/
Автор: Фриш У.
Теги: анализ математика симметрия турбулентность серия библиотека математика
ISBN: 5-7036-0049-9
Год: 1998
Текст
БИБЛИОТЕКА
У. Фриш
МАТЕМАТИКА
Турбулентность
Наследие
А. Н. Колмогорова
БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИКА
ВиШоФ
Редакционный совет
серии
«БИБЛИОТЕКА МАТЕМАТИКА»
АНОСОВ
Дмитрий Викторович
(председатель)
АРНОЛЬД
Владимир Игоревич
БУХШТАБЕР
Виктор Матвеевич
ВАСИЛЬЕВ
Виктор Анатольевич
ВЕРШИК
Анатолий Моисеевич
ИЛЬИН
Арлен Михайлович
ИЛЬЯШЕНКО
Юлий Сергеевич
КОЗЛОВ
Валерий Васильевич
МАНИН
Юрий Иванович
МАТИЯСЕВИЧ
Юрий Владимирович
СИНАЙ
Яков Григорьевич
ТИХОМИРОВ
Владимир Михайлович
ТЮРИН
Андрей Николаевич
ФАДДЕЕВ
Людвиг Дмитриевич
ХОВАНСКИЙ
Аскольд Георгиевич
ШИРЯЕВ
Альберт Николаевич
TURBULENCE
THE LEGACY OF A. N. KOLMOGOROV
URIEL FRISCH
Observatoire de la Cote d'Azur
111 Cambridge
UNIVERSITY PRESS
У Фриш
Т у рбул ентность
Наследие А. Н. Колмогорова
Перевод с английского А. Н. Соболевского
под редакцией М. Л. Бланка
Ф
ФАЗИС
Москва 1998
УДК .47 918
40.1
# Издание осуществлено при поддержке
11 Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 97-01-14057
ФришУ
Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова
Перевод с англ. А. Н. Соболевского под редакцией М. Л. Бланка
М.: ФАЗИС, 1998. XIV+346 с.
(Библиотека математика. Вып. 4)
ISBN 5-7036-0049-9
TtjfAjuie ocquyecnUUefax & ринках
крхгрыини ммижуи кНигоиуфАНмо & России «TfcfuucuH»
apt noffefijfcKe
$4ЫЯистерин&<1 TtHocmpiHMcx *Deu tfPplfuyuu
и ^Носои^онба t/QpiHcyuu 6- России
Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.96)
123557 Москва, Пресненский вал, 42-44.
E-mail: phasis@aha.ru
ППП Типография «Наука» Академиздатцентр РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
Заказ № 22
© Cambridge University Press, 1995
ISBN 5-7036-0049-9
©ФАЗИС, 1998
Оглавление
Предисловие к русскому изданию XI
Предисловие XII
Глава 1. Введение 1
1.1. Турбулентность и симметрии 1
1.2. Очерк содержания книги 12
Глава 2. Симметрии и законы сохранения 14
2.1. Периодические граничные условия 14
2.2. Симметрии 17
2.3. Законы сохранения 18
2.4. Обмен энергией между разными масштабами 22
Глава 3. Зачем требуется вероятностное описание
турбулентности? 28
3.1. Предсказуемость турбулентного сигнала 28
3.2. Простая модель детерминистского хаоса 32
3.3. Динамические системы 38
3.4. Уравнение Навье-Стокса как динамическая система .... 39
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов 42
4.1. Случайные величины 42
4.2. Случайные функции 48
4.3. Статистические симметрии 49
4.4. Эргодические результаты 52
4.5. Спектр стационарной случайной функции 56
VIII
Оглавление
Глава 5. Два экспериментальных закона развитой
турбулентности 61
5.1. Закон двух третей 61
5.2. Закон диссипации энергии 72
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года 78
6.1. К41 и симметрии 78
6.2. Колмогоровский закон четырех пятых 82
6.2.1. Уравнение Кармана-Ховарта-Монина
для анизотропной турбулентности 83
6.2.2. Поток энергии в однородной турбулентности .... 86
6.2.3. Поток энергии в однородной изотропной
турбулентности 88
6.2.4. От потока энергии к закону четырех пятых 91
6.2.5. Обсуждение колмогоровского закона четырех пятых 94
6.3. Основные результаты теории Колмогорова 1941 года ... 97
6.3.1. Закон Колмогорова-Обухова и структурные
функции 97
6.3.2. Влияние конечной вязкости: диссипационный
интервал 100
6.4. Колмогоров и Ландау: отсутствие универсальности .... 102
6.4.1. Первоначальная формулировка возражения Ландау 102
6.4.2. Современная формулировка возражения Ландау . . 103
6.4.3. Возможно ли «примирение» Колмогорова и Ландау? 106
6.5. Исторические замечания к теории Колмогорова 1941 года 107
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории
Колмогорова 1941 года 109
7.1. Введение 109
7.2. Основные понятия феноменологии 110
7.3. Каскад Ричардсона и локальность взаимодействий .... 113
7.4. Числа Рейнольдса и степени свободы 117
7.5. Микроскопические и макроскопические степени свободы 120
7.6. Распределение градиента скорости 121
(Оглавление
IX
7.7. Закон убывания энергии 123
7.8. За пределами феноменологии: возникновение
особенностей в идеальном течении за конечное время ... 127
Глава 8. Перемежаемость 133
8.1. Введение 133
8.2. Самоподобие и перемежаемость случайных функций . . . 134
8.3. Экспериментальные сведения о перемежаемости 140
8.4. Перемежаемость: точные результаты 147
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью 149
8.5.1. /3-модель 149
8.5.2. Бифрактальная модель 155
8.5.3. Мультифрактальная модель 158
8.5.4. Вероятностная формулировка мультифрактальной
модели 162
8.5.5. Ближняя область диссипации
и мультифрактальная универсальность 165
8.5.6. Асимметрия и пологость производных скорости
в мультифрактальной модели 172
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией .... 176
8.6.1. Мультифрактальная диссипация 177
8.6.2. Соответствие между мультифрактальностью
скорости и мультифрактальностью диссипации ... 182
8.6.3. Модели случайного каскада 184
8.6.4. Большие отклонения и мультифрактальность .... 186
8.6.5. Логнормальная модель и ее недостатки 191
8.7. Каскадные модели 193
8.8. Исторические замечания о фрактальных моделях
перемежаемости 198
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости 203
8.9.1. Вихревые нити — «сухожилия» турбулентности? . . 208
8.9.2. Статистические проявления вихревых нитей:
«собака» или «хвост»? 210
8.9.3. Распределение приращений скорости 215
X
Оглавление
Глава 9. Что читать дальше? 218
9.1. Введение 218
9.2. Книги по турбулентности и гидродинамике 218
9.3. Математические аспекты развитой турбулентности .... 223
9.4. Динамические системы, фракталы и турбулентность . . . 228
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы . . . 231
9.5.1. Уравнение Хопфа 233
9.5.2. Функциональные и диаграммные методы 239
9.5.3. Приближение слабой связи 244
9.5.4. Метод замыкания и его недостатки 247
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные
и ренормгрупповые методы 250
9.6.1. Турбулентная вязкость: очень старая идея 250
9.6.2. Многомасштабные методы 255
9.6.3. Приложения многомасштабных методов
к турбулентности 259
9.6.4. Ренормгрупповые методы 265
9.7. Двумерная турбулентность 272
9.7.1. Каскады и вихри 273
9.7.2. Двумерная турбулентность и статистическая
механика 276
9.7.3. Консервативная динамика, прерываемая
диссипативными событиями 283
9.7.4. Из Флатландии — к трехмерной турбулентности . . 285
Литература 291
Именной указатель 328
Предметный указатель 335
Предисловие к русскому изданию
I Антральной фигурой в этой книге по турбулентности является вели¬
кий русский ученый Андрей Николаевич Колмогоров. Поэтому мне осо¬
бенно приятно, что эта книга переведена на русский язык так быстро
(менее трех лет) после ее публикации на английском издательством
Cambridge University Press.
Это стало возможным благодаря усилиям Я. Г. Синая, предло¬
жившего перевод книги издательству ФАЗИС; М. Л. Бланка, осуще¬
ствлявшего научную редакцию перевода и давшего мне возможность
улучшить русскую версию по сравнению с английским оригиналом,
и П.-П. Баскевича, научного атташе посольства Франции в Москве.
Август 1998 г. Уриэл Фриш
Предисловие
Серия работ, опубликованных в 1941 году Андреем Николаевичем Кол¬
могоровым, до сих пор оказывает свое влияние на изучение турбулент¬
ности. Новые достижения часто позволяют увидеть в классических ра¬
ботах незамеченные ранее жемчужины; так обстоит дело и с третьей,
очень короткой статьей Колмогорова 1941 года «Рассеяние энергии при
локально изотропной турбулентности» (Kolmogorov 1941с). Она содер¬
жит один из столь редких в данной области нетривиальных строгих
результатов, а также весьма современные идеи о скейлинге, не опро¬
вергаемые той аргументацией, которую Ландау использовал при кри¬
тике допущений об универсальности, сделанных Колмогоровым в пер¬
вой статье этой серии.
Переосмысление полувековой давности работ Колмогорова по тур¬
булентности было одной из целей курса лекций, который положен в
основу этой книги. Лекции читались для студентов третьего курса,
обучающихся по тематике «Турбулентность и динамические системы»
в университете Ницца-София-Антиполис. Особое внимание уделено та¬
ким ключевым понятиям теории динамических систем, как нарушение
симметрии и детерминистский хаос. У студентов была подготовка по
гидродинамике, но недоставало знаний по современной теории веро¬
ятностей, поэтому в курс был включен солидный подготовительный
материал. Изложение ведется с точки зрения физика: подробным разъ¬
яснениям уделяется больше внимания, чем математической строгости.
Кроме того, я предпочитаю работать в координатном пространстве,
переходя к фурье-представлению лишь там, где это необходимо.
Современные исследования по турбулентности во многом связаны с
попыткой понять причины частичной неудачи теории 1941 года. Возни¬
кающая здесь проблема «перемежаемости» будет подробно рассмотрена
ниже. Сам Колмогоров одним из первых занялся этим вслед за своим
сотрудником А. М. Обуховым в 1961 году (Kolmogorov 1961). Хотя не¬
которые из высказанных ими соображений потом подвергались крити¬
ке как математически или физически противоречивые, данная работа
была и остается источником плодотворных идей. По педагогическим
Предисловие
XIII
причинам я обсуждаю исторические аспекты только после изложения
()олее поздних исследований по «фрактальным» и «мультифрактальным»
моделям турбулентности.
Часть приведенного здесь материала о Колмогорове была опублико-
плна в специальном выпуске Proceedings of the Royal Society «Идеи Кол¬
могорова 50 лет спустя». Там же можно найти большой набор различ¬
ных точек зрения относительно Колмогорова и его влияния на пробле¬
мы исследования турбулентности (Frisch 1991). Среди иных полезных
источников по Колмогорову — его избранные труды (Tikhomirov 1991),
некролог (Kendall 1990), обзор его работ по турбулентности, сделанный
одним из его близких сотрудников (Yaglom 1994), и личные воспомина¬
ния В. И. Арнольда о Колмогорове как математике и человеке (Arnold
1994).
Во вводном курсе по турбулентности, рассчитанном примерно на
тридцать часов, многие аспекты остаются незатронутыми. Частичной
компенсацией является помещенный мной в конце книги обзор лите¬
ратуры для дальнейшего чтения. Он предназначен также и для того,
чтобы вкратце изложить мои собственные взгляды — или предубежде¬
ния — по поводу изложенного в них. Я не пытался дать сбалансирован¬
ный очерк истории предмета, насчитывающей самое малое пять веков
(см. с. 123), но читатель все же найдет ряд исторических экскурсов и
замечаний; например, он узнает, что понятие вихревой вязкости было
введено в середине девятнадцатого века (см. с. 251).
Более подробно структура книги описана в разд. 1.2.
Эта книга предназначена для широкой аудитории читателей — от
студентов-третьекурсников, специализирующихся по математике, фи¬
зике, астрофизике, геофизике или технике, до профессиональных уче¬
ных и инженеров. В первую очередь она рассчитана на тех, кто хочет
изучить основы турбулентности или освежить свое знание предмета.
Значительная часть материала по теории вероятностей, фракталам и
мультифракталам имеет приложения вне гидродинамики, в частности
в геофизике твердых пород.
Я глубоко благодарен J.R Rivet, который во многих смыслах дал
жизнь этой книге; я также особенно обязан А. М. Яглому за много¬
численные обсуждения и комментарии. Очень полезные замечания
и предложения высказали В. И. Арнольд, Г. Баренблатт, М. Л. Бланк,
A. Мигдал, Г.М. Молчан, Я. Г. Синай, G. К. Batchelor, L. Biferale,
М. Е. Brachet, G.Eyink, Н. Frisch, Н. L. Grant, М.Нёпоп, R. Kraichnan,
B. Legras, A.Noullez, K. Ohkitani, S.A. Orszag, A. Praskovsky, A.Pumir,
XIV
Предисловие
Z. S. She, J. Sommeria, P. L. Sulem, M. Vergassola, E. Villermaux и
B.Villone. M. C.Vergne выполнил ряд иллюстраций. Я также хочу
поблагодарить студентов курса «Турбулентность и динамические
системы» университета Ницца-София-Антиполис, которые всегда
помогали мне своими вопросами с самого начала моего специального
курса в 1990 году.
Часть работы над этой книгой была сделана во время моего пребы¬
вания в Принстонском университете (Центр гидродинамических иссле¬
дований). Значительная поддержка была получена от Дирекции техни¬
ческих исследований, различных программ Европейского Союза и от
фонда Fondation des Treilles.
Наконец, истинным удовольствием было работать с Alison, Maureen,
Simon и Stephanie из издательства Cambridge University Press.
Ницца, Франция У. Фриш
Июль 1995 г.
Глава 1
Введение
1.1. Турбулентность и симметрии
И главе 41 своих «Лекций по физике», посвященной гидродинамике и
турбулентности, Ричард Фейнман (Feynman, Leighton and Sands 1964)
пишет:
Часто люди в каком-то неоправданном страхе перед физикой говорят, что
невозможно написать уравнение жизни. А может быть, и можно. Очень
возможно, что на самом деле мы уже располагаем достаточно хорошим при¬
ближением, когда пишем уравнение квантовой механики
Нф = -
Ндф
г dt'
ал)
Конечно, если бы мы располагали только этим уравнением и не могли
наблюдать сами биологические явления, то не смогли бы теоретически
воссоздать их. Фейнман полагал, и я разделяю его мнение, что сходная
ситуация имеет место для турбулентного потока несжимаемой жидко¬
сти. Уравнение, которое обычно называют уравнением Навье-Стокса,
известно со времени работы Навье (Navier 1823):
dtv + v • W = —Vp +
V • v = 0.
(1.2)
(1.3)
Кго следует дополнить начальными и краевыми условиями (например,
условием обращения v в нуль на твердых стенках). Позднее мы обсудим
используемые здесь обозначения.
По-видимому, в уравнении Навье-Стокса содержится вся турбу¬
лентность, но было бы наивно пытаться выводить из него следствия,
не обращаясь к экспериментальным фактам. С другой стороны, мир
турбулентных явлений почти так же разнообразен, как живая природа.
2
Глава 1. Введение
Хорошим началом для знакомства с турбулентными явлениями мо¬
жет служить книга Ван Дайка (Van Dyke 1982) «Альбом движений жид¬
кости и газа». Чтобы получить первое впечатление об эксперименталь¬
ной стороне предмета, мы в основном будем использовать иллюстрации
из этой книги.
В этом введении мы обсудим понятия нарушения и восстановления
симметрии. Связанные с симметрией понятия являются ключевыми для
понимания как переходных явлений, так и развитой турбулентности.
Для начала мы отвлечемся от количественной стороны эксперименталь¬
ных данных, за исключением одного управляющего параметра — числа
Рейнольдса, определяемого как
(1.4)
где L и V суть характерные масштаб и скорость течения, a v — его
(кинематическая) вязкость1 Напомним следствие принципа подобия
для несжимаемой жидкости: при одной и той же конфигурации границ
течение зависит только от числа Рейнольдса.
Рис. 1.1. Поток с постоянной скоростью V, натекающий на цилиндр диаме¬
тра L
Проследим теперь, имея это в виду, что происходит при увеличе¬
нии числа Рейнольдса с течением жидкости за круговым цилиндром.
Мы выбрали цилиндр для того, чтобы обеспечить определенную симме¬
трию, и рассматриваем внешний относительно него поток. Такой поток
труднее контролировать и изучать, но он живет дольше, чем поток,
1 В единицах СГС кинематическая вязкость воздуха составляет примерно одну седь¬
мую, воды — одну сотую.
1.1. Турбулентность и симметрии
3
замкнутый внутри своих границ, например конвекция Рэлея-Бенара
или течение Тейлора-Куэтта.
Как показано на рис. 1.1, мы изучаем поток, натекающий слева па¬
раллельно оси х с постоянной скоростью V = (У, 0,0) (на бесконеч¬
ности) на бесконечный круговой цилиндр диаметра L, ось которого
параллельна оси z.
Рис. 1.2. Однородный поток, обтекающий цилиндр при R = 0,16 (Van Dyke
1982). Фотография: S. Taneda
На рис. 1.2 изображено течение при R = 0,16. По-видимому, поток
обладает следующими видами симметрии:
• симметрия левого и правого (обращение оси х),
• симметрия верха и низа (обращение оси у),
• симметрия относительно сдвигов по времени (однородность по £),
• симметрия относительно пространственных сдвигов вдоль оси
цилиндра (однородность по z).
Все эти симметрии, кроме первой, соответствуют уравнению
Навье-Стокса и краевым условиям. Запишем это подробнее. Обозна¬
чим через u,v,w составляющие скорости. Преобразование симметрии
левого и правого — это
(ж, у, z) -> ( -х, у, z), ( v, w) ->• ( -V, -w).
(1.5)
4
Глава 1. Введение
Симметрия верха и низа — это
(x,y,z)-> (x,-y,z), (1.6)
Легко проверить, что симметрия левого и правого не вытекает из урав¬
нения Навье-Стокса, а может быть выведена, только если мы пренебре¬
жем нелинейным членом. На самом деле тщательное изучение рис. 1.2
показывает, что симметрия левого и правого не точна, а немного нару¬
шена. Это — проявление остаточной нелинейности, которое становится
еще слабее при дальнейшем уменьшении числа Рейнольдса.
Рис. 1.3. Круговой цилиндр при Д = 1,54 (Van Dyke 1982). Фотография:
S. Taneda
На рис. 1.3 изображено течение при R = 1,54. Теперь отсутствие
симметрии между левой и правой сторонами стало хорошо заметным.
Около Д = 5 поток за цилиндром разрывается. Хотя нового нарушения
симметрии не происходит, топология течения изменяется из-за образо¬
вания стоячих вихрей, показанных на рис. 1.4 для различных значений
R от 9,6 до 26.
Около R = 40 происходит первая настоящая потеря симметрии, ко¬
гда после бифуркации Андронова-Хопфа течение начинает зависеть от
1.1. Турбулентность и симметрии
5
Рис. 1.4. Круговой цилиндр при R = 9,6 (о), R = 13,1 и 26 (в)
(Van Dyke 1982). Фотография: S. Taneda
6
Глава 1. Введение
Рис. 1.5. Круговой цилиндр при R = 28,4 (а) и R = 41,0 (б) (Van Dyke 1982).
Фотография: S. Taneda
времени периодически; иными словами, непрерывная t-инвариантность
сменяется дискретной. Течение в ближайшей окрестности точки би¬
фуркации показано на рис. 1.5. При более высоких значениях R срыв
вихрей приводит к образованию знаменитой дорожки Кармана из чере¬
дующихся вихрей, которая показана на рис. 1.6, 1.7 и рис. 1.8, получен¬
ном при численном моделировании газа на двумерной решетке. Следует
отметить, что симметрия верха и низа в сущности не нарушается, так
как через половину периода верхние вихри станут точным зеркальным
отражением нижних.
Неизвестно, при каком числе Рейнольдса нарушается однородность
течения по оси z. Это трудно определить экспериментально, так как
цилиндр не может быть сделан бесконечным и должен удерживать¬
ся в каком-либо устройстве, что неизбежно вносит неоднородность
по z. Имеется численное подтверждение того, что ^-инвариантность
спонтанно нарушается, когда число Рейнольдса превосходит некое
L.l. Турбулентность и симметрии
7
Рис. 1.6. Дорожка Кармана за круговым цилиндром при R = 140 (Van Dyke
1982). Фотография: S. Taneda
Рис. 1.7. Дорожка Кармана за круговым цилиндром при R = 105 (Van Dyke
1982). Фотография: S. Taneda
8
Глава 1. Введение
Рис. 1.8. Численное моделирование дорожки Кармана за плоской пластинкой
на двумерной решетке (d’Humieres, Pomeau and Lallemand 1985)
критическое значение, заключенное между 40 и 75 (Rivet 1991). Го¬
ворят, что симметрия спонтанно нарушается, если она совместима с
уравнениями движения и краевыми условиями, но отсутствует в реше¬
нии этих уравнений.
Точная величина следующего порогового значения числа Рейнольд¬
са, после которого зависимость течения от времени приобретает ха¬
отический характер, также неизвестна. Хаос особенно нагляден в ла-
гранжевой турбулентности (известной также как «хаотическая адвек¬
ция») — случайном движении отмеченных частиц жидкости, которое
показано на рис. 1.9 для R = 240. Здесь поток обтекает два цилиндра
вместо одного, но это не изменяет основных симметрий. На рис. 1.10
та же установка показана при R = 1800. В дорожках Кармана за ци¬
линдрами можно различить лишь два раздельных вихря, после которых
начинается квазиоднородный турбулентный поток.
Вместо двух препятствий можно использовать большой набор регу¬
лярно расположенных препятствий, образующих решетку. На рис. 1.11
и 1.12 показаны возникающие при этом турбулентные течения. На до¬
статочном удалении (например, в 10-20 шагов решетки) поток прихо¬
дит в состояние пространственного беспорядка, со времени лорда Кель¬
вина (Kelvin 1887) известное как однородная изотропная турбулент¬
ность, так как в среднем оно не изменяется при поворотах и переносах.
I I Турбулентность и симметрии
9
Рис. 1.9. Поток за двумя одинаковыми цилиндрами при R = 240. С разрешения
11. Dumas
Рис. 1.10. Поток за двумя одинаковыми цилиндрами при R = 1800. С разре¬
шения R. Dumas
Рис. 1.11. Однородная турбулентность за решеткой. Фотография: Т. Corke и
II. Nagib
\
10
Глава 1. Введение
Рис. 1.12. Растяжение материальных линий в изотропной турбулентности.
R = 1360, характерный масштаб — диаметр стержня решетки (Van Dyke
1982). Фотография: S. Corrsin и М. Karweit
Конечно, это лишь статистическое утверждение, смысл которого будет
уточнен позже. Рис. 1.13 иллюстрирует другой аспект однородности и
изотропии решеточной турбулентности.
Наконец, на рис. 1.14 показан турбулентный след при R = 2300.
Здесь можно различить вихревое движение разных масштабов, которое
позволяет предположить наличие некоторой формы (статистической)
масштабной инвариантности.
Подведем итоги. По мере возрастания числа Рейнольдса различные
симметрии, допускаемые уравнениями (и краевыми условиями), после¬
довательно разрушаются. Однако при очень больших числах Рейнольд¬
са появляется тенденция к восстановлению симметрий в статистиче¬
ском смысле вдали от границ 2
Турбулентность при очень высоких числах Рейнольдса, когда все
или некоторые из возможных симметрий статистически восстановле¬
ны, известна как развитая турбулентность. Для ее возникновения
2 Известно, что хаотическая динамика может претерпевать бифуркации, при кото¬
рых симметрия возрастает (Chossat and Golubitsky 1988).
1.1. Турбулентность и симметрии
11
Рис. 1.13. Деформация поверхности жидкости при изотропной турбулентно¬
сти (Van Dyke 1982). Фотография: М. Karweit
Рис. 1.14. Турбулентный след (Van Dyke 1982). Фотография: Р. Dimotakis,
R. Lye и D. Papantoniou
12
Глава 1. Введение
необходимо, чтобы поток был свободен от внешнего принуждения, та¬
кого как крупномасштабный сдвиг, которое могло бы воспрепятство¬
вать «приобретению» им всех доступных симметрий. Развитая турбу¬
лентность — основная тема этой книги.
1.2. Очерк содержания книги
Опишем структуру книги, обсуждая по пути некоторые «нестандарт¬
ные» особенности нашего изложения предмета; это обсуждение предна¬
значено для тех читателей, которые уже знакомы с иными курсами или
учебниками по турбулентности. При этом большей части глав предпо¬
сланы свои собственные введения.
От только что описанной качественной картины естественно перей¬
ти к описанию основных симетрий уравнения Навье-Стокса несжима¬
емой жидкости3 (гл. 2). Систематическое изложение основ механики
жидкостей не приводится, так как его можно найти в целом ряде учеб¬
ников, например в книгах (Landau and Lifshitz 1987), (Batchelor 1970)
или (Tritton 1988). Кроме того, в гл. 2 рассмотрены основные зако¬
ны сохранения (энергии, спиральности и т. д.), в том числе уравнения
баланса энергии на разных масштабах (разд. 2.4), которые позволяют
еще до введения вероятностного формализма получить представление
о передаче энергии между течениями на разных масштабах.
В гл. 3 обсуждается, почему для описания турбулентности подходят
именно вероятностные понятия. Этот вопрос изложен (хотя и на эле¬
ментарном уровне) в духе современной теории динамических систем.
В гл. 4 мы описываем некоторые из важнейших средств теоретико¬
вероятностного анализа, которые часто применяются при изучении
турбулентности. Здесь мы в основном следуем довольно абстрактно¬
му подходу Колмогорова (Kolmogorov 1933), но обходим тонкости те¬
ории меры, которые изложены во многих учебниках, рассчитанных на
математиков.
После этого мы переходим к двум главным известным из опыта
законам развитой турбулентности (гл. 5), которые служат непосред¬
ственным основанием для теории, развитой Колмогоровым в 1941 г.
Эта теория (которую мы иногда будем сокращенно называть К41) из¬
лагается в гл. 6 в необычном порядке: мы начинаем не с первой статьи
1941 г., с ее отчасти спорными (сегодня) допущениями, а исходим из
з
Турбулентность в сжимаемых средах здесь не рассматривается.
I Ч. Очерк содержания книги
13
другого набора гипотез, отправляясь от основных симметрий уравне¬
нии Навье-Стокса и законов, описанных в предыдущей главе. При этом
предполагается, что решения обладают (статистической) масштабной
мпнариантностью, но скейлинговый показатель не определяется. Его
Iкачение (1/3) можно вывести без всяких дальнейших допущений из
фгтьей статьи Колмогорова 1941 г. Это и есть «незамеченная жемчу¬
жина», о которой говорилось в предисловии; она заслуживает подробно¬
го обсуждения (разд. 6.2). После этого мы останавливаемся на возраже¬
ниях Ландау по поводу одного из аспектов теории 1941 г. Неожиданно
оказывается, что в третьей статье 1941 г. содержится возможный от¬
пет на эти возражения, а наш «модифицированный набор гипотез» на
деле соответствует колмогоровскому.
Феноменологической теории турбулентности посвящена гл. 7. Что-
г»ы эта феноменология не казалась чем-то вроде черной магии, мы рас-
гмлтриваем ее лишь после систематической теории, кратким изложени¬
ем которой она, по сути, является. Показаны как сильные, так и слабые
* троны стандартной феноменологии.
11еремежаемость — важный частный случай, для которого не рабо¬
тает теория 1941 г. — подробно обсуждается в гл. 8 (см. также особое
иигдение к ней). Мы излагаем работы Колмогорова (Kolmogorov 1961,
IWI2) лишь после обсуждения более современных моделей перемежае¬
мости, в свете точных результатов о допустимых отклонениях от его
I гирии 1941 г.
В двух разделах содержится исторический материал: разд. 6.5 по-
• иищен ранней теории Колмогорова 1941 г., а разд. 8.8 — перемежае¬
мости.
Глава 9, как и указано в предисловии, представляет собой обзор
»штературы для дальнейшего изучения турбулентности; кроме этого, в
ней есть и дополнительные исторические сведения.
Глава 2
Симметрии и законы сохранения
Вернемся к уравнению Навье-Стокса (1.2) и перепишем его в виде
dtVi + VjdjVi = -dip + vdjjVi, (2.1)
дгщ = 0. (2.2)
Величины p и v называются соответственно давлением и вязкостью.
Они получаются при делении настоящих давления и динамической вяз¬
кости на среднюю плотность ро- Кроме стандартного соглашения о
суммировании по повторяющимся индексам, мы используем следующие
обозначения:
я = 0. я. = ±_ . - 9г
1 dt' * dxj' dxi dxj ’
2.1. Периодические граничные условия
Чтобы течение могло иметь максимальную симметрию, ему лучше быть
свободным от любых границ. Для этого можно было бы условиться, что
поток занимает все пространство М3. Однако неограниченность про¬
странства приводит к некоторым математическим трудностям. Поэто¬
му мы часто будем накладывать периодические граничные условия по
пространственной переменной г = (ж, у, г):
v(x + nL, у + mb, 2 + qL) = v(x, у, z), (2.4)
для всех я, у, 2 и любых целых n,m,q. Положительное число L
называется периодом. Очевидно, при этом достаточно рассматри¬
вать течение лишь внутри пространственной ячейки, например
ВЬ: 0 ^ х < L, 0 ^ у < L, 0 ^ z < L (рис. 2.1). В дальнейшем мы
перейдем к пределу L оо, чтобы вернуться к потоку, заполняющему
все М3.
) I Периодические граничные условия
15
Гиг. 2.1. Пространственная ячейка
Пространство L-периодических функций гГ(г), удовлетворяющих ус-
/1ПНИЮ V • v = 0, обозначим И.
П принципе, определение T-L должно быть дополнено выбором соот¬
ветствующей нормы. Мы воздержимся от этого, так как не собираемся
пил у чать строгие результаты: современное состояние математической
ггории для 3-мерного уравнения Навье-Стокса (которое мы здесь не
рассматриваем; см., например, (Rose and Sulem 1978; Constantin 1991,
ИМИ; Gallavotti 1993) и разд. 9.3) не дает оснований устанавливать бо-
/|гс высокие стандарты.
Как мы сейчас покажем, при периодических граничных условиях
давление можно исключить из уравнения Навье-Стокса. В ходе этой
достаточно простой выкладки будут также введены некоторые полез¬
ные обозначения. Применяя к уравнению (2.1) оператор дивергенции и
учитывая (2.2), получим
д{ (VjdjVi) = dij (ViVj) = ~дцр = -V2p. (2.5)
.>то — пример уравнения Пуассона:
V2p = сг. (2.6)
Уравнение Пуассона имеет решение в классе L-периодических функций
при условии, что среднее от <т(г) равно нулю1:
(<у) =j?fB d? = °- (2-7)
Очевидно, функция а = —dijfavj), составленная из производных пери¬
одических функций, удовлетворяет условию разрешимости (2.7).
1 Угловые скобки обозначают пространственное усреднение, если не указано иное.
16
Глава 2. Симметрии и законы сохранения
Решение уравнения Пуассона легко получить, переходя из физиче¬
ского пространства (r-пространства) в фуръе-пространство (к-про¬
странство) при помощи разложения в ряд Фурье. Запишем
а(г) = £ аь к е Ц-7?, (2.8)
к
к
Коэффициенты ряда Фурье задаются соотношениями
а-к = (е-“'"<,(?)), (2.10)
Р( = (е-“'?г>( г)). (2.11)
Заметим, что в силу (2.7) Эо равно нулю. Из (2.6) следует, что
% = -р. (2-12)
где к — это абсолютная величина волнового вектора к. Коэффициент
ро произволен. Действительно, решение уравнения Пуассона определено
с точностью до аддитивной константы, добавление которой к давлению
не меняет уравнения Навье-Стокса. Полученное (определенное практи¬
чески единственным образом) решение в физическом пространстве бу¬
дем обозначать через V“2cr. Отметим, что с точки зрения физического
пространства это нелокальный оператор (в явном виде он выражается
через свертку). После исключения давления уравнение Навье-Стокса
перепишется в виде
dtVi + (6ц - дцУ~2) dj (VjVt) = vV2Vi. (2.13)
Теперь достаточно наложить условие дивергенции djVj = 0 лишь при
t = 0, так как (2.13) распространит его на все остальное время.
Исключить давление можно было бы и используя завихренность
ш = V Л v. (2.14)
Применяя к уравнению Навье-Стокса (1.2) оператор ротора и исполь¬
зуя тождество Vv2 = 2v Vv + 2v Л (V Л гГ), получаем уравнение зави¬
хренности
дгш = V Л (гГ Л (2) + vV2uj.
(2.15)
J 7 Симметрии
17
Ксли мы попытаемся переписать это уравнение только в терминах за-
иих ревности, нам сначала надо будет разрешить (2.14) относительно
^ ьпрости. Для этого надо взять ротор (2.14) и решить полученное урав¬
нение Пуассона. При этом вновь появляется нелокальный оператор V-2.
2.2. Симметрии
• I»и;i и ки-теоретики склонны называть «симметриями» любые дискрет¬
ные или непрерывные группы преобразований, оставляющих инвари¬
антными уравнения некоторой теории2. Мы также воспользуемся этим
широким толкованием и часто будем называть группы преобразований,
I охраняющих уравнения, симметриями. Пусть G — это группа пре-
пОршований, действующая на множестве периодических по простран-
гтнгнным переменным функций v(t, г) с нулевой дивергенцией. G на¬
плюются группой симметрий уравнения Навье-Стокса, если для всех
if, ннляющихся решениями этого уравнения, и всех д Е G, функция gv
1оже является решением.
Перечислим известные симметрии уравнения Навье-Стокса:
• Пространственные переносы дТ?: £, г, v f, г + р, г?, р Е М3.
• Сдвиги по времени grpeM- г, v »-> t + т, г, гГ,. т Е М.
• Преобразования Галилея g^* 1: f,r, v f,r + Ut, v + £/, U E R3.
• Изменение четности P: f,r, —f, —гГ.
• Вращения3 <7дращ: £, г, ?; t,Ar,Av, А Е SO(R3).
• Скейлинг4 д^кеил: t,r,v A1-/l£, Аг, А^гГ, А Е R+, Л Е К.
По поводу использованных обозначений отметим, что проще на¬
писать, скажем, f,r, гГ t,Ar,Av, чем равносильное соотношение
•'(/., г) Аг?(£, А^г). Мы не указывали преобразований для давления
поскольку последнее может быть исключено из уравнения Навье-
Стокса. В силу (2.5) давление преобразуется пропорционально и1.
J Математики также не чужды такому словоупотреблению; см. кн.: Симметрии и
школы сохранения уравнений математической физики. Под ред. А. М. Виноградова
и И. С. Красильщика. М.: Факториал, 1997. — Прим. ред.
1 Только в пределе L —> оо.
4 Только при и = 0.
18
Глава 2. Симметрии и законы сохранения
Доказательство и обсуждение. Симметрия относительно простран¬
ственных переносов и сдвигов по времени очевидна. Что касается пре¬
образований Галилея5, то после подстановки v(t,r — Ut) + U вместо
v(t,r) происходит сокращение однородных членов в dtv и v • \7гГ.
При изменении четности все слагаемые в уравнении Навье-Стокса
меняют знак (в частности, V —V). Заметим также, что преобразо¬
вание v —у не сохраняет уравнения, если нельзя пренебречь нели¬
нейным членом. Полная (непрерывная) группа вращений несовместима
с периодическими граничными условиями, так как они выделяют не¬
которые направления и сохраняют инвариантность только относитель¬
но некоторой дискретной подгруппы вращений. Далее, при масштаб¬
ном преобразовании, когда t заменяется на A1_/lt, г на А г, a v на АЛгГ,
все слагаемые в уравнении Навье-Стокса умножаются на A2/l_1, кро¬
ме связанного с вязкостью, которое умножается на Xh~2. Поэтому при
ненулевой вязкости допустимо только h = — 1. В этом случае соответ¬
ствующая симметрия эквивалентна хорошо известному в гидродинами¬
ке принципу подобия, так как масштабное преобразование сохраняет
число Рейнольдса неизменным. Если же можно пренебречь вязкостью
или просто устремить ее к нулю, что бывает оправдано при очень боль¬
ших числах Рейнольдса (к этому мы еще вернемся), то существует бес¬
конечно много скейлинговых групп, параметризованных скейлинговым
показателем /ь, который может быть любым действительным числом.
Наконец, заметим, что все перечисленные симметрии, кроме мас¬
штабных преобразований, суть лишь макроскопические следствия ос¬
новных симметрий уравнений Ньютона, описывающих (в классическом
приближении) микроскопическое движение молекул.
2.3. Законы сохранения
В механике принято связывать законы сохранения с симметриями. Для
консервативных систем, описываемых при помощи функции Лагран¬
жа, верна теорема Нётер (Noether 1918), которая обосновывает та¬
кую связь (см. также (Goldstein 1980)). Согласно этой теореме, каждой
симметрии отвечает свой закон сохранения; так, сохранение импульса
5 Есть другой вариант галилеевой инвариантности, когда скорость U случайна и
изотропно распределена (Kraichnan 1964, 1965, 1968а). Эти случайные преобразова¬
ния Галилея обсуждаются в разд. 6.2.5, 7.3 и 9.5.
2.3. Законы сохранения
19
соответствует инвариантности лагранжиана относительно простран¬
ственных переносов. Данный результат не приложим непосредственно
к турбулентности, так как уравнение Навье-Стокса диссипативно 6 . В
то же время нам кажется полезным обсудить законы сохранения именно
сейчас. Мы ограничимся глобальными законами сохранения, связанны¬
ми с интегрированием по всему объему, занятому жидкостью. Более
локальные законы сохранения, такие как сохранение циркуляции (см.,
например, (Lamb 1932)), могут быть еще важнее, но пока нашли уди¬
вительно мало приложений к турбулентности.
Как и в предыдущих разделах, подразумеваются периодические гра¬
ничные условия. Угловые скобки обозначают усреднение по ячейке про¬
странственной периодичности:
(/) = р / (2.16)
где /(г) — произвольная периодическая функция. Приведем несколь¬
ко полезных тождеств, доказываемых интегрированием по частям (все
« | >у икции периодические):
W) = о, (2.17)
((dif)g) = -(fdig), (2.18)
«vV)!i> = -<№/)№»)>, (2.19)
(и • (V Л v)) = ((V Л й) • v), (2.20)
(и V2v) = —((VAu) (V Av)), если V • v = 0. (2.21)
Теперь перейдем к основным известным законам сохранения. В их
список мы включили и такие соотношения, которые становятся зако¬
нами сохранения лишь при нулевой вязкости (например, уравнение ба-
ланса энергии).
• Сохранение импульса
(2.22)
• Сохранение энергии
d/1 2\ 1
dt\2V ) 2V
'(J2 (div3 + djVi)2) = -^(И2),
(2.23)
Уравнение Эйлера, получаемое из уравнения Навье-Стокса при и = 0, консерватив¬
но и может быть различным образом переформулировано в терминах лагранжиана.
20
Глава 2. Симметрии и законы сохранения
• Сохранение спиральности
д) = -^.у л д>.
(2.24)
Доказательство. Для доказательства сохранения импульса перепи¬
шем адвекционный член VjdjVi в (2.1), пользуясь (2.2), как dj(vjVi). То¬
гда в уравнении Навье-Стокса все слагаемые, кроме <9^, оказываются
градиентами периодических функций, так что (2.22) следует из (2.17).
Чтобы вывести уравнение баланса энергии, умножим (2.1) на Vj и с
помощью (2.2) получим
+ djV?V*Vt = -Vidip + uviV\, (2.25)
откуда (2.23) следует в силу (2.2), (2.17), (2.18) и (2.21). Чтобы полу¬
чить уравнение баланса для спиральности (2.24), скалярно умножим
уравнение завихренности (2.15) на ?7, усредним и воспользуемся тем,
что по (2.20)
^(v-w) = 2(v ■ (dtw)). (2.26)
Тогда получим
Ш (~2~) = ^ V А (гГ А <Л)) + v(v V2c3), (2.27)
откуда соотношение для спиральности (2.24) выводится с использова¬
нием (2.20) и (2.21). □
Теперь введем обозначения для ряда важных величин:
,,28)
Я = (-0.(3), Яя = (-аЗ.УЛа5).
Уравнения баланса энергии и спиральности теперь можно переписать
в виде
^-Е = -2i/fl, ^-Н = -2*/Яд. (2.29)
at at
Принято называть Е средней энергией1, Н средней спиралъностъю,
а О, — средней энстрофией8 (Слово «средняя» часто опускают.) Что 7 87 На самом деле это удельная энергия, приходящаяся на единицу массы, но в случае
несжимаемой жидкости с постоянной плотностью различие несущественно.
8 Термин энстрофил был предложен Ч. Лейтом по аналогии со словом эн-ергия.
Отметим, что в новогреческом языке слово атршфт] обозначает операцию ротора.
2.3. Законы сохранения
21
касается величины Дд, то ее можно было бы называть средней вихревой
спиралъностъю. Средняя диссипация энергии (на единичную массу)
dE
dt
(2.30)
является одной из наиболее употребительных величин в теории турбу¬
лентности.
Замечания
• При выводе законов сохранения мы предполагали, что поля скоро¬
сти и давления достаточно гладкие и допускают все необходимые
манипуляции: интегрирование по частям, взятие производных от
произведений и т. п. Обычно считают, что такая гладкость может
быть обеспечена сколь угодно малой положительной вязкостью.
Для решений уравнения Эйлера (v = 0) это может быть не так и
сохранение энергии может нарушаться, как впервые заметил Он-
сагер (Onsager 1949). Слабое условие гладкости, необходимое для
сохранения энергии в уравнении Эйлера, было получено в рабо¬
те Сулема и Фриша (Sulem and Frisch 1975) и ослаблено далее в
работах (Eyink 1994а) и (Constantin, Е and Titi 1994).
• Отметим, что v\u\2 и локальная диссипация
еЛок = ^ X] + д№)2 (2.31)
ij
при усреднении по пространству дают одинаковый результат. На
самом деле они отличаются друг от друга на слагаемое, пропор¬
циональное лапласиану давления. Действительно, из (2.5) следует
V2P = 1(diVj - djVi)2 (diVJ + dJvi)2 (2-32)
ij ij
Однако только величина £ЛОк, которая включает в себя тензор
скорости деформации (симметричную часть градиента скоро¬
сти), может быть названа локальной диссипацией в строгом смы¬
сле. Действительно, в области с квазиоднородной завихренностью
жидкость вращается почти как твердое тело, так что никакой
диссипации нет.
Глава 2. Симметрии и законы сохранения
• Уравнение баланса энергии играет ключевую роль при доказа¬
тельстве теоремы существования решения «в большом», т. е. при
всех значениях времени, для уравнения Навье-Стокса в трехмер¬
ном случае. К сожалению, единственность в большом доказана
лишь в двух измерениях. Дело в том, что в двумерном случае име¬
ется дополнительное уравнение баланса для энстрофии
Величина Р называется средней палинстрофией. Уравнение (2.33)
имеет и другие важные следствия для двумерной турбулент¬
ности, но эта тема мало затрагивается в данной книге (см.
разд. 9.7).
• Сохранение спиральности (для v = 0) было открыто Моро (Moreau
1961); его важность для гидродинамики впервые осознал Моф-
фатт (Moffatt 1969). Позднее Кузьминым (Kuz’min 1983) и Осе¬
ледцем (Oseledets 1989) был обнаружен связанный с ним матери¬
альный инвариант — величина, сохраняющаяся вдоль траектории
любой частицы жидкости (см. также (Gama and Frisch 1993)). Вли¬
яние спиральности на генерацию магнитного поля было обнаруже¬
но Стеенбеком и др. (Steenbeck, Krause and Radler 1966). Возмож¬
ность существования каскадов спиральности, аналогичных энер¬
гетическим, обсуждалась Бриссо и др. (Brissaud, Frisch, Leorat,
Lesieur and Mazure 1973). Дальнейшую библиографию по спираль¬
ности можно найти в статье (Moffatt and Tsinober 1992).
2.4. Обмен энергией между разными масштабами
Уравнение баланса энергии (2.23) не содержит вклада от нелинейно¬
го члена в уравнении Навье-Стокса. Такое же уравнение мы получили
бы и в том случае, если бы исходили из (векторного) уравнения те¬
плопроводности. Какова же тогда роль нелинейности по отношению
к энергии? Мы покажем, что нелинейное слагаемое перераспределяет
энергию между движениями на разных масштабах, не вмешиваясь в
глобальный энергетический баланс.
Нам потребуется определение понятия «масштаба». Для этого вновь
обратимся к рис. 1.14. Если этот слайд спроецировать на экран слег¬
ка не в фокусе, самые тонкие детали будут размыты. Расфокусиров-
(2.33)
2Л. Обмен энергией между разными масштабами
23
к а примерно соответствует линейному фильтру, удаляющему или осла¬
бляющему в пространственном разложении Фурье нашей картинки те
гармоники, которые лежат выше определенного порога if, зависящего
пт степени выхода из фокуса. При этом происходит сглаживание на
соответствующем масштабе £ ~ if”1. Теперь формализуем эту идею,
ограничиваясь лишь L-периодическими функциями. Пусть функция /
разлагается в ряд Фурье:
т = Е йeife>’ *G tz3, (2-34)
к
()пределим два семейства функций, зависящих от г и дополнительного
параметра if > 0. Низкочастотная составляющая
/£(?) = Е fkeik'? (2-35)
k^K
и высокочастотная составляющая
т = (2-36)
к>К
величина £ = if”1 называется масштабом фильтрации. Очевидно,
/Ю = /*(0+ /£(**)• (2.37)
Разложение (2.37) было введено Обуховым (Obukhov 1941b).
Для иллюстрации того, что происходит при отфильтровывании низ¬
кочастотных или высокочастотных компонент, возьмем пример функ¬
ции одной переменной, изображенной на рис. 2.2, а. Здесь мы намерен¬
но выбрали функцию, обладающую структурой двух сильно различаю¬
щихся масштабов: малого, порядка миллиметра, и большого, порядка
нескольких сантиметров. Выберем промежуточное значение масштаба
£ = if”1, скажем, около сантиметра. Соответствующие низко- и высо¬
кочастотная составляющие показаны на рис. 2.2, б', в.
Здесь нужно сделать одну оговорку. Функции f^(r) и f^(r) не явля¬
ются фурье-преобразованиями /(г): они зависят от той же простран¬
ственной переменной г, что и /(г), но параметризованы еще одной,
масштабной переменной. Процедура перехода от /(г) к />(г) может
быть обобщена на фильтры произвольной формы. В таком виде она
Глава 2. Симметрии и законы сохранения
Л
Рис. 2.2. Сигнал (а) после отфильтровывания низкочастотной (6) и высоко¬
частотной (в) компонент
известна как вейвлет-преобразование9 В данной книге нам будет до¬
статочно дискретных низко- или высокочастотных фильтров.
Если применить фильтр к трехмерному турбулентному полю ско¬
рости, получатся две функции v^(r) и v^(r). Первую из них удобно
называть полем вихрей масштаба, большего вторую — меньшего 19 10
Прежде чем перейти к обмену энергией между разными масштаба¬
ми, приведем несколько технических результатов.
Определим оператор низкочастотного фильтра
Рк т -> /£(г). (2.38)
Этот оператор переводит в нуль все фурье-компоненты с волновыми
числами, превосходящими К. Ясно, что Рк — это оператор проекти¬
рования: Рк = Рк- Перечислим ряд полезных свойств этого оператора:
(i) Рк коммутирует с V и V2;
9 Об использовании вейвлет-анализа в теории турбулентности см. статью (Farge
1992) и ссылки в ней.
10 Обычно говорят о «больших» и «малых» вихрях как о феноменологических поня¬
тиях. Здесь мы сочли удобным фактически дать строгое определение.
2А. Обмен энергией между разными масштабами
25
(ii) Рк является самосопряженным относительно скалярного произ¬
ведения в L2:
{fPKg) = ((PKf)9) = £ Й S-k С2-39)
k^K
для любых действительных периодических функций / ид;
(iii) высокочастотная и низкочастотная составляющие с одинаковым
пороговым волновым числом К ортогональны:
($к9к) = ®- (2.40)
Омойство (i) непосредственно следует из фурье-разложений /, V/ и
V'7:
/“Ей6". ?/ = £(<*)&«“''’• Р-41)
к к к
(!нойства (И) и (iii) следуют из тождества Парсеваля
(/s> = £/jS-{. (2.42)
к
Теперь вернемся к уравнению Навье-Стокса и запишем его в не¬
сколько более общем виде, дополнив вынуждающей силой11:
dtv + v • W = —Vp + vV2v + /, (2.43)
V ■ v = 0. (2.44)
()ила / предполагается периодической по г и может также зависеть от
иремени или значения скорости12
Применим Рк к (2.43) и воспользуемся (2.37) и свойством (i), чтобы
получить
Wk + pK {$к + Vk) V (v£ + v%) =
= -Чрк + + fx, (2.45)
V • = 0.
11 Смысл введения вынуждающей силы в правую часть уравнения Навье-Стокса
будет объяснен в разд. 6.2.1.
12 Простейший двумерный пример был предложен в конце 50-х гг. Колмогоровым:
с ила равна / = (0,sinxi). Такое течение известно как «поток Колмогорова»; оно
изучалось Мешалкиным и Синаем (Meshalkin and Sinai 1961); см. также разд. 9.6.3.2.
26
Глава 2. Симметрии и законы сохранения
Умножая (2.45) скалярно на усредняя по объему и учитывая
свойства (i), (й) и (Ш), мы получаем уравнение баланса энергии для
низкочастотной составляющей скорости:
dt (^~) + + ^ + ^ = (2 46)
= -(^-Vp<)+u(v< V2^) + (^-/i>-
Уравнение (2.46) можно упростить, пользуясь некоторыми из тех
преобразований, которые использовались при выводе уравнения
баланса энергии (разд. 2.3): например, имеем (vK Vp^) = 0 и
v(vk • V2v^) = — v(\£k\2). Но его главное отличие в том, что теперь
вклад от нелинейного члена в уравнении Навье-Стокса (второе слага¬
емое в левой части) не исчезает. Если его раскрыть, получатся четыре
слагаемых, из которых два тождественно равны нулю:
{v< . (Z< . V0£)> = (v< • (ff> . ViT< )> = 0. (2.47)
Соотношения (2.47) доказываются с использованием несжимаемости,
(2.17) и (2.18). Равенство нулю первого из этих слагаемых означает,
что взаимодействия на «крупных» (низкочастотных) масштабах не мо¬
гут изменить содержащуюся в них энергию. Аналогично, равенство ну¬
лю второго слагаемого означает, что снос больших вихрей меньшими
не влияет на энергию первых. Собирая оставшиеся слагаемые в (2.46),
получаем уравнение обмена энергией между разными масштабами:
dfSjc + П к = —2 vQ,k + Тк- (2.48)
Здесь мы ввели обозначения для интегральной энергии, заключенной
между волновыми числами 0 и АТ:
ек = 5«|2) = \ £ |?Е|2. (2.49)
к^К
интегральной энстрофии:
Як = 5<1ак12> = \ Е ^K-l2- (2-50)
к^К
интегральной накачки энергии внешней силой:
?к = {f К -tift) ='52%- ti-k
к^К
(2.51)
2.4. Обмен энергией между разными масштабами
27
и потока энергии13 на волновом числе К:
ПК = <*< • iv< • V^)> + (v< • {v> • Vt%)). (2.52)
Уравнение (2.48) можно интерпретировать так: скорость изменения
энергии вихрей, имеющих масштабы крупнее I = К”1, равна энергии,
накачиваемой на этих масштабах внешней силой (Тк), минус энергия,
рассеиваемая на этих масштабах (2i/fi#), минус поток энергии (П#),
уходящей на более мелкие масштабы за счет нелинейных взаимодей¬
ствий. Как мы увидим позже, при больших числах Рейнольдса типичная
ситуация состоит в том, что энергия накачивается на больших масшта¬
бах (0(4)), а диссипируется на малых (0(4)), причем 4 ^ 4*
Отметим, наконец, что в теории турбулентности уравнение баланса
энергии в фурье-пространстве традиционно выводится при (довольно
ограничительных) условиях статистической однородности и изотроп¬
ности (об этих понятиях см. гл. 3). Напротив, уравнение обмена энерги¬
ей между масштабами, выведенное выше, не зависит от использования
теоретико-вероятностных конструкций и поэтому применимо в гораз¬
до более широком диапазоне случаев.
13
Другое выражение для потока энергии будет дано в разд. 6.2.2.
Глава 3
Зачем требуется вероятностное
описание турбулентности?
ЗЛ. Предсказуемость турбулентного сигнала
Чтобы сделать симметрии уравнения Навье-Стокса более наглядными,
в гл. 1 были приведены некоторые рисунки и фотографии. Полезные
сами по себе, эти зрительные образы, однако, не исчерпывают собой
экспериментальных данных по турбулентности, среди которых есть и
значительный массив количественных результатов. Наиболее распро¬
страненным методом получения количественной информации является
регистрация зависимости от времени одной или нескольких компонент
вектора скорости в определенной точке потока жидкости. Существу¬
ет много вариантов экспериментальной методики измерения скорости
течения, на которых мы здесь не будем останавливаться.
Обратимся к примеру. На рис. 3.1, а показан сигнал, снятый за одну
секунду с термоанемометра, помещенного в аэродинамическую трубу
S1 установки ONERA1 Сигнал представляет собой продольную ско¬
рость (компоненту, параллельную средней скорости потока) и измеря¬
ется с частотой 5 кГц. Средняя скорость была вычтена, так что сигнал
колеблется около нуля.
Что сразу бросается в глаза на этом графике?
(i) Сигнал выглядит крайне неорганизованным и содержит структу¬
ры всевозможных масштабов.
(и) Детали поведения сигнала представляются непредсказуемыми.
(ш) Некоторые свойства сигнала постоянно воспроизводятся.
1 Ниже мы вернемся к некоторым из характеристик этой установки (см. рис. 5.2 на
с. 63. — Прим, ред.)
Скорость (произв. ед.) Скорость (произв. ед.)
3.1. Предсказуемость турбулентного сигнала
29
5000
1000 2000 3000 4000
Время (условные единицы)
5000
Время (условные единицы)
Рис. 3.1. Сигнал, записанный за 1 с (частота измерения 5 кГц) на термоане¬
мометре в аэродинамической трубе Si ONERA (а), и тот же сигнал спустя
примерно 4 с ( б). С разрешения Y. Gagne и Е. Hopfinger
30 Глава 3. Зачем требуется вероятностное описание турбулентности?
Касаясь пункта (i), отметим, что в отличие от сигнала, показан¬
ного на рис. 2.2, который характеризовался только двумя масштабами,
турбулентный сигнал имеет структуры всех масштабов: глаз легко раз¬
личает структуры длительностью в секунду, десятую долю секунды,
сотую долю секунды и, возможно, еще меньшие.
Для иллюстрации пункта (ii) посмотрим на выборку той же дли¬
тельности, сделанную спустя примерно 4с (рис. 3.1, б). Общий вид сиг¬
нала такой же, но произошедшие изменения в деталях нельзя было бы
предсказать по предыдущему рисунку.
Рис. 3.2. Построение гистограммы турбулентного сигнала
Чтобы проиллюстрировать пункт (Ш), отметим, что одним из вос¬
производимых свойств сигнала является форма его гистограммы. Как
показано на рис. 3.2, возьмем конечный отрезок сигнала и разделим
ось v на большое число N одинаковых маленьких интервалов, середины
которых обозначим через Vi (г = 1,..., N). По определению, гистограм¬
ма — это функция которая ставит в соответствие i-му интервалу
число тех моментов времени, когда результат измерения попадал в дан¬
ный интервал. Применим эту процедуру к сигналу из аэродинамической
трубы S1. На рис. 3.3, а показана гистограмма, полученная из отрез¬
ка сигнала длительностью 150 с, измеренного 5000 раз, при разбиении
области значений на 100 интервалов2 На рис. 3.3, б показана анало¬
гичная гистограмма, построенная по отрезку сигнала той же длины,
но полученному несколькими минутами позже. (Задержка в несколь¬
ко часов дала бы тот же результат.) Видно, что обе гистограммы в
основном совпадают.
2 Почему для этого надо брать столь длинный временной отрезок, будет объяснено
в разд. 4.4, где вводится понятие интегрального масштаба времени.
3.1. Предсказуемость турбулентного сигнала
31
900
800
700
>5
Н 600
3
ю
О 500
о
О
5 400
5
^ зоо
200
100
о 20 40 60 80 100
Скорость (произвольные единицы)
900
800
700
ж
g 600
'g 500
о
§ 400
К
tx1 300
200
100
20 40 60 80 100
Скорость (произвольные единицы)
Рис. 3.3. Гистограмма, построенная для такого же сигнала, что и на рис. 3.1, а,
измеренного 5 000 раз за 150 с (а), и такая же гистограмма для сигнала, полу¬
ченного несколькими минутами позже (б)
32 Глава 3. Зачем требуется вероятностное описание турбулентности?
Подведем итоги. Хотя детали поведения турбулентного сигнала ока¬
зались непредсказуемыми, его статистические свойства воспроизво¬
дятся со временем. Наблюдения такого рода были известны давно и
привели теоретиков к идее искать вероятностное описание турбулент¬
ности (Taylor 1935, 1938). Однако уравнение Навье-Стокса, описываю¬
щее этот процесс, является детерминистским: принято считать, хотя
это строго и не доказано, что для данных начальных условий имеется
единственное глобальное по времени решение3 Как же могут хаос и
случай возникать в чисто детерминистском контексте 4 ? Чтобы понять
это, обсудим искусственную модель, сохраняющую «аромат» уравнения
Навье-Стокса, несмотря на свою простоту.
3.2. Простая модель детерминистского хаоса
В этом разделе мы изучим следующее дискретное отображение:
vt+i = l-2v%, v0 = w, t = 0,1,2,... (3.1)
Здесь v — действительное число, заключенное между —1 и +1, а вре¬
мя t дискретно. Через v(t, т) обозначается t-я по счету итерация на¬
чального значения w. Последовательность итераций данного начально¬
го значения называется его орбитой. Отображение (3.1) — это пример
логистического отображения - av2\ здесь мы можем назвать его
эрзац-уравнением Навье-Стокса. В самом деле, сравним наше отобра¬
жение и уравнение Навье-Стокса, придав последнему аналогичный вид:
Vt+1-Vt= -2vf - vt +1, .
dtv =-(v Vv + Vp) + vV2v + f.
В логистическом отображении, записанном таким способом, легко уви¬
деть аналоги нелинейного и вязкостного слагаемых, а также внешней
3 Представляется, что причина детерминизма уравнений гидродинамики не в этом,
а в детерминизме уравнений механики сплошной среды, из которых они выводятся.
Если бы теорема единственности для уравнений Навье-Стокса оказалась неверна,
это еще не означало бы появления вероятностной меры на множестве возможных
решений. Однако данные соображения не противоречат следующей мысли, к которой
автор подводит читателя. — Прим. ред.
4 «Случай» (le hasard) — это слово, которое Анри Пуанкаре использовал во введении
в свое «Исчисление вероятностей»; сегодня, при наличии детерминизма, употребляют
слово «хаос».
'Л.2. Простая модель детерминистского хаоса
33
гилы. Конечно, пространственной структуры это простое отображение
лишено.
Теперь определим
G vt^ vt+i (3.3)
и
GT = GT Vt »->• vt+r• (3*4)
Тогда
Vt{w) = GtVL7. (3.5)
Вооружившись эрзац-уравнением Навье-Стокса, мы можем повто¬
рить ту же процедуру, что и с данными из аэродинамической трубы.
Выберем произвольное начальное условие w (между —1 и +1) и сде¬
лаем большое число итераций, например 5000. По этим итерациям мы
можем построить гистограмму, которая показана на рис. 3.4. Если эту
процедуру повторить с 5000 последовательных итераций, взятыми на¬
много позже (например, итерации с номерами 20001-25000), то вновь
получим схожую гистограмму.
Гис. 3.4. Нормированная гистограмма значений v, получаемых при итераци-
лх (3.1) (Ruelle 1989)
Мы воспользуемся модельным отображением (3.1) для того, что-
Оы на его примере понять причину воспроизводимости статистических
пюйств детерминистских отображений и поведение большого класса
нелинейных детерминированных систем.
34 Глава 3. Зачем требуется вероятностное описание турбулентности?
Рис. 3.5. График эрзац-уравнения Навье-
Стокса (3.1)
Сначала мы упростим отображение (3.1). На рис. 3.5 изображен его
график. Заметим, что он целиком содержится в квадрате со стороной 2
и центром в начале координат. Сделаем следующую замену переменной:
и аналогично
sin (я-xt - ^) , 0 < xt < 1,
(3.6)
vt+i = sin (nxt+i - 0
(3.7)
Тогда элементарная выкладка дает
Г 2xt при 0 ^ xt ^ 1/2,
\ 2 — 2xt при 1/2 ^ xt ^ 1.
(3.8)
Обозначим отображение xt xt+i через В. Оно известно как тре¬
угольное отображение из-за формы графика, показанного на рис. 3.6.
.4.2. Простая модель детерминистского хаоса
35
Итак, отображение (3.1) и треугольное отображение сопряжены: если
мы знаем, как ведут себя итерации одного из них, итерации другого
легко получаются из (3.6).
Описать итерации треугольного отображения легко. Для этого рас-
гмотрим разложение произвольного действительного числа, заключен¬
ного между 0 и 1, в двоичную дробь. Обозначим через ai, <22, ... двоич¬
ные цифры, принимающие значения 0 или 1, а через N — отрицание,
которое заменяет нули на единицы и обратно. Тогда, как легко прове¬
рить, для числа ж, имеющего двоичное разложение
х = 0,aia2a3 ... = ot\2~l + a^-2 + с*з2“3 + ..., (3.9)
«то образ Вх при треугольном отображении имеет разложение
Вх = 0,{Naia2)(Naias)(NaiaA)... (3.10)
. )то соотношение легко итерируется и дает
Вгх = 0,(Ра4+х)(Ра4+2)(Ра4+з)...,
р _ jy-ai+^+.-.+at
(3.11)
Из (3.11) непосредственно следует неустойчивость по отношению
к начальным условиям. Два начальных значения, которые различались
лишь незначительно (скажем, после n-го двоичного разряда), при ите¬
рациях расходятся очень быстро. В самом деле, каждая итерация сдви¬
гает несовпадающие биты влево и тем самым умножает разность между
•Iиглами на 2. Рассмотрим это на примере следующих двух начальных
шачений:
х0 = 0,10011101001011010..., (3.12)
х'0 = 0,10011101001111001..., (3.13)
которые различаются только после десятого знака, так что разница
гпг/гавляет примерно 2-10 ~ 10“3. После десяти итераций они превра¬
тятся в
хю = 0,0100101..., (3.14)
х'10 = 0,0000110... (3.15)
Теперь орбиты полностью разошлись. Именно эту неустойчивость по
отношению к изменениям начальных данных часто называют расплыв¬
чатым термином хаос.
:i(i I лава 3. Зачем требуется вероятностное описание турбулентности?
Другое важное свойство треугольного отображения — существо¬
вание инвариантной меры. Если мы выберем начальное значение хо с
равномерным распределением на отрезке [0,1], то и все его итерации
также будут равномерно распределены.
Достаточно доказать это утверждение для первой итерации
х = Вхо. Равномерное распределение xq выражается формулой
где Prob{*} обозначает вероятность события, заданного внутри фигур¬
ных скобок. Другими словами, вероятностная мера совпадает с обыч¬
ной мерой Лебега dxо. Чтобы найти закон преобразования этой веро¬
ятностной меры при треугольном отображении В, воспользуемся соот¬
ношением
которое выражает сохранение вероятности. В (3.17) В-1 [а, Ь] обозна¬
чает прообраз интервала [а, Ь] при треугольном отображении, то есть
множество тех точек, которые отображаются внутрь [а, Ь]. Чтобы пред¬
ставить себе этот прообраз, полезно нарисовать схему (рис. 3.7). Вид¬
но, что прообраз [а, Ь] состоит из двух отдельных интервалов, каждый
из которых имеет длину вдвое меньшую, чем исходный. Это и озна¬
чает, что равномерное распределение вероятности инвариантно. Иначе
говоря, инвариантной мерой треугольного отображения является мера
Лебега.
РгоЬ{жо Е [a, b]} = Ь — а, V 0 ^ а ^ b ^ 1, (3.16)
РгоЬ{Вжо Е [а, Ь]} = РгоЬ{жо £ В 1 [а, Ь]}, (3.17)
Рис. 3.7. Построение прообраза интервала
[а, Ъ] при треугольном отображении
В этом месте читателю может показаться, что вероятности были
введены «с черного хода». Треугольное отображение, очевидно, есть
Л.2. Простая модель детерминистского хаоса
37
чисто детерминистская система; зачем же переходить к вероятностно¬
му описанию и выбирать начальное значение хо случайным образом?
Дело в том, что (почти наверное) неважно, случайно или неслучайно
пило выбрано начальное значение. Действительно, существует важный
результат, известный как эргодическая теорема Биркгофа, который в
пгиовном5 сводится к следующему.
. )|>годическая теорема для треугольного отображения. Пусть
f(x) — интегрируемая функция, определенная на отрезке [0,1]. Тогда
для почти всякого хо
Эргодическая теорема утверждает, что среднее по времени от
функции /(•) вдоль орбиты почти любой начальной точки хо равно ее
среднему по ансамблю, рассчитанному по инвариантной мере (равно¬
мерному распределению). Тем самым детерминированное треугольное
о тображение ведет себя существенно вероятностным образом.
Мы отсылаем читателя за доказательством эргодической теоремы
к 'таким учебникам по эргодической теории, как книга (Halmos 1956)6
Попытаемся интуитивно объяснить, почему эта теорема верна. По¬
скольку (3.18) линейно по /(•), можно без потери общности считать,
ч то / равна 1 на маленьком отрезке I = [а, Ь] и 0 вне его. Левая сторо¬
на (3.18) тогда просто равна средней доле времени, которое орбита хо
проводит на отрезке J. Те точки #о, i-e итерации которых попадают
и /, можно получить с помощью построения прообраза, показанного
рис. 3.7. Проделав несколько итераций, читатель увидит, что получа¬
ющиеся 2t маленьких непересекающихся отрезков равномерно распре¬
деляются по всему интервалу [0,1]. Поэтому среднее время, которое
орбита проводит на /, совпадает с его длиной.
Ограничение «для почти всех хо» следует воспринимать серьезно.
Действительно, возьмем xq = 0, т. е. неподвижную точку треугольного
о'гображения. Тогда левая часть (3.18) при Т —> оо стремится к /(0),
что, вообще говоря, не совпадает со значением правой части.
'Гак как читатель, интересующийся турбулентностью, может быть незнаком с
жаргоном теории меры, мы обычно будем ограничиваться неточными формулиров¬
ками: например, говорить «интегрируемый» вместо «измеримый». Приносим извине¬
ния более математически образованному читателю.
Или: Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М.: Наука,
1!)80. — Прим. ред.
t=T
1
(3.18)
38 Глава 3. Зачем требуется вероятностное описание турбулентности?
Для иллюстрации эргодической теоремы выберем f(x) = хп. Тогда
для почти всех xq имеем
Пт
Т-нх>
1_
Т
1
п + 1
(3.19)
Теперь мы можем вернуться к эрзац-уравнению Навье-Стокса —
отображению (3.1). Так как оно сопряжено треугольному отображению
с помощью преобразования
. ( 7Г
X Sin ^7ГЯ — —
).
(3.20)
то также имеет инвариантную меру, которая есть образ меры Лебега
при отображении (3.20). Элементарное вычисление дает инвариантную
меру P(v) dv, имеющую функцию плотности вероятности
P(v) =
1
7Г \/1 — V2
(3.21)
С точностью до нормировочного множителя (благодаря которому инте¬
грал от правой части равен 1) она совпадает с гистограммой на рис. 3.4.
3.3. Динамические системы
Теорема Биркгофа, позволяющая нам заменять усреднение по времени
вдоль орбиты на усреднение по ансамблю, верна не только для двух
отображений, обсуждавшихся в разд. 3.2, но и при гораздо более общих
условиях. Речь идет о так называемых динамических системах. Дадим
следующее определение:
Определение. Динамическая система — это четверка (П,Д, Р, С?*).
Множество fl называется вероятностным пространством7 8; Л есть
некоторая совокупность подмножеств fts; Р, или вероятностная ме¬
ра, ставит в соответствие множествам из Л действительные числа
между 0 гг 1 гг удовлетворяет условиям
р(А)2 0 VAeA F(UiA) = ^P(A), P(fl) = i, (3.22)
7 В этой и следующей главах обозначение ft понимается в своем обычном вероят¬
ностном смысле; в остальной части книги ft обозначает энстрофию.
8 На самом деле это а-алгебра, но мы уже отмечали, что не будем вдаваться в
тонкости теории меры.
.1 1. Уравнение Навье-Стокса как динамическая система
39
*ч)с. Л{ — произвольная последовательность взаимно не пересекающих¬
ся множеств из Л. Совокупность временных сдвигов Gt — это семей¬
ство операторов, зависящих от параметра t ^ О, который может
пробегать дискретное или непрерывное множество значений. Опера¬
торы Gt обладают полугрупповым свойством:
G0 = I,
и сохраняют вероятность:
GtGtf = Gt+tf
(3.23)
P{Gi1A)=P(A),
Vt>0, VAeA
(3.24)
13 частном случае треугольного отображения определение конкре-
гииируется так: £1 = [0,1], Р есть мера Лебега dx, a Gt — t-я итерация
треугольного отображения.
13 общей теории динамических систем эргодическая теорема Бирк-
софа, грубо говоря, утверждает следующее. Предполагается, что под
действием временных сдвигов Gt не изменяются лишь те множества из
.4, которые имеют нулевую или полную меру (например, пустое мно¬
жество или все fi)9 . Из этого вытекает, что для любой интегрируемой
функции /, определенной на fi, и для почти всех zuf Е О,
г^о ^ J f (Gt■&')dt = Jn /(ш) dp(w) = (/)• (3-25)
Очевидно, уравнение (3.25) является обобщением (3.18).
3.4. Уравнение Навье-Стокса как динамическая система
Теперь мы можем вернуться к течению несжимаемой жидкости, опи¬
сываемому уравнением Навье-Стокса, и ввести его в рамки теории ди¬
намических систем. Запишем уравнение в виде
dtv + v Vv = —Vp + vV2v + /,
V • v = 0, (3.26)
= v{t = 0) = w (и краевые условия).
0 !)то предположение известно под названием метрической транзитивности; дока-
тть его в каком-либо данном частном случае может быть весьма трудно.
40 Глава 3. Зачем требуется вероятностное описание турбулентности?
Начальное условие, обозначаемое w, выбирается в подходящем про¬
странстве % функций, удовлетворяющих краевым условиям и условию
несжимаемости10 Сила / предполагается не зависящей от времени11
Пространство Q совпадает с пространством всевозможных начальных
условий Н. Временной сдвиг Gt — это отображение
Gt ши и(£). (3.27)
(Так как / не зависит от времени, Gt также отображает u(s) в v(s+t).)
Что касается Р, то это вероятностная мера на Q, инвариантная отно¬
сительно временных сдвигов.
Вообще говоря, существование полугруппы сдвигов Gt и инвариант¬
ной меры Р можно лишь предполагать. В трехмерном случае до сих пор
не существует теоремы, гарантирующей существование и единствен¬
ность решения уравнения Навье-Стокса. Существование инвариантной
меры — еще более сложная проблема (см. (Ruelle 1989; Vishik and Fur-
sikov 1988)). Для хаотических систем строгие доказательства имеются
лишь в случае ряда простых конечномерных моделей.
Вероятно, здесь будет уместно предупредить читателя, что эрзац-
уравнение Навье-Стокса (3.1) действительно есть не более, чем эрзац.
Оно имеет по крайней мере два крупных недостатка.
Во-первых, его инвариантная мера распределена по всему доступ¬
ному пространству [0,1]. Напротив, для типичных конечномерных дис¬
сипативных систем инвариантная мера сосредотачивается на аттрак¬
торе — множестве фрактальной структуры, имеющем нулевую меру
Лебега (см., например, (Ruelle 1989, 1991)). Известным примером явля¬
ется отображение Эно (Нёпоп 1976) [х,у) (у+ 1 — ах2, Ъх).
Во-вторых, типичная диссипативная динамическая система имеет
более одного аттрактора и тем самым более одной инвариантной ме¬
ры12 У каждого аттрактора есть своя область притяжения. Поэто¬
му статистические свойетва решения будут зависеть от того, в какую
область попали начальные данные. Следовательно, непредсказуемыми
могут быть не только детали поведения (из-за неустойчивости к на¬
чальным условиям), но и статистические свойства орбит, поскольку
10 Здесь мы можем не ограничиваться периодическими краевыми условиями.
11 Ценой небольшого изменения формализма можно учесть и случай периодической
зависимости от времени.
12 Подобно тому, как твердый предмет, лежащий на столе, имеет больше одного
положения устойчивого равновесия.
'ЛА. Уравнение Навъе-Стокса как динамическая система
41
может быть невозможно определить, в какую область притяжения по¬
пали начальные данные. Выражаясь на языке метеорологии, не только
погода, но и климат может быть непредсказуемым.
В заключение этой главы отметим, что теория динамических си¬
стем пока еще не оказала большого влияния на количественный аспект
изучения течений при больших числах Рейнольдса. Мы вернемся к это¬
му в разд. 9.4. Тем не менее достигнутое (неполное) понимание хаоса
п динамических системах дает нам уверенность в том, что вероят¬
ностное описание турбулентности оправдано13 . В следующей главе мы
дадим обзор основных понятий и некоторых методов теории вероят¬
ностей.
1,1 Это не означает, что можно описать турбулентность при помощи конечного на¬
пора усредненных характеристик.
Глава 4
Теория вероятностей: обзор методов
Опишем некоторые понятия теории вероятностей, широко используе¬
мые при изучении турбулентности. За более полным изложением от¬
сылаем читателя к книгам (Feller 1968а,b), (Wax 1954), (Кас 1959) и
(Papoulis 1991).
Начнем с абстрактной структуры динамической системы, опреде¬
ленной в предыдущей главе, т. е. с четверки (fi,*A, Р, G*). Так как вре¬
менной сдвиг Gt существен только для случайных процессов, мы мо¬
жем вначале, пока речь будет идти о случайных величинах, просто
игнорировать его. Кроме того, мы «забудем» про Л, чтобы не обсу¬
ждать вопросы из теории меры. (Это не законная операция, а просто
меньшее зло.)
4.1. Случайные величины
Определение. Случайная величина — это функция
Примером может служить ^-компонента скорости турбулентного
течения в данной точке в данный момент времени. (Эта скорость оста¬
ется еще функцией начальных данных w.)
Определение. Распределение вероятности данной случайной величи¬
ны v — это образ меры Р при отображении v.
Принято определять функцию распределения вероятности как
функцию
v : О, -> R, w v(w).
(4.1)
F(x) = РгоЬ{г>(от) < х} =
(4.2)
•1.1. Случайные величины
43
где через v~l(I) обозначено множество тех ш, которые v отображает в
/ Очевидно, F(rc) не убывает. Поэтому плотность распределения веро¬
ятности — производная р(х) = dF(x)/dx, которая может быть обыч¬
ной или обобщенной функцией, неотрицательна. Грубо говоря, р(х) dx
есть вероятность того, что v(w) попадет между х и х + dx. Плотность
распределения вероятностей нормирована на единицу:
Л
JR
р(х) dx = 1.
(4.3)
Определение. Среднее значение (или математическое ожидание)
случайной величины — это интеграл
(у) = / v(w)dP= / xp(x)dx,
Jn Jr
(4.4)
который может быть равен бесконечности.
Заметим, что операция взятия среднего значения линейна. Такие
средние значения, как (v), иначе называют средними по ансамблю, что¬
бы отличить их от средних по времени.
Определение. Случайная величина называется центрированной1, ес¬
ли (у) = 0.
Определение. Момент т-го порядка случайной величины у определя¬
ется как
(4.5)
(ут) = f хтр(х) dx, т Е N.
Jr
Мели у центрирована, (у2) называется дисперсией, S = (^3)/((^2))3^2
асимметрией, a F = (^4)/((^2))2 — пологостью2
Определение. Характеристическая функция случайной величины у —
,1Ш0 функция действительной переменной z, определяемая как
K(z) = (eizv)= [ eizxp(x)dx.
Jr
(4.6)
'Гем самым К(z) — это фурье-образ плотности вероятности р(х).
Фурье-образы положительных функций принадлежат к положитель¬
ному типу.
1 13 дальнейшем мы в основном будем иметь дело с центрированными величинами.
Иногда ее называют эксцессом, хотя последний определяется как F — 3.
44
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
Основной смысл использования характеристических функций в том,
что характеристическая функция суммы двух независимых случайных
величин есть просто произведение их характеристических функций (в
то время как для выражения плотности вероятности суммы независи¬
мых случайных величин необходимо использовать свертку).
Определение. Центрированная случайная величина v называется
гауссовой3, если
K(z) = (eizv) = e~^2z\ а2 = (v2>. (4.7)
Простое вычисление дает
р(х) =
(27ПТ2)
1/2
*2
(4.8)
При операциях с гауссовыми величинами часто бывает проще пользо¬
ваться (4.7), чем (4.8).
Перейдем теперь к обобщению понятия случайной величины на мно¬
гомерный случай. Заменим в определении случайной величины Ш на R71,
чтобы получить векторнозначную случайную величину v(zu) = (^(ш),
г = 1,...,п). Мы лишь неформально подправим приведенные выше
определения, чтобы приспособить их к этому случаю; там, где необхо¬
димая поправка очевидна (например, для плотности вероятности), она
предоставляется читателю. Моменты теперь будут тензорами вида
{vhvi2 (4.9)
Когда v центрирована (имеет нулевое среднее значение), ее матрица
ковариации определяется как
Г ij — (vivj)- (4-Ю)
Характеристическая функция v определяется по формуле
K{z) = (е*•*>. (4.11)
Таким образом, характеристическая функция является п-мерным
преобразованием Фурье плотности вероятности. Характеристические
3 Иногда мы будем называть такие величины скалярными гауссовыми, чтобы отли¬
чить их от векторных гауссовых величин, определяемых ниже.
•1.1. Случайные величины
45
функции существуют всегда, тогда как моменты могут быть бесконеч¬
ными. Если же момент конечен, то он выражается через производные
характеристической функции в 0 следующим образом:
(vhvi2...vim)
{~Т ъ" д'~ д к{&
W vziy dzi2. ..dzim
z= О
(4.12)
Уравнение (4.12) получается из (4.11), если продифференцировать его
по переменным z% и затем положить z = 0.
Определение. Центрированная векторнозначная случайная величина
п £ W1 называется гауссовой, если для всех с Е R71 скалярное произве¬
дение с • v является скалярной гауссовой величиной.
Из этого определения сразу следует, что гауссовость сохраняется
при линейных преобразованиях.
Используя (4.7) и (4.10), мы можем вычислить характеристическую
функцию векторнозначной гауссовой случайной величины v:
K(z) = (е4**) = е-5<(*~*)2> =
= e~kzJzk(vjVk) = g-kzjZkTjk'
(4.13)
Таким образом, характеристическая функция гауссовой векторно-
значной случайной величины полностью определяется ее матрицей ко-
иариации. В силу (4.12) эта матрица, т. е. совокупность моментов вто¬
рого порядка, полностью определяет и моменты всех остальных поряд¬
ков. Соответствующие выражения можно выписать в явном виде.
Прежде чем сделать это, сформулируем одно важное утверждение
о гауссовых величинах.
Интегрирование по частям для гауссовых величин (Furutsu
1963; Donsker 1964; Novikov 1964). Пусть v = (v{, i = 1 ,...,n) — это
пскторнозначная гауссова величина, a f — дифференцируемая функ¬
ция п переменных. Тогда в предположении, что сходятся интегралы,
выражающие соответствующие средние, справедливо равенство:
{vif(vi,v2,.. .,«„)) = Tij ^ , (4.14)
еде Tij = (viVj).
Для доказательства сначала заметим, что в случае независимых
случайных величин, когда матрица ковариации диагональна, (4.14)
46
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
сводится к следующему соотношению для скалярных гауссовых вели¬
чин (где по г нет суммирования):
=<«?>(!£),
(4.15)
что следует из (4.8) после интегрирования по частям (и объясняет на¬
звание данного раздела). Воспользуемся теперь инвариантностью гаус¬
совых величин при линейных отображениях (т. е. их определением) и
выполним такое линейное преобразование вектора v*, которое диаго-
нализует матрицу ковариации. Оно переведет (4.14) в (4.15), что завер¬
шает доказательство4
Заметим еще. что (4.14) можно записать в векторном виде:
(vf{v)) =
— (f(v + ev'))
€=0
(4.16)
где v и у* предполагаются независимыми и одинаково распределенными
векторнозначными гауссовыми величинами. В форме (4.16) интегриро¬
вание по частям можно применять к гауссовым операторам, действую¬
щим в конечномерных и бесконечномерных пространствах.
Описанный прием интегрирования по частям для гауссовых случай¬
ных величин находит в статистической теории турбулентности много
приложений. Здесь мы воспользуемся им для вывода следующих соот¬
ношений.
Связь между моментами гауссовой случайной величины (Is-
serlis 1918). Пусть v является векторнозначной гауссовой случайной
величиной, тогда
и
где
^22 * * * ^22т+1 ) ^5 ^ ^1J ^2} • • • j ^2т+1
• Vhm ) = ]Г](% Щ'2 ) К8 *4 )••• К2т
Vm, ii,*2) • • • ,*2т,
(4)^2), (^3)^4)) • • • j (^2m-li^2m)
*2т+1
(4.17)
(4.18)
(4.19)
4 Диагонализация в данном случае возможна потому, что матрица ковариации сим-
метрична. — Прим. ред.
*1.1. Случайные величины
47
это произвольное разбиение множества {1,2,...,2т} на пары, а
суммирование производится по всевозможным разбиениям5
Доказательство. Докажем равенство (4.17). Замена v на —v не меня-
гт матрицу ковариации и потому оставляет все моменты неизменными,
и то время как моменты нечетного порядка должны были бы изменить
так; поэтому они равны 0. Доказательство равенства (4.18) проводит-
см по индукции. Очевидно, для т = 1 оно верно, так как в этом случае
разбиение состоит из одного элемента. Предполагая, что оно верно для
т — 1, проинтегрируем по частям левую сторону (4.18), принимая за
функцию / произведение V{2... Vi2m. Тогда из формулы Лейбница вы¬
текает, что после интегрирования возникнут 2m — 1 слагаемых вида
(vhVj){vi2 ...Vj... vi2m), (4.20)
где Vj означает, что множитель Vj опущен. Разбиение множества 2т
индексов на пары можно построить, сочетая первый индекс с любым из
Ъп — 1 оставшихся и затем выписывая всевозможные пары остальных
Ъп — 2 индексов. По предположению индукции, сумма всевозможных
слагаемых вида (4.20) как раз дает правую часть (4.18)6 □
i j к I
i j к £ i j к t i j к l
Гис. 4.1. Иллюстрация разбиения на пары для подсчета моментов гауссовой
<*л у чайной функции
На практике формула моментов часто используется следующим
образом. Предположим, что мы хотим вычислить (viVjVkVf). Отметим
на прямой четыре точки и обозначим их г, у, к и как показано на
Как нетрудно проверить по индукции, общее число несовпадающих разбиений рав¬
но 1 х 3 х 5 х х (2m — 1).
п Разложение (4.18) для моментов гауссовых случайных величин можно обобщить
на негауссов случай, используя семиинварианты; см., например, (Frisch 1968) и
разд. 9.5.1.
48
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
рис. 4.1. Затем выпишем все разбиения на пары, изображая их диа¬
граммами, на которых точки из одной пары соединены мостиками7
В данном случае есть три разных способа это сделать (показаны на
рис. 4.1). Затем сопоставим каждой диаграмме произведение ковариа¬
ций для спаренных индексов и получим
{viVjVkVf) = YijYki + YuYjk + Yi^Y j£. (4.21)
4.2. Случайные функции
Определение. Случайной функцией8 называется семейство скаляр¬
ных или векторных случайных величин, параметризованное одной или
несколькими пространственными или временными переменными9
Примером может служить поле скорости гГ(£, г, ти), которое является
решением уравнения Навье-Стокса с начальным условием w.
Опять мы лишь подправим данные ранее определения там, где это
необходимо.
Моменты порядка п случайной функции, вообще говоря, суть тензо¬
ры, зависящие от п наборов пространственно-временных переменных.
Так, моменты случайного поля скорости v определяются как
(Vij (<1, Гi)vi2(t2, г2)... vim(tm, rm)). (4.22)
Для центрированных случайных функций ((v) =0), с которыми мы и
будем обычно работать, выражение
г ij(t, г; t', г1) = {Vi(t, r)vj(t', г)) (4.23)
называется корреляционной функцией.
Пока не будет указано иное, мы ограничимся рассмотрением слу¬
чайных функций, зависящих только от времени и принимающих ска¬
лярные значения; переход к общему случаю, как правило, не вызывает
затруднений.
7 В квантовой теории поля такие диаграммы известны как диаграммы Фейнмана,
а формула моментов — как теорема Вика.
8 Также называемой случайным или стохастическим процессом.
9 При обозначении случайных функций часто не пишут вероятностную перемен¬
ную ш. Мы будем опускать ее в этой главе время от времени, а в последующих —
систематически.
•1.3. Статистические симметрии
49
Определение. Пусть v(t,w) — это случайная функция; ее характери¬
стическим функционалом (Kolmogorov 1935) называется отображение
z{t) K[z{-)\ = (е<АЛ*(*М*.«))> (4.24)
еде z(t) — это неслучайная «пробная функция» (например, гладкая
функция с компактным носителем).
Если переменная t принимает дискретные значения, то интеграл
/ z(t)v(t) переходит в сумму, а формула (4.24) — в определение (4.11)
характеристической функции векторнозначной случайной величины с
компонентами, равными значениям v(t) в дискретные моменты време¬
ни. Соотношение (4.12) между моментами и характеристической функ¬
цией можно распространить на случайные функции при помощи функ¬
циональных производных; сделать это предоставляется читателю.
Определение. Случайная функция v(t) называется гауссовой, если
для всех пробных функций z(t) интеграл
/ z(t)v(t, т) dt (4.25)
Jr
является гауссовой случайной величиной.
Отсюда почти так же, как для векторнозначных гауссовых случай¬
ных величин, выводится, что характеристический функционал центри¬
рованной гауссовой случайной функции равен
K[z(-)\ = е“5Яя2ЛЛ'*(Ф(ОМФ(*')>
(4.26)
4.3. Статистические симметрии
II разд. 2.2 мы привели список симметрий, допускаемых уравнением
11авье-Стокса. Для каждой из этих детерминистских симметрий можно
определить соответствующую статистическую симметрию. Начнем
со сдвигов по времени. Пока что мы не находили применения полугруп¬
пе временных сдвигов G*, которая входит в определение динамической
системы, сформулированное в разд. 3.3. Напомним, что преобразова¬
ния Gt сохраняют вероятностную меру. Временные сдвиги понадобятся
нам для того, чтобы определить понятие стационарности.
Определение. Случайная функция v(t,w) называется Gt-стационар-
пой, если для всех turn
v(t + h,w) = v(t, Gh^o), V/i ^ 0.
(4.27)
50
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
Решение v(t,r,w) начально-краевой задачи для уравнения Навье-
Стокса (3.26) является примером стационарной случайной функции.
Здесь стационарность получается по построению, так как оператор
Gt определен как сдвиг решения по времени с инвариантной мерой Р.
Приведем некоторые следствия из определения стационарности.
Предложение.
(i) Если v(t,w) является Gj-стационарной случайной функцией, а
/(•) — неслучайной функцией одной переменной, то случайная
функция f(v(t,w)) также является С*-стационарной.
(й) Сумма двух Gj-стационарных функций G^-стационарна.
(iii) Моменты G^-стационарной функции, если они существуют, не из¬
меняются при одновременном преобразовании всех своих аргу¬
ментов:
(v(ti + h)v(t2 + h)... v(tm + h)) =
= (v(ti)v(t2)... V*1, t2,
(4.28)
Доказательство. Пункты (i) и (ii) непосредственно вытекают из опре¬
деления. Для доказательства пункта (iii) предположим сначала, что
h ^ 0. Тогда можно переписать левую сторону (4.28) в виде
/ v(ti + К m)v(t2 + h,w)... v(tm + Л, w) dP =
Jn
= [ v(ti,Gh™)v(t2,Ghw)...v(tm,Ghw)dP. (4.29)
Jn
Сделаем замену переменной w' = и воспользуемся сохранением
вероятности. Тогда правая сторона (4.29) совпадет с правой сторо¬
ной (4.28). Наконец, докажем это равенство для сдвигов назад по вре¬
мени, сделав в (4.28) замену переменных
h = *i -h, t2 = t'2 - h, ,tm = t'm-h. □ (4.30)
Из (4.28) следует, что корреляционная функция зависит только от
разности двух своих временных аргументов:
(«(*М0) = г(*-0,
а дисперсия (v2(t)} = Г(0) не зависит от времени t.
(4.31)
•1.3. Статистические симметрии
51
Эквивалентность по распределению. Чуть менее строго стационар¬
ность данной случайной функции v(t) можно определить, сказав, что
при любом h случайные функции v(t) и v(t+h) имеют «одни и те же ста¬
тистические свойства», т. е. что их всевозможные моменты и/или плот¬
ности распределения одинаковы. Это называется эквивалентностью по
распределению и обозначается
v(t + h)= v(t). (4.32)
Подобная запись имеет то преимущество, что не требует указания пе¬
ременной w и оператора Gt ив дальнейшем позволит нам говорить о
с тационарности, не уточняя, о какой полугруппе Gt идет речь. Это до¬
стигается, однако, ценой некоторой потери определенности. В самом
деле, пусть функция v(t) G^-стационарна; тогда, очевидно, v(2t) будет
(^/-стационарной10 Так как обе эти функции «стационарны», можно
Шло бы ожидать, что «стационарна» будет и их сумма v(t) + v(2t). Од¬
нако
<(«(*) + v(21))2) = {v2(t)) + (v2{2 t)) + 2{v{t)v{2t))
= 2Г(0) + 2Г(21 - t),
(4.33)
очевидно, зависит от времени, что опровергает это предположение.
Теперь дадим определение более слабому понятию, чем стационар¬
ность, которое находит широкое применение в теории турбулентности.
Определение. Случайная функция v{t,w) имеет Gt-стационарные
приращения, если для всех t,t' и w
v(t' + h, w) — v(t + h, w) = v (f', Ghw) — v (t, Ghvo), V h ^ 0. (4.34)
Из стационарности следует стационарность приращений, но не нао¬
борот. Хорошо известный пример случайной функции со стационарны¬
ми приращениями — реализация броуновского движения W(t, т) (Levy
1965)11 Это гауссова случайная функция, определенная при t ^ 0 и
удовлетворяющая следующим условиям:
W( 0) = 0, (W(t)) = 0, {W(t)W{t')) = inf (t, t'). (4.35)
10 Заметим, что Gt и G2t — две разные полугруппы.
11 W — это первая буква фамилии Норберта Винера, который наряду с Полем Ле¬
пи начал изучение математических свойств броуновского движения. Современное
изложение можно найти в (Kahane 1985).
52
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
Отсюда следует, что
((W(t')-W(t))2) = (4.36)
Отметим, что W(t, w) не стационарна. Действительно, из (4.35) полу¬
чаем (wHt)) = г, что зависит от времени.
Перейдем теперь к другим статистическим симметриям. Для про¬
странственных переносов имеем следующее понятие, сформулирован¬
ное Кампе де Ферье (Kampe de Feriet 1953, разд. Ill):
Определение. Случайная функция v{t,r^m) называется однородной,
если существует группа G«пространственных сдвигов» на Q, со¬
храняющих вероятность и коммутирующих со сдвигами по времени
Gt, такая, что
v(t,r + p,w) =v (f,f, G£ptn). (4.37)
Однородность обеспечивает инвариантность моментов при одно¬
временных пространственных переносах всех их аргументов. Матрица
ковариаций стационарного и однородного поля скорости имеет следу¬
ющий вид:
{Vi(t, r)vj{t',r')) = Tij(t - t',f - г'). (4.38)
По аналогии со стационарностью, однородности можно поставить в
соответствие более слабое свойство однородности приращений.
Теперь ясно, что такие же определения можно дать и для других
симметрий: вращений, скейлинга, изменения четности и т. п. Статисти¬
ческая инвариантность при вращениях известна как изотропия. Поле
скорости гГ, которое статистически инвариантно относительно измене¬
ния четности, называется незавихренным, или некиральным. Если оно
инвариантно относительно одной из скейлинговых групп разд. 2.2, то
называется масштабно-инвариантным.
4.4. Эргодические результаты
В разд. 3.3 мы видели, что эргодическая теорема Биркгофа при опреде¬
ленных условиях гарантирует совпадение среднего по времени со сред¬
ним по ансамблю. Для стационарной12 случайной функции v{t^w) эр¬
годическая теорема утверждает, что при почти всех w
_|im 4 [ v(t,w)dt = (v). (4.39)
T-* oo T Jo
12 Здесь и ниже слово «стационарный» будет означать «Gt-стационарный».
■1.4. Эргодические результаты
53
Это можно рассматривать как обобщение хорошо известного закона
больших чисел, который в своей простейшей форме утверждает, что
(при определенных ограничениях) среднее из N независимых одинаково
распределенных величин при N оо почти наверное сходится к их
общему математическому ожиданию.
Равенство (4.39) широко используется в экспериментах по измере¬
нию таких статистических величин, как моменты, моменты прираще¬
ний, плотности вероятности и т. д. Практически средние по времени
шлчисляются по выборке конечной длины. Чтобы получить представле¬
ние о том, насколько длинной должна быть такая выборка, мы сейчас
дадим упрощенное доказательство эргодической формулы. Именно, мы
докажем сходимость не почти наверное, а лишь в среднем квадратич¬
ном. Этот путь имеет то преимущество, что на нем можно получить
оценку ошибки, совершаемой при расчете среднего по выборке конеч¬
ной длины. Без потери общности будем считать, что (v) = 0 (иначе
можно заменить v(t) на t>(f) — (г>)). Основной результат таков:
Эргодическая теорема в среднем квадратическом. Пусть
v(t,w) — это центрированная стационарная случайная функция, а
Г(/ — tf) = (v(t)v(tr)) — ее корреляционная функция. Предположим,
что эта функция убывает на бесконечности достаточно быстро,
чтобы обеспечить сходимость интеграла
Тогда
dt < оо.
(4.40)
(4.41)
Доказательство. Левая сторона (4.41) включает средний квадрат ин¬
теграла. Усреднение и интегрирование коммутируют (так как усред¬
нение является линейной операцией), но возведение в квадрат мешает
использовать это свойство. Однако мы можем превратить квадрат од¬
нократного интеграла в двойной интеграл (по теореме Фубини). Тогда,
54
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
-^2 J Jq dti dt2 т - t2) =
^2 J dti J dt2T{t2) < (4-42)
2 f°°
^Уо dt2 |r(i2)|.
Очевидно, при Г -» oo это стремится к 013 □
Более информативная оценка может быть получена при введении
интегрального масштаба времени,
Л|(ч(()о(о))| _ /0°°Л|г(г)|
”” (и2) Г(0)
Теперь мы можем сравнить оценку среднего квадрата14 усреднения по
времени, полученную в (4.42), со средним квадратом самой случайной
функции. Из (4.42) следует, что первый будет пренебрежимо мал по
сравнению со вторым при
Т » Тинт. (4.44)
Эргодическую теорему (для сходимости почти наверное или в сред¬
нем квадратическом) можно применять и для вычисления моментов
v(t,v.7), так как vn(t,w) также является стационарной функцией. Од¬
нако интегральный масштаб времени для vn очень быстро растет при
увеличении п. Поэтому для измерения моментов высокого порядка тре¬
буются очень большие выборки.
Можно получить и гораздо более полное описание поведения сред¬
них по времени, чем простая оценка их отличия от средних по ансам¬
блю; кратко остановимся на двух типах таких результатов.
Центральная предельная теорема утверждает, что при определен¬
ных условиях, которые мы не будем формулировать, разность меж¬
ду левой и правой сторонами (4.39), умноженная на Т1/2, стремится
при Т -» оо к гауссовой случайной величине. Грубо говоря, типичные
флуктуации вокруг среднего значения имеют величину 0(1/Т1/2). Это
13 Условие (4.40) достаточно, но не необходимо для получения (4.41). Необходимое
и достаточное условие было найдено Слуцким (Slutsky 1938) (см. также (Monin and
Yaglom 1971, §4.7)).
14 Отметим различие между средними по времени и по ансамблю. — Прим. ред.
используя (4.31), получим
((HoV^W)dt) ) =
•I.'l. Эргодические результаты
55
находится в соответствии с полученной в (4.42) оценкой для средне¬
го квадрата этой разности. Доказательство центральной предельной
теоремы для суммы независимых случайных величин методом харак¬
теристических функций совершенно элементарно (смотри любой курс
теории вероятностей). Для случайных функций доказательство уже не
.элементарно. Здесь мы должны предупредить читателя, что не следует
переоценивать важность центральной предельной теоремы для турбу¬
лентности. Некоторые свойства турбулентности близки к гауссовым,
например распределение скорости в данной точке; однако турбулент¬
ность не может быть вполне гауссовой. В самом деле, все моменты не¬
четных порядков (центрированной) гауссовой случайной скорости обя¬
заны равняться 0. Поэтому поток энергии в (2.52) должен был бы быть
тождественно равен нулю (если придать угловым скобкам смысл усред¬
нения по ансамблю). На самом деле, как мы увидим в разд. 8, турбу¬
лентность является существенно не гауссовой, особенно на малых мас¬
штабах.
Еще более тонкое описание сильных расхождений между средними
но ансамблю и по времени на длинном, но конечном временном интерва¬
ле дается теорией больших уклонений. Хотя типичные уклонения неве¬
лики, порядка 0(1/Т1/2), уклонения порядка единицы также могут воз¬
никать, но с экспоненциально малыми по Г вероятностями. Такие укло¬
нения весьма существенны при изучении поведения (exp v(t,w)dt)
при больших Т. Существует распространенное заблуждение, что в глав¬
ном порядке это выражение можно оценить, рассматривая интеграл
[{{ v(t,u7) dt как гауссову величину (см., например, (Lumley 1972)). Как
мм увидим в разд. 8.8, сам Колмогоров был склонен к такому неточному
применению центральной предельной теоремы. Мы еще раз вернемся к
Гюльшим уклонениям в разд. 8.6.4 в связи с мультифракталами.
Наконец, укажем на то, что понятие эргодичности легко перено¬
сится с времени на пространство при условии, что занимаемая про¬
странственная область по крайней мере в одном направлении уходит
на бесконечность, так что можно усреднять по неограниченно боль¬
шим интервалам. Например, если г7(я,у, г, п7) — случайное однородное
и зргодическое поле скорости, определенное на всем R3, то почти на¬
порное
2 pL pL pL
lim —«• / 11 dxdydzv(x,y,z,w) = ( v). (4.45)
L—too La J0 Jo Jo
I I;i самом деле, достаточно взять среднее лишь по одной из координат.
()днако, если функция периодична по пространственным переменным,
56
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
среднее по пространственной ячейке периодичности даст плохое при¬
ближение к среднему по ансамблю, если период не очень велик по
сравнению с интегральным масштабом (пространственным анало¬
гом (4.43)). Точно так же не существует точной эргодической теоремы
для группы вращений, так как вращение может осуществляться только
на конечные углы15
4.5. Спектр стационарной случайной функции
Один из наиболее часто применяемых на практике методов анали¬
за стационарной случайной функции заключается в изучении того,
что инженеры-радиотехники называют ее энергетическим спектром.
Здесь мы дадим немного нестандартное определение энергетическо¬
го спектра, применив понятие низкочастотного фильтра, введенное в
разд. 2.4.
Пусть v(t, w) является центрированной и стационарной случайной
функцией. Введем для нее низкочастотную составляющую так же, как в
разд. 2.4, но пользуясь интегралом Фурье вместо ряда. В этом разделе
частотная переменная будет обозначаться через /, а не через о;, как
обычно, чтобы избежать путаницы с т. Определим
Ясно, что Vp(t,w) стационарна. Отметим, что фурье-преобразования
однородных случайных функций суть обобщенные функции, так что
и(/,w) не является обычной функцией /, несмотря на то, что Vp(t, w) —
обычная функция t. До широкого распространения теории обобщенных
функций эту трудность преодолевали при помощи интеграла Стильтье-
са (см., например, книги (Batchelor 1953) или (Monin and Yaglom 1975)).
Преимущество использования низко- и высокочастотных составляю¬
щих в том, что в выкладках появляются только обыкновенные функции
и к случайным функциям можно применять почти тот же формализм,
который применялся в детерминистском случае в разд. 2.4.
(4.46)
15
Точнее, группа вращений компактна.
'1.5. Спектр стационарной случайной функции
57
Определим теперь интегральный энергетический спектр
€(F) = i([t,J(t)]2), (4.47)
который, по сделанному предположению о стационарности, не зависит
от времени.
Множитель 1/2 введен для соответствия обычному определению ки¬
нетической энергии. £{F) можно интерпретировать как среднюю кине¬
тическую энергию на (временных) масштабах, превышающих ~ F-1.
Используя тождество Парсеваля, легко показать, что интегральный
.шергетический спектр является неубывающей функцией пороговой ча¬
стоты F.
Теперь определим энергетический спектр стационарной случайной
функции v(t,w) как
E(f) = ^£{f) > 0. (4.48)
Неотрицательность следует из неубывания интегрального спектра. Ча¬
сто энергетический спектр называют просто «спектром».
Поэтому E(f) df можно интерпретировать как вклад в среднюю ки¬
нетическую энергию тех фурье-гармоник, абсолютная величина часто¬
ты которых лежит между / и / + df.
Так как отфильтрованное поле скорости стремится к неотфильтро-
иаиному при F -¥ оо, из (4.47) и (4.48) следует, что
1 Г°°
-<г;2) = Уо E(f)df. (4.49)
Как и следовало ожидать, средняя кинетическая энергия (одна вторая
дисперсии случайной функции) получается из энергетического спектра
интегрированием по всем частотам. Точно так же, замечая, что фурье-
иреобразование dv/dt есть ifvf, получим
5((т)2) = Г'2ад#- <4'50>
С использованием тождества
Г+оо
/Тоо
Sl-f'^dt = 5(/-/')
■оо
(4.51)
SK
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
можно также показать, что
E(f) = ±£~eif*r(s)<lS, (4.52)
т. е. что корреляционная функция Г (5) и энергетический спектр суть
фурье-образы друг друга. Равенство (4.52) известно как формула
Винера-Хинчина16 . Из нее следует, например, что фурье-образ корре¬
ляционной функции стационарной случайной величины должен быть
неотрицателен.
Другим непосредственным следствием (4.52) является выражение
для структурной функции второго порядка, определяемой как средний
квадрат приращения скорости за время от t до t*. Имеем
/+оо
(1 (4.53)
-ОО
Здесь E(f) определена для отрицательных частот как E(—f) = E(f).
Когда случайная функция имеет стационарные приращения, но сама
не стационарна, формула (4.52) неприменима, но равенство (4.53) оста¬
ется справедливым. Для турбулентности особенно важен случай, когда
энергетический спектр подчиняется степенному закону (Kolmogorov
1940):
E{f) = С|/Гп, ОО. (4.54)
Если это подставить в (4.49), то интеграл разойдется. Расходимость
имеет место либо на больших частотах (ультрафиолетовая расходи¬
мость) при п < 1, либо при малых частотах (инфракрасная расходи¬
мость) при п > 1, или на обоих пределах при п = 1. Это означает,
что не может существовать стационарной случайной функции с конеч¬
ной дисперсией и степенным спектром. Если, однако, подставить (4.54)
в (4.53), то при 1 < п < 3 расходимости не будет. Простая выкладка
дает
/Ч-00 (4.55)
Ап = 2/ {1 - eix)\x\~n dx.
J — ОО
16 Яглом (Yaglom 1987) обнаружил, что это соотношение использовал еще Эйнштейн
(Einstein 1914).
!,Г). Спектр стационарной случайной функции
59
Поэтому v(t) имеет стационарные приращения по крайней мере в сред-
игм квадратичном. При п = 2, например, получается броуновское дви¬
жение.
Случайные функции со стационарными приращениями часто возни-
кают как пределы стационарных случайных функций с обрезанным на
низких частотах спектром при стремлении к нулю пороговой частоты.
I Рассмотрим, например, стационарную гауссову случайную функцию,
известную как процесс Орнштейна-Уленбека, с корреляционной функ-
цией Г(*) = и спектром E(f) = (1/7г)(/^ + /2)-1. При /0 -»• О
процесс Орнштейна-Уленбека стремится к броуновскому движению.
Все, о чем говорилось в этом разделе, можно перенести с вре¬
менной области на пространственную, если последняя неограничена.
Например, пространственный интегральный спектр энергии определя¬
ется как
«да = |(РЯ?)|2), (4.56)
где есть низкочастотная составляющая поля скорости, содержащая
гармоники с волновыми числами, не превосходящими К. Простран¬
ственный энергетический спектр определяется как
d£(k)
dk *
Несмотря на то, что пространство трехмерно, переменные К и к суть
волновые числа, т. е. положительные скаляры. Поэтому средняя энер¬
гия получается из Е(к) с помощью такого же однократного интегра¬
ла, как (4.49) (где / заменяется на к). Можно также определить и
трехмерный энергетический спектр Езг>(к), являющийся трехмерным
иреобразовнаием Фурье пространственной корреляционной функции
(v(г) ^(г7)). В случае изотропного течения несжимаемой жидкости
формула Винера-Хинчина принимает вид
1 Г°°
Е{к) = 4тгк2Ет(к) = — крГ(р) sinkpdp, (4.58)
я* Jo
где
Г(р) = (v(r) • гГ(г')), Р=\г- г'|. (4.59)
При использовании L-периодических граничных условий интеграль¬
ный энергетический спектр (4.56) будет зависеть от К разрывным
образом, так как допустимы будут только волновые числа из (27r/L)Z3,
60
Глава 4. Теория вероятностей: обзор методов
где Z — множество целых чисел со знаком. Поэтому энергетический
спектр будет суммой «5-функций. Непрерывный случай восстанавлива¬
ется при L -ь оо.
Наконец, как и во временной области, когда энергетический спектр
степенной:
поле скорости имеет однородные приращения (в среднем квадратич¬
ном), а структурная функция второго порядка также степенная:
Е(к) ос к n, 1 < п < 3,
(4.60)
(|г(г')-г?(г)|2) ос |r'-г|п 1.
(4.61)
Глава 5
Два экспериментальных закона
развитой турбулентности
Из опыта известны два основных эмпирических закона развитой тур¬
булентности, которые мы сейчас проиллюстрируем на эксперименталь¬
ных данных:
(i) Закон двух третей. В турбулентном потоке при очень боль¬
ших числах Рейнольдса средний квадрат разности скоростей
((<fo(£))2) между точками, разнесенными на расстояние £, ра¬
стет приблизительно как расстояние в степени 2/31
(ii) Закон конечной диссипации энергии. Если в эксперименте
с турбулентным течением все параметры поддерживаются по¬
стоянными, кроме вязкости, которая понижается до минималь¬
но возможной, то поведение удельной диссипации энергии dE/dt
соответствует ее стремлению к конечному положительному
пределу.
Представляется, что эти законы хотя бы приближенно выполнены
для практически любого турбулентного течения. Рассмотрим теперь
примеры соответствующих экспериментальных данных.
5.1. Закон двух третей
На рис. 5.1 в логарифмическом масштабе показан график продольной
структурной функции второго порядка
S2(£) = <(&,„ (*))2>. (5.1)
1 При некоторых ограничениях на диапазон изменения £, о которых будет сказано
ниже.
62
Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
Данные были получены в аэродинамической трубе S1 установки
ONERA2
Рис. 5.1. График структурной функции второго порядка во временной области
по данным аэродинамической трубы SI ONERA. С разрешения Y. Gagne и
Е. Hopfinger
Видно, что закон двух третей соблюдается в значительном диапазо¬
не. Дадим теперь более точные формулировки. Продольное приращение
скорости определяется как
fo>|| (f, 1) = [w(f +1) - г?(г)] • j, (5.2)
—#
где £ = \£|. Таким образом, <5г>ц (г, £) — это проекция приращения скоро-
—♦
сти между точками, разнесенными на £, на направление этого вектора.
Если турбулентность однородна и изотропна, мы можем опустить г и
заменить I на £ в выражении момента второго порядка ((<fo||(r, ^))2),
что и сделано в (5.1). Аэродинамическая труба S1 показана на рис. 5.2.
2 Все данные из S1, приводимые в этой книге, нам сообщили Y. Gagne, Е. Hopfinger
и М. Marchand.
5.1. Закон двух третей
63
Кс длина превышает 150 м. Наиболее широкая часть, возвратный ка¬
нал, имеет круговое сечение диаметром 24 м. Чувствительный элемент
термоанемометра был подвешен вблизи точки, помеченной М. На нем
пелась запись продольной (параллельной среднему потоку) компоненты
скорости. Данные, показанные на рис. 5.1, были получены при усред¬
нении по времени с использованием свойства эргодичности (разд. 4.4).
Скорость среднего потока составляла 20 м/с. Число Рейнольдса, вычи¬
сленное по этой скорости и диаметру канала, приближенно равно 3 • 107
Число Рейнольдса, вычисленное по среднеквадратичной скорости и ин¬
тегральному масштабу (около 15 м), приближенно равно 1,5 • 106. Сред¬
неквадратические флуктуации скорости составляли примерно 7% от
скорости среднего потока.
г
153м
1
Сравнительно небольшое значение этого отношения, называемо¬
го интенсивностью турбулентности, типично для аэродинамических
груб и оправдывает использование гипотезы Тейлора3 , к описанию ко¬
торой мы переходим. Обозначим через v'(t,x) скорость, измеренную в
системе отсчета, связанной со средним потоком (в направлении которо¬
го отсчитывается координата х). Скорость, измеренная в лабораторной
системе отсчета, будет равна
v(t, х) = v'(t,x — lJt) + С/, (5.3)
' Но имени специалиста в области гидромеханики Дж. И. Тейлора, работавшего в
Кембридже.
64 Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
где U — скорость среднего потока. Если теперь предположить, что
интенсивность турбулентности I удовлетворяет условию
\fW)
и
<1,
(5.4)
то, как легко проверить, зависимость от времени величины v(t, х) будет
в основном связана с пространственным аргументом х — Ut функции
v'. Согласно гипотезе Тейлора, зависимость v от времени в фиксиро¬
ванной точке пространства можно отождествить с пространственной
зависимостью v'. Тогда пространственное приращение £ для v' и вре¬
менное приращение г для v связаны друг с другом следующим простым
соотношением 4:
i = Ur. (5.5)
Большинство экспериментальных данных по развитой турбулент¬
ности получают во временной области и затем пересчитывают в про¬
странственную область, пользуясь гипотезой Тейлора. Часто ось вре¬
мени (или частот) просто переименовывается в ось пространственной
координаты (или волновых чисел). Чтобы избежать возможной путани¬
цы, мы всегда будем указывать в подписях к графикам, во временной
или пространственной области были получены данные.
Вопрос о том, как должна быть изменена гипотеза Тейлора, если ин¬
тенсивность турбулентности не мала, рассматривался в статьях (Lum-
ley 1965) и (Pinton and Labbe 1994).
Непосредственные измерения в пространственной области можно
осуществлять при помощи неразрушающих оптических методов, когда
в потоке выделяют некоторую структуру, например прямую линию, и
наблюдают за ее изменениями через очень маленькие промежутки вре¬
мени. По ее деформации можно восстановить поперечную компоненту
скорости. Перспективным методом такого типа является использова¬
ние комбинационного рассеяния лазерного излучения на электронных
переходах (RELIEF — Raman Excited Laser Induced Electronic Fluores¬
cence; (Miles, Lempert, Zhang and Zhang 1991))5 На рис. 5.3 показана
4 Следует иметь в виду, что возрастание t соответствует убыванию х.
5 В оригинале это явление названо «раман-эффектом», однако из уважения перед
приоритетом Г. С. Ландсберга и Л. И. Мандельштама мы заменили этот термин
на принятое в отечественной литературе название «комбинационное рассеяние». —
Прим. ред.
Г).1. Закон двух третей
65
поперечная структурная функция второго порядка, полученная мето¬
дом RELIEF в турбулентном потоке при различных числах Рейнольдса.
Поперечная структурная функция второго порядка определяется как
Sj-(Q = ((6v±(£))2), (5.6)
—Ф
где v± — одна из перпендикулярных £ компонент приращения скоро¬
сти v(r +£) — v(r). (Если турбулентность изотропна, несущественно,
какая именно из компонент скорости была выбрана, и получаемая при
усреднении структурная функция зависит лишь от модуля £ вектора
f.) Видно, что поперечная структурная функция, как и продольная,
демонстрирует поведение £2/3 на значительном диапазоне.
110°
5-КГ1
2-КГ1
1 кг1
5-1(Г2
2 • КГ2
1 -1(Г2
5 • 1(Г3
2 • 10‘3
Рис. 5.3. Поперечная структурная функция второго порядка, измеренная в
пространственной области методом RELIEF для турбулентного потока при
различных числах Рейнольдса R\ (указаны на графике). См. (Noullez, Wallace,
Lcmpert, Miles and Frisch 1996)
В экспериментальных и численных данных по развитой турбулент¬
ности обычно пользуются не числом Рейнольдса, вычисляемым по ин¬
тегральному масштабу и среднеквадратичным флукфуациям скорости,
66 Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
а так называемым числом Рейнольдса на тейлоровском масштабе, ко¬
торое легче измерять. Последнее определяется как
__ ^ср.кв. ^
V
Здесь г;ср.кв. — среднеквадратическая флуктуация, например, компо¬
ненты скорости г?х, а тейлоровский масштаб Л определяется как
1 _ №п?)
Для трубы S1 число Рейнольдса на тейлоровском масштабе составляет
примерно R\ « 2700.
В предположении изотропии легко показать (Batchelor 1953), что
«ср.кв. = (2Я/3)1/2, ((дм)2) = (2/15)0, (5.9)
(5.8)
(5.7)
где Е — средняя энергия, а 12 — средняя энстрофия 6 , определенные в
разд. 2.3 (формула (2.28)). Следовательно, для изотропной турбулент¬
ности 7
J_ - Л
Д2 “ ЪЁ
(5.10)
и
Ял = (Ш/3)1/2 (5.11)
Для дальнейшей иллюстрации закона двух третей приведем несколь¬
ко примеров энергетических спектров. С учетом (4.60) и (4.61) получа¬
ем, что закон двух третей эквивалентен утверждению, что энергетиче¬
ский спектр Е(к) ведет себя на подходящем интервале волновых чисел
как А;-5/3. Чем больше число Рейнольдса, тем шире этот интервал.
На рис. 5.4 показан энергетический спектр наилучших данных, по¬
лученных к настоящему времени на аэродинамической трубе S1. Гра¬
фик построен, как обычно, в логарифмическом масштабе. По горизон¬
тальной оси отложена частота, которую в соответствии с гипотезой
6 Здесь и ниже восстанавливается гидродинамический смысл обозначения для
обозначения вероятностного пространства буква 12 использовалась в гл. 3 и 4.
7 Иногда множитель 5 в знаменателе опускают, но тогда формула становится несо¬
вместимой с определением, используемым экспериментаторами, которым доступна
лишь одна компонента скорости.
Г). 1. Закон двух третей
67
Риг.. 5.4. Энергетический спектр во временной области для данных из трубы
SI. Число Рейнольдса R\ = 2720. С разрешения Y. Gagne и М. Marchand
Тейлора можно интерпретировать как волновое число. Степенное по¬
ведение к~п с показателем, близким к 5/3, наблюдается на весьма зна¬
чительном диапазоне, охватывающем примерно три декады волновых
чисел. Этот диапазон носит название инерционного интервала, которое
будет разъяснено в разд. 6.2.5.
Несколько особенностей рис. 5.4 заслуживают пояснения. Во-
первых, это острый выброс в высокочастотной части спектра. Веро-
птно, он связан с механической вибрацией, которой трудно избежать,
когда такая большая промышленная установка, как аэродинамическая
груба S1, на время предоставляется для научного эксперимента.
I in-вторых, неизвестно, значимо ли некоторое несовпадение с точным
законом 5/3 (для сравнения показана прямая с наклоном —5/3)8
И-третьих, следует отметить, что диапазон волновых чисел, при
которых Е(к) имеет степенной характер, значительно больше диа¬
пазона расстояний, на которых соответствующий степенной закон
имполняется для 5г(^). Как заметил М. Нелькин (Nelkin 1998, частное
сообщение), тот факт, что эти две функции с точностью до линейного
преобразования суть фурье-образы друг друга (4.53), не означает,
что они должны иметь одинаковые интервалы степенного поведения.
" При аппроксимации степенного закона значение показателя несколько изменяется
зависимости от выбора интервала значений.
Энергия (произв. ед.)
68
Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
Рис. 5.5. График энергетического спектра во временной области для данных
из приливного тоннеля. Крупно показан начальный участок инерционного ин¬
тервала (Grant, Stewart and Moilliet 1962)
Г». I. Закон двух третей
69
. )то легко проверить, воспользовавшись простой интерполяционной
формулой для 52(€), сшивающей поведение типа £2/3 в инерционном
интервале с поведением типа £2 в области диссипации (Batchelor 1951,
формула (7.10)) 9
Гиг. 5.6. Различные данные (Grant, Stewart and Moilliet 1962) во времен¬
ной области, преобразованные в «компенсированный спектр». С разрешения
V Yakhot
На рис. 5.5 показан энергетический спектр, полученный Грантом и
др. (Grant, Stewart and Moilliet 1962) в приливном канале около Ван¬
кувера при использовании термопленочного зонда, подходящего для
соленой воды. Как видно, степенное поведение охватывает примерно
три порядка. Вновь показатель несколько превышает 5/3, как видно
на рис. 5.6, где различные наборы данных, полученные Грантом и др.,
изображены как компенсированные спектры, когда Е(к) умножается
на &5/3. Эксперимент Гранта и др. хорошо известен, так как в нем
впервые было получено надежное подтверждение теории Колмогорова
1941 г. в диапазоне волновых чисел, достаточно широком для одновре¬
менного измерения скорости диссипации (см. ниже в этом разделе)10
м С’м. также (Nelkin 1994, разд 3.3 и ссылки в нем).
Еще до 1961 г. измерения, проводившиеся в Институте физики атмосферы (Моск-
ип) А. С. Гурвичем, JI. Р. Цвангом и С. Л. Зубковским, подтвердили существование
ткона к~5^3 (см. (Monin and Yaglom 1975)).
70
Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
Рис. 5.7. График энергетических спектров продольной компоненты (белые
кружки) и поперечной компоненты (черные кружки) флуктуаций скорости
во временной области в струе с R\ = 626 (Champagne 1978)
При достаточно больших числах Рейнольдса аналогичные энергетиче¬
ские спектры дают и течения других геометрических конфигураций.
Так, на рис. 5.7 показаны спектры продольной и поперечной компонент
флуктуаций скорости в аксиально симметричной струе с R\ = 626; вид¬
ны примерно два порядка степенного поведения с показателем —5/3.
На рис. 5.8 также видно около двух порядков поведения fc“5/3. Этот
график был получен для низкотемпературного течения газообразного
гелия между двумя дисками, вращающимися в противоположные сторо¬
ны11 , при R\ = 1200. Такие гелиевые установки обещают дать значи¬
тельные преимущества, так как они позволяют достигать значений Дд,
сравнимых с большими промышленными установками, и в то же время
11 Эту геометрию потока иногда называют вихревым течением фон Кармана, хотя
сам фон Карман рассматривал один бесконечный вращающийся диск (von Karman
1921).
Г). 1. Закон двух третей
71
Рис. 5.8. График энергетического спектра во временной области в низкотем¬
пературном течении газообразного гелия между двумя цилиндрами, враща¬
ющимися в противоположные стороны, при R\ = 1200 (Maurer, Tabeling and
Zucchi 1994)
умещаются на лабораторном столе благодаря чрезвычайно низкой ки¬
нематической вязкости гелия (около 10_3 в единицах СГС). Основная
проблема здесь состоит в том, чтобы создать зонды (или неразрушаю¬
щие оптические методы), способные разрешать детали течения очень
милых размеров (порядка микрона), возникающие в таких эксперимен¬
тах (Castaing, Chabaud and Hebral 1992). Другая трудность, типичная
и для экспериментов со струями, связана с тем, что интенсивность тур¬
булентности I (определенная в (5.4)) составляет примерно 0,25-0,3, т. е.
г лишком велика для наивного применения гипотезы Тейлора. Эту труд¬
ность, однако, можно обойти (Pinton and Labbe 1994).
На рис. 5.9 показаны различные энергетические спектры, получен¬
ные Санада и Исии (частное сообщение; см. также (Sanada 1991)) при
прямом численном моделировании уравнения Навье-Стокса на супер-
ьоммьютере. При моделировании использовалась решетка из 2563 уз-
лон, числа Рейнольдса имели порядок нескольких тысяч12 Спектры
' * Нисколько более высокие числа Рейнольдса достижимы в численных эксперимен-
I их для течений, имеющих специальную симметрию.
72
Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
к
Рис. 5.9. Энергетические спектры в пространственной области для трех значе¬
ний Д\, указанных на графике, полученные при компьютерном моделировании
на решетке из 2563 узлов. Использовались три разных значения колмогоров¬
ской константы Ck- С разрешения Т. Sanada и К. Ishii
вычислялись непосредственно в пространственной области. На них ви¬
ден инерционный интервал, характеризующийся поведением ос fcm, с
показателем га « — 5/3 в диапазоне, охватывающем примерно один по¬
рядок волновых чисел13
5.2. Закон диссипации энергии
Обратимся теперь ко второму закону, касающемуся диссипации энер¬
гии. Всякий, кто интересуется автомобилями, замечал, что для ре¬
кламы аэродинамических свойств своих моделей производители машин
часто указывают коэффициент лобового сопротивления. Оказывается,
что сама возможность определить такую величину независимо от кон¬
кретной скорости автомобиля является подтверждением закона дисси-
13 В численных экспериментах Боруэ и Орсага (Borue and Orszag 1995) был полу¬
чен более широкий и крутой инерциальный интервал с показателем m « 1,85 ± 0,05.
Различие может объясняться изменением вязкостного члена: вместо обычного опе¬
ратора Лапласа использовалась его восьмая степень. По данным (L^veque and She
1995), это может значительно сказаться на показателе инерционного диапазона.
1.2. Закон диссипщэнергии
73
нации энергии. Поясним, в чем здесь дело, на примере движущегося со
скоростью U автомобиля (довольно старомодных форм), изображенно¬
го на рис. 5.10.
U
Сила лобового сопротивления, действующая на автомобиль, выра¬
жается следующим образом:
F = \cDpSU\ (5.12)
где S — площадь поперечного сечения, С в — безразмерный коэффи¬
циент лобового сопротивления, ар — плотность воздуха. Вот простое
объяснение этой формулы. Величина
Гис. 5.10. Сила лобового сопроти¬
вления F, приложенная к (старомод¬
ному) автомобилю
р = pSU2r (5.13)
это импульс воздуха, заключенного в цилиндре поперечного сечения
S и длины f/т, движущегося со скоростью U. Если бы этот импульс
передавался автомобилю за время т полностью, то сила была бы равна
/ = dp/dr = pSU2. Присутствие в (5.12) дополнительного множителя
(!р/2 < 1 означает, что на самом деле передается лишь часть этого
импульса. Теперь будем рассуждать более аккуратно и заметим, что из
принципа подобия для несжимаемого течения вытекает формула ти¬
па (5.12), но с
CD = CD(R)t = (5.14)
т. е. коэффициент лобового сопротивления зависит от числа Рейнольд-
« а (за характерный масштаб длины L можно взять S1/2). Из принципа
подобия следует, что Cd(R) одинаков для двух тел одинаковой фор¬
мы, но различных размеров. Зависимость Сd {R) была детально изме¬
рена для тел нескольких разных форм. На рис. 5.11 показан Cd(R)
для кругового цилиндра по измерениям, приведенным в книге (Tritton
74
Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
Рис. 5.11. Зависимость коэффициента лобового сопротивления от числа Рей¬
нольдса для кругового цилиндра
1988). Отметим, что при очень малых числах Рейнольдса коэффици¬
ент лобового сопротивления растет как Л"1 (попробуйте понять, по¬
чему). При больших числах Рейнольдса коэффициент остается прибли¬
зительно постоянным, за исключением провала при числах Рейнольдса
порядка нескольких сотен тысяч14 Рассматривая это как эксперимен¬
тальные данные, рассчитаем теперь скорость диссипации кинетической
энергии. Она равна мощности силы сопротивления F, действующей на
объект (например, автомобиль), движущийся со скоростью U:
W = FU = \cDpL2U3 (5.15)
Тем самым удельная скорость диссипации кинетической энергии
равна15
W 1 U3
£ = —= ~cD-r- (5.16)
pLz
Поскольку коэффициент лобового сопротивления не зависит от числа
Рейнольдса, выражение для е имеет замечательное свойство: в него не
входит вязкость, и поэтому оно стремится к конечному пределу при
v —> 0, в чем и заключается закон диссипации энергии. Конечно, этот
закон имеет определенные ограничения, как и утверждение о независи¬
мости коэффициента лобового сопротивления от числа Рейнольдса.
14 Этот кризис сопротивления связан с изменением строения пограничного слоя
при разделении ламинарной и турбулентной зон (Schewe 1983).
15 Обозначение е для средней диссипации энергии вошло в традицию после работ
Колмогорова и превратилось в «священную корову». Обозначение е мы оставим для
малых параметров.
Закон диссипации энергии
75
Прямое экспериментальное подтверждение существования конечно-
in предела диссипации энергии было получено Сринивасаном (Sreeniva-
Miui 1984). Используя однородный турбулентный поток, порожденный
диумерной квадратной решеткой, он измерял где е есть дисси¬
пация энергии, vo — среднеквадратичная скорость и £о — интеграль¬
ный масштаб. Сринивасан обнаружил, что эта обезразмеренная дис-
I ииация не зависит от числа Рейнольдса (с разбросом около 20%) при
fill < R\ < 500. Другие геометрии решетки (например, параллельные
стержни) дают больший разброс значений.
Гиг. 5.12. Зависимость от времени средней диссипации энергии для вихря
Ггйлора-Грина при различных числах Рейнольдса (Brachet et al. 1983)
Конечность предела диссипации энергии находит подтверждение
также и в данных компьютерного моделирования. На рис. 5.12 показано
изменение со временем средней диссипации энергии при различных
числах Рейнольдса. Период циркуляции принят за единицу. Уравнение
76
Глава 5. Два экспериментальных закона развитой турбулентности
Навье-Стокса с периодическими краевыми условиями интегрировалось
при начальном условии Тейлора-Грина:
v\ = sin Х\ COS Х2 cos Ж3,
V2 = —cosrci sinT2COST3, (5.17)
vs = 0.
Орсаг показал (Orszag 1974), что, пользуясь симметрией течения при
спектральном 16 моделировании, можно добиться примерно вчетверо
лучшего пространственного разрешения во всех направлениях, чем при
других методах расчета. В настоящее время существуют результаты
для решеток размером 8643 узла (Brachet 1990, 1991) и даже 10243 узла
для течений, еще боле симметричных, чем поток Тейлора-Грина (Ya-
mada, Kida and Ohkitani 1993; Boratav and Pelz 1994). На рис. 5.12
показана диссипация энергии при числах Рейнольдса, меняющихся от
R = 100 до R = 3000. График диссипации энергии при R = 5000 (Brachet
1990, рис. 1) (здесь не показан) практически неотличим от графика при
R = 3000. Как видно, диссипация энергии возрастает до максимального
значения, которое почти не зависит от числа Рейнольдса (определенно¬
го здесь как обратная величина вязкости). Например, при изменении
числа Рейнольдса более чем в 10 раз (от 400 до 5000) максимальная
диссипация изменяется меньше, чем на 40%.
Несмотря на приведенные подтверждения, не следует абсолютизи¬
ровать закон конечной диссипации энергии. Насколько известно, на
уровне основных принципов теории не возникнет противоречий, ес¬
ли он будет слегка нарушен, например если диссипация энергии будет
иметь логарифмическую или слабую степенную зависимость от вязко¬
сти (Saffman 1968).
16 Спектральный метод (см., например, (Gottlieb and Orszag 1977)) заключается
в вычислении произведений в физическом пространстве, а производных и квадра¬
тур — в фурье-пространстве, переходя из одного в другое при помощи дискретно¬
го быстрого преобразования Фурье. Так как фурье-преобразование аналитической
функции экспоненциально мало при больших волновых числах, то спектральный ме¬
тод обеспечивает экспоненциальное увеличение точности при росте пространствен¬
ного разрешения и является поэтому наиболее надежным при численных экспери¬
ментах с турбулентными течениями для чисел Рейнольдса, не превосходящих не¬
скольких тысяч.
11.2. Закон диссипации энергии
77
Независимо от того, точным или приближенным он является, за¬
кон диссипации энергии имеет одно важное следствие. Возвращаясь
к (5.16), мы видим, что
где период циркуляции L/U равен времени, необходимому частице жид¬
кости, чтобы переместиться на характерный масштаб длины L. Тем
самым за один период циркуляции конечная доля кинетической энер¬
гии, которой обладает движущаяся жидкость, будет перенесена за счет
нелинейных взаимодействий на достаточно малые масштабы, где пре¬
вратится в тепло.
Вспоминая, что средняя диссипация энергии может быть записана
как 2vCly где Cl — это средняя энстрофия (2.29), заключаем, что при
высоких числах Рейнольдса (т. е. малых v) энстрофия должна быть ве¬
лика, т. е. должно происходить быстрое и сильное растяжение вихрей.
1C/3 1C/2
удельная кинетическая энергия
(5.18)
2 L 2 L/C/
период циркуляции
Глава 6
Теория Колмогорова 1941 года
В настоящее время не существует полной дедуктивной теории, кото¬
рая, исходя из уравнения Навье-Стокса, приводила бы к двум основным
экспериментальным законам, описанным в гл. 5. Однако можно выдви¬
нуть некоторые гипотезы, совместимые с этими законами и приводя¬
щие к дополнительным предсказаниям. В этом и состояла цель знаме¬
нитой теории Колмогорова 1941 г. (которую для краткости мы обо¬
значаем К41). Эта глава содержит ее достаточно свободный пересказ.
В разд. 6.1 будет представлена современная точка зрения с акцентом
на постулировании симметрий, а не универсальности, т. е. независи¬
мости от конкретного механизма, порождающего турбулентность. В
результате мы получим скейлинговую теорию с неопределенным пока¬
зателем. Этот последний будет определен в разд. 6.2 из «закона четы¬
рех пятых», точного соотношения, также выведенного Колмогоровым
в 1941 г. Основные результаты теории К41 изложены в разд. 6.3.
6.1. К41 и симметрии
В разд. 2.2 мы перечислили известные симметрии уравнения Навье-
Стокса (пространственные переносы, сдвиги по времени, вращения, га¬
лилеевы и масштабные преобразования и др.). Что они могут дать для
теории турбулентности?
Начнем со сдвигов по времени. При малых числах Рейнольдса и не
зависящих от времени неоднородности и краевых условиях течение ста¬
ционарно и, следовательно, инвариантность во времени не нарушает¬
ся. При возрастании числа Рейнольдса может произойти бифуркация
Андронова-Хопфа. В результате течение становится периодическим по
времени и непрерывная симметрия относительно сдвигов по времени
превращается в дискретную. При дальнейшем повышении числа Рей¬
нольдса (начиная с некоторого критического значения) поток обычно
(i.l. K41 и симметрии
79
становится хаотическим. Как мы видели в гл. 3, при этом непрерывная
временная инвариантность восстанавливается, но уже не для индиви¬
дуальных решений, а на уровне инвариантной меры динамической си¬
стемы. Другими словами, статистические свойства решения становятся
инвариантными относительно сдвигов по времени (стационарными).
Рис. 6.1. Флуктуации скорости не могут быть одинаковыми в точке А, вблизи
поверхности цилиндра, и в точке В, расположенной в турбулентном следе. С
разрешения J. Р. Rivet
Естественно попытаться обобщить этот результат на остальные
симметрии уравнения Навье-Стокса. Рассмотрим, например, инвари¬
антность относительно пространственных переносов. Здесь мы встре¬
чаемся с трудностью: предположим, как это обычно бывает, что тур¬
булентность порождается при обтекании твердого тела, например ци¬
линдра, показанного на рис. 6.1. Присутствие цилиндра, очевидно, на¬
рушает симметрию относительно переносов. Например, среднеквадра¬
тичная скорость в точке А вблизи цилиндра не может быть такой же,
как в точке 5, расположенной в турбулентном следе, так как скорость
вместе со своими флуктуациями должна быть равной нулю на твер¬
дых поверхностях. Такой турбулентный поток не может быть стро¬
го однородным (т. е. статистически инвариантным относительно пе¬
реносов). Однако возможна дискретная пространственная инвариант¬
ность, если тела, порождающие турбулентность, формируют периоди¬
ческую пространственную структуру, например решетку, изображен¬
ную на рис. 6.2. Пространственные переносы в направлении решетки
на расстояния, кратные ее периоду, сохраняют геометрию течения и
тем самым обеспечивают его инвариантность при не очень больших
числах Рейнольдса. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, ко¬
гда поток станет турбулентным, его статистические свойства сохранят
инвариантность относительно таких преобразований.
80
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
Рис. 6.2. Периодическая пространственная решетка, составленная из цилин¬
дров
Аналогичное замечание может быть сделано и о всех остальных
симметриях уравнения Навье-Стокса: порождающие турбулентность
механизмы, как правило, несовместимы с большинством возможных
симметрий, перечисленных в разд. 2.2.
Однако в гл. 1 мы видели, что качественно во многих турбулентных
потоках имеет место та или иная форма однородности, изотропии и,
может быть, масштабной инвариантности. Более того, степенное пове¬
дение структурной функции второго порядка (разд. 5.1) ясно указыва¬
ет на определенную масштабную инвариантность. Эти противоречивые
обстоятельства примиряет следующая гипотеза1:
Н1. В пределе бесконечно больших чисел Рейнольдса все возможные
симметрии, обычно нарушаемые порождающими турбулентность ме¬
ханизмами, восстанавливаются в статистическом смысле на малых
масштабах и далеко от границ.
Под «малыми масштабами» мы понимаем масштабы t <?С £о, где £q —
внешний, или интегральный масштаб, характеризует механизм воз¬
никновения турбулентности, например диаметр цилиндра в примере на
1 Так как наши гипотезы формулируются иначе, чем у Колмогорова, их нумерация
также не совпадает с его первой статьей 1941 г. '
б. 1. K41 и симметрии
81
рис. 6.1. Однородность на малых масштабах определяется как однород¬
ность приращений (разд. 4.3), т. е. в терминах приращений скорости2 :
6v(r, 1) = v(r +1) — v(r). (6.1)
li частности, предполагается, что
6v(r+pJ)l= 6v(rJ), (6.2)
для всех значений I и р, достаточно малых по сравнению с инте¬
гральным масштабом. (Эквивалентность по распределению определена
и разд. 4.3).
Аналогично, изотропия в настоящем контексте означает, что ста¬
тистические свойства приращения скорости сохраняются при одновре¬
менном повороте I и <Я7, а четность — при их одновременном обра¬
щении в противоположную сторону.
Так как существует бесконечное множество скейлинговых групп с
разными значениями показателя Л, для масштабных преобразований
требуется дополнительная гипотеза.
112. При тех же предположениях, что и в Н1, турбулентное течение
на малых масштабах самоподобно, га. е. имеет единственный скейлин-
ь'авый показатель h.
Таким образом, имеется такой скейлинговый показатель h £ М, что
Sv(r,Л?) ’= XhSv{r, 1), VA G R+, (6.3)
—*
для всех г и любых £ и А^, малых по сравнению с интегральным мас¬
штабом.
Как мы увидим в разд. 6.2, этот скейлинговый показатель опре¬
деляется при постулировании закона диссипации энергии, введенного
м разд. 5.2, и равен 1/3. Этот закон составляет содержание третьей
гипотезы.
ИЗ. При тех же предположениях, что и в Н1, у турбулентного по¬
тока существует конечное ненулевое значение средней удельной ско¬
рости диссипации е.
Здесь подразумевается, что интегральный масштаб £q и среднеква¬
дратичная флуктуация скорости vq при стремлении v —> 0 сохраняются
J Вместо приращений можно было бы использовать высокочастотную составляю¬
щую, определенную в разд. 2.4, с К£о 1.
82
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
постоянными, иначе следует рассматривать безразмерную диссипацию
eZo/vQ.
В этом месте следует напомнить, что в своей первой статье 1941 г.
Колмогоров на самом деле сделал предположение, отличающееся от пе¬
речисленных здесь гипотез:
Второе допущение Колмогорова об универсальности3 (ниже
не используется). В пределе бесконечно больших чисел Рейнольдса все
статистические свойства на малых масштабах однозначно и универ¬
сально определяются масштабом I и средней скоростью диссипации
энергии е.
Первое допущение Колмогорова об универсальности будет сформу¬
лировано в разд. 6.3.2.
Для иллюстрации сделанного Колмогоровым допущения рассмо¬
трим структурную функцию второго порядка ((5v(^))2). Эта величи¬
на имеет размерность [L]2[T]~2, где [L] и [Т] суть размерности длины и
времени соответственно. Так как средняя удельная диссипация энергии
е, очевидно, имеет размерность [L]2[T]”3, то из допущения об универ¬
сальности следует
((<fc7(£))2) = Се2/3е2/3, (6.4)
с универсальной безразмерной постоянной С. С другой стороны, по
гипотезе Н2, структурная функция второго порядка должна быть про¬
порциональна t2h. (В разд. 6.3.1 мы более детально проследим ход рас-
суждений этого типа.) Таким образом, единственным подходящим зна¬
чением оказывается h = 1/3.
Однако Ландау показал, что такие постоянные, как С, не могут
быть универсальными (разд. 6.4). Поэтому мы воздержимся от исполь¬
зования допущений об универсальности и выведем значение h = 1/3
другим методом.
6.2. Колмогоровский закон четырех пятых
В своей третьей статье 1941 г. (Kolmogorov 1941с) Колмогоров нашел
точное выражение для продольной структурной функции третьего по¬
рядка, т. е. среднего значения куба продольного приращения скорости.
Он исходил из однородности, изотропии и гипотезы НЗ о конечном
3 У Колмогорова оно названо «второй гипотезой подобия»; здесь мы формулируем
его несколько другими словами.
(>.2. Колмогоровский закон четырех пятых
83
пределе диссипации энергии и без каких-либо дальнейших допущений
ш.шел из уравнения Навье-Стокса следующий результат:
Макон четырех пятых. В пределе бесконечно больших чисел Рей¬
нольдса продольная структурная функция третьего порядка в одно¬
родной изотропной турбулентности, вычисленная для значений моду¬
ля разности радиус-векторов £, малых по сравнению с интегральным
масштабом, выражается через среднюю удельную диссипацию энергии
{предполагаемой стремящейся к конечному положительному преде¬
лу) как
<(Л,||(?,?))3> = -jet (6.5)
Это один из наиболее важных результатов в теории развитой тур¬
булентности, так как он одновременно и точен, и нетривиален. Тем са¬
мым он представляет собой нечто вроде «краевого условия» для теорий
турбулентности: в приемлемых теориях либо должен выполняться этот
пикон, либо должны явно нарушаться использованные при его выводе
предположения. Это приводит нас к необходимости дать достаточно
детальный вывод данного закона. Сам Колмогоров в 1941 г. не дал по¬
дробного вывода; он воспользовался более ранним соотношением, полу¬
ченным Карманом и Ховартом, и дополнил его коротким рассуждением
(менее 20 строк), которое выглядит правдоподобным4, но может быть
г делано и более аккуратным5
б.2.1. Уравнение Кармана-Ховарта-Монина
для анизотропной турбулентности
И своей статье 1941 г. о законе четырех пятых Колмогоров рассма¬
тривал свободно затухающую турбулентность. Однако на практике
турбулентность обычно поддерживается такими механизмами, как * *' Перед тем как привести свой эквивалент (6.5), Колмогоров пишет: «т. е. мы можем
полагать, что... Это можно ошибочно принять за дополнительную гипотезу, хотя
па самом деле автор хотел лишь предупредить читателя, что его вывод не вполне
• грог. (Это примечание при сравнении с русским оригиналом статьи Колмогорова
кажется излишним: Колмогоров пишет, что «при больших г... первым членом можно
пренебречь по сравнению со вторым, т. е. считать, что Дш ~ — §£г». В отличие
пт английского перевода, на который ссылается автор, здесь нет того смыслового
и гтенка, о котором он говорит. — Прим, ред.)
* Как заметил Г. Эйнк (G. Eyink, частное сообщение), приведенный ниже вывод
напоминает метод регуляризации, использованный Швингером (Schwinger 1951а) в
г го выводе аксиальной аномалии в квантовой электродинамике.
84
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
взаимодействие потока с твердыми препятствиями, термоконвективная
неустойчивость и т. п. Неоднородность, вносимая поддерживающим
турбулентность механизмом, может быть достаточно слабой для того,
чтобы не принимать ее во внимание на малых масштабах и вдали от
границ. Однако некий механизм возобновления энергии, рассеиваемой
за счет вязкости, все-таки необходим. Простой способ ввести такой ме¬
ханизм, уже упоминавшийся в разд. 2.4, состоит в том, чтобы добавить
неоднородность /(t,f) в правую часть уравнения Навье-Стокса:
dtv + v • W = — Vp + vV2v + /,
V-v = 0.
(6.6)
Будем предполагать, что эта «возмущающая» сила действует только
на больших масштабах и поэтому может служить моделью типичного
механизма порождения турбулентности, характеризуемого некоторой
крупномасштабной неустойчивостью (Edwards 1964, 1965). При выводе
закона четырех пятых есть значительный произвол в выборе этой
силы, так как существенной оказывается лишь величина средней
накачки/диссипации энергии. Мы будем предполагать, что случайная
сила f(t,r) стационарна и однородна, т. е. ее статистические свойства
остаются неизменными при пространственных и временных сдви¬
гах6 Пока мы не предполагаем изотропии. Далее, будем считать,
что решение уравнения Навье-Стокса однородно, но не обязательно
стационарно, чтобы иметь возможность учесть случай, когда сила
отсутствует. Наконец, допустим, что все моменты, используемые в
последующих выкладках, конечны (при v > 0).
Положим
е(£) = -dtl(v(r) -v{r + l)) , (6.7)
L нл
где величина 3*(-)|нл означает вклад в скорость, связанный с нелиней¬
ными членами в уравнении Навье-Стокса (переносом и давлением). Ве¬
личина е(1) имеет размерность скорости изменения удельной энергии
и будет называться потоком энергии в физическом пространстве. В
разд. 6.2.2 мы увидим, что более привычный поток энергии в фурье-
пространстве выражается в терминах фурье-преобразования е(£).
6 Эдвардс (Edwards 1965) предположил даже, что рассматриваемая сила дельта-
коррелирована по времени; это дает некоторые технические преимущества и, глав¬
ное, обеспечивает инвариантность при случайных преобразованиях Галилея (см.
разд. 6.2.5).
6.2. Колмогоровский закон четырех пятых
85
Уравнение Кармана—Ховарта—Монина. Однородные (но не обяза¬
тельно изотропные) решения уравнения Навъе-Стокса (6.6) удовле¬
творяют соотношению
e{t) = --Vl .(|8v{t)\4v{£)) =
Q , -iw , /-‘f-b Я? + t) +f(r -t)\ ,
= -dt^(v(r) -v(r + e)) + ( v{r) ) +
+ i^Vj(v(r) ■ v(r + £)),
(6.8)
где обозначает вектор частных производных по компонентам при-
ращения радиус-вектора I и
(|5v{l)\4v(i)) = (|<5f(f,£)|25f(f, £)), (6.9)
где приращение скорости определено в (6.1). (Отметим, что после
усреднения зависимость от г исчезает благодаря однородности.)
Доказательство. Здесь и ниже v/*, f;, vй- и обозначают
vi(r), /г (г), т + J, Vi(r'), d/dxi, д/дх[ и d/dti соответственно. После
усреднения с учетом однородности получим
«<(•» —аг«-)>=-v*((.». (ело
Теперь, согласно уравнению Навье-Стокса (6.6),
dt = - ^{viVjv'i) - ^d’jiv-v'jVi) -
- \WidiP) ~ \(vi&iJp') +
+ 2^/*) + 2^Vi^ +
+ \v {dn + d'jj) M)- (6-П)
Оба слагаемых во второй строке равны 0, поскольку рассматривают¬
ся только без дивергентные решения (1.3). Первое слагаемое третьей
строки можно переписать в виде (v(r)-f(r-I)), пользуясь тождеством
(v(r + £) • /(f)) = (v(r) • f(r - £)),
(6.12)
86
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
которое следует из однородности. Еще раз пользуясь однородностью,
преобразуем четвертую строку (6.11) в vV~(v(r) • v(r + £)). Наконец,
заметим, что
(|<5«|2<Ц) = + ((и- - щ){у[ - щЩ - Vj)) =
= - (ViV'iVj) + (viViVj) -
- 2(ViViVj) + 2(ViViVj). (6.13)
(Остальные слагаемые (v^Vj) — (viViVj) исчезают в силу однородности.)
Если теперь подействовать на правую часть (6.13) оператором V^., то
благодаря несжимаемости выживут только два последних слагаемых
и с точностью до коэффициента 4 мы получим правую часть первой
строки (6.11). Отсюда следует уравнение Кармана-Ховарта-Монина
(6.8). □
Мы называем здесь уравнением Кармана-Ховарта-Монина анизо¬
тропное обобщение соотношения, впервые полученного Карманом и
Ховартом (von Karman and Howarth 1938). Анизотропная версия со¬
держится в книге Монина и Яглома (Monin and Yaglom 1975, с. 364,
368-370), где его вывод «в основных чертах» связывается с именем Мо¬
нина (Monin 1959); отсюда наш выбор названия. Наш вывод этого со¬
отношения проще, чем в книге Монина и Яглома. В изотропном случае
оно обычно называется уравнением Кармана-Ховарта.
Отметим, что если в уравнении Кармана-Ховарта-Монина зафик¬
сировать вязкость v и перейти к пределу i —> 0, то в соотношении (6.8)
член • (\Sv(£)\2Sv(I)) стремится к нулю. В самом деле, при весьма
малом по модулю t приращение скорости зависит от него линейно (в
предположении гладкости при v > 0). Поэтому в пределе остается со¬
отношение
dt = (f(r) • v(r)) + v(v(r) • V2v(r)), (6.14)
которое просто выражает тот факт, что средняя энергия может изме¬
няться лишь под действием внешней силы и диссипации. На самом деле,
как мы сейчас увидим, при I ф 0 (6.8) является фактически соотноше¬
нием типа энергия-поток.
6.2.2. Поток энергии в однородной турбулентности
Нашим исходным пунктом будет уравнение обмена энергией между раз¬
ными масштабами (2.48), которое связывает (среднюю) интегральную
6.2. Колмогоровский закон четырех пятых
87
:шергию 8к, (среднюю) интегральную энстрофию (среднюю) инте-
гральную накачку энергии Тк и (средний) поток энергии Пк- Так как
сейчас мы имеем дело со случайными однородными функциями (а не пе¬
риодическими), то ряд Фурье, использованный в разд. 2.4 для задания
операции фильтрации (2.34)-(2.36), должен быть заменен на интеграл
Фурье. Например, низкочастотная составляющая скорости теперь
иыражается через поле скорости v и его преобразование Фурье v как
Аналогично, угловые скобки теперь надо понимать как усреднение по
ансамблю, а не пространственное усреднение по ячейке периодичности.
Учитывая эти изменения, результаты, полученные в разд. 2.4, полно¬
стью переносятся на рассматриваемый случай.
Для удобства перепишем уравнение обмена энергией между масшта¬
бами в виде
В разд. 2.4 мы дали выражение (2.52) для потока энергии Пк через
низко- и высокочастотную составляющие скорости. Теперь воспользу¬
емся уравнением Кармана-Ховарта-Монина (6.8), чтобы записать по¬
ток энергии в терминах моментов приращения скорости третьего по¬
рядка.
Выражение для потока энергии при однородной турбулентно¬
сти. Поток энергии через волновое число К выражается через моменты
ноля скорости третьего порядка как
Доказательство. Заметим, что (6.16) можно записать в виде
(6.15)
д&к + П к = Рк — 21/Пк-
(6.16)
Uk = ~^L dH S~^TLvt 2M*)> (6-!7)
П к = |нл>
где 8к — интегральный энергетический спектр:
(6.18)
£к = i«|2>.
(6.19)
88
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
Из (6.7), (6.15), (6.18), (6.19), тождества
(27г)3й(г)
и предположения об однородности мы сразу получаем
П к =
1
ФО*
(6.20)
(6.21)
Интеграл по к в (6.21) явно вычисляется; это проще всего сделать в
сферических координатах с осью, направленной вдоль вектора 1. После
небольшой выкладки получаем
1 f sm{K£) - Klcos(Kt) _/Т
~2
(6.22)
Из колмогоровской формулы (6.5) следует существование диапазона
значений на котором е(1) не зависит от L Если предположить, что
е(£) в (6.22) вообще есть константа, то интеграл расходится при боль¬
ших £ как f°° cos(jК£) d£. На самом деле расходимости нет, так как кор¬
реляции стремятся к нулю при значениях значительно превышающих
интегральный масштаб. Однако лучше проинтегрировать эту формулу
по частям и получить
SНК1) v
(6.23)
Подставляя сюда значение е(1) из (6.8), получаем (6.17). □
6.2.3. Поток энергии в однородной изотропной
тур булентности
Само по себе выражение для потока энергии (6.17) является доста¬
точным для вывода в рамках К41 величины скейлингового показателя
h = 1/3. Однако можно получить и более подробную информацию, ес¬
ли воспользоваться предположением об изотропности. С его помощью
можно выразить поток энергии через моменты третьего порядка про¬
дольного приращения скорости. К тому же эти моменты гораздо про¬
ще измерять на опыте (пользуясь гипотезой Тейлора, обсуждавшейся в
разд. 5.1).
(>.2. Колмогоровский закон четырех пятых
89
Выражение для потока энергии при однородной изотропной
турбулентности. Поток энергии через волновое число К выража¬
ется через продольную структурную функцию третьего порядка
Аз(0 = (ОЦ(гД))3) как
П* = -±J~d£ ^^(1 + + £де) (5 + £де) (6.24)
гд»> де = д/д£.
Доказательство. Сначала проведем некоторые предварительные вы¬
кладки, следуя Ландау и Лифшицу (см. §34 их книги (Landau and Lif-
rtliitz 1987)). В тех же обозначениях, которые были использованы при до¬
казательстве уравнения Кармана-Ховарта-Монина (разд. 6.2.1), опре¬
делим
— (vivjvm)i (6.25)
Bijm = ((^i — vi){Vj — Vj)(vm — %))• (6.26)
И силу изотропности тензор Ь^,т выражается через кронекеровские
дельты и компоненты единичного вектора
«? = f • (6.27)
()Гиций тензор третьего порядка, обладающий таким свойством и сим¬
метричный по индексам г и j, имеет вид
bij,m = стА+т (<w?+<w?)+mWA- (6-28)
Несжимаемость означает, что
д'тЪц,т = 0, Vi,i. (6.29)
()тсюда и из (6.28) простой выкладкой получаем
[£2(3C + 2D + F)]' = 0, С' + j(C + D) = 0, (6.30)
гд»! штрихи обозначают дифференцирование по I. Единственное реше-
ни<* первого из этих уравнений, оставляющее bijtTn ограниченным (и
тогда стремящимся к 0) при £ = 0, есть
ЗС + 2D + F = 0.
(6.31)
90
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
Из (6.30) и (6.31) все можно выразить через коэффициент С(£), так
что (6.28) превращается в
Ъц,т = CSijC - (С + £С'/2) («§ 4- Sim® + (£<?' - С)ЩРт. (6.32)
Аналогично, тензор определенный в (6.26), записывается как
ВЦт = —2(£С' + С) (6^т + 6imq + Sjmty + 6(£С - С)£°^С- (6.33)
Имея теперь эти предварительные результаты, мы замечаем, что
(из (6.33))
Sz(£) = ((fo|| (г, £)f) = ВЦтЩРт = —12(7, (6.34)
а по изотропности из (6.33)
(|fo(£)|2fo(£)> = Biim£°mj = (-4С' - ief) l (6.35)
Стало быть, в силу (6.8) и (6.34)
е{£) = • (|^)|2^)> = “ (3 + Щ (5 + Щ (6.36)
Подставляя это в (6.17), пользуясь (6.8) и интегрируя по угловым пе¬
ременным, мы получаем (6.24). □
Из (6.24) следует еще одно соотношение.
Баланс энергии при однородной изотропной турбулентности.
Однородная изотропная турбулентность удовлетворяет следующему
соотношению баланса энергии:
dtE(k) = Т(к) + F{k) - 2ик2Е(к), (6.37)
ад = -|-Щ= (6.38)
= Г cos(к£) (1 + где) (з + где) (5 + где) (б.зэ)
J о 6тг£
где
ВД = f ^|2>, F{k) = >
суть спектры энергии и накачки энергии соответственно.
(6.40)
0.2. Колмогоровский закон четырех пятых
91
Доказательство. Формулы (6.37)-(6.39) выводятся из уравнения
обмена энергией между разными масштабами (2.48), если подста-
иить к вместо К, продифференцировать по нему и воспользоваться
(2.49)-(2.51) и выражением (6.24) для потока энергии (после диффе¬
ренцирования по к под знаком интеграла). □
Функция Т(к), входящая в (6.37)—(6.39), называется переносом энер¬
гии. Будучи по определению минус производной потока энергии по вол¬
новому числу А;, она одновременно равна скорости изменения плотности
спектра энергии за счет нелинейных взаимодействий. Следовательно,
но (4.58) и (6.7) перенос можно выразить в терминах физического про¬
странства как
Т{к) = -- [°° k£sm(k£) e{i) d£. (6.41)
7Г J о
Пожалуй, соотношение (6.39) практичнее, так как структурная функ¬
ция третьего порядка более тесно связана с экспериментальными дан¬
ными. Однако в этой книге в основном используется не перенос, а поток
энергии по двум причинам: (i) постоянство потока энергии в инерци¬
онном интервале делает его более физически осмысленной величиной;
(ii) поток энергии можно определить и в том случае, когда волновой
исктор изменяется дискретно (например, при 27г-периодическом неслу¬
чайном течении), а перенос энергии — нельзя, так как он выражается
через производную по к.
6.2.4. От потока энергии к закону четырех пятых
До сих пор мы использовали только однородность и изотропность.
Теперь примем дополнительные предположения, специфичные для раз¬
витой турбулентности.
(i) Внешняя сила /(£, г) действует только на больших масштабах.
Конкретно предполагается, что спектр силы мал при волновых
числах К » К с ~ где £q — внешний масштаб. Иными словами,
/*-(*> г) ~ f(t, г) для К » Кс, (6.42)
где низкочастотная составляющая силы (f,f) определена выше
в разд. 2.4.
92
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
(ii) На больших временах решение уравнения Навье-Стокса стремит¬
ся к статистически стационарному состоянию, обладающему ко¬
нечной удельной энергией 7
(ш) В пределе бесконечно большого числа Рейнольдса (v —» 0) сред¬
няя удельная диссипация энергии8 е(у) стремится к конечному
положительному пределу (гипотеза НЗ разд. 6.1):
lim е(и) = е > 0. (6.43)
v-b о
(iv) Масштабная инвариантность (гипотезы Н1 и Н2) не предполага¬
ется.
Теперь перейдем к выводам из этих предположений. Стационар¬
ность (пункт (ii)) означает, что все слагаемые, содержащие производ¬
ные по времени, могут быть опущены. После этого закон изменения
полной энергии (6.14) и уравнение обмена энергией между масштаба¬
ми (6.16) принимают вид
{f • v) = —v(v • V2v) — e(v) (6.44)
и
Пк — 3~к ” 2v£Ik. (6.45)
Рассмотрим накачку энергии Тк при К » Кс. Пользуясь пунктом (i)
и формулой (2.51), получим
?к = (Тк • v) а (/ • v) = e(v). (6.46)
Рассмотрим диссипацию энергии 2vVLk- Утверждается, что при фикси¬
рованном К
lim 2 vSIk = 0. (6.47)
^->о
Действительно, имеем
2uClK = v№k\2) ^ vK2(\v£|2) <
< vK2(\v\2) = 2vK2E, ^6'48^
7 Это предположение неверно для двумерной турбулентности и других задач, харак¬
теризуемых «обратным каскадом» энергии, т. е. ее переносом от малых к большим
масштабам. В этом случае энергия течения может неограниченно возрастать при
t —> оо (см. также разд. 9.7).
8 Это единственное место, где стоит явно указать на зависимость е от вязкости.
ci 2. Колмогоровский закон четырех пятых
93
где? Е есть средняя энергия (в пункте (ii) предполагается, что она огра¬
ничена). Первое равенство следует из (2.50),ча первое неравенство —
из того факта, что результат действия оператора ротора на низкоча¬
стотную составляющую поля, обрезанную на волновом числе if, имеет
норму, ограниченную К.
В (6.45) примем К » Кс и устремим и —> 0. Пользуясь (6.43)
(пункт (ш)), (6.46) и (6.47), получаем
Нш Пк = е, V К » Кс. (6.49)
С физической точки зрения полученный результат очевиден: в ста¬
тистически стационарном случае поток энергии не зависит от рассма¬
триваемого масштаба и равен полной накачке/диссипации энергии, по-
гкольку нет ни прямой накачки энергии (if ifc), ни ее диссипации
(г -> 0). Сопоставляя (6.49) с соотношением (6.24) для потока энергии
и заменяя переменную интегрирования на х = Ki, получаем (подразу¬
мевается, что и ^ 0):
Пк = - /°° dx = е, УК » Кс. (6.50)
;»дгс:ь
F(i) = (1 + еде)(3 + где) (5 + Щ (6.51)
Теперь заметим, что при больших К поведение интеграла (6.50) опреде¬
ляется поведением F(t) при малых a f£°dx (sinx/x) = 7г/2. Поэтому
при малых t
F{f) ~ —Vie. (6.52)
После подстановки в (6.51) это дает линейное дифференциальное урав¬
нение третьего порядка, которое легко решается (подстановкой 1п^ как
независимой и Sz(£)/£ как зависимой переменной). Единственное реше¬
ние, которое при i = 0 обращается в нуль9 , — это
Sz{i) = -\el. (6.53)
О
Гем самым вывод закона четырех пятых завершен. * •" Исчезновение 5з(^) при £ —> 0 для v -> 0 следует из постулированной регулярности
гпчения. Здесь предельный переход v —> 0 осуществляется до того как £ —> 0 и
|ич улярность не гарантирована, но есть экспериментальное подтверждение, что она
• охраняется.
94
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
6.2.5. Обсуждение колмогоровского закона четырех пятых
Во-первых, обсудим тот вывод закона четырех пятых, который дал сам
Колмогоров. Как уже говорилось, этот вывод очень краток. Главным
образом в нем используется уравнение Кармана-Ховарта, т. е. изотроп¬
ная версия формулы (6.8). Напомним также, что Колмогоров работал
со свободно затухающей турбулентностью (без вынуждающей силы).
Кроме того, он подразумевал существование инерционного интервала
значений которые (в обозначениях нашей книги): (i) достаточно ма¬
лы, чтобы скорость изменения корреляционной функции скорости, за¬
висящей от расстояния была близка к ее значению при £ = 0, а именно
—2е, и (ii) достаточно велики, чтобы можно было пренебречь диссипа-
ционным слагаемым i/V|(#(r) ■ v(r + £)). В действительности предпо¬
ложение (i) у Колмогорова явно не было сформулировано. Наш вывод
значительно длиннее, так как он включает доказательства результа¬
тов, которыми пользовался Колмогоров, а также обоснование совмест¬
ности допущений, которые при нашем подходе играют роль (i) и (ii).
Для этого нам пришлось предположить, что турбулентность поддержи¬
вается внешней силой. В таком случае из (6.45) следует, что допущения
совместны, если
К?!>Кс~£о1 и \2vSIk\ < £• (6.54)
Интервал волновых чисел, в котором оба условия (6.54) выполнены, на¬
зывают инерционным интервалом. Это название объясняется тем, что
при таких волновых числах динамика определяется в основном инер¬
ционными членами в уравнении Навье-Стокса, т. е. теми, в которые
не входят вынуждающая сила или диссипация. С учетом (6.48) второе
условие в (6.54) будет удовлетворено, если
е \1/2 = (П\1/2 =у/5
2vE) [eJ А ’
(6.55)
где Е и fi, средняя энергия и средняя энстрофия, определены в разд. 2.3.
Правая часть этого неравенства есть обратная величина тейлоровского
масштаба А, определенного в (5.10). При малых и тейлоровский мас¬
штаб А ос V1!2 (поскольку ей Е предполагаются постоянными). Поэто¬
му при малой вязкости инерционный интервал простирается от мас¬
штабов ~ £q по меньшей мере до масштабов ~ А ос v1!2. На самом деле
ti.2. Колмогоровский закон четырех пятых
95
мм увидим, что инерционный интервал, вероятно, доходит до масшта¬
бов ос i^3/4, хотя этот результат получается не столь интуитивно ясным
образом.
Во-вторых, заметим, что (6.53) инвариантно при случайных пре¬
образованиях Галилея. Из разд. 2.2 мы знаем, что для течения, не име¬
ющего границ, в отсутствие внешней силы уравнение Навье-Стокса ин¬
вариантно относительно преобразований Галилея: для всякого вектора
f/, если v(t,r) является решением, то вместе с ним уравнению удовле¬
творяет и
vr(t, г) = и (£, г — Ut) + U (6.56)
Мели v(t,r) однородна и стационарна, то такова же и vr(t,r). Однако
изотропия не сохраняется, так как U выделяет некоторое направление.
Поэтому галилеевскую инвариантность трудно использовать для про¬
верки предсказаний теории однородной и изотропной турбулентности.
Чтобы обойти эту трудность, Крайчнан (Kraichnan 1964, 1965, 1968а)
предложил считать U случайным изотропно распределенным вектором.
(Например, можно выбрать гауссовское распределение, но это несуще-
гтиенно.) Такое случайное галилеевское преобразование оставляет не¬
изменными все структурные функции, в частности Ss{£)- Действитель-
im, U сокращается в приращении скорости, a Ut за счет однородности
распределения — в приращении пространственного аргумента10 Ана¬
логичным образом инвариантна и средняя диссипация е. Тем самым
ткон (6.53) полностью инвариантен. Заметим, что наличие вынужда¬
ющей силы разрушает галилеевскую и случайную галилеевскую инвари¬
антность уравнения Навье-Стокса11, но это не влияет на вывод закона
четырех пятых, так как (вычисленные в один и тот же момент време¬
ни) корреляции скорости и силы, входящие в (6.8), инвариантны при
галилеевских преобразованиях12
П-третьих, заметим, что при выводе закона четырех пятых мы сде¬
лали несколько предельных переходов: (i) t —> оо, чтобы достичь стати-
гти чески стационарного состояния; (ii) гу —0, чтобы исключить дис-
г и нацию на конечных масштабах; (ш) £ —> 0, чтобы исключить прямое * •! )то не было бы так, если бы скорости вычислялись в разные моменты времени.
К :ли только сила не дельта-коррелирована во времени.
и Мною было сделано неверное замечание, исправленное Крайчнаном (Kraich-
пап 1994), что инвариантность закона четырех пятых при случайных галилеев-
• mix преобразованиях связана с так называемой локальностью взаимодействий (см.
|1|ЦД. 7.3).
96
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
влияние крупномасштабной вынуждающей силы. Тем самым правиль¬
ная формулировка (6.53) имеет вид
lim lim lim = -\е.
£->0 i/-»0 t—юо £ 5
(6.57)
Любая попытка изменить порядок предельных переходов приводит к
трудностям. Например, если устремить £ —> 0 до того, как и —> О,
то структурная функция третьего порядка будет вести себя, как (?.
Действительно, в присутствии вязкости при малом £ приращение ско¬
рости будет зависеть от него линейно, так как поток предполагается
гладким. Ответ на вопрос о том, можно ли поменять местами пределы
v 0 и t —> оо, зависит от степени гладкости трехмерного уравнения
Эйлера (уравнения Навье-Стокса при и = 0). Если за конечное время
не возникает сингулярностей, то легко показать, что в любой фиксиро¬
ванный момент времени диссипация энергии стремится вместе с вязко¬
стью к нулю, а не к конечному положительному пределу, необходимому
для вывода закона четырех пятых. В настоящее время вопрос о регу-
лярности/сингулярности для трехмерного уравнения Эйлера остается
открытым (см. разд. 7.8 и 9.3).
Наконец, отметим, что соотношение, аналогичное закону четырех
пятых, может быть выведено и без предположения об изотропности.
Сохраняя все остальные допущения, из (6.8) можно вывести, что в пре¬
деле г/->0и при малых £
—iv(- <|W$|JW(?)> = £. (6.58)
По смыслу это соотношение совпадает с формулой (22.15) в книге Мо¬
нина и Яглома (Monin and Yaglom 1975).
Эти авторы затрагивают интересный вопрос о том, что произойдет,
если поток будет однороден на всех масштабах, а изотропен только на
малых. Так как в (6.58) входят только приращения скорости, при малых
£ оно должно быть эквивалентно закону четырех пятых (6.53). Однако
в (6.53) входят только продольные приращения скорости, а в (6.58) — и
продольные, и поперечные. Пользуясь (6.33), все можно выразить через
моменты третьего порядка продольных приращений скорости. Тем не
менее это соотношение до сих пор было доказано только в глобально
изотропном случае.
С этим вопросом связан другой, относящийся к случаю изотропного
потока, который имеет лишь однородные приращения, как и предпола-
(1.3. Основные результаты теории Колмогорова 1941 года
97
гастся в теории К41 (как в ее первоначальной формулировке у Колмо¬
горова, так и у нас в разд. 6.1). В разд. 4.5 мы указывали, что случайные
функции с однородными приращениями иногда можно рассматривать
как пределы строго однородных случайных функций. Если мелкомас¬
штабное течение с однородными приращениями можно рассматривать
как часть некоторого крупномасштабного однородного потока, то за¬
кон четырех пятых останется справедливым. Заметим, что крупномас¬
штабный поток при этом не обязан удовлетворять уравнению Навье-
Стокса, а только условию несжимаемости. В самом деле, при выводе
соотношений (6.32)-(6.34) использовались только кинематические со¬
ображения.
В настоящий момент мы можем лишь утверждать, что лучшие до¬
ступные экспериментальные данные (например, показанные на рис. 8.6
и разд. 8.3) подтверждают выполнение закона четырех пятых.
6.3. Основные результаты теории Колмогорова 1941 года
6.3.1. Закон Колмогорова-Обухова и структурные функции
Теперь возобновим изложение теории К41, пользуясь тремя основными
гипотезами HI, Н2 и НЗ, введенными в разд. 6.1. Во-первых, покажем,
что из закона четырех пятых следует
Л=|. (6.59)
Перепишем закон четырех пятых (6.5) в виде
«*>11(0)®) = (в.60)
где продольное приращение скорости Sv\\(£) определено в (5.2). Соглас¬
но гипотезе Н2 при изменении величины £ в Л раз левая часть (6.60) из¬
меняется в X3h раз, а правая — в Л раз. Отсюда сразу следует (6.59). В
действительности для вывода самого равенства h = 1/3 предположение
об изотропности не требуется. В самом деле, из соотношения (6.17),
которое справедливо независимо от изотропности, и предположения о
масштабной инвариантности скорости со скейлинговым показателем h
легко следует, что П# ос Ki-3h
и не зависит от К лишь при h = 1/3.
Здесь следует подчеркнуть, что вывести h = 1/3 из выражения (2.52)
для потока энергии нельзя. Дело в том, что это выражение включает
98
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
как так и v^. Пользуясь гипотезой Н2 разд. 6.1, легко получить,
что v^jЛ 1= (Видно, что включает только малые масштабы.)
Однако не существует простого преобразования гГ^, так что данное
рассуждение не может быть завершено. Это наблюдение показывает,
как важно было выразить поток энергии исключительно в терминах
приращений скорости.
Теперь выясним, какие результаты следуют отсюда для момен¬
тов (продольного) приращения скорости на расстояниях, принадлежа¬
щих инерционному интервалу, в предположениях об однородности и
изотропности. Допустим, что моменты всех положительных порядков
р > 0 конечны (см. разд. 8.3). Определим продольную структурную
функцию порядка р как
s <(Л.||№П. (6.61)
Аргумент структурной функции здесь полагается положительным, так
—ф
как t есть абсолютная величина приращения радиус-вектора t. Аль¬
тернативой может служить следующее определение, допускающее как
положительные, так и отрицательные значения х:
Sp{x) = ( + xf) - v{r)) • £°]P) 1 (6.62)
-o
где t — произвольный единичный вектор. При положительных х
это определение совпадает с предыдущим. Вследствие изотропии так
определенные функции будут четными (нечетными) для четных (нечет¬
ных) р13
Из гипотезы о самоподобии Н2 и (6.59) следует, что
sp{t) ос £р/3. (б.бз)
Так как (е£)р!3 имеет ту же размерность, что Sp, получаем
Sp(£) = Срер/3е/3, (6.64)
где величина Ср безразмерна. Ср при разных р не могут зависеть от
числа Рейнольдса, так как для него уже сделан предельный переход к
13 Иногда структурные функции определяются через абсолютную величину прира¬
щения скорости. Это может быть оправдано при нецелых, но не при нечетных це¬
лых р. Например, колмогоровский закон четырех пятых выполнен для структурной
функции третьего порядка без модуля.
6.3. Основные результаты теории Колмогорова 1941 года
99
бесконечности. Для р = 3 из (6.53) следует, что Сз = —4/5, т. е. Сз уни¬
версальна и не зависит от конкретного течения. В приведенном нами
выводе, однако, ничто не мешает Ср при р ф 3 не быть универсальной.
В первой статье Колмогорова 1941 г. эта универсальность была посту¬
лирована, в чем позднее усомнился Ландау. В разд. 6.4 мы подробно
обсудим этот вопрос. Сринивасан приводит обзор ряда экспериментов,
в которых измерялась константа C<i (Sreenivasan 1995) при значени¬
ях R\ от примерно 50 до более чем 104, и выводит Съ = 2,0 ± 0,4. В
принципе, следовало бы называть константу С2, которую Колмогоров
обозначал С, константой Колмогорова. К сожалению, такое название
закрепилось за константой, стоящей перед размерной частью продоль¬
ного энергетического спектра, которая в действительности в 4,02 раза
меньше.
Заметим, что в выражение (6.64) для структурной функции вхо¬
дят только скорость диссипации энергии и величина но не внешний
масштаб £$. Поэтому из теории К41 вытекает, что после предельных
переходов и —у 0 и £о оо, выполняемых в произвольном порядке при
фиксированной е, все структурные функции будут иметь конечные пре¬
делы, по крайней мере поскольку константы Ср остаются конечными.
Иажно, что справедливо и обратное утверждение: если структурные
функции имеют конечные не равные нулю пределы при v —> 0 и £q —» 00
при постоянной е, то эти пределы имеют колмогоровский масштабно¬
инвариантный характер. Действительно, при конечном £о из соображе¬
ний размерности следует, что структурная функция порядка р дается
правой частью (6.64), умноженной на безразмерную функцию Sp(£/£0);
эта функция по предположению имеет конечный предел при £q 00
или, что то же, при £ —У 0, откуда и следует соответствующий скей-
линг. Следовательно, для появления отклонений от К41, обсуждаемых
н гл. 8, требуется, чтобы структурные функции порядков, отличных от
3, имели явную зависимость от внешнего масштаба на расстояниях,
лежащих в инерционном интервале.
Теперь вернемся к выводам из К41. Так как структурная функция
второго порядка подчиняется закону ^2/3, то для энергетического спек¬
тра получается закон А;-5/3. Действительно, из (4.60), (4.61) и (6.64)
следует
Е(к) ~ е2/3АГ5/3. (6.65)
Экспериментальные результаты, изложенные в разд. 5.1, подкрепля¬
ют теорию К41 в той ее части, которая касается структурной функции
100
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
второго порядка (и тем самым спектра). Как мы увидим позже, соот¬
ветствие между теорией К41 и экспериментальными данными стано¬
вится сомнительным при р > 3.
6.3.2. Влияние конечной вязкости: диссипационный интервал
В разд. 6.2.5 мы видели, что при малой вязкости v существует инер¬
ционный интервал, в котором пренебрежимо малы как накачка, так и
диссипация энергии. Было показано, что инерционный интервал про¬
стирается не менее, чем до тейлоровского масштаба Л = (5E/Q,)1/2. Те¬
перь воспользуемся уточненными результатами разд. 6.3.1 (которые,
правда, включают некоторые недоказанные дополнительные допуще¬
ния), чтобы показать в рамках теории К41, что в действительности
инерционный интервал достигает «колмогоровского диссипационного
масштаба»
Будем исходить из соотношения для потока энергии (6.45) и предполо¬
жим, что К Кс, так что Тк — е. В диссипационное слагаемое входит
интегральная энстрофия
Подставив величину энергетического спектра (6.65) в инерционном
диапазоне Е(к) в (6.67), мы можем найти волновое число, ниже кото¬
рого диссипационное слагаемое 2иПк в (6.45) пренебрежимо мало по
сравнению с потоком энергии е. При этом получается следующее «дис¬
сипационное число» (константы порядка единицы опущены):
т. е. обратная величина колмогоровского диссипационного масштаба т/,
определенного выше. Диапазон масштабов, сравнимых или меньших 77,
называется диссипационным интервалом. В этом интервале поступле¬
ние энергии, связанное с нелинейными взаимодействиями, и ее рассе¬
яние при диссипации находятся в равновесии. Не следует поэтому ду¬
мать, что нелинейными эффектами в диссипационном диапазоне можно
пренебречь.
(6.66)
(6.67)
(6.68)
б.Л. Основные результаты теории Колмогорова 1941 года
101
Сам Колмогоров вводил диссипационный масштаб г) по-другому:
Первое допущение А. Н. Колмогорова об универсальности14
При очень больших, но конечных числах Рейнольдса все статистиче¬
ские свойства на малых масштабах однозначно и универсально опреде¬
ляются величинами масштаба £, средней скорости диссипации энергии
и вязкости v {или, что то же, £, е и rj).
Здесь предполагается, что рассматриваемые масштабы малы по от¬
ношению к внешнему масштабу, т. е. относятся к инерционному и дис-
с инационному интервалам. По соображениям размерности из первого
допущения об универсальности следует, что при больших волновых чи¬
слах энергетический спектр должен иметь следующий универсальный
иид:
E(k) = e2/3k~5^F(T]k), (6.69)
где jF(-) — универсальная безразмерная функция безразмерного аргу¬
мента. По второму допущению Колмогорова об универсальности (см.
рпэд. 6.1) F(-) имеет конечный положительный предел (называемый
константой Колмогорова) при стремлении своего аргумента к нулю.
Универсальность всей функции F(-) была поставлена под сомнение
Фришем и Морфом (Frisch and Morf 1981) по тем же соображениям,
которые использовал Ландау для критики универсальности константы
Колмогорова (см. разд. 6.4).
Вскоре после появления теории К41 было сделано несколько попы¬
ток определить вид функции F{•) при больших волновых числах. Здесь
мы не будем на них останавливаться (см., например, книгу (Monin and
Yaglom 1975)). Наиболее интересное замечание в связи с этой проблемой
принадлежит фон Нейману (von Neumann 1949). Он указал, что фурье-
образ аналитической функции экспоненциально убывает при больших
иолновых числах, причем логарифмический декремент затухания 5 ра¬
нен модулю мнимой части полюса на комплексной плоскости, располо¬
женного наиболее близко к действительной прямой. Поэтому, с точки
зрения фон Неймана, экспоненциальное убывание при больших к более
иероятно, чем быстрое степенное убывание, предложенное Гейзенбер¬
гом (Heisenberg 1948). В действительности, для случайной однородной
функции дело обстоит несколько сложнее: величина 6 имеет распределе¬
ние вероятности Р(6), и форма энергетического спектра при больших
к определяется преобразованием Лапласа Р(6) вблизи его минимума
14 Колмогоров называл его «первая гипотеза подобия» и формулировал несколько
иначе.
102
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
6* (Frisch and Morf 1981). Экспоненциальный спад (возможно, со сте¬
пенным множителем) в этом случае возможен лишь, если 5* > 0, т.е.
если действительная область имеет окрестность, в которой (почти) все
реализации аналитические. Это свойство называется равномерной ана¬
литичностью. Экспериментальные результаты (Gagne 1987) говорят в
пользу выполнения этого условия. Мы вернемся к вопросу об особенно¬
стях на комплексной плоскости в связи с перемежаемостью в диссипа-
ционном интервале (разд. 8.2).
6.4. Колмогоров и Ландау: отсутствие универсальности
Важный вопрос в теории развитой турбулентности связан с возраже¬
нием Ландау относительно допущения об универсальности. В разде¬
лах 6.4.1-6.4.3 мы рассмотрим исходную формулировку несколько за¬
гадочного возражения Ландау (разд. 6.4.1), его современную интерпре¬
тацию (разд. 6.4.2, с которого, вероятно, пожелают начать некоторые
из наших читателей) и свидетельства того, что Колмогоров на самом
деле располагал версией своей теории, которая выдерживает критику
Ландау (разд. 6.4.3).
6.4.1. Первоначальная формулировка возражения Ландау
В первом издании книги Ландау и Лифшица по механике жидкости,
вышедшем в 1944 г., имеется примечание15, которое в последующих
изданиях вошло в основной текст. Приведем его полностью по позд¬
нейшему, третьему изданию (Landau and Lifshitz 1987), заменив лишь
обозначения приращения скорости, структурных функций и внешнего
масштаба на используемые в нашей книге.
Можно было бы думать, что существует принципиальная взможностъ полу¬
чить универсальную (применимую к любому турбулентному движению) фор¬
мулу, определяющую величину 5г(^) для всех расстояний £, малых по сравне¬
нию с £о. В действительности, однако, такой формулы вообще не может
существовать, как это явствует из следующих соображений. Мгновенное
значение величины (6v\\(£)) можно было бы, в принципе, выразить универ¬
сальным образом через диссипацию энергии е в тот же момент времени.
Однако, при усреднении этих выражений будет существенным закон изме¬
нения е в течение периодов крупномасштабных (масштабы ~ £о) движений,
15
В дальнейшем мы будем называть его «замечанием 1944 г.».
(i,'I. Колмогоров и Ландау: отсутствие универсальности
103
различный для различных конкретных случаев движения. Поэтому и резуль¬
тат усреднения не может быть универсальным.
Возможно, что Ландау вскоре после публикации теории К41 высказы¬
вал свое замечание в этой же формулировке и лично Колмогорову, ко¬
гда они оба находились в Казани, куда перед угрозой наступления на¬
цистов эвакуировались многие московские учреждения. Однако един¬
ственная известная нам запись замечания Ландау относится к его вы¬
ступлению на общем собрании отделения физико-математических наук
АН СССР в Казани 26-28 января 1942 г. и сформулирована иначе. Ре¬
ломе сказанного им было опубликовало (Kolmogorov 1942). В соответ¬
ствии с этим резюме Колмогоров сначала кратко изложил свои резуль¬
таты 1941 г., а затем высказал идею их приложения к моделированию
турбулентности, обсуждение которой выходит за пределы настоящей
книги. В конце заседания Ландау сделал следующее замечание16
.//. Ландау отмечает, что А. Н. Колмогоров впервые дал правильное понима¬
ние локальной структуры турбулентного потока. Что касается уравнений
турбулентного движения, то, по мнению Ландау, должен быть непремен¬
но учтен тот факт, что в турбулентном потоке наличие ротора скоро¬
сти ограничено конечной областью пространства; качественно правильные
уравнения должны приводить к такому характеру распределения вихрей.
Как замечание 1944 г., так и казанское замечание нуждаются в не¬
которых объяснениях, которые будут даны в следующем пункте.
(1.4.2. Современная формулировка возражения Ландау
Вдесь мы приведем интерпретацию замечания Ландау 1944 г., которая
в основном восходит к Крайчнану (Kraichnan 1974). Ландау пытался
показать, что коэффициент Ср в (6.64) при р ф 3 не может быть уни¬
версальным, т. е. должен зависеть от особенностей геометрии турбу¬
лентного течения.
Величина е в (6.64) — это средняя скорость диссипации, причем
усреднение происходит вдоль аттрактора, т. е. это среднее по времени.
'Гсперь построим суперансамбль, состоящий из N > 1 экспериментов,
дающих разные положительные значения средней скорости диссипации,
обозначаемые Si (i = 1,..., N). Различия могут объясняться, напри¬
мер, разными значениями внешнего масштаба потока. Предположим,
1(1 В дальнейшем мы будем называть его «казанским».
104
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
что коэффициенты Ср универсальны. Обозначим через Sp(£) структур¬
ную функцию г-го потока. Из (6.64) имеем
Sj(*) = CP(e*)p/3^/3. (6.70)
Теперь допустим, что применение (6.64) к данному суперансамблю за¬
конно (ниже мы к этому вернемся). Определим
spcj™pm = ^£s*pW - ^ <6-71)
i i
т. е. усредненные по суперансамблю структурные функции и скорость
диссипации соответственно. Из (6.64) и (6.70) получаем
(^Е£<)Р/ =^1»р/3- (6-72)
Это соотношение противоречиво, если р не равно 3.
Все это рассуждение строится на допущении, что разные течения
можно рассматривать как части одного «суперпотока». Такое допуще¬
ние можно оправдать, если рассмотреть один поток, в котором харак¬
теристические величины медленно изменяются в пространстве так, что
масштаб этого изменения велик по сравнению с внешним, или инте¬
гральным масштабом турбулентности. Например, рассмотрим аэроди¬
намическую трубу, в которой однородный поток набегает со скоростью
V на решетку из параллельных стержней, оси которых отстоят друг от
друга на расстояние га. Как показано на рис. 6.3, имеются стержни двух
типов: тип А с диаметром d\ и тип В с диаметром d<i > d\. При сборке
решетки типы А и В выбирались случайно, но так, чтобы в среднем
преобладающий тип изменялся через каждые М стержней, где М —
большое число (скажем, 1000). Ниже решетки (скажем, на 100 ее ша¬
гов) турбулентный поток за участками с преобладанием типа В имеет
больший интегральный масштаб, чем за участками с преобладанием
типа А. Следовательно, удельная скорость диссипации €2 за участками
типа В меньше, чем скорость диссипации е\ за участками типа А. (По
соображениям размерности е при изменении масштаба преобразуется
как Vs/d.) В этом примере ясно, что свойства турбулентных вихрей в
некоторой точке могут существенно зависеть только от расположенных
рядом с ней стержней. Однако в то же время все области турбулент¬
ного потока связаны друг с другом (например, с помощью давления),
так что законно рассмотрение суперансамбля как единого потока.
(>.4. Колмогоров и Ландау: отсутствие универсальности
105
^
^
^
>>
=►
^
V ►
>■
=►
^
>>
=►
=►
о
о
о
о
^2
■»
Cl
^2
Рис. 6.3. Иллюстрация возражения Ландау по поводу универсальности кон¬
стант Ср, входящих в структурные функции, на примере решетки из стержней
двух типов
Отметим, что замечание Ландау 1944 г. было сформулировано во
временной, а не пространственной области. Именно такую картину мы
получим, если в приведенном выше примере придадим решетке медлен¬
ное равномерное движение параллельно самой себе; покоящийся датчик
тогда последовательно будет встречать вихри, связанные то с участка¬
ми типа А, то типа В.
Есть и другая интересная конкретизация замечания Ландау 1944 г.,
в которой используется и «казанское замечание». Она относится к тому
ИИ»
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
экспериментальному факту, что в турбулентной струе завихренность
сосредоточена в конической области с очень резкой внешней границей,
вне которой течение остается ламинарным, как показано на рис. 1.14.
Мгновенная форма этой границы очень сложна (возможно, она обла¬
дает фрактальными свойствами)17 и, разумеется, изменяется со вре¬
менем. Поэтому датчик, помещенный на некотором расстоянии от оси
струи, обнаружит присутствие турбулентности лишь в течение какой-
то доли времени наблюдения, снижающейся по мере удаления от оси18
Тем самым (кажущаяся) константа Колмогорова будет изменяться с
расстоянием от оси (Kuznetsov, Praskovsky and Sabelnikov 1992).
Отметим, что в вышеприведенных рассуждениях мы (в отличие
от Ландау) предполагали, что внешний, или интегральный, масштаб
и сверхбольшой масштаб, характеризующий модуляцию накачки энер¬
гии, отделены друг от друга. Другими словами, мы должны были до¬
пустить, что механизм порождения турбулентности является, как ми¬
нимум, двухмасштабным. Иначе не ясно, как можно было бы опроверг¬
нуть допущение об универсальности.
Добавим еще несколько слов для тех читателей, которые знако¬
мы с методом ренормгруппы, который будет кратко обсуждаться в
разд. 9.6.4. В статье (Forster, Nelson and Stephen 1977) исследована зада¬
ча о турбулентности со случайной вынуждающей силой, спектр которой
подчиняется степенному закону F(k) = 2Dks~€, где е — малое положи¬
тельное число. Тогда коэффициент D входит в выражение для энергети¬
ческого спектра в степени 2/3, так что обоснование неуниверсальности
в духе Ландау проводится почти так же, как выше. Фурнье и Фриш по¬
казали (Fournier and Frisch 1983а), что, по крайней мере при отсутствии
корреляций на очень больших расстояниях, безразмерную константу в
энергетическом спектре (аналог константы Колмогорова) можно явно
выразить через е (для малых б), что доказывает ее универсальность.
6.4.3. Возможно ли «примирение» Колмогорова и Ландау?
При изложении теории К41 в этой главе мы вместо универсальности
пользуемся масштабной инвариантностью (например, при выводе зако¬
на двух третей). Поэтому полученные результаты совместимы с заме-
17 Граница бывает столь прихотлива, что некоторые «карманы» с ламинарным те¬
чением могут достигать оси турбулентной струи.
18 Это явление известно как «внешняя перемежаемость»; его связь с перемежаемо¬
стью, обсуждаемой в гл. 8, неясна.
Исторические замечания к теории Колмогорова 1941 года
107
члпием Ландау 1944 г. В действительности, и сам Колмогоров в какой-
то степени имел в виду возможность иной формулировки своей теории
I !)41 г.
Действительно, обратимся к его третьей статье 1941 г. (Kolmogorov
1941с). После вывода закона четырех пятых Колмогоров говорит сле¬
дующее (обозначения изменены):
Нс.тественно допустить, что при больших I отношение Ss(£)/(S2(i))3^2, то
есть асимметрия распределения вероятностей для разности 8v\\{t), остает¬
ся постоянной.
(Здесь «большими» называются масштабы, принадлежащие инерцион¬
ному интервалу.) Другими словами, Колмогоров постулирует опре¬
деленный вид масштабной инвариантности. Заметим также, что он
предполагает постоянство асимметрии (независимость от масштаба),
л не универсальность (независимость от вида течения). Из этого допу¬
щения и (6.5) он выводит закон двух третей для S2W (его формула (9))
и отмечает, что
Соотношение (9) было выведено в (Kolmogorov 1941а) из несколько других
соображений.
Поэтому кажется оправданным относить название К41 и к масштабно¬
инвариантному варианту теории. В то же время в своей третьей статье
1941 г. Колмогоров не пробует отказаться от универсальности, а, на¬
оборот, делает попытку оценить значение константы Колмогорова из
экспериментальных данных19 Как мы увидим в гл. 8, Колмогоров не
пытался изменить теорию 1941 г. до начала 1960-х гг.
6.5. Исторические замечания к теории Колмогорова
1941 года
Закон fc“5/3 для энергетического спектра, являющийся прямым след¬
ствием закона двух третей, на самом деле не был выписан в явном виде
в первой статье Колмогорова о турбулентности. Впервые он встречает¬
ся в статьях Обухова (Obukhov 1941а,b), который вывел его из сообра¬
жений замыкания: он угадал простое выражение для потока энергии
19 Колмогоров очень интересовался экспериментальными аспектами турбулентно¬
сти и частично приписывал это влиянию Людвига Прандтля, с которым он встре¬
чался во время своей поездки в Геттинген в 1930 г. (В. И. Арнольд, частное сообще¬
ние).
108
Глава 6. Теория Колмогорова 1941 года
П(А:), использующее только энергетический спектр и правильное по раз¬
мерности. Как утверждал Колмогоров (Kolmogorov 1941с), обуховский
вывод является «независимым» от его собственного. Метод Обухова не
дает выражений для структурных функций выше второго порядка.
На Западе результаты Колмогорова оставались неизвестными до
послевоенного периода, когда к ним было привлечено внимание благо¬
даря Бэтчелору (Batchelor 1946, 1947, 1953). Так как замечания Ландау
стали известны лишь значительно позже, акцент делался на универсаль¬
ность.
Теория Колмогорова несколько раз независимо переоткрывалась
разными учеными. Этот вопрос подробно исследован в статье (Bat-
timelli and Vulpiani 1982), откуда в основном заимствованы последую¬
щие сведения.
Находясь под арестом в Фарм Холл под Кембриджем в конце 1945 г.,
Гейзенберг и фон Вайцзеккер развили основанную на замыкании цепоч¬
ки структурных функций теорию развитой турбулентности, достаточ¬
но близкую к теории Обухова. Эта теория тоже дает закон А;“5/3 для
энергетического спектра. Их результаты были опубликованы в статьях
(von Weizsacker 1948; Heisenberg 1948).
Онсагер получил закон А;”5/3 (на самом деле А;-11/3, так как он рабо¬
тал с трехмерным спектром) при рассмотрении энергетического каска¬
да, дополнительно предполагая, как и Колмогоров, зависимость лишь
от волнового числа и скорости диссипации энергии. Он тоже подчерк¬
нул универсальность множителя перед £2/3А;_11/3. Эти результаты бы¬
ли сообщены им Ч. Ч. Лину в частном письме (Onsager 1945а), а также
Т. фон Карману, который отнесся к ним без энтузиазма (как сообща¬
ется в письме Онсагера Ч. Ч. Лину). В том же году эти результаты
были анонсированы (Onsager 1945b). Более длинную статью Онсагер
опубликовал лишь несколько лет спустя, познакомившись с работами
Колмогорова и немецких физиков (Onsager 1949). Здесь Онсагер отме¬
чает, что из закона t*/3 для приращений скорости следует, что скорость
в определенном смысле является не гладкой, а лишь гельдеровски не¬
прерывной функцией с показателем 1/3, и вводит (возможно, впервые в
истории предмета) проблему сингулярностей, к которой мы вернемся
в разд. 7.8 и 9.3.
Глава 7
Феноменология турбулентности
в теории Колмогорова 1941 года
7.1. Введение
11тобы получить в предыдущей главе некоторые скейлинговые законы
для турбулентности, мы начали с недоказанных, но правдоподобных
гипотез и затем рассуждали физически строго. Под «феноменологией»
развитой турбулентности понимается своего рода система стеногра¬
фии, позволяющая получить те же результаты гораздо проще, но ценой
отказа от строгости. Эта феноменология связана с такими «идеальны¬
ми образами», сыгравшими весьма важную роль в истории предмета,
как, например, «каскад Ричардсона» (разд. 7.3). Если переформулиро¬
вать теорию К41 на языке этих образов, то станут яснее некоторые из
ее слабых сторон. Значительная часть результатов, полученных в те¬
ории турбулентности, особенно в таких ее прикладных отраслях, как
численное моделирование, основана на феноменологии К41. Сам Колмо¬
горов, наряду с Людвигом Прандтлем, был одним из инициаторов ис¬
следований в этой важной области, но данная тема выходит за пределы
нашей книги ((Kolmogorov 1942); см. также (Batchelor 1990), (Spalding
1991) и (Yaglom 1994)). Мы лишь приведем ряд примеров того, что мо¬
жет быть получено из феноменологических соображений: оценка числа
степеней свободы турбулентного течения (разд. 7.4), сравнение харак¬
терных масштабов макро- и микроскопического движения (разд. 7.5),
нахождение функций распределения вероятности (разд. 7.6) и закона
убывания энергии (разд. 7.7).
Другие примеры возможностей феноменологии и простых скей-
линговых соображений можно найти в книгах (Tennekes and Lumley
1972; Tennekes 1989; Monin and Yaglom 1971, 1975). Наконец, мы приве¬
дем пример ситуации, где обычные феноменологические соображения
I 1(1
/ Vi<i(mi V Феноменология турбулентности в теории К'П
иг|мч тают работать, а именно возникновение особенностей в потоке
идеальной жидкости (разд. 7.8).
7.2. Основные понятия феноменологии
Здесь и ниже символ ~ будет обозначать равенство с точностью до
коэффициента порядка единицы. При оценках по порядку величины не
приходится делать различий между вектором и его абсолютной величи¬
ной, поэтому особые обозначения для векторов в основном будут опу¬
щены. Множители порядка единицы (например, 1/2) также не учиты¬
ваются, если только они не возводятся в большую степень (например,
2_п).
Основные понятия, которыми пользуются при феноменологических
рассуждениях, таковы.
• £: масштаб наблюдения (как правило, заключенный между внеш¬
ним масштабом £о и диссипационным масштабом 77).
• V£\ типичное значение скорости на масштабах ~ £. Его можно
определить как среднеквадратичное значение компоненты поля
скорости, остающейся после применения сосредоточенного около
волнового числа £~1 полосного фильтра шириной, например, в од¬
ну октаву. На практике в большинстве случаев достаточно взять
(7.1)
при i ^ £q и
(7.2)
при £ > £q.
• г>о: среднеквадратичная флуктуация скорости ~ V£0.
• t£\ период турбулентных пульсаций1 масштаба £:
(7.3)
1 Также называемый временем циркуляции.
Основные понятия феноменологии
111
{.£ равен времени, за которое структуры размера ~ £ испытыва¬
ют заметное искажение из-за относительного движения2 своих
составных частей, как показано на рис. 7.1.
Рис. 7.1. Поперечное сечение сферического объема, деформируемого потоком
жидкости в эллипсоид: расстояние между точками 1 и 2 увеличивается, а меж¬
ду точками 3 и 4 уменьшается
Так как течение несжимаемо и объем сохраняется, то при увели¬
чении расстояния между некоторыми точками жидкости (например, 1
и 2 на рис. 7.1) расстояние между другими (например, 3 и 4) долж¬
но уменьшиться. Поэтому t£ является также и характерным временем
переноса возбуждения (например, энергии) с масштабов ~ £ на более
мелкие. Отсюда можно оценить поток энергии, уходящей с масштабов
~ £ на более мелкие масштабы, который мы обозначим здесь 3 :
П£~
ч
(7.4)
Действительно, числитель с точностью до множителя 1/2 есть удельная
кинетическая энергия вихрей масштаба ~ <£, а знаменатель — типичное
время, требуемое для передачи энергии на более мелкие масштабы.
2 Движение структуры как целого не искажает ее. Колмогоров в сноске в своей
статье (Kolmogorov 1941а) указал, что следует использовать именно относительные
скорости.
3 П* можно определить как Пк при К ~
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории КЛ\
11?
И инерционном интервале, где не происходит ни непосредственной
накачки, ни прямой диссипации, поток энергии должен быть независи¬
мым от £ и равняться (конечной) средней скорости диссипации е:
. Vp
П£ ~ ~ с.
Поэтому
(7.5)
(7.6)
что на нашем феноменологическом языке означает масштабную инва¬
риантность поля скорости с показателем h = 1/3. Из (7.3) и (7.6) выво¬
дим, что период пульсаций равен
и ~ е~1/3е2/3. (7.7)
В частности, отсюда следует, что скорость возрастания квадрата рас¬
стояния £2 jti между частицами жидкости, отстоящими на расстояние
£ друг от друга, зависит от последнего как <£4/3. Экспериментальное
открытие этого закона Ричардсоном (Richardson 1926) предвосхитило
теорию Колмогорова 1941 г.
На верхнем конце инерционного интервала, когда £ ~ £0, (7.6) пере¬
ходит в
V0 ~ £1/3е1/3, (7.8)
что также можно записать в виде
£ rsj
V
(7.9)
Это соотношение следует и из закона четырех пятых (6.5); оно справед¬
ливо не только в рамках теории К41, так как зависит лишь от гипотезы
НЗ о конечности диссипации энергии. На практике уравнение (7.9) ши¬
роко используется при экспериментальном моделировании турбулент¬
ности.
Нижняя граница инерционного интервала, на которой становится
существенной вязкость, может быть найдена из следующих феномено¬
логических соображений. Типичное время, за которое вязкая диффузия
успевает погасить возбуждение на масштабе ~ £, составляет 4
<ГФФ ~ (7.10)
4 Это легко увидеть, если учесть, что компонента Фурье с волновым числом к ~ £ 1
— I/k?t
затухает как е
I ;l Каскад Ричардсона и локальность взаимодействий
113
Заметим, что при уменьшении £ стремится к нулю быстрее, чем
tf, определенное в (7.7). Следовательно, сколь бы мала ни была вязкость,
диффузия станет существенной при уменьшении масштаба ниже поро-
I а, получаемого приравниванием обоих характерных времен, или
/и3\1/4
Х~(7) (7.11)
ге. колмогоровского диссипационного масштаба, введенного ранее в
разд. 6.3.2.
(!тоит уточнить, что в реальных условиях вязкость становится су¬
щественной на расстояниях (в физическом пространстве), примерно в
,10 раз5 превышающих г]. Это расхождение можно объяснить триви¬
альным образом, напомнив, что феноменологические соображения не
позволяют предсказать численные константы. Менее тривиальное объ-
мгпсние состоит в том, что нелинейные взаимодействия на самом деле
слабее, чем мы оценили их с помощью периода пульсаций.
7.3. Каскад Ричардсона и локальность взаимодействий
Феноменологически картину предыдущего раздела удобно представить
и виде рис. 7.2. Вихри разных масштабов изображены в виде овалов,
разнесенных на разные строки согласно своей величине. Самые верх¬
ние вихри имеют размер ~ £о- Последующие поколения вихрей имеют
размеры £п = £огп (п = 0,1,2,...), где 0 < г < 1. Обычно выбира¬
ют г = 1/2, но конкретная величина этого параметра несущественна.
(!амые мелкие вихри имеют размер порядка колмогоровского диссипа¬
ционного масштаба г\. Предполагается, что с увеличением п число ви¬
хрей в единице объема растет как г“3п, чтобы мелкие вихри заполняли
пространство так же плотно, как крупные. Энергия накачивается на
самом крупном масштабе со скоростью е на единицу массы, спускается
но каскаду вихрей с той же скоростью е и рассеивается на диссипацион-
ном масштабе, по-прежнему со скоростью е. Конечно, данный рисунок
не следует воспринимать буквально: вихри могут быть гораздо более
сплющенными, чем они изображены, а маленькие вихри на самом деле
и В фурье-пространстве энергетический спектр начинает существенно отклоняться
от закона к~5/3 при переходе через волновое число Kd/10 = 1/(107;); см. (Monin and
Yaglom 1975).
114
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
находятся внутри больших6 Основное преимущество схематического
изображения каскада в том, что на нем наглядно представлены два
основных допущения феноменологии К41.
QOOOOO
*4 000Q00QOOC3O0
г3 £q оосххэооосэооосэсооосэооооооо
Поступление
энергии е
Поток
энергии е
V
V
Диссипация
энергии е
Рис. 7.2. Схема каскада в теории Колмогорова 1941 г. Заметим, что на каждом
масштабе вихри заполняют все пространство
Первое из них — это масштабная инвариантность в инерционном
интервале. Она могла бы быть нарушена, например, если бы мелкие ви¬
хри заполняли пространство менее плотно, чем крупные. Такое предпо¬
ложение ведет ко внесению поправок в теорию К41 и будет подробнее
обсуждаться в разд. 8.5.1. Второе допущение — это локальность 7 вза¬
имодействий. Иными словами, в инерционном интервале поток энергии
на масштабах ~ £ преимущественно связан с масштабами близкой ве¬
личины, скажем от г£ до г~1£.
Обычно локальность взаимодействий обосновывают следующим
образом. Рассмотрим вихрь масштаба £: принадлежащий инерцион¬
ному интервалу. Движение вихрей, принадлежащих области энергии,
т. е. имеющих масштаб ~ £о <£, будет равномерно сносить его
без искажения тонкой структуры, так как уравнение Навье-Стокса
6 На рисунке вихри каждого масштаба заполняют одну строку, так что их число
растет как г~п.
7 В теории турбулентность термины «локальный» и «локальность» обычно относятся
к иерархии масштабов, а не к расстояниям, как в других разделах физики.
/ .’I Каскад Ричардсона и локальность взаимодействий
115
имиариантно относительно преобразований Галилея. В однородной
и. ттропной турбулентности снос вихрей в инерционном диапазоне
диижением вихрей основного масштаба можно приближенно считать
разновидностью случайных преобразований Галилея (разд. 6.2.5). На
гамом деле, как заметил Крайчнан (Kraichnan 1958, р. 42), скачки
| корости, имеющие амплитуду, сравнимую с ее среднеквадратичным
значением, могут происходить в очень тонких пограничных слоях.
II потому не всегда можно связывать большие скорости лишь с боль¬
шими масштабами. Наряду с этим Крайчнан (Kraichnan 1959, р. 536)
также указал на наличие тонких вихревых нитей, пронизывающих
к. значительную часть области турбулентного течения», учет которых
приводит к сомнению в некоторых аспектах К418
От сноса перейдем к растяжению, вызываемому сдвиговыми движе¬
ниями жидкости, т. е. градиентом скорости. Типичный для масштабов
Р сдвиг в£ составляет
где V£ нужно подставить из (7.6). Наименьшее значение сдвиг принима-
гт на верхней границе инерционного диапазона £ ~ ^0, а наибольшее —
на его нижней границе £ ~ г/. Сдвиг вихря масштаба £ вихрями мас¬
штаба £! £ не вызывает растяжения, так как на этих масштабах он
очень мал. Сдвиг вихря масштаба £ вихрями масштаба £* £ также не
вызывает растяжения, так как мелкие вихри действуют на масштаб £
пекогерентно9 Поэтому основное растяжение происходит при f! ~ £.
Эти феноменологические соображения в пользу локальности можно
дополнить и более строгим обоснованием. Подставим в точное выра¬
жение (6.24) для потока энергии в однородной изотропной турбулент¬
ности закон четырех пятых (6.53) для структурной функции третьего
м В то время Крайчнан разрабатывал альтернативную теорию — «приближение сла¬
вой связи», или прямого взимодействия (direct interaction approximation (DIA), см.
разд. 9.5.3), с которой была связана его критика К41. Какова бы ни была дальнейшая
судьба DIA, эта критика сохраняет значительный интерес в связи с современными
исследованиями вихревых нитей (см. разд. 8.9). (Термин «приближение слабой связи»
принадлежит Б. Б. Кадомцеву (Турбулентность плазмы. В сб.: Вопросы теории плаз¬
мы. Вып. 4. М.: Атомиздат, 1964); использовать его как перевод «direct interaction
approximation» предложено в (Monin and Yaglom 1975). — Прим, ред.)
w Производимый ими на масштабе ~ £ эффект может быть представлен как «ви¬
хревая вязкость» (см. разд. 9.6); феноменологическое рассмотрение см. в (Frisch and
Orszag 1990).
VA „ е1/зГ2/3>
(7.12)
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
ПО
порядка. Тогда интеграл в (6.24) будет сходиться как при малых i (уль¬
трафиолетовый предел), так и при больших i (инфракрасный предел).
Поэтому основной вклад в поток П# вносят i ~ 1 /К. Этот результат
остался бы верным и в том случае, если бы в инерционном интервале
структурная функция третьего порядка Ss{i) следовала масштабному
закону ft3 при 0 < £з < 2. Конечно, £з может отличаться от 1 только
тогда, когда неверна гипотеза НЗ разд. 6.1.
Завершим обсуждение каскадов следующим историко-поэтическим
замечанием. Современное понятие каскада, по-видимому, принадле¬
жит Льюису Фри Ричардсону (Richardson 1922). Он был вдохновлен
наблюдениями за облаками и следующим стихотворением Джонатана
Свифта:
So, naturalists observe, a flea
Hath smaller fleas that on him prey;
And these have smaller yet to bite ’em,
And so proceed ad infinitum.
Thus every poet, in his kind,
Is bit by him that comes behind.
Нашли ученые: клопа
Терзает клопиков толпа;
Порядок (г -I- 1)-й г-м
Так кормится ad infinitum.
Знай: попадешь и ты, поэт,
Своим потомкам на обед.
(Перевод А. Соболевского)
Последние две строки, которые обычно не цитируют, также бу¬
дут относиться к нашей теме, если понимать под поэтом ученого-
гидродинамика.
В колмогоровских статьях 1941 г. прямых ссылок на Ричардсо¬
на нет, но в статье 1962 г. Колмогоров писал, что основные гипоте¬
зы теории К41 «были физически основаны на идее Ричардсона о су¬
ществовании в турбулентном потоке вихрей всех возможных масшта¬
бов. ..». Кроме того, работа Ричардсона цитирована в статьях Обухова
(Obukhov 1941а,Ь), которые были написаны под руководством Колмо¬
горова 10 Рисунок 7.2 заимствован из статьи (Frisch, Sulem and Nelkin
10 Ссылки на Ричардсона имеются в докладах Колмогорова и Обухова в Казани,
опубликованных в (Kolmogorov 1942). Резюме доклада Колмогорова начинается сло¬
вами: «Общую картину турбулентного движения можно представить себе (в соот¬
ветствии с Тейлором и Ричардсоном) следующим образом...» — Прим. ред.
7.4. Числа Рейнольдса и степени свободы
117
1978), где он был использован для пояснения возможного пробела в те¬
ории К41, к обсуждению которого мы вернемся в разд. 8.5.1.
7.4. Числа Рейнольдса и степени свободы
Результаты разд. 7.2 можно переписать в безразмерном виде, прини¬
мая за единицу длины основной масштаб £q, за единицу скорости сред¬
неквадратичную флуктуацию скорости г;о, а за единицу времени — их
отношение
to ~ (7.13)
^0
или период крупномасштабных пульсаций. Учитывая (7.6) и (7.9), по¬
лучаем в инерционном интервале следующие соотношения:
Щ
и (е\2/3
to ~ UJ
(7.14)
Теперь определим число Рейнольдса крупномасштабных пульсаций
R ~
£ovo
v
(7.15)
В феноменологических рассуждениях это число Рейнольдса использует¬
ся наиболее часто. Ниже при упоминании «числа Рейнольдса» без даль¬
нейших уточнений будет подразумеваться именно оно. Заметим, что
при больших числах Рейнольдса число Рейнольдса на тейлоровском мас¬
штабе
р Xv0
Rx~—-
(7.16)
определенное в (5.7), связано с числом Рейнольдса крупномасштабных
флуктуаций следующим образом:
ДА ~ Д1/2-
(7.17)
Это легко вывести из (6.55) и (7.9) с учетом Е ~ Vq. В этом выво-
де используется лишь гипотеза НЗ (конечность скорости диссипации
энергии при R —> оо).
Теперь получим очень важное соотношение, касающееся обусловлен¬
ного вязкостью нижнего порога — колмогоровского диссипационного
масштаба 77. Из (7.11) и (7.9) получаем
еЛ
ч
Д3/4.
(7.18)
118
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
Рис. 7.3. Крупномасштабная структура в турбулентной зоне перемешива¬
ния (а) и когерентная структура при более высоком числе Рейнольдса (б)
(Van Dyke 1982). Фотографии: J. Konrad (а) и М. Rebollo (б)
Итак, в теории К41 инерционный интервал охватывает диапазон
масштабов, растущий при увеличении Д как Д3/4. Если мы хотим де¬
тально описать такое течение с помощью численного моделирования
на равномерной решетке, минимальное количество ее узлов в кубе со
стороной, равной длине основного масштаба, должно быть
N ~ Л9/4. (7.19)
Отсюда следует, что для численного моделирования с максимальным
разрешением требуется Д9/4 единиц памяти. Так как шаг по времени
обычно выбирается пропорциональным шагу пространственной решет¬
ки11, то полная вычислительная сложность, связанная с интегрирова¬
нием уравнений на протяжении фиксированного числа периодов круп¬
номасштабных пульсаций, растет как Д3. Эти оценки показывают, что
достижение больших чисел Рейнольдса в «честном» (с максимальным
разрешением) численном моделировании может быть весьма трудным
делом12 Конечно, этот результат справедлив в предположении пра¬
вильности теории К41, но до сих пор он обеспечивал довольно точное
11 Чтобы проследить за сносом самых тонких структур на величину шага решетки.
12 В настоящее время наилучшие результаты находятся в области между R ~ 103 и
Д~104.
7.4. Числа Рейнольдса и степени свободы
119
представление о возможности увеличения числа Рейнольдса при росте
пространственного разрешения расчетов.
Иногда число Л9/4 используют как оценку числа степеней свободы
турбулентного течения. Чтобы такая оценка была верна, нам следу¬
ет предположить: (i) что теория К41 верна; (ii) что движение жидко¬
сти в инерционном интервале практически полностью нерегулярно. В
действительности, однако, существуют свидетельства того, что турбу¬
лентный поток при высоких числах Рейнольдса обладает определенной
степенью упорядоченности. В экспериментах по порождению турбу¬
лентности в зоне перемешивания между двумя встречными потоками
возникали «когерентные структуры» масштабов, сравнимых с £q (см.
рис. 7.3). Есть также подтверждения того, что определенный поря¬
док существует и на более мелких масштабах. В результате числен¬
ного моделирования трехмерной турбулентности при больших числах
Рейнольдса были обнаружены вихревые нити, показанные на рис. 7.4.
Более подробно мы обсудим эту проблемы в разд. 8.9, а здесь ограни¬
чимся лишь замечанием, что число степеней свободы может быть го¬
раздо меньше, чем i?9/4, что позволяет более оптимистически смотреть
на перспективы численного моделирования (но уже не на равномерных
решетках).
В теории динамических систем число степеней свободы турбулент¬
ного потока можно определить как размерность его аттрактора (см.,
например, книгу (Ruelle 1989)). Такое определение подходит для изуче¬
ния перехода к турбулентности, когда размерности малы и могут быть
точно измерены, например, с помощью метода Грассбергера-Прокаччи
(Grassberger and Procaccia 1983). Для измерения размерностей, пре¬
вышающих один-два десятка, надежных методов не существует. По¬
этому для развитой турбулентности существующие методы не рабо¬
тают. Делались попытки оценить сверху соответствующие размерно¬
сти 13 Строго это сделать невозможно, так как нет достаточных сведе¬
ний о единственности и регулярности решений трехмерного уравнения
Навье-Стокса14 Даже при учете недоказанных допущений о диссипа¬
тивном нижнем пределе такие оценки не улучшают результат N ~ i?9/4
теории К41.
13 См., например, (Constantin, Foias and Temam 1988).
14 Для двумерных течений известны строгие оценки, которые значительно превы¬
шают число узлов решетки, реально необходимых для моделирования.
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
1*>0
Рис. 7.4. Вихревые нити в трехмерном турбулентном течении, смоделирован¬
ном на компьютере (She, Jackson and Orszag 1991)
7.5. Микроскопические и макроскопические
степени свободы
В связи с понятием развитой турбулентности часто задают вопрос: ес¬
ли диссипационный масштаб стремится к нулю вместе с вязкостью, не
может ли он стать столь малым, что нарушится гидродинамическое
приближение15 ? В подобной ситуации свойства решения будут опре¬
деляться микроскопической динамикой. Так может случиться, если в
решении уравнения Навье-Стокса с малой, но конечной вязкостью воз¬
никнут особенности, на возможность чего указывал Лере (Leray 1934).
15 Хорошо известно, что именно так обстоит дело с ударными волнами в сжимаемой
жидкости: их ширина может стать сравнимой с длиной свободного пробега.
’/.(). Распределение градиента скорости
121
(Это предположение не было строго опровергнуто; см. разд. 7.8 и 9.3.)
Гак может случиться и в том случае, если особенностей нет, но величи¬
на диссипационного масштаба сравнима с длиной свободного пробега
молекул.
В рамках теории К41 эти возможности исключаются. Покажем,
что отношение колмогоровского диссипационного масштаба rj к дли-
нг свободного пробега молекул Асв.пр. с увеличением числа Рейнольдса
не уменьшается, а возрастает. Чтобы не нарушить принятого в тео¬
рии К41 предположения о несжимаемости турбулентного течения, мы
должны потребовать, чтобы число Маха в нем оставалось малым:
М = — < 1, (7.20)
Сзв
где Сзв обозначает скорость звука. Для большинства сжимаемых сред,
таких как воздух или вода, скорость звука по порядку величины совпа¬
дает с тепловой скоростью, или среднеквадратичной скоростью моле¬
кулярного движения:
Сзв ^ Сгр, (7.21)
(J другой стороны, (кинематическая) вязкость, как и любой другой
коэффициент переноса, приближенно равняется
^ ^ Асв.пр. Ст-
(7.22)
Из (7.18), (7.20), (7.21) и (7.22) следует, что (Corrsin 1959)
Г] Г] £qVq Ор
■ ■ ■■
Асв.пр. А) Асв.пр. Ст ^0
Это отношение очень велико благодаря множителю М~1 и неограни¬
ченно увеличивается с ростом R. Следовательно, чем выше число Рей¬
нольдса, тем лучше выполняется гидродинамическое приближение и
тем меньше отношение числа макроскопических степеней свободы к
числу микроскопических. Еще раз подчеркнем, что такие выводы вер¬
ны только в рамках теории К41.
7.6. Распределение градиента скорости
Теперь убедимся, что феноменология К41 вместе с простым рассужде¬
нием а 1а Ландау того же типа, что и в разд. 6.4, позволяет выразить
М"1#1/4. (7.23)
122
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
функцию распределения вероятности градиента скорости через распре¬
деление самой скорости.
Предположим, что турбулентность однородна, изотропна и может
быть описана феноменологией К41. Теперь vq будет обозначать саму
флуктуирующую скорость больших вихрей, а не ее среднеквадратичное
значение. Функция распределения вероятности этой скорости обозна¬
чается Pv(vо). Для простоты предположим, что основной масштаб £q не
флуктуирует. С учетом (7.6), (7.9) и (7.11) получаем для приращения
скорости на расстоянии £ и диссипационного масштаба выражения
£_
1с
£$у~* (7.25)
соответственно. Следовательно, градиент скорости (обозначенный s от
англ, «strain» — деформация сплошной среды) дается соотношением
s ^ ^И. ^ vy2 v~2 £0 2. (7.26)
Это равенство определяет нелинейную замену переменных, переводя¬
щую vo в s. Следовательно, функция распределения градиента скорости
имеет выражение (с точностью до коэффициентов порядка единицы)
Ps(s) ~ i/5 £* s~l/sPv Ц (7.27)
Даже в контексте феноменологии К41 это соотношение нельзя исполь¬
зовать для ядра функции распределения, т. е. для значений vq или s,
близких к среднеквадратичным. Действительно, выкладка с точностью
до множителей порядка единицы не может дать точных выражений для
функций. Поэтому (7.27) пригодно только для хвостов функций рас¬
пределения, но не для таких моментов низкого порядка, как асимметрия
или пологость производных скорости. К этим величинам мы вернемся
в разд. 8.5.6.
Считается, что распределение вероятностей скорости не является
универсальным, так как оно зависит от деталей механизма, порождаю¬
щего турбулентное течение. Соотношение (7.27) переносит эту неуни-
версальность и на хвосты распределения градиента скорости. В то же
:
(7.24)
У.7. Закон убывания энергии
123
время есть много примеров, когда распределение скорости приближен¬
но оказывается гауссовским, например в турбулентности, порождаемой
па решетках в аэродинамических трубах (Batchelor 1953), или для тур-
Оулентности в атмосферном пограничном слое (Van Atta and Park 1972).
И этом случае функция распределения градиента скорости имеет вид
модифицированного экспоненциального закона, в который аргумент s
пходит два раза: в степени 4/3 в показателе экспоненты и в степени
.ч1/3 в предэкспоненциальном множителе.
Вывод в этом разделе взят из статьи (Frisch and She 1991). В ней
также обсуждаются изменения, которые необходимо сделать в уточне¬
ние теории К41. Дальнейшие результаты можно найти в (Benzi, Biferale,
Paladin, Vulpiani and Vergassola 1991). Когда скорость имеет гауссово
распределение, рассуждения того же типа, что и выше, дают для рас¬
пределения градиента скорости модифицированные экспоненциальные
функции или более сложные выражения, хвосты которых во всех слу¬
чаях убывают медленнее гауссовских. Такое поведение подтверждается
данными экспериментов и численного моделирования (см., например,
(Vincent and Meneguzzi 1991)).
7.7. Закон убывания энергии
Из опыта известно, что созданная тем или иным способом турбулент¬
ность затухает достаточно медленно. Возможно, этот факт даже явля¬
ется первым научным наблюдением, когда-либо сделанным над турбу¬
лентным течением. На рис. 7.5, если его рассматривать через зеркало,
можно прочесть следующие строки, написанные около 1500 г. рукой
Леонардо да Винчи (Piumati 1894, fo. 74, v):
doue laturbolenza dellacqua sigenera
doue la turbolenza dellacqa simantiene plugho
doue laturbolenza dellacqua siposa
где турбулентность воды возбуждается
где турбулентность воды сохраняется надолго
где турбулентность воды затихает
В своей второй статье о турбулентности 1941 года (Kolmogorov
1941b) Колмогоров попытался найти количественный закон, описываю¬
щий затухание турбулентности. В его рассуждении позднее были най¬
дены некоторые изъяны. Тем не менее оно может быть дополнено так,
124
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
Рис. 7.5. Верхние три строки содержат сведения о затухании турбулентно¬
сти, которыми располагал Леонардо да Винчи. Они могут быть прочитаны с
помощью зеркала
что очевидные недостатки будут устранены. Здесь еще раз пригодит¬
ся наша нетрадиционная формулировка теории Колмогорова, которая,
как мы надеемся, все же верна духу его размышлений.
Будем говорить, что поле скорости обладает свойством инфракрас¬
ного асимптотического самоподобия с показателем h < 0, если
V£ ~ C£h при £ -» оо, (7.28)
где V£ определено в (7.2). Мы требуем, чтобы h < 0, так как в про¬
тивном случае поле скорости не однородно, а лишь имеет однородные
приращения. Тогда можно показать следующее.
Принцип неизменности больших вихрей. Если свободно затуха¬
ющее (б отсутствие внешней силы) турбулентное течение в началь¬
ный момент обладало свойством инфракрасного асимптотического
самоподобия с показателем —5/2 < h < 0 и константой С, то и во
все последующие моменты времени это свойство сохраняется с теми
же h и С.
Прежде чем обсуждать этот нетривиальный результат, мы рассмо¬
трим его следствия. Из уравнения (7.28) следует, что корреляционная
функция скорости при £ оо убывает как £2h, а энергетический спектр
при к —> 0 пропорционален k~x~2h. Так как h < 0, такой рост энергети¬
ческого спектра при больших волновых числах (на малых масштабах)
нефизичен. Поэтому следует считать, что имеется зависящий от време¬
ни внешний масштаб £о, ниже которого существует обычная развитая
турбулентность. Для этого требуется, чтобы (зависящее от времени)
число Рейнольдса удовлетворяло
R ~
£qvo
»1.
V
(7.29)
7 7. Закон убывания энергии
125
(среднеквадратичную скорость г>о, также зависящую от времени, можно
получить из (7.28), считая vq ~ V£0. Это дает
v0 ~ се%. (7.зо)
Теперь заметим, что по (7.9) при R 1 скорость диссипации средней
.жергии Е ~ v% равна
4>
(7.31)
И:» (7.30) и (7.31) следует дифференциальное уравнение для внешнего
масштаба:
£
dt
CHf
£о
(7.32)
Поскольку С не зависит от времени, (7.32) можно проинтегрировать:
£о ос (t + а) , vqoc (t + a)i-h,
(7.33)
гак что
Е ос (t + cl) , R ос (t 4~ cl) . (7.34)
Поскольку h отрицательно, среднеквадратичная скорость и энер¬
гия с течением времени монотонно убывают, а внешний масштаб —
иозрастает16 При h > — 1 число Рейнольдса со временем возрастает,
гак как рост внешнего масштаба с избытком компенсирует убывание
среднеквадратичной скорости. Поэтому течение имеет нетривиальную
асимптотику на больших временах. При h < — 1 приведенная выше вы¬
кладка перестанет быть верной, как только число Рейнольдса умень¬
шится до величины, сравнимой с единицей.
В своем выводе Колмогоров (Kolmogorov 1941b) тоже существенно
использует равенство (7.31), которое у него имеет номер (22). Как мы
мидели выше, это соотношение справедливо не только в рамках теории
К41, в которой его выводил Колмогоров. Он сам отмечал, что «форму¬
ла (22) может быть обоснована различными способами».
Основная разница по существу между нашим и колмогоровским вы-
модами (7.33)-(7.34) заключается в том, что его выкладка ограничена
случаем h = —5/2 и поэтому дает для убывания энергии на больших 10 * *10 Это возрастание внешнего масштаба не связано с каким-либо переносом энергии
на большие масштабы (обратным каскадом). Оно происходит из-за того, что мелкие
иихри затухают быстрее больших.
126
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
временах закон f“10/7 Колмогоров выбрал это значение, руководству¬
ясь результатом Лойцянского (Loitsyansky 1939), согласно которому ин¬
теграл
не зависит от времени. Здесь bnn(r,t) обозначает продольную корре¬
ляционную функцию скорости. Бэтчелор и Праудмен (Batchelor and
Proudman 1956) (см. также (Proudman and Reid 1954))17 нашли в до¬
казательстве Лойцянского ошибку, связанную с неучетом дальних кор¬
реляций давления в несжимаемой жидкости.
В то же время имеются основания считать, что «принцип неизменно¬
сти больших вихрей» в том виде, как он сформулирован в начале этого
раздела, справедлив при h > —5/2. В фурье-пространстве этот прин¬
цип утверждает, что если в начальный момент энергетический спектр
имеет вид
Е(к) ~ C'ks, s = — 1 — 2h, при к 0, (7.36)
то и во все последующие моменты это соотношение будет выполняться
с теми же h (или s) и С". Когда 5 = 2, коэффициент при к2 пропорци¬
онален среднеквадратичному импульсу и потому сохраняется (Saffman
1967а,b). В общем случае сохранение коэффициента при ks при s < 4
(или h > —5/2) следует из соотношения баланса энергии (6.37) и то¬
го факта, что функция переноса энергии Т(к) при малых к пропор¬
циональна А;4. Этот результат строго пока не доказан и в настоящее
время выводится с помощью диаграммной техники или метода ренорм-
группы (см. разд. 9.5 и разд. 9.6.4).
Когда 5 = 4, коэффициент при А;4 в энергетическом спектре начи¬
нает зависеть от времени. В этом случае закон убывания энергии по¬
ка неизвестен. К настоящему времени он был получен только методом
замыкания, который дал выражение ос £-п, где п значительно мень¬
ше, чем полученное Колмогоровым значение 10/7 (Lesieur and Schertzer
1978; Frisch, Lesieur and Schertzer 1980; Lesieur 1990).
17 См. изложение этих работ в п. 15.5-6 первого издания (М., 1967) книги (Monin
and Yaglom 1975). — Прим. ред.
7.К. Возникновение особенностей в идеальном течении
127
7.8. За пределами феноменологии:
возникновение особенностей в идеальном течении
за конечное время
Но Ричардсону, энергия подводится к турбулентному потоку на внеш-
игм масштабе переносится по каскаду вниз и рассеивается на мас¬
штабе г]. Рассмотрим сумму периодов пульсаций на всех промежуточ¬
ных ступенях каскада Т*. Из (7.7) следует, что период пульсаций мас¬
штаба £ пропорционален ^2/3. Если устремить к нулю вязкость v (а
имеете с ней и 77), Т* перейдет в сумму сходящейся геометрической
прогрессии. Поэтому энергия успеет спуститься на бесконечно малые
масштабы за конечное время. Кроме того, нам известно, что в преде¬
ле и -> 0 энстрофия £1 растет как i/”1, чтобы обеспечить конечную
диссипацию энергии.
Эти соображения наводят на мысль, что даже если вначале течение
идеальной жидкости (решение уравнения Эйлера) было гладким18 , за
конечное время в нем должны спонтанно возникнуть особенности.
Такой вывод, однако, будет преждевременным по крайней мере по
диум причинам. Во-первых, рассматриваемая в этой главе феноменоло¬
гия предназначена только для описания (статистически) стационарного
состояния, когда накачка и диссипация энергии взаимно уравновешива¬
ются. Невязкая {и = 0) задача Коши этому условию не удовлетворяет.
I Jo-вторых, для развития теории К41 необходимо предположить, что
симметрии уравнения Навье-Стокса или Эйлера восстановлены в ста¬
тистическом смысле (гипотеза Н1 главы 6). Для этого течение должно
иметь высокую степень неупорядоченности. Колмогоров, безусловно,
;>то учитывал, так как в примечании к своей первой статье 1941 г. он
пишет:
. В силу хаотического (sic! — У. Ф.) механизма передачи движения от
пульсаций низших порядков к пульсациям более высоких порядков мел¬
кие пульсации высших порядков подчинены приближенно пространственно-
изотропному статистическому режиму.
И численных экспериментах с гладкими начальными условиями слож¬
ные пространственные структуры никогда не наблюдались. Заметим,
что для невязкого течения характерна вмороженность вихревых линий
(Lamb 1932; Batchelor 1970), топология которых не может меняться со
,н Например, если в нем присутствовали только крупномасштабные составляющие,
гак что поток являлся очень гладким и даже аналитическим.
ш
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории K-l I
временем, так как отсутствует необходимая для их перезамыкания вяз¬
кость.
Существует еще один феноменологический довод в пользу спонтап
ного возникновения особенностей за конечное время, независимый от
К41. Рассмотрим уравнение завихренности (2.15) для невязкого тече¬
ния, переписанное в виде
Dta = cZ5 W, (7.37)
где Dt = dt + v V обозначает полную производную по времени. За¬
метим, что Vv имеет ту же размерность, что и а5, и может быть вы¬
ражена через нее с помощью интегралов типа интеграла Пуассона. (И
самом деле, V2v = — V Л cD.) Поэтому возникает предположение, что
решения (7.37) будут вести себя, как решение скалярного нелинейного
уравнения
Dts = s2, (7.38)
которое обращается в бесконечность за время 1/а(0), если s(0) > 0.
В действительности уравнение (7.38) возникает при попытке получить
строгие оценки сверху в некоторой норме, чтобы доказать коррект¬
ность задачи Коши для уравнения Эйлера (см. разд. 9.3). Именно поэто¬
му глобальная корректность (т. е. корректность при всех t > 0) остает¬
ся в трехмерном случае открытым вопросом19 Саффман выделил эту
проблему как «одну из наиболее насущных в настоящее время как для
математиков, так и для специалистов по численному моделированию»
(Saffman 1981).
На самом деле, по-видимому, решения уравнения Эйлера ведут себя
значительно более умеренно, чем предсказывает формула (7.38). Так
как в реальном эксперименте наблюдать идеальную жидкость невоз¬
можно, приходится прибегать к компьютерному моделированию. Из¬
вестные к настоящему времени факты о трехмерном течении невязкой
жидкости с гладкими начальными условиями мы кратко перечислим
ниже.
Наиболее надежным способом исследования возникновения особен¬
ностей является комбинация спектрального метода (см. примечание к
19 В двумерном случае отсутствие сингулярностей при всех t > 0 было показано
Гёльдером (Holder 1933) и Волибнером (Wolibner 1933); см. также (Kato 1967; Sulem
and Sulem 1983).
/ N Возникновение особенностей в идеальном течении
129
I шид. 5.2 на с. 76) и метода отслеживания комплексных сингулярностей
(Sulem, Sulem and Frisch 1983). Этот способ заключается в измерении
мнимой координаты 5(f) точки сингулярности на комплексной плоско-
I ти, расположенной ближе всего к действительной оси, как функции
дгйствительного параметра времени f. Величина 5(f) называется «ши¬
риной полосы аналитичности». В этом методе используются два строго
доказанных факта: (i) перед появлением в решении уравнения Эйлера
гипотетической сингулярности в момент f* величина 6(t) принимает по¬
ложительные значения, а при f = f* обращается в нуль (Bardos and Ве-
nachour 1977); (ii) ширина полосы аналитичности 5(f) может быть опре¬
делена непосредственно из пространственного фурье-преобразования
решения, которое убывает приблизительно как е~6^к. Пока 5(f) доста¬
точно велико (на практике около двух шагов решетки), энергетический
спектр20 имеет легко различимый экспоненциальный хвост; его лога¬
рифмический декремент равен приблизительно 25(f). (Множитель 2 no¬
il вляется благодаря тому, что энергетический спектр пропорционален
квадрату фурье-амплитуды.)
Эта процедура была применена Браше и др. (Brachet et al. 1983)
к вихрю Тейлора-Грина, рассмотренному в разд. 5.2. Моделирование
происходило на решетке из 2563 точек. Максимальное волновое число
/оставляло 256/3 « 85. На рис. 7.6, а показан энергетический спектр
H(k,t) в полулогарифмических координатах, так что экспоненциаль¬
ные хвосты изображаются прямыми линиями. На рис. 7.6, б предста¬
влен график изменения 5(f) со временем, также в полулогарифмиче¬
ском масштабе. За исключением очень малых времен, он демонстри¬
рует точное экспоненциальное убывание на всем промежутке времени,
и течение которого 5(f) может быть надежно измерено. Если экстра¬
поляция этого результата на более поздние моменты времени законна,
'14) вихрь Тейлора-Грина никогда не станет сингулярным: за конечное
время никакие особенности не возникнут. Когда в 1981 г. этот резуль¬
тат был получен, он показался весьма неожиданным 21. Действительно,
существовало широко распространенное убеждение, что особенности
J() При численном моделировании затухающей турбулентности обычно определяют
гшергетический спектр как среднее по направлениям без усреднения по ансамблю.
21 Результаты работы (Morf, Orszag and Frisch 1980), в которой использовалось раз¬
ложение энстрофии в ряд Тейлора до порядка £44 и аналитическое продолжение при
помощи аппроксимации Паде, соответствовали гипотезе о возникновении особенно¬
сти за конечное время; Браше и др. (Brachet et al. 1983), продолжив этот ряд до £80,
не подтвердили эти результаты.
130
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
Рис. 7.6. Спектральное моделирование невязкого вихря Тейлора-Грина при
использовании 2563 фурье-мод: а — эволюция энергетического спектра в по¬
лулогарифмическом масштабе (сверху вниз: спектр, начиная с момента t = 0,5
и через каждые 0,5 единицы времени); б— зависимость от времени ширины
полосы аналитичности S(t) в полулогарифмическом масштабе (кружки и кре¬
стики соответствуют 2563 и 1283 фурье-модам; пунктирная линия отмечает
порог достоверности) (Brachet et al. 1983)
должны возникать за конечное время, основанное на обсуждавшихся
выше феноменологических соображениях и результатах метода замы¬
кания (см. разд. 9.5)22
Но можно ли так экстраполировать поведение 5(£)? Спустя пример¬
но десять лет появилась возможность повысить точность результатов
Браше и др. (Brachet et al. 1983), пользуясь решеткой из 8643 точек, а
также изучить течение со случайными начальными условиями, не име¬
ющее дополнительной симметрии вихря Тейлора-Грина, которая облег¬
чает вычисления (Brachet, Meneguzzi, Vincent, Politano and Sulem 1992).
При этом вновь было обнаружено экспоненциальное затухание 5(£).
Каким бы внушительным достижением ни казалось моделирование
течения на решетке из 8643 точек, оно может охватить интервал про¬
странственных масштабов, отличающихся лишь примерно в 300 раз,
так как используемая решетка равномерна. Пумир и Сиджа (Pumir and
Siggia 1990) развили иной подход, при котором решетка измельчается
22 Я разделял это убеждение, а Дж. И. Тейлор — нет, как следует из его замечания,
сделанного С. А. Орсагу в 1969 г. (частное сообщение). Что касается А. Н. Колмо¬
горова, то мне неизвестны его высказывания по этому вопросу.
7 К. Возникновение особенностей в идеальном течении
131
там, где это необходимо, так что можно достичь охвата масштабов,
отличающихся в 105 раз. Возникновение особенностей не было обнару¬
жено и в этом случае (Pumir and Siggia 1990). Зато при моделирова¬
нии двумерного осесимметричного течения с полоидальной компонен¬
той скорости, когда теорема о регулярности не имеет места (Grauer and
Sicleris 1991; Pumir and Siggia 1992), было неожиданно получено неко¬
торое подтверждение возникновения особенностей за конечное время.
Тгм не менее этот вопрос остается спорным (см., например, (Е and Shu
1994)).
Рис. 7.7. «Блинообразная» область завихренности, наблюдавшаяся при мо¬
делировании невязкого вихря Тейлора-Грина. Показаны моменты времени
/. = 3,0 (a), t = 3,25 (б), t = 3,50 (в) и t = 4,0 (г) (Brachet, Meneguzzi, Vincent,
Politano and Sulem 1992)
В этих численных экспериментах также было получено и качествен¬
ное объяснение той значительно более высокой степени регулярности
течения, которую оно демонстрирует по сравнению с предсказания¬
ми наивной феноменологии. Экспоненциальное убывание 5(f) соответ¬
ствует экспоненциальному сплющиванию вихревого «блина», показан¬
ного на рис. 7.7. В такой структуре завихренность очень сильно зави¬
сит от координаты, отсчитываемой вдоль нормали, так что в первом
132
Глава 7. Феноменология турбулентности в теории К41
приближении поток является одномерным. Однако, если бы он был в
точности одномерен, то нелинейное слагаемое обратилось бы в нуль
вследствие несжимаемости. Это вырождение нелинейности объясняет,
почему рост завихренности оказывается гораздо более медленным, чем
предсказывает (7.38), где такое явление не учтено. Мы вернемся к про¬
блеме вырождения в разд. 9.3, 9.5 и 9.7.
Этот пункт был предназначен главным образом для того, чтобы
подчеркнуть один из серьезных недостатоков феноменологических рас-
суждений. Тем не менее мы намерены закончить его на более оптими¬
стической ноте. Оказывается, стандартная феноменология переоцени¬
вает роль нелинейности в идеальном течении. Может быть, она пе¬
реоценивает ее также и для вязкого течения. Это было бы хорошей
новостью: в конце разд. 7.2 мы видели, что стандартная феноменоло¬
гия К41 предсказывает как раз, что в вязком течении особенности не
возникают. В трехмерном случае это пока не доказано; на протяжении
более чем полувека лучшим остается результат Лере (Leray 1934), до¬
пускающий существование особенностей на «очень малом» множестве
моментов времени. Мы вернемся к данной теме как для вязкой, так и
для невязкой жидкости в разд. 9.3.
Глава 8
Перемежаемость
8.1. Введение
*. )та глава построена следующим образом. Основные понятия вводятся
и разд. 8.2. Раздел 8.3 посвящен экспериментальным результатам по
перемежаемости в инерционном интервале, основанным на измерении
ноля скоростей. Точные результаты, полученные без применения фено¬
менологических соображений, излагаются в разд. 8.4. Затем обсужда¬
ются два широких класса феноменологических моделей перемежаемо¬
сти. В одном из них (разд. 8.5) перемежаемость изучается в терминах
приращения скорости; сюда относятся ^-модель (разд. 8.5.1), а также
Оифрактальная (разд. 8.5.2) и мультифрактальная модели (разд. 8.5.3
и 8.5.4). Выводы, полученные в рамках мультифрактальной модели для
области диссипации, а также для асимметрии и пологости градиента
скорости обсуждаются в разд. 8.5.5 и 8.5.6 соответственно. Ко вто¬
рому классу (разд. 8.6) относятся модели, в которых перемежаемость
описывается в терминах флуктуаций диссипации; относящиеся к инер¬
ционному интервалу величины связываются с этими флуктуациями при
помощи переходного анзатца, введенного Обуховым и Колмогоровым
(разд. 8.6.2). Модели случайного каскада обсуждаются в разд. 8.6.3.
Оказывается, что их мультифрактальные свойства являются прямым
(•ледствием вероятностной теории «больших отклонений», элементарно¬
му изложению которой посвящен разд. 8.6.4. Логнормальная модель и ее
недостатки обсуждаются в разд. 8.6.5. В разд. 8.7 рассказано о так на¬
зываемых каскадных моделях — детерминистических нелинейных мо¬
делях, которые могут демонстрировать перемежаемость.
Избранный порядок изложения материала по теории перемежаемо¬
сти связан скорее с нашим педагогическим подходом к этому вопросу, а
не с историей развития этой теории. Исторические аспекты в основном
отнесены в разд. 8.8. Современные направления исследования переме¬
жаемости представлены в разд. 8.9.
134
Глава 8. Перемежаемость
8.2. Самоподобие и перемежаемость случайных функций
Для теории К41 центральной является гипотеза о самоподобии случай¬
ного поля скоростей на масштабах из инерционного интервала. Как мы
увидим, симметрия этого типа вполне может быть нарушена. Смысл по¬
нятия самоподобия в применении к случайным функциям иллюстрирует
рис. 8.1, на котором при трех разных увеличениях показана реализация
самоподобной случайной функции v(t), в качестве которой здесь выбра¬
но броуновское движение. Легко заметить, что «общий вид» (иными сло¬
вами, статистические свойства) каждого участка графика не зависит
Рис. 8.1. Участок графика броуновского движения и два его увеличенных
фрагмента, иллюстрирующие понятие самоподобия
н,2. Самоподобие и перемежаемость случайных функций
135
пт того, где этот участок расположен. Напротив, на рис. 8.2 изображе¬
на функция, известная под названием «чертовой лестницы» 1, которая
не является самоподобной в указанном выше смысле: при увеличении
двух выделенных на графике участков получаются разные результаты.
Рис. 8.2. Чертова лестница: функция, обладающая перемежаемостью
1 Высота «чертовой лестницы» в точке t равна массе части канторова множества,
содержащейся в отрезке [0,4]. График этой функции строится рекурсивно: начина¬
ют с равномерного распределения на отрезке [0, t] единичной массы, затем удаляют
среднюю треть отрезка, перераспределяют содержавшуюся на ней массу поровну
между двумя оставшимися отрезками и продолжают поступать так с каждым по¬
лучаемым отрезком до бесконечности.
136
Глава 8. Перемежаемость
При выделении фрагментов чертовой лестницы чем меньше изучаемый
фрагмент, тем точнее нужно прицелиться при выборе его места, чтобы
он не оказался графиком постоянной функции. Говорят, что функция на
рис. 8.2 обладает свойством перемежаемости: она нетривиальна лишь
в течение некоторой доли общего времени наблюдения, уменьшающейся
при уменьшении масштаба.
Когда случайная функция u(t) стационарна, понятию перемежае¬
мости можно дать количественное определение. В этом случае удоб¬
но работать с высокочастотной составляющей г>^(£), определяемой (во
временной области) как
v(t) = [ dwelu}tvu^ Vn(t) = f duoelbjt vu. (8.1)
Jr3 J м>п
Будем говорить, что случайная функция v(t) обладает перемежае¬
мостью на малых масштабах 2 , если пологость
F№ =
<(t£(*))4)
<(^(*))2>2
(8.2)
безгранично возрастает при увеличении пороговой частоты £2. Отме¬
тим, что jF(£2) не зависит от времени в силу стационарности. Чтобы
оправдать данное определение, покажем, что обратная величина поло¬
гости может служить мерой доли времени, в течение которой «включен»
высокочастотный сигнал. Рассмотрим сигналы, графики которых по¬
казаны на рис. 8.3. На рис. 8.3, а изображен стационарный сигнал v(t),
а на рис. 8.3, б — тот же сигнал, из которого вырезана часть, соот¬
ветствующая доле 1—7 всего времени наблюдения. Более аккуратно,
i>7(t) получается из v(t) приравниваем этой функции к нулю всюду, кро¬
ме случайно выбранных интервалов, охватывающих вместе в среднем
долю 7 любого отрезка времени. Предполагая, что все необходимые
моменты существуют, получаем
<«?> = 7<«2), К) = 7(^4>- (8-3)
Следовательно,
(<4) 1 <-“)
7 <«»)* 7 (»2)'.'
2 Существуют и другие формы перемежаемости, связанные с переходом к турбу¬
лентности (см., например, (Pomeau and Manneville 1980)), которые мы здесь не об¬
суждаем.
8.2. Самоподобие и пер емежаемо стъ случайных фун
137
v(t)\
а
V-Jt)1''
Рис. 8.3. Стационарный случайный сигнал (а) и тот же сигнал, из которого
«вырезана» часть, занимающая долю 1 — 7 времени наблюдения (б)
Перемежаемость редко достигает такого «черно-белого» контраста,
как на рис. 8.3, б, но пологость все равно остается полезной мерой пере¬
межаемости сигналов, характеризуемых последовательностью вспышек
активности. Конечно, вместо пологости можно пользоваться и другими
безразмерными отношениями, например величиной момента порядка 6,
деленного на куб момента порядка 2. Не подходят лишь моменты не¬
четного порядка, так как они могут обращаться в нуль случайно или в
силу симметрии.
Заметим, что по нашему определению ни гауссовские, ни масштаб¬
но-инвариантные сигналы не обладают перемежаемостью, так как их
пологость .F(f2) не зависит от J7. В случае гауссовских функций это сле¬
дует из того, что гауссовское свойство сохраняется при любой линейной
операции, в том числе и применении линейного фильтра, а гауссовская
случайная величина имеет пологость 3 (см., например, (4.7)). Теперь
допустим, что v(t) имеет самоподобные приращения со скейлинговым
показателем h. Тогда легко показать, что для любого Л > О
Поэтому при подстановке Afi вместо П в (8.2) и числитель, и знамена¬
тель изменяются в А-4/г раз, так что пологость щ изменится.
Глава 8. Перемежаемость
\:\н
Оамоподобна турбулентность или для нее характерна перемежае¬
мость? На первый взгляд, график турбулентного сигнала на рис. 8.4,
записанный в аэродинамической трубе (Gagne 1980), похож на самопо¬
добный сигнал на рис. 8.1. Но если выделить высокочастотную соста¬
вляющую того же сигнала при достаточно большой частоте J7, появля¬
ется некоторая перемежаемость (рис. 8.5). Впрочем, эта разновидность
перемежаемости становится заметной, лишь когда связанный с О, мас¬
штаб сравним с колмогоровским диссипационным масштабом или мень¬
ше него. Поэтому она характеризует поведение в области диссипации
и не нарушает самоподобия, требуемого теорией К41 в инерционном
интервале.
Рис. 8.4. Запись турбулентной скорости в аэродинамической трубе при
R\ ~ 700 (Gagne 1980)
1
л I I I I 1_
Время
Рис. 8.5. Пульсации высокочастотной составляющей сигнала с рис. 8.4 (Gagne
1980)
Перемежаемость в инерционном интервале — интересное явление,
которое заслуживает обсуждения. Оно было обнаружено Бэтчелором
и Таунсендом (Batchelor and Townsend 1949), которые получали произ¬
водные по времени турбулентного сигнала различных порядков, поль¬
зуясь аналоговой радиосхемой и наблюдая результат на экране осцил¬
лографа. Аналоговое дифференцирование по времени более или менее
Н.2. Самоподобие и перемежаемость случайных функций
139
соответствует фильтрации высокочастотной составляющей. При этом
наблюдалась тенденция к усилению пульсаций сигнала при повышении
порядка производной. В статье (Kuo and Corrsin 1971) применялось
ш л деление составляющих в определенном интервале частот с помощью
полосного фильтра и было найдено, что пологость начинает резко воз¬
растать, когда средняя пропускаемая фильтром частота переходит в
область диссипации (пока еще не начинает сказываться шум экспери¬
ментальной установки). Кроме того, они обнаружили некоторое возра¬
стание пологости и в инерционном интервале; это возрастание, одна¬
ко, столь мало, что может быть результатом влияния диссипационного
интервала. Первое объяснение перемежаемости в области диссипации
предложил Крайчнан (Kraichnan 1967b). Рассуждая в духе Ландау так,
как это делали мы в разд. 6.4 и 7.6, он показал, что весьма малые флук¬
туации скорости диссипации е в (дальнем) диссипационном интервале
могут значительно усиливаться, если предположить быстрое убывание
спектра (быстрее степенного). Он также указал на то, что наличие пе¬
ремежаемости в диссипационном интервале не опровергает теории К41.
Строгое рассмотрение проблемы перемежаемости в диссипацион-
пом интервале дали Фриш и Морф (Frisch and Morf 1981) в связи с рас¬
смотренными выше данными Ганье. Они рассмотрели широкий класс
динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциаль¬
ными уравнениями с аналитическими по времени решениями3 В тео¬
рии преобразований Фурье аналитических функций показано, что их
асимптотическое поведение при больших частотах определяется вкла¬
дом особенностей, расположенных в комплексной плоскости наиболее
близко к действительной прямой4. Исходя из этого, Фриш и Морф
показали (Frisch and Morf 1981), что каждая особенность вызывает
псплеск высокочастотной составляющей. Центр этого всплеска опре¬
деляется действительной частью особенности, а (минус) логарифм ам¬
плитуды пропорционален мнимой части, умноженной на пороговую ча¬
стоту фильтрации J7. Поэтому при > оо заметные пики дают лишь
особенности с самыми малыми мнимыми частями. Так как эти события
происходят редко, то возникает возрастающая перемежаемость.
1 Для таких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, как модель Ло¬
ренца, аналитичность легко установить как следствие предполагаемой ограниченно¬
сти скоростей для трехмерной системы Навье-Стокса с ненулевой вязкостью.
1 По этим же соображениям фон Нейман предсказал экспоненциальное убывание
энергетического спектра при больших волновых числах (von Neumann 1949); см.
разд. 6.3.2.
Глава 8. Перемежаемость
МО
8.3. Экспериментальные сведения о перемежаемости
Присутствие перемежаемости в области диссипации представляется
несомненным. Сложнее обстоит дело с перемежаемостью в инерцион¬
ном интервале, так как ее наличие поставило бы под вопрос теорию
К41. Первоначальные попытки обнаружить такую перемежаемость бы¬
ли связаны с измерениями флуктуаций локальной диссипации энергии.
Подобные величины зависят от поведения потока как в инерционном,
так и в диссипационном интервале; поэтому их интерпретация требует
очень деликатного подхода. Мы вернемся к этим вопросам после того,
как введем необходимые понятия (см. разд. 8.6).
Теория К41 предсказывает, и это можно проверить на опыте, что в
инерционном интервале структурная функция порядка р обладает мас¬
штабной инвариантностью с показателем р/3. Однако в своих статьях
1941 г. Колмогоров в явном виде утверждал масштабную инвариант¬
ность лишь для структурных функций второго и третьего порядка.
Возможно, в этом состоит одна из причин, по которым измерениями
структурных функций порядков р ^ 4 не занимались вплоть до нача¬
ла 70-х гг. (Van Atta and Chen 1970). Такие измерения являются до¬
вольно трудным делом. Действительно, для нахождения структурной
функции высокого порядка по самому ее определению необходимо точ¬
но измерять моменты приращений скорости больших порядков, а они
зависят от хвостов функции распределения вероятности, т. е. от весьма
редких событий. Поэтому нужно обрабатывать очень длинные записи
турбулентных скоростей. При первых попытках измерения структур¬
ных функций длина записи была недостаточной. Как показано в работе
Ансельме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984), это мо¬
жет приводить к сильной переоценке расхождения между измеренными
показателями и их значениями, предсказанными К41. Тем не менее в
той же статье приведены достаточно убедительные доказательства то¬
го, что значимое различие все же остается. Они были получены в экс¬
перименте на лабораторной установке при значениях числа Рейнольдса
на тейлоровском масштабе R\ до 852. Позднее эксперимент был по¬
вторен в аэродинамической трубе S1 при R\ = 2700 (Gagne 1987). Хо¬
тя при этом был достигнут значительно более широкий инерционный
интервал, предыдущие результаты Ансельме и др. (Anselmet, Gagne,
Hopfinger and Antonia 1984) в основном подтвердились.
На рис. 8.6, основанном на данных (Gagne 1987), показаны резуль¬
таты измерений продольных структурных функций порядков 2, 3 и 6.
Й.З. Экспериментальные сведения о перемежаемости
141
104
А
103
£
-о
V
СО I
i
I
t
Т
i
7 V V v
* *
• *
* * * * * *
* L
V v
vv
V V v v V V
<
1—i
*
*
*
□
□
□
□
□
□
j •
i
Ce= 1-75
<к=>.80
<к=»-85
Се=6/3 (К41)
I
i
i
10° г
101
: (Знак изменен)
!„.++ + + ++ +
~г~*
. i I
102
6о 88 об 8 о
£/г]
5!;бга
Г А
103
С2 = 2/3 (К41)
С2 = 0.69
С^ = 0.73
С? = 3/3 (К41)
ю4
Рис. 8.6. Структурные функции порядков 2, 3 и 6 во временной области, ском¬
пенсированные делением на гипотетические степенные множители, по данным
аэродинамической трубы SI (Gagne 1987)
Структурная функция второго порядка для тех же данных показана
на рис. 5.1. При построении графиков на рис. 8.6 измеренные значения
умножались на компенсирующие степенные множители, чтобы опреде¬
лить соответствующие показатели. По результатам видно, что струк¬
турные функции в инерционном интервале удовлетворяют степенному
закону
ад = ((^ц(£))Р>а£Ч (8-6)
4
где параметр называется показателем структурной функции.
Заметим, что a priori не очевидно, что структурные функции боль¬
ших порядков существуют. Это зависит от формы хвостов функции
распределения вероятности приращения скорости: если убывание сте¬
пенное, моменты выше некоторого порядка обращаются в бесконеч¬
ность. В действительности эксперименты дают приблизительно экспо¬
ненциальное убывание (Van Atta and Chen 1970; Gagne, Hopfinger and
142
Глава 8. Перемежаемость
Frisch 1990; Gagne and Castaing 1991). Конечно, не исключено наличие
скрытого шумом степенного хвоста, расположенного за экспоненциаль¬
ным. Можно строить и изучать модели перемежаемости, приводящие к
таким «гиперболическим» хвостам (см., например, (Schertzer and Love-
joy 1984, 1985; Schmitt, Lavallee, Schertzer and Lovejoy 1992)).
Перейдем к самим результатам измерения структурных функций
(дальнейшие подробности см. в (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Anto¬
nia 1984; Gagne 1987)). Структурная функция третьего порядка (знак
которой был изменен, чтобы сделать ее положительной) находится в
хорошем соответствии с законом четырех пятых: при ^/77 между 500 и
2000 экспериментальные значения почти точно равны 4/5. При меньших
значениях ^/77, расположенных вблизи тейлоровского масштаба, значе¬
ния примерно на 20% больше. Отклонение от закона четырех пятых вы¬
глядит загадочно, так как этот закон должен выполняться независимо
от справедливости теории К41. В действительности есть много возмож¬
ных причин для такого отклонения. В их числе: отсутствие асимпто¬
тичности (т. е. искажение, вносимое областью диссипации), отсутствие
однородности и/или изотропности, нарушение гипотезы Тейлора, на¬
рушение гипотезы НЗ о конечности диссипации энергии при v —> 0,
ошибки при определении средней скорости диссипации энергии е и не¬
достаточно высокое качество измерений.
Ансельме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) пред¬
ложили использовать диапазон масштабов, в котором структурная
функция третьего порядка достаточно близка к 4/5, как операциональ¬
ное определение инерционного интервала. Границы этого интервала по¬
казаны двумя вертикальными штрихпунктирными линиями на рис. 8.6.
Структурная функция второго порядка уже обсуждалась в разд. 5.1.
Видно, что по «компенсированным» графикам рис. 8.6 трудно сделать
выбор между тремя предлагаемыми значениями £2 (включая предска¬
занное К41 значение 2/3). Как мы уже указывали в разд. 5.1, в фурье-
пространстве в терминах энергетического спектра можно получить бо¬
лее широкий инерционный интервал и поэтому более точно определить
показатель £2- Согласно измерениям, проведенным в 1994 г. (Gagne
and Marchand, частное сообщение) в аэродинамической трубе S1, £2
слишком близка к предсказанному К41 значению 2/3, чтобы можно
было различить какое-либо расхождение. Измерение показателей мож¬
но также провести методом вейвлет-преобразований (Muzy, Васгу and
Arneodo 1993). С точки зрения вычисления структурных функций, их
использование сводится к применению фильтра, выделяющего фурье-
8.3. Экспериментальные сведения о перемежаемости
143
компоненту скорости масштаба а не просто ее приращение на рассто¬
янии L Возможно, вид фильтра можно подобрать так, чтобы повысить
точность определения показателя.
Из показанных на рис. 8.6 данных для структурной функции шесто¬
го порядка следует, что £б ближе к 1,8, чем к предсказываемому К41
значению 6/3. Значение £б = 1,8 было также предложено в (Anselmet,
(!agne, Hopfinger and Antonia 1984). Из неравенств C2 ^ 2/3 и < 6/3
следует, что (гипер)пологость
S*(l)
№(<))3
при I -> 0 (на участке внутри инерционного интервала) растет по
степенному закону. Таким образом, перемежаемость, характеризуемая
/'о(^), может стать сколь угодно большой при достаточно больших чи¬
слах Рейнольдса и малых масштабах из инерционного интервала. По¬
лучить подобный вывод, исходя из поведения пологости F±(£), было бы
труднее, так как результаты Ансельме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfin¬
ger and Antonia 1984) не подтверждают никакого измеримого отклоне¬
ния £4 от его значения 4/3, получаемого по К41. Интерес к структурной
функции шестого порядка объясняется тем, что соответствующее от¬
клонение от К41
М = 2 - Се (8.8)
и различных моделях перемежаемости интерпретируется как коразмер¬
ность (3 минус размерность) диссипативных структур (см. ниже). Но
несмотря на то, что отклонение £б от значения К41 представляется
значительным, нет абсолютной гарантии, что оно действительно суще¬
ствует. Ансельме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984)
показали, что объем их выборки достаточен для вычисления стати¬
стики, но могут оставаться еще систематические ошибки, аналогичные
тем, которые обсуждались в связи со структурной функцией третьего
порядка. Еще один источник сомнений в правильности определения по¬
казателя связан с волнообразным видом графика структурной функции
шестого порядка (как и более высоких порядков). Новиков указал на
возможность лог-периодических поправок к масштабной инвариантно¬
сти (Novikov 1969), т. е. дополнения степенного закона поправочными
членами, содержащими периодические функции логарифма масштаба
(или волнового числа). Смит и др. (Smith, Fournier and Spiegel 1986)
показали, что лог-периодические поправки возникают во фрактальных
(8.7)
Глава 8. Перемежаемость
Ml
моделях с лакунарностью, то есть выделенным отношением масшта¬
бов (простейшим примером является стандартное канторово множе¬
ство). Согласно работам Бенци и сотрудников, осцилляции структур¬
ной функции сильно зависят от геометрии потока в целом и особенно
от периодов больших вихрей (Benzi, частное сообщение). Показанные
на рис. 8.7 данные, полученные в упоминавшихся в разд. 5.1 экспери¬
ментах с газообразным гелием (Maurer, Tabeling and Zocchi 1994) для
структурных функций порядков 2, 3, 4 и 6, ближе к чистому степенно¬
му закону, чем измерения в аэродинамической трубе S1. Однако в гели¬
евом эксперименте интенсивность турбулентности была гораздо выше
(среднеквадратичная флуктуация скорости составила примерно 25% от
ее среднего значения). Поэтому пространственный масштаб £ = Ur,
связанный по гипотезе Тейлора с данным значением т через мгновен¬
ное значение скорости С/, испытывает значительно большие колебания,
которые после усреднения могут привести к сглаживанию осцилляций.
Рис. 8.7. Структурные функции порядков 2, 3, 4 и 6 (как помечено на гра¬
фике) во временной области, построенные в логарифмическом масштабе для
низкотемпературного течения газообразного гелия между вращающимися в
противоположные стороны цилиндрами при R\ = 1200. Единицы измерения
для третьего порядка см3 *с_3, для остальных произвольны^ (Maurer, Tabeling
and Zocchi 1994)
Н.Л. Экспериментальные сведения о перемежаемости
145
В работах (Benzi, Ciliberto, Baudet et al. 1993; Benzi, Ciliberto, Tripic-
rioue et al. 1993), а также (Benzi, Ciliberto, Baudet and Ruiz Chavarria
1995) был предложен новый метод обработки результатов измерений,
который значительно повышает точность определения показателей и,
и частности, устраняет трудность, связанную с осцилляциями. Вместо
того чтобы строить график величины Sp(£) как функции они стро¬
ит график Sp(£) как функции Spr(£) в логарифмическом масштабе по
обеим осям. При этом графики получаются гораздо ближе к прямым
линиям5 . Дело в том, что каковы бы ни были причины происхождения
осцилляций, они оказываются коррелированными у структурных функ¬
ций разных порядков (как видно из рис. 8.6)6 . Другая причина, указан¬
ная в работе (Benzi, Ciliberto, Baudet et al. 1993), заключается в том, что
графики структурных функций в начале диссипативного спада имеют
одинаковую форму вплоть до примерно пятикратной величины колмо¬
горовского масштаба. В данной статье это явление названо расширен¬
ным самоподобием. Если показатель для Spr(f) известен (например, при
]/ = 3), то определяется и показатель для Sp(£). Для данных, получен¬
ных при больших числах Рейнольдса (в том числе и в аэродинамиче¬
ской трубе S1) с учетом расширенного самоподобия, этот метод дает
следующие значения (Benzi, Ciliberto, Baudet and Ruiz Chavarria 1995):
(2 = 0,70, Сз = 1)00 (по предположению), £4 = 1,28, £5 = 1,53, £б = 1,77,
(7 = 2,01, Се = 2,23. Эти величины отмечены на рис. 8.8 черными тре¬
угольниками.
Другой возможный способ повысить точность определения скейлин-
говых показателей заключается в аппроксимации структурных функ¬
ций степенными законами с лог-периодическими поправками, как бы¬
ло сделано в (Sornette and Sammis 1995), чтобы точнее предсказывать
крупные землетрясения.
Ансельме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) сум¬
мировали свои результаты на графике зависимости £р от р (рис. 8.8).
Прямая штрихпунктирная линия наклона 1/3, проходящая через начало
координат — это предсказание теории К41. Прямая пунктирная линия
и кривая сплошная линия соответствуют разным моделям перемежа¬
емости, которые будут обсуждаться позже. Перевернутые белые тре¬
угольники соответствуют ранним данным Ван Атта и Парка (Van Atta
5 Некоторые примеры этой процедуры можно найти в (Anselmet, Gagne, Hopfinger
and Antonia 1984, разд. 5.2).
6 Эти корреляции особенно сильны между структурными функциями смежных по¬
рядков (Noullez, частное сообщение).
146
Глава 8. Перемежаемость
Рис. 8.8. Показатель (р структурных функций во временной области порядка
р как функция р. Перевернутые белые треугольники — данные из (Van Atta
and Park 1972); черные кружки, белые квадраты и черные треугольники —
данные из (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) при R\ = 515, 536,
852 соответственно; крестики — данные из S1, обработанные с учетом расши¬
ренного самоподобия (см. с. 145). Прямая штрихпунктирная линия — = р/3
(К41); штриховая линия — /3-модель (ур. (8.31)) при D = 2,8; сплошная ли¬
ния — логнормальная модель (ур. (8.122)) при р = 0,2; точечная линия —
лог-пуассоновская модель (ур. (8.141))
and Park 1972), недостаточным для вычисления статистики при р > 4.
Та же проблема имеет место для данных Ансельме и др. (Anselmet,
Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) при p, превышающем некий порог,
расположенный между 10 и 12. Кроме того, как уже указывалось, мо¬
гут быть и другие причины, приводящие к ошибкам. Однако даже со
всеми этими оговорками данные, представленные на рис. 8.8, сыграли
важную роль в теории турбулентности, тан как они оказались непо¬
средственным побуждением к введению мулътпифракталъной модели,
которую мы обсудим в разд. 8.5.3 (см. также разд. 8.8).
м *1. Перемежаемость: точные результаты
147
Подвести итог этому разделу можно так: наличие связанных с пе-
ргмежаемостью поправок к теории К41 в инерционном интервале ве¬
роятно, хотя и не достоверно.
Н.4. Перемежаемость: точные результаты
II этом разделе мы изучим некоторые «точные» условия, которым дол¬
жны удовлетворять показатели структурных функции. Точными мы
называем такие ограничения, которые можно вывести из теоретико-
пгроятностных неравенств или основных физических соотношений для
несжимаемого течения, не обращаясь ни к каким дополнительным ги¬
потезам (кроме предположения о самом существовании этих показате¬
лей). Один из подобных примеров, уже обсуждавшийся подробно выше,
связан с колмогоровским законом четырех пятых, из которого следует,
что £з = 1. Другие наши точные результаты будут связаны со струк¬
турными функциями четного порядка.
Единственное необходимое здесь предположение состоит в том,
что при больших числах Рейнольдса на масштабах из инерционного
интервала структурные функции четного порядка подчиняются сте¬
пенному закону. Именно, мы допустим следующее.
Д1. В пределе R = £oVq/u -> оо структурная функция четного порядка
2р > 0 имеет показатель т.е. при i —> 0 в главном порядке
имеем:
где А.2р — положительное число (не обязательно универсальное).
Д2. При больших конечных R скейлинг (8.9) выполняется как про¬
межуточная асимптотика в диапазоне масштабов (инерционном
интервале), расширяющемся при росте R не медленнее, чем сте¬
пенным образом:
(8.9)
(8.10)
Справедливы следующие три утверждения.
М8
Глава 8. Перемежаемость
У1. Для любых трех натуральных чисел р\ ^ р2 ^ Рз выполнено усло¬
вие выпуклости7
(РЗ - Pi) СгР2 >(рз~ Р2) С2Р1 + (Р2 - Pi) <2рз- (8.11)
У2. Если допущение Д1 выполнено и существуют такие два соседних
четных числа 2р и 2р + 2, что
<2р > Сгр+2, (8.12)
то скорость течения, измеряемая в системе отсчета, связанной с
усредненным потоком, неограничена.
УЗ. При выполнении гипотезы Д2 и в предположениях пункта У2, если
число Маха, связанное с vo, поддерживается постоянным, а число
Рейнольдса неограниченно возрастает 8 , то и максимальное число
Маха данного течения тоже возрастает неограниченно.
Доказательство. Из неравенства Гёльдера для моментов случайной
величины (Feller 1968b) следует, что
((<Ьц)2р2)2рз"2р1 < ((^||)2pi)2p3"2p2((fo||)2p3)2p2_2pi. (8.13)
Подставляя выражение (8.9) для структурных функций и устремляя
£ —>■ 0, получаем неравенство (8.11), выражающее тот факт, что гра¬
фик <^2р как функции р вогнут; это доказывает У1. Теперь обозначим
максимум скорости по пространству и времени через Umax. В любой
момент времени имеем
|<to„(^)|<217max. (8.14)
Пользуясь эквивалентностью усреднений по ансамблю и по времени,
выводим из (8.14), что
((«чцМ)”"-2)« «СЖЛ#»2”)-
Предполагая £ 1$, получаем с использованием (8.9):
ULx > 1 А2р±2 /
v0 ^ ^ -^2р \£о)
(8.15)
(8.16)
7 Формально говоря, это условие вогнутости или субаддитивности. — Прим. ред.
8 Примером может служить последовательность турбулентных течений на решет¬
ках, имеющих одни и те же вязкость и среднюю скорость, но при увеличивающемся
шаге решетки.
Н,Г>. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
149
Учитывая (8.12), в пределе t —> 0 получаем Umax = оо. Утверждение У2
доказано.
Теперь определим числа Маха
М0 = Мтах = — (8.17)
Сд Сд
соответственно для среднеквадратичной скорости и максимальной ско¬
рости (в системе отсчета, связанной с усредненным потоком). Выберем
масштаб I:
который в силу (8.10) находится внутри инерционного интервала. Под¬
ставляя (8.18) в (8.16) и пользуясь (8.17), получаем:
Л4ах > I2д(С2р-С2р+2)<*/2 (8.19)
4 Л2р
Отсюда следует утверждение УЗ. □
Если бы число Маха в системе отсчета усредненного потока могло
стать сколь угодно большим, то нарушилось бы предположение о не¬
сжимаемости, необходимое для вывода уравнения Навье-Стокса. Од¬
нако физические основы теории при этом не будут затронуты, так как
иозникновение сверхзвуковых скоростей при весьма больших числах
Рейнольдса не исключено. Во всяком случае, (8.12) несовместимо с вы¬
полнением уравнения Навье-Стокса при сколь угодно больших числах
Рейнольдса.
Подытожить сказанное можно так: если структурные функции чет¬
ных порядков подчиняются степенным законам с показателями и не¬
сжимаемость не нарушается при больших числах Рейнольдса, то гра¬
фик £2р как функции р является вогнутым и неубывающим 9
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
8.5.1. /3-модель
Есть совсем простой способ так исправить феноменологическую мо¬
дель, обсуждавшуюся в разд. 7.3, чтобы она описывала некоторые явле¬
ния типа перемежаемости. Рис. 8.9, который рекомендуется сравнить
0 Некоторые другие строгие неравенства для показателей можно найти в (Con¬
stantin and Fefferman 1994), а их обзор — в (Constantin 1994).
150
Глава 8. Перемежаемость
Поступление
энергии е
г^О о о
г2^
г3 £0
?0 о о о
Поток
энергии е
о о о
V
Диссипация
энергии е
Рис. 8.9. Каскад в случае /3-модели. На каждом шаге вихри заполняют про¬
странство все реже
с рис. 7.2, иллюстрирует основную идею так называемой (3-модели: на
каждой ступени каскада Ричардсона число «дочерних» вихрей данно¬
го «материнского» вихря выбирается так, чтобы занимаемая ими доля
объема уменьшалась в /З-1 раз (0 < (3 < 1). Величина (3 является пара¬
метром модели. В остальном картина каскада, описанная в разд. 7.3,
остается неизменной. В /3-модели «активная» доля пространства ко¬
торая включена в вихри масштаба £ = гп1 о, убывает вместе с i степен¬
ным образом. Действительно,
Обозначение, выбранное для .D, связано с тем, что эту величину мож¬
но интерпретировать как фрактальную размерность (Mandelbrot 1977;
Falconer 1990).
Последнее становится понятным при взгляде на рис. 8.10, на кото¬
ром внутри единичного куба изображены три геометрических объек¬
та: точка, кривая и поверхность, имеющие размерность D (в обычном
(8.20)
где
(8.21)
Н.Г). Модели перемежаемости, связанные со скоростью
151
Рис. 8.10. Вероятность того, что шар радиуса £ пересекается с объектом раз¬
мерности D, при £ -* 0 имеет асимпототику £?~D
смысле), равную соответственно нулю, единице и двум. Зададимся во¬
просом: с какой вероятностью pt шарик малого радиуса £, центр кото-
рого выбирается внутри куба случайным образом в соответствии с рав¬
номерным распределением вероятности, пересекается с одним из этих
объектов? Ответ немедленно следует из построения, изображенного на
рис. 8.10. В случае поверхности, центр шара должен попасть для пе¬
ресечения внутрь «сандвича» толщиной 2£, в случае кривой он должен
находиться внутри «колбаски» радиуса ав случае точки — внутри
шара радиуса L Итак, во всех случаях
п ос £3~d, I -»0. (8.22)
Если вместо шариков взять маленькие кубики, эта вероятность будет
зависеть от I тем же способом. Если все будет происходить в d-мерном
пространстве, (8.22) перейдет в
Ре ос &-в, £ 0. (8.23)
Величина d — D называется коразмерностью.
152
Глава 8. Перемежаемость
Для более экзотических объектов, например для канторова множе¬
ства, (8.23) можно использовать как определение размерности, которая
в таком случае не обязана быть целой. Это определение размерности
тесно связано с понятием колмогоровской емкости, также называемой
размерностью покрытия10
Когда D неотрицательна, т. е. при /3 > г3, у каждого вихря име¬
ется в среднем по крайней мере один дочерний вихрь. Тогда D — это
размерность множества 5, на котором накапливается каскад в пределе
бесконечного числа итераций. При /3 < г3 размерность D отрицатель¬
на и среднее число дочерних вихрей меньше единицы, так что каскад
почти наверное обрывается после конечного числа итераций, а множе¬
ство S пусто. Однако вероятность р£ найти вихрь любого наперед за¬
данного размера £, заданная формулой (8.22), положительна. Поэтому
отрицательную размерность можно понимать как параметр, управляю¬
щий скоростью разрежения последовательности множеств, сходящихся
к пустому множеству (Mandelbrot 1990, 1991).
Вернемся теперь к /3-модели и определим для нее скейлинговые за¬
коны, обобщая стандартную феноменологию К41 из разд. 7.2. Обозна¬
чения этого раздела сохраняют свой смысл, за исключением и/, которое
теперь обозначает типичное приращение скорости на расстоянии £ вну¬
три активного вихря величины ~ £. Заметим, что определение перио¬
да пульсаций t£ как ljv£ по-прежнему оправдано, так как образование
меньших вихрей существенно только внутри больших. Активные вихри
размера ~ £ заполняют только долю р£ всего объема; поэтому удельная
энергия движения на масштабе ~ £ равна
/ £ \ 3-D
Ее ~ vj ре = vj I — ) (8.24)
Поток энергии П^ от пульсаций масштаба ~ £ на меньшие масштабы
равен ~ E£/t£. Поэтому
7,з / р \ з-л
П‘~тЫ) <8-25>
10 Элементарное, но строгое определение колмогоровской емкости см. в (Ruelle
1989). Эту размерность не следует путать с емкостной размерностью, которая по
теореме Фростмана совпадает с хаусдорфовой размерностью; детали см. в (Kahane
and Salem 1994, гл. Ill) или в диссертации Фростмана (Frostman 1935).
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
153
Как всегда, допустим, что при больших числах Рейнольдса имеется
инерционный интервал, в котором поток энергии не зависит от I:
~ е ~ (8.26)
ч)
Соотношение е ~ Vq/£o уже было выведено в разд. 7.2, где указыва¬
лось, что оно не зависит от теории К41; с другой стороны, оно следует
из (8.25) при £ ~ £q.
Из (8.25) и (8.26) получаем
/ £\k-4*
Vt~Vo{To)
(8.27)
£ £0(£\*+*tL
1 V£ v0 \4)J
(8.28)
Уравнение (8.27) можно понимать в том смысле, что поле скоростей
на множестве накопления каскада 5, имеющем (фрактальную) размер¬
ность 11 D, характеризуется скейлинговым показателем
_ 1 3-D
“3 3
Это наблюдение пригодится в дальнейшем для обобщения на мульти-
фрактальный случай (разд. 8.5.3).
Перейдем к структурным функциям. На феноменологическом уров¬
не продольные структурные функции (определенные в (6.61)) практи¬
чески неотличимы от структурных функций, включающих другие ком¬
поненты приращения скорости. Здесь мы не будем учитывать подоб¬
ные различия и просто обозначим структурную функцию порядка р
через (Svg). Ее значение определяется двумя множителями: величиной
связанной с активными вихрями, и «фактором перемежаемости»
Ре = который фиксирует долю объема, занятую активными
вихрями масштаба £. Пользуясь (8.27), получим
ад = <ч> ~«? (£)4’ (8-зо)
11 Здесь следует использовать именно колмогоровскую емкость. В работе (Fung
and Vassilicos 1991) указано, что спиральные структуры, которые достаточно часто
встречаются в турбулентном течении, могут иметь нетривиальную фрактальную
емкость несмотря на то, что их хаусдорфова размерность — целая.
154
Глава 8. Перемежаемость
где
СР = |+ (3--0)(1-|)- (8-31)
Как видно, в /5-модели показатель — линейная функция величины
р. Отметим, что при р = 6 его отличие от колмогоровского значения
равно коразмерности 3 — D.
В частном случае р = 2 находим, что структурная функция второго
порядка имеет показатель 2/3 + (3 — -D)/3; тем самым энергетический
спектр в инерционном диапазоне имеет вид
Е(к) ос Аг(§+1з^), (8.32)
т. е. более крутой, чем спектр А;-5/3 Колмогорова-Обухова. При р = 3
получаем £з = 1, как и утверждает колмогоровский закон четырех пя¬
тых.
Вязкостный порог в /3-модели, как и в разд. 7.2, получается прирав¬
ниванием периода пульсаций t£, определенного в (8.28), к характерному
времени вязкой диффузии. Это дает диссипационный масштаб
г] ~ R l+D ~ £оR 1+Л ? (8.33)
где, как обычно, R = £ovq/v.
/3-модель имеет довольно длинную историю, которую лучше рассма¬
тривать в контексте других моделей (см. разд. 8.8).
Теория К41 получается, если положить D = 3; действительно, при
этом перемежаемость будет отсутствовать. При D < 2 показатель h
становится отрицательным, так что V£ возрастает при уменьшении
масштаба. Вследствие этого диссипационный масштаб 77, полученный
в (8.33), может стать меньше длины свободного пробега; к этому во¬
просу мы вернемся в разд. 8.5.5. При D < 0 спектр становится круче,
чем А;-8/3. Здесь интересно упомянуть один строгий результат Сулема
и Фриша (Sulem and Frisch 1975). Они рассмотрели решения уравнения
Навье-Стокса с конечной полной энергией (предположение, совмести¬
мое с пространственной периодичностью, но не с однородностью) в
пределе исчезающей вязкости и показали, что при спектре более кру¬
том, чем А;“8/3, поток энергии Лк стремится к нулю при К —> оо. Нако¬
нец, заметим, что вязкостный порог (8.33) не существует при D ^ —1.
Для объяснения скейлинга в /3-модели имеется единственный под¬
гоночный параметр — размерность D, связанная с перемежаемостью
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
155
каскада. Как это соотносится с экспериментальными данными, о ко¬
торых говорилось в разд. 8.3? Прямая пунктирная линия на рис. 8.8
соответствует /3-модели при D — 2,8. Как утверждают Ансельме и др.
(Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984), /3-модель неплохо со¬
ответствует данным при значениях р до 8, но перестает работать при
р = 12 и выше. Однако, как мы подчеркивали в разд. 8.3, существующие
трудности экспериментального определения показателей не позволяют
полностью опровергнуть даже саму теорию К41, не говоря уже о ^-мо¬
дели. Все же данные Ансельме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfinger and
Antonia 1984) взятые сами по себе, показывают, что график зависимо¬
сти от р во всяком случае не является прямой линией. Это привело
к всевозможным обобщениям /3-модели. Прежде чем перейти от нее к
мультифрактальной модели из разд. 8.5.3, мы, как педагогический про¬
межуточный шаг, сначала обсудим «бифрактальную модель».
8.5.2. Бифрактальная модель
Как мы видели в разд. 8.5.1, /0-модель утверждает, что поле скорости
имеет скейлинговый показатель h на множестве S фрактальной раз¬
мерности D, причем h и D связаны формулой (8.29). Естественным
обобщением здесь будет бифрактальностъ, когда в физическом про¬
странстве R3 имеются два множества <Si и S2, в окрестности которых
поле скоростей характеризуется скейлинговыми показателями h\ и /12
соответственно. Конкретно мы предполагаем
Здесь 6ve(r) обозначает приращение скорости между точкой г и неко¬
торой другой точкой, отстоящей от нее на расстояние I. Как и в гл. 7,
все векторные обозначения опущены, так как при феноменологических
выкладках этого типа компоненты векторов не различаются. Написан¬
ные выше скейлинговые соотношения предполагаются выполненными
в инерционном интервале масштабов. Поэтому после нормировки при¬
ращений радиус-вектора I и скорости 6vi(r) на £q и vq соответственно
остаются лишь константы порядка единицы.
Сделав это предположение, мы можем теперь вычислить структур¬
ную функцию порядка р (в инерционном интервале). Показатель hi
(8.34)
156
Глава 8. Перемежаемость
даст вклад (£/£o)phl 5 который надо умножить на вероятность (£/£q)3~Di
попасть в ^-окрестность множества <Si; аналогичные выкладки следует
проделать и для другого показателя. После этого получится
(8.35)
где /ii и — константы порядка единицы.
Таким образом, во все структурные функции входит суперпози¬
ция двух степенных законов. В инерционном интервале, когда t £о,
преобладать будет степенной закон с меньшим показателем. Поэтому
имеем
(6у%) ос ^р, Ср = min (phi + 3 - Z?i, pfi2 + 3 - D2). (8.36)
Видно, что в зависимости от значения показателя р будет доминиро¬
вать или первый, или второй тип сингулярности. Это напоминает явле¬
ние, названное Берри «битвой катастроф» (Berry 1982), т. е. конкурен¬
цию двух или большего числа сингулярностей, определяющих асимпто¬
тическое поведение некоторых интегралов, возникающих в задачах о
мерцании света в случайной среде (Berry 1977), распределении времен
обращения жидких частиц вдоль замкнутых случайных линий тока и
других12
Для иллюстрации бифрактальности возьмем смесь турбулентности
К41 и /3-модели: D\ = 3, hi = 1/3, 0 < Д < 3 и /12 = 1/3 — (3 — Д)/3.
Получим
Г р/з, о < р < з,
\р/3 + (3-Дг)(1-р/3), р>3.
(8.37)
Заметим, что параметры были выбраны так, чтобы £3 = 1, для выпол¬
нения закона четырех пятых. Показатель можно определить и при
нецелых положительных р\ в этом случае в определении структурной
функции надо брать абсолютную величину 6v£. График £р, определен¬
ный формулой (8.37), показан на рис. 8.11. Он имеет излом при р = 3.
Это явление называется «фазовым переходом»: с точки зрения струк¬
турных функций модель ведет себя в соответствии с теорией К41 при
р^Зи проявляет перемежаемость лишь при больших значениях р.
12 Мы упоминаем здесь эту работу не только в силу ее изящества, но и потому, что
она предлагает определенную альтернативу «мультифрактальной» модели переме¬
жаемости, обсуждаемой в разд. 8.5.3.
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
157
Р
Рис. 8.11. Показатель (р в случае бифрактальной модели. Отметим изменение
наклона при р = 3
Существует и менее искусственная модель, являющаяся в точности
бифрактальной, а именно уравнение Бюргерса
dtv + vdxv = vdxxv. (8.38)
Мы не будем открывать сейчас ящик Пандоры, содержащий многочи¬
сленные примеры связей уравнения Бюргерса с турбулентностью (или
отсутствия этих связей). За этим читателю лучше обратиться к кни¬
гам (Burgers 1974), (Gurbatov, Malakhov and Saichev 1991) и (Barabasi
and Stanley 1995), а также статьям (Kardar, Parisi and Zhang 1986; She,
Aurell and Frisch 1992; Sinai 1992; Vergassola, Dubrulle, Frisch and Noullez
1994) и ссылкам в них.
В решениях уравнения Бюргерса при гладких начальных данных
и/или гладкой вынуждающей силе13 в пределе нулевой вязкости че¬
рез конечное время возникают два типа структур, изображенные на
рис. 8.12: изолированные разрывы (D = 0 и h = 0), соединенные глад¬
кими «склонами» (D = 1 и h = 1). Как замечено в работе (Aurell, Frisch,
Lutsko and Vergassola 1992), это обеспечивает бифрактальность: = 1
при р ^ 1 и (р = р при 0 < р < 1. Другими словами, на расстояниях
из инерционного интервала те структурные функции, порядок кото¬
рых меньше единицы, определяются гладкими участками решения, а
те, порядок которых больше единицы, — разрывами.
13 Предположение о гладкости силы существенно: если она имеет степенной спектр,
получаются другие результаты (Forster, Nelson and Stephen 1977; Kardar, Parisi and
Zhang 1986).
i:»h
Глава 8. Перемежаемость
Рис. 8.12. Решение уравнения Бюргерса в пределе нулевой вязкости: в началь¬
ный момент (а) и после образования разрывов (б)
Тот факт, что характерная для /3-модели масштабная инвариант¬
ность (с D = 0) структурных функций целых порядков р ^ 0 выпол¬
няется для решений уравнения Бюргерса точно, может применяться
для проверки статистических теоретических моделей турбулентности,
особенно если в них используется диаграммная техника: такие методы
часто основаны на выкладках, применимых как к уравнению Навье-
Стокса, так и к уравнению Бюргерса (см. разд. 9.5).
8.5.3. Мультифрактальная модель
Данные Ансельме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984)
для функции показанные на рис. 8.8, соответствуют не линейной
или кусочно линейной зависимости, как в /3-модели или бифрактальной
модели, а описываются некоторой нелинейной зависимостью. Это и по¬
будило Паризи и Фриша (Parisi and Frisch 1985) развить мультифрак-
тальную модель. Исторические подробности и в этом случае вынесены
в разд. 8.8.
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
159
Исходя из опыта анализа бифрактальной модели, легко сообразить,
что нелинейная зависимость будет получена, если предположить на¬
личие не двух, а целого континуума скейлинговых показателей. Есть
и более глубокая причина не ограничиваться случаем конечного чи¬
сла показателей. В разд. 2.2 мы видели, что в пределе нулевой вязко¬
сти уравнение Навье-Стокса обладает бесконечным множеством групп
масштабных преобразований, параметризованных скейлинговым пока¬
зателем h. В теории К41 h было ограничено единственным значени¬
ем, так как предполагалась глобальная масштабная инвариантность.
Теперь это требование будет заменено более слабой локальной мас¬
штабной инвариантностью: допустимы все h (в некотором интерва¬
ле), и для любого h существует фрактальное множество размерности
D(h), в окрестности которого выполнена масштабная инвариантность
с показателем h.
Конкретнее, мы сохраним гипотезы Н1 и НЗ теории К41 (разд. 6.1),
а Н2 заменим на
Нмф. При тех же допущениях, что и в Н1, предполагается, что тур¬
булентное течение имеет непрерывный интервал скейлинговых пока¬
зателей I = (hштатах)- Каждому h из этого интервала соответ¬
ствует множество Sh С R3 фрактальной размерности D(h) такое,
что при £ —> О
Постулируется, что показатели hm\n и hmsx и функция D(h) универ¬
сальны, т. е. не зависят от механизма порождения течения.
Выведем из этой мультифрактальной гипотезы выражение для
структурной функции порядка р, действуя так же, как в предыдущем
пункте:
Мера d/j,(h) определяет здесь относительные веса разных показателей.
(Как мы увидим, ее точное выражение несущественно.) Множитель
Wo)ph — это вклад из (8.39), а множитель (С/£о)3 описывает ве¬
роятность оказаться на расстоянии ~ £ от множества размерности
D(h). Сумма, фигурировавшая в (8.35), перешла в интеграл по интер¬
валу скейлинговых показателей I. В пределе при I 0 преобладает
(8.39)
(8.40)
Mil)
Глава 8. Перемежаемость
степенной закон с наименьшим показателем, так что методом наиско¬
рейшего спуска получаем
Шп*М>
1-Ь 0 In I
Ср>
(8.41)
где
Ср = inf \ph + 3 — D(h)]. (8.42)
h
Веса d/j,(h) исчезли из этого асимптотического выражения для струк¬
турных функций. Несколько менее аккуратно, пренебрегая логарифми¬
ческими поправками и т. п., можно написать вместо (8.41):
ад
£->•0.
(8.43)
Согласно колмогоровскому закону четырех пятых показатель
структурной функции третьего порядка должен равняться единице:
Сз = inf [З/i + 3 - D(h)] = 1. (8.44)
h
В соотношении (8.42) между размерностями D(h) и показателя¬
ми структурных функций (р легко узнать преобразование Лежандра
(Sewell 1987). С ним связано геометрическое построение, проиллюстри¬
рованное на рис. 8.13, а: величина 3 — равна максимуму превышения
графика D{h) над прямой наклона р, проходящей через начало коорди¬
нат. Если функция D(h) имеет строго невозрастающую производную,
т. е. вогнута, то для данного значения р максимум достигается в един¬
ственной точке /г*(р) такой, что
D'(K(p))=p, (8.45)
а (р дается выражением
Сv = PKip) + 3 -D iKip)). (8.46)
Отсюда следует, что (8.42) можно обратить:
D(h) = inf iph + 3 — (р). (8.47)
v
Действительно, из (8.45) и (8.46) получаем
^ = К{р) +[p-D' (Л*(р))] = К[р).
(8.48)
Н. Г). Модели перемежаемости, связанные со скоростью
161
Рис. 8.13. Построение преобразования Лежандра данной функции (а) и обрат¬
ного к нему (б)
Легко видеть, что (8.46) и (8.48) влекут (8.47). Отметим, что даже в
случае невогнутой D{h) ее преобразование Лежандра (8.42) будет во¬
гнутым; однако при этом формула обращения даст не саму D(h), а ее
вогнутую оболочку, т. е. наименьшую вогнутую функцию, график ко¬
торой лежит не ниже графика D(h).
В принципе формулой (8.47) можно воспользоваться для получения
D(h) из данных эксперимента или численного моделирования для по¬
казателей (р. Соответствующее геометрическое построение показано
на рис. 8.13, б. В действительности, для таких данных, как на рис. 8.8,
эта операция недостаточно корректна: наклон графика не определяется
имеющимися точками, за исключением малых значений р, где он близок
к 1/3, a D(h) — к 3, т. е. к предсказанию теории К41.
162
Глава 8. Перемежаемость
Из формулы обращения (8.48) следует, что скейлинговый показа¬
тель h равен наклону графика в точке, где достигается минимум
ph + 3 — Следовательно, диапазон I возможных значений р совпада¬
ет с областью значений, принимаемых наклоном графика (р. С учетом
утверждения УЗ разд. 8.4 для конечности числа Маха необходимо, что¬
бы (р как функция р не убывала. Следовательно, в мультифракталъ-
ной модели несжимаемого течения отрицательные показатели h не
встречаются.
8.5.4. Вероятностная формулировка мультифрактальной
модели
Феноменологическое изложение мультифрактальной модели в преды¬
дущем пункте имеет два основных недостатка. Во-первых, оно под¬
разумевает существование в турбулентном потоке сингулярностей, а
во-вторых, не дает возможности различать положительные и отрица¬
тельные приращения скорости. Как мы видели в разд. 7.8, все еще не
выяснено, могут ли сингулярности появиться за конечное время в эйле¬
ровом потоке (при нулевой вязкости). По принципу бритвы Оккама14
лучше поэтому обойтись без них. В свою очередь, смешение положи¬
тельных и отрицательных приращений скорости приводит к путанице
между (Sv^) и (\6v£\p). Это нежелательно при нечетных значениях р и
особенно при р = 3, так как в законе четырех пятых Колмогорова аб¬
солютная величина не фигурирует.
Оба эти недостатка можно исправить, если пользоваться не инди¬
видуальными реализациями эйлеровского поля скоростей, а функциями
распределения вероятности Р^прир(<5г?ц) продольных приращений скоро¬
сти на расстоянии L (Считается, что переход к пределу по t —> оо и по
v -> 0 уже произведен.) В предположениях однородности, стационар¬
ности и изотропности эта функция распределения зависит только от I.
Тогда структурные функции выражаются как
Sp(t) = ( ^Р£прир(^ц)^||. (8.49)
«/к
14 От Вильгельма из Оккама (1290-прибл. 1349). Принцип бритвы Оккама, напра¬
вленный против чрезмерных усложнений схоластической теологии, запрещает при
рассмотрении как Писания, так и опыта предполагать множественность причин там,
где достаточно одной.
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
163
Мы игнорируем здесь (маловероятную) возможность того, что распре¬
деление приращений скорости не имеет плотности по отношению к мере
.Лебега.
Если принять гипотезу мультифрактальности НМф из предыдущего
раздела, то вероятность скейлинга Svi ос £h (на время забудем о зна¬
ке) должна быть пропорциональна p-D(h)a Это приводит нас к вероят¬
ностной переформулировке гипотезы мультифрактальности, в которой
учитывается знак приращения скорости:
Нпмф- При тех же допущениях, что и в Н1, существует универ¬
сальная функция D(h), сопоставляющая действительному значению
скейлингового показателя h такую скейлинговую размерность D ^ 3
(которая может принимать отрицательные значения или обращать¬
ся в —оо), что для любого h распределение приращений скорости удо¬
влетворяет соотношению
lim
£->0
1пР£прир (±eh)
ш
= 3 - D(h).
(8.50)
Здесь Р^рир(5и||) обозначает кумулятивную вероятность, получаемую
интегрированием функции распределения вероятности Р^рир(6иц), на¬
пример, ОТ &7|| до 2Sv\\15
Значение D = — оо допущено, чтобы учесть возможность несуще¬
ствования скейлинговых показателей. Заметим, что переход к пределу
(. ->• 0 произойдет точно так же, если в аргументе Р будет стоять выра¬
жение vo(£/£o)h, имеющее размерность скорости. Заметим также, что
мы предположили, что пределы для положительных и отрицательных
приращений скорости равны, хотя в принципе они могут различаться.
Маше вероятностное определение тесно связано с так называемым «аб¬
страктным принципом больших отклонений», в котором функция D(h)
называется «функцией Крамера» (Varadhan 1984). К теории больших
отклонений мы вернемся в разд. 8.6.4.
Из «традиционного» определения мультифрактальности следует ве¬
роятностное определение, но обратное неверно. Чтобы иметь возмож¬
ность рассматривать функции распределения вероятностей, мы долж¬
ны исходить из (гипотетической) инвариантной меры динамической
системы, описываемой уравнением Навье-Стокса (разд. 3.4). Величина
15 В большинстве случаев истинной мультифрактальности использование функции
распределения вероятности Р и кумулятивной вероятности Р дает один и тот же
результат.
164
Глава 8. Перемежаемость
рприр(^ц) является пределом при v -> 0 функции распределения веро¬
ятности приращений скорости в вязком случае. Несмотря на то, что мы
предположили существование этого предела и при этом получили син¬
гулярное поведение, описываемое формулой (8.50), отсюда нельзя ни¬
чего вывести о поведении при v —> 0 индивидуальных реализаций: они
не обязаны иметь сингулярностей, не говоря уже о фрактальных свой¬
ствах. Если окажется, что в решении уравнения Эйлера за конечное вре¬
мя особенности не возникают (разд. 7.8), то для любого конечного зна¬
чения t предел индивидуальных реализаций при v —> 0 должен оставать¬
ся гладким; поэтому и D(h) не может быть интерпретирована как раз¬
мерность какого-то непустого множества. Что касается предела t —> оо,
то нет никаких причин ожидать, что он существует на уровне индиви¬
дуальных реализаций, будь то при и > 0 или v = 0; сходятся только
вероятности. Итак, если за конечное время сингулярности в решениях
уравнения Эйлера не возникают, то D(h) нельзя понимать как размер¬
ность множества сингулярностей. Резюме: (мульти) фрактальностпъ не
требует возникновения сингулярностей за конечное время.
Следствия, которые вероятностная гипотеза мультифрактальности
влечет для структурных функций, получаются в основном так же, как
в предыдущем пункте, но при этом полезно учитывать знак прираще¬
ния скорости. Определим структурные функции положительных (соот¬
ветственно отрицательных) приращений S+(£) (соответственно S~(tj)
как вклад в интеграл (8.49) от положительных (соответственно отри¬
цательных) приращений скорости. Очевидно,
Sp(i) = S+(£) + S-(e). (8.51)
Тогда при I0 получаем
S*(t) ос£Ср, (8.52)
где по-прежнему дается (8.42). Из (8.51) и (8.52) следует, что при чет¬
ном порядке 2р структурная функция S2P(f) масштабно-инвариантна с
показателем &р- При нечетном порядке 2р + 1 возможно взаимное со¬
кращение положительной и отрицательной частей интеграла, поэтому
настоящий показатель С2р+1 может быть больше, чем дает (8.42). Одна¬
ко это соотношение можно использовать для нахождения показателей
структурных функций нецелых положительных порядков16 при усло-
16 Для отрицательных порядков возникают трудности, к которым мы вернемся в
разд. 8.6.2.
н Г». Модели перемежаемости, связанные со скоростью
165
пии, что эти функции определяются с использованием абсолютной ве¬
личины приращения скорости. Поэтому (р можно рассматривать как
функцию, определенную на действительной полупрямой р ^ 0.
Из вероятностной формулировки мультифрактальности вытекает
принципиальный способ измерения D(h) непосредственно в терминах
функций распределений вероятности приращений скорости без вычи¬
щения обратного преобразования Лежандра. Однако для этого требу¬
ется точное измерение функции распределения вероятности на боль¬
шом интервале масштабов L Пока количество соответствующих экс¬
периментальных данных ограничено (см., например, статью (Gagne,
llopfinger and Frisch 1990) и ссылки в ней). При таких измерениях мо¬
жет быть также обнаружено различие функций jD(/i), описывающих
положительные и отрицательные приращения скорости.
В заключение отметим, что вероятностное описание мультифрак-
тальности может быть получено и в терминах функций распределе¬
ния вероятностей вейвлетп-преобразований поля скорости. Это позво¬
ляет осуществить построение случайных функций, характеризуемых
мультифрактальной масштабной инвариантностью, в явном виде (Веп-
/,i, Biferale et al. 1993).
8.5.5. Ближняя область диссипации и мультифрактальная
универсальность
Мультифрактальная модель, описанная в предыдущих пунктах, пред-
л«чгает возможное объяснение экспериментально наблюдаемых отличий
от К41 на масштабах из инерционного интервала, где вязкость впря¬
мую не сказывается. Из этой модели следуют также некоторые выводы
о поведении на меньших масштабах, где вязкость существенна. Она
приводит к предсказанию вида энергетического спектра при больших
иолновых числах, лежащих вне инерционного интервала (см. данный
пункт), а также к предсказаниям, касающимся асимметрии и пологости
производных скорости (см. разд. 8.5.6). В частности, утверждается су¬
ществование новой формы «мультифрактальной» универсальности, на¬
личие которой несовместимо с первым допущением об универсальности
Колмогорова (разд. 6.3.2) и может быть в принципе проверено экспе¬
риментально. Основная идея состоит в том, что при переходе ко все
более мелким масштабам постепенно выключаются имевшиеся в инер¬
ционном интервале вклады от разных скейлинговых показателей, так
что возникает промежуточная область диссипации с квазистепенным
убыванием энергетического спектра.
166
Глава 8. Перемежаемость
Для начала заметим, что феноменологическое рассуждение, исполь¬
зованное в разд. 7.2 при выводе выражения (7.11) для колмогоровского
диссипационного масштаба 77, может быть перенесено и на мультифрак-
тальный случай. Действительно, следуя статье (Paladin and Vulpiani
1987а), воспользуемся локальным скейлинговым соотношением (8.39)
для того, чтобы определить период пульсации ti = зависящий
от скейлингового показателя h. Затем, приравнивая этот период к ха¬
рактерному времени вязкой диффузии £2/^, получим зависящий от h
диссипационный масштаб:
r)(h) l_
^0
1
l+/l
R
£qVq
V
(8.53)
При h = 1/3 (предсказываемом теорией К41) получается колмогоров¬
ский диссипационный масштаб (7.11). Заметим, что выражение (8.53)
уже было получено в разд. 8.5.1 в рамках /3-модели (формула (8.33)).
Главное отличие от ситуации К41 и /3-модели заключается в том,
что в мультифрактальном случае скейлинговый показатель h пробе¬
гает целый диапазон значений I = (hm[n,hmax)- Это приводит к по¬
явлению интервала диссипационных масштабов, простирающегося от
Tfain ~ 4fl"1/(1+/lmin) ДО 77mах ~ 1/(1+/lmax). Паладин и Вульпиани
заметили (Paladin and Vulpiani 1987а), что при мультифрактальном ха¬
рактере масштабной инвариантности должна быть исправлена и оценка
числа степеней свободы (7.19) по теории К41. В разд. 8.5.3 мы видели,
что для неубывания (разд. 8.4) необходимо, чтобы h было неотри¬
цательным. Кроме того, легко проверить, что результат разд. 7.5, а
именно вывод, что диссипационный масштаб значительно превосходит
молекулярную длину свободного пробега, может нарушиться в случае
отрицательного h17
Теперь, следуя статье (Frisch and Vergassola 1991), перейдем к вли¬
янию зависимости диссипационного масштаба от h на структурные
функции. Во-первых, следует изменить (8.39): при фиксированном скей-
линговом показателе h степенной закон наблюдается только на масшта¬
бах £ 2> T]{h). При меньших значениях I следует предполагать гладкое
поведение скорости. Например, мы можем вместо (8.39) принять
h
г G Sh, (8.54)
6ve(r)
vo
(3‘'Ш
17 В работе (Васгу, Arneodo, Frisch, Gagne and Hopfinger 1990) были получены отри¬
цательные скейлинговые показатели, но позднее оказалось, что они были артефак¬
том метода обработки данных (Vergassola, Benzi, Biferale and Pisarenko 1993).
Н.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
167
где f(x) —> 1 при х —> -foo, а функция xhf(x) при х —> 0+ гладко
стремится к нулю. В действительности точный вид этой функции не¬
существен для дальнейшего, так что мы будем считать ее «ступенькой»:
f(x) = 1 при х ^ 1, f(x) = 0 при 0 ^ х < 1. Учтя таким образом вли¬
яние вязкости, перепишем выражение (8.40) для структурной функции
и виде
SP(i) _ (Svpe)
«о
Г ( Р \ Ph+3—D(h)
/ Mh) Ы
Jr)(h)<e \«о/
(8.55)
Пусть Л*(р) — неявно заданный в (8.45) скейлинговый показатель, кото¬
рый минимизирует ph + 3 — D(h). Ему соответствует диссипационный
масштаб г?(/г*(р)). Будем различать следующие две асимптотических
области.
(i) Инерционный интервал: £о ^ ^ ?7(Л*(р)). Действием вязкости
можно пренебречь, установленный ранее степенной закон (8.43) выпол¬
няется. Отметим, что теперь диссипационный масштаб зависит от по¬
рядка структурной функции. Так как график вогнут, Л*(р) являет¬
ся убывающей функцией р. Следовательно, диссипационный масштаб
7/(/г*(р)) убывает с ростом р. Как мы знаем, при р = 2 показатель Л*
очень близок к 1/3, так что диссипационный масштаб очень близок
к своему значению по теории К41 rj ~ £оi?”3/4. Делались эксперимен¬
тальные попытки проверить, имеют ли структурные функции более
высоких порядков меньшие диссипационные масштабы (van de Water,
van der Vorst and van de Wetering 1991). Ниже мы вернемся к практиче¬
ским трудностям, возникающим при измерениях на масштабах, мень¬
ших колмогоровского диссипационного.
(И) Промежуточный диссипационный интервал: г?(Л*(р)) £ 3>
» ^(Л-min)* Ситуация в этом диапазоне масштабов такова. Вязкая дис¬
сипация подавляет влияние скейлингового показателя Л*(р), которое
в инерционном интервале определяло поведение в главном порядке, но
действие меньших скейлинговых показателей Л, для которых rj(h) ^ £,
продолжает сохраняться. Поэтому можно ожидать, что структурная
функция порядка р имеет квазистепенное поведение, т. е. степенной
закон с показателем ph(£)+3—D(h(£)), где h{£) — наибольший «приемле¬
мый» скейлинговый показатель, которому соответствует диссипацион¬
ный масштаб, равный L Это эвристическое рассуждение подсказывает
Глава 8. Перемежаемость
1()8
следующее выражение для структурной функции в ближней области
диссипации:
SM) (I \рМ<)+з-о(А(0)
r]{h{i)) = e0R i+мо ~ г.
V ^ (■ ^ Т) (Zimin) >
(8.56)
При более строгом выводе следует соблюдать некоторые предосторож¬
ности, так как имеется два параметра разложения: масштаб I (стремя¬
щийся к нулю) и число Рейнольдса R (стремящееся к бесконечности).
Идея состоит в том, чтобы перейти к пределам при i —> 0 и R —> оо
одновременно и при этом так, чтобы вело себя как степень R. При¬
меняя к (8.55) метод наискорейшего спуска (Bender and Orszag 1978),
получим в итоге следующий результат: если R -> оо и i —> 0, причем
= 0<^<(1 + ^min Г\ (8.57)
ТО
Ит "1пД^ = ” &h(P’+ 3 “ D(h(P’0))1(8-58)
где
h(p,6)
_ / л*(р)
при 0 < в < (1 + h*(р)) х,
При (1 + Zl*(p))_X ^ в < (1 + Zimin)-1
(8.59)
Таким образом, формулы (8.57)-(8.59) для структурных функций охва¬
тывают как инерционный интервал (верхняя строка в (8.59)), так и
ближнюю область диссипации (нижняя строка там же).
Особенно интересно при р = 2 получить выражение в терминах
энергетического спектра Е(к),а, не структурной функции. Замечая, что
слагаемое ос 1Р в структурной функции дает слагаемое ос к~х~р в энер¬
гетическом спектре, мы получаем следующий результат: если R -> оо
и к —>■ оо, причем
Нт
ln(fclo)
Ini?
= в,
О 6 < (1 + Zimin) j
(8.60)
то
lim
lnJS(fc)
Ini?
=т
(8.61)
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
169
где
F№ = l~*e при 0<б<!’ /о «o')
U “\-2-2e + eD{9~1-l) при f (l + /imin)_1. '■ >
Здесь для простоты мы положили Л*(2) « 1/3, так что спектр в инерци¬
онном интервале имеет показатель —5/3. В «ближней области диссипа¬
ции», при волновых числах от 1i?3/4 до £q1д1/(1+Лтт), энергетический
спектр убывает квазистепенным образом, т. е. по степенному закону,
показатель которого имеет логарифмическую зависимость от волно¬
вого числа, характеризуемую функцией D(h). Если минимальный скей-
линговый показатель hm\n > 0, то существует еще один интервал волно¬
вых чисел, расположенный за ближней областью диссипации, в котором
гидродинамическое приближение сохраняется (так как масштабы все
еще велики по сравнению со средней длиной свободного пробега). Муль-
тифрактальная модель не делает никаких предсказаний в этой «дальней
области диссипации». Если имеет место равномерная аналитичность, то
спектр там должен убывать экспоненциально по причинам, указанным
в конце разд. 6.3.2.
В инерционном интервале равенство (8.62) дает просто закон —5/3.
Но для масштабов меньших, чем колмогоровский дисспационный
масштаб, мультифрактальная модель предсказывает нечто совершенно
иное, чем формула (6.69), выражающая первое допущение Колмогорова
об универсальности. Теория К41 утверждает, что In E(k) должен быть
универсальной функцией In А; (в инерционном интервале и ближней
области диссипации). Напротив, предполагая мультифрактальность
и допустив также универсальность функции jD(/i), мы получаем, что
\п E(k)/In R есть универсальная функция In к/ Ini?. Это назывется
мулътифракталъной универсальностью. Наш результат допускает
также и более приспособленное к нуждам эксперимента выражение.
Пусть имеется набор экспериментальных энергетических спектров, со¬
ответствующих различным числам Рейнольдса (которые должны быть
все достаточно велики для применимости наших асимптотических
соотношений). Согласно К41, в инерционном интервале и ближней
области диссипации все спектры в логарифмических координатах
должны ложиться на одну кривую (с точностью до сдвига)18 Соглас¬
но мультифрактальной масштабной инвариантности (8.62), это будет
18 Сдвиг необходим, так как разные данные характеризуются разными среднеква¬
дратичными скоростями и основными масштабами.
170
Глава 8. Перемежаемость
выполнено только после дополнительной «нормировки» координат \пк
и InЕ(к) при помощи деления на Ini?. Без этой нормировки энер¬
гетические спектры в логарифмическом масштабе при росте числ*ч
Рейнольдса будут в (ближней) области диссипации выглядеть все
менее и менее искривленными19
Рис. 8.14. Нормированный спектр продольного приращения скорости во вре¬
менной области согласно измерениям разных авторов (Gibson and Schwarz
1963)
Теоретически имеется возможность отличить универсальность
по Колмогорову .от мультифрактальной универсальностью по экс¬
периментальным данным. На рис. 8.14, заимствованном из работы
(Gibson and Schwarz 1963)20 , показана кривая, полученная при совме¬
щении различных данных согласно первому допущению Колмогорова
об универсальности, а на рис. 8.15, взятом из (Gagne and Castaing
19 Практически то же самое следует сказать и о структурных функциях.
20 Он воспроизведен также, как рис. 75 в (Monin and Yaglom 1975, р. 486).
Н,Г). Модели перемежаемости, связанные со скоростью
171
Рис. 8.15. Данные во временной области, полученные для девяти различных
турбулентных течений с R\ от 130 до 13 000, в логарифмических координатах.
Нол новые числа (горизонтальная ось) и энергетический спектр (вертикальная
ось) были умножены на 1/ 1п(Д\/#*) при .R* = 75, а затем полученные кривые
были совмещены с помощью переносов (Gagne and Castaing 1991)
1991), показана аналогичная кривая, полученная с использованием
мультифрактальной универсальности. В обоих случаях использо¬
ваны большие массивы экспериментальных данных, охватывающих
весьма значительный диапазон чисел Рейнольдса: четырнадцать экс¬
периментов, в которых число Рейнольдса менялось от 2000 до 108
в первой статье, и девять экспериментов с R\ от 130 до 13000 во
второй. В каком случае достигается лучшее совпадение? На пер¬
вый взгляд, мультифрактальная универсальность выглядит лучше.
Наряду с указанием на это, в работе (Gagne and Castaing 1991)
подчеркивается, что мультифрактальная модель есть лишь одна
из возможных интерпретаций, и предложена другая интерпрета¬
ция21 Следует, однако, подчеркнуть, что прекрасное совпадение
21 Существует и третья интерпретация тех же данных, предложенная в работе (She
and Jackson 1993) в терминах комбинации законов к~5^3 лкТ1.
Глава 8. Перемежаемость
172
данных для мультифрактальной модели в значительной степени
объясняется тем, что во всех инерционных интервалах переменная
в = \n(k£o)/\nR пробегает один и тот же отрезок (примерно от в = О
ДО 0 = 3/4).
Для окончательного выбора одной из двух возможностей необхо¬
димо уметь делать надежные измерения на масштабах, много мень¬
ших колмогоровского диссипационного масштаба 77, чтобы получаемая
ближняя область диссипации была достаточно широка. Осуществить
это при помощи термоанемометра трудно. Существующая технология
позволяет изготовлять датчики диаметром порядка 1 мкм и длиной и
долю миллиметра; поэтому сигнал усредняется на расстоянии порядка
долей миллиметра. Колмогоровский микромасштаб 77 слабо зависит от
числа Рейнольдса: если последнее увеличивать только за счет увеличе¬
ния основного масштаба (чтобы сохранить постоянным число Маха),
то диссипационный масштаб будет расти как корень четвертой сте¬
пени из числа Рейнольдса. В большинстве экспериментов 77 заключена
между 0,1 и 1мм (см., например, табл. 1 в (Meneveau and Sreenivasan
1991)). По-видимому, новые неразрушающие оптические методы, такие
как RELIEF (Miles, Lempert, Zhang and Zhang 1991; Noullez, Wallace,
Lempert, Miles and Frisch 1996), о котором шла речь в разд. 5.1, могут
разрешать масштабы до 15 мкм и менее.
8.5.6. Асимметрия и пологость производных скорости
в мультифрактальной модели
Начнем с нескольких элементарных наблюдений над безразмерными мо¬
ментами производных скорости.
Как мы видели в разд. 6.4.3, в своем втором обосновании теории
1941 г. (Kolmogorov 1941с) Колмогоров использовал асимметрию при¬
ращений скорости 6з(^)/(б2(^))3/2, которую он предположил не завися¬
щей от £ при значениях £ из инерционного интервала. Если отбросить
ограничение, что £ должно лежать в инерционном интервале, и устре¬
мить £ 0, то получится (здесь и = V\ и х = х\):
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
173
что является определением асимметрии (производной скорости) при од¬
нородной и изотропной турбулентности 22 . Нас также будут интересо¬
вать безразмерные моменты более высоких порядков:
((дхпГ)
((ад2)"/а-
(8.64)
В рамках теории К41 конечность предела асимметрии при v —> О
обосновывается с использованием первого допущения Колмогорова об
универсальности (6.69). Однако вывести конечность этого предела из
одного только факта независимости от £ асимметрии приращений ско¬
рости в инерционном интервале нельзя. Действительно, для этого при¬
шлось бы поменять порядок предельных переходов при v —> 0 и £ —> 0.
Если принять во внимание поправки к теории К41, связанные с пе¬
ремежаемостью, то асимметрия Ss{£)/{S2{£))3^2 будет вести себя как
(}-3Сг/2 и станет неограниченной при £ -» 0 (если только ^2 не равна
2/3). Однако в реальных и численных экспериментах были получены
свидетельства того, что при увеличении числа Рейнольдса асимметрия
нарастает очень медленно или даже вообще не увеличивается. В лабо¬
раторных экспериментах и при компьютерном моделировании для — £3
получаются значения от 0,3 до 0,5 (Monin and Yaglom 1975; Vincent and
Meneguzzi 1991), возрастающие еще примерно до 0,7 при измерениях
в атмосферных течениях с большими числами Рейнольдса (Wyngaard
and Tennekes 1970).
Классическим в теории турбулентности является результат, что
асимметрия может служить мерой растяжения вихрей. Для однород¬
ной изотропной турбулентности это можно показать следующим обра¬
зом. Заметим, что момент третьего порядка производной скорости и
поток энергии в физическом пространстве, введенный в (6.7), связаны
выражением
т»?) =
£=0
(8.65)
Оно следует из (6.36) и того факта, что ((5xw)3) совпадает с величиной
(l/6)d3S3(£)/d£3, вычисленной при £ = 0. С учетом (6.41) мы можем
также выразить момент третьего порядка через перенос энергии:
«ад3)=-|
(8.66)
22 Чтобы избежать смешения обозначений асимметрии и структурной функции, за¬
метим, что асимметрия не зависит от аргумента £.
17'1
Глава 8. Перемежаемость
Можно показать, что ((дхи)2) = (2/15)0, где О = /0°° к2Е(к) dk есть эн-
строфия. Следовательно, асимметрия выражается как (Batchelor 1953)
/135 \1/2 /0°° к2Т{к) dk
\98У {^k2E{k)dkfir
(8.67)
Согласно (6.37), величина f£°k2T(k)dk есть скорость изменения эн-
строфии за счет нелинейных взаимодействий. Так как энстрофия (с
точностью до множителя 1/2) равна среднему квадрату завихренно¬
сти, а растяжение вихрей в трехмерном течении при больших числах
Рейнольдса происходит непрерывно, можно ожидать, что эта величи¬
на положительна, а асимметрия отрицательна (Batchelor and Townsend
1947).
Теперь обратимся к выводам из мультифрактальной модели. На¬
ши рассуждения в основном следуют работе (Nelkin 1990). Основной
результат здесь таков. При больших числах Рейнольдса безразмерные
моменты производных скорости Sn зависят от числа Рейнольдса R
степенным образом:
Sn ~ i^n, £п = р{п) - Зп/2, (8.68)
где р{п) есть единственное решение
СР = 2 п- р.
(8.69)
Здесь есть обычный показатель структурной функции.
При доказательстве будем пользоваться системой единиц, в кото¬
рой среднеквадратичная скорость и основной масштаб — величины по¬
рядка единицы, так что число Рейнольдса имеет порядок R = 0{l/v).
Сначала вычислим ((дхи)п). Рассуждая как в предыдущем пункте, мы
получаем, что вклад скейлингового показателя h в дхи имеет порядок
дхи ~
>/i-i
£=ф)
(8.70)
Заметим, что величина производной определяется в основном окрест¬
ностью зависящего от h порога г}{К) = ^1/(1+/l), полученного в (8.53).
Теперь возведем дхи в n-ю степень и усредним; как всегда, при этом
появляется множитель, содержащий коразмерность. Наконец, возьмем
интеграл по всем скейлинговым показателям и получим
((дхи)п) ~ jdn{h)
(8.71)
8.5. Модели перемежаемости, связанные со скоростью
175
11ользуясь при v —¥ О методом наибыстрейшего спуска, получим (опус¬
кая возможные логарифмические поправки):
{{dxu)n)<xvpn, (8.72)
где
Рп = inf
ft
n(h - 1) + 3 - D(h)
1 + h
(8.73)
Для нахождения минимума приравняем производную правой стороны
no h к нулю. Тогда
n(/i* — 1) + 3 — i?(/i*)
л,_ гт£
где ft* определяется из уравнения
[п - Г>'(М] (1 + ft*) - n(ft* - 1) - 3 + 0(Л*) = 0. (8.75)
Для решения этого уравнения воспользуемся следующим приемом. Вве¬
дем показатель р, связанный с jD'(/i*) посредством (8.45), и выра¬
зим D(Л*) через с помощью (8.46). Тогда уравнение (8.75) сведется
к (8.69). При любом п > 0 (8.69) имеет единственное решение р(п), так
как Ср+р монотонно возрастает от нуля до бесконечности. Выражая рп
в (8.74) через n, р(п), Л* и СР(п)> мы избавимся от (явной) зависимости
от h и получим
рп = п-р{п). (8.76)
В частном случае п = 2 уравнение (8.69) имеет очевидное решение
р = 3, так как £3 = 1. Следовательно, р2 = — 1, так что
((дхи)2) ос v~l. (8.77)
Это равносильно утверждению, что диссипация энергии, которая про¬
порциональна iy((dxи)2), стремится к конечному пределу при и —> 0.
Соотношение (8.77), полученное в статье (Frisch and Vergassola 1991),
подтверждает правильность метода, использованного для нахождения
моментов производной скорости. И наконец, подставляя (8.76) и (8.77)
в (8.64), получаем (8.68). □
Из уравнений (8.68) и (8.69) следует простой способ практической
оценки показателей безразмерных моментов с помощью Надо лишь
найти пересечение графика с прямой £р = 2п — р. Так как при не
(8.74)
176
Глава 8. Перемежаемость
слишком больших р величина (р очень близка к своему колмогоров¬
скому значению р/3, то пересечение произойдет близко к р = Зп/2, а
небольшое расхождение с этим значением как раз и даст £п.
Теперь рассмотрим частный случай собственно асимметрии (п = 3).
Тогда число р близко к 4,5. Согласно данным Ансельме и др. (Anselmet,
Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) показатели £4 и £5 слишком близки
к своим значениям по К41, чтобы разница была различима. Поэтому £3
также неразличимо мало. Если воспользоваться результатами (Benzi,
Ciliberto, Baudet and Ruiz Chavarria 1995), основанными на их анализе
данных, полученных Ганье и Хопфингером на аэродинамической тру¬
бе S1, с учетом расширенного самоподобия, то £3 = 0,07, что также
весьма мало. Таким образом, мультифрактальная перемежаемость не
противоречит практическому отсутствию зависимости асимметрии от
числа Рейнольдса. Для пологости (п = 4) из данных Ансельме и др.
(Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) получаем £4 = 0,15, a no
оценке Бенци и др. (Benzi, Ciliberto, Baudet and Ruiz Chavarria 1995),
£4 = 0,18.
Согласно экспериментальным данным, приведенным в работе (Wyn-
gaard and Tennekes 1970), пологость возрастает от S4 « 6 при R\ = 200
до значений, разбросанных в диапазоне 20-40 при R\ около 3000. Так
как R\ ос ^_1/2, это дает £4 в интервале 0,22-0,35, что несколько
выше значений, получаемых из вышеприведенных соображений. Бо¬
лее поздние эксперименты, в которых применялась гелиевая установ¬
ка, описанная на с. 70, дают пологость около 12 ± 2 при R\ между
200 и 3000 (Tabeling, Zocchi, Belin, Maurer and Willaime 1996). Если
эти данные подтвердятся, то £4 должно быть весьма мало или рав¬
но нулю.
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
Для теории К41 величина средней диссипации энергии является цен¬
тральной. Возражения Ландау по поводу одной из формулировок те¬
ории Колмогорова, обсуждавшиеся в разд. 6.4, были также связаны с
(крупномасштабными) флуктуациями диссипации. Неудивительно по¬
этому, что экспериментаторы прикладывали и прикладывают боль¬
шие усилия для изучения таких флуктуаций как на больших, так и
малых масштабах. В разд. 8.6.1 мы покажем, как мультифракталь-
ность может быть определена и измерена в терминах флуктуаций ло¬
кальной диссипации, а не приращений скорости. Связь между этими
м (>. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
177
двумя типами мультифрактальности обсуждается в разд. 8.6.2. Муль¬
типликативные случайные модели диссипации, приводящие к муль¬
тифрактальности, излагаются в разд. 8.6.3-8.6.5 вместе с некоторы¬
ми теоретико-вероятностными сведениями из теории больших откло¬
нений. Большинство исторических комментариев будет отложено до
|вшд. 8.8.
Н.0.1. Мультифрактальная диссипация
Ключ к определению мультифрактальности в терминах диссипации
.шергии дает локальное пространственное усреднение диссипации по
шару радиуса £ с центром в точке г, впервые рассмотренное Обуховым
(Obukhov 1962) и Колмогоровым (Kolmogorov 1961):
Обозначим функцию распределения вероятности е£ через Р*ис(е).
(Предполагается, что предельные переходы t —> оо и v —> 0 совер¬
шены.) Предположение однородности приводит к тому, что Р^ИС(е)
зависит только от радиуса шара но не от его расположения. Теперь
можно дать определение мультифрактальности, которое в основном
повторяет аналогичное определение для приращений скорости в его
вероятностном варианте (разд. 8.5.4).
Определение. Говорят, что диссипация мультифрактальна, если су¬
ществует функция F(a), сопоставляющая действительному скейлин-
новому показателю а такую скейлинговую размерность F ^ 3 (кото¬
рая может принимать отрицательные значения и обращаться в —оо),
что для любого а
Так как е£ положительна, то нет необходимости различать положи¬
тельные и отрицательные значения аргумента, как в случае прираще¬
ний скорости.
Приведем более традиционное определение мультифрактальности,
которое предполагает (не гарантированное) наличие особенностей в
(8.79)
где Р^ИС(е) — кумулятивная вероятность б£.
178
Глава 8. Перемежаемость
индивидуальных реализациях поля скоростей, аналогично определению
в разд. 8.5.3 для скорости:
«о/4>
если
r€PaC R3;
при £ —> О,
dimVa = F (а).
(8.80)
Отметим, что еДг) и £ разделены на Vq/£o (порядок величины сред¬
ней диссипации) и на £о (основной масштаб) соответственно, чтобы
получить безразмерные величины. Без формул, словами это определе¬
ние может быть выражено так: диссипация, рассматриваемая как мера,
имеет сингулярности с показателем а — 1 на множествах размерности
F(a).
Из обоих определений примерно так же, как в разд. 8.5.3, выводится
степенной закон для et при малых £:
^~(л) (£) Т, = тпа [д(а - 1) + 3 - .F(a)]. (8.81)
Порядок q момента диссипации не обязан быть целым числом, так
как ££ > 0; он может даже быть отрицательным, если Р^ис(е) доста¬
точно быстро убывает при стремлении е к нулю. Заметим, что тя и
F(a) вновь связаны преобразованием Лежандра, так что тя — вогну¬
тая функция q. Наше определение тя не совпадает со «стандартным»
определением, которое приведено, например, в (Meneveau and Sreeni-
vasan 1991):
f«ame = ^стандарт + 3(1 _ ду (8.82)
(Если бы мы работали в d-мерном пространстве, в этой формуле стоя¬
ло бы d(l — q).) Для нас удобнее определить тя как показатель момен¬
тов локально усредненной по пространству диссипации, в то время как
стандартное определение лучше подходит для изучения мультифракта¬
лов в динамических системах (Halsey, Jensen, Kadanoff, Procaccia and
Shraiman 1986).
В литературе часто можно найти также результаты, выраженные в
терминах размерности Реньи (Grassberger 1983; Hentschel and Procaccia
1983) (см. также (Paladin and Vulpiani 1987b)):
Dq =
TQ
<7-1
+ 3.
(8.83)
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
179
1фассбергер и Прокачча показали (Grassberger and Procaccia 1984), что
Dq является фрактальной размерностью носителя меры (в данном слу¬
чае диссипации), D\ — информационной размерностью, ai?2 — корре¬
ляционной размерностью. К сожалению, из-за множителя q — 1 в знаме¬
нателе формулы (8.83) Dq не является вогнутой функцией д, и поэтому
обычно удобнее работать с rq.
В статьях (Meneveau and Sreenivasan 1987, 1991) получено доста¬
точно надежное экспериментальное подтверждение мультифракталь-
ности диссипации при развитой турбулентности. Локальную диссипа¬
цию очень трудно измерить непосредственно в турбулентной жидкости,
так что производится некоторая модификация определений. Трехмер¬
ное пространственное усреднение диссипации заменяют на одномерное,
для чего рассматривают прямую L, снабженную координатой я, а вме¬
сто (8.78) используют
Ых) = 7ГР [ dx'\uY^ idivi(x') + 9iVj(x')]2 (8.84)
^ -/la:'—я:|<£ ^
Аналогично, вместо (8.80) предполагают, что при малых v локальная
диссипация £i(x) ведет себя следующим образом:
~ (^о) при I О для X € V'a\ dimX^ = /(а), (8.85)
где V'a = Va П L и
/(а) = F(a) - 2. (8.86)
Отметим, что «размерность» f(a) при этом уменьшается на две едини¬
цы, так как использованы одномерные сечения. В литературе функцию
f(a) иногда называют мультифрактальным спектром сингулярностей.
По причинам, которые станут ясны в разд. 8.6.4, мы будем называть
ее диссипационной функцией Крамера. Перечислим еще несколько из¬
менений, производимых для того, чтобы сделать экспериментальное
определение /(а) практически осуществимым.
(i) Вместо квадрата настоящего тензора скорости деформации
в (8.84) используют (ди/дх)2, т. е. квадрат производной продоль¬
ной компоненты скорости по направлению вдоль потока. (ii)(ii) Если измерения производятся во временной области, для перехо¬
да от временных к пространственным производным пользуются
гипотезой Тейлора.
180
Глава 8. Перемежаемость
(iii) Используют конечно-разностную аппроксимацию производной по
времени записанного датчиками сигнала.
С третьим пунктом связаны особые трудности, так как датчик тер¬
моанемометра может быть недостаточно чувствительным для разре¬
шения весьма малых масштабов, необходимых при определении произ¬
водных. В статье (Aurell, Frisch, Lutsko and Vergassola 1992) читатель
найдет критическое обсуждение этой и других возможных причин лож¬
ной мультифрактальности 23
Рис. 8.16. Типичный вид сигналов, «представляющих» локальную диссипацию
в эксперименте: сигнал (о) был получен в лаборатории в пограничном слое
при умеренных числах Рейнольдса, а сигнал (б) — в приповерхностном слое
атмосферы при высоких числах Рейнольдса (Meneveau and Sreenivasan 1991)
23 Ложная мультифрактальность может появляться в результате неправильной об¬
работки данных в самых разных областях помимо турбулентности; подробный раз¬
бор случая сейсмических данных см. в статье (Eneva 1994).
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
181
Рис. 8.17. Функция Крамера f(a) для диссипации во временной области, изме¬
ренная в приповерхностном слое атмосферы при высоких числах Рейнольдса
(Meneveau and Sreenivasan 1991)
Теперь перейдем к экспериментальным результатам (Meneveau and
Sreenivasan 1991), которые, несмотря на обсуждавшиеся выше труд¬
ности, дают надежное подтверждение мультифрактальности диссипа¬
ции. На рис. 8.16 показан (на примере двух разных течений) типичный
сигнал, представляющий локальную диссипацию — квадрат производ¬
ной скорости (dui/dt)2, нормированный на свою среднюю величину.
Хорошо заметна сильная перемежаемость обоих сигналов. На рис. 8.17
показан мультифрактальный спектр, вычисленный с помощью обрат¬
ного преобразования Лежандра функции rq. Последняя была получена
с помощью аппроксимации графиков моментов разных порядков е^ по¬
строенных в логарифмических координатах, степенными законами. На¬
личие у функции /(а) максимума порядка единицы вблизи а = 1 отра¬
жает существование несингулярного (а = 1) фона сплошь заполняющей
пространство (f(a) = 1) диссипации, предсказываемого теорией К41.
Связи мультифрактальности диссипации и мультифрактальности
скорости посвящен следующий пункт.
182
Глава 8. Перемежаемость
8.6.2. Соответствие между мультифрактальностью скорости
и мультифрактальностью диссипации
В своей статье (Kolmogorov 1962) Колмогоров установил связь меж¬
ду статистическими свойствами флуктуаций приращений скорости и
усредненной по пространству диссипации. Следуя предложению Обухо¬
ва (Obukhov 1962), он использовал для этого свой результат 1941 г.,
гласящий, что приращение скорости на расстоянии I подчиняется сте¬
пенному закону (el)1!3. Вместо е в этой формуле можно использовать б£.
В наших обозначениях предположение Колмогорова эквивалентно то¬
му, что безразмерное (после деления на (1е)1!3) приращение скорости
\ v(r+l,t + T)-v(r,t)
v(t'T) =
(8.87)
при очень больших числах Рейнольдса имеет универсальное распределе¬
ние вероятностей в инерционном интервале. Кроме этого, Колмогоров
предположил статистическую независимость v (?, т) и si24 . Это предпо¬
ложение обычно называют уточненной гипотезой подобия (Monin and
Yaglom 1975). Полагая г = 0, из (8.87) можно вывести, что показатель
момента приращения скорости порядка р совпадает с показателем мо¬
мента порядка р величины {let)1^. Иными словами, 6vi имеет такие же
скейлинговые свойства, как и (let)1/3. На мультифрактальном языке (в
его сингулярном варианте) уточненную гипотезу подобия можно пере¬
формулировать так: имеющим показатель а сингулярностям величины
let соответствуют сосредоточенные на том же множестве сингулярно¬
сти скорости с показателем h = or/З, так что размерности носителей
особенностей обоих типов совпадают. Поэтому можно предложить сле¬
дующий «словарик» для перевода одного мультифрактального форма¬
лизма на другой:
h = —, D(h) — F(a) = f(a) + 2, Cp = ^ + Тр/3- (8.88)
Как установлено в (Meneveau and Sreenivasan 1991), колмогоровское
соотношение (8.88) между (p и rq согласуется с имеющимися экспери¬
ментальными данными, по крайней мере в том интервале, где обе ве¬
24 В действительности Колмогоров предположил, что условное математическое
ожидание безразмерного приращения скорости относительно случайной ei не за¬
висит от et, если число Рейнольдса локальных флуктуаций Rt = i(iet)l^z/v много
больше единицы; дальнейшее обсуждение см. в (Stolovitzky and Sreenivasan 1994).
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
183
личины могут быть измерены. Последняя оговорка — не простая фор¬
мальность. Как указано в статье (Васгу, Arneodo, Frisch, Gagne and
llopfinger 1990), моменты ei могут оставаться конечными и для отри¬
цательных порядков, в то время как моменты приращений скорости
порядков ^ —1 обращаются в бесконечность, потому что плотность
распределения вероятности приращений скорости в нуле конечна и по¬
ложительна (Gagne, Hopfinger and Frisch 1990). В работе (Muzy, Васгу
and Arneodo 1993) отмечено, что этой трудности можно избежать, если
вместо приращений скорости пользоваться методом максимумов мо¬
дулей вейвлет-преобразований. Согласно (Stolovitzky, Kailasnath and
Sreenivasan 1992), колмогоровская формулировка уточненной гипоте¬
зы подобия (8.87) не противоречит расходимости структурных функ¬
ций отрицательных порядков, так как случайная величина v не обяза¬
на иметь конечные моменты отрицательных порядков. Фриш заметил
(Frisch 1991), что £гб£ — аддитивная величина, так как она выража¬
ется через интеграл по пространству (если производится одномерное,
а не трехмерное пространственное усреднение, то аддитивной величи¬
ной будет 1е£)\ с другой стороны, приращение <5иц(г, £) также аддитив¬
но, так как для любых трех точек А, В и С, расположенных на одной
прямой, продольное приращение между точками А и С равно сумме
приращений между А и В и В и С, однако куб аддитивной величины
неаддитивен. Наконец, аналогичный словарик можно составить и для
уравнения Бюргерса. Показано, что в этом случае несовпадение воз¬
никает уже для моментов дробных положительных порядков, меньших
единицы (Aurell, Frisch, Lutsko and Vergassola 1992).
На самом деле, строго вывести соотношения (8.88) удается только
при р = 3; в этом случае они следуют из колмогоровского закона четы¬
рех пятых (6.5). Дальнейшая критика уточненной гипотезы подобия,
предложенная в статье (Hosokawa and Yamamoto 1992), в свою очередь
сама подверглась сомнению в работе (Praskovsky 1992).
До того, как стали широко известны недостатки логнормальной мо¬
дели (разд. 8.6.5), большой интерес привлекала к себе величина
М = -т2 = 2 - Се, (8.89)
которая в силу (8.83) равна 3 — jD2, где jD2 есть корреляционная раз¬
мерность диссипации. (В логнормальной модели р является единствен¬
ным подгоночным параметром.) Точное значение р было определено
не сразу. Первоначально его оценивали как р « 0,5, а затем эта оцен¬
ка понизилась до р « 0,2, когда в статье (Anselmet, Gagne, Hopfinger
184
Глава 8. Перемежаемость
and Antonia 1984) было замечено, что при вычислении корреляционной
функции диссипации не следует вычитать среднее значение диссипа¬
ции. Значение рь « 0,2 совместимо также с £б ~ 1,8, измеренным в
работе (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984).
В заключение отметим, что результаты, полученные в разд. 8.5.5
и 8.5.6 для промежуточной области диссипации, асимметрии и поло¬
гости, могут быть в принципе получены также и с помощью мульти-
фрактального формализма, основанного на диссипации. Однако такой
путь был бы менее естествен, так как в этих выкладках широко ис¬
пользуется период пульсации £/8щ, который не может быть получен
непосредственно в диссипационном формализме. В этом случае воз¬
никает искушение отказаться от предположения о зависимости дис-
сипационного масштаба от скейлингового показателя (h или а) и рас¬
сматривать единственный диссипационный масштаб (колмогоровский
масштаб tj ~ г/3/4). Именно поэтому результаты, полученные в статье
(Keller and Yaglom 1970) и в §25.4 книги (Monin and Yaglom 1975), не
полностью соответствуют нашим.
8.6.3. Модели случайного каскада
Один из простейших — и исторически первый — метод построения
мультифрактальной меры диссипации связан с использованием мульти¬
пликативных моделей случайного каскада того типа, который был вве¬
ден представителями русской школы и изучался Мандельбротом. (Исто¬
рические аспекты будут рассмотрены в разд. 8.8.) Метод построения
таких моделей аналогичен /3-модели. Эти модели можно формулировать
как в терминах флуктуаций скорости, так и в терминах флуктуаций
локально усредненной диссипации. Здесь мы выберем последнюю фор¬
мулировку.
Рассмотрим куб со стороной £о и предположим, что диссипация рас¬
пределена в нем равномерно, а ее плотность е есть неслучайная поло¬
жительная величина. Тем самым определено поколение п = 0. Чтобы
определить поколение п = 1, разделим куб на восемь равных кубиков
со стороной = ^о/2. (Множитель 1/2 выбран лишь для простоты.) В
каждом из этих меньших кубиков умножим диссипацию на независимые
реализации некоторой случайной величины W, которая удовлетворяет
следующим условиям:
W ^ 0, (W) = 1, (W9) < оо, Mq > 0.
(8.90)
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
185
В п-м поколении имеются 23п одинаковых кубиков со стороной длины
I = е0 2-71. (8.91)
В любом из них плотность диссипации предполагается равномерной и
равной
ее = eWiW2 ...Wn, (8.92)
где все Wi независимы и одинаково распределены. Этот процесс повто¬
ряется до бесконечности.
Согласно (8.90), среднее (по ансамблю) значение каждой из величин
ее равно е, но сама £i не обязана равняться сумме величин е^2> соответ¬
ствующих восьми кубикам со стороной £/2, на которые разбит данный
куб со стороной I. Другими словами, данный каскад неконсервативен.
Кроме того, умножение большого числа случайных величин приводит
к очень большим флуктуациям.
Моменты величин £е вычисляются легко. Из (8.91) и (8.92) получаем,
что при любом целом положительном q
где
т„ = - log2(PK9). (8.94)
В силу предположений (8.90) все моменты диссипации конечны25
Из формул перевода (8.88) вытекает следующее выражение для по¬
казателей структурных функций:
Cp = |-log2(^p/3). (8.95)
Особенно простые результаты получаются для черно-белых 26 слу¬
чайных множителей, предложенных Новиковым и Стюартом (Novikov
25 Есть и другой способ определить ее: разделим куб со стороной £ = 2~п£о на 23т
кубиков со стороной 2~т£, просуммируем определенные выше диссипации по всем
этим 23т кубиков, поделим на 23т (так как мы имеем дело с пространственной
плотностью диссипации) и, наконец, перейдем к пределу при т —> оо. Этот предел
существует, но его моменты порядка выше некоторого qc могут расходиться (Man¬
delbrot 1974b; Kahane and Peyriere 1976; Collet and Koukiou 1992). При этом подходе
возникают интересные математические задачи, но расходимость моментов является
просто артефактом неконсервативной природы данного каскада.
26 Термин, предложенный Мандельбротом (Mandelbrot 1974b).
186
Глава 8. Перемежаемость
and Stewart 1964). В этом случае случайная величина W может прини¬
мать лишь два значения:
Г 1//3 с вероятностью /3,
\ 0 с вероятностью 1 — /3.
(8.96)
Из (8.94) и (8.95) для модели Новикова-Стюарта получается:
r9 = -(l-9)log2)0, (8.97)
CP = |-(l-|)log2/3, (8.98)
что в точности совпадает с результатом (8.31) (одно)фрактальной
/3-модели разд. 8.5.1.
В работе (Benzi, Paladin, Parisi and Vulpiani 1984) была предложена
случайная (3-моделъ, в которой на каждом шаге каскада множитель /3
выбирается случайно и независимо по одному и тому же закону. Так
же, как обычная /3-модель в отношении скейлинга эквивалентна моде¬
ли Новикова-Стюарта, произвольный случайный выбор /3 эквивалентен
общей модели случайного каскада. В работе (Benzi, Paladin, Parisi and
Vulpiani 1984) был также предложен частный метод выбора /3 с един¬
ственным свободным параметром #, принимающем значения из интер¬
вала между 0 и 1, когда плотность распределения вероятности /3 есть
Р{(3) = х 6((3 — 0,5) + (1 — х) S(/3 — 1). Хорошее соответствие с данными
(Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) получается при x = 0,125.
График rq в модели Новикова-Стюарта есть прямая линия, но если
W может принимать несколько отличных от нуля значений, то (8.94)
дает нетривиальный вогнутый график вследствие неравенства Шварца
(Feller 1984, разд. V.8). Следовательно, для моделей случайного каска¬
да в общем случае характерно именно мультифрактальное поведение
при масштабных преобразованиях. Чтобы получить более глубокое по¬
нимание причин такого поведения, в следующем пункте мы сделаем
отступление в область теории больших отклонений.
8.6.4. Большие отклонения и мультифрактальность
Как уже отмечалось в разд. 4.4, теория больших отклонений имеет де¬
ло с событиями очень малой вероятности, когда нормированные суммы
или интегралы случайных величин или функций отличаются от своих
средних значений на величину, значительно превосходящую их средне¬
квадратичное отклонение. Эта теория была основана в работе Краме¬
ра (Cramer 1938). За общим изложением отошлем читателя к книгам
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
187
(Varadhan 1984) и (Ellis 1985). Для приложения к моделям случайного
каскада нам потребуется только случаи независимых случайных вели¬
чин, который мы сейчас кратко изложим, следуя Ланфорду (Lanford
1973). Описание мультифрактальности в терминах теории больших от¬
клонений можно также найти в (Evertsz and Mandelbrot 1992).
Пусть mi (i = 1,2,...) суть одинаково распределенные независи¬
мые случайные величины 27. Мы знаем, что при определенных условиях
(Feller 1984) выполняется
1 хп л
Sn = — ; mi -+ (т) при п-¥ оо,
п ++
(8.99)
г= 1
причем сходимость имеет место почти наверное благодаря усиленно¬
му закону больших чисел. Теория больших отклонений дает оценку ве¬
роятности того, что частичные средние Sn при больших п близки к
произвольному значению х, которое может отличаться от (т) на 0(1).
Положим
h(n;a,b) = lnProb{a < Sn < b}. (8.100)
Функция h(n\ a, b) неположительна и супераддитивна, т. е.
h(n + п'; а, Ь) ^ Л(п; a, b) + h(nа, Ь). (8.101)
Это непосредственно следует из того, что по предположению о незави¬
симости величин mi
{ п+п' 1
Prob < о < т mi < b > ^
1 п + п'
^ Prob
/ 1 V*
I n i
пц <b> ■ Prob
r i
V ГС+1
(8.102)
mi < b > .
Из супераддитивности легко выводится существование предела
s(a, b) = lim
п-+оо
h(n\ a, b)
n
= sup
n
h(n\ a, b)
n
(8.103)
(Указание: возьмите два целых числа п и по, представьте первое из них
в виде п = qnо + г, воспользуйтесь супераддитивностью и последова¬
тельно устремите к бесконечности п и по.) Для этого предела допуска¬
ется также и значение —оо. Теперь определим
s(#) = sup s(a, b).
а<х<Ъ
(8.104)
27 В приложении к модели случайного каскада m = — log2 W
188
Глава 8. Перемежаемость
Функция s(ж) не превосходит нуля по построению; легко установить
также, что она вогнута.
Грубо говоря, теорема о больших отклонениях утверждает, что при
больших п (математикам рекомендуется не смотреть на следующую
строчку)
^ е™(х)
(8.105)
В статистической механике теория больших отклонений использу¬
ется для получения строгих результатов о приближении к термодина¬
мическому равновесию. В этом контексте функцию s (ж) можно ото¬
ждествить с энтропией. В литературе по теории больших отклоне¬
ний —$(ж) часто называют «функцией роста»; Мандельброт (Mandel¬
brot 1991) предложил называть з(ж) функцией Крамера. Мы тоже будем
придерживаться этой терминологии.
Простой пример расчета больших отклонений, который мы заим¬
ствуем у Ланфорда (Lanford 1973), связан с игрой в орла и решку.
Здесь величина т принимает только два значения, скажем, 0 и 1. Веро¬
ятность Sn можно в явном виде вычислить по формуле биномиального
распределения. Пользуясь формулой Стирлинга для факториалов, по¬
лучим тогда следующее выражение для функции Крамера:
s
—xlnx — (1 — х) 1п(1 — х) — 1п2
—оо
для 0 < ж < 1,
иначе.
(8.106)
Заметим, что так определенная функция $(ж) в окрестности своего мак¬
симума х = 1/2, s = 0 ведет себя как парабола. Это довольно общая
ситуация, которая означает, что отклонения порядка 0(п-1/2) имеют
приблизительно гауссовское распределение. Большие отклонения, име¬
ющие порядок 0(1), уже нельзя описывать как гауссовские.
В общем случае функцию Крамера s(x) можно выразить через лога¬
рифм характеристической функции случайной величины т. Предполо¬
жим, что функция распределения вероятности случайной величины т
убывает на бесконечности быстрее экспоненты; это обеспечивает су¬
ществование функции
Z(P) = (е-0т) (8.107)
для любого действительного /?. Функция Z((3) совпадает с характери¬
стической функцией (4.6), вычисленной при мнимом значении аргумен¬
та z = %р.
8.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
189
Функции s(x) и In Z(/3) являются преобразованиями Лежандра друг
друга:
In Z(/3) = sup [s(t) — f3x], (8.108)
X
s(x) = inf [lnZ(/?) + /Зх]. (8.109)
Элементарное, но строгое доказательство этих равенств можно найти у
Ланфорда (Lanford 1973). Здесь мы дадим упрощенное доказательство,
основанное на (8.105). Заметим, что
Zn{(3) = ^e-0(mi+...+mn)^ (8.НО)
По теореме о больших отклонениях при больших п сумма т\ +... +тп с
вероятностью ~ ens^ близка к пх. Следовательно, вклад в Zn(/3), свя¬
занный с суммами, близкими к пж, есть ~ При интегри¬
ровании по всем х основной вклад дадут те ж, где величина —jЗх + 5(ж)
достигает максимума. Поэтому
Zn((3>) ~ exp |nsup [s(a;) — /?ж]| . (8-111)
После логарифмирования получим (8.108). Равенство же (8.109) есть
просто обратное преобразование Лежандра (ср. разд. 8.5.3). На этом
паше отступление в теорию больших отклонений завершается.
Вернемся к модели случайного каскада разд. 8.6.3. Мера диссипа¬
ции £оо, которая получается в пределе построения, описанного в нача¬
ле предыдущего пункта, мулътифракталъна в смысле разд. 8.6.1. Дей¬
ствительно, полагая
Wi = 2~mi, (8.112)
мы получим из (8.91), (8.92) и теоремы о больших отклонениях следу¬
ющее соотношение:
££ = 2-(mi+...+m„) w 2~пх » (8.113)
Оно выполняется с вероятностью
190
Глава 8. Перемежаемость
Иными словами, во вложенной последовательности кубов доля про¬
странства, где диссипация ведет себя как £*, убывает как £~s(x)/ln2
Отождествляя показатель х с а — 1 формулы (8.80), а показатель
—s(х)/1п2 с функцией 3 — F(a) = 1 — f(a) разд. 8.6.1, мы находим
для модели случайного каскада
F(“) = 3 + 5^' + <8Л16>
Следовательно, функция /(а) по существу совпадает с функцией Кра¬
мера и тоже заслуживает этого названия. Далее, легко проверить, что
равенство (8.81), связывающее F(a) и гя преобразованием Лежандра,
эквивалентно (8.108).
Заметим, что /3-модель разд. 8.5.1 получается в том случае, когда
случайная величина W принимает лишь два значения: 1//3 (с вероят¬
ностью /3) и нуль (с вероятностью 1 — /3). По (8.112) соответствующие
значения для га равны log2 /3 и +оо. Это придает результату о больших
отклонениях несколько патологический характер. Действительно, нор¬
мированные суммы 5П, определяемые в (8.99), также могут принимать
лишь два значения: log2 /3 (с вероятностью /Зп) и +оо (с вероятностью
1 — /Зп). Следовательно, отклонение х может принимать единствен¬
ное значение, с которым связано единственное значение размерности,
определенное в (8.21).
Размерность F(a), выраженная формулой (8.115), в некотором диа¬
пазоне а может принимать и отрицательные значения. Как уже по¬
яснялось в разд. 8.5.1, это означает, что последовательность вложен¬
ных кубов, характеризуемых данным а, должна оборваться, так как
она слишком быстро разрежается с ростом числа поколений п. Однако
F(a) (или, что то же, s(ж)) имеет смысл как величина, определяющая
вероятность такого разрежения (через (8.105)).
Теория больших отклонений была представлена здесь в своей про¬
стейшей форме, для независимых случайных величин. Как и закон боль¬
ших чисел или центральная предельная теорема, теория больших откло¬
нений обобщалась на коррелированные случайные величины при усло¬
вии, что корреляции убывают достаточно быстро. Иногда большие от¬
клонения могут возникать и при детерминистском хаосе. Действитель¬
но, в работе (Biferale, Blank and Frisch 1994) были построены детер¬
министские каскадные модели, в которых множители Wn из (8.92) по¬
рождаются итерациями детерминистского отображения. Такие модели
К.6. Модели перемежаемости, связанные с диссипацией
191
могут проявлять хаотическое поведение, но не расходятся с предсказа¬
ниями теории К41 относительно скейлинга, так как не имеют больших
отклонений.
8.6.5. Логнормальная модель и ее недостатки
В разд. 8.6.3 рассматривалось общее распределение случайных множи¬
телей W (удовлетворявшее нескольким ограничениям, перечисленным
в начале пункта). В свое время по причинам главным образом исто¬
рического характера, к которым мы вернемся в разд. 8.8, имел место
особый интерес к случаю, когда величины W характеризуются логнор¬
мальным законом распределения. Конкретно, пусть W = 2-ш, где га
есть гауссовская случайная величина со средним значением
га = (га)
и дисперсией
а2 = ((га - га)2). (8.117)
Условие (W) = 1 дает следующую связь между этими моментами:
2га = a2 In 2. (8.118)
Так как суммы mi+.. .+гап подчиняются гауссовскому закону, функция
Крамера получается элементарной выкладкой:
, х (ж —га)21п2
s[x) = — .
4га
Следовательно, в силу (8.115) получаем
(a- 1-J./2)2
Р(а) = 3 -
2/х
/(«) = 1 -
(а - 1 - n/2f
2 fj,
Здесь вместо т мы ввели параметр
р = 2т,
(8.119)
(8.120)
(8.121)
который обычно используется в теории турбулентности (см., например,
(Monin and Yaglom 1975)). Пользуясь (8.81) и (8.88), легко показать,
что логнормальная модель дает следующие значения для показателей
моментов диссипации и показателей структурных функций соответ¬
ственно:
rg = ^(q-q2), СР = f + ^(3Р-Р2). (8.122)
192
Глава 8. Перемежаемость
Поэтому в логнормальной модели второй момент диссипации имеет
скейлинг а поправка к значению показателя структурной функ¬
ции второго порядка, равному по теории К41 2/3, составляет р/9.
Из (8.122) следует, что будет убывающей функцией р, если
р>р* = 1 + 1- (8Л23)
Поэтому в логнормальной модели нарушается сформулированное в
разд. 8.4 условие, согласно которому &р должно быть неубывающей
функцией р, чтобы избежать сверхзвуковых скоростей.
Кроме того, в логнормальной модели нарушены и неравенства Но¬
викова (Novikov 1970), которые гласят, что
тч + 3g > 0 для g ^ 0 и + Зд < 0 для q < 0. (8.124)
При доказательстве этих неравенств будем исходить из определения
е£ как величины диссипации, локально усредненной по шару радиуса
£, которое было дано в разд. 8.6.1. Так как подынтегральная функция
положительна, выражение £?et (до усреднения по ансамблю) с ростом
£ не убывает. Возводя его в степень q ^ 0 и усредняя, получаем, что
РЧ(ее)д) ОС g3p+T4
есть неубывающая функция £. При q ^ 0 оно должно
быть невозрастающей функцией £. Отсюда и следует (8.124). Отметим,
что если бы мы начали с определения как среднего по отрезку, а не по
шару, используемого при экспериментальных измерениях флуктуаций
диссипации, то вместо (8.124) получилось бы
Tq + q^0 для g > 0 и тя + q ^ 0 для q < 0. (8.125)
Причина нарушения неравенств Новикова в логнормальной модели и
многих других моделях случайного каскада заключается в неконсерва¬
тивном характере того каскада, который был определен в разд. 8.6.3
(Mandelbrot 1972). Кроме того, Орсаг (Orszag 1970) показал, что лог¬
нормальное распределение не определяется однозначно совокупностью
своих моментов.
Еще одно свойство логнормальной модели состоит в том, что раз¬
мерность F(a), выраженная формулой (8.120), становится отрицатель¬
ной при
а>1 + ^ + (6М)1/2. (8.126)
Как было отмечено Мандельбротом (Mandelbrot 1990, 1991), это не¬
льзя считать недостатком логнормальной модели. Действительно, в
К.7. Каскадные модели
193
разд. 8.5.1 мы видели, что отрицательная размерность F(a) означает
просто, что коразмерность 3—F(a) больше трех, и вероятность^ встре¬
тить соответствующий скейлинг стремится к нулю быстрее, чем £3.
Наконец, заметим, что иногда логнормальный закон выводится не¬
верно. Если случайные величины т* в (8.113) не гауссовские, то даже
при большом числе слагаемых их сумму нельзя считать приближенно
гауссовской. Это значило бы заменить функцию Крамера на два пер¬
вых члена ее разложения в ряд Тейлора около общего среднего значения
величин mi28 Гауссовское приближение оправдано лишь тогда, когда
сумму величин т,{ (после вычитания среднего) делят на квадратный
корень из числа слагаемых. Само по себе распределение произведения
большого числа независимых одинаково распределенных положитель¬
ных случайных величин не является логнормальным.
8.7. Каскадные модели
Модели случайного каскада позволяют получить нетривиальные скей-
линговые законы, в которых почти неизбежно наблюдается перемежа¬
емость, но эти модели имеют лишь весьма отдаленное отношение к ис¬
ходным уравнениям гидродинамики. Напротив, каскадные модели но¬
сят детерминистский характер и не всегда проявляют хаос и переме¬
жаемость, однако им в большей степени присущ «аромат» уравнения
Навье-Стокса. Простейшая каскадная модель Деснянского и Новикова
(Desnyansky and Novikov 1974) задается бесконечным набором нелиней¬
ных обыкновенных дифференциальных уравнений, пронумерованных
индексом п = 0,1,2,..., который называется номером каскада:
(d/dt +1 'kl)un = a “ K+iUnUn+i) +
+ /3 ( knun-\- kn+iul+1) + /„. (8.127)
Динамические переменные un(t) — это действительные функции време¬
ни; переменная и-1, входящая в уравнение при п = 0, по определению
считается равной нулю, а вынуждающая сила /п задается независи¬
мо, постоянна и обычно предполагается действующей только на один
каскад: /п = /<5П>П0, где <5П>П0 — дельта-символ Кронекера. «Волновые
числа» кп равны
кп = fc02n, (8.128)
28 В целом очень полезные, книги (Lumley 1970) и (Papoulis 1991) в данном случае
дают неверные указания.
194
Глава 8. Перемежаемость
где ко > 0 — базовое волновое число. Множитель 2, связывающий вол¬
новые числа соседних каскадов, выбран произвольно и легко, может
быть изменен. Параметр v > 0 имеет смысл вязкости, а свободные
параметры а и /? — это действительные числа, одно из которых может
обращаться в нуль.
Сразу можно заметить несколько свойств, роднящих эту модель
(а также все другие каскадные модели, которые будут обсуждаться
ниже) с уравнением Навье-Стокса. Нелинейные слагаемые квадратич¬
ны и имеют размерность [скорость]2/[длина]; сохраняется энергия29
(1/2) Yin ип’ Модель инвариантна относительно сдвигов по времени и
дискретного варианта скейлинговых преобразований: если положить
/ = v = 0 и проигнорировать «краевое условие» для и-1, то уравнения
будут сохраняться при подстановке
п -¥ п + 1, ип -» (1/2)лИп, t -¥ (1/2)1-/l£, (8.129)
где h есть произвольный скейлинговый показатель. Наконец, каскадная
модель имеет точные статические (не зависящие от времени) реше¬
ния, отвечающие теории К41: на тех масштабах, где влиянием силы и
вязкости можно пренебречь, нелинейные слагаемые обращаются в нуль
при
«я = Ск~1!\ (8.130)
для любого С.
Каскадные модели можно также рассматривать как результат
крайнего огрубления уравнения Навье-Стокса, при котором из О(к^)
фурье-мод, попадающих в n-ю октаву волновых чисел, оставляют
только одну или несколько. Чтобы имитировать предполагаемый
«локальный» (по шкале масштабов) характер нелинейного взаимодей¬
ствия, обычно сохраняют связи лишь между ближайшими каскадами
или каскадами, находящимися на расстоянии не более 2.
Каскадные модели впервые появились у Лоренца (Lorenz 1972) и
у представителей русской школы (см. (Desnyansky and Novikov 1974;
Gledzer 1973) и обзор в статье (Gledzer, Dolzhansky and Obukhov 1981)).
Интерес к ним значительно возрос, когда выяснилось, что решения не¬
которых каскадных моделей зависят от времени хаотически и проявля¬
ют перемежаемость со скейлинговыми показателями, не совпадающими
29 В двумерном случае требуется также, чтобы сохранялась энстрофия; это может
привести к неожиданным последствиям (Aurell et al. 1994).
Н.7. Каскадные модели
195
с К41 (Pouquet, Gloaguen, Leorat and Grappin 1984; Ohkitani and Yamada
1989). Особый интерес представляет модель Гледзера-Окитани-Ямады
(модель GOY), в которой на один каскад приходится одна комплексная
мода, а взаимодействие рассматривается между каскадами, находящи¬
мися на расстоянии не более 2, что можно считать комплексным обоб¬
щением модели, предложенной Гледзером (Gledzer 1973). Соответству¬
ющие уравнения имеют вид
(d/dt + vkn)lLn = i {о>пип+1ип+2 "Ь Ъпип—l^n+l “Ь cnun—lun—2) “t“ in ?
(8.131)
где звездочка обозначает комплексное сопряжение,
о>п = кпч bn ~ kn—2j = кп—з? kn = ^о2 , (8.132)
а сила приложена к четвертому каскаду:
/п = /<*4,п. (8.133)
Окитани и Ямада (Ohkitani and Yamada 1989) получили количе¬
ственное и качественное численное подтверждение того, что модель
GOY ведет себя хаотически, а также определили различные стати¬
стические показатели, подтверждающие перемежаемость. В работе
(Jensen, Paladin and Vulpiani 1991) были вычислены «структурные функ¬
ции», определяемые для каскадных моделей как
SP(n) = (КП, (8.134)
и для них было обнаружено, что: (i) в инерционном интервале
Sp(n) ос А:йСр; (8.135)
(ii) показатели £р имеют нетривиальную зависимость от порядка струк¬
турной функции р, указывающую на мультпифракталъность. Мульти-
фрактальное поведение этих показателей было подтверждено в даль¬
нейших численных экспериментах (Pisarenko, Biferale, Courvoisier, Frisch
and Vergassola 1993), в которых генерировались выборки до 250-106 ша¬
гов по времени. На рис. 8.18 и 8.19, взятых из этой работы, показаны
соответственно графики структурных функций порядков 2-10 (свер¬
ху вниз) и их показателей. Вычисление проводилось по 22 каскадам.
Параметры были выбраны следующим образом:
/ = (1 + *) • 5 • 10"3, ко = 2~4, v = 10~7
(8.136)
196
Глава 8. Перемежаемость
Индекс слоя п
Рис. 8.18. Структурные функции порядков 2-10 (сверху вниз) для модели
GOY. Номер каскада п равен двоичному логарифму волнового числа. Данные
усреднены по выборке длиной в 250 • 106 шагов по времени
Рис. 8.19. Зависимость показателя Qp структурных функций от их порядка р.
Штриховая линия соответствует теории К41 ((р = р/3). Указанные погреш¬
ности относятся к аппроксимации методом наименьших квадратов структур¬
ных функций, показанных на рис. 8.18, степенными законами в интервале
б ^ п ^ 18)
Н.7. Каскадные модели
197
Усреднение проводилось по достаточно длинному интервалу времени
(около 5000 периодов пульсаций на масштабе вынуждающей силы), что-
Ом гарантировать, что влияние шума на измеренные данные мало. (На¬
пример, осцилляции, различимые на рис. 8.18, присущи самим струк¬
турным функциям.) Указанные на рис. 8.19 погрешности относятся к
аппроксимации методом наименьших квадратов логарифмов структур¬
ных функций степенными законами в инерционном интервале (охваты-
илющем каскады от п = 6 до п = 18)30
Перемежаемость в каскадных моделях в настоящее время понята
еще недостаточно хорошо и является предметом интенсивных исследо-
ианий. Мы расскажем лишь о некоторых наиболее интересных резуль¬
татах. Все каскадные модели имеют «импульсные решения» вида (Siggia
1978)
Unit) = k~hgh - t*)] , (8.137)
где £* и скейлинговый показатель h < 1 произвольны, а функции дн(')
получаются после подстановки в уравнения модели (без внешней силы и
диссипации). Когда функция д^(-) локализована, т. е. быстро убывает к
пулю при малых и больших значениях аргумента, то un(t) как функция
иремени имеет форму импульса шириной 0(fc^_1), сосредоточенного
около момента времени £*. Если неустойчивость порождает последова¬
тельность хорошо различимых импульсов, происходящих в случайные
моменты времени и, то структурная функция порядка р имеет скей¬
линговый показатель £р = 1 + (р — 1 )h. Действительно, вклад в нее
определяется р множителями k~h (возникающими из (8.137)) и вероят¬
ностью ос k\~~h наблюдать импульс в n-м каскаде. Чтобы получить ко¬
нечный положительный поток энергии, требуется, чтобы h = 0; тогда
(р = 1 при всех р, что дает крайнюю форму перемежаемости, аналогич¬
ную перемежаемости в уравнении Бюргерса (см. разд. 8.5.2). В работе
(Parisi 1990) была сделана попытка развить формализм статистической
механики взаимодействия импульсов с разными h.
Совершенно иной подход к перемежаемости в модели GOY связан
с работой (Benzi, Biferale and Parisi 1993). В ней построен мультипли¬
кативный процесс, похожий на процессы, изучавшиеся в разд. 8.6.3.
На моменты этого процесса были наложены некоторые ограничения,
ш В работе (Gat, Procaccia and Zeitak 1994) было высказано предположение, что
отклонения от характерного для теории К41 скейлинга в модели GOY связаны с
наличием второго квадратичного инварианта, дополнительного к энергии, который
был затем найден в статье (Kadanoff, Lohse, Wang and Benzi 1995).
П)8
Глава 8. Перемежаемость
строго выведенные из модели GOY. Авторам удалось с хорошей точ¬
ностью одновременно удовлетворить совокупности ограничений, число
которых превышает число подгоночных параметров их мультиплика¬
тивной модели, и аналитически получить отсюда вид согласующийся
с графиком на рис. 8.19.
Устойчивость и бифуркации решений от описания решений теории
К41 могут быть изучены систематически. Так как К41 решения суще¬
ствуют только в пределе v —У 0, то параметром бифуркации должна
служить какая-то другая величина, например отношение /3/а в моде¬
ли Деснянского-Новикова (8.127) или аналогичный параметр, который
вводится в модель GOY (Biferale, Lambert, Lima and Paladin 1995). В до¬
полнение к техническим проблемам при исследовании линейной устой¬
чивости возникает и содержательная трудность: решение, характери¬
зующееся перемежаемостью, не может быть равномерно близким к ре¬
шению К41 и поэтому не поддается исследованию по теории возмуще¬
ний. Поэтому здесь необходимо пользоваться каким-либо непертурба-
тивным методом.
8.8. Исторические замечания о фрактальных моделях
пер емежаемо сти
В 1961 г. на Международном коллоквиуме по механике турбулентности
в Марселе Колмогоров (Kolmogorov 1962)31 изложил свою теорию пе¬
ремежаемости, которую часто обозначают аббревиатурой К62. В этой
работе он признал значительные заслуги Ландау:
Однако уже вскоре после их (гипотез теории К41) возникновения Л. Д. Лан¬
дау заметил, что они не учитывают одного обстоятельства, которое не¬
посредственно вытекает из предположений о существенно случайном, хао¬
тическом характере механизма передачи энергии от более крупных вихрей
к более мелким: с возрастанием отношения to/t изменчивость диссипации
энергии
должна неограниченно возрастать.
31 Перепечатано в: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика.
М.: Наука, 1985, с. 348-352. Там же перепечатаны и статьи 1941 г. — Прим. ред.
(8.138)
Н.8. Исторические замечания о фрактальных моделях перемежаемости 199
Любопытно, что нигде в замечаниях Ландау, процитированных в
1>азд. 6.4, мы не находим упоминания о «малых» масштабах. Тем не
менее колмогоровское признание заслуг^Ландау стало традицией (см.,
например, обсуждение в §25.1 книги (Monin and Yaglom 1975)). В то
же время, как мы видели выше, замечания Ландау ни в коем случае не
означают, что теория К41 (в своем масштабно-инвариантном варианте)
неверна.
По-видимому, ссылка на замечания Ландау появилась уже на завер¬
шающей стадии написания статьи 1962 г. после того как Яглом привлек
ниимание Колмогорова к возможной аналогии между его работой и «за¬
мечанием 1944 г.» Ландау (А. Яглом, частное сообщение). Колмогоров
начал свое исследование перемежаемости в связи с результатами экс¬
периментов Гурвича (Gurvitch 1960) в Институте физики атмосферы в
Москве 32 , в которых была выявлена значительная изменчивость интен¬
сивности турбулентности, которую Обухов (Obukhov 1962) предложил
связывать с «изменчивостью скорости диссипации е».
Следуя Обухову (Obukhov 1962), Колмогоров (Kolmogorov 1962)33
рассмотрел флуктуации локально усредненной по пространству дисси¬
пации £i(r), определенной в (8.78), и высказал утверждение, которое в
наших обозначениях выглядит следующим образом:
..естественно предположить, что при lo/t 1 дисперсия логарифма...
имеет асимптотическое поведение
о\ = А + ц1п(£0/£), (8.139)
где fj, — некоторая универсальная постоянная.
Это в точности совпадает с логнормальной моделью, обсуждавшейся в
разд. 8.6.5.
32 Основанном Обуховым на базе возглавлявшейся Колмогоровым лаборатории по
исследованию турбулентности.
33 Французская публикация статьи Колмогорова (Kolmogorov 1961) начинается с
нескольких строк, в которых он связывает основные достижения с именем Обухова.
(Приведем связанную с этим обсуждением цитату: «В программу примыкающего к
нашему коллоквиуму симпозиума включен доклад А. М. Обухова. Один из разделов
этого доклада посвящен уточнению представлении о локальной структуре турбу¬
лентности и имеет более широкий интерес для всех специалистов в области стати¬
стической теории турбулентности. По просьбе некоторых участников коллоквиума
я хочу изложить здесь более подробно происхождение этих уточнений и дать изло¬
жение последних результатов А. М. Обухова в этой области.» — Колмогоров А. Н.
Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985, с. 348. — Прим, ред.)
200
Глава 8. Перемежаемость
Интерес Колмогорова к логнормальному закону относится еще к
1941 г., когда он предложил объяснение приблизительной логнормаль¬
ности распределения частиц дробленой породы по размеру (Kolmogorov
1941d). Процесс дробления был описан в этой работе как мультипли¬
кативный случайный каскад, сходство которого с каскадом Ричардсо¬
на Колмогоров мог заметить тогда же или несколько позднее. Лог¬
нормальность флуктуаций диссипации впервые предположил Обухов
(Obukhov 1962), не приведя этому никакого специального объяснения,
а просто сославшись на «логнормальную» статью Колмогорова (Kol¬
mogorov 1941d).
Ни Колмогоров, ни Обухов не пытались обосновать логнормальную
модель турбулентности, пользуясь для этого моделью мультипликатив¬
ного случайного каскада. Конечно, такая попытка с точки зрения тео¬
рии больших отклонений была бы ошибочной (см. разд. 8.6.4) 34 . Вместо
этого Колмогоров (Kolmogorov 1962) формулирует третью гипотезу,
более или менее эквивалентную предположению о мультипликативном
процессе с независимыми множителями, и затем говорит:
Естественно, что при желании извлечь из третьей гипотезы строго мате¬
матически нужную нам логарифмическую нормальность распределений раз¬
ностей скоростей и формулу для дисперсии логарифмов этих разностей...,
необходимо уточнить формулировку этой гипотезы.
В любом случае, однако, логнормальная модель имеет два известных
недостатка, обсуждавшихся выше в разд. 8.6.5. Она нарушает неравен¬
ства Новикова (Novikov 1970) и предполагает появление сверхзвуковых
скоростей при очень больших числах Рейнольдса, так как не является
монотонной функцией р.
Парадоксально, но несмотря на все перечисленные недостатки кол¬
могоровской работы 1962 г., она повлекла за собой плодотворные иссле¬
дования перемежаемости. Теоретические достижения в основном были
связаны с моделями случайного каскада, которые рассматривались в
разд. 8.6.3. Черно-белая модель Новикова и Стюарта (Novikov and Stew¬
art 1964) была обобщена Ягломом (Yaglom 1966), который рассмотрел
общий класс моделей случайного каскада. Более подробную информа¬
цию о вкладе русской школы можно найти в книге (Monin and Yaglom
1971, 1975).
34 В «логнормальной» статье Колмогорова (Kolmogorov 194Id) большие отклонения
не рассматривались; поэтому он не смог бы правильно найти моменты распределения
размеров, если бы сделал такую попытку.
8.8. Исторические замечания о фрактальных моделях перемежаемости 201
В конце 1960-х годов Мандельброт (Mandelbrot 1968, 1974b) заме¬
тил, что если построение модели случайного каскада не обрывать на
конечном числе шагов (дойдя до вязкостного порога), а продолжать
неограниченно, то диссипация энергии в общем случае сосредоточится
на множестве нецелой (фрактальной) хаусдорфовой размерности. Он
подчеркнул также, что связь между «размерностью» диссипации и по¬
правками к спектру К41 в «черно-белой» модели и в общем случае (кото¬
рый он назвал «взвешенным створаживанием») получается неодинако¬
вая. В то время появление такой, как казалось многим, излишне экзо¬
тической математики было встречено в штыки, но автор этих строк
стал одним из активных пропагандистов нового подхода35 Модели
случайного каскада являются искусственными в одном отношении: они
предназначены для объяснения скейлинговых законов в инерционном
интервале масштабов, но основываются на дисспации, которая не про¬
является на этих масштабах. Это отметил Крайчнан (Kraichnan 1974),
которому также принадлежит идея, как можно преодолеть этот недо¬
статок (Kraicnan 1972, р. 213). Переформулировка модели Новикова-
Стюарта, в которой используются только величины из инерционного
интервала (приращения скорости и поток энергии) была предложена
в работе (Frisch, Sulem and Nelkin 1978) — это и есть наша /3-модель.
Пожалуй, она приобрела чрезмерную популярность, поскольку первона¬
чально предназначалась не для количественных предсказаний, а лишь
для иллюстрации идеи на максимально простом примере.
Через несколько лет появились экспериментальные данные Ансель¬
ме и др. (Anselmet, Gagne, Hopfinger and Antonia 1984) по структурным
функциям высоких порядков, отличавшиеся значительно более высо¬
ким качеством измерений, чем было возможно ранее (см. разд. 8.3).
Неудивительно, что измеренные ими значения показателей не со¬
гласовывались ни с /3-моделью, ни с логнормальной моделью. Кривизна
графика была интерпретирована Паризи и Фришем (Parisi and Frisch
1985) в терминах мультифрактальной модели разд. 8.5.3. Хотя мульти-
фрактальная модель дает такую же совокупность скейлинговых зако¬
нов, как и модели случайного каскада, примененное Паризи и Фришем
преобразование Лежандра выявило жульгамфрактальную природу этих
35 Как указывал Мандельброт (Mandelbrot 1977), использование фракталов при изу¬
чении извилистых береговых линий было начато Ричардсоном; кроме того, Лоренц
показал, что фракталы возникают в простых нелинейных динамических системах.
202
Глава 8. Перемежаемость
моделей, которую ранее не замечали36 После этого в работе (Benzi,
Paladin, Parisi and Vulpiani 1984) была построена конкретная мульти-
фрактальная модель — случайная /3-модель — и было предложено ис¬
пользовать мультифракталы для описания инвариантных мер хаоти¬
ческих динамических систем.
Последняя задача отличается от проблемы, рассмотренной Паризи w
Фришем, в нескольких отношениях. Здесь величина с мультифракталь-
ными свойствами — это не функция, принимающая значения любого
знака (поле скоростей), а положительная мера, сохраняемая данной ди¬
намической системой. Это придает данной задаче больше сходства с ис¬
следованием мультифрактальности диссипации. Однако диссипация —
это случайная мера, которая распределена по физическому простран¬
ству и обладает теми же симметриями, что турбулентное течение (ин¬
вариантность относительно переносов, поворотов и т. п.), в то время
как инвариантная мера динамической системы детерминистская, рас¬
пределена по фазовому пространству и обычно не имеет никаких сим¬
метрий37 . В статьях (Grassberger 1983) и (Hentschel and Procaccia 1983)
было показано, что для описания тонкой структуры инвариантных мер
может быть использована бесконечная совокупность размерностей Ре-
ньи Dq (разд. 8.6.1). Затем в работе (Halsey, Jensen, Kadanoff, Procaccia
and Shraiman 1986) для описания динамических систем был развит фор¬
мализм, основанный на использовании преобразования Лежандра, как
и у Паризи и Фриша, который тоже был назван «мультифрактальным».
В статьях (Meneveau and Sreenivasan 1987, 1991) (см. также ссылки в
этих работах) этот формализм был перенесен обратно на турбулент¬
ность и были исследованы мультифрактальные свойства диссипации
(разд. 8.6.1). By и др. (Wu, Kadanoff, Libchaber and Sano 1990), изу¬
чавшие временной спектр флуктуаций температуры при тепловой кон¬
векции, обнаружили, что данные для различных чисел Рэлея в лога¬
рифмических координатах плохо ложатся на одну кривую, если поль¬
зоваться только переносами их графиков, но взаимное соответствие
данных улучшается, если логарифмы спектра температуры и часто¬
ты поделить на логарифм числа Рэлея. Они (правильно) назвали дан¬
ную процедуру «мультифрактальной». Фриш и Вергассола (Frisch and
36 Разновидность мультифрактального формализма использовал Поляков (Polyakov
1972) при изучении масштабной инвариантности лептон-адронных взаимодействий.
37 Кроме инвариантности относительно фазового потока динамической системы. —
Прим. ред.
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
203
Vergassola 1991) обнаружили, что мультифрактальная модель Паризи-
Фриша развитой турбулентности предсказывает именно такую «муль-
тифрактальную универсальность», если учесть влияние конечной вяз¬
кости (разд. 8.5.5). Нелькин (Nelkin 1990) исследовал в рамках мульти-
фрактальной модели моменты производных скорости (разд. 8.5.6).
Значительно более глубокое понимание мультифрактальности
было достигнуто после того, как стала ясна связь случайных муль-
тифрактальных мер с теорией больших отклонений, обсуждавшейся
п разд. 8.6.4 (Mandelbrot 1989, 1991; Оопо 1989; Collet and Koukiou
1992) 38 . Это привело к вероятностному определению мультифракталь-
иости, обсуждавшемуся в разд. 8.5.4. Такое определение в терминах
скоростей аналогично введенной Мандельбротом (Mandelbrot 1991)
процедуре ренормализации по Крамеру. Одно из преимуществ такой
формулировки в том, что нет необходимости работать с сингуляр¬
ностями индивидуальных реализаций. При этом такое понятие, как
отрицательные размерности (Mandelbrot 1990, 1991) (см. также
(Meneveau and Sreenivasan 1991)), теряет свой таинственный характер.
Связь с теорией больших отклонений объясняет также и причину
проблем с логнормальной моделью (разд. 8.6.5).
Наконец, отметим, что мультифракталы появляются в различных
областях теоретической физики (см., например, (Paladin and Vulpiani
1987b)), а интерес к мультифрактальным мерам и мультифракталь-
ным множествам сегодня разделяют многие математики и физики-
теоретики (Kahane and Peyriere 1976; Kahane 1993; Hentschel 1994;
Waymire and Williams 1994; Blank 1995; см. также списки литературы
в этих работах).
8.9. Современные тенденции в иследовании
перемежаемости
Спустя полвека после работ Колмогорова по статистической теории
развитой турбулентности все еще остается неясным, как согласовать
его исследования с зарисовками вихревых течений, сделанными Леонар¬
до да Винчи при подготовке к ликвидации порогов на реке Арно пять
38 В своей более ранней работе Мандельброт (Mandelbrot 1974а) уже использовал
теорию больших отклонений и ввел функцию /(а), но не придавал ей смысла раз¬
мерности.
204
Глава 8. Перемежаемость
н9
Nr
»п
к
»т
1
h
44
Ш
* ft
Рис. 8.20. Леонардо да Винчи. Набросок вихревых
нитей, наблюдаемых в струях воды, бьющих из от¬
верстия (Ms. F, fo. 47 v., библиотека Французского
Института, Париж)
веков назад. (Один из этих набросков, воспроизведенный на рис. 8.20,
представляет особый интерес в контексте разд. 8.9.1.)39 Дело в том,
что в своих исследованиях мелкомасштабных свойств течения Колмо¬
горов отказался от учета любой пространственной структуры, кото¬
рой мог бы обладать турбулентный поток. Между тем в разд. 7.4 мы
видели, что во многих турбулентных течениях наблюдаются так назы¬
ваемые «когерентные структуры». Их (пере)открытие в работах (Crow
and Champagne 1971) и (Brown and Roshko 1974) привело к сомнениям
в правильности традиционной статистической теории турбулентности.
Конечно, когерентные структуры не будут влиять на свойства течения
в инерционном интервале, если они присутствуют только на больших
масштабах. А если это на самом деле не так?
39 Как указывает Ламли (Lumley 1992), весьма вероятно, что Леонардо понимал не¬
обходимость описания турбулентного течения как смеси когерентных и случайных
движений.
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
205
Традиционные способы исследования турбулентных течений, осно¬
ванные на осуществляемой точечным датчиком велосиметрии, не
выявляют в потоке никакой мелкомасштабной структуры. В самом
деле, в инерционном интервале поведение сигналов, показанных на
рис. 3.1, а и б, по внешнему виду практически неотличимо от гауссов¬
ского шума со спектром А;-5/3. Однако экспериментально измеренные
отличия от скейлинговых соотношений теории К41, как мы видели,
приводят к выводу о присутствии на малых масштабах фрактальной
или мультифрактальной структуры. В разд. 8.5.4 было показано, что
сам по себе мультифрактальный скейлинг в смысле теории вероят¬
ностей не означает наличия какой-либо фрактальной структуры у
индивидуальных реализаций. Поэтому фрактальное (мультифракталь-
ное) описание турбулентности имеет существенно вероятностную
природу и практически не дает информации о геометрии течения на
малых масштабах.
Замечательно, что именно присущее Леонардо да Винчи вйдение
турбулентности оказалось в центре современных исследований переме¬
жаемости: появляется все больше свидетельств существования струк¬
тур с нетривиальной геометрией на весьма малых масштабах и, может
быть, даже на расстояниях порядка диссипационного масштаба Колмо¬
горова.
Новейшие результаты показывают, что на малых масштабах в тур¬
булентном течении присутствуют пучки тонких и весьма интенсивных
вихревых нитей. Это свойство надежно установлено для турбулент¬
ности сверхтекучих жидкостей (Donnelly and Swanson 1986; Schwarz
1988) и для магнитных трубок в солнечной фотосфере (Stenflo 1973,
1994). Сейчас мы дадим обзор некоторых численных и эксперименталь¬
ных подтверждений существования вихревых нитей и предпринимав¬
шихся попыток учесть вихревые нити и другие вихревые структуры
при статистическом описании турбулентности. Теоретические сведе¬
ния о вихревых нитях см. в книге (Saffman 1992).
Рис. 8.21 дает наглядное представление о запутанном клубке вихре¬
вых нитей, возникающих в турбулентном течении при умеренно вы¬
соких числах Рейнольдса (R\ « 150). Поток моделировался на сетке
из 2403 точек. Изображено мгновенное распределение завихренности в
один и тот же момент. Завихренность показана только там, где ее мо¬
дуль превосходит определенный порог (который в случае а выше, чем
в б). Аналогичные рисунки, указывающие на обильное образование ви¬
хревых нитей, можно найти в работах (Hosokawa and Yamamoto 1990)
206
Глава 8. Перемежаемость
а б
Рис. 8.21. Поле завихренности, представленное с помощью векторов, длина
которых пропорциональна амплитуде завихренности в каждой точке сетки.
Изображены только те векторы, длина которых превысила определенный по¬
рог; в случае (б) этот порог ниже, чем в (a) (Vincent and Meneguzzi 1991)
и (She, Jackson and Orszag 1990) (см. также рис. 7.4). По-видимому,
первые результаты численных экспериментов, подтвердившие наличие
таких нитей, были опубликованы в (Siggia 1981) (см. также (Кегг 1985)).
Дополнительную информацию о структуре отдельных вихревых нитей
дало моделирование вихря Тейлора-Грина (см. разд. 5.2) в работах (Вга-
chet et al. 1983) и (Brachet 1990,1991). Такое моделирование показывает,
что вихревые нити характеризуются большой завихренностью и малой
диссипацией, а значит (в силу (2.32)), и низким давлением.
Последнее свойство было использовано в работе (Douady, Couder
and Brachet 1991) для непосредственного наблюдения вихревых нитей
на опыте. С этой целью турбулентное течение насыщалось мелкими пу¬
зырьками (которые затем скапливались в областях с пониженным да¬
влением) 40 На рис. 8.22 показаны кадры видеосъемки, запечатлевшей
типичные для таких опытов картины. Результаты дальнейших работ
в этом направлении были опубликованы в (Douady and Couder 1993) и
(Bonn, Couder, van Dam and Douady 1993). Эти опыты, поставленные
после описанных выше численных экспериментов, дали много сведений
о рождении и гибели вихревых нитей, а также об их возможной роли в
формировании крупномасштабного течения.
40 Возможность использования низкого давления для наблюдения вихревых нитей
была обоснована в работе (Fauve, Laroche and Castaing 1993).
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
207
Рис. 8.22. Два изображения распределения завихренности в потоке воды, на¬
сыщенной пузырьками. Кювета освещена рассеянным светом с обратной сто¬
роны, так что пузырьки кажутся темными точками на светлом фоне: а —
вихревая нить в турбулентном течении (время экспозиции 0,001с); б — ядро
вихря, образовавшегося под вращающимся диском (Bonn, Couder, van Dam
and Douady 1993)
208
Глава 8. Перемежаемость
Из численных расчетов и экспериментов по изучению вихре¬
вых нитей возникает следующая картина. Нити в действительности
представляют собой трубки более или менее круглого сечения,
диаметр которых по порядку величины близок к колмогоровскому
диссипационному масштабу, а длина заключена между тейлоровским
масштабом Л и внешним масштабом £q. Точно определить эту длину
затруднительно. Дело в том, что у открытого конца трубки плотность
завихренности уменьшается (из-за сохранения циркуляции) и может
упасть ниже порога различимости; это явление легко заметить на
рис. 8.21, а и б. Хименес (Jimenez 1993) нашел, что число Рейнольдса
вихревой трубки Щ = 7/^, определяемое по циркуляции данной вихре¬
вой трубки 7, составляет от 150 до 400. (По его данным, аналогичные
числа характерны для компактных вихрей, получаемых при моделиро¬
вании потоков с поперечным градиентом скорости, течений в канале
и плоских пограничных слоев.) Что касается динамики вихревых
нитей, то в статье (Bonn, Couder, van Dam and Douady 1993) о ней
говорится следующее: «Нити появляются внезапно при свертывании
тонких слоев, в которых присутствуют одновременно деформации
сдвига и растяжения... Они неустойчивы и распадаются на вихри
(Leibovich 1978) через образование спиральных деформаций. Наиболее
длинные нити преобразуются в большие устойчивые вихри.»
В связи со всем изложенным возникает два естественных вопроса:
• Как образуются вихревые нити, какова их структура и какую
роль они играют в глобальной динамике течения? •• Как наличие вихревых нитей сказывается на статистических
свойствах течения?
8.9.1. Вихревые нити — «сухожилия» турбулентности?
По наблюдению Бонна и др. (Bonn, Couder, van Dam and Douady
1993), вихревые нити появляются там, где крупномасштабное течение
создает тонкий слой, испытывающий одновременно сдвиг и растя¬
жение. Вихревые нити, наблюдавшиеся в численных экспериментах
(Brachet, Meneguzzi, Vincent, Politano and Sulem 1992) (см. также
(Passot, Politano, Sulem, Angilella and Meneguzzi 1995)) возникали в
неустойчивостях таких блинообразных структур, как показанная на
рис. 7.7. При анализе модуляции возмущений, проведенном в статье
(Passot, Politano, Sulem, Angilella and Meneguzzi 1995) в развитие более
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
209
ранних работ по турбулентному пограничному слою (Neu 1984) и (Lin
and Corcos 1984), для объяснения формирования вихревых нитей рас¬
сматривалась завихренность внутри вихревого слоя малой конечной
толщины. Хименес (Jimenez 1993) предложил механизм осесимме¬
тричной деформации двумерного течения (см. также (Jimenez, Wray,
Saffman and Rogallo 1993)). Лундгрен (Lundgren 1982, 1993) (см. также
(Pullin and Saffman 1993)) указал, с другой стороны, что подвергнутый
такой деформации поток может быть заменен на воображаемый
двумерный поток, свободный от деформаций, при помощи простого
масштабного преобразования. Разница между подходами Лундгрена
и Хименеса состоит в том, что первый подчеркивает присутствие в
двумерном потоке необходимой для возникновения спектра А;“5/3 спи-
ральности41, а второй указывает на тенденцию двумерного течения
к формированию компактных когерентных структур (см. разд. 9.7).
Возможно также, что некоторые вихревые нити рождаются вблизи
стенок, ограничивающих течение, — в единственной зоне турбу¬
лентного потока несжимаемой жидкости, где завихренность может
порождаться без участия гидростатических напряжений.
Конечно, для понимания процесса рождения вихревых нитей нужно
сделать еще многое.
Внутреннюю структуру вихревых нитей можно понять, изучая та¬
кие стационарные двумерные решения уравнения Навье-Стокса, в ко¬
торых завихренность имеет вид (0,0,a>(xi,X2)), а, крупномасштабное
поле скоростей — U = (ах i,/3x2,7x3), где 7>0иа + /3 + 7 = 0, как
было предложено в работе (Moffatt, Kida and Ohkitani 1994). Простей¬
шим является случай а = (3 (осесимметричная деформация). Как легко
проверить, при этом точным решением, обращающим нелинейность в
нуль, является вихрь Бюргерса (Burgers 1948; Townsend 1951; Saffman
1992; Moffatt 1994):
w{xi,x2)
7Г
47Г V
exp
l(xj + xp
4i/
(8.140)
где Г — полная циркуляция, связанная с данным вихрем. Когда а//?,
появляется нелинейность и решение приходится искать по теории воз¬
мущений. Такие неосесимметричные решения имеют интересное свой¬
ство, отмеченное также в работах (Brachet 1990) и (Kida and Ohkitani
41 Модель со спиральностью, имеющая спектр Л“5^3, была также предложена Моф-
фаттом (Moffatt 1984).
210
Глава 8. Перемежаемость
1992): линии уровня завихренности приближенно сохраняют форму
окружностей, в то время как диссипация может быть сильно анизо¬
тропной.
Что касается роли вихревых нитей в динамике турбулентного тече¬
ния, то весьма привлекательная, хотя пока и гипотетическая картина <м*
нарисована Моффаттом, Кида и Окитани (Moffatt, Kida and Ohkitani
1994). По их мнению, вихревые нити являются «сухожилиями» турбу¬
лентности: «Подобно тому, как сухожилия прикрепляют мышцу к кости
или другой ткани, концентрированные турбулентные вихри соединяют
большие вихри меньшей завихренности; и так же, как сухожилия при¬
нимают на себя усилия и нагрузки мышечных сокращений, концентри¬
рованные вихри противостоят напряжениям, вызванным низким давле¬
нием в их сердцевине и относительным движением вихрей, к которым
они присоединены своими концами.»
8.9.2. Статистические проявления вихревых нитей:
«собака» или «хвост»?
Поскольку в турбулентном течении обнаружены такие «простые» гео¬
метрические объекты, как вихревые нити, возникает естественный во¬
прос: можно ли с их учетом объяснить какие-либо из известных ста¬
тистических свойств турбулентности? Другими словами, «зарыта» ли в
этом месте сама собака или мы «откопали» только ее хвост? В первом
случае от вихревых нитей должно существенно зависеть объяснение
энергетических и скейлинговых свойств потока при больших числах
Рейнольдса. Во втором случае их влияние скажется лишь на таких вто¬
ростепенных свойствах течения, как хвосты функций распределения
различных мелкомасштабных величин и показатели при больших р.
Прежде чем перейти к обсуждению различных «собачьих» теорий
(которые остаются пока спекулятивными), сразу сформулируем неко¬
торые возражения против них. По мнению авторов работ (Brachet 1990,
1991) и (Bonn, Couder, van Dam and Douady 1993), вихревые нити не
могут быть «собакой», поскольку они отвечают лишь за малую долю
общей диссипации энергии. Это подтверждается численными экспери¬
ментами (Jimenez, Wray, Saffman and Rogallo 1993), в которых стро¬
илось фиктивнное поле скоростей по «обрезанному снизу» полю зави¬
хренности (т. е. завихренность полагалась равной нулю, если она не
превосходила некоторой заранее фиксированной доли своего максиму¬
ма) и затем это построенное поле скоростей проектировалось на под¬
пространство соленоидальных векторных полей. Если порог выбрать
N.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
211
относительно высоким, то выживают лишь самые сильные вихревые
нити. Существует также экспериментальное подтверждение — хотя и
несколько спорное, — что при больших числах Рейнольдса вихревые
нити перестают быть существенными: в работе (Abry, Fauve, Flandrin
and Laroche 1994) показано, что частота появления вихревых нитей (в
единицах обратного периода больших пульсаций) с ростом R\ убывает,
а авторы статьи (Belin, Maurer, Tabeling and Willaime 1996) нашли, что
при числах Рейнольдса около R\ = 800 вихревые нити могут превра¬
титься в объекты менее четкой структуры.
Основным защитником «собачьей» теории является Чорин (см., на¬
пример, (Chorin 1988, 1990, 1994; Chorin and Akao 1991) и ссылки в этих
статьях). Он рассматривает группу вихревых трубок, которые испы¬
тывают многократные растяжения и изгибы, так что образуется слож¬
ная сеть вихревых нитей. Затем он использует аналогию с полимерной
цепью, рассматриваемой как траектория случайного блуждания без са¬
мопересечений. (Отсутствие пересечений вихревых линий выводится из
сохранения завихренности.) Обычное случайное блуждание за N шагов
уходит на расстояние порядка iV1/2, а при отсутствии пересечений эта
величина растет как АР, где ц = 3/5 (de Gennes 1971). Иначе гово¬
ря, сеть вихревых нитей имеет размерность D = 1/ц. Если мы теперь,
следуя Чорину, будем считать D корреляционной размерностью в смы¬
сле статьи (Grassberger and Procaccia 1984) и отвлечемся от векторной
природы скорости, то из (8.83) получим, что корреляционная функция
завихренности характеризуется зависимостью iD~s = Г“4/3. Это совпа¬
дает с колмогоровским законом двух третей для структурной функции
второго порядка, но при этом получено из модели с сильной перемежае¬
мостью! В то же время Чорин указывает на то, что (i) ограниченность
энергии заставляет вихри складываться, так что размерность «поли¬
мера» увеличивается до величины, большей 2, и (и) векторная природа
завихренности и механизм складывания не запрещают взаимное сокра¬
щение противоположно направленных векторов завихренности, что на¬
рушает приведенное выше рассуждение. Начиная с этого места, Чорин
вынужден прибегнуть к численным расчетам, на которых мы не будем
здесь останавливаться.
В работе (Passot, Politano, Sulem, Angilella and Meneguzzi 1995)
сделана попытка вычислить вклад вихревых нитей в энергетический
спектр. На языке мультифрактальной модели проводимое там рассу¬
ждение выглядит так. С каждой вихревой нитью по закону Био-Савара
212
Глава 8. Перемежаемость
связано поле скорости 1 /г, имеющее тем самым скейлинговый показа¬
тель h = — 1. Предполагается, что вихревые нити суть простые кри¬
вые размерности D = 1. Поэтому они дают вклад ос gPh+3~D = £2~р
в структурную функцию порядка р (ср. (8.40)). Показатель = 2 — р
обращается в нуль при р = 2, что для энергетического спектра приво¬
дит к зависимости A;-1 (Townsend 1951). Это более пологая зависимость,
чем спектр по теории К41, но авторы данной работы указывают, что
неопределенный коэффициент перед множителем кг1 может зависеть
от вязкости, так что эта зависимость становится существенной лишь
при достаточно малых масштабах42 В такой форме это рассуждение
приводит к выводу, что у структурной функции порядка р при весьма
малых масштабах поведение типа ос будет преобладать над вкла¬
дом e?i3, получающимся по теории К41. Особенно сильно это явление
должно сказываться при больших р. Тогда можно было бы утверждать,
что при аппроксимации такой сложной функции одним степенным за¬
коном с показателем £р величина (р систематически недооценивается,
что приводит к ложной мультифрактальности 43
Если, тем не менее, мультифрактальность не является артефактом,
то можно ли объяснить измеренные значения показателей £р, о кото¬
рых говорилось в разд. 8.3? Не исключено, что влияние вихревых ни¬
тей проявилось в результатах численного эксперимента (Vincent and
Meneguzzi 1991), полученных для структурных функций высоких по¬
рядков. В разд. (8.3) мы уже подчеркивали, что точно измерить эти
показатели весьма трудно. Однако, если принять на веру значения по¬
казателей порядков 14-30, приведенные на рис. 10 в статье (Vincent
and Meneguzzi 1991), то через них можно провести прямую £р = ар + Ь,
где а й 0,9 и Ь « 2. В соответствии с мультифрактальной моделью а
есть минимальный скейлинговый показатель hmin, а Ъ — коразмерность
3 — D(hm\n). Следовательно, D(hm[n) « 1, т. е. совпадает с размерностью
нитей.
Другое проявление вихревых нитей можно пытаться обнаружить в
связи с пологостью производной скорости: совокупность вихревых ни¬
тей конечного диаметра, предполагаемых более или менее прямыми и
42 В этом смысле развитая в статье (Passot, Politano, Sulem, Angilella and Meneguzzi
1995) теория относится к числу «хвостистских».
43 Те же выводы относятся и к случаю, когда сеть вихревых нитей фрактальна и
имеет размерность D: надо просто заменить ос £2~р на ос £3~d~p
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
213
независимыми друг от друга, может обусловить значительное увеличе¬
ние пологости, давая при этом нулевой вклад в^асимметрию и другие
моменты нечетных порядков.
Можно ли достичь более амбициозной цели: объяснить всю совокуп¬
ность показателей с помощью вихревых нитей?
В работе (She and Leveque 1994) предложен феноменологический
подход, при котором строится иерархия флуктуационных структур,
связанных с вихревыми нитями. В его рамках можно получить соотно¬
шение без подгоночных параметров:
Ср = р/9 + 2 - 2(2/3)р/3, (8.141)
которое находится в замечательном согласии с экспериментальными
данными, обработанными с учетом принципа расширенного самопо¬
добия (Benzi, Ciliberto, Tripiccione et al. 1993), о котором шла речь
в разд. 8.3. Соответствующие показатели т9, выражаемые форму¬
лой (8.88), удовлетворяют неравенствам Новикова (8.124) как при
положительных, так и при отрицательных q. При больших р график
(р имеет наклон, равный 1/9. Следовательно, самый сингулярный
(наименьший) скейлинговый показатель равен hmin = 1/9 « 0,11.
Отметим, что экспериментальные данные (Gagne 1987) указывают
на асимптотически линейное поведение с показателем hm[n « 0,18.
Дубрулле указал (Dubrulle 1994), что (8.141) соответствует логариф¬
мически пуассоновскому распределению: в обозначениях разд. (8.6.4),
случайные величины mi распределены по закону Пуассона. Дубрулле
отметил также, что (8.141) можно получить с помощью предельного
перехода из случайной Д-модели Бенци и др. (Benzi, Paladin, Parisi and
Vulpiani 1984).
Логарифмически пуассоновский характер распределения был неза¬
висимо обнаружен в работе (She and Waymire 1995). Распределенная
по Пуассону случайная величина — это один из примеров безгранично
делимых случайных величин: она может быть представлена в виде сум¬
мы произвольного числа одинаково распределенных независимых слу¬
чайных слагаемых (см. (Levy 1965; Feller 1968b)). Воспользовавшись
представлением Леви-Хинчина безгранично делимого закона, авторы
статьи (She and Waymire 1995). предложили такое обобщение форму¬
лы (8.141), которое пригодно не только для турбулентного течения не¬
сжимаемой жидкости.
Глава 8. Перемежаемость
Возможно, будет легче согласовать статистическую картину муль-
тифрактальной турбулентности с геометрической картиной вихревых
Здесь dDi есть граница диска Di радиуса i (или квадрата со сторо¬
ной £). Заменим моменты приращений скорости на моменты Ci/i. Эта
величина имеет ту же размерность и, возможно, такие же показатели
как и приращение скорости. Предполагается, что мультифракталь-
ный скейлинг циркуляции может появиться, даже если имеется одна,
но достаточно сложно изогнутая вихревая нить (скажем, единичной
циркуляции).
Конечно, циркуляция вдоль dDg совпадает с потоком вектора зави¬
хренности сквозь диск Di. В отличие от подхода, основанного на дис¬
сипации, при котором положительная мера интегрируется по трехмер¬
ным областям, в этом случае используются поверхностные интегралы
меры со знаком. Поэтому возникает возможность исследовать не толь¬
ко мультифрактальность, но и другие статистические характеристики
течения. Одной из них является индекс сокращения, измеряющий сте¬
пень взаимного сокращения значений меры противоположных знаков на
очень малых масштабах. Как указано в статьях (Ott, Du, Sreenivasan,
Juneja and Suri 1992) и (Du and Ott 1993), он играет важную роль при
исследовании порождения магнитного поля в турбулентном динамо.
Вычисление циркуляции (или потока завихренности) значительно
проще осуществить в численном, а не в реальном эксперименте. Од¬
нако в магнитной гидродинамике эту проблему, по нашему мнению,
можно решить с помощью наблюдений магнитного поля Солнца на ап¬
паратуре большой разрешающей силы; в этом случае вместо потока
завихренности следует использовать магнитный поток, измеряемый с
помощью эффекта Зеемана (см., например, (Stenflo 1994)).
«Зарыта ли собака» объяснения статистических свойств турбулент¬
ности в запутанном клубке вихревых нитей или нет, но существует и
ряд других задач, исследование которых представляет самостоятель¬
ный интерес. Одной из них является построение статистической ме¬
ханики вихревых нитей в трехмерном течении. Конечно, сделать это 4444 Мигдал показал (Migdal 1994), как можно построить для турбулентности форма¬
лизм, основанный на функциях распределения вероятности циркуляций по всевоз¬
можным контурам.
нитеи, если рассматривать не приращения скорости, а циркуляцию
44
(8.142)
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
215
значительно труднее, чем в двумерном случае, когда вихри точечные
(Onsager 1949) (см. также разд. 9.7.2). Действительно, в трехмерном
случае уже основные объекты исследования, будучи одномерными ни¬
тями, имеют бесконечное множество степеней свободы. Одним из от¬
крытых вопросов остается возможность экранировки дебаевского типа
в трех измерениях (Ruelle 1990).
8.9.3. Распределение приращений скорости
До сих пор в этом разделе, который посвящен современным тенденциям
в исследованиях перемежаемости, мы говорили в основном о вихревых
нитях. Другой проблемой, вызывающей сейчас значительный интерес,
является изучение плотностей распределения вероятности (п. р. в.) при¬
ращений скорости и ее производных при больших числах Рейнольдса.
Эти функции распределения измерялись и в натурных, и в численных
экспериментах (Van Atta and Park 1972; Gagne, Hopfinger and Frisch
1990; Vincent and Meneguzzi 1991; Noullez, Wallace, Lempert, Miles and
Frisch 1996). На рис. 8.23 приведен пример результатов, полученных в
одном из таких экспериментов.
Основные характеристики полученных распределений следующие.
В окрестности основного масштаба, при £ ~ £q, распределение веро¬
ятности практически неотличимо от гауссовского. В инерционном ин¬
тервале масштабов плотность распределения спадает приблизительно
по экспоненте 45 . На еще меньших масштабах плотность распределения
принимает вид «растянутой экспоненты», когда в аргументе стоит не¬
которая дробная степень абсолютной величины приращения (умножен¬
ная на отрицательную константу). Так как при этом показатель степе¬
ни меньше единицы, плотность убывает медленнее, чем экспонента.
Обычно плотность распределения приращения Sv£ при наименьшей
доступной величине £т[п используют для определения плотности рас¬
пределения вероятности производной скорости, которую предполага¬
ют примерно совпадающей с отношением {5щ/£)е=ет1П- Справедливость
такого приближения трудно оспорить, но обосновать его тоже нелег¬
ко. В самом деле, на рис. 8.23 хорошо видно, что даже тогда, когда
£т\п сравнимо с колмогоровским диссипационным масштабом ту, все еще
45 Плотность распределения продольных приращений скорости убывает медленнее
при отрицательных значениях приращений; это соответствует колмогоровскому за¬
кону четырех пятых (разд. 6.2), который приводит к отрицательному значению
асимметрии приращений скорости.
Глава 8. Перемежаемость
21(>
-4 -2 0 2 4
6v±
Рис. 8.23. Плотности распределения вероятности поперечных приращений ско¬
рости, измеренных методом RELIEF в турбулентном следе при R\ « 240 для
различных значений расстояния £, помеченных на графике. Колмогоровский
диссипационный масштаб составляет rj = 16 мкм. Масштаб по оси прираще¬
ний скорости линейный, за единицу принята среднеквадратичная флуктуация
поперечной составляющей скорости vo. Не показанные самые низкие значе¬
ния плотности вероятности слишком подвержены влиянию шума, чтобы быть
значимыми (Noullez, Wallace, Lempert, Miles and Frisch 1996)
нельзя пренебречь вероятностью возникновения больших приращений
скорости (сравнимых с ^о)46 Поэтому при i ~ rj хвост распределения
приращений скорости не обязан быть похожим на хвост распределения
ее производной. К тому же достигнутое на сегодня качество экспери¬
ментальных данных не позволяет однозначно выбрать одну из следу¬
ющих (как минимум) двух возможностей: (i) плотность распределения
46 Для поперечных составляющих приращения скорости это явление выражено силь¬
нее, чем для продольной составляющей, так как величина поперечных составляющих
не ограничена условием несжимаемости.
8.9. Современные тенденции в иследовании перемежаемости
217
имеет свое четко отличающееся поведение в каждом из следующих трех
интервалов масштабов: в энергетическом, инерционном и диссипацион-
ном диапазонах или (и) ее поведение непрерывно меняется с уменьше¬
нием масштаба.
Для интерпретации этих возможностей (особенно второй из них)
предлагались различные теоретические подходы. В работе (Castaing,
Chabaud and Hebral 1992) использовался вариационный принцип для
развитой турбулентности, выдвинутый в (Castaing 1989). Ше (She 1991)
(см. также (She and Orszag 1991; She, Jackson and Orszag 1991)) предло¬
жил нелинейное преобразование, связывающее флуктуации производ¬
ной скорости с крупномасштабными флуктуациями приращений ско¬
рости, основываясь на представлении о развитой турбулентности как
совокупности слабо коррелированных случайных вихрей и тесно свя¬
занных структурных пульсаций. Кроме этого, он использовал «функ¬
цию отображения» (Kraichnan 1990). В статье (Benzi, Biferale, Paladin,
Vulpiani and Vergassola 1991) предложено обобщение мультифракталь-
ного формализма на плотности распределения вероятности прираще¬
ний и производных скорости 47
Нам кажется, что более точные измерения хвостов функций распре¬
деления как для приращений, так и для производных скорости должны
стать одной из основных задач для экспериментаторов.
47 Мультифрактальная модель (в вероятностной формулировке разд. 8.5.4) налагает
некоторые ограничения на функции распределения приращений, но не определяет их
единственным образом.
Глава 9
Что читать дальше?
9.1. Введение
Эта глава содержит дополнительный материал, не вошедший в пре¬
дыдущие главы. Естественно, что на его отборе в значительной ме¬
ре отразились интересы и познания автора (или отсутствие таковых).
Например, не обсуждаются сверхзвуковые турбулентные течения, маг¬
нитогидродинамическая турбулентность и турбулентная конвекция. С
другой стороны, численное моделирование турбулентности — одно из
основных средств ее исследования на современном этапе — не может
быть вмещено в рамки небольшого обзора, а требует особой книги. Не¬
которые темы обсуждаются лишь кратко, иногда потому, что разви¬
вать их подробно нет нужды (таков разд. 9.2, посвященный обзору ли¬
тературы по турбулентности и гидродинамике), а иногда потому, что
в литературе имеются прекрасные и легко доступные обзоры (таковы
разд. 9.3 о математических проблемах и 9.4 о динамических системах).
Другие вопросы нуждаются в более подробном изложении из-за отсут¬
ствия подходящего обзора или в чем-то нестандартной позиции автора
этой книги. Раздел 9.5 — это введение (местами довольно критическое)
в проблему замыкания, функциональные и диаграммные методы. Раз¬
дел 9.6 посвящен турбулентной вязкости, многомасштабным и ренорм-
групповым методам; в нем содержится также и небольшой экскурс в
малоизвестную историю исследований турбулентности в XIX в. Нако¬
нец, в разд. 9.7 в основном изложены новые результаты о двумерной
турбулентности.
9.2. Книги по турбулентности и гидродинамике
Один из самых первых обзоров по теории турбулентности, в основ¬
ном посвященный однородному случаю, — это отчет Службы военно¬
9.2. Книги по турбулентности и гидродинамике
219
морских исследований США, написанный фон Нейманом (Neumann von
1949) после того, как он посетил конференцию по проблемам динами¬
ки газообразных масс в космосе, организованную в Париже Между¬
народным союзом теоретической и прикладной механики и Междуна¬
родным астрономическим союзом. В течение ряда лет этот отчет не
был доступен для широкой публики. Он был и остается замечатель¬
ной работой, богатой оригинальными идеями. Так, фон Нейман впер¬
вые установил, что при возрастании числа Рейнольдса величина интер¬
вала, разделяющего макроскопические и микроскопические масштабы,
также увеличивается (см. также разд. 7.5), тем самым предотвращая
«ультрафиолетовую катастрофу». Он показал, что аналитичность те¬
чения предполагает экспоненциальный характер убывания энергети¬
ческого спектра при больших волновых числах. Глубоко убежденный,
что «программа создания быстродействующих компьютеров... должна
быть осуществлена как можно скорее», фон Нейман в конце своей ста¬
тьи высказывает следующие мысли, заслуживающие обширной цитаты:
Эти соображения подтверждают вывод, что для достижения детального
понимания механизма турбулентности требуются значительные матема¬
тические усилия. Весь накопленный опыт показывает, что трудности, с ко¬
торыми встречается чисто аналитический подход, пока делают его невоз¬
можным. О вероятной причине этого говорилось выше: по-видимому, наше
интуитивное понимание предмета пока остается слишком поверхностным,
нам не удалось еще добиться глубокого математического проникновения ни
в один из аспектов турбулентности, мы не определили существенные фак¬
торы и не нашли подходящих аналитических средств для их описания.
При таких условиях возможный выход из тупика открывает широкая,
но хорошо спланированная программа численных экспериментов. Приходит¬
ся признать, что рассматриваемая проблема слишком обширна для атаки
«в лоб», т. е. непосредственного просчета представительной совокупности
частных случаев. Однако есть основания ожидать, что в ней существу¬
ют какие-то стратегические пункты, где достаточную информацию мож¬
но получить прямым вычислением. Если это удастся сделать и затем на
базе вновь полученной расширенной информации повторять ту же процеду¬
ру вновь и вновь, то можно надеяться на действительное проникновение в
суть проблемы и постепенное развитие полезных интуитивных представле¬
ний. В конце концов должны возникнуть предпосылки для аналитического
исследования, конечно, уже более математического по своему характеру1
1 Эта мечта фон Неймана начала осуществляться лишь более 20 лет спустя (Orszag
and Patterson 1972).
220
Глава 9. Что читать дальше?
Важной вехой стала книга книга Бэтчелора «Однородная турбулент¬
ность» (Batchelor 1953), написанная на основе результатов широких
экспериментальных и теоретических исследований, проводившихся в
Кембридже в послевоенные годы. Эта монография способствовала рас¬
пространению в научных кругах одного из теоретических достижений
Колмогорова — понятия «универсального равновесия» в теории турбу¬
лентности. В ней обсуждались также перемежаемость (для градиента
поля скоростей) и некоторые представления об обратном каскаде энер¬
гии в двумерной турбулентности (см. разд. 9.7).
Спустя десять лет в Handbuch der Physik появились еще два важ¬
ных обзора. Статья (Lin and Reid 1963) была посвящена теоретиче¬
ским исследованиям и содержала много сведений о «ранних» вариантах
замыкания уравнений квазинормального типа, имевших серьезные не¬
достатки (см. разд. 9.5). В ней также были хорошо изложены трудно¬
сти, возникающие в связи с так называемым интегралом Лойцянского
(см. разд. 7.7). Обзор экспериментальных работ (Corrsin 1963) остает¬
ся классическим источником сведений о том, как создавать и измерять
однородную турбулентность (см. также прекрасно написанную книгу
(Bradshaw 1971)).
Самой подробной книгой об однородной турбулентности в настоя¬
щее время является монография Монина и Яглома, впервые изданная
на русском языке в 1967 г. и затем значительно пересмотренная для
английского перевода под редакцией Джона Ламли (Monin and Yaglom
1975). В ней содержится масса информации о теории и экспериментах,
в том числе и большой материал по перемежаемости (не затрагива¬
ющий, однако, фрактальных и мультифрактальных моделей). Библио¬
графия насчитывает около 1000 ссылок (честно распределенных меж¬
ду Востоком и Западом), большинство которых подробно обсуждено
в тексте. Эта «большая красная книга»2 стала настольной у каждо¬
го серьезного исследователя турбулентности. В ней излагаются многие
важные вопросы, не затронутые в нашей книге, например статистиче¬
ские свойства пассивных скалярных величин, подобных полю темпера¬
туры 3 . Примерно в то же время была написана увидевшая свет на бол¬
гарском и русском языках книга Панчева (Panchev 1971), включающая
2 По цвету обложки английского издания; первое и второе русские издания были
зеленого и серого цвета соответственно. — Прим. ред.
3 Вот некоторые более новые полезные ссылки по этому вопросу: (Sreenivasan 1991;
Pumir, Shraiman and Siggia 1991; Gollub, Clarke, Gharib, Lane and Mesquita 1991;
Holzer and Pumir 1993; Pumir 1994; Tong and Warhaft 1994).
9.2. Книги по турбулентности и гидродинамике
221
прекрасное изложение колмогоровского закона четырех пятых и ранних
попыток Обухова и других получить простые спектральные уравнения
в замкнутом виде с помощью эвристических соотношений между энер¬
гетическим спектром и переносом энергии. Значительный материал по
турбулентности сжимаемой жидкости можно найти в книге (Favre, Ко-
vasznay, Dumas, Gaviglio and Coantic 1976).
После того, как были найдены способы избежать наиболее серьез¬
ных недостатков метода замыкания (см. разд. 9.5), авторы многих книг
и обзоров значительное место стали уделять его различным усовершен¬
ствованным вариантам. Книга (Leslie 1973) в основном посвящена при¬
ближению слабой связи Роберта Крайчнана, к которому мы вернемся
в разд. 9.5.3. Статьи (Orszag 1977) и (Rose and Sulem 1978) относятся к
лучшим обзорам по аналитической теории однородной турбулентности,
опубликованным в 70-е гг. В них особенно подробно обсуждается метод
замыкания и статистическая механика турбулентности. Книга (Lesieur
1990) содержит аналогичный, но более детально изложенный матери¬
ал (последнее особенно относится к двумерной турбулентности); кроме
этого, в ней затрагиваются турбулентные явления в окружающем нас
мире. Тщательно продуманное изложение в этой книге мало пересека¬
ется с нашим 4 Например, там не говорится о колмогоровском законе
четырех пятых; впрочем, этот пробел характерен для большинства мо¬
нографий и обзоров по турбулентности, за немногими исключениями,
среди которых — книги (Landau and Lifshitz 1987), (Monin and Yaglom
1975) и (Panchev 1971). Многие из представляющих интерес в настоя¬
щее время аспектов турбулентности обсуждаются в «Эксперименталь¬
ном словаре по турбулентности» (Tabeling and Cardoso 1994).
Заслуживает упоминания и очаровательный популярный очерк
Зельдовича, Рузмайкина и Соколова «Всемогущий случай» (Zeldovich,
Ruzmaikin and Sokoloff 1990), содержащий богатый материал по фрак¬
талам и однородной турбулентности. Такие глубокие понятия, как
перемежаемость, объясняются в этой книге на элементарном уровне
и иллюстрируются массой далеких от гидродинамики примеров, та¬
ких как грибы, мегаполисы и аварии на атомных электростанциях.
Наконец, очень полезно посмотреть фильм о турбулентности, снятый
Стюартом (Stewart 1972).
4 Тот же автор недавно выпустил популярное изложение своего труда для широкой
научной аудитории, снабженное великолепными цветными иллюстрациями (Lesieur
1994).
Глава 9. Что читать дальше?
Турбулентность в пограничном слое, которую называют также
неоднородной, в нашей книге не затрагивается. Для ознакомления с
этой темой можно порекомендовать книги (Hinze 1959), (Townsend
1976) и (Monin and Yaglom 1975). Последняя из них содержит самое
полное изложение этого предмета в литературе. Новое ее издание
ожидается около 1996 г.5 Особенного внимания заслуживает «Ввод¬
ный курс по турбулентности» Теннекеса и Ламли (Tennekes and
Lumley 1972), в котором рассказано и об однородной турбулент¬
ности, и о турбулентном пограничном слое: эта книга завоевала
большую популярность среди ученых и инженеров, сталкивающих¬
ся с турбулентными течениями на практике. Хотя эта книга была
написана более двадцати лет назад, она еще далеко не устарела.
Можно даже сказать, что отсутствие в этой книге некоторых тем
сегодня вызывает меньше сожаления, чем десять лет назад.
Студенты и научные работники, интересующиеся турбулентно¬
стью, не всегда хорошо разбираются в гидродинамике. Необходимые
сведения о ней можно почерпнуть в классических книгах Бэтчело¬
ра (Batchelor 1970), Ландау и Лифшица (Landau and Lifshitz 1987),
Триттона (Tritton 1988) и Гюйона, Юлена и Пти (Guyon, Hulin and
Petit 1991). Физикам понравится краткое, но глубокое введение в
механику жидкости в 40 и 41 главах второго тома фейнмановско-
го курса лекций. Интуитивно очень ясное элементарное введение
в гидродинамику можно найти в книге (Vogel 1981). Более специ¬
альное изложение математических аспектов механики жидкостей,
гидродинамической устойчивости, тепловой конвекции, магни¬
тогидродинамики и вихревой динамики можно найти в работах
(Chandrasekhar 1961; Lions 1969; Temam 1977; Chorin and Marsden
1979; Drazin and Reid 1981; Bayly, Orszag and Herbert 1988; Cross
and Hohenberg 1993; Siggia 1994; Moffatt 1978; Saffman 1992; Chorin
1994). Наконец, отдельно отметим серию «Лекций по геофизической
гидродинамике», которую более тридцати лет издает Океанографи¬
ческий институт в Вудз Хоул (штат Массачусетс). Издания этой
серии всегда были на переднем крае исследований по турбулентно¬
сти, гидродинамической устойчивости и их приложениям в астро-
и геофизике.
Новое русское издание вышло двумя томами в 1992 и 1996 гг. — Прим. ред.
5
9.3. Математические аспекты развитой турбулентности
223
9.3. Математические аспекты развитой турбулентности
Как известно, систематическая теория развитой турбулентности все
еще не создана; можно ли в таком случае надеяться на какие-то резуль¬
таты при математически строгом подходе? А. Н. Колмогоров, один из
крупнейших математиков двадцатого века, никоим образом не ограни¬
чивался в своих исследованиях турбулентности теми задачами, которые
он мог решить строго. По его словам, его научная активность охва¬
тывала такие почти не связанные друг с другом области знания, как
история, математика и турбулентность (В. И. Арнольд, частное сооб¬
щение). И тем не менее весьма вероятно, что сотрудничество физиков
и математиков может быть полезным при решении некоторых проблем,
связанных с течением при больших числах Рейнольдса, постановка ко¬
торых стала возможной только после завершения работ Колмогорова
по турбулентности.
Главными из них являются проблемы сингулярностей и вырожде¬
ния, для изучения которых элементарные феноменологические методы
(разд. 7.8) не подходят, так что нужно пользоваться численным мо¬
делированием повышенной точности или строгими методами. Если за
конечное время в потоке вязкой жидкости возникают сингулярности,
то течение не будет аналитическим, так что спектр в диссипацион-
ном интервале должен быть степенным. Эта возможность маловероят¬
на, но в настоящее время еще не может быть исключена. Если сингу¬
лярности возникают за конечное время в потоке невязкой жидкости, то
их свойства могут определять скейлинговые свойства развитой турбу¬
лентности. В разд. 8.5.4 мы видели, что обратное не обязательно вер¬
но: (мульти)фрактальность не требует возникновения сингулярностей.
Больше того, даже если особенности образуются, то в момент возник¬
новения они могут иметь другую форму, чем те особенности, которые
присутствуют после предельного перехода при исчезающей вязкости 6
Возможно также, что вырождение, или редукция нелинейности, позво¬
ляет избежать возникновения особенностей; это явление связано с зага¬
дочной тенденцией турбулентного течения самоорганизовываться при
больших числах Рейнольдса в такие когерентные структуры, как ви¬
хревые пелены, «блины» и нити.
6 Именно так обстоит дело в случае уравнения Бюргерса, где в момент образования
особенности она имеет вид (х — я*)1/3, а после этого превращается в разрыв первого
рода (Fournier and Frisch 1983b).
224
Глава 9. Что читать дальше?
Перечислим основные строгие результаты, касающиеся возникно¬
вения особенностей в вязких и невязких трехмерных течениях. В вяз¬
ком случае, т. е. для уравнения Навье-Стокса, последним большим до¬
стижением остается доказанная Лере теорема существования обоб¬
щенного решения (Leray 1934). Такое решение является недостаточно
гладким, чтобы исключить особенности, и может не быть единствен¬
ным. В то время неединственностью надеялись объяснить турбулент¬
ное поведение течения. Шеффер, пользуясь функциональными оценка¬
ми Лере (Leray 1934), показал, что размерность Хаусдорфа множества
моментов времени, когда в вязком течении присутствуют особенно¬
сти, не превосходит 1/2 (Scheffer 1976, 1977). Самый сильный резуль¬
тат (Cafarelli, Kohn and Nirenberg 1982) гласит, что в четырехмерном
пространстве-времени хаусдорфова размерность множества особенно¬
стей не превышает 1. Иными словами, такие гипотетические особен¬
ности могут встречаться лишь весьма редко. Однако наиболее веро¬
ятно, что они вовсе отсутствуют. Более подробное обсуждение этих
результатов с современной точки зрения, интересное как для матема¬
тиков, так и для физиков, можно найти в обзорах (Constantin 1991) и
(Gallavotti 1993). В случае положительной вязкости Ладыженская (La¬
dyzhenskaya 1969) доказала, что глобальная регулярность (при всех зна¬
чениях времени) будет иметь место, если вязкостное слагаемое vV2v
заменить на — /z(—V2)Q£?, где введен параметр диссипативности а ^ 2.
По наблюдению Роуза и Сулема (Rose and Sulem 1978), из феноменоло¬
гии К41 следует, что регулярность обеспечивается при а > 1/3, в то
время как лучший строго доказанный результат дает а ^ 5/4 (Lions
1969).
Теперь обратимся к невязкому (эйлеровому) течению. Из-за отсут¬
ствия такого сглаживающего механизма, как вязкость, регулярность
решений в этом случае не может быть выше регулярности начальных
данных. Даже при достаточно гладких начальных данных, например
непрерывных по Гёльдеру7, регулярность доказана лишь при малых
временах. Первый результат в этом направлении принадлежит Лих¬
тенштейну (Lichtenstein 1925), который потребовал от завихренности
в начальный момент, чтобы она была непрерывной по Гёльдеру и обра¬
щалась в нуль вне ограниченной области. Сведения о дальнейших до¬
стижениях в этом направлении, полученных в семидесятые годы, можно
найти, например, в работах (Ebin and Marsden 1970; Kato 1972; Bardos
7 Приращение завихренности на малом расстоянии £ ограничено величиной £а, умно¬
женной на ту или иную константу, при некотором 0 ^ а ^ 1.
9.3. Математические аспекты развитой турбулентности
225
and Frisch 1976) и обзоре (Rose and Sulem 1978). Как уже говорилось в
разд. 7.8, эти результаты ведут ненамного дальше, чем простое пред¬
положение, что скорость роста абсолютной величины завихренности (в
лагранжевых переменных) по порядку величины совпадает с квадратом
завихренности; отсюда следует, что максимум завихренности обраща¬
ется в бесконечность за конечное время. С другой стороны, доказано,
что при появлении сингулярностей за конечное время максимум зави¬
хренности неизбежно должен обращаться в бесконечность (Beale, Kato
and Majda 1989)8
В начале восьмидесятых годов впервые было проведено точное чи¬
сленное моделирование трехмерного эйлерового течения, которое не
выявило ожидавшихся сингулярностей (Brachet et al. 1983). Стало ясно,
что все существующие строгие оценки завышают влияние нелинейно¬
сти, так как в них не учитывается возникновение в течении структур,
характеризующихся сильным вырождением нелинейности (см., напри¬
мер, (Frisch 1983, р. 689)). Как мы теперь знаем, структуры с выро¬
ждением встречаются повсеместно: «блины» (разд. 7.8), вихревые нити
приблизительно круглого сечения (разд. 8.9), круглые двумерные вихри
(разд. 9.7) и т. д. Важной задачей является учет «вырожденной» геоме¬
трии невязкого или турбулентного течения и улучшение на его основе
имеющихся строгих результатов. В настоящее время этим активно за¬
нимаются исследователи. Достаточно подробный и легкий для чтения
отчет об имеющихся достижениях можно найти в обзоре (Constantin
1994, разд. 4 и 5). Основным результатом является уравнение Констан-
тена9 для лагранжевой производной модуля завихренности \ш\:
Dt\ш\ = (dt + v • V)|o;| = а\и>1 (9.1)
где а выражается как
= f Щг\ш(г+г'),ш(г))\ш(г + г')\-^. (9.2)
Здесь операция «шляпка» (ш) обозначает нормировку по длине, символ
v. р. показывает, что интеграл надо понимать в смысле главного зна¬
чения, а
JD(a, Ь,с) = (a-b) Det (а, Ь, с), (9.3)
8 Именно, если регулярность теряется в момент Т*, то интеграл по времени по от¬
резку от 0 до Т* от величины пространственного максимума завихренности обра¬
щается в бесконечность.
9 Которое он называет уравнением «альфа и омега».
226
Глава 9. Что читать дальше?
где Det (а, 6, с) — это определитель матрицы, столбцами которой явля¬
ются векторы а, 6 и с.
Величина а имеет размерность завихренности. Однако, как указы¬
вает Константен, она связана с геометрическим вырождением благо¬
даря наличию определителя под интегралом: когда направление зави¬
хренности в окрестности точки г изменяется слабо, то определитель
будет весьма малым. Если интеграл по времени от максимального зна¬
чения а по пространственным переменным остается конечным, то же,
самое будет относиться и к максимуму завихренности и образования
особенностей не будет. Весь вопрос, однако, в том, как убедиться в
ограниченности этого интеграла. Пока что в работах (Constantin 1994)
и (Constantin, Fefferman and Majda 1995) были доказаны лишь различ¬
ные усиления результата (Beale, Kato and Majda 1989)10
Определенную надежду на получение более сильных результатов да¬
ет изучение поведения «активного скаляра», т. е. скалярной величины,
которая переносится двумерным несжимаемым течением с функцией
тока, связанной с локальной плотностью скаляра по заранее опреде¬
ленному закону (см. (Constantin 1994) и ссылки в этой работе). Эта
проблема имеет некоторые общие свойства с задачей о трехмерном эй¬
леровом течении, а результаты о глобальной регулярности и/или обра¬
зовании особенностей в этом случае, по-видимому, могут быть получе¬
ны в скором времени (A. Majda and Р. Constantin, частное сообщение).
Другая двумерная задача, в которой аккуратный учет геометрических
свойств течения привел к значительному продвижению, — это задача
о двумерном вихревом пятне, когда начальные данные для уравнения
Эйлера задаются так, что завихренность равномерно распределена вну¬
три области, ограниченной гладкой кривой С, и равна нулю вне нее. Так
как начальные данные в этом случае уже разрывны, то проблема за¬
ключается в том, сохранит ли гладкость кривая С или на ней образуется
какая-либо особенность (например, точка возврата) за конечное время
(Majda 1986). По этому поводу среди физиков существовала дискуссия,
которая прекратилась после того, как была доказана глобальная ре¬
гулярность (Chemin 1993). Более элементарное доказательство дано в
(Bertozzi and Constantin 1993) (см. также (Constantin 1994) и ссылки в
этой работе).
В настоящее время уже ясно, что для продвижения в исследова¬
нии уравнений Эйлера и Навье-Стокса в трехмерном случае одного
10 Другие соотношения, которые могут стать отправными точками дальнейшего
математического исследования, см. в (Ohkitani and Kishiba 1995).
9.3. Математические аспекты развитой турбулентности
227
лишь развития функционально-аналитических методов не хватает: ну¬
жен учет геометрии потока. Но как здесь соблюсти верную пропор¬
цию? В тех еще незаконченных исследованиях, о которых говорилось
выше, используется только часть информации о геометрии вихревых
линий. В действительности же эйлерово течение имеет бесконечно бо¬
лее сложную геометрическую структуру: несжимаемый поток невязкой
жидкости в пространстве любого числа измерений, будучи записан в ла-
гранжевых координатах, может быть представлен как геодезический
поток на некотором бесконечномерном многообразии. В самом деле,
пусть г (£, а) обозначает положение в момент t частицы жидкости, на¬
ходившейся в начальный момент времени в точке а. Тогда нетрудно
проверить, что экстремали интеграла по пространству-времени от ве¬
личины |д*г(£, а)|, взятые при условии, что г(0, а) = а, значения г(Т,а)
в некоторый момент Т заданы и выполнено условие несжимаемости
Det dri/daj = 1, дают решение уравнения Эйлера, в котором давление
оказывается соответствующим лагранжевым множителем (см., напри¬
мер, (Serrin 1959, гл. IV))11
На математическом языке это означает, что течение несжимае¬
мой жидкости в области М описывается при помощи геодезических
на группе SDiff(M) сохраняющих объем диффеоморфизмов области
М, снабженной правоинвариантной римановой метрикой, определяе¬
мой кинетической энергией. Пользуясь методами теории алгебр Ли,
Арнольд (Arnold 1966, 1984) обнаружил, что тем самым эйлерово те¬
чение оказывается бесконечномерным аналогом вращения твердого те¬
ла вокруг закрепленной точки. Отсюда можно сделать много интерес¬
ных выводов, касающихся гидродинамики идеальной жидкости; соот¬
ветствующие исследования активно ведутся в последние годы (см., на¬
пример, (Arnold and Khesin 1992; Marsden and Weinstein 1983; Zeitlin
1991, 1992), а также (Morrison 1993) и другие публикации в том же то¬
ме трудов института в Вудз Хоул). Этой лагранжевой формулировке
уравнения Эйлера соответствует симплектическая структура и различ¬
ные гамильтоновы формулировки. Среди последних — широко извест¬
ное представление в переменных Клебша (см., например, (Lamb 1932)),
когда завихренность записывается в виде VA Л V^, а А и /л являют¬
ся скалярными величинами, переносимыми потоком (материальными
11 Или (Arnold 1984, добавление 2). — Прим. ред.
228
Глава 9. Что читать дальше?
инвариантами)12 Другая гамильтонова формулировка, полезная при
изучении спирального течения, получена Кузьминым (Kuz’min 1983) и
Оселедцем (Oseledets 1989) (см. также (Gama and Frisch 1993)).
Итак, не исключено, что для успеха в исследовании основных от¬
крытых математических проблем, связанных с эйлеровым течением,
может понадобиться знание симплектической геометрии. (Напомним,
что физикам пришлось изучить риманову геометрию, чтобы занимать¬
ся общей теорией относительности!) Неясно, могут ли быть эти методы
распространены на вязкое течение, т. е. на настоящую турбулентность.
9.4. Динамические системы, фракталы и турбулентность
Наряду с современной теорией вероятностей и теорией турбулентно¬
сти, Колмогоров является основателем и современной теории динами¬
ческих систем. Здесь мы не будем перечислять многочисленные резуль¬
таты, полученные им в этой области, а упомянем лишь работу об инва¬
риантных торах слабо возмущенной интегрируемой гамильтоновой си¬
стемы, которая привела к возникновению так называемой теории КАМ
(Kolmogorov 1954; Arnold 1963; Moser 1962). С семидесятых годов сре¬
ди физиков во всем мире возрастает интерес к нелинейной динамике
и фракталам. Основные ссылки можно найти в следующих учебниках,
обзорах и сборниках статей: (Mandelbrot 1977; Berge, Pomeau and Vidal
1984; Guckenheimer and Holmes 1986; Schuster 1988; Cvitanovic 1989; De-
vaney 1989; Ruelle 1989, 1991; Falconer 1990; Manneville 1990; Evertsz and
Mandelbrot 1992; Iooss and Adelmeyer 1992; Cross and Hohenberg 1993).
Часто задают вопрос: много ли дал для изучения турбулентности
подход, основанный на теории динамических систем? Эта проблема
была одной из основных тем обсуждения на конференции, организо¬
ванной Дж. Ламли под названием «Увядание турбулентности?» (Lumley
1990) (см., в частности, сообщение Н. Aref, а также (Dracos and Tsinober
1993)). Из обсуждения в гл. 3 видно, что проблема турбулентности (в
том числе и развитой) с формальной точки зрения относится именно к
теории динамических систем. Это оказывается полезным для понима¬
ния задачи; например, мы видим, что нет необходимости привлекать
12 Так как вихревые нити в этом случае являются линиями пересечения поверхно¬
стей постоянных Л и /х, то на их топологию накладывается довольно ограничитель¬
ное условие; этого можно избежать, увеличив число переменных Клебша.
9.4. Динамические системы, фракталы и турбулентность
229
сингулярности для объяснения непредсказуемости турбулентного тече¬
ния. Аналогично, для объяснения случайного характера турбулентного
потока не требуется никакого внешнего шумового воздействия13 Те¬
ория динамических систем позволяет представлять себе однородную
турбулентность как поток, в котором сдвиговые и другие симметрии
восстанавливаются через переход к хаосу.
С другой стороны, методы исследования, развитые для динамиче¬
ских систем с малым числом степеней свободы (бифуркации, показа¬
тели Ляпунова, размерность аттракторов и т. д.) оказались практи¬
чески бесполезными для развитой турбулентности, характеризуемой
очень большим числом степеней свободы (см. разд. 7.4). Существуют и
значительные практические трудности при определении размерности
аттрактора, если она слишком велика (Atten, Caputo, Malraison and
Gagne 1984; Ruelle 1989). Однако при моделировании крупных масшта¬
бов турбулентного течения в области, ограниченной стенками, удалось
достигнуть определенного успеха при помощи динамических систем ма¬
лой размерности (Aubry, Holmes, Lumley and Sone 1988; Holmes 1990).
Одно из наиболее плодотворных применений динамических систем
к механике жидкости, если и не прямо к турбулентности, относится к
исследованию хаотической адвекции, т. е. хаотического движения пас¬
сивных частиц в заранее определенном течении (Aref 1984; Dombre et al.
1986; Ottino 1989). Здесь фазовым пространством динамической систе¬
мы служит просто физическое пространство двух или трех измерений.
Если течение несжимаемое, то динамика оказывается консервативной
(гамильтоновой). В простейшем трехмерном случае хаотическая адвек¬
ция основана на использовании наблюдения Арнольда (Arnold 1965) (см.
также (Нёпоп 1966)), что очень простое стационарное течение, удовле¬
творяющее уравнению Эйлера, может иметь неинтегрируемые линии
тока, так что в лагранжевых координатах движение будет хаотиче¬
ским. Один из простейших примеров этого явления — поток Арнольда-
Бельтрами-Чайлдресса (АВС):
щ = Автжз + С cos #2*
U2 = В sinrri +А cos#3, (9.4)
ws = С sina;2 + В cos х\.
13 Внешний шум может быть нужен лишь для того, чтобы не дать системе попасть
на один из многочисленных аттракторов с малыми областями притяжения.
230
Глава 9. Что читать дальше?
В том случае, когда жидкость проводящая и вместо пассивных ча¬
стиц заранее определенное течение переносит пассивное магнитное по¬
ле, хаотическая адвекция позволяет объяснить динамо-эффект, т. е. не¬
ограниченный рост магнитного поля (Moffatt 1978). Действительно, в
отсутствие молекулярной диффузии вектор магнитного поля ведет се¬
бя просто как расстояние между парой бесконечно близких пассивных
частиц в потоке жидкости, так что его рост определяется максималь¬
ным показателем Ляпунова14 . Диффузия, если даже она присутствует
в малой степени, значительно усложняет ситуацию (Arnold, Zeldovich,
Ruzmaikin and Sokoloff 1981; Zeldovich, Ruzmaikin and Sokoloff 1983; Chil¬
dress et al. 1990; Childress and Gilbert 1995 и ссылки в этой работе).
Теория динамических систем не только оказалась полезной в ряде
случаев при исследованиях турбулентности, но и сама развивалась под
влиянием этих исследований. В гл. 8, мы видели, что понятие муль-
тифрактала, впервые появившееся в контексте развитой турбулентно¬
сти, оказалось очень полезным в теории динамических систем. Пара¬
докс, но мультифрактальный характер развитой турбулентности все
еще не установлен окончательно, в то время как мультифрактальность
аттракторов хаотических диссипативных динамических системизвест-
на, а в ряде случаев строго доказана.
Все это возвращает нас к проблеме фракталов и турбулентности,
которой мы уже коснулись в гл. 8. Здесь мы хотим лишь упомянуть об
одной опасности: при обработке данных о развитой турбулентности мо¬
гут появляться фрактальные структуры, не отвечающие никакой фрак¬
тальной динамике. Это связано с фрактальностью множеств уровня,
которую можно заметить уже на примере обыкновенного одномерно¬
го броуновского движения W(t) (Kahane 1985). Так как приращение
функции W(t) ведет себя как квадратный корень из приращения не¬
зависимой переменной, график W (t) имеет фрактальную размерность
3/2. Следовательно, совокупность моментов времени, в которые этот
график пересекает произвольную гладкую кривую, образует фракталь¬
ное множество размерности D = 1/2. Аналогично, множества уровня
одномерной случайной функции с гельдеровским показателем h или са¬
моподобной случайной функции со скейлинговым показателем h имеют
размерность D = 1 — h независимо от того, гауссова ли эта случайная
функция (Falconer 1990). Следовательно, даже чистая турбулентность
14 Арнольд заметил (Arnold 1972), что хаотическая адвекция может приводить к
неустойчивости течения непроводящей жидкости.
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
231
К41 порождает таким образом фрактальные множества15 Еще легче
подобные искусственные фракталы возникают в многомерном случае,
так как один из простейших способов графически представить много¬
мерное поле функции как раз и заключается в том, чтобы изобразить
ее поверхности уровня16 . Дальнейшие сведения о геометрии фракталь¬
ных графиков в связи с теорией турбулентности см. в (Constantin and
Procaccia 1993).
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные
методы
После исследований Винера (Wiener 1930) и Тейлора (Taylor 1935), по¬
священных энергетическому спектру стационарных или однородных
случайных функций, возникла важная задача предсказания и измерения
энергетического спектра турбулентного течения. Для многих исследо¬
вателей эта задача даже стала важнейшей. В течение примерно трех
десятилетий, начиная с имевших серьезные недостатки работ Милли-
онщикова (Millionshchikov 1941а,b) о приближении с отброшенным се¬
миинвариантом четвертого порядка, было сделано много попыток дать
сокращенное описание динамики вязкой жидкости, использующее толь¬
ко энергетический спектр или несколько статистических функций низ¬
ких порядков. Эта линия исследований достигла своей кульминации в
работах (Kraichnan 1958, 1961), посвященных приближению слабой свя¬
зи (DIA), а также тесно связанным с ним лагранжеву приближению
слабой связи (LHDI — Lagrangian history direct interaction approxima¬
tion) (Kraichnan 1965, 1966) и квазинормальному марковскому прибли¬
жению с турбулентным затуханием (EDQNM — eddy damped quasi¬
normal Markovian approximation) (Orszag 1966, 1977), которые дают ре¬
зультаты, согласующиеся с теорией К41.
15 В работе (Praskovsky, Foss, Kleiss and Karyakin 1993) проанализированы фрак¬
тальные свойства множеств уровня для экспериментальных данных о турбулентно¬
сти при больших числах Рейнольдса. Авторы не смогли найти достаточно широкого
диапазона масштабов, на котором фрактальная размерность была бы приблизитель¬
но постоянной; тем не менее, они приводят значение D « 0,4, которое не согласуется
с формулой D = 1 — h при h « 1/3.
16 Например, фрактальные множества, появляющиеся на солнечных магнитограм¬
мах, не связаны с какой-либо фрактальностью магнитного поля на малых масшта¬
бах.
Глава 9. Что читать дальше!
232
Насколько нам известно, Колмогоров никогда не пытался полу¬
чить «замкнутую» систему уравнений подобного типа17. В его статьях
1941 г. рассматривается полная вероятностная структура случайного
поля скоростей, которая не может быть сведена к предсказанному там
спектру fc“5/3.
В пятидесятые годы начали развиваться методы, предназначенные
для решения более сложной задачи — анализа полной вероятностной
структуры турбулентного течения. Мы назовем их «функциональны¬
ми», так как в них используется не конечный набор моментов, а ха¬
рактеристический функционал поля скоростей (разд. 4.2) или некото¬
рое его обобщение. Основоположником функциональных методов был
Хопф (Hopf 1952). Около 1960 г. стало ясно, что к уравнению Навье-
Стокса со случайными начальными данными и/или неоднородностями
приложимы, по крайней мере формально, диаграммные и функциональ¬
ные методы, развитые в квантовой теории поля Дайсоном, Фейнманом,
Швингером и другими (см. также разд. 9.6.4). После этого использо¬
вание функциональных методов в теории турбулентности резко возро¬
сло (Kraichnan 1958, 1961; Rosen 1960; Wyld 1961; Lewis and Kraichnan
1962; Tatarskii 1962) (см. также ссылки в гл. 10 второго тома (Monin
and Yaglom 1975)). Важное место в литературе не только по уравне¬
нию Навье-Стокса, но и по другим нелинейным статистическим за¬
дачам (например, критическим явлениям) занимает статья Мартина
и др. «Статистическая динамика классических систем» (Martin, Siggia
and Rose 1973).
Иногда о функциональных и диаграммных методах говорят как о
«теоретико-полевых» методах в теории турбулентности. Это может от¬
части вводить в заблуждение, так как результаты теории поля, на кото¬
рых они основаны (например, так называемое уравнение Дайсона), от¬
носятся к началу пятидесятых годов. Применение более новых методов
теории поля, например конформной инвариантности для исследования
двумерной турбулентности (Polyakov 1993), вызывают значительный
интерес (Falkovich and Hanany 1993; Falkovich and Lebedev 1994; Benzi,
Legras, Parisi and Scardovelli 1995).
В разд. 9.5.1 дано краткое введение в один из наиболее полезных
функциональных методов, связанный с уравнением Хопфа. Функ¬
циональные методы, в которых используется интеграл Фейнмана и
17 За исключением, возможно, его работы по моделированию неоднородной турбу¬
лентности (Kolmogorov 1942).
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
233
последующее разложение по диаграммам, обсуждаются в разд. 9.5.2.
Пишущий эти строки настроен по отношению к последней группе мето¬
дов критически, так как пока они, по-видимому, не принесли никакой
пользы для понимания турбулентности. Исключением является только
развитое Крайчнаном приближение слабой связи (DIA; разд. 9.5.3). Ме¬
тоды замыкания уравнений, основанные как на эвристических сообра¬
жениях, так и на функциональных или диаграммных методах, отнесены
в разд. 9.5.4, в котором особое внимание уделяется их недостаткам.
9.5.1. Уравнение Хопфа
Суть функционального метода Хопфа (Hopf 1952) можно объяснить на
одном почти тривиальном примере. Рассмотрим следующее обыкновен¬
ное дифференциальное уравнение:
(9.5)
И положим
Kmycp(t,z) = eizvW, (9.6)
где индекс «неуср» означает «неусредненное». Легко проверить, что
dtK,
t1*неуср
(9.7)
Теперь предположим, что начальное условие г>(0) выбирается случайно
и определим
K(t, z) = {KHeycp(t, z)) = (9.8)
т. e. характеристическую функцию случайной величины v(t). Так как
уравнение (9.7) линейно, функция K(t,z) также удовлетворяет ему.
Убирая в (9.7) индекс «неуср», мы и получаем уравнение Хопфа, связан¬
ное с (9.5). Поскольку характеристическая функция содержит ту же ин¬
формацию, что и функция распределения вероятности, фурье-образом
которой она является, уравнение Хопфа неявно определяет распределе¬
ние вероятностей величины v(t).
Уравнение Хопфа, связанное с уравнением Навье-Стокса, выводит¬
ся в основном так же. Заметим, что после исключения давления урав¬
нение Навье-Стокса приобретает форму (2.13), которая имеет следую¬
щую общую структуру:
dtv = j(v,v) +Lv,
(9.9)
Глава 9. Что читать дальше?
ли
где L и 7(-, •) суть подходящие линейный и билинейный операторы18 ,
представляющие вязкостное и нелинейное слагаемые соответственно.
Обе стороны берутся в момент времени что мы не стали явно ука¬
зывать. Конечно, легко выписать эти слагаемые и в явном виде, как
дифференциальные и/или интегральные операторы (напомним, что для
исключения давления используется выражение для решения уравнения
Пуассона, включающее интеграл). Так как дифференциальные опера¬
торы можно формально представить в виде сверток с производны¬
ми дельта-функций Дирака подходящих порядков, можно считать L
и 7(-, •) интегральными операторами.
Математики любят бескоординатную запись, но физики предпочи¬
тают в той или иной степени все же выделять зависимость от коорди¬
нат. Если поле скоростей (в любой момент времени t) зависит от трех¬
мерного радиус-вектора г и имеет три компоненты, то координатная
форма (9.9) будет выглядеть так:
dtVii(n) = JJdr2 drz 7nt2i3(n>^2, f3)vi2(f2)vi3(r3)+
+ J dr2 Lili2 (ri,r2K (r2). (9.10)
Такая запись, однако, сделает дальнейшие выкладки, ведущие к урав¬
нению Хопфа, настолько громоздкими, что за деревьями не будет вид¬
но леса. Поэтому физики-теоретики придумали краткую запись, когда
такие аргументы, как г\ или ri, пишут просто как 1. В этом случае
уравнение (9.9) принимает такой вид:
dtv(l) = 7(1,2,3)v(2)v(3) + Ц1.2М2), (9.11)
где по повторяющимся аргументам подразумевается суммирование
(интегрирование). Пользуясь такой записью, легко показать, что
зависящий от времени характеристический функционал
K(t,z) = (e^v^) (9.12)
удовлетворяет уравнению Хопфа (Hopf 1952):
dtK(t,z) — iz( 1)
7(1,2,3) д2
L( 1,2) д
dz(2)dz{Z)
8z{ 2)
K(t,z). (9.13)
18 Без потери общности можно считать, что билинейная функция 7(-, •) симметрична
по своим аргументам.
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
235
При дискретизации уравнения Навье-Стокса по пространственным пе¬
ременным (например, при замене производных конечными разностями,
а интегралов — римановыми суммами) такие операторы, как d/dv(2),
переходят в дифференциальные операторы с частными производны¬
ми (без дискретизации они являются функциональными производными
Фреше). Можно также пользоваться компонентами пространственного
преобразования Фурье поля скоростей. В этом случае следует разде¬
лять действительные и мнимые части, чтобы все v(-) были действи¬
тельными. Зная K(t,z), по формуле (4.12) можно вычислить все чисто
пространственные моменты поля скоростей (т. е. такие, при вычисле¬
нии которых все сомножители берутся в один и тот же момент времени
и могут различаться лишь пространственными аргументами).
Если в правую часть (9.11) добавить детерминистскую вынужда¬
ющую силу /(t, 1), то в правой части уравнения Хопфа появится сла¬
гаемое iz(l)f(t,l)K(t,z). Если же сила будет случайной, то математи¬
ческое ожидание произведения iz(l)f(t, 1) и е^ОММ), вообще говоря,
уже нельзя будет выразить через K(t,z) = Важным ис¬
ключением, однако, является случай, когда стационарная гауссова слу¬
чайная функция /(t, 1) с нулевым средним подвергается масштабному
преобразованию f€(t, 1) = (l/e)/(t/e2,1), так что при е —> 0 случай¬
ная функция /с становится дельта-коррелированной по времени (т. е.
превращается в белый шум). В этом случае можно показать, что в пре¬
деле б —> 0 действие внешней силы приводит к появлению в правой
части уравнения Хопфа (9.13) слагаемого i2z(l)z(2)F(l,2)K(t, z), где
F(l,2) = J0°°dt (f(t, l)/(0,2)) (Novikov 1964). В своем доказательстве
Новиков пользуется приемом интегрирования по частям для гауссовых
величин (с. 45); вместо этого можно было бы использовать многомас¬
штабные методы, обсуждаемые в разд. 9.6.2 (см., например, добавление
D к статье (Gama, Vergassola and Frisch 1994)).
Уравнение. Хопфа оказалось достаточно полезным для исследования
турбулентности. Сам Хопф (Hopf 1952) показал, что при / = v = О
оно имеет гауссовы решения с энергетическим спектром Е(к) ос к2, со¬
ответствующие равнораспределению кинетической энергии между про¬
странственными фурье-модами. Такие решения уже возникали к тому
времени в работах Бюргерса (Burgers 1939, разд. 21). Крайчнан на¬
звал их «абсолютно равновесными решениями»19 (см. также (Orszag
19 Такие решения играют важную роль в его теории обратного каскада в двумерной
турбулентности; см. также разд. 9.7.1.
230
Глава 9. Что читать дальше?
1977; Rose and Sulem 1978; Lesieur 1990)). Может показаться, что аб¬
солютно равновесные решения не имеют физического смысла, так как
энергетический спектр трехмерной турбулентности имеет вид fc-5/3. В
действительности они пригодны для описания фурье-компонент поля
скоростей течения с малыми волновыми числами, если внешняя сила
в фурье-пространстве сосредоточена в области волновых чисел сред¬
ней величины (Forster, Nelson and Stephen 1977). Отметим также, что
уравнение Хопфа было использовано для строгой математической по¬
становки задачи об однородной турбулентности (Vishik and Fursikov
1988).
Одним из наиболее красивых приложений уравнения Хопфа являет¬
ся вывод цепочки уравнений для чисто пространственных семиинвари¬
антов. Из определения характеристического функционала (9.12) сле¬
дует, что он является производящим функционалом (чисто простран¬
ственных) моментов поля скоростей:
K(t,z) = l + iz(l)(v(t,l)> + l—z{l)z{2)(v{t,l)v{t,2)) + ... (9.14)
Хорошо известно, что моменты выше второго порядка не обязаны стре¬
миться к нулю при увеличении расстояния между пространственными
аргументами усредняемых сомножителей. Например, если расстояния
г 1 — г2 и гз — г4 малы по сравнению с основным масштабом а гi — F3
велико по сравнению с ним, то
(v(t, 1) v(t, 2) v(t, 3) v{t, 4)) и (v(t, 1) v(t, 2)) (v(t, 3) v(t, 4)) (9.15)
и не зависит от r\—r^. Семиинварианты (v(t, 1)... v{t^p))c определяют¬
ся путем вычитания из моментов всевозможных произведений момен¬
тов низших порядков. Можно проверить, что производящая функция
семиинвариантов есть логарифм характеристического функционала:
H(t,z) sin K(t,z) = iz(l){v(t, l))c + l)v(t,2))c + ...
(9.16)
Подставляя К = ен в уравнение Хопфа (9.13), с учетом внешней силы
получаем логарифмированное уравнение Хопфа:
dtH(t,z) = -iz( 1)7(1,2,3)
д2Н
дН ЭН
dz{2)dz{Z) dz(2) dz(Z)
+ z(l)L(l,2)
дН
-z(l)z(2)F(l,2).
(9.17)
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
237
Раскладывая (9.17) по степеням г и предполагая, что средняя скорость
(совпадающая с семиинвариантом первого порядка) равна нулю, полу¬
чаем цепочку уравнений для семиинвариантов. Первые два нетривиаль¬
ных уравнения выглядят так (все слагаемые берутся в один и тот же
момент времени, который мы не указываем):
at(v(i)v(2))c =
= 7(1,3,4) (v(2)v(3)v(4))c + 7(2,3,4) (v(l)v(3)v(4))c +
+ L( 1,3) М2МЗ))С + L(2,3) M1M3))C + 2F(1,2), (9.18)
at(v(l)v(2)v(3))c =
= 2(7(1,4,5) (v(2)v(4))c (u(3)u(5))c +
+ 7(2,4,5) (v(l)v(4))c (v(Z)v(5))c +
+ 7(3,4,5) (v(l)v(4))c (v(2)v(5))c] +
+ 7(1,4,5) <v(2)v(3)v(4)v(5»e +
+ 7(2,4,5) <v(l)v(3)v(4)v(5)>e +
+ 7(3,4,5) (v(l)v(2)v(4)u(5))c + L{ 1,4) (v(2)v(3)v(4))c +
+ L(2,4) <v(l)v(3)v(4»c + L(3,4) <v(l)v(2)v(4))e. (9.19)
Последующие уравнения слишком громоздки, чтобы выписывать их
здесь. В символической форме уравнение для n-го семиинварианта
(п ^ 4) Сп имеет вид
dtCn= Y, 7 CrCs + 7 Cn+i + L Cn. (9.20)
Г+5=П+1,
r,s> 2
Стоит отметить, что ввиду своего гауссовского характера внешняя си¬
ла входит только в уравнение (9.18) для семиинварианта второго по¬
рядка. В изотропном случае это уравнение сводится к соотношению
баланса энергии (6.37), записанному в фурье-пространстве.
Цепочка уравнений для семиинвариантов часто используется
как исходный пункт приближений, получаемых методом замыкания
(разд. 9.5.4). С их помощью можно также искать статистически
Глава 9. Что читать дальше?
2'ЛН
стационарные масштабно-инвариантные решения в пределе исчеза¬
ющей вязкости (так что все слагаемые, связанные с оператором L,
исчезают). В отсутствие внешней силы или на тех масштабах, где ею
можно пренебречь, легко можно проверить неизменность уравнений
цепочки при скейлинге г —» Ar, Сп —> An/lCn, где h — произвольный
скейлинговый показатель. Конечно, это эквивалентно масштабной
инвариантности уравнения Навье-Стокса, о которой говорилось в
разд. 2.2 и 6.1. Пользуясь соотношением (9.18), которое соответ¬
ствует уравнению Кармана-Ховарта-Монина (6.8), можно получить
масштабно-инвариантные решения с колмогоровским показателем
h = 1/3, как и в разд. 6.3.1.
На самом деле можно продвинуться и дальше, показав с помощью
цепочки уравнений для семиинвариантов, что используемый в теории
К41 вид структурных функций не приводит ни к каким явным про¬
тиворечиям. Орсаг и Крускал в своих работах (Orszag and Kruskal
1966, 1968) рассмотрели цепочку уравнений для семиинвариантов в
фурье-представлении, подставили в нее анзац теории К41 и прове¬
рили, не возникают ли при этом инфракрасные (на малых волновых
числах) или ультрафиолетовые (на больших волновых числах) расхо¬
димости, которые свидетельствовали бы о каких-то несоответствиях,
не выявляемых наивными скейлинговыми методами. Они нашли, что
все используемые Фурье интегралы сходятся, что отвечает локально¬
сти взаимодействий в инерционном интервале. Труднее всего убедиться
в отсутствии инфракрасной расходимости, так как в предположении,
что спектр имеет вид А;-5/3, полная энергия обращается в бесконеч¬
ность. Сходимость этих интегралов обеспечивается взаимным сокра¬
щением трех слагаемых в правой части (9.19), включающих произведе¬
ния семиинвариантов второго порядка. Это же взаимное сокращение
объясняет и случайную галилеевскую инвариантность поля скоростей
(разд. 6.2.5). Действительно, если прибавить к гГ(г) постоянную слу¬
чайную скорость {7, изотропно распределенную по гауссовскому зако¬
ну, то семиинвариант второго порядка изменит свой вид с (vi(r)vj(r'))
на (vi(r)vj(r')) + (l/3)(U2)Sij, а остальные семиинварианты не изменят¬
ся. Подобное взаимное сокращение возможно только при чисто про¬
странственном усреднении, так как при галилеевом преобразовании все
—»
радиус-векторы сдвигаются на одну и ту же величину —Ut. В методах,
обсуждаемых в разд. 9.5.2 и 9.5.3, используется многовременной фор¬
мализм, что приводит к более серьезным трудностям в смысле инфра¬
красной расходимости.
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
239
9.5.2. Функциональные и диаграммные методы
Решение уравнения Хопфа содержит полную информацию о чисто про¬
странственных моментах поля скоростей, при вычислении которых со¬
множители берутся в разных точках пространства, но в один и тот же
момент времени. Может, однако, возникнуть необходимость в таком
формализме, который учитывал бы всю пространственно-временную
статистическую структуру поля скоростей. Это можно сделать, пред¬
ставляя решение уравнения Навье-Стокса в виде функциональных ин¬
тегралов, впервые введенных Винером и Фейнманом (введение в функ¬
циональные интегралы см. в (Кас 1959, гл. IV)).
Как и в случае уравнения Хопфа, мы начнем с очень простого при¬
мера, в котором встечаются только обыкновенные интегралы. Допу¬
стим, что мы хотим решить алгебраическое уравнение
v + h(v) = 5. (9.21)
Здесь s — действительное число, которое сначала считается неслучай¬
ным (затем это предположение будет снято), a h(v) — полином относи¬
тельно действительной переменной и, выбранный так, что (9.21) име¬
ет единственное действительное решение. Например, мы можем взять
h(v) = уг. Обозначим через v(s) решение (9.21), а через 5(u — u(s))
дельта-функцию Дирака, сосредоточенную в точке u(s). Из соотноше¬
ния 5(Ая) = 5(я)/|А| следует, что
5(u — v(s)) = 5(s — v — h(v)) J(u), J{v) = |1 + Л;(г;)|. (9.22)
Используя фурье-преобразование дельта-функции, это можно перепи¬
сать в виде
S(v - v{s)) = dp J{v) (9.23)
Любая функция от решения (наблюдаемая) F(v(s)) может быть выра¬
жена через двойной интеграл:
F(v(s)) = ^jfdv dp F{v) J(v) ev(*-»-A(®)). (9.24)
Теперь пусть s — гауссовская случайная величина с нулевым средним,
так что (егр*) = е-^1/2^2^2 Усредняя (9.24), получим
(F(v(s))) = ^ JJ dvdpF(v)V(p,v),
(9.25)
2-10
Глава 9. Что читать дальше?
где
V(p,v) = J{v)e~A{*'v\
A(p,v) = \{SV +РЬ + h(v)\.
(9.26)
Аналогично можно вычислить и усредненную функцию Грина20 д, т. е.
среднее от dv/ds. Так как дифференцирование по s эквивалентно умно¬
жению выражения, стоящего под интегралом в (9.24), на ip, получаем:
<0> = (jfe) = ^JJ dvdPiPv'p&v)- (9-27)
Проведенные выкладки легко обобщаются на случай уравнения
Навье-Стокса (6.6) с гауссовской случайной силой, которое можно
записать в виде
v(l) + 7(1,2,3)v(2)v(3) = s(l). (9.28)
Здесь символы 1, 2 и 3 понимаются так же, как в разд. 9.5.1, но в
них дополнительно включен временной аргумент. Уравнение (9.28) по¬
лучается применением к (6.6) обращения оператора теплопроводности
dt — vV2 после того, как было исключено давление. Проделывая в основ¬
ном такие же выкладки, как выше, мы получим следующее выражение
для среднего значения произвольного функционала F(u(-)) от решения
уравнения Навье-Стокса:
(F(v)) = [ DvDpF(v)V(p,v), (9.29)
где
V[p,v)=J{v)e~A^v\
A{p,v) = hs(l)s{2))v(l)v{2) + (9-30)
z
+ *p(l)[«(l)+7(l,2,3)t;(2M3)].
Здесь J(v) — это якобиан отображения v в s, определенного в (9.28)21:
J(v) = det {S( 1,2) + 27(1,2,3)v(3)} ; (9.31)
20 Также называемую функцией отклика.
21 Можно использовать такую дискретизацию уравнения Навье-Стокса, при кото¬
рой якобиан равен константе, легко включаемой в определение элемента объема
DvDp (Phythian 1977). Данный якобиан можно также записать через интеграл по
антикоммутирующим вспомогательным полям от экспоненты квадратичной фор¬
мы, зависящей от этих полей (Parisi and Sourlas 1979).
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
241
для дискретных переменных Dv и Dp суть произведения дискретных
дифференциалов. При предельном переходе от ди(^кретного приближе¬
ния к непрерывному случаю формула (9.29) переходит в функциональ¬
ный интеграл. Аналогично, усредненная функция Грина записывается
в виде
fe(1’2)) = (ш) = / DvDpv^ip^ *)• (9-32)
Равенства (9.29)-(9.32) схожи с фейнмановскими интегральными
представлениями в квантовой теории поля с кубичным «лагранжианом»
(Feynman 1950). Без учета слагаемого 7(1,2,3)u(2)u(3) интегралы (9.29)
и (9.32) были бы гауссовскими (т. е. интегралами от экспонент с ква¬
дратичными формами в показателе) и вычислялись в явном виде. Гра¬
фики Фейнмана строятся путем разложения этих интегралов по степе¬
ням «голой вершины» 7(1,2,3), причем для того, чтобы не запутаться
в многочисленных слагаемых, используются диаграммы того же типа,
как на рис. 4.1. В качестве альтернативы этому подходу можно бы¬
ло бы получать функциональные дифференциальные уравнения в духе
Швингера (Schwinger 1951b). Так как вкратце рассказать об этих мето¬
дах трудно, мы не будем останавливаться здесь на технической стороне
дела (см., например, (Machlup and Onsager 1953; Martin, Siggia and Rose
1973; Phythian 1977; Frisch, Fournier and Rose 1978)) 22
Диаграммные методы не раз возбуждали ложные надежды. Кари-
.катурно огрубляя ситуацию, можно сказать, что они либо приводили
к ошибкам, либо давали такие правильные результаты, которые мож¬
но было получить гораздо более простыми методами. Мы постараемся,
однако, дать диаграммным методам более объективную оценку.
Одна из трудностей, присущих любому многовременному методу,
связана с тем, что проверка совместимости с теорией К41 оказыва¬
ется гораздо сложнее, чем в случае чисто пространственного усредне¬
ния, как в формализме Хопфа (см. конец разд. 9.5.1). В самом деле, в
гл. 6 (с. 99) мы видели, что теория К41 равносильна предположению
о существовании конечных пределов структурных функций при стрем¬
лении —У оо. Структурные функции зависят только от одного мо¬
мента времени. Многовременные статистические величины при таком
предельном переходе становятся сингулярными, так как для любого
22 В статье (Frisch 1968) читатель найдет элементарное изложение диаграммной тех¬
ники для случая линейных уравнений со случайными коэффициентами, более просто¬
го по сравнению с нелинейным уравнением Навье-Стокса со случайной силой.
242
Глава 9. Что читать дальше?
фиксированного значения приращения £ эйлеровское время корреляции
стремится к нулю. Действительно, последнее по порядку величины рав¬
но промежутку времени, за который вихрь размера £ будет снесен на
расстояние 0(£) вихрями основного масштаба. Далее, влияние самых
больших вихрей на пульсации малых масштабов, которое в теории К41
сводится к случайному галилеевому преобразованию, может быть ис¬
кажено, так как в многовременном диаграммном формализме трудно
сохранить галилеевскую инвариантность. В самом деле, для ее выпол¬
нения требуется взаимное сокращение линейного слагаемого dtv и не¬
линейного слагаемого v • Vv. В диаграммных методах линейные члены
сохраняются, а нелинейные раскладываются в ряд. Поэтому почти лю¬
бой способ упростить разложение нарушит галилеевскую инвариант¬
ность. Мы говорим здесь об «упрощении», так как (i) с полным разло¬
жением невозможно работать и (ii) неизвестно никакое приближение со
строго определенным параметром разложения23 . Вместо этого обычно
прибегают к «разложению по петлям», когда суммируются диаграммы
возрастающей топологической сложности; см., например, (Amit 1984).
Исследователи, занимающиеся применением средств теории поля к
турбулентности, заметили трудность, связанную со случайной галиле¬
евской инвариантностью, в конце пятидесятых годов (Kraichnan 1958,
1959). Обычно ее преодолевают, используя ту или иную форму лагран-
жевых координат, т. е. следят за траекториями частиц жидкости, что¬
бы таким образом избежать влияния их сноса. Удачная попытка такого
рода, не столь прямо связанная с диаграммными методами, принадле¬
жит Крайчнану — это его лагранжево приближение слабой связи (см.
следующий пункт). Русская школа предложила альтернативный подход,
названный «квазилагранжевым», когда из всех радиус-векторов вычи¬
тается лагранжево смещение одной выделенной частицы (Belinicher and
L’vov 1987; L’vov 1991).
После того, как случайная галилеевская инвариантность восстано¬
влена, можно переходить к поиску возможных остающихся противоре¬
чий, которые свидетельствовали бы о нарушении теории К41. Пока та¬
кие противоречия не были найдены. Конечно, этот отрицательный ре¬
зультат не означает, что теория К41 верна. Маловероятно, что вызыва¬
ющий перемежаемость механизм, подобный мультипликативной моде¬
ли случайного каскада (разд. 8.6.3), может быть обнаружен с помощью
23 За некоторыми исключениями, такими как задача, исследованная в работе
(Forster, Nelson and Stephen 1977), которая будет обсуждена в разд. 9.6.4.1.
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
243
(пусть даже перенормированной) теории возмущений, если он суще¬
ствует.
Есть по крайней мере один случай, когда можно показать, что диа¬
граммная техника не дает правильного результата, даже если просум¬
мировать ряд во всех порядках: это модель Бюргерса. Она обладает
всеми необходимыми свойствами инвариантности и консервативности,
чтобы претендовать на скейлинг К41. Тем не менее наличие разрывов
приводит к другому скейлинговому закону (разд. 8.5.2). Более того,
показано (Fournier and Frisch 1983b), что формальное суммирование
ряда во всех порядках приводит к энергетическому спектру ос к~г при
больших волновых числах, что не совпадает ни со спектром К41, ни с
правильным ответом ос к~2.
Чтобы закончить на более оптимистической ноте, расскажем о не¬
давних исследованиях аномального скейлинга корреляций локальной
диссипации. Как мы видели в разд. 8.6.1 и 8.6.2, согласно экспери¬
ментальным данным, корреляции диссипации имеют скейлинг 1~^ при
/i ^ 0,2. Голицын (Golitsyn 1962) показал, что наивное применение скей-
линговых соображений из теории К41 дает показатель24 /i = 8/3. В
работах (Lebedev and L’vov 1994; L’vov and Procaccia 1995) высказа¬
но предположение, что скейлинг К41 в инерционном интервале может
быть совместим с аномальным значением ц « 0,2. Так как (локальная)
диссипация квадратично зависит от скорости, авторы рассматривают
четырехточечную корреляционную функцию поля скоростей, выражен¬
ную с помощью диаграммной техники. Для получения корреляционной
функции диссипации они берут градиент по четырем аргументам и за¬
тем совмещают две пары точек25 Эта теория предсказывает также
поправки к скейлингу в инерционном интервале, которые зависят от
малых степеней вязкости и поэтому могут оставаться существенными
при весьма больших числах Рейнольдса. Такие поправки можно ошибоч¬
но принять за проявление перемежаемости26 Заметим, что в тради¬
ционных фрактальных и мультифрактальных моделях корреляционная
24 В работе (Frisch, Lesieur and Sulem 1976) указано, что в вычислении такой корре¬
ляции участвуют величины как из инерционного, так и из диссипационного интер¬
валов; с учетом этого теория К41 предсказывает р = 0.
25 Когда подобная ситуация возникает в теории поля, говорят о «составных опера¬
торах»; см., например, (Itzykson and Zuber 1985, разд. 8.2.6). Это может привести к
аномальному скейлингу.
26 Возможно, такое объяснение перемежаемости трудно согласовать с результатами
об аномальном скейлинге, полученными путем применения к экспериментальным
данным метода расширенного самоподобия (см. с. 145).
244
Глава 9. Что читать дальше!
функция диссипации выражается через где А) — основной мас¬
штаб. В альтернативной теории это отношение заменяется на (<£/77)“^,
где 77 — диссипационный масштаб, так что при неизменном t корреля¬
ционная функция диссипации стремится к нулю вместе с вязкостью.
Вывод такого аномального скейлинга содержит ряд тонких мест. К
счастью, было установлено, что аналогичные расуждения справедливы
в случае аномального скейлинга корреляционной функции диссипации
для пассивной скалярной величины, переносимой заданным гауссов¬
ским случайным полем скоростей с малым временем корреляции (L’vov,
Procaccia and Fairhall 1994).
В той же задаче о пассивном скаляре Крайчнан (Kraichnan 1994)
получил аномальный скейлинг структурных функций на масштабах из
инерционного интервала27, который был подтвержден двумерным чи¬
сленным моделированием, проведенным на сетке из 81922 точек (Kraich¬
nan, Yakhot and Chen 1995).
Обе этих проблемы можно изучать и недиаграммными методами.
Для этого рассматривают линейные дифференциальные уравнения в
частных производных с iV-частичными операторами, аналогичными
оператору Шрёдингера, которым удовлетворяют чисто пространствен¬
ные многоточечные корреляционные функции рассматриваемой ска¬
лярной величины (Kraichnan 1968b). Аномальный скейлинг вызывается
присутствием нулевых мод этих операторов, т. е. функций, принадле¬
жащих их ядрам. Уравнение для двухчастичной функции можно ре¬
шить аналитически. Для работы с уравнениями более высоких поряд¬
ков требуется теория возмущений (Chertkov, Falkovich, Kolokolov and
Lebedev 1995; Fairhall, Gat, L’vov and Procaccia 1996; Gaw§dzki and Ku-
piainen 1995) или совокупность аналитических и численных методов
(Shraiman and Siggia 1995). Получаемые результаты подтверждают ано¬
мальный скейлинг как для корреляционной функции диссипации, так и
для структурных функций выше четвертого порядка.
9.5.3. Приближение слабой связи
Приближение слабой связи (DIA) можно рассматривать и как метод за¬
мыкания, и как асимптотически точное решение последовательности
стохастических моделей уравнения Навье-Стокса, переписанных в аб¬
страктном виде (9.28). Эти модели строятся путем введения случайных
27
В теории Крайчнана поправки к нормальному скейлингу зависят от степеней £/£q.
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
245
связей между N копиями уравнения Навье-Стокса, перенумерованны¬
ми греческими индексами, которые пробегают множество значений от
1 до N. Именно, (9.28) заменяется на
««(1) + 2,3) Vfi(2)v5(Z) = e«(l). (9.33)
Здесь 5а(*) — независимые реализации случайной силы, распределенной
по гауссовскому закону с нулевым средним 28 , а Фарб — гауссовские ве¬
личины с нулевым средним и единичной дисперсией, удовлетворяющие
условию, что тензор Фа0б симметричен, а в остальном независимые.
Легко проверить, что благодаря этому ограничению модель случайного
спаривания (9.33) имеет те же квадратичные инварианты (т. е. энергию
и завихренность), что и исходное уравнение (9.28).
Можно показать, что в пределе N -> оо: (i) всякое конечное
подмножество va(-) с различными а переходит в набор независи¬
мых гауссовских случайных величин с нулевым средним, имеющих
общую корреляционную функцию (г?(1)г?(2)); (ii) функция Грина
<7а/з(1,2) = dva(l)dsp(2) стремится к неслучайному пределу (д(1,2))5ар.
Корреляционная функция и (усредненная) функция Грина удовлетво¬
ряют так называемым уравнениям DIA, которые могут быть записаны
в разных видах, самый симметричный из которых таков:
<9(1,2)) =
= 6(1,2) + 47(1,3,4) 7(5,6,7)МЗМ6))(0(4, Ь))(д(7,2)),
«(1)«(1')> =
= <9(1,2))<5(1,,2,)> (s(2)s(2,)> +
+ 2(5(1,2)) (5(1', 20)7(2,3,4)7(2', 3', 4') х
х МЗМЗ'))М4М4')>,
где 5(1,2) обозначает единичный оператор.
Вывод уравнений DIA из модели случайного спаривания можно най¬
ти у Крайчнана (Kraichnan 1961). В нем используется диаграммная тех¬
ника. Основная идея заключается в том, что при введении множителей
Фа0б относительный вес большинства диаграмм в разложении стремит¬
ся к нулю при N -> оо; остающиеся диаграммы29 можно просуммиро¬
28 Точнее, образ случайной силы при действии оператора, обратного к оператору
теплопроводности dt — V2.
29 Которые характеризуются отсутствием «поправок к вершинам».
Глава 9. Что читать дальше!
240
вать, что и приводит к замкнутым уравнениям для корреляционной
функции и функции Грина. Вывод без использования диаграмм можно
найти в статье (Lesieur, Frisch and Brissaud 1971).
Модель случайного спаривания имеет ряд общих свойств с урав¬
нением Навье-Стокса: инвариантность относительно переносов в про¬
странстве и времени, вращений, масштабных преобразований, общие
линейные и квадратичные законы сохранения и т. д. Если началь¬
ные условия предположить гауссовскими и раскладывать корреляци¬
онную функцию по степеням числа Рейнольдса R, разложения будут
совпадать до порядка 0(R3). Одно из наиболее существенных рас¬
хождений — отсутствие инвариантности модели случайного спарива¬
ния (и уравнений DIA) при случайных преобразованиях Галилея, отку¬
да следует, что закон А;-5/3 для этой модели не выполняется (Kraich-
nan 1958). Вместо этого в инерционном интервале модель DIA дает
Е(к) = const • (evo)l/2k~3/2, так что энергетический спектр зависит но
только от волнового числа к и средней скорости диссипации £, но и от
среднеквадратичной скорости ^о- Хотя данные экспериментов явно сви¬
детельствуют в пользу закона А;-5/3 по сравнению с законом А;-3/2, связь
между инвариантностью относительно случайных преобразований Га¬
лилея и локальностью неясна. В своей статье (Kraichnan 1959, р. 536)
Крайчнан указывает, что «замечательным свойством турбулентности
при больших числах Рейнольдса является наличие резко очерченных,
протяженных и запутанных вихревых пелен и нитей». Если нити и пе¬
лены имеют размеры, сравнимые с основным масштабом то дей¬
ствие самых крупных вихрей на эти структуры не может сводиться к
квазиравномерному сносу30 Однако в инерционном интервале могут
существовать и другие, менее когерентные структуры, вклад которых
в энергетический спектр превышает влияние нитей и которые под вли¬
янием вихрей области энергии испытывают квазиравномерный снос.
Крайчнан в своих работах (Kraichnan 1964, 1965, 1966) нашел спо¬
соб обойти трудность со случайными преобразованиями Галилея, для
чего развил лагранжево приближение слабой связи (LHDI — Lagrangian
history direct interaction)31 В этом случае используется обобщенная
30 Возможно, именно поэтому данные некоторых численных экспериментов с зату¬
хающей турбулентностью при R\ < 200 лучше согласуются с DIA, чем с замкнутыми
уравнениями, инвариантными относительно случайных галилеевых преобразований
(Herring and Kerr 1993).
31 Этот термин в своем английском варианте заимствован с некоторыми изменени¬
ями из статьи (Kraichnan 1975).
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
247
скорость v(r, t\tr), которая совмещает в себе эйлеровы и лагранжевы
свойства. Она определяется как скорость в момент tr частицы жидко¬
сти, которая в момент t находилась в точке г. Если переписать урав¬
нения DIA для уравнения Навье-Стокса в явном виде, в них появятся
интегралы по предыдущим моментам времени, которые при использо¬
вании обобщенного поля скоростей можно изменить так, чтобы восста¬
новить случайную галилеевскую инвариантность.
9.5.4. Метод замыкания и его недостатки
Если не принимать во внимание возражений Ландау по поводу уни¬
версальности константы Колмогорова (разд. 6.4) или считать их вто¬
ростепенными, то естественно было бы воспользоваться методом за¬
мыкания для построения теории, предсказывающей значения констан¬
ты Колмогорова и других безразмерных величин, не определяемых из
скейлинговых соображений. Хотелось бы, по меньшей мере, сократить
число независимых констант, подлежащих определению из эксперимен¬
тальных или численных данных. Если полученная методом замыкания
теория не дает колмогоровского спектра fc~5/3, то вероятнее всего, что
в ней утеряны какие-то из основных свойств уравнения Навье-Стокса,
например галилеевская инвариантность. Отметим, что до сих пор этим
методом не удалось построить ни одного приближения, которое давало
бы поправку на истинную перемежаемость к теории К41.
В случае однородной и изотропной турбулентности замыкание до¬
стигается посредством эвристической модификации некоторой беско¬
нечной последовательности уравнений, например цепочки уравнений
для чисто пространственных семиинвариантов (9.18)-(9.20). В простей¬
шем случае можно обойтись одним лишь уравнением баланса энер¬
гии (6.37), в котором поток энергии Щ выражен через энергетический
спектр E(k). Если это выражение зависит только от Е(к) и к и явля¬
ется локальным (в пространстве Фурье), построенное замыкание необ¬
ходимо будет соответствовать теории К41. Несколько более сложный
способ осуществить замыкание состоит в том, чтобы воспользоваться
первыми двумя уравнениями цепочки (9.18)—(9-19) и выразить остаю¬
щееся неопределенным слагаемое, содержащее семиинвариант четвер¬
того порядка, через семиинварианты второго и третьего порядков. В
еще более хитроумных вариантах замыкание осуществляется с помо¬
щью частичного суммирования ряда по фейнмановским диаграммам,
полученного, например, из обсуждавшегося в разд. 9.5.2 функциональ¬
ного представления. Здесь мы не будем давать обзора замыканий и
248
Глава 9. Что читать дальше?
их многочисленных приложений (см., например, (Panchev 1971; Orszag
1977; Rose and Sulem 1978; Lesieur 1990)).
Некоторые из ранних вариантов метода замыкания, в частно¬
сти квазинормальное приближение Миллионщикова (Millionshchikov
1941а,Ь), в котором семиинвариант четвертого порядка отбрасывается,
не удовлетворяли различным естественным ограничениям теоретико¬
вероятностного характера, например, условию неотрицательности
энергетического спектра (Ogura 1963) (см. также (Tatsumi 1957)).
Положительность автоматически достигается в так называемых реа¬
лизуемых замыканиях, которым можно сопоставить стохастические
модели, асимптотически точными решениями которых они являются.
Примером может служить приближение DIA как решение модели
случайного спаривания (разд. 9.5.3).
Часто используется такое реализуемое замыкание, как квази¬
нормальное марковское приближение с турбулентным затуханием
(EDQNM — eddy damped quasi-normal Markovian approximation)
(Orszag 1966, 1977). Ему соответствует стохастическая модель, полу¬
чаемая из модели Крайчнана случайного спаривания (9.33) с помощью
следующей процедуры: коэффициенты случайного спаривания Фарб
—ф
предполагаются зависящими от трех волновых векторов А;, р и д, кото¬
рые входят в нелинейное слагаемое (записанное в пространстве Фурье);
последние считаются гауссовскими и дельта-коррелированными по
времени. Стоящий перед дельта-функцией множитель в^Рд, имеющий
размерность времени, обычно определяется по симметризованному
локальному периоду пульсации. Благодаря этому достигается со¬
вместимость с теорией К41, но появляется по меньшей мере одна
подгоночная численная константа. Несколько более громоздкое при¬
ближение LHDI (разд. 9.5.3), свободное от подгоночных констант, на
практике ведет себя как реализуемое, но строго это не доказано.
Так как различные варианты приближения замыкания учитывают
только моменты поля скоростей второго порядка32, они игнорируют
любые структуры типа вихревых пелен или нитей, которые могут при¬
сутствовать в течении. Следовательно, с их помощью нельзя получить
правильные статистические распределения для структур с сильно вы¬
рожденной нелинейностью (см. с. 132 и 225). В результате влияние
нелинейности переоценивается, что может приводить к ложному эф¬
фекту возникновения сингулярностей за конечное время в решении
32
И частично третьего.
9.5. Замыкание, функциональные и диаграммные методы
249
задачи Коши с нулевой вязкостью. Как мы знаем, в трехмерной про¬
блеме Эйлера вопрос об образовании сингулярностей далек от свое¬
го разрешения (разд. 7.8 и 9.3). Что касается модели EDQNM, то она
определенно предсказывает появление сингулярностей (см., например,
(Lesieur 1990)). Более серьезное несоответствие получается для двумер¬
ных уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Катастрофическое
растяжение линий поля завихренности под воздействием силы Лорен¬
ца33 в модели замыкания приводит к обращению в бесконечность сред¬
неквадратичной завихренности за конечное время (Pouquet 1978). В
действительности, как показано в работе (Frisch, Pouquet, Sulem and
Meneguzzi 1983), в двумерном МГД-потоке идеальной жидкости возни¬
кают токовые структуры с сильно вырожденной нелинейностью; гра¬
диенты полей скорости и магнитной индукции возрастают до весьма
значительных величин, но этот рост является лишь экспоненциальным,
по крайней мере на тех умеренно длинных отрезках времени, которые
доступны для численного моделирования. В данной работе также по¬
казано, что это вырождение нелинейности не может быть описано с по¬
мощью замыкания, включающего моменты ниже четвертого порядка.
Известен ряд случаев, когда замкнутые уравнения для энергетиче¬
ского спектра можно вывести систематически, не прибегая к эвристи¬
ческим соображениям. Для этого требуется наличие параметра разло¬
жения, независимого от числа Рейнольдса. Одна из таких задач была
изучена в работе (Forster, Nelson and Stephen 1977) с помощью ренорм-
групповых методов (см. разд. 9.6.4). Другой пример, находящий много
применений в геофизике, физике плазмы и физике твердого тела, дает
теория резонансного взаимодействия волн, развитая в работах (Веппеу
and Saffman 1966; Веппеу and Newell 1969) (см. также (Zakharov, L’vov
and Falkovich 1992; L’vov 1994)). В общей постановке рассматривается
нелинейное уравнение следующего вида:
dtv = eN(v) +Vv. (9.35)
Здесь N(v) — некоторый нелинейный дифференциальный оператор в
частных производных, V — линейный оператор дисперсии с мнимыми
собственными значениями (зависящими от волнового вектора к),
а б обозначает малый параметр. В главном порядке разложения выжи¬
вают только резонансные волновые взаимодействия, т.е. нелинейные
взаимодействия между такими волновыми векторами, что их фазовые
33
В отсутствие магнитного поля завихренность сохраняется; см. разд. 9.7.
250
Глава 9. Что читать дальше?
сдвиги, вызываемые дисперсионными членами, взаимно уничтожают¬
ся34. В своем исходном виде эта теория была развита в терминах це¬
почки уравнений для чисто пространственных семиинвариантов. В за¬
висимости от конкретного вида нелинейности и дисперсионного соот¬
ношения семиинварианты выше определенного порядка могут иметь
комплексные фазы. В простейших случаях квазинормальное приближе¬
ние здесь бывает асимптотически точным 35
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные
и ренормгрупповые методы
9.6.1. Турбулентная вязкость: очень старая идея
Понятие турбулентной вязкости и связанное с ним понятие турбулент¬
ной диффузии (т. е. распространения скалярных величин в потоке) на¬
чиная со статьи Колмогорова (Kolmogorov 1942) стали, вероятно, са¬
мым популярным средством моделирования неоднородного турбулент¬
ного течения. Соответствующие идеи зародились еще в XIX в.
Как известно со времени работ Максвелла по кинетической теории,
одним из проявлений микроскопических движений и столкновений мо¬
лекул служит перенос импульса (диффузия импульса): в жидкой сре¬
де сдвиги (градиенты макроскопического поля скоростей) вызывают
поток импульса. В малых областях он пропорционален тензору напря¬
жений (симметричной части тензора градиента скорости). Коэффици¬
ент пропорциональности, называемый вязкостью, по порядку величины
обычно равен произведению средней скорости теплового движения мо¬
лекул на длину свободного пробега.
Турбулентный перенос импульса можно рассматривать по ана¬
логии с молекулярным переносом, отводя роль молекул вихрям
малых масштабов и заменяя длину свободного пробега на основ¬
ной масштаб (длину корреляции). Примерно так представлял себе
эту картину Прандтль (Prandtl 1925), который ввел понятие пути
34 Другими словами, нелинейность подавляется из-за смешения фаз.
35 В работе (Frisch, Legras and Villone 1996) установлено, что подход, основанный
на цепочке уравнений для семиинвариантов, может давать ошибочные результаты
в случае, когда волновые векторы пробегают дискретное, а не непрерывное множе¬
ство значений. Правильный подход связан с усреднением и техникой нормальных
форм, заимствованной из небесной механики, где она использовалась в течение дли¬
тельного времени; см., например, (Arnold, Kozlov and Neishtadt 1988).
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 251
перемешивания36 Аналогия между микроскопическим и турбулент¬
ным переносом была замечена лордом Кельвином (Kelvin 1887, р. 352)
и описана Лэмом (Lamb 1932, впервые — в четвертом издании 1916 г.)
при изложении принадлежащей Рейнольдсу (Reynolds 1894) теории
«рейнольдсовых напряжений». Лэм также связывает введение понятия
турбулентной вязкости с именем Рейнольдса.
В действительности понятие турбулентной вязкости появилось еще
до работ Максвелла. Кратко изложим обнаруженные нами обстоятель¬
ства, основываясь главным образом на материалах изданий Француз¬
ской академии наук. После того, как Навье ввел в уравнения гидро¬
динамики вязкостное слагаемое (Navier 1823), возник вопрос, одинаков
ли коэффициент вязкости (в то время обычно обозначавшийся е) в раз¬
ных областях пространства. Сен-Венан 37 высказал сомнения по этому
поводу в заметке (Saint-Venant 1843), а через несколько лет написал
следующие слова (Saint-Venant 1851), процитированные Буссинеском
(Boussinesq 1877, р. 7)38 :
Si Vhypothese de Newton, reproduite par Navier et Poisson, et qui consiste a prendre
le frottement interieur proportionnel a la vitesse des filets glissants les uns devant
les autres, pent etre appliquee approximativement pour les divers points d’une тёте
section fluide, tous les faits connus portent a inferer qu4l fautfaire croitre le coef¬
ficient de cette proportionnalite avec les dimensions des sections transversales; ce
qui s’explique jusqu’a un certain point en remarquant que les filets ne marchent pas
parallelement entre eux avec des vitesses regulierement graduees de Vun a Vautre,
et que les ruptures, les tourbillonnements et les autres mouvements compliques ou
obliques, qui doivent beaucoup influer sur la grandeur des frottements, se forment
et se developpent davantage dans les grandes sections39
36 Понятие пути перемешивания в контексте переноса завихренности ввел еще Тей¬
лор (Taylor 1915).
37 Полностью его фамилия звучит Барре де Сен-Венан (Вале de Saint-Venant), од¬
нако обычно ее сокращают до Сен-Венан.
38 Более сжатый вариант этого замечания можно найти в (Saint-Venant 1850).
39 Если гипотеза Ньютона, воспроизведенная Навье и Пуассоном и состоящая в про¬
порциональности внутреннего трения скорости элементов жидкости, скользящих
друг по другу, может быть приближенно применена к различным точкам данно¬
го проведенного в жидкости сечения, то все известные факты ведут к выводу, что
коэффициент этой пропорциональности [вязкость] должен возрастать с увеличением
размеров поперечного сечения; это может быть до известной степени объяснено, если
заметить, что элементы жидкости не перемещаются параллельно друг другу с регу¬
лярно изменяющимися скоростями, а также что разрывы, вихри и другие сложные
и неясные движения, которые должны сильно влиять на величину трения, формиру¬
ются и развиваются сильнее в больших сечениях. (Перев. с франц. М. Л. Бланка)
Глава 9. Что читать дальше?
2!) 2
Буссинеск, который был учеником Сен-Венана, развил эти идеи
дальше и подчеркнул, что турбулентность резко увеличивает вязкость.
Упомянув работы Пуазейля по измерению вязкости в ламинарном тече¬
нии, он переходит к следующему рассуждению, содержащему несколько
новых для тогдашней теории турбулентности идей (Boussinesq 1870):
Mais je fais voir au §IX de се тёте Memoire [Boussinesq 1868, pp. 402-403]
qu’il n9en est pas ainsi lorsqu’il s’agit de canaux decouverts ou de tuyaux de con-
duite d9un certain calibre. Le liquide, n9etantplus alors aussi resserre lateralement,
possede toujours des mouvements oscillatoires rapprochant ou eloignant brusque-
ment des parois le fluide qui en est voisin. L9action tangentielle qu 9exerce la paroi
sur ce fluide change done sans cesse, et, par ses variations combinees avec la vitesse
generate de translation du тёте fluide, imprime a ce dernier des mouvements rota-
toires. Ceux-ci se transmettant aux couches liquides plus interieures, toute la masse
fluide est bientot sillonnee de tourbillons dont la matiere glisse, avec une vitesse
relative finie, sur celle qui Venvironne. La moyenne des vitesses observees en un
тёте point durant un petit instant n9est done plus sensiblement egale a chacune
d9elles, et la force moyenne tangentielle exercee a travers un petit element plan fixe
doit dependre, non seulement de la maniere dont vane cette vitesse moyenne aux
points environnants, c9est-a-dire des derivees du premier ordre par rapport aux co-
ordonnees x, у, z de ses trois composantes и, v, w suivant les axes, mais encore de
la grandeur et du nombre des discontinuites dont les vitesses vraies у sont affectees.
En effet, les frottements produits dans ce cas etant dus a des glissements finis entre
couches adjacentes, doivent e£re bien plus grands que si les vitesses variaient avec
continuite de chaque point aux points voisins40
40 Но я показываю в §IX упомянутого «Мемуара» (Boussinesq 1868, pp. 402-403),
что это не так в том случае, когда используются открытые каналы или трубы до¬
статочного диаметра. Жидкость, более свободная от ограничения стенками, всегда
имеет колебательные движения, внезапно приближающие или удаляющие от стенок
прилегающую к ним жидкость. Тем самым касательное усилие, оказываемое стен¬
кой на жидкость, постоянно изменяется и за счет сложения этих изменений с общей
скоростью перемещения упомянутой жидкости сообщает последней вращательные
движения. Они передаются более внутренним слоям жидкости, и вскоре вся масса
жидкости заполняется вихрями, в которых вещество скользит с конечной средней
скоростью относительно окружающей среды. Поэтому средняя величина скоростей,
наблюдаемых в данной точке на протяжении малого промежутка времени, значи¬
тельно отличается от самих скоростей, а средняя касательная сила, приложенная к
фиксированному малому элементу поверхности, должна зависеть не только от харак¬
тера изменения этой средней скорости в соседних точках, т. е. производных первого
порядка по отношению к координатам х, у, z трех ее компонент и, v, w вдоль осей,
но и от величины истинной скорости и числа разрывов, которые она испытывает.
В итоге трение, производимое в этом случае конечным проскальзыванием соседних
слоев жидкости, будет значительно большим, чем в случае непрерывного изменения
скорости от каждой точки к соседним точкам. (Перев. с франц. М. Л. Бланка)
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 253
В той же статье Буссинеск предлагает выражение для коэффициен¬
та трения (турбулентной вязкости) в заключенном в трубу течении, а
именно Ащ1ъ, где А — безразмерная константа, зависящая от шерохо¬
ватости стенок, щ — скорость жидкости вблизи стенки, h — средний
радиус. На языке Тейлора и Прандтля это выражение определяет путь
перемешивания. Другие аналогичные выражения можно найти в «Ме-
муаре» (Boussinesq 1877)41
Заметим, что замечательные работы Сен-Венана и Буссинеска по
турбулентности основаны на детальных наблюдениях течения воды в
каналах, которые были очень важны для техники XIX в. Возможно,
это обстоятельство объясняет и постигшее их затем частичное забве¬
ние. Позднее нужды возникшей в начале двадцатого века аэродинамики
привели к переоткрытию многих идей Сен-Венана и Буссинеска.
Более глубокая причина возникновения идеи турбулентной вязкости
заключается, по-видимому, в том, что естественное состояние многих
«настоящих» течений турбулентное, так что понятие чисто молекуляр¬
ной вязкости представляется недостаточным. Надо отметить, что в на¬
чале XIX в. представление об отличиях между настоящими молекула¬
ми и фиктивными «молекулами жидкости» было недостаточно четким.
Возможно, вихри считались одним из частных случаев молекул. Даль¬
нейшее исследование взаимовлияния идей кинетической теории и ги¬
дродинамики в XIX в. представляло бы большой интерес42
Аналогия с кинетической теорией позволяет нам представить гра¬
ницы применимости представлений о турбулентной вязкости и понять,
почему эта концепция воспринимается некоторыми специалистами по
теории турбулентности в лучшем случае как педагогический прием. В
начале XX в. Гильберт, Чепмен и Энског смогли строго вывести урав¬
нения гидродинамики из кинетической теории (ссылки см. в (Brush
1976)). Они исходили из уравнения Больцмана и использовали сингуляр¬
ное разложение, в котором параметр разложения — отношение длины
свободного пробега к характерному масштабу течения, или так назы¬
ваемое число Кнудсена, — предполагался малым.
41 Этот «Мемуар» иногда цитируют как первоисточник понятия турбулентной вяз¬
кости (см., например, (Hinze 1959) и (Monin and Yaglom 1971)). Он также известен
благодаря предложенной в нем интерпретации одиночной волны Скотта Рассела.
42 Изложение ранней истории кинетической теории можно найти в (Brush 1976).
254
Глава 9. Что читать дальше?
Если же строить математическую модель турбулентности исходя
из представлений о турбулентной вязкости, добиться столь же ясного
разделения масштабов не удается: основной масштаб (аналог длины сво¬
бодного пробега) сравним с масштабом неоднородностей среды. Поэто¬
му обосновать использование турбулентной вязкости довольно трудно.
На самом деле во многих случаях, когда рассуждения в терминах тур¬
булентной вязкости дают правильный по существу ответ, его можно
получить и другими, более строгими методами.
Ландау и Лифшиц излагают теорию однородной турбулентности
Колмогорова 1941 г. в терминах турбулентной вязкости (Landau and
Lifshitz 1987). Этот подход дает «правильный» результат, т. е. соотно¬
шение V£ ~ (е^)1/3. Однако такой результат полностью определяется
соображениями размерности (если строить теорию лишь в терминах
е и £). Любой подход, в котором правильно учитываются размерно¬
сти, дал бы такой же результат. В действительности колмогоровский
вывод из соображений подобия является более фундаментальным. От¬
метим также, что в этом примере турбулентная вязкость зависит от
масштаба.
Фон Карман (von Karman 1930) (см. также (Goldstein 1969, р. 21))
и Прандтль (Prandtl 1932) вывели логарифмический закон изменения
средней скорости в зависимости от расстояния до стенки в турбулент¬
ном пограничном слое. Опять же это можно сделать как в терминах
вихревой вязкости, так и с помощью более глубокого метода подобия;
оба подхода можно найти в разд. 7-4 книги (Hinze 1959). Отметим,
что в этом случае турбулентная вязкость зависит от положения точки
наблюдения.
К счастью, в теории турбулентности есть много задач, в которых
имеется четкое разделение масштабов, оправдывающее использование
турбулентной вязкости и, более общо, многомасштабных методов. По¬
следние заслуживают тщательного изучения, так как принадлежат к
числу немногих в теории турбулентности методов, разработанных дей¬
ствительно систематически. В разд. 9.6.2 мы дадим общее представле¬
ние о сути дела и обзор существующей литературы. В разд. 9.6.3 рас¬
сказано о разнообразных задачах, поддающихся решению названными
методами. В разд. 9.6.4 обсуждается ренормгрупповой подход к раз¬
витой турбулентности, который можно рассматривать как обобщение
многомасштабных методов с примесью эвристики.
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 255
9.6.2. Многомасштабные методы43
По педагогическим причинам мы начнем с элементарного примера —
уравнения теплопроводности с периодически изменяющимся коэффици¬
ентом диффузии. Наше изложение основано на книге (Bensoussan, Lions
and Papanicolaou 1978)44 , в которой этот метод описан как усреднение,
когда неоднородная среда заменяется на среду, однородную на боль¬
ших масштабах. Рассмотрим одномерную среду, скажем металлический
стержень, с коэффициентом диффузии (теплопроводности) «(ж), перио¬
дическим с периодом 27г. Поле температуры 0(х, t) удовлетворяет урав¬
нению теплопроводности:
dtQ = дхк(х)дх0. (9.36)
(Здесь и ниже самый левый оператор производной дх действует на все
выражение, стоящее справа от него.) Мы хотим показать, что на мас¬
штабах, значительно превышающих 27т, диффузия тепла может быть
описана уравнением теплопроводности с постоянным коэффициентом
кЭфф> называемым эффективным (или турбулентным) коэффициентом
теплопроводности, который мы и собираемся вычислить.
Начнем с очень простого эвристического рассуждения. Предполо¬
жим, что в двух точках х\ и Х2, расстояние между которыми много
больше, чем 2л, поддерживаются фиксированные значения температу¬
ры 0(xi) и 0(х2)- После завершения переходных процессов возникнет
постоянный в пространстве и времени поток тепла Ф. Локально гради¬
ент температуры и поток тепла связаны выражением
Ф = -к(х)дх0. (9.37)
Следовательно,
ем-»(*.)=-* =
(9-38)
43 Как указывает ниже сам автор, общепринятым в литературе является название
«методы усреднения» (homogenization). — Прим. ред.
44 См. также книгу: Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение диффе¬
ренциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. Там же обсуждается и турбулентная
вязкость («остаточная вязкость» по терминологии авторов) и отмечается, что в на¬
шей стране внимание математиков к этой проблеме привлек Зельдович. — Прим. ред.
256
Глава 9. Что читать дальше?
где
1 \ = _1_ Г2ж dx
к(х) / 27Г Уо к(х)
Это можно переписать в виде
1 6(х2) ~ в(хi)
Ф = -
(1/к(х)) Х2—Х1
— ^эфф
в(х2) - в(хг)
Х2 — Х\
(9.39)
(9.40)
что показывает существование эффективного коэффициента теплопро¬
водности, равного гармоническому среднему теплопроводности, т. е.
обратной величине среднего значения обратного коэффициента тепло¬
проводности по периоду.
Теперь выведем этот результат снова с использованием многомас¬
штабного метода. Предположим, что поле температуры в зависит не
только от быстрых переменных х и £, но и от медленных переменных
X = ех и Т = е2£, где е является малым параметром45 Мы предпо¬
лагаем, что в имеет ту же 27г-периодическую зависимость от быстрой
переменной я, как и коэффициент теплопроводности «(ж), и не зависит
от быстрого времени46 t. Так как поле температуры зависит от ж и t
как через быстрые, так и через медленные переменные, производные
по пространству и по времени можно разложить следующим образом:
дх -» дх + едх, dt-^dt + e2&г- (9.41)
Теперь разложим поле температуры по степеням е:
в = 0(°) + €6W + е20(2) + ..., (9.42)
где все $(п) в принципе могут зависеть от х, t, X и Т. Теперь подста¬
вим (9.41) и (9.42) в (9.36) и соберем слагаемые с одинаковыми степеня¬
ми б. Нам потребуются только первые три уравнения. Они имеют вид
д*0(о) = дхк{х)дхв^\ (9.43)
dtOW = дхк(х)дхв^ + дхк(х)дх0^ + дхк(х)дхв^°\ (9.44)
dt6^ + дгв^ = дхк(х)дхвW + дхк(х)дх0^ +
+ дхк(х)дхвW + дхк(х)дх0(°\ (9.45)
45 Выбор множителя б2 для масштабного преобразования времени объясняется тем,
что ожидаемое время диффузии на расстояние 0( 1/е) составляет (1/е2); любой дру¬
гой выбор множителя привел бы к несоответствиям в дальнейших выкладках.
46 Нетривиальная зависимость от быстрого времени получится лишь в том случае,
если сам коэффициент теплопроводности к зависит от времени.
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 257
Уравнение (9.43) показывает, что 6^ принадлежит ядру диффе¬
ренциального оператора dt — дхк(х)дх. Благодаря предполагаемой
27г-периодичности 0® релаксирует к константе, независимой от х и t.
Иначе говоря, без учета релаксации к стационарному состоянию 0(°)
не зависит от быстрых переменных. Следовательно, в (9.44) слагаемое,
содержащее дхв^\ исчезает. Уравнение (9.44) можно рассматривать
как уравнение для содержащее неоднородность дхк{х)дхО^,
независимую от t. Поэтому можно считать, что dt6^ исчезает (после
релаксации к стационарному состоянию). Все остающиеся слагаемые
начинаются с так что можно проинтегрировать их и получить
Ф) (dxew + дхе(0)) = с. (9.46)
Деля на к(х) и замечая, что (дхвW) обращается в нуль в силу предпо¬
ложения о периодичности, мы находим
сШ)=дх*<0)' (м7)
где усреднение теперь охватывает только быстрые переменные. Самое
интересное происходит с уравнением (9.45): его нельзя разрешить
относительно 0®, если не наложить дополнительное условие на 0(°).
Действительно, усредняя (9.45), получим (обратите внимание, что
(0(°)> = 0(°)):
дтв(0) = дх(к(х))дх(№ + дх(к(х)дхв№). (9.48)
Это условие, известное как условие разрешимости, появляется во
всех сингулярно возмущенных задачах47 Теперь подставим в (9.48)
значение 0W из (9.46) и (9.47) и получим после сокращения слагаемого
дх{ф))дхв(°):
0Г0(°) = ЪфьдхдхбМ, (9.49)
где кЭфф дается тем же выражением (9.40), что и в предыдущем
эвристическом рассуждении.
Только что описанный многомасштабный метод можно легко обоб¬
щить на случай нескольких пространственных измерений, когда к пе¬
риодична по нескольким переменным. Есть лишь одно существенное
47 Оно выражает альтернативу Фредгольма, согласно которой неоднородность в
уравнении для в^ должна быть ортогональна ядру сопряженного оператора.
258
Глава 9. Что читать дальше ?
различие: уравнение, аналогичное (9.44), не может быть решено в явном
виде. Однако линейная зависимость от крупномасштабного гради¬
ента температуры дхв^ сохраняется. Поэтому условие разрешимости
для (9.45) по-прежнему принимает форму (вообще говоря, анизотроп¬
ного) уравнения диффузии с постоянными коэффициентами. Выраже¬
ние для эффективного коэффициента теплопроводности теперь явля¬
ется тензором второго порядка и зависит от решения вспомогатель¬
ной задачи. Это решение приходится определять либо численно, либо с
помощью теории возмущений, пользуясь каким-либо независимым от е
параметром разложения. Интуитивно ясно, что даже в изотропном слу¬
чае, когда эффективная теплопроводность скалярна, ее значение не бу¬
дет гармоническим средним периодического коэффициента теплопро¬
водности. Действительно, в одномерном случае области с весьма низкой
теплопроводностью сильно влияют на эффективную теплопроводность,
блокируя поток тепла, в то время как в многомерном случае тепло мо¬
жет обтекать области низкой теплопроводности.
На примере уравнения теплопроводности мы встретились со все¬
ми основными особенностями применения многомасштабных методов
к линейным задачам. В таких задачах имеется линейное уравнение в
частных производных Аф = 0, где функция ф может быть скалярной
или векторной, а оператор А имеет нетривиальное ядро ф^ (гг, t). Затем
ищутся решения, в которых функция из ядра оператора слабо модули¬
рована по пространству и времени, т. е. зависит от медленных пере¬
менных X = ех и Т = est. Вид крупномасштабного (т. е. усредненно-
го) уравнения и значение показателя s определяются главным образом
симметриями задачи. Это хорошо видно на примерах из разд. 9.6.3.
Техническая сторона такова: решение ф рассматривают как функцию
сразу и быстрых, и медленных переменных. Производные расщепляют:
дх —> дх + едх ъ dt dt + esdr- Решение раскладывают в ряд по сте¬
пеням б, подставляют в уравнение с расщепленными производными и
затем получают уравнения в разных порядках по е.
Крупномасштабное уравнение всегда возникает как условие разре¬
шимости в каком-либо порядке по е. Значения коэффициентов в круп¬
номасштабном уравнении определяются через решения уравнений более
низкого порядка, но явные выражения для них удается получить лишь
в исключительных случаях.
Эта техника легко обобщается и на нелинейные уравнения, имеющие
вид Аф + В(ф) = 0, где В(ф) — нелинейный функционал от ф. Основная
из возникающих здесь новых трудностей состоит в том, чтобы найти
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 259
правильный порядок по е главного члена разложения ф: это часто уда¬
ется сделать, рассматривая относительные порядки величины разных
слагаемых в крупномасштабном уравнении, форму которого обычно
можно угадать из соображений симметрии. Окончательное уравнение,
которое вновь возникает как некоторое условие разрешимости, будет
нелинейным; однако вспомогательные задачи, решаемые в промежуточ¬
ных порядках, обычно линейны по неизвестным функциям.
Читателя, который хочет узнать больше о многомасштабных ме¬
тодах (что, по нашему мнению, было бы хорошим «вложением капита¬
ла»), можно адресовать к изложению общей теории усреднения в книге
(Bensoussan, Lions and Papanicolaou 1978). Оно написано в расчете на
математиков, а не на физиков, и в основном посвящено задачам, ана¬
логичным уравнению теплопроводности. Введение в многомасштабные
методы для задачи о переносе пассивного скаляра в турбулентном те¬
чении можно найти в разд. 3.1 лекций (Frisch 1989) и в разд. 2 лекций
(Fauve 1991). Некоторые из статей, цитированных в следующем пунк¬
те, также могут быть использованы для введения в эту область. Среди
них (Fannjiang and Papanicolaou 1994; Dubrulle and Frisch 1991; Gama,
Vergassola and Frisch 1994).
9.6.3. Приложения многомасштабных методов
к турбулентности
В настоящее время многомасштабные методы используются в теории
турбулентности достаточно широко. Обычно их применяют для реше¬
ния задач следующего типа: задано основное «мелкомасштабное» тече¬
ние, обладающее какой-либо формой трансляционной инвариантности
(периодичностью, квазипериодичностью, случайной однородностью).
Это течение «возмущается» либо введением в него переносимой ска¬
лярной величины, либо модификацией самого поля скоростей. Основное
течение имеет пространственный масштаб 0(1), а возмущение характе¬
ризуется значительно большими масштабами 0(1/б). Другими словами,
основное течение рассматривается как «микроскопическая»48 среда, и
задача состоит в нахождении ее макроскопических свойств. В зависи¬
мости от того, насколько слабым является (и остается) возмущение,
используют линейную или нелинейную теорию.
48 Более подходящим было бы слово «мезоскопическая», так как речь идет не о мо¬
лекулярных масштабах.
260
Глава 9. Что читать дальше?
9.6.3.1. Турбулентный перенос скалярных величин
Простейшая и самая старая задача, поддающаяся решению с помощью
многомасштабной техники — это турбулентный перенос пассивной
скалярной величины, такой как краситель или пассивное температур¬
ное поле.'Основным здесь является уравнение диффузионного переноса
дгв + v • V0 = DV2d. (9.50)
Здесь 0(r, t) обозначает концентрацию пассивного скаляра в точке г
в момент t, D — молекулярно-кинетический коэффициент диффузии,
a v(r,t) — заданное поле скоростей, которое может быть периодиче¬
ским по пространству и времени или однородным стационарным слу¬
чайным полем. Существенным здесь является условие (г?) = 0, иначе за
время 0( 1/е) усредненный перенос превзойдет по величине крупномас¬
штабную динамику. Формальное применение многомасштабных мето¬
дов (см., например, (Frisch 1989)) приводит к уравнению анизотропной
диффузии в медленных переменных X = ех и Т = e2t:
дтв{0) = AjViVj0(o), (9.51)
где Vi обозначает пространственные производные по медленной пере¬
менной, a Dij — тензор эффективной диффузии, для выражения кото¬
рого требуется решить вспомогательные уравнения. Если течение до¬
статочно симметрично, чтобы гарантировать изотропность 49 тензора
Dij, мы будем писать
Dij = ^DT6ij, (9.52)
где DT — коэффициент эффективной (или турбулентной) диффузии;
DT всегда принимает значение не меньшее, чем кинетический коэффи¬
циент диффузии: турбулентность может лишь усилить диффузию.
Если рассматривать как плотность распределения вероятности
координат частицы, подверженной турбулентной диффузии, из (9.51)
и (9.52) следует, что средний квадрат перемещения частицы растет со
временем линейно:
(.Д2(Т)) = J \X\2eM(X,T)d3X = (R2{0)) + 2DTT. (9.53)
49 Это будет выполнено тривиальным образом, если поток случаен и изотропен;
то же справедливо и в случае квадратной симметрии для двумерного течения или
кубической — для трехмерного.
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 261
Такое поведение характерно для диффузии. На самом деле в тур¬
булентном течении при больших временах может наблюдаться ано¬
мальная диффузия. Например, течение может быть супердиффузивным
(средний квадрат перемещения растет быстрее Т) или субдиффузив-
ным (рост более медленный, чем Т). Эти и многие другие вопросы
обсуждаются в обзоре (Isichenko 1992) (см. также (Avellaneda and Maj-
da 1990)). В подобных случаях эффективного коэффициента диффузии
не существует, а крупномасштабное поведение течения не описывается
обычным уравнением диффузии.
Если имеет место нормальная диффузия, интересно получить оцен¬
ки £>т сверху и снизу и изучить поведение этой величины при стрем¬
лении к нулю кинетического коэффициента диффузии. Некоторые из
лучших результатов для периодического течения можно найти в ста¬
тье (Fannjiang and Papanicolaou 1994) (см. также ссылки в ней). Для
турбулентного течения этот вопрос был впервые затронут Тейлором
(Taylor 1921), который фактически пренебрег молекулярной диффузи¬
ей и установил, что при значениях времени, много больших времени ав¬
токорреляции скорости в лагранжевых координатах, средний квадрат
перемещения частицы, выпущенной из лагранжевой точки а, выража¬
ется следующим образом:
поо
(Д2(Т)) ~ 2Т {vL(a,s) ■ vh(a, 0)) ds, (9.54)
Jo
где vL(a, s) обозначает скорость в лагранжевых координатах. С уче¬
том (9.53) эта формула означает, что предел эффективного коэффи¬
циента диффузии при стремлении к нулю молекулярной вязкости про¬
сто равен интегралу по времени от лагранжевой автокорреляционной
функции 50
Формула Тейлора может стать неверной, если некоторые части¬
цы жидкости будут совершать движение в ограниченной области про¬
странства. Это может происходить из-за наличия замкнутых линий
тока, торов Колмогорова-Арнольда-Мозера (как в потоке АВС, о ко¬
тором говорилось в разд. 9.4) или замкнутых областей рециркуляции
(Pomeau, Pumir and Young 1988).
50 Простое рассуждение, принадлежащее Саффману (Saffman 1960), показывает, что
этот предел обычно достигается снизу, однако известны и контрпримеры (М. Ver-
gassola, частное сообщение).
262
Глава 9. Что читать дальше?
9.6.3.2. Перенос векторных величин и крупномасштабная
неустойчивость
Когда заданное течение v претерпевает слабое возмущение w, это воз¬
мущение в главном порядке удовлетворяет линеаризованному уравне¬
нию Навье-Стокса:
dtw + v Vw + w • W = — Vpf +
(9.55)
V - w = 0.
Эти уравнения имеют много общего с уравнением диффузионного пере¬
носа пассивного скаляра (9.50). Главное их отличие, однако, следует из
векторного характера возмущения и заключается в третьем слагаемом
в левой части первого уравнения, где возмущение умножается на гра¬
диент заданного поля скоростей. Поэтому крупномасштабный перенос
векторных величин оказывается значительно более сложным.
Может оказаться, что крупномасштабная динамика описывается
производными первого порядка как по пространству, так и по времени.
Действительно, было показано, что в случае, когда основное течение не
имеет центра симметрии, т. е. поле v не инвариантно относительно из¬
менения четности (см. разд. 2.2), крупномасштабное уравнение имеет
следующий вид (Frisch, She and Sulem 1987; Sulem, She, Scholl and Frisch
1989):
(0) (9-56)
v>(.0))=o.
(Обозначения здесь те же, что и в разд. 9.6.3.1.) В трехмерном случае
решения (9.56) вида плоской волны могут проявлять экспоненциаль¬
ный рост со скоростью, пропорциональной волновому числу. Это явле¬
ние называется анизотропным кинетическим альфа-эффектом (АКА)
и представляет собой гидродинамический аналог открытого в шести¬
десятых годах альфа-эффекта в магнитной гидродинамике (Steenbeck,
Krause and Radler 1966) (см. также (Moffatt 1978)). Альфа-эффект обыч¬
но используется для объяснения роста крупномасштабного магнитно¬
го поля (динамо-эффекта) при движении проводящей сплошной среды,
происходящем с нарушением инвариантности относительно изменения
четности 51. В противоположность альфа-эффекту, эффект АКА исче¬
зает в изотропном течении, откуда и происходит его название. Эффект
51 Отсутствие такой инвариантности является более общим свойством, чем наличие
спиральности, хотя и следует из последнего (Gilbert, Frisch and Pouquet 1988).
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 263
АКА возникает в основном из-за изменения, вносимого в рейнольдсовы
напряжения (среднего потока импульса) крупномасштабным квазирав¬
номерным течением52 Нелинейное насыщение неустойчивости АКА
изучалось в работе (Sulem, She, Scholl and Frisch 1989).
Если основное течение инвариантно относительно изменения чет¬
ности, то крупномасштабное уравнение будет иметь следующий вид
(Dubrulle and Frisch 1991):
ЗгК(0)> = - ViP,
,м (9-57)
V>f)=0.
Это уравнение отличается от уравнения диффузии наличием давления.
Для изотропного основного течения оно может быть упрощено до сле¬
дующего вида:
&r(w{0)) = uTV2(w^0)), V • (w(0)) = 0, (9.58)
где щ обозначает турбулентную вязкость. Для вычисления Vijim или
vT в общем случае требуется решить два вспомогательных уравнения.
Если число Рейнольдса основного течения мало, это можно сделать ме¬
тодами теории возмущений (Dubrulle and Frisch 1991)53
Таким образом, многомасштабный метод обеспечивает рациональ¬
ное обоснование для использования старого понятия турбулентной вяз¬
кости. Тем не менее следует помнить о нескольких тонкостях.
Во-первых, в приведенных выкладках предполагается, что основной
и крупный масштабы сильно отличаются друг от друга, а в большин¬
стве случаев традиционного применения понятия турбулентной вязко¬
сти это не так.
Во-вторых, турбулентная вязкость не всегда получается положи¬
тельной: было показано, что по крайней мере в случае двумерного те¬
чения турбулентная вязкость часто бывает меньше нуля, что приводит
к неустойчивости крупномасштабной динамики (Vergassola, Gama and
52 Для этого должна нарушаться галилеевская инвариантность, например из-за при¬
сутствия на малых масштабах внешней силы.
53 В отдельных случаях, например при малом времени корреляции основного тече¬
ния, точное выражение для турбулентной вязкости можно получить методом замы¬
кания (Kraichnan 1976).
264
Глава 9. Что читать дальше?
Frisch 1993; Gama, Vergassola and Frisch 1994) (см. также (Sivashinsky
and Frenkel 1992))54
В-третьих, когда основное течение не изотропно, величины в
крупномасштабном уравнении (9.57) образуют тензор четвертого по¬
рядка; значения турбулентной вязкости на самом деле суть собственные
значения линейного оператора, который появляется при подстановке
в (9.57) решений типа плоской волны. В двумерном случае они всегда
действительны, но в трех измерениях могут становиться комплексны¬
ми; если мнимая часть преобладает, крупномасштабная динамика боль¬
ше напоминает решение уравнения Шрёдингера, чем уравнения тепло¬
проводности (Wirth, Gama and Frisch 1995).
В-четвертых, основное течение не только вызывает изменение вяз¬
кости, принимающей вместо своего молекулярного значения турбулент¬
ное, но одновременно модифицирует и нелинейный член: коэффициент
перед адвекционным слагаемым v-Vv начинает отличаться от единицы
и даже может исчезать (Gama, Vergassola and Frisch 1994; Vergassola and
Gama 1994)55 ; кроме того, в отсутствие зеркальной симметрии появля¬
ется новое «спиральное» нелинейное слагаемое, приводящее к резкому
усилению вихревых структур одного знака (Vergassola 1993; Gama, Ver¬
gassola and Frisch 1994).
Для параллельного периодического потока (скажем, потока в на¬
правлении оси Т2, зависящего только от координаты х\) турбулентную
вязкость можно вычислить в явном виде. Для примера рассмотрим те¬
чение Колмогорова:
v = (0, sinrci). (9.59)
Непомнящий (Nepomnyashchy 1976) (см. также (Sivashinsky 1985)) пока¬
зал, что крупномасштабное возмущение, перпендикулярное основному
течению, характеризуется турбулентной вязкостью
54 Идея отрицательной турбулентной вязкости появилась у Старра (Starr 1968) и
предлагалась Крайчнаном (Kraichnan 1976) в качестве объяснения обратного каска¬
да энергии в двумерном случае (см. также разд. 9.7). Отрицательная турбулентная
вязкость не нарушает принципов термодинамики, так как обычно присутствует не¬
который механизм насыщения, связанный с нелинейностями, которыми мы прене¬
брегли в (9.55).
55 На языке теории поля это называется «вихревой перенормировкой».
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 265
так что крупномасштабная неустойчивость 56 появляется при v < vc =
= 1/\/2. Непомнящий (Nepomnyashchy 1976) и Сивашинский (Sivashin-
sky 1985) изучили также нелинейный режим со слабо отрицательной
турбулентной вязкостью. Он описывается уравнением с кубической не¬
линейностью типа Кана-Хильярда, которое изучалось Ше (She 1987)
(см. также (Frisch, Legras and Villone 1996)). Когда турбулентная вяз¬
кость существенно отрицательна, некоторые переходные аспекты не¬
линейного режима все еще поддаются изучению многомасштабными
методами (Е and Shu 1993).
Подчеркнем в заключение, что обсужденные нами результаты да¬
леко не исчерпывают круг задач, которые могут быть решены мно¬
гомасштабными методами (отправляясь от уравнения Навье-Стокса).
Например, при наличии галилеевской инвариантности крупномасштаб¬
ная динамика может быть вязкоупругой (Fauve 1983; Coullet and Fauve
1985; Frisch, She and Thual 1986)57 Интересно и важно было бы найти
крупномасштабное описание, пригодное для изучения сети вихревых
нитей, о которых говорилось в разд. 8.9.
9.6.4. Ренормгрупповые методы
Термин «перенормировка» (ренормализация) первоначально обозначал
исключение бесконечностей в квантовой электродинамике 58 . После ра¬
бот Дайсона, Фейнмана, Швингера, Томонога и многих других (см.,
например, (Schwinger 1958)) перенормировка стала одним из основных
инструментов квантовой теории поля.
Уже авторы статьи (Di Castro and Jona-Lasinio 1969) предвидели,
что подобные идеи применимы и к проблеме критических явлений.
Метод «ренормгруппы», сочетающий элементы перенормировки кван¬
товой теории поля с идеями блокирования спинов Каданова (Kadanoff
1966), был развит Вильсоном и его коллегами (Wilson 1972; Wilson and
56 Эта неустойчивость была открыта Мешалкиным и Синаем (Meshalkin and Sinai
1961).
57 Возможность вязкоупругого поведения турбулентного потока рассматривалась
Кроу (Crow 1968) и, до известной степени, лордом Кельвином.
58 Как подчеркивает Колмен (Coleman 1979), первый пример перенормировки на са¬
мом деле дала гидродинамика: если погрузить легкую полую сферу конечного ради¬
уса в бассейн с водой и выпустить ее, то она не испытает огромного вертикального
ускорения под действием архимедовой силы, так как приобретет присоединенную
массу, равную половине массы вытесненной жидкости (Stokes 1843); см. также (Lan¬
dau and Lifshitz 1987, §11).
Глава 9. Что читать дальше?
2М
Fisher 1972; Wilson and Kogut 1974) (см. также (Toulouse and Pfeuty
1975; Amit 1984; Parisi 1988; Itzykson and Drouffe 1989; Le Bellac 1992)). В
результате возник подход к масштабной инвариантности критических
явлений, напоминающий каскад Ричардсона в турбулентности: задает¬
ся иерархия увеличивающихся масштабов, причем динамика на данном
масштабе влияет на эффективные параметры, описывающие динами¬
ку на следующем масштабе. Правила преобразования от одного мас¬
штаба к другому определяются ренормгруппой (точнее, полугруппой).
Скейлинговые законы определяются асимптотическим поведением по¬
сле бесконечного числа итераций.
Как и следовало ожидать, быстро начались попытки применить
аналогичные соображения к развитой турбулентности (Nelkin 1974)
(см. также (Rose and Sulem 1978; Eyink and Goldenfeld 1994)). Спу¬
стя двадцать лет проблема турбулентности остается нерешенной; ре-
нормгрупповые методы, однако, сохраняют хорошие шансы сыграть
важную роль в будущем решении этой проблемы. Поэтому мы пред¬
лагаем читателю комментированный обзор того, что было сделано до
сих пор. Сначала мы убедимся, что ни одна из задач, к которым уда¬
лось применить ренормгрупповые методы систематически, не при¬
надлежит к собственно теории турбулентности: скорее такие задачи
следует отнести к (нетривиальной) статистической теории уравнений
Навье-Стокса. При переносе этих результатов на главную проблему —
проблему турбулентности — приходится сочетать систематические и
эвристические процедуры.
9.6.4.1. Задача Форстера-Нелъсона-Стивена
Задача, которую Форстер, Нельсон и Стивен ((Forster, Nelson and
Stephen 1977); в дальнейшем цитируется как FNS) решили с помощью
систематического применения ренормгрупповых методов, относится
к уравнению Навье-Стокса с внешней силой (2.43)-(2.44). Эта задача
близка к проблеме динамических (зависящих от времени) критических
явлений (см., например, (Ма and Mazenko 1975)). Сила / предполагается
случайной гауссовской функцией, дельта-коррелированной по времени
и такой, что спектральная плотность притока энергии на единицу мас¬
сы (спектр силы) равна59
F(k) = Dk*-e, (9.61)
59 Обозначение е заимствовано из теории критических явлений и никак не связано
со средней диссипацией энергии е.
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 267
где 0 ^ б < 1 и i) > 0. На самом деле FNS варьировали не показа¬
тель в спектре мощности силы, а саму размерность пространства, как
это было сделано в работе (Wilson and Fisher 1972). Ниже, как и в ста¬
тье (Frisch and Fournier 1978), варьируется показатель, а размерность
пространства сохраняется равной трем.
В результате энергетический спектр имеет вид
Е(к) ос fc1_2£/3. (9.62)
Этот результат можно получить с помощью следующего простого рас-
суждения. Заметим, что случайная сила /, записанная в физическом
пространстве, имеет следующий скейлинг:
/(А?, А1-л*) *= \(e+h-5)/2 /(f, t), (9.63)
где символ =, означающий эквивалентность по распределению, был
определен в разд. 4.3. Равенство (9.63) следует из (9.61) и того фак¬
та, что обобщенная функция 6(t — £'), через которую выражается
пространственно-временная корреляция силы, однородна с показате¬
лем —1 (имеет такой же скейлинг, как 11 — £'|-1). Мы знаем, что в
пределе нулевой вязкости уравнение Навье-Стокса без силы масштабно
инвариантны с произвольным скейлинговым показателем h (разд. 2.2).
Уравнение Навье-Стокса с силой / по-прежнему останется инвари-
антным, если / имеет тот же закон преобразования, что и другие
слагаемые, т. е. умножается на А271”1. Для этого необходимо, чтобы
h = —1 + е/З. Следовательно, энергетический спектр имеет показатель
—l — 2h = l — 2е/3, что и дает (9.62). Соответствующий период турбу¬
лентных пульсаций ti — t/vi пропорционален £l~h = ^2~6/3. Мы видим,
что при £ —> оо период пульсаций становится много меньшим, чем
характерное время диффузии, пропорциональное £2. Следовательно,
на крупных масштабах (говорят также: в инфракрасной области)
можно пренебрегать вязкостью, как мы и сделали в приведенном рас¬
суждении. На малых масштабах (в ультрафиолетовой области) можно
ожидать, что сила и вязкая диссипация будут как раз уравновешивать
друг друга, в результате чего возникает спектр
ад - Ш - <9-б4>
Отметим, что в этом рассуждении мы пользовались положительностью
е, но нигде не использовали малость этой величины.
268
Глава 9. Что читать дальше?
Если все так просто, то зачем вообще нужна ренормгруппа? На
самом деле с ее помощью можно получить значения констант в выра¬
жениях для степенных законов, а также найти поведение при е = 0.
Попытаемся дать некоторое представление о том, как это делается. В
литературе ренормгрупповые методы связаны с интенсивным исполь¬
зованием формализма теории поля и трудны для понимания читателя,
незнакомого с этой техникой. В действительности применение ренорм-
группы в работе FNS можно рассматривать как итеративный много¬
масштабный метод (разд. 9.6.2), в котором турбулентная вязкость за¬
висит от масштаба. Действительно, можно показать, что турбулентная
вязкость, присущая потоку с энергетическим спектром (9.64), имеет
ультрафиолетовую расходимость60 при в = 0. Отсюда следует, что
при малых е основные взаимодействия имеют место между далеко от¬
стоящими друг от друга масштабами, логарифм отношения М кото¬
рых имеет порядок 0(1/е). Благодаря этому становится возможной
следующая конструкция. Рассмотрим последовательность масштабов
£п = £оМп (п = 0,1,...) и соответствующих волновых чисел кп = £~1.
Влияние масштаба £п на масштаб £п+\ проявляется в изменении (тур¬
булентной) вязкости, которое оказывается столь малым, что в главном
порядке вязкость можно считать дифференцируемой функцией волно¬
вого числа к. Вычисление по теории возмущений с малым параметром
е в таком случае дает
dv{k) __ АР
dk [v(k)]2kl+e’
(9.65)
где константа А может быть вычислена в явном виде (Fournier and
Frisch 1983а). Соотношение (9.65), за исключением величины констан¬
ты А, может быть получено из соображений размерности при условии,
что dv(k)/dk вычисляется в главном (линейном) порядке по спектру
силы F(k). Интегрируя (9.65) и подставляя результат в (9.64), полу¬
чаем желаемый результат (9*62) и спектр вида А;1 с логарифмической
поправкой при е = 0.
Сделаем несколько замечаний по поводу подхода FNS. Во-первых,
вычисление турбулентной вязкости по теории возмущений на каждом
масштабе возможно, если число Рейнольдса остается малым. В действи¬
тельности истинное число Рейнольдса, вычисляемое по кинетической
60 Это легко показать, используя формулу (50) статьи (Dubrulle and Frisch 1991), в
которой выражена турбулентная вязкость при малых числах Рейнольдса.
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 269
вязкости, при к О неограниченно возрастает, однако перенормиро¬
ванное число Рейнольдса, вычисляемое по турбулентной вязкости, най¬
денной на предыдущем шаге, стремится к значению 0(е1/2).
Во-вторых, справедливость гидродинамического приближения
(т.е. уравнения Навье-Стокса) на всех масштабах гарантируется
именно значительным разделением масштабов, для которого также
нужна малость в. Обычно при применении метода ренормгруппы
выделяют совокупности волновых чисел, заключенные в конечные
диапазоны, например «большие волновые числа» от Л до А/2 и «ма¬
лые волновые числа» от Л/2 до нуля. Затем уравнения преобразуют
таким образом, чтобы исключить большие волновые числа, оставляя
только малые; эта процедура называется «децимацией». Возникающие
в результате уравнения напоминают ночной кошмар: кроме слагаемых
из уравнения Навье-Стокса, они содержат бесконечное множество
дополнительных членов. Тем не менее можно показать, что для окон¬
чательного ответа эти слагаемые несущественны в том смысле, что
не вносят вклада в решение на больших масштабах в главном порядке
по малому б. Децимация очень большой совокупности волновых чисел,
оправданная близким к расходимости поведением турбулентной вязко¬
сти, позволяет избежать этой трудности и обойтись конечным числом
коэффициентов.
В-третьих, можно задать вопрос, почему на каждом шаге изменя¬
ется (перенормируется) только коэффициент перед вязкостным слага¬
емым в уравнении Навье-Стокса. В разд. 9.6.3.2 мы видели, что под
действием мелкомасштабного течения может изменяться коэффициент
перед нелинейным слагаемым v ViT. Однако в задаче FNS сила, за¬
висящая от времени как белый шум, не нарушает галилеевскую инва¬
риантность уравнения Навье-Стокса61, так что «вихревые поправки»
исчезают62 Перенормировке может подвергаться также и сама сила.
Действительно, нелинейное взаимодействие между модами с большими
волновыми числами (и почти противоположно направленными волновы¬
ми векторами) вызывает «биения» с малым волновым числом. Спектр
силы такого «турбулентного шума» (Rose 1977) в трехмерном случае
пропорционален к4 и поэтому при малых волновых числах несуществен
61 Если сила J 5-коррелирована во времени, то /(f — Ut,t) имеет ту же корреляци¬
онную функцию, что и /(?,£).
62 Однако они сохраняются в магнитной гидродинамике (Fournier, Sulem and Pou-
quet 1982).
270
Глава 9. Что читать дальше?
из-за преобладания прямого влияния внешней силы (9.61). Есть, одна¬
ко, и такие ситуации, тоже рассмотренные FNS, когда турбулентный
шум существен.
9.6.4.2. Обобщение на скейлинговый режим -RT41
Как мы видели, показатель 1—2е/3 степенного закона, которому подчи¬
няется спектр решения задачи с внешней силой ос А;3“€, можно получить
из простых скейлинговых рассуждений. Авторы работы (de Dominicis
and Martin 1979) заметили, что благодаря этому сама величина показа¬
теля (в отличие от константы, стоящей перед степенью) определяется
без применения теории возмущений по е. Поэтому должен существо¬
вать целый интервал значений е, для которых (9.62) выполняется. Если
6 = 4 попадет в этот интервал, то получится энергетический спектр
fc”5/3. Другими словами, внешнее возмущение со спектром k~l может
привести к возникновению энергетического спектра теории К41 (de Do-
minicis and Martin 1979).
Одна из причин сомневаться в этом результате заключается в том,
что при е^З энергетический спектр (9.62) расходится в инфракрас¬
ной области. Эта расходимость затрудняет применение диаграммной
техники, описанной в разд. 9.5, но совсем неочевидно, что она может
привести к каким-либо физическим последствиям, так как исследуе¬
мая динамика гораздо чувствительнее к среднему квадрату крупномас¬
штабного тензора напряжений (энстрофии), чем к среднеквадратичной
скорости (разд. 7.3).
Другое простое феноменологическое рассуждение показывает, что
при 6 = 4 может не получиться точный спектр А;-5/3. Предположим,
что спектр силы имеет вид F(k) = Dk~l при k > fco, где — ин¬
фракрасный порог, а иначе равен нулю. Спектральная плотность ско¬
рости накачки энергии при волновом числе к > ко в этом случае равна
б(А;) = D\n(k/ko). Если мы предположим, что энергия передается по
каскаду в сторону увеличения волновых чисел, и воспользуемся выра¬
жением (6.65) для энергетического спектра, где вместо е(к) подставле¬
на средняя скорость диссипации энергии, то получим
т. е. спектр К41 с логарифмической поправкой. Если затем устремить
ко к нулю, то энергетический спектр обратится в бесконечность. Равен¬
ство (9.66) может нарушаться из-за поправок, связанных с перемежае¬
мостью: случайная гауссовская сила, действующая на всех масштабах,
(9.66)
9.6. Вихревая вязкость, многомасштабные и ренормгрупповые методы 271
не обязательно будет подавлять возникновение перемежаемости, так
как после достаточно большого числа шагов каскада поток энергии по
нему может превысить непосредственное действие силы (R. Kraichnan,
частное сообщение).
Отметим также, что в режиме FNS при малых е статистическое
равновесие устанавливается благодаря совпадению притока энергии от
внешней силы и ее рассеяния турбулентной вязкостью, в то время как в
инерционном интервале и приток, и рассеяние связаны с нелинейными
взаимодействиями.
В работах (Yakhot and Orszag 1986а,b), а также (Dannevik, Yakhot
and Orszag 1987) идеи ренормгруппы были применены к количественной
оценке величины амплитуд в скейлинговом режиме К41. Предположим,
что имеется внешняя сила a la FNS со спектром Dk~l. Эту силу надо
рассматривать не как внешнюю, а как выражение турбулентного шума,
т. е. случайных воздействий на данное волновое число благодаря бие¬
ниям больших волновых чисел (см. выше). Для выражения константы в
энергетическом спектре через D используется ренормгруппа (в самом
низком порядке по б), как было объяснено в предыдущем пункте. Оста¬
ется связать D и среднюю скорость диссипации энергии е. Для этого
применяется выражение потока энергии, основанное на замыкании по
методу EDQNM (разд. 9.5.4). В него входит скорость затухания трой¬
ных корреляций, которую при обычном замыкании приходится выра¬
жать феноменологически. Здесь же она может быть выражена самосо¬
гласованным образом через ренормгрупповую турбулентную вязкость,
благодаря чему удается избежать введения подгоночных параметров.
Очевидно, появление последних в теории, которая предполагает скей-
линг и лишь стремится определить его константы, полностью обессмы¬
слило бы ее. Несмотря на несколько произвольное использование метода
замыкания, теория ренормгруппы63 приводит к численным предска¬
заниям, хорошо согласующимся с экспериментальными данными. На¬
пример, она дает величину Скол «1,6 для константы Колмогорова и
к « 0,37 для константы фон Кармана. Данный метод применялся также
для вычисления турбулентных коэффициентов переноса в технических
моделях (Orszag et al. 1993).
Как указал Крайчнан (Kraichnan 1987), неясно, превосходит ли ме¬
тод ренормгруппы метод замыкания в концептуальном плане. В дей¬
ствительности есть несколько способов применить ренормгруппу для
63 Обобщение которой в работе Яхота и Орсага принято обозначать RNG вместо
RG.
272
Глава 9. Что читать дальше?
«калибровки» замыкания. Например, такие методы замыкания, как
EDQNM или «модель пробного поля» (Kraichnan 1971а), оба согласу¬
ющиеся с К41, можно использовать для исследования задачи FNS при
малых е и определения их подгоночных параметров (Fournier and Frisch
1983а). Другие соображения по поводу использования ренормгруппо-
вых методов в турбулентности можно найти в (Lesieur 1990) и (Eyink
1994b).
9.7. Двумерная турбулентность
Говоря о «двумерной турбулентности», обычно имеют в виду исследо¬
вание таких решений уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жид¬
кости (1.2) при больших числах Рейнольдса, которые зависят только
от двух декартовых координат х и у. Легко проверить, что компонен¬
та скорости, направленная вдоль третьей оси, удовлетворяет простому
уравнению диффузионного переноса и не оказывает обратного влия¬
ния на горизонтальное течение (в плоскости ху). Следовательно, без
потери общности можно считать, что скорость имеет только две ком¬
поненты и пользоваться функцией тока ф. При этом удобнее исходить
из уравнения завихренности (2.15). Завихренность имеет единственную
(вертикальную) компоненту, обозначаемую £, которая удовлетворяет
уравнениям
dtC - 0 = dtC + v-VC = I^V2C + V, (9.67)
VV = -C, (9-68)
где
= (дхф)(дУ0 - (dxC)(dy^), v = (дуф, -дх-ф). (9.69)
Заметим, что в правой части (9.67) стоит неоднородность 77 — ротор
внешней силы.
Хорошо известно, что (9.67) не содержит слагаемого, соответствую¬
щего растяжению вихрей, так что эта существенная особенность трех¬
мерной турбулентности теряется64 Поэтому двумерную турбулент¬
ность следует рассматривать лишь как «игрушечную» модель трехмер¬
ной турбулентности, несколько легче последней поддающуюся изуче¬
нию и значительно легче — моделированию и визуализации.
64
Но увеличение градиента скорости, конечно, сохраняется.
9.7. Двумерная турбулентность
273
В действительности, ситуации, когда течение сводится к квазидву-
мерному или стратифицированному, часто возникают и в естественных
условиях, и в лабораторных экспериментах. Наиболее важные примеры
таких течений относятся к геофизике и физике атмосферы. Так, с по¬
мощью двумерной турбулентности описывается динамика морских те¬
чений, движение таких мощных вихрей, как тропические циклоны, су¬
ществование полярного вихря и перемешивание газов в полярной стра¬
тосфере, являющееся основным фактором образования озоновой ды¬
ры, и другие крупномасштабные движения атмосферы (см., например,
(Dritschel and Legras 1993; Waugh et al. 1994)). Двумерная турбулент¬
ность преобладает среди причин кратко- и среднесрочной собственной
изменчивости климата и вносит основной вклад в определение сред¬
них климатических условий и вероятность больших уклонений от них.
Впервые применить двумерную турбулентность к геофизике предло¬
жил Чарни (Charney 1947). Подробный рассказ о таких применениях
можно найти в книге (Lesieur 1990) (см. также (Pedlosky 1979)). К то¬
му же двумерная эйлеровская (невязкая) турбулентность применяется
к описанию сильно замагниченной плазмы в приближении «ведущего
центра» (см., например, (Kraichnan and Montgomery 1980)).
С другой стороны, ведутся весьма активные экспериментальные
исследования двумерной турбулентности; см., например, (Bondarenko,
Gak and Dolzhansky 1979; Gledzer, Dolzhansky and Obukhov 1981; Coud-
er 1984; Sommeria 1986; Gharib and Derango 1989; Cardoso, Marteau and
Tabeling 1994).
Таким образом, имеется обширный массив литературы по двумер¬
ной турбулентности, подробный обзор которого не входит в наши на¬
мерения. После краткого обсуждения материала по каскадам и вихрям,
который ныне является классическим (разд. 9.7.1), мы остановимся
на двух новых (или вновь вызвавших к себе интерес) темах, кото¬
рые могут таже оказаться важными и для трехмерной турбулентности
(разд. 9.7.2-9.7.3)65
9.7.1. Каскады и вихри
Двумерной турбулентности были посвящены обзоры (Kraichnan and
Montgomery 1980; Lesieur 1990) и ряд других. Ее основное отличие от
трехмерной турбулентности таково: если пренебречь действием вязко¬
сти, то в отсутствие внешней силы завихренность остается постоянной
65
Отошлем читателя также к очень интересному обзору (Pomeau 1994).
274
Глава 9. Что читать дальше?
вдоль траекторий частиц жидкости. Поэтому энстрофия ^(С2) не мо¬
жет возрастать под действием одной лишь нелинейности.
Крайчнан (Kraichnan 1967а) высказал гипотезу, что если с постоян¬
ной скоростью е сообщать двумерному течению энергию на некотором
промежуточном масштабе то возникнет обратный каскад энергии,
простирающийся до наибольших возможных масштабов. Этот обрат¬
ный каскад должен, как и прямой каскад в трехмерном случае, подчи¬
няться закону А;-5/3. Гипотеза Крайчнана была основана на примене¬
нии понятия «абсолютного равновесия» из статистической механики к
решению уравнения Эйлера, имеющего конечное число фурье-мод (при¬
ближение Галеркина), в отсутствие вязкости и внешней силы. Позднее
он дал интерпретацию обратного каскада в терминах отрицательной
турбулентной вязкости (Kraichnan 1976). Обратный каскад, возможно,
является самым важным результатом в теории развитой турбулентно¬
сти после работ Колмогорова; он неоднократно подтверждался в чи¬
сленных экспериментах, охватывавших все большие масштабы (Lilly
1971; Siggia and Aref 1981; Frisch and Sulem 1984; Herring and McWilliams
1985; Smith and Yakhot 1993; Borue 1994), и в несколько меньшей сте¬
пени в лабораторном эксперименте (Sommeria 1986). Когда обратный
каскад достигает размера «ячейки» (при моделировании с периодиче¬
скими краевыми условиями), возникают вихри с размерами, сравни¬
мыми с масштабом действия внешней силы, и спектр А;-5/3 на боль¬
ших масштабах нарушается (Smith and Yakhot 1993, 1994; Borue 1994).
Вид спектра при малых волновых числах зависит от механизма отвода
энергии. Например, если в правую часть (9.67) добавить для описания
трения «экмановское» слагаемое — а£, то на самых больших масштабах
будет наблюдаться спектр A;"3 (Smith and Yakhot 1994); при этом не¬
линейный перенос и внутреннее трение уравновешивают друг друга,
что выражается в совпадении периода турбулентных пульсаций t/vi с
характерным временем фрикционного затухания аГ1. Таково одно из
возможных объяснений того удивительного факта, что в атмосфере
наблюдается как спектр А;-3, так и спектр А;-"5/3, причем первый — на
более крупных масштабах (Lilly and Peterson 1983).
Аналогом нисходящего энергетического каскада К41 в двумерной
турбулентности является каскад энстрофии (Kraichnan 1967а; Batche¬
lor 1969), для которого спектральная плотность подчиняется закону А;-3
с логарифмической поправкой. Эта поправка связана с существенно
нелокальной природой нелинейных взаимодействий в каскаде энстро¬
фии: основной вклад в деформацию сдвига на малых масштабах связан
9.7. Двумерная турбулентность
275
со значительно более крупными масштабами. Хотя теория замыкания
и основанные на ней вычисления полностью подтверждают двойную
картину прямого каскада энстрофии и обратного каскада энергии в
турбулентном течении, поддерживаемом внешней силой (см., например,
(Kraichnan 1971b; Pouquet, Lesieur, Andre and Basdevant 1975)), прямое
численное моделирование не дало надежного подтверждения закона к~3
для турбулентности с внешней силой. В статье (Legras, Santangelo and
Benzi 1988) получен значительно более крутой спектр на малых мас¬
штабах, но в работе (Borue 1994) при более высоких числах Рейнольдса
был получен достаточно ясный спектр к~3. К сожалению, в большей ча¬
сти этих численных экспериментов используются не уравнение Навье-
Стокса (9.67), а модифицированное уравнение, вязкостное слагаемое в
котором содержит не сам лапласиан, а его высокую степень 66
Теория Бэтчелора-Крайчнана предсказывает также спектр к~г для
затухающей двумерной турбулентности (без внешней силы). Это пред¬
сказание тоже еще не нашло надежного подтверждения в численном
эксперименте. В статье (Brachet, Meneguzzi, Politano and Sulem 1988)
спектр k~3 был получен на интервале времени умеренной длины, но при
использовании настоящего уравнения Навье-Стокса. В работе (Santan¬
gelo, Benzi and Legras 1989) обнаружено, что в конце концов энергети¬
ческий спектр становится довольно крутым, причем характер его убы¬
вания определяется начальными условиями. Авторы этой работы при¬
писывают такое поведение спектра появлению иерархии когерентных
вихрей. Последние наблюдались в численных экспериментах (Fornberg
1977; Basdevant, Legras, Sadourny and Beland 1981) и были системати¬
чески изучены Маквильямсом (McWilliams 1984). Речь идет о том, что
при больших временах возникают небольшие когерентные вихри, чья
завихренность значительно превышает среднюю завихренность турбу¬
лентного фона. По отдельности эти вихри с хорошей точностью опи¬
сываются (в подходящей системе отсчета) стационарными решениями
двумерного уравнения Эйлера:
J(V>,V2V0 = о. (9.70)
Такие решения составляют весьма широкий класс функций67 В него
входят, в частности, круговые вихри, в которых ф зависит лишь от рас¬
стояния до центра вихря. Если круговые вихри расположены достаточ¬
но редко, то они ведут себя подобно системе точечных вихрей, которая
66 Это называется «модифицированной диссипативностью» или «гипервяэкостью».
67 Мы еще вернемся к этому вопросу в разд. 9.7.2.
276
Глава 9. Что читать дальше?
в гидродинамике изучается уже более ста лет (см., например, (Kirchhoff
1877; Lamb 1932; Aref 1983) и разд. 9.7.2). Внутри таких вихрей нели¬
нейность полностью вырождена, так что нельзя говорить о какой-либо
каскадной структуре потока; в определенном смысле когерентные ви¬
хри являются каплями «ламинарной» жидкости в турбулентном течении
(Benzi, Paladin, Paternello, Santangelo and Vulpiani 1986).
9.7.2. Двумерная турбулентность и статистическая механика
Статистическая механика, развитая Максвеллом, Больцманом, Гиббсом
и их последователями, добилась ряда замечательных успехов в описа¬
нии поведения систем с очень большим числом степеней свободы. Ее
основные достижения, однако, касаются равновесных распределений
консервативных (гамильтоновых) систем. Трехмерная же турбулент¬
ность диссипативна: как мы видели в разд. 5.2, уже самой малой вяз¬
кости достаточно для появления конечной диссипации энергии. В дву¬
мерном случае, когда вязкость мала, малой оказывается и диссипация
энергии; в рассмотрении двумерного течения без вязкости есть поэто¬
му определенный смысл 68 . В отсутствие вязкости двумерное уравнение
Навье-Стокса (9.67) сводится к уравнению Эйлера. Как мы знаем, урав¬
нение Эйлера в пространстве любого числа измерений можно записать
в гамильтоновом виде (разд. 9.3). В двумерном случае этот вид особен¬
но упрощается, если приближенно представить поле скоростей £ (г) как
комбинацию большого числа N точечных вихрей с циркуляциями с*:
С(0 « ^Ci<5(r(9.71)
где г теперь обозначает (ж, у). Тогда канонически сопряженными га¬
мильтоновыми переменными будут просто CiXi и ciyi (суммирования
по повторяющемуся индексу нет), а гамильтониан в отсутствие границ
сведется к энергии взаимодействия вихрей (см., например, (Batchelor
1970)):
Н — ^ CiCjV(fi, fj). (9.72)
i<j
68 Диссипацией энстрофии, однако, пренебречь нельзя; ниже мы вернемся к этой
трудности.
9.7. Двумерная турбулентность
277
Здесь
V(r, г) = -^-ln|r-г'| (9.73)
27Г
это фундаментальное решение для оператора Лапласа, взятого со зна¬
ком минус. Заметим, что если определить функцию тока интегралом
ф(г) = J V(r,rf)((r')drf, (9.74)
где £ имеет вид (9.71), то без учета бесконечной энергии «самодействия»
гамильтониан равен ^ / СФ dr = \ f v2 dr, т. е. кинетической энергии
системы 69
Онсагер в своей работе (Onsager 1949) исследовал равновесное рас¬
пределение таких точечных вихрей и обнаружил, что возможны со¬
стояния с отрицательной температурой, в которых энтропия явля¬
ется убывающей функцией энергии и для вихрей одного знака выгодно
образование кластеров. Построенная Онсагером теория дает возник¬
новению когерентных вихрей привлекательную интерпретацию, одна¬
ко в работе (Frohlich and Ruelle 1982) было показано, что отрицатель¬
ные температуры не возникают, если при предельном переходе N -» оо
поддерживается постоянной энергия, приходящаяся в среднем на один
вихрь. Затем удалось доказать (Eyink and Spohn 1993) (см. также
(Caglioti, Lions, Marchioro and Pulverenti 1992)), что состояния с от¬
рицательной температурой существуют при N -^ оо в рамках теории
среднего поля: гамильтониан Н в (9.72) заменяется на H/N, так что
постоянной остается средняя энергия, приходящаяся на пару вихрей.
В случае, когда рассматривается течение в ограниченной области и
все вихри имеют одинаковую циркуляцию, в статье (Eyink and Spohn
1993) было получено следующее выражение для плотности распределе¬
ния одиночных вихрей (которая может рассматриваться как средняя
завихренность и обозначена здесь через £):
-VV(r) = С (г) = F(rJ>(r)), (9.75)
p—a—()ip(r) г
ПФ(г)) = т , у F(rJ>(r')) dr' = 1. (9.76)
В случае «нейтральной» среды, когда число вихрей циркуляции +1 и —1
совпадает, функция F(-) часто является гиперболическим синусом70,
69 В ограниченной области надо использовать соответствующую функцию Грина и
появится слагаемое, описывающее взаимодействие вихрей со стенкой.
70 Для этого необходимо, чтобы «химические потенциалы» а+ и а_, связанные с
вихрями соответствующих знаков, были равны; это совпадение может отсутствовать
278
Глава 9. Что читать дальше?
а не экспонентой. В этом случае (9.75) называют уравнением «синус
гиперболический-Пуассон».
В действительности уравнение «синус гиперболический-Пуассон»
известно со времени публикации статьи (Joyce and Montgomery 1973)
(см. также (Montgomery and Joyce 1974; Kraichnan and Montgomery
1980))71, в которой оно было выведено из принципа максимальной
энтропии72 Уже одного факта существования функциональной свя¬
зи между завихренностью £ и функцией тока ф (независимо от кон¬
кретного вида функции F(-)) достаточно, чтобы они были стацио¬
нарным решением уравнения Эйлера73 Численные эксперименты, в
которых затухающие решения двумерного уравнения Навье-Стокса
при больших числах Рейнольдса вычислялись в течение очень больших
промежутков времени (Montgomery, Matthaeus, Stribling, Martinez and
Oughton 1992), показали, что такое течение релаксирует к состоянию с
вырожденной нелинейностью, хорошо описываемой уравнением «синус
гиперболический-Пуассон»74.
Это приводит нас к фундаментальному вопросу: до какой степе¬
ни законно выводить поведение решения слабо диссипативного дву¬
мерного уравнения Навье-Стокса на больших временах из равновес¬
ных свойств таких консервативных систем, как точечные вихри? Как
учесть диссипацию энстрофии — явление, которое всегда наблюдается
в численных экспериментах при больших числах Рейнольдса?
В своих замечательных статьях Робер и Соммериа (Robert 1990,
1991; Robert and Sommeria 1991), а также Миллер (Miller 1990) показа¬
ли, что для реальных жидкостей использование статистической меха¬
ники консервативных систем может быть оправданным 75. Попытаемся
даже в том случае, когда положительных и отрицательных вихрей конечное число,
если в состоянии равновесия нарушается четность системы.
71 В контексте динамики звезд уравнение (9.76) было также получено в статье
(Lynden-Beli 1967) из уравнения Джинса-Власова-Пуассона для гравитационного
взаимодействия звезд. Там же рассматривался гравитационный аналог случая не¬
прерывного распределения завихренности, обсуждаемого ниже.
72 Речь здесь идет о следующем критерии термодинамического равновесия: равно¬
весное состояние системы с определенной внутренней энергией является устойчи¬
вым, если в этом состоянии энтропия принимает наибольшее значение среди всех
других состояний с той же энергией. — Прим. ред.
73 Поскольку якобиан (9.69) обращается в 0. — Прим. ред.
74 По данным (Pasmanter 1994), функция Г(ф) = сф/( 1 — ф2) при —1 < ф < +1 дает
столь же хорошее соответствие.
75 См. также (Kuz’min 1982).
9.7. Двумерная турбулентность
279
передать дух этих работ, по ходу дела заимствуя некоторые результа¬
ты статей (Eyink and Spohn 1993) и (Pasmanter 1994). Сначала заметим,
что при отсутствии вязкости гладкое (или кусочно гладкое) начальное
распределение вихрей со временем становится исключительно запутан¬
ным, так что возникают большие градиенты завихренности (Zabusky,
Hughes and Roberts 1979; Dritschel 1989). Вдоль траекторий жидких ча¬
стиц завихренность и площади жидких двумерных областей остаются
постоянными. Поэтому в дополнение к энергии
Сгладим поле завихренности, локально усредняя его по шару радиуса
а, малого по сравнению с размерами больших вихрей. При этом энер¬
гия и интеграл завихренности fli практически не изменятся, а дру¬
гие интегралы, в особенности энстрофия могут, напротив, резко
уменьшиться, так как при сглаживании противоположные значения за¬
вихренности соседних вихрей сократятся. Другими словами, «крупно¬
зернистое» описание завихренности может привести к эффекту, ана¬
логичному вязкой диссипации, при которой энстрофия понижается, а
энергия изменяется мало. Миллер (Miller 1990) произвел такое крупно¬
зернистое усреднение в явном виде, в то время как Робер и Сомме-
риа (Robert and Sommeria 1991) прибегли к более радикальному под¬
ходу, основанному на так называемых «мерах Янга»: «в каждой точ¬
ке мы определили вероятностную меру, которая в некотором стати¬
стическом смысле дает локальное распределение мелкомасштабных ос¬
цилляций микроскопической завихренности»76 Авторы этой работы
76 Мера Янга — это обобщение понятия обычной (однозначной или многозначной)
функции в следующем смысле. Будем понимать график функции как носитель ве¬
роятностной меры Дирака: вероятность того, что значение функции / в данной
точке х есть /(ж), равна 1. Тогда естественно обобщить этот объект, задавая в ка¬
ждой точке произвольную, не обязательно атомарную, вероятностную меру. С такой
«функцией» работают как с обобщенной, понимая ее производные в слабом смысле
и т. п. Самое сложное в этой теории — получив обобщенное решение в смысле ме¬
ры Янга, доказать, что она атомарна, т. е. сводится к обычной функции. В теории
квазилинейных законов сохранения (типа уравнений гидродинамики) это делается с
E=\f С(г)Ф(г) d? = \JJ r')ar)ar') dr dr' (9.77)
сохраняются еще интегралы
(9.78)
280
Глава 9. Что читать дальше?
фактически отказались не только от детерминистского описания зави¬
хренности, но и от ее однозначной определенности в каждой точке, хо¬
тя «обычное» поле завихренности можно восстановить как поточечное
среднее значение. Затем они перенесли уравнение Эйлера с обычных
функций на меры Янга, при помощи подходящей энтропии построили
стационарное обобщенное решение уравнения Эйлера в смысле меры
Янга77 и доказали, что она характеризует «наиболее вероятное» пове¬
дение. Промежуточные шаги этого рассуждения, пожалуй, несколько
уводят в сторону от физической интуиции (по крайней мере, обычного
типа). К счастью, в итоге у Робера и Соммериа (Robert and Somme-
ria 1991) получилось простое уравнение для среднего поля, выведенное
также у Миллера (Miller 1990). Оно отличается от уравнения Джойса и
Монтгомери (9.76), но переходит в него в пределе, когда в начальном
безвихревом течении сохраняются лишь малые области завихренности.
Переходя к конкретным выкладкам, предположим, что течение за¬
ключено в ограниченной области Л площади |Л|, а Ро(Х) — плотность
распределения завихренности в начальный момент, т. е. Ро(А) d\ равна
доле площади области, в которой начальная завихренность заключена
между Л и А + d\:
Так как течение сохраняет завихренность и площади, эта вели¬
чина остается постоянной. Равновесная плотность распределения
использованием так называемых энтропий (П. Лаке, С. Н. Кружков), т. е. дополни¬
тельных законов сохранения, допускаемых изучаемой системой (они упоминаются
ниже в тексте). Достаточно богатый запас энтропий позволяет доказать атомар¬
ность меры Янга. Имя Л. Ч. Янга с такими функциями связано потому, что он ввел
аналогичные им «обобщенные экстремали» в вариационное исчисление, понимая их
как функционалы на пространстве допустимых лагранжианов вариационной задачи.
Синоним теории мер Янга — «метод компенсированной компактности», т. е. метод
обоснования предельного перехода в данной теории; ключевые достижения связаны
с именами Л. Тартара и Р. Ди Перны. Теория мер Янга в последние годы развива¬
лась в направлении учета не только распределения вероятности значений функции
в данной точке, но и учета межточечных корреляций и т. п., хотя, по-видимому,
систематического характера это развитие не достигло. — Прим. ред.
77 То есть стационарное обобщенное решение уравнения Эйлера в смысле меры Ян¬
га, а вовсе не инвариантную меру связанной с этим уравнением бесконечномерной
динамической системы, как можно было бы подумать. — Прим. ред.
dr.
(9.79)
9.7. Двумерная турбулентность
281
завихренности Робера-Соммериа-Миллера зависит от радиус-вектора
г и имеет вид
Р(г,А) =
1 е[-а(А)-/?А^(?)]
г[ф(г)\
(9.80)
где параметр (3 (обратная температура) и функция а — это множители
Лагранжа, а статистическая сумма Z[ip(r)] выражается интегралом
г(ф) = J d\e^x)-px^
(9.81)
и гарантирует нормированность Р(г, А). Соотношение среднего поля
для точечных вихрей (9.76), обобщенное благодаря учету распределе¬
ния завихренности А, получается в пределе Z —> 1. Затем завихренность
«разбавляется» безвихревым полем скоростей таким образом, чтобы
избавиться от условия локальной нормированности Р(г, А). Заметим,
однако, что произвольно сделанный выбор модельного распределения
завихренности в этом месте однозначно определяется глобальным рас¬
пределением уровней завихренности в начальных данных.
При каждом г средняя (или макроскопическая) завихренность опре¬
деляется как
C(r) = JAP(f, A)dA = -
V»=v>(r)
(9.82)
Именно эта величина фигурирует в уравнении Пуассона для функции
тока ф:
-VV = С = Р{ф) = -l^ln г{ф). (9.83)
Отсюда следует, что макроскопическая завихренность является стаци¬
онарным решением уравнения Эйлера. Множители Лагранжа (3 и а(А)
определяются из следующих условий: (i) полная энергия (9.77) должна
быть равна своему начальному значению (одно условие); (ii) усреднен¬
ная по пространству функция распределения флуктуирующей (микро¬
скопической) завихренности должна совпадать с функцией распределе¬
ния начальной завихренности (семейство условий, параметризованное
величиной А):
р°(л) = щ/д™?- (9'м)
Из равенств (9.82) и (9.84) следует, что средняя величина макроскопи¬
ческой завихренности остается равной своему начальному значению,
282
Глава 9. Что читать дальше?
но средний квадрат макроскопической завихренности, вообще гово¬
ря, уменьшается. Поэтому некоторая часть макроскопической энстро-
фии переходит в микроскопическую энстрофию. Помо показал (Pomeau
1992), что такой механизм диссипации макроскопической инвариант¬
ной величины, при котором она передается флуктуациям очень малых
масштабов, является довольно общим: так, он имеет место в (дефо¬
кусирующем) уравнении Шрёдингера с кубической нелинейностью, где
число частиц и энергия играют те роли, которые в нашем примере были
отведены энергии и энстрофии.
Чтобы судить о том, насколько такая квазиневязкал 78 теория рав¬
новесия применима на практике, следует прежде всего установить,
правильно ли действие вязкой диссипации моделируется превращени¬
ем макроскопической энстрофии в микроскопическую. Верно ли опре¬
деляется характерное время этого процесса? Совпадает ли истинное
распределение завихренности при больших временах с предсказанием
квазиневязкой теории равновесия? Мы уже упоминали численные ре¬
зультаты, подтверждающие применимость такой теории (Montgomery,
Matthaeus, Stribling, Martinez and Oughton 1992). Можно тем не менее
выдвинуть некоторые содержательные возражения. Во-первых, очевид¬
но, что при сколь угодно малой вязкости любое течение в конце концов
перейдет в состояние покоя, а не стационарного движения, как пред¬
сказывает квазиневязкая теория равновесия. Это возражение, однако,
нельзя признать удовлетворительным, поскольку течение вполне может
продолжительное время оставаться в квазистационарном состоянии, в
котором нелинейность не проявляется, а непосредственное вязкое за¬
тухание (в отличие от затухания, усиленного турбулентным каскадом)
происходит очень медленно. Можно указать также, что в своем совре¬
менном состоянии квазиневязкая теория не учитывает топологическое
условие отсутствия пересечений вихревых линий (V. Zeitlin, частное
сообщение). В статье (Eyink and Spohn 1993) показано, что строгая эр¬
годичность газа точечных вихрей (i) маловероятна и (ii) на самом деле
не нужна для применимости квазиневязкой теории равновесия. По пово¬
ду величины характерного времени в ней утверждается, что «локальное
равновесие» на уровне отдельных вихревых кластеров, вероятно, уста¬
навливается довольно быстро, но переход к глобальному равновесию
может занять гораздо больше времени, если отдельные кластеры редко
разбросаны по течению, как в примере из разд. 9.7.3.
78
Этот термин предложил Пасмантер.
9.7. Двумерная турбулентность
283
С нашей точки зрения, для определения границ ниши применимо¬
сти квазиневязкой теории равновесия в двумерном случае необходимо
еще много сделать. Уже предприняты некоторые попытки включить
в эту теорию дополнительные элементы, такие как квазигеострофи-
ческое обобщение двумерного уравнения Навье-Стокса, предназначен¬
ное для объяснения планетарных течений, скажем, Красного пятна на
Юпитере (Sommeria, Nore, Dumont and Robert 1991; Michel and Robert
1994).
9.7.3. Консервативная динамика, прерываемая
диссипативными событиями
Легко заметить, что квазиневязкая теория равновесия становится не¬
применимой, если вихри расположены один от другого. В численных
экспериментах, проводимых на достаточно мелких сетках с начальны¬
ми условиями в виде случайных полей с длиной корреляции, весьма ма¬
лой по сравнению с размером сетки, обычно наблюдается образование
многих вихревых монополей, плотность которых p(t) (скажем, среднее
число вихрей на единицу площади) убывает как
p(t) ос t“f, (9.85)
где £ « 0,70 — 0,75 (McWilliams 1990). Скейлинговая теория этого
явления была предложена в работе (Carnevale, McWilliams, Pomeau,
Weiss and Young 1991) и получила дальнейшее развитие в (Weiss and
McWilliams 1993); аналогичный подход можно найти в (Benzi, Colel-
la, Briscolini and Santangelo 1992). Основная идея этой теории состо¬
ит в том, что большую часть времени вихри удалены друг от друга
на значительные расстояния, так что их движение может быть опи¬
сано гамильтоновой динамикой точечных вихрей. Время от времени
какие-либо два вихря одного знака подходят достаточно близко один
к другому, чтобы произошло слияние. Слияния — это диссипативные
события, прерывающие консервативную в остальные моменты времени
динамику.
Предположим, что в момент слияния вихрей ни их энергия, ни мак¬
симальная (по модулю) величина завихренности £Экстрем данных вихрей
не изменяются. Напротив, типичный размер вихря a(t) и энстрофия мо¬
гут измениться 79 Очевидно, предположение о сохранении энергии для
79 В простейшей модели все вихри имеют одинаковый размер, но в статье (Weiss
and McWilliams 1993) изучено нетривиальное распределение по размерам.
284
Глава 9. Что читать дальше?
двумерной турбулентности при больших числах Рейнольдса является
разумным. Что касается сохранения пика завихренности, то он дости¬
гается обычно в центре вихря, в то время как основная диссипация
энстрофии при слиянии происходит, как правило, на его периферии,
где вихревые нити 80 быстро разрушаются под действием вязкости.
Энергия £, приходящаяся на единицу площади, приближенно равна
PCэкстрем°4- (Заметим, что равна типичной скорости движения жид¬
кости внутри вихря.) Из сделанных выше предположений следует, что
произведение p(t)a*(t) должно оставаться постоянным. Следовательно,
из (9.85) получаем
a(t) ос t^4. (9.86)
Полного теоретического обоснования закона t~t эволюции плотно¬
сти вихрей не существует. Само по себе слияние поддается довольно
подробному аналитическому описанию, но найти вероятность того, что
два точечных вихря сблизятся на расстояние dc, необходимое для сли¬
яния, можно лишь из данных численного эксперимента. Однако суще¬
ствует прием, позволяющий за счет подходящей перенормировки избе¬
жать слишком быстрого убывания числа вихрей (Weiss and McWilliams
1993). Это дает возможность определить показатель £ с точностью до
нескольких процентов 81
Утверждение, что численный эксперимент подтверждает эту скей-
линговую теорию, является своего рода тавтологией. Некоторое под¬
тверждение как теории, так и численных экспериментов дали уже пер¬
вые лабораторные эксперименты (Tabeling, Burkhart, Cardoso and Will-
aime 1991). В них изучался тонкий слой электролита — объект, который
использовался еще в экспериментах Бондаренко, Гака и Должанского
(Bondarenko, Gak and Dolzhansky 1979) (см. также (Gledzer, Dolzhansky
and Obukhov 1981)), в которых изучалось течение Колмогорова. Ви¬
хревое движение в этом слое сначала возбуждалось при помощи посто¬
янных магнитов, поле которых действовало на пропускавшийся через
электролит ток, а затем ток выключали, чтобы позволить вихрям сво¬
бодно затухать. Измерения производились в той фазе, когда слияние
80 Выбор одного и того же термина нить для обозначения как (i) трехмерных тон¬
ких областей большой завихренности с приблизительно круговым сечением, обсу¬
ждавшихся в разд. 8.9.1, так и (ii) двумерных длинных и тонких лент почти од¬
нородной завихренности, не очень удачен. Может быть, в последнем случае лучше
было бы говорить о «вихревых волосах».
81 С еще одной оговоркой, что в численных расчетах использовалось вязкостное
слагаемое с квадратом, а не первой степенью лапласиана.
9.7. Двумерная турбулентность
285
вихрей происходило быстрее, чем глобальное затухание из-за трения
жидкости о стенки сосуда, так что последнее можно было спокойно
игнорировать. Наблюдался типичный рост размеров вихрей по зако¬
ну a(t) ос £°’22±0’03, что близко к значению, предсказываемому (9.86) в
предположении £ « 0,70 — 0,75. Но при дальнейшем усовершенствовании
методики измерений пика завихренности (Cardoso, Marteau and Tabel-
ing 1994) было обнаружено, что его величина далеко не постоянна, в
противоречии с публиковавшимися ранее результатами теоретических
и численных исследований. Более того, плотность вихрей убывала по
степенному закону с гораздо меньшим показателем (прммерно —0,44).
В действительности, однако, в этих экспериментах вихри не разрежа¬
ются, а остаются упакованными плотно, как молекулы жидкости. Мы
подозреваем, что основная причина выявленных расхождений заключе¬
на не столько в трении о стенки, сколько в малости числа Рейнольдса
R: рассчитанное по размеру сосуда с жидкостью, оно составляет около
2000, а по размерам отдельных вихрей — около 200.
9.7.4. Из Флатландии — к трехмерной турбулентности
Польза, которую многие области теоретической физики и физики кон¬
денсированного состояния получили от занятий «флатландской (плос¬
кой) физикой», очевидна и не нуждается в специальных доказатель¬
ствах. Двумерные модели часто помогают разобраться в смысле новых
понятий, как произошло, например, с построенной Онсагером теорией
двумерной модели Изинга (см., например, (Huang 1963)). Кроме того,
среди физических явлений нашего трехмерного мира существует не¬
ожиданно много таких, которые на самом деле описываются двумерны¬
ми уравнениями. В этом заключительном пункте мы затронем два во¬
проса: (i) Насколько хорошо мы понимаем двумерную турбулентность
при больших числах Рейнольдса? (ii) Что из найденного нами может
пригодиться и в трех измерениях?
В двумерном случае задачи о затухающей турбулентности и о тур¬
булентности, поддерживаемой внешней силой, отличаются друг от дру¬
га много сильнее, чем в трехмерном. Возьмем двумерное турбулентное
течение в неограниченной области при наличии внешней силы, действу¬
ющей на каком-то одном выделенном масштабе. Для него теория ста¬
тистически самоподобного потока со спектром fc-5/3, развитая Колмо¬
горовым и переработанная Крайчнаном (Kraichnan 1967а), дает очень
хорошее описание обратного каскада: действительно, на больших мае¬
286
Глава 9. Что читать дальше?
штабах не возникает никаких когерентных вихревых структур, кото¬
рые могли бы нарушить такое описание. Свойства вихрей, густо насе¬
ляющих малые масштабы, сильно зависят от характера внешней силы,
так что универсальности может не быть. Возможно, фон течения меж¬
ду вихрями обладает универсальными свойствами, как предсказывает
теория каскада энстрофии (Batchelor 1969; Kraichnan 1967а) или теория
конформной турбулентности (Polyakov 1993), но это еще не подтвер¬
ждено.
Затухающая двумерная турбулентность в неограниченной области
развивается в разреженный газ вихрей с динамикой, определяемой опи¬
санным в разд. 9.7.3 скейлинговым режимом с прерываниями, при ко¬
тором универсальность, по-видимому, имеет место. Хотя здесь еще нет
полной теории, на ее появление можно надеяться. В ограниченной обла¬
сти квазиневязкая теория равновесия разд. 9.7.2 приводит к замеча¬
тельному (и хорошо подтвержденному) выводу, что течение стремит-
сяoz к состоянию с полностью вырожденной нелинейностью; детали
структуры возникающего вихря (или пары вихрей) могут зависеть от
распределения скорости в начальный момент.
Таким образом, двумерная турбулентность может быть охарактери¬
зована двойственностью Леонардо-Колмогорова, напоминающей кван¬
товую двойственность волна-частица. Вихри относятся к миру Леонар¬
до, в то время как почти гауссовский обратный каскад принадлежит
колмогоровскому миру. Последний можно изучать как в физическом
пространстве, так и в фурье-представлении 82 83 , в то время как вид пер¬
вых в фурье-пространстве может быть совершенно искажена.
Теперь попробуем оценить, что из сделанного поддается переносу с
двумерного на трехмерный случай. Нам неизвестна ни одна успешная
попытка развить квазиневязкую теорию равновесия для трехмерной
турбулентности. Основная физическая трудность здесь заключается,
конечно, в том, что уже очень малая вязкость приводит к быстрому
рассеянию энергии.
Идея консервативной динамики, прерываемой диссипативными
событиями, может быть непосредственно применимой и в трех из¬
мерениях. В двумерном случае она тесно связана с возникновением
структур, характеризующихся сильно вырожденной нелинейностью,
82 С возможным переходным скейлинговым режимом с прерываниями, если в на¬
чальный момент длина корреляций много меньше размера области.
83 И с хорошей точностью применять метод замыкания.
9.7. Двумерная турбулентность
287
а именно вихрей. В трехмерном случае есть еще больше возможностей
для вырождения. Самым замечательным примером этого служат
вихревые нити (разд. 8.9.1): пока они остаются далеко одна от другой,
их взаимодействие и самодействие можно изучать без учета вязкости.
Диссипативными событиями, прерывающими такую консервативную
динамику, будут распады нитей на отдельные вихри и столкновения
нитей с последующим перезамыканием.
Из исследований двумерной турбулентности вытекает, что разум¬
ная статистическая теория течения с преобладанием когерентных
структур не может быть построена до тех пор, пока последние не бу¬
дут выделены и описаны каким-то набором параметров. Когерентные
структуры являются как бы «молекулами» такой теории. В трехмерном
случае подобную роль могут играть струны, они же вихревые нити,
но есть и ряд других кандидатов, в частности вихревые поверхно¬
сти, вихри Бюргерса (см. с. 209) и другие компактные структуры в
физическом и фурье-пространстве.
Роль численных и лабораторных экспериментов нуждается в особом
обсуждении. В двумерном численном моделировании в настоящее время
достижимы очень большие числа Рейнольдса, так что соответствующие
эксперименты можно считать действительно асимптотическими. Кро¬
ме того, смоделированный двумерный поток очень легко визуализиру¬
ется. Наконец, численные эксперименты имеют преимущество над лабо¬
раторными, так как в последних истинное двумерное течение, особенно
при больших числах Рейнольдса, трудно достижимо. В трехмерном слу¬
чае ситуация противоположна: требуется еще значительное развитие
компьютерной техники, прежде чем мы сможем получать инерцион¬
ные интервалы в несколько декад, необходимые для точных измерений
скейлинговых показателей, в то время как в лаборатории это можно
сделать со сравнительно небольшими затратами. Однако реконструи¬
ровать многомерные мелкомасштабные структуры по данным компью¬
терного моделирования — значительно более простая (хотя и далеко
не тривиальная) задача, а слова фон Неймана (von Neumann 1949) о
том, что «возможный выход из тупика открывает широкая, но хоро¬
шо спланированная программа численных экспериментов», никогда не
потеряют своей истинности. В действительности наблюдается усили¬
вающееся взаимодействие между лабораторными и численными экспе¬
риментами, дорогу для которого открыли новые экспериментальные
методики, разработанные для больших чисел Рейнольдса.
288
Глава 9. Что читать дальше?
Extrait du "Guide de VAlpiniste Turbulent"
Ascensions du Pic de NAV1ER-ST0KES
Le Pic de navier-stokes est
й coup sdr le sommet le plus difficile
й atteindre, mais Pun des plus beaux.
La fiire devise des ileves de
VEcole des Hautes Montagues
en Friches: "quononascendam"
doit guider Vardeur de tous
ceux qui s'attaquent й ce
Massif.
Sur le croquis ci-contre,
et suivant V usage, les
altitudessontexprimies/ -
en Reynolds. О
torrent intermittent
J&r
voie du grdupe %=4oo
de renormausatiofT
:^>i
rocher-ecole de la simulation numirique
Quatre voies sont actuellement identifiies:
La face de la fermeture: paroi glade, pente raide mais constante, de 166 % (=5/3).
Le sommet est en vue directe tout au long du chemin.
La directissime mathimatiaue: escalade artificielle, mais la voie est sQre, et pitonnie
dans toute sa partie explode.
La voie du croupe de renormalisation: a condition de n’emprunter que les gros
tourbillons, on arrive au sommet. Lespetits tourbillons n'ontpas iti approchis avec
succks: pour certains, cette voie s’apparente й du "rocherpourri" demandant
une extreme dilicatesse.
La voie exoirimentale: considirie par certains comme la voie normale, elle est
semie d'embdches, et Von n’a pas encore riussi a Vouvrir jusqu’au sommet.
Enfin, il existe un rocher-icole. dit de la simulation numiriaue. tout semblable
au Pic de NAVIER-STOKES - Des prises artificielles ont iti minagies sur ce rocher
peu ilevi, suivant un maillage rigulier.
Рис. 9.1. Шуточная карта, которую нарисовал в 1977 г. астроном Филипп
Делаш, проницательный наблюдатель сообщества исследователей турбулент¬
ности и друг автора этой книги, безвременно ушедший из жизни в 1994 г.
На карте изображен «пик Навье-Стокса» и четыре его исследованных склона:
экспериментальный, математический, ренормгруппы и замыкания. Имеется
также его упрощенная модель — скалодром численного моделирования
9.7. Двумерная турбулентность
289
Из “ПутеводителяТурбулентного Альпиниста”
Пик навье-стокса — несомненно
самая трудная, но и одна из самых
красивых вершин.
Гордый девиз учеников фришской
школы горновосходителей
-КУДА НЕ ВЗОЙДУ” должен
вдохновлять всех тех,
кто штурмует
эту Гору.
На карте, как обычно,
высоты выражены в
числах Рейнольдса.
Восхождение на пик навье-стокса
перемежающиеся потоки
фрактальная зона
маршрут
ренормгруппы
скалодром численного моделирования
В настоящее время описаны четыре маршрута:
Маршрут со стороны замыкания: ледовая стена, крутая, но однородная, наклон
166% (-5/3). Вершина видна со всех точек маршрута.
Прямой математический путы технически сложное лазанье, но с возможностью
организации надежной страховки на всех участках.
Маршрут ренормгруппы• при условии ограничений только большими вихрями удается
достичь вершины. Мелкие вихри преодолеть не удается. Это путь по сильно
разрушенным скалам с большим количеством **живыхп камней, требующий крайней
осторожности.
Экспериментальный маршрут: рассматривается некоторыми как естественный, но он
изобилует скрытыми препятствиями и его до сих пор не удалось пройти до вершины.
Есть еще скалодром численного моделирования, подобный пику навье-стокса, —
невысокая скала, покрытая правильной сеткой искусственных точек опоры.
Перевод на русский язык В. И. Арнольда
290
Глава 9. Что читать дальше?
Конечно, самые современные численные и экспериментальные ис¬
следования являются необходимым условием для прогресса в изучении
турбулентности. Однако видеть и измерять все еще не значит пони¬
мать. Действительно, турбулентное течение подвергалось тщательным
наблюдениям в течение пяти веков, измерениям в течение века и чи¬
сленному моделированию в течение четверти века, но рис. 9.1, воспро¬
изводящий нарисованный в 1977 г. Филиппом Делашем шарж на состо¬
яние исследований турбулентности, пока остается актуальным. Такие
большие временные масштабы совершенно необычны для физики, но
иногда встречаются в математике. Случайно ли поэтому, что глубже
всех в суть турбулентности проник именно Андрей Николаевич Колмо¬
горов — математик, обладавший страстным интересом к живой дей¬
ствительности?
Литература
Abry Р., Fauve S., Flandrin P. & Laroche C. 1994. Analysis of pressure fluctuations
in swirling flows. J. Phys. II France 4, 725-733.
Amit D. J. 1984. Field Theory, the Renormalization Group and Critical Phenomena,
2nd edition. World Scientific, Singapore.
Anselmet F., Gagne Y., Hopfinger E. J. & Antonia R. A. 1984. High-order velocity
structure functions in turbulent shear flow. J. Fluid Mech. 140, 63-89.
Aref H. 1983. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-dimensional
flows. Ann. Rev. Fluid Mech. 15, 345-389.
Aref H. 1984. Stirring by chaotic advection. J. Fluid Mech. 143, 1-21.
Arnold V. I. 1963. На русском языке:
Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении
условно-периодических движений при малом изменении функции Гамиль¬
тона. Успехи машем, паук 1963, 18(5), 13-40.
Arnold V. 1.1965. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits.
C. R. Acad. Sci. Paris 261, 17-20.
Arnold V. I. 1966. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension in-
finie et ses applications a 1 Ъуdrodynamique des fluides parfaits. Ann. Inst. Fourier
16, 319-361.
Arnold V. I. 1972. На русском языке:
Арнольд В. И. Замечания о поведении течений трехмерной идеальной жид¬
кости при малом возмущении начального поля скоростей. Прикл. мех. ма¬
шем. 1972, 36(2), 255-262. (См. также: Арнольд В. И. Избранное-60. М.:
ФАЗИС, 1997, 203-212.)
Arnold V. I. 1984. Ha русском языке:
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука,
1984.
Arnold V. I. 1994. On А. N. Kolmogorov. In: Golden Years of Moscow Mathematics,
129-153 (vol. 6 in ‘History of Mathematics’). Eds. S. Zdravkovska & P. L. Duren.
American Mathematical Society & London Mathematical Society.
Ha русском языке:
Арнольд В. И. Об А. Н. Колмогорове. В кн.: Колмогоров в воспоминани¬
ях. Под ред. А. Н. Ширяева. М.: Наука, 1993, 144-172. (См. также: Ар¬
нольд В. И. Избранное-60. М.: ФАЗИС, 1997, 653-677.)
292
Литература
Arnold V. I. & Khesin В. A. 1992. Topological methods in hydrodynamics. Ann.
Rev. Fluid Mech. 24, 145-166.
Arnold V. I., Kozlov V. V. & Neishtadt A. I. 1988. Mathematical aspects of classical
and celestial mechanics. In: Dynamical Systems III, 1-291. In: Encyclopaedia of
Mathematical Sciences. Springer, Berlin.
Ha русском языке:
Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты
классической и небесной механики. В кн.: Итоги науки и техники. Совре¬
менные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3: Ди¬
намические системы-3. М.: ВИНИТИ, 1985.
Arnold V. I., Zeldovich Ya. В., Ruzmaikin А. А. & Sokoloff D. D. 1981. Ha русском
языке:
Арнольд В. И., Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитное
поле в стационарном течении с растяжениями в римановом пространстве.
ЖЭТФ 1981, 81(6), 2052-2058.
Atten Р., Caputo J. G., Malraison В. & Gagne Y. 1984. Determination of attractor
dimension of various flows. In: Bifurcations and Chaotic Behaviours. J. Mec. Theor.
Appl. Supply 133-156. Eds. G. Iooss & R. Peyret.
Aubry N., Holmes P., Lumley J. L. & Sone E. 1988. The dynamics of coherent struc¬
tures in the wall region of a turbulent boundary layer. J. Fluid Mech. 192,115-173.
Aurell E., Frisch U., Lutsko J. & Vergassola M. 1992. On the multifractal properties of
the energy dissipation derived from turbulence data. J. Fluid Mech. 238, 467-486.
Aurell E., Boffetta G., Crisanti A., Frick P., Paladin G. & Vulpiani A. 1994. Statistical
mechanics of shell models for 2D-turbulence. Phys. Rev. E 50, 4705-4715.
Avellaneda M. & Majda A. J. 1990. Mathematical models with exact renormalization
for turbulent transport. Commun. Math. Phys. 131, 381-429.
Bacry E., Arneodo A., Frisch U., Gagne Y. & Hopfinger E. 1990. Wavelet analysis of
fully developed turbulence data and measurement of scaling exponents. In: Tur¬
bulence 89: Organized Structures and Turbulence in Fluid Mechanics, 203-215.
Eds. O. Metais & M. Lesieur. Kluwer, Dordrecht.
Barabasi A.-L. & Stanley H. E. 1995. Fractal Concepts in Surface Growth. Cambridge
University Press, Cambridge.
Bardos C. & Benachour S. 1977. Domaine d’analyticite des solutions de Pequation
d’Euler dans un ouvert de Rn. Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa 4, 647-687.
Bardos C. & Frisch U. 1976. Finite-time regularity for bounded and unbounded ideal
incompressible fluids using Holder estimates. In: Turbulence and the Navier-Stokes
Equations, 1-13. (Lect. Notes in Math., 565) Ed. R. Temam. Springer, Berlin.
Basdevant C., Legras B., Sadourny R. & Beland M. 1981. A study of barotropic model
flows: intermittency, waves and predictability. J. Atmos. Sci. 38, 2305-2326.
Литература
293
Batchelor G. К. 1946. Double velocity correlation function in turbulent motion.
Nature 158, 883-884.
Batchelor G. K. 1947. Kolmogoroff’s theory of locally isotropic turbulence. Proc.
Cambridge Phil. Soc. 43, 533-559.
Batchelor G. K. 1951. Pressure fluctuations in isotropic turbulence. Proc. Cambridge
Phil Soc. 47, 359-374.
Batchelor G. K. 1953. The Theory of Homogeneous Turbulence. Cambridge Univer¬
sity Press, Cambridge.
Перевод на русский язык:
Бэтчелор Дж. К. Теория однородной турбулентности. М.: ИЛ, 1955.
Batchelor G. К. 1969. Computation of the energy spectrum in homogeneous two-
dimensional turbulence. Phys. Fluids Suppl. II 12, 233-239.
Batchelor G. K. 1970. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University
Press, Cambridge.
Перевод на русский язык:
Бэтчелор Дж. К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.
Batchelor G. К. 1990. Kolmogorov’s work in turbulence. In: Kolmogorov’s obituary
(organized by D. Kendall). Bull. London Math. Soc. 22, 47-51.
Batchelor G. K. & Proudman I. 1956. The large-scale structure of homogeneous
turbulence. Phil. Trans. Roy. Soc. 268, 369-405.
Batchelor G. K. & Townsend A. A. 1947. Decay of vorticity in isotropic turbulence.
Proc. Royal Soc. London A 191, 534-550.
Batchelor G. K. & Townsend A. A. 1949. The nature of turbulent motion at large
wave-numbers. Proc. Royal Soc. London A 199, 238-255.
Battimelli G. & Vulpiani A. 1982. Kolmogorov, Heisenberg, von Weizsacker, Onsager:
un caso di scoperta simultanea. In: Atti III congresso nazionale di storia della fisica
(Palermo 11-16 ottobre 1982), 169-175.
Bayly B. J., Orszag S. A. & Herbert T. 1988. Instability mechanism in shear-flow
transition. Ann. Rev. Fluid Mech. 20, 359-391.
Beale J. T.t Kato T. & Majda A. J. 1989. Remarks on the breakdown of smooth
solutions for the 3-D Euler equations. Commun. Math. Phys. 94, 61-66.
Belin F., Maurer J., Tabeling P. & Willaime H. 1996. Observation of worms in fully
developed turbulence. J. Phys. II France 6, 573-584.
Belinicher V. I. & Lvov V. S. 1987. На русском языке:
Белиничер В. И., Львов В. С. Масштабно-инвариантная теория развитой
гидродинамической турбулентности. ЖЭТФ 1987, 93(2), 533-551.
Bender С. & Orszag S. А. 1978. Advanced Mathematical Methods for Scientists and
Engineers. McGraw-Hill, New York.
294
Литература
Benney D. J. & Newell A. C. 1969. Random wave closures. Stud. Appl. Math. 48,
29-53.
Benney D. J. & Saffman P. G. 1966. Nonlinear interactions of random waves in a
dispersive medium. Proc. Royal Soc. London A 289, 301-320.
Bensoussan A., Lions J. L. & Papanicolaou G. 1978. Asymptotic Analysis for Periodic
Structures. North-Holland, Amsterdam.
Benzi R.t Biferale L. & Parisi G. 1993. On intermittency in a cascade model for
turbulence. Physica D 65, 163-171.
Benzi R.f Biferale L., Crisanti A.. Paladin G., Vergassola M. & Vulpiani A. 1993. A
random process for the construction of multiaffine fields. Physica D 65, 352-358.
Benzi R., Biferale L., Paladin G., Vulpiani A. & Vergassola M. 1991. Multifractality
in the statistics of velocity gradients. Phys. Rev. Lett. 67, 2299-2302.
Benzi R.f Ciliberto S.f Baudet C.f Ruiz Chavarria C. & Tripiccione C. 1993. Extended
self-similarity in the dissipation range of fully developed turbulence. Europhys. Lett.
24, 275-279.
Benzi R.f Ciliberto S.f Baudet C. & Ruiz Chavarria G. 1995. On the scaling of three
dimensional homogeneous and isotropic turbulence. Physica D 80, 385-398.
Benzi R., Ciliberto S., Tripiccione R., Baudet C, Massaioli F. & Succi S. 1993. Ex¬
tended self-similarity in turbulent flows. Phys. Rev. E 48, R29-R32.
Benzi R.f Colella M.t Briscolini M. & Santangelo P. 1992. A simple point vortex model
for two-dimensional decaying turbulence. Phys. Fluids A 4, 1036-1039.
Benzi R.f Legras B.f Parisi G. & Scardovelli R. 1995. Conformal field theory and direct
numerical simulation of two-dimensional turbulence. Europhys. Lett. 29, 203-208.
Benzi R., Paladin G., Parisi G. & Vulpiani A. 1984. On the multifractal nature of
fully developed turbulence and chaotic systems. J. Phys. A 17, 3521-3531.
Benzi R., Paladin G., Paternello S., Santangelo P. & Vulpiani A. 1986. Intermittency
and coherent structures in two-dimensional turbulence. J. Phys. A 19, 3771-3784.
Berge P., Pomeau Y. & Vidal C. 1984. L’ordre dans le chaos: vers une approche
deterministe de la turbulence. Hermann, Paris.
Перевод на русский язык:
Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе: О детерминистском подходе
к турбулентности. М.: Мир, 1991.
Berry М. 1977. Focusing and twinkling: critical exponents from catastrophes in
non-Gaussian random short waves. J. Phys. A 10, 2061-2081.
Berry M. 1982. Universal power-law tails for singularity-dominated strong fluctua¬
tions. J. Phys. A 15, 2735-2749.
Bertozzi A. & Constantin P. 1993. Global regularity for vortex patches. Commun.
Math. Phys. 152, 19-28.
Литература
295
Biferale L., Blank M. & Frisch U. 1994. Chaotic cascades with Kolmogorov 1941
scaling. J. Stat. Phys. 75, 781-795.
Biferale L., Lambert A., Lima R. & Paladin G. 1995. Transition to chaos in a shell
model of turbulence. Physica D 80, 105-119.
Blank M. 1995. Geometric constructions in multifractality formalism. In: Levy
Flights and Applications in Physics, 140-150. (Lect. Notes in Phys., 450)
Eds. M. Shlesinger, G. M. Zaslavsky & U. Frisch. Springer, Berlin.
Bondarenko N. F., Gak M. Z. & Dolzhansky F. V. 1979. На русском языке:
Бондаренко M. Ф., Гак М. 3., Должанский Ф. В. Лабораторная и теорети¬
ческая модели плоского периодического течения. Изв. АН СССР, сер. физ.
океана и атмосферы 1979, 15(10), 1017-1026.
Bonn D., Couder Y., van Dam P. H. J. & Douady S. 1993. From small scales to large
scales in three-dimensional turbulence: the effect of diluted polymers. Phys. Rev. E
47, R28-R31.
Boratav 0. N. & Pelz R. B. 1994. Direct numerical simulation of transition to tur¬
bulence from a high-symmetry initial condition. Phys. Fluids A 6, 2757-2784.
Borue V. 1994. Inverse energy cascade in stationary two-dimensional homogeneous
turbulence. Phys. Rev. Lett. 72, 1475-1478.
Borue V. & Orszag S. A. 1995. Forced three-dimensional homogeneous turbulence
with hyperviscosity. Europhys. Lett. 29, 687-692.
Boussinesq J. 1868. Memoire sur Pinfluence des frottements dans les mouvements
reguliers des fluides. J. Math. Pures et Appliqu. (Paris) 13(2), 377-424.
Boussinesq J. 1870. Essai theorique sur les lois trouvees experimentalement par
M. Bazin pour l’ecoulement uniforme de l’eau dans les canaux decouverts. C. R.
Acad. Sci. Paris 71, 389-393.
Boussinesq J. 1877. Essai sur la theorie des eaux courantes. Mem. pres, par div.
savants a VAcad. Sci. 23, 1-680.
Brachet M. E. 1990. Geometrie des structures a petite echelle dans le vortex de
Taylor-Green. C. R. Acad. Sci. Paris, serie II 311, 775-780.
Brachet M. E. 1991. Direct simulation of three-dimensional turbulence in the
Taylor-Green vortex. Fluid Dyn. Res. 8, 1-8.
Brachet M. E., Meiron D. I.f Orszag S. A., Nickel B. G., Morf R. H. & Frisch U. 1983.
Small-scale structure of the Taylor-Green vortex. J. Fluid Mech. 130, 411-452.
Brachet M. E., Meneguzzi M., Politano H. & Sulem P.-L. 1988. The dynamics of
freely decaying two-dimensional turbulence. J. Fluid Mech. 194, 333-349.
Brachet M. E., Meneguzzi M., Vincent A., Politano H. & Sulem P.-L. 1992. Numerical
evidence of smooth self-similar dynamics and possibility of subsequent collapse for
three-dimensional ideal flow. Phys. Fluids A 4, 2845-2854.
296
Литература
Bradshaw Р. 1971. An Introduction to Turbulence and its Measurement. Pergamon
Press, New York.
Перевод на русский язык:
Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1973.
Brissaud A., Frisch U.t Leorat J., Lesieur M. & Mazure A. 1973. Helicity cascades in
fully developed isotropic turbulence. Phys. Fluids 16, 1366-1367.
Brown G. L. & Roshko A. 1974. On density effects and large structures in turbulent
mixing layers. J. Fluid Mech. 64, 775-816.
Brush S. G. 1976. The Kind of Motion We Call Heat. North-Holland, Amsterdam
(2 vols.).
Burgers J. M. 1939. Mathematical examples illustrating relations occuring in the
theory of turbulent fluid motion. К on. Ned. Akad. Wet. Verb. 17,1-53 (also in: Se¬
lected Papers of J. M. Burgers, 281-334. Eds. F. T. M. Nieuwstadt & J. A. Steketee.
Kluwer, 1995).
Burgers J. M. 1948. A mathematical model illustrating the theory of turbulence.
Adv. in Appl. Mech. 1, 171-199.
Burgers J. M. 1974. The Nonlinear Diffusion Equation. D. Reidel, Dordrecht.
Cafarelli L., Kohn R. & Nirenberg L. 1982. Partial regularity of suitable weak solu¬
tions of the Navier-Stokes equations. Commun. Pure Appl. Math. 35, 771-831.
Caglioti E., Lions P.-L., Marchioro C. & Pulverenti M. 1992. A special class of sta¬
tionary flows for two-dimensional Euler equations: a statistical mechanics approach.
Commun. Math. Phys. 143, 501-525.
Cardoso 0.f Marteau D. & Tabeling P. 1994. Quantitative experimental study of the
free decay of quasi-two-dimensional turbulence. Phys. Rev. E 49, 454-461.
Carnevale G. F., McWilliams J. C, Pomeau Y., Weiss J. B. & Young W. R. 1991.
Evolution of vortex statistics in two-dimensional turbulence. Phys. Rev. Lett. 66,
2735-2738.
Castaing B. 1989. Consequences d’un principe d’extremum en turbulence. J. Phys.
50, 147-156.
Castaing B., Chabaud B. & Hebral B. 1992. Hot wire anemometry operating at
cryogenic temperatures. Rev. Sci. Instrum. 63, 4167-4173.
Castaing B., Gagne Y. & Hopfinger E. 1990. Velocity probability density functions
of high Reynolds number turbulence. Physica D 46, 177-200.
Champagne F. H. 1978. The fine-scale structure of the turbulent velocity field.
J. Fluid Mech. 86, 67-108.
Chandrasekhar S. 1961. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Clarendon,
Oxford.
Литература
297
Charney J. G. 1947. The dynamics of long waves in a baroclinic westerly current.
J. Meteor. 4, 135-163.
Chemin J.-Y. 1993. Persistence de structures geometriques dans les fluides incom-
pressibles bidimensionnels. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (Paris) 26, 517-542.
Chertkov M.t Falkovich G.t Kolokolov I. & Lebedev V. 1995. Normal and anomalous
scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive
scalar. Phys. Rev. E 52, 4924-4941.
Childress S. & Gilbert A. 1995. Stretch, Twist, Fold — the Fast Dynamo (Springer
Lecture Notes in Physics, m37). Springer, Berlin.
Childress S.t Collet P., Frisch U.t Gilbert A. D., Moffatt H. K. & Zaslavsky G. M.
1990. Small-diffusivity dynamos and dynamical systems. Geophys. Astrophys. Fluid
Dynam. 52, 263-270.
Chorin A. J. 1988. Spectrum, dimension, and polymer analogies in fluid turbulence.
Phys. Rev. Lett. 60, 1947-1949.
Chorin A. J. 1990. Constrained random walks and vortex filaments in turbulence
theory. Commun. Math. Phys. 132, 519-536.
Chorin A. J. 1994. Vorticity and Turbulence. Springer, Berlin.
Chorin A. J. & Akao J. H. 1991. Vortex equilibria in turbulence theory and quantum
analogues. Physica D 52, 403-414.
Chorin A. J. & Marsden J. E. 1979. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics.
Springer, Berlin.
Chossat P. & Golubitsky M. 1988. Symmetry-increasing bifurcations of chaotic at¬
tractors. Physica D 32, 423-436.
Coleman S. 1979. Lectures on Quantum Field Theory. Harvard University, Cam¬
bridge, MA, unpublished.
Collet P. & Koukiou F. 1992. Large deviations for multiplicative chaos. Commun.
Math. Phys. 47, 329-342.
Constantin P. 1991. Remarks on the Navier-Stokes equations. In: New Perpectives
in Turbulence, 229-261. Ed. L. Sirovich. Springer, Berlin.
Constantin P. 1994. Geometric statistics in turbulence. SIAM Rev. 36, 73-98.
Constantin P. & Fefferman Ch. 1994. Scaling exponents in fluid turbulence: some
analytic results. Nonlinearity 7, 41-57.
Constantin P. & Procaccia I. 1993. Scaling in fluid turbulence: a geometric theory.
Phys. Rev. E 47, 3307-3315.
Constantin P., E W. & Titi E. S. 1994. Onsager’s conjecture on the energy conser¬
vation for solutions of Euler’s equation. Commun. Math. Phys. 165, 207-209.
Constantin P.t Fefferman Ch. & Majda A. J. 1995. Manuscript, quoted in (Constantin
1994).
298
Литература
Constantin Р., Foias С. & Temam R. 1988. Dimension of the attractor of two-
dimensional turbulence. Physica D 30, 284-29^.
Corrsin S. 1959. Outline of some topics in homogeneous turbulent flow. J. Geophys.
Res. 64, 2134-2150.
Corrsin S. 1963. Turbulence: experimental methods. In: Handbuch der Physik, Fluid
Dynamics II, 524-590. Eds. S. Fliigge & C. Truesdell. Springer, Berlin.
Couder Y. 1984. Two-dimensional grid turbulence in a thin liquid film. J. Phys.
Lett (Paris) 45, 353-360.
Coullet P. & Fauve S. 1985. Large scale oscillatory instability for sytems with trans¬
lational and Galilean invariances. In: Macroscopic Modelling of Turbulent Flows,
290-295. (Lect. Notes in Phys., 230) Eds. U. Frisch, J. B. Keller, G. Papanicolaou
& O. Pironneau. Springer, Berlin.
Cramer H. 1938. Sur un nouveau theoreme-limite de la theorie des probabilites.
Actualites Scientifiques et Industrielles 736, 5-23.
Cross M. C. & Hohenberg P. C. 1993. Pattern formation outside of equilibrium. Rev.
Mod. Phys. 65, 851-1111.
Crow S. C. 1968. Viscoelastic properties of fine-grained incompressible turbulence.
J. Fluid Mech. 33, 1-20.
Crow S. C. & Champagne F. H. 1971. Orderly structures in jet turbulence. J. Fluid
Mech. 48, 547-591.
Cvitanovic P. 1989. Universality in Chaos, 2nd edition. Adam Hilger, Bristol and
New York.
Dannevik W. P.t Yakhot V. & Orszag S. A. 1987. Analytic theories of turbulence and
the e expansion. Phys. Fluids 30, 2021-2029.
de Dominicis C. & Martin P. C. 1979. Energy spectra of certain randomly-stirred
fluids. Phys. Rev. A 19, 419-422.
de Gennes P. G. 1971. Scaling Concepts in Polymer Physics. Cornell Univ. Press,
Ithaca.
Desnyansky V. N. & Novikov E. A. 1974. На русском языке:
Деснянский В. Н., Новиков Е. А. Эволюция спектров турбулентности к
режиму подобия. Изв. АН СССР, сер. физ. атмосферы и океана 1974,10(2),
127-136.
Devaney R. L. 1989. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd edition.
Addison-Wesley, Redwood City.
d'Humieres D.t Pomeau Y. & Lallemand P. 1985. Simulation d’allees de von Karman
2-D par methode de gaz sur reseaux. C. R. Acad. Sci. Paris, serie II 301,
1391-1394.
Литература
299
Di Castro С. & Jona-Lasinio G. 1969. On the microscopic foundation of scaling laws.
Phys. Lett A 29, 322-323.
Dombre T., Frisch U.f Greene J. M.t Henon M.t Mehr A. & Soward A. M. 1986. Chaotic
streamlines in the ABC flows. J. Fluid Mech. 167, 353-391.
Donnelly R. J. & Swanson С. E. 1986. Quantum turbulence. J. Fluid Mech. 173,
387-429.
Donsker M. D. 1964. On function space integrals. In: Analysis in Function Space,
17-30. Eds. W. T. Martin & I. Segal. MIT Press, Cambridge, MA.
Douady S. & Couder Y. 1993. On the dynamical structures observed in 3-D tur¬
bulence. In: Turbulence in Spatially Extended Systems, Les Houches 1992, 3-17.
Eds. R. Benzi, C. Basdevant & S. Ciliberto. Nova Science, Commack, New York.
Douady S.f Couder Y. & Brachet M. E. 1991. Direct observation of the intermittency
of intense vorticity filaments in turbulence. Phys. Rev. Lett. 67, 983-986.
Dracos Th. & Tsinober A. 1993. New Appoaches and Concepts in Turbulence. Eds.
Th. Dracos & A. Tsinober. Birkhauser, Basel (Proceedings Monte Verita, 1991).
Drazin P. G. & Reid W. H. 1981. Hydrodynamic Stability. Cambridge University
Press, Cambridge.
Dritschel D. G. 1989. Contour dynamics and contour surgery: numerical algorithms
for extended high resolution modelling of vortex dynamics in two-dimensional in-
viscid, incompressible flows. Computer Phys. Rep. 10, 7-146.
Dritschel D. G. & Legras B. 1993. Modeling oceanic and atmospheric vortices.
Physics Today 46, 44-51.
Du Y. & Ott E. 1993. Fractal dimensions of fast dynamo magnetic fields. Physica D
67, 387-417.
Dubrulle B. 1994. Intermittency in fully developed turbulence: log-Poisson statistics
and generalized scale-covariance. Phys. Rev. Lett. 73, 959-962.
Dubrulle B. & Frisch U. 1991. The eddy viscosity of parity-invariant flow. Phys.
Rev. A 43, 5355-5364.
E W. & Shu C.-W. 1993. Effective equations and the inverse cascade theory for
Kolmogorov flows. Phys. Fluids A 5, 998-1010.
E W. & Shu C.-W. 1994. Small-scale structures in Boussinesq convection. Phys.
Fluids 6, 49-58.
Ebin D. & Marsden J. 1970. Groups of diffeomorphisms and the motion of an in¬
compressible fluid. Ann. Math. 92, 102-163.
Edwards S. F. 1964. The statistical dynamics of homogeneous turbulence. J. Fluid
Mech. 18, 239-273.
Edwards S. F. 1965. Turbulence in hydrodynamics and plasma physics. In: Int. Conf.
on Plasma Physics, 595-623. International Atomic Energy Agency, Vienna.
300
Литература
Einstein А. 1914. Methode pour la determination de valeurs statistiques
d’observations concernant des grandeurs soumise a des fluctuations irregulieres.
Arch. Sci. Phys. et Natur. 37, 254-255.
Ellis R. S. 1985. Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics. Springer,
Berlin.
Eneva M. 1994. Monofractal or multifractal: a case study of spatial distribution of
mining induced seismic activity. Nonlinear Processes in Geophysics 1, 182-190.
Evertsz C. J. G. & Mandelbrot В. B. 1992. Multifractal measures. In: Chaos and
Fractals; New Frontiers of Science, 921-953. Eds. H.-O. Peitgen, H. Jurgens &
D. Saupe. Springer, Berlin.
Eyink G. L. 1994a. Energy dissipation without viscosity in ideal hydrodyamics. I.
Fourier analysis and local transfer. Physica D 78, 222-240.
Eyink G. L. 1994b. The renormalization group method in statistical hydrodynamics.
Phys. Fluids 6, 3063—3078.
Eyink G. L. & Goldenfeld N. 1994. Analogies between scaling in turbulence, field
theory and critical phenomena. Phys. Rev. E 50, 4638-4679.
Eyink G. L. & Spohn H. 1993. Negative temperature states and large-scale long-lived
vortices in two-dimensional turbulence. J. Stat. Phys. 70, 833-886.
Fairhall A. L., Gat O., Lvov V. S. & Procaccia I. 1996. Anomalous scaling in a model
of passive scalar advection: exact results. Phys. Rev. E 53, 3518-3535.
Falconer K. 1990. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
Wiley, Chichester.
Falkovich G. & Hanany A. 1993. Is 2-D turbulence a conformal turbulence? Phys.
Rev. Lett. 71, 3454-3457.
Falkovich G. & Lebedev V. 1994. Universal direct cascade in two-dimensional tur¬
bulence. Phys. Rev. E 50, 3883-3899.
Fannjiang A. & Papanicolaou G. 1994. Convection enhanced diffusion for periodic
flows. SIAM J. Appl. Math. 54, 333-408.
Farge M. 1992. Wavelet transforms and their applications to turbulence. Ann. Rev.
Fluid Mech. 24, 395-407.
Fauve S. 1983. Instabilite convective et equation d’amplitude. In: Instabilites hy-
drodynamiques et applications astrophysiques. Proceedings Goutelas 1983, 83-115.
Ed. A. Baglin. Soc. Frang. Spec. Astron., Observatoire de Nice.
Fauve S. 1991. Lectures on patterns, cellular flow, etc. In: Patterns in Fluid Flow.
Proceedings GFD 1991, 2-101. Woods-Hole Oceanographic Institute, Woods Hole
(WHOI-92-16).
Fauve S.t Laroche C. & Castaing B. 1993. Pressure fluctuations in swirling turbulent
flows. J. Phys. II France 3, 271-278.
Литература
301
Favre A., Kovasznay L. S. G., Dumas R.t Gaviglio J. & Coantic M. 1976. La turbulence
en mecanique des fluides. Gauthier-Villars, Paris.
Feller W. 1968a. An Introduction to Probability Theory and its Applications,
3rd edition, vol. 1. Wiley, New York.
Перевод на русский язык:
Феллер У. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир,
1984.
Feller W. 1968b. An Introduction to Probability Theory and its Applications,
3rd edition, vol. 2. Wiley, New York.
Перевод на русский язык:
Феллер У. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир,
1984.
Feynman R. Р. 1950. Mathematical formulation of the quantum theory of electro¬
magnetic interaction. Phys. Rev. 80, 440--457.
Feynman R. P., Leighton R. B. & Sands M. 1964. The Feynman Lectures on Physics.
Addison-Wesley, Redwood City.
Перевод на русский язык:
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.
Вып. 1-4. М.: Мир, 1965; Вып. 5-8. М.: Мир, 1966; Вып. 9. М.: Мир, 1967.
Fornberg В. 1977. A numerical study of two-dimensional turbulence. J. Comput.
Phys. 25, 1-31.
Forster D.f Nelson D. R. & Stephen M. J. 1977. Large distance and long time prop¬
erties of a randomly stirred fluid. Phys. Rev. A 16, 732-749.
Fournier J. D. & Frisch U. 1983a. Remarks on the renormalization group in statistical
fluid dynamics. Phys. Rev. A 28, 1000-1002.
Fournier J. D. & Frisch U. 1983b. L’equation de Burgers deterministe et statistique.
J. Mec. Theor. Appl. (Paris) 2, 699-750.
Fournier J. D., Sulem P.-L. & Pouquet A. 1982. Infrared properties of forced MHD
turbulence. J. Phys. A 15, 1393-1420.
Frisch U. 1968. Wave propagation in random media. In: Probabilistic Methods in
Applied Mathematics 1, 75-198. Ed. A. T. Bharucha-Reid. Academic Press, New
York (see also Ann. Astrophys. (Paris) 1966, 29, 645-682 and 1967, 30, 565-601).
Frisch U. 1983. Fully developed turbulence and singularities. In: Chaotic Behavior
of Deterministic Systems, Les Houches 1981, 665-704. Eds. G. Iooss, R. Hellemann
& R. Stora. North-Holland, Amsterdam.
Frisch U. 1989. Lectures on turbulence and lattice gas hydrodynamics. In: Lec¬
ture Notes on Turbulence, NCAR-GTP Summer School June 1987, 219-371. Eds.
J. R. Herring & J. C. McWilliams. World Scientific, Singapore.
302
Литература
Frisch U. 1991. From global scaling, a la Kolmogorov, to local multifractal scaling
in fully developed turbulence. In: Kolmogorov’s Ideas 50 Years on. Proc. Royal Soc.
London A 434, 89-99. Eds. J. C. R. Hunt, О. M. Phillips & D. Williams.
Frisch U. & Fournier J. D. 1978. d-dimensional turbulence. Phys. Rev. A 17, 747-762.
Frisch U. & Morf R. 1981. Intermittency in nonlinear dynamics and singularities at
complex times. Phys. Rev. A 23, 2673-2705.
Frisch U. & Orszag S. A. 1990. Turbulence: challenges for theory and experiments.
Phys. Today, 24-32 (January 1990).
Frisch U. & She Z. S. 1991. On the probability density function of velocity gradients
in fully developed turbulence. Fluid Dyn. Res. 8, 139-142.
Frisch U. & Sulem P.-L. 1984. Numerical simulation of the inverse cascade in two-
dimensional turbulence. Phys. Fluids 27, 1921-1923.
Frisch U. & Vergassola M. 1991. A prediction of the multifractal model: the inter¬
mediate dissipation range. Europhys. Lett. 14, 439-444.
Frisch U., Fournier J. D. & Rose H. 1978. Infinite-dimensional turbulence. J. Phys. A
11, 187-198.
Frisch U., Legras B. & Villone B. 1996. Large-scale Kolmogorov flow on the beta-
plane and resonant wave interactions. Physica D 94, 36-56.
Frisch U., Lesieur M. & Schertzer D. 1980. Comments on the quasi-normal Markovian
approximation for fully-developed turbulence. J. Fluid Mech. 97, 181-192.
Frisch U., Lesieur M. & Sulem P.-L. 1976. On crossover dimensions for fully developed
turbulence. Phys. Rev. Lett. 37, 895-897.
Frisch U., She Z. S. & Sulem P.-L. 1987. Large-scale flow driven by the anisotropic
kinetic alpha effect. Physica D 28, 382-392.
Frisch U., She Z. S. & Thual O. 1986. Viscoelastic behavior of cellular solutions to
the Kuramoto-Sivashinsky model. J. Fluid Mech. 168, 221-240.
Frisch U., Sulem P.-L. & Nelkin M. 1978. A simple dynamical model of intermittent
fully developed turbulence. J. Fluid Mech. 87, 719-736.
Frisch U., Pouquet A., Sulem P.-L. & Meneguzzi M. 1983. The dynamics of two-
dimensional ideal MHD. J. Mec Theor. Appliqu. (Paris), 191-216. (Special issue
on two-dimensional turbulence.)
Frohlich J. & Ruelle D. 1982. Statistical mechanics of vortices in an inviscid two-
dimensional fluid. Commun. Math. Phys. 87, 1-36.
Frostman O. 1935. Potentiel d’equilibre et capacite des ensembles. Thesis, Lund,
Sweden.
Fung J. С. H. & Vassilicos J. C. 1991. Fractal dimensions of lines in chaotic advection.
Phys. Fluids A 3, 2725—2733.
Литература
303
Furutsu К. 1963. On the statistical theory of electromagnetic waves in a fluctuating
medium. J. Res. Nat. Bur. Standards D 67, 303-323.
Gagne Y. 1980. Contribution a Petude experimentale de Pintermittence de la tur¬
bulence a petite echelle. These de Docteur-Ingenieur, Universite de Grenoble.
Gagne Y. 1987. Etude experimentale de Pintermittence et des singularites dans le
plan complexe en turbulence developpee. These de Docteur es-Sciences Physiques,
Universite de Grenoble.
Gagne Y. & Castaing B. 1991. A universal representation without global scaling in¬
variance of energy spectra in developed turbulence. C. R. Acad. Sci. Paris, serie II
312, 441-445.
Gagne Y., Hopfinger E. & Frisch U. 1990. A new universal scaling for fully devel¬
oped turbulence: the distribution of velocity increments. In: New Trends in Non¬
linear Dynamics and Pattern-Forming Phenomena, NATO ASI 237, 315-319. Eds.
P. Coullet & P. Huerre. Plenum Press, New York.
Gallavotti G. 1993. Some rigorous results about 3-D Navier-Stokes. In: Turbulence in
Spatially Extended Systems, Les Houches 1992,45-74. Eds. R. Benzi, C. Basdevant
& S. Ciliberto. Nova Science, Commack, New York.
Gama S. & Frisch U. 1993. Local helicity, a material invariant for the odd¬
dimensional Euler equations. In: NATO-ASI: Solar and Planetary Dynamos,
115-119. Eds. M. R. E. Proctor, P. C. Mathews & A. M. Rucklidge. Cambridge
University Press, Cambridge.
Gama S., Vergassola M. & Frisch U. 1994. Negative eddy viscosity in isotropically
forced two-dimensional flow: linear and nonlinear dynamics. J. Fluid Mech. 260.
95-126.
Gat 0., Procaccia I. & Zeitak R. 1994. Breakdown of dynamical scaling and inter-
mittency in a cascade model of turbulence. Phys. Rev. E 51, 1148-1154.
Gaw^dzki K. & Kupiainen A. 1995. Anomalous scaling of the passive scalar. Phys.
Rev. Lett. 75, 3834-3837.
Gharib M. & Derango P. 1989. A liquid film (soap film) tunnel to study laminar and
turbulent shear flow. Physica D 37, 406-416.
Gibson С. H. & Schwarz W. H. 1963. The universal equilibrium spectra of turbulent
velocity and scalar fields. J. Fluid Mech. 16, 365-384.
Gilbert A., Frisch U. & Pouquet A. 1988. Helicity is unnecessary for alpha-effect
dynamos, but it helps. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 42, 151-161.
Gledzer E. B. 1973. На русском языке:
Гледзер E. Б. Система гидродинамического типа, допускающая два квадра¬
тичных интеграла движения. Доклады АН СССР 1973, 209(5), 1046-1048.
Gledzer Е. В., Dolzhansky F. V. & Obukhov А. М. 1981. Ha русском языке:
Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамиче¬
ского типа и их применения. М.: Наука, 1981.
304
Литература
Goldstein Н. 1980. Classical Mechanics, 2nd edition. Addison-Wesley, Reading, MA.
Перевод первого издания на русский язык:
Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975.
Goldstein S. 1969. Fluid mechanics in the first half of this century. Ann. Rev. Fluid
Mech. 1, 1-28.
Golitsyn G. S. 1962. На русском языке:
Голицын Г. С. Флуктуация диссипации в локально изотропном турбулент¬
ном потоке. Доклады АН СССР 1962, 144(3), 520-523.
Gollub J.t Clarke J.t Gharib M., Lane B. & Mesquita 0. 1991. Fluctuations and
transport in a stirred fluid with a mean gradient. Phys. Rev. Lett. 67, 3507-3510.
Gottlieb D. & Orszag S. A. 1977. Numerical Analysis of Spectral Methods. SIAM,
Philadelphia.
Grant H. L.t Stewart R. W. & Moilliet A. 1962. Turbulent spectra from a tidal channel.
J. Fluid Mech. 12, 241-268.
Grassberger P. 1983. Generalized dimensions of strange attractors. Phys. Lett. A
97, 227-230.
Grassberger P. & Procaccia I. 1983. Characterization of strange attractors. Phys.
Rev. Lett. 50, 346-349.
Grassberger P. & Procaccia I. 1984. Dimensions and entropies of strange attractors
from a fluctuating dynamics approach. Physica D 13, 34-54.
Grauer R. & Sideris T. 1991. Numerical computations of 3-D incompressible ideal
fluids with swirl. Phys. Rev. Lett. 25, 3511-3514.
Guckenheimer J. & Holmes P. 1986. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and
Bifurcations of Vector Fields. Springer, Berlin.
Gurbatov S. N.. Malakhov A. N.. & Saichev A. 1.1991. Nonlinear Random Waves and
Turbulence in Nondispersive Media: Waves, Rays, Particles. Manchester University
Press, Manchester.
Gurvitch A. S. 1960. На русском языке:
Гурвич А. С. Экспериментальное исследование частотных спектров и
функций распределения вероятностей вертикальной компоненты скорости
ветра. Изе. АН СССР, сер. геофиз. 1960, 7, 1042-1055.
Guyon E.t Hulin J.-P. & Petit L. 1991. Hydrodynamique Physique. In¬
tereditions/editions du CNRS, Paris.
Halmos P. R. 1956. Lectures on Ergodic Theory. Chelsea, New York.
Перевод на русский язык:
Халмош П. Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959. Русский перевод
с дополнениями С. В. Фомина.
Литература
305
Halsey Т. С, Jensen М. Н., Kadanoff L.t Procaccia I. 8/ Shraiman В. I. 1986. Fractal
measures and their singularities: the characterization of strange sets. Phys. Rev. A
33, 1141-1151.
Heisenberg W. 1948. Zur statistischen Theorie der Turbulenz. Zeit. f. Phys. 124,
628-657.
Henon M. 1966. Sur la topologie des lignes de courant dans un cas particulier. C. R.
Acad. Sci. Paris 262, 312—314.
Henon M. 1976. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Commun.
Math. Phys. 50, 69-77.
Hentschel H. G. E. 1994. Stochastic multifractality and universal scaling distribu¬
tions. Phys. Rev. E 50, 243-261.
Hentschel H. G. E. & Procaccia I. 1983. The infinite number of generalized dimen¬
sions of fractals and strange attractors. Physica D 8, 435-444.
Herring J. R. & Kerr R. M. 1993. Development of enstrophy and spectra in numerical
turbulence. Phys. Fluids A 5, 2792-2798.
Herring J. R. & McWilliams J. C. 1985. Comparison of direct-numerical simulations
of two-dimensional turbulence with two-point closure: the effect of intermittency.
J. Fluid Mech. 153, 229-242.
Hinze J. 0. 1959. Turbulence. McGraw-Hill, New York.
Перевод на русский язык:
Хинце И. О. Турбулентность. М.: Физматгиз, 1963.
Holder Е. 1933. Uber die unbeschrankte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Be-
wegung in einer unbegrezten inkompressiblen Fliissigkeit. Math. Z. 37, 727-738.
Holmes P. 1990. Can dynamical systems approach turbulence? In: Wither Turbu¬
lence, 195-249. (Lect. Notes in Phys., 357) Ed. J. L. Lumley. Springer, Berlin.
Holzer M. & Pumir A. 1993. Simple models of non-Gaussian statistics for a turbu-
lently advected passive scalar. Phys. Rev. E 47, 202-219.
Hopf E. 1952. Statistical hydrodynamics and functional calculus. J. Rati. Mech.
Anal. 1, 87-123.
Hosokawa I. & Yamamoto K. 1990. Intermittency of dissipation in directly simulated
fully developed turbulence. J. Phys. Soc. Japan 59, 401-404.
Hosokawa I. & Yamamoto K. 1992. Evidence against the Kolmogorov refined simi¬
larity hypothesis. Phys. Fluids A 4, 457-459.
Huang K. 1963. Statistical Mechanics. Wiley, New York.
Перевод на русский язык:
Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 1966.
looss G. & Adelmeyer М. 1992. Topics in Bifurcation Theory and Applications,
vol. 3. World Scientific, Singapore.
306
Литература
Isichenko М. В. 1992. Percolation, statistical topography and transport in random
media. Rev. Mod. Phys. 64, 961-1043.
Isserlis L. 1918. On a formula for the product-moment coefficient in any number of
variables. Biometrika 12, 134-139.
Itzykson C. & Drouffe J.-M. 1989. Statistical Field Theory. Cambridge University
Press, Cambridge.
Itzykson C. & Zuber J.-B. 1985. Quantum Field Theory. McGraw-Hill, New York.
Перевод первого издания на русский язык:
Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. В 2-х тт. М.: Мир, 1984.
Jensen М. Н., Paladin G. & Vulpiani А. 1991. Phys. Rev. А 43, 798-805.
Jimenez J. 1993. Small-scale vortices in turbulent flows. In: New Approaches and
Concepts in Turbulence, 95-110. Eds. T. Dracos & A. Tsinober. Birkhauser, Basel.
Jimenez J., Wray A. A., Saffman P. G. & Rogallo R. S. 1993. The structure of intense
vorticity in isotropic turbulence. J. Fluid Mech. 255, 65-90.
Joyce G. & Montgomery D. 1973. Negative temperature states for the two-
dimensional guiding center plasma. J. Plasma Phys. 10, 107-121.
Kac M. 1959. Probability and Related Topics in Physical Sciences. Wiley (Inter¬
science), New York.
Перевод на русский язык:
Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.
Kadanoff L. 1966. Scalings laws for Ising models near Tc. Physics (USA) 2, 263-272.
Kadanoff L.f Lohse D., Wang J. & Benzi R. 1995. Scaling and dissipation in the GOY
shell model. Phys. Fluids 7, 617-629.
Kahane J. P. 1985. Some Random Series of Functions, 2nd edition. Cambridge
University Press, Cambridge.
Перевод на русский язык:
Кахан Ж. П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973.
Kahane J. Р. 1993. Fractals and random measures. Bull. Sc. Math. 117, 13-159.
Kahane J. P. & Peyriere J. 1976. Sur certaines martingales de B. Mandelbrot. Adv.
in Math. 2, 131-145.
Kahane J. P. & Salem R. 1994. Ensembles parfaits et series trigonometriques,
2nd edition. Hermann, Paris.
Kampe de Feriet J. 1953. Fonctions aleatoires et theorie statistique de la turbulence.
In: Theorie des fonctions aleatoires, 568-623. Eds. A. Blanc-Lapierre & R. Fortet.
Masson, Paris.
Kardar M., Parisi G. & Zhang Y. C. 1986. Dynamical scaling of growing interfaces.
Phys. Rev. Lett. 56, 889-892.
Литература
307
Karman Т. von 1921. Uber laminare und turbulente Reibung. Z. f. Angew. Math.
Mech. 1, 233-252.
Karman T. von 1930. Mechanische Anlichkeit und Turbulenz. Nachr. Ges. Wiss.
Gottingen, Math.-Phys. Kl., 58-76.
Karman T. von & Howarth L. 1938. On the statistical theory of isotropic turbulence.
Proc. Royal Soc. London A 164, 192-215.
Kato T. 1967. On classical solutions of the two-dimensional non stationary Euler
equation. Arch. Rat. Mech. Analys. 25, 188-200.
Kato T. 1972. Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in ]R3. J. Fund. Anal.
9, 296-305.
Keller B. S. & Yaglom A. M. 1970. На русском языке:
Келлер Б. С., Яглом А. М. О влиянии флуктуаций диссипации энергии на
форму спектра турбулентности в крайней коротковолновой области. Изв.
АН СССР, сер. мех. жидк. и газа 1970, 3, 70-79.
Kelvin Lord (Sir W. Thomson) 1887. On the propagation of laminar motion through
a turbulently moving inviscid liquid. Phil. Mag. 24, 342-353.
Kendall D. G. 1990. Obituary Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Bull. London Math.
Soc. 22, 31-100.
Kerr R. 1985. Higher-order derivative correlations and the alignement of small-scale
structures in isotropic numerical turbulence. J. Fluid Mech. 153, 31-58.
Kida S. & Ohkitani K. 1992. Spatio-temporal intermittency and instability of a
forced turbulence. Phys. Fluids A 4, 1018-1027.
Kirchhoff G. 1877. Vorlesungen iiber mathematische Physik. B. G. Teubener,
Leipzig.
Перевод на русский язык:
Кирхгоф Г. Р. Механика. Лекции по математической физике. М.: Изд. АН
СССР, 1962.
Kolmogorov А. N. 1933. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer,
Berlin.
Перевод на русский язык:
Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.
Kolmogorov А. N. 1935. La transformation de Laplace dans les espaces lineaires.
C. R. Acad. Sci. Paris 200, 1717-1718.
Перевод на русский язык:
Колмогоров А. Н. Преобразование Лапласа в линейных пространствах.
В кн.: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и меха¬
ника. М.: Наука, 1988, 178-179.
308
Литература
Kolmogorov А. N. 1940. Ha русском языке:
Колмогоров А. Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кри¬
вые в гильбертовом пространстве. Доклады АН СССР 1940, 26, 115-118.
(См. также: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и
механика. М.: Наука, 1988, 274-277.)
Kolmogorov А. N. 1941а. На русском языке:
Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой
вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. Доклады АН
СССР 1941, 30, 9-13. (См. также: Колмогоров А. Н. Избранные труды.
Кн. 1: Математика и механика. М.: Наука, 1988, 281-287.)
Kolmogorov А. N. 1941Ь. На русском языке:
Колмогоров А. Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжима¬
емой вязкой жидкости. Доклады АН СССР 1941, 31, 538-540. (См. так¬
же: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика.
М.: Наука, 1988, 287-290.)
Kolmogorov А. N. 1941с. На русском языке:
Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбу¬
лентности. Доклады АН СССР 1941, 32, 16-18 (См. также: Колмого¬
ров А. Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика. М.: Наука,
1988, 290-293.)
Kolmogorov А. N. 1941d. Ha русском языке:
Колмогоров А. Н. О логарифмически нормальном законе распределения
размеров частиц при дроблении. Доклады АН СССР 1941, 31, 99-101.
Kolmogorov А. N. 1942. На русском языке:
Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жид¬
кости. Изв. АН СССР, сер. физ. 1942, VI(l-2), 56-58. (См. также: Колмо¬
горов А. Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и механика. М.: Наука,
1988, 294-296.)
Kolmogorov А. N. 1954. На русском языке:
Колмогоров А. Н. О сохранении условно периодических движений при ма¬
лом изменении функции Гамильтона. Доклады АН СССР 1954, 98, 527-530
(См. также: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Кн. 1: Математика и
механика. М.: Наука, 1988, 311-315.)
Kolmogorov А. N. 1961. Precisions sur la structure locale de la turbulence dans un
fluide visqueux aux nombres de Reynolds eleves. In: La Turbulence en Mecanique
des Fluides, 447-451. Eds. A. Favre, L. S. G. Kovasznay, R. Dumas, J. Gaviglio &
M. Coantic. Gauthier-Villars, Paris.
Kolmogorov A. N. 1962. A refinement of previous hypotheses concerning the local
structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number.
J. Fluid Mech. 13, 82-85.
Литература
309
Kraichnan R. H. 1958. A theory of turbulence dynamics. In: Second Sympo¬
sium on Naval Hydrodynamics, 29-44. Office of Naval Research, Washington, DC
(Ref. ACR-38).
Kraichnan R. H. 1959. The structure of isotropic turbulence at very high Reynolds
numbers. J. Fluid Mech. 5, 497-543.
Kraichnan R. H. 1961. Dynamics of nonlinear stochastic systems. J. Math. Phys. 2,
124-148 (erratum ibid. 3, 205).
Kraichnan R. H. 1964. Kolmogorov’s hypotheses and Eulerian turbulence theory.
Phys. Fluids 7, 1723-1734.
Kraichnan R. H. 1965. Lagrangian-history closure approximation for turbulence.
Phys. Fluids 8, 575-598 (erratum ibid. 1966, 1884).
Kraichnan R. H. 1966. Isotropic turbulence and inertial-range structure. Phys. Fluids
9, 1728-1752.
Kraichnan R. H. 1967a. Inertial ranges in two-dimensional turbulence. Phys. Fluids
10, 1417-1423.
Kraichnan R. H. 1967b. Intermittency in the very small scales of turbulence. Phys.
Fluids 10, 2080-2082.
Kraichnan R. H. 1968a. Lagrangian-history statistical theory for Burgers’ equation.
Phys. Fluids 11, 266-277.
Kraichnan R. H. 1968b. Small-scale structure of a scalar field convected by turbu¬
lence. Phys. Fluids 11, 945-953.
Kraichnan R. H. 1971a. An almost-Markovian Galilean-invariant turbulence model.
J. Fluid Mech. 47, 513-524.
Kraichnan R. H. 1971b. Inertial-range transfer in two and three-dimensional turbu¬
lence. J. Fluid Mech. 47, 525-535.
Kraichnan R. H. 1972. Some modern developments in the statistical theory of turbu¬
lence. In: Statistical Mechanics: New Concepts, New Problems, New Applications,
201-228. Eds. S. A. Rice, K. F. Freed & J. C. Light. University of Chicago, Chicago.
Kraichnan R. H. 1974. On Kolmogorov’s inertial-range theories. J. Fluid Mech. 62,
305-330.
Kraichnan R. H. 1975. Remarks on turbulence theory. Adv. Math. 16, 305-331.
Kraichnan R. H. 1976. Eddy viscosity in two and three dimensions. J. Atmos. Sci.
33, 1521-1536.
Kraichnan R. H. 1987. An interpretation of the Yakhot-Orszag turbulence theory.
Phys. Fluids 30, 2400-2405.
Kraichnan R. H. 1990. Models of intermittency in hydrodynamic turbulence. Phys.
Rev. Lett. 65, 575-578.
310
Литература
Kraichnan R. H. 1994. Anomalous scaling of a randomly advected passive scalar.
Phys. Rev. Lett 72, 1016-1019.
Kraichnan R. H. & Montgomery D. 1980. Two-dimensional turbulence. Reports
Progr. Phys. 43, 547-619.
Kraichnan R. H.f Yakhot V. & Chen S. 1995. Scaling relations for a randomly ad¬
vected passive scalar. Phys. Rev. Lett. 75, 240-243.
Kuo A. Y. & Corrsin S. 1971. Experiments on internal intermittency and fine-
structure distribution function in fully turbulent fluid. J. Fluid Mech. 50, 285-320.
Kuz'min G. A. 1982. Ha русском языке:
Кузьмин Г. А. Статистическая механика организации в двумерные
когерентные структуры. В кн.: Структурная турбулентность. Под ред.
М. А. Гольдштика. Новосибирск: Ин-т термофизики АН СССР, 1982,
103-114.
Kuz’min G. А. 1983. Ideal incompressible hydrodynamics in terms of the vortex
momentum density. Phys. Lett. A 96, 88-90.
Kuznetsov V. R.f Praskovsky A. A. & Sabelnikov V. A. 1992. Fine-scale turbulence
structure of intermittent shear flows. J. Fluid Mech. 243, 595-622.
Ladyzhenskaya 0. A. 1969. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible
Flow, 2nd edition. Gordon and Breach, New York.
Lamb H. 1932. Hydrodynamics, 6th edition. Dover, New York.
Landau L. D. & Lifshitz E. M. 1987. На русском языке:
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1987.
Lanford О. Е. 1973. Entropy and equilibrium states in classical mechanics. In: Sta¬
tistical Mechanics and Mathematical Problems, 1-113. (Lect. Notes in Phys., 20)
Ed. A. Lenard. Springer, Berlin.
Le Bellac M. 1992. Quantum and Statistical Field Theory. Oxford University Press
(translated from French ‘Des Phenomenes Critiques aux Champs de Jauge’. Pub¬
lished by Intereditions/editions du CNRS, Paris, 1988).
Lebedev V. V. & L'vov V. S. 1994. Scaling of correlation functions of velocity gra¬
dients in hydrodynamic turbulence. JETP Lett. 59, 577-583.
Legras B., Santangelo P. & Benzi R. 1988. High-resolution numerical experiments
for forced two-dimensional turbulence. Europhys. Lett. 5, 37-42.
Leibovich S. 1978. The structure of vortex breakdown. Ann. Rev. Fluid Mech. 10,
221-246.
Leray J. 1934. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta
Math. 63, 193-248.
Lesieur M. 1990. Turbulence in Fluids, 2nd edition. Kluwer, Dordrecht.
Lesieur M. 1994. La turbulence. Presses Universitaires de Grenoble, Grenoble.
Литература
311
Lesieur М. & Schertzer D. 1978. Amortissement autosimilaire d’une turbulence a
grand nombre de Reynolds. J. Afec. (Paris) 17, 610-646.
Lesieur M.f Frisch U. & Brissaud A. 1971. Theorie de Kraichnan de la turbulence. Ap¬
plication a l’etude d’une turbulence possedant de Phelicite. Ann. Geophys. (Paris)
27, 151-165.
Leslie D. C. 1973. Developments in the Theory of Turbulence. Clarendon Press,
Oxford.
Leveque E. & She Z. S. 1995. Viscous effects on inertial-range scaling in a dynamical
model of turbulence. Phys. Rev. Lett. 75, 2690-2693.
Levy P. 1965. Processus stochastiques et mouvement Brownien. Gauthier-Villars,
Paris.
Перевод на русский язык:
Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука,
1972.
Lewis R. М. & Kraichnan R. Н. 1962. A space-time functional formalism for turbu¬
lence. Comm. Pure Appl. Math. 15, 397-411.
Lichtenstein L. 1925. Uber einige Existenzsatze der Hydrodynamik homogener,
unzusammendriickbarer, reibungsloser Fliissigkeiten und die Helmholtzschen
Wirbelsatze. Math. Z. 23, 89-154, 309-316.
Lilly D. K. 1971. Numerical simulation of two-dimensional turbulence. Phys. Fluids
Suppl. II 12, 240-249.
Lilly D. K. & Peterson E. L. 1983. Aircraft measurements of atmospheric kinetic
energy spectra. Tellus 35A, 379-382.
Lin S. J. & Corcos G. 1984. The mixing layer: deterministic models of a turbulent
flow: part 3. The effect of plain strain on the dynamics of streamwise vortices.
J. Fluid Mech. 246, 569-591.
Lin С. C. & Reid W. H. 1963. Turbulent flow, theoretical aspects. In: Handbuch
der Physik, Fluid Dynamics II, 438-523. Eds. S. Fliigge & C. Truesdell. Springer,
Berlin.
Lions J. L. 1969. Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites non
Lineaires. Gauthier-Villars, Paris.
Loitsyansky L. G. 1939. На русском языке:
Лойцянский Л. Г. Некоторые основные закономерности изотропного тур¬
булентного потока. Труды ЦАГИ1939, 440, 3-23.
Lorenz Е. N. 1963. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 20, 130-141.
Lorenz E. N. 1972. Low order models representing realizations of turbulence. J. Fluid
Mech. 55, 545-563.
Lumley J. L. 1965. On the interpretation of time-spectra measured in high intensity
shear flows. Phys. Fluids 8, 1056-1062.
312
Литература
Lumley J. L. 1970. Stochastic tools in turbulence. Academic Press, New York.
Lumley J. L. 1972. Application of central limit theorems to turbulence problems.
In: Statistical Models and Turbulence, 1-26. (Lect. Notes in Phys., 12) Eds.
M. Rosenblatt & C. W. Van Atta. Springer, Berlin.
Lumley J. L. 1990. Wither Turbulence? Turbulence at Crossroads (Lect. Notes in
Phys., 357). Ed. J. L. Lumley. Springer, Berlin.
Lumley J. L. 1992. Some comments on turbulence. Phys. Fluids A 4, 203-211.
Lundgren T. S. 1982. Strained spiral vortex model for turbulent fine structure. Phys.
Fluids 25, 2193-2203.
Lundgren T. S. 1993. A small-scale turbulence model. Phys. Fluids A 5,1472-1483.
L'vov V. S. 1991. Scale invariant theory of fully developed hydrodynamic turbu¬
lence — Hamiltonian approach. Phys. Rep. 207, 1-47.
Lvov V. S. 1994. Wave Turbulence under Parametric Excitation. Springer, Berlin.
L'vov V. S. & Procaccia I. 1995. “Intermittency” in hydrodynamic turbulence as
intermediate asymptotics to Kolmogorov scaling. Phys. Rev. Lett. 74, 2690-2693.
L'vov V. S.f Procaccia I. & Fairhall A. L. 1994. Anomalous scaling in fluid mechanics:
the case of the passive scalar. Phys. Rev. E 50, 4684-4704.
Lynden-Bell D. 1967. Statistical mechanics of violent relaxation in stellar systems.
Mon. Not. Royal Astr. Soc. 136, 101-121.
Ma S. K. & Mazenko G. F. 1975. Critical dynamics of ferromagnets in 6 — e dimen¬
sions: general discussion and detailed calculation. Phys. Rev. В 11, 4077-4100.
Machlup S. & Onsager L. 1953. Fluctuations and irreversible processes. II. Systems
with kinetic energy. Phys. Rev. 91, 1512-1515.
Majda A. J. 1986. Vorticity and the mathematical theory of incompressible flow.
Comm. Pure Appl. Math. S39, 187-220.
Mandelbrot B. 1968. On intermittent free turbulence. In: Turbulence of Fluids and
Plasmas, New York, April 16-18, 1968. Brooklyn Polytechnic Institute, Brooklyn,
New York (abstract).
Mandelbrot B. 1972. Possible refinement of the lognormal hypothesis concerning
the distribution of energy dissipation in intermittent turbulence. In: Statistical
Models and Turbulence, 333-351. (Lect. Notes in Phys., 12) Eds. M. Rosenblatt &
C. W. Van Atta. Springer, Berlin.
Mandelbrot B. 1974a. Multiplications aleaoires iterees et distributions invariantes
par moyenne aleatoire: quelques extensions. C. R. Acad. Sci. Paris 278, 355-358.
Mandelbrot B. 1974b. Intermittent turbulence in self-similar cascades: divergene of
high moments and dimension of the carrier. J. Fluid Mech. 62, 331-358.
Mandelbrot B. 1977. Fractals: Form, Chance and Dimension. Freeman & Co., San
Francisco.
Литература
313
Mandelbrot В. 1989. Multifractal measures, especially for the geophysicist. Pure
Appl. Geophys. 131, 5-42.
Mandelbrot B. 1990. Negative fractal dimensions and multifractals. Physica A 163,
306-315.
Mandelbrot B. 1991. Random multifractals: negative dimensions and the result¬
ing limitations of the thermodynamic formalism. Proc. Royal Soc. London A 434,
79-88.
Manneville P. 1990. Dissipative Structures and Weak Turbulence. Academic Press,
Boston.
Marsden J. & Weinstein A. 1983. Coadjoint orbits, vortices and Clebsch variables
for incompressible fluids. Physica D 7, 305-323.
Martin P. C, Siggia E. D. & Rose H. A. 1973. Statistical dynamics of classical
systems. Phys. Rev. A 8, 423-437.
Maurer J., Tabeling P. & Zocchi G. 1994. Statistics of turbulence between two
counter-rotating disks in low temperature helium gas. Europhys. Lett. 26, 31-36.
McWilliams J. C. 1984. The emergence of isolated coherent vortices in turbulent
flow. J. Fluid Mech. 146, 21-43.
McWilliams J. C. 1990. The vortices of two-dimensional turbulence. J. Fluid Mech.
219, 361-385.
Meneveau С. M. & Sreenivasan K. R. 1987. The multifractal spectrum of the dissi¬
pation field in turbulent flows. Nucl. Phys. В Proc. Suppl. 2, 49-76.
Meneveau С. M. & Sreenivasan K. R. 1991. The multifractal nature of turbulent
energy dissipation. J. Fluid Mech. 224, 429-484.
Meshalkin L. D. & Sinai Ya. G. 1961. Investigation of the stability of a stationary
solution of a system of equations for the plane movement of an incompressible
viscous liquid. Appl. Math. Mech. 25, 1700-1705.
Michel J. & Robert R. 1994. Statistical mechanical theory of the Great Red Spot of
Jupiter. J. Stat. Phys. 77, 645-666.
Migdal A. A. 1994. Loop equations and area law in turbulence. Int. J. Mod. Phys.
9, 1197-1238.
Miles R. B.f Lempert W.f Zhang B. & Zhang L. 1991. Turbulent structure measure¬
ments by RELIEF flow tagging. Fluid Dyn. Res. 8, 9-17.
Miller J. 1990. Statistical mechanics of Euler equations in two dimensions. Phys.
Rev. Lett. 65, 2137-2140.
Millionshchikov M. D. 1941a. На русском языке:
Миллионщиков M. Д. К теории однородной изотропной турбулентности.
Доклады АН СССР 1941, 32(9), 615-617.
314
Литература
Millionshchikov М. D. 1941b. Ha русском языке:
Миллионщиков М. Д. К теории однородной изотропной турбулентности.
Изв. АН СССР, сер. геогр. геофиз. 1941, 5, 433-446.
Moffatt Н. К. 1969. The degree of knotedness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech.
35, 117-129.
Moffatt H. K. 1978. Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fluids.
Cambridge University Press, Cambridge.
Перевод на русский язык:
Моффатт Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир,
1980.
Moffatt Н. К. 1984. Simple topological aspects of turbulent vorticity dynamics.
In: Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids, 223-230. Ed. T. Tatsumi. North-
Holland, Amsterdam.
Moffatt H. K. 1994. Tourbillons et turbulence (Lecture Notes ‘Dynamique des flu-
ides’, 2). Ecole Polytechnique, Palaiseau, France.
Moffatt H. K. & Tsinober A. 1992. Helicity in laminar and turbulent flow. Ann. Rev.
Fluid Mech. 24, 281-312.
Moffatt H. K.f Kida S. & Ohkitani K. 1994. Stretched vortices — the sinews of
turbulence; high Reynolds number asymptotics. J. Fluid Mech. 259, 241-264.
Monin A. S. 1959. На русском языке:
Монин А. С. К теории локально изотропной турбулентности. Доклады АН
СССР 1959, 125, 515-518.
Monin A. S. & Yaglom А. М. 1971. Statistical Fluid Mechanics, vol. 1. Ed. J. Lumley.
MIT Press, Cambridge, MA.
Перевод на русский язык:
Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, 2-е изд. Т. 1.
СПб.: Гидрометеоиздат, 1992.
Monin A. S. & Yaglom А. М. 1975. Statistical Fluid Mechanics, vol. 2. Ed. J. Lumley.
MIT Press, Cambridge, MA.
Перевод на русский язык:
Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, 2-е изд. Т. 2.
СПб.: Гидрометеоиздат, 1996.
Montgomery D. & Joyce G. 1974. Statistical mechanics of negative temperature
states. Phys. Fluids 17, 1139-1145.
Montgomery D.f Matthaeus W. H.f Stribling W. T.f Martinez D. & Oughton S. 1992.
Relaxation in two dimensions and the wsinh-Poisson” equation. Phys. Fluids A 4,
3-6.
Moreau J. J. 1961. Constantes d’un ilot tourbillonnaire en fluide parfait barotrope.
C. R. Acad. Sci. Paris 252, 2810-2812.
Литература
315
Morf R. H.f Orszag S. A. & Frisch U. 1980. Spontaneous singularity in three-
dimensional, inviscid incompressible flow. Phys. Rev. Lett. 44, 572-575.
Morrison P. J. 1993. Hamiltonian description of the ideal fluid. In: Geometrical
Methods in Fluid Dynamics. Proceedings GFD 1993,17-110. Woods-Hole Oceano¬
graphic Institute, Woods Hole (WHOI-94-12).
Moser J. 1962. On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus.
Nachr. Akad. Wiss. Gottingen II, Math.-Phys. Kl. 11a, 1-20.
Muzy J. F.t Bacry E. & Arneodo A. 1993. Multifractal formalism for fractal signals:
the structure-function approach versus the wavelet-transform modulus-maximum
method. Phys. Rev. E 47, 875-884.
Navier C. L. M. H. 1823. Memoire sur les lois du mouvement des fluides. Mem.
Acad. Roy. Sci. 6, 389-440.
Nelkin M. 1974. Turbulence, critical phenomena and intermittency. Phys. Rev. A
9, 388-395.
Nelkin M. 1990. Multifractal scaling of velocity derivatives in turbulence.
Phys. Rev. A 42, 7226-7229.
Nelkin M. 1994. Universality and scaling in fully developed turbulence. Adv. in
Phys. 43, 143-181.
Nepomnyashchy A. A. 1976. On the stability of the secondary flow of a viscous fluid
in an infinite domain. Appl. Math. Mech. 40, 886-891.
Neu J. C. 1984. The dynamics of stretched vortices. J. Fluid Mech. 143, 253-276.
Neumann J. von 1949. Recent theories of turbulence. In: Collected Works
(1949-1963) 6, 437-472. Ed. A. H. Taub. Pergamon Press, New York (1963).
Noether E. 1918. Invariante Variationsprobleme. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen,
235-257.
Noullez A., Wallace G.f Lempert W.f Miles R. B. Si Frisch U. 1996. Transverse ve¬
locity increments in turbulent flow using the RELIEF technique. J. Fluid Mech.
(submitted).
Novikov E. A. 1964. На русском языке:
Новиков E. А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулент¬
ности. ЖЭТФ 1964, 47, 1919-1926.
Novikov Е. А. 1969. На русском языке:
Новиков Е. А. Масштабное подобие для случайных полей. Доклады
АН СССР 1969, 184(5), 1072-1075.
Novikov Е. А. 1970. На русском языке:
Новиков Е. А. Перемежаемость и масштабное подобие в структуре турбу¬
лентного потока. Прикл. мех. матем. 1970, 35(2), 266-277.
316
Литература
Novikov Е. А. & Stewart R. W. 1964. На русском языке:
Новиков Е. А., Стюарт Р. У. Перемежаемость турбулентности и спектр
флюктуаций диссипации энергии. Изв. АН СССР, сер. геофиз. 1964,
408-413.
Obukhov А. М. 1941а. На русском языке:
Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока.
Доклады АН СССР 1941, 32(1), 22-24.
Obukhov А. М. 1941Ь. На русском языке:
Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока.
Изв. АН СССР, сер. геофиз. 1941, 5(4-5), 453-466.
Obukhov А. М. 1962. Some specific features of atmospheric turbulence. J. Fluid
Mech. 13, 77-81.
Ogura Y. 1963. A consequence of the zero-fourth-cumulant approximation in the
decay of isotropic turbulence. J. Fluid Mech. 16, 33-40.
Ohkitani K. & Kishiba S. 1995. Nonlocal nature of vortex stretching in an inviscid
fluid. Phys. Fluids 7, 411-421.
Ohkitani K. & Yamada M. 1989. Temporal intermittency in the energy cascade
process and local Lyapunov analysis in fully-developed model turbulence. Progr.
Theor. Phys. 89, 329-341.
Onsager L. 1945a. Letter to С. C. Lin, June 1945. T. von Karman papers, Na¬
tional Air and Space Museum, Smithsonian Institution, Washington, DC (copy of
microfiches of the originals at the CALTECH Archives), box 18, folder 22.
Onsager L. 1945b. The distribution of energy in turbulence. Phys. Rev. 68, 285
(Abstract of talk presented at the meeting of the Metropolitan Section of the
American Physical Society, Columbia University, New York, November 9-10,1945).
Onsager L. 1949. Statistical hydrodynamics. Nuovo Cimento 6(2), 279-287 (Suppl.
Ser. IX).
Oono Y. 1989. Large deviations and statistical physics. Progr. Theor. Phys. Suppl.
99, 165-205.
Orszag S. A. 1966. Dynamics of fluid turbulence. Princeton Plasma Physics Labo¬
ratory, report PPL-AF-13.
Orszag S. A. 1970. Indeterminacy of the moment problem for intermittent turbu¬
lence. Phys. Fluids 13, 2211-2212.
Orszag S. A. 1974. Numerical simulation of the Taylor-Green vortex. In: Comput¬
ing Methods in Applied Sciences and Engineering, Part 2, 50-64. (Lect. Notes in
Computer Sci., 11) Eds. R. Glowinski & J. L. Lions. Springer, Berlin.
Orszag S. A. 1977. Statistical theory of turbulence. In: Fluid Dynamics, Les Houches
1973, 237-374. Eds. R. Balian & J. L. Peube. Gordon and Breach, New York.
Литература
317
Orszag S. A. & Kruskal M. D. 1966. Theory of turbulence. Phys. Rev. Lett. 16,
441-444.
Orszag S. A. & Kruskal M. D. 1968. Formulation of the theory of turbulence. Phys.
Fluids 11, 43-60.
Orszag S. A. & Patterson G. S. 1972. Numerical simulation of turbulence. In: Statisti¬
cal Models and Turbulence, 127-147. (Lect. Notes in Phys., 12) Eds. M. Rosenblatt
& C. W. Van Atta. Springer, Berlin.
Orszag S. A.f Yakhot V., Flannery W. S.f Boysan F.f Choudhury D.f Maruzewski J.
& Patel B. 1993. Renormalization group modeling and turbulence simulations.
In: Proc. Int. Conf. on Near-Wall Turbulent Flows, 1031-1046. Eds. R. M. C. So,
C. G. Speziale & В. E. Launde. Elsevier, Amsterdam.
Oseledets V. I. 1989. Ha русском языке:
О новом способе записи уравнения Навье-Стокса. Гамильтонов формализм.
Успехи матем. наук 1989, 44(3), 169-170.
Ott E.f Du Y., Sreenivasan К. R.f Juneja A. & Suri A. K. 1992. Sign-singular measures:
fast magnetic dynamos, and high-Reynolds-number fluid turbulence. Phys. Rev.
Lett. 69, 2654-2657.
Ottino J. M. 1989. The Kinematics of Mixing: Stretching, Chaos, and Transport.
Cambridge University Press, Cambridge.
Paladin G. & Vulpiani A. 1987a. Degrees of freedom of turbulence. Phys. Rev. A 35,
1971-1973.
Paladin G. & Vulpiani A. 1987b. Anomalous scaling laws in multifractal objects.
Phys. Rep. 156, 147-225.
Panchev S. 1971. Random Functions and Turbulence. Pergamon Press, New York.
Ha русском языке:
Панчев С. Случайные функции и турбулентность. Л.: Гидрометеоиздат,
1967.
Papoulis А. 1991. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 3rd edi¬
tion. McGraw-Hill, New York.
Parisi G. 1988. Statistical Field Theory. Addison-Wesley, Redwood City.
Parisi G. 1990. A mechanism for intermittency in a cascade model for turbulence.
University of Rome, preprint ROM2F-90/37.
Parisi G. & Frisch U. 1985. On the singularity structure of fully developed turbulence.
In: Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics, Proceed. Intern.
School of Physics ‘E. Fermi’, 1983, Varenna, Italy, 84-87. Eds. M. Ghil, R. Benzi
& G. Parisi. North-Holland, Amsterdam.
Parisi G. & Sourlas N. 1979. Random magnetic fields, supersymmetry, and negative
dimensions. Phys. Rev. Lett. 43, 744-745.
318
Литература
Pasmanter R. A. 1994. On long lived vortices in 2-D viscous flows, most probable
states of inviscid 2-D flows and a soliton solution. Phys. Fluids 6, 1236-1241.
Passot T.f Politano H., Sulem P.-L., Angilella J. R. & Meneguzzi M. 1995. Instability
of strained vortex layers and vortex tube formation in homogeneous turbulence.
J. Fluid Mech. 282, 313-338.
Pedlosky J. 1979. Geophysical Fluid Dynamics. Springer, Berlin.
Перевод на русский язык:
Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.: Мир, 1984.
Phythian R. 1977. The functional formalism of classical statistical dynamics.
J. Phys. A 10, 777-789.
Pinton J.-F. & Labbe R. 1994. Correction to the Taylor hypothesis in swirling flows.
J. Phys. II France 4, 1461-1468.
Pisarenko D., Biferale L., Courvoisier D., Frisch U. & Vergassola M. 1993. Further
results on multifractality in shell models. Phys. Fluids A 5, 2533-2538.
Piumati G. 1894. II Codice Atlantico di Leonardo da Vinci. Reproduced and pub¬
lished by Academia dei Lincei, Ulrico Hoepli, Milan.
Polyakov A. M. 1972. Scale invariance of strong interactions and its application to
lepton-hadron reactions. In: International School of High Energy Physics in Erevan
23 November-4 December 1971 (Chernogolovka 1972). Acad. Sci. USSR, Moscow.
Polyakov A. M. 1993. The theory of turbulence in two dimensions. Nucl. Phys.
B396, 367-385.
Pomeau Y. 1992. Asymptotic time behaviour of nonlinear classical field equations.
Nonlinearity 5, 707-720.
Pomeau Y. 1994. Statistical approach to 2-D turbulence. In: Turbulence: a Tentative
Dictionary, 117-123. Eds. P. Tabeling & O. Cardoso. Plenum Press, New York.
Pomeau Y. & Manneville P. 1980. Intermittent transition to turbulence in dissipative
dynamical systems. Commun. Math. Phys. 74, 189-197.
Pomeau Y.f Pumir A. & Young W. R. 1988. Transitoires dans Padvection-diffusion
d’impuretes. C. R. Acad. Sci. Paris, serie II 306, 741-746.
Pouquet A. 1978. On two-dimensional magnetohydrodynamic turbulence. J. Fluid
Mech. 88, 1-16.
Pouquet A., Gloaguen C.f Leorat J. & Grappin R. 1984. A scalar model of MHD tur¬
bulence. In: Chaos and Statistical Methods, Sept. 1983, Kyoto, 206-210. Ed. Y. Ku-
ramoto. Springer, Berlin.
Pouquet A., Lesieur M., Andre J. C. & Basdevant C. 1975. Evolution of high Reynolds
number two-dimensional turbulence. J. Fluid Mech. 72, 305-319.
Prandtl L. 1925. Bericht fiber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz. Z.
Angew. Math. Mech. 5, 136-139.
Литература
319
Prandtl L. 1932. Zur turbulenten Stromung in Rohren und langs Platten. Ergcbn.
Aerodyn. Versuchsanst. 4, 18-29.
Praskovsky A. A. 1992. Experimental verification of the Kolmogorov refined simi¬
larity hypothesis. Phys. Fluids A 4, 2589-2591.
Praskovsky A. A.f Foss J. F., Kleiss S. J. & Karyakin M. Yu. 1993. Fractal properties of
isovelocity surfaces in high Reynolds number laboratory shear flows. Phys. Fluids A
5, 2038-2042.
Proudman I. & Reid W. H. 1954. On the decay of a normally distributed and homo¬
geneous turbulent velocity field. Phil. Trans. Royal Soc. London A 247, 163-189.
Pullin D. I. & Saffman P. G. 1993. On the Lundgren-Townsend model of turbulent
fine scales. Phys. Fluids A 5, 126-145.
Pumir A. 1994. A numerical study of the mixing of a passive scalar in three dimen¬
sions in the presence of a mean gradient. Phys. Fluids 6, 2118-2132.
Pumir A. & Siggia E. D. 1990. Collapsing solutions in the 3-D Euler equations.
In: Topological Fluid Mechanics, 469-477. Eds. H. K. Moffatt & A. Tsinober. Cam¬
bridge University Press, Cambridge.
Pumir A. & Siggia E. D. 1992. Development of singular solutions to the axisymmetric
Euler equations. Phys. Fluids A 4, 1472-1491.
Pumir A.f Shraiman В. I. & Siggia E. D. 1991. Exponential tails and random advec-
tion. Phys. Rev. Lett. 66, 2984-2987.
Reynolds 0. 1894. On the dynamical theory of turbulent incompressible viscous
fluids and the determination of the criterion. Phil. Trans. Royal Soc. London A
186, 123-161.
Richardson L. F. 1922. Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge Uni¬
versity Press, Cambridge.
Richardson L. F. 1926. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph.
Proc. Royal Soc. London A 110, 709-737 (also in: Collected Papers of L. F. Richard¬
son, vol. 1, 523-551. Ed. P. G. Drazin. Cambridge University Press, 1993).
Rivet J. P. 1991. Brisure spontanee de symetrie dans le sillage tri-dimensionnel d’un
cylindre allonge, simule par la methode des gaz sur reseaux. C. R. Acad. Sci. Paris,
serie II 313, 151-157.
Robert R. 1990. Etat d’equilibre statistique pour l’ecoulement bidimensionnel d’un
fluide parfait. C. R. Acad. Sci. Paris, serie I 311, 575-578.
Robert R. 1991. A maximum-entropy principle for two-dimensional perfect fluid
dynamics. J. Stat. Phys. 65, 531-553.
Robert R. & Sommeria J. 1991. Statistical equilibrium states for two-dimensional
flows. J. Fluid Mech. 229, 291-310.
Rose H. A. 1977. Eddy diffusivity, eddy noise and subgrid-scale modelling. J. Fluid
Mech. 81, 719-734.
320
Литература
Rose Н. А. & Sulem P.-L. 1978. Fully developped turbulence and statistical mechan¬
ics. J. Phys. Prance, 441-484.
Rosen G. 1960. Turbulence theory and functional integration. I, II. Phys. Fluids 3,
519-524, 525-528.
Ruelle D. 1989. Chaotic Evolution and Strange Attractors. Cambridge University
Press, Cambridge.
Ruelle D. 1990. Is there screening in turbulence? J. Stat. Phys. 61, 865-868.
Ruelle D. 1991. The turbulent fluid as a dynamical system. In: New Perpectives in
Turbulence, 123-138. Ed. L. Sirovich. Springer, Berlin.
Saffman P. G. 1960. On the effect of the molecular diffusivity on turbulent diffusion.
J. Fluid Mech. 8, 273—283.
Saffman P. G. 1967a. The large scale structure of homogeneous turbulence. J. Fluid
Mech. 27, 581-593.
Saffman P. G. 1967b. Note on the decay of homogeneous turbulence. Phys. Fluids
10, 1349.
Saffman P. G. 1968. Lectures on homogeneous turbulence. In: Topics in Nonlinear
Physics, 485-614. Ed. N. J. Zabusky. Springer, Berlin.
Saffman P. G. 1981. Dynamics of vorticity. J. Fluid Mech. 106, 49-58.
Saffman P. G. 1992. Vortex Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge.
Saint-Venant A. J. C. (Barre) de 1843. Note a joindre au Memoire sur la dynamique
des fluides. C. R. Acad. Sci. Paris 17, 1240-1243.
Saint-Venant A. J. C. (Barre) de 1850. Memoire sur des formules nouvelles pour
la solution des problemes relatifs aux eaux courantes. C. R. Acad. Sci. Paris 31,
283-286.
Saint-Venant A. J. C. (Barre) de 1851. Formules et tables nouvelles pour les eaux
courantes. Ann. Mines 20, 49.
Sanada T. 1991. Cluster statistics of homogeneous fluid turbulence. Phys. Rev. A
44, 6480-6489.
Santangelo P.f Benzi R. & Legras B. 1989. The generation of vortices in high-
resolution, two-dimensional decaying turbulence and the influence of initial con¬
ditions on the breaking of self-similarity. Phys. Fluids A 1, 1027-1034.
Scheffer V. 1976. Turbulence and Hausdorff dimension. In: Turbulence and the
Navier-Stokes Equations, 94-112. (Lect. Notes in Math., 565) Ed. R. Temam.
Springer, Berlin.
Scheffer V. 1977. Hausdorff measure and the Navier-Stokes equation. Commun.
Math. Phys. 55, 97-112.
Литература
321
Schertzer D. & Lovejoy S. 1984. On the dimension of atmospheric motion. In: Turbu¬
lence and Chaotic Phenomena in Fluids, 505-512. Ed. T. Tatsumi. North-Holland,
Amsterdam.
Schertzer D. & Lovejoy S. 1985. The dimension and intermittency of atmospheric
dynamics. In: Turbulent Shear Flow 4, 7-33. Eds. L. J. S. Bradbury, F. Durst,
B. Launder, F. W. Schmidt & J. H. Whitelaw. Springer, Berlin.
Schewe G. 1983. On the force fluctuations acting on a circular cylinder in crossflow
from subcritical up to transcritical Reynolds numbers. J. Fluid Mech. 133, 265-285.
Schmitt F.f Lavallee D.f Schertzer D. & Lovejoy S. 1992. Empirical determination of
universal multifractal exponents in turbulent velocity fields. Phys. Rev. Lett. 68,
305-308.
Schuster H. G. 1988. Deterministic Chaos: an Introduction, 2nd edition. VCH, Wein-
heim, Germany.
Перевод первого издания на русский язык:
Шустер Г. Г. Детерминированный хаос: введение. М.: Мир, 1988.
Schwarz К. W. 1988. Three-dimensional vortex dynamics in superfluid 4He: Homo¬
geneous superfluid turbulence. Phys. Rev. В 38, 2398-2417.
Schwinger J. 1951a. On gauge invariance and vacuum polarization. Phys. Rev. 82,
664-679.
Schwinger J. 1951b. On the Green’s functions of quantized fields. I, II. Proc. Natl.
Acad. Sci. 37, 452-459.
Schwinger J. 1958. Selected Papers on Quantum Electrodynamics. Dover, New
York.
Serrin J. 1959. Mathematical principles of classical fluid mechanics. In: Handbuch
der Physik, Fluid Dynamics I, 125-263. Eds. S. Fliigge & C. Truesdell. Springer,
Berlin.
Sewell M. J. 1987. Maximum and Minimum Principles. Cambridge University Press,
Cambridge.
She Z. S. 1987. Metastability and vortex pairing in the Kolmogorov flow. Phys.
Lett. A 124, 161-164.
She Z. S. 1991. Physical model of intermittency in turbulence: near-dissipation-
range non-Gaussian statistics. Phys. Rev. Lett. 66, 600-603.
She Z. S. & Jackson E. 1993. On the universal form of energy spectra in fully
developed turbulence. Phys. Fluids A 5, 1526-1528.
She Z. S. & Leveque E. 1994. Universal scaling laws in fully developed turbulence.
Phys. Rev. Lett. 72, 336-339.
She Z. S. & Orszag S. A. 1991. Physical model of intermittency: inertial-range
non-Gaussian statistics. Phys. Rev. Lett. 66, 1701-1704.
322
Литература
She Z. S. & Waymire E. C. 1995. Quantized energy cascade and log-Poisson statistics
in fully developed turbulence. Phys. Rev. Lett. 74, 262-265.
She Z. S., Aurell E. & Frisch U. 1992. The inviscid Burgers equation with initial
data of Brownian type. Commun. Math. Phys. 148, 623-641.
She Z. S., Jackson E. & Orszag S. A. 1990. Intermittent vortex structures in homo¬
geneous isotropic turbulence. Nature 344, 226-228.
She Z. S., Jackson E. & Orszag S. A. 1991. Structure and dynamics of homogeneous
turbulence: models and simulations. Proc. Royal Soc. London A 434, 101-124.
Shraiman В. I. & Siggia E. D. 1995. Anomalous scaling of a passive scalar in turbulent
flow. C. R. Acad. Sci. Paris, serie II 321, 279-284.
Siggia E. D. 1978. Model of intermittency in three-dimensional turbulence. Phys.
Rev. A 17, 1166-1176.
Siggia E. D. 1981. Numerical study of small scale intermittency in three-dimensional
turbulence. J. Fluid Mech. 107, 375-406.
Siggia E. D. 1994. High Rayleigh number convection. Ann. Rev. Fluid Mech. 26,
137-168.
Siggia E. D. & Aref H. 1981. Point-vortex simulation of the inverse cascade in two-
dimensional turbulence. Phys. Fluids 24, 171-173.
Sinai Ya. G. 1992. Statistics of shocks in solutions of inviscid Burgers equation.
Commun. Math. Phys. 148, 601-622.
Sivashinsky G. I. 1985. Weak turbulence in periodic flows. Physica D 170, 243-255.
Sivashinsky G. I. & Frenkel A. L. 1992. On negative eddy viscosity under conditions
of isotropy. Phys. Fluids A 4, 1608-1610.
Slutsky E. E. 1938. Sur les fonctions aleatoires presque periodiques et sur la
decomposition des fonctions aleatoires stationnaires en composantes. In: Actualites
scientifiques et industrielles 738, 33-55. Hermann, Paris.
Smith L. A.f Fournier J. D & Spiegel E. A. 1986. Lacunarity and intermittency in
fluid turbulence. Phys. Lett. A 114, 465-468.
Smith L. M. & Yakhot V. 1993. Bose condensation and small-scale structure gener¬
ation in a random force driven 2-D turbulence. Phys. Rev. Lett. 71, 352-355.
Smith L. M. & Yakhot V. 1994. Finite-size effects in forced, two-dimensional turbu¬
lence. J. Fluid Mech. 274, 115-138.
Sommeria J. 1986. Experimental study of the inverse energy cascade in a square
box. J. Fluid Mech. 170, 139-168.
Sommeria J., Nore C, Dumont T. & Robert R. 1991. Theorie statistique de la Tache
Rouge de Jupiter. C. R. Acad. Sci. Paris, serie II 312, 999-1005.
Литература
323
Sornette D. & Sammis C. G. 1995. Complex critical exponents from renormalization
group theory of earthquakes: implications for earthquake predictions. J. Phys. I
Prance 5, 607-619.
Spalding D. B. 1991. Kolmogorov’s two-equation model of turbulence. Proc. Royal
Soc. London A 434, 211-216.
Sreenivasan K. R. 1984. On the scaling of the turbulent energy dissipation rate.
Phys. Fluids 27, 1048-1051.
Sreenivasan K. R. 1991. On local isotropy of passive scalars in turbulent shear flows.
Proc. Royal Soc. London A 434, 165-182.
Sreenivasan K. R. 1995. On the universality of the Kolmogorov constant. Phys.
Fluids 7, 2778-2784.
Starr V. P. 1968. Physics of Negative Viscosity Phenomena. McGraw-Hill, New
York.
Перевод на русский язык:
Старр В. П. Физика явлений с отрицательной вязкостью. М.: Мир, 1971.
Steenbeck M.f Krause F. & Radler К. H. 1966. Zur Berechnung de mittlerer Lorentz-
FeldStarke v x В fur ein elektrisch leitendes Medium in turbulenter, durch Coriolis-
Krafte beeinflusster Bewegung. Z. Naturforsch. 21, 369-376.
Stenflo J. 0. 1973. Magnetic-field structure of the photospheric network. Solar Phys.
32, 41-63.
Stenflo J. 0. 1994. Solar Magnetic Fields. Kluwer, Dordrecht.
Stewart R. W. 1972. Turbulence. In: Illustrated Experiments in Fluid Mechanics,
82-88. Ed. National Committee for Fluid Mechanics Films (illustrates a film avail¬
able from International Division, Encyclopedia Britanica, 425, N. Michigan Avenue,
Chicago).
Stewart R. W. & Townsend A. A. 1951. Similarity and self-preservation in isotropic
turbulence. Phil. Trans. Royal Soc. London A 243, 359-386.
Stokes G. G. 1843. On some cases of fluid motion. Trans. Camb. Phil Soc. 8, 105
(also in: Math, and Phys. Papers by G. G. Stokes 1, 17-68. Cambridge University
Press, Cambridge, 1880. Republished by Johnson Reprint Corporation, New York,
1966).
Stolovitzky G. & Sreenivasan K. R. 1994. Kolmogorov’s refined similarity hypotheses
for turbulence and general stochastic processes. Rev. Mod. Phys. 66, 229-240.
Stolovitzky G., Kailasnath P. Si Sreenivasan K. R. 1992. Kolmogorov’s refined simi¬
larity hypothesis. Phys. Rev. Lett. 69, 1178-1181.
Sulem P.-L. Si Frisch U. 1975. Bounds on energy flux for finite energy turbulence.
J. Fluid Mech. 72, 417-423.
324
Литература
Sulem С. & Sulem P.-L. 1983. The well-posedeness of two-dimensional ideal flow.
J. Mec. Theor. Appliqu. (Paris), 217-242. (Special issue on two-dimensional tur¬
bulence.)
Sulem C, Sulem P.-L. & Frisch H. 1983. Tracing complex singularities with spectral
methods. J. Comput. Phys. 50, 138-161.
Sulem P.-L., She Z. S., Scholl H. & Frisch U. 1989. Generation of large-scale struc¬
tures in three-dimensional flow lacking parity-invariance. J. Fluid Mech. 205,
341-358.
Swift J. 1983. On poetry. In: The Complete Poems. Ed. P. Rogers. Yale University
Press, New Haven.
Tabeling P. & Cardoso 0. 1994. Turbulence: a Tentative Dictionary. Plenum Press,
New York.
Tabeling P., Burkhart S., Cardoso 0. & Willaime H. 1991. Experimental study of
freely decaying two-dimensional turbulence. Phys. Rev. Lett. 67, 3772-3775.
Tabeling P., Zocchi G., Belin F., Maurer J. & Willaime H. 1996. Probability densi¬
ty functions, skewness, and flatness in large Reynolds number turbulence. Phys.
Rev. E 55, 1613-1621.
Tatarskii V. I. 1962. На русском языке:
Татарский В. И. Применение методов квантовой теории поля к задаче о
вырождении турбулентности. ЖЭТФ 1962, 42, 1386-1396.
Tatsumi Т. 1957. The theory of decay process of incompressible isotropic turbulence.
Proc. Royal Soc. London A 239, 16-45.
Taylor G. I. 1915. Eddy motion in the atmosphere. Phil. Trans. Royal Soc. A 215,
1-26.
Taylor G. I. 1921. Diffusion by continuous movements. Proc. London Math. Soc. 20,
196-211.
Taylor G. I. 1935. Statistical theory of turbulence. Proc. Royal Soc. London A 151,
421-478.
Taylor G. I. 1938. The spectrum of turbulence. Proc. Royal Soc. London A 164,
476-490.
Temam R. 1977. Navier-Stokes Equations. North-Holland, Amsterdam (revised edi¬
tion 1984).
Перевод на русским язык:
Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981.
Tennekes Н. 1989. Two and three-dimensional turbulence. In: Lecture Notes on
Turbulence, NCAR-GTP 1987,1-73. Eds. J. R. Herring & J. C. McWilliams. World
Scientific, Singapore.
Tennekes H. & Lumley J. L. 1972. A First Course in Turbulence. MIT Press, Cam¬
bridge, MA.
Литература
325
Tikhomirov V. М. 1991. Selected Works of A. N. Kolmogorov. Dordrecht, Boston.
Tong C. & Warhaft Z. 1994. On passive scalar derivative statistics in grid turbulence.
Phys. Fluids 6, 2165-2176.
Toulouse G. & Pfeuty P. 1975. Introduction au groupe de renormalisation et a ses
applications. Presses Universitaires de Grenoble, Grenoble.
Townsend A. A. 1951. On the fine-scale structure of turbulence. Proc. Royal Soc.
London A 208, 534-542.
Townsend A. A. 1976. The Structure of Turbulent Shear Flow. Cambridge University
Press, Cambridge.
Tritton D. J. 1988. Physical Fluid Dynamics, 2nd edition. Clarendon, Oxford.
Van Atta C. W. & Chen W. Y. 1970. Structure functions of turbulence in the atmo¬
spheric boundary layer over the ocean. J. Fluid Mech. 44, 145-159.
Van Atta C. W. & Park J. 1972. Statistical self-similarity and inertial subrange
turbulence. In: Statistical Models and Turbulence, 402-426. (Lect. Notes in Phys.,
12) Eds. M. Rosenblatt & C. W. Van Atta. Springer, Berlin.
van de Water W., van der Vorst B. & van de Wetering E. 1991. Multiscaling of
turbulent structure functions. Europhys. Lett 16, 443-448.
Van Dyke M. 1982. An album of fluid motion. The Parabolic Press, Stanford, CA.
Перевод на русский язык:
Ван Дайк М. Альбом движений жидкости и газа. М.: Мир, 1986.
Varadhan S. R. S. 1984. Large Deviations and Applications. SIAM, Philadelphia.
Vergassola M. 1993. Chiral nonlinearities in forced 2-D Navier-Stokes flows. Euro¬
phys. Lett 24, 41-45.
Vergassola M. 1996. Anomalous scaling for passively advected magnetic fields. Phys.
Rev. E 53, R3021-R3024.
Vergassola M. & Gama S. 1994. Slow-down of nonlinearity in 2-D Navier-Stokes
flow. Physica D 76, 291-296.
Vergassola M., Gama S. & Frisch U. 1993. Proving the existence of negative
isotropic eddy viscosity. In: NATO-ASI: Solar and Planetary Dynamos, 321-327.
Eds. M. R. E. Proctor, P. C. Mathews & A. M. Rucklidge. Cambridge University
Press, Cambridge.
Vergassola M.p Benzi R.f Biferale L. & Pisarenko D. 1993. Wavelet analysis of a
Gaussian Kolmogorov signal. J. Phys. A 26, 6093-6099.
Vergassola M., Dubrulle B.f Frisch U. & Noullez A. 1994. Burgers’ equation, Devil’s
staircases and the mass distribution for large-scale structures. Astron. Astrophys.
289, 325-356.
Vincent A. & Meneguzzi M. 1991. The spatial structure and statistical properties of
homogeneous turbulence. J. Fluid Mech. 225, 1-25.
326
Литература
Vishik М. J. & Fursikov A. V. 1988. Mathematical Problems of Statistical Hydrody¬
namics. Kluwer, Dordrecht.
Vogel S. 1981. Life in Moving Fluids. Princeton University Press, Princeton.
Waugh D. W.f Plumb R. A.f Atkinson R. J.f Schoeberl M. R.f Lait L. R.f Newman P. A.,
Lowenstein M.f Toohey D. W., Aval I one L. M.f Webster C. R. & May R. D. 1994. Trans¬
port of material out of the stratospheric Arctic vortex by Rossby wave breaking.
J. Geophys. Res. 99, 1071-1088.
Wax N. 1954. Noise and Stochastic Processes (Selected Papers on). Dover, New
York.
Waymire E. C. & Williams S. C. 1994. A general decomposition theory for random
cascades. Bull. Amer. Math. Soc. 31, 216-222.
Weiss J. B. & McWillams J. C. 1993. Temporal scaling behavior of decaying two-
dimensional turbulence. Phys. Fluids A 5, 608-621.
Weizsacker C. F. von 1948. Das Spektrum der Turbulenz bei grofien Reynoldschen
Zahlen. Zeit. f. Phys. 124, 614-627.
Wiener N. 1930. Generalized harmonic analysis. Acta Math. 55, 117-258.
Wilson K. 1972. Feynman-graph expansion for critical exponents. Phys. Rev. Lett.
28, 548-551.
Wilson K. & Fisher M. E. 1972. Critical exponents in 3.99 dimensions. Phys. Rev.
Lett. 28, 240-243.
Wilson K. & Kogut J. 1974. The renormalization group and the e expansion. Phys.
Rep. 12C, 75-200.
Wirth A.f Gama S. & Frisch U. 1995. Eddy viscosity of three-dimensional flow.
J. Fluid Mech. 288, 249-264.
Wolibner W. 1933. Un theoreme sur l’existence du mouvement plan d’un fluide
parfait, homogene, incompressible, pendant un temps infiniment long. Math. Z.
37, 698-726.
Wu X. Z., Kadanoff L.f Libchaber A. & Sano M. 1990. Phys. Rev. Lett. 64, 2140-2143.
Wyld H. W. 1961. Formulation of the theory of turbulence in an incompressible
fluid. Ann. Phys. 14, 143-165.
Wyngaard J. C. & Tennekes H. 1970. Measurements of the small-scale structure of
turbulence at moderate Reynolds numbers. Phys. Fluids 13, 1962-1969.
Yaglom A. M. 1966. На русском языке:
Яглом A. M. О влиянии флюктуаций диссипации энергии на форму харак¬
теристик турбулентности в инерционном интервале. Доклады АН СССР
1966, 166, 49-52.
Yaglom А. М. 1987. Einstein’s 1914 paper on the theory of irregularly fluctuating
series of observations. IEEE ASSP Magazine 4(4), 6-11.
Литература
327
Yaglom А. М. 1994. А. N. Kolmogorov as a fluid mechanician and founder of a
school in turbulence research. Ann. Rev. Fluid Mech. 26, 1-22.
Yakhot V. & Orszag S. A. 1986a. Renormalization group analysis of turbulence. I.
Basic theory. J. Sci. Comput. 1, 3-52.
Yakhot V. & Orszag S. A. 1986b. Renormalization group analysis of turbulence.
Phys. Rev. Lett. 57, 1722-1724.
Yamada M.f Kida S. & Ohkitani K. 1993. Wavelet analysis of PDF’s in turbulence —
a power law distribution in the dissipation range. In: Unstable and Turbulent Mo¬
tion of Fluid, 188-199. Ed. S. Kida. World Scientific, Singapore.
Zabusky N. J.f Hughes M. & Roberts К. V. 1979. Contour dynamics of the Euler
equations in two dimensions. J. Comput. Phys. 30, 96-106.
Zakharov V. E.f Lvov V. S. & Falkovich G. 1992. Kolmogorov Spectra of Turbu¬
lence. I. Springer, Berlin.
Zeitlin V. 1991. Finite-mode analogs of 2-D ideal hydrodynamics: coadjoint orbits
and local canonical structure. Physica D 49, 353-362.
Zeitlin V. 1992. On the structure of phase-space, Hamiltonian variables and statis¬
tical approach to the description of two-dimensional hydrodynamics and magneto¬
hydrodynamics. J. Phys. A 25, L17U-L175.
Zeldovich Ya. B.f Ruzmaikin A. A. & Sokoloff D. D. 1983. Magnetic Fields in Astro¬
physics. Gordon and Breach, New York.
Zeldovich Ya. B.f Ruzmaikin A. A. & Sokoloff D. D. 1990. The Almighty Chance.
World Scientific, Singapore.
Именной указатель
АЪгу Р. 211
Adelmeyer М. 228
Akao J. Н. 211
Amit D. J. 242, 266
Andre J. С. 275
Angilella J. R. 208, 211, 212
Anselmet F. 140, 142, 143, 145, 146,
155, 158, 176, 183, 184, 186,
201
Antonia R. A. 140, 142, 143, 145,
146, 155, 158, 176, 184, 186,
201
Aref H. 228, 229, 274, 276
Arneodo A. 142, 166, 183
Arnold V. I. xiii, 223, 227, 228, 230,
250, 261
Atten P. 229
Aubry N. 229
Aurell E. 157, 180, 183, 194
Avellaneda M. 261
Bacry E. 142, 166, 183
Baxabasi A.-L. 157
Baxdos C. 129, 224
Basdevant C. 275
Batchelor G. K. 12, 56, 66, 69, 108,
109, 123, 126, 127, 138, 174,
220, 222, 274-276, 286
Battimelli G. 108
Baudet C. 145, 176
Bayly B. J. 222
Beale J. T. 225, 226
Beland M. 275
Belin F. 176, 211
Belinicher V. I. 242
Benachour S. 129
Bender C. 168
Benney D. J. 249
Bensoussan A. 255, 259
Benzi R. 123, 144, 145, 165, 166, 176,
186, 197, 202, 213, 217, 232,
275, 276, 283
Berge P. 228
Berry M. 156
Bertozzi A. 226
Biferale L. 123, 165, 166, 190, 195,
197, 198, 217
Blank M. L. 190, 203
Bondarenko N. F. 273, 284
Bonn D. 206-208, 210
Boratav O. N. 76
Borue V. 72, 274, 275
Boussinesq J. 251-253
Brachet M. E. 75, 76, 129-131, 206,
208-210, 225, 275
Bradshaw P. 220
Briscolini M. 283
Brissaud A. 22, 246
Brown G. L. 204
Brush S. G. 253
Burgers J. M. 157, 158, 183, 197,
209, 223, 235, 243, 287
Burkhart S. 284
Cafarelli L. 224
Caglioti E. 277
Caputo J. G. 229
Cardoso O. 221, 273, 284, 285
Carnevale G. F. 283
Castaing B. 71, 142, 170, 171, 206,
217
Chabaud B. 71, 217
Champagne F. H. 70, 204
Chandrasekhar S. 222
Именной указатель
329
Charney J. G. 273
Chemin J.-Y. 226
Chen S. 244
Chen W. Y. 140, 141
Chertkov M. 244
Childress S. 230
Chorin A. J. 211, 222
Chossat P. 10
Ciliberto S. 145, 176, 213
Clarke J. 220
Coantic M. 221
Colella M. 283
Coleman S. 265
Collet P. 185, 203
Constantin P. 15, 21, 119, 149,
224-226, 231
Corcos G. 209
Corrsin S. 10, 121, 139, 220
Couder Y. 206-208, 210, 273
Coullet P. 265
Courvoisier D. 195
Cramer H. 186
Cross M. C. 222, 228
Crow S. C. 204, 265
Cvitanovic P. 228
Dannevik W. P. 271
de Dominicis C. 270
de Gennes P. G. 211
Delache Ph. 288
Derango P. 273
Desnyansky V. N. 193, 194, 198
Devaney R. L. 228
d’Humieres D. 8
Di Castro C. 265
Dolzhansky F. V. 194, 273, 284
Dombre T. 229
Donnelly R. J. 205
Donsker M. D. 45
Douady S. 206-208, 210
Dracos Th. 228
Drazin P. G. 222
Dritschel D. G. 273, 279
Drouffe J.-M. 266
Du Y. 214
Dubrulle B. 157, 213, 259, 263, 268
Dumas R. 9, 221
Dumont T. 283
Dyson F. J. 232
E W. 21, 131, 265
Ebin D. 224
Edwards S. F. 84
Einstein A. 58
Ellis R. S. 187
Eneva M. 180
Evertsz C. J. G. 187, 228
Eyink G. L. 21, 83, 266, 272, 277,
279, 282
Fairhall A. L. 244
Falconer K. 150, 228, 230
Falkovich G. 232, 244, 249
Fannjiang A. 259, 261
Farge M. 24
Fauve S. 206, 211, 259, 265
Favre A. 221
Fefferman Ch. 149, 226
Feller W. H. 42, 148, 186, 187, 213
Feynman R. P. 1, 232, 239, 241, 265
Fisher M. E. 266, 267
Flandrin P. 211
Foias C. 119
Fornberg B. 275
Forster D. 106, 157, 236, 242, 249,
266
Foss J. F. 231
Fournier J. D. 106, 143, 223, 241,
243, 267-269, 272
Frenkel A. L. 264
Frisch H. 129
Frisch U. xiii, 21, 22, 47, 65, 101,
102, 106, 115, 116, 123, 126,
129, 139, 142, 154, 157, 158,
165, 166, 172, 175, 180, 183,
190, 195, 201-203, 215, 216,
223, 225, 228, 235, 241, 243,
246, 249, 250, 259, 260,
262-265, 267, 268, 272, 274
Frohlich J. 277
330
Именной указатель
Frostman О. 152
Fung J. С. Н. 153
Fursikov А. V. 40, 236
Furutsu К. 45
Gagne Y. 29, 62, 67, 102, 138-143,
145, 146, 155, 158, 165, 166,
170, 171, 176, 183, 184, 186,
201, 213, 215, 229
Gak M. Z. 273, 284
Gallavotti G. 15, 224
Gama S. 22, 228, 235, 259, 263, 264
Gat O. 197, 244
Gaviglio J. 221
Gaw§dzki K. 244
Gharib M. 220, 273
Gibson С. H. 170
Gilbert A. D. 230, 262
Gledzer E. B. 194, 195, 273, 284
Gloaguen C. 195
Goldenfeld N. 266
Goldstein H. 18
Goldstein S. 254
Golitsyn G. S. 243
Gollub J. 220
Golubitsky M. 10
Gottlieb D. 76
Grant H. L. 68, 69
Grappin R. 195
Grassberger P. 119, 178, 179, 202,
211
Grauer R. 131
Guckenheimer J. 228
Gurbatov S. N. 157
Gurvitch A. S. 199
Guyon E. 222
Halmos P. R. 37
Halsey T. C. 178, 202
Han any A. 232
Hebral B. 71, 217
Heisenberg W. 101, 108
Henon M. 40, 229
Hentschel H. G. E. 178, 202, 203
Herbert T. 222
Herring J. R. 246, 274
Hinze J. O. 222, 253, 254
Hohenberg P. C. 222, 228
Holder E. O. 128
Holmes P. 228, 229
Holzer M. 220
Hopf E. 232-235
Hopfinger E. J. 29, 62, 140-143, 145,
146, 155, 158, 165, 166, 176,
183, 184, 186, 201, 215
Hosokawa I. 183, 205
Howarth L. 83, 86
Huang K. 285
Hughes M. 279
Hulin J.-P. 222
Iooss G. 228
Ishii K. 71, 72
Isichenko M. B. 261
Isserlis L. 46
Itzykson C. 243, 266
Jackson E. 120, 171, 206, 217
Jensen M. H. 178, 195, 202
Jimenez J. 208-210
Jona-Lasinio G. 265
Joyce G. 278, 280
Juneja A. 214
Kac M. 42, 239
Kadanoff L. 178, 197, 202, 265
Kahane J. P. 51, 152, 185, 203, 230
Kailasnath P. 183
Kampe de Feriet J. 52
Kardar M. 157
Karman T. von 70, 83, 86, 108, 254,
271
Karyakin M. Yu. 231
Kato T. 128, 224-226
Keller B. S. 184
Kelvin Lord 8, 251, 265
Kendall D. G. xiii
Kerr R. 206, 246
Khesin B. A. 227
Kida S. 76, 209, 210
Именной указатель
331
Kirchhoff G. 276
Kishiba S. 226
Kleiss S. J. 231
Kogut J. 266
Kohn R. 224
Kolmogorov A. N. xii, xiii, 12, 13,
25, 49, 55, 58, 78, 82, 83, 94,
97, 99-103, 106-109, 111, 112,
116, 123, 125, 127, 130, 133,
140, 169, 170, 172, 173, 176,
177, 182, 198-200, 203, 204,
221, 223, 228, 232, 250, 254,
261, 264, 274, 285, 286, 290
Kolokolov I. 244
Koukiou F. 185, 203
Kovasznay L. S. G. 221
Kozlov V. V. 250
Kraichnan R. H. 18, 95, 103, 115,
139, 201, 217, 221, 231-233,
235, 242, 244-246, 248, 263,
264, 271-275, 278, 285, 286
Krause F. 22, 262
Kruskal M. D. 238
Kuo A. Y. 139
Kupiainen A. 244
Kuz’min G. A. 22, 228, 278
Kuznetsov V. R. 106
Labbe R. 64, 71
Ladyzhenskaya O. A. 224
Lallemand P. 8
Lamb H. 19, 127, 227, 251, 276
Lambert A. 198
Landau L. D. xii, 12, 13, 82, 89, 99,
101-103, 105-108, 121, 139,
176, 198, 199, 221, 222, 247,
254, 265
Lane B. 220
Lanford О. E. 187-189
Laroche C. 206, 211
Lavallee D. 142
Le Bellac M. 266
Lebedev V. V. 232, 243, 244
Legras B. 232, 250, 265, 273, 275
Leibovich S. 208
Leighton R. В. 1
Lempert W. 64, 65, 172, 215, 216
Leonardo da Vinci 123, 124, 203-205,
286
Leorat J. 22, 195
Leray J. 120, 132, 224
Lesieur M. 22, 126, 221, 236, 243,
246, 248, 249, 272, 273, 275
Leslie D. C. 221
Leveque E. 72, 213
Levy P. 51, 213
Lewis R. M. 232
Libchaber A. 202
Lichtenstein L. 224
Lifchitz E. M. 12, 89, 102, 221, 222,
254, 265
Lilly D. K. 274
Lima R. 198
Lin С. C. 108, 220
Lin S. J. 209
Lions J. L. 222, 224, 255, 259
Lions P. L. 277
Lohse D. 197
Loitsyansky L. G. 126, 220
Lorenz E. N. 139, 194, 201
Lovejoy S. 142
Lumley J. L. 55, 64, 109, 193, 204,
220, 222, 228, 229
Lundgren T. S. 209
Lutsko J. 157, 180, 183
L’vov V. S. 242-244, 249
Lynden-Bell D. 278
Ma S. K. 266
Machlup S. 241
Majda A. J. 225, 226, 261
Malakhov A. N. 157
Malraison B. 229
Mandelbrot В. B. 150, 152, 184, 185,
187, 188, 192, 201, 203, 228
Manneville P. 136, 228
Marchand M. 62, 67, 142
Marchioro C. 277
Marsden J. E. 222, 224, 227
Marteau D. 273, 285
332
Именной указатель
Martin Р. С. 232, 241, 270
Martinez D. 278, 282
Matthaeus W. Н. 278, 282
Maurer J. 71, 144, 176, 211
Mazenko G. F. 266
Mazure A. 22
McWilliams J. C. 274, 275, 283, 284
Meneguzzi M. 123, 130, 131, 173,
206, 208, 211, 212, 215, 249,
275
Meneveau С. M. 172, 178-182, 202,
203
Meshalkin L. D. 25, 265
Mesquita O. 220
Michel J. 283
Migdal A. A. 214
Miles R. B. 64, 65, 172, 215, 216
Miller J. 278-281
Millionshchikov M. D. 231, 248
Moffatt H. K. 22, 209, 210, 222, 230,
262
Moilliet A. 68, 69
Monin A. S. 54, 56, 69, 86, 96, 101,
109, 113, 115, 126, 170, 173,
182, 184, 191, 199, 200,
220-222, 232, 253
Montgomery D. 273, 278, 280, 282
Moreau J. J. 22
Morf R. H. 101, 102, 129, 139
Morrison P. J. 227
Moser J. 228, 261
Muzy J. F. 142, 183
Navier C. L. M. H. 1, 251
Neishtadt A. I. 250
Nelkin M. 67, 69, 116, 174, 201, 203,
266
Nelson D. R. 106, 157, 236, 242, 249,
266
Nepomnyashchy A. A. 264, 265
Neu J. C. 209
Neumann J. von 101, 139, 219, 287
Newell A. C. 249
Nirenberg L. 224
Noether E. 18
Nore C. 283
Noullez A. 65, 145, 157, 172, 215,
216
Novikov E. A. 143, 185, 186,
192-194, 198, 200, 201, 213, 235
Obukhov A. M. xii, 23, 97, 107, 108,
116, 133, 154, 177, 182, 194,
199, 200, 221, 273, 284
Ogura Y. 248
Ohkitani K. 76, 195, 209, 210, 226
Onsager L. 21, 108, 215, 241, 277,
285
Oono Y. 203
Orszag S. A. 72, 76, 115, 120, 129,
130, 168, 192, 206, 217, 219,
221, 222, 231, 235, 238, 248,
271
Oseledets V. I. 22, 228
Ott E. 214
Ottino J. M. 229
Oughton S. 278, 282
Paladin G. 123, 166, 178, 186, 195,
198, 202, 203, 213, 217, 276
Panchev S. 220, 221, 248
Papanicolaou G. 255, 259, 261
Papoulis A. 42, 193
Paxisi G. 157, 158, 186, 197, 201-203,
213, 232, 240, 266
Park J. 123, 146, 215
Pasmanter R. A. 278, 279, 282
Passot T. 208, 211, 212
Patemello S. 276
Patterson G. S. 219
Pedlosky J. 273
Pelz R. B. 76
Peterson E. L. 274
Petit L. 222
Peyriere J. 185, 203
Pfeuty P. 266
Phythian R. 240, 241
Pinton J.-F. 64, 71
Pisarenko D. 166, 195
Именной указатель
333
Politano Н. 130, 131, 208, 211, 212,
275
Polyakov А. М. 202, 232, 286
Pomeau Y. 8, 136, 228, 261, 273,
282, 283
Pouquet А. 195, 249, 262, 269, 275
Prandtl L. 107, 109, 250, 253, 254
Praskovsky A. A. 106, 183, 231
Procaccia I. 119, 178, 179, 197, 202,
211, 231, 243, 244
Proudman I. 126
Pullin D. I. 209
Pulverenti M. 277
Pumir A. 130, 131, 220, 261
Radler К. H. 22, 262
Reid W. H. 126, 220, 222
Reynolds O. 251
Richardson L. F. 109, 112, 113, 116,
127, 150, 200, 201, 266
Rivet J. P. 8, 79
Robert R. 278-281, 283
Roberts К. V. 279
Rogallo R. S. 209, 210
Rose H. A. 15, 221, 225, 232, 236,
241, 248, 266, 269
Rosen G. 232
Roshko A. 204
Ruelle D. 33, 40, 119, 152, 215, 228,
229, 277
Ruiz Chavarria G. 145, 176
Ruzmaikin A. A. 221, 230
Sabelnikov V. A. 106
Sadourny R. 275
Saffman P. G. 76, 126, 128, 205, 209,
210, 222, 249, 261
Saichev A. I. 157
Saint-Venant A. J. C. 251-253
Salem R. 152
Sammis C. G. 145
Sanada T. 71, 72
Sands M. 1
Sano M. 202
Santangelo P. 275, 276, 283
Scardovelli R. 232
Scheffer V. 224
Schertzer D. 126, 142
Schewe G. 74
Schmitt F. 142
Scholl H. 262, 263
Schuster H. G. 228
Schwarz K. W. 205
Schwarz W. H. 170
Schwinger J. 83, 232, 241, 265
Serrin J. 227
Sewell M. J. 160
She Z. S. 72, 120, 123, 157, 171, 206,
213, 217, 262, 263, 265
Shraiman В. I. 178, 202, 220, 244
Shu C.-W. 131, 265
Sideris T. 131
Siggia E. D. 130, 131, 197, 206, 220,
222, 232, 241, 244, 274
Sinai Ya. G. 25, 157, 265
Sivashinsky G. I. 264, 265
Slutsky E. E. 54
Smith L. A. 143
Smith L. M. 274
Sokoloff D. D. 221, 230
Sommeria J. 273, 274, 278-281, 283
Sone E. 229
Sornette D. 145
Sourlas N. 240
Spalding D. B. 109
Spiegel E. A. 143
Spohn H. 277, 279, 282
Sreenivasan K. R. 75, 99, 172,
178-183, 202, 203, 214, 220
Stanley H. E. 157
Starr V. P. 264
Steenbeck M. 22, 262
Stenflo J. O. 205, 214
Stephen M. J. 106, 157, 236, 242,
249, 266
Stewart R. W. 68, 69, 186, 200, 201,
221
Stokes G. G. 265
Stolovitzky G. 182, 183
334
Именной указатель
Stribling W. Т. 278, 282
Sulem С. 128, 129
Sulem P.-L. 15, 21, 116, 128-131,
154, 201, 208, 211, 212, 221,
225, 236, 243, 248, 249, 262,
263, 266, 269, 274, 275
Suri A. K. 214
Swanson С. E. 205
Swift J. 116
Tabeling P. 71, 144, 176, 211, 221,
273, 284, 285
Tatarskii V. I. 232
Tatsumi T. 248
Taylor G. I. 32, 63, 130, 231, 251,
253, 261
Temam R. 119, 222
Tennekes H. 109, 173, 176, 222
Thual O. 265
Tikhomirov V. M. xiii
Titi E. S. 21
Tong C. 220
Toulouse G. 266
Townsend A. A. 174, 209, 212, 222
Tripiccione R. 145, 213
Tritton D. J. 12, 73, 222
Tsinober A. 22, 228
Van Atta C. W. 123, 140, 141, 145,
146, 215
van Dam P. H. J. 206-208, 210
van de Water W. 167
van de Wetering E. 167
van der Vorst B. 167
Van Dyke M. 2-7, 10, 11, 118
Varadhan S. R. S. 163, 187
Vassilicos J. C. 153
Vergassola M. 123, 157, 166, 175,
180, 183, 195, 203, 217, 235,
259, 261, 263, 264
Vidal C. 228
Villone B. 250, 265
Vincent A. 123, 130, 131, 173, 206,
208, 212, 215
Vishik M. J. 40, 236
Vogel S. 222
Vulpiani A. 108, 123, 166, 178, 186,
195, 202, 203, 213, 217, 276
Wallace G. 65, 172, 215, 216
Wang J. 197
Warhaft Z. 220
Waugh D. W. 273
Wax N. 42
Waymire E. C. 203, 213
Weinstein A. 227
Weiss J. B. 283, 284
Weizsacker C. F. von 108
Wiener N. 51, 231, 239
WiUaime H. 176, 211, 284
Williams S. C. 203
Wilson K. 265-267
Wirth A. 264
Wolibner W. 128
Wray A. A. 209, 210
Wu X. Z. 202
Wyld H. W. 232
Wyngaard J. C. 173, 176
Yaglom A. M. xiii, 54, 56, 58, 69, 86,
96, 101, 109, 113, 115, 126, 170,
173, 182, 184, 191, 199, 200,
220-222, 232, 253
Yakhot V. 69, 244, 271, 274
Yamada M. 76, 195
Yamamoto K. 183, 205
Young W. R. 261, 283
Zabusky N. J. 279
Zakharov V. E. 249
Zeitak R. 197
Zeitlin V. 227, 282
Zeldovich Ya. B. 221, 230
Zhang B. 64, 172
Zhang L. 64, 172
Zhang Y. C. 157
Zocchi G. 71, 144, 176
Zuber J.-B. 243
Предметный указатель*
D(h) 159, 163; см. также: функ¬
ция Крамера
f(a) 178, 179, 181; см. также:
функция Крамера
Адвекция хаотическая 229
альфа-эффект анизотропный кине¬
тический (АКА) 262
аналитичность 139
полоса 129
равномерная 102
аномалия аксиальная 83
аппроксимация Паде 129
асимметрия 43
в теории К41 173
производных скорости 122; см.
также: модель мультифрак-
тальная
аттрактор фрактальный 40
Бифуркация
Андронова-Хопфа 4, 78
возрастания симметрии 10
блуждание случайное без самопере¬
сечений 211
Вейвлеты 24, 142, 165, 183
величина случайная 42
безгранично делимая 213
гауссова 44
— связь моментов 46
центрированная 43
* Номера страниц, где даются опреде¬
ления терминов, обозначены жирным
шрифтом. — Прим. ред.
вершина
«голая» 241
поправки 245
взаимодействие волн резонансное
250
вихрь
Бюргерса 209, 287
вязкость вихревая xiii, 115
нити вихревые 115, 205-215
двумерные 284
области энергии 114
основного масштаба 115
полярный 273
поправки вихревые 269
пятно вихревое 226
распад 208
растяжение 77, 173, 174, 249, 272
сеть 211
Тейлора-Грина 76
— отсутствие подтверждения
возникновению особенностей
129
время
автокорреляции лагранжево 261
корреляции эйлеровское 242
вязкость 14, 250-252; см. также:
К41; модель мультифракталь-
ная; число Рейнольдса
выражение через микроскопиче¬
ские величины 121
динамическая 14
кинематическая 2
турбулентная 263
— для течения Колмогорова 264
— зависящая от масштаба 268
— история 250-254
336
Предметный указатель
— комплексная 264
— отрицательная 263, 274
— ренормгруппа 268, 271
— тонкости 263
Гидродинамика
магнитная (МГД) 249, 269
нарушение 120
гипотеза
подобия уточненная 182, 182-184
Тейлора 63, 142, 179
гистограмма 30
Давление 14
как лагранжев множитель 227
низкое 206
соотношение «деформация-завих¬
ренность» 21
движение броуновское 51, 134, 230
децимация 269
динамика
гамильтонова
— пассивного скаляра 229
— точечных вихрей 276, 277, 283
звезд 278
крупномасштабная 260
морских течений 273
динамические системы 38, 38-41,
79, 119, 139, 202, 228-230; см.
также: аттрактор фракталь¬
ный; фракталы
диссипативность 224, 275
диссипация
волновое число 100
диапазон 100; см. также: пе¬
ремежаемость; К41; модель
мультифрактальная; спектр
колмогоровский масштаб 100
корреляционная функция 243
область
— ближняя 169
— дальняя 169
диффузия
аномальная 261
субдиффузивность 261
супердиффузивность 261
турбулентная 250
уравнение 258, 260
длина свободного пробега 120, 121,
166, 250, 253
дорожка Кармана 6
дыра озоновая 273
Единственность 22, 40, 119, 224
Завихренность 16, 211, 272
«крупнозернистая» 279
сохранение (2-D) 273
закон
больших чисел 53
двух третей 61, 61-72, 106, 107,
211
логарифмический (фон Кармана)
254
четырех пятых 83, 82-97, 142,
221
колмогоровский вывод 107
обеспечивает Сз = 1 147
законы сохранения 18-22
замыкание 108, 221, 237, 271
вывод закона Обухова fc“5/3 107
его недостатки 247-249
реализуемое 248
Инвариант материальный 228
инвариантность
галилеевская
— нарушается внешней силой
263
— случайная 95, 238, 242
масштабная 10, 52, 80, 92, 107,
114, 159
относительно четности 52
индекс сокращения 214
интеграл Лойцянского 126
интегралы функциональные 239
интервал инерционный 67, 94
охват 118
Предметный указатель
337
К41 80, 81, 78-108, 114, 154, 155,
161, 238, 270
влияние вязкости 100-102
вязкостные поправки в инерци¬
онном интервале 243
замечания Ландау 198, 199, 247
исторические замечания 107-108
каскад
— Ричардсона 116
— хаотический 127
корреляция диссипации 243
множества уровня фрактальные
231
поправки 114, 140, 147, 192, 201
ренормгрупповой подход 270-272
совместимость с
аномальными корреляция¬
ми диссипации 243
диффузионным законом
Ричардсона 112
перемежаемостью в инер¬
ционном интервале 138, 139
уравнением Бюргерса 243
цепочкой семиинвариантов
238
требование самоподобия 134
универсальность 82, 101, 169, 170
функции структурные 140
каскад 22; см. также: энергия;
/3-модель
двумерный 273-276
детерминистская модель 190
неконсервативный 185
обратный 285, 286
обрыв почти наверное 152; см.
также: размерность фрак¬
тальная отрицательная
Ричардсона 109, 113-117, 200,
266
случайная модель 184-186, 189,
190, 192, 193, 200, 201
спиральности 22
энстрофии 274, 286
катастрофа ультрафиолетовая 219
константа Колмогорова 99
координаты лагранжевы 242
коразмерность 143, 151
коэффициент
лобового сопротивления 72
теплопроводности
— турбулентный 255
— эффективный 255, 256, 258
эффективной (турбулентной)
диффузии 260, 261
Красное пятно 283
кризис сопротивления 74
Лагранжиан 241
лакунарность 144
локальность взаимодействий 115,
238, 247
нарушение в двумерном случае
274
связь с галилеевской инвариант¬
ностью 246
Масштаб 22
интегральный 54
малый 80
мера
инвариантная 36, 40
со знаком (заряд) 214
Янга 279
методы
диаграммные 126, 241-244
многомасштабные 254-265
функциональные и диаграммные
239-244
механика статистическая 188; см.
также: турбулентность дву¬
мерная; равновесие абсолют¬
ное
трехмерные вихревые нити 214
множество
канторово 135, 144
уровня 230, 231
множитель лагранжев 227, 281
338
Предметный указатель
моделирование численное
вычислительная сложность 118
требуемая память 118
модель
/3-модель 149-155
— история 201, 202
— точная для уравнения Бюр-
герса 158
— формулировка Новикова-Стю¬
арта 186
бифрактальная 155-158
— уравнение Бюргерса 157
каскадная 193-198
— Гледзера-Окитани-Ямады
(GOY) 195
— Деснянского-Новикова 193
— импульсные решения 197
— решения К41 194, 198
логарифмически пуассоновская
213
логнормальная 191, 191-193
— ошибочное использование цен¬
тральной предельной теоремы
193
— показатель рь 183
мультифрактальная 159,
158-162; см. также: откло¬
нения большие; мультифрак-
тальность ложная
— асимметрия и пологость про¬
изводных скорости 172-176
— ближняя область диссипации
165-172
— в терминах диссипации 177,
177-184
— вероятностная формулировка
162-165
— влияние вязкости 165-172
— преобразование Лежандра 160
— экспериментальная мотивация
146
Новикова-Стюарта 186; см. так¬
же: /3-модель
случайного спаривания 245
со спиральностью 209
стохастическая 244
моменты 43
мультифрактальность ложная
сейсмических данных 180
турбулентности 180, 212
Напряжения рейнольдсовы 251, 263
нелинейность
вырождение 132, 225, 276, 286
— не охватывается замыканием
248, 249
спиральная 264
непредсказуемость 28, 40; см. так¬
же: сингулярности
непрерывность гёльдеровская 108
неравенство
Гёльдера 148
Новикова 192
неуниверсальность 122
неустойчивость 35
крупномасштабная 263, 265
Оператор составной 243
особенности 120, 132, 224
возникновение 226
— в вязком течении 132
— в эйлеровом (идеальном) тече¬
нии 127-132
— ложное в моделях с замыкани¬
ем 248
— максимума завихренности
225, 226
— не следует из фрактальных
(мультифрактальных) моде¬
лей 223
на комплексной плоскости 139
отклонения большие 55, 163,
186-191, 203
отображение
логистическое 32
Эно 40
Палинстрофия 22
перезамыкание 287
Предметный указатель
339
перемежаемость 133-217; см. так¬
же: фракталы; сингулярности
в диссипационном интервале
138-139
в каскадных моделях 193-198
вихревые нити 205-215
внешняя 106
ложная 243
локальной диссипации 181
не нарушается внешней силой со
степенным спектром 271
не охватывается методом замы¬
кания 247
по сравнению с самоподобием
134, 137
проявление при высокочастотной
фильтрации 138
точные результаты 147-149
экспериментальные данные
140-147
переменные
быстрые 256
медленные 256
перенормировка вихревая 264
перенос (турбулентный)
векторов 262-265
скаляров 260-261
переход фазовый 156
период циркуляции 77
плотность распределения вероятно¬
сти 43
поведение квазистепенное 169
показатель
Ляпунова 230
скейлинговый 18
поле магнитное 249
динамо-эффект 22, 214, 262
ложная фрактальность 231
пассивное 230
Солнца 205, 214
трубки силовых линий 205
пологость 43
производной скорости 122, 212;
см. также: модель мульти-
фрактальная
поля антикоммутирующие вспомо¬
гательные 240
поправки лог-периодические 143
порядок величины относительный
259
поток
Арнольда-Бельтрами-Чайлдрес-
са (АВС) 229
тепла 255, 258
предел
инфракрасный 116
ультрафиолетовый 116
преобразования Галилея 17
случайные 18
приближение
ведущего центра 273
Галеркина 274
квазинормальное 250
— марковское с турбулентным
затуханием (EDQNM) 231,
248
непосредственного взаимодей¬
ствия (DIA) 115, 221
слабой связи (DIA) 231, 244-247
принцип
вариационный 217
максимальной энтропии 278
подобия 2, 18, 73
производная полная (лагранжева)
128
пространство физическое 16
процесс Орнштейн-Уленбека 59
пульсации турбулентные
основной масштаб 117
период 110
путь перемешивания 251, 253
Равновесие абсолютное 235, 236
разделение масштабов 254, 263, 269
разложение по петлям 242
340
Предметный указатель
размерность
аттрактора 119, 229; см. также:
размерность фрактальная;
турбулентность двумерная
фрактальная 150, 153, 179
— емкостная 152
— информационная 179
— корреляционная 179
— отрицательная 152
— покрытия 152
— Реньи 178, 202
— хаусдорфова 152, 153, 201, 224
рассеяние комбинационное лазерно¬
го излучения на электронных
переходах (RELIEF) 64, 172
расходимость
инфракрасная 58
ультрафиолетовая 58
ренормализация Крамера 203
ренормгруппа 106, 265-272; см.
также: К41
как итеративный многомасштаб¬
ный метод 268
теория Форстера-Нельсона-Сти-
вена 266, 270
решение обобщенное 224
Самоподобие 134, 138
инфракрасное 124
расширенное 145, 176
семиинварианты 47, 236
цепочка 236-238, 247
симметрия 3-4, 17, 17-18, 28,
78-82, 127, 202, 229, 258
восстановление 2, 10, 79, 229
зеркальная 264
нарушение хй, 2, 4, 6, 8, 134
статистическая 49-52
сингулярности 108, 223, 225; см.
также: особенности
не нужны для непредсказуемости
229
отслеживание на комплексной
плоскости 129
скаляр
активный 226
пассивный 244; см. также: пере¬
нос
скейлинг аномальный скалярных
величин 243-244
скорость
градиент 115, 250
— распределение 121-123, 215
приращения
— положительные и отрицатель¬
ные 162
— поперечные 65
— продольные 62
— распределение 215-217
слагаемое экмановское 274
слой пограничный 115, 208
снос (малых вихрей большими) 114,
115, 118, 242
спектр 57, 56-60, 154, 169, 211, 221,
231, 246, 247, 249
/3-модель 154
k-11/з 108
Аг5/3 66-72, 99, 205, 232, 270
— лог-корректированный 270
в диссипационном интервале
101,139, 219, 223
в модели Бюргерса 243
двумерный 275
— АГ3 274, 275
— Аг5/3 285
— малые волновые числа 274
идеального (эйлерова) течения
129
интегральный 87
колмогоровский универсальный
101
накачки 90
начальный 126
неотрицательность 57
область диссипации
ближняя 169
дальняя 169
отсутствие положительности 248
Предметный указатель
341
равнораспределенный 235
силы 157, 266-268, 270
степенной 58
усредненный по направлениям
129
энергетический 57
спиральность 20, 22, 262; см. так¬
же: каскад
степени свободы 117-121, 229, 276
микроскопические и макроскопи¬
ческие 121
по теории К41 118
предсказание К41 166
структуры
когерентные 119, 204, 275, 287
спиральные 153
сумма статистическая 281
суперансамбль 103
Температура отрицательная 277
тензор эффективной диффузии 260
теорема центральная предельная 54
теория
вероятностей 42-60, 186-191
равновесия квазиневязкая 282,
283, 286
течение Колмогорова 264, 284
торы Колмогорова-Арнольда-Мо-
зера 261
транзитивность метрическая 39
труба аэродинамическая 62
турбулентность
анизотропная 83
двумерная 272, 272-287
— аномальный скейлинг для пас¬
сивного скаляра 244
— в жидкости 285
— вихри 273-276
— конформная теория 232, 286
— оценки размерности аттрак¬
торов 119
— сохранение энстрофии 22
— статистическая механика 276,
283
затухающая 83
изотропная 8, 62, 66, 83, 86,
88-90, 95, 115, 122, 173, 247
интенсивность 63
математические аспекты 223-228
на решетке 8
неоднородная 222, 232, 250
несжимаемая 121, 149
ограниченная стенками 229
однородная 62, 79, 81, 86, 87, 96,
218, 220, 221, 229, 236, 254
развитая 2, 10, 61, 64, 65, 83, 91,
102, 109, 119, 120, 203, 217,
223, 228, 229, 266, 274
решеточная 79
с однородными приращениями
81, 96, 124
сверхтекучесть 205
сжимаемой жидкости 221
феноменология 109-132
Универсальность 78, 182
мультифрактальная 169, 203
— экспериментальная проверка
170
отсутствие 102
уравнение
Больцмана 253
Бюргерса 157; см. также: мо¬
дель бифрактальная; гипотеза
подобия уточненная
— возникновение особенностей
при нулевой вязкости 223
— ошибочность просуммирован¬
ного ряда теории возмущений
243
Джинса-Власова-Пуассона 278
Кана-Хильярда 265
крупномасштабное (усредненное)
258, 259
Навье-Стокса 1, 14
— в двумерном случае 272
— как динамическая система 39
— линеаризованное 262
342
Предметный указатель
— нарушение несжимаемости
149
— симметрии 17, 80, 127
Пуассона 15, 16
«синус гиперболический-Пуас-
сон» 278
теплопроводности 255
Хопфа 233-238
— логарифмированное 236
Шрёдингера нелинейное 282
Эйлера 19, 281; см. также: осо¬
бенности (возникновение)
— гамильтонова формулировка
227, 228
— корректность 128
— симплектическая структура
227
условия
граничные периодические 14
краевые 1, 3
разрешимости 257
установка гелиевая 70, 176
Фильтрация сигнала
высокочастотная 23
низкочастотная 23
формула
Винера-Хинчина 58
турбулентной диффузии Тейлора
261
фракталы 230-231
извилистые береговые линии 201
множества уровня 230
функционал характеристический
49
функция
Грина 240
Крамера 163, 179, 188, 190, 191,
193
случайная 48
— гауссова 49
— однородная 52, 231
— со стационарными приращени¬
ями 51
— стационарная 49, 231
структурная 156, 167, 168; см.
также: /3-модель; К41; мо¬
дель мультифрактальная; пе¬
ремежаемость
— в каскадной модели 195, 197
— в мультифрактальной модели
159, 160, 162, 164, 167
— второго порядка 58, 60, 65,
80, 82, 99, 100, 141, 142, 211
/5-модель 154
поперечная 65
продольная 61
— неубывающие показатели 149
— отрицательного порядка 183
— пассивный скаляр 244
— показатель 141
— положительные и отрицатель¬
ные приращения 164
— порядка р 98
— с абсолютной величиной 98
— третьего порядка 82, 91, 116,
142, 160
— шестого порядка 143
— экспериментальные данные
140-147
тока 272
характеристическая 43
фурье-пространство 16
Хаос xii, 8, 32, 79, 229
детерминистский xii, 28-38, 190
Циклоны тропические 273
циркуляция 19, 214, 214
Чертова лестница 135
четность 17
сохранение 262, 263
число
Кнудсена 253
Маха 121, 148, 149, 162, 172
Рейнольдса 2, 101
— вихревой трубки 208
Предметный указатель
343
— высокое
восстановление симметрий
10
справедливость гидродина¬
мического приближения 121,
219
— истинное 268
— крупномасштабных пульсаций
117
— локальных флуктуаций 182
— малое 4, 263, 268
— на тейлоровском масштабе
117
— перенормированное 269
— сверхбольшое, сверхзвуковая
скорость 192
Шум
белый 235, 269
внешний 229
турбулентный 269, 271
Энергия
взаимодействия вихрей 276
вихри области энергии 246
диссипация 72-77, 81, 83, 201, 210
— конечная 61, 112, 142, 276
— локальная 140, 177, 177-184,
198
— скорость 99, 101, 108, 112, 142
— средняя 21, 176
закон убывания 123-126
каскад 108, 127, 270
нарушение сохранения 21
обмен между масштабами 22-27
обратный каскад 92, 220, 264,
274, 275
перенос 91, 126, 237, 247
поток 27, 87, 86-91, 115, 152,
153, 247
— в терминах приращений ско¬
рости 89
расходимость полной энергии
238,270
сохранение 21, 194, 279, 283
средняя 20, 94
— кинетическая 57
уравнение баланса 22
энстрофия 20; см. также: каскад
эргодичность 37, 39, 52-56, 63, 282
эффект Зеемана 214
Явления критические 265
динамические 266
ядро 257, 258
Издательство ФАЗИС
Ф
E-mail: phasis@aha.ru
СЕРИЯ
«Библиотека математика»
ВЫШЛИ В СВЕТ:
1. В. И. Арнольд «Особенности каустик и волновых фронтов»
2. А. Г. Хованский «Малочлены»
3. В. А. Васильев «Топология дополнений к дискриминантам»
4. У. Фриш «Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова»,
перевод с англ, под редакцией М. Л. Бланка
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
□ С. А. Степанов «Коды на алгебраических кривых»
□ Д. Мак-Дафф, Д. Саламон «Введение в симплектическую
топологию», перевод с англ, под редакцией В. М. Закалюкина
□ С. Дональдсон, П.Кронхаймер «Геометрия четырехмерных
многообразий», перевод с англ, под редакцией А. Н. Тюрина
□ К. Кассель «Квантовые группы»,
перевод с англ, под редакцией В. М. Бухштабера
□ Р. Фернандез, Ю. Фрёлих, А. Сокал «Случайные блуждания,
критические явления и тривиальность в квантовой теории поля»,
перевод с англ, под редакцией Р. А. Минлоса
□ В. И. Арнольд, Б. А. Хесин «Топологические методы в
гидродинамике», перевод с англ.
Издательство ФАЗИС
Ф
E-mail: phasis@aha.ru
СЕРИЯ
«Библиотека студента-математика»
ВЫШЛИ В СВЕТ:
1. Я. Г. Синай «Введение в эргодическую теорию»
2. В. И. Арнольд «Лекции об уравнениях с частными производными»
3. В. А. Васильев «Введение в топологию»
4. П. Сарнак «Модулярные формы и их приложения»,
перевод с англ, под редакцией А. М. Вершика
5. Э. Кэссон, С. Блейлер «Теория автоморфизмов поверхностей по
Нильсену и Тёрстону», перевод с англ, под редакцией Д. В. Аносова
6. Д. В. Трещев «Введение в теорию возмущений гамильтоновых
систем»
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
□ Р. Фелпс «Выпуклые функции, монотонные операторы и
дифференцируемости», перевод с англ. В. Л. Левина
□ В. В. Прасолов, О. В. Шварцман «Азбука римановых
поверхностей»
□ Т. Боннезен, В. Фенхель «Теория выпуклых тел»,
перевод с нем. под редакцией В. А. Запгаллера
□ С. К. Ландо «Производящие функции»
Издательство ФАЗИС
Ф
E-mail: phasis@aha.ru
СЕРИЯ
«Стохастика»
ВЫШЛИ В СВЕТ:
1. А. Н. Колмогоров «Основные понятия теории вероятностей»,
изд. 3-е, с приложением: А. Н. Ширяев «Математическая
теория вероятностей. Очерк истории становления»
2. А. Н. Ширяев «Основы стохастической финансовой математики»
(том 1) «Факты. Модели»
3. А. Н. Ширяев «Основы стохастической финансовой математики»
(том 2) «Теория»
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
□ В. Б. Невзоров «Рекорды: математическая теория»
□ П. Эмбрехт, К. Клюппельберг, Т. Микош «Моделирование
экстремальных событий», перевод с англ.
ШШ'Ш
Современное изложение теории турбулентности, -
одного из интереснейших явлений природы, - дано
в книге в исторической перспективе, охватывающей
пять веков со времени исследований Леонардо да
Винчи и пол века со времени попытки А. Н. Колмого¬
рова предсказать свойства течения при очень боль¬
ших числах Рейнольдса. Возникающая при этом так
называемая развитая турбулентность повсемест-
устройствах и в повседневной жизни.
В начале книги обсуждается, зачем необходимо
вероятностное описание системы, по своей сути де-
для описания которой строились фрактальные и
мультифрактальные теоретические модели. Такие
Б. Мандельбротом,
твердых пород, аттракторы динамических систем
и др.). Последняя глава “Что читать дальше” со¬
держит введение в аналитическую теорию в духе
Р. Крайчнана, в современную теорию вихревого
переноса и ренормализации, обзор новых дости-