А. Г. Мордкович
Н. П. Николаев
Учебник

ах + Ъх + с = О
*%2 —
-Ь±^/Ь2-4ас
*^1 " *^2 — " "~" ХлХп
ах2+ Ьх + с = а{х
ах
с = О

А. Г. Мордкович
Н. П. Николаев
8
класс
Учебник
для учащихся общеобразовательных
учреждений
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
4-е издание, переработанное
Москва 2008

УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721+22.14я721.6
М79
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 2-10106-5215/1594 от 13.11.2006)
и Российской академии образования (№ 01-188/5/7д от 19.07.2006)
Мордкович А. Г.
М79 Алгебра. 8 класс : учеб. для учащихся общеобразоват.
учреждений / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. — 4-е изд.,
перераб. — М. : Мнемозина, 2008. — 240 с. : ил.
ISBN 978-5-346-01011-1
Это — учебник для классов с повышенным уровнем математической
подготовки в общеобразовательных школах. Он написан в русле той
концепции, которая использована в соответствующем учебнике А. Г. Мордковича
для 8-го класса общеобразовательных учреждений, с соблюдением
практически того же порядка следования глав и параграфов, но с естественным для
математических классов углублением и качественным расширением
материала.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721+22.14я721.6
Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич, Николаев Николай Петрович
АЛГЕБРА
8 класс
УЧЕБНИК
для учащихся общеобразовательных учреждений
Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная
Главный редактор К. И. Куровский. Редактор С. В. Бахтина
Оформление и художественное редактирование: С. А Сорока
Технический редактор И. Л. Ткаченко. Корректор И. Б. Копылова
Компьютерная верстка и графика: А. А. Горкин
f|fD] Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008.
Формат 60x90 Vie- Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 15,0. Тираж 10 000 экз. Заказ № 5378
Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296.
Тел.: (495) 367-54-18, 367-56-27, 367-67-81; факс: (495) 165-92-18.
E-mail: ioc@mnemozina.ru www.mnemozina.ru
Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг).
105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел.: (495) 783-82-84, 783-82-85, 783-82-86.
Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг).
Тел./факс: (495) 657-98-98 (многоканальный). E-mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано с готовых файлов заказчика в ОАО «ИПК
«Ульяновский Дом печати». 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
© «Мнемозина», 2002
© «Мнемозина», 2008, с изменениями
© Оформление. «Мнемозина», 2008
ISBN 978-5-346-01011-1 Все права защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Издательство «Мнемозина» подготовило учебный
комплект для изучения курса алгебры в классах с
углубленным изучением математики, состоящий из двух книг:
учебника (авторы — А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев)
и задачника (авторы — Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский).
У вас в руках первая часть — учебник. Он адресован не
специализированным математическим школам или классам
с их авторскими программами, а классам с повышенным
уровнем математической подготовки в
общеобразовательных школах.
Этот учебник в значительной степени соответствует
нашему учебнику для общеобразовательных учреждений
(речь идет о книге А. Г. Мордковича «Алгебра-8». Часть 1.
Учебник. Мнемозина, 2007). Дело в том, что 8-й класс в
определенном смысле является ориентационным: часто
учащийся выбирает класс с углубленным изучением
математики, но не справляется с предложенными нагрузками
и на будущий год возвращается в общеобразовательный
9-й класс. Бывает и наоборот: в 8-м классе школьник
учился в общеобразовательном классе, но почувствовал
интерес к математике, определился и решил перейти
в 9-й класс с углубленным изучением математики. Для
обеих групп учащихся такой переход следует сделать как
можно менее болезненым. Этого можно добиться при
соответствии программ и концепции курса алгебры в
общеобразовательном классе и классе с углубленным
изучением математики. Естественно, что тогда более комфортно
чувствует себя и учитель, работающий одновременно
в классах обоих уровней.
Учебник состоит из семи глав. Первые четыре главы
(алгебраические дроби, квадратные корни, квадратичная
функция, квадратные уравнения) и последняя глава
(неравенства) во многом дублируют наш учебник для обще-

образовательных учреждений. Отличие, во-первых, в
том, что из одноименных параграфов изъяты многие
слишком простые примеры и рассуждения, добавлены
более сложные и интересные примеры; во-вторых, в эти
главы добавлены четыре новых параграфа: алгоритм
извлечения квдаратного корня, дробно-линейная функция,
построение графиков функций у = \f(x)\ и у = f(\x\),
доказательство неравенств. Пятая и шестая глава (элементы
теории делимости и алгебраические уравения) содержат
новый материал.
В некоторых параграфах встречается материал,
набранный петитом. Это материал, несколько выходящий
за рамки программы. Изучать его или нет — определяет
учитель.
В учебнике приведено много примеров с подробными
решениями. На окончание решения примера указывает
либо слово «ответ», либо значок ■.
Издательством «Мнемозина» выпущен аналогичный
комплект тех же авторов для 9-го класса с углубленным
изучением математики.
Авторы

ГЛАВА
1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 1. Основные понятия
§ 2. Сложение и вычитание алгебраических дробей
§ 3. Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень
§ 4. Преобразование рациональных выражений
§ 5. Первые представления о решении рациональных
уравнений
§ 6. Степень с отрицательным целым показателем
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Определение алгебраической дроби
Р
Выражение т^» где Р и Q — многочлены, называют
алгебраической дробью; Р — числитель дроби, Q — знаменатель дроби.
Примеры алгебраических дробей:
х + у х3 + 1 а4 - 4 а За + 7
х- у9 х2 - х + 2' а2 +2' 2' 5 '
3 11
Обыкновенные дроби (g, -у и т. д.) также можно считать
частными случаями алгебраических дробей.
Иногда алгебраическое выражение лишь по форме записи
является алгебраической дробью. Так обстоит дело в последних
двух из пяти приведенных выше примеров. Действительно, дробь ^
можно записать в виде «а — это одночлен; дробь —ё— можно
3
записать в виде 5
' это
не алге^раическая дробь, а
многочлен (двучлен). Да и в третьем из приведенных примеров
после сокращения получается не дробь, а двучлен а2 - 2. Но, в
сущности, это не столь важно, так было и с обыкновенными
дробями. Скажем, натуральное число 2 можно записать в виде
обыкновенной дроби -g-.

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Пример 1. Найти значение алгебраической дроби
а2 + Sab + Ъ2
(а + Ь)(а -Ь)'
если: а) а = 2, Ь - 1; б) а = 5, & = 0; в) а = 4, & = 4.
Решение, а) При а = 2, b = 1 получаем:
а2 + ЗаЬ + Ь2 22 + 3 • 2 • 1 + I2 11
(а + Ь)(а - Ь) (2 + 1)(2 - 1) 3 '
б) При а = 5, b = 0 получаем:
а2 + ЗаЬ + Ь2 52 + 3 • 5 • 0 + О2
= 1.
(а + Ь)(а -Ь) (5 + 0)(5 - 0)
в) При а = 4, b = 4 выражение а — b обращается в нуль, а
вместе с ним и знаменатель дроби обращается в нуль. Но на нуль
делить нельзя. Значит, пара значений а = 4, b = 4 является для
заданной дроби недопустимой — в этом случае алгебраическая
дробь не имеет смысла. ■
Выполняя в дальнейшем различные преобразования
алгебраических дробей, всегда будем предполагать, что переменные,
входящие в состав алгебраической дроби, принимают лишь
допустимые значения, т. е. такие значения, при которых знаменатель
дроби не обращается в нуль. Множество допустимых значений
переменных называют областью определения (или областью
существования) алгебраической дроби. Употребляют также термин
область допустимых значений (ОДЗ).
2. Основное свойство алгебраической дроби
Вам известно, что значение обыкновенной дроби не
изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или
разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Например,
о 1 о
£ = о^ — здесь и числитель и знаменатель дроби одновременно
а 22 2
умножили на одно и то же число 4; ^ = ■= — здесь и числитель
и знаменатель дроби одновременно разделили на одно и то же
число 11.
Алгебраическая дробь — это в определенном смысле
обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно
осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы
только что указали для обыкновенных дробей. Эти
преобразования можно описать так:

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно
умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один
и тот же одночлен); это — тождественное преобразование
заданной алгебраической дроби (в области определения полученной
дроби).
2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно
разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот
же одночлен); это — тождественное преобразование заданной
алгебраической дроби (в области определения заданной дроби), его
называют сокращением алгебраической дроби.
Сформулированные правила представляют собой основное
свойство алгебраической дроби.
Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно
ОС
дробь —^-j заменить (если, конечно, в этом есть необходимость)
л х(х - 2)
дробью , _ 1wJC _ 2\ (числитель и знаменатель одновременно ум-
2х2
ножили на х - 2) или дробью 2Wjc - 1) (числитель и знаменатель
одновременно умножили на 2х). Пользуясь основным свойством
2х2
алгебраической дроби, можно, напротив, заменить дробь 2Wjc - 1)
более простой дробью ——[ (числитель и знаменатель
одновременно разделили на 2х, т. е. сократили дробь).
В случае необходимости следует указывать область определе-
m * х л х(х - 2)
ния. Так, замена дроби ——г дробью , _ ^ _ 2\ есть тождест-
2х2 х
венное преобразование при х Ф 1, х Ф 2; -=— тт = г — тож-
LiXyX — J.) X 1
дество при х Ф 1, х Ф 0.
Основное свойство дроби имеет разнообразные применения.
Так, если среди коэффициентов числителя и знаменателя есть
обыкновенные дроби, то для упрощения записи целесообразно
умножить числитель и знаменатель дроби на наименьшее общее
кратное знаменателей всех этих коэффициентов. Это умножение
является законным в силу основного свойства дроби.
Пример 2. Упростить дробь

1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Решение. Наименьшим общим кратным знаменателей всех
коэффициентов в данном случае является число 12. Умножив и
числитель и знаменатель дроби на 12, получим:
2 I _ 4х2 - 6х + 12
Получили дробь, в числителе и знаменателе которой —
многочлены с целочисленными коэффициентами. С такими
многочленами работать удобнее, поэтому полученную дробь считают
более простой, чем заданная. ■
Основное свойство дроби используется для перемены знаков у
ее членов. Если числитель и знаменатель дроби т умножить на
-1, то получим т = ~т- Таким образом, значение дроби не изме-
о —о
нится, если одновременно изменить знаки у числителя и
знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только
у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:
-а _ _а. _а_ _ _а
Ь Ъ' -Ь Ъ'
Если в последних тождествах изменить знаки левой и правой
частей, то получим:
а _ _z£l- Ql — <L
Ь ~ Ь ' Ь ~ -Ъ'
Таким образом, если мы хотим изменить знак только
числителя или только знаменателя дроби, то надо изменить знак и
перед самой дробью. Например,
3*- 2 = -(Зх - 2) = 2- Зх
Зх + 4 Зх + 4 ~ Зх + 4'
3. Сокращение алгебраических дробей
Напомним, что сократить дробь — это значит разделить
числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. Возможность
такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно
числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется,
что числитель и знаменатель имеют общие множители, то их
можно сократить. Если общих множителей нет, то упрощение
дроби посредством сокращения невозможно.

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
х2 - 5ху + 6у2
Пример 3. Сократить дробь —ri 2 •
**У ^
Решение. Для разложения числителя на множители
применим способ группировки, представив предварительно одночлен
-Ъху в виде суммы -2ху - Зху:
х2 - Ъху + 6у2 = (х2 - 2ху) - (Зху - 6у2) =
= х(х - 2у) - Зу(х - 2у) = (х- 2у)(х - Зу).
Для разложения знаменателя на множители используем
формулу разности квадратов
9у2 - х2 = (Зу + х)(3у - х).
Таким образом,
х2 - Ьху + 6у2 _ (х - 2у)(х - Зу)
9у2 -х2 ~ (Зу + х)(Зу-хУ
Далее, изменив знак в знаменателе дроби, получим:
(х - 2у)(х - Зу) _ (х - 2у)(х - Зу) _ х - 2у _ 2у - х
(Зу + х)(3у - х) (Зу + х)(х - Зу) ~ Зу л-х Зу + х' Ш
Замечание. Выполненное сокращение дроби является
тождественным преобразованием при условии 9у2 — х2 Ф 0, т. е.
х Ф ±3г/. Подчеркнем еще раз: в дальнейшем мы всегда
предполагаем, что тождественные преобразования алгебраических
дробей выполняются лишь в области их определения, даже если это
явно не отмечено в процессе решения того или иного примера.
4. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Общим знаменателем нескольких алгебраических дробей
называют многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.
Пример 4. Преобразовать заданные дроби так, чтобы
получились дроби с одинаковыми знаменателями:
а)
2а
3 И
Решен
а)
2а
3
ЗЬ.
5'
ие
2а
3
5
5
r\ a
б) 4Ъ2
10а.
" 15 '
а2.
И fi, з '
ЗЬ
5 "
ЗЬ
5
в)
3
3
X
х + у
9Ъ
15
Х- У
Дроби приведены к одинаковому знаменателю (обычно
говорят: к общему знаменателю). Для этого пришлось числитель
и знаменатель первой дроби умножить на дополнительный мно-

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
житель 5, а числитель и знаменатель второй дроби — на
дополнительный множитель 3; сделать это позволяет основное свойство
дроби.
g\ _а_ _ а • ЗЬ _ ЗаЬ .
} 4Ь2 4Ь2 ЗЬ 12Ь3'
_о! = а2 - 2 = _2о1
6Ь3 6Ь3 • 2 12Ъ3'
Дроби приведены к общему знаменателю 12Ь3 с помощью
дополнительных множителей ЗЬ и 2 соответственно.
в)
X
X
X
+
X
-
У
У
(х
(х
х(х - у)
+ У)(х -
х(х + у)
- У)(х +
У)
У)
х2
х2
х2
х2
- ху
-у2
+ ху
-у2
Дроби приведены к общему знаменателю х2 - у2 с помощью
дополнительных множителей х - у и х + у соответственно. ■
§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями
складывают и вычитают по тому же правилу, что и
обыкновенные дроби:
9l j к. _ £ _ а + b - с
d ^ d d ~ d
т. е. составляют соответствующую алгебраическую сумму
числителей, а знаменатель оставляют без изменения.
Пример 1. Выполнить действия:
2а2 +5 + 2ab + b _ Ь + Ь
а2 - ab а2 - ab a2 - ab
Решение. Применив правило сложения и вычитания
алгебраических дробей, получим:
2а2 + 5 + 2ab + Ь _ Ъ + Ь = (2а2 + 5) + (2аЬ + Ъ) - (Ь + 5)
а2 - ab a2 - ab a2 - ab a2 - ab
Теперь можно упростить числитель, выполнив обычным
образом соответствующие операции над многочленами:
(2а2 + 5) + (2ab + 6) - (6 + 5) =
= 2а2 + 5 + 2аЬ + Ь - Ь - 5 = 2а2 + 2аЪ.
10

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Таким образом, заданную алгебраическую сумму трех дробей
- л 2а2 + 2аЬ „
нам удалось преобразовать в дробь ———— • Далее имеем:
2а2 + 2аЪ = 2а(а + Ь) = 2(а + Ъ) = 2а + 2Ь
а2 - ab а(а - Ь) а - Ь а - Ь
Приведем теперь решение рассмотренного примера без
комментариев (как это вы будете делать у себя в тетрадях):
2а2 + 5 2аЬ + Ь _ Ъ + 5 _ (2а2 + 5) + (2аЬ + Ъ) - (Ъ + 5)
а2 - ab а2 - ab а2 - аЬ ~ а2 - ab ~
_ 2а2 + 5 + 2аЬ + Ь - Ь - 5 _ 2а2 + 2аЬ _
а2 - ab a2 - ab
= 2а(а + Ь) = 2(а + Ь) = 2а + 2Ь
~ а(а - Ъ) ~ а - b ~ а - b
Как видите, в результате преобразований получилось более
простое алгебраическое выражение, чем было задано в условии
примера. Именно в упрощении и состоит цель преобразований,
поэтому часто вместо словосочетания выполнить действия
используют словосочетание упростить выражение.
Сложение и вьиитание алгебраических дробей с разными
знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для
сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными
знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью
соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают
или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Пример 2. Выполнить действия:
2
2а , ЗЬ яч _а_ . _а2_. _ч
Т ~5~; ' 4Ь2 6Ъ3' '
3 5' ' 4b2 6b37 ' x + у х-у
Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических
дробей общий знаменатель был найден ранее (см. пример 4 из
§ 1). Воспользуемся этим.
v 2а ЗЬ 10а , % 10а + 9Ь.
' 3 5 15 15 15 '
~ _а_ -ц ^! ЗаЬ , 2а2 ЗаЪ + 2а2.
°) /IJ.2 + «1,3 -
в)
_ х - ху - х - ху _
4b2 6b3 12b3
_ " " + ху) _
x + у

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Самое трудное в упомянутом выше алгоритме — это,
конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение
дробей к общему знаменателю. В примере 2 вы этой трудности,
может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались
готовыми результатами из § 1.
Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя,
проанализируем пример 2.
Для дробей "о" и "5~ общим знаменателем служит число 15 —
оно делится и на 3, и на 5, является их общим кратным (даже
наименьшим общим кратным).
Для дробей —г и —з общим знаменателем является одночлен
12&3. Он делится и на 4Ь2, и на 6&3, т. е. на оба одночлена,
служащие знаменателями дробей. Обратите внимание: число 12 —
наименьшее общее кратное чисел 4 и 6; переменная Ь входит в
знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй
дроби — с показателем 3, причем это наибольшее значение
показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
X X
Для дробей х + и х _ ц общим знаменателем служит
произведение (х + у)(х -у) — оно делится и на знаменатель х + у, и на
знаменатель х - у.
Замечание. На самом деле, общих знаменателей для
нескольких алгебраических дробей можно найти сколько угодно.
Например, для дробей -g- и ~г общим знаменателем может быть
и число 30, и число 60, и даже одночлен \Ъа2Ь. Дело в том, что и
30, и 60, и \Ъа2Ь можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей
—г и -zjj общим знаменателем, кроме найденного выше
одночлена 12&3, может быть и 24Ь3, и 4Sa2b4 и т. д. Опять-таки дело в
том, что 24Ь3 делится и на 4Ь2, и на 6b3; 4Sa2b4 делится и на 4Ь29
и на 6Ь3. Чем же одночлен 12Ь3 лучше, чем 24Ь3, чем 4Sa2b4? Только
тем, что по записи выглядит проще; в подобных случаях
говорят даже не общий знаменатель, а наименьший общий знаменатель.
Снова вернемся к примеру 2 а. Чтобы сложить алгебраические
дроби "о" и "i"' надо было не только найти общий знаменатель
(число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные
12

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
множители, которые позволили бы привести дроби к общему
знаменателю. Для дроби -о" таким дополнительным множителем служит
число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили допол-
нительно на 5), для дроби ~г — число 3 (числитель и
знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3). Дополнительный
множитель есть частное от деления общего знаменателя на
знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:
2а ЗЬ 2а^ ЗЬ^ _ Юа + 9b
3 5 3 + 5 " 15 '
На первых порах удобно использовать следующее правило.
Правило приведения алгебраических дробей
к общему знаменателю
1. Разложить все знаменатели на множители.
2. Из первого знаменателя выписать произведение всех
его множителей, из остальных знаменателей приписать к
этому произведению недостающие множители. Полученное
произведение и будет общим (новым) знаменателем.
3. Найти дополнительные множители для каждой из
дробей: это будет произведение тех множителей, которые
имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом
знаменателе.
4. Найти для каждой дроби новый числитель: это будет
произведение старого числителя и дополнительного
множителя.
5. Записать каждую дробь с новым числителем и новым
(общим) знаменателем.
Снова вернемся к примеру 2 б. Общим знаменателем для
2
дробей ~2 + -jTjj является одночлен 12Ь3. Дополнительный
множитель для первой дроби равен ЗЬ (поскольку 12Ь3 : 4Ь2 = ЗЬ), для
второй дроби он равен 2 (поскольку 12Ь3 : 6Ь3 = 2). Значит,
решение примера 2 б можно оформить так:
J&l л2^- 3afr + 2а2
4Ъ2 6Ъ3 12Ъ3
13

1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Пример 3. Упростить выражение
За
4а2 -1
2а2 + а
Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные
множители.
Имеем:
4а2 - 1 = (2а - 1)(2а + 1),
2а2 + а = а(2а + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго —
добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим
общий знаменатель: а{2а - 1)(2а 4- 1).
Удобно представить записи в виде таблицы:
Знаменатели
(2а-1)(2а + 1)
а(2а + 1)
Общий знаменатель
а(2а-1)(2а + 1)
Дополнительные
множители
а
2а-1
Второй этап. Выполним преобразования:
За а + 1 1
4а2 - 1 2а2 + а (2а - 1)(2а + 1) а(2а + 1) "
= За2 - (а + 1)(2а - 1) _ За2 - (2а2 - а + 2а - 1) =
а(2а - 1)(2а + 1) " а(2а - 1)(2а + 1)
За2 - 2а2 + а - 2а + 1
а2 - а + 1
а(2а - 1)(2а + 1) а(2а - 1)(2а + 1)'
Пример 4. Упростить выражение
Ь 1 , Ь
2а4 + 4а3Ь + 2а V ЗаЬ2 - За3 6а4 - 6а V
Решение.
Первый этап. Разложим все знаменатели на множители:
1) 2а4 + 4а3Ь + 2а2Ь2 = 2а2(а2 + 2аЪ + Ъ2) = 2а\а + Ь)2;
2) Sab2 - За3 = За(Ь2 - а2) = За(Ь - а)(Ъ + а);
3) 6а4 - 6а3& = 6а3(а - Ь).
Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем не-
цостающие множители 3 и b - а (или а — Ь), из третьего — недо-
14

1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
стающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит
множитель а3).
Знаменатели
2а\а + Ь)2
За(Ь - а)(Ъ + а)
6а (а - Ь)
Общий знаменатель
6а\а - Ь)(а + Ь)2
Дополнительные
множители
За(а - Ъ)
-2а\а + Ъ)
(а + Ь)2
Заметим, что если у дополнительного множителя появляется
знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью. В данном
случае изменим знак перед второй дробью.
Второй этап. Выполним преобразования:
2а4 + 4fl
b
i3b
bj
> + 2а:
i
2а2 (а + bf
3ab(a - b) -\
3a2b - ЗаЬ2 + 2а3
6а3(а
—
2а26-
Ъ){ал
V
1
За(а
- 2а2(а
6а3(а
\-а2Ъл
v bf
1
ЗаЬ2 -
[2а2(а + Ь)
- Ъ)(а
+ Ъ) +
- Ь)(а
2аЬ2 ц
За3 '
1
+ Ь)
Ыа2 +
6а4
6а
2аЬл
b
-6a3b
3(а - b)
bb2)
2а3 + 6а2Ь - ab2 + b3
6а!
\a - 6Xa + b)2
Отметим, что замена выражения, данного в примере 4, той
алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть
тождественное преобразование при допустимых значениях
переменных, В данном случае допустимыми являются любые
значения переменных а и Ь, кроме а = 0, а = b, a - -Ь (в этих случаях
знаменатели обращаются в нуль).
§ 3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ.
ВОЗВЕДЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
ДРОБИ В СТЕПЕНЬ
Умножение алгебраических дробей осуществляется по
тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей:
а с _ ас
b' d bd'
15

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Аналогично обстоит дело с делением алгебраических дробей,
с возведением алгебраической дроби в натуральную степень.
Правило деления выглядит так:
а_ . с_ _ ad
Ъ ' d ~ Ъс'
а правило возведения в степень — так:
Прежде чем выполнять умножение и деление алгебраических
дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на
множители — это облегчит сокращение той алгебраической дроби,
которая получится в результате умножения или деления.
Пример 1. Выполнить действия:
Ъх + Ьу х2 - у2. 7а3Ь5 6Ь2 - 12аЬ + 6а2
а) х - у 10* ' °' За - ЗЪ' 49а V
Решение,
а)
(х - у) • Юх 2л:
Преобразования выполнены при следующих условиях: х Ф у,
*ч 7а3Ь5 6Ь2 - 12аЬ + 6а2 7а3Ь5 6(Ь2 - 2аЬ + а2)
и' За-ЗЬ 49аV 3(а - Ъ) 49аV
_ 7а3Ь5 • 6(Ь - а)2 _ 2(Ь - а)2
" 3(а - Ь) • 49а4Ь5 " (а - Ъ) • 1а
Воспользуемся тем, что (Ь - а)2 - (а - Ь)2. Получим
2{Ь - а)2 = 2(а - Ь)2 = 2(а - Ъ)
(а - Ь) • 7а " (а - Ь) • 7а 7а ' И
Пример 2. Выполнить действия:
ч х3 -1 . х2 + х + 1. fiv а4 -Ь4 . Ь-а
а) By ' 16у2 ' ^ аЪ+ 2Ь- За -6 ' a + 2'
Решение.
~8 - 1 . х2 + х + 1 (* - 1)(х2 + х + 1) . х2 + х + 1
а)
By ' 16z/2 8z/ ' I6y
(x - l)(x2 + x + 1) • 16y2

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
б)
а4 -Ъ4 . Ь-а = (а2 - Ь2)(а2 + Ь2)
- За - 6 ' а + 2
+ 2Ь) - (За + 6) ' а + 2
_ (а - b)(a + b)(a2 + b2) . b- a _ (a - b)(a + b)(a2 + b2) . fr-a _
b(a + 2) - 3(a + 2) ' a + 2 (a + 2)(b - 3) ' a + 2
_ (a - b)(a + b)(a2 + Ъ2)(а + 2) _ -(a + b)(a2 + b2)
(a + 2Kb - 3)(b - a) " Ь - 3
Мы учли, что в результате деления а - Ъ на Ь - а получится
-1. Впрочем, знак «-» в данном случае удобнее переместить в
знаменатель:
-(а + Ь)(а2 + Ъ2) = (а + Ь){а2 + Ь2) = (а + Ь){а2 + Ь2)
Ь - 3 -(Ь - 3) 3 - Ь '
Пример 3. Выполнить действия:
/__х+_2_\3 . (х2 + 4* + 4\2
\3д:2 - 6х/ ' U2 - 4х + 4/ '
Решение.
( д: + 2 \3 . (х2 + 4д: + 4\2 _ / х + 2 \3 . /(х + 2):
\3д:2 - бд:/ ' U2 - 4х + 4/ \3д:(д: - 2/ '
2\2
(х + 2)3 . (х + 2)4
21х\х - 2)3 ' (х - 2)4
(д:
- 2)4 = х-2
- 2)3(д: + 2)4
2)'
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Любое числовое выражение после выполнения всех
входящих в его состав арифметических действий принимает
конкретное числовое значение — рациональное число
(разумеется, оно может оказаться и натуральным числом, и целым
числом, и дробью — это неважно). Точно так же любое
алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью
арифметических операций и возведения в натуральную степень,
после выполнения преобразований принимает вид алгебраической
дроби (и опять-таки, в частности, может получиться не дробь, а
многочлен или даже одночлен). Для таких выражений в алгебре
используют термин рациональное выражение.
17

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Пример 1. Доказать тождество
(_2а 4а2 \ . / 2а 1 \ , 8а2 = „
\2а + Ъ 4а2 + 4ab + Ь2) ' \4а2 - Ь2 Ъ - 2а) 2а + Ъ
Решение.
Доказать тождество — это значит установить, что при всех
допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.
В алгебре тождества доказывают разными способами:
1) выполняют преобразования левой части и в итоге получают
правую часть;
2) выполняют преобразования правой части и в итоге
получают левую часть;
3) по отдельности преобразуют правую и левую части и
получают и в первом и во втором случаях одно и то же выражение;
4) составляют разность левой и правой частей и в результате
ее преобразований получают нуль.
Какой способ выбрать — зависит от конкретного вида
тождества, которое вам предлагается доказать. В данном примере
целесообразно выбрать первый способ.
Для преобразования рациональных выражений принят тот же
порядок действий, что и для преобразования числовых
выражений. Это значит, что сначала выполняют действия в скобках,
затем действия второй ступени (умножение, деление, возведение
в степень), затем действия первой ступени (сложение, вычитание).
Выполним преобразования по действиям:
1)
2)
3)
2а
2а + b
4а2
4а2 + 4ab + Ъ2
2а(2а + b) - 4а2
2а
4а2 - Ъ2
2а
~ (2а -
2ab
(2а + bf
(2а + bf
, 1
2al2o_Lb
2а + Ъ
4а2 + 2ab - -
(2а + Ь)2
2а
b - 2а (2а - Ь)(2а + Ь)
- (2а + Ь)
- b)(2a + b) ~ (
-ь
' (2а - Ь)(2а н
2а(2а - Ъ)
2а+ Ь "
2а - 2а - b
[2а - Ъ)(2а + Ъ)
2ab(2a
у Ь) (2а
-(4а2 - 2аЬ)
2а + Ь
4а2
(2а +
4а2
2а
(2а
- Ь)(2а
+ Ь)2 •
2аЬ
2а
bf
2ab
(2а + bf '
2а + b
- b
-b
- b)(2a + b)
■ ~t* и)
b
-4a2
+ b '
18

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
4ч 2ab
} 2а
-4а2
+ b
8а2
2а +
b
2ab
2a(b
2а
-4а2
2а +
+ 2а)
+ b
+
b
8а2
2ab
2а
+
+
4а2
Как видите, нам удалось преобразовать левую часть
проверяемого тождества к виду правой части. Это значит, что
тождество доказано. Однако напомним, что тождество справедливо
лишь для допустимых значений переменных. Таковыми в
данном примере являются любые значения а и Ъ, кроме тех,
которые обращают знаменатели дробей в нуль. Значит, допустимыми
являются любые пары чисел (а; Ь), кроме тех, при которых
выполняется хотя бы одно из равенств:
2а - Ь = 0, 2а + Ь = О, Ь = 0. ■
§ 5. ПЕРВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РЕШЕНИИ
РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если р(х) — рациональное выражение, то уравнение
р(х) = 0 называют рациональным уравнением. Подробнее
поговорим о них позднее, в главе 6, но уже теперь мы располагаем
некоторыми фактами теории, позволяющими решать несложные
рациональные уравнения.
Пример 1. Решить уравнение ——z + 1 = х 2~ .
Решение. Равенства А = ВиА — В = 0 выражают одну и ту
же зависимость между А и В. Учитывая это, перепишем данное
уравнение в виде
2 , Л х2 -10
+ 1 " ±-2-^ = 0.
х + 3 ^ х х2 - 9
Выполним преобразования левой части уравнения:
х2 -10
+ 1 -
(х- 3)(х + 3)
_ 2(х - 3) + (х - 3)(х + 3) - (х2 - 10) _ 2*-5
(х-ЗКх + 3) " (х-ЗКх +
Итак, получили уравнение
2х -5 =о.
(ж - 8Хж + 3)
19

1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Дробь обращается в нуль тогда и только тогда, когда ее
числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Из уравнения
2х — 5 = 0 находим х = 2,5. При этом значении знаменатель дроби
не обращается в нуль.
Ответ: 2,5.
К обоим условиям равенства дроби -г нулю надо относиться
одинаково уважительно, т. е. сначала воспользоваться условием
а = 0, а затем не забыть проверить условие Ь Ф 0. Решим, на-
х + 2 л _
пример, уравнение о 2 , ^ = 0. Приравняв числитель нулю,
иХ ~г X — О
получим х + 2 = 0, т. е. х = -2. Подставив значение -2 вместо х в
знаменатель, получим нуль, а на нуль делить нельзя. Это значит,
что х = —2 не является корнем уравнения, т. е. заданное уравнение
вообще не имеет корней.
Вернемся еще раз к примеру 1. Дело в том, что математики,
являясь людьми практичными, не любят делать лишние записи.
Они предпочитают, найдя общий знаменатель, не приводить дроби
к этому знаменателю, а освобождаться от него путем умножения
обеих частей уравнения на общий знаменатель. При этом два
условия равенства дроби нулю они, естественно, держат в голове и не
забывают сделать соответствующую проверку. Приведем (в
несколько сокращенном виде) запись решения уравнения из
примера 1 с использованием способа освобождения от
знаменателей.
Умножим обе части уравнения ——о + 1 = —г—:г на общий
X г о X — У
знаменатель х2 — 9; получим:
2(х - 3) + х2 - 9 = х2 - 10;
* = 2,5.
Значение х = 2,5 удовлетворяет условию х2 — 9 Ф 0, а поэтому
х = 2,5 — корень заданного уравнения.
Пример 2. Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км
против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна
собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч?
20

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х км/ч — собственная скорость лодки, тогда по
течению реки она плывет со скоростью (х + 2) км/ч, а против
течения — со скоростью (х - 2) км/ч.
По течению реки, т. е. со скоростью (х + 2) км/ч, лодка
прошла путь 10 км. Значит, время, затраченное на этот путь, выра-
жается формулой ——~о ч-
X ~г Z
Против течения реки, т. е. со скоростью (х - 2) км/ч, лодка
прошла путь 6 км. Следовательно, время, затраченное на этот
путь, выражается формулой ——z ч.
По условию, на весь путь (т. е. на 10 км по течению и 6 км
против течения) суммарно затрачено 2 ч. Итак, получаем
Ю , 6 9
х + 2 х-2 ~ *'
Это уравнение — математическая модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Воспользуемся указанным выше приемом освобождения от
знаменателей. Здесь наименьшим общим знаменателем служит
(х + 2)(х - 2). Умножив на это выражение обе части уравнения,
получим:
(х + 2)(х -
- 2) + 6(* + 2) = 2(х2 - 4);
16* - 2х2 = 0;
2*(8 - х) = 0;
хх = 0, х2 = 8.
Осталось поочередно подставить найденные значения в общий
знаменатель. Поскольку ни при х = 0, ни при х = 8 выражение
(х + 2)(х — 2) не обращается в нуль, оба значения являются
корнями уравнения.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Нужно выяснить, чему равна собственная скорость лодки. Эту
скорость обозначили буквой х. Получили, что либо х = 0, либо
х = 8. Первое значение нас явно не устраивает: собственная
скорость лодки не может быть равна 0. Второе значение подходит.
Ответ: собственная скорость лодки равна 8 км/ч.
21

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Замечание. За х мы приняли собственную скорость
лодки. Ясно, что должно выполняться неравенство х > 2, т. е.
собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения
реки (иначе против течения лодка плыть не сможет). Можно
было бы добавить это условие к составленному на первом этапе
уравнению, т. е. математическая модель задачи состояла бы из
уравнения и неравенства. Если бы это было сделано, то
найденное значение х = О мы бы сразу отбросили, да и значение х = 8
в знаменатели подставлять не стали (при х > 2 знаменатели
отличны от нуля).
§ 6. СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вы умеете вычислять значение степени с любым
натуральным показателем. Например,
0,2х = 0,2; З2 = 3 • 3 = 9; 43 = 4 • 4 • 4 = 64; I4 = 1 • 1 • 1 • 1 = 1;
(-2)5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32;
06 = 0-0-0-0-0-0 = 0ит. д.
Но математики на этом не остановились.
Так, еще в курсе алгебры 7-го класса мы познакомились с
понятием степени с нулевым показателем: если а Ф О, то а0 = 1.
Например, 5,7° = 1; (-3)° = 1 и т. д.
Постепенно продвигаясь в изучении математического языка,
1
мы с вами поймем, что означают в математике символы 2~3, З2
и т. д. Частично это мы сделаем уже в настоящем параграфе,
а частично — в курсе алгебры 11-го класса.
Зададим вопрос: если уж вводить символ 2~3, то каким
математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы,
рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней,
например, чтобы при умножении степеней с одинаковыми
основаниями показатели складывались; в частности, чтобы
выполнялось следующее равенство:
2-3 • 23 = 2° (подробнее: 23 • 23 = 2'3 + 3 = 2°).
Но 2° = 1, а тогда из равенства 2~3 • 23 = 1 получаем, что
2~3 = —£ . Значит, появились основания определить 2~3 как —^ .
22

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Подобные рассуждения и позволили ввести следующее
определение.
Определение. Если п — натуральное число и а Ф О, то под а'п
1
понимают —:
а
а'п = —, а Ф 0.
а
Например, 3 2 = -^ = -, 7 х = ^г = - и т. д.
Естественно, что записанную выше формулу при
необходимости используют справа налево, например:
- - б-1 - - - - з-4
5 " 5 ' 81 " З4 " 6 '
Отметим одно важное тождество, которое часто используется
на практике:
В частности,
- I = ап, а Ф 0.
а
( 2 Т3
Пример. Вычислить 2"2 + — - 16"1.
V3;
Решение.
D2-2=f = ^; .
о, Г2Г_(ЗТ 27.
2) UJ - UJ - в •
3)16"'=^;
4) + _
^j 4 8 16 " 16 '
9
Ответ: Зт^ .
23

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Те свойства степеней, к которым вы привыкли, имея дело с
натуральными показателями, сохраняются и для отрицательных
целых показателей (мы считаем, что а * О, b Ф 0, s и t —
произвольные целые числа):
1. а8 а* = a8 + t.
2. а9 : а% = a8t.
3. (a8)' = a8t.
4. (ab)9 = a8 • b8.
5'(§J = F-
Заметим, что теперь мы имеем право не делать в свойстве 2
ограничения s > t (как это было, когда мы оперировали только
натуральными показателями степени). Например, верно как
равенство а7 : а2 = а7'2, так и равенство а2 : а7 = а2~7.
Докажем свойства 1 и 4, а остальные свойства попробуйте
доказать самостоятельно.
Доказательство свойства 1. Показатели s и t могут быть
оба натуральными числами, оба целыми отрицательными
числами, один — натуральным, а другой — целым, и, наконец, хотя бы
один из них может быть нулем. Рассмотрим каждый из этих
случаев.
Если s и t — натуральные числа, то
а8 а* - (а • а а • ... • а)(а а • а • ... • а) =
s множителей t множителей
= а • а • а ... а а • а • а • ... • а - a9 + t.
s + t множителей
Если s и t — отрицательные целые числа, то —s, —t —
натуральные числа, для которых уже доказано, что а~8 • а~* = аГ8'*.
Тогда рассуждаем так:
- -, 1 1 1 1 1
а8 а1 а 8 а ' а 8 t a~(8 + t)
Пусть теперь s — натуральное число, at — целое
отрицательное число, т. е. -t — натуральное число. Пусть, для
определенности, s < -t, т. е. -t - s — натуральное число. Тогда степень
с натуральным показателем а~1 можно представить в виде
произведения степеней с натуральными показателями: а* = а'-аг*'8.
Далее рассуждаем так:
s t 8 ! а8 1 1 a + t
aS.at = aS = = = _^ = a8 + t
и п - п о, а
24

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Если, наконец, один из показателей, например t, равен нулю, то
а8 а1 = а8 • а0 = а8 1 = а8 = а8 + 0 = a8 + t.
Доказательство свойства 4. Если s — натуральное
число, то
(ab)8 = (аЬ) - (ab) • (ab) ... (аЬ) =
s множителей
= (а а а ... • a)(b b b ... - b) = asbs.
s множителей s множителей
Если s — отрицательное целое число, то s — натуральное
число, для которого уже доказано, что (ab)8 = a~8b'8. Тогда
рассуждаем так:
Если, наконец, s = 0, то (ab)8 = (abf = 1 = 1-1 = a°b° = a8b8.

ГЛАВА
2
ФУНКЦИЯ у = Vx.
СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
§ 7. Рациональные числа
§ 8. Понятие квадратного корня из неотрицательного
числа
§ 9. Иррациональные числа
§10. Множество действительных чисел
§ 11. Свойства числовых неравенств
§ 12. Функция у = у[х, ее свойства и график
§ 13. Свойства квадратного корня
§ 14. Преобразование выражений, содержащих
операцию извлечения квадратного корня
§ 15. Алгоритм извлечения квадратного корня
§ 16. Модуль действительного числа. Функция у = \х\
§ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. Некоторые символы математического языка
Вам хорошо известны натуральные числа:
1,2,3,4,...
Множество всех натуральных чисел обычно обозначают
буквой N.
Если к натуральным числам присоединить число 0 и все
целые отрицательные числа: -1, -2, -3, -4, ..., — то получится
множество целых чисел. Это множество обычно обозначают
буквой Z.
Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновен-
2 15 33
ные дроби: — , —, -— и т. д., — то получится множество рацио-
о о Эо
нальных чисел. Это множество обычно обозначают буквой Q.
m
Любое целое число m можно записать в виде дроби — ,
поэтому справедливо утверждение о том, что множество Q рациональ-
т т
ных чисел — это множество, состоящее из чисел вида — , - —
п п
(где т, п — натуральные числа) и числа 0.

2. || ФУНКЦИЯ у = yfl. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Используя введенные обозначения N, Z, Q, условимся о
следующем:
1. Вместо фразы «л — натуральное число» можно писать п е N
(читается: «элемент п принадлежит множеству iV»).
Математический символ € называют знаком принадлежности.
2. Вместо фразы «т — целое число» можно писать т € Z.
3. Вместо фразы «г — рациональное число» можно писать r€Q.
Понятно, что N — часть множества Z, a Z — часть множества Q.
Для описания этой ситуации в математике также имеется
специальное обозначение:
ATcZ, ZcQ.
Математический символ с называют знаком включения
(одного множества в другое).
Вообще в математике запись х € X означает, что х — один из
элементов множества X. Запись А а В означает, что множество А
представляет собой часть множества В. Математики чаще
говорят так: А — подмножество множества В.
Обратите внимание: множества в математике обычно
обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными
буквами.
И еще на один момент обратите внимание: знаки
принадлежности (элемент принадлежит множеству) и включения (одно
множество содержится в другом) — различные, соответственно
бис.
А как записать, что элемент х не принадлежит множеству X
или что множество А не является частью (подмножеством)
множества В? Используют те же символы, но перечеркнутые косой
чертой: х i X, А <х В.
2. Рациональные числа как бесконечные
десятичные периодические дроби
Для всех рациональных чисел можно использовать один и тот
же способ записи, который мы сейчас и обсудим.
Рассмотрим, например, целое число 5, обыкновенную дробь
7
— и десятичную дробь 8,377. Целое число 5 можно записать в
виде бесконечной десятичной дроби: 5,0000... Десятичную дробь
8,377 также можно записать в виде бесконечной десятичной
27

ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
7
дроби: 8,377000... Для числа — воспользуемся методом «деле-
U Li
ния углом»:
7,000000...
66
22
0,31818
40
22
_180
176
40
22
180
Как видите, начиная со второй цифры после запятой
происходит повторение одной и той же группы цифр: 18, 18, 18, ....
Таким образом, -^ =0,3181818.... Короче это записывают так:
0,3(18). Повторяющуюся группу цифр после запятой называют
периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной
периодической дробью.
Между прочим, и число 5 можно представить в виде
бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в
периоде записать число 0:
5 = 5,00000... = 5,(0).
Так же обстоит дело и с числом 8,377:
8,377 = 8,377000... = 8,377(0).
Чтобы все было аккуратно, говорят так: 8,377 — конечная
десятичная дробь, а 8,377000... — бесконечная десятичная дробь.
Вообще любое рациональное число можно записать в виде
конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной
периодической дроби.
Докажем это утверждение. Но сначала поясним идею
доказательства на конкретном примере. Рассмотрим дробь т^г* Начнем
делить 5 на 28 «уголком»:
5,000,,. I 28
28 |0Д
22
28

1. II ФУНКЦИЯ у = Ух. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
22 — это первый остаток. Продолжим деление:
5,000... I 28
28 | 0,17
_220
196
24
24 — это второй остаток. Точно так же будут получаться третий,
четвертый и т. д. остатки:
5,0000000000...
"28
220
196
240
224
28
0,178571428
_160
140
200
196
40
28
_120
112
_80
56
240
Выпишем последовательно получавшиеся остатки:
22, 24, 16, 20, 4, 12, 8, 24, ...
Все они меньше делителя 28, значит, рано или поздно (уж во всяком
случае не далее, чем на 28-м шаге) какой-то остаток повторится
и начиная с этого места в частном начнет повторяться одна и та же
группа цифр. В нашем примере этим остатком является число 24,
а повторяющаяся группа состоит из шести цифр: ^о = 0,17(857142).
Теперь нетрудно провести доказательство в общем виде. Пусть
дана дробь — • Деля т на п, будем последовательно получать
остатки, каждый из которых меньше числа п. Значит, с какого-то
29

ФУНКЦИЯ у = VI. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
места встретится остаток, который уже был ранее. После этого
остатки начнут повторяться, соответственно в частном начнет
повторяться одна и та же группа цифр.
Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в
виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и
обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь
можно представить в виде обыкновенной дроби.
Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную
десятичную периодическую дробь:
а) 1,(23); б) 1,5(23).
Решение, а) Положим * = 1,(23), т. е. * = 1,232323... .
Умножим х на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно
на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры,
надо, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для
этого число х нужно умножить на 100. Получим:
100* = 123,232323... .
Следовательно,
100* = 123,232323...
х = 1,232323...
100* - * = 123,232323... - 1,232323...,
1 99
т. е. 99* = 122, * = ^
Итак, 1,(23) = Щ = iff.
б) Положим * = 1,5(23) = 1,5232323... . Сначала умножим х
на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу
после запятой: 10* = 15,232323... . Теперь число 10* умножим
на 100 — тогда запятая сместится ровно на один период вправо:
1000* = 1523,23232323... . Имеем:
1000* = 1523,232323...
10* = 15,232323...
990* = 1508;
_ 1508 _ 754 _ Л 259
х~ 990 " 495 " Х495'
тж л с/ооч 754 л 259
Итак, 1,5(23) = 495 = l^gg-
Ответ: а) 1,(23) = iff; б) 1,5(23) = l|||.
30

2.
ФУНКЦИЯ у = yfc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Теперь мы сформулируем основной результат этого
параграфа: множество Q рациональных чисел можно рассматривать как
множество чисел вида — > где т — целое число, п — натуральное
число, или как множество бесконечных десятичных
периодических дробей.
Завершим параграф дополнительными сведениями о
периодических дробях.
1. Если период дроби начинается сразу после запятой, то дробь
называют чисто-периодической, если не сразу после запятой, —
смешанно-периодической. Например, 1,(23) —
чисто-периодическая дробь, а 1,5(23) — смешанно-периодическая дробь.
2. Если несократимая дробь — такова, что в разложении ее
знаменателя на простые множители содержатся лишь числа 2 и 5,
то запись числа — в виде десятичной дроби представляет собой
конечную десятичную дробь; если в указанном разложении есть
другие простые множители, то получится бесконечная
десятичная дробь.
3. Если несократимая дробь — такова, что в разложении ее
знаменателя на простые множители не содержатся числа 2 и 5,
то запись числа — в виде десятичной дроби представляет собой
чисто-периодическую десятичную дробь; если в указанном
разложении наряду с другими простыми множителями есть 2 или 5,
то получится смешанно-периодическая десятичная дробь.
4. У периодической десятичной дроби период может быть
любой длины, т. е. может содержать любое количество цифр.
7 53
Например, g = 0,(7) — в периоде одна цифра; до = 0,(53) —
14 772
в периоде две цифры; qqqqq = 0,(14772) — в периоде 5 цифр.
Вообще справедливо утверждение: правильная дробь вида тТоо—о'
УУУ. • .У
где в знаменателе содержится п девяток, представляется в виде
чисто-периодической дроби
0,(00...От).
п цифр
31

ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Например, ^ = 0,(001), ^ = 0,(017), §§§ = 0,(254).
Обратно, 0,(25) = §§, 2,(013) = 2^.
5. Если смешанно-периодическая дробь имеет вид
0,00...0 (00. ..От),
k нулей п цифр в периоде
то ее представление в виде обыкновенной дроби таково:
т
99...900...0 '
п девяток, k нулей
Например, 0,0(23) = ^, 2,00(0013) = 299ggQQ-
6. Периодическую дробь с девяткой в периоде можно заменить
конечной десятичной дробью (иными словами, бесконечной
дробью с нулем в периоде). Например,
0,(9) =|=1; 0,00(9) = д|о = Ш = 0,01;
0,72(9) = 0,72 + 0,00(9) = 0,72 + 0,01 = 0,73; 1,274(9) = 1,275.
К дробям с девяткой в периоде мы вернемся еще раз в § 10.
7. Используя указанные факты, можно предложить другой
способ обращения бесконечной десятичной периодической дроби
в обыкновенную дробь. Рассмотрим его на примере, который был
ранее решен:
1,5(23) = 1,5 + 0,0(23) = 1§ + Ц = l|||.
§ 8. ПОНЯТИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
Рассмотрим уравнение х2 - 4. Решим его графически.
Для этого в одной системе координат построим параболу
у = х2 и прямую у = 4 (рис. 1). Они пересекаются в двух точках
А(-2; 4) и В(2; 4). Абсциссы точек А и В являются корнями
уравнения х2 = 4. Итак, хх - -2, х2 = 2.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х2 = 9
(см. рис. 1): хх = -3, х2 = 3.
32

ФУНКЦИЯ у = yfl. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
1
1
\
\
\
\
А\
\\
\\
-3 -2
м
9
4
ч
О
1
I
fi
/
1/
/
[В
/1
2/ = 4
2 3
т:
it
IT
jv
о
V
N
:\
\
\
5
ч
о
/
/
/
1
I
к
/
r\\
1
!*•
Рис. 1
Рис. 2
А теперь попробуем решить уравнение х2 = 5; геометрическая
иллюстрация представлена на рис. 2. Ясно, что это
уравнение имеет два корня хх и х2, причем эти числа, как и в двух
предыдущих случаях — противоположные. Но в отличие от
предыдущих случаев, где корни уравнения были найдены без труда
(причем их можно было найти и не пользуясь графиками), с уравнением
х2 = 5 дело обстоит не так: по чертежу мы не можем
указать значения корней, можем только установить, что один корень
располагается чуть левее точки -2, а второй — чуть правее точки 2.
Что же это за число (точка), которое располагается чуть
правее точки 2 и которое в квадрате дает 5? Ясно, что это не 3, так
как З2 = 9, т. е. получается больше, чем нужно (9 > 5). Значит,
интересующее нас число расположено между числами 2 и 3. Но
между числами 2 и 3 находится бесконечное множество рацио-
17 25 2973
нальных чисел, например -„-,
ту,
и т. д. Может быть, среди
них найдется такая дробь —, что
(*Ь
= 5? Тогда никаких проб-
лем с уравнением х2 = 5 у нас не будет, мы сможем написать, что
_ тп_ _ m
Но тут нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет та-
[\2
— = 5.
п j
Докажем это.
2 Алгебра. 8 кл.: учебник
33

2. У ФУНКЦИЯ у = -Л. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Предположим, что имеется такая несократимая дробь —, для
) 2
fm) с _ тс ре?
которой выполняется равенство — =5. Тогда —^ = 5, т. е. тг = 5л .
\п) п
Последнее равенство означает, что натуральное число т2 делится
без остатка на 5 (в частном получится л2). Следовательно, число
т2 оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Но тогда и
натуральное число т оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0,
т. е. число т делится на 5 без остатка. Иными словами, если
число т разделить на 5, то в частном получится какое-то
натуральное число k. Это значит, что т = 5k.
А теперь смотрите:
т2 = 5л2; т = 5k.
Подставим 5k вместо т в первое равенство:
(5k)2 = 5л2, т. е. 25fc2 = 5л2, или п2 = 5k2.
Последнее равенство означает, что число п2 делится на 5 без
остатка. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу о том, что
и число л делится на 5 без остатка.
Итак, т делится на 5, л делится на 5, значит, дробь — можно
сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь — —
несократимая. В чем же дело? Почему, правильно рассуждая, мы
пришли к абсурду, или, как чаще говорят математики, получили
противоречие! Да потому, что неверной была исходная посылка,
будто бы существует такая несократимая дробь —, для которой выпол-
[ч2
— =5. Отсюда делаем вывод: такой дроби нет.
Метод доказательства, который мы применили только что,
называют в математике методом доказательства от противного.
Суть метода состоит в следующем. Нам нужно доказать
некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется
(математики говорят: «предположим противное» — не в смысле
«неприятное», а в смысле «противоположное тому, что требуется
доказать»). Если в результате правильных рассуждений
приходим к противоречию с условием, то делаем вывод: наше
предположение неверно, значит, верно то, что требовалось доказать.
34

ФУНКЦИЯ у = 7^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
~г
it
it
Vi
J\l
\
:\
!\
! \
i
-Va
a
О
/
/
/
/
/
/
/!
/!
/ !
1
y = a
Va
x
Рис. 3
Итак, располагая только
рациональными числами (а других чисел
мы с вами пока не знаем), уравнение
х2 = 5 мы решить не сможем.
Встретившись впервые с
подобной ситуацией, математики поняли,
что надо придумать способ ее
описания на математическом языке. Они
ввели в рассмотрение новый символ /~
и с его помощью корни уравнения
х2 = 5 записали так: хх = 7б , х2 = - 7б
(читают: «корень квадратный из
пяти»). Теперь для любого уравнения
вида х2 = а, где а > 0, можно
записать корни: хх- у/а, х2 = -\[а (рис. 3).
Еще раз подчеркнем, что число 7б не целое и не дробь, т. е.
7б — не рациональное число, это число новой природы, о таких
числах мы поговорим позднее, в § 9.
Пока лишь отметим, что новое число 7б находится между
числами 2 и 3, поскольку 22 = 4, а это меньше, чем 5; З2 = 9, а это
больше, чем 5. Можно уточнить:
2,2 < 7б < 2,3.
В самом деле, 2,22 = 4,84 < 5, а 2,32 = 5,29 > 5. Можно еще
уточнить:
2,23 < 7б < 2,24;
действительно, 2,232 = 4,9729 < 5, а 2,242 = 5,0176 > 5.
На практике обычно полагают, что число 75 равно 2,23 или
оно равно 2,24, только это не обычное равенство, а
приближенное равенство, для обозначения которого используют
символ ~.
Итак,
75 « 2,23 или 75 - 2,24.
Обсуждая решение уравнения х2 = а, мы столкнулись с
довольно типичным для математики положением дел. Попадая в
нестандартную, нештатную (как любят выражаться космонавты)
ситуацию и не находя выхода из нее с помощью известных средств,
математики придумывают для впервые встретившейся им мате-
35

2. |1 ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
матической модели новый термин и новое обозначение (новый
символ); иными словами, они вводят новое понятие, а затем
изучают свойства этого понятия. Тем самым новое понятие и его
обозначение становятся достоянием математического языка. Мы
действовали так же: ввели термин «корень квадратный из числа а»,
ввели символ у/а для его обозначения, а чуть позднее (в § 12)
изучим свойства нового понятия. Пока мы знаем лишь одно: если
а > 0, то у/а — положительное число, удовлетворяющее
уравнению х2 - а. Иными словами, у/а — это такое положительное число,
при возведении которого в квадрат получается число а.
Поскольку уравнение х2 = О имеет корень х = 0, условились
считать, что V0 = 0.
Теперь мы готовы дать строгое определение.
Определение. Квадратным корнем из неотрицательного
числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого
равен а. Это число обозначают Va, число а при этом называют
подкоренным числом.
Итак, если а — неотрицательное число, то:
1) yfo > 0; 2) (yfef = a.
Если a < 0, то уравнение х2 = а не имеет корней, говорить в
этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Таким образом, выражение у/а имеет смысл лишь при а > 0.
Говорят, что у/а = Ь и Ъ2 - а — одна и та же математическая
модель (одна и та же зависимость между неотрицательными
числами а и Ь), но только вторая записана на более простом языке,
чем первая (использует более простые символы).
Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного
числа называют извлечением квадратного корня. Эта операция
является обратной по отношению к возведению в квадрат. Сравните:
Возведение в квадрат
52 = 25
102 = 100
0,32 = 0,09
Извлечение квадратного корня
V25 =5
VlOO =10
V0^09 =0,3
Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только
положительные числа, поскольку это оговорено в определении
36

2. || ФУНКЦИЯ у = У^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
квадратного корня. И хотя, например, (-5)2 = 25 — верное
равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня
(т. е. написать, что V25 = -5) нельзя. По определению, V25 —
положительное число, значит, V25 = 5 (а не -5).
Иногда говорят не «квадратный корень»» а «арифметический
квадратный корень». Термин «арифметический» мы опускаем для
краткости.
Пример 1. Вычислить:
а) у/49; в) Vo; д) V^; ж) V5625.
б) VO25; г) л/17; е) V961;
Решение.
а) V49 = 7, поскольку 7 > 0 и 72 = 49.
б) ^/0,25 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,52 = 0,25.
в) То = 0.
г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать
точное значение числа >Д7. Ясно лишь, что оно больше, чем 4,
но меньше, чем 5, поскольку 42 = 16 (это меньше, чем 17), а 52 = 25
(это больше, чем 17).
Впрочем, приближенное значение числа vl7 можно найти с
помощью микрокалькулятора, который содержит операцию
извлечения квадратного корня; это значение равно 4,123.
Число Vl7, как и рассмотренное выше число >/5, не является
рациональным.
д) Вычислить V^4 нельзя, поскольку квадратный корень из
отрицательного числа не существует; запись V-4 лишена смысла.
Предложенное задание некорректно.
е) V961 = 31, так как 31 > 0 и 312 = 961. В подобных случаях
приходится использовать таблицу квадратов натуральных чисел
или микрокалькулятор.
ж) V5625 = 75, поскольку 75 > 0 и 752 = 5625. ■
В простейших случаях значение квадратного корня
вычисляется сразу: VI = 1, у[а = 2, >/1б = 4, v0»01 = 0,1 и т. д. В более
сложных случаях приходится использовать таблицу квадратов
чисел или проводить вычисления с помощью микрокалькулятора.
37

ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
А как быть, если под рукой нет ни таблицы, ни калькулятора?
Ответим на этот вопрос, решив следующий пример.
Пример 2. Вычислить V2809.
Решение.
Первый этап. Нетрудно догадаться, что в ответе получится 50
с «хвостиком». В самом деле, 502 = 2500, а 602 = 3600, число же
2809 находится между числами 2500 и 3600.
Второй этап. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру
искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в
ответе может получиться 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 или 59.
Проверить надо только два числа, 53 и 57, поскольку только они
при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное
число, оканчивающееся цифрой 9, т. е. той же цифрой, которой
оканчивается число 2809.
Имеем 532 = 2809 — это то, что нам нужно (нам повезло, мы
сразу попали в «яблочко»). Значит, V2809 = 53.
Ответ: V2809 = 53.
Пример 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 1 см
и 2 см. Чему равна гипотенуза треугольника (рис. 4)?
Решение. Совсем скоро на уроках геометрии вы узнаете о
знаменитой теореме Пифагора, которая заключается в том, что
сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника
равна квадрату длины его гипотенузы, т. е. а2 + Ь2 = с2, где a, b —
катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника. Значит,
т. е. с= Jl2+22= Л.
с=
Ответ:
см.
Этот пример показывает, что введение квадратных корней —
не прихоть математиков, а объективная необходимость: в
реальной жизни встречаются ситуации, математические модели
которых содержат операцию извлечения
квадратного корня. Пожалуй, самая
важная из таких ситуаций связана с
решением квадратных уравнений. До
сих пор, встречаясь с квадратными
уравнениями ах2 + Ьх + с = 0, мы либо
2 раскладывали левую часть на множи-
Рис. 4 тели (что получалось далеко не всегда),
38

2. У ФУНКЦИЯ у = Л. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
либо использовали графические методы (что тоже не очень
надежно, хотя и красиво). На самом деле для отыскания корней хг
и х2 квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 в математике
используются формулы
х2 = ^- (их мы выведем позднее), со-
держащие, как видно, знак квадратного корня. Эти формулы
применяются на практике следующим образом. Пусть, например,
надо решить уравнение 2л:2 + Ьх - 7 = 0. Здесь а = 2, Ъ = 5, с = -7.
Следовательно, Ь2 - 4ас - 52 - 4 • 2 • (-7) = 81. Далее находим
= 9. Значит,
-5 + 9 -5-9 о к
1 г5
Подобно тому, как выше мы определили понятие квадратного
корня, можно определить и понятие кубического корня:
кубическим корнем из неотрицательного числа а называют такое
неотрицательное число, куб которого равен а. Иными словами,
равенство ifa = Ь означает, что Ь3 = а.
Например, 3J~27 = 3, так как З3 = 27; ^/б4 = 4, так как 43 = 64;
3/0,001 = 0,1, так как ОД3 = 0,001.
Более того, в математике введено понятие корня п-й степени
(п = 2, 3, 4, ...) из неотрицательного числа: если а > 0, то запись
^[а = Ъ означает, что Ь > 0 и Ьп = а. Например, ^81 = 3, так как
3 > 0 и З4 = 81; ^32 = 2, так как 2 > 0 и 25 = 32. Все это мы будем
изучать в курсе алгебры 11-го класса.
§ 9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Мы уже неоднократно отмечали, что не все числа, с
которыми приходится встречаться в реальной жизни, являются
рациональными. Так, не является рациональным числом длина
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см.
Как мы видели в предыдущем параграфе (см. пример 3), она равна
<^5 см, а ^5 — не рациональное число. Корни уравнения х2 = 7
также не являются рациональными числами — это числа -^7 и
- Jl . Что же это за числа, которые не являются рациональными?
39

2. || ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить
«нерациональное число», обычно используют термин
иррациональное число. Термины «рациональное число»,
«иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — «разум»
(буквальный перевод: «рациональное число — разумное число»,
«иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят
и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит,
что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это
значит, что так действовать неразумно).
Рассмотрим уже известное нам иррациональное число >/5.
В § 8 мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если
точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, то между
числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа
у[Е и определить границы для третьего десятичного знака после
запятой. Имеем 2,2362 = 4,999696, что меньше 5; 2,2372 =
= 5,004167, что больше 5. Итак, 2,236 < JE < 2,237.
Точно так же можно определить границы для четвертого
знака после запятой, для пятого знака и т. д. Ясно, что выполняется
приближенное равенство -у/5 « 2,236. Если же считать, что для
числа у/Ъ выписаны все последующие десятичные знаки, то
можно воспользоваться записью ^5 = 2,236... . Это — бесконечная
десятичная дробь. В предыдущем параграфе мы уже встречались с
бесконечными десятичными дробями, но все они были
периодическими и выражали рациональные числа. Иррациональное число
.^5 выражается бесконечной десятичной непериодической дробью.
Вообще иррациональным числом называют бесконечную
десятичную непериодическую дробь. Например, можно доказать, что
если натуральное число п не является точным квадратом, т. е.
п * k2, где k € N, то yjn — иррациональное число.
Иррациональные числа встречаются не только при
извлечении квадратного корня, но и во многих других случаях, в чем вы
не раз убедитесь в старших классах.
Пока приведем только один пример. Если длину любой
окружности разделить на ее диаметр, то в частном получится
иррациональное число 3,141592... . Для этого числа в математике введено
40

2. II ФУНКЦИЯ у = Л. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
специальное обозначение к (буква греческого алфавита «пи»;
версия происхождения этого понятия такова: с буквы к начинается
греческое слово периферия — окружность). Иррациональность
числа к была доказана в 1766 г. немецким математиком И.
Ламбертом.
Любая арифметическая операция над рациональными числами
приводит в результате к рациональному числу. Это и понятно,
ведь сумма (разность, произведение, частное) обыкновенных
дробей есть обыкновенная дробь (все логично, ведь рациональные
числа — «разумные» числа). А как обстоит дело с
иррациональными числами? Оказывается, ничего определенного сказать
нельзя (что тоже логично, ведь иррациональные числа —
«неразумные» числа). Смотрите: ^/5 — иррациональное число,
а ^5 • yj~5 =5 — рациональное число, т. е. произведение двух
иррациональных чисел оказалось рациональным числом; ^5 и у[з —
иррациональные числа, и их произведение, т. е. -у/15 (в § 13 мы
докажем, что ^5 • V3 = Vl5 ), — тоже иррациональное число. То
же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных
чисел: в ответе может получиться как рациональное, так и
иррациональное число.
А что получится, если в операции участвуют одно
рациональное число и одно иррациональное число, какое «пересилит»?
Оказывается, «пересилит» иррациональное число. Рассмотрим такой
пример: дано рациональное число 3 и иррациональное число ^2 ;
составим их сумму 3 4- <J~2 . Предположим, что это —
рациональное число г, т. е. 3 4- <J~2 = г. Тогда ^2 = г - 3, аг-3 —
рациональное число (как разность двух рациональных чисел).
Получается, что yj~2 — рациональное число, а это неверно, ведь мы
знаем, что это число — иррациональное. Получили противоречие,
значит, сделанное нами предположение неверно, т. е. 3 + у/~2 —
иррациональное число. Аналогично можно доказать, что 3 -у[2 —
иррациональное число. А вот сумма иррациональных чисел 3 4- yj2
и 3 - J~2 равна 6, т. е. является рациональным числом.
41

2. У ФУНКЦИЯ у = уЦя СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Итак, можно сделать следующие выводы:
• Любая арифметическая операция над рациональными
числами (кроме деления на 0) приводит в результате к
рациональному числу.
• Арифметическая операция над иррациональными числами
может привести в результате как к рациональному, так и к
иррациональному числу.
• Если в арифметической операции участвуют рациональное и
иррациональное числа, то в результате получится
иррациональное число (кроме умножения и деления на 0).
Поскольку операция извлечения квадратного корня из
положительного числа часто приводит к иррациональным числам,
условились алгебраическое выражение, в котором присутствует
операция извлечения квадратного корня из переменной, называть
иррациональным выражением.
§ 10. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Если множество рациональных чисел дополнить
множеством иррациональных чисел, то вместе они составят
множество действительных чисел. Множество действительных чисел
обычно обозначают буквой R; используют также символическую
запись (~°°; +°°) или (~°°; °°).
Множество действительных чисел можно описать так: это
множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные
десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические
дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные
непериодические дроби — иррациональные числа.
Каждое действительное число можно изобразить точкой на
координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка
координатной прямой имеет действительную координату. Покажем
(схематически), как определяют координату точки.
Пусть на отрезке [0; 1] координатной прямой находится
интересующая нас точка М(х). Разделим отрезок на 10 равных
частей, назовем их сегментами первого ранга (рис. 5). Пересчет этих
До Дх Д2 Д3 Д4 Аб Ав А7 А8 Ад
—I I I 1 Щипни | Щипни | 1 ►
f | *
Рис. 5
42

1. II ФУНКЦИЯ у =4х. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
сегментов слева направо начинаем с нуля: Ао, Ах, ..., А9 (А —
прописная буква греческого алфавита дельта). Предположим, что
М € А4. Это значит, что х = 0,4... . Разделим отрезок А4 на 10
равных частей — это сегменты второго ранга, обозначим их А40,
А41, ... , А49. Предположим, что М € А40. Это значит, что х = 0,40... .
Так постепенно находятся последовательные знаки бесконечной
десятичной дроби, служащей координатой точки М.
А как будет обстоять дело с координатой точки, служащей
концом какого-либо сегмента? Пусть х = 0,73. Это — координата
общего конца сегментов второго ранга А72 и А73 (см. рис. 5),
сегментов третьего ранга А729 и А730, сегментов четвертого ранга А7299
и А73Оо и т. д. Следовательно, 0,72(9) = 0,73(0), что мы уже
установили другим способом в конце § 7.
Математики обычно говорят так: между множеством R
действительных чисел и множеством точек координатной прямой
установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая
есть геометрическая модель множества действительных чисел; по
этой причине для координатной прямой часто используют термин
числовая прямая.
Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам
противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая — объект
геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все
продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство
различных областей математики, дает возможность
отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной
(числовой) прямой».
Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались
начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был
вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной
прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель
оберегал вас от такой неприятности.
Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее
единичном отрезке, как на катете, построен прямоугольный
треугольник, второй катет которого равен 2
(рис. 6). Гипотенуза ОВ треугольника
отложена на координатной прямой от
точки О вправо, получилась точка D.
Чему равна координата точки D? Она
равна длине диагонали квадрата, т. е. q j ^ *%
^Ь. Это число, как мы теперь знаем, р ^
43

2. || ФУНКЦИЯ у = yfc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе
координату точки D вы бы найти не смогли. Потому мы до сих
пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».
Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших
знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы
всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые
допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то
не было. На самом деле переменные могут принимать любые
допустимые действительные значения. Например, в тождестве
(а + Ь)(а -Ь) = а2 - Ь2
в роли а и Ь могут выступать любые числа, не обязательно
рациональные.
Для действительных чисел а, Ь, с выполняются привычные
законы:
а + Ь = Ь + а;
ab = Ьа;
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с;
а(Ьс) - (ab)c;
(а + Ь)с = ас + be и т. д.
Выполняются и привычные правила:
произведение (частное) двух положительных чисел —
положительное число;
произведение (частное) двух отрицательных чисел —
положительное число;
произведение (частное) положительного и отрицательного
числа — отрицательное число.
Действительные числа можно сравнивать друг с другом,
используя следующее определение.
Определение. Говорят, что действительное число а больше
(меньше) действительного числа Ь, если их разность а - Ь —
положительное (отрицательное) число. Пишут а > Ь (а < Ь).
Из этого определения следует, что всякое положительное
число а больше нуля (поскольку разность а - 0 = а —
положительное число), а всякое отрицательное число Ь меньше нуля
(поскольку разность Ь - 0 = Ь — отрицательное число).
Итак, а > 0 означает, что а — положительное число;
а < 0 означает, что а — отрицательное число;
а > Ь означает, что а - Ь — положительное число,
т. е. а - Ь > 0;
44

2. || ФУНКЦИЯ у = yfl. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
а < Ь означает, что а - Ь — отрицательное число,
т. е. а - Ь < 0.
Наряду со знаками строгих неравенств (<, >) используют
знаки нестрогих неравенств:
а > 0 означает, что а больше или равно 0, т. е. а —
неотрицательное число (положительное или 0), или что а не меньше 0;
а < 0 означает, что а меньше или равно 0, т. е. а —
неположительное число (отрицательное или 0), или что а не больше 0;
а > Ь означает, что а больше или равно Ь, т. е. а - Ь —
неотрицательное число, или что а не меньше Ь; а — Ь > 0;
а < b означает, что а меньше или равно Ь, т. е. а — Ъ —
неположительное число, или что а не больше Ь; а - Ь < 0.
Например, для любого числа а верно неравенство а2 > 0; для
любых чисел а и b верно неравенство (а - Ь)2 > 0.
Впрочем, для сравнения действительных чисел
необязательно каждый раз составлять их разность и выяснять,
положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий
вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей.
Геометрическая модель множества действительных чисел делает
особенно наглядной операцию сравнения чисел: из двух чисел а, Ь
больше то, которое располагается на числовой прямой правее.
Таким образом, к сравнению действительных чисел можно
подходить достаточно гибко, что мы и используем в следующем примере.
Пример 1. Сравнить числа:
а) Щ и 4; в) -3,7 и V2;
о
б) 2 + V5 и 5; г) -у[Е и -V7.
22 2 22
Решение, а) Имеем ~г - 4 = т > 0; значит, ~г > 4.
б) Имеем 2 + 7б = 2 + 2,236... = 4,236... < 5; таким образом,
2 + 7б < 5.
в) -3,7 — отрицательное число, V2 — положительное число.
Любое отрицательное число меньше любого положительного
числа, следовательно, -3,7 < V2.
г) -7б = -2,23... ; ->/7 = -2,64... . Точка -2,64...
располагается на координатной прямой левее точки -2,23... , значит,
-л/5 > -л/7. ■
45

2. ФУНКЦИЯ у = У^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Пример 2. Расположить в порядке возрастания числа:
V2, -73, -2, |, Vl7, л.
Решение. Воспользуемся тем, что у[2 ~ 1,41, >/з ~ 1,73,
к ~ 3,14, ^ = 1,57, a Vl7 = 4,12. Теперь ясно, что заданные
числа расположатся в порядке возрастания следующим образом: -2,
->/3, >/2, ^, 71,
§11. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
В предыдущем параграфе мы отмечали, что над
действительными числами производятся разные арифметические
операции, при этом используются свойства операций. Знание этих
свойств помогало нам выполнять преобразования алгебраических
выражений, решать уравнения. Числовые неравенства также
обладают рядом свойств. Знание этих свойств поможет нам в
дальнейшем решать неравенства, будет полезно и для исследования
функций. Например, с неравенствами были связаны такие
известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее
значения функции на некотором промежутке, ограниченность
функции снизу или сверху, возрастание или убывание. Так что, как
видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись.
Да вы и сами уже могли убедиться в необходимости умений
работать с неравенствами. Так, в § 9 мы пользовались оценками
для числа V5 (2 < 7б < 3; 2,2 < v5 < 2,3 и т. д.), где фактически
опирались (хотя и интуитивно) на свойства числовых неравенств.
Изучением свойств числовых неравенств мы займемся в
данном параграфе.
Свойство 1. Если а > Ь и Ь > с, то а > с.
Доказательство. По условию, а > Ь, т. е. а - Ь —
положительное число. Аналогично, так как Ь > с, делаем вывод, что
Ь - с — положительное число.
Сложив положительные числа а - Ь и Ь - с, получим
положительное число. Имеем: (а - Ь) + (Ь - с) = а - с. Следовательно, а- с —
положительное число, т. е. а > с, что и требовалось доказать.
Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель
множества действительных чисел — числовую прямую. Неравенство
46

ФУНКЦИЯ у = Л. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
а > b означает, что на числовой прямой • • • »
, с Ь а х
точка а расположена правее точки о, а
неравенство Ь > с — что точка Ь распо-
ложена правее точки с (рис. 7). Но тогда точка а расположена на
прямой правее точки с, т. е. а > с.
Свойство 1 обычно называют свойством транзитивности
(образно говоря, от пункта а мы добираемся до пункта с как бы
транзитом, с промежуточной остановкой в пункте Ь).
Свойство 2. Если а > Ь, то а + с > Ь + с.
Свойство 3. Если а > Ь и т > О, то am > mb;
если а > Ь и т < 0, то am < bm;
Смысл свойства 3 заключается в следующем:
если обе части неравенства умножить на одно и то же
положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
если обе части неравенства умножить на одно и то же
отрицательное число, то знак неравенства следует изменить
(< на >, > на <).
То же относится к делению обеих частей неравенства на одно
и то же положительное или отрицательное число т, так как
деление на т можно заменить умножением на — •
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части
неравенства а > Ь на — 1, получим -а < —Ъ. Это значит, что если
изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо
изменить и знак неравенства.
Свойство 4. Если а > b и с > d, то а + с > b + d.
Доказательство. Так как а > Ь, то, согласно свойству 2,
а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.
Итак, a + c>b + c, b + c>b + d. Тогда, в силу свойства
транзитивности, получаем, что а + с > b + d.
Свойство 5. Если а, Ь, с, d — положительные числа и а > Ь,
с > d, то ас > bd.
Доказательство. Так как а > b и с > 0, то ас > be.
Аналогично, так как с > d и b > 0, то cb > db.
Итак, ас > be, be > bd. Тогда, согласно свойству
транзитивности, получаем, что ас > bd.
Обычно неравенства вида а > Ь, с > d (или а < Ь, с < d)
называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b
47

2. || ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
и с < d — неравенствами противоположного смысла. Свойство 5
означает, что при умножении неравенств одинакового смысла,
у которых левые и правые части — положительные числа,
получится неравенство того же смысла.
Свойство 6. Если а и Ъ — неотрицательные числа и а > Ь, то
ап > Ьп, где п — любое натуральное число.
Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части
неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести
в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.
Дополнение к свойству 6. Если п — нечетное число, то для
любых чисел а и b из неравенства а > Ь следует неравенство того
же смысла ап > Ьп.
Вы обратили внимание на то, что в приведенных
доказательствах мы, по сути дела, пользовались всего двумя идеями?
Первая идея — составить разность левой и правой частей
неравенства и выяснить, какое число получится — положительное или
отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового
свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в
других случаях доказательств числовых неравенств; например,
так можно доказать те из перечисленных выше свойств, которые
мы здесь привели без доказательства (советуем вам в качестве
упражнения попробовать восполнить этот пробел).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть а и Ъ — положительные числа и а > Ь.
Доказать, что - < ^-
Решение. Рассмотрим разность - - т- Имеем
1 _ 1 _Ь-а
а Ъ ~ аЪ
По условию, а, Ь, а — Ь — положительные числа. Следова-
Ь-а 1 1 ^ л
тельно, —г— — отрицательное число, т. е. — - т < 0, откуда
следует, что - < т- Ш
- <
Пример 2. Пусть а — положительное число. Доказать, что
а + \ > 2.
48

2. 1| ФУНКЦИЯ у = yfla СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Решение. Рассмотрим разность ш-\—J - 2. Имеем
а2 + 1 _2= а2 - 2а + 1 = (а + I)2
а а а
Получили неотрицательное число, значит, а + — > 2.
Заметим, что а 4- - = 2 тогда и только тогда, когда а = 1; если
же а * 1, то
Пример 3. Пусть а и Ь — неотрицательные числа. Доказать,
что
а + i > 2.
Решение. Составим разность левой и правой частей
неравенства. Имеем:
а + Ь ГТ а + Ъ - 2у/аЬ _ (Va - Vft)
2 ^п0 ~ 2 " 2
Получили неотрицательное число, значит, а * > yfab.
Заметим, что ^Ц;— = yfab тогда и только тогда, когда а = b
(тогда \1 а = \1Ъ и, следовательно, о = 0); если же а Ф Ь,
ТО
Число a g называют средним арифметическим чисел а и &;
число Vafe называют средним геометрическим чисел а и Ь.
Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что
среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не
меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство
иногда называют неравенством Коши в честь французского
математика XIX в. Огюста Коши.
Замечание. Неравенство Коши имеет любопытное
геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник
49

ФУНКЦИЯ у = Ух. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
и пусть высота h, проведенная из
вершины прямого угла, делит
гипотенузу на отрезки а и b (рис. 8). В
геометрии доказано, что h = yfab (так что
неслучайно для этого выражения вве-
J ^ ли термин «среднее геометрическое»).
Рис- 8 А что такое а * ? Это длина половины
гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана т
прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство
Коши означает, что длина медианы, проведенной к гипотенузе
(т. е. ^-о—), не меньше длины высоты, проведенной к гипотенузе
(т. е. yfab).
Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать
действительные числа по величине, оценивать результат.
Пример 4. Сравнить числа:
а) к + VlO и 4 + VTT; б) >/з + S и 2 + V5.
Решение, а) Применим к двум неравенствам одинакового
смысла к < 4 и VlO < VlT свойство 4 о почленном сложении;
получим
к + VlO < 4 + VlT.
б) Здесь л/3 < 2, а >/б > V5, так что воспользоваться
свойством 4 не удастся. Поступим так: введем обозначения а = yfs + л/6,
b = 2 4- V5 и предположим (наугад), что а > Ь, т. е. что yfs + V6 >
> 2 + V5. Числа а и b положительны, поэтому, по свойству 6, из
а > b следует а2 > Ь2, т. е.
(V3 + л/б)' > (2 + V5)2;
3 + 2Vl8 + 6 > 4 + 4V5 + 5;
9 + 2Vl8 > 9 + 4V5.
По свойству 2, к обеим частям последнего неравенства можно
прибавить число -9, затем, по свойству 3, разделить обе части
50

2. ФУНКЦИЯ у = У^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
неравенства на одно и то же положительное число 2 и, наконец,
снова возвести в квадрат обе части неравенства:
2>/l8
Vl8
18 > 20.
Но на самом деле 18 < 20. Выполняя сделанные
преобразования в обратном порядке, получаем
18 < 20;
Vl8
9 + 2>/l8 < 9
(>/3 + 7б)2 < (2 + V5)2;
>/з+>/б<2+75. ■
Пример 5. Известно, что 2,1 < а < 2,2; 3,7 < Ь < 3,8. Найти
оценки для числа:
а) 2а; в) а + Ь; д) а2;
б) -ЗЬ; г) а - Ь; е) £.
Решение, а) Умножив все части двойного неравенства 2,1 <
< а < 2,2 на одно и то же положительное число 2, получим
2 2,1 < 2а < 2 2,2, т. е. 4,2 < 2а < 4,4.
б) Умножив все части двойного неравенства 3,7 < Ь < 3,8 на
одно и то же отрицательное число -3, получим неравенство
противоположного смысла
-3 3,7 > -гЬ > -3 3,8, т. е. -11,4 < -ЗЬ < -11,1
(вместо записи вида а > b > с мы перешли к более
употребительной записи с < Ь < а).
в) Сложив почленно заданные двойные неравенства
одинакового смысла, получим
2,1 < а < 2,2
3,7 < Ь < 3,8
5,8 < а + Ъ < 6,0.
г) Сначала умножим все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8
на одно и то же отрицательное число -1; получим неравенство
противоположного смысла
-3,7 > -Ь > -3,8, т. е. -3,8 < -Ь < -3,7.
51

2. || ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Далее имеем:
2,1 < а < 2,2
-3,8 < -Ь < -3,7
-1,7 < а -Ъ < -1,5.
д) Поскольку все части двойного неравенства 2,1 < а < 2,2
положительны, возведя их в квадрат, получим:
2,12 < а2 < 2,22,
т. е.
4,41 < а2 < 4,84.
е) В примере 1 мы установили, что если а иЬ — положительные
числа, то из неравенства а < Ь следует неравенство
противоположного смысла - > т. Поэтому из двойного неравенства 2,1 < а < 2,2
следует, что
2,1 > а 2,2'
т. е.
А < I < 10
11 а 21
§ 12. ФУНКЦИЯ у = л/х, ЕЕ СВОЙСТВА
И ГРАФИК
В 7-м классе мы изучали функции у - С, у - kx,
у = kx + т, у = х2, у = -х2 и пришли в итоге к выводу о том, что
уравнение с двумя переменными вида у = f(x) есть правило,
удобное для того, чтобы, задав конкретное значение независимой
переменной х (аргумента), вычислить соответствующее значение
зависимой переменной у. Например, если дана функция у = х2, т. е.
f(x) = х2, то при х = 1 получаем: у = I2 = 1; короче это записывают
так: Д1) = 1. При х = 2 получаем: /(2) = 22 = 4, т. е. у = 4; при х - -3
получаем /(-3) = (-3)2 = 9, т. е. у = 9, и т. д.
Уже в 7-м классе мы с вами начали понимать, что в записи
у = f(x) правая часть не исчерпывается перечисленными выше
пятью случаями (С, kx, kx + m, х2, -х2). Так, например, нам уже
встречались кусочные функции, т. е. функции, заданные разными
52

ФУНКЦИЯ у = yfc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
I
\
\
\
-
V
\
\
\
\
\ ^
3-2-
й
о
А
0
1
/
О
/
i
1
1
i%
1 "*
г
л:
/
/
/
о
i
/
7
/
/
и
к
ч
1
X
Рис. 9
Рис. 10
формулами на разных промежутках. Вот одна из таких функций:
у = f(x), где
{х2, если х < 0;
2х, если х > 0.
Как строить графики таких функций? Сначала надо
построить параболу у = х2 и взять ее часть при х < 0 (левая ветвь
параболы, рис. 9), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть
при х > 0 (рис. 10). И наконец, надо обе выделенные части
объединить на одном рисунке, т. е. построить на одной координатной
плоскости (рис. 11).
Теперь наша задача состоит в
следующем: пополнить запас
изученных функций. В реальной
жизни встречаются процессы,
описываемые различными
математическими моделями вида у = f(x),
не только теми, что мы
перечислили выше. В этом параграфе мы
рассмотрим функцию у = фс .
Для построения графика
функции у = у[х дадим, как обычно,
независимой переменной х
несколько конкретных значений
(неотрицательных, поскольку при Рис. 11
53
1
\
\
\
\
\
\
\
-3-2
о
А
О
О
/
/
:
1
1
.
/
г?
А
У
/
/

ФУНКЦИЯ у = Vx. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
х < О выражение у[х не имеет смысла) и вычислим
соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем
давать х такие значения, для которых известно точное значение
квадратного корня:
то у - у[о - 0;
если х = О,
если х = 1,
если х = 4,
если х = 6,25,
то у = y[l = 1;
то у = yfi = 2;
то у = л/6,25 = 2,5;
если х = 9, то г/ = ^9 = 3.
Итак, мы составили таблицу значений функции:
0
0
1
1
4
2
6,25
2,5
9
3
Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (6,25; 2,5), (9;
3) на координатной плоскости (рис. 12, а). Они располагаются на
некоторой линии, начертим ее (рис. 12, б). Получили график
функции у = yjx . Обратите внимание: график касается оси у в
точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х2, можно
без труда с его помощью построить график функции у = yfx , ведь
это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх,
а вправо (х = у2).
Q_
О"
О
•2,
5
6
25
<
) х
И
О"
о"
О
И
:
^*
^*
Рис. 12, а
Рис. 12, б
54

2. 1| ФУНКЦИЯ у = yfc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Свойства функции у = фс
1. Область определения функции — луч [0; +°°). Обычно
область определения функции у = f(x) обозначают D(f) (вероятно,
это обозначение происходит от латинского definitia —
определение). Если область определения функции у - f(x), где f(x) —
алгебраическое выражение, в условии не указана, то подразумевают
естественную область определения, т. е. множество всех
значений х, при которых выражение f(x) имеет смысл. Именно так и
обстоит дело в рассматриваемом случае: D(f) - [0; +о°).
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на луче [0; +°о). Напомним, что в курсе
алгебры 7-го класса мы договорились называть функцию, график
которой на рассматриваемом промежутке идет слева направо как
бы «в горку», — возрастающей, а функцию, график которой на
рассматриваемом промежутке идет слева направо как бы «под
горку», — убывающей. Более точно можно сказать так: функцию
у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если на этом
промежутке большему значению аргумента соответствует большее
значение функции; функцию у - f(x) называют убывающей на
промежутке X, если на этом промежутке большему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции.
То, что сказано выше, это, условно говоря,
наглядно-интуитивное и рабочее представление о возрастании или убывании
функции. Дадим точное определение.
Определение. Функцию у - f(x) называют возрастающей
(убывающей) на промежутке X с D(f), если из неравенства хг < х2,
где х19 х2 — любые точки из промежутка X, следует неравенство
fix,) < f(x2) (f(Xl) > f(x2)).
Возрастающие и убывающие функции объединяются общим
термином монотонные функции.
Докажем, что функция у = фс возрастает на луче [0; +°°).
Пусть 0 < хг < х2. Докажем, что ^х^ < yf^. Предположим
противное, что<у/х^ > ^/д^. Тогда \yfxi) ^ (л/^г) » т» е- х\^ *2> что
противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, а
верно неравенство ^[хх < yjfy .
Итак, из 0 < хх < х2 следует, что ^[х^ < ф^. Это значит, что
у = у[х — возрастающая функция.
55

ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
4. Унаим = О (достигается при х = 0), г/наиб не существует.
Напомним, что г/наим — это наименьшее значение функции, а унемб —
наибольшее значение функции на заданном промежутке; если
промежуток не указан, то г/наим и г/наиб — соответственно наименьшее
и наибольшее значения функции в области определения.
Почему г/наиб не существует? Предположим, что есть г/наиб; т. е.
все значения функции не превосходят ее значения в некоторой
точке хх. Но это неверно, поскольку достаточно взять х2 > хх и в
силу возрастания функции заметить, что у]х2 > ^[хх.
5. У = у[х — непрерывная функция. Напомним, что этот
термин мы рассматриваем пока как синоним предложения «график
функции есть сплошная линия, которую можно начертить, не
отрывая карандаша от бумаги». В старших классах будет дано
точное математическое истолкование понятия непрерывности
функции, не опирающееся на геометрическую иллюстрацию.
А теперь обратим внимание на одно любопытное
обстоятельство. Рассмотрим две функции: у = у[х (ее график изображен на
рис. 12, б) и у = х2, где х > 0 (ее график изображен на рис. 13).
Мы только что перечислили пять свойств для первой функции,
но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция.
Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы.
Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда
разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются
одинаково. Они обнаружили принципиальные различия в
характере графиков, заметив, что график функции у = yjx обращен
выпуклостью вверх, тогда как
график функции у = х2, где х > 0,
обращен выпуклостью вниз.
Обычно говорят, что функция
выпукла вниз, если, соединив
любые две точки ее графика
отрезком прямой, обнаруживают, что
соответствующая часть графика
лежит ниже проведенного отрезка
(рис. 14, а); функция выпукла вверх,
если, соединив любые две точки ее
графика отрезком прямой,
обнаруживают, что соответствующая
часть графика лежит выше прове-
Рис. 13 денного отрезка (рис. 14, б).
-4-
i_
о
/
\
ж
i
/
1
L
1 *
L 2
1
о
1^
X
56

2. ФУНКЦИЯ у = V^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
о
/
/
/
]
А
7
У
о
А
/
V
[
/
/
у
7
X
Рис. 14, а
Рис. 14, б
Функция у = f(x), где f(x) = yfx , принимает любые
неотрицательные значения. В самом деле, какое бы конкретное
значение у > 0 ни задать, всегда найдется такое х, что выполняется
равенство f(x) - у9 т. е. у[х = у; для этого достаточно положить
х = у2. Множество всех значений функции у = f(x) называют
обычно областью значений функции и обозначают E(f). Для
функции у = у[х областью значений является луч [0; +о°). Это хорошо
читается по графику функции (рис. 12, б). Если спроецировать
график на ось у, как раз и получится луч [0; +°°).
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции у = yfx на отрезке: а) [0; 4]; б) [1; 5].
Решение, а) Построим
график функции у - yfx и выделим
его часть на отрезке [0; 4] (рис. 15).
Замечаем, что г/наим = 0
(достигается при х = 0), а уНйИб = 2
(достигается при х = 4).
Заметим, что можно было и не
опираться на графическую
иллюстрацию: функция у = фс
возрастает на [0; 4], значит, уНВИМ = 4 (0),
I/наиб = 4(4). рис#
и
-2-
О
57

2. ФУНКЦИЯ у = VI. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
У)
S
-1-
1
О
j
г—
1/'
X
-2-
О
%
4
\
**-
К
——
\
*
Рис. 16 Рис. 17
б) Построим график функции у = фс и выделим его часть на
отрезке [1; 5] (рис. 16). Замечаем, что г/наим = 1 (достигается при
х = 1), а г/наиб = JE (достигается при х = 5).
О т в е т: а) г/наим = 0; г/наиб = 2; б) г/наим = 1; г/наиб = ^/б .
Пример 2. Решить уравнение у[х = 6 - х.
Решение. В учебнике «Алгебра-7» мы выработали алгоритм
графического решения уравнений, напомним его.
Чтобы графически решить уравнение f(x) = g(x), нужно:
1) рассмотреть две функции у = f(x) и у = g(x);
2) построить график функции у = f(x);
3) построить график функции у = g(x);
4) найти точки пересечения построенных графиков; абсциссы
этих точек — корни уравнения f(x) = g(x).
Применим этот алгоритм к заданному уравнению.
1) Рассмотрим две функции у = у[х и у = 6 - х.
2) Построим график функции у = у[х (рис. 17).
3) Построим график линейной функции у = 6 - х. Это —
прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0).
Прямая изображена на том же чертеже (рис. 17).
4) По чертежу устанавливаем, что графики пересекаются в
одной точке А(4; 2). Так ли это на самом деле? Проверим: пара (4; 2)
58

ФУНКЦИЯ у = yfl. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
удовлетворяет и уравнению у = у[х, и уравнению у = 6 - х. Это
значит, что точка (4; 2) на самом деле служит точкой пересечения
построенных графиков. Заданное уравнение имеет один корень
4 — это абсцисса точки А.
Ответ: 4.
Замечание. Обратим внимание на один тонкий момент,
связанный с графическим методом решения уравнений. Мы
обнаружили, что графики функций у = фс и у - 6 - х
пересекаются в точке (4; 2) и, доверясь чертежу, объявили, что это —
единственная общая точка графиков, а потому уравнение имеет
единственный корень х = 4. Но, как говорится, доверяй, но проверяй.
На самом деле надо было строго доказать без помощи чертежа,
что других точек пересечения у графиков нет. Например, так.
Функция у - у[х возрастает, значит, если х > 4, то значения
функции больше 2, а если х < 4, то значения функции меньше 2.
Функция же у = 6 - х убывает, значит, если х > 4, то значения
функции меньше 2, а если х < 4, то значения функции больше 2.
Таким образом, в точке, отличной от точки (4; 2), графики
пересечься не могут.
Пример 3. Построить и прочитать график функции у = - у[х .
Решение. В курсе алгебры 7-го класса мы говорили о том,
что график функции у - -f(x) получается из графика функции у - f(x)
с помощью преобразования симметрии относительно оси х.
Воспользовавшись этим, построим
график функции у = у[х и
отобразим его симметрично
относительно оси х (рис. 18). Это и будет
график функции у = -фс .
Перечислим свойства функции
у = -у[х (по графику):
1. Область определения
функции — луч [0; +°°).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при
х > 0. Рис. 18
о
1_
1
О
-2-
^^
^1
1
1
т «■
у = -у[х
■*-
л:
59

ФУНКЦИЯ у = >fc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Vi
р
о
Z"
О
X
И
ч
А
-Q-
о
О
_о
Ч
\>
\
\
ч
S
\
\
Iх
S
Рис. 19
Рис. 20
3. Функция убывает на луче [0; +о°).
4. Унаяб= ^ (достигается при х = 0), унеммпе существует.
5. Функция непрерывна на луче [0; +°°).
6. Область значений функции — луч (-°°; 0].
7. Функция выпукла вниз. ■
Пример 4. Построить график функции у = f(x), где
(\[х, если 0 < х < 4;
6 - х, если 4 < х < 8.
/(*) =
Решение. Речь идет о построении графика кусочной
функции, т. е. функции, заданной разными формулами на разных
промежутках области определения. В начале параграфа мы
напомнили, как строить графики подобных функций. Сначала надо
построить график функции у = Jx
(ветвь параболы) и выделить его
часть на отрезке [0; 4] (рис. 19).
Затем построить прямую у = 6 - х
и выделить ее часть на
полуинтервале (4; 8] (рис. 20). И наконец,
надо обе выделенные части
изобразить в одной системе
координат — это и будет требуемый гра-
рис 21 Фик кусочной функции (рис. 21). ■
2-
О
^»
S
4
I
1
у = №
\
\
N
1

2. 11 ФУНКЦИЯ у = У^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
§ 13. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
В этой главе введена новая операция — извлечение
квадратного корня из неотрицательного числа. Чтобы успешно ее
использовать, нужно познакомиться со свойствами этой операции,
что мы и сделаем в настоящем параграфе.
Теорема 1. Квадратный корень из произведения двух
неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней
из этих чисел:
= у/а • \jb.
Доказательство. По определению квадратного корня,
y/ab — это такое неотрицательное число, которое при
возведении в квадрат дает подкоренное выражение, т. е. ab. Рассмотрим
число \п • \}Ъ. Замечаем, во-первых, что оно неотрицательно.
Обращаем внимание, во-вторых, на то, что при возведении его в
квадрат получится ab. В самом деле,
{л/а ■ yfbf = (yfcf • (yfbf = ab.
Итак, число 4а • yfb удовлетворяет обоим условиям
определения квадратного корня из числа ab. Следовательно,
= \[a -\[b.
Замечание 1. Теорема остается справедливой и для
случая, когда подкоренное выражение представляет собой произве-
цение более чем двух неотрицательных множителей.
Замечание 2. Теорему 1 можно сформулировать,
используя конструкцию «если... то» (как это принято для теорем в
математике). Приведем соответствующую формулировку: если а и b —
неотрицательные числа, то справедливо равенство \[ab = Va • \fb.
Следующую теорему мы именно так и оформим.
Теорема 2. Если а > О, Ъ > 0, то справедливо равенство
(краткая формулировка, которую удобнее использовать на
практике: корень из дроби равен дроби от корней или корень из
частного равен частному от корней).
Доказательство, аналогичное доказательству теоремы 1,
попробуйте выполнить самостоятельно.
61

2. II ФУНКЦИЯ у = yfl. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Замечание 3. Обратите внимание, что в теоремах 1 и 2
говорится только об умножении и делении корней.
Аналогичного свойства, относящегося к сложению и вычитанию квадратных
корней, нет. Если а > 0 и & > О, то у]а + Ъ Ф sa 4- \fb. Например,
Vl6 + 9 Ф Vl6 4- л/9. В самом деле, Vl6 + 9 = 5, тогда как
Vl6 + 79 = 4 + 3 = 7. В § 42 мы докажем, что если а > 0 и Ь > О,
то yja + b < >Ja 4- Vb.
Пример 1. Вычислить >/36 64 9.
Решение. Воспользовавшись первым свойством квадратных
корней (теорема 1), получим
л/36 64 9 = V36 V64 79 =683 = 144. ■
Замечание 4. Конечно, этот пример можно решить по-
другому, особенно если у вас под рукой микрокалькулятор:
перемножить числа 36, 64, 9, а затем извлечь квадратный корень
из полученного произведения. Однако, согласитесь,
предложенное выше решение выглядит более изящно.
Пример 2. Вычислить /10—.
v 16
9
Решение. Обратим смешанное число 10т^ в неправильную
9 9 169
дробь. Имеем 10т^ = 10 + т^ = -jtt. Воспользовавшись вторым
свойством квадратных корней (теорема 2), получим
16 4 4
Пример 3. Вычислить V372 - 122.
Решение.
Первый способ. Последовательно находим:
372 = 1369,
122 = 144,
372 - 122 = 1369 - 144 = 1225, Vl225 = 35.
Второй способ.
372 - 122 = (37 - 12)(37 + 12) = 25 49,
л/25 49 = V25 V49 =57 = 35. ■

ФУНКЦИЯ у = VI. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Замечание 5. При первом способе мы проводили
вычисления «в лоб». Второй способ изящнее: мы применили формулу
а2 - Ь2 = (а - Ь)(а + Ь) и воспользовались свойством квадратных
корней.
Пример 4. Вычислить:
a) V24 S; б) V24 : >/б.
Решение. Любая формула в алгебре используется не только
«справа налево», но и «слева направо». Так, первое свойство
квадратных корней означает, что sab в случае необходимости
можно представить в виде \Га • vfr, и обратно, что у/а • yjb можно
заменить выражением yfab. To же относится и ко второму
свойству квадратных корней. Учтя это, решим предложенный пример.
a) V24 7б = >/24 6 = Vl44 = 12;
Завершая параграф, отметим еще одно достаточно простое и в
то же время важное свойство:
если а > 0 и п — натуральное число, то
Например,
/а2л =
ar = a3, Va10 = a5 и т. д.
Пример 5. Вычислить V7056, не используя таблицу
квадратов чисел и микрокалькулятор.
Решение. Разложим подкоренное число на простые
множители:
7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1
2
2
2
2
3
3
7
7

2. [I ФУНКЦИЯ у = уЦш СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Значит, 7056 = 24 З2 72. Тогда
V7056 = V24 • З2 • 72 = VF • Тз2" • V72" = 22 3 7 = 84.
Ответ: V7056 = 84.
Замечание 6. Этот пример можно было решить так же,
как и аналогичный пример в § 8. Нетрудно догадаться, что в
ответе получится «80 с хвостиком», поскольку 802 < 7056 < 902.
Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока
мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может
получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо
только числа 84 и 86, поскольку только они при возведении в
квадрат дадут в результате четырехзначное число,
оканчивающееся цифрой 6, т. е. той же цифрой, которой оканчивается
число 7056. Имеем 842 = 7056 — это то, что нужно. Следовательно,
V7056 =84.
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ОПЕРАЦИЮ
ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
До сих пор мы с вами выполняли преобразования
только рациональных выражений, используя для этого правила
действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы
сокращенного умножения и пр. В этой главе мы ввели новую
операцию — операцию извлечения квадратного корня из
неотрицательного числа; мы установили, что
= а;
= 4а • 4b;
ё = f<b>0>;
Используя эти формулы, можно выполнять различные
преобразования выражений, содержащих операцию извлечения
квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров, причем во
всех примерах будем предполагать, что переменные принимают
только неотрицательные значения.
64

ФУНКЦИЯ у = Vx. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Пример 1. Упростить выражения:
б)
1,6 •
a) VaV;
Решение, а) yja2b4 = yfcf • yfbf = cib2;
16a4
б)
9ЪЯ
/16a4 _ 4al
Пример 2. Вынести множитель из-под знака квадратного
корня:
а) VSlaj б) yj32а \ в) \9а b .
Решение, а) yj81а = yfsi • yfa = 9yfa;
б) у/32а2 = у/16 • а2 • 2 = Vl6 • 7? • V2 = 4aV2;
• yfa • yfb* • yfb =
в) V9a7b5 = V9 • a6 • a • &4 • b =
= Sa3b2Jab. Ш
Пример З. Внести множитель под знак квадратного корня:
а) 2>/2; б;
Решение, а) 2>/2 = y/Z • V2 = >/4 • 2 = 7в;
Пример 4. Выполнить действия:
а) (л/a + Vb)(Va - >/b); б) (Va
Решение, а) Пусть у/а = х, yfb = у. Тогда
(у/а + yfb)(yfc - yfb) = (x + у)(х -у) = х2- у2.
Но х2 = а, у2 = Ь, значит, {yfa + y[b)\y[a - yfb) = а - b.
На самом деле новые переменные х и у можно было и не
вводить, тогда запись решения будет короче:
) ) = a-b.
б) (у/а + yfbf= (yfaf + 2Va • yfb + (>/&)2 = a + 2>/ab + 6.
3 Алгебра. 8 кл.: учебник

2. || ФУНКЦИЯ у = л&. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Пример 5. Разложить на множители:
а) 4а - 4л/аЬ + Ь; б) xyfx 4- 1.
Решение.
а) 4а - 4у[аЬ + Ъ = (2yfaf - 2 • 2У^ • Jb + (y/bf.
Заметим, что это — квадрат разности выражений 2у[а и y[b.
Следовательно,
4а - 4у[аЬ +Ъ= (2yfa - Sf.
б) ху[х + 1 = (VJc)2 • л/х + 1 = (Vjc)3 + I3.
Остается лишь вспомнить формулу разложения на
множители «суммы кубов»:
а3 + Ь3 = (а + &)(а2 - а& + &2).
Здесь в роли а выступает vjc, а в роли & — число 1. Получаем
l)(jC - Vx + l). ■
Пример 6. Упростить выражение
: ^тг 7= • \\1а - yJ3).
V3) V3
- V3) + V3a
Решение. Выполним последовательные преобразования:
1) ау[а + Зл/З = (Va)3 + (7з)3 =
7з)(а - V3a + 3);
2) (л/S" - л/3)' + Sa = ((Va)2 - 2>/а • >/з + (>/з)2) +
= а - 2>/За + 3 + >/За = а - >/За + 3
(мы привели подобные члены: -2>/За 4- V3a = ->/За);
оч (Уа + Уз)(а - УЗа + з) г г-
3) 7=— = yja + v3 (сократили дробь на
a - у/За + о
a - V3a 4- 3, т. е. на общий множитель числителя и знаменателя
Дроби); 2 2
4) (7^ + >/з)(>/а - >/з)=(л/а) - (Уз) = а - 3.
66

ФУНКЦИЯ у =4х. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Итак, «^ + *Е . U - J8) = « - 8.
(л/а - л/з) + л/За
Выясним, какова здесь область допустимых значений
переменной а. Во-первых, заметим, что должно выполняться условие
а > О, поскольку в левой части тождества фигурирует у/а. Во-
вторых, должно выполняться условие (у/а - л/з) + л/За Ф О,
поскольку в левой части тождества соответствующее выражение
находится в знаменателе дроби. Это условие выполняется, так как
(л/а - Уз) + л/За — сумма двух неотрицательных выражений,
которые одновременно в нуль не обращаются. Значит, эта сумма
положительна, т. е. отлична от нуля. Таким образом, доказанное
тождество справедливо при а > 0. ■
Пример 7. Преобразовать заданное алгебраическое
выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал
знаков квадратных корней:
а> 7Г б) izblZ'
Решение. В обоих случаях воспользуемся тем, что
значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель
одновременно умножить на одно и то же отличное от нуля число или
выражение.
а) Умножив числитель и знаменатель дроби на л/2, получим
V2 V2 • V2 (V2)2 2 '
б) Умножив числитель и знаменатель дроби на >/з + V2,
получим
1 1 • (УЗ + л/2) УЗ + л/г _
Уз - Уг " (Уз - л/гХл/з + л/г) " (Уз)2 - (Уг)2
_
)2 "
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак
квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе
содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому
виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных
корней, называют освобождением от иррациональности в
знаменателе. Два основных приема освобождения от
иррациональности в знаменателе мы как раз и рассмотрели в примере 7:
67

2. || ФУНКЦИЯ у = У^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
если знаменатель имеет вид у/а, то числитель и знаменатель
дроби следует умножить на у/а;
если знаменатель имеет вид у/а - \[b или у/а + у/Ь, то
числитель и знаменатель дроби надо умножить соответственно на
л/а + у/ь или на. у/а - \[b.
Зачем нужно уметь освобождаться от иррациональности в
знаменателе? Во многих случаях это облегчает тождественные
преобразования алгебраических выражений, в чем мы сейчас и
убедимся. Полезно это и в приближенных вычислениях, о чем
мы поговорим в § 43.
Пример 8. Упростить выражение
_7 2 + 4
л/7 л/7 - л/б л/б + л/3*
Решение. Выполним последовательные преобразования:
qv & _ ^w • т л/t»/ 2ул/7 + л/5/
2
л/7 -л/б
2(л/7 +
7-
4
л/б + л/3
V5)
5
(л/б
2(л/7" н
4(V5-
л/7 +
+ л/б
-7з)
+ V3)(V5 -
V5)
)
)
о\ *± -х\у« w/ 4(л/б - л/3)
4) л/7 - (л/7 + л/б) + 2(л/5 - л/3) =
= л/7 - л/7 - л/б + 2л/б - 2л/3 = л/б - 2л/3.
Ответ: л/б - 2л/з.
§ 15. АЛГОРИТМ ИЗВЛЕЧЕНИЯ
КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Квадратный корень из положительного числа,
являющегося точным квадратом, т. е. из числа вида п2, можно
вычислить без таблиц и без калькулятора. Имеется сравнительно
68

2. II ФУНКЦИЯ у = УГ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
несложный алгоритм вычислений, который мы в этом параграфе
покажем на двух примерах.
Пример 1. Вычислить -^138384.
Решение. Число 138 384 разобьем на грани. Грань — это
группа из двух цифр, начиная с цифры единиц:
138 384 = 13'83'84.
Ищем наибольшее натуральное число, квадрат которого не
превосходит числа 13, стоящего в первой грани. Этим числом
является 3 (поскольку З2 = 9 < 13, а 42 = 16 > 13). Записываем его
в ответ — это первая цифра результата.
Возводим 3 в квадрат и результат вычитаем из первой грани.
Получим 13 - З2 = 4. К найденной разности приписываем справа
вторую грань и получаем число 483.
Удваиваем имеющуюся цифру результата (получаем 6) и
приписываем к полученному числу справа такую наибольшую
цифру а, чтобы произведение чисел 6а * и а не превосходило 483.
В данном случае таким числом а служит 7, поскольку 67 • 7 =
= 469 < 483, а 68 • 8 = 544 > 483. Записываем цифру 7 вслед за
цифрой 3 в ответ — это вторая цифра результата. Из числа 483
вычитаем 469 и получаем 14. К этому числу приписываем справа
третью грань, получаем 1484. Имеющееся в результате число 37
удваиваем и к полученному числу 74 приписываем справа такую
наибольшую цифру Ь, чтобы произведение чисел 74Ь* и Ъ не
превосходило 1484. В данном случае Ь - 2, так как 742 • 2 = 1484
Записываем цифру 2 в ответ — это третья цифра результата.
Поскольку 1484 - 1484 = 0, извлечение корня закончено.
Обычно рассмотренный алгоритм записывают так:
67
Х 7
742
Х 2
Vl3'83'84 =372
" 9
483
469
1484
1484
0
Ответ: ^138384 =372.
* Запись 6а означает двузначное число с цифрами 6 и а; запись
означает трехзначное число с цифрами 7, 4, Ь.
69

ФУНКЦИЯ у = V^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Пример 2. Вычислить ^/45369.
Решение.
41
423
/4'53'69 = 213
"4
53
41
1269
1269
Ответ: ^/45369 = 213.
§ 16. МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА.
ФУНКЦИЯ у = \х\
1. Модуль действительного числа и его свойства
В младших классах вы уже встречались с понятием
модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались
обозначением \а\. Вы знаете, что, например, |5| = 5, |-3| = 3. Правда,
раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо
ввести понятие модуля для любого действительного числа.
Определение. Модулем неотрицательного действительного
числа х называют само это число: |дс| = х; модулем
отрицательного действительного числа х называют противоположное число:
|дс| = -х.
Например,
|5| = 5; |-5| = -(-5) = 5; |-3,7| = 3,7;
\у/Е
\у[Е
Е - 2| = 7б - 2 ( так как 7б - 2 > 0);
Е - 3| = -(7б - 3) = 3 - 7б ( так как 7б - 3 < 0).
Свойства модулей
1. \а\ > 0.
2. \аЬ\ = \а\ \Ь\.
о 9l _ \°\
«• и — 777*
70

2. |1 ФУНКЦИЯ у = yfi. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
4. \а\2 = а2.
5. \а\ = \-а\.
6. \а\ > а.
7. \а + Ь\ < \а\ + |б|.
Докажем последние два свойства.
Доказательство свойства 6. Если а > О, то, по
определению, \а\ = а. Если а < О, то, по определению, \а\ - -а. Но при
а < 0 выполняется неравенство -а>а,т.е.|а|>а. Итак, в любом
случае выполняется неравенство \а\ > а.
Доказательство свойства 7. Если а и b —
неотрицательные числа, то \а + &| = а + Ь, \а\ — а, |&| = Ъ и поэтому |а 4- &| =
= |а| + |&|. Если а и b — отрицательные числа, то \а + &| = -(а + Ь),
\а\ = -а, |&| = -Ь и поэтому \а + &| = |а| + |&|. Если а и Ь — числа
разных знаков и, например, \а\ > |Ь|, то, по правилу сложения
чисел разных знаков, получаем
|а + &| = \а\ - \Ь\ < \а\ + |6|.
Итак, если а и Ь — числа одного знака, то \а + &| = \а\ 4- |&|.
Если а и b — числа разных знаков, то \а + &| < \а\ 4- |&|. Свойство 7
доказано.
2. Геометрический смысл модуля действительного числа
Вернемся к множеству R действительных чисел и его
геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки
а и b (два действительных числа а и Ь), обозначим через р(а; Ь)
расстояние между точками а и b (p — буква греческого алфавита
«ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 22, а), оно равно
а - Ь, если а > b (рис. 22, б), наконец, оно равно нулю, если а = Ь.
а Ь х Ь а
Рис. 22, а Рис. 22, б
Все три случая охватываются одной формулой
р(а; Ь) = \а- Ь\.
Пример 1. Решить уравнения:
а) \х - 2| = 3; в) |*| = 2,7;
б)|х4- 3,2| = 2; г) \х- V21 = 0.
71

2. ФУНКЦИЯ у = yfc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
-12 5* "5,2 -3,2 -1,2 *
Рис. 23 Рис. 24
Решение, а) Переведем соотношение | х - 2| = 3 на
геометрический язык: нам надо найти на координатной прямой такие
точки х, которые удовлетворяют условию р(х; 2) = 3, т. е. удалены от
точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки -1 и 5 (рис. 23).
Следовательно, уравнение имеет два корня: -1 и 5.
б) Уравнение \х + 3,2| = 2 перепишем в виде \х - (-3,2)| = 2 и
далее р(х; -3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки,
которые удалены от точки -3,2 на расстояние, равное 2. Это —
точки -5,2 и -1,2 (рис. 24). Значит, уравнение имеет два корня:
-5,2 и -1,2.
в) Уравнение \х\ = 2,7 перепишем в виде \х - 0| = 2,7, или, что
то же самое, р(х; 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две
точки, которые удалены от точки 0 на расстояние, равное 2,7.
Это — точки -2,7 и 2,7 (рис. 25). Таким образом, уравнение
имеет два корня: -2,7 и 2,7.
г) Для уравнения | х - VJ21 =0 можно обойтись без
геометрической иллюстрации, ведь если \а\ = 0, то а = 0. Поэтому х — \2 = 0,
т. е. х=у[2. Ш
-2,7 0 2,7 * -13 7х
Рис. 25 Рис. 26
Пример 2. Решить уравнения:
а) \2х - б| = 8; б) |5 - 3*| = 6; в) \4х + 1| = -2.
Решение.
а) \2х - 6| = \2(х - 3)| = |2| • \х - 3| = 2\х - 3|.
Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду
2\х - 3| = 8, откуда получаем \х - 3| = 4.
Переведем соотношение \х - 3| = 4 на геометрический язык:
нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые
удовлетворяют условию р(х; 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на
расстояние, равное 4. Это — точки -1 и 7 (рис. 26). Итак,
уравнение имеет два корня: -1 и 7.
б)|5 -
= з
72

ФУНКЦИЯ у = Л. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Поэтому заданное уравнение можно о I
преобразовать к виду 3
куда получаем
5
х
# й х
= 6, от- 3 3 3
3 Рис. 27
= 2.
Переведем соотношение
х
= 2 на геометрический язык:
3
нам надо найти на координатной прямой такие точки х, которые
удовлетворяют условию р I л:; — I = 2, т. е. удалены от точки т;
2 12
(от точки 1^) на расстояние, равное 2. Это точки -7 иЗ« (рис. 27).
1 2
Следовательно, уравнение имеет два корня: — ^ и 3^-
в) Для уравнения \4х + 1| = -2 никаких преобразований
выполнять не требуется. Оно явно не имеет корней, так как в левой
его части содержится неотрицательное выражение, а в правой —
отрицательное число. ■
Замечание. На практике для решения уравнений с
модулями редко применяют тот способ, которым мы решили
уравнения а) и б) из примера 2 (нам было важно обратить ваше внимание
на геометрический смысл модуля). Обычно рассуждают так.
Равенство \с\ - а, где а > О, эквивалентно совокупности двух
равенств: с - а, с = -а. Поэтому, если дано уравнение \f(x)\ = а, где
а > 0, то решают два уравнения: f(x) = a, f(x) = -а (обычно говорят:
совокупность уравнений). Например, для уравнения |3дг - 5| = 6
получаем:
Зх - 5 = 6; Зх - 5 = -6;
Q2 1
*=3з; х=~з'
Подробнее о решении уравнений с модулями мы поговорим в
§ 37, а здесь рассмотрим еще один пример изящного решения
уравнения с модулями геометрическим способом.
Пример 3. Решить уравнение \х - 2| 4- \х + 4| = 10.
Решение. Переведем соотношение |х-2| + |л: + 4| = 10
на геометрический язык: нам нужно найти на координатной
73

2. || ФУНКЦИЯ у = yfc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию р(х; 2) +
4- р(х; -4) = 10, т. е. сумма расстояний каждой из таких точек от
точек 2 и -4 равна 10. Это точки 4 и -6; в самом деле,
р(4; 2) + р(4; -4) = 2 + 8 = 10 (рис. 28, а);
р(-6; 2) + р(-6; -4) = 8 + 2 = 10 (рис. 28, б).
-4
р(4;-4) = 8 р(-6;2) =
Рис. 28, а Рис. 28, б
Значит, уравнение имеет два корня: 4 и -6. ■
Пример 4. Решить неравенства:
а) \х - 2| < 3; в) \х - 2| + \х + 4| < 10.
б) |5 - 3*| > 6;
Решение, а) Переведем соотношение \х - 2| < 3 на
геометрический язык: нам надо найти на координатной прямой
такие точки х, которые удовлетворяют условию р(х; 2) < 3, т. е.
удалены от точки 2 на расстояние меньшее, чем 3. На расстояние,
равное 3, удалены от точки 2 точки -1 и 5 (см. рис. 23).
Следовательно, решениями интересующего нас неравенства являются все
числа из интервала (-1; 5) (см. рис. 23).
б) Рассуждая, как в примере 2 б, преобразуем неравенство
|5 - Зх| > 6 к виду
> 2. Нам нужно найти на координат-
3
ной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию
х; -\ > 2, т. е. удалены от точки 1 ^ на расстояние, большее
о /
или равное 2. На расстоянии, равном 2, от указанной точки на-
1 2
ходятся точки -«■ и Зтт (см. рис. 27). Значит, решения задан-
1 2
ного неравенства таковы: jc < -g5 x > 3-^ (рис. 29).
в) Переведем соотношение |дс - 2| 4- |дс 4- 4| < 10 на
геометрический язык: нам надо найти на координатной прямой такие
74

ФУНКЦИЯ у = Л. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ниш ill | цпппп^ циипципининпиииипцишц „
1 Л2 ~2 х -6-4 2 4*
"3 Н 33
Рис. 29 Рис. 30
точки х, которые удовлетворяют условию р(х; 2) 4- р(х; -4) < 10,
т. е. сумма расстояний каждой из таких точек от точек 2 и -4
меньше или равна 10. В примере 3 мы установили, что точки х = -6
и х = 4 удовлетворяют условию р(х; -4) 4- р(х; 2) = 10 (рис. 30).
Условию же р(х; 2) 4- р(х; -4) < 10 удовлетворяют точки из
интервала (-6; 4). Следовательно, решения заданного неравенства
таковы: -6 < х < 4 (рис. 30). ■
3. Тождество Va* = |в|
Мы знаем, что если а > 0, то Va2 = а, — этим мы постоянно
пользовались в предыдущей главе. А как быть, если а < 0?
Написать у/а2 = а в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что
va2 < 0. Это неверно, так как значение квадратного корня не
может быть отрицательным.
Чему же равно выражение \1а2 при а < 0? По определению
квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое,
во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает
подкоренное число, т. е. а2. Таким числом будет -а. Смотрите:
1) -а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число,
значит, —а — положительное число);
2) (-а)2 = а2.
Итак,
/—г [а, если а > 0;
Va2 =
[-а, если а < 0.
Вам ничего не напоминает конструкция в правой части
равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль
числа а:
\а, если а > 0;
[-а, если а < 0.
Таким образом, va2 и |a| — одно и то же. Тем самым мы
доказали важное тождество:
75
а

2. || ФУНКЦИЯ у = У^. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое
выражение, например,
- V7)2 = |2 - 77|ит. д.
Пример 5. Упростить выражение >Да ~ *)2> если:
а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.
Решение. Как мы только что установили, справедливо
тождество
У(а - I)2 =|а-1|.
а) Если а - 1 > 0, то|а-1| = а-1. Следовательно, в этом
случае получаем v(a ~ I)2 = а - 1.
б) Если a - 1 < 0, то \а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом
случае получаем yj(a - I)2 = 1 - a. ■
Пример 6. Упростить выражение тг- • v32a2, если a < 0.
Решение.
V32 - У^7 _ 4V2 ♦ |a] _ 2V2 • [a]
2a ' ^бга 2а ~ 2а ~ а '
Так как по условию а < 0, то \а\ = - а. В результате получаем
2V2 • \а\ = 2V2 (-a) =
а а
Пример 7. Упростить выражение
V52 - 30л/3 - >/43 - 24>/з.
Решение. 1) Рассмотрим подкоренное выражение 52 - 30V3.
Имеем
52 -ЗОТЗ =52 -2 5 3 73.
Положим а = 5, & = 3V3; тогда
а2 + &2 = 52 + (3>/3)2 = 25 + 27 = 52.
76

2. У ФУНКЦИЯ у = Л. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Это значит, что рассматриваемое выражение можно
представить в виде а2 + Ь2 - 2ab, т. е. в виде (а - Ь)2.
Итак,
52 - ЗОл/3 =25 + 27-253л/з =
= 52 - 2 5 3 >/з + (зТз)2 = (5 -
Значит,
V52 - 30л/з = V(5 - Зл/з)2 = |б - Зл/з| = 3>/3 - 5.
2) Рассмотрим подкоренное выражение 43 - 24>/з. Имеем
43 - 24V3 = 43 - 2 2 2 3 л/3.
Положим а = 4, & = 3V3; тогда
а2 + &2 = 42 + (3>/3)2 = 16 + 27 = 43.
Это значит, что рассматриваемое выражение можно
представить в виде а2 + Ь2 - 2ab, т. е. в виде (а - Ь)2.
Итак,
43 - 24V3 = 16 + 27 - 2 4 зТз =
= 42 - 2 4 ЗТЗ + (3>/3)2 = (4 - 3>/3)2.
Значит,
>/43 - 24V3 = >Д4 - 3>/з)2 = |4 - 3>/31 = 3>/3 - 4.
3) (Зл/3 - б) - (Зл/3 - 4) = -1. ■
4. Функция у = |х|.
Для любого действительного числа х можно вычислить |дс|,
т. е. можно говорить о функции у - |д:|, определенной на
множестве всех действительных чисел. Воспользовавшись определением
модуля действительного числа, мы можем вместо у = \х\ записать
{х, если х > 0;
-х, если х < 0.
77

ФУНКЦИЯ у = VI. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
/
/
/
У
/
/
0
/
у
/
X
К
\
\
о
\
\
\
\
\
Рис. 31, а Рис. 31, б
Построение графика, как
обычно в таких случаях, осуществим
«по кусочкам». Сначала построим
прямую у = х и выделим ее часть
на луче [0; +°°) (рис. 31, а). Затем
построим прямую у = -х и выделим
ее часть на открытом луче (—°°; 0)
(рис. 31,6). Наконец, оба
«кусочка» изобразим в одной системе
координат — это и будет график
функции у = \х\ (рис. 32).
Свойства функции у = |дг|
1. Область определения
функции: D(f) = (-оо; +оо).
2. Функция убывает на луче (—°°; 0], возрастает на луче [0; +°°).
3. г/„аим = 0, г/наиб не существует.
4. Функция непрерывна.
5. Область значений функции: E(f) = [0; +°°).
5. Разные графики функций с модулями
Пример 8. Построить график функции у = 2х + \х - 1\.
Решение. Если х - 1 > 0, то \х - 1| = х - 1, и мы получаем
у = 2х + х - 1 = Зх - 1.
\
S
V
s
о
/
/
у
>
Ki
/
у
Рис. 32
78

ФУНКЦИЯ у = Vx. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Если х - 1 < 0, то
\х - 1| = ~(х - 1),
и мы получаем
г/ = 2х - (х - 1) = х + 1.
Таким образом, фактически
речь идет о построении графика
кусочной функции
У =
Зх - 1, если х > 1;
х + 1, если х < 1.
/
/
/
У
5*
2-
у
А
у
о
•
/
/
/
>
1
/
[
л:
Рис. 33
График изображен на
рисунке 33. ■
Пример 9. Построить график функции
у = \2х - 4| + \х + 3| - 5.
Решение. Выражение 2х - 4 обращается в 0 при х - 2, а
выражение х + 3 — при д: = -3. Эти две точки (2 и -3) разбивают
числовую прямую на три промежутка (рис. 34). Рассмотрим
первый промежуток — (-°°; -3]. Если х < -3, то2х-4<0ил: + 3<0.
Значит, |2* - 4| = -(2х - 4), а \х + 3| = , , »
= -(х + 3). Таким образом, на рас- -3 2 х
сматриваемом промежутке полу- Рис. 34
чаем
у = -{2х - 4) - (х + 3) - 5 =
= -Зх - 4.
Рассмотрим второй промежуток — (-3; 2). Если -3 < х < 2,
то2*-4<0ид: + 3>0. Следовательно, \2х - 4| = -{2х - 4),
а \х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом
промежутке получаем
у = -{2х - 4) + (х + 3) - 5 =
= -х + 2.
Рассмотрим третий промежуток — [2; +оо). Если х > 2, то
2х-4>0ил; + 3>0. Значит, \2х - 4| = (2х - 4), а |* + 3| = (х + 3).
Таким образом, на рассматриваемом промежутке получаем
у = (2х - 4) + (х + 3) - 5 = Зх - 6.

ФУНКЦИЯ у = уЦ. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
-
\
\
4-
3
\
й
о ■
oS
о
\
\
<
1
1
J
1
{<
II
j
1
*-
X
Подведем итоги. Фактически
речь идет о построении графика
кусочной функции
-Зх - 4, если х < -3;
У =
-х + 2, если -3 < х < 2;
Зх - 6, если х > 2.
График функции изображен
на рисунке 35. ■
Рис. 35

ГЛАВА
3
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.
ФУНКЦИЯ у =
к
X
§ 17. Функция у = кх2, ее свойства и график
§18. Функция у — —, ее свойства и график
§ 19. Как построить график функции у = f(x + I) + m,
если известен график функции у = f(x)
§ 20. Функция у = ах2 + Ьх + с, ее свойства и график
§ 21. Графическое решение квадратных уравнений
§ 22. Дробно-линейная функция
§ 23. Как построить графики функций у = \f(x)\ и у = f(\x\),
если известен график функции у = f(x)
§17- ФУНКЦИЯ у = d
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
В этом параграфе мы
рассмотрим функцию у = kx2, где
коэффициент k — любое отличное от 0
число.
Заметим, что случай, когда
k = 1, был рассмотрен в 7-м
классе: если k = 1, то графиком
функции у = х2 является парабола (см.
рис. 36).
Обсудим, как обстоит дело при
других значениях коэффициента k.
Рассмотрим две функции:
у = 2х2 и у = 0,5*2.
Составим таблицу значений
для функции у - 2х2:
\\
X
\
\
-
\
\
\
\\
\
3-
2-
о
Л
О
1
О
/
/
/
/
/
X
Рис. 36
X
У
0
0
1
2
-1
2
2
8
-2
8
1,5
4,5
-1,5
4,5
Отметим точки (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5),
(-1,5; 4,5) на координатной плоскости (рис. 37, а). Они намечают
некоторую линию, проведем ее (рис. 37, б).
81

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
1
г -
и
о
,5-
id
•
г
х
\
1
1
А
\
О
\4,5
\
/
1
Гъ
/см1
/
/
/
/
1 1
л:
Рис. 37, а Рис. 37, б
Составим таблицу значений для функции у = 0,5jc2:
X
У
0
0
1
0,5
-1
0,5
2
2
-2
2
3
4,5
-3
4,5
Отметим точки (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2),
(3; 4,5), (-3; 4,5) на координатной плоскости (рис. 38, а). Они
намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 38, б).
Сравните рисунки 36, 37, б и 38, б. Не правда ли, проведенные
линии чем-то похожи? Каждую из них называют параболой; при
этом точку (0; 0) называют вершиной параболы; ось у является
осью симметрии параболы. От коэффициента k зависит «скорость
устремления» ветвей параболы вверх, или, как еще говорят, «степень
4
<
И
,5-
о
>
-3 -2 -1°
:
i
>
\ 1
\
\\
x
\
\
\
-
3
4
\
И
,5-
9
О
J
f
1
/
/
i
§
ж
i
f4*
II
X
Рис. 38, a
Рис. 38, б
82

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ±
крутизны» параболы. Это хорошо видно на рисунке 39, где все
три построенные выше параболы расположены в одной
координатной плоскости.
Точно так же обстоит дело с любой функцией вида у - kx2, где
k > 0. Графиком ее является парабола с вершиной в начале
координат, ее ветви направлены вверх, причем тем круче, чем
больше коэффициент k. Ось у является осью симметрии параболы.
Ради краткости математики часто вместо фразы: «Парабола,
служащая графиком функции у - kx2...» говорят: «Парабола
у = kx2...», а вместо термина ось симметрии параболы
употребляют термин ось параболы.
Напомним одно любопытное свойство, которым обладают все
параболы вида у = kx2. Если представить параболу в виде
зеркального экрана и в точке (0; \k) — эту точку называют фо-
\ 4 /
кусом параболы — поместить источник света, то лучи, отражаясь
от параболы-экрана, образуют параллельный пучок света (рис. 40).
Эту идею используют в автомобилях: отражающей поверхности
фары придают параболическую форму, а лампочку помещают в
фокусе — тогда свет от фары распространяется достаточно далеко.
Выясним теперь, как обстоит дело в случае отрицательного
коэффициента k. Построим, для примера, график функции у = -х2
(здесь k = -1). Составим таблицу значений:
X
У
0
0
1
-1
-1
-1
2
-4
-2
-4
3
-9
-3
-9
\ 1
\ и
|\ || \
111
\ 1
ш
\\\
\%
1 1 °
V I
т
1//
/
Ш
1
/
/
h
ш
1
и 1—
Ч\
ft
го'
и
1
X
\
II 1 i
\\
\
\
к
\
\
\
\
\
о
1
У
/
и
i III
/
и
1
А
П\
Л
1 i
X
Рис. 39
Рис. 40
83

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
1
3 -
2-
И
1О
Г1
-4
о
:
г [
4
X
-
3 -
2-
/
/
/
/
/
/
/
f
/
-Л
о
:
s
\
\
1
\«
У
\
л:
Рис. 41, а
Рис. 41, б
Отметим точки (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9),
(-3; -9) на координатной плоскости (рис. 41, а). Они намечают
некоторую линию, проведем ее (рис. 41, б). Это — парабола с
вершиной в точке (0; 0), ось у — ось симметрии параболы, но, в
отличие от случая, когда k > 0, на этот раз ветви параболы направлены
вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных
значений коэффициента k.
Итак, графиком функции у = kx2 (k Ф 0) является парабола
с вершиной в начале координат; ось у является осью параболы;
ее ветви направлены вверх при k > 0 и вниз при k < 0.
Отметим еще, что парабола у = kx2 касается оси х в точке
(0; 0); термин «касается» мы пока будем считать интуитивно
понятным, его смысл в том, что одна ветвь параболы плавно
переходит в другую, как бы прижимаясь к оси х.
Если построить в одной системе координат графики функций
у = х2 и у = —х2, то нетрудно заметить, что построенные
параболы симметричны друг другу относительно оси х (рис. 42).
Точно так же будут симметричны друг другу относительно оси х
параболы у - 2х2 и у = -2х2. Вообще график функции у = -f(x)
симметричен графику функции у = f(x) относительно оси абсцисс.
Свойства функции у = kx2 при k > 0 (рис. 43)
1. Область определения функции. Поскольку для любого
значения х можно по формуле у = kx2 вычислить соответствующее
значение у, функция определена в любой точке х: D(f) = (-°°; +°°).
84

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
\
\
\
/
1
/
У)
s
у
/
/
/«
\
}
V
II
\\
Л
\
X
\
\
i
\
\
V
V
О
У
/J
J
/
и
II
t
X
Рис. 42
Рис. 43
2. у = 0 при д: = 0; у > 0 при х Ф 0.
3. г/ = fot2 — непрерывная функция.
4. г/„аим = 0 (достигается при д: = 0); г/наиб не существует.
5. Функция у = kx2 возрастает при х > 0 и убывает при х < 0.
Докажем это. Рассмотрим функцию у = kx2 на луче [0; +°°).
Пусть 0 < хх < х2. Тогда, согласно свойствам числовых неравенств,
х\ < х\ и kx\ < kx\, т. е. f(xx) < f(x2). Итак, из хх < х2 следует
f(xi) < f(x2)- Таким образом, функция у = х2 возрастает на луче
[0; +оо).
Рассмотрим функцию у = kx2 на луче (-°°; 0]. Возьмем два
неположительных числа хг и х2 таких, что хг < х2. Тогда -хг > -х2.
Так как числа -хх и -х2 неотрицательны, то, возведя в квадрат
обе части последнего неравенства, получим неравенство того же
смысла (-#i)2 > (~*г)2> т- е- х\ > х\ и kx\ > kx\. Это значит, что
f(xi) > f(x2)- Итак, из неравенства хх < х2 следует, что f(xx) > f(x2).
Поэтому функция у = х2 убывает на луче (—°°; 0].
В учебнике «Алгебра-7» процесс перечисления свойств
функции мы называли чтением графика. Те свойства, что перечислены
выше, мы уже обсуждали в 7-м классе для изучавшихся там
функций. Добавим новые свойства.
Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу, если все
значения функции больше некоторого числа. Геометрически это
означает, что график функции расположен выше некоторой прямой,
параллельной оси х.
А теперь посмотрим: график функции у = kx2 расположен
выше, например, прямой у = -1 (или у = -2, это неважно) — она
85

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ±
проведена на рисунке 43. Значит, у = kx2 (k > 0) — ограниченная
снизу функция.
Наряду с функциями, ограниченными снизу, бывают и
функции, ограниченные сверху. Функцию у = f(x) называют
ограниченной сверху, если все значения функции меньше некоторого
числа. Геометрически это означает, что график функции
расположен ниже некоторой прямой, параллельной оси х.
Есть ли такая прямая для параболы у = kx2, где k > 0? Нет,
поскольку для любого М > 0 можно найти такое х, что
выполнится неравенство kx2 > М. Это значит, что функция не является
ограниченной сверху.
Итак, мы получили еще одно свойство, добавим его к тем пяти,
что указаны выше.
6. Функция у = kx2 (k > 0) ограничена снизу и не ограничена
сверху.
7. Область значений функции — луч [0; +°°).
8. Функция выпукла вниз.
Свойства функции у = kx2 при k < 0 (рис. 44)
1. Область определения функции — (-°°; +°°).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при х Ф 0.
3. у - kx2 — непрерывная функция.
4. г/шшб = 0 (достигается при х = 0), г/наим не существует.
5. Функция возрастает при х < 0 и убывает при х > 0.
6. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
Дадим пояснения этому
свойству: есть прямая, параллельная
оси х (например, у = 1, она
проведена на рис. 44), такая, что
вся парабола лежит ниже этой
прямой; это значит, что функция
ограничена сверху. С другой
стороны, нельзя провести
прямую, параллельную оси х так,
чтобы вся парабола была
расположена выше прямой; это
значит, что функция не ограничена
Рис. 44 снизу.
86
1
1
/
щ
'о
ч
\
L \х
у-
\
9
|\
\
= 1
>
X

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
7. Область значений функции — луч (-°°; 0].
8. Функция выпукла вверх.
Использованный выше порядок перечисления свойств
функции не является законом, пока он у нас хронологически сложился
именно таким. Более-менее определенный порядок ходов мы
выработаем постепенно и унифицируем его в старших классах.
Пока лишь отметим, что в дальнейшем свойство ограниченности
функции будет предшествовать отысканию ее наименьшего и
наибольшего значений. Почему? Потому что если функция
ограничена снизу (сверху), то у нее может быть наименьшее
(наибольшее) значение. Если же функция не ограничена снизу (сверху),
то сразу можно сделать вывод о том, что г/наим (соответственно, г/наиб)
не существует.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у = 2х2 на отрезке:
а) [0; 2]; б) [-2; -1]; в) [-1; 1,5].
Решение, а) Построим график функции у = 2х2 и выделим
его часть на отрезке [0; 2] (рис. 45). На этом отрезке функция
возрастает, значит, г/наим = 0 (достигается при х = 0), а г/наиб = 8
(достигается при х = 2).
б) Построим график функции у = 2х2 и выделим его часть на
отрезке [-2; -1] (рис. 46). На этом отрезке функция убывает,
значит, унаим — 2 (достигается при х — -1), а унаиб = 8 (достигается при
х = -2).
1
\
\
\
1
о
\
\
\
о
/
I
1
ем Ё1
с*"
/
7
Ч I
/1
у
/
|
г
\
\
\
\
\
\
\
К
-2-1
-8
1
1
1 е\
/<
- °/
/
о
Рис. 45
Рис. 46
87

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
1
1
\
\
О
\4,5-
\
\
\
\
-1°
1
1
/
/
(1
/1
/ 1
1,5
//
X
Рис. 47
в) Построим график функции
у = 2х2 и выделим его часть на
отрезке [-1; 1,5] (рис. 47).
Замечаем, что г/наим = 0 (достигается при
х = 0), а г/наиб достигается в точке
JC = 1,5; подсчитаем это значение:
/(1,5) = 2 1,52 = 2 2,25 = 4,5.
Итак, г/наиб = 4,5. ■
Пример 2. Решить
уравнение -х2 = 2х - 3.
Решение. В§ 12 мы уже
говорили о том, что для графического
решения уравнения f(x) = g(x) нужно:
1) рассмотреть две функции:
у = f(x) и у = g(x);
2) построить график функции у = f(x);
3) построить график функции у = g(x);
4) найти точки пересечения построенных графиков; абсциссы
этих точек — корни уравнения f(x) — g(x).
Применим этот алгоритм к заданному уравнению.
1) Рассмотрим две функции: у = -х2 и у = 2х - 3.
2) Построим график функции у = -х2 — параболу (рис. 48).
3) Построим график линейной функции у = 2х - 3. Это —
прямая, для ее построения достаточно найти любые две точки графика.
Если х = 0, то у = -3; если х = 1, то у - -1; нашли две точки (0; -3)
и (1; -1). Прямая, проходящая
через эти две точки (график
функции у = 2х - 3), изображена на том
же чертеже (см. рис. 48).
4) По чертежу находим, что
прямая и парабола пересекаются
в двух точках: А(1; -1) и Б(-3; -9).
Следовательно, уравнение имеет
два корня: 1 и -3 — это абсциссы
точек А и В.
Ответ: 1, -3.
-3
/
V
V
вЛ—
f
f
yi
о
I
-9^
1/
/
\
\
\\
\
э
\
\
\
X
Рис. 48
Замечание. Разумеется,
нельзя слепо доверять
графическим иллюстрациям. А может
88

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = \
быть, нам только кажется, что точка пересечения графиков
имеет координаты (1; -1), а на самом деле они другие, например,
(0,98; -1,01)? Поэтому всегда полезно проверить себя. Так, в
рассмотренном примере необходимо убедиться, что точка А(1; -1)
принадлежит параболе у = -х2 (это легко: достаточно подставить
в формулу у = -х2 координаты точки А; получим -1 = -I2 — верное
числовое равенство) и прямой у = 2х — 3 (и это легко: достаточно
подставить в формулу у - 2х - 3 координаты точки А; получим
-1 = 2-3 — верное числовое равенство). То же самое требуется
сделать для точки В. Эта проверка показывает, что в
рассмотренном уравнении предположения, сделанные на основе
графических иллюстраций, привели к верному результату.
Есть и еще одна неприятность: на самом ли деле имеются
только две точки пересечения, как показано на графике? Да, только
две, но обоснование этого факта мы получим позднее, в главе 4,
когда узнаем, что уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0 (квадратное
уравнение) может иметь не более двух корней.
Пример 3. Решить систему уравнений
\у + х2 = 0,
[2х - у - 3 = 0.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы к виду
у = —х2. Графиком этой функции является парабола,
представленная на рисунке 48.
Преобразуем второе уравнение системы к виду у = 2х - 3.
Графиком этой функции является прямая, изображенная на
рисунке 48.
Парабола и прямая пересекаются в точках А(1; -1) и Б(-3; -9).
Координаты этих точек и служат решениями заданной системы
уравнений.
Ответ: (1; -1); (-3; -9).
Пример 4. Дана функция у = f(x), где
-0,5*2, если -4 < х < 0;
/(*) =
х + 1, если 0 < х < 1;
2х\ если 1 < х < 2.
Требуется:
а) вычислить /(-4), /(-2), /(0), /(I), /(1,5), Д2), ДЗ);
89

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
б) построить график функции;
в) с помощью графика перечислить свойства функции.
Решение, а) Значение х = -4 удовлетворяет условию -4 <
< х < 0, поэтому /(-4) надо вычислять по первой строке задания
функции. Имеем f(x) = -0,5х2, следовательно,
/(-4) = -0,5 (-4)2 = -8.
Значение х = -2 удовлетворяет условию -4 < л: < 0, значит,
/(-2) нужно вычислять по первой строке задания функции. Имеем
f(x) = -0,5*2, следовательно, /(-2) = -0,5 • (-2)2 = -2.
Значение х = 0 удовлетворяет условию -4 < х < 0, поэтому
/(0) надо вычислять по первой строке задания функции. Имеем
f(x) = -0,5*2, следовательно, /(0) = -0,5 О2 = 0.
Значение х = -= удовлетворяет условию 0 < х < 1, т. е. /Ш
нужно вычислять по второй строке задания функции. Имеем
f(x) - х + 1, следовательно, /(А) = - + 1 = 1,5.
Значение д: = 1,5 удовлетворяет условию 1 < х < 2, значит,
/(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем
f(x) = 2х2, следовательно, /(1,5) = 2 • 1,52 = 4,5.
Значение х = 2 удовлетворяет условию 1 < х < 2, поэтому
/(2) нужно вычислять по третьей строке задания функции. Имеем
/(*) = 2*2, значит, /(2) = 2 22 = 8.
Значение х = 3 не удовлетворяет ни одному из трех условий
задания функции, значит, в данном случае /(3) вычислить
нельзя, точка х = 3 не принадлежит
области определения функции.
Задание, состоящее в том, чтобы
вычислить /(3), — некорректно.
б) Построение графика
осуществим «по кусочкам». Сначала
построим параболу у = -0,5л:2 и
выделим ее часть на отрезке [-4; 0]
(рис. 49). Затем построим прямую
у - х + 1 и выделим ее часть на
полуинтервале (0; 1] (рис. 50).
Далее построим параболу у - 2х2 и
выделим ее часть на полуинтер-
Рис. 49 вале (1; 2] (рис. 51). Наконец,
-
4
-2
/
/
j
/
/
/
I
щ
ол
о
о
ч
ч
\
V
V-
1
г*
U
\
\
\
X
90

3. И КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ±
все три «кусочка» изобразим в
одной системе координат — это и
будет график функции у = f(x),
(рис. 52).
в) Перечислим свойства
функции у = f(x), или, как мы
условились говорить, прочтем график.
1. Область определения
функции — отрезок [-4; 2].
2. у = О при х = 0; у > 0 при
0 < х < 2; у < 0 при -4 < д: < 0.
3. Функция претерпевает
разрыв при х = 0, а на промежутках р *q
[-4; 0] и (0; 2] она непрерывна.
4. Функция возрастает в своей области определения.
5. Функция ограничена и снизу, и сверху.
6. г/„аим = ~8 (достигается при л: = -4); г/наиб = 8 (достигается при
/
У
о
/
О
/
L
V
А
г х
1
\
У1
Q
\
к
О
,1
/
/
/:
/
/
д
/
1 $
//
г
1
-4
/
/
/
/
/
/
{
щ
о
1 f
/^
-О
1
f
/
/
/
7
/
«I \
I
Рис. 51
Рис. 52
91

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
7. Область значений функции состоит из отрезка [-8; 0] и
полуинтервала (1; 8]. В подобных случаях можно использовать
символ и — знак объединения. Тогда можно сказать, что область
значений функции — объединение двух числовых промежутков:
Eif) = [-8; 0] и (1; 8]. ■
Замечание. График функции, изображенный на рис. 52,
состоит из двух сплошных кусков: один — на отрезке [-4; 0],
другой — на полуинтервале (0; 2]. Значит, функция непрерывна на
отрезке [-4; 0] и на полуинтервале (0; 2]. Но (обратите
внимание!) функция претерпевает разрыв в концевой точке х = 0.
Пример 5. Дана функция у = fix), где fix) = Зх2. Найти /(1),
/(-2), fia), /(2а), /(а + 1), /(-*), fi3x), fix - 1), fix + а), fix) + 5,
fix) + b, fix + a) + b, fix2), fi2x%
Решение. Так как fix) - Зх2, то последовательно получаем:
/(1) = 3 I2 = 3; /(-2) = 3 (-2)2 = 12;
fia) = За2; fi2a) = 3 (2а)2 = 12а2;
fia + 1) = 3(а + I)2; /(-*) = 3 i~x)2 = З*2;
fi3x) = 3 (3jc)2 = 27*2; fix - 1) = 3(* - I)2;
fix + а) = 3(* + a)2; fix) + 5 = З*2 + 5;
fix) + b = Зх2 + b; fix + a) + b = 3(jc + a)2 + b;
fix2) = 3 ix2)2 = 3x4; fi2x3) = 3 (2jc3)2 = 12x6. ■
§ 18. ФУНКЦИЯ у = £,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
1. Функция у = -
В этом параграфе мы познакомимся с новой функцией —
функцией у = — • Коэффициент k может принимать любые
значения, кроме k = 0. Рассмотрим сначала случай, когда k = 1; таким
образом, сначала речь пойдет о функции у = —.
Чтобы построить график функции г/ = — > поступим так же,
как в предыдущем параграфе: дадим независимой переменной х
92

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
несколько конкретных значений и вычислим (по формуле у - —)
соответствующие значения зависимой переменной у. Правда, на
этот раз удобнее проводить вычисления и построения
постепенно, сначала придавая аргументу только положительные значения,
а затем — только отрицательные.
Первый этап. Если х = 1, то у = 1 (напомним, что мы
пользуемся формулой у = —);
если х = 2, то у = |;
если х = т>, то у = 2;
если х = 4, то у = -т\
если х = -г, то у = 4.
Таким
X
У
образом,
1
1
мы составили
2
1
2
следующую
4
1
4
таблицу:
1
2
2
1
4
4
Построим найденные точки (1; 1), |2;-Ц, (4;^), (в; |j, (|; 2J,
fi; 4j, (i; 8J на координатной плоскости xOz/ (рис. 53, а). Эти
точки намечают некоторую линию, начертим ее (рис. 53, б).
Второй этап.
если х = -1, то у = -1;
если х = -2, то у = —=;
если х = —я, то г/ = -2;
если х = -4, то г/ = ~j;
если х = —г, то у = -4.
93

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
-4-
4
-9-
Z
-1 -
1
О
J
>
4
uO—
z ■
-1 -
1
О
1
1
1
\
\
\
:
4
\
^^
Рис. 53, а Рис. 53, б
Таким образом, мы составили следующую таблицу:
X
У
-1
-1
-2
1
2
-4
1
4
1
2
IND
1
4
-4
Построим найденные точки (-1; -1), (-2; —|), (-4; ~),
(-8; ~j, (-■|; -2), I—1; -4j, f-|; -8j на координатной
плоскости д:Ог/ (рис. 54, а). Эти точки намечают некоторую линию,
начертим ее (рис. 54, б).
-
i
4
-2
-1
О
7
-
4
■«
^^
-2
-1
s
и
ч
\
\
\
I
1
1
о
]
1
_—1
X
[
>—
Рис. 54, а
Рис. 54, б
94

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
Теперь объединим два этапа в один, т. е. из двух рисунков
(53, б и 54, б) сделаем один. Получим (рис. 55) график функции
1 ^
у = — у его называют гиперболой.
Попытаемся по чертежу описать геометрические свойства
гиперболы.
Во-первых, видим, что гипербола состоит из двух частей —
их обычно называют ветвями гиперболы.
Во-вторых, замечаем, что гипербола обладает симметрией.
Любая прямая, проходящая через начало координат и
расположенная в первом и третьем координатных углах, пересекает
гиперболу в двух точках, которые лежат на этой прямой по разные
стороны от точки О, но на равных расстояниях от нее (рис. 56).
Доказать симметричность гиперболы относительно начала
координат нетрудно. Пусть а > 0; возьмем на правой ветви
гиперболы точку (а; —). Если в уравнение у = — подставить значение
х = -а, получим у = —, т. е. точка
-а; -—] принадлежит
а/
гиперболе, точнее, ее левой ветви. Но точки (а; —\ и (-а; ~]
симметричны относительно начала координат. Итак, О — центр
симметрии гиперболы.
В-третьих, замечаем, что каждая ветвь гиперболы в одном
направлении подходит все ближе и ближе к оси абсцисс (правая —
к положительному лучу оси х, левая — к отрицательному), а в
=
Уй
-1-
1
-1
\
\
1
1
V
о
■^
X
5=
•>
Уй
\
\
\
\
***
X
Рис. 55
Рис. 56

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = \
\
шшт
/
/
N
/
/
и
«V-
z
1 _
1.
2
/°
\
\
\
1
1
Л
X
<<
М 1
2\
\
/
к
2
\
\
/
X
\
другом направлении — к оси
ординат. В подобных случаях
соответствующие прямые называют
асимптотами. Значит, график
функции у = — у т. е. гипербола, имеет
две асимптоты: ось х и ось у.
Если внимательно
проанализировать построенный график, то
можно обнаружить еще одно
геометрическое свойство, не такое
очевидное, как три предыдущих
(математики обычно говорят так:
более тонкое свойство). У гипер-
р к- болы имеется не только центр
симметрии, но и оси симметрии.
В самом деле, построим прямую у - х (рис. 57). А теперь
посмотрим: точки (2; i) и (i; 2) расположены по разные стороны
от проведенной прямой, но на равных расстояниях от нее, они
симметричны относительно этой прямой. То же можно сказать
о точках |4; \) и \\; 4|, (8; тИ и (i; 8| и вообще о точках (а; -)
\ 4/ \4 / \ 8/ \8 / \ а)
и (—; а], где, конечно, а Ф 0. Следовательно, прямая у = х — ось
симметрии гиперболы у = — -
Заметим, что у гиперболы у = — есть еще одна ось симметрии —
прямая у - -х (см. рис. 57).
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции у =
1.
а) на отрезке -; 4 ; б) на отрезке [-8; -1].
Решение, а) Построим график функции у = — и выделим
ту его часть, которая соответствует значениям переменной х

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ±
о
-1-
1
1
4 "
О
А I
I
I
1
д
[\
1
—I—
ч
1 1
2
■ ■
?
4*
-
8
ES
ВВ
ВВ
BS
S3
У>
1
Ч8
\
\
о
л:
Рис. 58
Рис. 59
из отрезка -|; 4 (рис. 58). Для выделенной части графика
находим:
Унаим = т (при х = 4); г/наиб = 2 (при л; = \).
б) Построим график функции у = — и выделим ту его часть,
которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-8; -1]
(рис. 59). Для выделенной части графика находим:
Уна™ = "I (при х = -1); унаиб = -g (при х = -8). ■
2. Функция у = -
В предыдущем пункте мы рассмотрели функцию у = — для
случая, когда k = 1. Пусть теперь & — положительное число, от-
2
личное от 1, например k = 2. Рассмотрим функцию у = — и
составим таблицу значений этой функции:
X
У
1
2
2
1
-1
-2
-2
-1
4
1
2
1
2
4
-4
1
2
1
2
-4
4 Алгебра. 8 кл.: учебник
97

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
-4
<
-2-
Vi
л
0
1
О
.а
2
■ 4
1
X
4
-
9.
1
2-1
N
О
\
\
I
\
1 2
1 2
1 4
г
*
Рис. 60, а Рис. 60, б
Отметим точки (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1), (4; I), (±; 4J,
(-4; -— I, (-•«; —41 на координатной плоскости (рис. 60, а). Они
намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведем
ее (рис. 60, б). Как и график функции у = —, эту линию называют
гиперболой.
Рассмотрим теперь случай, когда k < 0; пусть, например, задана
k 1
функция у = — > где k = -1. Построим график функции у = —.
В предыдущем параграфе мы
отметили, что график функции
у = ~f(x) симметричен графику
функции у = f(x) относительно оси х.
Это значит, в частности, что
график функции у = —
симметричен графику функции у = —
относительно оси абсцисс (рис. 61).
Получили гиперболу с ветвями во
втором и четвертом координатных
углах. Вообще графиком
функ—■
7
1
/
\
\
о
/
/
Рис. 61
ции у = — (fe
0) является
98

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
V
ш
к-
1
О
ч
\
\
1
\
\
-**
1
1
о
г
***
Рис. 62
И I
\
/
/
1
X
о
:
L
\/
Г
Рис. 63
гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем
координатных углах, если k > 0 (рис. 62), и во втором
и четвертом координатных углах, если k < 0 (рис. 63). Точка
(0; 0) — центр симметрии гиперболы, оси координат —
асимптоты гиперболы, прямые у = х, у = —х — оси симметрии
гиперболы.
Свойства функции у = — при k > 0 (рис. 62)
1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме
х = 0. Используя знак U — знак объединения множеств, можем
записать так: D(f) = (-оо; 0) U (0; +оо).
2. у > 0 при х > 0; у < 0 при х < 0.
3. Функция убывает и на промежутке (—°°; 0), и на
промежутке (0; +оо).
Докажем это. Рассмотрим функцию у = — на промежутке
(0; +оо). Пусть хх < х2. Так как хх и д:2 — положительные числа,
то из jtj < х2 следует — > — (см. пример 1 из § 11), и далее,
Х1 Х2
k k
поскольку k > 0, — > —> т. е. f(xx) > f(x2).
xl X2
Итак, из неравенства хх < х2 следует, что f(xx) > f(x2). Это
значит, что функция убывает на открытом луче (0; +оо).

3. [I КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ^
к
Рассмотрим функцию у = — на промежутке (-°°; 0). Пусть
хх < х2, хх и х2 — отрицательные числа. Тогда -хг > -х2, причем
обе части последнего неравенства — положительные числа, поэтому
1 1 ,
~ < ZJ" (мы снова воспользовались неравенством, доказанным
о ..v тх -1 -1. 1 1 . к к
в примере 1 из § 11). Далее имеем: ~ < ~> ~ > ~> ~ > ~-
Итак, из неравенства хх < х2 следует, что f(xx) > f(x2)9 т. е.
функция у - — убывает на открытом луче (-°°; 0).
Обратите внимание: нельзя говорить о том, что функция
убывает во всей своей области определения.
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
В самом деле, предположим, что функция у — — ограничена
сверху, т. е. все значения фукнции меньше некоторого числа М
(можно считать, что М > 0). Возьмем на открытом луче (0; +°°)
к к к
точку х0 = м + 1- Тогда f(x0) = — = k : jf—[ = М + 1 > М. Мы
нашли точку, в которой значение фукнции больше М. Получим
противоречие, значит, функция не ограничена сверху.
Аналогично можно доказать, что функция не ограничена снизу.
5. Ни наибольшего, ни наименьшего значений у функции нет.
Это сразу следует из ее неограниченности.
6. Функция непрерывна на промежутках (—°°; 0) и (0; +°°)
и претерпевает разрыв в точке х = 0.
7. Область значений функции — объединение двух открытых
лучей: E(f) = (-оо; 0) U (0; +оо).
Свойства функции у = — при k < 0 (рис. 63)
1. D(f) = (-оо; 0) U (0; +оо).
2. у > 0 при х < 0; у < 0 при х > 0.
3. Функция возрастает и на промежутке (-°°; 0), и на
промежутке (0; +°°) (но не во всей области определения).
100

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
s
\
л
1
о
)
1 1
м
L
к*
\
ч
4 *
X
\
4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
5. Ни наибольшего, ни наименьшего значений у функции нет.
6. Функция непрерывна на промежутках (-°°; 0) и (0; +°°) и
претерпевает разрыв в точке х = 0.
7. Область значений функции — объединение двух открытых
лучей: E(f) = (-оо; 0) U (0; +оо).
Пример 2. Решить уравне-
4
ние — = 5 - х.
Решение. 1) Рассмотрим две
4
функции: у =- и у = 5 - х.
2) Построим график функции
4
у = — — гиперболу (рис. 64).
3) Построим график линейной
функции у = 5 - х. Это — прямая,
ее можно построить по двум
точкам (0; 5) и (5; 0). Прямая изоб- рис §±
ражена на том же рисунке 64.
4) По чертежу устанавливаем, что гипербола и прямая
пересекаются в точках А(1; 4) и Б(4; 1). Проверка показывает, что
это на самом деле так. Значит, заданное уравнение имеет два
корня: 1 и 4 — это абсциссы точек А и Б.
Ответ: 1; 4.
Пример 3. Построить и
прочитать график функции у = f(x),
где
\-х2, если -2 < х < 1;
-—, если х > 1.
I х
Решение. Построим параболу
у = —х2 и выделим ее часть на
отрезке [-2; 1] (рис. 65). Затем
построим гиперболу у = -— и
выделим ее часть на открытом луче
(1; +°°) (рис. 66). Наконец, оба Рис. 65
е
— /
-
2-
1
/
!7
»/
/
Vi
<■
4
:
\
\
\
\
\
\
X
101

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
)
о
/
/
X
-2
/
/
T
О
4
л:
Рис. 66
Рис. 67
«кусочка» изобразим в одной системе координат — это и будет
график функции у = f(x) (рис. 67).
Перечислим свойства функции у = f(x) (прочитаем график).
1. D(f) = [-2; +оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при -2 < jc < 0 и при jc > 0.
3. Функция возрастает на отрезке [-2; 0], убывает на отрезке
[0; 1], возрастает на луче [1; +°°).
4. Функция ограничена и снизу, и сверху.
5. Унаим = ~4 (достигается при jc = -2); уНй]лб = 0 (достигается при
* = 0).
6. Функция непрерывна в заданной области определения.
7. Область значений функции — отрезок [-4; 0]; т. е. E(f) =
= [-4; 0].
На графике рассматриваемой функции (см. рис. 67) есть две
точки, обладающие особыми свойствами, — это точки (0; 0)
и (1; -1). В точке х = 0 заданная функция принимает значение 0,
которое больше всех значений функции вообще и, в частности, в
достаточно близких к х = 0 точках. Словосочетание в
достаточно близких точках означает, что можно указать интервал
с центром в точке х = 0, в котором все значения функции (кроме
значения в самой точке х = 0) меньше 0. Такой интервал обычно
называют окрестностью точки х = 0. Та же картина с точкой
х = 1. В точке х = 1 заданная функция принимает значение —1,
которое меньше всех значений функции в достаточно близких
102

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
к х = 1 точках. Иными словами, можно указать интервал с
центром в точке х = 1 (окрестность точки х = 1), в котором все
значения функции (кроме значения в самой точке х = 1) больше
-1. В подобных случаях математики говорят так: х = О — точка
максимума функции у = f(x), х = 1 — точка минимума функции
у = f(x), — и пишут: утах = О, у^п = -1. Точки минимума и
максимума объединяют общим названием: точки экстремума (от лат.
extremum — крайний).
Обратите внимание: унаиб и утйх9 а также унемм и у^п могут быть
равны, но могут быть и не равны. Так, для рассмотренной в
примере 3 функции ymin = -1, а ун&км = -4, т. е. у^п Ф унаим. В то же
время утйх = 0 и унйИб = 0, т. е. утйх = унаиб.
Итак, мы можем отметить еще одно свойство функции,
рассмотренной в примере 3.
8. Функция имеет две точки экстремума: х = 0 — точка
максимума, причем Умы = 0; х = 1 — точка минимума, причем у^ = -1. ■
Пример 4. Построить и прочитать график функции у = f(x),
где
f(x) = <
2л:2, если х < 0;
V#, если 0 < x < 4;
о
—, если х > 4.
Решение. 1) Построим график функции у = 2х2 и возьмем
ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 68).
2) Построим график функции
у = у[х и выделим его часть на
отрезке [0; 4] (рис. 69).
g
3) Построим гиперболу у = —
и выделим ее часть на открытом
луче (4; +°°) (рис. 70; здесь
уменьшен масштаб).
4) Все три «кусочка»
изобразим в одной системе координат —
это и есть график функции у = f(x)
(рис. 71).
Перечислим свойства функции
У = fix).
1. D(f) = ("ОС; +ОО). РИС. 68
1
\
\
\
1 О
1
^
-1
/
/
/
1
/
о
103

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
Рис. 69
Рис. 71
Vi
2-
О
i
*—-
•—-
X
8-
A
о
z
о
\
\
\
\
(
■у
л:
\
\
-
г2-
О
Рис. 70
2. у = 0 при л: = 0; у > 0 при
х *0.
3. Функция убывает на луче
(-оо; 0], возрастает на отрезке
[0; 4], убывает на луче [4; +°°).
4. Функция ограничена снизу,
но не ограничена сверху.
5- Унаим = 0 (достигается при
* = 0); Унаиб не существует.
6. Функция непрерывна.
7. £(/) = [0; +оо).
8. х = 0 — точка минимума,
Уттп = 0; л: = 4 — точка максимума,
Ушах = 2. ■
Пример 5. Доказать, что функция у = f(x), где f(x) = — >
удовлетворяет соотношению (функциональному уравнению)
f(x - 3) - /(* + 2) = 2,5Я* - 3) • f(x + 2).
Решение. Имеем fix - 3) =
X —
, /(* + 2) =
Следовательно,
/(х - 3) -
+ 2) =
л:- 3
х + 2
2(* + 2)- 2(* - 3)
(jc - 3)(jc + 2)
10
104

3.
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
С другой стороны,
10
Итак,
10
10
2,5/(* - 3) /(х + 2) =
Значит, f(x - 3) - /(* + 2) = 2,5/(* - 3) • f(x + 2), что и
требовалось доказать. ■
§ 19. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ
у = f{x + I) + m, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН
ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f{x)
Построим в одной системе координат графики функций
у = х2 и у = (х + З)2. Графиком первой функции является парабола
(пунктирная линия на рис. 72). Для функции у = (х + З)2
составим таблицу значений:
X
У
-3
0
-2
1
-4
1
-5
4
-1
4
-6
9
0
9
Отметив точки (-3; 0), (-2; 1),
(-4; 1), (-5; 4), (-1; 4), (-6; 9),
(0; 9) на координатной плоскости
и соединив их плавной кривой,
получим параболу (сплошная
линия на рис. 72). Обратите
внимание — это та же парабола, что и
у = х2, но только сдвинутая вдоль
оси л: на 3 единицы масштаба
влево. Вершина параболы теперь
находится в точке (-3; 0), а не в
точке (0; 0), как для параболы у = х2.
Осью симметрии служит прямая
х = -3, а не х = 0, как это было в
случае параболы у = х2.
1
IT
иг
\
\
\
\
\
1
CO
и
X
-6-5-4-
L_
\
\
-+-
\
\
~У
of
I
Щ
4
7i
/
К
3-2-1
-
/
О
i
- II J-
1
/
t
1
1
X
Рис. 72
105

3.
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
\
v
\
\
1
1
\
\
1
\
\
1
\
\
\
\
О
(М
и
н
1
L
Г
/
!
2
'\-
и
/
/
/
/
4 5
X
ем
//
1
У
1
V /
/
1
ш
о
1
'—2'
-8-
ч
\
х
СМ
*->
Li
й
7
\\
1
f
1
1\\
4
/
{
\
\
\
\
..
и
\
X
\
1
\
1
\
Рис. 73
Рис. 74
Если же построить в одной системе координат графики
функций у = х2 и у = (х - 2)2, то заметим (рис. 73), что второй график
получается из первого сдвигом (или, как еще говорят, параллельным
переносом) вдоль оси х на 2 единицы масштаба вправо.
Точно так же обстоит дело и с графиками других функций.
Например, график функции у = -2(х - 4)2 — парабола, которая
получается из параболы у = -2х2 сдвигом (параллельным
переносом) вдоль оси х на 4 единицы масштаба вправо (рис. 74).
Вообще справедливо следующее утверждение: чтобы
построить график функции у = f(x + I), где I — заданное положительное
число, нужно осуществить параллельный перенос графика
функции у = f(x) вдоль оси х на I единиц масштаба влево; чтобы
построить график функции у = f(x — I), где I — заданное
положительное число, надо осуществить параллельный перенос графика
функции у = f(x) вдоль оси х на I единиц масштаба вправо.
о
Пример 1. Построить график функции у = ^.
X ~г О
о
Решение. Построив гиперболу у = — и сдвинув ее вдоль
оси х влево на 5 единиц, получим требуемый график (рис. 75).
о
Обратите внимание, что для гиперболы у = — асимптотой
х з
служила ось у (прямая х = 0), а для гиперболы у =
тотой служит прямая х = -5, т. е. асимптота (вместе с графиком)
сдвинулась влево на 5 единиц. ■
X ~г
асимп-
106

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
8
/
/
/
У
'1
-о
ю
1
II
• """
/
/
/
/
/
\
\
1
1
'о
О^
1 _
Q
-3
о
f
/
у
■4
Рис. 75
По сути дела, речь шла о построении графика функции
У = fix + О,
где Z — любое число, как положительное, так и отрицательное. Вы,
наверное, заметили, что сдвиг графика осуществлялся на самом деле
на |{| единиц, а направление сдвига как раз и определялось знаком
числа /: при I > 0 сдвиг осуществлялся влево, а при / < 0 — вправо.
Построим теперь в одной системе координат графики функций
у = у? (пунктирная линия на рис. 76) и у - х2 + 4. Составим таблицу
значений для функции у = х2 + 4:
О
-1
Отметив точки (0; 4), (1; 5),
(-1; 5), (2; 8), (-2; 8) на
координатной плоскости и соединив их
плавной кривой, получим
параболу (сплошная линия на рис. 76).
Обратите внимание — это та же
парабола, что и у = х2, она
получена из параболы у = х2 сдвигом
вдоль оси у на 4 единицы
масштаба вверх. Вершина параболы
теперь находится в точке (0; 4), а
не в точке (0; 0), как для параболы
у = х2. Осью симметрии
по-прежнему служит прямая х = 0, как это
было и в случае параболы у = х2.
Рис. 76
107

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
\l
V
Vl
I»
V
IV
\\
\
ч
-2
о
1/7
1
/1
1-
,7
f/
/
*1
/1
г ?
11
1
1
1
\\
\\\
\о
\
К
-3
с
/
/1
/<
/1
'/
/
//
/
/
/
л:
Рис. 77
Рис. 78
Если же построить в одной системе координат графики
функций у = х2иу = х2-2 (рис. 77), то заметим, что второй график
получается из первого сдвигом (параллельным переносом) вдоль
оси у на 2 единицы масштаба вниз.
Точно так же обстоит дело и с графиками других функций.
Например, график функции у = 2х2 - 3 — парабола, которая получается из
параболы у = 2х? сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси у на 3
единицы масштаба вниз (рис. 78).
Вообще справедливо следующее утверждение: чтобы
построить график функции у = f(x) + т, где т — заданное
положительное число, надо осуществить параллельный перенос
графика функции у = f(x) вдоль оси у на т единиц масштаба
вверх; чтобы построить график функции у = f(x) — т, где т —
заданное положительное число, нужно осуществить
параллельный перенос графика функции у = f(x) вдоль оси у на т
единиц масштаба вниз.
Пример 2. Построить график функции у = -2х2 + 5.
Решение. Построив параболу у = -2х2 и сдвинув ее вдоль
оси у вверх на 5 единиц, получим график функции у = -2х2 + 5
(рис. 79). ■
108

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ±
+
I
5
/
/о.
1 О
/
/
/
[
/
/
t
t
t
II
\
\
\
о
\
\
\
\
\
\
\ 1
Л
\\\
X
ч
ч
ч
Л
и
о
V,
V
1
V
-2
s
***
X
Рис. 79
Рис. 80
Пример 3. Построить график функции у = — - 2.
Решение. Построив гиперболу у = — и сдвинув ее вдоль оси i/
о
вниз на 2 единицы, получим график функции у = — - 2 (рис. 80).
Обратите внимание, что и горизонтальная асимптота гипер-
Q
болы сдвинулась на 2 единицы вниз: для гиперболы у = — асимп-
Q
тотой служила ось х (прямая у = 0), а для гиперболы у = — - 2
асимптотой служит прямая i/ = -2. ■
По сути дела, речь шла о построении графика функции у =
= f(x) + т, где т — любое число, как положительное, так и
отрицательное. Вы, наверное, заметили, что, думая, на сколько
единиц масштаба надо сдвинуть вдоль оси у график функции у = f(x),
мы не обращали внимание на знак числа т; сдвиг графика
осуществлялся на самом деле на \т\ единиц. А вот направление
сдвига как раз и определялось знаком числа т: при т > 0 сдвиг
осуществлялся вверх, а при т < 0 — вниз.
2
Пример 4. Решить уравнение — = х2 + 1.
о
Решение. 1) Рассмотрим две функции: у = — и у = х2 + 1.
2
2) Построим график функции у = — — гиперболу (рис. 81).
109

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
^ 1
N 1
N
$~
о
\
\
1
1 /
1 /
\/
1
л
X
*****
■■ ■■
л:
Рис. 81
3) Построим график функции
у = х2 + 1. Это — парабола, она
изображена на том же рисунке 81.
4) По чертежу устанавливаем,
что гипербола и парабола
пересекаются в точке А(1; 2). Проверка
показывает, что на самом деле
точка А(1; 2) принадлежит и тому и
другому графику. Значит,
уравнение имеет единственный корень
х = 1.
Ответ: 1.
Пример 5. Построить и
прочитать график функции у = f(x),
где
„ \{х + 2)2, если -4 <
[4 - х , если л: > 0.
0;
Решение. Сначала построим параболу у = (х + 2)2 и выделим
ее часть на отрезке [-4; 0] (рис. 82). Затем построим параболу
у = 4 - х2 и выделим ее часть на открытом луче (0; +°°) (рис. 83).
Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат —
это и будет график функции у = f(x) (рис. 84).
Перечислим свойства функции у = f(x), т. е. прочитаем
график.
\
\
\
\
\
\
\
-4
-2
Ал
/
/
Л
/\
о
л:
/
1/
/
"2/
1/
/
/
Vi
4,
Л
О
\
V
\
\
2|
\
\
\
X
Рис. 82
Рис. 83
110

3.
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
1
t
-4
-
2
Ук
A-t
/
О
\
\
\
\
I
1
X
Рис. 84
1. Область определения
функции: D(f) = [-4; +оо).
2. у = О при л: = -2 и при л: = 2;
z/ > 0 при -4 < л: < -2 и при
-2 < х < 2; у <0 при х > 2.
3. Функция убывает на отрезке
[-4; -2], возрастает на отрезке
[-2; 0], убывает на луче [0; +°°).
4. Функция ограничена сверху,
но не ограничена снизу.
5. г/„аим не существует; уНйИб = 4
(достигается при х = -4 и при
6. Функция непрерывна в
заданной области определения.
7. Область значений функции — луч (-°°; 4]; это хорошо видно
по графику, если спроецировать его на ось у: E(f) = (-°°; 4].
8. х = -2 — точка минимума, причем ymin = 0; х = 0 — точка
максимума, причем утах = 4. ■
Пример 6. Построить график функции у = (х - 2)2 - 3.
Решение. Осуществим построение по этапам.
Первый этап. Построим график функции у = х2 (пунктирная
линия на рис. 85).
Второй этап. Сдвинув параболу
у = х2 на 2 единицы вправо,
получим график функции у = (х - 2f
(тонкая линия на рис. 85).
Третий этап. Сдвинув параболу
у-(х- 2)2 на 3 единицы вниз,
получим график функции у = (х - 2)2 - 3
(жирная линия на рис. 85). ■
Замечание. Математику,
который привык быть экономным
в своих действиях, такое решение
не очень понравится, хотя оно
абсолютно правильное. Он спросит:
«Зачем мне строить три графика, Рис. 85
111
\
1
1
\
\
\
—
\У>
\\
\\
\
\
\
\
2
\\
\\
о V
\
{
i
\
\
i
ч
1
1
А/
и
Л
/
/
п
\г
*
11

3
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
о
со.
II
2
X
1 ^
\
1
\
\
1 1
1 "X
о\
-3
\
2
/
/
/
/
у
/
X
Рис. 86
Рис. 87
когда я могу обойтись построением только одного графика? Ведь
фактически графиком функции у = (х - 2)2 - 3 является та же
парабола, что служила графиком функции у = х2, только вершина
параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).
Поэтому, — продолжит математик, — я сделаю так: перейду к
вспомогательной системе координат с началом в точке (2; -3). Для
этого построю (пунктиром) прямые х = 2 и у = -3 (рис. 86). В этой
вспомогательной системе координат воспользуюсь шаблоном
параболы у = х2, то есть „привяжу" график функции у = х2 к новой
системе координат и в итоге получу требуемый график (рис. 87)».
Попробуем воспользоваться советом математика при решении
следующего примера.
Пример 7. Построить график функции у = -2(х + З)2 + 1.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе
координат с началом в точке (-3; 1) (пунктирные прямые х = -3, у = 1
на рис. 88).
2) «Привяжем» функцию у = -2х2 к новой системе координат.
Как это сделать? Можно так. Выберем контрольные точки
для графика функции у = -2х2: (0; 0), (1; -2), (-1; -2), (2; -8),
(-2; -8), — но строить их будем не в старой, а в новой системе
координат (эти точки отмечены на рис. 88). Затем через
полученные точки проведем параболу — это и будет требуемый график
(рис. 89). ■
112

3.
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
-3
со
I
и
X
Vi
1
О
1/ = 1
X
/
/
/
/1 ■
а*
/
/
/
г
I1
к
\
1
\
\
\
Уь
1
о
1
1
Рис. 88
Рис. 89
Итак, мы получили два алгоритма построения графика
функции у = f(x + I) + т.
Алгоритм 1
1. Построить график функции у - f(x).
2. Осуществить параллельный перенос графика функции
у = f(x) вдоль оси х на \1\ единиц масштаба влево, если I > О,
и вправо, если I < 0.
3. Осуществить параллельный перенос полученного на
втором шаге графика вдоль оси у на \т\ единиц масштаба
вверх, если т > 0, и вниз, если т < 0.
Алгоритм 2
1. Перейти к новой системе координат, проведя
(пунктиром) вспомогательные прямые х = -I, у = т (т. е. выбрав
началом новой системы точку (-Z; т)).
2. «Привязать» график функции у = f(x) к новой
системе координат.
На практике пользуйтесь тем алгоритмом, который вам
больше нравится.
113

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ±
о
-2
1
1-Й
II
Н
1
л
1
X
0
Vi
1 __
о
-Iй
-2
1
1-Й
II
Н
У =
у*
**
с - 1 -
-2
^—■
1
л:
0
Рис. 90, а
Рис. 90, б
Пример 8. Построить график функции у = Jx-1 - 2.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе
координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = -2
на рис. 90, а).
2) Привяжем функцию у = yjx к новой системе координат.
Для этого выберем контрольные точки для функции у = у[х ,
например (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), но строить их будем не в старой,
а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 90, а).
Построим ветвь параболы, проходящую через выбранные точки, —
это и есть требуемый график (рис. 90, б). ■
Пример 9. Построить график функции у = х2 - 4х + 5.
Решение. Вы, наверное, подумали, какое отношение имеет
этот пример к тем преобразованиям графиков, которые мы
обсуждаем? Оказывается, самое прямое. Чтобы в этом убедиться,
применим к квадратному трехчлену х2 - 4х + 5 метод выделения
полного квадрата (он знаком вам из курса алгебры 7-го класса).
Имеем:
х2 - 4х + 5 = (х2 - 4х + 4) + 1 = (х - 2)2 + 1.
Для построения графика функции у = (х - 2)2 + 1 перейдем к
новой системе координат с началом в точке (2; 1) (пунктирные
прямые х = 2 и у = 1 ка. рис. 91). «Привяжем» функцию у = х2
к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки
для функции у = х2: (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (-2; 4), -
114

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
1
о
(М
и
X
2
У=1
л:
\
\
\
\
1
о
2
/
/
/
fj
//
л:
Рис. 91
Рис. 92
но строить их будем не в старой, а в новой системе координат
(эти точки отмечены на рис. 91). По этим точкам построим
параболу — это и будет требуемый график (рис. 92). ■
§ 20. ФУНКЦИЯ у = ах2 + Ьх + с,
ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Функцию у = ах2 + Ьх + с, где а, Ь, с — произвольные
числа, но а Ф 0, называют квадратичной (это название можно
объяснить тем, что старший член данного трехчлена ах2 + Ьх + с
содержит л:2).
Опираясь на результаты, полученные выше, мы сможем
построить график любой квадратичной функции. Один такой
график построен в конце предыдущего параграфа. Рассмотрим еще
один пример.
Пример 1. Построить график функции у = -Зх2 - 6х + 1.
Решение. Выполним некоторые преобразования квадратного
трехчлена -Зх2 - 6х + 1, конкретнее — выделим полный квадрат.
Имеем:
-Зх2 - 6х + 1 = -3(х2 + 2х) + 1 = -3((х2 + 2х + 1) - 1) + 1 =
= -3(х + I)2 + 3 + 1 = -3(* + I)2 + 4.
Для построения графика функции у = -3(х + I)2 + 4 перейдем
к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 4)
115

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
-1
4
1,
О
1—i
1
и
н
«/ = 4
X
т
1
1/
/
/
/
/
/
;/
г
/
1
1
-1
Ук
\\
\
°\
\
\
I
1
1
Рис. 93, а
Рис. 93, б
(пунктирные прямые х = -1 и i/ = 4 на рис. 93, а). «Привяжем»
функцию у = -Зх2 к новой системе координат. Для этого выберем
контрольные точки для функции у = -Зх2: (0; 0), (1; -3), (-1; -3),
(2; -12), (-2; -12), — но строить их будем не в старой, а в новой
системе координат (эти точки отмечены на рис. 93, а). По этим
точкам построим параболу — это и будет требуемый график
(рис. 93, б). ■
Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы
преобразовали квадратный трехчлен к виду а(х + I)2 + m и использовали
алгоритм 2 из § 19 (заметим в скобках, что с равным успехом мы
могли бы использовать и алгоритм 1). Оказалось, что графиком
функции у = -Зх2 - 6х + 1 является парабола, которая получается из
параболы у = -Зх2 параллельным переносом. А в конце предыдущего
параграфа мы видели, что графиком функции у = х2 - 4х + 5 тоже
является парабола; она получается параллельным переносом
параболы у = х2. На самом деле график любой квадратичной
функции у = ах2 + Ьх + с можно получить параллельным переносом из
параболы у = ах2, причем для доказательства этого факта используется
та же идея — выделение полного квадрата.
Теорема. Графиком квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с
является парабола, которая получается из параболы у = ах2
параллельным переносом.
116

3. II КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
Доказательство. Воспользуемся методом выделения
полного квадрата. Имеем
ах2 + Ьх + с = (ах2 + Ьх) + с = а(х2 + |*) + с =
' 4ас - Ь2
4а
Итак, нам удалось преобразовать трехчлен ах2 + Ьх + с к виду
+ Z) + am, где I = т^~> /и = —z •
2а 4а
Чтобы построить график функции у = а(х + I)2 + т, нужно
выполнить параллельный перенос параболы у = ах2 так, чтобы
вершина параболы оказалась в точке (-Z; т) (рис. 94). Теорема
доказана.
Обратите внимание на следующее важное обстоятельство:
из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы
у = ах2 + Ьх + с служит точка (-Z; т), где I = -^-, т =
4ас - Ь2
4а
Осью параболы служит прямая х = -Z, т. е. х = —~-.
Итак, осью параболы у = ах2 + Ьх + с служит прямая х = ~~^->
абсцисса х0 вершины параболы вычисляется по формуле
1
1
1
1
1
\
\
\
У1
т
\
\
О
/
V»
// 1
1
/
1
1
\
\
\
Т
-ll
i
i
х -
\
0
о^
л:
Рис. 94
117

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
Формулу для ординаты вершины параболы не надо
запоминать (речь идет о формуле у0 = т, т. е. у0 = —^р—). Во-первых,
она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса х0,
то ординату у0 всегда можно вычислить по формуле у0 = f(x0), где
f{x) = ах2 + Ъх + с.
Пример 2. Не выполняя построения графика функции
у = -Зх2 - 6х + 1, ответить на следующие вопросы.
а) Какая прямая служит осью симметрии параболы?
б) Каковы координаты вершины параболы?
в) Куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы?
Решение, а) Здесь а = -3, Ь = -6. Уравнение оси параболы:
х = —^, т. е. х = -1.
б) Абсцисса х0 вершины параболы нам уже известна: х0 = -1.
Ординату у0 найдем по формуле у0 = f(x0), где f(x) = -Зх2 - 6х + 1.
Имеем
Уо = Л*о) = Я-1) = -3(-1)2 - 6(-1) +1=4.
Итак, вершиной параболы служит точка (-1; 4).
в) Парабола у = -Зх2 - 6х + 1 получается параллельным
переносом параболы у = -Зх2. Ветви параболы у = -Зх2 направлены
вниз (поскольку коэффициент при х2 отрицателен),
следовательно, и у параболы у = -Зх2 - 6х + 1 ветви направлены вниз. ■
Для любой функции вида у = ах2 + Ьх + с можно ответить на
поставленные в примере 2 вопросы, не строя параболу — график
функции. Проще ответить на вопрос, куда направлены ветви
параболы:
ветви параболы у = ах2 + Ьх + с направлены вверх, если
а > О, и вниз, если а < О.
Несколько сложнее найти уравнение оси параболы х = -«-
(приходится немного посчитать). И еще сложнее (больше
вычислений) находить координаты вершины параболы: абсциссой
118

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
является число х0 = —р~> а ордината у0 вычисляется по формуле
Уо = Л#о)> гДе f(%) = ах2 + Ъх + с, или по формуле у0 =
4ac-fr2
4а
Пример 3. Построить график функции у = 2х2 - 6х + 1.
Решение. Графиком функции является парабола с ветвями,
направленными вверх, поскольку старший коэффициент 2 —
положительное число. Найдем координаты вершины параболы.
Имеем а = 2, Ъ = -6;
где f(x) = 2х2 - 6х + 1. Значит,
у0 = /(1,5) = 2 1,52 - 6 1,5 + 1 = -3,5.
На рисунке 95, а отмечена точка (1,5; -3,5) — вершина
искомой параболы, проведена ее ось. Чтобы построить саму параболу,
поступим так: возьмем на оси х две точки, симметричные
относительно оси параболы, например, точки х = 0 и х = 3; вычислим
значения функции в этих точках, при этом учтем, что /(0) = /(3).
Имеем /(0) = 1, следовательно, и /(3) = 1. Точки (0; 1) и (3; 1)
отмечены на рисунке 95, а. Теперь, зная три точки, построим
искомую параболу (рис. 95, б). ■
1 1
О
,5
1
V
1,5
л
1
У =
= -;
1,5
X
\\
\\
\
1 Л—
-
О\Ц5
,5
\
\
ее
- /
ем
//
f
Р
/
л:
Рис. 95, а
Рис. 95, б
119

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
Фактически мы получили алгоритм построения графика
квадратичной функции. Оформим его.
Алгоритм построения параболы у = ах2 + Ъх + с
1. Найти координаты вершины параболы, построить на
координатной плоскости соответствующую точку, провести
ось параболы.
2. Отметить на оси х две точки, симметричные
относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких
точек берут точку с абсциссой х = 0), найти значения
функции в этих точках; построить на координатной плоскости
соответствующие точки.
3. Через полученные три точки провести параболу (в
случае необходимости берут еще одну пару точек,
симметричных относительно оси параболы, и строят параболу по
пяти точкам).
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у = -2х2 + 8л: - 5 на отрезке [0; 3].
Решение.
Первый этап. Построим параболу, служащую графиком
заданной функции. Воспользуемся алгоритмом.
1) Имеем а = -2, Ь = 8;
х0 = -± = 2; у0 = f(2) = -2 • 22 + 8 • 2 - 5 = 3.
Значит, вершиной параболы служит точка (2; 3), а осью
параболы — прямая х = 2 (рис. 96, а).
2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно
оси параболы, — точки х = 0 и х = 4. Имеем /(0) = /(4) = -5;
построим на координатной плоскости (рис. 96, а) точки (0; -5) и
(4; -5).
3) Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу
(рис. 96, б).
Второй этап. Выделим часть построенного графика на отрезке
[0; 3] (рис. 96, б). Замечаем, что унаим = -5 (достигается в точке х = 0),
а Унаиб = 3 (достигается в точке х = 2).
Ответ: г/наим =-5, унаиб = 3.
120

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
й
3
1
о
2
и
н
у = г
О
О
j
f
I
/
/I 2
1/
/
г ш
5?
\
\
I
4
\
\
\
\
Рис. 96, а
Рис. 96, б
§ 21. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
С квадратными уравнениями вы уже встречались в
7-м классе. Напомним, что квадратным называют уравнение вида
ах2 + Ьх + с = 0, где а,Ъ, с — любые числа (коэффициенты), причем
а Ф 0. Используя знания о некоторых функциях и их графиках, мы
уже теперь в состоянии, не дожидаясь изучения темы «Квадратные
уравнения» (это будет позднее, в главе 4), решать некоторые
квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим
эти способы на примере одного квадратного уравнения.
Пример. Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0.
Решение.
Первый способ. Построим график функции у = х2
воспользовавшись алгоритмом из § 20:
1) Имеем: а = 1, Ь = -2;
= 1; ^/ = /(1) I2
- 2х - 3,
х° = 'Та =
= /(1) = I2 " 2 - 3 = -4.
Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью
параболы — прямая х = 1.
2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно
оси параболы, — точки х = -1 и х = 3. Имеем /(-1) = /(3) = 0;
отметим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
121

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
3) Через точки (-1; 0), (1; -4),
(3; 0) проводим параболу (рис. 97).
Корнями уравнения
х2 - 2х - 3 = О
служат абсциссы точек
пересечения параболы с осью х; находим
хх = -1, х2 = 3.
Второй способ. Преобразуем
уравнение к виду х2 = 2х + 3.
Построим в одной системе
координат графики функций у = х2 и
у = 2х + 3 (рис. 98). Они
пересекаются в двух точках: А(-1; 1) и
Б(3; 9). Корнями уравнения
служат абсциссы точек А и Б,
следовательно, хх = -1, х2 = 3.
Третий способ. Преобразуем уравнение к виду х2 - 3 = 2х.
Построим в одной системе координат графики функций у = х2 - 3
и у = 2х (рис. 99). Они пересекаются в двух точках: А(-1; -2) и
Б(3; 6). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и Б,
значит, хх = -1, х2 = 3.
Четвертый способ. Преобразуем уравнение к виду
х2 - 2х +1-4 = 0
1
\
\
\
\
-1IO
V
N
-4
1—1
II
н
1
SJ
i/
/
\г
к
1«
I "*
/3
/
/
У =-4
Рис. 97
1
1
\
\
\/
/-1
►9
<
/
/
У
о
\ /Л
/
/ /1
/
\\
—f и -
/
X
1
\
\
\
\
/
А
~£_
1
1
/
о
i
а
/
У
лв
1»
h
>
1 I
/
/
X
Рис. 98
Рис. 99
122

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = \
и далее
х2 - 2х + 1 = 4, т. е. (х - I)2 = 4.
Построим в одной системе координат параболу у = (х - I)2 и
прямую у = 4 (рис. 100). Они пересекаются в двух точках: А(-1; 4)
и Б(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и Б,
следовательно, хх = -1, х2 = 3.
Пятый способ. Заметив, что в данном случае х = 0 не является
корнем уравнения, и разделив почленно обе части уравнения
на х, получим
и далее
*-2- - =0
х
х- 2= ±.
х
Построим в одной системе координат гиперболу у = — и прямую
у = х - 2 (рис. 101). Они пересекаются в двух точках: А(-1; -3) и
Б(3; 1). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и Б,
значит, хх = -1, х2 = 3. ■
Итак, квадратное уравнение х2 - 2х - 3 = 0 мы решили
графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть
этих способов.
Первый способ. Строят график функции у = ах2 + Ьх + с и
находят точки его пересечения с осью х.
1
\
\
\
А
\
\
О
1
4
1
и
X
у
1
- Z
7
IB
/
/
/
f
у = 4
X
Рис. 100
— —
/^^
1
1"
-1
ft
\ 1
1
О
/)
\
/!
f
Рис.
101
г з
i
л:
123

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ±
Второй способ. Преобразуют уравнение к виду ах2 = -Ьх - с,
строят параболу у = ах2 и прямую у = -Ьх -си находят точки их
пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек
пересечения, если таковые имеются).
Третий способ. Преобразуют уравнение к виду ах2 + с = -Ьх,
строят параболу у = ах2 + си прямую у = -Ьх (она проходит через
начало координат) и находят точки их пересечения.
Четвертый способ. Применяя метод выделения полного
квадрата, преобразуют уравнение к виду
а(х + I)2 + т = О
и далее
а(х + I)2 = -т.
Строят параболу у = а(х + I)2 и прямую у = -т, параллельную оси х,
и находят точки пересечения параболы и прямой.
Пятый способ. Если с Ф 0, то значение х - 0 не является корнем
уравнения. Заметив это, преобразуют уравнение к виду
т. е.
ах + Ъ + ^ = О,
и далее
Строят гиперболу у = ~ (это — гипербола, при условии, что
с Ф 0) и прямую I/ = -ах - Ь и находят точки их пересечения.
Заметим, что первые четыре способа применимы к любым
квадратным уравнениям, а пятый — только к тем, у которых с Ф 0.
На практике вы вольны выбирать любой способ, который вам
больше нравится. ■
Замечание. Несмотря на обилие способов графического
решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое
квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. Пусть,
например, нужно решить уравнение х2 - х - 3 = 0 (специально
возьмем уравнение, похожее на то, что было рассмотрено в
примере). Попробуем его решить вторым способом: преобразуем
уравнение к виду х2 = х + 3, построим параболу у = х2 и прямую у = х + 3,
124

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
они пересекаются в точках А и В
(рис. 102), значит, уравнение
имеет два корня. Но чему равны эти
корни, с помощью чертежа мы
сказать не можем — точки А и В
имеют не такие «хорошие»
координаты, как в приведенном
выше примере.
А вот еще один пример:
решить уравнение л:2-16л:-95 = 0.
Попробуем его решить, скажем,
третьим способом. Преобразуем
уравнение к виду х2 - 95 = 16л:.
Теперь надо построить параболу
у = х2 - 95 и прямую у = 16л:. Но ограниченные размеры листа
тетради не позволят этого сделать, ведь параболу у = х2 нужно
опустить на 95 клеточек вниз.
Итак, графические способы решения квадратного уравнения
красивы, приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения
любого квадратного уравнения. Учтем это в дальнейшем.
1
\
|\|
\\
\
\
\\
/
г
У
о
\
о
/
/
\
1
1
вУ
п
7
/
1
X
Рис. 102
§ 22. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Дробно-линейной называют обычно функцию вида
yz-
у сх + d
На коэффициенты а, Ъ, с, d накладывают ограничения: с/Ои
- * —. Дело в том, что при с = 0 функция принимает вид у = ^Ц—,
ас а
т. е. у = Щх + -т — это линейная функция. Если же — = —, то
У =
ах
+Ь \ а) а
сх + d
= —у т. е. получается постоянная функция,
определенная всюду, кроме точки х = —. Рассмотрение
линейной и постоянной функций не представляет труда, мы эти случаи
опускаем.
125

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
Для построения графика дробно-линейной функции выделя-
~ ах + Ь
ют из неправильной дроби ——г целую часть; как это делают,
ex i a
покажем ниже в примерах 1 и 2.
х - 2
Пример 1. Построить график функции у = ——$•
Решение. Имеем:
х - 2 = (х + 2) - 4
х + 2 * + 2
_
+ 2 х + 2
х + 2
+ 1.
-4
Итак, нам надо построить график функции у = —-~о + 1- Для
X i с*
этого (см. § 19) следует перейти к вспомогательной системе
координат с началом в точке (-2; 1) (пунктирные прямые х = -2,
—4
у = 1 на рис. 103, а) и «привязать» к ней гиперболу у = —-
График представлен на рисунке 103, б. ■
II
н
-2
л
И
О
1
1/ = 1
<
у/
-5-
г/
Г
4-3
"2
О
/
/
/
-К-
о
-о
1
^0
2
л;
Рис. 103, а
Рис. 103, б
2х + 3
Пример 2. Построить график функции у = ——Г'
-1) , 5 5
Решение. Имеем:
= (2х - 2) + 5 _
х -1
х -1
х -1
х - 1 " х - 1
2.
126

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = $
Итак, нам нужно построить
график функции у =
+ 2.
х - 1
Для этого следует перейти к
вспомогательной системе
координат с началом в точке (1; 2)
(пунктирные прямые х = 1, у = 2
на рис. 104) и «привязать» к ней
гиперболу у = —. График
изображен на рисунке 104. ■
4
N
N
о
7
к
о
\
Зт
\
\
\
2
^>
i
Рис. 104
§ 23. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
У = \Пх)\ И у = ф|),
ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ
У = 'U)
Предположим, что требуется построить график
функции у = \f(x)\, причем график функции у = f(x) нам известен (либо
он задан, либо мы умеем его строить). Как будет выглядеть график
функции у = \f(x)\?
Пусть, например, график
функции у = f(x) изображен на
рисунке 105. Обратите внимание, что
f(x) > 0 на луче (-°°; а] и на луче
[Ь; +оо). На этих двух промежутках
выполняется равенство |/(:с)| = f(x).
Это значит, что на указанных
промежутках график функции у = \f(x)\
совпадает с графиком функции
у = f(x). Рассмотрим теперь
интервал (а; Ь). На этом интервале
выполняется неравенство f(x) < 0. Но
тогда \f(x)\ = -f(x), следовательно,
на интервале (а; Ъ) нам предстоит Рис. 105
127
yi
о
\
\
\
\
a
v
ч
J
/
*>-
/
/
b
/
X

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
Vi
о
\
\
\
\
а
/
/
\
\
>
у = 1Л*)1
\
ч
\
•
I
¥
/
/
X
Рис. 106
построить график функции у = -f(x). Для этого соответствующую
часть графика функции у = f(x) надо отобразить симметрично
относительно оси х.
График функции у = \f(x)\ изображен на рис. 106.
Можно предложить следующий алгоритм.
s^ ^ч.
Алгоритм построения графика функции у = \f(x)\
1. Построить график функции у = f(x).
2. Оставить без изменения те части графика функции
у = f(x), которые лежат не ниже оси х.
3. Части графика функции у = f(x), которые лежат ниже
оси х, заменить на симметричные им относительно оси х.
Пример 1. Построить график функции у =
2х - 4
х - 3
Решение. Построим график дробно-линейной функции
У =
2х
(см. § 22).
х - 3
Имеем:
2х - 4 _ (2х - 6) + 2 _ 2(* - 3)
х - 3 х -3 ~ х -3
х -3 х-3
+ 2.
Итак, нам надо построить график функции у = ^ + 2. Для
х — о
этого следует перейти к вспомогательной системе координат
128

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = £
У,
2
О
\
2
\
\
\
\
3
■^LT 3
X
и
2
*^
О
\
/
/
\
\
3
с/
1 1
У
/
X
Рис. 107
Рис. 108
с началом в точке (3; 2) (пунктирные прямые * = 3, i/ = 2 на рис. 107)
2
и «привязать» к ней гиперболу у = — • График изображен на
рисунке 107.
Теперь, воспользовавшись алгоритмом, построим требуемый
график. Оставим без изменения те части гиперболы, которые
лежат не ниже оси х — так обстоит дело на промежутках (-°°; 2] и
(3; +оо). Отобразим симметрично относительно оси х ту часть
гиперболы, которая лежит ниже оси х — так обстоит дело на
интервале (2; 3). В итоге получили требуемый график — он
представлен на рисунке 108. ■
Предположим теперь, что нам нужно построить график функции
У = f(\x\)> причем график функции у = f(x) нам известен (либо он
задан, либо мы умеем его строить).
Как будет выглядеть график
функции у = /(|*|)?
Пусть, например, график
функции у = f(x) изображен на
рисунке 109. Рассмотрим его часть при
х > 0. Если х > 0, то |*| = *, но
тогда и /(|*|) = /(*). Это значит, что
при * > 0 график функции у = /(|*|)
совпадает с графиком функции
у = /(*). Далее воспользуемся тем,
что 1*1 = |-*| и соответственно Рис. 109
у
о
А
/
7
№
п
X
5 Алгебра. 8 кл.: учебник
129

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = f
~xl
yi
о
у
X
—
\
\
**
V
\
*
о
/
A
/l
1
1
X
Рис. 110 Рис. 111
/(1^1) = /(|-л:|). Это значит, что в точках с абсциссами хи-х ординаты
графика функции у = f(\x\) равны, т. е. это точки, симметричные
относительно оси у (рис. 110). Итак, интересующий нас график
обладает свойством осевой симметрии относительно оси у, поэтому
к уже построенной его ветви при х > 0 надо добавить
симметричную ей относительно оси у (рис. 111).
Можно предложить следующий алгоритм.
Алгоритм построения графика функции у = f(\x\)
1. Построить график функции у = f(x) при х > 0.
2. Добавить ветви, симметричные построенным
относительно оси у.
Пример 2. Построить график функции у =
2\х\ - 4
1*1 - 3 •
2
—**
О
2
V
1
\
\
3
\
1
II
V
О
^3
X
I
/
/
-3
h
/
yt
2
О
\
2
\
2|jc| ' 4l
1*1 - я
1
\
\
3
X
Рис. 112
Рис. 113
130

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = j
Решение. Построим, как в примере 1, график дробно-ли-
неинои функции у = ^-, но возьмем только те части гипер-
X — О
болы, которые лежат в правой координатной полуплоскости
(выделены на рис. 112). Добавим к ним их симметричные образы
относительно оси у. В итоге получим требуемый график — он
представлен на рисунке 113. ■

ГЛАВА
4
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§24.
§25.
§2«.
§27.
§28.
Основные понятия
Формулы корней квадратного уравнения
Теорема Виета
Разложение квадратного трехчлена на линейные
множители
Рациональные уравнения как математические
модели реальных ситуаций
§ 24. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
С квадратными уравнениями мы уже не раз
встречались, но только теперь, после введения операции извлечения
квадратного корня, у нас появилась возможность построить
теорию решения квадратных уравнений.
Определение 1. Квадратным называют уравнение вида
ах2 + Ъх + с = О,
где коэффициенты а, Ъ, с — любые действительные числа, но а Ф 0.
Коэффициенты а, Ъ, с называют соответственно так: первый
или старший коэффициент, второй коэффициент или
коэффициент при х, свободный член.
Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным,
если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение
называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Так, 2л:2 - Ъх + 3 = 0 — неприведенное квадратное уравнение
(старший коэффициент равен 2), а х2 + Зх - 4 = 0 —
приведенное квадратное уравнение. Любое неприведенное
квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное. Например,
неприведенное уравнение 2х2 - Ъх + 3 = 0 можно заменить
приведенным, разделив все его члены на старший коэффициент:
х2 - 2,5* + 1,5 = 0.
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений,
различают также полные и неполные уравнения. Полное
квадратное уравнение — это уравнение ах2 + Ъх + с = 0, у
которого коэффициенты Ъ и с отличны от 0. Неполное квадратное
уравнение — это уравнение, у которого либо Ъ = 0, либо с = 0
(а может быть и Ъ = 0, и с = 0). Обратите внимание, о старшем
132

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
коэффициенте а речь не идет, он, по определению, отличен от нуля.
Напомним, что многочлен ах2 + Ьх + с, где а Ф 0, обычно
называют квадратным трехчленом.
Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = О
называют всякое значение переменной л:, при котором квадратный
трехчлен ах2 + Ьх + с обращается в 0; такое значение переменной х
также называют корнем квадратного трехчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах2 + Ьх +
+ с = 0 — это такое значение х, подстановка которого в уравнение
обращает его в верное числовое равенство 0 = 0.
Например, значение х = 1 является корнем квадратного
трехчлена 2л:2 - Ьх + р, если р = 3 (при л: = 1 трехчлен 2л:2 - Ьх + 3
обращается в нуль); значение х = 1 не является корнем квадратного
трехчлена 2л:2 - Ьх + р, если р * 3.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни
или установить, что корней нет.
Сначала рассмотрим неполные квадратные уравнения,
поскольку для их решения, как мы увидим, ничего нового
придумывать не надо. Рассмотрим несколько таких уравнений.
Пример 1. Решить неполное квадратное уравнение:
а) 2л:2 - 7х = 0; в) л:2 - 16 = 0; д) Зл:2 + 10 = 0;
б) -л:2 + Ьх = 0; г) -2л:2 + 7 = 0; е) 5л:2 = 0.
Решение, а) 2л:2 - 7х = 0;
л:(2л: - 7) = 0.
Значит, либо х = 0, либо 2л: - 7 = 0, откуда находим: х = 3,5.
Итак, уравнение имеет два корня: хх = 0, х2 = 3,5.
б) -л:2 + 5л: = 0;
-л:(л: - 5) = 0.
Уравнение имеет два корня: хх = 0, х2 = 5.
в) л:2 - 16 = 0;
л:2 = 16.
Ранее, в § 8, мы уже говорили о том, что уравнение вида
л:2 = а, где а > 0, имеет два корня: \[а и —\[а. Следовательно, для
уравнения л:2 = 16 получаем хх - 4, х2 = -4 (мы учли, что vl6 = 4).
Допускается более экономная запись: х1 2 = ±4.
г) -2л:2 +7 = 0;
2л:2 = 7;
л:2 = 3,5.
133

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение имеет два корня: хх = >/з^5, х2 = ->/з^5. И в этом
случае можно записать короче: хХ2 = ±>
д) Зх2 + 10 = 0;
Зх2 = -10.
Так как выражение Зх2 неотрицательно при любых значениях х,
то уравнение Зх2 = -10 не имеет корней. Иными словами, нет ни
одного числа, подстановка которого вместо переменной х обратила
бы это уравнение в верное числовое равенство.
Иногда в таких случаях уточняют: нет действительных
корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел,
рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот мнимые
корни у этого уравнения есть.
е) Если 5л:2 = 0, то х2 = 0, откуда находим: х = 0 —
единственный корень уравнения. ■
Этот пример позволяет сделать вывод о том, как решаются
неполные квадратные уравнения:
1) Если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один
корень х = 0.
2) Если уравнение имеет вид ах2 + Ьх = 0, то используется
метод разложения на множители: х(ах + Ъ) = 0; значит, либо х = 0,
либо ах + Ъ = 0. В итоге получаем два корня: х1 = 0, х2 = —•
3) Если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют
к виду ах2 = -с и далее х2 = -—- Правая часть этого уравнения —
число, отличное от нуля. В случае, когда — — отрицательное
число, уравнение х2 = -— не имеет корней (значит, не имеет
корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). Если — —
положительное число, то уравнение х2 = — имеет два корня: хХ2 — -\l~~-
Неполное квадратное уравнение, как мы только что видели,
может иметь два корня, один корень, ни одного корня. То же
можно сказать и о полном квадратном уравнении. Почему?
Мы с вами знаем, что графиком функции у = ах2 + Ьх + с
является парабола. Корнями квадратного уравнения ах2 + Ьх +
+ с = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы у = ах2 +
+ Ьх + с с осью х. Парабола может пересечь ось х в двух точках,
может касаться оси х, т. е. иметь с ней лишь одну общую точку,
134

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
о
А
\
\
\
\
\\
\
/
/
X
0
\
\
\
J
/
/
/
/
X
У)
0
\
\
1
1
X
Рис. 114, а
Рис. 114, б
Рис. 114, в
может вообще не пересекаться с осью х (рис. 114). Это значит,
что квадратное уравнение ах2 + Ъх + с = О может иметь либо
два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.
В следующем параграфе мы приведем доказательство этого
утверждения, не опирающееся на геометрические иллюстрации.
Конечно, неплохо знать, сколько корней имеет квадратное
уравнение, но еще лучше уметь их находить. Если уравнение
неполное, то, как мы видели выше, особых проблем не возникает.
А если мы имеем полное квадратное уравнение? Далее на
примере одного такого уравнения напомним, какими способами мы
пользовались до сих пор, если приходилось встречаться с
квадратным уравнением.
Пример 2. Решить уравнение х2 - 4х + 3 = 0.
Решение.
Первый способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 - 4х + 3
и разложим его на множители, используя способ группировки;
предварительно представим слагаемое -Ах в виде -х - Зх:
х2 - 4х + 3 = х2 - х - Зх + 3 = (х2 - х) - (Зх - 3) =
= х(х - 1) - 3(х -1) = (х- 1)(х - 3).
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х - 1)(х -
- 3) = 0, откуда ясно, что уравнение имеет два корня: хх = 1, х2 = 3;
при х = 1 обращается в нуль множитель х - 1, а при х = 3
обращается в нуль множитель х - 3.
Второй способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 - 4х + 3
и разложим его на множители, используя метод выделения
полного квадрата; предварительно представим слагаемое 3 в виде
4-1:
х2 - 4х + 3 = х2 - 4х + 4 - 1 = (х - 2)2 - 1.
135

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим
(х - 2 + 1)(х - 2 - 1) = (х - 1)(х - 3).
Рассуждая, как в первом способе, находим х1 = 1, х2 = 3.
Третий способ. Предложенное квадратное уравнение можно
решить и графическими методами. Вернитесь в § 21, вспомните
разные способы графического решения квадратного уравнения и
примените один из них к данному уравнению. ■
Итак, мы знаем много способов решения квадратных уравнений.
Но наши успехи в решении квадратных уравнений до сих пор
зависели от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств: 1)
квадратный трехчлен удалось разложить на множители; 2) графики,
которые мы используем для графического решения уравнения,
пересеклись в «хороших» точках. Надеяться на такие подарки
судьбы математики, естественно, не могли. Они искали универсальный
способ, пригодный для решения любых квадратных уравнений, и
нашли его; о нем и пойдет речь в следующем параграфе.
§ 25. ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ
КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + Ъх + с = 0.
Применим к квадратному трехчлену ах2 + Ъх + с те же
преобразования, которые мы выполняли в § 20, когда доказывали теорему
о том, что графиком функции у = ах2 + Ъх + с является парабола:
ах2 + Ъх + с = (ах2 + Ъх) + с = а(х2 + -х\ + с =
а 4
Обычно выражение Ъ2 - \ас обозначают буквой D и называют
дискриминантом квадратного трехчлена ах2 + Ъх + с (или
дискриминантом квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0).
Таким образом,
ах2 + Ъх + с
= а(х + -М - ^-
V 2а) 4а
Значит, квадратное уравнение ах2 + Ъх + с = 0 можно
переписать в виде
136

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и далее
hi)'-* <•>
Любое квадратное уравнение ах2 + Ъх + с = О можно
преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того,
чтобы определять число корней квадратного уравнения и
находить их.
Теорема 1. Если D < О, то квадратное уравнение ах2 + Ъх +
+ с = О не имеет корней.
Доказательство. Если D < О, то правая часть
уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая его часть
при любых значениях х принимает неотрицательные значения.
Следовательно, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло
бы данному уравнению, поэтому уравнение (1) не имеет корней.
Пример 1. Решить уравнение 2л:2 + Ах + 7 = 0.
Решение. Здесь а = 2, Ь = 4, с = 7;
D = Ъ2 - 4ас = 42 - 4 2 7 = 16 - 56 = -40.
Так как D < 0, то, по теореме 1, данное квадратное уравнение
не имеет корней. ■
Теорема 2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + Ъх +
+ с - 0 имеет один корень, который находится по формуле
—4-
Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает
вид \х + —) =0. Значит, х + ^- = 0, т. е. * = —5- — един-
\ 2а/ ^а ^а
ственный корень уравнения.
Замечание 1. Помните ли вы, что х = —^ — абсцисса
вершины параболы, которая служит графиком функции ах2 + Ьх +
+ с? Почему именно это значение оказалось единственным корнем
квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0? «Ларчик» открывается
просто: если D = 0, то, как мы ранее установили,
137

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
о
\
\
\
\
\
\
II
V У
ъ !
2
a j
/
h
j
/
L ^
Г
X
Графиком же функции
Рис. 115
является парабола с вершиной в
точке (—£-; о) (рис. 115). Таким
\ 2а }
образом, абсцисса вершины
параболы и единственный корень
квадратного уравнения при D = 0 —
одно и то же число.
Пример 2. Решить
уравнение 4*2 - 20* + 25 = 0.
Решение. Здесь а = 4, Ъ = -20, с = 25;
D = Ъ2 - \ас = (-20)2 - 4 4 25 =
= 400 - 400 = 0.
Так как D = 0, то, по теореме 2, данное квадратное уравнение
имеет один корень. Этот корень находится по формуле х = —~-.
Значит, х =
20
2 4
Ответ: 2,5.
= 2,5.
3амечание 2. Обратите внимание, что 4л:2 - 20л: + 25 —
полный квадрат: 4л:2 - 20л: + 25 = (2л: - 5)2. Если бы мы это
заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2л: - 5)2 = 0, значит,
2л: - 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще если D = 0, то ал:2 +
+ bx + c=a[x + — I — это мы отметили ранее в замечании 1.
\ 2а)
Теорема 3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + Ъх +
+ с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам:
2а
2а
Доказательство. Перепишем квадратное уравнение ал:2 +
+ Ъх + с = 0 в виде (1)
I 2а/ 4а2
138

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
По условию, D > О, значит, правая часть уравнения —
положительное число. Тогда из уравнения (1) получаем, что
х + А = + М
х 2а ~ 2а'
Таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:
Х ^ 2а ~ 2а ' Х ^ 2а ~ 2а'
Из первого уравнения находим:
v Ь_ 4Ъ_ _ -Ъ + Jd
х" 2а + 2а " 2а '
Из второго уравнения находим:
г - _ а _ Jr. = -ъ-у/р
х 2а 2а 2а '
Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:
_
2 "
Xl~ 2а ' 2 " 2а ' { '
Замечание 3. Приведем правдоподобную версию
происхождения термина дискриминант. Вспомните слово
«дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и
возвышение других, т. е. различное отношение к разным людям. Оба
слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от
латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает
квадратные уравнения по числу корней.
Пример 3. Решить уравнение Зх2 + 8х - 11 = 0.
Решение. Здесь а = 3, Ь = 8, с = -11;
D = Ь2 - 4ас = 82 - 4 • 3 • (-11) = 64 + 132 = 196.
Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение
имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (2):
_ -Ь + у[Р _ -8 + VJ96 _ -8 + 14 _ 1
Xl~ 2а ~ 2-3 " 6 " А'
_ -Ь - у/Р _ -8-VJ96 _ -8-14 _ 11 _ о 2
%2~ 2а ~ 2 3 " 6 " 3 " *3"
Ответ: 1; -з|-
139

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Фактически мы с вами выработали следующее правило.
Правило решения уравнения ах2 + Ьх + с = О
1. Вычислить дискриминант D по формуле
D = b2 - 4ас.
2. Если D < О, то квадратное уравнение не имеет корней.
3. Если D = О, то квадратное уравнение имеет один корень
*--£■
4. Если D > О, то квадратное уравнение имеет два корня:
_ -Ь + у[р _ -Ь - л/р
1 ~ 2а ' 2 ~ 2а
Это правило универсально, оно применимо как к полным, так
и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные
квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их
удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.
Пример 4. Решить уравнения:
а) х2 + Зх - 5 = 0; в) 2*2 - х + 3,5 = 0.
б) -9л:2 + 6* - 1 = 0;
Решение, а) Здесь а = 1, Ъ = 3, с = -5;
D = Ь2 - 4ас = З2 - 4 1 (-5) = 9 + 20 = 29.
Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два
корня. Эти корни находим по формулам (2):
_ -Ь + у[5 _ -3 + V29
Xl ~ 2а 2
_ -Ь- у[Б _ -3- V29
*2 " 2а 2
б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными
уравнениями, у которых старший коэффициент положителен.
Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим
9*2 - 6* + 1 = 0.
Здесь а = 9, Ь = -6, с = 1;
D = Ь2 - 4ас = 36 - 36 = 0.
140

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Так как D = О, то данное квадратное уравнение имеет один
корень. Этот корень находится по формуле х = -«-.
Следовательно, X = Y~g = з'
Это уравнение можно было бы решить иначе: так как 9л:2 -
- 6л: + 1 = (Зл: - I)2, то получаем уравнение (Зл: - I)2 = 0, откуда
находим: Зл: - 1 = 0, т. е. х = д.
в) Здесь а = 2, Ь = -1, с = 3,5;
D = Ъ2 - 4ас = 1 - 4 2 3,5 = 1 - 28 = -27.
Так как D < О, то данное квадратное уравнение не имеет
корней. ■
Приведенное выше правило решения уравнения ах2 + Ьх + с = О
можно записать в виде одной формулы
(3)
х1
2 ~~
-ь
±
2а
4ас
Если окажется, что дискриминант D = Ь2 — 4ас —
отрицательное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком
квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет.
Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем:
„ _ -ь ± Уо _ __ь_
Xl'2~ 2а " 2а'
т. е. один корень (говорят также, что в этом случае квадратное
уравнение имеет два одинаковых корня: хх = х2 = ~о~)- Наконец,
если окажется, что Ь2 - 4ас > 0, то получаются два корня: хх и х2.
Само число yjb2 - 4ac в этом случае положительно (как всякий
квадратный корень из положительного числа), а двойной знак
перед ним означает, что в одном случае (при отыскании л^) это
положительное число прибавляется к числу -Ъ, а в другом
случае (при отыскании х2) это положительное число вычитается из
числа -Ь.
У вас есть свобода выбора. Хотите — решайте квадратное
уравнение подробно, используя сформулированное выше правило;
хотите — запишите сразу формулу (3) и с ее помощью делайте
необходимые выводы.
141

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 5. Решить уравнения:
а) \х2 + \х - ^ = 0; б) Зх2 - 0,2л: + 2,77 = 0.
Р е ш е н и е. а) Конечно, можно использовать формулу (3), учи-
2 5 7
тывая, что в данном случае а = ^> Ъ = т>» с = ~тк- Но зачем
выполнять действия с дробями, когда проще и приятнее иметь дело
с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для
этого обе части уравнения нужно умножить на 12, т. е. на
наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами
уравнения.
8х2 + 10* - 7 = 0.
А теперь воспользуемся формулой (3):
-10 ± yiO2 - 4 8 (-7) г
2-8 '
_ -10 ± yJlOO + 224 _ -10 ± V324 _ -10 ± 18.
Xl-2~ 16 16 " 16 '
_ -10 + 18 _ 1 -10 - 18 _ 7
Xl " 16 " 2' *2~ 16 " 4'
б) Здесь а = 3, Ь = -0,2, с = 2,77;
D = Ъ2 - 4ас = (-0,2)2 - 4 3 2,77.
Прикидка показывает, что дискриминант — отрицательное
число. Значит, уравнение не имеет корней. ■
Пример 6. Решить уравнение 5л:2 - 2V15 ^ + 1=0.
Решение. Здесь а = 5, Ъ = -2\1ГЕ, с = 1;
D = Ъ2 - 4ас = (-2V15)2 - 4 5 1 = 60 - 20 = 40.
Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
+
l«2~ 2a 10
± Уг) Уб(Уз ±
10
142

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
До сих пор мы активно «эксплуатировали» формулу (3) для
отыскания корней квадратного уравнения. Но математики
всегда пытаются облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что
формулу (3) можно упростить в случае, когда коэффициент Ъ
(коэффициент при х) имеет вид 2k (например, Ъ = 10, Ъ = -20,
Ъ = 2>/Гб и т. д.). В самом деле, подставив в формулу (3) 2k вместо Ъ,
получим:
_ -2k ± V(2AQ2 - 4ас _ -2k ± yJAjk2 - ас)
1)2 ~ 2а ~ 2а
2а а
Итак, корни квадратного уравнения ах2 + 2kx + с = 0 можно
находить по формуле
(4)
Сравните эту формулу с формулой (3). В чем ее преимущества?
Во-первых, в квадрат (под знаком квадратного корня) возводится
не число Ъ, а его половина (k = -z). Во-вторых, вычитается из
этого квадрата не 4ас, а просто ас. В-третьих, в знаменателе
содержится не 2а, а просто а. Как видите, по крайней мере в трех
моментах мы облегчаем себе выкладки. А вот как выглядит
формула (4) для приведенного квадратного уравнения вида х2 +
+ 2kx + с = 0:
xh2= -k ± yjk2 - с. (5)
Выше, в примере 5, нам встретилось квадратное уравнение
8х2 + Юл: -7 = 0. Решали его так:
_ -10 ± yJlO2 - 4 8 (-7) _ -Ю ± V324 _ -10 ± 18
Xl>2~ 2 8 " 16 16 '
1 7
В итоге получили: хх = ^, х2= —г-
Теперь решим то же квадратное уравнение по формуле (4),
учтя, что в данном случае Ь = 10, т. е. 2k = 10, k = 5. Имеем:
= -5 ± V52 - 8 • (-7) = -5±V81 = -5 ±9
143
Xl'2~ 8 8 " 8

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1 7
В итоге получили: х1 = т>» *2 = ~т-
4
Согласитесь, что так работать проще.
Иными словами, если вам встретилось квадратное уравнение
вида ах2 + 2kx + с = О, советуем пользоваться формулой (4) (или
(5), если а = 1), так как вычисления будут проще.
Замечание 4. У вас может создаться впечатление, что
существует несколько формул для отыскания корней квадратного
трехчлена ах2 + Ьх + с — формулы (2), (3), (4) или (5). На самом
деле, это лишь некоторые модификации формулы
v _ -b±J5
h 2~ 2a
где D = Ь2 - 4ас.
Пример 7. Решить уравнение
2 , 1 _ 4
2-л: ' 2 2х -х2'
Решение. Это — рациональное уравнение. Первое
знакомство с рациональными уравнениями состоялось у нас ранее, в
§ 5. Перепишем уравнение в виде
+ = .
2 - * 2 *(2 - *)
Общим знаменателем имеющихся дробей служит 2л:(2 - х).
Расставим дополнительные множители:
1
2 - х 2 х{2 - х)
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель 2л:(2 - х),
получим:
4х + х(2 - х) = 8;
х2 - 6х + 8 = 0.
Для отыскания корней полученного приведенного уравнения
с четным вторым коэффициентом воспользуемся формулой (5):
х1>2 = 3 ±л/32 - 1 • 8 = 3 ±Vl = 3 ± 1.
Итак, х1 = 4, х2 = 2. Осталось для найденных корней
проверить выполнение условия 2л:(2 - х) Ф 0. Число 4 этому условию
удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного
уравнения, а 2 — посторонний корень.
Ответ: 4.
144

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 26. ТЕОРЕМА ВИЕТА
В этом параграфе мы познакомимся с любопытными
соотношениями между корнями квадратного трехчлена
(квадратного уравнения) и его коэффициентами. Эти соотношения
впервые описал французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
Теорема 1 (теорема Виета). Если хх и х2 — корни
квадратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0, то сумма корней равна —»
—
а произведение корней равно —
~>
Например, для уравнения Зх2 - 8х - 6 = 0, не находя его
корней (а они есть, поскольку D > 0), можно, воспользовавшись
теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна т>»
а произведение корней равно -д» т. е. -2. А для уравнения
х2 - 6х + 8 = 0 (здесь тоже D > 0) заключаем: сумма корней равна 6,
произведение корней равно 8 (кстати, здесь нетрудно догадаться,
чему равны корни: 4 и 2).
Доказательство. Корни хх и х2 квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0 находятся по формулам:
J5 4
_
х*- 2а ' *2 " 2а '
где D = Ъ2 - \ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим:
_ -Ь + у/Ъ -Ъ - у[Б _ -Ь + у[Б - b - у/Ъ _ =2b b_
*i + X2 ~ 2a + 2a 2a " 2a ~ a'
Первое соотношение доказано: х1 + x2 = -—-
Теперь вычислим произведение корней л^ и л:2:
-b
b2 -
4a2
+ yf5
2a
-b- y[D
2a
b2 - (b2 - 4ac)
4a2
(-bf -
4a
4ac
" 4a2
2
С
a
Второе соотношение доказано: ххх2 = — •
145

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае,
когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0),
просто в этом случае считают, что уравнение имеет два
одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше
соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения
для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. В этом
случае
т. е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие
соотношения между корнями и коэффициентами квадратного
уравнения. Пусть, например, хх и х2 — корни приведенного
квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. Тогда
= (xj + x2)2 - 2x!x2 = i~p)2 - 2q = p2 - 2q.
Итак,
x\ + x\=p*-2q.
Установим связь между суммой кубов корней приведенного
квадратного уравнения и его коэффициентами:
х\ + х\ = (хх + х2)(х2 - Х!Х2 + х2) = -р(х2 + х2 - q) =
= -pip2 -2q-q) = -pip2 - Sq).
Итак,
x\ + x\ = -p(p2 - Sq).
Выражение с двумя переменными а и Ь называют
симметрическим, если оно не меняет свой вид от одновременной замены а
на Ь и Ъ на а. Например, а + Ь, а2 + Ь2, а3 + Ь3, a2b + Ь2а —
симметрические выражения. В принципе любое симметрическое
выражение относительно корней хх и х2 приведенного квадратного
уравнения х2 + рх + q = 0 можно выразить через его
коэффициенты р и q. Например:
х\х\ + х\х\ = x\x\ixx + х2) = -pq2;
146

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теорема 2 (обратная теореме Виета). Если числа хх, х2
таковы, что xt + х2 = —р, ххх2 = q, то эти числа — корни
уравнения х2 + рх + q = О.
Доказательство. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 +
+ рх + q и воспользуемся тем, что по условию р = -(хх + х2),
a q = ххх2. Получим:
х2 + рх + q = х2 - (хх + х2)х + л^л:2 = (х2 - ххх) - (х2х - ххх2) =
= х(х - хх) - х2(х - хх) = (х - хх){х - х2).
Таким образом, квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 мы
преобразовали к виду (х - хх){х - х2) = 0, откуда сразу следует,
что его корнями являются числа х1 и х2. Теорема доказана.
С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно устно
решать многие квадратные уравнения, не пользуясь громоздкими
формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с
заданными корнями. Приведем ряд примеров.
1) х2 - Их + 24 = 0. Здесь х1 + х2 = 11, ххх2 = 24. Нетрудно
догадаться, что
X} = о, Х2 = О.
2) х2 + Их + 30 = 0. Здесь хх + х2 = -11, ххх2 = 30. Нетрудно
догадаться, что
хх = -5, х2 = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения —
положительное число, то оба корня либо положительны, либо
отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
3) х2 + х - 12 = 0. Здесь хх + х2 = -1, ххх2 - -12. Нетрудно
догадаться, что
хх = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения —
отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно
учитывать при подборе корней.
4) 5л:2 + 17л: - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1
удовлетворяет уравнению, т. е. хх = 1 — корень уравнения. Так как
22 22
*i*2 = —е~> a #i = 1> то получаем, что х2 = —=-.
о о
5) х2 - 293л: + 2830 = 0. Здесь хх + х2 = 293, л^л:2 = 2830. Если
обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10,
то становится ясно, что хх = 283, х2 = 10 (а теперь представьте,
147

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого
квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями
служили числа хх - 8, х2 = -4. Обычно в таких случаях составляют
приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0. Имеем хх + х2 =
= -р, значит, 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, ххх2 = q, т. е. 8 • (-4) = д,
откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, следовательно,
искомое квадратное уравнение таково: х2 - 4х - 32 = 0.
Теорему 2 удобно использовать для устного решения
приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, как
это было в только что рассмотренных примерах 1), 2), 3) и 5).
Дело в том, что если у таких квадратных уравнений есть
рациональные корни, то это обязательно целые числа, а целые числа,
служащие корнями уравнения, нетрудно угадать (в чем ранее
мы уже убедились). Рассмотрим приведенное квадратное
уравнение х2 + рх + q = 0, где р и q — целые числа. Его дискриминант
D = р2 - 4q — четное число, если р — четное, и нечетное число,
если р — нечетное. Тогда и у/Ъ — четное число при четном р и
нечетное число при нечетном р (мы рассматриваем случай, когда
этот корень — целое число). Составим формулу корней уравне-
-р±у/Ъ о
ния: хХ2 = о • Замечаем, что и при четном и при нечетном
р числитель — четное число. Таким образом, дробь можно
сократить на 2, а потому оба корня — целые числа.
Пример 1. Не используя формулу корней, решить не-
приведенное квадратное уравнение 6х2 + Ъх - 6 = 0.
Решение. Умножим все члены уравнения на 6 — на
коэффициент при старшем члене. Получим 36л:2 + 5 • 6х - 36 = 0.
Введем новую переменную у = 6х. Тогда уравнение примет вид
приведенного квадратного уравнения у2 + Ъу - 36 = 0. Нетрудно
подобрать его целочисленные корни: -9 и 4. Но у = 6х, значит,
осталось решить два уравнения: 6х = -9; 6х = 4. Получаем
2
соответственно л^ = -1,5, #2=3" *
Пример 2. Не решая уравнения 2л:2 + Ъх - 6 = 0, составить
уравнение, корни которого равны квадратам корней заданного
уравнения.
Решение. Будем составлять интересующее нас уравнение в
виде у2 + Ру + Q = 0. По условию его корни ух и у2 должны быть
148

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
равны соответственно х\ и х22, где хх и х2 — корни заданного
квадратного уравнения.
Преобразуем заданное уравнение к виду приведенного
уравнения; для этого разделим все его члены на коэффициент при
старшем члене. Получим х2 + 2,5л: -3 = 0. Здесь р = 2,5, q = -3.
Следовательно,
ххх2 = -3,
А + х\ =р2 - 2q = 6,25 - 2(-3) = 12,25.
Теперь нетрудно найти коэффициенты Р и Q:
* = -(»!+ %) = -(*? + 4) = -12,25,
Q = У1У2 = х\х\ = (xxx2f = (-3)2 = 9.
Значит, интересующее нас квадратное уравнение таково:
у2 - 12,25i/ + 9 = 0, или 4у2 - 49у + 36 = 0. ■
§ 27. РАЗЛОЖЕНИЕ
КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Основное назначение теоремы Виета не в том, что
обнаружились какие-то соотношения между корнями и
коэффициентами квадратного уравнения — это, наверное, любопытно
только математикам и тем, кто интересуется математикой. Гораздо
важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула
разложения квадратного трехчлена на множители, без которой в
дальнейшем не обойтись.
Теорема 1. Пусть хх и х2 — корни квадратного трехчлена
ах2 + Ъх + с. Тогда справедливо тождество
ах2 + Ъх + с = а(х - хг)(х - х2).
Доказательство. Преобразуем квадратный трехчлен к
виду alx2 + ^х + ^1 и положим - =р, ^ = q. Получим: ах2 + Ъх +
+ с = а(х2 + рх + q). В предыдущем параграфе при доказательстве
теоремы 2 мы установили, что если х1 и х2 — корни трехчлена
х2 + рх + д, то
149

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Но тогда для квадратного трехчлена ах2 + Ъх + с получаем:
ах2 + Ъх + с = а(х - хх)(х - х2). (1)
Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена
ах2 + Ьх + с равен нулю, т. е. л:х = л:2 (кратный корень), то
доказанная формула принимает вид
ах2 + Ьх + с = а(л: - л^)2.
Итак, мы доказали, что если квадратный трехчлен имеет
корни, то его можно разложить на линейные множители. Верно
и обратное утверждение: если квадратный трехчлен
раскладывается на линейные множители, то он имеет корни.
В самом деле, пусть ах2 + Ьх + с = (kx + I) (тх + п). Получен-
ное произведение можно переписать так: к\х + - \т\ х + — .
{ k) { т)
Значит,
ах2 + Ьх + с = km\ х + - I х + —
и 1 П
Числа -- и -— — корни квадратного трехчлена.
Фактически мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то
его нельзя разложить на линейные множители.
Пример 1. Разложить на множители многочлен:
а) Зх2 - 10* + 3; б) х4 + 5*2 + 6.
Решение, а) Решив уравнение Зх2 - Юл: + 3 = 0, найдем
корни квадратного трехчлена Зл:2 - Юл: + 3: х1 = 3, х2 = д-
Воспользовавшись формулой (1), получим:
Зл:2 - Юл: + 3 = 3(л: - 3)(х - ±).
Есть смысл вместо 3(л: - i] написать Зл: - 1; получим:
Зл:2 - Юл: + 3 = (л: - 3)(3л: - 1).
Между прочим, заданный квадратный трехчлен можно
разложить на множители и без применения формулы (1),
использовав способ группировки:
Зл:2 - Юл: + 3 = Зл:2 - 9х - х + 3 =
= Зл:(л: - 3) - (х - 3) = (х - 3)(3л: - 1).
150

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Но, как видите, при этом способе успех зависит от того,
додумаемся мы до удачной группировки или нет, тогда как
использование формулы (1) гарантирует успех.
б) Введем новую переменную у = х2. Это позволит переписать
заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно
переменной у, а именно в виде у2 + Ъу + 6. Найдем корни этого
трехчлена: ух = -2, у2 = -3. Значит,
у2 + Ъу + 6 = {у + 2)(у + 3).
Осталось учесть, что у = х2. Таким образом,
х4 + Ъх2 + 6 = (х2 + 2)(х2 + 3). ■
Пример 2. Сократить дробь:
ч 2х2 + Ъх + 2. ЛЧ 2* + у[х - 3
а) *2 -4*-12' б) хЛ-х *
Решение, а) Из уравнения 2л:2 + Ъх + 2 = 0 находим лгх = -2,
*2 = ~2* Следовательно,
2*2 + Ъх + 2 = 2(* - (-2))(х - (-1)) =
= 2(л: + 2)[х + |) = (х + 2)(2л: + 1).
Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим: хх - 6, х2 = -2. Поэтому
л:2 - 4* - 12 = (х - 6)(х - (-2)) = (х - 6)(х + 2).
А теперь сократим заданную дробь на х + 2 (при условии л: * -2):
2*2 + Ъх + 2 _ (х + 2(2* + 1) _ 2х + 1
*2 - 4* - 12 " (х - 6)(* + 2) " * - 6 "
б) Введем новую переменную у = у[х. Это позволит переписать
2у2 + у - з
заданное выражение в виде ——г—• Решив уравнение 2у2 +
о
+ у - 3 = 0, получим: i/j = 1, у2 = —«- Значит,
3);
2у2 + у - 3 _ (у - l)(2t/ + 3) _ 2у +
г/3-</2 " уЧу-D ~ у2
151

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Осталось учесть, что у = yfx. Итак, г^х = у'х + .
Ху/Х - X X
Сокращение выполнено при условии у Ф 1, т. е. 4х * 1, х * 1.
Если говорить об области допустимых значений переменной х, то
следует добавить еще одно условие: х > 0. ■
§ 28. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ
Напомним, что алгебраическое выражение,
составленное из чисел и переменных с помощью операций сложения,
вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень,
называют рациональным. Если г(х) — рациональное выражение, то
уравнение г(х) = 0 называют рациональным уравнением.
Впрочем, удобнее пользоваться несколько более широким
толкованием термина «рациональное уравнение», понимая под этим
уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.
То, что рациональные уравнения могут служить
математическими моделями реальных ситуаций, вам известно; целый
ряд соответствующих примеров был ранее рассмотрен в § 5 и в
учебнике «Алгебра-7». Теперь поговорим об этом более подробно.
Пример 1. Перегон в 60 км поезд должен был проехать с
постоянной скоростью за определенное расписанием время.
Простояв перед перегоном у семафора 5 мин, машинист вынужден
был увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч,
чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные
5 мин. С какой скоростью поезд должен был пройти перегон по
расписанию?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х км/ч — скорость поезда по расписанию. Так как
протяженность перегона равна 60 км, то время, отведенное
расписанием на его прохождение, равно — ч. Фактически поезд прошел
перегон в 60 км со скоростью (х + 10) км/ч, следовательно, вре-
60
мя, затраченное на прохождение перегона, равно ——Tq ч.
152

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
тт 60 60 л
Из двух величин — ч и 1Q ч первая больше второй на
5 мин, т. е. на jz ч. Значит, мы приходим к уравнению
60 _ 60 _1_
х х + 10 12'
Математическая модель задачи составлена. Это —
рациональное уравнение.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Освободимся от знаменателей, учтя, что общим знаменателем
служит 12*(* + 10), и расставив дополнительные множители:
х х + 10 " 12'
Получим:
720* + 7200 - 720* = х2 + 10*;
х2 + 10* - 7200 = 0;
*! = 80, *2 = -90.
Оба значения удовлетворяют условию 12*(* + 10) Ф 0,
следовательно, эти значения — корни составленного рационального
уравнения.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, с какой скоростью поезд должен был пройти
перегон по расписанию? Именно эту величину мы обозначили
буквой *. Получилось, что либо * = 80, либо * = -90. Второе
значение нас явно не устраивает, поскольку скорость движения
поезда (в реальной действительности) не может выражаться
отрицательным числом. Значит, выбираем значение * = 80, это
и есть ответ на вопрос задачи.
Ответ: 80 км/ч.
Сделаем некоторые комментарии к выполненному решению.
1. Конечно, рассмотренная ситуация несколько
идеализирована: вряд ли в реальной жизни поезд пройдет весь перегон с
постоянной скоростью, ведь всегда есть и ускорения, и замедления.
Но на такую идеализацию математикам приходится идти
сознательно.
2. В очередной раз обращаем ваше внимание на то, что мы
воспользовались привычной схемой рассуждений: составление
153

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
математической модели, работа с составленной моделью, ответ на
вопрос задачи.
3. Подчеркнем, что первый этап, т. е. составление
математической модели, — ключевой в решении задачи. На этом этапе
осуществляется перевод условия задачи с обыденного языка на
математический, т. е. выполняется серьезная творческая работа.
Основательная работа проводится и на втором этапе, но эта работа
не творческая, а чисто техническая, поскольку, действуя по
алгоритму, особенно не приходится думать.
Вернемся к рассмотренной задаче и проанализируем, как
осуществляется перевод с обыденного языка на математический.
Искомую величину мы обозначили буквой х. Это дало нам
возможность оперировать искомой скоростью, ведь с точки
зрения алгебры не важно, имеем ли мы дело с числами или с
буквами.
Зная путь (60 км) и скорость (х км/ч) и использовав
физический закон равномерного движения s = vt (s — путь, и —
скорость, t — время), мы нашли время, предусмотренное расписа-
нием, — оно выражается дробью — ч.
По условию, перегон был пройден со скоростью, на 10 км/ч
большей, чем предполагалось расписанием. Перевод этого
условия на математический язык дал следующее: (х + 10) км/ч —
фактическая скорость прохождения перегона, а ——т^ ч —
фактическое время движения поезда по перегону в 60 км.
Далее, согласно условию, на рассматриваемом перегоне
машинист наверстал 5 мин, т. е. То ч- Иными словами, время,
60
предусмотренное расписанием (— ч), больше фактического
времени ( 1Q ч) на Y2 ч- На математическом языке это означает,
60 60 1 , л
что — - х + iq = jo (из большей величины вычли меньшую и
получили указанную в условии разность).
Обратите внимание на то, что в обеих частях уравнения
должны содержаться величины одного и того же наименования (в
данном уравнении это — часы).
154

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 2. Пристани А и Б расположены на реке, причем
В — на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в Б
и обратно за 8 ч 20 мин. За какое время катер прошел расстояние
от А до Б и расстояние от Б до А, если известно, что его
собственная скорость (скорость в стоячей воде) равна 20 км/ч?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда:
(20 + х) км/ч — скорость движения катера по течению;
(20 - х) км/ч — скорость движения катера против течения;
80
отгт— ч — время движения катера по течению;
80
™ ч — время движения катера против течения.
По условию, на путь туда и обратно катер затратил 8 ч 20 мин,
т. е. 8 п ч, или -д- ч. Но время, затраченное катером на путь из А
/80 80 \
в Б и обратно, выражается суммой дробей I 20 + х + 2о - х) Чя
Таким образом, мы приходим к уравнению
80 80 25
20 + х ' 20 - х ~ 3 '
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Есть смысл разделить обе части уравнения почленно на 5, хотя
бы для того, чтобы облегчить дальнейшие вычисления:
16 16 _ 5
20 + х + 20- * "3*
Освободимся от знаменателей, учтя, что общим знаменателем
служит 3(20 + л:)(20 - х) и расставив дополнительные множители:
13(20-х) 13(20+ х) 1(20 - х)(20 + х)
20 + х 20-х 3
Выполним дальнейшие преобразования:
48(20 - х) + 48(20 + х) = 5(400 - х2);
Ъх2 - 80 = 0;
*1,2 = ±4.
Оба эти значения удовлетворяют условию 3(20 + л:)(20 - х) ■* 0
значит, оба они являются корнями составленного рационального
уравнения.
155

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Во-первых, за х мы приняли скорость течения реки, а
скорость отрицательным числом выражаться не может. Поэтому из
двух значений 4 и -4 мы выбираем первое и отбрасываем второе.
Во-вторых, нас не спрашивают, чему равна скорость течения
реки, а спрашивают, какое время катер плыл из А в Б и из Б в А.
80
Время движения из А в Б выражается дробью т^ГТ—• Подста-
вив вместо х число 4, получим тгг, т. е. -д-> или 3 д. Учтем, что
з| ч = 3 ч 20 мин.
80
_
Время движения катера из Б в А выражается дробью
Подставив вместо х число 4, получим ттг» т. е. 5 ч.
Ответ: 3 ч 20 мин; 5 ч.
Разумеется, не следует думать, что мы с вами будем решать
задачи только на равномерное движение, как было в примерах 1
и 2. Самые разные ситуации моделируются с помощью
рациональных уравнений и общая схема решения таких задач по сути
дела одна и та же. В этом мы сейчас убедимся.
Пример 3. Периметр прямоугольного треугольника равен
48 см, один его катет на 4 см больше другого. Чему равны
стороны этого треугольника?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть л: см — меньший катет треугольника, тогда больший
катет равен (х + 4) см (ведь он на 4 см больше). Так как периметр
треугольника равен 48 см, то гипотенуза равна 48 - х - (х + 4),
т. е. (44 - 2х) см.
На рисунке 116 представлена геометрическая модель задачи —
прямоугольный треугольник с обозначенными длинами сторон.
Применив к этому треугольнику теорему
Пифагора, получим:
х2 + (х + 4)2 = (44 - 2л:)2.
х + 4 Математическая модель задачи состав-
Рис. 116 лена.
156

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Решив уравнение, получим: хх = 80, х2 = 12.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Нас спрашивают, чему равны стороны треугольника.
Меньший катет мы обозначили буквой х. Для х существуют две
возможности: либо х = 80 см, либо х=\2 см. Первое значение нас не
устраивает. Почему? Да потому, что одна сторона треугольника
не может быть больше его периметра, а периметр треугольника,
по условию, равен 48 см. Остается одна возможность: х = 12 см.
Тогда второй катет, который на 4 см больше, равен 16 см, а
гипотенуза равна 48 - 12 - 16 = 20 см.
Ответ: 12 см, 16 см, 20 см.
Замечание. Математическую модель только что решенной
задачи можно было бы составить иначе. Начнем так же: х см —
меньший катет, (х + 4) см — больший катет треугольника.
Гипотенузу выразим по теореме Пифагора: yjx2 + (х + 4)2 см. Так как,
по условию, периметр треугольника (сумма трех его сторон) равен
48 см, получаем уравнение
х + (х + 4) + у/х2 + (х + 4)2 = 48
и далее у}2х2 + 8л: + 16 = 44 - 2х. В этом уравнении переменная
содержится под знаком квадратного корня, такие уравнения
называют иррациональными. Но как их решать, мы с вами еще не
обсуждали. Вернемся к решению этого уравнения позднее, в § 38.
Пример 4. В райцентре два кинотеатра: «Факел» и
«Слава», первый — на 400, а второй — на 600 мест. В зрительном
зале кинотеатра «Слава» на 4 ряда больше, чем в зрительном зале
кинотеатра «Факел», и, кроме того, в каждом ряду мест на 5
больше, чем в кинотеатре «Факел». Сколько рядов в зрительном зале
кинотеатра «Факел», если известно, что в каждом ряду
кинотеатра «Слава» более 25 мест?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть х — число рядов в кинотеатре «Факел». Тогда:
х + 4 — число рядов в кинотеатре «Слава»;
— число мест в каждом ряду к/т «Факел»;
600 , „
——т — число мест в каждом ряду к/т «Слава».
157

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
По условию, в каждом ряду к/т «Слава» на 5 мест больше,
чем в каждом ряду к/т «Факел». Это значит, что
600 400
х + 4 х ~ ь'
Математическая модель составлена. Это — рациональное
уравнение.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Решив уравнение, получим: х1 = 20, х2 = 16.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
За х мы приняли число рядов в к/т «Факел». В соответствии
с полученными корнями мы должны проанализировать два
случая: либо в к/т «Факел» 20 рядов и, следовательно, 20 мест в
каждом ряду (поскольку в к/т «Факел» всего 400 мест в
зрительном зале), либо в этом кинотеатре 16 рядов по 25 мест в
каждом ряду. В первом случае в к/т «Слава» будет 24 ряда (по
условию, в к/т «Слава» на 4 ряда больше) по 25 мест в каждом ряду
(по условию, в каждом ряду к/т «Слава» на 5 мест больше, чем в
к/т «Факел»). Но, по условию, в каждом ряду к/т «Слава» более
25 мест, значит, первый случай не удовлетворяет условию
задачи. Рассмотрим вторую возможность: в к/т «Факел» 16 рядов по
25 мест в каждом. Тогда в к/т «Слава» будет 20 рядов по 30 мест
в каждом. Это удовлетворяет условию.
Итак, из двух указанных возможностей выбираем вторую, а
это означает, что в к/т «Факел» 16 рядов.
Ответ: 16 рядов.
Пример 5. Двое рабочих выполняют некоторый заказ.
После 45 мин совместной работы первый получил другое задание, а
второй завершил выполнение заказа через 2 ч 15 мин. Если бы
каждый рабочий выполнял заказ по отдельности, то второму
понадобилось бы для этого на 1 ч больше, чем первому. За какое
время они смогли бы выполнить порученное задание при
полноценной совместной работе?
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Если речь идет о выполнении некоторой работы, не
охарактеризованной в количественном плане (т. е. не сказано, сколько
деталей надо изготовить, сколько кубометров земли вынуть,
сколько страниц перепечатать и т. д.), то объем работы считают
равным 1, а части работы выражают в долях единицы.
158

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
о 1 О
работы за это время выражается формулой -т • —, т. е. j--
ВтоПусть х — число часов, необходимых первому рабочему для
самостоятельного выполнения заказа. Тогда второму
понадобится для этого (х + 1) ч.
Если объем всей работы (т. е. 1) разделить на число часов,
необходимых для выполнения всей работы, то узнаем долю
работы, выполняемую за 1 ч. Итак,
— — доля работы, которую выполняет первый рабочий за 1 ч,
г — доля работы, которую выполняет второй рабочий за 1 ч.
о
По условию, первый отработал 45 мин, т. е. -т ч. Доля его
рой отработал вместе с первым 45 мин и в одиночку 2 ч 15 мин.
Таким образом, он работал 3 ч. Доля его работы за это время
1 3
выражается формулой 3 • ^> т. е. ^-
Поскольку вместе они выполнили весь заказ (т. е. 1),
составляем уравнение
4х х + 1 ~~ "
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Решив уравнение, получим: х1 = 3, х2 = —г-
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
За х мы приняли число часов, необходимых первому рабочему
для выполнения всего заказа в одиночку. Из найденных двух
значений второе явно нас не устраивает. Таким образом, первый
рабочий может выполнить всю работу за 3 ч. Значит, второму
рабочему нужно для этого 4 ч. Работая вместе, они сделают за 1 ч
долю работы, равную (g + ~^у т. е. -^о все** работы. Следователь-
* 12
но, вся работа будет выполнена за -=- ч.
Ответ: 1 у ч.
Пример 7. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг,
содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к
этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40 % меди?
159

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием
одного из этих веществ, например олова, в первоначальном и
полученном сплавах.
В 12 кг сплава было 55% олова, т. е. 12 Tqq = 6,6 кг.
Примем за х кг массу добавленного олова. Масса нового сплава равна
(12 + х) кг, и олова в нем 60%, т. е.
(12 + *).^= §(12 + *) кг.
Итак, с одной стороны, масса олова в новом сплаве равна
о
6,6 кг, а с другой — выражается формулой т (12 + х) кг. Значит,
§(12 + л:) = 6,6.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Решив уравнение, получим х = 1,5.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
За х мы приняли то, что надо найти. Значит, к
первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова.
Ответ: 1,5 кг.
Замечание. Наметим коротко ход составления уравнения,
основанный на прослеживании за содержанием в
первоначальном и полученном сплавах не олова, а меди. В первоначальном
сплаве меди было 45%, т. е. 12 • t^q кг. В (12 + х) кг нового сплава
40
меди стало 40%, т. е. (12 + х) Tqq кг. Получаем уравнение
- 12 • —
- iz 10().
Пример 7. Из сосуда, содержащего 54 л кислоты, вылили
несколько литров и налили столько же литров воды. Затем
вылили столько же, сколько в первый раз, литров смеси, после чего
в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л кислоты. Сколько
кислоты вылили в первый раз?
160

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решение.
Первый этап. Составление математической модели.
Примем за л: л количество кислоты, вылитой в первый раз,
после чего в сосуде осталось (54 - х) л кислоты. Долив сосуд
водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 - х) л
кислоты. Значит, в одном литре смеси содержится —^т— л
кислоты.
Во второй раз вылили х л смеси, в которой содержится
54 — х
—erg— • х л кислоты, а всего за 2 раза вылили 54 - 24 = 30 л
кислоты. Составляем уравнение:
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Решив уравнение, находим два корня: хх = 90, х2 = 18.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
За х мы приняли количество кислоты, вылитой в первый раз.
По смыслу задачи должно выполняться неравенство 0 < х < 54.
Из найденных значений х этому условию удовлетворяет лишь
значение х = 18.
Ответ: 18 л.
6 Алгебра. 8 кл.: учебник

ГЛАВА
5
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
§2»-
§30.
§31.
§32.
§33.
Делимость чисел
Простые и составные числа
Деление с остатком
Наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное нескольких чисел
Основная теорема арифметики натуральных чисел
§ 29. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Целые числа, как известно, можно складывать,
вычитать, перемножать и возводить в натуральную степень — в
результате получится целое число. Иначе обстоит дело с делением. Эта
операция на множестве целых чисел, с одной стороны,
выполнима далеко не всегда, а с другой стороны, очень важна для
приложений. Без этой операции мы не смогли бы сокращать
дроби, находить наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное целых чисел, приводить дроби к общему
знаменателю, выполнять различные упрощения алгебраических
выражений. Именно поэтому вопросами делимости математики
занимаются очень давно и очень активно. Теория делимости
составляет существенную часть теории чисел — важной и интересной
математической науки.
Определение. Пусть даны два натуральных числа а и Ь. Если
существует натуральное число q такое, что выполняется равенство
a = bq, то говорят, что число а делится на число Ь. При этом
число а называют делимым, Ь — делителем, q — частным. Число а
называют также кратным числа Ъ.
Из записи а = bq следует, что Ъ — делитель а и что а кратно Ь.
Впрочем, из той же записи следует, что q — делитель а и что а
кратно q. Например, из записи 35 = 5 • 7 следует, что 35 делится
на 5 и 35 делится на 7, что 35 кратно 5 и 35 кратно 7, что 5 —
делитель числа 35 (и тогда 7 — частное) и что 7 — делитель
числа 35 (и тогда 5 — частное).
Вместо фразы «а делится на Ь» часто используют запись а \ Ь.
Например, вместо очевидных утверждений «а делится на а» или
«а делится на 1», можно писать а \ а или соответственно ail.
Ясно, что если а \ Ь, то а > Ь.
162

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Обратите внимание, что запись 8 : 2 означает требование
выполнить деление числа 8 на число 2 (в результате этой операции
получится число 4), в то время как запись 8 : 2 означает, что
число 8 делится на 2 (делится нацело, делится без остатка); речь
идет лишь о принципиальной возможности выполнить деление,
а само деление не требуется выполнять. Примерно так же
обстоит дело со знаком >. Если написано 8 > 2, то это лишь
констатация факта: число 8 больше числа 2; при этом не требуется
отвечать на вопрос, на сколько больше.
Опираясь на сформулированное определение, можно получить
ряд свойств отношения делимости на множестве натуральных
чисел.
Свойство 1. Если а I с и с : Ъ, то а I Ъ.
Например, из того, что 48 : 6 и 6 : 3, можно сделать вывод,
что 48 i 3.
Свойство 2. Если а I Ъ и с • Ь, то (а + с) I Ь.
Например, из того, что 12 • 3 и 21 • 3, можно сделать вывод,
что (12 + 21) ! 3.
Свойство 3. Если а I Ь и с не делится на Ъ, то (а + с) не
делится на Ъ.
Например, из того, что 12 • 3 и 22 не делится на 3, можно
сделать вывод, что (12 + 22) не делится на 3. В то же время из
того, что каждое слагаемое не делится на Ь, нельзя сделать
вывод, что и сумма не делится на Ь. Например, 14 не делится на 3 и
22 не делится на 3, но (14 + 22) • 3.
Свойства 2 и 3 распространяются на сумму любого конечного
числа слагаемых следующим образом: если каждое слагаемое
делится на число Ь, то и сумма делится на Ь; если каждое
слагаемое, кроме одного, делится на Ь, то сумма не делится на Ь.
Свойство 4. Если а I Ь и (а + с) \ Ь, то с \ Ь.
Например, из того, что 12!3и(12 + 21)!3, можно сделать
вывод, что 21 • 3.
Свойство 5. Если а • Ьх и с \ Ь2, то ас \ ЪХЪ2.
Например, из того, что 12 • 3 и 28 • 7, можно сделать вывод,
что (12 • 28) ! (3 • 7).
Свойство 6. Если а • Ь и с — любое натуральное число, то
ас : be; обратно, из ас i be следует alb.
163

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Например, из того, что 12 • 3, можно сделать вывод, что
(12 • 5) • (3 • 5), и обратно.
Свойство 7. Если а \ Ь и с — любое натуральное число, то ас • Ъ.
Например, из того, что 12 • 3, можно сделать вывод, что
(12 5) ! 3.
Следует заметить, что свойство, обратное свойству 7, не имеет
места: из того, что ас \ Ь, нельзя сделать вывод, что или а, или с
делится на Ь. Например, 45 • 15 и 45 = 9 • 5, но ни 9, ни 5 не
делятся на 15.
Свойство 8. Если а \ Ь и с \ Ь, то для любых натуральных
чисел п и k справедливо соотношение {an + ck) \ Ъ.
Например, из того, что 12 ! 3 и 21 : 3, можно сделать вывод,
что (25 12 + 271 21) : 3.
Доказательства свойств 1—4, 8
1. Отношение а \ с означает, что существует число qx такое,
что выполняется равенство а = cqx. Далее, с • Ъ означает, что
существует число q2 такое, что выполняется равенство с = bq2.
Следовательно, а = cqY = (bq2)qx = b(q2qx). Обозначим число q2qx буквой q.
Тогда получим, что а = bq, а это и означает, что а \ Ь.
2. Так как а ! Ь, то существует число qx такое, что
выполняется равенство а = bq1. Так как с : Ъ, то существует число q2 такое,
что выполняется равенство с = bq2. Тогда а + с = bqx + bq2 =
= b(qx + q2). Обозначим число qx + q2 буквой q. Тогда получим, что
а + с = bq,
а это и означает, что (а + с) ': Ь.
3. Предположим противное, что (а + с) • Ь. Тогда из а : b
следует, что а = bqx, а из (а + с) \ b следует, что а + с = bq2. Значит,
с = bq2 - а = bq2 - bqx = b(q2 - qx). Это означает, что с \ Ь. Но, по
условию, с не делится на Ь. Получили противоречие,
следовательно, наше предположение неверно и а + с не делится на Ь.
4. Предположим, что с не делится на Ь. Тогда, по свойству 3,
а + с не делится на Ь, что противоречит условию. Значит, наше
предположение неверно и, следовательно, с : Ь.
Свойства 5, 6 и 7 докажите самостоятельно.
8. Если а : b и с \ Ь, то, по свойству 7, an \ b и ck : b. Тогда, по
свойству 2,
{an + ck) : b.
164

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Отметим еще одно свойство, связанное с делимостью
натуральных чисел.
Свойство 9. Среди п последовательных натуральных чисел
одно и только одно делится на п.
Если мы возьмем любые три подряд идущих натуральных
числа, например, 8, 9, 10 или 106, 107, 108, то одно число из
тройки делится на 3 (для первой тройки это число 9, для второй —
число 108). Если мы возьмем любые 10 подряд идущих
натуральных чисел, то одно обязательно делится на 10. Если же
мы возьмем два подряд идущих четных числа, то одно
обязательно делится на 4.
Доказательство свойства 9 будет дано в § 31.
Пример 1. Доказать, что для любого натурального числа п
число пъ - 5n3 + An делится на 2, 3, 4, 5, 8.
Решение. Разложим многочлен пъ - 5п3 + 4п на множители:
пъ - 5п3 + 4п = п(п4 - Ъп2 + 4) = п(п4 - п2 - 4п2 + 4) =
= п(п\п2 - 1) - 4(п2 - 1)) = п(п2 - 1)(п2 - 4) =
= {п- 2){п - 1)п(п + 1)(п + 2).
Рассмотрим полученное произведение. При п = 1, п = 2 оно
обращается в 0, значит, делится на 2, 3, 4, 5, 8. При п > 2 имеем
произведение пяти последовательных натуральных чисел п - 2,
п - 1, п, п + 1, п + 2. Из этих пяти чисел, по свойству 9, одно
обязательно делится на 5, хотя бы одно — на 3, хотя бы одно —
на 4 и, кроме того, есть еще хотя бы одно четное число, т. е. число,
делящееся на 2. Тогда, по свойствам 5 и 7, произведение этих пяти
чисел делится на произведение чисел 2 и 4, т. е. делится на 8. ■
Теперь поговорим о конкретных признаках делимости — на 2,
3, 4, 5 и т. д. В формулировках признаков мы впервые используем
словесную конструкцию необходимо и достаточно. Обычно, если
из условия А следует условие Б (прямая теорема), то математики
говорят так: В является необходимым условием для А. Если же
из условия В следует условие А (обратная теорема), то
математики говорят так: В является достаточным условием для А. Если же
и из А следует Б, и из Б следует А, математики используют
словесную конструкцию необходимо и достаточно (или тогда и только
тогда).
Признак делимости на 2. Для того чтобы натуральное число
делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра
числа делилась на 2.
165

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Доказательство. Пусть с — цифра единиц натурального
числа р. Тогда число р можно представить в виде 10а + с. Так
как 10 • 2, то, по свойству 7, 10а : 2. Если с • 2, то (10а + с) • 2.
Обратно, если (10а + с) • 2, то, по свойству 4, с • 2.
Аналогичные рассуждения позволяют получить признаки
делимости на 5 и 10.
Признак делимости на 5. Для того чтобы натуральное
число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя
цифра числа делилась на 5 (т. е. цифра единиц либо 0, либо 5).
Признак делимости на 10. Для того чтобы натуральное число
делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц
была 0.
Прежде чем формулировать и доказывать признак делимости
на 4, заметим, что любое число р, содержащее не менее трех цифр,
можно представить в виде 100а + с, где с — число, образованное
последними двумя цифрами числа р. Например, 275 = 100-2 + 75,
14 508 = 100 • 145 + 8 и т. д.
Признак делимости на 4. Для того чтобы натуральное
число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо
и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя
последними цифрами числа р.
Доказательство. Пусть с — число, образованное двумя
последними цифрами числа р. Тогда число р можно представить в виде
100а + с. Так как 100а • 4, то, по свойствам 3 и 4, (100а + с) • 4
тогда и только тогда, когда с • 4.
Например, 12 456 делится на 4, поскольку делится на 4 число 56.
А число 7906 не делится на 4, поскольку не делится на 4 число 06,
т. е. число 6.
Аналогичные рассуждения позволяют получить признаки
делимости на 25, 8 и 125.
Признак делимости на 25. Для того чтобы натуральное
число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 25,
необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное
двумя последними цифрами числа р.
Признак делимости на 8. Для того чтобы натуральное
число р> содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8,
необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное
тремя последними цифрами числа р.
166

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Признак делимости на 125. Для того чтобы натуральное
число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125,
необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число,
образованное тремя последними цифрами числа р.
Признак делимости на 3. Для того чтобы натуральное
число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его
цифр делилась на 3.
Доказательство. Количество цифр в числер, как мы
увидим, значения не имеет, поэтому будем считать, что в числе р,
например, пять цифр: р = abcde (черта наверху — условное
обозначение того, что abcde рассматривается не как произведение
чисел а, Ь, с, d, e, a как число с соответствующими цифрами).
Имеем
р = abcde = 10 000а + ЮООЬ + 100с + 10d + е =
= (9999 + 1)а + (999 + 1)Ь + (99 + 1)с + (9 + \)d + е =
= (9999а + 999Ь + 99с + Ы) + (а + Ъ + с + d + e).
Сумма четырех слагаемых в первых скобках делится на 3, по
свойству 8 (поскольку 9, 99, 999, 9999 делятся на 3). Значит, по
свойствам 2 и 3, для делимости числа р на 3 необходимо и
достаточно, чтобы делилась на 3 сумма пяти слагаемых во вторых
скобках — а это как раз сумма цифр числа р.
Аналогично доказывается признак делимости на 9.
Признак делимости на 9. Для того чтобы натуральное
число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его
цифр делилась на 9.
Рассмотрим, например, число 2742. Сумма его цифр равна 15.
Число 15 делится на 3 и не делится на 9. Следовательно, число
2742 делится на 3 и не делится на 9.
Пример 2. Найти пятизначное число, кратное 45, если
известно, что каждая из трех его средних цифр на 1 больше предыдущей.
Решение. Пусть abcde — искомое число. По условию,
каждая из цифр Ь, с, d на 1 больше предыдущей. Это означает, что
& = а+1,с = а + 2, d = а + 3. Далее, по условию, искомое число
делится на 45. Это значит (по свойству 1), что оно делится на 5 и
на 9. Поскольку число делится на 5, для его последней цифры
есть лишь две возможности: либо е = 0, либо е = 5. Рассмотрим
каждый из этих случаев в отдельности.
167

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
1) Пусть е = 0. Тогда сумма цифр искомого числа, т. е. а + Ъ +
+ с + d + в, будет иметь вид а + (а + 1) + (а + 2) + (а + 3) + 0,
т. е. 4а + 6. По условию, искомое число делится на 9. Согласно
признаку делимости на 9, это означает, что сумма цифр
искомого числа делится на 9.
Итак, (4а + 6) : 9. При каких значениях а это возможно?
Будем рассуждать так. Поскольку (4а + 6) • 9, то, по свойству 1,
(4а + 6) : 3 или, что то же самое, ((За + 6) + а) ! 3. Но (За + 6) : 3,
значит, и а • 3. Итак, для первой цифры искомого числа есть
следующие возможности: а = 3, а = 6, а = 9. Впрочем, сразу
заметим, что а = 9 нас не устраивает, так как в этом случае Ь = а +
+ 1 = 10 — не цифра.
Если а = 3, то 4а + 6 = 18, a 18 делится на 9. Значение а = 3
нас устраивает.
Если а = 6, то 4а + 6 = 30, a 30 не делится на 9. Значение а = 6
нас не устраивает.
Итак, осталась единственная возможность: а = 3. Тогда
следующие три цифры искомого числа — 4, 5, 6, а само искомое
число — 34 560.
2) Пусть е = 5. Тогда сумма цифр искомого числа, т. е. а + Ь +
+ с + d + в, будет иметь вид а + (а + 1) + (а + 2) + (а + 3) + 5,
т. е. 4а + 11. По условию, искомое число делится на 9.
Следовательно, (4а + 11) • 9. Придавая переменной а последовательные
значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 (а = 7 нас уже не устраивает, поскольку
в этом случае d = a + 3 = 10 — не цифра; тем более нас не
устраивают значения a = 8, a = 9), убеждаемся, что указанное
соотношение выполняется лишь при a = 4; в этом случае выражение
4а + 11 принимает значение 27, т. е. делится на 9.
Если a = 4, то следующие три цифры искомого числа — 5, 6, 7,
а само искомое число — 45 675.
Ответ: 34 560 или 45 675.
Завершая разговор о делимости натуральных чисел, рассмотрим
более сложные признаки делимости на 11, на 7 и на 13.
Проведем вспомогательные рассуждения, которые позволят получить
признак делимости на 11.
Рассмотрим числа 99, 9999, 999 999, 99 999 999 и т. д.; в каждом из
этих чисел — четное число девяток. Все эти числа, во-первых, делятся
на 11, а во-вторых, представимы в виде, соответственно, 102 - 1, 104 - 1,
106 - 1, 10е - 1 и т. д.
Рассмотрим теперь числа 11, 1001, 100 001, 10 000 001 и т. д.; в
каждом из этих чисел — четное число нулей между единицами. Все эти числа,
168

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
во-первых, делятся на 11 (поскольку 1001 = 990 + 11, 100 001 = 99 990 +11,
10 000 001 = 9 999 990 + 11; в записанных суммах первые слагаемые
делятся на 11), а во-вторых, представимы в виде, соответственно, 101 + 1,
103 + 1, 105 + 1, 107 + 1 и т. д.
Признак делимости на 11. Для того чтобы натуральное число
делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма
его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на
нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус»,
если цифры находятся на четных местах, делилась на 11.
Например, для числа 24 569 алгебраическая сумма, о которой идет
речь в формулировке признака, имеет вид 9-6 + 5-4 + 2, она равна 6;
поскольку число 6 не делится на 11, то и число 24 569 не делится на 11.
Для иллюстрации идеи доказательства признака возьмем 8-значное
число abcdefkm.
Имеем:
abcdefkm = а 107 + Ь • 106 + с 105 + d 104 + е 103 +
+ / • 102 + k • 10 + т = (а • (107 + 1) - а) + (Ъ • (106 - 1) + Ъ) +
+ (с • (105 + 1) - с) + (d • (104 - 1) + d) + (е • (103 + 1) - е) +
+ (/ • (102 - 1) + f) + (k • (101 + 1) - k) + m =
= a • (107 + 1) + b- (106 - 1) + с (105 + 1) + d- (104 - 1) + e (103 + 1) +
+ / • (102 - 1) + k • (10 + 1) + (m - k + / - e + d - с + b - a).
Поскольку, как мы уже ранее установили, числа 107 + 1, 106 - 1,
105 + 1, 104 - 1, 103 + 1, 102 - 1, 101 + 1 делятся на 11, делимость числа
abcdefkm на 11 целиком и полностью зависит от делимости на 11
алгебраической суммы цифр
(m-k + f-e + d-c + b-a).
Пример 3. Не выполняя деления, доказать, что число 86 849 796
делится на 11.
Решение. Составим алгебраическую сумму цифр данного числа,
начиная с цифры единиц и чередуя знаки «+» и «-»: 6-9 + 7-9 + 4-
-8 + 6-8 = -11. Число -11 делится на 11, значит, и заданное число
делится на 11. ■
Проведем вспомогательные рассуждения, которые позволят получить
признаки делимости на 7 и на 13.
Рассмотрим число 103 + 1, т. е. 1001. Имеем: 1001 = 7 11 13.
Следовательно, (103 + 1) \ 7 и (103 + 1) • 13.
Рассмотрим число 106 - 1. Имеем: 106 - 1 = (103 + 1)(103 - 1). Значит,
(ю6 - 1); 7 и (ю6 - 1); 13.
Аналогично можно установить, что 109 + 1, 1012 - 1 и т. д. кратны
1001, а поэтому делятся на 7 и на 13. Например,
109 + 1 = (103 + 1)(106 - 103 + 1),
1012 - 1 = (106 - 1)(106 + 1) = (103 + 1)(103 - 1)(106 + 1).
169

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Покажем, как используются проведенные рассуждения для
получения признака делимости на 7 (на 13). Возьмем, например, 8-значное
число abcdefkm и разобьем его на грани, по 3 цифры в каждой грани,
начиная с цифры единиц: ab cde fkm. Введем обозначения: ab = x, cde = у,
fkm = р. Тогда заданное число abcdefkm можно представить в виде
abcdefkm = х • 106 + у • 103 + р =
= (х • (106 - 1) + х) + (у ■ (103 + 1) - у) + р =
= х • (106 - 1) + у • (103 + 1) + (р - у + х).
Поскольку, как мы установили выше, числа 106 - 1 и 103 + 1 делятся
на 7 (на 13), делимость числа abcdefkm на 7 (на 13) целиком и полностью
зависит от делимости на 7 (на 13) алгебраической суммы чисел (р - у + х).
Теперь сформулируем признак делимости натурального числа на 7 и
на 13.
Признак делимости на 7 (на 13). Для того чтобы натуральное
число делилось на 7 (на 13), необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая
сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани (начиная с цифры
единиц), взятых со знаком «плюс» для нечетных граней и со знаком
«минус» для четных граней, делилась на 7 (на 13).
Пример 4. Не выполняя деления, доказать, что число 254 390 815
делится на 7 и не делится на 13.
Решение. Разобьем число на грани 254, 390, 815. Составим
алгебраическую сумму граней, начиная с последней грани и чередуя знаки
«+» и «-»: 815 - 390 + 254 = 679. Число 679 делится на 7 и не делится
на 13, значит, и заданное число делится на 7 и не делится на 13. ■
§ 30. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Определение. Если натуральное число имеет только два
натуральных делителя — само себя и 1, — то его называют
простым числом; если оно имеет более двух делителей, то его
называют составным числом. Число 1, имеющее лишь один делитель 1,
не относят ни к простым, ни к составным.
Например, числа 2, 3, 5, 7, 19, 101 — простые, а числа 4, 6,
8, 35, 121 — составные.
Теорема 1. Любое натуральное число а > 1 имеет хотя бы
один простой делитель.
Доказательство. Если а — простое число, то а = а • 1,
откуда следует, что у заданного числа есть простой делитель а.
170

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Пусть теперь а — составное число. Тогда его можно представить
в виде а = ахсх, где оба множителя отличны от 1 и меньше а. Если
хотя бы один из множителей — простое число, то свойство
доказано. Если оба множителя — составные числа, то рассмотрим
число ах и представим его в виде ах = а2с2, где оба множителя
отличны от 1 и меньше ах. Если хотя бы один из множителей —
простое число, то свойство доказано, если нет, то представим а2
в виде произведения чисел, меньших, чем а2, и т. д. Тогда либо
на каком-то шаге обнаружится простой множитель, либо придется
предположить, что процесс составления чисел а19 а2, а3> а4 и т- Д-
бесконечен. Но бесконечным он быть не может, так как все
указанные числа разные и меньше а, поэтому их — конечное
множество. Следовательно, на каком-то шаге обнаружится простой
делитель числа а.
Простые числа обладают многими интересными свойствами.
Остановимся на двух из них.
Теорема 2. Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим противное, что множество
простых чисел конечно. Тогда можно выписать все простые
числа: р19 р2, р3, ..., Pk- Составим теперь число а следующим образом:
а = Р1Р2Р3 ••• 'Pk + 1- По теореме 1, у числа а есть хотя бы один
простой делитель, т. е. число а делится на одно из чисел р19 р2,
Рз> •••» Рь (веДЬ мы предположили, что других простых чисел нет).
Но 1 не делится ни на одно из этих чисел, значит, по свойству 3
из § 29, число а не делится ни на одно из этих чисел. Получили
противоречие, поэтому сделанное предположение неверно, т. е.
на самом деле множество простых чисел бесконечно.
Исследователей всегда интересовал вопрос о распределении
простых чисел среди натуральных чисел. Выпишем подряд
простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Назовем
расстоянием между соседними простыми числами их разность.
Обратите внимание, что в выписанной последовательности эти
расстояния равны, соответственно, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6. А между
соседними простыми числами 119 и 127 расстояние равно 8.
Вообще имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Расстояние между двумя соседними простыми
числами может быть больше любого наперед заданного
натурального числа.
171

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Доказательство. Возьмем произвольное натуральное число
а и докажем, что найдутся два соседних простых числа,
расстояние между которыми больше а. Составим натуральное число
с = 1 • 2 • 3 •... • а • (а + 1). Оно делится на 2, 3, 4, 5, ..., а, а + 1.
Тогда число с + 2 делится на 2, число с + 3 делится на 3, число
с + 4 — на 4 и т. д., число с + а — на а, число с + а + 1 —
на а + 1 (см. свойство 2 в § 29). Это значит, что а подряд идущих
чисел с + 2, с + 3, с + 4, ..., с + а, с + а + 1 — составные, т. е.
расстояние между ближайшим к с + 2 простым числом (слева) и
ближайшим кс + а + 1 простым числом (справа) больше а.
§31. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
Если натуральное число а не делится на натуральное
число Ь, то рассматривают деление с остатком. Например, при
делении числа 37 на число 15 в частном получается 2
(неполное частное) и в остатке 7. При этом имеет место соотношение
37 = 15-2 + 7. Вообще справедлива следующая теорема.
Теорема. Если натуральное число а больше натурального
числа Ъ и а не делится на Ъ, то существует, и только одна,
пара натуральных чисел q и г, причем г < Ъ, такая, что
выполняется равенство
a = bq + г. (1)
Например, для а = 37, Ь = 15 такая пара чисел найдена выше:
q = 2, г = 7 — при этом остаток г меньше делителя Ъ.
Доказательство. По условию, b < а. Рассмотрим числа b, 2b, ЗЬ,
4Ь, .... Начиная с некоторого места все они будут больше числа а. Первое
из чисел такого вида, которое станет больше числа а, обозначим (q + l)b>
т. е. qb + b. Следовательно,
qb < a < qb + b.
Но тогда а = bq + г, где г < Ь.
Итак, существование интересующей нас пары чисел qy r доказано.
Докажем теперь, что такая пара единственна.
Предположим, что существуют две различные пары натуральных
чисел (qt; гх) и (q2; r2) такие, что
а = bqx + г,, гх < Ь;
а = bq2 + г2, г2 < Ь.
Сразу заметим, что если гх = г2 = г, то из равенства bqx + г = bq2 + г
получим qx = q2y т. е. пары (qx; rx) и (q2; r2) одинаковы; если qx = q2 = q,
ill

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
то из равенства bq + rx = bq + г2 получим гх = г2, значит, опять пары
одинаковы. Таким образом, если пары различны, то гх Ф г2 и qx Ф q2.
Будем считать для определенности, что гх > г2. Так как bqx + гх =
= bq2 + г2, то rx - r2 = b(q2 - qj. Это значит, что гх - г2 делится на Ь. Но это
невозможно, поскольку натуральное число гх - г2 меньше Ь.
Следовательно, сделанное предположение о существовании двух пар натуральных
чисел неверно и единственность доказана.
Замечание 1. Если а \ Ь, то также можно считать, что для
чисел а и b выполняется равенство (1), где г = 0.
Замечание 2. Иногда удобнее формулу деления с остатком
записывать несколько в ином виде. Имеем:
а = bq + г = b(q + 1) - (b - г).
Поэтому можно записать так:
a = bq,- rlf (2)
где 0 < гх < Ь.
Пример 1. Составить формулу:
а) четного числа;
б) нечетного числа;
в) натурального числа, которое при делении на 3 дает в остатке 2.
Решение, а) Четное число п — это число, которое делится
на 2. Значит, п = 2k — это хорошо известная вам формула
четного числа.
б) Нечетное число п — это число, которое при делении на 2
дает в остатке 1. Воспользовавшись соотношениями (1) или (2),
получим формулу нечетного числа п = 2k + 1 или п = 2k - 1.
в) Согласно соотношению (1), формула натурального числа п,
которое при делении на 3 дает в остатке 2, имеет вид п = 3k + 2.
То же самое, по формуле (2), можно записать так: п = 3k - 1. ■
Пример 2. Доказать, что если натуральное число при
делении на 3 дает в остатке 2, то оно не может быть точным
квадратом.
Решение. Пусть п = 3k + 2. Предположим, что это число
является точным квадратом, т. е. существует такое натуральное
число а, что п = а2. Для самого числа а есть три возможности:
а делится на 3, т. е. имеет вид а = 3k; а при делении на 3 дает
в остатке 1, т. е. имеет вид а = 3k + 1; а при делении на 3 дает в
остатке 2, т. е. имеет вид а = 3k + 2.
173

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Если а = 3k, то п = а2 = (3k)2 = 9k2. Это число делится на 3, что
противоречит условию. Если а = 3k + 1, то п = а2 = (3k + I)2 =
= 9k2 + 6k + 1 = 3(3&2 + 2k) + 1. Это число при делении на 3 дает
в остатке 1, что противоречит условию. Если, наконец, а = 3k + 2,
то п = а2 = (3k + 2)2 = 9fc2 + 12fc + 4 = 3(3fc2 + 4fc + 1) + 1. Это число
при делении на 3 дает в остатке 1, что противоречит условию.
Итак, в любом возможном случае приходим к противоречию;
таким образом, наше предположение неверно, т. е. заданное
число не является точным квадратом. ■
Завершая параграф, докажем свойство 9 из § 29.
Даны л подряд идущих натуральных чисел: k, k + 1, k + 2, ..., k +
+ (л - 1). Требуется доказать, что среди них имеется число, которое
делится на л, причем такое число единственно.
Если k : л, то утверждение доказано: само число k уже делится на л,
тогда как числа k + 1, k + 2, ..., k + (п - 1) на п не делятся (см. свойство 3
из § 29).
Если k не делится на п и k < п, то среди чисел k, k + 1, k + 2, ...,
k + (п - 1) встретится само число п: это будет k + (п - k); только оно и
делится на л.
Если k не делится на л и k > л, то, по теореме, существует, и только
одна, пара натуральных чисел q и г, причем г < л, такая, что выполняется
равенство k = nq + г. Тогда среди чисел Aj, Aj + 1, fc + 2, ..., Aj + (л - 1)
опять-таки встретится только одно число, делящееся на л, им будет число
nq + г + (л - г). В самом деле.
лд + г + (л - г) = nq + л = л(д + 1).
§ 32. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
НЕСКОЛЬКИХ ЧИСЕЛ
Рассмотрим два числа 72 и 96. Выпишем все делители
числа 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Выпишем теперь все делители числа 96:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.
Среди выписанных чисел есть одинаковые:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 —
их называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из
них называют наибольшим общим делителем (НОД) чисел 72 и 96.
Итак, НОД(72, 96) = 24.
174

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Для любых заданных натуральных чисел можно найти НО Д.
Например, НОД(45, 75, 120) = 15, НОД(27, 81) = 27.
Определение. Два натуральных числа а и с называют
взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей,
отличных от 1; иными словами, если НОД(а, с) = 1.
Например, взаимно простыми являются числа 35 и 36, хотя
каждое из них — составное число. В самом деле, у числа 35
четыре делителя: 1, 5, 7, 35, — а у числа 36 девять делителей: 1,
2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Общих делителей, отличных от 1, у чисел
35 и 36 нет.
Вполне очевидно следующее утверждение: если даны
натуральные числа аир, причем р — простое число, то либо а
делится на р, либо аир — взаимно простые числа.
Рассмотрим два числа 12 и 18. Выпишем кратные числа 12:
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, ....
Выпишем теперь кратные числа 18:
18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, ....
Среди выписанных чисел есть одинаковые:
36, 72, 108, 144, ... —
их называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из
них называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел 12 и 18.
Итак, НОКЦ2, 18) = 36.
Для любых заданных натуральных чисел можно найти НОК.
Например, НОК(20, 30, 40) = 120, НОК(27, 81) = 81.
Обычные приемы отыскания НОД и НОК мы напомним в
следующем параграфе.
Теорема 1. Если К — общее кратное чисел а и с, то
К I НОК(а, с).
Доказательство. По условию, К \ а, К \ с. Предположим
противное, что К не делится на НОК(а, с). Обозначим НОК(а, с)
буквой т. Заметим, что т • а, т ! с.
По теореме о делении с остатком, число К можно представить
в виде К = mq + г, где 0 < г < т. Так как К • а, т : а, то и
г • а. Так как, далее, К • с, т • с, то и г • с. Итак, г : а, г • с,
следовательно, г — общее кратное чисел а и с, поэтому г > т,
вопреки условию 0 < г < т. Полученное противоречие означает,
что сделанное предположение неверно. Значит, К \ НОК(а, с).
175

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Следствие 1. Если а : Ъх и а \ Ь2, то а : НОК(ЬХ, Ь2)«
Следствие 2. Если а : с и Ъ • с, то — общее кратное чисел
а и Ь.
Доказательство. Так как а • с, то а = cm, ab = Ьст,
— = Ьт, т. е. — : Ъ. Аналогично доказывается, что — : а.
Пример 1. Доказать, что для любого натурального числа п
справедливо соотношение (я5 - 5п3 + 4п) • 120.
Решение. В§ 29 в примере 1 было доказано, что при любом
натуральном значении п число п5 - 5п3 + 4п делится на 2, 3, 4, 5, 8.
Тогда, по следствию 1, оно делится и на НОК чисел 2, 3, 4, 5, 8,
т. е. на 120. ■
Теорема 2. Для любых натуральных чисел а и Ъ
справедливо равенство
НОК(а, Ъ) • НОД(а, Ъ) = аЪ. (3)
Доказательство. Введем обозначения:
НОК(а, Ъ) = k, НОД(а, Ъ) = d.
Так как аЬ — общее кратное чисел а и Ь, то, по теореме 1, ab i k, поэтому
ab = kc. Поскольку k \ а, то k = am. Подставив выражение am вместо k
в равенство ab = Arc, получим ab = атс, т. е. b = тс. Это значит, что b • с.
Аналогично можно доказать, что а\ с. Таким образом, с — общий делитель
чисел а а by поэтому с не больше их НОД: с < d. Но тогда k - — > -г-
Итак, —г < k.
С другой стороны, по следствию 2 из теоремы 1, —г — общее кратное
чисел а и Ь, поэтому оно не меньше их НОК: —г > k.
т, ab . . ab . , _ ab _
Итак, ~j > k ив то же время ~г < п. Следовательно, —г = ky т. е.
ab - dky что и требовалось доказать.
Следствие 1. Если числа а и Ъ — взаимно простые, то
НОК(а; Ъ) = ab.
176

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Следствие 2. Если а 1 Ъ19 а : Ь2 и числа Ъх и Ь2 — взаимно
простые, то а ! ЬгЬ2.
Равенство (3) иногда используют для отыскания
наименьшего общего кратного двух чисел.
Пример 2. Найти НОК(276, 282).
Решение. Оба заданных числа четные и делятся на 3, значит,
делятся и на 6. Поскольку 282 - 276 = 6, у заданных чисел не может
быть общего делителя, большего, чем 6. Итак, НОД(276, 282) = 6.
По формуле (3), получаем:
Tj/^T/vorrf; oqo\ 276 • 282 276 • 282
НОЩ276, 282) = НОД(276> 282) = g =
= (276 : 6) 282 = 12 972. ■
Отметим еще два свойства делимости, из которых второе
является следствием первого.
Теорема 3. Если числа аир взаимно простые и ас ': р, то с :р.
Доказательство. Так как аир — взаимно простые
числа, то НОК(а, р) = ар. По условию, ас i р; кроме того, ас : а.
Следовательно, ас — общее кратное чисел аир, и, по теореме 1, оно
делится на НОК(а, р). Таким образом, ас \ ар, откуда следует,
что с : р (см. свойство 6 из § 29).
Следствие. Если р — простое число и ас : р, то хотя бы
одно из чисел а, с делится на р.
Пример 3. Доказать, что ^/б — иррациональное число.
Решение. Предположим, что v6 — рациональное число.
Ясно, что это не натуральное число, а потому л/б = — » где п > 1
и — — несократимая дробь, т. е. т и п — взаимно простые числа.
—) = 6, т3 = 6п3, поэтому т3 • п3. Значит, т3 • п, т. е.
(т • т2) • п. По предположению, числа тип — взаимно простые,
значит, по теореме 3, т2 : п, т. е. (mm)': п. Но тогда, по той же
теореме, т • п, т. е. — — сократимая дробь, вопреки сделанному
предположению.
Таким образом, наше предположение неверно, поэтому v6 —
иррациональное число. ■
7 Алгебра. 8 кл.: учебник 177

5.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
§ 33. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
АРИФМЕТИКИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Основной теоремой арифметики называют обычно
совокупность двух утверждений, одно из которых (теорему 1) мы
докажем, а другое (теорему 2) приведем без доказательства.
Теорема 1. Любое натуральное число (кроме 1) либо является
простым, либо его можно разложить на простые множители.
Например, 35 = 5 7, 54 = 2 3 3 3, 169 = 13 13, 1001 =
= 7 11 13 и т. д.
Доказательство. Пусть а — составное число. По теореме 1 из § 30,
оно имеет простой делитель, т. е. число а можно представить в виде а = ахрХУ
где рх — простое число. Если при этом и ах — простое число, то теорема
доказана. Если ах — составное число, то его можно представить в виде
ai = ЯгРг» гДе Р2 — простое число. Если при этом и а2 — простое число, то
теорема доказана. Если а2 — составное число, то продолжим указанный
процесс. Тогда либо на каком-то шаге получится разложение на простые
множители, либо придется предположить, что процесс составления чисел
а1У а2, а3, а4 и т. д. бесконечен. Но бесконечным он быть не может, так
как все указанные числа меньше а, поэтому их — конечное множество.
Следовательно, на каком-то конечном шаге получится окончательное
разложение числа а на простые множители.
Теорема 2. Если натуральное число разложено на простые
множители, то такое разложение единственно; иными
словами, любые два разложения числа на простые множители
отличаются друг от друга лишь порядком множителей.
При разложении числа на простые множители используют
признаки делимости и применяют запись столбиком, при
которой делитель располагают справа от вертикальной черты, а
частное записывают под делимым.
Пример 1
а) 3780;
Решение.
. Разложить на простые множители число:
б) 7056.
а) 3780
1890
945
315
105
35
7
1
2
2
3
3
3
5
7
178

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
Итак, 3780 = 22 З3 5 7.
б) 7056
3528
1764
882
441
147
49
7
1
2
2
2
2
3
3
7
7
Итак, 7056 = 24 З2 72. ■
В обоих случаях мы использовали так называемые
канонические разложения, когда простые множители располагаются в
порядке возрастания.
Знание канонических разложений позволяет без особого труда
находить наибольший общий делитель или наименьшее общее
кратное заданных чисел.
Пример 2. Вычислить
НОД(3780, 7056) и НОК(3780, 7056).
Решение. Имеем:
3780 = 22 З3 5 7,
7056 = 24 З2 72.
Значит,
НОД(3780, 7056) = 22 З2 7 = 252;
НОК(3780, 7056) = 24 З3 5 72 = 105 840.

ГЛАВА
6
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§34.
§35.
§34.
§37.
§38.
§39.
Многочлены от одной переменной
Уравнения высших степеней
Рациональные уравнения
Уравнения с модулями
Иррациональные уравнения
Задачи с параметрами
§ 34. МНОГОЧЛЕНЫ
ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Арифметические операции над многочленами от одной
переменной
Пусть р(х) — многочлен, представляющий собой сумму
одночленов а0, ахху а2х2, а3х3, ..., ап_ххп~ху апхп, где п —
натуральное число, а а0, а1? а2, а3, ..., an_u an — произвольные числа
(коэффициенты), причем ап Ф 0. Условимся располагать эти одночлены
по убывающим степеням переменной х, т. е. записывать
многочлен в виде
р(х) = апхп + ап.ххп-1 + ... + а3х3 + а2х2 + ахх + а0
и называть эту запись стандартным видом многочлена р(х).
Одночлен апхп называют старшим членом многочлена р{х),
коэффициент ап — коэффициентом при старшем члене. Если ап = 1,
то многочлен называют приведенным, если же ап Ф 1 — то
неприведенным. Одночлен а0 называют свободным членом
многочлена р(х). Число п — показатель степени старшего члена —
называют степенью многочлена. Например, х + 3 — приведенный
многочлен первой степени, -0,5л:5 + Зх2 - 4 — неприведенный
многочлен пятой степени. Все числа удобно считать многочленами
нулевой степени; например, число 3 можно представить в виде Здс0,
так как х° = 1 (если х ^ 0).
Многочлены от одной переменной, как и любые многочлены,
можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в
натуральную степень; при этом снова получается многочлен от одной
переменной. Если складываются или вычитаются многочлены
разной степени, то в результате получится многочлен, степень
которого равна большей из имеющихся степеней. Если
складываются или вычитаются многочлены одной и той же степени, то
180

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
в результате получится многочлен той же или меньшей степени.
Например, сложив многочлены первой степени х + 3 и пятой
степени -0,5л:5 + Зх2 - 4, получим -0,5л:5 + Зх2 + х - 1 — многочлен
пятой степени. Сложив два многочлена третьей степени 2х* + Зх2 - х
и -2л:3 + Зл: - 4, получим Зл:2 + 2х - 4 — многочлен второй
степени; если же составить разность этих многочленов, то получится
(2л:3 + Зл:2 - х) - (-2л:3 + Зл: - 4) = 4л:3 + Зл:2 - 4л: + 4 — многочлен
третьей степени.
Если многочлен р(х) умножается на многочлен s(x), то
старший член произведения равен произведению старших членов
многочленов р(х) и s(x). Поэтому если многочлен р(х) имеет
степень я, а многочлен s(x) — степень т, то их произведение
р(х) • s(x) имеет степень т + п. Например, перемножив многочлен
пятой степени -0,5л:5 + Зл:2 - 4 и многочлен первой степени х + 3,
получим:
(-0,5л:5 + Зл:2 - 4)(л: + 3) = -0,5л:6 - 1,5л:5 + Зл:3 + 9л:2 - 4л: - 12.
Это многочлен шестой степени (5 + 1 = 6). Обратите внимание,
что старший член полученного многочлена шестой степени равен
произведению старших членов перемножаемых многочленов:
-0,5л:6 = -0,5л:5 х.
Если многочлен р(х) степени п возвести в степень т, то
получится многочлен степени пт. Например, возведя многочлен
пятой степени р(х) = -0,5л:5 + Зл:2 - 4 в квадрат, получим:
(р(х))2 = (-0,5л:5 + Зл:2 - 4)2 =
= (-0,5л:5 + Зл:2 - 4)(-0,5л:5 + Зл:2 - 4) =
= 0,25л:10 - 1,5л:7 + 2л:5 - 1,5л:7 + 9л:4 - 12л:2 + 2л:5 - 12л:2 + 16 =
= 0,25л:10 - Зл:7 + 4л:5 + 9л:4 - 24л:2 + 16.
Это многочлен 10-й степени (5 • 2 = 10).
Иногда выполнимо и деление многочлена на многочлен.
Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x), если
существует такой многочлен q(x), что выполняется тождество
р(х) - s(x) ■ q(x). (1)
При этом употребляется та же терминология, что и при
делении чисел: р(х) — делимое (или кратное), s(x) — делитель,
q(x) — частное. Впрочем, тождество (1) можно прочесть иначе:
s(x) — частное, a q(x) — делитель.
Например, многочлен л:3 - Зл:2 + Ъх - 15 делится на
многочлен л:2 + 5 и на многочлен х - 3, поскольку
л:3 - Зл:2 + 5л: - 15 = (л:2 + 5)(л: - 3).
181

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Многочлены х2 -\- 6 и х - S — делители многочлена Xs - Зх2 +
+ Ъх - 15.
2. Деление многочлена на многочлен с остатком
Как и для целых чисел, для многочленов рассматривают
деление с остатком.
Теорема 1. Если степень многочлена р(х) не меньше
степени многочлена s(x), то существует пара многочленов q(x) и
г(х) такая, что выполняется тождество
р(х) = 8(х) • q(x) + r(x), (2)
причем степень многочлена г(х) меньше степени многочлена s(x).
В формуле (2) многочлен р(х) называют делимым, s(x) —
делителем, q(x) — частным (или неполным частным), а г(х) —
остатком. Если т\х) = О, т. е. р(х) делится на q(x) без остатка,
формула (2) принимает вид р(х) = s(x) • q(x). Таким образом,
записанная выше формула (1) — частный случай формулы (2).
Степень не равного нулю остатка в формуле (2) должна быть
меньше степени делителя. Если в качестве делителя выступает
многочлен первой степени, то в остатке будет многочлен нулевой
степени, т. е. число; если в качестве делителя выступает
многочлен второй степени, то в остатке может быть число или
многочлен первой степени. Степень частного q(x) равна разности
степеней делимого р(х) и делителя s(x).
Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена 2л:2 -
- х - 3 на х - 2.
Решение. Имеем: 2л:2 - х - 3 = 2л:2 - 4х + Зх - 6 + 3 =
= 2х(х - 2) + 3(х - 2) + 3 = (х - 2)(2* + 3) + 3.
Итак, 2х2 - х- 3 = (х - 2)(2* + 3) + 3.
Здесь 2л:2 - х - 3 — делимое, х - 2 — делитель, 2л: + 3 — частное
(неполное частное), 3 — остаток. ■
Теорема 2. Остаток от деления многочлена р(х) на двучлен
х — а равен р(а) (т. е. значению многочлена р(х) при х = а).
Доказательство. Если р(х) — делимое, х - а — делитель
(многочлен первой степени), q(x) — частное иг — остаток
(многочлен нулевой степени, т. е. число), то, по формуле (2),
р(х) = (х- a)q(x) + г. (3)
182

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Если в формулу (3) подставить вместо х значение а, получим:
р(а) = (а - a)q(a) + г,
т. е. р(а) = г, что и требовалось доказать.
Эту теорему обычно называют теоремой Везу в честь
французского математика Этьена Безу (1730—1783).
Пример 2. Найти остаток от деления многочлена 2л:2 - х - 3
на двучлен х - 2.
Решение. По теореме Безу остаток от деления многочлена
р(х) = 2х2 - х - 3 на двучлен х - 2 равен р(2). Значит,
г = р(2) = 222-2-3 = 3. ■
Сравните это решение с решением примера 1. Там мы
получили такой же остаток, но по-другому, использовав при этом
более сложные рассуждения.
Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е.
выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем
многочлена. Если р(а) = 0, то в формуле (3) г = 0, и она принимает вид
р(х) = (х - a)q(x). Это значит, что многочлен р(х) делится на х - а.
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 3. Если число а является корнем многочлена р{х),
то р(х) делится на двучлен х — а.
Для деления многочлена р(х) на многочлен s(x) можно
применять правило «деления углом», похожее на правило деления
многозначных чисел. Чтобы получить старший член частного,
старший член делимого р(х) делят на старший член делителя s(x).
Полученный член частного (это будет старший член) умножают
на делитель и произведение вычитают из делимого. Разделив
старший член полученной первой разности на старший член
делителя, находят второй член частного, умножают его на делитель,
а произведение вычитают из первой разности. С полученной
второй разностью поступают так же: делят ее старший член на
старший член делителя, тем самым находят третий член частного,
затем умножают его на делитель, произведение вычитают из
второй разности и т. д. Этот процесс либо приведет к делению
многочлена р(х) на многочлен s(x) без остатка, либо на
некотором шаге получится разность, степень которой меньше степени
делителя, — эта разность и будет остатком г{х).
183

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 3. Выполнить деление с остатком многочлена 2л:2 -
- х - 3 на двучлен х - 2.
Решение. Как видите, фактически мы в третий раз
обращаемся к одному и тому же примеру. Но на этот раз выполним
«деление углом»:
Зх - 3 (первая разность)
3*-6
3 (вторая разность, остаток)
Итак, 2х2 - х- 3 = (х- 2)(2* + 3) + 3. ■
Пример 4. Разделить многочлен Xs - Зх2 + Ъх - 15 на
многочлен х2 + 5.
Решение. _ха- Зх2 + Ъх- 15 I х2 + 5
jc3 +5* | jc — 3
_-3*2 -15
-З*2 -15
О
Итак, мы выполнили деление без остатка, получили
Xs - Зх2 + Ъх - 15 = (х2 + 5)(* - 3). ■
3. Разложение многочлена на множители
Вы знаете многие приемы разложения многочлена на
множители, например: вынесение общего множителя за скобки,
использование формул сокращенного умножения, группировка,
разложение квадратного трехчлена на множители с помощью его
корней х19 х2 (речь идет о формуле ах2 + Ьх + с = а(х - хх){х - х2)).
Этим мы неоднократно пользовались в предыдущих главах.
Доказанная выше теорема 3 вооружает нас еще одним приемом:
если число а является корнем многочлена р{х), то р(х) делится на
двучлен х - а, т. е. может быть представлен в видер(л:) = (х - a)q(x).
Но чтобы составить такое разложение на множители, надо уметь
находить корень многочлена р(х). Отметим одну теорему, которая
позволит нам иногда пользоваться указанным приемом
разложения многочлена на множители.
184

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Теорема 4. Пусть все коэффициенты многочлена р(х) —
целые числа. Если целое число а является корнем многочлена
р(х), то а — делитель свободного члена многочлена р(х).
Доказательство проведем для случая, когда р(х) — многочлен
третьей степени: р(х) = bxs + сх2 + dx + т, где все коэффициенты
Ь, с, d, m — целые числа. По условию, целое число а является
корнем многочлена р(х). Это значит, что р(а) = О, т. е.
Ьа3 + са2 + da + т = 0.
Преобразуем полученное равенство к виду т = а(-Ьа2 — са - d)
и обозначим целое число -Ьа2 - са - d буквой k. Тогда последнее
равенство можно переписать в виде т = ak, а это и означает, что
число а — делитель числа т, т. е. делитель свободного члена
многочлена р(х).
Аналогично проводится доказательство теоремы для случая,
когда р(х) — многочлен 4-й, 5-й и вообще n-й степени.
Пример 5. Разложить на множители многочлен
р(х) = х3 - 4х2 + х + 6.
Решение. Попробуем найти целочисленные корни этого
многочлена. Если они есть, то, по теореме 4, их следует искать
среди делителей свободного члена заданного многочлена, т. е.
среди делителей числа 6. Выпишем эти делители — «кандидаты
в целочисленные корни»: ±1, ±2, ±3, ±6. Будем подставлять
выписанные значения поочередно в выражение для р(х):
р(1) = 4*0;
р(-1) = 0.
Итак, х = -1 — корень многочлена р(х), значит, р(х) делится
на х + 1.
Разделим многочлен р(х) на двучлен х + 1:
хА
х9
-4х2
_|_ 2
-Ъх2
+ х-
+ X
-Ъх
h6
х +
х2-
+ 6
1
5jc
+ 6
185

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Итак, Xs - 4х2 + х + 6 = (х + 1)(х2 - Ъх + 6). Далее,
х2 - Ъх + 6 = (х - 2)(х - 3),
поскольку 2 и 3 — корни квадратного трехчлена х2 - Ъх +
Таким образом,
*3 - 4х2 + х + 6 = (х + 1)(* - 2)(х - 3). ■
4. Общие делители и общие кратные нескольких многочленов
Если многочлен рх(х) делится на многочлен s(x) и многочлен
р2(х) делится на многочлен s(x), то многочлен s(x) называют
общим делителем многочленов рх{х) и р2(х). Чтобы найти общий
делитель двух многочленов, нужно их разложить на множители.
Пример 6. Найти общий делитель многочленов
Pl(x) = xs - Зх2 + Ъх - 15 и р2(х) = х2 - Ъх + 6.
Решение. Выше (см. примеры 4 и 5) мы видели, что
Pl(x) = xs - Зх2 + Ъх - 15 = (х - 3)(х2 + 5),
а р2(х) = х2 - Ъх + 6 = (х - 2)(х - 3).
Сравнивая эти разложения на множители, делаем вывод: х - 3 —
общий делитель заданных многочленов. ■
Обычно стараются найти наибольший общий делитель —
многочлен максимально возможной степени, на который делятся
данные многочлены. Если, например,
рх{х) = х2(х4 + 1)(х - 3)(2л: + I)5,
р2(х) = х3(х4 + 1)(х - 3)(2л: + I)2,
то общими делителями будут х, х2, (х4 + 1)(х - 3)(2л: + 1) и т. д.
Наибольший общий делитель — его обозначают Щх) или НОД(л:) —
должен включать в себя множители х2, х4 + 1, х - 3, (2х + I)2.
Значит, D(x) = х2(х4 + 1)(х - 3)(2л: + I)2.
Если многочлен q(x) делится на многочлен Pi(x) и на
многочлен р2(х), то многочлен q(x) называют общим кратным
многочленов Pi(x) и р2(х). Самый простой способ отыскания общего
кратного двух многочленов — перемножить заданные многочлены:
ясно, что многочлен q(x) = р1(х)р2(х) — общее кратное многочленов
Рх(х) и р2(х). Но обычно пытаются найти наименьшее общее
кратное — его обозначают К(х) или НОК(л:) — многочлен минимально
возможной степени, который делится на данные многочлены.
Пример 7. Найти наименьшее общее кратное многочленов
Pl(x) = х2(х4 + 1)(х - 3)(2^ + I)5,
р2(х) = х*(х4 + 1)(* - 3)(2* + I)2.
186

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение. Многочлен К{х), который будет служить
наименьшим общим кратным заданных многочленов, должен включать
в себя множители х3, х4 + 1, х - 3, (2х + I)5. Следовательно,
К(х) = xs(x4 + 1)(х - 3)(2* + I)5. ■
§ 35. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В этом параграфе мы поговорим о решении уравнений
вида Р(х) = О, где Р(х) — многочлен, степень которого выше второй.
Имеются два основных метода решения таких уравнений: метод
разложения на множители и метод введения новой переменной.
Что касается метода введения новой переменной, то он вам
знаком, мы не раз с успехом применяли его в алгебраических
преобразованиях, а ниже на примерах покажем, как он
применяется при решении уравнений.
Сущность метода разложения на множители состоит в
следующем. Дано уравнение Р(х) = О, где Р(х) — многочлен, степень
которого выше второй. Предположим, что нам удалось разложить
многочлен на множители: Р(х) = Р1(х)Р2(х)Р3(х). Тогда заданное
уравнение примет вид
Рх{х)Р2{х)Р,{х) = 0.
Значит, либо Рх(х) = 0, либо Р2(х) = 0, либо Р3(х) = 0. Обычно
в таких случаях говорят, что получили совокупность уравнений:
Р,(х) = 0; Р2(х) = 0; Р3(х) = 0.
Множество корней уравнения Р(х) = 0 представляет собой
объединение множеств корней уравнений:
Рх{х) = 0; Р2(х) = 0; Р3(х) = 0.
Для разложения многочлена на множители используют
известные приемы (вынесение общего множителя за скобки,
формулы сокращенного умножения, группировка), а также
некоторые факты теории многочленов, о которых мы говорили в § 34.
Добавим еще одно полезное утверждение.
Теорема. Если приведенное уравнение с целыми
коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень
обязательно является целым числом.
Доказательство (проведем его на примере уравнения
третьей степени). Дано уравнение Xs + Ьх2 + сх + d = 0, где Ь, с,
187

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
d — целые числа. Предположим, что оно имеет рациональный
корень х = —, где — — несократимая дробь. Подставив это
значение в уравнение, получим:
El + bill + СЕ + d = 0;
q) \q) q
p3 + &p2g + cpg2 + dq3 = 0;
p3 = q(-bp2 - cpq - dq2).
Обозначив числовое выражение в скобках буквой т, получим:
р3 = qm. Это значит, что р3 ! q, или, что то же самое, (р2 • р) \ q. Так
как числа р и q взаимно просты, то, по теореме 3 из § 32, которая
утверждает, что если произведение двух натуральных (или целых,
это несущественно) чисел делится на натуральное число q и один
из множителей взаимно прост с q, то второй множитель делится
на q. Таким образом, р2 • q, или, что то же самое, (р - р) \ q. Еще
раз воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что р : q.
В силу взаимной простоты чисел р и q последнее соотношение
возможно лишь в случае, когда q = 1 и, следовательно, х = — = р'—
целочисленный корень уравнения.
Как доказанная теорема применяется на практике? Если дано
приведенное уравнение с целыми коэффициентами, то методом
проб следует найти целочисленный корень уравнения среди
делителей свободного члена. Если это не удается, приходится
констатировать, что рациональных корней у уравнения нет и, значит,
для его решения надо либо пользоваться готовыми формулами
(они известны для уравнений третьей и четвертой степеней, но
достаточно сложны, мы их не приводим), либо что-то изобретать
(разлагать на множители, вводить новую переменную). Если же
дано неприведенное уравнение, то существуют способы замены
переменной, обращающие уравнение в приведенное, — далее мы
их покажем в примерах 6 и 7.
Пример 1. Решить уравнение х3 + 2х2 + Зх + 6 = 0.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:
х\х + 2) + 3(х + 2) = 0;
(х + 2)(*2 + 3) = 0;
х + 2 = 0; х2 + 3 = 0.
188

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Из первого уравнения получаем х1 = -2. Второе уравнение не
имеет действительных корней.
Ответ: -2.
Пример 2. Решить уравнение х4 + Xs + Зх2 + 2л: + 2 = 0.
Решение. Имеем:
(х4 + Xs + л:2) + (2л:2 + 2* + 2) = 0;
х2(х2 + * + 1) + 2(х2 + х + 1) = 0;
(л:2 + * + 1)(*2 + 2) = 0.
Остается решить совокупность уравнений:
х2 + х + 1 = 0; л:2 + 2 = 0.
Ни одно из них не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.
Пример 3. Решить уравнение Xs + 4л:2 - 24 = 0.
Решение. Попробуем найти целый корень заданного
уравнения. Целым корнем многочлена с целыми
коэффициентами, по теореме 4 из § 34, может быть только делитель
свободного члена, в данном случае числа 24. Выпишем делители
свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24. Подставив вместо х
в данное уравнение значение х = 1, получаем: I3 + 4 • I2 - 24 Ф 0;
таким образом, х - 1 не является корнем уравнения. Далее, при
х = -1 и х = 2 имеем: (-1)3 + 4(-1)2 - 24 * 0, 23 + 4 • 22 - 24 = 0.
Итак, хх - 2 — корень уравнения.
Мы знаем, что если а — корень многочлена Р(х), то Р(х)
делится без остатка на х - а (см. теорему 3 из § 34).
Воспользовавшись этим, разделим многочлен л:3 + 4л:2 - 24 на х - 2:
X»
х'
+ 4*
-2х2
6х2
~6х2
-
-\2х
12*-
12*-
24
24
24
х-
*2ч
2
-6* +
12
о
Таким образом, Xs + 4л:2 - 24 = (х - 2)(х2 + 6л: + 12),
следовательно, исходное уравнение принимает вид
(л: - 2)(л:2 + 6л: + 12) = 0.
189

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Это уравнение сводится к совокупности уравнений (одно из
которых фактически уже решено): х - 2 = 0; х2 + 6л: + 12 = 0.
Второе уравнение не имеет корней.
Ответ: 2.
Пример 4. Решить уравнение х4 + х2 — 20 = 0.
Решение. Введем новую переменную у = х2. Так как х4 =
= (х2)2 = у2, то заданное уравнение можно переписать в виде
у2 + у - 20 = 0.
Это — квадратное уравнение, корни которого найдем,
используя известные формулы; получим: ух - 4, у2 = -5.
Но у = х2, значит, задача свелась к решению двух уравнений:
х2 = 4; х2 = -5.
Из первого уравнения находим: х12 = ±2; второе уравнение не
имеет корней.
Ответ: ±2.
Уравнение вида
ах4 + Ъх2 + с = 0
называют биквадратным («би» — два, т. е. как бы «дважды
квадратное» уравнение). Только что решенное уравнение было
именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается
так же, как уравнение из примера 4: вводят новую переменную
у = х2, решают полученное квадратное уравнение относительно
переменной у, а затем возвращаются к переменной х.
В примере 4 метод введения новой переменной был адекватен
ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому что
одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения
несколько раз и был резон обозначить это выражение новой
буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная
«проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет
обстоять дело в следующем примере.
Пример 5. Решить уравнение х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 24.
Решение. Имеем:
х(х - 3) = х2 - Зх;
(х - 1)(х - 2) = х2 - Зх + 2.
Таким образом, заданное уравнение можно переписать в виде
(х2 - Зх)(х2 - Зх + 2) = 24.
190

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - Зх. С ее
помощью уравнение можно переписать в виде у(у + 2) = 24 и
далее у2 + 2i/ - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа
4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два
квадратных уравнения х2 - Зх = 4 и х2 — Зх = -6. Из первого
уравнения находим: х1 = 4, х2 = -1; второе уравнение не имеет корней.
Ответ: 4, -1.
Пример 6. Решить уравнение 21л:3 + х2 - Ъх - 1 = 0.
Решение. Если свободный член уравнения равен 1 или -1,
то значение х = 0 не является корнем уравнения, а потому можно
обе части уравнения разделить почленно на х3, а затем ввести
1
новую переменную у =
х
21*3 х^ _6х_
х3 х3 х3 х
х^ __ _ _ = ^
3 х3 х3 х3'
у3 + Ъу2 - у - 21 = 0.
Среди делителей числа -21 методом проб (как в примере 3)
найдем целочисленный корень этого уравнения: у1 = -3. Разделив
многочлен у3 + Ъу2 - у - 21 на у + 3, получим квадратный
трехчлен у2 + 2у - 7 с корнями у2Л = -1 ± 2л/2. Так как, далее,
1
х = — » то находим соответственно:
_ _1_ _ _1
Xl~ Уг ~ 3'
J^ = 1 = 2>/2 +1 = 2V2 -ь 1.
У2 " 2V2 - 1 " (2V2 - l)(2V2 + 1) " 7 '
= -L 1 1 - 2V2
^3 " Уз " -2V2 - 1 " 7 ' "
Пример 7. Решить уравнение 4л:3 - Юл:2 + 14л: -5 = 0.
Решение. Умножив обе части уравнения на 2, получим:
8л:3 - 20л:2 + 28л: - 10 = 0;
(2л:)3 - 5 (2л:)2 + 14 (2л:) - 10 = 0.
191
*2= — =

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Введем новую переменную у = 2х, получим приведенное
уравнение у3 - Ъу2 + 14у - 10 = 0. Целочисленный корень
уравнения очевиден: ух = 1. Разделив многочлен у3 - Ъу2 + \Ау - 10 на
у - 1, получим квадратный трехчлен у2 - 4у + 10, не имеющий
действительных корней. Так как х = ^, то ^i = f = 2 —
единственный корень уравнения.
Ответ: 0,5.
Уравнения вида ахА + Ьх3 + сх2 + Ьх + а = 0 (где все коэффициенты
отличны от нуля) называют возвратными (первые два коэффициента а
и b как бы возвращаются в последних двух членах уравнения).
Покажем способ решения возвратных уравнений.
Разделим почленно все члены уравнения на х2 (что вполне законно,
так как значение не является корнем уравнения); получим:
ах2 + Ъх + с + Ъ- +а(~) =0;
X \ XI
1 / 1\2
Положим у = х + —» тогда у2 = 1х + — I , откуда находим, что
х2 Н 2 = У2 - 2. С помощью новой переменной i/ уравнение (1) можно
переписать в виде а(у2 - 2) + by + с = 0. Предположим, что это
квадратное уравнение имеет корни ух и у2. Тогда, возвращаясь к переменной jc,
остается лишь решить два уравнения:
х + - = Уи х + - = у2.
Уравнения вида ахА + Ьх3 + сх2 + kbx + k2a = 0 (где все коэффициенты
отличны от нуля) также называют возвратными. Здесь после
почленного деления на х2 получаем:
h (k\2
ах2 + Ъх + с + Ь- + а [-) =0;
х \х)
192

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Если у = х + —, то у2 = 1х + —I , откуда
х> + £ = у* - 2k.
С помощью новой переменной у уравнение (2) можно переписать в виде
квадратного уравнения
а(у2 - 2k) + by + с = 0.
Если это уравнение имеет корни ух и у2У то остается решить два
уравнения:
fc ^ k
Х ~х = У1'9 Х ~х = Уг'
Пример 8. Решить уравнение
З*4 - 2*3 - 9*2 - 4х + 12 = 0.
Решение. Здесь -4 = -2 • 2, 12 = 3 • 22, значит, коэффициенты
многочлена имеют вид a, bf с, 2Ь, 22а. Это — возвратное уравнение. Поделив
обе части уравнения почленно на jc2, получим:
2 /2\2
3*2-2*-9-2- +3(-) =0;
2 / 2\2
Положим у = х + —» тогда у2 = {* + —), откуда находим, что
х2 + —2 = у2 - 4. С помощью новой переменной у уравнение (3) можно
переписать в виде 3(у2 - 4) - 2у - 9 = 0, т. е. Зу2 - 2у - 21 = 0. Найдем
7
корни этого квадратного уравнения: ух = 3, у2 = —£• Возвращаясь
о
2
к переменной jc, остается решить два простых уравнения: х + — = 3
2 7
3*
и jc + — =-—. Из первого уравнения находим: хх - \у х2- 2\ второе
уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: 1, 2.
193

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 36. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рациональные уравнения мы уже решали в
предыдущих параграфах (см., например, § 5, 25, 28). Здесь рассмотрим
несколько более сложных примеров.
Пример 1. Решить уравнение
2х3 - Ъх2 3 = 1
х2 - 1 2х - 2 ~ 2х + 2'
Решение.
2х3 -Ъх2 , 3 1 л
+ 1) 2(х -
- Юл:2 + Зл: +
2(х-
2х3 - Ъх2 + х + 2
(х - 1)(х + 1)
= 0;
= 0. (1)
Приравняв нулю числитель дроби, содержащейся в левой
части уравнения (1), получим:
2*3 - 5*2 + х + 2 = 0. (2)
Рассмотрим многочлен р(х) = 2х3 - Ъх2 + х + 2. Заметим, что
л: = 1 — корень этого многочлена, поскольку р(1) = 2- 5 + 1 + 2 = 0.
Следовательно, по теореме 3 из § 34, многочлен р(х) делится без
остатка на двучлен х-1:
2ха - 2х2
х-1
2х2 - Зл: - 2
_-Зх2 + х
-Зх2 + 3^
_-2jc + 2
-2л:+ 2
0
Итак, р(л:) = (х - 1)(2л:2 - Зл: - 2). Квадратный трехчлен 2х2 -
- Зл: - 2 имеет корни 2 и -0,5. Итак, мы нашли корни
уравнения (2): 1, 2, -0,5.
Но (внимание!) утверждать, что уравнение (1) уже решено (ас
ним и заданное уравнение) пока нельзя, ведь мы не проверили
второе условие равенства дроби нулю. Нужно убедиться в том,
194

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
что при найденных значениях переменной х знаменатель дроби,
содержащейся в левой части уравнения (1), не обращается в нуль.
Замечаем, что при х = 1 знаменатель (х - 1)(х + 1) обращается
в нуль, т. е. это значение не является корнем уравнения (1);
х = 1 — посторонний корень.
При значениях х = 2 или х = -0,5 знаменатель (х - 1)(х + 1)
в нуль не обращается. Эти значения — корни исходного уравнения.
Ответ: 2, -0,5.
Пример 2. Решить уравнение
1 2 7
+ 3* + 1 5
Решение. Введем новую переменную у = х2 + Зд:. Это
позволит представить уравнение в более простом виде (что,
собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной —
запись упрощается и структура уравнения становится более
ясной):
1 2 _ 7
у-3 + i/ + I ~ 5'
Общим знаменателем имеющихся дробей служит
5(у " 3)(у + 1).
Перепишем уравнение, расставив дополнительные множители:
л[Ыу + 1) о[5(у -3) 7[(У ~ ШУ + 1)
i -|_ ^^— — J_
i/ - 3 i/ + 1 5'
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель 5(г/ -
- 3)(z/ + 1), получим:
1у2 - 29у + 4 = 0.
Решив это квадратное уравнение, получим: ух = 4, у2 = ■=-
Теперь для найденных корней надо проверить выполнение условия
Ъ{у - 3)(у + 1) ■* 0. Оба корня этому условию удовлетворяют.
Осталось, возвращаясь к переменной х, решить два уравнения:
х2 + Зх = 4; х2 + Зх = |.
Корнями первого уравнения являются числа 1 и -4, корнями
-21 ± VJ69
второго — числа — .
^ 1 А -21 ± V469
Ответ: 1, -4, —г .
195

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Левая часть уравнения (3) представляет собой
сумму квадратов выражений х и —^-т. Это наталкивает на мысль
х + о
вычесть из обеих частей уравнения удвоенное произведение
указанных выражений, чтобы левая часть уравнения стала полным
квадратом разности. Итак, прибавим к обеим частям уравнения (3)
выражение -2х • —^~. Получим уравнение
х + 3/ х + 3
Преобразовав выражение в скобках, получим:
X
Положим теперь у = г. Тогда уравнение примет вид
X т О
у2 + 6у - 27 = 0, откуда г/х = —9, г/2 = 3. Задача свелась к решению
совокупности уравнений:
2 2
** Q. ** О
Первое уравнение не имеет корней; из второго находим:
з(1 ± 7б) ~*
*i,2 = —о • ^"а наиденных значения л: удовлетворяют уело-
вию л: + 3 ^ 0 и являются корнями исходного уравнения.
Ответ:
§ 37. УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЯМИ
Выше, в § 16, уже говорилось о решении уравнений с
модулями, т. е. о решении уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля. Там речь шла о решении простейших
уравнений с модулями — уравнений вида \ах + Ь\ = с. Мы показали
способ решения таких уравнений, основанный на геометрическом
196

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
смысле выражения \х - а\. Теперь рассмотрим более сложные
примеры.
Пример 1. Решить уравнение х2 + 2\х - 1| - 6 = 0.
Решение. Если х - 1 >0, то|л:-1| = л:-1и заданное
уравнение принимает вид
х2 + 2(х - 1) - 6 = 0, т. е. х2 + 2х - 8 = 0.
Если же л: - 1 < 0, то |лг — 1| = -(х - 1) и заданное уравнение
принимает вид
х2 - 2(х - 1) - 6 = 0, т. е. х2 - 2х - 4 = 0.
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по
отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть х - 1 > 0, т. е. х > 1. Из уравнения х2 + 2х - 8 = 0
находим хх = 2, х2 = -4. Условию л: > 1 удовлетворяет лишь
значение хх = 2.
2) Пусть л: - 1 < 0, т. е. х < 1. Из уравнения х2 - 2х - 4 = 0
находим х3 = 1 + л/б, л:4 = 1 - л/б. Условию л: < 1 удовлетворяет
лишь значение х4 = 1 - л/б.
Ответ: 2, 1 - л/б.
Замечание. Способ, который мы использовали при
решении примера 1, иногда называют так: раскрытие модуля по
определению.
Ьх — 9
Пример 2. Решить уравнение \х2 - 6х + 7| = —«—•
Решение.
Первый способ (раскрытие модуля по определению).
Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что заданное
уравнение нужно рассмотреть в двух случаях:
1) х2 - 6х + 7 > 0; 2) х2 - 6х + 7 < 0.
1) Если х2 - 6х + 7 > 0, то |*2 - 6* + 7| = *2 - 6* + 7 и
Су _ Q
заданное уравнение принимает вид х2 - 6х + 7 = —g—» т- е.
Зл:2 - 23л: + 30 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим:
ХХ = 6, Х2 = д.
Выясним, удовлетворяет ли значение хх = 6 условию х2 - 6х +
+ 7 > 0. Для этого подставим указанное значение в квадратное
197

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
неравенство. Получим: б2 - 6 • 6 + 7 > О, т. е. 7 > О — верное
неравенство. Значит, хх = 6 — корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение х2 = т> условию л:2 - 6л: +
+ 7 > 0. Для этого подставим указанное значение в квадратное
неравенство. Получим: (^ I - т; • 6 + 7 > 0, т. е. -jr - 3 > 0 —
неверное неравенство. Следовательно, х2 = g не является корнем
заданного уравнения.
2) Если л:2 - 6* + 7 < 0, то \х2 - 6х + 7| = -(л:2 - 6* + 7)
5jc — 9
и заданное уравнение принимает вид —(х2 — 6х + 7) = —о—» т. е.
Зл:2 - 13л: + 12 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим:
XS = 3, Х^ = -д»
Выясним, удовлетворяет ли значение л:3 = 3 условию л:2 - 6л: +
+ 7 < 0. Для этого подставим указанное значение в квадратное
неравенство. Получим: З2 - 6 • 3 + 7 > 0, т. е. -2 < 0 — верное
неравенство. Значит, х3 = 3 — корень заданного уравнения.
4
Выясним, удовлетворяет ли значение хА = ^ условию л:2 - 6л: +
+ 7 < 0. Для этого подставим указанное значение в квадратное
/4\2 4 16
неравенство. Получим: l-o I -^-6 + 7<0, т. е. -д- — 1 < 0 —
4
неверное неравенство. Таким образом, х4 = « не является корнем
заданного уравнения.
Вывод: заданное уравнение имеет корни 6 и 3.
Второй способ. Выше, в § 16, уже говорилось о том, что при
решении уравнений с модулями часто рассуждают так. Равенство
\с\ = а при а < 0 неверно, при а > 0 эквивалентно совокупности
двух равенств с = а, с = -а, при а = 0 сводится к с = 0 (впрочем,
последний случай можно объединить со случаем а > 0). Поэтому,
если дано уравнение |/(л:)| = h(x), то при h(x) < 0 оно не имеет
решений, а при h(x) > 0 надо рассмотреть два случая: f(x) = h(x);
f(x) = -h(x) (совокупность уравнений).
198

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Для заданного уравнения потребуем выполнения условия
Ъх — 9
—о— > О и рассмотрим совокупность уравнений:
х2 - 6* + 7 =
Ъх - 9
- 6* + 7 = -
5х- 9
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения
5 4
заданного уравнения), их корни таковы: 6, ^» 3, 77- Условию
о о
Ъх — 9
—о— > 0 из этих четырех значений удовлетворяют лишь два: 6 и 3.
Вывод: заданное уравнение имеет корни 6 и 3.
Третий способ {графический).
1) Построим график функции у = \х2 - 6х + 7|. Сначала
построим параболу у = х2 - 6х + 7. Имеем:
*2 - 6* + 7 = (х - З)2 - 2.
График функции i/ = (х - З)2 - 2 можно получить из графика
функции у - х2 сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по
оси х) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси у). Прямая х = 3 —
ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек
для более точного построения графика удобно взять точку (3; -2) —
вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно
оси параболы точку (6; 7). Парабола изображена на рисунке 117.
Чтобы теперь построить
график функции у = \х2 - 6х + 7|,
надо (см. § 23) оставить без
изменения те части построенной
параболы, которые лежат не ниже
оси х, а ту часть параболы,
которая лежит ниже оси х, отобразить
симметрично относительно оси х
(рис. 117).
2) Построим график линейной
Ъх — 9
функции у = —-—. В качестве
о
контрольных точек удобно взять
точки (0; -3) и (3; 2). Прямая,
служащая графиком указанной
линейной функции, представлена
на том же рисунке 117. Рис. 117
гт 1
1 Т
-9-
Z
о
\
\
\
\
\
/?
г
Ь
7;
у
В
f
у
//
{
X
199

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Сделаем некоторые пояснения к рисунку 117. Парабола
пересекает ось х в двух точках; чтобы их найти, надо решить
уравнение х2 - 6х + 7 = 0. Получим х1 = 3 - V2, х2 = 3 + V2. Прямая
6х - 9
у = —g— пересекает ось х в точке 1,8 (в этой точке у = 0). Но
3 - л/2 < 1,8, значит, точка пересечения прямой с осью л: находится
правее соответствующей точки пересечения параболы с осью х.
Это нашло свое отражение на рисунке 117.
3) Судя по чертежу, графики пересекаются в точках А(3; 2) и
Б(6; 7). Подставив абсциссы этих точек х = 3их = бв заданное
уравнение, убеждаемся, что и при том и при другом значении
получается верное числовое равенство. Таким образом, наша
гипотеза подтвердилась — уравнение имеет корни 3 и 6. ■
Замечание 1. Вы, конечно, понимаете, что графический
способ при всем своем изяществе не очень надежен. В
рассмотренном примере он сработал только потому, что корни уравнения —
целые числа. Тем не менее в пользе этого метода мы не раз с вами
убеждались.
Пример 3. Решить уравнение \2х - 4| + \х + 3| = 8.
Решение.
Первый способ. Выражение 2х - 4 обращается в 0 при х = 2,
а выражение х + 3 — при х = -3. Эти две точки разбивают
числовую прямую на три промежутка (рис. 118).
Рассмотрим первый промежуток — (-°°; -3). Если х < -3, то
2*-4<0ил: + 3<0. Значит, \2х - 4| = ~(2х - 4), а \х + 3| =
= -(х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке
заданное уравнение принимает вид -(2х - 4) -(х + 3) = 8. Решив
7
это уравнение, находим х = —-- Это значение не принадлежит
о
рассматриваемому промежутку, поэтому не может служить корнем
заданного уравнения.
Рассмотрим второй промежуток — [-3; 2). Если -3 < х < 2,
то2*-4<0ил: + 3 > 0. Следовательно, \2х - 4| = -(2х - 4),
а \х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом
промежутке заданное уравнение принимает вид -{2х - 4) + (х + 3) = 8.
Решив это уравнение, находим х = -1.
1 | ► Это значение принадлежит рассмат-
~3 2 риваемому промежутку, поэтому яв-
Рис. 118 ляется корнем заданного уравнения.
200

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим третий промежуток — [2; +<х>). Если х > 2, то
2х - 4 > 0 и х + 3 > 0. Значит, |2х - 4| = (2л: - 4), а |х + 3| =
= (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке
заданное уравнение принимает вид (2х - 4) + (х + 3) = 8. Решив это
уравнение, находим х = 3. Это значение принадлежит
рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного
уравнения.
Итак, нашли два корня: -1, 3.
Второй способ. Преобразуем уравнение к виду
2|х-2| + |х + 3| = 8. А В
I • I •
Переведем это соотношение на -3 Мг 2 М2
геометрический язык: нам нужно Рис. 119
найти на координатной прямой
такие точки М(х), которые удовлетворяют условию 2р(д:; 2) +
+ р(х; -3) = 8, или (см. рис. 119)
МА + 2МБ = 8 (1)
(здесь А = А(-3), Б = Б(2)).
Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А,
так как в этом случае 2МБ > 10 и, следовательно, равенство (1)
не может выполняться.
Рассмотрим случай, когда точка М(х) лежит между А и Б
(точка Мх на рис. 119). Для такой точки равенство (1) принимает
вид
(х - (-3)) + 2(2 - х) = 8,
откуда находим: х = -1.
Рассмотрим случай, когда точка М(х) лежит правее точки В
(точка М2 на рис. 119). Для такой точки равенство (1) принимает
вид
(х - (-3)) + 2(х - 2) = 8,
откуда находим: х = 3.
Ответ: -1, 3.
Замечание 2. Советуем вам попробовать использовать для
решения уравнения из примера 3 графический способ. Для этого
надо построить график функции i/ = |2x-4| + |x + 3|. Почти
такой же график был ранее построен в § 16.
201

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 38. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Основные понятия, связанные с иррациональными
уравнениями
Если в уравнении переменная содержится под знаком
корня (квадратного, кубического и т. д.; мы пока ограничимся
квадратными корнями), то уравнение называют иррациональным.
Бывают случаи, когда математическая модель реальной ситуации
представляет собой иррациональное уравнение — мы с этим уже
встречались (см. замечание к примеру 3 в § 28).
Рассмотрим иррациональное уравнение
Это равенство, по определению квадратного корня, означает,
что 2х + 1 = З2. Фактически от заданного иррационального
уравнения мы перешли к рациональному уравнению 2х + 1 = 9,
возведя в квадрат обе части иррационального уравнения. Метод
возведения в квадрат обеих частей уравнения — основной метод
решения иррациональных уравнений. Впрочем, это понятно: как
же иначе освободиться от знака квадратного корня? Из уравнения
2х + 1 = 9 находим х = 4. Это — корень как уравнения 2х + 1 = 9,
так и заданного иррационального уравнения.
Метод возведения в квадрат технически несложен, но иногда
приводит к неприятностям. Рассмотрим, например,
иррациональное уравнение
yj2x - 5 = V4x - 7.
Возведя обе его части в квадрат, получим:
= (у/4х - 7)2; 2х - 5 = 4х - 7; х = 1.
Но значение х = 1, будучи корнем рационального уравнения
2х - 5 = 4jc - 7, не является корнем заданного иррационального
уравнения. Почему? Подставив 1 вместо х в заданное
иррациональное уравнение, получим V^3 = V^3. Как же можно говорить
о выполнении числового равенства, если и в левой и в правой его
частях содержатся выражения, не имеющие смысла? В подобных
случаях говорят: х = 1 — посторонний корень для заданного
иррационального уравнения. Получается, что заданное
иррациональное уравнение не имеет корней.
202

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решим иррациональное уравнение
yJ2x2 + Ъх - 2 = х - 6.
Воспользуемся методом возведения в квадрат:
Шх2 + Ъх - 2)2 =(х- б)2;
2х2 + Ъх -2 = х2 - \2х + 36;
х2 + 17* - 38 = 0.
Корни этого уравнения можно найти устно: их произведение
равно -38, а сумма равна -17; нетрудно догадаться, что это —
числа 2 и -19. Итак, хх= 2, х2 = -19.
Подставив значение 2 вместо х в заданное иррациональное
уравнение, получим:
V2 22 + 5 2 - 2 = 2 - 6, т. е. Vl6 = -4.
Это неверно.
Подставив значение -19 вместо х в заданное иррациональное
уравнение, получим:
л/2 (-19)2 + 5 (-19) - 2 = -19 - 6, т. е. 7б25 = -25.
Это также неверно.
Каков же вывод? Оба найденных значения — посторонние
корни. Иными словами, заданное иррациональное уравнение, как
и предыдущее, не имеет корней.
Посторонний корень — не новое для вас понятие,
посторонние корни уже встречались при решении рациональных
уравнений, обнаружить их помогает проверка. Для иррациональных
уравнений проверка — обязательный этап решения уравнения,
который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть,
и отбросить их (обычно говорят «отсеять»).
Итак, иррациональное уравнение решают методом возведения
обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге
рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв
возможные посторонние корни.
Используя этот вывод, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение
у1Ъх - 16 =х- 2. (1)
203

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:
(л/5* - 16 f = (х - 2)2;
Ъх - 16 = х2 - 4х + 4;
х2 - 9х + 20 = 0;
хх = 5, х2 = 4.
Проверка. Подставив jc = 5 в уравнение (1), получим л/9 = 3 —
верное равенство. Подставив х = 4 в уравнение (1), получим
л/4 = 2 — верное равенство. Значит, оба найденных значения —
корни уравнения (1).
Ответ: 4; 5.
Пример 2. Решить уравнение v2jc2 + 8jc + 16 = 44 - 2х
(это уравнение встретилось нам в § 28, но его решение мы
«отложили до лучших времен»).
Решение. Возведя в квадрат обе части заданного
иррационального уравнения, получим:
2х2 + 8х + 16 = (44 - 2х)2;
2х2 + 8х + 16 = 1936 - 176* + 4х2;
-2х2 + 184* - 1920 = 0;
х2 - 92* + 960 = 0;
*! = 80; х2 = 12.
Проверка. Подставив х = 80 в заданное иррациональное
уравнение, получим:
V2 802 + 8 80 + 16 = 44 - 2 80.
Ясно, что это — неверное равенство, поскольку в его правой части
содержится отрицательное число, а в левой — положительное число.
Следовательно, х = 80 — посторонний корень для данного уравнения.
Подставив х = 12 в заданное иррациональное уравнение,
получим:
л/2 122 + 8 12 + 16 = 44 - 2 12,
т. е. >/400 =20 — верное равенство. Значит, х = 12 — корень
данного уравнения.
Ответ: 12.
Пример 3. Решить уравнение
у/Зх + 7 + л/л: + 2 = 3. (2)
Решение. Преобразуем уравнение к виду
yJSx + 7 = 3 - yjx + 2
204

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
и применим метод возведения в квадрат:
(у/Зх + 7)2 = (3 - у/х + 2)2;
Зх + 7 = З2 - 2 3 V* + 2 + (V* + 2)2;
Зх + 7 = 9 - 6у/х + 2 + jc + 2;
6л/лГ7~2 =4 - 2л:;
3>/х + 2 = 2 - jc.
Еще раз применим метод возведения в квадрат:
Ы* + 2)2 = (2 - х)2;
9(х + 2) = 4 - 4jc + jc2;
jc2 - 13jc - 14 = 0;
xx = 14, jc2 = -1.
Проверка. Подставив значение х = 14 в уравнение (2), получим:
V49 + vl6 =3 — неверное равенство, следовательно, х = 14 —
посторонний корень.
Подставив значение х - -1 в уравнение (2), получим: V4 + VI =
= 3 — верное равенство. Поэтому jc = -1 — корень уразнения (2).
Ответ: -1.
Пример 4. Решить уравнение 2х + 4х -3 = 0.
Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же
схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах:
переписать уравнение в виде у[х = 3 - 2дг, возвести обе части этого
уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение
и проверить найденные корни подстановкой их в исходное
иррациональное уравнение.
Но мы применим более изящный способ: введем новую
переменную у = у[х. Тогда получим 2z/2 + у - 3 = 0 — квадратное уравне-
Q
ние относительно переменной у. Найдем его корни: ух = 1, у2 = —*•
Таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:
у[х = 1; у[х = —2*
Из первого уравнения находим: х = 1; второе уравнение не имеет
корней (вы же помните, что у[х принимает только
неотрицательные значения).
Ответ: 1.
205

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2. Равносильность уравнений
Вы уже накопили некоторый опыт в решении разных
уравнений — линейных, квадратных, рациональных,
иррациональных. Вы знаете, что при решении уравнений выполняют
различные преобразования, например:
• член уравнения переносят из одной части уравнения в
другую с противоположным знаком;
• обе части уравнения умножают или делят на одно и то же
отличное от нуля число;
• освобождаются от знаменателя, т. е. заменяют уравнение
р(х)
-^ = 0 уравнением р(х) = 0;
• обе части уравнения возводят в квадрат.
Конечно, вы обратили внимание на то, что в результате
некоторых преобразований могли появиться посторонние корни,
поэтому приходилось быть бдительными и проверять все
найденные корни. Вот мы и попытаемся сейчас осмыслить все это с
теоретической точки зрения.
Определение. Два уравнения f(x) - g(x) и r(x) = s(x) называют
равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в
частности, если оба уравнения не имеют корней).
Обычно при решении уравнения стараются заменить данное
уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену
называют равносильным преобразованием уравнения.
Укажем основные равносильные преобразования уравнения.
1. Перенос членов уравнения из одной части уравнения в
другую с противоположными знаками.
Например, замена уравнения 2х + 5 = 7х - 8 уравнением
2х - 7х = -8 - 5 есть равносильное преобразование уравнения.
Это значит, что уравнения 2х + 5 = 1х - 8 и 2х - 1х = -8 - 5
равносильны.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и
то же отличное от нуля число.
Например, замена уравнения 0,5л:2 - 0,3* = 2 уравнением
Ъх2 - Зх = 20 (обе части первого уравнения почленно умножили
на 10) есть равносильное преобразование уравнения.
Укажем основные неравносильные преобразования уравнения,
1. Освобождение от знаменателей, содержащих переменную.
206

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Например, замена уравнения г = « уравнением х2 - 4
X — ct X — ci
есть неравносильное преобразование уравнения. Дело в том, что
второе уравнение имеет два корня: 2 и -2, — а первому
уравнению значение х - 2 не может удовлетворять, при этом значении
знаменатели обращаются в нуль. В подобных случаях мы
говорили так: х = 2 — посторонний корень (для первого уравнения).
Когда говорят неравносильное преобразование, это не значит,
что посторонние корни обязательно появятся, это значит, что они
могут появиться, как это было в только что рассмотренном
х2 х
примере. А вот замена уравнения г = « уравнением х2 = х
X — ct X — &
есть равносильное преобразование уравнения, корни второго
уравнения 0 и 1 являются в то же время и корнями первого
уравнения.
2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Примеры приводить не будем, так как в этом параграфе их
было достаточно много.
Есть и другие неравносильные преобразования уравнений, но
мы пока ограничимся только указанными двумя.
Если в процессе решения уравнения применялось одно из
указанных неравносильных преобразований, то все найденные корни
нужно проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку
среди них могут оказаться посторонние корни.
Впрочем, иногда проверка корней подстановкой бывает
весьма обременительной. Тогда используются другие соображения,
которые мы сейчас обсудим.
Если обе части уравнения f(x) = g(x) возвести в квадрат, то
получится уравнение (f(x))2 - (g(x))2. Если обе части уравнения
f(x) = -g(x) возвести в квадрат, то снова получится уравнение
(f(x))2 = (g(x))2. Таким образом, уравнение (f(x))2 = (g(x))2 как бы
«склеивает» два уравнения f(x) - g(x) и f(x) = -g(x), отсюда и
появляются посторонние корни (корни уравнения f(x) - -g(x) чаще
всего оказываются посторонними для уравнения f(x) - g(x)).
Посторонних корней не будет, если, например, второе уравнение
не имеет корней. В этом мы можем быть уверены, если известно,
что обе части уравнения f(x) = g(x) неотрицательны.
Итак, возведение обеих частей уравнения в квадрат есть
равносильное преобразование, если известно, что обе части
207

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
уравнения принимают только неотрицательные (или только
неположительные) значения.
В связи с этим вернемся к уравнению yjbx - 16 = х - 2
(см. выше пример 1). Так как подкоренное выражение должно быть
неотрицательным, должно выполняться неравенство Ъх - 16 > О,
т. е. х > -=-. При этом условии правая часть уравнения заведомо
о
положительна, так что возведение в квадрат обеих частей
уравнения есть равносильное преобразование уравнения. В результате
возведения в квадрат мы получаем квадратное уравнение с
1 fi
корнями 5 и 4, удовлетворяющими условию х > -=-. В силу
равносильности преобразований, это корни исходного уравнения
(проверять их подстановкой в исходное уравнение не нужно).
Теперь вернемся к уравнению у/2х2 + 8jc + 16 = 44 - 2х.
Неравенство 2л:2 + 8х + 16 > 0 выполняется при всех х, поскольку
2х2 + 8х + 16 = 2(х + 2)2 + 8. Возведение в квадрат обеих частей
уравнения будет равносильным преобразованием при условии
44-2л:>0,т.е. jt < 22. Возведя обе части уравнения в квадрат,
мы пришли к квадратному уравнению с корнями 80 и 12. Из них
указанному условию удовлетворяет лишь значение 12. Поэтому
12 — корень заданного иррационального уравнения, а 80 —
посторонний корень.
Пример 5. Решить уравнение
V*2 + х - 5 + yjx2 + 8х - 4 = 5.
Решение. Если обе части заданного уравнения возвести в
квадрат, то получится довольно сложное уравнение. Поступим
иначе: преобразуем уравнение к виду
>Jx2 + х - 5 = 5- yjx2 + 8x - 4
и возведем обе части в квадрат:
Ux2 + х-ъ)2 = (б - л1х2 +8х-4)2;
х2 + х - 5 = 25 - lOVx2 + 8ж - 4 + х2 + 8х - 4;
10V*2 + 8ж -4 = 7* + 26. (3)
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:
(l0V*2 + 8х - 4f = (7* + 26)2;
ЮОх2 + 800* - 400 = 49х2 + 364* + 676;
208

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
51jc2 + 436* - 1076 = 0;
_ 538
хх — z, х2 — ^^ •
Проверка. Значение х = 2 удовлетворяет исходному уравнению.
тт 538
Что касается значения х = —^т-» то подстановка его в исходное
уравнение приводит к весьма сложным вычислениям. Однако
такой подстановки можно избежать, если заметить, что при этом
значении правая часть уравнения (3) принимает отрицательное
(tOO\ 2440
—— I + 26 = —к7~* В то же время левая часть
уравнения отрицательной быть не может. Таким образом, —gr-
не является корнем заданного уравнения.
Ответ: х = 2.
Пример 6. Решить уравнение
х2 + 3 - у]2х2 - Зх + 2 = 1,5(х + 4).
Решение. Если проявить некоторую наблюдательность,
можно заметить, что заданное уравнение легко сводится к
квадратному. Действительно, умножив обе части заданного уравнения
на 2, получим:
2*2 + 6- 2yj2x2 - Зх + 2 =Зх+12;
2х2 - Зх + 2 - 2л/2х2 - Зх + 2 -8 = 0.
Полагая v2jc2 - 3jc + 2 = z/, получим: z/2 - 2у - 8 = 0, откуда ух = 4,
z/2 = ~2. Таким образом, задача сводится к решению двух уравнений:
V2jc2 - 3jc + 2 = 4, V2jc2 - 3jc + 2 = -2.
7
Из первого уравнения находим: хг = т>» #i = 2; второе
уравнение не имеет решений.
Так как исходное уравнение равносильно уравнению
V2jc2 - Зх + 2 =4 (поскольку второе уравнение не имело
решений), найденные значения можно проверить подстановкой в
уравнение V2jc2 - Зх + 2 =4. Эта подстановка показывает, что
оба значения являются корнями указанного, а следовательно, и
исходного уравнения.
Ответ: 3,5; 2.
8 Алгебра. 8 кл.: учебник 209

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 7. Решить уравнение
2х - 5 + 2 yjx2 - Ъх + 2>Jx - 5 + 2>/jc = 48. (4)
Решение. Если х > 5, то все выражения под знаками
квадратных корней неотрицательны, поэтому выражение yjx2 - Ьх
можно представить в виде у[х • yjx - 5. Так как, далее, 2х = х + х,
то уравнение (4) можно переписать следующим образом:
х + х - 5 + 2у[ху/х - 5 + 2л/х - 5 + 2>/х - 48 = 0;
(Vx)2 + 2VWx - 5 + (л/л: - б)' + (V* - 5 + л/х) - 48 = 0;
(V* - 5 + Vx)2 + 2(у/х - 5 + Vjc) - 48 = 0.
Введя новую переменную z/ = yjx - 6 + v*, получим
квадратное уравнение у2 + 2z/ - 48 = 0, из которого находим ух = 6, z/2 = ~8.
Таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:
= 6;
= -8.
Из первого уравнения находим: х = I ттт I 5 второе уравнение
решений не имеет.
/41\2
Проверка. Легко показать, что х = Itt*I является корнем
уравнения >]х - 5 + Vjc = 6. Но это уравнение равносильно урав-
/41\2
нению (4), значит, х = 1ттт I является корнем и уравнения (4). ■
§ 39. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
Чтобы познакомиться с понятием уравнения с
параметром, рассмотрим два сравнительно несложных примера.
Пример 1. Решить уравнение
х2 - (2р + Х)х + (р2 + р - 2) = 0.
Решение. В заданном квадратном уравнении в роли
коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные
выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными
коэффициентами или уравнениями с параметрами, В данном
210

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента
и свободного члена уравнения.
Найдем дискриминант:
D = (2р + I)2 - 4 1 • (р2 + р - 2) =
= (4р2 + 4р + 1) - (Ар2 + Ар - 8) = 9.
Далее
_ (2р + 1) + л/9 _ 2р + 1 + 3 _ 2(р + 2)
*i - 2 - 2 " 2 ~Р + Z;
_ (2р + 1) - 79 _ 2р + 1-3 _ 2(р - 1) _
*2- 2 2 " 2 -Р 1в
Ответ: р + 2; р - 1.
3амечание 1. Данное уравнение можно решить устно, если
заметить, что р2+р-2 = (р + 2)(р - 1). Переписав уравнение в
виде
х2 - (2р + 1)х + (р + 2)(р - 1) = О,
легко сообразить (с помощью теоремы, обратной теореме Виета),
что его корнями служат числа р + 2 и р - 1.
Пример 2. Решить уравнение рд:2 + (1 - р)х -1 = 0.
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в
отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по
формуле корней квадратного уравнения. Дело в том, что про
заданное уравнение мы пока не можем сказать, является ли оно
квадратным. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда уравнение примет вид
0 • х2 + (1 - 0)х - 1 = 0,
т. е. х - 1 = 0, откуда получаем: х = 1. Вот если точно известно,
что р Ф 0, то можно применять формулу корней квадратного
уравнения:
^1,2 ~~
-(1 - Р) ± Vd - pf - 4 р (Л) р - 1 ± Vl - 2р + р2 + 4р
2р 2р
1) _ 2р _ р - 1 - (р
~ 2р ~ х> *2 - 2р
-2
_ _
l~ 2р ~ 2р
Если р = -1, то хг = х2 = 1.
Ответ: еслир = 0 илир = -1, то х = 1; еслир * 0, -1, то хх = 1,
1
211

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание 2. Обратили ли вы внимание на то, что в
процессе решения последнего квадратного уравнения мы
допустили неточность: заменили выражение yj(p + I)2 выражением
р + 1, хотя, как было установлено в § 16, имеет место формула
у](р + I)2 =|р+11? Почему же мы не использовали знак модуля?
Ответ на этот вопрос связан с практичностью математиков.
Зачем, говорят они, писать ±|т|, когда можно написать ±т; ив том
и в другом случае выражение будет объединять два
противоположных числа: т и -т.
Замечание 3. Квадратное уравнение
рх2 + (1 - р)х - 1 = О
можно было решить, не применяя формулу корней. Достаточно
заметить, что значение хх = 1 удовлетворяет уравнению (при х = 1
получаем р + (1-р)-1=0 — верное равенство), и
воспользоваться теоремой Виета, согласно которой ххх2 = —I зна-
1
чит, х2 = --.
Параметр в уравнении может быть обозначен любой буквой.
Мы в примерах 1 и 2 обозначали его буквой р (она как бы
напоминала вам о слове параметр), но далее перейдем к более
употребительной для обозначения параметра букве а.
Итак, если дано уравнение f(x, a) = О, которое надо решить
относительно переменной х и в котором буквой а обозначено
произвольное действительное число, то говорят, что задано
уравнение с параметром. Основная трудность, связанная с решением
таких уравнений, состоит в следующем. При одних значениях
параметра уравнение не имеет корней, при других — имеет; при
одних значениях параметра корни находятся по одним формулам,
при иных — по другим. Как все это учесть? Вернитесь к примеру 2
и обратите внимание на то, что при р - О мы решали уравнение
как линейное (по одной формуле), а при р Ф О — как квадратное
(по другой формуле).
Пример 3. Решить уравнение с параметром а:
2а(а - 2)х = а - 2.
212

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение. Обычно корень уравнения Ьх = с мы легко
находим по формуле х = т> так как в конкретном уравнении
коэффициент Ъ отличен от нуля. В заданном уравнении
коэффициент при х равен 2а(а - 2), и, поскольку значение параметра а
нам неизвестно и в принципе оно может быть любым, следует
подстраховаться, т. е. сначала предусмотреть возможность
обращения указанного коэффициента в нуль. Это будет при а = 0 или
при а = 2.
Итак, рассмотрим следующие случаи: 1) а = 0; 2) а = 2; 3) а Ф 0,
а ф 2.
В первом случае (при а = 0) уравнение принимает вид 0 • х =
= 2 — это уравнение не имеет корней.
Во втором случае (при а = 2) уравнение принимает вид 0 • х =
= 0 — этому уравнению удовлетворяют любые значения х.
В третьем случае (при а Ф 0, а Ф 2) коэффициент при х
отличен от нуля, и, следовательно, на этот коэффициент можно
разделить обе части уравнения. Получим:
х -
а-2
2а(а - 2)
2а
Ответ: 1) если а = 0, то корней нет;
2) если а = 2, то х — любое действительное число;
3) если а Ф 0, а Ф 2, то х - тр-
Пример 4. Сколько корней имеет уравнение
2\х - а\ = х + 1
при различных значениях
параметра а?
Решение. На рис. 120
изображены в одной системе
координат графики функций у = 2\х\ и
у = х + 1. Они пересекаются в двух
точках, значит, заданное
уравнение при а = 0 имеет два корня.
Если взять любое а > 0, то график
функции у = 2\х - а\ получится из
графика функции у = 2\х\ сдвигом
последнего вдоль оси х вправо.
При этом полученный график
к 9
\
о
\
(
\
\
7
Y
Л
/
\
\
\
\
\
с
/
/
г
А
/:
/
/
h
f
X
Рис. 120
213

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
\
\
\
\
\
\
\
\
-1
/
1
а
i
о
/
/
/
/
/
/
/
/
/
Y
а
_ ^
СУ
t
X
-
w
1
& -
И
r
/
< 1
Рис.
122
[
О
1
f
/
1
/
Рис. 121
пересекается с графиком функции у - х + 1 опять-таки в двух
точках (см. рис. 120).
Теперь будем двигать график функции у = 2\х\ вдоль оси х
влево — это будет при а < 0. Если -1 < а < 0, графики по-прежнему
пересекаются в двух точках (рис. 121), при а - -1 графики имеют
лишь одну общую точку (рис. 122) и, следовательно, заданное
уравнение имеет один корень. Наконец, при а < -1 графики не
пересекаются (см. рис. 122) и, следовательно, уравнение не имеет
корней.
Ответ: уравнение имеет два корня, если а > -1; один корень,
если а = -1; уравнение не имеет корней, если а < -1.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Первый способ. Сначала будем действовать по
стандартной схеме — возведем обе части заданного
иррационального уравнения в квадрат и решим полученное квадратное
уравнение:
(у/х -af = (2а - х)2;
х - а - 4а2 - 4ал: + х2;
х2 - (4а + 1)х + 4а2 + а = 0.
Найдем дискриминант: D = (4а + I)2 - 4(4а2 + а) = 4а + 1.
Значит,
4а + 1 ± у/4а + 1
214

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
\
\
\
о
\
- У
У
**-
\
-——
\
к
Теперь нужно выполнить
проверку, подставляя поочередно каждый
из найденных корней в исходное
уравнение. Эта проверка, видимо,
будет весьма трудной. Мы выберем
другой путь — графический,
построим графики функций у = yjx - a
и у = 2а - х и найдем точки их
пересечения. При этом
целесообразно рассмотреть три случая: а = О,
а < О, а > 0.
В первом случае (при а = 0)
заданное уравнение принимает вид \[х = -х.
Построив графики функций у = 4х, у = -х (рис. 123),
убеждаемся, что они имеют одну общую точку (0; 0), поэтому уравнение
имеет только один корень х = 0.
Во втором случае (при а < 0) графики функций у = 2а - х и
у - yjx - а не пересекаются (рис. 124), следовательно, заданное
уравнение не имеет корней.
В третьем случае (при а > 0) графики функций у = 2а — х и
у = \1х - а пересекаются в одной точке (рис. 125), значит,
заданное уравнение имеет один корень. Таким образом, из двух
полученных выше корней один окажется посторонним. Какой?
Ответ можно почерпнуть из графической иллюстрации,
представленной на рисунке 125. Абсцисса точки пересечения графи-
Рис-
2а\
<
2
Фч
\
*i
О
к
У
\
—■
\
У,
\
о
\
ч
г
У
г-1
ч
2а\
^>
rl
^—-
- с
-——
i
Рис. 124
Рис. 125
215

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ков меньше, чем 2а (это — абсцисса точки пересечения прямой
у = 2а - х с осью х). Из двух найденных выше корней
4а -\
4а
- 1
f 1
- ^
2
+
У4а н
Via"
- 1
х2 =
второй явно больше, чем 2а; чтобы в этом убедиться, достаточно
1 + у/4а + 1
переписать второй корень в виде х2 — 2а +
Итак, если а > О, то заданное уравнение имеет один корень:
4а + 1 - >14а + 1
Х= 2 '
Ответ: если а < 0, то корней нет; если а - 0, то х = 0; если
4а + 1 - >/4а + 1
а > 0, то х =
Замечание 4. Ответ можно записать компактнее. Дело в
том, что записанная при a > 0 формула для корня уравнения
пригодна и при a = 0: если a = 0, то, по указанной формуле,
получаем х - 0. Поэтому ответ можно было записать так: если a < 0,
то корней нет; если a > 0, то
_ 4а + 1 - У4а + 1
Х~ 2
Второй способ. Имеем: yjx - а -2а- х. Положим t - у/х - а.
Тогда х - t2 + а, и заданное иррациональное уравнение
принимает вид t = 2а - (t2 + а), т. е.
*2 + t - а = 0, (1)
где новая переменная t может принимать только
неотрицательные значения: t = у/х - а > 0.
Найдем дискриминант квадратного уравнения (1): D = 1 + 4а.
Если D < 0, т. е. 1 + 4а < 0, а < —г, то уравнение (1) не имеет
корней.
Если D - 0, т. е. 1 + 4а = 0, а = —г* то уравнение (1)
принимает вид
t2 + t + \ = о,
216

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
откуда находим: t = —■«• Это нас не устраивает, так как должно
быть t > 0.
Рассмотрим последний случай, когда D > 0, т. е. а > ~т-
В этом случае квадратное уравнение (1) имеет два корня tx и t2,
причем, по теореме Виета, tx + t2 = -1, txt2 - -а.
Если а < 0, то txt2 > 0 и ^ + £2 < 0, откуда следует, что £х < 0,
f2 < 0. Это нас не устраивает, а потому заданное уравнение не
имеет корней.
Если а > 0, то txt2 < 0, следовательно, один из корней tl9
t2 — неотрицательное число, а другой — отрицательное число.
Устраивает нас только неотрицательный корень. Из уравнения (1)
находим:
^1,2 = о '
Ясно, что неотрицательным является значение tx =
это единственный устраивающий нас неотрицательный корень
уравнения (1).
Далее находим:
„ /VI + 4а -1\2 1 + 4а - 2>Д + 4а + 1
* = * + а = \ 2 / + а = 4 + а =
4
Ответ: если а < 0, корней нет;
если а > 0, то х =

ГЛАВА
7
НЕРАВЕНСТВА
§40.
§41.
§42.
§43.
§44.
Линейные неравенства
Квадратные неравенства
Доказательство неравенств
Приближенные вычисления
Стандартный вид положительного числа
§ 40. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Свойства числовых равенств помогали нам решать
уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых
уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же
свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства
с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых
неравенство с переменной обращается в верное числовое
неравенство. Каждое такое значение переменной обычно называют
решением неравенства с переменной.
Рассмотрим, например, неравенство
2х + 5 < 7.
Подставив вместо х значение 0, получим 5 < 7 — верное
неравенство; значит, х - 0 — решение данного неравенства.
Подставив вместо х значение 1, получим 7 < 7 — неверное
неравенство; поэтому х - 1 не является решением данного неравенства.
Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т. е. -1 < 7 —
верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного
неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2 • 2,5 + 5 < 7,
т. е. 10 < 7 — неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является
решением неравенства.
Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один
математик не станет так решать неравенство, ведь все числа
невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства
числовых неравенств, рассуждая следующим образом.
Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7 —
верное числовое неравенство. Но тогда и2л: + 5-5<7-5 —
верное неравенство: к обеим частям неравенства прибавили одно
и то же число -5. Получили более простое неравенство 2х < 2.
Разделив обе его части на положительное число 2, получим верное
неравенство х < 1.
218

7.
НЕРАВЕНСТВА
Это значит, что решением неравенства является любое число д:,
которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч (-°°; 1).
Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х + 5 < 7
(точнее было бы говорить о множестве решений). Таким образом,
можно использовать два варианта записи решений данного
неравенства: х < 1 или (-°°; 1).
Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться
при решении неравенств следующими правилами:
Правило 1. Любой член неравенства можно перенести
из одной части неравенства в другую с противоположным
знаком, не изменив при этом знак неравенства.
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить
или разделить на одно и то же положительное число,
не изменив при этом знак неравенства.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить
или разделить на одно и то же отрицательное число,
изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Применим эти правила для решения линейных неравенств,
т. е. неравенств вида
ах + Ъ > О (или ах + Ъ < 0),
где а и Ъ — любые числа, за одним исключением: а Ф 0, — и
неравенств, сводящихся к указанному виду.
Пример 1. Решить неравенство Зх - 5 > 7х - 15.
Решение. Перенесем член 7х в левую часть неравенства, а
член -5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить
знаки и у члена 7х, и у члена -5 (руководствуемся правилом 1).
Тогда получим:
Зх - 1х > -15 + 5, т. е. -\х > -10.
Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же
отрицательное число -4, не забыв при этом перейти к
неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3).
Получим: х < 2,5. Это и есть решение заданного неравенства.
Как мы условились, для записи решения можно использовать
обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-°°; 2,5].
Ответ: х < 2,5, или (-оо; 2,5].
219

НЕРАВЕНСТВА
Пример 2. Решить неравенство
£ . 2х-1 2 _ _1_
3 + 5 > Zx 15*
Решение. Умножим обе части неравенства на
положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения
(правило 2). Это позволит нам освободиться от знаменателей:
Ъх + 3(2* - 1) > 30* - 1;
Ъх + 6х - 3 > 30* - 1;
\\х - 3 > 30* - 1.
Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1,
получим:
Их - ЗОх > -1 + 3;
-17л: > 2.
2
Наконец, применив правило 3, получим: х < ~ту*
: х < ~ту> или 1-оо; -^).
Ответ
Пример 3. Решить систему неравенств:
\2х -\> 3, \2х - 1 > 3, \2х - 1 < 3,
2^ Л Л % IQ/v» О **> "11. ' О,. Q \ "| Л
< 11, \JSX — л ^ 11, [oJC — 4 ^ 11.
Решение, а) Решая первое неравенство системы, находим
2х > 4, jc > 2; решая второе неравенство системы, находим Зл: < 13,
13 ^ „
jc < -g"« Отметим эти промежутки на одной координатной прямой,
использовав для выделения первого промежутка верхнюю
штриховку, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 126, а).
Решением системы неравенств будет пересечение решений
неравенств системы (на чертеже это промежуток, на котором обе
штриховки совпали). В рассматриваемом примере получаем
интервал (2; Щ\.
б) Решая первое неравенство систе-
WWWWWWWWWWWWWWL мы' находим х > 2, решая второе
////////nllllllllllllllllll? х неравенство системы, находим Зх > 13,
2 13 ^ 13 ^
-о- х > -«-• Отметим эти промежутки на од-
Рис. 126, а ной координатной прямой, использовав
220

НЕРАВЕНСТВА
для первого промежутка верхнюю
штриховку, а для второго — нижнюю
штриховку (рис. 126, б). Решением системы
неравенств будет луч —; +оо|.
L з /
в) Решая первое неравенство
систеWWWWWWWWWW!
13
3
Рис. 126, б
WWWWL
13
3
Рис. 126, в
tlllllllfe
мы, находим х < 2; решая второе
неравенство системы, находим х > -«-.
Отметим эти промежутки на одной координатной прямой,
использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго —
нижнюю штриховку (рис. 126, в). Решением системы неравенств
будет пересечение решений неравенств системы. Оно пусто,
значит, система неравенств не имеет решений.
13 13
Ответ: а) 2 < х < -«-; б) х > -«-; в) нет решений.
§ 41. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Квадратным неравенством называют неравенство вида
ах2 + Ьх + с > О, где а * О
(вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак
неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств
теоретическими сведениями мы с вами располагаем, в чем сейчас и
убедимся.
Пример 1. Решить неравенства:
а) х2 - 2х - 3 > 0;
б) х2 - 2х - 3 < 0;
в) х2 - 2х - 3 > 0;
г) х2 - 2х - 3 < 0.
Решение, а) Рассмотрим
параболу у = х2 - 2х - 3,
изображенную на рисунке 127. Решить
неравенство х2 - 2х - 3 > 0 — это
значит ответить на вопрос, при
каких значениях х ординаты
точек параболы положительны.
Замечаем, что у > 0, т. е. график
функции расположен выше оси х, Рис. 127
221
\
\
\
\
\
-1\О
\
1\
-о
-4
с
/
\
II
■ ^
/
/3
/
/
Л
-
*

НЕРАВЕНСТВА
при х < -1 или при х > 3. Следовательно, решениями неравенства
служат все точки открытого луча (-°°; -1), а также все точки
открытого луча (3; +°°). Используя знак U (знак объединения
множеств), ответ можно записать так:
(-оо; -1) и (3; +оо).
Впрочем, ответ можно записать и так: х < -1; х > 3.
б) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0, или у < О, где у = х2 - 2х - 3,
также можно решить с помощью рисунка 127: график
расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного
неравенства служат все точки интервала (-1; 3).
в) Неравенство х2 - 2х - 3 > О отличается от неравенства х2 -
- 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения
х2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = -1 и х = 3. Таким образом,
решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча
(-оо; -1], а также все точки луча [3; +<х>).
г) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0 отличается от неравенства х2 -
- 2х - 3 < 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения
х2 - 2х - 3 = 0, т. е. х = -1 и х = 3. Следовательно, решениями
данного нестрогого неравенства служат все точки отрезка [—1; 3]. ■
Практичные математики обычно говорят так: зачем нам,
решая неравенство ах2 + Ьх + с > 0, аккуратно строить параболу —
график квадратичной функции у - ах2 + Ъх + с (как это было
сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический
набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного
трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить,
куда направлены ветви параболы — вверх или вниз. Этот
схематический набросок даст наглядное истолкование решению
неравенства.
Пример 2. Решить неравенство -2л:2 + Зх + 9 < 0.
Решение. 1) Найдем корни квадратного трехчлена -2л:2 +
+ Зл: + 9: хх = 3; х2 = -1,5.
2) Парабола, служащая графиком
функции у = -2л:2 + Зл: + 9,
пересекает ось х в точках 3 и -1,5, а ветви
параболы направлены вниз, поскольку
старший коэффициент — отрицательное
число -2. На рисунке 128 представлен
Рис. 128 набросок графика.
222

7.
НЕРАВЕНСТВА
3) Используя рисунок 128, делаем вывод: у < 0 на тех
промежутках оси л:, где график расположен ниже оси х;
в данном случае это два открытых луча (-°°; -1,5) и (3; +оо).
Ответ: х < -1,5; х > 3.
Пример 3. Решить неравенство 4л:2 - 4х + 1 < 0.
Решение. 1) Из уравнения 4л^ - 4х + 1 = 0 находим: хх 2 = ^.
2) Квадратный трехчлен имеет один корень х = -$; это значит,
что парабола, служащая графиком функции у = 4л:2 - 4х + 1, не
пересекает ось л:, а касается ее в точке
л: = 0,5. Ветви параболы направлены
вверх (рис. 129).
3) С помощью геометрической
модели, представленной на рисунке 129,
устанавливаем, что заданное неравенство
выполняется только в точке х - 0,5,
поскольку при всех других значениях х
ординаты графика положительны.
Ответ: х = 0,5.
Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3
использовался вполне определенный алгоритм решения
квадратных неравенств вида ал:2 + Ьх + с > 0 (ал:2 + Ьх + с < 0) в случае,
когда квадратный трехчлен ал:2 + Ьх + с имеет корни, т. е. при
D > 0.
Алгоритм решения квадратного неравенства
ах2 + Ьх + с> 0 (ах2 + Ьх + с < 0) при D > 0
1. Найти корни квадратного трехчлена ал:2 + Ьх + с.
2. Отметить найденные корни на оси х и определить, куда
(вверх или вниз) направлены ветви параболы, служащей
графиком функции у = ах2 + Ьх + с; сделать набросок графика.
3. С помощью полученной геометрической модели
определить, на каких промежутках оси х ординаты графика
положительны (отрицательны); включить эти промежутки в
ответ.
V У
223

НЕРАВЕНСТВА
На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни
квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же
делать? Тогда алгоритм неприменим, следовательно, придется
рассуждать иначе. Ключ к рассуждениям дают следующие теоремы.
Теорема 1. Если квадратный трехчлен ах2 + Ъх + с не имеет
корней (т. е. его дискриминант D — отрицательное число) и если
при этом а > О, то при всех значениях х выполняется неравенство
ах2 + Ъх + с> О.
Иными словами, если D < О, а > О, то неравенство ах2 + Ьх +
+ с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + Ьх +
+ с < 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах2 + Ьх + с
является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку
а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у
квадратного трехчлена, по условию, нет. График представлен на рисунке
130, а. При всех х график расположен выше оси х, а это значит,
что при всех х выполняется неравенство ах2 + Ьх + с > 0, что и
требовалось доказать.
Теорема 2. Если квадратный трехчлен ах2 + Ъх + с не имеет
корней (т. е. его дискриминант D — отрицательное число) и если
при этом а < 0, то при всех значениях х выполняется неравенство
ах2 + Ьх + с < 0.
Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах2 + Ьх +
+ с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + Ьх +
+ с > 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у - ах2 + Ъх + с
является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0)
и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного
о
\
\
\
\
\
)
/
/
jT
X
О
1
/
/
1
(
\
\
у
\
\
\
X
Рис. 130, а
Рис. 130, б
224

7.
НЕРАВЕНСТВА
трехчлена, по условию, нет. График представлен на рисунке 130, б.
При всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при
всех х выполняется неравенство ах2 + Ьх + с < 0, что и требовалось
доказать.
Пример 4. Решить неравенства:
а) 2х2 - х + 4 > 0; б) -х2 + Зх - 8 > 0.
Решение, а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена
2х2 - х + 4. Имеем D = (-1)2 -42-4 = -31 < 0. Старший
коэффициент трехчлена (число 2) положителен. Значит, по теореме 1,
при всех х выполняется неравенство 2х2 - х + 4 > 0, т. е.
решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (-°°; +°°).
б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена -х2 + Зх - 8.
Имеем D = З2 - 4 (-1) • (-8) = -23 < 0. Старший коэффициент
трехчлена (число -1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2,
при всех х выполняется неравенство -х2 + Зх - 8 < 0. Это значит,
что неравенство -х2 + Зх - 8 > 0 не выполняется ни при каком
значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Ответ: а) (-°°; +°°); б) нет решений.
В следующем примере мы познакомимся еще с одним
способом рассуждений, который применяется при решении
квадратных неравенств.
Пример 5. Решить неравенство Зх2 - \0х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зх2 - Юх + 3 на
множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и -> поэтому,
о
воспользовавшись формулой
ах2 + Ьх + с = а(х - хх)(х - х2),
получим:
Зх2 - 10* + 3 = 3(х - 3)[х - -).
\ 3/
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и -
о
(рис. 131). Пусть х > 3; тогда х-3>0их- - >0, значит,
о
и произведение 3(х - 3) [х 1 положи- + ~ +
тельно. Далее, пусть - < х < 3; тогда * л мпм
о Рис. 131
225

7.
НЕРАВЕНСТВА
х-3<0, ах- - > 0. Следовательно, произведение 3(x
о
-4-1)
отрицательно. Пусть, наконец, х < -; тогда х - 3 < О
и jc - - < 0. Но в таком случае произведение 3(х - 3)\х
положительно.
Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки
квадратного трехчлена Зх2 - Юх + 3 изменяются так, как
показано на рисунке 131. Нас же интересует, при каких х
квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. С помощью
геометрической модели, представленной на рисунке 131, делаем
вывод: квадратный трехчлен Зх2 - Юх + 3 принимает
отрицательные значения для любого значения х из интервала -; 3 .
\3 /
Ответ: (-; 3L или - < х < 3.
Замечание. Метод рассуждений, который мы применили
в примере 5, обычно называют методом интервалов (или
методом промежутков). Он широко используется в математике для
решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим
метод интервалов более подробно.
Пример 6. При каких значениях параметра р квадратное
уравнение х2 - Ъх + р2 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет корней?
Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от
знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 -
-4р2.
а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если
D > 0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4/т2 > 0.
Умножив обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить
при этом знак неравенства), получим: \р2 - 25 < 0 и далее
4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0.
226

НЕРАВЕНСТВА
Знаки выражения 4(р - 2,5)(р + 2,5)
-ь
указаны на рисунке 132. Делаем вывод, -2,5 6 2,5 р
что неравенство
н Рис. 132
4(р - 2,5)(р + 2,5) < О
выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5).
Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение
имеет два различных корня.
б) Квадратное уравнение имеет один корень, если D = 0. Как
мы установили ранее, D - 0 при р = 2,5 или р = -2,5. Именно при
этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет
только один корень.
в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим
неравенство 25 - Ар2 < 0:
Ар2 - 25 > 0;
4(р - 2,5)(р + 2,5) > 0,
откуда (см. рис. 132) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях
параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: а) при р € (-2,5; 2,5);
б) при р - 2,5 или р = -2,5;
в) при р < -2,5 или р > 2,5.
§ 42. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Выше, в § 11, мы уже рассмотрели несколько примеров
на доказательство неравенств. В основном мы пользовались
методом оценки знака разности левой и правой частей
доказываемого неравенства. Рассмотрим еще один пример
использования этого метода.
Пример 1. Доказать, что для любых д:, z/, г выполняется
неравенство
х2 + 4z/2 + Sz2 + 14 > 2х + 12z/ + 6z.
Решение. Составим разность левой и правой частей
доказываемого неравенства:
(х2 + 4z/2 + Sz2 + 14) - (2х + 12z/ + 6z) =
= (х2 - 2х + 1) + (4у2 - 12у + 9) + (Sz2 - 6z + 3) + 1 =
= (х - I)2 + (2z/ - З)2 + 3(z - I)2 + 1.
227

НЕРАВЕНСТВА
Полученная сумма положительна при любых действительных
значениях переменных х, у, г. Это значит, что требуемое
неравенство доказано. ■
Дедуктивный способ доказательства неравенств. Суть этого
способа состоит в следующем: требуемое неравенство выводят из
какого-то известного {опорного) неравенства с помощью ряда
преобразований. Такими опорными неравенствами могут служить,
например, доказанные в § 11 неравенство а + - > 2 (верное для
любого а > 0) и неравенство Коши а * > yfab (верное для
любых неотрицательных значений переменных).
Пример 2. Доказать, что если а > 0, Ь > 0, с > 0, то
Решение. Выпишем три опорных неравенства:
гл a,b,a,c,b,c
Сложив их, получим: Г~~~~~"ь
а + с . b + с . а + b ^ a
а + b + с а + b + с а + b + с ^ Q
Ь + а + с ^У'
Вынесем за скобки общий множитель а + Ь + с и получим:
Заметим, что знак равенства имеет место тогда и только тогда,
когда он имеет место во всех трех опорных неравенствах
одновременно, т. е. при а - Ь - с. Ш
Способ доказательства от противного. Проиллюстрируем
этот способ на двух примерах. Первый из них связан с
доказательством неравенства, которое мы ранее упомянули в § 13.
Пример 3. Доказать, что если а > 0, Ь > 0, то
у/а + b < yfa + yfb.
228

7.
НЕРАВЕНСТВА
Решение. Предположим противное, что существуют такие
положительные числа а и Ь, для которых выполняется
неравенство yja + b ^ yfa + yfb. Тогда, используя свойства числовых
неравенств, последовательно получаем:
(у/а + b) > (yfa + yfb) ;
а + b > а + 2 yfab + b;
yfab < 0.
Но, по условию, а > 0, b > 0, значит, yfab > 0. Полученное
противоречие означает, что сделанное предположение неверно,
поэтому доказываемое неравенство верно. ■
Пример 4. Доказать, что для любых неотрицательных
значений а, Ь9 с, d справедливо неравенство
у/(а + c)(b + d) > yfab + yfcd.
Решение. Предположим противное, что для некоторого
набора неотрицательных чисел а, Ь, с, d справедливо неравенство
yj(a + c)(b + d) < yfab + yfcd.
Возведя обе его части в квадрат, получим:
ab + be + ad + cd < ab + 2yfabcd + cd;
be + ad < 2 Jabed;
bl^ad < 7(bc)(ad).
Но, согласно неравенству Коши (см. § 11),
be + ad
2
Полученное противоречие означает, что сделанное
предположение неверно, поэтому доказываемое неравенство верно. ■
§ 43. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
И в 7-м, и в 8-м классах мы часто решали уравнения
графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких
примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые
229

7.
НЕРАВЕНСТВА
N
-1..
о
\
\
к
к*
\
с.
ч
N
-—*
——■
\
\
И
4 а
-2-
1
о
\
о
\
[*
2 3 |\
N
X
»-—
Рис. 133
Рис. 134
числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков,
особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда,
просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.
Рассмотрим два уравнения: у[х = 2 - х и у[х = 4 - х. Первое
уравнение имеет единственный корень х - 1, поскольку графики
функций у = у/х и у = 2 - х пересекаются в одной точке А(1; 1)
(рис. 133). Во втором случае графики функций у = у[х и у = 4 - х
тоже пересекаются в одной точке В (рис. 134), но с «плохими»
координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что
абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях
говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и
пишут так: х « 2,5.
Это одна из причин, по которым математики решили ввести в
рассмотрение понятие приближенного значения действительного
числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более
существенная. Что такое действительное число? Чаще всего —
бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с
бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике
пользуются приближенными значениями действительных чисел.
Например, для числа я = 3,141592... пользуются приближенными
равенствами я « 3,141 или я ~ 3,142. Первое называют
приближенным значением (или приближением) числа я по недостатку
с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением
(приближением) числа я по избытку с точностью до 0,001. Можно
взять более точные приближения, например, я ~ 3,1415 —
230

НЕРАВЕНСТВА
приближение по недостатку с точностью до 0,0001, я ~ 3,1416 —
приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять
менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по
недостатку я « 3,14, по избытку я « 3,15.
Знак приближенного равенства « вы использовали и в курсе
математики 5—6-го классов, и, вероятно, в курсе физики, да и
мы ранее пользовались им, например в § 9.
Пример 1. Найти приближенные значения по недостатку и
по избытку с точностью до 0,01 для числа:
а) 7б; б) 2 + >/5; в) ^.
Решение, а) Мы знаем, что >/б = 2,236... (см. § 9).
Следовательно, >]ъ ~ 2,23 — это приближение по недостатку с
точностью до 0,01; V5 ~ 2,24— это приближение по избытку с
точностью до 0,01.
б) 2 + >/5 = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + S *
« 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01;
2 + у/Е « 4,24 — это приближение по избытку с точностью
до 0,01.
7 7
в) Имеем ^ = 0,31818... (см. § 7). Следовательно, ^ в 0>31 —
7
это приближение по недостатку с точностью до 0,01; «2 ~ ®>%2 —
это приближение по избытку с точностью до 0,01. ■
Приближение по недостатку и приближение по избытку
называют иногда округлением числа.
Определение. Погрешностью приближения (абсолютной
погрешностью) называют модуль разности между точным
значением величины х и ее приближенным значением а: погрешность —
это \х - а\.
Например, погрешность приближенных равенств я ~ 3,141 или
я ~ 3,142 выражается формулой |я - 3,1411 или соответственно
формулой |я - 3,142|.
Возникает чисто практический вопрос: какое приближение
лучше, по недостатку или по избытку, в каком случае
погрешность будет меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа,
231

НЕРАВЕНСТВА
для которого составляются приближения. Обычно при округлении
положительных чисел пользуются следующим правилом:
Правило округления. Если первая отбрасываемая цифра
меньше 5, то нужно брать приближение по недостатку;
если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5,
то нужно брать приближение по избытку.
\
Применим это правило ко всем рассмотренным в этом
параграфе числам, выберем для рассмотренных чисел те
приближения, для которых будет наименьшая погрешность.
1) я = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем я ~ 3,142; здесь
первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после
запятой), поэтому взяли приближение по избытку. С точностью
до 0,0001 имеем я = 3,1416 — и тут взяли приближение по
избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте
после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 следует взять
приближение по недостатку: я ~ 3,14.
2) >/5 = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем у/б « 2,24
(приближение по избытку).
3) 2 + >/5 = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + у/Е = 4,24
(приближение по избытку).
4) ^ = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем ^ = 0,318
(приближение по недостатку).
Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укруп-
7
ненный фрагмент координатной прямой (рис. 135). Точка ^о
принадлежит отрезку [0,318; 0,319], значит, расстояния от нее до
концов отрезка не превосходят длины отрезка. Расстояния от точки
22 До концов отрезка вычисляются по формулам соответственно
_7_
22 ^_^
0,318 0,319 Х
Рис. 135
232

7.
НЕРАВЕНСТВА
7 7
| 22 ~ u»die • I 22 ~
0,001. Следовательно,
1й-°'318
, а длина отрезка [0,318; 0,319] равна
< 0,001 и
к ~ °'319
0,001.
Таким образом, в обоих случаях (и для приближения числа
7 7
22 по недостатку, и для приближения числа т^, по избытку)
погрешность не превосходит 0,001.
Итак, почему же важно уметь находить приближенные
значения чисел? Да потому, что оперировать с бесконечными
десятичными дробями практически невозможно, равно как и
использовать их для измерения величин. На практике во многих
случаях вместо точных значений берут приближения с
наперед заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и
в калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается
конечная десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран
числа (за тем редким исключением, когда выводимое число есть
целое число или конечная десятичная дробь, умещающаяся на
экране).
До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01,
до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в
употреблении терминологии.
Если а — приближенное значение числа х и \х - а\ < Л, то
говорят, что погрешность приближения не превосходит h или что
число х равно числу а с точностью до h.
Переведем аналитическую модель \х - а\ < h на
геометрический язык: числу х на координатной прямой соответствует
такая точка, которая удовлетворяет условию р(лг, а) < Л, т. е.
удалена от точки а на расстояние, меньшее или равное h. На
расстояние, равное Л, удалены от точки а точки а - h и а + h,
значит, точка х принадлежит отрезку [а - h; a + К\. Иногда в таких
случаях используют запись х = а ± h. Она удобна для измерений,
если х — точное значение измеряемой величины, а а — более
удобное для практики приближенное значение той же величины.
При этом обычно идут еще дальше: рассматривают отношение
абсолютной погрешности h к приближенному значению а;
отношение — называют относительной погрешностью.
233

7.
НЕРАВЕНСТВА
Известно, что 9,3 и 9,30 — две различные формы записи
одного и того же числа. А есть ли разница в записях х ~ 9,3 и
х « 9,30? Проанализируем эти приближенные равенства. Запись
х « 9,3 означает, что 9,25 < х < 9,35, т. е. х = 9,3 ± 0,05. Запись
х « 9,30 означает, что 9,295 < х < 9,305, т. е. х = 9,3 ± 0,005.
Таким образом, записи х ~ 9,3 и х ~ 9,30 неравнозначны, вторая
дает значительно более точные оценки для числа х. Относительная
погрешность приближенного равенства х « 9,3 равна -<j~g" = 0,0054,
тогда как относительная погрешность приближенного равенства
0,005
х « 9,30 равна ~^q = 0,00054.
Если производятся арифметические операции не с точными
значениями величин, а с их приближенными значениями, то
полезно знать погрешность приближения полученного результата.
Пусть для положительных величин х и у мы нашли
приближенные значения а и Ь с точностью соответственно hl и h2. Это
значит, что
а - hx < х < а + hl9 b - h2 < у < b + h2. (1)
Тогда для суммы получаем:
(а + b) - (hx + h2) < x + у < (а + b) + (hx + Л2).
Это двойное неравенство означает, что а + b — приближенное
значение суммы х + z/, а абсолютная погрешность приближения
равна Лх + h2. Таким образом, при сложении приближенных
значений их абсолютные погрешности складываются.
Для разности х - у получаем:
а - hx < х < а + hl9
-b - h2< -у < -b + h2t
(a - b) - (hx + h2) < x - у < (a - b) + (hx + Л2).
Это двойное неравенство означает, что а — b — приближенное
значение разности х - z/, а абсолютная погрешность
приближения равна hx + h2. Таким образом, при вычитании
приближенных значений их абсолютные погрешности складываются.
Перемножив неравенства (1) (считая, что все их части
положительны), получим:
ab - (ah2 + bhx) + hxh2 < ху < ab + (ah2 + bhx) + hxh2. (2)
234

7.
НЕРАВЕНСТВА
Обычно достаточно малую величину h1h2 отбрасывают и
переписывают неравенство (2) в виде
аЪ - (ah2 + bhx) < ху < ab + (ah2 + bhx).
Это значит, что абсолютная погрешность произведения равна
ah2 + bhx. Отсюда, в частности, следует, что если а —
приближенное значение величины х с точностью Л, то ап —
приближенное значение для хп, причем абсолютная погрешность
приближения равна nah.
Пример 2. Вычислить -т= т= с точностью 0,01.
Решение. Освободимся от иррациональности в
знаменателе:
1 = 75 +V2 = 75 +У2
V5-V2 (75 - V2)(V5 + V2) 3
Известно, что >/б = 2,236..., следовательно, \[b ~ 2,24,
причем абсолютная погрешность этого приближенного равенства
hx = 0,01.
Известно, что V2 = 1,414..., значит, V2 ~ 1,41, причем
абсолютная погрешность этого приближенного равенства h2 = 0,01.
При сложении приближенных значений абсолютные погрешности
складываются, следовательно, >/б + V2 ~ 3,65 причем абсолютная
погрешность этого приближенного равенства h = 0,02. Тогда
абсолютная погрешность h приближенного равенства -(>/5 + у/2) ~
о
= g • 3,65 равна ^ • 0,02, т. е. h < 0,01.
Итак, с точностью 0,01 имеем:
- | 3,65 = 1,21666... - 1,22. ■
Завершая параграф, поговорим о приближенном вычислении
квадратных корней. Выше, в § 15, мы познакомили вас с
алгоритмом извлечения квадратного корня из точного квадрата, т. е.
из числа вида п2. На самом деле указанный алгоритм можно
применять не только для отыскания точных, но и для
отыскания приближенных значений квадратных корней. Мы говорили
235

7
НЕРАВЕНСТВА
(см. § 15), что для извлечения квадратного корня из натурального
числа нужно это число разбить на грани — по две цифры в
каждой грани при движении по цифрам числа справа налево. Если
корень не извлекается, то после цифры единиц заданного числа
ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых
имеет вид 00. Последовательные цифры результата находят по
правилу, описанному в § 15. В этом случае процесс извлечения
квадратного корня бесконечен, его прекращают тогда, когда
достигнута требуемая точность.
Пример 3. Вычислить >/б с точностью 0,01.
Решение. Представим число 5 в виде 5,00'00'00... . Имеем
42
х 2 "
443
х 3
4466
х 6
v/5,00'00'00 = 2,236...
4
100
84
1600
1329
27100
26796
304
Итак, с точностью 0,01 получаем >/б ~ 2,24. ■
Иногда для приближенного вычисления квадратных корней
используют формулу
yja2 + Ъ « а + о~ (здесь а > 0). (3)
i i 2
Если число а + 2~ возвести в квадрат, получим а2 + Ъ + т-т-
Значит, точное равенство имеет вид
+ & + —т = а + тгг*
К указанному выше приближенному равенству имеет смысл
переходить при достаточно малых (по модулю) значениях &,
когда слагаемым -т-ъ можно пренебречь.
236

НЕРАВЕНСТВА
Например,
= V22 + 0,1 » 2 + ^ = 2,025.
С помощью калькулятора получаем
71д = 2,0248... = 2,025.
Как видите, использование в данном случае формулы (3) дало
вполне приемлемую точность.
§ 44. СТАНДАРТНЫЙ ВИД
ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
Выше мы отмечали, что на практике для вычислений
используются конечные десятичные дроби, которые служат либо
точными, либо приближенными значениями величин. При этом
для удобства вычислений положительную конечную десятичную
дробь иногда представляют в стандартном виде. Что это такое?
Рассмотрим несколько примеров.
1. Число ах = 274,35 можно записать так: 2,7435 • 102.
2. Число а2 = 5434 можно записать так: 5,434 • 103.
3. Число а3 = 0,273 можно записать так: 2,73 • 0,1 = 2,73 • 10"1.
4. Число а4 = 0,0013 можно записать так: 1,3 • 0,001 = 1,3 • 10"3.
5. Число а5= 3,62 можно записать так: 3,62 • 10°.
Во всех случаях мы представили заданное положительное
число ak в виде произведения двух множителей. В качестве первого
множителя мы брали число с одной значащей цифрой до
запятой, т. е. число, целая часть которого — однозначное число (от 1
до 9). В качестве второго множителя брали число 10 в целой
степени.
Определение. Стандартным видом положительного числа а
называют его представление в виде а0 • 10т, где 1<ао<Ю,ат —
целое число; число т называют порядком числа а.
Так, в рассмотренных выше примерах имеем:
1) порядок числа 274,35 равен 2;
2) порядок числа 5434 равен 3;
3) порядок числа 0,273 равен -1;
4) порядок числа 0,0013 равен -3;
5) порядок числа 3,62 равен 0.
237

7.
НЕРАВЕНСТВА
Переход к стандартному виду числа иногда используют для
вычислений.
Пример. Вычислить:
а) 2734-0,007; б) 24,377 : 0,22; в) (0,0043)2.
Решение, а) 2734 • 0,007 = (2,734 • 103) • (7 • 10 3) =
= (2,734 • 7) • (103 • К)"8) = 19,138 • 10° = 19,138 • 1 = 19,138;
б) 24,377 : 0,22 = (2,4377 • 10) : (2,2 • КГ1) =
= (2,4377 : 2,2) • (10 : 101) = 1,10805 • 101 < Х) =
= 1,10805 • 100 = 110,805;
в) (0,0043)2 = (4,3 • КГ8)2 = 4,32 • (10 3)2 = 18,49 • 10 6 =
= 1,849 • 10 • 10 6 = 1,849 • 10 5 = 0,00001849. ■
Однако основная польза от стандартной записи числа
заключается в следующем. Представьте себе, что вы производите
вычисления или с очень большими, или с очень маленькими
положительными числами. Вам нужно вывести, скажем, на дисплей
калькулятора числа а = 217 000 000 000 и Ь = 0,0000045412 и
перемножить их. А на экране умещается только 8 знаков. Вот тут-
то и пригодятся стандартные записи чисел. Имеем: а = 2,17 • 1011;
Ь = 4,5412 • 10"6; тогда
а • Ь = 2,17 • 10" • 4,5412 • 10"6= 9,854404 • 105 = 985440,4.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 3
Глава 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 1. Основные понятия 5
§ 2. Сложение и вычитание алгебраических дробей 10
§ 3. Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень 15
§ 4. Преобразование рациональных выражений 17
§ 5. Первые представления о решении рациональных
уравнений 19
§ 6. Степень с отрицательным целым показателем 22
Глава 2. ФУНКЦИЯ у = yfc. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
§ 7. Рациональные числа 26
§ 8. Понятие квадратного корня из неотрицательного
числа 32
§ 9. Иррациональные числа 39
§ 10. Множество действительных чисел 42
§ 11. Свойства числовых неравенств 46
§ 12. Функция у = yfx, ее свойства и график 52
§ 13. Свойства квадратного корня 61
§ 14. Преобразование выражений, содержащих операцию
извлечения квадратного корня 64
§ 15. Алгоритм извлечения квадратного корня 68
§ 16. Модуль действительного числа. Функция у = \х\. . . . 70
Глава 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = *
§ 17. Функция у = kx2, ее свойства и график 81
§ 18. Функция у = — > ее свойства и график 92
§ 19. Как построить график функции у = f(x + I) + т,
если известен график функции у - f(x) 105
§ 20. Функция у = ах2 + Ьх + с, ее свойства и график .... 115
§ 21. Графическое решение квадратных уравнений 121
§ 22. Дробно-линейная функция 125
239

§ 23. Как построить графики функций у = |f(x)| и у = f(|x|),
если известен график функции у = f(x) 127
Глава 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 24. Основные понятия 132
§ 25. Формулы корней квадратного уравнения 136
§ 26. Теорема Виета 145
§ 27. Разложение квадратного трехчлена на линейные
множители 149
§ 28. Рациональные уравнения как математические
модели реальных ситуаций 152
Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ
§ 29. Делимость чисел 162
§ 30. Простые и составные числа 170
§ 31. Деление с остатком 172
§ 32. Наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное нескольких чисел 174
§ 33. Основная теорема арифметики натуральных чисел ... 178
Глава 6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 34. Многочлены от одной переменной 180
§ 35. Уравнения высших степеней 187
§ 36. Рациональные уравнения 194
§ 37. Уравнения с модулями 196
§ 38. Иррациональные уравнения 202
§ 39. Задачи с параметрами 210
Глава 7. НЕРАВЕНСТВА
§ 40. Линейные неравенства 218
§ 41. Квадратные неравенства 221
§ 42. Доказательство неравенств 227
§ 43. Приближенные вычисления 229
§ 44. Стандартный вид положительного числа 237

= ах2 + Ьх + с
= ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
9
121 144 169 196 225 256 289 324 361
441 484 529 576 625 676 729 784 841
961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
X — ""77"
Х2 — корни уравнения
ах2 + Ьх + с = О
1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
J6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
Ш8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 960419801
у| y=vx + t + m
i
1
м^ ^ у ^»* ~ш и^
1
1
1
1 0
# = -£
у = т
X

\
ISBN 978-5-346-01011-1
II