-i-J4*A.
Н. И. ЛОПАЧИНСКШІ—«О НАЧАЛАХ П-ХШГЛѴИГІ* 217
иачпная интеграл, от а = 0 и, гдо надобно, постатнтпш (21)
sin .1 соя /7=cos Л',
рассматривать А и Й-переменяющимися. Если разделяем эту
пирамиду на дне трехсторонние плоскости» чроз робро,
перпендикулярное к основанию и противоположное ему в соодипвнии h a h',
«*■* называем ш угол против k в прямоугольном треугольнике лз a, h
и сравниваем величину четырехсторонней пирамиды о суммою
двух трохсторонпих (75), то получим ІІТВ]
Г hdh Г h'dk' = ■
J еи" -4- e~'ih — гсоэЗш-'"" J 1* -+- е-и*' -f- 2 соз 2w "~
о о
к
"В
1 Г , . , sin А 4- соз А'
= Т—f—S-* <*J.l0g -: j—1 J7-;
4 вт 2» J 8вщ4 — cos A'
вдесь последний интеграл составляется на двух
2 j dxiog tang z — 2 j* dj/ log tang i/
я . A — A' *—A'
ОТ * = ТН g— ДОЯ = -~— ;
но по свойству сих интегралов можно придать еще такой жа между
границами — ~\А— и -=- [1вІ], тогда все три соединятся в один
между границами
« , А — А' А + А' it
и —
«01
4 ' 2 2 4
Итак,
ЛИЛ , Г - h'dk'
J егЛ -f- е-ай — 2 сое 2т ' J
егл _(_ e-s* _- 2 сое 2m ~ J еаі.'_(_в-№'^-2соз2о>
'. о»; - Г гЛг {Щ (82)
2вів2ш J е' + е— L J l"
от А = 0, Л' = 0; от
ж = log cot (■£-+—=—)
До
r = lo'gcot(—І -J).
*-Мч и НАЧАЛАХ ГіІОМЕТГШІ
Отігошпнни между Л, Л', А, Л' определяются уравнеыаями [|в:||
lang w = cos If tang Л,
cot ш = соя IV taiitf Л',
к егцо урииноннам [см. (22)]
tang Я* «sin fftiing .1,
следовательно,
tang 1С = tang <o tang И,
отсюда
сов А' = cos Л tang и», (83)
е*
' = 4-cot»(e'» —е-") + |/*-^соІшЭ(е'> —e-ft)3 + l [""]»
и крайние значения для г будут А' — h п A'-f-A f167']; дли h = <xt
находим А' = <», _-і = ш, Л' = -^ щ. Поело чего
где интеграл в отношении к г борется от г = logcot-^-to до г = со.
Если в уравнение (82) вместо А и А' вводим А и А', то [см. (73)1
получим [|вв]
к *
т т
Л А
или, полагая Л' = -^ Ait
ДЛ log■ . , .■ —£-4- іІЛПой-.-т-г' ■ т -і —2 : , (So)
чи | rfte интегралы берутся от А до А = -£-; от Л, = 0 до [см'. (83)]
віп Л; = сов A tang ш ['ві]
п от г = log cot (- ^ ■■■!) до ? = Iogootf—~^Y Надобно заметить,,
что в уравнении (85) числа, от которых берутся логарифмы,
принимаются всегда положительными. '
Н. II. ЛОБАЧЕВС-КИІІ — .О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ* 24»
Для Ar=At ураішошіе (85) доластсм [,b**J
J e em М — о.) J е:4-е-' "• '
о
Последний интеграл пачпиаотся с г = log cot ш,
Чтоб показать еще на некоторых примерах, как много теория
определенных интегралов моасет ожидать от введения новых
начал Геометрия, мы займемся вычислением по различному
способу объема прямых пирамид и конусов *.
«а | Пусть основание прямого конуса—круг, которого лолупоиѳ-
речник г, а центр служит началом коордонатам х, у точек па
окружности. Полагаем
B = F(r), X=F(s), Г=Р(у).
Когда бока параллельны с осью, то объем конуса, как мы
видели (53), будет ■
—it log sin .й
и может быть еще выражен иначе (51) [1а8]:
т
Г ydX.
2
2
ft
Вставляя сюда значения X, Y из уравнения круга [І90];
sinXsin Y = aiaS
и сравнивая два еначѳния для объема конуса, находии
dXIog ~ ', = — тсІоеашД,
J ainX—УвтХ»—віпЛ"
Г dFcot riogcot^- 7 _ irlogsinJZ
J Ѵ&ГГ* —віп R* 2einj2
в
* Все дальнейшие интегральные вычисления впервые расшифрованы и
пестами исправлены А. П. КотвльниковЫы в првмвчишях к втоиу пшіяу.
[Примечание главного редактора].
-Т.п о нлчлллх ГЕимтлтші
Ihriui'pitpyu ио чиспім, порішіі интеграл переменим в
XdXuoaX г.
— log (1т-cos Л') [1аг],
J j/аіпЛ'-*— ііІнй' 2
я
кик д Леаишдр пашел два эти последние шітвтрала (Suppl. aux
КхогсІсез do calcul integral. T. I)[I0''J.
Если высота конуса нѳ йесконочпая, то в пирамиде, которой
ішсота А та, яге, что и i;ouyc;t, н котороіі оепопішием служит
треугольник пз х, у, означаем с, q лнеип от вершины до конца у на
окружности и до другого конца у іт оси х; ш — угол q с А, <з —
угол сей, 1 — угол сед. Даиѳѳ, под С, Q, Я" разумеем углы
F(c), F(j), F(A). Такая пирамида дааа уравнением (61), которое
в настоящем случае долаотся ["*]
d*P = -і- tf» dO dc соз Ѳ (ее — е-е)э.
I Интегрируя в отношения к с от с = 0, получим
.мл і JD о /2С08 С . 1-1-009 С\ ,,„„
4<РР = dv> db еоз 9 . _, — log ~ -=, Г1»»].
\ йш& ѣ 1 — cos СУ l J
Ставим сюда
cos 0 соа (7= сов Q
и интегрируем, в отношении к G от 0 = 0:
4rfP-.de ^З^д — 2un61ogcot-|-c] [!■•];
наконец, ставя
sin Q = віп Явіп X,
tang ш = tang Я"сов X, [ш]
tang Ѳ = сов Г tang Q,
получим
2dP~ 1~віп^вшХ« + вш^СО9^совС(1--вівДПтХ0 (Ѳ7)
для Леьоо, следовательно-и Я^=0, находим снова выражение (6J.)
элемента в пирамиде о параллельными ребрами.
Н. И. ЛСШАЧЕВСКіШ —«О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ- 251
«і» | Интегрирование уравнения (87) [«•.] t, отпотпешш к Дг дает
конус, где высота стоит в начало коордоиат а, у п где осповишге
ограничено линией, которая определяется уравпешіом между X
и Т. Например, когда основание круг, то с и г поотояшш,
am-Yam Y=ssmR.
В таком случае, распространяя интеграл на все основание
конуса и сличая с значением, какое было найдено прежде (55),
заметив к тому, что здесь
/
coBYdY=~(l — siaR),
4
Д
после веет приведение заключаем:
3
f
tfFsin ГсовГlog cot 4-F я log (cot ^-G tang ~Я)
(ain Г3—sin С") |/ein Г*—віпД» 2sLa.Bcosff
в
. (38)
где віп(7 = віп HshiR. Из этого интеграла следуют все те, к кото-
«іо рым Г. Лежандр приходит по мощи го эллип[тичосігах функций
(Exercices da calcul integral, euppl. a la 1-е partie, par Legendre).
Если основание шграииды—трапеция, которая составляется,
когда от вершины у' опускается дѳрпеядикул на ось у и здесь
отрезывает к началу коордоиат ланыю а, то полагая А = F (а),
надобно ставить [см. ур. (21)]
вІпХсов Ге=соа.А,
и тогда уравнение (87) сделается ['»]
л
2Р = совЯсовА ' г
■J
(сов Y* — віп Н^совА*) Y сое Г4 — сов Л» '
f dCeinCIogcot-i-.C ,
—cosffeinffcoaX -—— — г ' ' т ~-(89)
Последний интеграл берется от sin 0 = віп Л еіп Н до аш (7=
= віп S сов A tang Y. Пирамида Р происходит в таком случае из
252 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
соединения двух трохстороипих прямых, из которых вѳличноа
'tt каждой моими Сыть выражопа, как мы | видели, суммою
интегралов такого вида [см. (76) и (80)]:
hdh
1
eaA-j-e-5» —2cos2u *
и
где со—постоянный угол.
Сравпонпе интегралов п найденные вновь определенные интогралы,
Слодуютцпѳ двойные іштагралы заслуживают внимания (46):
ЯіМсЬвіп і ]/1 — a2 shi 'Iй sin эи я
1 — ^ sin •'/* 2 l/l —^
(90>
"a" a
f Г ttydoсозф ]/l — aasin^аsin92 „ ....
J J i-*w^ =Я(а)' (91>
о и
Буква if означает эллиптическую функцию, именно:
*-(-) ~ f , d?
J /l—-<xasin?2
u
«ii I Если берем другую эллиптическую функцию
2
Е (а) = J* d<p l/l — «38ш«ра,
то два интеграла (90) и (91) представляют свойство сих двуг
эллиптических функций:
... «<* ~ f xdxEjx)
2Vl — a2 J (1 — *»)/«» — а:2
о
Н. II. ЛОПЛЧЕВСКИіЧ — .0 ПЛЧЛЛЛХ ГЕОШІТІЧШ» 253
Из уравнений (90) п (91) ещо следует
і: і:
"а" а
Г Г d'i <7? sin a sin •!*
о
оо
У 1 — sin аи bin !,'-' tiiii ѵ- 2
Jd-j> . 114-sin «sina \
-.-'—log -—'—. r—-'- =ira,
sin 'f \ 1 — sin я sin u /
J ea»4-e-e»4-2cos2a 4sin г l J" K '
u
019 I Этот интеграл был известен до сих пор только для а = -^-.
Справедливость его можно доказать и для числа > 1 вместо соа 2а.
Тогда он сделается
оо
ь
айс^е-^ + е^ + в-8* 2 е"— е-°
о
или, что все равно,
+оо
С xdx __ «
—оо
Этот интеграл может быть ещо представлен, следуя нашему
означению,
+оо
Г xdxsiaF(x — a)=w«.
- оо
Дифференцируя в отношении к а, находим дли целого числа і:
+00
Г xdxam(2i-\-l)F(x — «) = я«,
—оо
+00
—оо
Полагал здесь а = 0 и F (ж) = в, получим
1
-Н— 8ІП 2га log cot — <? = 2л 1 -{- ~ -{-
•■• + о7
2г— 1
254 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Міі ВИДѲЛП (84), Что
со
f , (f + e-r>^* *-- Г ^logcoti-ш р«]. (93)
J е^ + е-^ —2eos2o> 2ainmJ б 2 L J
о о
Соодішяя ятот иптогрлл с (92), постави сюда ■'" —<о вместо о»,
получим р04]
оо
Г і*з:Л.с _и(тс— 2<и) 1 Г . _1_
J «*»_)-е-а* — 2соз2ш~ 16~совш "*" 4sinш J °g 2 '
« о
оо
Jr'KU; ж (к — 2<и) , 1 Г j і » 1
= - ~-\ ; ашіог cot-^-ш.
с'-'г 4- е-'"> — 2 соз 2ів 16 соа <я ' 4 вт о> J 2
D в
иі | Два определенные интеграла, которых значения мы теперь
дали, могут быть представлены еще помощню интеграла
xdx
/
ех _|_ Е-х — 2 COS Ш '
о
который будем означать для краткости
L(x, м),
когда он берется от х = О, и просто будем: писать
£(-),
когда # = с«. Этому интегралу, во-первых, принадлежит то
свойство, это
X. (ш) — L (я — ») = соэ ш £ (2ю) [w],
L(x, ш)— £{ж, т — аі) = сов ш X (2а;, 2»).
Уравнение (S3) даѳт еще
1 л і
i(«e)-j-Zf(w — ш)= dialog cot-^-o) p06].
и
От интегралов Ь(я, <о) зависит много других, Так [ом. (64), (78),
(74), (75}]:
«. | jdnog^=^ = 8m%,L(x, 2«), (94)
о
J, , COS (Ua
. ° COS (аі -f~«) DOS (cu — £) ~ѵ J / I J_> ■
«23
И. И. ЛОБЛЧЕПГ;КІШ--.0 НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ. 255
ГДѲ
, cos (Е— ш)
Из сих двух интегралов шідио, что L(x, 2ш) зависит такя:е от
интеграла более простого
— J dx log коз х = Ф (ат),
и
именно:
8Іп2шІ(з;, 2<о) = Ф (» + () +Ф (« — Е) — 2Ф(м) Iя08], (95)
где
tang 5=^^-cot«.
Интеграл (94) дает еще такой [зса]:
і Г *<*Е Е , соз(Е— ю) _, „ ,
7Г-, ; Ту 7 == -7—S~ ІО& ~7Г"І 7 ^ fc, 2tD)- <96>
1 J cos(5-|-iu)cos(E —a>) аіп2ю б соз(Е + <») ѵ' ; ^ '
о
Лѳяіандр рассматривал такого рода интеграл (Exercicea de cal-
cul integral, Т. II, page 217) и для E = -g- находит строку в
синусах кратной дуги to, но как такою строкою может быть
представлена Ф(щ), то выражение (95) подает средство к подобному
разложению и для всякого Е.
Из уравнений (64), (65), (67), (7С), (79) и (80) после всех
приведений иаходаы [й|°]:
■ йЕ sin Е log cot у Е
аіп 23 cos о соз ь> I --..,, _ .— =
J (біпР3 — ип^Квіп^-smEa
/tang a cos Е сон тД \
= 2arotang —°-0 log cot-5-^4-
4-аіп2и>Х(2л, 2«)—siu(2w—ЩЦ2х, 2ю—2X) -f-
-f.sin2XL(2i/, * — 2\) — ein2tuL(2ij~2x, ѵ—2ш), (97)
где
tu
віпш = tang a cot p; ein i| = cote tangE,
cot \ = b-~ (tang i\ + tang а еш Е),
SIQ Z
x = log cot -i- j3; у = log (cot T p cot -^- V).
250 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Молено присоединить шцо сюда уравнение
., sin^a tang а
' sin a cos <х cos ft (1 — cos і cos-г;) coa p
Еще іщачѳ представляется зпачеппо того jkq интеграла
<7; sinolog cot |-Е
sin 23 COS a coa tu
J (ship—sin£L') У"біп<x*—sin?*
/tanga coa?eo8-n\ , , 1 „ ,
= 2 are tang £—5 ■' log cot -^- ? +
e \ sin p cos i» у ° 2 ■
+ ain2-|'L(23!', 2'!0 — sin2?/i(2x', 21/) +
+ em(2$—2),')L{2y', x — 2ф + 21')~віа2ф£(2/ — 2»*, 2ф) р»],
где
2^^iog/1+e03;00sM1
& \1 — C03£COS7|J
i ft f n / i /cosE-[-cosp\
' J s \eosi —coaff/
cos E cos 7)
tang Ф = tang a -.—7_ ,
6 r ь sin |3 cos a>'
tang X' = cos ш cot a.
Подобным образом уравнения (70) и (76) дают
п -./—■—55 ■ 5 С a da вша
2 cos w у sin р — віпш* I . =
J (віпѴ—sin a8) l/^sinPa — 8inas
о
= 2ot(h'~-I)—2Aaj-csin j^5_°] —sin2vL(2h, 2w)-f-
+ ein2bL(2h, 2l) — a.n.(2m — 2\)L(2hr, it — 2<o4-2),)4-
+ sin 2ш£ (2І, it — 2<u) pia], (98)
.где
nh' — пт І_1ддСОВ0> К6"1 ft*—ВШ а" + COS a ]/8ІП pa— ВІПОі8
coam УвЬаР8—erne5*— cos а У^вт pa — sin ш2 '
° sin (oj — a)'
Н. И. ЛОГ.ЛЧЕНГ'ІСІІГІ —-О ПЛЧЛЛЛХ ПСШПЛТШІ.
„. і оі і кий ш-|- I- sin ,VJ—suim-
«as J 2h = log '-•' ' -~ ?
COS oi — у sin Jja— у;,, „,-j'
siuecosiosiu Jj-
Наконец, урпвнсшш (71) и (7ii), с псрвмопою и последнем <o, А, -і
на 6, i, ш дают [і[''-\
23іпяѴ5ТіГ)"^ГІШ^ Г ^0Л:^_
J (sin '!•'-' — sin я'-j у sin 3B — sin 6-'
— 6 log ( S'" '^ У^Л~ aiu a" + sin g V^si" ?' — s"1 ''r \ ,
\ sin ty у*біпй'~—sin a-— sin a |/sin~p — suT-IA' / ~Г
+ sm2iL(2i, 2>1) — sin 1\L (2b, 2/.) +
H-siu(2'|. — 2a) i (2ft', «—24-f-2).) —sin2$Z(27, rr — 2<», (99)
где
2ft' «= 2/H- log ( co5Ф Vs™ P — sinf + sos^Vjiii j3" — sin^!
1 СОЗ'Ьі/вІП 3s—sinaa— cos a V sin 3s — sivi'ifi J
«7 |
° l Ksin Jl* —- sin a3 — cos a I '
, / cos '1 4- Ѵвіпр—sini» I
26 — log 1 r-^,-, ■■ -г., [i
1 cos ^ — У sin ?- — sin •> J
V'sin £- — віп <*" Vsin 3-—siiii=
cot (4 — ;.} = lnng^cotS2+i-^—Й—: /, . -.
^ ' 6 ' r ' sm a cos 'i sm (J-
Иптѳгралы (97), (98), (99), как неопределенные, могут слуящть
для интегрирования во всех случаях а обращением, ѳоли нузкно,
воображаемых в действительные, Они также могут быть приведены
один к другому. Их зависимость открывается в сравнении,
значений пирамиды (67), (70), (71). Таіі[*и]:
J
d;smilogoot-j-E
(sin р — sin £*) у віп a11 — sin «3
ь
3ub. «S. H. И. Ловчеве к Hft, *■ I I7
ti.'iri (J НАЧАЛАХ ГКОМІШ'ШІ
«' : где
.4111 & = . ,
am a
cos 3 sin <'j
sin 'V:
COSrt
У sin a* — sin;"
У sin)- — sin^'
рассматривая «, b постоянными, •'? одно переменяющимся в
интеграле
Другое срашюшм дііот [-'-"j
., г Ь ih cos іі
'2 tot ш am'-»- I — : —
j (кіи•!.- — кіп■?-) у sill a'-'—sin*}"
f
, Sill f J -pi») . йІП (Л Ч-'^ ,
^^°^ш(Л-^-ЩІ0^ііц.:і-Т)-Ь
, COS И) COS <i-f- COS . I COS '-3 ,
+ «log- ■ --'J— ,-—-4-
1 * D COSlOCOS'l' — COS АиО&'Л '
и, 1 +cot,iBm^ f ?*7? (101>
J (sin •s- — sin у*) у ын а-' — an t?E
о
где siu A = -.!--M.; si»e = sin«sin«i; прочие величины не зависят
sin и ' ■ д
друг от друга, и где интегрирование в отношении к *Ь
предполагает в постоянным, кйк н обратно.
Помопіию геометрического рассмотрения пашли мы (88), что
сё sin; cos £ log eot-J-E irloe (cot ~a tang -1- c)
s ■ —, (102)
f
J (sinE8 —Binary sin 5a — sinu* 5 sin b cos с
где
sin a = sin Ь sin c..
ІІоашо придти к этому интегралу, рассматривая двойной [H16J
Г Г dp d-s sin e2
(1 —р'* sin о11) (1 — «в sin »2)
Н. II. ЛОБЛЧЕВС.'ІСШІ—.іі НЛЧЛЛЛ.Ч ІХиМПТГШІ. 25!»
«м |от)) = 0 пото = 0 ;ю о = -~ ; -л после гштргрітроііапия, в том и
Другом порядке, полагая
СОЗ; , cos h
8шэ = -; и = соя It; ,і «
cos w соа«
Таким ;ка образом мои:по ияіітп зиичешю определенного
интеграла (102), когда в знаменатели ішосто sin;" — sm<i- будит вообще
полином с четными степенями suit.
В ігатѳгралѳ (102) полагая
У1йлТя — sin W. ■ п , _ cos J'
tane»=a '— .--,———— > sin-/ = ,
sin b cos с cos a
потом: интегрируя по частям, находим [->т]
1
!9 d'S ВІП ©
(1 ЗІ11 С- ВІ» <?'-) УвІП^8 — Slll'J-
cose -j-V"l —sin fa sin С'
2 СОЕ ■[ COS -3-C3
(103)
2 cos с У"і — sin iB sin cM
— другой интеграл более общий, нежели найденный Ложанд-
р о м (SuppL aux Exercices de calcul integral. T. I).
Если интеграл (103) разлагаем в строку по степелям sine, то
производитель при sine с показателем и целим положительным
числом будет PIS]
следовательно, строка остается справедливой и тогда, когда вместо
sine ставиіс —.— , предполагая при том sin с > sin f- Так получим,
переходя от воображаемых к действительным [2,э],
Г /coscX-]
' , . ъ с — are cos I
Г ?'*?""? -[ l \совТЛ_ (104)
J (sin c- — sin <з-)У sin f'J — sin -s1 2 cos с. У sin с- — sin •(-
0
Для c = ^j- to и другое выражение интеграла дает [m0]
I
•э <Ь sin в в sin -а- *fs
cos в- у sin -[а — sin »а соэ *[2
о
17*
-,'° П НАЧАЛАХ І'КОЖТІ'ШГ
Ііинчра.і (ІП'И, когдп стда поотішіш -„' -з кмі;сто '?, пароме-
іі:І"!-і'і.м 11 TUL'Oii j-'J:
J
a i/'i ион и
(nine- — .чіиЭ-j Jf'siii'f" — ьіи a-
L
I . sin 3 V sin a- — si 11 3-
•r. \ art'taiiLf — -, '■ '•
r.os ^ ~ пол i'~
"2 sin 'i У ніи *- —aiu ^
ДІоя:ію iju у.мпо;і;ііт[і подчини применении к определенным инте-
•■м і'ра.там пп|мощыо тек урншичшіі, в которым приводит исчислении,
ииіюшінші[і> іш, іюпы.ѵ ніічи.тах Геометрии. Особенно должно
заметит!, ятот ооііп![)ш.гі£ род пнптралоп, которші :шшснт единственно
ОТ НО'ЧГаШІ:! ОДНОГО
— I d.e log cos .с = 'I' (,с),
ч
или, продета ила я стропой,
•1 О
Ф(і')==ліО£2 —-0-,-зіп2.<;-{-- -эті«-—н т. д. [---'],
откуда
'Г» (« + г) = Ф (х) -\- * log 2,
Ф (к -- х) -f- Ф~£х) = ~ log 2.
Особенные- случаи:
Ф(0) = о, Ъ{ъ) = тЛоё2, ф(Л.|—JLlogS.
Заключение
После того, как мы тіш,-пі уравнения (17), которые представ-
ем лягот зависимость уг|лов и. боков треугольника; когда, наконец,
дали мы общие выражопия для ^элементов линий, площадей и
объема тел, все прочее в Геометрии будет уже аналитикой, где
исчисления необходимо должны быть согласны между собою и
ничего иѳ в состоянии открыть нам нового, чего бы не заключа-
II. (Г. ЛПГ.Л'ІСИГІЛШ — .0 Ш'ІАЛЛХ І'КГіМІТІ'ШТ» 201
лось в тех нерних урапшшппх, откуда до.іжш.г ftr.ni. іммты нее
отношения геометрических величии друг к другу. Итак, «ели
надобно предполагать теперь, что і;ііі;ое-ниГ>удь иротшюрочн»
принудит впоследствии опровергнута начала, принятии нами и этой
новоіі Гоомотрнп, то что противоречии mo я; и'г толы;» пкрыпнтьск
в опмгах уравнениях (17). Заметим однако ;і;. что чти урнішенпн
переменяются в (2іі) сферической Тригонометрии, как скоро имо-
сто ноі.-оп а, Ь, с итішшг а у — 1, h У — I. с (/ ■— I: по и
обыкновенной Геометрии н сферической Трщ-ош>митрнн ш-зді л ходит
одни содержании линии; следовательно, обмкноиенная Гмшетрии,
ея:> Трш'о|номстріш н эта новая Геометрия всегда будут согласны
между собой.
Если теперь аналитика с повой — ланопеи тий/ншиыоН
Геометрией, ц отлично от употреоитмтаИ — сотляшчша ужо между
собою, то можно ожидать от тон и другой шаимного пособии.
Это ожндаппо кажется по без основании поел© того, как, пред-
полоашшші собственно достигнуть только одпой целя—дать общие
правила для измерения всех геометрических величин, —идя прямо
к этой цели и дозволивши сѳбѳ мимоходом только некоторые прп-
мепопил, ми были п состоянии открыть лиапепші определенных
интегралов, к поапаігаю которых одной аналитике, йен пособии
Геометрии, трудно било бы проложить дорогу.
Оставалось бы исследовать, какого рода перемена проиаоіідег
от введения воображаемой Геометрии в Механику, н не встретится
ли здесь принятых уже и песомнптѳлыіых ноіттші о природе
ess вещей, по которые принудят нас | ограничивать пли совсем но
допускать ізаплеішостд линий и углов. Однако ж можно
предвидеть, что перемены в Механике при новых началах Геометрии
будут того жѳ рода, какие показал Г. Лаплас (JKeaniquo celeste.
Т. I, Liv. I, СЬ. П), предполагая возможной всякую зависимость
скорости от силы, или—выразимся вернее — предполагая сплы,
измеряемые всегда скоростию, подчиненными другому закону в
соединении, нежели принятому сложению их.
7ІРПЛЕЧЛИІШ
['I В изданиях eu'iiiiKiiiiit <<'> началах геидгстрнн»—как первом,
так и втором — после слоии юиогоя запятая были пропущена. В этом
лггде фраза приобретала друічіп смысл — получалось, что скорость
и массы тел служат мерою двщкешгя, в то время как Лобачевский,
конечно, хотел сказать: «Иечшсть л одинаков ость раз сообщенного
движения (где- скорость слу:і;ит мерою оного) п массы различных
тел — такого рода іістішц, которые требовали времени, пособия других
познаний к ожидали гения». Отсутствие запятой ввело в заблуждение
и проф. Эпгеля, коіоріліі перепел ату і[)ризу так: (.'Die esvige Bauer
uiiil Uuveriiuderlichkeit eincr eiiinia-1 crtheilten Bewegiing, die gemessen
wird «lurch die Gesdrwiiidijrkeit einra KGrpers uml «lurch dio Massen
varscliidenen KOrper, das aind die "Walirlieiten,..».
[SJ Лобачевский употребляет термин «одинаковы» там, гдо мы
теперь говорим «конгруэнтны», и «равны> — там, где мы говорим «равно-
состаплены>, О понятии равносоставленности ом. В. Ф. Каган, іО
Преобразовании многогранников», ГТТИ, 1933 г.
Is] Следует отметить, что указанное Лобачевским свойство трех
главных ееченпп — невозможность провести четвертое сечѳнпе,
удваивающее чпело частей, —является
топологическим признаком трехмерности
пространства.
[*] Сумма телесных углов с общей вср-
іппноа, заполняющих все прострапство,
обычно считается разной. 4тг. Лобачѳвскпй
принимает се равной й«, т. е. для измерения
телесных углов он барет единицу, вдвое
большую обычной. Поэтому 'телесный угол
между двумя плоскостями АВА1 п ACAt иди,
как его назглзает Лобачевский, плоскостной
угол, обычно считаете!! равным двойному
двугранному углу я ила двойному сферическому углу а.
Лобачевский же считает его равным двугранному пли сферическому углу а.
Такой способ измерения телесных углов иногда представляет некоторое
преимущество сравнительно с обычным.
ППІМК'ШШІГ
2153
1Г}] Докапательггни »гогп іголояілншг. лппііпс Гдусеом п Лежандром,
приведено и отаты> <-Уч«нпе о параллельных линия* п открытие
ие**пк.ип;(опоіі геометрии» на стр. Гі7—ГіЧ.
СЧ Если н треугольнике ЛЙС >ш <?ло:кпм сначала тол.'Сішо углы А
и 13, т. е. плоскостные угли, ограниченные плоскостями 0ЛЛЛ, и
ОАСЫ, п плоскостями 0/JCB, и ОІІЛЬ\, то
получим
.і4-й = ~Н-« — оліѵ1с,
где 5 — телесный угол, соответствующий
треугольнику ABC. Если еще прибавим
телесный угол С, т. е. угол между
плоскостями ОСВіСі и 0С.-1 ,С„ рашпііі S+ 0--1 ,В,С,
то получим те -J- 2S. Таким образом
Л-|-Л+(7=те-}-а,9.
.Из этой формулы для треугольника получим формулу, данную в
тексте для многоугольника, разделяя многоугольник диагоналями на
треугольники. См. «Геометрические исслѳдопаппя>, черт. 15.
р] Если мы спроектируем на центра правильны!* многогранник на
сферу с тем же центром, то па сферо получим сетку пз правильны!:
сферических многоугольник он. Так как в каждой лерппгнѳ
многоугольника сходятся ( сторон, то каждый сферический угол в много-
'V
угол&няке бѵдѳт рапеп ~, а телеспый угол с вѳртпвоіі в пентрѳ,
соответствующий одной грани, по предыдущей формуле будет равен
2те
«і - —Ы —2) тѵ
f
Попторнв ѳту сумму я раз, получим 2п. Отсюда
п _ = 2те п [2т —(щ —2)Ця = 4(.
[s] Занимающая; одну страницу работа Grunert'a имеет заглавие:
«Einfacliei Beveis der von Cauchy und Euler gefundenen. Satze von
Figurennetzen und Polj-edern».
[в] Переходя к определению тригонометрических величин,
Лобачевский пользу ото я прямолинейным прямоугольным треугольником,
если имеет место евклидова геометрия, и прямоугольным трѳуголь-
чгиком па предельной сфере — в неевклидовой геометрии.
[10] 8ІТЯ (B-f- 2в1)"~'sic Л = 2 аіп м сов (B-f-oi),
лов {В -\- 2ш) — cos В = — 2 sin о) віп (В + ш).
2'Ч
іі нлчлллх п-шмнтгпп
I11] 11 еіфпні'. і.ішічі.'гіі евачашют'о у(";:і:даг:мся ъаілгм образом.
Построим ирнмоуголміиіі трсутолыпм: с гнпотанузоіі а' и
прилежащим ушпч Г (с) и оГ"):іпіп!ім іі нем кат<-т, пріі.к;;і:ащг((і в углу Т?{с),
чг-рмл ', другой і:атр*г ч*>рра т л црікшжамиш г: нему угол — через
V \у\ '■). Ѳтот троугилыіш:, как ушеріьѵіпст Лоиачспсіиі&, Судет пметь
іимріііі катет, рагііініі у. Докажем «г».
Применяя и птиму трруічѵи лику формулы (3J,
(4), (.'>), sin получаем:
аі-'(с)=І-Ѵ —*) — *>' + *).
2FM = F(«' —с) + Р(йЧ-с).
2Ѵ (в) - К («' — с) — V (a' -f- в),
21,-(*_*)-{-F (с-f I) = V*
2PfC-i) + F(« + »»)="2--
(I)
(И)
СШ)
(IV)
(V)
(VI)
Сравіпгшіг уравнение (IV) ft (3), іімеол
- — 2Г(.г)=к — F(«' — e)+F(a' + c)=F(e — и') ~\-F(с + а') = 2)?(а)
пли _
^-=Г(Л) + Р(а),
откуда х~ а.
Сравнивал (Ш) е (4), имеем
к —2F(«)«s—F(fl' — e) —F(«' + c)=F(c—.i')—F(c + a') — 2F(ft')
или
откуда ?м = |3', что и требовалось доказать.
Уравнения (I), (II), (V), (VI) могут быть теперь переписаны таким
образом:
2F(I)-F(«' —d) + F(a' + e),
2F (с) = F (a' — а)—F (я' + в),
*>-?')-J-Ffc+O^-f,
Из сопоставления эглх уравнений с (3), (4) и (5) мы не
можем еще заключить, что катет 1 = Ь, как говорит далее Лобачевский
]) Тик как каждому углу соответствует тикоіі отрезок я, при котором атог
угол есть F{ar).
игимкчлшш
ic:.
(t .. . остатілпп п Tit же ирі;мя h it 'і без перемены >}. ('праве ллшюсть
ятого ранеііства зштеиает ич ланнит ниже построения Лобачевского,
связпнаюгдого прямолшіРііппй треугольник со с і Дорическим {см.
примечание 13).
Допустим, однако, что l=h, и приложим к данному треугольнику
ABC е элементами
Ъ, У fa'), с, Ѵ[Ь'), а
треугольник с элементами
Ь, F(c), e', F(«), ,V
(существование которого сейчас докапано) так, чтобы; у них совпали
равные катеты (чертеж а пли •'■). Мы получим следующую теорему:
Если два угла Ѵ(с) п F(cj) (черт, в) имеют общую вершину п общую
сторону п ыа стороне угла F(c) мы отложим отрезок с[ = 0.-11, а на
стороне угла I' (с,) — отрезок с = ОЛ, то перпендикуляры, опушенные
из точек А и Лі на общую сторону, будут лежать на одной прямой;
длины зтпх перпендикуляров будут соответственно равны а но,,
если через F(a) и I'fa,) обо- О
значки образовавшиеся при
течках jIj и А углы, причем
F(fl) + 14«)=i >
Из этой теоремы
вытекает рѳпіениѳ следующих
задач: *
Пусть нам дак отрезок с, соответствующий углу параллельности
F(c). Требуется найти:
акг( ц НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
1) для данного угла F(c,) соответствующий отрезок с,,
'Л .и л я данного отрезка с, соответствую mult угол F(c,),
Я) для лашюго отрезка а угол F(a),
4) для липкого угла F(ai)— отрезов о(.
Решение. Построим (черт, в) данный угол JF(с) = j! (0J3T, отложим
па одной из ого сторон отрезок ОК=с и опишем нз 0 радиусом ОК=с
окружность. ГІерпендіпсуляр, посстапленшзй d точке К к линии ОК,
будет параллелен линии 0-1,.
1} При точке О построилг угол КО A =F(c,), отложим на его
стороне отрезок ОА*=0К=с іг на Л опустим перпендикуляр на ОК.
Этот перпендикуляр отсечет от стороны ОА, отрезок 0А1 = сі.
2) Отложим па, стороне угла F(c) отрезок 0Л, = с, н нз точки Л,
опустим перпендикуляр па ОІіГ. Этот перпендикуляр пересечет линию
ОК л точке Л между О и К и, следовательно, пересечет окружность
п 'некоторой точке Л. Соединяя точку Л с точкой О, мы получим угол
AOk'^Vfr,),
3) л 4) Строим треугольник ЛОЛГ по гипотенузе с и катету я для
решения задачи 3) п по гипотенузе с и углу F(«,) для решения
задачи 4). К треугольнику QITA пристраиваем треугольник ORAt
с углом F(c) при точке О п катетом ОН. Тогда ЯА1^=а1 и угол пря
точке Л1=І*і(а),
['-] На основании сказанного, по данному прямоугольному
треугольнику с гипотенузой с, стороны п углы которого (по порядку)
равны
Ь, F(«'), е, Г(Ь'), «. (I)
можно построить еще ряд треугольников:
Ь, Ffc), a', Г(«), |Г, (П)
■I, Ftf), «, F(a'), ?', (Ш)
Т, Г(«), ,3, F(u'), «', (IV)
a, F(c), ft', P(?), a', (V)
0l F(M), с, FK), Ъ, (I)
применяя каждый раз указанную Лобачевским замену и оставляя
без перемены то катет, стоящий в начале, то катет, стоящий в конце
строки.
Последний треугольник тождествен о первым, п дальнейшее
построение треугольников по правилу Лобачевского привело бы к
повторению предыдущих.
Таким образом по данному треугольнику ЛВС можно построить
еще нѳтырѳ новых.
ШЧІМК'ШШЛ
•>Г,7
Приложим эти трруголгіінікіс спш і; -тругпчу рпшіымн імті-піміт.
В ЭТИ ПЯТЬ ТрСуІ'ПЛІіПШІОИ ИХО'ІЯТ П.: ІІГ'ІІІІСГ
л, ft, г, а', І>', | ѵі)
«, Э, Ъ *', /'. 1
силааішіле между сомой соотііо-
Піеашіми
F(«)4-F(«) = {-,
F(i,) + F(3) = -1,
F(a') + F(cr')-|-, (ѴП)
F(b'J4-F(?')--3-.
F(c) + F(Y) = ~.
По образцу уравнений (3) и (4) мы можем написать двадцать
уравнений между величинами (VI). На десять из пнх будут
следствиями десяти уравнений (0), (7) и (S), данных в тексте, и пяти
соотношений (ѴП). Иа десяти З'равпешіи, нашісаппых по образцу (5),
в тексте прпяедепо шесть уравнений (урав. 0 и 10) и опущены
следующие четыре для треугольников (И) а (IV):
F(c-b) + F(e + P')-T.
F(«—F)-bF<C4-b) = £,
Я(*_Т) + Р(Ь' + «') = |.,
Ѵ(Ь> — *') + Ща + -,) = ~.
Если мы приложим в треугольнику ABC (I) треугольники (П)
п (V), то получим чертеж (а), который позволяет решить такую
задачу;
2Г.Я О ІПЧЛЛЛХ ГЕОМКІТІШ
Дан угол тфіі.'г.-ііѵіыігісш 1''й'Ь соотпстстпуюіцпіі: отрежу е. Трс-
іач-'ісіг ..ми ігфі',н:я I построить отрыок '-, сяш-лтиш с I соотношением!
J'('i-rF^)-v-
На стороіге данного уг.-щ J'' (г) =?= 0.1 L' отложим отрезок --1 К = І
(черт. <7J, іія точіск Л опустим иоршягднку.иф НО «и сторону 'XI И
цро.'іоджпи его до ш.-рисе-чшнти л точі:<-- G' с оіфуи.чіостыо, оппсшшой
из точки Л радиусом АС=с. Угол ОЛС будят равс-« F(J). Приточке С
строим угол OCJ?= CU2J = F(с) п походим точку D пересечения его
стороны СВ а продолжением катета АО. Отреиок Ш) = Х.
(111І См. примечание 11. Действительно, возьмем получении It
Лобачевским сферический треугольник А'ВС. На радиусе AS отложим
отрезок А81 = а' л в точке If, восставим перпендикуляр І^С, к
плоскости А'АЛ; он будет параллелен с радиусом АС, ибо угол СЛВ =
= F(u'). Через этот [перпендикуляр проведем плоскость,
перпендикулярную іс линші АА'. Эта плоскость пересечется плоскостями АБА'
и АСА' по прямым Л,Л, п Л,С,, перпендикулярным к АА'.
Прямая Л,^ будет параллельна с В,С, ш с АС, как линия перйсечения
двух плоскостей АСА' и Л ^,.(7,, проходящих через две параллельные
прямые J С и Л,!?,. ІГг,і получаем, таким образом, прямолинейный
прямоугольный при. точке А, треугольник ЛВ,Л,- В пем гипотенуза
будет а'; катет ЛЛ, = Ь, так как Л ,6", параллельна с Л С и угол A tA С? —
= F(6); катет Л ,2*, = |5', так как А ,<?, параллельна с В1С1 и угол Б1АІС1 =
— F(j3'); острый угол Л = F (с); острый угол Л, =-™-— F (а) = F (я),;
так как сумма углов при трек параллельных леаяігах АС, В1С\з.АіСі
шчі.ш:'піііі;і
-ІіѴ.і
рання .., угол ific лрн .ic-thiiii .і (C'j рщсн -,',' , а при ле-чшя .1С pa-
lie]! ]■'(«)•
Oitf.if. мі--;!:чу «фсрнчесііііч трсуппышкчч Л'ISC С а.іг;М*-ишм([ FfY),
1' {'1,1, Ь (''). F('i J. і''('') И двумя нр:і\ір>.іігіі''І1ііЫМіі треуги,іыші;;імп
«, І-(А'). <:, !'(«'). >>■ 0)
?', >'(«J, г,', F(C), fc, (ГГ)
<і которых говорится в примечании 11,
менкне представить очень просто при
ііомшіш следующего настроения,
Нооораанм citoua сферический,
треугольник Л'ISO с катетами Ь'(с), Ъ'[а'),
протішолеікащпміг углами I? (и), F (,У)
к ічпкітенуііоіі Т?{Ь). Опустим из пер-
ншп острых углов Л' и С иерпеиднку-
ллри Л'/J it СЕ па радиус сферы, про-
nt* л сними: к веришне прямого угла. IS.
Если рачиуі- сферы Л Л' ми сделаем рашіи.ч п', то в треугольнике
А ПА' гипотенуза будет АЛ' = и', острый угол Л = F (cj. Тип как по ги-
шл'еву.іе и острому углу треугольник определяется шш.'ше, то тре-
уголвшн: ADA' Судет южде-
стиеп с треугольником (П) п
AD — b, A'D = 'f't
£ ЛЛ'І) = Г(«).
Юс ли же радиус сферы .1С
сделаем равным с, то и
треугольнике АСЕ гипотенуза йудог
ЛС=с, острый угол Л = Р(«')
п треугольник АСЕ будет
тождествен е треугольником (I):
ЛЕ=Ь,СВ=а, /_АСЕ = Т?(Ь').
[и] Вообразим сиова сферический треугольник А'ІіС а катетами
CB = F(a')( Л'Л==Г(с), противолежащими углами F(,3'), F(a) и
гипотенузой А'С = Т?(Ъ), о котором говорится в примечании 13. Этому
сферическому треугольнику будут соответствовать два прямолинейных
треугольника с элементами
a, F (Ь'). с, F(o'), Ь, (I)
<!', F», a',F(C>, ft. (П)
J70 О ЫЛ'ІЛЛЛХ ГЛОМЕТІ'ІШ
ІГа нсршіш С и Л' опустим перпендикуляры A'D ч CJ? на радиус АВ п
aepwt точки /> и л' проведем лпііші DM и л'£, параллельные с .-1С
Вул'-'м унслнчпп.тть радиус сферы, удаляя его центр А по
примой АС, проводя сферу всегда через топку С п на изменяя положения
плоскостей АСА' и ACD. На из меняю щепе я таким образом сфере мы
отроим прямоугольный сферический треугольник A fill'}, у которого
одна ипрішша находятся в топке G, другой вершиной служит точка А }
в пересечении сферы с прямой A'L, и третья вершина Вх выбирается
так, чтобы она всегда оставалась в плоскости ACD. Так как
плоскости л CLA' и AC DM по меняют своего положения, то угол F(«)
при вершине С, а следовательно, и а остаются достоянными; будет-
оставаться постоянной п велпчггпа а, связанная о а соотношением
*»-f-F(3)--J.
Поэтому, если ми предположим, что радиус изменяющейся сферы
равен с ыліі а' [ом. примечание 13], то в прямоугольных треугольниках
(I) и (II), соответствующих изменяющемуся сферическому
треугольнику AjB^C, дри увеличения радиуса сферы a, F(a), a, F(a) будут
оставаться постоянными, сил' будут возрастать до бесконечности,
F(b') будет стремиться кР(а), и F (ft') к Р(«) (см. чертеж на стр. 2G9).
Если мы представгш себе, что радиус сферы с центром А равен с,,
то, как мы видели в примечании 13, длина перпендикуляра СЕ,
опущенного из постоянной вершины С па радиус ЛВ, будучи равна а,
будет оставаться постоянной, и радиус АВ, при увеличении с всегда
будет касаться окружности, лежащей в плоскости ACDM, описанной)
д) На чертеже этот треугольник не изображен.
НШМК'ШПШ
1!Т1
ыв центра С радиусом, ранним и, к и предел** обратите» л осі. /»Jf
ирелелыгоіі но imp х поста, і:и.ииі'>шуііи-іі і'Ш а:е оі:ру;иіш<м'<і, »по и
предало /_. ICJ-: = К(//) = !■■(,) |.
Таким обратим іреугольшіг; .І^С,
которыіі вначале соішидііл ч А'ВС, ч
пределе, когда ш-іітр удалнтсн с
бесконечность, совпадет с треугольником УМІ.,
начерченным на предельпоИ
поверхности, осчі.чн которое служат нрямио Л*'-',
Л'іі и _ШЛ Пределом душ СЛ. = К('/)
будет дуга N1/, пределом дуги СВ1 =
= 1''(a J — дуга ДМ/ н пределом дуги
йаj1 а = F { l-J — дуга £-1/, и мы будем
иметь
F (6) LN
ІІт---,-■ = --,
Д. С
*Ѵ)
Ііт
В, 6'
-VJ/
F(«) 0'
F(fc')
Более строгое доказательство читатель наіідст в «Новых началах»,
ет. 137.
[16] Если примем во внимание, что F((i)-f-F(a) = -£-, то полупим:
сои I1' (а)
■tgP(e)=-
-smP(a)
■tgF(e).
cobF(o)
1 — sin Ь" (а)
1+СОвРЫ , 1 rw ,
cos F {а) *°'v~' coaF(a) " 8Іп1-'(а)
[ia] Если в последних формулах изменим знак лрв а, то получим;
ts|-F(-^) = tgi-^_F(a)) = cte:-|F(^,
otff-i-Pt —«J = otgy (-—l'(a)) = tg |-F(<0.
т. е. вторая формула перейдет в первую, н обратно.
[П] Первый множитель левой части егого равенства получим,
поломив в предыдущей формуле
^Щ^=^\т
а — {J вместо а и а' —|— р вместо а'.
272 II НАЧАЛАХ ГЕГШіѵТРШІ
['^J Е<ѵш t.K ~- !•'(*) обозначим для краткости в (*), то уравнение (11,
обратится и функциональное уравнении для функции и:
?(s-3)?tf) =?[(»-?) + ?]
п. in
а (.«)»(»/) = в (.-с-4-?;).
Зто уравнение, как известно, при непрерывной функции s(.e) mrecr
только одно реіиешіп:
Лобачеискнл полагает « = —1, с о;шоіІ стороны, «по причине
неизвестности, какая .-шипя берется едшшцеп», а с другой — потому, что
с увеличением длппгл х угол параллельноотн должен уменьшаться.
Это последнее соображение требует, чтобы а было числом отрпца-
тельным, так что можно положить «(х) = е-"в, где а > 0. Если теперь
увеличим едіппщу мерп в a paa, то число х заленится «шелом ■—
и формула примет вид ? (х) = с~х; тго единица меры этим фиксирована.
Формула [I'D лп.тяотсн основной и теорий параллельных
Лобачевского. По поводу нее см. хикже примечание 28 в «Геометрическим
исследованиям! (ет р. 162). Связь пожду отрезком а: п соответствующим
углом параллельности Ѵ(х) можно представить а другой виде при
помощи гиперболических функций:
8І71 ?(*)«-£—, СИР(*) = Л*, iffP(*) = ~, (I)
«■ели в формулах
2^Р(з)
ят Ь (х) = —: ,
І + tgsf Г (а:)'
cos F (ж) = ,
atgf F(«)
tg P (x) = ~ ,
1 —tg»-;-PCa)
иы заменим tg-*- F(x) через с~х.
Проф. Штекель обратил внимание на то, что угол параллельности
F(jb) связан очень простым соотношением с углом <а, введенным
«ще Ламбертом '); он имеет важное значение в теории гипѳрбо-
!) J. Н. Lambert— Observations triyoaometriques. Мйтоігсэ da Berlin,
Алиев 1708, стр. 327—354, Berlin, 1770. Ср. также Zusataa zu den Lngaritomisctien
and T/igonametrisclien Tafeln, crp. 182, Berlin, 1770.
ш-пш:'ілти[
іітз
(Щ
ліі'іі'скігх <[іуш;цііі[ it ііідчіг ім-іімііці' • гудчрчшгшгии» ич имени І'у-
дермана.
Угол ш имеет с-.и:/іуіищ»ч: іѵіліі*-
трнчесісое значение. Построим
окружность с радиусом, ранним единиц»,
и рашіосі'оришіюіо гііпгірполу:
Пропчдем радиус-вектор птг-рііо-
лы OF, через F—'лшшю,
параллельную оси х, до пересечении с
касательной ЛИ в точке Л п линию ОН.
Обозначим прямоугольные
координаты точки Ъ' Чйрез ж и ;/ и
полярные ее координат — череа >-, та, угол НО II— через ш. Тогда полу,
чаѳм формулы (учитывая, чту ОН = ОС):
У
37
1 f ?' ■
oos «i я;
Если в круговых функциях
_-lE = sin<u, 0_L=cos<», ДЯ = іц(п
будем рассматрппать аргумент <о не как меру угла ВОВ, а как
удвоенную площадь сектора ВОЕ, то аналогия между круговыми и
гиперболическими функциями сделается ясиой. Действительно,
обозначая через и двойную площадь гиперболического сектора BOF, ъаа
из уравнении гиперболы имеем
Г пл Г* 'Ь 1 1_-Ий? 1 , , /е , \
і*= I і-а**=< I —---—■—^—— = —1п - = —- lute: -т- 4- а •
J ' J сон3»—гіш.1**? а 1—tg» 2 ь \ 4 ' '/'
о и
откуда получаем: лл , ,.
J ЛЛ = tg з = tli и,
ОС = г == сіі и,
F(7=2/ = sbu.
Сравнение атпх формул с формулами (I) а (П) дает:
th а = cos F (и) = sin an,
oh м =.
я показывает, что
sinF(«) cosoj
su и я= ctg F (и) = tg »
Зік. 45в. Н. И. Лобанове вив, т. Е.
18
274
п НАЧАЛАХ ГКОМІ-Д'РІШ
[Ul| ІІа ураыіктія (12) ми имеем формулы
sin F(u)=-=
i+tK*-;. i» '"+'-"
СІІ d '
1— tpa-.r Ь (и) ,.о_г-я
l.4is I'M = " = = ll)H,
2t»t4-F(a) 2 1
tWF(«) =
1 —tp»; F(/i)
*<*■
cm ,,-F(«)
/l+tg"y F(«) V(-4-c-«*
„-'V
(I)
Применим :wii формула к следующем чѳті.трелі из формул (II) я (7)
2Ffrt) = F(e — ft')+F(c + a'). 2Т (Ь) = F (а'— в) + Р(я'+я),
2F(6') = P(c —«') —F(e-rfO' 2P{c) = F(e' —«) —Р(л' + «)-
Первая дает нам:
кІп F (а) = sinf ~ F (с — а') + ~ F (с -j- а') 1 =
= sm~F(c — №')со5-І-*Чс + а') + яі11Т V(c + a')cQ!,yF(c — a')~
_.,,(„_„') уі(С+П')
+ с
.-"/ife + d'JgV.fe-»')
l/e^-(-e-2l! + e"''<1' +e-a"'
или, вели обоэзіачпм
чѳреэ ,lf, то получим:
sin F (я) = М (е"' 4- с~а').
Подобным образом получаются 8 равенств:
«іаР(а) ~ЗІ(е°'-\-е-а'),
smP(V)=Jtf(eft' — с""'),
cosF(rt) = Jlf(ec — е-« ),
cosF(b') = Jlf(ee +e-*'),
sinF(b) =У(й" + «"■).
smF(c) = jY(c" — е"«),
сс*Е(Ь) = іѴ(еп' — е-»'),
cosF(c) =}f{e^'-^e-"').
(П)
Ш'ПМКЧЛШКІ
27Г.
П:і фирму.і ill), іцішііічіні і,і. iiKiiitniiiit- і(іп|іму.и.і (І| и paiiflHTi'O
F («1 -\~ 1'і,я) = —-, нпходнм і:С"! Формулы [ 13) м(>;кду э.шш-ятпми
прямоугольного треугольника. Так например, раяді'лин |ІГа) іііі (II-, і.
принимая !ИІ ІІІШМШІІШ (I,) Н yillLIUIIIIIir"; ріІІИ-ШГГСЮ, 11(1. іуііМ.М (13, >. ІТріІ
ятом формулы (13,а) и (13.() ію.'іучшиті'іі лі;а рана.
Если мга применим одну in форму.'! (1'і)- ,If! оолер;кшііуіі">
тангенсов, к треугольникам, о которых говорилось и примечании 12, то ми
получим формулы (13,), (13.,), (13,.). Поступи» тш;нм ;к<; "«фнаич
с какой-нибудь на формул, содержащих
тангенсы, получим формулы (13,), (1Я4), (13Гі).
[ЙП] Непвру принадлежит следующее
мнемоническое правило для аапоміпгашш формул,
связывающих ялемвиті * прямоугольного
сферического треугольника.
Радделим круг радиусами на пять частеіі
и, пропустив и сферическом треугольнике
прямой: угол, лппшисм в каждом секторе катеты,
дополнения (до ~\ гипотенузы н острых цглов в том
■порядке, я котором они встречаются при оі'ходе. треугольника. ІІы получаем
для треугольника с гипотенузой с, катетами a, Ь и протііволежащими
углами А, В чдиаграмму», изображенную па чертеже е. Віл'ерем
какую-нибудь часть и назовем ее
средне!! частые; лежащие рядом с ней
назовем прилегающими ц две
остальные—противоположными. Тогда
правило Непера таково:
1, Синце средней часта равен яро-
и,ш<*еніт тангенсов прилегающих частой.
2. Синус средней части равен
произведению косинусов противоположных
частей.
Подобное же правило ми можем дать и для запоминании формул
(13) И (14) Лобачевского.
Составим схему, отличающуюся от предыдущей тем, что теперь
рядом о частью, относящейся к катету, находится часть, относящаяся
не к прилегающему углу, а к противолежащему (чертеж О).
Тогда формулы (13) н (14) составятся по такому правилу *):
1. Косинус средней части ранен проітеііеиию котангенсов прилегающих
частеіі.
2. Косинус средней части равен произаедению синусов противолежащих
частей.
і)Этопріівнло принадлежи* А. П. Котеяьникону. [ІТрямеіаши главного редактора.)
IS"
:1Т« О НАЧАЛАХ ГКиМЕТІ'ГПІ
Можно "гг:[ треугольники Лойачинеииго сохранить н ирпяило Пѳ-
н>ра ill-.* іі.іМі:ііі:іііііі, ее,иг ио;(і,мі-м следующую схиму:
IJ.ui'ciini itttmi'i.i'1': a, b мы iIcjium Аинолнения
(іііі -',-1 их t/.-.im iWfiiij.iP.ibtiQanu, m. e.
V{*)=*l—Y{«). *'(?) = I —F(b),
и,ке«нг) ,'ішч)иену.ѣі с — ее угол іщтллслшишн Р (с)
if располагаем яти элементы и угла треугольники
на диаграмме (I таким яоршіке, -чтооы между
частями, относящимися і: гипотенузе и катету,
находился усол, противолежащий катету (чертеж в).
Применяя к такой диаграмме правило Ыѳиера, получаем все
формулы (13) и (Ы) между треля частями прямолинейного
прямоугольного треугольника.
Б некоторых отіітішшін-ч удойнее цолг.аонаться диаграммой в
іі нрпинлом ГТсгн'ра н его иораошчальном внде. Действительно, прямо-
лішеііночу треугольнику с млемептамп
в, F(ft'), с, F (,,'), Ь
соответствует, как было доказано тише (примечание 13), сферический
треугольник с элементами
Т(с), Р(Л- Р(6), Р{«), F(e').
Строя для этого сферического треугольника, по правилу Непера
диаграмму, мы должны в секторы по- порядку вписать
?(с), ~~Ѵ(?') = Ѵ(П у—F(b>, -*—F(a), Е(а')-
Тогда мы, очевидно, полупим ту же диаграмму а, как п для
соответствующего прямолинейного треугольника. Таким образом одна я та
;кѳ диаграмма принадлежит как прямолинейному, так и
соответствующему сферическому треугольнику.
Но только мы должны различным образом по диаграмме
определять элементы соответствующего еіі сферического и прямолинейного
треугольников. Для прямолинейного треугольника сектор F(c)
соответствует гипотенузе, элементы определяются по выше данному
правплу:
a, *>'), с, ІЦЬ'), Ъ.
Для сферического треугольника гипотенузе соответствует сектор F(f3),
а элементы определяются по правилу Непера
*Че). J-F(b') = F(^). ~-F(?) = P(b), |—F(a) = F(a), Е(й').
Тип как для 8-гіх лнух треугллышнгш мм іш«е.ч о.шу и ту ;г:е
диаграмму, то по щишплу ТЬіііери хш ойшх мы получим один и то
же формулы.
Построим теиорь диаграммы д.ш нрнмолиш'шшх треугольников,
о которых говорится іі примечании 12:
Ь, !■(«'). '-, 1"С''). л,
ft, F(«), "'■ ll». ?'»
■у, Ftf), a, F («'). ?'.
д, Р{<% '''■ *4ft, п'-
По данному выше правилу ми должны в секторга вписать по
порядку
g—Fff) = FO), F(*) = |—1-», F(0'), F(<0, y-F(S') = F(6'J;
-^_F(Tl=F(fi), F(a'), B'W-I-FH, F(B = -f~F^ -3—^') =*'(&'>;
|-.-F(y) = I'(4 F(n F<ft = |—F(b), F(e)=-3—Ft«J, -J-FM =»*(»'):
|--F(c) = F(a), Ftf)=J —F(u), F(b'), F(c,S |"-F(a')=F<«')
Очевидно, что для всех этих треугольников мы получим опять
ту жа диаграмму е. Б «той последней мы можем, следовательно,
любой сектор принять за сектор, соответствующий гипотенуза или
катету, или острому углу, и по одной и той же диаграмме написать
элѳменти всех пяти треугольников.
Но мы видели выше, что каждому прямолинейному
прямоугольному треугольнику соответствует сферический треугольник, имеющий
ту же диаграмму. Поэтому пяти прямолинейным треугольникам, о
которых сейчас идет речь, будут соответствовать пять сферических
треугольников и для всех этих десяти треугольников — пяти
сферических и пяти прямолинейных —мы имеем одну и ту же диаграмму
и одни и те же десять основных формул, получающихся па
диаграммы по прашіду Непера.
Положим, например, что сектор F{a') соответствует,' гипотенузе
прямолинейного треугольника, а сектор F(b')—гипотенузе
сферического треугольника; тогда элементы этих треугольников будут;
дли прямо ли нѳііного
Гі-. Ч НАЧАЛАХ ГКОМКТРИИ
Л ЛЯ сф<;{ІИЧ>НЧііЛ'І1
-*.-_F[„)=tf(jtb F<H ЬЧЗ').-^—F(lO = F(t). F(tt').
Пноі'.ча, ЕЦЖѴіѵіп'ііііі пользоваться формулами, содержащими четыре
элемента треугольники.
Отмитнм іѵівдуіищне дш> формулы. Если в диаграмме С еекто-
рямп (1), (2), (3), 14), (а) по правилу Кмірра напишем формулы
siji(2)-=ej<M(5)oi)s (4), яйцЗ) = соа(1)еО;і(5)
іі умножим первое равенство на cos (1),
второй mi сон (4), то будем иметь
иом (1) sin (-2) a aifi (3) соя (4) =
=и сол (11 cos (4) cos (5),
рииенотво, которое составляется по
следующему правилу;
Иозьлем в дішгра.и.ѵ.и пи пчрядиц четыре иламиніш; щюылведтне
косинуса первого на сищій ширим уалло прои.иіеііаніш синуса третьего на
косинус четжртоги.
Сравнивая дна выражения ьіп(5):
ein(B)-3t¥(l)te(4),
sin(5) = cos(2) соя(З),
имеем
•st1) ig(4) = oos(2) еоз(В),
т. е. щюизвеОвние косинусов двух соседний; элементов равняется произведению
тангенсов элементов, с ними рядом лежащих.
[Э1] Если в (формулах (14) мы введем катеты а, Ь, с вместо
соответствующих им углов параллельности F(a), ІЧ(Ь), F(c), пользуясь
формулами (І) примечания (18), то вместо формул (14) мы будем
иметь формулы
оЪс = ohdch й, cliс = ctg1 jL о% JS, J
ska —slicsinJ., th.a = tg-Ash6, , \ ГО
nil 6 = tli с cos A, coa A = ch.fl siniJ, j
■отличающиеся от соответствующих формул сферической тригонометрии
{1Ь) только тем, что вместо тригонометрических функций от
катетов и гипотенузы сферического треугольника стоят гиперболические
функций От катетов и гипотенузы прямолинейного треугольника.
Аналогия ѳтих формул с формулами сферической тригонометрия
представляет некоторое удобство. Но, с другой стороны, 'формулы-
(13) л (14) Лобачевского, в которых вместо сторон треугольника
введены соответогнукИцнѳ "им углы параллельности, представляют то
Ш'ПМК'ШІІШ
27W
Йолыіюі; »[ичімулѵсгі»> ш.ч»"і ф'.)!ѵ.у, 1,'іміі (lj, чти он» тіс»; могуч Оыті.
ішлучеіш іг" нрішнлу HfcU'-'pa іы липграмми к (примечание 20J,
которая принал/кчиит 1-"> различным фигурам: лсоіпі треугольникам,
о которых говорите» н нрпмечишш -И, и четырнху голышкам, и ко-
торгах оудит р^чь ]і
примечании 41. Одна л та- f
же диаграмма уетаиаи-
лпвгн>т снизь между 13
фигурами.
Формулы (1Ь) здесь
выведены и
предположении, что ч, Ь, с, .1
и Іі все меньше ~ .
Доказательство же их
правильности для других
случаев Лобачевский
даегв аЛовыхначадах^,
ст. Ш.
[~] Основную
формулу сферической
тригонометрии можно
получить, опустив из
одной его вершины О
перпендикуляр k на
противоположную сторону и разделив данный треугольник на Два
прямоугольных. Для этих треугольников ни имеем диаграммы * и 8
п формулы
cos а = соа А соз (с — х), cos b = соа h cos x
ы aina; = aiabsinyl cos.i = cos Л sin j.
Исключая на этих уравнений cosj:, зііі а:, соз у, получим
соза = ооа b cosc-[- sin Ь sine соа J,
основную формулу сферической тригонометрии, из которой, как
известно, могут быть выведены нее остальные.
Вывод формул (1G) Лобачевский дает в «Новых началах», ст. 145.
ра] Для вывода формул (17) и в других случаях полезно иметь
формулы для siiiF(x~f-y)> cos IP (я-{-#). sinF(i — у), cosP(a:—у).
Проще веего мы их получим, если воспользуемся связью между
тригонометрическими и гиперболическими функциями:
2b0
и іглчлллх гі:омг;п'іш
snib'^ + '":i^dji.r-j-.v)"""cli//di^+sh.cfi!i;/''
1 ^ sinF(x)sinF(j/)
1 і l 1 1 -J- cos F (ж) сов F (у)'
ѵ, г ^ ,w ! ^ tl^H- tl! ,i cos Ff.r) + cosF(;/)
Tan сак F( — ,v) = -s — F(//), то sinF( — ;/) = sin Ffc/), cosF( — #) =
=—-crjsF(.y), и, менян >і ля —g, шіесм:
■ tw , MnFfg)«inF(y)
ми ?{х-у) = j-^ F ^ ccs j,, ((/).
ens F(,c— ;/) =
сов Г (.к)— cosFQ)
1 — сон F (:«) сок F (y)'
(П)
Эти jko формул: J могут быть иыве/(ены еще иначе без помощи
гнпербо.-шчсских функций, пртг помощи формул (I) примечания 19.
Замечая, что па основании уршшентт (12)
te 4- я (*+?/) = tg -J- f С*) tg -\- F (?/),
tgi-Ft*—ff) = tSi-F(a)otgi-F(ff),
мы бу;іем иметь
sin F (« + !/) =
2tfrfF(tt-Kv)
l+tg*f F(sW
2smF(x)sinF{7)
[1 -j- cosF(at)] [1 -f- совF (</)] + [1—cos і\ж)] [1 — совІ'(і/)]
sin F(a?1 sinFfy)
= 1 -+- cos F (a) cos F (j/Y '
Подобным же образом выводятся и остальные формулы.
Полагая х = у, получим
sin F (2х) ■-
sin3 F (а)
tgaF(aO
1 -f- cosa F (*) 2 -}- tga F [#)'
, _„ .. gcosFfe) . 2
cos F (2a;) = b_Z_
./ 1 + сов* F (и
1 (ж) cos F (я; [2 + tg* F (x)) '
(Ш)
ІИ'1І\1КЧЛШІИ
281
Чті.ГіЫ НІ.ТІІІ^ПІІ HepKVIfJ И ЫППѴІО ІЫ форМу'Д (IT), ІЦ1С1НОДІІМ ИЯ
всрпшіш ("трг-уго;іыші;!і ,t W"'«центу /і л рц.сч'лнем .чанный треугольник
яа два прямоугольных треугольника. Для них имеем диаграммы а и Л.
Первая формула получается ім формул
кіпЛ -= Щ F (ft) ctg F (/0. "in Я = tff F (a) ctg F (А)
деленном одной на другую.
Для шлпода пторой иа формул (17) напишем
sin F (о) = ып F (Л) яіп F (с — a:), sin F (ft) = sin F (ft) sinF (x)
соя F {x) = oos F (ii) соя Л
и, пользуясь формулой (II), исключим F(.c) и Р(й):
sin F (/0 sin. F (с) віп F (л)
аіп F («) =
-cosF(c) cos F (а?)
ил"
. . 3inF(c)sinF(6)
sin 1' [а) — 1 _ cos F ^ cos р (bj сов л •
"Чтобм получить третью формулу (37), разделим треугольник ЛВС
на два прямо у го л г. них треугольника пысотой, проведенной из пор-
е г
шины С, н паппшем по их диаграммам виг формулы
cos F (/і) = совF (с) сов I/, sin F (с) ™ tgу tgЛ.,
CDs F fft) = сов F (п) сов (В—у).
232
<> ІШГЛЛЛХ ПіОЛВТРШІ
Из них имечм:
соя F (с) см у ~ соз К (a) (cos /і со^ у + sin /J sin у);
определяй отсюда Тцг.ч, получаем палчи:
eosF (с) — cosF('i) cos Л
sinF(cJ==t(j--l Lgy — tgA
осе F(e)
cos F (a) sin H
cos В = sin F fc) sin It clg1 -t.
cos F (a)
Наконец, для пмнода формулы четвертой разделим треугольник ЛВС
высотой, проведенной иа вершины А', напишем по диаграммам Э и е
sin у = sin F (К) cos Д, sinfjt — у) = sin F (ft) cos С,
sinF(c) = tgytgB.
Отсюда
соз В (sin jL созу — cos Л sin у) = cos С sin у,
sin F (с) __ sin Л cos В
tg В ~~ ff — cos С -|- cos A cos £'
sin F (c) =
sm A siii В
oosC-j-cos A coe£"
Если бы для вывода формул (178) ы (17,) мы воспользовались
разделением треугольника на два прямоугольных высотой,
проведенной черва вершину С, го вместо формул (17а) и (17J получили
бы аналогичные:
сонЬЧй)
_-¥i-)_coflC = amF(b)SmOctgA,
BinF(6)==
ніп.Д sin С
соаВ-(-еовЯсов О'
ІИ'ІШК'ІЛШШ
■1S3
І'Ч Эти формула іиѵіушм. .«імучіія. что
2 ."' ѵ-іі
it ріі.ілішы і"' п i1"'1 в ряды по оіѵпшіам іг.
Р3] Во кториіі формуле (17) члени іииійчіше сокращаются, члчии
шірвого ыоря'.«аі малости отсутствуют, и иотчму на:ю ваять члиііи
второго пор ид кн. В има-ii.m.tx трех Формулах доотагично взнхь члогш
пчриого порядка, т. е. ітшіштг, siuFfn) чері-j единицу, cosF('i)
чнрез а.
[йі] Так как
' 14-njp'
14-tgp
*< In
1 —tjfp'
илп
С другой стороны,
у *е «р = 7"-^тІ«'= tgi> "+" **"*+ ^ + • ■ ■'
откуда
'іц < tg,2jj.
Р7] Статьи, на которую ссылается Лобачевский, помещена в Соп-
naissanc6 dea temps pour Fan 1831, Paris 1828, or-p. 130—148 и
озаглавлена,; «Мёшоіге sue la determination de la parallaxe efc du mouve-
ment propre en declinaison daa etoiles au moyen d'unenoirvellem^flioda
d'occulta tiona artifieiellea» par Ж. }e comte d'Asaas-Mbntdardier аіюіѳп
capitaina de vaisaeau chevalier de Saint-Louia. На стр. 149 —161
помещена краткая заметка Delauabre'ti.-
По доводу этой ссылки дроф. Энгѳль в своем перевода делав!
следующее замечание: «По мнению Harzer'a в Киле, способ,
описанный в етои статье, совершенно непригоден. На это указывают уиѳ
данные в тексте параллаксы, которые все1 одишкои велики, тогда пак
действительные параллаксы этих зпезд едва ли могуі быть измерены.
Название „2S Eridani" относится в известным обозначениям Mams-
teed'a неподвижных звезд („Historia caeleatia", pats Г, Loudon., 1712).
Названия „Keida", однако, там: нет я вообще. оно не употребительно».
2Н4
'і началах п-:аш-;ті>Ш[
\м] В урлмнніші (17() oi'iMftiuiPM сначала .местами С' н Л, си п;
потом, .іт-лая указанную Ло6Ѵш;ст;нм шпстштику, полумаем формулу
. „. , cos 2»
4 ' cos (Ір — Чіл)
которую можно было бы
непосредственно накисать,
пользуясь диаграммок
прямоугольного треугольника между солнцем, апрзлой п землей.
По формулам Ш (примечания 23):
sin F (й) =
яіп2 F (іУа) 1 — cos-' F (-'- я)
соя
l-t-cos*F(.'-a) i-fcosaF(i-o)'
2о>) — сов 2р
2ш) -f- соа Чр
ІТП/ 1 \ 1—sinF(i) спя(2р—2о>) — сов2/>
ОтогаДа
ctg5 F | — а 1 — tbr|u'fi(2J| — °>) _"" чЕІп(2р — м)
I 2 / I — tg <u tg (Чр — ш j cos Чр
Но
ain?ar—sin2 у = ain (я -j-1/) sin (#—у),
поэтому
віпа? — sin2 (р—<о) = sin я» sin (2р — ш) = соа 2j> cfcgB F
(н
a)
[№] Па формулы (I) предыдущего примечания следует, что cbg^^f-^ a\
ЭІ71аР гг
всегда меньше - . Ноѳтому длл р -С р имеем
etfi;2F(-T- о <Г — <^ £
* \2 Ѵ^ сояг«'^-поя2«'
соа Чр' cos 2y
пі'нммчлнтг Ж'
и. ічодн мы в формуле (I) вменим cifr3F f-т-и і чѵі»1'* -^т,--г. ті»
получим
- ч,. , _ . ., . „ , cos 2р
cos zip
ііріпом itpaiian часть исташл'си іюлшкііге.'іі.іюй. Дилиі*, ЛобаччиекШ
полагает
shi«' Г соя'lii
smj-=-i Т/ ~
и, заменяя аіп(р — іа) и sinр ч«роа р— uj и р, получает р— ш "^рсоах,
откуда
ш < 2р sin3 — ■.
Для j/ = 0",ti2 и jj = 1" с точностью, вполне достаточной, имеем:
-£. = іаѴ,а, Ig'sin ~=U,51I)11,
!«■ 2j> sin* -?- = «,33325,
ш< 0*,215-І, а<и<0"143.
р] По формулам (S) имеем, дли суіши острой углов
прямоугольного треугольника;
УС«')4-з?С>') = 4"і1(ж—Й + ѵ^СР —«)"■*(*+?) = "?•—Я(*+Ю.
■Отсюда
но
поэтому
20»^ В1 (« + ».
F(*)=f —1?(<0,
1 — tJr-J-P(e) ea—i
1 / я 1 ,, \ 1 —tg-v^'ta) e°—1
e° — 1 d> — i
•iS'l О НАЧАЛАХ ГШМЕТГПИ
Если Tf пор. іюлпишм, что <і = Ь, то получим
■'-'-= (5хт)"=^і,(4-'')'
|ЯІ} По формул--
ланкой в примечании 28, лршшмяп но лппмішііе, что F (я) > -£— 2р и
sin F (я) > со-ч ajj, имеем
<= іг/ "\ •- I — cos ^;)
сок2 И — ) < —; г— =: tp-p.
\ '2 } 1 -J- cos 2/>
[sa] Если через а оПо^ішічим угол и 1", вілражетшип в радианах:
3 = 0,00000-1 S-ІЯИ,
то угол j)"=0",C2, выраженішп в радпаігах, будет
р = 0,аав:
заменяя tg ш и tg/j череа а> л р, будем иметь для ю, выравненного
в радианах, <п < р", я п секундах:
„г
»"< ±- = а-0,С2* = а -0,aS44,
а
2ш" < а- 0,7088=0,0000037273".
У Лобачевского в сКдшшском вестяшго.» л во всех дальнейших
работах стоит:
2<ц.< 0,000372,
т. ѳ. число s сто рая большее. На эту погрешность обратил
внимание проф. Энгель в его примечании к переводу «О началах
геометрии».
[8BJ Вероятно, Лобачевский подразумевает следующее место Р. 8.
Laplace — Exposition da aystfcme du monde. Paris, 3-е изд., 1808:
«Повндимому эвезды, рассеянные далеко не на одинаковых
расстояниях одна от другой, собраны в группы, из которых некоторые
содержат миллиарды апеад. Наше солнце и наиболее яркие ввеады
образуют, вероятно, часть одноіі из ятих групп, которая, когда мы
рассматриваем еѳ с Toft точки, где мы находимся, представляется нам
в виде млечного пути, опоясывающего нѳбо... Таким образом
вероятно, что многие из туманностей образуют группы большого числа
ввѳад, которые, если их рассматривать изнутри, будут представляться
подобными млечному пути».
Ш'ІІМК'ІЛШШ
287
Чутье я здесь іш обманули Ліібачніскотп. Более того, сонремрниме
исследовании установили, что :ѵі>:-иишк мирги:, улалішішх от нас на
миллионы световых і'одоті, нядещвримо больше, чем с?гЗо представлял
Лаплас, чем туплекале»» Лобяіевсняй. Ііытіл, (; которому прпзодлт
Лобачевский, таким образом, іі настоящее лрлмл ощѳ несравненно
больше обоснован.
\"А\ Формула (18) п следующая аа ней еоиткетстнуют следующим
чертежам и диаграммам:
1Г
2
У
а ^\
2 Г\
а: г
Тангенс F (г-]■-#) находится по формулам (I) примечания 23, я мы
имеем
._. , _,,,. tgF(r4-x) аій F (г) sin Г (ж) т,„, , „, ,
cos F (у) == cosF (й) 6, Ѵ,7Т ' = —=7ТЛ ^rhr c°s F(Ь) otg F(r),
соз F(у)
tg F (г) сов P(r}'+ cosF(:c)
sin F (a:) cos F (r)
cos F (ж) ~f- cos F (r)
cos F (6).
Для г = оО,
F(r) = 0, cosF(r)=-=l,
cos F (y) = ■ ■ jp.- ffiI .-■■ cos F (i) «a tg ~ F (a:) cos F (b) = e~* cos F {b).
При r = co прямая становится параллельной оси абсцисс.
рт] Так как Л >F(i), то cosF(re) < 1 я существует отрезок а,
удовлетворяющий уравнению (20). Если мы перепашем его уравнение
таким образом:
2ЙЯ
О ІТЛЧЛЛЛХ ГЕОМЕТРШІ
то получим формулу (ІЗ-), сиогнетг.тнующую прилагаемой диаграмме;
іюятпму отре.ши и ирслотавлнит само!! катет прямоугольного
треугольника, у которого другой китчт рцііі'н отрезку /., спязаішону с I
У0-)= I —У
toil прнложшцпй к катету ). угол ранен -у — Л. Такой треугольник
построите нетрудно, осли нам известен угол параллельности F(Z) (см.
примечание 12). На. стороне атого угла F(fj = /JOC отложим отре-
F
О
F(XK-F(1)
аок I = ОС; ив точки С опустим паряіяідикуляр СЕ на сторопу ОТ),
при точке С построим угол ЕСО = Ѵ{1), тогда ED = i.. При точка D
построим угол EDF=~ Л; пересечение стороны ЕЕ с
продолжением СЕ дает отрезов &*F=a.
Линия CD пересечет продолжений ОЕ в некоторой точке D, ибо
н прямоугольном треугольнике ОСЕ сторона СЕ<^0С=1, и F(CE)>
[иа] Данные в тексте формулы получаем нз двух треугольников,
построение которых описыиаѳт Лобачевский, и соответствующих этим
треугольникам диаграмм а п о,
[31] Подставляя в формулу
tg L' = sin F (с)
l + tgA-igA'
tgA — tgj/ "
Ш'ШШ'ШПШ
WJ
выражении
COsI' (fi)
имеем
tg// = *inP(c}cosF{<7)
sin F(c)cos F(e)
tg F (0 sin2 F (rt) sin F (І) cos F (I) sin* F (a) '
it, принимая во внимание равенство
Htn F (c) = sin F ti) sin F (i)i
получаем
tffL' = .
cos F (a)
• = ctffb.
bin P (e) cos F (i)
(fle] Эти формулы nprt помощи предыдущих и формул
sin L etg F{c) = otg P (l); сои F (a) = cos F (с) соя L
для треугольника со сторонами с, (, а получаются таким образом:
соя Ж(Ь) = sin L сом Р (с) = sin L cf.g Р (с) sin F (с) =
= sinL ctgF (с) sin F (.J) sin F [I) = sin P (a) cos F (J),
sin F (c) tg L sin P (a) ainF (I) tg L _
tgP(0 =
cos F(b)
sin L сон P (c)
A*
sin P fa) sin P (I) , ,,. , . _,.,,
ООН £ OQ8 К (ff) " ■ ' W
[DSj 3 T0M] чго четырехугольнику (чорт. 10 текста) соответствует
треугольник (черт. 11 текста), можно убедиться еще иначе
геометрическим построением. Восставим в вершине V
прямого угла, противолежащего острому А,
пер пошлину л яр С Л и плоскости
четырехугольника, и через вершины Л, В и С проведем
в нему параллельный АЕ, BE и СВ. Сумма
внутренних двугранных углов между
плоскостями, в которых лежат четыре параллельные,
равняется 2гс, а так как углы о ребрами BE,
BE, GE_— прямые, то и четвертый угол
с лезвием АЕ также прямой. Воображаем
около А как цѳптра сферу; пересечение ее
линиями АЕ, АВ, AG произведет
прямоугольный при АЕ сферический треугольник
ABC, в котором гипотенуза BG=£_A, катеты АС = Щ), АВ = Я(1)
п противоположные углы F(a) и Р(й). Для итого треугольника мы
Заи. ІЫ. Н. И. Лобачевский, т. I, • jg
'J'JO
О НЛ'ІЛЛЛХ ГЕОМЕТРИИ
будим имен- прилагаемую диаграмму, атоіі диаграмме соотпететиуют
(ем. примечание "0) пять прямот tifiiiiiux ■ треугольников, между
которыми отметим треуг-олЕ.япк с гпнотену-
mtii (. В нем катет/л будут "> "'. причем
Т<'(<і') = Л, п противоположные угли ~— ]<"('>)
и еЬ). ■
[*<>] Если мы получениші в предыдущем
примечании треугольник положим «а
четырехугольник так, чтобы катет а треугольники, сов-
пил со стороной л четырехугольника, то будем
иметь фигуру, изображенную па чертеже.
Из нее вытекает построений отрезка а гное, чем данное в
примечании 33, По углу Л =l-'(«'j построим отреаок ЛВ = а' (ом. щшмеча-
ппе 11) и, отложив В 1С —а', стро- _^
им лри точно В угол ШСВ — У[1).
Так кик F (I) < V (и'), то а' < I и
точка 1С лежит между Л п !і\
следовательно, (іторона Л'Л угла BED
пересечет 1SD. Кятет 1SI)
треугольника ISRIJ иудет равен е.
'Га же фигура дает ;даа
способа построения прямой,
проходящей черен данную точку,
параллельную данной прямой.
Из чертежа, приведенного в примечании 39 па стр. 2S0 мы видим,
что угол EDC будет углом парнллельпости, соответствующим отрезку Ь,
и, следовательно, линия ED будет параллельна, АС. Поэтому, чтобы
через точку В провести лнншо, параллельную АС, опускаем из В
перпендикуляр ВС' = !> на линию АС и проводим прямую DB,
перпендикулярную к DC. Из произвольной точки А данной линии АС
опускаем перпендикуляр АВ на ВВ. Б четырехугольнике ABDC с
прямыми углами В, В, С и острым Л сторона <і<і. Поэтому
окружность, описанная из В радиусом AC—t, пересечет лттпю АВ в-
точке Е между точками А п О, п лшіш BE будет параллельна
линии АС.
Другой способ заключается в следующем. Чтобы через точку Л
провести линию, параллельную прямой BD, опускаем из точки А
перпендикуляр АВ на диншо ВТ); в произвольной точке В восставляем
к линии ДО перпендикуляр DC и на А опускаем на DC
перпендикуляр' АС. Если сделаем DE = AC, то угол BED будет углом
параллельности, соответствующим ' отрезку АВ. Построив на А В
при точке А угол, равиый углу BED, получим линию,
параллельную BD.
f-F(ft)
Ш'ІШІЛЛІШ.І
•т
сі ?і с,
Уги дна ностроріигя плрилл'-.'н.ппп .шіш Ні=г*-.чі*м и его up ;і меча.
hums к переводу *0 titi'i>i'i!t\ rt'itMeriJisiis. ІІро-|і. Ьчѵі-.и. пшцюиожда*;?
их следующим ;иі.\і(:'іаіш<'м:
«Начи думать, чти Лоиилинекий іііііН а'ш пострс-ешиг, хотя он ыін да
не говорит о них. OCin,tsii;sHi;CTim йи.іо до cus лир только іиорое,
которое дает Иоанн Гіо.іьаіі в $ ;і4 сііосічі «Липондпнси"*.
[41] Ми шід*ѵш шли»*, чти ноігкмму чі;тг.іреѵуі'і).'іг,ітку г; іррчп
прямыми углами (іоитікзтотву'-іТ гфі-рнч'ччгіш нртшупли.нип
треугольник. Нетрудно доиилаті. ооритігоі: ііо.'і->'ііі<?іііш.
Действительно, пусть мн имеем прямоуго.н.пий при точке С офь-
рнчесвіпі треутлышв ЛВС г. гштот&нуиоц !■'(f), катетами ¥(«}, F(fj)
it прилежащими углами F|V), Fiji').
Отложим по радиусам ОЛ и ОН
отрезки 0.1,.= з, ftfy-= ;3 п чиреа точгиі
Л, н Л, проведем л плошеогап А 011
перііеіідшгулнрііі Аг1.> и BlD в
радиусам ОЛ п ШИ. Эти нерпаіідпвулѵіры
пересекутся в некоторой точке* II,
поо по слойетиу сферического
треугольника F (и) -f- Б" (?) > V (т). Мы
получим, таким тірааом, четмрех-
уголыиш і)А>рВѵ у которого дна
прямых угла Л, іг Й, и острый
угол О,
Докажем, что четвертый угол I)
будет прямой. Проведем черев
точки Л, и JJj лшгші Лг0\ и В1С\, перпендикулярные к радиусам,
соответственно в плоскостях АОО и ВОС. Так как О/!, = |3, 0Л| = «,
то эти лшшн будут параллельны о Оі7| и, следовательно, параллельны
между собой. Плоскости DAlCl н DSlCl будут перпендикулярны
s радиусам ОЛ и 07J и в плоскости Л Ой и пересекутся по
прямой 1)0ѵ параллельной с, В,^-, Л,^ и 0(\. Сумма углов между
плоскостями CjOJ-Jj, C^BjD, OiAiD и б^ОЛ^ равна 2«, а так как три иа этих
углов прямые, то четвертый с ребром .DC, п лпнейішм углом 1) в
четырехугольнике ОЛ jD.fi, будет тозке прямым. Па чертежа вігдпо, что
угод Ш.,17, = F(|3') и угол DAlC\ = V(a') п потому вследствие
параллельности Х>6\ о jIjCj к ^і^і стороны четырехугольника В1В = ^' и
А,П = а'.
Таішм образом сферическому треугольнику о элементами
F(«), F(V>, Р(т), F(p'),T(P)
оо ответствует четырехугольник о тремя прямыми углами, острым
19*
2Я2 і) НАЧАЛАХ №"ШЕТ['1Ш
углом !■*(-у)» ііріі."н*я:шцііми ^му сторонами a, J іг прптшмѵіежащііми
чтороніім» -а', 'і':
Формулы сферіліч.:коі-п треугольники it уд у т выражать вместе с тем
н соотношения между 'тетями четырехугольника. Эти формулы мы
получим пи припилим Неперн, если для треугольники ЛЛ(7 построим
ту я;в диаграмму, которая Судет принадлежать и четырехугольнику.
Мы приходам, таким образом, к следующему мнемоническому
правилу для формул четырехугольника о тремя прямыми углами.
Вместо сторон а и [}, прилегающих к острому углу F(-[), берем их углы
параллельности F(a), ЗГ(Р); вместо сторон а'ы ft', противолежащих острому
углу,—дополнения Оо -і- ѵх углов параллельности:
в.кеило острого угла Т? (f) — его 8оііо.г»в»не
-J—F(T)«F(c).
Начиная с прямого угла, ярошиволезкащего острому, вписываем все
величины, относящиеся к сторонам, в том порядке, в котором мы. их встречаем
при оо~ходе по контуру четырехугольника, и последней вписываем величину,
относящуюся к острому углу.
Применяя к полученной диаграмме правило Непора, мы имеем
все десять формул для чатырекугольника с тремя прямыми углами.
Но мы видели выше, что одна и та лее диаграмма может
считаться принадлежащей пяти разливным сферическим треугольникам.
Поэтому той же диаграмме будет соответствовать пять различных
четырехугольников, каждый сектор мы можем принимать за сектор,
принадлежащий гипотенузе треугольника или острому углу четырех-
ПРИМЕЧАНИЯ
2ва
угольника. Тан, например, ео.ш гсвтор Р^І) будет соответствовать
гипотенузе, то части пфррп чрс ко го треугольника будут
F(«'), £ —Ь».*.*», Л—Г(?)-=!?!&), ~ —F(ft'), P(c),
і " «
а части чйтиреху голышки—
н, a', F(ft), о, ft',
если тот же сектор соответствует острому углу.
Принимая во внимание сказанное » примечании 20, мы видим^
таким образом, что одна и та же диаграмма и одни и тѳ же
формулы, написанные для этоіі диаграммы: по правилу Ненвра,
соответствуют 15 различным фигурам: пяти прямолинейным прямоугольным
треугольникам, пяти сферическим прямоугольным треугольникам и
пяти четырехугольникам е тремя прямыми углами.
Пользуясь одними и теми же десятью формулами для всех 15
фигур, мы должны помнить, что десять величин:
а, і>, с, а , Ь ,
*, h Ь *', ?'.
свяваны между собой соотношениями
F(«)+FW=~, Pf«') + F(a')=~,
Р(Ь) + Р(Р) = І, І?(Ь'Ц-Р(Р')~у, F(C) + F(v) = ^.
Мы видим на примере атих 15 фигур, какое большое значение
представляет собой угол параллельности, введенный Лобачевским,
позволяющий линии выражать через углы п, обратно, углы чѳреа
линии, вводить в тригонометрические формулы пли только линии, ели
только углы. Если бы мы отказались в формулах пользоваться углами
параллельности и ввели бы сообразно с этим вместо круговых
функций гиперболические, то вместо простых формул:
sin F («J =s cos F (a), cos F (я) = sin. F (a), tg F (a) = ctg F (a),
нам пришлось бы пользоваться более сложными:
eh а = otg F (а) = tg F (а) = ~,
Sll СЕ
.ill
ain.P(a) cosF(a) иі a
tb a = соа F (а) = еіп F (а) = -^—.
w ch a
2У.[
о плчлллх: гшшотрпп
Для Ki*ii;;*ort ил ІГі фигур ііід піі.іуш.'ш Сш различные формулы, if
ІфчІІТИІ'И СИ1ІЗІІ МПІКДѴ |]ШІ'У|"1«ІІ У'І'ріІТІІ.'ІНСІ, і'іі.1.
|'-| <1'и|іму. іу
Cos F(ft) = sili [<'(j'|ci.sL<'|.'f>
IHjJIV'Itll'M li-t ф<і|ІМѴЛМ
Cl>sJ''('l] ■= fill l*"1 (If ) «OS I1' l/j,
стішіі Hill-cm ii к /, .1: ir //. Если .с oTU'iiiTijiisiTi. от/, то л формуле (23)
«н.'і'і J" іііііісіін'п. 'Г(;рсіі it — .<■- Тогда получим
-•■Іп І'ым-чь 1'Ѵі
!-f>S [■' (,«)== —~ —— .
мц 1' (к — .'■)
Ни формула (11л щшмп'шшгя 23;
sin 1:1(п)іма]?(1)і\ —c<w Ъ1 f«) соя F (ж))
cos F {.'/I — :—~і—-—__ і—,
міп Ji'trOsm 1 (г)
cot I'1 //)
сп- VUf) = -.—гтт *iiiF(/]ct<r.l olnFf.i:},
sin .1 cos F(;;) = ch r wnF (?)«m .1 —кіі.ѵ; чіп F(()eo4 .(.
Отсюда, нирангая ch.r u ah v чрррл поиачательпг.тс функции, получаем
уравнение (20).
[13] ІІо ноіюлу урапнеиші (24) мо'.иіго сделать следующее замечание.
Это урпвяешш .шнейние относительно cosF(f/)HmF (.».') и cosF(.c)t и если
МЫ ПОЛОЖИМ
* = cos F (j-'), т, = fos F (^) sin F (ж), (I)
оно примет пуг.ч:
■г, = со* F (/) — sin F (?) ctg ,1 ■ 5.
Координаты \ п т|, в которых прямая пътражаегсл линепшім
уравнением, называются йе.ішра.иневы.ш посрдннаыа.чн.
Исключай из уравнений (I) sinF(a;), мы получаем:
■г-
FS _| Іі = і
^ ooe*F(ff)
и затем, полагая і/ = со:
Расстояние точки (.г, 0) от шлала коорлппат хОц па плоокоотп
Лобачевского связано с расстоянием соответствующей точки (5, 0) от
начала системы \От\ на плоскости Евклида равенством
ГП'ИМИЧ.иШЯ
295
і тли
1 . 14-;
x==TlaT=t
-=—1n(l. — 1, О, 5).
где чореи (], —1, 0, ;) обозначено ангармонические отношении
четырех точен ('1, it), {■_], 0), №.. О) ][ і=, о», ш которых первые лве
лежат в пересечении «си ? с кругом і*--}-''Г — 1 ■
Таким образом, вели мы будем точку (.г, #| плоскости Лобаченского
птобраакнть точкой (с, т() на плоскости Евклида, то каждая прямая
первой плоскости отобраагтся iipmiolt на второй, а нор бесконечно
отдаленные точки плоскости Лобачевского изобразятся точками круга
радиуса единица. Расстояние то ме:і;ду двумя то'шамп на плоскости
Лобачепского будет равно ту In ангармонпчиекого отпошшшя между их
отображениями на плоскости Евклида н двумя точками, и которых
прямая, их соединяющая, перепекается окружностью. Короче го-
лоря, проективное мероопределение Кили (Оауіеу), для которого
круг Еа-{-т(8 —1 является абсолютом, будрт служить отображением
плоскости Лобачевского на плопгадп круга евкличопоіі плоскости.
[и] Уравнении (25)
вывело! to в предполо-
5К0ТШП, что F{?) <i А.
В том, что оно остается
сі^равед.тшвызг для ися-
кого угла Л, убыл
наемся таким обрнімш.
Если Л = £(Г), то
прямая линия
становится параллельпой оси х
и уравпеппе (25)
обращается в
2 siinFf/) cos J? (?/)==
==e-KNia2F(i) =
= 2smF(i)cosF(/)e-*1
т. е. в уравнение (1&J. ;
Если .1 <F(I), то линия пересечет ось х в некоторой точке L,
Тогда по двух прямоугольных треугольников с катетом у и
валетом г, которым соответствуют диаграммы а л 6, имеем формулы
coaF(ff) = tgI-GtgI,(a—а;),
' ooa]?(fl) = tg^etgF(!),
cosF(l) = tgLctgF(a).
•Jllli
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
IJir-pnu.ii при помощи днух других н формул (JI) прішечяшгя 23
преобразуете» в уравнение (24):
eosFU)—cosl'fa;} cosF(i) ooaF(E) п)/ ,
cosF(()
— sinT?(i)ctg--lctgF(;p)
sin F (.r)
и затем в ураппенне (-5).
Если Л > -^, то продолжение прямой в сторону отршательноЭ
оси х образует с осью у угол т — Л <-if, и, следователь по, уравне-
ііно прямой мы получил, заменив в (25) х на —х п А на - — Л; не
вследствие такой аамешд уравнение (25) не изменит своего вида.
Таким образом это уравнение пмеет место и для угла А > -jr.
Когда прямая пѳ пересекает осіг ?/, то положение ее можно задать
длиной общего перпендикуляра (г, іс ирямоіі н оси у и расстоянием
его /, от начп.ча кпорллиат. Опустим 7іа точки М прямой
перпендикуляры у и Ь на оси х ѵіу\ ни получим два четырехугольника с тремя
прямыми углами. Для них мы будем иметь диаграммы (черт, в я г)
и по правилу Напера получим
cosFfaJ^coaF^sinFfi, —ft), cosF(/i) = eos F(j/)era'P(ж),
coa F (x) s= cos F (6) sin F (ft).
По формуле (II) примечания 23
_, . „,,, sinF(L)sinF(A'l
cos F (л,) = cosF(fe) ±M L-i— =
^ "• w 1—ooiF(I,)e<»F(A)
_coeF(r)flinF(i1) _ cosFfojairiFfl,)
1 — cos F (J,)cosF(ft) 1 — cos F (lu) coaF (y) sin F (x) '
ПРИМЕЧАНИЯ
2Я7
от с юла
Uti'dJ
омР&,^55ГьТ7^ЯГТ^-^ІЙоГ,гРГлг)в
сіі х
?.тѴ(І )
2 cos F Qi) — Р1
ttrP('i)
cosF(J,) ciMFfc,}
2 of-rF^,) cos!'(!/) =
1 J oosPf/j) ~ cosF(Ul)_
ctgF{n,l _ t8P(Z,)
'am¥'(tj sin Ft
Ч1+-
«l)j
cfgFfq,) tgF(f^
. cobP((,) *** si
tgFff.1 I
aiiiF(n,) J'
Нетрудно видеть, что это уравнение тождественно с
уравнением (25), если в последнем мы будем считать как угол Л, так л
расстояние I мнимыми и положим .1=іа, пі = 4 І—lt. Действительно,
тогда
яіл .1 ==/я)і (Т[ = t ctjyFfiij),
8ІпР^ = -сіГ7 = ^7Г = и^^'
rin [Л+Г(0]=или1 еояРШЧ-см.I einF(0 = i [^5^ + ^5741-
1 ' WJ l ' v ' [cosF(Ij) ' s]]iF(a,)j
Таким образом уравнение (25) есть уравнение, общее всем прямым
линиям, если мы для линий, перееакающиі ось у, будем А и I
считать действительными, .а для линий, ось у не пересекающих, —
мнимыми.
Чтобы иметь общее уравнение прямой, содержащее только
действительные параметры, проф. Ѳнгель') опускает иа начала коорди-
!) См. P. Engel~S. J. LobatBchefsWj, Zwei SeometriBclie Abbmndlungen,
стр. 258.
2!'-S
О ПЛЧЛЛЛХ ГКОМІСТГПТІ
jisit iti'jmffi іііі;\мі!|і «я примут и онрі-ліѵіяіт но.-іоіг;ршгп прямой
длиной ji Hi-ijnj ііі'])Ш'пдііК,Ѵ-'і:і1«і И углом ш. кптирЕ.ій он оііріпуот с осью X.
Ш Ср X
д е
Из прямоугольных треугольников е ігатетамп р и х имеем
(диаграммы О п с):
сім [■'(>") cos (оі —'j>) = cos F(/0,
cos F (;■) cos ? = со* F (;<:), tj>- о = cos F (г/) tg F (ж);
отсюда ... , . -,-,,.._,,
cos F (r) sin 'i = eosF Qi) sin F (ft),
G04 0) COS F (*■)-f-Sill 0) COS F (l/) КІП F (.«) = COS F ()j)
пли, ii Зс-дьтрамненмх координатах:
*соч ш -(—т| нІп ш = comF(j)),
— общее уравпешю прямой, которой можно привести к виду
2sitL<ooosF (;/) = [cosF(j>) — сояш] & -|- [cosF (;>)-{-соя to] в~х,
если sin F (х) п соя F (,т) вырппнть через показательные функции.
Положение прямой можно определить още ігпяле.
Какова бг.т лгг Ппладпппап прямая, всегда можно пронести две
линии, с ней параллельные а перпендикулярные в осп ж. Действительно,
еелгг г> уравнении (2;">) прямой мы положим
!/ = ztco, F (у) = 0 пли іг, cos F (//)=! rtl, то
соотлетствугощее значение х = п определил
на осн х точку (л, О);ордігаата,
проведенная череэ »ту точку (]Ѵ, или Лт6),
пересечет данную прямую в б во конечности,
У:
"і т. е, Судет параллельна данной прямой
в положительном направлении оси у; если
х = п соответствует у = -|-оо, л в
отрицательном, если у = —со. Но
полагая із уравнении (25} cos F(?/) —dzl, для определения е" мы
имеем или уравнение:
е*° sin [А —F (!)] — 2 е* sin Л -)- sin [А + F (01 = °. .<*)
Ш'ІГМК'ШГШГ
21» 9
когда у—---- -о и ens Fl.'/Г---- -j- 1, іміг урнит-шг<:
<**«ihi|.l — F(0J-i-2i^sin .1 -J-rfinM i-F(?)|=(), (П)
когда у = — со и cos F (//) ■■=■■ - ■ 1.
Таи инк sin" .1 --чіп [.! - -Fi/)j sin [.[ -'-- FWl] = чііі-' V \Ѵ\. то коркимя
этик уравнений будут
sin .( ~~міи !'"(/> .чіті.І hinF(/l ,ггтл
где а, ~ :±:1 і! га = .^т1.
••Ітн корни деііетиіггк-п.нг* не толым и том «.чѵчаі?. когда ѵгли Л
л Fi/і ді'іінтішталькн и прішаіі пррмм'какт ось ц, но также и тогда,
когда прилган оеп у тк- rrf'pi'cerwi'. В последнем (viyiat;, хотя -I. и /
становятся мнимыми, но, лак мы шгд(ѵін шлиц;, "шс.тнтслі. н
знаменатель сокращаются ли общин множитель І.
Значениям з, == ~], гі, = ~1 соответствую! корни уравнения (I)
к крпмые, параллельные данной прямой в направлении
положительной оси !/, значениям яиі еі = —1, е3 -~—1— корни уравнении (II) п
прямым, параллельные данной, идущие в отрицательную сторону у.
Ясно, что дви іы этих корней положительны и две отрицательны".
По,1 то 5в и тельным корням будут соответствовать действительные абсциссы
«jit ил п действительные ігрішые, параллельные даішоіі;
отрицательным— минмыѳ абсциссы, іг их нидо отбросить.
Таким образом во;шожшл три счучвя: пли обо. ітояожптельшгх
корня принадлежат уранпмжю (I), тогда прямые будут параллельны
дактШ п положительном напранлегати осп у н г: —-ss = l, или оба
положительных корпя будут принадлежать уравнению (Щ, тогда обе
прямые будут параллельны данной и сторону отрицательной оси у л
з, ——-1, ай = —1, или, ыакопец, одни положительный корепь
принадлежит уравнению (I), а другой —уравнению (П), и тогда одна ш
параллельных данной будет нтаи и сторону положительной, а
другая—и сторону отрицательное осп у.
Если формулы (III) сложим и перемножим, то получим
, s in-Л
М-' + М^-йщ^^.
п ■ і ~ si"ajl~ainsF(i) _»m[Jl4--E'(0J
ііѴ»*т». йп»[Х-?((}] яіп [Л — F(01'
п уравнение (2й) можно представать в виде
««-(-е-ИЕ^дв^+ча — г^е"*-]- еае"*) COsSfy) = О,
В таком виде уравнение прямой было дано Dr. V. Ѵагісак'ом *), В этом
уравнении параметры к, и иа всегда действительны. Принимая, однако,
L) V. Varicak— Орбена jednadfcbu рштса u bypflrbolnoj іаѵаіиі. (Роаюме на
немецкой яаыкѳ.) igram, Rad Jugoslav. Aiad., 1908, т. 189, етр. 167—108.
noo
О НЛЧЛЛЛХ ГКІ'ШКТІЧШ
во шшмяшто, что
е*==с'>т»х= — е"і,
мы дюжем освободиться от двойных зпакст п писать это уравнении так:
ех -|_ e-*t*i =■«! — {<"<■ 4- fl"j) cos F (у) = 0,
и вместо ypanneniftt (I) ir (II) по.тьзоииться для определении их н «j
только первым, сели услошімсн, что положптвльние корпті
уравнения (I) н действительные величины и, и п., определяют положение
прямых, параллельных дапноіі в направлении иолоиептсльноп оси у,
в. отрицатель шла корня того jkc уравнения и соответствующие им
мпимна значения «, пля и., — прямые, параллельные данной в
направлении отрііпателыюН осп у.
[*"] В первой формуле после формулы (2(3) можно положить
sinFfa:-—)*) = sinF(r — х), так-кок яіп Г(.г') = —- , т. е. является
функцией четной. Вторая формула доело формулы (21!) получена при
помощи формул, указанных и примечании 23.
[іа] Опустим из центра С круга перпендикуляр СВ tin, хорду,
соединяющую концы О и Л двухридиусоп.В пределе, когдапентр удалится
в бесконечность, дуга круга обратитеяв предельную кривую, а
радиусы 00, СЛ к перпендикуляр СВ к середина хорды — н параллельные
X р
оси втой кривой. Примем один конец хорды за пачало, ось ОС за ось х И
построям координаты точки А (х, у). Если чореа г обозначим хорду О А, то
/_0AG=^AOG=f(~y £PAC=F(y), £OAP = F (-1) - Р(у).
Из треугольника ОАР имеем (см. диаграмму)
tgF(*) = tgFGOsmF/-ij, tsF/.M^tgF^cosF^).
Но по формулам (I) примечания S3, полагая в них ж = -І, і/ = .—,
2 &
получаем
sinaF
tgF^:
(т)
2 008 Р ( ~-
Ш'ИМК'ІЛШШ
301
Следовательно, из уравнении (I) иаіием
X-L „ tg V (у) иа F — . a otg Р т = otff F
ao<wр( *-) ѵ " ' * "'
<*>;
сопоставляя ято рапенство с ниримвннсм ;іля IgFI-^-J, получим
2 ніп. F (у)
сс»ар<у)
■ tg F И,
откуда
яіпй Р (у) t? F (л) + 2 ніпF (?/) — tg F(х) = 0,
— cos V (х) -t 1
sin V (і/
=s — sli a; :£ cli a:,
кіаР(лг)
sin F (;y) == e-T, «in F (#) = — e".
Второе равенство долік-
но быть отброшено, ибо
ех > 1 при х > 0.
[i7J Лобачевский
рассматривает окружность
как линию, леааицую
на предельной
поверхности, и пользуется теле
обстоятельством, чтогѳо-
метрня предельной:
поверхности совпадает с
геометрией Евклида.
lls] Первая формула
не соответствует
чертежу 12 и обозначениям
текста. Ее ладо
заменить оладующеп.
Повторив чертеж 12, получим
из треугольников BKG
a FAG (см. диаграммы
а н 0):
віп Л = tg F (г) otg F ( Л \, cos Р (0 = tg a otg F (г).
302
і) НАЧАЛАХ ГЕОІЛіТРІШ
помножить но па и, а на іч:
{*,)тІтоі'іі.іппр«ч(Ѵі<: колупгеь длину окрулшоетгг, MH.wrjKiHtfctgFf-^ j
, а на 2d:
. *
(™J Иа треуголышка ИКС (черт. 12 текста) іі соответствующей
диаграммы имеем
sma = igi'(r)cf.gF(tf). (I)
Дуга овруліпостн в пределе при а-»-0, г-s-оо
обращается и лугу s предельной лішгш, а
потому
*=[«^Р0-)1Г^ =
<Іг
dt.gV(r)
Если у остается постоянным, то согласно уравнению (I)
da rftffF(w) ( ,,, ,
00К * "5Г = 1Г^ Ctg W'
следовательно, дзта предельной:
"otjrFCv)
сока
= ctgFfo);
і-»0
тот ;ке результат получим, ушюьвпв равенство (I) на а:
'-"i sin я
[B1J Взяв первую из фор.дгул (17), имеем (см. чертеж на
следующей страница)
tg F (а) кіп А = tg F (6) sin В,
tgP(«)sm
цодотавпв
»іт)-»(т
:tg-F(ft)sin
"т-'т
Щ $(<*)■■
'-, tsF(b) = _ -
2coaF
(1)
ЖооаРІ-j-
Ш'ІШ.РЛЛЫШІ
303
{им. примечание! 23) к ді'.іи нес уравнение ы» произведете
CON
полѵшм
,(«),„F(4),i„r(|
■«■'(і)МѵМ;)-]-
к затем
01*F(y
fff
*(£)+** (4
**ItMy
= е1КР
(t)+**F
[asJ На приводимом чертеже лішпн .16' n НО параллелени и ляная
АН — предельная линия. По формулам
сон V (//) = cos V (() с-*,
sin Ъ1 (ц) = «-*,
получаем
s = otg Р (»/) = еов 1'' (().
[os] Иа этих четырех уравнений первые два получаются путем
применения формул (20) п (22) к четырехугольнику с тремя
прямыми углами и оо сторонами }, у, •-$■ на черт. 13, а последние два —
путем применения формул (17а) н (17я) it треугольнику со
сторонами t, .2д, у' —у на том же чертеже.
[»4] Иа порвых двух уравнений;
а)
304
цО.іѴ'іаом
О НАЧАЛАХ ГИиМКТШИ
' "Jo^F"^ [1 + ^ F Ыі = cMep(ffj0osSP{9)!
откуда, тик как угол Т>—:
cos Т= — cos Ь1 {.'/) оси В" [я).
Циолѳдцюіо формулу н формулы (1) можно было бы получить по
правилу ІІеппра нопосредс'шешіо на четырехугольника с тремя прямыми
углами (черт. 13 текста), с. острым углом іг— Т и прилегающими
к нему сторонами q и у, составив для него
прилагаемую диаграмму (см. примечание 41).
Наиисав по формулам (Щ) примечания 23
_..„ . 2 cos F (о)
sin F (2?)
яіп'РСв)
l-j-co^Ffa)'
(П)
COM У COR I'1 ('-(?)=
будем иметь
2 cos2 F (?) cos F (?/)
1 + cos3 F (q)
2 cos F (у)
2 + tgaF(<z)
(Ш)
и, заменяя tgj?(q) его выражениям через у и —, получаем
oos'feosF(2<j) = —
2 соз F (у)
2+em»P(v)tg9ff/iJ
(IV)
[65] Чтобы вывести формулу (31), вычислим сначала тшолитель Я
знаменатель в формуле
BinPfft— ■inF(2g)rinP(tf/ —у)
w 1 — cos TcoaF (2д) cos F (у' —у) '
Щ'ШШЧЛШШ
30f.
Ilfi форму.че (ПО ггр^.-илчущеги it[H[Mn't!iUi[!i u формулам {11} приме»
■jtiifim "^3 нмегі.м
1 — ons ГeoaFiascosF{ff' —*■) =
— ta- *' (?) [<■ — OS b' Qf) cos F Of')| -■ ■ 2 sina F (a)
~ (2 + t^F{4))(i. — cnsF&)co*P (!/')) '
«aF (2g) *ui J (if' - >f) = T+^j • T-^^'fk)''
затем
гіт. F f n = t:gaF(j) .sin ЬЧѵ) sin L1 (,'/')
1 ' ts" F 0/) [1 — coa F (у) cos F (//)] -j- а siu- F (y)'
л ио формула (Іа) ирѳдгідущего примечания
rinFffl- r-^
tgei?fTj[l— 0(Mff(tf)coaF(jf'j]H-8
Но по формуле (Щ[) примечания 23, заменив в неп За; да а, мы
имеем
-sin ЬЧйі
(1Т, / а \ 1—яіпі
в^ги)в-2ЖГи
Если это значение etgaFi-^-J нодстаиим в srnF(f), то получим фор-
мулу (31).
[В6] Пользуясь формулами (Ш) и (I) прпмечаняя 54 и формулами
примечания 23, мы моікем перешіеать формулу текста
cosIFcosF(2gj
в таком виде:
2 4-sfo3F(s/)ts2F (—
co9F(i/') —ooaFQj) ^^ Wtg \Й
1 — cos F (y) cos F {y') 2 oos F (j/)
-Sib. *5S. E, И, Лобачевский, ^. I
ЗОЦ о НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
, sinF(?/')
2 etjr о.
cos F I -*■
. 2 соя
F (/) = tff8 F (-2-) [coa F (</') - cos F <y)],
2ct
cosF(t)
te*F[-|cwFfo').
Но по формулам (Ш) примечания 23, заменив в них 2х па о, мы
имеем
sin F (а) ■■
tf»lf
2 + tg*F -
; соя F (а) = •
cos
»(т)['+*'(т);
и us предыдущего ургіштекпя получается уравнение, следующее за (31).
Следующее урапнеппс, очевидно, получаем, обменяв местами усу'
и т с to .
[й;] В сКазаяском вестнпке» п «Полном собрании сочинений по
геометрии» в этой формуле в левой части перед ctg ш стоит знак
минус, а должен быть энак шпос. Действительно, чтобы получить эту
формулу, дополним чертеж 13 текста таістім образом. Для
четырехугольника с тремя прямыми углами и острым углом 2* мы имеем
приводимую диаграмму и формулы;
(I)
cosF^J^ctgytgFC/),
BinF(y') = tgF(?')ctgF(-|-V
сов Г = ооа F (у') cos F (5')
т'ІШЕ'ШПШ 307
іі па треугольники (!'• сторонам» ;/ —у, L'(/ и углами 1" и -г. — о»
fформула (17а)]:
otg(*-«)tg Г „in ГіУ — у) -|-1^ "°p!,!'','"Vt' (П>
но по формулам (II), (III) и (IV) и примечании Г,4
ѵ ' > і4- cos" e (д')
■'VL
.1 /„'»'
виГ|",,емІ lawpf/j a + tgop^)'
cos Г' «*P(•>*') = *«**<V"l .
заменив в (П) t^T" по формуле (I) и подставив во (П) найденное
значение сояУ созР{22'), получим по формулам (II) примечания 2S
ct,.M tgFfr') .inPC^dnPt;/)
cosF/_^\ і—оояГ^совГУУ^-4
cosFQO-cosFfr) 8 + ^'Pfa')tfF(-l)
1— cos F (г/) cos F (у') ' 2cosF(t/') '
2ctgo> ""У — 2cosF(t/)^teaF(4) [cos F(y) —oobF (/)]>
2ctgu>
cosF
coaF
sin F ft/)
^y = oO!.F0,)[2 + te»F(f)]-te»F(4)co»F(/);
■ы
отсюда, так же, как п в предыдущем примечании,
ctgtocosFf — j 8inP{j/)-j-8inF(rt)co3P(a') = cosF(i/}.
Проще вто уравнение получается на уравнения, следующего аа (31)
заменой о/, у', у на ш, у, у',
І68] Принимая во внимание формулы
ооа a sin а -(- cos 6 sin Ь = sin (а ~\- Ъ) cos (а — Ь),
cos2-d -f- cos2 b = 1 -J- cos (о -\- Ъ) cos (a — b)
20*
303
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
и пользуясь предыдущими формулами, получаем
. t , ІлпѴ(у)-\-ппЩц')}[1—*іпЯ(<і)оаа(Ѵ(д') — Ѵ(р))]
ь ' .а сом F («■) sin Р (у) sin F (,'/ ) '
ctg iBctgui' — 1 =
_ l^ffC*') — X''(y)I —amF(a)} f 1—sin F fnj ooa [F(y') — F (g)] J
cosaF(«j siiitF (j/jxin F([/'J
n затем тисодим
„ cc8F(a)am[F(g) + J(y,)I
gtU> "Г J_ coSfF0/) + F(/)]-«i"F(«) ■
[5e] Если прямые t n а царалледыш в сторону положительной
осп я;, то по уравнению (19);
oosF (?/') != cosF (i/) е~а]
кроме того, имеем
; . sin F 00 = 2
п, ыовволя уравнение (31) в гшадраі, получим
2е-«
l-oo^F^^—^J sin» 17(0 ~
= (& + ,-«)* яів?ѵ(ѵ) tl-ooe»F(y)e-*.]
или
f 1 __ г~2я _j_ Зй-эг/ Sjna J' (y)]esina F (f) =
= 4e~a« sins F (?/) [1 — e-a« -f sin.2 F (?/) e-2°].
Полагая
для определения г будем ішмъ квадратное уравнение:
иа которого найдем
— Lzr'll!l cosF(Q±l_
'?~ ' 3 cosE(t) '
действительное значеігаа для sinF(g) будем иметь только при верхнем
енакѳ; следовательно,
1__й-а« ■
аіп3Р (у).=
««— 1 ■'
ш'іімі:члшш зов
[ffl] Диф^рвнцирун равспетііѵі (1'1)
имеем
2 ens*-F (у)
По приближении м формулам
cosiF(n} = fl. ( 1
Ч-)
и по теореме Тэйлора имеем
sin F {и) = 1 І- Л/-*, sin F (0 ----1 — і- ояа, cos F (п) = <£т,
cos F (у') = cosF 0/) + sin-'F 0/) ify — -* sin F (;/) sin 5>F (;/) dyst
кіп F (/) — sin F f.v) ~ sin F (y) cos P (.v) dy -)-- 4"yin *' &) с°я 2F GO <V>
соя [F (/) — F (//)] =1 — 4" ein« F (,'/) 4Д
Подставляя эти врлишткм в
2 <u -1 8Ш1 (f)- i—riay(«)eoBF(y)eoaF(/) '
' — eos ** Of')—sin. F (n) cos F (y)
C,ff<0 cosF0()smF(y') '
cos F (v) — Kin F (a) cos F (У)
Ctff OJ = -"—>—~—•—- ■ --—.г.——., -L
cos Flo) sin F(y)
и ограничиваясь членами второго порядка, имеем:
х l_(l_i-dr»)(l_i-em«FCff)dtf*) 1/.9| &£
■>•« = . г ==-- [dy*-*
Та* — 1 —ooe*Ffo) 2 f ^ «in*F(jr) /'
щ АввіпРф) w <te*
ct q,= coaPfy)—-oobFO/) — ein*X(jr)d« ^ _ctgtt/
g 4# sin F (y)
310
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Формул п (34) представ.тиет собой основную квадратичную форму
плоскости, гі которой «моет место геометрия Лобачевского (как
обыкновенно говорят — гиперболической плоскости). Ни neft основана вся
;шфоропппальная геометрия плоскости. Эта форма совпадает с той,
которую приводит Больай в § 32 «Аппепдгівса»; по Лобачевский
испольяс-вал ее несравпрнпо шире, чем Больай: в сущности, все
дальнейшее содержание настоящего мемуара составляет применение этой
формулы.
В настоящее время пользуются основной формой гиперболической
плоскости в различных других координатах. Так, в бельтрампѳвых
координатах (см. примечание 43) квадрат лилейного элемента имеет вид
л э — (1 ~?/^dx~ ~'' (* ~х'^ d"* ~*~ 2ху dx d,J
[01] Первая формула вытекает пз формулы текста (стр. 21в):
tjrF(?) = sinF(y)tsFf-|.J
«слп в пей положить
Последние же две формулы текста можно получить, применив к
бесконечно малому треугольпггку формулы евклидовой геометрии.
[в] Дифѳренцдруя уравпенпе окружности (20), сначала имеем
0 = sin F (ж) cos F {у) sin F (?/) dy -f- sin F (у) cos F (x) sin F fa:) das,
потом
rf.V __ cos F (a;)
da; cos F (y)
E
^ /coseF(a) , 1
rfjS I C08^ E {y) + sina F (г/) J lfa9'
Исключая отсюда eoaF(y) и ainFfy) при помощп уравнения
окружности (20), имеем
ds = —■ ■ ѵ ' ctg F (r)
yWFfr) —ooa*F(a;) ■
пли
, dcosFfa;) „, ѵ
|/W F (г) — cosa Г (ж)
интегрирование этого уравнения и лает уравнение текста,
[вз) По формуле (133) на стр. 205 текста.
[°*] Диференцируя уравнение (27), имеем
— соэ F (v)sinF (у) dy = — e-*dx= — віп F (у) dx
іп'іімі:чліпі:і зіі
и затем
.sin b'(;/j si«^F('yJ '
С1"1! 1іо:ю;і:иіі для краткости
it = сr sin U — F (01 -; ■ ,■-■' sin [.1 -;- JT (1)1,
v = e* sin [Д — P (01 — й-а:»:» M -r- P (01 ■
Тогда уравнение (Й5_) моиию предсіаішть и шло
2 sin Д cos ]?((/) = м,
и, диферепцируя его, имеем
2 sin Л sill2 У (у) <1у = du = и (іс;
затем, а&мечан, чти
4 sbi2 A sin'-'F (у) = 4 віп2 Д — «з,
•находим
tfsa =
4 siu:
в1 1 | , л
ііх*Ааш*$(у)~- аів*Р (?/■)]
4 аніи Л ищ* F (</) '
Но
„а _ к» Д- 4 sina Л = 4sina Д —sin [Л — F (I)] sin [Д -f-P (7)] = 4 втяР(0,
с л е довате льно,
sin 1(0 ,
Чтобы интегрировать это ыыраженне, мы должны разложить
знаменатель на. множители. Предварительно умножим числитель и
знаменатель на iel3!. Полученное при этом уравнение
4еЯг 8Іпя A sin8 F (у) = ел (2 sin А — a) t" (2 sin Л -}- и) = О,
■четвертой степени по отношению к е1, распадается на два квадратных,
тождественных о теми, которые мы получила [см. уравнения (I)
и (П) примечания 44 на стр. 298 — 299], когда яокалн отрезки,
отпекаемые на оси х линиями, параллельными данной и
перпендикулярными оси х, и приравнивали cosF(y)=±l. Поѳтому
е= (2 sin А + и) = аіп-[Д —Р (£)] (е= -j- и J (в* + «,),
е» (2 sin Л — м) = — sin [Д-Р (і)] (*" —«О (e* — «j),
312
где
и НАЧАЛАХ П-:ШШТІ'ІІІІ
fin ■
sin J-f-smi'(0 „
»,— л"'— -ain[.l —1'(01
shi.l —smF(0
''а = сЛ'- „in fЛ _ Jf (IJJ ~
sm-
,i — P(0*
COS
,14-140
cos ■ —.
Мы можем тешфь представить da таким образом:
2smAsin~El{l)№*
<*« =
sin-'[A — F(/)K" — "іЖ —"J)
или
и затем
ds = —
(Ь'-'*,
і (.■""—«.;
,= т. ^ + с.
2 Nj — В
Определив О из услошш .« = 0 при ,г = 0, получим
1 1 — «.;
— ]п-^
2 и" — 1
1 -I —Р(0
я = — hi
1
«**—«!
2
1 -L—Р(П
Если подстаптш ішраиміипя «, я «а, то получим или формулу,
Данную Лобачевским, или вглрішошіе і через отрезки Bj п «2, которыми
V. Varicak определяет положение прямой:
я-рсо
-lntg-
[ee] Иа формулы для л- ми имеем
я—£я —
2 2
e,W^±^-CoS*^™'
и затем
00 W "~ 1+ «-■•""«*» cos U— Р(01 — сов[А + F(Z))'
cos If (5) =
slia:
cos A cos F (J) sh x ~\- sin Л sin P (() ch a:'
Ш'ИМС'ШПШ
313
Ршгкѵшв 'шслнт(?л1. л л[іям*-ітт*ѵіь пгс. rh.tr іг наметит tit x -і»рря
eosFfa'), получим формулу ;г;ія eosFirt}, данную и inceivt.
IU7J Ту я:е формулу можно ии.іучіш,. кик указывает Лобачевский, из
раврещаппя треугольников. Дсключаи щпР(«) ип формул (14,) п (1Та):
sin F(л) — sin F ('.<;) sin F(</),
cos J 0№ F .v) ооь F (i) -4- — ' 1 = 0,
w ' «in F f^j
мы получаем
1 sm.iv(j:)siiiF(.v)
Но до формуле ('31), в которой и, «, </'. / заменены через х, Г, і/, s:
«iiJ?(VmhtF(0 __ sin^Fffl
sinF(£)wnF()/) 1 — siii F (к) ens F (#) cosF (!) '
и по формуле (24)
1 — coKF(2/)smF(j;)coNF(?) = siir*F (L) -}- cosF (!) niuF(i) otg Л <sokF(;e);
из последних .двух равенств и равенства (I) получаем снопа формулу,
данную в текста .тля cosFfs).
[f*J Лри A=F(J) пя формулы для а получим
и'-'* — 1
[fi9j Заменяя eosFfy) черен соя F (//) <!в, имеем
А _, , пімЗ?0/Ѵп , „, ,4l/l — cosa ]?(/).„
bhiF(;/) kiiiF(;/)
r у i — coB-j F (у) е-ад д
f0] Проведем на черт. 14 текста касательные к предельным
линиям q и і/. Отрезки t осей между предельными авалями равны,
и по формуле (19) мы меже и нашіепть
cosF (5') = e-f cos F (5),
но по формуле (30)
s' = eosF(5'), .? = cosFfff),
следовательно, я' = sa-f.
П1] Из формул для s ж в' имеем
cos F (г/) = е-* еоа F (#},
ctgF(/) = fl-'ctgF(y),
sin F (/) = е>с~аsinF (у).
314 О Н.ѴІЛЛЛХ ГЕО.ЧЕТРШІ
Исключаем отсюда у':
чіи- F (,</') -г cos= Г {;/) = 1 = е~*° (1 - *ііі« Г (у Ц -f с*^-*1 siii* F Q/),
esa — 1 = (йя' — lj sin" F (j/J;
исключаем у:
sin-' F (>/) -j- ow* F (y) = 1 = «*« (1 — «in- F (/)] + е-".** sin2 F (/),
c-20_ i = („-W _ i) ei„a p (,,').
Эти формулы Лобачевский получает, подставляя в найденную выше
формулу
,BJ'Vrf!°-("rfF(>)
sill F (</)
вместо / —se~r. Другой вывод этого равенства дает Лобачевский
а «Новых началах», § 117.
[TSj Из треугольника между ординатой у, абсциссой х и радиусом-
иегстором >', провеланньш из начала, имеем, пользуясь приводимой
диаграмм ой:
sin F (>•) = sin F (х) sinF (у),
COS F (а;) = COS F (r) COS <?,
atg F (y) = ctg F (r) sin o.
Ив уравнения (П)
sins F (ж) = 1 — oosa v cos- F (r) =
= sin2 о -|- sin2 F (г) соаэ»;
диференцируя уравыение (Ш), имеем
(I)
(П)
(Ш)
dy
sin t? dr 4- cos F (г) cos ш і^э
sinF(j/)
sin F (r)
(IV)
sin 9 d?* -f- cos F ()■) cos ts <fo
# = slul>) "'
Диференцируя (II), получим
sin3 P (я) dx = sin2 F (r) cos 9 <fi- — cos F (r) sin о dw,
dx sin F (г) cos a dr — ctg F (r) sin о йа
sin F (y) sin F (a:)
Из (IV) и (V) по формуле (34), принимая во внимание (П),
получаем формулу (37).
(V)
т'И'мкчлшш
313
ГЭту формулу мо',т;по Сгі.:ю гчі получить еіцч таким отрядом. Пусть
3/, Aft — дне точки кріпіиіі; -шшпем [іаіпуоом f ш полюса О лугу круга
ДГД и примегагм к брскпиетпо малому
прямоугольному треугольнику ЛММг
теорему Пифагора; получим
Но AMl = dr, Лitf на, основании
формулы (23) разно ctgF0')(b.
[*3] Положенно 3-е относится холь-
ко к треугольникам.
[71] Действительно, если расстояние І?,!, вершшш Б,
треугольника ог лжган ЛЕ равно h= Ш-mz AF = CG, то в прямоугольных
треугольниках B1D1I1 и AFD, будут равнгд катетм Л,/; и AF и острые
углы прп точке Х)(; треугольники
будут рашіы. Также равны и
треугольники В1Т1ЕІ іг ССтЩ и, следовательно,
площадь треугольника АВХС равна
площади того же четырехугольника AFGG
и площади треугольника ЛВС
Заметим ѳщѳ, что сумма углов как
в треугольнике ABC, так и в
треугольнике ABjG равняется сумме углов А
и С в четырехугольнике AFGC.
Таким образом, когда
треугольники имеют общее основание АС, а
вершины их равно отстоят от DE (линии, проведенной через
середины двух боков, соединяющих верпшну В о основанием), то нѳ только
площади всех этих треугольников равны между собой, но н оумма
углов в каждом будет одна и та же.
[та] Эта формула—неверная. В настоящем: рассуждении, цель
которого заключается в доказательстве теоремы «площадь
треугольника определяется суммой его углов», Лобачевский допустил недосмотр,
однако не повлиявший на правильность окончательного заключения.
Поли через а мы обозначим угод FAD (черт. 15 в тексте) в
прямоугольном при точке F треугольнике FAD, так что
A-J- ія^ИС,
то по формула (13в) мы будем иметь
сова
cos F(А)
оонР
31С О НЛЧАЛЛХ Х'і-ЮІІІІТРШІ
Лобачепсвнп шшкт
cos F{h}
SHI -1 = — — т ,
»F(-f]
т. е. (і'ііпчіі'Т, что / й() = .'І+і г*улет нряммм. Но /__ FA С не моікѳт
быть прямым. Если бті ик иыл прямим, то ли имели бы
четырехугольник FAV(r с четырьмя прямыми углішя, что невозможно.
Таким ойрапом формула, л энная б тексте, неверна. Тем не менее,
на окончательный результат эта ошибка не влияет. Рассмотрим это
подробнее.
Дли доказательства теоремы о том, что площадь треугольника
определяется суммой его углов, Лобачевский показывает, что 1] snpii
сравнении площадей двух треугольников всегда можно положить, что
у шгх по одному боку равному», п 2) «каждый из сих треугольников,
оставаясь на том асе оеноианкя, может быть превращен в
прямоугольный*.
Второй положение не всегда справедливо, и для доказательств л
теоремы о тол, что сумма углов треугольника является мерой его
площади, нет необходимости превращать данные треугольники в
равновеликие с ними прямоугольные треугольники, а достаточно показать,
что дна треугольника с общим основанием могут быть превращены
в два равновеликих с ними треугольника с общим углом при основйшш,
причем этот угол может и не Сыть прямым.
Чтобы яснее вплоть, как исправляется допущенный Лобан ев игам
недосмотр, докажем указанные выше два положения двумя способаш*:
прп помощи геометрических построений и аналитически.
Рассмотрим сначала, первый способ.
Докажем такие две теоремы:
1. Если у двух треугольников с общим ооновалиом середжнкп трех
на остальных сторон лежат на одной прямой, то ы середина четвертой
стороны лежит на тон же прямой, и все вершины треугольников
находятся от атой прямой на равных расстояниях.
Пусть D, Е и D1~середины сторон АВ, ВС и ЛВ1 (см. чертеж
в предыдущем примечании)-—лежат на одной прямойDED^BI, В1І1,
AF, CG—перпендикуляры, опущенные из вершин треугольников на
линии DE- В тексте выше было доказано, что AF = BI=GG. Далее,
в прямоугольных треугольниках AF^ и D^^i гипотенувы ADl
нВ1І)1 равны по предположению, а углы Dt равны: как вертикальные;
следовательно, эти треугольники равны, и В1І1 = AF = OG. Треуголь-
ніши .BjJjiJ, и CffJEj, имея по доказанному равные катеты В1І1 и СѲ
и равные угли Вѵ будут равны, и поэтому BsEt =^0, что п
требовалось доказать.
ІП'ПМЕ'ШГГШ 317
If is огм-іаііноі'о и TfKGTn еле'іу.'Т, что una треугольника, J/JC и Л/^О'
■іулуг равцоиелінні, ii'Vi пл-шт'н, на я: л org ім mis ряпни нлощади
четыреѵуголг.ниси AFGV п еумми углов в обоих треугольниках булут
одинаковы, нпо каждая пл ішж равна пумме углов .1 И С
четырехугольника AFI.K".
2. Лолн іі четырехугольнике ЛГб'г с диумн прямыми углами Fit О
прилегающие к »ти.ч углам стороны ЛІ1' и <2С: равны, то уг.ш .1 ц С'
также будут равны, и діпшя ПК, еоелшвіыщая еередшш неравных
сторон Л С и №, будет перпендикулярна
в ним ').
Действительно, проведя прямее АКпКІ',
где fir—середина стороны Fti, получим дна
прямоугольных греуголышка .О'АГи М/АГ,
которые будут равны, ибо катеты одного раішы
гадтетам другого. Вследствие равенства втпх
треугольников: £_ FKA ~ £_ GKC, /_ FAK=*
— l_GrCK, АК=КС я, следовательно, нсі; три стороны
треугольника ЛКІТ, ѵле If. — середина стороны АС, равны соответствующим
сторонам треугольника СКН. Эти треугольники равны и £_ARK=
= /. СЯЕГ, £_АКИ=1_ CKU. Таким образом углы ЖТ7, GKH и углы
при точке Л все прямые, а углы А и і"' четырехугольника. AFGG
равны.
Из ѳтой теоремы с.те/іует также, что перпендикуляр к Л С, песета*
пленный в середине, делит противополояиіую сторону пополам и
пересекает ее иод прямым углом.
Пользуясь первой теоремой, мы можем; всякий треугольник А ВО
превратить в равновеликий треугольник с такой же сумкой углов так,
чтобы одна па его сторон была равна или больше удвоенной длины 2ft
перпендикуляра, опущенного цз вершины основания треугольника на
прямую, соединяющую середины сторон, прилегающих і: вершине,
противоположной основанию,
Б самом деле, через середины сторон ЛИ и BG (ом. чертеж
предыдущего примечания, стр. 31Г>) проведем прямую DE и опустим на нее
перпендикуляр k из вершины треугольника ЛИС. Опишем из точки А
как из центра окружность радиусом-4-^-А = Л.Р. Эта окружность
пересечет лпшно BE в некоторой точно D,. Продолжим линию ADY до
точки Bj_ так, чтобы 1)ІВІ = ЛІ>1 — •$■ , н соединим точку Bt С С. Мы
получим треугольник ЛВІС со стороной сѵ равновеликий на основании
теореііы первой с треугольником ABC, имеющий одинаковую с
последним сумму углов
') Это — четырехугольник Саккери, ем, стр. 1в8 настоящего тома.
аік
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
■гіітак, при сравнения площа:іі:іі двух треугольников всегда моікію
полагать, чти у них ни одиочу боку равному, который и будем
называть основанием>, — говорит ЛоСачевсниіі (стр. 220).
Далее, два треугольника, имеющие общее основание, всегда могут
иипі превращены в равновеликие с шши треугольники С общим углом
цріг основании.
Действительно, проведем в треугольниках -I ВС и A.LG с общим
основанием АО линии !>Е л PQ, соединяющие середины их сторон. Ді>
доказаішой теореме 2,
перпендикуляр, восставленный в
середине И стороны АС, пересечет
эти линии в точках К а У под
прямыми углами, так что три
прямые AC, DE н PQ все
будут перпендикулярны к прямой
J/jV и между собой не поре-
секаются. Возьмем на прямой
PQ гдѳ-ппбудь точісу Р, и
соединим ее с точкой Л прямой
линией, Так как точки .1 п Р, лежат с рааптіх сторон прямой DE,
то линия ДР( пересечет линию DE в некоторой точке Dv Отложив по
прямой АР1 отрезки D1Bl=AD1 и P1Ll>=AP1 и соединив точки Б{ п
Li о точкой G, получим два треугольника АВ,С п ALiО, равновеликих
с данными ABC и ALC я имеющих общин угол А. '
Таким образом два треугольника всегда можно, не иамоняя ни их
площади, ни суммы их углов, превратить п два других а общим
основанием и общим углом при основанші.
Лобачевский ори атом утверждает, что этот общий угол всегда
можно сделать прямым.
«Так всякий треугольник ABG превращается в прямоугольный,
которого катеты будут АС и линия с', определяемая уравнением
cos F | — ) = sin A cos F j —
Если ею равенство мы сопоставим с равенством
соэ F (h) = sin л cos F | —
то найдем, что c' = 2h п, следовательно, в треугольника ео сторонами
АО и с и равновеликом с данным еторопа с' пойдет по линии AF, и
угол GAF между этими сторонами не будет прямым, и треугольник
нѳ будет прямоугольным.
ГПЧШі'ШНПІ
310
Ми построили Гц.: прііжіугплі.шііі треугсмг.иш; с катетам» с'кЛС,
рапповелпкпп данному ЛВС. ічѵін г~ьт н тачгсп .1 носгтагшліт к .пиит АО
перпендикуляр, определили Си отрс.-тк Л" итого нершягшку.'шра от Л
до лппин 7Лі' и сделали бы с" = Йй". Но г-,то построение іюпможкп
только в том случае, если перпендикуляр л тонне Л нерогечетсл
лшіней DK. Таким обралглі не иглшііі треугольник мо;і;но обратить
в прямоугольный треугольник с тем же основанием и равновеликий
е данным.
Чтобы исправить допущенный ."Іпііачевекіні не досмотр п сохранить
в то же время аналитический характер его доказательства, проф. Эн-
гель J) предлагает изменить рассуждении Лобачевского таким образом.
Если мы позьмем огреаок сі > г, то
и мы можем определить угол at так, чтобы
сове, совРІ-Д J =cos;teosFJ ~ ) = cosF(6).
Треугольник ABfi со стороной et вместо с и углом а, иежду с, п
линией AF вместо а будет иметь вершину Вѵ отстоящую от BE оа
расстоянии А, и будет равновелик с треугольником ABC и иметь
одинаковую с ним сумму углов п общее основание AG.
Мы можем, таким образом, в двух треугольниках, не изменяя ни
суммы их углов пн площадей, едеаать общее основание сѵ
Рассмотрим теперь лрилагаеіівд чертеж. Мы видели, что
прямая НЕ, соединяющая середины сторон FG п АО, будет
перпендикулярна к FG и АС, н четырехугольник HKFA будет иметь гри прямых
угла. Обозначим НК=к, FE=v, Мы будем плеть приводимую эдесь
!) См. Г. Engel —N. J, Lobatschefskij, Zwei Geometrische Ablinndlnngen,
стр. 266.
3^1 О ІГЛЧЛ.'ІЛХ ГКОЛШТРШІ
диаграмму, п ііраішла Неімра дают формулы
-ls(.l-f-a) = coar (4'')cosF(/''> cos m~-M+F(A)
рмул следует, что
На injpm.tx формул следует, что
а пз цііслелнеН, что
д + *<Я -}-Ь -j-ff(A)
Поэтому, если ми положим а" = _-1 -{-«—F(-|- ь), то t" < b^ft), п мы
можем опрелелтч. из урашніпня
cosa"cosF — с" l=coaF{fc)
величину F(-^-c") и с", іі тогда треугольник со сторонами АС и с"
и углолі Л-J-e" между шші будет равновелик с данным я будет
иметь одинаковую с ним сумму углов, В атом треугольника угол
между АО и с" будет равен У (— Ь) и его сторона с" будет
параллельна с ПК.
В том, что такой треугольник возможно построить, легко убедиться
еще шіачс. Па предыдущих неравенств следует, что если через точку А
ли проведем прямую, параллельную с ПК и, следовательно,
образующую со стороной AC yro't Р(І-О), то эта линии пойдет внутри
четырехугольника AFK1I {так как J? (jb) < А-\-л), а поскольку она не
может пересечь ни одной из сторон AF, AG и ЯК его, то она пѳреоѳчѳт
четвертую линию DE в некоторой точкеі. Отложив отрезок Ыі" = AL
и соединив точку В" с С, мы получим треугольник АЛ"О,
равновеликий с АГЮ п имеющий одинаковую с ним сумму углов.
Таким обрязом можно два треугольника, не изменяя их площади
it суммы углов в каждом, превратить в два треугольника с общим
основанием Ъ п общим углом 1<'(-*-Ь) при основании.
[,в] Предположим, что мы имеем два треугольника. Преобразуем их,
не изменяя ик площади и суммы углов, в треугольники Ali^Q и AL{0
с общпм основанием АО и общим углом А. Как было показало в
предыдущем примечании, угол А может иметь бесчисленное множество
значещщ. В частности, его можно сделать равным ]?(і &), где Ъ есть
общее основание треугольников. Лобачѳвокип ошибочно утверждает,
ІП'ИМКЧЛШШ 321
что <чѵ> можно ноггда с.чтлнп. njniumi. 1! .>т.-,,ч лет необходимости:
рассуждения Лоба'илшкого оелньосн ііц-і п>-[інзіеии, xmir fiw «тог.
оощніі усол ,1 и no Ijij.i прямы1,!.
Действительно:
1. Если дшпше треугольники ршіііоне-
ліікн, то треугплышкгі Mi.fi и Л/.,(" будут
также раннонелнкн, іі сторона CHl парного
должна сонпадаті. <ю сторопоіі f.'Ll мторпго;
треуі'і),-іытки Alifi и ALtfi Г>удут рпвпьт, и
суммы углон их будут однііішоіш.
Одинаковы будут іі суммы углов и дашшх
треугольниках. А С'
2, Если суммы углов и дюшых треугольниках одинаковы, то суммы
углон в треугольниках Alifi и Л1Ч(! будут раины, к линия С!і1
должна совпасть с CLi. ибо в протишшм случае образовался бы
треугольник Cllfiy, в котором еумміі уд-.чми били бы тг, что невозможно.
Таким образом площади трѳугольникон AJJfin ALfi, а следовательно,
п площади данных треугольников будут равны.
["J Вместо (прямыми углами* пало екашіть вранными углами*.
р8] Сначала определяем на второго уравнения у, а потом иа первого с.
р°] Эхпрассуашенияоспонашл натеореме; если данный треугольник
разделим на насколько треугольникоп, то недостаток суммы уг.'іов до
двух прямых в данном треугольнике равен сумме недостатков его
частей.
[30] Нрі>дгі;гущпші рассуждениями это положенно доказано
Лобачевским только для треугольников, которые .можно превратить н
равновеликие прямоугольные треугольники. По оно справедливо и для
любых треугольников, ибо велняй треугольник можно высотой разложить
на два прямоугольных треугольника.
ga х tih i
Р1] По формула tg w = ■,-■-■■ - -J—т~~ (стр. 209 текста).
pj Подставляя значение 1?(й), 1?(«)+^Чй')* имеем
іп(Дф,і ■* —оов^(«)—совЕ(р)'
что по формулам примечания 23 дает
tgO*-МО =»tg *■(«—?),
откуда, так как углы J.-f-J/ flJ(« — ,3)< тс,
А-\-Л' = Ъ\(*~-$) = ъ —&$ — «)■
Зок. «8 Н. Я. Лобачевоинй, г. I. 21
32-J
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[w] lis треугольников на прнно.'ишом чертеже имеем {диаграммы
а и 6)
sinF(r) = tg« іу,'<, niua = suiF(f) cos'/;
отсюда
tgA = tg U-a-p =ctg(a^) =
1 — tg a tg p 1 — sin F (V)
tg e -(- tg p tga о -f sin F (r)
-tg <t
sin А' = sin j— о— Jf' j = cos (a -(- p') =
sm a . , / sin* a
созя—■„ , . sinel/ 1
sin F (r)
^
sinaF(r)
cos « — ]/"sin2 F (>-) — sua2 a
sm F (7-)
[8*] Действительно,
а « tg««-f sin F (r) sin F (r) '
ІШ1^8ІПЛ' = ІІЛ12^
G0E а —ysinaF(r) — sin* л
sin F ()•)
= 2ic
1 —einF(r)
sin F (г) '
2- 2jt г —
lun -^tg J. = Hm--sin і4'=Й« (oli г—і)=ж(е'--)-*-»■ —2)=n(et — «"":!)sb
Ш'ШІІ'ЧЛШШ
32а
[**'j Мы и.м«г,м
tg -І ,ІН = tft A F tf — «)«." -."■ == tjr ~ F (,'і)« W ~ F (*) ~
_ 1 —tyPfrf-tf ,.t,.Ffa)4-bV) у — ] і:ігі''(.ѵ)-}-Г|Ѵі
I-**-!- 1
ш.
cos F (з) = f-f.y. — etg F (<te) sin V (у) с tg «.
J
Но
VI
У
I-t-tgv {dc)
joO] j} сКачансвом пистшікс» д.щ ийоанилйннк луг» употрейллегок
oyitua .ч, а для обоиначеопя площади буква Я; п
<ГІилпоц собрпшш сочинении по геометрии» для
оиозгылопия площади плоской фигуры ставится
оуква s и, только начиняя о формулы (-*4), -'іли
обозначения площади крііпоп попорхпостп
ставится буква S.
Iм] В уравнении (24) вместо х, t, r.tgA
подставляем dx, у, etgco; получаем
vf
к Іп F (<f,c)
sin F (<Lc) = 1, ctg F (dx) = Jar,
ctg ш = — etg o)' = — sin F (j/\ -^
dx
(ом. примечание 00) и потому, пренебрегая члѳпаміг выше первого
порядка:
[Ь8] jj3 уравнения круга (2GJ имеем
otgtfto)-
/sins p fj.)—sin'-* F {/■)
sin F (r)
Разложив rfS [см. формулу (30)j на две части
sin" F (x) dx sin F (r) dx_
dS^
sin F(r)/cos3F(r) —сов* ]?(;,;) /sin^F (ж)— sin»F (r) '
положим в первой ooaF(.r) = «, rfoosF(r) = sinaF(a;)ifj: = da, а во
второй, представив аѳ в виде
dx
sinF (x) Y~ctg* F [г] — ctg" F (x) '
rfj;
Тогда
dS =
dti dv
sinF(r) ycos^F(r)—us ^ct^F(r) — «й
Отсюда вытекает формула, данная в тексте.
:W4
о ііл'ілілх гкіші-лтіш
[4J| Тип кии п.иннаіь і'ектчри іі["И[!>|ііtin>tt;uii.itLL центральному углу,
то ни фирму.и: (38) площадь (Л!і;тііііч IKJM йудиг
2(4— -- ] cl---' IM 4-1 =
1 - -sinFfr}
И.'ЮЩПДЬ ЖС 1[>суГ(І.-[|.ШГКІІ 0.1.1/" |JUlllflK'T(!»I
_ ,_, ,
и, следовательно, плшцадь і(шгург.і 0A3IIS;
1 -О.
•i ■ I sin. l? CO
Определи» углы « п ') но формулам
cosF(.c) = sin [ о I cosF(i-); шт. 'J = i'.tg'F(,i;) tgF(r)
(см. диаграмму), получим нрежш-Щ рстульгат.
(а01 Если считать э; от окружности к ппптру, т. ч. поместить начало
в точко О' (си. чертеж предыдущего примечания) и ось х наирашиъ
к центру, то л данной пшпо формуле для S ин .должны заменить х
через г—х. Вычитая площадь S из площади, четиертн круга:
2 (smF(rj М'
получим площадь сегмспта АМО':
1 cos F (г — a;) cte; F ('' — Д.')
—:——■■■:■ агесоа ѵ,-:— arccoa —-—Ц-- -
aiaF(r) oosF(Y) ctgF(f)
Теперь уравнение круга запишется таким образом:
sin F (г) = sin F (г — х) sin. F [у),
И MIJ НЧПІ'М
і::чі\іі.'! іішн 32S
ens- Гц-- -., I , ;--- |-'і,-|
ОтС-lfi'Ul 1ІІІД1Щ. ЧТИ
i4>s !'')•' - '■) <м' КО')
ai'ccns — — игсмп - - ,
(чркЬѴ) и.' !■ (V)
■ ■іуРо-....j-) . .-„F^)
ni'fciis —-——^iirf-m - -.
etfTl'V) <•(,>, F(r)
Если положим r~cc, то F(i-) = 0.
1 . tjrF{/')
Sill F('\) tfTF(v) V
It ltl.t ПОЛ\''Ш<!М
.S = rtjr.Ffv)— f *—F(*)V
|t,;] ІГа ураннеішіі (27) ми илрі'Ч
CDS К (//| (/ F (//) = -- I-* rf.f =: —Sill F [!/) 'Ь',
,/.r^~ (-(.rFOOdF (<■/),
п формула (і)!і) дп'-т
,w = -ctp" f (//) - <j f (ff) = <z v go - ^~~,
.S' = ,-ltfF(?,) + l-(w) + r;
С определяете», по ycviuiiufi: при i/ = 0, F {//) = -£, ct)j;.F((rt== 0, .S' = 0.
p2] Вместо «между дугой iqinnoit и і;опрд<жатаміі .г, ;/■> нядо
сказать «между двумя осями н предельной лішнел».
Іі,я] Если в чертея;е примечания НО (стр. 324) мы будем, оотанляй
точку (У ли месте, отодпигцть О плена, то п предало окружность
обратится и предельную линию, треугольник ОЛЗІ прекратится п бос-
копечпую полосу, о которой говорит Лобачепсклп. Угол *.р при ягом
будет стремиться к кулю, уго.ч (I к Р(,ѵ), и площадь треугальшжа ОЛМ
к~-К(г/).
Эту формулу можно получить также при помощи общей
формулы (33).
3-1І-,
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Поместим тгочлло коорлігпат в точке А, обоппачпм текущие
координаты прямоі! МО, параллельной осп х, через (ж, .г). Па уравнения
прямой МО (19):
„ fosP(r)^=',-''cdosF(?/),
получим
— sin F (.г) г/ F (г) = — е-* cos F (?/) <te =
= — соя F (г) d.v,
О*
л и уравнение (39) дает
Интегрируя в пределах от г. = и до г = 0, будем плоть
Я=-|— F(.v).
Прпбаппв к зтогі площади площадь сегмента (см. примечание QO),
ограшгчолігого предельпой ливней О'М ж ординатой AM, получим
площадь межд;' дугой предельной линия и двумя осями:
[9*] Формула (39а) может бить выведена с помощью того же приема,
который далее Лобачевский употребляет для вывода объема,
ограниченного диумя предельными поверхностями с общими осями и
конической поверхностью, образующие которой служат осями продельной
поверхности (см. «Новые начала», § 117).
Проведем две параллельные АО и ВО н между ними ряд
предельных лпяпл I, 2, 3, . . ., которые находятся одна от другой на
расстоянии t. Пусть S есть площадь,
заключенная между
параллельными п первыми двумя продельными
линиями. Эта площадь при
переменном ( пропорциональна дуге .5
первой предельной линии, н потому
где Т есть некоторая функция от t. Так как дуга второй предельной
линии по формуле (30) равна ее-*, то площадь, заключенная между
второй и третьей предельными линиями, будет
зе~*Т=8а-*,
между третьей я четвертой:
se-atT=Se~st,
ІІПІ.МІІ'ІЛІШІІ
327
іі т. .1. Uf.il :і:п и.пицц if, мі:;і:;іу іі:і}і.іл.-і<іЛЫіі.шл И пчриой Н|ІСЛе,і(.(ІпЯ
лшшыі, ііроі'.тпріітщііііі;;! к ч-а^ѵі-.'ін'кті,, оѵ*д«т раина еумчч
L .■.■7'
S(l-f-p-'-i-r-«+...)a.>[
!_,.-("""' l--t-C
Tin: і;аі: она, очеішдно, не ;іаіш<шт от (, то
V
1 — г->
■- = г.
где ^- — постоянная. Следовательно, S = .vc(l — е-'), причем с должно
быть равно единице, так чтобы при и«скопечно малом (
обращалась в ,4 = .?/, как и евклидовой плоскости.
[Эі,1 Па чертежа ішчпо, что ~ з = Р(-=-І; по формуле (ПІ)
примечании 23:
эіпР(ф
<!■:
-«»»*(£)
cosJu
1 -f- зі(г3 ? 2<fo
е2". ' п/цЭ ".
8ІпЬ'(г) cosJ? coa'J
dS = 2itg? — 2d?.
Iм] Мы видели выше (см. примечание 93), что площадь бесконечной
полосы между осью в, осью у « параллельной с у линией ив конца
координаты а; равна
Следовательно, площадь, бесконечно
простирающаяся между двумя
параллельными через концы х и х-\~іх, будет
— dF(x).
Точно так же, еслп мы обозначим через ѵ
длину перпендикуляра, опущенного из
точки кривой С на ось !/, то площадь
той части бесконечной полосы, которая ограничена линией CD,
будет
— &Я(ѵ),
а площадь елемента ABDG:
dF(v} — dF(s).
Л2Н
п НАЧАЛАХ ГЕШШ'ПЧШ
Ни но уравнениям (УЗ) и (10) мы имеем
сон V (ѵ) = г-Усч)«Р (.с),
с-іі -- 1
:sin"-F(.f)-
fl)
(П)
Ш1ЛѴЧІІМ
Дифиренцнрун уравнении (Г) при и постоштом if заменяя e-lf чорел
coaF(i')
(jos F (.r)'
(J другой стороны, если мм іі-ч двух урнвггг-пшг (I) и {II) исключим с-",
то получим
tsKH^ttiVM-'"-
ІГоягому
<і F (ѵ) = ts Р (х) etfr F (с) іі F (.») = с-"</ F (л),
(W = (t'-« —1)-/1<' (.')-
•Эту формулу можно получить иначе, ffi.in мг.г в нлеметч! площидп .-і HUG
«аноним отрезок осіг ;и к птрааок кривой ЛУ-'дугимн предельных лшшгс,
дли которых парнллолышп Л С' к ///J служат осями.
Д.чшіу дуги предел ыіоі г лишш Л К можно опрелелшч. па бесконечно
малого ігрішоуго.'п.щи'о при точки К треугольника, рассматривая его как
прямолинейны И треугольник и применял
к нему формулы еик.'шдоиоіі геометрии.
Мы будем иметь
.ІА*= (/a-sin F (х) = — rfF (a-),
и, следовательно, по формуле* (39)
получим прежнюю формулу для dS.
['"] Это уравнение получаем п;і
приводимого чертежа, пртімтян формулу (17г).
І96! Заменив т* получетнгом уравнении
sin F (и) = , cos F (и) = 1 '
ѵ ; е" + й""" е"~\-е-"
мы приведем его к квадратному уравнению относительно в" sin F (ж):
sin Р (г) віл2 J? (.г.) с2" — a sin Р (я) в» -|- sin F ()■) [1 -|- сок2 F (г)] = О.
То м;е уравнение служит гг для определения и', ибо оно при замене
угла Р(&) па к — ]?(а;) не изменяется, Из уравнения мы получаем
два корня:
e"sinP(j-)i
1± l/ooa18 F (г) — sina F (г) сов''5 F (г)
am Р (г)
ІП'ПМІ-УІЛШШ 32ft
Так как при .с-—0, F |>1 =■■ ~
1 тт: <'ns Ffi'i
sin V \r)
то для опрел/.'.'гшщі! « мі.і долаши іг»>р*-д і;о[.іі.м ѵ:,ѵ,ПІ- ...іііік плюс,
дл:і "' — пищ: минус; к будсг по.'нмвнтелыш.ч, si «' отрицательным.
Такіш оирпалм для і>"чіп !•'(.(■) мы гисгучаеч формулу, при не (еинукі
іі ті;і;стс, и дли <■'<' ніп.[''(".!■) пмсрм
,«' sin Р (гі = 1--У^'УО-.'--^^-Ь-і.г)^У(.,)
l" wiiF(r)
or куда
_(1, sin F ()■) sin У (.)■) [1 -j- У"со^'! Ь' [у)—кіп-К('і')со>:"І',(.';і[
1 — cus'J F (с) -f- віиа F (г) сиь-Г^.т) ~~~ '
siiiF(r)(l-f co^Fi-f))
Как ііыит Grr.'m покачано, i/ Гіудет величиной ог^шшчѵііліой; no-
8 том у абсолютная нилнчшіа \н' [ = --;/, В тексте под и' подр-ину
меняется аосолтотная величина »', ноитиму п мои го с-"' стоит г'1'.
[ои] Интеграл пыраженлн
е~и япі F (э-1 rflC = — -— -4_. -_і ■ ■■ ■■--
1 -L V роя-»F (г) — sit)'-1 F (г) cos'3 V і,г)
можно разбить на три пптегрили. Положим -"-—К(.і"'і=?, sinusal;
тогда
oosF(j.-)=b sin. •?==/, rf cos F (.1?) s=s sin-F "ат) rf.r == со» = dy = tlt
a
„ ■ -,./ ч . sin F (**)</(
r»sml'(i)il,r-- ■ - w
1 _j_ ]/'CClSs p (rj„„ sinaF(r) £a
разделится сначала на две частгг, ееліг умпоясттм числитель и
знаменатель на величину, сопряяи.чшую с знаменателем, и по второй части
радикал перенесем снова в знаменатель, а затем на три часто, соли
во второй части в числителе добавим sin'2 F (г) іі£ и такой ate член
вычтем:
1 dt йі [еоауF(г) —ainaF(i-)ta]
e-"sraF(a;)cis= —
иі
с-и віпѴ (іг) rf*
smF(r) l + (- sinF(r)(l+ ^) VreosSil,(r)~si]i--'F^)(s*
1 <» , sin F (r) ■#
BinF(r) І"+ t» Усов8 F (r)—uma F (r) J3
sin F (■■) (1 + /s) /cos--- F (r) —- sin* F (r) £*
330 П НАЧАЛАХ ГКОШШ'ШІ
Л ное.тешнш часть нледем новую переменную:
V cos'j F (t;) — sin* !■'(>■) f*
і
Булем иметь
_ oosaF(i-WH
1 + г*
/аУсой21''(г) —siri9Fi>)'a
cosaF (r1(l + ^)
и окончательно
с-» sin F (ж) fte =
ts'F(r)rff . I rfz
sinF(r) 1-|-/а ]/l--t-^F(r)^ amF(r) l-f-г9-
Цптегртрум, мы получим выражение для Я, данное п тексте.
В «Казанском вестнике» л в «Собрании сочинений Лобачевского»
отсутствует член ■£-• •-.—мГТ- Действительно, если мт,т будем
отсчитывать площадь Я от оси у, то при э: = 0, F (ж) =-£, sin и = 0 мы
должны для S получить величину, равную нулю. Однако при этом
яначенпя и по формуле, данной в тексте, мы получим
т. 1
TainF(r) '
Следовательно, в формуле пропущен член
2 siaF(c)*
Величину S можно представить в более простом внде, если в
интеграл мы введем новую переменную If, связанную о х уравпѳнпѳ.м
sinF(r)cosF {x) = cos F (r) sin ft.
В пределах интегрирования угол і> будет действителен, так как
величина, стоящая под знаком радикала, должна быть положительна.
В том, что угол 0 действителен, можно убедиться иначе.
Соединим конец абсциссы х с точкой пересечения А оои у о
окружностью н для образовавшегося треугольника яапишѳм по приводимой
диаграмме (стр. 831):
cosF(:c) = tgJctgF(r),
откуда видно, что 8in,& = tg-4.
Когда а; будет меняться от нуля до г, угол А будет меняться от
нуля до величины, меньшей —, a tgA — от нуля до величины,
меньшей единицы. Следовательно, sinfi = tg^i всегда будет меньше
■единицы.
ш-тііллті.ч
ІЗнедіг iifspi'Mciiiiynj і*. ми т-цучиим
sin Г (г) sin3F (.г) (Ь:--<-r,s ]* і г)<-о> !t ifii.
e~" sin F (.>■) d.v — : J^— = rflt ~
331
l™ cos J-'(r) <■(»-,!(
и, іюспо.Тіг>:тіі:иі]іііісі. шШ'1 сѵпюіі i|iup\iy."ii"Ji
As
1 — гочГО'Ѵ'.лі»
/
7r==r art-t™ 1/ tir--
будем иметь
Вторую часть можіот прелегашш» ещь проще, ест вппетп в нее
отрезок р, соответствующий углу паралле.чьтіостп ft, и положить »=
= F(p); тоіѵіа
I
e-« яіп F (г) Ac = ft -Чтгг
'. w imPfr)
S = » — !>■
sinFfr)"
Это выражение можно представить еще гтначе. По формулам
примечания 23 ми можем написать
, , , sin F (r) sin &
tgF(r + P)=c03FM-j-C09»
и, следовательно,
1 яіп F (г) sin!)
S = ?_-|l + ___.l„etB-H5ry(r)_1_ooii0.
332
<і ТГЛ'ІЛЛЛХ ГЕОМ'ЕТШШ
IlfjiiiMc .чиа члена .-iTOi'fi пм[Щ',К(*ішіі тсі;і:;ірстпепш,і с пориими
длумн т.л'гщмп формулы'Jloou'leitcjwo. If тон, чти
Ѵ(г-\-р) =~к ягсік1 sin'л — ai'rt<!
у со.*'- V і,і'\ — sin-!■' (г) sin-«
можно yiifiiiTLCft, ест ѵ.л'.ѵи, тангенс пціівиі'і и леішіі частеіі:
sin F(»')*in!>
tjrl (** -3- о) = —■ =
(JOS J."'(J'J-{-COS ■>
sin-F(>•)<•<№ #(.•')
сок" F [)•) -\- У с on'- J1'!»') — sui- К \y) cum- F(.rJ
tft -- — urcttf sin e — arct;;
OtiT J lll'Otff SIH № -j- ill'Otj»
l/pos5* J-1 (r) — sin'-' I-' (г) sin- 9
sin»
y'cus- К (с) — sin- P (?■) sin- <a
_ (lj-j/cosa F (y) — sinaP {>•) win- ?) -sin о
sin?« -j- у cosa !>' ()'J— sin* P (г) sin- 'o
lloMiiositiiH числитель и знамвнжгель па пелншшу, еоырпжештую с
числителем, лосю пріюСризоиашиІ убедимся п тождество втого последнего
выражения а предыдущим.
[іиі] Цлощаль S равняется сумме, площадей секторы, OBD и площади
треугольника ОЛВ. Ооозшілѵш угол J1 треугольника ОНА череп ft,
а угол ЛОЛ' раадллпм па дші, а( и с^, опустгт па точки О
перпендикуляр 077 па сторону AS. Площадь сектора по формуле (88) (см.
примечание 80) раина
Ш'ПИК'ШШЯ
:ш
Л ri.IUIUU'U. Т1»Ііуі'іІЛІ,Н!Іі;:1
II, ІѴІиДОиіІ'Ги.'ІііІИІ,
11-;- = —і, —,а-_[.■(,)_;),
и, лажи,
Но но формулам (17) и (1-1J ц.< трнуголыпнм)! ОЛИ. 1>ЛИ, ОНИ
мм иііиим {см. ;шигріш\іи а и <'•):
ніп 3 Сд Р {■'') = «і іі Р (л) 1* F (г).
sin Р (rj — t« в! Гут Is,
«nF{^ = tK»attfF(j-J.
ІГи осноішши парного уранините
sin ji = ltf P(j-) cos b'(.r|.
tt' I'" ('■) i-us F (r)
-■ ■" j/~r—i^"Fir)7i»'-;e"^i
У ічла X1' (')•)- - siu'J F (>■) cds'j F (x)
Г"*' = eosb'H '
tH'*s = c'"sP(j-');
ішлстаилиіс ji-iiiTijn in 4Tiis <fii»p.\ty.-i ;»га,чени!с Kt, «a it 'i в фор-
му.чу лліг .S', ми получим npcviciu'u
Mu ііігдіш тиццріі, какоіі ню-
метрнческоо aiiawnue имеет
наледи it члиіі формулы ;іліі S.
[10|[ Построим ciiti'iu..ia на
плоскости j;Oi/ точки
Cl(j:, а, 0),
.Lj^-j-dj:, и, 0),
Л,І>, tf + 41/. °J"
Висогаішм is mix ицрііиі[.чііиу>імр!'[ к
плоскостихОі/ я отложим на них
соответственно отрезка £7jC"=г, AtA—
о
/
»
л
«1
г ,
^1
/
л ..
Лу
/^
ь,
6,
*.
ни иояучпм в конца ігх отмен С, Л, В. Отлоіким, кроме того, на пор-
334 О НЛ'ШІАХ ГЕОЖ'ШШ
пеыднвудирих отреаки
Иг
сіСа=.вл=<М = - + U- U<\
глвЛід-н-(|)*-
Применяя Tenejjb формулу (34), мы получим
;_„*'_»;+,1*_[(£),+в.1г]1Іг..
*."'=■* »'с-ю
»,-(0)*.
„la,
sin Г
(ІС,
Л^--1.^^-^
rfa?
sin* Г'
tf=>A(f*= Ga\ -f- вг12 =
l)*-(s)
to
+
9г
%
^-hr:Mtf— тс. **■
fe
to
+
to3
[sm2 Я г яіц2ГяІп22_
J
--+"-•(!) (I) *•*■
[іой] Подставляя величины <іа, І»а и са п швестпую формулу
евклидовой геометрии для площади треугольника,
- УіаЧ*— (с*—а* — г.а)г,
получим
Д ляс
=4|Д^-
£)"(ІГ«*
и затем формулу, данную в текста.
Ту. же формулу можно вывести другим способом, пользуясь
известной теоремой евклидовой геометрии: квадрат площади треугольника
равен сумме квадратов площадей: его трех проекций на три взаимно
перпендикулярные плоскости. Так как мы имеем дело о бесконечно
малыми треугольниками, то мы' имеем право применить эту теорему.
Ш'ПМЕ'ШШН
■ЧЭ&
Трн плоскости СВЬи СЛии (.'чіЬі иг, построили») ми можем считать
взаимно перпендикулярными. Проекции треугольник Л UC на апі
плоскости будут треугольники CJScv, (.Vic., и Сч1Ь1,
Для первого —основание: Сс.і= — I <Ь", лглсота: 6>.,= —^—, іг.'ю-
1 I /,L-\ ,ie<ty
Для второго —основание: Ссл= I -г- ) dy, высота: Си, — —.—^-т—^т
0 \ду) ни J мил
2 ■' ' \І)у} мп і m»Z
Для третьего — основание: СЬ, = ^~—, ниеота: Са,=—:—:-^-;—,--,
1 smZ ' віп 1 ып/'
площадь: — СЬІ ■ Са1 = -- :—■ ---.-■■--.
2 ' l a sin 1 ніп" if
Подставив втя величины в равенство
4fl<? — (CW^» + (C.iG'e)»-<-(Celft1)a,
получим прежнюю формулу.
[10В] в «Казанском вестнике* приведена формула
dXd~f~ein.R |/ co^Z
-Л" . ct(rar
cos* Z ' мтаГаіпаг'
которая в «Полном еобрашш сочинении цо геометрии» заменена
следующей:
&S 1 . / cos* А' , ctg^r . Г
1 / cos" А' , _с^_Г
sin Z У cos' Z "^ cosS Z
dxdy sinZ I' cos'Z ' cosSZ ' sin"J Г sin" Z"
Обе формулы верны, ибо (LY = -tinJds, ЙГ= -—ыіп Ydg.
[loi] Имеем, полагая sin R = sin Л'иіа Y"fcinZ,
tso&X-j-abtfY 1
cos* Z ' sin2 Г bin- Z
{ooBd.T4-otg3 Y)sii|3A"sm Y sin°X
"~ em^ATsm^r—sin'J.fl ~*~ ип''Л ~
rin« ,T ніпа rcosg R
~ віпиЛ (sitflsitf Г—sraa.H) *
откуда получаем формулу, данную в ^тексте. Если же в формуле'
. -г ■ ѵ sin ІІ
текста заменяй віпГвш.-Х через ■—.—Т/, то^получиы
ВШ £і "
daS cosJJsinA
dXdY" sin2 Й cos Z
ззіі о пл'ілллх геомі;тріш
[і'1"'] На id)' надо умножить потому, что вдоль оси а; расположены
четыре октанта сфиргл, а шгг(*г|Ш|>иі!аііііи распространяется юлько на
ОДИН.
["■'Ч Неоправленный интеграл ранен
г sin У sin'-Л" (Л' і" siu- Ad cos У
J ]^чіии.Ѵніи-' Г — sin'-1 ft' J J/siu-A'— яііі*-'Л — sin^Xcos" У
кііі X cos V
= —sin Л arrsm ■ , _^-: ■ . _——.
У sin- X—sin- It
Ншшшмн іірйд'ілішн ннтегргфонаішн слу-кат і/ = 0, У = F (#) = -^-.
Верхішіі предал Г соответствует какому-нибудь лначешпо А" и пай-
дртин іі:і уравнении
sin.T siu Г=.чІп Л
большого круга, лежа ш< то и плоскости хОц. Подставляя эти пределы,
получим после ііирпого шітегриринашы
— — sin А".
При втором интегрировании ио А" ишкшгм пределом служит жг=0 и
А~ = ,"-, а верхним—каное-ішоудь А. Ночтому после второго
интегрирования будем иметь
-£-еозА.
При парном н птором интегрирован ни Лобачевский меняет порядок
преде шн, отчего анаіс двоіімого пптеграла діе меняется:.
Е1"1! Надо Х = 1і'(х) заменить через І'(г— х). Тогда по формуле
примечании '2.3;
„ ,,, , „ cos It — cos A cos Asinaii
ciw и — cos Ь (j'—x) =s cos /J = .
1 — cos У; сом Л 1 — соя R cos X
[""1 Пригвоо, В-.Р[г)и О, соі Д = 1 п 2і:соаА ^';Д—с"д
1— cos Л' 2е-ж
= те(с** —1).
І1С0] Когда в двойной интеграл вместо переменных X и. Y мы
вводим повыв иврѳмеиныѳ о п і, то (ІА;ЛГ мьт должны заменить через
ИХ дУ <)Х BY\ , „
В данном случае Г не зависит от © и потому ыулсііо заменить dXdY
Ш'ІІШЛЛШШ 337
IIч уравнении, спязглпаюіцнх новин порамвшим ч и ■> си гтрымч,
ми имеем
— win X -г- =1 oo-j R sin >J< сиз 'л,
1 Л'
3mJF cb
с-чедовательно,
= с(<: /(sin*!:
, _ , „ соз- R вщ- '> віпа Y cos о ,
ЛХЙ}' = ; -I—; _ — (fclrfV"
sin Д am л
I) примечании 104 мы видели, что
dPS соаДвшХ
и о атому
Но
dXdY sin* Л соз 2'
(PS _ соз4 Й sin11 і sin'J У соа в
d<p<ft!i мііі" R cosZ
1 sin* Л
sin.ar=i
l+ctgar 1—эіцаі cos-R'
sin'JXsin9 Г_ віпаХ
sin* & ~ 1 — sin" 6 cosa ii'
„ „ . sia22I sin-0coa-.fi— cosaA" ain.- О соз- Л cos2 e
C0S Z_i pSin^Tsi^r~ snvVY — iW.T
я, следовательно,
daS cosBfl sin* 0 cos? sin* Я sin X
ttet£'!i зіпаЛ втфсоэ Я coaa(l —sin*-J* соз* Я)
cos2 R ain X sin 0 __
ain Л(і —ein*^ coaa M)'
откуда получается формула, данная в тексте.
Новым переменным о и fy моясео дать такое геоиѳтричеокоа
толкование. Пусть х, у, г суть координаты точки М\ (х, у, О) — координаты
точки А на плоскости хОу; (х, 0, 0)—координаты точки Р на оси х.
Возьмем на осп г точку Q, лежащую от X на рааотоянии г, и соедини»
ее прямыми QA = r и QP = t о точками J. и Р. Мы получим два
прямоугольных треугольника AQP и 0QP; угол 0 в первом и угол J*
Эак. 463. Н. И. Лов*чевсііив. т. I
22
заа
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
но шором будут равны соответственно -„- — Ь н -£■—?■ Действительно,
для птях двух треугольников мы имеем (по диаграммам а п о) формулы
соЭ'Ь = tgB ctg Г,
соз Х = cosFff) sin '?,
оояГ(і) = оозЛ sinO,
томдвствеішын с томи, которые связывают переменные X, J" с
переменными •-?, '!■.
Если точка А будет отодвигаться от осп у так, что координата у
будет оставаться постоянной, то угол -Іі не будет меняться, треуго:іь-
нпк APQ не будет изменять своих размеров, вершина Q будет опускаться
до тех пор, пока она не дойдет до начала; тогда точка А дойдет до
окружности,' а треугольник APQ упадет на плоскость хѲу; угол [а-
будет при етом меняться от нуля до ~.
Когда затем у будет меняться от нуля до г, то угол і будет
меняться от -£ до пуля.
Таким обрааом, когда мы распространяем двойной интеграл на,
один октант, пределами интегрирования будут для <р и і, 0 и -=-.
Чтобы получить поверхность всей сферы, мы должны умножить
на 8 d* d<J», потому что интегрирование распространяется только /на.
восьмую ее часть. Знак мнпус во второй части должен быть отброшен,
ибо в формуле преобразования, заменяя dXdY через
мы должны перед детерминантом ввягь надлежащий знак: в даином-
случае знав минус, потому что обе переменные ІиГ при
интегрировании уменьшаются, <рувеличивается, а ф уменьшается; произведения
ПНІ.'іІь'ГіІІШІ 33'.'
dXilY и d-iib'j Пудут иметь ріііяшн оіецг.іі, я коуфнцнинт при da <iU
должен быть огрпщтѵіышм,
[Uij 0ТО pcicieiiCPtio пилучигои, і:і\ін on ишачим л-Й чорео u it вмсе^
*5< вподо.м керамйшіуш ж, положил
тез R sin '!> =-■ з:; соя Л cos '1 rf'i- = ite,
.*>=>
УѴ — j*'
Для переменной я пределами интегрирования Оудут нуль и а.
Интеграл (40) преобразуется в следующий:
11 J J (1~»2)V«S—ж-
Если начнем интегрирование по переменной ъ, то п получим
желаемое равенство.
[U1] Заменам переменную ■) другой перемепной *, положив
г = иіп Jiaiiiif,
<fc = міп It eoH"W'i<,
и обозначим для краткости sin It через х. Пределами интегрирования
по z будут г = О и 2=^х, и двойной шггеграл по умножении на
з; = эіп Л примет вид
о о
Ееыш ѳго будем интегрировать сначала по <?, то получпм
и
Изменим теперь порядок иатегрироваяия и начнем интегрировать по
переменному 2. В справедливости равенства
J
1^1 — гй8та» ,
. , . , , cos о , V 1 —з;а еІпа w -(- а: оов е>
= em га aresm (я; эш (f) -J ~- la.'. і—
2 |/і —%t smaa—xcose
22"
340 о НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
легко уйелнтьсн, дпфорешшрул обб части іш а: и замечая, что оба
ч.чстп при у:=0 обращаются л нуль. При вторичном, интегрировании
итого выражения по частям, проинтегрированная часть
. , , , sine. Vl—:ва яіпа о 4-a: cos э
— cos у агсяіп (л: am?) -| ■- In ■ -■ -■ ' -■ -
2 У 1 — ж2 sin9 w—a; cos-а
для пределов -.эе=о іі я = —• обращается в пуль, я таким образом
I я
J= соя »rftarosm(a;sm«}] a....-,/fln-L ^J :s
^ '- J ' 1/1 —,tJsin8e—xoose
! 7 T
^_ С я;cos3a , . Г з;віпг'а , Г xda
J ]A — a;5 sin2 e ' J l/l— з;^шл-э ' J ]/l—a;asmao
о ' о
— хП{х).
JmJ Mu получаем сначала
к
"л С „ Г , Г Jr, cos Л яіп й 1^1 — 9in3fl sinHeinao
2 J ' J ■ J 1 — sma R sin2 4*
о о (i
Обозначая снова sin Л sin Ь черва z, приведем двойной интеграл по
переменным Лаек вялу (см. предыдущее примечание);
ІГ
1 г ______ "5"
*&? :—-——,—-_& = ?#(>) = sin Л sm* - .'■.-„■ , --.
J J \~г- J У- — siD2fisin£ism3«
0 о 0 Г '
Это равенство интегрируем по і}> н получаем формулу, данную в тексте.
[из] Положив в предыдущем интеграле
_-=_sin Д sin (р cos 4 и _ = sin i2 sin о,
dx=~ sin R sin 9 -in -J- <-•>,
получаем
Т о
віп В sin і^ d«ji If Л"
/* sin fl sin ^ aty 1 г і
J )/l_sin«4'J?em^j'00£ae ~~ sin ф J j/i—_а_|_г.
__i-/l+*
am
■In
i—- m .—
Ш'ШНІЧЛШШ
:ні
I11*) Тогда
2 d-
яіп ? = sin F (э:) = ———, rf? = .1!■' (х) = —. sin F (г) Аг, -, -'— =а — dxt
и пределами интеграла будут при х=0, j: = oo, при ■£ = .£, х = 0,
[11й] Проинтегрированная часть
е-* + 1-1- 2е* win Л
л: In
^-Ul—a^sinJi
обращается в нуль не только при £ = 0, «о я при .с~ со, ибо
Inn a: In ! :—тг-\ п-~0.
«-►„ 1 — Эй-* sin-й-[- е-**
Действительно, если е-я заменим через у гг раалохнш натуральный
логарифм по степеням у, то старшин член разложения Судет
4 sin R • і/ In у.
[і'О] Ибо
ctg (~— А и ctg f — 4-ж]
суть величины, обратные одпа другой,
сЦт+хЬЧт~4
логарифмы пх равны по абсолютной величине и противоположны по
знаку н при суммировании сокращаются.
[""] Дифереицируя ex = efotgj^, получим
е* Ас =* _ е« 1— = — у (1 -(- «££*-<•)) і-1.,
[ЧЬ] Здесь г овыачает расстояние точки поверхности от оси х,
Л = F (г) есть функция одного только х, и потому при диферѳнцирова-
ния^первого равенства по у мы должны В считать постоянным.
Принимая во пппмаиие, что
dZ bz dZ . „Ы bZ
— = _smiJ~, — = — sinZ—, —e — smz,
8a; 0a; 9у 3p bz
342 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРШГ
.мы получаем формул и для 'а~- п ~. Полотавпм эта значения п
формулу (44), предварительно адмоішв и ней sin У sin J? па sin ft, и при-
не.шм ."ipuijif пол ралшгалом і; олггому зпнмснате.чю:
hin" rsin-Zsiu- II.
Получим в числителе:
sin2 Y cos2 11 ( ~ Г + cos- )' sin-' Ft- -j- cos2 Z ain" Y =
= siti2 Y cos2 R f—)"-r cohG ГчіпэВ I- (1 — ain3 Z) sin2 Г=
= sm=rcos-'R(||)"-;-cosM'sm3/?-f яіп= Г— sin2 Л ^
= sin-
И, следовательно,
_sinrcoBK|/l+(^)a_smyco.^|/l+(g)3
Ac ity sin У sin Z sin Л cos 2
sin
sin2 Y cos Л
~~ ain2 Л ysitfY—sm*R
Чтобы получить ., нало положить <ЯУ= — яіпТіу; тогда
«-С й j
^ «вГо»ву^1 + (^"
dxdY ятРНу эіп* Г—sin'-*Л
_ созД ,/Г1, і Щ~ sin Г
зіпад К I 9ж / ]/co"ss іі —'соэа"Г*
По переменному у надо произвести интегрирование от нуля до г,
а по переменному Y-— от ~ до R (а не наоборот, как сказано в тексте).
Тогда получаем
dx^ гіп»д|/ +U^i J 1/со8*Л-.сой2Г_
У
нртнлшіііі
343
am-'It {' ' \,l.rl в Cl»H sill-* « К ■ [tiS J
["°| Дифоренпіфул у(тіші;іш(! копуна (гч. чг-рпмк іі диаграмму)
по 'і у чаем
■ п ,,ІІ і. ,- г. я'» А'
— sm 7? — гк Л — cos R г - = О,
ііх соч- Л
и затем
'fjr сомЛ-1
<W __ rfS dx __ 2- соя Л /" ctK-Л
<0f " "5г" "&Х атаЛвігЛ' ]/ ': соя^Г '
Подкоренная величина, преобразуется следующим образом:
[!ао] Кроме 8тих двух формул, напишем еще третью:
аіпі = вІп.Х'віл.Д.
Дифвренцируя иѳрвов уравнение, якѳѳы
nmLeoBAdL = mTiXdX,
dS = —
2іг cos В e'mZidL
■ аіп.8ЛвіпаХ_
2* sin Jv ain vi ctg L
ВІПЭ I;
dL.
(iai 1 Мы инеем
„ dR dB
oo8 R -7— = — e-*; ~r~
dx dx
dx ятэ Л
zu
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[imj Так ка« объем с бесконечно продолженной поверхностью па
еавяспт от выбора с, то
С
,-2е
есть величина постоянная. Но при с бесконечно малом объем равен cS
и С = с, я, следовательно,
С _0__ 1
1 — е. -*е ~ 2е "* "З '
['*»] Рассматривая предельную поверхность как сферу бесконечно
большого радиуса, Лобачевский иногда смотрит на предельные линия
как на овру.жпости больших кругов ^этоіі сферы. Воя конфигурация
выяснена в следующем примечании.
[12*] Построим на предельной поверхности прямоутолышк ABDO
со сторояаміг І> и к п через иершипы его проведем оси .■[<?, -ВО,
DO в СО п четыре плоско-
g F F' ети ЛВО, BDO, DQO, ОАО.
ь/ "^ѵА yl» На предельной линии ,Ш
построим цилиндр,
образующие которого
перпендикулярны іс плоскости ЛОВ а
касаются предельной
поверхности. Пусть АЕ яВР—лнэ
па этих образующих-
Нетрудно я ид ѳть, что кривая EFuq-
ресечеііпя цилиндра с
плоскостью CDO будет
предельной лнвиѳй. Действительно,
вследствие равенства дуг ЛС
и BD, фигуры ЛВС я BFD будут равны и E0 = F2). Так же
убедимся, что отрезки осей, заключенных между кривыми CD и EF, все
одинаковы, а так каіс CD есть луга предельной лизни, то РЕ будог
предельной с теми же ооями, как я у линяй CD.
Когда me* увеличим а на da и s на it, то объем Р полутат
приращение dP, равное объему тела, заключенному между плоскостям
OEF в ОЖ/У и цилиндрической поверхностью EFF'E1. При
вычислении етого объема мы можем поверхность цединдра заменить
предельной поверхностью EFF"E", проведенной через линию EF, в восполь-
аоваться формулой (49), которая для с = оо-обрашается в j S, где S есть,
площадь Ш>"Е":
S ==.£?• ЕЕ" = Ьм • dsen=si be^sds.
ПГІШЕЧАНІШ
345
[т\ Проведем через точку Е предельную дугу ДЛ1=о с осям»
Afl и ЕО; по формулам (23) п (30):
с = ctg Г (д), s = cos Р (а);
принимая во внимание формулу (36), о = seV,
получим
с-ѵ = sinF (a).
Дифереипирул второе уравнение, получим
(is = 3maF(a)<to,
Л,
А
2 sms F (a) 2
О
[1Eej См. стр. 225 — 22С текстам примечание 96.
[ІМ] Объем сегмента ССІЕЕ1 раиен, как было выше скидано п
тексте, половила произведения а на площадь элементарной бесконечной
полосы СС^О; а эта последняя, на основании стр. 226 текста я
яримѳчаоия 96, равна —df?(b).
[1И] Из треугольника ЕСА имеем (см. диаграмму):
cos F (а) = -
»5п.
■Да
+ 1
= tg Л ctg J3,
и затем
*»»==
1 4- *g A. otg В аіп (В -f X)
1—tgA ctg if 8in(fi — Л)'
[!ЭВ] Если угол Л бесконечно мал (dA), то я катѳт я бесконечно мал:
cos F (а) = а и ЛЛ ctg fl,
rfP = —i-ctg.fi tUAB.
Интегрируя сначала по А от нуля до 2тг, а потом (по Б от у,
[получим формулу для Р, данную в тексте.
34 г;
О ПАЛАЛЛ.Х ГЕОМЕТРИИ
(1!!r,J Проведем пинии ЕЕ', FF', GG' пѳрпепдпкулпрлые к
высота р ев по ііс хрн imoro треугольника ВАС, и разделим его сторону АС
на элементы EF, FG, ... Черео точки Е, F, . . . проведем линии Е;ЕО,
t\FO, GtGO, ..., параллельные высоте. Прп вращепггп этой фигуры
вокруг прямой АП треугольник САН оппшм копу с о основапие-м ВС
н высотой АП, а. Оескопечпые полоски между дпущг
последовательными параллельными— элемгітггарпгле конические оболочки с общей
осью АЛ. Вычислим объем оболочки описанной полосой OEFjFO.
Отложим ErM=F'F п положим
0 00 0 F'F = u, AF = x, AF=c, FE' =
= dx, EM=dy, F:M~oi/.
Для треугольника AF'F мы
имеем диаграмму, по которой на-
1
I 1°
\fY—
/рГ
т?Ѵ Л
/ 1
л
а\
F' \
Е> \
Е.
Л
Я
пишем, кроме формул, данпых а тексте, еще формулу sin 0 =
=sinl a in У, которая далее понадобится.
Чтобы определить dy, диференпируем уравнение (18) прямой ЛВ;
получаем
откуда
ф/ = &с
сов* X
cos У
sin* У" cos A"'
чтобы получить fy, воопольауемся уравнением (10) прямой FjFO,
параллельное оси ж, приняв FF' — y за начальную ординату и направив
ось х or J" к Е. Соответственно с втим в уравнении (10) мы должны
заменить Ь черев у, у через y-f-Sj/ И і через — &е. Получим
соа F (у -+- Зу) = е*" соз F (у).
Равложив ооа F (у -j- в?) в ряд Тейлора и ограничиваясь бесконечно
малыми первого порядка, имеем
cosF(y) +аіпэР(|/) By = (1 + dee) eoaF(»,
ft туда
8^ = ^!^.
ПРШГЕЧАІШЯ
347
Это же значение для Zy Лобачепсиші получает проще, намечая,
что выше полученная формула для dy остается справедливой,
каковы бы ии были угол ,1 п величина х. Когда а; делается бесконечно
большим, А —0, cosA'=l я dij обращается а Ьу.
Зная dy и 3</, находим толщпяу оболочки:
cos У I 1
S(Tla }'\COS.X
JSP, = d,J — 3tf = -r^ - { ——: -1 it,
ц по формуле (54) объем ее:
sin- J ^oosA /
или, выражая Jy через Их:
dP~~aos T{l — aosX)di/.
■Суммируя объемы всех оболочек, мы получаем объеи тела,
заключенного между конической поверхностью БОС, простирающейся в
бесконечно оть, и боковой поверхностью копуса БАС:
я Г cos Г(1 — соз Л") іу.
Коли вычтем его иа объема бесконечного конуса ВОС
т Г cos l"rf?/,
который определяется по формуле (54), получггм объем конуса ВАС;
іг jcos YcwXdy,
[181] Ua соотношения
сов Х = сов J cos О,
■вамѳнив
COS Х=ав---,-■ - і COSC =
получим
А А
яі'па (- cos' — eSe
^ еае _f_ 1 4- (а3с — 1) сов А __ 1 + сов Л сое О 2 ~ 2
е ^еяал-г—(е*=—1)еов.4~1— cosJ.cosC — „А , .„А '
1 ѵ сова —--J-s:uiJ -— в™
,• 2 2
[ІВ91 Сначала получаем
1
* —8
348
О НАЛЛЛАХ ГЕОМЕТРИИ
х =■ — соэ A (eSe — 1)
2
і—уО*—1)+
3 \ 2 J Z * /
ао
соя3 Л = соя* — -j- sin1 — 2 сов2 -^- аіп3
1 = cos1 —-f sin4 ~-[~2cos5 —
;t>s
sm
2 '
2 '
следовательно,
3 -f- coaa A
4 A J_ - xA і. «А-ъА
h oos* f- sm1 Ь cos2 — ш"— .
2 ' 2 ' 2 2
Затем разлагаем в ряд
[i8S] Первое равенство следует из уравненпл sin Л = tg С ctg У
(ом. диаграмму к примечанию 130 ца стр. 34С), ибо при малом sin A
можно положить
cos А — 1 — — sin2 А ;
подставляя затем значение cos А в
_Jli l + coa^coaC 1 (і + С03 О ~ г С03 ° *ё3 С ctg3 У")
х~"2 П1 —соэДсозС~ 2 П (а -_ соэ С-і-1- еоа С ій9 С ctg3 Г)~~
2
сон С
2 1 —cosC 4 ь ь \l + cos(7^1 —cost?/
= ІП ctg 2 ;
5 2 2 COS С '
замечая, что tg-^-(7=тв-е, получаем формулу, данную в тексте.
[1М] Принимая во внимание полученные значения cos Л и х пря
бесконечно малом у, находим для объема конуса по формуле (55):
]»««
-т8* у tab-* ■*■<>).
ПРИМЕЧАНИЯ
34В
Площадь его основания (формула 38):
ибо, при бесконечно молом у,
ctg Г Ы = -^ (*—<!-*)■= j/ + ...
Таким образом в предела, когда отверстие конуса отрвмятся к нулю,
отношение его объела к площади основания будет
2 \cos6'
■c-t&C .
8то отношение должно равняться отношению объема сферы радиуса с
к ѳѳ шшѳрэспостл, которая по формуле (45) равна
At. ctg2 С.
Поэтому объем тара радиуса с
2т: ctga О
1
cos С
■ cWc
■]-2«(^_e)«8it(.heohc-<0.
Отсюда вытекает формула (50^.
[іа5] Пусть поверхность, ограничивающая тело, происходит от
вращения линии ОЛВ вокруг осп х (см. чер-
те:й). Делим дугу линии на элементы ЛВ
пчерезточки деления проводим линии,
параллельные оси х. На ординате QB = y-^-dy
отложим отрезок QC = y. Тогда ВС=&у;
CD означим Ъу. Толщина конической
оболочки, полученной при вращении цолооы
между параллельнымп, проведенными чѳ ■
рез-'А п В, будет равна dy -|- Ъу. Величину
Si/ найдем, если (см. примечание 130)
поополъзуѳмая уравнением (19)
параллельной линии, заменив в нем у через у — Зу, а:—через dx:
созГ(г/ — 5у) = е-^соэР(і/);
отсюда
cosFfvJ ,
вш? Я (у)
['Щ Ибо <*аозХ = вХ<&.іп2
350
0 НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[1ЭТ} Из треугольника неаіду х к г шіѳем (см. диаграмму)
cos X = cos ІІ cos Л,
и формулу дая поверхности сферического сегмента (стр. 229)
„ cos Ж', „ —,
2т: ■. „ ■ (cos II — соя X)
sm2Ji
можно паппсать таким образом:
2_ cosit ^ _ом А^ = 4_ ctg2 B sin2 „_
Поиврхиость же всей сферы равна 4т; ctg2 Д.
Таким образом отношение поверхности
сегмента к поверхности шара равняется sin2 — Л. Таково же должно бить
отношение объема конического пыртака шара в объему воаго шара.
[ИВ] ТО-ѲСТЬ
cos Д \ /соя X \ Гсоя Л — соаХ , ,
-(г — *)
эн^Л
8Іп3Д
замечая, что cosX=cosItсоэЛ (см. предылущоо примечание),
получим формулу, данную в тексте.
рай] Объем отрезка шара (сегмента) с высотой: х равен разности
объема полушара п объема вырезка, определенного по формуле (58),
в которой надо х заменить чѳреа г — х:
соэ Л
^ніпаД
Но (см. примечание 28)
cos Р (г — х) , , ,
cosF(r—х) =
cos П — cosX
1 — cos U cos X '
следовательно, объем сегмента равняется
cos Л — cos
aG&R
соа Д-
1 — cos Л cos
Отсюда вытекает формула, данная в тексте.
Р«] Для г = оо, Р(г) = 0, соэД=1 и
е*»—1
£]—
соаХ
си — е-я ,
1 — cos X
2е-»ч
[ш] Поверхность S = const представляет собой предельную
поверхность. На ней имеет место евклидова геометрия, и потому линии
пересечения ее о поверхностями f\ = const и £ = const образуют на
ПРИМЕЧАНИЯ
351
ней ортогональную сеть прямоугольников. Липни же т\ = const,
С =■ const суть линии, равноотстоящие от оси Е и лежащие с
последней в одной плоскости. Эти лилии пересекают поверхность Е = const
но под прямым углом, и потому система координат Е, т„ С, которую
вводит здесь Лобачевский,-"не ортогональна.
Построим элемент объема в этой системе. Одной гранью этого
элемента будет прямоугольник со сторонами дп\, de, и вершиной в точке
(?» 'Цг Qi лежащей на продельной поверхности S = const;
противоположной гранью будет такой жѳ точно прямоугольник на поверхности
S-f-rf; с вершиной в точке (E-J-dJ, ч\, С) и со сторонами d-t\ и -J'.
Остальныо четыре грани получаем, соединив соответствующие
вершины этих прямоугольников линиями, равноотстоящими от оси х.
Полученный таким образом элемент будет предатавлять собой
бесконечно малый параллелепипед с прямоугольным основанием и
наклонными к основанию ребрами. Площадь основания равна dr\ dr„
высота же равна dE — расстоянию между предельными поверхностями
Е и E-]-dE, и потому объем его будет
& drt dr.
Ссылаясь на формулу (60), Лобачевский, невидимому, иначе
вычисляет элемент объема.
Проведем черѳа верпгляы прямоугольника df\ d', (см. чертеж) оси
поверхности Е; они, пересекаясь с
поверхностью E-)-dE, определят на
ией прямоугольник оо сторонами cfa\'
и &.'. Эти два прямоугольника
вместе с плоскостями, в которых лежат
проведенные через вершины оси,
образуют элемент объема,
равновеликий элементу, рассмотренному выше:
оба элемента имеют общее основание
и одинаковую высоту, ибо
противоположные основанию грани обоих
влементов лежат на одной и той же
поверхности Е -|- <LX. Для вычисления
объема вновь построенного элемента
мы можем применить формулу (4B)j
в ней надо положить S='df\'dr,', c = dE; но по формуле (36)
*]' = «« A], d¥ = e&dL,
м таким образом объем элѳманта будет
І- Лц <К е2# (1 — е-ВД) = -J- ch| X. (е^— 1) = dt d» £..
85:2
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[42] До формуле (29)
C = otffZ, -r,=ctSy,
О
где % означает дугу ЛЛ, продельной линии о осью х, проваленной
-lepuj точку Л. По формуле (3G)
і)і = ■>]«-", (П)
гда через и обозначай отрѳаоі: ЛВ = .-11В1,
и, наконец, но формуле (27)
sinZ=e-", sin Г=е-Г, (Ш)
где ѵ=САѵ Кроме того, иа чертежа
видим, что
Исключая из (I), (П) и (Ш) і)1 н «,
получим
-(]:
sinZ
(IV)
Подстанляя и и ѵ в Е, будем иметь
Е = ;е—la sin Y—In sin Z.
(V)
(wsj формулы (I), (IV), (V) предыдущего примечания представляют
собой формулы преобразования системы координат х, у, г в систему
Е, ч), С Когда при вычислении тройного ігатѳграло, выражающего
объем, приходится от одной оистѳмы координат переходить к другой,
то, как известно, надо произведение di d-f\ dC эамѳнить таким образом:
dU-nd',= df-'^'-^-dxdydz.
<){х,у,г)
Но С зависит только от г, і\ не зависит от х, и функциональный
определитель принимает вид
ді &_ а;
дх ду На
І1І1 = Л ІІ А
?І/ йг ~ дх 0ц Ѳг
bz
Э(я, г/, г)
О
о о
Иа уравнений (I), (IV), (V) (предыдущего примечания) имеем
ЗС 1 Э-о 1
Эг
eraZ'
І1
%
siuyainZ'
4-'.
ПРИМЕЧАНИЯ
353
ы алѳмѳят объема а координатах х, ц, г принимает впд
rfr rfj .fe
d\ dl\ d, = :т-т-5-х .
sin rsm3Z
[14*] В координатной системе я, у, z поверхность х=^ const есть
плоскость, порпеадикулярпад к оси х. Поверхность # = conat есть
цилиндр, построенный на линия, лежащей в плоскости хОу,
равноотстоящей от осп х, с образующими, перпендикулярными плоскости
.хОу. Шворхность г = const есть поверхность, равно отстоящая от
плоскости хОу. Эта координатная система ортогональна, н бесконечно
малый влѳмопт объема можно рассматривать как прямоугольный
параллелепипед. Ребра его по
формулам (34) будут
DA =
dx
D1Bi = dy, DB
sin У sin Z'
ftinZ'
2
J
У
о/
■ с
/
si
_A
/
/
/
)
в
R,
l
DG=de.
Перемножая ребра DA, DB и DC,
получим прежнюю формулу для
элемента объема. х '
[U0] Эти формулы мы получаем, если (59) будем интегрировать
■один раз по х, другой раз по у и третий раз по г, ы чем нетрудно
убедиться их диферѳыццровапиѳм.
[WB] для сферы
sin Хзін Уэіті Z = sin R,
ѵ , /sin2j:sms2
и заменяя переменные х, у через X, У, имеем
dX= — ainXdx, dZ = — sin Zdz,
dXdZ
sm3ZainX sins2 f/ aina
a-B 8ia3XsiH9Z'
Цри интегрировании по Z положим
ctg2
Vinjf "' 8Ш9Д аііРХ
= a2.
Ssit. US. H. И. ЛоСачввоквй, т. I.
23
354
О НАЧАЛ \Х ГЕ0МЕТ1ЧШ
Тпв ігнн интегрирование по 2 совершается в пределах от — л»
8ІпЛ
8131 Z =* —. —^ ,
то пределами для и будут 0 и
sinXlV ein* Л *'
Сделан вту подстановку, будем иметь
я
/IX
= — sin X j / а* — и- da:
зіп Л'
« V" a* — и- — а2 orcein —
а
= — -— a2 sin X = — sin A' I - ■: і, - ■ - — ■■.„., і -
4 4 \.sm3fl sra*X}
При втором лотегрнротзашш по Л" в пределах — и R, получим
Л
„ к Г / 1 sinX\ ,_ - / eosiJ ... 1 _\
1G ѵ '
Это — объем одного октанта.
[|17] Выражение для элемента объема в полярных координатах
можно вывести или аналитическим преобразованием тройного
интеграла к новым переменным или геометрически.
Обозначим через и проекцию г на плоскость хОу и с помощы»
диаграмм а я б попишем
cos X — сое Г (ы) сое ш, (Ту
соз F («) = сов R соя О, (П>
ctg Г = ctg F (к) sin о», (Ш>
ctg Z=ctgRem§, (ІѴ>
віп й = віп F (u) sin Z. (V>
ПРИМЕЧАНИЯ
Исключим пз (I) и (III) оояР(и), получим
сса X =■ соа Д cos 0 cos ш.
355
(VI)
Днферѳнцируѳм (VI), (.III), (IV):
sma X dx = sina Л cos 0 tsostodr— ооа Д sin 0 cos tadd— cos В соа В віа ш diar
dp
эіп ш ди
sin Y == віпІР(м) ft-
етР(м) 90 ^ * ѵ ;
• = ——^rdr-i-ate Д cos 0 до,
sinZ аіпД
или, воспольвовавптсь (I), (П), (Ш) и (IV):
віпЕ X dx = соа X I — dr — tg ft db — tg ш do>),
\ ооя Я j
dy = cos Y
8u ,
__ dr
cos F (it) Br
&z = cos Z f _i_ df -L- ctg В <Й V
V cos R }
Составим теперь функциональный определитель:
віп2Д
-^<I0-f-c,£O!dal).
COsF(w) S6
S(x, к, г) cosXoos Усові?
"a (r, 0, о») ~ sinaX
сов X cos YcosZ
oosB
1 Эк
— tgB
1
cosF(m) &• cosF(m) за
ctg 8
совД
— tgw
ctgot
О
+
sin2X
tg o> otg 0 Эм
tg 6 ctg id ctg Q ctg щ sin8 Д
cos В """ соа Л
tgta
дк
cos I" («) 3r cos P (m) cos Д
23'
356
О НАЧАЛАХ ГКОМЕТІ'ШІ
Рассмотрим сначала, дна последних члена в скобках, причем заменим
в jjux Іі и -t с помощью уриняиипп, которое получим, дпфереищіруя
уравнение (Ш):
sin' Г (и) dn = sin™ Я соз И dr — cos R sin ') d'J =
am2-RcosP(;t)
cos It
-dr —tgb cosF(h) iff).
Вудсм иметь
tgm
cos F (it)
, On
0<(
cosS ДО
соя
tg ui Г sine Л сон F («) cos F («} tg 0
соэ Л sinL'F(и) ' cosiJ sin- F (n) _
7Г-°-ггг-,-г lctS,J sin3 R - - tff 0] =
cos It sin* F (it) i о j
tgn>(l — COSa ft COSa Д)
соз Л sina F (к) sin 'J cos (J ~ cos _S sin It cos fl '
%u>
Два других члена определителя:
созЛѵь ^ 6 ' cosiisinOcosO'
и выражение в скобках будет
tg m -|" еія3 F (u) ctg щ 1 — cos2 F (к) cos3 to
sin^X
соз R sin U cos 0
cos R cos lj sin 0 coa ш sin in cos X sin ui sin'б '
таким образом
8 (x, у, г)
в (г, ft,»)
cosXcos FcosZ
ain2X
sin3:?
cos X sin <o ain 0
cos Y"oosZ
Bin w sin 0 '
, , , cos Г cosZ , ,. ,
dxdy dz = - . —■ —-■■ drdv dm.
8m w вш I)
Элемент объема в поляряых тсоординатах (56) получается так;
dxdydz oos Г соз J? drdhdta ctg YctgZ
BinYaitfiZ^ sin «BUT ' sin Гвіпаг = вщшзіп В sinZ drdhda,=
ПРИМЕЧАНИЯ
357
etg F (и) em ы ctg Д sin 0 , „ , cosfi cos Й eta R , ,. ,
ain Z'siniustn')
sin Л
= ctg5 Л cos fl <ft- І0 dm,
что совпадает о формулой (61).
Объем элемента в цоляршлх координатах, однако, проще
определить геометрически.
Координаты е>, 1), г ортогональны, п элемент объема в полярных
координатах представляет собой бесконечно малый прямоугольный
параллелепипед. Ребрами его
служат: дуга меридиана сферы
радиуса г, соответствующая
центральному углу <Й:
DB=cigRdti;
дуга параллельного круга, радиус
которого к равен перпендикуляру,
опущештому из D на ось z,
соответствующая центральному углу dm;
DA = ctg Г (а) da>,
и, наконец,
DG= dr.
Принимая по внимание формулу для треугольника между г и «г
ctg Р («) = ctg В соэ 0,
і
получим элемент объема:
ВА ■ ПВ ■DO=c%smE{u)ctgBdrd4dui =
== С%2 Л COS ') rfr (Й dta.
[иа] Если в конусе мы сделаем вырезок двумя плоскостями,
проведенными через высоту конуса, то объем этого вырезка будет
пропорционален углу между плоскостями. Дсетому объем вырезка между
плоскостями, наклоненными пол углом cty в конусе с высотой ft л
образующей г, наклоненной под углом ? к высоте ло ■ формуле (55),
будет
—- db(rco$?> — h).
Каждый на влементов, па которые делится пирамида плоскостями,
проведенными через высоту \г можно принять за вырезок конуса, і*
мы имеем формулу (63).
ЗОВ О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[м«] в тов ;і;е днрампде мм можем прямоугольный треугольник
между л и k принять за оснований, a b за высоту, н, следовательно,
в предыдущих формулах заменить
а, г, Ь, А, ■), о, ш
Фчереа , , , ,
я, г, к, Ь, ш, I), •>.
|іг,о] ц3 треугольника между а и h
имеем, но диаграмме а:
tgiu =C03#tgjl. (I)
J Из треугодьншеа между я и h, по диа-
т грамме <Т:
соэ Я = соэ а cos R, (Ц)
ooaG=is<?obgS, (III)
где С = 1?(с), и из треугольника между а и Ь, ыо диаграмме в:
cos Л = соа і|* соэ 17. (IV)
Формулы (Ш) іі (IV) дают
tgocosi|j = cosJl t£#. (V)
На основании сказанного в предыдущем примечания мы можем в этих
формулах сделать указанную в том примечании замену и получить
формулы (65).
[161] Иа (04;) а (64и) имеем
соэ A sin Л
l^cos9 R — cos2 И '
(64,), (64.) и тождества ■ s-—=* 1-f-tg2 Я имеем
соа-Я '
ctga ш аіп9 А = bos'3 A -f- tga о cos9 ^,
ПРИМЕЧАНИИ
359
, ., clg3<usin2 A — cos3.t
l + tga? =
СОЙ2 i
sin9 -1 — sina iu aina i
cos1* i яіпЕ ш '
и, наконец,
„ coa,J<!;smBui
cos2 's = ■
sina J. — sin2 u) sin2'
Иа (645), (04^ и предыдущего выражения cos я получаем cos Л (S6,,).
[1В2]. Вместо переменной интегрирования 4 вводится пѳрамѳнпая Л,
гыричвм a, k остаются постоянными, Диферѳнпируѳм уравнение (66j):
. , .. cos Jain Я cos Л sin Л dR
am u rfw = ———— _____„,
(вшгЯ— sm3iE)3~
а, заменяя
. , l/'sinaJ4siii2ff—sin2 Л созЯ
smy= —— ————-—; cos» = ——■,
увіх&Н — sin3 Л ' coa Л
имеем
1 sin 2S cos A sin R dR
coa » щ =
2 (sin3 Я—sin2 R) /sin3 Л sin3 И~ sina Л
Подставляя это выражение и
г — In ctg — Л, ft = In ctg — Я
в формулу (63), изменяя эпав интеграла и порядок пределов, получаем
"формулу (67).
£™] Интегрирование в формуле (67) оканчивается значением Л = ]Г(г),
«•дѳ г равно гипотенузе в треугольнике между я и ft, для которого мы
имеем формулу:
sin F (г) = яіп A sin Д",
■и начинается значением г, равным гипотенузе в треугольнике между
■с и А, для которого sin Л = sin G ain 3 или, так как гга треугольника
между а и Ъ (см. диаграммы іі и в, приведенные в примечании; 150):
sin G = sin A sin Л,
sin Л = ein A sin В sin Я.
Подотавдяя в последний член формулы (67) пределы, мы излучаем.
cos Л. . oos.1
— arccos ■ ■ — -4- агесоя ■
|Л — 8іпаДвтаЯ У1~-вш?А
80о о началах геометрии
Вюроѳ слагаемое обращается в пуль, а первое равно
У1 — ein'J Л віп-JS —соваЛ ' ,, . _,
_І . . = — arctg (tg Л cos В).
Проще выражение для
■И0*Е— ом Л
соз Л sin Л . , _. .,
6 = атсоов —=и—=;.д-^^=- = arctg (cosВ t,g A)
Г ]/8т--!Я~Кіпп-Л
получить па (05а).
Объем той же пирамиды, кат: било упомянуто выше (см.
примечание 149), мы получим, если обменяем буквы іиі
I10*] Определить угол а по уравнению (CS) возможно, ибо оба углв.
т я (/ меньше Р(а) = Л, Геометрическое значение а булат выяснено-
ниже (см. примечание 174). Вводя в (03) вместо переменной
интегрирования ^ переменную а, мы имеем:
sin Л sin и = sin ш sin 6, (I)'
sin Л еоз a dot. = sin ш соэ 6 &Ъ, (П)
ain A cos а = У sin9 Л — кіп5 щ sin3 ф, (ПІ)'
sin со cos <і — lAin2 ^ ~ a'n"~ A s'nS аі 0^О>
и пользуясь формулой (6С2):
sin Л cos а cos э = sin ш соя і,
а из (II):
cos 'э dfy = t/a. (Ѵ)>
Формула (G3) может быть теперь переписана, таким образом:
ZP= f rda — Ы,
или, если воаьмом интеграл по частям:
2Р = г« — ій — Га <і>-. "7І)>
[1бЕ] Это выражение г через а мы получаем решением уравнения (6Ga),
предварительно заменив в нем радикал при помощи формулы (Ш).
предыдущего примечания через віпЛсоза и представив это
уравнение в виде
ег—е-* созЛсова
cos R = —. = .
cr~\-e~r соям cos ill
[,6в] Дифѳренцируя уравнение (63) и принимал во внимание, что-
Л и ад остаются постоянными, а ^ есть функция а, определяемая
уравнением (68), нолуч&ем
dr _сов Л cos «в [cos aainijj ■ tj/ —smacos^]
da cos- (u cos'2 <1 — cosa Л cos3 a *
ПРИМЕЧАНИЯ
ЗСІ
Умнояеіім числитѳлл и знаменателя на sma<ocos'i н заменим sin2a»cos5di
по формуле (IV), атшсойб-'У по формуле (II) и sinusin^ по
формуле (I) примечания 154.
Для числителя получим
соа Л cos ш [cos2 a sin2 Л зіп а — sin а (sin2 <а — sin2 A sin- а)] =
= cos A eos ш віп а (sin2 А — sin2 ш),
а для знаменателя:
соз '!> [cos5 ю (sin- 01 — sin2 .Л sin2 a) — cos2Л cos2 а sin2»] =
= cos & (sin2 A — sin2u>) (зіп2ш — sin2 а).
Таким образом
dr cos A cos щ sin a
da (sin2 ш — зшг а) cos <'j
Подставив сюда вместо cos ty его значение из (IV) примѳчааия 154
а внося -р в формулу (VI), получим интеграл (70).
[1Г|1] В формуле (70) мы должны заменить ft его выражением через-
<о и А. По формуле (642) имеем
аь _ і + te m cte А _зіп С-4- + <")
1 —tg ш ctg А зіп (Л —ш)'
Если в формуле (70) мы сделаем указанную в примечании 140'
замену букв &, т, Ъ, А перед ш, 0>, А, 6, то, как вто видео из
формул (G8) и (6Q), г и а не. изменятся, и, сравнивая два значения іР,
мы получаем уравнение, данное в тексте.
[1B8J ga уравнения (6Й) мы видим, что при а = ~, г = 0. С
другой стороны, в примечании 150 мы имели
dr сов A cos (и віп а
da (sin2 (о — sin.2 а) cos ^'
и, следовательно,
/cos Л cos w sin a da
(sin3 а — sin.2 u>) сое ^"
Если в этой формуле обменяем местами буквы Л и а, то cos'!* и г
не изменятся, как видно из формул (69) и (08), а потому
Jcoa а сов ш sin A dA
(sin2 A — віп2 ш) cos <ji'
30-2 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
причем здесь мы должны считать а и ш постоянными, а у функцией
от А, определяемой уравнением (03). При замена г полученным для
него выражением, ) г da обращается п дбоііяой интеграл, приводимый
и тексте, причем г рассматривается как функция двух переменных Л. и а.
[](W] Обозначим через
f(A) = f dA ~ * ij1sin^A+<0)
J ainaJ.'—sin3 01 sniii) sin(.4 — iu)
A
а ііерем интеграл по. переменному А по частям:
і ■! £
Г sin. A dA rJ»,,1sin4j, sin А ., ,. . Г ,.,, , sin A
Л Л А
Так как v зависит от А, то
, sin Л / cos А . вііі A sin О <Й
cos 6 \ соэф cosa^ dA
) Л*. (I)
причем из (С8) следует
di sin о cos A
dA вш и> cos у
іі, следовательно,
:tgictgA,
, ніпА cos Л , ,„,
соз 4 сов8')' '
Таким обрааом
2 З"
/sin J dA sin ji Г cos A
(зіпз ^ _ 3ina ь) соз •}>~ "Sol^ ' (A> + J WI'^^1
и
IE
2 rifa = 2 cos <a I do. cos a { —=—■ ^ ■— =
J J J (smaA — sin2tu) cosy
о a
1
в=2оо8',/-^-оміа^(Л)А» + 2оояю^ооваАі J^J^/V) <U,
» и Л
тто совпадает с формулой, приводимой в -тексте.
ПРШЕЕЧАШШ 363
[іво]. Сохраняем обозначение f(A), введенное я предыдущем при-
цечанпи. Первый двойной интеграл
J COS & ч ' V ' J COS ^
о о
що формуле (П) примечания 154 преобразуется в
/sin oj
-—- di/ = sin ю ^ / U).
Изменяя во втором порядок интегрирования в принимая во внимание,
■что аналогично формуле (П) предыдущего примечании мы ішеем
, am a cos a.
d - = £т da,
cos vf еоз° 4»
получаем
/.„„ ,, Г соа а , Г еіаасоаЛ
со9ЛГ(Л),^ ^-*«=J —^— /*U)4t.
Л U A
[1в1] По формуле (1) примечания 159 мы имеем
sin a cos А , ,
аѵ = —: а А.
sin in cos
ш, следовательно, интегрируя по частям, получаем
віп а С созЛ , аіп(Я-г-ш) , ,, эіп(Л4-е>) .
— г-In-.—*--■-!—'--іА = і(\в. . ' -'—f--f
Я1Е Ш J COS <]> 81П (Л — ш) віп (Л — ш)
4- sin 2 oi I -7
J 81
фііЛ
sin (Л 4- ш) sin (Л — ш) '
Подставляя оюда пределы А и ■=- и замечая, что In при -*=-§■
обращается в нуль, получим формулу, данную в тексте.
[ісй] Надо заметить, что преобразование формули (йЗ) в (71) может
■быть выполнено проще, если мы при вычислении двойного интеграла
I r da = 2 cos w I cos a da I
gin A dA
(sin! Л — sina w) cos ^
памеппм порядок интегрирования, т. ѳ. напишем его таким образом.
J. „ С ЯА Г віп Л соз а ,
rd« = em2«J -.■-■ --■ ...д— -г -da,
J втл Л —sin- ш J sin ш cos ty
a. a
804
О Ні\ЛАПАХ ГЕОМЕТРИИ
sin и cos йі
и затем при первом интегрировании по а введем лерѳмепную $ по
bin it РПв еі
урішпенгш (08) іі заменим, по формуле (II) примечания
через Ц. Мы сразу получаем
■bdA
2 I r da = f,va 2tu I —7
J J si
sin (A -\- (u) sin (Л. — ш) '
[1C3] д0 уравнению (G8) имеем
Ч1П ti)
sin (Л -[- ш) эіп (Л — u.) = sin2 А — sin2 <а = . в (sraa 6—sin2 «)„
cos i sinu> ,,
if A = ■—: aii =
cos 6 sin 10 di}i
cosjlsma ' Yeinsa~ sin3 a> sins ■/
Иры jI ==-j-, по формуле (G8),
, sin a
gill (jl = —; ,
sino»
[lei] При вычислении объема пирамиды,,
простирающейся бесконечно, по формуле-
(72), пирамида разрезается на влементьг.
плоскостями, проходящими через катет ft
прямоугольного треугольника, который служит основанием пирамиды,
причем угол if меняется от нуля до А = F (л).
[16S] При вычислении объема пирамиды, простирающейся
бесконечно, по формуле
2Р
-/
hdA,
где jls=3?(a), пирамида раароааѳтся на
элементы плоскостями, которые
перпендикулярны в о снов алию пирамиды. Е этой
формуле мы должны h заменить его
выражением через переменную интегрирования
A = ~F(a) (см, примечание 157), Катет а
меняется при втом от нуля, А — от-чр-
рев] і[рИ ВЫЧИСЛ6НИН 0дъема дираьшды[ простирающейся
бесконечно, по формуле (53), пирамида разрезается на элементы
плоскостями, проходящими через ребро, проведенное черев вершину острого^
угла при катете а, и перпендикулярными к плоскости прямоугольного*
Ш'ШІЕЧЛШШ
ЗС5
треугольника, который служит основанием пирамиды. Каѵкдып такой
элемент мы можем рассматривать, как ыіроаок бесконечно про
стирающегося конуса, и ао формула (53) имеем для ого объема выражение
dP=— -idu)lnsinF(i),
где I обозначает радиус основания конуса, т. а. отрезок, указанный
ва чертеже. Из треугольника между I и а имеем (см, диаграмму)
sin F (J) = sin A sin Я,
причем й" будет функцией угла ш, и по уравнению (04г):
siu2 Л біпйЯ=1 —
соаа А
соя*2 <д>
I161] В том, что (73) одинаково о (74), мм убеждаемся, рассматривая
4Р как функцию двух переменных ш и ,A = F(«). Из (73) мы получаем
Н. —— 1 ІІІіНІ^.
дЛ зіп(А — (в)
<в затем
Из (74) имеем
ЭЗр sin 2Л
ЗТэій sin (А -+- <в) sin (А — ш) '
9Р
д-зр
( сов'3 jL \
1 ■ -а >
COSa о) /
COS"*
sin ЙА
ЭюйА
cos
;2 01 — COS2 Л '
выражение, тождестве алое о предыдущим.
[168] в том, что и это выражение тождественно о (13), также можно
убедиться днференцнровапиѳм.
3G0 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[івв] Иначе говоря, если мм вместо переменной А введем
переменную ft при помощи уравнения (042), считая ч> постоянной, то
dA . = — tg <o tg2 .ffdft,
cosa Л
dA (сое2 И cos3 и»-j-sin2 и) = — sin <в соз <и sinB Edit,
sin 2ш ,, sin 2ш
tf Л = ; г *і = —
sina Я
„ , 2ch2ft—2cosai
— COS2 u>
,. 2 sin 2" ,.
dA *И + в-»_2«м2«
Чтобы получить выражение логарифма через ft, удобно воспользоваться
примечанием 157.
[1ТО] Пирамиды, о которых говорит Лобачевский, представлены па.
чертеже, приведенном аа следующей странице. Чтобы напиовлъ
относящиеся к этому чертежу формулы, на той же странице приведены
соответствующие диаграммы.
[ш] Написав D = F [(с-f-d) — с], получаем sin D и cosJ? по
формула»! примечания 23 н формуле (77) текста.
l"3J Мы имеем
cos (А — і|і) — cos (7 = j- (oos A cos2 <ji ~\- sin Л sin i} cos ty — cos (7cos<|i) =
= j- sin (A — 0),
1 — cos (A — 4) cos О = (cos ф — cosa A cos ф — sin J. соя A sin 6) =
cosi T "
am Л . ,
— ~--ат(Л — ф).
соя ty ч "
Эти формулы можно получить иначе, замечая, что вследствие
параллельности прямых N0 и КО (см. чертеж примечания 170) угол
между d и прямой N0 равняется F(d) = D, Угол между & и с будет
также равен D, и из диаграммы для трѳугольпика между а и Ъ
непосредственно получим (см. примечание 20):
віпф = соз2)шп А,
сов ty sin Cs=sinl>sin A.
ПРИМЕЧАНИЯ
307
Л" примечанию 170.
М 3
і д
Для треугольника мояеду а и h— диаграмма я,
» > > с » А — » (7,
» > * а * b —- > а,
> > я g > I — > г,
» » » h > d-{-c » 3.
зиа
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[п:!| Ш формул ^78в), (787), (78L) и формул для sin D и cos D имеем
sin (7 cos'і c.ijr С cosGcosii ctg А
t"- ii = am I) ct<r r = : • ■ rj = ~. — == —.
Пі " ' nm Л соя Я ішЛ—eostf еозЯ
R справедливости равенства
можно убедиться из чертежа к примечанию 170. Таи как лиііші КО, МО и
ХО параллельны и угол между плоскостями ОІІК и ОМЕ равен ~,
угол между плоскостями ON К и ОУМ равен ш, то угол между
плоскостями ОКМ и 0ICN, т. ѳ. и = -'"—ш.
[І7*] Это и есть геометрическое значение угла а, введенного в
формуле (06).
[ПГ|] В формуле (75) ребро бесконечной пирамиды, перпендикулярное
к основаишо, проходит чвреи иерщшіу угла to, it обозпачавт катет,
противолежащий углу ш. Поэтому для пирамиды Р", основанием
которой служит треугольппк между c-\-d и А, падо вместо ш поста-
пвть /, и ft оставить без изменения; для пирамиды Р,, основанием
которой служит треугольник между д п г-\-1, надо вместо ш п А под-
■ставить \ ~\- ;і = >• -\- -£-— щ л J-]-)■ = А' и, наконец, для пирамиды Р2,
-основанием которой служит треугольник между д н і, вместо ш u A
надо поставить ji = -£ — « и I,
С10] Но формуле (73) ребро бесконечно!! пирамиды,
перпендикулярное и оспоианию, проходит через вершину угла ш, и пределом
интеграла служит А=Ѵ{и), где а означает катет, прплѳжалцпіі
к углу ш. Поэтому для ппрамиды Р", основанием которой служит
треугольник между с -j- d и А, паіо ш заменить через к и предел А —
через F (с -J- d) = Л — iji. Для пирамиды Р[, основанием которой служит
-треугольник между g и r-j-i, надо ш заменить через ),-|-^ = )1-f--|- — ш,
предел А —чѳреа P(j) = G = -й--— а; мы будом иметь тогда сначала
Р,=
п ^ ~- f- dA,
sin I
lb
r—
а. потом, положив А=-я а, получим формулу (8ІВ
ПРИМЕЧАНИЯ
8G0
Для пирамиды І\, у которой основанием служит треугольник
между д и I, угол <а нате заменить через |і = 4,—"> и пижнпм прѳ-
делом взягь ff = F(ff) = -2—аі тогда получим
/>
Pain
яіпІД+-£• — '
sin ( Л — 0-~f"<0
dA,
л потом, положив „l = -s- —а, формулу (8IJ.
t177] Мы можем в пирамиде, основанием которой служит
треугольник между а, Ъ и высотой h, принять аа основание треугольник
между а и ft, а аа высоту Ь, п эатѳм повторить предыдущие построения
■{см. примечания 149 и 153).
С™] Если мы, не изменяя стороны «', дадим стороне а
приращение da и соответствующее приращение стороне Л', то пирамида
увеличатся на ѳлѳмѳнт, объем которого по
■формуле (51)
dP= ——hdF(a).
2 к '
[1та] Ив уравнения, связывающего
элементы четырехугольника с тремя прямыми
углами (см. диаграмму а к примечанию 183)
oos Л'
sin Л.
' СОЗ Е = ■
Л л-ft
яме ем:
1 , sin А + ооа А'
h = — ІП — ! ту .
2 am. Л — cos Л
[180] Если напишем
ѳіп Л 4-' соэ Л' , ,
1п ——г-1 :v = bitg
віп Л — oos jV
£-)-bt8(
Л 4-Х' тс
уазложииі интеграл на два, и затем в первом ааиѳніш переменную
интегрирования А через
ті , Л—Л'
■а во втором через
Ѵ =
4 ' 2
Л4-Л'
2 4 '
то z получим формулу, данную в тексте.
Зік. «S. Н. И. Ловачеэсвай, т. Г.
U
370
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[JB1] Интеграл
I llltff ЖІС
в дределих от -~г- до ~ — -г" обращается в нуль, ибо In tg х зі.
lntgfv — .с) но абсолютной величине раины и но знаку
противоположны, и «со алеміштгл интеграла попарно сокращаются.
[іь-j] Лс,,и положим
z = hi tg х,
то получим
dx , с; Л;
с- dr. = ^-5—, (to = ■ -—:—а:: .
sin- x I-j- e2-
[іь;і] Диаграммы для четырехугольника и двух прямоугольных
треугольников, лежащих в основании пирамиды, отмечены буквами is,.
J, я; 'іерез е обозначена диагональ и (1 = 1?^). По этим диаграммам.
" d в
получаем непосредственно первые три формулы, приведенные в тексте,,
и кроме того,
віп ш = tg О otg Л, cos Л — сов ш cos С,
CQtau — tg CctgB', eos Л' = sin w coa С,
из которых вытекают формулы в тексте для tg Л' и для oos A'.
Ш'ШІЕЧЛІШЙ 371
[ш] Представив уравнение, предтесіяующеѳ (ЯЗ), в виде
с'1'—(■-''' = otg ш(сл—е-'1),
решаем :это уравнение относительно с'''.
(І8В] Для четырехугольника по дпаграшіе и примечания 18»
имеем
сок A' = cos ff sin Л,
cos-1 = eos Л' sin .Г;
исключая нз этих уравнений сначала .(', потом А, получим
отсюда.
ain W , sin U
sin А = і == , япі Л = — —-■ —
У1 — cos^ Я cosa if ]Л — cos* Я cosa Я''
sin Я cos Е' . sin Я' cos Я
cow^L = -■■ ■■— ■ — , cos .-1 = — — —
У I— cos*Яoos3Я' у 1 — cos3Яeosa Я'
и далее (по формулам примечания 23),
,, sin Л sin Я" . „, ,,
. ,, і ,м СОЯ Л-і-СОИ Л' _,, . ,,.
sm (Л+Л') = —-j ~ =7-= соя Р (ft-{-А )■
4 г ' 1 -j- соз Я cos Я' ѵі/
С л е Д он ател ьн о,
Л_Л'=,Л._р(й_А'), A+A'=\-\-?(h+ti),
In otg (^=^ + т) = Ь tg~-F(A-A') = Л' —А,
botg/іЦ^— ^.j=lnotffyP(A + A') = A' + A.
Когда 6 = оо, то вэршпна угла между А и А' в четырехугольнике,
лежащем в основании пирамиды, удаляется в бѳоконѳчнооть,
стороны А, А' и диагональ становятся параллельными, 7*' = оо, (в=гр(а)=^,
34*
372 и НАЧАЛАХ ГВОІШТТШІ
Л'=-« — о» = 7г — Л. ГІрп подстановке атнх значений Л и Л' в
пределы ля я х получаем оо и lnctgui.
Так как пределы А п А' одни я те же: 0 и оо, то мы можем
во втором интеграле вместо It' написать It, и тогда, соединяя оба
интеграла вместе, получпм
•> Г (eBf'-(-e-a")ftdA 1 Г _
J c*>'-j-e-lh — 2 cos 4u> 231112(0 J e:
2d:
+ «-«'
Заменяя 2й через А, и 2ш через to,, получаем рааѳаство, данное
в тексте.
(ls0| Для пирампды, основаанѳм которой служпг треугольник
между а' и h' (см. чергеік к примечанию 183J, вместо и> мы должны
ваять ■£ — « я тогда
sin | Л' + ~ ш 1 , ,,
віп/л'—у+ш)
С08 (Л' -f-ш) '
Этот логарифм — действительное число, ибо Л' > -^ ш иі' — to > - ■
[іві] Так как предельные значения Л и Л' связаны между собой
уравнением (33), то предельные значения Л я Аі будут связаны
уравнением
sin Л, — cos A tg ш.
Поэтому в формуле предыдущего примечания, а равным образом
п в формулах (85) и (80) надо натуральный логарифм брать от
абсолютных велпчпн
соя (Л'—ш) эіп(Л + ш). sin (Л | -f- <u)
соз(Л'Ч-и))' sin (Л — <я) ' sin (Л, — <в) '
[1ве] Когда Л=Л[, то из уравнения
эіп Л, = cos A tg иі
находим Л = Л, = *, и пределы для z становятся равными In otg 0 = оо
и. lnctgtn, Таким образом для второго интеграла (85) пределы равны
нулю и Л, а для первого — равны А и -=-, и оба интеграла можно
соединить в один с пределами О и -^. Здѳоь также берется логарифм
от абсолютной величины
sin (Л -\- to)
sin (Л—<м) '
пгшіячлнпя
373
[іив] Круг, который служит основанием конуса, разрезается на
полосы прямыми, перпендикулярными к оси х в отсгоящи.чл одпа
от другой на расстояния dx. Проведя через ординаты плоскости,
параллельные оси конуса, которая перпендикулярна к его
основанию, мы разделим конус на элементарные объемы, которые по
формуле (51) будут равны —-^-yd'F[x)-t объем же всего конуса будет
-2 jydF{x) = 2 jydX.
[J0°] Уравнение круга можно написать
в таком виде:
2 sin X . „
— = sm R,
откуда
0 =
sin X =fc V^in2 X^- sin2 В
sin R
Корень со знаком плюс определяет положительную ординату, а со
знаком, минус — отрипательную, соответствующие одной и той же абсциссе.
Возьмем корень со знаком плюс, тогда
имеем:
1 . sin X4-V sin2 X — sin2 Л
у = — m ' — .
2 ЕІп X— у sin3 X — аіті3 В
[іѳі] jj3 уравнения круга
cos X sin ydX-f-cos ГаіпХйГвО
ctgr
&Х= —ctg Y tg XdY= — sin It
1 1 ооН-і-Г
In ctg— Г=—Ь j
8 sin2 ± Г
l/sin3 YsirfiR
І.1 ^H-008 Ym
2 " 1 —cos Y
dY,
= 1 ЕІД _■%"+ У~эЬа X—віц2 R
sm X— ysindX —8Іп2л'
гь при под
1 -|- cos iS
= Ь
[Іев] Проинтегрированная часть при подстановке границ Ли— дает
2 1 ■—сов It '
[іез] rj0M j cExercices de calcul integrab Яежандра был напечатан
в Париже в 1811 г. Особый томик в 50 странна, озаглавленные
(Supplement Ь, 1а premi&re partie», пе имеет ни года, ни места издания.
374
О ПЛЧЛЛАХ ГЕ01ІЕТРГШ
На сгр. 3П—Г.о *юто «Supplements лиыа sTaijle generate des fomiulea>,
в которой находятся данные здесь Лобачевским два интеграла. Первый
(стр. 43, строки. 14) ті ннлч
I
ш dm cos u) 1
—; = - 111 ( 1 -j- COS 5),
\ sina ш — sin'3 i 2
ft ііторой (стр. 4ii, отрока 2) в виде
Л
/
Q Л» sin ш
= __lg-
созшТ/ sin-[3—sin'2 ш соя [5 cos,3
. 1 , 1 -f- sin ш
где S = — Iff ■ ■ .—-.
2 ° 1 — smui
Такггм образом в первом шпограле _T—iu,J£ = a и во втором Y =
= 1= —о., Л«ік —р.
[lDi] Применяя формулу (<>1) к пирамиде, изображенной на
чертеже'), прнншішш нершпиу пирамиды аа полюс, высоту—за ось и
плоскость между h и х—за плоскость
первого меридиана.
[les] Имеем
2cos(7 , 1 + соэС
— — rn-
sin3 О
-cos С
[Ів6] Для треугольника между с и q
(см. чертеж к примечанию 194) мы имеем
приводимую здесь диаграмму л формулы
вт£7 = аід YamQ, (I)
cos С sin G = cos YsiiiQ. (II)
При интегрировании по 0 мы считаем Q
постоянным и вместо переменной fJ можем
') На этомчертеже через <? обозначен на тог угол, о котором говорится в тексте
Лобачѳвпкого, О значении угла ч> на этом чертеже — см. нижа, примечание 198, стр. 376.
ПРИМЕЧАНИЯ
375
ввести или переменную с или переменную у, которые обе суть
функции '), связанные с Ь предыдущими уравнениями.
Дпфѳрвншіруя равенство (И), получаем
cos О соя С <ffi -J- sin') sma С dc = sin у кіп- 1'tff/.
Дели все урасіівяпе на sin2 С и пользуясь уравнением (I), имеем
соэ С , „
—-- соз і) dl> ■
sina(7
■ чіп 0 rfc =
sin i?'
Интегрируем теперь левую часть равенства по частям
= — с зт ft -f- I -г—-=- = -г-
1 J am у sin
У
: sin 0.
I191] Наппсаыные равенства мы имеем из треугольников между х
и Л я между с я q из чертежа к примечанию 194 (см. диаграммы
нд предыдущее п этой страницах). Вводим вместо переменной
интегрирования о) переменную х. Иа приводимо!! з.чесгі диаграммы мы имеем
dm
OOS2 О)
1
■ tg UainXdX,
1 — sin2 Я 8Іііа X
cos9 tu cosa if '
cos Я sin Я sin X dX
r/ui = ■
1 — зіпаЯвіп2Х
cos Я ain Q dX
1—яіпаЯяіпаХ'
Кроме того, го уравнения (II) предыдущего примечания и первого
уравнения в тексте
sin у cos l" smArcos УзілЯ
эіп fl = ■
cos С
ооэ С
Подставляя эти выражения в полученную выше формулу для ittP,
получим формулу (87).
t"8] Если примем во внимание, что х меняется от нуля до г,
а X от1 —- до Л, то объем всего конуса представится суммой двух
интеі'рилов:
2Р = созЯ
/-
у dX
R
свіпгЯсозЯ Г оаъГвігРХйХ
sin2 Я sin2 X
cos С
Г сов У
J 1—яі
яіа2Я8ш2Х*
(О
37G
О НАЧАЛАХ ГЕОМІЛТШІ
В первый интеграл «моею переменной X введем при помощи yjpaa-
пѳния круга
sin X sin I' = sin li
переменную У; получим ^м. примечания 1U1), принимая во внимание,.
что 1' меняете» от -—- 3-й И,
dX = — sin R
etg I'd Г
/
У am* Г—sin* ІІ
ydX
1— sin3 U sin2 X
= 8ІпЛ I
logctgi- Усов Г sin Y dl
■■ sin В ■ I, (U>
Yeixfl У ~ eina Л (sin'J У — sin9 Я sin2 Л)
где чореа J обозначай интеграл, входящий в уравнение (88).
При вычислении второго интеграла
равенства (I) гшедем переменный угол и,
противолежащий катету х в прямоугольном
треугольнике между ни} (черт, к примечанию 194)».
связанный о Хн У, как видно из диаграммы:
этого треугольника, соотношениями
cos У= cos и cos Л, sinip = tgRcigX.
из которых ми получаем
cosЪda = — tgЛ -г-я-rs , -^іГѵ- — * + ctg3X" = 1 -4- cfcg* Лsin*<р,
em3 A Bin* А ' ' т>
dX:
ctgJi cosaio
1-f-ctga Л sma a '
1 -f~ ctga it sin3»
JX ctg Л соа to dtp
1 — 8таЯ8ІпаХ = — соваЯ-|-<Я£а.В8Іп2<р'
cos Увіп.вХ<іХ ctg Л cos Дсова (Dtfco
1 — 8ІпаЯвтяХ (t -f ctg" В яіпа <p) (cos3 Я+ otga Л sina 9)'
ИРІППьЧЛНПЯ
377
Разделив числитель и знаменатель ни. соя* ■*> и принимая во внимание
равенства
sin С = еіп #sin JV,
coaff=co9 Acqs С,
coaJisin J7=sin Л cos С,
till)
которые мы имеем из приподимой диаграммы
для треугольника между с, г и А, получим
нов Y sia1 X dJC
еова RsinsR <ftg<p
еозг С (вІпг М + ig2 о) (am2 Д соэа Л -f- tg3 -s) '
cos2 С sin2 Л [sin^R + t^2 <р яіпа R сова Л -+- tg* в J tg?"
1 —sin3 Я sin3 X
соя2 Я sin Л
Пределами интегрирования по о будут 0 ц — , и мы получаем:
/
СОЭ3УатиХаХ
cosa Л sin R
'соя2 С sin2 Л
1 arctr tg?
ЙЙ^иВ
я cos3 іі
1
sin В сое Л
соэ А — 1
arctg -r
tg
sin £ cos
job A J0 ~
2 совя(7віпаЛ cos A
наконец, подставляя этот интеграл и (II) в уравнение (I), получаем
^ - „ » , п сова.Й9щ2іГ cosH
2Р=- оояЯмп Л - J+ — ,^,,.1, д_. ,,....,„ (оовЛ — 1}с,
2 еоаэОатаЛ сов A cos С
или по формулам (Ш):
2Р= соэЯвіп Д-І+Т (совЛ — !) с-
Подставим теперь в левую часть вместо половины объема пирамиды
значен не, взятое ив формулы (55), получаем
—■ (свое А —— Л) = оса if sin Л *^~f"-r- (oos J. — 1)е,
2 2
и затем
qqb ІГвІп.Н-/=:-£-(с — /0=-^-flnctgi(7tg І-Я).
37S
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТИШ
Лобачевский, повндимому, совершает питесрнронание несколько ипаче,
разлагая сначала второй член формулы ('37) на сумму двух таким
■образом:
. ,, созГ.чт''Х
С COS II 3111- // ; :■ л-".—."а ,- «Л =
= е cos Я
1 —ат-7/яш'3Л
соз ГгіЛ'
1 — sin'2 //"sin.4 X
г, cos II cos I'fZ.Y.
05а члена могут быть проинтегрированы введением переменной э.
Что касаегся
/
соз YdX,
то его можно получить проще. Пользуясь уравнением окружности
основшшя конуса,
sin X sin T=smli
п равенством
dX = — siiiXite,
мы можем преобразовать его таким образом:
соз У"гіХ=9піЛ I ctg Ydx,
откуда видно [см. формулу (39)], что оп представляет собой
произведение sinli на площадь четвертп круга радиуса г, л по формуле (40)
мы получим
3
/
1! / 1
cos I t?X = — sin Й —
% \sin Л
™ —(1_шпД).
[і0а] Уравнение
ainXcos Y*=cqbA
(I)
прямой .ДО, проходящей через конец
начальной ординаты а, можно также получить из
* общего уравнения прямой (25), если в
последнем заменить Т?(1), А соответственно черѳа А и ^-. Его можно
■ и
получить также аэ четырехугольника между а, х, у с тремя
ПРИМЕЧАНИЯ 379
прямыми углами, составив для четырехугольника, диаграмму а. Из
треугольника между 7 я у имеем (диаграмма о)
sin С = sin Q зіп Г,
и
а из треугольника между х a h (диаграмма я)
sin Q = sin A" sin Я,
и потому
sin£?=sinXsiii Ysax Я ■= am Яaoa A ig Y. (И)
Иі последних двух уравнений получаем
sin2C + sin2#cos^i.=
«eine/rood»^ (і+*8аГ)»=?Щ'Д'??!*іі = яіп'іГвіа'Л:,
соя2 1
cos2 С—ып2Ясоз2.1 = 1 — sin* Я sin*-X,
—зт2С-|-8т3Яш1а_1=й;п2Ясо85Х. (Ill)
В первый член второй части формулы (87) вводим переменную У.
Из уравнения (I) мы имеем
dX = tgXtS YdY,
сов9 Г— cos9 А = соэаХсоэа Г,
К°оваУ— cos9 Л
іи ватвм получаем
1—8Ш3Я81П*Х /, . „rrCOS*A
1—8111* Я д—
\ соа^ Y
у соз A sin Усоа У<*Г
(і — аіп*ЯІ^іѴсоа9Г— ооя»Л
(соз2 Г—зіпа Я сов- А) V соз"1 Г— соэ9 А
Во второй член формулы (37) вводим переменную G. ііз (Щ) шгеом
sin3 Jem X cos XdX = era С coeCdG,
3S0 О НАЧАЛАХ ГЬЮЛШТРНІІ
и затем
со.ч 1" нін2 X dX соя Л sin G dC
Costal —sin3 #8ins,Y) sina-tfooaA'(cos2C — вт2ЯвшаЛ)
rosJ я'т С dC
_ віп Я (cos5 С— sin2 11 sin9 A) V втаЯвт2Л—sm2G'
В первом члене формулы (87) пределами интегрирования по X
служат ~ и X, а по 1", Л = F (а) п Y. Во втором члене пределами для
переменной О служат sin С = sin Л sin Ж и sin (7= sirtXsin Г sin В =>
= вm#eosЛtgГ [см. формулу П].
jaooj Если мы начнем интегрировать по а и положим
a sin '}і = х,
то интеграл (90) обратится в
Ч ІГ ГЕ
Та Т
/яіпійі Лл/- „-. п , Г siniliAJi „, .
ь /,;■■■ J yi~x*sm*yd-!>= I J-rl—Etx),
1 — aasmJ0 J J 1—assm^ V '
я затем, принимая so внимание, что
dx dx
a cos t)i d'i/ = dx; d<l = -
acosi} ]/aa—s^'
в
Подобным же образом интеграл (91) будет
ч
» и
|МІ] См, формулы на стр. 280.
І31'] Диференцирул один раз равенство
ж Ac sin F (а; — «) = яа
-г u
/
по а, мы получаем
iCdrcosFfi — a) sinF(a; — а)=п:
/
ПРИМЕЧАНИЯ
381
ял it
і Жііезіп 2Ѵ(х — а) = 2;
таким образом приведенные Лобачевским две формулы справедливы
для *=1, Чтобы доказать их для произвольного і, воспользуемся
переходом от г к ■£ —j— 1» Допустим, что они справедливы для какого-
нибудь * и всех чисел, меньших г, и докажем, его в таком случае
«ни будут верны и для г-f-l, Дифѳренцнруя по а первое равенство,
мы получаем
{2і-j- 1) Г хdx соз (2і -+-1) F (ее — а) эіп F (х — і) — -к;
но
2 cos (2і-f-1)F (ж — a) sinF (x — a) =
= sin (2*4-2)F(ж — а) —sm2iF{3?—a),
■следовательно,
Г xs'm(2i-\-2)F(tc—«) Ав—
— со
/2іг
a:eib2iF(a;—a) dx = ——г—-.
ѵ ' 2і-(-1
Сложив ѳто равенство с равенством для яія 2*F(гс — а), данным
.в тексте, найдем, что это последнее будет верно и для г —{-1.
Дифѳренцируя второе равенство, получаем
2г | arcos 2гР (ж —в) sin F(а:—а) &е = 0.
Во
2oos 2iF(;c—a)sinF(x—<х) =
= 8ia(2i4-l)F(iB—в)—віп(2г— l)F(a:—«)■
•следовательно,
+ 3j 4-1»
Г a;sin(2t-j-l)F(x — в) dx= I а;8Іп.(2г—1) F(ar — а) As.
— СП —СО
[Ив] в интеграле, стоящем во второй частя равенства (84), положим
2 = In otg y .
3S2 о НАЧАЛАХ ГЕОМЕТПШ
Тогда
dm
Sill (U
u
/г ih 1 Г , о) , 1 Г , ^ <u л
n
[su*| Запеним в (92) а череа ■'- ш:
•" ~ f — — ш
J(f*— e-x)xdx _ \ 2
ё**-\-е~'Лх — 2 cos 2о) 4 cos ш
о
Если это равенство сложим с (93) п затем вычтем из (93), то получим;
формулы, данные в тексте,
рог.] Вычислим
х <Іт х <Ь: _ 4х dx cos (в
^-\-с.~-е — 2 coho) pT-f-e-'^-J-a cos ш~ е-х Л-е-'** — 2 сок 2іи"
Во второй части положим 2а: = гі п возьмем интегралы от обеих
частей, начиная от пуля; мн получим второе равенство
L(x, «) — L(x, я—ш) = cos « L (2з;, 2<u).
Если за верхний предел возьмем со, то получим другое давйое-
в тексте равенство.
[иое] Имеем
(С со
Л(ш)-h-Ь (^■—°») = I ; h- - - , , =
ѵ ' ' ѵ ' J <F-\-t-z—2соншп J e«-f-e-'B+2cos<n
о о
= J е^ + е-Д»-2ооь2» = si™ J <гі0ІП CtgT •
о о
Рот] Сравнивая (73) и (75), имеем
J sin (Л — ш) J с'
/*dft
Яй_[_е-2й— 2сов2ш'
где пределы А и ft связаны между собой уравнением (04.). Если
положим
ПРИМЕЧАНИЯ
ЗНЗ
то это равенство обратится в
л .,■
4Р=- fdSla^|t-J = Km2» (* —- — -rin2«L(i, 2«)f
J Cos(e + o>) J e*_j_e-a;_ 2сои2ш ѵ ' "
а равенство (642)—и
или
откуда
cos(E-]-«j)
Сравнивая (74) и (75), имеем
4Р = -Г*іЬі(і — ^М=.4мп2« f-™
J \ gos3 id / J e2i
hdh
e2h^_e-3h — 2 СОК 2cu
о "и
В атом равенстве спова делаем подстановку
Л = - І, 24«=л.
Тогда
cosa Л cos2ui— sina£ cos2ui (1 — sin2E)— sin3E(l — cosa<u)
cosa ш cosa w cos3 to
соя2 to cos3 E—sinaEsina w
CO830)
и получаем равенство, данное в текста.
[208] Действительно, если в равенстве
/eosauj
dm In ——t—-- —- ■ ■—- = аід SwJy(a;, 2<u)
соз(о)-)-£)соа(щ — s) ^ '
і)
мы заменим логарифм произведения суммой логарифмов, то л
получим равенство (95).
[209] Интегрируя (94) по частям, получаем
J С08(с4-Ш) cos(S-j-u)) J l cos(s— ш) ' cos(6-f-<o)J
r, соя ft — «Л . f £ d=
= tln г, -;-■ -;■ — sin:1- ■
sin 2(o i
COB (E -f- Ul) "J COS (\ -f- (u) COS (£ Ol) '
и аатѳм равенство, данное в тексте.
[а1°] Для вывода равенства (97) Лобачевский польауется
равенством (76), и объем пирамиды Р он определяет по формуле (67),.
а объемы пирамид Р', Р", Р, н Ра по формулам (80).
334
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
При этом Лобачевский изменяет обозначения: вместо II и И он
пишет } и ; п вводит две вѳличинп а п т], полагая
sin .4 sin //—sin я п sin-г, = ctga tgE.
Рассматривая чертеж, на котором изображены пирамиды Р', Р", Рг и Р.-,
(см. стр. 385), нетрудно видеть, что а ость угол параллельности {еа
чертеже нѳ изображен), соответствующий гипотеиузѳ треугольника между
а п А, іі т, — угол между г п Ь. Действительно, из диаграмм а и б
для этих треугольников мы иыеѳм написанные выше равенства.
Следует отметить, что введенная теперь величина а отлична от величины а,
определяемой формулой (68). Величина
cos A sin Я
агссоч
]/sms#— sin2/?'
входящая в формулу (07), представляет собой угол 6; согласно
диаграммам (", а и в) треугольников, имеем
сон 13 = cos і cos т„ (I)
tg a ctg Л = cos си sin Э, (Ц)
tg $ — соя J5 tg:Л = -S __!. (Ш)
COS Ш 8ІП р Ѵ '
Определив отоюда ^ и заменяв по диаграмме а
сон А = cos ш соа а
и J/ и R через р н Е, мы приводим формулу (67) к виду
а
,.Г-
J (si
Е
4P = 3ib.2[jcos» cos r
(sin* |3 — ain^ (j/era* а — <in« £
n . tg a cos; cost, , , 1 .
— 2 arct-g ■■■ . -. 1 In ctg — 8.
sin p cos to 5 2 ^
Займемся далее преобразованием формул (80).
В формуле для Р' верхним пределом интеграла олужит k — высота
треугольника; так как
-то
ft = lnotgi-p. (IV)
I ГРИМЕ "ШИШ
385
К- примечают 310.
UH=£~«H-*
3uc. 46В. И. 2. ЛоОачевекнЯ, т. I.
25
аав о нл-чл.хѵх геош-лѵші
В топ же формуле зішетга переменную интегрирования k перемел-
nott z, положив 1h = z; тогда,
ЯШ2.? .-rf.- «^(2Л>2ш}.
4 J t--|-e-- —2cob2«j -i
о
[Іодобным ate оорааом интеграл P" (80) преобразуется в
В интеграле Р; верхним пределом интегрирования служит h' =r-{-lr
где г и і определяются формулами
r=ln-ctg— 5, i = lnctg—4j, (V>
из которых сервал иытекаот іііі того обстоятельства, что ; = iJ = F(r),
а вторая может быть написана потому, что продолжение катета &
ѳеть линия, параллельная с МО п о JT0 (перпендикуляром к плоскости
треугольника между ! н ц), а угол tj есть угол параллельности,
соответствующий длине (. Таким образом
ft' = г + J = Ь ctg I Utg у % (VI)
Р1=-І-віп(2в) —2X)L(2ft', к —2<» + 2і).
Наконец, преобразуя последний интеграл (80), имеем
Р5 = —9in2iuL(2i, ъ—2ш).
Подставляя теперь значения Р, Р', Р", Р„ рэ в равенство (7(і),
получаем
. „„ , sinUnctgiU;
sin 2,J соэ щ cos a
Е
(sin3 j3 — зіп21) Yain? (x — sin2 E
feg « cos E cos -л , 1 „ , ,
= 2arotg совмаідр 'lnctg-g-p-f 8m2M.b(2A, 2ш)-зш2А/Д2й,2),) +
+ sin(2w—-2).)Ъ(2А', it —2ш-(-2).) —еіпЗшЬі'гг.т-ѵгш).. (Л'П)
Значение ctgA мы получим по формуле (794), заменив-в ней Я
через (3;
"os^ sv YJ coap tg.i—tg^ '
ПРИМЕЧАНИЙ 387
и по форму-нал (П-) и (Ш):
, . 1 -4-tga Л еааічов-'іі
Ctg' К = і 2 ! =
cos fl tg Л (l — cos; cos y{j
tgil
sin ji сои .4. cos p (1 — cos ; cos -f[) cos S
Йэ диаі'Рам:іІЫ « (СГР- 385):
cos .-1 =s cos ы сов «, sm * = sin .1 sin. p,
и потому
sin? tg«
или
Boawoosfieinaoosa (1—coerces-*]) соз и gin ^ cos ^
ofig ). соа и яш Э = s~. rr ; —,- 2-г ■ (ѴПІ)
° cos р am л cos а (1 — соэ^сое-^)' oosfi
Чтоби определить oig(u> — л), нааишѳм для треугольников между
r~\-l, f і I, J, согласно диаграммам,?, и 0 (стр. 885), равенства
oos F(l) = cos £ = ctg (?%]!,
еоз 1? (r+ l) — otg& *S О -(-!«.) = etg ff ctg (to— >.),
где С = Р(&), и разделим одно на другое:
Вследствие пар аллель аооти линий jK5 и Ій? о яинией £0 и
перпендикулярности линий .ЕЙГ и JJiV о прямыми ЛГО и Ж),
Из (треугольника мѳнсду бит* (диаграмма »" на стр. SS5) имеем
cos»'sinS = sim] sin a, sin a' = oos Yjehia,
и, вамеяив «- через -^ — а», J'(Z)— адреа т), получим
ctg (ш — \) = (ops a cos и' -J- sin а sin в') =
GOS ft
/cosatgfisma . . _ \
\ siiU ' }
но но диаграмме а (етр. 385):
sraw= tgactgjS,
и> следовательно,
—-у - - - ■=* ^-f-i-[tgn+tg«sin^. (Вцг
сов-*«
За" sm£
388
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Сравнивал полученные формулы (ѴП), (ѴШ), (IX) с формулами (97)
Лобачевского в том виде, как они приведены в «Казанском вестнике»,
мы видим, что Лобачевский изменял обозначения, которыми он
пользовался раньше (см. примечание Л70), а именно: вместо
X, »—/., к, I
ОН теперь пигпег
іи —}., >., х, у — х
п буква а теперь обозначает угол параллельности, соответствующий
гипотенузе треугольника между в н А; ои не равен углу а, введенному
формулой (68).
Если указанную замену мы произведем в формулах (ѴП), {ѴПІ) и
{IX), то мы еще на получим формулы (97) и за ней следующих. Во-
первых, в формуле (97) стоит член
эіп2?. L(2ij. v — 2\),
где
1 , 1
і/ = 1пі ctgy-rjctg— |5l,
и формуле яге (ѴП) соответствующий член, полученный заменой X
на из — А,
sin 2 (да-— ),)L(2h', ъ — 2»-f-2M.
имеет аргументом
к' = г -f- І = In f etg — -rj оЩ ^ Ч'
и, во-вторых, в формулах Лобачевского для ctg>. и ctg(m— X) поела
замены А и <и— \ нам — л и), надо ctgtw—■).) умножить на —^~
. _ cos2 a
и ctg X — на cosmsmfi.
[2И] Эти формулы также лоэбуждагот сомнение. Первая часть
равенства та же, что и в равенстве (97), и представляет объем той же
пирамиды, которой основанием служит треугольник с катетами а и b
к высотой к (см. чертеж). В функциях же, выражающих объемы
четырех пирамид, простирающихся б бесконечность, произведена
замена одних величин другими, о которых говорилось в примечании 149,
т. е. та же пирамида Р теперь составляется из четырех
пирамид Q', Qa, Q,, 0а:
Р = «' —«" + «! —«в, (I)
у которых ребра параллельны высоте h пирамиды Р. У пирамиды Q'
основание — общее с пирамидой Р, т. ѳ. прямоугольный треуголь-
ПРИМЕЧАНИЯ
389
лик с катетами а и Ь и углом -\ против Ь, и по формуле (75);
1 О ' о
0'=-=-8Іп8-І<£(2Ь, 2ф).
"Чтобы долучпть остальные япра-
миды, продолжаем гипотенузу с'
треугольника между а и А череа
вершину пирамиды Р и откладываем на
продолжении отрезок d', от конца
которого параллельная с А делается
перпендикулярной к d' и плоскости
треугольника ив І>, г, с'. Опускаем
теперь перпендикуляр д' от э-шго
конца d' на продолжение >• через
вершину пирамиды Р и обозначим
через V отрезок от продолжения г. Так
произойдут прямоугольные
треугольники: о катетами Ь, c'-f-d', который
будет основанием пирамиды Q", н
где пусть X' — угол против Ь, а
катетами д', г-[~1' — основанием
пирамиды Qj и, наконец, основание пирамиды Q2, с катетами ц' и і'
и где пусть ji/ —угол против V. Объемы этих штрамид по формул»
(75) будут
в*= 4-Bin 21/£('26,21.'),
4
g, = -зіп 2 {>/ -)- u') L (2 (г -f О. 2 <*' + Ю).
Из формулы (I) примечания 210 мы имеем (диаграмма и па стр. 385)
(Щ
b = lnclg —В = —Ь- —
1 1 -j- соа Е сов -і)
яіті В 2 1 — соа % сов і'
Так как линия 01 перпендикулярна к /', то угол w против катета с
в треугольнике между с и ft будет углом параллельности для
отрезка I', и иа этого треугольника (диаграмма е на стр. 385)
cos 3
cosF(i') = соэ»= г
6 2 ѵ ' 2 I — cos и
j.b«»| + °"P (Ш>
2 сов; — cos p
те
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Далее, в трехгранном угле с бесконечно удаленной вершиной О
я параллельными ребрами ОЕ, ОТ, ОТ сумма двугранных углов равна тс,
■а так как угол с ребром .ЕО равен >!> п угол с реором 10 прямой, то
угол \і! с ребром ТО булет
^•«-.-о
>-ЧѴ = --* + >•'■
-Подставив значения Q', Q", Qv Q3 и Р в равенство (I), мы получим
Jd: sin £ In ctg у £
(sin5 [3 — sin3 E) fsm3 a — аіпа £
i
= 2arctgtggf!f 5cQS71bctg —B + яш-2фД(ВЬ, 2ф)—яд2\f£(2&, a)/V4-
-)-аіп(а^ —2Х')і(2(г + г'), s —2-|i-j-2J/) —sin.(K —2di)L(3l', к— 2ф),
где
1 — cos t cos r, cos s — сон р
r = hiotg~S.
Формулу для tgu получим, написав по диаграммам а, о, в на
стр. 385
tgй sss СОЗ jS tg -A, C09 В s= COS S COST],
cos to sm p
Сравнивая эти формулы с соответствующими формулами
Лобачевского, приведенными в тексте, мы видим, чт^ в члене
вш(Щ — Ы')Ь(1(г+1'), * —2ф + 8Х'))
«место аргумента
i(r+J')=.h.4±4 + !nf±^!
1 ' сое I — cos j3 1 — oos І
стоит
_ , . cos \ 4- ооа 3 , , 1 4- соэ £ cos ч\
2/ = In _J ^.4.111—-* z ■
oors — eoeji 1—costcos'»]
и в члене
ЗВДѲ0Т0 1С—.2$ СТОИТ 2$.
пггашчлнчя
тг
Кроме того, для оігредѳленпя; угла/ /.' в іКіазанском вестникеі
стоит формула
tg/.' = co3U)ctga,
а в «Ообрайггн сочпкённи Лобачевского*
!§■.).' = cos ш cos a.
Очевидно, что обе эти формулы неверны. Б самом делѳ, из
построения пираагад тш>, что угол ).' эаврслт нѳ только. от. айда
треугольника .медаду картами, а и й, во .также и от угла 4 или В..
Для tg// можно дать различные выражения. Одно."-из них можно
лолучить, производя в формуле (794) или в формуле (Л'ПІ)
предыдущего примечания соответствующую замену букв (ом, примечание 149),
-Ко- бряеѳ лроотов .'выражение для otg У мы получим олѳдукацим
образом. Вследствие параллельности линий; ЕО и ТО угол между
катетом А и гшпстенузоп г' в треугольнике между с' и. ft-будет
.Для треугольника, между катетами с' -|- і' и Ь мы имеем приводимую
адѳсь диаграмму ы формулу
cos B = tg ?,' ctgJF(</ -f- d'J,
и по формуле примечания 23
coa£ = to>/
sinP^'JeiaPfd')
или
_, , .,соза + соаІ)
sxu « sm D
Кроме того, иа диаграмм «и»яа стр. 385 имеем
coeB = tgi ctgji, cos£ = tg^ne% J.,.
am J/ = oos ш sin p, COS ft ~cp& ЗУ cos «,
coa jS tg <u = cos p tg «V-
(H)
ж затем
Подставляя oosB, coaU' и віп#' в. формулу (И), ми вкрадавд
□tg)/ черев четыре величины.<е, р, « и ^:
еоа-а-
соял
392
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
и ватем исключим аі при помощи равенств
sin ш = tg a ctg fl (диаграмма а на стр. 385),
1 — tg2 a ctga fl cos2 a sin9 p — sin2 a cos2 |3
otg <u cos «i =
Получиv
tg a ctfi Я sin о cos a ein p cos fl
cosBa-f-cosfi
otg).'!=ot{j'!.-r
sin (ft -— a) sin (f! -j- a)'
Интересно отметить, что отрезок fl' равен отрезку fl (на чертеже на
стр. 385). Действительно, для треугольника между д' и d' мы имеем
приводимую здесь диаграмму и формулу
cos G' = sin i( cos D',
которая ври подстановке сов D' пз
равенства
sin о> = соз В' sin А
для диаграммы а (стр. 385_) обращается в
_., sin i sin ш
втА
Такое же выражение мы получим для cos G на формул
cos G = sin (о cos D, siniji = cos D sin Л
для треугольников между катетами а, Ь и катетами д, I на
диаграммах виг (стр. 385).
[213] Вынесем в формуле (70) ein Л пз-под знака радикала и
положим
sin ш = sin fj sin A, (I)
откуда
sin фсонА = ]Лвіп2 р — ainao), ain o)CtgЛ. = Y віѵРф-—sinBo>.
Тогда равенство (70) примет вид
2соаю^эіпаЙ — 8Іпйш I —
J (aii
a sin а do
(ainBui — эіп3а))Лип3|3-—sin2 a
■-=2а.г—ЩК—іР, (П>
где на основании (76) надо Р заменить через
Р^Р'—Р"-\-Р1 — Рі
н объемы Р', Р", Рх, Ра определить по формулам примечания 210.
Следует обратить внимание на то, что теперь буквы £і и а имеют
другие значения, чем в формуле (07) и за ней следующих.
ПРИККЧАНИЯ 303
В формуле (97)
<( = H = F<A), a = F(c')
и а определялось иа равенства
яіпі» = tgactgji;
теперь же а формуле (98)
где !>' есть угол, прилагающий к катету А в треугольнике между с'
и Л, в чем убеждаемся, написав для атого треугольника формулу
(диаграмма а на стр. 385)
sin ш = cos £}' sin Л
и сравнив ее с формулой (Г). Величина же а = £■—G правой частп
формулы (П) определяется иа уравнения (68):
ѳіпшаіп 4
ёш a = J,
sin Л
откуда [формула (I)j
sinf}siniJi = Hiiia,
sinPco8^= y'sin2^ — sin9 a.
Кроме того, величины k, r, l выражаются в формуле (98) через
другие части фигуры и череа угол J3. По формуле (Ѵ9В) мы имеем
cos.L:=coeF(J) = ctgiu tga;
отсюда
„, 1 , , 1+coeL sin (w-I-в)
2 1—сов A. aiti((u — a)
Далее,
1 „ , 1 -Ь oos 11 , сов щ -4- cos in cos В
2fc=2lnctg —Я=1п--С ==ln — =.,
2 1 — cos J? coaiu—cos шсой Л
во иа треугольника между а и А (диаграмма а на стр. 385) имеем
оов Л = tg ш ctg A,
сов оі сов Я = аіпш ctgj* = у sin" р — sin3 ш,
и, следовательно,
cos w -j- У sin3 р ~ em9 to
сое (о — У sin3 9 — віп' о»
.394
0 I-LVIAi'UX.. ГЕОМЕТРИИ
Чтобм определить г, ггапгппам по диаграммам;/? и:« \(отр.[.395) и
диаграмме для треугольника между а п h приводимой здесь, формулы
поз O' = cosf cos It,
cos I = соя і соя С,
cos ш — ооэ y cos a
я исключим иа них сом f и cos С; получим
СОЯ В гая COS ¥ (г) :
aos .-I oos a
cos to cos 'I
и затем: по формуле
соз F (г) =
сов я У sina f),— зіпв ш
соз ш
1/вшар-
am 2 -
2с — In
1 -j- oos F (r)
1 — cos F (*•)'
2r=2fft' —0 = Ь
cos <a ]/яіпй р — sin- и -(- oos a l/ein8 fi — sins (
cos щ У sin- J3 —i sin12 a—cos a \/ sin2|5 — sinsiu
Наконец, чтобы определить X, составим диаграмму, для;
треугольника между g и г-\-1 (диаграмма ft, стр. 385) и возьмем соотношение
ctg(oj—).) = cigaQ03T?(r~\-l).
По формуле примечания 23
,і , ,.. ^ йаяЛ4~оов.Ь .
etg (to — А) = ctg a -—= ' ■■
Подставим сюда вместо аояЕ и cosL .их значения:
ctgacosa т/діпиз — та* <и-J-ote » оав а 1/sin* 3— ашэа х
fltg (» к) =■ ' . J-,- ,. „.р 1 2 Г -Х-Г- tg Ш
sin uj у аіиэ 8— sin3a--|-sina"ysin3fi— аша<ю
и освободимся от радикалов в знаменателе:
etg(« —А) =
cos8 а,—,ооб: і».
sin оі sin a
У"яша р—sina ш '(/нша £)—sina a-f-(oosB а — oos2 ш) cosa [
tg<
8ІПЯ 8 (OOS?'flj — COSiS (с)
ctg(a> — J.) = і С . * . .Л — ktgm otgs В.
cos w am asm8 8 ' г
[а1В] Вынесем в формуле (71) эіпш иа-дод знака радикала н
доложим
аша
ЧШо)
■ =ш
(I)
.ПРИМЕЧАНИЯ
396
откуда
ctg.uism-a t=aina|/' sin- p — sin-а
Тогда равенство (71) примет к.пд
4P=-2.';ft-p2Sm«yWp_sm^ , . „ г- . .,т, (II)
■где па основании равенства (I) примечания 211 мы должны положить
п объемы Q', 0ff, Qp Q2 определить по формулам примечания 211,
'Теперь
где Д ѳоть угол вддаду гипотенузой с п катетом 6 (или их
продолжениями.) а треуголкнпве между й н я, в чем убеждаемся, если
сравним формулу (I) с формулой: для треугольника между д и I
(диаграмма на стр. 304):
ооз {? — sin а = sm <о cos D,
sl а определяется формулой (ИЗ):
sin to sin i
sin о; = ■
sin A.
из которой имеем
. _ sma
эіпр =
и затем
зівіл sinjl'
соэ ш sin £ = |"/sina3 —sm*«,
ооэ Л sin j3 = у"віпв fS — sina 4
sin213 cos o> sin il = sin "V ]/"ніпэ £ — sma a ,
«in2 p oos J, sin w = ain а у аіпа fl—sin24' '
ХГа треугольника между д и ft (диаграмма а на стр. 385) мы имеем
соаЯ = ѣ£иіс%4,
, 14- сое В , oos в) sin А + sin. ні оса J.
2ft=ln-H =7 = ln : 7—!—: r =
. sin й у sin3 g~— вгоа"д 4- am a ]/"ain3 p — sin3 ^
aint}iуems3—ain?a—sm« Ушлвр— sin3^
396
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
Что нее касаѳхеи формул для 2Ъ, 21', otg(6—X') и 2г, то они
получаются из соответствующих формул (98) указанное в
примечании 143 заменой in, ij/ и Л через 4, ш и Ь.
Подставляя значения Qlt <Э2. Q', Q" и А в формулы (П) ы (Ш),
мы получим формулы
/—г—„-ь :—5~ Г 'і (И COS 6
2аш»Ѵзшзр —sma« —— . _ , . =
J (він* 6 — sm^ а) (/ smJ р — sinH ф
] ain 6 У sin2 3 — віп3 а -[- sin д "|/ sin2 3 — sin9 6
sin 6 У sin9 |3 — sina а — sin a |/ sin2 fl — sin2 6
-|-sin26L(2&, 24) — віп 2І'X, (2ft, 2Х') —
-f sin (36—2//) L (2k', г. — 24 + 21.') — sin 24£ (2Г, it — 26),
где
, cos 6 'У sin? 3 — sin2 а 4- coa а У"эшэ 3 — sina 6
2ft' = 21' + lg ■ ЬЛ—-~1 -! ■ — '-,
cos 4/У sin3 Й — sin2 а — cos а у эіп9^—sin2 6
sin (6 — а)
Сравнение этих формул с формулами, данными в тексте,
показывает, что в последних вместо X' написано X, причем, следовательно,
угол X теперь не равен углу X, входившему в формулы (97) и (98).
Далее, в последнем члене выражения интеграла
sin26£(22, тг—26)
и выражении // вместо V стоит I. Значение V мы получаем ааменоік
в формуле (88) ш через 6:
11 ig sm(6 —a)'
Е поэтому нельзя считать, что Лобачевский только изменил
обозначения, написав вместо буквы V букву I, ибо значекаѳ для
, cos а 4- VWS В — sin9 а
•11 — lg ' , і
cos а — у sin3 ft — sin2 a
данное в «Казанском вестнике», не равно вышеприведенному
значению 21'. Повидимому, последняя формула для 2! была выведена
из формулы (98)
2/ = ]nsin^-H)
Bin(w-— а)
ПРИМЕЧАНИЯ
337
Причем Лобачевский аабілл замотать ш через '). Действительно, если
такой замени мы пе сделаем, то последнюю формул;' можно написать
таким образом:
„, , sin (я с: оя а аіп 3 -і~- соя ш к іи а яіп Й
am оі cos а sin p — cos oj sin « sm JJ
по теперь
sinoi sin j? = sine, соя<«8ііцЧ = ^Лйп*^ — sin^a
и потому
., . cos a -I- Vain2 6 — sin* a
21= In :—- r . . -.
cos a — у sin2 f) —sin'^ a
[aw] Сравнивая (67) и (71), иршнгмад во внимание формулу (G6,)
к равенство
h = In otg -_- Я",
заменяя буквы R н Н через J и р, как в примечании 210, мы получим
Jdi sm £ In otg -| J
(«in* jJ—Hin« E)7^i» А sin* p — sirTf =
<{i (ЭД cos 4
= 2cos оі яіп" ■ - - -
^'«Jts?*
(sin* 'Jj — sin9 a) y'sin1* a — sin'-1 ш sina $ '
Если положим
sin A .sin 3 = sin a, sin a = sin ш sin &, (I)
то пределами первого интеграла будут ли!, а второго—Ь и ^, и
предыдущее равенство примет вид
л
<# sin 5 In. otg і £
J
(аіп'З —ип*5)Уаіп**—8ш"Г
in5 о Г ф соз і|і йі)і
іоэ 3 sin 3 J
cos A sin to cos j3 sin 3 J (sm.aty— sinE a) l/ein2 6—sin3^'
f
Здесь мы снова должны изменять обозначения. Буква о теперь
обозначает не катет треугольника между а и А, а угол параллельности,
■соответствующий гипотенузе с' атого треугольника, т. ѳ. тот угол,
который в формуле (97) и за ней следующих до (98) был обозначен
буквою а (см, примечания 210 и 211). Буквой Ь обозначен теперь не
катет в треугольнике между л и с, а
1Г
ЗВД О НАЧАЛАХ ГШ5ІЕ1ТІШ
т. е. величина, которая в примечании 313 была обозначена буквой
{ср. формул;' (I) ваоіоящего примечания о формулой (I) примечания.21Щ.
Под буквой зка « подразумевается величина а, определяемая
формулой (G8), из котороп мы теперь имеем
. , sin a sin «i sin 3 sin <\i ,,_.
8Ш&= -^-_-== _- :_=-—-_-. ■-; ' -(ИГ
SUl-Ш 'SJ.I1 „4 ЁШй '
из диаграммы « (стр.. 385) для треугольника между а и ft, в
которой теперь вместо а мы дол;ггш.т нішгаать я, ппз формулы (68) имеем
cos о. sin ш = cos 3 sin Д,
sin а> sin 6 cos 3 sin *Ii ,„„.
SUU=' n-,- - = - " L. (Ill)
sMj cos я ѵ '
Далее, иа диаграмм в, о и а (стр. 385), в которых также вместо а надо-
поотавить а, находим
sin 5 = sm р sin С, sin J = sin о sin B,
, „ , „ sin (7 sin S Vsin4 a—sinM \ y"sitia"e— sin3s ,„.,
8HL'{i = tggctgi?= - ■ ' _=■■-=,.■; (IV)
sin В sin а у sina p — sin.- £ У sin* p — sina ;
Наконец, чтобы получить козфициент прп интеграле второй часты,
перемножим равенства (И) и (ІП):
sin3 а sin р cos р sina ty
sin иі am a cos а '
и воспользуемся соотношепием
eoffio 1
cos J. cos a '
взятым с диаграммы а (отр. 385} треугольника между а и ѣ\ для коэфп-
ішѳнта при интеграле второй части тогда получим по формуле (IV)*
соа щ sina а sin2 і sin 2 я — sin31
віпйюоя.4со8р8Іпр — sin й еоеа а ~ sin и oosa a (sin9 Ѳ'— sin2 S)'
$sin£lnotg'~ S
(eh-sp—ain«E) і/'віьвв—efn*»6
sin2 а—sin3 %
sm
sin* я—sin-'S г (Ь cos *V йф
acosa(sra2p—sin2£) J (sin9^— sin2a)j/sin.3& — кілаф'
ПРШШЧА.НЙЯ 309-
[al6J Сравнивая формулы {11) я ^70), изменив а последней чь, "^, Л
на <f, о), Ь, мы имеем
P=s— 2'J/(4-2CQS(n'siu-a! I ; ■ і ' ■:- . ■ . - —
J (siu-'І; — вігГ-'«)У эіп-з — sin* іа sin3
„ , , J ■ i f a sin ж/а
= 2or — 2<Bi-(-coSilsin.2 I -_ i ■ —
J (sinaa— ein3i)у8Іпи ^—sin'^asiivM
о
Положим, как и в предыдущем замечании,
sin a sin
sin b ■
sin ш sin .1
Тогда
„ , . a С d COS
J (euiai —sin2«) j/sin3!. — sins;i
, С a ^з s™ a , sin (-1 Ч- 4)
= ctg A sm 26 — ■— — u) In -r- - - — '- _|_
TJ [віп»я—ain" )Yain?b — sin*« sm(i-i)T
sin (Л 4- чі) ,
siii(-L — ш) '
Подотавив сюда значение (СИ), Лобачевский меняет обозначения
вместо предела а и переменной интегрирования а он пишет вместо
пишет а.
[Щ] 3 лнтегрв-ив
J I— pssins«
1 , l-f-psina
■ In,-
a 2 gin. о 1 —p sib'Q
для верхнего предела возьмем р = cos &.. Поэтому, ѳ<ыщ,начнем
интегрировать двойной интеграл сначала по р, а затем до «, введя вместо (р
переменную 5, положив
■СОВ ! ;
Sin'tB = --, COS tl 003 6 = У COS" Ь С05а ?,
сов Ь
БІП (£
•100
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
то получим
а
г С sin- ср dp do ' Г sinfd? 1 ,
J J (1—уЯвІП»в)(1—««Sin»») ™ J T^-»a'sin2q> nCgY _
d5 sin £ oos JIn ctg — £
oob Ь (sin2 E ■— sin.2 а) у sina £—sin2 Ь
Наменяем затеи порядок интегрирования и вычисляем сначала
к
Т
sin2 а і-л
J Sin3 s і«
(1—p9sin9«)(l — иаэіпгда) =
F3_,(a J [і—рЗдідйщ 1 —иаеіп3ш J ***
S(pa—и2) \Vl— p* Ух — п*)'
а потом интегрируем no p, введя вместо р переменную ft и положив
Р = біп!>, ]/"!—#2 =соз0,
Уі^
:tgf>, СОв&Й = ф.
Будем иметь
ь
±-Ь
J (pa_fts)-|/-i_.p2~~ J sin2!>_„2 ~2«j/l— я*
In
COSaffl
In
о
cos 6 — у sina Ь — sin3 a otg Ь
2 cos ft]/ sina & — ніпа a cos Ь -)- Увіп2 6 — sina a otg Ъ
соаа я l
r—:—г m tg — c,
cos о sin b соа й 2
V
1—na J
Ф
О0Я i>
(p2 — и*) 2и]Л — ма
cos2 a
■In
1 ~ соа а
— COS2 Д 1
2 oos 6 sin Ь cos'c '" 1 + cos"a — cos b sin & соя с S T a'
ПРИМЕЧАНИЯ
401
н, следовательно,
sin^erf/i (1-й
Я
(1 —}>- зіпа '•?) (1 — п" sin- э)
и ооз-« , / 1 1 \
= ■ ; : ; ІП Otu II IS С | .
2 60S b sin. boos с \ 2 -1 j
Сравнігвая два аничешгя двойного интеграла, получаем равенство
jaiij j,|a уравнения
Vsin-E—зшаЬ
t)J- 'J = - ;—;
sin о соэ е
мы гоіеем
sin5ucosac
COS''« = —г-
sin'^—sin2a'
. ,, sinHfl— sin? с sin2») ,,„ cos2 a (sin.3 *r— eins«)
ma E = i — , cos- i = i -' =-',
eosMa oo9J e
ifo sin % cos i di
cos-o y"si»ss—siiiai) siubcosc
sin; cos S sin b cos с rfE
Фз
(эіпи;—эіп=л) У зіпг;~sin.4
Пользуясь эггоіи оооглогаеишши, налагаем интеграл (102) в таком
виде:
f sin і ооа f In ctg i-1 і Г l ,
J (sin2E— sinaft)y sJn^E — ainsb sin u cos с J 2
и интегрируем его по частям. Получаем
IT С
lHCtg— ;(ІІ0 = -Г— «~r—,-i
созс J 2 am (і ооа с J suit
sin Ъ
причем проинтегрированная часть
elnctg-H-6
sin 6 соз с _
обращается в нуль H6olnctg-|E = 0 при Е = |- и a = Q при Е = Ь.
Э»в. «И. Н. И. ЛоПачввек**. т. I. 20
402
О НАЧАЛАХ ГЕОМГ/П'ШІ
Заменяем, лалее, персчеппую интегрирования ; через '? л, заметан,,
что иределамп лли да булут 0 п '(, няходпм
1 Г di _ cos с (' asui-iib
sin йcose J ' sine cosrt ami J (1 — sin3 с sm-а){Лат-7 —sinJ?
sin
Чтобы пплучпть вторую часть равенства (10Й), вычисляем
, г . (/sin- 6 — s,in- с sin b cose cose siiitt
cosy = V 1 — sin- y = = = —: ,
eosn cos a cos a sine
; . F cos-'/j sin-a l/sin3 ft — sin2a cose
JM—sin»f sinBc^= 1/ 1 —■ . „, = — r-T == -
' у cos-a sm'li cos asm if cos а
ii преобразуем
1 ■] 1-f-cosd sine cos с (1 -\- cos a) bine
c\g — tnii~c
cose
sin я 1 -i-cose . . 1
sin a cos С 2 cos2 — с
2
\ сони / cosasinc cose-}-]/!—sin2f sin-с
„1 si n» cos с „ „1
2 cos-— с ' 2 соя f cos- —с
Подставляя эти выражения в равенство (102), мы п получим
равенство (103).
[S'S] Бслп
1
1 — sin* с sin9 •;
раалп:к(ім а рггд:
:—„—. „ = 1 -4-sin5csma(3-j-sin*cstn*u)-l-...,
1 — sinacsin8tf ' • ' . і ■
то интеграл (108) разложится также в ряд, общий член которого
. „ Г ивіп2п+Іо4а
si пг" с I -' ■ ■ -'—-—
J Yaia?f—-aina«
о
будет .меньше, чем
sin*»с£sin^f f'-- ™?^ _ JL^сsin« ln l + гіпт
2 J y^in"f — sin*? .2 ' ,. cosy >
Ш'ИМЕЧЛНІШ
'403
ибо в'пределах интегрирования
■й < -^- и кіп -і < еіц f.
Так как 1п(1-|-Riiif) ■< 1, то кояфппиент sin"e-будет меньше
1
— sin" 11n
cosy
|'лѳ] Чтобы преобразовать (103) в (104), пало вторую часть
равенства (103) выразить через зіпсп затем в обепх частях параметр sine
заменить черев - . Тогда п первой частп (ЮЗ) ми получим,
і
sin- с
о
Ju іій sin о
(sin3 с —'біпа в) |/"'віпат—TsirLasp
а во BTopotl части вместо
сове = ~\/\ —вшйс, 2 cos2 — с= 1 -f-cose== 1-f- Yl — stnB<
мы должны подсіавпть
V*
f—— -_ і
cose / l sinc-f-tcosc «_
■ + У
(7")
ein'Jc віп с у sin* в sine sine
Тогда аргумент логарифма второп части заменится через
cos-f
или
.Cos с /~ sina y
sine у аіпа с . (с—2-11
sin cir г'
\ cosy ' |/ cosaf / \ cosy К cos^-f/
и, следовательно, числитель второй частя будет
, Г , /соес , / cosac \
irln е*' ■—! — * 1/ 1 s—
[ \ сов т у cos-' f. /
а знаменатель обратится в
, еов с , /• . ■■■ ■ г-5—
2г -г-к— У віп' е — sm' y ,
sin2 с '
и мы получіш равенство (104).
cos с
= - г с — агесов
cosy
2(1*
40* II НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
[2'°| При с = тг с-очс обращается в нуль и правые частя равенств
(103) и (101) делаются неопределенными. Заменил созс через х, ми
найдем по правилу Лошгталя:
.c-j-1/cos-T + sm-Y.r . „ 1
Іів/ <*+'>«»? - ДТ
.»-*" Уг; |/ оон'' -f -j- sin2 -[Ж cos-у
и
я ... 1
агссоч^1—аі'ссоя sinJ -—т
cos т "2
Іші . =^^- =
і-ю 2а.' |/ cos'- y-f-siusTf* cos* у
{s,i] Подставив в интеграл (104) -^ — ѵ вместо г?, мы разделим его
на два интеграла:
г,
■s — т
2 J (.siii*е-—сояэе) Уяіпго> — cos" у
Г"!
Г « СОа a» da
J (sin''о — соя'*с) Уатгѵ — соа-у '
Г
неопределенный интеграл дает
Г <і sin о
J (sin2 « — cos11 с) l/sin'-1 о—sic2 у
1 , —созсі/"соза-г—cosac
соя с Ѵ^соэ- 7 — cos- r sin" tp — cos2 с -(- si» « j/am2 tp — cos2 7 '
в чем нетрудно убедиться днференцированкем.
Поэтому
IF
7-Г
J (sin3 tp — cos2 с) у'эіп2^ — cos2 у
4- t f aTctS
я-7—соз2 с L
cos с V'cos8 7 — cos2 с
co3c^cos2-f—соз2с (_ ain2 с -]- sin2 7
COS C j/c082 7 COS3 СІ
— avctg
соз2 у— сов2 с
1 cos с sin г
- ■ -■- -=arctg-
co3c]/cos27 — 00s2 с у cos37 — 00s2с '
ПРИМЕЧАНИЯ
405
и уравнение (104) принимает вид
г.
Т-1
1
•о cos a d'S
(ЗІІІ2 9 COs2 C) V sinS!p ЯІІІ2^
™ COSC GOSCSZQY
■ ■ - ■ I с — атссоя arctg ' ■
2 cose У cos^f — cossc [ cos-[ у cos! f — eosBc
2coscy cosa-y—cossc
■y'cOB3^—COS2C , C08C
с—axatg —-—-—_—__arotg . .
cos с у cos5
csiu-j "j
^—cos2c]
с — arctg ' ' .
eoa с Усояа7 — cobsc J
2 cos с У cos2 f — cos2 с [ eoa с y"cosa
Заменив в эхом равенстве с через -^ — J3 и f через -^ а,
окончательно получим равенство, данное в тексте.
[2ай] Разложение функции Ф(х) в ряд дано в мемуарѳ
«Применение- Воображаемой Геометрии к некоторым пптеграіам», формула (11).
71іт.чоже.ине. X
ОТЗЫВЫ СОВРЕМЕННИКОВ О СОЧИНЕНИИ
«О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ»
Мел yap «О началах гѳоматршіч, открыв новую эпоху развития
геометрии, превосходил силы сопремеппого Лобачевскому читателя п
оставлял его совершенно равнодушным ылп лаже возбуждал в пем
впечатление какой-то нелепости. Гаусс, опасаясь «крика беотнйпеві,
до конца своей жили» так и ітѳ решился опубликовать свои
идеи. Смелое решение Лобачевского опубликовать соое сочинение
подтвердило всю основательность опасений Гаусса — мемуар «О
началах геометрия» вызнал резко отрицательное отношение в некоторых
математических кругах.
В 1SS4 г. в журнале *Сып отечества) ') была напечатана рецензия
о работе Лобачевского, в которой автор, издеваясь пад Лобачевским,
сознавался, однако, что в его работе он ничего не вонял. Статья
составлена в фельетонном стиле настолько грубо, что редакция не
считает возможным воспроизвести ѳе в настоящем издании.
О неизвестном авторе этой статьи проф. А. В. Васильев и своей
биографии Н. И. Лобачевского-) пишет:
«Кто был автором этоп статьи? Этот вопрос не мог не
интересовать и почитателей Лобачевского и лиц, интересующихся историей
русскоіі математической пауки, и у них составилось мнение, что
статья написана академиком М. В. О стр о градским"). Так, например,
B. В. Бобыпан в своам очерке биографии Остроградского,
помещенном в энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона, говорит об
„оскорбительных насмешках Остроградского над Н. И. Лобачевским",
пнтам не доказывая вту фразу. По моему мнению, статья написана
не О етрогр адским, но липом, близким к нему. Таким лицом был
C. А. Бурачек.
гі Приводим бнблпографическпо даиаыѳ этого иоиера журнала:
Сыа отечества к Северный архив, журнал словесности, политики и истории,
иадаваомы)! Николаем Гречем к Фаддеоы Еулгарнным. Т. XLV. (Сыча отечества
часть 167-я, Сѳверввго архива— 81-я), С.-Петербург. (В типографии Н.Грвча.) 1834,
34 41, стр. 407-418.
*) Эта биография находится в рукописи,
*J М. В. Овтроградский с 1В30 г. занимал в Академик кафедру прикладной
ыатемагнки; с 1855 г. —кафедру чистри иатоматтгк.
отзывы -современников
407
■ Журнал „Сын отечества" в тридцатых голах издавался Гречем
я .Булгариным. Известно отношение этого журнала в Пушкину и то
алкие- эпиграммы, которымп великий поэт а начале тридцатых годов
мстил своим алым критикам. В числе сотрудников журнала был
и С. А. Вурачѳк, корабельный няисенер, с 1831 г- преподававший
в офицерских классах Лорского кадетского корпуса, высшем учебном
заведении, в котором преподавал п Оетроградский; там же
преподавал и С. II. Зеленый, читавший такнсе в С.-Петербургском
университете лекции по высшей математике, автор сочинения „Способ
определения долготы места и наблюдения прохождения звезд п Луны
через меридиан" (СДЕ, 1831) и учебников прямолинейной и
сферической, тригонометрия, впоследствии директор гидрографического
департамента. Бурачек п Зеленый издали известные лекции Остроградского
со алгебраическому я трансцендентному аналпву. Как сотрудник
„Сына отечества" Бурачек отличался своиіш рѳзвилш нападками на
современную ему литературу, которая была для него произведением
ватаги раабойпиков. Его бойкое перо нѳ щадило и Пушкина, все
герои которого были „уголовными преступниками". В библиотеке Семя-
коленова') я нашел его статью, содержащую- восторженный отзыв
о лекциях 0 етрогр адского; стиль этого отзыва чрезвычайно
напоминает- стиль хлесткой статьи о Лобачевском. Для меня несомненно,
что вта статья написаиа Бурачѳком, мозкет быть, вместе с Зеленым
[чем объясняется и псевдоним С. С'.3)] и, весьма вероятно, не без
ведома Остроградского. На вто указывает то место статьи, где
говорится о новых иитегралая».
Высказанное проф. А. В, Васильевым предположение о влиянии
М. В. Остр о град с к ого ив отрицательное отношение к работам Н. И.
Лобачевского подтверждается протоколами Академии наук,
хранящимися-в ее архиве3).
В 1832 г. Совет Казанского университета (ректором которого в то
время был Лобачевский) направил 19 августа в Академию наук
напечатанный в «Казанском вестнике» мѳмуар «О началах геометрии:»;
Собрание Конференции Академии, которому прэдотавлѳй был втот
труд, в аасѳдании 5 сентября постановило дать его академику Остро;
грал.ско.\гу для словесного отзыва.
В заседании 81 октября М. В. ОстроградскнН доложил, что
исполнил поручение Академии и просмотрел работу Н. И. Лобачевского.
Содержание доклада так изложено в протоколе:
') Пвж. Оемикояоаов пожертвовал рною весьма ценную библиотеку Каааи-
(жоыу университету. Она составила ядро библиотеки нмѳнк Н. И, Лобачевского,
находчіцойсл в Геометрическом кабинете Казанского уяив ер октета.
=] С. А. Бурачек н О. И. Зеленый,
Ч) См. приложение на стр. 410 настоящего тома.
408 О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ
«Указав на то, что на двух определенных интегралов, на
вычисление которых при помощи своего нового метода претендует-
Г-н Лобачевский, один у:кѳ известен и легко выводится при
помощи начал интегрального исчисления, а другой неверен",
Г-н Остр оград скип замечает, кроме того, что работа выполнена,
с таким малым старанием, что большая часть ее непонятна.
Поздому он полагает, что этот труд Г-па Лобачевского не
заслуживает внимания Академии».
Связь между статьей в «Сыне отечества» и отзывом
Остроградского видна хотя бы из того, что оба рецензента единодушно
отмечают наличие двуз интегралов, иа которых один «находится гораздо-
легчайшим образом, другой совершенно непарен». Что это за
неверный интеграл, который «равен то •£ , то со»? Это обвинение
Лобачевского лишено всякого основания. В начале своего сочинения
«Воображаемая геометрия», вышедшего в 1835 году в «Ученых записках
Казанского университета», Лобачевский делает следующее примечание') г
сОтатьи о началах Геометрии помещены были в Казанском
Вестнике за 1829 я 1880 годы. В Л1 41 Журнала Сын Отечества
1334 года напечатана критика, весьма оскорбительная для меня,
и, надеюсь, совершенно несправедливая. Рецензент основал
свой отзыв на том только, что он моей Теории па понял и
почитает ее ошибочной, потому, что в примерах встречает одни.
нелепой интеграл. Впрочем такого интеграла не нахожу я в моем
сочинении. В ноябре месяце прошедшего года послал я к
издателю ответ, который однако же, не анаю почему, до сих пор,
в продолжении пяти месяцев, ѳщѳ не напечатан».
Если даже для такого большого математика, каким был М. В.
Остроградский, оставалось неясным гролгадное значение работы Н. И.
Лобачевского, глубоко затрагивавшей основы Геометрии, то нет ничего-
удивительного, что, благодаря новизне идей, развиваемых в своих
работах Н. И. Лобачевским, опережавлшх уровень развития Геометрии
в первую половину прошлого столетия, его работы были мало
доступна его современникам и оставались долгое время не оцененными
по достоинству. Только такой гений, как Гаусс, который к тому
экѳ и сам много лет размышлял о теории параллельных и
пришел к тем же результатам, как и Лобачевский, мог надлежащим
образом оценить все важное значение его работ.
И в настоящее время читатель, который приступил бы к чтению
»того сочинения, еще не владея основами неевклидовой геометрии,
'} «Поян, собр. соч. по геом.», т. I, стр. 72.
ОТЗЫВЫ СОВРЕМЕННИКОВ
409
встретил бгл, можно сказать, непреодолимые аатрулненни. Именно
поэтому редакционная коллегия настоящего издания сочла,
необходимым дать раньше место сочинению < Геометрические исследования
□о теории параллельных линий». Комментарии н указания,
сопровождающие сочинение <-0 началах геометрии» в настоящем издании,
еоставдевы в предположении, что читатель уже знаком с основами
неевклидовой геометрии и внимательно прочитал «Геометрические
исследования» с сопровождающими его комментариями.
Лріі.іозіеениі: 2
ПРОТОКОЛЫ КОНФЕРЕНЦИИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
О РАБОТЕ ЛОБАЧЕВСКОГО «О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРІШ>
1) Протокол Конференции Академпн Наук 5 сентября 1832 г.
§ 432.
Le conseil tie cette mGme University envoie avec tine troisieme
communication dates (hi 1С Aout cotee ,\« 1209, un тёпюігэ ітргітё,
eitrait du Courier de Kasan et intitule; О началах геометрии г-а Ло-
(іачевского. La Conference remit се тётоігѳ :і М. l'Aeademioien Ostro-
gradsky en le priant cle lui en fairs un rapport verbal. La reception en
sera accusee !)*
2) UpoTOKo.'i Конференции Академии Наук 31-го октября 1832 г.,
§ 802.
М, І'АоагІбшіоіѳп Ostrogradaky ayant ete" charge par l'Academie
d'examiner l'ouvrage de Ы. Lobatcheisky: О началах геомѳтрпп (voir Prot.
■du 5 saptembre § 432) et il en fit un rapport verbal. Apres avoir
montre que des deux integrates detinies dont M. Lobat chef sky pretend
avoir trouvfi la valeur au moyen de sa nouvelle methods, l'une est
pejs connue et facile a deduire ties principes el&nentaires du oalcul
integrate et que 1'autre est fausse, M. Ostrogradsky observe encore que
l'ouvrage est redige avec si peu de aoin qu'une grande partie en est
inintelligible. li oonclut par consequent que ce travail de Ы. Lobatchefsky
ne mCrite point l'attention de l'Academie 2).
') Совет того ate Университета напраяил при третьем отвощвнии от 10 августа
ав. И 1209 напечатанный мемуар, навлеченный на Казанского Вестника к
называющийся «О началах Геометрии г-на Лобачевского». Конференция пересыпав»
етот меиуар Г. Академику Остроградскому с просьбой сделать о тем доклад.
Получение ліеыуара должно быть подтверждено.
*) Г. Академик Остроградскки, имея поручение от Академии рассмотреть работу
Г. Лобачевского «0 началах Геометрии» (си. протокол от 5 сентября, § 432),
сделал об этом доклад. Указав па то, что иэ двух определеншлк интегралов, па
вычисление которых при помощи своего нового метода претендует Г.
Лобачевский, один уже известен и легко выводится при помощи начал интегрального
исчисления, а другой неверен, Г. Остроградский ааыѳчаѳт, кроме того, что работа
выполнена с таким малым старанием, что большая часть ѳѳ непонятна. Поэтому
он полагает, что этот труд Г. Лобачевского не заслуживает внимания Академии.
Чіт.ішіесіучі' 'I
ИСГГОРИКО-БИБЛиОГРАФиЧЕСКНЕ СВЕДШПІЯ О СОЧННШШІГ
«О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ»
(О началах геометрию представляет соиоіі первое лоягшвгпееся
л математической литературе сочинение, в котором налагается
«воображаемая геометрия», т. е. геометрическая система, оспованная на
тех же постулатах, как н «употребительная геомегрия> за
исключением знаменитого XI постулата Ев «лила о параллельных лпниях.
Оно кладет начало иовоп отрасли геометрии— «пеевиіидовой
геометрии».
Сочиненна начало печататься в ежемесячном журнале «Казанский
вестник», издававшемся Казанским упинерситетом') в двойной книжка
за февраль — март 1829 г. Но, как видно пз примечаний к заглавию2)
и па странице 251 мартовской книжки <Казанского вестника» за 1S30 г.,
первая часть работы «О началах геометрии» представляет собой
извлечение па того (рассуждения», которое три года раньше, уже
в 1S2G г., било читано Лобачевским в Отделении физико-математических
наук. Это «рассуждение» носило название «Exposition succinate des
ргіпсіреа de 1а Geomdtrie аѵес шіѳ demonstration rigoureuse dn theo-
і'ёиіѳ des paraUeles»s), было написано на французском языке и в
первоначальной редакции никогда не было напечатано, Рукопись его на
найдена п, вероятно, окончательно потеряна.
Указывая в примечании к заглавию (вероятно, по памяти), что это
«рассуждение» былочитано 12февраля 1826 г., Лобачевский ошибается
на один день. В январе 1926 г., в связи с празднованием столетия
«неевклидовой геометрии», проф. Н. И. Порфпрьевым была найдена
в архиве Казанского университета препроводительная бумага, с которой
') Точпов название «Казанскня вестник, кэдаваемыіі при іышераторскои
казанском университете». Фотографии титульного листа «Казанского вестника- и
первой страницы журнала с сочинением Лобачевского приложены на вкладных листах
перед стр, 17В н 1Ѳ5.
Я СМі отр,-185 настоящего тома и фотографию па вкладном листе.
3) «Краткое наложение прнвтшоа Геометрии со стпогии доказательством
теоремы о параллельных».
412 и НАЧАЛАХ ПЮ-МЕТИШ
рассуждение (disposition suceineto etc. д было представлено в
Отделение ф и знко-математических наук. Бот содержание этой бумаги');
< Препровождаю сочинение мое под заглавием „Exposition
succinate des jirincipes de la Стёопіёігіе avec line demonstration rigou-
reuso tin theoreme des paralleles".
Желаю знать мнение о сем ученых, моих сотоварищей п есть
лн оно будет выгодно, то прошу покорнейше пред стан ленное много-
еочипенпе прижить в составление учепык записок
Физигсо-математического отделения, в каком намерении я предпочел писать на.
франпузском языке, т. к. предполагалось записки издавать на сем
языке, сделавшемся ныне общим между учеными.
Проф. Я. Л. Лооачеескнй*,
Наверху этой бумаги имеется пометка: tlloji/чено 7 февраля 18S6 г.і,
а внизу написано: <Слуішто 11 февраля ст. 1. Определено:Поручить
рассмотреть сочинение гг. профессорам Симонов//, Eyiufiepif и Адъюнкту Брашмаку
а мнение свое сообщишь Отделению*.
Попытки проследить результата этой резолюции по протоколам,
Отделения физико-математических наугс не увенчались успехом и
о дальнейшей судьбе рукописи ничего неизвестно.
Этот интересный исторический документ вполне точно
устанавливает день доклада Лобачевского: не 12 февраля, а 11 февраля 1826 г.
Эту дату и надо считать днем рождения івоображаемой геометрии».
Заглавие представленное Лобачевским рукописи возбуждает
некоторое недоумение. Ее совсем ясно, что подразумевал Лобачевский под
словами «une demonstration Tigourense du thdorenie des parall&les».
Примечания, сделанные Лобачевским к сочинению «О началах геометрии^
а равным образом и примечание к сочинению іНовые начала»,
указание его на то, что содержание рукописи составило первую часть
сочинения гО началах геометрия*, по датот никакого основании
думать, что в згой рукописи бьтло какое-либо «доказательство» постулата
Евклида, подобное другим существовавшим доказательствам и
основанное на каких-либо неявных допущениях, эквивалентных самому
постулату. Первая часть сочинения «О началах гѳомвтриив совершенно-
ясно указывает, что Лобачевский .уже в 1820 г. совершенно владел
своей геометрией, ясно видел ѳѳ логическую безупречность и
невозможность чиото логического доказательства постулата Евклида.
Возможно, что, говоря о «строгом доказательстве теоремы о параллельных»,
он подразумевал именно строгую теорию _ параллельных в том виде,.
в каком она намечена в первой части «Новых начал». ВовмоЯсно
также, что под втими словами он подразумевал тѳ ооображѳння, при
г) Ее фотография приложена за вкладном листе перед стр. 5.
(^jdff 7 ^«^ /гг/1^
«ft; Л . <S/
f4,
2>
UstotstgasmGLStа-***л4і г j.trM-
^•eO-fc»
r
^
'y^ywIeA.
О
' 1 . .
tfZfJ^ysvtirtdS^flJ
ІГ*£ кх. *Ли
/1$
£еХы. rfceJ~u,w -»-***/" ^-^-'.-^'^*ь> * СД**£Іі-- yi-'-^-t "4- »•*■•
Х*чь
/3f£
&иЖ*?*1^~*/
f
.fc,*-
*г-^^ык *^.*.nU~ ъ* eJL*~*^* y« **»■* ^/<"-4C"
JuJl-*~-С к*.'
^%L-</ ,
ИГТОРИКО-БДБЛИОГРЛФПЧЖ'КІІЕ СВЕДЕНИЯ 413
помощи которых он, пользуясь пар аллатесами неподвижны»: а везя,
доказывал, что сумма углов треугольника между Солнцем, Землей и звездой
.Кѳійа отличается отт: менее чем на0,43". Но далее Лобачевский
пишет '):
« . .. сама Природа указывает нам такие расстояния, и
сравнения с которыми исчезают за, малостшо даже и расстояния нашей
земли до неподвижных авеад.
После этого нельзя утверждать более, что предположение,
будто мера ланий не зависит от углов—предположение, которой
многиэ Геометры хотели принимать за строгую истину, па
требующую доказатв-дьства-—может бить, оказалось бы приметно
ложным еще прежде, нежели перейдем аа пределы видимого
нами мира.
С другой стороны, мы но в состоянии постигать, какая бы
связь могла существовать в природе вещей и соединять в ней
величины столь разнородные, каковы линяй и углы. Итак, очень
вероятно, что Евклидовы положения одни только истинные, хотя
останутся навсегда пе д оказании ми».
Возможно, что указанные соображения и выражают ту мысль,
которую Н. И. Лобачевский подразумевал под строгим доказательством
теоремы о параллельных.
Все то, что следует за формулами (17)а), как видно из
примечания на стр. 251 мартовской книжка «Казанского вестникаі за 1330 г.,
■было добавлено к рассуждению «Exposition suocincte» уже после,
и все вместе было напечатано в «Казанском вестнике?* в следующих
книжках:
а 1829 г.-
в я »
» в я
» 1830 >
> В S
—часть
»
*
»
в
25,
в
27,
28,
6
февраль—март,
апрель
ноябрь—декабрь
март—апрель
июль—август
стр.
в
в
»
в
17S—18Т,
228—241,
227—243;
251—283,
671—630.
Размеры этого журнала были небольшие, in 8°.
Второй раз сочинение «О началах геометрии» было напечатано
в «Полном собрании сочинений но геометриив, изданном Казанским
университетом в 1883 г. in 4°, в первом томе, стр. 1—69 s).
На немецкий язык око было переведено проф. Энгелем и помѳ-
і) Стр. 209.
*) Начиная с 20й стр. настоящего издания.
3) Полное собрание сочинении по геометрии Н. И. Ловачевсвого. Ивдааие
ткмаераторского Казанского университета. Том первый. Сочинения на русском
л зыке. Коаань, 1363.
Hi
О НЛЧЛЛЛХ ГЕОШШЧШ
іцено л его монографин, посвященной Лобачевскому. В этом переволе
опущена последняя часть, как имеющая чисто аналитический характер.
В этой же книге кроме сочинения *(_) начилах геиметрші > находится
такіко перевод сочштеипя <-Новые начала-.
Оба перевода сделаны весьма тщательно, п них исправлены
довольно многочислен пи іі опечатки, допущении а как в оригинальном
издании tКазанского иестнпкя.>, так и и «Полном собрании сочиненна
по геомѳтрппі. Многочисленные примечания к переводу дают
исторические и библиографические справки п облегчают чтение трудного-
мемуара Лобачевского. В конца книги приведена биография
Лобачевского и sap актер истина его научной и административной деятельности,,
с оста пленная проф. Эигелѳм по собранным нм материалам ').
На русском языке часть атого мемуара была выпущена в 1908 г,
небольшой отдельной брошюрой преподавателем гимназии А. Н. Жел-
іухггаым9). Это падание содержит начало сочинения, извлеченное-
Лобачевскпм па .мемуара «Exposition suceincte. .. в, п рассуждения,
относящиеся к йксп ери ментально It проверке двух возможных
предположений относительно суммы углов прямолинейного
треугольника3). Оно воспроизводит текст, помещенный в «Полном
собрании' сочинений - Лобачевского по геометрии» без памененнй, nf
в вида примечаний, развернутые выводы основных
тригонометрических формул.
В настоящем издании сочешеыдѳ «О началах гвомотрпіг» также
снабжено многочисленными примечаниями и чертежами. Большинство
примечаний пмѳет целью восполнить Пропущенные Лобачевским
промежуточные, иногда довольно длинные, вычисления. Много чергеясепі
(«диаграмм») сделано для того, чтобы облегчить читателям
пользование правилом Непера при употреблении тригонометрических
формул.
Настоящее издание воспроизводит текст первого издания (в
«Казанском вестнике»). Для удобства сравнения с первым пздавием ми
отмечали знаком | начало новой страницы первого издания, п
знаком [| — начало новой тетради журнала. В соответствующих местах на.
полях отмечается номер страницы и тетрадп журнала. Чертежи, поме-
гцейныё'в первом издании в виде приложения, расположены 'нами.
в самом тексте. ' ■
При этом нами были допуіцѳны следующие отклонения от
оригинального издания:
J) Блбшюграфические данные О ыояографдш проф. Эіігеля приведены на.
стр. 172 настоящего тома. . -
■ ') -О началах геонмірші». Текст Н. И. Лббіѵчевского; Примечания А.Н. Жея-
тухяна, С.-Петербург, 1908 г. ■ .
Э) См. стр. 207 — 209.
ИСТОРИКО-БИБПИОГРАФЦЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 415-
1) Установлена современная орфография.
2) В отдельных случаях, где это вызывалось удобствами чтения,
изменена пунктуация.
3) Математическая орфография в основном сохранена (например,
вместо tg2x Лобачевский пишет tang а;2, и т. д.). Но слова Sin, Tang,.
Log, Lim и т. д. мы везде начинаем со строчных букв (sin, tang, log,,
lim) — в оригинальном издании это отрого не выдерживается.
4) Поправлены все замеченные ошибки и опечатки оригинального-
издания как типографского характера, так и ошибки Лобачевского.
Их оказалось очень большое число.
Большинство этих ошибок было в о спр окав едено и в «Полном
собрании сочинений по геометрии»; помимо них, в атом последнем
издании было допущено много новых существенных ошибок и пропусков-
Р'ілвктпрыг И- И- Л/шннчнейн,
А, Я. Маркуиіевич.
Подписано в иечягь -21 декабря 111.1 г.
Тираж AdoO эдэ. '2В пбч&твыі лнатов л б нллы-
«трміпі ■* отд. л«стаі. SS уч.-чт. .іиото*.
Зікіа № 4">S. М — 0^2D.
Цен IT руб.. ім|Міл«т 4 PJS.
4-я типография им. Евг. Соколовой
трест (Полиграф нив га > ОГИЗа
прн Совете Министров РСФОР.
Ленинград, Тізігонло некий, пр., 2S.