/
Текст
И.А.БАРАНОВ
Г. И.БОГАТЫРЕВ
О.А.БОКОВНЕВ
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ
КУРСОВ ТЕХНИКУМОВ
5ИО
И.А.БАРАНОВ <
Г.И. БОГАТЫРЕВ
О.А.БОКОВНЕВ
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ
КУРСОВ ТЕХНИКУМОВ
НА БАЗЕ 8 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Д onущено М инистерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для средних специальных учебных заведений
й
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
22.10
Б 24
УДК 51
Иван Алексеевич Баранову
Геннадий Иванович Eosambipeet
Олег Александрович Боковнее
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ
ТЕХНИКУМОВ
на базе 8 классов средней школы
Редактор Т. А. Панькова
Техн, редактор Л. В. Лихачеса
Корректор Я. Д. Дорохова
ИБ № 11193
Сдано в набор 16.04.82. Подписано к печати 23.08.82.
Формат бОХЭО'/к. Бумага тип. №3. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 21. Уч.-изд. л. 22,58. ч
Тираж 300000 экз. Заказ № 247. Цена 80 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 17071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового
Красного Знамени Первая Образцовая типография имени
А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж-
ной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28.
1702000000—128
° 053(02)-82 2 2
© Издательство «Наука,.
Главная редакция
физико-математической литературы,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................... 8
ЧАСТЬ 1. АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА.................................. 9
Глава I. Множество............................................. 9
Глава II. Целые числа и дроби................................ 12
§ 1. Арифметические действия над целыми числами............ 12
§ 2. Простые и составные натуральные числа................ 14
§ 3. Общие делители и кратные. Наименьшее общее кратное ... 14
§ 4. Дроби обыкновенные и десятичные, арифметические действия
над ними.................................................. 17
§ 5. Рациональные числа. Периодические дроби............. 22
§ 6. Числовая прямая. Модуль числа ....................... 24
§ 7. Решение примеров..................................... 27
Упражнения ............................................... 29
Глава III. Приближенные вычисления........................... 32
§ 1. Точные и приближенные значения величин. Метод границ . . 32
§ 2. Абсолютная и относительная погрешности............... 33
§ 3. Запись приближенных значений чисел. Стандартный вид числа 36
§ 4. Сложение и вычитание приближенных значений чисел .... 38
§5. Умножение и деление приближенных значений чисел...... 39
Упражнения ............................................... 41
Глава IV. Степени и корни. Действительные числа............... 43
§ 1. Возведение рациональных чисел в степень с натуральным по-
казателем. Извлечение корня............................... 43
§ 2. Понятие иррационального числа....................... 46
§ 3. Действительные числа. Арифметические корни. Прямоугольная
система координат на плоскости ........................... 48
§ 4. Степень с натуральным показателем.................... 51
3
§5. Арифметический квадратный корень................................................................... 54
§ 6. Степень с целым показателем......................................................................... 58
§ 7. Арифметический корень п-й степени................................................................... 59
§ 8. Степень с рациональным показателем.................................................................. 62
§ 9. Понятие о степени с иррациональным показателем. Свойства
степени с действительным показателем......................... 64
§ 10. Решение задач...................................................................................... 65
Упражнения ...............................'.............................................................. 68
Глава V. Выражения........................................................................................... 71
§ I. Числовые и алгебраические выражения................................................................. 71
§ 2. Отношения чисел и о днородных величин. Проценты..................................................... 74
§ 3. Пропорции.......................................................................................... 77
§ 4. Одночлены и многочлены. Стандартный вид одночленов и‘мно-
гочленов ...................................................... 80
§ 5. Формулы сокращенного умножения...................................................................... 82
§ 6. Многочлены с одной переменной....................................................................... 83
§ 7. Тождественные преобразования многочленов............................................................ 85
§ 8. Алгебраические дроби. Иррациональные выражения.......... 87
§ 9. Тождественные преобразования алгебраических выражений (ре-
шение задач)................................................... 94
Упражнения .............................................................................................. 98
Глава VI. Уравнения и неравенства................................... 103
§ 1. Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения .... 103
§ 2. Линейные уравнения............................................................................ 105
§ 3. Квадратные уравнения. Теорема Виета........................................................... 106
§ 4. Разложение квадратного трехчлена на множители.............................................. 112
§ 5. Уравнения, приводимые к линейным и квадратным.............................................. 113
§ 6. Уравнения с несколькими неизвестными. Системы уравнений 117
§ 7. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 118
§ 8. Уравнения и системы уравнений (решение задач).............................................. 120
§ 9. Задачи на составление уравнений ............................................................... 124
§ 10. Неравенства и их свойства.................................................................. 127
§ 11. Доказательство неравенств . . . . ........................................................ 130
§ 12. Решение линейных и квадратных неравенств с одним неиз-
вестным . .................................................... 133
§ 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Неравенства, содер-
жащие модуль.................................................. 138
§ 14. Задачи на уравнения и неравенства. Метод интервалов . . . 143
Упражнения ............................................................................................. 148
Глава VII. Функции и графики ................................................................... 152
§ I. Понятие функции. Способы задания функции........................................................... 152
§ 2. Свойства функций................................................................................... 154
§ 3. Обратная функция и ее график....................................................................... 156
4
§ 4. Свойства и графики некоторых простейших функций . ... . 158
§ 5. Графический способ решения уравнений и систем уравнений.
Уравнение окружности.................................... 174
§ 6. Построение графиков (решение задач).................... 177
§ 7. Применение графиков к решению неравенств............... 182
Упражнения ................................................. 184
Глава VIII. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Логарифмы 185
§ Е Числовые последовательности......................1 . . 185
§ 2. Арифметическая прогрессия.............................. 187
§ 3. Геометрическая прогрессия.............................. 189
§ 4. Задачи на прогрессии.................................. 192
§ 5. Логарифмирование и потенцирование . 193
§ 6. Десятичные логарифмы. Характеристика и мантисса........ 197
§ 7. Решение уравнений и неравенств, содержащих показательную
и логарифмическую функции................................... 198
Упражнения ................................................. 200
ЧАСТЬ 2. ГЕОМЕТРИЯ
Глава IX. Основные понятия геометрии и геометрические фигуры 203
§ 1. Основные понятия геометрии............................. 203
§ 2. Геометрические фигуры.................................. 205
Упражнения •............................................... 210
Глава X. Прямая................................................. 211
§ 1. Треугольники........................................... 211
§ 2. Основные геометрические построения..................... 220
§ 3. Параллельные прямые.................................... 222
§ 4. Четырехугольники....................................... 228
Упражнения ................................................. 233
Глава XI. Окружность........................................... 235
§ 1. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная
к окружности................................................ 235
§ 2. Углы в окружности.......................................239
§ 3. Свойства хорд и диаметров окружности................... 242
§ 4. Вписанные и описанные многоугольники................... 243
§’5. Четыре замечательные точки в треугольнике.............. 247
Упражнения ............................................... 249
5
Глава XII. Подобие многоугольников............................... 250
§ 1. Пропорциональные отрезки................................ 250
§ 2. Подобные треугольники.................................. 252
§ 3. Теорема Пифагора....................................... 256
§ 4. Свойство биссектрисы треугольника. Пропорциональность от-
резков хорд и секущих........................................ 258
§ 5. Подобные многоугольники................................. 260
Упражнения .................................................. 263
Глава XIII. Преобразование фигур................................. 264
§ I. Примеры преобразований фигур............................ 264
§ 2. Движение. Равенство фигур............................... 266
§ 3. Преобразование подобия.................................. 270
Упражнения .................................................. 271
Глава XIV. Векторы на плоскости и тригонометрические функции
угла............................................................. 272
§ 1. Сложение и вычитание векторов........................... 272
§ 2. Умножение вектора на число.............................. 275
§ 3. Координаты вектора на плоскости......................... 276
§ 4. Повороты на углы любой величины......................... 278
§ 5. Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс угла) 279
§ 6. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном
треугольнике ................................................ 284
§ 7. Метрические соотношения в произвольном треугольнике; тео-
рема синусов и теорема косинусов ............................ 287
Упражнения .................................................. i91
Глава XV. Площади многоугольников................................ 292
§ 1. Понятие площади многоугольника.......................... 293
§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции .... 294
§ 3. Площадь многоугольника. Отношение площадей подобных мно-
гоугольников ................................................ 300
Упражнения ........................................• . . . . 301
Глава XVI. Правильные многоугольники. Длина окружности и пло-
щадь круга....................................................... 303
§ 1. Правильные многоугольники............................... 303
§ 2. Длина окружности........................................ 305
§ 3. Площадь круга........................................... 308
Упражнения .................................................. 309
6
Глава XVII. Задачи............................................ 309
Упражнения .................................................. 316
Глава XVIII. Начальные сведения из стереометрии............... 317
§ 1. Аксиомы стереометрии.................................... 317
§ 2. Прямые и плоскости в пространстве....................... 318
§ 3. Многогранники (прямая призма, прямоугольный параллелепи-
пед, пирамида, правильная пирамида).......................... 320
§ 4. Фигуры вращения (цилиндр, конус, шар).......... 324
Упражнения .................................................. 329
Ответы к упражнениям............................................. 330
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие предназначено для окончивших восьмилетнюю
школу и поступающих в средние специальные учебные заведения.
Материалы, изложенные в пособии, соответствуют программе
по мате:латике для 5 — 8 классов средней школы. Кроме того,
в пособие включен дополнительный материал с целью углублен-
ного повторения.
Пособие состоит из двух частей: первая посвящена алгебре,
а вторая — геометрии на плоскости и элементам стереометрии.
Наряду с изложением теоретического материала авторы уде-
ляют большое внимание решению типовых задач, а также задач
повышенной трудности. Приведено большое количество подробно
решенных примеров, иллюстрирующих теорию. В конце каждой
главы приводятся упражнения. Они состоят из двух разделов:
первый предназначен для занятий с преподавателями, а второй —
для самостоятельных занятий. Задачи для самостоятельного ре-
шения помогут поступающим проверить, насколько хорошо они
разобрались в изучаемом курсе. Эти задачи снабжены ответами,
а в некоторых случаях — указаниями.
Авторы считают необходимым отметить принципиально важное
значение пробных учебников по алгебре (Ш. А. Алимов,'
В. А. Ильин, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин),
по геометрии (Л. С. Атанасян, Э. Г. Позняк) и учебного пособия
по геометрии А. В. Погорелова.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам — про-
фессору М. И. Шабунину и доценту Б. Г. Агафонову за ценные
советы и замечания.
ЧАСТЬ 1. АРИФМЕТИКА и алгебра
Глаза I. МНОЖЕСТВО
Понятие множества относится к числу первоначальных поня-
тий математики. Примеры множеств: множество столоз в клас-
сной комнате, множество жилых домов в данном городе, мно-
жество целых чисел, множество всех треугольников, которые
можно вписать в данную окружность, и т.. д.
Предметы, объекты, из которых состоит множество, называ-
ются элементами множества. Например, множество натураль-
ных чисел, меньших 5, состоит из следующих элементов: '1, 2. 3, 4.
Различают конечные и бесконечные множества. Множество сто-
лов и множество жилых домов в городе конечные: столы и дома
можно пересчитать; их определенное число. Множество целых
чисел и множество всех треугольников, вписанных в данную ок-
ружность, бесконечные.
Множества будем обозначать заглавными буквами латинского
алфавита, а их элементы — малыми буквами. Например, запись
А ={а, Ь, с, d} означает, что множество А состоит из элементов
а, Ь, с, d.
Если элемент х является элементом множества Е, то употре-
бляется запись х£Е (читается так: х принадлежит множеству £).
Если же х не является элементом множества Е, то пишут х(£Е
(читается так: х не принадлежит множеству Е).
Например, если N— множество натуральных чисел, то 1 С Лг,
2£ЛГ, — 2(£Л',
А\ножество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым множеством и обозначается 0. Примеры пустых множеств:
множество натуральных корней уравнения х — 1 = — 2, множество
действительных решений неравенства х2 -L 1 < 0, множество общих
точек двух различных параллельных прямых и т. п.
Иногда приходится рассматривать не все множество, а только
его часть. Например, рассматривается не все множество нату-
ральных чисел, а только множество простых чисел. Вместо слов
«часть множества» часто говорят «подмножество >.
9
Множество В называется подмножеством множества А, если
каждый элемент множества В является и элементом множества 4.
В этом случае пишут В с. А.
Из определения вытекает, что любое множество является
подмножеством самого себя: А а:А. Принято считать, что пустое
множество является подмножеством любого множества: 0сЯ.
Если для двух множеств А и В одновременно справедливы
утверждения А с В и В с:Л, то это значит, что они состоят из
одних и тех же элементов. Такие множества называют равными
и пишут А = В.
Например, {а, Ь, с} = {Ь, с, й} = {с, а, Ь} и т. п. Найдем все
подмножества множества Л1 = -|й, Ь, с}. Получаем: {а}, {Ь}, (с},
{й, Ь}, {а, с}, {Ь, с}, {й, Ь, с}, 0.
Над множествами можно выполнять различные операции.
Простейшие из них — пересечение и объединение.
Пересечением двух множеств называется множество, которое
состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно обоим
множествам.
Если С — пересечение множеств А и В, то пишут C = 4flB
(П — знак пересечения).
Например, пересечением множества натуральных четных чисел
и множества простых чисел является множество, состоящее из
одного элемента—числа 2.
Если множество В является подмножеством множества А, то
пересечением множеств А и В является само множество В, т. е.
если В<±А, то /4яВ = В.
Например, если A—{a, b, с, d} и В = {й, b, d}, то ВсЛ,
и поэтому А П В = В.
Объединением двух множеств называется множество, которое
состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из
этих множеств.
Если С — объединение множеств А и В, то пишут С = А(]В
(U — знак объединения).
Например, объединением множества натуральных четных чи-
сел и множества натуральных нечетных чисел является множество
натуральных чисел.
Если множество В
является подмножеством множества А,
Рис. 1.
то объединение множеств А и В есть
множество А, т. е. если Вс А, то
A UB = А.
Например, если A = {a,b, с, d, е\ и
В = )й, Ь, с, d}, то Вс А, и поэтому
АцВ=А.
Для наглядности будем рассматри-
вать множество в виде некоторого
множества точек плоскости. На рис. 1 изображены пересечение
и объединение двух множеств.
В арифметике и алгебре используются числовые множества —
множества, элементами которых являются числа.
10
Сначала рассматривают натуральные числа: 1, 2, 3, 4, .. .
При сложении и умножении натуральных чисел всегда получа-
ются натуральные числа. Однако при вычитании двух натураль-
ных чисел не всегда получается натуральное число. Поэтому
были введены отрицательные целые числа и число нуль. Множество
натуральных чисел расширилось до множества целых чисел: О,
zb 1, -4- 2, i 3, ~|- 4, . . .
При сложении, умножении, вычитании целых чисел всегда
получаются натуральные числа. Однако при делении двух целых
чисел не всегда получается целое число. Поэтому были введены
дроби. Появляется понятие рационального числа, т. е. числа
вида где а и b — целые, причем Ь=#0. Множество целых чи-
сел расширилось до множества рациональных чисел. Множество
рациональных чисел есть объединение целых чисел и дробей.
При выполнении четырех арифметических действий (кроме де-
ления на нуль) над рациональными числами всегда получаются
рациональные числа.
Однако при извлечении квадратного корня из рационального
числа не всегда получается рациональное число. Поэтому к ра-
циональным числам добавляются новые числа, которые называ-
ются иррациональными (см. § 2 гл. IV).
Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел.
Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа а
называется: само число а, если а — положительное число; нуль,
если а = 0; число (— а), если а—отрицательное число. Модуль
действительного числа а обозначается |а|. Таким образом,
' . ( а, если '
\а =< „
11 ( —а, если а < 0.
Например, |4| = 4, 10 | = 0, | — 6| = — (—6) = 6.
Основные свойства модулей действительных чисел будут при-
ведены в § 3 гл. IV.
Для наглядности действительные числа принято изображать
точками числовой оси (или числовой прямой) — прямой, на кото-
рой выбрано положительное направление,
масштаб и начало отсчета О (рис. 2). ___ ___________М у
Из геометрии известно, что всякий от- о 1 &
резок ОМ имеет длину, выраженную ра- рис 2.
циональным или иррациональным числом
(доказательство этого утверждения опускаем). Поэтому каждой
точке М на числовой оси соответствует вполне определенное дей-
ствительное число х, положительное, если М лежит справа от О,
й отрицательное, если М лежит слева от 0. Модуль числа х ра-
вен длине отрезка ОЛ4.
Наоборот, всякому действительному числу х соответствует
на числовой оси определенная точка М, которая удалена от точки
11
О на расстояние, равное |х|, и лежит справа от О, если х > О,
и слева — если х<0. При х = 0 точка М. совпадает с точкой О.
Таким образом, между действительными числами и точками чис-
ловой оси установлено взаимно однозначное соответствие.
Рассмотрим следующие числовые множества. Если а < Ь, то
множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравен-
ствам называется числовым отрезком (или просто от-
резком) и обозначается [а; 6].
Если а < Ь, то множество действительных чисел х, удовлетво-
ряющих неравенствам а<х<Ь, называется интервалом и обоз-
начается (а; Ь).
Рис. 3.
•Z Q 0t G
Рис. 4.
Множества действительных чисел х, удовлетворяющих нера-
венствам a^Zx<b или а<х^/7, называются полуинтервалами
и обозначаются соответственно [а; Ь) и (а; Ь].
Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми
промежутками. На числовой оси промежутку соответствует не-
который геометрический отрезок с включением в него концевых
точек или без включения их в зависимости от типа промежутка.
Например, отрезок [—2; 1] — это множество чисел х, удов-
летворяющих неравенствам — полуинтервал (2; 5] —
это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам 2 <х^5
(рис. 3).
Рассматриваются также бесконечные промежутки. Например,
[а; + оо)—множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х^ а;
(а; +.ос) — множество чисел х, удовлетворяющих неравенству
х > а, и т. п.; (— оо; оо)—множество всех действительных чисел.
На числовой оси бесконечные промежутки изображаются лучами.
Например, [—2; + оо)—это множество чисел х, удовлетворяющих
условию л'^г — 2; (— оо; 5) — это множество чисел х, удовлетво-
ряющих условию х < 5 (рис. 4).
Глава II. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ
§ 1. Арифметические действия над целыми числами
Числа, появившиеся в результате счета, называются нату-
ральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью
десяти знаков цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Множество натуральных чисел бесконечно. Оно имеет наимень-
> шее число—единицу, но не имеет наибольшего числа.
Все натуральные числа, расположенные в порядке возрас-
тания, образуют ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, ... Сово-
12
купность чисел 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ... образует множество
целых чисел.
Над целыми числами устанавливаются действия сложения
и умножения, которые обладают следующими основными свой-
ствами:
1) переместительное свойство сложения: a-\-b = b-\-a*)\
2) сочетательное свойство сложения: (а4-с = а 4-(6-}-<?);
3) переместительное свойство умножения: ab = b-a\
4) сочетательное свойство умножения: (ab)c = a(bc):
5) распределительное свойство умножения относительно сло-
жения: (а~Ь)-с = а-с~-Ь-с.
Основные свойства (законы арифметики) остаются справедли-
выми для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.
Используются также следующие свойства:
6) свойство нуля при сложении: а4-0 = «;
7) свойство нуля при умножении: а-0 = 0;
8) свойство единицы при умножении: а-\—а.
Вычитание и деление определяются как действия, обратные
сложению и умножению.
Вычесть из числа а число b — значит найти такое число с,
которое в сумме с числом Ь даст число а:
с = а—Ь, если Ь + с = а.
Число с называется разностью чисел а и Ь. Для целых чисел
вычитание всегда выполнимо и единственно, т. е. для любых
а и b существует и притом единственная разность с.
Разделить число а на число Ь — значит найти такое число q,
при умножении на которое число b даст число а:
q — a:b или (? = Д-, если b-q — u.
Деление не всегда выполнимо на множестве целых чисел.
Невозможно деление на нуль. Если а =4=0, а & = 0, то нет
такого числа q, для которого b-q -=а. Если a = Ь = 0, то q — любое.
Если для чисел а и b существует частное q, т. е. bq = a, то
говорят, что а делится на b (или b делит а). При этом а на-
зывается кратным числа b (или делимым), а b—делителем числа а.
Число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным,
если оно не делится на 2. Нуль — четное число.
Для любых чисел а и b (Ь > 0) справедливо следующее утверж-
дение: число а всегда можно представить и притом единствен-
ным образом в виде
a = bq-srr, где (1)
Определение. Разделить число а на число b (Ь > 0) с остат-
ком— значит найти такие числа q и г, что a = bq-[-r, причем г
удовлетворяет условию 0 < г < Ь.
*) Буквы а, Ь, с, ... обозначают здесь целые числа.
13
Число q называется частным, а число г—остатком. Если
г —0, то а делится на b без остатка или нацело.
Например, при делении 37 на 5 получается в частном 7
и в остатке 2, . а при делении (—8) на 3 — в частном (—3)
и в остатке 1: 37 = 5-74-2, —8 = 3-(—3)4-1.
§ 2. Простые и составные натуральные числа
Делителем числа а называется натуральное число, на кото-
рое число а делится нацело. Например, число 20 имеет шесть
делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Определение. Натуральное число а, не равное единице,
называется простым, если оно имеет только два делителя: еди-
ницу и само число а. Натуральное число а называется состав-
ным, если оно имеет более двух делителей.
Единица—единственное натуральное число, которое не яв-
ляется ни простым, ни составным.
Наименьшим простым числом является число 2. Это единст-
венное четное простое число. Остальные простые числа нечет-
ные. Вот первые двадцать простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37,-41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71.
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема (основная теорема арифметики). Всякое натураль-
ное число, большее единицы, можно представить в виде произве-
дения простых сомножителей и притом единственным способом
(произведения,, отличающиеся только порядком сомножителей,
различными не считаются).
Объединяя равные сомножители, получим
а = р^р*’. . (2)
где plt р.2, ..., рп — различные простые делители числа а, а а1(
а2, ..., ал—число их повторений в разложении числа а.
Равенство (2) называется разложением натурального числа а
на простые множители.
Например, 72 = 23-3\ 13= 131.
§ 3. Общие делители и кратные.
Наименьшее общее кратное
Будем рассматривать натуральные числа.
Определение. Если натуральные числа а, Ь, ..., / де-
лятся нацело на одно и то же натуральное число d, то число d
называется их общим делителем. Наибольший из общих делите-
лей называется наибольшим общим делителем и сокращенно
обозначается НОД. Если НОД чисел а, b.......I равен 1, то
эти числа называются взаимно простыми.
Например, НОД чисел а = 48 = 24-3 и й = 36 = 22-32 равен
23-3=12. Числа 28= 22-7 и 15=3-5 взаимно простые, так как
14
их НОД равен 1. Легко проверить, что числа 6, 8, 15 также
являются взаимно простыми.
Кратным натурального числа а называется натуральное
число k, которое делится нацело на а.
Всякое натуральное число, которое делится нацело на каж-
дое из натуральных чисел а, Ь, ..., I, называется их общим
кратным. Наименьшее из общих кратных называется наимень-
шим общим кратным и сокращенно обозначается НОК.
Например, НОК чисел 48~24-3 и 36 = 22-32 есть число
24-32= 144.
Приведем без доказательства свойства взаимно простых чисел.
1) Если число а делится на каждое из взаимно простых чи-
сел, то оно делится и на произведение этих чисел.
Например, если число делится на 3 и на 5, то оно делится
и на 15. Однако нельзя утверждать, что число, делящееся на 4
и на 6 (НОД (4; 6)#=1), обязательно делится и на 24. Напри-
мер, это неверно для 36.
2) Если произведение ab делится на с, где b и с —взаимно
простые числа, то а делится на с.
Пример 1. Найти НОД и НОК чисел 72 и 60.
Решение. Так как 72 = 23-32, 60 = 2z-3-5, то НОД =
= 22-3=12, НОК = 23-32-5 = 360.
Практически при разложении числа на множители и нахож-
дении НОД и НОК пользуются признаками делимости.
Пусть р—делимое. В десятичной системе счисления нату-
ральное число р записывается в виде
Р = а„- 10п + а„_1- 10"-1+ . .. +а2- 102 + Й1- 1О + ао, (3)
где ай— число единиц, аг — число десятков, а2—число сотен и т. д.
Число р можно записать и в виде
P = an«n-i- • АаА
(черта сверху ставится для того, чтобы отличать это число от
произведения чисел апап_1.. .ащЩд).
Рассмотрим признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9.
Признак делимости на 2 и на 5. На 2 (или на 5) делятся
те и только те числа, цифра единиц которых выражает число,
делящееся на 2 (или соответственно на 5).
В самом деле,
р = (а„- 10л + а„_1- Ю""1 + ... +аг 1О) + «о.
В скобках стоит число, кратное 10, и оно делится на 2 и на 5.
Если число а0 делится на 2 (или на 5), то и р будет делиться
на 2 (или на 5), как сумма чисел, каждое слагаемое которой
делится на одно и то же число.
Докажем обратное утверждение. Если р делится на 2 (или
соответственно на 5), то число
а0 = р—(а„- 10п + ап_1- Ю""1 + ... 10)
будет делиться на 2 (или на 5). Признак доказан.
15
Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа,
у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.
Предлагаем доказать этот признак самостоятельно, записав
делимое р в виде
Р = (л„ 10“ + ап_t. IO"’1 + • + Ю2) + (Й1 • 10 + о0).
Признак делимости на 3 и на 9. На 3 (или на 9) делятся
те н только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или
соответственно на 9).
Для доказательства запишем делимое в виде
р = [аи(10«-1) + й„-1(10“-1- 1)+ ... +01(Ю-1)] +
+ (°н + йп-1+ • • +
Очевидно, что число
10*—1=997779
к цифр
делится на 3 и на 9. Если число, стоящее в круглых скобках
и равное сумме цифр числа р, делится на 3 (или на 9), то и р
делится на 3 (или на 9). Наоборот, из делимости числа р на 3
(или на 9) вытекает, что и число
ап + ап-1+ • • • + fll + fl0 =
= p_[a(i(10'1-l)4-flfi_1(10“->- 1)+ ... +fll(io-l)],
равное сумме цифр числа р, будет делиться на 3 (или соответ-
ственно на 9). Признак доказан.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те и только те числа,
которые одновременно делятся на 2 и на 3.
Это следует из свойства делимости числа на произведение
взаимно простых чисел.
Свойство последовательных целых чисел. Из п последователь-
ных целых чисел
а, а+ 1, ..., а + п—1 (4)
одно и только одно делится на п.
Действительно, если a = nq, то утверждение справедливо.
Пусть a = nq^-k, где k — одно из чисел 1, 2, ..., п—1.
Тогда число а + (п — /г) = nq + k + (п — /г) =/г (z?1) находится
среди чисел (4) и делится на л.
Среди чисел (4) нет других чисел, делящихся на п, так как
иначе разность таких чисел, меньшая п, делилась бы на л, что
невозможно.
Например, число л3—л = (л— 1)л (л + 1) делится на 2, на 3
и, следовательно, на 6.
Пример 2. Найти наибольший общий делитель и наимень-
шее общее кратное чисел 126, 540, 630.
16
Решение. Применяя признаки делимости, разложим данные
числа на простые множители. Имеем
126 2 540 2 630 2
63 3 270 2 315 3
21 3 135 3 105 3
7 7 45 3 35 5
15 3 7 7
5 .5
Следовательно, 126 = 2-32-7, 540 = 22-33-5, 630 = 2-32-5-7.Отсюда-
НОД (126; 540; 630) = 2-32= 18, НОК (126; 540; 630) = 22-33Х
х5-7 = 3780.
§ 4. Дроби обыкновенные и десятичные,
арифметические действия над ними
Результат деления двух целых чисел а и b (Ь=^0) можно записать
в виде у. Число вида
где а и b — целые и &#=0, называется дробью. При этом а на-
зывается числителем дроби, а число b—ее знаменателем.
Две дроби у и у считаются равными ^у = у^ • если ad = bc.
По определению
у>у, если (ad—bc)bd'>Q,
и
у<у, если (ad—bc)bd<0.
В частном случае для дробей с положительными знаменателями
b и d получаем:
-т- > -у , если аа > Ьс. и ~г < — , если ad < Ьс.
о a b d '
Например, > -Ц,—. так как (—3)-7 =— 21, 4-(—6) = — 24
п (—21) > (—24); ±<|, так как 4-8 <7-5.
Из определения равенства дробей следует, что дроби у и
равны. Действительно, справедливо равенство a.-bk = b-ak = abk.
Отсюда вытекает основное свойство дроби: если числитель и зна-
менатель дроби умножить или разделить на одно и то же число,
не равное нулю, то получится дробь, равная данной:
a ak а:п
b bk b:n ‘
'' 567396 17
На этом свойстве основано сокращение дробей, т. е. деление
числителя и знаменателя на их общий делитель. Например,
24 12 4
42"= "2Г= у • Обычно сокращение проводят до тех пор, пока
числитель и знаменатель не будут взаимно простыми числами.
Основное свойство дроби используют и для приведения дроби
к другому знаменателю. Например, дробь можно привести
к знаменателю 24. Для этого надо умножить числитель и зна-
менатель дроби на число 2. Получим зу- В этом случае
5
число 2 называют дополнительным множителем. Дробь -ту можно
привести и к другому знаменателю, например к знаменателю 36.
D 5 5-3 15 о
В самом деле, то =-пгт= • Здесь дополнительным множите-
лем служит число 3.
Часто приходится приводить две или несколько дробей к об-
щему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее крат-
ное знаменателей данных дробей и каждую дробь приводят
7 5
к этому знаменателю. Например, приведем дроби тт- и к об-
* 1 <□
щему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное
чисел 12 и 18. Таким числом будет 36". Теперь найдем допол-
нительный множитель для первой дроби: разделим наименьшее
общее кратное 36 на знаменатель дроби 12 и получим 36:12 = 3.
Затем найдем дополнительный множитель для второй дроби
и получим 36:18 = 2. Умножив числители и знаменатели данных
7 7-3 21
дробей на их дополнительные множители, получим -рг = — = —
1 А 1 21 с? ОО
5 _ 5-2 _ 10
18 — 18-2 ~ 36 ‘
Сложение и умножение дробей определяются по правилам:
а с _____ ad~ bc _ а с _____ ас
b ' d bd ’ b d bd ’
Вычитание и деление дробей определяются как действия,
обратные соответственно сложению и умножению. Из этого опре-
деления легко выводятся правила этих действий:
а с ___ ad — be . а # с _ ad
b d bd ’ b ' d be *
Для дробей сохраняются основные свойства арифметических
действий над целыми числами, приведенные в § 1 гл. II.
Дробь вида
Р
10я ’
(6)
где р~целое, п— натуральное число, называется десятичной
дробью. Ее знаменатель—степень числа 10.
18
В отличие от дроби десятичной дробь (5) с каким угодно
знаменателем называется обыкновенной или простой.
Обыкновенные дроби с натуральными числителем и знамена-
телем разделяются на правильные и неправильные дроби. Пра-
вильной называется дробь, у которой числитель меньше знаме-
нателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель
больше или равен знаменателю. Любая правильная дробь меньше 1,
а любая неправильная дробь больше или равна 1. Например,
251 - 5 8 121
т> 'о'—правильные дроби, а =, =, -=-------неправильные
дроби.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть.
Для этого надо произвести деление с остатком числителя на
45
знаменатель. Например, выделим целую часть дроби — . Разделив
45 ' 3
45 на 7, получим в частном 6, а в остатке 3. Значит, -у = 6у.
• Число, которое состоит из натурального числа и правильной
дроби, называется смешанным числом. У смешанного числа 6 у
з
число 6 является целой частью, а дробь у—дробной частью числа.
Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби,
нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части
и к произведению прибавить числитель дробной части. Получен-
ная сумма будет числителем неправильной дроби, а ее знамена-
телем будет знаменатель дробной части. Например, представим
смешанное число 3-| в виде неправильной дроби. Для этого
умножим 3 на 8- и к произведению прибавим 5. Получим
3-8+5 = 29. Итак, 3-f- = -^-.
О о
Рассмотрим правила действий над десятичными дробями.
Любая положительная десятичная дробь (6) (при р > 0) пред-
ставима в виде суммы
ат-Ю“ + ат_1-Ю“-1 +...+ + • Ю + о0 + 4+... + -1^г, (7)
где а0, ап ..., ат, Ьи ..., bn— цифры.
Если Ьг = Ь2= .. . = Ь„ = 0, то (7) есть целое число. При
ит — ат_1 = • . =ао = О дробь (7) называется правильной деся-
тичной дробью. В общем случае, когда не все «(), + , ..., ат
и не все Ьх, Ь2, ..., Ьп равны нулю, дробь (7) называется сме-
шанной.
Условились десятичную дробь (7) записывать также в виде
атат_1...аЛ,Ь1Ь1.. .Ьп или с,ЬгЬ2...Ьп, (8)
где с = ат- 10м+ ага_, • 10й'1 + . .. + а0=атат_1. . , а0 —целое число
(целая часть дроби), a blt b2, ..., Ьп—десятичные знаки (они
образуют дробную часть).
19
Так как (8) — иная запись суммы (7), то после Ьп можно при-
писать любое число нулей, и величина дроби от этого не изме-
нится.
Запись десятичных дробей в виде (8) удобна для сравнения
дробей и для выполнения действий над ними.
Рассмотрим две десятичные дроби
p = c,bLb.,.. .Ьг1 и р' =с',Ь[!}',.. ,Ь‘п.
Они равны: р = р', если с = с', bt=bi, b, = b'it .... bn = &'.
Из двух положительных дробей (п^дО, р'Т^О) р больше
р': р > р', если с>с', либо если с—с', но либо если
с = с', bt = b't, ..., &*==&*. (для некоторого натурального числа й),
но + l >^ + 1.
Например, сравнивая целые части дробей 17,839 и 18,153,
получаем, что 17,839 < 18,153. Сравним 13,2 и 13,187; их целые
части равны. Рассматривая дробные части, получим, что 13,2 >
> 13,187.
Каждой положительной десятичной дроби р = с,Ь1Ьг.. .Ьп со-
поставляется противоположная ей отрицательная дробь—р =
= — с,Ьр)....Ьп. Если р > р' > 0, то считают, что —р<—р',
и наоборот. Положительная дробь больше нуля и любой отри-
цательной дроби. Нуль больше любой отрицательной дроби.
Например, сравнивая (—13,27) и (—12,1), получим, что
— 13,27 <—12,1, так как 13,27 > 12,1.
Чтобы сложить две положительные десятичные дроби, надо:
1) записать каждый разряд одной дроби под соответствующим
разрядом другой дроби, 2) сложить получившиеся числа как
натуральные числа, 3) поставить в сумме запятую под запятыми
в слагаемых. Аналогичным образом производят вычитание дро-
бей. Например, .
83,759 ,83,759
+ 4,280 илп . + 4,28 .
88,039 88,039
5,370 _5,37
2,093 или 2,093
3,277 3,277
Чтобы умножить одну положительную десятичную дробь на
другую, надо выполнить их умножение как натуральных чисел,
не обращая внимания на запятые, а затем в произведении от-
делить справа число знаков, равное сумме числа знаков после
запятой у сомножителей вместе. Например,
.0,38 1,52 1,37
А 39 Х 2,3 ”0,04
342 456 0,0548
114 304
14,82 3,496
Из правила умножения десятичных дробей вытекает, что
умножение числа р на 10, 100, 1000 и т. д. сводится к переносу
запятой в числе р соответственно на один, два, три и т. д. знака
20
вправо. Например, 3,57-10 = 35,7; 3,57-100 = 357; 3,57-1000 =
=3570.
Аналогично, умножение числа р на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.
сводится к переносу запятой в числе р на один, два, три и т. д.
знака влево. Например, 13,2-0,1 = 1,32; 13,2-0,01=0,132;
13,2-0,001 =0,0132. Чтобы разделить десятичную дробь на на-
туральное число, надо: 1) сначала выполнить деление целой
части дроби на это число, 2) поставить в полученном частном
запятую, 3} выполнить затем деление числа, полученного присое-
динением к остатку первого знака дроби, и т. д. Например,
16,451 ~ 14 1 7 2,35 7,411 “65 | 13 0,57 2,8351 45 270 |о,О63
24 91 135
~ 21 “91 —135
35 0 0
""35
0
(«деление углом»)
Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится
к делению дроби на натуральное число. Надо только в делимом
и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько
их было в делителе после запятой. Напомним, что перенос
в числе запятой вправо на один, два, три и т. д. знака озна-
чает умножение этого числа на ГО, 100, 1000 и т. д. При этом
частное не изменится, так как делимое и делитель умножаются
на одно и то же число. Например,
4,551:1,23 = 455,1:123 = 3,7;
743,6:1,43 = 74360:143 = 520,
так как
743601 143
~715 [520
286
—286
0
Деление числа р на 10, 100, 1000 и т. д. сводится к умно-
жению этого числа на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., т. е. к переносу
запятой в числе р на один, два, три и т. д. знака влево. На-
пример, 385,3:100 = 3,853; 2,77:10 = 0,277; 0,5:1000 = 0,0005.
Деление числа р на 0,1; 0,01; 0,001 сводится к переносу запя-
той в числе р один, два, три знака вправо. Например,
5,323:0,01 = 5,323-100 = 532,3;
0,027:0,001 = 27; 0,5:0,001=500.
21
455, II £23
~~369 [3,7
861
"*861
0
§ 5. Рациональные числа. Периодические дроби
Рациональным числом называется число вида ~ , где а и b—
целые, причем b #= 0.
В частном случае, когда 6=1, полагают -р = а.
Таким образом, множество рациональных чисел содержит
в себе как часть множество целых чисел. Оно состоит из всех
целых чисел и дробей.
Над рациональными числами можно производить действия
сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на
нуль). Правила этих действий приведены в § 4 гл. II.
Замечание. Так как целое число есть частный вид рацио-
нального числа, то возникает вопрос: не противоречат ли вве-
денные теперь действия ранее установленным арифметическим
действиям над целыми числами?
Если а и й —целые, то
а , b a-\-b , a b ab
«+й=т+т=-г-; ^=т-т=т-
т. е. противоречия нет. Проверка для вычитания и деления не
нужна, так как эти действия определяются как действия, обрат-
ные соответственно сложению и умножению.
Кроме десятичных дробей, которые в дальнейшем будем назы-
вать также конечными десятичными дробями, рассматриваются
и бесконечные десятичные дроби.
Бесконечной десятичной дробь о
c,b,b2. . .Ьп.. . (9)
называется десятичная дробь, у которой после запятой стоит беско-
нечно много знаков (цифр). Дробь (9) составлена из целого чи-
сла с и бесконечной последовательности цифр bltb2, ...,bn, ...
(понятие последовательности см. в гл. VIII).
Частным случаем бесконечных десятичных дробей являются
периодические дроби.
Бесконечные десятичные дроби вида
c,bJb2...bnb1b2...bn... (10)
или вида
С,Ь1Ь2- '^k^k+l^k + 2J ^k+rPk + J}k + 2- • -bk + n •••! • (11)
где одна или несколько цифр повторяются в неизменном порядке,
называются периодическими. Совокупность повторяющихся цифр
.называется периодом такой дроби. При этом вместо записей (10)
и (11) употребляют сокращенные записи с,(fa Ь2 ... Ьп) и
cfafa ... bk(bk+1bk+2 ... bk+n). Например, 0,131313 ...=
= 0,(13), 2,1444 ...=2,1(4). Дробь вида (10) называется чистой
22
периодической, дробь вида (1 ¥)—смешанной периодической. Будем
рассматривать обыкновенные дроби с положительным числителем
и знаменателем и положительные десятичные дроби, конечные
и бесконечные.
Обрывая дробь (9) на каком-нибудь n-м десятичном знаке,
получим конечную десятичную дробь с,Ь,Ь2 ... bn. С возраста-
нием п такая дробь не уменьшается, т. е. либо не изменяется,
либо увеличивается.
Например, для дроби 0,15004 ... соответственно получаем
0,1 < 0,15 = 0,150 = 0,1500 < 0,15004 < ...
Определение. Бесконечная десятичная дробь (9) считается
равной обыкновенной дроби
c,b1bi...b„ О2)
если при всех п выполняется неравенство
0<у—с, Ь1Ь2. .
Замечание. Легко проверить, что это определение спра-
ведливо и в случае равенства сД&а.. = у для конечной
десятичной дроби.
Равенство (12) означает, что конечная десятичная дробь
c,bLb2...b„ дает приближение (с недостатком) к дроби —
1
С ТОЧНОСТЬЮ ДО 10^ .
Отсюда следует, что все периодические дроби с периодом 9
равны соответствующим конечным десятичным дробям. Например,
0,(9)= 1; 4,12(9) = 4,13.
Обратить обыкновенную дробь в десятичную—значит найти
такую десятичную дробь, конечную или бесконечную, которая
равна данной обыкновенной дроби.
Практически для обращения дроби делят числитель на зна-
менатель (по правилу деления конечной десятичной дроби на
натуральное число). Например, обратим дробь У в конечную де-
сятичную дробь с точностью до 0,001: 1,833 (с недостатком),
У» 1,834 (с избытком).
Если у несократимой дроби — знаменатель Ь = 2А-5г, то
процесс деления после конечного числа его повторения закончится,
и в результате будет получена конечная десятичная дробь.
Если b=£2k-5l, то процесс деления можно продолжать неограни-
ченно, и в результате будет получена бесконечная десятичная дробь.
23
Вывод. Всякую обыкновенную дробь можно обратить в де-
сятичную дробь, конечную или бесконечную.
Например,
4 = 0,125; Н= 1,833... = 1,8(3); ^ = 0,1212... =0,(12).
Справедлива следующая важная теорема.
Теорема. Всякое рациональное число можно представить
в виде конечной десятичной или периодической дроби и, обратно,
всякая конечная десятичная дробь или дробь периодическая изо-
бражает рациональное число.
Доказательство этой теоремы не входит в программу по ма-
тематике для восьмилетней школы.
Правило обращения периодических дробей. Любая периоди-
ческая дробь, вида O,(bLb.. . .b„) равна обыкновенной дроби,
составленной по следующему правилу:
1) ее числитель есть разность между числом, стоящим до
второго периода, и числом, стоящим до первого периода;
2) ее знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и
нулями на конце. Цифра 9 повторяется столько раз, сколько
было цифр в периоде, а нуль — столько раз, сколько цифр со-
держится между запятой и первым периодом.
Например, смешанная периодическая дробь 0Д(ЬА,) . раена
обыкновенной дроби °- •
Применяя правило обращения периодических дробей, полу-
чаем
2,(13) = 2 4-IV = 2^,
0,(7)== V = |-
§ 6. Числовая прямая. Модуль числа
Будем рассматривать рациональные числа. О понятиях чи-
словой прямой и модуля числа уже говорилось в гл. I. Изучим
их подробнее и установим
Е с.0 А Л В F основные свойства модулей.
' * '* J *' Любое рациональное чис-
5 ло можно изобразить точ-
Рис. 5. кой на прямой. Для это-
го на горизонтальной пря-
мой отмечают начало отсчета —точку О, выбирают единицу
длины и задают направление (рис. 5). Из двух возможных.
24
. направлений на прямой одно из них—направление вправо —
называется положительным.
Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное
направление и введен масштаб, называют числовой прямой.
Каждому числу соответствует только одна точка числовой
прямой. Числу 0 соответствует начало отсчета О, числу 1 —точка А.
Чтобы отметить точку В, соответствующую числу 3, надо в по-
ложительном направлении отложить от точки О три единичных
отрезка. Чтобы найти точку С, соответствующую числу (—4),
надо от точки О отложить четыре единичных отрезка, но в на-
правлении, противоположном положительному. Чтобы найти
3
точку D, соответствующую числу 2-=, надо от точки О отложить
в положительном направлении два и еще три пятых единичного
отрезка.
На числовой прямой положительные числа изображаются
точками, расположенными справа от начала отсчета, а отрица-
тельные числа— слева.
Точки О, А, В, С, D соответствуют числам 0; 1; 3; (—4);
2 7-. Если точка М соответствует числу х, то говорят, что точка Л4
имеет координату х и записывают М (х). Например, на рис. 5
0(0), Л (1), В(3), С(—4), D . Координата точки опреде-
ляет ее положение на числовой прямой.
Определение. Модулем числа а называется неотрицатель-
ное число |а|, равное числу а, если а^О, и числу —а, если
а<0. Таким образом,
, , [ а, если а^О,
I (2 I — • ’
1 ( — а, если а < 0.
Для любого числа а выполняется неравенство [о|^0, при-
чем |о| = 0 только при « = 0.
Например, |24| = 24, | — 7 |=—(—7) = 7, | —132 | = — (—132) =
= 132.
Если точка М имеет координату х, то модуль числа х равен
длине отрезка ОМ.
Например, точка С имеет координату (—4), и длина отрез-
ка ОС равна 4.
Противоположные числа а и —а имеют равный модуль:
]«| = | — а|. Например, |5| = |—5| = 5. На числовой прямой они
изображаются точками, расположенными симметрично относи-
тельно начала отсчета. На рис. 5 числа (—5) и 5 изображены
точками Е и F, равноудаленным!! от точки О.
Основные свойства модулей:
р |а| = | — а|.
Это равенство непосредственно вытекает из определения мо-
дуля.
2) |а|>а, |а|>—а.
25
В самом деле, если а^О, то |а| = а и подавно \а — а.
Если а < 0, то |а| = — а и подавно |а|^а, так как |а|> 0.
3) |^| = |Д|6|, 0*0).
Докажем, например, что | ab | = | а 11 b |. Если хотя бы одно
из чисел а или b равно нулю, то равенство очевидно. Возможны
следующие случаи:
а) а > 0, b > 0; б) а^> 0, b < 0;
в) а < 0, b > 0; г) а < 0, b < 0.
Рассмотрим случай г). Так как а < 0, b < 0, то ab > 0.
В этом случае | а | = — а, | b | = — b, | ab | = ab == (— а) (— b) = | а 11 b |.
Аналогично рассматриваются остальные случаи. Свойство
а) О X/
__________О ^2___________Mf
0 ду
Mi q /'2________
Xj й X 7
Рис. 6.
модуля произведения доказано.
4) I a -j-b I <; I а | +1 b I,
5) | а—b I Д | а | — I b |.
Пусть и М2(х2)—точки,
расположенные на числовой прямой
(рис. 6).
Справедлива следующая формула
для расстояния между двумя точка-
ми на числовой прямой:
|ЛМ42| = |х2 — х,[, (13)
где ] AljAfjj | — длина отрезка /ИДЕ.
Для доказательства рассмотрим все возможные случаи рас-
положения точек М, и М2:
1) О^х^х., (рис. 6, а). В этом случае
| М,М21 = | ОМ21—| ОМ, | = х2 —Xj = | х2 —Xj |;
2) 0<х2^Хд (рис. 6, б). В этом случае
| М1Л121 = | ОМ, | | ОМ 21 = хх—х2 = | х2—Xj |;
3) Xj < 0 < х2 (рис. 6, в). Тогда |OMj|== — хх, |ОМ2| = х2;
в этом случае
I М,М21 = I ОМ, | +1 ОМ21 = — Xj + х2 = I х2—х, |.
Аналогично рассматриваются случаи, когда точки М, и Мг
лежат слева от точки О. И здесь мы получаем, что 1М,Мг1 =
= |х2—xj
Таким образом, при любом расположении точек МДхд) и
М2 (х2) на числовой прямой расстояние между ними равно | х2 — х, I.
Из установленного на числовой прямой соответствия следует,
что из двух чисел меньшим будет то, которое расположено левее,
а большим—то, которое расположено правее. Отсюда:
1) всякое положительное число больше нуля и больше отри-
цательного числа;
2) всякое отрицательное число меньше нуля;
26
3) из двух положительных чисел больше то, модуль которого
больше;
4) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого
меньше.
Например,
—2 > — 3, так как |—2|<|—31;
—4,8 <—3,6, так как |—4,8 | > |—3,61.
§ 7. Решение примеров
Пример 1. Доказать, что:
а) сумма ab-]-ba кратна 11;
б) трехзначное число, написанное одинаковыми цифрами,
делится нацело на 37.
Решение, a) ab + ba = (10a + &) + (106 + a) = 11 (a + b)',
б) ааа= 100а + 10а + а = 111л = 37-За.
Пример 2. Доказать, что разность 1025—7 делится на-
цело на 3.
Решение. Запишем разность в виде
1О25 — 7=(102!'— 1) — 6.
Число 102з—1= 99...9 делится на 3 (и на 9). Так как
25 цифр
числа (1025—1) и 6 делятся на 3, то и число 10®? — 7, как их
разность, тоже делится нацело на 3.
Пример 3. Доказать, что при любом простом р>3 число
р1—1 делится на 24.
Решение. По свойству последовательных чисел (см. § 3
гл. II) произведение (р—1)р(р + 1) делится на 3.
Так как р > 3 — простое, то на 3 делится число (р—1)(р + 1) =
= р2—1. Оно является произведением двух последовательных
четных чисел (всякое простое число, не равное 2, — нечетное),
т. е. (р-1)(р + 1) = 26 (26 + 2) — 46 (6 + 1), и, следовательно, оно
делится на 8.
Число р2—1 делится на взаимно простые числа 3 и 8, а зна-
чит, делится и на их произведение 24.
Отсюда вытекает, что число р2—<у2, где р и q — простые,
большие 3, также делится на 24. В самом деле, р2 — q* =
= (р2—1) — (</3—1), и каждое слагаемое делится на 24.
Пример 4. Доказать, что квадрат любого простого числа
р + 5 прп делении на 12 дает в остатке 1.
Решение. Натуральное число при делении на 6 может дать
в остатке только числа 0, 1, 2, 3, 4, 5. Поэтому всякое нату-
ральное число имеет один из следующих видов:
66, 66 + 1, 66 + 2, 66 + 3, 664-4, 66 + 5.
Очевидно, что числа 66, 66+2, 66 + 3, 66 + 4 составные.
Поэтому простое число р + 5 имеет вид 66+1 или 66 + 5. Если
27
р = бйф-1, то р2 = (6k + I)2 = 36й2 + 12й +1 • Если р = 6й + 5, то
р2 = (6k 4- 5)2 = 36k2 + 60/г + 25 = 12 (Зй2 + 5й + 2) + 1. Таким обра-
зом, в обоих случаях остаток при делении р2 на 12 равен 1.
Пр и мер 5. Доказать, что при любом натуральном /г > 1
число и4 4-4 составное.
Решение. Имеем
и4 4- 4 = (п2 + 2)2 — 4/г2 = (п2 4- 2п 4- 2) (п?—2п + 2).
Если п > 1, то
п24- 2п4-2 > 5, п2—2/г + 2 = (/г—1)24~1 >2,
т. е. число /г4 4-4 разлагается на произведение двух чисел, каж-
дое из которых не равно единице. Следовательно, и4 4* 4 — со-
ставное число.
Пример 6. Найти двузначное число, равное утроенной
сумме его цифр.
Решение. Пусть ай=10а —£>—искомое число. По условию
10а + Ь = 3(а + 6) или 2Ь = 7а. Поэтому b равно 7. Тогда а = 2.
Искомое число равно 27.
Пр и мер 7. Найти натуральные числа и, при которых дробь
15п248и-4-6
--------— является натуральным числом.
Решение. Имеем
15nj+8n + ^ £
п 1 1 п.
Так как 15п +8—натуральное число, а является нату-
ральным только при п=1, /1 = 2, /1 = 3, п = 6, то при этих зна-
чениях п данная дробь есть натуральное число.
161 9999
Пример 8. Сравнить дроби и •
Решение. Имеем
161 _ . 1 9999 . 1 1 1
160 ~ + 160 ’ 9998 ~ 1 + 9998 ’ Э 160 ' ' 9998 '
161 9999
Поэтому 160 > 99д8 .
Пример 9. Вычислить
/ 31(0,2 — 0,1) (34,6 —33,81)-4 А 2 . 4
20 : \ 2,5-(0,8 41.2) + 6,84: (28,57 —25,15)) + 3 : 21 ‘
Решение. Напомним порядок выполнения действий:
1) если числовое выражение не содержит скобок, то сначала
выполняют действия третьей ступени (возведение в степень), за-
тем— действия второй ступени (умножение и деление) и, наконец,
действия первой ступени (сложение и вычитание); при этом дейст-
вия одной и той же ступени выполняют в том порядке, в кото-
ром они записаны;
28
2) если выражение содержит скобки, то сначала выполняют
все действия над числами, заключенными в скобках, а затем —
все остальные действия; при этом выполнение действий над чи-
слами в скобках и вне скобок производится в порядке, указан-
ном в п. 1);
3) если вычисляется значение дробного выражения, то вы-
полняются действия в числителе дроби и в знаменателе и пер-
вый результат делится на второй.
Последовательно получаем:
1) 0,2 —0,1 =0,1; 3:6,1 =30;
2) 0,84-1,2 = 2; 2,5-2 = 5;
3) 30:5 = 6;
4) 34,06-33,81=0,25; 0,25-4= 1;
5) 28,57 — 25,15 = 3,42; 6,84:3,42 = 2;
6) 1:2 = 0,5;
7) 64-0,5 = 6,5;
8) 26:6,5 = 26:-^ = 4;
<Л 2 . 4 _221 _ 7 _3
7 • 2Т“Тз -Т-d’°’
10) 4-43,5 = 7,5.
Ответ. 7,5.
Упражнения
Раздел I
1. Какой цифрой оканчивается произведение 71-72-73-...-79?
2. Из цифр 2, 3, 5 составить двузначные числа кратные: а) 2; б) 3: в) 5.
3. Доказать, что число 3” при любом натуральном п имеет четное число
десятков.'
4. Доказать, что сумма пяти последовательных целых чисел всегда де-
лится нацело на 5.
5. Доказать, что разность ab— Ьа кратна 9.
6. Доказать, что сумма 1011 |-5 делится на 3.
7. Доказать, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остат-
ке 1.
8. Разложить на простые множители числа 3084 и 1050.
9. Найти наибольший общий делитель чисел 54, 72 и 96.
10. Найти наименьшее общее кратное чисел 18, 45 и 103. '
11. Доказать, что если две положительные несократимые дроби в сумма
равны 1, то их знаменатели равны.
7
12. Что больше: пли 0,36; 191 или 16-18-20-22?
2
13. Обрагигь — в периодическую дробь.
14. Обратить в обыкновенные дроби 2,(3) и 0,35(28).
29
15. Вычислить:
45 4т — 44
0J
25
84
:31.
16. Вычислить:
4,5: ^47,375— ^26- 18-0,75^ • 24:0,88
о Е
17,81:1,37 —23-=-: 1 -4-
3 6
17. Вычислить:
18. Найти
число, 3,6% которого составляют
34-4,2:0,1
1:0,3-2-4• 0,3125
о }
19. Найти х из пропорции
20. Найти х, если
(2,7-0,8).2-|-
(5,2 —1,4):-у
•Н + 8 А _(1’.6+^4,66:70’3):1’9 =2,625.
( 2-4—1,3 ) :4,3
\ о J
Раздел II
21. Найти расстояние между точками числовой прямой: а) А (—5,3) и
В (-3,9); б) А (-1) и В (А) ; в) А (0,23) и В (1) .
22. Сравнить числа: *4 и 0,11; II4 и 9101213.
4Ь
23. Доказать, что сумма 108а-J-Зй делится на 6 при любом натураль-
ном а и четном Ь.
24. Какую цифру нужно написать вместо а, чтобы число 5431а дели-
лось на 9.
25. Не производя деления, найти остаток от деления числа 10 239 па 5.
26. Назвать две последние цифры произведения 26’27-28-..,-34-35.
27. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чи-
сел делится на 6.
28. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чтр
сел, первое из которых — четное число, делится на 24.
30
29. Разложить на простые множители числа 2880; 6048.
30. Какие цифры нужно поставить вместо с в число 28с, чтобы получив-
шееся число было кратно: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6; е) 9; ж) 10?
31. Найти наибольший общий делитель чисел: а) 52, 65 и 130; б) 42,
140 и 882.
32. Найти наименьшее общее кратное чисел: а) 54 , 81, 135 и 189; б) 156,
195 и 1950.
33. Как изменится частное и остаток, если к делимому прибавить удвоен-
ный делитель?
3
34. Обратить -ур в периодическую дробь.
35. Обратить в обыкновенную дробь 1,(6); 5,2(38).
36. Вычислить:
(4+,з'75)4 (гб'8-ю4)4.
^13,3-111^:1,8 0,5
37. Вычислить:
, 6 (R (2,3 + 5:6,25)-7\\
1,32.^ 1,17.1,3 + 8-р.у. ^6--8.6,0125 + 6,9 )) '
38. Найти 72% от числа
(13т“24--101) ,230’04+46’75
о?б1 ’•
39. Найти число, если 26% его составляют
g J___1 1______1
6 14 30
.0,8-1 1:2,25
40. Вычислить:
Ч 9
4-12-4:23-+<0-3
4+°-К:14
41.
42.
Вычислить:
4-44
4’24-+54
Найти х из пропорции
3,25 —
-+4
3^9
4-
3,6
1 2
14 — 154:2,2 1,5+2-4+3,75
О о
43. Найти х, если
7 9 1 / 1 q \
1 __)-43175:х—3,72+1 —-. 37,5:2 1 ± . 9) =9,03.
М < “и \ Ж-О 1
31
44 (устно). Сумма скоростей движения теплохода по течению реки и пре-
тив течения равна 29 км/ч. Найти скорость теплохода в стоячей воде.
45 (задача-шутка, устно). Летели галки, сели на палки. Сели по одной —
гадка лишняя, сели по две — палка лишняя. Сколько было галок и сколько
было палок?
46 . Доказать, что произведение нечетных чисел есть число нечетное.
47 . Доказать, что если число ле кратно 3, то его квадрат при делении
на 3 дает в остатке 1.
48 (задача-шутка, устно). Может ли дробь, числитель которой меньше
знаменателя, быть равной дроби, у которой числитель больше знаменателя?
Глава III. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Точные и приближенные значения величин.
Метод границ
Числовые значения величин можно получить в результате
их измерения. Однако истинное (точное) значение величины найти
обычно не удается и можно получить только приближенное ее
значение с недостатком и с избытком.
Например, при взвешивании было установлено, что масса тела
больше 19 г, но меньше 21 г. Пусть т—числовое значение
массы. Тогда 19 < m < 21; 19—приближенное значение массы
с недостатком, а 21—ее приближенное значение с избытком.
Установлены границы числового значения массы: число 19 — ниж-
няя граница, число 21—верхняя граница.
Зная границы значения некоторой величины, можно оценить
значение другой величины, зависящей от первой.
Пример 1. Дано: 3 < х < 5. Требуется оценить значение
1
величины —, т. е. наити границы значения этой величины.
Решение. Так как 3 < х, то 4-> —; так как х>0 и х< 5,
о X
11 „
то — > у . Следовательно,
1,11
5’<Т< Т-
Принято границы числа представлять в виде десятичных
дробей.
Заменим границы значения выражения у десятичными дро-
бями. При этом у = 0,2; у = 0,333... «0,4 (с избытком). Следо-
вательно,
0,2 < — < 0,4.
X
Взяв у «; 0,3 (е недостатком), получили бы 0,2 < у < 0,3, что
могло бы оказаться неверным для неизвестного нам точного зна-
32
чения выражения — . Поэтому нижнюю границу можно заменить
только меньшим числом (приближением с недостатком), а верх-
нюю—только большим числом (приближением с избытком).
Задача. Пусть а иЬ — приближенные значения числа х, взя-
тые соответственно с недостатком и избытком. Тогда
а < х < Ь.
(1)
Если с и d—приближенные значения числа у, взятые соот-
ветственно с недостатком и избытком, то
c<y<d. (2)
Найти оценки значений суммы, разности, произведения и
частного.
Решение. Применяя к неравенствам (1) и (2) теорему
о почленном сложении неравенств одинакового знака (см. § 16
гл. VI), получим
а+с<х+у <b+d, (3)
т. е. а-}-с — нижняя граница суммы х + у, a b + d—ее верхняя
граница.
Аналогично из неравенств (1) и (2) почленным вычитанием
получим
а—d < х—y<b—с, (4)
т. е. получим оценку разности х—у.
Пусть а > 0, с > 0. Тогда, почленно умножая неравенства
(1) и (2), будем иметь
ас < ху < bd. (5)
Аналогично при условии а > 0 и с > 0:
Неравенства (3), (4), (5), (6) позволяют оценить сумму, раз-
ность, произведение и частное с помощью метода границ.
П р и м е р 2. Дано: 2<х<4, 1 < у < 3. Оценить значения
х + у, х—у, ху, у .
Решение. Применим неравенства (3), (4), (5), (6):
3<x-f-z/<7; —1<х—#<3; 2<ху<12; — < < 4.
Так как -|- = 0,666.. .та 0,6 (с недостатком), то 0,6 <-у <4.
§ 2. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть х—точное значение некоторой величины, а—ее при-
ближенное значение, взятое с недостатком или избытком:
хха.
2 И. А. Баранов и др.
33
Разность точного и приближенного значений величины назы-
вается погрешностью приближения.
Например, х = 4,28; число а = 4,2—приближенное значение
числа х с недостатком; число 6 = 4,3—приближенное значение
числа х с избытком. Если взять х т а, то погрешность прибли-
жения
х—а = 4,28 — 4,2 = 0,08.
Если взять х л; Ь, то погрешность приближения
х—6 = 4,28—4,3 = —0,02.
Погрешность приближения с недостатком всегда положительна,
а погрешность приближения с избытком всегда отрицательна.
Абсолютной погрешностью А (читается «дельта») приближе-
ния называется модуль разности точного и приближенного зна-
чений величины:
|х—а[ = А.
Чем меньше абсолютная погрешность, тем ближе приближенное
значение величины к ее точному значению.
В рассмотренном примере абсолютная погрешность прибли-
жения с недостатком
(х—а] = ] 0,081 = 0,08,
а абсолютная погрешность приближения с избытком
| х—b I = I —0,021 = — (—0,02) = 0,02.
Следовательно, лучшим из двух приближенных значений
числа х является' его приближение с избытком: оно меньше от-
личается от числа х.
Если М (х) и А (а)—две точки числовой или координатной
прямой, то расстояние между ними
]АМ | = |х—о]
(по формуле (13) гл. II). Абсолютная погрешность Ле|х-а\
равна длине отрезка между точками с координатами х и а.
Пример 1. Найти число х, если его приближенное значе-
ние а = 0,8 и абсолютная погрешность А = 0,01.
Решение. Так как |х—а| = А, то х = а + А, либо х = о—А
(рис. 7). Поэтому х = 0,8ф-0,01 =0,81, либох = 0,8—0,01=0,79.
_____ -> Пр нмер 2. Обратить число
й"л 4 а А ' Х_АВ десятичную дробь и округ-
Рис 7
* ‘ лить ее соответственно до деся-
тых, сотых и тысячных. В каждом случае найти абсолютную
погрешность.
Решение. Так как -у = 0,333..то в результате округле-
ния до десятых, сотых и тысячных получим значения 0,3; 0,33;
34
0,333. Находим, что I-L—0,з| = 4г, 14—°>331 = -этг .
| -g—0,333 | = ~oq00 > т- e- С увеличением точности вычислений
абсолютная погрешность уменьшается.
Точность приближения х«а определяется величиной абсо-
лютной погрешности Д = |х—а). Практически точное значение х
неизвестно, и, следовательно, точного значения абсолютной по-
грешности мы обычно не знаем. Поэтому приходится оценивать
абсолютную погрешность некоторым положительным числом Л^А.
Число h называется границей абсолютной погрешности-. |х—
При этом число а называют приближенным значением числа х
с точностью до h и записывают x = a±h.
Из условия |х—а | +3h следует, что на координатной прямой
точка с координатой х удалена от точки с координатой а не
более чем на h, т. е.
а—h^.x^a-\-h.
Пример 3. Найти границы числа х = 10,6 ±0,5.
Решение. Так как а= 10,6 и /г = 0,5, то
10,6—0,5^х< 10,6 + 0,5,
т. е. 10,1 <х^ 11,1.
Пример 4. Известно, что 1,56^х^ 1,60. Вычислить при-
ближенное значение х, равное среднему арифметическому границ,
и найти точность приближения.
Решение. Находим, что
1,56+1,60
----2----,
или х«1,58; а=1,58. Точность приближения h в этом случае
равна полуразности границ, т. е.
^1^*=0,02.
Поэтому х= 1,58 ± 0,02.
Абсолютная погрешность недостаточно характеризует качество
измерения или точность вычисления.
' Например, при измерении (в сантиметрах) толщины d книги
и высоты Н стола получили, что d=3± 0,5, Н= 100 ±0,5.
Граница абсолютной погрешности h = 0,5 сама по себе невелика,
тем не менее результат измерения толщины книги (d « 3 см) яв-
ляется по сравнению с результатом измерения стола (Н « 100 см)
весьма грубым. Таким образом, чтобы сравнивать точность вы-
числения (измерения), необходимо знать, какую часть измеряемой
величины составляет абсолютная погрешность. Мы приходим к по-
нятию относительной погрешности.
2*
35
Относительной погрешностью 6 приближения называется от-
ношение абсолютной погрешности к модулю приближенного зна-
чения величины
<- А 1 х—а |
— |а| — I а|
Обычно относительную погрешность выражают в процентах.
На практике удобнее пользоваться понятием границы отно-
сительной погрешности (аналогично случаю абсолютной погреш-
ности).
Пусть Д^Л. Тогда число
называется границей относительной погрешности; при этом е.
Так как Л = |а[-е, то запись
x = a±h
может быть представлена в виде
х=а (1 ± е).
В рассмотренном примере d = 3±0,5. Так как А = 0,5, то
е = -2Д = | = 0,166..., е «0,167 или еж 16,7%.
d о
Значит, при измерении толщины книги относительная погреш-
ность не превосходит 16,7%. В том же примере Н =100 ±0,5.
0 5 1
Отсюда е = =’200' или е = 0,5%. При измерении высоты стола
относительная погрешность не превосходит 0,5%. В этом случае
качество измерения выше.
§ 3. Запись приближенных значений чисел.
Стандартный вид числа
На практике вычисление абсолютной и относительной погреш-
ностей приближенного значения числа для характеристики его
точности производится не только способом, рассмотренным в §2.
Часто точность приближенного значения числа характеризуется
указанием количества его верных значащих цифр.
Значащими цифрами десятичной дроби называют все ее цифры,
кроме нулей, расположенных левее первой, отличной от нуля
цифры.
Например, у чисел 4,321 и 0,0170 значащими являются под-
черкнутые цифры. Число значащих цифр равно соответственно
четырем и трем.
Значащими цифрами целого числа называют все его цифры,
кроме нулей, расположенных в конце числа, если они стоят вза-
мен неизвестных или отброшенных цифр.
36
Например, число 1234 имеет четыре значащие цифры, точное
число 1200 — тоже четыре, приближенное число 500, полученное
в результате округления 512, имеет одну значащую цифру (под-
черкнутые цифры являются значащими).
Цифра какого-либо десятичного разряда в записи приближен-
ного значения числа называется верной, если абсолютная по-
грешность приближения не превосходит единицы этого разряда.
Сомнительными называют все цифры приближенного значения
числа, расположенные правее последней верной цифры.
Пусть, например, х = 4,63 ± 0,05. Это означает, что число х
принадлежит отрезку [4,63 — 0,05; 4,63 + 0,05], т. е. 4,58^
++ + 4,68.
В записи 4,63 приближенного значения числа х цифра 6
является верной, так как граница абсолютной погрешности
h = 0,05 меньше единицы разряда десятых (неравенство 0,05 + 0,1
верное). Очевидно, что верной будет и цифра 4, расположенная
левее цифры 6. В записи 4,63 цифра 3 является сомнительной,
так как h = 0,05 больше единицы разряда сотых (неравенство
0,05^0,01 неверное).
За приближенное значение числа х возьмем число 4,6, полу-
ченное в результате округления числа 4,63 до десятых, т. е. до
первой справа верной цифры.
Правила округления чисел. Чтобы округлить число до п зна-
чащих цифр, отбрасывают все его цифры, следующие после и-го
разряда, или, если это нужно для сохранения разряда, заменяют
их нулями. При этом:
1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то послед-
няя сохраняемая цифра не изменяется;
2) если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5,
то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу;
3) если же первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все
остальные отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя
сохраняемая цифра не изменяется, если она четная, и увеличи-
вается на единицу, если она нечетная.
Погрешность округления не превосходит пяти единиц первого
отброшенного разряда.
В вычислительной практике рекомендуется оставлять в записи
приближенного числа только верные цифры, так как все цифры,
следующие за верными, увеличивают объем работы без значи-
тельного повышения точности вычислений. В такой записи гра-
ницу абсолютной погрешности можно и не указывать, так как
ясно, что абсолютная погрешность не превосходит единицы по-
следнего сохраняемого разряда числа.
Например, запись х ж 5,32 означает, что абсолютная погреш-
ность не превосходит 0,01, т. е. х = 5,32 ± 0,01. Если же хх 5,320,
то х = 5,320 ±0,001.
В науке и технике часто используются очень большие и очень
малые (положительные) числа. Такие числа удобно записывать
37
в стандартном виде с сохранением только верных цифр, т. е. в виде
а-10'!, где 1^а< 10, а п—целое число.
Например, диаметр Солнца 1390 600 000 м = 1,3906-10’ м,
диаметр молекулы воды 0,00000003 см = 3-10~8 см, масса Земли
5,98-102Л кг, скорость света 2,99793-108 м/с и т. п.
В записи приближенного значения числа х»а-10п, представ-
ленного в стандартном виде, абсолютная погрешность не превос-
ходит единицы последнего сохраняемого разряда числа, умно-
женной на 10й.
Например, запись х « 5,3 • 103 означает, что абсолютная по-
грешность не превосходит 0,1•103, т. е. х = 5,3-103 ± 0,1 103
или л- = (5,3 ± 0,1)-103. Если х 5,3- 10"3, то х = (5,3 ± 0,1)-10"“.
§ 4. Сложение и вычитание приближенных значений чисел
Пусть а и Ь — приближенные значения чисел х и у с точ-
ностью до ha и hb, т. е. x = a±ha или а—/гд<х<а + /гц,
y = b±hb или b—hb^ y^b + hb.
Требуется определить границу абсолютной погрешности суммы
а Ь.
Применяя теорему о почленном сложении неравенств, получим
а + b — (ha-}-hb) х + у a + + йь),
т. е,
я + у = а4~&± (ha-\-hb).
Таким образом, граница абсолютной погрешности суммы равна
сумме границ абсолютных погрешностей слагаемых: ha+b = ha+hb.
Это правило верно и для любого конечного числа слагаемых.
Поэтому граница относительной погрешности суммр!
„ haA~hb
Ьа+Ъ— a^_b I
если а > 0, b > 0.
Из формулы ha+b = ha+hb следует, что если одно из слага-
емых имеет абсолютную погрешность, значительно превышающую
абсолютные погрешности остальных слагаемых, то точность суммы
нельзя повысить за счет увеличения точности этих слагаемых.
Отсюда вытекает практическое правило для подсчета верных
цифр при сложении приближенных значений чисел, в записи ко-
торых все цифры верные:
1) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятич-
ных знаков (наименее точное слагаемое);
2) округлить остальные слагаемые, оставляя в каждом иа один
десятичный знак больше, чем в выделенном наименее точном
слагаемом;
3) выполнить сложение, учитывая все сохраненные десятич-
ные знаки;
4) округлить полученный результат до предпоследнего знака.
38
Приме.р 1. Найти сумму чисел аг = 0,423; а2 = 72,8 и
с3= 14,715, если все значащие цифры данных чисел верные.
Решение. Слагаемое а2 имеет наименьшее число верных
десятичных знаков (один знак); поэтому оставим его без изме-
нения. Округлим слагаемые aL и а3 до двух десятичных знаков
и сложим все полученные числа:
0,42 + 72,8+ 14,72 = 87,94.
Округляя найденный результат до одного десятичного знака,
получим 87,9 — сумму данных чисел.
Аналогично находится граница абсолютной погрешности раз-
ности приближенных значений чисел:
Ла-ь = /1а+Аь.
Поэтому граница относительной погрешности разности
р _________________________Az+^b
a~b \а—Z>|‘
Отсюда следует, что при вычитании достаточно близких друг
к другу приближенных чисел а и b величина ед_ь может ока-
заться очень большой, т. е. может произойти потеря точности.
Например, если а= 1,234, 6= 1,238 и .6а = 6ь = 0,001, то
0,001 + 0,001 _ 0,002 _ 1
еа-ь —| 1,234—1,238 1~Ц004 — 2
или еа_ь = 50%. Поэтому избегают выполнять вычитание двух
почти равных приближенных чисел.
Практическое правило подсчета верных цифр при вычитании
такое же, как при сложении.
Пример 2. Найти разность х—у, если х « 7,25; у 3,8245.
Решение. Округлим число 3,8245 до трех десятичных зна-
ков: 3,8245 яь 3,824. Находим
7,25 — 3,824 = 3,426.
Округляя найденный результат до двух знаков, получим
3,43 — разность данных чисел.
§ 5. Умножение и деление приближенных значений чисел
Пусть х = а + Ад, y = b-\-hb, причем а > 0, b > 0. Требуется
определить границу абсолютной погрешности произведения ab.
Числа х и у заключены в границах:
«—h^x^a+ha, b—y^b + hb.
Допустим, что а—ha > 0; b — hb > 0. Тогда, применяя теорему
о почленном умножении неравенств, получим
ab—ahb—bha + hahb ху < ab + ahb + bha + hjib.
39
Пренебрегая в этом неравенстве произведением hahb, находим,
что приближенно
xy = ab ±(ahb + bha).
Таким образом,
hab = ahb+bha.
Используя оценку для границы абсолютной погрешности произ-
ведения, имеем оценку для границы относительной погрешности
_ahb+bha_ha .hb_ ,
e“b аь а "Г ь — еа"Ге6-
Граница относительной погрешности произведения равна сумме
относительных погрешностей сомножителей.
Во многих задачах абсолютная погрешность является малой
величиной сравнительно с точным и приближенным значениями.
Если ha и hb малы по сравнению с а и &, то можно пренебречь
членом hahb и применить полученные выше оценки для величин
hab и е.аЬ.
Отсюда вытекает практическое правило для подсчета верных
цифр при умножении:
1) выделить сомножитель с наименьшим числом верных зна-
чащих цифр;
2) округлить остальные сомножители, оставляя в каждом на
одну значащую цифру больше, чем в выделенном наименее точ-
ном сомножителе;
3) выполнить умножение, учитывая все сохраненные значащие
цифры;
4) сохранить в полученном результате столько значащих цифр,
сколько их имеет выделенный сомножитель.
Пример 1. Найти произведение чисел 3,491 и ух 8,6.
Решение. Сомножитель 8,6 имеет наименьшее число верных
значащих цифр, равное двум. Поэтому округлим число 3,491
до трех значащих цифр: 3,491 х 3,49.
Найдем произведение 3,49-8,6 = 30,014.
Сохраняя две значащие цифры, получим 30—произведение
данных чисел.
Приведем без доказательства формулу для оценки границы
относительной погрешности частного: еа/б = еа-|-е1). На практике
сначала находят границу относительной погрешности частного,
а затем—границу абсолютной погрешности частного.
Практическое правило подсчета верных цифр при делении
такое же, как при умножении.
Пример 2. Найти частное у, если х « 39,57; у х 42,6137.
Решение. Округлим число 42,6137 до пяти значащих цифр:
42,6137 х 42,614. Находим
S= 0,928568
40
и округляем до четырех значащих цифр: 0,9286 — частное от де-
ления данных чисел.
При вычислении промежуточных результатов следует сохра-
нять на одну цифру больше, чем в рассмотренных выше прави-
лах, причем в окончательном результате запасную цифру не
учитывать.
Пример 3. Вычислить значение выражения х-\-уг, если
х ® 104,367; у « 14,8; г « 0,73.
Решение. Значение yz « 14,8-0,73= 10,804. При вычислении
произведения мы получили бы 11 (оставляя две цифры), а так
как теперь это промежуточный результат, то сохраняем одну
запасную цифру и получаем 10,8. Поэтому
х-\-уг х 104,3674-10,8
или хф-yz « 104,37 + 10,8 = 115,17 « 115.
В окончательном результате произведено округление до це-
лых, так как в наименее точном слагаемом (10,8) цифра десятых —
запасная и не учитывается.
Замечание. При возведении в степень и извлечении корня
в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько
их имеет основание степени и соответственно подкоренное число.
Упражнения
1. Найти границы значения выражения ——2, если -Jr < х < —.
X о &
2. Найти нижнюю и верхнюю границы (с точностью до десятых долей)
2
значения выражения — , если G < х < 7.
3. Оценить значения х-\-у, х — у, ху, — , если 5 < х < 6, 2 < у < 3.
4. Число 5,84 округлить до десятых долей с недостатком и с избытком.
В каждом из случаев найти абсолютную погрешность приближения.
2
5. Найти абсолютную погрешность округления числа — с избытком и о
недостатком.
6. Найти число х, если его приближенное значение а=2,4 и абсолютная
погрешность Л =0,01.
2
7. Обратить число х=— в десятичную дробь и округлить ее до десятых;
О
сотых; тысячных долей. В каждом случае найти абсолютную погрешность.
8. Найти границы приближения числа у= 22,7 ±0,5.
9. Вычислить приближенное значение х, равное среднему арифметическому
границ, и найти точность приближения, если 8,442 8,444.
10. Даны два результата измерения длины, выраженные в см: /а= 15 ± 0,5
и /а= 140 ±0,5. Какое измерение точнее?
11. Найти границу относительной погрешности (в процентах) величины
х =0,23 ± 0,005.
41
12. По границе относительной погрешности е = 0,4% приближенного числа
а — 40,2 установить его абсолютную погрешность и границы, между которыми
находится само приближенное число.
13. Приближенное значение величиныхзаключено между 17,32 м и 17,36 м.
С какой точностью произведено измерение?
14. Какое из двух приближенных значений числа л точнее:"3,14 или 3~ ?
15. Известно, что х = 83,4±0,5. Какие цифры в записи приближенного
числа х являются верными?
16. Округлить число х= 15,28 ±0,05 до первой справа верной цифры.
17. Число 2,7182818 округлить до 6; 5; 1 значащих цифр.
18. В чем разница между записями 8 кг и 8,0 кг?
19. Числа 28,4501; 28,450; 28,5500 округлить до десятых долей.
3 *
20. Дробь -у обратить в десятичную с точностью до 0,001.
21. Что означает запись х « 4,26? х « 4,260?
22. Что означает запись х«2,1-105? х х 2,100-105?
23. Записать число х х 3,9-10-2 с помощью границы абсолютной погрет
пост и.
24. Найти приближенные значения суммы и разности чисел:
а) а « 2,38 и b х 15,41; б) а « 7,2 и b w 4,25.
25. Найти значение выражения а—Ь-\-с, если а х 27,345, b « 13,8, с « 5,23.
26. Найти приближенные значения произведения и частного чисел х х 2,05
и у и ,12.
хи
27. Найти значение выражения -у, если хх 14,2, у х 0,2215, z «4,8.
28. Найти значение выражения ab — с, если а х 2,9, b « 13,5, с х 7,563.
29. Найти значение выражения х + ~ > если х х 121,34, у « 271,3, г « 34,5.
30. Найти значение если х х 13,24.
31. Найти значение а3, если ах 3,4.
12 3
32. Найти сумму с ДвУмя точными десятичными знаками.
33. Найти объем комнаты, если ее размеры следующие: высота h х 2,8 м,
ширина а х 3,4 м, длина I х 4,6 м.
34. Сколько весит воздух, содержащийся в комнате, размеры которой
указаны в предыдущей задаче, если 1 м3 его весит (1,29 ± 0,01) кг?
35. Расстояние между двумя точками на карте I х 14,3 см. Определить
действительное расстояние между этими точками, если масштаб карты
1:2500 000.
36. На окраску пола в комнате длиной а х 5,2 м и шириной Ь х 4,8 м
пошло 2,35 кг краски. Сколько кг краски потребуется для окраски пола
в комнате длиной х х 6,1 м и шириной у х 5,0 м?
37. Найти силу тока на участке цени, если его сопротивление R х 3,2 ом
и напряжение на этом участке U х 0,3 в.
38. Вычислить путь, пройденный телом при равноускоренном движении,
д /-
по формуле S = — , если а х 4,3 м/с2, I х 4 с.
42
' ?t— t’o
39. Вычислить ускорение а движения тела по формуле а—-—-—
если
Vf » 48,5 м/с, fo ~ 21 м/с, / ~ 25 с.
40. Вычислить приближенное значение выражения, ограничиваясь при
обращении обыкновенных дробей в десятичные точностью до 0,01,
1.
Г16Т 8 / I 16 8 ) 7
Глава IV. СТЕПЕНИ И КОРНИ.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Возведение рациональных чисел в степень
с натуральным показателем. Извлечение корня
Для рациональных чисел вводятся арифметические действия,
а также действия возведения в степень и извлечения корня.
Пусть а — рациональное число, п—натуральное число.
Определение. Степенью числа а с натуральным показа-
телем п(п^2) называется произведение п сомножителей, каждый
из которых равен а:
ап = аа.. .а
п раз
Кроме того, по определению ах — а.
При этом число а называют основанием степени, число п —•
показателем степени, результат возведения в степень (ал) назы-
вают степенью с натуральным показателем.
Для второй и третьей степени числа используются сокращен-
ные названия: а2=аа называют квадратом числа а (или а в ква-
драте); а' = ааа называют кубом числа а (или а в кубе).
Из определения вытекает:
1) четная степень отрицательного числа есть число положи-
тельное; например ( — 5)20 > 0;
2) нечетная степень отрицательного числа есть число отри-
цательное; например —у)1'< 0;
3) любая степень положительного числа есть число положи-
тельное: ач>0, если а > 0;
4) при возведении нуля в степень с любым натуральным по-
казателем получается нуль: 0" = 0;
5) при возведении единицы в степень с любым натуральным
показателем получается единица: 1п=1.
Основные свойства степени с натуральным показателем будут
рассмотрены в § 4 гл. IV.
Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют
действия возведения в степень, затем умножение и деление в по-
рядке их записи и, наконец, сложение и вычитание также в по-
43
рядке их записи. Например, 3-5а—16:2- + 26 = 3-25 —
— 16:2-^ + 26 = 75—8- -1-4-26= 100.
О й
Извлечение корня определяется как действие, обратное возве-
дению в степень.
Определение. Корнем, или радикалом, п-й степени (п^ 2)
из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а.
Корень /i-й степени из числа а обозначается через у/а. Запись
{/а = Ь означает, что Ьп = а. При этом натуральное число п (п + 2)
называют показателем корня, число а — подкоренным числом или
подкоренным выражением.
Если п = 2, то корень называют квадратным', в этом случае
показатель корня не пишется. Например, вместо ^/7 пишут ]/7-
Если п = 3, то корень называют кубическим.
На множестве рациональных чисел действие извлечения корня
не всегда выполнимо. Например, не существует рационального
числа, равного квадратному корню из 2. Докажем это.
Предположим противное, что 1^2 — рациональное число:
1/'~О _ Р
где р и q — целые числа, причем </#=0. Дробь — будем считать
несократимой (этого всегда можно добиться, применяя основное
свойство дроби).
Согласно определению корня
^у2=2 или р2 = 2<?2,
т. е. р—четное число: р = 2рп где рх—целое. Тогда (2p1)2r=2qi
или q2 = 2pj, т. е. q—также четное число: q = 2qlt где qt—целое.
Следовательно, дробь - = ^- сократима, что противоречит ус-
ловию.
Из полученного противоречия вытекает, что 1^2 не является
рациональным числом.
Определение. Рациональное число Ь>0 называется при-
ближенным значением корня а (а > 0) с недостатком с точ-
ностью до а (а—положительное рациональное число), если
Ьп < а <(Ь + а)".
При этом число Ь-\-а называется приближенным значением
корня \/а с избытком с точностью до а. -
Доказано, что приближенные значения корней из положитель-
ных чисел всегда существуют для любого рационального числа
а > 0.
44
Пример 1. Извлечь У2 с точностью до
г> о п 2-7- 98 ,гг? /98 /98 „
Решение. Заметим, что 2 = -=г- = =-; V 2 = -/= = -Ц=—. По-
- ‘ “ 49 /49 7
этому достаточно извлечь корень У 98 с точностью до 1 и раз-
делить полученное число на 7. Так как /98^9 (с точностью
ДО 1), ТО У 2 «у ( С ТОЧНОСТЬЮ ДО у 1.
В самом деле,
\ 7 J <'z<'\7"r7j‘
За меру точности а чаще всего принимают (/« — некоторое
натуральное число), а за приближенное значение корня прини-
мают десятичную дробь с т знаками после запятой.
Рассмотрим на примерах правило приближенного вычисления
квадратного корня из числа.
Пример 2. Извлечь /72,6115 с точностью до 0,01.
Решение. Выполним следующие действия:
1) число под корнем разобьем на грани по две цифры: целую
часть разобьем на грани по две цифры справа налево, а дробную
часть — по две цифры слева направо: /72', 61' 15;
2) извлечем с точностью до 1 квадратный корень из первой
грани, т. е. из числа 72, и перенесем вторую грань (61):
/72', 61'15 = 8,...;
— 64
i 861
3) удвоим найденный корень и запишем результат слева:
/72', 61'15 = 8, ...;
— 64
16 ] 8бГ“
4) к числу 16 припишем справа такую наибольшую цифру,
чтобы произведение полученного трехзначного числа на эту
цифру не превосходило 861. В нашем примере этой цифрой бу-
дет 5: 165-5 =825 < 861. Получим
/72', 61'15=8,5...;
— 64
165 861
5 — 825
36
45
5) удвоим найденный корень, перенесем третью грань (15)
н поступаем так же, как в п. 4):
V72', 61'15 = 8,52 ...
—64
165
5
1702
2
861
— 825
3615
—3404
211
(остаток)
Корень У 72,6115 « 8,52 (с недостатком, с точностью до 0,01),
т. е. 8,522 < 72,6115 < (8,52+ 0,01)2. _____
Пример 3. Найти приближенное значение У113,5 с избыт-
ком с точностью до 0,001.
Решение. Запишем: У 113,5 = У1' 13',50'00'00. Далее дей-
ствия выполняются аналогично действиям при решении примера 2:
у Г13',50'00'00 = — 1
20 13
206 1350
6 —1236
2125 11400
5 ~10625
21303 77500
3 —63909
13591
Корень У 113,5 а; 10,653 (с недостатком, с точностью до 0,01);
У 113,5 « 10,654 (с избытком, с точностью до 0,001).
Для практических вычислений составляются специальные таб-
лицы, в которых приводятся квадраты и кубы чисел и прибли-
женные значения квадратных и кубических корней (например,
четырехзначные математические таблицы В. М. Брадиса).
§ 2. Понятие иррационального числа
Будем извлекать квадратный корень из 2 с точностью до
1 1 1 т-г
• То ’ Тб2 > • • ’ Тц1 11 т- д- Продолжая этот процесс неограниченно,
получим в результате бесконечную десятичную дробь: У2 =
= 1,41421 ... Эта дробь не может быть периодической, так как
по доказанному в § 1 У2 не является рациональным числом,
и мы знаем (§ 5 гл. II), что периодическая дробь изображает
только рациональное число.
Таким образом, при извлечении корней появляются бесконеч-
ные непериодические десятичные дроби. Дроби такого типа опре-
деляют новые, нерациональные числа.
46
Определение. Всякая бесконечная непериодическая деся-
тичная дробь вида
а = с,Ь1Ь2.. .Ьп...
(с^О; 6,, —цифры) называется положительным иррацио-
нальным числом.
Каждому положительному иррациональному числу а сопостав-
ляется противоположное ему отрицательное число—а =
= —c,bJ)2.;.bn...
Определение. Два иррациональных числа
a = c,blb2.. .Ьп. .. и а'= с',b{b'2.. .Ь',г...
считаются равными в том и только в том случае, если с = с'г,
b^ — b'i, b2=b2,..., bn = b'n,... и т. д.
Из двух положительных чисел число а больше числа а’, если
с > с' либо если с = с', но br > b[, либо если с = с[ и bl = b[, но
b2>b2 и т. д.
Если а>а'>0, то считают, что—а <—а' и наоборот.
Пусть a = c,btb2. ..bn...~> 0. Дроби c,bp, cfabz и т. д. на-
зываются десятичными приближениями для иррационального
числа а по недостатку. Дроби сДф-1; c,bl(b2-[-1) и т. д.,
полученные увеличением на единицу последнего оставляемого
десятичного знака числа а, называются десятичными приближе-
ниями д’ля иррационального числа а по избытку.
Для сравнения иррационального числа с числом рациональ-
ным последнее можно представить в виде периодической дроби,
и затем можно сравнить десятичные приближения для этих чисел
по тому же правилу, как и при сравнении двух иррациональных
чисел. При этом конечная десятичная дробь рассматривается как
периодическая с периодом нуль.
Например, ]/2 > 1,41, так как ]/2 = 1,4142..а 1,41 =
= 1,4100...
Примером иррациональных чисел могут служить квадратные
и кубические корни из натуральных чисел, не являющихся соот-
ветственно квадратами или кубами натуральных чисел:
'/2, ]/3, /5, У'б, /7, ...; 1/2, /3, j/4, ^5, j/б, У 7,.. .
Иррациональные числа получаются не только при извлечении
корней. Например, число л = 3,14..., равное отношению длины
окружности к ее диаметру, является иррациональным числом.
Значения логарифмов положительных чисел и тригонометрических
функций, как правило,— иррациональные числа.
Над иррациональными числами устанавливаются арифметиче-
ские действия, причем вычитание и деление определяются как
действия, обратные сложению и умножению. Для иррациональ-
ных чисел сохраняются основные свойства арифметических дей-
ствий над- рациональными числами. Строгое обоснование этих
действий и их свойств приводится в курсе высшей математики.
47
§ 3. Действительные числа. Арифметические корни.
Прямоугольная система координат на плоскости
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел
образует множество действительных (или вещественных) чисел.
Таким образом, «действительное (или вещественное) число»
обозначает число рациональное либо иррациональное. Каждое
действительное число можно приближенно, заменить конечной
десятичной дробью.
Над действительными числами установлены арифметические
действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Основные
свойства арифметических действий, приведенные в § 1 гл. II
для целых чисел, остаются справедливыми и для действитель-
ных чисел.
Сумма или разность рационального и иррационального чисел
всегда есть число иррациональное. Это верно и для произведе-
ния или частного, если только рациональное число не равно нулю.
Однако арифметические действия над двумя иррациональными
числами могут привести к рациональным числам. Например,
(5 + /2)—/2 = 5, /3-/9 = 3.
Любое действительное число можно представить в виде суммы
двух слагаемых, причем различными способами. Например, число
27,2 можно представить в виде суммы чисел 10 и 17,2 или 20
и 7,2, или 27 и 0,2, или —3 и 30,2 и т. д. Будем представлять
действительное число в виде суммы таких двух слагаемых, одно
из которых является целой частью данного числа, а другое —
дробной частью.
Определение. Целой частью числа х называется наиболь-
шее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обо-
значается [х]. Например,
[27,2] = 27, [0,54] = 0, [—3] = —3, [-4,5] =-5.
Если х—целое число, то [х] = х. Если х—нецелое число, то
[х] < х; в этом случае число х заключено между двумя после-
довательными целыми числами: [х]<х<[х]+1. Таким образом,
при любом х верно неравенство: [х] х < [х] + 1.
Определение. Дробной частью числа х называется раз-
ность между числом х и его целой частью. Дробная часть числа х
обозначается {х}. Таким образом, {х} = х—[х]. Например,
{27,2} = 27,2 —[27,2] = 0,2; {0,54} = 0,54 -[0,54] = 0,54;
{—3}=—3—[—3]=0; {—4,5}=—4,5—[—4,5]=—4,5—(—5)=0,5.
Так как [х] ^х < [х] + 1, то 0 ^х —[х] < 1, т. е. при любом
х верно неравенство 0$С{х}< 1. Дробная часть числа есть не-
отрицательное число, меньшее 1.
48
Согласно определению дробной части числа {х}=х—[х].
Отсюда х = [х] + {х), т. е. любое число можно представить в виде
суммы его целой и дробной частей. Например,
27,2 = 27 + 0,2; 0,54 = 0 + 0,54; —3 = —3 + 0; —4,5 = —5 + 0,5.
Возведение в степень с натуральным показателем и извлече-
ние корня для действительных чисел определяются так же, как
и для рациональных чисел.
Пусть а — действительное, п—Натуральное число. По опре-
делению
ааа . .. а, если п + 2;
п раз
а, если п = 1
и
%/ а = Ь, если Ьп
Наряду с натуральным показателем рассматриваются также
степени с любым действительным показателем. Это обобщение
понятия о показателе степени будет введено в §§ 6, 8 и 9 гл, IV.
Для действительных чисел извлечение корня а всегда вы-
полнимо, кроме случая, когда и четно и а < 0. Однако это дей-
ствие не всегда однозначно.
Например, V 16 = 4 и ]/16 =—4, так как 42 = (—4)2=16.
Нам пришлось бы писать, что +~Тб = ±4. Чтобы устранить дву-
значность корня, вводится понятие арифметического корня.
Определение. Арифметическим корнем п-й степени из
неотрицательного числа а называется неотрицательное число Ь,
для которого Ьп = а.
В дальнейшем будем рассматривать только арифметическое
значение корня, т. е. а имеет смысл лишь при и при-
нимает только неотрицательные значения. Например, + 16 = 4
есть арифметическое значение квадратного корня из 16.
Арифметическое значение корня существует для каждого
а^0. Докажем его единственность.
Пусть ^а — Ьх и (/а = 62, где а^0, А2^0. Тогда
= =
Если Ьг=^Ь2, например br<_b2, то Ь" < 6? по свойству нера-
венств (см. § 10 гл. VI), что неверно. Из полученного противо-
речия следует единственность арифметического корня, т. е.
= ^2-
Если х—действительное число, то |х| —модуль (или абсолют-
ная величина) числа х. По определению
( х, если х^0,
х =< п
( —х, если х < 0.
49
Основные свойства модулей рациональных чисел, доказанные
в § 6 гл. II, остаются справедливыми и для модулей действи-
тельных чисел.
Действительные числа, как и рациональные числа, можно
изобразить точками на числовой или координатной прямой.
Пусть хх и х2— действительные числа, а (Xj) и Л12(х2)—
соответствующие им точки, расположенные на числовой прямой.
Справедлива формула для расстояния между любыми двумя
точками на числовой прямой:
(1)
где |Л11Л12|—длина отрезка MtM2. Эта формула доказывается
так же, как в случае рациональных чисел хх и х2.
Перейдем от прямой к плоскости.
Две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим нача-
лом О образуют прямоугольную систему координат на плоскости.
Горизонтальная ось называется осью абсцисс или осью Ох, вер-
тикальная— осью ординат или осью Оу (рис. 8). Плоскость, на
которой выбрана система координат, называют координатной
плоскостью.
Координатная плоскость делится осями на четыре части,
называемые координатными четвертями или квадрантами. Их
нумерация показана на рисунке. Прямые углы, образуемые осями
координат, называют координатными углами.
Пусть М — произвольная точка координатной плоскости.
Спроектируем ее на ось абсцисс и ось ординат, т. е. опустим из
этой точки перпендикуляры на оси
координат (см. рис. 8).
Определение. Координата
проекции точки М на ось Ох на-
зывается абсциссой точки М, ко-
.ордината проекции точки М на
ось Оу называется ординатой точ-
ки М.
Абсциссу и ординату точки Л1
называют координатами точки М.
При этом записывают М (х; у)
(на первом месте всегда пишут
абсциссу).
Таким образом, каждой точ-
ке М координатной плоскости
соответствует упорядоченная па-
ра чисел (х; у)—ее координаты.
Наоборот, каждой паре чисел х и у соответствует единст-
венная точка М координатной плоскости с координатами (х; у).
Значит, координаты х и у определяют положение точки на
плоскости.
В самом деле, на оси абсцисс отметим точку с координатой х
и проведем через нее перпендикуляр к этой оси; на оси орди-
50
пат—точку с координатой у и проведем через нее перпендикуляр
к оси ординат. Пересечение этих перпендикуляров и дает иско-
мую точку М (на рис. 8 показан случай, когда х > 0 и у > 0).
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.
Если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю.
Справедливы и обратные утверждения. Начало координат имеет
абсциссу и ординату, равные нулю: О (0; 0).
Пусть на координатной плоскости даны точки М1(х1; ух) и
М2(х2; Уз)- Для нахождения расстояния между ними справедлива
следующая формула:
I | = У(х2-Х1у + (у2-уху. (2)
Для доказательства рассмотрим прямоугольный треугольник
MxM.jAf, в котором, согласно формуле (1), длина катета MXN
равна |х2—хх| и длина катета M2N равна |у2—ух|. По теореме
Пифагора
। мхм.21=/глда+точ2=/|х2-х1р+|у2^р=
= У(х2—х1)2 + (у2—у1)-.
Формула (2) верна и в том случае, когда хг = х2 или ух = у2.
Тогда эта формула дает либо
I МХМ21 = /(уа—yx)2 = | у2—У11,
либо
|MiM2| = ]/ (х2—х1)2 = |ха—хх|.
Например, найдем расстояние между точками ЛД(1; 3) и
М2(—3; 0). Согласно формуле (2)
i МХМ21 = /(—3—I)2 + (0 —З)2 = /25 = 5.
Если точка М имеет координаты (х; у), то ее расстояние от
оси Ох равно | у |, расстояние от оси Оу равно |х|, а от точки
О—/х2 + у2: |МД| = |у|; |MQ| = |x|, [ ОМ ] = /х2 + у2.
§ 4. Степень с натуральным показателем
По определению степени с натуральным показателем п
аа ... а, если 2,
— J
п раз
а, если п= 1
(основание степени а — любое действительное число). Докажем
следующие свойства возведения в. степень:
1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями пока-
затели складываются, т. е.
атап = ат+п (т, п—натуральные числа).
51
Доказательство.
атап = (аа ... а) (аа ... а) —аа ... а
tn раз п раз (m+п) раз
(по сочетательному свойству умножения). Значит, атап = ат*п.
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями показа-
тели степеней вычитаются, т. е.
~- = ат~п (а=И=0; т, п—натуральные числа, т>/г).
Доказательство.
т раз
/—'---
ат аа ... а
ап аа ... а“
—v—'
п раз
Сократим дробь и получим
(т — п) раз
,—'•--.
ат аа ... а т „
— =-----<---= ат~п.
ап 1
Замечание. Если т < п, то a,n:an = -^ ; если т = п, то
ат:ап= 1.
Таким образом,
ап~п, если т > п,
= 1, если т = п, (л=#=0).
ап 1
. если т < п
3) При возведении степени в степень показатели степеней
умножаются, т. е.
(ат)п = атп (т, п — натуральные числа).
Доказател ьство.
п раз
(а/я)п — С1тС1т . . . ат — gm + m + m-i- ... + т
п раз
(по свойству умножения степеней с
Значит, (атУ‘ = атп.
одинаковыми показателями).
4)
(-а)” =
ап, если п—четное,
— ап, если п—нечетное.
Это свойство сразу вытекает из определения степени с нату-
ральным показателем.
52
5) При возведении в степень произведения в эту степень воз-
водится каждый множитель, т. е.
(ab)n = апЬп (п—натуральное число).
Доказательство.
(ab)n = (ab) (ab) ... (ab) — (аа .. . а) (ЬЬ ... Ь)
Ч — - - _ Л Ч _ . х Ч_ _ _ _ ,
п раз п раз п раз
(по сочетательному и переместительному свойствам умножения).
Значит, (ab)n — anbn.
6) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся
числитель и знаменатель дроби, т. е.
/7 \ П qTI
— \=— (о#=0, п — натуральное число).
Доказательство.
Ь ) ~ b ‘ b‘ ' *
п раз
а
~ь
п раз
аа ... а
bb ... b
(по правилу умножения дробей). Значит, = ^.
Покажем применение этих свойств при выполнении вычисле-
ний и тождественных преобразований.
153 • 212
Пример 1. Вычислить 352.34 •
Решение.
153-2Р (3-5)з. (3.7)2 33.53.32.72 _ 35.53.72
352-34 — (5-7)2-34 — 52-72-34 — 34-52-72 — d'° ~ 101
/ 4x3
Пример 2. Найти значение выражения (—1,4)3- (Зу \ .
Решение. (—l,4)**(3yj = — (l,4)3-^yj =—^1,4-yj =
•=-(й*т)3=-(53)=:- 125-
_ or, - (-2).(—3)” —(—З)14
Пример 3. Выполнить действия: 4----- 9?.j5~—
Решение.
(_2).(-3)17-(-3)1в_ (—2)-(—З17)—3te _
9М5 ~ 9’15 ~
_2-317—314_31в(2-3—1) 3le(6 —I) 318-5
9’-15 ~ (32)’-3-5 — 314-3-5 — Зп'-5 — 31
Пример 4. Расположить в порядке возрастания следующие
(Q X 3 / О X 2
— 4) (—4) - °-32; х—1’2)2-
53
Решение. Найдем
(__3V = L( 3V = _27. Г -2V /2у = ± = 0 16.
4 ) ~ 4 ) 64 ’ 5 J \ 5 ) 25 и’ ’
(О.З)2 = 0,09; (—1,2)= = (1,2)“ = 1,44.
Отсюда
(Q \ 3 / 9 \ 2
— 4) <0,32<( —4) <(—1,2)2.
4 у 5 / ' ' '
Пример 5. Какое из чисел больше:
a) 2J0° или 320“; б) 544 или 2112; в) (0,4)4 или (0,8)3?
Решение, а) 2300 = (23)100 = 8100, З200 = (З2)100 = 910»; отсюда
2200 > 2 300.
б) 544 = (2-27)4 = (2 • З3)4 = 24 • З12, 2112 = (3-7)12 = 312-712 =
= (7')4-312 = (343)4-312; отсюда 2112 > 54*.
В) (0,4?=(i) = (|) 4, (0,8)3=4) =4) -23=(4 .8;
отсюда (0,8)3 > (0,4)4.
§ 5. Арифметический квадратный корень
Определение. Арифметическим квадратным корнем из
неотрицательного числа а называется неотрицательное число Ь,
квадрат которого равен а: У а = Ь.
Например, ]/16 = 4, ]/о = О. Знак V называется знаком
арифметического квадратного корня; а называется подкоренным
выражением (или подкоренным числом). Выражение VAz читается
так: арифметический квадратный корень из числа а или, короче,
корень квадратный из а (а^О).
Из определения арифметического квадратного корня следует:
1) выражение ]/а имеет смысл только при а 72=0;
2) для любого числа а 72=0 выполняется неравенство jAzT^O;
3) для любого числа а 72=0 выполняется равенство (У а)2 =а.
Для того чтобы доказать, что b является арифметическим
квадратным корнем из числа czT2=0, следует проверить выполне-
ние двух условий:
1) Ь>0; 2) у=а.
Например, |/"25 = 5, так как 52 = 25 и 5 > 0.
Теорема. Из любого действительного числа а^0 можно
извлечь арифметический квадратный корень и притом только
один.
Мы не станем доказывать, что У а (а ^2=0) существует (дока-
зательство этого утверждения трудное). Докажем единственность
арифметического квадратного корня.
Пусть 'Уа=Ь{ и Уа=Ьг, где ^>0, Тогда
b[ = b‘i = а.
Если b^-b.i, например bL<b2, то &2 < Ь2 по свойству нера-
венств с неотрицательными членами, и мы пришли к противоре-
54
чию с равенством Z>| = &2- Из полученного противоречия следует
единственность арифметического квадратного корня, т. е. Ь± = Ьг.
. Теорема. Для любого действительного числа а
Уа2 = \а\.
Доказательство. Рассмотрим два случая:
1) если а 2^0, то по определению арифметического квадрат-
ного корня Уа- = а-,
2) если а < 0, то (— а) > 0. Число (— а) положительно и
(—а)2'=а2. Поэтому Уа2 = — а.
Таким образом,
( а, если а^О;
Уа2 = \ Л
[ — а, если а < 0,
или по определению модуля действительного числа ]/й* = [й|, что
и утверждалось. _______ ______________________
Например, "Kf—5)2 = | —51 = 5; У (а—Z>)2 = |a—£>| =
| а—Ь, если аД^Ь,
~ ( Ь—а, если а < Ь.
Равенство ’Ка2 = |а| выполняется при любых значениях а.
Значит, это равенство является тождеством на множестве дейст-
вительных чисел.
Подставляя в тождество ]/й"2 = |й| число а = Ьп (п—натураль-
ное число), получим тождество
Уь^=\Ьп |.
Если b'x^Q, то имеем УЬ2п = Ьп. Например, ]/54 = 52 = 25;
/(=Зр = |(-ЗГ| = 27.
Докажем следующие свойства арифметического квадратного
корня:
1) Корень из произведения неотрицательных множителей
равен произведению корней из этих множителей, т. е.
УаЬ = Уа -Уb (й^О; Ь^О).
Доказательство. Нужно установить, что
У а • Уь 0 и (У а -Уь)г = аЬ.
Так как а^О и 6^0, то по определению арифметического
корня (l^a)3 = a; (У&У = Ь. Квадрат произведения равен произ-
ведению квадратов. Поэтому
(Уа .уьУ = (УУУ(УьУ = аЬ.
Так как У а~^ 0, Уь У 0, то У а Уb у 0. Свойство доказано.
Отсюда следует, что
У а -Уь = УаЬ (а>0, &>0).
55
2) Корень из дроби с неотрицательным числителем и поло-
жительным знаменателем равен корню из числителя, деленному
на корень из знаменателя, т. е.
/т=И 1“>0',’>0)-
Доказательство. Нужно установить, что
Уь
и
а
~Ь‘
Так как а^О и b > О,
корня (Уа)' = а, (УьУ = Ь.
то по определению арифметического
п Л Уа
Возводя дробь в квадрат, по-
V ь
лучим
Y _ (Уа )2 _ _£
Уь) (Уь? ь-
Так как Уа^О, Уь > 0, то -У=.:>0. Свойство доказано.
V ь
Отсюда следует, что
(о>0. »>0).
3) Если а > b >0, то Уа > VЪ .
Доказательство. Допустим, что Уа^Уь. Тогда воз-
водя обе части неравенства в квадрат, получим а^Ь, что
противоречит условию. Значит, У а > Уь.
Отсюда следует, что
если а > 0, Ь>0 и Уа>УЬ, то а>&.
Рассмотрим преобразование квадратных корней.
Вынесение множителя из-под знака корня. Так называется
преобразование вида
Уа2Ь = аУЬ (а^О, Ь^О).
В самом деле, У а2Ь = У а2 - У b = | а | • У& =*аУЬ.
Замечание. Если а < 0, Ь>0, то
У^Ь = — аУЬ,
так как |а| =— а при а < 0.
Внесение множителя под знак корня. Так называется преобра-
зование вида
аУь =Уа2Ь (а^О, Ь^О).
Покажем применение свойств и преобразований арифметических
квадратных корней при выполнении действий над ними.
56
Пример 1. Вынести множитель из-под знака корня в вы-
ражении /4а2&3, где а<0, b > 0.
Решение. Имеем
/4а263 = /4 -Уа2-Уьз = 2 | а | Уь2-Уь = 2 | а 11&| -/fe.
Так как а<0 и b > 0, то |а| = — а, |£>j = 6. Поэтому У4а2Ь3=
= —2аЬУ~Ь.
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выра-
жении /16а*Ьвс3, где b < 0, с>0.
Решение. Имеем
У 16а*Ь3с3 = У 16-Уа*-Уьв-Ус3 = 4 ]а21 |Ь3 [ |с |-/с.
Число а2 всегда неотрицательно; /а2 [ = а2. Так как Ь < 0 и с > 0,
то |63| =— Ь3, |с| = с. Поэтому /16а466с3 =—4а2Ь3сУс.
Пример 3. Внести знаменатель под знак корня в выраже-
Ух
нии i где х^О, у < 0.
Решение. Так как # < 0, то Уу2 = [у[ =— у. Значит,
у =— У у2. Поэтому
У X _ У X
~у~~-Уу
Пример 4. Выполнить действия -И343—/252—У1.
Решение. Заметим, что 343 = 49-7, 252 = 36-7. Поэтому
/343-/252—/7 = 7/7 —6/7—/7 =0.
Пример 5. Сравнить числа 3/5 и 4/3.
Решение. Введем множители 3 и 4 под знаки корня и
получим
3/5 =/975 =/45; 4 /3= /ЙГз = /48.
Так как 45 < 48, то по свойству сравнения корней получаем,
что /45 < /48 или 3 /5 < 4 /з .
Пример 6. Упростить выражение 1/ — • 1/ —.
Решение. Корень у — имеет смысл только при у > 0,
а корень
данного выражения х > 0 и у > 0- Имеем
= fZy • у =Ух, где х > 0, у > 0.
57
§ 6. Степень с целым показателем
Понятие и свойства степени с натуральным показателем были
рассмотрены в § 4. Обобщая понятие степени, введем степени
с нулевым и с целым отрицательным показателями.
Определение. Если a^Q, то а°=1.
Выражение 0° не имеет смысла.
Определение. Если а=£0 и п — натуральное число, то
Выражение 0-п не имеет смысла.
Свойство степени с натуральным показателем
( ат~п, если т > п,
1, если т = п, (ау;0)
I . если т < п
можно теперь, используя понятия степени с нулевым и с целым
отрицательным показателями, записать в виде
^ = ат~п (а^О)
для любых натуральных показателей т и п.
Справедливы следующие свойства степени с любым целым
показателем:
1) аРач = аР + ч;
2) (aP)q = аРЧ\
аР
3) ^-г = аР-«-,
' al
4) (aby = а?ЬР',
> \ ь J ьр '
18-3-3’
Пример 1. Вычислить—.
_ 18-3-3’ 25-3’ 25-3’ 2’-3’ О2 о 1О
Решение. 2-s lg;, <2-З2)3 — 23 - 3й -3—12.
Пример 2. Найти значение выражения 1,7“3:5,1—3 6-3.
Решение. 1,7-3:5,1~3-6"3= 3—J = 2-3--2-.
Пример 3. Записать в виде aPbq (р, q—целые) выражение
•(а-м1)-и («^Q, Ь^О).
Решение.
(ай)4 aibi ai-bi
(a-2U/f)-3 (а-'2)--'-(Д!)-з b •
58
§ 7. Арифметический корень и-й степени .
Пусть а^О—действительное число, п^2—натуральное
число.
Определение. Арифметическим корнем п-й степени из
неотрицательного числа а называют неотрицательное число Ь,
если Ьп = а, и записывают = Ь. При п = 2 имеем арифмети-
ческий квадратный корень. Из определения арифметического
корня n-й степени следует:
I) выражение а имеет смысл только при а^О;
2) выражение а всегда неотрицательно, т. е. %/ п^О;
3) равенство ({Zа)п~а верно при любом
Докажем следующие основные правила действий над арифме-
тическими корнями:
1) Основное свойство арифметического корня.
Величина арифметического корня, не изменится, если показатель
корня умножить на любое натуральное число k и одновременно
подкоренное выражение возвести в степень с тем же показа-
телем 1г, т. е.
= (а>0).
В самом деле, пусть 'J/a = b (й^О). Это означает, что Ьп = а.
Тогда по свойству степени
(bn)k = b',k = ak.
Отсюда следует, что & = "£/ак. Таким образом, '{/а — Ъ = что
и утверждалось.
2) При умножении арифметических корней с одинаковыми
показателями подкоренные выражения умножаются, а показа-
тель корня остается прежним, т. е.
{/а у b = аЬ (а 0, 60).
В самом деле, по свойству степени имеем
(^а{/Ь)п = (^аГ(^)П = аЬ,
так как а)п = а, ({/ b)n = b при а^О, Ь^О. Отсюда, согласно
определению арифметического корня, следует, что {/^6 = y/a^/l)
или У a frab.
Утверждение доказано.
В частности, апЬ = Ь = а'УЬ, где а^О, Ь^О (пра-
вило вынесения множителя из-под корня).
3) При делении арифметических корней с одинаковыми пока-
зателями подкоренные выражения делятся, а показатель корня
остается прежним, т. е.
(ц>0, Ь>0).
59
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее свой-
ство. В частности,
(<-><>. 6><»
(правило освобождения подкоренного выражения от знаменателя).
4) При возведении арифметического корня в степень с нату-
ральным показателем возводится в эту степень подкоренное
выражение, а показатель корня остается прежним, т. е.
(^а)'п=^ат (а^О, т — натуральное число).
Это правило является следствием правила умножения корней.
5) При извлечении корня из корня умножаются показатели
корней, а подкоренное выражение остается прежним, т. е.
}/ а = тУа (<2^0; т, п — натуральные числа, т>2, п^‘2).
В самом деле, согласно правилу возведения корня в степень,
имеем
(УууГ==VaFFr.
Отсюда
у/а ) =г%/ат=а (а^О).
Следовательно, по определению арифметического корня
у/а — ту/а, что и требовалось доказать.
Определение. Корни (или радикалы) называются подоб-
ными, если у них одинаковы подкоренные выражения и одина-
ковы показатели корней.
В общем случае сумму или разность двух различных корней
упростить нельзя. Упрощения возможны только в случае подоб-
ных корней. Например, (6 У2 + 5Уз)— (б J/2-{-7Уз) = бУ2-|-
+ 5 Уз — 6 /2 — 7 ]/3 = — 2Уз.
Правило сравнения арифметических корней основано на сле-
дующем свойстве: если а > й > 0, то у/ а~^> у/ Ь, и обратно,
если У а > Ь (а > 0, b > 0), то а~> Ь.
Оно вытекает из свойств неравенств (§ 10 гл. VI). Например,
У 3 > У 2. Чтобы доказать это, сначала, применяя основное
свойство корня, приведем |/3 и У2 к общему показателю 6
(наименьшему общему кратному показателей данных корней):
;/3 = f/32= У9, У2=У2'=У8. Затем используем правило
сравнения корней и получим, что у/9 > у/8 или у/3 > У2.
Мы всегда будем рассматривать только арифметические корни.
Поэтому надо внимательно проверять условие неотрицательности
как подкоренного выражения, так и результата, полученного
при извлечении корня.
60
Например, мы не рассматриваем произведения J/2- £/—3, так
как У—3 не является арифметическим корнем. При умножении
V2 и У3 получаем
У 2 £/3 = 1/2* У& = р/2з“3= = £/72.
В случае арифметического квадратного корня справедливо
тождество j/a2 = | а | для любого действительного числа. Анало-
гично получим, что
( |а|, если п—четное число, п^2;
\ а, если й^О и п — нечетное число, п^З.
Например,
Ух* = х
в преобразованиях
(х>0), Ух^.\х\, £/х« = |х|;
£/х3 = ]/£/х3 =Vх (х>0), £/A-2 = yVx2 = /|х|,
УX3 = УX3 = Ух (х>0) и т. п.
Рассмотрим примеры на применение полученных свойств.
Пример 1. Ввести множитель под знак корня в выраже-
нии a j/^ 1 + , где а > 0.
Решение. Так как а= У а3 (а>0), то
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выра-
жении ]/" 1 + , где а < 0.
Решение. Мы знаем, что £/ав = |а| =— а, так как а < 0.
Поэтому
Пример 3. Вынести множитель из-под знака корня в вы-
ражении У хйу1323, где у > 0, z > 0.
Решение. Имеем
У х8у1яг3 — У xsx2y9yz3z2 = У х9 У у2 У z3 У x2yz2 = x2ysz Ухгуг2,
так как £/х6=х2 для любого х, У у9 —у3 и Уг3 = г при z/>0,
2 > 0. _____
Если изменить условие и считать у < 0, г > 0, то Ухйу'°г3 =
= У Xй У у10 У zt Известно, что У хй = х2 У х2; при у < 0 корень
61
1/у10=У(—у)9^-у) = (—у)3У—У~ — ^У—У> при 2>0 ко-
рень у/zi =а z у/г2. __
Арифметический корень у/ у10 имеет смысл при любом у,
арифметический корень jZz5—только при z^O. Получаем, что
jZx8y10z? =—x2y3z у/—x2yz2, если у < 0, z > 0._
Пример 4. Доказать, что 14/й6=14/—а —Ь, если й^: О,
Ь^О.
Решение. Если й^О, Ь^О, то йй^зО. Поэтому корень
i/ab имеет смысл. Так как ab = (—й)(—Ь) и оба множителя
неотрицательны при а^О, й^О, то по правилу умножения
корней _ ______
у/йй=^/—а р/—b (а^О, ЬеСО),
что и требовалось доказать.
Пример 5. Выполнить действия 2^2jZ 2 .
Решение. Преобразуем: 2 f/ 2 = р/24. Поэтому 2 jZ 2 =
= У /2~4 = J/23. Далее имеем У 2У 2 /2 = У 2 /2s =
= У £/210 = 1|/210= jZ23 = J/32 (применили основное свойство
корня и правило извлечения корня из корня).
§ 8. Степень с рациональным показателем
Понятие и свойства степени с любым целым показателем были
рассмотрены в § 6. Введем теперь степень с дробным рациональ-
ным показателем.
Определение. Если а > 0 и х—произвольное рациональ-
ное число, представленное дробью -у, где р—целое, ад^2 —
натуральное число, то
р __
ах = а ч = j/аР\
если й = 0 и х > 0, то й* = 0.
- з _______
= &1 = £/ ь~з
2 , _ 3
Например, а 5 = |/й2 при любом а 0; Ь 4
6-7=1/^= ' „Ц-
v ь4
или
Замечание 1. Если ~—несократимая дробь, то для лю-
бой дроби вида ~ = ~ (п — натуральное число), имеем
рп ___ ______ р
aqn = qy af“‘ = qy/r аР = а ч
(использовано основное свойство арифметического корня).
62
Замечание 2. Если а > 0 и х—целое число, представлен-
ное дробью вида ~, где р—целое, а <7^2 — натуральное
р _____________________________
число, то равенство а4 = у/ар также верно, но не по
определению степени с дробным показателем, а по определению
арифметического корня. В самом деле, если -у = х, то \/ар~ах
(я > 0), так как (ах)ч— а1'х = ар и а': > 0. Значит,
р __
ах = а^ —^/аР.
Из определения степени с дробным показателем следует, что
-- I
a ч = — , где а > 0. В самом деле,
Так как при я#=0 а°=1 и а~п~ — (п—натуральное число),
то для любого рационального числа х имеем сгх = \ , если а > 0.
Свойства степени с целым показателем распространяются и
на степень с любым рациональным показателем и положитель-
ным основанием.
Рассмотрим примеры на применение свойств,
2 1 1 ,
Пример 1. Вычислить 8 3 — 16 4 -]-92.
Решение. 8~—16т 4-9~=У1б 4-/9 = j/64 —
— /Тб 4-/9 = 4—2 4-3 = 5.
Пример 2. Найти значение выражения (0,04)~М х
X (0,125) 2-
1 3
Решение. (0,04)"М.(0,125)“Т_2 = (1) *х
__4_ I 3 4 _ 1 3
ULV-fj-V = V2 =(5-<2 х
х 8; \121/ > х
X(2-3)-~—(11-2) ~=53-21—11 = (5-2)3-2—11 = 2000—11 = 1989.
Пример 3. Выполнить действия
2.4-34-(вГ~)
125-~.(у)“24-(/з)°. (4) 2
63
f _2_\3 / 1 \ -a
Решение. 1) 2-4“2+\81 2 ) '(t) ~
1
42
1 \3 . оз _ 1 1 _L. оз _ _L _i_ i —. 2
/al ) 8 93 8 8
2) 125 3 . (4-У2 + (/3)о.Ш~2=^=--52 + 1-22 =
\ ° > \ 2 > i/125
= 4-52 + l-22 = 5 + 4 = 9.
0
3) 4:9 = y- Др°бь Равна
Пример 4. Упростить выражение
Решение. Имеем
если х > 0, у #=0;
если х > 0, у =#0;
если х =# О, у > 0.
Данное выражение имеет смысл при х > 0, у > 0. Получим
если х > 0, у > 0.
§ 9. Понятие о степени с иррациональным показателем.
Свойства степени с действительным показателем
Пусть а—положительное действительное число, х—положи-
тельное иррациональное число. Как всякое иррациональное
число, х есть бесконечная непериодическая десятичная дробь:
x = c,blb2 ... bn ... Рассмотрим последовательности десятичных
приближений для иррационального числа х по недостатку с,Ь{\
c^jb,;, ...; cj^bt bn\ ... и по избытку сД-J-l; сД(Ьа+1)’>...
c,b,b2 ... (&„+1); ...
64
Образуем две новые последовательности:
QCibi* ' • QC.bibi... bn. * . .
QC,bl + l- 61(41+1)- , ,,- ac’b'bi (6«+l)- ...
В высшей математике доказано, что существует и притом един-
ственное число, для которого эти последовательности являются
последовательностями десятичных приближений. Это число обоз-
начается ах и называется степенью числа а > 0 с иррациональ-
ным показателем х.
Например, степень 2V2 есть число, для которого последова-
тельности 21-4; 21-41; 21-414; 21-4143; ... и 2'-6; 21-42; 2'-4'5; 21-4143; ...
являются последовательностями десятичных_ приближений соот-
ветственно по недостатку и по избытку (02=1,4142 ...).
По определению
а“* = ^ (а>°),
где х—положительное иррациональное число.
Теорема. Для любых действительных х и у и допустимых
а и b справедливы равенства:
1) ах-ау = ах+у:
2) (ах)у = аху:
3) ^L = ax~y:
’ аУ ’
4) (ab)x = ax-bx\
с 1 f а \х &х
5) \Т) ~bi'
Строгое определение степени с иррациональным показателем
и доказательство всех этих свойств для иррациональных х и у
приводятся в курсе высшей математики. Отметим, что ах > О
при а>0 для любых действительных значений х. Справедли-
вость свойств 1—5 для рациональных х и у была указана в § 8.
§ 10. Решение задач
Пример 1. Доказать, что 16s+ 2'5 делится на 33.
Решение. 165 + 2'3 = (24)3 + 2'5 = 220 + 213 = 215 (25 + D =а
= 2'5-33.
Пример 2. Доказать иррациональность чисел 03 и log23.
Решение. 1) Допустим, что 03—рациональное число:
03 = Л
q
где р и q целые числа, причем q=^Q. Дробь — будем считать
несократимой. Согласно определению корня
(-^У = 3 или p2 = 3q*.
3 И. А. Баранов и др. gtj
Отсюда следует, что р делится на 3: р = 3р1, где pv—целое
число. Тогда (Зр1)2 = 3</? или q2 = 3p2. Значит, q также де-
лится на 3: q = 3qlt где qr—целое число. Следовательно, дробь
— = сократима, что противоречит условию. Заключаем, что
J/3 — иррациональное число.
Замечание. Мы использовали следующее утверждение:
если квадрат целого числа делится на 3, то и само число де-
лится на 3. Предоставим читателю доказать это утверждение.
2) Пусть log2 3 —рациональное число -у,
где р и <7—целые,
е?У=0. Тогда log23 = —. По определению логарифма 2’ =3 или
( —\с'
\24 ) = 3'?. Получим: 2^ = ЗС Но это равенство невозможно, так
как 2”— четное число, а 3« — нечетное. Значит, наше предполо-
жение неверно и log2 3 является иррациональным числом.
Пример 3. Упростить выражение 3 -|- — 2 j/y + lz6 4-
+ /Т50.
Решение. 3 -2 )/Л-|- + Г'б+ /150 = )/з2--|-
- jA2 • 4 +1Л6 + /2+6 = /6 -/6 + /6-И 5/б = 6 /6.
Пример 4. При каких значениях х верны равенства:
а) х + |х| = 0; б) х4-|х| = 2х; в) -]уг =—Н г) -v3 = —/Зх2;
д) Зх/2=/18+?
Решение, а) х + |х| = 0 или |х| = — х. Равенство верно
для любого х 0.
б) х + |х| = 2х или |х| = х. Равенство верно для любого х^О.
в) ту- = — 1 или |х| = — х, где х =+0. Равенство верно при
I х I
х < 0.
г) х/3 = — /Зх2 или х/3 = — |х|/3, х = —|х[. Равенство
верно при х 0.
д) Зх/2 = /18хг или 3х/2 = 3|х|фг2, х=|х|. Равенство
верно при х^О. _________
Пример 5. Упростить выражение /х2—2х+1 —/х2+2х4-1.
Решение. Заметим, что х2—2х +1 = (х— I)2, х2+ 2x4-1 =
с=(х+1)2. Поэтому
]/х2 —2х+ 1—/х2 + 2х + 1 = V (х— 1)-’ — /(х + I)2 =
= |х-1|-1х+1|.
По определению модуля
J х—1, если (х—1)>0,
Х \ —(х—1), если (х—1)<0
66
или |x—1 | =
x— 1, если x> 1,
— (x— 1), если x < 1;
|x+ 1 1 =
( x+1,
I—0+1),
если (x+ 1) < О
| x + 1, если x — 1;
I—(* + l), если x < — 1.
Точки x=—1 и х=1 разбивают числовую ось на три про-
межутка: (— оо; —1), (—1; 1), (][; 4- оо) (рис. 9).
-1 0 1
—•-----•-----•-
Рис. 9.
Если х<—1, то |х—1[ — [х-{-1| =—(х—1) — (—(х+1))=э
= — х 4~ 1 Ч- х 4- 1 = 2.
Если — 1 < х < 1, то | х—1| — |х4-11 = —(х— 1)—(х4- 1) ==
= — 2х.
Если х>1, то |х—1| — |х4-1| = (х—1) — (х4-1) = —2.
Таким образом,
Ух2-— 2х 4- 1 —Ух2-]-2х 4-1 =
2, если х^—1,
—2х, если — I < х < 1,
— 2, если
х> 1.
Пример 6. При каких значениях х верны неравенства:
а) |—х|^х; б) х|х|^х2; в) Ух2 —х; г) х02>0 2х2?
Решение.'а) |—х| = |х|. Неравенство |х|^х верно при
х > 0.
б) Неравенство не выполняется при х < 0. Прих^О |х| = х,
и нестрогое неравенство х2- х2 верно.
в) 0хг = |х|; |х|<—х при х<0.
г) У2х2 = | х |02; х02>|х|02 или х > |х| неверно при
любом х.
Пример 7. Доказать, что верно неравенство 3 У2 4- 207 >
> 3 034-4.
Решение. Внесем множители под знак корня и запишем
исходное неравенство так: 032-24~02а-7 > 032-34~016 или
018 4-Г 28 > 0274-016. Это неравенство верное, оно получает-
ся сложением двух верных неравенств: 018 > 016,028> 027-
Пример 8. Расположить в порядке возрастания числа: 03*
1/5-
Р е ше и и е. Заметим, что 04= 022 = 02. Сравним сначала
03 и 02. Приведем их к общему показателю 6: 03 = 032 — 09э
02= 023 = 08, следовательно, 03 > 02.
з*
• SZ
Сравним теперь /2и ^/5: )-^2 =25 = j/32; р/5—р/52 —
= 1^z25- Следовательно, ]/2 > у/5.
Итак, £/5 < р/4 < р/3. 5 3 4
( а^а"\~
Пример 9. Найти значение выражения ( ~г~ J при
\ a24 J
а =125.
Решение. Сначала упростим данное выражение, применяя
свойство степеней с дробным показателем:
При а =125 получим р/ 125 = 5.
Упражнения
Раздел I
1. Доказать, что 200300 > ЗОО200.
2. Доказать, что значение выражения 333555-f-555333 кратно 37.
3. Доказать иррациональность чисел у/2 и 1g 2.
4. Упростить выражение (]^14 — 2]С35)-у У? -]-20.
__ 5 о
5. Вычислить с точностью до 0,01: а) у 2 +-х-; б) —
о 4
о .
6. Извлечь квадратный корень с точностью до 0,01: а) У32,5; б) Уо,954.
7. При каких значениях х справедливы равенства:
а) |— х| = — х; б) х — |х| = 0; в) х|х| = х2; г) 2х]/'з’ = — }С[272?
8. Упростить: VlBcft3’ —а2 1/ —-62 1/—, где
Л 3 V a, j b
а> 0, b > 0.
9. При каких значениях х справедливы неравенства:
а) |х|<—х; б)|х|<[—х|; в) * < -1; г) х Уз <—УЗх2?
1 х I
10. Сравнить выражения у 1^63 и у jCeo.
11. Доказать неравенство ]^27 4* Уб 1 > V48.
12. Доказать, что
। । irz----г? 1 2х, если х у,
*+у+ V (х—у)2= J
( 2у, если х < у.
13. Внести множитель под знак корня:
. п У х
(1—х) 1/ ----г
у х—1
если х > 1.
Вв
14. Упростить выражение путем вынесения множителя из-под знака
корня:
(2 — а) 1/ —;—-——т, если а < 2.
V а- — 4а -f • 4
15. Найти значение выражения
х = 0,001, «/=25.
Раздел II
16. Доказать иррациональность чисел V 3 , |/ 5 •
17. Найти /3 с точностью до ~ ; до ; до
О 1U 1U V
18. Найти ^153,213, У 0,487 с точностью до 0,01.
19. Вычислить с точностью до
.) КТ+1-. «) 1-Г5-, .) ^=4-^: Г) ^=1.
20. Может ли сумма двух положительных иррациональных чисел быть
числом рациональным?
21. Может ли произведение двух не равных положительных иррацио-
нальных чисел быть числом рациональным?
22. (устно). Найти [48,3], [0,29], [ — 5,7].
23. (устно). Найти {—2}, {3,9}, {—7, 15}.
24. (устно). При каких значениях х справедливы равенства:
а) |х-3|=0; б) |х—3| = 1?
25. (устно). При каких значениях х справедливы равенства:
а) х2-|х| = х3; б) |х2|-х = х3; в) х3 = |х|3; г) х3 = |х3|?
26. Найти длину отрезка АВ, если:
а) А (0; —2), В (-3; 4); б) А ( —3; -1), В (-8; 3).
, „ 634-353
27. Вычислить: .
/ 3 \ 4
28. Вычислить: (—2,2)М2уу) .
29. Расположить в порядке возрастания числа
30. Сравнить числа:
а) 5100 и 220"; б) 10 м и 4010.
г, (3-220 + 7-219)-52
31. Вычислить: ---- -2- -.
(13-0 )
„„ w 5-2*-2 + 10-2*~’
32. Упростить: ---------------.
НУ- (Я.
— 0,4а.
33. Вычислить:
34. Найти арифметическое значение корня:
а) /(=3?; б) /(=5Р; в) / (1-/3 )2; г) К(/У-2)2.
35. (устно). При каких значениях х справедливы равенства:
а) /(х—2)’2 = х —2; 6) /(х —4)3 = 4 — х; в) /(5х —8)2 = | 5х —8|.
„„ гт -----V» (0, если X ^у,
38. Доказать, что х — у— У (х—у)"=(
|2 (х—(/), если х < у.
37. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
/ci'b2c:' „ .
• -п—- , если а < О, Ь < 0, с > 0.
2э
38. Внести множитель иод знак корня в выражении
Зх3у Уху2, если х > 0, у < 0.
39. Выполнить действия:
/U—2/27 — 3/4§+ 2/75-f- 3 /108.
40. Выполнить действия:
3 ^-0,1^75^2 }/А.,
г О г и
41. Сравнить числа:
а) /8“ и /50; б) 3 |/1 и |/1.
/"о* < Т
— , J/ -g-.
43. Вынести множитель из-под знака корня, считая все множители неот-
рицательными;
.) УЙ7; « г>/“£/ А) /«/,
е) 52п + 4cie“ +3.
44. Сравнить значения выражений {/би \/ 35.
45. Выполнить действия:
а) (о,2^/^/)3; б) ’ В) y ' г) fl-V"a-
46. Вычислить:
123-т.(4)-+(П)>. (1/
47. Упростить выражение
48. Упростить:
70
49. Выполнить действия:
ab д/~—о.Ь 1/”тт + т- Cfe7 •—- ?/ а4Ь .
га2 V Ь2 1 b V а V
50. Освободить дробь от иррациональности в знаменателе:
а) 2^ б, 1
К2+КЗ’ ’ 1-/5+К'2 ‘
51. Вычислить:
4 4 _ 3
а) 1024-°Л; б) 9-°.5 — 8 3 —8 3 +(0,25) 2.
52. Выполнить действия:
53. Упростить:
54. Упростить выражение
„ _ 3,4 1
55. Доказать, что ——-—-1-—^=-==.=—==-— .
/ 5—р 2 ]<6 + К 2 / 6—
56. Упростить выражение и записать ответ, используя степень с Дроб-
ными показателями:
Глава V. ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
Числовым выражением называют выражение, составленное из
чисел и знаков действий над ними. Например, 48 : 12, ]/"52—3S
3-(102 + 1). Выражением иногда называют и отдельное число.
Если в числовом выражении можно выполнить все указан-
ные в нем действия, то полученное в результате число называ-
ют числовым значением данного числового выражения, а о чис-
ловом выражении говорят, что оно имеет смысл. В приведенных
примерах первое и второе числовые выражения имеют числовое
значение 4, а третье—303.
Числовое выражение не имеет числового значения, если не
все указанные в нем действия выполнимы; о таком числовом
71
выражении говорят, что оно не имеет (лишено) смысла. Напри-
мер, числовые выражения gjg-g > 1^9— 25, (4 — 4)° лишены
смысла. Вместо числовых выражений часто удобнее рассматри-
вать выражения, в которых числа обозначаются буквами.
Алгебраическим выражением называется выражение, состав-
ленное из чисел (обозначенных буквами или цифрами) при по-
мощи алгебраических действий (сложения, вычитания, умноже-
ния, деления, возведения в степень и извлечения арифметического
корня)*).
Алгебраическое выражение, содержащее величины х, у......z,
сокращенно записывается в виде А (х, у, ..., г). Заранее долж-
но быть указано, на каком множестве оно рассматривается, т. е.
какие значения могут принимать величины х, у,..., 2—дейст-
вительные или только рациональные, или только целые и т. п.
Числовое значение алгебраического выражения—это число, полу-
ченное в результате вычислений после замены букв числами.
Значения величин х, у, .... z, при которых выполнимы все
действия, указанные в выражении А (х, у, ..., г), называются
допустимыми значениями. Они образуют область определения, или
область допустимых значений (сокращенно ОДЗ), выражения А.
Иногда в связи с конкретным смыслом А на допустимые зна-
чения налагаются дополнительные условия.
В дальнейшем алгебраические выражения будем рассматри-
вать на множестве действительных чисел, если не сделано спе-
циальных оговорок.
Примеры алгебраических выражений:
О-А-Ь', 2У V 2xz/ + 3x2t/— 1.
При совместном рассмотрении нескольких алгебраических вы-
ражений нужно брать общую часть их областей определения.
Например, рассматривая совместно выражения
считают, что ху=—1, ху=0, у=£—2.
Замечание. Алгебраическое выражение—частный случай
математического выражения. Примеры математических выраже-
ний:
ффт- ; Ух2у2 + 1; 2 + 5х; sin х; 1 + 1g х;
Л. *[ 1
из них первые два алгебраические.
Два алгебраических выражения А и В, соединенные знаком
равенства ( = ), образуют равенство: А—В, При любом конк-
ретном выборе значений величин (из общей части областей оп-
♦) Предполагается, что указанные действия применяются конечное число
раз.
72
ределения выражений Л и В) равенство А = В обращается в чис«
ловое равенство. Полученное числовое равенство может быть
справедливым (верным) или несправедливым (ложным). Напри-
мер, неравенство х24-1 =—х4 является несправедливым для лю-
бого действительного числа х: х2+1^1, а (— х4)^0.
Определение. Равенство, верное для всех допустимых
значений, входящих в него величин, называется тождеством.
Тождествами называются также и все верные числовые равен-
ства.
Для обозначения тождественности двух выражений применяется
также знак =: А (х, у, . . ., г) = В (х, у, . . ., г).
Простейшими тождествами являются равенства, выражающие
основные свойства арифметических действий: a-[-b = Ь 4-а;
4- с = a + (6-f-c), ab = ba, (ab)c^a(bc), (aA-b)c = acA~bc.
Определение. Равенство, верное не для всех допустимых
значений входящих в него величин, называется уравнением.
Таким образом, равенства бывают двух видов: тождества и
уравнения.
Примеры. 1) Равенство 2 (х+ 1) = 2х-|-2 есть тождество,
так как оно верно при любых значениях х.
2) Равенство 2(х-|-1) = ЗхД 1 есть уравнение, так как оно
верно только при х=1 и неверно при остальных значениях х.
3) Равенство t =хД1 есть тождество, справедливое при
любых х#=1 (т. е. при всех допустимых значениях х).
4) Равенство'Кх2 = х справедливо при х^О. На множестве
действительных чисел это равенство является уравнением (или
тождеством на множестве неотрицательных чисел).
Замечание. Понятия равенства, тождества и уравнения
вводятся не только для алгебраических, но и для любых мате-
матических выражений.
Тождества обладают следующими основными свойствами:
1) если А = В и В = С, то А = С;
2) если А = В, то А + С = В-\-С\
3) если А=В, то А-С = В-С,
где выражения А, В и С рассматриваются на одной и той же
области допустимых значений (ОДЗ).
Переход от алгебраического выражения А к тождественному
с ним алгебраическому выражению В называется тождественным
преобразованием.
Алгебраические выражения подразделяются на рациональные
и иррациональные.
Алгебраическое выражение называется рациональным относи-
тельно какой-нибудь величины, входящей в это выражение, если
над этой величиной производятся только действия сложения,
вычитания, умножения, деления и возведения в степень с целым
показателем.
Z3
Алгебраическое выражение называется иррациональным отно-
сительно какой-нибудь величины, если оно содержит эту вели-
чину под знаком корня.
Например, выражения 2х3—х24-3, рациональные, а
выражения ]/х2ф- 1, z/2 р/х1 + 1 4- у р/х2 иррациональные отно-
сительно х, и последнее из них рациональное относительно у.
§ 2. Отношения чисел и однородных величин. Проценты
При сравнении двух чисел иногда нужно узнать, во сколько
раз одно число больше (меньше) другого или какую часть одно
число составляет от другого. Например, 15 составляет у часть
от 45, или 45 больше 15 в 3 раза. В этом случае часто говорят
иначе: «отношение 15 к 45 равно у», «отношение 45 к 15 рав-
но 3».
Вообще, отношением числа а к числу b называется частное
чисел а и Ь.
Например, отношение 12 к 10 равно 1,2, так как 12:10= 1,2;
3 3
отношение 3 к 7 равно у, так как 3:7 = у.
Отношением называют не только результат деления одного
числа на другое, но и само выражение. Например, отношения
12:10; 3:7. Числа, входящие в отношение, называют членами
отношения.
В математике, физике и других науках часто используют от-
ношения однородных величин. Отношением величины а к вели-
чине е (того же рода) называется число, которое получится при
измерении величины а, если за единицу измерения принять ве-
личину е. Отношение однородных величин равно отношению чисел,
получающихся при измерении этих величин одной и той же еди-
ницей; оно не зависит от выбора единицы измерения.
Например, масштаб карты 1:2 000 000. Это отношение озна-
чает, что на карте расстояние в 20 км изображается отрезком
длиной 1 см.
Можно рассматривать иногда отношения разнородных величин,
например отношение пути ко времени, отношение массы к объему
н т. д. Такие отношения представляют собой новую величину:
скорость, плотность и т. д. Отношение разнородных величин за-
висит от выбора единиц измерения.
Например, найдем скорость движения поезда, если поезд про-
шел 360 км за 3 ч. Отношение пути ко времени дает скорость:
360:3= 120 (км/ч). Если выразить данные в других единицах,
например 360 км = 360_000 м и 3 ч = 10 800 с, то получим другое от-
ношение:
360 000:10 800 = 3-^ (м/с).
74
Отношение двух чисел часто выражают в сотых долях. В этом
случае сотую часть числа называют процентом.
Например, отношение 4:5 = 0,8; 0,8 равно 80 сотым. Данное
отношение составляет 80 процентов. Если слово «процент» не-
посредственно идет после числа, то вместо него ставят знак %.
Отсюда 4:5 = 0,8 или 80%. Говорят, что число 4 составляет 80%
от числа 5.
Чтобы выразить отношение двух чисел в процентах, надо
значение этого отношения умножить на 100.
Пусть отношение числа а к числу b равно г % ^ Тогда
г = £. 100.
ь
Рассмотрим три основные задачи на проценты.
Задача 1. Нахождение процентов отношения чисел.
Из группы в 25 человек на занятиях присутствовало 22 че-
ловека. Сколько процентов учащихся группы присутствовало на
занятиях?
Решение. Так как а = 22, Ь = 25, то / • 100 = 88(%).
Задача 2. Нахождение процентов данного числа.
При перегонке нефти получается 30 % керосина. Сколько ке-
росина получается при перегонке 360 т нефти?
Решение. Используем формулу г = у • 100. Так как г=30,
b = 360, то 30 = 100, отсюда а = 103 (т).
Задача 3. Нахождение числа по его процентам.
За один час машина прошла 48 км, что составляет 12% всего
пути. Каков весь путь?
Решение. Используем формулу г = у • 100. Так как г = 12,
п = 48, то 12 = у-100, отсюда Ь = 400 (км).
Рассмотрим решение более сложных задач.
Задача 4. Турист прошел весь маршрут за три дня. В пер-
вый день он прошел 30% всего пути, во второй — 60% остатка,
после чего ему осталось пройти на 1 км меньше, чем он прошел
в первый день. Какова длина всего маршрута?
Решение. Пусть длина всего маршрута .г (км). Тогда в пер-
вый день пути турист прошел 0,3% (км) (30% от х составляют
0,Зх), и после первого дня остаток пути составил 0,7л-(км)(х —
— 0,Зл' = 0,7х). Во второй день турист прошел 0,42х (км) (60%
от 0,7х составляют 0,6 0,7х = 0,42х), и ему осталось пройти
в третий день 0,28х (км) (0,7х—0,42х = 0,28х). Ио условию за-
дачи турист в третий день прошел на 1 км меньше, чем он про-
шел в первый день. Значит,
0,Зх—0,28х = 1.
75
Решая уравнение, получим 0,02а; =1, откуда х = 50(км).
Задача 5. Цена товара повысилась на 25%. На сколько
процентов надо снизить новую цену товара, чтобы получить пер-
воначальную цену?
Решение. Пусть а — первоначальная цена товара. После
повышения цены товар стал стоить а + 0,25а = 1,25а. Найдем
отношение первоначальной цены товара к его новой цене и вы-
разим это отношение в процентах:
Ti-l°0=80(%).
Значит, новую цену товара надо снизить на 20% (100 % —
-80 % =20 %).
Задача 6. Свежие грибы содержат по весу 90 % воды, а
сухие содержат 12 % воды. Сколько получится сухих грибов из
22 кг свежих грибов?
Решение. По условию свежие грибы содержат 90 % воды.
Поэтому 22 кг свежих грибов без воды имеют вес 2,2 кг (т. е.
10% от 22 кг). Так как сухие грибы содержат воду (12%), то
2,2 кг составляют 88% от веса сухих грибов, полученных из 22 кг
свежих грибов. Отсюда
^100 = 2,5 (кг)
— вес сухих грибов.
Задача 7. После двух последовательных снижений цен на
одно и то же число процентов цена товара снизилась с а руб.
до b руб. (Ь < а). На сколько процентов снижалась цена товара
каждый раз?
Решение. Пусть х — искомое число процентов. Тогда в пер-
вый раз цена товара снизится на руб., и его новая цена будет
ах__________________________ f.____х\
а~Too-“V юоу *
/, х \
\ 100/
Во второй раз цена товара снизится на —~д00—— руб.; и це-
на товара после двух снижений будет
/, х А „ /, * х — „ f t х V
1 —‘TooJ а \1— TooJ ' юо — а v юоJ •
По условию она равна b руб. Поэтому
Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде
fl-2LV = A
v 100/ а
76
и извлечем арифметический квадратный корень:
11___£.1= 1/1.
I 100I га
Так как х < 100, то |1— /jq | = 1—/j • Следовательно, 1— =
«= ]/£ или х= 100^1—|/^-}(%).
§ 3. Пропорции
Определение. Пропорцией называется верное равенство
вида
а с
~b ~ d ’
где числа a, b, с, d не равны нулю.
Пропорцию можно записать иначе:
а : b = c : d.
Пропорция читается так: а относится к Ь, как с относится к d.
Числа а и d называются крайними, а числа b и с—средними
членами пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов
пропорции равно произведению ее средних членов.
Это означает, что если -4 = 4-, то ad = be.
’ b d ’
Для доказательства умножим обе части исходного равенства
на bd и получим
~bd = ~bd
b d
или ad — bc, что и утверждалось.
Верно и обратное утверждение: если произведение двух чисел
а и d равно произведению двух других чисел b и с (а=Д0, 6#=0,
с#=0, d=/=0), то из этих чисел можно составить пропорцию.
Действительно, пусть ad = bc. Разделим обе части этого ра-
венства на bd и получим
что и утверждалось.
Ьс
Из основного свойства пропорции вытекает, что а = у и</=
Ьс
е= — (крайний член пропорции равен произведению средних чле-
нов, деленному на известный крайний член пропорции), Ь = у и
с = у (средний член пропорции равен произведению крайних чле-
нов, деленному на известный средний член пропорции).
77
Пусть дана пропорция
Согласно основному свойству пропорции
ad = bc. (2)
Разделив обе части равенства (2) на cd, получаем
-=4- (3)
с d ' ’
Пропорция (3) получается из пропорции (1) перестановкой
средних членов пропорции.
Точно так же, разделив обе части равенства (2) на аЪ, по-
лучаем
Пропорция (4) получается из пропорции (1) перестановкой
крайних членов пропорции.
Итак, в пропорции можно переставить: а) средние члены;
б) крайние члены.
Пропорции (3) и (4), образованные из членов Исходной про-
порции (1), называются производными пропорциями.
Вообще, из пропорции (1) можно получить производную про-
порцию вида
ka 4- lb _ ксЦ-ld
таЦ-nb тсЦ-nd ’ ' '
где а#=0, b^=Q, c^=Q, d=^0, таЦ-nb =/=0, тс4-nd ^=0,
ka + lb ф 0, kc + Id =£ 0.
В самом деле, нетрудно проверить, что
(ka + lb) • (тс + nd) = {kc + Id) (таrib),
если использовать равенство ad = bc (т. е. основное свойство про-
порции).
Давая числам k, I, т и п различные значения, получаем част-
ные случаи производной пропорции (5). Например
а+ b __с Ц-d
~~Ь ~ ’
а— b__с — d
Т ’
аЦ-Ь с Ц-d
а—Ь с—d’
Справедливо также свойство равных отношений (равных дро-
бей): из равенств
£1 = £1 = £н
t>i ь2 ~ ьп
(6)
78
следуют равенства
д1 +да + - • • + ап Д1 а2 ап
6i + 62+,,,+bn b, 62 6П
Действительно,
д1+аа+ - +ап_________________________ ai '
61 + 62+ <.. + bn bi ’
так как из условия (6) нетрудно получить равенство
(^1 + п2 + ... + <2„) bL = (/>! + b2 + ... + &„) ах,
что и доказывает справедливость равенств (7).
Кроме того, из равенств (6) следуют равенства
&1д1 + 62й2 + . -\-knan Of а2 __
kibi-y-k.^b^-}-... Arknbn bx b-2 bn
Действительно,
<7, _kyat a2 ___k.2a2 an___
bi k1bl ’ b2 &2b2 ’ ’ bn knbt.
Тогда по свойству равных отношений получаем
ktat + k2a.2 -'г ... +Л’няп_ а, _ аг _ _ап
klbi^-kib2^-...-\-knbn~ ~ Ь.2 ~~ ’ ’ ’ ~Ь;1’
(7)
что и утверждалось.
С помощью пропорции решают различные задачи.
Задача 1. Составить пропорцию из чисел 15, 18,35 и 42.
Решение. Так как 15-42= 18-35, то 7^ = 75 пли =
’ 18 42 18 15 ’
42 18 15 18
или 35 — 15 , пли 35 —42 -
Задача 2. Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему
равен процент всхожести семян?
Решение. Пусть всхожесть семян равна г (%). Тогда один
процент всхожести семян можно найти так: разделить 1800 на г
или 2000 на 100. Отсюда 1800: г = 2000: 100. Найдем неизвест-
ный средний член этой пропорции:
Задача 3. Чертеж составлен в масштабе 2:5. Чему будет
равна длина'болта на чертеже, если в натуре длина болта 60 мм?
Решение. Пусть х (мм)—длина болта на чертеже. Так как
масштаб показывает отношение длины отрезка на чертеже к длине
отрезка в натуре, то получим пропорцию х; 60 = 2: 5. Найдем
неизвестный крайний член этой пропорции:
60-2 о. , .
х = —= 24 (мм).
Рассмотрим решение более сложных задач.
79
Задача 4. Мясо при варке теряет 35 % своей массы. Сколько
получится вареного мяса из 2 кг сырого? Сколько потребуется
сырого мяса для получения 2,6 кг вареного?
Решение. Пусть из 2 кг сырого мяса получится х (кг) ва-
реного мяса. Тогда х : 2 =65 : 100 (так как при варке сохраняется
65% массы).
Отсюда х = ^^ = 1,3 (кг).
Пусть для получения 2,6 кг вареного мяса потребуется у (кг)
сырого. Тогда 2,6 : // = 65 : 100.
Отсюда
у==ЦЧ00=4 (кг).
Задача 5. Собственная скорость моторной лодки 20 км/ч,
а скорость течения реки 4 км/ч. Двигаясь по течению, лодка
прошла 120 км. Какое расстояние пройдет за это же время мо-
торная лодка при движении против течения?
Решение. Скорость лодки при движении по течению реки
равна 20-f-4 = 24 (км/ч), а при движении против течения равна
20—4= 16 (км/ч). Поэтому 120 : 24 = х : 16. Отсюда
120-16 ол / ч - -
х = ~24— = 80 (км)
— искомое расстояние.
§ 4. Одночлены и многочлены.
Стандартный вид одночленов и многочленов
Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или
буквами, называют одночленом.
Степень числа с натуральным показателем и произведение сте-
пеней чисел с натуральными показателями также называют одно-
членами, так как в виде степени можно записать произведение
равных множителей. Каждое число а есть тоже одночлен, так
как а = а-1.
Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называ-
ются числовыми множителями этого одночлена, а множители, обо-
значенные буквами, называются буквенными множителями.
Стандартный вид одночлена—это такая запись одночлена,
в которой есть только один числовой множитель, стоящий на
первом месте, и затем различные буквенные множители или их
степени с натуральными показателями.
В стандартном виде одночлена нет одинаковых букв. Любой
одночлен можно записать в стандартном виде. Для этого нужно
умножить все числовые множители и поставить их произведение
на первое место, а затем произведения одинаковых буквенных
множителей записать в виде степени. Числовой множитель одно-
члена, записанного в стандартном виде, называется коэффициен-
том этого одночлена.
80
Например, приведем к стандартному виду одночлен
3<з2йс2(—2а62с)3. На основании свойств степени с натуральным
показателем получим:
За2Ьс2 • (— 2а62с)3 = За2йс2 (— 2)3 а3 (Ь2)3 с3 = За2£>с2 • (— 8) а3Ьвс5.
Теперь, используя переместительное и сочетательное свойства
умножения, а также свойство степени с одинаковыми основаниями,
получим За2Ьс2 • (— 8) а3Ь“с3 — — ‘МаЧСс'С
Одночлены называются подобными, если они одинаковы или
отличаются только коэффициентами.
Одночлены умножаются по правилам умножения чисел. Для,
возведения одночлена в степень с натуральным показателем нужно)
возвести в эту степень каждый его множитель.
При умножении одночленов или возведении в натуральную
степень снова получается одночлен.
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней
его буквенных множителей. Если одночленом является число, та
степень такого одночлена считается нулевой. Числу 0 как одно-
1 члену не приписывается никакой степени.
Например, 5х2— одночлен второй степени, 5x3z/2z—одночлен
шестой степени, 5—одночлен нулевой степени.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких
одночленов, т. е. алгебраическое выражение, представляющее
собой сумму или разность двух или нескольких одночленов.
Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом
многочлена. Подобные слагаемые в многочлене называют подоб-
ными членами.
Если все члены многочлена записать в стандартном виде и
привести подобные члены, то получится многочлен стандартного
вида.
Например, приведем к стандартному виду многочлен
Зх (— 2ху2) 4- 4х • 5ху2 — (5ху2)2 + 8х2«/4.
Для этого надо записать все одночлены в стандартном виде
и привести подобные члены:
Зх (— 2хг/2) + 4х • 5ху2—(5ху2)2 + 8х2«/4 =
= —6x2z/2 + 20х2//2—25х2у4 + 8x2z/4 = 14х2//2— 17х2!/4.
В зависимости от числа членов многочлены называют двучле-
нами, трехчленами и т. д. Одночлен также можно рассматривать
как многочлен, состоящий из одного члена.
Степенью многочлена называют наибольшую степень одночлена,
входящего в этот многочлен.
Например, в многочлене 2x2«/4-5x4z/3 — хг/-|-6 наибольшую
степень, равную 7, имеет одночлен 5х*у3. Значит, степень этого
многочлена тоже равна 7.
При сложении и вычитании нескольких многочленов надо при-
вести подобные члены. В результате снова получается многочлен.
81
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить
каждый член одного многочлена на каждый член другого много-
члена. В результате снова получается многочлен; его нужно за-
писать в стандартном виде.
Например,
(Зх—2z/ + z) (5х— 2г) = 15х2—6xz— Юху 4- 4yz4- 5xz— 2z2 =
== 15х2— xz— Юху 4yz — 2г2.
§ 5. Формулы сокращенного умножения
Рассмотрим формулы, часто применяемые при тождественных
преобразованиях алгебраических выражений.
1. (а4-й)2 = а2 4- 2аЬ~уЬ2 (квадрат суммы).
Пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен,
получаем: (а 4* Ь)2 = {а 4- Ь) (а 4- Ь) = а2 4* ab 4- ab 4- Ь2=а2 4- 2а&4-Ь2,
и тождество установлено.
2. (а — Ь)2 = а' — 2ab-\-b2 (квадрат разности).
Доказывается аналогично: (а—Ь)2 = (а—Ь)(а — Ь) = а2 — ab —
— ab-~-b2 = a2 — 2ab-yb2.
Например, пользуясь тождествами для квадрата суммы и квад-
рата разности, получим
(а — Ь-ус)2 = а2-уЬ2-Ус2—2аЬ— 2Ьс-\-2ас.
В самом деле, (а — b 4-с)2 = ((а—Ь) 4-с)2 = (а—Ь)24-2 (а—&)с4~с2=
= а2—2пЬ4~&2 + -ос — 2Ьс-\-с2, что и утверждалось.
3. (а-\-Ьу = а3 + За2Ь-уЗаЬ2-уЬ3 (куб суммы).
Действительно, (а4-Ь):| = (а4-^)2 (« + ^)=(«2 + 2а&4-^2) (а-УЬ)=>
-вя а3а2Ь 2а2Ь2ab-+ ob2Ь3 = а3-г За2Ь-у ЗаЬ2Ь ‘, и тожде-
ство установлено.
4. (а—ьу = а3— 3a2b-y3ab2— Ь3 (куб разности).
Доказывается аналогично тождеству для куба суммы.
Замечание. Полученные тождества можно записать иначе:
а2 4-/4 = (а 4-У)2 — 2аЬ,
a*+b2 = (a—b)2 + 2ab,
(а 4- Ь)3 = а3 4- Ь3 4* ЗаЬ (а 4~Ь),
(а—Ь)3 = а3 —Ь3— ЗаЬ (а — Ь),
а3 4- Ь3 = (а 4- Ь)3 — ЗаЬ (а~уЬ),
а3—Ь3 = (а—Ь)3 4- ЗаЬ (а—Ь).
5. (a-yb)(a—Ь) = а2—Ь-.
В самом деле, (а-уЬ)(а—Ь) = а2—ab-yab—Ь2 = а2—Ь2 (раз-
ность квадратов).
6. (а4*6)(а2—ab-У Ь2) — а3-у Ь3.
Читается так, произведение суммы двух чисел на неполный
квадрат, их разности равно сумме кубов этих чисел.
Доказательство тождества предоставим читателю.
7. (a—b)(a2 + ab-y&) = a3—Ь3.
82
Словесную формулировку и доказательство тождества предо-
ставим читателю.
Формулы сокращенного умножения можно применить и для
приближенных вычислений.
Воспользуемся формулой (1 + й)2 = 1 + 2й+й2. Отсюда (1 + а)2«
я«1 + 2й. По этой формуле можно находить приближенное зна-
чение числа (1 +а)2 в тех случаях, когда а—положительное или
отрицательное число, модуль которого мал по сравнению с еди-.
ницей.
Например, 1,0022 = (1 + 0,002)2 « 1+2-0,002= 1,004 (с точ-
ностью до 0,001); 0,9972 = (1 —0.003)2 яа 1 — 2 • 0,003 = 0,994 (с точ-
ностью до 0,001).
Отбрасывая а3 в формуле (п + й)2 = п2 + 2пй + й2, получаем
(п + й)2 х п2 + 2гаа.
Например, 4,9972 = (5—0,003)2 яа 52 —2 5-0,003 = 24,97.
По формуле разности квадратов имеем
(1+й)(1—й)= 1—й2яа 1,
т. е. с точностью до й2 получаем: (1 +й)(1—й)яа1. Отсюда
~i+a яа 1 —й. Например,
« 1-0,004 = 0,996; -^«1+0,01 = 1,01.
§ 6. Многочлены с одной переменной
Многочлен n-й степени относительно х имеет вид
Р(х) = аохи + а1х«-1+ ... ++,_1х + ап,
где й0=+0, п^0—целое число, а0, й1( ..., ап—постоянные
(коэффициенты многочлена), буква (величина) х может принимать
любые числовые значения (т. е. х—переменная величина).
Многочлен Р (х) был записан в стандартном виде по убываю-
щим степеням х. Тот же многочлен Р (х) можно расположить
и в ином порядке, например по возрастающим степеням х.
Таким образом, многочленом (или полиномом) относительно х
называется выражение, в котором над величиной х производятся
только действия сложения, вычитания, умножения и возведения
в степень с натуральным показателем.
Пусть Р (х) и Q (х) — многочлены относительно х с любыми
действительными коэффициентами.
Определение. Два многочлена Р (х) и Q (х) считаются
равными (или тождественно равными)
P(x) = Q(x)
в том лишь случае, если равны их коэффициенты при одинако-
вых степенях х.
83
Очевидно, что равные многочлены принимают при всех зна-
чениях х одинаковые значения. В курсе высшей математики до-
казывается и обратное: если значения двух многочленов равны
при всех значениях х, то многочлены равны, т. е. их коэффи-
циенты при одинаковых степенях х совпадают.
Многочлены можно складывать, вычитать, умножать. Дейст-
вия сложения, вычитания и умножения многочленов обладают
основными свойствами арифметических действий над числами.
Многочленом нулевой степени является любое не равное нулю
число. Число нуль также считается многочленом; это единствен-
ный многочлен, степень которого не определена.
Определение. Преобразование многочлена к виду произ-
ведения двух или нескольких многочленов ненулевой степени
называется разложением многочлена на множители. Если много-
член может быть разложен на множители, то он называется при-
водимым', многочлен называется неприводимым, если его нельзя
разложить на множители.
Например, х2 — а2 — приводимый многочлен, так как
х2 —а2 = (х-|-а)(х—а).
Очевидно, что многочлен x-f-l неприводим. Многочлен х2 +1
также неприводим*).
Задача о разложении многочлена на множители аналогична
задаче о разложении целых чисел на множители. Здесь неприво-
димые многочлены играют роль простых чисел, а приводимые
многочлены — составных чисел.
Существуют различные способы разложения многочлена на
множители (см. § 7). Одним из таких способов является так на-
зываемый метод неопределенных коэффициентов. Идея его со-
стоит в следующем.
Пусть нам известно, что в результате некоторых преобразо-
ваний получается выражение определенного вида и неизвестны
Только коэффициенты в этом выражении. Тогда эти коэффициенты
обозначают буквами и рассматривают как неизвестные. Затем
для определения этих неизвестных составляется система уравнений.
Например, в случае многочленов эти уравнения составляют
из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях х
у двух равных многочленов.
Поясним на примере.
Пр и мер. Методом неопределенных коэффициентов показать,
что выражение (x-f- 1) (х Н-2) (хф-3)(х-]-4) + 1 есть квадрат трех-
члена.
Решение. Если данное выражение есть квадрат трехчлена,
то справедливо равенство
(х+1)(х + 2) (х+3)(х + 4)4-1 = (х2 + ах+Ь)2,
где а и Ь—искомые коэффициенты.
*) Точнее, многочлен х2+1 неприводим на множестве действительных
чисел. Этот многочлен приводим на множестве комплексных чисел.
84
Выполнив в этом равенстве действия, сравним коэффициенты
при х3 и х2 в левой и правой частях. Получим систему
2а = 10,
а2 4-26 = 35,
откуда находим а = 5, 6 = 5. Убеждаемся, что при этих значе-
ниях а и b также совпадают коэффициенты при х и х° (т. е. сво-
бодные члены). Итак, данное выражение равно (х2 4-5х 4-5)2.
§ 7, Тождественные преобразования многочленов
I. Разложение на множители. Рассмотрим различные приемы
разложения многочленов на множители. В общем случае эти
частные приемы не могут установить разложимости или нераз-
ложимости данного многочлена. На практике отдельные приемы
используются в различных комбинациях и имеют важное зна-
чение.
Вынесение общего множителя и способ группировки. При
использовании этого способа иногда целесообразно применение
«искусственных» преобразований — разбиение отдельных членов
на подобные слагаемые или введение взаимно уничтожающихся
членов.
Пример 1. Разложить на множители 4а2—с4—2ас—с3..
Решение. 4а2—с4 — 2ас—с3 = (4а2—с4) — (2ас4~с3)=’
= (2а 4- с2) (2а—с2) — с (2а 4- с2) = (2а 4- с2) (2а—с2—с).
Пример 2. Разложить на множители 5а5х34-ба2хв.
Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель
5а2х3, а затем применим тождество а3Ь3 = (аЬ) (а2—ab-(-b2)
(сумма кубов):
5а’х3 4- 5а2х9 = 5а2х3 (а3 4- х6) = 5а2х3 (а3 4- (х2)3) =
= 5а2х3 (а 4-х2) (а2—ах24-х4).
Пример 3. Разложить на линейные множители многочлен
Р(х) = х3—Зх—2.
Решение. Р (х) = х3—Зх—2 = х3—х—2х—2 = (х3—х) —
— (2х4-2) = х(х2—1) —2(х4-1) = х(х4-1)(х—1) —2(х4-1) = (х4-
4-1)(х2 — х — 2).
Так как х2—х— 2 = ха—х— 1 — 1 = (х2— 1) —(х4- 1)=(х-|-1)х
Х(х—1) —(х4-1) = (х4-1)(х—2), то
Р(х) = (х4-1)2 (х—2).
Пример 4. Представить в виде произведения двух множи-
телей многочлен Р(х) = х5 4-х4-1.
Решение. Замечая, что Р(х) = (х3—х2)4-(х24-х-|-1), полу-
чим х5 4-х 4-1 =х2(х3— 1) 4- (х2 4- х + 1) = х2(х— 1)(х24-х4-1) 4*
4- (х2 4- х 4-1) = (х2 4- х 4-1) (х3—х2 4-1).
Применение формул сокращенного умножения. С помощью
формул сокращенного умножения суммы или разности представ-
85
ляются в виде произведения. Иногда полезно выделение квад-
ратов.
Пример 5. Разложить ца множители (х—у)3—8у3.
Решение. Имеем: (х—у)3 — 8у3 = (х—у)3 — (2у)3 = ((х—у) —
— 2у) ((х—у)2 + (х—у} 2у + (2г/)2) = (х—у—2у) (х2 — 2ху + у2 +
4- 2ху—2у2 4- 4у2) = (х - Зу) (х2 + 3у2).
Пример 6. Разложить на множители многочлен Р(х, у, ?) =
=х44-у4 + 2‘—2х2у2—2х2г2— 2у2г2.
Решение. Выделяя полный квадрат, имеем Р = (х2— у2 —
— г2)2 — 4у2г2 = (х2—у2—г2— 2yz) (х2—у2—г2 4- 2уг) = (х2—(у 4-
4- г)2) (х2 — (у—г)2) = (х + у + г) (х—у— г) (х + у — г) (х—у + г).
Пример 7. Разложить на множители многочлен Р(х, у, z) =
= (х —у)34-(у—г)34-(г—х)3.
Решение. Подставим (г—х) в виде г — х = (г—у) — (х— у)
и применим формулу (а—Ь)3 = (а3 — Ь3)— ЗаЬ[а—Ь). Тогда по-
лучим
Р = (х-у)3 + {у-г)3 + ((г-уУ-(х-у)3)-
— 3{z—y) (х — у) ((г—у) — (х—у)) =
= (х — у)3 + (У—г)3—(у—z)3 — (х—у)3—3 (г—у) (х—у) X
Х(г—у—х4-у)=3(х—у)(у —г) (г—х).
Разложение квадратного трехчлена на множители. При ис-
пользовании формулы (см. § 4 гл. VI)
ах2 + Ьх + с — а (х—xj (х—х2) (а=^0, D — IP— 4нс^0),
где х1 и х2 — корни трехчлена ах24-Ьх4~с, иногда удобно ввести
вспомогательные неизвестные.
Пример 8. Разложить на множители многочлен Р (х) ~
с=(ха + х--Ь1)(х2 + х + 2)—12.
Решение. Р (х) = (х2 + х+ 1) ((х24-хф-1) 4-1) —12 = (х2 4-
4-х4-1)2 + (х24-х+1)—12. Пусть х24-х4-1=у.
Тогда имеем у2 + у—12 = (у4-4)(у— 3), так как корни трех-
члена у2 + у—12 равны (—4) и 3. Переходя от у к х, получаем
Р (х) = (х2 4-х 4-5) (х24-х—2).
Так как трехчлен х24-х—2 = (х— 1) (х4-2), то
р (х) = (х— 1) (х 4- 2) (х2 4- х 4- 5).
II. Вычисление выражений.
Пример 9. Найти значение выражения Л=х34-х2у—ху2—
— у3 при х = 3,6, у = — 2,6.
Решение. Выполним преобразование А = х3 4- х2у—ху2—у3=
л= (х3 4- х2у) — (ху2 4- У3) = х2 (х 4- у) — у2 (х 4- у) = (х 4- у) (х2 — у2)
= (хф-у)2(х—у). Подставляя х = 3,6, у = —2,6, получим Л =
= (3,6 — 2,6)2 (3,6 ф-2,6) =6,2.
Пример 10. Вычислить выражение А —х3у 4- ху3-, если
х—у = 4, ху — 3.
86
Решение. Имеем: А = ху(х2 + у2) = хг/((х2 —2xz/-]-t/2)-|-2xz/)=:
= хг/((х—t/)24-2xz/). Отсюда А = 3(16 4-6) = 66.
Пример 11. Дано «4-й4-с = О, а24-Ь24-с2= 1. Вычислить
А =я4 + Ь4 + с4.
Решение. Выделяя полный квадрат в выражении А, имеем
А = (а2 + Ь2 + с2)2 — 2 (а4>2 4- а2с2 + Ь2с2) =
= (а2 4- Ь2 + с2)2 — 2 ЦаЬ 4- ас 4- Ьс)2 — 2abc (а + 6 -р с)).
Согласно данным условиям А = 1 — 2 (ab 4- ас 4- Ьс)2, и остается
найти значение выражения ab + ac + bc. Так как 2 (ab + ac + bc) =;
= (а-\-Ь + с)2 — (а24-Ь2 + с2) = —1, то А = 1—2-f—=
§ 8. Алгебраические дроби. Иррациональные выражения
Алгебраическое выражение называется рациональным, если
над всеми величинами (буквами), входящими в это выражение,
производятся только действия сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень с целым показателем.
Рациональные выражения подразделяются на целые и дроб-
ные. Если рациональное выражение не содержит деления и воз-
ведения в целую отрицательную степень, то оно называется
целым рациональным выражением или многочленом.
р (х)
Алгебраической дробью называется дробь вида , у которой
Р(х\
числитель Р(х) и знаменатель Q (х) — многочлены. Дробь
рассматривается только для допустимых значений входящих
в нее величин (букв), т. е. для тех значений, при которых Q —
знаменатель этой дроби — не равен нулю.
Определение. Алгебраические дроби
Р(х) ., Pi (х)
Q (х) Qi (х)
считаются равными (или тождественно равными), если выпол-
няется равенство для многочленов
P(x)Qi (х) = Р1 (x)Q(x).
Например,
'у2_1 (v 1. л:=#—1),
так как (х4-1)(*—1)=1(х2—1).
Из определения равенства дробей вытекает, что алгебраиче-
ская дробь не изменится, если числитель и знаменатель умно-
жить на один и тот же многочлен К (х):
Р (х) _ Р (х) К (х)
Q (х) Q (х) К (х)
(Q(x)=#0, tf(x)=£0)
(основное свойство алгебраической дроби).
87
На этом свойстве основано сокращение алгебраических дро-
бей, т. е. деление числителя и знаменателя на их общий мно-
житель (многочлен, входящий в разложение числителя и знаме-
нателя одновременно), и приведение дробей к общему знамена-
телю .
Сложение и умножение алгебраических дробей определяются
по следующим правилам:
Р(х) Рг (X) _ P(x)Qi(x) + P, (x)Q(x)
Q W Т <21 (X) ” Q (х) Qi (X)
Р (х) Рг (X) Р (х) Рх (х)
Q (х) ‘ Qi (х) Q (х) Qx (х) ’
где Q(x)#:0, Q1(x)#=0.
Вычитание и деление алгебраических дробей определяются
как действия, обратные сложению и умножению. Из этого опре-
деления выводятся правила вычитания и деления:
Р (х) Рх (х) _ Р (х) Qi (х) — Рг (х) Q (х)
<2(х) Qi(x) Q(x)Qi(x)
Р (X) . Pl (х) _ Р (х) Qx (х)
<2 (х) ' Qi (х) Pi (х) Q (х) ’
где Q (х) ф 0, Qx (х) #= 0 и, кроме того, в случае деления Рх(х) =# 0.
Для алгебраических дробей сохраняются основные свойства
арифметических действий. Практически для выполнения сложе-
ния или вычитания дроби приводят к общему знаменателю: раз-
ложив знаменатели дробей на множители, принимают за общий
знаменатель многочлен наименьшей степени, который делится
нацело на все данные знаменатели. Очевидна аналогия с ариф-
метическими дробями.
Точно так же определяются равенство и действия для алгеб-
. , Р (х, и, .... г)
раических дробей вида q1 .
Определение. Две равные алгебраические дроби образуют
пропорцию
L = ll.
Q Qi ’
где Р, Q, Plt Qi—многочлены относительно х или относительно
X, у, г, причем Q=#0, QL=#0.
Во всякой пропорции произведение крайних членов пропор-
ции равно произведению ее средних членов, т. е.
PQx=PiQ.
Верно и обратное: при выполнении условия PQX = PXQ дроби
р Pi р р г
77 И 77- образуют пропорцию 77 = 77-, ГДС Q=#0, Qi=/=0.
4 41 X 41
88
р р
Из пропорции 7Г = -7Г (Q¥=0, Qi¥=0) можно получить про-
Ч Qi
изводную пропорцию
KP+LQ _ KP1 + LQ1 0 0
MP-\-NQ MP1±NQl 41=7=^,
-MP + NQ^O, MP^NQ^O)
(сравните с § 3 о пропорциях для чисел).
Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.
Пример 1. Выполнить действия:
( 1 _L х2-2ху + у2\ / Зх 2х+у \
\ + Х2_у2 )\2х-у х }
Решение. Сначала выполним действия в скобках:
• . х2 — 2xii\-у2_ х2 — у2 4-х2 — 2ху'-у2 _ 2х2— 2ху _
' X2 — у2 X2—у2 X2 — у2
_ 2х (х—у} _ 2х .
“ (х — у} (х4-у) — Х-1-У ’
Зх _ 2x4-У _ Зх2 —4х24-у2 _ у2 —х2
2х — у х (2х — у) х х (2х — у)
Затем умножим полученные дроби:
2х у2 —х2 2х (у —х) (у4- х) 2 (у — х)_2 (х—у)
х4“у * х(2х—у) ~ X (х4-у) (2х— у) ~ 2х — у “ 2х— у
Допустимые значения: ху=р, у, л#=0, 2х—г/=#0.
Пример 2. Упростить выражение
/ х х2 . х2 —2x4-4 \ . 8________х24-х4-6
\ х—2 ‘ х34-8 ’ 2 —х J ’ х2 — 4x4-4 4х-|-8
Решение. Порядок выполнения действий над алгебраиче-
скими дробями такой же, как для действий над числами: сна-
чала выполняют возведение в степень, затем — умножение и де-
ление и, наконец, сложение и вычитание; при наличии скобок
прежде всего выполняют действие в скобках. В данном примере:
.. х2 х2 —2x4-4 х2(х2 —2x4-4) х2
1J х34-8 * 2 —х ~ (х4-2) (х2 —2x4-4) (2—х) ~ (х + 2) (2—х) ’
Было использовано тождество а3 + IP = (аЬ) (а2— ab-pb2) и со-
кращение дроби.
Q\ Х !___________х2 = х_______________х2 _
’ X —2 (х4-2) (2 —х) X —2 (х 4-2) (х—2)
х2 4- 2х — х2 2х
- (х + 2) (х-2) “ (х4-2)(х-2) •
оч 2x 8 _ 2х(х2 —4x4-4) _ 2х(х—2)2 _
й' (х4-2)(х—2) : х2 —4х-]-4 — 8(x-f-2)(x-2) “ 8(*4-2)(х—2) —
х (х — 2)
~ 4(х + 2) ’
.. х(х—2) х24-х4-6 _ х2—2х—х2 —х — 6 _ — 3(х4-2) _ 3
4(х4-2) 4x4-8 — 4(х4-2) 4(х4-2) ” 4 ’
89
Полученные результаты справедливы для всех значений х, удов-
летворяющих условиям: х3-(-8 =^0, х—2=/=0, т. е. прих=?^—2,
X #= 2.
Пример 3. Сократить дробь с4_4аз_^8^ -1бд+1б~ •
Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители:
а4—16 = (а2)2 — 42 = (а2 4- 4) (а2 —4) = (а2 4-4) (а + 2) (а—2),
а4 — 4а3 4- 8а2 — 16а 4- 16 = (а4 4- 8а2 4-16) — (4а3 -)- 16а) =
= (а2 4- 4)2 — 4а (а2 4-4) = (а2 4- 4) (а2 4- 4 — 4а) = (а2 4- 4) (а— 2)2.
Поэтому данная дробь равна дроби
(а2-Н) (а + 2) (а—2) _ а + 2
(а2 + 4) (а—2)2 “ а-2 ’
где а у= 2.
Пример 4. Найти числовое значение выражения
х2 4-4x4-4 х44-4х3-|-4х2 х34*2х2
при х = 0,5.
Решение. Сначала преобразуем данное выражение:
1 4.4 1 4.4
(х + 2)2 х2 (х24-4х4-4) + х2(х + 2) — (х4-2)2 х2(х + 2)2 ”^х2(х + 2)
_ х2—44-4 (х4-2) _ х2—44-4x4-8 х24-4х-]-4 _ (х + 2)2 _ 1
~ х2(х + 2)2 — х2(х + 2)а — х2(х + 2)2 — х2(х + 2)2 — х2 ‘
Следовательно, искомое числовое значение выражения равно
_2— = 4
0,52
Пример 5. Бассейн наполняется одной трубой за а часов,
другой — за b часов. За сколько часов наполнится бассейн, если
одновременно открыть обе трубы?
Решение. Пусть объем бассейна равен V. За час первая
- е «• v z м V
труба заполнит объем, равный —, вторая — ооъем, равный — ,
а вместе трубы за час заполняют ^4-у)- Пусть t — искомое
время. За t часов обе трубы заполнят весь бассейн, т. е.
7 V , V \ - - - V(a+b)
( — + t = V. Сумма дробей, стоящих в скобках, равна—
Следовательно, У 6--t = V или, сокращая на V,
откуда / = (часов)..
Преобразования иррациональных алгебраических выражений
производятся на основании общих законов арифметических дей-
ствий (таких же, как в случае алгебраических дробей)и правил
действий над корнями (см. гл. IV, § 7). Специфическим является
только «уничтожение иррациональности» в числителе или знаме-
- . р
нателе дробного иррационального выражения вида A=-q, где
хотя бы одно из выражений Р или Q содержит корни (радикалы).
90
Пусть S — данное выражение, содержащее корни.
Опр еде лен не. Сопряженным множителем относительно S
называется всякое выражение К, не равное тождественно нулю,
такое, что выражение SK не содержит корней.
Знание сопряженного множителя позволяет представить вы-
р
ражение Л=— в виде выражения, не содержащего корней
либо в числителе, либо в знаменателе:
л - Pf<i _ РК*
QKi ' QK2 ’
где /Д— сопряженный множитель числителя Р, — сопряжен-
ный множитель знаменателя Q. Это преобразование и называется
уничтожением иррациональности (соответственно в числителе или
в знаменателе).
Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного
множителя.
1. Для выражения вида
S = /X/Y<7...Zz (Х>0, У>0, ..., Z>0),
где р, д, ..., Г—натуральные числа, меньшие п сопря-
женный множитель К есть
Д = '^Xn-pyn-q . ф . Zn-tt
так как SX = XY ... Z.
2. Для выражения вида
+ (Х>0,
сопряженный множитель есть
K = VX-^Y,
так как SK = (/х)2 — (/У)2 = X — Y.
Для выражения вида
S = VX—VrY (Х>0, У>0)
сопряженный множитель К = УX -Y]/Y.
3. Для выражения вида
S^l/X + f/Y (Х>0, У>0)
сопряженный множитель есть
К = 1/Х^— У XY Д- /F2,
так как
5Д = (УХ)34-(УУ)3 = Х + У.
Для выражения вида
3 = УХ — 1/Y (Х>0, У>0)
91
сопряженный множитель есть
К=У Х2 + / XY + l/Y\
Пример 6. Выполнить действия: -------=•-}----?=•—
г н 5-/7 7+ /5
““ /7+/5 '
Решение. Сначала освободимся от иррациональности в зна-
менателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой
дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Для 5—/7
сопряженным множителем будет 5 + /7, для 7+/5 сопряжен-
ный множитель есть 7-/5, а для /7 +/5 сопряженный мно-
житель равен /7—/5. Поэтому
9 22___1 _
5-/7+7+/5 /7+/5
9 (5+/7) , 22(7-/~5)_______/7- /5
(5- /7) (5 + / 7)+ (7 + /”Ё>) (7-/5) ( / 7 + /б) ( / 7- /б)
_9(5+/7) , 22(7—/3) /7— /б_5+/7 7— /5
25 — 7 + 49 — 5 7—5 2 2
/7— /5 _ 5+ /7+7— / 5— /7+ /5
2 2 ~
Пример 7. Упростить выражение
у- _ Уху + у \ / Ух . Уу 2 /ху\
У^+Уу ^\Ух+Уу Ух-У^ -г х-у
Решение. Выражение имеет смысл при х^О, у^О, х^у
(условия существования арифметического квадратного корня и
дроби). Заметим, что дробь . можно сократить: так как
_ V х+У у
0, то у = У у2 и
Уху + у^ _ /ху + /у1 = /у(/х+ /у) __ у-
/х+/у /х+/у Ух+Уу У
Отсюда выражение, стоящее в первой скобке, равно /х—/у.
Выполним действия, указанные во второй скобке.
Заметим, что выражение х—у можно разложить на множи-
тели:
х—у = Ух2—// = (/х + У у) (Ух—/у).
92
Тогда
/х । У~У ,___________2/ ху________
У'х+Уу У*-Уу_ {Ух+Уу)[У~х-Уу) _
ух(ух-Уу)+уу(ух+Уу)+2УХу
_ _ _
У~Х2 — У"ху+ }<xt/+ V^j/^+S ]<Л7/ _ (К-1'+ У у)2 _
(Ух+Уу)(Ух—Уу) (Ух+Уу)(Ух—Уу)
_ Ух+Уу
Ух-Уу‘
Теперь остается найти произведение выражений Ух—У у и
•у.- + Получим
(/i-ГЙ. ^+12=у;+р-у,
Ух— I у
где х>0, z/^О, х^у.
Пример 8. Освободиться от иррациональности в знамена-
1
теле -5-7=—5-7=-.
з/з-у2
Р еше н ие.Сопряженный множитель для выражения £/3—f/2
равен (/3)2 + ^3-j/2 + (/2)2 = /9+/6 + /4. Поэтому
1 ^9+ У 6+ У 4 ' 3/9+f/6+^4_
^3-/2 (уз-/2)(/9+з/б-Ь/4) (/3)3-(/2)3
= /9+^6+/4
(использовано тождество (а—b) (a2 + ab+b2) = a3—Ь3).
Пример 9. Уничтожить иррациональность в знаменателе
выражения А = (х > О, w > 0, z > 0).
Vx+ V у+ V г
Решение. Имеем
А = 1 =________(К%+ У/-У'г________________=
(Ух+Уу)+Уг ((Ух+Уу)+Уг)((Ух+Уу) — Уг)
_ Ух+ У у— У~г _ Ух+ у у— Уг
(Ух+У~у)2-(У'г)2 х + у-г + 2У^‘
Поэтому
Д _ ( У у-У г) (х +у-г-2 Уху)
(х 4- у—z + 2 Уху) (х + у — 2—2 Уху)
( К*+ У~У- У?) (х+у-г-2Уху)
(х+у—г)2—4ху •
где х > 0, у>0, 2>0, xA-y—z—2Vxy^0, /х + Уу—/г #=0.
93
§ 9. Тождественные преобразования
алгебраических выражений (решение задач)
При выполнении тождественных преобразований прежде всего
надо найти область определения или область допустимых зна-
чений (ОДЗ) заданного выражения А, которое требуется пре-
образовать. Выполняя затем тождественное преобразование,
следует учитывать, что области определения заданного выраже-
ния А и полученного из него выражения В могут оказаться
различными.
Упрощение выражений. В некоторых случаях при упрощении
выражений целесообразно не приводить сразу к общему знаме-
нателю, а, наоборот, сложную дробь разбивать на более простые
дроби.
Пример 1. Упростить выражение
. _ Ь—с . с—а а—Ь
(а—Ь)(а—с) 4" (Ь—с) (Ь—а)'(с—а)(с—Ь)
Решение. Допустимыми являются те значения а, Ь и с, для
которых (а—b)(b—с) (с—а)=^=0. Преобразуем сначала первое
слагаемое, разбивая его на две дроби:
__ й —с__________(а — с) + (й — о) 1 '
1 (а— Ь) (а — с) (а — Ь) (а — с) а—b а—с'
Аналогично
о с—а_____________(Ь — с) + (с— Ь) 1 1
2 (Ь — с) (й— а) (й—с) (й—с) й—с b — а1
г. а—й _______(с—й) + (а—с) 1 _ 1
3 (с—а) (с — й) (с—а) (с—й) с—а с — Ь'
Поэтому
Д=В1 + В2 + В3 = -Д; + г^-4—~ •
11 21 a а—й й — с с—а
При выполнении действий над арифметическими корнями надо
следить за соблюдением условия неотрицательности подкоренного
выражения.
Пример 2. Упростить выражение
А = ( У9 + 4/5 + |<2 + /5 ) • У/5-2.
Решение. Выполняя действия над арифметическими корнями,
получаем
А = У (9 + 4/5) (/5-2)2 + |Л(/5 + 2)(/5-2) =
= У(9 + 4/5) (9—4/5) + /5=4 = /81-80 +1 = 2.
Пример 3. Упростить выражение
94
Решение. Выражение" Л имеет смысл при ауО. Так как
/а2 —1\2 . (а2 —1)2 + 4а2 (а2+1)2 Ла24-1\«
\ 2а ) + '4а2 — 4а2 \ 2а J ’
ТО
л _ °2 4~ 1 __а >' + п I а I
или
. ( 2, если а > О,
( —2, если а < 0.
Пример 4. Упростить выражение
___i_
/ а —46 а—96 \ 6 2
\а+/"а6— 66 а 4" 6 У ab -4- 9b) _L 2.
а2 -36 2
Решение. Обозначим все выражение через А , первую дробь—
В, вторую — С и третью — D. Тогда Л=(В — C)D. Очевидно,
должно быть а>0, b > 0. Поэтому У ab = У a Уь. Рассмотрим
а 4-] ab—64 = а 4- УаЬ — 2b — 4Ь = (а—4Ь) + УЬ (У а—2У b) =
= (J V. 4- 2УЬ) (Уа~2Уь)+ Уд (Уа - 2Уь) =
= (У а — 2Уь) (Уа 4- зУь).
Замечание. Если положить Уа — х> то а + УаЬ— 64 =
:=x24-)<b.Y—64—квадратный трехчлен относительно х. Нахо-
дим его разложение на множители; подставляя затем х = ] а,
получим другим'способом разложение а 4-/^4— 66 = (Уа—2Уь) X
& (Уа 4- 3|/ Ь).
Имеем
В = (Уо-2У'ь)(Уа^2Уь) = KS + 2K6
(К“-2/'б)(}/'а4-ЗК^) /64-3/6
(Уа^2Уь
или а^4Ь),
г = (/а--3/~б)(/а-3/"б) = Уа-ЗУь
(Уа+ЗУь)2 /"а4-3/"б’
_ Уа-^Уь У~а — 3/"б__ 5 УЪ
~ КЙ4-3/6 /а —3/'б’~ /"а + 3/б
D = -г. . -тг— (Уа Ф ЗУЬ или a=^9b).
Уь(Уа-ЗУь) '
Следовательно,
5 Уь________1______ 5
/а4-3/"б * Уь(У'а-3/б)-«—96 ’
если а>0, Ь>0, а^=4Ь, а=£9Ь.
65
Пример 5. Упростить выражение
_ Уа^Ьу/а* + У М: %/а -А / За* 1 2 . а^ь ab \
— (Ь2—аЬ—2а2)УаЬ й \3д —6а-)-2ад — Ь2 ' За—ab а-\-Ь)’
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, разбиваем
данное громоздкое выражение на более простые части и упро-
щаем каждую из них отдельно. Очевидно, должно быть а > О
(в выражении есть корень £/а, на который производится деле-
ние), а так как ab > 0, то и b > 0.
Так как
Ь2—ab—2а2 = (Ь2—а2)—а (Ь-\-а) = (b + а) (Ь—2а),
ЗЬ - 6а + 2ab—b2 = 3 (Ь—2а) + b (2а—Ь) = (6 — 2а) (3—Ь),
За—ab= а (3—Ь),
то допустимые значения а и b удовлетворяют условиям: а > 0,
b > 0, b =/= 2а, 6=7^3.
Преобразуя выражение А по частям, получим
в У^Ь у? + Ум: у~а ^/(«3*)3(ч4 *)Ч Y
1 “ (Ь2-аЬ—2а2)-УаЬ ~ (Ь + а) (Ь—2а) УаЬ
|/оп7=‘(^/ав + [/Р)
(&-[-а)(й—2а) Уab (& + а)(6— 2а)^/а3Ьа ’
у/ав = |а| = а, |/b6 * = |i>| = b (а > 0, Ь>0),
следовательно,
а8 у/ а* а у/ а
Bl b— 2а b — 2а b — 2а ’
В 3fl2 • a+b ab V-
2 \3Z>— 6a-\-2ab—Ь2 ' За—ab а-\-b)
__ 1 / За2 а (3—Z>)_________ab \ з /— За2 — Ь (Ь — 2а) _
— у/а2 \(fe—2а) (3—b) (а-|-д) a-\-bJ ~ У а ’ (Ь—2а) (а-\-Ь)
_ yh (3a2+2ab—b2)
~ (b — 2a) (а +1)
так как
За2 + 2аЬ—Ь2 = 2а2 + а2 + 2ab—b2 =
= 2а (а + &) + (а2—b2) = (a-[-b) (За—Ь),
У'а (За—Ь)
Т0 Вг = "Т-2а----• ПоэтомУ
а\/а л/ а (За—6) ?/а(а—3a-|-fc) 3/—
А = В, — Во = ----—к--------= ----г—к-----—У °.
1 2 Ь—2а b — 2а b—2а '
Итак, А — а при а > 0, b > 0, Ьу=2а, Ь=/=3.
96
1 1
Пример 6. Упростить выражение А — ZLtZ__i_(^ZLZ_. г
(m4-x) 2 — (т — х) 2
если х — . причем т > 0, 0 < п < 1.
Решение. Имеем
(т+хА=/й+Т- /я + ^_ / -
— 1Лт (л+1)2
~ V n21 ’
аналогично (т—х)~ = ]/rm—x = J/^™• Поэтому данное
выражение
-1 /т (п+1)2 , , /т (п —I)2
Л — ' ”2+1 ' п2+1 __ /(”+1)2 + /(п-1)2
1 А» (п+1)2 /Оп (п-1)2 “ /(ГПр-/(Г=йр
V п2 +1 V п2+1
(при т > 0 подкоренное выражение положительно).
Отсюда А = j 1 । ZLj ” ~ i । • По условию 0<и<1. Следо-
вательно, « + 1 > 0, п— 1 < 0, и значит, | п + 1 \ = п+ 1, | п — 1 |=s
==— (н— 1). Получим
_ (П+1) — (п — 1) £ __ 1
(n + 1) + (п — 1) 2п п •
Доказательство тождеств. При доказательстве тождеств надо
путем равносильных преобразований свести их к таким, спра-
ведливость которых уже известна, или преобразовать одну часть
тождества так, чтобы получить другую.
Пример 7. Доказать тождество
1+а2 + а , а— а2 _ 1
1—а3 (1 — a)2 — (1 — а)2 '
Решение. Обозначим левую часть доказываемого тождества
через А. Тогда
.______1+а + а2 . а (1 —а)__________ 1 , а
(1 —а) (1 +а + а2) ”2" (1 —а)3 1 —а' (1 —а)2
1—а+а 1
(1—а)2 ~ (1 — а)2 ’
что и требовалось доказать. Итак, тождество справедливо для
всех а += 1.
Пример 8. Дано: j/x+p/y—y/z = 0. Доказать, что
(х + у — с)3 = — ‘2.7 хуг.
Решение. Из условия следует, что |/х+f/У= VВоз-
ведем обе части этого равенства в куб:
х + ху(1/ х + 1/у) = г
(по формуле (а + Ь)3 = а3 + Ь3 + ЗаЬ (а + &)).
4 И. А. Баранов и др.
Отсюда х+у—г-—з1/ху(1/х + Уу) или х±у—г = — З3/хуг,
т. е.
(х + у—г)3 —— 27 хуг.
а2 + Ь2 а4 а Ь
Пример 9. Доказать, что р+^-ь2' если
Решение.. Из данной пропорции у=7’ следует, что
аа ь2
Ь2 ~ с2 ’
для которой можно образовать производную пропорцию
ji^c2 ~ Т2- * ЧТ0 И тРебовалось Д°казать-
Вычисление выражений. _______
Пример 10. Вычислить Л =1/^4 4-21^3—1^4— 2/3 .
Решение. Заметим, что 44-2/3 = (/3 + 1)2, 4—-2/3 =
= (/3 — 1)2. Поэтому А =|]/’34- 11—1/3—1|=/34-1—
-/34-1 = 2.
Упражнения
Раздел I
1. Цену товара сначала снизили на 20%, а затем новую цену снизили
еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%.
На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
2. Ленту длиной 1,98 м разрезали на две части так, что Ьдна часть ока-
залась на 20% длиннее другой. Найти длину каждой части.
3. Объем монтажных работ увеличился на 80%. На сколько процентов
надо увеличить число рабочих, чтобы выполнить работу за то же время,
если производительность труда при этом будет увеличена на 20 %?
4. На карте расстояние между двумя пунктами равно 3,5 см. Каково
расстояние между этими пунктами в действительности, если масштаб карты
1:2 000 000?
5. Рабочий изготовил 480 деталей, выполнив задание на 120%. Сколько
деталей изготовил бы рабочий, если бы он выполнил задание на 110%?
Разложить на множители (№ 6—10):
6. Зх34-х2 — х — 3. 7. а34-я2с4-абс-|-6э.
8. а44-За2&24-4{>4. 9. х*+у*. 10. 2а2-\-аЬ—Ь2 —2а-\-Ь.
11. Доказать тождества:
а) (*4-{/)Ц—У) (*2+'/2) (х44-</“)=*8—У8:
б) (а+6Н-с)3-а3 —63—сЗ = 3(а4-&) (&4-с) (c-J-a).
^2__J J__
12. Доказать, что сумма дробей --г?—гт4-71---;----г
г (х—1)х-|-1 1 (1— х)х — 1
их кубов.
13. Освободиться от иррациональности в знаменателе:
Э) У&Ь ’ б) 4/3-3/2 ’ В) уух-уу'
равна сумме
S8
|/9+уё+|/4
14. Освободиться от иррациональности в числителе:-г-—
15. Сократить дроби:
x44-2x2t/24-9t/4 . 2д4-31/а6 —96
3 х2 —2xz/4-3i/2 ’ a + 5j/^&4-66
Упростить выражения (№ 16—35):
16.
У \ х у \х2 у \ х х ) J J
17 х_________________2______ . Л । Зх4-х2\
ах — 2а2 х24-х— 2ах—2а \ ' 34-х J
1Я х2-У2 ^-У3
х—у х2—у2‘
< а-1 , 2(g—!) 4(а+1) , а \
<а2 —2а4-1' а2—4 а2 + а — 2~^ а2 — За4-4 ) ’
36а2 —144 а —36а2 4-144
а2 4-27
/2а2 + 5а6Ч-262 а + 2Ь\/2а—Ь 12а2—Ь2 За—Ь\
\ a2 — ab — 2b2 ''a — 2bJ \3a-\-b 6а2-\-ЬаЬ+Ь2^2а^Ь J ’
21.
______________х34~х —2 \ . /
х24-х3—х4 х5 — х3—2х2 — х) ' \х3-
23
1—х
22.
а—6
х4 4- х2 х3 J '
(^a+iy-a^a + Z \~3
24.
-а 1 — а2 4-а—1/\ га2 а
1 —а
2
4*
99.
1/ о, -j— bx —I— 1/ и—bx 2dtn »» , / л I „ f ।
31. Г - r----------- При , a > 0, b # 0, < 1.
V a+bx-\Ca—bx i(l+/Kz)
32. У~a2 4-4aH-4+ Va2—4a+4.
33. х2-2ах-\-аУЬ, если x=- Y--b -r— .
\Cb V^a-^b
/ JL\ 1 ( 1 \ _ 1
34. \a+* a J 2 + \a—x 2 J 2 , если * = 4 (a —1), 1 < a < 2.
i i
35. (l+x~J)-2+(l—x-*)-a, если x = (l—n~J)2 (l + n~J) 2.
Доказать тождества (№ 36—40):
36. (2+x(/+x+</)2+(2—xy+x—i/)2 = 2(x4-2)24~2(/2(t/4-l)2.
47 |(a + X)2 (a+«/)2_.
xy 1 x2—xy xy—y*
38.
39.
a2
a—a~2 . 1—a~2 . 2
1 1 "Г 1 _ 1 ’* 3
2 ~ 2 2 । 2 2
a —a a -j-a a
a b 2 (b—a)
b^-I~a3^!-a2b2+3 ’
если аф-6 = 1-
40. (a + b) (a+c) (i-|-c) = 0, если ——=—г-т-:—
' 1 1 ' a 1 b 1 c a + i>+<’
Вычислить значения данных выражений (№ 41—45):
41.
42.
(х+\ X—1\ . fx2 + l X2 — 1 \
— 1 х+1/‘\Х2 — 1 Х24-1/
а2—2а+1 . /(а + 2)2—а2_3_\
а—3 \ 4а2—4 а2—а]
„3
при х = — 3^-.
при а=— 0,01.
43. (a2-b2—c2+2bc):^-bb^C- при а+с = 2; Z>=/3.
44.
45.
(д+1)-Х+(6+1)-1 при а = (2+1<3)-», Ь = (2—/з)-1.
3 3
а2 4-Ь2
2
(а2 — ab) а
2
а 3р/а—b з
---------—- при а= 1,2; !> = -=-.
а}^а—ЬУ^Ь 5
Раздел II
46. Найти 110% от 47 р. 20 к.; 80% от 1 ч 15 мнн.
47. Найти число, если 35% его составляют 63.
48. Товар со скидкой в 12% был продан за 44 р. Какова была первона-
чальная стоимость товара?
49. В 20 л раствора, содержащего 4% соли, добавили 15 л воды. Какова
стала концентрация соли в новом растворе?
50. Масштаб топографической карты 1:50 000. Каково расстояние на мест-
ности, если на карте оно составляет 1,5 мм; 2,8 см?
51. Цена товара снизилась на 20%. На сколько процентов надо повысить
новую цену товара, чтобы получить его первоначальную стоимость?
52. В сберкассу на срочный вклад было положено 500 р. (через год раз-
мер вклада увеличивается на 3%). Какая сумма будет на сберкнижке через 2
года?
100
53. Улучшение организации производства повысило производительность
труда на 10%, а рационализаторские предложения снова повысили производи-
тельность на 20%. На сколько процентов повысилась производительность тру-
да по сравнению с первоначальной?
54. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число
процентов цена товара снизилась с 25 р. до 16 р. На сколько процентов сни-
жалась цена товара каждый раз?
55. Из 4 кг лепестков розы получается 1 г розового масла. Каков выход
розового масла?
56. Макет здания выполнен в масштабе 3 : 140 и имеет высоту 75 см. Ка-
кова планируемая высота здания?
57. Высев семян пшеницы составил 5 000 000 зерен на 1 га. Сколько рас-
тений будет на 1 м2, если всхожесть семян 96%.
58. Показать, что равенство
а2—Зе2_ 2а2 + с2
Ь2 —3<22“252-Н2
обусловливает пропорциональность величин a, b, с, d.
59. Привести к стандартному виду многочлен
—10а2-(ЗЬ2а)3-|-4а3Ь5а—21 (ai2)2a352+5a (5а)3Ь2.
60 (устно). Определить степень многочленов:
a) 13x3(/5z + 7xy«z44-4-xVz’; б) — 0,2а22Ь13-|-24а30+ Ь32.
61. Определить степень многочлена, полученного после выполнения умно-
жения:
—6m2nk ( 4- тп" —n2k —i- m3k2 'l.
\ 2 J <5 J
62.
63.
Вычислить устно: 2,952; 1032; 19-21; 89-91.
Применяя формулу (1 ± а)2 к 1 ± 2a, найти приближенные значения
чисел (1,004)2 и (0,997)2 с точностью до 0,001.
64. Применяя формулу j ? а ~ 1—а, найти приближенные значения выра-
жений ) и Q-ggy с точностью до 0,001.
Разложить на множители (№ 65—69):
65. Зх2 —42x1/4- 147г/2.
66. (х3 + у2) (х2+у3)-(х3-у2) (х2-у3).
67. 36z2-(5z —I)2. 68. а4-Н*4- 69. х5 + 4+ 1.
70. Доказать, что если а—b делится на 3, то а3 — Ь3 делится на 9
(а и Ь — натуральные числа).
71. Найти наименьшее числовое .значение выражения х2 — бхД-ЗО.
72. При каком значении х трехчлен 16х—10—х2 принимает наибольшее
значение? Найти это наибольшее значение.
73. Методом неопределенных коэффициентов показать, что выражение
(х+2) (х-|-4) (х-)-5)— 2х2—Их—13 есть куб двучлена.
74. Доказать тождество
4 (d-|-bc)2 —(a2—t2—c2-|-d2)2 =
= (54-c-[-d—а) (а-}-с+^—(аН-6-f-d—с) (a-j-ft-f-c—d).
101
13. Доказать тождество
(а — х) у3 — (а — у) х3 + (х—у) а3 = (а — х) (а—у) (х—у) (а + х + у).
76. Упростить выражение
lJ-(n + x)-x. / 1_(я«+ж»)^
1 — (n + x)~i * \ 2пх J
1
и нанти его значение пои х=----.
п— 1
77. Доказать, что если x-j-y-'l-z = O, то х3-j-у3-j-г3 = 3xyz.
78. Вычислить:
1 Ч-х 1 —х К 3
-----' ----------при х= —а— .
1 + /Т+х 1 — VKL 2
79. Упростить:
/3 3 1 ~Г
х 2 у~2 — 6х 4 у ® 9«/ ® ,
80. Упростить:
1 1
а—Ь _а2—Ь2
3 1 1 1 _1_‘
а 4 +<12 й 4 b 4 +а 1
81. Доказать тождество
a-j-a 2 +1 а 2 —1
82. Доказать тождество
Найти значения выражений, предварительно упростив их (Яз 84—86):
! х—2у , у \ х3—ху2 , 2у2
84. ' , 34—ч----;-------s | « . . . d——5~т—~—т при х = 0,2
Хх’ + у® 1 х3-х2у-\- ху2) х2-}-у2 1 x3-t-x2y-t-xy2-^y3
и «/ = 0,8.
в5- -----ггт----т+гтг---гтт-? 4- ----п----тт при а = Д- ь= У3 ,
а(а— Ь) (а — с) 1 b (Ь — а) (Ь — с) 1 с (с — а) (с — b) г 3
, _Кз~
2 ’
86- (x+«/“ : /г) ' ’ ) 3 ПРИ *=13’ У=5'
102
Глава VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения
Равенство двух выражений А и В
А = В,
не являющееся тождеством на множестве допустимых значений
буквенных величин, входящих в это равенство, называется урав-
нением.
Множество (или область) допустимых значений уравнения
(сокращенно ОДЗ), если нет специальной оговорки,— это мно-
жество числовых значений буквенных величин, входящих в выра-
жения А и В, при которых они одновременно имеют смысл.
Следует иметь в виду, что одно и то-же равенство может
быть как уравнением, так и тождеством в зависимости от того,
на каком множестве оно рассматривается.
Например, равенство 1/х2—х = 0, рассматриваемое на мно-
жестве действительных чисел,— уравнение (например, ]/(—2)? —
— (—2) = 24-2 5^=0). Но если это равенство рассматривать на
множестве действительных неотрицательных чисел, то это уже
не уравнение, а тождество, так как ]/~х2 = х при х^О.
Буквенные величины, входящие в уравнение, по условию
задачи могут быть неравноправными. Одни могут принимать все
свои Допустимые значения. Тогда их называют известными, или
параметрами, уравнения. Другие буквенные величины называют
неизвестными. В зависимости от числа неизвестных, входящих
в уравнение, рассматривают уравнения с одним, с двумя и т. д.
неизвестными.
Неизвестные величины в уравнениях обычно обозначают послед-
ними буквами латинского алфавита: х, у, г, ...,а параметры —
начальными: а, Ь, с и т. д.
Будем сначала рассматривать уравнение с одним неизвестным
х: А (х) = В (х).
Определение. Корнем (или решением) уравнения назы-
вается то значение неизвестного, при котором это уравнение
обращается в верное равенство.
Решить уравнение—это значит найти все его корни. Ясно,
что корень уравнения принадлежит ОДЗ уравнения.
Множество корней уравнения может быть конечным, беско-
нечным или пустым (уравнение не имеет ни одного корня).
Например, уравнение 2х = 2 имеет единственный корень х=1;
уравнение sin х= 1 имеет бесконечное множество корней х=у4-2£л,
где k—любое целое число; уравнение х2 + 1 = 0 не имеет корней:
для любого действительного числа х имеем х2 4~ 1 > 0;
Определение. Два уравнения называются равносильными
{эквивалентными), если всякий корень одного уравнения является
103
корнем другого, и наоборот. Если оба уравнения не имеют кор-
ней (решений), то они также считаются равносильными.
Иначе говоря, равносильны те и только те уравнения, мно-
жества решений которых совпадают.
Если уравнения А = В и А1 = В1 равносильны, то пишут
А = В <=>
Например, х? — 1 = 0 фф (x-J-1) (х—1) = 0.
Уравнения х2 +1 = 0 ф^х?4-4 = 0, так как они не имеют дей-
ствительных корней.
Ясно, что уравнения х(х-}-1) = 0 и (х+1)(х—1) = 0 неравно-
сильны.
При решении уравнения путем различных преобразований
стараются заменить его более простым, равносильным ему урав-
нением. Однако такая замена не всегда удается. Тогда возможны
следующие два случая.
1. При переходе к новому уравнению может произойти потеря
корней. Например, при переходе от уравнения х(2х—1) = х2
к уравнению 2х—1=х сокращением на неизвестное х происхо-
дит потеря корня х = 0. Поэтому при переходе к новому урав-
нению надо следить за тем, чтобы такая потеря не произошла.
2. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся
корнями исходного (так называемые посторонние корни). Напри-
мер, при переходе от уравнения 2х— 1=]/х—1 к уравнению
2х—1=х—1 возведением в квадрат обеих частей исходного
уравнения получим х = 0 — посторонний корень исходного урав-
нения. Поэтому часто делают проверку корней путем подста-
новки их в исходное уравнение.•
• Напомним, что числовые равенства обладают следующими
свойствами:
1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям
прибавить одно и то же число;
2) числовое равенство не нарушится, если обе его части ум-
ножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Из свойств равенств и понятия равносильных уравнений
вытекают следующие основные свойства уравнений:
1) Уравнение А = В равносильно уравнению Л4-С = В + С,
где С — число или некоторое выражение, имеющее смысл на мно-
жестве допустимых значений уравнения А—В (т. е. на ОДЗ
уравнения А=В).
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной
части уравнения в другую с противоположным знаком.
Например, Л=ВфэЛ— 5 = 0.
2) Уравнение А=В равносильно уравнению АС—ВС, где С—
число или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве
допустимых значений уравнения А—В и не обращающееся на
нем в нуль.
104
Следствие. Обе части уравнения можно сократить на
общий множитель, не обращающийся в нуль на множестве до-
пустимых значений данного уравнения.
Действительно, уравнение АС = ВС ффЛС = ВС , т. е.
равносильно уравнению А=В.
3) Уравнение = равносильно уравнению А1В2 = А2В1, рас-
сматриваемому на множестве допустимых значений исходного
АВ'
уравнения — или на своем множестве при дополнительном
условии, что Л2У=0, Д2#=0.
Эти свойства используются при решении уравнений.
§ 2. Линейные уравнения
У равнением первой степени с одним неизвестным называется
уравнение, в которое неизвестное входит только в первой сте-
пени и других неизвестных нет.
Используя основные свойства уравнений, заметим, что реше-
ние любого уравнения первой степени с одним неизвестным сво-
дится к решению уравнения вида ах = Ь, где а и b — известные
числа.
Определение. Уравнение ах = Ь, где а=^=0, называется
линейным уравнением.
При этом число а=#0 называется коэффициентом при неиз-
вестном х, число b—свободным членом уравнения.
Линейное уравнение ах = Ь всегда имеет единственный корень
ь
х = — .
а
В самом деле, разделив обе части уравнения на число а#=0,
ь
получим х = — .
Например, решим уравнение первой степени
Зх—5 = 10—2х.
Очевидно, что Зх—5 = 10—2хфф5х=15; х = 3.
Может оказаться, что уравнение первой степени не имеет
корней или имеет бесконечное множество корней.
Пример 1. Показать, что уравнение 2(х— l)-pl ==;
=3 — (I—2х) не имеет корней.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
2х—2х = 24-1 или 0х = 3.
Это уравнение не имеет корней, так как левая часть 0-х
равна нулю при любом х, а значит, не равна 3.
Замечание. Если уравнение не имеет корней, т. е. мно-
жество его корней пустое, то для записи ответа используют
знак 0.
105
Пример 2. Решить уравнение ах = а.
Решение. Данное уравнение содержит параметр а (пере-
менную, которая в условии данной задачи сохраняет одно и то
же значение).
Если а #= 0, то ах = а ФФ х = ~ , т. е. х=1; если а = 0, то
0-х = 0, т. е. х—любое действительное число.
Пр и мер 3. Решить уравнение ах = х4-1.
Решение. ах = х-[-\&(а—1)х=1.
Если а—1=^0, т. е. а=И=1, то уравнение имеет единственный
корень x = . Если а—1 = 0, т. е. а=1, то 0-х=1—урав-
нение не имеет корней. Итак, если а^=\, то х = _-j; если
а= 1, то 0.
§ 3. Квадратные уравнения. Теорема Виета
Определение. Квадратным уравнением называется урав-
нение вида
ах2- -}-Ьх + с — 0,
где а,Ь,с — заданные числа, причем а^О, а х—неизвестное.
Числа а, Ь, с называются коэффициентами квадратного урав-
нения: а — коэффициент при квадрате неизвестного, b—коэффи-
циент при неизвестном в первой степени, с—свободный член.
« Квадратное уравнение ах2-+ bx-j-с = О называют неполным,
если хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.
Неполное квадратное уравнение—это уравнение одного из
следующих видов:
ах2- =0 (а=^0);
ах? + е =0 (а^О, с^=0);
ах2--{-Ьх = 0 (а#=0, Ь^=0).
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.
1. Уравнение ах- = 0 (а#=0) имеет единственный корень х = 0.
2. Уравнение ах2-+с = 0 (а=#0, равносильно уравнению
х2- — —. Возможны два случая.
Если -^->0. то (—у) < 0, и поэтому уравнение х? = —~
не имеет корней.
Если < 0, то у) > О' и уравнение х? = — имеет два
корня:
/с Г с
х2=-у~-
106
Действительно, перенося в уравнении х? = —величину
— в левую часть, получаем
х?— (— =0.
\ а }
Разложив левую часть этого уравнения на множители,
получим
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножи-
телей равен нулю.
Рассматривая х—1/^—-^- = 0, получим хх = ; рас-
сматривая х 4- —~=0. находим х2 = — ]/"
Следовательно, уравнение ax?-f-c = 0 при £ < 0 имеет два
~ с
---, х2 = — у — — , что и утверждалось.
Заметим, что ответ часто записывают в виде
3. Уравнение ах24-Ьх = 0 (а 0, b =£ 0) можно решить с по-
мощью разложения его левой части на множители. Очевидно,
что ах2- 4-fax = 0ox(ax + b) = 0, откуда х± = 0, х2 — — — .
В общем случае для решения квадратных уравнений приме-
няется метод выделения полного квадрата. Поясним этот метод
на примерах.
Пример 1. Решить квадратное уравнение х?— 4х—5 = 0.
Решение. Запишем левую часть уравнения в виде
х2 — 4х—5 = (х? — 4х -J-4) — 5—4 = (х—2)?— 9.
Эти преобразования выполнены с целью выделения полного
квадрата (х—2)?.
Исходное уравнение можно записать в виде
(х—2)? —9 = 0,
или ((х—2) —3) ((х—2) 4-3) = 0. Следовательно, х—2—3 = 0 или
х—2 4-3 = 0, откуда
Xj = 5; х3 =—1.
107
Заметим, что уравнение (х—2)2— 9 = 0 или (х—2)4 = 9 имеет
корни х,—2 = 3 и х2—2 = —3.
Вообще уравнение вида х2 = а (а > 0) имеет корни х113 =
В самом деле, х2 = а фф х2— (Ка )2 = 0 или (х— Vа) (х4-1/~а)=0,
откуда и следует справедливость утверждения.
Пример 2. Решить квадратное уравнение Зх2-|-2х—5 = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на 3:
x+-j х у — 0.
Применим метод выделения полного квадрата:
9 Ч 1
х2 + 4х—4 = х2 + 2-х-4 +
о о о
З) {з) 3~ Iх ‘ 3 J 9
Поэтому получим
( , I А2 16 пг , 1V 16
\х + з J 9 — 0 + 3 J 9’
1 4
откуда х 4- -д- = ± у. Следовательно,
Х1 - 3 з 1 ’ *2 3 3 3 •
Можно выделить полный квадрат в исходном уравнении и без
предварительного деления на 3 (коэффициент при квадрате неиз-
вестного):
з(*!+Н-5=3(‘,+2х4+(1)’-(т)’)-5=
»=з(х+1),-з4-5»з(х+±),-У.
Поэтому
о / I 1 А? 16 п ( -I 1 16
3(x + yj —у = 0ФЭ (x + y) = ‘д 11 т-д-
Рассмотрим квадратное уравнение общего вида
ах2 + Ьх+с = 0 (а =4=0). (1)
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого
запишем левую часть уравнения в следующем виде:
ах2 + Ьх + с = а (я3+ 4 я) + с =
/ , , о ъ . /н» / ь v\ . ( , ъ V б2
й[х“ + “'Л,2а+\2aJ } +с~ а (/ + 2а) 4« '^С*
Поэтому
{ , ь\и ь2 . л / л\2 г>2_4ай
-^+с=0 или (/+&J <2)
Дальнейшее решение зависит от знака правой части получен-
ного уравнения (2).
108
Так как 4а2 > 0, то знак правой части совпадает со знаком
выражения Ь2-— 4ас.
Определение. Выражение Ь2—4ас называют дискрими-
нантом квадратного уравнения ах2 -\-bx-\-c = Q и обозначают
буквой D:
D = b2- — 4ас.
Рассмотрим три случая: £>>0, D = 0, D<Q.
1. D = b2—4ас\> 0.
В этом случае уравнение (2) можно записать так:
f . М? /КЬ2 —4асV
(лМ 2а- J>
следовательно,
, Ь УЬг — 4ас
Х+г-а = ±- 2а •
откуда _ —Ь ± у fe2 —4ас *1,2“ 2а
или (4)
где D—дискриминант уравнения (1).
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т. е.
при Ь2—4ас > 0 уравнение ax? + ix + c = 0 имеет два различных
корня, которые можно найти по формуле (3) или (4).
2. D = b2 —4ас = 0.
В этом случае уравнение (2) принимает вид
, b - ь
откуда х4-^ = 0, т. е. х = —
Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. Ь2— 4ос = 0, то
ь
уравнение имеет единственный корень х — — .
Заметим, что формула (3) или, что то же, (4) применима и в
случае £) = 0. В самом деле, эта формула дает единственный ко-
рень уравнения (1). Говорят также, что в этом случае квадрат-
ft т
ное уравнение имеет два равных корня: хг = хг =— Такое сог-
лашение освобождает нас от специальных оговорок, относящихся
к этому случаю при формулировке свойств квадратных уравне-
ний, а в дальнейшем (в гл. VII) — квадратичных функций.
3. D = b2-—4ас < 0.
В этом случае в правой части уравнения (2) стоит отрица-
тельное число, а в левой части — неотрицательное. Следователь-
но, если Ь2-—Аас < 0, то уравнение (2), а значит, и уравнение
а№4-6х4-с = 0 не имеют действительных корней.
109
Вывод. Квадратное уравнение ах2 + Ьх-|-с == 0 имеет дейст-
вительные корни только при дискриминанте D = b2— 4ас^г0;
если D > 0, то корни различные; если D = 0, то корни равные.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид (3) или (4).
По этой формуле можно находить и корни неполных квад-
ратных уравнений, но проще вычислить их путем разложения
на множители, как было показано.
Замечание 1. Если коэффициент Ь—четное число, т. е.
b=2blt то формула корней квадратного уравнения примет вид
_ — 2Й! ± У'4й12 — 4ас
2а
— bi ± V i>i2 — ас
а
Например, вычислим корни уравнения Зх2 — 6х—5 = 0 (заме-
тим, что уравнение имеет действительные корни, так как D =
= (-6)2—4-3-(-5)>0):
_3 ± /э+15_3± у"24 _3 ±2 у'з
Х‘-2— 3 — 3 3
Замечание 2. Если коэффициент а= 1, то квадратное
уравнение принимает вид х2 + рН-д = 0. Такое квадратное урав-
нение называется приведенным.
Всякое квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 можно привести
к виду х2 + рх4-<7 = 0 делением обеих частей уравнения на а=А0.
Найдем корни приведенного квадратного уравнения. В фор-
муле (3) полагаем а=1, b = p, c — q. Тогда
Например, решим приведенное квадратное уравнение х2 +
+ 4х— 5 = 0;
х'1т 2 = — 2 + ф/"4 — (—5) = — 2 -4- ф' 9 = — 2 + 3,
откуда xt=l, х, =— 5.
В § 5 гл. VII будет рассмотрен графический способ решения
квадратного уравнения.
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ах2 + Ьх +
+ с — 0 имеет действительные корни, то их сумма равна ,
а произведение равно
А-НЧ = —х1ха = —. (5)
Доказательство. По условию дискриминант квадрат-
ного уравнения D = b2— 4ас^0. Тогда по формуле (4) уравне-
ние имеет два корня:
—/> + VD
Х1=> 2а
-b-VD
2а
ПО
Найдем сумму и произведение корней:
v , .. _ -b+VD-b-^D _ b
X1 +x2 — 2a — a ’
(— b + ]/D) ( — b— VD) b2 — D b? — (b2 — 4ac) c
XiX2 — 4q2 — 4q2 — 4fl2 — a i
и формулы (5) получены.
Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадрат-
ного уравнения и его коэффициентами. Для приведенного квад-
ратного уравнения
х- + рх 4- q — О
с дискриминантом £) = р2 — 4g 0 формулы (5) принимают вид
х14-х2 = —р, x^ — q.
Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения чи-
тается так: сумма корней приведенного квадратного уравнения,
равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому
с противоположным знаком, а произведение корней равно свобод-
ному члену.
Заметим,' что если корни квадратного уравнения действитель-
ные, то формулы Виета позволяют по знакам коэффициентов урав-
нения определить знаки корней. Например, если а>0, 6>0, с<0
(и следовательно, D — b2.— 4ас > 0), то хгх, = у < 0 и корни име-
ют разные знаки. Так как при этом х14-х2 = —< 0, то изэто-
го следует, что больший по модулю корень отрицателен (сумма
двух чисел разных знаков отрицательная!).
Пр и мер 3. Составить приведенное квадратное уравнение,
имеющее корни х1 = 2, х2 = 3.
Решение. По теореме Виета
р = --(х14-х2) = —5,
д = Х1х2 = 6.
Искомое уравнение х2— 5x4-6 = 0.
Пример 4. Не вычисляя корни ху и х2 уравнения Зх? —
— 2х—6 = 0, найти: а) — 4-— ; 6) Xi-T*!; в) х?4-х2.
*1 х2
Решение. Очевидно, что дискриминант D > 0.
По теореме Виета
. ь 2
^4-ха = --=
с о
—— — — 2.
1 2 а
пЧ 1 I 1 _Xt + *2 _ 2 .( 2)=> -•
' Хх х2 Х1Х2 3 ' 3 ’
/ 2 \2 40
б) -6— (хх4-^2)- —2х1ха — 2’( 2) = -д-‘,
111
в) х?4-х2=(х14-х2)(х12 — x1xa4-xi) =
= U1 + Х2) ((xt4- х2)2- — Зххх2) = -у• ( (у)2 — 3 • (—2)) = .
Пример 5. Найти р, если сумма квадратов корней уравнения
х2 + рх — 3 = 0 равна 10.
Решение. По теореме Виета
Х1+х2= — р, xtx2 =— 3.
Так как х?4-х2 = (^!+х2)2 — 2х1х2 — р2- + &, то р24-6=10, откуда
р2 = 4 и, следовательно, р = 2, р = — 2.
§ 4. Разложение квадратного трехчлена на множители
Рассмотрим квадратный трехчлен
у = ах2 + Ьх + с (а=#0).
Квадратный трехчлен — это многочлен второй степени или
квадратичная функция. Значения х, при которых квадратный
трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного
трехчлена.
Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить
квадратное уравнение ах2 4-6x4-с = 0.
Мы уже знаем, что число корней квадратного уравнения, а
значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта
D = Ь2,— 4ас.
Пусть дан квадратный трехчлен
у = ах3 4- Ьх 4- с (а #= 0)
с неотрицательным дискриминантом D—.b2—4ас^0.
Теорема. Если хг и х2— корни квадратного трехчлена
у = ах2--±-Ьх-{-с, то
ах2+ Ьх-[-с = а(х—х2) (х—х2).
Доказательство. Так как Х; и х2—корни квадратного
уравнения ах2- + Ьх + с = 0 с дискриминантом £)^0, то по тео-
реме Виета
, Ь с
Х1 4" Х2 — — у , ХхХ2 = — .
Поэтому
f b с \
ах2 4- Ьх 4- с = а (х2 4- — х 4- — 1 = а(х?— (хх 4- х2) х 4- ххх2) =
= а ((х2—ххД—(х2х—хгх2)) = а (х (х—хх) — х2 (х—xj) =
= а(х—Xj)(x—х2),
что и требовалось доказать.
Полученное тождество
ах2 + Ьх+с = а(х—х2)(х—х2), (6)
112
где х{ и х2—корни квадратного трехчлена, называется формулой
разложения квад'ратного трехчлена на линейные множители.
2л2___Зх 1 2
Пример 1. Упростить выражение —4_х2—.
Решение. Для Квадратного трехчлена у = 2х?—5х4-2 дис-
криминант £) — 25—16 > 0. Найдем корни трехчлена: Xj = 2 и
х2=у. Поэтому по формуле (6) 2л4 — 5х4*2 = 2(х— 2) (х—
— (х—2)(2х—1). Следовательно,
2л2 —5x4-2 (х—2) (2х — 1) _ 2х— 1
4 —л2 “ (х — 2) (х-f 2) — х — 2 *
Пример 2. Пусть х = 2 —корень квадратного трехчлена
у = 4х2— 14x4-7- Найти q и разложить трехчлен на множители.
Решение. Так как х—2— корень трехчлена, то
4-2?—14-24-7 = 0,
откуда 7=12. По теореме Виета x1x2=-j = 3, а так как хг = 2,
з „
следовательно, х2 = -% . Поэтому
z/ = 4x?— 14x4- 12 = 4 (х—2) ^х—у) = (х—2) (4х—6).
§ 5. Уравнения, приводимые к линейным и квадратным
Уравнение вида
a0x'14-aiX'1-14- • 4-ап-1Х4-ап = 0 (ао#=О, п — натуральное)
называетсй алгебраическим уравнением п-й степени. Его левая
часть—многочлен степени п относительно х. Линейное и квад-
ратное уравнения являются его частными случаями при п—1 и
м = 2 соответственно.
Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком
корня, называются иррациональными.
Рассмотрим примеры решения некоторых алгебраических урав-
нений степени п 3, а также иррациональных уравнений.
Пример 1. Решить уравнение
х34-2х—3 = 0.
Решение. Используем разложение на множители:
х34-2х—3 = х34- 2х — 2— 1 = (х3—1)4-2 (х— 1)
или
х3 4- 2х—3 = (х— 1) (х2 4- х -J- 3).
Поэтому (х—1) (х24-х4-3) = 0, откуда х—1 =0 и х24-^4-3=5
= 0. Получим х=1; дискриминант квадратного уравнения D =>
— 1 —12 < 0, следовательно, квадратное уравнение действитель-
ных корней не имеет.
113
Итак, х=1— единственный действительный корень данного
уравнения.
Пример 2. Решить уравнения:
а) х3—8 = 0; б) х3 4-8 = 0.
Р ешение. Оба уравнения можно решить разложением левой
части на множители. Проще поступить по-другому:
а) х3 — 8 = 0^x3 = 8«x = j/8 = 2;
б) х34-8 = 0ф^х3 =— 8, но, в отличие от предыдущего, извлечь
арифметический корень нельзя.
Заметим, что искомый корень уравнения может быть только
отрицательным числом. Получим
х3 = —8«э—х3 = 8о—х=/8 = 2, х = —2.
Пример 3. Решить уравнение
(х?— 5х)?—30 (х?— 5х) — 216 = 0.
Решение. Заметим важную особенность уравнения: его ле-
вая часть содержит неизвестное х в виде выражения х2.— 5х. По-
этому для решения уравнения используем метод введения нового
неизвестного. Пусть х2-— 5х = у, где у—новое неизвестное. Тогда
данное уравнение приводится к квадратному уравнению относи-
тельно у:
у2 —ЗОу—216 = 0.
Решив его, получим: ух =— 6, у2 = 36.
Тёперь найдем х. Решая уравнение
х2— 5х =— 6 или х-— 5х-р6 = 0,
получим хх = 2, х2 = 3. Решая уравнение
х2- — 5х = 36 или х2—5х—36 = 0,
получим х3 = — 4, х4 = 9.
Итак, хх = 2, х2 = 3, х3 = — 4, х4 = 9 —все корни данного
уравнения.
Отметим, что без введения нового неизвестного решить дан-
ное уравнение четвертой степени было бы затруднительно.
Пример 4. Решить уравнение х(х?—1)(х4-2)4-1 =0.-
Решение. Имеем
х(х—1) (х+1) (хф-2) 4-1 =0 или (х24-х)(х2 + х—2)4-1 —0,
Полагаем х?-\-х = у. Тогда получим
у(у-2)+1=0 или (у—1)? = 0,
откуда ух = у2=1. Теперь из уравнения х2 4~х'=1 или х^4-х —
— 1 = 0 находим
_ — 14- / 5 _ — 1 — К 5
•^1,2 — 2 ’ * — 2
х2
Пример 5. Решить уравнение х?4~^_р ф —3.
114
Решение. Выделяя квадрат, запишем уравнение в виде
Полагаем ——=//. Тогда у2 + 2у—3 = 0, откуда у2 = 1, у2=—3.
Решая уравнение
-i-r =1 или х- — х—1=0,
х-Ь 1
1 ± к 5 п
получим Х1,2 =---y—. Для уравнения
у2
—3 или х2 4*3x4* 3 = 0,
дискриминант D < 0, т. е. действительных корней нет. Итак,
1 ± V~5
ху, 2 = - 2------ все корни исходного уравнения.
Пример 6. Решить биквадратное уравнение
ах4+ &х24*с = 0 (а =4=0).
Решение. Биквадратное уравнение—важный частный слу-
чай уравнения четвертой степени. Заменой x2 = z/ биквадратное
уравнение приводится к квадратному уравнению ау--\-Ьу+с=0,
которое имеет действительные корни только в случае, когда его
дискриминант D = b2—4ac^Q. Тогда возможны следующие Слу-
чаи (в зависимости от корней z/1 и у2 вспомогательного квадрат-
ного уравнения):
1) z/i^0 и 1/2^г0; биквадратное уравнение имеет четыре
действительных корня:
Д-1, 2 = ± УУ1’ Д-З, 4 ~ — I У2.
2) #1^0, у2 < 0; биквадратное уравнение имеет два дейст-
вительных корня:
Д-1,2 = i •
3) У1 < 0 и у2 < 0; биквадратное уравнение не имеет дейст-
вительных корней.
Например, решим биквадратное уравнение х1 — 8х2— 9 = 0.
Полагаем х"- = у. Тогда у2— 8у — 9 = 0; дискриминант D > 0,
корни у, = 9, у.2 = —1. Решая уравнение х2 = 9, получим xlt 2 =
— ± 3. Уравнение х2 = — 1 действительных корней не имеет.
Пр имер 7. Решить уравнение У~х = х—2.
Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения}
х = х2— 4x4-4 или х2—5x4-4 = 0,
115
откуда хх = 4 и х2=1. Выполненное преобразование может при-
вести к появлению посторонних корней. Поэтому проверим,
являются ли полученные числа решениями исходного уравнения.
При подстановке числа х = 4 в данное уравнение получаем вер-
ное равенство У4 = 4—2. При подстановке же числа х=1 по-
лучаем в левой части 1, а в правой (—1); следовательно, х=1—
посторонний корень. Корнем иррационального уравнения V х=
= х— 2 является только число х = 4.
Пример 8. Решить уравнение Ух?— 2 = Ух.
Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения:
х?— 2 = х или х2—х—2 = 0,
откуда хх = 2, х2 =—1. При подстановке х = 2 в данное уравне-
ние получаем верное равенство У22— 2 = У2. Следовательно,
х=2—корень уравнения. Число х =—1 не является корнем
уравнения, оно не принадлежит области определения уравнения
(не входит в ОДЗ уравнения). __________________
Пример 9. Решить уравнение У х2 + 1—У 2х;| 4- 5 = 1.
Решение. Так как ха + 1 < 2х2 4- 5 для любого действи-
тельного числа х, то Ух24-1 <У2х24-5, и значит, данное
уравнение действительных корней не имеет. _____
Пример 10. Решить уравнение УЗх4-1—Ух—1 = 2.
Решение. Запишем уравнение в виде
]ЛЗх-|-1=/х —14-2
н возведем обе части его в квадрат:
Зх4-1 = х— 14-4]/х—14-4 или 2Ух—1 = х—1,
откуда 4 (х—1) = (х—I)2, т. е. (х—1) (х—1—4) = 0. Следова-
тельно, хх=1, х2 = 5. Проверка показывает, что числа х=1 и
х = 5 удовлетворяют исходному уравнению. __
Пример 11. Решить уравнение j/x4-2р/х2 = 3.
Решение. Будем рассматривать, как обычно, арифметиче-
ские корни (или радикалы). Поэтому будем считать, что х^О.
Пусть Ух = у (у>0). Тогда имеем 2у2+у—3 = 0, откуда =
= 1. у2 = — 3. Если у= 1, то Ух — 1; х = 1. Значение у= — 3
непригодно.
Пример 12. Решить уравнение Ух2—Зх4-5-)-х? = Зх 4- 7.
Решение. Запишем уравнение в виде
/х?—3x4-5 4- (х2—Зх 4- 5) = 12.
Полагаем Ух2—3x-f-5 = z/ (z/^0). Тогда имеем г/4"#2=12
или г/24-//—12 = 0, откуда ^ = 3, г/2 = —4. Если г/ = 3, то
Ух2—3x4-5 = 3 или х?—Зх—4 = 0, откуда хх = 4, х2 = —1. Зна-
чение у— — 4 непригодно.
П6
§ 6. Уравнения с несколькими неизвестными.
Системы уравнений
Уравнение может содержать несколько неизвестных. Напри-
мер, х + 2у = 3— уравнение с двумя неизвестными, х2 + у2 = 22—
уравнение с тремя неизвестными и т. д.
Решением уравнения с двумя, тремя и т. д. неизвестными
будем называть упорядоченную пару, тройку и т. д. значений
неизвестных, обращающих это уравнение в верное равенство.
Например, решениями уравнения x + 2z/ = 3 являются пары
(О; у), (3; 0), (1; 1) и другие. Вообще, придавая х произволь-
ное значение, можно' найти соответствующее значение у. Общий
/ 3—х\
вид решения этого уравнения 1х; —у) •
Решениями уравнения х2 + у2 = г2 являются тройки чисел
(0; 1; 1), (0; 1; —1), (3; 4; 5) и другие. Их также бесконечное
множество. Общий вид решения этого уравнения(х; у, ±]/х2+у2).
Уравнение х2 + (у—1)2 + (г + 1)2 = 0 имеет единственное дей-
ствительное решение (0; 1; —1). В самом деле, сумма квадратов
действительных чисел равна нулю в том и только в том случае,
когда каждое из них равно нулю, т. е. в нашем примере при
х = 0, у—1=0 и 2-|-1 = 0.
Уравнение х2 + у2 + 1 = 0 действительных решений не имеет.
Уравнения с несколькими неизвестными имеют те же свойства,
какие имеют уравнения с одним неизвестным.
Пусть заданы несколько уравнений с одним, двумя, тремя
или большим числом неизвестных.
Если требуется найти число, пару чисел, тройку чисел и т. д.,
являющихся решением всех данных уравнений, то совокупность
(или множество) этих уравнений называют системой уравнений.
Например,
(х—1 = 0,
(х2 + х—2 = 0
— система двух уравнений с одним неизвестным. Число х=1,
удовлетворяющее обоим уравнениям системы, является решением
системы.
х + у = 2,
х—у = 0
— система двух уравнений с двумя неизвестными. Пара чисел
х=1 и у—\, удовлетворяющих уравнениям системы, является
решением системы.
Число уравнений в системе не обязательно равно числу не-
известных. Например, можно рассматривать систему двух урав-
нений с тремя неизвестными
х + у = г,
2х—у — 2г.
117
Решением этой системы является тройка чисел (х; у\ г), обра-
щающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Например, (1; 0; 1) — решение системы; (1; 2; 3) не является
решением системы.
Две системы уравнений называются равносильными, если лю-
бое решение одной системы является решением другой, и наобо-
рот. Если обе системы уравнений не имеют решений, то они
также считаются равносильными.
Если система не имеет решений, то говорят, что она проти-
воречивая, или несовместная. Решить систему—это значит найти
множество всех ее решений.
§ 7. Система двух уравнений первой степени
с двумя неизвестными
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвест-
ными имеет вид
| alx-\-bly=cl,
\ a2x + b2y = c2,
где a,, Ci, а2, b2, с2 — заданные числа, а х и у—неизвестные.
Решением системы уравнений называются такие два числа х
и у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое
“ее уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений —
это значит найти все ее решения.
Рассмотрим способы решения системы.
Способ подстановки. Этот способ заключается в следующем:
1) из одного уравнения системы нужно выразить одно неиз-
вестное через другое, например у выразить через х;
2) найденное выражение подставить в другое уравнение сис-
темы; получится одно уравнение с одним неизвестным х;
3) решив это уравнение, найти значение х;
4) подставив полученное значение х в выражение для у,
найти значение у.
Решим способом подстановки систему уравнений
2х + 5у= 15,
3x-|-8z/=:— 1.
1) Из первого уравнения находим
2) подставим-выражение для у во второе уравнение системы
Зх + -|-(15—2х) = — 1;
3) решаем это уравнение:
15х-|-120 —16х = —5, х=125;
118
4) подставляя х = 125 в выражение для у, получим
15-2-125
У=----==—47.
Отпет. х=125, у = — 47.
Способ алгебраического сложения. Этот способ состоит в сле-
дующем:
1) сначала нужно уравнять модули коэффициентов при ка-
ком-нибудь неизвестном;
2) складывая или вычитая почленно полученные уравнения,
найти одно неизвестное;
3) подставляя найденное значение в одно из уравнений систе-
мы, найти второе неизвестное.
Этот способ оказывается удобным в тех случаях, когда у
обоих уравнений коэффициенты при каком-нибудь неизвестном
одинаковы или отличаются только знаком.
Решим способом алгебраического сложения систему уравне-
ний
[ 2х + 5у = 15,
1 4хН-Зг/== — 5.
1) Оставляя второе, уравнение без изменения, умножим пер-
вое уравнение на 2:
1 4х-Ь Юг/= 30,
( 4х + 3у = —5.
2) Вычитая из первого уравнения полученной системы вто-
рое уравнение, находим
7у = 35, у = 5.
3) Подставляя у = 5 в первое уравнение исходной системы,
получим
2x4-5-5=15, х=—5.
Ответ, х ——5, у = 5.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить систему
( 5х-фу =7,
( 2х—Зу = — 4.
Решение, а) Способ подстановки. Из первого урав-
нения находим у = 7 — 5х и подставляем это выражение во вто-
рое уравнение системы:
2х—3(7 — 5х)= —4, откуда х=1.
Поэтому у = 7—5-1 = 2. Система имеет решение (1; 2) (оно
записано в виде упорядоченной пары чисел).
119
б) Способ алгебраического сложения. Уравняем
модули коэффициентов при у. Оставим второе уравнение без из-
менения и умножим первое уравнение системы на 3:
( 15x4-3i/== 21,
( 2х—Зу =—4.
Складывая почленно эти уравнения, находим
17х=17, откуда х=1.
Тогда из первого уравнения данной системы- имеем
5-1 -\-у = 7, откуда у= 2.
Пример 2. Решить систему
J 2х—у =1,
( 4х—2z/ = 2.
Решение. Из первого уравнения находим у — 2х— 1. Под-
ставляя во второе уравнение, имеем
4х—2(2х—1) = 2 или 2 = 2.
Полученное тождество означает, что система имеет бесконеч-
ное множество решений, определяемых по формуле у = 2х—1,
где х—любое число.
Пример 3. Решить систему
( 2х + 3у = 4,
( 6х-|-9г/ = 2.
Решение. Применяя способ алгебраического сложения,
уравняем коэффициенты при х:
I 6х-^9у= 12,
( 6x-f-9z/ = 2.
Вычитая из первого уравнения полученной системы второе урав-
нение, приходим к неверному равенству 0=10. Полученное про-
тиворечие означает, что исходная система несовместна, т. е. она
не имеет решений.
В § 5 гл. VII будет рассмотрен графический способ решения
систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
§ 8. Уравнения и системы уравнений (решение задач)
При решении уравнений или систем уравнений нужно сле-
дить за равносильностью выполняемых преобразований.
Если уравнение или система уравнений содержит параметр,
то надо исследовать решение: в зависимости от значений пара-
метра уравнение (система уравнений) может иметь одно или
несколько решений, а может и не иметь решений.
120
При решении уравнений или систем уравнений часто исполь-
зуется введение нового неизвестного.
Пример 1. Решить уравнение
ах— b . а а24~Ь2
а-\-Ь а—Ъ а2—Ь2 "
Решение. При а1 — Ь2#=0
(а—Ь) (ах—b) + (а + Ь) (Ьх 4- а) = а2 + Ь2,
откуда после упрощений находим (а2 + &2)х = 0.
Поэтому при а2 — Ь2#=0 получим х = 0— корень уравнения.
Если а2—Ь2 — 0, то уравнение теряет смысл.
Пример 2. Решить уравнение
2 х—4___________1
х2 — 4 ‘ х2 + 2х х2 — 2х
Решение. Разложив знаменатели на множители, получим
2 х—4 1
(х + 2) (X — 2) + х (х + 2) — х (х — 2) ’
После приведения к общему знаменателю х(х2— 4) и приве-
дения подобных членов получим уравнение х2— 5х + 6 = 0, рав-
носильное исходному, при условии, что х(х2—4)=#0, т.е.х^О,
х^±2. Корни квадратного уравнения х1 = 3, хг = 2. Так как
х2 = 2 не удовлетворяет ограничению ху=2, то, следовательно,
исходное уравнение имеет единственный корень х = 3.
Пример 3. Решить уравнение
(а2 а — 2) х2 + (2а2 4- а 4- 3) х 4- а2 —1=0.
Решение. Пусть сначала а2-\-а — 2=#0, т. е. а#=1,
ау=—2. Тогда имеем квадратное уравнение с дискриминантом
D = (2а2 + а 4- 3)а—4 (а2 4- а—2) (а2— 1) = 4а4 4- а2 4- 94-4а34-12а2+
4-6а—4 (а4—а24~а3—а — 2а2 4-2) = 25а2 4- 10а4-1 = (5a-f-1)2. Так
как D^Q, то находим корни:
— (2а2 + а + 3)4-(5а4-1)__ — 2(а-1)2 а—1.
Х1~ 2(а24-а—2) — 2 (а—1) (а+2)— а + 2’
— (2а2 4- о. 4-3) — (5а 4-1)_—2 (а 4-2) (а 4-1) а 1
%2— 2(а2-|-а—2) — 2 (а— 1) (а4-2) — а-1’
разложив на множители квадратные трехчлены
а24~«—2 = (а — 1)(а4~2), а24-3а4~2 = (а4-2)(а4~ 1).
При а=1 исходное уравнение принимает вид
6х = 0 или х = 0;
при а=—2 исходное уравнение имеет вид
9х-)-3=;0 или х = —~ .
О
121
Ответ. Если а=£1 и аф — 2, то хх =— > ^a=s— ,Е=Т ’
если а==^ 1, то х = 0; если а = —2, то х = —.
и
Пример 4. Решить уравнение Ух+а=а—Ух-
Решение. Имеем х-ра^О, х^О. Заметим, что при а<0
уравнение корней не имеет: его левая часть неотрицательна
(т. е. больше или равна нулю), а правая часть отрицательна.
При a = Q уравнение принимает вид Ух ——Ух, откуда х = 0.
Рассмотрим^случай а > 0. Возведем в квадрат обе части урав-
нения х-\-а = аг — 2а]/х + х, откуда после сокращения на а^О
получим 2j/x = a—1 или х= . Проверка показывает, что
(<i—I)2 .
х = -—^-является корнем уравнения при a^sl.
Ответ. Если а = 0, то х = 0; если а 1, то х-= 1 -.
4
Пример 5. Решить систему уравнений
| х + ay = 1,
\ ах—Зау~2а-\-3.
Решение. Применим способ подстановки: х=1—ау. Тогда
а(1—ау} — Зау = 2а-\-3 или а(а-|-3)у =—(tz + 3).
Если а#=0 и —3, то у= — ; х= 1—а-=2.
Если а = 0, то 0-у =—3, и система несовместна.
Если а=—3, то 0-у = 0, т. е. у—любое число, а х = 1 4~3у.
Ответ. Если а#=0, а=/=—3, то система имеет, единственное
решение ^2;----если а = 0, то система не имеет решений;
если а=—3, то система имеет бесконечное множество решений,
определяемое формулой х=14-3у, где у — любое.
Пример 6. Решить систему уравнений
(х + у)3 —2(х-|-г/)= 15,
ху = 6.
Решение. Пусть х + у = и. Тогда первое уравнение системы
примет вид и2 — 2и —15 = 0, откуда ut = 5, и2 =—3. Исходная
система распадается на две системы:
х + у = 5, 1х + у=—3,
,, и \ к
ху = 6 [ ху = 6.
В каждой из этих систем можно применить способ под-
становки. Например, для первой системы найдем из первого
уравнения у = 5—х и подставим во второе уравнение; х(5—х)=6.
Поступим иначе. Будем рассматривать х и у как корни при-
веденного квадратного уравнения
г2 -ф pz-}-q = O.
122
По теореме Виета р——(х-\-у), q = xy.
Для системы
х4-// = 5,
х// = 6
имеем г2 —5г 4-6 = 0, откуда 2, = 3, z2 = 2. Следовательно, хг — 3,
г/1 = 2; х2 = 2, z/2 = 3.
Для системы
| х4-у = —3,
I ху = 6
имеем 22 4-Зг 4-6 = 0 с дискриминантом Z) = 9— 4-6 <0 и, зна-
чит, это уравнение, следовательно, и система решений не имеют.
Ответ. (3; 2), (2; 3).
Пример 7. Решить систему уравнений
[ 2х2—Зху+у2 — 3 = 0,
\ х2 + 2ху—2у2 — 6 = 0.
Решение. Запишем систему в виде
2х2—Злу -|-у2 = 3,
х2 + 2ху— 2у2 = 6
и выполним деление
2х2—Зху+у2 _ 3
х2-\-2ху—2у2 6 '
Полагаем у = ! или y = xt, где t — новое неизвестное.
Получим
х2(2-3/ + /2) 1
х2 (1 + 2/—2/2') ~ 2 ’
откуда
4 —6/+ 2/2 = 1 4-2/ —2/2 или 4/= — 8/4-3 = 0.
3 1
Решая это уравнение, находим = /2 = -~-.
3 3
Если / = -£-, то у — -^х. Подставив в первое уравнение ис-
ходной системы, получим уравнение
2х2—~х24-х2 — 3 = 0 или х24-12=0,
которое не имеет действительных корней.
Если 1=± , то у = ^х. После подстановки в первое уравне-
3 1
ние системы, получим 2х2 — у х2 4- х2 — 3 = 0 или х2 — 4 = 0,
откуда + = 2, х2=—2; следовательно, /^=1, уг~ — 1.
Ответ. (2; 1), (—2; —1).
123
Пример 8. Решить систему уравнений
j_ j_ =_з
X + у ~ 2 ’
х2 у2 4
Решение. Пусть — = и, — = v. Тогда получим
X у
I 3
+ =
з
Из первого уравнения найдем v = —и и подставим во вто-
рое уравнение:
иУ = -|-или 2и2—3« + 1 = 0,
откуда и1=1, «2 = у , следовательно, = у, и2 = 1. Поэтому
х^ = 1, У1=== 2, х%== 2, у 2== 1*
Ответ. (1; 2), (2; 1).
§ 9. Задачи на составление уравнений
Для решения таких задач надо ввести неизвестные и выра-
зить условия задачи соответствующими уравнениями. При этом
большое значение имеет удачный выбор неизвестных и эффектив-
ность способа решения.
В отдельных задачах число уравнений может оказаться меньше
числа неизвестных, входящих в них, но эти уравнения таковы,
что позволяют получить ответ на поставленный вопрос.
Пример 1. Двузначное число в 4 раза больше суммы и в
3 раза больше произведения своих цифр. Найти это число.
Решение. Пусть х — число десятков, у—число единиц иско-
мого числа. Тогда само число будет равно Юхф-у. Согласно
условию имеем систему уравнений
( 10х + у = 4 (х + у),
\ 10х + у = Зху.
Из первого уравнения выразим у через х: у — 2х и подста-
вим во второе уравнение системы
10х4-2х = 6х2,
откуда х=2 (значение х=0 не удовлетворяет условию задачи);
тогда у = 4. Искомое число равно 24.
Пример 2. Велосипедист проезжает расстояние от Л до В
за 3 ч. Чтобы проехать за то же время расстояние от А до С,
124
он должен проезжать каждый километр на 1 мин быстрее, так
как расстояние от А до С на 30 км больше расстояния от А до
В. Найти расстояние от Л до В.
Решение. Обозначим скорость велосипедиста через х км/ч.
Тогда расстояние от А до В будет равно Зх км, а от А до С—
(Зл'-|-ЗО) км.
Так как велосипедист проезжает х км за час или 60 мин, то
он затрачивает на 1 км у мин. Новая скорость велосипедиста при
движении от А до С будет равна ?*~^30 = (х-|- Ю) км/час, следо-
вательно, —1(j мин—затрата времени на 1 км. По условию за-
дачи
60 60 .
х-\-10 х
После упрощений получимха4- 10х—600 = 0, откуда х—20 км/ч
(второй корень уравнения отрицательный и непригоден). Иско-
мое расстояние равно 60 км.
Пример 3. Из А в В по течению пароход идет два дня,
обратно—три дня. Определить, сколько дней будет плыть плот
из А в В, если скорость плота равна скорости течения.
Решение..Пусть S—расстояние от А до В, х—собственная
скорость парохода, у—скорость плота. Требуется определить
—время, за которое плот будет плыть из А в В.
По условию задачи
J S = 2(x4-t/),
( S = 3(x-y).
Поэтому
3(х —у) = 2(х-{-у) или х = 3у.
Отсюда S = 2 (х + у} = 12#. Следовательно, искомое время — = 12
дней.
Пример 4, В бассейн проведены три трубы. Первые две,
действуя совместно, наполняют бассейн за то же время, за ко-
торое наполняет бассейн одна третья труба. При этом вторая
труба, действуя одна, наполняет бассейн на 5 ч быстрее первой
трубы и на 4 ч медленнее третьей. За какое время наполняет
бассейн каждая труба отдельно?
Решение. Пусть V—объем бассейна; х ч—время наполне-
ния бассейна второй трубой. Тогда (%4-5)ч—время наполнения
первой трубой, а (х—4) ч—третьей трубой. Производитель-
„ й V V V
ности каждой из труб соответственно равны .
По условию
V И
к-|-5 ' х х—4 ’
125
откуда, сокращая на V, получим квадратное уравнение: х2 —
— 8х—20 = 0. Решая его, находим х=10 (х =—2 не годится).
Ответ. 15 ч; 10 ч; 6 ч.
Пример 5. Два рабочих могут выполнить некоторую ра-
боту за 6 ч. Если бы один первый выполнил 60% всей работы,
а затем'один второй — оставшуюся часть, то они затратили бы
12 ч. Сколько времени нужно каждому для того, чтобы выпол-
нить эту работу одному?
Решение. Пусть а—величина работы; хч — время, за ко-
торое первый рабочий может выполнить эту работу; у- ч—время,
за которое второй рабочий может выполнить всю работу. Тогда
а а
производительность первого,-производительность второго
х---------------------------------У
рабочего.
По условию
( (а . а\ с- /1,1 1
(у + тд'б— а< Т“^47 = ‘б’
'х и J или х •' 0
0,6х-]-0,4г/= 12 Зх-J- 2г/ = 60.
Решим полученную систему способом подстановки. Из второго •
уравнения системы выразим у через х:
60 —Зх
У- 2 ’
Подставляя это выражение в первое уравнение системы, на-
ходим
1 + _2 ,- = 1
х ' 3(20 —х) 6
или после упрощений ха—22x4-120 = 0, откуда xt=12, х2=10.
Следовательно, у, = 12, t/2=15. Задача допускает два ответа:
12 ч и 12 ч, 10 ч и 15 ч.
Пример 6. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и
третья бригады обработали древесины в два раза больше, чем
вторая, а вторая и третья — в три раза больше, чем первая. Ка-
кая бригада победила в этом соревновании?
Решение. Пусть х, у, 2—количество древесины, обрабо-
танное соответственно первой, второй и третьей бригадами.
По условию
J x + z= 2у,
I i/4-z= Зх.
Вычитая из первого уравнения системы-второе, получим
х—у = 2у— Зх или 4х = 3у.
Отсюда 1/ = уХ>х. Значит, победила вторая или третья
4
бригада. Подставляя у = -уХ в первое уравнение системы,
126
находим:
. 8 5
- х + г = ~оХ или z = -^x.
о о
4 5
Сравним у = и г = -~-х. Заключаем, что г > у. Победила
<J <J
третья бригада.
§ 10. Неравенства и их свойства
Определение. Два действительных числа или два алгеб-
раических выражения, соединенные знаком > (больше) или <
(меньше) (а также знаком или ^), образуют неравенство
А>В, А<В, А^В, А^В.
Неравенство состоит из двух частей: левой части А и правой
части В.
Если в неравенстве содержится знак > или <, то оно назы-
вается строгим. Неравенство, содержащее знак или sjC, назы-
вается нестрогим.
В неравенствах выражения А и В рассматриваются на том
множестве, где А и В одновременно имеют смысл. Это множество
называется множеством (или областью) допустимых значений
неравенства (сокращенно ОДЗ).
При конкретных значениях буквенных величин из множества
допустимых значений неравенство обращается в числовое нера-
венство, которое может быть верным (справедливым) или невер-
ным (несправедливым).
Два или несколько неравенств называются неравенствами оди-
накового смысла или знака, если они содержат один и тот же
знак > или <. Два неравенства называются неравенствами
противоположного смысла или знака, если в одном из них стоит
знак >, а в другом знак <. Например, неравенства .4 > В и
С > D имеют одинаковый смысл, а неравенства Л <В и С> fl-
противоположный смысл.
Пусть а и b—действительные числа.
Определение. Неравенство а>Ь означает, что разность
а—b положительна.
Определение. Неравенство а<В означает, что разность
а—b отрицательна.
Для любых двух действительных чисел а и Ь только одно из
следующих соотношений является верным: а — Ь, а~>Ь, а<_Ь.
Приведем определения нестрогих неравенств а^Ь и
Неравенство а~^Ь означает, что а>Ь или а — Ь, т. е. а не
меньше Ь.
Неравенство а^.Ь означает, что а<& или а = Ь, т. е. а не
больше Ь.
Например, 15^ 11, 7 Д' 7, 3 < 5, 4 С 4.
Рассматриваются также двойные неравенства:
а < b < с,
а^Ь^с
а<^Ь^с,
as^b <о.
127
Например, двойное неравенство а < Ь < с означает, что одно-
временно а <_Ь и Ь < с; двойное неравенство а^Ь<с означает,
что одновременно а Ь и Ь < с и т. д.
Свойства числовых неравенств.
1) Если а > Ь, то Ь < а, и наоборот, если Ь < а, то а~>Ь.
Доказательство. Если а > Ь, то разность а—Ъ—поло-
жительное число. Тогда Ь—а—отрицательное число, т. е. b < а.
Наоборот, если Ь < а, то Ь—а < 0, и значит, а—Ьр>0, т. е.
а > Ь.
2) Если а > b и Ь > с, то а > с.
Доказательство. Рассмотрим разность а—с = (а—Ь) 4-
4- (Ь—с). По условию а—Ь >0 и Ь—с > 0. Следовательно,
а—с > 0, т. е. а > с, что и требовалось доказать.
3) Если а">Ь, то при любом с а-\-с > b-j-c, т. е. неравенство
остается справедливым, если к обеим его частям прибавить одно
и то же число.
Доказательство. Рассмотрим разность
(а 4- с)—(Ь + с) = (а—Ь) 4- (с—с) = а—Ь.
По условию а >Ь, и значит, а—Ь > 0. Следовательно, (а4-с) —
— (Ь4-с)>0, т. е. а + с>Ь+с.
Следствие. Любое число можно перенести из одной части
неравенства в другую, изменив при этом знак переносимого числа
на противоположный.
В самом деле, пусть а-}-Ь>с. Прибавляя к обеим частям
неравенства число (—6), получим
а > с—Ь,
т. е. число Ъ перенесено из левой части неравенства в правую
с противоположным знаком.
4) Если а > Ь и с > 0, то ас^>Ьс", если а~>Ь и с < 0, то
ас<Ъс, т. е. при умножении обеих частей неравенства на одно
и то же положительное число знак неравенства не изменится-,
при умножении обеих частей неравенства на одно и то же от-
рицательное число знак неравенства изменится на противопо-
ложный.
Доказательство. Пусть а>& и с>0. Докажем, что
ас > Ьс. Рассмотрим разность ас—Ьс = (а — Ь)с. Так как а—Ь>0
и с > 0, то ас—Ьс = (а—Ь)с>0. Следовательно, ас > Ьс. Анало-
гично, если а > Ь и с < 0, то ас—Ьс = (а—Ь)с<_ 0. Следовательно,
ас < Ьс.
5) Если а>Ь и c~>d, то а 4- с > b 4- d-, если а>Ь и c<d,
то а—с>Ь—d, т.е. два неравенства одинакового знака можно
почленно складывать-, два неравенства противоположного знака
можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из
которого вычитали другое неравенство.
Доказательство. Пусть а>Ь и c>d. Докажем, что
а + с> b-]-d. Запишем разность (а + с)—(b + d) в виде (а—Ь) +
4- (с—d). Так как а—Ь>0 и с—d>0, то (а4*с)—(b4-d)>0,
и, значит, a+c>b+d.
128
Пусть
а > b и с < d.
Тогда d>c nd—с>0. Поэтому разность
(а—с)—(Ь—d) = (a—b) + (d — с) > О,
т. е.
а—с > b—d.
Свойство доказано.
6) Если а, Ь, с, d—положительные числа и a>b, c>d, то
ас > bd, т. е. неравенства одинакового знака, у которых левые, и
правые части положительны, можно почленно умножать', при
этом получается неравенство того же знака.
Доказательство. Имеем
ас—bd — (ас —be) + (be—bd) = (а — b)c + (с—d) b,
где a—b>0, c>0, c —d>0, b>0. Отсюда ас—bd>0 или
ас > bd, что и утверждалось.
7) Если а и b—положительные числа и а >Ь, то при любом
натуральном п выполняется неравенство ап~>Ь".
8) Если а и b — положительные числа и а~>Ъ, то при любом
натуральном п^2 выполняется неравенство %/а > yb.
Свойства 1—8 справедливы и для нестрогих неравенств. Это
следует из справедливости свойств 1—8 для строгих неравенств
и известных свойств равенств.
Например, если а^Ь, то и наоборот, если то
а^Ь. В самом деле, утверждение справедливо для строгих не-
равенств. Кроме того, известно, что аналогичное утверждение
справедливо и для равенств, т. е. если а = Ь, то Ь — а, и наобо-
рот, если Ь = а, то а — Ъ.
Свойства 1—8, установленные для числовых неравенств, сохра-
няются и для любых неравенств вида
А>В, А<В, А^В, А^В,
где А и В — любые математические выражения.
Определение. Два неравенства называются равносильными,
если из справедливости одного из них следует справедливость
другого, и наоборот. Равносильность неравенств обозначается
так же, как и равносильность уравнений, т. е. с помощью
знака фф.
Свойства 3 и 4 выражают равносильность неравенств
А>В и Л+ОВ + С
А > В и АС > ВС (С > 0),
где выражения Л, В и С рассматриваются в общей части множеств
их допустимых значений.
Рассмотренные свойства неравенств используются при доказа-
тельстве неравенств и при решении многих задач.
5 И. А. Баранов и др.
129
§ 11. Доказательство неравенств
Укажем некоторые способы доказательств неравенств.
Рассмотрим сначала некоторые основные неравенства.
а2 I
1) a2 + b2^2ab или —у—ab, причем равенство достигается
лишь при а = Ь. В самом деле, разность + — 2аЬ = (а— Ь)2.
Очевидно, что (а — Ь)2 0, и, значит, a2 + ft2^2ab.
2) | а + b | | а | + | b |, причем равенство достигается лишь
в случае, когда числа а и b имеют одинаковые знаки или хотя
бы одно из них равно- нулю. Это неравенство обобщается на
любое конечное число слагаемых:
| + ^2 + • • • + | ^ | | + | °2 | + • • • + I I-
3) |й_/)|>|й|-|6|.
4) ах2 4-Ьх + с^О, если а>0 и D = b2— 4ас^0. Равенство
достигается лишь в случае, когда D = 0 и х = — Ь/2а (доказатель-
ство см. в § 12 гл. VI).
5) если а^О, Ь^О, причем равенство дости-
гается лишь при а — Ь.
Число называется средним арифметическим чисел а и Ь,
а число УаЬ — их средним геометрическим.
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше
их среднего геометрического. Для доказательства запишем оче-
видное неравенство (К«—V b )2 > 0.
Возведя в квадрат, получим
а—ab + bZ^O, откуда УУ-^УаЬ,
что и требовалось доказать. При этом равенство достигается
только тогда, когда
оно достигается в исходном неравенстве,
т. е. при (У а—У й)2 = 0, что возможно
только при а = Ь.
Приведем также геометрическое дока-
зательство этого неравенства. Мы знаем,
что в прямоугольном треугольнике длина
медианы, проведенной из вершины прямо-
го угла, равна половине длины гипотену-
зы, адлина высоты, опущенной из вершины
прямого угла на гипотенузу, равна средне-
му геометрическому длин отрезков, на ко-
торые она делит гипотенузу. В прямоуголь-
ном треугольнике АВС (рис. 10) длина медианы [ ОС | = ,
длина высота |СО| = УаЬ; очевидно, что при a ^b, I ОС I > ICDI,
при а = Ь, |'ОС| = |СО|.
130
Понятия среднего арифметического и среднего геометрического
вводятся и для п неотрицательных чисел alt ........ап; это числа
а. 4~ ^2 4- • • • 4- п /
—---------—— и у/а1а2...а„; в этом общем случае справедливо
неравенство
517Ь_Д2+...+а - -а-
П --- V 1 2 и»
причем равенство достигается лишь при а1 = а2= ... =ан.
6) у4--у 2, если а > О, b > 0, причем равенство достигается
лишь при а = Ь. В самом деле, числа у и — положительны.
Поэтому среднее арифметическое чисел | и не меньше их
среднего геометрического:
а , b
Ь' а ~ /” a b а , b п
—в— =5= I/ т • — или -j- Н— ^2
2 V b а b а —
^равенство в случае у = у, т. е. при а = Ь, так как а и Ъ поло-
жительны) .
Можно доказать иначе
а . b „___а2—2а6Ц-й2____ (а— Ь)2 ~
b ‘ а ab ай
так как а > О, b > 0. Значит, -^- + — >2.
7) а3 4-й3 ab (а 4-й), если а > 0, b > 0, причем равенство
достигается лишь при а = Ь.
В самом деле, a3 -\-b3 — ab (я 4-й) = (а 4-й) (а2—ab + b2) —
— ab(а + Ь) = (а + Ь) (а2 — 2аЬ + Ь2) = (аЬ) (а—й)2^0, что и тре-
бовалось доказать.
Перейдем к доказательству более сложных неравенств. Спо-
собы их доказательства состоят в следующем.
1. Доказываемое неравенство путем преобразований, основан-
ных на свойствах неравенств и сохраняющих их равносильность,
сводят к неравенству, справедливость которого известна.
2. Путем равносильных преобразований очевидное или извест-
ное неравенство сводят к доказываемому неравенству.
3. Комбинируют первый и второй способы, т. е. преобразуют
как известное, так и доказываемое неравенства.
Применение этих способов покажем на следующих примерах.
Пр и мер I. Доказать, что а2 4- Ь2 + с2 ab 4- Ьс 4- ас.
Решение. 1-й способ. Доказываемое неравенство равно-
сильно неравенству 2 а2 + 2Ь2 + 2с2—2аЪ—2Ъс—2ас^0 или
(а—Ь)2 4- (Ь—с)2 4- (а—с)2 ^0. Последнее очевидно. Равенство
достигается только при а = Ь=с.
5*
131
2-й способ. Складывая три известных неравенства
а2:/;2 , 1>2---с2. , а21-с2
—~^ab, —j—^bc,
получаем a?-\-b2 +с2 ab + bc-\-ac.
Пример 2. Доказать, что (а 4-Ь) (Ь -(-с) (а 4-с) 8abc, если
а^О, 6^0, с^О.
Решение. Умножая неравенства
2 \^ab, (b-j-c) 5s 2]^bc, (а + с)^ 2]/ас,
получаем
(а + Ь) (Ь -р с) (а 4- с) 8abc,
так как ]/ab VbeV ас = abc.
Пример 3. Доказать, что при любых значениях х верпы
неравенства: а) х2—2x4-2 >0; б) 2х2 4-Зх 4~ 5 > 0.
Решение. Используем приведенное выше неравенство 4)
для квадратного трехчлена: у данных квадратных трехчленов
коэффициенты при квадрате х положительны, а дискриминанты
отрицательны; например, для трехчлена 2х24-Зх-|-5 дискрими-
нант 0 = 9 — 40 < 0. Неравенства доказаны. Заметим, что
х2 — 2х-)-2 = (х—2)2+1, откуда ясно, что х2—2х-]-2 > О для
любого значения х.
Пример 4. Доказать, что для любых х и у
х24-5у2— 4xz/-|^2x—бу 4-3 > 0.
Решение. Рассматривая левую часть неравенства как квад-
ратный трехчлен относительно х, имеем
х2 4-2(1 — 2у)х-|-(5у2— бу 4-3) > 0.
Так как дискриминант
0 = 4(1 —2у)2—4(5у2—6у-(-3) =
= -4 (у2 —2у-)-2) = —4 ((у—l)2-f-1) < О
для любых у, а коэффициент при х2 положителен, то квадратный
трехчлен х24-2(1— 2у)х-|-(5у2— бу 4-3) положителен для всех х
и у, что и требовалось доказать.
Пример 5. Доказать, что для любых чисел alt а2, blt Ьг,
удовлетворяющих условиям
( al + a*=l,
I bl + bl=\,
справедливо неравенство | а1Ь14- a2b21 sC 1.
Решение. Используем приведенные выше неравенства 2)
и 1). Имеем
2 . ,2 2 । ,2
132
Так как
«? + *? , al+bj _ + b\ + bl _ .
2 2 — 2 2 ’
то | albl + a2b21 1, что и требовалось доказать.
При доказательстве некоторых неравенств удобно использо-
вать замену данных величин другими.
Пример 6. Доказать, что
если а > О, b > 0.
Решение. Полагая Va = x, ]/b = y, получаем неравенство
у + + у (*>°. //>0),
равносильное простейшему х3 + if ~^ху (хЦ-г/). Неравенство дока-
зано.
Пример 7. Доказать, что для любых чисел а и Ь, удовлет-
воряющих условию а-\-Ь = ‘2., справедливо неравенство
а4 + Ь4^2.
Решение. Пустьа=1+с. Тогда 6 = 2— а = 1 —с. Поэтому
^ + Ь4 = (1+с)4 + (1_с)4 = ((1+с)3)2 + ((1_с)2)2 =
= (1+2с + с2)2 + (1 —2с4-с2)2
пли
а* 4- Ь1 = (1 + 4с2 + Ас + Q.C- + 4 Д) +
+ (1 +4с24-с4 — 4с + 2с2 — 4с3) = 2 4-12с2 + 2с1>2,
что и требовалось доказать.
§ 42. Решение линейных и квадратных неравенств
с одним неизвестным
Будем рассматривать неравенства с одним неизвестным.
Определение. Решением неравенства называется то зна-
чение неизвестного, при котором это неравенство обращается
в верное числовое неравенство.
Решить неравенство — это значит найти все значения неизвест-
ного, при которых данное неравенство является верным (или
установить, что таких значений неизвестного нет).
Два неравенства называются равносильными, если всякое ре-
шение одного из них является решением другого, и наоборот.
Если оба неравенства не имеют решений, то они также считаются
равносильными.
Решая неравенство, заменяют данное неравенство другим,
более простым, но равносильным данному. При этом исполь-
зуются основные свойства неравенств:
133
1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком; при этом знак
неравенства не меняется.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю; если это число положи-
тельно, то знак неравенства не меняется, а если это число
отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.
Линейные неравенства. Линейным, неравенством называется
неравенство вида
ах + b V 0 (л ¥= 0),
где символ V может обозначать любой из знаков >, <,
Для определенности разберем решение неравенства
ах + Ь>0 (а^О).
Это неравенство запишем в виде ах > — Ь. Отсюда получаем
х>—если а > 0, и х < — — , если а < 0.
а а
Другая запись: если а > 0, то ах-\-Ь&х> — — ; если а<0,
, , ь
то ах4-0 &х <——.
Например, решим неравенство
2(х—3) —1 >3(х—2) —4(х+1).
Упростим обе части неравенства: раскроем скобки и приве-
дем подобные члены. Получим
2х—6—1 > Зх—6—4х—4,
2х—7>—х—10,
откуда
Зх > —3,
т. е. х>—1 — решение линейного неравенства. Множество чи-
сел х, удовлетворяющих неравенству х>—1, на числовой оси
изображается лучом (—1; 4- оо) (см. гл. I).
В рассмотренном примере после упрощения неравенства полу-
чили линейное неравенство, в котором коэффициент при неиз-
вестном не равен нулю. Для других неравенств первой степени
с одним неизвестным этот коэффициент может оказаться равным
нулю. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить неравенство
2(х—1)4-1 > 3—(1 —2х).
Решение. Упрощая неравенство, получим
2х— 2 4-1 >3— 14-2х,
2х — 2х>2-|-1 или0-х>3.
А это неравенство не имеет решений, так как его левая часть
0-х равна нулю при любом х, а неравенство 0>3 неверно.
134
В случае неравенства 2(х—1)4-1 <3— (1—2х) имели бы
0-х <3 или 0 < 3, следовательно, любое значение х является
решением неравенства.
Пример 2. Решить неравенство ах > а.
Решение. Данное неравенство содержит параметр а. Если
а > 0, то ах > а & х > 1; если а < 0, то ах > а ФФ х < 1; если
а = 0, то решений нет.
Квадратные неравенства. Квадратным неравенством назы-
вается неравенство вида
ах24~Ьх4-с\/0 (а¥=0),
где символ V может обозначать любой из знаков >, <,
Другими словами, квадратное неравенство—это неравенство,
в левой части которого стоит квадратный трехчлен, а в правой —
нуль.
Рассмотрим квадратный трехчлен
у = ах2-]-Ьх-\-с (а =^=0).
Вынося а за скобки и выделяя полный квадрат, запишем
квадратный трехчлен в виде
где D = b2 — Аас — дискриминант квадратного трехчлена.
Возможны следующие случаи:
1. D < 0. Так как (х4~ ^0 для любого х, а (— >0
при D < 0, выражение в скобках (7) положительно, и следова-
тельно:
1) если а > 0, то ах24-Ьх4-с>0 для всех х;
2) если а < 0, то ах2 4- Ьх 4-с < 0 для всех х.
Таким образом, если дискриминант квадратного трехчлена
отрицателен, то для всех х квадратный трехчлен принимает
значения одного знака, совпадающего со знаком коэффициента
при х2. Отсюда следует, что в случае D < 0 неравенства
ах2 4-Ьх 4- с > 0 и ах2 4- Ьх 4-с 0 имеют решением все действи-
тельные значения х при а > 0 и не имеют решений при а < 0.
Аналогично при D < 0 неравенства ах24-&х4-с<0 и ах2 4-
4-Ьх4-с^0 не имеют решения в случае а>0 и имеют реше-
нием все х, если а < 0.
2. £> = 0. В этом случае, согласно равенству (7), квадратный
трехчлен представим в виде
ах24-&х4-с = а fx4-^’-V (D = 0).
135
Следовательно, если дискриминант квадратного трехчлена
„ . ь
равен нулю, то квадратный трехчлен для всех х=/=—прини-
мает значения одного знака, совпадающего со знаком коэффи-
циента при х2; при х = — он принимает значение, равное пулю.
Поэтому в случае £> = 0:
1) неравенство ох2ф-Ьх-|-с>0 имеет решением любое х=4=— ,
если а > 0, и не имеет решения, если а < 0;
2) неравенство ах" 4- Ьх 4- с < 0 имеет решением любое
если а < 0, и не имеет решений, если а > 0;
3) неравейство ах2 + Ьх 4-с 0 имеет решением любое х, если
а > 0, и единственное решение х = — если tz<0;
4) неравенство ах2 4-+ с О имеет решением любое х, если
а < 0, и х = — , если а > 0.
3. D>0. В этом случае квадратный трехчлен можно пред-
ставить в виде
ах2 + Ьх4-с = а (х—xj (х—х2), (8)
где х, и х2— действительные и различные корни квадратного
трехчлена (см. § 4 гл. VI).
Будем считать, что х1 < х2. Очевидно, что (х—х,) (х—х2) > О
для х < xt и х > х2 (оба множителя одного знака: соответственно
отрицательны или положительны) и (х—х,) (х—х2) < 0 для
Xj < х < х2 (первый множитель-положителен, а второй отрица-
телен).
При x = xt или х = х2, очевидно, (х—х() (х—х2) = 0. Поэтому,
согласно «формуле (8), в случае а > 0 квадратный трехчлен
ахг + Ьх-\-с положителен для всех х вне отрезка [х5; х2] и отри-
цателен для всех значений х из интервала (xf, х2). В случае
а<0 — наоборот.
Отсюда вытекает способ решения квадратного неравенства
ах2 + Ьх-]-с\/0, когда D > 0.
Приведем геометрическое "истолкование. Графиком квадрат-
ного трехчлена у = ах2 + Ьх 4-с служит парабола (см. § 4 гл. VII).
Расположение этой параболы относительно оси Ох для различ-
ных случаев представлено на рис. 11.
Графический способ решения квадратных неравенств будет
рассмотрен в гл. VII.
Приведем примеры решения квадратных неравенств.
Пример 3. Решить неравенства: а) х2-—5хф-6 >0;
б) —2х24-х-|-1 ^0; в) —2х24-х—1 < 0; г) 3.v2 —4x4-5 < 0;
д) 4х24-4х-|- I > 0.
Решение, а) Дискриминант £> = 25 — 4 -6 > 0; корни квад-
ратного трехчлена действительны и различны; хх = 2, х; = 3.
136
Следовательно, хг—5х-(-6 = (х—2) (х—3), и данное нера-
венство принимает вид (х—-2) (х— 3) > 0.
Решением неравенства являются числа х < 2 (оба множителя
отрицательны, и произведение их положительно), а также числа
х > 3 (оба множителя положительны, и произведение их поло-
жительно) .
Ответ, х <2, х > 3.
б) Дискриминант 0=1 — 4-(—2) = 9>0; корни квадратного
трехчлена действительны и различны:
— I ± /9 -1 ± 3
A'i. 2 — 2-(—2) " —4 ’
откуда 'г1 =— , х2 = 1, и следовательно, —2х2 4-х4-1==
= —2 ^х4-у) (х—1). Имеем
—2^х-|-у^(х—1)^=0 или ^х-Ь у) (х- 1)<0
(при делении обеих частей неравенства на отрицательное число
знак неравенства меняется на противоположный). Неравенству
удовлетворяют все числа из отрезка £—lj.
Ответ. — -С х <1 1.
в) Дискриминант 0=1—4-(—2)-(—1) < 0, коэффициент при
х2 отрицателен. Квадратный трехчлен —2х24-х—1 принимает
только отрицательные значения.
Ответ, х—любое число.
г) О= 16—4-3-5 < 0, коэффициент при х2 положителен. Квад-
ратный трехчлен Зх2 — 4x4-5 принимает только положительные
значения.
Ответ. Решений нет.
137
д) £>=16 — 4-4 = 0. Квадратный трехчлен 4х2 4* 4x4*1 пред-
ставляет собой квадрат (2x4*1)% и данное неравенство прини-
мает вид
(2x4-1)2 > 0,
откуда следует, что решениями неравенства являются все дейст-
1
вительные числа х, кроме х =—
Ответ. х=^=— у.
Пример 4. Решить неравенство (а — 2)х2—х—1^0.
Решение. При а = 2 имеем —х—1^0 или х=С—1. При
а^=2 неравенство является квадратным. Находим дискриминант:
D=14*4(a—2) = 4я— 7. Если D = 4a—7 < 0, т. е. а < ~ , то
коэффициент а—2 < 0, и, следовательно, неравенство решений
не имеет (для любого х его левая часть отрицательна).
7 х2
Если а = у, т. е. £) = 0, то неравенство принимает вид—-—
— х—1^0 или —(х—2)2^0. Следовательно, его решением
7
будет лишь х = 2. Если а > и а =#=2, то находим корни квад-
1 + У4а —7 1 — ]<4а —7 „
ратного трехчлена: х2 =—<ца—2)— и х'2~ 2 (а—2)—' ИеРавен*
ство запишем в виде (а — 2) (х—х,) (х—х2)^0.
В случае < а < 2 коэффициент а—2 < 0, и неравенство
равносильно неравенству (х—х,) (х—х,)^0. В этом случае
X] < х2. Поэтому решением неравенства являются все числа
отрезка [х2; х2], т. е. Xj^x^x2.
В случае а > 2 неравенство равносильно неравенству (х—xjx
х(х—х2)^0. В этом случае х, > х2. Поэтому решением будут
все числа вне интервала (х2; xj, т. е. х^х2 и х^х,.
Л О 7 1 + /4^=7 . , 1 —
Ответ, х = 2, если а = = ; —~— <7 х +’ , если
± Л (CZ j \U J
7 п , о , 1-К4%~Г7 1 + )<4^Т7
-г < а < 2; х s+— 1, если а = 2; х ——---—— и х —ф--------„г* .
4 ’ 2 (а —2) 2 (а —2) ’
7
если а > 2; решений нет, если а < у.
При решении квадратных и более сложных неравенств исполь-
зуется также метод интервалов (§ 14 гл. VI).
§ 13. Системы неравенств с одним неизвестным.
Неравенства, содержащие модуль
Пусть" заданы несколько неравенств с одним неизвестным.
Если требуется найти число, которое является решением всех
данных неравенств, то совокупность этих неравенств называют
системой неравенств.
138
Решением системы неравенств с одним неизвестным называется
то значение неизвестного, при котором все неравенства системы
обращаются в верные числовые неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти все решения
этой системы или установить, что их нет.
Две системы неравенств называются равносильными, если вся-
кое решение одной из них является решением другой, и наобо-
рот. Если обе системы неравенств не имеют решений, то они
также считаются равносильными.
Пример 1. Решить систему неравенств
Зх—4 <8x4-6,
2х— 1 > 5х—4,
Их—9 15x4-3.
Решение. Решим первое неравенство:
Зх—4 < 8х4*6,
—5х < 10,
х > —2.
Оно выполняется при х > —2.
Решим второе неравенство:
2х— 1 > 5х—4,
—Зх > —3,
х < 1.
Оно выполняется при х< 1.
Решим третье неравенство:
Их —9< 15х4тЗ,
—4х< 12,
х 25-—3.
Оно выполняется при х>—3. Все три данных неравенства верны
при —2<х<1 (рис. 12).
Рис. 12.
Ответ. —2 < х < 1.
2х —1 1
Пример 2. Решить неравенство -гр < h
Решение. Имеем
?.х—1—1<0 или ~ггг<0-
х4-1 х-Н
Дробь отрицательна только в тех случаях, когда ее числи-
тель и знаменатель имеют разные знаки. Поэтому полученное
неравенство равносильно совокупности двух следующих систем
139
неравенств:
х— 2 > О,
х+1 <0
х— 2 < О,
х+1 >0.
Это означает, что решение исходного неравенства состоит из
решений каждой из этих систем.
Решая первую систему неравенств, получим
( х > 2,
\ х < —1.
Очевидно, решений нет (неравенства противоречивы).
Решая вторую систему неравенств, получим
х < 2,
х > —1,
т. е. —1 < х < 2.
Ответ. —1 < х < 2.
Рассмотрим неравенства, содержащие модуль. Установим сле-
дующие их свойства.
1) Неравенство
|х[<а, (9)
где а > 0, означает то же самое, что и двойное неравенство
—а^.х^.а,
(Ю)
пг. е. при а>0 неравенство | х | а равносильно двойному нера-
венству — а + х + а.
Действительно, если х^О, то |х| = х; неравенство Iх | а
имеет вид х^а. Следовательно, все числа отрезка [0; а] явля-
ются решениями неравенства (9).
Если же х < 0, то |х| =— х; неравенство |х|^а имеет вид
— х^а, откуда х^—а. Следовательно, все числа полуинтер-
вала [—а; 0) также являются решениями неравенства (9).
Объединяя полученные результаты, заключаем, что все числа
отрезка [—а; а] удовлетворяют неравенству (9). Неравенство (10)
доказано.
Из неравенства (9) следует неравенство (10).
Наоборот, пусть выполнено неравенство (10). Имеются две
возможности: х^0 и х < 0. Если х^гО. то |х[ = х и вместо
х<а можно написать |х|^а, т. е. справедливо (9).
Если х<0, то |х| = — х и вместо —а^х, [или а^=—х,
можно написать а^|х|, т. е. опять справедливо (9). Из нера-
венства (10) следует неравенство (9). Свойство доказано.
Геометрически неравенство (9), или равносильное ему нера-
венство (10), означает, что число х лежит на отрезке между
числами —а и а, т. е. расстояние от точки х до точки О не
больше а (рис. 13).
но
Точно так же получим, что неравенство |х| < а, где а > О,
означает то же самое, что и двойное неравенство —а<х<а,
т. е. при а>0 неравенство |х| <а равносильно двойному нера-
венству —а < х < а. В случае а < 0 приходим к неверным (или
противоречивым) неравенствам | х | < а и | х | < а, так как |х|
2) Неравенство
|х|>а, (Н)
где а>0 означает, что х>а, или х < — а.
_ a<-tt a>tr
-Г . .1— —I . г~
-» и •» « 4 е — „
Рис. 13. Рис. 14.
В самом деле, если х^О, то |х|=х и из (11) следует, что
х > а; если же х < 0, то |х| = — х и из (И) следует, что
— х > а, или х <—а. г
Таким образом, условие |х| >а (а > 0) означает, что точка х
лежит либо справа от точки а, либо слева от точки (—а)
(рис. 14).
Если [ х | + а, где а > 0, то х^а, или х<—а. Очевидно,
что при а < 0 неравенства | х | > а и | х | > а выполняются для лю-
бого значения х.
Пример 3. Решить неравенство | 2х—3[^5.
Решение. Данное неравенство равносильно двойному не-
равенству
—5<2х—3^5.
Так как двойное неравенство —5<2х—3<5 означает крат-
кую запись двух неравенств —5^2х—3 и 2х—3^5, то можно
применить основные свойства неравенств.
Прибавляя к каждой части неравенства —5<2х—3<5
число 3, получаем —2 ^2x^8, откуда делением каждой части
на число 2 находим, что —1^х^4. Множеством решения
является отрезок [—1; 4].
Ответ. —1^х^4.
Пример 4. Решить неравенство |1—х[>3.
Решение. Так как |1—х| = |х—1 |, то имеём [х—1 [ > 3.
Это неравенство выполняется в том случае, когда х— Г > 3, или
х—1<—3, т. е. при х>4 или х <—2. Множество решений
изображается на числовой оси двумя лучами.
Ответ, х > 4, х < —2.
Пример 5. Решить неравенство х2+ 4х + 4 < 25.
Решение. Запишем неравенство в виде
(х+2)2 <25.
Извлекая из обеих частей неравенства- арифметический квад-
ратный корень, получаем
| x-f-21 <5,
141
или —5<%4-2<5, откуда —7 < х < 3. Множеством решений
является интервал (—7; 3).
Ответ. —7 < х < 3.
Пример 6. Решить неравенство ]/9х24-6х 4-1 < 2—х.
Решение. Запишем неравенство в виде
или
]/\Зх4-1)2< 2—х,
13*+ 11 < 2—х,
равносильное совокупности двух систем неравенств
Зх+1>0, ( Зх+1 < О,
3x4-1 <2—х И ( —(3x4-1) <2—х.
Решением первой системы является полуинтервал —у ; yj ,
/ 3 1 \ „
решением второй системы—интервал I—у; —у 1 . Следова-
I Л л тельно, решением исходного неравенст-
— —«—♦----« - > / з ] х
~1 О з а ва является интервал (—у; у).
Рис. 15. Ответ. —у<х<у.
Пример 7. Решить неравенство х 4-1 3 — 2х | > | х 4- 11—1-
Решение. Запишем неравенство в виде х-{-2|х—у | >
>|х4~1|—1, и отметим на числовой осн точки х = —1 и х = -|-
(рис. 15), в которых выражения, стоящие под знаком модуля,
обращаются в нуль. Эти точки разбивают числовую ось на три
промежутка:
х<-1 (/); -1<х<-| (//); х^| (III).
Рассматривая х последовательно на каждом из этих проме-
жутков, получим, что исходное неравенство равносильно сово-
купности следующих трех систем неравенств:
х 4- 2 ^х— > х + 1 — 1.
Решая каждую из этих систем, находим, что решением пер-
вой является промежуток х^С—1, решением второй — промежу-
3 3
ток —1^х<у и решением третьей — промежуток х > у . Сле-
142
довательно, решением данного неравенства являются все дейст-
з
вительные числа х, кроме х = -%.
Ответ, х^=^-.
§ 14. Задачи на уравнения и неравенства.
Метод интервалов
Рассмотрим несколько задач, связанных с выявлением опре-
деленных свойств уравнений и неравенств и их решений.
Пример 1. Определить коэффициенты квадратного уравнения
х2 + рх q = О,
если его корни равны р и q.
Решение. Если дискриминант D = p2—4<?^0, то по тео-
реме Виета
Х1 + х2 = —р, х{х2 = д.
Пусть xt = p, x2 — q. Тогда
p + q = — р,
pq = q.
Эта система имеет два решения: р1 = 0, <71 = 0; р2=1, <?2 =—2.
Если р = 0* q = Q, то 0 = 0; если р=1, q = —2, то £)>Ь.
Ответ. pl = 0, <у1 = 0; p2—l, q2 =—2.
Пример 2. В уравнении х2—2х + <? = 0 определить значе-
ние с, при котором его корни xt и х2 удовлетворяют условию
7х2— 4хх = 47.
Решение. По теореме Виета
х14-х2 = 2, х1х2=с.
Рассмотрим систему уравнений
х1 + х2 = 2,
х1х2=с,
7х2— 4х1 = 47.
Решая линейную систему
xt + х2 = 2,
7х2—4xj = 47,
получим хх =—3, х2 = 5. Поэтому с — х2х2 =—15.
Пример 3. При каких значениях а оба корня уравнения
х2 — (« + 1)х + а + 4 = 0 оказываются отрицательными?
Решение. Найдем дискриминант уравнения
D = (а-|- I)2 — 4 (а4-4) = а?—„2а—15.
143
Пусть D'-^O. Решая квадратное неравенство а2— 2а—15^0,
получим а —3, а ^5.
Выясним, при каких значениях а из этих промежутков оба
корня уравнения отрицательны.
Обозначим произведение корней через Р, а их сумму — S.
По теореме Виета
Р = х1х2 = а + 4, S = x1H-x2 = a+1.
Условие отрицательности обоих корней квадратного урав-
нения: дискриминант D неотрицателен; произведение корней Р
положительно и сумма корней S отрицательна.
Имеем Р > 0, т. е'. а4-4>0, или а>—4. Если —4<а^
—3, то £)^0, Р > 0, S < 0 —корни отрицательны; если а^ 5,
то 0^0, Р > О, S > 0 — корни положительны.
Итак, оба корня отрицательны при —4 < а —3.
Пример 4. Решить в целых числах уравнение ху = 2х—у.
Решение. Из уравнения находим
где x=t=— 1. Запишем дробь в виде
_(2х + 2)-2_2 2
х+1 *+•'
Отсюда следует, что значение у будет целым лишь в том
, 2
случае, когда дробь есть целое число, а это возможно при
целом х, когда х+1 = ±1 или x-f-l = ±2.
Подставляя соответствующие х в формулу у = ^-j-y, находим
все целые решения данного уравнения; хх = 0, ^ = 0; х2 =—2,
z/2 = 4; х3=1, г/3=1; х4 = —3, г/4 = 3.
Пример 5. При каких значениях а неравенство
о x2+<ix—2 о
выполняется для всех значений х?
Решение. Квадратный трехчлен х2—х4- 1 принимает только
положительные значения, так как его дискриминант D= 1 —4 < 0
и коэффициент при хг больше нуля. Получаем двойное неравенство
—3х24-3х—3 < х2Н-ах—2 < 2х2 — 2x4-2
или систему неравенств
| —Зх24-3х—3<х24-«х— 2,
( x2 + ax—2 < 2х2—2хф-2,
или
( 4х24-(а—3)х-)-1>0,
} х2—(a4-2)x4-4 > 0.
144
Каждое из этих неравенств будет выполняться при всех зна-
чениях х, если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен:
£)1 = (а —3)2—16 < О,
Da = (a + 2)a —16<0.
Находим
(а—3)2<16, J \а— 3|<4,
(а + 2)2<16 ИЛИ 1|а-|-2|<4,
т. е.
( —4 < а — 3 < 4, I — 1 < а < 7,
1 Л , п л илн S С - о
4<а-}-2<4 (— 6 < а 2;
следовательно, — 1 < а < 2.
Пример 6. Решить неравенство |х2— 5х | 6.
решение. Данное неравенство, содержащее модуль, озна-
чает, что х2— 5x^6 или х2— 5х —6.
Решая неравенство х2 — 5х—62ДО, получим х^—l,'xZ>6.
Решая неравенство х2 — 5х Дб-ДО, получим 2^х^3.
Ответ. х Д — 1; 2 <Д х -Д 3, х Д± 6.
Пример 7. Доказать, что уравнение
где а и b—действительные числа, одновременно не равные нулю,
имеет лишь действительные корни.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
а2(х—1) + 62х = х(х—1)илих2 — (a2 + b2 + l)x-f-a2 = 0 при уело-,
вии, что хУ=0, хф \ и аЬД=0.
Дискриминант полученного квадратного уравнения
D = (а2 + Ь2 + I)2 —4а2 = (а2 + b2 + 1 + 2а) (а2 + b2 + 1 — 2а) =
= ((а+ \У + Ь2)((а- 1)2 + Ь2) ^0
при любых а и Ь. Следовательно, квадратное уравнение имеет
всегда действительные корни. При условии ab^O корни отличны
от 0 и 1: если бы х = 0, то и а было бы равно 0; если бы х= 1,
то 1—(а2 + Ь2 +1)-|-а2 = 0, и значит, b было бы равно нулю.
Если а = 0 то исходное уравнение принимает вид
р=1 и имеет корень х=14-Ь2. Если 6 = 0 (аД=0), то исход-
на
ное уравнение принимает вид -- = 1 и имеет корень х — а2. Та-
ким образом, при любых а и Ь, одновременно не равных нулю,
исходное уравнение имеет лишь действительные корни.
Пример 8. Исследовать корни уравнения (а — 2)х2 — 2ах4-
4-2а—3 = 0 в зависимости от параметра а.
Решение. Если а = 2, то уравнение является линейным:
— 4х-|-4 —3 = 0; оно имеет положительный корень х = -^-.
J45
0 1 Г
Р>0 Р<и P>ff
-—•-а-о-- -- у.
—£
S>0
-— --о—---- >
*2?
Рис. 16.
S < 0—один корень равен
При а=/=2 данное уравнение является квадратным с дискри-
минантом
D = 4а2— 4 (а — 2) (2а—3) = — 4 {а— I) (а — 6),
если разложить на множители квадратный трехчлен относи-
тельно а.
Если а < 1 или а > 6, то D < 0, и уравнение не имеет дейст-
вительных корней.
Если 1^а<6 (а #=2), то D^Q. По теореме Виета
(3 \
* ~ '*!'•» — а_2 ~ а-2
о . 2а
5 — Хх -f- Х2 — — •
Найдем на числовой оси интервалы знакопостоянства величин D,
Р, S (рис. 16).
При а = 1, имеем D = О, Р > О, S < 0, и следовательно, корни
равные (£) = 0), одинакового знака
(Р > 0) и притом отрицательные
(S<0).
з
На интервале 1 < а < имеем
D > 0, Р > 0, S < 0, и, следователь-
но, корни различные и оба отрица-
тельные.
з
При а =— имеем D > 0, Р = 0,
нулю, а другой — отрицательный.
На интервале < а < 2 имеем D > 0, Р < 0, S<0 —корни
разных знаков (Р < 0), причем’больший по модулю корень отри-
цательный (S < 0).
На интервале 2<a<6 D>0, Р >0, S > 0 —корни различ-
ные, оба положительные.
При а = 6 имеем D = Q, Р > 0, S>0 — корни равные поло-
жительные.
Метод интервалов. Рассмотрим решение методом интервалов
неравенств вида
^jVO, (12)
где Р(х) и Q (х)— многочлены, а символ V означает любой из
знаков >, <,
Метод интервалов основан на следующем свойстве многочленов.
Число х0 называется корнем многочлена Р (х), если при зна-
чении х'=х0 многочлен принимает значение, равное нулю, т. е.
Р(х0) = 0. Приведем без доказательства свойство действительных
корней многочлена: если х, и х, (xL < х2)—два соседних корня
многочлена, т. е. в интервале (хх; х2) других корней многочлен
не имеет, то в этом интервале многочлен сохраняет знак: для
146
любого числа х из интервала (Xj; х2) многочлен принимает зна-
чения одинакового знака.
Это свойство многочлена можно сформулировать так: если
ха—действительный корень многочлена Р(х), то при переходе
через точку х=х0 многочлен Р (х) меняет знак.
Поясним на следующем примере. Рассмотрим квадратный трех-
член (т. е. многочлен второй степени) х2-—Зхф-2. Найдем его
корни Xj=l и х2 = 2 и разложим квадратный трехчлен на мно-
жители:
х2—Зх + 2 = (х—1)(х—2).
Точки х=1 и х = 2 разбивают числовую ось на три интер-
вала. Из разложения квадратного трехчлена следует, что в каж-
дом из этих интервалов трехчлен сохраняет знак. Если двигаться
вдоль числовой оси слева направо, то-------- ------
знак квадратного трехчлена будет ме- .—+ X _ Z-——----------
няться: плюс, минус, плюс, причем а
смена знака происходит только при пере- Рис- 17.
ходе через корень трехчлена (рис. 17).
На рис. 17 знакочередование изображено волнистой линией.
Для решения неравенств вида (12) методом интервалов надо:
1) найти все действительные корни многочленов Р (х) и Q (х);
2) оставить из найденных корней только те, которые не яв-
ляются одновременно корнями многочленов Р (х) и Q (х), и рас-
положить эти корни в порядке возрастания: х, < х2 < ... < хп;
3) отметить на числовой оси точки хп х2, . . ., хя, разбивающие
числовую ось на интервалы, в каждом из которых дробь
Р И
Q W
сохраняет знак;
4) выбрать какую-нибудь точку из крайнего слева интервала
. л Р (Х) „
х < хх и установить по знаку дроби в этой точке ее знак для
всех х <
5) изобразить соответствующей линией знакочередование и
получить все решения неравенства (12) в зависимости от значе-
ния символа V.
Пример 9. Решить методом интервалов неравенство
(х2 _ Зх + 2) (х2 4- 2х + 2) п
(х—3)(х—1—2х2) =^U‘
Решение. Заметим, что дискриминанты квадратных трех-
членов х2Н~2х+2 и —2х2 + х—1 отрицательны. Поэтому трех-
члены принимают значения одного знака, совпадающего со зна-
ком коэффициента при х2: х2 + 2х-)-2 > 0, —2х2 + х—1<0 для
любого х. Данное неравенство запишем в виде
х2—Зх-|-2
х—3
или
(х—1) (х —2) п
Отметим на числовой оси точки х=1, х = 2, х = 3 (рис. 18).
147
В интервале х < 1 возьмем какую-нибудь точку, например
х=0. В этой точке дробь =—| < 0. На рис. 18
изображено знакочередование. В точках х=1 и х = 2 дробь об-
ращается в нуль; х=1 их = 2—решения данного нестрогого
неравенства.
Рис. 18. Рис. 19.
При х = 3 дробь теряет смысл.
Получаем решение неравенства: х<С1, 2^х<3.
Пр и мер 10. Решить неравенство
(x»-3x-j-2) (х + 2)3 х2
(х2—1)(х — зр ’
Решение. Запишем неравенство в виде
(х—1) (% —2) (х+2)3х2
(х-1)(х + 1)(х-3)‘
Так как х2^0, (х—3)4^0 и (х + 2)3 совпадает по знаку
с (х + 2) для любого х, то данное неравенство равносильно не-
равенству
(х-2) (х+2) 0 .
для всех х=+ 1, х+=3, х#=0, причем х = 0 обращает левую часть
исходного неравенства в нуль и, следовательно, является реше-
нием, а х = ,1 и х = 3 не являются решением (при этих значениях х
дробь в левой части данного неравенства теряет смысл). Решаем
неравенство (*) методом интервалов (рпс. 19).
Ответ. —2^х<— 1, х = 0, х^2.
Упражнения
Раздел I
Решить уравнения (№ 1 — 16);
1. -Х+Л-=______37 2 3(9х-3) , Зх+1
х + 2 х + 3 х2+ х + 6 9х—6 ‘ Зх — 2‘
, х+1 х+2, 4
• х-Л~Х+з+^+2х —3 = 0’ 41 ах~3 = х- 5. сх + 6 = х.
7- 2^4=27^ •
Я. - < | а _2 9 __2д + *_ 16д2
х—а~х—Ь ’ • 2а + х х—2а 4а2— х2 ‘
10. (х2-5х + 7)2—(х—2)(х—3) = 1. 11. х3+х2—2=0.
12. 4х4-5х2+1=0. 13. Ki+2-Vr=6 = 2. 14.V7+T+K2?+3 = 1.
148
15. х2+-11-|-/х2+11 = 42. 16. x = a—Va2—x |<х2 + л2.
17. Корни xt и x2 уравнения x2— Злх+-а2 = 0 таковы, что xi+-xi = 1,75.
Найти значение а.
18. Не решая уравнения х2— Зх—10 = 0, вычислить сумму кубов его
корней.
18. При каком значении а один из корней уравнения х2— (2а+1) *+-а2 +
+ 2 = 0 в два раза больше другого?
20. Составить биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого
равна 50, а произведение корней равно 144.
Решить системы уравнений (№ 21—27):
]Лх</-2х = 4, , (a_|)x + 2az/ = -2,
21 / :— 22 <
1/^=1. ‘ I 2сх+-(а-1)// = а-1.
г х — 2
( х2 + х// + //2 = 13,
I * + 1/ = 4.
25 1 х4-х// + //= 11,
1 х2п-|-х(/2 = 30.
24. •] у "* х 12
( х2 —1/2 = 7.
. р2-хг/ = -12
| ха — XI/= 28.
27.
I т+7= 2”
Решить задачи на составление уравнений (№ 28 — 41):
28. Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан
у семафора на 10 мин. Увеличив скорость после этого на 10 км/ч, он прибыл
на место назначения с опозданием на 2 мин. Определить первоначальную ско-
рость поезда.
29. Две бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней.
Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы,
если одной бригаде для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?
30. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на
одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два
года объем выпускаемой продукции возрос в два раза.
31. Произведение цифр двузначного числа в два раза больше суммы этих
цифр. Если к этому двузначному числу прибавить 27, то получится .число,
написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
32. Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый; при этом было 44 по-
падания, остальные промахи. Сколько раз попал каждый, если известно, что
у первого стрелка на каждый промах приходилось в два раза больше попа-
даний, чем у второго?
33. Кусок материи стоит 35 рублей. Если бы в куске было на 4 м ма-
терии больше, а каждый мегр стоил на 1 рубль дешевле, то стоимость куска
материи осталась бы прежней. Сколько метров материи было в куске?
34. Расстояние от А до В по течению моторная лодка проплывает за 8 ч,
а от В до А против течения—за 12 ч. За сколько часов проплывет расстояние
от А до В плот? Скорость плота равна скорости течения.
35. Четыре года назад отец был в шесть раз старше сына; через 16 лет
отец будет вдвое старше сына. Сколько лет каждому?
36. Продают три куска ткани. Из первого продали половину, из второго
2/3, а третий кусок, в котором была 1/3 всей ткани, продали весь. Сколько
149
процентов ткани продано, если всего осталось вдвое меньше, чем было вс
втором куске?
37. Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С,
а объем вещества В составляет одну пятую часть суммы объемов веществ А
и С. Найти отношение объема вещества С к сумме объемов веществ А и В.
38. Рабочий положил на хранение в сберегательную кассу 500 р. По
истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в тоже
время он увеличил свой вклад ещё на 500 р., а по истечении еще одного го-
дового срока попросил отдать ему накопленные процентные деньги. Сколько
процентов в год начисляет сберкасса, если рабочий получил 30 р. 20 к. про-
центных денег, оставив свой вклад в 1000 р. на новый срок?
39. Дорога от Л до В длиной 11,5 км идет сначала в гору, потом по ров-
ному месту и затем под гору. Пешеход, идя из Л в В, прошел всю дорогу
за 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу затратил 3 ч 6 мин. Скорость ходьбы:
в гору 3 км/ч, по ровному месту 4 км/ч, под гору 5 км/ч. На каком протя-
жении дорога идет по ровному месту?
40. Имеются две бочки бензина разной цены. В одной 220 л, а в другой
180 л. Из каждой берут по одинаковому количеству бензина и переливают
в другую, после чего цена литра бензина в каждой бочке стала одинаковой.
Какое количество литров было перелито?
41. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 р.
Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, и поэтому
каждому из оставшихся пришлось внести на 1 р. больше, чем предполагалось.
Сколько стоит магнитофон, если студенты платили поровну?
Доказать неравенства (№ 42 — 46):
42. а2 (1 + 62) + Ь2 (1 + с2) + с2 (1 4- а2) Gabc.
43. (а + & + с) ^9. если а > 0, b > 0, с > 0.
44. ^/abcd, если иДэО, 6^0, с + 0, d;s=0..
46. a3-\-b3 < с3, если а и b—длины катетов, с—длина гипотенузы.
Решить неравенства и системы неравенств (№ 47 — 57):
*+1 3 1
х-2х —2 2
48’ х + 2 < х — 3'
J 7(х+1)—2х > 9 —4х,
I 3(5—2х) — 15г 4 — 5х.
С Зх <5—6х,
50. ! 4x1 Дг 1-Зх,
V 7—2х > 2х+ 9.
51.
53.
55.
(а+1)х + 4 < (3—2а)х—1. 52. (х+1) (3—х) (х—2)2 > 0.
Зх2- 10х + 3 х2_7х+12
х2 —10х + 25^ х2—2х—3
5-х——^0. 56. 5х—20<х2<8х. 57. 8х-|-2 1.
х х2 + Зх + 2
Решить уравнения и неравенства, содержащие модуль (№58—65):
58. |х—1| = 3. 59. |х-1 | = |х+2|. 60. | х—2| — | х — 1 | = 1.
61. х2 —2|х—1 | = 2. 62. х|х — 3|=2. 63. |х —2| > |х+1 I —3.
641 | 7^7 | < 1 • 65- I 2*2-9*+ 15 | 20.
150
66. При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х2ф-2 (а-)-1)х4-
-ф9а —5 отрицательны?
67. При каких значениях а квадратный трехчлен ах2 — 7х-Ь~4а принимает
отрицательные значения для любых действительных значений х)
__fy __О
—— ------- >—1 выполняется при
х2 — Зх---4
любом X?
68. При каких значениях а неравенство
69. Доказать, что если между коэффициентами уравнений
^2 + Pi*+?i = 0 и х'2-\-р2х-\-q2 = 0
выполняется соотношение рхр2 = 2 (qx-f-q2), то по крайней мере одно из урав
нений имеет действительные корни.
70. При каких значениях а корни уравнения
(а + 1) х2 — Зйхф-4а = 0 (а^ —1)
действительны и больше 1?
Раздел II
71. Равносильны ли данные уравнения:
а) х3 = 1 и (х—1) (x2-f-x-j- 1) = 0;
б) 7х2 —2х = 3х3 и 7х—2 = 3х2?
Решить уравнения (№ 72—74):
72 Ч~ 1 х — 1 ______х 3____4-|~х
Хг-3 х2—9 3 — х З + х'
73 ха + 10* ।__4 4* + 21 I_________1
X4—1 ' Х-ф1 х3-фх2-|-х-|-1 ' х3—х2+х—1
х + 6 х2+17 хф-36___х-bl .
X— 1 Х2 + х-|- 1 X3 —1 Х2-|-х + 1
Решить уравнения относительно х (№75,76):
75. (a2 — ft2)x2 + ah = (a2 + h2)x.
а-\-4Ь а — 4Ь 4Ь
х-\-2Ь х— 2Ь а
77. а) Считая, что xL и х2—корни уравнения х2 + рх + <? = 0, составить
1 1
уравнение, корни которого — и —.
*1 Х2
б) Считая, что Xj и х2—корни уравнения ах2 + Ьх + с=0, составить урав-
1 1
нение, корни которого — и —.
xt х2
78. Выразить сумму квадратов корней уравнения x2-j-px-j-q = 0 через ко-
эффициенты р и q.
79. Выразить сумму кубов корней уравнения х2-j- рх-f-q = 0 через коэф-
фициенты р и q.
80. Решить уравнение x2 + px-f-45 = 0, зная, что квадрат разности его
корней равен 144.
81. В уравнении х2 — 6х + <7 = 0 найти значение <?, при котором его корни xj
и х2 удовлетворяют условию Зх1+2х2 = 20.
82. Найти двузначное число, если число его единиц на 2 больше числа
десятков, а произведение этого числа на сумму цифр, обозначающих его,
равно 144.
151
83. На плоскости отмечено несколько точек. Каждые две из них соединены
отрезком. Всего отрезков оказалось 10. Сколько точек отмечено на плоскости?
84. Половину пути мотоциклист шел с одной скоростью. Затем задержался
на 5 мин, а поэтому, чтобы наверстать потерянное время, увеличил скорость
на 10 км/ч. Найти первоначальную скорость мотоциклиста, если весь путь,
пройденный им, равен 50 км.
Решить уравнения (№85—91):
85. (х2 4~ Зх)2 4-2 (х2Зх) = 24. 86. j/х-]-2 j/x2"—3 = 0.
87 1 | 18 18
х2 + 2х —3“гх2 + 2х+2 х2+2х+Г
88. К22 —х—К10—х = 2. 89. )<3х—34-}<5х —19 = / 3x4-4.
г t—-* -»г ->—~ -г— я-j—я V" я—х я
90. Уа+/х-1/а-/х=УЛа. 91. -г
/ а + х— У а—х х
Решить системы уравнений (№92—94):
( х + 1_।
92. 1 у — 3— ’
( (х+1)(у-3) = 4.
J х2 + Зх// =18,
I ху+4г/2 = 7.
94.
У х-У у
= ю.
У ху = 16.
95. Два рабочих, работая одновременно, выполняют некоторый объем ра-
боты за 12 часов. Если бы сначала первый выполнил половину работы, а за-
тем другой — оставшуюся часть, то им понадобилось бы 25 часов. За какое
время каждый рабочий мог бы выполнить эту работу, работая один?
Решить неравенства и системы неравенств (№ 96—101):
96. а) х2+5х —14 > 0; б) 2х2 —5х—3<0.
97. а) 2^<0; б) 8^<0.
х+1 ’ х—2
{ 2x4-1 > 3x4-4, [ 5х —2э=2х4-1,
98. а Н г- п „ б) < „
I 5x4-3^8x4-21; 1 2x4-3 < 18—Зх.
99. а) | 1 —2х | > 3—х; б) | х-|-8 |<3х —1.
100. а) (х—1)(х4-2)(х—5) > 0; б) (2x4-1) (х —4) (Зх—2)(х4 7) <0.
,п. . х2-|-х — 6 х —3,5
° ' а) 2х24-9х-5^°’ б)х24-Зх-40< °’
102. Доказать неравенства:
а) | «|— > I при а < — 1; б) y4~>2 при х > 0> У >
в) *24-+ z24-3 > 2 (х4-(/4-г) при х £ у £ z # 1.
Глава VII. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§ 1. Понятие функции. Способы задания функции
При изучении явлений окружающего мира и в практической
деятельности мы сталкиваемся с величинами различной природы:
длина, площадь, объем, масса, температура, время и т. д. В за-
152
висимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют
постоянные числовые значения, у других эти значения перемен-
ные. Такие величины называются соответственно постоянными и
переменными.
Математика изучает зависимость между переменными в про-
цессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга
меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об измене-
нии площади круга в зависимости от изменения его радиуса.
Пусть переменная х принимает числовые значения из множе-
ства Е.
Определение. Функция— это правило, которое каждому
числу х из Е сопоставляет одно определенное число у.
При этом х называют независимой переменной или аргументом
функции, а у — зависимой переменной; множество Е — областью
определения или областью задания функции. Множество значений,
принимаемых переменной у, называется множеством значений
или областью изменения функции.
Запись y = f(x) или у(х) означает, что у зависит от х. Бук-
ва f символизирует правило, по которому получается значение у,
соответствующее данному значению х из множества Е.
Вместо букв х, Е, у, f(x) используются и любые другие бук-
вы и обозначения.
Задать функцию y = f(x) на множестве £ — это значит указать
правило, по которому для каждого х из Е получается соответ-
ствующее ему значение у.
Рассмотрим основные способы задания функции.
1) Функция может быть задана формулой.
При этом функция может задаваться одной формулой во всей
области ее определения или несколькими, различными для раз-
ных частей области ее определения. Например,
( х, если х^О,
у — Зх; у = { , Л
( х2, если х > 0.
Такой способ задания функции называется аналитическим.
В общем случае, если нет специальной оговорки, за область
определения функции, заданной аналитически, принимают область
существования соответствующего аналитического выражения, т. е.
множество значений х, для которых это выражение имеет смысл.
Например, функция г/ = х2 определена на всей числовой оси, как
и задающее ее аналитическое выражение. Но если эта функция
выражает зависимость площади квадрата от длины его стороны,
то функция у = х2 задана для любого х > 0.
2) Функция может быть задана таблицей.
Записываются в виде таблицы значения аргумента хп х2, . . ,,х„
и соответствующие им значения функции yL, у2, . . ., уп. Такой
способ задания функции называется табличным.
Табличный способ задания функции часто применяется во вре-
мя опытов, когда исследуется зависимость между величинами.
153
Табличное задание функции £/ = /(х) неудобно тем, что зна-
чения функции определяются только для тех значений х, которые
приведены в таблице.
3) Функция может быть задана с помощью ее графика.
На координатной плоскости Оху (см. § 3 гл. IV) для каждого
значения х из множества Е (области определения функции) стро-
ится точка М(х\у), абсцисса которой равна х, а ордината — со-
ответствующему значению функции у(х). Построенные точки
образуют некоторую линию, которую называют графиком данной
функции.
Вообще, график функции y = f(x), заданной на множестве Е,
есть множество точек М.(х\ /(*)), где х£Е, координатной плос-
кости.
Способ задания функции с помощью графика называют графи-
ческим. Чтобы по заданному графику найти значение функций
у (х) при каком-то определенном значении х, поступим следую-
щим образом. Проведем через точку х оси абсцисс перпендику-
ляр к этой оси и найдем точку пересечения его с графиком дан-
ной функции. Ордината точки пересечения и дает соответствую-
щее значение функции.
Графический способ задания функции широко используется в
научных исследованиях и в . современном производстве. Самопи-
шущие приборы автоматически вычерчивают графики изменения
различных величин.
Пример. Найти область задания функций:
а> У=^-Лс + 2' б> У = =
Решение, а) Функция задана для всех значений х, кроме
тех, для которых х2— Зх-|-2 = 0. Решая это квадратное уравне-
ние, находим х=1 и х — 2. Таким образом, область определения
функции состоит из трех интервалов (—оо, 1); (1; 2) и (2; +°о).
б) Область задания функции определяется из условия 4—х2 0.
Решая это неравенство, получим —2^xsgC2. Таким образом,
область задания функции есть отрезок [—2; 2].
в) Область задания функции определяется из условия 4—х2 > 0,
откуда —2 < х < 2. Следовательно, область задания функции —
интервал (—2; 2).
Мы будем чаще всего рассматривать функции, заданные ана-
литически, причем область определения их представляет собой
промежуток (отрезок, интервал или полуинтервал).
§ 2. Свойства функций
Четные и нечетные функции. Пусть функция у = f (х) задана
в некотором промежутке, симметричном относительно точки О
(в частности, на всей оси Ох). Функция у = f (х) называется чет-
ной, если для любого х
Н-Х) = /(Х).
154
Примеры четных функций: у = х2; у = х2ф-3; у =—Зх2ф-4;
у = |х|; у = 4.
В самом деле, (—х)2 = х2; (—х)2 + 3 = х24-3; —3(—х)2ф-1 =
= —Зх2-|-1; |—х| = |х|; у = 4 для любого х.
Сумма, разность, произведение и частное четных функций
также есть четная функция.
Функция y — f(x) называется нечетной, если для любого х
f(—x) = — f(x).
Примеры нечетных функций: у = х\ у = х3 + х\ у = ^-р. '
В самом деле, (— х)3 = — х3; (— х)3ф-(— х) = — (х3ф-х);
= для любого х-
Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная,
а произведение и частное нечетных функций — функция четная.
Не следует считать, что каждая функция является четной
или нечетной. Большинство функций свойством четности или не-
четности не обладает. Например, такова функция у = х3-\-х2.
В самом деле, (—х)3 + (—х)2 =— х3ф-х2, т. е. (— х)3ф-(—х)2 =#
=Ф=х3ф-х2 и также (— х):| ф- (— х)2 — (х3 ф- х2).
Из определения четных и нечетных функций вытекает, что
график четной функции симметричен относительно оси ординат,
а нечетной — относительно начала координат.
Действительно, пусть точка М(х0; уа) является точкой гра-
фика четной функции y = f(x), т. е. y0 = f(x0).
Рассмотрим точку N (— х0; у0) (рис. 20), симметричную точке
М (х0; у0) относительно оси Оу. В силу четности данной функции
f(— x0)=f(x0)=y0,
а это означает, что точка ЛЦ—х0; у0) также принадлежит гра-
фику функции y = f(x).
Симметрия графика нечетной функции относительно начала
координат следует из того, что наряду с точкой М (х0; у0) гра-
фика нечетной функции этому графику также принадлежит и
155
точка N (—х0; —ув), симметричная точке М (х0; ув) относительно
начала координат. Точка О—середина отрезка MN (рис. 21).
Монотонные функции. Функция y—f(x) называется возрас-
тающей в некотором промежутке, если для любых двух значе-
ний х из этого промежутка большему значению аргумента соот-
ветствует большее значение функции, т. е. из условия хг < х2
следует, что f(Xj}<f(x2) для любых х2 и х2 из данного проме-
жутка. ~
Ордината графика возрастающей функции возрастает с воз-
растанием х (рис. 22).
Функция y = f(x) называется убывающей в некотором проме-
жутке, если для любых двух значений х из этбго промежутка
большему значению аргумента соответствует меньшее значение
функции, т. е. из условия хг < х2 следует, что f (хх) > f (х2) для
любых х, и х2 из этого промежутка.
Ордината графика убывающей функции убывает с возраста-
нием х (рис. 23).
Возрастающие и убывающие функции называются монотон-
ными функциями.
Промежутки знакопостоянства и корни функции. Промежутки,
в которых функция сохраняет свой знак (т. е. остается положи-
тельной или отрицательной), называются промежутками знако-
постоянства функции.
Например, функция г/ = х24-1 положительна на всей оси Ох;
функция у=х3 положительна при х > 0 и отрицательна при
х < 0, ее промежутки знакопостоянства — интервалы (0; -фоо) и
(—оо; 0); следовательно, график функции у = х3 расположен выше
оси Ох при х > 0 и ниже оси Ох при х < 0.
Значения аргумента х, при которых /(х) = 0, называются
корнями (или нулями) функции /(х). Таким образом, корень
функции / (х)—то же, что и корень уравнения /(х) = 0. Корни
функции — это точки пересечения ее графика с осью, Ох.
Корнем функции у = х3 является х = 0. Функция у — х2-}-1 дей-
ствительных корней не имеет.
§ 3. Обратная функция и ее график
Пусть дана функция у = /(х); Е—ее область задания, D — мно-
жество значений. Тогда каждому значению х0 из Е будет отвечать
одно определенное значение yt> — f(x0) из D.
156
Е,
для которых f(xa) = y0.
Е, для которого f (х0) = у0.
Возьмем какое-нибудь число у(| из D. В области Е обязатель*
но найдется хотя бы одно число х„, при котором f(x0) = y0.
Вообще, каждому значению у0 из Е) будет соответствовать
одно или несколько значений х0 из
Чтобы получить эти значения х0,
можно через точку ув на оси орди-
нат провести прямую, параллельную
оси абсцисс. Эта прямая пересечет
график функции y = f(x) в одной
пли нескольких точках. Абсциссы
этих точек и дают искомые значения
х (одно из них х0), при которых
функция равна ув (рис. 24).
Допустим, что функция z/ = /(x)
такова, что каждому значению уд
из D отвечает одно значение хв из
Этим определяется в области D функция x = g(y), которая назы-
вается обратной для функции y = f(x).
Если Е — промежуток и функция y = f(x) является монотон-
ной (возрастающей или убывающей), то она имеет обратную
функцию x=g(y), соответственно возрастающую или убываю-
щую. На рис. 25 приведен пример возрастающей функции. Функ-
ция, график которой изображен на рис. 24, обратной функции
не имеет.
Если функция, заданная формулой, имеет обратную функцию,
то для нахождения формулы, задающей обратную ей функцию,
надо из данной формулы выразить х через
У-
Например, составим формулу, задающую функцию, обратную
данной, у — 2х—1. Имеем х = — обратная функция.
Графики функций у = 2х—1 и х = совпадают, так как
обе функции выражают одну и ту. же зависимость между пере-
менными к и у. Вообще, графиком функции y = f (x) и обратной
ей функции x = g(y) служит одна и та же кривая. Обычно при
изучении обратной функции обозначают ее аргумент через х, а
157
зависимую переменную—через у, т. е. вместо x = g(y) пишут
y = g(x). В такой записи для функции у = 2х—1 обратной будет
функция У= —т,— .
Графики двух взаимно обратных функций y — f(x) и y — g(x)
симметричны относительно биссектрисы у=х первого и третьего
координатных углов (рис. 26).
Доказательство. Пусть М (х0; у0) является точкой гра-
фика функции y = f(x). Тогда по определению понятия обратной
функции точка N (у0-, х0) будет принадлежать графику обратной
функции y = g(x). Надо доказать, что точки М(х0; у0) и N (у„- х„)
симметричны относительно прямой у = х. Для этого рассмотрим
треугольник MON. В треугольнике MON | ОМ | = | ON |, а отре-
зок ОР является биссектрисой.
В самом деле, | ОМ | = | ON | = Уxg + yl (по формуле расстояния
между двумя точками на координатной плоскости — см. § 3 гл. IV).
Равенство |О;И| = |ОЛ/| можно получить, рассматривая треу-
гольники МОМг и NONr. Из этих же треугольников имеем:
МОМг = NON1. Биссектриса ОР в равнобедренном треугольнике
MON является также медианой и высотой, т. е. | Л4Р | = | VP | и
[OP]J_[A4V], что и требовалось доказать.
§ 4. Свойства и графики некоторых простейших функций
В общем случае исследование функции y = f(x) проводится
по следующему плану.
1. Находят область определения функции и множество ее
значений.
2. Проверяют, является ли функция четной или нечетной.
3. Находят промежутки монотонности и промежутки знако-
постоянства функции.
4. Определяют точки пересечения графика с осями координат
и т. д.
После этого можно построить график функции. В некоторых
случаях проще построить график функции, а затем по его виду
выяснить свойства функции.
Линейная функция y=kx-\-b и ее график. Линейной функ-
цией называется функция вида
y = kx+b,
где k и b—заданные числа.
1) Рассмотрим частный случай, когда k = Q. Тогда
«/ = &.
Эта функция задана на всей оси Ох и для каждого х принимает
одно и то же значение Ь. Следовательно, ее график—прямая,
параллельная оси Ох и отстоящая от нее на |&| единиц (вверх,
если b > 0, и вниз, если b < 0) (рис. 27). При Ь==0 графиком
функции у = 0 является прямая, совпадающая с осью Ох.
158
2) Если b = 0, то y = kx. При функция у = kx назы-
вается прямой пропорциональной зависимостью. Эта функция
задана всюду. Она монотонно возрастает при &>0 и убывает
при k < 0. Докажем монотонность функции y = kx.
Возьмем два каких-нибудь значения хг и х2. Найдем для них
соответствующие значения i/L и у,:
y^kx^ y2 = kx2.
Вычитая из у2 значение ylt получим
У 2 Уг = Ь. (Л'2 Xj) .
Если х2 > Xi и k > 0, то у2—ул > 0; тогда у, > ylt и функция
y = kx возрастает.
Если х2>х1 и k < 0, то у2 — t/j < 0; тогда у2<уг, и функ-
ция y = kx убывает.
Следовательно, функция y — kx является монотонной.
Если х = 0, то значение функции y — kx также равно нулю,
следовательно, точка (0; 0) принадлежит графику функции. При
k > 0 знаки х и у совпадают, при k < 0 знаки х и у противо-
положны.
Отсюда заключаем, что при k > 0 точки графика функции
y = kx принадлежат первой и третьей координатным четвертям,
а при &<0 — второй и четвертой.
Докажем, что графиком прямой пропорциональности является
прямая, проходящая через начало координат.
Возьмем х=1. Тогда y = k. Прямая, проходящая через точку
Р (1; k) и начало координат О (0; 0) — график функции y = kx
(рис. 28).
В самом деле, пусть k > 0.
Треугольники M0N и POQ подобны при любом положении
точки М на построенной прямой. Из подобия следует, что
|Л1ЛГ| 1 Р<? | у k ,
-\onT=\oQA или Т = Т- т- е- y = kx-
Результат сохраняется и для любой точки М. на рассматри-
ваемой прямой, расположенной в третьей четверти (в этом слу-
159
чае ее расстояния от осей Ох и Оу соответственно равны | z/| = — у
и |х| =— х, так как у<0, х < 0).
Тем самым доказано, что любая точка на прямой, проходя-
щей через точки Р (1; k) и 0(0; 0), принадлежит графику функ-
ции y = kx. Никакая другая точка Mlt не лежащая на этой
прямой, не может принадлежать графику y = kx (см. рис. 28).
Если допустить, что точка Afj (х; yL) принадлежит этому графику,
то должно быть yr = kx. Вместе с тем точка Л1 (х; у), полученная
при пересечении прямой, проведенной из точки Мг параллельно
оси Оу, с прямой ОР по доказанному принадлежит искомому
графику. Значит, y = kx, что противоречит равенству yr = kx: их
правые части равны, а левые—различны, так как y^yv Итак,
график функции y = kx есть прямая ОР.
Аналогично рассматривается случай k < 0.
3) Общий случай: y=kx-\-b. Каждая точка графика этой
функции получается сдвигом на | b | единиц вдоль осн ординат
(вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0) соответствующей точки
графика функции y = kx. Поэтому графиком линейной функции
является прямая, параллельная прямой y = kx (рис. 29).
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой
y = kx. Этот коэффициент определяет угол наклона а этой прямой
к оси Ox: k = tga. Если k > 0, то угол а острый; если k < 0, то
угол а тупой. Ордината точки пересечения прямой с осью Оу
равна Ь.
Таким образом, расположение прямой y—kx + b на коорди-
натной плоскости зависит от значений k и Ь.
Практически для построения графика линейной функции надо
построить две точки графика, а затем провести через эти точки
прямую.
Например, построим график функции у =—^-х+1.
При х = 0, у=1; при у = 0, х = 2. Соединяя прямой найден-
ные точки, получаем график данной функции (рис. 30). Здесь
Л=-4;
k k
Функция з» = — и ее график. Функция вида у = —,где«=^0—
заданное число, называется обратной пропорциональной зависи-
мостью.
160
Рассмотрим случай k > 0:
1) функция задана всюду, кроме х = 0, т. е. область ее зада-
ния— интервалы (—ос; 0) и (0; 4“);
2) функция нечетная, так как
/(--') = тАг = -4 = -/(л),
следовательно, график функт
начала координат, и поэтому
дальнейшее исследование
проводим для х > 0;
3) знак у совпадает со
знаком х;
4) функция убывающая,
так как при 0 < хг < х2
имеем
A—A = <о (А;>0)
*2 *1 *1*2 '
(очевидно, что при k > 0
функция убывает и на интер-
вале (—оо; 0)).
Используя эти свойства,
строим график функции у=
= АПри k > 0 (рис. 31).
Полученная кривая называется гиперболой. Она состоит из
двух ветвей, расположенных в первой и третьей координат-
ных четвертях (квадрантах). Аналогично доказывается, что
в случае k < 0 функция у = — является монотонной: она возрас-
тает на каждом из интервалов (—оо; 0) и (0; 4-со). График также
называется гиперболой. Ее ветви расположены во второй и чет-
вертой координатных четвертях (см. рис. 31).
Таким образом, графиком обратной пропорциональности
у=— (й=/=0) является гипербола, расположение которой на ко-
ординатной плоскости зависит от значений k. Например, на рис. 32
изображены гипероолы // = — — и у=— — . Начало координат —
центр симметрии этих гипербол.
Квадратный трехчлен и его график. Квадратным трехчленом
называется функция вида
у = ах- + Ьх + с,
где а, b и с—заданные числа и а^=0. Иногда функцию y = ax?-f-
-j-bx-j-c, где а^0, называют квадратичной функцией.
Мы уже встречались с квадратными трехчленами при реше-
нии квадратных уравнений и неравенств, а также при разложе-
6 И. А. Баранов и др.
461
2.16J
ГЛ. 2. ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
169
причем один четырехугольник будет самопересекающимся. При b = | с sin р — asina|
решение единственно, а при b < | с sin р—a sin а. | искомый четырехугольник не
существует.
2.12. На отрезке ОМ (рис. Р.2.12) строим треугольник ОСМ, сторона ОС
которого равна 2/?, а сторона СМ равна R. Точку пересечения ОС с окружностью
обозначим через В. Секущая AM искомая.
Задача имеет два решения, если МО <3R, одно решение, если M0 = 3R, и
пе имеет решения, если МО > 3R.
2.13. Соединим центры О и Ot данных окружностей и построим на ОО
на гипотенузе, прямоугольный треугольник ОЕО1,
одни из катетов которого (EOJ ранен и/2. Че
рез точку М пересечения окружностей, лежа-
щую по ту же сторону от ООЪ что и построенный
прямоугольный треугольник, проводим прямую,
параллельную катету длины а/2. Отрезок АВ
(рис. Р.2.13) будет искомым.
Задача имеет четыре решения, если о/2 < 00ь
два решения, если a/2 = OOt, и не
ний, если д/2 > 00t.
2.14. Проводим через точку М окружность
концентрическую данной. На этой
строим хорду длины а, проходящую через точку Л1.
а может и не иметь решения вовсе (а > 2М0).
2.15. Так как дуга АгпВ фиксирована,
имеет реше
как
Задача может иметь дна
окружной II
или
. . .10
известен и вписанный угол АМВ. Обозначим его через
<р. Если отрезок PQ (рис. Р.2.15) перенести парал-
лельно в отрезок ВХВ, то из точки Р отрезок ABt
будет виден под углом (р. Таким образом, строим
отрезок fljfl, равный а и параллельный CD; на
отрезке ABt строим сегмент, вмещающий угол ср, где
ср — угол, измеряемый дугой АтВ данной окружности.
Искомая точка Р есть точка пересечения или каса-
ния дуги этого сегмента с прямой СО.
Задача может иметь два решения (сегмент, опи-
рающийся на ABlt пересекает хорду CD), одно реше-
ние (этот сегмент касается хорды) и может не иметь
решений вовсе (точек пересечения нет).
2.16. Пусть отрезок FD делится точкой М
пополам (рис. Р.2.16). Отразим точку В от точки Л1. Получим точку Е. Отрезки
FD и ЕВ можно рассматривать как диагонали параллелограмма.
Заметим также, что угол АСВ известен, так как точки А и fl зафиксированы
на окружности; обозначим его через <р. Угол АРЕ. равен л-ср. Следовательно,
точка F обладает еще и тем свойством, что из нее отрезок АЕ виден под данным
углом л — <р.
одно решение (а 2Л1О),
О'-А
М
Рис. Р.2.15.
170
РЕШЕНИЯ
12.17
Итак, строим точку £, а на отрезке АЕ— сегмент, вмещающий угол л — <р.
На пересечении дуги этого сегмента с данной примой получим -очку F.
Задача имеет единственное решение, если точки А и В лежат по одну сто-
рону от данной прямой, и не имеет решения в остальных случгях.
2.17. Пусть прямая, проведенная через точки А и В, пересекает прямую PQ
в точке С (рис. Р.2.17) и пусть О —центр искомой окружности. Тогда
С А СВ = CD1. Отрезки С А и СВ известны, отрезок CD—их среднее геометри-
ческое и строится стандартным образом.
Если точки А и В лежат по одну сторону от PQ, то задача имеет два
решения (отрезок CD можно отложить вправо и влево от точки С). Если ЛВ и
PQ параллельны, то задача имеет единственное решение, которое очевидно, но
не может быть получено описанным способом. Когда точки А и Р лежат по
разные стороны PQ, задача не имеет решения.
2.18. Отрезки МВ и А1А или их продолжения пересекают данную окруж-
ность в точках С и D (рис. Р.2.18), которые являются основаниями высот тре-
угольника АМВ, опущенных из его вершин А и В. Отрезок МР, проведенный
через точку Р пересечения АС и BD, будет искомым перпендикуляром.
Задача имеет решение, если точка М не лежит на прямой АВ.
2.19. Предыдущая задача позволяет построить некоторый перпендикуляр
к диаметру АВ, пересекающий данную окружность в точках, которые мы обоз-
начим буквами С и D (рис. Р.2.19). Проведем прямую СМ; она пересечет диа-
метр АВ (или его продолжение) в точке Е. Проведем ED. В .пересечении ED и
данной окружности получим точку F; MF—искомый перпендикуляр.
2.20. Построим точку Лх, симметричную тбчке А относительно прямой I
(рис. Р.2.20). Для любой точки С на прямой I (в силу неравенства треугольника)
3.2]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
171
справедливо соотношение
| АС — ВС | = | А,С — ВС К А'В.
Величина | AYC— ВС | будет меняться, в зависимости от положения точки С, и
станет наибольшей, когда точка С займет положение Cj (на пересечении прямых
Л1б и 1). Именно для этой точки треугольник CAYB вырождается в отрезок С,В,
а неравенство треугольника превращается в равенство: | А±С— ВС \ — AYB. Из по-
строения следует, что точка С единственная (сели бы мы отражали от прямой I
точку В, то пришли бы к той же точке С).
Рис. Р.2.20.
2.21. Две противоположные вершины искомого квадрата лежат, во-первых,
на внешних полуокружностях, построенных на сторонах данного четырехуголь
ника (рис. Р.2.21), и, во-вторых, на диагонали квадрата, которая пересекает
внутренние полуокружности в точках Е и F таких, что AF = FB = DE=EC=№.
После проведенного анализа построение очевидно.
Глава 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. На луче, перпендикулярном к MN, возьмем произвольную точку А
(рис. Р.3.1). Спроектируем ОА па плоскость Р, а полученный отрезок ОВ — на
второй из данных лучей. Треугольник АСО прямоугольный (по теореме о трех
перпендикулярах).
ОС
Косинус искомого угла АОС равен . Используя построенные треугольники,
можно выразить ОС через О А:
ОС = ОВ sin р = ОА cos a sin р.
Ответ, arccos (cos а sin р).
3.2. Спроектируем данный треугольник АВС на плоскость Р (рис. Р.3.2) и
построим угол CED, равный х, между плоскостью треугольника и плоскостью Р.
Введем в рассмотрение линейный элемент CD = a. Тогда
АС = —, ВС=-^г, СЕ = -?—.
sin a sin р sin х
Так как СЕ — высота в треугольнике АВС, опущенная на гипотенузу, то
172
РЕШЕНИЯ
[3.3
(из сравнения площадей) имеем
АС-ВС = СЕ-АВ = СЕ УАС~ + ВСЕ
3.3. Из некоторой точки Вл на стороне угла а опустим перпендикуляр В±В
на плоскость Р (рис. Р.3.3). Через В1 проведем плоскость, параллельную пло-
скости Р. Она пересечет другую сторону угла а в некоторой точке Hj. Через В,В
и А проведем плоскость, которая будет перпендикулярна к плоскости Р.
Отрезки AAt и ВВг равны. Обозначим /М1 = ВВ1 = а. Теперь можно вычислить
все стороны треугольника ОАВ и воспользовать-
ся теоремой косинусов, чтобы найти угол х.
Стороны ОА и ОВ вычислить просто:
OA-actgy, ОВ=- a etg р.
Сторона АВ равна /ЦВ, в треугольнике О/ЦВр
Так как
то по теореме косинусов
Рис РЗЗ ,4B2=/1jB*=-JTr + -V---------------
НИС. W.3.J. sin2 Р sin2 у Sin Р sin у
Воспользуемся теоремой косинусов еще раз, но уже для треугольника ОАВ:
АВ2 = ОА2 + ОВ‘2-2ОА ОВ cos .г.
Подставляя сюда найденные выше выражения для ОА, СВ и АВ, получим
уравнение относительно cos х. Решая его, после несложных тригонометрических
преобразований найдем cos х.
,, cos а — sin р sin у
Ответ. --------s--------
cos рcos у
3.4. Построим плоскость Р, перпендикулярную к прямой а, и спроектируем
на нее прямые Ь, с и d. Искомая прямая параллельна а, т. е. должна спроекти-
3.5J
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
173
роваться в точку О на плоскости Р. Точка О будет одинаково удалена от проек-
ций &!, и dj трек этих прямых.
Поскольку прямые а, Ь, с и d скрещивающиеся, ни одна из прямых Ь, с и d
не может спроектироваться в точку на плоскости Р, так как иначе она оказа-
лась бы параллельной прямой а.
Рис. Р.З.Ла.
Проекции никаких двух
чало бы, что эти две прямые
прямых из Ь, с, (1 не сольются, так как это озна-
лежат в одной плоскости. Поэтому проекции blt ct
и d, могут расположиться на плоскости Р
лишь одним из четырех способов (рис. Р,3.4а).
В первом случае (проекции образуют тре-
угольник) мы получим четыре точки, равноот-
стоящие от Pj, Cj и dt. Это — центры вписан-
ной и вневписанных окружностей. Проводя че-
рез каждую из них прямую, перпендикуляр-
ную к плоскости Р, придем к четырем реше-
ниям.
Во втором случае (две из проекций параллельны), получим два решения
(рис. Р.3.46).
В третьем случае (проекции пересекаются в одной точке) будет единственное
решение —прямая, проходящая через общую для трех проекций точку.
В последнем случае (проекции bt, Cj и d, параллельны) решения нет.
Так как все возможные случаи исчерпаны, то задача решена.
3.5. Проведем CD параллельно АВ (рис. Р.3.5). Угол SCD искомый. По-
строим CF и AD^_AB. В прямоугольнике AFCD имеем CD = AF — а/2,
174
РЕШЕНИЯ
[3.6
AD^CF — —• Из треугольника SAD находим SD = j/"а'1 + -^=—K.L ,
Тангенс угла SCD равен SD-.CD.
Ответ. V 7.
3.6. Если ОК-= — АВ = ОА, то треугольники ОЛЛ1 и ОКМ (рис. Р.3.6) равны.
Таким образом, условие ОК = ОД равносильно условию АМ = КМ и (совершенно
аналогично) условию ВР = КР.
Отрезок (Ж входит в оба треугольника ОКМ и ОКР:
ОК2.= ОМг—т2, ОК2 = ОР2 — 12, т. е. ОМ2 — т2 = ОР2 — I2
(через т и I обозначены длины отрезков МК И КР соответственно).
Рис. Р.3.6.
Рис. Р.3.7.
Так как ОМ2 = а2А- АО2, а ОР2 = Ь2А-ОВ2 и АО = ОВ, то
a2 — m2 = b2 — I2
или
т2— 12 = а2 — b2. (1)
Точно так же приравняем выражения для отрезка АР2, полученные из тре-
угольников МАР и АВР-.
(т-\-1у—а2 = Ь2А- АВ2.
Вспомнив, что по условию АВг — 2аЬ, получим (т +1)2 = а1 + 2аЬ + Ь2, т. е.
т-\-1 = а-]-Ь. (2)
Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим
т — 1 = а — Ь, (3)
а решая систему из уравнений (2) и (3), найдем т = а, Ь — 1, что и требовалось
доказать.
3.7. Обозначим через PQ (рис. Р.3.7) прямую, по которой пересекаются
грани AOD и ВОС, а через RS— прямую, по которой пересекаются грани АОВ
и DOC. Прямые PQ и /’.S определяют плоскость Р. Через произвольную точку
М на АО проведем плоскость, параллельную плоскости Р. Фигура MNK.L, по-
лучившаяся в сечении, будет параллелограммом.
В самом деле, MN |i PQ и LK II PQ, a ML || и NK || RS, как прямые,
получившиеся в результате пересечения двух параллельных плоскостей третьей.
Следовательно, MN\\LK и ML || NK, что и требовалось доказать.
8.9]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
175
3.8. Продолжим ED и СВ (рис. Р.3.8) до пересечения в точке F и проведем
AF — ребро двугранного угла, косинус которого нужно найти.
~ Так как EC = 1DB (по условию), то DB—средняя линия в треугольнике EFC.
треугольник FBA равнобедренный.
Поэтому FB — BC=a. Поскольку ВА=а,
Сумма его углов, прилежащих к FА, рав-
на 60°, а угол BAF равен 30°.
Мы убедились в том, что угол САР
прямой, а следовательно, линейный угол
ЕАС измеряет искомый двугранный угол.
Теперь остаются простые вычисления:
ЕА= К £С2 + ЛС2 =
cos Z ЕАС=—?— = -L .
а /3 УЗ
ТО
По теореме о трех перпендикулярах от-
резки ЕА и FA взаимно перпендикуляр- р
ны; поэтому площадь треугольника EAF нис‘
равна -^-EA-AF, где AF = а р'^З. Итак, площадь треугольника EAF равна
За2/2, и вследствие того, что FD — DE, площадь треугольника DEA в два
раза меньше.
Ответ. За2/4, I/]/”3.
3.9. Обозначим высоту SO пирамиды через FI. Предположим, что вершинз
пирамиды спроектируется в точку О, лежащую внутри треугольника АВС, и
пусть углы SDO, SEO и SFO измеряют данные двугранные углы (рис. Р.3.9, а).
/
-----
6)
Рассмотрим отдельно треугольник АВС (рис. Р.3.9, б). Площадь его, с одной
стороны, равна сумме площадей треугольников АОВ, ВОС и СОА, а с другой
а2-КЗ „
стороны, равна —-— . Поэтому
-La(OF + OD + OE)=^-p.i
т. е.
OFA-OD-FOE=^-^-.
Каждый из отрезков OF, OD и ОЕ можно выразить через Н:
OD=Hctga, Otf=tfctg₽, OF = H ctgy.
17(5
РЕШЕНИЯ
L3.10
Следов ательпо,
а /3
П ^(ctga + ctgP-pctgyj'
Если точка О лежит г-не треугольника ЛВС, то один из данных двугранных
углон тупой (па рис. Р.3.9, в угол при ВС, т. е. а). Следовательно, его котан-
генс будет отрицательным. Это соответствует тому факту, что площадь треуголь-
ника АВС равна сумме площадей треугольников АВО и АОС за вычетом пло-
щади треугольника ВОС. Таким образом, результат останется таким же, как
в случае, когда О лежит внутри треугольника АВС.
Наконец, как легко убедиться, полученная формула дает горный результат
и в том случае, когда точка О лежит на стороне треугольника АВС или совпа-
дает с его вершиной. (Соответствующие котангенсы обращаются в нуль.)
„ ,. ал
Отпет. V ---------------к--------•
8(ctga-|-ctg[i + ctg у)
3.10. Так как АС — ВС по условию (рис. Р.3.10), то прямоугольные тре-
угольники ADC и BDC равны и, следовательно, AD = BD. Треугольник ADB -—
равнобедренный, его медиана DE, проведенная из
вершины D, будет одновременно и высотой. Таким
образом, мы доказали, что двугранный угол при реб-
ре АВ измеряется линейным углом DEC, который
обозначим через х.
Высота DO треугольника EDC будет высотой
пирамиды. В самом деле, ребро АВ перпендикуляр-
но к ED п ЕО, т. е. к плоскость EDC. Отрезок
DO, следовательно, перпендикулярен не только к ЕС,
но и к АВ, т. е. перпендикулярен к плоскости АВС.
Заметим также, что CD — перпендикуляр к пло-
скости ADB, а поэтому треугольник EDC прямо-
угольный с прямым углом при вершине D.
-^-S-ОД. Отрезок OD равен ED sin х, а отрезок ED
2S
в свою очередь равен ЕС cos х, т. е. — cos х.
Итак,
Мы знаем, что 17 = -у
1 „ 2S
V ==- О •-COS X sin X,
3 а
« 317а
откуда sin 2х = -^=
Чтобы найти х, заметим, что угол х острый.
л I . 3aV
Ответ. arcsin .
3.11. Так как площадь основания равна
Из треугольника ЯОЗ (рис. Р.3.11) находим
V 3, то сторона основания равна 2.
АО =b cos х; с другой стороны,
а /3
Поэтому
2 2
^=3^=3
2
а
~^=Ь cos х.
Из треугольника CDS находим CD=^a/‘2=b sin 2х. Разделив второе соотно-
шение на первое, получим
sin х = ]Сз /4.
3.13]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
177
Так как SD = -^-ctg2x, то нужно вычислить ctg 2х:
ctg х= J/” cosec 2 х—1— —1= J/ ctg 2x = 5/pz 3!).
__ 3
Следовательно, SD = 5/|/39, а площадь боковой поверхности равна у a-SD.
Ответ. 15/^39.
Рис. Р.3.12.
3.12. На рис. Р.3.12 треугольники ЛЕС и С1ЕА1 подобны, так как медианы
АЕ и СЕ делятся точками С2 и А1 в одинаковом отношении 2:1. Поэтому
С1А1=— АС. Аналогично доказывается, что BjA^-g-AB и С1В1 = -у ВС и т. д.,
т. е. площади Sj и S оснований пирамиды относятся, как 1:9. Подобные тре-
угольники АВС и А1В1С1 лежат в параллельных плоскостях, так как их сто-
роны параллельны. Следовательно, высоты DN и D1N1, проведенные в тетраэд-
рах, параллельны
угольники DNC и
DtNi = -^- DM. Остается
V1_S1D1N1
V ~ S-DN '
Ответ. 1/27.
3.13. Пусть 02 и О3—точки пересе-
чения медиан соответствующих граней (на
рис. Р.3.13 изображены лишь О2 и О2),
О —центр шара. Прямоугольные треуголь-
ники SOjO, S020 и S030 равны (0^ =
= 020 =О3О, OS — общая гипотенуза). Сле-
довательно, SO1 = SO2 = SO3, и поэтому
SB1 = SB2=SB3.
Докажем теперь, что треугольник А2А2А3
правильный. Для этого достаточно устано-
вить равенство треугольников A2SB1 и A2SB3, т. е. любых соседних
таких треугольников. Установим в них равенство углов при вершине
С2—точка пересечения плоскости 0j002 с ребром SA2. Прямоугольные
ники O2SC2 и O2SC2 тоже равны. Отсюда углы OjSC-j и 02SC2 равны
вательно, равны треугольники В35А2 и B3SA2. Таким образом, В1А2 = В3А2,
т. е. А2А3 = А1А2. Итак, в основании пирамиды лежит правильный треугольник.
Из равенства треугольников BjSAa и В3ЗА2 следует также равенство тре-
угольников AjSA2 и А2ЗА3, т. е. равенство всех боковых ребер. Это означает,
что вершина S проектируется в центр основания А^гАз. Тем самым доказано,
и прямоугольные тре-
^l^lCi подобны,
сравнить объемы
е.
т. е.
из шести
S. Пусть
треуголь-
и, следо-
что пирамида правильная.
178
РЕШЕНИЯ
[3.14
3.14. Достроим пирамиду до полной. Все параллельные сечения пирамиды
подобны. Составим схематический рис. Р.3.14, на котором А и В — стороны квад-
ратов, равновеликих основаниям, М— сторона квадрата, равновелико'о сечению,
проходящему через середину высоты данной усеченной пирамиды. Последнее усло-
вие мы запишем так:
Из подобия треугольников, изображенных па рис. Р.3.14, следует, что
В ~ hL ’ В ’
откуда
А = %-В, М = '-£в.
Л1 hr
Составим среднее арифметическое величин А и В:
Я.я,п
4+£=Л±!_„«-Н.в = фа_м.
2 2 2/1! /<!
что и требовалось доказать.
3.15. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСЕ (рис. Р.3.15).
Угол DAE равен углу между AD и ВС. Обозначим его через х.
В треугольнике DAE
AD=alt АЕ — а.
Вычислим DE. Так как в дальнейшем мы воспользуемся теоремой косинусов,
то удобнее находить DE2.
Отрезок DO является медианой в треугольниках ADC и BDE:
4OD'1 = 2al-\-icl-b2,
4 OD'2 = 26? + 2 DE2 — BE2.
Чтобы найти DE2, достаточно вычислить BE2. Но BE — диагональ паралле-
лограмма АВСЕ, т. е. В£2 = 2а2ф-2с2—62. Следовательно,
DE2 = al + с? - 6? + а2 + с2—62.
Применим к треугольнику ADE теорему косинусов:
DE2 =al ф- а2 —‘laaY cos х.
3.17]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
179
Приравнивая два выражения для DE'1, найдем cos х. При этом следует иметь
в виду, что, по определению угла между скрещивающимися прямыми, х —
острый угол.
|fi2 + i)2_c2_c2|
Ответ. -----!i--------—
:laat
3.16. Плоскость АВЕ (рис.
САВЕ с общим основанием АВ
Р.3.16) делит тетраэдр на две пирамиды SABE н
Е. Так как отношение объемов дано, а основание
Рис. Р.3.16.
у пирамиды общее, то hi:hl = 5:3; в силу же равенства SD = CD имеем
sin а 3 . 3 . „
-—тг=--, т. е. sin а = -=-sin р.
sin р 5 5
Кроме того, так как тетраэдр правильный, углы а и Р образуют угол SDO,
косинус которого равен 1/3. Поэтому
cos a cos Р — sin a sin Р= 1/3.
Выразив в этом уравнении sin р и cos р через sin а (так как пирамида правиль-
ная, углы аир острые), получим
1/ 1— У’
F У о и
где и = sin2 а.
о
Возведем в квадрат и раскроем скобки; найдем 1/ = тт и вычислим tga:
t 1 _ 1 L_ ,
dga y’cosec2 a—1 У" 9/2 3
Поскольку sin2 р = у sin2 a =дд , то аналогично найдем tg р.
_ 5/2 /2
Ответ. —.
3.17. Треугольники DAM и DMS (рис. Р.3.17) имеют общую высоту, прове-
денную из вершины D. Поэтому отношение их площадей равно отношению осно-
ваний AM и MS.
Из подобия треугольников MSF и ASK следует, что
AM.MS — KF'.FS.
Отрезки KF и FS выразим через КЕ. По теореме синусов для треугольника
KFE имеем
КЕ = КЕ . 5,'П Рдг.
sin(a + р)
180
РЕШЕНИЯ
(3.18
т гс ,<Е
Так как ----------, то
2 cos а
FS=--KS-KF КЕ
_________кг ___= КЕ sin (сх — Р)
2 cos a sin(a + p) ' 2 cos а sin (а-|-(1)
(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника EFS).
Остается найти отношение KF.FS.
_ 2 sin В cos а
Ответ. —--------g— .
sin (а —р)
3.18. По условию высота DO пирамиды проходит через точку пересечения
высот основания. Поэтому, соединив точку О с вершиной С и продолжив до пере-
сечения с АВ, получим отрезок СЕ, являющийся высотой треугольника АВС,
опущенной на сторону АВ (рис. Р.3.18). Прямая АВ перпендикулярна к DO и
ЕС, следовательно, прямые AS и CD тоже перпендикулярны друг другу. Таким
образом, прямая CD перпендикулярна к двум прямым BD и АВ плоскости ABD,
а потому перпендикулярна к прямой AD. Мы доказали, что угол ADC прямой.
Аналогично доказывается, что прямые BD и AD тоже перпендикулярны.
Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь
равна -^-b-AD, а площадь треугольника ADC равна -c-AD.
дей равно отношению неравных катетов.
Ответ. Ь/с.
треугольника ADB
Отношение площа-
3.19. Объем пирамиды SABC (рис. Р.3.19) равен удвоенному объему пирамиды
с основанием DSC и высотой AD. Так как AD-=a/2, то этот объем равен Sa/6,
а объем всей пирамиды равен Sa/З, где- через S обозначена площадь SDC.
Проведем высоту DE и вычислим ЕС и DE.
Треугольник CAS равнобедренный (.45 = АС), поэтому
. z. « п а
ЕС -= AC sin пг== д----sin 77 .
2 2 cos а 2
Так как DC — ~ tg а, то
,------------------ / л- л'& sin2 f'.''2)
DE='\r DC2 — ЕС1 = I/ -.-tg2a-?-------------=
’ Г 4 ь 4 cos2 7.
о , /" . , • « а . / . • •>« > ® » 7
= 71-----1/ Sin2 а —Sill 2-g-— -------1/ 4 Sill2COS2 77—Sill2 =
2 cos a. V 2 2 cos ct 1 2 2 2
a sin («/2)
2 cos а
a sin (a/2)
2 cos а
У 1 2 cos а .
3.20] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 181
Остается вычислить объем:
V = -~=~-DE-EC.
q3 q -------------
Ответ: ——— sin2-Д- р 1-|-2 cos а .
12 cos2 а 2
3.20. Рассмотрим два случая:
a <: л/2, а > я/2.
Если угол а не тупой, то (рис. Р.3.20, л) С'.О= SD =-у-. Пусть SO — высота
пирамиды, SD и SE—высоты в треугольниках ASB и СЕВ. Из треугольника SOD
АВ АВ
OS = SDsir: а = -=- sin а, OD — — cos а.
В треугольнике СОЕ угол ОЕС прямой, а угол ОСЕ равен 45°. Поэтому
ОЕ=-^=-~ (CD-OD) = -^L-(l-cosa),
у 2 к 2 2/2
Теперь можно найти тангенс искомого угла:
t«* = ^-=V2ctg|-
АВ
Если угол а тупой, то (рис. Р.3.20, б) снова получим CD = SD= —. Высота
OS равна
OS = SOsin (л —а) = '— sjn а>
отрезок OD равен
OD = SD cos (л — а) = — cos а
(угол а тупой и cos а < 0). Треугольник СОЕ тоже прямоугольный и равнобед-
ренный. Поэтому
О£ = -£2г=--^- (CD + OD) = ^L-(1-cos а).
/2 /2 2/2
Так как для ОЕ и OS получились такие же значения, как в первом слу-
чае, то и окончательный результат не изменится.
(• — С7 \
/ 2 ctg -Д- .
182
РЕШЕНИЯ
[3.21
3.21. Проведем в треугольнике АВС (рис. Р.3.21) высоту BD и соединим
точку D с вершиной 5 пирамиды. Так как ребро SB образует равные углы
с ребрами 50 и 5Л, то SD — биссектриса угла Л5С.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем
ЛО = 5Л • tg (а/4), 4B = S4 tga, т. е. cos х = 4^-=Х^—•
Ad tg О.
Так как а — угол прямоугольного треугольника, то 0 < а < л/2, а потому
tg (a/4) < tg а и правая часть уравнения меньше единицы.
л (aM)
Отвит. x = arccos -+2--.
tga
Рис. Р.3.22.
Рис. Р.3.23.
3.22. Пусть At—середина АВ. Тогда медианы СА4 и DM (рис. Р.3.22) являются
одновременно высотами в равнобедренных треугольниках АВС и ABD. Следова-
тельно, прямая АВ перпендикулярна к плоскости CMD, а потому 1 к прямой
CD, лежащей в этой плоскости. Треугольник CMD равнобедренный, так как СМ
и АЮ — медианы, проведенные к общей стороне и равных треугольниках. Следо-
вательно, его высота МК будет одновременно' и медианой. Итак, отрезок КМ, соеди-
няющий середины АВ и CD, есть общий перпендикуляр к этим ребрам. Поэтому
центр описанного около тетраэдра ABCD шара должен лежать па этом отрезке.
Из треугольников MDB и MDK последовательно находим MD = р^65,
МК — Т. С другой стороны, из треугольников OKD п АМО находим МК = КО А~
-}-МО=Ук2—16+ },л/+— 9. Получаем уравнение V R-—16 + ]/ R2— 9 = 7.
Ответ. R = 5.
3.23. Проведем через точку О (рис. Р.3.23) сечение В^С^ пирамиды, перпен-
дикулярное к стороне 5А. Тогда угол В1ЕС1 равен а, а ОЕ = а.
Так как пирамида правильная, то в силу симметрии треугольник В1ЕС1
равнобедренный, а В/.’, и ВС параллельны.
Чтобы связать высоту 50 с элементами треугольника В1ЕС1, рассмотрим
треугольник ВОД, для которого воспользуемся сравнением площадей:
SOOA----OE-SA. (1)
Выразим все участвующие в этом соотношении отрезки через а, а и Л:
50 = Л; 0Е = а-, ОД = ОСТ ctg 30° =/3 a tg (а/2);
Д5 = /5О2 + ОД2 = Кft2 + 3aa tg2(a/2).
Подставив в уравнение (1) и возведя затем обе части уравнения в квадрат, полу-
чим уравнение
ЗА2 tg2 (<х/2) —A2 = 3a2 tg2 (a/2),
3.24]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
183
откуда
/3 a tg (ot/2)
/3 tg2 (а/2) - 1 '
Чтобы привести это выражение к виду, удобному для логарифмирования,
преобразуем выражение, стоящее в знаменателе под радикалом:
Ответ.
________]^3 a sin <ос/2)______
2)/sin (а/2—n/6)sin (а/2-|-л/6)
3.24. Если в сечении образуется квадрат, то плоскость сечения пересекает
все четыре грани пирамиды. Кроме того, отрезок KL параллелен MN, т. е. парал-
лелен плоскости основания, а следовательно, и
ребру АВ.
Аналогично отрезки КМ и LN параллельны
ребру DC. Итак, если в сечении пирамиды — квад-
рат, то плоскость сечения должна быть параллель-
ной двум скрещивающимся прямым, на которых
лежат ребра АВ и DC.
Докажем обратное: если провести сечение
пирамиды, плоскость которого параллельна АВ
и DC, то в сечении получится прямоугольник. В
самом деле, то, что это будет параллелограмм,
устанавливается непосредственно. Спроектировав
DC на плоскость основания (рис. Р.3.24), мы убе-
димся в том, что MN и ЕС взаимно перпендику-
лярны. Отсюда следует, что прямым будет угол
между DC и MN, а значит, и между LN и MN. Таким образом, KLMN — прямо-
угольник .
Мы доказали, что в сечении можно получить прямоугольник только с по-
мощью плоскости, параллельной двум скрещивающимся ребрам.
Этот прямоугольник будет квадратом, если MN — МК- Из подобия треуголь-
ников ADC и АМК находим — > причем CD = j/fC2 + DE
AM =a—MC = a — MN.
Подставляя в первоначальное отношение, получим
МК a—MN
Уй2+а2/2 ~ а
Так как Л4/( = Л4Л/, то получим уравнение относительно стороны квадрата, из
которого
|/й2 -f п2/2 + а
Ответ.
а У^‘2Ь2А~а'2
184
РЕШЕНИЯ
[3.25
3.25. Расположим пирамиду так, как показано на рис. Р.3.25. Соединим
вершину Ri куба с вершинами пирамиды Пирамида АВСР разобьется на три
пирамиды: Р,АВР, РгАСР, R1BCP, у которых общая вершина Rj и одинаковая
высота х, равная по длине ребру куба. Из сравнения объемов получим
-g- abc = (xab xbc 4 .гас),
откуда найдем х.
Ответ. —— --------.
ab 4 Ьс 4 ас
3.26. Верхнее основание куба будет вписано в равносторонний треугольник
Л1В1С1 (рис. Р.3.26) подобный основанию АВС пирамиды. Выразим сторону АГС^
треугольника А1В1С1 через сторону вписанного квадрата:
ALB1Cl через сторону вписанного квадрата:
AlCl = 2AlE1-f-a = 2a ctg 60э|а^а(1 + 2//3 ).
Площадь
треугольники
a2[Уз I 2)2 УЗ
треугольника /1В1С1 тогда равна —г Так как
АВС и Л1В1С1 подобны и расстояние первого от центоа подобия
равно ft, а расстояние второго равно ft— а, то отношение площадей равно
а2 (УТ4- 2)2 Л2
ft2/(/i —а)2. Поэтому площадь треугольника АВС равна ----
п2/Р (7 + 4 /3)
12/3 (ft-а)2
3.27. Пусть трехгранный угол пересечен некоторой плоскостью и в сечении
образовался треугольник со сторонами а, b и с (рис. Р.3.27). Обозначим через
х, у и 2 боковые ребра образовавшейся пирамиды, если ее вершиной считать
вершину данного трехгранпого угла. Тогда объем этой пирамиды равен хуг/6.
Поскольку все плоские углы, образующие трехгранный угол, прямые, имеем
х2-|-у2==а2, y2-|-z2 = 62, z24*2=-ca-
Сложив эти уравнения, найдем х24у24z2~—(а2-[-624с2). Теперь легко опре-
делить х, у и г. Таким образом,
1 / (а2-|-/>2 — с2) (а2-| с- — b2)(ft24<:2— а2)
V "'ll7 ————- .
3.29]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
185
Если треугольник в сечении тупоугольный и а^Ь < с, то 6r'2-|-i52 < с-, т. е.
первая скобка под корнем отрицательна, в то время как остальные положительны.
Если же треугольник в сечении прямоугольный, то одна из скобок обращается
в нуль. Таким образом, нет сечения трехграшюго угла, которое не было бы
остроугольным треугольником.
3.28. Осуществив построения, изображенные на рис. Р.3.28, постараемся
вычислить объем данной пирамиды как удвоенный объем пирамиды AODC с вер-
шиной в точке А (равенство объемов AODC и BODC станет очевидным из дальней-
шего). Докажем вначале, что AFBE —прямоуголь-
ник. Из равенства треугольников СЕВ и DEA сле-
дует, что EA = BF. Аналогично BE = FA. Следо-
вательно, AFBE — параллелограмм. Но EF = AB,
а потому эта фигура — прямоугольник. Чтобы
найти площадь треугольника DOC, нужно вычис-
лить его высоту CF, для чего достаточно знать
стороны прямоугольника AFBE.
Отрезок CF может быть найден из двух при-
легающих к нему прямоугольных треугольников. С
одной стороны, СРг=ВС- — BF2, с другой сто-
роны, CF- = AC2 — AF\ т. е. ЙЕ2 —АЕ2 = а2 —Ь2.
Составим систему уравнений:
( BF'^ AF'^c\
1 ЙЕ2—АЕ2 = а2—62
Рис. Р.3.28
из которой найдем ВЕ2 = у (а2 —Ь2-|-с2), АЕ2 = у(с2 —д2-|-Ь2). Теперь можно
вычислить CF и АК.
CF* = -1 (а2-62 + с2) = 1 (а2 + Ь2-с2),
AEAF / (a1--№-\-сг) (с'— а24-62)
EF 2с
Объем пирамиды ABCD равен 2
Воспользуемся методом сравнения объемов
Ответ. ^(п2Н-й2 —с2)(с! + а'- —й2)(с2 —с2Ь2).
3.29. Расположим пирамиду ABCD так, как показано на
| по отношению к телу
рис. Р.3.29, а.
ANBMCD.
Рве. Р.3.29.
С одной стороны, его можно рассматривать как составленное из двух пирамид
с общим основанием MNCD и с вершинами в точках А и В. Основание MNCD—
прямоугольник с известными сторонами. Высотами будут перпендикуляры АК и
1S6
РЕШЕНИЯ
[3.30
BL, опущенные на MN (рис. Р.3.29, б). Так как нам нужна сумма объемов двух
пирамид с общим основанием, то выразим AK-\-BL через АВ и sin а. Тогда
объем нашего тела будет выражен через а.
С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, 1/.4ЛгЯЛ(<.'£> = '/ЛЙ1?п + РдВ.11£>+^ЛВЛ,С-
Проведем ЛОЦ/б/. (рис. Р.3.29, б). Тогда
ЛК + BL = GB = 12 sin а, •$леусд=6-8 = 48>
Van вмсв =-у Saia'cd MX + ВТ) = 4-48 sin а,
$MANB ---у ABNM sin а = 48 sin а,
V ABCD + VaBMD + VaBNC = 48 + у (SABM + $ABn) = 48 + =
= 48-|-2-48 sin a.
Таким образом,
484-2-48 sin a— 4 -48 sin a.
Отсюда
sin a= 1/2.
Ответ. a = n/6.
3.30. Поставим четырехугольную пирамиду АуВВ/^С, в которую вписан
шар, на основание ВВ^С^С (рис. Р.3.30). Пусть И — высота призмы, а —сторона
ее основания. Радиусы окружностей с центрами О и Ох равны R. Так как тре-
угольник В1А1С1 правильный, то а = 2 У 3 R.
Рассмотрим треугольник DA^E. Он прямоугольный и его площадь, с одной
1 R
стороны, равна -% AjD-DE, а с другой стороны, (ЛХО4- £>£-)-Л^). Поскольку
DE = H, A±D=a /3/2, АХЕ = /3n2/4-pW2,
получаем уравнение относительно И, которое после подстановки а = 2 У 3 R и
возведения в квадрат принимает вид H2 — 4HR, откуда H = 4R.
Ответ. 12 У 3 7?3.
3.31. Центр шара, касающегося трех ребер правильного тетраэдра, исходящих
из общей вершины, должен лежать на биссектрисе соответствующего трехгранного
угла, которая совпадает с высотой тетраэдра, опущенной из этой же вершины.
Поскольку все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке—центре вписан-
ного в тетраэдр шара, достаточно рассмотреть треугольник S0.4 (рис. Р.3.31),
.33]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
187
где SO — высота тетраэдра, 5Д—его ребро, а О, — центр искомого шара и шара,
вписанного в тетраэдр.
Треугольники ЗДО и SOyD подобны. В первом известны все стороны, во
втором SOt = a J^6/4. Это позволяет вычислить R.
Ответ, а К 2/4.
3.32. Если один куб расположен внутри другого, а вершина О у них общая,
то диагонали этих кубов, проходящие через О, лежат на одной прямой. Поэтому
из всех подобных кубов, которые ложно поместить в параллелепипед, мы выбе-
рем максимальный.
Пусть с<а и с<Ь. Тогда в параллелепипед можно поместить куб с ребром с
(рис. Р.3.32). Вычислим все стороны треугольника .4ВО и воспользуемся теоремой
косинусов:
ДВ2 = ЛО2Н-ВО2 — ЧАО-ВО cos х,
АО2 = а2 + Ь2 + с2, ВО2 = Зс-,
АВ2 = (а-с}2+(Ь-с)2.
Для определения cos х получил уравнение
У 3 cos x = c-j-Z> + a,
которое симметрично относительно с, b
а потому не зависит от соотношения
и
с,
в том, что cos х не будет больше еди-
между этими величинами. Убедитесь сами
ницы при любых а, b и с.
Ответ, arccos 17 + ^ + g
/3 Кa2 + b' + .:2
3.33, Разность углов Д и С равна <р, BD — биссектриса угла В в треуголь-
нике АВС (рис. Р.3.33). Вычислим угол а:
В , _ л — А—С , „ я С—А л , Ф
« = у+С = —-+ С=- +—=- + т.
2
2
Объем призмы равен произведению AAt на площадь основания АВС, т. е.
1
2
2
(чг sin a+-y DC-DB sin a ) =— AA^ DB- AC sin a =-^- aS cos
\ Z Z у Z Z Z
Ф.
2 '
Ответ. -у aS cos — .
188
РЕШЕНИЯ
£3.34
3.34. Пусть выбраны диагонали CAD и BjC (рис. Р.3.34). Так как ВдС1|Л]О
и то плоскости A/J^D и ABtC параллельны. Расстояние между BjC и
CrD равно расстоянию между этими плоскостями.
Обе плоскости А/.\О и АВ^ перпендикулярны к диагонали. BDl. Поэтому
искомое расстояние равно разности между отрезком BDt и удвоенной высотой
пирамиды D1A1C1D. Объем этой пирамиды равен п3/6, а площадь основания
TljCjD равна a2 f/3/2, следовательно, высота Л- ь/р^З. Так как В£>1 = ар^3,
то искомое расстояние равно арЛ3— 2а/)/ З = а/У 3.
Ответ. а/У 3.
3.35. Из соображений симметрии ясно, что точка О лежит на диагонали
/.(Д куба. Для доказательства достаточно установить, что плоскость KMN
Рис. Р.3.34.
(рис. Р.3.35) перпендикулярна к и что .4Cj проходит через точку Оп являю-
щуюся центром треугольника KMN.
По теореме о трех перпендикулярах АС± | BD. Следовательно, ACj _]_KN.
Аналогично прямая перпендикулярна к КМ или МП, т. е. ACj — перпенди-
куляр к плоскости KMN.
Треугольник KMN равносторонний. Так как АК = AN = AM, то из равенства
соответствующих треугольников, имеющих общие вершины в точках А и Ot, по-
лучаем К0х= N0t = МОЛ.
Мы доказали, что центр 0 сферы лежит на продолжении отрезка ЛС1.
. „ „ ОК ОА
Так как АК — биссектриса в треугольнике ОКО1, то v7r==T7T- Отсюда
Л C/j 1
найдем OK = R, выразив остальные отрезки через ребро куба:
KN BD а лг----- а
K0‘=VJ-^~VT-
О A = OO1—AOl = V ОК2-КО[ =
а
R*-^_________.
6 |Л12
OK ОА
Подставив все эти выражения в пропорцию ~j(Q~=~AQ ’ получим уравнение
относительно R. После простых преобразований это уравнение запишется в виде
6R2 —2 Y"6aR — За2 = 0.
Геометрический смысл имеет только положительный корень.
Ответ. R — Y3/2 а.
3.37]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
189
3.36. Докажем вначале, что каждая сторона четырехугольника параллельна
биссектральной плоскости двугранного угла, образованного данными взаимно
перпендикулярными плоскостями. Перенесем сторону четырехугольника парал-
лельно себе так, чтобы одна из ее вершин лежала на ребре этого двугранного угла
(рис. Р.3.36,а). Полученный отрезок RS спроектируем на плоскости Р и Q. Так
как проекции при параллельном переносе не изменяются, то RS1 = RS2=1.
Построим линейный угол S3TSlt измеряющий двугранный угол между плоскостями
Р и Q, и соединим точки S и Т. Треугольники RSyT и RS2T и треугольники
С
Рис. Р.3.36.
/?S]S и RS2S попарно равны, т. е. прямоугольные треугольники StST н
S2ST— равные и равнобедренные. Следовательно, углы STSl и STS2 равны 45°,
а это означает, что сторона данного четырехугольника параллельна биссектраль-
ной плоскости. Проведя аналогичные рассуждения для каждой стороны, придем
к выводу, что плоскость четырехугольника параллельна биссектральной плоскости.
Перенесем теперь плоскость Р параллельно так, чтобы четырехугольник
уперся в нее одной из своих вершин, которую обозначим буквой А (рис. Р.3.36,б).
Спроектируем четырехугольник ABCD на плоскость Р. Поскольку его про-
екция /IBjCjDt—квадрат, то ABCD — параллелограмм. Поэтому один из отрезков
АВ или AD равен У 5/2. Предположим, что это АВ.
Построим теперь след, оставленный плоскостью четырехугольника ABCD на
плоскости Р. Для этого построим вначале точку £, в которой пересекаются пря-
мые ВСи В1С1, а затем соединим Е и А. Угол между плоскостями ABCD и Р
измерим линейным углом BFBl: равным 45°. Остается провести вычисления:
ВВг = У 5/4—1 = 1/2, BJ/7 = BB1= 1/2, следовательно, угол BtAF равен 30° и по-
п г? 1 1 У * , 1 - / 7 ВС В1С1
этому BtE = 1/У 3; находим ВЕ = .I/ —=1/ = , и так как ,
г *> 4 г 12 0/2 oj/s
то ВС = -С-2— .
Ответ. /5 Д-/7.
3.37. Опишем около данной гпрамнды конус с образующей Z, высотой Я и
радиусом нижнего основания R. Объем конуса больше объема пирамиды. Если
мы докажем, что объем конуса меньше куба образующей, то задача тем самым
будет решена.
Рассмотрим угол а между Н и I. Тогда
Н — I cos a, /? = Zsina,
190
РЕШЕНИЯ
[3.33
а объем конуса равен
V' = -y- R2H Z3 sin2 a cos a.
О u
Составим отношение:
V 1 . , л . . л
-тт =-7г л sin2 a cos а =-F- sin 2а sin а < — < 1
ZJ 3 6 6
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
3.38. В осевом сечении конуса получим картину, изображенную на рис. Р. 3.38.
По условию r = pR. Из подобия треугольников ЕОВ и ЁОХВ получим
г H — 2R — r „ 2R2
R—H^~’T-eH-R^7’
H-R
а из подобия треугольников ADB и ОЕВ (АВ = 1) найдем
Z _H — R
р R '
т. в.
, H—R_ \+Р
l-P R Р1-р'
Так как Z2—р2 = №, получаем уравнение относительно р, решая которое находим
Рис. Р.3.38.
р2 = /?2/р. Полная поверхность конуса равна пр (p+Z). С помощью производной
пропорции из соотношения (*) получим
Z + p Н . . „Я 2R3
—L-c = —, т. е. (Z + р) р = р2 —=-----.
Р Р f R Р(1—Р)
Сумма поверхностей шаров равна 4л (R2-pr2). Составим искомое отношение:
2(^+Г)р(р 1) = 2(1 + р2)р(1_р)_
R2
Ответ. 2p(l — p)(l + p2).
3.39. Обозначим радиус сферы через R и рассмотрим осевое сечение каждого
из конусов. Второй конус можно расположить внутри сферы произвольным обра-
зом. Мы расположим его так, чтобы образующие обоих конусов были параллель-
ны (рис, Р.3.39). Выразим радиусы оснований конусов через R,
8.40]
ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
191
В треугольнике FOK углы OFK и OKF равны ct/2. Следовательно, угол ЕОК
равен их сумме, т. е. а. Из треугольника ЕОК находим EK — R sin а. Далее,
£f = EO + OF=/?(l + cos a) CD=-CO^OD = R Г1 + . * ---1 ,
| sin (а/2) ]
ofi ( 1 Ъ а D 1 Ч-sin (а/2)
DB = DC^^-=R\\+,—^\ tg-^R cos («/2) ~ '
Составим теперь отношение объемов и приравняем его к а. После простых пре-
образований придем к уравнению относительно а:
< . . а п я /- . а , а , , . а „з/- . а/, . ., а
1 -f-sin — = 2 т/a sin — cos2 —, или 1 Д-sin ——2 г/ a sin — 1—sin2 —
£ ' L Л * £• \ it
Так как 1+ sin (а/2) # 0 (иначе не существует конус), то
2 sin2 у — 2 j^Z a sin -^-+ 1 = 0,
откуда . ________
а = 2 arcsin 1 ± j/ i J .
Чтобы можно было осуществить извлечение корня, необходимо взять а 5=8.
Рис. Р.3.40.
Так как а > 0, то выражение, стоящее под знаком арксинуса, как легко
проверить, всегда расположено между 0 и 1.
Ответ, а = 2 arcsin
2 \
- ] при а 5д-8.
V а )
3.40. Так как Ot — центр сферы, касающейся граней SAB и ХДС в точках
В и С (рис. Р.3.40, а), то О, лежит в плоскости, перпендикулярной к их общему
ребру 54 и проходящей через эти точки. При этом ED—'биссектриса линейного
угла ВЕС, измеряющего двугранный угол между рассматриваемыми плоскостями.
152
РЕШЕНИЯ
[3.41
Если сделать такие же построения для второ!! сферы 02, то получим четырех-
угольник AFBO2, равный четырехугольнику ВЕСОХ (равенство очевидно из сооб-
ражений симметрии, однако этот факт легко устанавливается и непосредственно).
Следовательно, COt = А0.2 = ВО„ = ВО2. Заметим, что ЛО^ЦСО, как два перпенди-
куляра к плоскости Л£С. Итак, О2О2 = АС — а.
Поскольку, O1B_]_ASB, то Ь2В SB, аналогично О2В _[_££, откуда
SB | 0,50,. Мы доказали, что SB — высота пирамиды SOlBO2.
Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, остается вычислить длину
отрезка SOX. Так как отрезок ЕС из треугольника ASC определяется легко:
ЕС*~£(4Ь*-а*),
то дальнейшие вычисления нельзя проводить, оставаясь в плоскости ВЕС
(рис. Р.3.40, б). Обратим лишь внимание па тот факт, что треугольники BES
и CES равны, т. е. ВЕ=СЕ, откуда следует, что биссектриса ED является
в треугольнике ВЕС и медианой. Фигура ВЕСО1 — ромбоид (ВС | ЕОу). Обозначим
ЕС = с, В01 = х. Треугольники ECOl п ECD подобны. Поэтому ED.c = ^'.x,
rtc П-Г?"
откуда х = —— , т. е. х2=—^-----
2 ED 4с2 — а2
Подставляя вместо с=ЕС его выражение через а и Ь, получим
а2(4Ь2-а2)
4 ('3b2 —а2} ’
Теперь можно определить высоту треугольника О2ВО2, опущенную на ОХО2. Она
ab
равна----. Все элементы, необходимые для вычисления объема, сосчитаны.
2/362—а2
„ а2&2
Ответ. ——; .
12/з&2 — а2
3.41. Расстояние между центрами Ог и О., двух не касающихся друг друга
шаров равно 2г/2”(рис. Р.3.41, а). На рис. Р.3.41, б изображено осевое сечение
Рис. Р.3.4).
конуса, проходящее через 02 и 03. В этом же сечении будет лежать и 06. В треуголь-
нике О6О.£ сторона 010ь = 2г, а 01£ = гТЛ2, следовательно, 7/7-=-^, т. е.
Wit's у 2
угол O^OjE равен 45°. Треугольник ASD подобен треугольнику ОгОьЕ. Поэтому
H = R. Найдем Н:
/7 = SO6 + O6£ + £D=/2M= z (2/2+1).
Г *
тельностью (ап) (или, короче, последовательностью) называется
функция, заданная на множестве натуральных чисел.
Последовательность называется бесконечной, если функция
задана на множестве всех натуральных чисел. Последователь-
ность называется конечной, если функция задана на множестве
первых п натуральных чисел.
Часто последовательность задается формулой ее /г-го (или
общего) члена:
an = f(n) (п=1, 2, 3, ...),
позволяющей по номеру члена последовательности вычислить этот
член.
Например, если известно, что ап = п2 при любом п, то аг — 1,
о2 = 4, л3 = 9 и т. д.
Формула п-го члена может быть и более сложной. Например,
формула
' п, если м = 26,
ап = 1 п, ,(6=1,2,...)
п — , если п= 26— 1 '
п
задает последовательность
1> 2, у , 4, . . ., > 2|!г> 2Й+1 ’ ’ ”
Иногда последовательность задается рекуррентной формулой,
позволяющей находить члены последовательности по известным
предыдущим.
При рекуррентном способе задания последовательности обычно
указывают:
1) первый член последовательности (или несколько первых
членов);
2) формулу, которая позволяет определить любой член после-
довательности по известным предыдущим членам.
Например, рассмотрим последовательность (а„), первый член
которой равен 1, второй —2, а каждый член, начиная с треть-
его, равен сумме двух предыдущих членов:
Й1 = 1 , Й2 — 2, ап + 2 = Ч- Оп+1.
Тогда а3 = 1 + 2 = 3, а4 = 2 + 3 = 5, я5 = 3 Ч- 5 = 8 и т. д. Зна-
чит, последовательность (яп) задана. Не всякую последователь-
ность можно задать формулой н-го члена или рекуррентной фор-
мулой. Например, можно образовать последовательность прибли-
женных значений (с недостатком) числа 2:
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...
или последовательность простых чисел (в порядке возрастания):
2; 3; 5; 7; 11; 13; ....
186
хотя формулы n-го члена или рекуррентной формулы в обоих
случаях мы не имеем. Для каждой последовательности должно
быть задано правило, по которому можно получить любой ее
член. В каком виде приведено это правило, не имеет значения.
Последовательность (а„) называется возрастающей, если каж-
дый последующий ее член больше предыдущего, т. е. ап+1 > ап
для любого п.
Например, возрастающими являются последовательности:
1) 1; 4; 9; 16; ...; п2; ...; ая = и2;
2) — 2; 0; 2; 4; ...; 2п — 4; ...; а„ = 2п—4;
3) 1- 1- 1- ±- • -а =
2 ' 3 ’ 4 ’ 5 ’ ‘ п+1....... п п+1 '
Последовательность (ап) называется убывающей, если каждый
последующий ее член меньше предыдущего, т. е. ап+1<ап для
любого п.
Например, убывающими являются последовательности:
/ч 1 1 . 1 . 1 . 1 . 1 .
’ 2 3 ’ 4 ’ • • •’ п....а“~ п ’
2) —1; —2; —3; —4; ...; —п\ ап = —п.
Возрастающие и убывающие последовательности называются
монотонными. Не всякая последовательность является монотон-
ной. Например, конечная последовательность
7; —5; —6; 0; 1,
бесконечная последовательность
1; —1; 1; —1; (— ая = (—1)«~Ч
а также последовательность
/ 5; 5; 5; 5; ...; ая = 5
не являются ни возрастающими, ни убывающими.
Заметим, что последовательность, все члены которой равны
между собой, называют постоянной последовательностью.
§ 2. Арифметическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложен-
ному с одним и тем же числом, называется арифметической
прогрессией.
Если последовательность (ап)— арифметическая прогрессия,
то по определению
+ = о3 а2 = . .. = яи+1 ан = ...,
т. е. разность между любым членом и предыдущим с ним равна
одному и тому же числу. Оно называется разностью арифмети-
ческой прогрессии и обозначается буквой d.
Таким образом, арифметическая прогрессия (ая) определяется
условиями:
187
1) а3 = а, где a — некоторое число;
2) an+i=an-\-d для любого
Если, например, ^=1 и d==l, то мы имеем арифметическую
прогрессию, членами которой являются последовательные нату-
ральные числа:
1; 2; 3; 4; ...
Арифметическая прогрессия (о„) обладает следующим харак-
теристическим свойством: любой член ее, начиная со второго,
является средним арифметическим предыдущего и последующего
членов.
Доказательство. По определению арифметической про-
грессии
ап+1 = ап + ^>
an+i= ^и+1 + d,
или ап+1—ап = ап+2 — ап+1, откуда
_ _,;и + ап + 2
ип+1~ 2 ~'
Справедливо и обратное: если некоторая последовательность
такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним
арифметическим предыдущего и последующего членов, то эта по-
следовательность — арифметическая прогрессия.
В самом деле, пусть для любых трех соседних членов неко-
торой последовательности (а„) выполняется соотношение
ап+1 = а-^^. (1)
Тогда 2а„+1 = аи + ал+2, или ал+1—ал = ал+2 —ял+1, т. е. разность
между любым членом последовательности (ап) и предыдущим с ним
равна одному и тому же числу. Значит (а„) — арифметическая
прогрессия. -
Таким образом, установленное свойство присуще арифметиче-
ской прогрессии, и только ей.
Пусть (ал)— арифметическая прогрессия; а1 — ее первый член,
a d—разность прогрессии.
Выведем формулу для н-го члена арифметической прогрессии.
По определению арифметической прогрессии
о2 = а1 + ^>
а3 = a2 + d,
a4==a3 + d,
an^ = an_2 + d,
Складывая почленно эти п—1 равенств, получим
(й2 + «3 + й4 + ' ' + °п-1) 4* ==
= «1 + (^ + «з+ +«л-3 + а,г-1) + («— l)d,
188
откуда
an = al + (n~ l)d. (2/
Формула (2) позволяет найти любой член арифметической
прогрессии, если известны ее первый член и разность. Поэтому
она называется формулой общего члена арифметической прогрес-
сии. Выведем теперь формулу для суммы п первых членов ариф-
метической прогрессии.
Обозначим сумму п первых членов арифметической прогрес-
сии (а„) через Sn и запишем эту сумму дважды, изменив во вто-
ром случае порядок слагаемых на обратный:
<5п = а14-а2 + °з+ • • • + ил_1 +
<5» —Оп + ал-1 + аи-2+ • • • + а2 + а1«
Сложим почленно эти равенства и получим
25„ = (л2 + ап) + (аг 4-о„_1)-Ь
Ч-(а3 + а„_2)+ • •. +(ап_1Ч-Й2) + («л+ О-
В правой части равенства сумма двух чисел в каждой скобке
равна аг-|-а„. В самом деле:
<4 + «я-1 = (ai + d) + (а„—d) = аЛ + а п;
a3 + an_2 = (a2 + d) + (an_l—d) = a2 + an_l = al + an и т. д.
Число слагаемых, заключенных в скобки, равно п. Поэтому
2S„ = fax+ «„)«.
откуда
S „ = (fli+Qa«)rt (3)
— формула суммы п первых членов арифметической прогрессии.
Заменим в этой формуле член ап его выражением — 1).
Тогда
^ = 2fll+yt-l)-л. (4)
По этой формуле сумма первых п членов арифметической
прогрессии (а„) выражается через первый член, разность и число
членов.
§ 3. Геометрическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, первый член
которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго,
равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не рав-
ное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Если последовательность (ая) —геометрическая прогрессия, то
по определению
__ ai _ ап an + i __
Щ ~ й2 ~ ~ — а„ ~ ‘ ’
139
т. е. отношение любого члена к предыдущему равно одному и
тому же числу. Это число называется знаменателем геометри-
ческой прогрессии и обозначается буквой q.
Таким образом, геометрическая прогрессия (а„) определяется
условиями:
1) а± = а (а =И=0);
2) an+1 = anq (g=#0) для любого 1.
Если, например, al — 1 и q = 2, то мы имеем геометрическую
прогрессию
1; 2; 4; 8; . ..
Условиями aL = 4, q— — -у задается геометрическая прогрес-
сия
4; -2; 1; ...
Геометрическая прогрессия (а„) обладает следующим харак-
теристическим свойством: квадрат любого ее члена, начиная со
второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:
а2п+1 = апап+2 (п>1). (5)
Доказательство. По определению геометрической' про-
грессии
ап ап + 1
откуда
ап+1 = апап+1‘
Справедливо и обратное: если некоторая последовательность
(ап) такова, что a,n+1 = a„an+i и а1=^0, а2^=0, то эта последо-
вательность (а„)— геометрическая прогрессия.
В самом деле, пусть для любых трех соседних членов неко-
торой последовательности (а„) выполняется соотношение (5). Тогда
+ 1 ап + 2
ап + 1
т. е. отношение любого члена последовательности (ап) к преды-
дущему равно одному и тому же числу. Значит, (ап)— геометри-
ческая прогрессия.
Таким образом, установленное свойство присуще геометри-
ческой прогрессии, и только ей.
В случае геометрической прогрессии с положительными чле-
нами соотношение (5) можно записать в виде
ап + 1 —+ (б)
Геометрическая прогресия с положительными членами обла-
дает следующим характеристическим свойством: любой ее член,
начиная со второго, является средним геометрическим предыду-
щего и последующего членов.
190
Пусть (а„) — геометрическая прогрессия, аг — ее первый член,
q—знаменатель прогрессии. Выведем формулу для /г-го члена
геометрической прогрессии.
По определению геометрической прогрессии
«3 = ^27»
«4 = a3q,
@n-i~ an-2q >
an = an_lq.
Умножая почленно эти п—1 равенств, получим
(а2а3а4.. .а„_1)а„ = (а2а3.. .ап_2ап_^
Так как а2а3а4. :.ап_1^0, то после сокращения имеем
а« = М- (7)
Формула (7) позволяет найти любой член геометрической про-
грессии, если известны ее первый член и знаменатель. Поэтому
она называется формулой общего члена геометрической прогрессии.
Выведем теперь формулу для суммы п первых членов геомет-
рической прогрессии.
Обозначим сумму/г первых членов геометрической-прогрессии
через Sn:
‘S„ = ai + a2 + a3+ • • +an-i + fl,n- (*)
Если знаменатель прогрессии q равен 1, то Sn = nax.
Если же 7=И=1, то поступим следующим образом. Умножим
равенство (») почленно на у.
qSn = a1q + a2q + a:iq+ . . . + an_lq + aaq.
Так как a1q = a2, a3q = a3, a3q = ai, ..., an_tq = an, то
qSn = а., 4- а3 + • • + + anq.
Вычтем почленно из этого равенства равенство (*). Получим
qSn—Sn = anq —alt (q— 1) S„ = anq—alt
откуда
sn-a-~r
4 1
— формула суммы n первых членов геометрической прогрессии со
знаменателем q Ф 1.
Заменим в этой формуле член ап его выражением ayqn~1. Тогда
(^1). (9)
.191
§ 4. Задачи на прогрессии
Пример 1. Найти все последовательности, которые являются
одновременно и арифметическими и геометрическими прогрессиями.
Решение. Пусть числа п,, а.,, . .., ап, ... образуют ариф-
метическую' прогрессию. Тогда
Так как (ан) — геометрическая прогрессия, то, применяя фор-
мулу общего вида an = alq,‘~'1, где ^^=0, </=ф=0, получаем
или после сокращения на
7 2 • ,
т. е. (q—1)2 = 0. Отсюда q— 1 и данная последовательность есть
последовательность равных чисел ал, at, ..., alt ...
Пример 2. Между числами 3 и 19 вставить три средних
арифметических.
Решение. Нужно найти такие три числа а2, а3, а4, чтобы
последовательность 3, а2, а3, а4, 19 была арифметической про-
грессией. Пусть разность этой прогрессии равна d. По формуле
общего члена арифметической прогрессии 19 = 3 + 4d; откуда
/1 = 4. Получена прогрессия 3; 7; И; 15; 19. Искомые числа
7; 11; 15.
Пример 3. Найти сумму всех двузначных натуральных
чисел.
Решение. Имеем <^=10, а„ = 99, /1=1. Тогда ап = а1 -ф
+ d(n—1), т. е. 99= 10-j-/1—1 или /1 = 90. Поэтому
3 = —• п = • 90 = 4905.
Пример 4. Числа а2, Ь2, с2 образуют арифметическую про-
гг 111,
грессию. Доказать, что числа также ооразуют
арифметическую прогрессию.
Решение. По условию Ь2— а2 = с2 — Ь2. Рассмотрим
1 1 b — а ______ Ь2— а2
афс b фс — (офс) (Ь фс) (афс) (йфс) (афЬ) ’
1 1 с — b ______ с2 — Ь2
а-\-Ь афе— (афй) (афс) — (афЬ) (афс) (Ьфс) ’
1111
Отсюда следует, что—,--гл—= —гп:-----, и, значит, числа
” 1 афс Ьфс афд афс’ ’
ГфТ ’ Нфч- ’ ТфТ образуют арифметическую прогрессию.
192
Пр и мер 5. Между числами 1 и 256 вставить три средних
геометрических.
Решение. Нужно найти такие три числа «2, а3, а4, чтобы
последовательность 1, а2, а3, а4, 256 была геометрической про-
грессией. Пусть знаменатель этой прогрессии равен q. По фор-
муле общего члена геометрической прогрессии 256= 1-д4 или
44 = <?4, откуда q = 4. Получена прогрессия 1; 4; 16; 64; 256.
Искомые числа 4, 16, 64.
Примерб. В геометрической прогрессии сумма первых че-
тырех членов равна 15, а сумма членов от второго до пятого
включительно равна 30. Найти прогрессию.
Решение. По условию S4 = 15, S6—= 30, т, е.
Ч ;_ 15 / Qi О?1—О _ 15
<?—1 ’ I <?—1 ’
3Q ИЛИ о14(^-1) = 30
4—1 1 ’ I 4—1 -
Решая эту систему, получим q = 2, я, = 1; следовательно,
найдена прогрессия 1; 2; 4; 8; 16.
Пример 7. Три положительных числа образуют геометри-
ческую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то про-
грессия станет арифметической. Но если после этого увеличить
третье число на 64, то прогрессия снова станет геометрической.
Найти эти числа.
Решение. Обозначая числа a, aq, aq2, имеем
( , о а-\-аа2
I aq + 8 = г2 ,
I (aq + 8)2 = a (aq2 + 64).
Упрощая второе уравнение, получаем
«<7 + 4 — 4« = 0.
Тогда
«(1 +</2 — 2q) = 16,
а (4 — <у) = 4;
откуда q1 + 2q—15 — 0. Получаем <у = 3 (отрицательное значение
отбрасываем). Тогда а = 4. Искомые числа 4, 12, 36.
§ 5. Логарифмирование и потенцирование
Напомним, что из определения логарифма (§ 4 гл. VU) вы-
текает основное логарифмическое тождество
a1oge6_£. (]Q)
Используем это тождество для доказательства свойств логариф-
мов.
7 И. А, Бур ной и др.
193
1. Логарифм произведения двух любых положительных чисел
равен сумме логарифмов множителей:
10ga(XiX2) = 10geXl + 10gaX2, (И)
где а> 0, а Ф 1, xL > 0, х2 > О.
Доказательство. Подставляя в тождество (10) вместо b
числа Xj. и х2, получаем
x1 = aloge-v‘, х2 = а1оеаХ1.
Умножая эти равенства, имеем
Xj.x2 — aloga *«
или по свойству степени
ххх2 = a,oga х>+,°еа **.
С другой стороны, используя основное логарифмическое тож.
дество,
XjX2 = a,oga <***»>.
Поэтому
fltoga (х,х2) = flloga Xi + Ioga х,.
Так как а>0иа#=1, то
10ga (XjX2) = l.oga Х£ 4- loga x2.
Равенство (11) доказано.
Отметим, что установленное свойство справедливо для любого
числа положительных множителей.
Например, для трех множителей xL > 0, х2 > 0, х3 > 0:
loga (JWa) = loga х, + loga х2 + loga х3.
2. Логарифм частного двух положительных чисел равен раз-
ности логарифмов делимого и делителя:
loga y = logBx1— logax2, (12)
еде а > 0, а=^1, х£ > 0, х2 > 0.
Доказательство. Согласно основному логарифмическому
тождеству
x1 = alogaX‘, x2 = alogaXi.
Отсюда
х£ alog“ х‘
Х2 a'oga *г ’
или по свойству степени —=aIog«
Л'2
С другой стороны,
Xi ’oga 4-
— = а .. .
хп *
194
Поэтому
1 -'Т
loga — ,
a Хг = a)°Sa х' ~loga Xi.
Так как а>0 и а#=1, то
log0-^- = logflx1—logax2.
л2
Равенство (12) доказано.
3. Логарифм степени равен произведению показателя степени
и логарифма ее основания-.
logaxft = felogax, (13)
где а > О, д=^1, х > 0, k—любое действительное число.
Доказательство. Согласно основному логарифмическому
тождеству
X = flloga х.
Отсюда
хк = (а'°"а х)к,
или по свойству степени
Хк _ ak toga X.
С другой стороны,
хк = а'°еа
Поэтому
fllog a(xk) = ak logo х
откуда
logax* = Z:logflx.
Равенство (13) доказано.
Каждому положительному числу при заданном основании
отвечает определенное значение логарифма. Нахождение лога-
рифмов заданных чисел или выражений называется логариф-
мированием.
Логарифмируя некоторое алгебраическое выражение и при-
меняя свойства логарифмов, мы сводим действия умножения,
деления, возведения в степень и извлечения корня к более про-
стым действиям сложения и вычитания логарифмов и их умно-
жения и деления на число.”
Действие, обратное логарифмированию, называется потенци-
рованием. Оно состоит в отыскании числа по известному значе-
нию его логарифма с заданным основанием.
Рассмотрим примеры.
3 /—
172- 1Z 120
Пример 1. Найти логарифм выражения х — ^2-===-.
7*
195
Решение. Запишем сначала данное выражение в следую-
щем виде:
. 1
172- 120 3
х = f Y*
31 2 -43 2
Тогда по свойству логарифма частного
logax = loga (172- 120v)_Ioga (з1“. 43~) .
По свойству логарифма произведения имеем
logax = loga 172 + loga 120”»— loga31~ — logfl43~.
Применяя свойство логарифма степени, получим
loga х = 2 Ioga 17 + у loga 120 — 1 loga 31—1 ]Oga 43.
Пример 2. Прологарифмировать по основанию 10 выраже-
ние 500а365, где а > 0, b > 0.
Решение.
lg (500«365) = 1g 500 -f- Iga3 4- lg &5 = lg 100 4- lg 5 4- 3 lg а + 5 lg&,
или
lg (500я3й5) = 2 4- lg 5 4- 3 lg a + 5 lg b,
так как lg 100 = 2.
Пример 3. Найти x:
a) x=10-100“lB*"lg2; 6) x = 491-lo<’2 4-5-'°g»«.
Решение, a) 1 lg9 = Ig9 2 = lg3; lg 3 — Ig2 = lg-|;
ioolg~= (iolg^y = flV = 1
\ / \ 2 j 4
Мы использовали логарифмическое тождество
10|е* = х (х>0).
Следовательно, х = 10 • 1 = у .
б) 1 — log7 2 = log, 7 — log, 2 = log, 1;
49,oe’ T = 710g’ ly = (7. у = *!.
5~Iog, 4 _ (5log, 4)-l =_L .
n 49 , 1 25
Следовательно, x = 4- = у
Пример 4. Упростить: a) Iga2, 6) lg(а*Ь3с2), если a > 0,
b > 0, c < 0.
196
Решение, а) Так как а2 > 0 для любого а^О, то 1gа2
имеет смысл. Свойство логарифма степени было установлено при
условии, что основание положительно. Чтобы его применить,
используем равенство а2 = |й|2, причем | а | > 0 при a=^Q. По-
этому lg а2 = 1g | а |2 = 2 1g | а |, где а=^0.
б) Так как а* >0, Ья > 0, с2 > 0 для любых а 0, с #= 0 и
b > 0, то а*Ь3с2- > 0 и lg(a463c2) имеет смысл. Тогда
-lg(a4&3c2) = lg(|a|4-fe3-|c|2) =
= 4 lg|a| + 3lgfi + 2 lg|c | = 4 lga + 3 lg/> + 2 1g(-c),
так как при a>0 и c<0 имеем |a| = a, |c| =— c.
Пример 5. Упростить выражение log, —21og, 4x4 и вы-
числить его значение при х =— 2.
Решение. Поступаем так же, как при решении примера 4:
Iog4-^p— 2 log4 4 | х |4 =
= 2 log, | х | — log, 4 — 2 log, 4 — 8 log, | х | = — 6 log, |х | — 3.
При х = — 2 имеем log, |x| = log, 2 = у.
Поэтому исходное выражение равно —6 при х~ — 2.
Пример 6. Найти х, если logax = 3 logaу—ylogaz, где
а > 0, а=/=\, y>Q, z>0.
Решение. Применяя свойства логарифмов, получаем
loga х = loga if — logd z~ = loga -4- = 1 oga .
z 2
Из равенства логарифмов чисел с одинаковым основанием следует
и3
и равенство самих чисел, т. е. х = -^ .
Пр имер 7. Найти х, если lgx=2 lg3 + y lg5 — lg7.
Решение. Потенцируя, получаем
- з2-5^
lgx= lg32 +lg5 3 —1g7 = 1g—;
9 з /“~
откуда x = y j/ 5.
§ 6. Десятичные логарифмы. Характеристика и мантисса
Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными.
Десятичным логарифмам присущи все те свойства, которыми
обладают, логарифмы при основании, большем 1. График функ-
ции у= Igx был изображен на рис. 52. Кроме того, десятичные
логарифмы обладают важным специфическим свойством.
Прежде чем рассмотреть это свойство, введем следующее опре-
деление.
197
Целая часть десятичного логарифма числа х > 0 называется
характеристикой, а дробная—мантиссой этого логарифма.
Следовательно, lgх = [lgх] + {lgx}, где [Igx]— характеристика
Igx, a {Igx}— его мантисса.
Мы знаем, что любое положительное число х можно записать
в стандартном виде:
х = а-10",
где 1 а < 10, п— целое число. Число п называется порядком
числа х.
Справедливо следующее свойство десятичных логарифмов чи-
сел: характеристика десятичного логарифма числа х = а-\Оп
равна порядку этого числа, а мантисса равна 1gа.
Доказательство. Если х = а-10", где 1 г^а < 10 и п —
целое число, то lgx = lga + lg 10" = я-|-1g а.
Так как 1 sC а < 10, то 0^1ga< 1. Следовательно, lgx =
= [Ig^l+VS*}. причем [lgx] = n, {lgx} = lga.
Следствие. Десятичные логарифмы чисел, отличающихся
друг от друга только порядком, имеют одну и ту же мантиссу.
В самом деле, мантиссы десятичных логарифмов чисел а-10*
и а-10", где 1^а< 10, a k и п—целые числа, будут одина-
ковыми и равными 1g а.
Это следствие можно сформулировать иначе: мантисса лога-
рифма числа не зависит от положения запятой в числе.
Установленное свойство десятичных логарифмов позволяет
широко использовать их в вычислительной практике.
Пример 1. Известно, что lg2« 0,3010. Найти lg4, lg8,
lg 20, lg 5.
Решение. Так как 4 = 22, 8 = 23, то
Ig4 = 21g2 «0,6020; lg8 = 3 lg2 « 0,9030.
Так как 20 = 2-10, то lg20« 1,3010.
Так как5 = у, то 1g 5 = 1g 10 — lg 2 = 1 —lg2 « 0,6990.
Пример 2. Сколько цифр содержит число 24?
Решение. Вычисляя 1g24, имеем
1g 2:5 = 75- 1g 2 « 75-0,3010 = 22,5750.
Следовательно, характеристика этого десятичного логарифма
равна 22. Поэтому 24 = а-1022, где 1^я< 10, а — целое число,
и, значит, число 24 содержит 23 цифры.
§ 7. Решение уравнений и неравенств,
содержащих показательную и логарифмическую функции
Рассмотрим показательное уравнение вида
aa = av,
где а —заданное положительное число, не равное 1, а один из
показателей и и v или оба содержат неизвестное х.
198
Из равенства степеней с одинаковыми основаниями, не рав-
ными 1, вытекает равенство их показателей, т. е. u — v, и на-
оборот.
Рассмотрим логарифмическое уравнение вида
logau = logau,
где а — заданное положительное число, не равное 1, а одно из
чисел и > 0 и v > 0 или оба содержат неизвестное х.
Из равенства логарифмов с одинаковыми основаниями выте-
кает равенство чисел, т. е. u = v при условии н>0 и у>0,
и наоборот.
При решении показательных и логарифмических неравенств
нужно использовать общие свойства неравенств, свойство моно-
тонности показательно^ и логарифмической функций. Кроме
того, следует учитывать область определения логарифмической
функции и свойство положительности показательной функции.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить уравнение 32х-1 = 811-х.
Решение. Приведем степени к основанию 3:
32x-i = (34)i-x или 3г*-> = 34-4*,
5
откуда 2х—1 = 4 — 4х; х = -&.
Пример 2. Решить уравнение 7Х = 5Х.
Решение. Разделив обе части уравнения на 5х (такое де-
ление возможно, так как 5* > 0 при любом х), получим = 1,
откуда х = 0.
Пример 3. Решить уравнение 9х — 2-Зх—3 = 0.
Решение. Пусть Зх = у. Тогда 9Х = (3х)2 = у*. Получаем
уравнение у2 — 2у — 3 = 0, откуда У1 = 3; у2 = —1.
Если у = 3, то 3Х = 3, следовательно, л = 1. Если у = — 1,то
3х = —1 и корней нет, так как 3х > 0 при любом х.
Ответ. х= 1.
Пример 4. Решить неравенства: а) Зх’-Х < 9;б) (у) х >4.
Решение, а) Имеем 3X’~X < З2. Отсюда по Свойству степени
с основанием больше 1 х2—х < 2 или х2—х—2 < 0. Решая квад-
ратное неравенство, находим — 1 < х < 2.
б) Запишем неравенство в виде
Отсюда по свойству степени с основанием меньше 1 — < — 2
2*1-1 л х (2х-|-1) п
или —— < 0, т. е. v , < < 0.
X ’ Л2
Решая квадратное неравенство х (2х ф- 1) < 0, находим
— у<х< 0.
199
Пример 5. Решить неравенство 4х— 6-2хф-8<0.
Решение. Пусть 2х=г/. Тогда z/2 —6«/4-8 < О, откуда
2 < у < 4 или 2 < 2х < 22. Итак, 1 < х < 2—решение данного
неравенства.
Пример 6. Решить уравнение 1g (х2—17) = lg(x + 3).
Решение. Из равенства десятичных логарифмов следует
равенство х2—17 = х-|-3, если х2—17 > 0 и х + 3>0. Решая
уравнение х2—х—20 = 0, получаем Xj = 5, х2 = —4. Проверяя
выполнение условия х2—17 > 0 и х-}-3>0, убеждаемся, что
х = —4 не является корнем исходного уравнения.
Пример 7. Решить неравенство
logj.i±-2>0.
2
Решение. Запишем неравенство в виде
logj_^il> log^l.
2 2
По свойству логарифмов с основанием меньше 1
Решая неравенство
> 0 или (х4-2)(х—2) > 0,
получим х <—2, х>2.
Решая неравенство
получим х < 2.
Учитывая ранее найденное, имеем х <—2.
Ответ. х<—2.
Упражнения
Раздел I
1. Последовательность задана формулой ее n-го члена: а„ = 10—Зп. До-
казать, что ап—арифметическая прогрессия.
2. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии 18; 16; 14;
чтобы их сумма была равна нулю?
3. Решить уравнение 1 +6+ 11 -|- ... +х = 148.
4. Доказать, что если положительные числа а, Ь, с образуют арифмети-
1 1 1
ческую прогрессию, то числа ——-----— , ----— , ——-------— также
/й+/с Ка+К*
образуют арифметическую прогрессию.
5. Найти четыре числа, образующие геометрическую- прогрессию, у ко-
торой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
6. Определить число членов геометрической прогрессии (а„), если ^ = 3,
а„=96, 6’„=189.
200
7. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифме-
тической прогрессии, равна 21. Если второе число уменьшить на 1, а третье
увеличить на I, то получатся три последовательных члена геометрической
прогрессии. Найти эти числа.
8. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 56.
Если из них вычесть соответственно 1; 7; 21, то вновь полученные числа
составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
/2 | [гт J g
10 2 и у = 2,иг‘ * + *.
10. Прологарифмировать по основанию 10
( V
х =( " I ; л=2а5Ь2с4,
\ /За3* J
если а > О, Ь < 0, с > 0.
Решить уравнения (№ 11—19):
11. 24*—50-22* = 896. 12. 52*~1 + 5*+х=250.
13. 0,1* +1 + 0,01* = 0,02. 14. 2* А— 5.2ол/х = 24.
15. 4х+Гх?Т7-5-2х+Гх7Т7-1=6. 16. lgxa = 21gx.
.7.
18. lg(3»-S) + l8<S«+2)-lj(IO«-3).
19. Ig2x—51gx = 2(l—2lgx).
Решить неравенства (№ 20—25);
20. (0.5)*2 > (0,5)*. 21. З*2 > 81. 22. 1g (х—5) < lg(3x+7).
23. lg(8-x)^lg(x2 + 2). 24. log05(x—2)> log0 5 x2.
25. logflx+loga (x+ 1)< loga (2x + 6), где a > 0, a/1.
Раздел II
26. Возрастающей или убывающей является последовательность, заданная
формулой общего члена:
. п Зл ,
а) б) а«=^?
ft j О fl
27. Последовательность задана формулой общего члена: а„ = л2—I. До-
казать, что (а„) не является арифметической прогрессией.
28. Найти сумму всех двузначных чисел от 21 до 50.
29. Между числами 3 и 24 вставить 6 средних арифметических так,
чтобы образовавшаяся числовая последовательность являлась арифметической
прогрессией.
30. Найти сумму л членов арифметической прогрессии, m-й член которой
равен а—2Ьт.
31. Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый—3. Найти
первый член и разность.
32. Найти разность арифметической прогрессии, первый член которой
равен 100, а сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы последую-
щих шести членов.
33. Доказать, что если'а2, *2, с2 составляют арифметическую прогрессию.
„ 1
то дроби —— ,
о -|-с
с а и y-j-j также составляют арифметическую прогрессию.
201
34. Два тела начинают одновременно двигаться навстречу друг другу.
Первое проходит 10 см в секунду, а второе в первую секунду прошло Зсм,
а в каждую последующую проходило на 5 см больше, чем в предыдущую.
Через сколько секунд после начала движения тела встретятся, если между
ними было расстояние 153 см?
35. Числа градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах
некоторого многоугольника составляют арифметическую прогрессию с разно-
стью d= 10°. Наименьший угол этого многоугольника равен 100°. Сколько
сторон в этом многоугольнике?
36. Первый член геометрической прогрессии равен 1. Сумма третьего и
пятого членов равна 90. Найти знаменатель прогрессии.
37. Найти четыре числа, составляющих геометрическую прогрессию, если
первое число больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.
38. Если из четырех неизвестных чисел, составляющих геометрическую
прогрессию вычесть соответственно 2, 7, 9 и 5, то полученные числа составят
геометрическую прогрессию. Найти члены арифметической прогрессии.
39. Вычислить:
а) 10 3 8 ; 6) (yj
40. Прологарифмировать выражение по основанию 10
если а > О, b > 0.
41. Зная, что 1g3 я 0,48, 1g 5 и 0,70, найти логарифмы чисел 1,5;
0,12; |.
Решить уравнения (№ 42—51):
ЗХ_ 5Х + 2=3*+1_ 5*+3. 43 32X + 5=3JT + 2_I_2.
25*~2_/ 1 V-7,5
}Л5 ~ \ 5 )
(устно), lg(2х—№+Ю) = 1,1 — 10lg°'6~,g °
3_.
5 ’
42.
44.
45
46. lg(.v—6)-}-2 1g /2х + 5 = 2. 47. 0,1 lg4x —lg2x0,9=0.
48. lg2(100x) + lg2(10x)=14 + lgy . 49. 23x + 8 21 = 6-22*.
Q
50. 2a2-|-21-*2=-2 . 51. 4*-2—17-2*-4-|-l=0.
Решить системы уравнений (№ 52, 53):
52 f 2log2^ — log3x=l, 53 f logs (y—x) = 0,
I ylog3x = 2. ’ 1 x2 + y2 = 25.
Решить неравенства (№ 54—60):
54. logj (2—3x)>—2. 55. 8 > 2log*(3“Si). ’
56.
58.
60.
2
(0,04)6x-*2-8 < 625. 57. 9A + 1 + 3X + 2—18 > 0.
lg (%2+ 2x + 2) > 1. 59.
. 6x + 8 + x2
Og2x2 + 3x + 2
1 \X2-2X
J J
1 \ 1C + X
9 J '
ЧАСТЬ 2. ГЕОМЕТРИЯ
Глава IX. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
§ I. Основные понятия геометрии
Геометрия — этр наука о свойствах геометрических фигур.
Геометрия, как и всякая другая наука, возникла из практичес-
ких потребностей человечества.
В школьном курсе геометрии к основным или начальным по-
нятиям относятся точка, прямая, плоскость и расстояние. Эти
понятия являются неопределяемыми, такими же, как и понятия
множества, числа и величины в курсе алгебры.
Точки обозначаются буквами А, В, С, ..., а прямые—бук-
вами а, Ь, с, ... Для расстояния от точки А до точки В при-
нято обозначение | АВ |.
Всякая геометрическая фигура составлена из точек. Свойства
геометрической фигуры выражаются аксиомами и теоремами.
Аксиома—это предложение, принимаемое без доказательства.
Теорема—это предложение, истинность которого устанавлива-
ется путем логического рассуждения, т. е. доказательством.
Аксиомы выражают основные свойства простейших фигур,
которые являются отправными свойствами в доказательстве дру-
гих свойств. Мы не будем приводить всех аксиом и ограни-
чимся некоторыми из них.
Аксиома 1. Для любой прямой существуют точки, при-
надлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
Если А—точка и а—прямая, то либо А£а, либо А £а. В
первом случае говорят, что прямая а проходит через точку А,
во втором случае—прямая а не проходит через точку А.
Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит
одна и только одна прямая.
Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более
одной общей точки.
Говорят, что две прямые пересекаются, если они имеют толь-
ко одну общую точку.
Аксиома 3. Если две точки прямой принадлежат некото-
рой плоскости, то прямая принадлежит этой плоскости.
Сформулируем свойства расстояний;
1) Расстояние от точки А до точки В положительно, если
точки различны, и равно нулю, если они совпадают:
|AZ?| > 0, если А^В, и |АВ| = 0, если А = В.
203
2) Расстояние от точки А до точки В 'равно расстоянию от
точки В до точки А:
|ЛВ|=| ВА |.
3) Для любых, трех точек А, В, С расстояние | АС | меньше
или равно сумме расстояний | АВ | и | ВС |:
| АС | < | АВ | + | ВС |.
Эти свойства принимаются без доказательства и являются ак-
сиомами.
Теорема 1. Для любых трех точек А, В, С расстояние | АС |
больше или равно разности расстояний | АВ | и | ВС |:
| АС\^\АВ\ — |ВС|.
Доказательство. По свойству расстояний
| АВ| |ЛС|+ | ВС|.
Вычтем из обеих частей этого неравенства | ВС |:
| АВ |-1 ВС | < | АС |,
т. е.
|АС|^|АВ|-|ВС|.
Среди понятий геометрии, которые выбраны за основные, нет
понятия «лежать между». Его можно определить, используя по-
нятия «расстояние» и «точка».
Определение. Точка М лежит между точками А и В,
если эти три точки различны и | А Л1] 4-1 МВ | = | А В |.
Будем считать, что три точки принадлежат одной прямой
тогда и только тогда, когда одна из
них лежит между двумя другими
(рис. 85).
А В С
•--е—----------«—-—.
Рис. 85.
Докажем следующую теорему.
Теорема 2 (неравенство треугольника). Для любых точек А ,
В и С, не принадлежащих одной прямой, расстояние \ АС \ меньше
суммы расстояний | АВ | и | ВС |:
|АС|<|АВ| + |ВС|.
Доказательство. Пусть точки А, В и С не лежат на
одной прямой (рис. 86).
По свойству расстояний
| АС К | АВ | +1 ВС],
204
т. е. либо | АС | < | А В| + | ВС |, либо | АС | = | АВ | + | ВС\. Равен-
ство | АС | = | АВ | + | ВС | в нашем случае выполняться не может.
В самом деле, это равенство означает, что точка В лежит
между точками А и С. Но тогда точки Л, В и С принадлежали бы
одной прямой. Это противоречит условию. Следовательно,
|ЛС| <|ЛВ| + |ВС|.
§ 2. Геометрические фигуры
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются
точка и прямая. Рассмотрим следующие геометрические фигуры:
отрезок, луч, ломаная, угол, многоугольник, окружность и круг.
Отрезок. Отрезком АВ называется геометрическая фигура,
состоящая из двух различных точек Л и В и всех точек, лежа-
щих между ними, и обозначается [ЛВ] или АВ. Точки Л и В
называются концами отрезка Л В. Отрезок АВ является частью
прямой а, на которой лежат точки Л и В (рис. 87).
Длиной отрезка называется расстояние между его концами.
Длина отрезка обозначается так же, как и расстояние между
двумя точками — концами этого отрезка: |ЛВ|.
В геометрии есть общее определение расстояния между двумя
фигурами как наименьшего из всех возможных расстояний X.Y,
где X— точка одной фигуры, aY — точка другой фигуры.
Например, расстояние между двумя пересекающимися прямыми
равно нулю. Расстояние между фигурами, лежащими в одной
плоскости (рис. 88), есть расстояние | МР |.
Полуплоскость и луч. Основными свойствами расположения
точек на прямой и плоскости назовем следующие свойства:
1) Из трех различных точек на прямой одна и только одна
лежит между двумя другими-,
2) прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если
концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости,
то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка при-
надлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с пря-
мой (рис. 89).
Возьмем на прямой а точку Л и проведем через точку А ка-
кую-нибудь прямую Ь, отличную от а (рис. 90). Прямая b разо-
бьет плоскость на две полуплоскости. Часть прямой а, лежащая
в одной из этих полуплоскостей, называется лучом или полупрямой.
205
Точка А называется начальной точкой (или началом) луча. Лучи
прямой а, на которые она разбивается точкой А, называются до-
полнительными.
£
tr
Рис. 89.
Ломаная. Ломаной AtA2A3f. .Ап называется фигура, состоя-
щая из отрезков А2А2, А2А3, . ..,Лп_,Л„, причем любые два от-
резка, имеющие общий конец, не принадлежат одной прямой.
Точки Л15 А2, А3, ..., Ап называются вершинами ломаной
А)А2.. .Ап, а отрезки А1А2, А2А3, ..., A„_TAn—звеньями лома-
ной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопере-
сечений. На рис. 91 изображена простая ломаная, а на рис. 92 —
ломаная с самопересечением в точке В.
А/
Рис. 92.
Длиной ломаной или периметром называется сумма длин ее
звеньев.
Теорема 1. Длина ломаной больше расстояния между ее
концами.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда ломаная со-
стоит из трех звеньев (рис. 93). Другие случаи доказываются
аналогично. Точки /1|, Л2,Л3 по определению ломаной не лежат
на одной прямой. Согласно теореме 2 § 1 (неравенство треуголь-
ника) имеем
]лхлгц-|лгл3| > M^a|.
По свойству расстояний для точек Alt А3, Л4
|Л1Л3| + |Л3Л4|>|Л1Л4|.
206
Поэтому
ММ2 I +1 ^2^3 1+ I A3A4 I > MM4 |>
что и требовалось доказать.
Угол. Углом называется фигура, которая состоит из двух
различных лучей с общим началом. Эта начальная точка называется
вершиной угла, а лучи—сторонами угла. Если стороны угла яв-
ляются дополнительными лучами одной
прямой, то угол называется разверну-
тым .
Угол обозначается тремя большими
буквами, из которых средняя ставится
у вершины, а две другие —у каких-
нибудь точек сторон, или одной бук-
вой, поставленной у вершины: ^/_АОВ
или /_0 (рис. 94).
Говорят,-что луч с началом в вершине /_АОВ проходит между
сторонами этого угла, если он пересекает какой-нибудь отрезок
с концами на сторонах угла (рис. 95). В случае развернутого
угла будем считать, что любой луч с началом в вершине угла,
отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.
Измеряя отрезок, мы находим его длину. Измеряя уЬол, мы
находим его величину или меру. Величина /_АОВ обозначается
АОВ.
Основные свойства измерения отрезков:
1) каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля;
2) если точка С прямой АВ лежит между точками А и В,
то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Основные свойства измерения углов:
1) каждый угол имеет определенную величину (или градусную
меру); величина развернутого угла равна 180 градусам;
2) если луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, то
величина угла АОВ равна сумме величин углов АОС и ВОС.
Угол величиной в один градус (1°) — это угол, величина ко-
торого меньше величины развернутого угла в 180 раз. Приме-
няются и другие единицы для измерения углов: минуты и секун-
ды. Одна минута (1') составляет часть градуса. Одна секунда
(1") составляет часть минуты или ~ часть градуса.
207
Угол, в два раза меньший по величине по сравнению с раз-
вернутым, называется прямым углом (рис. 96). Углы АОС \\ ВОС—
прямые: ЛОС = 90°, ВОС = 90°. Величину прямого угла иногда
обозначают буквой d.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую
длину. Два угла называются равными, если они имеют одинако-
вую величину (или градусную меру). На любом луче из его на-
чала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только
Рис. 96.
один. От любого луча в данной полуплоскости можно отложить
угол, равный данному, и притом только один. Из двух не равных
углов будем считать большим тот, который имеет большую ве-
личину.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона
общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными
лучами. На рис. 97 углы АОВ и ВОС смежные.
Теорема 2. Сумма величин смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (рис. 97) проходит между сто-
ронами развернутого угла. Поэтому АОВ + ВОС = 180°, что и ут-
верждалось.
Из теоремы 2 следует, что если два угла равны, то смежные
с ними углы равны.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного
угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы
АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух
прямых, являются вертикальными (рис. 98).
Теорема 3. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и
COD (см. рис. 98). Угол BOD является смежным для каждого
из углов АОВ и COD. По теореме 2
ЛОВ+ ВОЬ= 180°, COD + BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что АОВ = COD. Равенство вертикальных
углов доказано.
Из теоремы 2 следует также, что угол, смежный с прямым
углом, есть прямой угол.
208
Угол, величина которого меньше 90°, называется острым углом.
Угол, величина которого больше 90°, называется тупым углом.
Так как сумма величин смежных углов равна 180°,„ то угол,
смежный с острым, тупой, а смежный с тупым, острый.
При пересечении двух прямых образуется четыре угла. Если
один из углов прямой, то остальные ; ;
случае прямые называются взаим-
но перпендикулярными (рис. 99).
углы тоже прямые. В этом
Рис 99.
Запись a I b означает перпендикулярность прямых а и Ь. Каж-
дая из двух взаимно перпендикулярных прямых называется пер-
пендикуляром к другой из них. Через каждую точку прямой
можно провести и притом только одну прямую, перпендикуляр-
ную к ней (свойство единственности перпендикуляра к прямой).
В самом Деле, от луча прямой а с началом в точке А (см. рис. 99)
можно отложить и притом только один угол, равный 90\
Многоугольник. Ломаная называется замкнутой, если у нее
концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется много-
угольником. При этом вершины ломаной называются вершинами
многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника.
Отрезки, соединяющие вершины многоугольника, не принадле-
жащие одной из его сторон, называются диагоналями многоуголь-
ника.
Во всяком многоугольнике число вершин равно числу сторон.
Многоугольники разделяются на виды в зависимости от числа
сторон. Многоугольник с тремя сторонами называется треуголь-
ником, многоугольник с четырьмя сторонами — четырехугольником
и т. д. •
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной
полуплоскости относительно любой его стороны и ее продолжения.
На рис. 100 изображен выпуклый пятиугольник, а на рис. 101 —
не выпуклый четырехугольник. В выпуклом четырехугольнике
диагонали пересекаются.
Фигуру, образованную многоугольником вместе с его внутрен-
ней областью, называют многоугольной областью (на рис. 102 за-
штрихована многоугольная область). Для выпуклого многоуголь-
ника отрезок, соединяющий любые две точки многоугольной
области, целиком ей принадлежит. Мы будем рассматривать
только выпуклые многоугольники.
209
Окружность и круг. Окружностью с центром О и радиусом R
называется фигура, точками которой являются все точки плоско-
сти, находящиеся на расстоянии R от точки О.
Радиусом называют также любой отрезок ОМ, соединяющий
точку окружности с ее центром. Отрезок, соединяющий две точки
окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр
окружности, называется диаметром. На рис. 103 ОМ— радиус
окружности, АВ — хорда, CD—диаметр.
Рис. 101. Рис. 102.
Кругом радиуса R с центром О называется часть плоскости,
все точки которой находятся от точки О на расстоянии, не боль-
шем R (рис. 104). Границей круга является окружность с теми
же центром и радиусом.
Геометрия разделяется на планиметрию и стереометрию. Пла-
ниметрия изучает свойства фигур на плоскости, а стереометрия —
свойства фигур в пространстве. В гл. X—XVII мы будем изучать
планиметрию,а в гл. XVIII — элементы стереометрии.
Упражнения
1. Отрезок AD разделен на три отрезка, длины которых относятся, как
2:3: 4. Расстояние между сер.единами крайних частей равно 5,4 см. Опреде-
лить длину отрезка AD.
2. На сторонах ВМ и BN угла MBN взяты соответственно точки A, D
и С, Е, причем АВ > DB и СВ > ЕВ. Доказать, что АВ-уВС > ADA-DEA- ЕС.
3. На прямой а от точки О отложены два отрезка: ОА = 12 см и ОВ = 16см.
Каким может быть расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ?
4. Из вершины тупого угла проведены перпендикуляры к его сторонам;
4
угол между этими перпендикулярами равен -у d. Определить величину тупого
угла.
210
Глава X. ПРЯМАЯ
§ 1. Треугольники
Треугольник и его элементы. Треугольником называется мно-
гоугольник, имеющий три стороны. Треугольник с вершинами А,
В, С и сторонами АВ, ВС, АС обозначается ДЛВС (рис. 105).
Углом (или внутренним углом) /АВС при вершине А на-
зывается угол, образованный лучами АВ и ЛС. Так же определя-
ются углы треугольника при вершинах В и С.
Рис. 106.
Если продолжить одну из сторон за вершину треугольника,
то получим внешний угол треугольника. На рис. 106 /.BAD—
внешний угол /\АВС. Любой внешний угол является смежным
с одним из внутренних углов треугольника.
Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий
внутренний угол треугольника пополам и проведенный до пере-
сечения с противоположной стороной.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединои противоположной стороны
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведен,
ный из вершины на противоположную сторону или на ее про-
должение (рис. 107, а, б). На
рис. 107 отрезок BD — высота
ДА ВС.
Замечание. В этом па-
раграфе будет доказано, что
из любой точки, не лежа-
щей на прямой, можно опу- 2
стить перпендикуляр на эту А
прямую.
В любом треугольнике мо-
жно провести по три биссек-
трисы, медианы и высоты. В общем случае
Рис. 107.
биссектриса, медиана
и высота, проведенные из одной и той же вершины треугольника,
не совпадают.
Треугольники разделяются на виды по сравнительной длине
их сторон или по величине их углов. В зависимости от длины
сторон различают разносторонние, когда все стороны различной
длины, и равнобедренные, когда две стороны равны; в частности,
211
равнобедренный треугольник называется равносторонним или
правильным, когда все три его стороны равны между собой.
В зависимости от величины углов различают остроугольные
треугольники, когда все углы острые, прямоугольные, когда
среди углов треугольника есть прямой, и тупоугольные, когда
среди углов треугольника есть тупой. В прямоугольном треу-
гольнике стороны, образующие прямой угол, называются кате-
тами, а сторона, лежащая против прямого угла—гипотенузой.
Признаки равенства треугольников. Свойства равнобедренно-
го треугольника. Треугольники АВС и называются рав-
ными, если у них ^Л = Х.В = ^.Blt Z-С = Z.C1, АВ =
п г, = ЛД, BC = BlCl, AC = AiC,
Я % (рис. 108).
/ \ / \ Для обозначения равенства
/ \ / \ треугольников используется за-
/ \ / \ пись: С\АВС = А\АХВ,СХ. При
р этом имеет значение порядок, в
рис (08 котором записываются вершины
треугольника. Согласно опреде-
лению равенство /\ А ВС — Л А 1В,С1 означает, что=2^-41-
Z_B = /_ Blt ... А равенство Д А ВС = Л ВУА ГСУ означает уже
другое: Z_A=^_Bit ••• Таким образом, в рав-
ных треугольниках против равных углов лежат равные стороны
и, обратно, против равных сторон лежат равные углы. 1
Первый признак равенства треугольников.
Если у двух треугольников АВС и А^В^С, /_А = /_АГ, АВ =
= A,Bt, AC = AlCl, то эти треугольники равны, т.е. /_С =
= /_С„ = ВС^В.С,.
Этот признак принимается без доказательства и является
аксиомой. Пользуясь им, будем доказывать другие признаки ра-
венства треугольников. Можно сформулировать первый признак
равенства треугольников следующим образом.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника со-
ответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 1 (второй признак равенства треугольников).
Если у треугольников АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, ^/А = ^At,
/_В = Z_Bt, то треугольники равны, tn. е. АС — А^, BC = BiCt,
£С = £СХ (Рис. 109).
212
Доказательство. Отложим на луче АС отрезок ЛС2, рав-
ный Л^. Треугольники A^Ci и АВС2 равны по первому приз-
наку равенства: А В = Л^! и / Л = У- Л! по условию, а АС2 = А1С1
по построению. Из равенства этих треугольников следует равен-
ство углов Л1В1С1 и АВС2, а угол Л1В1С1 равен углу АВС по
условию.
Углы ЛВС и ЛВС2 отложены в одну полуплоскость от лу-
ча ВА. Из равенства углов следует, что их стороны ВС и ВС2
совпадают, значит, точки С и С2 совпадают. Таким образом,
треугольник АВС совпадает с треугольником ЛВС2, а значит,
равен треугольнику Л^Ср Теорема доказана.
Можно сформулировать второй признак равенства треуголь-
ников следующим образом.
Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треуголь-
ника соответственно равны двум углам и прилежащей к
ним стороне другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Пусть ДЛВС—равнобедренный с равными сторонами АС и
ВС. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья
сторона называется основанием треугольника (рис. ПО).
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике углы при осно-
вании равны.
Доказательство. Д СЛ В = Д СВ А по первому признаку
равенства треугольников. В самом деле СЛ=СВ, СВ = СЛ,
Х.С= /_С. Из равенства треугольников следует, что Z.A = /_В,
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если в треугольнике два угла равны, то тре-
угольник равнобедренный.
Дано: 2^Л = </^ (см. рис. НО)- Требуется доказать, что
Д А ВС — равнобедренный.
Доказательство. Треугольники ЛВС и ВАС равны по
второму признаку равенства треугольников. В самом деле,
ЛВ = ВЛ, 2^В=^/А, ^/А = ^В. Из равенства треугольников
следует, что АС=ВС. Теорема доказана.
Теорема 3 является обратной теореме 2.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике медиана, про-
веденная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Дано:СЛ=СВ, CD — медиана (рис.111). Требуется доказать,
что медиана CD есть биссектриса и высота ДЛВС,
Доказательство. ДСЛО = ДСВ£) по первому признаку
равенства треугольников. В самом деле СЛ=СВ по условию,
X_CAD — j/_CBD по теореме 2, AD — BD, так как CD— медиана.
Из равенства треугольников следует равенство углов: / ACD =
= /BCD; /_ADC — ^BDC. Так как A CD = BCD, то CD-
биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равные,
то они прямые, и значит, CD—высота треугольника. Теорема
доказана.
Теоремы 2, 3 и 4 выражают свойства равнобедренного треу-
гольника.
213
Теорема 5 (третий признак равенства треугольников). Если
у треугольников АВС и А^В^А АВ =А1В1, АС — А^Су, BC = B,Ci,
то треугольники равны, т. е. / A = / B = Z_ Blt / С =
= Z Ci-
Доказательство. Если Z^=Z-4i или Z-^ = Z^i
(рис. 112), то треугольники равны по первому признаку равенства
треугольников. Допустим, что ^£Д=#ДДП Zfi=AZ5i- Отложим
от луча АВ в полуплоскость, где лежит точка С, угол, равный
Лх, и на его стороне отрезок ЛС2, равный А^.
Треугольники и АВС2 равны по первому признаку
равенства треугольников. В самом деле, АВ = А1В1 по условию, а
А1С1 = АС2 и tl/B1A1C1 = ^BAC2 по построению. Из равенства
треугольников следует, чтоВС2=В1С1.
Треугольники СС2А и СС2В равнобедренные с общим осно-
ванием СС2. Пусть D—середина отрезка СС2. Точка D не лежит
на прямой АВ, так как отрезок СС2 не пересекает эту прямую.
Следовательно, прямые AD и BD различны.
По теореме 4 прямые AD и BD перпендикулярны прямой СС2.
Однако через точку D можно провести только одну прямую,
перпендикулярную прямой СС2 (свойство единственности перпен-
дикуляра к прямой). Допустив, что Z_A-=^/_Ai и / В =¥=£ Вх,мы
пришли к противоречию. Теорема доказана.
Итак, если три стороны одного треугольника равны трем сто-
ронам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Соотношения между углами и сторонами треугольника.
Т е о р ема 6. Сумма величин любых двух внутренних углов
треугольника меньше 180°.
Доказательство. Докажем, что сумма величин углов при
g v вершинах В и С ДАВС меньше 180°
/X. (рис. 113).
/ / Через середину О стороны ВС про-
/ ведем медиану АО и на ее продолже-
f~~----------—нии отложим отрезок OD, равный от-
резку АО. По первому признаку равен-
ис’ ‘ ства треугольников ДД0В = Д£>0С:
углы при вершине 0 равны, как вертикальные, АО = OD и
ВО = ОС по построению. Из равенства треугольников следует,
что 2^АВО = X.OCD. Величина угла ACD равна сумме величин
214
углов АСВ и OCD, так как луч СО проходит между сторонами
угла ACD. Так как ^OCD = Х.АВС, то
асЬ=авс+асв.
Угол ACD не развернутый, так как точка D не лежит на
прямой АС. Значит, A CD < 180°. Поэтому ДВС + ЛСВ < 180°.
Теорема доказана.
Следствие. В любом треугольнике два внутренних угла
острые.
Теорема 7. Внешний угол треугольника больше любого
внутреннего угла, не смежного с ним.
Доказательство. Докажем, что внешний угол BCD
ДАВС больше любого из внутренних углов А и В, не смежных
с этим внешним (рис. 114).
По свойству смежных углов BCD А- АСВ= 180°.
По теореме 6 АСВ + ВАС < 180°, АСВ + АВС< 180°. Отсю-
да следует, что BCD > ВАС, BCD > АВС. Теорема доказана.
Между сравнительной величиной углов треугольника и срав-
нительной длиной его сторон существуют соотношения. Мы уже
знаем, что против равных сторон в треугольнике лежат равные
углы и, обратно, против равных углов в треугольнике лежат
равные стороны (свойства равнобедренного треугольника).
Теорем.а 8. Против большей стороны в треугольнике лежит
больший угол и, обратно, против большего угла в треугольнике
лежит большая сторона.
Доказательство. Пусть в ДЛВС (рис. 115) сторона АВ
больше стороны ВС, т. е. \АВ | > |ВС|. Требуется доказать, что
угол С больше угла А, т. е. ВСА > ВАС. Отложим на большей
стороне ВА от вершины В отрезок BD, равный меньшей сторо-
не ВС, и соединим точки С и D отрезком CD. Тогда получим
равнобедренный Д ВВС, у которого углы при основании равны,
т. е. ^_BDC — X.BCD. Угол BDC, как внешний по отношению
к ДЛВС, больше угла А, значит, и угол BCD больше угла А.
Угол ВСА больше угла BCD, следовательно, угол ВСА больше
угла А. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть в ДЛВС угол С больше угла Л. Докажем, что сторо-
на АВ больше стороны ВС. Допустим, что утверждение не-
215
верно. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ < ВС. В первом случае
Д АВС—равнобедренный и, следовательно, углы А и С при его
основании равны. Но это противоречит условию: угол С больше
угла А. Во втором случае АВ < ВС и по доказанному угол А
больше угла С, что также противоречит условию. Поэтому
АВ > ВС. Теорема доказана полностью.
Из теоремы следует, что в прямоугольном треугольнике гипо-
тенуза больше катета.
Из свойств расстояний (§ 1 гл. IX) следует, что в любом тре-
угольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и
больше их разности. Предоставим читателю доказать это утвер-
ждение, используя теорему 8.
Признаки равенства прямоугольных треугольников. В прямо-
угольных треугольниках углы между катетами всегда равны, как
углы прямые. Поэтому прямоугольные треугольники равны:
1) если катеты одного треугольника соответственно равны
катетам другого;
2) если катет и прилежащий к нему острый угол одного тре-
угольника соответственно равны катету и прилежащему к нему
острому углу другого треугольника.
Эти два признака не требуют доказательства, так как они
представляют частные случаи общих признаков равенства тре-
угольников. Докажем еще два следующих признака, относящих-
ся только к прямоугольным треугольникам.
Теорема 9. Прямоугольные треугольники равны:
1) если гипотенуза и острый угол одного треугольника соот-
ветственно равны гипотенузе и острому углу другого; или
2) если гипотенуза и катет одного треугольника соответст-
венно равны гипотенузе и катету другого.
Доказательство. Пусть АВС и ЛАС1—два прямоуголь-
ных треугольника с прямыми углами С и Ct.
1) Дано: AB = AlBt и ^.А = ^/Аг. Докажем, что ДЛВС =
= Д А .В А-
Если при этом ДС = Л1С1, то треугольники равны по первому
признаку равенства треугольников. Допустим, что AC A,Ci.
Например, Л1С1<ЛС. Отложим отрезок АС2, равный ArCt
(рис. 116). Треугольники АВС2 и А1В1С1 равны, так как АВ =
= ЛА, Z.A=/_At по условию, a AC2 = AlCi по построению.
Из равенства треугольников следует, что угол АС2В прямой.
Следовательно, угол СС2В прямой, как смежный к прямому
углу. Мы пришли к противоречию: в ДСВС2 два прямых угла,
а это невозможно. Значит, АС = А1С1, а в этом случае ДЛВС =
= ДЛ^А- „ „
2) Дано: ЛВ = Л1В1 и ВС = В1С1. Докажем, что ДЛВС =
= ДЛАСх.
Если при этом ЛС = Л1С1, то треугольники равны по треть-
ему признаку равенства треугольников.
Допустим, что АС^АА/А. Например, ИД < А С. Отложим
отрезок СЛ2, равный С1А1 (рис. 117). ^AtBC = ^AtBfit- у них
216
углы С и С\ прямые, ВС = В1С1 по условию, а А2С = А1С1 по
построению. Из равенства треугольников следует, что ВА2 = В1А1.
В равнобедренном треугольнике АВА2 угол при вершине А2 ту-
пой, как смежный к острому углу прямоугольного треугольника
ВСА2. Значит, угол А тоже тупой, а это невозможно. Поэтому
АС = А1С1, и, следовательно, Д АВС = Л А^Ср
Предоставим читателю доказать следующий признак равен-
ства прямоугольных треугольников: прямоугольные треугольники
АВС и А1В1С1 с прямыми углами С и С1 равны, если ВС^В^
« Z^ZA-
Перпендикуляр и наклонная. Пусть а—-прямая, В — точка
вне прямой и А — точка на прямой а (рис. 118). Отрезок ВА
называется перпендикуляром, опущенным из точки В на прямую а,
если прямые а и АВ перпендикулярны. Точка А называется
основанием перпендикуляра.
Теорема 10. Из точки вне данной прямой можно провести
к этой прямой перпендикуляр и притом только один.
Доказательство. Пусть а—данная прямая и В—точка,
не лежащая на этой прямой (рис. 119). Рассмотрим-на прямой а
какие-нибудь точки С и D. Если прямая ВС перпендикулярна
к прямой CD, то отрезок ВС и есть перпендикуляр к прямой CD.
Допустим, что прямая ВС не перпендикулярна к прямой CD.
Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка В
лежит в одной из них. Отложим в другую полуплоскость от пря-
мой CD угол, равный углу BCD, и отложим на стороне этого
угла отрезок CBlt равный СВ. Отрезок ВВХ пересекает пря-
мую а в некоторой точке А. Треугольники САВ и CABt равны,
217
так как у них сторона АС общая, а ^/ВСА = ^В1СА и СВ = СВ1
по построению. Из равенства треугольников следует равенство
смежных углов ВАС и ВГАС. А если смежные углы равны, то
они прямые. Следовательно, отрезок ВА—перпендикуляр к пря-
мой а.
Допустим теперь, что из точки В можно провести два пер-
пендикуляра ВА и ВАХ к прямой а. Тогда у треугольника ВАА1
будет два прямых угла: / А и / Ах, но это невозможно. Значит,
из точки В можно провести перпендикуляр к прямой и притом
только один. Теорема доказана.
Пусть В А — перпендикуляр, опущенный из точки В на пря-
мую а, и С—любая точка на прямой а, отличная от А. Отрезок
ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а
(рис. 120). Точка С называется основанием наклонной, а отрезок
Рис. 121.
IT
АС—проекцией наклонной. Из прямоугольного треугольника
ВАС с прямым углом А видим, что наклонная больше перпенди-
куляра. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой,
а перпендикуляр — катетом.
Расстоянием от точки В до прямой а, не проходящей через
точку В, называется длина перпендикуляра, опущенного из точ-
ки В на прямую а. Так как перпендикуляр меньше наклонной,
проведенной из той же точки, то расстояние от точки В до пря-
мой а является наименьшим из расстояний от точки В до лю-
бой из точек прямой а. Имеет место следующая теорема.
Теорема 11. Если из одной и той же точки вне прямой про-
ведены к этой прямой перпендикуляр и наклонные, то
1) если основания двух наклонных одинаково удалены от основа-
ния перпендикуляра, то такие наклонные равны;
2) если основания двух наклонных неодинаково удалены от осно-
вания перпендикуляра, то та из наклонных больше, основание
которой дальше отстоит от основания перпендикуляра (рис. 121).
Справедлива и обратная теорема. Формулировку обратной те-
оремы и доказательства обеих теорем предоставим читателю.
Свойства серединного перпендикуляра к отрезку и биссектрисы
угла. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая,
перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его се-
редину.
218
Теорема 12. Множество всех точек плоскости, равноуда-
ленных от концов данного отрезка, есть серединный перпендику-
ляр к этому отрезку^.
Доказательство. Нужно доказать два утверждения:
1) точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку,
равноудалена от его концов;
2) точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит
на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Докажем оба утверждения.
1) Пусть р—серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка
О—середина отрезка АВ (рис. 122).
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р.
Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ рав-
ны: у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а ка-
тет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольни-
ков следует, что AM = ВМ.
2) Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ, т. е.
АМ = ВМ. Тогда ДДЛ1В равнобедренный. Проведем через
точку М и середину отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по по-
строению есть медиана равнобедренного ДАЛ1В, а следовательно,
и высота, т. е. прямая МО есть серединный перпендикуляр к
отрезку АВ. Теорема доказана.
Теорема 13. Множество всех точек плоскости, равноудален-
ных от сторон угла, есть биссектриса этого угла.
Доказательство. Нужно доказать два утверждения:
1) точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его
сторон;
2) точка плоскости, равноудаленная от сторон угла, лежит на
биссектрисе этого угла.
Докажем оба утверждения.
1) Пусть Z—биссектриса угла АОВ (рис. 123).
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на луче I.
Опустим из точки М перпендикуляры МС и MD на стороны
угла АОВ. Прямоугольные треугольники ОМС и ОЛЮ равны: у
219
них гипотенуза ОМ общая, а углы СОМ и DOM равны по
условию. Отсюда следует, что MC = MD.
2) Пусть точка М равноудалена от сторон угла АОВ (см.
рис. 123), т. е. перпендикуляры МС и MD к сторонам угла
равны. Тогда Д0Л4С = Д0ЛЮ по признаку равенства прямо-
угольных треугольников. Отсюда / СОМ = / DOM, и, следо-
вательно, луч ОМ является биссектрисой угла АОВ. Теорема
доказана.
Итак, серединный перпендикуляр к отрезку есть множество
тбчек плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка, а
биссектриса угла есть множество точек плоскости, равноудален-
ных от сторон этого угла.
Окружность можно определить как множество точек плос-
кости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром.
§ 2. Основные геометрические построения
В задачах на построение будем рассматривать построение
геометрической, фигуры, которое можно выполнить с помощью
линейки и циркуля. Решение задачи состоит не столько в
построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это
сделать, и соответствующем доказательстве.
С помощью линейки можно провести произвольную прямую;
произвольную прямую, проходящую через данную точку; пря-
мую, проходящую через две данные точки.
С помощью циркуля можно описать из данного центра
окружность данного радиуса. Циркулем можно отложить отре-
х зок на данной прямой из
t g__________| данной точки.
6 \\ Рассмотрим основные за-
1----------’ / \\. дачи на построение.
।---£---. ---------Aj Задача 1. Построить
р 9 а треугольник с данными сто-
1К " ’ ронами а, 6, с (рис. 124).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную
прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором
циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и ради-
усом а. Пусть С—точка ее пересечения с прямой. Раствором
циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а
раствором циркуля, равным/;, — окружность из центра С. Пусть
А —точка пересечения этих окружностей. Д.45С имеет сто-
роны, равные а, Ь, с.
Задача 2. Отложить на данном луче в данную полуплос-
кость угол, равный данному углу (рис. 125).
Решение. Проведем произвольную окружность с центром
в вершине Л данного угла. Пусть В и С—точки пересечения
окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окруж-
ность с центром в точке О — начальной точке данного луча. Точ-
220
ку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим Ct.
Опишем окружность с центром С, и радиусом ВС. Точка В,
пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого
угла. Это следует из равенства Л АВС = Л OBjCt-
Рис. 125.
и
С
Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис. 126).
Решение. Из вершины А данного угла, как из центра,
проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В ”
точки ее пересечения со сторонами угла. Из
же радиусом описываем окружности. Пусть
D—точка их пересечения, отличная от А.
Луч AD делит угол А пополам. Это сле-
дует из равенства ДДВО = ДЛС£>.
Задача 4. Разделить данный отрезок
пополам (рис. 127).
С-
тем
В и
точек
Решение. Из концов А и В данного отрезка АВ описы-
ваем окружности радиусом А В. Пусть С и D—точки пересечения
этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относи-
тельно прямой АВ. Отрезок CD пересекает прямую АВ в неко-
торой точке О. Эта точка и есть середина отрезка АВ. В самом
деле, £±CAD = /\_CBD. Отсюда следует равенство ^/АСО=
— ^ВСО. Поэтому Д AGO = /\ВСО, и, следовательно, АО = ВО.
Таким образом, О—середина отрезка АВ.
Задача 5. Провести серединный перпендикуляр к данному
отрезку.
Решается так же, как задача 4; прямая CD—серединный
перпендикуляр к отрезку АВ (см. рис. 127).
Задача 6. Изданной точки провести перпендикуляр к дан-
ной прямой.
221
Решение. Возможны два случая:
1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 128);
2) данная точка О не лежит на данной прямой а (рис. 129).
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность.
Она пересекает прямую а в двух точках А и В. Из точек А и
Рис. 128. Рис. 129.
В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С—точка их
пересечения. Получаем ОС ±АВ. В самом деле, ДЛСВ—рав-
нобедренный, СА = СВ. Отрезок СО есть медиана этого тре-
угольника, а, следовательно, и высота.
2) Из точки О проводим произвольным радиусом окруж-
ность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А й
В тем же радиусом проводим окружности. Пусть Ot — точка их
пересечения, отличная от О. Получаем OO1_i_AB. В самом де-
ле, точки О и Ох равноудалены от концов отрезка АВ и, сле-
довательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому от-
резку.
§ 3. Параллельные прямые
Определение параллельных прямых. Две различные прямые
либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной
общей точки. В первом случае говорят, что прямые пересека-
ются, во втором случае—прямые не пересекаются. Дадим опре-
деление, соответствующее второму случаю взаимного располо-
жения двух различных прямых на плоскости.
Определение. Две прямые на плоскости называются
параллельными, если они не пересекаются.
Параллельность прямых а и b обозначается так: а\\Ь.
Пусть две прямые а и b пересечены третьей прямой с
(рис. 130). Прямая с называется секущей по отношению к пря-
мым а и Ь, если она пересекает их в двух различных точках.
При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь
углов, которые на рис. 130 отмечены цифрами. Определенные
пары углов имеют специальные названия: соответственные углы:
1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7; накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и
6; односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6.
222
Признаки параллельности двух прямых.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
1) накрест лежащие углы равны, или
2) соответственные углы равны, или
3) сумма величин односторонних углов равна 180°, то прямые
параллельны (рис. 131).
Доказательство. 1) Пусть при пересечении прямых а и
b секущей АВ накрест лежащие углы равны: / 4 =Дока-
жем, что а\\Ь.
Предположим противное: прямые а и b не параллельны.
Тогда они пересекаются в некоторой точке М, и, следовательно,
один из углов 4 или 6 будет внешним углом ДДВЛ4. Пусть
для определенности /_4— внешний угол ДДВМ, а /_6—внут-
ренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что
/_4 больше / 6, а это противоречит условию, значит, прямые
а и b не могут пересекаться, поэтому они параллельны. Приз-
нак параллельности двух прямых для этого случая доказан.
2) Пусть ври пересечении прямых а и b секущей с соответст-
венные углы равны. Например, = /До. Докажем, что а\\Ь.
Вертикальные углы 2 и 4 равны. Значит, накрест лежащие
углы 4 и 6 равны. Отсюда следует, что а\\Ь.
3) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма вели-
чин односторонних углов равна 180°: 3 + 6=180°. Докажем, что
Углы 3 и 4 смежные. Потому 3 + 4=180°. Из равенств
3 + 6=180° и 3 + 4=180° следует равенство накрест лежащих
углов 4 и 6: Д_4 = Поэтому а\\Ь. Теорема доказана полно-
стью.
Следствие. Две различные прямые на плоскости, перпенди-
кулярные одной и той же прямой, параллельны.
В самом деле, пусть прямые а и b перпендикулярны прямой р
(рис. 132).
При пересечении прямых а и b секущей р накрест лежащие
углы 4 и 6 прямые, поэтому они равны. Отсюда следует, что а\\Ь.
223
Задача. Построить прямую, проходящую через данную
точку /И и параллельную данной прямой а, не проходящей через
точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р, перпендику-
лярно прямой а (задача 6 §2) (рис. 133). Затем проводим через
точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b парал-
лельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Рис. 133.
Свойства параллельных прямых. Из рассмотренной задачи сле-
дует важный вывод: через точку, не лежащую на данной прямой,
всегда можно провести прямую, параллельную данной.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома о параллельных прямых. Через данную
точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые
следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекаёт одну из двух параллельных прямых,
то она пересекает и другую (рис. 134).
Пусть а\\Ь и прямая с пересекает прямую b в точке М. Если
бы прямая с не пересекала прямую а, то через точку М про-
ходили бы две различные прямые b и с, параллельные прямой а.
Так как это противоречит аксиоме о параллельных прямых, то
прямая с пересекает и прямую а.
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой,
то они параллельны (рис. 135).
Пусть «||с и Ь\\с. Докажем, что а\\Ь.
Допустим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пере-
секаются в некоторой точке М. Значит, через точку М проходят
две различные прямые а и Ь, параллельные прямой с. Это про-
224
тиворечит аксиоме о параллельных прямых. Поэтому наше допу-
щение неверно и прямые а и b параллельны.
Докажем теорему об углах, образованных двумя параллельны-
ми прямыми и секущей, обратную теореме 1.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секу-
щей, то
1) накрест лежащие углы равны,
2) соответственные углы равны,
3) сумма величин односторонних углов равна 180°.
Доказательство. .Пусть параллельные прямые а и Ь пере-
сечены секущей с. Докажем, например, что накрест лежащие уг-
лы 1 и 2 равны (рис. 136).
Допустим, что^//^^/2. Построим луч МР так, чтобы
/_PMN и /_2 были накрест лежащими углами при пересечении
прямых МР и b секущей MN, причем = ^/2. Так как
Рис. 137.
эти накрест лежащие углы равны, то прямые МР и b параллель-
ны. Тогда две различные прямые МР и а проходят через точку
М и параллельны прямой Ь. Это противоречит аксиоме о парал-
лельных прямых. Значит, наше допущение неверно и /_1 = /_2.
Из равенства накрест лежащих углов следует равенство соответ-
ственных углов и равенство суммы величин односторонних углов
180 градусам. Теорема доказана.
Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Доказательство. Пусть а\\Ь и с _]_а (рис. 137). Прямая
с пересекает а, значит, она пересекает- прямую Ь, параллельную
прямой а. При пересечении двух параллельных прямых а и b
секущей с образуются равные накрест лежащие углы: /_1 — /_2.
Так как с I а, то 1 = 90°,поэтому 2 = 90°, т. е. с_|_&.
Предоставим читателю доказать следующие две теоремы.
Теорема (об углах с соответственно параллельными сторо-
нами). Если стороны одного угла соответственно параллельны сто-
ронам другого угла (т.е. принадлежат параллельным прямым),
то величины таких углов или равны, или в сумме составляют
180°: ?=2 или 7+3=180° (рис. 138).
8 И. А. Баранов и др.
225
Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сто-
ронами). Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны
к сторонам другого угла, причем оба угла принадлежат одной
и той же плоскости, то величины таких углов равны или в сум-
ме составляют 180°: 1 = 2 или /4-3=180° (рис. 139).
Сумма величин внутренних углов треугольника и много-
угольника.
Теорема 3. Сумма величин внутренних углов треугольника
равна 180’.
Доказательство. Пусть АВС—данный треугольник
(рис. 140). Докажем, что А 4-В + С = 180°.
Через середину О стороны ВС проведем медиану АО и на ее
продолжении отложим отрезок OD, равный отрезку Л О. По вто-
рому признаку равенства треугольни-
Д ков АОВ =/\, DOC: углы при верши-
уЧ не О равны, как вертикальные, АО =
/ / =OD и ВО = ОС по построению. Из
/ ./ равенства треугольников следует, что
/_АВО = £OCD. Так как эти углы
А СЕ являются равными накрест лежащими
Рис 140 углами при пересечении прямых АВ
и CD секущей ВС, то прямые АВ и
CD параллельны.
Рассмотрим луч СЕ, дополнительный к лучу СА. Угол А ра-
вен углу DCE, как соответственные углы при параллельных пря-
мых АВ и CD. Так как DCE 4- OCD 4- А СО = 180°, то А + В + С =
= 180°. Теорема доказана.
Следствия. 1) Внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним.
, В самом деле, из равенств Л'4-В-ЬС= 180° и ВСЕ + АСВ =
= 180° получаем, что ^/ВСЕ = </А-Ь-^В.
2) Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника
равна 90°.
3) В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый ост-
рый угол имеет величину в 45°.
4) В равностороннем треугольнике каждый угол имеет вели-
чину в 60°.
226
5) Длина катета прямоугольного треугольника, лежащего'
против угла в 30°, равна половине длины гипотенузы.
Пусть ЛВС—прямоугольный треугольник с прямым углом Л
и ЛВС = 30°. Докажем, что |ЛС| = -^-|ВС| (рис. 141). Так как
АВС + С = 90°, то С = 60°. Рассмотрим луч AD, дополнительный
к лучу АС, и отложим на нем отрезок AD, равный отрезку АС.
Прямоугольные треугольники ЛВС и ABD равны: катет АВ общий,
а катеты АС и AD равны по построению. Из равенства треуголь-
ников следует, что D = C = 60°, ABD = ABC — 30°, и поэтому
DBC = 60°. Значит, в f\BCD углы DBC и BDC равны (DBC—
=BDC = 60°), и следовательно, DC — ВС. Так как | АС 1 = I I»
то |ЛС| = -^-| ВС], что и требовалось доказать.
Предоставим читателю доказать обратное утверждение: если
в прямоугольном треугольнике длина катета равна половине длины
гипотенузы, то величина угла, лежащего против этого катета,
равна 30°.
Теорема 4. Сумма величин внутренних углов выпуклого мно-
гоугольника, имеющего п сторон, равна 180° (п—2).
Сумма величин внешних углов любого выпуклого многоугольника
равна 360°.
Доказательство. Пусть А1А2...А„—данный выпуклый
многоугольник (рис. 142). Из какой-нибудь его вершины, например
из вершины А1г проведем диагонали многоугольника.
8*
227
Тогда получим п — 2 треугольника Ар^Аз, AlA3Ai, . . .
...,AlAn_tAn. Сумма величин внутренних углов треугольника равна
180°. Поэтому сумма величин внутренних углов данного много-
угольника равна 180° (л— 2).
В частности, при п = 4, т. е. для выпуклого четырехугольни-
ка, сумма величин внутренних углов равна 360° (рис. 143).
Внешним углом многоугольника является угол, смежный внут-
реннему (рис. 144). Так как сумма величин смежных углов равна
180°п, то сумма величин внешних углов многоугольника равна
180°п—180°(н — 2) = 360°. Теорема доказана.
§ 4. Четырехугольники
Будем рассматривать выпуклые четырехугольники с параллель-
ными сторонами: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат,
трапецию.
Параллелограмм.
Определение. Параллелограммом называется четырехуголь-
ник, у которого противоположные стороны параллельны, т. е.
лежат на параллельных прямых (рис. 145).
Теорема! (о свойстве сторон и углов параллелограмма).
В параллелограмме противоположные стороны равны, противо-
положные углы равны и сумма величин углов, прилежащих к одной
стороне параллелограмма, равна 180°.
Доказательство. В данном параллелограмме ABCD про-
ведем диагональ АС и получим два треугольника АВС и ADC
(рис. 146). Эти треугольники равны, так как — =
(накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС
общая. Из равенства ДЛВС = ДЛОС следует, что AB = CD,
BC = AD, £В = /.D. Сумма величин углов, прилежащих к одной
стороне, например углов Л uD, равна 180°, как односторонних при
параллельных прямых. Теорема доказана.
Замечание. Равенство противоположных сторон паралле-
лограмма означает, что отрезки параллельных, отсекаемых парал-
лельными, равны.
Следствие. Если две прямые параллельны, то все точки
одной прямой находятся на одном и том же расстоянии от дру-
гой прямой.
223
Доказательство. В самом деле, пусть а||6 (рис. 147).
Проведем из каких-нибудь двух точек В и С прямой b перпен-
дикуляры ВА и CD к прямой а. Так как AB\\CD, то фигура
A BCD — параллелограмм, и следовательно, АВ —CD.
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называет-
ся расстояние от произвольной точки одной из прямых до дру-
гой прямой. По доказанному оно Ъ В П
равно длине перпендикуляра, прове- ' ' 1 '-г——
денного из какой-нибудь точки одной
из параллельных прямых к другой
прямой. 0
Следующая теорема дает призна- ---— ...П—...
ки параллелограмма. Рис 147
Теорема 2. Если в выпуклом
четырехугольнике:
1) противоположные стороны равны между собой, или
2) две противоположные стороны равны и параллельны, или
3) диагонали в точке пересечения делятся пополам,
то такой четырехугольник—параллелограмм.
Доказательство. 1) Пусть ABCD—четырехугольник, у
которого AB = CD, BC = AD (см. рис. 146). Докажем, что
A BCD — параллелограмм, т. е. что AB\\CD, BC\\ AD. Проведем
диагональ АС и получим два треугольника АВС и ADC. Так
как АС—общая сторона, AB = CD, BC = AD (по условию), то
/\,ABC=/\ADC. Поэтому 2^1 =2^4, 212 = 2^3, а из равен-
ства накрест лежащих углов следует параллельность прямых:
BC\\AD, ABWCD.
2) Доказательство предоставим читателю.
3) Пусть ABCD—данный четырехугольник и О—точка пере-
сечения его диагоналей (рис 148). Треугольники АОВ и COD
равны: у них углы при вершине О равны, как вертикальные,
ОА=ОС, OB = OD по условию. Следовательно, AB = CD и
/_ОАВ = ^OCD. Эти углы являются накрест лежащими при
прямых АВ и CD и секущей АС, значит AB\\CD. Итак,
AB = CD и AB\\CD. Поэтому A BCD—параллелограмм. Теорема
доказана.
Теорема 3- (обратная теореме 2 §3). Диагонали паралле-
лограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
229
Доказательство. Пусть ABCD—данный параллелограмм
(рис. 149). Проведем его диагональ BD\ точка О—середина диа-
гонали BD. На продолжении отрезка АО отложим отрезок ОСг,
равный АО. По теореме 2 § 3 четырехугольник ДВСХО являет-
ся параллелограммом. Следовательно, прямая BCt параллельна пря-
мой AD. Согласно аксиоме о параллельных прямых через точку В
можно провести только одну прямую, параллельную AD. Поэтому
прямая BCi совпадает с прямой ВС. Так же доказывается, что
прямая DCi совпадает с прямой DC. Так как прямые ВС и DC
имеют только одну общую точку С, то точка Ct совпадает с
точкой С. Параллелограмм ABCxD совпадает с параллелограм-
мом ABCD. Поэтому диагонали параллелограмма ABCD пересе-
каются и точки пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Прямоугольник, ромб, квадрат. Прямоугольником называется
параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник
обладает всеми свойствами параллелограмма; например, в пря-
моугольнике противоположные стороны равны, диагонали в точке
пересечения делятся пополам й т. д.
Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого
равны. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
Предоставим читателю доказать следующие особые свойства
прямоугольника и ромба:
1) диагонали прямоугольника равны: AC = BD (рис. 150);
2) если в параллелограмме диагонали равны, то параллело-
грамм является прямоугольником;
3) диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы
ромба пополам (рис. 151).
Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого
равны. Квадрат является ромбом, поэтому обладает свойствами
прямоугольника и ромба. Основные свойства квадрата:
1) все углы квадрата прямые (рис. 152);
2) диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны,
в точке пересечения делятся пополам и делят его углы пополам.
Теорема Фалеса. Свойство средней линии треугольника.
Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отло-
жить последовательно несколько равных отрезков и через их
концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую пря-
мую, то они отсекут на второй прямой равные между собой
отрезки.
230
Доказательство. Пусть lt и /2— данные прямые. Если
прямые 1г и /2 параллельны, то утверждение теоремы сразу сле-
дует из свойства параллелограмма: противоположные стороны
параллелограмма равны. Поэтому докажем теорему для случая,
когда прямые С и /2 не параллельны.
Рассмотрим на прямой равные отрезки и В^ и через
их концы проведем параллельные прямые а, b и с, которые пе-
ресекают прямую /2 соответственно _
в точках Л2, В2 и С2 (рис. 153). д
Докажем, что Л2В2 = В2С2. зД—-У’—- *
Проведем через точку В2 вспо- 4’ \ \ \ \
могательную прямую /, парал- \ \ \ \
дельную прямой /2. Она пересека- \ \ VA-——*
ет прямые а и с в точках Л и С. yzjA____------
Четырехугольники А2АВ2В1 и 2 \д V
В2В2СС1 являются параллелограм-
мами, поэтому 4^! = ЛЯ2, В/?! = Рис 153,
— В2С. Следовательно, А В2 = В2С,
т. е. точка В2—середина отрезка АС.
Рассмотрим треугольники АА2В2 и СС2В2. Эти треугольники
равны, так как АВ2 = В2С, 2/-^52Лг = 2^ СВ2С2, как вертикаль-
ные углы, /_А2АВ2 — /_ С2СВ2, как накрест лежащие углы при
пересечении параллельных прямых а и с и секущей /; следова-
тельно, А2В2 = В2С2.
Точно так же доказывается, что В2С2 = C2D2 и т. д. Теорема
доказана.
Задача. Разделить данный отрезок АВ на п равных частей.
Решение. Проведем из точки А произвольный луч АС, не
принадлежащий прямой АВ, и на нем от точки А отложим по-
следовательно п равных отрезков АА1У А2А2, ..., Л„_!Л„
(рис. 154). Проведем через точки А„ и В прямую. Прямые, па-
раллельные прямой Л „В и проходящие через точки A А 2, .. ,,А„_1,
Рис. 155.
пересекают отрезок АВ в точках В1( В2, ..., Bn_it которые и
делят отрезок АВ на п равных частей. Это следует из теоремы
Фалеса.
Определение. Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Докажем теорему о свойстве средней линии треугольника.
ез1
Теорема 4. Средняя линия треугольника параллельна
третьей его стороне, а длина ее равна половине длины этой
стороны.
Доказательство. Пусть АВС—данный треугольник, а
MN—средняя линия, соединяющая середины сторон АВ и ВС
(рис. 155). Докажем, что MN\\AC и | MN | = у | А С |.-
Проведем через точки В и М прямые b и т, параллельные
прямой АС. Точка М—середина отрезка АВ, поэтому, согласно
теореме Фалеса, прямая т проходит через середину N отрезка
ВС, т. е. совпадает с прямой MN. Значит, A4Af||AC.
Проведем через точки N и С прямые п и с, параллельные
прямой АВ. Точка N —середина отрезка ВС, поэтому прямая п
проходит через середину отрезка АС—точку Р. Четырехуголь-
ник AMNP — параллелограмм, так как Д Л4||РЛ7, ММ\\АР. По-
этому MN—АР или | MN | = | АС |. Итак, MW||AC и |Л4Л/| =
= у|АС|. Теорема доказана.
Трапеция. Свойство средней линии трапеции. Трапецией на-
зывается выпуклый четырехугольник, у которого две противопо-
ложные стороны параллельны, а две другие стороны не парал-
лельны. Параллельные стороны трапеции (AD и ВС) называются
ее основаниями, непараллельные (АВ и CD)—боковыми сторонами
(рис. 156). Трапеция называется равнобочной или равнобедренной,
если боковые стороны равны (рис. 157). Трапеция, один из углов
которой прямой, называется прямоугольной (рис. 158).
В равнобочной трапеции углы при основании равны. Докажем,
например, что Z_A—^_D (см. рис. 157). Из точек В и С про-
ведем перпендикуляры ВР и CQ к основанию AD. Так как
- 232
BC||/4D, то BP = CQ. Прямоугольные треугольники APB и DQC
равны: у них BP = CQ, a AB = CD по условию. Из равенства
треугольников следует, что Z.A = /_D.
Верно и обратное утверждение: если углы А и D при основа-
нии трапеции равны, то трапеция является равнобочной.
В любой трапеции сумма величин углов, прилежащих к бо-
ковой стороне, равна 180° (по свойству односторонних углов,
образованных при пересечении двух параллельных прямых и
секущей).
Определение. Средней линией трапеции называется отре-
зок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Докажем теорему о средней линии трапеции.
Теорема 5. Средняя линия трапеции параллельна основа-
ниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.
Доказательство. Пусть ABCD—данная трапеция, а
ММ—ее средняя линия (рис. 159). Докажем, что Л1УЦЛО и
| MV| = |(|ДО| + [ВС|).
Проведем через середину М стороны АВ прямую т, парал-
лельную основаниям AD и ВС. Согласно теореме Фалеса прямая т
проходит через середину отрезка CD—точку Л\ т. е. совпадает
с прямой MN. Значит, MN\\AD.
Проведем диагональ BD и обозначим точку ее пересечения со
средней линией трапеции через Р. По теореме Фалеса точка
Р—середина отрезка BD. Отрезки МР и PN — средние линии
треугольников ABD и BDC. По свойству средней линии тре-
угольника
| Л4Р| = || AD\, |РЛГ| = ||ВС|.
Следовательно,
|МЛГ| = |МРЦ-| ^| = ||ЛП| + ||ВС |=4(1 ЛР| + |ДС().
Итак, MN\\AD и | ММ | •-= у (| AD | -|-| ВС|). Теорема доказана.
Упражнения
Раздел I
1. Доказать, что в равнобедренном треугольнике две медианы равны, две
биссектрисы равны, две высоты равны.
2. Доказать, что прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, отсекает
от его сторон равные отрезки.
3. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного
треугольника параллельна основанию.
4. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между ме-
дианой И высотой, проведенными из той же вершины.
5. Доказать, что множество точек плоскости, равноудаленных от данной
прямой, состоит из двух прямых, параллельных этой прямой.
233
6. Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются
вершинами параллелограмма.
7. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная
к гипотенузе, равна ее половине. (Указание. Продолжить медиану на
расстояние, равное ее длине.)
Доказать обратное утверждение: если медиана равна половине стороны,
к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
8. Доказать, что середины сторон ромба являются 'вершинами прямо-
угольника.
9. Доказать, что всякий отрезок с концами на основаниях трапеции
делится средней линией трапеции пополам.
10. Доказать, что средняя линия трапеции проходит через середины диа-
гоналей.
11. Построить треугольник: а) по стороне и прилежащим к ней углам;
б) по двум сторонам и углу между ними; в) по двум сторонам и углу, про-
тиволежащему одной из них.
12. В данном треугольнике построить его медианы, высоты и биссектрисы.
13. Построить треугольник, если даны середины его сторон.
14. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте,
опущенной на боковую сторону.
15. Построить равносторонний треугольник по его высоте.
16. Через точку, данную внутри угла, провести прямую, которая отсе-
кает от сторон угла равные отрезки.
17. Построить прямоугольник по стороне и сумме его диагоналей.
18. Построить ромб: а) по стороне и диагонали; б) по стороне и углу;
в) по двум диагоналям.
19. Построить квадрат: а) по двум вершинам; б) по данной диагонали.
20. Построить трапецию: а) по основаниям и боковым сторонам; б) по
основаниям и диагоналям.
Раздел II
21. Каждая из сторон равностороннего треугольника ЛВС продолжена:
АВ за вершину В, ВС за вершину С, СА за вершину Л, и на продолжениях
сторон ^отложены отрезки одинаковой длины, через их концы В1( С,, А± и
соответственно вершины С, Л, В проведены прямые BjC, СХЛ и ArB. Опре-
делить вид треугольника, полученного пересечением этих прямых.
22. Доказать, что каждая сторона треугольника меньше его полупери-
метра. '
23. Доказать, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота,
опущенная на гипотенузу, равна ее половине,
24. Углы треугольника относятся как 1:2:3. Большая сторона равна 8 м.
Найти длину меньшей стороны и медианы большей стороны.
25. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот остро-
угольного треугольника, отсекает от него треугольник, углы которого равны
углам данного треугольника.
26. Построить треугольник по углу а, противолежащему стороне а и вы-
соте й, опущенной на эту сторону.
27. Построить треугольник, если даны два его угла Либи сумма двух
его сторон
234
28. Построить треугольник, если даны разность сторон а— Ь и два
угла А и В.
29. Построить треугольник, если даны его периметр и два угла А и В.
30. Середины F и Е сторон АВ и DC параллелограмма ABCD соединены
прямыми соответственно с вершинами D и В. Доказать, что эти прямые делят
диагональ АС на три равные части.
31. Построить прямоугольник: а) по основанию и диагонали; б) по диа-
гонали и углу между диагоналями.
32. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см,
вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найти периметр
прямоугольника.
33. Построить ромб по диагонали и высоте.
34. Стороны ромба образуют с его диагоналями углы, разность которых
3
равна Определить углы ромба.
35. Построить квадрат: а) по периметру; б) по диагонали.
Зв. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так,
что его вершины находятся на гипотенузе, а две другие—на катетах. Опре-
делить сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 6 см.
Глава XI. ОКРУЖНОСТЬ
§ 1. Взаимное расположение прямой и окружности,
Касательная к окружности
Пусть R—радиус окружности и d—расстояние от центра
окружности до прямой р (т. е. длина перпендикуляра, опущен-
ного из центра на прямую).
Возможны три случая:
а) если R> d, то прямая имеет две общие точки с окруж-
ностью (рис. 160, а);
4? V d) ф
Рис. 160,
б) если R=sd, то прямая имеет только одну общую точку
с окружностью (рис. 160, б);
в) если R <d, то прямая не имеет общих точек с окруж-
ностью (рис. 160, в).
Доказательство. Примем центр окружности за начало
координат, а прямую, перпендикулярную к данной прямой р за
235
ось Ох (рис. 161). Тогда уравнение окружности имеет вид:
x2-\-y'2=R2 (§ 5 гл. VII). Точками прямой р являются те и
только те точки плоскости, для которых расстояние от оси Оу
равно d. Поэтому уравнение прямой р будет x=d. Для того
чтобы прямая и окружность имели общие
Р точки, надо, чтобы система двух уравне-
ний
х2 + //2= /?2,
x = d
d ________у имела решение. И обратно, всякое реше-
‘ \д & ние этой системы дает координаты (х; у)
общей точки прямой и окружности. Ре-
шая систему, получим
Рис. 161. y = ±V R2—d2.
Пэ этого выражения для у видно, что система имеет два реше-
ния, если 7? > d. Система имеет одно решение, если R = d. Си-
стема не имеет решения, если R < d.
Определение. Прямая, имеющая с окружностью только
одну общую точку, называется касательной к окружности, а
общая точка прямой и окружности—точкой касания.
На рис. 160,6 прямая р—касательная к окружности, А —
точка касания.
Таким образом, при /?><7 прямая и окружность пересе-
каются; при R = d прямая и окружность касаются; при R<d
прямая и окружность не пересекаются.
Рассмотрим свойства касательной к окружности.
Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна
радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.
Доказательство. Пусть р — касательная к окружности,
А—точка касания (см. рис. 160,6). Докажем, что отрезок
ОЛ _\_р. Допустим, что это не так. Тогда ОА—наклонная, про-
веденная из точки О к прямой р. Пусть ОН — перпендикуляр,
опущенный из точки О на прямую р. Так как перпендикуляр
меньше наклонной, то ОН <ОА, т. е. ОН < R. Расстояние от
центра окружности до прямой р меньше радиуса. Значит, пря-
мая р пересекает окружность. Это противоречит условию. Зна-
чит, наше допущение неверно и ОА _[_р.
Теорема 2 (обратная теореме 1). Если прямая перпендику-
лярна к радиусу окружности и проходит через его конец, лежа-
щий на окружности, то она является касательной к этой
окружности.
Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.
Задача 1. Построить касательную к данной окружности,
параллельную данной прямой.
Решение. Опускаем на данную прямую а из центра О
перпендикуляр ОА и через точки В и С, в которых этот пер-
пендикуляр пересекается с окружностью, проводим прямые бис
• 236
окружностей.
имеют одну общую
же две окружности
параллельно а (рис. 162). Согласно теореме 2 b и с—искомые
касательные.
Рассмотрим взаимное расположение де
Определение. Если две окружно!
точку, то говорят, что они касаются-, ес
имеют две общие точки, то говорят, что
они пересекаются.
Касание двух окружностей называется
внешним, если окружности расположены
одна вне другой (рис. 163, а), и внутрен-
ним, если одна из окружностей лежит
внутри другой (рис. 163, б).
Пусть R и Ri—радиусы двух окруж-
ностей и d — расстояние между их цент-
рами О и Ох. Рис. 162.
Возможны пять случаев:
I) если R 4- Rl> d > | R — Rt |, то окружности пересекаются-,
2) если R-\- Ri=d, то окружности имеют внешнее касание-,
3) если | R — Rt\=d, то окружности имеют внутреннее ка-
сание-,
4) если R 4- Rt <d, то окружности лежат одна вне другой
не касаясь-,
5) если | R — R, | > d, то окружности лежат одна внутри дру-
гой, не касаясь; в частном случае, когда d = 0, центры обеих
в А с окружностей совпадают (такие окружности на-
' --------* зываются концентрическими}.
f Доказательство опускаем. Отметим, что
I , \ справедливы и обратные утверждения.
I О ] Задача 2. Через данную точку провести
\ J к данной окружности касательную.
S Решение. Рассмотрим два случая:
Рис. 161. 1) Данная точка А лежит на данной окруж-
ности (рис. 164). Тогда через нее проводим
радиус и через конец его А строим перпендикуляр ВС к этому
радиусу (§ 2 гл. X). Согласно теореме 2 ВС — искомая каса-
тельная.
2) Данная точка А лежит вне данной окружности (рис. 165).
Тогда, соединив точку А с центром окружности О, делим отре-
зок АО пополам в точке Oj (§ 2 гл. X). Затем с центром в
237
точке Oj радиусом ООг проводим окружность. Эта окружность
пересекается с данной (доказательство предоставим читателю).
Через их точки пересечения В и Вг проводим прямые АВ и АВХ.
Эти прямые и будут касательными, так как углы ОБА и OBjA,
как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (§2 гл. XI).
Следствие. Отрезки двух, касательных, проведенных к
окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с
прямой, соединяющей эту точку с центром.
Это свойство касательных к окружности следует из равенства
прямоугольных треугольников АОВ и АОВу. AB = ABlt ^ОАВ =
= Х-ОАВу (см. рис. 165).
Задача 3. К двум окружностям провести общую касатель-
ную (рис. 166).
Решение. Пусть R— радиус окружности с центром О,
Rt— радиус окружности с центром 0п причем R > Rt.
1) Анализ. Предположим, что задача решена. Пусть АВ—
общая касательная, А и В—точки касания. Если мы найдем
одну из этих точек, например А, то затем найдем и другую.
Проведем радиусы ОА и ОХВ. Они перпендикулярны к общей
касательной и, следовательно, параллельны. Если из точки Oj
провести О/7ЦВЛ, то треугольник OCOj будет прямоугольный с
прямым углом при вершине С. Если опишем с центром в точке О
радиусом ОС окружность, то она будет касаться прямой О,С
в точке С. Радиус этой вспомогательной окружности известен;
он равен ОА—СА =ОА—ОгВ, т. е. равен разности R— R, ра-
диусов данных окружностей.
2) Построение. Опишем окружность с центром в точке О
радиусом, равным R— Rt; из точки Ot проводим к этой окруж-
ности касательную О±С (способом, указанным в решении преды-
дущей задачи); через точку касания С проводим радиус ОС и
продолжаем его до пересечения с данной окружностью в точке Л;
из точки А проводим АВ параллельно СС\.
3) Доказательство. Из способа построения следует, что
АВ—искомая касательная.
4) Исследование. Тем же способом можно построить
другую общую касательную AiBr. Прямые А В и Я А называ-
ются внешними общими касательными двух окружностей.
238
Предоставим читателям провести еще две внутренние каса-
тельные.
Решение задачи на построение, как видно из приведенного
примера, состоит из четырех частей:
1) Отыскание способа решения задачи путем установления
связей между данными задачи и искомыми. Эта часть называется
анализом и имеет целью составление плана решения.
2) Выполнение построения.
3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетво-
ряет всем условиям задачи.
4) Исследование задачи, где выясняется вопрос: при любых ли
данных можно решить задачу и сколько решений она имеет.
Если задача простая, то отдельные части, например анализ
или исследование опускаются. Так мы поступали при решении
простейших задач на построение в § 2 гл. X.
§ 2. Углы в окружности
Пусть А и В—две точки окружности (рис. 167). Проведем
через них прямую. Она разбивает плоскость на две полуплоско-
сти. Части окружности, лежащие в этих полуплоскостях, назы-
ваются дугами окружности. Если АВ—диаметр, то дуги окруж-
ности называются полуокружностями. Чтобы различить две дуги
окружности с общими концами Л и В,
на каждой из них отмечают по промежу-
точной точке и эти дуги обозначают тре-
мя буквами: \jALB и \jAMB. / л \
Если хорда АВ не является диамет- I I
ром, то \jAMB лежит в полуплоскости, \ х. /
которая содержит центр окружности. Эта ——
дуга называется дугой большей полу-
окружности. Дугу ALB будем называть
дугой меньшей полуокружности. Рис. 167,
Центральным углом, отвечающим дан-
ной дуге окружности, будем называть фигуру, которая состоит
из лучей, исходящих из центра окружности и пересекающих
эту дугу.
Для центральных углов определяем градусную меру по сле-
дующему правилу. Если соответствующая дуга АВ меньше по-
луокружности, то за величину центрального угла принимаем
обычную меру угла, образованного полупрямыми ОА и ОВ. Если
дуга равна полуокружности, т. е. АВ—диаметр, то угловую
меру полагаем равной 180°. Если дуга больше полуокружности,
то за угловую меру принимаем 360°—а, где а—градусная мера
дополнительного угла* (меньшего полуокружности).
Введем понятие градусной меры дуги окружности. Будем
считать, что градусная мера дуги равна угловой мере централь-
ного угла, которому соответствует эта дуга.
239
Градусные меры kjALB и \jAMB будем обозначать так;
ALB и АМВ. Тогда ALB = AOB = a, АМВ = 360°—а. Сумма
градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°.
Две дуги называются равными, если они принадлежат одной
и той же окружности или разным окружностям с равными ра-
диусами и их градусные меры
равны.
Рассмотрим два свойства ра-
венства дуг:
1) если центральные углы
данной окружности равны, то
соответствующие им дуги по-
парно равны-,
2) если две дуги одной ок-
ружности равны, то централь-
ные углы, отвечающие этим дугам, также равны.
Доказательство предоставим читателям.
Указаний 2) Пусть \jACD и \jAlClDl—равные дуги
окружности. Возможны три случая: ЛС£><180°, ЛС£)=180°,
ЛС£)> 180°. Доказательство равенства центральных углов при-
вести для каждого случая в отдельности.
Определение. Угол, вершина которого принадлежит
окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным
углом.
На рис. 168 угол АВС вписанный. Говорят, что этот угол
опирается на дугу АМС (дуга АМС—та из двух дуг с концами
Л и С, которой не принадлежит вершина В вписанного угла).
Центральный угол, отвечающий дуге АМС, называется цент-
ральным углом, соответствующим данному вписанному углу Л ВС.
Теорема 1. Вписанный угол равен половине соответствую-
щего центрального угла.
Доказательство. Пусть ^_АВС—данный вписанный
угол окружности.
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного
угла является диаметром (рис. 169). В этом случае центральный
угол, соответствующий вписанному углу АВС, равен углу АОС.
Так как / АОС является внешним углом равнобедренного тре-
угольника АОВ, то /_АОС = /_ОАВ-\- /_ОВА. Углы О АВ и ОБА
при основании равнобедренного треугольника равны. Поэтому
^_АОС = 2^ОВА, т. е. ^/АВС = -^Х_ АОС, что и утвержда-
лось.
Пусть теперь ни одна из сторон вписанного угла не является
диаметром. Проведем диаметр из вершины В вписанного угла.
Будем различать два случая:
1) стороны угла АВС разделяются диаметром BD-,
2) стороны угла АВС не разделяются диаметром.
240
Рассмотрим первый случай. По доказанному /_ABD = ^/AOD,
^/CBD = ^ ^/_COD. Если центральный угол, соответствующий
углу АВС, меньше полуокружности (рис. 170, а), то отсюда
заключаем, что / А ВС = у / А ОС. Следовательно, вписанный
угол АВС равен половине со-
ответствующего центрального
угла.
Если центральный угол, со-
ответствующий вписанному углу
АВС, больше полуокружности
(рис. 170, б), то Л0£)=180°—
— АОВ, СОЛ =180°—ВОС. От-
сюда заключаем, что. АВС =
— (360°—А ОС), т. е. вписан-
Рис. 170.
ный угол АВС равен половине соответствующего центрального
угла.
Второй случай, когда диаметр BD не разделяет стороны угла
АВС, рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Для центрального угла Л ОС, отвечающего дуге АМС,
имеем: АОС = АМС. Поэтому для вписанного угла АВС полу-
чаем АВС = ^-АОС = ^АМС, т. е. мера вписанного угла равна
половине меры дуги, на которую он опирается.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и
ту же дугу, равны между собой (рис. 171).
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокруж-
ность,—прямой (рис. 172). ..
Пусть АВ — хорда окружности (рис. 173). Проведем касатель-
ную к окружности в точке А. Точка А разбивает касательную
на две полупрямые, полукасательные. Угол между полукасатель-
ной и хордой и центральный угол, отвечающий той из дуг \j АВ,
которая лежит в одной полуплоскости с полукасательной отно-
сительно прямой АВ, называются соответствующими.
241
Теорема 2. Угол между хордой и полукасательной изме-
ряется половиной соответствующего центрального угла.
Доказательство. Возьмем сначала угол ВАС между
хордой и полукасательной, соответствующий меньшему централь-
ному углу (см. рис. 173). В этом случае ВАС = 90°—ОАВ.
Так как 20АВ 4- АОВ = 180°, то ОАВ = 90°—-±-АОВ и,\следова-
тельно, ВАС = у АОВ, т. е. половине соответствующего цент-
рального угла. Угол BAD между хордой и другой касательной
будет смежным и поэтому равен 180°—уДОВ. А это как раз
половина величины дополнительного центрального угла. Теорема
доказана.
§ 3. Свойства хорд и диаметров окружности
Теорема 1. Диаметр есть наибольшая из хорд.
Доказательство. Пусть АВ—хорда, не проходящая
через центр окружности, CD—диаметр (рис. 174). Рассмотрим
треугольник АОВ. В треугольнике каждая сторона меньше суммы
двух других сторон. Поэтому АВ <ОА + ОВ. Так как ОА и
ОВ—радиусы, то АВ < CD. Значит, диаметр больше всякой
хорды, не проходящей через
центр. Но так как диаметр
есть тоже хорда, то диа-
метр—наибольшая из хорд.
Говорят, что хорда стя-
гивает дугу окружности, если
она соединяет концы этой
Дуги.
Теорема 2. Дее равные
хорды окружности стягивают
Рис. 174
Рис. 175
попарно равные дуги и обратно, если две дуги окружности рав-
ны, то стягивающие их хорды также равны.
Доказательство. Докажем только первое утверждение.
Пусть в окружности с центром О хорды АВ и AjBj равны
(рис. 175). Если эти хорды являются диаметрами, то наше
утверждение очевидно. Поэтому рассмотрим случай, когда хорды
АВ и AjSj не являются диаметрами. Треугольники АОВ и
AjOBt равны, так как OA = OAlt OB — OBlt АВ = А1В1. Поэтому
центральные углы АОВ и AjOB^ отвечающие дугам ALB и
AJ.fiu равны. Отсюда следует, что соответствующие им дуги
равны: kjALB = kJA1L1B1.
Теорема 3. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит
хорду пополам. Обратно, диаметр, проведенный через середину
хорды, не проходящей через центр окружности, перпендикуля-
рен этой хорде.
242
Доказательство. Пусть АВ — данная хорда и М — ее
середина (рис. 176). Проведем диаметр через точку М. Треуголь-
ники ОАЛ1 и ОВМ равны: у них стороны ОА и ОВ равны, как
радиусы, сторона ОМ общая, АМ = МВ, так как М—середина
отрезка АВ. Из равенства этих треугольников следует, что
X ОМА — / ОМВ. Эти равные углы смежные и, значит, пря-
мые. Поэтому диаметр CD, проведенный через точку М, пер-
пендикулярен хорде АВ
и делит ее пополам. Дру-
гого перпендикулярного
хорде АВ диаметра не су-
ществует, т^к как через
точку О можно провести
только одну прямую, пер-
пендикулярную прямой
АВ. Первое утверждение
Рис. 176.
Рис, 177.
теоремы доказано.
Пусть диаметр CD проходит через середину М хорды АВ
(см. рис. 176). Докажем, что CD\AB.
Треугольник АОВ равнобедренный (0.4= ОВ) и отрезок ОМ
является его медианой. В равнобедренном треугольнике медиана,
проведенная из вершины, является также высотой треугольника.
Поэтому 0Л1_|_Л.В или CD j_AB. Теорема доказана.
Задача. Через точку М пересечения двух окружностей с
центрами О и Ох проведены два отрезка: АВ, параллельный 00L
и CD, не параллельный 00L (рис. 177). Доказать, что АВ > CD.
Решение. Из центров О и 01 опустим на А В перпендикуляры
ОР и OjQ. В прямоугольнике OPQOt имеем ?Q== 00i. Так как
Р и Q — середины хорд AM и МВ согласно теореме 3, то
AB = 2PQ, т. е. АВ = 2001. Выполним аналогичное построение
для CD и получим прямоугольную трапецию OP^Ot, в которой
PiQi < ООх и, значит, CD < 200±. Поэтому АВ > CD.
§ 4. Вписанные и описанные многоугольники
Определение. Многоугольник, все вершины которого
принадлежат окружности, называется вписанным в эту окруж-
ность, а окружность—описанной около этого многоугольника.
Определение. Многоугольник, все стороны которого ка-
саются окружности, называется описанным около этой окружно-
сти, а окружность—вписанной в этот многоугольник.
Докажем для треугольника существование описанной и впи-
санной окружностей.
Теорема 1. Около любого треугольника можно описать
окружность и притом только одну. Центром этой окружности
является точка пересечения серединных перпендикуляров сторон
треугольника.
243
Доказательство. Пусть АВС— данный треугольник
(рис. 178). Проведем через середины сторон АВ и АС треуголь-
ника прямые, перпендикулярные этим сторонам (серединные
перпендикуляры). Эти прямые пересекаются в некоторой точке О.
Действительно,
в
противном случае они были бы параллельны.
Но тогда прямые АВ и АС, как перпен-
дикулярные к параллельным, были бы тоже
параллельны, а они пересекаются (в точ-
ке Л).
Из равенства прямоугольных треуголь-
ников АОВ± и COBt следует, что ОА = ОС.
Из равенства прямоугольных треугольников
АОС\ и ВОС^ следует, что ОА = ОВ. По-
этому окружность с центром в точке О и
радиусом ОА проходит через все три
вершины треугольника АВС и, следовательно, является описан-
ной окружностью.
Точка О равноудалена от концов отрезка ВС, и значит, она
лежит также на серединном перпендикуляре стороны ВС тре-
угольника.
Таким образом, серединные перпендикуляры трех сторон тре-
угольника пересекаются в одной точке, и эта точка является
центром окружности, описанной около треугольника. Теорема
доказана.
Согласно теореме через три точки, не лежащие на одной
прямой, можно провести окружность и притом только одну.
Замечание. Будем говорить, что точка лежит внутри
треугольника АВС, если она лежит по одну сторону с точкой А
относительно прямой ВС, по одну сторону с точкой В относи-
тельно прямой АС и по одну сторону
прямой АВ. Предоставим читателю
описанной окружности лежит вну-
три треугольника только тогда,
когда треугольник остроугольный;
в тупоугольном треугольнике он ле-
жит вне его, а в прямоугольном —
на середине гипотенузы.
Теор ема 2. В любой треуголь-
ник можно вписать окружность и
притом только одну. Центром этой
окружности является точка пересече-
ния биссектрис треугольника.
Доказательство. Пусть АВС—данный треугольник
(рис. 179). Проведем две биссектрисы треугольника при верши-
нах А и В. Они пересекаются в некоторой точке О внутри тре-
угольника. (То, что биссектрисы пересекаются, доказывается
дословно так же, как то, что пересекаются медианы, см. далее § 5;
то, что точка пересечения биссектрис всегда лежит внутри тре-
угольника, примем без доказательства.)
с точкой С относительно
убедиться, что центр
244
Опустим из точки О перпендикуляры 0Alt 0Bt и 0С1 на пря-
мые ВС, АС и АВ. Прямоугольные треугольники АОВ2 и AOCt
равны. У них гипотенуза АО общая, а углы ОАВг и ОДСд равны,
так как АО—биссектриса. Следовательно, 0В± = ОС^. Из равенства
прямоугольных треугольников BOCi и BOA± следует, что ОС, =
= ОЛр Значит, окружность с центром О и радиусом OAt про-
ходит через точки Ait Bt и
Эта окружность касается сторон треугольника АВС в точках
А,, В^ и Ci, так как стороны в этих точках перпендикулярны
к радиусам в их концах и, следовательно, являются касатель-
ными к окружности (§ 1 гл. XI). Существование окружности, впи-
санной в треугольник АВС, доказано.
Точка О равноудалена от сторон угла АСВ, и значит, СО —
биссектриса.
Таким образом, три биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке и эта точка является центром окружности, впи-
санной в треугольник. Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем (или правиль-
ном) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей
совпадают; эта точка называется центром рав- д
постороннего треугольника.
Рассмотрим теперь вопрос о существовании [/ \ X
описанной и вписанной окружностей для слу- LZ \ |
чая выпуклого четырехугольника. \ /
Теорема 3. 1) Если около выпуклого четы- 'Х --<7^
рехугольника можно описать окружность, то
сумма его противоположных углов равна двум рис Jg0
прямым углам.
2) Если в выпуклом четырехугольнике сумма его противопо-
ложных углов равна двум прямым углам, то около четырехуголь-
ника можно описать окружность.
Доказательство. 1) Пусть ABCD — данный выпуклый
четырехугольник, около которого можно' описать окружность
(рис. 180). Требуется доказать, что
Л+С = 180°, 5+6=180°.
Так как сумма величин всех четырех углов всякого выпуклого
четырехугольника равна 360°, то достаточно доказать только одно
из требуемых равенств.
Докажем, например, что А + С = 180°.
По теореме о величине вписанного угла
А =4-BCD, C = ^DAB.
Следовательно, А + С = у(BCDA-DAB) = 180°, так как сумма
градусных мер двух дуг BCD и DAB с общими концами
равна 360°.
245
Отсюда D — E,
что
Рис. 182.
Рис. 181.
ABCD можно
четырехугольника
2) Пусть ABCD—выпуклый четырехугольник, у которого
Д4-С=180°, и, следовательно, В 4-0= 180° (рис. 181). Требуется
доказать, что около такого четырехугольника можно описать
окружность.
Проведем через точки А, В, С окружность (это всегда воз-
можно). Допустимо лишь одно из трех положений: точка D лежит
внутри этой окружности; вне окружности; на окружности.
Предположим, что точка D лежит внутри окружности. Тогда
В + 6= 180°(по условию теоремы), В + Е= 180° (по доказанному).
, так как внешний угол D
треугольника EDC больше его
внутреннего угла Е. Следова-
тельно, точка D не может на-
ходиться внутри построенной
окружности.
Аналогично, доказывается,
что вершина D не может лежать
и вне этой окружности (рис. 182).
Следовательно, точка D ле-
жит на окружности, проведенной
через вершины А, В, С данного
четырехугольника, т. е. около
описать окружность. Теорема
доказана.
Следствие 1. Из всех параллелограммов только около пря-
моугольника можно описать окружность.
Следствие 2. Около трапеции можно описать окружность
только тогда, когда она равнобочная (равнобедренная), и обратно,
если около трапеции описана окружность, то эта трапеция явля-
ется равнобочной.
Теорема 4. 1) Если в четырехугольник можно вписать окруж-
ность, то суммы длин его противоположных сторон равны.
2) Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четы-
рехугольника равны, то в этот четырехугольник можно вписать
окружность.
Доказательство. 1) Пусть ABCD—данный четырехуголь-
ник, в который можно вписать окружность (рис. 183). Требуется
доказать, что
AB+CD^BC+AD.
Стороны четырехугольника касаются окружности в точках М, N,
Р и Q. По свойству касательных, проведенных из одной точки
(§ 1 гл. XI), имеем: AM — AQ, BM — BN, CN^CP, DP=^DQ.
Следовательно,
AM 4- M В 4- СР 4- PQ = A Q + QD 4- BN 4- NC,
т. е.
ABA-CD = AD-\-BC.
246
Второе утверждение теоремы примем без доказательства.
Следствие 1. Из всех параллелограммов только в ромб
можно вписать окружность; ее центром является точка пересе-
чения диагоналей ромба, так как диагонали ромба делят его углы
пополам.
Следствие 2. В трапецию можно вписать окружность
в том и только в том случае, если сумма боковых сторон тра-
пеции равна сумме ее оснований.
Из теорем 3 и 4 следует, что в квадрате цертры вписанной и
описанной окружностей совпадают; эта точка называется центром
квадрата. Центр квадрата—точка пересечения его диагоналей.
Задача. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма
катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окруж-
ностей .
Решение. Диаметр 27? окружности, описанной около пря-
моугольного треугольника АВС, равен гипотенузе АВ (рис. 184, а).
Диаметр 2г вписанной окружности равен MC-\-CL (так как
MOLC—квадрат) (рис. 184, б). По свойству касательной к окруж-
ности имеем
АМ=АК, BL = BK.
Поэтому
А С + ВС = (AM + Л4С) + (BL + LC) =
= (АК + ВК) + (МС + CL) = 2 R + 2г.
§ 5. Четыре замечательные точки в треугольнике
В § 4 было доказано, что:
1) серединные перпендикуляры трех сторон треугольника пере-
секаются в одной точке, и эта точка является центром описан-
ной окружности;
2) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке,
и эта точка является центром вписанной окружности.
Следующие две теоремы дают еще две замечательные точки
треугольника:
3) точку пересечения трех медиан и
Е47
4) точку пересечения трех высот.
Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке; эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, счи-
тая от вершины.
Доказательство.
(рис. 185). Проведем
АВС—данный треугольник
Докажем сначала,
BBt пересекаются,
в одной полуплэ-
прямой АА3. Точ-
разных полуплэ-
его
Пусть
। медианы ЛЛ£ и BBt.
что медианы А А, и
Точки С и В£ лежат
скости относительно
ки С и В лежат в
скостях. Следовательно, точки В и В£
лежат в разных полуплоскостях. По-
этому медиана ВВХ пересекается с пря-
мой AAt. Точно так же доказываем,
что медиана ЛЛ£ пересекается с прямой
BBt. Так как прямые AAt и ВВ£ пере-
t точке, то эта точка принадлежит медиа-
т. е. медианы пересекаются. Пусть О —
одной
вв„
проведенная из точки С,
секаются только в
не AAt и медиане
точка их пересечения.
Проведем среднюю линию А^ треугольника АВС и среднюю
линию Д2В2 треугольника АОВ. Обе они параллельны стороне АВ
и равны половине этой стороны. Отсюда следует, что четырех-
угольник — параллелограмм. По свойству параллелог-'
рамма В1О = ОВ2, а ОВ2 = ВВ2 по построению. Следовательно,
медиана AAt пересекает медиану ВВ£ в точке О, которая делит
медиану ВВХ в отношении 2:1, считая от вершины В. Точно так же
доказывается, что точка О делит медиану AAt в отношении 2:1,
считая от вершины А. Медиана СС£
пересекает каждую из медиан ДД£
и BBt в точке, которая делит
эти медианы в том же отношении.
Значит, медиана ССГ проходит че-
рез точку О. Теорема доказана.
Из физики известно, что точка
пересечения медиан треугольника
есть его центр тяжести; он всегда
лежит внутри треугольника.
Теорема 2. Прямые, содержа-
щие три высоты треугольника, пере-
секаются в одной точке.
Доказательство. Пусть ’ АВС—данный треугольник,
AHt, ВН3, СН3—высоты (рис. 186). Через каждую вершину тре-
угольника АВС проведем прямую, параллельную противополож-
ной стороне. Получим вспомогательный треугольник Д1В1С1. Так
как четырехугольники АСВС£ и АВСВ1 — параллелограммы, то
ACl = BC=ABi. По построению ВС||В£С£, поэтому
Следовательно, прямая AHi является серединным перпендикуля-
ром отрезка В2С£. Точно так же доказывается, что прямая ВН3—
серединный перпендикуляр отрезка А^, а СП.,— серединный
248
перпендикуляр отрезка AtBt. Так как серединные перпендику-
ляры трех сторон треугольника А1В1С1 пересекаются в одной
точке, то прямые AHit ВН2 и СН3 пересекаются в одной
точке. Теорема доказана.
Замечание. Точка, в которой пересекаются высоты тре-
угольника (точнее, прямые, содержащие высоты), называется его
ортоцентром.
Задача. Построить треугольник по трем медианам.
Решение. Построим треугольник, зная отрезки, равные его
медианам.
1) Анализ. Предположим’, что задача решена. Пусть АВС —
треугольник,.медианы которого равны данным отрезкам (рис. 187).
Медианы пересекаются в точке О. На про-
должении медианы ВВ2 отложим отрезок
BjBj, равный ОВ2, и соединим точку В2 с
вершинами Л и С. В четырехугольнике
АОСВ2 диагонали АС и ОВ2 в точке пересе-
чения Bt делятся пополам: АВ1=^В1С по
условию, ОВ1 — В1В2 по построению. Следо-
вательно, АОСВ2—параллелограмм. Поэтому
В2С— АО = ^-АА2. Кроме того, ОВ2 —
2 2
=-jBB2, СО = -^СС2. Таким образом, в ходе
анализа мы получили треугольник СОВ2 с
известными сторонами.
2) Построение. Выберем произвольную точку С и построим
треугольник СОВ2, стороны которого равны 2/3 каждой из медиан
искомого треугольника. Пусть В2—середина стороны В2О. На про-
должении отрезка СВ2 отложим отрезок Bj4, равный отрезку CBlt
а на продолжении отрезка В2О—отрезок ОВ, равный отрезку В2О.
Соединив точку В с точками А и С, получим искомый треуголь-
ник АВС.
3) Д о к а з а т е л ьс т в о. Соединим точку А с точками О и В2.
Четырехугольник АОСВЪ — параллелограмм. Следовательно,
АО = В2С. По построению ВВХ—медиана ДЛВС, а О—точка
пересечения медиан треугольника. Переход от треугольника СОВ2
приводит к треугольнику АВС с данными медианами.
Исследование опускаем. Очевидно, что не любые три отрезка
могут быть медианами одного и того же треугольника.
д
Вг
Рис. 187.
с
Упражнения
Раздел!
1. Построить касательную к данной окружности, перпендикулярную дан-
ной прямой.
2. Доказать, что дуги окружности, заключенные между параллельными
кордами, равны.
249
3. Что представляет собой множество вершин прямых углов, стороны кото-
рых проходят через две данные точки?
4. Провести окружность, которая касается сторон данного угла, причем
одной из них в данной точке.
5. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущен-
ной из вершины прямого угла на гипотенузу.
6. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу впи-
санной окружности.
7. Около данной окружности описать равнобедренный прямоугольный тре-
угольник.
8. Построить ромб по данной стороне и радиусу вписанной окружности.
9. Вписать квадрат в данную окружность.
Р а з д_е л II
10. В окружности по разные стороны от центра проведены параллельные
хорды, равные 36 мм и 48 мм; расстояние между ними —42 мм. Определить
радиус окружности.
11. Из данной точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная
радиусу окружности. Определить угол между диаметром и хордой.
12. Из данной точки окружности проведены две взаимно перпендикуляр-
ные хорды, из которых первая удалена от центра на 30 см, а вторая на 10 см.
Найти их длины.
13. Концы диаметра удалены от касательной на 18 см и 12 см. Опреде-
лить длину диаметра.
14. Окружность разделена на три части, которые относятся между собой,
как 5:6:7, и через точки деления проведены касательные. Определить углы
полученного треугольника.
15. Периметр описанной трапеции равен 6 см. Найти длину ее средней
линии.
16. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 30 см,
а средняя линия равна 9 см. Найти длину каждой из боковых сторон трапеции.
17. Три стороны описанного четырехугольника, взятые в последователь-
ном порядке, относятся как 3:4:5, а периметр четырехугольника равен 48 см.
Определить стороны этого четырехугольника.
18. Вершины вписанного четырехугольника делят последовательно окруж-
ность на дуги, пропорциональные числам 2; 5; 7; 4. Определить углы этого
четырехугольника.
Глава XII. ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
§ 1( Пропорциональные отрезки
Каждый отрезок имеет определенную длину. Длина отрезка
зависит от выбора единицы измерения и выражается положи-
тельным рациональным или иррациональным числом.
Аксиома измерения отрезков. При переходе от одной
единицы измерения к другой длины всех отрезков умножаются
на одно и то же число.
250
Отсюда следует, что отношение длин двух отрезков не зави-
сит от выбора единицы измерения.
В дальнейшем для краткости будем говорить об отношении
двух отрезков, понимая под этим число, равное отношению длин
этих отрезков.
Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам
Л1В1 и CJ)i, если пропорциональны их длины:
АВ CD
АЛ - СЛ •
_ АВ IABI
Запись . _ означает здесь и далее отношение . . „ , , где
1481—длина отрезка АВ, pjBJ—длина отрезка AtBt.
Теорема. Если стороны угла с вершиной в точке О пересе-
чены параллельными прямыми АВ и MN (рис. 188), то отрезки
ОА и ОВ пропорциональны от-
резкам ОМ и ON, т. е.
ОА OB m
ОМ ~ ON ' I1'
Доказательство. Рас-
смотрим случай, когда имеется
такой отрезок EF, что ОМ =
= mEF, MA-=nEF, где т и
п—целые числа. Говорят, что
Рис. 188.
отрезок EF в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается
целое число раз без остатка.
Разделим отрезок ОМ на т равных частей, а отрезок МА
на п равных частей. Каждый из полученных отрезков будет
равен EF. Примем отрезок EF за единицу измерения. Тогда
ОМ=т, МА=п. Допустим для определенности, что точка М
лежит между точками О и Л. Тогда ОА = ОМ А-МА = mA-п.
Проведем через точки деления отрезков ОМ и МА прямые,
параллельные прямой АВ. Согласно теореме Фалеса эти прямые
разделят отрезок ON на т равных отрезков, а отрезок NB на
п равных отрезков. Если t—длина каждого из этих отрезков,
то ON = mt, NB = nt, поэтому OB=^ON A-NB = (mA-n)t.
Таким образом,
ОА т4-п ОВ (тЦ-п)? тЦ-п
ОМ ~ т ’ ON ~~ mt т ’
~ 0А ОВ ...
Отсюда следует, что = т. е. выполняется равенство (1).
Не для любых отрезков ОМ и МА существует такой отре-
зок EF, который в каждом из отрезков ОМ и МА, укладыва-
ется целое число без остатка. Но и в этом случае можно дока-
зать, что равенство (1) выполняется. Теорема доказана.
Следствие. Если стороны угла с вершиной в точке О пере-
сечены параллельными прямыми АВ и MN (см. рис. 188), то
251
отрезки МА и NB пропорциональны отрезкам ОА и ОВ, т. е.
МА NB
ОА ~ ОВ'
Д о к а з а т ел ь с т в о. Допустим для определенности, что точка
М лежит между точками О и А. Тогда О А =0М + МА; О В =
= ON + NB, или
ОМ = ОА — МА; ON = OB —NB. (3)
... ОМ ON „
Из равенства (1) следует, что ~qa~~~ob~' Подставив сюда значе-
ния ОМ и ON из (3), получаем
ОА — МА OB — NB ___ . МА , NB
ОА ~ ОВ ИЛИ 1 ОА ~ 1 ' ОВ ’
и равенство (2) доказано.
Отрезки АВ, CD, MN называются пропорциональными отрез-
кам Л1В1, CjDj, MjN^ если
АВ CD MN
А ,8, ~ CJJ, ~ MVN3 •
Задача. К трем отрезкам Л^, Л2В2 и А,В3 построить
четвертый пропорциональный, т. е. построить отрезок PQ, удов-
. летворяющий условию:
Лзез
Д/ \ АгВг - PQ •
/ \ -\ Решение. На стороне произ- •
X ________\ \ вольного угла с вершиной О отложим
Q £\ л\ '* последовательно отрезки О А и AM,
Рис leg равные соответственно отрезкам А}Вг
и Л2В2, а на другой стороне — отрезок
ОВ, равный отрезку А3В3 (рис. 189). Затем проводим прямую
ЛВ и строим прямую MX, проходящую через точку М и парал-
лельную прямой ЛВ. Полученный отрезок ВХ будет искомым,
так как, согласно следствию из теоремы о пропорциональных
отрезках,
ОА ОВ А,в, А3В3
AM ВХ или А2В.2 PQ
§ 2. Подобные треугольники
Определение. Треугольники АВС и Л1В1С1 называются
подобными, если
и
АВ ВС ' СА
А1В1 ~ - cy/j •
Если треугольники АВС и AiB1C1 подобны, то пишут
Д АВС со А Л1В1С1. В подобных треугольниках углы одного
252
треугольника соответственно равны углам другого треугольника,
а стороны одного пропорциональны соответственным сторонам
другого (т. е. сторонам, которые лежат против соответственно
равных углов).
Рассмотрим простейшие свойства подобных треугольников,
которые вытекают из определения подобия.
1. Если два треугольника равны, то они подобны. В част-
ности, каждый треугольник подобен самому себе.
2. Если один треугольник подобен другому, то и второй тре-
угольник подобен первому.
3. Если первый треугольник подобен второму, а второй треть-
ему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.
Докажем сначала лемму (вспомогательную теорему) о подоб-
ных треугольниках, а затем с ее помощью в
докажем признаки подобия треугольников. /ч
Лемма. Прямая, параллельная какой- / х.
нибудь стороне треугольника и пересекаю- / х.
щая две другие стороны, отсекает от него —
треугольник, подобный данному. [_________Д__х
Доказательство. Пусть АВС—дан- А PC
ный треугольник, а МП — прямая, парал- рис. що.
дельная стороне АС (рис. 190).
Докажем, что Д МВП со А АВС. Углы /\МВП соответ-
ственно равны углам ДАВС: / В общий, /_М = £А и
= /_С, как соответственные углы при пересечении парал-
лельных прямых МП и АС секущими.
Докажем, что соответственные стороны Д.МВП и ДЛВС
пропорциональны.
Пропорция
вм _ BN
ВА “ ВС
следует из теоремы о пропорциональных отрезках (§ 1).
„ BN MN-
Докажем, что -s7?- = —ттг-
jdG АС.
Проведем через точку П прямую ПР, параллельную отрезку
АВ. Применяя следствие из теоремы о пропорциональных отрез-
ках к углу АСВ и параллельным прямым ПР и АВ, получаем
. РА NB
СА ~ СВ •
Так как А МНР — параллелограмм, то PA — NM, поэтому
NM NB
СА ~ СВ
ИЛИ
BN MN
ВС ~ АС ’
55S
Значит,
ВМ BN _ MN
ВА ~ ВС ~ AC '
т. е. соответственные стороны треугольников MBN и АВС про-
порциональны. Лемма доказана. .
Теорема 1 (первый признак подобия треугольников). Если
два угла одного треугольника соответственно равны двум углам
другого, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и Д^С,— треугольники,
у которых /_А— /_АХ, Z_B = /_ВХ, и следовательно, ^_С=/_СХ.
Докажем, что ДДВСоэ
слДД^С, (рис. 191).. Отло-
жим на луче ВА от точки
В отрезок ВА2, равный от-
резку А1В1 и через точку Д2
проведем прямую, парал-
лельную прямой Д С. Эта пря-
мая пересечет луч ВС в неко-
торой точке С2. Треугольники
А1В1С1 и А 2ВС2 равны: А =
= А гВ по построению, / В =
— jZ-B^ по условию и / A А 2, так как /_АХ = /_ А по условию и
^/Д=2/Д2> как соответственные углы. По лемме о подобных
треугольниках имеем: Д А2ВС2 оз Д АВС, и значит, ДДйСсю
coAiB^t. Теорема доказана.
Теорема 2 (второй признак подобия треугольников). Если
две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны
двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторо-
нами равны, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1—треугольники
(рис. 192), у которых р
/д /о АВ _ ВС
ДВГ-ВА’ л/
Докажем, что Д А ВС оз /
слДДАСр A ff А1 Ч
Отложим на луче В А от Рис. 192.
точки В отрезок ВА2, равный
отрезку B1Ai, и через точку Д2 проведем прямую, параллель-
ную прямой АС, которая пересечет луч ВС в точке С2.
Докажем, что Д Д1В1С1= Д А2ВС2. По лемме о подобных тре-
угольниках имеем Д А2ВС2 оз Д АВС. Поэтому
ВА _ ВС
ВА2 ~ ВС2 •
(4)
Сравним эту пропорцию с данной пропорцией
АВ вс
АХВХ ВХСХ
254
Так как по построению А2В = А1В1, то из пропорций (4) и
(5) следует, что В1С1 = ВС2. Итак, А^^А^, В1С1 = ВСг,
Z.Bi = поэтому Л А2В2С1 — Л А2ВС2.
Так как Д АВС со Л А2ВС2 и А А2ВС2 = Л Д^Сх, то
/\ABCco/\AtBtCi, что и требовалось доказать.
Теорема 3 (третий признак подобия треугольников). Если
три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторо-
нам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и ДДА—треугольники,
стороны которых пропорциональны (см. рис. 192):
АВ ВС АС fi.
~ В1С1 — А^ 1 '°)
Докажем, что Д АВС ее Д А^С^
Сделав построение такое же, как и прежде, покажем, что
Д А2ВС2 = ДЛАСр Из подобия треугольников АВС и А2ВС2
следует:
АВ вс АС
а2в ~ вс2 ~ а2с2 ‘ Н'
По построению А2В = А1В1. Поэтому из отношений (6) и (7)
вытекает, что ВС2 = В1С1, А2С2 = А1С1, и, значит, /\А2ВС2 =
— Д A2BlCi.
Так как Д АВС се Д А2ВС2 и Д А2ВС2 = Д Д2В2С2, то
Д АВС со Д Л,/?/?!. Теорема доказана.
Рассмотрим признаки подобия прямоугольных треугольников.
Из доказанных признаков подобия треугольников следует;
если в двух прямоугольных треугольниках:
1) острый угол одного равен острому углу другого, или
2) катеты одного пропорциональны катетам другого, то та-
кие треугольники подобны.
Теорема. Если гипотенуза и катет одного треугольника
пропорциональны гипотенузе и катету другого, то такие треу-
гольники подобны.
Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.
Теорема 4. В подобных треугольниках отношение двух соот-
ветственных сторон равно отношению двух
соответственных: 1) высот; 2) биссектрис;
3) медиан.
Доказательство предоставим читателю.
Задача 1. Длины оснований трапеции
ABCD равны а и Ь. Найти длину отрезка
с концами на боковых сторонах трапеции,
если этот отрезок параллелен основаниям и
проходит через точку пересечения диагоналей.
Рис. 193.
Решение. Пусть MN—отрезок, длину которого требуется
найти; |ВС| = а, |ДО| = й (рис. 193).
Обозначим |Л4О| = х, | ON (= у, h2 и h—длины высот, прове-
денных из вершины В в треугольниках МВО и ABD соответст-
венно.
255
Так как ДМВО оо Л ABD и ДОСМ се ДАСО, то
_ Л1_ У
b h ' b h ’
следовательно, х — у. Из подобия треугольников А МО и АВС
следует:
Задача 2. В
Поэтому
~а~ 1 ~Ь‘
Решая это уравнение, получим
ab
Х =--ГТ-
о+ b
Отсюда | MN | = 2х =
ДА ВС точка /< делит медиану BD в отношении
1 : 2, считая от вершины (рис. 194). Прямая, проведенная через
точки А и/(, пересекает сторону ВС в точке L. В каком отношении
точка L делит сторону ВС?
Решение. На продолжении медианы BD отложим отрезок
DDj, равный отрезку KD. Соединим точку с вершинами А и С,
а точку К—с точкой С. Четырехугольник AKCD1—параллело-
грамм, следовательно, AKWD^C. Поэтому ДКВЬсо ДОГВС;
BL вк n ВК 1 вх 1 „ BL 1
вс= BDC По Условию KD = 2,ЗНаЧИТ’ёо; = 5- LC = Т
§ 3. Теорема Пифагора
Определение. Отрезок х называется средним пропорцио-
нальным (или средним геометрическим) между отрезками а и Ь, если
для их длин выполняется равенство а : х = х : Ь, т. е. x = ]/ab.
Теорема. Если в прямоугольном треугольнике проведена
высота из прямого угла, то:
высота есть среднее пропорциональное между отрезками, на
которые она делит гипотенузу;
катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и
прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС (рис. 195). Проведем из вершины прямого угла С высоту
CD и обозначим ее длину через h. Требуется доказать, что Л? = 6?^,,
Ь~ = сс1, аА = сс2.
Имеем три пары подобных треугольников:
ДАОСсеДАСВ (угол А общий, ^/D= /С)\
ДАСВсеДСОВ (угол В общий, Z_C = Z_D)‘,
Д ADCco ДСОВ (по свойству подобия треугольников).
Так как Д АБСосД CDB, то сг : h=h : с2, т. е. /г2 = с1с2.
256
Так как ДЛПСсоДЛСВ, то c1:b = b:c, т. е. 6а=сс1.
Так как ДЛСВлзДСДВ, то с а=а : ct, т. е. аа = сд.
Теорема доказана.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике
квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Доказательство. В прямоугольном треугольнике АВС
проведем из вершины прямого угла С высоту CD (см. рис. 195).
Требуется доказать, что с2 = а24-йа.
По предыдущей теореме получаем ЬЛ=сс1 и а* = сс2. Сложив
почленно эти равенства, получим
Ь2 + а2 = ссг + сс2 = с(сг 4- ct).
или Ь2 + а2 = с2, так как с1 + с2 = с.
Итак, с2 = аа4-6а, что и требовалось доказать.
Теорема (обратная теореме Пифагора). Если в треугольнике
АВС квадрат длины стороны АВ равен сумме квадратов длин
двух других сторон, то треугольник прямоугольный с прямым
углом при вершине С.
Доказательство. Пусть АВС—данный треугольник, у
которого ЛВа = ЛСа + ВСа. Рассмотрим вспомогательный прямо-
угольный треугольник А^В^С^ (рис. 196), катеты которого Л,СХ
и BjCi соответственно равны сторонам АС и ВС данного тре-
угольника. По теореме Пифагора Л1В12 = Л1С12 + Bfi^2. Отсюда
следует, что Л1Я1 = ЛВ. Поэтому Д Л ВС = Д Л iB^ и, значит,
ДЛВС—прямоугольный с прямым углом при вершине С. Тео-
рема доказана.
Согласно этой теореме треугольник со сторонами, длины ко-
торых равны 3, 4 и 5, является прямоугольным. Действительно,
5а = 324-4а. Прямоугольными треугольника-
ми являются также треугольники со сторо-
нами 5, 12, 13, или 8, 15, 17, или 7, 24,
25 и др., так как в каждом из этих треуголь-
ников квадрат длины большей из сторон
равен сумме квадратов длин двух других
сторон. А такие треугольники по теореме,
обратной теореме Пифагора, являются пря-
моугольными.
Задача 1. Построить отрезок, средний пропорциональный
между отрезками а и Ь.
Решение. На произвольной прямой (рис. 197) отложим
отрезки АВ = а и ВС = Ь‘, на отрезке АС, как на диаметре, опишем
9 И. А. Баранов и др.
257
полуокружность; из точки В проводим до пересечения с окружно-
стью перпендикуляр BD. Этот перпендикуляр и есть искомый
отрезок, средний пропорциональный между отрезками АВ и ВС.
Действительно, соединив точку D с точками А и С, получим
прямоугольный треугольник ADC ( / D— прямой, как вписанный
угол, опирающийся на диаметр). В этом треугольнике отрезок
BD является высотой, проведенной из вершины прямого угла,
и, значит, BD2 = AB-BC или АВ : BD = BD : ВС. __
Задача 2. Построить отрезок, длина которого равна ]/ 7.
Решение. Возьмем а = 7 и b= 1 (см. рис. 197). Так как
№ = ab, то h=]^ab = Y 7.
Задача 3. Доказать, чтоб прямоугольном треугольнике
(см. рис. 195)
с ' а3 сг
Решение. По теореме о пропорциональных отрезках в
прямоугольном треугольнике
Поэтому
№ = , b3 = cct, a2 = cct.
Следовательно,
b3 a3
Cl -- Co — ”<
1 c 9 2 c
и, значит,
b* cci
а1 ссл
й262 Ь2 с<
= Т« = 4ИЛИ
h=ab tA ст
с 9 а2 са
С с
§ 4. Свойство биссектрисы треугольника. Пропорциональность
отрезков хорд и секущих
Теорема 1. Биссектриса треугольника при любой вершине
делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные
прилежащим сторонам треугольника.
Доказательство. Пусть АВС—данный треугольник,
ВО —биссектриса при вершине В (рис. 198). Требуется доказать,
что
5 AD — DC AD_AB
АВ~ ВС ИЛИ DC~BC'
. I \ Опустим перпендикуляры АЕ и CF на
.s прямую ВО. Треугольники AED vlCFD по-
Д°бны: углы Е и F — прямые, а углы при
вершине О равны, как вертикальные.
‘ Треугольники АВЕ и СBF тоже подобны:
Рис. 198, углы Е и F—прямые, а углы при вершине
В равны, так как BD—биссектриса.
Из подобия треугольников AED и CFD следует пропорциям
ДЕ_ AD
CF~DC‘,
258
Из подобия треугольников АВЕ и CBF следует пропорция:
АЕ АВ
CF~ ВС
Сравнивая обе пропорции, получим
АР _АВ
РС~ВС
Теорема доказана.
Теорема 2. П роизведения длин отрезков пересекающихся
хорд равны; если хорды АВ и CD пересекаются в точке М, то
AM-BM^CM-DM (рис. 199).
Доказательство. Рассмотрим треугольники AMD и ВМС
и докажем, что они подобны. Углы Л и С равны, так как они
вписанные и опираются на одну
и ту же дугу BD. Углы AMD
и ВМС равны, как вертикаль-
ные. Из подобия треугольников
AMD и ВМС следует, что
АМ_РМ
СМ~ ВМ'
или AM- ВМ = CM-DM. Тео-
рема доказана.
Теорема 3. Произведение
длин отрезков секущей равно
квадрату длины отрезка касательной; если через точку М про-
ведена секущая окружности и касательная, причем А и В—точки
пересечения окружности с секущей, а С—точка касания с каса-
тельной, то AM - ВМ =СМ9 (рис. 200).
’ Доказательство. Рассмотрим треугольники МАС и МСВ
и докажем, что они подобны. У них угол М общий. Угол С АВ,
как вписанный, равен половине центрального угла, отвечающего
дуге BNC. Угол ВСМ, как угол между хордой и полукасательной,
измеряется половиной того же центрального угла (§ 2 гл. XI).
Значит, углы САВ и ВСМ равны. Из подобия треугольников МАС
и МСВ получим, что
AM—СМ
см~вм
или AM-ВМ =СМа. Теорема доказана.
Следствие. Произведения длин отрезков секущих, проведен-
ных из одной точки вне окружности, равны.
Задача 1. Биссектриса, проведенная из вершины прямого
угла треугольника, делит гипотенузу в отношении т : п. Доказать,
что высота, проведенная из' той же вершины, делит гипотенузу
в отношении т9: пг.
Решение. Пусть CD—высота, СЕ —биссектриса в прямо-
угольном Л АВС (рис. 201). По условию ДЕ: ВЕ = т-. «.Согласно
свойству биссектрисы треугольника имеем, что АС : ВС = т : п.
Из свойств высоты, проведенной из вершины прямого угла,
9*
259
следует, что AD : BD — AC1 • ВС- (см. § 3, задача 3). Поэтому
AD : BD = m2: л2, что и требовалось доказать.
Задача 2. Точка внутри окружности отстоит от ее центра
на расстоянии d. Хорда, проходящая через эту точку, делится
вг ней на отрезки длины а и Ь. Найти радиус окружности.
Рис. 201.
л
Рис. 202.
Рис. 203.
Решение. Дано: |OAl| = d, |ДЛ4| = а, |ВЛ4| = й (рис. 202).
Пусть г—искомый радиус. Проведем через точку М диаметр CD.
Тогда |СЛ4| = г—d, |DM| = r + d. По свойству пересекающихся
хорд получаем (г—d)(rA-d) = ab, откуда n=Vab +d2.
Задача 3. Расстояние от точки А до центра окружности
радиусом г равно 2г. Через точку А проведена секущая, которая
пересекает окружность в точках В и С. Найти АС, если точка
В делит отрезок АС пополам.
Решение. Пусть АС = х, тогда АВ = ^. По условию
АО = 2г, и значит, АЕ = г (рис. 203). По свойству секущих,
проведенных из одной точки А, имеем
AB-AC = AE-AF.
Поэтому ~х=г-3г, откуда х = г]/б.
§ 5. Подобные многоугольники
Рассмотрим два выпуклых многоугольника с одинаковым
числом сторон, а следовательно, и вершин.
Определение. Два многоугольника называются подобными,
если углы одного многоугольника соответственно равны углам
другого многоугольника, а стороны, заключающие равные углы,
пропорциональны.
Например, два квадрата всегда подобны, а два ромба подобны,
если они имеют по равному острому или тупому углу.
В § 2 было доказано, что два треугольника подобны, если
Стороны одного из них пропорциональны сторонам другого. В
случае многоугольников с числом сторон, большим трех, пропор-
циональности их соответственных сторон уже недостаточно для
подобия этих многоугольников. Например, квадрат не подобен
ромбу, один из углов которого острый, хотя их стороны пропорци-
ональны.
260
Недостаточно для подобия многоугольников и равенства их
соответственных углов. Например, квадрат не подобен прямо-
угольнику, не все сторо-
ны которого равны.
Отношение длин соот--'
ветственных сторон двух
подобных многоугольни-
ков называется коэффици-
ентом подобия этих много-
угольников.
Пусть многоугольники Рис. 204.
ABCDE и AiByCJdJii по-
добны (рис. 204). Тогда пишут ABCDEcoAJ^CJdJCy. Из подо-
бия следует, что
АВ ВС CD DE ЕА ,
-----—______________________ь
A^Bi B1Cl~ CtD[~ DtEi ElAi~ '
где k — коэффициент подобия. Отсюда
ЛВ = /гЛ1В1, BC = kBiC1,CD = kC1Dl,DE = kDlEi, EA^kE^. (8)
Теорема. Отношение периметров подобных многоугольников
равно коэффициенту подобия этих многоугольников.
Доказательство. Пусть ABCDE и Л1В1С1£>1££—данные
подобные многоугольники (см. рис. 204). Сложив почленно равен-
ства (8), получим
АВ 4" ВС 4* • • • 4- ЕА — k(AlBl 4- В1С1 4-... 4~ ВГЛ j), (9)
где k — коэффициент подобия. Равенство (9) означает, что P = kPt,
где Р и Рг—периметры данных многоугольников.
Итак, Р: Pi = k. Теорема доказана.
Пусть ЛBCDEc^ALBlClDlEv. Проведем из соответствующих
вершин Л и Ai диагонали (рис. 205). Тогда Д Л ВСлоД Л jB/Д
так как, согласно подобию многоугольников АВ и ВС пропорцио-
нальны А1В1 и В/?!, а 2^В = 2^1- Из подобия этих треуголь-
ников следует, <Гго диагонали АС и Л^ многоугольников
пропорциональны их соответственным сторонам, а угол АС В
равен углу Л/^Bj, и, значит, угол ACD равен углу Л^Рр
Поэтому Д ACD со Д Л1С1Р1. Аналогично доказывается,
261
что
Д АйЕоэД A.D.E..
Таким образом, проведя диагонали из двух соответствующих
вершин подобных многоугольников, можно разложить эти много-
угольники на подобные треугольники.
Задача. В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы
две его вершины лежали на боковых сторонах треугольника, а
две другие — на основании треугольника.
Решение. В данном Д АВС возьмем на стороне А В произво-
льную точку М и проведем MN А_АС (рис. 206). На отрезке MN
построим квадрат MNPQ. Прямая AQ пересекает сторону ВС в
Рис. 206.
некоторой точке Qx. Проводя из этой точки прямые, параллельные
сторонам квадрата MNPQ, получаем искомый квадрат M.N.P.Q.,
Действительно, Д AM.Q.co/x. AMQ, поэтому
AQ. .
MQ AQ ’
Д ДР/?! оо Д APQ, поэтому
PiQi_AQi.
PQ ~ AQ 1
следовательно,
M.Qj__P.Qi
MQ PQ '
Задача была решена методом подобия: выполнено подобное
преобразование квадрата MNPQ в квадрат M.N.P.Q.-, точка А—
центр подобия, а коэффициент подобия
_MjQt
~ MQ
выбран тай, чтобы вершина нового квадрата Q., соответствую-
щая вершине Q, оказалась на стороне ВС.
На рис. 207 выполнено подобное преобразование четырех-
угольника ABCD с коэффициентом подобия k. Центр подобия О
выбран произвольно; любая точка X переходит в точку X.
того же луча ОХ так, что | ОХ. | = k | ОХ |.
262
Упражнения
Раздел I
1. Через точку Aj медианы AM треугольника АВС проведены прямые,
параллельные сторонам АВ и АС, которые пересекают сторону ВС в точках
Bl и Сх. Доказать, что AjM— медиана треугольника AjBjC]^
2. Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон
трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей.
3. Доказать, что из двух хорд в окружности больше та, которая ближе
к центру.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Найти длину бис-
сектрисы прямого угла.
5. Гцпотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из ка-
тетов равен 10 см. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.
6. В равнобочной трапеции боковая сторона равна 41 см,-высота 40 см,
а средняя линия 45 см. Определить основания.
7. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 см, а боковая
сторона 30 см. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей и рас-
стояние между их центрами.
8. Отрезок AD является биссектрисой Л АВС. Найти CD, если АВ = 30,
BD = 20, AD= 16 и / ADC=/ С.
9. Биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересе-
кает прямую АВ в точке D. Доказать, что
АР АС
BD ~ВС ‘
10. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка М, отстоя-
щая от центра круга на 5 см. Через точку М проведена хорда АВ = 25 см.
Найти длину отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ,
11. В данный треугольник вписать -ромб с данным острым углом так,
чтобы две его вершины лежаЛи на боковых сторонах треугольника, а две
другие —на основании треугольника.
Раздел II
12. В трапеции ABCD (где BC||AD) диагональ BD образует со стороной
угол ABD, равный углу ВСр. Определить длину АВ и AD, если ВС = 10 см,
CD =15 см и BD = 20 см.
13. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD продолжены до взаим-
ного пересечения в точке Л1. Определить СМ, если АВ=1 м, CD— 1,5 м и
ВМ = 0,8 м.
14. Высота равнобедренного треугольника равна 40 см, основание —60 см.
Найти боковые стороны и радиусы вписанного и описанного кругов.
15. Диагонали ^омба равны 48 см и 14 см. Найти его сторону и радиус
вписанного круга.
16. Стороны одного треугольника равны 6,3 м, 8,4 м и 10,5 м. Опреде-
лить стороны треугольника, подобного первому, зная, что его периметр
больше периметра данного на 15,6 м.
17. Секущая АВ проведена через центр и равна 32 см, а касательная АС
равна 24 см. Определить отрезок ВС.
263
Глава XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФИГУР
§ 1. Примеры преобразований фигур
Если’ каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь
образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура
получена йреобразованием из данной. Рассмотрим примеры.
Симметрия относительно точки.
Определение. Две точки А и называются симметрич-
ными относительно точки О, если О — середина отрезка /1Л,.
Точка О называется центром симметрии точек А и Аг. Точка О
симметрична самой себе.
Пусть F — данная фигура и Q — некоторая точка плоскости
(рис. 208). Возьмем произвольную точку М фигуры F. Отложим ,
на продолжении отрезка ОМ за точку О отрезок OMlt равный
отрезку ОМ. Построив все точки, симметричные точкам фигуры F
относительно точки О, получим фигуру F,. Преобразование фи-
гуры F в фигуру Fj есть симметрия относительно точкй О.
Определение. Точка О называется центром симметрии
фигуры, если дл5ь каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Если точка О является центром симметрии фигуры F, то го-
ворят, что фигура F симметрична относительно точки 0; при
этом фигура F называется центрально-симметричной.
Симметрия относительно центра центрально-симметричной
фигуры переводит эту фигуру в себя. •
Фигура может иметь один или несколько центров симметрии.
Например, окружность симметрична относительно своего центра.
Других центров симметрии окружность не имеет. Параллело-
грамм также является центрально-симметричной фигурой; центр
симметрии параллелограмма—точка пересечения диагоналей.
Рис. 208.
Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров сим-
метрии. Простейшей из таких фигур является прямая: любая
точка прямой есть ее центр симметрии. Существуют фигуры,
которые не имеют ни одного центра симметрии. К таким фигу-
рам относится треугольник. - ’
264
Симметрия относительно прямой.
Определение. Точки А я At называются симметричными
относительно некоторой прямой р, если эта прямая перпенди-
кулярна отрезку AAt и проходит через его середину. Прямая р
называется осью симметрии точек Л и А1. Каждая точка оси
симметрии симметрична самой себе.
Пусть F—данная фигура и р — некоторая прямая (рис. 209).
Возьмем произвольною точку М фигуры F. Опустим из точки М
перпендикуляр МР и на продолжении перпендикуляра за точку Р
отложим отрезок PMt, равный МР. Построив все точки, сим-
метричные точкам фигуры F относительно прямой р, получим
фигуру Ft. Преобразование фигуры F в фигуру Fx есть симмет-
рия относительно прямой р. >
Определение. Прямая р называется осью симметрии
фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой р также принадлежит этой фигуре.
Если прямая р является осью симметрии фигуры ~F, то гово-
рят, что фигура F симметрична относительно прямой р.
Симметрия относительно оси симметрии фигуры переводит
эту фигуру в себя. - .
Фигура может иметь одну или несколько осей'симметрии.
Например, неразвернутый угол имеет только одну Ось симмет-
рии— прямую, Содержащую биссёктриеу угла. Осями симметрии
отрезка являются сам отрезок и его серединный перпендикуляр.
Равнобедренный треугольник (но неравносторонний) имеет только
одну ось симметрии—прямую, которая, содержит высоту, про-
веденную к основанию треугольника. Прямые, на которых ле-
жат диагонали ромба, являются его осями симметрии. Квадрат
имеет четыре оси симметрии: прямые, на которых лежат его
диагонали, а также прямые, проходящие через точку пересече-
ния диагоналей квадрата параллельно его сторонам.
Существуют фигуры, которые имеют бесконечно много осей
симметрии. Так, любая прямая, проходящая через центр окруж-
ности, является ее осью симметрии. Существуют фигуры, которые
не имеют оси симметрии. К таким фи- ! ------
гурам относится разносторонний треу-
гольник. 4
Гомотетия.
Определение. Гомотетией с цен-
тром О и коэффициентом /г > 0 назы-
вается такое преобразование, при ко-
тором произвольная точка М любого
луча, исходящего из точки О, перехо-
дит в точку того же луча, причем
10A1J = й |OAf |.
Пусть F—данная фигура, О—некоторая точка, заданное
положительное число (рис. 210). Возьмем произвольную точку М
фигуры F. Проведем луч ОЛ1 и отложим на нем отрезок ОМг,
равный & |ОА11. Получум точку новой фигуры F±. Преобра-
265
зование фигуры F в фигуру Fx есть гомотетия с центром О и
коэффициентом k. Фигуры F и F\ называются гомотетичными.
Центральная симметрия, осевая симметрия и гомотетия —
примеры преобразований фигур.
Задача. Даны прямая р и две точки А и В в одной по-
луплоскости с границей р (рис. 211). На прямой р построить
точку М так, чтобы сумма длин от-
резков AM и МВ была наименьшей.
Решение. На прямой р требу-
ется построить точку М так, чтобы
неравенство
ДМ4-Л4В< ДХД-ХВ
выполнялось для любой точки X
Прямой р, отличной от точки М.
Построим точку В1( симметричную точке В относительно пря-
мой р. Отрезок АВГ пересечет прямую р в искомой точке Л4.
Действительно, МВ = МВ,, ХВ = ХВг. Поэтому АМА-МВ =
= АМА-МВ1 = АВи ДХ + ХВ = ДХ4-ХВ!. В /\АХВг имеем
ДХ + ХВ1>ДВ1.
§ 2. Движение. Равенство фигур
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру
называется движением, если оно сохраняет расстояния между
точками, т. е. переводит любые две точки М к N фигуры F в
точки Mt и фигуры так, что |Л4Х| = |Л11ХД
Теорема 1. Преобразования симметрии относительно точки
или относительно прямой являются движениями.
Доказательство. Рассмотрим сначала преобразование
симметрии относительно точки (рис. 212). Пусть М и X—две
произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии отно-
сительно точки 0 переводит их в точки и Л\. Треугольники
MON и M1OFJ1 равны: углы при вершине О равны, как верти-
кальные, a OM = OMlt ON = ON1 по определению симметрии
относительно точки О. Из равенства треугольников следует ра-
266
венство сторон MN = MtNх. Значит, симметрия относительно
точки О есть движение.
Рассмотрим преобразование симметрии .относительно прямой.
Примем эту прямую за ось Оу системы координат (рис. 213).
Пусть произвольная точка Р (х; у) фигуры F переходит в точку
РДх'\ у') фигуры Fr. Из определения симметрии относительно
прямой следует, что у точек Р и Pt равные ординаты: у' = у, а
абсциссы отличаются только знаком: х' = — х.
Возьмем две произвольные точки М (xt; yt) и N (х2; уг). Они
перейдут в точки Afx(—хх; z/J и Л\(—х2; у2). Из алгебры
известно (§ 3 гл. IV), что
IMN | = +
IM1N11 = /(—x2 + x1)2 + (z/2— z/x)3,
и, следовательно, | ЛПУ | = | .MxAf x |. Значит, преобразование сим-
метрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана
полностью.
Теорема 2. Если при движении три точки А, В, С, ле-
жащие на прямой, переходят в точки Лн Blt Clt то эти точки
также лежат на прямой. Если точка В лежит между
А и С, то точка Вг лежит между At и Ct.
Доказательство. Если точки Лх, Blt не лежат на
прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому
| Л1Сх | < | ЛхВх |+ В1С11. По определению движения отсюда сле-
дует, что |ЛС| < ЛВ|ф-|ВС|. Однако по свойству измерения
отрезков | ЛС| = | ЛВ| + |ВС |. Мы пришли к противоречию. Пер-
вое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка BL лежит между Лх и С±.
Допустим, что Лх лежит между В2 и С±. Тогда )ЛхВх| +
+ | А1С11 = jB1C11, и, следовательно, | АВ | 4-| АС | = | ВС |, что
противоречит равенству | ЛВ| + |ВС| = | ЛС|. Значит, точка Лх
не может лежать между Bt и Ct. Так же доказывается, что
точка Сх не может лежать между Лх и В±. Поэтому точка Bt
лежит между Лх и Сг. Теорема доказана полностью.
Свойства движений.
1) При движении прямые переходят в прямые, полупрямые—в
полупрямые, отрезки—в отрезки. Это следует из теоремы 2.
2) При движении сохраняются углы между полупрямыми.
Действительно, пусть ЛВ и АС—две полупрямые, исходящие
из общей точки Л и не лежащие на одной прямой. При движе-
нии эти полупрямые перейдут в некоторые полупрямые А1В1 и
Л1Сх. Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники
ЛВС и ЛхВхСх равны как треугольники, имеющие по три рав-
ные стороны. Из равенства треугольников следует равенство
углов ВАС и ВхЛхСр
3) Два движения, выполненные последовательно, дают снова
движение.
267
Пусть фигура F переводится движением в фигуру Flt а фи-
гура Fi переводится движением в фигуру F2. Преобразование
фигуры F в фигуру F2, полученное в результате двух движений,
выполненных последовательно, сохраняет расстояние между
точками и, следовательно, является движением.
4) Преобразование, обратное движению, является также дви-
жением.
Это означает следующее. Пусть преобразование фигуры F в
фигуру Fr переводит различные точки фигуры F в различные
точки фигуры Fj. Пусть произвольная
точка М фигуры F при этом преобразо-
вании переходит в точку фигуры F,.
Преобразование фигуры Fx в фигуру F,
при котором точка переводится в
точку М, называется преобразованием,
обратным данному. Движение сохраняет
расстояние между точками, поэтому пере-
водит различные точки в различные.
рис 214. Значит, преобразование, обратное движе-
нию, также является движением.
Рассмотрим еще два частных вида движений: параллельный
перенос и поворот.
Определение. Параллельным переносом называется такое
движение, при котором точки смещаются по параллельным пря-
мым на одно и то же расстояние. Это значит, что если точки
А и В фигуры F переходят в точки и В1 фигуры F1( то пря-
мые А А, и BBj параллельны или совпадают, а отрезки ЛЛ1 и
ВВ} равны (рис. 214). Двия^ение, при котором все точки оста-
ются неподвижными, также считаются параллельным переносом.
Параллельный перенос определяется заданием точки Alt в
которую переводится точка А данной фигуры.
Теорема 3. Для любых точек А и AL существует и при-
том единственный параллельный перенос, при котором точка А
переходит в точку AL.
Доказательство. Отметим точку Р, не лежащую на пря-
мой AAlt и обозначим через и Оа середины отрезков АР и АД3
(рис. 215). Пусть М — произвольная точка плоскости. Построим
симметричную ей точку Alj относительно точки и затем
268
точку М2, симметричную точке относительно точки О2. Пре-
образование плоскости, при котором точка М переводится в
точку М2, есть движение, так как симметрия относительно точки
сохраняет расстояние.
Отрезок OjO2—средняя линия треугольника MYMM2. Поэтому
прямые ММ2 и OtO2 параллельны, а отрезок ММ2 равен удвоен-
ному отрезку OtO2. Таким образом, при построенном движении
точки смещаются по прямым, параллельным прямой ОгО2 на
расстояние 2(О1О2|> т- е- движение есть параллельный переное.
При этом параллельном переносе точка Л переходит в точку Л,.
Докажем единственность параллельного переноса. Возьмем
произвольную точку В, не лежащую на прямой AAt (рис. 216).
При параллельном переносе точка В сместится на расстояние,
равное | ЛЛХ |, вдоль прямой^ параллельной ЛЛП и перейдет
либо в точку В1( расположенную в одной полуплоскости с точ-
кой Л1 относительно прямой АВ, либо в точку В2, расположен-
ную в другой полуплоскости относительно этой прямой.
Допустим, что точка В перейдет в точку В2. Пусть С—точка
пересечения прямой АВ с отрезком AtB2. Так как прямая АВ
переходит в прямую Л^, то точка С должна сместиться по
прямой, параллельной ЛЛП на отрезок, равный ЛЛ1( и попасть
при этом на прямую А2Вг. Но это невозможно, так как точка С
уже лежит на -прямой Л^. Следовательно, при рассматривае-
мом параллельном переносе точка В переходит в точку Вг.
Однозначность в построении точки Blt соответствующей точке В,
и означает единственность параллель- .__
ного переноса. Теорема доказана. I7
Свойства параллельного переноса. If]
1) Два параллельных переноса, вы- I I
полненные последовательно, дают снова —/ X/ / *-------
параллельный перенос.
2) Преобразование, обратное парал-
лельному переносу, есть параллельный
перенос. Рис. 217.
Определение. Поворотом око-
ло точки О на угол а называется такое движение, при котором
точка О остается неподвижной, а каждый луч, исходящий из
точки О, поворачивается на угол а (рис. 217).
Если провести через точку О две произвольные прямые а и b
и подвергнуть данную фигуру F преобразованию симметрии
относительно прямой а, то получим фигуру Ft. Подвергнем ее
преобразованию симметрии относительно прямой Ь. Тогда полу-
чим некоторую фигуру Ft. Оказывается, фигура F2 получается
из фигуры F поворотом около точки О на некоторый угол а,
зависящий от угла между прямыми а и Ь. И обратно, всякий
поворот фигуры F относительно точки О можво получить ука-
занным способом. Доказательства этой теоремы не приводим.
Центральная симметрия есть поворот на 180°. Движение, при
котором каждый луч, исходящий из точк^ О, остается непод-
269 \
вижным, также считается поворотом около точки О (поворотом
на нулевой угол).
Определение. Фигуры F и Ft называются равными, если
они движением переводятся одна в другую.
В гл. IX были рассмотрены понятия равенства отрезков, а
также углов: отрезки называются равными, если они имеют рав-
ные длийы; углы называются равными, если они имеют одина-
ковую величину (или градусную меру). В гл. X было введено
понятие равенства треугольников.
Можно доказать, что понятия равенства отрезков, углов и
треугольников, введенные в гл. IX и X, полностью согласуются
с новым понятием равенства фигур. Действительно, имеет место
следующая теорема, которую приведем без доказательства.
Теорема 4. Равные отрезки, углы и треугольники совме-
щаются движением.
Свойства равенства фигур.
1) Каждая фигура равна самой себе.
2) Если фигура F равна фигуре Fit то фигура Ft равна фи-
гуре F.
3) Если фигура F равна фигуре Fit а фигура Ft равна фи-
гуре F2, то фигура F равна фигуре Ft.
§ 3. Преобразование подобия
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру на-
зывается преобразованием подобия, если при этом преобразова-
нии расстояния между точками изменяются (увеличиваются или
уменьшаются) в одно” и то же число раз.
Это значит, что если произвольные точки М и N фигуры F
при этом преобразовании переходят в точки Afj и Nt фигуры Ft,
то | | = k | MN |. Число k называется коэффициентом подо-
бия. Так же, как и для движения, доказывается, что при пре-
образовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной
прямой, переходят в три точки Л±, Bi, С1( также лежащие на
А одной прямой. Причем,
' если точка В лежит меж-
s' \ ДУ точками Л и С, то точ-
„S' \ ь s' \ if ка Bt лежит между точка-
5 в ’ В^~ ми Лх и Ci.
р_„ Свойства преобразова-
ния подобия.
1) Преобразование подобия переводит прямые в прямые, по-
лупрямые—в полупрямые, отрезки—в отрезки.
2) Преобразование подобия сохраняет углы между полупря-
мыми.
Действительно, пусть угол с вершиной С переводится пре-
образованием подобия в угол с вершиной Cf (рис. 218). Возьмем
на стороне а угла С произвольную точку Л, а на его стороне
270
b — произвольную точку В. Преобразование подобия переводит
их в точки Ai и Bj на сторонах at и угла Сх. Имеем
|С1Л1\ = k\CA |, |C1B1|==ft|CB|, |Л1В1| = &|ДВ|,
где k — коэффициент подобия. Треугольники АСВ и А^В^ по-
добны, как треугольники с тремя пропорциональными сторо-
нами. Из подобия треугольников следует, что Z.C = /.Ci-
Определение. Две фигуры называются подобными, если
они совмещаются преобразованием подобия. Из свойств преобра-
зования подобия следует, что у подобных фигур соответствую-
щие углы равны, а соответствующие отрезци пропорциональны.
В гл. XII было рассмотрено подобие многоугольников.
Теорема. Гомотетия есть преобразование подобия.
Доказательство. Пусть точки М и N переходят при
гомотетии относительно точки О в точки Мг и Л\ (рис. 219).
Треугольники MON и M1ON1 подобны: угол О общий, а
Mto _ nlo _ .
МО~ NO
(k — коэффициент гомотетии).
Из подобия треугольников следует, что
MiNi
MN '
Теорема доказана.
На рис. 220 изображены подобные треугольники АВС и
Д1В1С1. Но они не гомотетичны, так как прямые ДД1( ВВ,, ССХ не
проходят через одну точку.
Упражнения
Раздел I
1. Дан отрезок АВ и точка О, не лежащая на прямой АВ. Построить
фигуру, симметричную отрезку ДВ относительно точки О.
2. Сколько центров симметрии у фигуры, состоящей из двух параллель-
ных прямых? Где они расположены?
3. Доказать, что если две прямые симметричны относительно некоторой
точки и одна из них не проходит через эту точку, то прямые параллельны.
271
4. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых.
Построить отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной
точке.
5. Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой прямой. Построить
фигуру, симметричную прямой а относительно точки О.
6. Доказать, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равно-
бедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр основания.
7. Доказать, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси
симметрии, то она имеет также и центр симметрии.
8. Даны две прямые а и aj. Доказать, что прямую аг можно получить
движением из прямой а.
9. Даны точка О и две окружности. Построить отрезок так, чтобы точка О
была его серединой, а концы отрезка принадлежали данным окружностям.
10. Даны острый угол’ЛВС и точка Р внутри этого угла. Построить на
сторонах угла точки М и N так, чтобы Д MNP имел наименьший периметр.
11. Доказать, что два круга одинакового радиуса равны.
' 12. Доказать, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
13. Дан угол и внутри него точка А. Построить окружность, касаю-
щуюся сторон угла и проходящую через точку А.
Раздел II
14. Доказать, что перпендикуляры, востановленные в середине двух сим-
метричных отрезков, симметричны между собой.
15. Доказать, что две прямые, проходящие через точки А и At, симмет-
ричные относительно оси MN и образующие равные углы с отрезком АА^
симметричны относительно оси MN.
16. Даны точки Л, В н С, не лежащие на одной прямой. Доказать, что
оси симметрии трех пар этих точек (Л и В, В и С, С и Л) пересекаются в
одной точке.
17. Построить треугольник, симметричный данному относительно его
центра тяжести.
18. Построить ромб по данному отношению его диагоналей и данной
высоте.
Глава XIV. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА
§ 1. Сложение и вычитание векторов
Вектором будем называть направленный отрезок (рис. 221)
Направление вектора указывается стрелкой. Точка А называется
началом вектора, а точка В — концом. Векторы обозначаются
латинскими буквами а, Ь, с, ..., а также АВ, CD, ... (на пер-
вом месте ставится начало -вектора).
Расстояние между Началом и концом вектора называется дли-
ной или модулем вектора. Длина вектора обозначается | а | или
|ДВ|,
272
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллель*
ных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора называются равными, если они совмещаются парал-
лельным переносом. Это означает, что существует параллельный
перенос, который переводит начало и конец одного вектора соот-
ветственно в начало и конец другого вектора (рис. 222).
АО
Рис. 222.
Рис. 221.
Два вектора называются одинаково направленными (противо-
положно направленными), если они коллинеарны и у равных им
векторов, имеющих общее начало, концы располагаются по одну
сторону от начала (соответственно по разные стороны от начала).
Равные векторы одинаково направлены и имеют равные длины.
Обратно, если векторы одинаково направлены и имеют равные
длины, то они равны. От любой точки можно отложить вектор,
равный данному и притом только один.
К векторам будем относить и нулевой вектор, начало и конец
которого совпадают. Нулевой вектор, обозначается 0. Его длина
равна нулю. Нулевой вектор считается коллинеарным любому век-
тору, так как он не имеет определенного направления. Все нуле-
вые векторы равны.
* » • >
Определение. Суммой вектора АВ и вектора ВС называ-
ется вектор АС: АС = АВ -\-ВС. Суммой вектора АВ и произволь-
ного вектора PQ называется сумма вектора АВ и вектора ВС,
Рис. 223.
Рис. 224.
равного PQ (рис. 223). (Правило треугольника.) По определению
для любого вектора а и нулевого вектора
а + 0 = 0 + а = а.
Если а=а1, b = bit то a + b = aidrbi. Это следует из определе-
ния суммы векторов и равенства векторов.
Свойства сложения векторов.
1) Сочетательное свойство: (а + Ь) + с = а + (Ь-}-с).
Ю И. А. Баранов и др.
273
Доказательство. Отложим вектор а от некоторой точки А:
- >
а —АВ. Вектор b отложим от точки В, а вектор с—от точки С
(рис. 224): Ь = ВС, c = CD.
Пользуясь правилом треугольника, получим:
a+b—AC, (fl+ty + c^ACA-CD-AD,
b + c = BD, a + (b + c) = AB+BD = AD.
Следовательно, (аZ>) + с — а + (& + с). Свойство доказано.
Поэтому можно записывать без скобок:
(а 4- 6) 4- с = « 4- (6 4- с) = « 4- 6 4- с.
2) Переместительное свойство-. а4-6 = 64-а.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда век-
торы а и b неколлинеарны (рис. 225). Тогда при откладывании
Рис. 225. Рис. 226. Рис. 227.
их от точки А (а —АВ, b = AD) получим, что точки А, В и D
не лежат на одной прямой. Построим четвертую вершину С парал-
лелограмма ABCD. Имеем: a=^AB = DC\ b = AD = BC.
По правилу треугольника
a+b = AB + BC^AC, b + a = AD + DC=^ACt
и, следовательно, a + b = b-}-a.
Рассмотрим теперь случай коллинеарных векторов а и Ь.
Заменим вектор b суммой любых двух неколлинеарных а векто-
ров Ь/ и 6,: 6 = 614-6а (рис. 226). По доказанному
a 4*&i = bi -f-и 4" Ьг = Ь2 4-®»
Тогда
a + & = a4*(6i4-6a) = a4-614-61 = &i4-a+62=’
= &i4-6a4-a = 6-pa.
Свойство доказано полностью.
Сложение двух неколлинеарных векторов а и b можно выпол-
нять по «правилу параллелограмма»: векторы а и b откладыва-
ются от одной точки А (см. рис. 225) и строится параллелограмм
со сторонами АВ и AD. Тогда АС—а+Ь.
274
Задача. Доказать, что | а + b | | а | +1b |, причем равенство
имеет место, если а и b коллинеарны и направлены одинаково
или хотя бы один из векторов а и b равен нулю.
Решение предоставим читателю.
Вектором, противоположным вектору АВ, называется вектор В А:
ВА = — АВ. По определению вектор, противоположный нулевому
вектору, есть нулевой вектор.
Разностью векторов а и b (обозначается а — Ь) называется
сумма вектора а и вектора (—Ь), противоположного Ь: а—Ь —
= а + (—б). Имеем Ь + [л—Ь) = а, т. е. вычитание—действие,
обратное сложению.
Если векторы а и b отложены от одной точки О (рис. 227),
то для нахождения разности а—Ь удобно пользоваться таким
правилом:
ОА —ОВ=ВА.
§ 2. Умножение вектора на число
Определение. Произведением ненулевого вектора а на число
х#=0 называется вектор, длина которого равна произведению
длины вектора а на модуль числа х, а направление совпадает
с направлением вектора а при х > 0 и противоположно направ-
лению а при х < 0.
Произведение вектора а на число х обозначается через ха
(числовой множитель пишется слева). По определению |ха] =
= |х|-|а|.
Если вектор а нулевой или число х равно нулю, то полагают:
х-0 = 0 для любого числа х,
0а=0 для любого вектора а.
Приведем без доказательства основные свойства умножения
вектора на число.
1) Сочетательное свойство: (ху)а = х(уа).
2) Первое распределительное свойство: ха-\-уа = (х-\-у}а.
3) Второе распределительное свойство: xa-\-xb = x(a-\-b).
Теорема. Ненулевые векторы а и b коллинеарны тогда и
только тогда, когда существует такое число х, что Ь = ха.
Доказательство. Докажем сначала, что если существует
такое число х, что Ь=ха, то ненулевые векторы а и b колли-
неарны. Но это очевидно: по определению произведения вектора
на число векторы а и ха имеют либо одинаковые (если х > 0),
либо противоположные (если х < 0) направления, и, следовательно,
коллинеарны.
Докажем теперь обратное утверждение: если ненулевые век-
торы а и b коллинеарны, то существует число х, такое, что
Ь = ха. По определению ненулевых коллинеарных векторов направ-
ления векторов а и b либо совпадают, либо противоположны.
1.10* 275
Если векторы а и Ь направлены одинаково, то Ь = ха при
I b I
Если же направления векторов а и Ь противоположны, то
Ь = ха при х =— Теорема доказана.
Задача. С помощью векторов доказать теорему: три меди-
аны треугольника пересекаются в одной точке, причем точка пере-
А сечения делит каждую медиану в отно-
шении 2:1, считая от вершины.
„ \ Решение. Пусть АВС—данный тре-
\ угольник, О—точка медианы АА2 и
7 \ \OAj:[OAll = 2 (рис. 228). Возьмем про-
извольную точку М и рассмотрим век-
& торы О А —МА—МО, Aft — МО—MAt.
Рис. 228. Так как — медиана д МВС, то AMj==
= ±-(МВ -\-МС). Поэтому Afi== МО—-^(МВ + МС).
Так как OA = 2AJ), то получим
МА—МО = 2МО—(МВ + МС),
откуда МО = ±(МА + МВ + МС).
Если О2—точка медианы BBt и | О Ji I = 2:1, то MOL =
= (МА + МВ А-МС), следовательно, MOt = MO, и точки и О
совпадают. Задача решена.
§ 3. Координаты вектора на плоскости
Вектор, длина которого принята за единицу измерения длины,
называют единичным. Обозначим через i nJ единичные векторы,
отложенные от точки О в положительных направлениях на осях
Ох и Оу прямоугольной системы коорди-
нат (рис. 229).
Пусть г—любой вектор на плоскости
Оху. Тогда вектор г можно представить
в виде
r = rxi-\-rvJ (1)
и притом единственным образом.
Действительно, рассмотрим вектор ОМ,
равный г. Если вектор ОМ неколлинеарен
вектору I и неколлинеарен вектору J,
то проведем через точку М прямые, параллельные осям коорди-
нат. Векторы OMt и ОМ2 коллинеарны соответственно .векторам
1 и J. Следовательно, по теореме § 2 существуют такие числа
276
гх и ry, что 0Мг = гх1 и ОМг = Гу]. По правилу параллелограм-
ма ОМ = 0М1 + 0Л12, значит, r = rxi-\-ryJ.
Допустим теперь, что вектор г коллинеарен одному из векто-
ров I и J, например I. Тогда r = rxi, а число гу в этом случае
равно нулю.
Итак, всегда г = rxi-{-r j.
Докажем единственность представления (1).
Допустим, что существует другое представление:
Г = </ + 4/,
Тогда
rxl + rvj=r'xi + r'yj,
и, следовательно,
(rx—G)/ + (ry—r'y)j=O.
Но это равенство возможно только при гх—г’х = 0, гу—га = 0,
так как векторы i и j неколлинеарны. Поэтому г'х = гх, г'у = гу.
Единственность представления (1) доказана.
Если вектор г представлен в виде r = rxi-\-ryJ, то говорят,
что вектор г разложен по векторам I и J. Векторы гх = гх1 и
ry=ryj называют составляющими вектора г по осям Ох и Оу.
Коэффициенты гх и гу разложения вектора г по единичным
векторам I и j называют координатами вектора г в данной
системе координат и записывают г = (гх\ гу). Тогда |г| =
= Vr2x + r2y.
Из единственности представления (1) следует, что равные
векторы имеют равные соответствующие координаты, и обратно,
если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы
равны.
Пусть дана точка М(х\ у). Тогда
r = OM = xi + yJ, (2)
где х и у—координаты точки М, т. е. г = (х; у), ]г] = Ух2 + у2.
Теорема. Каждая координата суммы векторов а и Ь равна
сумме соответствующих координат этих векторов; каждая коор-
дината произведения вектора а на число k равна произведению
соответствующей координаты этого вектора на число k.
Доказательство. Пусть
a = axi + ayJ, b = bxi + byJ.
Пользуясь свойствами сложения векторов и умножения век-
тора на число, получим
а + b = (aj + ayf) + (bxi + byj) = (ax + bx)i + (oa + by)J;
k(axi 4- ayj) == (kax)i + (kay)J.
Значит, координаты вектора a-\-b равны ax-\-bx и ay + by,
координаты вектора ka равны kax и kay. Теорема доказана.
277
Задача. Даны точки А(х,; ух) и В(х2; г/3). Доказать, что
вектор AB = (xi—x1-, у2—yt).
Решение. Имеем: АВ = ОВ—ОА (рис. 230). Так как ОА —
*/>•, — (xf, ух), ОВ = (х2; у2), то по теореме
Л5 = (ха—хх; у2—уО.
%—
Т § 4. Повороты на углы любой
величины
d а Поворот как вид движения был рас-
Рис. 230. смотрен в § 2 гл. XIII. Поворот опре-
деляется заданием: 1) центра О; 2) угла
поворота а (0°^а^ 180°); 3) направления поворота.
Выберем какое-нибудь направление поворота в качестве поло-
жительного, а противоположное направление будем считать отри-
цательным. Обычно считают положительным направление поворота
против часовой стрелки. Поворот на а градусов против часовой
стрелки будем называть поворотом на а, а поворот на а градусов
по часовой стрелке—поворотом на (—а). При таком соглашении
поворот полностью определяется заданием: 1) его центра О, 2)
угла поворота а (—180° 180°).
Угол поворота теперь является направленным, величина кото-
рого может быть как положительной, так и отрицательной или
нулем.
Рассматривая повороты как результат вращения, введем теперь
повороты и на углы, лежащие вне пределов от —180° до 180°. Если
Р = а-(-360о/г (п—целое
число, — 180°^а^180°),
то поворотом около точ-
ки О на угол Р назы-
вается поворот около
точки О на угол а.
Например, поворот
на 315° есть поворот на
— 45°, так как 315°=:
=—45°4-360°(рис.231).
Градусная мера угла поворота может быть равной любому дей-
ствительному числу.
Рассмотрим повороты около точки О с данным лучом ОА.
Для каждого поворота лучу О А будет соответствовать луч ОВ,
положение которого определяется углом поворота а (рис. 232).
Луч ОА считается неподвижным (начальным) лучом поворота,
а луч О В — подвижным, совершившим данный поворот.
Будем считать, что при повороте подвижного луча О В вокруг
точки О от неподвижного луча ОА образован угол а. Точку О
называют вершиной угла а, неподвижный луч ОА—началом от-
278
счета угла а, подвижный луч ОВ—подвижным лучом, задающим
угол а. Если а и 0—такие углы, что 0 = а-)-36Ооп (п—целое
число), то их подвижные лучи совпадают.
§ 5. Тригонометрические функции
(синус, косинус, тангенс угла)
Определение тригонометрических функций. Рассмотрим прямо-
угольную систему координат Оху. Окружность с центром в на-
чале координат и радиусом, равным единице, будем называть
единичной окружностью (рис. 233).
Примем за вершину любого угла начало координат—точку О.
Положительную полуось абсцисс примем за неподвижный луч ОА,
т. е. за начало отсчета любого
угла а. Этот луч пересечет еди-
ничную окружность в точке Р.
Отрезок ОР будем называть еди-
ничным неподвижным радиусом
или началом отсчета углов.
Подвижный луч ОВ пересечет
единичную окружность в точке
М (х; у). Отрезок ОМ будем на-
зывать подвижным единичным ра-
диусом, а точку М— концом под-
вижного единичного радиуса.
Условимся в дальнейшем говорить: подвижный единичный
радиус ОМ задает угол а, понимая под этим, что соответствую-
щий подвижный луч ОВ задает тот же самый угол а.
Определения.
1) Синусом угла а называется число, равное ординате конца
подвижного единичного радиуса, задающего этот угол: sina = z/;
2) Косинусом угла а называется число, равное абсциссе конца
подвижного единичного радиуса, задающего этот угол: cosa = x;
3) Тангенсом угла а называется число, равное отношению
синуса угла а к косинусу угла a: tg а =
Например, sin0° = 0, cosO°=l, так как точка М совпадает
с точкой Р, и поэтому tgO° = O; sin90°= 1, cos90° = 0, так как
точка М совпадает с точкой Q, и поэтому tg90° не существует.
Аналогично находим:
sinl80° = 0, cos 180°= 1, tgl80° = 0;
sin270° = — 1, cos270° = 0, tg270° не существует.
Синус и косинус являются функциями угла: для любого угла
а существуют [и притом единственные синус и косинус этого
угла. Функции sin а и cos а определены для любого угла, а об-
ластью их значений является отрезок [—1; 1], так как коорди-
наты точки М (х; у), лежащей на единичной окружности, могут
принимать значения от —1 до 1.
279
Функция tga определена для тех углов а, для которых
cos а =7^0. Например, на отрезке [—180°; 180°] имеются два угла,
для которых cosa = 0; это углы 90° и —90°. Следовательно,
tg 90° и tg (—90°) не существуют.
Графики синуса и косинуса. Построим графики функций
sin а и cos а. Сначала устайовим некоторые свойства этих функ-
ций.
1) Для любого угла a
sin(—a) = —sin a:; cos(—a) = cos a. (3)
Действительно, точки M и N единичной окружности, соот-
ветствующие углам а и —а, симметричны относительно оси Ох
(рис. 234). Если точка М имеет координаты х и у, то координаты
точки Л/ равны хи — у. Поэтому
sin(—a) = — у =— sin a;
cos (— a) = x = cos a,
и равенства (3) доказаны. Первое из них означает свойство не-
четности синуса, а второе—свойство чет-
ности косинуса.
2) Для любого угла a
sin (a -}- 360°n) = sin a,
cos(a -J- 360°/г) = cos a,
где n—любое целое число.
Равенства (4) следуют из совпадения
подвижных лучей для углов а и a + 360°п
при любом целом п. Эти равенства означа-
ют, что функции sin а и cos а периодические с периодом 360°. Поэ-
тому достаточно построить графики sin а и cos а на отрезке [—180°;
180°], а затем их продолжить периодически.
На рис. 235 и 236 приведены графики sin а и cos a.
280
Значения синусов и косинусов углов а, где 0°^as^90° нахо-
дят по таблицам. В школе употребляются четырехзначные мате-
матические таблицы В. М. Брадиса.
При увеличении угла а от 0“ до 90° значения функции sin а
увеличиваются от 0 до 1, а значения функции cos а уменьшаются
от 1 до 0. По свойству нечетности синуса его график симметри-
чен относительно начала координат. График функции sin а назы-
вается синусоидой. По свойству четности косинуса его график
симметричен относительно оси ординат. График функции cos а
называется косинусоидой.
Заметим, что косинусоида получается сдвигом синусоиды
влево вдоль оси абсцисс н$ расстояние, соответствующее углу 90°.
Вычисление координат вектора; угловой коэффициент прямой.
В § 3 было показано, что каждый вектор плоскости можно разло-
жить по единичным векторам прямоугольной системы координат
(рис. 237), т. е. представить любой вектор с в виде суммы
c = cxi+CyJ, (5)
где сх и су—координаты вектора с. Выразим координаты вектора
с—ОС через его длину |с| и угол а между лучом ОС и поло-
жительным направлением оси абсцисс.
Пусть е—единичный вектор, направление которого совпадает
с направлением данного вектора с. Тогда с = |с|е. Координаты
вектора е равны cos а и sin а (по определению синуса и коси-
нуса), т. е. е =cosa- i -f-sina-/
Значит,
С = | с I е = | с | (cos a 14- sin a •/) = | c | cos a • i 4-1 c | sin a j. (6)
Сравнивая равенства (5) и (6), получаем
cx = |c|cosa, ctf = |c|sina. (7)
Рассмотрим применение формул (7).
Пусть прямая I проходит через начало координат (рис. 238).
Ее уравнение y = kx. Коэффициент k называется угловым коэф-
фициентом этой прямой.
Пусть М (х; у)—произвольная точка прямой I. Ее коорди-
наты х = | ОМ | cosa, t/ = |OM | sina согласно формулам (7). Ко-
281
ординаты точки удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому
| ОМ | sin а =s k | ОМ | cos а. Отсюда
k =-----, или k = tg се.
cos а ’ °
Прямые с уравнениями y = kx и y = kx-\-b параллельны, так
как их угловые коэффициенты равны. Верно и обратное: если
угловые коэффициенты двух прямых равны, то эти прямые парал-
лельны.
Некоторые тригонометрические тождества,
1) Для любого а
sin5 а + cos2 а = 1. (8)
Доказательство. По определению
sina = z/, cosa = x,
где х и у — абсцисса и ордината точки М. единичной окружности
для данного угла а (см. рис. 233). В прямоугольном треуголь-
нике ОМХМ | ОМ | = 1, | ОМХ | = х, |М,М| = у. По теореме Пифагора
| ОМ |2 = | ОМ, |2 +1М±М |2, или х2 ф- у2 = 1, т. е. sin2 а ф- cos2 а — 1.
Тождество (8) доказано.
2) Для любого а
l-f-tg2a = —V-, (9)
1 ° cos2 а ' '
если cosa^O.
Доказательство. По определению
Применяя основное тригонометрическое тождество (8), получим
1 + tg5a = 1 ф--^ = cos 2 a-|-sin2 a = 1
° . cos2a cos2a cos2a
Тождество (9) доказано.
3) Для любого a
sin (90°—a)=cosa, cos (90°—a) = sin a, (10)
sin(180°—a) = sina, cos(180°—a) = — cosa. (11)
Примем тождества (10) и (И) без доказательства. Для слу-
чая острого угла a (0° < a < 90°) доказательства тождеств (10)
и (11) будут приведены в § 6. Предоставим читателю проверить
справедливость равенств (10) и (И) при а=0° и а = 90°.
Пример 1. Доказать, что
tg(— a) = — tga (cos а т^О);
1 + = (sina^O; cosa#=0)
282
Решение.
. , . sin(—а) —sin а.
tg (— а) =----7---<=------= — tg а
°' > cos (— a) cos а °
1 ___. .cos2 а__ sin2 а+cos2 а__ 1 _
tg2a 'sin2 a sin2 a sin2 a'
Пример 2. Найти cosa и tga, если sina = 0,6, 0°<a<90°.
Решение, Из тождества sin2 a + cos2 a = 1 следует, что
cos2a=l—sin2a или |cosa|=]/l— sin2a.
Если 0° < a < 90°, to cosa> 0, значит, |cosa | = cosa. Поэтому
cosa — ]/1—sin2a=]/1—0,36 = 0,8,
. sina 0,6 3
tg a =---= 77-- = -r .
° cosa 0,8 4
Пример 3. Найти cosa и tga, если sina =0,8, 90°<a<180°.
Решение, Известно, что |cosa| = ]^l — sin2 a. Если 90° <
<a<180°, to cosa<0, значит, |cosa| =— cosa. Поэтому
cosa = — ]/1 — sin2 a = — ]/1 — 0,64 = —0,6;
_ sina 0,8 _ 4
cosa —0,6 3 ’
2
Пример 4. Найти sina и tga, если cosa =— у, 90° <
<a< 180°.
Решение. Известно, что | sin a | = ]/ 1 — cos2 а. Если 90° <
<a<180°, то sina > 0, значит, | sina | = sina. Поэтому
sina = prl—cos2a= 1/ 1—4 = ’>
F У F У о
* sin а Уб
tg a =---= —-Г— .
° . cosa 2
Пример 5. Найти sina и cosa, если tga = —2, 90° <
<a< 180°.
Решение. Из тождества
l + tg2a
1
cos2a
следует, что
, 1 1
cos- a = , , 5— , или cos a = —-
l + tg2a 1 y1+tgaa
Если 90° < a < 180°, гто sina>0, cosa<0; следовательно,
|sina|=sina, |cosa| = — cosa. Поэтому
cos a =-- 1
yi+tg2a
4=-; sina = ]/l—cos2a = —|
283
§ 6. Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами а
и b и гипотенузой с. Выберем прямоугольную систему координат
Оху так, как показано на рис. 239. В этом случае числа а и b
являются координатами вектора ОВ (а—ордината, Ь—абсцисса
Отсюда
точки В), с—длина вектора ОВ. Применяя
формулы (7) § 5, получим
6 = ссозЛ; a = csinA;
а 'Т' b
sin Л = —; cos Л = —.
с с
sin А а
cos А *
Аналогично находим для угла В:
sin В — —; cos В — —; tg В = — .
с с = а
Итак,
• а • г* Ь
sin ; sinB = —;
с с ’
b 6Z
= — ; cos В = — ;
с ’ с ’
tgA = 4; tgB = —,
& b ’ ь а
(12)
(13)
(14)
Формулы (12)—(14) можно прочитать так:
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отно-
шению противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен от-
ношению прилежащего катета к гипотенузе.
Т ангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отно-
шению противолежащего катета Запишем формулы (12)—(14) к прилежащему. в виде
а = с sin Л; 6 = csinB; (15)
b = ccos Л; а = с cos В\ (16)
a — b tg Л; b = atgB. (17)
Формулы (15)—(17) можно прочитать так:
Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипоте-
нузы на sin а.
Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипо-
тенузы на cos а.
284
Kamern, противолежащий углу а, равен произведению второго
катета на tg а.
Эти правила выражают соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике. Значение этих правил заклю-
чается в том, что они позволяют, зная одну из сторон прямо-
угольного треугольника и острый угол, находить две другие
стороны, зная две стороны, находить острые углы.
Для sin a, cos а и tga составлены специальные таблицы. Эти
таблицы позволяют для данного острого угла а найти sin а,
cos а и tga лли по данным значениям sin a, cos a, tga найти
соответствующий острый угол а.
В прямоугольном треугольнике АВС
А±В = 90°-, аг + Ьг = сг (18)
(теорема Пифагора).
Решим несколько задач на вычисление элементов прямоуголь-
ного треугольника по двум его известным элементам.
Задача 1. Дано: а и Ь. Найти: А, В, с.
Решение.
1) tg Л = у (формула 14); величину угла А находим из таблиц.
2) В = 90°—А (формула 18).
3) с = —(формула 12) или с = ]/а2-(-Ь2 (формула 18).
sin А
Задача 2. Дано: а и с. Найти: А, В, Ь.
Решение.
1) sin А — (формула 12); величину угла А находим из таблиц.
2) 6 = 90° — А (формула 18).
3) b = csinB (формула 15) или b = ccosA (формула 16).
Задача 3. Дано: а и В. Найти А, Ь, с.
Решение.
1) Л = 90° — В (формула 18).
2) b = atgB (формула 17).
3) с = —(формула 13).
cos В
Задача 4. Дано: с и Л. Найти В, а, Ь.
Решение.
1) В = 90°—Л (формула 18).
2) a = csinA (формула 15).
3) Ь = с cos Л (формула 16).
Отметим, что предложенные способы решения этих задач не
являются единственными.
285
Теорема 1. Для любого острого угла а
sin(90°—a) = cosa; cos (90°—a) = sina. (19)
Доказательство. Пусть А ВС—прямоугольный треуголь-
ник с острым углом а при вершине А (см. рис. 239). Тогда
острый угол при вершине В будет 90°—а. Из формул (12) и (13)
следует, что
sin (90°—a) = y = cosa; cos(90° — a) = -^-=-sina.
Равенства (19) доказаны.
Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для углов в 30°,
45°, 60°. Пусть А=а. Тогда В = 90°—а.
Если а = 30°, то а = у с, так как длина катета прямоуголь-
ного треугольника, лежащего против угла в 30°, равна половине
длины гипотенузы (§ 1 гл. X). По теореме Пифагора
Поэтому
sin3O° = 4-; cos 30° = Xl; tg 30° = = -КЗ-.
* У 3 “
Если a = 45°, то A = B и ABC—равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник, a = b. По теореме Пифагора гипотенуза
а2А~Ь2 = аУ~2. Поэтому
sin 45° = —= cos 45° = —= ; tg45°=l,
ын — ау 2 у 2 ау 2 у 2 &
ИЛИ
sin 45° = XX cos45° = X^; tg45°=l.
Если a = 60°, то по теореме 1
sin 60° = cos 30°; cos 60° = sin 30°,
следовательно,
sin 60° = XI; cos 60° =-1; tg60° = V3.
Теорема 2. Для любого угла а (0° <а < 180°)
sin (180° — a) = sin a; cos (180°—a) = — cosa.
(20)
286
Доказательство. Пусть а—острый угол (рис. 240). Тогда
sina = z/, cosa = x. Треугольники 0MM.t и 0NNt равны по ги-
потенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует,
что | Л1/И! | = | JV.V, |, |ОЛ41| = |О^|.
Так как точка М имеет координаты х
и у, то точка N будет иметь коор-
динаты (—х) и у. Следовательно,
sin (180°—a) = y = sina;
cos (180°—a) = — x = — cos a.
В случае, когда a—тупой угол,
доказательство ничем не отличается
от приведенного (соответствующие
точки М и N симметричны относи-
тельно оси Оу). Равенства (20) до-
казаны.
Например,
sin 120° = sin (180°—60°) = sin 60° = ;
cos 120° = cos (180°—60 °) = — cos 60° = — у;
tg 120° = —КЗ.
§ 7. Метрические соотношения
в произвольном треугольнике;
теорема синусов и теорема косинусов
Пусть АВС—произвольный треугольник (рис. 241).
Теорема синусов. В любом треугольнике отношение
стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная,
д равная диаметру описанной окружности:
а ~ b =: —С 9 р
sina sin0 sinv
Х<с УЛк Доказательство. Опишем окруж-
д4_2--------ы,—ность около данного треугольника АВС
ь (рис. 242). Пусть R—ее радиус. Возьмем
Рис. 241. одну из вершин треугольника, например
А; через одну из других вершин, на-
пример через В, проведем диаметр BAt описанной окружности.
Треугольник АГВС прямоугольный, так как вписанный угол АГСВ
опирается на диаметр. Из этого треугольника найдем
а= 2R sin
Если a—острый угол, то a = a1, так как вписанные углы А
и опираются на одну и ту же дугу (рис. 242, а). Значит,
sin ar == sin a.
287
Если а—тупой угол, то из теоремы о вписанном угле следует,
что ci-]-«!= 180° или с<х= 180°—а (рис. 242, б). Значит,
sina1 = sin (180°—a) = sintz.
Поэтому
a = 2R sin a.
Если a—прямой угол, то a = 2R (рис. 242, в); sin90°=l, и
равенство a = 2R sin а также справедливо.
Рис. 242.
Аналогичные равенства
найдем и для углов р и у. Итак,
a — 2R sin a; & = 2/?sinP; с — 2R sin у.
Поэтому -?—= sin р ='с пу =2R. Теорема синусов доказана.
Из теоремы синусов следует, что против большего угла в
треугольнике лежит большая сторона, и обратно, против боль-
шей стороны лежит больший угол.
Действительно, если углы а и Р острые, то при a > Р будет
sina>sinp (при увеличении угла от 0° до 90° значения синуса
увеличиваются; § 5). А так как
а b
sina sin р *
то а > Ь. Если же угол а тупой, то внешний угол треугольника,
равный 180°—а, острый. Причем 180°—а больше р, как внеш-
ний угол треугольника, не смежный с р. Поэтому sinc: =
= sin (180°—-a) > sinP, и значит, снова а > Ь. Обратнее утвер-
ждение доказывается от противного
Теорема косинусов. Квадрат стороны любого треуголь-
ника равен, сумме квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус угла между ними:
а2 = № + с2—2bc cos a.
Доказательство. Рассмотрим три возможных случая.
Угол А острый (рис. 243, а). Проведем из вершины В или С
высоту, пересекающую противолежащую сторону. Допустим, что
288
высота BD пересекает сторону АС. По теореме Пифагора получим
^ = /12 + (6-б1)2, (21)
h2 = c2 — b2. (22)
Подставляя выражение (22) в равенство (21), получим
а2 = с2 —b2 + (b— by,
или
a2 = b2 + c2—2bb1. (23)
Так как b^ccosa, то из равенства (23) следует, что
а2 = Ь2 + с- — 2bc cos a.
Угол А тупой. Проведем из вершины В высоту BD (рис. 243, б).
Рассмотрим прямоугольные треугольники BCD и ABD. По теореме
Рис. 243.
Пифагора получаем
a2 = h2 + (b + by,
h2 = c2 — b[.
Подставим выражение (25) в равенство (24):
а2 = с2 — Ь-ф- (t> + б))2,
или
а2 = 624-с2 + 2№1.
Так как 61 = ccos(180°— а) =— с cos а, то из
дует, что
а2 = Ь2 + с2 — 2Ъс cos а.
Угол А прямой (рис. 243, в). В этом случае cosa = cos90° = 0.
Пользуясь теоремой Пифагора, получаем
а2 = b2 +с2 = b2 -f-c2— 2bc cosa.
Теорема косинусов доказана.
Записав формулу я2 = б2 + с2 —26с cos а в виде
(24)
(25)
(26)
равенства (26) сле-
заметим, что:
289
1) если а2 = Ь2 + с®, то cosa = 0 и а = 90°; следовательно, если
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух дру-
гих сторон, то этот треугольник прямоугольный (теорема, обрат-
ная теореме Пифагора);
2) если а2 < Ь2 -f- са, то cos а > 0 и 0° < а < 90°; следовательно,
в „ если а—большая сторона и а2 <Ь2-|-с2,
/57------—77 то треугольник остроугольный;
//3\. 3) если а2 > Ь2 4- с2, то cosa<0 и
/ / 90° < а < 180°, т. е. в этом случае тре-
/ угольник тупоугольный.
---------jj Теорема. Сумма квадратов ди-
р 244 агоналей параллелограмма равна сумме
ис" “ ‘ квадратов его сторон.
Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм
(рис. 244). Применим теорему косинусов к треугольникам АВС
и ABD. Получим
АС2 = АВ2 + ВС2-2АВ-ВС-cos 0;
BD2 = AB2 + AD2-2AB-AD-cosa.
Так как 0=180°—а, то, складывая эти равенства и замечая,
что cos 0 = cos (180°—а) = — cos а, AB = CD, ВС —AD, получим
АС2 + BD2 = ЛВ2 + ВС2 -1- CD2 + A D2.
Теорема доказана.
Применяя теоремы синусов и косинусов, рассмотрим решение
произвольных треугольников. Решение треугольников состоит
в вычислении неизвестных элементов (сторон и^углов треуголь-
ника) через известные элементы.
Так же, каки для прямоугольных треугольников, существуют
четыре основных случая решения косоугольных треугольников.
Задача 1. Даны три стороны треугольника. Найти его углы.
Решение. По теореме косинусов находим углы треуголь-
ника; их сумма равна 180°. Эта задача имеет решение, если боль-
шая из сторон меньше суммы двух других. Единственность
решения следует из третьего признака равенства треугольников.
Задача 2. Дана сторона и два угла треугольника. Найти
третий угол и остальные две стороны.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°,
то третий угол вычисляется через заданные углы.
Имея сторону и все три угла, по теореме синусов находим
две остальные стороны. Задача всегда имеет решение и притом
единственное. Конечно, сумма двух данных углов должна быть
меньше 180°. Единственность решения следует из второго при-
знака равенства треугольников.
Задача 3. Даны две стороны, например а и Ь, и угол у,
противолежащий третьей стороне. Найти остальные два угла и
третью сторону.
Решение. По теореме косинусов находим сторону с. Теперь,
имея три стороны, по теореме косинусов можно еще найти один
290
угол, например а. Тогда 'Р=180°—а—у. Задача всегда имеет
решение и притом единственное. Единственность решения следует
из первого признака равенства треугольников.
Задача' 4. Даны две стороны, например а и Ь, и угол про-
тиволежащий одной из них, например а. Найти остальные два
угла и третью сторону.
ТТ ♦ д 6 S1F1 ОС г-г
Решение. По теореме синусов находим smp==—-—. По
значению sinp находим отвечающие ему углы и 02 (данному
значению синуса на отрезке от 0° до 180° отвечают два угла; это
следует из формулы sin (180°—а) = sin а). Выбираем из них один
или оба, учитывая, что против большей из сторон а и b лежит
больший угол. Зная углы аир, находим угол у= 180°—а—р,
а затем сторону с по теореме синусов.
Эта задача может не иметь решения, иметь одно решение или
два решения. (При исследовании рассматриваются случаи а^Ь
и а < /?; в случае а < b результат исследования зависит от соот-
ношения между а и bsina.)
Отметим, что предложенные способы решения этих задач не
являются единственными.
Упражнения
Раздел I
> * >
1. Какой вид имеет четырехугольник ABCD, если известно, что: a) AD = ВС;
- • > 1 >
б) векторы AD и ВС коллинеарны?
2. Доказать с помощью векторов теорему о средней линии треугольника.
3. Векторы а=(1; —1) и Ь = (—2; т) коллинеарны. Найти т.
4. Длина вектора а= (5; п) равна 13. Найти п.
5. Даны точки А (0; 1), В(1; 0), С (1; 2), D (2; 1). Доказать, что AB = CD.
6. Найти: a) cos а и tga, если sin a= 0,8, 0° < a < 90°; 6) sin a и tga,
если cosa=—j , 90° < a < 180°; в) sin a и cos a, если tga = —
90° < a < 180°.
7. Найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов в 135° и 150°.
8. У треугольника АВС: | АВ |= 15 см, | АС] = 10 см. Может ли sin В=А?
9. Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними а. Найти
стороны параллелограмма.
10. У треугольника две стороны 20 м и 21 м, а синус угла между ними
равен 0,6. Найти третью сторону.
11. Не вычисляя величины углов треугольника, указать вид каждого из
треугольников (относительно углов), если его стороны равны: а) 7; 8; 12;
б) 0,3; 0,4; 0,5; в) 8; 10; 12.
12. Доказать теорему: если две стороны одного треугольника соответ-
ственно равны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими
сторонами не равны, то против большего угла лежит большая сторона.
291
13. В параллелограмме острый угол равен 60°. Найти стороны паралле-
лограмма, если его периметр равен 22 см, а меньшая диагональ равна 7 см.
14. В треугольнике АВС: | ВС | = 6 см, Л = 60°, В = 45°. Найти длины
сторон АВ и АС.
Раздел II
15. В параллелограмме ABCD точки М и. N—середины сторон CD и AD.
Выразите вектор MN через векторы СВ = а и DC = b-
16. Найдите координаты вектора АВ, если точки А и В имеют следующие
координаты:
а) Л (3; 1), В (5; 0); б) Л (—1; 3), В (—2; 1);
в) Л(0; 4), В (5; 0); г) Л (3; 1), В (-Г, -3).
17. От точки А отложен вектор АВ=а. Найдите координаты точки В
в каждом из следующих случаев:
а) Л (0, 0), а = (-2; 1); б) Л(—Г, 5), а = (1; -3);
в) А (2; 7), а = (—2; -5).
18. Известны координаты вершин Л, В, С параллелограмма ABCD. Най-
дите координаты вершины D:
а) Л (2; 3), В(1; 4), С(0; —2);
б) Л (—2; —1), В(3; 0), С(1; —2).
19. Вычислите элементы прямоугольного треугольника по двум его извест-
ным элементам, если:
а) а= 118, * = 209; б) о= 3,11, *=4,89;
в) с=4,18, Л=71°18'; г) с=0,119, В = 29°14';
д) 0 = 14,3, Л=19°36'; е) * = 39,4, В = 74°12';
ж) с=3,75, а = 2,11; э) с= 118, * = 69.
20. Диагонали параллелограмма имеют длины 5 см и 8 см; угол между
диагоналями равен 77°18'. Определите стороны параллелограмма.
21. Даны две стороны треугольника и угол, противолежащий третьей
стороне. Найдите остальные два угла и третью сторону, если а = 49,4, * = 26,4,
у=47°20'.
22. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если о = 28,
* = 35, с=42.
23. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и осталь-
ные две стороны, если:
а) а=113, а=75°15', 0 = 29°13';
б) * = 31,2, а=124°7', 0 = 18°39'.
24. У треугольника заданы две стороны а, * и угол а, противолежащий
стороне а. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если:
а) а = 31, *= 18, а = 31°36';
б) а=5,8, *=31, а=8°2Г.
Г лав а XV. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Многоугольник, или простая замкнутая ломаная, разбивает
множество точек плоскости, не принадлежащих многоугольнику,
на две области—внутреннюю и внешнюю. Во внешней области
. 292
найдется прямая, которая вся расположена в этой области. Во
внутренней области такой прямой нет. Точки внутренней области
называются внутренними, а точки внешней области —внешними
относительно многоугольника.
Фигуру, образованную многоугольником вместе с его внутрен-
ней областью, называют многоугольной областью (или пополненным
многоугольником).
В повседневной жизни, когда говорят о площади треугольника,
четырехугольника пли о площади многоугольника, имеют в виду
площадь той части плоскости, которая ограничена многоугольни-
ком. Будем поступать так же, т. е. будем говорить о площади
многоугольника, понимая под этим площадь многоугольной об-
ласти.
§ 1. Понятие площади многоугольника
Понятие площади аналогично понятию длины отрезка.
Если выбрана единица измерения, то каждый отрезок имеет
длину. Равные отрезки имеют равные длины. Если отрезок АС
точкой В между А п С разделен на два отрезка АВ и ВС, то
длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС. Длина
отрезка выражается положительным числом.
Точно так же, если выбрана единица измерения (например,
квадрат), то каждый многоугольник имеет площадь.
Сформулируем условия, которые позволят площади много-
угольников выразить через положительные числа. Они называются
основными свойствами площадей.
1) Если два многоугольника равны, то их площади равны.
2) Если многоугольник составлен из неперекрывающихся много-
угольников, то его площадь равна сумме площадей этих много-
угольников.
3) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Поясним свойство 2). Говорят, что многоугольник F составлен
из неперекрывающихся многоугольников F,, F2,..., Fn, если
каждая точка многоугольника F принадлежит хотя бы одному
из многоугольников Еп Fit..., Fn и никакие два из этих много-
угольников не имеют общих внутренних точек.
Согласно основному свойству 3) число, выражающее площадь
квадрата, а следовательно, и любого другого многоугольника,
зависит от выбора единицы измерения отрезков. Например, если
за единицу измерения отрезков принят 1 см, то за единицу
измерения площадей принимают квадрат с длиной стороны 1 см.
Площадь этого квадрата обозначают 1 см2, и в этом случае
площадь любого многоугольника выражают в квадратных санти-
метрах. Таким образом, каждый раз рядом с числом, выражающим
площадь многоугольника, указывают единицу измерения: мм2,
см2, м2, км2 и т. д.
Кроме многоугольников, будем рассматривать простые фигуры.
Фигура называется простой, если ее можно разбить на некоторое
293
число неперекрывающихся треугольников. В частности, такие
фигуры, как параллелограмм, трапеция, выпуклый многоугольник,
являются простыми. Площадь фигуры F будем обозначать так: SP.
Для простых фигур, а также более сложных фигур (например,
круга) справедливы общие свойства площадей.
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Если фигура FT составляет часть фигуры F, то SPt SP.
3) Если фигура F с помощью прямой разделена на 'части
Fи F2, то SP == 5Pi 5.
Фигуры,' имеющие равные площади, называются равновеликими.
Равные фигуры всегда равновелики. Обратное неверно: если две
фигуры имеют равные площади, то они не обязательно равны.
§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
Площадь параллелограмма. Сначала применим свойства площа-
дей многоугольника к выводу формулы для площади прямо-
угольника.
Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности
прямоугольника, называть основанием, а перпендикуляр, проведен-
ный к прямой, содержащей эту сторону, из любой точки противо-
положной стороны,—высотой.
Для краткости будем часто говорить «основание» и «высота»,
понимая под этим их длины.
Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произведению
его основания на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD—данный прямоугольник,
aS—его площадь (рис. 245,а). Примем сторону АВ за основание,
a AD—за высоту и обозначим ]АВ[ = а, |ЛО| = й.
Дополним прямоугольник ABCD до квадрата AEFL, как пока-
зано на рис. 245,6. Так как | ЛД) = | АЕ\ = а-^к, то по свойству
3) площадей SAEFL — (а+/г)а. Квадрат AEFL составлен из четырех
неперекрывающихся четырехугольников: данного прямоугольника
ABCD с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью
S (свойство 1) площадей) и двух квадратов с площадями а2 и №
(свойство 3) площадей). По свойству 2) площадей многоугольников
(n-h/i)a = a? + /i2+S+S,
294
или
а3 + 2ah + h2 = a3 4- h2 + 2S.
Отсюда получаем S — ah. Теорема доказана.
Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения длин его катетов.
Доказательство. Пусть АВС—прямоугольный треуголь-
ник с прямым углом С; S—его площадь, |ЛС| = а, | ВС | = b
(рис. 246). Достроим его до прямоугольника. Тогда +
или SAKBC = 2S, так как треугольники АВС и АКВ равны и,
следовательно, имеют равные площади. Отсюда, применяя теорему
о площади прямоугольника, получаем
S = j | АС\-[ ВС | или S = ^ab.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника
с2 = а3 4-й2. Пользуясь формулой для вычисления площади
квадрата, можно дать другую формулировку теореме Пифагора:
площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного
треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на
его катетах.
Теорема 2. Площадь параллелограмма равна произведению
его основания на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD—данный параллелограмм,
a S—его площадь (рис. 247). Если он не является прямоугольни-
Пусть, например,
О F Л Е
Рис. 247.
ком, то один из его углов, А или В, острый,
угол А острый. Проведем высоту АЕ. Обо-
значим |ЛВ) = а, |ВС| = &, IAEj — h. Пло-
щадь трапеции А ВСЕ равна сумме площадей
параллелограмма ABCD и треугольника
ADE.
Проведем высоту BF. Тогда площадь тра-
пеции А ВСЕ равна сумме площадей прямо-
угольника ABFE и треугольника BCF.
Прямоугольные треугольники ADE и BCF
S a А
равны, а значит,
имеют равные площади.
Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна
площади прямоугольника ABFE, т. е. S — ah. Теорема доказана.
Следствие. Площадь параллелограмма равна произведению
его смежных сторон на синус угла между ними.
Доказательство. Пусть А = С = а. Из прямоугольного
треугольника BCF (см. рис. 247) получим, что | BF | = | ВС | sina,
т. е. /i = &sina. Результат не изменится, если взять тупой угол В:
если В = а, то Д = 180°—а, а sin(180°—a) = sin а. Поэтому
S = ab sin a.
Площадь треугольника. Условимся одну из сторон треугольни-
ка называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из
противоположной вершины к прямой, содержащей эту сторону,—
высотой.
295
Теорема 3. Площадь треугольника равна половине произведе-
ния его основания на высоту.
Доказательство. Пусть АВС—данный треугольник, а
S—его площадь (рис. 248). Достроим треугольник АВС до
параллелограмма. Площадь параллелограмма АКВС равна сумме
площадей треугольников АВС и АВК. Так как эти треугольники
равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади
треугольника ABC: SAf(BC~2S = ah, так
-К как высота параллелограмма, соответст-
/ / вующая стороне ВС, равна высоте тре-
/ , / угольника АВС, проведенной к сторо-
/ " X. / не ВС. Поэтому
° -° & S = ±ah, (1)
Рис. 248.
где \ВС | = а, |Л£>| = h. Теорема доказана.
Следствие. Площадь треугольника равна половине произ-
ведения двух сторон на синус угла между ними.
Доказательство. Пусть в треугольнике АВС длины
сторон равны а, Ь, с, а противолежащие им углы а, р, у (рис. 249).
Примем сторону АС за основание и проведем высоту BD. Тогда
S = ^|XC|-|BD|= ±bh.
Выразим Л = |В£>| через с и синус угла а. Для этого надо
рассмотреть несколько случаев. Но во всех этих случаях h = с sin а:
h = с sin а,
/i = csin (180°—a) = csina
ft = c = csina (а = 90°).
Поэтому
S = -6csin а.
(рис. 249, а),
(рис. 249, б),
(рис. 249, в).
(2)
Например, если а—сторона равностороннего треугольника, то
его цлощадь
296
Действительно, по формуле (2) при Ь = с — а, а = 60° получаем
S = 4a2sin60°=
2 4
1/у
так как sin 60° = Л2—
Кроме формул (1) и (2), докажем и другие формулы для
вычисления площади треугольника.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра
на радиус вписанной окружности:
S = pr, (3)
где р = ^(а + Ь + с).
Доказательство. Пусть О—центр окружности, вписанной
в треугольник, г—ее радиус (рис. 250).
Соединив центр О с вершинами А, В
и С, получим треугольники АОВ, ВОС
и АОС с высотами, равными г. Согласно
свойству площадей
— $Даоя + Здяос + ЗдаоС —
= ^r + ^ar+ = -^(аА-Ь-\-с) = рг,
что и требовалось доказать.
Площадь треугольника равна произведению всех его сторон,
деленному на учетверенный радиус описанной окружности
с _ аЬс
~4R‘
Согласно формуле (2)
е 1 ..
о = у ос sin а.
(4)
Доказательство.
По теореме синусов
а
ь
где R — радиус
равенства
______—_______= с — о р
sina sin Р sin "у
окружности, описанной около треугольника. Из
si Г» ос
следует, что
sina = ^-.
Подставляя выражение для sin а в формулу (2), получим
о_____________________________ abc
Формула Герона. Плошадь треугольника
S = Vp (р—а) (р—Ь)(р—с),
А fl “f“ I- С
гое р——----------половина периметра треугольника.
(5)
297
Доказательство. Из формулы S = -i&csina находим
2S
sin a = -г—;
be
по теореме косинусов а2 = Ь2-\-с2— 2bccosa, или
/,2-|_C2_a2
cosa= —.
2Ьс
Используем основное тригонометрическое тождество sin2a +
ф- cos2 a = 1. Получим
/ 2S V / i2+c2—a2V _ «
V be ) + V 2bc J
Отсюда, применяя формулу для разности квадратов, имеем
„2_ 4bV — (й2 + с2—а2)2 _ ((b-f-c)2 —а2) (а2 — (Ь — с)2) _
д ~ 16 16 ~
__ а-\-Ь-{-с Ь-}-с—а а-\-Ь—с а-[-с — Ь _
2 2'2 2 =“
______________________= «) (Р—Ь) (р—с)-,
S = Vp (Р—а) (Р—Ь) (р—с).
Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника
по его трем сторонам. Итак, для вычисления площади треуголь-
ника получены формулы (1)—(5).
Формулы (3) и (4) можно использовать для вычисления ра-
диусов вписанной и описанной окружностей, если известны сто-
роны треугольника. Тогда его площадь можно вычислить по
формуле Герона, а затем найти г== -у, R = -£§-•
Задача 1. Разделить треугольник на две равновеликие
части прямой, проходящей через данную точку его стороны.
Решение. Пусть АВС—данный треугольник и М — данная
точка на его стороне АС' (рис. 251). Если М—середина стороны
АС, то ВМ — медиана и 8д авм = 8д всм- Пусть М не является
серединой стороны АС, например, |ЛЛ11 < | МС |. Проведем меди-
ану BD, соединим точки В и М, проведем DN\\BM. Прямая
MN—искомая. Докажем это.
Имеем
8д м NC = 8д MOD + SDONC.
В трапеции BNDM треугольники MOD и BON равновелики:
8д люй+Зд вом =8д mbd‘, Зд bon + Зд вом = 3д mbn,
но Зд mbd = 8дmbn, так как треугольники имеют общее осно-
вание и равные высоты. Значит,
3 д м NC = Sд воn + Sdonc = 8д BDC = у 8д АВС-
298
Задача 2. Медианы треугольника равны 9см, 12см и 15 см.
Найти площадь треугольника.
Рис. 251. , Рис. 252.
Решение. Пусть AAit BBit —медианы треугольника
АВС, О—точка их пересечения (рис. 252). Получим шесть равно-
великих треугольников:
Зд АОВ, = Зд B.oci
Зд АОВ, = у | АО I I В,0 I sin а = уIЛ Л! I • i I BBt | sina;
Зд BOA, = -“ 150 (• I A±01 sin a = у • у I BBt | • у | A At1 sin a,
следовательно, Зд лов, —boa, и t. д.
Выполним построение такое же, как при решении задачи
в § 5 гл. XI (см. рис. 187). Каждая из сторон /\СОВ3 равна
2/3 соответствующей медианы ДЛВС. Площадь f\COB2 с дан-
ными сторонами можно найти по формуле Герона, а з'атем найти
Зд АВС = ЗЗд сов2.
Стороны /\СОВ2 равны 6 см, 8 см и 10 см. Заметим, что
644-88=102, и значит, ДС0В2 —прямоугольный с катетами 6 см
и 8 см. Поэтому Здсовг=-^--6’8==24 см2, Зддвс = 72 см2.
Площадь трапеции. Высотой трапеции будем называть пер-
пендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований
к прямой, содержащей другое основание.
Теорема 4. Площадь трапеции равна произведению полу-
суммы ее оснований на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD—данная трапеция, а и
b—ее основания, h—высота (рис. 253). Проведя диагональ АС,
получим два треугольника. Примем за основание треугольника
ACD отрезок AD, а за основание треугольника АВС—отрезок
ВС. Высоты этих треугольников равны высоте трапеции А.
Поэтому
с ah с bh
ОДДСО = -2-; од АВС — -2~-
299
Тогда площадь трапеции (по свойству 2) площадей) равна
с ah bh. q аЦ-b .
^ABCD 2 2 * ^ABCD— 2
Следствие. Площадь трапеции равна произведению средней
линии трапеции на высоту.
Задача 3. Основания трапеции равны а и Ь. Найти длину
отрезка, параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.
Рис. 253. Рис. 254.
Решение. Пусть отрезок KL = x делит площадь трапеции
ABCD (ВС = а, AD = b) пополам (рис. 254). Проведем СМ\\АВ.
Обозначим h—высота /\СЕЬ, Н — высота трапеции ABCD. Так
как ^CEL^CMD, то или =
По условию SKbcl = -^ Sabcd. Поэтому
Значит,
х + а . _ 1 ft + a
2 п~2’ 2
и Л 1
И кт-Н = 2
Ь+а
хЦ-а ‘
х — а _ 1 ЬЦ-а
b—а 2 х-\-а ’
откуда 2(хг—а2) = Ьг—а2, т. е. х =
§ 3. Площадь многоугольника.
Отношение площадей подобных многоугольников
Для вычисления площади произвольного многоугольника
разбивают этот
Рис. 255.
многоугольник на неперекрывающиеся треуголь-
ники и находят площадь каждого треуголь-
ника. Тогда сумма этих площадей будет равна
площади S данного многоугольника (рис. 255).
Теорема. Отношение площадей подобных
многоугольников равно квадрату коэффициента
подобия.
Доказательство. Пусть ABCDE и
AiBfiiDjli—данные подобные многоугольники
(см. рис. 204). Проведя диагонали из вершин Я и
разложим эти многоугольники на подобные
треугольники (см. рис. 205). Рассмотрим подобные треугольники
АВС и В подобных треугольниках отношение двух соот-
300
ветственных высот равно отношению двух соответственных сторон
(§ 2 гл. XII). Поэтому
5дл,а,с. 2~|Л1В1|ЙХ 1ЛВ11 hi _ lAM
•S д ABC ~ ^}AB\h [АВ[ 'h [АВ[2
h и ht—соответствующие высоты, k—коэффициент подобия.
Следовательно, д
^A,B,C,D,Et _
ВABCDE ' /«С \S
о /
Теорема доказана. X
3 а д а ч а 4. Доказать, что площадь лю- ,
бого выпуйлого четырехугольника равна j?
половине произведения его диагоналей на рнс 256.
синус угла между ними.
Решение. Четырехугольник ABCD диагоналями АС и BD
разбивается на четыре треугольника (рис. 256). Пусть |ЛС| =с,
[BDl = d. Обозначим | АО[ = х, > [В0| = у, |CO| = z, |£>0| = /;
x-f-z = c, y-]-t = d. Тогда
Зд лов = у ху sin а, Зд вое = у ^zsin(180°—а) = у^2 sina>
Зд cod — "у 2/sin а, Зд DOA = 4 tx sin (180°—а) = -i-Zxsina.
Следовательно,
В ABCD — Вд ЛОВ + Зд ВОС 4- Зд COD + Зд DOA =
= у sin а {ху + yz 4- zt + tx) —
= у sina (у(х 4- z) 4- t {z 4- x)) = у (x 4- z) {y 4-1) sin a
или
3ABCD = -5- Cd sin a. (6)
В частности, пло1цадь трапеции равна половине произведения
ее диагоналей на синус угла между ними.
Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то при
a = 90° из формулы (6) следует: площадь ромба равна половине
произведения его диагоналей.
Упражнения
Раздел I
1. Найти стороны прямоугольника, если его стороны относятся как 4:9,
а площадь равна 144 м2.
301
2. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти
острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади
прямоугольника.
3. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет
большую площадь?
4. Найти площадь ромба, если его высота равна 12 дм, а меньшая диа-
гональ 13 дм.
5. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с ги-
потенузой а.
6. Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в окруж-
ность радиуса R.
7. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен
г. Найти площадь треугольника.
8. Доказать, что сумма расстояний от любой точки равностороннего тре-
угольника до его сторон постоянна.
9. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14 см,
15 см.
10. Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см. Найти радиусы
вписанной и описанной окружностей.
11. Найти площадь треугольника, основание которого равно а, а углы
при основании равны 60° и 45°.
12. Найти площадь трапеции, у которой основания 69 см и 20 см, а бо-
ковые стороны 13 см и 37 см.
13. В равнобочной трапеции большее основание равно 44 м, боковая сто-
рона 17 м и диагональ 39 м. Найти площадь трапеции.
14. Найти площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны
2 см и 4 см, а один из углов 60°.
15. Диагонали равнобочной трапеции взаимно перпендикулярны, а ее
площадь равна 5. Найти высоту трапеции.
16. Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD взаимно
перпендикулярны. Найти его площадь S, если | АС | = а, |ВО| = &.
17. Найти площадь равнобочной трапеции, зная ее диагональ I и угол
а между этой диагональю и большим основанием.
Раздел II
18. Найти площадь прямоугольника, если сторона прямоугольника отно-
сится к его диагонали как 3:5, и другая сторона равна 8 см.
19. Найти стороны прямоугольника, если отношение одной из его сторон
к диагонали равно 3:5, а площадь равна 192 см2.
20. Найти диагональ прямоугольника, если его периметр равен 14 м,
а площадь 12 м2.
21. Площадь параллелограмма равна 36 см2, а острый угол 45°. Одна из
высот равна 3 см. Найти вторую высоту.
22. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти
отношение площади прямоугольника к площади параллелограмма, если острый
угол параллелограмма равен 45°.
23. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его периметр
равен 50 дм, а основание меньше боковой стороны на 1 дм.
302
24. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза
равна 313 см, а один из катетов 312 см.
25. Найти сторону ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а пло-
щадь равна 24 дм2.
26. Найти основание трапеции, если его площадь равна 144 см*, а осно-
вания относятся как 4:5 и высота равна 16 см.
27. Найти площадь трапеции, если диагонали трапеции равны 20 м и 15 м,
а высота ее 12 м.
28. Найти площадь четырехугольника, диагонали которого равны k и I
и образуют угол, равный 30°.
Глава XVI. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
§ 1. Правильные многоугольники
Определение. Многоугольник называется правильным,
если у него все стороны равны и все углы равны.
Мы знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма величин
внутренних углов равна 180а(п—2) (§ 3 гл. X). Поэтому величина
а внутреннего угла правильного выпуклого многоугольника
равна
а=1№<;-2>. (п>3).
Теорема 1. Если выпуклый многоугольник правильный, то:
1) около него можно описать окружность;
2) в него можно вписать окружность, причем центры описанной
и вписанной окружностей совпадают.
Доказательство. Пусть А и В две соседние вершины
правильного многоугольника (рис. 257). Проведем биссектрисы
углов многоугольника из вершин А и В. Они пересекутся, так
как ^ + ^<180° (а—величина внутреннего угла многоугольника).
Точку 0 пересечения этих биссектрис сое-
диним с остальными вершинами данного
многоугольника.
Треугольник АОВ равнобедренный с осно-
ванием АВ и углами при основании, равными
—. Треугольники АВО и СВО равны: у них
сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны,
как стороны правильного многоугольника,
г, а т.
а углы при вершине В равны Из равенства
треугольников следует, что треугольник ОВС
равнобедренный с углом при вершине С, равным Значит, СО —
биссектриса угла С многоугольника. Затем доказываем, что
Рис. 257.
303
треугольник COD равнобедренный и DO—биссектриса угла D
многоугольника и т. д.
Вывод: каждый треугольник, у которого одной стороной
является сторона данного правильного многоугольника, а
противолежащей вершиной точка О, является равнобедренным.
Все эти треугольники имеют одинаковые боковые стороны. Отсюда
следует, что все вершины правильного многоугольника находятся
па окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам
треугольников. Эта окружность описана около данного много-
угольника.
Все стороны многоугольника будут касаться окружности с
центром О и радиусом, равным высотам треугольников, проведен-
ным из вершины О. Эга окружность вписана в данный много-
угольник. Теорема доказана.
Центры вписанной и описанной около правильного многоуголь-
ника окружностей — одна и та же точка. Эту точку называют
центром правильного многоугольника.
Отрезок ОМ (см. рис. 257) перпендикуляра, проведенного
из центра правильного многоугольника к его стороне, называется
апофемой правильного многоугольника (апофема равна радиусу
вписанной окружности); отрезок ОА, соединяющий центр правиль-
ного многоугольника с его вершиной, равен
радиусу описанной окружности.
Теорема 2. Площадь, правильного выпук-
лого многоугольника равна половине произведе-
ния его периметра на радиус вписанной окруж-
ности:
s^Pd (1)
где Р — периметр многоугольника, а г —радиус
вписанной в него окружности; площадь пра-
вильного п-угольника равна также
е In». 360° ,п.
S = —, (2)
где R — радиус описанной окружности.
Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на п
треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с цен-
тром вписанной окружности (см. рис. 257). Согласно теореме 1
эти треугольники равны. Площадь каждого из них равна -^апг,
где аП—сторона правильного /!-угольника (рис. 258).
Площадь S многоугольника равна ^апт, но анп = Р. Следо-
вательно, S = -^Pr, и формула (1) доказана.
По следствию из теоремы 3 § 2 гл. XV
$длов=4|0Я||0В|5й1Л6в.
304
Но | О А | = | О В | = R, ЛОВ = —. Поэтому
1 П1 • 360°
^ЛАОВ~ 2 Sin п ‘
Следовательно, площадь S многоугольника равна
_ 1г,.. 360°
S = -2nR 3sm —,
и формула (2) доказана.
Сторона ап правильного n-угольника находится по формуле
ог> • 18°° /QV
a„ = 2/?sin—, (3)
где R—радиус описанной около этого n-угольника окружности.
Действительно, пусть ДВ—сторона правильного п-угольника,
R—радиус описанной окружности и ОЛ4Д_ДВ (см. рис. 258). Тогда
1^ 1 360° 180°
АОМ — 2 АОВ — 2* п — п ‘
Из прямоугольного треугольника АОМ
г^. 180°
| AM | = | АО |sin ЛОМ = Rsin —
Следовательно, | АВ | = 2| AM |=2/? sin -Ц^-, и формула (3) дока-
зана.
Из формулы (3) следует _
а3 = 2R sin 60° = 2R = Я/З,
а4 = 2R sin 45° = 2Я • ^ = /?У'2?
а6 = 2R sin 30° - 2R • = R.
§ 2. Длина окружности
Мы не станем проводить строгого определения длины окружно-
сти, так как оно основано на понятии предела числовой последо-
вательности, которое изучается в 9 классе.
Из наглядных соображений естественно считать, что длина
окружности сколь угодно мало отличается от периметра вписан-
ного в нее выпуклого многоугольника с достаточно малыми
сторонами. Исходя из этого предположения, докажем некоторые
свойства длины окружности.
Теорема. Длины двух окружностей относятся как их радиусы
или диаметры.
Доказательство. Пусть Rr и R2—радиусы двух окружно-
стей, a Ct и С2—длины окружностей. Впишем в эти окружности
правильные выпуклые многоугольники с достаточно большим
числом сторон п. '
11 И. А. Баранов и др.
305
Найдем периметры многоугольников Рг и Р2. По формуле
(3) § 1 имеем
n on • 180° п . 180°
/\ = 2A?1sin-^— -/г; Р2 = 2/?2sin-^—•«.
Следовательно,
fi = ^i
^2 ^2
Если п достаточно велико, то из формулы (3) § 1 следует,
что сторона ап правильного многоугольника будет достаточно
малой, и значит, по предположению, периметр f\ сколь угодно
мало отличается от С1( а периметр Р2 от С2. Поэтому отношение
Pi Ri Ct
в1, равное-gi, сколь угодно мало отличается от уЛ.
*2 *'2 С2
Но Ri/R2 и вполне определенные числа. Если они
отличаются сколь угодно мало, то они равны. Поэтому
где Dt и D2—диаметры окружностей. Теорема доказана.
Из равенств (4) следует, что
£1 __ £а
Di D2’
т. е. отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от
окружности. Это отношение принято обозначать буквой л (читает-
ся «пи»). Число л — иррациональное, лл;3,1416. Итак, длина
окружности вычисляется по формуле
С = л£) = 2л/?. (5)
Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному
углу в п°. Развернутому углу соответствует полуокружность, а
ее длина равна nR. Следовательно, углу в один градус соответст-
« Л/? о „
вует дуга длиной а углу в tr соответствует дуга длиной
^=18¥'/г°‘
Число л можно найти с любой наперед заданной точностью,
исходя из следующего допущения: длина окружности больше
периметра любого вписанного в нее много-
угольника и меньше периметра любого опи-
санного около нее многоугольника.
Рассмотрим окружность диаметра D=l.
Ее длина равна л. Обозначим периметр
вписанного в такую окружность правильного
«-угольника через рп, а периметр описан-
ного— через qn. Тогда по сделанному до-
пущению
pn<^<qn- (7)
Пусть ап=|Д5|—сторона правильного «-угольника, вписан-
ного в окружность радиуса R (рис. 259). Через bn = \CD\ обозна-
309
чим сторону правильного /z-угольника, описанного около этой
окружности.
Из треугольников АОМ и CON находим
|XA4| = -^=flsin—, |C7V|=-^ = /?tg—,
т. е.
пп . 180“ , оп, 180° ,о.
n„ = 27?sin — ,6„ = 27?tg —. (8)
Если D = 2/?= 1, то
Отсюда следует, что
рп пап ап 180°
Чп — nbn Ьп п *
ИЛИ
7 = 5=-/Т^Л (9)
так как cos — = К 1 — sin22_§22 = 1Л1 — а2
Л д r п *
Увеличивая п, можно сделать ап сколь угодно малым, а ко-
рень V1 —йп сколь угодно близким к единице.
Неравенства (7) и (9) означают, что при помощи неравенств
рп<л<<7„ число л оценивается при достаточно большом ц со
сколь угодно большой точностью.
Например, при п=12 получим
a12 = sinl5°, 6i2 = tgl5°}
следовательно,
12 sin 15°<л<12 tgl5°.
Рис. 260.
Из таблиц значений тригонометрических функций находим
sinl5Q и tgl5°. Тогда
3,10595<л<3,21554.
Точно так же, принимая п = 96, получили бы
'' 3,14134<л<3,14284,
т. е. оценили бы число л с довольно большой
точностью.
Задача. Доказать, что 3<л<4.
Решение. В окружность диаметра D = 1
впишем правильный шестиугольник и опи-
шем около окружности квадрат (рис. 260).
Тогда по формуле (8) ae = R = ^, bt = 27? = 1, следовательно, .
6яв<л<4Ь4 или 3<л<4.
11*
307
§ 3. Площадь круга
Строгое определение площади круга основано на понятии
предела числовой последовательности. Из наглядных соображений
будем считать, что площадь круга сколь угодно мало отличается
от площади вписанного в нее выпуклого многоугольника с
достаточно малыми сторонами.
Пусть 7? — радиус круга, а С—длина его окружности. Впишем
в окружность правильный выпуклый многоугольник с достаточно
большим числом п. Площадь этого многоугольника
5„ = рг, (10)
где Р — периметр многоугольника, а г—радиус вписанной в него
окружности (формула (1) § 1). При возрастании числа его сторон п
периметр Р сколь угодно мало отличается от числа С, а радиус г —
от числа R. Говорят, что при возрастании п периметр Р стремится
к длине окружности, а площадь Sn—к площади круга S. Поэтому
Итак, площадь круга вычисляется по формуле
S^nR\ (11)
где R — радиус круга.
Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри
соответствующего центрального угла (рис. 261).
Рис. 261. Рис. 262.
Площадь сектора, дуга которого содержит один градус, равна
2^ площади круга. Поэтому площадь сектора, дуга которого
ЛО2
содержит а градусов, равна Итак, площадь кругового
OOv
сектора вычисляется по формуле
5 360^’ (12)
где R —радиус круга, ос—градусная мера соответствующего
центрального угла.
Круговым, сегментом называется общая часть круга и полуплос-
кости (рис. 262). Площадь сегмента, не равного полукругу,
308
вычисляется по формуле
S-gttS., - <13)
где Зл—площадь треугольника с вершинами в центре круга и
на концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.
В формуле (13) знак минус надо брать в случае, если а<180°,
и знак плюс—в случае, если а>180°.
Упражнения
Раздел I
1. При каких значениях п сторона правильного n-угольника: а) больше
радиуса описанной окружности; б) равна радиусу, описанной окружности;
в) меньше радиуса описанной окружности?
2. В окружность радиуса R вписаны и около нее описаны правильные
n-угольники. Найти отношение: а) их периметров; б) их площадей для
п=3, 4, 6.
3. Сторона квадрата равна а. Найти длину окружности: а) вписанной в
него; б) описанной около него.
4. По данной хорде а найти длину дуги, если центральный угол: a) 60°)
б) 90°; в) 120°.
5. Найти площадь той части круга, которая расположена вне вписанного
квадрата. Радиус круга равен R.
6. Угловая величина дуги сегмента равна 120°, а длина этой дуги I. Найти
длину окружности, вписанной в этот сегмент.
а
7. Найти площадь кругового сегмента с основанием а у 3 и высотой -х-
Раздел II
8. Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см. Найти градус-
ную меру центрального угла.
9. Площадь круга, радиус которого равен 5,4 дм, разделена двумя концен-
трическими окружностями на три части, площади которых относятся как
4:3:2. Найти радиусы этих концентрических окружностей.
10. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который
вписан круг, а в этот круг вписан квадрат. Найти сторону этого квадрата.
11, Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если сумма всех его
внутренних углов равна:
а) 1080°; б) 1620°; в) 22 d?
12. Углы выпуклого пятиугольника относятся как 1 : 3 : 4 : 4 : 6. Найти их.
Глава XVII. ЗАДАЧИ
Рассмотрим примеры решения некоторых геометрических за-
дач. Решение этих задач, различных по трудности, требует
комбинированного применения основных теорем и формул геомет-
рии на плоскости (планиметрии).
Зв9
Задача 1. Две окружности пересекаются под прямым уг-
лом (т. е. их касательные, проведенные в одной из точек пере-
сечения, взаимно перпендикулярны). Найти длину отрезка общей
касательной к этим окружностям, если их радиусы равны R и г.
Решение. Пусть О{ и О2 — центры данных окружностей,
М — одна из точек их пересечения, АВ—общая касательная (рис.
263). Из условия пересечения окружностей под прямым углом
следует, что О±М _\_О.2М. Поэтому |O1Os|=;j//?24’r8.
Рис. 264.
Допустим, что R > г. Проведем ВСИО^ и рассмотрим прямо-
угольный Л АВС- (угол А — прямой). По теореме Пифагора
| А В | = /| ВС|2—|ЛС|2 = /7?24-г2-(7?-г)2 =
Если R = r, то |ЛВ| — | О1О2, == R]f 2, и результат содержится
в ранее найденном при R — r. Итак, | ЛВ | = рЛ2/?г.
Задача 2. Найти отношение радиусов вписанного и опи-
санного кругов для равнобедренного треугольника с углом а
при основании.
Решение. Пусть АВС—равнобедренный треугольник, А =:
=С я=а (рис. 264), Обозначим |ЛС|=;й. По теореме синусов
-Л^ = 2Я,
sin В
где R—радиус описанного круга.
Так как угол при основании равен а, то
В = 180° —2а, sin В = sin (180°—2a) = sin2a.
Значит,
р _
2 sin 2a ’
Пусть О—центр вписанного круга. Тогда ОЛО = у, поэтому
r=lOD|=|4D|tg|=|tgf.
310
Отсюда
^- = sin2a tgf.
Задача 3. В треугольнике АВС даны стороны а, b и с.
Найти его медианы та, ть и тс (рис. 265).
Решение. 1-й способ. Для вычисления медианы mb = | BBL |
продолжим ее на
отрезок ВхО, равный ВВ1; и соединим точку
D с вершинами А и С. Полученный четы-
рехугольник ABCD — параллелограмм, так
как диагонали АС и BD делятся в точке
пересечения. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов его сторон, т. е. &2-f-(2/nb)2= 2а2 + 2с2, откуда
ть =-^-]/2а2 + 2с2—Ь2. Аналогично вычисляются та и тс.
2-й способ. Пусть АВ1В = а. Тогда ВВгС= 180°—а. По
теореме косинусов
с2 = ^- + ^1—2mb cosa,
a2 = -^- + m*—2mb--|- cos(180°—а).
Сложив эти равенства и учитывая, что cos (180°—a) =— cosa,
находим mb.
Задача 4. В треугольнике АВС даны медианы та, ть и
те. Найти его стороны а, b и с (рис. 266).
Решение. Для вычисления стороны а продолжим отрезок
A At на расстояние | и точку F соединим с вершинами
В и С. Пусть О—точка пересечения медиан ДАВС. Четырех-
угольник OBFC—параллелограмм. По свойству диагоналей парал-
лелограмма
(9 X 2 /9 \ 2 /9 ХЯ
ymj =2{-ть) + 2 (у mJ,
откуда следует, что
а = 4]/< 2mb + 2m2—m2.
О
Аналогично находим b и с.
311
Задача 5. Доказать, что квадрат биссектрисы треугольника
равен произведению двух прилежащих сторон треугольника без
произведения отрезков, на которые она де-
лит противолежащую сторону (рис. 267),
т. е. l$ = ab—aLbt.
Решение. Рассмотрим треугольники ACD и BCD. По тео-
реме косинусов
bi = Ьг 4- I2.— 2ЫС cos a, = а2 4- /2—2alc cos а,
С
где а =2-. Отсюда следует, что
26/с cos а _ й24-/с—fri
2a/ccosa ~ а2 + ;з_а2>
т. е.
1ЦЬ—a) — ab(b—a) — (abf —а2Ь). (*)
По свойству биссектрисы треугольника
-г = т~-» т. е. ab^aj.
Тогда abi—afb^aibbi—а^а = albl (b—а) и равенство (*) при-
нимает вид
I2 (b—a) = ab (b—a)—albl (b—a),
или Д = аЬ—а1Ь1 при условии, что Ь=£а.
Если Ь = а, то Ь1 — а1=^, 12 — а2— -у, что согласуется с до-
казываемым равенством, положив в нем а — Ь.
Задача 6. Основания трапеции равны 4м и 16 м (рис. 268).
Найти радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описан-
ной около нее, если известно, что эти окружности существуют.
Решение. Описать окружность около трапеции можно только
при условии, что трапеция является равнобочной: AB = CD.
Вписать окружность в трапецию ABCD можно только при усло-
вии, что А В 4- CD = ВС 4- AD. Пусть | ВС | = 4 м, | AD| = 16 м.
Тогда | АВ| = |СО| = Ю м, | АЕ | = | FD | = = 6 м, (ВЕ| =
= /|АВ|»—|АЁр= /100-36 = 8 м, | BD | = /|BE|«4-1DE j2 =
= /644-100 = 2/41 м. Тогда 2г = |ВЕ| = 8м, т. е. радиус
вписанной окружности г = 4 м.
312
Найдем площадь S треугольника ABD:
S = y | BE |-| 4D| = y-8-16 = 64 м*.
Используем формулу для радиуса окружности, описанной
n abc
около треугольника: R=-^-.
Для треугольника ABD получим
Радиус окружности, описанной около ДДВО, и есть радиус
окружности, описанной около трапеции ABCD.
Задача 7. В окружности радиуса 5 м проведены хорды,
длина которых равна 8 м. Найти геометрическое место середин
этих хорд.
Решение. Рассмотрим множество точек, которые являются
серединами хорд длиной 8 м в данной окружности. Возьмем
какую-нибудь хорду ДВ(|ДВ| = 8 м) с
серединой в точке М (рис. 269). По тео- в
реме Пифагора | ОМ | = ]/25 —16 = 3 м.
Значит, все такие точки и только они / 1(?\
/\г \
I N 1 / \
I о ] \
-----' А 1 В
Рис. 269. Рис. 270.
удалены от центра данной окружности на расстояние в 3 м.
Искомое геометрическое место точек представляет собой окруж-
ность радиусом 3 м и центром О.
Задача 8. Дан треугольник АВС, площадь которого равна
единице (рис. 270). На медианах АК, BL и CN треугольника
АВС взяты соответственно точки Р, Q и R так, что
АР __ . BQ _ 1 CR 5
РК — QL ~ 2’ RN — 4 • -
Найти площадь треугольника PQR.
Решение. Пусть О—точка пересечения медиан ДДВС.
Тогда Зд дов = Зд вое = Зд дос =-д^д лвс = у (см. задачу 2 § 2
гл. XV).
Рассмотрим ^\POQ:
|ор|=||дк|-||дк|=||дк|,
|OQ| = | |BL| —1 |BL| = ||BL|.
313
Так как
<$Д АОВ = у |0Л |-| OB|sin АОВ,
то
S^POQ |ОР|.|О<2| |ОР| IOQI 'б,ЛА'1 T|BL|
5длов |ОЯ|.|ОВ| - |ОЯГ |ОВ1 ~2)ЛК1 * 2|В1|
3 3
следовательно,
S^POQ = -gS&AOB.
Аналогично получаем, что
5д qoR = Зд вое, роц — Зд лоо. *
Поэтому
°д -• 3 \ 8 12 ** 24 ) 12’
Задача 9. Доказать, что множество всех точек М, для
которых
\MA*—MB*\^kS&MAB,
где А и В—данные две точки, k > 0—данная постоянная, Smab —
площадь треугольника МАВ, есть пара прямых.
ff
Решение. Применим метод координат. Пусть |ЛВ| = а.
Выберем систему координат (рис. 271). Тогда А (0; 0), В (а; 0),
М (х; у). Поэтому
Л4Л3 = х24- г/3, МВг = (х—а)* А-у*’,
следовательно,
/ИЛ3—МВ-~2ах—а3; ] АЛЛ3—MBi\ = a 12х—а\.
Высота Д/ИЛВ равна модулю ординаты точки М, а основание
треугольника равно а. Поэтому
>3длыв = '^-а| yl-
314
По условию
а|2х—д| = 1а| z/|, или |2х—а| = -|[у|,
откуда
2х—а = 4у, 2х—а = —
2 и 2 J
— уравнения двух прямых.
Задача 10. Доказать, что если длины сторон треугольника
образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности,
вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан
лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне тре-
угольника.
Решение. Пусть а, Ь, с—длины сторон ДЛВС, причем
а < b < с; О—центр вписанной окружности, М—точка пересече-
ния медиан (рис. 272). Так как а, Ь, с образуют арифметиче-
скую прогрессию, то b—а = с — ЬилиаА-с~2Ь. Поэтому периметр
ДЛВС
2р = ЗЬ или р = ^Ь.
Для решения задачи покажем, что точки О и М находятся
на равных расстояниях от стороны Л С. Имеем
। пп । S 2S
00 =г = —= —
1 11 р зь
(г — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника,
р—его полупериметр). Находим
|44411| = — hb (hb — высота ДЛВС),
так как | 4444j| = -j | ВО |. Поэтому
• .... । 1 , 1 2S 2S
| MMt | — 3 hb — 3 ь — Зь .
Следовательно, [0011 = 14444x1, и прямая 044 параллельна
стороне АС.
Задача 11. В данный треугольник вписать прямоугольник,
имеющий заданную диагональ, так, что две вершины прямоуголь-
ника лежат на основании треугольника, а две другие — на его
боковых сторонах.
Решение. Допустим сначала, что ЛВС — прямоугольный
треугольник с прямым углом С (рис. 273, а). Тогда из вершины
С раствором циркуля, равным длине данной диагонали, строим
точку D на гипотенузе АВ. Получим прямоугольник DECF
с данной диагональю CD. Пусть h— высота, проведенная из
вершины С на гипотенузу. Если | CD | = h, то задача имеет един-
ственное решение; если \CD| > h, то решения два; а если | CD | < И,
то решения нет.
315
Пусть ABC—произвольный треугольник (рис. 273, б). Рас-
смотрим вспомогательный треугольник Л1В1С1 с прямым углом
G такой,что MAHMCI, a (BjCJ = |ВЯ| (ВН—высота ДЛВС).
Впишем в треугольник A^Ct прямоугольник Б^С^ с задан-
ной диагональю. Тогда DEKF—искомый прямоугольник. В самом
деле, | DF | = | |, а из равенства
|ОЕ|
|ЛС| МАГ
следует, что | Df | = | |, так как MC| = MiC,|. Поэтому
Упражнения
1. Доказать, что: а) треугольник с двумя равными медианами является
равнобедренным; б) треугольник с двумя равными высотами является равно-
бедренным.
2. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипо-
тенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найти длины катетов треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности
делит гипотенузу на отрезки длиной в 5 см и 12 см. Найти длины катетов.
4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых
углов равен а. Определить радиус вписанного круга.
5. Определить синусы острых углов прямоугольного треугольника, зная,
что радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного
круга как 5:2.
в. Доказать, что в треугольнике АВС, длины сторон которого | АВ | = 4 см,
| ВС | = 3 см и I АС 1=1^5 см, медианы АК и CL взаимно перпендикулярны.
7. В треугольнике АВС площадью 1 кв. ед. на медиане ВК взята точка
М так, что | МК1 = -^ | ВК|. Прямая AM пересекает сторону ВС в точке L.
Найти площадь треугольника ALC.
8. Даны две концентрические окружности. Касательная к окружности
меньшего радиуса делит длину окружности большего радиуса в отношении 1:5.
Найти отношение площадей кругов, ограниченных этими окружностями.
316
9. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны
соответственно 2, 3 и 4, вписана окружность радиуса 1,2. Найти площадь
этого четырехугольника.
10. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание в
полтора раза меньше радиуса описанной окружности. Найти отношение осно-
вания к боковой стороне.
11. В равнобочной трапеции ABCD: | АВ | = | CD | = 3, основание | AD | = 7,
BAD = 60°. На диагонали BD расположена точка М так, что | ВМ |:| MD | = 3:5.
Какую из сторон трапеции ВС или CD пересечет продолжение отрезка ЛЛ1?
12. Около круга радиусом г описана прямоугольная трапеция, наимень-
3
шая из сторон которой равна г. Найти площадь трапеции.
13. Около равнобочной трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а вы-
сота 7 см, описан круг. Найти площадь этого круга.
14. Большее основание трапеции равно а, меньшее основание равно ft; углы
при большем основании 30° и 45°. Найти площадь трапеции.
15. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а. Вы-
сота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного круга на т.
Определить основание треугольника и радиус описанного круга.
16. Доказать, что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от
любой точки основания до боковых сторон постоянна.
17. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 3 м и 6 м. Найти
длину биссектрисы прямого угла.
18. В прямоугольном треугольнике биссектриса угла делит противолежа-
щий катет на отрезки длиной 4 см и 5 см. Найти площадь треугольника.
19. Около треугольника с данными углами а, Р, у описан круг. Найти
отношение площади треугольника к площади круга.
20. Из точки А данной окружности проведены всевозможные хорды. Что
представляет собой геометрическое место их середин?
21. Построить правильный треугольник, вершины которого лежат на трех
данных прямых.
Глава XVIII. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. Аксиомы стереометрии
Стереометрия—’Это раздел геометрии, в котором изучаются
фигуры в пространстве. Свойства геометрических фигур' уста-
навливаются путем доказательства соответствующих теорем. При
этом отправными являются свойства простейших геометрических
фигур, выражаемые аксиомами. Простейшими фигурами в про-
странстве являются точка, прямая и плоскость.
Аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии и сле-
дующих аксиом, выражающих основные свойства плоскостей в
пространстве.
1) Для любой плоскости существуют точки, принадлежащие
этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
317
2) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них
можно провести плоскость и притом только одну.
Из аксиом стереометрии следует, что:
1) через прямую и не лежащую на ней точку можно прове-
сти плоскость и притом только одну;
2) если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся пря-
мая принадлежит этой плоскости;
3) плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересека-
ются, либо Пересе каются в одной точке;
4) через три точки, не лежащие на прямой, можно провести
плоскость и притом только одну.
§ 2. Прямые и плоскости в пространстве
Две различные прямые в пространстве либо лежат в одной
плоскости и имеют только одну общую точку, либо лежат в од-
•ной плоскости и не имеют общих точек, либо лежат в разных
плоскостях.
Определение. Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют
общих точек.
Определение. Две прямые в пространстве называются
скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.
Итак, две прямые в пространстве либо пересекаются, либо парал-
лельны, либо скрещиваются.
Узлом между скрещивающимися прямыми будем называть угол
между пересекающимися прямыми, им параллельными. Его угло-
С/ вую меру а выбирают в границах 0 < а ^90°;
она не зависит от того, какие взяты пересе-
кающиеся прямые.
Угол между параллельными прямыми счи-
тается равным нулю.
Задача 1. Найти угол между диагона-
^лями смежных граней куба, проведенными
из разных вершин.
Решение. Пусть ABCDAjB^Dt—
Рис. 274. данный куб (рис. 274).
Найдем угол между диагоналями граней ADX и CJ), как угол
между скрещивающимися прямыми. Проведем АВ± параллель-
но CpD', угол B^ADi искомый. Соединив Bt и Du получим рав-
носторонний треугольник АВГО^ Следовательно, 514D1=60°.
Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называ-
ется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна
любой прямой, лежащей в этой плоскости.
При этом, если данная прямая и какая-нибудь прямая данной
плоскости скрещиваются, то они считаются перпендикулярными,
когда угол между ними равен 90°.
В,
В,
318
Теорема 1 (признак перпендикулярности прямой и плос-
кости). Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна
к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она пер-
пендикулярна к этой плоскости.
Доказательства этой теоремы и следующих теорем в § 2 не
приводим.
Теорема 2 (признак параллельности прямой и плоскости).
Плоскость и не лежащая в ней прямая параллельны, если в дан-
ной плоскости найдется прямая, параллельная данной прямой.
Теорема 3 (признак параллельности двух плоскостей). Если
две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно парал-
лельны двум пересекающимся прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
Из теорем 1—3 следует, что:
1) через любую точку пространства про-
ходит одна и только одна прямая, перпен-
дикулярная данной плоскости; две прямые,
перпендикулярные данной плоскости, парал-
лельны;
2) через каждую точку пространства про-
ходит одна и только одна плоскость, перпен-
дикулярная данной прямой; две плоскости,
перпендикулярные данной прямой, парал-
лельны;
3) через точку вне плоскости можно провести плоскость, парал-
лельную данной, и притом только одну;
4) если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то
прямые пересечения параллельны;
5) отрезки параллельных прямых между параллельными плос-
костями равны: | Л1-42| = |51В1!| (рис. 275).
Длина отрезка, отсекаемого двумя параллельными плоскос-
тями на любом их общем перпендикуляре, называется расстоя-
нием между этими плоскостями.
Например, если плоскости а и Р параллельны, то расстояние
между ними есть | АВ | = | А1В11 = | А2В21 (рис. 276). На этом
рисунке АВ — перпендикуляр, опущенный из точки А плоскости а
319
на плоскость р, АС—наклонная, ВС— проекция наклонной на
плоскость р; | АС | > | АВ |.
Задача 2. Построить три взаимно перпендикулярные прямые.
Решение. Возьмем произвольную плоскость а. Проведем
на ней две перпендикулярные прямые а и b (рис. 277), затем через
прямую ОА проведем плоскость Р и на этой плоскости построим
прямую ОС, перпендикулярную к ОА. Через прямые ОВ и ОС
проведем плоскость у и построим в этой плоскости прямую OD,
Рис. 278.
перпендикулярную к ОВ. Так как ОА ^_ОВ и О А | ОС, то, со-
гласно теореме 1, прямая О А перпендикулярна к плоскости у,
и, следовательно, О А | OD. Значит, прямые а, Ь и с взаимно
перпендикулярны.
Определим- понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть р—
плоскость и а—пересекающая ее прямая (рис. 278). Основания
перпендикуляров, опущенных из точек а на плоскость р, лежат
на прямой Ь. Эта прямая называется проекцией прямой а на пло-
скость р. Углом между прямой а и плоскостью р называется угол
между этой прямой и ее проекцией на плоскость р. Его угловую
меру а выбирают в границах 0° < а 90°. Если прямая параллель-
на плоскости, то угол между ними считается равным нулю.
Определим понятие угла между плоскостями. Угол между
параллельными плоскостями считается равным нулю. Пусть а и
Р—плоскости, пересекающиеся по прямой с (рис. 279). Проведем
плоскость у, перпендикулярную к прямой с.. Она пересечет плос-
кости а и Р по прямым а и Ь. Углом между плоскостями аир
называется угол между прямыми а и Ь. Этот угол не зависит от
выбора плоскости у.
§ 3; Многогранники (прямая призма, прямоугольный
параллелепипед, пирамида, правильная пирамида)
Определение. Многогранником называется геометрическое
тело, ограниченное пополненными многоугольниками (см. гл. XV).
Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются
гранями, их стороны—ребрами, а вершины—вершинами много-
гранника.
Будем рассматривать простейшие многогранники — прямые
призмы и пирамиды.
320
Прямая призма. Пусть а й а1—две параллельные плоскости,
Q—выпуклый многоугольник в плоскости а и А, В, С, ..., К —
его вершины. Через каждую точку М многоугольника Q прове-
дем прямую, перпендикулярную плоскости а, и обозначим через
Alj точку пересечения ее с плоскостью ах (рис. 280). Отрезки
AIM* заполняют некоторый многогранник. Этот многогранник
называется прямой призмой. Его граница состоит из много-
угольника Q, равного ему многоугольника Qi в плоскости и
прямоугольников АВВ^А}, ВСС^, ... Многоугольники Q и Qt
называются основаниями призмы, а прямоугольники—боковыми
гранями прямой призмы. Отрезки AAlt BBt, СС\.....KKi на-
зываются боковыми ребрами призмы. Высотой, призмы называется
отрезок, заключенный между ее основаниями и перпендикулярный
им. (Высотой призмы называют и длину этого отрезка.) На рис. 281
изображена прямая пятиугольная призма.
Прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм,
называется прямым параллелепипедом. Если же в основании пря-
мой призмы лежит прямоугольник, то она называется прямоуголь-
ным параллелепипедом (рис. 282). Прямоугольный параллелепи-
пед, все ребра которого равны между собой, называется кубом.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих
общую вершину, называют измерениями этого параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности прямой призмы есть сумма пло-
щадей прямоугольников, являющихся ее боковыми гранями.
Теорема 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы
равна произведению периметра основания призмы на ее высоту.
Доказательство. Обозначим через h высоту призмы и
через а, Ь, ..., f—стороны основания. Так как боковые грани
прямой призмы — прямоугольники с высотой h и сторонами а,
Ь, f, то площадь боковой поверхности прямой призмы
Збок — uhA-bh-}-... 4* fh = (а 4- b 4-... 4~ f) h = Ph, (1)
где P—периметр основания призмы. Теорема доказана.
S21
Площадь поверхности (или площадь полной поверхности) пря-
мой призмы состоит из площади боковой поверхности и площа-
дей оснований. Поэтому
S = S60k + 2S0c„. (2)
Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединя-
ющий две вершины, не принадлежащие одной грани. У паралле-
лепипеда четыре диагонали.
Теорема 2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат, любой
диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство. Пусть ABCDA]BiC4Dl—данный прямо-
угольный параллелепипед (см. рис. 282). Проведем его диаго-
наль BjD. Из прямоугольного треугольника B-JAB по теореме
Пифагора получаем B1D2 = SD24-BB2.
Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора
получаем ВОа = АВ2 4-А£)2. Отсюда B1D2 = AB2-|-AD2 + AAi, так
как АА1 = ВВ1. Теорема доказана.
Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все четыре диа-
гонали равны между собой.
Если а—длина ребра куба, а I—длина его диагонали, то
/2 = 3а? или / = арЗ. Для многогранников и других геометри-
ческих тел понятие объема вводится аналогично понятию пло-
щади плоской фигуры (гл. XV). Единицей измерения объема
будем считать куб, длина ребра которого принята за единицу изме-
рения длины. Объем куба с длиной ребра а равен кубу длины
его ребра: V=a3. Общие свойства объемов тел аналогичны общим
свойствам площадей плоских фигур (гл. XV).
Две фигуры в пространстве называются равными, если они совме-
щаются движением. Движение в пространстве рассматривается
так же, как и на плоскости (гл. Х1П). Это преобразование для
фигур в пространстве, которое сохраняет расстояние между точ-
ками. Равные фигуры в пространстве имеют равные объемы.
Фигуры, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
Равные фигуры всегда равновелики. Обратное неверно: если две
фигуры имеют равные объемы, то они не обязательно равны.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по
формуле
V = abc, (3)
где а, b и с—три измерения параллелепипеда (длина, ширина и
высота). Формулу (3) можно записать в виде
V = Sh (4)
(S = ab— площадь основания, h — высота призмы). Формула'(4)
верна для любой прямой призмы. Итак, объем прямой призмы
равен произведению площади ее основания на высоту.
Пирамида. Пусть Q—выпуклый многоугольник в плоскости а
и S—точка, не принадлежащая плоскос'ти а. Соединим каждую
точку М многоугольника Q с точкой S отрезком MS. Отрезки MS
322
заполняют некоторый многогранник. Этот многогранник называ-
ется пирамидой (рис. 283).
Пирамида называется n-угольной, если Q—л-угольник. Тре-
угольная пирамида называется также тетраэдром. Многоугольник Q
называется основанием пирамиды, а точкаS—вершиной пирамиды.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведен-
ного через вершину к плоскости ее основания; концами этого
отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендику-
ляра. (Высотой пирамиды называют и длину этого отрезка.)
Пусть А, В, С, ..., К—вершины многоугольника Q, лежащего
в основании пирамиды. Тогда треугольники ASB, BSC, . .. назы-
ваются боковыми гранями пирамиды, а отрезки BS, CS, ... —
боковыми ребрами.
Пирамида называется правильной, если основанием ее явля-
ется правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр
основания. Высота боковой грани правильной пирамиды, прове-
денная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды.
Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.
На рис. 284 изображена правильная треугольная пирамида.
Теорема 3. Площадь боковой поверхности правильной пира-
миды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Доказательство. Площадь одной боковой грани правиль-
ной и-угольной пирамиды равна ^ahg0K, где а—сторона основа-
ния, /1бок—апофема пирамиды. Поэтому
о °^бок „ ап ь _____ В
°бок 2 11 2 “бок 2 “бок>
где Р—периметр основания пирамиды.
Итак,
Збок = -2 ^^бок- (5)
Теорема доказана.
Площадь поверхности (или площадь полной поверхности) пра-
вильной пирамиды состоит из площади боковой поверхности и
площади основания. Поэтому S = S6oK + S0C1I =-^ Рйбо1,у Ph0Cat
323
или
S = |P(/i6oK+ftOCH). (6)
Объем любой пирамиды вычисляется по формуле
- V=4s0CA (7)
где Soc„—площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды.
Задача. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро
и сторона основания равны а. Найти площадь поверхности пира-
миды.
Решение. Пусть SABC—данная пирамида, |Л5| = |ДВ| = а
(см. рис. 284). Тогда
йоси = | ВО | = a sin 60° = ; Soc„ = 1 оЛОСн = .
Треугольники ASB, BSC, CSA равны треугольнику АВС.
Поэтому S = 4S0CH =а?Уз.
§ 4. Фигуры вращения (цилиндр, конус, шар)
Цилиндр. Пусть а и а,— две параллельные плоскости, Р —
круг в плоскости а (рис. 285). Приведем через произвольную
точку М круга Р прямую, перпендикулярную к плоскости а.
Отрезок этой прямой между плоскостями а и at обозначим че-
рез ам. Когда точка М описывает круг Р, отрезки ам заполня-
ют некоторое тело. Это тело называется круговым цилиндром
или просто цилиндром.
Граница цилиндра состоит из круга Р, равного ему круга Pt
в плоскости «j и боковой поверхности. Боковая поверхность
цилиндра описывается отрезком ctM, когда точка М пробегает
окружность круга Р. При
этом сами отрезки ам назы-
ваются образующими ци-
линдра. Круги Р и Pt на-
зываются основаниями ци-
линдра.
Высотой цилиндра назы-
вается отрезок, заключенный
между его основаниями и
перпендикулярный им. (Вы-
сотой цилиндра называют и
длину этого отрезка.)
Рис. 285. Рис. 286.
Прямая, проходящая через центр основания цилиндра парал-
лельно его образующим, называется осью цилиндра.
В сечении оснований и боковой поверхности цилиндра пло-
скостью,“[параллельной образующим, подучается прямоугольник,
сторонами которого служат образующие цилиндра и хорды
(в частности, диаметры) окружностей оснований (рис. 286).
324
Круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное
при вращении прямоугольника ABCD вокруг одной из его сто-
рон— оси вращения (рис. 287, а, б). При этом сторона, параллель-
ная оси, описывает боковую поверхность цилиндра и является его
образующей. Смежные к оси стороны описывают круги—осно-
вания цилиндра. Прямая, содержащая сторону прямоугольника,
вокруг которой происходит вра-
щение, является осью цилин-
дра.
Боковая поверхность цилин-
дра— кривая поверхность. Но
ее можно, «разгибая», превра-
тить в плоскую (т. е. поло-
жить на плоскость, развернуть).
Если развернуть боковую по-
верхность цилиндра, то полу-
чится прямоугольник, длина
основания которого равна длине
окружности основания цилинд-
ра, а высота — высоте цилинд-
ра (рис. 288). Следовательно,
развертка цилиндра состоит из
прямоугольника и двух кругов—
оснований цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по фор-
муле
*5бок — 2л/?/(,
(8)
Рис. 289.
где R— радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна
площади прямоугольника, основание которого равно 2л/?, а вы-
„ _ £,сота равна высоте цилиндра h. Поэтому пло-
0 щадь поверхности цилиндра равна
S = 2л/?2 + 5бОк = 2л/?2 + 2л/?й,
или
7 S = 2л/? (/? + /i). (9)
Объем цилиндра вычисляется по формуле
V = S<kH/i = л/?2/г. (10)
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на
высоту.
Задача 1. Развертка боковой поверхности цилиндра пред-
ставляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна / и
составляет угол а с основанием. Определить объем цилиндра.
Решение. Пусть R—радиус основания цилиндра, Л—вы-
сота цилиндра (рис. 289): h = I sin а, 2л/? = 1 cos а, следовательно,
R = . Поэтому 1/=л/?2/г = л ^-^^y/sina. Отсюда
325
получим
Конус. Пусть а — плоскость, SO—отрезок перпендикуляра,
опущенного из точки S на плоскость а, Р — круг в плоскостное
с центром О (рис. 290). Соединим произвольную точку М круга
Р отрезком MS с точкой S. Когда точка М описывает круг Р,
отрезки] MS заполняют некоторое тело. Это тело называется
круговым конусом или просто конусом.
Граница конуса состоит из круга Р—основания конуса и боковой
поверхности. Боковую поверхность конуса описывает отрезок ам,
когда точка М пробегает окружность круга Р. Точка 3 назы-
вается вершиной конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса
с точками окружности его основания, называюся образующими
конуса. Прямая OS называется осью конуса, а отрезок OS между
вершиной и центром основания—высотой конуса.
В сечении основания и боковой поверхности конуса пло-
скостью, проходящей через его вершину и пересекающей осно-
вание, получается треугольник. Сторонами этого треуголь-
ника являются образую-
щие конуса и хорда (в
частности, диаметр) его
основания (рис.291). Се-
чение, проходящее через
высоту (ось) конуса, назы-
вается осевым сечением.
Круговой конус можно
рассматривать как тело,
полученное от вращения
прямоугольного треуголь-
ника ДОЗ вокруг его катета (рис. 292, а, б). При этом гипо-
тенуза ДЗ описывает боковую поверхность конуса, а катет —
круг (основание конуса). Прямая, содержащая катет, вокруг
которого происходит вращение, является осью конуса.
а) 6)
Рис. 292.
326
Если развернуть боковую поверхность конуса, то получится
круговой сектор, радиус которого равен 1| — длине образую-
щей конуса, а дуга АВ
имеет длину, равную дли-
не окружности основания
конуса (рис. 293). Следо-
вательно, развертка кону-
са состоит из кругового
сектора и круга—основа-
ния конуса.
Площадь боковой по-
верхности конуса равна
площади сектора SAB: S6oK = , где L—длина образующей
5Л, а—величина (в градусах) угла ASB (см. § 3 гл. XVI).
Дуга АВ имеет длину (см. § 2 гл. XVI) = Поэтому
, _ л£2а nLa L . L
'бок — 360 — "180 2~~ ~2 ’
Но длина I дуги АВ равна длине окружности основания кону-
са, значит, / = 2л/?, где R— радиус основания конуса. Отсюда
*$боК = Ц = 2п7?4 = л/?£-
Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по
формуле
S6oK = n.RLt (11)
где R— радиус основания конуса, L—длина образующей конуса.
Следовательно, площадь боковой поверхности конуса равна
половине произведения длины окружности его основания на об-
разующую.
Поэтому площадь поверхности конуса равна
S = 5бок + S0CH = xRL + л7?2,
или
S = nR(R + L). (12)
Объем конуса вычисляется по формуле
=4^7?2Л, (13)
где h—высота конуса.
Объем конуса равен одной трети произведения площади его
основания на высоту.
Шар. Пусть О — произвольная точка и R — любое положи-
тельное число. Тело, точками которого являются все точки про-
странства, удаленные от точки 0 на расстояние, не большее R,
327
называется шаром. Точка О называется центром шйра, а число
R— радиусом шара.
Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.
Таким образом, сферой называется множество всех точек прост-
ранства, равноудаленных от данной точки, называемой центром
сферы (или центром ш?'а).
Отрезок, соединяюций центр сферы с любой ее точкой, назы-
вается радиусом сферы (или радиусом шара).
Отрезок, соединяющий две точки на сфере, называется хор-
дой шара. Хорда шара, проходящая через его центр, называется
диаметром шара.
В сечении шара любой плоскостью а получается круг; центр
Oi этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из
центра шара О на секущую плоскость (рис. 294). Если секу-
щая плоскость проходит через центр шара, то в сечении полу-
чается круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг
называется большим кругом. Окружностями больших кругов на
глобусе, например, являются экватор и меридианы.
Рис. 295.
Шар можно получить, вращая полукруг вокруг его диаметра.
При этом полуокружность описывает шаровую поверхность, или
сферу (рис. 295).
Боковые поверхности цилиндра и конуса можно превратить
в плоские, т. е. развернуть. Оказывается, что поверхность шара
никаким «разгибанием» нельзя сделать плоской. Поэтому формулу
для площади поверхности шара нельзя найти, пользуясь раз-
верткой.
Можно доказать, что площадь поверхности шара (или пло-
щадь сферы) равна учетверенной площади большого круга:
5 = 4л7?2, или S = nD2, (14)
где R—радиус шара, D—диаметр шара.
Объем шара вычисляется по формуле
У = (15)
□
Задача 2. Доказать, что площадь поверхности тела, обра-
зованного вращением квадрата вокруг стороны, равна площади
поверхности шара, радиус которого равен стороне квадрата.
328
Решение. Пусть а—сторона квадрата (рис. 296). При вра-
щении квадрата вокруг стороны АВ получим цилиндр, у кото-
рого /?ц = йц = а. Поэтому £ц = 2лА?ц(/?ц4-/1ц) (формула (9)) или
5ц = 2ла-2а = 4лаа. Площадь поверхности шара 5ш = 4л/?щ (Ф°Р*-
мула (14)) или 5ш = 4ла2. Следовательно, 5Ш = 5Ц.
Упражнения
1. Через данную точку О пространства провести прямую, перпендику-
лярную к данной плоскости а. Рассмотреть два случая: а) точка О лежит на
плоскости а; б) точка О не лежит на плоскости а.
2. Измерения, прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Най-
ти ребро равновеликого ему куба.
3. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 дм, стороны основа-
ния равны 6 дм и 8 дм, а одна из диагоналей основания равна 12 дм.
Определить диагонали параллелепипеда.
4. Основанием прямой призмы служит ромб с диагоналями 6 см и 8 см,
высота призмы 12 см. Вычислить площадь боковой поверхности и объем призмы.
5. Найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда,
если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М.
6. В прямом параллелепипеде стороны основания а и Ь образуют уголЗО ;
площадь боковой поверхности равна S. Найти объем.
7. Вычислить объем правильной: а) треугольной; б) четырехугольной;
в) шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и высота
h (а = 15 см, й=20 см).
8. Найти площадь поверхности и объем правильной четырехугольной
пирамиды, если ее высота равна h и радиус вписанной в основание окруж-
ности равен г.
9. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона
основания равна а и боковые ребра взаимно перпендикулярны.
10. Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найти диагональ осе-
вого сечения.
11. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найти площадь
сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
12. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный тре-
угольник, площадь которого равна 9 м2. Найти объем конуса.
13. Образующая конуса равна I и составляет с плоскостью основания
угол а. Найти объем конуса.
14. Равносторонний треугольник со стороной, равной а, вращается вок-
руг одной из своих сторон. Найти объем тела вращения.
15. Полукруг свернут в коническую поверхность. Определить угол между
образующей и осью конуса.
16. Как относятся радиусы-двух шаров, если отношение объемов этих
шаров равно 1 : 8?
17. Площади двух сфер относятся как т : п. Как относятся их объемы?
18. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилинд-
ром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел
объем К?
329
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
ЧАСТЫ. Гл. II. 15.—^.16. 4. 17. 12. 18. 4000.19. 1.20. 1 4- . 22. £<0,11;
16 о 46
114> 9’10’12-13. 24. 5. 25. 4. 26. 0; 0. 29. 2в-35-5; 25.33-7. 31. а) 13; 6) 14.
32. а) 5670; б) 3900. 33. Частное увеличится на 2, остаток останется тем же.
19 9 1
34. 0,(27). 36. 364-. 37. £. 38. 7200. 39. 14 4. 40. 181. 41. 1 £ . 42. х = 4.
о оо 7 Уб
2
43. х = 11-х-. 44. 14, 5 км/ч. 45. 4 галки, 3 палки. 48. Да. Например,
о
-2_ 2
З.--3’
1 2
Гл. III. 1. 0<-—2 < 1. 2. 0,2 < — < 0,4. 3. 7 < х4-у < 9,
х х 1 а
5 х
2 < х—у < 4, 10 < ху < 18, — < — < 3. 4. 0,04 (с недостатком), 0,06 (с из-
о У
1 3
бытком). 5. (с недостатком), (с избытком). 6. х = 2,4 ± 0,01.
1< о / Uu
7. ойй: 5йп‘> orVnn • 8. 22,2 < г/<23,2. 9. х = 8,443 ± 0,001. 10. Второе измере-
oUU ouU oUUU
ние точнее. 11. м 2,2%. 12 . 0,1608; х = 40,2 ± 0,2. 13. и 0,12%. 14. Зу
точнее. 15. Верные цифры 8 и 3. 16. х я 15,3. 17. 2,71828; 2,7183; 3. 19.28,5;
28,4; 28,6. 20. у я 0,429. 23. 3,9-Ю-2 ± 0,1-10~2. 25. 18,8. 26. 25. 27. 0,7.
28. 31,6. 29. 129,20. 30. 3,639. 31. 39. 32. 1,89. 33.44 м2. 34. 57 кг. 35. 358 км.
36. 2,87 кг. 37. 10 а. 38. 30 м. 39. 1,1 м/с2. 40. 1,4.
Гл. IV. 1. Извлечь из обеих частей неравенства корень 100-й степени и
доказать, что 2003 > 3002. 2. 333533 + 55533® = 333М1135? + 5333- 1 11333; 111
кратно 37. 13. — }/х(х—1). 14. 1. 15. 2. 17. —; 1,7; 1,73. 20. Да. Напри^
о
мер, (3—V~5) + (7+У~5) = 10. 21. Да. Например, (3- / 2) (3 + V 2) =
= 5. 26. а) 3/5; б) /41. 27. 0,12. 28. —13,75. 31. 4-. 32. —.
о 1о•
i __2_ _2___1_ 2 1
33. а) 3; б)-18. 40.-2/1. 46. у. 47. х Зу Зг 3 . 48. х 1 у 2 .49. 0.
330
Гл. V. 1. 38,8%. 2. 1,1 м и 0,88 м. 3. 64%. 4. 70км. 5. 440 деталей.
6. (х— 1) (Зх2 + 4хН-3). 8. (a2 + ab+2b2)-(a2—ab + 2b2). Данное выражение
записать^сначала в виде (аа+2й2)2—а2Ь2. 9. (х2+х// У 2-|-z/2) (х2—xz/j/*24-i/2).
10. (2а—6)(а+&—1). Сначала разложить 2a2 + ab — b2=(2a —b) (a-j-b).
13 я 1КЗ + ЗП. 14. ууДуу 15. »> «Ч-^+ЗЛ
2 /а-3
если a Ss 0,
= У а- У Ь; ввести У а ~х,
b^Q, a-\-byi0. В этом
У — а—2У — b
случае
если
УаЬ =
а < 0,
6<0, а?й9&. В этом случае У ab = У—а-У— Ь; ввести У—а = х,
У — Ь = у. 16. -—- , где ху Ф 0. 17. — , где а 0, х — 1, х £ —3,
ха.
Х*2а- ,8‘ х^у, хф—у. 19. а2-з2а + 9- 20- *
21. р£-/_1 ' Разложить х3 + х-2 = (х’-1) + (х-1) = (х-1) (ха+х+2).
22. al/l(yi+y~b). 23. 27. 24. -1, если 0 <
если -1 < а < 0. 25.3. 26. У ~а. 27.9а. 28. . 29. ’/(а^)2.
/ X -я / х 1
30. 1/ —, где ху # 0. Положить 1/ —=а(а>0) и вынести -т- из-под
ту “у 1
знака корня. 31. 0, если 0, b > 0, а Ь. 32. | a-f-2 |-f-| а—2 |. 33. — .
34. 2^ а' Записать У а-{-2Уа—1 = У (Уа—1 -£ 1)2 = | Уа—1 + 1|>
Уа — 2Уа — 1=У(Уа — 1 —1)2 = | Уа — 1 — 1 |; при 1<а<2 разность
Уа — 1 — 1 отрицательна. 35. n(n— 1), если |м|> 1. 41. —4^-. 42. 101.
43. (а + с)2—Ь2; 1. 44. 1. 45. 2,52. 46. 51р. 92 к., 1 ч. 47. 1800. 48. 50 р.
2
49. 2 у %. 51. На 25%. 52. 530 р. 45 к. 53. На 32%. 54. На 20%. 55. 0,025%.
56. 35 м. 57. 480 растений. 71. —6. 72; При х = 8
значение, равное 54. 76. ----ц .
80. ___j________-__L. 84. 1. 85. 2. 86. 4.
принимает наибольшее
79. |х~г/-1 — Зу~ |.
78. 1.
, 2
Гл. VI. 1. х = 1. 2. х — любое, х / . 3. Решений нет. 4. Если а 1,
и
тол =----р если а=1, то решений
если Ь=а, то х—любое, х ; если
а
нет. 6. Если & # £ а, то х= —Ц-;
а-\-о
Ь=—а, то решений нет. 7. х = 4.
331
8. Если ab Ф 0 и b а, то х± — а + b, хл — а~^ . 9. Если а = 0, то х — лю-
бое, х 0; если а^О, то решений нет. 10. «1 = 2, х2 = 3. Положить
х2—5х4-7 = 1/. 11. х = 1. Разложить: х34-х2 — 2=(х3— 1)4*(х2—1). 12. хХ1 2=
= ± -i-; хЭ| 4= ± 1. Положить х2=у. 13. х = 7. 14. х= — 1. 15. х= ± 5.
______ 3
Положить ух24~ П = У- 16. Если а > 0, то х1 = 0, хг = -у а; если а = 0,
х — любое, х<0; если а < 0, то решений нет. 17. а=±-у. 18. 117.
19.а = 4. 20. х4—25х24-144 = 0. 21. хх=6, ух = 4; х2 = — 2, у2 = — 4.
. _ ,1 2 (а — 1) а4-1 ,
22. Если а . а^ — 1, то х= -х---------=- , у=-=—4= ; если а= — 1, то
о оа — 1 1 — да
2/ = 1— Xi где х—любое; если а = ~, то решений нет. 23. Xi = 3, ^=1;
L>
х2 = 1, у2=3. 24. = 4, ух = 3; х2 =—4, yt=—3. Положить —=t.
У
25. (5; 1), (Г, 5), (2; 3), (3; 2). Записать систему в виде { 4.^) = ЭД1 * ’
и положить x4-t/ = «i xy=>v. 26. (7; 3), ( — 7; —3). Использовать уравнение
У (у—*)_. 27. ^2. g), (j, g Положить —=u, -^-=и. 28. 50 км/ч.
х (х—у) хо х о
29. 15 дней, 10 дней. 30. 100 2—1)%. 31. 36. 32. 24 и 20 попаданий.
33. 10 м. 34. 48 ч. 35. 34 и 9. 36. 75%. 37. 1 : 1. 38. 2%. 39. 10 км. 40. 99 л.
Если хл—искомое количество, ар, —цена литра бензина в первой бочке,
. ,, „ (220 — х)а-\-Ьх (180 — х)Ь-\-ах
b р.—во второй. Уравнение--------——!---=Д-------——1---- приводится к
t I oU
виду 20 (b—a)x=1980(b—а), где a # b. 41. 180 p. Пусть x p. — цена маг-
нитофона, у — число студентов. По условию 170«SX< 195. Уравнение
—=—4* 1 приводится к уравнению у2 — 2у—2х = 0, откуда у= 14- У 1+2х.
У 2 у
Так, 341 < 1 4-2х < 391 и у—целое, то 1 4-2х = 361 (единственное целое число
из отрезка [341; 391], из которого извлекается корень). 42. Данное [неравен-
ство равносильно неравенству (а — Ьс)24-(Ь—ас)24-(с—ai>)2^0. 43. Данное
неравенство равносильно неравенству + (~4—у + (т'+'Т")
а + Ь । с4-<*
a4-6J-c4-d 2^2
44. ———— =-----------2 ’ использовать неравенство между средним
арифметическим и средним геометрическим двух чисел. 45. Записать нера-
венство в виде )/гх24-14- .п-- :^2. 46. Сложить очевидные неравенства
о3 < агс и Ь3 < Ь2с, учесть, что а24-Ь’ = с2. 47. х —любое, г#2. 48.—4,5 <
2 2
< х <— 2, х > 3. 49. — <х< 10. 50. Не имеет решений. 51. Если а < у ,
5 2 5 2
то х > =—5-; если а > —, то х < ; если а — — , то решении нет.
х oCt О Л ОСЬ о
52. — 1 < х < 2, 2 < х < 3. 63. х < , 3 < х < 5, х > 5, 54. х < — 1, xS= 4.
О
332
55. х < 0, 2<х<3. 56. 0<х<8. 57. х < — 2, — 1 < х<0. 58. Хд = 4,
х2= —2. 59. х = . 60. х— любое, х «S 1. 61. xL=2, х2= — 1.
63. х < 2. 64. < х < d~~~ • 65. х < — 1, x5s5. 66. 1 < а < 1,
Z Z Z у
7
л^б 67. а <-----г- По условию задачи а<0 и D = 49 — 16а2 < 0.
4
68. —7 <а < 1. 69. Используя условие задачи, показать, что сумма диск-
риминантов D1 + D2=(p1 — p2)-3»0. 70. ——1. По условию задачи
(О = 9а2—16а (а+1)Э=0,
xt > 1, и заменяем равно-
х2 > I
С о гз о, '
сильной системой 1 (xt —1)4-(х2 —1) > 0, Применяем затем теорему Виета.
I (хг-1)(х2-1) >0.
71. а) Да; б) нет. 72.1; -11.73.4. 74. 2; -1. 75. .
76. а ± 2Ь. 77. a) qx2 + рх+1 =0; б) асх? + Ьх-[-а=0. 78. р2 — 2q. 79. р (3q—р2).
80. 3 и 15 или —15 и —3. 81. —16 . 82. 24. 83. 5.84 . 50 км/ч. 85. —1; —4.
86. 1; . 87. —1 ± 2У~2; —4; 2. 88. 6. 89. 4. 90. 1- . 91. 0; ± а.
О 4
92. (3; 12); (-3; -12). 93. (—12; у);(12; (5 ^2; ~ ЧА):
( -5|<2; 94- (4> 64)- 95- 17 * * 20 4 и 30 ч- 9е- а) х < —7, х > 2;
1 2 2
б) — 77 <х«С 3. 97. а) х < — 1, х > — ; б) ~~ хС2. 98. а) х«С—6;
£, О О
4 9
б) 1 е:х < 3. 99. а) х < —2 и х > ; б) у. 101. а) х < —5, хЗэ2;
— 3 sg х < 0,5; б) х < —8; 3,5 < х < 5.
Гл. VII. 1. 0< х<4. 2. х < 0. 3. х > 1. 4. х > 0, х'Ф 1. 5. 2<х<3.
6. Функция не определена. 7. Нечетная. 9. Четная. 11. Четная. 12. Нечет-
Д.________________3 1
ная. 13. р=—. 14. У= — • 15. у = х3, если х^0. 16. i/ = Iog2x.
17. у = у/ х> если *5=0; У——у/ х, если х^0. 18. 2. 19. 2. Использовать
ct I b _
неравенство —У~аЬ, если а^=0, 6^0. 20. Пусть х (м) — сторона пря-
моугольника. Тогда другая сторона равна 2 — х. Площадь прямоугольника
6' = х(2—х). Задача состоит в отыскании наибольшего значения трехчлена
2х—х2. 27. «Нижняя» полуокружность с центром в начале координат н ра-
диусом, равным 2. 34. Начало координат. 35. Парабола у=х2. 39. (6; —8);
(-8; 6). 40. (3; 4), (4; 3), (-3; —4),'(—4; —3). 47. -2<х<12, или
[ —2; 12]. 48. х—любое число, кроме х = 3 и х= — 1, или ] — оо; — 1 [(J] — 1;
3Ш]3; 00 [• 49- х>— 1 или 1; +°°^- 50. х<1, х#0
или ] —оо; 0 [ (J ] 0; 1 [. 51. 1<х<5. 52. Нечетная. 53. Нечетная,
О
333
54. Четная. 55. Ни четная, ни нечетная. 56. Убывает при х < 0, возрастает
при х > 0; положительна при х < —2 и х > 2, отрицательна при —2 < х < 2.
57. Убывает на всей области определения (на множестве действительных чи"
сел); положительна при х >—2, отрицательна при х <—2. 58. у = 5— —.
X
59. 0=3*. 60. 0=2“/7. 61. 1. 62 . 64.
Гл. VIII. 1. Найти an+i=10 — 3(п+1) = 7—Зп и рассмотреть разность
an+i — о,п = 1—Зп—(10 — Зл)=—3; d =—3. 2. и = 19. 3. х = 36. 4. Надо
1111
доказать, что ——----------7=-:—==—=--------------если
/а+Ус У b+У^: УЪ-\-У b У а+ У с
t - г ( “1Ч2=“1 + 9. I «1(92 —1) = 9,
Ь — а=с—а. 5. Составить систему J или J 1'
( <M = ai<?3+18 I (92—1)=—18-
При решении системы разделить одно уравнение на другое: q=—2,
01=3; 3; —6; 12; —24. 6. п=6. 7. 3, 7, 11 или 12, 7, 2. 8. 8; 16; 32.
9. х = 20, 0=6. (10. Igy = lg2-|-51ga-|-21g ( —b) + 41gc, где а > 0, b < 0,
с > 0. 11. х = 3. 12. х = 2. 13. х= 1. 14. х=36. 15. х = 1,5. 16. х—любое
положительное число. 17. х=10. 18. х= 1.19. Xj= 100, х2=-^ . 20. 0 < a <’_1.
21. х <—2, х > 2. 22. х > 5. 23. — 3<х«£2, 24. х > 2. 25. 0<x«s3,
если а > 1; х5=3, если 0< а< 1. 26. а) Возрастающей; б) убывающей.
28. 1065. 29. 6; 9; 12; 15; 18; 21. 30. (а— Ь («+1)) п. 31. аг = 33, d=—4.
32. —10 . 34. 6 . 35. 8 или 9. 36. ?=± 3. 37. 27; —9; 3; —1 или 54; 18;
о
6; 2. 38. 5; 13; 21; 29. 39. а) 0,02; б) 4. 40. 0. 42. х к—0,4368. 43. —2.
а
44. 4. 45. 0;2. 46. 10. 47. ±1; ±3. 48. 10; 10-«. 49. 1; 2. 50. ± У 2.
51. 0; 4, 52. х= -у, у= —1 или х = 3, 0=2. 53. х = 4, у= —3 или х = 3,
2 2 3
о = 4. 54.--= < х < -5- . 55. — 1 < х< — . 56. 2 < X < 3. 57. л > 0. 58. х <— 4
о о о
и х > 2. 59. х <—4 и х > 8. 60. х < — 1, х # —2.
а
ЧАСТЬ 2. Гл. IX. 1. АП = 8, 1 см. 3. 14 см; 2 см. 4. 1yd.
Гл. X. 24. 4 м. 32. 12 см. 34. 1 d. 36. 2 см.
Гл. XI. 10. 30. мм. 11. 60°. 12. 20 см; 60 см. 13. 30 см. 14. 40°, 60°, 80°.
15. 1,5 см. 16. 6 см. 17. 9 см, 12 см, 15 см, 12 см. 18. 120°, 110°, 60° 70°.
Гл. XII. 4. . 5. 21 см. 6. 36 см и 54 см. 7. R = 25 см, г = 8см,
а-j-b ’
d=15 см; R — радиус описанной окружности, г—радиус вписанной окруж-
2
ности, d— расстояние между центрами окружностей. 8. С£>=10-^. 10.16 см
О
и 9 см. 11. Указание. Использовать метод подобия. 12. 30 см. 13. 1,2м.
14. 50 см; 15 см; 31,25 см. 15. 25 см; 6,72 см. 16. 10,2 см; 13,6 м; 17 м.
17. 11,2 см.
Гл. XIII. 2. Бесконечное множество. На прямой, параллельной данным
и равноотстоящей от них. 4. Указание. Использовать преобразование
симметрии относительно данной точки. 7. Указание. Доказать, что
точка пересечения осей симметрии является центром симметрии. 8. Если
334
a H-<3i, то использовать осевую симметрию, а если аЦй!— центральную сим-
метрию или параллельный перенос. 9. Указание. Рассмотреть окруж-
ность, симметричную одной из данных относительно точки О. 10. Указа-
ние. Использовать точки Рг и Р2, симметричные точке Р относительно пря-
мых ВА и ВС. 13. Указание. Использовать гомотетию относительно вер-
шины угла.
Гл. XIV. 1. а) Четырехугольник ABCD — параллелограмм; б) четырех-
угольник ABCD — параллелограмм или трапеция. 2. Указание. Пусть Е
и р— середины сторон АВ и ВС треугольника АВС\ EF = -^-;ДС. 3. т=-2.
4. я = 12, п = — 12. Указание. | а | = /25 + п-. 5. Указание. Если
—* 4
A (Xi; r/i), В (хр, у2), то АВ = (х2—х1; </2—//1). 6. a) cos а = 0,6, tga = v;
<J
2 1/~2 __ '/'"з 2
б) sina = —, tga = — 2/2; в) sina= —=— , cos а= —.
3 _ 5 / 5
1/~5 1/ 2 1
7. sin 135°=+^, cos 135°= —tg 135'= — 1; sin 150° = 2-, cos 150° =
т/"з / з
= — 2— , tg 150° =----« Указание. Использовать формулы
2 о
sin (180°—a)=sina, cos (180°—a)=—cos a. 8. He может. 9.- — ’ 22cdcosa
10. 13 m. 12. Указание. Применить теорему косинусов. 13. 3 см и 8 см.
14. | АВ[= У 6 + 3/1 см, |ДС| = 2/~6 см. 15. МН = A- ft + -^-a.
16. а) ЛВ=(2; —1); б) АВ = (—1; — 2); в) АВ = (5; —4); г)ДВ=( —4; —4).
17. а) В (—2; 1); б) В (0; 2); в) В (0; 2). 18. а) 0(1;—3); б) £>(—4;-3).
19. а)Л = 34°23'; В=55°37'; с = 240; б)с=5,79, Л = 32°30', В = 57°30';
в) а=3,56, 5=1,34, В = 18°42'; г) а=0,104, Ь = 0,058, Д = 60°46'; д)с = 42,6;
5 = 40,1, В = 70°24'; е) с=40,9, а = 11,1, А = 15°48'; ж) b = 3,1, Л=34°14',
В = 55°46'; з) <1 = 95,7, <4=54°13'; В = 35°47'. 20. 5,16 см и 4,22 см. 21. с =
=37, а= 101°, Р = 31°40'. 22. а = 41°24', р = 55°46', у = 82°50'. 23. а) у=
= 77°32', 5 = 57,6, с=115; б) 37°14', а = 80,8, с=59. 24. а)Р = 17°43', у =
= 130°41',’с = 44,9; б) Р = 129°12', у = 42°27', с=27.
Гл. XV. 1. 8м и 18 м. 2. 30°. 3. Квадрат. 4.202,8 дм2. 5. — .
4
З/?2 /~3 ___
6.---. 7. Зг2 /3- 8. Указание. Если М—точка внутри равносто-
роннего треугольника, то из равенства 5ДЛМВ + 5ДВЛ1С + 5ДЛЛ1С = 5ДЛВС
следует, что сумма АМ-\-ВМ^рСМ равна высоте треугольника АВС.
9. 11,2 см. Указание. Применить формулу Герона. 10. R = 12,5 см, г = 3 см;
R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности. Указа-
5
н и е. Данный треугольник прямоугольный; найти г по формуле г = —.
11. z r_- . 12. 480 см2. 13. 540 м2. 14. 6 /"з см4. 15. /?. 16. S =
2(3+/3)
е=-^- аЬ. 17. ~ /2-sin 2a. 18. 48 см2, 19. 16 см и 12 см. 20. 5 м. 21. 6 / 2 см.
335
22. V 2. 23. 120 дм4. 24. 39 дм4. 25. 5 дм. 26. 8 см и 10 см. 27. 150 см4.
28. 4- kl.
4
Гл. XVI. 1. а) При п < 6; б) при п = 6; в) при п > 6. 2. a) -i-,
па. na . ч 2ла
4. а) з , 6) 2 у 2 ) з y-;
5. (л-2) J?4.
У~2 J_ _3
~' 2 ’ } 4 ’ 2*4-
4 /
8. 144°. 9. 4 дм и 2,5 дм. 10. 0,7 2?.
11. а) 8; б) 11; в) 13. 12. 30°, 90°, 120°, 120°, 180°.
2S
Гл. XVII. 1. б) Указание. ha— — , где а —сторона треугольника,
ha—высота треугольника, проведенная к этой стороне, S— его площадь.
„ .п -л « _ . с si па cos а . 3
2. 42 см и 56 см. 3. 8 см и 15 см. 4. г= -г—;;, 5. sin а= — ;
1 +sin а4- cosa 5
4 2 3
sinp=y; а и р —острые углы треугольника. 7. у. 8. у. 9. 7,2.
10. . 11. CD. 12. 5=4 А 13. 25 л см4. 14. 5= 3~ О
15. Основание равно 2/ncosactg^- ; R= ——— . 17. 2 К 2 м. 18. 54 см4.
4sin2y
2
19. —sin a sin Р sin у.
л
Гл. XV1I1. 2. 30 м. 3. 13 дм и 9 дм. 4. 5бО1( = 240 см4, У = 288 см3.
5. 2OP+2QA 6. 7. а) б)^; в) ^2. 8. 5 =
=4г(г+ /Л44-г4), У=з-г4Л. 9. Ю. 5 м. 11. 36 см4. 12. 9л м3.
1 ла3
13. л/3 sina-cos2a, 14. . 15.30°. 16.1:2. 17. 1/ .
3 4 V 3 гл3
V
*8-