/
Теги: гидромеханика механика жидкостей и газа механика
ISBN: 978-5-93972-977-2
Текст
Г. Фальковмч
*»
Современная
гн дроднна мика
Краткий курс
R&C
=®
R&C
Фуиаиисй,
Fluid Mechanics
A Short Course for Physicists
GREGORYFALKOVICH
Weizmann Institute of Science, Israel
Cambridge
UNIVERSITY PRESS
Г. Фалъкович
Современная
гн дроднна мика
Кратким курс
=®
R&C
Москва ♦ Ижевск
2014
УДК 532
ББК 22.253.31
Ф 196
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Фалькович Г.
Современная гидродинамика. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотиче¬
ская динамика», 2014. — 208 с.
Учебник представляет минимум того, что каждый физик и инженер должен
знать о механике жидкости и газа, и предназначен как для тех, кто незнаком с пред¬
метом, так и для тех, кто думает, что знаком. Материал проиллюстрирован мно¬
гочисленными картинками и 35 задачами с подробными решениями. Для студентов
и аспирантов, научных работников и инженеров, а также для всех, интересующихся,
почему дует ветер, не падают птицы и вода выливается из перевернутого стакана.
Книга имеет свою страницу в Интернете, где можно найти дополнительные
объяснения, рисунки и видео, задать вопрос и получить ответ:
http://www.weizmann.ас.il/complex/falkovich/fluid-mechanics
ISBN 978-5-93972-977-2
ББК 22.253.31
© Г. Фалькович, 2014
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2014
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие vii
Пролог xi
Глава 1. Основные уравнения и стационарные течения 1
1.1. Определения и основные уравнения 1
1.1.1. Определения 1
1.1.2. Уравнения движения идеальной жидкости 3
1.1.3. Гидростатика 8
1.1.4. Изэнтропическое течение 10
1.2. Законы сохранения и потенциальные течения 14
1.2.1. Потоки энергии и импульса 14
1.2.2. Кинематика 16
1.2.3. Теорема Кельвина 17
1.2.4. Безвихревые и несжимаемые течения 19
1.3. Движение сквозь жидкость 25
1.3.1. Потенциальное обтекание тела 26
1.3.2. Движущийся шар 27
1.3.3. Движущееся тело произвольной формы 29
1.3.4. Квазиимпульс и присоединенная масса 32
1.4. Вязкость 38
1.4.1. Парадокс обратимости 38
1.4.2. Вязкие силы 39
1.4.3. Уравнение Навье - Стокса 41
1.4.4. Закон подобия 44
1.5. Течение Стокса и след за телом 46
1.5.1. Медленное движение 47
1.5.2. Пограничный слой и явление отрыва 50
1.5.3. Превращения картины течения 53
1.5.4. Сила сопротивления и подъемная сила 55
Глава 2. Нестационарные течения 63
2.1. Неустойчивости 63
2.1.1. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца 63
VI
Оглавление
2.1.2. Энергетическая оценка порога устойчивости 66
2.1.3. Закон Ландау 68
2.2. Турбулентность 70
2.2.1. Каскад 72
2.2.2. Турбулентные течения 77
2.3. Акустика 80
2.3.1. Звук 80
2.3.2. Волна Римана 84
2.3.3. Уравнение Бюргерса 87
2.3.4. Акустическая турбулентность 90
2.3.5. Число Маха 92
Глава 3. Диспергирующие волны 101
3.1. Линейные волны 102
3.1.1. Поверхностные гравитационные волны 103
3.1.2. Вязкое затухание 106
3.1.3. Капиллярные волны 108
3.1.4. Фазовая и групповая скорости волны 109
3.2. Нелинейные волны 114
3.2.1. Гамильтоновское описание 114
3.2.2. Нормальные формы гамильтонианов 118
3.2.3. Неустойчивости волн 119
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера 121
3.3.1. Вывод уравнения 121
3.3.2. Модуляционная неустойчивость 124
3.3.3. Солитон, коллапс и турбулентность 128
3.4. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) 134
3.4.1. Волны на мелкой воде 134
3.4.2. Уравнение КдВ и солитон 136
3.4.3. Метод обратной задачи рассеяния 139
Глава 4. Решения задач 145
4.1. Глава 1 145
4.2. Глава 2 159
4.3. Глава 3 169
Эпилог 181
Примечания 185
Литература 191
Предметный указатель 193
Предисловие
Зачем нужна гидродинамика? Во-первых, чтобы понимать устройство
материального мира вокруг нас. Цель книги — научить читателя понимать,
как течет вода и дует ветер, что происходит, когда мы плывем или летим.
Во-вторых, физик и инженер должны владеть искусством гидродинамиче¬
ских оценок, равно необходимых как экспериментатору в биофизике или
наноматериалах, так и теоретику-астрофизику. Помимо культурной и праг¬
матической необходимости, существует куда более важная причина знать
гидродинамику, и она концептуальная: механика — основа всей физики
и техники как источник физической интуиции и математических методов.
Понятия, введенные в механике частиц, были затем применены в оптике,
электромагнетизме, квантовой механике. Читатель этой книги увидит, как
идеи и методы механики сплошных сред используются для анализа других
систем с бесконечным числом степеней свободы. И последнее по поряд¬
ку, но не по важности: механика жидкости и газа сейчас одна из наиболее
активно развиваемых областей физики, математики и техники, так что чита¬
тель может захотеть принять участие в этом захватывающем предприятии.
Эта книга представляет минимум того, что каждый физик и инженер
должен знать о механике сплошной среды. Она не предполагает предвари¬
тельного знакомства с предметом и требует только элементарного владения
анализом и векторами. С другой стороны, прикладные математики и инже¬
неры, занимающиеся гидро- и газодинамикой, найдут в этой книге новый
взгляд на некоторые вопросы, представленный с точки зрения физика. При
отборе материала из огромного богатства, накопленного за четыре столетия
все ускоряющегося развития, я выбрал то, что мне представляется наибо¬
лее интересным и актуальным для науки в целом. При этом различные
темы соединились в одну связную историю, так что перед вами повесть,
а не сборник рассказов.
Книга написана так, как обычно физики подходят к любой пробле¬
ме: начинают с качественных соображений размерности, симметрий и за¬
конов сохранения, потом пытаются получить примерные оценки и уж затем
увенчивают это краткими, но последовательными вычислениями. Механика
Предисловие
viii
сплошных сред (объединяющая гидро- и газодинамику, а также значитель¬
ную часть физики плазмы) — наука экспериментальная, как любой раздел
физики. Результаты экспериментов ведут нас на каждом шагу, который зача¬
стую оказывается весьма неочевидным. Например, энергия не сохраняется
даже в пределе исчезающего трения, симметрии также часто оказываются
нарушенными, что радикально меняет оценки и выводы.
Преподаватели и студенты, использующие книгу для курса, обнару¬
жат, что 12 параграфов соответствуют 12 лекциям. Для семинаров в книге
приготовлено 35 задач с подробными решениями. Вдобавок разделы 2.3
и 3.1 содержат по параграфу, который не вмещался в лекцию и разбирал¬
ся на семинаре (а именно, параграфы 2.3.5 и 3.1.2, но выбор может быть
и другим). В полном виде курс читался для студентов 4-го года обуче¬
ния. Упрощенная версия курса для студентов 2-го года обучения исключает
разделы 3.2-3.4 и два отрывка, напечатанные мелким шрифтом в парагра¬
фах 2.2.1 и 2.3.4. Текст лекций самодостаточен и не содержит ссылок. Эпи¬
лог и заметки в конце книги дают ссылки для дальнейшего чтения; книги
и статьи, процитированные более раза, собраны в списке литературы.
Использующие книгу для самообразования обнаружат, что основы гид¬
родинамики можно освоить за пару недель, если потратить некоторое уси¬
лие. Те, кто будут читать для удовольствия, могут пропустить все вычисле¬
ния и половину конечных формул и тем не менее узнать уйму интересного
о жидкостях, газах и окружающем мире с помощью многочисленных кар¬
тинок.
Несколько поколений студентов Института Вейцмана училась по этому
курсу, они учили меня не прекращать усилий по поиску более ясных объяс¬
нений и более глубоких связей между разными разделами физики. Разные
версии курса читались также в Московском физико-техническом институте
и Высшей школе в Лионе. Я благодарен тем, у кого я выучился многому
из того, что написано в этой книге: В. Арнольду, Г. Аинку, Е. Балковскому,
Г. Боффета, Д. Будкеру, Г. Векштейну, М. Вергассола, П. Вигману, К. Га-
ведскому, В. Гешкенбейну, В. Захарову, А. Замолодчикову, Я. Зельдовичу,
Л. Каданову, И. Колоколову, Г. Коткину, Р. Крейчнану, Е. Кузнецову, В. Ле¬
бедеву, В. Львову, Б. Луговцову, С. Лукащуку, К. Моффату, А. Ньюэллу,
А. Полякову, И. Прокаччиа, А. Пумиру, А. Рубенчику, Д. Рютову, В. Сер-
бо, Э. Сиджиа, Я. Синаю, М. Спектору, К. Сринивасану, А. Шафаренко,
Б. Шрайману, В. Штейнбергу, К. Турицыну, С. Турицыну, У. Фришу, К. Ха-
нину, Д. Хмельницкому, А. Челани, М. Черткову, Б. Чирикову. Особая бла¬
годарность Саше Фуксону и Маше Вуцеля, которые вели семинары и при¬
Предисловие
IX
готовили решения некоторых задач. Я также благодарен многочисленным
читателям первого кембриджского издания за указание опечаток и неясных
мест, которые я постарался исправить в русском издании, где также добав¬
лено несколько новых задач. За оставшиеся ошибки, разумеется, отвечаю
я один. Книга посвящается моей семье.
Пролог
И вправду чуден был язык воды,
Рассказ какой-то про одно и то же...
А. Тарковский
В этой повести два героя: инерция и трение. Мы встречали их раньше
в механике частиц и твердых тел, где их взаимоотношения были просты:
инерция стремилась поддерживать, а трение — останавливать движение.
При переходе от частиц и тел к сплошной среде число степеней свободы из
конечного становится бесконечным, что всегда радикально меняет характер
физических явлений. Мы увидим в этой книге, как даже исчезающе малое
трение приводит к бесконечному разнообразию течений, которые инерция
сама по себе никогда бы не смогла создать. В отсутствие трения большин¬
ство течений несжимаемой жидкости оставались бы потенциальными, т. е.,
в сущности, тривиальными. На границах между жидкостью и твердым те¬
лом трение создает завихренность, которая переносится вглубь течения,
меняя его природу. Неустойчивости затем приводят к возникновению тур¬
булентности, и статистика возникает из динамики. Вихри, проникающие
с границы, делают жизнь интересной как в идеальной классической жидко¬
сти, так и в квантовых сверхтекучих жидкостях и сверхпроводниках, хотя
и по-разному.
С другой стороны, сжимаемость делает нетривиальными даже потен¬
циальные течения, позволяя инерции за конечное время превратить глад¬
кое поле скорости в разрывное, создав ударную волну. Трение сглаживает
разрывы. Только при наличии неоднородности или анизотропии, которые
приводят к дисперсии волн, инерция способна вести интересную жизнь
в отсутствие трения. Уединенная волна, называемая солитоном, — счаст¬
ливый плод взаимодействия инерции и дисперсии. Но даже в волновых
системах модуляционная неустойчивость может создать за конечное время
сингулярность в виде коллапса или самофокусировки. В конце мы обсудим,
как инерция, трение и дисперсия действуют одновременно.
Пролог
xii
На формальном уровне мы увидим, что инерция — источник нелиней¬
ности в сплошной среде. Трение и дисперсия — фундаментально линейные
механизмы. Однако соответствующие линейные члены в уравнениях дви¬
жения имеют пространственные производные высших порядков, так что
пределы нулевого трения и нулевой дисперсии являются сингулярными.
Вдобавок трение — возмущение не только сингулярное, но также нарушаю¬
щее симметрию (обратимость времени), что приводит к так называемой
аномалии, когда эффект нарушения симметрии остается конечным даже
в пределе исчезающего трения.
Первая глава вводит базисные понятия, уравнения движения и их фун¬
даментальные симметрии и описывает вязкие и невязкие стационарные
течения. Течение времени появляется во второй главе, где обсуждаются
неустойчивости, турбулентность и звук. Третья глава описывает диспер¬
гирующие волны, от линейных до нелинейных волн, солитонов, коллапсов
и волновой турбулентности. В эпилоге даются рекомендации для более де¬
тального изучения предмета и краткое описание направлений современного
развития механики сплошных сред. В четвертой главе читатель найдет по¬
дробные решения всех задач.
Глава 1
Основные уравнения
и стационарные течения
В этой главе мы определим предмет изучения, выведем уравнения дви¬
жения и опишем их фундаментальные симметрии. Мы начнем с гидроста¬
тики, где все силы перпендикулярны поверхностям и нет трения. Мы затем
попробуем пренебречь трением и при рассмотрении движения. Это поз¬
волит нам понять некоторые свойства инерции, в частности эффект при¬
соединенной массы. Однако описание обтекания тела в целом окажется
совершенно неправильным. Это вынудит нас ввести трение и разобрать¬
ся, как вместе с инерцией они определяют реальные течения. Мы кратко
опишем аристотелев мир, где трение доминирует. В противоположном пре¬
деле мы обнаружим, что мир даже с исчезающе малым трением радикально
отличается от мира без трения вообще.
1.1. Определения и основные уравнения
В этой главе мы определим понятия текучести и непрерывного движе¬
ния. Эти определения следуют из эмпирически установленных фактов, а не
из набора аксиом.
1.1.1. Определения
Мы рассматриваем сплошную среду, т. е. предполагаем свойства одно¬
родными вплоть до мельчайших порций. Главное для нас свойство среды
(общее для жидкостей и газов) — это текучесть. Это значит, что, хотя среда
и сопротивляется деформациям, это сопротивление не может остановить
деформацию. Причина в том, что сила сопротивления стремится к нулю
вместе со скоростью деформации. Вообще-то, имея достаточное терпение,
можно деформировать что угодно, так что определение данного объекта
2
Глава 1
жидким или твердым зависит от времени наблюдения. Как утверждала биб¬
лейская пророчица Дебора, «перед лицом Господа и горы текут», поэтому
отношение времени релаксации ко времени наблюдения называется чис¬
лом Деборы.1 Чем меньше это число, тем более текуча среда. Мы будем
называть любую текучую среду жидкостью, имея в виду также и газы.
Чтобы жидкость была неподвижна, стало быть, необходимо, чтобы
сдвиговых напряжений не было вообще. Иными словами, все взаимные
силы между любыми граничащими частями должны быть перпендикуляр¬
ны к общей границе. Это экспериментальное наблюдение составляет базис
гидростатики. Если приложена сила, параллельная (тангенциальная) к раз¬
деляющей поверхности, то слои жидкости начинают скользить друг отно¬
сительно друга, что приводит к трению между слоями. Например, если
перестать размешивать чай в стакане, то через некоторое время жидкость
перестанет вращаться, и это произойдет только вследствие трения. Дей¬
ствительно, если бы взаимные силы между элементами вдоль радиуса были
чисто нормальными (т. е. радиальными), то сохранение момента импульса
заставило бы жидкость вращаться вечно.
Поскольку тангенциальные силы отсутствуют для состояний покоя
и равномерного прямолинейного движения, представляется естественным
рассмотреть сначала такие течения, где эти силы пренебрежимо малы. Та¬
ким образом, мы совершим первый шаг из гидростатики в гидродинами¬
ку, ограничиваясь чисто нормальными силами, полагая градиенты скорости
малыми. Насколько далеко мы так шагнем и как долго такое приближение
будет работать, заранее не очевидно.
Имея дело только с нормальными силами, нетрудно установить, что
сила, действующая на единицу площади, не зависит от направления — так
называемый закон Паскаля (задача 1.1). Таким образом, можно характе¬
ризовать внутренние силы в жидкости одной скалярной величиной p(r, t),
называемой давлением, что есть сила на единицу площади. С точки зрения
внутреннего устройства среды давление является термодинамическим па¬
раметром. Чтобы полностью характеризовать внутреннее состояние среды,
необходимо вдобавок к давлению задать второй термодинамический пара¬
метр, например плотность р(г,£).
Какие свойства аналитичности поля скорости v(r, t) имеет смысл
предполагать? Естественно предположить скорость конечной и непрерыв¬
ной функцией координаты г. Вдобавок мы потребуем, чтобы первые про¬
изводные всех компонент скорости по координатам были везде конечными.
В этом случае течение называется непрерывным, т. е. траектории частиц
1.1. Определения и основные уравнения
3
жидкости не пересекаются. Расстояние 6т между двумя близкими частица¬
ми удовлетворяет уравнению движения d6r/dt = 5v. С математической
точки зрения конечность Vv — это условие Липшица, обеспечивающее
единственность решения для уравнения движения. Простой пример не лип-
шицевого уравнения это dx/dt = \х\1~ос, которое при а > 0 имеет два
решения, x(t) = (at)l/a и x(t) = 0, оба стартующие с нуля. Любая по¬
верхность, переносимая непрерывным течением, всегда разделяет частицы
по ее разным сторонам. Науке пока неизвестно, когда в точности предпо¬
ложение о непрерывности совместимо с уравнениями механики сплошной
среды. Могут ли изначально конечные производные поля скорости обра¬
титься в бесконечность за конечное время? Тот, кто ответит на этот вопрос
для несжимаемых вязких течений, получит премию в миллион долларов
(т. н. премия тысячелетия). Мы увидим ниже, что сжимаемое невязкое те¬
чение в общем случае обязательно создает разрывы, называемые ударными
волнами.
1.1.2. Уравнения движения идеальной жидкости
1. Уравнение Эйлера. В отсутствие трения сила, действующая на
любой объем, равна интегралу от давления по поверхности: — §pdt. Эле¬
мент поверхности df — это вектор, направленный по нормали наружу.
Используя формулу Стокса, преобразуем поверхностный интеграл в объ¬
емный: - § р df = - fVp dV. Таким образом, сила, действующая на еди¬
ницу объема, равна —Vp. Было бы ошибкой, однако, приравнять эту силу
к производной по времени от импульса жидкости в этом объеме. Чтобы
написать второй закон Ньютона, мы должны выделить жидкую частицу,
т. е. малую часть жидкости с фиксированной массой (которую будем пола¬
гать равной единице). Тогда сила, действующая на единичную массу, Vp/p,
должна быть равна ускорению частицы dv/dt:
dv Vp
dt p
4
Глава 1
Ускорение движущейся частицы жидкости, разумеется, не равно частной
производной скорости по времени в данной точке пространства, а задается
полной производной (называемой также материальной). Используя прави¬
ло дифференцирования сложной функции, эту производную выражаем че¬
рез величины, заданные в фиксированных пространственных координатах.
За время dt скорость частицы изменится на dv, которая состоит из двух
частей, временной и пространственной:
д\ dv dv dv dv
dv = dtS + (dr ■V)v = dtm+dxai + dvai + dtTz (1Л)
Это изменение в данной точке плюс разница между двумя точками, раздви¬
нутыми на расстояние dr = vdt, на которое сдвинулась частица за время dt.
Разделив (1.1) на dt, получим так называемую материальную производную
как локальную производную плюс перенос:
dv
dt
dv
at + (v'V)v-
Как видно, ускорение жидких частиц может быть не равно нулю даже
для стационарного течения с dv/dt = 0, если (v • V)v ф 0, т. е. если
скорость меняется вдоль направления, ею же задаваемого. И любая функ¬
ция F(r(t),t) (например, температура жидкости) меняется для жидкой ча¬
стицы в соответствии с тем же правилом:
dF
dt
dF
dt
+ (v • V)F.
Второй закон Ньютона, записанный для единичной массы, является
уравнением, выведенным Эйлером (Берлин, 1757; Петербург, 1759) и нося¬
щим его имя:
dv Vp
_ + (v.V)v = --
(1.2)
До Эйлера ускорение жидкости или газа рассматривалось только как ре¬
зультат давлений, создаваемых твердыми телами на границе. Эйлер ввел
в рассмотрение распределение давления внутри жидкости. Например, для
вращающейся жидкости, изображенной на рисунке 1.1, вектор ускорения
(v • V)v имеет ненулевую радиальную компоненту v2/г, которая, будучи
умноженной на плотность, дает радиальный градиент давления: dp/dr =
= pv2/г.
1.1. Определения и основные уравнения
5
Рис. 1.1. Радиальный градиент давления перпендикулярен круговым поверхностям
и не может изменить момент импульса внутри или снаружи такой поверхности; он
меняет только направление скорости, но не ее величину.
Можно также добавить внешнюю силу, действующую на единичную
массу (для силы тяжести f = g):
Слагаемое (v • V)v описывает инерцию и делает уравнение Эйлера (1.3)
нелинейным.
2. Уравнение непрерывности. Напишем уравнение, выражающее
сохранение массы. Если Q — объем любой части движущейся жидкости,
то dpQ/dt = 0, что может быть записано так:
(1.3)
(1.4)
Изменение объема может быть выражено через скорость v(r, t).
6у
Q
А
8х
В
Горизонтальная скорость точки В относительно точки А — это
5xdvx/dx. Через интервал времени dt длина стороны АВ станет 8х( 1 +
6
Глава 1
+ dtdvx/dx). Изменение объема после dt равно
dQ — dtSxdySz (+ 37^- + — dtQdivv = dt^-.
\ ox ay oz ) dt
Подставляя это в (1.4) и сокращая (произвольное) Q, получим уравнение
непрерывности
37 + pdivv = ^ + (v • V)p + pdiv v = % + div(yov) = 0. (1.5)
at ot ot
Это уравнение почти очевидно, поскольку для любого фиксированного объ¬
ема пространства уменьшение полной массы внутри — J (dp/dt) dV рав¬
няется потоку наружу § pv • di = f div(pv)dV.
3. Идеальная жидкость. Мы пока что имеем четыре уравнения (1.3),
(1.5) на пять величин р, р, vx, vy, vz, так что необходимо где-то взять еще
одно уравнение. При выводе (1.3), (1.5) мы не учитывали диссипацию
энергии, пренебрегая тем самым внутренним (вязким) трением и теплооб¬
меном. Жидкость без вязкости и теплопроводности называется идеальной.
Течение идеальной жидкости адиабатично, т. е. энтропия любой жидкой
частицы остается постоянной: ds/dt = 0, где 5 есть энтропия на едини¬
цу массы. Можно обратить это уравнение в уравнение непрерывности для
плотности энтропии в пространстве:
+ div(psv) = 0. (1.6)
Поскольку энтропия может быть представлена как функция давления
и плотности, то (1.6) и есть необходимое дополнительное уравнение, свя¬
зывающее скорость, давление и плотность. Различные среды описываются
разными функциями s(P, р).
4. Эйлеров и лагранжев способы описания течения. Оглянувшись
назад, нетрудно увидеть, что мы использовали два альтернативных способа
описания. Уравнения (1.3), (1.6) используют систему координат, фиксиро¬
ванную в пространстве, как теории электромагнитного, гравитационного
и других полей. Этот тип описания в гидродинамике принято называть эй¬
леровым. Другой подход называется лагранжевым и является обобщением
на континуум формализма механики частиц и тел. В рамках этого подхода
мы движемся вместе с частицами жидкости;2 текущие координаты частиц
Определения и основные уравнения
7
r(R, t) являются функциями времени и начальных позиций R = r(R, 0).
Материальная производная является лагранжевой, поскольку она привяза¬
на к данной частице и, стало быть, вычисляется при фиксированном R:
d/dt = (d/dt)ji. Законы сохранения, записанные для любой величины А
для единичной (или любой фиксированной) массы, имеют лагранжеву фор¬
му:
йЛ
dt
дА
dt
+ (vV) А = 0.
Всякий лагранжев закон сохранения вместе с сохранением массы произво¬
дит эйлеров закон сохранения для пространственной плотности рА:
д(рЛ)
dt
+ div(p.4.v) = А
+ Р
дА . .
аГ + <vV)-4
= 0.
Напротив, если эйлеров закон сохранения
д(рВ)
dt
+ div(F) = 0
содержит поток, не равный произведению плотности на скорость, F ф pBv,
тогда соответствующего лагранжева закона сохранения не существует. Это
означает, что частицы жидкости могут обмениваться величиной В, сохраняя
полный интеграл по пространству — мы увидим, что законы сохранения
энергии и импульса имеют такую форму.
5. Граничные условия. На границах уравнение непрерывности (1.5)
заменяется граничными условиями:
1) на неподвижной границе с твердым телом vn = 0;
2) на движущейся границе между двумя несмешивающимися жидкостя¬
ми pi = р2 и vnl = vn2.
Это два частных случая общего граничного условия. Обозначим F(г, t)= 0
уравнение ограничивающей поверхности. Отсутствие потока жидкости че¬
рез поверхность может быть записано как
dF
dt
dF
~dt (V V)-F = 0,
что выражает, как мы теперь знаем, постоянство F для частиц жидкости.
На неподвижной границе dF/dt = 0 и v 1 VF => vn = 0.
8
Глава 1
1.1.3. Гидростатика
Необходимое и достаточное условие механического равновесия жид¬
кости следует из (1.3):
Vp = pf. (1.7)
Только такое распределение плотности р(г) может быть в равновесии, для
которого p(r)f(r) является градиентом скаляра. В случае потенциальной
силы f = —Уф, взяв ротор от (1.7), мы получим
У р х Уф = 0.
Это простое соотношение означает, что градиенты риф параллельны и их
поверхности постоянного уровня совпадают в равновесии. Для поля тяже¬
сти имеем ф = gz и dp/dz = —рд. Для несжимаемой жидкости в поле
тяжести получим
p(z) = р{0) - pgz.
Для идеального газа с однородной в пространстве температурой и давлени¬
ем р = рТ/га получаем
p(z) =p(0)exp(-mgz/T).
В частности, для воздуха при 0°С получаем масштаб Т/mg ~ 8 ктп. Изме¬
нение давления с высотой в атмосфере Земли не описывается ни линейным,
ни экспоненциальным законами из-за неоднородности температуры по вы¬
соте.
Р
изотермический газ
линеиноеч
убывание \
несжимаемая
жидкость 4 реальна
экспоненциальное
... убывание
атмосфера 2
Рис. 1.2. Зависимость давления от высоты для атмосферы Земли (сплошная линия),
несжимаемой жидкости (пунктир) и газа с однородной температурой (точки).
1.1. Определения и основные уравнения
9
Аппроксимируя падение температуры с высотой линейной функции
T(z) =Tq — az, получим более аккуратное приближение:
dp _ _ ртд
dz ^ То — az'
p(z)=p(0)(l-az/To)^a,
которое хорошо работает недалеко от поверхности, если выбрать а ~
~ 6.5°/кт.
При равновесии в поле тяжести плотность может зависеть только от
расстояния до центра Земли (или локально от высоты z). Согласно dp/dz =
= —рд, давление тоже зависит только от z. Давление и плотность вместе
определяют температуру, которая, стало быть, тоже должна быть незави¬
симой от горизонтальных координат в равновесии. Разные температуры
на одинаковом расстоянии от центра, в частности разные температуры по¬
верхности, обязательно приведут к движению. По этой причине ветры ду¬
ют в атмосфере и течения текут в океанах. Другим источником движения
в поле тяжести может служить конвекция вследствие падения плотности
с высотой, например из-за падения температуры. Выведем условие меха¬
нической устойчивости жидкости с вертикальным профилем T(z). Если
небольшой объем жидкости сдвинется быстро (без обмена тепла) с высо¬
ты z на dz, его энтропия останется s(z), но давление сравняется с окружа¬
ющим р' = p(z + dz), так что плотность станет p(s,p'). Для устойчивости
новая плотность должна быть выше, чем плотность вытесненной жидко¬
сти, имеющей то же давление р\ но другую энтропию s' = s(z -f dz).
Следовательно, условие устойчивой стратификации может быть записано
следующим образом:
p(p',s) > p{p',s')
dp
ds
0.
Энтропия обычно растет при расширении, (dp/ds)v < 0, так что для устой¬
чивости следует потребовать ds/dz > 0. Энтропия зависит от высоты через
давление и температуру, которые оба убывают с высотой. Убывание тем¬
пературы уменьшает энтропию, а убывание давления увеличивает. Чтобы
установить, который из эффектов побеждает, напишем
ds _ /ds_\ dT (ds\ dp _ CpdT _ (dV\ g_
dz~ \dT)p~te + \dp)Td^~ T dz \dTJpV>
(1.8)
10
Глава 1
Мы ввели удельный объем V = l/р. Полагая воздух идеальным газом с ко¬
эффициентом теплового расширения (dV/dT)p = V/T, получим простой
критерий
dT д_
dz ср
(1.9)
Действительно, приращение потенциальной энергии gdz должно превы¬
шать уменьшение внутренней энергии за счет ухода тепла cpdT. Для атмо¬
сферы Земли ср ~ 103 J/kg • Kelvin, так что порог 10°/кт близок к сред¬
нему градиенту 6.5°/кт. Вследствие этого отдельные части атмосферы ча¬
сто неустойчивы по отношению к тепловой конвекции.3 Человеческое тело
всегда возбуждает конвекцию при комнатной температуре.4
Прямым аналогом критерия устойчивости относительно конвекции яв¬
ляется критерий Рэлея устойчивости несжимаемой жидкости, вращающей¬
ся с угловой скоростью Q(r): вращение устойчиво, если момент импульса
L = r2\Q\ возрастает при увеличении расстояния г от оси вращения, т. е.
d(r2£l)2/dr > О.5 Действительно, если частица жидкости сдвинется с г в г7,
она сохранит момент импульса L(r), так что локальный градиент давления
dp/dr = pr'Q2(r') должен победить центробежную силу pr'(L2rA/г'4).
1.1.4. Изэнтропическое течение
Простейшие течения соответствуют постоянной s и описываются су¬
щественно упрощенным уравнением Эйлера вследствие возможности пред¬
ставить Vp/p как градиент. Для такого представления нам нужен термоди¬
намический потенциал, который зависит от р, s, так что при постоянном s
его дифференциал выражается только через dp. Такой потенциал называет¬
ся энтальпией и выражается через внутреннюю энергию единичной массы
жидкости Е по формуле W = Е + pV. Из всей термодинамики для нас до¬
статочно одного соотношения dE = Tds — pdV, так что dW = Tds + Vdp
nW — d{Ep)/dp). Поскольку энтропия не меняется ни в пространстве, ни
во времени для изэнтропического течения и V = р~1 для единичной массы,
то dW = dp/р и мы получаем в отсутствие внешних сил
<9v
+ (v • V)v = -VW. (1.10)
Такая градиентная форма уравнения Эйлера будет нами использоваться для
получения законов сохранения и интегральных соотношений. Например,
1.1. Определения и основные уравнения
11
используя векторное тождество А х (V х В) = А • (VB) — (А • V)B),
можно представить
(v • V)v = Vv2/2 — v х (V х v)
и получить
л
= v х (V х v) — V(W + v2/2). (1.11)
Здесь первый член справа — вектор, перпендикулярный скорости. Чтобы
спроектировать (1.11) на направление скорости и избавиться от этого сла¬
гаемого, мы определим линии тока как всюду параллельные мгновенному
полю скорости. Такие линии определяются соотношениями
dx dy dz
Vy Vz
Для нестационарных течений линии тока отличаются от траекторий ча¬
стиц: касательные к линиям тока дают скорости в данный момент времени,
тогда как касательные к траекториям дают скорости в последовательные
моменты времени. Линии тока можно зарегистрировать экспериментально,
поместив в течение частички, рассеивающие свет. Каждая такая частичка
оставит короткий след на фотографии, снятой с короткой выдержкой; длина
и ориентация такого следа задают величину и направление скорости. Ли¬
нии тока могут пересекаться только в точке нулевой скорости, называемой
точкой остановки.
Рассмотрим теперь стационарное течение dv/dt = 0 и спроектиру¬
ем (1.11) на направление скорости в данной точке:
§i(W + v2/2)=0. (1.12)
Видно, что величина W + v2/2 = Е+р/р + v2/2 не меняется вдоль любой
линии тока, но может иметь разные значения для разных линий тока. Это
теорема Бернулли (1738), являющаяся не чем иным, как частным случаем
закона сохранения энергии. Вдоль линии тока изменение полной энергии
piEi + p\v\j2 - р2Е2 - P2V2/2 равно не нулю, а совершенной работе Р2 -
- Pi. Именно поэтому W, а не Е фигурирует в законе сохранения, что
также обсуждается после (1.14). Можно также сказать, что W служит по¬
тенциальной энергией частиц жидкости, см. ниже (1.34). В поле тяжести
W + gz + v2/2 = const. (1.13)
12
Глава 1
Можно сказать без преувеличения, что большинство гидродинамических
оценок используют (1.12) или (1.13). Рассмотрим несколько приложений
этого полезного соотношения.
Предположим, что наш космический корабль подвергся метеоритной
атаке, проделавшей отверстия в стенах кабины и бака с жидким топливом.
Надо быстро оценить, с какой скоростью уходят воздух из кабины и топли¬
во из бака. Полагая, что вокруг корабля вакуум, пренебрежем теплообменом
и будем считать, что оба процесса истечения являются изэнтропическими.
Топливо можно полагать несжимаемой жидкостью. При постоянной плот¬
ности и при отсутствии теплообмена и внешних сил энергия Е постоянна.
Теорема Бернулли дает скорость, с которой такая жидкость вытекает в ва¬
куум:
v = \/2р0/р.
Например, для воды (р = 103кгм_3) при атмосферном давлении (ро =
= 105Нм“2) получим v = >/200 « 14 м с-1. Рассмотрим теперь утечку
воздуха из кабины. В случае газа падение давления должно сопровождать¬
ся изменением плотности. Из закона адиабаты р/р0 = {р/Ро)1 получим
энтальпию
W =
IV
(7-1 )р
Скорость истечения в вакуум
V =
27Ро
(7 - 1 )Р
в — 1) раз больше, чем у несжимаемой жидкости, поскольку внут-
ренняя энергия газа уменьшается, увеличивая кинетическую энергию. Так
что воздух из кабины уходит быстрей, чем топливо из бака, со всеми выте¬
кающими последствиями. Мы увидим далее, что (дР/др)8 = *уР/р — это
квадрат скорости звука с2, так что v = с>/2/(7 — 1). Для идеального газа
с п степенями свободы имеем W = Е + р/р = пТ/2т + Т/m, так что
7 = (2 + п)/п. Для двухатомных газов при не очень высокой температу¬
ре п = 5.
Другая часто встречающаяся ситуация — течение из небольшого отвер¬
стия под действием силы тяжести. Предполагая давление снаружи равным
давлению на верхней горизонтальной поверхности жидкости, применим
теорему Бернулли к линии тока, которая начинается на верхней поверх¬
ности с почти нулевой скоростью и выходит через отверстие со скоростью
1.1. Определения и основные уравнения
13
v = y/2gh (Торричелли, 1643). Если мы умножим эту скорость на пло¬
щадь отверстия, чтобы определить расход жидкости, то получим сильно
завышенную оценку — факт, ставший известным виноторговцам задолго до
физиков. Дело в том, что линии тока сходятся со всех сторон к отверстию,
так что скорость не перпендикулярна плоскости отверстия. Вдобавок нали¬
чие радиальной компоненты скорости означает также наличие радиального
градиента давления, так что давление внутри струи несколько больше, чем
снаружи, а скорость несколько меньше, чем л/2gh.
Рис. 1.3. Сжатие вытекающей струи.
Сходимость линий тока к отверстию приводит к тому, что струя продол¬
жает сжиматься и после выхода. Наблюдения показывают, что сжатие пре¬
кращается и струя становится цилиндрической недалеко от отверстия. Вот
в этой точке (называемой по латыни vena contracta) скорость струи и рав¬
няется y/2gh. Отношение сечения струи в этой точке к площади отверстия
называется коэффициентом истечения, и скорость расхода есть у/2gh, умно¬
женная на площадь отверстия и на коэффициент истечения. Для круглого
отверстия в тонкой стене коэффициент истечения 0.62 был найден экспе¬
риментально. Задача 1.3 представляет частный случай, в котором коэффи¬
циент истечения может быть найден точно.
Имеются различные приборы, принципы измерения которых основаны
на теореме Бернулли. Вероятно, таким простейшим устройством является
трубка Пито, показанная на рисунке 1.4. Трубка открыта с обеих сторон,
горизонтальная часть направлена навстречу течению. Поскольку жидкость
неподвижна внутри трубки, скорость в точке В равна нулю. С одной сторо¬
ны, разность давлений между двумя точками на одной линии тока можно
выразить через скорость в точке А: Рв — Ра = pv2/2. С другой стороны,
14
Глава 1
эта разность выражается через высоту h подъема жидкости в вертикальном
колене: Рв — Ра = pgh. Это дает v2 = 2gh.
Рис. 1.4. Трубка Пито, которая определяет скорость v в точке А путем измерения
высоты h.
1.2. Законы сохранения и потенциальные течения
В этой главе мы получим из уравнений движения законы сохранения
и их непосредственные следствия.
1.2.1. Потоки энергии и импульса
Выведем уравнение, выражающее закон сохранения энергии. Про¬
странственная плотность энергии течения — это р(Е + v2/2). Для изэнтро-
пических течений, используя дрЕ/др = Е + рдЕ/др = Е — p~1dE/dV =
= Е + Р/р = W, вычислим производную по времени:
Поскольку правая часть является полной производной, интеграл от плотно¬
сти энергии по пространству (т. е. полная энергия) сохраняется. Такой же
эйлеров закон сохранения в форме уравнения непрерывности может быть
получен и в общем случае неоднородной энтропии. Вычислим сначала про¬
изводную по времени от кинетической энергии:
h
А У-
А*—-
д_
dt
(ре + ={w+ ) ^ +
— = -div [pv(W + v2/2)].
1.2. Законы сохранения и потенциальные течения
15
Для вычисления d{pE)/dt используем dE = Tds — pdV = Tds + рр 2dp,
так что d(pE) = Edp + pdE = Wdp + pTdsw
Собирая все вместе, получим
^ (рЕ + ef)= -div \pv(W + v2/2)}. (1.14)
Как и следует, правая часть является дивергенцией потока:
^-tf(pE+^f)dV = -j> P(w + vV2)v • df.
Обратим внимание, что поток энергии
pv(W + V2/2) = pv(E + v2/2) + pv
вовсе не равен плотности энергии, умноженной на скорость v, а содержит
еще и член, который описывает работу, совершенную давлением. Другими
словами, единичная масса жидкости несет с собой энергию W + v2/2, а не
Е + v2/2. Это означает, в частности, что для энергии нет лагранжева закона
сохранения для единичной массы d(-)/dt = 0 типа того, что имеет место
для пассивно переносимых величин, таких как энтропия. Это естественно,
поскольку частицы жидкости обмениваются энергией, совершая работу.
Частицы жидкости могут обмениваться также и импульсом, закон со¬
хранения которого также должен иметь вид уравнения непрерывности, за¬
писанного для вектора пространственной плотности импульса pv:
дрщ дП ik =
dt дхк
Найдем плотность потока импульса П^ь представляющего собой поток г-
той компоненты импульса через поверхность с нормалью вдоль оси к. Под¬
ставим уравнение непрерывности для массы
dp/dt = -д(рук)/дхк
и уравнение Эйлера dvi/dt = —vkdvi/dxk — р 1dp/dxi в
dpVi dvi dp
~dT=p~dt+Vidt
dp d
a л P»ivk,
dxi dxk
16
Глава 1
что дает
П-г/с — P^ik “I” P'Vi'Vk'
(1.15)
Попросту говоря, вдоль v имеется только поток параллельного импульса
р + pv2, тогда как перпендикулярная v компонента импульса отсутствует,
и поток равен р. Например, направив ось х вдоль скорости в данной точке,
получим Ихх = р + у2, Пуу = IIZZ = р, а все недиагональные компоненты
потока равны нулю.
1.2.2. Кинематика
В этом параграфе мы опишем кинематику малого объема жидкости,
что нам понадобится, в частности, для понимания нового закона сохране¬
ния, который будет описан в следующем параграфе. Относительное движе¬
ние частиц жидкости определяется разностью скоростей в соседних точках:
Для удобства анализа тензора производных скорости разделим его на сим¬
метричную и антисимметричную части: dvi/dxj = Sij + Aij. Симметрич¬
ный тензор = (dvi/dxj + dvj/dxi)/2 называется тензором деформации.
Он всегда может быть приведен к диагональной форме (главным осям) с по¬
мощью ортогонального преобразования. Диагональные компоненты задают
темпы растяжения или сжатия вдоль главных осей. Действительно, рассто¬
яние между двумя точками вдоль одной из осей удовлетворяет уравнению
fi = 5vi = riSu (без суммирования по г), решение которого имеет вид
Если Su не зависит от времени, то расстояния растут или убывают экс¬
поненциально. Таким образом, если поле скорости локально имеет только
симметричную часть тензора производных, то сферический элемент жидко¬
сти превращается в эллипсоид. Действительно, рассмотрим круг радиуса R
при t = 0. Частица, стартовавшая из точки с координатами xq и уо =
= y/R2 — Xq, за время t переместится в точку
5 Vi = rjdvi/dxj.
x(t) = eSlltxo,
y(t) = eS22ty0 = eS22t)Jll2 yjR2 - x2(t)e-2S^*
x2(t)e-2Sllt +y2(t)e~2S22t = R2.
(1.16)
1.2. Законы сохранения и потенциальные течения
17
Уравнение (1.16) описывает превращение исходного круга жидкости в эл¬
липс, эксцентриситет которого увеличивается экспоненциально с тем¬
пом 15ц - $221 (рис. 1.5).
Сумма диагональных компонент тензора деформации div v = Su опре¬
деляет темп изменения объема:
Q~xdQjdt = —p~1dp/dt = divv = Su.
t
exp(Sxxt)
|exp(Svyt)
Рис. 1.5. Деформация жидкого элемента постоянным тензором деформации.
Антисимметричная часть = (dvi/dxj — dvj/dxi)/2 имеет только
три независимых компоненты в трехмерном пространстве и может быть
представлена как вектор со: Aij = —eijkWkfo- Коэффициент —1/2 введен,
чтобы упростить соотношение между v и и:
и = V х v.
Вектор и называется завихренностью, поскольку он описывает вращение
элемента жидкости: 5v = [и х г]/2. Завихренность есть удвоенная локаль¬
ная угловая частота вращения. Плоское сдвиговое течение vx(y) соответ¬
ствует деформации и завихренности, равным по величине (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Деформация и вращение жидкого элемента в сдвиговом течении, состоя¬
щем из деформации и завихренности.
1.2.3. Теорема Кельвина
Эта теорема описывает сохранение циркуляции скорости для изэнтро-
пических течений. Для вращающегося цилиндра жидкости угловой момент
18
Глава 1
импульса пропорционален циркуляции скорости вокруг окружности цилин¬
дра. Как угловой момент, так и циркуляция сохраняются, когда действуют
только нормальные силы, как уже упоминалось в начале параграфа 1.1.1.
Покажем, что это справедливо для любого «жидкого» контура, т. е. движу¬
щегося вместе с жидкостью. При движении жидкости меняются как ско¬
рость, так и форма контура:
d_
dt
•dl =
j) v(d\/dt) +
(<dv/dt) • d\ = 0.
Первый член равен нулю как контурный интеграл от полного дифферен¬
циала: поскольку dl/dt = 5v, постольку §v{d\/dt) = § 5(v2/2) = 0. Во
второй член мы подставим уравнение Эйлера для изэнтропического тече¬
ния dv/dt = —VW и используем формулу Стокса, утверждающую, что
циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора через по¬
верхность, натянутую на этот контур: § S7W • d\ = / V х VVF di = 0.
Из формулы Стокса также следует, что § vdl = f и • df. Таким об¬
разом, сохранение циркуляции скорости эквивалентно сохранение потока
завихренности. Чтобы лучше освоиться с этим, рассмотрим альтернатив¬
ный вывод. Взяв ротор от (1.11), получим
757 = V х (v х и). (1.17)
Простейший урок, который можно извлечь из (1.17): если и = 0,
то duo/dt = 0, т. е. безвихревое течение всегда остается таковым в идеаль¬
ной жидкости. Не только нулевое, но и любое значение завихренности со¬
храняется для частиц жидкости. Действительно, такое же уравнение (1.17)
описывает магнитное поле в идеальном проводнике. Подставляя условие
отсутствия электрического поля в системе отсчета, движущейся со скоро¬
стью v, сЕ + v х Н = 0, в уравнение Максвелла dH/dt = — cV х Е,
получим dH/dt = V х (v х Н). Магнитный поток сохраняется в иде¬
альном проводнике, как и завихренность в изэнтропическом течении. Век¬
торное поле можно представить зрительно линиями поля, которые задают
направление поля в каждой точке, а плотность линий задает величину поля.
Теорема Кельвина означает, что вихревые линии, задающие векторное поле
завихренности, движутся вместе с частицами идеальной жидкости в точ¬
ности так, как линии магнитного поля вморожены в идеальный проводник.
Чтобы непосредственно убедиться в этом, покажем, что и/p (и Н/р) удо¬
влетворяет тому же уравнению, что и вектор г, соединяющий две частицы
1.2. Законы сохранения и потенциальные течения
19
жидкости: dr/dt = (г • V)v. Используем dp/dt = —pdivv и применим
общее соотношение
V х (А х В) = А(Х7 • В) - B(V • А) + (В • V)A - (А • V)B (1.18)
к V х (v х со) = (о; • V)v — (v • V)o; — со div v. Получим
d со 1 dco со dp 1
dt p p dt p2 dt p[ dt
д со
+ (v • V)co
+
div v
= - [(со • V)v — (v • V)co — со div v + (v • V)cj] +
div v
9
Поскольку г и со/p эволюционируют одинаково, то две близкие частицы,
оказавшиеся на одной вихревой линии, остаются на ней всегда. Посколь¬
ку любая частица жидкости остается на своей вихревой линии, то никакой
жидкий контур не может пересечь эти линии, так что поток завихренности
сохраняется. Важно подчеркнуть, что теорема Кельвина является нелокаль¬
ным законом сохранения и неэквивалентна сохранению углового момента,
у которого существует локальная плотность pv х г.
На этом мы заканчиваем формулирование уравнений движения и их
общих свойств. Теперь перейдем к рассмотрению простейших течений, до¬
пускающих аналитическое описание. Это потребует дополнительных пред¬
положений.
1.2.4. Безвихревые и несжимаемые течения
1. Безвихревые течения по определению имеют нулевую завихрен¬
ность: cj = Vxv = 0. В таких течениях j> v • dl = 0 по любому замкнутому
контуру, что означает, в частности, отсутствие замкнутых линий тока в лю¬
бой односвязной области. Заметим, что течение должно быть изэнтропиче-
ским, чтобы оставаться безвихревым, т. е. неоднородный нагрев способен
создавать вихри. Безвихревое векторное поле является потенциальным, v =
= V0, так что уравнение Эйлера (1.11) принимает форму,
20
Глава 1
которую можно проинтегрировать:
ai + vhw = C{<)-
Функция C(t), не зависящая от пространственных координат, может быть
включена в потенциал 0(r, t) —> ф(г, t) + Jb C(tf)dt\ не меняя скорости, что
дает окончательно
дф
dt
+ — + W = 0.
(1.19)
Для стационарного потенциального течения мы, таким образом, получили
существенно более сильную версию теоремы Бернулли, утверждающую,
что v2/2 + W является одной и той же постоянной для всех линий тока
в отличие от общего (вихревого) случая, когда постоянная, вообще говоря,
имеет разные значения для разных линий тока.
Отсутствие завихренности обеспечивает радикальное упрощение опи¬
сания, которое будет приведено в этом и следующем параграфах. К сожале¬
нию, безвихревые течения встречаются намного реже, чем можно было бы
предположить исходя из теоремы Кельвина. Главная причина этого в том,
что завихренность порождается (даже для изэнтропических течений) внут¬
ри вязких пограничных слоев вблизи твердых поверхностей, как мы увидим
ниже в главе 1.5. При этом мы увидим, что большие области течения мо¬
гут тем не менее оставаться незатронутыми производством завихренности
и быть эффективно описаны как безвихревые. Другой класс потенциаль¬
ных течений соответствует малым колебаниям жидкости типа, например,
порожденных волнами или осцилляциями погруженных тел. Если ампли¬
туда колебаний а мала по сравнению с масштабом изменения скорости /,
то dv/dt ~ v2/а, в то время как (vV)v ~ v2//, так что можно пренебречь
нелинейным членом и dv/dt = —VW. Взяв ротор от этого соотношения,
получим сохранение и, среднее от которого должно отсутствовать для ос-
цилляторного движения, так что окончательно заключаем, что и = 0.
Уравнение Эйлера упрощено максимально, от (1.2) до (1.19). Проде¬
лаем теперь то же с уравнением непрерывности.
2. Несжимаемая жидкость может полагаться таковой, если плот¬
ность может считаться неизменной. Как видно из (1.5), темп изменения
плотности при движении любого элемента жидкости задается как div v =
= — d\np/dt. Таким образом, для несжимаемой жидкости от уравнения
1.2. Законы сохранения и потенциальные течения
21
непрерывности остается
divv = 0. (1.20)
Подчеркнем, что при этом плотность, строго говоря, не обязана быть по¬
стоянной в пространстве и во времени, важно только, что она не меняется
при движении. Иными словами, dp/dt и (vV)p могут быть по отдельности
и не равны нулю, достаточно, что их сумма исчезает. Мы, однако, будем
рассматривать только простейший случай, когда плотность может считать¬
ся постоянной в пространстве и неизменной во времени. Это означает, что
в полном уравнении непрерывности dp/dt + (vV)p + pdivv = 0 и первое
и второе слагаемые много меньше последнего. Пусть скорость v меняется
на масштабе I за характерное время т. Оценим изменение плотности
8р ^ (dp/dp)s 6р ~ (dp/dp)s pv2 ~ pv2/c2, (1.21)
где мы оценили изменение давления из теоремы Бернулли. Потребовав
(vV)р ~ v5p/l <С pdivv ~ pv/l,
получим 5р <С р, что, согласно (1.21), справедливо, если скорость намного
меньше скорости звука. Второе условие dp/dt pdivv — это требование
достаточно медленного изменения плотности:
dp/dt ~ бр/т ~ бр/тс2 ~ pv2/тс2 pv/l ~ pdivv.
Это накладывает требование т > (l/c)(v/c). На самом деле, требование яв¬
ляется более ограничительным, поскольку сравнение двух первых членов
в уравнении Эйлера позволяет оценить v ~ l/т, что дает т I/с. Переве¬
денное в слова, это дополнительное условие несжимаемости означает, что
характерное время т должно превышать характерный масштаб I, деленный
на скорость звука с. Дело в том, что звук должен успеть пробежать по всей
длине, выравнивая плотность.
Для изэнтропического течения несжимаемой жидкости внутренняя
энергия не меняется, dE = Tds + pp~2dp = 0, так что можно всюду
полагать W = р/р. Поскольку плотность не является более независимой
переменной, можно выбрать только уравнения, содержащие скорость, на¬
пример (1.17) и (1.20).
В двух измерениях несжимаемое течение может быть описано одной
скалярной функцией. Поскольку dvx/dx = —dvv/dy, можно ввести функ¬
цию тока ф, определенную согласно vx = d'tp/dy и vy = —dxp/dx. Напом¬
ним, что линии тока определены соотношением vxdy — vydx = 0, которое
22
Глава 1
может быть записано как dip = 0, т. е. линии уровня функции тока ф(х, у) =
= const задают линии тока. Другое важное свойство функции тока — это
равенство потока жидкости через любую линию разности значений ф на
ее концах. Как очевидное следствие несжимаемости, поток не зависит от
формы линии, а только от положения ее концов:
j^ Vndl = (vxdy-vydx) = J dil> = rl>2-'*l>i' (1.22)
Здесь vn — нормальная компонента скорости, так что поток равен модулю
векторного произведения J |v х сй|, см. рисунок 1.7. Неподвижная твердая
поверхность должна совпадать с одной из линий тока.
Рис. 1.7. Поток через элемент dl равен потоку вправо vxdy минус поток вверх vydx
в согласии с (1.22).
Потенциальное течение несжимаемой жидкости описывается ли¬
нейным уравнением, поскольку из (1.20) следует, что потенциал удовле¬
творяет уравнению Лапласа6
Аф = 0
с граничным условием дф/дп — 0 на неподвижной твердой поверхности.
V
X
Особенно элегантно можно описать двумерные (2d) потенциальные те¬
чения несжимаемой жидкости. В этом случае можно определить как потен¬
циал, так и функцию тока. Уравнения
_ дф _ дф дф дф
дх ду7 Уу ду дх
(1.23)
1.2. Законы сохранения и потенциальные течения
23
имеют вид условий Коши - Римана для того, чтобы комплексный потенциал
w = ф + гф был аналитической функцией комплексного переменного 2 =
= х + гу. Это означает, что w меняется одинаково в любом направлении
в £,2/-плоскости, так что во всей плоскости можно ввести комплексную
производную dw/dz. Например, оба выбора dz = dx и dz = idy дают тот
же ответ в силу (1.23):
dw
dz
дф дф дф дф
дх дх гду ду Vx Wy
= ve
— гв
V = Vx 4- ivy =
dw
dz ’
Запись в комплексных переменных позволяет компактное описание
множества течений и нахождение течения в сложной геометрии путем отоб¬
ражения области течения в стандартную область. Такое отображение долж¬
но быть конформным, т. е. осуществляться аналитической функцией, так
что уравнения (1.23) сохраняют свой вид в новых координатах.7
Таким образом, мы получили первое (и сразу бесконечное) семейство
решений — любая функция, аналитическая в области и имеющая постоян¬
ную мнимую часть на границе, описывает потенциальное течение несжи¬
маемой жидкости в этой области. Однородное течение задается линейной
функцией w = (vx — ivy)z. Вот еще несколько простых примеров.
1) Потенциальное течение вблизи точки остановки v = 0, находящейся
внутри области или на гладкой границе, выражается через тензор де¬
формации Sij\ ф = SijXiXj/2, где divv = Su = 0. В главных осях
тензора vx = кх, vy = —ку, что соответствует
ф = к(х2 — у2)/2, ф = кху, w = kz2 / 2.
Линии тока — гиперболы. В частности, такое течение реализуется
вблизи границы, которая должна совпадать с одной из осей х, у или
обеими, как показано на рисунке.
24
Глава 1
2) Рассмотрим потенциал вида w = Azn, имеющий ф = Arn cos пв и ф =
= Arn sin Прямые линии тока в = 0ив = /к/п могут быть выбра¬
ны как границы. Разные интересные частные случаи соответствуют
разным п. Абсолютное значение скорости
v =
dw
dz
при г —> 0 обращается или в ноль (п > 1), или в бесконечность (n < 1),
см. рисунок 1.8.
Рис. 1.8. Течения, описываемые комплексным потенциалом w = Azn.
Эти решения могут рассматриваться как полученные конформным пре¬
образованием £ = zn, которое отображает область z в полную плоскость £.
Потенциал w = Azn = А£ описывает однородное течение в плоскости £.
Значение потенциала одинаково в точках z и (, связанных преобразовани¬
ем, которое, таким образом, переводит линии тока в линии тока. Скорость
в образе области есть dw/d£ = (dw/dz)(dz/d(i), т.е. модуль скорости об¬
ратно пропорционален фактору растяжения. Это имеет два важных след¬
ствия. Во-первых, энергия потенциального течения инвариантна относи¬
тельно конформных преобразований, т. е. энергия внутри любой замкнутой
кривой в плоскости прообраза z та же, что энергия внутри образа кри¬
вой в плоскости £. Во-вторых, динамика течения не является конформно
инвариантной, хотя линии тока инвариантны (и совпадают с траектория¬
ми частиц для стационарного течения); действительно, течение переносит
частицу из точки z в новую точку z + vdt = z + dt(dw/dz), образ которой,
C(z + vdt) = C(z) + dtv~ = ((z) +
dz dz dz
не совпадает с новым положением старого образа
w \ 1tdw w ч , dw dz
1.3. Движение сквозь жидкость
25
Несмотря на эстетическую привлекательность течений, задаваемых
аналитическим функциями комплексного переменного, их применения
весьма ограниченны. Причина в том, что реальные течения отрываются
в точках сингулярности: не поворачивают за угол при п < 1 и не достига¬
ют внутренности угла при п > 1, как показано на рисунке.
Явление отрыва происходит из совместного действия вязкости и инер¬
ции и детально обсуждается в параграфе 1.5.2. Отрыв производит завихрен¬
ность, что делает невозможным введение потенциала ф и использование
комплексного потенциала w (линии тока вихревых течений не являются
конформно инвариантными).
1.3. Движение сквозь жидкость
Зададимся вопросом, какую силу требуется приложить, чтобы приве¬
сти в движение тело, находящееся в жидкости. Представим на минуту пу¬
зырек в шампанском. Масса газа внутри в тысячу раз меньше, чем масса
вытесненной жидкости, определяющая архимедову силу. Значит ли это, что
пузырьки устремятся вверх с ускорением 1000#, выплеснув драгоценную
жидкость? Понятно ведь, что движение тела приводит в движение также
и часть жидкости. Естественно тогда предположить, что при оценке силы
мы должны учесть изменение импульса как тела, так и окружающей жид¬
кости. Однако что-то не так и с этим естественным предположением. Дей¬
ствительно, если жидкость заключена в неподвижный сосуд, то ее полный
импульс всегда равен нулю! В этом случае не менее естественно полагать,
что далекие стенки не должны влиять на силу, прилагаемую к телу вда¬
ли от них. Ясно, что тело приведет в движение часть жидкости в своей
непосредственной окрестности и это определит силу, а компенсирующий
противоток будет распределен по всему объему и не должен влиять на си¬
лу. В этой главе мы решим задачу о движении тела (сначала сферической,
а потом и произвольной формы) в идеальной несжимаемой жидкости в про¬
стейшем предположении потенциальности течения. Это позволит нам вы¬
числить вклад жидкости в силу, необходимую, чтобы привести тело в дви¬
жение. Этот вклад эквивалентен появлению добавочной (так называемой
стоянии вихрь
26
Глава 1
присоединенной) массы. Мы обнаружим, что вовсе не импульс, а квазиим¬
пульс жидкости определяет присоединенную массу. Мы обсудим различие
между законами сохранения импульса (обязанного своим существованием
однородности пространства) и сохранения квазиимпульса (обязанного сво¬
им существованием однородности среды).
Жидкость действует на движущееся в ней тело с силой, направленной
не только против движения, но и поперек, если тело несимметрично. Такая
поперечная сила обычно называется подъемной, поскольку она поддержи¬
вает птиц и самолеты, летящие в воздухе. Мы обнаружим в этой главе, что
в идеальной жидкости нет подъемной силы, что вынудит нас ввести трение
в следующей главе.
1.3.1. Потенциальное обтекание тела
Мы рассмотрим здесь простейшее безвихревое течение, предполагая
жидкость бесконечной, идеальной и несжимаемой. Все, что надо, — это
решить уравнение Лапласа
Аф = 0. (1.24)
Граничное условие на поверхности тела — чтобы жидкость не проникала
внутрь, что должно обеспечиваться совпадением нормальных компонент
скорости тела и и скорости жидкости: дф/дп = ип. Найдя потенциал,
можно вычислить скорость v = V0 и затем найти давление из теоремы
Бернулли:
р = —р[дф!д1 + v2/2). (1.25)
Прежде чем приступить к вычислениям, сформулируем несколько об¬
щих утверждений, следующих из того, что потенциал скорости удовлетво¬
ряет уравнению Лапласа. Во-первых, это уравнение является линейным,
так что поля скоростей несжимаемых потенциальных течений удовлетворя¬
ют принципу суперпозиции. Можно складывать поля скоростей, но не дав¬
ления. Во-вторых, уравнение Лапласа является эллиптическим, что озна¬
чает, что решения являются гладкими внутри областей, особенности могут
существовать только на границах в отличие от гиперболических (скажем,
волновых) уравнений.8 В-третьих, интегрируя уравнение Лапласа (1.24) по
любому объему, получим
J АфйУ = J di= £ V</> • di = 0,
1.3. Движение сквозь жидкость
27
что значит, что поток через любую замкнутую поверхность равен нулю,
как и должно быть в несжимаемой жидкости. Это означает, в частности,
что v = V0 меняет знак на любой замкнутой поверхности, так что экстре¬
мумы ф могут быть только на границах. Это же справедливо для компо¬
нент самой скорости (например, дф/дх), поскольку они тоже удовлетворя¬
ют уравнению Лапласа. Это значит, что для любой точки Р внутри области
течения можно найти точку Р', в которой \vx\ больше. Если выбрать на¬
правление х совпадающим с V0 в точке Р, придем к заключению, что для
любой внутренней точки можно найти точку в ее непосредственной окрест¬
ности, где \v\ больше. Иными словами, v2 не может иметь максимум внутри
(но может иметь минимум). Аналогично для давления, взяв лапласиан от
теоремы Бернулли (1.25),
Это означает, что локальные минимумы давления могут достигаться только
на границе (а максимумы могут быть и внутри области течения). Для стаци¬
онарных течений имеем v2/2 + р/р = const, так что максимумы v2 совпа¬
дают с минимумами р и все они находятся на границе.9 Знание положения
минимумов давления важно из-за явления кавитации. Дело в том, что там,
где давление жидкости падает ниже давления пара, происходит генерация
пузырьков газа. Когда затем пузырьки попадают в область более высокого
давления, они могут схлопнуться, производя ударные волны, постепенно
разрушающие движущиеся поверхности, например турбины. Максимумы
скорости важны для прямого механизма генерации ударных волн — как мы
увидим ниже в параграфе 2.3.2, ударная волна возникает, когда локальная
скорость жидкости или газа превышает скорость звука; как видим, это мо¬
жет происходить только на границах потенциального течения.
1.3.2. Движущийся шар
Как известно, решения уравнения Аф = 0, исчезающие на бесконечно¬
сти, — это 1/г и производные дп(1/г)/дхп. Вследствие симметрии шара —
его движение полностью характеризуется единственным вектором его ско¬
рости и. Линейность требует ф ос и, так что потенциал течения не может
Ар = — pAv2/2 = —p(Vv)2,
и проинтегрировав его по объему, получим
28
Глава 1
быть ничем иным, кроме скалярного произведения и и градиента, что дает
поле диполя
. ( _1\ (и • п)
0 = aU-v-J
где п = г/г. На поверхности тела г = Rnvn = un = u cos в. Используя
(fi = —uacos6/r2 и VR = 2auR~3 cos в, граничное условие дает а = R3 /2.
Теперь можно вычислить давление:
Р = Ро~ pv2/2 - рдф/dt,
учитывая, что наше решение движется вместе с шаром, так что ф(г — ut, и)
дф . дф
-=хх.--и.Ъф,
что дает
о 9 cos2 в — 5 pR
Р = Ръ + ри + — п • и.
Сила, действующая на тело, есть минус интеграл давления по поверхности
тела — j> р di. Например, предполагая, что скорость тела не меняет направ¬
ления, п • й = й cos в, получим
■/>
7
pcosOdf = —pR3ii7r / cos2 Od cos в = —27rpR3u/S. (1.26)
Как видно, масса жидкости, которую приходится ускорять, равна половине
массы вытесненной жидкости. Это исторически первый и простейший при¬
мер перенормировки в физике: тело, движущееся сквозь жидкость, приоб¬
ретает дополнительную массу, которую принято называть присоединенной.
1.3. Движение сквозь жидкость
29
Можно с облегчением заключить, что пузырек в шампанском начнет под¬
ниматься с ускорением, близким к 2д, что есть действующая на него си¬
ла Архимеда (масса вытесненной жидкости, умноженная д), деленная на
присоединенную массу (половина массы вытесненной жидкости). По ме¬
ре ускорения пузырька относительно жидкости действующая на него сила
сопротивления будет расти (как описано ниже в разделе 1.5), уменьшая
ускорение.
Если радиус шара также зависит от времени, то Fx ос дф/dt ос
a -d(R3u)/dt. Удивительно, но факт: если движущееся тело сжимается,
то силы, действующие со стороны жидкости, ускоряют его; мы обсудим это
ниже, после (1.37).
Согласно нашим формулам, на шар, движущийся с постоянной скоро¬
стью без изменения объема, R = й = 0, не действует со стороны жидкости
никакая сила: §pdf = 0. Так же и для двумерного случая (скажем, тече¬
ния вокруг цилиндра с радиусом R), где потенциал ф = — R2 (и • V) log г
и давление на поверхности тела р = — 2psin2 в + pRn • й таково, что после
интегрирования по углам только последний член дает вклад в полную си¬
лу, которая исчезает для стационарного движения, в точности как в (1.26).
Причина исчезновения силы, как видим, в симметрии левой и правой ча¬
стей стационарного течения (набегающей на тело и уходящей от него). Это
очевидно противоречит нашему повседневному опыту, все мы испытывали
сопротивление, оказываемое жидкостями движущимся телам. Может быть,
сила у нас получилась нулевой из-за симметричности формы шара?
1.3.3. Движущееся тело произвольной формы
Для потенциального обтекания тела произвольной формы в двумерном
случае ответ может быть получен конформным отображением тела на круг;
так что если стационарное движение круга не встречает сопротивления, то
это же справедливо и для тела произвольной формы. В трехмерном про¬
странстве задача обтекания тела произвольной формы, вообще говоря, не
решается аналитически. Однако прелесть теории потенциала заключается
в том, что она позволяет сделать выводы о том, что «здесь», рассматривая
поле «там». В нашем случае нас интересует распределение сил, действу¬
ющих на тело, а рассмотрим мы течение вдали, которое должно слабо за¬
висеть от формы тела. Действительно, далеко от тела решение уравнения
Аф = 0 должно задаваться первым неисчезающим членом мультипольного
разложения. Первый (зарядовый) вклад ф = а/г следует опустить, посколь¬
ку соответствующая скорость v = —ar/r3 имеет радиальную компоненту
30
Глава 1
vr = а/R2 с неисчезающим потоком Аттра через поверхность сферы ради¬
уса R; существование такого потока противоречит несжимаемости. Так что
первый неисчезающий вклад опять дипольный:
ф — А • V(l/r) — —(А • п)г 2,
v = [3(А • п)п — А]г-3.
Для шара радиуса R0, согласно результатам предыдущего параграфа, А =
= uRq/2, тогда как для несимметричных тел векторы А и и, вообще го¬
воря, неколлинеарны, а линейно связаны: А* = а^иь, причем тензор
имеет размерность объема и зависит от формы тела.
Чтобы определить силу, действующую на тело, зная течение вдали от
тела, найдем энергию Е = pf v2 dV/2 жидкости, движущейся вне тела
и внутри сферы радиуса R, много большего, чем Ro. Представим v2 =
= и2 + (v — u)(v + и) и перепишем v + u = V(0 + u • г). Используя
div v = div и = 0, можно записать
[ v2dV = u2(V -V0) +
[ div[(0 + u • r)(v — u)] dV =
J r<R
J r<R
= u2(V - V0) +
(f (ф + u • r) (v — u) df =
Js+So
= u2(V - Vq) +
j) (ф + u • r)(v — u) df.
Подставив
ф = -(A • n)R 2,
V = [3n(A • n) - A]ir3
и проинтегрировав по углам,
J(А • n)(u • n) dQ = AiUk J щпк d£l = AiU^Sik J cos2 6s\nQ dOdtp =
= (4tt/3)(A-u),
мы получим энергию в виде
Е = р[47г(А • и) - Vqu2}/2 = mikUiUk/2. (1-27)
Здесь мы ввели тензор присоединенных масс:
'W'ik — 47Г pOLik Р^О^г/с*
1.3. Движение сквозь жидкость
31
Для сферы rriik = pVoSik/2, т. е. половина вытесненной жидкости. Присо¬
единенная масса может быть как намного больше массы вытесненной жид¬
кости (например, для тонкого диска, движущегося перпендикулярно своей
плоскости), так и намного меньше (например, для иглы, движущееся впе¬
ред острием).
у’=4тгД3/3
Е = р[27г(А • u — Vqu2/2]
Чтобы перейти от энергии к силе, действующей на тело, представим
изменение энергии тела dE (равное с обратным знаком изменению энергии
жидкости) как работу силы F на пути udt: dE = — F • udt. Соответствую¬
щее изменение импульса тела dP = — Fdt, так что dE = u • dP. Это со¬
отношение справедливо только для изменений, произведенных силой (а не
изменением формы тела), так что изменение импульса тела равно dPi =
= rriikduk, а сила равна
Fi— TTiikUk. (1.28)
И в случае тела произвольной формы мы приходим к выводу, что потен¬
циальное течение добавляет только массу, но не сопротивление. Причина
в том, что стационарное потенциальное обтекание несжимаемой жидко¬
стью на больших расстояниях симметрично относительно замены направ¬
ления движения, так что количества движения в объеме, заключающем те¬
ло, не меняются.
Как обобщить (1.28) для случая, когда и т^ и и изменяются со време¬
нем? Наше рассмотрение давления на шар подсказывает правильное обоб¬
щение
Fi =
d
Wlik'U'k •
dt
(1.29)
32
Глава 1
Отсюда возникает соблазн заключить, что rriikuk — это импульс жидкости,
однако это не так. На самом деле это квазиимпульс жидкости, как объясня¬
ется в следующем параграфе.10
Уравнение движения для тела, на которое действует внешняя сила f,
имеет вид
— MlLi — — fi
который можно переписать в форме, делающей явной смысл термина «при¬
соединенная масса»:
MSik + mik)uk = fi. (1.30)
at
Тело в потоке. Обсудим теперь противоположную ситуацию, когда
небольшое тело находится внутри крупномасшабного течения, вызванно¬
го какими-то внешними причинами. В частности, мы рассмотрим колеба¬
тельное движение жидкости, например вызванное распространением звука
с длиной волны, превышающей размер тела. Оставляя внешние силы за
рамками нашего рассмотрения, выразим скорость тела и через локальную
скорость жидкости v, которая предполагается однородной на размерах те¬
ла. Если бы тело двигалось с той же скоростью u = v, оно бы находилось
под действием силы pV0v, которая бы действовала на жидкость, занимаю¬
щую это место. Относительное движение добавляет силу реакции жидкости
drriik{vk — Uk)/dt. Сумма сил дает ускорение тела:
d Л/Г т, • d
— гЛ Ui = pV0Vi + —
Проинтегрировав по времени с нулевой постоянной интегрирования (по¬
скольку и = 0, когда v — 0), получим соотношение между скоростями тела
и жидкости:
i^M8ik “Г rmik)'Ujk = (ТГЦк Н- pVodik'jVfc.
Для шара u = v3р/{р + 2р0), где р0 плотность тела. Для сферического
пузырька воздуха в жидкости ро "С р и и ^ 3v.
1.3.4. Квазиимпульс и присоединенная масса
В предыдущем параграфе мы получили силу, действующую на уско¬
ряющееся тело, рассматривая энергию жидкости и импульс тела. Мы не
использовали импульс жидкости М = р f v dV, поскольку он не определен
(vk - ик).
1.3. Движение сквозь жидкость
33
однозначно для потенциального обтекания. Например, интеграл от vx =
= D(3cos2 0—1 )г~3 зависит от формы выбранного объема интегрирования.
Действительно, этот интеграл равен нулю для сферического объема и от¬
личен от нуля для цилиндра длины L и радиуса 1Z, заключающего в себе
обтекаемое тело:
I (3 cos2 в — 1) dcos 0 = О,
/L гК 2 z2 — г2 AnpDL
_LdZ /о rdr(z2+r2) 5/2 = (Х2+7г2)1/2- (L31)
Неужели импульс, запасенный в жидкости, зависит от граничных условий
на бесконечности? Как ни странно, ответ утвердительный. Например, дви¬
жение шара в жидкости, заключенной внутри неподвижных стен, долж¬
но сопровождаться перемещением соответствующего количества жидко¬
сти в противоположном направлении, так что импульс жидкости будет —
-pVou = —47rpR3u/3, а вовсе не pVou/2. Действие стен производит от¬
рицательный импульс —3pVou/2, который распределен по всему объему
в виде малого противотока, тогда как действие шара производит положи¬
тельный импульс pVou/2, переносимый течением, локализованным вбли¬
зи тела. Из (1.31) получается ответ AirpD, не зависящий от формы, толь¬
ко в пределе L/7Z —> оо. Чтобы получить правильный ответ AnpD/S
(=pVqu/2 = 2ttRspu/3 для шара), который следует из (1.29), необходимо
еще вычесть противоток 8пpD/З = АтгR3pu/3, компенсирующий движение
тела.11
Величина, которая не зависит от граничных условий на бесконечности
и чья производная по времени дает инерциальную силу (1.29), действую¬
щую на тело, — это квазиимпульс жидкости. Законы сохранения импульса
и квазиимпульса следуют из разных симметрий. Закон сохранения импуль¬
са следует из инвариантности гамильтониана Н по отношению к сдвигу
координатной системы. Если же пространство заполнено средой, жидкой
или твердой, то закон сохранения квазиимпульса следует из инвариантно¬
сти гамильтониана по отношению к сдвигу в пространстве, оставляя среду
34
Глава 1
неподвижной — это предполагает идентичность разных точек среды. В кри¬
сталле такие сдвиги позволяются только на постоянную решетки. В непре¬
рывной среде сдвиги произвольны и гамильтониан должен быть независи¬
мым от координат:
т = дпдж1 + дпдд1=0
dxi ditj dxi dqj dxi
Здесь векторы g(x, £), 7г(х, t) являются соответственно канонической коор¬
динатой и импульсом (в каждой точке пространства). Нам нужно опреде¬
лить квазиимпульс К, обязанный своим сохранением инвариантности га¬
мильтониана: dKi/dt = dTC/dxi = 0. Напомним, что производная по вре¬
мени от любой функции канонических переменных дается скобкой Пуассо¬
на этой функции с гамильтонианом:
dKi = Грг Ю = 9Ki дН dKi дП =
dt 1 и 1 dqj dTTj dTTj dqj
_m_m_&Kj_ дП dqj
dxi d'Kj dxi dqj dxi *
Это дает для квазиимпульса уравнения в частных производных
dKi dqj dKi d'Kj
dKj dxi ’ dqj dxi ’
решение которых имеет вид
Ki = - JdxTTj^-. (1.33)
Гамильтоново описание изэнтропического (вообще говоря, сжимаемого) те¬
чения идеальной жидкости может быть дано в лагранжевых координатах,
которые описывают положение частицы жидкости г как функцию времени
и начального положения R. Поскольку мы хотим, чтобы для локализован¬
ного течения наша переменная менялась в конечных пределах, мы выберем
в качестве канонической координаты смещение q = г — R (это есть непре¬
рывный предел переменной, описывающей колебания кристаллической ре¬
шетки в физике твердого тела и используемой также в теории упругости).
Канонический импульс — это 7r(R,t) = p0(R)v(R, t), ну а скорость, есте¬
ственно, v = (dr/dt)n = г. Здесь р0 — это плотность в исходном состо¬
янии, которая всегда может быть выбрана однородной. Как было замечено
1.3. Движение сквозь жидкость
35
в параграфе 1.1.2 при выводе уравнения Эйлера, частицы жидкости сохра¬
няют свою массу, которую можно полагать единичной.
Гамильтониан имеет вид
п = Jp0[W(4) + v2/2] dR, (1.34)
где энтальпия W = Е+р/р играет роль потенциальной энергии.12 Текущая
плотность выражается через исходную:
p(R, t) = podet[dri/dRj].
Канонические уравнения движения ^ = дН/дпг и 7г* = —dH/dqi да¬
ют соответственно г* = Vi и щ = —dW/dri = —p~ldp/dri. Скорость v
является теперь независимой переменной, а вовсе не функцией от коорди¬
нат г. Все производные по времени вычисляются для фиксированного R,
т. е. являются материальными производными. Квазиимпульс (1.33) имеет
вид
Ki — Ро J vi gft. dR — Ро J vj dR-^) (1-35)
Отсюда ясно, что ненулевой квазиимпульс имеется только у частиц, дви¬
жение которых подвержено воздействию обтекаемого тела, так что для них
dvj/dRi Ф Sij. Интеграл (1.35) сходится для пространственно локализо¬
ванных течений, поскольку drj/dRi —> 6^, когда R —> оо. В отличие от
импульса (1.31) квазиимпульс (1.35) независим от формы далекой поверх¬
ности. Используя podR, = pdr, можно также представить
Ki = Ро
drj
dR =
J pvi dr - ро
I
drj
>jdRi
dR,
(1.36)
т. e. и вправду квазиимпульс равен импульсу минус противоток.
Теперь можно проверить сохранение, подставляя уравнение движения
pv = —др/дг в
36
Глава 1
dp
»г
и
[
J dri
drj
dRi
. I dvj
6ij)+VjdRi
dR
dr +
dr
!—
J dRz
pdfi.
W —— I dR =
(1.37)
В предпоследней строке второй член равен нулю как интеграл по простран¬
ству начальных координат R от полной производной, тогда как интеграл
по текущим координатам г в первом члене исключает объем тела, оставляя
граничный член, который как раз и дает (со знаком минус) силу, действу¬
ющую на тело. Таким образом, в идеальной жидкости сохраняется сумма
импульса тела и квазиимпульса жидкости. Это объясняет уже упоминав¬
шийся удивительный эффект ускорения сжимающегося тела. Действитель¬
но, уменьшение присоединенной массы и квазиимпульса жидкости должно
сопровождаться увеличением импульса тела.
Формула (1.35) определяет квазиимпульс для любого течения. Для по¬
тенциального течения достаточно просто проинтегрировать потенциал по
поверхности тела: К = f рф df. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим очень
короткий, но сильный импульс давления, необходимый, чтобы привести те¬
ло в движение, формально р ос S(t). В течение короткого времени действия
импульса тело не успевает сдвинуться, так что его положение и поверх¬
ность хорошо определены. В соотношении Бернулли (1.19) можно прене¬
бречь членом с v2:
дф v2 р р
dt 2 р р
Интегрируя равенство рф = — f p(t) dt по поверхности тела, получим ми¬
нус изменение импульса тела, т. е. квазиимпульс жидкости. Например, ин¬
тегрируя ф = R3ucos9/2r2 по сфере, получим
Кх = J рф cos 9 df = 7гpR3u J cos2 9 d cos в = 2ттpR3u/3,
как ожидалось. Разница между импульсом и квазиимпульсом сводится к по¬
току через удаленную поверхность от импульса, обусловленного давлени¬
ем, которое убывает как г~2 для потенциального течения.
Квазиимпульс жидкости и скорость тела связаны присоединенной мас¬
сой, Ki = rriikUk, которую, таким образом, можно находить, исполь¬
1.3. Движение сквозь жидкость
37
зуя (1.35). Для этого необходимо решить лагранжевы уравнения движе¬
ния г = v(r, t)\ таким образом, можно показать, что присоединенная масса
выражается через смещение жидкости после прохождения тела. Тело рас¬
талкивает жидкость, которая затем возвращается, однако, со сдвигом в на¬
правлении движения, как показано на рисунке 1.9. Масса сдвинутой жид¬
кости, заключенная между пунктирными линиями, и есть присоединенная
масса (Дарвин, 1953).
начало/' “ -.конец
Рис. 1.9. Смещение жидкости проходящим телом. Точками обозначена траектория
частицы. Две пунктирные линии (выбранные симметрично) показывают положения
частиц соответственно до и после прохождения тела.
Обратите внимание на петлю, описываемую каждой частицей; для
шара горизонтальная компонента скорости жидкости меняет знак при
3cos20 = 1. Стоит осознать, насколько траектории частиц отличаются от
мгновенных линий тока (см. также задачу 1.6).13
Подведем итоги. Пренебрегая внутренним трением, мы смогли описать
инерционную реакцию жидкости на ускорение тела, количественно зада¬
ваемую присоединенной массой. Для движения с постоянной скоростью
нам не удалось найти никаких сил. Если бы подъемная сила (поперек и)
и вправду отсутствовала, ни птицы, ни самолеты не летали бы. Что ка¬
сается силы сопротивления, противоположной и, то интуитивно ясно, что
она должна определяться количеством движения, передаваемого жидкости
телом в единицу времени:
F = СЯ2ри2, (1.38)
где С — это безразмерная константа, называемая коэффициентом сопротив¬
ления и зависящая от формы тела.14 Это и есть правильная оценка силы
сопротивления в пределе исчезающего вязкого трения. К сожалению, я не
знаю другого способа обосновать эту оценку, кроме как ввести вязкость
и затем устремить ее к нулю. Мы увидим, что переход к пределу весьма
38
Глава 1
нетривиален, поскольку сколь угодно малая вязкость приводит к возникно¬
вению бесконечной области, называемой следом, в которой течение отлича¬
ется существенно от описанного выше потенциального течения. Введение
вязкости и описание следа займет следующие два раздела.
1.4. Вязкость
В этой главе мы выберемся из зарослей парадоксов идеальной жид¬
кости на дорогу, ведущую в реальный мир. Это потребует учета вязкого
трения.
1.4.1. Парадокс обратимости
Посмотрим на отсутствие сопротивления с более общей точки зрения.
Мы сделали пять предположений: идеальность, безграничность, несжима¬
емость, потенциальность и стационарность. Начнем с конца: всегда мож¬
но подождать достаточно долго (на практике — когда тело сместится на
несколько собственных длин), чтобы достичь желаемой степени стационар¬
ности. Потенциальное течение несжимаемой жидкости полностью опреде¬
ляется скоростью и мгновенным положением тела. Когда тело движется
с постоянной скоростью, течение смещается вместе с ним, не меняя фор¬
мы; поскольку ни квазиимпульс, ни энергия течения при этом не меняются
по величине, нет сил, совершающих работу. Если жидкость имеет свобод¬
ную границу, то движение тела будет возбуждать поверхностные волны,
уносящие энергию; однако, если тело достаточно далеко от границы, воз¬
буждение волн и создаваемое ими сопротивление пренебрежимо малы.
Может быть, учет сжимаемости позволит нам получить конечную си¬
лу сопротивления, например, за счет уноса энергии звуковыми волнами?
Увы, это невозможно для стационарного течения вследствие обратимости
уравнений Эйлера и непрерывности: обращение течения (определенное как
w(r, t) = —v(r, — t)) также является решением уравнений с заменой скоро¬
сти на бесконечности —и на и, но в точности с теми же распределениями
давления и плотности. Действительно, безвихревое стационарное течение
идеальной жидкости задается граничной задачей, состоящей из уравнения
непрерывности и теоремы Бернулли:
divpv = 0, vn = 0 (на поверхности тела), v —> —и на бесконечности,
1.4. Вязкость
39
Обращенное вспять течение w(r) = — v(r) имеет то же распределение дав¬
ления, а значит, дает ту же силу, действующую на тело. Но ведь сила со¬
противления противоположна скорости тела и должна была бы менять знак
при обращении. Приходится признать, что сила сопротивления равна ну¬
лю для любого стационарного безвихревого течения идеальной жидкости.
Для частного случая симметричного тела парадокс обратимости дает так
называемый парадокс Даламбера: давление на симметричные элементы по¬
верхности одинаково и соответствующие компоненты силы сокращаются.
Например, тело с центром симметрии может только вращаться течением.15
Парадокс обратимости подсказывает, что сопротивление должно быть
обязано своим существованием силе, нечетной по отношению к скорости
(тогда как давление в идеальной жидкости р ос v2 является четным). Такая
сила может появиться только благодаря трению. Ниже мы покажем, что
вязкое трение обеспечивает возможность и сопротивления, и подъемной
силы, действующих на тело, движущееся сквозь жидкость.
1.4.2. Вязкие силы
Мы определили тензор напряжений так, что элемент ij равен г-ой
компоненте силы, действующей на единичную площадку, перпендикуляр¬
ную направлению j. Диагональные компоненты отвечают за нормальные
силы, равные друг другу по закону Паскаля и называемые давлением, см.
рисунок 1.10. Внутреннее трение в жидкости должно порождать недиаго¬
нальные компоненты тензора напряжений aik = — pSik + (поскольку
силы считаются приложенными к рассматриваемому элементу жидкости,
давление отрицательно). Соответственно меняются также поток импульса
Пц, = pSik - а[к + pviVk и уравнение Эйлера dpVi/dt = -dUik/dxk.
Чтобы избежать бесконечных угловых ускорений, тензор напряжений
должен быть симметричным: <т^ = cFji. Это следует из рассмотрения
40
Глава 1
2 -crzz=p
(У хх — Р
& ZX
У xz
X
Рис. 1.10. Компоненты тензора напряжений.
момента по отношению к оси в верхнем правом углу от сил, действующих
на инфинитезимальный элемент с размерами <5х, 5у, Sz.
Sz
(У ZX
(У xz Sx
X
Несимметричный тензор напряжений привел бы к ненулевому момен¬
ту сил (axz — crzx) 6xSy6z, равному производной по времени от момента
импульса, который, в свою очередь, равен произведению момента инерции
pdxSySz [(5х)2 -h (Sz)2] и угловой скорости Q:
(сгxz ~ &zx) SxdySz = pSxSySz [(<5z)2 + {6z)2]
Как видно, чтобы избежать d£l/dt —> оо при (5х)2 + (Sz)2 —> 0, следует
ПОЛагаТЬ 0"xz ~~ ®zx'
Чтобы связать силу трения сг' со скоростью v(r), заметим, что сг' = 0
для однородного течения. Следовательно, сг' должен определяться про¬
странственными производными поля скорости. Иными словами, тензор
напряжений сг' должен исчезать вместе с тензором производных скоро¬
сти dvi/dxk. Предполагая эти производные малыми по сравнению с изме¬
нениями скорости на молекулярном уровне, можно предположить, что тен¬
зор напряжений линейно связан с тензором производных скорости (Нью¬
тон, 1687). Жидкости, обладающие этим свойством, называются ньютонов¬
1.4. Вязкость
41
скими. Неньютоновские жидкости обычно обладают сложной молекуляр¬
ной структурой, например, содержат длинные молекулярные цепи, делаю¬
щие связь тензоров нелинейной даже для небольших деформаций, или ре¬
зиноподобные жидкости, где силы зависят от истории течения. Для ньюто¬
новских жидкостей, чтобы связать два тензора второго ранга <т^ • и dvi/dxj,
вообще говоря, нужен тензор четвертого ранга. Заметим, однако, что завих¬
ренность (т. е. антисимметричная часть dvi/dxj) не должна давать никакого
вклада, поскольку она соответствует вращению элемента жидкости как це¬
лого без проскальзывания слоев. Остается связать симметричные тензоры
напряжений о\ - и деформаций Sij = (dvi/dxj + dvj/dxi)/2. В изотроп¬
ной среде главные оси тензоров должны совпадать, так что от пугающего
тензора четвертого ранга остаются только две константы р и р:
cr'ij = r]{dvi/dxj + dvj/dxi) + pSijdvi/dxi. (1.39)
Заметим, что в неоднородном течении вязкость не только обеспечивает
сдвиговые напряжения, но и нарушает равенство нормальных компонент.
По размерности [rj] = [р] = гем-1 с-1. Знак гj нетрудно устано¬
вить, рассмотрев простое сдвиговое течение, показанное на рисунке, пом¬
ня, что силы прилагаются к рассматриваемому элементу жидкости: axz =
= rjdvxfdz — это х-компонента силы, с которой верхний слой жидкости
действует на нижний и которая должна быть положительна, что требу¬
ет г] > 0.
v(z)
<j xz = rjdv/dz
x
1.4.3. Уравнение Навье-Стокса
Поставим сг' в уравнение Эйлера:
(1.40)
Вязкость определяется термодинамическим состоянием среды, задавае¬
мым р, р. Когда р, р неоднородны в пространстве, то же должно иметь место
dvi dvi \ д
^' dt +Vk дхк ) дхк
(dvi dvk
Р гк Р\дХк дХг
ftOik о
0X1
42
Глава 1
для rj(p, р) и р,(р, р). Мы, однако, последовательно полагаем вариации р,р
малыми и будем считать 77, р постоянными, поскольку они и так уже сто¬
ят в качестве коэффициентов при членах с производными, учитывающими
пространственные вариации. Таким образом, мы получаем уравнение На-
вье-Стокса (Навье, 1822; Стокс, 1845):
—Vp + pAv -f- (77 + /x)Vdiv v.
(1.41)
За исключением случая разреженных газов не удается вывести это уравне¬
ние из кинетического описания среды. Впрочем, это всего лишь означает
невозможность количественно выразить ту и р через свойства материала,
общий вид уравнения сомнений не вызывает. Можно оценить вязкость га¬
за, заметив, что молекулы с тепловой скоростью г>т дают поток nvт; моле¬
кулы, приходящие из слоя толщины порядка длины свободного пробега I,
имеют разброс скоростей ZVix, что дает поток импульса mnv^lVu ~ rj4u
через плоскость, перпендикулярную градиенту скорости (га — масса моле¬
кулы). Следовательно, ту ~ mnv^l = pv^l. Определим также кинематиче¬
скую вязкость v = ту/p, оценка которой соответственно v ~ v^l. Тепловая
скорость определяется температурой, а длина свободного пробега — силой
взаимодействия между молекулами: чем сильнее взаимодействие, тем ко¬
роче I и меньше вязкость. В жидкости сдвиговые напряжения обусловлены
межмолекулярными силами. При возрастании температуры молекулы дви¬
гаются быстрее и взаимодействуют слабее, так что v уменьшается с темпе¬
ратурой для жидкостей и возрастает для газов при постоянной плотности.
Вообще говоря, труднее передавать импульс в системах с более сильным
взаимодействием. Например, воздух, имеющий v — 0.15 см2 с-1, кинема¬
тически в 15 раз более вязкий, чем вода, имеющая v = 0.01см2 с-1. Урав¬
нение Навье-Стокса справедливо как для жидкостей, так и для газов, пока
типичный масштаб изменения скорости много меньше длины свободного
пробега.
Уравнение Навье-Стокса содержит пространственные производные
второго порядка, т. е. степени выше, чем уравнение Эйлера, так что нам
нужно сформулировать дополнительные граничные условия. Раз уж мы
учли (в первом неисчезающем приближении) силы между слоями жидко¬
сти, следует также учесть силы молекулярного притяжения между вязкой
жидкостью и поверхностью твердого тела. Это притяжение приведет к то¬
му, что слой жидкости прилипнет к поверхности, где следует положить
v = 0 (а не только vn = 0, как для уравнения Эйлера).16 Решения урав¬
1.4. Вязкость
43
нения Эйлера, вообще говоря, не удовлетворяют условию прилипания. Это
означает, что даже очень маленькая вязкость должна играть роль вблизи
твердой поверхности.
Вязкость добавляет слагаемое к потоку импульса, но (1.40) и (1.41)
по-прежнему имеют форму уравнения непрерывности и сохраняют полный
импульс. Однако вязкое трение между слоями жидкости неизбежно ведет
к потерям энергии. Рассмотрим, например, вязкую несжимаемую жидкость
с div v = 0 и вычислим скорость изменения энергии в точке:
р dv2
2 ~dt
- = — pv • (vV)v — v • Vp + Vi
da'
ik
dxk
—div
pv
v p \ , ,v
®ik
dvj
dxk'
(1.42)
Наличие вязкости привело к потоку импульса а', сопровождаемого перено¬
сом энергии v • а' и потерями энергии, которые описываются последним
членом. Из-за этого члена уравнение не имеет вида уравнения непрерыв¬
ности и полная энергия не сохраняется, что ясно после интегрирования по
объему:
= -т1J u2dV < 0. (1.43)
Последнее равенство следует из J1 = (CijkdjVk)2 = (djVk)2 — dk{vjdjVk),
что, в свою очередь, обусловлено е^еит = fijidk™ — Sjrn$ki и дм = 0.
Уравнение Навье - Стокса является нелинейным уравнением в частных
производных второго порядка. Стационарных его решений известно немно¬
го. Проще всего найти решения для таких геометрий течения, где (v- V)v =
= 0, так что уравнение становится эффективно линейным.
44
Глава 1
Например, симметрия может предписывать скорости не меняться вдоль се¬
бя, как для плоского течения вдоль наклонной плоскости, которое мы сей¬
час и рассмотрим как модель течения реки. Вследствие симметрии течение
может зависеть только от z. Стационарное уравнение Навье-Стокса при
наличии силы тяжести имеет вид
—Vp + г] Av + pg = О,
а проекции на оси z и х соответственно —
dp
-—b pg cos а = О,
dz
d2v
77^2 + Р9 since = 0.
Граничное условие на дне — v(0) = 0. Граничное условие на свободной по¬
верхности заключается в требовании, чтобы силы были нормальны и урав¬
новешены давлением: crxz{h) = r]dv(h)/dz = 0 и azz(h) = —p{h) = —ро.
Решение имеет вид
p(z) =р0 + pg(h- z)cosa, v(z) = ^-^-^z(2h - z). (1-44)
Посмотрим, насколько оно соответствует реальности. Возьмем воду с ки¬
нематической вязкостью v = rj/p = 10-2 см2/с. Для дождевой лужи
с толщиной h = 1 мм на склоне а ~ 10“2 получаем разумный ответ:
v ~ 5 см/с. Для медленной равнинной реки типа Волги,17 h ~ 10 м и а ~
0.3 км/3000 км ~ 10-4, получим абсурдную величину v(h) ~ 100 км/с
(причина того, что мы промахнулись на много порядков, в том, что реаль¬
ные реки все турбулентны, как обсуждается ниже в параграфе 2.2.2). В чем
же причина такого различия реки и лужи? Чтобы ответить на этот вопрос,
надо научиться характеризовать течения безразмерным параметром.
1.4.4. Закон подобия
Важные заключения о свойствах течений можно получить из сообра¬
жений размерности. Рассмотрим стационарное обтекание тела несжимае¬
мой жидкостью, описываемое уравнением
(v • V)v = — V(p/p) + vAv
1.4. Вязкость
45
и граничными условиями v(oo) = и и v = 0 на поверхности тела. Для дан¬
ной формы тела как v, так и р/р являются функциями координат г и трех
величин: u, v и размера тела L. Из этих трех величин можно составить
один безразмерный параметр, называемый числом Рейнольдса:
R e = uL/u. (1-45)
Это самый важный параметр в этой книге, поскольку он определяет от¬
ношение нелинейного инерционного члена (v • V)v к вязкому члену z/Av
в уравнении Навье - Стокса. Вследствие того, что кинематическая вязкость
есть произведение тепловой скорости на длину свободного пробега, число
Рейнольдса может быть записано как
Re = uL/v^l.
В рамках гидродинамического предела L Z, который мы только и рас¬
сматривает здесь, Re может быть как большим, так и маленьким в зависи¬
мости от отношения u/vт — и/с.
Обезразмеренная скорость может быть функцией только безразмер¬
ных переменных: v = uf(r/L, Re) — это соотношение выглядит одина¬
ково в любой системе единиц. Течения, соответствующие одному и тому
же Re могут быть получены одно из другого просто сменой единицы из¬
мерения v и г; такие течения называются подобными (Рейнольдс, 1883).
Таким образом, р/р = u2(p(r/L,Re). Для безразмерных величин, незави¬
симых от координат, определить следует только функцию от Re; например,
силы (подъемная и сопротивления) должны иметь вид F = pu2L2 f{Re).
Закон подобия широко используется в моделировании: чтобы измерить си¬
лу сопротивления для проектируемого корабля, строят маленькую модель,
но двигают ее с большей скоростью или сквозь менее вязкую жидкость.
Число Рейнольдса, характеризующее относительную роль инерции
и трения, можно определить для всех типов течения, полагая, что и есть
характерная скорость и L — масштаб ее изменения. Для течения по на¬
клонной плоскости (1.44) как нелинейный член, так и число Рейнольдса
тождественно равны нулю, поскольку v _L Vv. Это вовсе не значит, что от¬
носительная роль инерции и трения одинакова для лужи и реки. Выясним,
насколько нужно нарушить перпендикулярность скорости и направления
ее изменения, чтобы стало Re ~ 1. Такие нарушения всегда присутствуют
в реальности, где дно не является идеально плоским. Можно было бы пред¬
положить, что для мелкой лужи неровности дна важнее, чем для глубокой
46
Глава 1
реки. На самом деле наоборот. Обозначим тг/2 — /3 угол между v и Vv и по¬
лучим Re(/3) = v(h)hj3/v ~ gaf3h3/v2. Для лужи Re(/3) ~ 50Д, тогда как
для реки Re(/3) ~ 1012/3. Понятно, что решение (1.44), называемое лами¬
нарным, может иметь смысл для лужи, но для реки оно будет существенно
искажено даже очень маленькими неровностями дна, см. рисунок 1.11.
дно
Рис. 1.11. Неровное дно реки приводит к изменению скорости вдоль движения, что
ведет к ненулевому инерционному члену (v • V)v в уравнении Навье - Стокса.
Наличие силы тяжести позволяет ввести другой безразмерный пара¬
метр, называемый числом Фруда: Fr = и2/Ьд; течения одинаковы для рав¬
ных Re и Fr. Эти числа относятся к классу так называемых контрольных
параметров, изменение которых приводит к качественным изменениям ре¬
жима даже для фиксированной геометрии и граничных условий.18
Закон подобия является частным случаем так называемой 7г-теоремы.
Предположим, что среди всех m переменных {6i,...,bm} имеется толь¬
ко к ^ m размерно независимых величин; это означает, что размерно¬
сти [6fc+i],..., [bm] можно выразить через [Ь\],..., [bk] выражениями типа
[bk+j] = Тогда все безразмерные величины должны выражаться
через m — к безразмерных переменных tti = bk+\/ Y[\=i tf11,..., 7гm-к =
= Ьш/ П/=1 Ь^т~к'1. Например, рассматривавшиеся выше три величины
и, I/, L имеют только две независимых размерности, сантиметры и секун¬
ды, что позволяет ввести один безразмерный параметр, число Рейнольдса.
1.5. Течение Стокса и след за телом
Вернемся к задаче об обтекании тела вооруженными новым знани¬
ем о внутреннем трении. Уравнение Навье-Стокса является нелинейным
уравнением в частных производных, которое не удается решить аналити¬
чески даже в простейшем случае обтекания шара. Поступим так, как фи¬
зики поступают в подобных случаях: сначала решим задачу в предельном
случае очень маленького числа Рейнольдса и оттуда двинемся в сторону
течений с большими Re. Напомним, что в разделе 1.3 мы потерпели сокру¬
1.5. Течение Стокса и след за телом
47
шительное поражение, пытаясь описать предел большого Re как идеальную
жидкость. На этот раз, используя качественные соображения и данные на¬
блюдений, мы поймем, что, когда вязкость становится исчезающе малой, ее
эффект остается конечным. Для этого нам придется освоить новые поня¬
тия пограничного слоя и явления отрыва. Наградой нам будут разрешение
парадоксов и формулы для силы сопротивления и подъемной силы.
1.5.1. Медленное движение
Пусть тело движется сквозь жидкость так, что число Рейнольдса Re =
= uRjv очень мало. Покажем, что в этом случае действительно можно
пренебречь инерцией. Если мы прекратим тянуть тело, то вязкое трение
остановит его за время порядка R2 /и, так что оно успеет сдвинуться по
инерции на расстояние порядка uR2/и = R • Re, намного меньшее разме¬
ра тела R. С формальной точки зрения пренебрежение инерцией означает
отсутствие нелинейного члена (v • V)v в уравнении Навье - Стокса. Это де¬
лает задачу линейной, так что скорость жидкости должна быть пропорци¬
ональна скорости на границе, т. е. скорости тела: v ос и. Как вязкий тензор
напряжений (1.39), так и давление также линейно связаны с и, так что это
же должно быть справедливо для силы сопротивления:
F =
dfpu/R ~ A7rR2r]u/R = AnpuR.
Несмотря на простоту этой оценки, она совпадает с приведенным ниже
точным ответом (1.49) с точностью до безразмерного множителя 3/2. Как
в мире Аристотеля, сила пропорциональна скорости для течений с малым
числом Рейнольдса.
Чтобы двигать тело с Re ~ 1 (или 1/67Г для шара), нужна сила F ~
~ pv = г]2/р, которая замечательным образом не зависит ни от размера,
ни от массы тела, т. е. одинакова для бактерии и корабля. Для воды rj2/р ~
- 10-4 дин (1(Г9Н).
1. Плавание можно определить как периодическое изменение фор¬
мы с целью движения в жидкости. Движение тел с размерами от микрона
и до нанометра обычно соответствует очень маленьким Re, когда
dv/dt ~ (vV)v ~ и2/L vAv ~ ии/Ь2.
Такое плавание весьма отличается от быстрого отталкивания воды назад,
что мы делаем при конечных Re. Во-первых, при малых Re нет инерции,
48
Глава 1
так что диффузия импульса в жидкости мгновенна, и неважно, быстро или
медленно меняется форма. Важно, как она меняется, т. е. плавание при ма¬
лых Re является чисто геометрическим занятием. Во-вторых, линейность
задачи означает, что, обращая изменения формы (обращая силы, т. е. гради¬
енты давления), мы вернемся в то же место, откуда начали. Следователь¬
но, нужно менять форму периодически, но необратимо по времени, иными
словами, двигаться по циклу в пространстве конфигураций. Именно это де¬
лают микроорганизмы, гоня волну вдоль своей поверхности. Каждая точка
поверхности при этом может совершать колебание, форма которого обра¬
тима во времени; направление времени закодировано в фазовых сдвигах
колебаний в разных точках. Например, сперматозоид движется, посылая
волну вдоль хвоста.19 Задача 1.10 представляет другой пример.
2. Течение Стокса. Рассмотрим уравнение Навье-Стокса без нели¬
нейного члена:
ryAv = Vp. (1*46)
Видимо, простейший способ решения — свести опять к уравнению Лапласа.
Используя уравнение несжимаемости div v = 0, получим Ар = 0. Найдем
решение этого уравнения для обтекания сферы, когда единственный вектор
в задаче — это скорость и. Соответствующее решение уравнения Лапласа
для скалярной величины (на этот раз давления в отличие от потенциала
в прошлой главе) — это опять диполь:
Р = Ро +
с(и • п)
г2
Действительно, равные по величине положительные и отрицательные из¬
менения давления должны производиться течением на поверхности сферы.
Дифференцируя и подставляя в (1.46), получим уравнения на скорость, ко¬
торая соответственно должна убывать как первая степень расстояния. Такое
частное решение уравнений на скорость имеет вид v = с[и + n(u • n)]/2ryr.
Однако ни при каком с такое решение не удовлетворяет граничному усло¬
вию на поверхности сферы. Следовательно, необходимо добавить однород¬
ное решение уравнения Лапласа, т. е. потенциальную часть:
и + n(u • п) , 3n(u • п) — U
V = С 7Г + Ь— И
2rjr г6
(1.47)
Граничное условие v(i?) = и дает и-компоненту 1 + c/2r)R — b/R3 =0ип-
компоненту c/2r]R + ЗЬ/R3 = 0, так что с = —3rjR/2 и Ъ = R?/4. Заметим,
1.5. Течение Стокса и след за телом
49
что с < 0, т. е. жидкость течет в сторону убывания давления. В сферических
координатах в системе отсчета сферы имеем
R3
л / , зд
= «008011- — + ^
. п I I 3 R R3
ve = -u sin^( 1- — - —
(1.48)
Вычисляя ротор скорости, получим завихренность тоже как поле ди¬
поля:
А 1 АЛ , [U Х П]
A curl v = Ай; = 0 => и = с -—7Z—-,
гг
где d = —3R/2 из Vp = рAv = —pcurlcj.
3. Формула Стокса для силы сопротивления. Сила, действующая на
единицу поверхности, — это поток импульса через нее. На твердой поверх¬
ности v = 0 и Fi = —(TikUk = рщ — сг\кпк. В случае сферы единственная
отличная от нуля компонента направлена вдоль и:
Fx = J\—р cos в + <т'г cos в - сг'гв sin в) df =
= (3rfu/2R) J df = 67rRrju.
Здесь мы подставили afrr = 2rjdvr/dr = 0 at г = R и
p(Д) = _^cos61’
> fu\ (l dvr dve ve
°Te{R) = V [--g#
3 r]u
2R
sin 0.
(1.49)
50
Глава 1
Вязкая сила трения направлена по касательной, а сила давления — по нор¬
мали к поверхности. Вертикальные компоненты этих двух сил сокращают¬
ся в каждой точке, поскольку сфера толкает жидкость строго вперед и ре¬
зультирующая сила горизонтальна. Интересно, что силы трения и давления
складываются в горизонтальную силу 37711/2#, которая не зависит от угла 9,
т. е. одинакова для всех точек на сфере. При этом трение и давление дают
равные вклады в полную стоксову силу (1.49) — эта формула применима
примерно до Re ~ 0.5.
1.5.2. Пограничный слой и явление отрыва
Понятно, что закон убывания и ос 1 /г, задаваемый (1.47), не может
простираться до сколь угодно больших расстояний. Дело в том, что наше
предположение о малости числа Рейнольдса требует
так что (1.47) справедливо при г v/u. Это позволяет назвать v/u толщи¬
ной вязкого пограничного слоя. Течение Стокса имеет место внутри погра¬
ничного слоя при условии, что толщина слоя много больше размера тела.
Каково же течение снаружи, т. е. при г > и/и! Является ли оно близким
к потенциальному? Ответ утвердительный только для очень маленьких Re.
Для конечных Re позади тела возникает бесконечная область, называемая
следом, где невозможно пренебречь вязкостью на сколь угодно далеком рас¬
стоянии от тела. Причина в том, что вязкость приводит к генерации завих¬
ренности внутри пограничного слоя.
При малых Re завихренность диффузионно расплывается во все сто¬
роны от тела благодаря доминирующей вязкости. Приближение Стокса
и ос [и х п]/г2 как раз и соответствует расплыванию завихренности, сим¬
метричному по и против движения. Для конечных Re производство завих¬
ренности трением сопровождается инерционным переносом; интуитивно
понятно, что течение перед телом должно отличаться от течениям за телом,
поскольку тело оставляет завихренность за собой. Должна существовать
область позади тела, называемая следом, которую достигают линии тока,
vVv ~ u2R/r2 i/Av ~ vuR2/г3
1.5. Течение Стокса и след за телом
51
прошедшие непосредственно рядом с обтекаемым телом. Течение внутри
следа должно быть существенно вихревым. А те линии тока, что проходят
вдали от тела, соответствуют почти потенциальному течению.
Рис. 1.12. Симметричные линии тока для течения идеальной жидкости (слева), воз¬
никновение отрыва и вихря рециркуляции в вязкой жидкости (справа).
Разберемся в механизме возникновения следа, который обусловлен так
называемым явлением отрыва (Prandtl, 1905). Рассмотрим, к примеру, обте¬
кание цилиндра, изображенное на рисунке 1.12. Течение идеальной жидко¬
сти симметрично относительно плоскости АВ. D является точкой останов¬
ки, так что на участке DA частицы жидкости ускоряются и давление падает,
согласно теореме Бернулли. Наоборот, на участке АС каждая частица жид¬
кости движется против градиента давления. Покажем, что малая вязкость
мало изменит распределение давления в пограничном слое. Действитель¬
но, при малой вязкости слой узок и может рассматриваться как локально
плоский, так что в нем v « vx и градиент давления Vp = —p{vV)v — pAv
также имеет только ^-компоненту, т. е. dp/dz « 0. Иными словами, давле¬
ние внутри узкого пограничного слоя практически равно давлению вне его
в области потенциального течения. Однако, скорости частиц жидкости, до¬
стигших точек А и В, будут в вязкой жидкости ниже, чем в идеальной, из-за
вязкого трения в пограничном слое. Вследствие этого этим частицам не хва¬
тит энергии преодолеть градиент давления далее по течению и достигнуть
точки С, двигаясь внутри пограничного слоя. На интервале между новой
точкой остановки и точкой С градиент давления ускоряет частицы от С
вверх, что приводит к отрыву пограничного слоя20 и возникновению вихря
рециркуляции. Похожий механизм отвечает за появление вихрей в углах,21
как показано в конце параграфа 1.2.4.
Обратив отрывное течение, получим присоединение: струи имеют тен¬
денцию притягиваться к стенам и сливаться друг с другом. Рассмотрим
сначала струю в безграничной жидкости и обозначим ее скорость и. По¬
ток импульса через любое сечение одинаков: f и2 df = const. А вот поток
52
Глава 1
энергии f и3 df убывает вдоль струи из-за вязкого трения. Это означает, что
поток массы жидкости J и df должен возрастать, т. е. жидкость захватывает¬
ся струей.22 Когда струя имеет стену (или другую струю) с одной стороны,
то с этой стороны захватывает меньше жидкости, вследствие чего отклоня¬
ется в эту сторону вплоть до присоединения, как показано на рисунке.
Рис. 1.13. Схема течения в кумулятивной струе в системе отсчета, движущейся
вместе с конусом.
В частности, слияние струй объясняет бронебойное действие кумуля¬
тивных зарядов, которые имеют коническую выемку, ограниченную слоем
металла и окруженную взрывчаткой. Взрыв расплавляет металл и придает
ему скорость в направлении оси, где жидкий металл создает кумулятивную
струю с большой плотностью импульса (Лаврентьев, 1947; Taylor, 1948),
1.5. Течение Стокса и след за телом
53
см. рисунок 1.13 и задачу 1.15. Подобным же образом, если дождевая кап¬
ля создаст ямку в жидкости, вертикальное течение, стремящееся скорее
заполнить пустоту, создает струю, выстреливающую вверх, как показано на
рисунке 1.14.
Рис. 1.14. Струя, выстреливающая вверх после падения капли. Вверху — начало
формирования струи; внизу — сформировавшаяся струя.
1.5.3. Превращения картины течения
Воспользуемся примером обтекания цилиндра, чтобы описать вкрат¬
це, как меняется картина течения с ростом числа Рейнольдса. Поток мак¬
симально симметричен при Re 1, когда он стационарен, обладает
точной симметрией верха и низа и приближенной (с точностью поряд¬
ка Re) симметрией левой и правой (набегающей и уходящей) частей потока.
54
Глава 1
Отрыв пограничного слоя и возникновение вихрей приводят к изменению
топологии потока примерно при Re ~ 5. Первая потеря точной симметрии
происходит при Re ~ 40, когда течение становится периодическим по вре¬
мени. Это происходит из-за того, что вихри рециркуляции не успевают до¬
статочно расплыться, прежде чем оторваться от тела и унестись с потоком,
а новые вихри возникают на их месте. Симметрии относительно отражения
верх-низ и непрерывного сдвига по времени нарушены для периодическо¬
го течения с отрывом вихрей и заменены комбинированной симметрией
отражения и сдвига по времени на пол периода. Отрыв вихрей объясняет
многие удивительные явления нарушения симметрии, такие как, например,
всплывание пузырька колы или шампанского не по прямой, а по спира¬
ли или зигзагом.23 При обтекании тела это приводит к двойной дорожке
вихрей, носящей имя Кармана24 позади тела, как показано на рисунке 1.15.
Рис. 1.15. Вихревая дорожка Кармана позади цилиндра при Re = 105. Фотография
взята из J. Phys. Soc. Japan, 20, 1714 (1965).
При еще больших числах Рейнольдса вихри становятся неустойчивы¬
ми, что приводит к нерегулярному (турбулентному) потоку вниз по тече¬
нию, как показано на рисунке 1.16.25 Турбулентность трехмерна, так что
трансляционная инвариантность вдоль цилиндра также нарушена. Чем вы¬
ше Re, тем ближе подбирается начало турбулентной области к телу. При
Re ~ 105 турбулентность наконец достигает тела, что приводит к так назы¬
ваемому кризису сопротивления: турбулентный пограничный слой захваты¬
вает больше жидкости снаружи и обладает большим импульсом, вследствие
1.5. Течение Стокса и след за телом
55
чего отрывается ниже по течению, что уменьшает площадь следа и силу
сопротивления.26
Рис. 1.16. Обтекание цилиндра при Re = 104. Фотография из [27].
1.5.4. Сила сопротивления и подъемная сила
Мы готовы наконец описать, как Природа разрешает парадоксы об¬
ратимости и Даламбера. Вернемся к рассмотренному в разделе 1.3 стаци¬
онарному течению вдали от тела и свяжем его с силами, действующими
на тело, используя новое знание о существовании следа (wake), см. ри¬
сунок 1.17. Вне следа и пограничного слоя течение является безвихревым.
Начнем с рассмотрения ламинарного следа, полагая v <£1 и и dv/dt = 0\ мы
увидим, что след всегда ламинарен достаточно далеко от тела. Для стацио¬
нарного течения удобно связать силу с потоком импульса через замкнутую
поверхность. Для дипольного потенциального течения г; ос г-3 из разде¬
ла 1.3 поток импульса обращался в нуль при удалении от поверхности.
Теперь след даст конечный вклад. Полный поток импульса, переносимого
жидкостью через любую замкнутую поверхность, равен скорости измене¬
ния импульса внутри, который, в свою очередь, равен силе, действующей
на тело:
Fi = f П ikdfk = f (ро + p')Sik + р{щ + Vi)(uk + Vk) dfk. (l-50)
Сохранение массы дает р §Vk dfk = 0. Вдали от тела v <С и и
Fi = - Jj^j (p1 Six + dydz.
(1.51)
56
Глава 1
Рис. 1.17. Схема следа.
4. Сила сопротивления при наличии следа. Рассмотрим х-компо-
ненту силы (1.51):
Fx =
СV' + puvx) dydz.
В потенциальном течении вне следа выполняется теорема Бернулли р +
+p|u+v|2/2 = ро+ри2/2, что дает;/ « —puvx, так что интеграл вне следа
исчезает, как и должно быть. Внутри же следа давление приблизительно
такое же (поскольку оно не меняется поперек почти прямых линий тока,
как мы выяснили в § 1.5.2), однако vx, как мы увидим, намного больше,
чем снаружи, так что
Fx = -ри / / vx dydz. (1.52)
J J wake
Сила направлена вправо, т. е. положительна, поскольку vx отрицательна.
Заметим, что интеграл в (1.52) равен дефициту потока жидкости Q че¬
рез сечение следа, т. е. разнице в потоках при наличии и отсутствии тела.
Этот дефицит не зависит от х, что радикально меняет также потенциальное
течение вне следа, которое теперь обязано скомпенсировать дефицит. Это
значит, что интеграл f v df вне следа должен быть независимым от г, что
требует v ос г~2. Это соответствует потенциальному течению с источником,
равным дефициту: ф = Q/r — аналог поля заряда в терминах электростати¬
ки. Мы выбросили такое решение в § 1.3, а сейчас видим, что достаточно
далеко от тела оно превышает дипольный вклад 0 = A- V(l/r), который
мы получали в отсутствие следа.
След нарушает симметрию набегающей и уходящей частей потока, что
разрешает парадоксы и приводит к ненулевой силе сопротивления в преде¬
ле исчезающей вязкости. Важно, что след бесконечен для стационарного
1.5. Течение Стокса и след за телом
57
С
Re
Рис. 1.18. Зависимость силы сопротивления от числа Рейнольдса.
обтекания, иначе тело с конечным следом можно было бы рассматривать
как единое тело, что вернуло бы нас к парадоксам. Поведение коэффици¬
ента сопротивления C(Re) = F/pu2R2 показано на рисунке 1.18. Обратите
внимание на кризис сопротивления, дающий минимум С. Чтобы понять,
почему С —> const при Re —> оо, и доказать (1.38), надо немало потрудить¬
ся и понять турбулентность, что описано в следующей главе.
5. Подъемная сила — это компонента (1.51), перпендикулярная и:
Она также определяется следом, без которого течение было бы потенци¬
альным с vy = дф/ду и vz = дф/dz, так что f vydydz = f vzdydz = О,
поскольку потенциал равен нулю на бесконечности. Формула (1.29) так¬
же показывает, что потенциальное течение не создает подъемной силы. Ни
птицы, ни самолеты не смогли бы летать без трения и отрыва погранслоя.
Рассмотрим подъемную силу крыльев, рассматриваемые, как тонкие тела,
длинные в направлении z. Подъемная сила на единицу длины может быть
выражена через циркуляцию скорости вокруг крыла. Действительно, добав¬
ляя и вычитая (исчезающие) интегралы от vx вдоль линий у = ± const, мы
превратим (1.53) в
Циркуляция скорости по контуру равна потоку завихренности сквозь кон¬
тур, что опять же обусловлено следом. Часто можно встретить простое опи¬
сание подъемной силы крыла как результат неравенства г>2 > v\ => Р2 < Pi •
Это, по сути, верно и не противоречит вышеприведенному аргументу.
(1.53)
(1.54)
58
Глава 1
V2 Р2 I2
B И Р> 1, D
Дело в том, что циркуляция по замкнутому контуру ACDB не равна нулю:
V2/2 > v\l\. Было бы неверно, однако, полагать, что v2 > v\ из-за h > h —
на самом деле частицы жидкости А,В не встречаются на задней кромке,
С сдвинуто по отношению к D. Ненулевая циркуляция вокруг поступатель¬
но движущегося тела требует наличия следа. Для тонкого крыла и след
тонкий, как разрез, так что ненулевая циркуляция означает скачок потенци¬
ала ф через след.27 Заметим, что для наличия подъемной силы необходимо
нарушение симметрии верха и низа. Сохранение импульса подсказывает
также, что подъемная сила может быть выражена через отклонение телом
вниз уходящего потока по отношению к набегающему.
Иметь ненулевую циркуляцию можно и без следа, просто за счет вра¬
щения. На вращающееся тело действует отклоняющая сила (Магнуса), так¬
же пропорциональная циркуляции, см. рисунок 1.19. Эта сила знакома всем
игравшим в мяч, от футболистов до теннисистов. Воздух движется быстрее
относительно центра шара с той стороны, где поверхность движется в ту
же сторону. Где скорость воздуха выше, там давление ниже, и наоборот на
другой стороне. Результат — сила, перпендикулярная движению (как заме¬
тил Дж. Дж. Томсон, «шар следует за своим носом».) Можно грубо оценить
величину силы Магнуса, взяв разность давлений по обе стороны,28 что про¬
порционально скорости смещения и умноженной на частоту вращения Q:
Ар ~ р[(и + ГШ)2 — (и — QR)2]/2 = 2puftR. (1.55)
Сила Магнуса используется крылатыми семенами для удаления от роди¬
тельского дерева с помощью наложения вращения на падение; она также
действует на квантовые вихри, движущиеся в сверхпроводниках и сверхте¬
кучих жидкостях, см. задачу 1.11.
Мораль: существование следа учит нас, что малая вязкость меняет те¬
чение не только в пограничном слое, но и во всем пространстве, как внутри,
так и снаружи следа. Физически завихренность производится в погранич¬
ном слое и переносится наружу.29 Математически вязкость является сингу¬
лярным возмущением, поскольку вводит пространственную производную
более высокого порядка и меняет граничные условия. С другой стороны,
даже для очень большой вязкости инерция доминирует достаточно далеко
от тела.30
1.5. Течение Стокса и след за телом
59
Рис. 1.19. Линии тока вокруг вращающегося тела.
Задачи
1.1 Исходя из того, что сила, действующая на любую плоскость, строго
перпендикулярна, докажите, что ее величина на единицу площади не
зависит от направления (закон Паскаля).
1.2 Рассмотрите жидкость под действием собственного гравитационного
потенциала ф, связанного с плотностью уравнением
Аф = AirGp,
где G — гравитационная постоянная. Опишите радиальное распределе¬
ние давления для сферически симметричного статического равновесия
несжимаемой жидкости.
1.3 Найдите поток жидкости из маленького отверстия с вставленной в него
цилиндрической трубкой (насадка Борда), как показано на рисун¬
ке 1.20, полагая известными /г, 5 и ускорение силы тяжести д. Не со¬
ответствует ли такое отверстие предельному (минимальному или мак¬
симальному) значению коэффициента истечения S'/S? Здесь S — пло¬
щадь отверстия, a S' — площадь сечения струи в том месте, где сжатие
прекращается.
1.4 Докажите, что маленькая твердая частица (не инфинитезимальная точ¬
ка) вращается с угловой частотой Г2, равной половине локальной за¬
вихренности uj = curl v в той точке течения, где находится частица.
1.5 Имеется постоянно действующий источник на дне большого резерву¬
ара. Полагая течение потенциальным, найдите высоту максимального
подъема поверхности жидкости для двух случаев:
(i) прямая узкая щель с потоком q (г/см с) на единицу длины;
60
Глава 1
Рис. 1.20. Насадка Борда.
(ii) точечный источник с потоком Q (г/с).
Плотность жидкости р, глубина вдали от источника h. Ускорение сво¬
бодного падения д.
1.6 Изобразите линии тока для потенциального невязкого обтекания сферы
и для вязкого течения Стокса в двух системах координат: 1) в систе¬
ме, где жидкость на бесконечности покоится; 2) в системе, движущей¬
ся вместе со сферой. Подсказка: поскольку обтекание сферы может
рассматриваться как набор плоских течений, можно ввести функцию
тока, как для двумерного течения. Если определить вектор, единствен¬
ная компонента которого перпендикулярна плоскости течения и равна
функции тока, то скорость есть ротор этого вектора, а линии тока яв¬
ляются линиями уровня функции тока.
1.7 Шар с плотностью ро на пружине колеблется с частотой соа. Этот же
шар, подвешенный на нитке, качается с частотой соь- Как изменятся эти
частоты, если осциллятор и маятник поместить в идеальную жидкость
плотности р? Какой будет эффект малой вязкости v соа?ьа2, где а —
радиус шара, а и — кинематическая вязкость?
1.8 Подводный взрыв высвободил энергию Е и произвел воздушный пу¬
зырь, осциллирующий с периодом Т, который полностью определяет¬
ся Е, статическим давлением р внутри жидкости и плотностью жидко¬
сти р. Найдите форму зависимости Т(Е,р,р) с точностью до безраз¬
мерного численного множителя. Если вместо Е известен начальный
радиус пузыря а, можно ли определить зависимость Т(а,р, р)?
1.9 При t = 0 прямая вихревая линия создана в вязкой жидкости. Ее поле
скорости в цилиндрических координатах имеет следующий вид: vr =
= vz = 0, vq = Г/27гг, где Г — некая константа. Найти завихренность
to (г, t) как функцию координат и времени и зависимость от времени
полной завихренности Jcj(r)rdr.
1.5. Течение Стокса и след за телом
61
1.10 Чтобы лучше представить себе, каково плыть в меду, рассмотрите так
называемого пловца Перселла , изображенного на рисунке 1.21. Пло¬
вец может независимо менять углы между центральным и крайними
отрезками, тем самым меняя форму. Рассмотрите для простоты случай
малого угла в. Числа нумеруют последовательные формы. В положе¬
нии 5 пловец вернулся в ту же форму, что была в положении 1, но при
этом сдвинулся. В каком направлении? Каким образом осуществился
выбор направления движения? Как смещение зависит от 0?
Рис. 1.21. Последовательные формы пловца.
1.11 Выполняя штрафной удар, футболисты высокого уровня используют
силу Магнуса, чтобы послать мяч вокруг стенки защитников. Прене¬
брегая вертикальным движением, оцените горизонтальное смещение
мяча, посланного со скоростью Vo = 30 м/с и частотой вращения Q =
= 10 оборотов в секунду в сторону ворот с расстояния L = 30 метров.
Согласно правилам ФИФА, радиус мяча — R = 11 см, а вес — т =
= 450 г. Плотность воздуха — р = 10-3 г см-3.
1.12 Как и полет в воздухе, движение в воде также использует подъем¬
ную (т. е. перпендикулярную движению) силу, действующую на парус
и киль. То, что ветер всегда обеспечивает силу, перпендикулярную па¬
русу, позволяет даже двигаться против ветра. Однако для того, чтобы
стартовать и достичь максимальной скорости, наиболее оптимальным
является ориентация киля перпендикулярно ветру, а паруса — под уг¬
лом примерно в 45 градусов, как показано на рисунке 1.21. Объясните
почему. Нарисуйте силы, действующие на парусную доску. Происхо¬
дит ли движение в точности вдоль направления киля? Можно ли дви¬
гаться быстрее ветра?
1.13 Найдите, с какой скоростью падает в воздухе капля воды радиусом
0.01 мм. Плотности и вязкости воздуха и воды соответственно ра =
= 1.2 • 10_3гсм_3, pw = 1 ГСМ-3 И Tja = 1.8 • 10_4г с-1 CM-1, T]w =
= 0.01 г с-1 см-1.
62
Глава 1
Рис. 1.22. Слева: обратите внимание, что парус удерживается против ветра, ко¬
торый, таким образом, дует девушке в спину. Справа: схемы расположения па¬
русной доски и паруса по отношению к ветру. Копирайт фотографии: Paul Торр,
www.dreamstime.com.
1.14 Опишите закон движения изначально малой капли, падающей в на¬
сыщенном облаке и поглощающей весь пар на своем пути, так что
скорость роста объема капли пропорциональна ее скорости и сечению.
Рассмотрите квази стационарное приближение, когда ускорение капли
много меньше ускорения свободного падения д.
1.15 Рассмотрите плоские свободные струи в идеальной жидкости в геомет¬
рии, изображенной на рисунке. Найдите, как ширины разлетающихся
струй зависят от угла 20о между налетающими струями.
1.16 Может ли вязкость остановить вращение?
Глава 2
Нестационарные течения
Удается удерживать стационарными только достаточно медленные те¬
чения, скорость которых много меньше скорости звука, а число Рейнольд¬
са меньше единицы. При нарушении первого условия возбуждаются звук
и ударные волны, а при нарушении второго условия течение теряет устой¬
чивость и возникает турбулентность. Оба круга явлений описаны в этой
главе.
Формальной причиной неустойчивости является нелинейность урав¬
нений гидродинамики. Для несжимаемой жидкости единственным источ¬
ником нелинейности является инерция. Мы увидим, как возмущение ста¬
ционарного течения может нарастать из-за инерции, приводя к неустойчи¬
вости. Для больших значений числа Рейнольдса развитие неустойчивостей
приводит к быстро флуктуирующему турбулентному течению.
Сжимаемость ведет к другому типу нестационарных явлений — волнам
плотности, называемым звуком. Когда возмущение плотности мало, возму¬
щение скорости много меньше скорости звука и волны могут рассматри¬
ваться в рамках линейной акустики. Мы начнем с линейного рассмотрения
и опишем явления, возникающие из-за конечности скорости звука. Затем
мы рассмотрим нелинейные акустические явления: ударные волны и аку¬
стическую турбулентность.
2.1. Неустойчивости
При больших Re большинство стационарных решений уравнения На-
вье-Стокса неустойчивы, что приводит к нестационарному течению, назы¬
ваемому турбулентностью.
2.1.1. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца
Простейшее течение однородно во всем пространстве. Следующее
за ним по простоте — течение идеальной жидкости, однородное в полу-
64
Глава 2
пространстве и параллельное границе. Физически оно соответствует от¬
носительному скольжению двух слоев жидкости и есть грубое приближе¬
ние к описанию границ следа и сдвиговых течений. Математически танген¬
циальный разрыв скорости есть формальное стационарное решение урав¬
нения Эйлера. Это простое стационарное решение неустойчиво по отно¬
шению к простейшей неустойчивости, описанной Гельмгольцом (1868) и
Кельвином (1871). Динамику этой неустойчивости нетрудно понять, глядя
на рисунок 2.1, где «+» и «—» означают соответственно рост или убы¬
вание скорости и давления, вызванные модуляцией поверхности. У части
границы, сдвинувшейся в сторону неподвижной области, скорость ниже
и давление выше, чем у части, сдвинувшейся в сторону течения. Такое рас¬
пределение давления еще более увеличивает модуляцию поверхности.
У\ = У Р1
У2 = О Р2
_ давление
Рис. 2.1. Тангенциальный разрыв скорости (слева) и физика неустойчивости Кель¬
вина-Гельмгольца (справа).
Возмущения v' и р' удовлетворяют системе уравнений
div v' = О,
dv' dv' Vp'
-7^+^ = -•
at ox p
Действие оператора дивергенции на второе уравнение дает Ар' = 0. Это
означает, что нормальные моды имеют следующий вид
р\ = ехр [г(кх — Ш) — kz],
v[z = -ikp[/pi(kv - П).
Действительно, решения уравнения Лапласа, периодические в одном на¬
правлении, должны быть экспоненциальными в другом направлении.
Чтобы связать значения вверху (с индексом 1) со значениями внизу
(с индексом 2), введем локальное отклонение поверхности £(ж,£), произ¬
водная по времени которого является ^-компонентой скорости:
f[C
dt
д±, ^
dt V дх
(2.1)
так что v'z = t((kv — Q) и р[ = —Cpi{kv — Q)2/k. С другой стороны, по¬
добным же образом выразим р'2 = (>р2&1 /к. Давление должно быть непре¬
2.1. Неустойчивости
65
рывным на границе:
p\{kv — О)2 = — P2Q2 => = kv— у/?1?2 . (2.2)
Pi + Р2
Положительный инкремент неустойчивости ImQ означает экспоненциаль¬
ный рост возмущений, т. е. неустойчивость.1 Самая большая скорость роста
соответствует самому большому возможному волновому числу. В реально¬
сти переходный слой, где скорость возрастает от нуля до v, имеет некую
конечную толщину S, так что наш подход справедлив для кб 1.
Рис. 2.2. Цепочка вихрей неустойчива относительно смещений, показанных прямы¬
ми стрелками.
Дополнительный подход к пониманию физики неустойчивости Кель¬
вина-Гельмгольца представляет рассмотрение завихренности. В невозму¬
щенном течении завихренность dvx/dz сконцентрирована в переходном
слое, который вследствие этого называется вихревым слоем (или вихревой
поверхностью, если 5 —> 0). Удобно рассмотреть дискретную версию вих¬
ревого слоя как цепочку вихрей, изображенную на рисунке 2.2. Такая беско¬
нечная цепочка является стационарной, поскольку симметрия обеспечивает
сокращение скоростей, наведенных в точке данного вихря всеми остальны¬
ми вихрями. Небольшие смещения, показанные прямыми стрелками на ри¬
сунке 2.2 нарушат симметрию и приведут к неустойчивости цепочки и рас¬
паду ее на пары вихрей, кружащихся вокруг друг друга. Это круговое дви¬
жение должно приводить к тому, что изначально синусоидальное возмуще¬
ние вырастет и закрутится в спираль на нелинейной стадии эволюции, как
показано на рисунке 2.3, полученном экспериментально. Неустойчивость
Кельвина-Гельмгольца часто наблюдается в атмосфере в виде волнистых
облаков, как показано на рисунке 2.4; подобные же волны наблюдаются
на песчаных дюнах. Эта же неустойчивость, видимо, отчасти отвечает за
атмосферную турбулентность, не связанную с конвекцией в облаках (clear
air turbulence). Многочисленные проявления этой неустойчивости известны
в астрофизике, от границы между солнечным ветром и земной атмосферой
до границ галактических струй.
66
Глава 2
Рис. 2.3. Спиральные вихри, возникшие при развитии неустойчивости Кельвина-
Гельмгольца. Фотография из [27].
Вихревая картина неустойчивости Кельвина-Гельмгольца подсказыва¬
ет, что сдвиговое течение, зависящее от одной поперечной координаты типа
vx(z), может быть неустойчивым, только если завихренность имеет макси¬
мум. Такой максимум завихренности является точкой перегиба скорости,
поскольку du/dx = d2vx/dz2. Это объясняет, почему течения без точки
перегиба устойчивы относительно малых возмущений (Rayleigh, 1880) —
примеры таких течений представляют плоские линейные профили, тече¬
ния в трубах или каналах и другие.2 В частности, вихревой слой можно
рассматривать локально как линейный профиль для мелкомасштабных воз¬
мущений с кб 1, откуда следует, что такие возмущения не могут рас¬
ти. Следовательно, максимальный инкремент неустойчивости ImfJ должен
иметь место для кб ~ 1, т. е. быстрее всего нарастают возмущения с длиной
волны порядка толщины слоя.
Наше рассмотрение неустойчивости Кельвина-Гельмгольца не учиты¬
вало вязкости, что требует высокого числа Рейнольдса: Re = vb/v 1.
В противоположном пределе сильной вязкости профиль скорости не явля¬
ется стационарным, а эволюционирует согласно уравнению dvx(z,t)/dt =
= vd2vx(z,t)/dz2, которое описывает рост толщины по закону 5 ос y/vi.
Такой диффузный вихревой слой устойчив, поскольку вязкость гасит все
возмущения. Отсюда следует существование порогового числа Рейнольд¬
са, выше которого неустойчивость возможна. Мы сейчас рассмотрим этот
порог с общей энергетической точки зрения.
2.1.2. Энергетическая оценка порога устойчивости
Баланс энергии между невозмущенным течением v0(r) и наложенным
на него возмущением vi(r,£) помогает понять роль вязкости в установле¬
нии порога неустойчивости. Рассмотрим течение vo(r), являющееся стаци-
2.1. Неустойчивости
67
Рис. 2.4. Нижнее облако демонстрирует закручивающиеся волны, возникшие при
развитии неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Фотография Brooks Martner.
онарным решением уравнения Навье-Стокса (vo* V)v0 = —Vpo/p+^Av0.
Возмущенное течение vo(r) + vi(r, t) удовлетворяет уравнению
9vi
+ (vi • V)v0 + (v0 • V)vi + (vi • V)v! =
= -^ + ,ДУ1. (2.3)
P
Умножив скалярно (2.3) на vi и используя несжимаемость, получим
1 dv\
2~дГ
-VliVlk
д '
дхк
dvpj 1 dvu dvu
дхк Re дхк дхк
v2
y(uofc + Ulfc) +PlVlk -
vudvu'
Re дхк
Последний член исчезает при интегрировании по объему:
£
dt
I
±dr = T
D_
Re’
T = —
/
VliVlk
dvpi
dxk
dr,
(2.4)
68
Глава 2
Слагаемое Т обусловлено инерционными силами, a D — вязким трением.
Видно, что для устойчивости (т. е. для убывания энергии возмущения) вяз¬
кость должна победить инерцию (Reynolds, 1894):
Re < Re# = min (2-5)
Vi T
Минимум здесь берется по всем возможным возмущениям течения. По¬
скольку как Т, так и D квадратичны по скорости возмущения, их отно¬
шение не зависит от величины, а только от ориентации и пространствен¬
ной зависимости vi(r). Для ненулевого производства энергии Т необхо¬
димо dvo/dr ф 0 (однородное течение, очевидно, устойчиво) и вдобавок
скорость возмущения должна быть ориентирована так, чтобы иметь как
компоненту уц вдоль основного течения, так и компоненту v\k вдоль гра¬
диента основного течения. Положительное Т получается, например, если
скорость возмущения ориентирована относительно градиента основного те¬
чения, как показано на рисунке 2.5. Условие устойчивости Re < Re# яв¬
ляется достаточным, но не необходимым. Течение всегда устойчиво при
Re < Re#; в противном случае, даже если найдется возмущение, нару¬
шающее (2.5), для развития неустойчивости необходимо вдобавок, чтобы
возмущение эволюционировало, не нарушая условия Т > D. В результате
критические числа Рейнольдса обычно несколько выше, чем предсказывае¬
мые энергетическим критерием.
V0
Рис. 2.5. Ориентация скорости возмущения Vi относительно градиента основного
течения vo, которая обеспечивает поток энергии от основного течения к возмуще¬
нию.
2.1.3. Закон Ландау
Безразмерный параметр типа числа Рейнольдса, изменение которого
вызывает качественные изменения в поведении, называется контрольным
параметром. Когда контрольный параметр превышает критическое значе¬
ние, система испытывает неустойчивость и переходит в новое состояние.
2.1. Неустойчивости
69
В общем случае можно предсказать свойства нового состояния, только ес¬
ли оно не сильно отличается от старого. Это может иметь место, когда
значение контрольного параметра близко к критическому. Рассмотрим слу¬
чай, когда Re > Recr, но Re — Recr Recr. Непосредственно за порогом
неустойчивости обычно имеется только одна неустойчивая мода. Линеари¬
зуем уравнение (2.3) по отношению к возмущению vi(r,£), т. е. опустим
слагаемое (vi • V)vi. Получившееся линейное дифференциальное уравне¬
ние с независящими от времени коэффициентами должно иметь решение
вида vi = fi(r) exp(7i£ — nvit), описывающее неустойчивую моду. Экспо¬
ненциальный рост должен в конце концов ограничиться слагаемым нели¬
нейным по vi. Решение уравнения с малой нелинейностью можно искать
в виде vi = fi(r)A(t). Уравнение на амплитуду A(t) в общем случае долж¬
но иметь вид d\A\2/dt = 27i|A|2+ члены третьего порядка Н . Члены
четвертого порядка получаются лри дальнейшем раскладывании v = v0 +
-f vi + V2 и учете V2 ос v2 в уравнении на vi. Инкремент неустойчивости
обращается в ноль при Re = Recr и обычно 71 ос Re - Recr, тогда как
частота обычно конечна при Re —> Recr. Это позволяет усреднить ампли¬
тудное уравнение по временам, большим 2тг/и)\, но меньшим I/71. С одной
стороны, усреднение по многим периодам приводит к тому, что из членов
третьего и четвертого порядков только \А\4 дает ненулевой вклад:
dW
dt
= 2711 Л|2 — а\А\4
(2.6)
С другой стороны, поскольку время усреднения много меньше времени из¬
менения модуля, можно опустить знак усреднения в левой части (2.6) и ре¬
шить его как обыкновенное дифференциальное уравнение:
иг
а/271 + const • ехр(—2711) —> а/271.
Установившееся значение меняется с контрольным параметром в соответ¬
ствии с так называемым законом Ландау:
\Л\
2
шах
27
а
ос Re — Rec
Если а < 0, тогда нужно учесть в (2.6) дополнительный член —/3\а\6
чтобы стабилизировать неустойчивость:
d\A |2
= 2Ъ\А\2-а\А\4-(3\А\6-
dt
(2.7)
70
Глава 2
Установившееся значение теперь
и
:2
шах
а2 271
4^ + Т
2тх
Р '
Устойчивость по отношению к изменению \А\2 в рамках (2.7) определя¬
ется фактором 271 — 2а|А|^ах — 3/3|А|^ах. Между В и С стационарное
течение метастабильно. Течение с параметрами, соответствующими пунк¬
тирной кривой, неустойчиво.
Это описание основано на предположении, что при Re — Recr Recr
единственно важной зависимостью является 71 (Re) в точности так же, как
и в теории Ландау фазовых переходов, которая также изучает потерю устой¬
чивости. Амплитуда А, отличная от нуля по одну сторону от перехода, яв¬
ляется аналогом параметра порядка. Случаи положительного и отрицатель¬
ного а соответствуют фазовым переходам второго и первого рода.
2.2. Турбулентность
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса после порога первой
неустойчивости в конце концов он достигает значения, при котором но¬
вое периодическое течение, в свою очередь, оказывается неустойчивым
по отношению к другому типу возмущений, как правило меньшего мас¬
штаба и большей частоты. Каждая новая неустойчивость означает появле¬
ние новой степени свободы, характеризуемой амплитудой и фазой нового
периодического движения. Амплитуды определяются числом Рейнольдса,
а вот фазы — обычно неконтролируемыми начальными возмущениями. При
очень большом Re последовательность неустойчивостей приводит к тур¬
булентности как к суперпозиции движений разных масштабов (рис. 2.6).
Получившееся течение нерегулярно как в пространстве, так и во времени,
так что мы должны описывать его статистически.
\А\
Re
2.2. Турбулентность
71
Рис. 2.6. Неустойчивости трех почти идентичных конвективных струй приводят
к трем совершенно различным картинам течения. Обратите внимание также на воз¬
никновение течений все меньших масштабов по мере развития неустойчивостей.
Фотография: Vbotond, www.dreamstime.com.
Временная динамика неустойчивых течений становится хаотической
уже при умеренных Re, поскольку движение в фазовом пространстве трех
и более взаимодействующих степеней свободы асимптотически выходит на
многообразия, называемые аттракторами, которые имеют структуру, значи¬
тельно более сложную, чем неподвижная точка (стационарное состояние)
или цикл (периодическое движение). Существуют так называемые стран¬
ные или хаотические аттракторы, которые состоят из седловых траекторий.
У таких траекторий есть устойчивые направления, по которым система
приближается к аттрактору, и неустойчивые направления внутри аттрак¬
тора. Поскольку все траектории неустойчивы на аттракторе, любые изна¬
чально близкие траектории разбегаются экспоненциально по времени со
средней скоростью, называемой ляпуновской экспонентой. Чтобы уяснить,
почему случайное течение приводит к среднему разбеганию, заметим, что
в окрестности седловой точки больше векторов испытывают растяжение,
чем сжатие (задача 2.1). Экспоненциальное разбегание траекторий означает
непредсказуемость поведения. Течения, соответствующие стохастическому
аттрактору, регулярны в пространстве, но меняются во времени непредска¬
зуемым образом, такое поведение называется динамическим хаосом.3 Ля-
пуновскую экспоненту для земной атмосферы можно оценить, разделив ти¬
пичную скорость ветра 20 м/с на размер планеты 10 000 км. Величина, об¬
ратная ляпуновской экспоненте, дает оценку времени, на которое возможны
предсказания погоды: 107 м/(20 м/с)= 5 • 105 с, т. е. примерно неделю.
72
Глава 2
В случае же, когда ламинарное течение остается устойчивым относи¬
тельно бесконечно малых возмущений при сколь угодно большом Re (что,
например, имеет место для сдвиговых течений без точки перегиба), об¬
ласть притяжения ламинарной неподвижной точки в фазовом пространстве
уменьшается с ростом Re, так что малые, но конечные флуктуации способ¬
ны возбудить турбулентность, которая оказывается самоподдерживающей-
ся. В этом случае не наблюдалось состояний с простыми пространствен¬
ными или временными структурами между ламинарным течением и турбу¬
лентностью.
Рис. 2.7. Каскад. Фотография: Lee 2010, www.dreamstime.com.
2.2.1. Каскад
Течение при очень больших Re является турбулентным, т. е. случай¬
ным как в пространстве, так и во времени. Описание таких течений долж¬
2.2. Турбулентность
73
но быть статистическим, т. е. направленным на предсказание средних ве¬
личин. Несмотря на пять столетий усилий (начиная с Леонардо да Винчи),
полное описание статистики турбулентных течений отсутствует, но некото¬
рые существенные элементы установлены. Главным из них является карти¬
на каскада (рис. 2.7), проясняющая энергетический аспект природы турбу¬
лентности. Эта картина представляет собой феноменологию, полезную как
с фундаментальной точки зрения для понимания систем с большим числом
степеней свободы, отклоненных от термодинамического равновесия, так и с
практической стороны для объяснения эмпирического факта конечной силы
сопротивления в невязком пределе. Конечность коэффициента сопротивле¬
ния C(Re) = F/pu2L2 —► const при Re —> оо (см. рис. 1.18) означает, что
темп диссипации кинетической энергии на единицу массы е = Fu/pL3 =
= Cu3/2L остается конечным при v —> 0. Куда девается вся эта энергия?
Драматичность этого вопроса лучше всего осознать, представив не беско¬
нечный след за обтекаемым телом, а течение в ограниченном объеме, ска¬
жем производимое вентилятором, постоянно включенным в комнате. Как
детальные экспериментальные измерения, так и повседневный опыт учат
нас, что после включения вентилятора энергия воздушных потоков быст¬
ро стабилизируется (если поддерживать постоянную температуру воздуха),
что означает, что вязкая диссипация энергии уравновешивает работу вен¬
тилятора. Это и означает, что темп диссипации энергии е = v f си2 dV/V
равен темпу вкачиваемой энергии, который не зависит от вязкости и оста¬
ется конечным при v —> 0.
Исторически понимание турбулентности как каскада началось с эмпи¬
рического закона, установленного Ричардсоном в 1926 году путем наблю¬
дения за семенами и шариками, пускаемыми по ветру: среднеквадратич¬
ное расстояние между двумя частицами в турбулентном потоке возрастает
быстрее, чем по закону диффузии, а именно (R2(t)) ос t3. Здесь среднее бе¬
рется по разным парам частиц. Множитель, который может связать (R2(t))
и £3, должен иметь размерность см2 с-3, как раз такую, как у темпа дис¬
сипации с: (R2(t)} ~ et3. Закон Ричардсона можно интерпретировать как
возрастание характерной разности скоростей Sv(R) с расстоянием R. Это
можно связать с наличием в турбулентном потоке вихрей разных размеров.
Разность скоростей на данном расстоянии обусловлена вихрями сравнимых
и меньших размеров, так как большие вихри дают примерно одинаковый
вклад в каждой из двух точек. При возрастании расстояния, все большие
вихри дает вклад в разность скоростей, что ускоряет разбегание по сравне¬
нию с обычной диффузией, где скорость не зависит от расстояния. Закон
74
Глава 2
Ричардсона указывает, как относительная скорость возрастает с расстояни¬
ем: R(t) ~ б1//2£3/2 является решением уравнения dR/dt ~ (б#)1/3; по¬
скольку dR/dt = Sv(R), то
6v(R) ~ (еД)1/3 =► ~ е. (2.8)
R
Это последнее соотношение и подсказывает идею каскада энергии по
масштабам от внешнего размера L такого, что 5v(L) ~ и до вязкого
масштаба4 Z, определенного согласно I6v(l) ~ v. Поток энергии через дан¬
ный масштаб R можно оценить, разделив энергию (Sv)2 на время R/Sv.
Для так называемого инерционного интервала масштабов L R I эф¬
фективно не действуют ни внешние силы, ни вязкое трение, так что мож¬
но ожидать, что поток энергии б(Д) = (Sv3(R))/R является независимым
от Д, как и получается из (2.8). Когда v —> 0, вязкий масштаб I умень¬
шается и каскад становится длиннее, но величина потока (равная темпу
диссипации) остается неизменной. Иными словами, конечность е в преде¬
ле исчезающей вязкости может быть проинтерпретирована как локальность
передачи энергии в Д-пространстве (или, что то же самое, в пространстве
Фурье волновых чисел к). Образно можно сказать, что турбулентность ра¬
ботает как труба в /с-пространстве, поток через любое сечение которой не
зависит от длины трубы, если она достаточно длинная (число Рейнольдса
достаточно велико).5 Заметим, что разность скоростей (2.8) предполагается
возрастающей с расстоянием медленнее, чем линейно, т. е. поле скорости
в турбулентности не удовлетворяет в среднем условию Липшица (см. раз¬
дел 1.1), так что траектории частиц в турбулентности не определены одно¬
значно в пределе нулевой вязкости.6
Картина турбулентности как каскада выглядит как остроумная фено¬
менология. Можно ли придать этой теории солидность, выводя из уравне¬
ний движения какую-нибудь соответствующую формулу? Именно это сде¬
лал Колмогоров в 1941 году, получив точную формулу для потока энергии
по масштабам. Для этого следует вывести уравнение на корреляционную
функцию скоростей в разных точках для идеализированного случая тур¬
булентности однородной и изотропной в пространстве. Рассмотрим турбу¬
лентность в отсутствие внешних сил, т. е. затухающую со временем. Нас
интересует корреляционная функция компонент разности скоростей между
точками 1 и 2:
((VU - V2i){Vlk ~ V2k))
2(v2
$ik 2('U2i^l к)'
3
2.2. Турбулентность
75
Найдем ее производную по времени. Производная по времени от кинети¬
ческой энергии есть минус темп диссипации: е = —d(v2)/2dt. Чтобы полу¬
чить производную по времени от двухточечной корреляционной функции
скоростей, возьмем уравнение Навье-Стокса в точке гь умножим его на
скорость V2 в другой точке г2 и усредним по промежутку времени,7 боль¬
шему, чем |гт — r2|/|vi — v2|, и меньшему, чем L/u:
э
дхи
1 О
(Vl lVUV2k)
дх21
1 д
(vi iV2kV2l)~
р дх
1 i
(PlV2k) о (P2Vli) + ^(Ai + A2)(vnV2k)-
pox2k
Статистическая изотропия предполагает, что вектор (P1V2) может быть на¬
правлен только по направлению вектора г = ri — Г2; единственный такой
бездивергентный вектор должен иметь вид г/г3, что не удовлетворяет усло¬
вию конечности при г = 0, так что (piv2) = 0. В силу трансляционной ин¬
вариантности все двухточечные корреляционные функции зависят только
от г = 1*1 — г2.
_д_
dxt
(^VuVuV2k) + (v2iVlkVll)^ + 2l/A(vuV2k)-
(2.9)
Здесь МЫ использовали (VuV2k^2l) — _ (^2г^1А:^1/)> поскольку при 1 2
как г, так и тензор третьего ранга меняют знак (тензор обращается в нуль
при 1 —> 2). Непосредственное, хоть и длинное вычисление8 позволяет пе¬
реписать (2.9) для моментов продольной разности скоростей, называемых
структурными функциями,
Sn(r,i) = <[r-(V1-V2)rvr">.
Это дает соотношение Кармана-Ховарда:
дS2 1_ д_/ 4„ \ _ 4е / 4ОS2
dt 3г4 dr V / 3 г4 dr \Г дг
(2.10)
Среднее S2 меняется только вместе с крупномасштабным течением, так что
76
Глава 2
при г « L. С другой стороны, мы рассматриваем г Z, или, более фор¬
мально, полагаем г конечным и переходим к пределу v —> 0, так что послед¬
ний член исчезает. Теперь мы предположим, что е имеет конечный предел
при г/ —► 0 и получим
S3 (г) = —Аег/Ъ. (2-11)
Это замечательное соотношение показывает необратимость турбулентно¬
сти, поскольку 5з не меняет знака при обращении t —> —t, что соответ¬
ствует v —> —V. Если нам будут крутить кино турбулентности наоборот,
мы сможем заметить, что что-то не так! Независимость (2.11) от (исчеза¬
ющей) вязкости является первым в физике примером того, что называется
«аномалией» на современном теоретико-полевом языке: эффект нарушения
симметрии не обращается в ноль вместе с фактором, нарушающим симмет¬
рию. В данном случае эффект нарушения обратимости времени не обраща¬
ется в нуль при и —> 0.
Аналитическая теория турбулентности, дающая другие структурные функции,
отсутствует. Можно предположить, следуя Колмогорову (1941), что величина е
полностью определяет статистику скоростей в инерционном интервале, тогда из
соображений размерности немедленно следует Sn — (ег)п/3. Экспериментальные
измерения дают степенные законы Sn(r) ос г^п, но с показателями степени £п,
отклоняющимися от п/3 при п ф 3. Моменты разности скоростей можно полу¬
чить из функции распределения вероятности V(u, г) измерить 5v = и на рассто¬
янии г: Sn(r) = f unV(u,r) du. Отклонения £n от n/3 означают, что V(5v,r) не
является автомодельной (масштабно-инвариантной), т. е. не может быть представ¬
лена как (<5г>)-1, умноженная на безразмерную функцию всего одной переменной
Sv/(er)1^3. Очевидно, турбулентность не исчерпывается картиной каскада, и, что¬
бы предсказать статистику скорости, недостаточно знания е. Не удается пока связать
нарушение масштабной инвариантности трехмерной несжимаемой турбулентности
с какими-нибудь простыми структурами течения, но это удается сделать для более
простого случая одномерной акустической турбулентности, описываемой уравне¬
нием Бюргерса в параграфе 2.3.4.9 Обе симметрии, одна — нарушенная накачкой
(масштабная инвариантность), другая — нарушенная трением (обратимость), не вос¬
станавливаются даже в пределах r/L —►0и//г—>0.
Трудности построения теории турбулентности можно оценить, переписав ее
через интеграл по траекториям как квантовую теорию поля. Рассмотрим уравнение
Навье - Стокса под действием внешней случайной силы f, имеющей гауссову функ¬
цию распределения P(f) с нулевым средним и вторым моментом (/i(0,0)fj(r,t)) =
= Dij(r,t). В этом случае вероятность любого течения v(r,t) дается Фейнманов-
ским интегралом по траекториям, т. е. по полям скорости, удовлетворяющим урав¬
2.2. Турбулентность
77
нению Навье-Стокса с разными реализациями внешней силы:
tv + (v • V)v + VP/p - 1/Ду - f)P(f) =
= j DvDpexp[—DijPipj +ipi(dtVi + VkVkVi + ViP/p— i/Avi)]. (2.12)
Здесь мы представили дельта-функцию как интеграл по вспомогательному полю р
и явно проинтегрировали по гауссовской статистике силы. В результате турбулент¬
ность оказалась эквивалентна теории двух взаимодействующих полей (v и р), а пре¬
дел большого Re оказался пределом сильной связи (для несжимаемого течения дав¬
ление не является независимым, а восстанавливается из div(v • V)v = АР). Для
любителей теории поля добавим, что материальная производная d/dt = d/dt +
+ (v- V) аналогична ковариантной производной в калибровочной теории, а скорость
системы отсчета задает калибровку.
2.2.2. Турбулентные течения
Вооруженные новым знанием о турбулентности как многомасштабном
течении, вернемся к рассмотрению потоков по наклонной плоскости (река)
и позади обтекаемого тела (след).
1. Река. Как мы выяснили, турбулентность приводит к тому, что сила
сопротивления при больших Re намного больше, чем вязкое трение при ла¬
минарном течении. Это позволяет понять, почему поведение реальных рек
так непохоже на ламинарное решение, описанное в параграфе 1.4.3. При
малых Re сила тяжести на единицу массы да уравновешивается вязким
трением vv/h2. При больших Re сила сопротивления v2/h уравновешива¬
ет да, так что
v ~ у/agh. (2.13)
Действительно, если вязкость не входит в задачу, то (2.13) — это един¬
ственная комбинация с размерностью скорости, которую можно построить
из ft и эффективной силы тяжести ад. Для медленных равнинных рек с уг¬
лом наклона а ~ 10-4 и глубиной ft ~ 10 м новая оценка (2.13) дает
вполне реалистический ответ v ~ 10 см/с. Другой способ описать силу
сопротивления — сказать, что молекулярная вязкость v заменяется турбу¬
лентной вязкостью ist ~ vh ~ v Re и эффективная сила трения задается
обычной формулой vv/h2 с заменой v —> vt- Наглядно: можно предста¬
вить макроскопические турбулентные вихри, переносящие импульс между
78
Глава 2
слоями жидкости куда более эффективно, чем микроскопическое молеку¬
лярное движение.
2. След. Опишем теперь полную структуру следа за телом при Re =
= uL/v 1. При большом Re теорема Кельвина выполняется снаружи от
пограничного слоя — завихренность сохраняется вдоль линий тока, кото¬
рые, таким образом, разделяются на вихревые и безвихревые. След — это
ограниченная, хорошо определенная вихревая область, которая существует,
потому что линии тока не покидают ее. Ничто не мешает, однако, линиям
тока с нулевой завихренностью входить в вихревую область, что приводит
к расширению следа по мере удаления от тела. Скорость меньше в сле¬
де, чем снаружи, что ведет к неустойчивости типа Кельвина-Гельмгольца
и волнообразной форме границ следа. Это, в свою очередь, приводит к ква-
зипериодическому изменению поля скорости в непосредственной окрест¬
ности следа. Однако только крупномасштабные гармоники турбулентности
можно наблюдать снаружи. Действительно, течение потенциально снаружи
и удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0, так что любое периодиче¬
ское решение вдоль следа убывает при удалении от него экспоненциально,
причем тем быстрее, чем меньше длина волны. Следовательно, вся мелко¬
масштабная турбулентность и вся диссипация сосредоточены внутри тур¬
булентного следа. Помимо пространственных модуляций, граница турбу¬
лентного следа также флуктуирует в пространстве.10 На рисунке 2.8 след
затемнен и линии тока показаны пунктиром со стрелками; фотография ре¬
ального следа на рисунке 1.16 в предыдущей главе.
Найдем среднее по времени положение границы следа У(х). Средний
угол между линиями тока и осью х можно оценить как v(x)/u, где v(x) —
среднеквадратичная турбулентная скорость, которую можно найти из усло¬
вия, что поток импульса через сечения следа не зависит от х, поскольку
равен силе сопротивления F ~ puvY2, как в (1.52). Вследствие этого
dY _ ф) _ F
dx и ~ pu2Y2’
так что
Подставим F ~ pu2L2 и получим
Y(x) ~ L2/3x1/3,
v(x) ~ u(L/x)2/3.
2.2. Турбулентность
79
Рис. 2.8. Схематическое изображение следа позади обтекаемого тела.
Заметим, что У не зависит от и для турбулентного следа. Текущее число
Рейнольдса Re(x) = v{x)Y(x)/v ~ (L/xY^uL/v = (L/x)1/3 Re убывает
с х, так что турбулентный след перейдет в ламинарный при х > L Re3 =
= L(uL/u)3 — место перехода зависит от и.
Рис. 2.9. Ширина следа У как функция расстояния от тела х.
Внутри ламинарного следа мы можем предположить и«ии прене¬
бречь р^др/дх ~ v2/x в стационарном уравнении Навье-Стокса, прини¬
мающем вид (параболического) уравнения диффузии, в котором х играет
роль времени:
80
Глава 2
При х v/и решение принимает универсальную форму:
Vx(x,y,z)
YKT}X
ехр
u(z2 + у2)
4vx
где мы использовали (1.52) при выводе коэффициента. В этот момент вни¬
мательный читатель должен спросить, почему мы учли вязкость в (2.14),
но не в тензоре напряжений (1.50). Ответ заключается в том, что ахх ос
ос dvx/dx ос 1/х2 быстро убывает с расстоянием, a f dyayx = f dydvx/dy
тождественно равен нулю.
Как видим, ширина ламинарного следа растет как Y ~ yjvx/u, т. е.
след имеет параболическую форму. Число Рейнольдса в нем убывает как
vxY/v ос ж-1/2. Напомним, что в стоксовом течении v ос 1/г только при
г < vjи, тогда как в следе vx ос 1/х до бесконечности. Сравнивая лами¬
нарную и турбулентную оценки, видим, что при х LRe3 турбулентная
ширина больше: Y ~ L2/3#1/3 (их/и)1^2. С другой стороны, в турбу¬
лентном следе ширина растет, а возмущение скорости убывает с расстоя¬
нием медленнее, чем в ламинарном следе (рис. 2.9).
2.3. Акустика
Другой круг нестационарных явлений связан с конечностью скорости
звука с. Рассмотрим сначала возмущения со скоростями v много меньше с
и опишем линейную акустику (в первом порядке по v/c). Затем мы учтем
малую нелинейность и трение и получим уравнение Бюргерса. В конце
этой главы мы рассмотрим явления, возникающие, когда v превышает с.
2.3.1. Звук
Малые возмущения плотности распространяются как звуковые волны,
которые в идеальной жидкости описываются уравнениями непрерывности
и Эйлера, линеаризованными относительно возмущений р' <С р0? р' <С ро-
д£
dt
+ p0div v = 0,
<9v Vp' л
~wr Н — 0.
at ро
(2.15)
Для замыкания системы следует связать вариации плотности и давления,
т. е. задать уравнение состояния. Производная давления по плотности име¬
ет размерность квадрата скорости, поэтому мы обозначим ее с2, так что
2.3. Акустика
81
р' = с2р'. Как мы заметили в параграфе 1.2.4, малые колебания потенциаль¬
ны, что позволяет ввести v = V0 и получить из (2.15)
Как видно, с действительно является скоростью звука. Осталось устано¬
вить, какую производную др/др использовать, изотермическую или адиа¬
батическую. Эти производные различаются весьма значительно, например,
для газа изотермическая производная дает с2 = Р/р, тогда как закон адиа¬
баты Р ос р1 дает:
Адиабатическое уравнение состояния следует использовать, когда можно
пренебречь теплообменом между теплыми областями сжатия и холодны¬
ми областями расширения. Для этого необходимо, чтобы теплопроводность
(которую можно оценить как произведение тепловой скорости на длину
свободного пробега) должна быть меньше, чем произведение скорости зву¬
ка на длину волны. Поскольку скорость звука порядка тепловой скорости,
получается требование, чтобы длина волны была много больше длины сво¬
бодного пробега, что всегда выполняется. Таким образом, звук всегда сле¬
дует рассматривать адиабатически. Ньютон уже знал, что с2 = др/др. Экс¬
периментальные данные Бойля показывали р ос р (т. е. были изотермиче¬
скими), что давало для воздуха значение с2 = р/р ~ 290 м/с, заметно отли¬
чающееся от измеренного 340 м/с при 20°С. Только через сто лет Лаплас
получил правильное (адиабатическое) значение, используя 7 = 7/5.
Давление, плотность и все компоненты скорости удовлетворяют волно¬
вому уравнению (2.16). Частным решением этого уравнения является моно¬
хроматическая плоская волна ф(т, t) = cos(zkr — tut). Соотношение между
частотой и и волновым вектором к называется законом дисперсии, кото¬
рый линеен для акустических волн: и = ск. Общее решение волнового
уравнения имеет особенно простой вид в одномерном случае:
где /ь/2 задаются двумя начальными условиями, например ф(х, 0)
и фг(х, 0). Заметьте, что только vx = дф/дх отлична от нуля, так что
звуковые волны в жидкостях и газах являются продольными. Любое ло¬
кализованное одномерное возмущение (плотности, давления или скорости
Фи - с2Аф = 0.
(2.16)
(2.17)
ф(х, t) = fi(x - ct) + f2(x + ct),
(2.18)
82
Глава 2
вдоль х) распадается на два одномерных волновых пакета, движущихся
в противоположных направлениях без изменения формы. В каждом из вол¬
новых пакетов d/dt = ±сд/дх, так что второе уравнение (2.15) дает v =
= р'/рс = ср'/р. Амплитуда волны мала, когда р' р, что требует i; С с.
Амплитуду быстрых осцилляций давления в звуковой волне можно оце¬
нить как р' ~ pvc, что намного превышает амплитуду медленной вариации,
которую можно оценить из теоремы Бернулли как pv2/2.
Для сферически симметричного случая в d измерениях уравнение
Фи
rd-1
д_
дг
i-i&t
дг
(2.19)
принимает вид htt = c2d2h/dr2 после подстановки ф = h/ra только для
d = 1,а = 0ис£ = 3,а= 1. Вследствие этого удается сразу же написать
общее решение уравнения (2.19) также и в трехмерном случае:
4>(r,t) = r_1[/i(r - ct) + /2(г + ct)}. (2.20)
Рассмотрение двумерного (цилиндрического) случая приведено в зада¬
че 2.8.
Чтобы получить пространственную плотность энергии звука Ew, раз¬
ложим рЕ + pv2/2 до членов второго порядка по возмущениям. Постоян¬
ный член роЕо не имеет отношения к волне. Также следует опустить член
первого порядка р'д(рЕ)/др = wop', который просто связан с перерас¬
пределением массы и исчезает после интегрирования по объему. Остаются
квадратичные члены
_ Pov2 р'2 д2(рЕ) __ p0v2 р'2 (dwQ\ _ p0v2 р,2<?
2 + 2 др2 2 + 2 \9р )в 2 + 2р0 ‘
Плотность потока энергии с той же точностью есть
q = pv(w + v2/2) « pvw = w'pov + Wqp'w.
Опять мы опустим wop'v, соответствующий wopf в энергии и исчезаю¬
щий после интегрирования по объему. Изменение энтальпии есть w' =
= p'(dw/dp)s = р'/р « р'/ро, и мы получаем
q = p'v.
Энергия и ее поток связаны соотношением dEw/dt + divp'v = 0. В плос¬
кой волне Ew = pov2 и q = cEw. Плотность потока энергии также называ¬
ют интенсивностью звука. Чтобы лучше слышать журчание далекого ручья
2.3. Акустика
83
и меньше пугаться рычания близкого медведя, наше ухо усиливает тихие
и подавляет громкие звуки. Для этого оно воспринимает громкость как ло¬
гарифм интенсивности при данной частоте. Поэтому интенсивность звука
традиционно измеряется не в ваттах на квадратный метр, а в единицах ло¬
гарифма интенсивности, называемых децибелами11:
q(dB) = 120 + 101og10 q (W/m2).
Плотность импульса есть
j = pv = pqv + p'v = p0v + q/c2.
Акустическое возмущение в конечном объеме, не ограниченном стенками,
имеет ненулевой импульс f qdV/c2, что означает перенос массы. Проком¬
ментируем кратко часто встречаемое недоразумение, связанное с импуль¬
сом фонона в твердом теле. Для правильного понимания следует разли¬
чать эйлеровы и лагранжевы координаты. Фонон определяется как синусо¬
идальное возмущение смещений атомов. Монохроматическая волна в этих
(лагранжевых) координатах имеет нулевой импульс.12 В отличие от этого,
наши уравнения (2.16), (2.19) и решения (2.18), (2.20) записаны в эйлеро¬
вых координатах. Покажем, что возмущение, синусоидальное в эйлеровых
координатах, имеет ненулевой импульс во втором порядке по амплитуде
волны (где эйлеровы и лагранжевы координаты различаются). Для этого
рассмотрим эйлерово поле скорости как монохроматическую волну с дан¬
ными частотой и волновым вектором: v(x, t) = Vo sin(kx — uit). Лагранжева
координата частицы жидкости X (t) удовлетворяет уравнению
X = v(X, t) = usin(kX — ut). (2.21)
Это нелинейное уравнение, которое можно решить итерациями X(t) =
= Хо + Xi(t) + X2(t) + ..., предполагая v <С и/к. Мы увидим ниже
в параграфе 3.1.4, что и/к — это фазовая скорость волны. Когда она много
больше скорости жидкости, смещение частицы жидкости за период мно¬
го меньше длины волны. Итеративное решение дает осцилляции в первом
порядке и средний дрейф во втором:
*i(i) = -cos(kX0-ujt),
U)
x2(t) = + ^2-2(^0 - Wt). (2.22)
Видим, что в первом порядке по амплитуде волны возмущение распростра¬
няется, а во втором сама жидкость течет.
84
Глава 2
2.3.2. Волна Римана
Как мы только что показали, инфинитезимальное акустическое воз¬
мущение распадается на две простые волны, которые затем распространя¬
ются, не меняя формы. Покажем теперь, что такие чисто адиабатические
волны постоянной формы невозможны при конечной амплитуде (парадокс
Эрншоу). В системе отсчета, движущейся со скоростью с, мы бы имели ста¬
ционарное течение, для которого уравнение непрерывности pv = const = С
и Эйлера vdv = dp/р дают dp/dp = (С/р)2, имеющее d2p/dp2 < 0, что
противоречит второму закону термодинамики. Отсюда следует, что простая
плоская волна должна меняться под действием малой нелинейности.
Рассмотрим одномерное адиабатическое течение газа с уравнением со¬
стояния р = ро(р/ро)7. Будем искать решение уравнения непрерывности
и Эйлера в виде простой волны, т. е. такой, что любые две из величин v,p,p
можно выразить через одну оставшуюся. Это обобщение на нелинейный
случай того, что мы сделали для линейной волны, но, конечно, решение
должно получиться нестационарным, как следует из парадокса Эрншоу.
Пусть скорость v будет независимой переменной, а давление и плотность
функциями p{v) и p(v). Уравнения Эйлера и непрерывности примут вид:
dv 1 2 dp dv dp dv dv
dt p° V dv dx' dv dt ^ dx'
Здесь c2(v) = dp/dp. Исключив dp/dv, получим
dv
dt
dv dv
dt +vdi
±c(v)
dv
dx
(2.23)
Два знака соответствуют двум направлениям распространения. В линейном
приближении мы имели щ + сих = 0, где с = у/'УРо/Ро• Теперь мы полу¬
чаем
Ф) =
= с
Ро + 5р
ч 2р0 2ро / 2
(2.24)
поскольку бр/ро = v/c. Локальная скорость звука растет с амплитудой,
поскольку 7 > 1, т. е. положительный эффект возрастания давления пере¬
вешивает отрицательный эффект увеличения плотности.
2.3. Акустика
85
Взяв знак плюс в (2.23), получим уравнение для простой волны, рас¬
пространяющейся вправо:13
Это уравнение описывает простой факт увеличения скорости распростра¬
нения с увеличением амплитуды возмущения как за счет более высокой
скорости, так и за счет более высокого градиента давления. (Скотт Рассел
заметил в 1885 году, что звук пушечного залпа распространяется быстрее,
чем команда «пли»!) Поскольку разные точки профиля волны двигаются
с разной скоростью, форма профиля изменяется. В частности, более быст¬
рые частицы должны догонять более медленные. Действительно, для на¬
чального профиля скорости г?(х,0) = f(x) решение уравнения (2.25) дает¬
ся неявной формулой
которая может быть полезной для некоторых специальных /, но не очень
удобна в общем случае. Чтобы выписать решение в явном виде, следует
ввести характеристики — линии в х—^-плоскости, которые соответствуют
постоянной v, как показано на рисунке 2.10:
где хо = /-1(г>). Решение (2.27) называется волной Римана или простой
волной.
В переменных £ = х — ct и и = у(*у + 1)/2 уравнение принимает вид
описывающий просто-напросто свободно (по инерции) летящие частицы,
каждая со своей неизменной скоростью. Действительно, характеристи¬
ки — это прямые линии с наклонами, задаваемыми начальным распре¬
делением г>(х,0). Видно, что части профиля скорости с положительной
dv(x,0)/dx становятся более пологими, тогда как убывающий склон с от¬
рицательной dv(x,0)/dx становится все круче (рис. 2.11).
(2.25)
(2.26)
'у 4- 1
=> х = Хо + ct Н —v(xo)t, (2.27)
86
Глава 2
Рис. 2.10. Характеристики (вверху) и начальное распределение скорости (внизу).
Рис. 2.11. Эволюция профиля скорости при опрокидывании волны.
Характеристики являются лагранжевыми координатами х(хо, £), они
пересекаются в х—t-плоскости (что означает столкновение частиц жидко¬
сти), когда (dx/dxo)t обращается в ноль:
1 +
7+1 dv
2 dx о
t = 0.
Первыми столкнутся частицы, соответствующие максимально отрицатель¬
ной производной dv/dxo = /'(хо), что означает /"(хо) = 0. При пересече¬
нии характеристик два различных значения скорости существуют в одной
точке, что соответствует разрыву поля скорости и образованию ударной
волны.
Сделаем замечание общего характера о качественной разнице свойств
решений гиперболического уравнения ии — с2ихх = 0 и эллиптических
уравнений, например уравнения Лапласа. Как упоминалось в парагра¬
фе 1.3.1, решения эллиптических уравнений и их производные регуляр¬
ны всюду внутри области существования. Напротив, решения гиперболи¬
ческих уравнений распространяются вдоль характеристик, которые могут
пересекаться (когда с зависит от и или х, t), что ведет к появлению особен¬
ностей решений.
2.3. Акустика
87
2.3.3. Уравнение Бюргерса
Как мы только что установили, в идеальной жидкости нелинейные эф¬
фекты приводят к зависимости скорости распространения от амплитуды,
что ведет к пересечению характеристик и опрокидыванию волны: любое
акустическое возмущение конечной амплитуды за конечное время создает
сингулярность, ударную волну. При образовании разрыва необходим учет
пространственных производных, более высоких, чем первые производные,
что фигурируют в уравнениях идеальной жидкости. В этом параграфе мы
учтем вторую производную, описывающую вязкое трение:
ди ди д2и
—+и— = 1/—'
(2.28)
Это уравнение Бюргерса — первый в этой книге представитель маленького,
но знаменитого семейства универсальных нелинейных уравнений. В сле¬
дующей главе мы познакомимся с двумя другими, не менее знаменитыми
представителями этого семейства — нелинейным уравнением Шрёдингера
и уравнением Кортевега де-Фриза (которое соответствует учету третьей
производной для акустических возмущений). Уравнение Бюргерса являет¬
ся минимальной моделью механики сплошной среды: одно скалярное по¬
ле и(х, t), эволюционирующее в одном пространственном измерении под
действием инерции и трения. Это уравнение и его многомерный аналог
описывают целые классы различных систем с инерционной нелинейностью
гидродинамического типа (uV)u и вязким трением. Для потенциального
случая и = V0 уравнение принимает вид фг = —(V0)2/2 + z/A0, который
применяется как для одного, так и для двух пространственных измерений
и описывает, в частности, рост поверхностей под действием однородного
осаждения и диффузии.14 Скорость роста уровня поверхности ф(г) про¬
порциональна потоку на единицу площади, что обратно пропорционально
площади [1 + (V0)2]’1/2 « 1 — (V0)2/2, как показано на рисунке 2.12.
Уравнение Бюргерса линеаризуется подстановкой Хопфа и = —2и(р^/р:
d_v>t = 0 ^ ^ _ Utpu = <pC'(t).
После замены р —> (р exp С (не меняющей и) получим линейное уравнение
диффузии:
4>t ~ = 0.
88
Глава 2
Ф
dx
х
Рис. 2.12. Если ось х направлена вдоль локального градиента поверхности, то
элемент площади в этом месте задается формулой df = у/(dx)2 + (сВД2 =
= dxy/\ + (V0)2.
Задача с начальными условиями имеет простое решение:
Как любая система с вязкостью, уравнение Бюргерса диссипирует
энергию, но сохраняет импульс М = J и{х) dx. Если импульс конечен,
то любое возмущение приобретает со временем универсальную форму, за¬
висящую только от М и не зависящую от и(£,0).15 В пределе t —> оо
Решения с положительным и отрицательным М переводятся друг в друга
преобразованиями и —> —и и £ —> —
Обратите внимание, что Mjv — это число Рейнольдса и что оно не ме¬
няется при расплывании возмущения. Это следствие сохранения импульса
в одномерном течении. При вязком затухании d-мерного течения скорость
обычно затухает как £-d/2, тогда как масштаб растет как t1/2, так что чис¬
ло Рейнольдса меняется как £(1-d)/2. В частности, мы видели, что число
Рейнольдса убывает в следе позади обтекаемого тела.
(2.29)
-ОО J у
2.3. Акустика
89
При М/v 1 решение принимает особенно простую форму тре¬
угольника (или зуба пилы). Действительно, в интервале 0 < у < M/2v
(т.е. при 0 < £ < л/2Mt) первый интеграл в (2.30) пренебрежимо мал
и F ~ ехр(—у2), так что гх(£, t) = £/£. Как при £ < 0, так и при £ > у/2Mt
имеем F ~ const+ ехр(—у2), так что и экспоненциально мала как спереди,
так и сзади.
Существует стационарное решение и с бесконечным полным импуль¬
сом — это ударная волна. Будем искать решение в виде волны, перемеща¬
ющейся без изменения формы: tt(£ — wt). В этом случае уравнение Бюр-
герса редуцируется до обыкновенного дифференциального уравнения, ко¬
торое сразу можно проинтегрировать раз, что дает — uw + и2/2 = vu^,
если предположить и —> 0 по крайней мере на одной из бесконечностей.
Проинтегрировав еще раз, получим
2 yj
= j + _ wt)/uy (2-31)
Это решение называется ударной волной, поскольку оно описывает резкое
изменение скорости в пространстве: ширина фронта v/w мала при малой
вязкости. Фронт распространяется со скоростью, равной полусумме ско¬
ростей по обе стороны — это нетрудно понять, представив фронт как ме¬
сто, где быстрая частица настигает медленную, после чего они слипаются
и дальше двигаются вместе с суммарным импульсом. Форма ударной волны
стационарна, поскольку нелинейность уравновешена вязкостью.
90
Глава 2
Уравнение Бюргерса галилеевски инвариантно: если u(£,t) является ре¬
шением, то же справедливо для и(£ — wt) + w с произвольной констан¬
той w. В частности, можно преобразовать (2.31) в стоящую ударную волну
гх(£,£) — wta,nh(w£/2i/).
2.3.4. Акустическая турбулентность
Ударная волна (2.31) диссипирует энергию с темпом v f и1 2 dx, неза¬
висимым от вязкости, см. (2.32). Таким образом, образование ударных волн
представляет механизм ненулевой диссипации энергии в пределе нулевой
вязкости для сжимаемых течений (для несжимаемых течений эту роль иг¬
рает турбулентный каскад). Решение (2.31) показывает, как это происходит:
производная скорости стремится к бесконечности, когда вязкость стремится
к нулю. В невязком пределе ударная волна является разрывом скорости.
Обсудим кратко акустическую турбулентность, производимую крупно¬
масштабным источником звука. Например, представим динамик, возбужда¬
ющий на входе длинной трубы акустические шумы с характерными часто¬
тами много меньшими cw/v, так что число Рейнольдса велико. При рас¬
пространении по трубе такая турбулентность превращается в набор удар¬
ных волн, расстояния между которыми случайны, но в среднем порядка
L ~ с/П, что намного превышает ширину фронта v/w, играющую роль
вязкого масштаба. Для каждой ударной волны (2.31)
1 Гь/2
Sz(x) = — / [и(х + х') — ^(а/)]3 dx' « — 8w3x/L,
L J-L/2
1 Гь/2
e = — / vu2x dx ~ 2w3/3L, (2.32)
L J-L/2
что дает
53 = -12ех. (2.33)
Эта формула — прямой аналог (2.11). Как и в параграфе 2.2.1, было бы
неправильным предположить Sn ~ (ех)п/3, поскольку ударные волны дают
куда больший вклад при п > 1: Sn ~ wnx/L, где x/L есть вероятность
встретить ударную волну в интервале х.
Вообще говоря, Sn{x) ~ Cn\x\n + С'п\х\9 где первый вклад дается гладкими
участками профиля скорости с (правый гг-интервал на рис. 2.13), а второй вклад
дается О(х) вероятностью встретить ударную волну в интервале х.
2.3. Акустика
91
Показатели степени £n = d\n Sn/d\nx ведут себя следующим образом: £п =
= п для 0 ^ n ^ 1 и = 1 для п > 1. Так же, как и в несжимаемой (вихревой)
турбулентности, описанной в параграфе 2.2.1, это означает, что функция плотности
вероятности Р(6и, х) не является масштабно инвариантной в инерционном интер¬
вале масштабов, т. е. не существует такого а, чтобы функция от 6и/ха не зависела
от масштаба х. Простая бимодальная природа турбулентности в модели Бюргерса
(гладкие профили скорости, перемежаемые ударными волнами) означает, что плот¬
ность вероятности определяется двумя (неуниверсальными) функциями, каждая из
которых зависит от одного аргумента: Р(5и,х) = 6u~l f\(6u/x) 4- xf2(Su/urms)-
Нарушенная масштабная инвариантность означает, что низкие моменты убывают
быстрее высоких с уменьшением масштаба. Смысл этого в том, что относитель¬
ный уровень флуктуаций возрастает с увеличением разрешающей способности: чем
меньше масштаб, тем более вероятны большие флуктуации. Ситуация, в которой
скейлинговые индексы £п не лежат на прямой, называется аномальным скейлингом,
поскольку и в этом случае имеется нарушение симметрии (масштабной инвариант¬
ности), не исчезающее при стремлении к нулю отношения масштаба измерения
к масштабу накачки, которая, собственно, и нарушает симметрию.
Более формальный подход к рассмотрению турбулентности в модели Бюргерса
заключается в получении уравнений на структурные функции аналогично (2.10):
dS2 _ _dSs d2S2
dt Здх £ V дх2
(2.34)
Здесь £ = и(и2х). Уравнение (2.34) описывает как затухание турбулентности в отсут-
ствие внешних сил (в этом случае е убывает со временем), так и случай постоянно
действующей накачки, поддерживающей турбулентность, стационарную на масшта¬
бах меньше масштаба накачки. В первом случае dS2/dt ~ S2U/L е ~ и3/L,
где L есть характерное расстояние между фронтами. Во втором случае dS2/dt =
= 0. В обоих случаях S3 = —12ех + 3vdS2/dx. Рассмотрим теперь предел и —► 0
92
Глава 2
при фиксированном х (и t для затухающей турбулентности). Диссипация на фронте
ударной волны обеспечивает конечность е в пределе и —> 0, что дает (2.33). Как
и для несжимаемой турбулентности, постоянство потока фиксирует третий момент
5з(х), который, таким образом, полностью определяется е и является универсаль¬
ным, не завися ни от начальных условий для затухающей турбулентности, ни от
статистики накачки в стационарном случае. Высшие моменты можно связать с со¬
ответствующими интегралами движения Еп = J и2тг dx/2, которые все формально
сохраняются в невязком случае. Реально же ударные волны обеспечивают конеч¬
ный темп диссипации еп для любого Еп в пределе v —► 0, так что для любого
целого п можно выразить S2n+i ос епх (см. задачу 2.5). Это означает, что полная
статистика разности скоростей в инерционнном интервале зависит от бесконечного
числа параметров, определяемых накачкой: потоков всех динамических интегралов
движения.
Для несжимаемой турбулентности, описанной в параграфе 2.2.1, до сих пор
нет ни понимания структур, ни классификации законов сохранения, ответственных
за аномальный скейлинг.
2.3.5. Число Маха
Сжимаемость приводит к конечной скорости распространения возму¬
щений. Здесь мы рассмотрим движение жидкости или тела в ней со скоро¬
стями, превышающими скорость звука. Распространение возмущений в бо¬
лее чем одном измерении является весьма своеобразным для сверхзвуковых
скоростей. Действительно, рассмотрим среду, движущуюся однородно со
скоростью v. Если создать малое возмущение в точке О, оно будет распро¬
страняться относительно среды со скоростью с. В неподвижной же системе
отсчета все возможные скорости распространения даются формулой v + сп
для всех возможных направлений единичного вектора п. Это означает, что
в дозвуковом течении (v < с) возмущение распространяется во всех направ¬
лениях вокруг источника и в конце концов проходит через все точки среды.
Это видно из рисунка 2.14, где левый круг содержит точку О. В сверхзву¬
ковом же случае векторы v + сп все лежат внутри конуса с углом раствора
2а, где а = arcsinc/t> называется углом Маха. Снаружи от конуса Маха,
показанного пунктиром на рисунке 2.14, среда остается невозмущенной.
Безразмерное отношение v/c = Л4 называется числом Маха, которое явля¬
ется контрольным параметром, как и число Рейнольдса; течения подобны
для одинаковых Re и Л4.
Если возбуждать звук в движущейся среде (скажем, периодическими
пульсациями), тогда круги на рисунке 2.15 соответствуют линиям посто¬
янной фазы. Как видно, длина волны (расстояние между этими линиями)
2.3. Акустика
93
Рис. 2.14. Распространение возмущения из точки О в среде, движущейся с дозвуко¬
вой (слева) и сверхзвуковой (справа) скоростями v. Никакое возмущение не может
выйти за пределы конуса Маха, обозначенного пунктиром.
Рис. 2.15. Круги изображают поверхности постоянной фазы акустического возму¬
щения, распространяющегося в среде, движущейся вправо с дозвуковой (слева)
и сверхзвуковой (справа) скоростями. Альтернативно эта же картинка изображает
звук, возбуждаемый источником, движущимся влево.
меньше слева от источника. Для случая движущейся среды это значит, что
длина волны короче с наветренной стороны. Для случая движущегося ис¬
точника это значит, что длина волны короче перед источником и длиннее
позади него. Однако частоты звуков, слышимых наблюдателем, различают¬
ся в следующих двух случаях.
(i) Если излучатель и приемник в покое, а движется среда, то излучаемые
и принимаемые частоты одинаковы; длина же волны с наветренной
стороны меньше в параметр 1 — у/с потому, что звук сносится ветром,
так что его скорость распространения с — v.
(ii) Когда источник движется, а приемник и среда неподвижны, то ско¬
рость распространения — с, так что меньшая длина волны соответ¬
ствует принимаемой частоте, увеличенной в 1/(1—v/c) раз. Изменение
94
Глава 2
частоты вследствие относительного движения источника и приемника
называется эффектом Доплера. Этот эффект используется, в частности,
для измерения скорости жидкости путем рассеяния звука или света на
частицах, переносимых течением.16
Когда приемник движется относительно среды, он регистрирует ча¬
стоту, отличающуюся от частоты с/с, измеряемой в системе отсчета среды.
Как же соотносятся частота и волновой вектор звука, распространяющего¬
ся в движущейся среде и принимаемого в неподвижной системе отсчета?
В системе отсчета, движущейся вместе со средой, монохроматическая вол¬
на задается формулой ехр(гк • г' — ckt). Координаты в движущейся и непо¬
движной системе связаны простым соотношением r' = г — vt, так что вол¬
на в неподвижной системе задается формулой ехр(гк • r — ckt — к • vt) =
= ехр(гк • г — ш^Ь). Это значит, что частота, измеряемая в неподвижной
системе отсчета, есть
Сдвиг частоты (к • v) называется доплеровским . Когда звук распростра¬
няется против ветра, (к • v) < 0, неподвижный приемник с наветренной
стороны регистрирует более низкий тон, чем с подветренной. Иначе говоря,
с наветренной стороны период волны больше, потому что требуется больше
времени, чтобы сносимая ветром волна данной длины прошла приемник.
Рассмотрим теперь излучатель, который осциллирует с частотой ujq
и движется со скоростью и. Частота волны в неподвижной среде и = ск за¬
висит от направления распространения. Чтобы выразить и через ujq и угол,
перейдем в систему отсчета, движущуюся вместе с источником, где Uk =
= ujо, а среда движется со скоростью —и, так что (2.35) дает
где в — угол между и и к.
Рассмотрим теперь (2.35) при v > с. Частота звука в покоящейся си¬
стеме отсчета обращается в ноль на конусе Маха. Действительно, условие
Uk = 0 определяет в k-пространстве коническую поверхность ск = — к • v
или в любой плоскости сечения соотношение между компонентами волно¬
вого вектора: v2k2 — с2 (к2 + к2). Фронты распространения возмущений
в плоскости х, у определяются условием постоянства фазы kxdx + kydy =
= 0, так что dy/dx = —кх/ку = ±c/\/v2 — с2, что как раз и соответствует
ujk = ск+ (к • v).
(2.35)
= ск — (к • и) = и[1 — (и/с) cos0],
(2.36)
2.3. Акустика
95
пунктирным прямым на рисунке 2.15 с углом Маха а = arcsin(c/?;) =
= arctan(c/\A;2 — с2). Таким образом, возмущение стационарно на конусе
Маха, внутри которого распространяются звуковые волны, а снаружи —
невозмущенная среда.
Рассмотрим теперь обтекание тела сжимаемым газом. Для узкого тела
типа крыла искажение течения телом можно полагать малым, как в пара¬
графе 1.5.4, единственное отличие в том, что теперь надо еще учесть возму¬
щение плотности: и + v, Pq + P\ ро + р'. Для малых возмущений Р' = с2р'.
Линеаризация стационарных уравнений непрерывности и Эйлера дает17
Рои^- = -VP' = -c2Vp', u?f = -p0 diw. (2.37)
Взяв ротор уравнения Эйлера, получим ди/дх = 0, т. е. независимость
завихренности от х. Поскольку завихренность отсутствует в набегающем
потоке вдали от тела, она равна нулю всюду (в используемом здесь ли¬
нейном приближении).18 Таким образом, мы имеем дело с потенциальным
течением v = V0, которое удовлетворяет следующему уравнению:
д2<р д2ф
дх2 ду2
(2.38)
Как видим, число Маха Л4 = и/с определяет, является ли уравнение
эллиптическим (когда М. < 1 и линии тока гладкие) или гиперболическим
(когда М > 1 и линии тока искривляются между плоскостями Маха и оста¬
ются прямыми снаружи), см. рисунок 2.16.
М < 1 М > 1
Рис. 2.16. Дозвуковое (слева) и сверхзвуковое (справа) обтекание узкого крыла.
В эллиптическом случае замена переменных х —> х{1 — М2)~1^2 пре¬
вращает (2.38) в уравнение Лапласа diw = Аф = 0, которое описы¬
вало несжимаемый случай. Попросту говоря, при дозвуковых скоростях
сжимаемость газа имеет тот же эффект, что и удлинение обтекаемого те¬
ла. Поскольку подъемная сила пропорциональна циркуляции скорости, т. е.
96
Глава 2
ширине крыла, мы заключаем, что сжимаемость увеличивает подъемную
силу в (1 — Л42)~1/2 раз.
В гиперболическом случае решение имеет вид
ф = F(x — By), В = (М2- 1)“1/2.
На границе крыла, форма которой задается функцией у = /(я), условие
vy = дф/ду = uf'(x) дает F = —Uf/B. Это означает, что в линейном при¬
ближении линии тока точно следуют форме крыла и становятся прямыми,
пройдя заднюю поверхность Маха. Как видим, скорость и плотность испы¬
тывают скачок, пропорциональный /'(0), при прохождении через поверх¬
ности Маха. Это значит, что эти поверхности (как плоскости, так и конусы,
описанные выше) являются фронтами ударных волн.
Свойства течения по разные стороны фронта связаны законами сохра¬
нения массы, энергии и импульса (Рэнкин, 1870; Гюгонио, 1885): если w —
компонента скорости газа, нормальная фронту, то потоки pw, pw(W +
+ w2/2) = pwl'jPK'j — 1 )p + w2/2] и P + pw2 должны быть одинаковыми
по обе стороны. Получившиеся три соотношения позволяют выразить, на¬
пример, давление, скорость и плотность позади фронта через их значения
перед фронтом (задача 2.3). В частности, для хорошо обтекаемого узкого
тела, отклоняющего линии тока на малый угол 6 = f'(0) после прохожде¬
ния фронта, получим следующее возрастание давления за счет уменьшения
скорости:
АР и2 - (и + vx)2
—— ос
= М2
2 SM2
VM2 - 1 ’
5
VM2 - 1
2
-£2
(2.39)
Наличие скачка давления на фронте приводит к дополнительному вкла¬
ду в силу сопротивления, которая должна испытывать скачок, когда М
проходит через единицу. Механизм дополнительного сопротивления —
это диссипация на ударных фронтах и излучение акустической энергии
в пространстве между фронтами. Сингулярности подъемной силы и си¬
лы сопротивления при Л4 —> 1 называют звуковым барьером. Как вид¬
но, наше предположение о малости возмущения перестает работать при
Л4 —► 1. Для сравнения напомним, что вклад следа в силу сопротивле¬
ния пропорционален ри2, тогда как вклад ударной волны пропорционален
PM2/VM2 — 1 ~ ри2 j\/М2 — 1.
2.3. Акустика
97
Как видим, стационарное возмущение течения не убывает с расстояни¬
ем в линейном приближении. Учет нелинейности приведет к естественному
заключению, что величина скачка убывает с увеличением расстояния от те¬
ла. Мы обнаружили в параграфе 2.3.2, что скорость распространения зави¬
сит от амплитуды, и это же должно быть справедливо для угла а. Это зна¬
чит, что поверхности Маха или фронты являются плоскими только там, где
амплитуда мала, т. е. обычно вдали от тела. Слабые ударные волны описы¬
ваются уравнением (2.30), где координата £ перпендикулярна поверхности
фронта. Вообще же, уравнение Бюргерса применимо к описанию поверх¬
ности Маха лишь при Л4 — 1 <С 1. Действительно, согласно (2.30) и (2.31),
ширина фронта есть
v v lv т
и — с с{М — 1) с(М — 1) ’
что превышает длину свободного пробега I только при Л4 — 1 «С 1, по¬
скольку тепловая скорость молекул г>т порядка скорости звука в газе с
(см. также параграф 1.4.4). Оставаясь последовательно в рамках описания
сплошной среды, следует рассматривать фронты сильных ударных волн как
разрывы, т. е. имеющие нулевую ширину.
Задачи
2.1 (i) Двумерное несжимаемое течение вокруг седловой точки соответ¬
ствует чистой деформации без вращения: vx = Ах, vy = —Ху. Коор¬
динаты х(£), y{t) любой частицы жидкости удовлетворяют уравнениям
х = vx(x) и у = vy(y). Изменение длины вектора г = (х,у) зави¬
сит от начальной ориентации и времени. Найдите, какая доля векторов
увеличит свою длину за время Т.
(ii) Рассмотрим двумерное стационарное несжимаемое течение с по¬
стоянными в пространстве завихренностью и и компонентами тензора
деформации A: vx = Хх + иу/2, vy = —Ху — их/2. Опишите, как меня¬
ется закон движения частицы x(t), y(t) при изменении отношения А/и.
2.2 Рассмотрим слой жидкости или газа между двумя параллельными го¬
ризонтальными плоскостями на расстоянии /г, между которыми под¬
держивается разность температур 0. Даны кинематическая вязкость г/,
температуропроводность х (°бе измеряемые в см2 с-1) и коэффици¬
ент теплового расширения /3 = —9 In р/дТ такой, что вызванное раз¬
98
Глава 2
ностью температур относительное изменение плотности /3© намно¬
го превышает значение gh/c2, вызванное разностью гидростатических
давлений, где с — это скорость звука. Найдите параметры, контроли¬
рующие возникновение конвективной неустойчивости (носящей имя
Рэлея-Бернара).
2.3 Рассмотрим ударную волну со скоростью перпендикулярную
к фронту в политропном газе с энтальпией
W = срТ =
pv—!—
7-1
Р 7 с2
р7 — 1 7 — 1 ’
где 7 = cp/cv. Запишите соотношения Рэнкина-Гюгонио для этого
случая. Выразите отношение плотностей Р2/Pi через отношение дав¬
лений Р2/Р1, индексы 1 и 2 обозначают значения соответственно до
и после фронта. Выразите также Р2/Р1, Р2/Pi и ЛЛ2 = W2/C2 через
число Маха перед фронтом М\ = w\jc\. Рассмотрите пределы силь¬
ных и слабых разрывов.
2.4 Для турбулентности в модели Бюргерса выразите структурную функ¬
цию пятого порядка S5 через темп диссипации 64 = бv[{u2u^.) +
+ <«2х«*>].
2.5 Скорость газа в стоячей звуковой волне задается формулой v =
= asm(ut). Предполагая амплитуду малой, ка <С и, опишите закон
изменения скорости маленькой сферической капельки плотности ро
в газе плотности р. Рассмотрите случай, когда капля испаряется так,
что ее объем убывает со временем по закону V(t) = V(0) — at. Капля
изначально покоилась.
2.6 Рассказывают, что создатели первых ракет столкнулись со странны¬
ми неполадками в работе датчика уровня топлива. Датчиком служил
небольшой поплавок (наполненный воздухом резиновый шарик), по¬
зиция которого должна была показывать уровень жидкого топлива на
восходящей фазе траектории ракеты. Однако во время разогрева двига¬
теля перед стартом пузырек неожиданно тонул, опускаясь на дно, сиг¬
наля нулевой уровень топлива и отключая двигатель. Каким образом
производимые двигателем вибрации обращают направления эффектив¬
ной силы тяжести для шарика?
Рассмотрите пузырек газа в сосуде, наполненном до глубины h жид¬
костью плотности р. Сосуд вибрирует вертикально по закону x(t) =
= (Ag/uj2) sin(cj£), где д — обычное ускорение свободного падения.
2.3. Акустика
99
Определите пороговую амплитуду колебаний А, необходимую, чтобы
удерживать пузырек у дна. Давление на свободной поверхности — Ро-
2.7 Вы, наверное, замечали, что интенсивность быстро падает с расстоя¬
нием, когда звук распространяется против ветра. Объясните, почему
так трудно слышать кричащих против ветра.
2.8 Опишите аксиально симметричное распространение звука. Подсказка:
используйте (2.20).
2.9 Соотношение (2.36) cuq = и[1 — (и/с) cos в] показывает, что излуча¬
емая частота си о противоположна по знаку принимаемой частоте щ,
когда источник и приемник сближаются со сверхзвуковой скоростью,
т. е. и cos в > с. Что это означает физически для принимаемого и излу¬
чаемого сигналов?
Глава 3
Диспергирующие волны
В этой главе мы рассмотрим физические системы, в которых могут
распространяться волны малой амплитуды со скоростью, зависящей от дли¬
ны волны. Распространение таких волн радикально отличается от поведе¬
ния звуковых волн (или света в вакууме), которые все распространяются
с одной скоростью, так что, например, одномерное малое возмущение рас¬
пространяется, не меняя формы. Когда же разные фурье-гармоники бегут
с разными скоростями, форма возмущения меняется при распространении.
В частности, локализованное возмущение расплывается. Таким образом,
дисперсия скорости волн по длинам приводит к дисперсии пакета в про¬
странстве, поэтому такие волны называются диспергирующими. Поскольку
волны разных длин бегут с разными скоростями, они со временем разбега¬
ются и оказываются в разных местах. В результате в каждом данном месте
наблюдается синусоидальное возмущение независимо от свойств далекого
источника. Такую картину нам всем доводилось наблюдать на поверхности
воды.1 Поверхностные волны являются главным предметом рассмотрения
в этой главе, однако подходы и результаты применимы в равной мере к мно¬
гочисленным диспергирующим волнам, распространяющимся внутри жид¬
костей, плазмы и твердых тел (где дисперсия обычно является результатом
анизотропии или неоднородности среды). Мы постараемся сохранить общ¬
ность подхода также при переходе к рассмотрению нелинейных дисперги¬
рующих волн. Для этого мы будем полагать слабыми как нелинейность,
вследствие малости амплитуд, так и дисперсию, что возможно в двух от¬
дельных случаях: 1) когда закон дисперсии близок к акустическому; 2) когда
волны возбуждаются в узком спектральном интервале. Эти два случая опи¬
сываются соответственно уравнениями Кортевега-де-Фриза и нелинейного
уравнения Шрёдингера, которые столь же универсальны для диспергирую¬
щих волн, как уравнение Бюргерса для недиспергирующих. В частности,
результаты этой главы будут применимы к нелинейной оптике и квантовой
физике не менее, чем к гидродинамике.
102
Глава 3
3.1. Линейные волны
Для существования волн необходимы или сжимаемость, или неодно¬
родность среды. В этом параграфе мы рассмотрим несжимаемую жидкость
с предельной неоднородностью — открытой поверхностью. Мы опишем
волны на поверхности жидкости как пример диспергирующих волн, учтем
силу тяжести и поверхностное натяжение как возвращающие силы, а также
затухание волн из-за вязкого трения. Затем мы введем общие понятия фазо¬
вой и групповой скоростей, которые, вообще говоря, различны для диспер¬
гирующих волн, и обсудим физические явления, возникающие из-за этой
разности.
Линейную волну в безграничной среде можно представить как супер¬
позицию плоских волн exp(zkr — iujt). Следовательно, любые линейные
волны могут быть полностью охарактеризованы так называемым диспер¬
сионным соотношением между частотой волны и и длиной волны А. Как
подобает физикам или инженерам, прежде чем приступить к формальным
выкладкам, попробуем оценить А) с точностью до числового коэффи¬
циента. Простейшие оценки обычно получаются из соображений размер¬
ности. Если сила тяжести является доминирующей возвращающей силой,
то единственное соотношение между ,д — это и2 ~ #А-1. Если же
сила поверхностного натяжения доминирует, то, помимо коэффициента по¬
верхностного натяжения а (с размерностью сила/длину = грамм/с2), долж¬
на также входить плотность жидкости р, характеризующая инерцию. В этом
случае имеется четыре величины, щ, А, а, р, и три размерности грамм, сан¬
тиметр и секунда, так что, согласно 7г-теореме из параграфа 1.4.4, выра¬
жение для частоты (с точностью до безразмерного параметра) опять же
единственно: uj2 ~ аА“3р-1.
А вот если силы тяжести и поверхностного натяжения сравнимы, то
наличие пяти параметров и трех размерностей не позволяет определить
дисперсионное соотношение. Однако элементарная оценка все же возмож¬
на, если воспользоваться вторым законом Ньютона (сила равна массе на
ускорение) или эквивалентной ему вириальной теоремой, которая утвер¬
ждает, что для малых колебаний средние по периоду значения кинетиче¬
ской и потенциальной энергий равны.
: а
i__
А
3.1. Линейные волны
103
Рассмотрим вертикальные колебания жидкости с амплитудой а и часто¬
той и. Скорость жидкости можно оценить как иа, а ускорение — как и2а.
Когда глубина жидкости намного больше длины волны, можно полагать,
что слой глубины Л вовлечен в движение. Второй закон Ньютона для еди¬
ничной площади поверхности тогда требует, чтобы произведение массы рХ
и ускорения и2а равнялось весу рХад:
ри2аХ ~ рад => J2 ~ дХ~1. (3.1)
Такой же результат получается из вириальной теоремы для единицы пло¬
щади: кинетическая энергия есть произведение массы р\ и квадрата скоро¬
сти и2а2, а потенциальная энергия есть вес поднятой жидкости рад, умно¬
женный на высоту подъема а.
Искривленная поверхность обладает дополнительной потенциальной
энергией, поверхностная плотность которой равна произведению коэффи¬
циента поверхностного натяжения а и кривизны поверхности (а/А)2. По¬
скольку потенциальные энергии складываются, получаем дисперсионное
соотношение для гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубо¬
кой жидкости:
J2 ~ дХ~1 + аХ~3р~г. (3.2)
Если глубина h много меньше, чем длина волны А, жидкость в основ¬
ном движется горизонтально, поскольку вертикальная скорость подавлена
в параметр h/X. В этом случае кинетическая энергия ро;2а2А2/г-1, а потен¬
циальная энергия та же. Вириальная теорема дает следующую оценку для
дисперсионного соотношения волн на мелкой воде:
и2 ~ ghX~2 + ahX~Ap~l. (3.3)
3.1.1. Поверхностные гравитационные волны
Приступим теперь к формальному описанию движения жидкости в по¬
верхностной волне. Как было замечено в параграфе 1.2.4, колебания малой
амплитуды потенциальны. Потенциал скорости в несжимаемой жидкости
удовлетворяет уравнению Лапласа Аф = 0, а давление задается формулой
Бернулли
р = —р(дф/дЬ + gz + v2/2) « -р^дф/dt + gz),
где мы пренебрегли квадратичными членами из-за малости амплитуды.
Как и при рассмотрении неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в пара¬
графе 2.1, мы обозначим отклонение поверхности от горизонтали
104
Глава 3
Атмосферное давление на поверхности можно включить в потенциал
ф—>ф + Pot/p, не меняя поля скорости. В результате получим уравнения
движения поверхности:
_дф 50
dt Vz dz' аС,+ dt
дф д2ф
9fo+W = 0-
-5^=0- (3-4)
Первое уравнение — это линеаризованное кинематическое граничное усло¬
вие (2.1), обеспечивающее равенство скорости изменения высоты поверх¬
ности вертикальной компоненте скорости жидкости на поверхности. Вто¬
рое уравнение — это линеаризованное динамическое граничное условие,
требующее постоянства давления вдоль границы; его также можно полу¬
чить, выразив горизонтальное ускорение через силу тяжести, действующую
на наклонную поверхность: dvx/dt = —ддС^/дх. Чтобы решить (3.4) вместе
с Аф = 0, нужно еще поставить граничные условия на дне: дф/dz = 0 при
z = —h. Решения уравнения Лапласа, периодические в одном направлении,
должны быть экспоненциальными в другом направлении:
ф(х, z,t) = a cos(кх — cut) cosh[/c(2; + h)], (3.5)
и2 = gk tanh kh. (3.6)
Соответствующие скорости:
vx = —aksin(kx — cut) cosh[/c(2: + h)], (3.7)
vz = ak cos(kx — ut) sinh[/c(2: -f- h)]. (3.8)
Условие слабой нелинейности dv/dt vdv/dx требует и ak2 = kv, что
эквивалентно g kv2.
Траектории частиц жидкости можно получить, интегрируя уравнение
г = v в предположении малых колебаний вблизи Го = (xq,zo), как при
решении (2.21). Смещение частиц жидкости за период, оцениваемое как
скорость ка на время 27г/с<;, предполагается много меньше длины волны
2тт/к. В первом порядке по малому параметру ак2/и получаем
ак
х = xq cos(/cxo — ut) cosh[/c(zo + /г)],
z = Zq — — sin(/cxo — ut) sinh[/c(2:o + h)].
и
(3.9)
Траектории — это эллипсы:
/ X -Xq \ 2 + ( z- Zq \ 2 _ / ак\2
\cosh[fc(^0 +/г)] / \sinh[fc(zo + h)]J \ui )
3.1. Линейные волны
105
При удалении от поверхности вглубь амплитуда колебаний уменьшается,
вдобавок эллипсы сплющиваются при приближении ко дну.
Во втором порядке получаем средний дрейф, называемый стоксовым,
со скоростью a2k3/2uj в направлении х9 как в (2.22).
Рис. 3.1. Белые частицы, взвешенные в воде, фотографировались в течение одного
периода. Верхняя фотография показывает стоячую волну; в этом случае траекто¬
рии частиц являются также линиями тока. Нижняя фотография показывает вол¬
ну, распространяющуюся вправо; обратите внимание на то, что некоторые петли
разомкнуты из-за Стоксова дрейфа у поверхности и компенсирующего противотока
у дна. В обоих случаях амплитуда волны 4 %, а глубина 22 % длины волны. Вос¬
производится из A. Wallett and F. Ruellan, La Houille Blanche, 5, 483^489 (1950).
Можно различить два предела по отношению глубины жидкости
к длине волны. Для волны на глубокой воде (kh 1) частицы жидко¬
сти движутся по окружностям, радиусы которых экспоненциально убывают
с глубиной с показателем экспоненты, равным горизонтальному волновому
числу. Это опять-таки свойство решений уравнения Лапласа, упоминавшее¬
ся в параграфе 2.2.2: если решение осциллирует в одном направлении, оно
убывает экспоненциально в поперечном направлении. Это подтверждает
наше предположение, что поверхностная волна на глубокой воде вовлекает
в движение слой жидкости, сравнимый с длиной волны, что хорошо зна¬
комо ныряльщикам. Частота гравитационной волны и = у/дк похожа на
частоту yjL/g для маятника с длиной подвески L. Действительно, стоячая
поверхностная волна является, в сущности, жидким маятником, что хорошо
видно из верхнего рисунка 3.1. На мелкой воде (kh <С 1) колебания жидко¬
106
Глава 3
сти почти одномерны: vz/vx ос kh, а дисперсионное соотношение звуковое:
uj = \fghk (эта формула — все, что нужно, чтобы решить задачу 3.1).
3.1.2. Вязкое затухание
Как только мы вспомним о вязкости, сразу увидим, что наше реше¬
ние (3.5) не удовлетворяет граничным условиям. На свободной поверхно¬
сти не удовлетворяется условие
GijTlj = cr'^rij - pm = о
(см. параграф 1.4.3), поскольку отличны от нуля как касательный тензор на¬
пряжений axz = —2т\фхг, так и осциллирующая часть нормального тензора
azz — —2г}фгг. Заметим также, что (3.7) дает ненулевую vx на дне. Чтобы
удовлетворить граничным условиям, истинное вязкое решение не может
быть чисто потенциальным и должно содержать завихренность. Тем не ме¬
нее, когда вязкость мала, завихренность отлична от нуля только в узких
пограничных слоях у дна и поверхности. Стандартное вычисление2 темпа
вязкого затухания сводится к вычислению вязкого тензора напряжений на
решении (3.5):
Это означает пренебрежение узкими пограничными слоями у поверхности
и дна (где движение является слабым вследствие kh 1). Предполагая
затухание на периоде малым (что требует vk2 «С и и эквивалентно мало¬
сти ширины пограничного слоя yjv/u в сравнении с длиной волны), мы
рассмотрим усредненную по периоду энергию, равную удвоенной кинети¬
ческой энергии вследствие вириальной теоремы:
р%7Г / LJ р р
J Е dtш/2п = р j ^dV = 2рк2 J 4? dV.
Потерю энергии за период можно выразить через среднюю энергию:
dE
dt
Г2*/ш dE J
/ —— dtu)/ 2-7Г
Jo dt '
= —8rjk4 J
ф2 dV = -Auk2 E.
(3.10)
3.1. Линейные волны
107
Самое время остановиться и задуматься. Вот, что кажется странным в этом
незамысловатом вычислении: наше решение (3.5) удовлетворяет не только
уравнению Эйлера, но и уравнению Навье - Стокса, поскольку вязкий член
тождественно равен нулю для потенциального течения: Av = 0. Откуда
тогда могут взяться ненулевые потери? А вот откуда: тензор вязких напря¬
жений а\к вовсе не ноль, нулю равна только его дивергенция, дающая вклад
в pdvi/dt = • • • + dcr'ik/dxk- Иными словами, на всякий элемент жидкости
с разных сторон действуют вязкие силы, результирующая которых равна
нулю и не дает вклад в ускорение, но обусловливает деформацию элемента
и потерю энергии cr[kdvi/dxk, имеющую ненулевое среднее. Таким обра¬
зом, вязкое трение приводит к затуханию волн, как и ожидалось. Другая
странность в (3.10) связана с тем, что мы использовали решение (3.5),
которое хоть и удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет вязким гра¬
ничным условиям. Как же это нам удалось описать результат пограничного
слоя с помощью интегрирования по объему? Это можно понять на про¬
стом примере функции U(x), заданной на отрезке х Е [0,1], которая почти
линейна, но закругляется в узкой окрестности возле х = 1, чтобы обеспе¬
чить U'( 1) = 0, как показано на рисунке 3.2. Заметим, что f* UU"dx =
= — /01(/7/)2 dx не равен нулю и набирается на всем отрезке.
Рис. 3.2. Функция, у которой вторая производная U" мала всюду, кроме малой
окрестности точки х = 1, однако UU" dx = — dx набирается на всей
длине отрезка.
Однако пограничные слои вообще не фигурируют в самом первом
(и до сих пор самом элегантном) вычислении темпа вязкого затухания
(3.10), которое было проделано Стоксом. Поскольку потенциальное реше¬
ние удовлетворяет уравнению Навье - Стокса, он предложил вообразить,
как можно удовлетворить также и граничным условиям, чтобы не воз¬
никло пограничных слоев. Во-первых, нужно растяжимое дно, точки ко¬
торого движутся со скоростями, распределенными по закону vx(—h) =
= —ksin(kx — ut). Поскольку cr'xz(—h) = 0, такое движение дна не будет
108
Глава 3
совершать работы. Вдобавок к поверхности жидкости следует приложить
дополнительные силы, компенсирующие crzz(0) и crxz(0). Вот эти-то силы
и будут совершать работу vxaxz + vzazz = 2д(фхфхг + фгфгг) на единицу
площади в единицу времени. После усреднения по периоду монохромати¬
ческой волны средняя мощность получается Аг]к2ффг, что есть 8isk2, умно¬
женное на среднюю кинетическую энергию на единицу площади рффг/2;
чтобы в этом убедиться, запишем
р J(V</>)2 dV = р J S7 ■ {фЧф) dV = J ффг dS.
После введения дополнительных сил на поверхности наше решение удовле¬
творяет и уравнению и граничным условиям, а стало быть, является ста¬
ционарным. Следовательно, работа этих сил в точности компенсирует темп
вязких потерь, который и есть произведение Аик2 на среднюю энергию.3
3.1.3. Капиллярные волны
Поверхностное натяжение создает дополнительный перепад давления,
пропорциональный кривизне поверхности:
Это изменит второе уравнение (3.4),
г, дф ад2С
^ at р дх2 ’
(3.11)
и добавит энергию поверхностного натяжения к дисперсионному соотно¬
шению:
J2 = (gk + ак3/р^ tanh kh. (3.12)
Восстанавливающие форму поверхности факторы (сила тяжести и поверх¬
ностное натяжение) входят в и>2 аддитивно через вклады в потенциальную
энергию вследствие вириальной теоремы, как объяснено в начале разде¬
ла 3.1.
Как видно, существует волновое число /с* = рд/а, отделяющее
длинные гравитационные волны от коротких капиллярных. Для воды
3.1. Линейные волны
109
а~70 эрг см-2 и Л* = 27г//с* ~ 1.6 см. Капиллярные волны — это обычно
мелкая рябь на воде. Теперь мы можем ответить на вопрос о том, поче¬
му вода выливается из перевернутого стакана. Вопрос кажется дурацким
только необразованному человеку. Образованные люди обычно знают, что
атмосферное давление при нормальных условиях порядка Ро — Ю5 ньютон
на квадратный метр, что достаточно, чтобы удержать до Ро/рд — 10 мет¬
ров столба воды.4 Так что если бы поверхность жидкости оставалась плос¬
кой, то атмосферное давление легко удержало бы воду в стакане. Однако
формула (3.12) показывает, что при отрицательной силе тяжести плоская
поверхность неустойчива:
к < к* => ш2 ос —дк + ак3 < 0 .
Если же у нас вместо стакана узкий капилляр с диаметром меньше Л*, то
неустойчивая мода не поместится и вода не вытечет (в задаче 3.10 рассмот¬
рен более общий случай).
3.1.4. Фазовая и групповая скорости волны
Обсудим общие свойства одномерного распространения линейных
диспергирующих волн. Для этого удобно использовать представление Фу¬
рье, поскольку каждая гармоника ехр(гкх — tujkt) распространяется с посто¬
янной скоростью ujk /к, полностью определяемой зависимостью частоты от
волнового числа о;*. Простейшим является рассмотрение возмущения гаус¬
совой формы
<(ж,0) = Со ехр(г&0ж - х2/12),
фурье-образ которого в /с-пространстве также гауссов:
С(М) = J
dx Со ехр
г(ко — к)х
„21
I2
Со^л/тгехр
Z2
(к0 - к f
Ширина этого распределения 1/1. Рассмотрим сначала предел узкого па¬
кета, т. е. квазимонохроматической волны с kol 1, для которой можно
разложить
и(к') = и)о -j- (к — ко^и) Н~ (к — ко')2ои,//2 (3.13)
и подставить в
/dk
—С (/с, 0) ехр [гкх — icJkt]
2тг
ехр
(х — Ul't)2
_ (12 + 2 itw")
[l2/4 + ituj"/2]
-1/2
(3.14)
(3.15)
по
Глава 3
Как видим, возмущение C(x,t) — exp(гк0х — i(jJot)ty(x,t) есть монохрома¬
тическая волна с комплексной огибающей, модуль которой
|Ф(х, г)| « Со-щ ехр [—(ж - ui't)2/L2(t)\,
L2(t) =l2 + (2 tuj")2r2.
Фаза волны распространяется с фазовой скоростью шо/ko, тогда как оги¬
бающая (и энергия, задаваемая |Ф|2) распространяются с групповой скоро¬
стью а/. Максимум пакета находится в точке х = uft, потому что здесь
интерференция волн с близкими частотами конструктивна, а вдали от этой
точки волны гасят друг друга. Для звуковых волн Uk = ck, так что груп¬
повая и фазовая скорости совпадают и одинаковы для всех гармоник; вол¬
новой пакет не расплывается в пространстве, поскольку из" = 0. Напро¬
тив, если и" ф 0, волны называются диспергирующими, поскольку разные
гармоники двигаются с разными скоростями, что приводит к разбеганию
(дисперсии) в пространстве: пакет расплывается и амплитуда уменьшается
вследствие роста L(t). Для и) к ос ка имеем о/ = ашк/k. В частности, груп¬
повая скорость гравитационных волн на поверхности глубокой воды вдвое
меньше фазовой скорости, что можно наблюдать, следя за волновыми гор¬
бами, возникающими ниоткуда в хвосте пакета и исчезающими на фронте.
Для капиллярных волн на глубокой воде групповая скорость в 1.5 больше,
так что горбы возникают на фронте и исчезают сзади.
Рассмотрим теперь начальное возмущение, локализованное в про¬
странстве. Ему соответствует широкое распределение в /^-пространстве, так
что в интеграл (3.14) для данного х, t главный вклад будет даваться гармо¬
никами с близкими фазами (вклады остальных гармоник взаимно погаша¬
ются), волновые векторы которых удовлетворяют условию стационарной
фазы си'(к) = x/t. Иными словами, волна с волновым числом к наблюдает¬
ся в месте, движущемся с групповой скоростью и'(к), см. задачу 3.3.
Л,
длина волны Л
3.1. Линейные волны
111
Препятствие, возмущающее поток, или источник волн, движущийся
относительно жидкости, могут возбуждать стационарную волну, если про¬
екция относительной скорости источника V на направление распростра¬
нения волны равна фазовой скорости с(к). Например, если источник со¬
здает возвышение поверхности жидкости, то он должен все время совпа¬
дать с одним из горбов волны, которые все двигаются с фазовой скоро¬
стью. Условие Vcosfl = с, необходимое для генерации стационарной вол¬
ны, является прямым аналогом критерия Ландау возбуждения возмущений
в сверхтекучей жидкости и резонансного условия для генерации излучения
Вавилова-Черенкова частицами, движущимися быстрее света в среде. Для
гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде условие резонанса Ва¬
вилова-Черенкова означает, что скорость источника V должна превышать
минимальную фазовую скорость:
Для воды с(к*) ~ 23 см/с.
Рассмотрим сначала источник, протяженный в направлении, перпенди¬
кулярном распространению, скажем дерево, упавшее поперек речки. В этом
случае две одномерные (плоские) волны будут возбуждаться с волновыми
числами, соответствующими с(к) = V. Эти две волны имеют одну и ту
же фазовую, но разные групповые скорости. Волны переносят энергию
от источника с групповой скоростью. Групповая скорость более длинных
(гравитационных) волн ниже, и' < V, поэтому они будут наблюдаться по¬
зади источника (или вниз по течению), тогда как более короткие и быстрые
(капиллярные) будут наблюдаться перед источником.5 Разумеется, рябь ка¬
пиллярных волн может возбуждаться только достаточно тонким объектом
(меньше Л*), таким как рыболовная леска или тонкая ветка дерева.
Картина волн, возбуждаемых кораблями, легко узнаваема (рис. 3.4), но
требует некоторых усилий для понимания, поскольку является двумерной.
Длина волны, уходящей под углом в к движению корабля, задается услови¬
ем V cos в = с(к), необходимым, чтобы нос корабля все время оставался на
гребне волны. Это условие означает, что волны разных длин распростра¬
няются под разными углами в интервале 0 ^ в ^ 7г/2. Подобно нашему
рассмотрению конуса Маха в параграфе 2.3.5, найдем геометрическое ме¬
сто точек, куда придут волны, возбужденные кораблем в точке А к тому
времени, когда сам корабль успеет сместиться в точку В, см. рисунок 3.3.
Рис. 3.3. Картина волн, возбуждаемых кораблем, плывущим вдоль оси х влево.
Изображенный круг есть геометрическое место точек, которых волны, возбужден¬
ные кораблем в А, достигнут в момент времени, когда корабль переместится в В.
Пунктирная линия показывает угол Кельвина. Сплошные линии — поверхности по¬
стоянной фазы (гребни) волн.
Поскольку это гравитационные поверхностные волны, они распространя¬
ются от источника с групповой скоростью о/ = с(к)/2. Самая быстрая
волна бежит вслед за кораблем (в = 0) с групповой скоростью, равной по¬
ловине скорости корабля, и достигает А' такой, что А А' = АВ/2. Волна,
бегущая под углом в, достигает точки Е такой, что АЕ = АА' cos в, что
означает, что угол АЕА' прямой. Стало быть, все волны, возбужденные
в А, достигнут круга с диаметром АА'. Поскольку О В = ЗОС, все вол¬
ны, возбужденные до того, как корабль достиг В, находятся внутри клина
Кельвина с углом р = arcsin(l/3) « 19.5°; сравните это с конусом Маха,
показанным на рисунке 2.14. Замечательно, что угол Кельвина универсален,
т. е. не зависит от скорости корабля.
Опишем теперь форму линий постоянной фазы (гребней и впадин),
которые не являются ни прямыми, ни параллельными, поскольку возникают
в результате сложения волн, излученных в разные моменты под разными
углами. Волна, распространяющаяся под углом в, создает гребни и впадины
под углом к/2 — в. Рассмотрим на некоем гребне точку Е с координатами
х = АВ(2 — cos2 в)/2, у = (АВ/2) sin в cos в.
Форма линии постоянной фазы должна удовлетворять уравнению dy/dx =
= cot#, дающему dAB/dQ = — ABtan#. Решение этого уравнения АВ =
3.1. Линейные волны
113
Рис. 3.4. Картина волн от корабля состоит из внешнего кельвиновского клина и от¬
меченной белыми барашками короткой опрокинувшейся носовой волны с ее турбу¬
лентным следом. Примерно на половине угла Кельвина видна также линия максиму¬
ма амплитуды, созданная расходящимися волнами с длиной волны порядка длины
корабля.6 Фото Алексея Баскакова, www.dreamstime.com.
= Xi cos в связывает точку источника А с углом распространения в волны,
создавшей данный гребень. Разные константы интегрирования Xi соответ¬
ствуют разным гребням. Таким образом, форма линий постоянной фазы
задается параметрически:
х = Xi cos 0(2 — cos2 0)/2, у = (Xi/4) cos 0 sin 20. (3.16)
Гребни показаны сплошными линиями на рисунке 3.3, см. также рису¬
нок 3.4. Как и ожидалось, более длинные волны быстрее и распространяют¬
ся под меньшими углами. Заметим, что для каждой точки внутри угла Кель¬
вина можно найти два разных источника, так что две линии постоянной фа¬
зы пересекаются в каждой точке, как, например, в точке F на рисунке. Одно
семейство состоит из волн, расходящихся от корабля, другое — из волн, по¬
перечных направлению движения. Поскольку снаружи нет волн, граница
кельвиновского клина является каустикой,7 где кончаются два гребня, пе¬
ресекающиеся под острым углом, как в точке D на рисунке 3.3. Точки гра¬
ницы, таким образом, можно определить условием, что как х(в), так и у (в)
имеют максимум. Дифференцируя (3.16) и разрешив dx/dO = dy/dO = О,
получим угол распространения cos2 во = 2/3, который и есть угол САВ,
поскольку соответствует волне, достигшей края. Можно также выразить
угол СОА как тг/2 + ф и 7Г — 20о и связать 0О = тг/4 — ф/2 « 35°.
114
Глава 3
3.2. Нелинейные волны
Закон распространения линейных волн полностью определяется зако¬
ном дисперсии сUk. Неважно, что там осциллирует в волне (скорость или
плотность среды, электромагнитное поле, поверхность жидкости и т.д.),
волны с одинаковыми законами дисперсии распространяются одинаково.
Можно ли достигнуть такого же уровня универсальности при описании
нелинейных волн? Как мы покажем в этом и следующем параграфах, уда¬
ется выделить некоторые классы универсального поведения, но уровень
универсальности естественно уменьшается при возрастании уровня нели¬
нейности.
3.2.1. Гамильтоновское описание
Что же еще, кроме и;*;, необходимо для описания волн малой, но
конечной амплитуды? Поскольку каждая волна описывается двумя пере¬
менными, амплитудой и фазой, естественно применить гамильтоновский
формализм, в котором переменные тоже встречаются парами (координата-
импульс, действие-угол). Гамильтоновский формализм является наиболее
общим способом описания систем, удовлетворяющих принципу наимень¬
шего действия. Большинство замкнутых систем таковы. Главное преиму¬
щество метода Гамильтона (в сравнении, например, с его частным случаем,
методом Лагранжа) — это возможность применять канонические преобра¬
зования. Эти преобразования используют как координаты, так и импульсы,
и являются более общими, чем координатные преобразования, применяе¬
мые в методе Лагранжа, использующем координаты и их производные по
времени (не будем путать лагранжев формализм в механике и теории поля
и лагранжево описание в механике жидкости). Канонические преобразова¬
ния и являются тем инструментом, который позволяет свести многообра¬
зие разных проблем к нескольким универсальным моделям. Постараемся
понять, какова должна быть наиболее общая форма гамильтониана, описы¬
вающего слабонелинейную систему волн.
Как мы видели в параграфа 1.3.4, гамильтоново описание непрерыв¬
ных сред осуществляется в четномерном пространстве координат q(r,t)
и импульсов 7г(г, t), которые удовлетворяют уравнениям
dq(r,t) 6Н дтг(г, £) 5Н
dt $7г(г, £)5 dt Sq(r,t)'
3.2. Нелинейные волны
115
Гамильтониан H{q(г, t), 7г(г, £)} — это функционал (говоря попросту, функ¬
ция сопоставляет число числу, а функционал сопоставляет число функции;
например, определенный интеграл от функции является линейным функци¬
оналом). Вариационная производная S/5f(r) — это обобщение частной про¬
изводной d/df(rn) с дискретного на непрерывный набор переменных. Ва¬
риационная производная линейного функционала /{/} = / (p{r')f(rf) dr'
вычисляется следующим образом:
ЩГ)=1 = j <t>{r')8{r-r')dr' = ф{г).
Для этого мысленно замените S/Sf(r) на d/df(rn) и интегрирование на
суммирование.
Например, уравнения Эйлера и непрерывности для потенциальных те¬
чений (в частности, для акустических волн) могут быть записаны как га-
мильтоновские уравнения:
др_6П дф_ _6Н
dt 6ф dt 5р ’
Н =
~|У0|2
2
dr.
(3.17)
Удобно использовать канонические переменные, еще более симмет¬
ричные, чем 7г, q. Эти переменные аналогичны операторам рождения и уни¬
чтожения в квантовой теории, хотя в нашем случае это просто числа, а не
операторы. Мы всегда можем сделать р и q одинаковой размерности (до¬
множив на постоянный множитель), что позволит ввести
a — (q + i 7г) / л/2, а* = (q — m)/V2.
Вместо двух вещественных уравнений на р, q получим одно комплексное:
<9a(r, t) S7i
dt Sa*(r,t)
(3.18)
Сопряженное уравнение описывает эволюцию а*.
В линейном приближении волны с разными волновыми векторами не
взаимодействуют, так что в бесконечном пространстве комплексные фу-
рье-амплитуды ak являются нормальными каноническими переменными,
удовлетворяющими уравнению
да/,
dt
= —ZLUkdk.
116
Глава 3
Сравнив с (3.18), придем к заключению, что гамильтониан линейной вол¬
новой системы квадратичен по амплитудам:
п2
(3.19)
Это плотность энергии на единицу объема. Члены более высоких порядков
должны описывать нелинейное взаимодействие волн. При малой нелиней¬
ности начинать надо с учета кубических членов:
П3
J (Vi23aja2a3 + c.c.)5(ki - k2 - k3) +
+ (^123^1 <^2аз + c.c.)<5(ki + k2 + k3)] dkidk2dk3.
(3.20)
Здесь c.c. означают комплексно сопряженные члены, и мы использова¬
ли сокращенные обозначения а\ = a(ki) и т. д. Дельта-функции выра¬
жают сохранение импульса и возникают из-за однородности простран¬
ства. Действительно, (3.19) и (3.20) являются соответственно фурье-
представлениями интегралов типа
J ft(ri — r2)a(ri)a(r2) dridr2
и
J -r2,ri -r3)a(ri)a(r2)a(r3)dr1dr2dr3.
Вещественность гамильтониана требует симметрии коэффициентов: Ui23 =
= U132 = U21з и Vi23 = Vi32. Рассматривая волны малой амплитуды, мы
предполагает, что члены более высокого порядка малы в сравнении с чле¬
нами более низкого порядка, в частности Н2 Н3, что требует
ик > V\ak\kd, U\ak\kd, (3.21)
где d — это размерность пространства (равная двум для поверхностных
волн и трем для звука).
Извращенный порядок современного обучения, при котором кван¬
товая механика выучивается раньше гидродинамики, позволяет нам ис¬
пользовать аналогию между а, а* и квантовыми операторами рождения-
уничтожения а, а+, чтобы предположить, что слагаемое с V описывает про¬
цесс слияния 2 + 3 —> 1 и обратный процесс распада 1 —> 2 + 3. Аналогично,
3.2. Нелинейные волны
117
слагаемое с U должно описывать рождение трех волн из вакуума и об¬
ратный процесс аннигиляции (мы будем использовать квантовые аналогии
довольно часто в этой главе, поскольку квантовая физика в значительной
мере является волновой физикой). Для того чтобы убедиться в справедливо¬
сти квантово-механической интерпретации и проявить физический смысл
отдельных членов гамильтониана, запишем следующее из него уравнение
движения:
дак
dt
= -3* J ик12а\а*25{\ц + к2 + к) dklCflc2 -
- г J Vki2aia,26(ki + к2 - к) dki<ik2 -
-2г J V]*fc2aia2<5(ki - к2 - к) dk1dk2 - (7* + гшк)ак,
(3.22)
куда мы также включили линейное затухание 7^ (что следует делать всегда,
когда возможны резонансы). Дельта-функции в интегралах свидетельству¬
ют, что каждое из слагаемых описывает взаимодействие разных трипле¬
тов волн. Это можно продемонстрировать явно, рассмотрев частный вид
начального условия, в котором присутствуют только две волны соответ¬
ственно с волновыми векторами ki,k2, частотами и конечными ам¬
плитудами Ai,A2- Тогда последний нелинейный член в (3.22) имеет вид
-2iel(°J2~u}1')tV*k2AiA26('ki — k2 — к), т. е. действует на волну с k = ki — к2
периодической силой с частотой uj\ — а>2. Таким же образом можно описать
и действие других членов в (3.22). Под действием этих сил вынужденное
решение (3.22) имеет вид
a(k, t)
32Сг(ал +faj2)t Ukl2^lA2S(k1 + k2 + к)
1к +г(а;1 +^2 +LUk)
1С-г(Ш1+Ш2)г Vki2AiA2S(ki + k2 - k)
Ik + l(uJi + LU2 — Uk)
2гег(ы2-ил)t + k2 — ki)
Ik + i(<jJk + CJ2 - ^1)
Здесь и далее — ^(kij2). Вследствие (3.21) амплитуды вторичных волн
малы, за исключением случаев резонанса, в которых частота возбуждающей
силы совпадает с собственной частотой волны с соответствующим к. На¬
пример, амплитуда a(ki + k2) не мала, если a;(ki + k2) + a;(ki) + u;(k2) =
= 0. Такое случается в неравновесных средах, где возможны волны как
118
Глава 3
с положительными, так и с отрицательными частотами (что значит, что
возбуждение неких волн уменьшает энергию среды — например, при нали¬
чии течения и волны, движущейся против него). В таких случаях уже Н2
может не иметь формы (3.19), см. задачу 3.4. Два других резонанса требу¬
ют o;(ki + кг) = cj(ki) + о;(кг) и cj(ki — кг) = u;(ki) — cj(кг) - законы
дисперсии, допускающие это, называются распадными. Так, степенной за¬
кон дисперсии ujk ос ка является распадным при а ^ 1 и нераспадным (не
допускающим трехволновых резонансов) при а < 1, см. задачу 3.5.
3.2.2. Нормальные формы гамильтонианов
Интуитивно ясно, что нерезонансные члены не важны при малой нели¬
нейности. Поэтому их следует исключить из гамильтониана, используя ка¬
нонические преобразования. Поскольку эти члены малы, преобразование
должно быть близко к идентичному. Рассмотрим некоторое непрерывное
распределение ак. Чтобы избавиться от слагаемого с U в Нз, надо сделать
такое преобразование:
Ьк = ак- 3 [ Uki2aia2 g/ki + k2 + k) dkidk2. (3.23)
J LU\ -}- UJ2 T" Шк
Это возможно, если знаменатель нигде не обращается в ноль в области
интегрирования, что имеет место, в частности, для всех сред, находивших¬
ся в термодинамическом равновесии до возбуждения волн. Гамильтониан
7i{b, b*} = 'Н2+Н3 уже не содержит слагаемого с U. Избавление от У-чле-
нов осуществляется похожим преобразованием
Vfci2QiQ2^(ki +k2 -k) Vifc2aia2^(ki ~ k2 - k) +
UJ\ + U)2 — UJk LUi — U)2 — OJk
^*fclala2^(^2 ~ ki ~ k)
CJ2 - - Uk
dkidk2,
(3.24)
bk — CLk +
/
которое возможно только для нераспадных законов дисперсии. Прямой про¬
веркой можно убедиться, что оба преобразования (3.23), (3.24) являются
каноническими, т. е. гЬк = 5H{b, Ь*}/6ЬОписанная здесь процедура была
изобретена для исключения нерезонансных членов в уравнениях небесной
механики и позднее обобщена на непрерывные системы.8
Таким образом, (3.20) следует использовать как гамильтониан взаимо¬
действия только для систем, где все трехволновые процессы являются резо-
3.2. Нелинейные волны
119
нансными. Если нет волн отрицательной энергии, но закон дисперсии рас¬
падный (как для капиллярных волн на глубокой воде), то соответствующий
гамильтониан должен содержать только У-член. Когда же закон дисперсии
нераспадный (как для гравитационных волн на воде), все кубические члены
могут быть устранены, так что гамильтониан взаимодействия должен быть
четвертого порядка по амплитудам волн. Вдобавок если закон дисперсии
не позволяет u;(ki + кг) = o;(ki) + о;(кг), тогда он заведомо не позволя¬
ет также cj(ki + кг + кз) = u;(ki) + о;(кг) + о;(кз). Иными словами, если
трехволновые распады 1 —> 2+3 нерезонансны, то таковыми являются и че¬
тырехволновые распады 1 —> 2 + 3 + 4. Единственное, что остается, — это
рассеяние пар волн 1 + 2 —» 3 + 4, которое всегда резонансно и описывается
гамильтонианом :
Н4 = J Ti234dia2a^alS(ki + k2 - k3 - k4) dkidk2dk3dk4. (3.25)
3.2.3. Неустойчивости волн
Волновое движение может быть неустойчивым. Покажем, что моно¬
хроматическая волна с распадным законом дисперсии при достаточно боль¬
шой амплитуде подвержена неустойчивости, называемой (естественно) рас¬
падной. Рассмотрим начальное состояние в виде волны конечной амплиту¬
ды Aexp[i(kr — uJkt)\ и двух инфинитезимальных возмущений аь а2 в про¬
странственном резонансе ki + кг = к. Оставим только резонансные члены
в (3.22):
di + (71 + iui)ai + 2iVki2Aa2 exp(-iukt) = 0,
a2 + (72 — ^2)^2 + 2гТ4*12^4*а1 exp(iwkt) = 0.
Решение ищем в виде
ai(t) ос ехр(Гt — zQit), a2(t) ос exp(I7 + %H2t).
Условие резонанса трех волн во времени имеет вид Hi + Н2 = cjк- Ам¬
плитуды волн будут определяться тем, насколько их вынужденные частоты
отличаются от их собственных частот, задаваемых дисперсионным соотно¬
шением, т. е. разностями Hi—cui иН2—(л)2. Суммарная отстройка двух волн
есть Да; = + uj2 — шк. Следует выбрать Hiy2, дающие максимальный Г.
Естественно предположить, что 1 и 2 симметричны, так что Н\ — ил = Н2 —
— и2 = Да;/2. В простейшем случае 71 = 72 получим
Г = —7 ± у/4|Vfc12^4|2 — (До>)2/4.
(3.26)
120
Глава 3
Если дисперсионное соотношение является нераспадным, то Аси ~ сик
\VA\ и нет никакой неустойчивости. Напротив, для распадного зако¬
на дисперсии резонанс возможен, Дес; = u>i + и>2 — Шк = 0, так что ин¬
кремент неустойчивости Г = 2\Vk\2A\ — 7 положителен, если амплитуда
выше пороговой, при которой нелинейность сравнивается с диссипацией:
А > "у/2|Vfci21- Быстрее всего растут те ai,a2, частоты которых в резонан¬
се Аси = 0, и отношение (71 + 72)/\Vki2\ минимально. В частном случае
к = 0, с^о ф 0, распадная неустойчивость называется параметрической, по¬
скольку она соответствует периодическому изменению какого-то глобаль¬
ного свойства (параметра) системы. К примеру, Фарадей обнаружил, что
если трясти вертикально сосуд с жидкостью, то в нем параметрически воз¬
буждается стоячая поверхностная волна (ki = — fe) с частотой, равной
половине частоты тряски — в этом случае параметр, изменяемый периоди¬
чески, — это ускорение силы тяжести д. Для простого случая осциллятора
(системы с небольшим числом степеней свободы) это явление называется
параметрическим резонансом и знакомо всякому ребенку на качелях, кото¬
рый приседает и распрямляется с частотой в два раза большей, чем частота
качаний, — в этом случае параметром является длина маятника L, т. е. рас¬
стояние от точки подвеса до центра тяжести. В обеих случаях варьируется
частота yjg/L, являющаяся параметром гамильтониана.
Любая неустойчивость вызывает обычный вопрос о том, что останав¬
ливает экспоненциальный рост, и обычный ответ: нелинейность более вы¬
соких порядков ответственна за это. Если превышение над порогом неве¬
лико, эти нелинейные эффекты можно описать в приближении среднего по¬
ля, т. е. как перенормировку линейных параметров и накачки УкпА.
Перенормировка должна вернуть систему обратно к порогу, т. е. обратить
перенормированный Г в нуль. Нелинейная добавка к частоте сик = сик +
+ f Tkkrkk>\ak'\2 dk' (см. следующий параграф) обусловлена черырехвол-
новыми процессами и может вывести волны из резонанса в случае дис¬
кретного спектра волновых чисел и частот вследствие конечного разме¬
ра системы. Таков механизм ограничения неустойчивости в конечномер¬
ных системах, таких как маятник, частота которого уменьшается с ам¬
плитудой. Если же спектр частот волновой системы близок к непрерыв¬
ному, то для любой нелинейности найдутся волны в резонансе, необхо¬
димом для неустойчивости. В этом случае ограничение неустойчивости
обеспечивается перенормировкой затухания или накачки. Увеличение де¬
кремента затухания *ук возникает из-за волн третьего поколения, отбираю¬
щих энергию у волн а\, <22. Перенормировка накачки возникает из-за четы¬
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
121
рехволнового взаимодействия, например, (3.25) добавляет к di слагаемое
-га\ / Т1234аза45(к - к3 - к4) dk3dk4.
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
В этом параграфе мы рассмотрим эволюцию нелинейного спектраль¬
но узкого пакета волн. Описание линейного распространения такого па¬
кета в параграфе 3.1.4 научило нас понятиям фазовой и групповой ско¬
рости. Учет нелинейности потребует освоения столь же фундаментальных
понятий боголюбовского спектра возбуждений конденсата, модуляционной
неустойчивости, солитона, самофокусировки, волнового коллапса и волно¬
вой турбулентности.
3.3.1. Вывод уравнения
Рассмотрим квазимонохроматический волновой пакет в изотропной
нелинейной среде. Иными словами, предположим, что амплитуды волн
в k-пространстве отличны от нуля в узкой области Ак вокруг некоего ко.
В этом случае процессы, меняющие число волн (типа 1—>2 + Зи1—>2 +
+ 3 + 4), нерезонансны, потому что частоты всех волн близки. Стало быть,
из гамильтониана взаимодействия можно исключить все члены третьего
и четвертого порядков, за исключением Н4, и уравнение движения примет
вид
да f
+ iMkCik = —г I ^fci23&iG2&3^(k + kx — k2 — кз) dk.1dk.2dks. (3.27)
Рассмотрим теперь k = k0 + qcg<^fc0H разложим, подобно (3.13),
где v = дси/дк при к = ко. В изотропной среде ш зависит только от моду¬
ля к, так что
122
Глава 3
Колебание с частотой cjo является общим для всех волн в пакете и не пред¬
ставляет для нас интереса, поэтому имеет смысл ввести временную огиба¬
ющую dk(t) = ехр(—iLdotf'ipfa, t) в (3.27):
г
д_
dt
-(qv)-
2
Я±У
2k
q+qi
-q2-q3) dqldq2dq:i.
Мы предположили нелинейный член малым, Т\ак\2 (Ak)2d <<С Шк, и поло-
жили в нем к = ко. Если теперь представить результат в г-пространстве
для ^(г) = f 'ipq exp(zqr) dq, то нелинейный член окажется локальным:
J dr1dr2dr3V’*(ri)i/)(r2)'0(r3) J dqdq1dq2dq3S(q +q1 -q2-q3)x
х exp г(я!Г!) - г(q2r2) - i(q3r3) + t(qr) =
- Jdridr2dr3^*(ri)^(r2)V>(r3)<5(ri - r)J(r2 - r)<5(r3 - r) = \ф\2ф,
и уравнение примет вид
д'ф дф гои" д2ф
dt dz 2 dz2
- Щ-А±ф = -гТ\ф\2ф.
Здесь слагаемое vdz описывает распространение с групповой скоростью,
u)"dzz дисперсию и (v/k)A± дифракцию. Уместно сейчас спросить, поче¬
му в разложении cj^+q мы удержали члены как линейные, так и квадратич¬
ные по малому q. Сделано это потому, что линейный член, давший d^/dz
в последнем уравнении, может быть исключен переходом в движущуюся
систему 2 —> z — vt. Вдобавок мы еще растянем поперечную координату
в у/кош"/v раз и получим знаменитое нелинейное уравнение Шрёдингера
гж + тАф ~ т^2ф=°- (3-28)
Иногда (при Т < 0 и в приложениях к квантовому конденсату) его на¬
зывают уравнение Гросса - Питаевского. Это уравнение может быть ис¬
пользовано для разных размерностей пространства. Оно может описывать
эволюцию трехмерного пакета как при Бозе - Эйнштейновской конденса¬
ции холодных атомов. Когда г двумерно, рассматривается либо эволюция
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
123
в двумерной среде (например, пакета поверхностных волн), либо стаци¬
онарное распространение в трехмерной среде, описываемое уравнением
гуфг + (у/2к)А±ф = Т\ф\2ф, которое обращается в (3.28) после пере¬
обозначения z —> vt. В стационарном случае следует пренебрегать фгг, ко¬
торый много меньше, чем фг. В нестационарном случае это не всегда так,
поскольку dt может сократить vdz и придется учитывать член со второй
пространственной производной. И чтобы уж закончить с размерностями,
упомянем, что одномерное уравнение описывает стационарный двумерный
случай или эволюцию в одномерной среде, например света в оптическом
волокне, звука в рельсе, импульса в нерве и т. д.
Знаки коэффициентов различны в разных средах. Помимо систем гид¬
родинамического типа, нелинейное уравнение Шрёдингера широко при¬
меняется в нелинейной оптике. Действительно, уравнение Максвелла для
электромагнитных волн имеет вид [ио2 — (с2/п)А\Е = 0. Показатель пре¬
ломления зависит от интенсивности волны: п = 1 + 2а\Е\2. Причины этой
зависимости (и, соответственно, знак и величина коэффициента а) различ¬
ны в разных материалах, например электрострикция, нагрев и эффект Керра
(ориентация анизотропных молекул в поле волны). Мы рассмотрим волны,
двигающиеся в близких направлениях, и перейдем в сопутствующую си¬
стему отсчета, движущуюся со скоростью с, заменив cj —► и; — с/с. Разложив
ск/у/п « ckz(l — ос\Е\2) + ск]_/2к,
подставив это в
(а) — ск — ск/у/п)(и — ск + ск/у/п)Е = 0
и удержав первые неисчезающие члены по дифракции и нелинейности, по¬
лучим нелинейное уравнение Шрёдингера после обратного фурье-преобра-
зования.
124
Глава 3
3.3.2. Модуляционная неустойчивость
Как уже упоминалось, простейший эффект четырехволнового рассея¬
ния — это нелинейная перенормировка частоты. Действительно, наше урав¬
нение имеет стационарное решение в виде плоской волны конечной ампли¬
туды с перенормированной частотой фо(Ь) = А0 ехр(-гТА^). В квантовой
физике это состояние, когерентное на всем пространстве системы, соот¬
ветствует простейшей (квазиклассической) модели бозе-эйнштейновского
конденсата. Опишем поведение малых возмущений конденсата. Запишем
возмущенное решение как ф = (Aq + А)е~гТЛо1+1(р и предположим возму¬
щение одномерным (вдоль направления, которое обозначим £). Тогда веще¬
ственная и мнимая части линеаризованного уравнения примут вид
Со" ~ си" ~
At + 4>t — —2TAqA +
Ищем решение в виде, где промодулированы как амплитуда, так и фаза:
А =(х ехр(гк£ — гШ), ip ос ехр(гА;£ — гШ).
Закон дисперсии принимает вид
П2 = Тсо"А2к2 + со"2 к4/4. (3.29)
При Тио" > 0 эта (знаменитая) формула называется спектром Боголюбо¬
ва флуктуаций конденсата. В случае же обратного неравенства Тио" < О
(критерий Лайтхилла) имеем неустойчивость, называемую модуляционной.
Опишем сначала смысл этого критерия неустойчивости на языке класси¬
ческих волн, а в конце параграфа приведем альтернативное объяснение на
языке квантовых квазичастиц. Классически мы определяем частоту как ми¬
нус производную по времени от фазы: tpt = —со. Частота нелинейной волны
зависит как от волнового числа, так и от амплитуды. Первые производные
частоты по амплитуде и волновому числу равны нулю в нуле к = 0 = А.
Параметры Т и со" являются вторыми производными частоты соответствен¬
но по амплитуде и волновому числу Таким образом, неустойчивость имеет
место, когда поверхность со(к,А) имеет седловую точку в нуле, минимум
же и максимум устойчивы. На качественном уровне можно объяснить раз¬
витие модуляционной неустойчивости следующим образом. Рассмотрим,
например, со" > 0 и Т <0. Введем текущий волновой вектор К =
Там, где возмущение создает локальный минимум амплитуды, частота мак¬
симальна вследствие Т < 0. Это значит, что производная по времени от
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
125
локального волнового числа Kt = ip$t — —^ меняет знак. Иными слова¬
ми, К будет расти справа от максимума ш и убывать слева от него, посколь¬
ку ш" > 0 и групповая скорость о/ растет с К, т. е. растет справа и убывает
слева, что приводит к разбеганию правой и левой части (как показано стре¬
лочками на рис. 3.5) и дальнейшему углублению минимума.
= Ае1<р
ш = ~(pt
Kt — ip$t
Рис. 3.5. Пространственные зависимости амплитуды, частоты и производной по
времени от волнового числа, показывающие механизм модуляционной неустойчи¬
вости для и/' > 0 и Т < 0.
Одно из проявлений этой неустойчивости нам знакомо: волны, при¬
ходящие к берегу, имеют разные амплитуды, иными словами, амплитуда
промодулирована. Проверим критерий Лайтхилла. Для длинных гравита¬
ционных волн Uk ос у/к, так что о/' < 0. В отличие от маятника и вопреки
наивной интуиции частота растет с амплитудой и Т > 0; это связано с тем,
что для волн большей амплитуды профиль все более отличается от синусои¬
дального тем, что гребни делаются острее, достигая резкого угла в 120° для
достаточно большой (но конечной) амплитуды. Поскольку Ти" < 0, длин¬
ная гравитационная волна действительно должна быть неустойчива отно¬
сительно продольных модуляций. Эта неустойчивость, конечно, наблюда¬
лась многими поколениями мореплавателей, но была впервые воспроизве¬
дена в контролируемом эксперименте и описана Бенджамином и Фэйром
в 1967 году (рис. 3.6), поэтому носит их имя. Инкремент неустойчиво¬
сти максимален для волнового числа к = Аоу/—2Т/и'\ что зависит от
126
Глава 3
амплитуды волны. Согласно морскому фольклору, однако, девятый вал са¬
мый страшный.
Рис. 3.6. Разрушение периодической волны модуляционной неустойчивостью, про¬
демонстрированное экспериментально Бенджамином и Фэйром. Верхнее фото пока¬
зывает регулярную периодическую волну вблизи от генератора волн. Нижнее фото
сделано на расстоянии примерно 60 метров (28 длин волн), где амплитуда вол¬
ны сравнима, но от пространственной периодичности мало что осталось. Неустой¬
чивость была индуцирована наложением на периодическое движение генератора
небольшой модуляции на частоте максимального инкремента неустойчивости; в на¬
туральных условиях наблюдается такое же разрушение, но на больших расстояниях.
Фото J. Е. Feir, воспроизведено из Proc. R. Soc. bond. А, 299, 59 (1967).
Для поперечных возмущений следует заменить о/' на v/k, величина
которого обычно положительна, так что критерий неустойчивости Т < 0
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
127
или ди/д\а\2 < 0. Это, в частности, означает, что для поперечной неустой¬
чивости скорость волны должна убывать с амплитудой. Это легко увидеть
на рисунке 3.7: для поперечно модулированной волны максимумы ампли¬
туды двигаются медленнее, что приводит к искривлению фронта и фокуси¬
ровке волны, что еще более увеличивает амплитуду.
Рис. 3.7. Поперечная неустойчивость волны, скорость которой убывает с ампли¬
тудой.
Приведем теперь квантовое объяснение модуляционной неустойчи¬
вости. Напомним, что уравнение (3.28) является гамильтоновым {гфг =
= б'Н/б'ф*) с гамильтонианом
n = lJ (w"rWf + Т\Щ4) dv. (3.30)
Критерий Лайтхилла означает, что модуляционная неустойчивость возмож¬
на, когда гамильтониан не является знакоопределенным. Сам по себе знак
не важен, поскольку гамильтонова динамика обратима и всегда можно за¬
менить Н —> —Н, t —► —t; важно, что гамильтониан положителен для од¬
них классов функций ф(т) и отрицателен для других, потому что его две
части имеют разные знаки. В результате однородное состояние оказывает¬
ся неустойчивым относительно развала на области, где доминирует одно
из слагаемых гамильтониана. Рассмотрим случай и" > 0. На квантовом
языке первый член гамильтониана можно интерпретировать как кинетиче¬
скую энергию частиц, а второй — как потенциальную энергию их взаи¬
модействия. При Т < 0 взаимодействие является притяжением, что и ве¬
дет к неустойчивости. Для конденсата давление вследствие кинетической
128
Глава 3
энергии частиц всюду уравновешивает притяжение частиц; если в резуль¬
тате возмущения больше частиц окажется в некой области (больше значе¬
ние I't/’l2), притяжение локально станет выше и притянет дополнительные
частицы, что приведет к дальнейшему росту \ф\2.
3.3.3. Солитон, коллапс и турбулентность
Состояние, возникающее в результате модуляционной неустойчивости,
зависит от размерности пространства. Развал однородного состояния может
продолжаться неостановимо до мелкомасштабной фрагментации или со¬
здания сингулярностей. Альтернатива этому — возникновение устойчивых
объектов конечного размера. Как часто бывает в физике, конечное состоя¬
ние сложного процесса удается понять с помощью анализа законов сохра¬
нения. Поскольку уравнение (3.28) описывает распространение волн и их
парное рассеяние друг на друге, то оно сохраняет не только гамильтони¬
ан (3.30), но и волновое действие N = J \ф\2 dr, которое можно также
назвать числом волн. Этот закон сохранения следует из уравнения непре¬
рывности
2idt\'tp\2 = - ф^ф*) = -2div J. (3.31)
Отметим для полноты также сохранение импульса или полного тока f J dr,
хотя он и не играет роли в этом параграфе (зато важен для задачи 3.7).
Рассмотрим волновой пакет, имеющий размер I, вообще говоря зави¬
сящий от времени, и постоянное значение N.
Амплитуда волнового поля в пакете оценивается как 1^12 ~ N/ld, что поз¬
воляет оценить гамильтониан как Н ~ uj"NI~2 + TN2l~d — напомним, что
второе слагаемое здесь отрицательно. Полная энергия, разумеется, сохра¬
няется, однако энергия пакета должна стремиться к минимуму вследствие
излучения и ухода энергии на бесконечность. Мы хотим понять направле¬
ние эволюции, рассматривая ее адиабатически медленной. При этом вол¬
новое действие сохраняется, поскольку оно является адиабатическим инва¬
риантом. Это особенно ясно для квантовой системы типа облака холодных
атомов, где N есть их число. Соответствует ли минимум энергии I —> 0 (что
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
129
называется самофокусировкой или волновым коллапсом), определяется ба¬
лансом между |Уг/>|2 и \ф\4. Гамильтониан Н как функция I в трех разных
размерностях показан на рисунке 3.8.
П
и п
Н,
п
\
\
i
\ Z
V
“Ч
4— 1
[
d= 1
d =
: 2
d = 3
Рис. 3.8. Гамильтониан Н как функция размера пакета I при фиксированном N.
(i) d = 1. При малом I кинетическая энергия Н ~ и"Nl~2 доминирует
и приводит к расширению, тогда как притяжение 7t ~ —TN2l~l домини¬
рует на больших I. Понятно, что стационарное решение должно существо¬
вать для размера I ~ lj"/TN, который минимизирует энергию, обеспечивая
баланс между давлением волн и силой притяжения. Такой стационарный
нелинейный волновой пакет называется солитоном, или уединенной вол¬
ной (solitary wave). Математически солитон описывается решением уравне¬
ния (3.28) в виде бегущей волны ф(х, t) = А(х — ut)el4:> с фазой, имеющей
как однородную нелинейную часть, так и бегущую в пространстве добавку:
p(x,t) = f(x — ut) — TA^t. Комплексное Aq и вещественное и являются
параметрами солитона. Подставим бегущую волну в (3.28) и разделим ве¬
щественную и мнимую части:
А"=В(АЗ~ а1а)+Af (f - В) ’ (АГ+^f)=иА'■
(3.32)
В простейшем случае стоящей волны (гг = 0) второе уравнение дает / =
= const, что можно положить равным нулю. Первое уравнение можно рас¬
сматривать как второй закон Ньютона А" = —dU/dA для частицы с коор¬
динатой А в потенциале U{A) = — (Т/2и>")(А4 — 2A2Aq), так что х играет
роль времени для частицы. Солитон является сепаратрисой, т. е. решением,
требующим бесконечного времени на то, чтобы частица достигла нулевой
точки, или в исходных переменных, где А —> 0 при х —► ±оо. Верхняя
часть рисунка 3.9 предполагает T/lj" < 0, т. е. модуляционную неустойчи¬
вость. Отметим вкратце, что сепаратриса существует и для Т/и" > 0, но
в этом случае стационарная бегущая волна является так называемым кин-
ком (похожим на ударную волну), т. е. переходом между двумя различными
130
Глава 3
значениями устойчивого конденсата, как показано в нижней части рисун¬
ка 3.9. Кинк является минимумом интенсивности \ф\2.
Рис. 3.9. Энергия как функция амплитуды бегущей волны и профиль волны. Верх¬
няя часть соответствует неустойчивому конденсату, где стационарная волна — это
солитон. Нижняя часть соответствует устойчивому конденсату, где стационарная
волна — это кинк.
Вернувшись к общему случаю бегущего солитона (при То/' < 0),
умножим второе уравнение на А и проинтегрируем: о)nA2ff = и(А2 — А$),
где, выбирая константу интегрирования, мы обозначили Ао как А в точке,
где /' = 0. Мы теперь можем подставить /' в первое уравнение и получить
замкнутое уравнение на А. Солитонное решение имеет вид
ф(х, t) = V2Aq cosh 1
1/2
Aq(x — ut)
gi(2x—ut)u/2u>"—iT A^t
Заметим, что переход в движущуюся систему отсчета (галилеевское пре¬
образование) для решений нелинейного уравнения Шрёдингера осуществ¬
ляется следующим образом: ф(х,Ь) —> ф(х — ut, t) exp[iu(2x — ut)/2u/'].
Напомним, что ф описывает солитон для огибающей, в терминах исходной
переменной а(г) он выглядит так, как показано на рисунке 3.10.
(ii) d = 2,3. Устойчивые солитоны как минимумы интенсивности
устойчивого конденсата (кинки) существуют и в пространствах большей
размерности. В оптике они наблюдаются как темные и серые нити в лазер¬
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
131
Рис. 3.10. Стоящий и бегущий солитоны огибающих почти монохроматической
волны.
ном луче, распространяющемся в нелинейной среде. Амплитуда обращает¬
ся в ноль внутри темной нити, которая, таким образом, является вихрем,
т. е. особенностью фазы волны, см. задачу 3.6.
Когда же конденсат неустойчив, то нет и никаких других устойчивых
стационарных решений для d = 2,3. Зависимость 7i(l), показанная на ри¬
сунке 3.8, подсказывает, что характер эволюции должен определяться зна¬
ком гамильтониана для d = 2: волновые пакеты с положительным гамиль¬
тонианом расплываются, потому что дисперсия волны (на другом языке
«кинетическая энергия» или «давление») доминирует, тогда как волновые
пакеты с отрицательным гамильтонианом сжимаются и коллапсируют. Важ¬
но понимать, что аргументация, основанная на зависимости Н(1), не явля¬
ется строгой. Строгое доказательство того, что знак гамильтониана опреде¬
ляет расплывается или коллапсирует пакет в двумерной среде, называется
теоремой Таланова, которая есть аналитическая формула для второй про¬
изводной по времени от квадрата размера пакета l2(t) = f \ф\2г2 dr. Чтобы
вывести эту формулу, продифференцируем по времени, используя (3.31),
потом проинтегрируем по частям и продифференцируем по времени еще
раз:
d2l2
dt2
IOJ
2
V^-^W)dr =
132
Глава 3
= iuj"dtJra (ф*Уаф - фУаФ*) dr = 2ш"2 J \^ф\2 dr +
+ dcu"T J \ф\4 dr = m + 2(d - 2)ш"Т J \ф\4 dr.
В неустойчивом случае Tuj" < 0 для d > 2 получаем неравенство ди12 ^
^ Аии"7{, так что
i2(t) ^ 2u"m2+ Cit + c2
и для ujf,TL < 0 пакет сжимается в сингулярность за конечное время.
Это описывает, в частности, самофокусировку света в нелинейных сре¬
дах. Разумеется, сингулярность получена в рамках нелинейного уравнения
Шрёдингера, которое само справедливо только на масштабах, много боль¬
ших длины несущей волны 27г//со). Для d = 2 и ип1~С > 0, напротив, полу¬
чаем расплывание пакета.
1. Двухкаскадная турбулентность. Как уже упоминалось, любое
уравнение (3.27), описывающее только четырехволновые рассеяния, обяза¬
тельно сохраняет два интеграла движения, энергию 7i и число волн (волно¬
вое действие) N. Волновое действие N = f |а^|2 dk квадратично по ампли¬
тудам волн; энергия также приближенно квадратична при малых амплиту¬
дах: Н ~ f ujk\ak\2 dk. Существование двух квадратичных положительных
интегралов движения в замкнутой системе означает, что при добавлении
накачки и затухания может возникнуть два турбулентных каскада.
Q
1 « ~ 2 * 3 ,
А AM UJ2 n\
Действительно, представим себе внешний источник, возбуждающий
N2 волн в единицу времени на частоте ш2. Понятно, что для существования
стационарного состояния необходимо иметь по крайней мере две области
диссипации в cj-пространстве (при неких и о;з), чтобы диссипировать
вкачиваемые N и Е. Законы сохранения позволяют определить числа волн
N\ и ТУз, поглощаемые в единицу времени в соответствующих областях.
Схематично, решив два линейных уравнения N\ + N3 = N2 и uiNi +
+ UJ3N3 = u2N2, получим
Wi — N2
0J3 — ^2
CJ3 — a;i ’
N3 = N2
uj2 — и 1
OJ3 — CJi
(3.33)
3.3. Нелинейное уравнение Шрёдингера
133
Эти просто полученные формулы весьма поучительны. Видим, что при до¬
статочно длинном левом интервале (когда uj\ < ^з) большая часть
энергии поглощается в правой области диссипации: 0J2N2 ~ Подоб¬
ным же образом при большая часть волнового действия по¬
глощается при малых и: N2 ~ iVi. Когда uj\ <С U02 и3, имеем два отдель¬
ных каскада турбулентности, реализуемых в каждом из интервалов между
накачкой и областями диссипации и характеризуемых либо потоком энер¬
гии е, либо потоком волнового действия Q. Каскад Q в направлении малых
частот и соответственно больших масштабов называется обратным каска¬
дом (Крайчнан, 1967; Захаров, 1967); он соответствует некоему процессу
самоорганизации, т. е. возникновению более медленных движений боль¬
шего масштаба из мелкомасштабных быстрых флуктуаций, что не вполне
сочетается с наивной картиной турбулентности как процесса постоянного
дробления и разрушения.9 Предел —> 0 интересен и хорошо определен;
в этом случае роль левого стока играет конденсат, поглощающий обратный
каскад. Отметим вкратце, что наличие двух интегралов движения имеет ин¬
тересные последствия также и в случае термодинамического равновесия,
означая возможность отрицательных температур в конечных системах.10
Гидродинамической системой с двумя квадратичными интегралами
движения является двумерная идеальная несжимаемая жидкость. Скорость
плоского течения и перпендикулярна завихренности и = V х и, которая
сохраняется для любой частицы жидкости вследствие теоремы Кельвина.
Это значит, что сохраняется также пространственный интеграл от любой
функции завихренности, включая величину f и2 dr, называемую энстрофи-
ей. Можно записать пространственные плотности двух квадратичных ин¬
тегралов движения, энергии и энстрофии, через спектральное разложение
скорости: Е = J |vk|2 dk и П = f |k х Vk|2 dk. Если мы возбуждаем турбу¬
лентность пространственно-периодической силой с характерным волновым
числом /с2, а две области диссипации находятся в к\, /сз, то подобно (3.33)
получим
Ь.2 _ ь.2 к2 — к2
Е>=Е?-ф—ф- Е-* = Е1-ф—ф- (3 34)
Опять же при /сх < /с2 < к% большая часть энергии поглощается левым
стоком, Е1 « £2, а большая часть энстрофии — правым, 02 = /с2 £2 ~ =
= к2Е%. Таким образом, сохранение энергии и квадрата завихренности
в двумерных течениях несжимаемой идеальной жидкости приводит к необ¬
ходимости двух турбулентных каскадов: энстрофии — в малые масшта¬
бы и энергии — в большие масштабы (в направлении, противоположном
134
Глава 3
каскаду энергии в трех измерениях). Крупномасштабные течения в оке¬
ане и атмосфере могут рассматриваться как приблизительно двумерные;
возникновение и поддерживание долгоживущих больших вихрей и струй,
возможно, имеет отношение к обратным турбулентным каскадам.11
3.4. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
Здесь мы рассмотрим другой универсальный предел: слабонелинейные
длинные волны. Как будет видно ниже, закон дисперсии таких волн близок
к линейному. Мы выведем соответствующее нелинейное уравнение КдВ
для длинных волн на мелкой воде и объясним, почему оно должно полу¬
чаться также во многих других случаях. Мы затем рассмотрим некоторые
замечательные свойства этого уравнения и волн, им описываемых.
3.4.1. Волны на мелкой воде
Закон дисперсии линейных гравитационно-капиллярных волн имеет
вид ul = (дк + ак3/р) tanh kh, см. (3.12). Когда длина волны превышает
как /г, так и у/а/рд, закон дисперсии близок к линейному:
(з.з5)
Таким образом, естественно ожидать, что и на мелкой воде возможны про¬
стые волны, распространяющиеся в одном направлении, как описано в па¬
раграфах 2.3.2, 2.3.3. Выведем уравнение, описывающее такую волну ма¬
лой, но конечной амплитуды. Линейная часть этого уравнения сразу следует
на законы дисперсии: ut + y/ghux = —/Зиххх, или в системе отсчета, движу¬
щейся со скоростью yfgh, получим щ = —(Зиххх. Чтобы вывести нелиней¬
ную часть уравнения в длинноволновом пределе, достаточно учесть первую
неисчезающую пространственную производную (которой оказывается уже
первая). Движение почти одномерно, так что и = vx vy. Компонента z
уравнения Эйлера дает dp/dz = —рд и р = Po~\-pg(( — z), что мы подставим
в х-компоненту:
ди ди _ 1 др _ дС
dt Uдх р дх ®дх'
Величина h + £ теперь играет роль плотности в уравнении непрерывности:
д( д
3.4. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
135
Продифференцируем по времени, подставим сюда уравнение Эйлера и пре¬
небрежем кубическим членом:
Очевидно, в правой части имеются члены разных порядков. Первый член
описывает линейное распространение со скоростью y/gh, а остальные чле¬
ны — малые нелинейные эффекты. К подобным уравнениям применим ме¬
тод многомасштабных разложений (который мы уже применяли при выводе
нелинейного уравнения Шрёдингера и уравнения Бюргерса). Мы предпо¬
ложим, что и и С зависят от двух аргументов, а именно и(х - y/ght,t),
С(х — y/ght, t), причем зависимость от второго аргумента является медлен¬
ной. Выведем уравнение на и. В главном порядке dtu = — yfghux = —д(х,
так что £ = u^/h/g, что является прямым аналогом уравнения 5р/р = и/с
в линейной акустике. С этого момента щ будет обозначать производную от¬
носительно медленного времени (или, попросту говоря, в системе отсчета,
движущейся со скоростью y/gh). Получим из (3.36)
(dt - yfghdx)(dt + y/ghdx)u « -2\fghuxt = (3/2)-/gh(u2)xx,
так что нелинейный вклад в щ — это —Згтх/2. Сравнив это с общим аку¬
стическим выражением (2.25), что есть —(7 + 1)иих/2, видим, что волнам
на мелкой воде соответствует 7 = 2. Это также согласуется с тем, что ло¬
кальная «скорость звука» есть y/g(h + С) ~ y/gh + и/2 = с + (7 — 1)и/2,
см. (2.24). В 19 веке Скотт Рассел использовал эту формулу, чтобы оце¬
нить высоту атмосферы по скорости распространения изменений погоды,
т. е. волн атмосферного давления. Аналогия между волнами на мелкой воде
и звуком означает также, что на воде могут существовать ударные вол¬
ны, называемые гидравлическими скачками.12 Число Фруда и2 jgh играет
в этом случае роль (квадрата) числа Маха.
Гидравлический скачок можно наблюдать в любой кухонной раковине,
когда струя воды из крана растекается во все стороны по дну со скоростью,
превышающей линейную «скорость звука» y/gh: толщина слоя жидкости
на некотором радиусе увеличивается скачком, что соответствует ударной
волне, см. рисунок 3.11 и задачу 3.8. Эта ударная волна послана назад стен¬
ками раковины, которые останавливают течение; скачок возникает в том
(3.36)
136
Глава 3
месте, где скорость ударной волны равна скорости течения.13 Скорость
слабого скачка примерно равна «скорости звука», так что течение сверх¬
звуковое внутри и дозвуковое снаружи. Длинные поверхностные волны не
могут проникнуть во внутреннюю область, которая, таким образом, может
быть названа белой дырой (в противоположность черной дыре, откуда нель¬
зя вырваться), а скачок играет роль горизонта. На рисунке 3.11 видны круги
капиллярной ряби внутри; форма самого скачка не является круговой.
Рис. 3.11. Гидравлический скачок в кухонной раковине. Фото: Joe Gough,
www.dreamstime.com.
3.4.2. Уравнение КдВ и солитон
Теперь мы готовы собрать вместе линейный член из закона дисперсии
и нелинейный член, который мы только что вывели. Замена и —> 2гх/3
обратит в единицу коэффициент при нелинейном члене. Уравнение
lit Н- "Ь ft'U'xxx = 0 (3.37)
было выведено Кортевегом и де Вризом в 1895 году и носит имя КдВ.
Вместе с уравнением Бюргерса и нелинейным уравнением Шрёдингера
КдВ входит в эксклюзивную группу универсальных нелинейных моделей.
Уравнение КдВ одномерно, как Бюргере, и имеет ту же степень универ¬
сальности. Действительно, большинство систем (а именно те, что имеют
какую-либо непрерывную симметрию спонтанно нарушенной) допускают
3.4. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
137
тип возбуждений, называемый голдстоуновской модой, для которой о? —> О
при к —> 0. Обычно и обращается в ноль по линейному (акустическому)
закону, поскольку в консервативных средах с центром симметрии обрати¬
мость времени означает, что со2(к2) — разложение этой функции в пределе
малых к в случае общего положения начинается с первого члена, так что
и2 ос к2. Следующий член разложения /с4, так что для длинных волн, дви¬
жущихся в одном направлении, получаем шь = ск[ 1 + C(klo)2], где С —
безразмерный коэффициент порядка единицы, а /о — некий внутренний
масштаб в системе. Для гравитационных волн Iq это глубина жидкости,
а для капиллярных это у/а/рд. Соотношение между этими масштабами
определяет знак (3 в (3.35), что, в свою очередь, определяет, бегут ли волны
с конечными к быстрее или медленнее «скорости звука» yfgh. Добавка по¬
верхностного натяжения к возвращающей силе увеличивает частоту. С дру¬
гой стороны, конечность отношения глубины к длине волны означает, что
частицы жидкости двигаются по эллиптическим траекториям, а не по пря¬
мым, что уменьшает частоту. Квадратичная нелинейность дхи2, общая для
КдВ и Бюргерса, есть просто перенормировка скорости звука и является
также случаем общего положения; она содержит производную, поскольку
однородная скорость не должна иметь никакого эффекта. Неполный список
возбуждений, одномерное распространение которых описывается уравне¬
нием КдВ, включает звук в плазме (где I — это либо дебаевский радиус
экранирования зарядов или ларморовский радиус циклотронного вращения
в магнитном поле), фононы в твердых телах (где I — размер кристалличе¬
ской ячейки) и фононы в гелии (где знак /3 зависит от давления).
Уравнение КдВ симметрично относительно одновременной замены
(3 —> — /3, тх —^ — и и х —> —х, так что достаточно рассмотреть только по¬
ложительные (3. Опишем сначала распространяющиеся волны неизменной
формы, подставив u(x — vt) в (3.37):
f3uxxx = vux — uux.
Это уравнение симметрично относительно галилеевской замены u и +
+ w, v —> v + щ, так что при первом интегрировании мы можем положить
константу интегрирования нулем, перейдя в систему отсчета, движущуюся
с нужной скоростью. В результате получим обыкновенное дифференциаль¬
ное уравнение
/Зихх
dU_
ди'
Щи) = \
2
VU
~Y'
138
Глава 3
общее решение которого может быть записано в эллиптических функциях.
Мы, однако, обойдемся без этого. Чтобы понять общие свойства решения
и выбрать специальное решение в виде солитона, мы поступим так же, как
и в параграфе 3.3.3, рассматривая это уравнение как уравнение Ньютона,
описывающее ускорение частицы в потенциале. Скорость v можно пола¬
гать положительной без ограничения общности. Мы должны ограничиться
решениями с конечным |и(х)\, поскольку неограниченный рост нарушил
бы предположения о слабой нелинейности. Конечные решения ограничи¬
вают и в интервале (0, Зг>).
Как видно из рисунка, линейные периодические волны существуют вблизи
дна потенциала при и « 2v. Их амплитуда мала в системе отсчета, дви¬
жущейся со скоростью — 2г>, — в этой системе отсчета их скорость отрица¬
тельна, как и должно быть для положительного (3. Действительно, знак (3
противоположен знаку дисперсионной поправки —3(Зк2 к групповой ско¬
рости duk/dk. Наоборот, солитон движется с положительной скоростью
в системе отсчета, где нет возмущения на бесконечности — как раз эта си¬
стема использована на рисунке. Важно, что скорости периодической волны
и солитона лежат по разные стороны от скорости звука: солитоны сверх¬
звуковые, когда периодические волны дозвуковые, и наоборот. Это обеспе¬
чивает невозможность резонансного излучения линейных волн солитоном
и устойчивость последнего относительно одномерных возмущений.
Как обычно, солитонное решение является сепаратрисой:
u(x,t) = 3t>cosh 2
(х — vt)
(3.38)
Чем выше амплитуда, тем быстрее (при (3 > 0) и тем уже солитон. По¬
добно рассмотрению в конце параграфа 3.3.2, нетрудно понять, что одно¬
мерный солитон неустойчив относительно поперечных возмущений, если
его скорость уменьшается с амплитудой, что имеет место при /3 < 0, когда
периодические волны сверхзвуковые, а солитоны дозвуковые.
3.4. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
139
В отсутствие диссипации или дисперсии нелинейность приводит
к опрокидыванию акустических возмущений. Дисперсия и диссипация ста¬
билизируют волну, но формы стационарных волн, разумеется, различны.
Отношение нелинейности к дисперсии а = иих/(3иххх ~ ul2 /(3 является
внутренним управляющим параметром уравнения КдВ (вдобавок к исход¬
ному «внешнему» числу Маха и/с, который также является параметром
нелинейности и предполагается малым). Для солитона сг ~ 1, что означает,
что эффекты нелинейности и дисперсии сбалансированы, как и для солито-
на нелинейного уравнения Шрёдингера, описанного в параграфе 3.3.3. Это
также означает, что солитон является непертурбативным объектом, кото¬
рый нельзя получить, стартуя с линейной волны и учитывая нелинейность
по теории возмущений. В этом отличие от уравнения Бюргерса, где как ре¬
шения с конечным М, так и стационарные ударные волны зависят гладко от
соответствующего внутреннего параметра Re и существуют при любом его
значении. Введение параметра а порождает естественные вопросы. Всегда
ли возмущения с а 1 соответствуют линейным волнам? Как эволюцио¬
нирует возмущение с а 1 в рамках уравнения КдВ? Для ответа на по¬
добные вопросы был разработан красивый метод, описанный в следующем
параграфе.
3.4.3. Метод обратной задачи рассеяния
Замечательно, что эволюция произвольного начального возмущения
может быть описана аналитически в рамках КдВ. Довольно неожиданно
это достигается путем рассмотрения функции —u(x,t)/6/3 как потенциала
в линейном уравнении Шрёдингера:
d2 u(x,t)
dx2 6Д
Положительная и(х) позволяет связанные состояния, т. е. дискретный
спектр. Время входит в качестве внешнего параметра. Как было замечено
(Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой в 1967 г.), спектр Е не зависит
от времени, если и(х, t) эволюционирует согласно уравнению КдВ. Чтобы
убедиться в этом, выразим и через Ф:
”=-6'?(£+тг)-
Ф = £Ф.
(3.39)
(3.40)
140
Глава 3
Заметьте похожесть на подстановку Хопфа, использованную для линеари¬
зации уравнения Бюргерса v = —2иф^/ф. В (3.40) на одну производную
больше, так и в уравнении КдВ на одну производную больше, чем в урав¬
нении Бюргерса — несмотря на некоторую наивность и эвристичность тако¬
го подхода, именно он помог Миуре предложить (3.40). Подставим (3.40)
в уравнении КдВ и получим
dE
Ф2— =6^х[(Фах-Ф1)(Ф* + Ф111-Фх(« + £?)/2)]. (3.41)
Проинтегрировав по ж, получим dE/dt = 0, поскольку Ф2 dx коне¬
чен для любого связанного состояния. Собственные функции эволюцио¬
нируют согласно уравнению, которое получается двукратным интегрирова¬
ние (3.41) и выбором нулевой константы интегрирования вследствие нор¬
мализации:
фt + = о. (3.42)
Рис. 3.12. Асимптотическая форма локализованного возмущения.
С точки зрения (3.39) солитон — это потенциальная яма в точности
с одним уровнем Е = v/8/З, что можно проверить прямым вычислени¬
ем. Для далеко раздвинутых солитонов уровни энергии определяются неза¬
висимо. Если солитоны различны, они движутся с разными скоростями,
что приводит к столкновениям. Поскольку спектр сохраняется, после всех
столкновений мы будем иметь те же солитоны. Пропорциональность скоро¬
сти и амплитуды означает, что конечное состояние возмущения с а 1 (со
многими уровнями) должно выглядеть как линейно упорядоченная цепочка
солитонов, квазилинейные волны, соответствующие непрерывному спек¬
тру, остаются позади и расплываются из-за дисперсии. Это можно устано¬
вить, а также проанализировать эволюцию произвольного начального воз¬
мущения, используя метод обратной задачи рассеяния — восстановление
потенциала и(х) по функции Ф(ж):
и(ж,0) -» Ф(ж,0) = ^а„Фп(х,0) 4- / а*;Фк(ж,0) dk —>
3.4. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
141
-> Ф(М) = ^апФп(х,0 + J aktyk(x,0)e~luJkt dk -> (3.43)
—> u(x,t).
Ha первом шаге мы находим собственные значения и функции по началь¬
ному потенциалу г^(х,0). Второй (тривиальный) шаг заключается в вычис¬
лении эволюции функций дискретного спектра согласно (3.42) и непрерыв¬
ного спектра просто согласно частоте. Третий шаг нетривиален — решение
обратной задачи рассеяния, т. е. восстановление потенциала u(x,t) по на¬
бору новых собственных функций.14
При рассмотрении слабонелинейного начального состояния (сг 1)
можно рассматривать потенциал как малое возмущение (3.39) и исполь¬
зовать квантово-механическое описание мелкой ямы. Напомним, что свя¬
занное состояние в одномерной мелкой яме существует только для отрица¬
тельного потенциала, что в нашем случае означает положительность полно¬
го импульса, f и(х) dx > 0, иными словами — сверхзвуковое возмущение.
Соответственно, любое малое дозвуковое возмущение (с отрицательным
импульсом) не может породить солитонов, а только квазилинейные волны.
С другой стороны, как бы ни мал был параметр нелинейности а сверх¬
звукового возмущения, оно неизбежно породит солитон, объект с а ~ 1.
Амплитуда солитона пропорциональна энергии связанного состояния, ко¬
торая, в свою очередь, пропорциональна (f udx)2 для мелкой ямы.
Метод обратной задачи рассеяния был затем применен к одномерному
нелинейному уравнению Шрёдингера (Захаровым и Шабатом в 1971 г.).
В этом случае оказалось, что сохраняются собственные значения Е для
системы
idt'ipi + фф2 = Еф\,
-гдгф2 ~ ф*ф\ = Еф2,
если ф эволюционирует согласно нелинейному уравнению Шрёдингера.
Также и в этом случае произвольное локализованное возмущение превра¬
щается в набор солитонов и расплывающийся квази линейный волновой
пакет.
Интегрирумость динамических уравнений в одномерном пространстве
может быть в прямой связи с их универсальностью. Действительно, при ма¬
лой нелинейности длинноволновые возмущения описываются уравнениями
Бюргерса или КдВ, а квазимонохроматические — нелинейным уравнением
142
Глава 3
Шрёдингера для огромного множества очень разных систем. Среди этих
систем должны встречаться вырожденные интегрируемые случаи, эта ин¬
тегрируемость, вообще говоря, должна сохраняться и для предельных слу¬
чаев (длинноволнового и квазимонохроматического). Пространство-время
этих систем двумерно, так что их интегрируемость может быть связана
с бесконечномерностью конформной группы в двух измерениях. От потен¬
циальных течений, описанных в параграфе 1.2.4 до нелинейных волновых
моделей комплексный анализ и идея аналитичности лежат в основе боль¬
шинства решаемых случаев в гидродинамике, как и в других областях фи¬
зики.
Задачи
3.1 Почему волны накатываются на берег параллельно ему, даже если ве¬
тер дует наискосок?
3.2 Квазимонохроматический пакет поверхностных волн содержит N гор¬
бов. Сколько раз подпрыгнет поплавок при прохождении пакета? Рас¬
смотрите два случая: (i) гравитационные волны на глубокой воде, (ii)
капиллярные волны на глубокой воде.
3.3 Бросая в воду камешки и глядя на круги, ими образуемые, видим, что
волны наблюдаются только вне круга, расширяющегося со временем.
Нарисуйте примерную картину волновых горбов. С какой скоростью
растет радиус круга спокойной воды?
3.4 Устойчивые волны малой амплитуды, описываемые (3.19), существу¬
ют далеко не всегда. Рассмотрите общую форму квадратичного гамиль¬
тониана
П2
-л
A(k)\bk\(i) 2 + B(k)(bkb_k + b*kb*_k)
dk.
(3.44)
(i) Найдите линейное преобразование (носящее имя Боголюбова) Ък =
= Ukdk + Vka*_k, которое обращает (3.44) в (3.19).
(ii) Рассмотрите случай, когда четная часть А(к) + А(—к) меняет знак
на некой поверхности или линии в /с-пространстве, причем В (к) ф О
там. Какой физике это соответствует? В какую простейшую форму Н2
можно преобразовать гамильтониан в этом случае?
3.5 Покажите, что степенной закон дисперсии и к ос ка с а ^ 1 принадле¬
жит к распадному типу, т. е. можно найти такие ki, k2, что cj(ki +кг) =
= uji + и2. Рассмотрите двумерный случай к = {кх,ку}. Подсказка:
3.4. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
143
ujk описывает вогнутую поверхность, а условия резонанса означают
пересечение двух поверхностей.
3.6 Рассмотрите устойчивый конденсат в 3D и найдите решение уравне¬
ния (3.28), имеющее вид
гр = Ле-гТл2‘+^/(г/г0),
где г — расстояние от оси и (р — полярный угол. Являются ли парамет¬
ры А и го независимыми? Опишите асимптотики / на малых и боль¬
ших расстояниях. Почему такая конфигурация называется вихрем?
3.7 Рассмотрим дискретное спектральное представление гамильтониана
одномерного нелинейного уравнения Шрёдингера в конечной среде:
TL — У ^(Зт |ат| + (Т/2) У ^ajakCLi+k_rnaTn.
m гктп
Ограничимся тремя модами: m = 0,1, —1. Опишите динамику такой
системы трех мод.
3.8 Определите темп диссипации энергии на единицу длины гидравли¬
ческого скачка. Рассмотрите случай, когда жидкость течет со скоро¬
стью u\ в слое толщины hi, так что число Фруда немного больше
единицы: u\/gh\ = 1 + б, е 1.
3.9 Если учитывать одновременно и диссипацию, и дисперсию звуковой
волны, возникает так называемое уравнение КдВ - Бюргерса:
щ + uux + /Зиххх - [Шхх — 0. (3.45)
Это уравнение позволяет, в частности, описать влияние дисперсии
на структуру слабой ударной волны. Рассмотрите бегущее решение
uo(x — vt) этого уравнения, предполагая нулевое граничное условие на
+оо: u0 = uox = uoxx = 0. Нарисуйте примерную форму щ(х) для
fi < \f]5v и для ц > y/jfi.
3.10 Найдите закон дисперсии волн на границе между двумя жидкостя¬
ми, из которых верхняя течет, а нижняя покоится, в присутствии
144
Глава 3
силы тяжести д и поверхностного натяжения а. Опишите возможные
неустойчивости. Рассмотрите, в частности, два случая: pi > р2, v = О
(тяжелая над легкой) и р\ <С р2 (ветер над водой).
Глава 4
Решения задач
Для удачной догадки недостаточно просто удачи.
Джейн Остин
4.1. Глава 1
1.1 Рассмотрим призму в жидкости.
В неподвижной жидкости силы должны сложиться в ноль, что зна¬
чит, что после поворота на 7г/2 векторы сил должны образовать зам¬
кнутый треугольник, подобный основанию призмы. Поскольку силы
оказываются пропорциональны площадям граней, давления одинако¬
вы. Заметьте, что мы не предполагали жидкость изотропной.
В движущейся жидкости разность между диагональными компонента¬
ми тензора напряжений должна обращаться в ноль для однородного
течения и, стало быть, пропорциональна градиентам скорости, как об¬
суждалось в параграфе 1.4.2.
1.2 Сила —V'tp должна уравновешиваться градиентом давления:
Тт (т* ) = -А”аг2Р’ р = - г2).
(4.1)
146
Глава 4
1.3 Расход жидкости — S'y/2gh. Закон сохранения дает v = yfgh в точ¬
ке прекращения сжатия струи (vena contracta). Квадрат этой скорости,
умноженный на площадь S' и плотность, дает горизонтальный поток
импульса, который, в свою очередь, определяется силой, приложенной
стенками к жидкости. Давление, приложенное к жидкости элементом
стенки, противоположным отверстию, оказывается несбалансирован¬
ным и обеспечивает горизонтальный поток импульса. Для вставлен¬
ной трубки (в отличие от отверстия, проделанного прямо в стенке, как
на рис. 1.3) можно пренебречь движением жидкости у стенок, так что
разница сил есть давление р = pgh, умноженное на площадь отвер¬
стия 5. Получаем pv2S' = pghS и S' = 5/2. Пристеночное движе¬
ние уменьшает давление у выхода и увеличивает разницу сил и поток
импульса; поскольку струя выходит с той же скоростью, она должна
иметь большее сечение, так что S'/S >1/2. Для круглого отверстия
в тонкой стенке эксперимент дает S'/S ~ 0.62. Вставленная трубка на¬
зывается насадкой Борда, который предложил вставить внутри трубку
с сечением, в два раза большим выходного (и с длиной, превышающей
диаметр), чтобы увеличить расход при заданном выходном сечении.
Общее рассуждение, основанное на законах сохранения энергии и им¬
пульса, справедливо для любой размерности. Для плоской (двумерной)
насадки Борда удается вдобавок аналитически описать течение, прене¬
брегая силой тяжести и полагая насадку длинной — оба предположения
справедливы для течения недалеко от угла. В отличие от симметрично¬
го обтекания, изображенного на рисунке 1.8 при п = 1/2 и имеющего
бесконечную скорость при повороте на краю, жидкость течет вдоль
плоской границы насадки снаружи и отрывается от нее внутри. Такое
течение с отрывом также может быть описано с помощью конформных
преобразований, но только с особенностями, как показано на рисунке.
плоскость Z
плоскость W
ПЛОСКОСТЬ С
ф = Б'у
^ С'
-1
1
ф = -S'v
Стенки насадки совпадают с линиями тока. Отрыв приводит к скачку
потенциала на стенке, что требует разрезов в плоскости £. Это соот¬
ветствует потенциалу w ос In £, для которого скорость всюду конечна;
подробности можно найти в [13, § 11.51]. Для плоского разреза в тон¬
4.1. Глава 1
147
кой стене двумерное решение приведено в [13, §11.53], или [10, § 10],
что дает коэффициент истечения 7г/(7г + 2) « 0.61.
1.4 Говоря попросту, завихренность есть циркуляция скорости (= поток за¬
вихренности), деленная на площадь. А угловая скорость П есть цирку¬
ляция скорости (вокруг частицы), деленная на радиус а и длину окруж¬
ности 2тта:
Этот же результат можно получить несколько более формально, поме¬
стив начало координат внутри частицы и рассмотрев скорость в точ¬
ке, задаваемой радиус-вектором г. Поскольку частица мала, восполь¬
зуемся разложением в ряд Тэйлора г>г(г) = Sijrj -f A^rj, где =
= (dirj + djTi)/2 и Aij = (dirj — djTi)/2. Поскольку твердое тело
недеформируемо, то Sij = 0. При заданном положении центра един¬
ственное движение, не деформирующее тело, — это вращение. Угловая
скорость Q дает Aikrk = eijkQjrk. С другой стороны, компонента за¬
вихренности есть
получим А1кГк = CijkUjrk/2 и Q = и/2.
1.5 Используем уравнение Бернулли для линии тока, соединяющей точку
максимального подъема (где v = 0 и высота Н) и точку на бесконеч¬
ности: 2 дН = 2 gh + vl0.
fi =
J udl/2'ка2 = J(judf/2'ка2 =ujj2.
ИсПОЛЬЗуЯ ТОЖДеСТВО ^-{jk^-irnn — ^jm^kn &jn&mk И
jm^kn $jn^mk^^j^k — &mVn
148
Глава 4
(i) В плоском случае скорость течения вдали от щели горизонтальна
и не зависит от высоты вследствие потенциальности. Сохранение мас¬
сы требует г>оо = q/2pg, что дает высоту подъема Н — h = q2/Sgp2h2.
(ii) В этом случае скорость убывает обратно пропорционально радиусу
и стремится к нулю на бесконечности, что означает отсутствие возвы¬
шения поверхности над источником для потенциального течения, так
что фонтан от подводного источника может возникнуть только за счет
непотенциальности течения.
1.6 В системе отсчета сферы скорость невязкого потенциального течения
есть
Это соответствует следующей функции тока в системе отсчета сферы:
vq = —и sin в (1 + (В?/2г3)).
По определению, на линиях тока имеем
что дает уравнение
dr 2г (г3 — R3) tan
М 2 г3 + R3
интегрирование которого задает линии тока:
гр = —иг2 sin2 6(1/2 — R?/r3). Соответствующие линии тока изобра¬
жены в правой части рисунка 4.1.
В системе отсчета, где жидкость неподвижна на бесконечности,
vr = -ucosO (R/r)3 , vo = -(l/2)usin9 (R/r)3 .
Интегрируя
d6 tan 9
dr 2 r
4.1. Глава 1
149
Рис. 4.1. Линии тока потенциального обтекания сферы в системе отсчета, где жид¬
кость неподвижна на бесконечности (слева), и в системе отсчета, движущейся вме¬
сте со сферой (справа).
получим функцию тока ф = —uR3 sin2 в/2г. Соответствующие линии
тока изображены в левой части рисунка 4.1.
Поле скорости вязкого течения Стокса, задаваемого (1.48), также за¬
дает функцию тока. В системе отсчета, где жидкость неподвижна на
бесконечности, ф = игRsin2 в(3/4 — R3/Зг3), что соответствует лини¬
ям тока, изображенным на рисунке.
Очевидно, главное различие в том, что линии тока невязкого тече¬
ния — замкнутые петли (сравните с петлей траектории, изображенной
на рис. 1.9), тогда как вязкое течение невозвратно.
В системе отсчета сферы функция тока течения Стокса есть ф =
= —иг2 sin2 0(1/2 — 3R/4r + R3/4r3) и линии тока качественно по¬
добны изображенным в правой части рисунка 4.1.
1.7 Уравнение движения шарика на пружинке имеет вид тх = —кх, так
что соответствующая частота есть uja = у/к/т. В жидкости
тх = —кх — тх,
(4.2)
150
Глава 4
где т = pV/2 есть присоединенная масса сферы. Частота колебаний
в идеальной жидкости есть
fluid —
2/?о
2/9о + р ’
(4.3)
здесь р — плотность жидкости, а ро — плотность материала шарика.
Уравнение движения маятника: лп10 = —тдв. В жидкости оно прини¬
мает вид:
mlO = —тдв + рУ дв — rhW,
(4.4)
где pV дв — это архимедова сила, a —rhW — сила инерции. Из т1в =
= —тдв получаем шъ = y/gjl, а в жидкости частота колебаний равна
^b,fluid —
2(ро - р)
2ро + Р
(4.5)
Вязкость жидкости приведет к затуханию колебаний. Когда вязкость
мала, v иа^а2, толщина пограничного слоя много меньше разме¬
ра тела: а. Это позволяет рассматривать пограничный слой
локально плоским. Направим ось х вдоль поверхности, а ось у — по¬
перек:
dvx _ d2vx
dt V dy2
vx(y,t) = uexp{-[(l + i)y/6 + iut\ }, 6 = yj2r]/po<jj. (4.6)
Такое течение создает вязкое напряжение на поверхности тела,
(Уух = VdVVQy'^ = (г - l)vx(0,t)y/ujr}p/2,
результатом которого является следующий темп диссипации энергии
на единицу площади:
—<yyxVy = и2 \/игдр/8.
Для оценки полного темпа диссипации энергии следует умножить это
на площадь поверхности. Точный ответ можно получить, найдя рас¬
пределение скорости вокруг осциллирующей сферы, см. например, па¬
раграф 24 в [10].
4.1. Глава 1
151
1.8 Анализ размерности и простые оценки. В выражении Т ос Еар@р1
три неизвестных а, /3,7 могут быть найдены из подсчета степеней трех
размерностей (граммов, метров и секунд), что дает
Toc^/V'/y72.
Аналогично Т ос ар_17У72. Заметим, что с ос yjp/p — это скорость
звука, так что период есть просто а/с. Энергия — это произведение
давления на объем: Е = Атга3р/3. Этот метод действительно исполь¬
зуется для измерения энергии подводных взрывов: подождать, пока
сформируется пузырь, затем, наблюдая осцилляции, определить ради¬
ус и связать его с энергией взрыва.
Набросок теории. Радиус пузыря меняется по закону: г0 = а +
+ 6ехр(—iuit), где а — это начальный радиус и b « а — малая ам¬
плитуда колебаний с периодом Т = Пренебрегая силой тяже¬
сти, можно считать индуцированное движение жидкости радиальным:
v = vr(r,t). Несжимаемость требует v(r,t) = Aexp(—i(jut)/r2 на по¬
верхности пузыря dro/dt = v(r,t), что дает А = —iba2u и скорость
v(r,t) = —ib(a/r)2tdexp(—i(jjt). (4.7)
Заметим, что (v • V)v ~ Ь2ио2/а <С dtv ~ Ьил2 вследствие предположе¬
ния 5<Са. Теперь мы используем линеаризованное уравнения Навье-
Стокса и сферическую симметрию и получим
Pwater = Pstatic Р^ Ь ^ ’ (4-8)
где Pst at i с — это статическое давление в жидкости без осцилляций. По¬
скольку Pair/Pwater = Ю“3, сжатия и расширения пузыря могут пола¬
гаться квазистатическими, рьиЬЫеП)37 = Pstatic^37, что дает
Pbubbie = Pstatic (l ~ 37(6/a)e“lwt). (4.9)
Теперь используем граничное условие на границе между воздухом
и водой при г = а:
Pbubble^zfc = Pwater^i/c Н“ "Г ^i^k)-) (4.10)
где г] динамическая вязкость воды. Компонента агг дает р(аи)2 +4ir] —
— s^fp = 0, и решение имеет вид
152
Глава 4
Оно описывает апериодическое затухание для большой вязкости; а для
ту2 < 37рра2/4 частота колебаний
uj = 2тг/Т(а,р, р)
З7 р 4ту2
ра2 а4р2
(4.12)
Вязкость замедляет колебания, т. е. увеличивает период, что может
быть существенно для маленьких пузырьков, см. более детальное рас¬
смотрение в [20].
1.9 Уравнение Навье-Стокса для завихренности в несжимаемой жидко¬
сти,
dtuj 4- (v • V)cj - (и • V)v = i/Aw,
в цилиндрически симметричном случае сводится к уравнению диффу¬
зии,
dtu = v Acj,
поскольку (v • V)cj = (и • V)v = 0. Уравнение диффузии в цилиндри¬
ческих координатах имеет вид
dtu = ^r_1<9rr<9rcj.
Для начального условия в виде дельта-функции на оси уравнение име¬
ет простое решение
Cj(r, t)
Г
47rut
exp
г2 \
ш)'
сохраняющее полную завихренность:
"М)гdr=^l ехр(-зй)г*=г'
Вообще, для любого двумерного несжимаемого течения уравнение На¬
вье-Стокса имеет вид dtuj + (v • V)us = иАи, сохраняющий интеграл
завихренности, который также является потоком завихренности, если
он конечен.
1.10 Форма пловца полностью определяется углами между центральным
отрезком (телом) и двумя крайними отрезками (руками), так что про¬
странство конфигураций двумерно. В нашем случае пловец описы¬
вает петлю в пространстве конфигураций, при этом его смещение
4.1. Глава 1
153
в обычном пространстве должно быть пропорционально площади пет¬
ли, т. е. 02. Преобразование у —► —у, в\ —> —0Ь 02 —> —02 не меня¬
ет контура, так что смещение вдоль у отсутствует. Поскольку легче
двигаться, когда неподвижная рука не отклонена от тела (т. е. или 0Ь
или 02 равен нулю), следовательно, в течение 1 —► 2 и 4 —► 5 пловец
сдвигается влево меньше, чем он сдвигается вправо в течение 2 —► 3
и 3 —► 4, по крайней мере когда 0 1. Следовательно, результирую¬
щее смещение должно быть вправо или в общем случае в направлении
руки, что двигалась первой. Дополнительное чтение: [1, § 7.5], [22,23].
Поставив пловца на якорь, получим помпу. Геометрическая природа
плавания и перекачки жидкости микроорганизмами является предме¬
том неабелевой теории поля, связанной аналогиями с многими физи¬
ческими явлениями, см. [24].
02
3
4
01
2
1,5
1.11 Простая оценка. Сила Магнуса может быть оценена как pvQRR2 ~
~ 3 ньютон. Для грубой оценки смещения пренебрежем торможени¬
ем мяча и оценим время полета как Т ~ L/vо — 1 с. Пренебре¬
гая также сопротивлением движению поперек, оценим, что ускорение
pv0ftR3/m ~ 6.7 м с-2 приведет к отклонению
ру0Ш3Т2 _ рШ3Ь2 _ QR pR2L
' ' 2m 2mvo vq 2m
(4.13)
Подставляя числа, получаем у(Т) ~ 3.35 м.
Набросок теории. Несложно учесть силу сопротивления Cpv27vR2/2,
что приведет к логарифмическому закону смещения:
v = —
V
v{t) =
vq
1 + vot/Lo
x(t) =L0 ln(l + vpi/Lo).
(4.14)
154
Глава 4
Здесь Lo — Ът/СрттЯ2 ~ 100 м при С ~ 0.25 для Re = vqR/v ~
~ 2 • 105. Смысл параметра Lo в том, что это расстояние, на кото¬
ром сопротивление существенно меняет скорость; вполне естествен¬
но это соответствует массе сдвинутого воздуха p7rR2L порядка массы
мяча. Получим время движения Т из (4.14): vqT/Lq = exp(L/Lo) —
— 1 > L/Lq. Теперь можно учесть зависимость скорости смещения v{t)
от времени. Полагая смещение в направлении у малым по сравнению
с расстоянием, пролетаемым вдоль х, получим
d2y(t) _p£lR3v(t) _ pQR3vо
dt2 m m(l + vot/Lo) ’
2/(0) =y{0) = 0,
О/? о
y(t) —Lq — [(1 + Vot/Lo) ln(l + - Vot/Lo). (4.15)
Vq 7ГС
Эта формула переходит в (4.13) в пределе L <С Lo, что неплохо вы¬
полняется для пенальти. Для больших L надо также учесть силу сопро¬
тивления в направлении у, что приведет к насыщению у на значении
~ VQRv. Впрочем, столь детальное рассмотрение не очень осмыс¬
ленно, поскольку мы используем очень грубую оценку силы Магнуса
и пренебрегаем вертикальным смещением дТ2/2, которое сравнимо
с отклонением.
Замечание. Выдающиеся футболисты умеют также использовать кри¬
зис сопротивления, т. е. резкое увеличение коэффициента сопротивле¬
ния С от 0.15 до 0.5 при уменьшении Re от 2.5 • 105 до 1.5 • 105 (когда
скорость мяча падает от 37.5 м/с до 22.5 м/с). В результате мяч доволь¬
но резко тормозит в некоей точке траектории и сила Магнуса оказывает
еще больший эффект. Кризис сопротивления используется также для
посылания длинного мяча через голову вратаря, вышедшего слишком
далеко из ворот; в этом случае мяч плавно поднимается вверх и затем
4.1. Глава 1
155
резко ныряет вниз, как показано на рисунке. Если еще закрутить мяч
вокруг горизонтальной оси, то сила Магнуса усилит эффект.
1.12 Для того чтобы на киль действовала сила, необходимо двигаться не
точно вперед, а немного вбок, под некоторым углом. Нетрудно понять
направление силы, действующей на киль, рассматривая отклонение
воды от прямолинейного движения в системе отсчета доски — вода
натекает против направления движения, а утекает вдоль киля. Соот¬
ветственно, направление силы действующей на киль, противоположно
направлению отклонения воды. Эта сила F^eei направлена почти стро¬
го вбок (влево на рисунке) и должна уравновешиваться силой ветра,
действующей на парус. Ветер также уходит назад вдоль паруса, и его
отклонение определяет Fsan. При движении с постоянной скоростью
вектор Fkeel + Fsaii направлен по направлению движения и уравнове¬
шен силой сопротивления. Если сила сопротивления достаточно мала,
можно двигаться и быстрее ветра, поскольку Fsan не зависит от ско¬
рости доски при условии, что ветер остается перпендикулярным доске
в ее системе отсчета. Наоборот, при движении по ветру невозможно
превысить скорость ветра.
Смотри также [25].
1.13 Простой ответ. Стационарную скорость падения твердого шарика лег¬
ко получить, приравнивая силу тяжести силе Стокса:
Поставляя числа, получим и ~ 1.21 см/с.
Пределы применимости и поправки. Число Рейнольдса Re ~ 0.008,
что оправдывает использование формулы Стокса и позволяет прене¬
ветер
67rRrjau = тд, и =
(4.16)
156
Глава 4
бречь поправками конечного Re. Заметим, однако, что Re ос vR ос i?3,
так что Re ~ 1 уже для R = 0.05 мм. Сферичность поддерживает¬
ся поверхностным натяжением, соответствующий параметр — это от¬
ношение силы вязкого трения rjwu/R к силе поверхностного натяже¬
ния a/R; это отношение равно rjwu/a ~ 0.00017 для а = 70 г с-2.
Другое неучтенное явление — внутренняя циркуляция в жидкой капле.
Тензор вязких напряжений должен быть непрерывен при переходе из
воздуха в жидкость на границе капли. Следовательно, скорость внутри
можно оценить как скорость снаружи, умноженную на малый пара¬
метр Tja/tjw ~ 0.018 <С 1, что должно дать примерно 2% поправку
к силе и скорости падения. Приведем соответствующий расчет. Урав¬
нение движения внутри такое же, как снаружи. Решение, регулярное
на бесконечности, — это (1.47), т. е.
и -|- n(u • п) т 3n(u • п — и)
va — и a ^ - + b—
тогда как решение, регулярное в нуле, имеет вид / = Аг2/4 + Br4/S,
что дает
vw = —Аи + Rr2(n(u • п)) — 2и.
Четыре граничных условия на поверхности (нулевые нормальные ско¬
рости и непрерывные тангенциальные скорости и силы) фиксируют
четыре константы A, R, a, b и дают силу сопротивления
F = 8тгат]и = 2/Kur}aR^a , (4.17)
Va "Т
что дает
и _ 2 pR2g / Зт]а + 3'Г)Ш \ ^ 2pR2g Л + 1 Jfe \
Зтуа \ 274“ ) ^Vcl \ 3 Tjw J
Получаем примерно и ~ 1.22 см/с. Внутренняя циркуляция действует
как смазка, уменьшая сопротивление и увеличивая скорость падения.
Однако в реальности капли зачастую падают как твердые из-за плотной
оболочки частиц пыли, скопившихся на поверхности.
1.14 Упрощенное решение. Обозначим радиус капли г, а ее скорость v.
Запишем сохранение массы г = Av и уравнение движения dr3v/dt =
= gr3—Bvr, предполагая число Рейнольдса малым и используя форму¬
лу Стокса для силы сопротивления. А, В — некие постоянные. Можно
4.1. Глава 1
157
исключить v, но получившееся уравнение второго порядка не такое
простое. Для упрощения предположим квазистационарность, полагая,
что силы тяжести и сопротивления почти уравновешивают друг друга,
так что v д и v « дг2/В. Подставляя эту скорость в закон со¬
хранения массы, получим dr/dt = Адг2/В. Решение этого уравнения
описывает взрывной рост радиуса и скорости капли: r(t) = г0/(1 -
— roAgt/B) nv = vo/(l — r^Agt/В)2. Это решение справедливо, пока
v д и Re = vr/v 1.
Детальное решение. Обозначим через pw,p,pv соответственно плот¬
ности жидкости, воздуха и пара. Полагаем pw > р pv. Сохранение
массы, dm = pw7rr2vdt = pw47rr2<ir, дает dr/dt = vpv/4pw. Изначаль¬
но можно полагать, что течение соответствует малому Re, что дает
следующее уравнение движения: dr3v/dt = дг3 — 9vpvr/2ро. Квази-
статическое приближение, согласно (4.16), дает v « 2gr2 p^/9vp, что
приводит к уравнению dr/dt = gr2 pv/\8vp, независимому от pw. Ре¬
шение этого уравнения описывает количественно закон взрывного ро¬
ста радиуса и скорости капли:
r(t) = Го
PvTWt\ 1
р 181/) ’
Pw 2>9г0 (л _ Ру го9^\
р 9is \ р 18v)
Это решение справедливо, noKav = Agrrpo/9iyp = 2g2r3pvpo/81if2p2 <С
<С д. Вдобавок, при r(t)v(t) ~ v происходит смена режима: тд =
= Cpnr2v2, V ОС у/г и г ос t2, V ос t.
1.15 Поскольку давление постоянно вдоль границ свободной струи, то по¬
стоянна и скорость. Отсюда следует, что асимптотические скорости
разлетающихся струй те же самые, что и налетающих. Сохранение
массы, энергии и горизонтальной компоненты импульса дают для ле¬
вых и правых струй соответственно
hi = h(l + cosOo), hr = h( 1 —cos0o)>
где h — это ширина налетающей струи. Таким образом, доля (1 —
—cos во)/2 металлического конуса инжектируется в улетающую струю.
Детонация взрывчатки реально определяет скорость сжатия, т. е. ско¬
рость U, нормальную к конусу в его системе отсчета. На поверхно¬
сти всех струй скорость равна V. В системе отсчета, движущейся со
скоростью V cos в, конус сжимается (движется перпендикулярно своей
158
Глава 4
поверхности) со скоростью V tan в = U. В этой системе отсчета куму¬
лятивная струя движется со скоростью v = V(1 + 1/ cos0) = U(1 +
+ cos в)/ sin в. Очевидно, чем меньше угол, тем больше скорость. Для
большинства зарядов U ~ 2 км/с, тогда как скорость струи доходит до
десятков километров в секунду.
Можно описать все поле скоростей в терминах комплексной скоро¬
сти v, меняющейся внутри круга, радиус которого равен скорости на
бесконечности и (см., например, главу XI в [13]). На окружности функ¬
ция тока является кусочно постоянной со скачками, равными потокам
в струях:
гр = 0 для 0 ^ в ^ 0о> 'Ф = ~hu для 0о < в ^ 7Г,
Ф = {Ы — h)u для 7г ^ в ^ 27г — #0) и т.д.
Можно выразить комплексный потенциал всюду в круге через гранич¬
ные значения, используя формулу Шварца:
Чтобы выразить скорость v как функцию пространственной коорди¬
наты z, используем v = —dw/dz, для чего продифференцируем w(v),
а затем проинтегрируем раз соотношение dz/dv = —v~1dw/dv, пола¬
гая z = 0 при v = 0:
1.16 При вращении отлична от нуля только аксиальная скорость vq. Акси¬
альная компонента уравнения Навье-Стокса в цилиндрических коор¬
динатах имеет вид
= (1 - cos $0) In (l - ^ - (1 + cos0o) In (l + ^ +
+ eI0° In (l - ^ег0°) + е~гв° In (l - ^e_I0°).
(4.18)
4.2. Глава 2
159
Мы встречали ротор этого уравнения для и = r~1drrve в задаче 1.9.
Уравнение (4.18) сохраняет угловой момент /0°° ver2dr. Оно имеет два
стационарных решения: 1) vq ос 1 /г сингулярно в нуле и соответствует
завихренности в виде дельта-функции; 2) vq ос г сингулярно на беско¬
нечности и соответствует постоянной завихренности и твердотельному
вращению. Если начальное распределение скорости жидкости таково,
что угловой момент сосредоточен в неком интервале г, вязкость приве¬
дет к расплыванию. Наличие стенки приведет к поглощению углового
момента.
4.2. Глава 2
2.1 Как мы видели в параграфе 1.2.2, элементы жидкости экспоненциаль¬
но растягиваются и сжимаются при доминировании деформации или
вращаются при доминировании завихренности. Это справедливо для
любых локально гладких течений, в том числе потоков в фазовом про¬
странстве, обсуждавшихся в начале раздела 2.2.
(i) Поскольку x(t) = х0ехр(Xt) и y(t) = yoexp(-Xt) = х0yo/x(t),
то все линии тока и траектории являются гиперболами. Отрезок, изна¬
чально находившийся под углом ip с осью х, через время Т окажется
растянутым, если cos р ^ [14-ехр(2ЛГ)]_1/2. Как видно, доля растяги¬
ваемых направлений больше половины. В частности, это означает, что
результатом многих случайных изменений взаимной ориентации осей
течения и отрезка будет его растяжение.
(И) Собственные векторы эволюционируют согласно ехр(±гШ), где
п2 = AJ2 - Л2. (4.19)
160
Глава 4
Действительно, жидкость вращается внутри областей с преобладанием
завихренности (называемых эллиптическими) и монотонно деформи¬
руется в гиперболических областях, где доминирует тензор деформа¬
ции. Маргинальным является случай сдвигового течения, изображен¬
ный на рисунке 1.6, где X = 2и и расстояния растут линейно со време¬
нем.
Если течение (жидкости в пространстве или фазового потока) явля¬
ется случайным, то каждый элемент встретит по дороге как эллипти¬
ческие, так и гиперболические области. После долгой случайной по¬
следовательности вращений и деформаций всякий элемент с подавля¬
ющей вероятностью превратится в тонкую полосу. Иными словами,
вероятность шару превратиться в растягивающийся эллипсоид со вре¬
менем стремится к единице. Причина этого в том, что рано или поздно
возникнет существенная деформация. Чтобы ее обратить, необходимо
встретить специальную ориентацию направлений растяжения и сжатия
в узких углах, задаваемых эксцентриситетом эллипсоида. Такая ориен¬
тация маловероятна. Более того, случайно ориентированные деформа¬
ции в среднем будут продолжать увеличивать эксцентриситет. После
того как длина дорастет до масштаба, на котором существенно меня¬
ется скорость (так что ее уже нельзя будет аппроксимировать линей¬
ным профилем), начнут появляться складки, при этом всякий малый
элемент такой «змеи» продолжает экспоненциально сжиматься вдоль
узких направлений и растягиваться вдоль длинных. В конечном счете
можно будет найти точки исходного шара повсюду, что означает пере¬
мешивание.
2.2 Соображения размерности. Имея три независимых размерности, см,
с и градус, из шести параметров д, (3, ©, h, v, х, можно составить три
независимых безразмерных параметра, согласно 7г-теореме из парагра¬
фа 1.4.4. Это слишком много для осмысленного анализа.
Физический здравый смысл подсказывает, что первые три параметра
могут встретиться только как произведение д(3@, что есть архимедова
сила на единицу массы (плотность не может играть роль, поскольку
нет другого параметра с размерностью массы). Теперь мы имеем че¬
тыре параметра, /?#©, h, г/, х» и Две независимых размерности, см, с,
так что можно составить два безразмерных параметра. Один из них
можно выбрать как характеризующий только свойства среды, это чис¬
ло Прандтля:
Рг = v !х-
(4.20)
4.2. Глава 2
161
Как диффузия импульса за счет вязкости, так и диффузия тепла за
счет теплопроводности обусловлены движением молекул. Тем не ме¬
нее число Прандтля различается весьма существенно для разных мате¬
риалов. Для газов х оценивается как произведение тепловой скорости
на длину свободного пробега, так же как и вязкость в параграфе 1.4.3,
так что число Прандтля порядка единицы. А вот для жидкостей Рг
меняется от 0.044 для ртути и 6.75 для воды до 7250 для глицерина.
Второй параметр можно скомбинировать многими способами, в част¬
ности используя произвольные функции от первого параметра. Можно
удовлетвориться любым выбором, который будет контрольным пара¬
метром для данной среды (для фиксированного Рг). А можно ли най¬
ти контрольный параметр, одинаковый для всех сред (для всех Рг)?
Чтобы это сделать, надо понять, соревнование каких базисных физиче¬
ских механизмов определяет явление. Понятно, что для возникновения
переноса сила Архимеда (ЗдО должна превысить силу трения vv/h2.
Может показаться, что этому требованию можно удовлетворить всегда,
взяв скорость v достаточно малой. Однако не следует забывать, что
всплывающая горячая жидкость теряет тепло из-за теплопроводности
и становится плотнее. Наша оценка силы Архимеда справедлива лишь
до тех пор, пока время всплытия h/v меньше времени теплопроводно¬
сти h2/x, что дает минимальную скорость v ~ x/h- Подставляя эту
скорость в силу трения, получим искомый безразмерный параметр как
отношение сил:
Ra =
g(3Qh3
i'X
(4.21)
Этот параметр называется числом Рэлея.
Набросок теории. Температура Т удовлетворяет линейному уравне¬
нию конвекции-диффузии:
дТ
— + (v ■ V)T = ХДТ. (4.22)
Для возмущений т = (Т — Т0)/Т0 среднего профиля T0(z) = -Qz/h
получим
дт
dt
vz@/h = хДт.
(4.23)
Скорость полагаем несжимаемой: V • v = 0. Поскольку течение са¬
мо по себе возмущение, то скорость удовлетворяет линеаризованному
162
Глава 4
уравнению Навье-Стокса с добавлением архимедовой силы:
<9v
— = —VW + v Av — /3rg, (4.24)
где W — возмущение энтальпии. Конечно, свойства конвекции за по¬
рогом зависят от обоих параметров Ra и Рг, так что ни один из них
невозможно исключить из системы уравнений. Однако если рассматри¬
вать только порог возникновения, когда dv/dt = dr/dt = 0, то можно
выбрать безразмерные переменные и = vh/x к w = Wh2/их, такие,
что получившаяся система содержит только Ra:
—uz = Дт, V ■ v = О,
Дих. (4.25)
д w . _ dw
— = А«,+тДа, ^
Решив эту систему с соответствующими граничными условиями для
собственных функций, построенных из sin(kx), cos(kx) и sinh(gz),
cosh(gz) (описывающих прямоугольные конвективные ячейки), мож¬
но получить Racr как минимальное собственное значение, см., на¬
пример, [10, §57]. Вблизи Racr неустойчивые моды соответствуют
k ~ q ~ 1/h.
Отметим различие между достаточным условием для возникновения
конвекции Ra > RaCT, сформулированном в терминах контрольного
параметра Ra, являющегося глобальным (характеризующим систему
в целом), и локальным необходимым условием (1.9), найденным в па¬
раграфе 1.1.3.
2.3 Потребуем непрерывности потоков массы, нормальной компоненты
импульса и энергии:
plWi = p2W2, Pi + Piw\ = Р2 + P2W2,
Wi + w\l 2 = /щ + wl/2) = W2 + wl/2.
plWi
Исключив W\, W2 из (4.26),
P2 P2 — P\
Wi =
Pi P2 — Pi
W 9 =
Pi P2 — Pi
P2 P2 Pi
(4.26)
(4.27)
(4.28)
и подставив в уравнение Бернулли (4.27), получим соотношение, на¬
зываемое ударной адиабатой:
Wi-W2 = \{Pi-P2){Vi + V2).
(4.29)
4.2. Глава 2
163
Для данных значений Pi, V\ перед фронтом адиабата определяет соот¬
ношение между Р2 и У2. Ударная адиабата определяется двумя пара¬
метрами Pi, V\ в отличие от обычной адиабаты Пуассона PV1 = const,
задаваемой одним параметром — значением энтропии. Разумеется, за¬
дание всех трех параметров Pi, Vi, w\ перед фронтом полностью опре¬
деляет значения за фронтом.
Подставляя W = 'уР/р(7 — 1) в (4.29), получим ударную адиабату для
политропного газа в двух эквивалентных формах:
Р2 _ (1Р\ + Pi Рг _ Pi ~ 0Р2 й 7~1 /.
Pi Pi+m' Pi P2-0Pi' 7+Г l' j
Поскольку давления положительны, отношение плотностей Р2/Р1 не
должно превышать 1/(3 (4 и 6 для моноатомного и двухатомного га¬
зов соответственно). Если задана скорость w\ перед фронтом, то без¬
размерные отношения Р2/Р1, Р2/Р1 и М2 = w2/с2 = ги2 \/Р2/1Р2
могут быть выражены через безразмерное число Маха М\ = w\/c\ =
= wiу/Pi/1 Pi путем комбинирования (4.28) и (4.30):
Р1 О , 2 = 2 + Ь-1)М\
р2 (7+I)Л4?’ Pi 7+1 ’ 2 2^М\ + 1 — 7 ’
(4.31)
Чтобы течение стало дозвуковым после фронта, М2 < 1, оно должно
быть сверхзвуковым до: A4i > 1.
Термодинамическое неравенство 7 > 1 обеспечивает регулярность
всех вышеприведенных соотношений. Энтропия определяется отно¬
шением Р/р7; конкретно: она пропорциональна log(P/p7). Исполь¬
зуя (4.31), можно показать, что s2 — s 1 ос ln(P2p7/PiP2) > 4X0 соот¬
ветствует необратимому превращению механической энергии течения
в тепло.
Более подробное изложение можно найти в главах 85 и 89 книги [10].
2.4 Простая оценка. Используем для оценки одну ударную волну, поле
скорости которой описывается формулой u = — v ta,rih(vx/2v) в систе¬
ме отсчета, где фронт неподвижен. Простое вычисление дает (и2и£) =
= 2г>5/15L, так что
е4 = 6i/[(ti2u2x) + (и2){и2х)} = 24us/5L.
164
Глава 4
Подставляя v5/L = 5б4/24 в S$ = —32vbx/L, получим
S5 = -20б4х/3 = -40 vx[{u2u2x) + (и2)(и2)\. (4.32)
Набросок теории. Можно также вывести уравнение эволюции для
структурной функции, аналогичное (2.10) и (2.34). Рассмотрим
dtS4 = —(?>/b)dxS$—2Av[(u2u\)+{u\u\x))+A&v{uiU2u\x)+&v{u\u2xx)-
Полагая расстояние х\2 в инерционном интервале, можно пренебречь
(и\и2хх) и {u\U2u\x) и положить (u2U2X) ~ (и2) (и2). Полагая
dtS4 ~ S4u/L б4 ~ и5/L,
пренебрежем левой частью уравнения и получим (4.32). В общем слу¬
чае можно получить
с _ л г _ + 1
*“>271+1 4:бпХ .
Z77, — 1
2.5 Используем уравнение движения (1.30):
ftPoV(t)u = pV(t)datv + jtpV(t)-(4.33)
Решение имеет вид
u(t) = a smut— h — (cos cut — 1)—— a . (4.34)
W p + 2p0 J p + 2poV(0)-at V '
Как видно, уменьшение объема приводит к сдвигу по фазе, увеличе¬
нию амплитуды колебаний и отрицательному дрейфу. Решение (4.34)
теряет применимость, когда и возрастает настолько, что ки ~ и.
2.6 Грубая оценка может быть получена даже в отсутствие понимания
природы явления. Поскольку эффект независим от фазы осцилляций,
т. е. от знака А, то безразмерный параметр А2 должен выражаться че¬
рез безразмерный параметр Po/pgh. Когда отношение Po/pgh мало,
оно не может влиять на порог, который в этом случае должен быть по¬
рядка единицы. Когда Po/pgh 1, порог также должен быть велик,
поскольку большое давление Ро уменьшает любой эффект осцилляций
пузырька, так что можно ожидать порог при А2 ~ Po/pgh. Простая
4.2. Глава 2
165
интерполяция служит оценкой:
А2 ~ 1 + (4.35)
pgh
Качественное объяснение эффекта основано на сжимаемости пузырь¬
ка (Bleich, 1956). Вертикальные колебания вызывают периодические
изменения силы тяжести. Когда ускорение сосуда направлено вверх,
дополнительная сила тяжести действует вниз, что обеспечивает допол¬
нительную архимедову силу, действующую вверх, и наоборот в тече¬
ние следующей половины периода. Важно, что изменения архимедо¬
вой силы не усредняются в ноль. Причина этого — колебания объ¬
ема пузырька вследствие колебаний давления столба жидкости над
ним. Объем пузырька меньше, когда сосуд ускоряется вверх, поскольку
как эффективная сила тяжести, так и давление больше в этом случае;
в результате архимедова сила меньше. Таким образом, добавка к силе
вверх в течение половины периода меньше, чем добавка к силе вниз
в течение следующей половины периода. Когда эта результирующая
сила, действующая вниз, превысит архимедову силу за счет статиче¬
ской д, пузырек будет тонуть, а не всплывать.
Теория. Рассмотрим сначала идеальную жидкость, в которой движе¬
ние пузырька не встречает сопротивления. Уравнение движения в си¬
стеме отсчета сосуда получаются из (1.30), (4.33) путем добавления
архимедовой силы и пренебрежения массой воздуха в пузырьке:
^V(t)u = V(t)G(t), G(t)=g + x. (4.36)
Здесь V(t) — зависящий от времени объем пузырька. Обозначим че¬
рез z вертикальное смещение по отношению к сосуду, так что и = z
положительна вверх. Полагаем сжатия и расширения пузырька адиаба¬
тическими, для чего частота колебаний должна превышать теплопро¬
водность к, деленную на размер а. Если вдобавок частота много мень¬
ше собственной частоты колебаний (4.12) (скорость звука, деленная на
радиус), то объем V(t) можно выразить через давление и координату
в тот же момент времени:
PV^(t) = [Ро + pG(h - z)]V^ = (Ро + pgh)Vj.
Полагая малыми изменения г и V = Vo + SV sin(wt), получим
ху _ у AP9h
°7 (Р0 + pgh)'
(4.37)
166
Глава 4
Полное изменение импульса пузырька за период получается интегри¬
рованием (4.36):
[ 7 V(t')G(t')dt'=‘^^-(l-SVA/2V0) + o(A2). (4.38)
JO Ш
Порог соответствует нулевому изменению импульса, что требует 5V =
= 2Vq/A. В соответствии с (4.37) это дает следующий ответ:
При таком значении А уравнение (4.36) имеет осциллирующее реше¬
ние z(t) ~ — (2Ад/ш2) sin(ut), справедливое при Ад/и2 <С h. Дру¬
гой способ интерпретировать формулу (4.39) — сказать, что она дает
глубину /г, где малые осцилляции возможны для данной амплитуды
вибраций А. Нетрудно сообразить, что эти осцилляции неустойчивы,
поскольку пузырек, сдвинувшийся вниз от /г, получит импульс, на¬
правленный вниз, и утонет, а пузырек, сдвинувшийся вверх, наоборот,
всплывет.
Заметим, что порог не зависит ни от частоты вибраций, ни от радиуса
пузырька (при неявно сделанном предположении а <С К). Однако для
очень маленьких пузырьков и больших частот становится несправед¬
ливым пренебрежение вязкостью, возможное лишь при большом чис¬
ле Рейнольдса для обтекания пузырька: az/v ~ аАд/ип/ 1, где v —
кинематическая вязкость жидкости. В обратном пределе можно прене¬
бречь инерцией по сравнению с вязким трением, заменив (4.36) на
Здесь мы использовали (4.17) для вязкого трения при обтекании сферы
с заменой «вода <-> воздух». Разделив на a(t) и проинтегрировав по пе¬
риоду, получим изменение скорости 1 — 5аА/а = 1 — SV A/3Vo- Другая
особенность малых пузырьков в том, что а2 к,/си, так что теплооб¬
мен является быстрым и следует использовать изотермическое уравне¬
ние состояния вместо адиабатического, т. е. положить 7 = 1 в (4.37).
В результате получается другое выражение для порога, но опять неза¬
висимое от размера:
(4.39)
47xva(t)z = V(t)G(t) = 47ra3(£)G/3.
(4.40)
Как видим, грубая оценка (4.35) годится для всех случаев.
(4.41)
4.2. Глава 2
167
2.7 Первое, что обычно приходит в голову, — ветер сносит звуки, так
что против ветра звуку приходится преодолевать расстояние, большее
в фактор l + v/с, где v — скорость ветра. Вязкая диссипация приводит
к уменьшению интенсивности q с расстоянием г по экспоненциально¬
му закону q ос ехр(—ии2г/с3). Вдобавок акустическая энергия распре¬
деляется по полусфере большего радиуса: q ос г-2. Заметим, однако,
что вблизи поверхности (где и звучат все наши крики) скорость ветра
обычно существенно меньше, чем 30 м/с, так что v/c < 0.1 и может
рассматриваться как малый параметр. Это значит, что обусловленная
этим фактором разница между интенсивностями по ветру и против
него будет порядка у/с, т. е. мала. Настоящая причина быстрого убы¬
вания интенсивности при распространении против ветра — это неодно¬
родность профиля скорости ветра вблизи поверхности. Скорость ветра
быстро возрастает при удалении от поверхности, что искривляет вол¬
новые лучи. Как показано на рисунке, рефракция приводит к тому, что
лучи у поверхности расходятся намного быстрее при распространении
против ветра, чем по ветру.
Подобным же образом направления распространения звуковых волн
искривляются из-за падения температуры с высотой в атмосфере.
Скорость звука пропорциональна квадратному корню из температу¬
ры в градусах Кельвина. При падении температуры на 6.5 градусов
на километр (см. § 1.1.3) скорость звука убывает примерно на 5 м/с.
Для звука, распространяющегося под некоторым углом к поверхности,
верхняя часть волнового фронта движется медленнее, что разворачи¬
вает поверхность вверх. Разумеется, в этом случае искривление лу¬
чей изотропно в горизонтальной плоскости. Такая рефракция создает
так называемые «зоны молчания» вокруг источников на поверхности;
подобные явления наблюдаются также в оптике, где лучи загибаются
в сторону более оптически плотной среды.
168
Глава 4
2.8 Обозначим ось симметрии z, а расстояние от нее R, так что расстоя¬
ние от начала координат — г — \JR? + z2. Можно рассматривать общее
сферическое решение (2.20) как зависящее от R, z и получить реше¬
ние, зависящее только от R, интегрируя по z от 0 до оо:
dzr 1 [/i (ct - г) + /2 (ct + г)] =
fi(ct - г) + f2(ct + г) ^ _
— R cosh и) + /2 (ct + R cosh и)] du.
(4.42)
Здесь мы использовали dz = rdr/y/r2 — R2 и r — Rcoshu. Мы видели
в параграфе 2.3.1, что плоская звуковая волна в идеальной жидкости
не меняет при распространении ни амплитуды, ни формы, у сфери¬
ческой волны форма сохраняется, а амплитуда убывает как обратный
радиус. Из (4.42) видно, что цилиндрическая волна не сохраняет ни
амплитуды, ни формы. Другое важное отличие заключается в том, что
цилиндрическая волна может иметь передний фронт, но не задний: ес¬
ли функции /1, /2 локализованы, то на больших временах имеем мед¬
ленное убывание ф ос 1 /ct в любой точке, до которой дошла волна.
Это общее различие в распространении звука в пространствах нечет¬
ной и четной размерности можно понять, перейдя в d-мерном случае
заменой t = гхд+г/с от волнового уравнения к уравнению Лапласа; за¬
писав решение соответствующего уравнения Пуассона (с источником)
через интеграл f ... dd+1xl |х — x'l1-^ обнаружим, что для четного d
особенности — это точки ветвления, а для нечетного — полюса. Живя
в четномерном пространстве, мы слышали бы совсем другую музы¬
ку, особенно ударные. Более подробное изложение двумерного случае
можно найти в параграфах 70-72 в [10] и параграфе 302 в [26].
2.9 Противоположные знаки излучаемой и получаемой частот означают,
что время течет в противоположных направлениях для излучателя и
4.3. Глава 3
169
приемника: звук, излученный позже, придет раньше. Так можно слу¬
шать музыку наоборот (ретроградно).
4.3. Глава 3
3.1 Скорость волны vg = y/gh возрастает с глубиной. Глубина же обычно
уменьшается при приближении к берегу. Если волна приходит под уг¬
лом, то части волновых фронтов на более глубоких местах движутся
быстрее, так что фронты разворачиваются к берегу (как в задаче 2.7).
3.2 Длина волнового пакета равна L = NX = 2nN/k. Пакет распростра¬
няется со скоростью Vgroup- Поплавок будет качаться в течение вре¬
мени, равного т = L/vgTOup = 27rN/kvgTOup. Для квазимонохромати-
ческого пакета с Т = 2ж/и{к) количество качаний «вверх-вниз» есть
п = т/Т = iV^phase/^group- Для гравитационных волн на глубокой
воде и = у/дк и п = 2N. Для гравитационно-капиллярных волн и =
= у/(дк + ак3/р) и
п = 2N
(дк + сгк3/р)
к(дк + Зсг/с2/р) ’
а для чисто капиллярных волн ш = у/ак3/р и п = 27V/3.
Замечание. Это чисто линейное рассмотрение (взятое из [20]). Нели¬
нейный стоксов дрейф заставит поплавок двигаться вместе с волной,
так что относительная скорость будет меньше: vgroup —► Vgroup[1 —
- (акП
3.3 Качественный анализ и простая оценка. Групповая скорость поверх¬
ностных волн зависит немонотонно от длины волны, как показано на
рисунке.
170
Глава 4
Камень эффективно возбуждает волны с длинами не меньше его раз¬
мера. Действительно, горб ширины I имеет образ Фурье, отличный
от нуля для волновых чисел, не больших 1/1. Следовательно, картина
волн зависит от соотношения между размером начального возмущения
и А*. Большие камни (размеры которых намного превышают А*) воз¬
буждают гравитационные волны, которые тем быстрее, чем длиннее.
В результате длина волны возрастает с удалением от источника, так что
последовательные круги все дальше друг от друга. Маленькие же ка¬
мешки и капли дождя возбуждают также капиллярные волны, которые
чем короче, тем быстрее, так что расстояние между кругами убывает
с ростом расстояния.
картина разбегающихся волн
гравитационные волны капиллярные волны
Нет волн, бегущих медленнее, чем и* ~ (да/p)1/4 ~ 17 см/с, поэтому
их нет внутри круга радиуса v*t\ этот круг является каустикой. Опи¬
сание каустик вообще и для волн на воде в частности можно найти
в параграфе 4.11 книги [11].
Как гравитационные, так и капиллярные волны видны на рисунке 4.2.
Для любой скорости, превышающей и*, имеются волны двух разных
длин, распространяющиеся вместе.
Набросок теории для гравитационных волн использует параграф 3.1.4
и материал параграфа 3.1.1. Возмущение может рассматриваться как
сила, локализованная как в пространстве, так и во времени. Для опи¬
4.3. Глава 3
171
Рис. 4.2. Длинные гравитационные и короткие капиллярные волны, распространя¬
ющиеся вместе. Фото: Cammeraydave, www.dreamstime.com.
сания времен, превышающих время погружения камня, и длин волн,
превышающих его размер, можно моделировать эту силу произведени¬
ем дельта-функций S(t)S(г). Добавив такую силу к уравнению движе¬
ния (3.4), получим
dv£ = d^C
dt 2
+ S(t)S(г),
что дает = г exp и
CM) = ^= J Vkdkd9еМгкг cose=
(4.43)
J0 &V^J0(fcr)exp(-zV^f) = ^3$^),
4тт2^
rOO
Ф(у)= dzz2J0(yz2)exp(-iz).
Jo
(4.44)
Здесь Jo — это функция Бесселя. Видно, что горбы разгоняются с уско¬
рением свободного падения д. Перед ведущим горбом при г > gt2
возмущение поверхности стационарно:
С(г) ос g2t~3(gt2/r)3/2 ос д~1/2г~3/2.
Позади ведущего горба при г gt2 главный вклад в (4.43) дает в = О,
г = и/{k)t = ty/g/k/2, т. е. fc = gt2/4r2, так что
C(r, t) ос sin(<J2/4r).
172
Глава 4
Радиусы горбов задаются формулой
gt2
27г(4п + 1) ’
Детали можно найти в http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~dekl2/. Общее
рассмотрение с учетом капиллярных волн и конечного размера источ¬
ника в параграфе 17.09 книги [27].
3.4 Поскольку гамильтониан является вещественным, такова и А(к)\ обо¬
значим А\,А2 соответственно симметричную и антисимметричную
части. Вдобавок В (к) = В (—к), так что можно полагать и В (к) ве¬
щественной, поглотив ее фазу в Ь(к). То же справедливо и для коэф¬
фициентов преобразования и, v, которые также можно выбрать веще¬
ственными (см. ниже). Каноничность u-v преобразования требует
и2{к) — v2(k) = 1, u(k)v(—k) = u(—k)v(k)
и подсказывает подстановку
и{к) = cosh[£(/c)], v(k) = sinh[£(/c)].
В этих терминах преобразования принимают вид
сок = А2 + Ai/cosh(2C), А\ sinh(2C) = J3[cosh2(C) + sinh2(£)].
Это дает
ujk = А2(к) + sign Ai(k)yjА2(к) - B2{k).
Если А\(к) обращается в ноль там, где В (к) ф 0, то частота является
комплексной, что описывает экспоненциальный рост амплитуд волн,
т. е. неустойчивость. Квадратичный гамильтониан может быть редуци¬
рован до формы
7^2 — J C(k)[a(k)a(—k) + a*(k)a*(—k)]dk,
описывающей возникновение пары волн из вакуума и обратный про¬
цесс их аннигиляции, см. [21, § 1.1].
3.5 Для двумерных волновых векторов к = {кх, ку} функция о;(к) опреде¬
ляет поверхность в трехмерном пространстве и),кх,ку. В изотропном
4.3. Глава 3
173
случае uj(k) определяет поверхность вращения. Рассмотрим две такие
поверхности 5 и 5ь задаваемые соответственно и (к) и u;(fci). Воз¬
можность найти такие ki,k, что o;(ki + k) = co(ki) + и (к), означает,
что вторая поверхность должна быть сдвинута вверх на и (к) и вправо
на к и что две поверхности должны пересечься.
Все три точки с координатами {и, к}, {u>i,ki} и {o;(k + ki), к + ki}
должны лежать на линии пересечения Oi А. Например, OD = к, ОВ =
= и, ВС = cji. Пересечение возможно, только если и (к) задает вы¬
пуклую поверхность. Для степенного закона, и {к) ос ка, это требует
а > 1. Для пограничного случая а = 1 только волны с коллинеарными
волновыми векторами взаимодействуют резонансным образом.
3.6 Уравнение на неподвижный солитон, аналогичное (3.32), имеет вид
В полярных координатах А = г~1дтгдг + г~2дф. Зависимость от ф
приводит к обращению амплитуды в ноль на оси: А ос г при г —> 0.
Обозначим /(г/го) = А/А0. Рассмотрев г —> оо, получим =
= и"/(2ТА2), т. е. амплитуда и размер связаны универсальным соот¬
ношением, как в одномерном случае. В терминах £ = г/г0 уравнение
принимает вид
и"АА = 2Т(А3 - AlA).
(4.45)
174
Глава 4
Форму решения нетрудно найти численно. Асимптотически / ос £ при
£ —> 0. В пределе £ —> оо полагаем / = 1 + Sf и получаем в линейном
приближении уравнение
дающее 5/ = —1/2£2. Поскольку имеется линия в пространстве, г = 0,
где \ip\2 = 0, то построенное решение описывает вихрь. При обходе
вихревой линии фаза приобретает 2тт. То, что это вихрь, следует также
из наличия вихревого тока J (и скорости):
так что циркуляция независима от расстояния до оси вихря. Кинети¬
ческая энергия уединенного вихря растет логарифмически с размером
системы или с расстоянием до другого параллельного вихря с проти¬
воположной циркуляцией: f v2 г dr ос f dr/г. Этот факт имеет много
последствий в разных областях физики, особенно в двух измерениях
(например, фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулеса, от¬
вечающий спариванию вихрей).
3.7 Качественный ответ. Вообще говоря, чтобы проинтегрировать систе¬
му 2п уравнений первого порядка, необходимо знание 2п интегралов
движения. Однако для гамильтоновой системы теорема Лиувилля га¬
рантирует, что достаточно п независимых интегралов движения, что¬
бы система была интегрируема, т. е. эквивалентна п осцилляторам. Для
трех мод число степеней свободы в точности равно числу независимых
интегралов движения: гамильтониан Н, волновое действие (полное
число волн) Р = \аш\2 и импульс М = ^га|ат|2. Это значит, что
система уравнений движения является интегрируемой: в шестимерном
пространстве a0, ai, a_i все траектории лежат на трехмерных торах.
Количественное решение. Используя интегралы движения, можно
свести полную систему,
(4.46)
г-^- —T(|ao|2 + 2|ai|2 -f- 2|a_i|2)ao + 2Taia_iaQ, (4.47)
=Pai + T(\ai\2 + 21 o,q 12 + 2|a_i|2)ai + Та^ад, (4.48)
i ^ 1 =/?a_i + T(|a_i |2 + 21a-o|2 + 2|ai |2)ag + Ta*ag, (4.49)
4.3. Глава 3
175
к рассмотрению одной степени свободы. Рассмотрим для простоты
М = 0 и положим ао = Аоехр(г0о), «1 = Aiexp(z#i) и а_i =
= Aiexp(i9-i), где А0,90, Ai,9i,9-i вещественны. Введя 9 = 290 —
- 9\ —9-1, запишем систему в следующем виде:
^ = - 2^ = -2TA0Ajsine, (4.50)
at at
^ =2/3 + 2T{Al - А\) + 2Г(Лд - 2А\) cos 6». (4.51)
Эта система сохраняет гамильтониан Н = 2(ЗА\ + TAq/2 + ЗТА\ +
+ ATAqA\ + 2TA\Aq cos в и Р = Aq + 2A\. Обозначив В = А2, можно
записать Н = {2(3 + ТР/2)В + ТВ(Р - 2В){2 cos9 + 3/2) и
^=2ТВ(Р-2В)зтв = (4.52)
АП fyyj
— =2(3 + 2Т(Р - ЗВ) + 2Т(Р - 4В) cos9 = (4.53)
Выразив 9 через Н, В и подставив в (4.52), можно выразить решение
через эллиптический интеграл. Качественную природу эволюции мож¬
но понять, изобразив изолинии постоянного W в координатах В, cos 9.
Движение происходит вдоль этих линий. Фазовое пространство огра¬
ничено двумя прямыми линиями: В = 0 (соответствующей 7i = 0)
и В = Р/2 (соответствующей А0 = 0 и Н = (ЗР + ТР2/4). Поучи¬
тельно, в частности, сравнить фазовые портреты при наличии и отсут¬
ствии модуляционной неустойчивости. Так же, как и в параграфе 3.3.2,
можно рассмотреть |ао| |ai|,|a_i| и |ао|2 ~ Р, линеаризовать
(4.48), (4.49) и для ai,a_i ос ехр(гШ — iTPt) получить Q2 = (3((3 +
+ 2ТР) в согласии с (3.29). Случай Q2 = (3((3 + 2ТР) < 0 соот¬
ветствует неустойчивости; при этом в фазовом портрете (4.52), (4.53)
существуют две стационарные точки В = 0, cos0o = — 1 — (3/ТР,
являющиеся седлами, соединенными сепаратрисами. Даже если траек¬
тория стартует сколь угодно близко кБ = 0, сепаратриса заставляет ее
отклониться до конечных В, как видно из правой части рисунка 4.3.
Для гамильтоновых интегрируемых систем сепаратриса ведет из одной
стационарной точки в другую; иными словами, сепаратриса является
неустойчивым многообразием для одной точки равновесия и устойчи¬
вым для другой. Если система подвергается малому возмущению (на-
176
Глава 4
В
В
Р/ 2
в
в
— 7Г
7Г ТГ —00 #0
7Г
Рис. 4.3. Схема траекторий в фазовом пространстве для больших положительных f3
(слева, устойчивый случай) и —2ТР < /3 < 0 (справа, неустойчивый случай).
пример, накачке и затуханию), нарушающему гамильтоновость и ин¬
тегрируемость, устойчивое многообразие одной точки, вообще гово¬
ря, перестает совпадать с неустойчивым многообразием другой точки.
Взамен эти два многообразия пересекаются бесконечное количество
раз — это расщепление сепаратрисы отвечает за возникновение стоха¬
стического (странного) аттрактора.
3.8 Как и в любой ударной волне, масса и импульс сохраняются, а меха¬
ническая энергия — нет.
Постоянство потока массы дает u\h\ = Поток импульса (1.15)
включает давление, которое следует проинтегрировать по вертикаль¬
ной координате. Для однородного течения переменная часть давления
является гидростатической, P(z) = pg(h — z), а поток импульса равен
Постоянство потока импульса дает gti{ + 2h\u\ = gh\ + Под¬
ставив сюда U2 = U\h\/h2, найдем gh\ — gh\ = g{h\ — h2){h\ + /12) =
= 2u\h\/h2 — 2h\u\ = 2u\hi(hi - /i2)//i2- Это дает высоту после
скачка:
Это, в сущности, первое из соотношений ударной адиабаты (4.31), взя¬
тое при 7 = 2, М\ = 1 + 6.
4.3. Глава 3
177
Поток механической энергии равен
rh 1
\p(z) + ри2/2 + pgz udz = pguh2 + phu3 /2.
/
Здесь первое слагаемое есть работа давления, второе есть поток кине¬
тической энергии, а третье — поток потенциальной энергии. Разница
в потоках энергии до и после скачка есть темп диссипации энергии:
pgu\h2 + phiu\/2 - pgu2h\ - ph2ul/2 =
= pgu\h\(hi — h2) +
+ ^-[2h2ul + g(h% - hf)} - ^[2hxu\ + g{h\ - hj)} =
— P9uihi(hi — h2) + ——^2 — ^i) =
= pguy(h2 - hxf/Ah2 « 2e3pu\/27g. (4.54)
Стоит понаблюдать в кухонной раковине, насколько сложным и турбу¬
лентным является гидродинамический скачок. Замечательно, что зако¬
ны сохранения массы и импульса приводят к тому, что его диссипация
полностью определяется ламинарным течением перед фронтом.
Сравнивая (4.54) с непрерывностью потока энергии (4.27) в газодина¬
мической ударной волне из задачи 2.3, отметим, что для газа мы рас¬
сматривали полную энергию, которая, разумеется, сохраняется. Другое
отличие в том, что для мелкой воды давление определяется только вы¬
сотой (аналог плотности), так что два закона сохранения достаточны
в этом случае для определения скорости и высоты после скачка.
3.9 Для бегущей волны вида и(х — vt) уравнение
tit + UUX "Ь P'U'xxx Р'У'ХХ — ^
принимает форму
—vu + и2 / 2 + /3 ихх — рих = const.
Проинтегрируем его, используя граничные условия, и введем т =
= Хл/v/P и q(r) = u/v:
q = -2\q + q-q2/2, 2 \ = g/^fj3v. (4.55)
Это уравнение Ньютона для частицы в потенциале U = q3/6 - q2/2
под действием силы трения (полагаем /3 > 0). Начальное условие в да¬
леком прошлом есть q(—оо) = q{—оо) = q(—oo) = 0, так что частица
178
Глава 4
имеет нулевую энергию Е = qj2 + q3/6 — q2/2. Полагаем q ^ 0, по¬
скольку отрицательное q уходит на минус бесконечность, q(оо) = —оо,
что дает нефизическое и. Трение в конце концов приведет частицу
в минимум потенциала: q —> 2 при т —► оо. Вблизи минимума можно
использовать гармоническое приближение,
g~-2Ag-(g-2),
(4.56)
которое дает закон затухания: q — 2 ос exp(ri) с гi = —А ± л/А2 — 1.
Как видно, при А ^ 1 затухание монотонно, тогда как при Л < 1 сопро¬
вождается осцилляциями. Для Л < 1 начальная эволюция описывается
солитонным решением без трения,
Ч =
ch2[(t -10)/2]'
которое поднимает частицу почти до q « 3, после чего она возвраща¬
ется почти к q « 0 и затем приближается к минимуму, осциллируя.
Напротив, для сильного трения, Л < 1, частица движется к минимуму
монотонно и решение близко к ударной волне Бюргерса. Ясно, что су¬
ществует интервал значений Л > 1, для которого решение (называемое
бесстолкновительной ударной волной) имеет конечное число осцилля¬
ций. Интересно также то, начиная с какого А осцилляции отсутствуют.
Заметим, что добавление малой дисперсии не приводит к существен¬
ному изменению формы ударной волны, тогда как даже малая дисси¬
пация превращает солитон в бесстолкновительную ударную волну, т. е.
полностью меняет всю асимптотику при х —> — оо; причина в том, что
сколь угодно малое трение нарушает симметрию обращения времени.
2v
х
4.3. Глава 3
179
ЗЛО Простая оценка. Воспользуемся сначала вириальной теоремой, чтобы
оценить дисперсионное соотношение при v = 0, следуя (3.1), (3.2).
Обе жидкости вовлечены в движение, так что кинетическая энергия на
единицу площади может быть оценена как (pi + р2)со2а2Х, где а есть
возвышение поверхности. При возвышении гравитационная потенци¬
альная энергия возрастает для нижней жидкости и уменьшается для
верхней, так что результирующее изменение на единицу площади есть
(р2 — Pi) 9а2. Потенциальная энергия поверхностного натяжения та же
самая: а(а/\)2. В результате вириальная теорема обобщает (3.2) до
(рх + pi)u2 ^ (р2 ~ Pi)<A-1 + «А-3- (4.57)
Полное решение. Нужно объединить подходы разделов 2.1 и 3.1. Вве¬
дем потенциалы скоростей ф\ и ф2 по обе стороны поверхности. Соот¬
ветствующие значения давлений найдем в линейном приближении по
потенциалам ф\,фъ и возвышению
Рх = Рх
Э01 дфг
9С+~дГ+У~д:X
Р2 = Р2 (дС, +
д<р2\
at)'
(4.58)
Разность давлений уравновешивается поверхностным натяжением, как
в (3.11):
Р2 зС +
дф2
dt
- Рх
,, ^1 , дфх \ д2С
°(+-dr+v-te)=aaXri- <4'59)
Выразим потенциалы ф\, 02 через возвышение С, используя кинемати¬
ческие граничные условия:
дф2 = дС <901 = д(_
dz dt ’ dz dt V dx
(4.60)
Для C(x,t) oc exp(ikx — iflt) получим из (4.59) и 4.60 дисперсионное
соотношение
fl2 - 2—^—vkSl + Pl v2k2 - elk2 = 0,
Pi + P2 Pl + P2
c2 = P2 ~ Pi 9 ak
0 Pi + P2 к Pi + P2
(4.61)
(4.62)
Здесь к > 0, а со есть фазовая скорость гравитационно-капиллярных
волн при v = 0. В этом случае при pi > р2 фазовая скорость
180
Глава 4
и частота являются чисто мнимыми для достаточно длинных волн
с к2 < (pi — р2)д/о.. Это соответствует так называемой неустойчи¬
вости Рэлея-Тэйлора, которая отвечает, в частности, за выливание
воды из перевернутого стакана. Обращенная сила тяжести вызывает
неустойчивость, а поверхностное натяжение стабилизирует ее.
Рассмотрим теперь легкую жидкость над тяжелой, р\ < р2, что есть
устойчивая конфигурация при v = 0, поскольку Со > 0. Для доста¬
точно большой v имеем неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, когда
можно найти такой к, что детерминант квадратного уравнения (4.61)
отрицателен:
v2 > .^1 + minCq(/c) = Pl + Р2 у/Цр2 ~ Pi)got. (4.63)
Р1Р2 к Р1Р2
Так же как и в критерии Ландау генерации возмущений в сверхтеку¬
чей жидкости, поверхностные волны возбуждаются, если скорость те¬
чения превышает минимальную фазовую скорость волн. В этом случае
как сила тяжести, так и сила поверхностного натяжения необходимы
для обеспечения ненулевой минимальной скорости; иными словами,
их взаимодействие обеспечивает устойчивость течения при малых ско¬
ростях. Применение (4.63) к ветру над водой, где р\/Р2 — Ю-3, дает
порог vth ~ 30(4да/р2)1/Ч ^ 7 м/с. Это нереалистично высокое значе¬
ние. Подув на чашку чая, легко заметить, что волны возбуждаются при
много меньших скоростях воздуха. Реалистическая теория генерации
волн ветром не только требует учета вязкости, но также того обстоя¬
тельства, что ветер практически всегда турбулентный; учет взаимодей¬
ствия волн на воде с вихрями в воздухе — нетривиальная задача.
Эпилог
Можно надеяться, что к этому моменту читатель освоил основы гидро¬
динамики и механизмы взаимодействия нелинейности, диссипации и дис¬
персии. Куда двигаться дальше? В этой книге описано только несколько
главных типов течения. За рамками остались целые классы физических яв¬
лений. Гидродинамику невозможно втиснуть в одну историю с несколькими
легко запоминающимися героями. Приведем здесь краткий путеводитель по
дальнейшему чтению, другие ссылки — в примечаниях.
Сравнимый элементарный учебник (только в два раза толще) — книга
Ачесона [1]; в ней можно найти альтернативные объяснения и дополни¬
тельный материал к главам 1 и 2. Дальнейшее чтение после главы 3 —
неустаревающая книга Лайтхилла [11]. Для глубокого и всестороннего изу¬
чения гидродинамики как области теоретической физики трудно найти что-
либо лучше, чем другая неувядаемая классика — шестой том курса Ландау
и Лифшица [10]. Помимо более детального рассмотрения обсуждавшихся
здесь явлений, там можно найти описание различных классов течений, де¬
тальное обсуждение теорий пограничного слоя, диффузии и теплопровод¬
ности, релятивистскую и сверхтекучую гидродинамику и многое другое.
Как физику и инженеру, так и математику недостаточно только читать, сле¬
дует пользоваться всяким случаем, чтобы наблюдать течения — они столь
же прекрасны, сколь и поучительны для выработки интуиции. Как картин¬
ки, так и видео можно найти в [9,19] и http://www.efluids.com/. И последнее
по порядку, но не по важности: внутренняя красота мира течений откры¬
вается также путем созерцания окружающего мира и постановки простых
экспериментов в кухонной раковине, ванне, бассейне. Механика жидкости
и газа предоставляет естествоиспытателю, возможно, последний шанс со¬
вершать фундаментальные открытия без использования сложных и дорогих
аппаратов.
Узнав, что гидродинамика может сделать для вас, некоторые могут по¬
желать узнать, что вы можете сделать для гидродинамики. Упомянем крат¬
ко несколько направлений развития этой области науки и техники. Зна¬
чительные усилия посвящаются аналитическому и численному изучению
182
Эпилог
фундаментальных свойств базисных уравнений, в частности существова¬
нию и единственности решений. Например, до сих пор не разрешен вопрос
о возможности превращения за конечное время гладкого несжимаемого те¬
чения в сингулярное. Подобные вопросы не являются схоластическими или
чисто математическими, ответы на них определяют важные физические
свойства, например вероятности сильных флуктуаций в турбулентных те¬
чениях. С одной стороны, турбулентность представляет собой парадигму
для изучения состояний, предельно далеких от теплового равновесия, где
мы надеемся открыть общие законы поведения неравновесных систем (дру¬
гой парадигмой являются живые существа). С другой стороны, турбулент¬
ность встречается так часто и играет такую важную роль в природе и ин¬
дустрии, что требуется детальное знание многих весьма специфических
ее свойств. Вследствие этого экспериментальное и теоретическое изучение
турбулентности направлено как в сторону более глубокого понимания, так
и в сторону расширения области приложений в астрофизике, геофизике,
медицине, технике см., например, [4,8,21]. В другом пределе очень вязкие
течения бывают, как мы видели, весьма нетривиальными; нужды биологии,
медицины и техники привели к взрывному развитию микрогидродинами¬
ки, открытию новых фундаментальных явлений и созданию уникальных
устройств. Несмотря на естественное тяготение теоретиков к предельным
случаям (больших и малых Re, Fr, Л4), экспериментаторы, наблюдатели
и инженеры продолжают открывать замечательные явления во всех интер¬
валах контрольных параметров.
Область квантовых жидкостей продолжает расширяться, включая
сверхтекучие жидкости, ультра холодные газы, сверхпроводники и другие
системы. Квантование завихренности плюс фактор беспорядка добавляют¬
ся к взаимодействию нелинейности, диссипации и дисперсии. Многие яв¬
ления в физике плазмы также относятся к гидродинамике. Квантовые си¬
стемы и плазма часто могут быть описаны в терминах двухжидкостной
гидродинамики (нормальная и сверхтекучая, электронная и ионная компо¬
ненты), что приводит к большому разнообразию явлений.
Другая бурно развивающаяся область — изучение течения жидкостей
сложной структуры. Важный пример — жидкость, содержащая длинные по¬
лимерные молекулы, которые способны поддерживать упругие напряжения,
обладающие конечным временем релаксации, т. е. памятью. Эта упругая
память обеспечивает свою собственную инерцию (и нелинейность), зада¬
ваемую новым безразмерным контрольным параметром — числом Вайсен-
берга, которое есть произведение градиента скорости на время релаксации
Эпилог
183
полимера. При увеличении этого параметра течения с изгибом линий тока
теряют устойчивость при сколь угодно низких числах Рейнольдса. Развитие
таких неустойчивостей приводит к так называемой эластической турбулент¬
ности [17]. Другой пример — двухфазные течения, встречающиеся повсюду,
от облаков до двигателей внутреннего сгорания. Для них интересные яв¬
ления обусловлены относительной инерцией двух фаз и результирующим
крайне неоднородным распределением капель, частиц или пузырьков в те¬
чении.
Возвращаясь к основам, отметим, что мы до сих пор толком не пони¬
маем, как плавают рыбы и микроорганизмы и как летают птицы и насеко¬
мые, так что исследования в этой области непременно приведут к новым
фундаментальным открытиям и инженерным идеям.
Примечания
Глава 1
1 Все реальные тела, полагаемые обычно твердыми, содержат дислокации и, сле¬
довательно, текут под воздействием сколь угодно малой деформации. Будет ли
течь идеальный кристалл под действием инфинитезимальной деформации — во¬
прос деликатный, который является предметом продолжающихся исследований.
2 Плыть по течению интереснее, чем стоять на берегу. Гидродинамика относит¬
ся к занятиям (как спорт и др.), которым лучше предаваться самому (лагран-
жевым способом), чем смотреть, как это делают другие (эйлеровым), согласно
Ж.-Ф. Пинтону.
3 Температура убывает с высотой только в тропосфере, достигая —50° на высоте
10-12 км. Далее температура не меняется примерно до 35 км, так что давление
падает экспоненциально. Еще выше, в стратосфере, температура растет пример¬
но до 0° на 50 км.
4 Конвекция воздуха, возбуждаемая человеческим телом при комнатной темпера¬
туре, всегда турбулентна, см. видео в [9, гл. 605].
5 Подробнее устойчивость вращающихся жидкостей обсуждается в [1, гл. 9.4],
и [5, гл. 66].
6 Уравнение Лапласа было впервые выведено Эйлером как раз для потенциала
скорости.
7 Конформные преобразования растягивают равномерно во всех направлениях
в каждой точке, но степень растяжения, вообще говоря, разная в разных точ¬
ках. В результате конформные отображения сохраняют углы, но не расстояния.
Эти свойства впервые нашли приложение в морской картографии (Меркатор,
1569) задолго до создания комплексного анализа. И правда, чтобы открыть но¬
вый континент, направление знать обязательно, а расстояние до цели так даже
и нежелательно.
8 Дифференциальный оператор второго порядка называется эллиптиче¬
ским, если все а* одного знака, гиперболическим — если знаки разные и пара¬
болическим — если по крайней мере один из коэффициентов равен нулю. Эти
названия обязаны своим происхождением тому, что вещественная квадратичная
кривая ах2 + 2Ьху 4- су2 = 0 является гиперболой, эллипсом или параболой
186
Примечания для с. 27-51
в зависимости от того, является ли величина ас — Ь2 отрицательной, положи¬
тельной или равной нулю. У гиперболических уравнений существуют характе¬
ристики, на которых решение постоянно; при пересечении характеристик осо¬
бенности могут возникнуть внутри области. Решения эллиптических уравнений
гладкие, их стационарные точки — седла, а не максимумы и минимумы; см.
также параграфы 2.3.2 и 2.3.5.
9 Детальное обсуждение минимумов и максимумов потенциальных течений мож¬
но найти в [3, с. 385].
10 Рассмотрение в [10, § 11] не вполне удовлетворительно тем, что не отличает
импульс от квазиимпульса.
11 То, что можно пользоваться сохранением импульса внутри вытянутого цилиндра
вокруг тела, следует из рассмотрения потока импульса через поверхность. Вклад
давления 7г J^\p{L,r)—p{—L^r)]dr2 = 7Гр f™[<j)(—L,r)—<j)(L,r)]dr2 = тгрй[1 —
— (1—7Z/L)~1^2] исчезает в пределе L/7Z —► оо. Вклад давления, вообще говоря,
не исчезает для поверхностей другой формы; см. главу 7.1 в книге [15].
12 Заметим, что гамильтониан для частиц жидкости, вообще говоря, зависим от
времени.
13 Обсуждение присоединенной массы и квазиимпульса можно найти в [12] и гла¬
вах 2.4-2.6 в [15].
14 Идея, что количество движения, передаваемое жидкости телом, требует силы
сопротивления, пропорциональной квадрату скорости, восходит к Ньютону.
15 Иногда и общее утверждение об отсутствии сопротивления при стационарном
движении называется парадоксом Даламбера, хотя им это было установлено
только для тел с симметрией между передней и задней частями по отношению
к направлению движения.
16 Это прилипание можно видеть на видео в [9, п. 605]. Условие прилипания яв¬
ляется полезной идеализацией во многих, но не всех случаях. В зависимости от
формы поверхности и от структуры жидкости и твердого тела может иметь ме¬
сто проскальзывание, меняющее картину течения и уменьшающее сопротивле¬
ние. Возникающие при этом явления, а также экспериментальные и численные
методы их изучения описаны в главе 19 книги [18].
17 Валдайская возвышенность порядка 300 метров, а длина Волги порядка 3000 ки¬
лометров, что дает оценку снизу для среднего угла наклона как 10-4.
18 Изображения жидких струй при разных числах Рейнольдса можно найти в гла¬
ве 199 в [9].
19 Видео движения при малых Re можно найти в главе 237 в [9], см. также [22].
20 Фотографии отрыва пограничного слоя можно найти в [19], а видео — в [9,
части 638-675].
21 Другой пример вторичного течения, возникающего из-за несогласования дав¬
ления и скорости основного течения, представляет поток, собирающий чаинки
в центре стакана при помешивании чая; см., например, главу 7.13 в [6].
Примечания для с. 53-70
187
22 Более детальное описание струй можно найти в главах 11, 12, 21 книги
D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics (Oxford Science Publications, 1988).
23 Генерацию вихрей и ее эффекты можно увидеть на видео, приведенных в гла¬
вах 210, 216, 722, 725 в [9].
24 Элементарное описание и простую аналитическую модель вихревой дорожки
Кармана можно найти в параграфе 5.7 книги [1], включая забавную историю,
рассказанную фон Карманом об аспиранте Прандтля, который тщетно полиро¬
вал обтекаемый цилиндр, чтобы прекратить осцилляции течения. Вихревая до¬
рожка Кармана также отвечает за многие акустические явления, такие как рев
пропеллера или шум ветра в ветвях деревьев.
25 Ни слова, ни рисунки 1.15, 1.16 не передают всю полноту и сложность пе¬
рестройки потока с ростом числа Рейнольдса; более полный набор фото¬
графий можно найти в [19] и видео в [9, гл. 196, 216, 659]; см. также
http://www.efluids.com/.
26 Можно проверить, что при Re < 105 палка, опущенная в текущую воду, испыты¬
вает меньшую силу, чем при движении сквозь неподвижную жидкость. Причина
этого в том, что текущая вода обычно турбулентна еще до встречи с объектом,
так что погранслой также турбулентный. Поколения ученых, начиная с Леонар¬
до да Винчи, верили, что сила должна быть одинаковой вследствие галилеевской
инвариантности, не позволяя реальности нарушить чистоту рассуждения. Разу¬
меется, галилеевская инвариантность применима к бесконечным однородным
течениям, а не к реальным потокам.
27 Можно обобщить метод конформного потенциала из параграфа 1.2.4 для описа¬
ния течений с циркуляцией, что требует использования логарифмических чле¬
нов. Детальное, но все же компактное изложение можно найти в параграфе 6.5
книги [3].
28 Ньютон полагал, что траектория вращающегося шара искривляется, потому что
сторона, движущаяся быстрее, испытывает большее сопротивление. Поскольку
он полагал силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости, т. е. дав¬
лению, это дает ту же оценку (1.55) для силы Магнуса.
29 Любопытно сравнить идеальную жидкость и сверхпроводник с точки зрения за¬
вихренности, проникающей в объем и делающей жизнь интересной. Одна оче¬
видная разница в том, что завихренность непрерывна в классической и кванто¬
вана в квантовых жидкостях.
30 Дополнительный материал об обтекании тел и силах можно найти в парагра¬
фе 6.4 книги [3] и параграфе 38 книги [10].
Глава 2
1 Описание различных неустойчивостей можно найти в [5] и в главах 8 в [6,16].
2 Анализ устойчивости плоских сдвиговых течений и течений в трубах можно
найти в [10, §28] и в [1, §9].
188
Примечания для с. 74-95
3 Краткое введение в теорию динамического хаоса можно найти в [10, §§30-32],
подробное изложение в Е. Ott, Chaos in dynamical systems (Cambridge Univ. Press,
1992). См. также задачу 3.7.
4 Вязкий масштаб превышает молекулярную длину свободного пробега при усло¬
вии Sv(L) <С с.
5 Краткое изложение феноменологии турбулентности можно найти в главе 7 кни¬
ги [16]. Детальное обсуждение каскада и ссылки для дальнейшего изучения см.
в [4,8].
6 Хотя динамическое лагранжево описание индивидуальных траекторий непри¬
менимо к турбулентности при Re —> оо, статистическое описание возможно
и может быть найдено в [4,7].
7 Предполагается эргодичность, т. е. что средние по времени эквивалентны про¬
странственным средним.
8 Детальный вывод соотношения Кармана-Ховарда и колмогоровского закона 4/5
можно найти в [10, § 34] или в [8, § 6.2].
9 Мы также научились связывать нарушение масштабной инвариантности со ста¬
тистическими законами сохранения движения частиц, качественно для поля ско¬
рости и количественно для пассивных полей, переносимых случайными течени¬
ями, см. [7]. Например, для двух частиц жидкости с координатами Ri(£), R,2(£)
и скоростями v 1 (£), V2(t) величина (|vi — V2|2|Ri — R2|-<*2) не меняется
при t —► оо.
10 Статистика флуктуаций границы турбулентного следа недостаточно исследова¬
на, см. А. Монин и А. Яглом, Статистическая гидромеханика, т. 1. § 5.8.
11 Спокойный разговор в большинстве стран соответствует 50-60 dB, концерт рок-
музыки — порядка 100 dB.
12 Импульс и квазиимпульс фонона обсуждаются §4.2 книги [14]. Распростране¬
ние потенциальных волн в жидкостях и газах всегда сопровождается стоксовым
дрейфом вещества, квадратичным по амплитуде волны.
13 Более детальный вывод скорости волны Римана можно найти в [10, § 101].
14 Уравнение Бюргерса также описывает отклонения от прямой полимеров и дру¬
гих линейных эластичных объектов, при этом t является координатой вдоль по¬
лимера.
15 Несмотря на то что уравнение Бюргерса сводится к линейному, т. е. интегрируе¬
мо, оно не имеет других интегралов движения, кроме импульса. Два других рас¬
сматриваемых здесь одномерных интегрируемых уравнения, Кортевега-де Фриза
и нелинейного уравнения Шрёдингера, имеют бесконечное количество интегра¬
лов движения.
16 Об использовании эффекта Доплера можно прочитать в [18].
17 Наше изложение обтекания тела сжимаемым газом следует параграфу 3.7 кни¬
ги [1], более подробное изложение сверхзвуковой аэродинамики можно найти
в главе 6 книги [16].
Примечания для с. 101-118
189
18 Проходя через фронт ударной волны, потенциальное течение, вообще говоря,
приобретает завихренность, за исключением того случая, когда все линии тока
пересекают фронт под тем же углом, что имеет место в линейном приближении,
см. [10, §§112-114].
Глава 3
1 То, что мы часто наблюдаем периодические волны на поверхности воды и редко
слышим чистую ноту, очевидно, связано с наличием дисперсии скорости волн
в первом случае и отсутствием во втором.
2 Вычисление малого темпа вязкого затухания гравитационных волн через тензор
вязких напряжений, вычисленный на невязком решении, можно найти в [10,
§25].
3 Детали проделанного Стоксом вычисления темпа вязкого затухания гравитаци¬
онных волн на поверхности жидкости можно найти в § 3.5 книги [11].
4 Плотность воздуха была впервые измерена Галилеем. Это позволило ему связать
с атмосферным давлением известный с античности факт практической невоз¬
можности поднять воду поршнем более чем на 10 метров. Его ученики Торри¬
челли и Вивиани проверили эту идею с более тяжелой ртутью, создав первый
барометр (в 1643 г.).
5 Для лучшего понимания стоячей волны в потоке и вообще стоит прочитать гла¬
ву 3.9 книги [11], которая также содержит стихотворение Роберта Фроста с ред¬
ким сочетанием правильной физики и содержательной метафизики.
6 Движущееся тело наиболее эффективно возбуждает волны с длиной порядка
своего размера L. Эти волны бегут со скоростью U(L) ~ у/Ьд и создают мак¬
симум, видный на рисунке 3.4 как внутренний клин, аналогичный конусу Маха
с углом (f = arcsin(£//V0, уменьшающимся с V. В этом случае U играет роль
скорости звука, а число Фруда Fr = U/V — роль числа Маха. В старых руковод¬
ствах скорость у/Ьд указывалась как предельная, поскольку при приближении
к ней сильно возрастает волновое сопротивление (подобно звуковому барьеру)
из-за конструктивной интерференции волн от носа и кормы, так что парусные
гоночные яхты старались делать подлиннее. Двигатели позволяют скоростным
катерам превзойти эту скорость, что сопровождается сменой режима на так на¬
зываемое планирование (судно так сильно толкает воду вниз, что подъемная
сила реакции задирает нос).
7 Подробнее о кельвиновской картине волн можно прочитать в § 3.10, а о каусти¬
ках в §4.11 книги [11]. Групповая скорость не меняется вдоль каустики, так что
описание структуры волны требует разложения и (к) до следующего ненулевого
члена, каким обычно является кубический. При этом интеграл Эйри играет ту
же роль, что играл интеграл Гаусса (3.15) вдали от каустик.
190
Примечания для с. 132-141
8 Процедура исключения нерезонансных членов является частью теории Пуан¬
каре, описывающей нормальные формы гамильтонианов вблизи стационарных
точек и замкнутых траекторий, см. [2,21].
9 Более подробное описание обратного каскада можно найти в [4,21].
10 Отрицательную температуру можно увидеть уже в простейшем случае двух мод:
для фиксированных Е = u)\N\ + UJ2N2 и N = N\ + N2 энтропия S = InN\ +
+ln N2 ос \n{E—u\N) 4- \n(u2N — E) дает температуру T-1 = dS/dE ос (u>i +
+uj2)N — 2E, которая отрицательна при достаточно большом Е. Для конденсата
lui = 0, так что Т < 0, когда 2Е = 2UJ2N2 > U2N, т. е. меньше, чем полови¬
на, частиц принадлежат конденсату. Эти идеи восходят к Онсагеру, рассмат¬
ривавшему двумерные несжимаемые течения в конечных областях, где состоя¬
ния с отрицательной температурой соответствуют собиранию маленьких вихрей
в большие.
11 Обратные каскады и долгоживущие крупномасштабные течения существуют
также во вращающихся жидкостях и замагниченной плазме.
12 Фото гидравлического скачка, вызванного приливом, можно найти в [19].
13 Простое обсуждение гидравлического скачка можно найти в книгах [1, §3.9],
[11, §2.12] и [6, §2.16].
14 Детали можно найти в книге Ablowitz, М. and Segur, Н. Solitons and the inverse
scattering transform.
Литература
[1] Acheson D. J. 1990. Elementary fluid Dynamics (Clarendon Press, Oxford).
[2] Арнольд В. И. Математические методы классической механики (На¬
ука, 1974).
[3] Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости (Регулярная и хаотичес¬
кая динамика, 2004).
[4] Cardy J., Falkovich G. and Gawedzki К. 2008. Non-equilibrium Statistical
Mechanics and Turbulence (Cambridge Univ. Press).
[5] Chandrasekhar S. 1961. Hydrodynamic and hydromagnetic stability
(Dover, NY).
[6] Faber T. E. 1995. Fluid Dynamics for Physicists (Cambridge Univ. Press).
[7] Falkovich G., Gawedzki K. and Vergassola M. 2001. Particles and fields in
fluid turbulence, Rev. Mod. Phys., 73, 913-975.
[8] Фриш У. Турбулентность. Наследие Л. H. Колмогорова (Фазис, 1998).
[9] Homsy G. М. et al. 2007. Multimedia Fluid Mechanics (Cambridge Univ.
Press).
[10] Ландау Л. и Лифшиц E. Гидродинамика. (Наука, 1986).
[11] Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях (Мир, 1981).
[12] Lighthill J. 1986. Informal Introduction to Fluid Mechanics (Cambridge
Univ. Press).
[13] Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика (Мир, 1964).
[14] Пайерлс Р. Сюрпризы в теоретической физике (Наука, 1988).
[15] Peierls R. 1987 More surprises in theoretical physics (Princeton Univ.
Press).
[16] Эртель Г. Путеводитель Прандтля по гидродинамике (Регулярная
и хаотическая динамика, 2007).
[17] Steinberg V. 2008. Turbulence: Elastic, Scholarpedia 3(8), 5476,
http://www.sch0larpedia.0rg/article/Turbulence:_elastic.
[18] Tropea C., Yarin A. and Foss J. eds. 2007. Springer Handbook of
Experimental Fluid Mechanics (Springer, Berlin).
192
Литература
[19] Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. (Мир, 1986).
[20] Векштейн Г. Е. Физика сплошных сред в задачах (Институп компью¬
терных исследований, 2002).
[21] Zakharov V., Lvov V. and Falkovich G. 1992. Kolmogorov spectra of
turbulence (Springer, Berlin).
[22] Childress S. 1981. Mechanics of Swimming and Flying (Cambridge:
Cambridge University Press).
[23] Purcell E. M. 1977. Life at low Reynolds number, Am. J. Phys., 45, 3-11.
[24] Wilczek F. and Shapere A. 1989. Geometry of self-propulsion at low
Reynolds number, J. Fluid Mech., 198, 557-585.
[25] Anderson B. D. 2008. The physics of sailing, Physics Today, February, 38-
43.
[26] Лэмб Г. Гидродинамика (ГИТТЛ, 1947).
[27] Джеффриз Г. и Свирлс Б. Методы математической физики (Мир, 1969).
Фотографии
Figure 1.14. Копирайт: Sdtr, Rmarmion | Dreamstime.com.
Figure 1.15. Фото С. Танеда, воспроизводится из J. Phys. Soc. of Japan 20,
1714 (1965).
Figure 1.16. Фото T. Корка и X. Наджиба, воспроизводится из [19].
Figure 1.22. Копирайт: Paul Торр | Dreamstime.com.
Figure 2.3. Фото Ф. Робертса, П. Димотакиса и А. Рошко, воспроизводится
из [19].
Figure 2.4. Фото — авторство и копирайт: Brooks Martner.
Figure 2.6. Копирайт: Vbotond | Dreamstime.com.
Figure 2.7. Копирайт: Lee2010 | Dreamstime.com.
Figure 3.1. Из Wallet, A. and Ruellan, F. (1950), La Houille Blanche, 5:483^189.
Figure 3.4. Копирайт: Alexey Baskakov | Dreamstime.com.
Figure 3.6. Фото Дж. Фейра, воспроизводится из Proc. R. Soc. Lond. А 299,
59 (1967).
Figure 3.11. Копирайт: Joe Gough | Dreamstime.com.
Figure 4.2. Копирайт: Cammeraydave | Dreamstime.com.
Предметный указатель
Аномалия, 76
Аномальный скейлинг, 91
Безвихревое течение, 18, 19
Вириальная теорема, 102, 108
Вихревой слой, 65
Вихрь, 174
— рециркуляции, 51
Волновое
— действие, 128
— уравнение, 81
Вязкий тензор напряжений, 47
Вязкое затухание, 106
Галилеевская инвариантность, 90
Галилеевское преобразование, 130
Гамильтониан, 33
Гидравлический скачок, 135
Гидростатика, 8
Граничные условия, 7
Групповая скорость, ПО, 169
Децибел, 83
Дисперсионное соотношение, 103
Дисперсия волн, 101, 110, 131
Дозвуковое течение, 92
Доплеровский сдвиг, 94
Дорожка вихрей, Кармана, 54
Завихренность, 17
Закон
— Ландау, 68
— Ричардсона, 73
— дисперсии, 81,114, 124
Затухающая турбулентность, 92
Звук, 21
Идеальная жидкость, 6
Инерционный интервал, 74
Инерция, 5, 25, 45
Интеграл по траекториям, 76
Интенсивность звука, 82
Каскад энергии, 74
Кинематическая вязкость, 42
Кинематическое граничное условие, 104
Клин Кельвина, 112
Комплексный потенциал, 23
Конвекция, 9
Конденсат, 124
Конус Маха, 92
Конформное преобразование, 24
Корреляционная функция, 74
Кризис сопротивления, 54, 154
Критерий
— Лайтхилла, 124
— Рэлея, 66
Крыло, 57, 95
Кумулятивная струя, 52
Лагранжевы координаты, 6, 34, 83
Линии тока, 11,21
Липшица условие, 3, 74
Масштабная инвариантность, 76, 91
Модуляционная неустойчивость, 124,
128
194
Предметный указатель
Нарушенная симметрия, 54, 76, 91
Невязкий предел, 73
Непрерывное течение, 2
Несжимаемая жидкость, 8, 20, 102
Несжимаемость, 21
Неустойчивость, 64, 98, 119, 124
— Кельвина-Гельмгольца, 64, 180
— Рэлея - Бернара, 98
— Рэлея-Тэйлора, 180
Обратимость времени, 76
Обратный каскад, 133
Опрокидывание волны, 87
Парадокс
— Даламбера, 39
— Эрншоу, 84
— обратимости, 39
Параметрическая неустойчивость, 120
Параметрический резонанс, 120
Плавание, 47
Пловец Перселла, 61
Поверхностное натяжение, 102, 108
Пограничный слой, 50
Подстановка Хопфа, 87
Подъемная сила, 57, 95
Потенциал скорости, 20, 103
Потенциальное течение, 22
Поток
— завихренности, 18
— импульса, 43, 55
— энергии, 74
Предел нулевой вязкости, 90
Простая волна, 84
Распадная неустойчивость, 120
Рефракция, 167
Сепаратриса, 129
Сжимаемость, 95
Сила
— Магнуса, 58, 61, 154
— сопротивления, 38, 47, 77, 78
Сингулярное возмущение, 58
След, 50, 78
Солитон, 129
Соотношение Кармана-Ховарда, 75
Стохастический аттрактор, 176
Структурные функции, 75, 91
Струя, 51, 62
Темп диссипации энергии, 73, 90
Тензор напряжений, 39, 80, 106
Теорема
— Кельвина, 17
— Таланова, 131
Течение Стокса, 48, 149
Точка остановки, 23, 51
Траектории, 11, 104
Трение, 39, 45
Трубка Пито, 13
Турбулентная вязкость, 77
Турбулентность, 54, 70, 91
Ударная волна, 87, 89
Уравнение
— Эйлера, 3
— непрерывности, 5
Фазовая скорость, 110
Фронт ударной волны, 92
Функция тока, 21, 22, 60
Хаотический аттрактор, 71
Характеристики, 85
Циркуляция скорости, 17, 57, 95, 147
Число
— Вайсенберга, 182
— Деборы, 2
— Маха, 92
— Прандтля, 160
— Рейнольдса, 45, 88
— Фруда, 46, 135
Эйлеровы координаты, 6
Эластическая турбулентность, 183
Эффект Доплера, 94
Григорий Фалькович
Современная гидродинамика
Краткий курс
Дизайнер А. А. Гурьянова
Технический редактор А. В. Бакиев
Компьютерный набор и верстка А. В. Моторин
Корректор Е. В. Огородникова
Подписано в печать 28.01.2013. Формат 60 х 84 Vie-
Печать офсетная. Усл.печ.л. 12,09. Уч.изд. л. 12,87.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная № 1. Заказ № 14-31.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426000, г. Ижевск, ул. Родниковая, 56.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс:+7(3412) 50-02-95
Полный ассортимент литературы издательств
«Институт компьютерных исследований»
и «Регулярная и хаотическая динамика»
по самым доступным ценам представлен
в отделах прямых продаж:
R&C
Т>у*ияиим
Россия, Москва
Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 415 (м. Ленинский пр-т)
тел.: +7 (925) 280-78-96, +7 (499) 135-54-37
e-mail: rhd-m@mail.ru
Россия, Ижевск
Удмуртский государственный университет
ул. Университетская, д. 1, корп. 4, оф. 201 а/207
телУфакс: +7 (3412) 50-02-95
e-mail: subscribe@rcd.ru
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• Отправка заказов осуществляется
почтой РФ из г. Ижевска
• Цены на сайте указаны
без учета стоимости доставки
Книги можно приобрести также:
Книжные магазины и киоски:
Московский дом книги
Москва, ул. Новый Арбат, д. 8 (м. «Арбатская»)
Тел.: +7 (495) 789-35-91
Дом технической книги
Москва, Ленинский проспект, д. 40
(м. «Ленинский Проспект»)
Тел.: +7 (499)137-60-19
Книжные киоски ООО «Аргумент»
Москва, Ленинский проспект, д. 65
(м. «Ленинский Проспект») Главное здание
РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина
ООО «Санкт-Петербургская книготорговая
компания»
Санкт-Петербург, ул. Капитана Воронина, д. 8
Тел.:+7 (812) 295-06-57
ООО «Киви»
Самара, ул. Ново-Садовая, д. 381,4-й этаж —
«ТЦ на Ново-Садовой»
Тольятти, ул. Дзержинского, 21, минус 1-й этаж,
секция 803а — «ТЦ Капитал»
ООО «Пермкнига»
Пермь, ул. Лодыгина, д. б
Тел.: +7 (342) 242-84-90,242-72-74
ООО «Издательство «Инфра-Инженерия»
Вологда, ул. Машиностроительная, д. 19, оф. 238
Тел.: +7 (911)512-48-48
ООО «ВЕЛЕС»
Омск
тел.: +7 (3812) 46-31-12,46-31^41
На просторах интернета:
ozoisi.ru
http://www.ozon.ni
Московский дом книги
http://www.mdk-arbat.ru
{Риблион
http://www.biblion.ru
ЦентрЛптНефтеГаз
http://centrlit.ru
EAGE Геомодель (?iJ\ Инфра-Инженерия
http://www.eage.ru \1ъ) http://www.infra-e.ru
Каталог изданий для предприятий
нефтегазового комплекса
http://www.yagello.ru
ISBN 978-5-93972-977-2