ИЛЬЯ HF-СТОРОВИЧ ВЕКУА
A907—1977)

И. Н. ВЕКУА
ОСНОВЫ
ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ
ИНВАРИАНТОВ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

22.151
В26
УДК 512.972
Основы тензорного анализа и тео-
теории ковариантов. Век у а И. Н. Глав-
Главная редакция физико-математической
литературы издательства «Наука», М.,
1978, 296 стр.
В книге систематически излагаются
основы тензорного анализа и даются при-
приложения его в теории поверхностей и
теории оболочек. Она дает также солид-
солидный математический аппарат для изуче-
изучения теории упругости. В этой книге чи-
читатель найдет много научных результа-
результатов, принадлежащих автору. Укажем,
например, на построения специальных
координатных систем, имеющих приме-
применение в общей теории оболочек, и на но-
новый раздел — теорию ковариантов.
Илл. 23, библ. 26.
Илья Несторович Векуа
Основы тензорного анализа и теории ковариантов
М., 1978 г., 296 стр. с илл.
Редакторы В. С. Виноградов и М. М. Горячая
Техн. редактор И. Щ. Аксельрод
Корректоры О. А. Бутусова, A. J1, И патова
ИБ 11 128
Сдано в набор 24.05.78. Подписано к печати 22.08.78, Т-13055. Бумага 60X90Vie- Тип.
№ 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ . л. 18,63. Уч .-изд. л. 18.18.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 2730. Цена книги 1р. 40 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 1707 1, Москва, В-7 1, Ленинский проспект, 15.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая
Образцовая типография имени А. А. Жданова Союзлолиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28.
Отпечатано во 2-ой тип. изд-ва «Наука».
Москва, Lllyfiiincкии пер.. 10. Зак. !I5.
„ 20203—135 „ „	© Главная редакция
агп,аг)\ 7й ЗЬ-/8	физико-математической литературы
Voo\}JZ)~/o	издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	 9
Глава I. Некоторые вопросы алгебры	 13
§ 1. Матрицы. Правило суммирования. Операция сокращения ин-
индексов. Прямое и внутреннее произведения матриц	 13
1. Матрицы A3). 2. Аддитивные группы. Сумма матриц A4).
3. Кольца и поля. Прямые произведения матриц A5). 4. Пра-
Правило суммирования A6). 5. Операция сокращения индек-
индексов A8). 6. Внутренние произведения матриц A9). 7. Век-
Векторные пространства. Модули A9).
§ 2. Символы Кронекера. Символы Леви-Чивита 	 20
§ 3. Детерминанты	 22
1. Определение детерминантов B2). 2. Основные свойства детер-
детерминантов B3). 3. Миноры матрицы. Разложение детерминан-
детерминантов B4). 4. Выражение для обратной матрицы B5).
§ 4i Линейные алгебраические системы уравнений	 26
1. Союзные системы уравнений. Формулы Крамера B6). 2. Со-
Союзные однородные системы уравнений B7). 3. Союзные неодно-
неоднородные системы уравнений B9).
§ 5. Приведение положительно определенной квадратичной формы
к каноническому виду	 31
1.	Положительно определенная квадратичная форма C1).
2.	Приведение к каноническому виду C1). 3. Дискриминант
квадратичной формы. Условие Сильвестра C3). 4. Приведение
к сумме квадратов C4).
Глава П. Элементы векторной алгебры трехмерного евклидова про-
пространства 	 36
§ 1. Векторы евклидова пространства и некоторые алгебраические
операции над ними 	 36
1. Понятие о векторе (об). 2. Сложение векторов. Параметри-
Параметризация векторов C7). 3. Скалярное, векторное и смешанное про-
произведения векторов C8). 4, Двойное векторное произведе-
произведение D0).
§ 2. Базисы. Операции поднятия и опускания индексов	 41
1. Биортогональные и биортонормальные базисы D1). 2. Ба-
Базисные матрицы. Дискриминант базиса D2). 3. Операции под-
поднятия и опускания индексов. Ковариантные и контравариантные
компоненты вектора D2).
§ 3. Дискриминантные матрицы и некоторые их геометрические при-
применения 	 43
1. Длина вектора D3). 2. Угол между двумя направлени-
направлениями D4). 3. Дискриминантные матрицы. Выражение базисных
1*

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
матриц через дискриминантные матрицы D4). 4. Площадь па-
параллелограмма. Неравенство Коши—Буняковского D5).
5. Объем параллелепипеда D6).
§ 4. Преобразование базисов и связанных с ними матриц	 47
1. Преобразование базисов и базисных матриц D7). 2. Пре-
Преобразование ковариантных и контравариантных компонент век-
вектора. Инвариантность скалярного произведения D7). 3. Преоб-
Преобразование дискриминанта базиса и дискриминантных матриц.
Понятие о тензоре D9).
Глава III. Основы общей тензорной алгебры 	 50
§ 1. Координатные системы в пространстве Rn	 50
1. Арифметическое пространство Rn E0). 2. Параметризация
области. Якобиан преобразования координат E1). 3. Коорди-
Координатные линии E3).
§ 2. Кольца и модули отображений области пространства Rn. Тен-
Тензоры пространства Rn 	 54
1. Кольца и модули отображений области E4). 2. Формулы
преобразований дифференциалов координат. Контравариантный
тензор 1-го ранга E5). 3. Формулы преобразования частных
производных от скаляра. Ковариантный тензор 1-го ранга E5).
4. Тензоры высшего ранга E7). 5. Основные свойства тензо-
тензоров. Изомеры тензора E8). 6. Внутреннее /"-произведение тен-
тензоров F0).
§ 3. Ковариантный и контравариантный подвижные базисы коорди-
координатной системы трехмерного евклидова пространства	 60
1. Ковариантный подвижной базис F1). 2. Контравариантный
подвижной базис F1). 3. Пространство вектор-функций F2).
4. Представление векторных полей через подвижные базисы.
Эквивалентные тензоры 1-го ранга (G3). 5. Физические ком-
компоненты вектора F5).
§ 4. Метрическая квадратичная форма трехмерного евклидова про-
пространства 	 65
1. Метрическая квадратичная форма F5). 2. Формула пре-
преобразования дискриминанта F7). 3. Примеры координатных
систем F7). 4. Дискриминантные тензоры F8). 5. Элементы
объема пространства и площади поверхности в инвариантной
форме F9).
§ 5. Правило частного (теорема о делении тензоров)	 71
§ 6. Дискриминантные, обратные и относительные тензоры .... 73
1. Дискриминантные тензоры G3). 2. Обратные тензоры G4).
3.	Относительные тензоры G5).
§ 7. Тензоры риманова пространства	 75
1.	Инвариантная метрика в Rn. Римановы многообразия G6).
2.	Операции опускания и поднятия индексов G8). 3. Экви-
Эквивалентные классы тензоров. Общее понятие тензора (81).
§ 8. Локально гильбертовы модули тензоров	 82
1. Модуль С „ (Я) (82). 2. Локально скалярное произведение
тензоров. Локальная норма тензора. Угол между двумя тен-
тензорами (83). 3. Линейно независимые системы тензоров (85).
4.	Ортонормальные и биортонормальные системы тензоров (86).
5.	Базисы. Разложение тензора относительно базиса (88).
§ 9. Мультипликативные тензоры. Построение базисов модуля ... 89
1.	Мультипликативные тензоры и их основные свойства (89).
2.	Построение базисов модуля (91). 3. Базисы тензоров в трех-
трехмерном евклидовом пространстве (92). 4. Обобщение формулы
(9.17) на случай риманова пространства (93).

ОГЛАВЛЕНИЕ	5
§ 10. Тензорные модули четного порядка 	 95
1. Умножение тензоров из модуля четного порядка. Кольцо
с единицей С2р (й) (P5). 2. Алгебра C9p(Q) (97). 3. Муль-
Мультипликативная группа Мгр (?9). 4. Собственные значения тен-
тензора ранга 2р A01). 5. Приведение к главным осям тензора
ранга 2р A04).
§ 11. Приведение эрмитовых квадратичных форм к каноническому
виду	 108
§ 12. Гильбертово пространство Hp(Q). Пространство Банаха Cp(Q) 111
1. Гильбертово пространство Hf/(Q) A11). 2. Банахово про-
пространство Cp(Q) (ИЗ).
Глава IV. Основы тензорного анализа	 115
§ 1. Символы Кристофеля 1-го и 2-го рода. Деривационные формулы 115
1. Символы Кристофеля в трехмерном евклидовом пространстве.
Деривационные формулы A15). 2. Деривационные формулы для
мультипликативных базисных тензоров A17). 3. Основные свой-
свойства символов Кристофеля A17). 4. Символы Кристофеля 1-го
и 2-го рода для риманова пространства п измерений A19).
§ 2. Дифференцирование тензоров	 122
1. Ковариантные производные от ковариантных компонентов тен-
тензора 1-го ранга A22). 2. Ковариантные производные от кон-
травариантных компонент тензора 1-го ранга A23). 3. Ковари-
Ковариантные производные от компонент тензора любого ранга. Прямые
ковариантные производные от тензора A24). 4. Дифференциал
тензора. Правила дифференцирования суммы и произведения тен-
тензоров A27). 5. Ковариантные производные от компонентдискри-
минантного тензора A29). 6. Контравариантные производные
от компонент тензора. Абсолютная производная тензора A30).
7. Ковариантные производные базисных векторов A30). 8. По-
Повторные ковариантные производные. Тензор Римана — Кри-
Кристофеля A31).
§ 3. Расходимость вектора. Формулы Гаусса — Остроградского и
Грина. Оператор Лапласа в криволинейных координатах ... 135
1. Расходимость вектора A35). 2. Формулы Гаусса — Остроград-
Остроградского и Грина A36). 3. Оператор Лапласа в криволинейных
координатах A37). 4. Формулы Гаусса —Остроградского и
Грина для тензоров A38).
Глава V. Тензоры поверхности. Элементы теории поверхностей ... 141
§ 1. Параметрическое уравнение поверхности. Ковариантный и кон-
травариантный базисы координатной системы 	 141
1. Параметрическое уравнение поверхности. Координатные ли-
линии A41). 2. Ковариантный подвижной базис A42). 3. Кон-
травариантный подвижной базис A44).
§ 2. Первая основная квадратичная форма поверхности. Дискрими-
нантные тензоры поверхности	 145
1. Первая основная квадратичная форма. Ковариантный и кон-
травариантный метрические тензоры поверхности A45). 2. Эле-
Элемент площади поверхности. Дискриминантные тензоры поверх-
поверхности A46). 3. Угол между двумя касательными направле-
направлениями A47).
§ 3. Тензоры поверхности	 149
I. Тензоры 1-го ранга A49). 2. Тензоры произвольного
ранга A51).

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена. Символы Кри-
стофеля поверхности	 152
§ 5. Геодезические линии поверхности. Полярная ^полугеодезиче-
ская) система координат	 155
1. Уравнения геодезических линий A55). 2. Вариационная
задача, приводящая к уравнениям геодезических линий A55).
3. Инвариантность геодезических линий при изгибании поверх-
поверхности A57). 4. Полярная (полугеодезическая) система коор-
координат A57).
§ 6. Вторая основная квадратичная форма. Нормальная кривизна
поверхности 	 158
§ 7. Вектор Родрига. Геодезическое кручение и геодезическая кри-
кривизна поверхности	 159
1. Третья квадратичная форма поверхности. Вектор Род-
Родрига A59). 2. Геодезическое кручение A61). 3. Геодезическая
кривизна A62).
§ 8. Главные направления поверхности. Главные кривизны. Гауссова
(главная) и средняя кривизны 	 103
1. Главные направления поверхности. Средняя и гауссова кри-
кривизны поверхности. Эйлерова разность A63). 2. Главные кри-
кривизны поверхности. Линии кривизны A64). 3. Формула
Эйлера A66).
§ 9. Дифференцирование тензоров поверхности	 167
1. Ковариантные и контравариантные производные от компо-
компонент тензора поверхности. Абсолютная производная тензора
поверхности A67). 2. Расходимость вектора поверхности.
Аналог формулы Гаусса — Остроградского (формула Сток-
са) A68). 3. Оператор Лапласа на поверхности. Формула
Грина A70).
§ 10. Связь между первой и второй основными квадратичными фор-
формами поверхности. Повторные ковариантные производные . . 171
1. Уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци. Тензор Римана —
Кристофеля A71). 2. Повторные ковариантные производные.
Тензоры Риччи и Эйнштейна A73).
Глава VI. Специальные координатные системы и некоторые их при-
применения к теории поверхностей	 177
§ 1. Координатная система в линиях кривизны	 177
1. Выражения для первой и второй основных квадратичных
форм поверхности A77). 2. Символы Кристофеля. Уравнения
Гаусса и Петерсона — Кодацци. Оператор Лапласа A78). 3. Об
одном характерном свойстве сферической поверхности A79).
4.	О поверхностях нулевой главной кривизны. Торсы A79).
§ 2. Координатная система в асимптотических линиях	 181
§ 3. Изометрическая система координат на поверхности. Система
уравнений Бельтрами и ее гомеоморфизмы	 183
1. Система уравнений Бельтрами. Гомеоморфизмы уравнения
Бельтрами A83). 2. Система уравнений Бельтрами с аналити-
аналитическими коэффициентами A85). 3. Построение основного гомео-
гомеоморфизма уравнения Бельтрами A86). 4. Изометрическая си-
система координат на замкнутой сферической поверхности A89).
5.	Инвариантность изометрических систем координат относитель-
относительно конформного преобразования A90). 6. Символы Кристофеля в
изометрической системе координат. Комплексная запись дери-
деривационных формул Гаусса и Вейнгартена, уравнений Гаусса и
Петерсона —Кодацци A91). 7. Формула О. Бонне A94).
8. Уравнение геодезических линий в изометрической системе

ОГЛАВЛЕНИЕ	7
координат A95). 9. Конформность изометрического отображе-
отображения на плоскость A95).
§ 4. Об одном свойстве поверхности постоянной средней кривизны.
Минимальные поверхности	 196
I. Поверхности постоянной средней кривизны A96). 2. Мини-
Минимальные поверхности A98).
§ 5. Поверхности постоянной гауссоЕой кривизны	 200
1. Существование декартовой системы координат на поверхности
нулевой гауссовой кривизны BС0). 2, Локальная изгибаемость
на сферу (псевдосферу) поверхности постоянной положительной
(отрицательной) гауссовой кривизны B01).
§ 6. Связь между поверхностями постоянной средней и главной кри-
кривизны. Общее решение уравнения Аи-\Г2Н (еи — е~и) = 0 .... 202
§ 7. Сопряженно-изометрическая параметризация выпуклых поверх-
поверхностей 	 205
Глава VII. Теория ковариантов	 206
§ 1. Комплексные гауссовы координаты поверхности. Уравнение
Бельтрами для характеристической функции координатных си-
систем 	 207
1. Комплексные гауссовы координаты поверхности B07). 2. Опе-
Операции комплексного дифференцирования B10). 3. Правило пре-
преобразования дифференциалов комплексных гауссовых парамет-
параметров B11). 4. Правило преобразования частных производных от
скаляра поверхности B12). 5. Уравнение Бельтрами. Характе-
Характеристическая функция координатных систем B13). 6. Функцио-
Функциональные детерминанты (якобианы) преобразований комплексных
гауссовых координат поверхности B15). 7. Свойства характе-
характеристической функции координатных систем B17).
§ 2. Коварианты поверхности и их свойства	 219
1. Коварианты поверхности B19). 2. Свойства ковариантов по-
поверхности B22).
§ 3. Дифференцирование ковариантов	 231
1. Ковариантные производные от ковариантов B32). 2. Свойства
ковариантных производных от ковариантов B33). 3. Контрава-
риантные производные от коварианта. Оператор Лапласа для
ковариантов B34). 4. Связь между ковариантными производ-
производными от ковариантоп и ковариантными производными от комп-
комплексных компонентов тензора B36).
§ 4. Уравнения Коши — Римана для ковариантов. Аналитические и
обобщенно аналитические коварианты. Факторизация ковари-
ковариантов 	 239
1. Аналог уравнения Коши — Римана для ковариантов. Анали-
Аналитические коварианты B39). 2. Факторизация аналитических
ковариантов. Обобщенные аналитические и антианалитические
коварианты. Ковариантиые дивизоры 1-го и 2-го рода B41).
3. Неоднородное уравнение Коши — Ркмана B42). 4. Уравнение
Коши — Римана на овалондах B43). 5. Теорема о существовании
непрерывных решений однородного уравнения Коши — Римана
на овалоиде B47).
§ 5. Ковариантный дифференциал. Коварианты константного типа 250
1. Ковариантный дифференциал B50). 2. Коварианты констант-
константного типа B51).
§ 6. Линейные дифференциальные формы. Внешнее дифференцирова-
дифференцирование форм. Интегральные формулы	 251
1. Линейные дифференциальные формы B51). 2. Внешнее про-
произведение дифференциальных форм B52). 3. Коформа и сопря-

8	ОГЛАВЛЕНИЕ
женная форма данной дифференциальной формы. Гильбертовы
пространства линейных дифференциальных форм B53). 4. Кова-
риантный кодифференциал. Контравариантный и сопряженный
ковариантный дифференциалы. Интегральные формулы B54).
5. Замкнутые дифференциальные формы B57).
Глава VIII. Пространственные координатные системы, нормально
связанные с поверхностью	 261
§ 1. S-семейство координатных систем пространства. Операции су-
сужений индексов	 261
1. S-семейство координатных систем B61). 2. Операции суже-
сужений индексов. Пространственные S-тензоры B62).
§ 2. Sg-параметризация области	 264
1.	^-параметризация области. Ковариантный базис B64).
2.	5б .параметризация области B64). 3. Контравариантный
базис S^-параметризации B66). 4. Выражения для символов
Кристофеля B67). 5. Приближенные формулы B69).
§ 3. ^-параметризация области	 270
1. 5а-параметризация области. Связь между базисами Sg- и Sa-
параметризаций B70). 2. Базисы модуля OJl^fQ). Представление.
S-тензоров через Sg, Sa и Sg, a базисы B74). 3. Ковариант-
ные производные от компонент вектора относительно 5а-парамет-
ризации B76). 4. Кояариантные производные S-тензоров отно-
относительно Sa-параметризации B78). 5. Sgt ^параметризация об-
области, связанная с координатной системой в линиях кривизны
поверхности S B81). 6. Повторные ковариантные производные
5-тензоров B82). 7. Связь между символами Кристофеля
G,i и Г,,*: B83).
§ 4. О погружении поверхности в римановы многообразия трех из-
измерений 	 284
Литература	 293
Предметный указатель 	 294

ВВЕДЕНИЕ
Эта книга посвящена изложению основ тензорного исчисле-
исчисления и некоторым его применениям к геометрическим задачам.
Первоначально она была задумана как первая часть моно-
монографии автора по общей теории упругих оболочек. Это обстоя-
обстоятельство значительно повлияло на ее построение. В книге
сравнительно большое место отведено вопросам теории поверх-
поверхностей. При построении теории оболочек приходится пользоваться
специальным классом криволинейных систем координат, связан-
связанных с некоторой поверхностью, определяющей форму оболочки
(она обычно называется серединной поверхностью оболочки).
Это обстоятельство делает необходимым использование аппарата
тензорного анализа совместно с теорией поверхностей. Но кроме
того, рассматривая геометрические задачи, нам удается создать
почву, позволяющую конкретно осмыслить формальные построе-
построения тензорного анализа и сделать их более содержательными.
Необходимость применения аппарата тензорного анализа
возникает во всех тех случаях, когда приходится привлекать
метод координат для математического изучения свойств разного
рода физических явлений, относительно которых имеется в дос-
достаточной степени полная система непротиворечивых данных для
создания абстрактной модели в терминах математических поня-
понятий. Координатный метод позволяет осуществить параметризацию
моделей (геометрических построений, логических схем и др.)
при помощи конечного или бесконечного числа параметров
(координат), к которым можно применять те или иные матема-
математические операции. Чем больше разного рода операций можно
применять к параметрам модели, тем богаче и содержательнее
будет соответствующая математическая теория. Но, очевидно,
количество математических операций и их характер опреде-

Ю	ВВЕДЕНИЕ
ляются теми исходными фактами, которыми мы располагаем,
приступая к моделированию задачи.
В результате разных операций над параметрами (координа-
(координатами), определяющими рассматриваемые модели, мы должны
получать выводы, имеющие объективный смысл и характеризую-
характеризующие свойства изучаемого явления, вовсе не зависимые от ис-
использованного нами способа параметризации.
Параметризацию модели обычно можно осуществить разными
способами. Например, если модель определяется заданием мно-
множества п чисел х1, . . ., хп, то, производя над ним некоторое
взаимно однозначное преобразование вида
Л, 	 Ц) \Л , . . . , Л ) \1 	 1 , . . . , IL),
мы получим новую параметризацию модели при помощи чисел
х1', . .., хп>, которая принципиально равноправна с предыдущей.
В связи с возможностью разного рода параметризаций моделей,
естественно, возникает вопрос: как выявить объективный ха-
характер тех выводов, которые мы получаем, пользуясь некоторой
частной параметризацией модели.
Окончательные выводы, имеющие реальный смысл, должны
выражаться в форме, инвариантной относительно выбора системы
координат. Для этой цели лучше всего, когда это возможно,
вести изложение в общем виде, не специализируя координат-
координатную систему. Тогда результаты будут выражены в форме, поз-
позволяющей легко переходить от одних координат к другим, и те
соотношения, которые выражают объективные закономерности,
очевидно будут иметь инвариантную относительно преобразова-
преобразования координат форму.
Но это вовсе не означает, что при изучении конкретных
задач выбор системы координат всегда безразличен. Часто, бла-
благодаря удачному выбору координатной системы, значительно
упрощаются выкладки, соотношения приобретают простую и
легко обозримую структуру, и это облегчает установление иско-
искомых свойств изучаемых объектов. В связи с этим важно иметь
критерии, позволяющие выявить инвариантность тех или иных
выражений, составленных при помощи параметров специальных
систем координат, и в этом состоит одна из главных задач тен-
тензорного анализа.

ВВЕДЕНИЕ	П
Тензорный анализ можно строить на базе рассмотрения об-
общего риманова многообразия с метрикой. Однако мы предпочли
начать с изучения различных дифференциальных свойств век-
векторных полей трехмерного евклидова пространства. Это позво-
позволяет развить тензорный анализ, используя наглядные геометри-
геометрические представления. Обобщения на случай более общих
многообразий осуществляются без особого труда. В книге особо
рассматривается тензорный анализ для римановых многообразий
двух измерений, фактически для поверхностей евклидова про-
пространства трех измерений. Избранный путь оправдан тем, что
он, связывая тензорный анализ с наиболее простым, но нетри-
нетривиальным случаем риманова многообразия, позволяет осмыслить
общую теорию на основе наглядных геометрических представ-
представлений/
Тензорный анализ имеет многочисленные применения в гео-
геометрии, физике и механике (см., например, [4], [10], [11]). В
книге даны некоторые применения к теории поверхностей. Круг
затронутых вопросов не особенно широк, но он все же выходит
несколько за традиционные рамки. Например, в связи с рас-
рассмотрением изометрических координат на поверхности изложены
в общих чертах новые методы (без детального обоснования)
построения гомеоморфизмов системы дифференциальных урав-
уравнений Бельтрами. Как известно, эта проблема занимает централь-
центральное место в теории квазиконформных отображений. Вообще,
изометрическим координатам в книге уделено сравнительно
больше места, и это сделано совершенно сознательно. Они поз-
позволяют шире привлечь аппарат теории функций комплексной
переменной к исследованию двумерных задач геометрии и меха-
механики сплошной среды. В книге рассмотрены конформно инва-
инвариантные тензорные формы поверхности и построена теория
ковариантов, которые находят, в частности, применения в тео-
теории оболочек [26].
Эта книга написана на основе книги автора [17]. Но по-
последняя подверглась существенной переработке. Добавлена глава
о теории ковариантов. Кроме того, значительно расширены не-
некоторые параграфы. В более общей форме и обстоятельнее
изложены вопросы тензорной алгебры, а также дано строгое
обоснование тензорного анализа для римановых многообразий.

12	ВВЕДЕНИЕ
Значительно расширены некоторые разделы, посвященные во-
вопросам теории поверхностей. Может быть, автор заслужит упрек
в том, что в книгу включено несколько таких разделов, кото-
которые не имеют прямого отношения к тензорному анализу. Но
это объясняется тем, что в процессе написания книги естественно
возникали задачи и вопросы, которые автор не сумел оставить
без внимания, тем более, что они входят в круг его научных
интересов. Во всяком случае, читатели, которые не интересуются
этими вопросами, свободно могут опустить соответствующие
места при чтении книги.
При подготовке этой книги к печати автору оказали цен-
ценную помощь Р. А. Кордзадзе, Т. В. Меунаргия, Н. В. Кал-
дани, Л. С. Кикнадзе, И. Н. Карцивадзе. Многие замечания
и советы их были учтены при окончательном редактировании
книги. Всем им автор выражает свою искреннюю признательность.
1977 г.
И. Н. Веку а

ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ
В этой главе мы вводим в рассмотрение различного типа
матрицы и определяем некоторые алгебраические операции над
ними. Кроме того, изучаем основные свойства детерминантов и
их применения к исследованию линейных алгебраических си-
систем уравнений. В последнем параграфе доказана теорема о при-
приведении к каноническому виду положительно определенной
квадратной формы.
§ 1. Матрицы. Правило суммирования. Операция сокращения
индексов. Прямое и внутреннее произведения матриц^
1. Матрицы. В тензорном анализе часто приходится рассматри-
рассматривать различные системы величин, для которых удобно пользоваться
матричным обозначением. Матрицы обозначаются буквами, на-
наделенными одним или несколькими неопределенными индексами,
например, Л{, аа$, Cixii...tn и т. п. Индексы элементов матриц
обычно принимают целочисленные значения от 1 до некоторого
натурального числа п. Если индекс принимает значения 1, 2,..., /г,
то будем писать i?\\, n].
Для обозначения индексов мы будем в дальнейшем употреб-
употреблять строчные латинские и греческие буквы /, k, I, m, n, p, q, r и
а, р, 7» о\ К, е, v, [i. Иногда придется рассматривать также ин-
индексы со штрихом и указателями: i\ a', ik, olj и т. п.
В матрице та буква, которая наделена верхними и нижними
индексами, называется коренной; в матрицах a,-k, Ы, Ak,Bk
буквы а, Ь, А, В являются коренными. Для обозначения корен-
коренных букв мы будем употреблять обычно начальные (прописные
или строчные) буквы латинского алфавита: А, В, С или а, Ь, с
и т. п. Иногда, в особенности в приложениях в механике
сплошной среды, пользуются жирными буквами латинского ал-
алфавита, а также буквами готического vC греческого алфавитов.
Условимся также, что если в каком-нибудь соотношении
(равенстве, неравенстве и др.) содержится один или несколько

14	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ	1ГЛ. 1
свободных индексов, то это будет означать, что данное соотно-
соотношение справедливо для любых значений этих свободных индексов.
Если же это не имеет места, то каждый раз специально будет
указано, при каких значениях свободных индексов данное со-
соотношение справедливо.
2. Аддитивные группы. Сумма матриц. Над матрицами про-
производятся различные алгебраические операции. Наиболее часто
они суммируются, когда индексы принимают целочисленные зна-
значения. Но, говоря о различных суммах, разумеется, предпола-
предполагаем, что к их слагаемым можно применять (в том или ином смыс-
смысле) операцию сложения. Для этого достаточно предположить,
что элементы всех матриц, к которым будет ниже применяться
операция суммирования, являются элементами некоторой ад-
аддитивной абелевой группы G *).
Напомним, что аддитивной абелевой группой называется мно-
множество G некоторых элементов а, 6, с, ..., для которых опре-
определена бинарная операция сложения; ее будем обозначать зна-
знаком + . Эта операция любой паре а, Ь элементов множества G
сопоставляет элемент того же множества а + b. При этом вы-
выполняются следующие аксиомы:
1)	a-\-b = b-\~a (закон коммутативности сложения);
2)	(а + 6) + с = а + F + с) (закон ассоциативности сложения);
3)	в G имеется элемент, называемый нейтральным или нулем
и обозначаемый знаком 0, такой, что для всех a^G
#-j-O = O-j-a = a;
4)	для каждого a?G существует элемент х? С, удовлетворя-
удовлетворяющий уравнению
х + а~ 0;
этот элемент называется обратным элементом для а и обозна-
обозначается через — а.
Можно доказать, что в аддитивной группе имеется только
единственный нуль и для каждого ее элемента существует един-
единственный обратный элемент.
Примерами аддитивных групп являются множества целых
чисел Z, рациональных чисел R0, вещественных и комплексных
чисел (R и С относительно обыкновенного сложения, множество
векторных полей, заданных в некоторой области пространства
(поверхности), и др. Для векторных полей операция сложения
определяется по правилу многоугольника.
*) Ниже мы часто используем различные понятия и теоремы из совре-
современного анализа и алгебры. Почти ео всех случаях в тексте или в сносках
мы даем необходимые пояснения. Но для тех читателей, которые захотят по-
получить о них более детальные сведения, мы рекомендуем книгу [23].

§ 1]	МАТРИЦЫ	15
Рассмотрим матрицу типа (р, q) или, короче, (/?, ^-матрицу
A'i\'.','.ip, элементы которой принадлежат аддитивной группе G.
Если р = 0 или q = 0, соответственно будем иметь матрицы А1* ¦ • • 1ч
или Aix...ip. Если индексы принимают значения 1, ...,/г, то
у (/?, ^'-матрицы, очевидно, пР+<* элементов. Число г = р + <7 на-
называется рангом (р, <7)-матрицы.
Пусть G? —множество (р, д)-матриц из G. Если Л*«••¦?«,
^.-.•.•//-(р, <7)-матрицы из G«, то <V/:*/ + ^V.1:*/ 6 Gg/
Очевидно, в каждом множестве Gqp содержится нулевая (р, q)-
матрица, элементы которой равны нулю группы G. Теперь не-
нетрудно убедиться, что Gqp— аддитивная группа.
Пусть G и G' — аддитивные группы. Пусть имеется отобра-
отображение /: G—>G', обладающее свойством: если х, y?G, то
/ (х + у) = f {х) 4- / {у)• Тогда / называется гомоморфизмом группы
G в группу G'.
Пусть Н — множество гомоморфизмов группы G, реализующих
отображения G—>G'. Если f,g?H, то под суммой f-\-g подра-
подразумевается отображение: если x^G, то (/ + g) (х) — f (х) + g (x).
Теперь нетрудно убедиться, что Я — аддитивная группа, если ее
нейтральным элементом (нулем) будем считать отображение
f(x) — Of Vx?G, где 0' —нейтральный элемент группы G'.
Гомоморфизм /: G—>G' будем называть изоморфизмом, если
при его помощи осуществляется взаимно однозначное отобра-
отображение G на G'. Если / — изоморфизм G на G', то будем писать /:
G<r*G'.
В ряде вопросов между изоморфными аддитивными группами
можно не делать различия, и поэтому часто их можно отожде-
отождествить. Вообще, изоморфизм аддитивных групп является отно-
отношением эквивалентности *) в множестве групп и, следовательно,
изоморфные группы составляют класс эквивалентности. Поэтому
под аддитивной группой можно понимать класс изоморфных
групп.
3. Кольца и поля. Прямые произведения матриц. Очень часто
в тензорном анализе над матрицами приходится производить
операцию умножения. Для этого недостаточно, чтобы элементы
матрицы принадлежали только некоторой аддитивной группе.
Для аддитивных групп, вообще говоря, не определена операция
умножения. Поэтому мы должны принять дополнительно огра-
ограничения относительно матриц, которые будем перемножать.
В дальнейшем в таких случаях будем предполагать, что
*) Напомним, что в множестве М имеется отношение эквивалентности,
обозначаемое символической записью —, если соблюдены условия: 1) если
х?М, то х — х — свойство рефлексивности, 2) если х, у?М и х — у, то у — х —
свойство симметричности, 3) если х, у, z?M и х~у, у ~ г, то х — z —
свойство транзитивности (см. [23]).

16	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. I
элементы матриц являются элементами некоторого кольца А
(см. [23]).
Напомним, что кольцом А называется аддитивная абелева
группа, для которой определена вторая бинарная операция —
умножение, удовлетворяющая для любых трех элементов а, Ь, с
кольца А условиям
1)	(ab)c = a(bc) (закон ассоциативности умножения);
2)	а ф + с)=аЬ4-ас, (a-\-b)c=ac + bc (закон дистрибутивности).
Можно доказать, что если 0 — нулевой элемент относительно
операции сложения, то а0 = 0а = 0 для любого элемента а?А.
Вообще говоря, в кольце не выполняется условие коммута-
коммутативности умножения, т. е. аЬфЬа. Если для любых двух эле-
элементов кольца ab = bat то кольцо называется коммутативным.
Если в кольце имеется элемент е, удовлетворяющий для
любого а 6 Л условию
еа = ае = а,	A.1)
то е называют единицей кольца, а А называется кольцом с еди-
единицей. Кольцо с единицей всегда имеет два элемента 0 и е,
причем ефО.
Примерами коммутативных колец с единицей являются мно-
множества целых чисел Z, рациональных чисел R0, вещественных
и комплексных чисел R и С. Множество векторных полей V
является примером неассоциативного и некоммутативного кольца,
если под умножением подразумевать векторное произведение
(см. гл. II, § 1, п. 3).
Пусть всякий ненулевой элемент а кольца Л имеет обратный
а~г, удовлетворяющий условиям а~ха~аа~х = е. Коммутативное
кольцо, всякий ненулевой элемент которого имеет обратный,
называется полем. Примерами полей являются множества рацио-
рациональных, вещественных и комплексных чисел Q, R и С. Если
а,Ь — элементы некоторого поля К, то уравнение ах — b всегда
имеет единственное решение х = Ьа~1 = а~1Ь?К, если афО.
Пусть Ak\\\\li?p, Bll'.'.'.if. — матрицы из аддитивных групп G% и
GBr, элементы которых принадлежат некоторому кольцу G. Если
перемножим их, то получим матрицу типа (р + г, q-\-s):
Л1\. . .iq nif •-is /**>11 • • -ig/i• ¦ -is	/i o\
k1..Jp-.Dl1...lr=Lk1...?pl1...lr,	{1 -Ч
элементы которой принадлежат тому же кольцу.
Эту операцию мы будем называть прямым матричным умно-
умножением. Таким образом, операция умножения осуществляет ото-
отображение
Gs —* Gq +s
4. Правило суммирования. Употребление знака 2 часто услож-
усложняет выражения, делая их громоздкими, в особенности в тех

§ l]	МАТРИЦЫ	17
случаях, когда приходится рассматривать многократные суммы.
Чтобы избежать этих внешних усложнений, в тензорном анализе
принято пользоваться весьма удобным правилом суммирования,
введенным в свое время А. Эйнштейном.
Назовем буквенный индекс матрицы глухим, если он фигу-
фигурирует в матрице (одночлене) два раза (и только два раза) —
один раз как нижний индекс, а другой раз — как верхний. На-
Например, в матрицах а\ и bLki индекс / является глухим. Но
в матрицах вида аи или Ь1а индекс i уже не является глухим.
В одной матрице могут встречаться несколько глухих индексов,
которые, чтобы избежать путаницы, должны быть обозначены
различными буквами. Например, в матрице а% оба индекса i, k
являются глухими.
Наличие глухих индексов означает, что соответствующее вы-
выражение следует просуммировать, придавая глухим индексам все
значения от 1 до п. Таким образом, согласно принятому согла-
соглашению всякую матрицу, в которой фигурируют глухие индексы,
следует рассматривать как сумму в указанном выше смысле.
Например, суммы
п	п п
2 я,*1", 2 2 aikx'xk
можно писать без знака суммирования 2 в виде
a,.*', aikacxk.
Следует заметить, что принятое соглашение о правиле сум-
суммирования вовсе не исключает в необходимых случаях употреб-
употребление знака ]У]. В дальнейшем часто будут возникать ситуации,
когда целесообразно употребление этого знака. Например, мы
будем употреблять знах 2> если индексы суммирования нахо-
находятся на одной горизонтали или если они занимают иные пози-
позиции, не предусмотренные в определении глухого индекса. На-
Например, если имеется выражение вида Л^ или Ащ В1 и т. п.,
то надо специально оговорить правило суммирования. Вообще
всегда лучше в сомнительных случаях пользоваться знаком 2*
Иногда приходится не применять правила суммирования
к матрице, хотя некоторые ее индексы занимают положение
глухих индексов — один раз фигурируют внизу и другой раз
наверху. В таких случаях один из глухих индексов будем под-
подчеркивать снизу, что будет обозначать запрет суммирования.
Например, aft1 означает, что рассматривается не сумма aj?1-}-...
... -\-anbn, а отдельные ее слагаемые aYbx, аф2, ..., anbn. В таких
случаях часто для большей ясности будем писать а(Ь', i ? [1, п].
Надо иметь в виду, что в тензорном анализе верхние индексы
не обозначают показателей степени, если, конечно, специально
не сказано противоположное. Так, хк есть х с верхним индексом

18	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. I
k, а не х в степени k. Поэтому во избежание путаницы, когда
величины с индексами придется возводить в степень, будем за-
заключать их в скобки. Так, например, (а[)т обозначает а% в сте-
степени т.
Буквенный индекс, который не является глухим, будем на-
называть свободным или неопределенным. Например, в матрице aihbl
индекс i является глухим, a k — свободным. Свободный индекс k
может быть приравнен к любому из чисел 1, 2, ...,п. В гео-
геометрии число п чаще всего равно измерению пространства,
в механике — размерности фазового пространства и т. п. В даль-
дальнейшем большей частью п будет равно либо 2, либо 3.
Заметим, что название глухой *) для индекса суммирования
является, в известной степени, словесным выражением того
факта, что этот индекс не реагирует на изменение обозначения.
Например, в сумме а'х{ глухой индекс i можно обозначать лю-
любой другой буквой. От этого, конечно, сумма не изменится:
а1х1 — акхк. Это свойство глухого индекса является аналогом
свойства переменной интегрирования под знаком определенного
интеграла. Указанным свойством глухого индекса часто будем
пользоваться, изменяя, в случае необходимости, в процессе вы-
выкладок обозначения глухих индексов, причем будем это делать
без специальной оговорки. Однако надо твердо помнить, что
в одной и той же матрице нельзя обозначать два разных глухих
индекса одной и той же буквой или же буквой, которая уже
использована в этой матрице для обозначения свободного индекса.
5. Операция сокращения индексов. Пусть G — аддитивная
группа и пусть
M\\\'\qP<tG%.	A.3)
Если в этой матрице приравняем друг к другу два неопре-
неопределенных индекса, причем один из них обязательно нижний, а
другой верхний (например, i1 = j1~k), то эту операцию назо-
назовем зацеплением индексов. В результате зацепления двух индек-
индексов в матрице появится глухой индекс и, согласно принятому
выше соглашению, мы должны просуммировать элементы матрицы
относительно этого индекса, придавая ему значения 1,2, .. ., п,
при этом остальные индексы не изменяются. После выполнения
указанной операции мы получим матрицу типа (р—1, q—1),
у которой уже количество индексов уменьшилось на две единицы.
Так, например, зацепляя в A.3) индексы ix и jlt т. е. по-
полагая i1 = j1 = if получим матрицу типа (р — 1, G = 1):
п
д/>¦ • ¦ U — Aij-2-¦ -iv — У Al-i.----{я
?>i2. . .ip — *1и2. . лр ^' ли2. . .tjr
*) В некоторых руководствах пользуются еще терминами «немой», «те-
«текущий».

§ i]	МАТРИЦЫ	19
Определенная выше операция называется свертыванием или со-
сокращением индексов. Операцию сокращения индексов можно
выполнить подряд по нескольким индексам. Например, сокращая
в матрице A.3) попарно индексы i1 и /]f i2 и /2, ...,im и \т
(очевидно, m^min(p, q)), получим матрицу типа (р — т, q — m):
d/тя + 1 •••/(/	 Л (i • • • hnirn + 1 ¦ • • /i/
hn +
Таким образом, при m-кратном применении операции сокраще-
сокращения количества верхних и нижних индексов каждое уменьшается
на т единиц. В результате m-кратного сокращения ранг матрицы
уменьшается на 2т единиц.
Очевидно, сокращение индексов можно производить в любом
другом порядке. Но изменяя порядок зацепления индексов, бу-
будем получать, вообще говоря, разные результаты.
Необходимо напомнить, что операцию сокращения индексов
можно применять только к такой матрице, у которой имеется
по крайней мере один верхний и один нижний свободные индексы.
6.	Внутренние произведения матриц. В тензорном анализе
вслед за прямым матричным умножением часто приходится про-
производить операции сокращения индексов, зацепляя при этом
попарно индексы сомножителей. Например, Лг-5'есть результат
сокращения индексов прямого произведения А(Вк. Эта операция
называется внутренним произведением матриц. Аналогично можно
рассматривать внутренние произведения вида AijBlJ, Ai;tzBjC;-
и т. д.
7.	Векторные пространства. Модули. Допустим, что для ад-
аддитивной абелевой группы G определена еще операция умно-
умножения ее элементов на элементы некоторого поля К, т. е. имеется
правило, по которому любым двум элементам x?G и а?К ста-
ставится в соответствие элемент группы G, обозначаемый ах (или
ха, так как не делается различия между ними), причем выпол-
выполняются следующие условия:
1) b	'
{) ()
2)	если е — единичный элемент поля К, то ех = х для любого
x?G,
3)	(а-{-Ь)х = ах 4- Ьх; а (х + у) = ах 4- ау.
Тогда аддитивная группа G называется линейным простран-
пространством над полем К. Элементы группы G называются векторами,
а элементы поля К—скалярами.
Из структурных свойств G и К, а также свойств 1) — 3) сле-
следует, что:
4)	0л: = 0, где 0 — нулевой элемент/С, 0—нулевой элементе,
х — любой элемент G.
5)	Уравнение ах = у при а^О имеет единственное решение.
х *

20	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРБ1	[ГЛ. I
Рассмотрим (р, <7)-матрицы, элементы которых принадлежат
некоторому линейному пространству X. Обозначим через Х? мно-
множество таких матриц. Нетрудно убедиться, что Xqp — линейное
(векторное) пространство над полем К.
Пусть X и Y — два линейных пространства. Отображение /:
X—*-Y называется линейным, если выполняются условия:
1)	f(x' + x") = f(x') + f(x"), Ух', х"<ЕХ,
2)	а/(х)=/(ах), Va<tK, Vx?X.
Если Y = K, то линейное отображение / называется линейной
функцией на X.
Если X — Y, то линейное отображение /: X—> X называется
эндоморфизмом.
Иногда целесообразно рассматривать линейные пространства
над коммутативным кольцом А с единицей. Тогда все перечис-
перечисленные выше условия 1) — 5) удовлетворяются, кроме требования
разрешимости уравнения ах = у. Такое пространство называется
модулем над [кольцом А. Например, коммутативным кольцом
является множество измеримых по Лебегу функций координат
точек области. Множество векторных полей V является линей-
линейным пространством (модулем) над кольцом скалярных функций.
§ 2. Символы Кронекера. Символы Леви-Чивита
Рассмотрим величины, которые определены при помощи сле-
следующих равенств:
[ 1 при i = k,
при 1ФЬ, ''*еП.»]-	B-«)
Эти величины называются символами Кронекера (их еще иначе
называют кронекеровскими дельта).
Если х1, х2, ...,хп — независимые переменные, то, очевидно,
a^ = 6l-	B-2)
Следуя правилу суммирования, будем иметь
6{ = я,	B.3)
а также
6jb* = a', b\flt = ak.	B.4)
Формулы B.4) показывают, что, используя правила внутрен-
внутреннего произведения, символы б? позволяют выполнить операцию
подстановки индексов, т. е. замены одного ндекса другим. Так,
например, если мы хотим в выражении ars заменить индекс г
индексом i, то для этого надо выполнить следующую операцию

§ 2J	СИМВОЛЫ КРОНЕКЕРА. СИМВОЛЫ ЛЕВИ-ЧИВИТЛ	21
внутреннего умножения:
ога =а .	\z-°)
Наряду с 6k будем иногда также употреблять символы
§/а_6/л = 6?.	B.6)
Эти равенства не означают, что символы б/А, б1'* и б* одинаковы,
часто их приходится различать.
Введем в рассмотрение и многоиндексные символы
оЦ. . Лр	/г, у\
"-1 • • • к- и'	V/
которые равны+1 (—1), если верхние индексы различны, при-
причем последовательность нижних индексов получается из верхних
путем четного (нечетного) числа транспозиций. Во всех остальных
случаях символы B.7) равны нулю. Например, при п = 2 и р = 2
имеем
6S = 8$ = 6g = 6?§ = 0, i, fc=l, 2,
Введем еще два других полезных символа
ef»---«« = 6iv;:iw,	B.8а)
€fi ...,B = 6,V. •.'"„.	B.86)
Эти символы были введены Леви-Чивита (см., например, [15]).
Ясно, что численно они равны:
etl ...,„ = е'—Ч	B.8в)
Таким образом, каждый символ е равен -}-1 (соответственно
— 1), если последовательность индексов il, i2, ..., in получается
из натурального ряда 1, 2, ..., п с помощью четного (соответ-
(соответственно нечетного) числа перестановок, в остальных случаях
символы е равны нулю.
Нетрудно видеть, что если символ е отличен от нуля, то в
результате перестановки любых двух индексов он меняет знак,
т. е. имеет место формула
6ц ... i5 ... Ik ... in ~	еЧ ••• ik ¦¦¦ is ... in,	B.9)
В этом равенстве переставлены только два индекса is и ik, ос-
остальные же индексы оставлены на своих местах.

22	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. I
§ 3. Детерминанты
1. Определение детерминантов. Применение символов б и е
значительно упрощает доказательство ряда свойств детерминан-
детерминантов. Они также полезны для краткой записи различных выра-
выражений, встречающихся в теории детерминантов и матриц.
Рассмотрим квадратную (п х/г)-матрицу
а = {	)^К).	C.1)
\ап1 ... апп/
Будем предполагать, что а[;- — элементы некоторого поля, на-
например, комплексные числа. Переставляя в матрице а соответ-
соответствующие строки и столбцы, получим матрицу с элементами aji1
которая называется транспонированной матрицей. Определите-
Определителем или детерминантом матрицы а называется величина, выра-
выраженная формулой
д = е'»- inaia ... ailin,	C.2a)
или, что то же самое (доказать!),
a = eil... inaUi ... anin.	C.26)
Это означает, что детерминант матрицы а равен детерминанту
транспонированной матрицы а', т. е. детерминант не изменяет
своего значения при замене строк соответствующими столбцами.
Число п называется порядком детерминанта.
Заметим, что в этом параграфе все индексы (глухие и неоп-
неопределенные) будут принимать значения 1, 2, ..., п. Несмотря
на это в отдельных случаях будем пользоваться знаком сумми-
суммирования 2-
Для обозначения детерминанта употребляется несколько сим-
символов. Ниже мы часто будем употреблять обычное обозначение
ап ... «!
а—
ап1 ... а
Иногда, когда из контекста заранее известно, о детерминантах
какого порядка идет речь, будем писать a = det(aik). Если эле-
элементы детерминанта п-то порядка обозначены через а\ или a'k,
то соответственно будем иметь
det (а*,) = е'*- '«a}, ... antn = etl... ,Baf ... ф, C.2в)
det (aik) = eit... ^a'"»1 .. . a'»" = e(l... tnall't . .. ani». C.2r)
Пусть

§ з!	ДЕТЕРМИНАНТЫ
Тогда в силу формул C.2в) имеем формулы
g/i/г ••• /к -_=
"/1 /2
б/«
... 61»
в/,
в/,
6/и
/и
23
C.3а)
C.36)
выражающие символы Леви-Чивита в виде детерминантов.
Заметим, что определение детерминанта и изучение его свойств
можно осуществить без помощи символа Леви-Чивита. В таком
случае формулы C.3а, б) можно принять в качестве определения
символов Леви-Чивита.
2. Основные свойства детерминантов. Отметим некоторые
простые свойства детерминантов, которые непосредственно сле-
следуют из формул C.2а, б):
1)	Детерминант обращается в нуль, если элементы одного из
столбцов или строк, равны нулю.
2)	Детерминант меняет знак, если переставим два столбца
или две строки.
Для доказательства надо воспользоваться свойством B.9)
символа е. Из 1) и 2) непосредственно вытекает, что детерми-
детерминант обращается в нуль, если два столбца или две строки оди-
одинаковы.
3)	Пусть X; — вектор с компонентами ах[, ..., ani — элемен-
элементами столбца с номером i, а у;— вектор с компонентами
а;1, ..., а!Н — элементами строки с номером I. Тогда, как видно
из формул C.2а, б), определитель а можно рассматривать как
функцию векторов х1У ¦ . ., хп или векторов уг, . . ., уп,
а - е'
а =-- с'
., хп),
,-, . . . anin =
Из этих формул видно, что детерминант n-го порядка является
полилинейной формой порядка п (п-форма) относительно векто-
векторов хх,
Э
хп, а также векторов
уп.
х	п	р уг	уп
Это означает, что если хт = ах'т-\-$х"т, а, C G К, то имеем
Л
= аЛ(х1, ...,
"*г
т. е. относительно каждого аргумента A(xif ..., хп) аддитивна
и однородна. То же самое верно и для B(ylt ..., уп).

24	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. I
4)	Так как перестановка двух строк или двух столбцов де-
детерминанта меняет его знак, то, пользуясь свойствами символа
е, легко докажем формулы
aeklk2 ...kn = e/l - inaiiki ... ainkn,	C.4a)
aeklkt ...ftn = e^-'"flMi... aknhl.	C.46)
5)	Выведем теперь формулу умножения определителей. Если
a~det(aik), Ь^ det (bik) — определители «-го порядка, то в силу
формул C.4а) имеем
1, п
аЬ = ае'* - l"«6/tl . .. ЬЫп = 2 е*» - *«аМ| ... амАм • • • Кп-
d ... in
Следовательно,
ab = c, c=det(cik),	C.5)
где det (cik) — определитель «.-го порядка, элементы которого
выражаются формулой
п
С{/ = 2 а,-А/ = а< А/ + • • • + а/А/-	C-5а)
i
/ = а< А/ + • • • + а/А/
Если в детерминантах а и b строки заменим столбцами, то
в результате ни они, ни их произведения не изменяются, но
для элементов определителя с получим внешне разные выраже-
выражения:
п	п	п
CU = 2 akibkJ, си = 2 я,-Aft» си = 2 4pjk- C-56)
k= I	fe= I	fe= 1
Таким образом, для умножения детерминантов «-го порядка
можно пользоваться любой из формул C.5а) и C.56).
3. Миноры матрицы. Разложение детерминантов. Так как
ei... к-ii k+i... n — Sik, то из формулы C.4а) будем иметь
abik = е'« - '* - ^ahl ... aik_lk~ \aikiaik+lk+ \ ... ainn =
k+l ... ainn]. C.6)
Здесь множитель щкс мы вынесли за знак скобок и затем глу-
глухой индекс ik обозначили через /. Очевидно, что заключенное
внутри скобок ьыражение с точностью до знака равно минору
Ajk элемента ajk определителя o = det(a/-ft). Минор Aik является
определителем («—1)-го порядка, который получим, вычеркивая
из матрицы а строку и столбец с номерами ink соответственно.
Простые рассуждения с учетом свойства B.9) символа е пока-
показывают, что упомянутое выше выражение равно алгебраическому

§ 3]	ДЕТЕРМИНАНТЫ	25
дополнению элемента aJk, которое выражается формулой
• ¦• 0.1, k-i	ai, k+i ¦• ¦ ат
a/-i, 1 ¦ ¦ • aJ~i, k-i aJ-i, k+i
21	• • • atl, k~l	аП, k+1 ¦ ¦ ¦ аПП
C.7)
Следовательно, формула C.6) принимает вид
п
a$ik~ 2 ajiA/k> *> &€П> /г]-	C.8а)
Аналогично доказывается формула
п
Если / =¦ k, то имеем формулы разложения детерминанта
п
a=^aJkAjk1 k(t[\, n],	C.9а)
п
а= у*а д k?\\, n\.	C.96)
Первая (вторая) дает разложение детерминанта относительно
элементов любого столбца (любой строки) с номером к. При
[фк формулы C.8а, б) показывают, что сумма произведений
элементов столбца (строки) с номером i на соответствующие ал-
алгебраические дополнения элементов столбца (строки) с номером
к равна нулю.
4. Выражение для обратной матрицы. Допустим теперь, что
а = det (а1-к)ф0. Тогда, разделив обе части равенств C.8а, б) на
а и приняв обозначение
а'** =-i-ЛА/, к, t'€[l,rt],	C.10)
получим равенства
аУпл = al7fl/* = 6f, i, k <E [ 1, /г].	C.11)
Применяя правило умножения детерминантов, будем иметь
det (аы) • det (aki) = det Ffy - 1.	C.12)
Следовательно,
det (a*') = (det fe)) ^ 0.	C.13)
Таким образом, если det (aik) Ф 0, то для матрицы aik суще-
существует единственная обратная матрица, удовлетворяющая уело-

26	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. 1
виям C.11). Ясно, что для a'k матрица aik является обратной.
Следовательно, матрицы alk, a'k являются взаимно обратными.
Заметим, что множество А (/гхп)-квадратных матриц а,-к,
элементы которых принадлежат некоторому полю К, представ-
представляет кольцо с единицей. Очевидно, А — аддитивная группа с опе-
операцией сложения: если a!kt bik^A, то aik-\-bik?A. Операция
умножения определяется формулой: если a[k, bik?A, то
п
^aihbkj{zA. Единицей кольца А служит матрица bik. Нетрудно
убедиться, что все аксиомы кольца здесь имеют место.
§ 4. Линейные алгебраические системы уравнений
1. Союзные системы уравнений. Формулы Крамера. Исполь-
Используем теперь установленные в предыдущем параграфе свойства
детерминантов для изучения союзных линейных алгебраических
систем уравнений вида
п
2^ = 6,-, i?[l,n],	D.1а)
S «*.-.?* = с/, i €[!,«].	D.16)
Рассмотрим сперва случай, когда общий для этих систем
определитель не равен нулю, а = det (aik) Ф 0. Тогда, как было
доказано в предыдущем пункте, для матрицы коэффициентов aik
существует обратная матрица aih. Умножив обе части уравнений
D.1а, б) на матрицы aJi и а'7 соответственно, а затем просум-,
мировав относительно индекса i, в силу C.11) получим формулы
п
х^ = а/% = \^Ь1АФ /€[1,я],	D.2а)
i= 1
п
^ = а'^1.=1?сИ/,-. /€[1,я].	D.26)
i— 1
Таким образом, если a — det (aik)=^0, то союзные неоднород-
неоднородные системы линейных уравнений D.1а, б) имеют решения для
любых правых частей и их решения однозначно определяются
соответственно формулами D.2а) и D.26). Соответствующие союз-
союзные однородные системы уравнений
Sfl/ftx* = 0f i(E[l, n],	D.3а)
Sflft,-^ = 0. '€[1, п]	D.36)
не имеют решения, кроме тривиального х* = 0 и yk = Q, k?\\, n].

§41
ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
27
В силу формулы C.7) имеем
k=l
D.4)
Или, передвигая столбец с номером i вперед, получим формулу
(-1)'
х1 = —
Аналогично формула D.26) принимает вид
(- 1)'
ai
«и.
, я]. D.5а)
D.56)
Равенства D.5а, б) называются формулами Крамера.
2. Союзные однородные системы уравнений. Переходим теперь
к рассмотрению случая, когда детерминант системы уравнений
D.1а, б) обращается в нуль, а ~ det (ai;-) = 0.
Пусть р — ранг матрицы aik. Это означает, что все миноры
порядка > р определителя det (aik) равны нулю, а среди мино-
миноров порядка р имеется по крайней мере один, который отличен
от нуля*). Напомним, что минор порядка к получается из де-
детерминанта вычеркиванием п — k строк и п — k столбцов. Можем
считать, что именно главный минор порядка р отличен от нуля,
ipx
1Рр
р<п.
D.6)
При необходимости достаточно изменить нумерацию коэффици-
коэффициентов и неизвестных, входящих в систему уравнений, чтобы
прийти к этому случаю:
Условимся обозначать в дальнейшем индексы, принимающие
значения 1, ..., р, греческими буквами а, E, ..., а индексы,
принимающие значения /7 + 1, ..., п, будем обозначать гречес-
греческими буквами со штрихом. Тогда система уравнений D.3а) раз-
разбивается на две группы, которые запишем в виде
, р],
, п].
D.7а)
D.76)
*) Это определение ранга матрицы (а//г) не совпадает с определением
^ $ , данным в § 1 этой главы: r^pJrq. Последнее
ранга матрицы
я
число иногда называют валентностью Л{?
ар'
(Прим. ред.)

28
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. 1
В силу условия D.6) систему уравнений D.7а) можно обра-
обратить и согласно формуле D.5а) записать ее в виде
(-1K
и p_i alt
ар1
ар, р-1
Clip
a.
¦ "(п)
где ааC — обратная матрица для матрицы аа$, а, |3?[1, р].
Так как все миноры порядка > Р детерминанта а равны
нулю, то имеем равенства
= 0, a', p'
D.9)
Если умножим обе части этого равенства на х$' и просуммируем
относительно |3'?[р-}-1, п], то будем иметь
рХ
= 0,
, л]. D.10)
Разлагая этот детерминант относительно элементов последней
строки, в силу формул C.96) и D.8) получим
а'
, п].
D.10а)
Таким образом, для произвольных значений л^ + 1, ..., х"
решение системы D.7а) удовлетворяет также системе D.76).
Внося в D.10а) выражение л:р = — а^ааа^' и учитывая, что
х®' — произвольные, получим равенства
fl«.p. —fla^aap^O, a', f/€ [р + 1, п]. D.106)
Аналогично для союзной однородной системы D.36) получим
"p+i, p
D.11)
Для произвольных yF+1, -••, i/" выражения D.11) удовлетво-
удовлетворяют однородной системе уравнений D.36).

§ 4]	ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	29
Введем обозначения: г~п — р,
р
^	г];
г].
если /€[1
если i = р
если t'6[l
если i~p
>Pl
+ Р.
, Pi
+ Р,
а,
а,
Очевидно, xia и г/1а, а?[1, г], составляют системы линейно
независимых частных решений союзных однородных систем урав-
уравнений D.3а) и D.36) соответственно. Тогда их решения выра-
выражаются формулами
г
xl'= 2 xlaC'a = xilCi+ ... +xlrC'n	D.13a)
г
yi= 2 у{аСъ=у!1с;+... +yirc;,	D.136)
где С'а и С"а — произвольные постоянные.
Таким образом, если детерминант а = det (ai;) ~ 0, а его ранг
равен р, 1^/?<п, то союзные однородные системы, уравнений
D.3а) и D.36) имеют по г = п—р линейно независимых решений
соответственно xfl, ..., х'г и у'1, ..., yir, i?[\, n], а их общие
решения выражаются формулами D.13а) и D.136), где С'а и С„ —
произвольные постоянные.
3. Союзные неоднородные системы уравнений. Переходим те-
теперь к рассмотрению союзных неоднородных систем уравнений
D.1а) и D.16). Из очевидного тождества
t=l \/г=1
следует, что для разрешимости неоднородных систем уравнений
D.1а) и D.16) необходимо выполнение по г~п — р условий вида
2^=0, «€[1, г],	D.14а)
п
2 c,.;t'"a= 0, а^[1, г].	D.146)
i - 1
Если примем во внимание обозначения D.12а, 6), то равенства

30	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЛЛГЕВРЫ	[ГЛ. 1
D.14а, б) принимают вид
р р
SS^V=&a'. а'?[р+1,я], р = п — г\ D.15а)
2 2срЛа,7=Са-( а'€[р+1,п], р = п — г. D.156)
v=iP=i
Докажем, что эти условия также достаточны для разрешимости
неоднородных систем уравнений D.1а, б).
Рассмотрим систему уравнений
=Ьа,	а€[1, /?], р = п — г.	D.16)
Ее решение согласно D.2а)	выражается формулой
*Р = 2 араЬ«,	Р6[1, р], р = п — г,
1
где ааР—обратная относительно аар матрица, а, р?[1, р], ко-
которая существует в силу условия D.6). Подставляя эти выра-
выражения в
р
2 fla'p*P = Ьа', а' € fp + 1, п],
р=1
получим равенства D.15а), которые по условию выполняются.
Таким образом, если выполняются условия D.14а), то не-
неоднородная система D.1а) имеет частное решение вида
*g=2aP°*af P€[l, P]; Jfop' = 0, р#€[р + 1, л]. DЛ7а)
а= 1
Аналогично докажем, что если выполняются условия D.146),
то неоднородная система D.16) имеет частное решение вида
у%= 2 e№cat р<?[1, р]; t/0p'^0, p'€[p + l, «]• D-176)
а-1
Таким образом, мы пришли к следующему результату:
Если а = det (aik) = 0, mo 5ля разрешимости союзных систем
неоднородных уравнений D.1а, б) необходимо и достаточно вы-
выполнение по г~п — р условий D.14а, б), равноценных равенствам
D.15а, б), где р — ранг матрицы а{/. Тогда неоднородные урав-
уравнения D.1а, б) имеют соответственно частные решения вида

§ 5]	ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА	31
D.17а, б), а их общие решения выражаются формулами
г
х' = 4+ 2 *iaC'a, i€[l, n],	D.18а)
l
У! = У{о+1>У!аС'а, i€[l,n],	D-186)
сс=1
где С^ и C'u — постоянные произвольные, г~п—р.
§ 5. Приведение положительно определенной квадратичной формы
к каноническому виду
1.	Положительно определенная квадратичная форма. Рассмот-
Рассмотрим квадратичную форму от п комплексных переменных х1, ...
..., х":
А{х1, ..., хп)=аПгх{хк,	E.1)
где aik—комплексные числа. Глухие индексы i и k здесь и ниже
в этом параграфе принимают значения 1, ..., п. Черта над
выражением обозначает его комплексно-сопряженное значение.
Через D (А) обозначим дискриминант квадратичной формы E.1),
D(A) = det(aik), i, k?[\, n].	E.2)
Пусть для любых комплексных значений переменных х1, ...
..., хп выполняется условие
А{х\ ..., х")>0.	E.3)
Тогда квадратичная форма А (х1, ..., хп) называется положи-
положительной. Если при этом знак равенства достигается только лишь
при х1— ... =хп — 0, то квадратичная форма называется поло-
положительно определенной.
Вообще, если форма А (х1, ..., хп) для любых комплексных
переменных х1, ..., хп принимает вещественные значения, то,
очевидно, выполняется условие
aik^akl.	E.4)
Матрица aik, удовлетворяющая этому условию, называется эр-
эрмитовой. Следовательно, положительно определенная квадра-
квадратичная форма эрмитова.
2.	Приведение к каноническому виду. Пусть А(хг, ..., х") —'
положительно ^определенная квадратичная форма. Тогда, оче-
очевидно, ап — А(\, 0, ..., 0) > 0, и в силу E.4) можем написать

32	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. 1
равенство
Л/ v»l	Vn\ 	 A IY^	уЧ\ I
ух , . . •, л j — /ij ул , . . . , л } ^^
V «11	«11 / V «11	«11 /
E.5)
где Л, (х2, ..., хп) — квадратичная форма относительно перемен-
переменных х2, ..., хп. Введем новые переменные
«и	«и
Тогда формула E.5) принимает вид
где ^xd2, ••-, Е") — положительно определенная квадратичная
форма относительно переменных |2, ..., \п. Представляя те-
теперь Ах также в виде E.7), будем иметь
А(х\ ..., x») = E1r\^ + Erf4* + A2(r]\ ..., ц«)Г Е2>0, E.8)
где Л2(rj3, ..., г\п) — положительно определенная квадратичная
форма относительно переменных т]3, ..., v\n. Переменные т]1, ...
..., т)" связаны с I1, ..., ^" соотношениями вида
Следовательно, в силу E.6) имеем
Применяя этот метод последовательно и дальше, в результате
(после п шагов) получим представление квадратичной формы
А(х1, ..., хп) в виде
А{хх, ..., хп) = Е1у1у1 + Е2у2'у*+ .. . + Епуп~уп, E.10)
где ?1? ?2, ..., Еп — положительные числа. Как показывают
формулы E.6) и E.9), переменные у1, ..., уп связаны с х1, ...
..., хп линейными соотношениями вида
yk — xk-\-o.l 1xk+1-{•...-{-а^хп, &6[1, п].	E-И)
Очевидно, функциональный детерминант (якобиан) преобразо-
преобразования имеет вид
1 al	... a
р-(у\ ..., уп)
D (х1, ..., хп)
0 1 а&
О 0
-1.	E.12)

§ 51	ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА	33
Таким образом, положительно определенная квадратичная
форма А (х1, ..., х") приводится к виду E.10) посредством не-
невырожденного линейного преобразования переменных л;1, ..., хп.
3. Дискриминант квадратичной формы. Условие Сильвестра.
Подставляя выражения E.11) в E.10), будем иметь
aikxlxk = ?__«?.
i к	уц i> .*
Отсюда следует, что
aik = Epqa>!al	E.13)
где
| Ept если q = p,
pq \ 0, если q Ф p\
I 1, если p = i,
aR — i^	.	E.146)
1 \ 0, если p > i.	v '
Применяя правило умножения детерминантов, из E.13) получим
Но в силу E.146) последнее равенство принимает вид
Таким образом, дискриминант D (А) положительно опреде-
определенной квадратичной формы А{х1, ..., х") положителен.
Рассмотрим теперь квадратичные формы
A (Yi\	: Л (Yi П	П"^
1 \ / — \ ' ' ' * * » /'
А /VI У2\ 	 A (vl v2 П	Г)\
**2 \.A > Л ) -^ \.Л » Л » и> ¦ • • 1 "/?
	 		E.17)
/4 /'г1	г""! — А (у1	г™ 0)
Л/v-l	Yn\ 	 A I Y^-	Yn\
Все они, очевидно, положительно определенные квадратичные
формы.
Если положим л'" = 0, то из E.11) следует, что г/" = 0, и
в силу E.10) будем иметь
Ап^{х\ ..., хп-1) = Е1у1у~1 +...+Еп__1уп~{уп-1.
Если положим хп = хп~г — 0, то из E.11) следует, что уп = уп~1 = О.
Следовательно,
Теперь ясно, что имеем общую формулу
Ат{х\ ..., х^^Е^у1^ ...+Етутут, т€[1, л], E.18)
2 И. Н. Векуа

34	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ
и в силу формулы E.16)
aim
Отсюда следует, что
Р(А2)
D(A{)
О	Е —
Р(Лп)
[ГЛ. 1
n]. E.19)
E.20)
Таким образом, для положительно определенной квадратич-
квадратичной формы необходимо выполнение условий E.19), равносильных
неравенствам E.20).
В силу E.14а, б) из E.13) имеем
E.21)
t n].
Из этой системы уравнений однозначно определяются последо-
последовательно а\, а\, а\, а{, а\, а\, ..., с^. Они выражаются через
коэффициенты квадратичной формы Л (а:1, ..., хп). Подставляя
найденные значения <4, kyi, в E.11), а затем внося получен-
полученные выражения переменных ук в E.10), будем иметь тождество
fl^'J* = Едф + ?^V + • • • + ЕпУпУп,	E-22)
показывающее, что если все Е{ > 0, то а!кх'хк—положительно
определенная квадратичная форма. Здесь следует иметь в виду,
что преобразование переменных E.11) в силу E.12) невырож-
невырожденное.
Таким образом, доказана теорема Сильвестра, выражающая,
что неравенства
au ... аи
aml- • -
0, да€[1, п],
E.19)
составляют необходимое и достаточное условие, обеспечивающее
положительную определенность квадратичной формы
А (х1	хп) 5= aikxlxk.
4. Приведение к сумме квадратов. Если введем переменные
«],	E.23)

§ 5] ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА	35
то квадратичная форма А(х1, ..., хп) приведется к канониче-
каноническому виду
А (х\ ..., хп) = ZlZl + Z4? + ... + ZnZn.	E.24)
Пусть А(х1, ..., хп) — вещественная положительно опреде-
определенная квадратичная форма, т. е. aik—вещественные постоян-
постоянные, а л;1, ..., хп— вещественные переменные. Тогда коэффи-
коэффициенты alk, k^i, которые определяются из системы уравнений
E.21), являются вещественными. Следовательно, если х1, ..., хп—
вещественные переменные, то переменные у1, ..., уп и Z1, ..., Zn
будут также вещественными.
Таким образом, вещественная положительно определенная
квадратичная форма А(х1, ..., хп) посредством вещественных
линейных преобразований вида E.11) и E.23) переменных х1, ...
..., х11 приводится к каноническому виду
А (х\ ...,*») = (Z1J + (Z2J + ... + (Z«J.	E.25)
Для вещественных квадратичных форм условие эрмитовости
E.4) принимает вид
а/* = я*/.	E-26)
т. е. aik—симметричная вещественная матрица.

ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Векторы евклидова пространства
и некоторые алгебраические операции над ними
В этой главе, пользуясь чисто геометрическими средствами,
напомним некоторые понятия и формулы векторной алгебры,
которые позволят ввести в рассмотрение естественным путем
некоторые тензоры, имеющие геометрический смысл.
1. Понятие о векторе. В элементарном курсе векторного ис-
исчисления пользуются представлением вектора как направлен-
направленного отрезка прямой. Таким образом, вектор определяется
заданием направления и длиной. Назовем вектор ортом, если
его длина равна единице. Очевидно, вектор однозначно опреде-
определяется заданием его орта и длины.
Данное выше определение не фиксирует начало вектора.
Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно
переносить параллельно, и его началом можно считать любую
точку пространства. Но часто приходится ограничивать понятие
вектора, фиксируя точку его приложения (начало вектора) или
прямую скольжения (скользящие векторы).
В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом век-
векторы с фиксированным началом. Если в каждой точке некото-
некоторой области Q (или поверхности, или кривой) евклидова прост-
пространства приложен некоторый вектор, то будем говорить, что
в Q задано векторное поле. При переходе от одной точки облас-
области Q к некоторой другой (соседней) точке вектор, вообще говоря,
меняет как длину, так и направление. Если же векторы поля
сохраняют как длину, так и направление, то будем говорить,
что имеем постоянное или однородное векторное поле. Приме-
Примером векторного поля является поле сил тяжести. Если рассмот-
рассмотрим область пространства небольших размеров, то гравитацион-
гравитационное поле можно считать постоянным.

§11
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
37
Вторым примером векторного поля является поле скоростей
частиц жидкости при стационарном движении жидкости.
Для обозначения вектора мы будем употреблять латинские
буквы жирного шрифта и буквы готического алфавита. Оче-
Очевидно, вектор однозначно определяется заданием его начала
и конца. Если точки О и Л — соответственно начало и конец
вектора, то вектор будем обозначать символом О А. Если А или
О А — векторы, то через \Л\ или О А будем обозначать их длины.
8
Рис. 2.
2. Сложение векторов. Параметризация векторов. Определив
чисто геометрическим путем операцию сложения векторов — пра-
правило параллелограммов (рис. 1), и умножение вектора на веще-
вещественное число (рис. 2), легко убе-
убедиться, что множество V3 вектор-
векторных полей некоторой области Q
трехмерного евклидова пространст-
пространства представляет линейное (вектор-
(векторное) пространство над полем веще-
вещественных чисел R.
Теперь чисто геометрическими
средствами можно доказать, что
всякий вектор U трехмерного евк-
евклидова пространства выражается
как линейная комбинация с веще-
вещественными коэффициентами трех заданных некомпланарных век-
векторов X, Y, Z, которые составляют базис разложения (рис. 3)
U=MA+~MB + MC = aX + $Y+yZ.	A.1)
Геометрически это разложение можно осуществить, например,
так. Проводим из конца вектора U (на рис. 3 точка Е) пря-
прямую, параллельную вектору Z, до ее пересечения с плоскостью
векторов X, Y в точке F. Затем из точки F проводим прямые,
параллельные X и К, до их пересечения с прямыми этих век-
векторов в точках А и В. Наконец, из точки Е проводим прямую,
параллельную MF до пересечения с прямой вектора Z в точке С.
Таким образом найдены составляющие вектора U:MA=aX,
MB = $Y и MC = yZ. Коэффициенты разложения а, [3, у называ-
называются компонентами вектора. Такое представление вектора

38	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. II
можно назвать его параметризацией. Нетрудно доказать, что
представление вектора в виде A.1) единственно, т.е. коорди-
координаты вектора определяются однозначно.
Из формулы A.1) следует, что множество Vs векторов, при-
приложенных в фиксированной точке,— трехмерное линейное (век-
(векторное) пространство над полем действительных чисел. Пара-
Параметризация векторов позволяет определить основные алгебраи-
алгебраические операции над ними через их компоненты, которые
являются числами или, в более общем случае векторного поля,
функциями координат точки области. В частности, из формулы
A.1) легко следует, что если а, C, у и а', р', 7' — компоненты
векторов U и & соответственно, а <р — произвольное число из
R, то а + а', P + P't Т + т' и Фа> фР» Ф7 будут компонентами век-
векторов U-\-U' и <р{/ соответственно.
Пусть ?3 — множество всех упорядоченных троек веществен-
вещественных чисел (а, р, у), которые будем называть также точками
множества Е3. Если М(а, р, у), М'(а\ [У, у') — точки из Е3
и ф — произвольное вещественное число, то, очевидно, точки
ЛГ(а + а', р + Р', 7 + 7'). Л!'" (ера, фр, <ру) также принадлежат
множеству Еа. Теперь ясно, что Еъ — линейное пространство над
полем R, нулем которого является точка О @, 0, 0) (трехмер-
(трехмерное арифметическое пространство). Нетрудно убедиться, что
соотношение A.1) осуществляет изоморфизм Vs <е» Е3; это откры-
открывает путь для широкого применения в векторном исчислении
методов алгебры и математического анализа.
3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
В векторном анализе рассматривают скалярное, векторное и
смешанное произведения векторов, диффе-
ренцирование вектора по скалярному аргу-
менту и другие операции. В дальнейшем мы
^	^ будем считать, что рассматриваются век-
А	торы, которые имеют общую точку прило-
Рис. 4.	жения.
Для обозначения скалярного, векторно-
векторного и смешанного произведений векторов обычно пользуются сим-
символами
ЛВ, ЛхВ, А(ВхС) = АЗС	A.1а)
соответственно.
Скалярное произведение определяется по формуле (рис. 4)
AB = BA = \A\\B\cosa>t	A.2)
где \А\ и \В\ обозначают длины векторов А и В, а со — угол
между ними (О^со^л). Если АВ = 0, то векторы А и В орто-
ортогональны.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
39
Докажем, что скалярное произведение АВ
т. е. для любых векторов А, В, С
имеем
билинейная форма,
Л
A.2а)
Достаточно доказать это равенство,
когда С—орт, т. е. С=е, |е| = 1.
Тогда (А-^В)е, Ае и Be представ-
представляют ортогональные проекции век-
векторов А + /?, А и В на направление
орта е. Если обратиться к рис. 5,
то легко убедиться, что треуголь-
треугольО' DQQ'
рис
ники ОРР' и DQQ' равновелики, так как их стороны парал-
параллельны и стороны ОР и QD равны. Следовательно, OP' — Q'D.
Теперь, очевидно, имеем
пр Л:
пр(А-\ В)-
-пр ОР'
= npOD =
up Q'D, n]
Pfnp
= пр Л -f пр
т. е. доказано равенство A.2а), когда С—орт. Таким образом,
для любых векторов А, В, С, СфО, имеем
АхВ
С +В С
с\
с\
Отсюда немедленно следует равен-
равенство A.2а). При С=0 это равен-
равенство всегда выполняется.
Векторное произведение АхВ
гредставляет собой вектор, имею-
имеющий общее с А и В начало и4 пер-
перпендикулярный векторам А и В,
причем его длина численно равна
площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Кроме того,, совокупность трех векторов А, В, АхВ имеет
правую ориентацию, т. е. они составляют правую систему
вращения (рис. 6).
Имеют место равенства
Рис. (i.
АхВ = — ВхА, |i4
В силу A.2) и A.3) будем иметь
— {АВ)\
A.3)
A.4)
Эта формула выражает площадь параллелограмма, построенного
на векторах А и В,

40	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. II
Предоставляем читателю доказать (геометрическими средст-
средствами), что АхВ—билинейная форма, т. е. что для любых век-
векторов А, Ву С имеем равенство
(А + В)хС=АхС+ВхС.	A.4а)
Пусть три вектора А, В, С составляют триэдр правой ориен-
ориентации. Смешанное их произведение ABC = ( Ах В) С равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах. Теперь очевидно,
что ABC—трилинейная форма. Имеем
A.5)
Очевидно, УфО тогда и только тогда, когда векторы А, В, С
некомпланарны.
4. Двойное векторное произведение. Рассмотрим также двой-
двойное векторное произведение (А X В) X С. Очевидно, оно представ-
представляет трилинейную форму. Для него имеет место формула
{АхВ)хС={СА)В— (СВ)А,	A.6)
доказательство которой мы здесь приведем.
Левая часть равенства A.6) представляет вектор, перпенди-
перпендикулярный векторам Ах В и С. Следовательно, этот вектор рас-
расположен на плоскости векторов А и В. Поэтому его можно
представить в виде (AxB)xC = ccAJr$B. Умножая обе части
этого равенства скалярно на С, получим
В силу этого равенства имеем
{АхВ)хС = у[(СА)В—(СВ)А].	A.7)
Так как левая и правая части этого равенства без множителя у
линейно зависят от векторов А, В, С, то очевидно, что у — по-
постоянная, которая не зависит от выбора указанных векторов *).
Пусть /, т, п — взаимно ортогональные орты, составляющие три-
триэдр правой ориентации: Ixtn — tl. Если положим А = 1, В = т,
С = /, то будем иметь: (lxm)xl = nxl~m, CA = tl=\t СВ ¦¦=
= ml = 0. Поэтому равенство A.7) принимает вид т = ут.
Отсюда имеем y—U и, следовательно, формула A.6) доказана.
Из равенства A.6) следует, что векторное умножение век-
векторов не удовлетворяет закону ассоциативности умножения.
Вообще говоря,
(АхВ)хСфАх(ВхС).	A.7а)
Поэтому множество векторных полей не является ассоциатив-
ассоциативным кольцом, о чем мы уже упоминали выше (стр. 16.).
*) В случае, когда А н В коллинеарны, формула A.6) легко проверяется.
(Прим. ред.)

§2] БАЗИСЫ. ОПЕРАЦИИ ПОДНЯТИЯ И ОПУСКАНИЯ ИНДЕКСОВ	41
§ 2. Базисы. Операции поднятия и опускания индексов
1. Биортогональные и биортонормальные базисы. Пусть в не-
некоторой точке М евклидова пространства приложены три не-
некомпланарных вектора elt e2, е3. Тогда выполняется условие
где \v\ равен объему параллелепипеда, построенного на векто-
векторах ег. Если триэдр ех, е2, е3 имеет правую или левую ориен-
ориентацию, то соответственно v > О и v < 0.
Беря векторы ek в качестве базиса пространства V3, форму-
формулу A.1) можем записать в виде
U=Viei.	B.1)
Здесь и в дальнейшем в этом параграфе латинские глухие и не-
неопределенные индексы принимают значения 1, 2, 3.
В формуле B.1) компоненты U{ вектора относительно базиса
ех, е2, е3 определяются однозначно. Ниже мы выведем формулу,
позволяющую в явной форме выразить U' через U. Для этой
цели удобно ввести в рассмотрение в V3 наряду с базисом ег,
е2У е3 также биортонормальный базис е1, е2, е3, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям
в,.е> = 8{.	B.2)
Нетрудно убедиться, что этим условиям биортонормальности
удовлетворяют векторы
,1	g 	 1	g 		О "К* О	/OQ\
V	U	V
Если elf e2, е3 — попарно ортогональные орты, то, очевидно,
е1 = е1, е2 = е2% е3 = е3. Следовательно, в этом случае триэдры
ех, ег> е3 и е1, е2, е3 совпадают.
Триэдры е{ и eJ биортонормальны и имеют одинаковую ориен-
ориентацию. Отсюда следует, что векторы в,1 также некомпланарны.
Следовательно, биортонормальные триэдры et и eJ можно ис-
использовать в качестве базисов пространства У3. Для произволь-
произвольного вектора А с началом в точке М согласно A.1) можем на-
написать два разложения
А = А,е\	B.4)
где в силу равенств B.2)
А' = Ае{, А{ = Ае{.	B.5)
Формулы B.4) и B.5) осуществляют параметризацию вектора
относительно биортонормальных базисов. Компоненты А1 и Л,-
представляют однородные аддитивные функции, т. е. линейные

4?	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. И
формы от вектора А и, наоборот, вектор А представляет одно-
однородные линейные функции своих компонентов Ai и Л'.
Заметим, что слагаемые формул B,4) представляют векторы,
параллельные базисным векторам. Поэтому эти слагаемые будем
называть составляющими вектора относительно рассматриваемого
базиса.
2. Базисные матрицы. Дискриминант базиса. Рассматривая
скалярные произведения базисных векторов, будем иметь сим-
симметричные матрицы
gji=gij = eteJ% #" = ?'/ = e'e/, gl = gj = e'ey = 6}t B.6)
которые будем называть базисными матрицами. Эти матрицы
играют важную роль во всем дальнейшем.
Если ех, е2, е$ — попарно ортогональные орты, то будем иметь
йи = &Ф gl7 = 6", gl = bl.	B.6a)
Теперь при помощи формул B.4) напишем
B.7)
Умножая скалярно на ек последнее равенство, в силу B.3)
и B.6) получим
Следовательно, g^- и gV—взаимно обратные матрицы. Из B.8),
применяя правило умножения детерминантов, получим
det (gtJ) det (gkm) = 1.	B.9)
Таким образом,
ёп
B.10)
gsi
1
B.11)
Детерминант g называется дискриминантом базиса е1У е2, es.
Ниже мы докажем, что g > 0 (см. стр. 44).
3. Операции поднятия и опускания индексов. Ковариантные
и контравариантные компоненты вектора. Формулы B.7), осу-
осуществляющие связь между биортонормальными базисами, опре-
определяют операции опускания и поднятия индексов. Они по суще-
существу реализуются при помощи свертывания матриц g{j и giJ
соответственно с базисными векторами е' и eJt а формально
дело сводится к перемещению нижнего индекса вверх, а верхнего
индекса вниз по соответствующим вертикалям. Такая формали-
формализация достигнута благодаря принятому выше удобному способу

§ 3]	ДИСКРИМИНАНТНЫЕ МАТРИЦЫ	43
обозначений. Эти операции очень удобны и широко применяются
в тензорном анализе. При помощи формул B.7) из B.5) имеем
At-gijA', A' = g*JAj.	B.12)
Эти формулы, устанавливающие связи между компонентами
вектора относительно взаимно сопряженных (биортонормаль-
ных) базисов, также представляют пример применения операций
поднятия и опускания индексов. Здесь также отчетливо выявля-
выявляется преимущество принятых нами обозначений для компонентов
вектора.
Условимся А; и А1 называть соответственно ковариантными
и контр^вариантными компонентами вектора А. В соответст-
соответствии с этим триэдры е{ и ek будем называть ковариантным и
контравариантным базисами. Нельзя не отметить, что пока
эти термины введены чисто формально и трудно разъяснить их
смысл. Ниже, когда мы углубимся в тензорную алгебру, вве-
введенная выше терминология приобретет более естественный харак-
характер (см. § 4, п. 2).
§ 3. Дискриминантные матрицы
и некоторые их^геометрические применения
1. Длина вектора. Представляя векторы А и В из V* при по-
помощи формул B.4) и принимая во внимание, что скалярное про-
произведение АВ—билинейная функция, в силу равенства B.6)
и B.12) для скалярного произведения будем иметь четыре экви-
эквивалентных выражения:
AB = gijAiBt = gVAiBJ = AiBi = AiBt.	C.1)
Так как скалярное произведение АВ не зависит от выбора базиса,
то все эти выражения инвариантны относительно преобразова-
преобразования базисов. Заметим, что любое из выражений C.1) получается
из. всякого другого при помощи формул B.12), т. е. примене-
применением правила опускания и поднятия индексов; формулы C.1)
сохраняют силу при любых перемещениях глухих индексов на
соответствующих вертикалях. Например,
Если А = В, то из C.1) получим формулы
| A F^gijA'A^gVAtAj = A'Ah	C.2)
выражающие в разной форме квадрат длины вектора А при по-
помощи его ковариантных и контравариантных компонент.

44	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. II
Следовательно, g^-A'Af — положительно определенная ква-
квадратичная форма. Поэтому выполняются неравенства
gll
§22 §S3
§32 ёаз
>0. C.2a)
Таким образом, детерминант g, который представляет дискри-
дискриминант положительно определенной квадратичной формы, яв-
является положительным,
2. Угол между двумя направлениями. Пусть со — угол между
векторами А и В (рис. 4). Тогда согласно равенствам A.2) и
C.2) из C.1) получим формулу
45'	C.3)
V Aij
выражающую косинус угла между двумя векторами при помощи
их ковариантных и контравариантных компонент. Если А и В —
орты, то формула C.3) принимает вид
AiB(.	C.4)
Если векторы А я В ортогональны, то cos со = 0 и из C.3)
получим условие ортогональности двух векторов в виде
А(В1 = 0.	C.5)
3. Дискриминантиые матрицы. Выражение базисных матриц
через дискриминантные матрицы. Рассмотрим смешанные произ-
произведения базисных векторов
^	... C.6)
Пользуясь символом Леви-Чивита е'у"*, введенным в гл. I, § 2,
матрицы Cijk и Cij'k можно представить в виде
CUk = C123ei/k, c"* = C»»e'V*.	C.7)
В силу B.2), B.3) и A.6) имеем
Таким образом, равенства C.7) можем записать в виде
CiJk = vetJk, C^ = Ie'/ft) v = Cl23.	C.8)
Но в силу B.7)

§ 3]	ДИСКРИМИНАНТНЫЕ МАТРИЦЫ	45
Умножая обе части этого равенства на v, в силу второй из фор-
формул C.8) получим формулу
gll gl2
#23
gai g32 g-зз
¦ g.	C.9)
Таким образом, дискриминант базиса е{ равен квадрату объ-
объема базисного параллелепипеда и, следовательно, является
положительным числом.
Из C.9) имеем	_
v = Cin = ±Vg.	(ЗЛО)
Здесь знак плюс или минус надо брать соответственно для
базиса et правой или левой ориентации. В соответствии с этим
формулы C.8) принимают вид
^'V\	C.11)
Таким образом, матрицы CiJk, C'Jk выражаются при помощи
дискриминанта базиса е,-. Поэтому их будем называть дискри-
минантными матрицами.
Как видно из C.6), выражения для дискриминантных матриц
смешанного типа получаются из C.11) при помощи операций
поднятия и опускания индексов, выполняемых при помощи
базисных матриц gi}. и giJ'. В их выражения, кроме дискрими-
дискриминанта g, войдут еще элементы этого детерминанта.
Теперь, применяя равенства B.4) и B.5), можем написать
формулы
е. х е, = CiJkek, е1 х & = С1^ек,	C.12)
i	ieft.	C.13)
Эти формулы сохраняют силу при любых перемещениях глу-
глухих и неопределенных индексов на соответствующих вертикалях.
Если последние равенства C.13) умножим скалярно на ет,
то в силу B.3) и (З.б) получим
1ж = й,	C.14)
Опуская здесь индекс i или поднимая индекс т, будем иметь
формулы
±%	lr\	C.15)
выражающие базисные матрицы через дискриминантные матрицы
4. Площадь параллелограмма. Неравенство Коши — Буняков-
ского. Представляя векторы А и В при помощи формул B.4)
и имея в виду билинейность векторного произведения Ах В,

46	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. II
в силу формул C.12) напишем
Перемещая здесь на соответствующих вертикалях глухие индексы,
получим все остальные формулы, выражающие векторное произве-
произведение Ах В через ковариантные и контр авариантные компоненты
сомножителей, например,
Ay В — А'В'С- u?k	C \7)
В силу C.11) формулу C.16) можем записать в виде
C.18)
Ml
Л2 В% е2
Л3 Яз ^з
Обозначая через 2 площадь параллелограмма, построенного
на векторах А и В, в силу C.16) и C.17) будем иметь
/pq.	C.19)
С другой стороны, согласно A.4), C.1) и C.2) имеем
22 = | А |31В |а — {АВУ - А'AiBkBk~ {A'Bj)* > 0. C.20)
Здесь знак равенства имеет место лишь в том случае, когда
векторы А и В параллельны. Из C.20) получаем неравенство
(л/ву)»;<(лм,)-(в*вл),	C.21)
известное под названием неравенства Коши — Буняковского. Это
неравенство обобщается для' произвольного числа "слагаемых.
Пусть i, j, к — три различных числа, принимающих значения
1, 2, 3. Тогда в силу формул C.12) площади параллелограммов,
построенных на базисных векторах е;, еу- и е1, е^, выражаются
при помощи формул
5. Объем параллелепипеда. Умножая обе части равенства C.16)
скалярно на вектор С, получим формулу
At Bt Cx
(АхВ)С^
Yg
Ва С я
C.23)
выражающую объем параллелепипеда, построенного на векторах
А, В, С при помощи их ковариантных компонент относительно
произвольно выбранного базиса.

§ 4]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ	47
§ 4. Преобразование базисов и связанных с ними матриц
Параметризация векторов и различные операции над ними
осуществляются при помощи матриц, зависящих от выбранного
базиса. Поэтому при замене одних базисов другими эти матрицы
подвергаются j преобразованиям по определенным формулам, к
выводу которых мы сейчас переходим.
1. Преобразование базисов и базисных матриц. Пусть в точке М
имеются ;Два базиса "е,- и е?. Пусть ei и е1' — соответствующие
биортонормальные базисы. Согласно формулам B.4) можем на-
написать формулы преобразования базисов в виде
^'=4ef, e''=^V,	D.1a)
e^iet', el = 4eir,	D.16)
где е\, и eli—матрицы преобразования базисов, которые опре-
определяются при помощи формул
ф = *?;,е', е\'=*е&1'.	D.2)
Если внесем выражения D.16) в D.1а), то легко убедимся, что
e?,ef = 6?f e?ef, = 6l	D.3)
Отсюда имеем
det(ef,)-det(e?,) = l.	D.4)
Таким образом, eL{ и е\г—взаимно обратные матрицы. В связи
с принятым выше обозначением необходимо сделать оговорку.
Так как el{ и е\,> вообще говоря, различные матрицы, то во из-
избежание путаницы необходимо штрихами отмечать также опре-
определенные индексы, например, е\ч е\ и т. п. Вообще говоря,
Так как
Sik = «/*» Sik = el'ek> rf = ekei.	r4 «
gi-k- = et,ek,t gl'k' = eifek', gf: = ek'eu,	^-0)
то имеем формулы преобразования базисных матриц
gi'k- = e\,ekk,gikt g™ = e?4'gtk,	D-6a)
gfc = ej'*gi = ^.	D-66)
Обратные преобразования, которые легко можно получить, мы
здесь не выписываем.
2. Преобразование ковариантных и контравариантных компо-
компонент вектора. Инвариантность скалярного произведения. Пусть
Л —вектор, приложенный в точке М. Тогда его компоненты
относительно рассматриваемых базисов согласно формулам B.5)

48	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА	[ГЛ. II
выражаются в виде
At = Aeh Ai' = Aet,, A' = Ael\ A1' = Aeir.	D.7)
Внося сюда выражения D.1а) и D.16), получим формулы пре-
преобразования компонент вектора
Aif = e\,Ait А{' = ё;&.	D.8)
Обратные преобразования можно написать по аналогии.
Сравнивая формулы D.8) с формулами D.1а), мы видим, что
векторы ковариантного (контравариантного) базиса и ковариант-
ные (контравариантные) компоненты вектора при замене одних
базисов другими преобразуются по одинаковым формулам. Поэтому
будем говорить, что эти величины преобразуются когредиентно.
Преобразования ковариантных и контравариантных компонент
вектора не являются когредиентными, но они также тесно
связаны между собой одним важнейшим свойством, благодаря
которому при замене базисов инвариантна формула
AB = AtBi = Ai,Bi\	D.9)
выражающая скалярное произведение векторов А и В. Инвариант-
Инвариантность этого выражения мы уже отмечали выше, но тогда мы
исходили из геометрического определения скалярного произве-
произведения, которое не зависит от выбора базиза. Теперь же мы не-
непосредственно докажем инвариантности выражения D.9) при
помощи формул преобразования D.8). В самом деле, в силу D.8)
и D.3) имеем
A iBi = ei;Ai,eikrBk' = 4'еЬАс,Вк' =&,AifBk' = AitBl\
что и требовалось доказать. Благодаря этому свойству кова-
ковариантных и контравариантных компонент вектора, формулы их
преобразования будем называть контрагредиентными.
По контрагредиентным формулам осуществляются преобра-
преобразования ковариантных компонент At вектора и векторов сопря-
сопряженного базиса е1. Поэтому сумма Afi1 также инвариантна и
выражает вектор А, независимо от выбора базиса. В свете ука-
указанных выше фактов теперь становится достаточно ясным смысл
введенной в § 2 терминологии. Во-первых, очевидно, что ком-
компоненты вектора с нижними индексами необходимо отличать от
компонент с верхними индексами, так как в общем случае они
не совпадают. Во-вторых, компоненты с нижними индексами,
как уже видели выше, преобразуются когредиентно с векторами
базиса. Поэтому их естественно назвать ковариантными, так как
они преобразуются подобно базису. Но тогда компоненты вектора
с верхними индексами, которые преобразуются контрагредиентно
по отношению к компонентам с нижними индексами, естест-
естественно назвать контравариантными. В соответствии с этим естест-

§ 4J	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ	49
венно базис и сопряженный (биортонормальный) базис назвать
ковариантным и контравариантным базисами.
3. Преобразование дискриминанта базиса и дискриминантных
матриц. Понятие о тензоре. Если теперь обратимся к первой
формуле D.6а) и воспользуемся правилом умножения детерми-
детерминантов, то получим формулу преобразования дискриминантов
базисов
det fo,ft.) = det (gik) (det D)J,	D.10)
которую короче запишем в виде
g'=g(dtt(ei,)Y.	D.11)
Отсюда имеем
det(eii,) = ±yrgj,	D.12)
где знак плюс берется в случае сохранения ориентации при
замене базисов, минус — при изменении ориентации.
Теперь нетрудно вывести формулы преобразований дискри-
дискриминантных матриц. Рассмотрим только три из них:
Cl!k=eteUk. D.13)
При помощи формул D.16) найдем
е\>е\'е%С1'п\	D.14)
С Ilk =elie!j'ekkC[>{'k'.
Обратные преобразования можно написать по аналогии.
Если внимательно посмотрим на формулы D.6а, б), D.8) и
D.14), то обнаружим одну важную закономерность. Несмотря
на их различие, между этими формулами имеется то общее,
что относительно каждого нижнего и каждого верхнего индекса
матрицы преобразуются когредиентно соответственно с базис-
базисными векторами eL и е1. Матрицы с нижними и верхними индек-
индексами, которые зависят от выбора базиса и обладают указанным
свойством при замене базисов, называются тензорами. Здесь мы
не будем давать общего определения тензора. Это мы сделаем
ниже.

ГЛАВА III
ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
В предыдущей главе были рассмотрены вопросы параметри-
параметризации семейств векторов, приложенных в фиксированной точке.
В этой главе мы переходим к глобальному изучению свойств
векторных полей, заданных в некоторой области трехмерного
евклидова пространства. Для изучения свойств векторных полей
нам потребуется рассмотрение подвижных триэдров, используе-
используемых в каждой точке области в качестве локального базиса для
параметризаций векторных полей. Такие триэдры нельзя брать
совершенно случайно в каждой точке. При переходе от данной
точки к соседним подвижный триэдр должен обладать опреде-
определенными свойствами регулярности (непрерывностью, дифферен-
цируемостью и т. п.). Подвижные триэдры можно построить,
например, перенося триэдр elt e2, е3 параллельно из одной точки
в другую. Но таким путем мы построим лишь весьма частный
класс подвижных триэдров, соответствующих прямолинейным
(вообще говоря, косоугольным) координатным системам. Огра-
Ограничившись лишь рассмотрением этого класса подвижных триэд-
триэдров, мы сильно ограничили бы общность и таким путем построили
бы весьма бедное по содержанию и неполное исчисление тен-
тензоров. В этой главе мы укажем общий способ построения такого
рода триэдров.
Но изучение свойств векторных полей трехмерного евклидова
пространства и других геометрических вопросов целесообразно
осуществлять при помощи аппарата тензорного исчисления.
Поэтому мы начнем наши построения с изложения основ тензор-
тензорной алгебры на базе п-мерного арифметического (числового) про-
пространства Rn.
§ 1. Координатные системы в пространстве Rn
1. Арифметическое пространство Rn. Пусть п — некоторое
натуральное число и пусть Rn~~/г-мерное арифметическое (чи-
(числовое) пространство, т.е. множество всех упорядоченных систем
(точек) п вещественных чисел х1, ..., хп; числа л;1, ..., хп будем

§ 1]	КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Rn	51
называть координатами точки (хг, ...,xn)?Rn. Часто точку
с координатами х1, ..., хп будем обозначать через х{хх, ..., хп)
или, короче, х.
Пусть хо(х\, ..., Хо) — некоторая фиксированная точка про-
пространства Rn, a 8—положительная постоянная. Тогда множество
S(xQ, е) точек x(x1t ..., хп)> координаты которых удовлетворяют
неравенству
называется открытым шаром радиуса е с центром в точке х0
или ^-окрестностью точки х0. При помощи е-окрестностей можно
ввести понятия предельной, внутренней, внешней, граничной и
изолированной точек множества пространства Rn, а также дать
определения предела последовательности точек, открытого и
замкнутого множеств, непрерывности и равномерной непрерыв-
непрерывности функций многих переменных х1, ..., хп, простой (точеч-
(точечной) и равномерной сходимости функциональных последователь-
последовательностей и рядов. Мы здесь не будем приводить точные опреде-
определения этих понятий и доказательства соответствующих теорем;
их можно найти в любом солидном руководстве по математи-
математическому анализу. Здесь мы приведем лишь определения открытого
и замкнутого множеств, а также области пространства Rn.
Множество Q точек х (х1, ..., хп) называется «-мерным от-
открытым множеством пространства Rn, если все его точки внут-
внутренние, т.е. для любой точки x?Q существует е-окрестность
5 (х, г), целиком принадлежащая множеству Q. Всякое открытое
множество V, содержащее точку х, называется окрестностью
этой точки. Множество Q называется замкнутым, если оно со-
содержит все свои предельные точки. Открытое*множество назы-
называется связным, если его нельзя представить как объединение
двух непустых непересекающихся открытых множеств. Открытое
связное множество Q называется областью пространства Rn.
Примером области является открытый шар 5(л:0, е). Область Q
называется ограниченной, если найдется шар S{x0, e0), содер-
содержащий Q. Если для любого n-мерного шара S(x, e) выполняется
условие: S(x, e)cQ, то Q, очевидно, совпадает с Rn. В даль-
дальнейшем, рассматривая области л-мерного пространства #л, будем
иметь в виду ограниченные области, если явно не будет огово-
оговорено противное.
2. Параметризация области. Якобиан преобразования коорди-
координат. Предположим, что равенства
х«' = Ф„(**, ...,*¦), i'€[l, л],	A.1)
или, короче,

52	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
реализуют взаимно однозначное отображение ср: Q -у Q', где Q,
?У— некоторые м-мерные области пространства Rn. Будем гово-
говорить, что отображение х' = ср (х) непрерывно в точке х0 ? Q, если
любая окрестность V'u образа х'й = ф (х0) точки х0 содержит окрест-
окрестность V', прообраз Ф^') которой представляет окрестность
точки х0. Если отображение х' ~ <р(х) непрерывно в каждой точке
x?Q, то будем говорить, что оно непрерывно в Q.
Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение ф:
Q -*- Q' называется топологическим отображением. Такие отобра-
отображения будем называть гомеоморфизмами области Q. Пусть Г (Q) —
семейство гомеоморфизмов ф области Q. Очевидно, семейству Г (Q)
принадлежит тождественное отображение: x'l'r = x'\ i = i'?[\, n].
Всякий гомеоморфизм х' = ф (х) ? Г (Q) осуществляет однозначную
параметризацию области Q. Поэтому координаты х'1, ..., х'п
точки х' = ф (л:) мы можем рассматривать как координаты точки
области Q, Иными словами, всякий гомеоморфизм х' — ц> (х) ^ Г (Q)
определяют некоторую координатную систему в Q, которую для
краткости обозначают символом (хг). Следовательно, если (х')
и (х)—две координатные системы в й, то существует гомео-
гомеоморфизм ф ? Г (Q) такой, что х' = ц>(х). Соотношения вида A.1)
мы будем в дальнейшем рассматривать как преобразования ко-
координат точек области Q.
Для построения тензорного анализа необходимо рассматри-
рассматривать гомеоморфизмы, дифференцируемые до некоторого порядка
k^\. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что функ-
функции фг- принадлежат некоторому классу Ck(Q), что будем обоз-
обозначать символом ф ? Ск. Если ф^С* для любого й^О, то будем
иметь гомеоморфизмы класса С№. Обозначим через Ffe(Q) семей-
семейство гомеоморфизмов класса Ск области Q.
В курсе анализа доказывается локальная теорема сущест-
существования гомеоморфизмов. Приведем ее формулировку (см., на-
например, [9]).
Теорема. Пусть выполнены условия: 1) функции
Ф2- (л:1, ...,#")€ Ck (Q), где k — некоторое натуральное число ^ 1
или k = оо, 2) в некоторой фиксированной точке х0 (х\, ..., х^) ^ Q
отличен от нуля функциональный детерминант (якобиан) пре-
преобразования A.1), т.е.
^ff	х=х0. о.2)
Тогда соотношения A.1) осуществляют гомеоморфизм V0&V'o, где
Vo и V'o — некоторые окрестности точек х0 и х'0 = (р(х0) соответ-
соответственно.
Эта теорема о существовании локальных гомеоморфизмов
в многомерных областях вполне достаточна для построения тен-

§ 1]	КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Я»	53
зорного анализа на многообразиях любого (конечного) числа
измерений.
В дальнейшем будем считать, что условие A.2) выполняется
всюду в области Q. Это обеспечивает независимость функций ф,-,
что, очевидно, является необходимым условием для того, чтобы
соотношения A.1) осуществляли глобальный гомеоморфизм об-
области Q.
Отнесение области (или, вообще, пространства) к той или
иной системе координат будем называть параметризацией об-
области (пространства). Координаты точки иногда будем называть
также параметрами.
В дальнейшем как неопределенные, так и определенные ин-
индексы величин, относящихся к координатной системе (хг), будем
отмечать штрихами, например, х1', At> и т. д. В соответствии
с этим индексы величин, относящихся к координатной системе
(х), будем всегда обозначать буквами без штрихов. Такое согла-
соглашение порождает определенную закономерность и облегчает фор-
формализацию построения аппарата тензорного анализа.
Условимся, что неопределенные и глухие индексы со штри-
штрихами и без штрихов принимают значения 1, 2, ..., п.
Введем обозначения
Д* ^; i'ke[Un].	A.2а)
dxk	^x
Тогда, очевидно, имеем равенство
!? = D{,Di' = 6i, ^- = Di'Dkk^6^	A.26)
dxk	dxk'
Применяя правило умножения детерминантов, отсюда получим
det (D{,) det (D%) = det Fft = 1.	A.3a)
Следовательно, функциональные детерминанты (якобианы)
преобразований координат удовлетворяют условиям
/ (*', х) = DD{X^ ¦ ¦ ¦; ffi = det (ВЦ) Ф 0,	A.36)
3. Координатные линии. Пусть, например, п = 3. Если фик-
фиксировать какие-нибудь две из трех координат х1, х2, х3 и из-
изменять третью непрерывно, соответствующая точка х опишет
линию, которая называется координатной линией. Если эта
линия получена непрерывным изменением координаты х\ то
будем ее называть координатной линией (х{). Совокупность ко-
координатных линий (х1), (х2), (xz) образует в пространстве сеть
линий координатной системы (х). Мы будем считать, что в

54	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
каждой точке рассматриваемой области пространства проходят
три координатные линии и что касательные к этим линиям в
точке их пересечения нигде не компланарны. Можно доказать,
что при соблюдении условия A.2) это требование всегда выпол-
выполняется.
§ 2. Кольца и модули отображений области
пространства /?". Тензоры пространства Rn
1. Кольца и модули отображений области. Пусть Q — область
пространства R". Обозначим через С (Q) и R(Q) соответственно
множества отображений /: Q—»-С и g: Q—*IR. Относительно
каждой системы координат (х) отображения f и g будут выра-
выражаться соответственно комплексной и вещественной функциями
f (х) и g(x) координат точек области Q, которые назовем компо-
компонентами или представителями отображений fug относительно
координатной системы (х). Обозначим множество компонент
отображений из С (Q) и R(Q) относительно координатной сис-
системы {х) через CX(Q) и R*(^) соответственно. Будем предпола-
предполагать, что для каждой координатной системы (х) множества €х (Q)
и (R^. (Q) представляют кольца. Это имеет место, например, если
CA.(Q) и КЛ(Й) представляют множества измеримых по Лебегу
функций в области Q. Определим теперь в C(Q) и R(Q) опера-
операции сложения и умножения. Если /, g?C(Q) (соответственно
R(Q)), то под f + g и fg будем подразумевать элементы из С (Q)
(соответственно из R (Й)), компоненты которых относительно
координатной системы (х) соответственно равны /(^)+^(л;) и
f(x)g(x). Тогда ясно, что С (Q) и R (Q) являются кольцами,
причем R(Q) — подкольцо C(Q). Наши рассуждения будем стро-
строить для кольца С (?}). Они, как правило, будут оставаться в
силе и для подкольца R(fi). В необходимых случаях будем де-
делать соответствующие оговорки.
В дальнейшем мы будем рассматривать семейство Sk коорди-
координатных систем из некоторого класса Ck(Q), k^\, оставляя
степень гладкости k неопределенной, но считая ее фиксирован-
фиксированной. Будем также предполагать, что выполняются следующие
требования:
Ах. Если f(x)?Cx(Q), то для любой координатной системы
(хг) из Sk функция f'(x') = f(x(x'))?Cx.{Q)
А2. Для любых координатных систем (х') и (х) из Sk
Пусть Ш1—некоторое линейное пространство над кольцом
С (Q) (соответственно R(?2)), т. е. Ш представляет С(О)-модуль
(соответственно К(й)-модуль). Обозначим через 5QI(Q) множество

§ 2]	КОЛЬЦА И МОДУЛИ ОТОБРАЖЕНИЙ	55
отображений /: Q—*ЭI. Очевидно, 9Ji(Q) также представляет
C(Q)-модуль (соответственно И{п)-модуль).
Относительно каждой координатной системы (х) всякий ^эле-
мент h из Ш (п) выражается некоторой функцией h (x) координат
точки области Q, которую будем называть компонентой h отно-
относительно координатной системы (х). Обозначим множество функ-
функций h(x) через 20^@). Очевидно, 501* (Й) представляет модуль
над кольцом С* (Q).
2. Формулы преобразований дифференциалов координат. Конт-
равариантный тензор 1-го ранга. Пусть xi и х1'—координаты
точки Р области Й относительно систем координат (х) и (xf)
соответственно. Тогда координатами некоторой бесконечно близ-
близкой к Р точки Р' относительно координатных систем (х) и (х')
будут xl-\-dxl и х1'-{-с1х1' соответственно. Так как х(> являются
функциями координат xk, то имеем (с точностью до бесконечно
малых слагаемых высокого порядка)
dx, т. е. dx*' = Di'dxk.	B.1)
dxk
Напомним, что индексы принимают значения 1, 2, ...,п.
Формулу B.1) преобразования дифференциалов координат
dxk часто называют контравариантным законом преобразования.
Теперь на его основе введем понятие контравариантного тензора
1-го ранга.
Пусть имеется некое правило, позволяющее для каждой сис-
системы координат (х) определять @, \)-матрицу А1 (х) из Шх(&),
состоящую из п элементов, которые зависят от шбора парамет-
параметризации области и, вообще говоря, от соответствующих коорди-
координат точки. Если при переходе от одних координат к другим
элементы матрицы А' преобразуются когредиентно с диф-
дифференциалами координат dx't т. е. следуя контрава-
риантному закону:
[дх1
т. е. А(' = А*ОУ,	B.2)
то матрица А1' называется контравариантным тензо-
тензором 1-го ранга из модуля Ш(О), а элементы этой матрицы
называются контравариантным и компонентами
тензора. Ниже мы будем иметь много примеров контравариант-
ных тензоров 1-го ранга.
3. Формулы преобразования частных производных от скаляра.
Ковариантный тензор 1-го ранга. Отображение ср: Q—»-5Щ,
которое зависит от точки области Q, но не зависит от выбора
системы координат, назовем скаляром из модуля Ш. Скаляры
из С (Q) будем называть просто скалярами. Следовательно,
величина, которая является функцией точки некоторой области

56	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
пространства, т. е. в каждой точке принимает вполне опреде-
определенное числовое значение независимо от выбора системы коор-
координат, называется скаляром.
Примерами скаляра могут служить давление в жидкости,
температура в теле при стационарном тепловом режиме, глав-
главные кривизны поверхности.
Если пространство отнесено к двум различным системам ко-
координат (х), (х'), то всякий скаляр h относительно каждой из
них будет выражаться своей функцией координат: п~у(х) и
п = ц>г (xr) соответственно. Но так как по определению h не за-
зависит от выбора системы координат, то будем иметь
А = ф (*) = <р' (*') = Ф' (*' (*)).	B.3)
Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем
Эта формула определяет правило преобразования частных про-
производных от скаляра при переходе от одних координат к другим.
Вводя обозначения
д,п = —., df,h = д-г,,
' дх1 1 д*' '
формулу B.4) можем записать короче в виде
di,h = dihDii,.	B.4а)
Формулы B.1) и B.4) играют фундаментальную роль во всем
тензорном анализе. Потому их следует запомнить. Формулу B.4)
будем называть ковариантным законом преобразования.
Легко видеть, что формулы B.1) и B.4) по своей структуре
неодинаковы, но мы скоро убедимся, что между ними имеется
тесная связь.
Пользуясь формулой преобразований B.4), введем теперь
понятие ковариантного тензора 1-го ранга. Пусть имеется не-
некое правило, позволяющее сопоставлять каждой системе коорди-
координат A, 0)-матрицу В((х) из модуля ЩХ{Щ, состоящую из п эле-
элементов, которые зависят от выбора параметризации и также,
вообще говоря, от соответствующих координат точки области.
Если при переходе от одних координат х{ к другим координатам
х1'' матрица Bt преобразуется когредиентно с частными
производными d(h от скаляра h, т. е. подчиняется закону
преобразования
B^B^^BpU	B.5)
то матрица В( называется ковариантным тензором

§ 2]	КОЛЬЦА И МОДУЛИ ОТОБРАЖЕНИЙ	57
1-го ранга из модуля ЭЛ(?2), а элементы В{ этой матрицы на-
называются ковариантными компонентами тензора.
Пример ковариантного тензора 1-го ранга составляют част-
частные производные dth от скаляра h. Этот тензор называется
градиентом скаляра h и обозначается через grad/i или симво-
символом \h.
Упомянутая нами выше связь между преобразованиями B.1)
и B.4) выявляется в следующем важном факте. Пусть А( я В1—
произвольные ковариантный и контравариантный тензоры 1-го
ранга из модуля C(Q). Рассмотрим сумму А?В{ и докажем, что
она инвариантна, а именно, при переходе от координат х1 к
новым координатам х1' имеет место равенство
AiBi=Ai,Bi'.
В самом деле, в силу B.2), B.5) и A.26) напишем
Ар = А1Гд-КЩ-ВЬ' = Л,Д'.Я*' = А(Ж,
1	1 дх' dxk'	l	l
что и требовалось доказать.
Инвариантность выражений вида Ар выявляет ту связь
между формулами B.1) и B.4), о которой говорилось выше.
Благодаря именно этой связи мы называем их контрагредиент-
ными преобразованиями.
В частности, благодаря контрагредиентности преобразований
B.1) и B.4), как и следовало ожидать, инвариантна форма
dh^dihdx*, выражающая дифференциал от скаляра h. Вообще
надо сказать, что инвариантность выражений (форм, интеграла
и т. п.) играет важную роль в тензорном анализе. Поэтому
уместно здесь более четко пояснить, что мы подразумеваем под
этим термином, который часто будет употребляться ниже. Если
выражение (форма, интеграл и др.), составленное из величин,
зависящих от выбора системы координат, не изменяет своего
значения и стриктуру при замене одних координат другими, то
его называют инвариантом (инвариантная форма, инвари-
инвариантный интеграл и т. п.). Например, dh = dihdx1'—инвариант-
dihdx1'—инвариантная дифференциальная форма. Вообще, если Л,- — ковариантный
тензор 1-го ранга, то инвариантна дифференциальная форма А,4х1.
4. Тензоры высшего ранга. В этом пункте мы дадим опре-
определение тензора высшего ранга. Начнем с примера.
Рассмотрим (р, д)-магрицу вида
utlqp = Atx...AtpBi*...Bl<i,	B.6)
где А{ и В1 — соответственно ковариантный и контравариантный
тензоры 1-го ранга с компонентами из С(Й). Тогда при замене
одних координат л;' другими хг, согласно B.2) и B.5), элементы

58	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
матрицы Ui[\[''il преобразуются по формулам
B.7)
Напомним, что во избежание путаницы штрихами надо от-
отмечать и определенные индексы. Например, надо писать D\,,
D\', ибо, вообще говоря, D\'^=D\>.
Рассмотрим еще один пример. Легко убедиться, что выпол-
выполняются равенства
ЪЪ = &кв1В1{.	B.8)
При помощи этой формулы теперь легко доказать, что
^r^^^'K..D^	B.9)
Теперь вернемся к формуле B.6) и дадим на ее основе'об-
щее определение произвольного тензора я-мерного ["пространст-
["пространства Rn.
Пусть имеется некое правило, позволяющее сопоставлять каж-
каждой координатной системе (х) некоторую (р, q)-матрицу 'U\\\\iqp{x),
элементы которой принадлежат модулю Шх(&). Если при замене
одних"координат другими элементы этой матрицы преобразуют-
преобразуются когредиентно с элементами матрицы вида B.6), т. е. под-
подчиняются преобразованиям вида B.7), то (р, а)-матрицу Uil','Jq
будем называть тензором типа (р, q) с элементами из модуля
Ш(О) или, короче, (р, а)-тензором из 50] (й). Элементы матрицы
Uil'.'.'.tp (х) называются компонентами тензора относительно коорди-
координатной системы (х). Число компонент (р, ^)-тензора относитель-
относительно всякой координатной системы равно я^+я. Число r = p-\ q
называется рангом тензора. Если ^ = 0 или р — 0, то будем
иметь соответственно ковариантный\"или контравариантный тен-
тензор ранга р или q. Если p~^l, q^U то имеем тензор смешан-
смешанного типа. Тензоры нулевого ранга (p = q = 0) представляют
скаляры из ЭД1(Й). Обозначим множество (р, ^-тензоров из sH't(Q)
через Ш"р(п). Если р = ^ —0, то будем иметь множество, скаля-
скаляров из Ш(п), которое обозначим через Ш?0(Й).
Из формулы B.9) видно, что произведения кронекеровых
дельта Ь1?%.. .§]? составляют смешанный тензор 2/7-го ранга из
лтобого К?(й). Этот тензор будет играть важную роль во всем
дальнейшем. Здесь же заметим, что символы б^ и 6ik не состав-
составляют тензоров.
5. Основные свойства тензоров. Изомеры тензора. Приведем
несколько основных свойств тензоров, которые непосредственно
следуют из данного выше определения,

§ 2]	КОЛЬЦА И МОДУЛИ ОТОБРАЖЕНИЙ	59
1)	Очевидно, отображение /: Q—»0 представляет тензор лю-
любого ранга. Его компоненты относительно любой координатной
системы тождественно обращаются в нуль и, следовательно, со-
соотношения B.7) выполняются для любых р, q. Назовем этот
тензор нулевым или нуль-тензором. Следовательно, любое мно-
множество Шяр(п) содержит нуль-тензор, который будем обозна-
обозначать знаком 0.
2)	Из соотношений B.7) немедленно следует, что если ком-
компоненты тензора обращаются в нуль относительно какой-нибудь
фиксированной координатной системы, то его компоненты равны
нулю относительно любой другой координатной системы и, сле-
следовательно, тензор равен нулю. Если относительно одной фик-
фиксированной координатной системы (х) произвольно зададим (р, q)-
матрицу из 201 (Q), а относительно других координатных систем
определим его компоненты при помощи формул B.7), то полу-
получим некоторый (р, д)-тензор из *ШР (О). Отсюда следует, что тен-
тензор определяется однозначно, если заданы его компоненты
относительно одной фиксированной координатной системы.
3)	Если Ulid} и Vfcj*—тензоры из Щ(п), то сумма
{dldi=wk\i*	B.Ю)
является тензором из Шр{п).
4)	Если ф —скаляр из С0(Й), а ?/?;;;**—тензор из ?
то произведение <р?/*1;;;?|—тензор из Щр(О).
Теперь ясно, что Щр{0) представляет модуль над кольцом
C0(Q) скаляров из С (Q).
5)	Если Ulldqp и 1/^.V.f/—тензоры типа (рч q) и (г, s) соот-
соответственно из C?(Q) и $)tsr(^)» то их прямое произведение
составляет тензор типа (р + r, g-f-s)?H3 9Jt@).
Следует иметь в виду, что в формуле B.11), вообще говоря,
нельзя менять порядок сомножителей.
6)	Теперь нетрудно видеть, что если осуществить в произве-
произведении m-кратное сокращение индексов, то получим тензор типа
(р~\-г — m, q + s — т). Если при этом т индексов одного сомно-
сомножителя зацепляются с т индексами другого, то будем говорить,
что осуществлено /?2-кратное свертывание двух тензоров.
Эту операцию мы будем называть также т-произведением
тензоров.
7)	Если в тензоре A[\';;-illp переставить произвольно неопреде-
неопределенные индексы ix.. Лр или j1. . .jq, вновь получим (р, ^)-тензор.
Это немедленно следует из формулы B.7). Так, например, если
A(J—ковариантный тензор 2-го ранга, то Ад также будет кова-

60	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
риантным тензором 2-го ранга, но, вообще говоря, тензоры Л/у-
и Aji различны. Они совпадают лишь в том случае, когда Л(у =
= Ау1, т. е. когда тензор симметричен.
Тензоры, полученные из данного тензора в результате пере-
перестановок неопределенных индексов, называются изомерами дан-
данного тензора. Если А— тензор, ю условимся его изомеры обо-
обозначать символом Р(А). Множество изомеров Р (А) тензора А
всегда содержит тензор А. Очевидно, из всякого (р, д)-тензора
можно получить p\q\ изомеров, но, вообще говоря, не все эти
тензоры будут различными. Если множество изомеров Р (А) тен-
тензора содержит единственный тензор А, то тензор А называется
симметричным.
6. Внутреннее г — произведение тензоров. Пусть Ai1...ipkl...kr и
Bli-lrii--iq — ковариантный и контравариантный тензоры ранга
рЛ~г и r~\-q соответственно. В результате их прямого умноже-
умножения получим тензор ранга р -^q-\-2г. Если в нем осуществить
r-кратное сокращение индексов, зацепляя индексы klt . . .,kr со-
соответственно с индексами lx, ...,lr, получим тензор ранга
p~\-q, который обозначим
Ail...ipk1...krBk*-krli-i<i = A®B.	B.12)
Это выражение назовем внутренним г-произведением тензоров
А = Ail,,jpki...kr и B = Bli-Ar'ii- h. Если р = 0 или «7 = 0, то будем
опускать символ (х) и просто писать АВ:
{AB)ii-i4 = Akx..MrBki-krii-h, если р = 0; B.12а)
= {AB)il...ip=Ait...ipkl...krB^-kr> если q = 0. B.126)
Эти выражения будем называть просто внутренними произведе-
произведениями тензоров А я В.
Если p~q = Q, то внутреннее произведение выражается ин-
инвариантной формулой (см. п. 3)
АВ = Ак1...кгВЬ-к'.	B.12b)
Заметим, что если А и В—тензоры из С (Q) и внутреннее
произведение АВ обращается в нуль для любого тензора В, то
А = 0.
§ 3. Ковариантный и контравариантный подвижные базисы
координатной системы трехмерного евклидова пространства
В этом параграфе мы рассмотрим случай трехмерного евк-
евклидова пространства. Индексы (глухие и неопределенные) будут
принимать значения 1, 2, 3.

§ з]
КОВАРИАНТНЫЙ И КОНТРАВАРИАНТНЫЙ БАЗИСЫ
61
1.Ковариантный подвижной базис. Пусть/?—радиус-вектор точ-
точки Р, т. е. R = 0P,0 — произвольная фиксированная точка про-
пространства. Рассматривая в пространстве некоторую систему ко-
координат (х) и дифференцируя вектор R по координатам х1
точки Р, получим три вектора:
Нетрудно видеть, что вектор Rl касается координатной ли-
линии (а;') в точке Р (рис. 7). Поэтому Rlf R2, R3 в каждой точке
образуют некомпланарную тройку век-
векторов, которую назовем подвижным
базисом системы координат (х).
Рассматривая теперь некоторую дру-
другую систему координатах'), пользуясь
обозначениями A.2а), будем иметь
= i*.\ C.2)
Сравнивая эти формулы с B.4), увидим,
что при замене одних координат други-
другими вектор-функции Rt преобразуются	Рис. 7»
когредиентно с частными производными
д,-ф от скаляра ф, т. е. следуя ковариантному закону. Поэтому
триэдр Rt, R2, R3 будем называть ковариантным подвиж-
подвижным б а з и с о м соответствующей координатной системы.
В каждой точке области Q, очевидно, выполняется условие
Очевидно, \v\ равен объему параллелепипеда, построенного на
базисных векторах Rlt R2, R3. Если триэдр Rlt R2, R3 имеет
правую или левую ориентацию, то соответственно имеем v > О
(в Q) или и < 0 (в Q). Ориентация триэдра Rlt R2, R3, которая
во всей области одинакова, определяет ориентацию соответст-
соответствующей координатной системы (х). Так как v не меняет знака
в Q, то если координатная система имеет правую или левую
ориентацию в некоторой фиксированной точке х0 ? Q, соответ-
соответствующая ориентация сохраняется во всей области Q,
2. Контравариантный подвижной базис. Рассмотрим теперь
вектор-функции
которые, очевидно, удовлетворяют условиям
C.4)
C.5)

62	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	1ГЛ. Ш
т. е. вектор-функции R( и R> биортонормальны в каждой точке
области Q. Из равенств C.5) следует, что вектор-функции R1, R2,
R3 некомпланарны в каждой точке области. Поэтому этот триэдр
тоже можно взять в качестве подвижного базиса соответствую-
соответствующей координатной системы.
В силу равенств C.5) триэдры Rlt R2, R3 и R\ R\ R3 пред-
представляют биортонормальные подвижные базисы соответствующей
координатной системы.
Умножая обе части равенств C.5) на dxl и суммируя, будем
иметь
WdR = dx'\ dR = Ridxi.	C.6)
Так как при замене координат х' другими координатами х1'1
dxJ ~D[> dx1'= D[>Rir dRt то равенства C.6) можно записать
в виде
Но dR—дифференциал от R—имеет произвольное направление,
причем dJR^=O. Поэтому из предыдущих равенств следует, что
Rj = Rt>Df,t	C.7)
т. е. при замене одних координат другими вектор-функции /?'
преобразуются когредиентно с дифференциалами координат dx\
т. е. следуя контравариантному закону. Поэтому триэдр R1, /?2,
/?3 будем называть контравариантным подвижным базисом соот-
соответствующей координатной системы.
3. Пространство вектор-функций. Обозначим через V (п) мно-
множество вектор-функций координат точек области U трехмерного
евклидова пространства. Элементы V (Q) зависят, вообще говоря,
от выбора координатной системы. Элементы из V(Q), которые не
зависят от выбора координатной системы, назовем векторами
или векторными полями на Q. Множество векторных полей обо-
обозначим через V0{Q). Для общности мы будем рассматривать ком-
комплексные вектор-функции вида w~u-\-iVj где и и v — вещест-
вещественные вектор-функции из V (?2). Если Uj и vf- — декартовы
координаты векторов и и V, то декартовыми координатами u-{-iv
будут комплексные функции uf-\-iVj. Сумму двух комплексных
вектор-функций w = u-f-iv и w' = a' + iv' определяем формулой
w + w'^u + u' + iiv^v'). Следовательно, если w, w' ?V(Q), то
ДО + гг)' ?V (il). Если Ф = Ф! + йр2 — комплексный скаляр из Со (Щ,
где фх и фа—вещественные скаляры из IR0 (i2), a w — U-\-iv?V{Q)t
то произведение ф^~(ф1к — ФаФL- i (Фг^ + Ф^) ?V(Q). Таким
образом, V (Q) представляет С (^)-модуль. Нуль-элементом V (Q)
является нуль-вектор w = 0. Множество V (Q) вещественных век-

§ 3]	КОВАРИАНТНЫЙ И КОНТРАВАРИАНТНЫЙ БАЗИСЫ	63
тор-функций из V(Q), очевидно, представляет К(й)-модуль и оно
является подмодулем V(Q).
Теперь ясно, что R— вектор из V0(Q), a jR{ и R'—ковариант-
ный и контравариантный тензоры 1-го ранга из V(Q), т. е.
4. Представление векторных полей через подвижные базисы.
Эквивалентные тензоры 1-го ранга. Для любой вектор-функции w
из V (Q) в каждой точке области можем написать два разложения
<w = wl'Ri и та> = ау,/?'\	C.8)
где в силу равенств C.5)
C.9)
Из этих формул следует, что если w — вектор из Уо (Q), то а>х-
и wl — соответственно ковариантный и контравариантный тен-
тензоры 1-го ранга из C(Q), т. е. wi^C1(Q) и йУ'^С1^), которые
представляют соответственно ковариантные и контравариант-
ные координаты вектора w относительно подвижных базисов.
^ (ГЕсли в формулахтC.8) и C.9) в качестве w возьмем вектор-
функции Rj и RJ, будем иметь
, /	*' = ?"*/=«?*',	(ЗЛО)
где
eij = eji = RiR}; ё" = ?{ = КК\ g{ = g{ = #?'!?/= 6}. C.10а)
Если система координат декартова, то R{ и/?' — ортогональ-
ортогональные орты. Поэтому
ёи = &и, Г7 = б'л	(з.п)
Назовем систему координат ортогональной, если в каждой
точк% ее базисные векторы Rly R2, R3 попарно перпендикулярны,
т. е. равенства
R.Rk^g.k = 0, если \фЬ,	C.12)
выражают необходимое и достаточное условие ортогональности
координатной системы. Для ортогональной системы координат
имеем формулы
O-11 — J—	П-22 _ _1_	ДЗЗ _ _J_
Sll	g22	ёЗЗ
ff12 — Cf2l = f?23 = 032 = CT31 = ff13 = 0
о	о	б	о	о	б	'
При помощи формул C.2) и C.7) легко убедимся, что gLj, giJ
и g)—симметричные тензоры второго ранга из IR(Q), причем
g;j€R2(Q), g'/€Ra(Q), g/€KH^). Назовем тензоры gt/, gV и
g) базисными тензорами параметризации области Q.

64	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
Теперь при помощи формул C.10) из равенств C.9) получим
wi — gijWJ, w' = gi;'wj.	C.13)
Таким образом, связи между ковариантным и контр авариант-
ним подвижными базисами координатной системы и ковариант-
ными и контравариантными компонентами вектора из Vo (Q)
осуществляются посредством операций опускания и поднятия
индексов, реализуемых при помощи базисных тензоров gifu gi}'.
Таким образом, всякий вектор w из Vo (Q) в каждой точке
области Q представляется при помощи формул C.8) как линей-
линейная комбинация базисных векторов /?( и /?', причем компоненты
вектора связаны соотношениями C.13). Легко доказывается те-
теперь обратное предложение: всякому ковариантному тензору 1-го
ранга wt из Сх (Q) и контравариантному тензору 1-го ранга w*
из С1 (Q) при помощи формул C.8) соответствуют векторы w и
w' из Vo (Q), причем o> = ie/ тогда и только тогда, когда тен-
тензоры W; и wl связаны между собой соотношениями C.13). Заме-
Заметим, что одно из этих соотношений является следствием другого.
Введем теперь определение. Тензоры первого ранга до,- и wl
назовем эквивалентными, если они связаны соотношениями
C.13). Очевидно, чтоесли соотношенияCA3) имеют место относи-
относительно одной произвольно фиксированной координатной системы,
то она будут иметь место относительно любой другой. Как мы
увидели выше, эквивалентным тензорам 1-го ранга при помощи
формул C.8) соответствует один и тот же вектор w из VU(Q).
Поэтому эквивалентные тензоры первого ранга естественно отож-
отождествить с соответствующим вектором U3VO(Q). Следовательно,
их нельзя рассматривать как различные тензоры, тем более что
относительно декартовой системы координат они совпадают, так
как gif = 6if, g'/ = 6'''\
Назовем класс, состоящий из двух эквивалентных тензоров
первого ранга модуля Ш (Q), тензором 1-го ранга из Ш (Q) и
обозначим их множество через ЭЛ^Й). Нетрудно убедиться, что
Шг (?2) представляет линейное (векторное) пространство над
кольцом C0(Q), т. е. 9ЛХ (Q) является <С0(?1)-модулем.
Легко также доказать, что формулы C.8) реализуют изомор-
изоморфизм: V0(Q)-^b1(Q).
Условимся, что два тензора, которые обозначены одной и той
же коренной буквой (например, А{ и A1', ak и а* и т. п.), всегда
будут рассматриваться как эквивалентные тензоры. Переход от
их ковариантных компонент к контравариантным и обратно .осу-
.осуществляется при помощи формул C.13). Формально эти операции
сводятся к перемещениям индексов по вертикалям вверх и вниз.
По существу они представляют поднятия и опускания индексов,

§ 4]	МЕТРИЧЕСКАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА	65
которые осуществляются при помощи метрических тензоров g{J
и giJ.
После принятого соглашения теперь очевидно, что инвариант-
инвариантные суммы А'В; и Л,-?' равны, так как А( и А1', В( и В1' соответ-
соответственно—эквивалентные тензоры первого ранга.
Ниже мы обобщим понятие эквивалентности тензоров на тен-
тензоры произвольного ранга и, кроме того, обобщим формулы C.8).
5. Физические компоненты вектора. В элементарных курсах
векторного анализа в качестве компонент вектора рассматрива-
рассматриваются его ортогональные проекции на оси декартовой координат-
координатной системы, которые принято называть физическими компонен-
компонентами вектора. Физическую компоненту вектора А относительно
координатной оси (х1) будем обозначать в дальнейшем через А(/).
Согласно определению она равна проекции вектора А на базис-
базисный вектор R.. Следовательно,
Лш = Л-^- = ^ = -^ = ^?	C.14)
' l*,l Vsii Yen Ysu	K }
(здесь по индексу i нигде не осуществляется суммирование).
Эти формулы устанавливают связи между физическими, кова-
риантными и контравариантными компонентами вектора.
Если система координат (х) декартова, то gik — dik и тогда
ЛШ = Л, = Л'.	C.15)
Следовательно, в декартовой системе координат физические, ко-
вариантные и контравариантные компоненты вектора совпадают.
Этим объясняется то, что в элементарном векторном анализе,
где пользуются в основном прямоугольной декартовой системой
координат, не приходится вводить в рассмотрение ковариантные
и~контравариантные компоненты вектора.
При помощи равенств C.14) можно вывести формулы преоб-
преобразования для физических компонент вектора при замене одних
координат другими. Но, как легко убедиться, эти формулы будут
весьма громоздкими и ими неудобно пользоваться. Ковариантные
и контравариантные компоненты вектора вводятся в рассмотрение
главным образом для того, чтобы избежать этих неудобств, они
подчиняются более простым законам преобразования, нежели
физические компоненты.
§ 4. Метрическая квадратичная форма трехмерного
евклидова пространства
15Метрическая квадратичная форма. Обозначая через ds рас-
расстояние между двумя бесконечно близкими точками Р (хе) и
P(xi-\-dxi), будем иметь
d& = dRdR={dR)\	D.1)
3 И. Н. Векуа

66	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
где dR = PP'. Так как
dR^Ridx1, R{ = d{R,	D.2)
то имеем
ds* = /?z/?ft dx1' dxk = gik dx1' dxk,	D.3)
где
?ik = Ski-RiRk-	D-4)
Индексы, очевидно, принимают значения 1, 2, 3.
Квадратичная форма D.3) выражает квадрат расстояния
между двумя бесконечно близкими точками. Поэтому правую
часть D.3) мы назовем метрической квадратичной формой. Она
играет фундаментальную роль в тензорном анализе. Из D.4)
в силу C.2) следует, что gik—симметрический тензор 2-го ранга.
Он называется метрическим тензором.
Если мы рассмотрим некоторую другую систему координат
(х'), то, очевидно, будем иметь
ds2 = grk' dx1'dxk\ gi'k- = ReRk-.	D.5)
Левые части равенств D.3) и D.5) одинаковы. Поэтому для
любых двух систем координат (х) и (х') имеем равенство
gik dx1' dxk = grk' dx1' dxk',	D.6)
показывающее инвариантность метрической квадратичной формы
относительно преобразования координат.
Принимая во внимание равенства dx1' = D['dx', из D.6) легко
получим формулу
gth = ei'M'Dl\	D.7)
подтверждающую, что коэффициенты метрической квадратичной
формы составляют ковариантный тензор 2-го ранга. Это доказа-
доказательство имеет то преимущество, что оно получается из инва-
инвариантности квадратичной формы D.3) и обобщается на случай
риманова пространства.
Так как ds~ ^gikdxl dxk—положительно определенная квад-
квадратичная форма относительно любой координатной системы, то
выполняются условия (гл. I, § 5, п. 3):
gn >
gll
g21
>0. D.8)
В силу формул (ЗЛО)
= ?'*?*/ = ?/= 8/.	D.9)
%	/
Отсюда имеем
l.	D.10)

§ 4]
МЕТРИЧЕСКАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
67
Следовательно, в силу последнего неравенства D.8)
g = (Jet (gij) >0, det (glJ) — g !> 0.	D-11)
2. Формула преобразования дискриминанта. Применяя правило
умножения детерминантов (гл. I, § 3, п. 3), из D.7) получим
формулу
g = g'(det?>j')a,	D.12)
где g и g'—дискриминанты метрической квадратичной формы
относительно координат х' и х>'\
Из D.12) имеем
det
±y
-jjr
D.14)
Отсюда следует, что det (?)?')
не меняет знака в облсс/Ли.
Знак плюс или минус перед
радикалом в формуле D.14)
соответствует случаю, когда
у обеих систем координат
соответственно одинаковые
или разные ориентации.
3. Примеры координатных
систем. Приведем теперь три
примера разных координат-
ных систем пространства.
1) Если (х') — декартова
система, то ее базис Ry
состоит из взаимно ортогональных ортов
ds* = [dxl J + (dx2 J + (dx* J.
Равенства D.7) в этом случае принимают вид
3 -, , -
1х' dxi
Рис, 8.
jrrx дх!' dxk
Следовательно,
D.15)
D.16)
D.17)
2) Пусть (х) — сферическая система координат (рис. 8). Тогда,
вводя обычные обозначения х1 = г, хг = Ь, х3 = ср, имеем
х1 =rcos9sin^, л;2 ~r sin
л;3 =/*cos{}. D.18)

68	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
В силу D.17)
Следовательно,
ds2 = dr2 +/2 sin2 ft dq>2 + r
[ГЛ. III
D.19)
D.20)
3) Пусть (х)— цилиндрическая система координат (рис. 9).
Тогда
X1 =
X2 =
Xz —
[фу	D'21)
D.22)
4. Дискриминантные тен-
,ri ,2 гз) зоры. Продолжим рассмотре-
' ' ' ' ние случая трехмерного
евклидова пространства.
Следовательно, индексы про-
(х'2} бегают значения 1, 2, 3.
Рассмотрим смешанные
произведения базисных век-
векторов
Рис. 9.
CVk = Ri&R\ Cd^RiRJRb и т. д. D.23)
Согласно формуле (II, 3.23) имеем равенства
8и ёи
J?32
= ±Vg, D.24)
выражающие с точностью до знака объем параллелепипеда, по-
построенного на базисных векторах Rlt R2, R3. Знаки плюс или
минус перед радикалом Vg надо брать соответственно для коор-
координатной системы правой или левой ориентации. Используя
символ Леви-Чивнта ei/k, можем написать
/k.	D.25)
D.26)
При помощи формулы (II, 3.23) выводим равенство
С123 = /№#3 = ± -L ,
Уё
где знаки плюс или минус надо брать соответственно для коор-
координатной системы правой или левой ориентации. Теперь легко

§ 4]	МЕТРИЧЕСКАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА	69
убедимся, что
C0b = ALe0K	D.27)
V g
Из формул D.23) легко следует, что Ci}k, С1'*, C//J и т. д. пред-
представляют тензоры 3-го ранга. Будем их называть дискриминант-
ными тензорами пространства.
Теперь, очевидно, имеем равенства
/	4,Я*.	D.28)
Заметим, что эти формулы сохраняют силу при любых передви-
передвижениях глухих индексов вдоль соответствующих вертикалей.
5. Элементы объема пространства и площади поверхности
в инвариантной форме. В силу D.24) объем элементарного парал-
параллелепипеда, построенного на векторах /?х dx1, R2dx2, Rs dxs, будет
выражаться формулой
dv = R±R2R3 dx1 dx* dxs = Vgdx1 dx2 dx\	D.29)
Очевидно, предполагаем, что триэдр Rlt R2, Rs имеет правую
ориентацию.
Таким образом, мы вывели формулу, выражающую элемент
объема пространства относительно произвольно взятой коорди-
координатной системы. Учитывая геометрический смысл выражения
D.29), желательно записать его в инвариантной относительно
преобразования координат форме.
Для этой цели введем понятие внешнего умножения дифферен-
дифференциалов координат dx1, определяя его по формуле *)
dxh д dx*> Л dx(> = е''«'V. dx1 dx2 dx*.	D.30)
Тогда нетрудно доказать, что выражение
Cijk dx1 Л № Л dx*	D.31)
инвариантно относительно преобразований координат. Это немед-
немедленно следует из того, что выражения Cijk и ах' Л && Л Л-#*при
замене координат преобразуются контрагредиентно.
В силу D.25) и D.30) имеем
CUkdx1 Л dxS Л dxk = Vgdx1 dx2dx3 e//fte'"'* = 6 Vgdx1 dx2 dx9.
Отсюда в силу D.29) получаем формулу
dv = -gCi/kdx1' Л dxi Л dxk,	D.32)
*) Основанное на внешнем умножении дифференциалов исчисление, полу-
получившее систематическое развитие и применение в геометрии в работах Е. Кар-
тана [18], составляет одну из важных ветвей современной математики.

70	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
выражающую элемент объема евклидова пространства в инва-
инвариантной форме. Ниже мы обобщим эту формулу на риманово
пространство произвольного измерения.
Обозначим площади параллелограммов, построенных на ба-
базисных векторах /?2 и R3, R3 и /?1( /?x и /?2, соответственно через
2lt 22, 28. Очевидно,
Так как
R2xRa = VgR1t R3xR1 = VgR*, RiXR2 = VgR3, D.34)
то имеем
,	D.35)
Рассмотрим теперь тетраэдр, построенный на векторах
Для определенности предположим
сначала, что координатная система
имеет правую ориентацию и все dx1 >
> 0. Впоследствии мы освободимся от
Рис- 10-	этого ограничения. Путь ydS обо-
обозначает площадь основания тетраэдра, т. е. площадь грани
ABC, противоположной его вершине Р. Пусть / — орт внеш-
внешней нормали к этой грани (рис. 10). Тогда в силу C.4) напи-
напишем
= (Rr dx1 — R3 dx3) X (/?a dx2 — R3 dx3) =
= Vg (R1 dx2 dx3 -\- R2 dx3 dx1 + R3 dx1 dx2). D.36)
Определим внешние попарные произведения дифференциалов dx1,
dx2, dx3 при помощи формул
dx1 Adx2 = — dx2 A dx1 = dx1 dx2,
dx2 A dxs = — dx3 A dx2 = dx2 dx3,	D.37)
dx1 Adx3 = ~ dx3 A dx1 = dx1 dx3.
Тогда в силу D.28) равенство D.36) можем записать еще в виде
/ dZ = — С¦ ¦ Rl dxJ' Л dxk	D.38)
Умножая обе части скалярно на /, получим
dZ = -к CiikV dx) A dxk,	D.39)

§ 5]	ПРАВИЛО ЧАСТНОГО (ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ ТЕНЗОРОВ)	71
где V = IR1 — контравариантные компоненты орта / нормали к dS.
Это равенство выражает в инвариантной относительно преобра-
преобразования координат форме площадь элемента поверхности, ориен-
ориентация которого задается ортом нормали /.
Пусть d"Zly d22, dS3 — площади параллелограммов, построен-
построенных на векторах РВ и PC, PC и РА, РА и РВ соответственно.
В силу D.35) напишем
dZ± — Vg^1 dx2 dx3, d%2 = Vgg™ dx3 dx1, dl>3 = Vgg** dx1 dx2.
D.40)
Умножая теперь обе части равенства D.38) скалярно на /?,.,
в силу D.40) будем иметь формулы
где 11 — ковариантные компоненты направляющего орта / пло-
площади d2.
Эти формулы выражают элементы площади координатных
поверхностей в точке Р через элемент площади произвольно ориен-
ориентированной поверхности, проходящей в той же точке.
§ 5. Правило частного (теорема о делении тензоров)
Вернемся теперь к общему случаю пространства Rn. Следо-
Следовательно, индексы будут пробегать значения 1, 2, ...,п.
Мы выше видели, что произведение тензоров есть опять
тензор. Теперь поставим обратную задачу, аналогичную задаче
деления: если известно, что произведение некоторой матрицы
на тензор всегда есть тензор, то встает вопрос—будет ли эта
матрица также тензором? Существует признак, позволяющий
дать на этот вопрос положительный ответ. Он называется пра-
правилом частного и играет важную роль в тензорном анализе
и его приложениях. Мы докажем это правило вначале для
тензоров 1-го и 2-го ранга, а затем без доказательства дадим
его формулировку для общего случая.
Пусть в каждой системе координат задана некоторая A, 0)-
матрица из модуля vlVc(Q). Если внутреннее произведение А1В{
есть инвариант для любого контравариантного тензора 1-го
ранга Л' из R1 (Q), то матрица В{ будет ковариантным тензо-
тензором 1-го ранга из Ш1 (Q).
В самом деле, согласно условию для двух произвольно взя-
взятых систем координат (х) и (х') имеем
Л''5,, = Л'Д = Л1'О^.	E.1)
Следовательно, (Вг — В;Оу)А1' = 0. Так как по условию это ра-
равенство выполняется для любого контравариантного тензора Л'

72	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
из R1 (?2), то, очевидно, из предыдущего равенства получим
что доказывает наше утверждение.
Если заранее известно, что в равенстве E.1) Bi— ковари-
антные компоненты произвольного тензора 1-го ранга из CX(Q),
то аналогично предыдущему докажем, что А1' — контравариантный
тензор 1-го ранга из 9Л1(^).
Сформулируем теперь правило частного для тензора 2-го
ранга.
Если относительно каждой системы координат задана неко-
некоторая матрица aik из Ш (й), удовлетворяющая условию, что
внутреннее произведение aikAlBk есть инвариант для любых
контравариантных тензоров 1-го ранга А' и Вк из R1 (Q), то
матрица aik будет ковариантным тензором 2-го ранга.
В самом деле, по условию,
at'k' Al'Bk> = а1кА'В» = a^D^A1'Bk>,
Следовательно,
Так как здесь А1' и В1' — произвольные тензоры 1-го ранга из
R1(Q), то из предыдущего равенства имеем
ciL'k' = aikDi'Dk',
что и доказывает наше утверждение.
Аналогично докажем, что если внутреннее произведение вида
а1кАгВк есть инвариант для произвольных ковариантных тензо-
тензоров 1-го ранга А; и Bk из Кг@), то матрица aih будет контрава-
риантным тензором 2-го ранга. Точно так же, если a^Aft*—
инвариант для любых ковариантных и контравариантных тен-
тензоров 1-го ранга Л,- и Bk, то матрица а% будет тензором 2-го
ранга смешанного типа.
Покажем теперь, что для симметрической матрицы aik = aki
приведенный выше признак справедлив в более смягченной форме.
Пусть aik—симметрическая матрица, aik = aki. Если aikAlAk
инвариантно для любого контравариантного тензора 1-го ран-
ранга Л', то матрица aik будет ковариантным симметрическим тен-
тензором 2-го ранга.
В самом деле, полагая А' = В*-\-С', где В'и С1—произволь-
С1—произвольные контравариантные тензоры 1-го ранга, будем иметь
aikA1 Ah = aik {В1 + С) (Bk + С*) =

§ 6J ДИСКРИМИНАНТНЫЕ, ОБРАТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ 73
Так как по условию выражения aikAl'Ak, alkB'Bk и aikCl'Ck
являются инвариантами, а также, в силу свойства симметрич-
симметричности aik, aikBiCk = aikBkCi, то из предыдущего равенства будем
иметь, что aikB(Ck—инвариант. Но здесь В' и С—произвольные
контравариантные тензоры 1-го ранга. Следовательно, в силу
доказанного выше, матрица aik является ковариантным тензо-
тензором 2-го ранга.
Теперь уже можно сформулировать правило частного в общем
виде.
Пусть относительно каждой системы координат задана не-
некоторая матрица вида
с компонентами из некоторого модуля Ш(&). Пусть для произ-
0)	(г)
вольных ковариантных тензоров 1-го ранга А,, ..., Atr из Kj (Q)
A) ' («)
и контравариантных тензоров 1-го ранга Bki, ..., Bks из R1 (Q),
где r^p, s^.q, матрица вида
. A)	(г) A)	(s)
-4l A	A/ Bk> Bk<>
f	a
представляет тензор типа (р — г, q — s). Тогда матрица E.2)—
тензор типа (/?, q) из Шяр(п).
Доказательство здесь проводится по аналогии с предыдущим.
§ 6. Дискриминантные, обратные и относительные тензоры
1. Дискриминантные тензоры. Пусть aik—ковариантный тен-
тензор 2-го ранга. При замене координат х1 другими х1' будем
иметь
aik = allk.tilDX.	F.1)
Индексы пробегают значения 1, 2, ..., п.
Применяя правило умножения детерминантов, получим
det (aik) = (det (Df)J det (a*-*-).	F.2)
Отсюда следует, что если det (aik) равен нулю (соответственно
отличен от нуля) относительно одной фиксированной коорди-
координатной системы, то он равен нулю (соответственно отличен от
нуля) относительно любой другой системы координат. Таким
образом, это свойство тензора 2-го ранга является инвариантным
(не зависящим от выбора системы координат) свойством. Назо-
Назовем a = det(a^) дискриминантом тензора. Будем говорить, что
тензор 2-го ранга aik является особенным (соответственно не-
неособенным) в точке или области, если его дискриминант det (aik)=0
(соответственно det (aik) Ф 0) в точке или в области.

74	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
Докажем, что матрица
Ctl. .лп = Vaeix.. .,„, а = det (aik) ^ 0, i,k?[\, л|, F.3)
зде e?l..,/rt-—символ Леви-Чивита, является ковариантным тен-
тензором п-го ранга. При замене координат х' новыми координа-
координатами х1' в силу F.2) и F.3) будем иметь (считаем, что обе
системы координат одинаковой ориентации)
С. с=ХЫГе{ ,.=l/"fldet(D?)e,. ,••
li- ¦ • ln	h- • ¦ 'n	li- ¦ ¦ ln
Применяя формулу (I, 3.4a), это равенство можно переписать
в виде
^;...(; = ^^.---'^---оЙ=СA...(„о;;...о;?, F.4,
что и доказывает наше утверждение.
Аналогично доказывается, что матрица
C'.-..'B = _Le'i---4 a = det(aifl)=?0,	F.5)
является контравариантным тензором п-го ранга. Так как тен-
тензоры Cil,..in и С1'-л'« выражены через дискриминант тензора
2-го ранга, то они называются дискриминантными тензорами.
Эти тензоры обобщают на многомерные пространства дискри-
минантные тензоры Cijk и C'Jk трехмерного евклидова прост-
пространства, рассмотренные нами выше (§ 4, п. 4). Эти тензоры
называются фундаментальными тензорами Риччи и Леви-Чивита.
2. Обратные тензоры. Предположим, по-прежнему, что тензор
2-го ранга aih является неособенным, a = dei(aik)^O. Рассмот-
Рассмотрим обратную матрицу aik, которая, как видели выше (гл. I,
§ 3, п. 4), удовлетворяет равенствам
а1{аЪ' = аиа>к = &\.	F.6)
Так как при замене координат х1' новыми координатами х1'
то уравнение F.6) принимает вид
an.Di;Di'a?4 = 6FDil.Dl'.
Умножая обе части этих равенств на Dl'Dj, и принимая во вни-
внимание равенства A.26), получим уравнения
fl/,,.a*'/' = 6f;,	F.7)
где
ak'l' = D%D[akt.	F.8)

§ 7]	ТЕНЗОРЫ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА	75
Но в силу F.2) det (а,;г) Ф 0 и, следовательно, система уравне-
уравнений F.7) имеет единственное решение. Это решение выражается
формулой F.8), а это доказывает, что ak}'—контравариантный
тензор 2-го ранга, что требовалось доказать.
Таким образом, для всякого неособенного ковариантного
тензора 2-го ранга aik существует обратный контравариантный
тензор 2-го ранга ai}. Очевидно, справедливо и обратное утвер-
утверждение. Детерминанты взаимно обратных неособенных тензоров
связаны равенством
det (atk) det (C«) = 1.	F.9)
3. Относительные тензоры. В тензорном анализе встречаются
также величины, которые при преобразовании координат умно-
умножаются на некоторую степень функционального детерминанта
преобразования (якобиана). Как показывает формула F.2), такой
величиной является, например, дискриминант любого неособен-
неособенного тензора 2-го ранга.
Будем говорить, что (р, цУматрица Alyl.q составляет от-
относительный тензор ранга p-\-q и порядка s, если при
переходе от координат х1' к координатам х1' она преобразуется
по формулам вида
А V '" l1 = (det (Di,))s Ah ¦ ¦ ¦ W1. .. DiqD>\... Ф„ F.10)
,\...ip v v in ii---'p 'i	H ix jp
Примерами ковариантных и контравариантных относительных
тензоров являются символы Леви-Чивита. Согласно F.2), F.4)
и F.5) они преобразуются по формулам
е,,..,;нае*№„-.ег1...,^...^,
Следовательно, etl...;n и е1'»---/и являются относительными
тензорами соответственно порядка s = — 1 и s—\. Эти тензоры
называются плотностями Леви-Чивита.
§ 7. Тензоры риманова пространства
До сих пор для построения тензорной алгебры нами не было
использовано привычное для нас понятие расстояния между
точками пространства Rn. Для определения е-окрестности точки
из Rn мы использовали евклидово расстояние между точками.
Теперь же мы рассмотрим класс пространств (многообразий) Rn,
на которых определена инвариантная метрика, позволяющая
измерять расстояния между точками пространства. Это, без-

76	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
условно, позволит построить тензорный анализ, который будет
более содержательным и богаче фактами.
В дальнейшем будем предполагать, что индексы (глухие и
неопределенные) принимают значения 1,2, ..., п.
1. Инвариантная метрика в /?". Римановы многообразия. Ниже
мы рассмотрим многообразия, на которых имеется метрика,
измеряющая квадрат расстояния между двумя близкими точ-
точками х и x-j-dx при помощи инвариантной относительно пре-
преобразований координат положительно определенной квадратич-
квадратичной формы вида
ds^ = gik(x)dxidxk,	G.1)
гДе g/л—вещественная симметричная квадратная (л хя)-матрица,
&* = *«•	G-2)
Элементы этой матрицы, вообще говоря, зависят от координат
точки. Согласно правилу частного, из условия симметричности
G.2) и инвариантности формы G.1) немедленно следует, что
gik—симметричный ковариантный тензор 2-го ранга. Кроме того,
требование положительной определенности квадратичной формы
G.1) означает, что в каждой точке многообразия выполняются
неравенства (гл. I, § 5, п. 3)
gin
8и > О,
gii ?12
8nl ••• ёпп
> 0, G.3)
составляющие необходимые и достаточные условия положитель-
положительной определенности формы G.1). Нетрудно убедиться, что если
эти условия выполняются относительно некоторой фиксированной
системы координат, то они будут иметь место относительно
любой другой параметризации пространства. Это непосредст-
непосредственно следует из инвариантности квадратичной формы G.1).
Многообразие, на котором определена метрика при помощи
положительно определенной квадратичной формы вида G.1), на-
называется римановы м много об рази ем или простран-
пространством Римана п измерений. Тензор gik называется метри-
метрически м тензором пространства Римана. Евклидово
пространство п измерений является частным случаем риманова
многообразия. В нем существует система координат, относительно
которой компоненты метрического тензора принимают постоян-
постоянные значения. Тогда, как было доказано выше (гл. I, §rJ>),
квадратичную форму G.1) можно привести к виду
dsa = (dx1J + (Же2J + ... + (dxnJ.	G.4)
Соответствующую систему координат назовем декартовой. Сле-
Следовательно, в евклидовом пространстве глобально существует
декартова система координат.

§ 7]	ТЕНЗОРЫ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА	77
На римановом многообразии, вообще говоря, не существует
глобально декартовой системы координат. Но для фиксированной
точки х0 многообразия всегда можно построить систему коорди-
координат, относительно которой в этой точке метрическая квадра-
квадратичная форма gikdxt'dxk принимает канонический вид G.4).
В дальнейшем такую систему координат будем называть локально
декартовой в точке х0.
Несмотря на отсутствие глобальной декартовой системы коор-
координат на римановых многообразиях, многие факты евклидовой гео-
геометрии удается обобщить при помощи метрической квадратич-
квадратичной формыG.1). В ряде случаев эти обобщения носят формальный
характер и легко осуществляются при помощи методов тензорного
анализа, но имеются и такие обобщения, которые приводят к но-
новым фактам, выявляющим различия между евклидовым и рима-
новым пространствами. Эти различия характеризуются при по-
помощи определенного тензора 4-го ранга, который выражается через
метрический тензор gik и называется тензором Римана или
тензором кривизны. В случае евклидова пространства этот тен-
тензор тождественно обращается в нуль (см. ниже гл. IV, § 3, п. 8).
Ниже особо излагается тензорный анализ для риманова
многообразия двух измерений. Такие многообразия реализуются,
по крайней мере, локально, на поверхностях, погруженных
в трехмерное евклидово^пространство. Рассмотрение этого слу-
случая важно, во-первых, потому, что риманово многообразие при-
приобретает весьма наглядный и реальный смысл и, во-вторых,
аппарат тензорного анализа для многообразия двух измерений,
который строится осмысленно на основе наглядных геометри-
геометрических представлений, без особого труда обобщается на много-
многомерный случай.
Теперь вновь вернемся к общему случаю риманова много-
многообразия п измерений и дополним тензорную алгебру теми фак-
фактами, которые основаны на рассмотрении метрики пространства.
В дальнейшем нам потребуется рассмотрение контравариант-
ного метрического тензора gik, который удовлетворяет соотно-
соотношениям
Следовательно, glk является обратным относительно gik тензором.
Так как det {g^-ф О, то gik всегда существует и является контра-
вариантным тензором 2-го ранга (см. § 6, п. 2). Кроме того, из
симметричности тензора gik следует симметричность тен-
тензора gik, т. е.
= ?*'•	'G-6)
Используя эти два взаимно обратных метрических тензора
и elki мы ниже обобщим операции поднятия и опускания

78	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	ГГЛ. 111
индексов на случай любого риманова многообразия. Кроме того,
введем понятие эквивалентности тензоров и дадим общее опре-
определение тензора произвольного ранга на римановом многообразии.
Согласно F.3) и F.5) на римановом многообразии п измере-
измерений можно определить дискриминантные тензоры по формулам
Ctt...tn=Vgetl...in, g = de\(giJ)>0,	G.7)
C<i---<rt=-i=el'i---l4	G.8)
У ё
которые, как уже отмечали выше, называются фундаментальными
тензорами Риччи и Леви-Чивита.
Обобщим также введенное в § 4, п. 5 понятие внешного
умножения дифференциалов координат dxl на случай произволь-
произвольного риманова многообразия при помощи формул
dxil A •¦• Л dxin = eh""' l« dxl ... dx».	G.9)
Тогда при помощи инвариантной формулы
dQ^±Ch. ..tjx^ Л • ¦ • Л dx1*	G.10)
определяем элемент объема на римановом многообразии п изме-
измерений. В силу G.7) и G.9) эта формула принимает вид
dU=V~g&xl ...dx».	G.11)
Определим меру множества Q инвариантной форму-
формулой
\ \xx ... dxn.	G.12)
Если mesQ = 0, то Q — множество меры нуль.
2. Операции опускания и поднятия индексов. Как видно из
формул C.13), в евклидовом пространстве переход от ковариант-
ных компонент вектора к контравариантным и обратно осуще-
осуществляется формально путем перемещения индексов по вертикали
снизу вверх или сверху вниз. Эти операции называются под-
поднятием и опусканием индексов. Они осуществляются при по-
помощи метрических тензоров gik и gik по правилам, указанным
в равенствах C.13). Мы теперь обобщим эти операции на'слу-
на'случай риманова многообразия любого измерения. Следует заметить,
что указанная формализация этих важных для тензорного ана-
анализа операций достигнута в § 3, п. 4 благодаря удачному выбору
обозначений. А именно, мы условились сохранять коренную
букву А, которая напоминает рассматриваемый реальный
объект —в данном случае вектор, а различные типы его компо-
компонент отличаем друг от друга местом расположения индексов —

§ 7J	ТЕНЗОРЫ РИМЛНОВЛ ПРОСТРАНСТВА	79
ковариантные компоненты отмечены приписыванием коренной
букве нижних индексов, а контравариантные — верхних индек-
индексов. Это соглашение мы сохраним и в случае риманова много-
многообразия. При выполнении операций поднятия^и опускания
индексов, очевидно, индексы должны иметь возможность пере-
перемещаться свободно по вертикали вдоль коренной буквы сверху
вниз и обратно. В случае компонент тензора 1-го ранга это
условие автоматически выполняется, так как имеется всего лишь
один нижний или верхний индекс. Но при наличии нескольких
индексов этой ситуации может и не быть, если они расставлены
наверху и внизу одни над другими. Поэтому важно, чтобы и
при рассмотрении тензоров ранга выше первого придерживаться
такого правила расстановки индексов, при котором сохраняется
указанная выше ситуация, позволяющая беспрепятственно пере-
перемещать индексы по вертикали вдоль коренной буквы снизу вверх
и обратно. Иными словами, надо за каждым индексом закрепить
свою вертикаль. Если обратим внимание на обозначения рас-
рассмотренных выше тензоров Ah A1, g;j, g';, то заметим, что это
условие соблюдено; над каждым нижним (ковариантным) и под
каждым верхним (контравариантным) индексом оставлены сво-
свободные места. Для удобства принято эти свободные места за-
заполнять точками в тех случаях, когда внизу и наверху имеется
хотя бы по одному индексу. В остальных случаях, когда все
индексы расположены либо внизу, либо наверху, точки можно
не ставить. Такое правило расстановки индексов, которое мы
сохраним ниже и для тензоров любого ранга, позволяет сво-
свободно перемещать индексы вверх и вниз по вертикалям вдоль
коренной буквы, не вытесняя при этом другие индексы. Это
соглашение существенно важно для формализации операций
опускания и поднятия индексов. Вместе с тем следует отметить,
что слепо соблюдать во всех случаях указанное правило рас-
расстановки индексов нет необходимости. Во многих случаях, когда
речь идет о каких-нибудь тензорах смешанного типа, можно
пользоваться обозначениями вида A\\\\\\qp. Всегда из контекста
будет ясно, когда отступление от этого правила не приводит
к каким-нибудь недоразумениям.
Дадим теперь точное определение операций поднятия и опу-
опускания индексов, которые в тензорном анализе играют фундамен-
фундаментальную роль, позволяя, в частности, обобщить понятие тензора.
Определим сначала операции поднятия и опускания индексов
для тензоров 1-го ранга, а затем обобщим их на тензоры про-
произвольного ранга.
Пусть Aj — ковариантный тензор 1-го ранга. Умножая тен-
тензор Aj на контравариантный метрический тензор gik и сокращая
любую пару индексов, получим контравариантный тензор 1-го

80	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. 111
ранга (см. § 2, п. 5)
j	G.13)
Таким образом, эта операция преобразует ковариантный тензор
1-го ранга А{ в контравариантный тензор А1 того же ранга.
Рассматривая эту операцию чисто формально, мы видим, что
в результате ее применения происходит поднятие индекса —
нижний, ковариантный индекс, поднимается наверх и становится,
таким образом, контравариантным индексом. Необходимо заме-
заметить, что при эгом ранг тензора сохраняется.
Пусть теперь имеется контравариантный тензор 1-го ранга ЛЛ
Умножением его на gik и сокращением индексов получим кова-
ковариантный тензор 1-го ранга
A — gijAK	G.14)
Формально говоря, мы осуществили опускание верхнего индекса
вниз, т. е. переход контравариантного индекса в ковариантный.
Как видим, и в этом случае ранг тензора сохраняется. Нетрудно
заметить, что если контравариантный тензор А1 получен из ко-,
вариантного тензора Л,- в результате применения операции
поднятия индекса, то, обратно, А( получается из А1 с помощью
операции опускания индекса. Для доказательства надо восполь-
воспользоваться формулами G.5).
Операции поднятия и опускания индексов теперь легко можно
обобщить на тензоры любого ранга. Достаточно это пояснить
на примере тензоров 2-го ранга. Например, если имеем кова-
ковариантный тензор 2-го ранга aik, то при помощи операции под-
поднятия индексов можем построить следующие тензоры 2-го ранга:
Надо заметить, что приняв любой из этих четырех тензоров aik,
a\k, a'k., aik за исходный, остальные можно получить применением
операций опускания и поднятия индексов, например,
и т. д.
В частности, применяя эти операции к метрическим тензо-
тензорам gik и gik, мы получим метрический тензор смешанного типа,
который совпадает с 8lk:
gi-g%=6i.	G.15)
Надо сказать, что здесь нет необходимости отличать g[\ от g'k., так
как они равны в силу симметричности тензора gik. Ту же си-
ситуацию мы имеем и для случая произвольного симметрического
тензора aik = aki. Тогда легко доказать, что а1.\ = а'к. и, с ледова-

§ 7J	ТЕНЗОРЫ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА	81
тельно, можно писать просто alk.\ В общем случае La['k и а*1.,
вообще говоря, различны.
3. Эквивалентные классы тензоров. Общее понятие тензора.
Надо теперь заметить, что относительно декартовой системы
координат равенства G.14) принимают вид
А? = А'.\	G.16)
Это обстоятельство указывает на то, что в евклидовом простран-
пространстве ковариантные и контравариантные тензоры A-t и А', которые
связаны равенствами G.14), нельзя рассматривать как различные
объекты, существующие независимо от выбора системы коорди-
координат. Допустив противное, мы пришли бы к противоречию, так
как в декартовой системе координат мы не могли бы обнаружить
их различие. Совершенно аналогичную ситуацию мы имеем для
тензоров высшего ранга, которые переводятся друг в друга
посредством (однократных или многократных) применений опе-
операций поднятия и опускания индексов. Эго обстоятельство ука-
указывает на целесообразность следующего определения.
^Будем говорить, что два тензора п-го ранга эквивалентны,
если один получается из другого посредством (однократного или
многократного) применения операций поднятия и опускания
индексов, выполняемых с помощью метрических тензоров gib и gik.
Класс эквивалентных тензоров п-го ранга на-
называется тензором п-го ранга.
Согласно этому определению, тензоры одного и того же ранга,
в обозначениях которых встречается одна и та же коренная
буква, в дальнейшем будут рассматривается как эквивалентные
тензоры, т. е. как различного типа компоненты одного и того
же тензора соответствующего ранга.
Это соглашение относительно обозначения эквивалентных тен-
тензоров позволяет в выражениях внутренних произведений тен-
тензоров свободно перемещать глухие индексы по соответствующим
вертикалям. Например, А1В[ = АгВ1, a'il.'k = a\Yk.
Если А и В—тензоры ранга р с элементами соответственно
из модулей C(Q) и sDt(Q), то, как это легко следует из фор-
формулы B.12в), их внутреннее произведение коммутативно:
АВ = ВА.	G.17)
В самом деле, так как глухие индексы можно перемещать на
соответствующих вертикалях, то имеем
Будем говорить, что тензор А с элементами из С (Q) изо-
изотропен в точке х, если в этой точке
А2 = 0.	G.18)

82	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
Тензор изотропен в области, если он изотропен в каждой
точке этой области.
Докажем, что вещественный изотропный тензор равен нулю.
В самом деле, если в некоторой точке х выполняется равенство
G.18), то, рассматривая локально декартову систему координат
относительно этой точки, в силу формулы G.16) будем иметь
Так как по условию Л —вещественный тензор, то будем иметь:
А(х) — 0, что и требовалось доказать.
Таким образом, ненулевые изотропные тензоры должны иметь
комплекснозначные компоненты.
Имея в виду принятые выше соглашения, говоря о тензоре,
достаточно указать на его компоненты одного какого-нибудь
типа. Так, например, под тензором aik мы будем подразумевать
весь класс эквивалентных ему тензоров 2-го ранга. Но иногда
целесообразно, называя тензор, не указывать на какой-нибудь
специальный вид его компонент. В таких случаях тензор будем
обозначать соответствующей коренной буквой жирного шрифта,
отмечая лишь ранг тензора. Например, тензор а 2-го ранга —
вместо тензора aik.
§ 8. Локально гильбертовы модули тензоров
В этом параграфе мы изучим некоторые общие вопросы тен-
тензорной алгебры, привлекая элементарные понятия современной
алгебры и функционального анализа. Построения этого пункта
будут относиться к случаю тензоров произвольного риманова
пространства п измерений, п^1.
1. Модуль CP(Q). Обозначим через Cp(Q) множество тензоров
ранга р из С (Q), заданных в некоторой области О ^-мерного
риманова пространства. Мы будем рассматривать, вообще говоря,
комплексные тензоры, которые можно представить в виде w =-¦
— u-\-iv, где а и v—вещественные тензоры. Множество Ср(й)
является линейным пространством над кольцом скаляров С0(й),
т. е. (^(Q) представляет Со (й)-модуль.
Пусть -^(Q)— множество тензоров ранга р с элементами
из некоторого модуля Ш (Q) над кольцом скаляров C0(Q). Оче-
Очевидно, Шр (Q) представляет модуль над кольцом C0(Q). В даль-
дальнейшем для краткости будем говорить «модули &p(Q) и $M^(Q)»,
подразумевая, что они Со (Й)-модули. Число р будем называть
порядком модулей Cp(Q) и $lp(Q).

§ 8]	ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ	83
Если w —it-^iv€<Cp(Q), то сопряженный тензор
w=tt — iv?Cp(Q).
Для определенности будем предполагать, что элементы мо-
модуля Cp(Q) — непрерывные тензоры в области Q. Мы, как и
прежде, будем предполагать, что переход от одних координат
к другим осуществляется при помощи преобразований некото-
некоторого класса Ck, k^\. Поэтому, если тензор принадлежит классу
Ckr, 0^.kr < k, относительно одной, произвольно взятой системы
координат, то он принадлежит тому же классу относительно
любой другой системы координат.
Следовательно, принадлежность тензора классу CV, k'<k,
является инвариантным его свойством. Если /г = оо, то можно
рассматривать тензоры класса Сю.
2. Локально скалярное произведение тензоров. Локальная
норма тензора. Угол между двумя тензорами. Введем теперь в
С^ (О) понятие локального скалярного произведения тензоров.
Если w = u-\-ivt w' =tt' + iv' ?Cjp(Q), то выражение
{w, wr)x = ww'=uuf+W'+ i{vur — wo')	(8.1)
называется локальным скалярным произведением тензоров w
и w' в точке х области Q. Здесь ии'', vv', vu' и uv' обозна-
обозначают внутренние произведения соответствующих вещественных
тензоров. Например,
ttttf = Uitm..ipu'i^--iPi	(8.2)
где индексы пробегают значения 1, 2, ..., п.
Ниже мы будем рассматривать также т-локальные скаляр-
скалярные произведения. Пусть w^Cp + m(Q) и w' ^Cq+m(Q). Тогда
т-локальным скалярным 'произведением тензоров w и w' будем
называть (р, ^)-тензор
(w, w'){xm) =w®wf==Wi1...ipkl...kmu>'lil- ¦¦kmU- •¦/"- (8-2a)
При p=.q = Q будем писать
{w, w')x = ww' =Wk,.. .knp'k'-- -km,	(8.26)
что равносильно равенству (8.1).
Следует заметить, что формулы (8.2а) и, следовательно, (8.26)
сохраняют смысл, если w€$ip+m(Q) и w' ^Cqhm(^).
Локальное скалярное произведение (w, w')x тензоров
w?Wp{Q) и w' €&p{&) является скаляром (w, w')x€$l0(Q).
Нетрудно проверить, что в каждой точке х области О. оно обла-
обладает следующими свойствами:

84	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
1)	(w, w')x = (w', w)x, Vw, w'^
2)	c(w, w')x = (cw, w')x = (w, cw')x,
Vw'eC^(Q), Vc-const.
3)	(w + w, w')x — {w,w')xJr{w, w')x, Vw,
(w, w + w')x = (w, w)x + (w, w')xt	р
Vw, w'e?p(Q),
т. e. (w, w')x — билинейная форма.
4) Если w€Cp(Q)t то (w, w)x = ua+vv^0, причем знак
равенства достигается лишь в том случае, когда iv(x) = 0, x?Q.
Назовем неотрицательную функцию
Кw\\x = V{w, w)x = {ии + vvy* > 0, Vw € Ср (Q), (8.3)
локальной нормой тензора w. Докажем неравенство
\(w, w')x\^lw\\x\\w'\\x, Vw, w'€6p(Q).	(8.4)
Пусть X~pei<p, где р — вещественная постоянная, ip = aTg(w, w')x.
Тогда
(w, w')x = \(w, w')x\e^, (w\w)x = {w, w')x = \{w, w')x\e~^,
|| w + hw' |U = («; + hwr) («М- Ш') =
Это неравенство выполняется для любого вещественного р. От-
Отсюда немедленно следует неравенство (8.4).
Теперь докажем неравенство треугольника
Vw, w'€Cp{Q).	(8.5)
В самом деле, в силу (8.4) имеем неравенство
y w')x-\-{w't w
которое, очевидно, равносильно неравенству (8.5).
Таким образом, модуль Ср (Q) в каждой точке области Q
обладает свойствами гильбертова пространства. Поэтому его бу-
будем называть локальным гильбертовым пространством.
Будем говорить, что тензоры w, w' ?&p(Q) ортогональны
в точке х, если
{W, w')x^ww' = 0.	(8.6)

§ 8]	ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ	85
Для ортогональных тензоров имеет место теорема Пифагора
Цда + ю'КНтоК + Цю'К; х?&, Vw, w'?CP(Q). (8.7)
Если тензор w^€p(Q), то все его изомеры также принадлежат
Cp(Q). Обозначая изомеры тензора w через Р (w)> из определе-
определения скалярного произведения получаем, что
{w,w')x=(P(w),P{w'))x; x?Q, Vw, wf^Cp(Q). (8.8)
Здесь имеются в виду изомеры одного и того же типа обоих
тензоров w, w'. Из (8.8) следует, что для любого изомера Р (w)
тензора w имеем
\\w\\x = \\P(w)l, *€Q, Vw^C,.	(8.9)
Определим теперь косинус угла между вещественными тензо-
тензорами w и w' формулой
l^	w'?Cp(Q). (8.10)
В силу неравенства (8.4) очевидно, что
|cosg>|<1.	(8.11)
Из формул (8.8) и (8.9) следует, что при однотипных изомери-
ческих преобразованиях вещественных тензоров углы между
ними сохраняются. Иными словами, однотипные изомерические
преобразования всякого вещественного тензорного поля являются
конформными в каждой точке области.
3. Линейно независимые системы тензоров. Модуль 931^,@)
конечномерен. Его размерность равна пр. В самом деле, 9,Н^(Ф)
принадлежит всякий тензор ранга р, имеющий пр компонент из
Щ (Q), которые можно задать произвольно относительно одной из
систем координат. Отсюда следует, что dim ^p = np.
Будем говорить, что последовательность постоянных сг,
с.-,, ..., ck нетривиальна, если по крайней мере одна из них
отлична от нуля. Если для любой нетривиальной] , последо-
последовательности постоянных сх, .. ., ck тензоры Аг, ..., Ак модуля
ШГДЙ) удовлетворяют условию
с1А1(х)+...ГскЛ1г(х)ф0, x^Q,	(8.12)
то будем говорить, что система тензоров Л1У ..., Ак линейно
независима в точке х. В противном случае она линейно зависима
в этой точке.
Если система тензоров Аг, ..., Ah модуля %Яр (О) линейно
независима в каждой точке области Q, то будем говорить, что
она линейно независима в Q.

86	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
Если Аг, . . ., Ak?Cp(Q), то для линейной независимости си-
системы тензоров Лг, ..., Ак необходимо, чтобы k^n?.
Рассмотрим матрицу
A!j = Ai/(x) = (Ai, Aj)x% i, /€[1, fe].	(8-13)
Так как (Ah Aj)x = (Aj, Д)л., то Atj = Ajh т. е. Л/;-—эрмитова
матрица. Нетрудно доказать, что система тензоров Ах, ..., Ак,
k^Znf>, принадлежгщих модулю Ср(й), линейно независима
в точке х только в том случае, когда
det(Aif(x))^0, x?Q.	(8.14)
Если это условие выполняется во всей области Q, то система
тензоров Аг, . . ., Ак линейно независима в Q.
Если один из тензоров Д- обращается в нуль в точке х, то
система тензоров Аг, ..., Ак, k^n?, линейно зависима в этой
точке. В самом деле, тогда условие (8.14) не выполняется, ибо
одна из строк det(^/y-) обращается в нуль.
4. Ортонормальные и биортонормальные системы тензоров.
Будем говорить, что система тензоров А1У .. ., Ак ортонормальна
в точке х, если
(An Af)x = 8ij, i,je[\, k].	(8.15)
Система тензоров Alt . .., Ak ортонормальна в области, если
она ортонормальна в каждой точке области.
Ортонормальная система тензоров, очевидно, линейно незави-
независима (в точке, в области), ибо det (Ai}) — det (б,у) = 1. Отсюда
следует, что если система тензоров А1У . .., Akпространства Ьр (Q)
ортонормальна, то необходимо k^n^.
Любую линейно независимую систему тензоров Alf ..., Ак
(k^nP) модуля €p(Q) можно орпронормировать, применяя метод
ортогонализации Шмидта. Положив
B, = jfe. *6O,	(8.16)
где
t-i
Bi = Alt B't = Ai-2 (Ah B;)Bf, f€[2, k],	(8.17)
мы будем иметь ортонормальную систему тензоров Blf ..., Вк
модуля Cp(Q)t (Bh Bj) = 6if.
Очевидно, в каждой фиксированной точке х области Q
Bt = ctlA± + . .. + cuAi, си Ф 0, си = const.	(8.18)
Две системы тензоров Alt .. ., Ак и А1, . . ., Ak модуля €p(Q)
называются биортонормальными, если выполняются условия
(At, А!)Х = Ц, it /6[1, k].	(8.19)

§ 8]	ЛОКАЛЬНО ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ ТЕНЗОРОВ	87
Нетрудно доказать, что биортонормальные системы тензоров
линейно независимы (каждая в отдельности). В самом деле, если
допустим, что
схАг + .. . + скАк = О,
то, умножая обе части этого равенства скалярно на А}\ в силу
(8.19) будем иметь су- = 0, /€[1, k], что и доказывает наше пред-
предложение.
Теперь докажем, что для всякой линейно независимой системы
тензоров существует биортонормальная система.
Пусть Alt ..., Ak—линейно независимая система тензоров
модуля Ср (Q) в области Q. Пусть A{j (x) = (Ah Aj)x. Тогда
det (Aif (х))ФО в Q и, следовательно, существует единственная
матрица А'}', удовлетворяющая равенствам
AimA-^b\, i, /e[l, kl	(8.20)
Докажем, что Л'7—эрмитова матрица: Alj = Aji. Переходя в (8.20)
к сопряженному равенству и учитывая, что Aim — Ami, будем
иметь
i4m,>'' = 6{, i, /€[1,Ч-	(8-21)
Умножая обе части этого равенства на А'1 и суммируя относи-
относительно i, в силу (8.20) получим
А*1 = AmlAifAm> - Ь1пАт> = ~AV>,
что и требовалось доказать. Теперь ясно, что равенства (8.20),
равносильные (8.21), можно записать в виде
AmiAim = b{, i, /€[1,Ч.	(8-22)
Осюда имеем
det (Au) det {Арч) = \.	(8.23)
В этом равенстве, очевидно, фигурируют детерминанты порядка k.
Таким образом А[}- и Ai}' — взаимно обратные эрмитовы матрицы.
Рассмотрим теперь систему тензоров
Д'-Л'-Ля, i€[l,4,	(8-24)
или, обращая эти равенства,
A{ = AluA\ t€[l,4.	(8-25)
Если теперь воспользоваться формулой (8.24), то напишем
{А\ А,) = А'»{Ат, Aj) = AimAmj.
Следовательно, в силу (8.22) имеем
6{, i, /ell. k]t	(8.26)

88	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	{ГЛ. III
т.е. системы тензоров Ах, ..., Ak и А1, ..., Ак биортонор-
мальны.
Таким образом, для всякой линейно независимой системы тен-
тензоров Alt ..., Alk модуля CP(Q), k^nP, существует биортонор-
мальная система А1, ..., Ak.
5. Базисы. Разложение тензора относительно базиса. Так как
&\тСр = пр, то ясно, что любую линейно независимую в об-
области Q систему тензоров Аг, ..., АпР модуля &р(О) можно
взять в качестве базиса этого пространства. Тогда существует
биортонормальная система тензоров А1, ..., АпР, которая также
является базисом модуля fcp(Q). Как увидим ниже, весьма удобно
эти два базиса рассматривать одновременно. Поэтому условимся,
что если Аг, ..., АпР — базис модуля tp(Q), то А1, ..., АпР
будет всегда обозначать биортонормальный базис. Заметим так-
также, что если Av ..., АпР—ортонормальный базис модуля Cp(Q),
то А1 = Ац i€[l, пр].
Теперь выведем формулы разложения тензора относительно
базиса пространства. Пусть Ах, ..., Апр и А1, ..., АпР—биор-
тонормальные базисы модуля ^(Q).
Если w€.Шр(п), то имеем разложение
w(x)^w'{x)Ai(x), x?Q,	(8.27)
где wl — элементы из модуля Ш^(Й), которые называются коэф-
коэффициентами разложения тензора w относительно базиса Ах, ...
. .., Апр, глухой индекс i пробегает значения 1, 2, . . ., пр.
Если умножим обе части равенства (8.27) скалярно на тен-
тензоры AJ, то в силу формулы (8.26) получим
w/(x) = {w, А*)х, /€[1, пр].	(8.28)
Следовательно, формула (8.27) имеет вид
w(x) = (w, А%А;(х),х€п, i€[l, nr].	(8.29)
Аналогично получим разложение
w(x) = wi(x)Ai(x), x?Q, i?[\, пр],	(8.30)
где
wi(x) = (wt A')x, i6[l, пр].	(8.31)
Следовательно,
w(x) = (w, А;)хА((х), x?Q.	(8.32)
Внося в (8.28) и (8.31) соответственно выражения (8.30) и (8.27),

§9]	МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ	?9
получим формулы
wt(x) = wt(x)Al'(x), /€[1, пр],	(8.33)
wJ(x) = w!(x)Au(x), /€[l; я'],	(8.34)
связывающие между собой коэффициенты разложений тензора
W € Шр {&) относительно биортонормальных базисов. Назовем до,-
ковариантными, а до' — контравариантными компонентами тензора
w относительно базиса А1У ..., АпР.
Если ze>, zu'— два произвольных тензора соответственно из
модулей ^(Q) и tp(Q), то локальное скалярное произведение
выражается формулой (доказать!)
(w, w')x-=wi{x)wi{x).	(8.35)
Если Ay, ..., АпР—ортонормальный базис модуля fcp(Q), то
будем иметь формулы
%(Q),	(8.36)
(w,
§ 9. Мультипликативные тензоры.
Построение базисов модуля Cp(Q)
1. Мультипликативные тензоры и их основные свойства.
Обозначим прямое произведение тензоров alf ..., ак с компо-
компонентами из С (Q) через
Тензоры такого вида мы будем называть мультипликативными.
Тензоры at, ..., ak являются сомножителями мультипликатив-
мультипликативного тензора а. Компоненты (например, ковариантные) мульти-
мультипликативного тензора равны произведению компонент его сомно-
сомножителей с соблюдением порядка их следования. Например, если
аг, ..., ak—тензоры из СХ(Й), то будем иметь
Заметим, что прямое произведение тензоров обладает свой-
свойством ассоциативности. Например, если 1 < i < k, то имеем
Если alt ..., ам — тензоры из модулей CPl (Q), . ..,CPft(Q)
соответственно, то мультипликативный тензор вида (9.1), который

90	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
очевидно, принадлежит модулю CPl + ...+p (Q), будем называть
тензором класса CPli ..., Pft(Q).
Переставляя сомножители мультипликативного тензора w,
получим некоторые его изомеры Р (w). Вообще говоря, Р (та>) Ф w.
Нетрудно также видеть, что мультипликативные тензоры
класса CPl	pk(Q) представляют k-линейные формы. Если ф и
¦ф — произвольные скаляры, а\ и а[—тензоры ранга ph то
аг .. .(^«
(9.4)
Приведем еще некоторые другие свойства мультипликативных
тензоров, доказательства которых можно осуществить без особого
труда.
Мультипликативные тензоры не составляют линейного мно-
многообразия, но обладают рядом важных свойств, благодаря кото-
которым они очень полезны для построения базисов пространства
Cp(Q). Если a(zCPl	pk№) и ф —скаляр из C0(Q) то, оче-
очевидно, фа6(бР1, ...-, р (Q). При этом произведение ц>а означает
умножение одного (любого) из сомножителей тензора а на ска-
скаляр ф.
Сомножители at и а, мультипликативного тензора будем
называть подобными, если ai — ^ttj, где ф—скаляр. При пере-
перестановке местами подобных сомножителей мультипликативный
тензор, очевидно, не изменяется.
Если a = al . ..®aft и b = b1 . ..®&fc—мультипликативные
тензоры класса CPi	рк{Щ, т0 их внутреннее и локальное
скалярное произведения выражаются соответственно формулами
aft = («Л) ••• {aj>k\	(9.5)
(a, b)x = (alt bx)x ... (ak, Ьк)х, x^Q.	(9.6)
Таким образом, внутреннее (соответственно локальное ска-
скалярное) произведение мультипликативных тензоров а и b класса
CPl	рк(&) равно произведению внутренних (соответственно
локальных скалярных) произведений соответствующих сомно-
сомножителей.
Отсюда следует, что два мультипликативных тензора класса
CPli	pk№) ортогональны тогда и только тогда, когда по край-
крайней мере одна пара соответствующих сомножителей ортогональна.
Кроме того, мультипликативный тензор изотропен, если изо-
изотропен один из его сомножителей.

§ 9]	МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ	9]
Если w^^lp(Q), w' ?€p(Q), а Л и А' — произвольные тен-
тензоры с компонентами соответственно из С (Q) и 9,H(Q), то внут-
внутренние р-произведения и ^-локальные скалярные произведения
мультипликативных тензоров A(^)W и w'® А' выражаются
соответственно формулами
(А ® w) ® (wr (X) А') = (wwf) А® А1,	(9.7а)
(A®w, w'®Afy?) = (w, w')A®A'.	(9.76)
В частности,
Aft	(9.8a)
Al_	(9.86)
(w, w'(^)A'yp) = (w, w')A',	(9.8в)
{A®w, w'yp^iw, w')A.	(9.8r)
2. Построение базисов модуля. Теперь, используя свойства
мультипликативных тензоров, укажем способы построения ба-
базисов модулей <Cp(Q) тензоров любого ранга р через базисы
пространств меньших размерностей.
Докажем, что если Аи ..., АпР и Ви ..., Bnq—базисы мо-
модулей Cp(Q) и Cq(Q), то мультипликативные тензоры
Cm = Al®Bk, ie[\,n?], fe€[l, я«],	(9.9)
составляют базис модуля Cp+q(Q). Здесь т — номер последова-
последовательностей пар i, k, когда i и k принимают соответственно зна-
значения 1, ..., пР\ 1, ..., ni. Следовательно, т принимает зна-
значения 1, ..., п.р+ч. Рассматривая систему тензоров
Cm = Al'®Bk, ie[\, пр], k?[\, Ш], /п6[1, пр+ч], (9.10)
где А1 и Bk—биортонормальные соответственно относительно А1
и Bk базисы модулей Cp(Q) и C^(Q), в силу формулы (9.6) бу-
будем иметь
(Сш, O) = {Ait A>)(Bk, В') = 6№ = Уп,	(9.11)
где т и /—номера числовых последовательностей i, к и s, r
соответственно. Следовательно, системы тензоров С,- и Ск биор-
тонормальны. Отсюда следует, что они являются базисами модуля
Ср+д(й), что и требовалось доказать.
Это предложение допускает следующее очевидное обобщение:
Если Ait, Ali, .... Ac , Ak—биортонормальные базисы соот-
соответственно модулей tPl(Q)t ..., CPk(Q), где индексы ilt ..., ik
принимают соответственно значения ix 6 [1, «Pl], ..., iA 6 [1» nPk],
то системы мультипликативных тензоров
A't = Atl ...®Atk, А'* = А'* ...®А\	(9.12)

92	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. II]
где t = №(/1, ..., ik), будут биортонормальными базисами мо-
модуля Cpi+ ...+pft (Q).
Пусть alf ..., ап и а1, ..., а" —биортонормальные базисы
модуля Сх@1). Тогда системы р- векторов
A{ = aix . . .0at , А* = Ф . . .®а1р	(9.13)
представляют биортонормальные базисы модуля C^(fi). Индексы
ilt ..., ip пробегают значения 1, 2, ..., п, a i обозначает но-
номер элемента множества числовых последовательностей ilf ..., ip,
число элементов которого равно пр. Следовательно, i пробегает
значения 1, .. ., пр.
Если alt ..., ар — ортогональный базис пространства C,(Q),
то, очевидно, система /?-векторов (9.13) представляет ортогональ-
ортогональный базис пространства Ьр{0).
В заключение этого пункта заметим, что нумерацию элемен-
элементов множества числовых последовательностей ilt ..., i^ можно
осуществить, например, при помощи формулы: если i — № (/х, ...
..., ip), то
t = t1 + /i(i1-l)+... +/1*-1(*,-1)=1 + 2! л* (**-!)• (9.14)
k = 1
3. Базисы тензоров в трехмерном евклидовом пространстве.
Выше уже имели дело с базисными векторами R{ и Rk коорди-
координатной системы трехмерного евклидова пространства, которые
представляют вектор-функции. С их помощью теперь можно
построить' базисы для представления тензоров произвольного
ранга трехмерного евклидова пространства.
Рассмотрим мультипликативные тензоры
eh ... i =Rk®Rh ...®Rt ,	(9.15)
р	р
с ковариантными компонентами
gtiUeitU -¦• eipip-	(9.16)
Следовательно, е^ ...i представляет тензор 2/7-го ранга из R2p(Q).
Пусть UCi ••• {р—контравариантные компоненты тензора р-го
ранга V из Шр(п). Тогда докажем, что тензор U представ-
представляется в виде
U=Uil ¦¦¦ 1ре^ ... у	(9.17)
В самом деле, (9.17) фактически является тождеством, ибо в
правой части этого равенства фигурирует тензор, ковариантные
компоненты которого равны
что и доказывает наше утверждение.

§ 91	МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ТЕНЗОРЫ	93
Формула (9.17) сохраняет силу при любых вертикальных
перемещениях глухих индексов. Например, формулу (9.17) мож-
можно записать в виде
U=Ult ...ipeil ¦•¦'?,	(9.18)
где
ett ... ip== Rh ... @/?'>.	(9.19)
Если рассмотрим какой-нибудь изомер Р (О) тензора. U, то
для его представления можно использовать формулу
P(U) = W* ¦¦¦ipP(eil ... ip).	(9.20)
В самом деле, если P(U) = U^ ¦•• h—изомер тензора U1* ¦¦¦ 1р\
то каждый индекс jk равен некоторому индексу im. При помощи
формулы (9.17) напишем
P(V) = W* -heh...ig.	(9.20a)
Но, очевидно, что еи ... / представляет изомер тензора е1х ... ip,
причем е-и ... jp — Pie^ ... iP). Следовательно, формулу (9.20а)
можно записать в виде (9.20), что и требовалось доказать.
Формулы (9.17) и (9.19), очевидно, представляют обобщение
формул (II, 2.4) для векторных полей на случай произвольного
тензора модуля ^^(Q) в случае трехмерного евклидова про-
пространства.
4. Обобщение формулы (9.17) на случай риманова простран-
пространства. Теперь мы введем в рассмотрение тензоры, которые можно
использовать как базисы модуля Шр{О) в случае произвольного
риманова пространства п измерений.
Пусть а1( ..., ап и а1, ..., а" — биортонормальные базисы
модуля Сх(й). Обозначим через
^ i€[\,n],	(9.21а)
тензор с ковариантными компонентами
е„ = ак,ркъ k?[\, л].	(9.22)
Если w—тензор модуля ^(fi), то имеем
wiei^a^k-iwi = (w, ak)ak,	(9.23)
где w1'—контравариантные компоненты тензора w. Но правая
часть этого равенства, очевидно, инвариантна и выражает тензор
модуля ^(Q). Если теперь обратимся к формуле (8.29), то
увидим, что правая часть равенства (9.23) равна тензору w.
Следовательно, имеем формулу
w = wl'eit	(9.24а)

94	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
выражающую любой тензор модуля Шг (Q) посредством тензоров
eh i?[l, n\. В этой формуле можно передвигать глухие индексы
вверх и вниз по соответствующим вертикалям. Тогда получим
эквивалентную формулу
w = wiei,	(9.246)
где W; — ковариантные компоненты тензора w,
е[^пфк-1.	(9.216)
Тензоры et и е' являются аналогами базисных векторов /?z- и
Я' евклидова пространства.
Теперь докажем, что тензор е{ совпадает с метрическим
тензором риманова пространства,
В силу равенств (9.24а) и (9.23) имеем
w^akak'jw;.	(9.25)
Отсюда следует, что
wl = ak>{ak-jw^ t€[l, n].	(9.26)
Так как эта формула справедлива для любого тензора w, то,
очевидно, имеем
?H^>V	(9-27)
Эта формула непосредственно следует также из равенств (9.21а).
Таким образом, смешанные компоненты тензора е, равны
смешанным компонентам метрического тензора пространства.
Следовательно, эквивалентные тензоры et и е1 представляют
метрический тензор рассматриваемого риманова многообразия.
В силу этого для внутреннего произведения тензоров е( и eJ
имеем формулу
e^ = gfgi = gi	(9.28а)
Опуская и поднимая индексы, из (9.27) и (9.28а) получим еще
две эквивалентные формулы
eteJ = gij = aktp*4,	(9.286)
е l& = gij = ak>Я1- >.	(9.28в)
Формулы (9.28) отчетливо показывают, что тензоры е( и е1'
обобщают на случай риманова многообразия базисные векторы Я(
и Я' евклидова пространства.
Из формул (9.28) следует, что метрический тензор риманова
пространства выражается формулой
E = ak0ak = ak@ak.	(9.29)

§ 10]	ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА	95
Следует подчеркнуть, что для любого базиса alf ..., ап мо-
модуля Ct (Q) эта формула дает один и тот же метрический тензор
риманова многообразия.
Теперь обобщим формулы (9.24) на модули -Ш^й) любого
порядка р риманова пространства произвольной размерности.
Введем в рассмотрение мультипликативные тензоры
¦eit ...tp = eil...®eip=:{aki ¦••®akp)~akl-ti...'akP'.p. (9.30a)
Ковариантные компоненты этого тензора равны
Shhehi» ¦ ¦ ¦ Si^р-
Теперь нетрудно обнаружить, что для любого тензора w из
чЖр(О) имеем представление
w = wh ... iPeti __ (рш	(9.31а)
Перемещая здесь по соответствующим вертикалям глухие индексы,
получим эквивалентные формулы. Например,
w = w(l ... tpe^ ¦• *>.	(9.316)
Если Р (w) — некоторый изомер тензора w, то имеем формулу
P(w) = w^ •¦¦ {гР(е{1 ... ip).	(9.31в)
Пользуясь обозначениями (9.13), равенства (9.30а) можно запи-
записать еще в виде
etl ... iP = etl ... ®etp = AbA*'tl ... tp.	(9.306)
Отсюда видно, что ковариантные компоненты тензора е^ ... ip
выражаются формулой
ее, ... ipjl ... ip = gil}l . •. gtpip= 5 Ak, и ... ipA 'h ... ip. (9.30b)
k = i
Поднимая здесь произвольно индексы, получим эквивалентные
формулы.
В заключение этого пункта выпишем следующие полезные
формулы, выражающие внутренние произведения тензоров е^ ...tp
и eii • ¦ • ?р:
eit...ipei>---ip = giyg>?.	(9.32)
§ 10. Тензорные модули четного порядка
1. Умножение тензоров из модуля четного порядка. Кольцо
с единицей C2p(Q). Для модулей четного порядка С2р (Q) можно
определить вторую* бинарную операцию—умножение, которая
превращает их в кольца с единицей.

96	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	ГГЛ. 111
Если до и до' €C2p(Q), то определим умножение дофдо' как
внутреннее р-произведение до® до'. Следовательно,
(«f®w'hi ...tpu ... ip = wtl ... ipkx ...kpw'^ ••• kPh ... Jp. A0.1)
Таким образом, если до, до' €<6a/,(Q), то дофдо' €CV(Q). Не-
Нетрудно теперь убедиться, что если до, до', до ^62/7(Q), то вы-
выполняются равенства
доф(до' ф до) = (дофдо')ф до,	A0.2)
(до+до')фдо = дофдо + до'фдо,	A0.3а)
доф(до'+ДО) = ДО(Щ)ДО'+дофДО.	A0.36)
Эти формулы показывают, что C2/,(Q) является кольцом. Ниже
мы докажем, что кольцо 6tp(Q) имеет единицу. Пусть Лх, ...
..., АпР — некоторый базис модуля Cp(Q).
Докажем, что тензор ранга 2р
Е^АьИ&А*, /г?[1, пр],	A0.4)
является единицей кольца С2/,(Я).
Компоненты типа (р, р) этого тензора, очевидно, имеют вид
Eh ...//1---^ = ^*.л...й*''*"-^.	(Ю-5)
Пусть до—тензор модуля С^(Й). Согласно формуле (8.29)
его можно представить в виде
до = (до, Ak)Ak = AkAk- 'i ••¦ hwh ... (>.	A0.6)
Отсюда следует, что ковариантные компоненты тензора удовлет-
удовлетворяют равенствам
Щг ...lp= Ak, L... /И"' fl • ¦ • l™>h ...ip'	С10)
Так как это равенство имеет место для любого тензора до, то
из него, если учесть A0.5), получим
?/, ...iPi---iP=Ak,il...ip~Ak'^--iP = g)[--g^ A0.8а)
Опуская и поднимая индексы в равенствах A0.8а), получим
еще две эквивалентные формулы:
Ей .. • iPh ¦.. iP=Ak. h... }pA*. <i ••• 'p^gjA ... gipip, (Ю.86)
Eh ¦ ¦ ¦ iph ¦ ¦ ¦ iP = Ak, •'! • • ¦ ipAk< fi • • • tp = g.Uti • ¦ ¦ gipip. A0.8b)
(p)
Докажем теперь, что Е—единица кольца C2JB(Q). Для этого надо
обнаружить, что если w (tsJR2p(Q), то выполняются равенства
(р) (р)
доф? = ?®до = до.	A0.9)

§ 10]	ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА	97
В самом деле, в силу A0.1) и A0.8а) имеем
(р)	k
{w®E)tl	... ipit ... ip= wtl ... ipkl ... kpgfc...gg = wit ... iph ... tp,
(p)	k
(?©«;),-,	... ipu ... iP = gkil---gippWkl ...kpn ... ip = wit ... {ph ... fp.
Эти равенства, очевидно, доказывают формулу A0.9).
Таким образом, для любого базиса Alt ..., Апр модуля
С (О) формула A0.4) выражает единицу кольца 6zp(Q). Теперь
(р)
докажем, что тензор Е можно представить в виде
E=ekx...kp®e^---kPt	(ШЛО)
где eix...ip и е^--лР—мультипликативные тензоры, которые вы-
выражаются по формулам (9.306) при помощи произвольного ба-
базиса Аг, ..., Апр модуля tp(Q).
Сумма eix.. .ip^)eii- • лр, очевидно, инвариантна относительно
преобразования координат и, следовательно, она изображает
тензор ранга 2р. Теперь остается доказать, что этот тензор
(р)
равен Е.
Как было доказано выше в § 9, п. 4, ковариантные и конт-
равариантные компоненты мультипликативных тензоров вк^.Лр
и eki---kp соответственно равны
Следовательно, компоненты инвариантной суммы вкг.. .kp®eki" лР
выражаются в виде
gk.tr- •toptpg**'*-- •g*rlr = gl\- ¦ -dp\
а это на основании A0.8а) доказывает справедливость равен-
равенства A0.10).
2. Алгебра C2/,(Q). Теперь мы докажем, что кольцо С2р{п)
является банаховой алгеброй. Надо доказать, что для любых
двух тензоров w и w' модуля <C2p(Q) выполняется неравенство
w®w'|*<l«;L||o;'|l*» X€Q-	A0.11)
Мы докажем более общее неравенство, из которого A0.11) по-
получается как частный случай.
Пусть А и В — тензоры пространств Cp+r(Q) и Cq+r(u) соот-
соответственно. Рассмотрим их г-произведение
c /i# j =Aix...i kt...krB Th...ir A0.12)
4 И. Н. Векуа

98	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ш
Докажем, что выполняется неравенство
М®#|1*<|ЛЦД|1*. x?Q.	A0.13)
В левой и в правой частях этого неравенства фигурируют ин-
инвариантные выражения. Поэтому достаточно доказать, что оно
имеет место в каждой точке многообразия относительно локально
декартовой системы координат.
Пусть х—фиксированная точка многообразия. Рассмотрим
локально декартову систему координат, относительно которой
выполняются условия
(&/), = 8,у	(Ю-13а)
Тогда (g'J)x — &'J' и, следовательно, компоненты всех типов лю-
любого тензора в точке х одинаковы. Поэтому формула A0.12)
в точке х принимает вид
где i = №A\, ..., ip), / = № (h, ..., jq). Следовательно, i ? [ 1, n?],
/6[1,«9]. В силу этого имеем
i!i4®^E-S SIS Ai*B*A%-	<10-14)
Применяя неравенство Коши —Буняковского (см. гл. II, § 3, п. 4),
напишем
IS ^Ayla<SI^I2SIB^l2-
В силу этого неравенства из A0.14) получаем
M®*E<S SIGH'S Slfl*/Ia- <10-15)
/= i k=
Но относительно локально декартовой системы координат для
любого тензора A&Cp+r(Q) имеем
_	пР пг
II А II2 — А ¦ 1 h ь Afi * ¦ • 1р ki • • •kr = V V I A ¦«. I2
1=1k=\
В силу этого неравенство A0.15) можем записать в виде
\\АтВ\\К\\А\\1\В
х
Отсюда немедленно следует неравенство A0.13). Следовательно,
имеет место и неравенство A0.11). Таким образом, установлено,
что С8/>(й) является алгеброй.

§ ю]	Тензорные модули четного порядка
2р
значим
3. Мультипликативная группа М2р. Пусть w^C2p(^). Обо-
ОбоA0.16)
где i = № (ilt ..., ip), k = № (klt . . ., kp). Очевидно, i,k€[l,nP].
Докажем, что детерминант порядка пр
det (wkt) = d (то)	A0.17)
является скаляром.
В самом деле, при замене одних координат другими имеем
zsj^ — Wi^. jpk*- • -kp~Wir. .г*1'' kpD.11... D.1pD k'. .. D kr . A0.18)
Эту формулу можем записать в виде
ay{ = ffl>J;D{'Dg,,	A0.18а)
где
Dir = D1'1.. .D.1'p, D\, = Dkf... Dp.	A0.186)
Следовательно, i, V и k, k' пробегают значения 1, ..., np.
Применяя теперь правило умножения детерминантов, напишем
det (ш*) = det (да*') det (Dj') det (Dt).	A0.19)
Но, очевидно,
i' k	ti kt	lp kp kt- - • kp k-
Отсюда следует, что
det ф\,) det (Df') = det ф\Щ) = det б? = 1.
Поэтому формула A0.19) принимает вид
d (то) = det (и^)-= det {w\',)y	A0.19a)
что и требовалось доказать.
Таким образом, d(w) служит инвариантной характеристи-
характеристикой тензора w алгебры Cip(Q).
Докажем теперь формулу
l(wf), то, w'?fcip(Q). A0.20)
В самом деле,
W ф w' = wfl... ipki ¦ ¦ ¦ kfw'kl ...kpix---ip = wfak1.
Отсюда при помощи правила умножения детерминантов немед-
немедленно получаем формулу A0.20).

100
ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. Ill
Пусть d(w)^0. Докажем, что тогда существует обратный
тензор «;~16C2/?(Q), удовлетворяющий условию
Рассмотрим систему уравнений
которую можем записать в виде
(р)
w — E.	A0.21)
-'r = dl---gfc.	A0.22a)
A0.226)
где i = Ns(ilt ..., ip), / = №(/i, .... }р), а глухой индекс к
принимает значения 1, ..., пр. Так как det (w'[) = d(w)=?0t то
система уравнений A0.226) имеет единственное решение wy\
Докажем, что w'J является тензором ранга 2р. В этом убедимся,
если заметим, что при замене одних координат другими система
уравнений A0.226) переходит в новую систему вида
Ф$' = ?{',	A0.23)
где
wit ^тфЩ'.	A0.24)
Но в силу A0.19) det (w\',) = d (w) ф 0 и система уравнений
A0.23) также имеет единственное решение и таковым, очевидно,
является выражение A0.24). Но равенство A0.24) можно запи-
записать в виде A0.18). Это показывает, что решение w\y, ..kp}l- ¦ -jP
системы уравнений A0.22а) является тензором типа (р, р).
Равенство A0.22а) теперь можно записать в виде
(р)
^° E
Умножив (в смысле алгебры €2р) это равенство справа на w,
в силу A0.2) и A0.9) напишем
(р)	(р)
(w <ф w°) (ф w = w	^	^
Отсюда имеем
(р)
w
Так как й(уи)фО, то из последнего равенства
(р)
Таким образом, тензор w° удовлетворяет условиям A0.21). Сле-
Следовательно, если d (w) Ф 0, то тензор w имеет обратный w1 = w°,
что и требовалось доказать.

§ 10]	ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА	101
Назовем тензор w € @3р (^) неособенным в точке х, если
d(w)=?0 в этой точке. Если же это условие выполняется во
всей области Q, то тензор называется неособенным в области Q.
Если d(w)=^0, то из A0.21) следует, что
d{w)d(w-1)=\.	A0.25)
Пусть Мгр—множество неособенных тензоров алгебры бгр(О).
Для них выполняется условие
0.	A0.26)
Если w и w'€M2p, то w ф w' 6 М2р, ибо в силу формулы
A0.20)
w') = d (w) d (wf) Ф 0.
Теперь нетрудно убедиться, что М2р является мультипликатив-
мультипликативной группой. Ее единицей, очевидно, является тензор Е.
Любой элемент группы Мар можно использовать для пред-
представления тензоров модуля Шр(&) /г-мерного риманова прост-
пространства.
Пусть Х?М2р. Тогда для любого тензора w из ^p(Q) можно
написать формулу
где
р
w = wX~l^w(^)X~1,	A0.276)
или
-,	р —
A0.27в)
где
w = X~l^w — X~1w.	A0.27г)
Вообще, произведения вида Xw или wX, где X^€2p(Q), a
1И)?Шр(&), осуществляют отображения Шр(&)—> SJL(Q). Следо-
Следовательно, они являются эндоморфизмами модуля 50^(^2). Если
^6^2я» то эти отображения являются автоморфизмами.
4. Собственные значения тензора ранга 2р. Теперь поставим
следующую задачу:
Пусть А—некоторый тензор алгебры C2p(Q). Найти все тен-
тензоры w модуля €>P(Q), которые удовлетворяют уравнению вида
Aw—'kw,	A0.28)
где "к—скаляр.

102	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
Задача A0.28) всегда имеет тривиальное решение -ге> = 0.
В дальнейшем, говоря о решении задачи A0.28), мы будем иметь
в виду только нетривиальные решения w=?^0. Наша цель —
изучить условия существования нетривиальных решений задачи
A0.28) и указать способы их построения.
Пусть для некоторого скаляра X задача A0.28) имеет реше-
решение xejgC^Q). Тогда X называется собственным значением тен-
тензора Л, a w — собственным тензором, соответствующим или при-
принадлежащим собственному значению X.
Если w—решение задачи A0.28) для некоторого скаляра X,
то <pw, где ср — произвольный скаляр, также будет ее решением.
Всегда можно выбрать скаляр ср так, чтобы выполнялось условие
||<p«i||x=l, у* (Ей.
Для этого достаточно положить
Ф = (||»У.	(Ю.29)
Следовательно, решение уравнения A0.28) всегда можно норми-
нормировать условием
\\w\\x=\, х?п.	A0.29а)
В дальнейшем мы все время будем иметь в виду именно нор-
нормированные решения задачи A0.28).
Если для собственного значения X задача A0.28) имеет k
линейно независимых решений wx, ..., wk, то их линейная
комбинация q^ze/i + • • • + q>ftwft» где <р1т ..., ц>к—произвольные
скаляры, также будет решением. Эти решения можно ортонор-
мировать и, следовательно, считать, что выполнены условия
(да,, да,) = 6,у.	A0.30)
Пусть w — решение задачи A0.28) для некоторого собственного
значения X. Умножив *) обе части уравнения A0.28) на сопря-
сопряженный тензор w и имея в виду условие A0.29а), будем иметь
X = wAw = W** ¦ • 'tpAtt ...iPkx.. .kpwk* ¦¦¦kP.	A0.31)
Правая часть этого равенства, очевидно, инвариантна относи-
относительно преобразований координат. Следовательно, всякое соб-
собственное значение тензора A^C2p{Q), если таковое существует,
является скаляром.
*) Напомним, что под умножением подразумевается внутреннее р-произ-
ведение.

§ 10]	ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА	ЮЗ
(Р)	(Р)
Имея в виду, что ui = ?§oi = ?ai, уравнение A0.28) можем
записать в виде
(A—XE)w = 0.	A0.32)
Это равенство можно записать еще так:
(р)
{At1...ipk*---kP—kEt1...ipk*-'-kp)wkl...kp = O, A0.32а)
или
пР
2 (Л;*—X6{)wft = 0, i?[\,nr].	A0.326)
Отсюда следует, что последнее уравнение может иметь нетри-
нетривиальное решение лишь в том случае, когда выполняется усло-
условие
d(A — XE) = 0.	A0.33)
Как было доказано выше, это уравнение инвариантно относи-
относительно преобразования координат. Очевидно,
(р)
d(A — ХЕ) = det (A'i. — Хщ)
является детерминантом порядка пр. Поэтому, записав равен-
равенство A0.33) в развернутом виде, получим алгебраическое урав-
уравнение степени пр\
каР + а1ХпР-1+... + апР=0, .	A0.34)
где alt ..., апр — скаляры, причем
пр].	A0.35)
Если й(А)ф0, то уравнение A0.34) не имеет корней, равных
нулю. Иными словами, если тензор А?М2р, то все его собст-
собственные значения отличны от нуля. Если же d(A)~0, то урав-
уравнение A0.34) имеет по крайней мере один корень, равный нулю.
Но следует заметить, что так как тензор А тождественно не равен
нулю, то уравнение A0.34) всегда имеет и ненулевые корни,
т. е. тензор А всегда имеет ненулевые собственные значения.
Пусть d(A)^0 и пусть КХ, . . ., кпр-—корни уравнения A0.34).
Очевидно, все Хгф0. Среди них некоторые (или все) могут быть
кратными. Но, как обычно, всякий корень алгебраического
уравнения повторяется столько раз, какова его кратность.
Вообще говоря, корни уравнения A0.34) принимают комплекс-
комплексные значения. Если к — корень уравнения A0.34) кратности k,
kP, то однородная система уравнений A0.326). имеет к

104	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
линейно независимых решений wx, ..., wk. Можно доказать, что
они являются тензорами пространства Cp(Q). Это легко следует
из инвариантности уравнения A0.32) относительно преобразо-
преобразований координат. Так как "К — инвариант и корень кратности k
уравнения A0.34), то система уравнений A0.32) относительно
любой координатной системы имеет ровно k линейно независи-
независимых решений. Если wlt *,.. лр- • -wk, tt...tp—решения системы
A0.32а) относительно координат х'\ то относительно некоторых
новых координат х1' решениями преобразованной системы будут
тензоры
wt.ti..rp = wt,tt...tfit\.i...Dtfy t€[l, k]. A0.36)
Так как o>t\ i^.jp по условию линейно независимы, то из A0.36)
легко следует, что Wk,i[...i'	Wkti[..j' также линейно незави-
независимы. Следовательно, эти тензоры составляют k линейно неза-
независимых решений системы A0.32) относительно новой системы
координат.
Таким образом, установлено, что для всякого собственного
значения X кратности к однородное уравнение A0.32) имеет k
линейно независимых решений wlt ..., wk и все они являются
тензорами пространства Cp(Q). Эту систему решений, как уже
было сказано выше, можно считать ортонормальной.
Докажем теперь, что если X и Л/—-два различных собствен-
собственных значения задачи A0.28), то соответствующие им любые два
собственных тензора w и w' линейно независимы. В противном
случае мы имели бы w = (pwf, где ф — скаляр. Тогда будем
иметь
"kw — Aw = yAwf = q>X'w' — X'w.
Так как ге>=^0, то отсюда следует, что Х = Х\ а это противо-
противоречит допущению. Тем самым наше предложение доказано.
Таким образом, корни Xlt ..., ^уравнения A0.34) (и только
они) являются собственными значениями тензора А. Им соответ-
соответствуют пр собственных тензоров w11 ..., wnp, которые линейно
независимы и нормированы. Эта система тензоров, вообще го-
говоря, не ортогональна, но каждая ее подсистема, которая состоит
из|собственных тензоров какого-нибудь кратного собственного
значения, ортонормальна.
5. Приведение к главным осям тензора ранга 2р. Система
собственных тензоров wlt ..., wnp тензора А?С2р(п), очевид-
очевидно, составляет базис модуля Cy(Q). Тогда мультипликативные
тензоры вида
пр]	A0.37)

§ 10]	ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА	Ю5
составляют базис алгебры C2/?(Q). Поэтому всякий тензор А из
Ср (Q) можно представить в виде
A = Ai%wt®w*.	A0.38)
Внося это в уравнения
будем иметь
Aik(wi0wk)w/ = k/wJ> /€[1, пр\.	A0.39)
Но в силу формул (9.8) и (8.26) имеем
(Wi ® Wk) Wj = Wi (Wj, Wk) — Wfi).
Внося эти выражения в A0.39), получим
Отсюда в силу линейной независимости тензоров Wj будем иметь
А\) = Щ, i, /€[1, пг].
Следовательно, формула A0.38) принимает вид
пР	_
Л = 2 ^*w* ® w*-	A0.40)
Компоненты тензора А, очевидно, выражаются формулой
Эта важная формула четко выявляет структуру каждого тен-
тензора А алгебры С2/>(Й), выражая его через инвариантные ха-
характеристики— собственные значения Хк и принадлежащие им
собственные тензоры. Назовем эту формулу приведением тензора
ранга 2р к главным осям. Она имеет много применений в раз-
различных разделах алгебры, геометрии и механики.
Предположим теперь, что несколько собственных значений
тензора A?C2p(Q) равны нулю. Все собственные значения тен-
тензора не могут быть нулями, ибо тогда мы имели бы тривиаль-
тривиальный случай 4 = 0.
Из A0.35) видно, что
A0.42)
Отсюда следует, что некоторые собственные значения равны
нулю только в том случае, когда d(A) — 0. Пусть г — ранг ди-
дискриминанта d(A). Следовательно, г является скалярной харак-

106	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ill
теристикой тензора А. Тогда однородная система уравнений
A\k.wk = 0, t€[l,<|,	A0.43)
имеет г линейно независимых решений, составляющих ортонор-
мальную систему тензоров w^ ..., wr модуля tp(Q). Следова-
Следовательно, кратность собственного значения К = 0 равна рангу г
дискриминанта d(A). Мы можем считать, что
Кпр=..--Кр-г+1 = 0,	A0.44а)
Xk^=0, если k?[\,nP — r].	A0.446)
В этом случае формула A0.40) принимает вид
пР-г	_
А= 2 %kwk(g)Wk.	A0.45)
k=i
Собственные тензоры wk, k ? [1, пр—г], соответствующие нену-
ненулевым собственным значениям, очевидно, не составляют базиса
пространства Cp(Q). К ним следует добавить г тензоров Wi, ...
. . . , w'r, удовлетворяющих однородному уравнению Aw — 0,
чтобы иметь полный базис модуля Cp(Q). Следовательно, и в этом
случае полный набор собственных тензоров тензора А € ^ip (^)
составляет базис пространства Cp(Q).
Таким образом, всякий тензор А алгебры С2р (Q) можно ис-
истолковать как базис модуля С^ (Q) и алгебры С2р (Q) в том смыс-
смысле, что его собственные тензоры образуют базис модуля С^ (Q),
а их парные прямые произведения составляют базис алгебры
С2р(п). Теперь ясно, что рассматривая полный набор мульти-
мультипликативных тензоров вида
«л®»/,---®»/*, h, ...,ik€\UnP],	A0.46)
мы получим базис модуля €kp(Q).
До сих пор мы рассматривали общий случай произвольного
тензора А пространства C.2p(Q). Тогда собственные значения ^г-
и собственные тензоры wt принимают, вообще говоря, комплекс-
комплексные значения. Кроме того, система собственных тензоров, вообще
говоря, не ортогональна. Рассмотрим теперь один важный частный
случай, когда тензор А удовлетворяет условию
А^...^.. .kp='Akl...kpil...ip.	A0.47)
Тогда для любых двух тензоров «», wr ? C^ (Q) будем иметь
Jpki,, ,kpw*r---bp =
wkkpA. ..kPit. ..ipw'li- •¦ip

§ 10]	ТЕНЗОРНЫЕ МОДУЛИ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА	107
Таким образом, имеем равенство
w'Aw = wAw't	A0.48)
которое является следствием условия A0.47) и инвариантно от-
относительно преобразований координат. Отсюда следует, что
условие A0.47) выражает инвариантное свойство тензора алгебры
€2p(Q). Тензоры алгебры CajP(Q), которые этим свойством обла-
обладают, будем называть эрмитовыми. В случае вещественного тен-
тензора эрмитовость означает симметричность вида
Ак.. Jpkl.. tkp=Aki.. .kpi,.. лр.	A0.49)
Пусть А— эрмитов тензор алгебры <&2p{Q), Пусть к — его соб-
собственное значение и w — соответствующий собственный тензор.
Тогда, очевидно, имеем
Aw = Xwt Aw = Xw.	A0.50)
Если умножим первое уравнение на w, второе — на w, а за-
затем из одного вычтем другое, то в силу формул A0.29а) и A0.48)
будем иметь
т. е. Ь=Х.
Таким образом, собственные значения эрмитова тензора яв-
являются вещественными.
Пусть X и V—два различных собственных значения эрмитова
тензора A ^C2p(Q), awn w' — соответствующие собственные
тензоры. Тогда имеем уравнения
Aw='kw, Aw = Vw'.
Если умножим первое на w', второе — на т, а затем из одного
вычтем другое, то в силу A0.48) получим
(X-X')ww' =~w'Aw—w~Awr = 0.
Так как по условию ХфХ', то отсюда следует, что ww = 0, т. е.
w и w' ортогональны.
Таким образом, если А — эрмитов тензор алгебры C2/?(Q),to
его собственные значения Xlf ...,Xnp вещественны, а собствен-
собственные тензоры составляют ортонормированную систему. Тогда
wi = Wi и формула A0.40) принимает вид
пр
А= 2 kkwk(g)wk.	A0.51)

108	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
Для компонентов тензора А имеем формулу
Au...ipU.-.iP= S K^k,it...ipWk, /,.../,.	A0.51а)
k=i
Отсюда следует, что если А—вещественный эрмитов тензор, то
его собственные тензоры также будут вещественными. Следова-
Следовательно, для вещественного эрмитова тензора формула A0.51)
принимает вид
пР
А= 2 hwk®wk,	A0.52)
к— 1
а для его компонент имеет формулу
пР
§ 11. Приведение эрмитовых квадратичных форм
к каноническому виду
Укажем на одно применение полученных выше результатов.
Рассмотрим вопрос о приведении к каноническому виду
квадратичной формы
А(х\ ...,*»)= S J>,7*'Vf	A1.1)
где atj—эрмитова матрица
аи=Ъл.	A1.2)
Этот вопрос мы изучили в гл. I, § 5 для положительно опре-
определенных форм. Теперь можем рассмотреть общий случай.
Согласно формуле A0.51а) эрмитов тензор ai}- представляем
в виде
72^л,Л/ /[],	(П.З)
где Xk—собственные значения матрицы а^, ашА>/—компоненты
соответствующих Xk собственных векторов wk. Собственные зна-
значения %k—скаляры и принимают вещественные значения, a wh
составляют ортонормальную систему
(Wkt Wm) = wkt/wm>J = 6%, k,m€[l,n].	A1.4)
Отсюда следует, что
n].	A1.5)

§ 111 ЭРМИТОВЫ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ	109
Следовательно, det(wkt i)=?0. Рассмотрим линейное	преобразо-
линейное	преобразование перемен шх
п].	A1.6)
Оно невырожж иное, так как якобиан преобразования det (wkt {)[ф0.
Подставляя выражения A1.3) в A1.1), в силу A1.6) будем иметь
л (хк ...,*»)- S •¦ л,^Ч.у^' = 2 КЫи-
= 1	я=1
Таким образом, посредством невырожденного линейного преоб-
преобразования переменных х1, ...,хп любая эрмитова квадратичная
форма A1.1) приводится к каноническому виду
А(х\ ...,*») =2 htktk-	(Н.7)
А = I
Предположим, что дискриминант квадратичной формы
Л (х1, . ..,*") отличен от нуля, det(fl/7)~?O, i,/(Е[1,я_|.
Тогда в силу A0.42) все собственные значения ккф§. Пусть
р—число положительных, a q — n—р—число отрицательных
собственных значений. Можем считать, что Xk > 0, если k ? [1, р],
и ^а<0, если &?[р+1,л]. Введем новые переменные
к* если ^€[1,Н	(И8)
ЬЛЦ, если й
Равенство A1.7) примет вид
Л(х\ ...,^)=2|Л,|2- 2 |т|*|».	A1.9)
fel	/	1
Так как собственные значения %к тензора a{j — скаляры, то
число р, очевидно, не зависит от выбора координат. Следова-
Следовательно, оно является инвариантной характеристикой квадратич-
квадратичной формы А (х1, ..., хп). Если р = пу то будем иметь
Х\к\	A1.10)
к= 1
т. е. в этом (и только в этом) случае А(х1, ...,хп) — положи-
положительно определенная квадратичная форма. Необходимым и до-
достаточным условием для этого является выполнение неравенств
(см. гл. I, § 5, п. 3)
an	all ¦¦• ain
а>0 ;;>°>° <iui>
а
пп

ПО	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. III
В этом случае уравнение
А(х\ ...,хп) = 1	A1.12)
выражает поверхность 2-го порядка в я-мерном пространстве,
которая гомеоморфна единичной сфере.
Если р~0, то имеем
л(х\ ...,*«) = - Sh*la.	(п.13)
k-i
В этом (и только в этом) случае А (х1, ..., хп) — отрицательно
определенная квадратичная форма. Следовательно, —А (х1,..., хп)
является положительно определенной квадратичной формой.
Если 0</7<гг, то А (х1, ... ,хп)—квадратичная форма не-
неопределенного знака.
Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант квадратичной
формы А (х1, .. .,хп) равен нулю, det (a{j) = 0.
Пусть г — ранг матрицы ai}-. Как уже отметили выше, г яв-
является скалярной характеристикой тензора at-j. Тогда Я, = 0 яв-
является собственным значением матрицы ai}- кратности г. Следо-
Следовательно, можем считать
если k€[l,n — r],	A114)
если k?[n rn]	' '
если
Пусть р и q~n — г — р — числа положительных и отрицательных
собственных значений матрицы atJ-. Тогда квадратичная форма
А {х1, .. .,хп) приводится к виду
л(х\ ...,*ин2Ы2-:?Ы2. (п.15)
По-прежнему число р является инвариантной характеристикой
квадратичной формы А (х1, ..., ха). Если р — п — г, то имеем
формулу
А(х\ ...,х»)=П;?\чк\*.	A1.16)
k— 1
Следовательно, А (х1, ..., хп) — положительная (но не положи-
положительно определенная) квадратичная форма. В этом случае урав-
уравнение
А{х\ ...,х«) = 0	A1.17)
выполняется, если переменные х1, .. .,хп удовлетворяют системе
уравнений
trt — r\. A1.18)

§ 12]	ПРОСТРАНСТВА Hp(Q) и С;, (И)	\\\
При помощи этой системы уравнений п — г переменных х1,... ,хп"г
выражаются линейно через остальные г переменных хп~г+г,..., хп.
Это означает, что уравнение A1.17) определяет в n-мерном про-
пространстве гиперплоскость г измерений.
Если р = О, то
И в этом случае уравнение A1.17), очевидно, выражает гипер-
гиперплоскость г измерений в м-мерном пространстве.
Если 1 < р <п — г, то А (х1, .. .,*") — квадратичная форма
неопределенного знака. Тогда уравнение A1.17) выражает не-
невырожденную поверхность 2-го порядка п — г измерений в я-мер-
ном пространстве.
§ 12. Гильбертово пространство Нр(?1). Пространство Банаха Ср(п)
1. Гильбертово пространство Нр(п). Рассмотрим множество
HP(Q) тензоров пространства Cp(Q), обладающих тем свойством,
что их локальные нормы \\w\\x, которые являются скалярами,
интегрируемы со своими квадратами, т. е. существуют интегралы
если W?HP(Q),	fl2 и
где dQ — элемент объема я-мерного риманова многообразия, ко-
который согласно формуле G.10) выражается инвариантной фор-
формулой
du--= Jj-c,,..tttdx'iA • •. Adxta = Vgdx\.. .dx*.
Если wt w' ?Hp(Q)', то из неравенства
\(w,w')x\^\\w\\x\\w'\\x, x?Q,	A2.2)
следует, что локальные скалярные произведения тензоров мно-
множества Н„{0) также интегрируемы со своими квадратами. По-
Поэтому в Нр (Q) можем определить скалярное произведение фор-
формулой
{w, w') = J (w, w')xdu, w, w'€Hp(Q),	A2.3)
которое в отличие от локального скалярного произведения бу-
будем называть глобальным. Используя свойства локального ска-
скалярного произведения тензоров, приведенных выше в § 8, п. 2,
легко можно доказать, что выражения A2.3) обладают всеми

112	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ	[ГЛ. Ш
свойствами скалярного произведения над полем комплексных
чисел С. Мы здесь не будем перечислять эти свойства.
[с [[Введем теперь понятие глобальной нормы тензора, определив
его формулой
AwBdQY/1.	A2.4)
J
Очевидно, |w||^0, причем знак равенства достигается только
тогда, когда |]«р||* = 0 почти везде в п. Очевидно, мы должны
отождествлять тензоры w nwr ?Нр {Щ, если | w—w' \\x = 0 почти
везде вЙ.
Теперь, используя неравенство A2.2) и неравенство Буня-
ковского—Шварца
\(^\gfdQ\1/2	A2.5)
/ \а	J
легко убедимся, что
\(w, w')К||w||||w'|-	A2-6)
Используя неравенство
Iw + w'L<l«»i* + !l«>'L. x?Q,	A2.7)
нетрудно доказать неравенство треугольника для элементов мно-
множества HP(Q):
||.	A2.8)
Таким образом, Нр (Q) представляет гильбертово простран-
пространство. Это пространство конечномерное и его размерность, оче-
очевидно, равна пр. Поэтому в нем существует базис, состоящий
из пр линейно независимых тензоров.
Система тензоров wlt ..., wk пространства Нр (Q) называется
глобально линейно независимой, если для всякой нетривиальной
последовательности постоянных clt ...,ck выполняется неравен-
неравенство
c1wx + ... + ckwkФ 0 (почти везде в Q). A2.9)
В противоположном случае система называется линейно зависи-
зависимой. Нетрудно доказать, что для линейной независимости тен-
тензоров wlt .. •, wk пространства Нр (Q) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
Теперь докажем, что если wlt .. .,wk—локально линейно
независимая система тензоров модуля t^(Q) в области Q, то она
и глобально линейно независима.

§12]	ПРОСТРАНСТВА Hp(Q) и СрШ)	ИЗ
В самом деле, если допустить, что
cxwx + ...+ckwk = 0 (в Q),
где сх, .. . ,cfe—постоянные, то, умножив это равенство скалярно
(в смысле глобального умножения) на тензоры локально биорто-
нормальной системы w1, ...,wkt получим, что все 9 = 0, а это
доказывает наше утверждение.
Следует заметить, что обратное утверждение неверно. Если
тензоры wlt .. .,wk€Hp(Q) глобально линейно независимы, то
они, вообще говоря, не будут локально линейно независимы
в области Q.
Два тензора w, w' ? Нр (Q) ортогональны, если их глобальное
скалярное произведение равно нулю
(w,w') = 0..	A2.11)
Из формулы A2.3) следует, что если тензоры w и w' ло-
локально ортогональны в области, то они и глобально ортогональны.
Отсюда следует, что если wt, ...,wk к w1, ...,wk локально
биортогональные системы тензоров модуля Cp(Q) в области Q,
то они и глобально биортогональны.
Если wlt ..., wk и w1, ..., wk—локально биортонормальные
системы тензоров модуля Cp(Q) в области Q, то тензоры
i L	k],	A2.12)
составляют глобально биортонормальную систему тензоров про-
пространства Hp(Q), где |Q| обозначает объем области п:
mesQ = |Q|=fdQ<oo.	A2.13)
й
Это предложение остается в силе и для локально ортонормальной
системы тензоров модуля С^(й).
Если wlf ..., wnp и w1, ..., wnP—локально биортонормаль-
биортонормальные базисы Cp(Q), то при помощи формул A2.12) из них можно
получить биортонормальные базисы пространства Hp(Q).
Таким образом, базисы пространства Hp(Q) можно строить,
в частности, при помощи мультипликативных тензоров.
2. Банахово пространство Ср (й). Рассмотрим множество Ср (Q)
тензоров модуля Cp(Q), локальные нормы которых непрерывны
в области Q. Назовем нормой тензора w(tCp(Q) неотрицатель-
неотрицательное число

114
ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
[ГЛ. III
если это число конечно. Очевидно, ||«>|]с^0, причем знак равен-
равенства достигается тогда и только тогда, когда -ш = 0 всюду в Q.
Нетрудно теперь убедиться, что выражение A2.1) обладает всеми
свойствами нормы метрического пространства. Это легко следует
из свойств локальной нормы |w||x. Перечислим эти свойства.
1) Если а?С и w?Cp{Q), то
2) Если w, w'?Cp(Q), то
||с = |а||]«>||с.
«>'Цс<|w|]с +1|«>' (|с.
Таким образом, Cp(Q) представляет линейное пространство
Банаха над полем комплексных чисел С.
Пусть Q — компактное множество в Rn. Тогда, очевидно,
| w || = sup || w
|
х е Q
= max || w ||n = || w
х е Q
A2.15)
где х — некоторая точка множества Q.

ГЛАВА IV
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
До сих пор мы занимались вопросами тензорной алгебры.
В этой главе мы приступаем к изложению основ тензорного
анализа. Изучение дифференциальных операций над тензорами,
которое является основной задачей тензорного анализа, потре-
потребует весьма существенных обобщений привычных понятий про-
производных и дифференциала от функции. Здесь, разумеется,
имеются в виду такие обобщения этих операций, которые при
применении к тензорам сохраняют их тензорную природу. Для
построения такого дифференциального исчисления нам потре-
потребуется рассмотрение специальных величин, которые выражаются
посредством метрического тензора и носят название символов
Кристофеля. Несколько удивительно то, что, хотя они сами не
являются тензорами, при их помощи составляются такие диф-
дифференциальные операторы, которые, примененные к тензорам,
дают опять тензор.
Для того чтобы естественным путем ввести в рассмотрение
эти важные символы, мы вновь обратимся к векторным полям
трехмерного евклидова пространства. Это позволит нам найти
общие выражения этих символов и изучить их основные свой-
свойства, которые затем легко обобщаются на случай любого рима-
нова многообразия п измерений.
§ 1. Символы Кристофеля 1-го и 2-го рода.
Деривационные формулы
1. Символы Кристофеля в трехмерном евклидовом простран-
пространстве. Деривационные формулы. Дифференцируя базисные век-
векторы /?¦ системы координат относительно координаты хк, полу-
получим вектор-функции
вл* дЬ	AЛ>

116	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛ.^А	[ГЛ. IV
Разлагая их на составляющие ьтг? сительно базисов R( и Re,
получим равенства вида
Rik = Rki^GiktlW, R^R^G^R,.	A.2)
Умножая эти равенства скалярно : а базисные векторы Rj и Р',
получим формулы
Эти выражения представляют символы Крис гафеля 1-го и 2-го
рода соответственно, а равенства A.2) называются деривацион-
деривационными формулами ковариантных базисных векторов. В этом пара-
параграфе всюду, пока не будет оговорено противоположное, индексы
будут принимать значения 1, 2, 3. В силу равенств
Rj = Rkgk/, R* = R^, Rik = Rki,	A.4)
из A.3) имеем
G/*./ = <V*Vf Glk' = Glk%a«\	A.5a)
Gik,j = Gkit/, G,/ = GV.	A-56)
Дифференцируя теперь обе части равенства R.Rk = gik относи-
относительно координаты xj и учитывая A.3), получим
/?//?/A + ^7/?, = G/AW + Gy7,A = ^.	A.6а)
Переставляя в этом равенстве циклически индексы ?, /, k, полу-
получим еще два равенства:
<? + 0,*.,=~,	A.66)
Если сложим эти равенства и вычтем из суммы A.6а), то в силу
A.5а) будем иметь
Умножив обе части A.7а) на g}l и суммируя по индексу /,
получим
Таким образом, символы Кристофеля Giktj и G{kJ выражаются
посредством компонент метрического тензора и их частных про-
производных первого порядка.

§ 1]	СИМВОЛЫ КРИСТОФЕЛЯ 1-го И 2-го РОДА	Ц7
Вторую формулу A.3) можем записать в виде
*	A -8a)
Здесь принято во внимание равенство
= б/.	A.86)
В силу A.8а) напишем формулу
? —<V*.	A.8b)
которая называется деривационной формулой для векторов контра-
вариантного базиса рассматриваемой координатной системы.
2. Деривационные формулы для мультипликативных базисных
тензоров. Теперь^нетрудно вывести деривационные формулы для
мультипликативных тензоров
etl ...iP = Rtl...® RiP, el> ¦¦• h = R> ... ® R1p. A.9)
Дифференцируя A.9) относительно координаты xk, можем на-
написать
Ojf^i1... ip = OftRii^) Rit • • • (X) Rip ~r • • • H~ A^j • • • QyRip-tyQ ^kRip'
A.10)
Здесь мы применили гк мультипликативному тензору правило
дифференцирования обычного произведения функций, что можно
строгоА1обосновать, но на этом'^мыВне будем останавливаться.
В силу деривационных формул A.2) равенство A.10) прини-
принимает вид
fpeil..jp_l!p. A.11a)
Аналогично при помощи равенств A.8в) получим деривацион-
деривационные формулы
dkel* ••¦'> = — Gkh ^ g/ii« -ip—...— Gkip *peii -h-Jp. A.116)
3. Основные свойства символов Кристофеля. В этом [пункте
мы изучим некоторые основные свойства символов Кристофеля.
1)	Символы Кристофеля обращаются тождественно в нуль
тогда и только тогда, когда все компоненты метрического тен-
тензора принимают постоянные значения во всей области. Спра-
Справедливость этого утверждения вытекает из формул A.7а) и
A.76). В частности, символы Кристофеля равны нулю для декар-
декартовой системы координат.
2)	Пусть Rlf /?2, R3 — триэдр правой ориентации. Дифферен-
Дифференцируя относительно координаты xk равенство
A.12)

118	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
получим
R1J*& + R&kR»+RiRAk = ^^kL	A.13)
Выражая Rlk, R2k, R3k по формулам A.2) и учитывая равенства
RiRJRk = 0> если среди индексов i, j, k имеются два равных,
в силу A.12) из A.13) получим
т. е.
Нетрудно теперь проверить, что эти формулы сохраняют
силу для координатной системы любой ориентации. Назовем
величины Gkji сокращенными символами Кристофеля.
Дальше систематически будем пользоваться прежними обоз-
обозначениями
Щ = ——, D\, = —с-р ,	A-15)
а также формулами
Di'D'f = $'] = g{, Щ'Щ> = &)"' — tti'i	A-16)
3) Рассматривая две произвольно взятые системы координат
(л:) и (л;') и применяя правило дифференцирования сложной
функции, напишем
dxk	dxR	dxl dxk
Следовательно, согласно A.1), обозначая /?^, =—К, будем
дх
иметь
Умножая обе части этого равенства скалярно на векторы
R. = R}rDl;t RJ=Ri'D\,,	A.19)
в силу равенств A.3) и Rl'Rj, — blf, получим следующие формулы
преобразования символов Кристофеля 1-го и 2-го рода:
r-^—D1)',	A.20а)
Glk' = Gt-^ "D'/Df^ + ~~ Dh-	A.206)

§ 1]	СИМВОЛЫ КРИСТОФЕЛЯ 1-го И 2-го РОДА	П9
Зацепляя в последнем равенстве индекс i с / и принимая во
внимание равенства A.16), в силу A.14) получим формулу
dxk	дхк	дх1 dxk дх1
Равенства A.20) показывают, что символы Кристофеля не со-
составляют тензора. В противном случае в правые части формул
A.20) не входили бы слагаемые, содержащие вторые производ-
производные от координат. Нетрудно доказать, что эти слагаемые обра-
обращаются в нуль тогда и только тогда, когда выполняются равен-
равенства
7ПТ1 = 0. i, К /'€[1,3].	A.22а)
дх1 dxk
Но они имеют место только при аффинных преобразованиях
координат
*<' = a{V + &'\ i'?[\, 3],	A.226)
где а\', Ь1' — постоянные.
Таким образом, символы Кристофеля обнаруживают тензор-
тензорную природу только относительно группы аффинных преобра-
преобразований координат.
4) Умножая обе части равенства A.206) на D'{ и суммируя
относительно индекса /, в силу равенств A.16) выводим формулу
^L = Ctt^}'-G(.».''D{'Df.	d.23a)
Если координатная система (х') декартова, то Gf^;'' = 0 и фор-
формула A.23а) принимает вид
т. е. G/,/ = ^-D/,. A.236)
4. Символы Кристофеля 1-го и 2-го рода для риманова про-
пространства п измерений. Теперь мы обобщим предыдущие фор-
формулы на римановы многообразия п измерений (см. также [15]).
До сих пор при выводе и доказательстве свойств символов Крис-
Кристофеля пользовались евклидовостью пространства. Символы
Кристофеля естественно получились при дифференцировании век-
векторов ковариантного и контравариантного базисов координат-
координатной системы. Этот путь, очевидно, нельзя применить к случаю
общего риманова многообразия. Поэтому мы поступим следую-
следующим образом. При помощи формул A.7а) и A.76) определим
символы Кристофеля 1-го и 2-го рода посредством компонент
метрического тензора gi;- и gij для любого риманова многообра-
многообразия п измерений. Индексы теперь будут принимать значения

120	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
1, ..., п. Тогда, очевидно, выполняются условия симметрич-
симметричности A.56) и, кроме того, производные от ковариантных ком-
компонент метрического тензора выражаются в виде
dj? = Gkit/ + GkJ,h i, j, ke[\,nl	A.24)
Из этой формулы следует, что компоненты метрического тен-
тензора принимают постоянные значения только тогда, когда все
символы Кристофеля 1-го рода обращаются в нуль и наоборот.
Так как
Оы, j = Qki 1§ц; GkJt i = Gkj lglh
то формулу A.24) можем записать еще в виде
dj?-Gktl&tj-Gkjleti = Q.	A.24а)
Дифференцируя равенства g.pgpJ — bi, будем иметь
* + *,„	0.
ах* ё Slp дх*
Отсюда, умножая обе части на gmi, получим
Внося сюда выражения A.24) и пользуясь формулами
получим
^	0-	A-246)
В силу условия симметричности Gkj' = Gjkl\ имеем также фор-
формулу
j$t + Gkp/8pt-Gki''gP = 0 (g) = gt).	A.24в)
Несколько более сложно доказывается формула A.14). Вос-
Воспользовавшись формулой (I, 3.4а), для дискриминанта метри-
метрической квадратичной формы получим равенства
gekl...kn = eil-tn8ilkl ¦¦•ginkn-	A-25)
Дифференцируя обе части этого равенства относительно хк,
а затем заменяя производные от gik выражениями A.24),

§ 1]	СИМВОЛЫ КРИСТОФЕЛЯ 1-го И 2-го РОДА	121
Получим
"&	i i (Г	i /~*	\	I
—7 ?&i .•• kn == 6 * "' п '^fet'i. ^i ~Г (Jkki, i1) gizkt • • • ginkn ~r • • •
Если умножим обе части этого равенства на g*»1 ... gknn и при-
примем во внимание формулы
то будем иметь
Отсюда немедленно получаем формулу
С,/ = ^^, *€[1. «].	A-26)
Остается обобщить формулы преобразования A.20). При
замене координат х1 координатами х1', gij = gi'j'Dii'DlJ и в силу
A.24) напишем
Gki, j
т, г)
Если теперь в этих равенствах циклически переставим индексы
i, /, fe и /', /', ^', а затем возьмем сумму двух из них и из
нее вычтем третье, то получим формулу, которая в точности
совпадает с формулой A.20а). Из последней немедленно по-
получается формула, обобщающая формулу A.206), а из
нее получаем формулу A.23а) для любого риманова много-
многообразия.
Таким образом, если символы Кристофеля для многообразия
Римана определим при помощи формул A.7а) мA.7б), то основ-
основные свойства их, а также формулы A.20а), A.206), A.21) и A.23а)
обобщаются на римановы многообразия^произвольной размерно-
размерности. Кроме того, для частных производных от компонент мет-
метрического тензора риманова многообразия имеют место формулы
A.24а, б, в).

192	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
§ 2. Дифференцирование тензоров
1. Ковариантные производные от ковариантных компонент
тензора 1-го ранга. Как мы видели выше, алгебраические опе-
операции над тензорами приводят опять к тензорам. В отношении
операции дифференцирования дело обстоит несколько иначе.
Частные производные от скаляра ф образуют ковариантный
вектор с компонентами дг-ср. Этот вектор называется градиентом
скаляра и обозначается grad ф или У'ф. Но частные производные
компонент тензора ранга ^ 1 не образуют тензора. Например,
если Л,-— ковариантный тензор 1-го ранга из (^(?2), то при
переходе от координат х( к другим координатам х1' имеем
А{=^АГО\'. Следовательно, дифференцируя последнее равенство,
напишем
^ ±{А ^JA^ + A;,^.	B.1)
дх* дх* ' l)?dxk l	' дх1дх*	Х '
Отсюда видно, что частные производные —- от ковариантных
дхк
компонент тензора 1-го ранга не образуют тензора. Они состав-
составляют тензор лишь относительно группы аффинных преобразо-
д%х
ваний координат, так как тогда и только тогда —:— = 0.
дх1 дхк
Этим объясняется, что в элементарном тензорном анализе,
где обычно пользуются только прямолинейными координатными
системами, частные производные от компонент вектора обра-
образуют тензор.
В общем тензорном анализе вместо обычных частных про-
производных приходится вводить в рассмотрение так называемые
ковариантные и контравариантные производные. Эти операции
имеют то преимущество, что, применяя их к тензору, опять
получим тензор.
Если в B.1) вторые производные от х'г заменить их выра-
выражениями из A.23а) и принять во внимание формулу A^D'j = Лу,
то равенства B.1) можно переписать в виде
^r) \-Di'.	B.2)
Таким образом, выражения
^A^^L-G^Aj	B.3а)
для любого ковариантного тензора 1-го ранга Л,- составляют
ковариантный тензор 2-го ранга. Компоненты VfeA,' этого тен-
тензора, определяемые равенствами B.3а), называются ковариант-
ными производными от компонент ковариантного тензора 1-го
ранга Л,-.

§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ	123
Данное выше определение ковариантных производных от
ковариантных компонент тензора 1-го ранга является общим
и сохраняет силу для любого риманова многообразия. Мы вос-
воспользовались формулой преобразования ковариантных компонет
1-го ранга, а также равенствами A.23а), которые имеют место
для любого конечномерного риманова пространства. В случае
пространства п измерений в формуле B.3а) индексы принимают
значения 1, ..., п.
2. Ковариантные производные от контравариантных компонент
тензора 1-го ранга. Теперь введем понятие ковариантных про-
производных от контравариантных компонент тензора 1-го ранга
А1' из C*(Q).
Так как Ai^=gij-AJ', то в силу B.3) имеем
V А = дк iguAJ) - Gki iA, = gudkA' + №#и - Gki tAt.
Внося сюда выражения для dkgfJ- из A.24), будем иметь
или, в силу первой из формул A.5а), можем написать
J,	B.4)
где мы приняли обозначения
?И' = -|?+СА|.М'.	B.36)
Умножая обе части равенства B.4) на g'm и имея в виду, что
gm'g,-j — о*/1, будем иметь
VH^Vit^M,)-^^,.	B.5)
Так как g'S и \kA{ — контравариантный и ковариантный тен-
тензоры 2-го ранга, то их внутреннее произведение B.5), очевидно,
является смешанным тензором 2-го ранга.
Таким образом, выражения B.36) составляют смешанный тен-
тензор 2-го ранга. Его компоненты У/гЛ', определенные формулой
B.36), называются ковариантными производными от контрава-
контравариантных компонент тензора 1-го ранга А1.
Если система координат декартова, то GkiJ' = 0, Л,- = А1 и фор-
формулы B.3а, б) принимают вид
^	B-6)
Таким образом, относительно декартовых координат ковариант-
ковариантные производные от компонент тензора 1-го ранга равны их
частным производным в обычном смысле. Но в случае произ-
произвольной (криволинейной) координатной системы, как видно из
формул B.3а и б), в выражениях для ковариантных производ-

124	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
ных от ковариантного компонента А{ (от контравариантного
компонента А1) тензора 1-го ранга, кроме частных производных
от этого компонента, входят еще слагаемые, которые являются
линейными комбинациями всех компонент тензора.
3. Ковариантные производные от компонент тензора любого
ранга. Прямые ковариантные производные от тензора. Теперь
мы приступим к выводу формул, выражающих ковариантные
производные от компонент тензора любого ранга.
Рассмотрим сперва ковариантный тензор 2-го ранга aik (Е Са (й).
Пусть А', В', О— произвольные контравариантные тензоры 1-го
ранга из С1 (Q). Так как ср — aikAlBh—инвариант, то С}—%- также
будет инвариантом. Очевидно, имеем
dxJ	дхз	dxJ
Но в силу B.5) можем написать
-|? = VI'-V^. -^ = vya«-e^B'. B.7)
Поэтому после очевидных перегруппировок членов будем иметь
Левая часть, а также вторая и третья слагаемые правой части
этого равенства инвариантны. Следовательно, инвариантом яв-
является и первая слагаемая правой части. Отсюда согласно пра-
правилу частного следует, что выражения вида
образуют ковариантный тензор 3-го ранга. Эти выражения на-
называются ковариантными производными от ковариантных ком-
компонент тензора 2-го ранга. Следует напомнить, что в формуле
B.8а) все индексы принимают значения 1, ..., п.
Если теперь обратимся к формуле A.24а), то будем иметь
= 0,	B.9)
т. е. ковариантные производные от ковариантных компонент
метрического тензора риманова пространства тождественно равны
нулю.
Выведем теперь формулу для ковариантной производной ком-
компонент тензора 2-го ранга смешанного типа а/.й:.

§ 21	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЁНЗОРОЁ	|<>5
Так как aik = gkpal.p, то, применяя формулы A.5а) и A.24),
напишем
+ (G/ftt p + GJpt k) a\f =
Внося это выражение в правую часть формулы B.8а), получим
равенства
Vjaik = gkpVja}pt	B.9а)
где
j	jai!.	B.86)
Из предыдущих равенств имеем
4jd? = &P4jaip.	•	B.96)
Следовательно, матрица Vyat".A получается в результате внутрен-
внутреннего произведения тензоров gkP и Vjuip. Поэтому она представ-
представляет тензор 3-го ранга типа B,1),
Компоненты ^jalk. этого тензора, которые выражаются при
помощи равенств B.86), называются ковариантными производ-
производными от компонент тензора 2-го ранга смешанного типа а\..
Для тензора 2-го ранга смешанного типа а!.\ также имеем
формулы
/ap.i.	B.9в)
Если теперь обратимся к формуле A.24в), то будем иметь
B.9г)
т. е. ковариантные производные от компонент смешанного типа
метрического тензора риманова пространства тождественно
равны нулю.
Пользуясь теперь формулой a,\fe =gipapk, можем написать
равенства
которые легко получаются при помощи формул A.24) и (J.5a).
Внося эти выражения в правую часть равенств B.8а), получим
p
где
^ail'	Bi8b)

126	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
Из предыдущих равенств имеем
Vjal* = glrVja'pk..	B.9д)
Отсюда следует, что матрица \}а1к составляет тензор 3-го ранга
типа A, 2). Компоненты этого тензора, определяемые равенст-
равенствами B.8в), называются ковариантными производными от компо-
компонент контравариантного тензора 2-го ранга а'к.
Если теперь обратимся к формуле A.246), то убедимся, что
-=O,	B.9e)
т. е. ее ковариантные производные от контравариантных компо-
компонент метрического тензора риманова пространства тождественно
равны нулю.
Из структуры формул B.8) легко теперь усмотреть общий
закон образования ковариантных производных от компонент про-
произвольного тензора типа (р, а). Но для этих обобщений целесо-
целесообразно воспользоваться вначале представлениями тензора ранга р
евклидова пространства в виде (см. гл. III, § 9, п. 3)
a = ai*-{petl...ip, a = ait...ipei*-iP,	B.10)
где
р. . —D.	(Q\ D.	pii-.-io — Dh (Q\ Dip	(
Дифференцируя первое из этих равенств относительно коорди-
координаты xft и пользуясь деривационной формулой A.11а), получим
dka = {dkaii---ip)eil...ip-\-ai>-iPdkeil...ip=:Vkaii--ipeii...ip> B.106)
где
ip = д^и..-ip -f- Gkha^-h + ... 4-Gft/>a'»-l>-l/- B.1 la)
Равенство B.106) показывает, что частные производные dka от
тензора а представляют тензор ранга на единицу выше. Будем
обозначать эти производные символом \ha и называть их пря-
прямыми ковариантными производными от тензора а.
Теперь из второго равенства B.10), используя деривацион-
деривационную формулу A.116), получим также
= Vftfli1...fP^-l>, B.1 Ов)
где
..ip — GkjJaji,...ip—--- — GkipJ<*ii...tp-ij' B.116)
Формулы B.11а) и B.116) выражают ковариантные производ-
производные соответственно от ковариантных и контравариантных компо-
компонент тензора ранга р. Они полностью согласуются с формулами
B.3а, б) и B.8а, в), сохраняя силу также для тензоров ранга р

§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ .	127
риманова пространства произвольного измерения п. Разумеется,
тогда индексы будут принимать значения 1,..., п.
Аналогично можно получить формулу для ковариантных про-
производных от смешанных компонент тензора. Пусть а—тензор
ранга рЛ-q. Тогда его можно представить при помощи компо-
компонент типа (р, q) в виде
— all'"lQaii ¦¦¦in K7\ p .
Дифференцируя относительно координаты xk, будем иметь
дка = {djfl{lt;:;{«) е<—ср ® еи...ы 4- afc'
Применяя теперь деривационные формулы A.11а, б) и, легко
выводим формулу
dia = Vkali:d}et^tP®ei1...Jqt	B.Юг)
где
+ gw/¦<#;:#+... +c?w/<v:;/;-w. B.1 ib)
Эта формула выражает ковариантные производные от компонент
тензора смешанного типа (р, q) произвольного ранга. Она согла-
согласуется с формулой B.86), являясь ее естественным обобщением,
и сохраняет силу для произвольного конечномерного риманова
пространства. Мы здесь не останавливаемся на обосновании этих
обобщений. Они обобщают формулы B.3) и B.8) настолько есте-
естественно, что едва ли в этом обосновании имеется надобность.
Как видно из формулы B.11 в), ковариантные производные от
компонент тензора типа (р, q) составляют тензор типа
(р + 1, q). Таким образом, ковариантное дифференцирование по-
повышает ранг тензора на единицу за счет увеличения числа кова-
ковариантных индексов.
4. Дифференциал тензора. Правила дифференцирования суммы
и произведения тензоров. Равенства B.106, в, г) выражают фор-
формулы прямого Дифференцирования тензора относительно коор-
координат точки. При помощи равенства
da = diadxi=^iail...ipe^-ipdxi ,	B.12)
инвариантного относительно преобразования координат, можно
определить дифференциал тензора а. В этом равенстве, как уже
отмечено выше, свободно можно перемещать глухие индексы
i],..., ip на своих вертикалях. Следует заметить, что строгое
обоснование формул B.10) и B.12) выше дано лишь для евкли-
евклидова пространства, но теперь можно их обобщить на случай

128	основы тензорного анализа	[гл. iv
любого конечномерного риманова многообразия. Подразумевая
под eti—lP базисные тензоры, введенные выше в гл. III, §9, п. 4,
инвариантную формулу B.12) можно принять за определение
дифференциала тензора любого конечномерного риманова много-
многообразия. Тогда формулы B.10) будут выражать прямые произ-
производные тензора относительно координат точки. На основании
этих формул можно обобщить на тензоры любого риманова мно-
многообразия правила дифференцирования суммы и произведения.
Если а и b—тензоры ранга р, a, b^Cp(Q), то
n],	B.13a)
B.136)
Еслиа,#—тензоры ранга р+r и г+дсоответствеино,а^Ср+г(п),
Формулы B.13) очевидны. Достаточно доказать формулы B.14а).
Приведем доказательство для случая a, b?<bp{Q). Обобщение
не встречает никаких затруднений. Имеем
B.15а)
Но в силу B.11а, б)
diail...ip = ViCti^ + Gu^an^.ip +Glt>^I-1...t>_1 lt B.156)
d^-h = \{ЬЬ-*р —G{1 ЬЬ">-*Р —Gn Wi-^-i'. B.15b)
Внося эти выражения в B.15а), в результате простых и оче-
очевидных выкладок с использованием формул A.5а) получим
di(ab) = 4iait...ipbii---tP+ai1...ip4f>i*"-tP.	B.15г)
С другой стороны, применяя формулы B.106, в) и (III, 9.31а, б),
покажем, что
dtab + adtb =
— \iai1...ipeii-iPbii-ipeh.,.jp +at1...tpet*-{pyibi*-ipeft...ip —
= Tiatt...tpbt*-tP+ail...tpVibt*-tP. B.15д)
Так как правые части формул B.15г, д) равны, то равны и их
левые части. Следовательно, формулы B.14а) доказаны в случае,
когда a, b$Cp(Q).
Формулы B.13) и B.14) дают возможность непосредственно
применять операции дифференцирования к выражениям, состав-
составленным из тензорных сумм и произведений, не переходя к их

§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ	129
компонентам. В ряде случаев это значительно сокращает разного
рода выкладки.
В заключение этого пункта заметим, что правила для кова-
риантного дифференцирования суммы, разности и произведения
тензоров в точности такие же, как в случае дифференцирования
подобных выражений для функций.
Запишем эти правила в сокращенной форме:
Vy (a±b) = Xja ± \jb, j € [1, п],	B.16)
где а и Ъ обозначают однотипные компоненты тензоров а и Ь
ранга р; например, a = a{j...ip, b = bil..jp;
X; {ab) = (vya) b -f aXjb,	B.-17).
здесь а и b — любые компоненты произвольных тензоров а и Ь
соответственно.
5. Ковариантные производные от компонент дискриминантного
тензора. Выше было доказано, что ковариантные производные
от компонент метрического тензора риманова пространства равны
нулю, т. е.
ад-*=о, v,g'*=of vygi=o.	Bл8)
Используя формулы B.18) и B.11), легко докажем, что ко-
вариантное дифференцирование эквивалентных тензоров приводит
к эквивалентным тензорам. Для тензоров 1-го и 2-го ранга это
следует из формул B.4) и B.9). Отсюда, в частности, имеем:
если ковариантные производные от компонент тензора равны
нулю, то ковариантные производные от компонент всех ему экви-
эквивалентных тензоров также равны нулю.
Докажем еще, что ковариантные производные от компонент
дискриминантного тензора равны нулю. Ковариантный дискри-
минантный тензор задается равенствами
Ctt...tn=Vgetl...tn, 1\, .... »„€[1, я],	B.19)
где п — размерность риманова многообразия, g—дискриминант
метрической квадратичной формы. Докажем, что
. \jCh...in=O, j, tlf .... ine[l, л].	B.20)
В силу формулы B.116) имеем
B.21)
Если е{1-ш_1пф0, то ясно, что предыдущее равенство принимает
вид
5 И. Н. Векуа

130	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
Здесь подчеркивание индекса означает запрет суммирования.
Поэтому в силу формулы A.26) имеем
^^ = о.
Рассмотрим теперь случай, когда е^...^ =0. Если здесь три или
больше индексов одинаковых, то правая часть равенства B.21),
очевидно, обращается в нуль. Если же среди ilt..., in лишь
два одинаковых, то в правой части B.21) лишь два слагаемых
будут отличными от нуля. Например, если i1 = i2 = it то будем
иметь
Ho eltts...in = — €ц{3..л„- Поэтому правая часть предыдущего ра-
равенства равна нулю. Таким образом, установлено, что равен-
равенство B.20) имеет место для всех значений индексов ilt ..., in,
что и требовалось доказать.
Кроме того, очевидно, ковариантные производные всех экви-
эквивалентных компонент дискриминантного тензора также равны
нулю.
В силу B.18) и B.17) получаем, что множители, представля-
представляющие компоненты метрического и дискриминантного тензоров,
можно вносить и выносить за знак ковариантной производной,
т. е. они ведут себя при ковариантном дифференцировании точно
так, как постоянные множители в случае дифференцирования
функций в обычном смысле.
6. Контравариантные производные от компонент тензора. Абсо-
Абсолютная производная тензора. Среди тензоров, эквивалентных
тензору V/fl^'^, имеется и тензор типа (q, p-{-\) вида
?Ч:Х=^Х::Х-	B.22)
Эти формулы определяют так называемые контравариантные про-
производные от компонент тензора а'.1'",'7.
Таким образом, ковариантные и контравариантные производ-
производные от компонент тензора А пг-то ранга составляют класс эквива-
эквивалентных тензоров (т + 1)-го ранга. Последний тензор будем на-
называть абсолютной производной тензора А и обозначать симво-
символом VА или grad.4. Для представления абсолютной производной
тензора А можно пользоваться формулой (см. гл. III, § 9, п. 4)
diA®ei^\iAh...ipeii-{Pi.	B.23)
7. Ковариантные производные базисных векторов. Операции
ковариантных производных формально можно применять также
к базисным тензорам eit,,,(p} eli---{p. Ниже мы выясним, что

§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ	131
в результате получим тензор, равный нулю. Рассмотрим сначала
случай евклидова пространства. Если обратимся к формулам
A.2) и A.8в), то их можно записать в виде
VA = d,*4-G/ik'/?, = 0, Vt&zE-dtHb + GtjbR^O. B.24a)
Таким образом, коварыантные производные от базисных векто-
векторов Ri и R1 равны нулю.
Теперь это предложение легко обобщается на базисные тен-
тензоры е^..лР и е^--лР евклидова пространства. В самом деле,
в силу B.23) будем иметь
B.246)
*®ViRcP =0."
B.24b)
Имеем также
Pit...ip® Vjeif -fp = O. B.24r)
Теперь нетрудно убедиться, что равенства B.246,в,г) сохра-
сохраняются для любого конечномерного риманова многообразия. Это
очевидно, так как тензор ei1..jp имеет ковариантные компо-
компоненты gij^ ..., gipjp, ковариантные производные которых равны
нулю.
8. Повторные ковариантные производные. Тензор Римана —
Кристофеля. Применив к ковариантным производным от ком-
компонент тензора m-го ранга вновь операции ковариантных
производных, получим тензор (т + 2)-го ранга с компонентами
вида
y	m.	B.25)
Если рассмотрим теперь изомеру этого тензора, поменяв ме-
местами индексы / и k, оставляя остальные индексы на своих
местах, то получим тензор, очевидно, также (т + 2)-го ранга,
но, вообще говоря, не совпадающий с тензором B.25). Это
обстоятельство является характерным свойством риманова мно-
многообразия. В случае евклидова пространства эти два тензора
всегда будут одинаковы. В самом деле, относительно декартовой
системы координат G(/* = 0, и имеем (для простоты индексы
ilf ..., ip и /\ ... jq не выписываем)
д2а"' д*а'"
:::^S v^:::- B-26)
Но VftV/<z;;; и VyVft«;;; тензоры (т + 2)-го ранга. Так как их ком-
компоненты совпадают относительно декартовых координат, то они
5*

132	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
будут равны относительно любой другой системы координат,
что и требовалось доказать.
Возвращаясь к случаю общего риманова многообразия, мы
найдем явное выражение разности YfcV;a;;; — VyV^a;;;, которая,
очевидно, является тензором (т-\-2)-го ранга. Мы увидим, что
этот тензор выражается посредством некоторого тензора 4-го
ранга, который называется тензором кривизны или тензором
Римана — Кристофеля. Этот тензор, который выражается по-
посредством компонент метрического тензора, является основной
характеристикой риманова многообразия. Для евклидова про-
пространства, как увидим ниже, тензор кривизны обращается
в нуль.
С целью упрощения выкладок рассмотрим вначале тензоры
1-го ранга. Для ковариантного тензора 1-го ранга а[ имеем
Отсюда
rar.	B.28)
Рассматривая теперь повторные ковариантные производные
jCtit в силу B.8а) напишем
Внося сюда выражения B.27), получим
с-	даР
Если внесем сюда вместо —| соответствующие выражения из
B.28), то получим
Если в этом равенстве поменяем местами индексы k и /, а затем
одно равенство вычтем из другого, то, учитывая симметричность
символов Gtjk относительно нижних индексов, найдем
ЪVA— V*Vya, = Rl. tjkfllt	B.29)
где
, два1 dGikl
*'iS+G'ela'Gl <23°)

§ 2]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ	133
Левая и, следовательно, правая части равенства B.29) являются
ковариантными тензорами 3-го ранга для любого ковариантного
тензора 1-го ранга а{. Отсюда согласно правилу частного сле-
следует, что R1. цк является тензором 4-го ранга типа C,1). Этот
тензор называется тензором кривизны или тензором Римана —
Кристофеля.
Для евклидова пространства тензор кривизны Rl. ,-jk тождест-
тождественно обращается в нуль. Это немедленно следует из формулы
B.30), если учесть, что для декартовых координат Gi/k = 0 и,
следовательно, R.ijk = O относительно этих координат. Но из
этого следует, что тензор Rl. ^ равен нулю относительно любой
другой системы координат.
Рассмотрим теперь контравариантный тензор 1-го ранга. Для
него имеем
V|J7 %'<"¦	B-31)
Отсюда
Рассматривая теперь повторные ковариантные производные
/z', в силу формулы B.86) имеем
dxk
al-\-Gpfl
Внося сюда выражения —— из B.32), получим
dxk
Если здесь поменять местами индексы k и у, а затем одно ра-
равенство вычесть из другого, получим
V/jVy^' — \jVft.a' = Rl'iik^1-	B.33)
Теперь эти формулы можно обобщить на тензоры любого
ранга. Не останавливаясь на подробностях доказательства, вы-
выпишем общую формулу, которая для тензора типа (р, q) имеет
вид
• •. к _l _i_ pi я ап • ¦ ¦ к -11
. ,1р Г • • • i А • ljkul1 . . ,lp
f	nl .,ryii •¦•/</	/О ОД\
>— • • • —K-ipikfliL . .ip^ti- (/••j^J

134	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
Ковариантные компоненты тензора кривизны выражаются
формулой
Riw=gipR9.tik.	B.35)
Применяя теперь формулы A.5а) и A.24), напишем
B.36)
Внося теперь в B.35) выражения Нр.цк из B.30), а затем при-
применяя формулы A.5а) и B.36), получим
dGijti dGik,i
'* PGJ**p-GvPG"'P- B-37)
Ковариантные компоненты тензора кривизны удовлетворяют
соотношениям
R-lijk ~ Rjkli — — Riljk ~ Rllkj>	B.38)
Rit/k + Ri*ij + *ijH = O.	I2-39)
Последние соотношения называются тождествами Риччи по
имени итальянского математика Ricci-Curbastro — одного из ос-
основоположников тензорного исчисления *).
При помощи равенств B.38) можно доказать, что тензор
кривизны имеет m2(m2—1)/12 существенных компонент. Осталь-
Остальные (не равные нулю) компоненты выражаются через них. Для
многообразия двух измерений, которыми мы более подробно
займемся ниже (гл. V), тензор кривизны имеет всего лишь одну
существенную компоненту. Остальные 16 компонент выражаются
через нее (некоторые из них равны нулю).
Имеет место еще равенство ([10])
которое называется тождеством Бианки. Равенства B.38),
B.39) и B.40) докажем ниже для риманова многообразия двух
измерений (гл. V, § 10, п. 2).
Сокращая тензор кривизны Rl.ijk относительно индексов Ink,
получим симметричный тензор 2-го ранга
Яу7 = Я,у = Я*GЬ	B.41)
который называется тензором Риччи. Можно доказать, что тен-
*) В математической литературе на западе тензорное исчисление до сих
пор называется Ricci Calculus (см., например, [10]).

§ 3]	ФОРМУЛЫ ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО И ГРИНА	135
зор Риччи выражается формулой
V"g д r	r „ д In Vg , n r	/94m
Скаляр, который получается в результате сокращения индексов
тензора Риччи смешанного типа JRL
Я = /Й = й"ЯУ</У,	B.43)
называется кривизной риманова пространства. Для многообразия
двух измерений, реализуемого в виде поверхности в трехмерном
пространстве, он совпадает с гауссовой (главной) кривизной
поверхности (см. гл. V, § 10, п. 2).
В теории относительности имеет применение тензор 2-го ранга
4	B.44)
который ввел в рассмотрение А. Эйнштейн и который носит
его имя (см. [10]).
Характерным свойством тензора Эйнштейна является то, что
его расходимость равна нулю:
V,G} = 0, /€[1,*].	B-45)
Ниже мы увидим (гл. V), что тензор Эйнштейна для случая
многообразия двух измерений тождественно равен нулю.
§ 3. Расходимость вектора. Формулы Гаусса — Остроградского
и Грина. Оператор Лапласа в криволинейных координатах
При помощи операций ковариантных и контравариантных
производных многие важные формулы анализа, которые широко
применяются в геометрии и физике, можно записать в инва-
инвариантной относительно преобразования координат форме.
1. Расходимость вектора. Пусть А' — контравариантные ком-
компоненты вектора A?V0(Q). Тогда, сокращая индексы в тензоре
VkA{, получим инвариант \tAlt который называется расходи-
расходимостью вектора А и обозначается й\\ А.
В силу B.36) и A.14) имеем
Л^ + ^
дх1 Y7 дх'
т. е.
1_	.	C.1)
Относительно декартовых координат х, у, z трехмерного евкли-
евклидова пространства будем иметь обычную формулу элементарного

136	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
векторного анализа
^ 4^ 4^ 4?	C.2)
dxi dx ^ ду дг
2. Формулы Гаусса — Остроградского и Грина. Пусть О, — об-
область трехмерного евклидова пространства, а 5 — ее граница,
которая состоит из конечного числа замкнутых простых кусочно
гладких поверхностей.
Пусть Аг(х, у, z), А.г(х, у, г), А3(х, у, г) —функции декарто-
декартовых координат точки области Q, которые непрерывны в замк-
замкнутой области ?2+S, а внутри области Q имеют непрерывные
частные производные относительно координат х, у, г. В курсе
анализа доказывается формула
{Alcos(n, х) + Л з cos (n, г/)-f Л3 cos (я, z))dS, C.3)
которая известна под названием формулы Гаусса—Остроградского.
Здесь п — внешняя нормаль к поверхности 5. Используя фор-
формулу C.2), это равенство можем записать в виде
B)dSf	C.4)
где А{п) — проекция вектора А на внешнюю единичную нормаль
п поверхности S, т.е. АЫ) = А-п~А'пг Здесь я,- — ковариант-
ные компоненты орта нормали п. Так как правая часть равен-
равенства C.4) не зависит от выбора системы координат, а сНуЛ
является скаляром, то это равенство будет справедливо относи-
относительно любой координатной системы.
В силу C.1) формулу C.4) можно записать в виде
I
^ ( ГГ vtA'dQ= [[а*п,<Я. C.5)
Пусть A = gradu, где и — скаляр. Тогда
= Х%	C.6)
и формула C.1) принимает вид
= v,Y'H= \_dV~eViu.	C.7)
V g дх1

§ 3]	ФОРМУЛЫ ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО И ГРИНА	137
Относительно декартовых координат х, у, z правая часть
этой формулы обращается в оператор Лапласа
divgrada^^-h^F + ^r-Aw.	C.8)
Таким, образом, оператор Лапласа от скаляра есть скаляр,
который относительно произвольной криволинейной системы
координат выражается формулой C.7); ее мы запишем еще
в виде
Ли == div grad и = —г=-	:—— ,	C.9)
У g	дх<
обозначая таким образом относительно произвольно взятой си-
системы координат оператор Лапласа символом А и сохраняя
символ Д для обозначения выражения C.8), т. е. для операции
Лапласа относительно декартовых координат.
Если .4 = gradw, то из формулы C.5) получаем
ds-	<ЗЛ0>
Это равенство обычно называют формулой Грина. В записанной
здесь форме она справедлива для любой криволинейной системы
координат.
3. Оператор Лапласа в криволинейных координатах. В случае
ортогональной системы координат [g.k-=Q при {фЩ формула
C.9) примет вид
Аи -
+^v У ~i^~^J+^\ У "ir^
Заметим, что приведенные выше формулы сохраняют силу
для любого конечномерного риманова пространства.
В случае сферической системы координат в силу равенств
(III, 4.19) имеем
ди
V
Для цилиндрической системы координат в силу формулы (III, 4.21)
имеем
Д« = -г г-д-Н-ттг+тг-	C.13)

J38	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
4. Формулы Гаусса — Остроградского и Грина для тензоров.
Формулы C.5) и C.10) полезно обобщить на случай, когда
подынтегральные выражения являются векторами.
Прежде всего легко обобщить формулу C.10). Пусть имеется
дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле U. Опре-
Определив оператор Лапласа от (J относительно произвольной
системы координат по формуле
(ЗЛ4)
где У/#=д,-{/—ковариантные тензоры 1-го ранга из V1(Q),
легко можно доказать формулу
В самом деле, относительно декартовой системы координат спра-
справедливость последнего равенства легко доказать, если применить
формулу (ЗЛО) к каждому компоненту вектора U в отдельности.
Затем из инвариантности выражения C.14) и правой части
формулы C.15) очевидно, что эта формула имеет место относи-
относительно любой координатной системы. Нетрудно также убедиться,
что формула C.15) имеет место для любого тензора U произ-
произвольного ранга в пространстве Евклида.
Дадим еще одно обобщение формулы C.5), которое получит
применение при выводе уравнений равновесия сплошной среды.
Пусть Pik—контравариантный тензор 2-го ранга из C2(Q).
Тогда величины
p; = P!kRk^Pl;k№	C.16)
представляют контравариантный тензор 1-го ранга из КХ(Й).
Если рассмотрим ковариантные производные
'/><,	C.17)
а затем сократим индексы, то получим инвариант
,	C.18)
Выражающий тензор 1-го ранга. Аналогично с C.1) будем иметь
формулу
р/= 1
Можно привести также прямое доказательство инвариантности
этого выражения.

3]	ФОРМУЛЫ ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО И ГРИНА	139
При замене координат х1 новыми координатами х1' имеем
pi = pi'D\.,	C.20)
Эх*	дх1	l dxW	дх1	l ' k dxk l
C.21)
В силу формул C.20) и C.21) напишем
l __ dPi д\п\Г?р._
д1	д*
Yg дх*	дх1	дх*
HO
„??___ D.. = ___D.
dx™' dxl '	dxl * '
В силу этого
дх1 ' \дхт 1 ) ] дх1 ' дх1
и равенство C.22) принимает вид
__ 1 dVJ'P1'
что и требовалось доказать. Приведенное доказательство сохра-
сохраняет силу для любого риманова многообразия.
Теперь легко докажем формулу
В самом деле, относительно декартовых координат она следует
из формулы Гаусса — Остроградского. Но в силу инвариантно-
инвариантности обеих частей равенства C.24) очевидно, что оно справедливо
относительно любой криволинейной системы координат.
В заключение этого пункта заметим, что приведенные выше
инвариантные выражения и интегральные формулы обобщаются
на любые конечномерные римановы многообразия. В частности,
как увидим ниже, они имеют меегсГдля поверхности. Следует
только помнить, что оператор Лапласа в виде C.8) можно

140	ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА	[ГЛ. IV
записать для многообразий, на которых существует декартова
система координат.
Наконец, заметим еще, что понятие расходимости можно
обобщить на тензоры любого ранга. Нетрудно убедиться, что
для вектора имеет место формула
div^ = /?'d,i4.	C.25)
В самом деле,
RtdtA = Я' (Му#/) = 4iAtR% = Му6/ = V/Л' = div А.
Теперь формулой C.25) мы определим расходимость тензора А
любого ранга. Если А — тензор ранга р, то имеем
diA = 4iAti~tPetl...ip.	C.26)
Тогда формулу C.25) можем записать в виде
div A = VfAfl - 1>/?'е^ ... (> = \{А"-- het,... ip. C.27)
Таким образом, div Л есть тензор ранга р—1 с контравариант-
ными компонентами Y/Л ••¦ 1р-к

ГЛАВА V
ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой и следующих главах мы в достаточной степени де-
детально изложим основы тензорного анализа для римановых много-
многообразий двух измерений, которые можно реализовать в виде
поверхностей трехмерного евклидова пространства. В наших
построениях мы широко пользуемся геометрической наглядностью
и параллельно излагаем элементы теории поверхностей с при-
применением тензорного исчисления (см. также [5], [6], [8], [13]).
Мы познакомимся с некоторыми понятиями и величинами, кото-
которые характеризуют внутреннюю геометрию поверхности.
В дальнейшем многие доказательства опускаются, так как
они требуют лишь почти дословного повторения уже хорошо
знакомых нам рассуждений из предыдущих глав.
§ I. Параметрическое уравнение поверхности. Ковариантный
и контравариантный базисы координатной системы
1. Параметрическое уравнение поверхности. Координатные
линии. Как известно, уравнение поверхности можно записать
в параметрической форме
х* = х*{\\ Е2), *€[1, 3],	A.1)
где х1, х2, х3 — координаты точки поверхности относительно
какой-нибудь системы координат в пространстве, а I1, ?2 — неза-
независимые переменные, которые называются га у с со в ым и пара-
параметрами или внутренними координатами поверх-
н ост и.
Как уже отмечалось выше, наши построения носят локаль-
локальный характер, т. е. используют свойства поверхности в сколь
угодно малой окрестности рассматриваемой точки. Поэтому за-
запись уравнения поверхности в виде A.1) достаточно считать
выполнимой лишь локально.

142
ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. V
Фиксируя в A.1) значение переменной |2 и изменяя непре-
непрерывно I1, получим на поверхности кривую, которую будем на-
называть координатной линией (?1). Аналогично, фиксируя I1 и из-
изменяя ?2, получим координатную линию (I2). Мы будем все
время предполагать, что в каждой
точке поверхности проходит по од-
одной координатной линии и угол со,
заключенный между этими линиями
в точке их пересечения, удовлетво-
удовлетворяет неравенству 0 < со < я.
Сеть координатных линий (Е;1) и
(I2) будем обозначать иногда корот-
коротко через (?) или 5^.
2. Ковариантный подвижной ба-
базис. Пусть г — радиус-вектор точки
поверхности F, г~ОР, где О — не-
некоторая фиксированная точка про-
пространства, а Р — переменная точка
поверхности. Очевидно, г есть фунцкия координат I1, ?2 точ-
точки Р,
r = r(P) = r(l\ I2).	A.2)
О
Рис. П.
Дифференцируя это равенство по координатам
две вектор-функции
дг
а=\, 2,
|2, получим
A.3)
которые, очевидно, касаются соответствующих координатных
линий в точке Р (рис. 11). Следовательно, они расположены на
соответствующей касательной плоскости и неколлинеарны. Эти
вектор-функции составляют подвижной базис координатной сис-
системы (|).
Замена координат |а некоторыми другими координатами 1а'
поверхности осуществляется при помощи неособенных преобра-
преобразований вида
где -фр' — однозначные непрерывные функции своих аргументов.
В дальнейшем мы все время будем предполагать, что эти функ-
функции имеют необходимое число непрерывных частных производ-
производных, т. е. рассматриваем преобразования некоторого класса
Ckf k^\, причем не исключаем преобразования класса Сх.
Кроме того, предположим, что функциональный детерминант

§ l]	ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ	143
(якобиан) преобразования нигде не обращается в нуль,
dl?
0.	A.5)
Будем также считать поверхность в достаточной степени глад-
гладкой. Для определенности допустим, что рассматриваемая по-
поверхность принадлежит некоторому классу Ст, т^З. Такие
поверхности назовем регулярными. Тогда радиус-вектор г и его
производные относительно гауссовых координат до порядка т
включительно непрерывны.
Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что греческие
индексы вида а, |3, а', |3', а,., 7* и т. п. принимают значения 1, 2.
Кроме того, мы будем систематически пользоваться уже при-
привычными для нас обозначениями
el также очевидными формулами
Da,Dp' = 8p' Da'Dp, = Sp	Cl 7)
ССГ ОС	(X 9	CC (X	С&У	\ • /
g[3 = gC;па' Ы1	П.8)
Часто будем пользоваться также обозначениями
<3a^s-r^-? ^a, ^-^-.	A.9)
Дифференцируя равенство A.4), получим формулы
dla' = D%'dla,	A.10)
выражающие закон преобразования дифференциалов координат
при замене одних гауссовых координат другими. Следовательно,
dh,a преобразуются по закону контравариантности. Частные про-
производные от скаляра ср преобразуются по ковариантному закону
da,(p = Dg,da(p.	A.11)
Из формул A.3) получим, что при замене одних гауссовых
параметров другими по ковариантному же закону преобразуются
и вектор-функции га, составляющие базис координатной системы
поверхности:
ra, = aa,r = %ra.	A.12)
Поэтому будем говорить, что вектор-функции гх и г2 состав-
составляют ковариантный базис соответствующей координатной системы
поверхности.

144
ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. V
3. Контравариантный подвижной базис. Построим биортонор-
мальный сопряженный базис г1, г2, удовлетворяющий условиям
f r$ = б13 лгр = 0	A 13)
где п—орт нормали к поверхности F в точке приложения ба-
базисных вектор-функций га и га (рис. 12). Если умножить обе
части первого из этих равенств
на dla и учесть, что dr = radla,
получим равенство
r&dr = dlK	A.14)
Для новых гауссовых парамет-
параметров |а' аналогично получим
ra'dr = dla'. Или в силу формул
A.10) и A.14) ra'dr = D?dla=
—~	= D%'radr. Отсюда имеем
Рис. 12.	(ra'~D%'ra)dr = Q.
Так как dr — касательный к поверхности F вектор любого на-
направления, a ra'—D%'ra~вектор-функции, расположенные на
касательной плоскости к F, т. е. принадлежат поверхности F,
то из последнего равенства следует, что
ra' = D%ra.\	A.15)
Таким образом, при замене гауссовых параметров вектор-
функции га биортонормального базиса координатной системы
преобразуются когредиентно с дифференциалами dt,a, т. е. следуя
контравариантному закону. Поэтому г1, г2 будем называть еще
контравариантным подвижным базисом координатной системы.
Теперь, очевидно, имеем равенства
f. -^.q j.?> G __ й _ f. ^	A16)
г —а Гр, п ~a =r r .	A.17)
При помощи формул A.12) и A.15) легко убедимся, что аа$
и аар —соответственно симметричные ковариантный и контрава-
ри2нтный тензоры 2-го ранга. Внося выражения A.16) и A.17)
в A.13), получим
n /yYP	Kb	(] 1Q\
Из уравнений A.18) получаем
а '
«3 2
a
где
й = det (floP) = аиа23 —ajj, > 0.
A.19)
A.20)

§ 2]	ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
В самом деле,
145
A.21)
§ 2. Первая основная квадратичная форма поверхности.
Дискриминантные тензоры поверхности
1. Первая основная квадратичная форма. Ковариантный и
контравариантный метрические тензоры поверхности. Элементом
длины дуги на поверхности F будем называть расстояние между
двумя бесконечно близкими ее точками РЦ1, |2) и Р' (I1-\~ dl1,.
|a-f-d|2). Обозначая это расстояние через ds, а вектор РР' —
через dr, с точностью до бесконечно
малых величин более высокого поряд-
порядка будем иметь (рис. 13)
т. е.
B.1)
B.2)
Рис. 13.
Из формулы B.1) следует, что квад-
квадратичная форма B.2) инвариантна и
положительно определена. Поэтому ее
можно использовать для измерения
длины дуги на поверхности. Она на-
называется первой основной квад-
квадратичной формой или метри-
метрической формой поверхности. Со-
Сокращенно ее называют еще формой I.
Ниже мы рассмотрим также вторую основную квадратичную
форму поверхности, которая называется формой II.
Симметрические ковариантный и контравариантный тензоры
2-го ранга aaj3 и ааE будем называть ковариантным и контрава-
риантным метрическими тензорами поверхности. Положитель-
Положительная величина а называется дискриминантом квадратич-
квадратичной формы B.2).
Дискриминант a = det(aa$) метрической формы поверхности
при замене одних гауссовых координат другими преобразуется
по формуле
B.3)
а lD(&',
Г2')
а
Отсюда имеем
Уа' =
Dil\ I")
-UU, l')\Va.
B.4)

146	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
Система координат (|) называется ортогональной, если век-
вектор-функции базиса взаимно перпендикулярны в каждой точке
поверхности. Очевидно, необходимым и достаточным условием
для ортогональности координатной системы поверхности является
выполнение равенства
аи = 0.	B.5)
Для ортогональной координатной системы формулы A.19)
принимают вид
«11	«22	V	'
2. Элемент площади поверхности. Дискриминантные тензоры
поверхности. Площадь параллелограмма, построенного на век-
торах rxd1?- и /"ad?2, называется элементом площади поверхности
относительно координатной системы (\). Считая dl1 > 0, dl? > О,
будем иметь dS^Sdi1^!2, где 2 — площадь параллелограмма,
построенного на базисных векторах гх и га. Имеем
= fl11flM-(aia)» = fl>0. B.7)
Таким образом, элемент площади поверхности выражается
по формуле
dS^VadS1^2.	B.8)
Если воспользоваться законом внешнего умножения диффе-
дифференциалов координат dh,a, который в нашем случае выражается
формулой
diaf\dl?> = ^dl4i\	B.9)
где
gii^^^o, e12=— €21 = 1,	B.10)
формулу B.8) можно записать в инвариантной форме
d2 = -g-capd?«Ad?P,	B.11)
где
Сар = К^еар,	B.12)
т. е.
^11 = ^2 = 0» cia=—cal = VT.	B.13)
Докажем, что са$ — ковариантный тензор 2-го ранга. Пред-
Предположим, что направление нормали п и ориентация коорди-
координатной системы (?) выбраны так, что триэдр п, гг, га имеет

ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
147
правую ориентацию (рис. 14). Тогда согласно равенству B.7)
будем иметь
ггхг2 — Va n, т.е. V^ = nrxr2.	B.14)
Теперь, при помощи равенств B.13), легко видеть, что
Са|3 = ЛГаГр.	B.15)
Отсюда следует, что сар — кососимметрический ковариант-
ный тензор 2-го ранга. Этот
тензор называется дискрими-
нантным ковариантным тензо-
тензором поверхности.
Рассмотрим матрицы
с%=пгаГр B.16)
Применяя формулы A.12) и	Рис. 14.
A.15), легко докажем, что с ар —
контравариантный тензор 2-го ранга, а с^ и с$'а—тензоры сме-
смешанного типа 2-го ранга.
Очевидно,
B.17)
B.18)
Из первой формулы имеем
у а
Тензоры са$, с$, с$- также называются дискриминантными
тензорами поверхности.
При помощи формул B.15), B.16) и B.17) легко получим
следующие важные равенства:
= саРгр = с^гР. B.19)
3. Угол между двумя касательными направлениями. При по-
помощи метрического тензора можно теперь выразить также угол
между двумя касательными направлениями поверхности.
Пусть / и s—орты двух ортогональных касательных направ-
направлений, пересекающихся в некоторой точке Р поверхности. Их
можно выразить по формулам
B.20)
где
la = lra, s$ =
B.21)

148	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ V
Имеем следующие очевидные соотношения:
р	B.22)
Кроме того, имея в виду равенства
nxl = s, lxs = n, sxn-^l,	B.23)
в силу формул B.15) и B.16) напишем
Отсюда получаем формулы .
sp=CaP*a, sP = c<*e/a,	B.24)
B.25)
Пусть Q — угол, заключенный между произвольно выбран-
выбранными касательными ортами Ins (рис. 15). Тогда, используя
формулы B.20) — B.22), получим
((F)	^^-^	формулу
cosQ = /s-=aap/asP, B.26)
которую, применяя равенства
B.22) и свойства метрического
тензора, можно записать еще в
трех эквивалентных формах:
Рис. 15.	costi = aa-4as$ = lasa = lasa. B.26а)
Если обозначим приращения координат ?а вдоль Ins соот-
соответственно через 6|а и dla и учтем, что
ds2-aapd^diP, 6/» = ^^^,	B-28)
то формула B.26) примет вид
-" , "-**"?	B.29)
В частности, если со — угол между координатными линиями, то
получим
B.30)
У а1га22
Отсюда также следует, что обращение в нуль а12 является не-

3]
ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ
149
обходимым и достаточным условием ортогональности координат-
координатной системы на поверхности.
При помощи дискриминантных тензоров сар, с«., с?р, саР теперь
мы можем выразить также синус угла между двумя касатель-
касательными направлениями. В силу B.20) и B.15) напишем формулу
sin Q = Isn = /asprarp« = cap/asp,	B.31)
которую можем записать еще в трех эквивалентных формах:
p = ^p7asP = ^/asp.	B.32)
Рис. 16.
§ 3. Тензоры поверхности
1. Тензоры 1-го ранга. В дальнейшем мы будем рассматри-
рассматривать кольца C(F) и R (F) отображений /: F -*- С и F -»¦ R соот-
соответственно, а также кольца Ci(F) и R^F) их компонент f (I) от-
относительно координатной системы
(|). Мы будем также рассматри-
рассматривать разные модули Ш (F) и Ж| (F)
соответственно над кольцами
C(F) и Ci(F). Примером С (/^-мо-
(/^-модуля может служить множество
вектор-функций вида w = tt-\-iv,
где и и V — вещественные век-
вектор-функции от гауссовых коор-
координат |а поверхности F. Обозна-
Обозначим этот С (/^-модуль через V(F). Будем говорить, что вектор-
функция w = u-\-iv из V(F) принадлежит поверхности F, если
вещественные вектор-функции и и v для каждой координатной
системы (I) расположены на соответствующих касательных плос-
плоскостях поверхности F. Это означает, что в каждой точке поверх-
поверхности F выполняется условие
nw = 0, т.е. un = 0, vn = 0,	C.1)
где л—орт нормали поверхности F в соответствующей точке.
Множество вектор-функций, принадлежащих поверхности F,
обозначим через V(F), очевидно, V(F)aV{F). В частности, мно-
множество векторных полей, принадлежащих поверхности F, будем
обозначать через V°(F). Очевидно, что V (F) и Vg(F) представ-
представляют соответственно С (F)- и Cg (/^-модули, а V° (F) является
модулем над кольцом скаляров C(F).
Разлагая на составляющие вектор поверхности А из V° (F)
относительно ковариантного базиса г1( г2 координатной систе-
системы (|), получим (рис. 16)
Л^Лага, Аа = Ага.	C.2)

150	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
При замене координат ?а другими Ъ?' аналогично получим
А = Аа'га>, Ла'=Лга'.	C.2а)
Используя теперь формулу A.15), напишем
А^=АЩ'.	C.3)
Сравнивая эти формулы с A.10), мы увидим, что величины Аа
преобразуются когредиентно с дифференциалами координат, т. е.
следуя контравариантному закону. Следовательно, матрица Аа
представляет контравариантный тензор 1-го ранга из R(F), т. е.
Аа€№(р), Поэтому Аа называется контравариантными компо-
компонентами вектора А.
Разлагая вектор А на составляющие относительно контра-
вариантного базиса га координатной системы (?), получим
А = Аага, Аа = Ага.	C.4)
Написав аналогичные равенства относительно системы коорди-
координат (?')
A = Aa,ra', Aa> = Ara>,	C.4a)
а затем используя формулы A.12), будем иметь
Aa' = AiPl:	C.5)
Сравнивая эти формулы с A.11), мы замечаем, что величины
Аа преобразуются когредиентно с частными производными от
скаляра ц>, т. е. следуя ковариантному закону.
Следовательно, матрица Аа представляет ковариантный тен-
тензор 1-го ранга из R (F), т. е. Aa^R1{F). Поэтому Аа называются
ковариантными компонентами вектора А.
Если Аа и Аа—ковариантный и контравариантный компо-
компоненты некоторого вектора А из V°(F), то между ними, очевидно,
имеются соотношения
Аа = аа$А*, Ла = а«РЛр,	C.6)
показывающие, что переход от ковариантных компонент вектора
поверхности к его контравариантным компонентам и обратно
осуществляется соответственно при помощи операций поднятия
и опускания индексов, выполняемых при помощи метрических
тензоров а«Р и аа$ поверхности. Эти операции приводят к важ-
важному формализму: переход от ковариантных компонент вектора
к его контравариантным компонентам и обратно осуществляется
путем перемещения индекса по вертикали соответственно снизу
вверх и сверху вниз.
Теперь мы можем ввести общее понятие ковариантных и
контравариантных тензоров 1-го ранга поверхности.

§ 3]	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	151
Пусть Ш (F) — некоторый С (/7)-модуль. Пусть относительно
каждой системы координат (?) поверхности F задана некоторая
матрица Аа из ЭЯ^/7), которая при замене одних гауссовых
координат другими преобразуется по формулам A.2). Такая ма-
матрица Аа называется контравариантным тензором 1-го ранга
модуля Ш (F).
По формулам C.2) каждому контравариантному тензору Аа
из С (F) можем сопоставить векторное поле Аага, принадлежа-
принадлежащее поверхности, которое не зависит от выбора системы коор-
координат.
При помощи формул преобразования C.5) мы можем ввести
также понятие ковариантного тензора 1-го ранга модуля 3ft (F).
Ковариантному тензору 1-го ранга из С (F) также сопостав-
сопоставляется по формулам C.4) векторное поле поверхности.
Введем теперь следующее определение: ковариантные и
контравариантные тензоры 1-го ранга Аа и А& модуля 9Л (F)
назовем эквивалентными, если они связаны между собой соот-
соотношениями C.6). Класс эквивалентных тензоров 1-го ранга из
модуля 501 (F) будем называть тензором 1-го ранга из 501 (F),
обозначая их множество через ^(F). Следовательно, всякий
тензор 1-го ранга из С (F) можно истолковать как векторное
поле из V°(F) и, наоборот, всякий такой вектор однозначно
выражается через соответствующий тензор 1-го ранга. Таким
образом, вектор поверхности можно отождествить с соответст-
соответствующим тензором 1-го ранга.
2. Тензоры произвольного ранга. Обобщая понятие тензора 1-го
ранга, дадим теперь определение тензора любого ранга, принад-
принадлежащего поверхности.
Пусть относительно каждой координатной системы (?) поверх-
поверхности F задана некоторая (р, ^-матрица а^ в?A) из $Ш^(^)>
p-\-q = n. Если при замене одних гауссовых координат другими
элементы матрицы преобразуются по формулам
^«1 ... а, = а, ... а R,^ ^ ^ ^ D^W^ . . . D^"',	C.7)
то матрицу aj "' 9 будем называть тензором п-го ранга типа
(р, q) или, короче, (р, а)-тензором из Ш {F). Элементы матрицы
aPi... р Cs) называются компонентами тензора относительно рас-
рассматриваемой координатной системы (|).
Из данного выше определения следует, что сумма и разность
однотипных тензоров, а также операции прямого умножения и
сокращения индексов, производимые над тензорами, опять при-
приводят к тензорам.

152	тензоры поверхности	[гл. v
Если обозначим через ^lQp(F) множество (р, д)-тензоров из
§)l(F), то легко убедимся, что Wiqp(F) представляет модуль над
кольцом скаляров C(F).
Если два тензора из Ш (F) обладают тем свойством, что один
получается из другого в результате применения операций под-
поднятия и опускания индексов, выполняемых при помощи тензо-
тензоров аа$ и аа$, то эти тензоры будем называть эквивалентными.
Класс эквивалентных тензоров n-го ранга из Ш (F) будем назы-
называть тензором п-го ранга из Ш (F). Такой класс содержит 2"
эквивалентных тензоров.
Если обозначим через Шп(Р) множество тензоров n-го ранга
из 9Jl(F), то легко убедимся, что %Rn(F) представляет модуль
над кольцом скаляров C(F);
Тензоры аар, аар и а| —6^, очевидно, эквивалентны. Они оп-
определяют метрический тензор поверхности, который является
симметрическим. Этот тензор часто будем обозначать через а.
Другим важным примером тензора 2-го ранга поверхности
является дискриминантный тензор, который есть класс тензоров,
эквивалентных тензору са$- Дискриминантный тензор является
кососимметрическим, так как са^ — — сра. Нетрудно проверить
формулы
аар _ cakcfiyaxy = С°:'ус№ = СаКС%
„	.V	-V	C.8)
выражающие компоненты метрического тензора через компоненты
дискриминантного тензора.
Свойства тензоров, доказанные в общем случае в гл. III, § 2,
очевидно, сохраняются и для тензоров из Ш (F). Мы сохраним
также для обозначения тензоров поверхности соглашения, при-
принятые нами выше в гл. III, § 2.
§ 4. Деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена.
Символы Кристофеля поверхности
Дифференцируя базисные векторы га относительно коорди-
координат |р, получим вектор-функции
дГа ¦ Q2r
которые, вообще говоря, не принадлежат поверхности. Следова-
Следовательно, они представляются в виде
raP = IVrv + 6a3/r	D.2)

§ 4]	ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ГАУССА И ВЕЙНГАРТЕНА	153
Эти равенства называются деривационными формулами Гаусса
для ковариантного базиса координатной системы.
Умножая обе части равенства скалярно на л и учитывая,
что Г\П = 0, получим
дп
Из этих формул легко следует, что при замене координат ?а
координатами ia' матрица Ьар преобразуется по формулам
Следовательно, Ьар — симметрический ковариантный тензор по-
поверхности.
Если умножим теперь обе части формулы D.2) скалярно на
гк и учтем равенства пгх = 0, то получим
Гврх = г*г«р.	D.4)
Дифференцируя равенства aap = ra/*p, будем иметь
^- = Гад,а + Глв.р,	D.5)
где
Гар.Л = ГарГА.	D.6)
Из D.4) и D.6) получим соотношения
Гар, к = Гр„. х = ГарХ-я, Tpav = ГаР^ = Гар, xav4	D.7)
Теперь из формул D.5) легко выводим
vrt daR., dan
Уч'нтывая, что гаГр = б^, равенство D.4) можно записать
в виде
В силу симметричности тензора 6ар его смешанные	компо-
смешанные	компоненты Ь% и 6р? одинаковы и, следовательно, можно	писать
просто Ь%. Имеем
Ь$ = а*%Ьк$ = - а^ (г^ир) - - гаЯр.	D.10)

154	тензоры поверхности	[гл. v
Это равенство можно записать еще так:
6» = -3(f"")+S"=S"- DЛ1)
Здесь мы учли, что пга — 0. В силу D.9) и D.11) имеем
D.12)
Эти равенства выражают деривационные формулы Гаусса для
контравариантного базиса координатной системы.
Величины Г^рд и Та$к называются символами Кристофеля 1-го
и 2-го рода поверхности соответственно. При помощи формул
D.7) и D.8) они выражаются исключительно через коэффициенты
метрической квадратичной формы поверхности.
Учитывая равенства ГрЯ = О и /Шр = 0, в силу D.10) получим
важные формулы
которые называются деривационными формулами Вейнгартена.
Повторяя дословно соответствующие рассуждения из гл. IV,
§ 1, мы докажем следующие основные свойства символов Кри-
Кристофеля:
I. Символы Кристофеля Та^,,у, Та$ обращаются в нуль тогда
и только тогда, когда все компоненты метрического тензора aap
принимают постоянные значения.
Ниже мы увидим, что этот случай реализуется только для
поверхностей, развертывающихся на плоскость.
II.
III. При преобразовании координат символы Кристофеля 2-го
рода преобразуются по формулам
IV = T^'DZDl'Dl + ^^р Я},.	D.15)
Эти формулы показывают, что Гар,я и rapv не являются тен-
тензорами.
Из формулы D.15) получаем

§Б]	ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ	155
§ 5. Геодезические линии поверхности. Полярная
(полугеодезическая) система координат
1. Уравнения геодезических линий. Возьмем на поверхности
некоторую кривую L. Дифференцируя радиус-вектор г по дуге
этой кривой, получим единичный вектор s касательной к L,
S-ds-S Га, S — ds .	(O.I)
Дифференцируя это равенство опять по дуге s, получим вектор
w - ъ ~ г* ч^ + Га$3 s •	v-Z)
В силу деривационных формул Гаусса D.2) можем написать
Этот вектор направлен по нормали кривой L в сторону ее во-
вогнутости. Он называется главной нормалью кривой L. Обозначая
его орт через т, будем иметь
? = ?-*¦», *>0.	E.4)
Неотрицательная величина k называется кривизной кривой L,
а обратная величина р = 1/& носит название радиуса кривизны
кривой L.
Рассмотрим теперь на поверхности кривые, для которых нор-
нормаль поверхности и главная нормаль в каждой точке кривой
коллинеарны. Как следует из равенств E.3) и E.4), это условие
будет выполняться тогда и только тогда, когда выполняются
равенства
^л + ГаРЧ|а^ = 0 (А,= 1, 2).	E.5)
Интегральные кривые этой системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений называются геодезическими линиями поверх-
поверхности.
Система уравнений 2-го порядка E.5) позволяет найти вполне
определенную геодезическую линию поверхности, если заранее
зафиксируем на поверхности некоторую точку искомой линии и
направление касательной к ней в этой точке, решив для си-
системы E.5) соответствующую задачу Коши. Следовательно, в силу
известной теоремы из теории обыкновенных дифференциальных
уравнений в каждой точке поверхности по данному направлению
проходит единственная геодезическая линия.
2. Вариационная задача, приводящая к уравнениям геодези-
геодезических линий. Уравнения геодезических линий можно получить
также, рассмотрев следующую вариационную задачу.

156	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
Пусть Ро и Рг—две фиксированные достаточно близкие точки
поверхности. Соединим их некоторой кривой L, лежащей на
поверхности; уравнение кривой запишем в параметрической форме:
la = la(t) (а-1, 2; *„</<*!).	E.6)
Тогда длина кривой L выразится интегралом
?)	E-7)
Поставим теперь задачу: среди гладких кривых, лежащих на
поверхности и соединяющих точки Ро и Plf найти ту, которая
доставляет интегралу E.7) наименьшее значение.
Составляя уравнение Эйлера — Лагранжа этой параметриче-
параметрической вариационной задачи, будем иметь (см., например, [9], т. IV,
гл. II, п. 72)
<!L JtJ?- = O (Л, = 1,2),	E.8)
где
Р 	 -|//7 о?а?Р	(Ъ Q\
Уравнения E.8) можем переписать так:
dF% \ _ df2 dF2 d dF2 _n	.-...
Если теперь в качестве параметра t возьмем длину дуги s иско-
искомой кривой, то вдоль этой кривой будем иметь равенство
Z72	? CL t В	fe	^Э	dtp ^	3	^	г-* -I i \
Следовательно,
^ = 0,	E.12)
и уравнения E.10) примут вид
~^V~^~^7 = 0'	E.13)
или
где теперь
us	ds

§ 5]	ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ	157
Умножая обе части уравнений E.14) на —у^7» получим
-t?9№-°-	EЛ6)
Эти уравнения совпадают с E.5). Таким образом, геодезические
линии поверхности являются стационарными кривыми вариаци-
вариационной задачи E.7). Можно доказать, что если Ро и Рг—доста-
Рг—достаточно близкие точки, то через них проходит единственная гео-
геодезическая линия, которая и доставляет минимум интегралу E.7).
Это означает, что дуга геодезической линии является кратчай-
кратчайшим расстоянием между близкими точками Ро и Рг на поверх-
поверхности (см., например, [3J, ч. I, гл. X, § 47, п. 6).
Замечание. Уравнения геодезических линий можно рас-
рассматривать также на любом многомерном римановом многооб-
многообразии, так как для их составления используются только символы
Кристофеля, выражающиеся при помощи коэффициентов метри-
метрической формы. Кроме того, указанный выше вариационный под-
подход к задаче, позволивший нам получить новый вывод уравнений
геодезических линий поверхности, непосредственно переносится
на любые римановы многообразия.
3.	Инвариантность геодезических линий при изгибании поверх-
поверхности. Непрерывные деформации поверхности, которые не изме-
изменяют ее метрику, называются изгибаниями. Так как геоде-
геодезические кривые поверхности зависят исключительно от мет-
метрики, то ясно, что при изгибаниях поверхности геодезические
линии переходят в геодезические же линии преобразованной
поверхности. Это следует также из того, что при изгибаниях
поверхности расстояние между точками не изменяется. Следо-
Следовательно, кратчайшие линии переходят в кратчайшие же кривые.
Например, для плоскости относительно декартовых координат
уравнения геодезических E.16) принимают вид
Iх = 0, (*,= !, 2),	E.17)
отсюда следует, что
lb = ah + bK	E.18)
Это доказывает тот очевидный факт, что геодезические линии
на плоскости — прямые. Следовательно, на поверхностях, кото-
которые получаются изгибанием плоскости, геодезические линии яв-
являются образами прямых линий.
4.	Полярная (полугеодезическая) система координат. При изу-
изучении ряда вопросов теории поверхностей целесообразно исполь-
использование геодезических кривых в качестве координатных линий.
Рассмотрим на поверхности в окрестности некоторой фикси-
фиксированной точки Ро семейство исходящих из нее геодезических

158	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
линий в качестве координатных линий (I1), а ортогональные
к ним траектории в качестве координатных линий (?2). Кроме
того, в качестве параметра ?х мы возьмем геодезическое рас-
расстояние р, т. е. длину отрезка Р0Р соответствующей геодези-
геодезической линии. Кривая р = const называется геодезической окруж-
окружностью с центром в точке Ро.
Эта система координат ортогональна по построению и, сле-
следовательно, метрическая форма имеет вид
ds" = au ДО)*+а„ (<*?*)*.	E.19)
Так как |2—const—геодезическая линия, а I1—длина ее дуги,
то уравнения геодезических линий E.16) примут вид
т. е. ап—постоянная величина. Так как I1— длина дуги гео-
геодезической линии, то из E.19) получим, что ап = 1. Введя те-
теперь обозначения
? = х, ? = у, а22 = Р2,	E.21)
будем иметь
y\	E.22)
Очевидно, Р зависит от х и у. Введенная здесь система коор-
координат на поверхности называется полярной или полугеодезической.
§ 6. Вторая основная квадратичная форма.
Нормальная кривизна поверхности
Умножая обе части равенства E.3) скалярно на п, в силу
E.4) получим
kmn = k- cos Q = ba$sasV = ks,	F.1)
где 9 — угол, заключенный между главной нормалью т дуги L
и нормалью п поверхности, cos8 = пт.
Как видно из F.1), величина ks не зависит от выбора сис-
системы координат на поверхности; мы считаем, что направление
поля нормалей поверхности заранее зафиксировано. Следова-
Следовательно, ks зависит лишь от направления кривой в рассматри-
рассматриваемой точке поверхности, т. е. для всех кривых, лежащих на
поверхности и имеющих в данной точке общую касательную,
величина ks сохраняет одинаковое значение. Эта величина на-
называется нормальной кривизной поверхности в направлении s.
Как видно из F.1), нормальная кривизна поверхности в направ-
направлении касательной кривой L в некоторой ее точке равна проекции
главной нормали этой кривой на нормаль поверхности в той же
точке (теорема Менье).

§ 7]	ВЕКТОР РОДРИГА	159
В частности, для нормального сечения, имеющего общую ка-
касательную с дугой Ly угол 9 = 0 или it, и формула F.1) при-
принимает вид
±k,	F.2)
т. е. нормальная кривизна поверхности в направлении s с точ-
точностью до знака равна кривизне соответствующего нормального
сечения.
Как видно из F.1), знак нормальной кривизны ks зависит
от выбора направления нормали п к поверхности, так как глав-
главная нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой L.
Таким образом, при изменении направления нормали п к по-
поверхности на обратное нормальная кривизна меняет знак. Это
следует также из формулы bap = nra$-
Нормальная кривизна принимает положительное значение,
если нормаль поверхности направлена в сторону вогнутости
соответствующего нормального сечения, и отрицательное зна-
значение— в противном случае. Если поверхность выпукла в окрест-
окрестности рассматриваемой точки, то нормальная кривизна в любом
направлении будет одного и того же знака. Она принимает по-
положительные значения, если нормаль направлена в сторону
вогнутости поверхности, в противном же случае — отрицатель-
отрицательные значения.
Инвариантная форма ba^dlad^J называется второй основ-
основной квадратичной формой поверхности или короче фор-
формой II. В силу E.1)
d& = ksds\	F.3)
Квадратичная форма Ьа$а'Ъ>ап%§ не выражается, вообще говоря,
посредством коэффициентов метрической формы. Она зависит не
только от метрики поверхности, но также от способа локаль-
локального погружения поверхности в евклидово пространство, и вы-
выражает такие свойства поверхности, которые нельзя охаракте-
охарактеризовать посредством задания одной только ее метрики. Поэтому
тензор Ьа$ непосредственно не обобщается на многомерные ри-
мановы многообразия. Такие обобщения возможны на базе рас-
рассмотрения какого-нибудь локального погружения многообразия
в евклидово пространство.
§ 7. Вектор Родрига. Геодезическое кручение
и геодезическая кривизна поверхности
1. Третья квадратичная форма поверхности. Вектор Род-
Родрига. Тензор 6ар можно связать с метрикой так называемого
сферического изображения поверхности. Такое название носит
та часть единичной сферы, радиус-вектор которой равен орту

160
ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. V
нормали п поверхности в соответствующей точке (рис. 17, 18).
В силу формул Вейнгартена D.13), метрику сферического изоб-
изображения можно записать в виде
do2 = dndn =
G.1)
Эта форма, носящая название третьей основной квадра-
квадратичной формы поверхности, также играет существенную
роль в теории поверхностей.
Сферическим изображением плоскости, очевидно, служит точка.
Сферическим изображением кругового цилиндра служит дуга
Рис. 17.
Рис. 18.
большой окружности единичной сферы. Но, если в окрестности
некоторой точки поверхность искривлена во всех касательных
направлениях (например, наподобие сферы), то сферическое
изображение тоже будет окрестностью некоторой точки на сфере
(рис. 17, 18). Поэтому естественно ожидать, что изучение свойств
сферического изображения позволит обнаружить те свойства
поверхности, которые характеризуют степень ее искривления,
т. е. отклонения от плоскости.
Для указанной цели важное значение имеет рассмотрение
так называемого вектора Родрига. Так называется вектор — ,
CIS
который мы получим, дифференцируя орт нормали п поверх-
поверхности по направлению некоторого единичного касательного век-
тора s поверхности. Вектор —г-, характеризующий скорость
изменения орта нормали в направлении s, очевидно, даст также
некоторое представление о степени искривления поверхности
в этом направлении. Этот вектор, очевидно, перпендикулярен п
и, следовательно, принадлежит поверхности. Поэтому его можно

§ 7]	ВЕКТОР РОДРИГА	161
выразить в виде
% = Аз + В1,	G.2)
где / — единичный вектор, перпендикулярный к s и я, причем
считаем, что
lxs = n.	G.3)
Умножая обе части G.2) поочередно скалярно на s и /, а затем
используя формулы Вейнгартена D.13), подучим
- dn дп dta
А = 8~&=8 dl* ds =
где l^ = lra—контравариантные компоненты вектора /.
Таким образом, вектор Родрига представляется по формуле
d*.= _M+T#/f	G.4)
где
ks^ba^sb, т, = —6aP/«sPf	G.5)
ks — нормальная кривизна, а т5 называется геодезическим кру-
кручением поверхности в направлении s.
2. Геодезическое кручение. Геодезическое кручение т^ в дан-
данной точке поверхности в направлении s зависит лишь от соот-
соответствующего нормального сечения, причем его знак опреде-
определяется ориентацией триэдра /, s, л. Это сразу видно из формулы
G.6)
которая является иной записью соответствующей формулы G.5).
Кроме того, из формулы G.6) следует, что геодезические кру-
кручения поверхности, соответствующие двум взаимно перпенди-
перпендикулярным нормальным сечениям, отличаются лишь знаком, т. е.
тл = ~т?.	G.7)
Нужно пояснять происхождение названия геодезического кру-
кручения Ту. Рассмотрим некоторую гладкую кривую L в про-
пространстве. Пусть 5, т, Ь — орты касательной, главной нормали
и бинормали кривой L в некоторой ее точке (рис. \9), b = sxm.
Имеют место формулы Серре — Френе
ds ,	dm	i , . db	,n оч
km	ks + *b	*m	G.8)
где k — кривизна, a x — кручение кривой. Первую из этих фор-
формул мы уже имели выше (формула E.4)). Вторая сразу следует
6 И. Н. Векуа

162
ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. V
из первой, если учесть, что sdm =
так:
mds. Третья доказывается
~^^-^-(sxm)=-kmxm
sx(—ks + nb) =
= —%m.
Рис. 19.
G.9)
Рассмотрим теперь в качестве L геодезическую
линию, проходящую в рассматриваемой фиксиро-
фиксированной точке Р в направлении s. Вдоль геодези-
геодезической линии ее главная нормаль т и нормаль
п поверхности коллинеарны. Допустим, что п =
= т. Тогда, очевидно, b = l и в силу формулы F.1)
ks — k и вектор Родрига, согласно формулам Сер-
ре — Френе, будет иметь вид
dn dm	i , ,	„,n,
-т- = —j-= — ks-hxb,	G.10)
as ds	v '
Тот же результат бу-
где x— кручение рассматриваемой геодезической кривой. Срав-
Сравнивая G.10) с G.4), получим, что i
дем иметь в том случае, когда п =
— —ту так как тогда Ь=—/.
Следовательно, геодезическое кру-
кручение поверхности в направлении s
в некоторой точке Р совпадает с
кручением геодезической линии по-
поверхности, которая проходит через
ту же точку и касается s.
3. Геодезическая кривизна. Рас-
Рассмотрим вновь некоторую гладкую
кривую L, принадлежащую поверх-
поверхности. Пусть s и / — орты каса-
касательной и тангенциальной нормали кривой L в некоторой ее
точке Р (рис. 20). Дифференцируя s и / по дуге кривой L, полу-
получим следующие легко доказуемые формулы:
Рис. 20.
ds
dl_
ds
G.11)
где ks — нормальная кривизна поверхности в направлении s,
a kg—так называемая геодезическая кривизна кривой, которая
в силу G.11) выражается по формуле
причем sa = -j^~. Как видно из G.11) и E.4),
—kg = kml = ks\nQ,
G.12)
G.13)

§ 81	ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ	163
где 0—угол между главной нормалью т кривой L и нормалью п
поверхности. Для геодезической кривой главная нормаль и
нормаль поверхности коллинеарны, т. е. sin 6 — 0 и, следова-
следовательно, геодезическая кривизна геодезической кривой равна
нулю. Вообще, геодезическая кривизна зависит как от кривой,
так и от поверхности, на которой кривая расположена. Это
хорошо видно из формулы: &| + &s —&2> k зависит только от
кривой, a ks — от поверхности.
§ 8. Главные направления поверхности. Главные
кривизны. Гауссова (главная) и средняя кривизны
1. Главные направления поверхности. Средняя и гауссова
кривизны поверхности. Эйлерова разность. Пользуясь формулами
Вейнгартена D.13), вектор Родрига можем записать еще так:
где sa — ковариантные компоненты вектора s. Но мы уже ви-
видели выше, что вектор Родрига равен —/j^s + t^/. Отсюда видно,
что вектор Родрига коллинеарен с направлением s только в том
случае, когда соответствующее геодезическое кручение xs по-
поверхности обращается в нуль. Направления, для которых это
условие выполняется, называется главными направлениями по-
поверхности. Таким образом, вдоль всякого главного направления
должно выполняться условие
В силу (8.1) это условие можно переписать в виде
ЪраГ* =
Отсюда имеем
(8-3)
Таким образом, мы здесь имеем задачу на собственные значения
тензора 2-го ранга Ь%, которую изучили в общем виде выше
(гл. III, § 10, п. 4). Равенства (8.3) могут иметь ненулевое
решение лишь при выполнении условия
bl~ks ?* =0.	(8.4)
Следовательно, нормальная кривизну ks в главном направлении
поверхности удовлетворяет квадратному уравнению
+K = 0,	(8.5)

164 ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	1ГЛ. V
где
2H = brt К = Ъ\Ы—Ь\Ь\.	(8.6)
Очевидно, Н—инвариант. Докажем, что К — также инвариант.
Это следует из второго равенства (8.6), если	его запишем в
виде
*4bfbl	(8.7)
или
1
(8.7а)
где сар и саР — ковариантные и контравариантные дискрими-
нантные тензоры поверхности.
Величина Н называется средней кривизной, а К,—глав-
К,—главной или гауссовой кривизной поверхности.
Из (8.5) для нормальной кривизны в главном направлении
имеем
ka = H ±VH*-K =H ±VT,	(8.8)
где Е~Н2— К- Очевидно, Е— скаляр, который называется эйле-
эйлеровой разностью поверхности. Докажем, что Е^О. Так как Е
есть скаляр, то наше утверждение достаточно доказать относи-
относительно некоторой специально выбранной системы координат.
Пусть Р — произвольно фиксированная точка поверхности. Возь-
Возьмем локально декартову систему координат поверхности отно-
относительно точки Р. Тогда в точке Р аа^ = Ьа^, <2аЭ = 6аР и в силу
формул (8.6) имеем
1
—ыы + ь\ы = 1 (ы-ыу + (М2 > о- (8.9)
Это неравенство выполняется в фиксированной точке Р поверх-
поверхности. Но в качестве таковой мы можем взять любую точку
поверхности. Следовательно, неравенство (8.9) имеет место всюду
на поверхности, и наше утверждение доказано.
Точка поверхности, где Е = 0, называется омбилической или
точкой округления. Ниже мы докажем, что поверхность, для
которой все точки омбилические, есть сферическая поверхность
(в частности, плоскость).
2. Главные кривизны поверхности. Линии кривизны. Как
видно из (8.8), в каждой не омбилической точке существуют
два (и только два) главных направления s' и s", причем соот-
соответствующие нормальные кривизны kx и ?2 поверхности выра-

§ 8]	ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ	165
жаются формулами
k1 = H + V"E1 kt = H — VT.	(8Л0)
Докажем, что главные направления взаимно перпендикулярны.
В силу (8.3) можем написать
fi=-kf".	(8.11)
Умножая скалярно первое из этих равенств на s", а второе
на s\ а затем одно вычитая из другого и принимая во внима-
внимание симметричность тензора 6аР, получим
{k2 — k1)s's" = 0.
Так как кхфк2 (Е > 0), то имеем srs" = 0, что и требовалось
доказать.
Мы должны выбрать главные направления в каждой точке
таким образом, чтобы триэдр s', 5", п был правого вращения
s'xs" = n.	(8.12)
Из (8.10) получим
2}/W = kl — k2, K = kx-kt.	(8.13)
Таким образом, при соблюдении условия (8.12) выполняется
неравенство kt^k2. Величины кх и k2 называются главными
кривизнами поверхности. Их обратные значения
^=ib *.-тг	(8Л4)
называются главными радиусам и кривизны поверхности.
Следует заметить, что знаки главных кривизн ky и kt, а также
средней кривизны Н поверхности зависят от выбора направле-
направления нормали поверхности. Это видно из формул
При перемене направления п на противоположное, знаки kt и
kz, а также Н меняются. Но чтобы сохранить ориентацию три-
триэдра s\ s", n, необходимо поменять обозначения: s' и s", а также
kx и k%. Поэтому kx и k2, а также Я являются относительными
скалярами поверхности, зависящими от выбора направления
поля нормалей п. Что же касается ? и /С, то они не зависят
от выбора направления поля нормалей поверхности. Следова-
Следовательно, К и Е являются абсолютными скалярами поверхности.
Кривая на поверхности, имеющая в каждой точке направле-
направление, совпадающее с одним из главных направлений в этой точке,
называется линией кривизны поверхности. В каждой не
омбилической точке проходят две линии кривизны, причем они

166	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
пересекаются под прямым углом. Это условие можно сохранить
и в омбилической точке, выбирая в качестве главных направ-
направлений два взаимно ортогональных направления, обеспечив при
этом гладкость линий кривизны в омбилических точках.
3. Формула Эйлера. Рассмотрим в некоторой точке Р по-
поверхности главное направление 5' и некоторое касательное на-
направление s. Пусть ф — угол между s и s'. Используя формулу
дифференцирования по направлению, напишем
dn dn , /\ . dn . , „ч	/о л п\
¦dT = "^C0S^' s)+-lprsm(s, s").	(8.16)
Отсюда в силу (8.2) имеем
^j~=—fejS'coscp — /?2s"sinq).	(8.17)
Умножая обе части этого равенства скалярно на s и учи-
,	dn
тывая, что ks =—s~l~-> получим равенство
^ = felCos^ + ^2sina9,	(8.18)
известное под названием формулы Эйлера. Ее можно записать
еще так:
^ = Я+]/?~соз2ф.	(8.19)
Отсюда следует, что средняя кривизна равна нормальной
кривизне поверхности вдоль биссектрис углов между главными
направлениями (<р = я/4, Зя/4). Как видно из G.4), геодезическое
кручение выражается по формуле
т, = /-^-.	(8.20)
Но, имея в виду, что /s' = sin(p, Is"'=—соБф, в силу (8.17)
получим формулу
тж = —?-(*!! —fca) sin 2ф = — VT s\n2q%	(8.2I)
выражающую геодезическое кручение поверхности для любого
направления посредством эйлеровой разности. Из этого ра-
равенства видно, что при ф = Зя/4 и я/4 геодезическое кручение
Ту достигает максимального и минимального значений т, = ~±V~E
соответственно. Из (8.21) следует также, что т^Ов омбили-
омбилической точке поверхности. Следовательно, в омбилической точке
любое касательное направление является главным.

§ 9]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТИ	167
§ 9. Дифференцирование тензоров поверхности
1. Ковариантные и контравариантные производные от компо-
компонент тензора поверхности. Абсолютная производная тензора по-
поверхности. В случае поверхности ковариантные производные,
которые будем обозначать символами Va, образуются с помощью
символов Кристофеля 2-го рода Га$к, введенных нами в рассмотре-
рассмотрение выше, в § 4. Греческие индексы, принимающие значения
1, 2, будут указывать, что операторы ковариантных производ-
производных Va относятся к поверхности.
Ковариантные производные от скаляра ц> совпадают с обыч-
обычными производными
Ч«Ч=*-§г («=1, 2).	(9.1)
Следовательно, ковариантные производные от скаляра сос-
составляют ковариантный вектор, который называют градиентом
скаляра и обозначают grad(p.
Ковариантные производные ковариантных и контравариант-
ных тензоров 1-го ранга Аа и Аа выражаются, соответственно,
по формулам
<9-26)
Ковариантные производные тензоров 2-го ранга на поверхности
выражаются по формулам
(9.3а)
dfa$
г. ?«• °1'& 1. Г .art-	Г ?vfct.	/п oR\
VY/.p = ^T"^ v '*p 1vP/-x-	^у.сзв;
С помощью этих формул, учитывая равенства D.5) и A.18),
легко обнаружим, что ковариантные производные компонент
метрического тензора поверхности равны нулю:
VvaaP = O, VvaaP = O, V7a? = O.	(9.4)
Аналогично докажем, что ковариантные производные компонент
дискриминантного тензора также равны нулю:
O, V7caP-O, V^? = Of V?p = 0.	(9.5)

168	тензоры поверхности	[гл. v
Поэтому компоненты метрического и дискриминантного тензоров
в отношении операций ковариантного дифференцирования ведут
себя так, как постоянные множители при обычном дифферен-
дифференцировании произведения постоянной на функцию. Например,
Vv (а«ИЛ) = а^уА\ \у (са*Ак) = c^VyAx.	(9.6)
Из формул (9.2)—(9.3) нетрудно теперь получить следующее
общее правило образования ковариантных производных тензора
произвольного ранга на поверхности:
at...a
, у aai...a5-iYa* + i"-aer,«* _ Y а«* ¦ „ • ¦ R ¦ • ¦«? Т^Ч. (9.7)
i^ XJ Pi	рр х AY ^hJ Pi---pj-iYPj + i-.-pp ' 5 ч '
Матрица Vbfig1?* представляет тензор (n-j-l)-ro ранга типа
(л+1, <7). Тензор (9.7) эквивалентен следующему тензору:
^^.¦.¦¦.pJ^^Vaflg.-JJ.	(9-8)
Компоненты этого тензора называются конпгравариантными
производными от компонент тензора ^'•¦¦^.
Совокупность ковариантных и контравариантных производных
всех компонент тензора А п-го ранга поверхности образует класс
эквивалентных тензоров (п-\-\)-го ранга. Этот тензор назовем
абсолютной производной тензора А и обозначим через
\А или grad A,
С помощью формул (9.7) и (9.8) легко доказывается, что ко-
вариантные и контравариантные производные суммы, разности
и произведения тензоров подчиняются обычным правилам диф-
дифференцирования соответственно суммы, разности и произведения
функций.
2. Расходимость вектора поверхности. Аналог формулы
Гаусса — Остроградского (формула Стокса). Сокращением ин-
индексов а и |3 из формул (9.26) получим инвариант
-.	0.9)
который носит название расходимости или дивергенции вектора
А и обозначается символом divА.
Докажем теперь справедливость формулы
= l AU)ds,	(9.10)

§9]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ПОВЕРХНОСТИ
169
где S — поверхность, a L — ее граница, Аи)— проекция вектора
А на тангенциальную нормаль / кривой L, АA) = Аа1а (рис. 21).
Предположим, что L — совокупность конечного числа кусочно
гладких кривых Жордана. Относительно вектора А предпола-
предполагаем, что он принадлежит поверхности 5, непрерывен в S-\-L и
имеет непрерывные производные внутри 5. Направление обхода
на L выбираем так, чтобы / — sxn, где s —орт касательной к L.
Рис. 21.
Рис. 22.
Предположим сначала, чтобы поверхность 5 вместе с границей
отображается топологически (т. е. взаимно однозначно и непре-
непрерывно) на замкнутую область Т плоскости ?х, |2, причем гра-
граница L поверхности S отображается топологически на границу
Г области Т (рис. 21 и 22). Мы будем, кроме того, считать, что
коэффициенты метрической квадратичной формы обладают непре-
непрерывными производными первого порядка и Г состоит из конеч-
конечного числа кусочно гладких кривых Жордана. __
Выражая элемент площади по формуле dS = Y^ad^dh,2, в силу
(9.9) напишем
+
(9.11)
Преобразуя теперь двойной интеграл в контурный по известной
формуле интегрального исчисления, в силу B.25) будем иметь
J	= J Aalads =
L	L	L
что и доказывает равенство (9.10). Эта формула является ана-
аналогом формулы Гаусса — Остроградского для тройного интеграла.
Нетрудно теперь обобщить формулу (9.10) на тот случай,
когда поверхность 5 можно подразделить на конечное число

170	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
подобластей Sl7 ..., Sm, которые могут быть отображены топо-
топологически на плоские области. Завершение доказательства этого
предложения предоставляется читателю.
Записав формулу (9.10) в виде
нетрудно обобщить ее на случай, когда Аа—контравариантный
тензор 1-го ранга' из V(F). Для этого достаточно воспользо-
воспользоваться инвариантностью подынтегрального выражения:
1 дУаАа 1 д V7A*'
что нами было доказано выше (см. формулу (IV, 3.23)).
3. Оператор Лапласа на поверхности. Формула Грина. Пусть
ф —скаляр поверхности. Рассмотрим инвариант VaVa<P> кото-
который в силу (9.9) равен
VaVaq> = VaVacp = divgrad<p.	(9.13)
Этот инвариант называется оператором Лапласа на поверхности.
Обозначим его символом Дф, сохранив символ Аф для обозна-
обозначения обычного оператора Лапласа
Y~ дх* ' ду* "
В силу формулы (9.9)
_	_ ^Ф
А го ^ * д Vй Уа Ф _ 1 a /«ДаР~дВ"	(9.14)
V /а ^а	/а 	a|S	•
Эта формула справедлива относительно любой системы коорди-
координат на поверхности.
Пусть имеем ортогональную систему координат. Тогда
п —а12 — 0 л11 —	л2а
и формула (9.14) принимает вид
Если в формуле (9.10) в качестве вектора А возьмем grad <p и
учтем, что

§10]	СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ	]7\
то получим формулу Грина для поверхности:
§ 10. Связь между первой и второй основными квадратичными
формами поверхности. Повторные ковариантные производные
Операции ковариантных производных тензоров поверхности,
в отличие от случая евклидова пространства, не обладают свой-
свойством коммутативности, т. е. операции VaVp и VpVa (аФ$), при-
примененные к тензорам поверхности, дают, вообще говоря, неоди-
неодинаковые результаты. Это было доказано нами выше (гл. IV,
§ 2, п. 8). Но здесь, пользуясь тем фактом, что риманово много-
многообразие дано в виде поверхности, погруженной в трехмерное
евклидово пространство, дадим вывод соответствующей формулы
и выражения тензора Римана через символы Кристофеля ГаР
поверхности.
Предварительно мы выведем формулы, которые связывают
между собой коэффициенты первой и второй основных квадра-
квадратичных форм поверхности. При выводе этих формул, которые
представляют основу теории поверхностей, естественным путем
вводится в рассмотрение тензор Римана — Кристофеля для по-
поверхности, внешнее строение которого совпадает с формулой
(IV, 2.30).
1. Уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци. Тензор Рима-
Римана— Кристофеля. Дифференцируя относительно ?v обе части
деривационных формул Гаусса
и затем используя эти же формулы, а также формулы Вейнгар-
тена пу — — ЬуГх, получим
A0.2)
Переставляя в этой формуле местами индексы |3 и у, будем иметь
+re/Oll. A0.3)

J72	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
Вычитая A0.3) из A0.2) и учитывая, что rapv = ravp, получим
/ дГстр дГ^у , г ^р v р ^,р v . , ,v , ,v\
( ~Г	Mp iK ~~~ L 1 Ap +OOp — 0^0
y
/db db ..	.	\
11 = 0. A0.4)
Так как векторы rx, r2, w некомпланарны, то имеем следующие
равенства:
дТ v дГ v
^^ r/r,/-ra/r,p^6ap6v-6av6^ A0.5)
Уравнения A0.5) w A0.6), которые связывают между собой
коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм
поверхности, играют фундаментальную роль в теории поверхно-
поверхностей; они называются у равнениями Гаусса и Петер-
сон а— Кодацци соответственно.
Как видно, правые части равенств A0.5) представляют тензор
поверхности 4-го ранга типа C, 1). Поэтому и левые части этих
равенств составляют тензор. Обозначим его через
дТ av дТ v
^•«Pv=-^	^ + Га/Г7^-Га/Гря\ A0.7)
Это есть тензор кривизны или тензор Римана—Кристофеля для
поверхности.
Умножая обе части равенства A0.7) на а^у и сокращая ин-
индексы, в силу формул D.7) мы можем привести систему урав-
уравнений Гаусса к следующему виду:
о __^Гкр, у _aVTv ! г А-Г	Г *-Г	—
^vaPv	у	Z г -I ос|3 * kv, V -1 av l Яр, v—•
= Ьафуу—ЬауЬ^. A0.8)
Докажем, что
A0.9)
где К—главная кривизна поверхности, а са$—дискриминантный
тензор, заданный равенствами B.12). В самом деле, в силу D.3)
Ьафум — ЬауЬр» = [(ПаГр) Гу—(паГу) Гр] П^ - [па X {гу X Гр)] Щ =
= cyP (na хй)»м = суф№>1 {rv хп)гх =
^	A0.10)
что и требовалось доказать. Для получения последней части

§ 10]	СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ	173
этих равенств мы воспользовались формулами
*S№*v = {b]J)l-blbl) УИ= /Ссйа,	A0.11)
которые легко проверяются при помощи формулы (8.7).
Таким образом, уравнения Гаусса можно записать в виде
A0.12)
Теперь легко видеть, что система равенств A0.12) по существу
эквивалентна одному уравнению
о _??Hl2 аГ13-3 г М\ + Г Ч\ -Л-/? ПО 1^
где л—дискриминант первой основной квадратичной формы по-
поверхности.
Вычитая из обеих частей равенства A0.6) сумму Г?ря^,
в силу формул (9.3а) получим запись уравнения Петерсона —
Кодацци в тензорной форме:
В силу симметричности тензора Ьа$ эта система эквивалентна
системе двух уравнений
VAw-VA.^. VAi-Vx&x.^O.	A0.15)
Уравнение Гаусса A0.13) и система уравнений Петерсона —
Кодацци A0.15), как уже отмечалось выше, составляют фунда-
фундамент теории поверхностей. Можно доказать и обратное предло-
предложение: если коэффициенты положительно определенной квадра-
квадратичной формы Gapcf?ad!p и квадратичной формы ba$a%adl? свя-
связаны соотношениями A0.12) и A0.14), то существует поверх-
поверхность, определенная с точностью до движения, на которой метрика
выражается квадратичной формой aaP d\a d|p и для которой
6apd?ad?p является второй основной формой. Здесь предпола-
предполагается, что тензоры aaP и Ьа$ симметричны. Обычно эта теорема
доказывается в локальной постановке задачи (см., например, [3]).
2. Повторные ковариантные производные. Тензоры Риччи и
Эйнштейна. Если проделать выкладки, используя формулы (9.3)
и A0.7), то получим следующие соотношения:
VvVpAv-VpVvAv-^TapH«,	A0.16)
которые мы уже выводили в общем случае (см. формулу (IV, 2.33)),
где Аа—контравариантный вектор поверхности, а Rv.a^—ветре*
тившийся нам уже выше тензор Римана — Кристофеля.

174	ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ	[ГЛ. V
В силу A0.9) и A0.5)
Cp; = Vv-Mp= KcZc^y.	A0.17)
Из этих соотношений видно, что тензор Римана — Кристофеля
равен нулю тогда и только тогда, когда гауссова кривизна К = 0.
Следовательно, на всякой поверхности нулевой гауссовой кри-
кривизны (и только на ней) тензор Римана — Кристофеля тождест-
тождественно обращается в нуль.
Таким образом, на поверхностях нулевой гауссовой кривизны
(/^ = 0) (и только на них) операции ковариантных производных
обладают свойством коммутативности.
Опуская в A0.17) индекс v вниз, вновь получим выражение
A0.12) для ковариантного тензора Римана — Кристофеля
I(cavc$y	A0.18)
Отсюда вытекают следующие равенства:
P>	A0.19а)
A0.196)
Таким образом, все компоненты тензора Rvap7 Равны нулю,
за исключением четырех: #1212, /?шг> #2121» #1221» причем в силу
A0.18)
#1221 = ^2X12 = - #1212 = ~ #2121 = М,|-(У'=^ (Ю.20)
Из формулы A0.18) в силу (9.5) получим
\kRvafi4 = СауС$удкК.	A0.21)
Отсюда легко получим тождества Бианки
V*#vaPv + Vp#VavX + Vv#vaXP =0.	A0.22)
В силу A0.18) формулы A0.16) принимают вид
Vv^fiAv—V^yAv = RwMAa = KcMcavAa.	A0.23)
Для произвольного тензора а^'"^ имеют место формулы
w?\:.:!;- ь *А\\\%=къЛ\-::.%. (ю.24)
где
В частности, если ф есть скаляр, то будем иметь
O.	A0.25)

§ ю]	СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ	175
Формулы B.24а) можно записать иначе, если введем специ-
специальную операцию на поверхности, реализующую поворот вектора
в касательной плоскости на угол эх/2. Пусть Аа — контравари-
антные компоненты вектора поверхности. Рассмотрим вектор А*
с ковариантными компонентами
Лр, = сарЛа.	A0.26)
Здесь ft* следует рассматривать как индекс р, а звездочка озна-
означает, что этот индекс получен в результате применения операции
опускания индекса при помощи дискриминантного тензора са$
согласно формуле A0.26). Легко проверить, что векторы А*=А$*г$
и А = Аага взаимно ортогональны и, кроме того, их длины
равны. В самом деле,
А А = А^А* = саРЛаЛР = У a (AM2 — А2А1) = 0, A0.27)
v =
г = ЛаЛа = ИЦ2. A0.28)
Таким образом, преобразование A0.26) осуществляет поворот
вектора в касательной плоскости на угол я/2. Поэтому опреде-
определенную формулой A0.26) операцию назовем ортогональным вра-
вращением.
Нетрудно видеть, что это вращение осуществляется так, что
векторы А, А* и п составляют триэдр правой ориентации:
А х А* = АаАр*га хгр = саРЛйЛ,з,л =
т. е.
ЛхЛ*Н|Л||гл.	A0.29)
Операцию ортогонального вращения можно применять к любому
тензору, опуская или поднимая индексы при помощи тензоров саР,
сар, причем соответствующие индексы, будем снабжать указате-
указателем *. Например,
Используя это правило, формулу A0.23) можем записать так:
VvV/Hv— VpVHv = KcPvi4v-	A0.30)
Общая формула A0.24а) принимает теперь вид
-4-J'1'"^q~
.ap

176
ТЕНЗОРЫ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. V
Если в A0.17) произведем сокращение индексов v и у, то
получим ковариантный тензор Риччи
Ra» = R^v = baf^-bCBJbl = Kaati.	(Ю.32)
A0.33)
Рассмотрим смешанный тензор Риччи
Сокращая индексы, получим
r=sR*==rv«^ = 2K.	A0.34)
Таким образом, удвоенная гауссова кривизна поверхности
представляет собой сокращенный тензор Риччи или, что то же
самое, двухкратно сокращенный тензор Римана—Кристофеля.
При помощи формулы A0.34) определение главной кривизны
можно обобщить на любое риманово многообразие.
Тензор Эйнштейна Gap, рассмотренный выше (гл. IV, § 2, п. 8),
для многообразия двух измерений тождественно обращается
в нуль. В самом деле, в силу A0.32) и A0.34) имеем
Ga9 = Rap—jRaa(i = Kaafi — Kaafi = 0.	A0.35)

ГЛАВА VI
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ
И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой главе мы рассмотрим некоторые специальные коор-
координатные системы, которые имеют важные применения в вопро-
вопросах дифференциальной геометрии и механики.
§ 1. Координатная система в линиях кривизны
1. Выражения для первой и второй основных квадратичных
форм поверхности. Рассматривая сеть линий кривизны в качестве
координатной системы на поверхности, будем иметь
fl18 = 0, &„ = 0.	A.1)
Первое равенство есть следствие ортогональности главных
направлений, что нами было доказано выше (гл. V, § 8, п. 2),
а второе, используя этот факт, докажем просто:
b12 = — n1r2 = kir1r2 = ka12 = 0.	A.2)
Здесь мы воспользовались тем фактом, что для главного на-
направления
Вводя теперь обозначения, которыми обычно пользуются
в дифференциальной геометрии для координатной системы в ли-
линиях кривизны,
alx = A\ а22 = В2 (flia = fl,1 = 0)f	A.3)
будем иметь
а = А*В\ all=-^, а22 = ^г, а12 = а21 = 0,	A.4)
&u = M2. b22 = k2B2, b12 = b21 = 0,	A.5)
где kx и k2 — главные кривизны поверхности.

178	" СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
Обозначая в рассматриваемом случае гауссовы координаты
I1 и ?2 через | и ц соответственно, для первой и второй основ-
основных квадратичных форм поверхности получим выражения
A.6)
*di\*.	A.7)
2. Символы Кристофеля. Уравнения Гаусса и Петерсона —
Кодацци. Оператор Лапласа. Из формул (V, 4.7), (V, 4.8), A.1)
и A.3) для символов Кристофеля 1-го и 2-го рода получим сле-
следующие выражения:
* 11,2
Т< 2
ill
= А-
l
'Ж~А
ал
АдА
дА
А дА
В2 дц'
*¦ 12.1
*¦ 12.2
Г 1
1 12
Г 2
А 12
— * 81,1
р
' Л 21,2
Г1 1
= ¦121
Г1 2
= 121
1
~ Л
1
~ В
дц '
as
ал
дц '
дВ
dl *
^ 22Л
1 22,2
J 22
1 22
б дВ
1 ая
= Т"агГ'
A
A
.8а)
.86)
Если теперь воспользуемся формулами (V, 9.3), (V, 10.13),
(V, 10.15), A.8) и A.5), то уравнение Гаусса и система урав-
уравнений Петерсона—Кодацци соответственно примут вид
Д ~~ АВ [dl\A dl) + дц \В дц )\ '	^'^
dhA_k дА dk2B_ дВ	, im
~дц~~Ягдц' "dT~l'W'	{ '
Обозначая через и и v физические компоненты вектора Л
поверхности относительно системы координат в линиях кри-
кривизны, будем иметь
Отсюда видно, что
Л1 = Л/* = -?, А^Аг" = ~,	A.12)
и в силу (V.9.9) имеем
dAv
АВ{1Щ Иц)
В силу (V, 9.15) и A.3) для оператора Лапласа получим
формулу
dl\A dl )Т дц\В

§ 1]	КООРДИНАТНАЯ СИСТЕМА В ЛИНИЯХ КРИВИЗНЫ	179
3. Об одном характерном свойстве сферической поверхности.
С помощью уравнений Петерсона — Кодацци A.10) мы теперь
легко докажем следующее характерное свойство сферической по-
поверхности:
Поверхность, каждая точка которой омбилическая, является
сферической.
Так как /г1 = /г2 = /г, то в силу A.10)
-~- = -з- = 0, т. е. & = const.	0-15)
В силу (V, 4.3) равенства A.5) мы можем записать теперь в виде
Очевидно, имеем также равенства
Таким образом, векторы na + kra перпендикулярны к трем неком-
некомпланарным векторам г1? га, п. Отсюда следует, что «1 + /гг1=О,
яа + /гг2 = 0, т. е.
n + kr = kr0,	A.16)
где г0 — постоянный вектор. Так как пп=\, то из A.16) имеем
(г-гоу = ±.	A.17)
Это, очевидно, есть уравнение сферической поверхности, что и
доказывает наше утверждение.
Таким образом, эйлерова разность Е обращается в нуль тож-
тождественно только для сферической поверхности; очевидно, также
и для плоскости (/e1 = fe2 = 0).
4. О поверхностях нулевой главной кривизны. Торсы. Допу-
Допустим, что главная кривизна поверхности тождественно равна
нулю, т. е. К = kl-k2 — 0. Допустим также, что ^ = 0, k2=^0.
Тогда из уравнений A.10) имеем
A-18)
где ф и т|)—функции, зависящие только от I и ц соответственно.
Но тогда, если ввести новые координаты
О-19)
д
A.20)
первая и вторая основные квадратичные формы примут вид
ds^dx2 + ^d\ kd2 d\

180	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
т. е. координатные кривые л: = const и г/= const, также являются
линиями кривизны: Л = 1, B—l/kj.
Если теперь обратимся к формулам A.86), то увидим, что
для координат х, у
1^ = 1^ = 11 = 0.	A.21)
В силу этого, используя деривационные формулы Гаусса и
равенство b11 = k1-=O, получим
•^r = r^ + 6uJi = 0f т.е. г = хТ(у) + гв(у), A-22)
где Т и гв—векторы, зависящие только от у. Из условий А2 ~
= (г1)г=\ и г1га = 0 следует, что
\Т(у)\ = \ и T(y)r'Q(y) = 0. A.23)
Здесь и ниже штрих обозначает производную относительно у.
Таким образом, поверхности нулевой гауссовой кривизны
принадлежат классу линейчатых поверхностей. Но не всякая
линейчатая поверхность имеет гауссову кривизну, равную нулю
(пример — однополостный гиперболоид).
Как видно из второй формулы A.20), коэффициенты ЬпяЬ12
второй основной квадратичной формы поверхности относительно
координат хну обращаются в нуль:
btl = nr11 = 0> 612=яг12 = 0.	A-24)
Первое из этих равенств есть следствие равенства A.22). Второе
же очевидное условие можем записать в виде
[Тх(хГ + г'о)]Т' = 0 или 7>;Г = 0.	A.25)
Линейчатые поверхности, для которых выполняется равенство
Tr'oT' = Q, называются торсами.
Таким образом, поверхности нулевой гауссовой кривизны явля-
являются торсами, К торсам принадлежат цилиндрические G"= const)
и конические (ro = const) поверхности. Если временно исключить
их из рассмотрения, то из условий Тг'дТ'±=0и Тг'о = 0 следует,
что векторы 7" и г'д коллинеарны, т. е.
Т' = а(у)г:,	A.26)
где а (у)—функция от у.
В силу A.22), A.23) и A.26) для квадрата элемента дуги
поверхности имеем выражение
ds* = drdr = dx2 + (ax+l)*b2dy\	A.27)
где 6я—rf. Сравнивая A.27) с первой формулой A-20), будем
иметь
±- = {ах+\уь\	A.28)
«2

§ 2]	КООРДИНАТНАЯ СИСТЕМА В АСИМПТОТИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ	181
Вводя теперь новые переменные по формулам
, v = xs'mc-\- ^ bcoscdy, A.29)
где
c=\abdy,	A.30)
легко найдем, что
ds* = du2 + dv\	A.31)
Таким образом, на поверхности нулевой гауссовой кривизны
имеется декартова система координат и, v. Следовательно, такие
поверхности развертываются на плоскость.
Нетрудно теперь видеть, что не существуют поверхности не-
ненулевой гауссовой кривизны, развертывающиеся на плоскость.
В самом деле, если бы существовала такая поверхность, то на
ней имелась бы декартова система координат, относительно кото-
которой первая квадратичная форма имела бы вид A.31), но тогда
относительно этой координатной системы символы Кристофеля
1-го и 2-го рода равнялись бы нулю, а это в силу формулы
(V, 10.13) приводит к равенству К = 0, что противоречит нашему
допущению.
Таким образом, торсы (и только они) составляют класс по-
поверхностей, для которых гауссова кривизна обращается тожде-
тождественно в нуль. Этот класс поверхностей включает в себя пло-
плоскости, цилиндрические G = const) и конические (го = const)
поверхности, а также поверхности, образованные касательными
к пространственным кривым. Эти кривые суть огибающие семей-
семейства прямых у = const, заданных уравнением A.22). Исключая
переменную х из уравнений
получим уравнение огибающей в виде
или в силу A.26)
-гЛУ)-	A-33)
§ 2. Координатная система в асимптотических линиях
Рассмотрим теперь поверхность отрицательной кривизны К =
— kxk% < 0. Так как У Е — YН%—К > Н, то из формулы Эйлера
ke = fex cos2 ф + кг sin2 ф = Н + Videos 2ф	B.1)

182	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
следует, что в каждой точке поверхности проходят два направ-
направления, вдоль которых соответствующая нормальная кривизна
поверхности равна нулю. Эти два касательных направления на-
называются асимптотическими направлениями или асимптотами
поверхности. Угол между ними определяется из равенства
tgo) = -^.	B.2)
Отсюда видно, что tgco^O и, следовательно, асимптотические
направления нигде не коллинеарны, причем они ортогональны
только в тех точках, где средняя кривизна Н обращается в нуль.
Кривая на поверхности, которая в каждой точке имеет в ка-
качестве своей касательной одно из асимптотических направлений,
проходящих через эту точку, называется асимптотической кривой
поверхности. Через каждую точку поверхности отрицательной
кривизны проходят две асимптотические кривые, причем угол
между ними определяется по формуле B.2) и удовлетворяет
условию 0 < со < л. Поэтому на поверхности отрицательной кри-
кривизны в качестве координатных линий можно взять асимптоти-
асимптотические кривые. Докажем, что для этой системы координат коэф-
коэффициенты второй основной квадратичной формы поверхности
удовлетворяют условиям
&и = 0, 622 = 0, Ь12фО.	B.3)
По определению, для асимптотического направления соответст-
соответствующая нормальная кривизна обращается в нуль, т. е.
ks = ba^ = O (s = sara).	B.4)
Но если асимптотическая кривая совпадает с координатной ли-
линией ?2 = const, то Б^^фО, s2 = 0 и, следовательно, как видно из
B.4) ЬХ1 = 0. Если же вторая координатная линия ?х = const сов-
совпадает с другой асимптотической линией, то s1 — 0, s2^=0 и,
следовательно, Ь22 = 0. Таким образом, в системе координат
в асимптотических линиях нормальная кривизна поверхности для
любого касательного направления выражается по формуле
ks = bltsW.	B.5)
Отсюда видно, что Ь12 Ф О, так как ks обращается в нуль только
для двух касательных (асимптотических) направлений (из рас-
рассмотрения исключается случай плоскости, для которой, очевидно,
В силу формулы B.5) вторая основная квадратичная форма
принимает вид
U^ksds2 = b12dldr\.	B.6)

§3]	ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ	183
Нетрудно доказать и обратное утверждение, что если вторая
основная квадратичная форма имеет вид B.6), то координатные
кривые I = const и r\ = const являются асимптотическими линиями
поверхности.
В силу B.3) из (V, 10.9) имеем
blt=±V=aK.	B.7)
Выбор знака перед радикалом зависит от ориентации триэдра
г1г г2 и п. Это видно из формулы
Ь12 = пг12.	B.8)
Теперь нетрудно выяснить, как надо выбирать знак перед ради-
радикалом в формуле B.7).
Всякая окрестность точки поверхности отрицательной кри-
кривизны (К < 0) имеет седлообразную форму и делится асимптотиче-
асимптотическими направлениями на четыре части, причем две из них явля-
являются вогнутыми и две выпуклыми. Пусть между положительными
направлениями координатных линий заключена вогнутая часть
поверхности. Если нормаль п к поверхности направлена в сто-
сторону вогнутости этой части, то Ь12 > 0. В противном же случае
bl2 < 0. Эти выводы легко получаются из формулы B.5) и тео-
теоремы Менье.
§ 3. Изометрическая система координат на поверхности.
Система уравнений Бельтрами и ее гомеоморфизмы
1. Система уравнений Бельтрами. Гомеоморфизмы уравнения
Бельтрами. На всякой регулярной поверхности существует так
называемая изометрическая система координат, относительно ко-
которой первая основная квадратичная форма имеет вид
ds2 = A(du2+dv2), Л>0.	C.1)
Выше мы доказали, что такая система координат существует на
торсах, т. е. на поверхностях, развертывающихся на плоскость
(/С = 0). Тогда можно считать Л=1. Примерами таких поверх-
поверхностей являются цилиндрические и конические поверхности.
Существование изометрической системы координат на любой
поверхности не очевидно и требует специального доказательства.
Ниже мы укажем метод доказательства этой теоремы, строгое
обоснование которого можно найти в книге автора ([1], гл. 2).
Первую основную квадратичную форму можно записать так:
= — [ап ^х + (а12 -f i V~a) dy] [an dx + (a12 — iVa) dy]. C.2)
Здесь мы приняли обозначения 11 = х, ?,2 = у. Допустим, что

184	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
существует функция jx = ф -f i-ф такая, что произведение
(л [audx + (а12 +iVo) dy\ есть полный дифференциал некоторой
комплексной функции w = u(x, y)-\-iv(xt у), т.е.
dw. C.3)
Это равносильно равенствам
dw дш /
Отсюда следует, что функция w удовлетворяет уравнению
(fl12 + t Va)-^ — au —= 0,	C.4)
которое можно записать еще в форме
0,	C.5)
OZ	OZ
где
C.6)
а—ш12
±)	C.7)
± ( + i
5г 2 V дх ду
Нетрудно видеть, что функции и и v — вещественная и мни-
мнимая части функции w, удовлетворяют следующей системе (веще-
(вещественных) уравнений с частными производными первого порядка:
ди	ди -./-- dv A
afl^fl 0
dv	dv . ,/— ди n	\ • )
а,»-г	fln -3— 4-1/ a -5- = 0.
Она называется системой уравнений Белыпрами. Равенство C.5)
является комплексной формой записи системы уравнений Бельт-
рами.
Если а11 = а22ф0, a12 = 0, то получим систему уравнений
Коши — Римана
~dx~~dy~v' 'ду~^дх~К)>	^'^
которая в комплексной форме записывается так:
-^-=¦0, w = u4-iv.	(ЗЛО)
дг '	^	v ;
Заметим, что если выполняются условия au = a23=?0, a12 = 0, то
квадратичная форма C.2) имеет вид C.1).

§ 3]	ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ	185
Как известно, общее решение системы уравнений Коиш—Ри-
мана выражается по формуле
w = <b{z), z = x + iy,	C.11)
где Ф— произвольная аналитическая функция от z. Это свойство
обобщается на решения системы уравнений C.8) в следующей
форме.
Пусть ?(х, у) = 1 (х, у) \-tr\ (х, у) — некоторое частное решение
уравнения C.5) в области D плоскости z = x-\-iy. Тогда всякая
функция вида
w(x, у) = Ф&(х, у)),	C.12)
где Ф(?)— произвольная аналитическая функция в области ?(?>),
является также решением уравнения Бельтрами C.5) в области D.
Пусть комплекснозначное решение¦?(%, у) уравнения C.5) обла-
обладает еще тем свойством, что функция ? (х, у) реализует тополо-
топологическое (взаимно однозначное и непрерывное) отображение не-
некоторой окрестности фиксированной точки (х0, у0) на окрестность
точки (?0, т]0). Назовем всякое такое решение уравнения Бельт-
Бельтрами его локальным гомеоморфизмом относительно точки (х0, у0).
Тогда все решения уравнения C.5), регулярные внутри некото-
некоторой окрестности точки (х0, у0), выражаются через локальный
гомеоморфизм ? (х, у) при помощи формулы C.12), где Ф (?) —
произвольная регулярная аналитическая функция от ? в окрест-
окрестности точки ?о = Ео + ^о-
Решение w(x, у) уравнения Бельтрами C.5) называется его
гомеоморфизмом относительно области D, если оно реализует
топологическое отображение области D на область w(D).
Таким образом, построение общего решения уравнения Бель-
Бельтрами C.5) сводится к построению некоторого его гомеоморфизма,
реализующего топологическое отображение. Построение гомео-
гомеоморфизмов уравнения Бельтрами представляет в общем случае
довольно трудную задачу и требует применения сложного аппа-
аппарата современного анализа, в частности, теории сингулярных
интегральных уравнений. Эта проблема привлекала внимание
многих математиков (Корн, Лихтенштейн, Лаврентьев, Альфорс
и др.), главным образом в связи с теорией квазиконформных
отображений, весьма тесно связанной с проблемами газовой
динамики (см. [25]). Ниже в общих чертах изложим один способ
построения гомеоморфизмов уравнения Бельтрами, не вдаваясь
в детали доказательства. Строгое его обоснование можно найти
в книге автора [1], гл. 2.
2. Система уравнений Бельтрами с аналитическими коэффи-
коэффициентами. Прежде чем изучать задачу в общей постановке, пред-
предварительно рассмотрим один частный случай. Пусть q(x, у) —
аналитическая функция от вещественных переменных х, у

186	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
в окрестности некоторой точки zo = xo-{-iy0. Представим функцию
q (x, у) в окрестности точки z0 рядом Тейлора в виде
Я{*,У)= 2 ?*.«(*o) (*-*•)* (z-SoI".	C.13а)
k, m = 0
где
Ъ&\т„- (ЗЛЗб)
У = У о
Если в правой части равенства C.13а) заменим z и z независи-
независимыми комплексными переменными z и ?, то получим аналитиче-
аналитическую функцию g (г, ?) двух комплексных аргументов, реализую-
реализующую искомое аналитическое продолжение функции q (x, у) в неко-
некоторую четырехмерную область |г — zo|2 + l?—zo|2<e, которую
обозначим через 5е(г0). Рассмотрим теперь обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение
§ = -<7(z. С), z, C€SeB0).	C.13b)
Пусть ф (z, ?) —некоторый его интеграл внутри SE(z0). Если
Ф (Q — аналитическая функция от ? в области значений функции
Ф (г, г), то формула
w(x, 0)=Ф[<р(г, г)]	C.1 Зг)
дает общее решение уравнения Бельтрами C.5) в окрестности
точки 20. Теперь всегда можно выбрать аналитическую функцию
Ф таким образом, чтобы формула (ЗЛЗг) представляла некоторый
локальный гомеоморфизм уравнения C.5) относительно точки 70.
Указанный выше способ построения гомеоморфизмов уравне-
уравнения Бельтрами сводит задачу к обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению, но зато он относится, во-первых, к частному
случаю, когда коэффициент уравнения — аналитическая функция
от аргументов и, во-вторых, позволяет строить, вообще говоря,
только локальные гомеоморфизмы. Ниже мы укажем общий спо-
способ решения задачи в глобальной постановке.
3. Построение основного гомеоморфизма уравнения Бельтрами.
Предположим, что при помощи гауссовых параметров i1^^,
|2 = г/ поверхность отображается взаимно однозначно и непре-
непрерывно на ограниченную область G плоскости z — x-\-iy. Для
дальнейшего достаточно предположить, что коэффициенты аа$
первой основной квадратичной формы непрерывны и имеют непре-
непрерывные производные в замкнутой области G. Кроме того, выпол-
выполняются условия
ап > 0, агг > 0, a = ana2Z — ai2^a0>0 (в G), C.14)

§ 3]	ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ	187
где а0 — постоянная. Тогда нетрудно видеть, что функция q(x, у),
заданная формулой C.6), удовлетворяет неравенству
\Я(х, у)\<Яо<1, qu^const (в G).	C.15)
Будем считать вне G функцию q(x, у) равной нулю. Это озна-
означает, что вне G система Бельтрами обращается в систему Коши —
Римана и неравенство C.15) выполняется на всей плоскости Е
комплексной переменной z = x-\-it/.
Построим решение уравнения C.5), имеющее вид
1(х, у) = г + Т{р),	C.16)
где
HI^l	(ЗЛ7)
Здесь p(tlt t2) — искомая функция, которую мы предполагаем
суммируемой в Е. Оператор Т(р) обладает следующими свой-
свойствами (см. [1], гл. 1):
„,
дг	дг	У)
Здесь частные производные dj T (р) и dzT (р) надо понимать, вообще
говоря, в обобщенном смысле, и равенства имеют место лишь
почти всюду, причем интеграл следует понимать в смысле глав-
главного значения по Коши. Если функция р удовлетворяет усло-
условию Гельдера, то частные производные dfT (p) и дгТ (р) суще-
существуют в классическом смысле и равенства C.18) имеют место
всюду в области.
Внеся выражение C.17) в уравнение C.5), в силу формул
C.18) получим сингулярное интегральное уравнение
^dt1dt2^q(x,y),	C.19)
которое короче запишем так:
р-
где
<3-20а>
Уравнение C.20) вначале удобно рассматривать в простран-
пространстве Гильберта L2(E). Нетрудно доказать, что оператор Пр об-
обладает свойством (Пр, Пр) = ||р'|а, если р 6 Lt (E). Следовательно,
норма оператора П в L2 равна 1. Это обстоятельство позволяет
доказать, применяя принцип сжатых отображений, что уравне-

188	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
ние C.20) всегда допускает единственное решение в простран-
пространстве L2, причем решение можно строить по методу последова-
последовательных приближений (см. [1J, гл. 2).
Пусть
Ро = Я(х,у), Рп = Я (х, У) Г 1 ~ f J P7/-iVa) dtidt»] <3'21)
(я=1,~2, ...)¦
Эти функции будут удовлетворять условию Гельдера, если q(x, у)
непрерывна в смысле Гельдера на всей плоскости Е.
Можно доказать, что последовательность
)^1d/, (и=1, 2, ...) C.22)
сходится равномерно внутри всякой ограниченной области к функ-
функции ? (х, у), которая непрерывна на всей плоскости z = x + iy,
удовлетворяет уравнению Бельтрами C.5) и реализует тополо-
топологическое (взаимно однозначное и непрерывное) отображение
плоскости Е на себя, причем бесконечно удаленная точка остается
неподвижной. Следовательно, предельная функция ?,(х, у) яв-
является одним из гомеоморфизмов уравнения Бельтрами, который
мы назовем основным гомеоморфизмом ([1]).
Имеет место также следующее предложение: начиная с не-
некоторого положительного номера п0, все функции ?п (х, у), п^ п0,
также реализуют топологические отображения всей плоскости
на себя, оставляя бесконечно удаленную точку неподвижной.
Таким образом, предложенный выше способ позволяет строить
приближения к основному гомеоморфизму уравнения Бельтрами
с любой наперед заданной точностью.
Полезно отметить, что если область G есть круг, а функция
q (х, у) — полином от переменных х и у, то все приближения
выражаются также полиномами, причем их можно построить
в явном виде.
Если р — полином от х и у степени п, то мы можем записать
его в виде
p=S 2а«г'1*-<.	C.23)
Если G — единичный круг |г|^1, то можно доказать, что
п k	п
Т (о) = У У	аы zllk-l+1 У У аы 2ы~к+л (ЪЧ4\
Таким образом, Т (р) и, следовательно, ее производная по г
являются полиномами. В силу этого, если q(x,y) — полином, а

§ 3]	•	ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ	189
G — единичный круг, то все функции р„ и ?„, построенные по
формулам C.21) и C.22), будут полиномами, которые можно
выписать последовательно и выразить при помощи коэффициен-
коэффициентов заданного полинома q(x,y). Если п взять достаточно боль-
большим, то мы получим приближения к искомому основному го-
гомеоморфизму в виде полиномов.
Если функция q (x, у) не есть полином, то, приближая ее
полиномами, мы можем строить таким путем приближения
к основному гомеоморфизму и в общем случае.
Случай произвольной области можно также привести к пре-
предыдущему, отобр'азив предварительно ее конформно на круг.
4. Изометрическая система координат на замкнутой сфериче-
сферической поверхности. Выше мы предположили, что поверхность то-
топологически отображается на некоторую ограниченную область
плоскости. От этого ограничения можно освободиться и резуль-
результат обобщить на случай, когда поверхность топологически ото-
отображается на всю плоскость. Важно отметить, что к этой задаче
приводит глобальное приведение метрической квадратичной формы
к виду C.1) в случае замкнутых выпуклых (регулярных) поверх-
поверхностей, которые называются овалоидами. Классу овалоидов при-
принадлежит, например, эллипсоид, в частности, замкнутая сфери-
сферическая поверхность.
Если уравнения сферической поверхности радиуса R запишем
в виде
X = R cosф sin 0, Y = R sin q>sin 6, Z-^RcosQ, C.25)
где X, Y, Z—декартовы координаты точки сферической поверх-
поверхности, 8, ф — географические координаты, то для первой основ-
основной квадратичной формы имеем выражение
.	C.26)
Вводя новые переменные
й	н
M = tg-g-coscp, t> = tg-2-sinq>,	C.27)
будем иметь
ds* = A(du2 + dv2),	C.28)
где
л = A„Ьц2+и3J.	C.29)
Таким образом, на замкнутой сферической поверхности су-
существует изометрическая система координат, которая реализует
топологическое отображение ее на плоскость. Это отображение
представляет собой стереографическую проекцию сферической
поверхности с северного полюса (9 = я) на экваториальную
плоскость. Бесконечно удаленной точке плоскости w = и; + iv

190
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. VI
соответствует северный полюс
дует из C.29), имеем оценку
А = О ( |оу (-*),
л, вблизи которой, как сле-
слеC.30)
Глобальное приведение метрической квадратичной формы к виду
C.26) возможно для любого овалоида, причем важно, что для А
вблизи бесконечно удаленной точки сохраняется оценка C.30)
(см. [1], гл. 2, § 6).
Как уже отмечалось выше, переход от одних изометрических
координат поверхности к другим совершается при помощи кон-
конформных преобразований 1-го и 2-го рода. Для овалоидов это
реализуется конформными отображениями плоскости комплексной
переменной на себя, которые осуществляются при помощи дробно-
линейных функций
^|	C.30а)
уг
или
z' = со (г),
постоянные, удовлетворяющие условию
где а, р, у, 8
= 0.	C.306)
5. Инвариантность изометрических систем координат относи-
относительно конформного преобразования. Если w (z) = и (х, у) +
-\-iv(x, у) — какой-нибудь гомеоморфизм уравнения Бельтрами
C.5), то в результате преобразования переменных квадратичная
форма аарdxadx$ примет вид C.1). В силу формулы (V, 2.4) коэф-
коэффициент Л квадратичной формы C.1) выражается в виде
л=
ди ди
дх ду
ди dv
ду дх
C.31)
Так как
иметь
= u-\-iv удовлетворяет уравнению C.5), то будем
dw
Иг
dw
~дг
dw
C.32)
Изометрические координаты на поверхности обладают сле-
следующим важным свойством:
При конформных преобразованиях 1-го или 2-го рода семейство
изометрических координатных систем инвариантно, т. е. изо-
изометрическая сеть координатных линий переходит в изометри-
изометрическую же сеть линий.
В самом деле, если
или
C.33)
где ф — аналитическая функция аргумента w' = и' -\-iv', то будем
иметь
|21 dw' |2 = Л' {du'2 + dv'2),
C.34)

§ 3]	ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ	191
где
Л'-Л|ф'(ш')'|2.	C.35)
Это обстоятельство позволяет в качестве области изменения
изометрических координат выбирать специальные канонические
области соответствующей связности. Например, в случае одно-
связной поверхности, которая отображается топологически на
плоскую область, причем граница последней содержит по край-
крайней мере две точки, в качестве канонической области для изо-
изометрических гауссовых координат можно взять единичный круг
([7]). Для овалоидов область изменения комплексной переменной
w = u-\-iv покрывает всю плоскость.
6. Символы Кристофеля в изометрической системе координат.
Комплексная запись деривационных формул Гаусса и Вейнгартена,
уравнений Гаусса и Петерсона—Кодацци. В случае изометри-
изометрической системы координат компоненты метрического тензора
выражаются по формулам
а11 = ам = А, а12 = а21 = 0, а = Л2;	C.36)
аи-я2г = -^-, а12 = <г21 = 0.	C.37)
В силу этих формул, переход от ковариантных (нижних) индек-
индексов к контравариантным (верхним) индексам тензора и наоборот
совершается простым умножением на Л и Л соответственно.
Например, если еа$—тензор 2-го ранга поверхности, то другие
его компоненты выражаются по формулам
Следует отметить, что относительно изометрических координат
смешанные компоненты тензора 2-го ранга равны соответствую-
соответствующим физическим компонентам
В силу формул C.36) и C.37) для символов Кристофеля по-
получим выражения:
Р __	-р 	 1 ^Л	у 	-р 	 1 дЛ
11,1 —	122,1— О Яу >	* 12,1 1 21,х	9 Ли '
Г	Р	1 дЛ р 	y 	 I о A t
А 22,2	х 11,2 —	2 ди '	12,2 ~* -1 21,3 "~ 2 ^ '
Г1— Г1_1^Л	Г1_г1_ ' ^
111 — 122 — от STT ,	х is — a 2i — од а« '
ЛКби C.406)
j_ 5Л	г, и, 1 дА
2 Аду
22 "~	^ 11 — ТТТ аТГ '	^12 — х 21 — ^Т ^~ •

192	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
На основании формулы (V, 9.15) легко видеть, что оператор
Лапласа на поверхности относительно изометрической системы
координат выражается по формуле
C.41)
При помощи равенств C.40) деривационные формулы Гаусса
(V, 4.2) и (V, 4.12) можем теперь записать в комплексной
форме:
= 0 или -г	Г——Нп =0,	C.42а)
А дг дг	y ;
д2 , 9^-~,	C.426)
где
Я = уЬ?, Q = 1.ф\ — Ы—2ib\).	C.42в)
Если условимся обозначать
Z = f\ Z — f , Оа—57«»	(Л.4/Г)
то формулы C.42а, б) можно записать в виде
дадрГ = Га$гЛ + 5аРл,	C.42д)
где
Гар =6абр5а1пЛ,	C.42е)
Ь1Х = Ь22 = уЛф, Ь12 = 621 = уЛЯ.	C.42ж)
Соотношения C.42е) можно записать в виде
Назовем ГарЛ комплексными символами Кристофеля 2-го рода
относительно изометрической параметризации поверхности. Соот-
Соответствующие символы Кристофеля 1-го рода будут выражаться
формулой
Гаэ.а. = 6«Азд„Л,	C.42и)
т. е.
р	р	р 	 п р		р 	 Я \	Г^ А9и-\

§ 3]	ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ	193
Из C.42а, б) следует, что
„__ 2<5rJ^.=: 2 дг дп
4	A. dz dz •
Имея теперь в виду равенства C.43) и
0L дг — п дг дг — п дг дг — _L л
52 дг ' дг дг	дг дг 2 '
деривационные формулы Вейнгартена (V, 4.13) можно записать
в комплексной форме так:
Уравнение Гаусса записывается в форме
„ 1 гампл , ампл"! i
а система уравнений Петерсона—Кодацци имеет вид
db2i дЬ21 идА п
У	C 46)
Эту систему уравнений можно записать в комплексной форме
так:
4	= 0.	C.47)
дг Л \dz
Имеем
\<3\г = \{Ь\ + Ъ^-(Ь\Ь\-ЬЩ=Н*~К^Е. C.48)
Следовательно, Q = 0 только в омбилических точках поверхно-
поверхности. Таким образом, Q обращается в нуль тождественно только
для сферической поверхности и плоскости. Величину Q назовем
комплексной эйлеровой разностью поверхности.
В силу C.48)
(}=±(Ь1-Ь1 + 2Щ = \ГЁе«*.	C.49)
На основании (V, 7.5), (V, 7.12) и C.42) получим формулы
el^^\ C.50)
7 И.; Н. Векуа
dz
1 din Л , 1 T d , dz 1 din Л

194	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
где Ь — угол наклона~касательной к кривой L относительно коор-
координатной линии у = const; A1/2dz = el® ds. Нетрудно видеть, что
2Ь— -ф = 2ф, где ф — угол наклона касательной к L относительно
главного направления, проходящего через точку касания. Пусть
направление s совпадает с главным направлением s'. Так как
tS'=0, то из C.50) получим, что г|) —2й. Таким образом,
Q = VIe*t1>, т. е. argQ = \|) = 2u,	C.52)
где ¦& — угол наклона главного направления sr относительно
координатной линии у — const.
7. Формула О. Бонне. Пусть S — область поверхности F, огра-
ограниченная простой замкнутой кусочно гладкой кривой L. Инте-
Интегрируя обе части равенства C.51) по контуру L и применяя
формулу Грина (V, 9.16), в силу уравнения Гаусса C.45) по-
получим формулу О. Бонне
КdS+[kxds = Im hn-\ .	C.53)
Легко подсчитывается, что правая часть равна 2— (т — 2) л,
где 2 — сумма внутренних углов контура L, а т — число его
угловых точек. Величина 2 — (т — 2) я называется угловым из-
избытком поверхности S, ограниченной кривой L.
Если L составлен из отрезков геодезических линий поверх-
поверхности, т. е. S — геодезический многоугольник, то ^ = 0 на L
и формула C.53) примет вид
И
= 2~(m — 2) я.	C.54)
Если К~0, то имеем 2 ~(т—2) эх, т.е. сумма внутренних углов
геодезического многоугольника поверхности нулевой кривизны
равна (т — 2) л, где т — число углов многоугольника (<*и>2).
В частности, при т = 3 получим известную теорему из плани-
планиметрии о сумме углов треугольника. Таким образом, для поверх-
поверхностей нулевой гауссовой кривизны эта теорема планиметрии
остается в силе.
Если область 5 ограничена простой замкнутой гладкой "гео-
"геодезической линией поверхности, то 1=0, т~0 и формула
C,54) примет вид
= 2л.	C.54а)
Из этой формулы вытекает ряд важных следствий.
Пусть F — поверхность нулевой гауссовой кривизны, К~0.
Тогда формула C.54а), очевидно, не имеет места. Это означает,
что на поверхности нулевой гауссовой кривизны не существует

§ 3]	ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ	195
простой гладкой замкнутой геодезической линии, которая огра-
ограничивает односвязную (ограниченную) область этой поверхности.
(Доказать это предложение можно еще, используя тот факт, что
поверхности нулевой гауссовой кривизны развертываются на
плоскость.) На гладкой выпуклой поверхности (К > 0) не суще-
существует двух замкнутых гладких геодезических линий, которые
не пересекаются (доказательство предоставляем читателю).
8. Уравнение геодезических линий в изометрической системе
координат. Заметим, что уравнения геодезических линий (V, 5.5)
в силу формул C.40) принимают вид
z"-dz\nAzf2 = 0,	C.55)
где с и г" означают производные 1-го и 2-го порядка от z = x~\-iy
относительно параметра кривой. В частности, в качестве этого
параметра можно взять длину дуги кривой на плоскости z,
представляющей образ геодезической линии. Тогда уравнение
C.55) можно записать в виде
„lnA = O, z =-r .	C.56)
z	do
Так как z'z' — 1, то имеем
й — д,1пЛ = 0.	C.57)
В такой форме можно записать уравнение геодезических линий
относительно изометрических координат.
9. Конформность изометрического отображения на плоскость.
Отметим теперь еще одно характерное свойство изометрической
системы координат. А именно, при отображении изометрическими
координатами х и у поверхности на плоскость г — x-\-iy углы
сохраняются.
В самом деле, угол между двумя касательными направлени-
направлениями / и 5 на поверхности определяется при помощи равенства
(V, 2.29), которое в изометрической системе координат примет
вид
cos Q =	dxlix + dyby	^	{ЗЩ
Правая часть этого равенства, очевидно, равна косинусу угла
между направлениями (dx, dy) и (8х, 8у) на плоскости z = x-\-iy.
Но эти направления являются образами / и 5 при изометриче-
изометрическом отображении поверхности на плоскость.
Таким образом, изометрическое отображение поверхности на
плоскость является конформным.

196	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
Благодаря этому изометрические координаты имеют важное
применение в вопросах черчения географических карт. При на'
несении на карте рельефа местности углы сохраняются, а рас-
расстояния изменяются по закону ds = yAcb, где do — ]fdxz-\~dy2 —
евклидово расстояние на карте.
§ 4. Об одном свойстве поверхности постоянной
средней кривизны. Минимальные поверхности
1. Поверхности постоянной средней кривизны. Рассмотрим
поверхности постоянной средней кривизны, Н = const. Тогда из
C.47) следует, что
AQ = f(z),	D.1)
где f (г)— аналитическая функция от z = x + iy. В силу E.49)
имеем
KVE = \f{z)\.	D.2)
В случае сферы ? = 0 всюду. Следовательно, для сферы f (z)
обращается в нуль тождественно. Для поверхности постоянной
средней кривизны, отличной от сферы, Е и, следовательно, f (z)
тождественно в нуль не обращаются. Омбилические точки такой
поверхности будут нулями аналитической функции /(г). Согласно
известной теореме об изолированности нулей аналитической
функции имеем, что омбилические точки на поверхности постоян-
постоянной средней кривизны, если она отлична от плоскости и сферы,
изолированы.
Таким образом, поверхность постоянной средней кривизны,
отличная от сферы, содержит всегда односвязную часть So без
омбилических точек. Следовательно, f(z)=^=O всюду в односвяз-
ной области G, которая является образом поверхности So на
плоскости z = x-\-iy. В силу C.50) и D.1) имеем
II = ks ds* = Hds* + Re [f (z) dz*].	D.3)
Так как f(z)=?Q в G, то мы можем ввести новые изометричес-
изометрические координаты по формуле
1 = 1 + Щ = 1УШйг.	D.4)
Тогда в силу C.49) и D.2) имеем
dt,dt, = | / (г) | dz dz = | Q | Л dz dF= ]/? ds\	D.5,
и, следовательно, первую основную квадратичную форму поверх-
поверхности постоянной средней кривизны, отличной от сферы, мож
но выразить формулой
№ + <1*).	D.6)

§ 4)	ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ	197
Теперь в силу D.3) мы легко убедимся, что вторая основная
квадратичная форма имеет вид
(М?2 + Мп2)-	D.7)
Таким образом, на поверхности постоянной средней кривизны
без омбилических точек сеть линий кривизны составляет одну из
изометрических сетей координатных линий. (Это предложение,
конечно, останется в силе также в случае сферы и плоскости,
но только формулы D.6) и D.7) теряют смысл, так как ? = 0).
Относительно этой системы координат для поверхности постоян-
постоянной средней кривизны (исключая сферу) уравнение Гаусса C.45)
принимает вид
D.8)
или, что то же самое,
D.9)
Пусть Нф$. Знак Я зависит от выбора направления нор-
нормали. Пусть Н > 0. Вводя обозначение
Не-а,	D.10)
будем иметь
^ = ЯA+е-«), Л, = Я(Г-е-«).	D.11)
Следовательно, формулы D.6) и D.7) принимают вид
I = ds2 = ~ {dt* + dv\*)t II = (е« + 1) dl2 + (е«— 1) йц\ D.12)
Подставляя D.10) в D.9), получим для и уравнение
Аи + 2Н(еи—е~и) = 0.	D.13)
Нетрудно проверить, что уравнения Петерсона — Кодацци здесь
автоматически выполняются, а равенство D.13) представляет
собой уравнение Гаусса.
Если Н < 0, то получим
/?=— Не~а.	D.10а)
Тогда
^-#A— е-в), А!а = ЯA+е-«).	D.11а)
Поэтому формулы D.6) и D.7) примут вид
?l	\ D.12a)

198	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	{ГЛ. VI
Подставляя выражения D.10а) в уравнение D.9), получим
для и уравнение
Аи — 2Н(еа — е-°) = 0.	D.13а)
2. Минимальные поверхности. Рассмотрим	теперь случай,
когда Я —0. Такие поверхности называются	минимальными.
Тогда kx=—k% — k~^Q, YE — k w уравнение	D.9), формулы
D.6) и D.7) принимают вид
I = dse-=l(d|2 + ^2), U=ksdsz = dl* — <1ц*. D.15)
Общий интеграл уравнения D.14) можно выразить по формуле
(см. [2])
'2,	D.16)
где Ф(?) — произвольная аналитическая функция от ? = i + ni.
Декартовы координаты точки минимальной поверхности выра-
выражаются в виде (это следует из уравнения C.42а))
^ = //(?) + Ш (* = 1, 2, 3),	D.17)
где ft — аналитические функции от ?. Если вычислим коэффи-
коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм поверх-
поверхности D.17) и приравняем их к соответствующим коэффициен-
коэффициентам квадратичных форм D.15), то в силу D.16) получим
/iUJ— 4Ф'(О ' blW— 4/Ф'(О ' /aw — 2Ф' (?) • ^-1О;
Эти формулы были получены, по-видимому, впервые К- Вейер-
штрассом [14].
По этим формулам каждой аналитической функции Ф сопо-
сопоставляется минимальная поверхность, которая определяется
с точностью до параллельного переноса. Наоборот, каждая ми-
минимальная поверхность определяет аналитическую функцию Ф,
причем вращениям этой поверхности соответствуют преобразо-
преобразования вида (см. [2])
ф аФ(?)~а	D19)
1 1 + вФ(С)
где а — комплексная постоянная, а X — вещественная постоян-
постоянная. При подстановках такого вида правая часть равенства
D.16) не изменяется, что проверяется непосредственно.
Это свойство формулы D.16) позволяет нормировать функ-
функцию Ф(?) условиями вида
Ф(?о) = О. Ф'(Со)>О,	D.20)

§ 4]	ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ	199
где ?0 — фиксированная точка плоскости ?, соответствующая ре-
регулярной точке минимальной поверхности.
Пусть \S\ — множество всех минимальных поверхностей, при-
причем две поверхности Sx и S2 мы считаем одинаковыми, если
одну из них можно перевести в другую посредством движения.
Пусть {Ф} —множество всех аналитических функций, нормиро-
нормированных условиями D.20). Тогда между множествами \S\ и {Ф}
имеется взаимно однозначное соответствие. Если введем новые
переменные
!	(i + )	D-21)
то формулы D.15) примут вид
±	D.22)
Это означает, что ортогональные координатные кривые х — const,
у = const являются асимптотическими линиями на минимальной
поверхности.
Из равенств D.17) и D.18) нетрудно вывести формулы
_^z^!f	D.23)
где пг, п2, п3 — направляющие косинусы нормали минимальной
поверхности. Следовательно, для гладкой минимальной поверх-
поверхности аналитическая функция Ф(?) однозначна и непрерывна
всюду, за исключением точек, где nz——1. В этих точках по-
поверхности Ф(?)—*оо и, следовательно, соответствующие точки
области изменения комплексной переменной ? являются пояса-
поясами аналитической функции Ф(?). Это можно доказать еще так.
Если введем в рассмотрение обратную функцию Ф1 = Ф~1, то
формула D.16) примет вид
A+Ф1Ф1J
Но в точках, где Ф обращается в бесконечность, функция Фх= 0.
Следовательно, в этих точках в силу непрерывности k аналити-
аналитическая функция Ф1 может иметь лишь нуль конечного порядка.
Рассмотрим теперь ту часть минимальной поверхности, кото-
которая однозначно проектируется на плоскость Оххх2. Направим
нормаль в сторону положительного направления оси Ох3. Тогда,
очевидно, 0^Лз^1. Поэтому для такой поверхности в силу
первой формулы D.23) имеем
:1.	D.24)

200	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
Пусть минимальная поверхность однозначно проектируется
на всю плоскость Оххх^. Можно доказать, что тогда область из-
изменения аргумента ? аналитической функции.. Ф(?) покрывает
всю плоскость ? = 1 + 111 (см. [12], [16], [24]). Тогда из нера-
неравенства D.24) в силу теоремы Лиувилля имеем Ф (?) = const и,
следовательно, согласно формуле D.16) главная кривизна /С = 0-
Таким образом, в рассматриваемом случае минимальная поверх-
поверхность является плоскостью.
Установленные выше связи между минимальными поверхно-
поверхностями и аналитическими функциями открывают широкие воз-
возможности для применения теории функций одного комплексно-
комплексного аргумента к разработке теории минимальных поверхностей.
Нужно сказать, что до сих пор не ослабевает интерес к этой
классической проблематике. Заинтересованного читателя мы
отсылаем к обстоятельной монографии [24], см. также [7], в ко-
которой содержатся формулировки многих нерешенных и интерес-
интересных задач. Там же имеется обширная библиография.
§ 5. Поверхности постоянной гауссовой кривизны
1/Существование декартовой системы координат на поверх-
поверхности нулевой гауссовой кривизны. К уравнению вида D.14) при-
приводят также поверхности постоянной гауссовой кривизны,
К=const. Здесь можно рассмотреть три различных случая: 1) /(> 0,
2) К<0 и 3) К = 0.	_
В первом случае, вводя в рассмотрение переменные '? = |/7(л-,
, уравнение Гаусса C.45) принимает вид
_2Л.	E.1)
Следовательно, согласно формуле D.16) имеем
где Ф(?) — произвольная аналитическая функция от
В случае К < 0 вводим переменные | = Y — Кх, ц ~- \—
Тогда уравнение Гаусса C.45) принимает вид
Д	,E3)
Можно доказать, что общее решение этого уравнения представ-
представляется формулой (см. [2])

§ 5]	ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ	201
где Ф — произвольная аналитическая функция от ? = ? + ir\ —
= У—К (х + iy), причем ясно, что либо |Ф (?) | < 1, либо | Ф (?) |> 1.
В случае /С = 0 уравнение Гаусса принимает вид
да1пЛ . д21пЛ л	,- сч
^2 * ду2	v '
Следовательно, In Л — гармоническая функция, и ее можно пред-
представить в виде
7^	E.6)
где Ф (г) — произвольная аналитическая функция от z = x-\-iy.
Имеем
Л = ефB|в^.	E.7)
В силу этого
ds2 = Л (d%2 + dy*}= еф (г) e^dz dz,	E.8)
или
ds2=dwdw = du* + dv\	E.9)
где
dw = e<bWdz, т. е. ^=^ефB>^2.	E.10)
Таким образом, иным путем мы вновь получили результат,
который уже имели выше (§ 1, п. 4). А именно, на всякой по-
поверхности нулевой гауссовой кривизны существует декартова
система координат.
2. Локальная изгибаемость на сферу (псевдосферу) поверхно-
поверхности постоянной положительной (отрицательной) гауссовой кривиз-
кривизны. Вернемся теперь к рассмотрению случаев К = const >0 и
К = const < 0. Если в формулах E.2) и E.4) введем новую комп-
комплексную переменную по формуле dz = d(D(Q, то метрические
квадратичные формы поверхности постоянной положительной
(/С > 0) и отрицательной (/( < 0) кривизны соответственно при-
принимают вид
^	E.11)
ds2 = ^(\— zl)-*'dzdz.	E.12)
Первая из этих формул выражает изометрическую метрику сфе-
сферической поверхности радиуса /? = Л/У К (см. формулу C.29)),
а вторая представляет изометрическую метрику псевдосферы.
Псевдосферой называется поверхность, которая получается
вращением трактрисы вокруг своей асимптоты. Если уравнение

202	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VI
трактрисы запишем в виде
L	i	E.13)
, К<0),
то уравнение псевдосферы будет иметь вид
У —	— цт/гпягр V=	<i\nf<iir\rn	E.14)
Y-к	V-к
Z= I	(lntg^-/+cos/), 0<ф<2л.
У —К
Теперь простые выкладки покажут, что
Если введем новые переменные по формуле
1 Z
w = j~— , w^u-^iv,
i -j- z
E.16)
то из E.15) получим формулу E.12). Величина R= 	— на-
У —К
зывается радиусом псевдосферы.
Формула E.11) (соответственно E.12)) показывает, что вся-
всякая поверхность постоянной положительной (соответственно от-
отрицательной) гауссовой кривизны локально изгибается на сферу
(соответственно псевдосферу) радиуса R = \lVK (соответственно
R = \/]/rj()t При изгибаниях поверхности не изменяется гауссо-
гауссова кривизна К как величина, выражающаяся исключительно
при помощи коэффициентов метрической квадратичной формы.
Следовательно, поверхность можно получить из другой поверх-
поверхности посредством изгибания лишь в том случае, когда у них
одинаковая гауссова кривизна. Необходимость этого условия
очевидна. Доказательство же достаточности в общем случае при-
приводит к нелинейной задаче уравнений в частных производных.
В частности, мы уже доказали, что только поверхности нуле-
нулевой гауссовой кривизны изгибаются (развертываются) на
плоскость.
§ 6. Связь между поверхностями постоянной средней
и главной кривизны. Общее решение
уравнения Аи+2//(ем— еи)=0
Пусть F — некоторая двухсторонняя поверхность. Рассмотрим
семейство эквидистантных поверхностей F вида
, R -const,	F.1)

§ 6]	ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ	203
где г—радиус-вектор точки поверхности F, п—орт нормали
к F. Пусть координатные кривые на F совпадают с линиями
кривизны. Тогда имеем
71 = (l-M0'-i, rB = (l-*a/?)_rlf _	F.2)
«11 = A_-W^2, агг = {\-КПуВ\ а12 = а31-0,	F.3)
fl = fluflM = (l--W(l-W А%вг-	F-4)
Орт нормали поверхности F выражается формулой.
Следовательно, в соответствующих точках поверхностей F и F
я = л. В силу этого для коэффициентов второй основной квад-
квадратичной формы поверхности F имеем выражения
F.5)
F.6)
~Ij		п I\t\	"J7	Д		~р 	 	?		/г> у\
¦" j	2HR-4-KR^ '	1	2HR-^-KR2 '	' A	2HR -J- KR2)^ '
Эти формулы имеют место для значений R, которые удовлетво-
удовлетворяют неравенствам
1 — ад>0, \—k2R>0.	F.8)
Из формул F.5) следует, что линии кривизны поверхности F
переходят в линии кривизны эквидистантной поверхности F.
Из формул F.7) вытекают следующие очевидные следствия:
1)	Если поверхность F имеет постоянную среднюю кривизну
Н = \J2R, то эквидистантная поверхность F имеет положитель-
положительную постоянную гауссову кривизну /С=1/^а.
2)	Если гауссова кривизна поверхности F равна положитель-
положительной постоянной /С=1/#а7 то эквидистантная поверхность имеет
постоянную среднюю кривизну, равную Н = —1/2^.
3)	В последнем случае эйлерова разность эквидистантной по-
поверхности имеет вид
Е==\н\ RH-l~WRH-r	F-9)
Следует заметить, что RH — 1 и RH+ 1 одного и того же знака,
ибо в рассматриваемом случае

204	СПЕЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. V
Будем предполагать, что /?>0. Пусть F— поверхность поло-
положительной постоянной кривизны, которая отличается от сфери-
сферической. Как это видно из последней формулы F.7), омбиличес-
омбилическим точкам поверхности F соответствуют омбилические точки
эквидистантной поверхности F. Следовательно, в неомбиличес-
неомбилических точках поверхности F выполняется неравенство
Подставляя это выражение в уравнение D.9), легко убеждаемся,
что функция
является решением уравнения
JL
где ? и х\ — координаты относительно линий кривизны поверх-
поверхности F.
Таким образом, если Н — средняя кривизна поверхности F
положительной постоянной главной кривизны К — i/R2, то в
неомбилических точках поверхности F выполняется неравенство
F.10) и функция F.11) дает решение уравнения F.12).
Теперь можно показать, что если и — решение уравнения
F.12), то функция
Hct^u	F13)
представляет среднюю кривизну поверхности, гауссова кривизна
которой равна положительной постоянной K=UR2- Эйлерова
разность и главные кривизны этой поверхности выражаются
по формулам
±th±
F.14)
Первая и вторая основные квадратичные формы поверхности вы-
выражаются в виде
^ 1 = #5ЬХде + Л]9),	: F.15)
11 = 2;(sh 2y udi? -f ch21- ud&).	F.16)
Таким образом, формула F.11) выражает общее решение урав-
уравнения F.12) через среднюю кривизну поверхности F, имеющей
положительную постоянную главную кривизну К~ UR2, если эта
поверхность отлична от сферы.

§ 71	СОПРЯЖЕННО.И30МЕТРИЧЕСКАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ	205
§ 7. Сопряженно-изометрическая параметризация
выпуклых поверхностей
На поверхности положительной главной кривизны (К > 0)
существует система координат, относительно которой вторая
основная квадратичная форма имеет вид (см. [1], гл. 2, § 6)
П = №* = **№ + *?)> Л*=^0.	G.1)
Такие системы координат называются сопряженно-изометри-
сопряженно-изометрическими. Так как относительно этой системы координат Ъ1Х~
= &22 = Л^, /-12 = fr21 = 0, то в силу формулы (V, 8.7а) имеем
К=-^~ • т-е- Л*= ±V~Ka,	G.2)
где а—дискриминант первой основной квадратичной формы.
Перед радикалом надо брать знак плюс, если нормаль к поверх-
поверхности направлена в сторону вогнутости, в противном же слу-
случае— знак минус. Это правило есть непосредственное следствие
теоремы Менье: &y = &cos6; надо иметь в виду, что нормальная
кривизна ks и коэффициент Л* в формуле G.1) одного и того
же знака.
Для определенности будем считать, что в случае выпуклой
поверхности нормаль направлена в сторону ее вогнутости. Тогда
в равенстве G.2) перед радикалом надо брать знак плюс, т. е.
K^VTa.	G.3)
Доказательство существования сспряженно-игометрической
параметризации приводит к математической задаче, подсбно той,
которая нам уже встретилась выше при дсказательстве сущест-
существования изометрической системы координат (§ 3) (см. [1],
гл. 2, § 6).
Заметим, что при конформных преобразованиях 1-го или 2-го
рода сопряженно-изометрическая сеть линей переходит в такую
же сеть линий на поверхности, при этом, очевидно, имеем
A*dzdl = A'*dz'dz'.	G.4)
^ак как К—скаляр, то в силу G.3) из предыдущего равенства
получим
Vadzdz = Va/dz'd?,	G.5)
т. е. Yadzdz — конформно инвариантная квадратичная форма. Но
она не совпадает, вообще говоря, с метрической квадратичной
формой поверхности относительно сопряженно-изометрических
координат.

ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ
При изучении свойств тензорных полей поверхности полезно
ввести в рассмотрение системы комплексных гауссовых коорди-
координат (параметров). Они позволяют осуществить разбиение мно-
множества систем внутренних параметризаций поверхности на непе-
непересекающиеся классы конформно эквивалентных систем комплекс-
комплексных гауссовых координат. Такие классы, составляющие довольно
широкие семейства координатных систем, позволяют рассматри-
рассматривать различные объекты, характеризующиеся некоторыми инва-
инвариантными свойствами относительно конформных преобразований
комплексных координат. Н^же мы изучим некоторые классы
такого рода объектов, которые будем называть ковариантами.
Будут изучены их алгебраические и дифференциальные свойства
и обнаружена связь теории ковариантов с тензорным анализом
на поверхности. Мы обнаружим, что тензорный анализ на по-
поверхности в классе конформно эквивалентных координатных си-
систем по существу редуцируется к теории ковариантов. Комплекс-
Комплексные компоненты тензора обладают определенными индивидуаль-
индивидуальными инвариантными свойствами относительно конформных
преобразований комплексных гауссовых координат, и это дает
возможность рассматривать их как самостоятельные объекты,
независимо от других компонент того же тензора. Компоненты
тензора относительно систем вещественных гауссовых параметров,
как известно, не обладают такого рода индивидуальными инва-
инвариантными свойствами, за исключением скаляров, представляю-
представляющих тензоры нулевого ранга.
Одно из важных преимуществ ковариантов состоит в том, что
к ним применимы все четыре алгебраические операции без на-
нарушения свойства ковариантности. Можно ввести специальные
операции дифференцирования ковариантов и построить ковари-
антный анализ, весьма сходный с комплексным анализом на
плоскости.

§ 1]	КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КООРДИНАТЫ	207
§ 1. Комплексные гауссовы координаты поверхности.
Уравнение Бельтрами для характеристической функции
координатных систем
1. Комплексные гауссовы координаты поверхности. Всякой
системе вещественных гауссовых параметров (координат) х1, х2
поверхности F можно однозначно сопоставить взаимно сопряжен-
сопряженные комплексные гауссовы координаты (параметры)
z1=x1 + ix\ z2 = xl — ix\	A.1)
Так как 22 = 2Х, то вместо г1 и z2 часто будем писать г и г со-
соответственно. Для простоты мы рассмотрим случай, когда на F
существует глобальная параметризация.
Всякая система вещественных гауссовых параметров х1, х"
осуществляет топологическое (взаимно однозначное и непрерыв-
непрерывное) отображение поверхности F на некоторую область Fz плос-
плоскости комплексной переменной г — xlj\-ix2. Вообще говоря, об-
область Fz может не быть однолистной; она может принадлежать
некоторой римановой поверхности над плоскостью комплексной
переменной z = x1Jrix2. Но в дальнейшем для определенности
всегда будем предполагать, что Fz — однолистная область плоско-
плоскости Е комплексной переменной z~x1Jrix4*. В частности, /^мо-
/^может совпадать с плоскостью Е. Этот случай реализуется для
овалоидов. Например, полная сфера при помощи стереографиче-
стереографической проекции топологически отображается на всю плоскость.
Любой овалоид топологически отображается на полную сферу
посредством его сферического изображения. Следовательно, при
помощи композиции двух топологических отображений любой
овалоид можно топологически отобразить на всю плоскость.
Таким образом, если поверхность принадлежит овалоиду, то
на ней всегда существует глобальная параметризация, отобра-
отображающая ее топологически на некоторую область Fz плоскости
z — xiJrix2. В частности, эту параметризацию можно осуществить
при помощи изометрических координат.
В дальнейшем комплексные гауссовы координаты (параметры)
га короче будем обозначать через z, имея в виду, что 2 = г1 = 22.
Кроме того, соответствующую координатную систему поверхности
будем обозначать через Sz.
Замена одних комплексных координат za другими za совер-
совершается посредством неособенных преобразований вида
z^z^z1, г2) или 2е = 2* (г1, z2),	A.2а)
которые будем короче записывать в виде
г = г(г) или z = z{z).	A.26)

208	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Очевидно, эти преобразования осуществляют топологическое ото-
отображение области F z на область F^, что символически будем
записывать так: Fz<&Fi. Обозначим семейство координатных
систем Sz поверхности F через SF.
В дальнейшем нам придется несколько сузить семейство сис-
систем координат, рассматривая их преобразования, осуществляемые
функциями z (г), принадлежащими классам функций различной сте-
степени гладкости. Пусть, например, z (г) ? Ст (Fz), где т—некоторое
неотрицательное целое число. Соответствующие классы коорди-
координатных систем поверхности F будем обозначать через Sm. Числот,
характеризующее степень гладкости семейств преобразований
координат, мы оставляем неопределенным. В случае необходи-
необходимости его фиксация осуществляется в соответствии с требованиями
рассматриваемой задачи.
Если преобразование вида A.26) представляет конформное
отображение 1-го или 2-го рода, то системы координат га и za
(или 2 и г) будем называть конформно эквивалентными, отмечая
это символической записью г* ~ za или г ~ г.
Таким образом, если z ~ г, то г (г) представляет аналитическую
или антианалитическую функцию от z в области Fz. В дальней-
дальнейшем для определенности мы ограничимся рассмотрением лишь кон-
конформных преобразований 1-го рода, т. е. случаем, когда z~z
означает, что z(z) — аналитическая функция от г в области Fz.
Это допущение не ограничивает общности наших построений, так
как комформные преобразования 2-го рода отличаются от пре-
преобразований 1-го рода лишь переменой ориентации координатной
системы.
Если z~z, то будем писать Sz~Sz. В этом случае коор-
координатные системы S2 и 5з будем называть конформно эквива-
эквивалентными. Это соглашение мы распространим также на соответст-
соответствующие вещественные координаты, т. е. если z — x1Jr ix2 ~ z =
— х1 + ix*, то будем писать ха ~ха и Sx ~ S*.
Нетрудно убедиться, что отношение z ~ z или S2 ~ Si пред-
представляет отношение эквивалентности в семействе SF. Следова-
Следовательно, семейство SF разбивается на непересекающиеся классы
конформно эквивалентных координатных систем. Обозначим мно-
множество этих классов через SF. Очевидно, SF представляет фак-
фактор-множество множества SF. Каждый элемент Ёг из SF представ-
представляет семейство конформно эквивалентных координатных систем,
т. е. S2, 5-^52, если SZ~S~. Каждый класс Sz однозначно
определяется заданием одного (любого) его представителя. Сле-

§ 1]	КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КООРДИНАТЫ	209
довательно, Sz — S~, если z~z, и SZ=?S~, если z(z) не явля-
является аналитической функцией от z.
Если z ~ z, то координаты гиг связаны соотношением вида
z = (o(z)f z?Fx,	A.3)
где (о (г) — однолистная аналитическая функция от г в области
F г. Следовательно, со'(г)=?О при z?Fz. Мы будем предполагать,
что со (г) определена на компакте Fz и осуществляет топологи-
топологическое отображение: FZ$$F~. Следовательно, a>(z) реализует
конформное отображение Fz в F~ и топологическое отображение
dFz<&dF~. Обозначим символом AO(FZ) множество однолистных
в области Fz аналитических функций. Ясно, что всякой аналити-
аналитической функции со (z) из Ло (Fz) соответствует система координат 5Ш
из класса Sz и, наоборот, всякие две системы координат из
.класса Sz связаны соотношением вида A.3). Здесь следует напом-
напомнить, что если z — <d{z) — однолистная аналитическая функция
в Fz и г = 1о (г) — однолистная аналитическая функция в F~, то
г = со [со (г)] представляет однолистную аналитическую функ-
функцию в F2.
Пусть A(Fg)—множество аналитических функций комплекс-
комплексной переменной г = я1 + па в области Fz. Если f(z)^A{Fz) и
z~z, то функция J(z)=f(z(z)) представляет аналитическую
функцию от 2 в области F~ и, следовательно, принадлежит A(F^),
Таким образом, класс аналитических функций комплексной nept -
менной инвариантен относительно конформных преобразований
аргумента. Поэтому в дальнейшем иногда класс конформно экви-
эквивалентных систем координат поверхности F будем называть Л-се-
мейством. Всякое Л-семейство координатных систем, очевидно,
является элементом из SF и обратно.
Пусть Fz совпадает с плоскостью комплексной переменной г.
Этот случай реализуется, если F — овалоид (см. гл. VI, § 3,
п. 4). Тогда класс AQ(FZ) представляет семейство дробно-линей-
дробно-линейных функций
где а, р, 7. ^ — комплексные постоянные, удовлетворяющие
условию
аб — yP=^O.	A.5)
Следовательно,
со" (z) = а2~^2^0, если 2=7^оо при уфО. A.6)

210	ТЕОРИЯ КОВАРИЛНТОВ	[ГЛ. VII
Без ограничения общности можно предположить, что аб—$у = 1.
Тогда будем иметь нормированные дробно-линейные преобразо-
преобразования.
Условимся теперь о некоторых обозначениях, которыми будем
пользоваться без специальных оговорок.
Индексы величин, относящихся к комплексной (соответст-
(соответственно вещественной) параметризации поверхности будем обозна-
обозначать строчными греческими буквами без штрихов (соответственно
со штрихами). Например, а, |3, а1? |31 и т. п, (соответственно
а'> Р', а1> Pi и т. п.). В необходимых случаях штрихами будем
отмечать также определенные индексы величин, относящихся
к вещественной параметризации поверхности. Например, вместо
х1, х3 будем писать хх', х2', причем в данном случае Г и 2'
являются символами, указывающими, что х1', х2' — веществен-
вещественные гауссовы параметры, причем численно Г —1, 2' — 2. Заме-
Заметим однако, что последнее соглашение не распространяется на
неопределенные индексы, т. е. а'фя, $'ф$ и т. д., если спе-
специально не будет оговорено противное.
Условимся, что греческие индексы (со штрихами или без них)
принимают значения 1, 2, разумеется, если не будет специально
оговорено противное. Если же встретится необходимость вос-
воспользоваться латинскими индексами, то будем считать, что они
принимают значения 1, 2, 3, если и в этом случае не будет
сделана какая-нибудь специальная оговорка, отменяющая при-
принятое соглашение.
Ниже мы систематически будем пользоваться правилом сум-
суммирования Эйнштейна.
2. Операции комплексного дифференцирования. Применяя при-
принятые выше соглашения, соотношения A.1), а также их обра-
обращения
xi'=±(zi + z*), х3' = 1B»-2»)	A.7)
можно записать в общей форме
га = D%,xa', ха' = D% 'za,	A.8)
где
%=^ = ^,-;(-1№,	A.9)
D% ==~==^-{ЬЪ-{-\Г Ъ\).	A.10)
Заметим, что для символов D%' и ?>«' определенные индексы со
штрихами и без них представляют символы. Следовательно,
нельзя 1', 2' заменять соответственно на 1, 2 и обратно.
Так как
яа' d*W Эх" дга . а дга дга дха'	,. m

§1]	КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КООРДИНАТЫ	211
то имеем равенства
Легко доказать формулы
det(D«,) = -2*\ det(Z)«')=4"	AЛЗ>
Пользуясь обозначениями
да' = -А? , да = -^,	A.14)
очевидно, имеем
Эти формулы выражают операторы комплексного дифференци-
дифференцирования да через операторы дифференцирования да, относи-
относительно вещественных координат ха' и обратно.
Обозначая х1 и хг соответственно через хну, эти операторы
будем записывать в виде
ду = дг = у (дх — idy), d2==dj =-2-(<3x+ tdy). A.16)
Отсюда имеем формулы
д1,'^дх = дг-\-дг, д2г'^ dy=^i{dz — dj),	A-17)
которые в общей форме записываются так:
При повторных применениях операторов да соблюдаются
свойства коммутативности и ассоциативности:
3. Правило преобразования дифференциалов комплексных гаус-
гауссовых параметров. При замене одних вещественных и комплекс-
комплексных гауссовых координат ха' и za поверхности некоторыми
другими ха' и za их дифференциалы преобразуются согласно
следующим формулам:
dx*'=-^dxV, dza = -^-dzK	A.20)
Пусть za~za, т. е. координатные системы Sz и 5j принад-
принадлежат некоторому Л-семейству. Тогда
(Гсс
—— , если p = a,	(i 2П
dz-
0, если

212	ТЕОРИЯ1 КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VI
или, что то же самое,
dz dz "/г, , dz -\ " п	/л new
—-srr-j— = z i(z), -^ = dzz = 0.	A.22)
dz dz	dz
Заметим, что в формуле A.21) подчеркивание индекса а один
раз снизу означает запрет суммирования относительно этого
индекса. Этим соглашением мы будем пользоваться и ниже без
специальных на этот счет оговорок.
Если za~za, то в силу формулы A.22) равенства A.20)
принимают вид
^.	A.23)
dz-
Эти равенства выражают правила преобразования дифферен-
дифференциалов комплексных гауссовых координат поверхности в классе
конформно эквивалентных гауссовых параметров.
В случае вещественных гауссовых координат поверхности
преобразования вида
J^	&^^'	A.24)
имеют место лишь для преобразований координат весьма част-
частного класса, а именно, если
х1'=хх'(х1'), х2'—"х2'(х2Г).	A.25)
Такого рода преобразования фактически можно назвать три-
тривиальными, так как в этом случае координатные линии систем
сохраняются, изменяются лишь масштабы измерения веществен-
вещественных гауссовых параметров.
4. Правило преобразования частных производных от скаляра
поверхности. При замене одних комплексных гауссовых коор-
координат za некоторыми другими za, согласно определению ска-
скаляра ф из fc(F), соответствующие компоненты q>\(z) и ср(г) свя-
связаны равенствами вида
Ф (г) = ф (z (г)) или ф(г) = ф(гB)).	A.26)
Пусть ф — дифференцируемый скаляр. Это означает, что его
компонента относительно любой координатной системы S2 —
дифференцируемая функция. Очевидно, для этого достаточно
потребовать 'дифференцируемости какой-нибудь одной компо-
компоненты ф(г), тогда в силу формулы A.26) будут дифференци-
дифференцируемы все остальные компоненты скаляра ф. Применяя фор-
формулу дифференцирования сложной функции, из равенства A.26)

§ 1]	КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КООРДИНАТЫ	213
получим равенства
§1 (=-А-.ва=^), A.27)
выражающие правила преобразования комплексных производ-
производных дац> от скаляра ф при замене одних гауссовых координат
za другими га.
Если za ~ га, то в силу формулы A.21) из равенств A.27)
получим
д«Ф = даф^-.	A,28)
аг-
Отсюда следует
daq>dza=daq>dza.	A.29)
Таким образом, если ф— дифференцируемый скаляр поверх-
поверхности F, то однородные дифференциальные одночлены вида daq>dza
инвариантны относительно конформных преобразований комплекс-
комплексных координат za поверхности F. Назовем выражения da$dzf
конформно инвариантными моноформами. Ниже мы рассмотрим
более общего вида моноформы, вообще говоря нелинейные, и
при их помощи введем понятие коварианта поверхности.
5. Уравнение Бельтрами. Характеристическая функция коор-
координатных систем. Пусть компонента ф (?) скаляра ф ? С (F) отно-
относительно координатной системы Sg из SF представляет аналити-
аналитическую функцию от ? в области F& т. е. <p(Z)?A(F$. Тогда,
если .$? ~ S& то соответствующая компонента ф(?) = ф (?(?))
является также аналитической функцией от ^ в области Fj, т. е.
y(t,)?A (F$). Обозначим через А семейство координатных сис-
систем из SF, конформно эквивалентных с S^, т. е. Л=5^. Тогда
ясно, что
а-.ф~0, У5^€Л.	A.30)
Назовем скаляры ф из C(F), удовл творяющие этому усло-
условию, аналитическими скалярами относительно А-семейства кон-
конформно эквивалентных координатных систем из SF. Множество
скаляров ф из С (F), аналитических относительно Л-семейства,
обозначим через С (F, А).
Очевидно, С (F, А) — коммутативное кольцо с единицей. Нулем
и единицей всякого кольца С (F, А) являются соответственно
отображения F —* 0 и F —>¦ 1.
Докажем теперь, что € (F~A) представляет область целост-
целостности. Нужно обнаружить, что С (F, А) не содержит делителей

214	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
нуля, т. е. если ф, \|)?C(F, Л)^и cpty — 0, то либо ф = 0, либо
^ = 0, либо~ф = 1|) = 0.
В самом деле, если фя{> = 0, то, очевидно,
Но ф (г) и *ф (г) — однозначные функции от z в области F2 и,
следовательно, последнее равенство возможно лишь в том слу-
случае, когда либо ф(г)Е~0, либо ty(z)s==O, либо ф(г)==я1)(г) = 0,
что доказывает наше утверждение.
Пусть Sz—координатная система из SF, которая не принад-
принадлежит Л-семейству. Если S^^, то для компонент ф (г) и ф (?)
скаляра ф€С(.Г, Л) имеем равенство
Ф(г)«ф(С(г)), VS,?SF.	A.31)
Дифференцируя обе части этого равенства и принимая во вни-
внимание уравнение A.30), получим
Отсюда следует, что ф = ф(г) удовлетворяет уравнению
Эгф—?(?, г)агФ = 0,	A.32)
где
^ = (С, 2) = -^-.	A.33)
Функция q (Z,, г), которая зависит только от координатных сис-
систем 5г и 5z, называется характеристической функцией или просто
характеристикой этих координатных систем. Если г ~ ?, то
3^ = 0 и, следовательно, </(?, z) = 0.
Таким образом, характеристическая функция двух конформно
эквивалентных координатных систем из SF равна нулю. Тогда
(и только тогда) уравнение A.32) переходит в уравнение Коши —
Римана A.30). Уравнение A.32) называется уравнением Бельт-
рами (см. гл. VI, § 3).
Если z ~ z и ? ~ I, то из равенств A.33) легко выводим
формулу
ЯA г) = Ч& *)^ЧГ'	A-34)
dz
В частности,
Я'_&Гг) = д[{Ьг).	A.35)
Отсюда видно, что, во-первых, qfe, z) зависит не от коорди-
координатной системы Si, а лишь от класса A=S^, и, во-вторых,
\q(l г)\^\д С, г)|, VSz~'St, S^S^	A.36)

« 1]	КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КООРДИНАТЫ	215
т. е. |<7(?, 2)| зависит только от классов S^ и S^ конформно
эквивалентных координатных систем из SF. Иными словами,
q (?, z) конформно инвариантна относительно первого аргумента
it a \q{t,, z) | конформно инвариантна относительно обоих аргу-
аргументов z и ?.-
Таким образом, компонент ф (z) аналитического скаляра ф
из С (F, А) относительно любой координатной системы S2 удов-
удовлетворяет уравнению Бельтрами A.32). Коэффициент q (?, z)
этого уравнения зависит лишь от рассматриваемой координат-
координатной системы Sz и от Л-семейства координатных систем, но вовсе
не зависит от выбора аналитического скаляра q>?C(F, Л).
Теперь нетрудно убедиться, что если %(z) — решение урав-
уравнения Бельтрами A.32) в области F2, то его же решением
являются функции вида
Ф(г) = Ф(Фо(г)),	A.37)
где Ф(?)— произвольная аналитическая функция от ? в области
Фо (/=¦.)•
Ниже мы еще вернемся к уравнению Бельтрами A.32) и
изучим некоторые другие его свойства, а также свойства харак-
характеристической функции q(?,, z) координатных систем Sz и S^.
6. Функциональные детерминанты (якобианы) преобразований
комплексных гауссовых координат поверхности. В дальнейшем
мы все время будем предполагать, что рассматривается некото-
некоторое семейство Sm координатных систем из SF, где от—фиксиро-
от—фиксированное число, т^\. Следовательно, для любых координатных
систем Sz и 5- из семейства Sm функции г (г) иг (г) принадле-
принадлежат соответственно Cm{Fz) и Cm{F^).
Очевидно, имеем равенства
&*1**	A.38)
' дг$ dzy dz?1
Пользуясь обозначением
a* = IC —(—l)a), т. e. 1* = 2, 2* = 1,	A.39)
из систем равенств A,38) выводим формулы
-f?=(-l)-V/B, Z)^L=,(-\)a + VJ{l Z)J*L, A.40)
oz	oz	dz
z?Fz, ~z$Fi,
где J (z, z) — функциональный детерминант (якобиан) преобразо-
преобразования координат
z^z{z).	A.41)

216
ТЕОРИЯ КОВАРИЛНТОВ
[ГЛ. VI!
Легко находим формулу
J (г, z) = det (—
\ dz
dz
dz
dz
dz
A.42)
Для тождественного преобразования z = z, очевидно, имеем
J{z,z)=\.	A.43)
Формулу A.40) запишем в виде
dz	dz	dz	dz
Vi _ j /-, z\ — —^r —	j (z z)~^ V5 5-. A.44)
Применяя формулу умножения детерминантов из A.42),
найдем
J{z, z) = J& z)J(z, z), V5,, Szt Sz.
Так как J (z, z)~\, то из формулы A.45) получим
J{z, z)J(z, z) = \, V5Z, 5ь
т. e.
V5Z)
J{z,z)
Из формул A.46) и A.47) следует, что либо
либо
2)
J(z, 2)<0,
A.45)
A.46)
A.47)
A.48а)
A.486)
В первом случае при преобразовании координат z—±z сохра-
сохраняется ориентация системы координат, а во втором случае,
наоборот, ориентация координатной системы меняется. В даль-
дальнейшем мы ограничимся рассмотрением семейства преобразова-
преобразований координатных систем, при которых их ориентации сохра-
сохраняются. Эти преобразования составляют мультипликативную
группу, нейтральным элементом (единицей) которой является
тождественное преобразование. Следовательно, рассматриваем
преобразования координат, для которых выполняется условие
У (г, z)>0,
, Sz.
A.49)
Если z ~ zt то в силу формулы A.38) из равенств A.42)
получим
dz1 dz2
dz
dz
0,
A.50)

§1]
КОМПЛЕКСНЫЕ ГАУССОВЫ КООРДИНАТЫ
217
Пусть z~z и ?~?. Тогда при помощи формул A.44) на-
находим
, VS2~Sg, Sr~S? A.51)
= У
dz
Отсюда получаем равенство
V5.
с с с
*->?> ^Z ~ *->? »
A.51а)
означающее, что дифференциальная форма
[L,, Z) I ul, I j 612 I	(_1.OZJ
- лвариантна относительно конформных преобразований комп-
комплексных координат z и ?.#^
Таким образом, дифференциальная форма A.52), которая
определена для любых координатных систем Sz и Sg, представ-
представляет конформный инвариант относительно обоих аргументов z и ?.
7. Свойства характеристической функции координатных сис-
систем. В силу допущения A.49) из формулы A.42) следует нера-
неравенство
dl -~p:, VS2, 5;.	A.53)
дг
dz
Отсюда имеем
д1
дг
т. е. ?
В силу формул A-44) характеристическую функцию
«.*>-?/§
можно записать в виде
nit ?\— dz I dz VS 9
Из формулы A.55) следует, что функция ? = ?
ряет уравнению Бельтрами
Из A.56) имеем, что обратная функция г =
решением уравнения
dz , /с. ч дг п
A.54)
A.55)
A.56)
удовлетво-
A.57)
) является
A.58)
В силу неравенства A.53), очевидно, выполняется условие

218	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Из A.34) имеем равенство
q(l, ~z)dz(dz)-i = q(^ z)dz(dz)-\ VSZ~S;, S^-S^, A.60)
означающее конформную инвариантность дифференциальной фор-
формы q (?, z)dz(dz)~1 относительно обоих аргументов. Из равенства
A.60) и неравенства A.59) имеем
z)l<l. VS,~S~2, 5с-5|. A.61)
Так как координаты z и ? связаны функциональной зависи-
зависимостью вида ? = ?(z) (или г —z(?)), то характеристическую
функцию q (?, г) можно рассматривать как функцию одного из
аргументов z и ?. Как мы уже условились выше, рассматривае-
рассматриваемые координатные системы принадлежат некоторому семейству
Sm, m^l. Следовательно, если зафиксирована система Sz, то
для любой другой координатной системы S^ функция ?, (z) ? Сот (Т^)
и, следовательно, характеристика q (?, z) представляет функцию
<7(z) от г в области 7^, принадлежащую классу Cm_1(Fz). Со-
Согласно A.60) и A.61) выполняются условия
q{z)dz~1dz = qCz)dz-1dz, V5?, 5Z-5S,	A.62)
\q(z)\ = \q(i)\<\, VSvS2~Sz.	A-63)
Так как q (z) непрерывна в Fz, то | q (z) \ на всяком замкнутом
подмножестве Fl из Fz достигнет своего максимума в некоторой
точке z0 из FI, т. е.
7(г)] = |9Bв)| = <7о, z0 6 ^.	A.64)
Следовательно, в силу неравенства A.59)
|	<l, г^0, VS,, 5:. A.65)
Очевидно, <7о зависит, вообще говоря, от выбора координатных
систем Sz и 5?: <7o = ^o(^» ^с). но всегда выполняется неравен-
неравенство
qo(Sz, 5;)<1, VSZ, S^.	A.66)
Свойство характеристической функции q (?, г) координатных
систем 5^ и S2, выраженное неравенствами A.63) и A.65), су-
существенно используется при построении L специальных систем
координат на [F. А [именно, в силу этого свойства существуют
гомеоморфизмы уравненияЧЗельтрами A.57),"которые^позволяют
по данной характеристике строить соответствующую координат-
координатную систему поверхности F.

§2]	КОВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА	219
§ 2. Коварианты поверхности и их свойства
В этом параграфе мы введем понятие коварианта поверх-
поверхности и укажем на связь с тензорами поверхности.
ft' ft'
1. Коварианты поверхности. Если а )" q, (х) — компоненты
(р, д)-тензора из некоторого модуля Ш(Р) относительно веще-
вещественных гауссовых координат ха\ то компоненты этого тензора
относительно комплексных гауссовых параметров zl — х1'-{-ixir,
гг = хх' — ix*' выражаются при помощи формул
<%'"%=«**." '^Dl\..D^Dt...D^.	B.1)
at...ap а[...а а»	аР Pi	Pq
При замене комплексных координат га новыми za будем иметь
формулы преобразования
а,...ар vi.-.тя dza*"' dzaP dzVl '" dzv« '	К
Пусть А — некоторое семейство конформно эквивалентных
координатных систем поверхности F, которое для краткости
будем называть Л-семейством.
Если S2, S~ ? А, то в силу формулы A.21) соотношения B.2)
принимают вид
.p
Отсюда следует
a	i^_	dz^_	2
...a.p «!...ар ?гМ ••• d~ap ^ ''• dzf,q '	\ • >
^.\%	\ VSZ - Ss. B.4)
Таким образом, если а^" "^ (г)-— компоненты (р, q)-tneH3opa
из Ш (F) относительно координатной системы Sz, то дифферен-
дифференциальная форма
1\\л i)	()	B.5)
конформно инвариантна.
Пусть т[ и т'% (соответственно т[ и ml) — числа единиц и
двоек среди индексов а1( ..., ар (соответственно fI( ..., $q).
Очевидно,
, т;-б^+...+6^.	B.6)
Так как dz1 = dz, dz2 = dz, то если обозначить
4;:::P4(z)=/(z), й;:::^й = /Й, B.7)

220	ТЕОРИЯ КОВЛРИЛНТОВ	1;Л. VlV
равенство B.4) примет вид
f (z)dzmdl" = f(z)dzmdzn, VSZ~S~,	B.8)
где
n = /^ —/na = fi?l+...+fi?/'—651—...—65".	*
Тут следует заметить, что целые числа гпа и /тг„ не зависят от
Еыбора координатной системы из некоторого Л-семейства.
Таким образом, если f(z) равен какой-нибудь компоненте
a^'"^(z) некоторого (р, д)-тензора из W(F) относительно ко-
координатной системы Sz, а т и п — целые числа, определенные
при помощи формулы B.9) и, следовательно, не зависящие от
выбора координатной системы, то дифференциальная форма
f(z)dzmdzn конформно инвариантна. Это свойство функции /(г),
определенной формулой B.7) при помощи тензора поверхности,
позволяет теперь дать общее определение понятия коварианта.
Условимся в дальнейшем дифференциальную форму вида f (?) dzmdzn
называть для краткости (т, п)-моноформой.
Фиксируем некоторое семейство А конформно эквивалентных
координатных систем поверхности F (короче Л-семейство) и це-
целые числа т, п. Обозначим через Ш (F, А) объединение мно-
множеств Ш (Fz) для Ss(tA. Пусть имеется некое правило, позво-
позволяющее для всякой координатной системы 5г из А определять
некоторую функцию /(г) из %yi(Fz), для которой моноформа
f(z)dzmdzn конформно инвариантна, т. е. выполняется условие
f{z)dzmdzn^J{z)dzmdz1\ У52, S~?A.	B.10)
Легко убедиться, что это равенство представляет отношение эк-
эквивалентности. Следовательно, %R(F, А) разбивается на непе-
непересекающиеся классы эквивалентности. Пусть 50^ „(/\ Л) — мно-
множество этих классов. Всякий элемент из ^lm^n(F, А) будем на-
называть ковариантом типа (т, п) класса А из Ш (F) или, короче,
(т, п)-ковариантом из W{F, А). Функцию f(z) назовем компо-
компонентой коварианта относительно координатной системы Sz из А.
Если /—ковариант, то f(z) будет обозначать его компоненту
относительно координатной системы Sz. Очевидно, ковариант /
из Шт,п{Р, А) однозначно определяется, если задать его ком-
компоненту /(г) относительно одной произвольно фиксированной
системы координат Sz из Л. Тогда его компонента f (г) относи-
относительно любой другой координатной системы 5- из Л однозначно

§ 2]	КОВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА	221
выражается при помощи равенства B.10), т. е.
BЛ1)
Поэтому, говоря о коварианте /(г) из 4Sl(F, А), мы будем
подразумевать ковариант / класса А из 5Tc(F), компонента ко-
которого относительно SZ?A равна /(г).
Если Sz<tA, то отображение /: Fz—*-0 принадлежит любому
Шт^п{^,' А). В самом деле, его компонента f(z) относительно
любой координатной системы Sz из А тождественно обращается
в нуль и, следовательно, условие B.10) всегда выполняется.
Будем его называть нулевым ковариантом.
Из формулы B.11) следует, что ковариант / из Ш1Я,,„(/Г, А)-
будет нулевым, если его компонента f(z) относительно одной из
координатных систем Sz(tA тождественно обращается в нуль.
Если /—нулевой ковариант, то будем писать / = 0. Если
/€ЗЛМ,„СК А), то условимся также писать {Ф0 (соответственно
/?^0), если компонента f(z) относительно любой координатной
системы Sz из А нигде (соответственно тождественно) не обра-
обращается в нуль в Fz.
Числа т и п будем называть ^индексами (т, п)-коварианта,
а сумму [т| + |/г| назовем рангом коварианта. Коварианты ну-
нулевого ранга будем называть скалярами из 20Ц/7, А). Множество
скаляров из 33t(/\ Л) обозначим через Шо (F, А). Если ср — ска-
скаляр из ЙНо^, А), то его компоненты удовлетворяют условию
Ф (г) = $(?) = ;> (*>)), VSz,S;(zA.	B.12)
В частности, C0(F, А), очевидно, представляет коммутативное
кольцо с единицей.
Как показывает формула A.51а), пример коварианта пред-
представляет якобиана /(?, z). Если произвольно зафиксируем коор-
координатную систему S2, то в силу A.51а) имеем
Следовательно, для фиксированной координатной системы S2
1A,, z) представляет ковариант из Ult x (F) относительно коор-
динатной системы Sg. Точно так же получим, что если зафикси-
зафиксируем координатную систему S^ то / (?, z) представляет кова-
ковариант из R_1)_1(/r) относительно координатной системы S2.
Другим примером коварианта является характеристическая
функция q (?, z) координатных систем S% и Sz. Из формулы
A.60) следует, что для фиксированной координатной системы Sz
характеристика q (?, z) представляет скаляр из Со (F) относи-
относительно ?, а для фиксированной координатной системы 5; она

222	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
является ковариантом из ^-1,-xiF) относительно координатной
системы Sz.
2. Свойства ковариантов поверхности. Ниже мы перечислим
некоторые основные свойства ковариантов, которые непосред-
непосредственно вытекают из данного выше определения.
1)	Если /, g€3ftm, П(Л Л), то под суммой f + g будем под-
подразумевать ковариант, компонент которого относительно любой
координатной системы Sz из А равен f(z)-\-g(z). Очевидно,
f + g?Wa,B(F, Л).
2)	Если ф<ЕС0(/\ А) и f€W«,n(^» Л), то П°Д произведением
ф/ будем подразумевать ковариант, компонент которого относи-
относительно любой координатной системы Sz из А равен (p(z)f(z).
Очевидно, ф/ ? «Щ,Л1 „ (F).
В силу свойств A) и B) легко убедиться, что Wimin(F, A)
представляет линейное пространство над кольцом скаляров
C0(F,A), т. е. Шт „(F, А) является C0(F, Л)-модулем.
3)	Если f?Cp>'q(F, А) и g?mm,n(F, А), то произведение
fg, компонента которого относительно любой координатной сис-
системы Sz из А равна f(z)g(z), представляет (р-\~т, q~^n) — ко-
ковариант из «01 (f, А), т. е. fg€mp±_m,q+»(F, A).
4)	Если /^Cfflin(F, Л), то под / будем подразумевать кова-
ковариант, компонента которого относительно любой координатной
системы Sz из А равна /(г). Очевидно, ]?Cn,m{F, A).
5)	Если /€СЛ,И(Л Л) и f^O, то под /-1 будем подразу-
подразумевать ковариант, компонента которого относительно любой
координатной системы Sz из Л равна 1//(г). Нетрудно убедить-
убедиться, что/-*€(;_„_„ (Л А).
Будем называть (т, п)-коварианты из любого модуля когре-
диентными, а (т, п) и {—т, —/г)-коварианты контрагредиент-
ными. Если /—ковариант и существует /-1, то / и f~l — контра-
гредиентные коварианты.
Таким образом, мы видим, что к ковариантам любого класса А
из С (F) можно применять все четыре алгебраические операции:
сложение, вычитание, умножение и деление. Это важное свой-
свойство ковариантов сближает теорию ковариантов с комплексным
анализом на плоскости.
6)	Если Л и В—два различных класса конформно эквива-
эквивалентных координатных систем поверхности F, то множества
Шт,п(Р, А) и $Rmtn(F, В) не совпадают. Можно построить соот-
соответствующий пример.
Пусть ф—дифференцируемый скаляр из C(F). Для каждой
координатной системы S2 определим функцию
/(г) = 1+4?2..	B.13)
Пусть д-ф = 0 для Sz(zA. Тогда djq> = 0 для любой 5- € А и,

§ 2]	КОВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА	223
следовательно,
/(z)=l, VSz?A.	B.13a)
Так как ф(г) — аналитическая функция от z в Fz для любой
SZ?A, то для всякой координатной системы S^ из 5-семейства
имеем: д$> = ц>' (z) д%г, дуц> — ц>' {г) д-р г. Следовательно,
^	1+^(^ С), S^B, B.136)
где <7(г, ?)— характеристическая функция координатных систем
S2 и S?. Так как q (z, Qdydt,'1— конформный инвариант, то
/(?)— l^-i, г(Л В). Следовательно, / представляет скаляр
класса Л, но он не является скаляром класса В. Вообще не-
нетрудно убедиться, что / не является ковариантом класса В.
7) Существуют (т, /г)-коварианты из Ш (F, А), которые при-
принадлежат Sffimtn(F, А) для любого Л-семейства конформно экви-
эквивалентных координатных систем поверхности F. Множество та-
такого рода ковариантов обозначим через 9O'lWin(/r). Назовем
коварианты из Шт>п {F) универсальными ковариантами модуля
Ш {F). Примерами универсальных ковариантов из Ш (F) явля-
являются комплексные компоненты тензора из -Sft (F). Это непосред-
непосредственно вытекает из соотношений B.7) и B.8).
Пусть г — радиус-вектор точки поверхности F. Тогда комп-
комплексные вектор-функции га = даг, составляющие базис коорди-
координатной системы Sz, представляют универсальные коварианты из
Vьа 6<x(F). Вектор-функции га, составляющие биортонормальный
базис координатной системы Sz и, следовательно, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям
гаг* = Ь1	B.14)
представляют универсальные коварианты из V_6a _б« (F). Это
легко следует из формулы
r^dr = dz^,	B.14а)
которая непосредственно следует из равенств B.14). Примерами
универсальных ковариантов из С (F) являются комплексные мет-
метрические тензоры
Дра = аар = гвгр, а^ = а?* = г«гК flS-flf = rarP = 6j, B.15)
а также комплексные дискриминантные тензоры
Так как
Га = даг = 1(г1' + '(-1)аг2,), re = r1'-t(-l)are', B.17)

224 ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
то имеем равенства
| -1)Р)а1,2,],	B.18а)
1/2',	B.186).
)-^,	B.19)
где а—дискриминант метрической квадратичной формы поверх-
поверхности. Имеем
a^aia,a2,2,—<^,2, = 4(а?2—а11я2а) = 4 (а2п—а~ап) > О
(alx = a22i ala = a21>0).	B.20)
Теперь ясно, что
a?K,z(F), T-e. /a^R!,!^).	B.22)
Кроме того, из равенств B.19) имеем
си = с„ = 0, си = — сг1 = ±УИ,	B.23а)
!B.236)
Примерами универсальных тензоров поверхности являются
мультипликативные тензоры
B.24)
pp
Следует заметить, что универсальный ковариант из 50{т,„(/7)
однозначно не определяется заданием его компонент относи-
относительно какой-нибудь одной фиксированной координатной системы
S2. Это иллюстрируется следующим примером. Пусть
f(z) = d-y и g(z) = (dTq>)\	B.25)
где ф—дифференцируемый скаляр из Со(/7). Очевидно, fug
принадлежат to>1(F) и C0i2(F) соответственно. Если ф — анали-
аналитическая функция от z для Sz(zA, то f = g = 0 относительно
координатных систем из А, но для других координатных систем
f и g не совпадают.
Пусть р — некоторое натуральное число и Ах, ..., Л^—раз-
Л^—различные классы конформно эквивалентных координатных систем
поверхности F. Обозначим через Л° объединение Ах{] .. .\) Ар.
Теперь нетрудно построить примеры ковариантов из С (F), ком-

§ 2]	КОВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА	225
поненты которых совпадают относительно координатных систем
из Л°, но отличаются друг от друга относительно координатных
систем из любого В-семейства, ВфАк, /г?[1, р]. Примерами
таких ковариантов являются
<7*(*i. -.., гг% 0 = (? (*!.?)•• •</(*,, ?))*, к?[\, р], B.26)
где q{zh t) — характеристическая функция координатных систем
Sz, S^, причем Sz.—некоторые фиксированные координатные
системы из At. Очевидно, qk = 0, если 5^Л°, a qk?V-k,k{F, В),
qk^0 для 5^5, если ВфА{, i?\l, p].
Из приведенных примеров ясно, что для задания универ-
универсального коварианта из 9JlMt „ (F) необходимо задать его относи-
относительно всякого Л-семейства конформно эквивалентных коорди-
координатных систем поверхности, т. е. задать его компоненту отно-
относительно некоторой одной фиксированной координатной системы
из всякого Л-семейства.
8) Рассмотрим, в частности, универсальные коварианты ну-
нулевого ранга из sJft(F). Очевидно, всякий тензор нулевого ранга
из Ш(Р), т. е. скаляр из ?[I0(/7), представляет также универ-
универсальный ковариант нулевого ранга из Ш {F), т. е. Шо (f)c?01OiO {F).
Мы сейчас убедимся, что множество W1OtO(F) ковариантов нуле-
нулевого ранга на самом деле шире множества ffio(F).
Пусть аа/.'.'.ар—компонента некоторого тензора из ^T(piP{F).
Если последовательность индексов $lf...,$p представляет неко-
некоторую перестановку последовательности индексов аг, ...,ар, то
согласно B.9) имеем
= о, 2 27)
о
Следовательно, функция
представляет универсальный ковариант нулевого ранга из sDIOi 0 (F),
но, очевидно, f(z) не является скаляром (тензором нулевого
ранга) из Шо (F), если р> 1. р
9) По-прежнему через А будем обозначать некоторое Л-се-
мейство конформно эквивалентных координатных систем поверх-
поверхности F. Условимся пользоваться символической записью f ? 9^, „,
если / принадлежит либо некоторому 9Лет,п(/\ Л), либо Шт, n(F).
Когда одновременно будем рассматривать'два пространства Си,„
и Шт „, то всегда будем подразумевать, что либо Ст п~Ст n(F)
и Ша;„ = тя%п(П, либоСи,„ = Си,„(Л Л) и «№„,„ = ^ж,й(Л А).
Пусть О,Пч n^Cm> n и птпф0. Тогда существует обратный
ковариант ВД„, который принадлежит С_И1 _л. Если 1Ш
8 И.-.Н. Век
уа

226	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
то ясно, что Q?t nf = /0 € S01o, о - Отсюда следует формула
B,	B.28)
которую назовем факторизацией коварианта / из Шт%п. Кова-
риант &т,п из CWin, удовлетворяющий условию &т^пф0, будем
называть дивизором класса CrtiM, а скаляр /0 из 9JlOt 0 — проек-
проекцией коварианта f из Шт,п относительно дивизора ?2т,„.
Обычно в качестве дивизора Qmi n целесообразно брать уни-
универсальный ковариант класса Ст,n(F), который назовем нор-
нормальным дивизором класса СтуП. Тогда равенство B.28) назовем
нормальной формой факторизации ковариантов из -Jftw,n, а [0 —
нормальной проекцией коварианта f €*№„,,„•
Если зафиксируем дивизор Qm<n, то формула B.28) реали-
реализует изоморфизм 9№т,и'«-»ЭД?о, о- Во-первых, это отображение уста-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами
93?,л,„ и $Ш0,0, причем нейтральному элементу из $Ят,п соответ-
соответствует нейтральный элемент из ЭД0,0- Во-вторых, если /, g^.^lm,n
и /о» i?o — соответствующие проекции на ЗД?0,0, то» очевидно, про-
проекция суммы ковариантов равна сумме их проекции.
Можно указать много различных способов построения нор-
нормальных дивизоров из C(F). Укажем здесь один из таких диви-
дивизоров.
Пусть 5го — некоторая фиксированная координатная система
поверхности F. Тогда для любой координатной системы поверх-
поверхности выполняются условия (см. § 1, п. 7)
z(iFz.	B.29)
Кроме того, очевидно, что со (z) и ш (г) представляют компонен-
компоненты соответственно универсальных ковариантов из Сх 0 (F) и
C0^(F). Тогда
^^(z)^^Jz), z?Fz, B.29a)
представляет универсальный ковариант из Ст(П(/г). Следова-
Следовательно, в качестве нормального дивизора класса Сот,п можем
взять (т, п)-ковариант ай)„. Тогда формула факторизации ко-
ковариантов f из 5Щт,„ принимает вид
f = /o«*.B. /о 6^0.0-	B.30)
10) Если /€С,Л>,П то имеем
^-"ГбС...,.	B.31)

§ 21	КОВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА	227
Назовем ковариант f контравариантом коварианта /. Очевидно,
ff—скаляр из К0H:
'(i')-'"M'|/|4!?.,,	B.32)
Нетрудно видеть, что / = /, т. е. / представляет контравариант
относительно /.
Если /, g?Cmtn, то /g€<C0H (f). Назовем fg локальным ска-
скалярным произведением ковариантов / и g из CCTi „. Будем поль-
пользоваться обозначением
(^yim+n)	B.33)
Нетрудно убедиться, что (/, g)M обладает всеми свойствами ска-
скалярного произведения. В частности, (/, /)m^0, причем знак
равенства имеет место лишь в точках, где / — О.
Неотрицательный скаляр из COi 0
будем называть локальной нормой коварианта /. Нетрудно до-
доказать следующие формулы:
Если/, ?€СЛ,П, то
а)	[|/ + ?U<l!/!U + №, M?F	B.35)
(неравенство треугольника);
б)	К/, ?U<!l/IUi?U, M?F.	B.36)
Таким образом, коварианты класса CffliB составляют локально
гильбертово пространство над полем скаляров из COi 0.
Локально гильбертово пространство ССТ)„(/Г, А) превращается
в гильбертово пространство над полем комплексных чисел С,
если определим в нем глобальное скалярное произведение двух
когредиентных ковариантов при помощи формулы
(/. ?) = $(/, g)mdF, /, g?Catn{F, A).	B.37)
$
F
Очевидно, предполагается, что этот интеграл сходится. Для
этого достаточно, чтобы локальные нормы \\f\\M и Ц^Ц^ были
функциями с интегрируемыми квадратами.
Глобальная норма коварианта определяется при помощи
формулы
Uh = VWT). /€Св,„(Л А).	B.38)
8*

228	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Легко доказываются неравенства
/> ?€СЯ1 „(/=", Л), B.39)
К/, Ы<11ЛИ?|и, f> geCm,n{F, А).	B.40)
Последние неравенства доказываются при помощи формулы B.36)
и неравенства Коши — Буняковского.
Таким образом, коварианты из &m,n{F, Л), если определено
скалярное произведение при помощи формулы B.37), составляют
гильбертово пространство, которое обозначим через Hm<n(F, A).
11) Пусть локальная норма \\[\\м коварианта f из <Crn,n{F, A)
непрерывна на F. Предположим, что F — компактная поверх-
поверхность. Тогда определим С-норму коварианта f при помощи
формулы
/€СЯ1В(Л А).	B.41)
Нетрудно доказать при помощи неравенства B.35), что выпол-
выполняется неравенство треугольника
, Ле€Св1В(Л А). B.42)
Теперь нетрудно убедиться, что норма ||/[|Ci A обладает всеми
свойствами нормы метрического пространства. Поэтому ковари-
коварианты класса &m,n{F, А) составляют банахово пространство, ко-
которое обозначим через Cm<n(F). При т — п = 0 будем иметь
пространство непрерывных скаляров из COt 0 (F, А) на компакт-
компактной поверхности, которое обозначим через C0(F, A).
Если F—компактная поверхность, то для всякого ковари-
коварианта f?Cm,n(F) существует точка Mf^F такая, что
12) Выше мы видели, что комплексные компоненты тензора
представляют универсальные коварианты, теперь мы покажем,
наоборот, как можно строить тензор при помощи ковариантов.
Пусть рассматривается некоторое Л-семейство конформно экви-
эквивалентных координатных систем поверхности F. Всякий тензор
/ ранга р из некоторого модуля Ш {F) можно представить отно-
относительно координатных систем Sz из Л. в виде
f = fav...ape^---«p,	B.43)
где fat...ap—комплексные ковариантные компоненты тензора,
a eai—aP—мультипликативный тензор
eai...aP = ral...<^rctP.	B.44)
Если умножим обе части этого равенства на тензор e$t...$p и
примем во внимание формулы
.p/, = (rairp1). • •(га^грр = б«;.. .6|р, B.44а)

§ 2]	КОВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА	229
то будем иметь
fa^.ap =feat...ap.	B.446)
На правой стороне этой формулы фигурирует внутреннее про-
произведение тензоров f и еа1...ар-
Сумма в правой части равенства B.43) содержит 2р кон-
конформно инвариантных слагаемых
fat...ape^-aP.	B.45)
Пусть
m = 6ji + ... +6^, /i = 6;« + ... +6«р.	B.46)
Тогда ясно, что fai...ap представляет (т, /г)-ковариант из ffli(F, A),
т. е.
fat...aP<tmm,n(F,A).	B.47)
Фиксируя тип (очевидно, т-\-п~р), легко убедимся, что
{т + п)!
каждому тензору ранга р соответствует -—г-~г~ ковариантов из
%)lmtn(F, А). Например, тензору 1-го ранга из Ш (/\ Л) соответ-
соответствуют два коварианта Д и f2—по одному из 9)rli0 и 9)lOil.
Тензору 2-го ранга f из Ш (F, А) соответствуют по одному ко-
варианту /n6^2 0 и /мб90?о а> а также два коварианта /12,
fnH3iM.
Теперь поставим обратную задачу. Пусть имеется ковариант
f€$Rmtn(Ft А) (пг^О, я>0). Построим соответствующие тен-
тензоры ранга р = т-\-п. Пусть тип выражены при помощи фор-
формул B.46). Таких представлений чисел тип посредством
индексов (х1, ...,Ор существует -—-~-. Следовательно, выра-
выражения
Я	B-48)
конформно инвариантны, если индексы alt ..., ap принимают
значения, удовлетворяющие соотношениям B.46). Конформная
инвариантность выражений B.48) очевидна, так как / и еах -аР—
контраградиентные коварианты. Эти выражения представляют
линейно независимые тензоры ранга р=т-\-п. Пока эти тензоры
определены для координатных систем из Л-семейства, но мы
однозначно определим эти тензоры (т. е. их компоненты), потре-
потребовав инвариантность выражения B.48) относительно любых
преобразований координат.
Для коварианта /?9ft-ro, _n(F, A) J(m>0, я^О) аналогично
строим Т*п. тензоров ранга р — т-\-п из Ш (F) посредством
формулы
feai...*p-	B.49)

230	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Если fem.m,n(F,A) (щ>0, я>0) или/€ЭЛМ,-П(Л Л) (m>0,
я^О), то соответствующие тензоры строим при помощи формул
/еа'-«"•»,..*„, feat...aj^« •	B.50)
Зафиксируем теперь число р — m + я и будем менять числа ти
я, т^О, п^О. Выбираем совершенно произвольно ^^- ко-
вариантов из всякого класса Шт1П(Р, А), Обозначим эти кова-
рианты через fa.l...aP, где а1( ...,ар удовлетворяют соотношени-
соотношениям B.46). Рассматривая всевозможные значения т и я, /тг + ti = р,
легко убедиться, что число таких ковариантов равно 2?, Тогда
при помощи формулы
— /а,!...apt?	t	{Z.Ol)
мы построим тензор ранга р из 90l(F).
Пусть задан набор 2р ковариантов из Ш (F, А) для некото-
некоторого Л-семейства, причем для фиксированных чисел тип,
т~\--п = р, среди этих ковариантов мы имеем -—~- ковариан-
ковариантов из Шт,п{Р, А). Назовем такой набор 2р ковариантов
р-ассоциацией ковариантов из Ш(Р, А).
Согласно формуле B.51) всякой р-ассоциации ковариантов из
§)l(F, А) соответствует тензор р-го ранга из Ш(Р, А), компо-
компоненты которого относительно любой координатной системы Sz
из А равны ковариантам заданной р-ассоциации.
Итак, между множеством тензоров р-го ранга из Ш (F) и р-
ассоциациями ковариантов из Ш {F, А), где А — некоторое семей-
семейство конформно инвариантных координатных систем поверхнос-
поверхности, можно установить взаимно однозначное соответствие, реа-
реализуемое формулой B.51).
13) Возьмем в качестве А семейство изометрических коорди-
координат поверхности. Тогда (см. гл. VI, § 3)
а ' ' = й- - > = А~>0 й i / = д > / = П	B, 52)
Следовательно, согласно формулам B.18а, б)
а11 = Й22 = 0» ^12 = ^21 = -2" А"'	B.53)
CL = п z==- L), CL = CL = -г- ,	(z.54)
а = А3,	1/а = Л>0.	B.55)
Поэтому имеем соотношения
Г1 = 2Л~1/* =2Л-1г	г2 = 2Л~1/" = 2A-17"	B 56а)
гх -1 Лг2 = 1 Лг1,	r2 = -J- Лг1 = 2Л-*г2,	B.566)

§ 3]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОВАРИАНТОВ	231
которые можем записать в общем виде так:
га = 2Л-1Га'=2Л-1га> га=-5-Лга* = уЛг^, B.56)
Теперь ясно, что имеем формулы
~	B>57a)
p	B.576)
Очевидно, имеем
ГаГа = (ГаJ = 0, ГаГа = (гаJ = 0,	B.58)
т. е. базисные вектор-функции всякой изометрической системы
координат поверхности представляют изотропные векторы. При-
Применяя теперь правила умножения мультипликативных тензоров
(гл. III, § 9), в силу равенств B.57) легко докажем
?,. б?р, B.59а)
.8р*я, B.596)
B.59в)
Пользуясь формулой B.57а), тензор B.51), если / 6 CTOt n (F, Л),
т-\-п = р, можно записать в виде
/e«.-^=/riai...a/,,	B.60)
где /—контравариант, соответствующий коварианту f^.^m,n-
§ 3. Дифференцирование ковариантов
Условимся говорить, что ковариант / из С/й) „ принадлежит
к классу Ck, k^O, если для каждой координатной системы Sz
из рассматриваемого семейства его компонент f{z) ^ Ck(Fz). Сим-
Символически это будем записывать так: /6C^n.
Из формулы B.11) непосредственно следует, что ковариант /
принадлежит C^n, если его компонент f (z)^Ck(Fz) относительно
одной произвольной фиксированной координатной системы Sz из
всякого класса конформно эквивалентных координатных систем.
Если f^Cmln, k^\, то под дJ будем подразумевать отображе-
отображение C(FZ)—>C(FZ), выраженное относительно координатной сис-
системы Sz частной производной dj(z). Напомним, что запись /б^п
означает, что ковариант/ принадлежит либо некоторому &m\n{F,A),
либо представляет универсальный ковариант из ^

232	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
1. Ковариантные производные от ковариантов. Пусть f ?
&>1. Тогда в силу формулы B.11) для конформно эквивалент-
эквивалентных координатных систем S2 и Sj имеем
C.1)
Так как z (г)— аналитическая функция от г, то, дифференцируя
обе части равенства C.1) относительно г, получим
)	,	C.1a)
Это равенство показывает, что если /?C^>rt, то частная произ-
производная dj представляет ковариант из С^1'- Обозначим этот ко-
вариант символом yj и назовем его ковариантной производной
от коварианта f относительно координаты z — zx. Аналогично,
еслиff ^С^о, то djf представляет ковариант из С^1', который
обозначим через y2f и назовем ковариантной производной от f
относительно z = z2. Таким образом, в рассмотренных выше слу-
случаях ковариантные производные от коварианта совпадают с
частными производными, которые представляют также ковари-
анты. Ниже мы убедимся, что в общем случае это свойство
частных производных не сохраняется.
В самом деле, если /6С$?„, k^\, то при т > 0, я>0
(соответственно т ^ 0, п > 0) частная производная dz f (соответ-
(соответственно dzf) не является ковариантом. Это легко следует из
формулы B.11). Если продифференцируем обе части этого равен-
равенства относительно г и г, то получим
dz\m/'dz\n+1, . / dz\mf tfaV dH
Из этих равенств соответственно при т > 0 и п > 0 непосред-
непосредственно следует справедливость наших утверждений, т. е dj и
dj-f не являются ковариантами.
Мы уже выше видели, что дискриминант а метрической квадра-
квадратичной формы поверхности представляет универсальный кова-
ковариант из R2i 2 (F). Следовательно, У а 6 Rx, г (F), причем У а > 0
для любой координатной системы.
Пусть f?C%n. Так как (/а)~-^_и, .я(F), то

§ 3]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОВАРИАНТОВ	233
Следовательно, согласно формуле C.1а) d2[(]/ra)~mf] ? C^-m- Так
как {Va)*?RM,m(F), то
(Kfl)-a, \{V fl)-/] 6 Cfeg n.	C.2a)
Аналогично докажем, что если / ? С^л, то
{V~a)ndT W~aYnf\ € C^ii-	C-26)
Обозначим т = т1, п = т2. Тогда в силу C.2а, б) имеем: если
/C* *, то
Очевидно,
Vet/= да/ — та/да1пКа.	C-3а)
Назовем yaf ковариантной производной от коварианта f из
,п относительно координаты za.
Часто Vi/ и V2/ будем обозначать соответственно через у2/
и vj/. Следовательно, если /6CBlB(f), то
VJ = dJ-mfd2\nVa,	C.36)
у?/ = аг/-п/^1п]/а.	(З.Зв)
Таким образом, операция ковариантных производных от
ковариантов реализуют отображения
Va/: СЙп-^сГ+'в-.п^.	C-4)
Формула C.3а) показывает, что ковариантная производная
от коварианта / выражается исключительно через /. Это свой-
свойство коварианта существенно отличается от свойств компонен-
компонентов тензора относительно вещественных координат. Ковариант-
ные производные компонента тензора ранга ^ 1 выражаются
посредством всей совокупности его компонентов.
Отмеченное свойство ковариантов выявляет еще одну важную
характеристику, показывающую, что коварианты (следовательно,
комплексные компоненты тензора) обладают определенной инди-
индивидуальностью, и позволяющую рассматривать их независимо друг
от друга как относительно алгебраических операций, так и при
применении операций ковариантного дифференцирования.
2. Свойства ковариантных производных от ковариантов. Те-
Теперь отметим несколько легко доказываемых свойств ковариант-
ковариантных производных от коварианта.
1) Если /€С0,0, то
Y«/ = da/.	C.5)

234	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	1ГЛ. VII
2) ЕСЛИ / И ge^m.n, k>U ТО
W + Vog-	C.6)
3)	Если / и g — любые коварианты класса Ск из С(/г), то
Va(fg) = ftag+g\af.	C.7)
4)	Если т — любое целое число, то
XaVam = 0.	C.8)
Следовательно, для любого коварианта /
Va(V~amf) = VamVaf.	C.9)
5)	Если F — поверхность нулевой гауссовой кривизны, назы-
называемая торсом, то на ней существует декартова система коор-
координат, относительно которой а = \. Следовательно, на торсах
относительно декартовых координат для любого коварианта f
Va/ = da/.	(ЗЛО)
Тут следует подчеркнуть, что формула C.10) имеет место
только на торсах, так как только на них существует декартова
система координат (см. гл. VI, § 5).
6)	Если f€Cm,n, то/"бСВ1|Я. Поэтому
7] = Vj,	C.11а)
7] = v17.	(з.116)
Следовательно,
vT/^Va*/", a*-|C-~(-l)^).	C.11)
3. Контравариантные производные от коварианта. Оператор
Лапласа для ковариантов. Определим контравариантные произ-
производные от коварианта при помощи формулы
Va/ = 2(Ka)-xW, a*=4"C-(~l)a).	C-12)
Таким образом,
1Ч^Г!=Ц\Гг)-хЪи Vf^Vf = 2(V~a)-^zf. C.12а)
Если /€€?>„, fe>l, то
Если /6С?Ш k"^2, то при помощи формул C.3) и C.126) лег-
легко докажем, что
t	(«=1,2).	C.13)

§ 3]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОВАРИАНТОВ	235
Введем в рассмотрение оператор Лапласа для ковариантов, оп-
определив его при помощи формулы
C.14)
В силу C.13) имеем
Va/ = VaVafGC^, V/€C#n.	C.14a)
Таким образом, оператор Лапласа V2/ реализует отображение
?„,„ — сЯ1И.
Пусть /?€¦<,%, fe>l. Тогда в силу C.3)
U-dJtC^a.	C.15)
Теперь, в силу C.15) и C.12а) имеем
)^L fo C.16a)
. C.166)
Поэтому оператор Лапласа от скаляра f из Cj,%, /г ^2, выра-
выражается при помощи формулы
W = VaVj = 4(|^)-^ = -7L-A/,	C.17)
где А — оператор Лапласа относительно декартовых координат,
iL ^^	C.17а)
Если /6ОД„, к^г2, то при помощи формул C.36, в) и C.12а)
выводим равенства
= ^r4~rt ftln Va)dJ—m (dz In Va) d-j+
-\-{mn\dz\n Vп\г — пдzdz\nVa) f,
+ (mn | dz In Ка !3- от5А In /a) /.
Вычитая одно из другого, получим
X1Xj-V2V1f^X!Xsf-V^J = (m-n)fd2d-\nVa. C.18)
Таким образом, вообще говоря,

236	ТЕОРИЯ КОВАРИЛНТОВ	[ГЛ. VII
Равенство
VaV.f-V.Vx/	C.19)
выполняется только в двух случаях: 1) на поверхности нулевой
гауссовой кривизны, т. е. на торсах для любого коварианта
относительно декартовых координат и 2) на любой поверхности
только для ковариантов вида
Теперь нетрудно видеть, что оператор Лапласа от произволь-
произвольного коварианта /бВДп> k^2, выражается формулой
= (VI)-1 {Af-4m (д2 In Va) d-2f-4n(d-z In Va) dj +
+ {Amn ] дг \nV~a |2 — 2 (m-f- м) 5,5- In/a) /}. C.20)
На торсах относительно декартовой системы координат фор-
формула C.20) принимает вид
V2/^VaV«/ = A/.	C.21)
Для ковариантов вида f^Cm,m(F) формулу C.20) можем за-
записать в виде
(K)r(Vr5)/].	C.22)
Если А — семейство изометрических координатных систем
поверхности F, то для всякой SZ?A уравнение Гаусса имеет
вид (см. гл. VI, § 3, п. 7)
? = ^ A = v	C23)
А дг дг
где К — гауссова кривизна поверхности. Следовательно, в этом
случае формулы C.18) и C.20) принимают вид
,V5/ - V;V,/ = \ (п-т) Л/(,	C.24)
C.25)
4. Связь между ковариантными производными от ковариантов
и ковариантными производными от комплексных компонентов
тензора. Теперь интересно выяснить, в какой зависимости нахо-
находятся между собой ковариантные производные от коварианта 'и
ковариантные производные от комплексных компонент тензора
относительно комплексных гауссовых координат.

§ 3]	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КОВАРИАНТОВ	237
В общем случае, когда А — произвольное семейство конформ-
конформно эквивалентных координатных систем поверхности, ковари-
антная производная от коварианта не совпадает с ковариант-
ной производной от соответствующего компонента тензора, но
ниже мы убедимся, что относительно изометрических координат-
координатных систем ковариантные производные от коварианта совпадают
с ковариантными производными от компонент соответствующего
тензора поверхности.
Введем в рассмотрение комплексные символы Кристофеля
1-го и 2-го рода поверхности:
raP,v = /V>arp, IV = rVdarp.	C.26)
Очевидно,
IV = «^ГсФ, %	C.26а)
Выразим теперь комплексные символы Кристофеля IV через
вещественные Га>р1'. Имеем
IV = r*Di.D*'da> (r p'DJ') = ra^'D%'Dl'Db + ?^ D$.. C.27)
Определим комплексные ковариантные производные Vafp от ко-
вариантного тензора 1-го ранга /р из С (F) через вещественные
ковариантные производные Va'/p' при помощи формулы
C.28)
Так как Va'/p' —d^f^> — Va'^k'f^, то имеем равенство
которое в силу C.27) запишем в виде
V«/B = aa/p-rep^.	C-29)
Эта формула выражает ковариантные производные от комплекс-
комплексных ковариантных компонент тензора 1-го ранга из С (F) отно-
относительно комплексных гауссовых параметров z . Ниже эту фор-
формулу мы обобщим для тензоров любого ранга. Сначала напишем
формулу
Wp=d«/p+iV/\	(з.зо)
выражающую ковариантные производные от комплексных конт-
равариантных компонент тензора 1-го ранга из С (F) относитель-
относительно комплексных гауссовых параметров.

238	ТЕОРИЯ КОВЛРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Теперь нетрудно убедиться, что общая формула для ковари-
антных производных от комплексных компонент произвольного
(р, д)-тензора из С (F) относительно комплексных гауссовых па-
параметров za имеет вид
Очевидно, Га/^-Р," представляет (р +1, ^-тензор из C(F).
Пусть А — семейство изометрических координатных систем по-
поверхности F. Если координатная система SZ?A, то согласно
формуле (VI, 3.42е) комплексные символы Кристофеля 2-го рода
выражаются при помощи формул
lV = 8J6«dalnA.	C.32)
Внося эти выражения в правую часть равенства C.31), получим
ap',a1...ap_1a —
--W';;*?- ¦ ¦ . -6|^V.::PaJ-a) de In Л. C.33)
Внутри скобок правой части последнего равенства лишь те
слагаемые отличны от нуля, для которых индексы а,, ..., ар,
C^ . .., $q равны а. Тогда равенство C.33) можно записать в виде
или
^^::%=дЛ\:.%~ т^;:%д«1п Л>	C.34)
где
^ = 8? + • • • +6S'-№ + • • • +ВД-	C.35)
Формулу C.34) запишем еще в виде
Эти формулы выражают ковариантные производные от комп-
комплексных компонент тензора относительно всякой изометричес-
изометрической координатной системы поверхности.
Но /|''-^ представляет ковариант из CMii ^(F). Обозначая
его через f, формулу C.36) запишем в виде
Vj = A«Iad2(A-'*a/).	C.37)
Эта формула показывает, что ковариантные производные от комп-
комплексных компонент тензора относительно изометрических коор-

$ 4]	УРАВНЕНИЯ КОШИ — РИМЛНА ДЛЯ КОВАРИАНТОВ	239
динат совпадают с ковариантными производными от соответст-
соответствующих ковариантов поверхности.
Таким образом, комплексные компоненты тензора относи-
относительно изометрической системы координат поверхности в отли-
отличие от вещественных компонент обладают весьма важными свой-
свойствами: во-первых, такой компонент тензора можно рассматривать
как самостоятельный объект относительно ковариантного диффе-
дифференцирования; применяя к нему операции ковариантных произ-
производных, выражаемых формулой C.36), мы получим комплексную
компоненту тензора ранга на единицу выше. Во-вторых, кова-
риантные производные от комплексных компонент тензора отно-
относительно комплексных изометрических координат совпадают с
ковариантными производными соответствующего коварианта.
Следует подчеркнуть, что эти свойства относительно других
координатных систем поверхности не имеют места. Поэтому
изометрические координатные системы имеют ряд преимуществ
перед другими координатными системами.
§ 4. Уравнения Коши — Римана для ковариантов.
Аналитические и обобщенно аналитические коварианты.
Факторизация ковариантов
1. Аналог уравнения Коши — Римана для ковариантов. Ана-
Аналитические коварианты. Для ковариантов/^С'/^, k^\, анало-
аналогом уравнения Коши — Римана является уравнение
-7] = 0.	D.1)
Если /—скаляр из С^о, fe^l, то будем иметь уравнение Ко-
Коши— Римана в комплексной форме
а-/ = 0.	D.2)
Следовательно, /—аналитическая функция от г. При замене
координаты z новой, конформно эквивалентной координатой z,
уравнение D.2) переходит в уравнение
af/ = O, ?(z) = /(z(z)).	D.2а)
Отсюда следует, что функция, удовлетворяющая уравнению
Коши — Римана относительно одной какой-нибудь фиксированной
системы координат Sz, будет удовлетворять тому же уравнению
относительно любой другой конформно эквивалентной коорди-
координатной системы 5~.
Иными словами, скаляр из COiO, представляющий аналити-
аналитическую функцию относительно какого-нибудь комплексного пара-
параметра z, будет аналитической относительно любого другого

240	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
конформно эквивалентного параметра г. Такие функции будем
называть аналитическими функциями поверхности соответству-
соответствующего класса А конформно эквивалентных систем поверхности.
Обозначим множество аналитических функций поверхности F
класса А через A0(F, A).
Из уравнения D.1) следует, что
(УЪ)-*[ = Ф(г),	D.3)
где Ф—аналитическая функция от z в Fz относительно коорди-
координатной системы Sz из рассматриваемого Л-семейства конформно
эквивалентных координатных систем. Следовательно, ковариант
из Cmyn(F, А), удовлетворяющий уравнению Коши — Римана D.1)
на поверхности, имеет вид
/ = (/а)"Ф(г), O€A(Fg).	D.3a)
Так как /6CW(W и {V~a)n €<?„,„, то из последнего равенства сле-
следует, что Ф? Ст-п,<1 (F, А). Поэтому при замене г новым кон-
конформно эквивалентным параметром г будем иметь
ш.	D.4)
Дифференцируя обе части этого равенства относительно z и имея
в виду равенство д-Ф = 0, получим д-Ф = О.
Таким образом, ковариант Ф относительно любой координат-
координатной системы S2 из Л-семейства представляет аналитическую функ-
функцию соответствующего комплексного параметра. Такие коварианты
будем называть аналитическими. Множество аналитических ко-
вариантов класса Cmt0(F, А) обозначим через Am(F, А) или
просто Ат.
Примеры аналитических ковариантов любого класса Ат (F, А)
легко построить. Пусть Ф(г)— аналитическая функция от z
в области Рг относительно координатной системы S^^A. Тогда
производная
dz	v '
является ковариантом класса Сьо. В самом деле, при замене z
на г* ~ z будем иметь
dz ~ dz* dz '
что и доказывает наше утверждение. Теперь ясно, что (Ф' (z))m
является аналитическим ковариантом класса Am(F, A).

§4]	УРАВНЕНИЯ КОШИ — РИМАНА ДЛЯ ИНВАРИАНТОВ	241
2. Факторизация аналитических ковариантов. Обобщенные
аналитические и антианалитические коварианты. Ковариантные
дивизоры 1-го и 2-го рода. Пусть <в0 (z)— некоторая однолистная
аналитическая функция в области F г. Это означает, что соо (г)
реализует конформное отображение области Fz на область^ком-
область^комплексной плоскости. Следовательно,
и с^бЛЛЛ А).	D.5)
Если W?Am(F, А), то можем написать
W(z) = (^(z))-W0(z).	D.6)
Так как ((a'0(z))m ? Am(F, А), то из предыдущего равенства сле-
следует, что ^0 — аналитическая функция из Ао (F, А). Назовем
формулу D.6) факторизацией аналитического коварианта Ч*" по-
посредством аналитического дивизора о)'0т.
Вернемся теперь к формуле D.3). Так как Ф? Am_n(F, А),
то в силу формулы факторизации D.6) напишем
Ф(г) = К(г))»-»Ф0(г),	D.7)
где Фо (z) — аналитическая функция из Ло (F, А). Если внесем
выражение D.7) в D.3а), то будем иметь
f (г) = ФЯ, „(*№(*),	D-8)
где
Фт.«{г) = (Уа)" {<*№))»-«.	D.9)
Введя в рассмотрение скаляр из R0t0(/7, A)
/Щ,	D.10)
(Оо (?) Wo B)
формулу D.9) можем записать в виде
Так как %=?0 и со'B)=^=О, то, очевидно,
ф (z)=^0 zfFr.	D.12)
Внося выражение D.8) в уравнение D.1) и принимая во вни-
внимание равенство д-Ф0 = 0, убедимся, что Фт,п удовлетворяет
уравнению
V- Ф„, MVa)nd-z ((УаУпФт, п) = 0.	D.13)
Рассматривая теперь уравнение

242	ТЕОРИЯ КОВАРИЛНТОВ	1.ГЛ. VII
аналогичным путем выводим формулу
|?=ФЛ, „(z)?0(z),	D.15)
где Wo — произвольная аналитическая функция из A0(F, A).
Формулы D.8) и D.15) выражают все решения уравнений
\zf = O и \zg = 0 для ковариантов класса CMi п соответственно.
Назовем коварианты вида D.8) и D.15) соответственно обобщен-
обобщенными аналитическими (при п=?0) и антианалитическими (при
тфО) ковариантами класса Ст< n(F). Обозначим множества обоб-
обобщенных аналитических и антианалитических ковариантов из
<C/m<n(F, А) через Amt „ (F, Л) и Amtlt(Fi А) соответственно. При
гс = 0 или т = 0 будем иметь соответственно аналитические и
антианалитические коварианты, причем условимся вместо Ат%й
и ЛОч„ писать Ат и Ап соответственно.
Ковариант ФТО1И, который принадлежит классу Cm%n(F, A)
и выражается формулой D.11), обладает тем важным свойством,
что он непрерывен и нигде не обращается в нуль на поверхно-
поверхности. Назовем его ковариантным дивизором 1-го рода класса
<0f/tin(F, А). Ковариант Ф„,т также принадлежит классу Cm,n(Ft Л).
Назовем его ковариантным дивизором 2-го рода класса Cm,n(F, A).
Эти дивизоры обладают тем важным свойством, что если / —
ковариант класса СтчП, то его можем представить в виде
/-Ф.,»/., /о€С0H(/% Л)	D.16а)
или
/ = Ф/ьда§о' ёо €COt 0 (F, Л).	D.166)
Так как v^ffl,n = 0 и УгФ„,м = 0, то имеем
\-f = Om,nd-f01	D.17а)
Vj=On „,dygn.	D.176)
1 si	П\ ш го и	v	/
Равенства D.16а) и DЛ 66) назовем факторизациями соответ-
соответственно 1-го и 2-го рода ковариантов класса СтлП. Формулы
факторизации D.16а, б) играют важную роль в теории обобщен-
обобщенных аналитических ковариантов. При их помощи многие ана-
аналитические и топологические свойства аналитических функций
обобщаются на обобщенные аналитические коварианты. Например,
в дословной формулировке обобщаются теоремы единственности,
свойство нулей и полюсов, принцип аргумента, теоремы Вейер-
штрасса о поведении вблизи существенных особых точек и др.
3. Неоднородное уравнение Коши — Римана. Пусть g ? Ст< п + 1.
Рассмотрим обобщенное неоднородное уравнение Коши — Римана

§ 4]	УРАВНЕНИЯ КОШИ — РИМАНА ДЛЯ КОВАРИАНТОВ	243
Наша цель—вывести формулу для построения частного решения
этого уравнения. При помощи формулы D.17а) уравнение D.18)
можем записать в виде
^/о = Фт^€Со,х.	D.19)
Частное решение этого уравнения выражается формулой (см.
[1], гл. 1)
lff^^iOd|at,f	D.20)
где Fz — область изменения комплексной координаты г.
Этот интеграл выражает скаляр из C00(F, А). Поэтому от-
относительно любой другой координатной системы 5- из А будем
иметь
fo(z) = /o(z(i)).	D.21)
Внося выражение D.20) в D.16а), получим
f = <Dm,n(z)T(g).	D.22)
Формула D.22) выражает частное решение неоднородного урав-
уравнения V-f = g, принадлежащее классу CW)/r
Вообще говоря, / удовлетворяет уравнению \jf-g в обоб-
обобщенном смысле (см. [1], гл. 1). Если ковариант g непрерывен
в смысле Гельдера, то можно показать, что J является решением
уравнения V-/ = g в классическом смысле.
4. Уравнение Коши — Римана на овалоидах. Рассмотрим те-
теперь случай, когда F — овалоид, т. е. замкнутая" выпуклая по-
поверхность положительной главной (гауссовой) кривизны. В ка-
качестве Л-семейства мы рассмотрим семейство изометрических
координат (см. гл. VI, § 3). Как известно, существует изомет-
изометрическая параметризация овалоида, реализующая топологическое
отображение его на плоскость комплексной переменной (см. [1],
гл. 2). Поэтому все однолистные аналитические функции на
овалоиде имеют вид
г =a>0(z) ==!*??,	D.23)
где а, E, 7, б —постоянные, причем Д0 = а6—|Зу=/=О. Без ущерба
для общности можно принять Ао=1. Тогда производная от ю0
выражается в виде
VB)^w;B)=(-^p	D.24)

244	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Таким образом, ©о (г)фО, но в точке z = — 6у~1 она имее,т по-
полюс 2-го порядка. Следовательно, все регулярные на плоскости z
однолистные функции имеют вид
z = ©o(z) = oc2 + p.	D.25)
При соответствующей нормировке можно считать, что
2 = ©„(*) = *•	D.26)
Назовем соответствующую изометрическую параметризацию ова-
лоида канонической. В силу этого из D.24) получим, что ко-
вариантный дивизор 1-го рода класса СОТ)П на овалоиде относи-
относительно канонической изометрической параметризации выражается
формулой
ФМ1В = А»,	D.27)
где Л — У а. Напомним, что относительно изометрических коор-
координат метрическая квадратичная форма имеет вид
/ = ds* = Л (dx* + &уг) = Л dz dz.	D.28)
Следовательно,
а = Л2, т. е. Уа = &>0.	D.29)
Таким образом, в рассматриваемом случае формула D.20)
относительно канонической изометрической параметризации ова-
лоида принимает вид
±^f^t	D.30)
где интегрирование осуществляется на плоскости Е комплексной
переменной z. Теперь мы выясним условия сходимости этого
интеграла.
Докажем, что если /—непрерывный на овалоиде ковариант
класса Cmt „, то вблизи бесконечности имеет место оценка вида
f(z) = O(\z\-^m+n)).	D.31)
В самом деле, на овалоиде замена одних изометрических пара-
параметров z другими z осуществляется преобразованиями вида D.23).
Поэтому согласно формуле D.24) имеем
/(г) = ?B)(у2 + в)-"вб?+б)-Я|1.	D-32)
Отсюда непосредственно получается формула D.31).
Так как A€R1A, то в силу D.31) для Л вблизи бесконеч-
бесконечности имеем оценку
Л = 0.A г |-«).	D.33)

§ 4]	УРАВНЕНИЯ КОШИ — РИМАНА ДЛЯ КОВАРИАНТОВ	245
Заметим теперь, что для непрерывного на овалоиде ковари-
анта /€С^}?„ (F), в силу D.31) и D.33), локальная норма, кото-
которая выражается формулой
11Ли=Л^(ш+я)|/(г)|, M?F,	D.34)
ограничена на всем овалоиде
\\Пм = 0A).	D.34а)
Следовательно, существует С-норма
||/||с = Мах«/(г)Ц.	D.35)
По условию g€Cfflin + 1. Поэтому в силу D.31) и D.34) имеем
оценку
A-«g = O(|z|2(»-'*-1)).	D.36)
В силу этого для сходимости интеграла D.30) достаточно
потребовать, чтобы выполнялось условие п^т. Тогда оператор
Т (g) выражает функцию, непрерывную на плоскости и обра-
обращающуюся в нуль на бесконечности (см. [1], гл. 1).
Таким образом, при п^.т существует частное решение вида
f=A.nT(g) уравнения \-f = g, принадлежащее классу См>п и
непрерывное на овалоиде, которое на бесконечности имеет оценку
/ = O(|z|-«").	D.37)
Если п < 0, то / может иметь разрыв в точке овалоида, соот-
соответствующей бесконечно удаленной точке плоскости z. Эта
особенность появляется из-за наличия множителя Л" в выраже-
выражении j = AnT{g).
Изучим теперь вопрос построения частного решения класса
CW)M уравнения V-f = g при п>т, g?€m,n + l. В этом случае
интеграл D.30) расходится и, следовательно, он не может слу-
служить для построения частного решения уравнения ?-/ = ?.
Поэтому необходимо несколько изменить конструкцию соответ-
соответствующей формулы.
Рассмотрим на плоскости г кусочно голоморфную функцию
,г*, если |г|>1,
v ' \ 1, если \г < 1,	х '
где k — некоторое целое число, которое будет определено ниже.
Умножив обе части уравнения Vj/ = g на 0(г), будем иметь
^Л-л-дгСЛ-Л)-*!,	D.39)
где
D.40)

246 ТЕОРИЯ КОВЛРИЛНТОВ	[ГЛ. VII
В силу D.31) и D.34) вблизи бесконечности имеем	оценку
A-»gi:=0(|z|*+2«-a'n-2).	D.41)
Отсюда следует, что для сходимости интеграла
достаточно потребовать выполнения неравенства k 4- 2 (п—т) < 1.
Для этого достаточно принять k = —2(п—т). Тогда частное
решение уравнения D.39) можно строить при помощи формулы
/i = ЛВФ1 -f Л«Г (%),	D.43)
где Фа (г) —некоторая кусочно голоморфная функция на плоско-
плоскости, непрерывная внутри и вне окружности |z|--l. Частное
решение исходного уравнения X-f — g выражается формулой
D.44)
где Ф (г)— кусочно голоморфная функция, непрерывная внутри
и вне окружности |г|—1. Потребуем теперь, чтобы искомый
ковариант / был непрерывным на всей плоскости. Для этого
необходимо и достаточно обеспечить выполнение условия
?+(')-?-@ = 0 при |*|=1.	D.45)
Так как Л (z) и Т Fg) непрерывны на плоскости, то в силу D.38)
и D.44) условие D.45) принимает вид
ф+ (*) —ф- (/) == (/-*— 1) Т (Qg), |tf|=l.	D.46)
Частное решение этой задачи Гильберта выражается интегралом
типа Коши (см. [22])
где Г — окружность |г| — 1. Подставляя выражения D.47) в D.44),
получим искомое частное решение уравнения \-f~g в виде
?(г) = Л«Г0&),	D.48)
где
Т, (g) = 4п 1 <<"*7-/'(9?> <« + в"' (*) Г (в*). D.49)
г
Таким образом, и при п > m для любого непрерывного на
овалоиде коварианта g€.C/ntn+l существует частное решение /

§ 4	УРАВНЕНИЯ КОШИ - РИМАНА ДЛЯ КОВАРИАНТОВ	247
неоднородного уравнения \-f-g, которое выражается форму-
формулой D.48). Так как Ф (г) и Т (Qg) обращаются в нуль на бес-
бесконечности, то, приняв k = —2(n — tri), е силу D.34) и D.38)
вблизи бесконечности будем иметь
? = Л»Г0 (g) = О (|z|-« <«+«>).	D.50)
Но по условию /€COTn, и эта оценка вполне согласуется с фор-
формулой D.31). Следовательно, }€C™n(F).
Общее решение уравнения \-f = g, очевидно, выражается фор-
формулой
/ = Л»Ф(гL-?,	D.51)
где Ф — произвольная аналитическая функция от z на плоскости.
5. Теорема о существовании непрерывных решений однород-
однородного уравнения Коши — Римана на овалоиде. Изучим теперь
вопрос о существовании на овалоиде F решений класса €m]n(F)
однородного уравнения V-/ = 0. Общее решение класса С^п
этого уравнения, очевидно, имеет вид
/ = Л"Ф(г),	D.52)
где Ф — голоморфная функция на плоскости. Кроме того, в силу
D.31) и D.38) на бесконечности должна иметь место оценка
ФB) = 0(|г|2(я-я>).	D-53)
Если /г < яг, то имеем, что Ф = 0, т. е. при я < m уравнение
Vj/ = O не имеет решений класса С$>n(F), кроме тривиального
Если n^tn, то из D.53) следует, что Ф—полином степени
2 (п — т). Таким образом, при п^т уравнение Vj/ = O допус-
допускает 2(п — т)-\-\ линейно независимых решений класса ^m\n{F)-
Полученные выше результаты мы теперь сформулируем в виде
следующей теоремы.
Теорема. Если g—непрерывный на овалоиде козариант
класса С^„+1, то неоднородное уравнение ^~f = g всегда имеет
частное решение класса ^mlni^)- Flpu n^.m это решение выра-
выражается формулой J = AnT(g), где Т (g)—оператор, заданный
формулой D.30). Если п^т-{-\, то частное решение уравнения
V-f = g, выражается формулой f = A,nT0(g)t где T0(g) — оператор,
заданный формулой D.49). При п<т однородное уравнение
V-/ = 0 не имеет отличных от нуля непрерывных на овалоиде
решений класса С^п. Если п^О, то уравнение v-/ = 0 имеет
2(п — т)-\-\ линейно независимых решений, непрерывных на ова-
овалоиде и принадлежащих классу С^„. Эти решения выражаются

248	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
формулой f — АрФ, где Ф—произвольный полином степени
2{п — т).
Обозначим через A{m]n(F) множество непрерывных решений
класса Amtn{F) уравнения ^^f = 0 на овалоиде F. Мы рассмот-
рассмотрим лишь случай п^т, так как при п < т А%]п — пустое мно-
множество. При п^т коварианты из Л^л выражаются формулой
/ = Л»ФB),	D.54)
где Ф — произвольный полином степени 2 (п — т).
Тензоры поверхности, выраженные через коварианты из Ат]п,
согласно формуле B.41) имеют вид
Л = Л«Ф (z) ea*---aP,	D.55)
где индексы alt ..., ар—произвольная последовательность т
единиц и п двоек, т. е.
т = бГ + • • • +о^, п = о^+... + 07.	D.56)
Для каждого полинома Ф число различных тензоров вида D.55)
равно , , . Так как Ф—произвольный полином степени
2 (п — т), то число линейно независимых тензоров вида D.55)
равно
D.57)
В силу формулы D.55) локальная норма тензора А выражается
формулой
||Л|Л1 = Лт(я"я)|ФB)|, M?F.	D.58)
Отсюда следует, что локальная норма тензора А непрерывна
всюду и на бесконечности удовлетворяет условию
№ = 0A).	D.59)
Следовательно, тензоры вида D.55) имеют конечную С-норму \А\С.
Если зафиксируем число р = т + я и будем изменять тип
так, чтобы выполнялось условие п^.т, то из формулы D.55)
получим все линейно независимые тензоры ранга р из A^
где m^-gp.
Их число равно
= X B/?—4/tt + l) ,/! . , .	D.60)

§ 4]	УРАВНЕНИЯ КОШИ — РИМАНА ДЛЯ КОВАРИАНТОВ	249
Как уже видели выше, все эти тензоры имеют непрерывные
локальные нормы, но некоторые из них могут иметь разрывы
конечного порядка. А именно, тензоры, соответствующие функ-
функциям O = const и ф = сг*(п~т) (c = const), имеют соответственно
в точках z = 0 и z — oo разрывы конечного порядка.
Можно показать, что непрерывными на всем овалоиде будут
лишь тензоры вида D.55), которые обращаются в нуль в точках
г = 0 и z —оо. Эти условия будут выполнены тогда и только
тогда, когда Ф—полином вида
O = fl1z + of2* + ... +ai(B.i-)_1z»«»—>~1.	D.61)
Следовательно, для каждого фиксированного р ^ 1 число линейно
независимых непрерывных на овалоиде тензоров вида D.55)
равно
Например, при р = \ (т = 0, п = \) имеется единственный такой
тензор, который можно записать в виде
A = zri=zZd2r.	D.63)
Если р = 2, то имеем три тензора 2-го ранга, которые можно
выразить в виде
A = zkr±®rt (k= 1,2,3).	D.64)
При р = 3 имеем восемь тензоров 3-го ранга
(*)
A = zkrx®r1®rlt (k=l, 2, 3, 4, 5),	D.65)
F)	G)	(8)
Л Л1®®	\®®	\®®
Приведенные выше результаты легко иллюстрируются на
примере замкнутой сферической поверхности. Тогда (см. гл. VI,
§ 3, п. 4)
л= A^)а»	с4-66)
где R — радиус сферы,
z = tg-^-e*<P.	D.67)
Выражая радиус-вектор сферы в виде
r=—~(z + ~z; i(z-z)- \-z~z),	D.68)
I+гг

250	теория коблриантов	[гл vii
найдем
Из этих формул следует, что вектор-функции га обращаются
в бесконечность при z = oo и имеют разрывы конечного порядка
в начале координат (г —0). А именно, вблизи бесконечности
a = O(\Zf).	D.70)
При помощи этих формул легко убедимся, что для непрерыв-
непрерывности тензора вида D.55) необходимо и достаточно, чтобы по-
полином Ф имел вид D.61).
§ 5. Ковариантный дифференциал. Коварианты
константного типа
1. Ковариантный дифференциал. В дальнейшем будем рас-
рассматривать семейство изометрических координатных систем
поверхности.
Введем теперь понятие ковариантного дифференциала, опре-
определив его для любого коварианта / при помощи формулы
Vf=\Jdz+V-Jdz=Vafdza.	E.1)
Если /€<COTin, то \fdzmdzn является конформно инвариантной
формой. Следовательно, V/—оператор, реализующий отобра-
отображение: ст< „-+€,„,„.
В силу формул C.3а) имеем
Т/ = df— (тд2 In Л dz -f пд- In Л dz) f.	E.2)
Отсюда непосредственно следует формула
V?=V/-	E.3)
Если /—функция, то \f = df. Если поверхность является
торсом (/( = 0), то относительно декартовых координат
Vf = df.	E.4)
Если /, g?Cmtrl, то
V(/ + g) = Y/+Y?.	E.5)
Для произвольных ковариантов fug из С (F)
E-6)
E.7)

§ 6]	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ	251
Для любого коварианта /
X{\Pf)=APtf,	E.8)
где р — произвольное целое число.
2. Коварианты константного типа. Очевидно, что V/ —0 тогда
и только тогда, когда \J = 0 и А-/ = 0. Назовем ковариант,
удовлетворяющий уравнению У/ = 0, ковариантом константного
типа.
Если / — ковариант константного типа из COTi „, то согласно
формуле C.24) имеем
J	()tf/	E.9)
Если тфп и КфО, то отсюда следует, что / = 0. Таким об-
образом, если главная кривизна К поверхности F отлична от
нуля, то не существует на поверхности отличного от нуля
коварианта константного типа класса СОТ| „ при тфп.
Если т = п, то решения класса Сгп,т уравнений ^J = 0 и
Tjg = O имеют вид
/ = ЛМФ и g = AmW,
где Ф и W — произвольные аналитические функции. Но равен-
равенство f~g, очевидно, имеет место лишь в том случае, когда
Таким образом, на любой поверхности существуют ковари-
коварианты константного типа класса CWi m и они имеют вид
f = cAm (с = const).	E.10)
На торсах (и только на них) существуют коварианты кон-
константного типа любого класса COTi n и они имеют вид
где с — произвольная постоянная, а ш0 —произвольная однолист-
однолистная аналитическая функция, щфО.
Из формул (ЗЛО) следует, что если ковариант константного
типа обращается в нуль в одной (регулярной) точке, то он тож-
тождественно равен нулю.
§ 6. Линейные дифференциальные формы. Внешнее
дифференцирование форм. Интегральные формулы
1. Линейные дифференциальные формы. Ковариантный диф-
дифференциал S7f~Va.fdza является частным случаем общей линей-
линейной дифференциальной формы вида
Ф = фааг\	F.1)

252	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Будем говорить, что форма <р принадлежит классу Си,и, если вы-
выражение q>dzmdzn конформно инвариантно. Формы одного клас-
класса назовем когредиентными, а формы классов Ст<п и С_т<_п —
контрагредиентныма.
Если cp = cpadza? CrttB, то, очевидно,
п + 6%.	F.2)
Если ф и ч|? — формы класса CmiB, то сумма ф+aj? также принад-
принадлежит классу Ст<п. Если / — скаляр из COiO, а ф—форма класса
Си„, то произведение /ф — форма класса COTin. В дальнейшем
скаляры из класса С0>0 (F, Л) будем называть функциями, Л обоз-
обозначает семейство изометрических координатных систем поверх-
поверхности.
Таким образом, формы класса СтуП составляют линейное про-
пространство над кольцом скаляров COtO(F, Л) поверхности, т. е.
модуль над кольцом функций.
2. Внешнее произведение дифференциальных форм. Определим
теперь внешнее произведение двух форм. Вспомним правила внеш-
внешнего умножения дифференциалов dxa' вещественных параметров
ха>'. Эти правила можно записать в виде
dxa' A dx?>' = —dx&' Л dxa' = еа'$' dx1 dx2 = са'*' dF, F.3)
где ca'p' — вещественный контравариантный дискриминантный тен-
тензор, а dF — элемент площади поверхности. Относительно вещест-
вещественной изометрической параметризации она выражается в виде
dF^Adxdy.	F.4)
Теперь нетрудно вывести формулу внешнего умножения ком-
комплексных дифференциалов dza.
Так как dza = D%, dxa\ то dz f\ dz$ = D%D% dxa' A dx*'. Отсю-
Отсюда в силу F.3) получим
dzaAdzV = ca*dF,	F.5)
где caP —комплексные контравариантные компоненты дискрими-
нантного тензора,
с<*е = Dg,Dg,ca'p' = пгаг*.	F.5а)
Отсюда имеем
cii = C22 = o, cl2=— c*1 = 2fA.	F.6а)
Из F.5) получим
dF - i- саЭ dza A dz&, caP = nrar^	F.7)
где
С с 0 сc :i
F.66)

§ 6] •	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ	253
формулу F.7) можем записать в виде
dF^~AdzA dz= — ±rAdz/\dz.	F.8)
Теперь внешнее умножение любых двух форм ф = фа^га и
^р естественно определить равенством
= адр dza Л dz& = саРфа% dF = 2i{q>rft—ФЖ) dx dy. F.9)
Если ф^СИ]П, -ф^С^, то, очевидно, ц> А№т+Р,п+Г Следова-
Следовательно, если ф€СЯ1П, i[7^C_OTt_n, то внешнее произведение фЛ'Ф
принадлежит COiO.
Из формулы F.9) видно, что если f—функция, то
/ (Ф Л Ф) = (/ф) Л * = Ф Л (/*).	F.10)
3. Коформа и сопряженная форма данной дифференциальной
формы. Гильбертовы пространства линейных дифференциальных
форм. Определим теперь для формы ф = фа<?га коформу равен-
равенством
*Ф= jfadz1 — ф2с/22)=с?рфайгр.	F.11)
Отсюда следует, что если ф?СТО1П, то *ф^СЙ1„, а также
_ф.	F.12)
Нетрудно также убедиться, что для любых форм ф игр имеет место
равенство
*фД-ф=—фД#г1>.	F.13)
Если f—функция, а ф—форма, то
#(/<р) = /(«Ф).	F.14)
Введем теперь в рассмотрение для формы фб^.и контра-
вариантную форму, определив ее в согласии с формулой B.31)
равенством
ц> = BА-1)т+п'у.	F.15)
Введем понятие сопряженной формы, определив ее формулой
?	F.16)
Так как ф?СОТ]7г, то ф и, следовательно, ф принадлежат классу
С_т_„. Таким образом, ф и ф — контрагредиентные формы.
Если ф и г|) — когредиентные формы, то ф и -ф контрагреди-
контрагредиентные, следовательно, их внешнее произведение ф Л *Ф является
инвариантом.

254	ТЕОРИЯ КОВЛРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Введем теперь понятие локального скалярного произведения
двух когредиентных форм, определив его равенством
#Ч>-	F.17)
В силу F.11) и F.15) можем написать
(ф, У)м=— *ФЛ;Ф=BЛ-1)т^ФЛ*:Ф = /г^, F.18)
где h — скаляр, который выражается при помощи формулы
^^: ^2). F.19)
Естественно теперь локальную норму формы ср определить
равенством
КГ мег.	F.20)
Введем в рассмотрение глобальное скалярное произведение
когредиентных форм и глобальную норму формы, определив их
при помощи формул
$	5ЛФ,	F.21)
1/2
ф|| = 1Мф» ф) —( \||'ф||'л1 •	F.22)
Нетрудно доказать неравенства
J (ф, ty)M|^|j ф\\мH^Im, |ф + 'ФИл!^!,ф|'л1"Г"|,!гФ|ж» МеР- F.23)
Таким образом, когредиентные линейные дифференциальные
формы составляют локальное и глобальное гильбертовы простран-
пространства.
4. Ковариантный кодифференциал. Контравариантный и со-
сопряженный ковариантный дифференциалы. Интегральные форму-
формулы. Введем теперь наряду с оператором ковариантного диффе-
дифференциала \ = \adza также ковариантный кодифференциал, опре-
определив его формулой
1	а>
Нетрудно убедиться, что для любого коварианта / имеют место
равенства
VA*v/ = -sVAT/-T2/df,	F.26)
где V2/—оператор Лапласа от /,

§ 6]	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ	255
Введем в рассмотрение теперь для коварианта /(ЕСЯ>„ кон-
травариантный дифференциал, определив его в согласии с фор-
формулой F.15) равенством
V/ = BA~1)'n+nTf = BА-1)«+и V/ = V/.	F.27)
Введем также понятие сопряженного ковариантного дифферен-
дифференциала, определив его формулой
V/ = »V/.	F.28)
Пусть / и ?бСи?/2. Тогда в силу F.17) имеем
(V/, Vg)M=VfAVg=VfA*Vg> M?F.	F.29)
Простые выкладки покажут, что
(V/, Vg)M = Vaf\"gdF, M?F.	F.30)
Интегрируя это инвариантное равенство по поверхности F, по-
получим формулу
(v/, vgr) = ^ (v/, \g)M = S vj д^ал	F.31)
которая обобщает интеграл Дирихле для ковариантов поверх-
поверхности.
Если / и g—функции, то ^f = dft \g = dg, g = g и формулы
F.30) и F.31) принимают вид
№ dg)M = vJ vag = 4"(а^ д*е+э^а^' F'32)
(d/, dg)=l\afK«gdF.	F.33)
Пусть при помощи изометрической параметризации поверх-
поверхность F топологически отображается на конечную односвязную
область Fz плоскости z~x-{-iy. Предположим также, что их
границы OF и dFz представляют кусочно гладкие простые замк-
замкнутые кривые, между которыми имеется взаимно однозначное и
непрерывное соответствие.
Пусть /а ? Сба б« непрерывны в замкнутой поверхности F \jdF
и внутри F имеют непрерывные частные производные 1-го по-
порядка. Тогда имеет место формула
7« dF = I *fa dz« ^ J c?ya dzK	F.34)
Так как /X€<C1)O, /2^COil) то имеем
Va/« df = 2 (d7fx + aj2) ax d^/.	F.35)

256	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Следовательно,
= 2 J (dj^ + d,/t) d*dy.	F.36)
F	F*
Но согласно формуле Грина (см., например, [1], гл. 1)
-h dxdy = ± § ft dz; J djt dxdy = -±. J /2 (G. F.37)
5FZ	Fz	5FZ
В силу этих формул равенство F.36) принимает вид
что и требовалось доказать.
Формула F.38) остается в силе для любой поверхности F,
которая состоит из конечного числа кусков, удовлетворяющих
перечисленным выше требованиям. В частности, если F — замк-
замкнутая регулярная поверхность, a fa — непрерывно дифференци-
дифференцируемые коварианты на ней, то имеем тождество
^a(JF = O.	F.39)
Теперь вновь вернемся к интегральной формуле F.31). Оче-
Очевидно, имеем следующие тождества:
F.40)
(V/, Vg)M^Va(fVag)dF~fVaVagdF.	F.41)
Интегрируя эти равенства по поверхности F, получим
(V/, Vg) = ) g*Vf— ) ?V2/ dF,	F.42;
dF	F
(V/, Vg)= ih^-U^SdF.	F.43)
dF	F
Вычитая теперь одно из этих равенств из другого, получим
формулу
gVf—f\g2)dF,	F.44)
dF	F
которая обобщает формулу Грина на случай произвольных кова-
риантов поверхности.
Если F — замкнутая регулярная поверхность, а / и g—дважды
непрерывно дифференцируемые когредиентные коварианты, то

§6j	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ	257
имеем формулы
(V/, Vg) = -[gV4dF%	F.45)
F
[?	F.46)
F
Отсюда получаем для замкнутых поверхностей формулу Грина
F.47)
Изучим теперь особо свойства инвариантных дифференциаль-
дифференциальных форм
ф = Фас?га.	F.48)
В этом случае
<Pi€Cli0, <p26C0tl.	F.49)
Определим внешний дифференциал формы ф при помощи
формулы
cfcp = ^Лф = да dza Л Фе dz* = с*1* аафВ dF = T (дгу3—дг щ) dx dy.
F.50)
Будем предполагать, что ц>а непрерывны в замкнутой поверхно-
поверхности F-j-dF и имеют непрерывные производные внутри F. Интегри-
Интегрируя равенство F.50) по поверхности F и применяя формулы
Грина F.37), будем иметь
$	$p.	F.51)
dF	dF
5. Замкнутые дифференциальные формы. Пусть dy =
Тогда из F.51) следует, что необходимо выполняется условие
=0	F.52)
для любой кривой L, принадлежащей поверхности F и ограни-
ограничивающей некоторую (связную) область.
Пусть форма ф—дифференциал функции /. Тогда ее называют
точным дифференциалом. Очевидно,
<pa = dj	F.63)
и, как видно из формулы F.50), dy = d /\df = O. Наоборот, если
dy — df\ ф = 0, то из F.50) следует, что
д,Фя=дГФ,.	F.54)
1/г9 И. Н. Беку а

258	ТЕОРИЯ КОВЛРИАНТОВ	[ГЛ. VII
Следовательно, существует функция /, которая удовлетворяет
условиям F.53), т.е. q> = d/. Функция / выражается интегралом
f(M)= $ (padza+C, С —постоянная.	F.55)
МоМ
Здесь интеграл берется по любой кривой, принадлежащей по-
поверхности F и соединяющей фиксированную точку MQ с пере-
переменной точкой М.
Функция / называется потенциалом формы ср. Если /—одно-
/—однозначная функция, то ф — df называется замкнутым дифференциа-
дифференциалом. Условия F.50) и F.52), очевидно, эквивалентны. Пусть
F— односвязная поверхность. Тогда интегралом F.55) однозначно
определяется функция / с точностью до аддитивной постоянной С.
Следовательно, в этом случае выполнение условия F.54) (либо
эквивалентного F.52)) является необходимым и достаточным для
того, чтобы форма ср была замкнутым дифференциалом.
Если же F—многосвязная поверхность, то эти условия,
вообще говоря, недостаточны для того, чтобы <р была замкнутым
дифференциалом. Предположим, что F ограничена т + 1 кусочно
гладкими простыми кривыми LOf Lt, ..., Lm. Тогда для обеспе-
обеспечения однозначности функции / необходимо и достаточно выпол-
выполнения условия
J = 0, k = 0, 1, .... т.	F.56)
Тут надо заметить, что достаточно проверить выполнение только
т из этих условий. Тогда (т+1)-е условие будет выполняться
в силу необходимого условия F.52), эквивалентного F.54).
Рассмотрим также внешний кодифференциал формы ф = фа^га,
который определяется формулой
yE, dz1 — d2dz*).	F.57)
Простые выкладки покажут, что
ddy.	F.58)
Интегрируя это равенство по поверхности F и используя фор-
формулы Грина F.37), получим
J 4ф = J *ф.	F.59)
F	dF
Если #^ф = 0, то будем говорить, что форма ф — точный кодиф-
кодифференциал. Тогда из F.59) имеем
$*Ф = 0.	F60)
3F

f 6]	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ	289
Для этого необходимо и достаточно выполнение условия
дгф2 = — d-qv	F.61)
Отсюда следует, что
4>i = jdzg, Чг = — Тдг?-	<6-62)
Следовательно,
l-d-gd!) = *dg.	F.63)
Если F — односвязная поверхность, то g—однозначная функция.
В этом случае ср будет замкнутым ко дифференциалом. Если Т7 —
конечносвязная поверхность указанного выше вида, то условия,
обеспечивающие однозначность функции g, имеют вид
*Ф = 0 (/г = 0, 1, .... т).	F.64)
А
Если ф — дифференциал, ф = ^Д то формула F.57) принимает
вид
*d Л df = 4дД-/ Ja; df/ - Д/df,	F.65)
где Д/—оператор Лапласа от функции:
а, ¦а,э?/-И&+й).	F-66)
Допустим теперь, что форма ф = фа dxa одновременно удовлетво-
удовлетворяет условиям
0.	F.67)
Тогда одновременно должны выполняться оба условия F.54),
F.61), и из F.53), F.62) получим равенства
аг (/-**) =о.
Отсюда имеем
где Ф и W — аналитические функции от г. Из этих равенств сле-
следует
g = j-(W(z)-O(z)).	F.70)
Таким образом, если дифференциал и кодифференциал формы
Ф обращаются в нуль, то ее потенциал — произвольная гармони'

•60	ТЕОРИЯ КОВАРИАНТОВ	1ГЛ. VII
екая функция, принимающая, вообще говоря, комплексные зна-
1ения. Если поверхность односвязна, то эта функция будет одно-
тачной. В случае же многосвязной области для однозначности
чотенциала необходимо и достаточно выполнение условий F.56).
Из формулы F.65) следует, что уравнение Лапласа Д7 = 0
южно записать в виде
*dAd/ = 0	F.71)
или, что то же самое,
dA*d/ = 0.	F.72)
Теория дифференциальных форм допускает весьма широкие
эбобщения на случай произвольного риманова многообразия
(см., например, [19J, [20], [21J).

ГЛАВА VIII
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ,
НОРМАЛЬНО СВЯЗАННЫЕ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
§ 1. S-семейство координатных систем пространства.
Операции сужений индексов
1. S-семейство координатных систем. Полезно рассмотреть
специальное семейство пространственных систем координат, для
которых одно из семейств координатных линий является семей-
семейством нормалей некоторой поверхности S. Назовем множество
таких координатных систем для
краткости S-семейстеом. Такие
системы координат играют весь-
весьма важную роль в теории обо-
оболочек.
Пусть 5 — регулярная поверх-
поверхность. Радиус-вектор R любой
точки Р, расположенной вблизи
S, может быть представлен в ви-
виде (рис. 23)
R=r~\-x*n,	A.1)
где п—орт нормали, опущенной	Рис- 23'
из точки Р на поверхность S,
г — радиус-вектор точки Ж—основания этой нормали, х3 — проек-
проекция вектора R—г на нормаль поверхности.
Очевидно, х9 — скалярная величина, причем \х3\ равна рас-
расстоянию от точки Р до поверхности 5. Поэтому х3 будем назы-
называть относительным расстоянием от точки Р до поверхности 5.
Таким образом, в качестве координат любой точки Р некото-
некоторой области Q, расположенной в окрестности поверхности S, мы
можем взять числа х1, х2, л;3, где л;1, х2 — некоторые координаты
точки М ?S.
Координатные линии (я8), очевидно, составляют семейство
нормалей к поверхности S, а координатные поверхности х3 — const
образуют семейство эквидистантных поверхностей относительно S.

262	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
2. Операции сужений индексов. Пространственные 5-тензоры.
Докажем одно простое предложение. Напомним, что латинские
индексы (глухие и неопределенные) принимают значения 1, 2, 3,
а греческие^—значения 1,2. Через 5 будем обозначать некоторую
координатную поверхность л;3 = const.
Пусть имеется пространственный тензор Л^'^ из некото-
некоторого модуля Щ (Q) над кольцом С (Q). Если все латинские индексы
заменим греческими, то получим (р, а)-матрицу Л'""'7, кото-
которая является (р, а)-тензором из модуля Ш (S) для любой коорди-
координатной поверхности S: х3 = const.
Мы предполагаем, что замена одних координатных систем 5-се-
мейства другими осуществляется при помощи неособенных
преобразований вида
ха'=tya'(х1, х2), х*'=х3 (а' = 1, 2).	A.2)
Это означает, что при замене одних координатных систем дру-
другими из S-семейства остается без изменения скалярная коорди-
координата xz. В дальнейшем такого рода преобразования координат хг
будем называть коротко S-преобразованиями.
Для доказательства сформулированного выше предложения
достаточно рассмотреть случай тензора 2-го ранга смешанного
типа А). Имеем
Ai-AWl*. Df-^. Oi™.	A-3).
дх1	дх'
дх3'
Полагая здесь i = a, / = J3 и учитывая равенства Da=y^- = 0^
^з' = узт- = О, будем иметь
р- = AflDa Dp.	A.4)
Таким образом, предложение доказано для случая тензора 2-го-
ранга. Аналогично доказывается это предложение и в общем
случае для тензора любого ранга.
Таким же путем доказывается следующее, более общее пред-
предложение.
Если г контравариантных и s ковариантных индексов простран-
пространственного тензора Alik 1Ц приравняем к 3 (r ^q, s^p), а осталь-
остальные заменим греческими неопределенными индексами, принимаю-
принимающими значения 1 и 2, то получим тензор типа (p—s, q — г) на
любой поверхности х* = const. Таким образом, из пространствен-
пространственного тензора можем получать тензоры координатных поверхно-
поверхностей jc3 = const посредством операции, которую назовем операцией
сужения индексов. Она состоит в том, что некоторые (или все)

•flJ	S-СЕМЕЙСТВО КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ	263
индексы пробегают значения 1, 2 и, следовательно, обозначаются
греческими буквами, а остальные индексы считаются равными 3.
Если все индексы пространственного тензора ранга р заменим
греческими индексами, то получим тензоры поверхностей х3 =
= const того же ранга. Такой тензор назовем минимальным су-
сужением пространственного тензора. Если все индексы простран-
пространственного тензора приравнять к 3, то получим скаляр, который
назовем максимальным сужением пространственного тензора.
При минимальном сужении индексов r = s~0, а при их мак-
максимальном сужении s — p, r~q. Число m — r-\-s назовем поряд-
порядком сужения индексов. При сужениях индексов порядка т ранг
тензора уменьшается на т единиц.
Как мы видели выше, из пространственного тензора ранга г
при помощи применения операций сужения индексов можно по-
получить тензоры ранга г, г—1, ..., О поверхностей S: х3 = const.
Совокупность тех из этих тензоров, которые отличны от нуля,
назовем существенным ядром пространственного тензора.
Заметим, что операции сужения индексов порядка г+ s про-
пространственного тензора типа (р, q) можно осуществить при
помощи свертывания его с тензором вида
Оа . . . Оз'О/. . . Л
Очевидно, s^/?, r^q. Меняя порядок зацепления индексов
*",, ..., lr, jlt ..., /s с индексами пространственного тензора,
мы получим, вообще говоря, различные тензоры типа (р — s, q—г)
поверхностей а:3 = const.
Если при S-преобразованиях координат х1 матрица А*У "h
преобразуется при помощи формулы
Ah¦•¦[« = а[)'"''? й\1 ...D\PD'\ .. .D!q,t	A.6)
где
то ее будем называть пространственным S-тензором типа (р, q)
{ранга p + q). Всякий пространственный тензор, очевидно, яв-
является пространственным 5-тензором. Но обратное утверждение,
вообще говоря, не верно.
Если Лд1""^7—тензор типа (/?, q) поверхности S, то нетрудно
видеть, что матрица
представляет пространственный 5-тензор типа (р, q). Назовем
этот тензор простым расширением тензора Л^ ^1/.

264	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VH1
Если обе части равенства A.7) умножим на тензор 6fp+t...
.. .6fp+r6'3q+t.. .d[g+s, то получим пространственный S-тензор типа
{P + r, q + s).
Таким образом, любой тензор типа {р, q) поверхности можно
расширить путем свертывания (относительно греческих индексов)
с тензором вида A.5) в пространственный S-тензор типа (p-fr,
q-\-s), где г и s — произвольные целые положительные числа.
§ 2. .^-параметризация области
1.	5^-параметризация области. Ковариантный базис. Рассмот-
Рассмотрим базисные вектор-функции координатных систем 5-семейства,
имеющие вид
!?« = /•* + ««*', /?з = я. «=1,2,	B.1)
где га — базисные вектор-функции системы гауссовых координат
ха поверхности S.
В силу формул Вейнгартена па = — ЬаГк напишем
Яа= га—хЧ>*Гь Я3 = /1	B.1a)
или
Да = (а? _ x*bKa) г, = {пак—x*baX) г\ /?3 = и. B.16)
При помощи этих формул легко найдем выражения для ко-
вариантных компонент метрического тензора пространства
относительно координатных систем из 5-семейства:
2 2
Координатную систему из 5-семейства, ковариантный под-
подвижный базис которой составляют вектор-функции B.1), назовем
для краткости Sg-параметризацией пространства. Ниже мы рас-
рассмотрим также в качестве базисов координатной системы из
S-семейства вектор-функции гг, г2, п. Такую координатную си-
систему назовем S„-параметризацией пространства. Ниже более
четко выясним смысл этих терминов, а также установим связь
между Sg- и 5а-параметризациями пространства.
2.	S| ^-параметризация области. Если при я3 = 0 координат-
координатные линии (ха) совпадают с линиями кривизны поверхности 5,
то будем иметь (см. (VI, $ I, п. 4) и (VI, § 1, п. 5))
Ъ = (\~кгх*)гх, /?2 = A-/г2х*)г2, /?3-л,	B.3)
?п = A-М3)аЛ2 = ^2> ?2а=A-/г2^JЯ2:=ё2, B.4)
?»3 = 1> ?,7 = 0' если гф'и

§ 2]	Sg-ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ	265
где kx и &2—главные кривизны поверхности S, a A2 = r1rl,
B2 — r2r2—коэффициенты первой основной квадратичной формы
этой поверхности.
В силу формул B.4) дискриминант пространственной метри-
метрической квадратичной формы выразится в виде
g = a$\	B.5)
K (x*)*,	B.6)
где Н — средняя, а К—главная кривизны поверхности S. Отсюда
видно, что отношение g/a, где а—дискриминант метрической
квадратичной формы поверхности 5, есть инвариант на любой
координатной поверхности я3 —const. Следовательно, формула
B.5) справедлива относительно любой координатной системы из
5-семейства.
Таким образом, как показывают формулы B.4), S^парамет-
S^параметризация области, связанная с линиями кривизны поверхности S,
представляет ортогональную координатную систему. Назовем
эту координатную систему для краткости 5|, ^-параметризацией
области.
В силу формул B.3) и B.5) имеем
„ 	 /?хХ ?2 	 ^lX/
У g У а
Следовательно, орт нормали любой координатной поверхности
S: x3 = c~ const совпадает с п. Поэтому в силу формул B.3)
коэффициенты второй основной квадратичной формы поверх-
поверхности S относительно Sg, ^-параметризации имеют вид
Ь1Х = —/?!«! = М?!^ = К A — k^) А\
b22 = -R2n2 = k2R2r2 = k2(l-k2x*) В\	B.8)
bia = b21 = — R±n2 = k.,Rxr2 = 0.
Равенства B.4) и B.8) показывают, что при 5|, п-параметризации
области координатные линии (|) и (т)) являются линиями кри-
кривизны любой координатной поверхности S: х3 = const.
В силу B.4) и B.8) первая и вторая основные квадратич-
квадратичные формы поверхности 5 имеют вид
I = as2 = A2dl* + ВЧц\	B.9)
n = ksds* = k1Azdt2+k2E2dj}\	B.10)
где
И. Н. Векуа

2G6	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Следовательно, кг и k2 — главные кривизны координатной поверх-
поверхности S: Xs = с, а средняя и главная кривизны этой поверхности
выражаются при помощи формул
п — 2 V«i ~t-«2; \—2Нх*-[-К (а:3J '
._	к	B-12)
Для 5|, ^-параметризации области, очевидно, имеем также
формулы
/?1 = A—Л1л:3)-1г1, /?2 = A— k2x*)~^r\ R* = n, B.13)
выражающие контравариантный базис рассматриваемой пара-
параметризации. Отсюда получим равенства
о 11
g22- f?2/?2 = (l—М3)~2Я~2 = ~-.	B-14)
gM-/?w=l, gV = RW = 0, если i^/,
выражающие контравариантные компоненты метрического тен-
тензора пространства относительно Sg, ^-параметризации области.
3. Контравариантный базис 5^-параметризации. Предположим,
что скалярная координата х3 удовлетворяет условиям
|^||х»|<1, |*,|М<1.	B.15)
Это означает, что рассматривается достаточно тонкий слой вблизи
поверхности 5. Тогда имеем
Ra^(l+kaX3 + kl(x3J+.. .)г°, /?3-л B.16а)
(относительно а не суммировать!).
Эти равенства можно записать теперь в форме, справедливой
относительно произвольной системы координат из S-семейства
#« = ra + x3&grp + (*3Jfc^rp+..., R3 = n B.166)
Общий член написанного здесь ряда равен
В силу B.166) имеем
^3=^ = 0, ¦ g3S=i.	B.17)
Формулы B.16а) и B.17) можем записать в конечной форме.
Обратимся к формулам B.13). Первые два равенства можно

§ 2]	S^-ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ	267
выразить в общей форме в виде
fle^-fr-iBjJrP,	B.18)
где
Нетрудно теперь убедиться, что формулы B.18) сохраняют силу
для любой .^-параметризации области. При помощи равенств
B.18) напишем формулу
-&-ab#?Wf	B.20)
выражающую ga$ в конечной форме.
Рассмотрим также расширенный тензор Ц:
Ц* если <=а> / = Р>	/ооп
КЩ, если / = 3 или / = 3.	У }
Нетрудно убедиться, что Ь)—пространственный 5-тензор 2-го
ранга смешанного типа. Тогда будем иметь следующие общие
формулы:
fli = $-!?{/./,	.	B.22)
gi^d-Hfib*'.	B-23)
Теперь нетрудно видеть, что относительно произвольной Sg-na-
раметризации области коэффициенты второй основной квадра-
квадратичной формы координатной поверхности S: хъ = с выражаются
при помощи формулы
5ор = —ЛаЯр = ^3 —Jf'^P"	B-24a)
Соответствующий тензор смешанного типа будет выражаться
формулой
Ц = — Ran^b-4)Jbf^	B.246)
Следовательно, относительно 5g, п-ггараметризации области
kx = b\, %Я=Ц.	B.25)
4. Выражения для символов Кристофеля. Дифференцируя ра-
равенства B.16) и принимая во внимание формулы Гаусса, и Вейн-
гартена
»,	B.26а)
B.266)
= -&а^,	B.26В)
10*

268	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. V1U
получим
Rap = [Гар, к-х* (Vpbax + IV&va.)] г* + (&аР —*3ЙМ «-B.27а)
/?аа=6аяЛ /?33 - 0,	B.276)
где Vp —символ ковариантной производной на поверхности 5.
Выражая пространственные символы Кристофеля 1-го рода
по формулам
Gij,k = RuRk,	B-28)
в силу B.16) и B.27а, б) получим
GaP д = ГаР( Х-Х* (ХрЬаХ + 2rapv6v>.) + (*3J (W^v +M>?IV)f
B.28а)
Gap, з = —Ga3, p = Ь«р—л36^яр,	B.286)
G«3,3 = 0, G33l& = 0.	B.28в)
Если на поверхности S в качестве координатных кривых
возьмем линии кривизны, то будем иметь
dkn
/?ap = A ~kax*) rap-x3 -^ Га,	B.29а)
(относительно а нигде не суммировать!).
В этом случае формулы B.28а, 6) примут вид
B.296)
dkrf
, X = A -*а*8) A — М3) Tap, >.~%3 A —Л^8) "^f ЯаА, B.30а)
Gap, з = -баз. Р = &ар A -fte*8)-	B.306)
Надо иметь в виду, что в этих равенствах аг1 = А°, а22 = В2,
b11 = k1A2, b22 = k2B2, с12 = 0, 612 = 0, а символы Кристофеля Гарг я
выражаются по формулам
Отметим, что Gap, 3 равны коэффициентам второй основной
формы координатной поверхности 5: л:3 =¦ const, Gap,3= bap-
Найдем теперь выражения для символов Кркстсфеля 2-го
рода
B.32)

§ 2]	.^-ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОКЛЛСТМ	269
Пользуясь формулами B.14) и B.30а, б), получим
йвх«), G<rtP = —rA_,	B.326)
Ga33-0, G333 = 0	B.32b)
(относительно a, p\ X не суммировать!), где
IV = fl^raP. v = Гарг*1.	B.33)
Так как kx = b\y k2 — bl, Ь\ = Ь\ = О, то равенства B.32а) можно
записать еще так:
Г а^	х3 (дь<х -п vhk , Г AAv^ _
	 Г Я	*
iP	'
(относительно Я не суммировать!) или, разлагая по степеням х3,
GaPx = rV-^Vpbi-WbiVa&«- . ¦.,	B.34а)
общий член этого ряда равен
v . . . i/
Как видно из B.34а), разность Ga^ — ГаРя является тензором
на всякой координатной поверхности х3 = const. В силу этого,
формула B.34а) имеет место относительно любой 5^-параметри-
зации области. Аналогично рассуждая, получим
B.35)
Таким образом, Gap3 и Ga3p являются тензорами на всякой
координатной поверхности д;3 —const.
5. Приближенные формулы. Пусть х3 изменяется в проме-
промежутке — h^.x3^.h, где h—величина настолько малая, что можно
положить
l+^/i^l, 1т/г2Л=1-	B-36)

270 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	II Л. V11I
В таком случае мы можем пользоваться следующими	прибли-
следующими	приближенными формулами:
/?а = га, Я3-=л,	B.37а)
Ra = ra, R3 = n,	B.376)
gccs^O, g33=\,	B.38a)
gb<* = Qf g™ = \,	B.386)
3' — — С?а, иа3 — и» ^зз —U.
Эти равенства нами выведены для того случая, когда на по-
поверхности S координатные кривые являются линиями кривизны.
Но они справедливы (с той же степенью точности) и относи-
относительно любой другой координатной системы из S-семейства.
Если S является сферой или круговым цилиндром, то \а^~0.
В этих случаях формулы B.39а, б) еще более упрощаются и
принимают вид
Саз, з = 0, G.,.^0,	(
<V = IV, <?аР» = *вр, Ga3V = -bl Ga33 = 0,G33* = 0. B.406)
§ 3. 5в-параметризация области
1. 5а-параметризацня области. Связь между базисами Sg- и
5а-параметризаций. В области Q, где выполняются условия
B.15), в качестве базиса координатной системы из S-семейства
можно брать триэдр rlt г2, п, который непосредственно связан
с поверхностью S. .
Введем обозначения
имеем
aiJt aiJ,
r* = a°
fl/=\ ьф
Г (a=l,
cprp (a=l,
rJt al'J = r
64 6},
2),
2),
P»
гг~п
гъ = п
a) = r\
если i
если i
Г; = б),
;= tX, J = р,
= 3 или / =;
C.1а)
C.16)
C.2)
Если триэдры г1, г2, г3 и г1, г2, г3 из точки Л1(хх, л:2) поверх-
поверхности S перенесем параллельно вдоль соответствующей нормали
к 5 в произвольную точку Р (х1, х2, х3) области Q, то построим
новое семейство подвижных триэдров в области Q, которую мы
можем использовать в качестве новых базисов для соответствую-
соответствующей координатной системы из S-семейства. Координатную сие-

§ 3]	So-ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ	271
тему из 5-семейства, которая в качестве базиса имеет триэдр
гх, га, п, будем называть S ^параметризацией области Q.
Нетрудно вывести формулы, выражающие базисы г,- и г'
5й-параметризации через базисы Rt и /?/ ^-параметризации.
Для этой цели введем новые обозначения:
. C.4а)
Имеем
Ьа6, Ьа$,Ь%, если i — a, / = B;
.	.	C.46)
0 , если i = 3 или / = 3. v '
Теперь формулы B.16) и B.22) можем записать в виде
/?,. = Al!rf = AurJ,	Rl = Л'/>. = Л'>Л	C.5а)
где
Л;/ = RtrJ = а[ — хЩ,	Л „ = rftj = au — х%,	C.6а)
А"=1?г'=&*А'к[,	A-ki = &rj=gikAkr	C.66)
Очевидно, /?,- и /?' представляют соответственно ковариантный
и контравариантный пространственные 5-тензоры из модуля
V(Q) (см. гл. III, § 3, п. 3). Теперь нетрудно убедиться, что
г,- и г1 также представляют соответственно пространственные
ковариантный и контравариантный 5-тензоры из модуля V(Q).
Поэтому всевозможные скалярные, векторные и смещенные про-
произведения S-тензоров /?,-т /?', г,-, г1, очевидно, будут также
пространственными S-тензорами. Следовательно, а/;-, bi}- Aif;
aiJ', b'}\ A(J\ af, b[, All, А'.) представляют соответственно кова-
риантные, контравариантные и смешанного типа пространствен-
пространственные 5-тензоры 2-го ранга из !R(Q).
Обращая формулы C.5а), получим
г. = А[Щ = Aji&t r' = АЩ = A][RJ.	C.56)
Нетрудно теперь для тензоров А'.) и Aij также получить
явные выражения при помощи тензоров а[}- и bi}-. В силу фор-
формул B.22) имеем
A'.'j^Ritj = Ъ-% Ai^ = RiH = b-1b1^	C.6в>
где
ЬН = аЩ, Ъ=\—2Нх3±К(хэJ.	(З.бг)
В более развернутом виде равенства (З.бв) можно записать так:
/1	{о id)

272	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Таким образом, связь между базисами Sa- и 5^-параметри-
зации области Q осуществляется посредством пространственных
S-тензоров Ац, A\'h All и AV, выражающихся в явной форме
посредством формул C.6а, б) и C.7а, б) через тензоры ay, a'V,
) by, Ъ{1 и Ь\. В силу равенств C.3) и C.46) из C.6а) и
7а, б) имеем
a),
C.
А? = А? = 0,	Л$? = 1,	C.8а)
а^—х*Ьа$,	Лаз-Лзсс = 0,	Л33=1;	C.86)
4 — х^сахсЫу	лЗ-_ла;_п лЗ;_1	/о oRx
' Л.а—Л.з —U,	Л.з—1,	1о.ОВ>
Согласно формулам (V, 10.8) и (V, 10.9) контравариантные
компоненты тензора Римана— Кристофеля поверхности 5 выра-
выражаются в виде
#v«Vv = baVbyv—V*'*btv = Kca'vcto.	C.9)
Следовательно,
c™c*rbv9 = K-1Rvatobvv,	(ЗЛО)
и матрицы AiJ' и А1.) могут быть выражены при помощи тензо-
тензора Римана—Кристофеля поверхности S в виде
-?*;1R??r. Л«» = Л» = 0, Д» = 1, C.11а)
' Л-з—Л.а —О, Л. з=1. C.110)
Эти формулы будут использованы в следующем параграфе.
Легко убедиться, что имеем форхмулы
au = aika) = atkaJinakm, a) = aikakj,	C.11 в)
aiJ = aika'k = aikaJ'makm\
Ьц = afft&J = aikb/mb^, b) = a'%-,
Ь'/ = fl«*6j, = aikajmbkni.	C.1 lr)
Поэтому тензоры а/;, а!'Л а) (соответственно by, b), biJ) можно
рассматривать как эквивалентные пространственные 5-тензоры.
Соотношения между ними осуществляются при помощи операций
поднятия и опускания индексов, которые реализуются посред-
посредством пространственных S-тензоров а,у и aij'. В дальнейшем эти
тензоры всегда будем обозначать символами а и b соответст-
соответственно.
Как видно из вышеприведенных формул, матрицы Ау и Л;у,
Л1.}, All также можно рассматривать как компоненты некото-

§ 3]	^-ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ	273
рого тензора А. Нужно только условиться, что его компоненты
не составляют в обычном смысле эквивалентных тензоров. Пер-
Первые их индексы перемещаются по вертикали при помощи свер-
свертывания с тензорами gi;. и giJ\ а вторые индексы — с помощью
тензоров поверхности atj- и а'->.
При одновременном пользовании двух Sq- и ^-параметриза-
^-параметризаций области Q нам встречаются пространственные тензоры трех
разных видов.
Во-первых, пространственные эквивалентные тензоры, между
компонентами которых связь осуществляется посредством опе-
операций поднятия и опускания индексов, выполняемых при по-
помощи метрических тензоров g^ и g'}\ Тензоры этого вида будем
коротко называть S g-тензорами. Примерами .^-тензоров явля-
являются /?,., /?', gi;. и gv.
Во-вторых, пространственные эквивалентные 5-тензоры, меж-
между компонентами которых связь осуществляется посредством
операций поднятия и опускания индексов, выполняемых при
помощи тензоров ai}- и alJ. Тензоры этого вида будем коротко
называть 5а-тензорами. Примерами 5а-тензоров являются rh
г', а и Ь.
Наконец, в-третьих, пространственные эквивалентные 5-тен-
зоры, между компонентами которых связь осуществляется по-
посредством операций поднятия и опускания индексов, выполняе-
выполняемых для части индексов посредством тензоров gi}- и glJ, а для
остальных индексов посредством тензоров atj и aiJ\ Тензоры
этого вида будем коротко называть 5^в-тензорами. Примерами
Sfft в-тензоров являются Ai}-, А}!, Л1.), А'1.
При помощи Sgt „-тензора А можно осуществить также связь
между компонентами тензоров относительно Sa- и 5^-парамет-
ризации области Й.
Условимся отмечать штрихами индексы, обозначающие
компоненты тензоров относительно S^параметризации обла-
области, а для обозначения индексов Sg- параметризации будем
применять буквы без штрихов. Эти индексы будем называть
соответственно а- и g-индексами. В соответствии с этим в даль-
дальнейшем компоненты тензора А целесообразно обозначить в виде
Aij', А1.)', А[У, А}!'. Это указывает на то, что относительно
первых индексов операции поднятия и опускания индексов
выполняются посредством тензоров g{j и gij\ а относительно
вторых индексов—с помощью ayv и а1'1'. Компоненты тензора Ъ
будем обозначать через fy,;-,, bifj\ b{l.
Так как
RtRj = 6}, r'7> = 6^,	C.12)
то имеем формулы
л;.*'д{*=я/, Ak.i'A]j:=>4.	(злз)

274	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Опуская и поднимая индексы согласно принятому выше согла-
соглашению, получим формулы
A\*Aik. = gt/, Aik'Ai'k' = gV,	C.14a)
A t'A'ki —a1'1', A.'i'Akj, = ai,j,.	C.146)
Эти формулы можно записать еще в виде
g.. = ai,j,A]l'A /Г = а{'1'Аи,Аи,,	C.15а)
gV = aif-rAu'A>i' — aili'A\\' A'.)*,	B.156)
at,j, = gijA'.'i' A'.)' = guAa'Ari,t	C. 15b)
a1'1'' = g- -Ali'A"' — g'JAif'A'jl-	C.15r)
При помощи этих формул квадратичная форма
ds2 = а,., dx1 dxJ.	C.16)
выражающая метрику евклидова пространства, примет вид
ds2 = A]*Ajk' dx1 dxJ' = щ.^АЦ' A}{' dx' dxJ'.	C.17)
2. Базисы модуля Wtp(Q). Представление 5-тензоров через
Sg-, Sa- и Sg, a -базисы. В качестве базиса модуля 90^(Q)
тензоров ранга р можем взять мультипликативные Sg- и Sa-
тензоры
п	,—к т\	oi i 	 пс	/On Dip	/Q 1Я^
е.- ., = г.- ...®г-,	e'i---'p = Л...(х)г^. C.19а)
Можем рассматривать в качестве базиса модуля ЗЙДЙ) также
мультипликативные Sgi а-тензоры вида
® г*р. C.196)
В силу формул C.5а) и C.56) между ними связь осуществ-
осуществляется при помощи формул
е^..,Р-А<... А^е}[.^ГАк.,...А1р.^^-'К C.20а)
'/'^.. ..=Aii:,...Aip*..e ?••¦'*; C.206)
'-"' C-21a)
'i-• ¦ 'j = л''1'... Alri'e,,...ip= A<... A]'j. e>>-¦ h. C.216)

§ 3]	Sa-ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ	275
Представляя тензор f ранга р + <7 при помощи смешанных ком-
компонент Г<л---Ы в виде
• »i... ip
f=fb::\lFtl-tpu...,q>	C.22a)
в силу C.20а, б) получим
f=sfix---iqeh-i'P t it	C.226)
ij_ . . . lp	1\... jg
где
; ... Ah-.A'A ...A.'1*. C.23a)
i[...ip	*....»Я -i[	.i'p /1'	14-	У	>
Обращая эти равенства при помощи формул B.13), будем иметь
fh...!<i = fiy--iqA< ...Л."Мь\ ...Ah;. C.236)
Тензор можно выразить также при помощи базиса смешан-
смешанного типа. Например, тензор / ранга р можем записать в виде
/=/V-'* ,, ^..V**1"'-	C-23в)
lk+i • • • fp
Нетрудно видеть, что
C.23г)
Например, для тензора А имеем четыре разных эквивалент-
эквивалентных представления
А =- Ап,е1>' ^ АЧ'ец, = A\'r ei!'= А}1'е[):	C.23д)
Таким образом, любой S-тензор ранга р можно выразить при
помощи компонент .смешанного типа, у которых имеются k
^¦-индексов и р — k а-индексов, где k—любое целое число,
0?
Если в левой части равенства C.236) зацепим попарно не-
некоторые из нижних и верхних индексов тензора fil'.'.'.ip, то в
силу вторых равенств C.13) и в правой части осуществляются
зацепления соответствующих индексов 5й-тензора f1)'?,. Сле-
4...ip
довательно, S^-тензору ранга p-j-q — 2m, полученному в резуль-
результате m-кратного сокращения индексов тензора 1[\\\\{цр, соответ-
соответствует 5а-тензор того же ранга, полученный в результате
m-кратного "сокращения соответствующих индексов 5а-тензора
f'y'f,. Например, если положить гх = у\ = 1 и учесть, что

276	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Ah A\'1'=blj't то получим формулу
3. Ковариантные производные от компонент вектора относи-
относительно 5в-параметризации. При одновременном пользовании Sg-
и 5а-параметризациями области Q целесообразно рассматривать,
кроме пространственных и поверхностных символов Кристофеля
1-го и 2-го рода, соответственно G/y-,ft, Gifk и Гар v, Fapv,
также символы вида IY/-,*-, r,-,yvfe', представляющие некоторые
расширения символов Fapt v, Fapv.
Пусть /—вектор. Представим его в виде
/=/''/>•	C.24а)
Дифференцируя / относительно координаты хк, получим:
dk>f=dk,fl'rt. + rdk'rt..	C.25а)
Чтобы обеспечить однообразие обозначений, мы отождествим
dk, и dk = —. Но вектор-функции d^fv можно представить через
(УХ
базисы 5а-параметризации в виде
Ъ*г» - Г*,,,, t.ri' = Tk.t. i'rr,	C.26а)
где, очевидно,
IV,,, = rjJ&rr, Гм, >' = ri'dk.rt..	C.27)
Отсюда имеем соотношения
IW. /. == VrW'm'» г^'«''' = a'''!1*,., m-	C.27а)
В силу деривационных формул Гаусса и Вейнгартена C.20а, б),
а также равенств д3Г;' = 0, имеем следующие формулы:
ap,v, raPY,	если	Л' = а; t' = p, /' = ?,
ар, ^«р,	если	А5' = а, »' = р, /' = 3,
_ba^ _blt	если	Л' = а, i' = 3, y' = p,
0, 0,	если	й' — 3 или & = аи t' = /' = 3.
Назовем величины IVf, у и Г^,;"' соответственно символами
Кристофеля 1-го и 2-го рода S^параметризации области, или,
короче, 8а~символами Кристофеля. Тогда естественно G/y-fe и
(j/y-ift называть S^символами Кристофеля. Важно заметить, что
эти символы не зависят от координаты х3.	,^./__. * <* -f,
Очевидно, имеем
да>Г,; = да (R;)x* = o = {daRj)x*=0 = (Ga/ '"/?/)*• = О = (Ga/ '")*• = <)/> =
= Г^/'л,(^^аа). C.27в)

§ 3]	Sa-ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ	277
Следовательно,
V'= (<?«/')*•=<>•	C.27r)
Так как Г3/,'' = 0, то равенства C.27г) при а = 3, вообще гово-
говоря, не имеют места.
В силу C.26а) равенства C.25а) принимает вид
дк'/=Чк-Р'П» dk;^dk,	C.28а)
где
?*Г = ад'' + Гл,/,'7/'-	. C.29а)
Эта формула выражает гковариантные производные от контра-
вариантных компонент вектора относительно 5д-параметризации
области.
Представляя теперь вектор / посредством ковариантных
компонент в виде
f=ft'r1'	C.246)
и дифференцируя это равенство относительно координаты xk,
получим
k^'.	C.256)
Выражая вектор-функции дк'Г1' при помощи базиса г/'5а-пара-
метризации области Q, будем иметь
d*-r"=lV'r/\	C.25b)
где
Tv/' =ггдк'Г" =дк.(ггг*')-г{Гдк'Гг1.	C.25г)
Так как г,'Г1' = 6}', то в силу вторых формул C.13) имеем
Г*./' = - г'дк-гг = — Глт«'.	C.27д)
Следовательно,
а^г''' = -ГАТ'>/'.	C.266)
Подставляя это выражение в равенства C.256), получим формулу
dk'f=^k'fi'r1',	C.286)
где
-IW7/'-	C-296)
Эта формула выражает ковариантные производные от ковариант-
ковариантных компонент вектора относительно 5й-параметризации обла-
области Q.

278	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Теперь при помощи формул C.276) можем выписать в более
явной форме выражения для \k'f[f и Va'/> в виде
Va-f-e/3, Va,V-W/3. *'=«', *"=Р",
адз-^Р'/р', oU/S + frl'/e-. k'=a- i' = 3, C.29b)
U/'V	Wr,	*' = 3,
где Vtt' = ^« является символом ковариантной производной от-
относительно метрики поверхности S,
Va^p' = da..P' + raVr, V«,fp. = aa,fp,-ra.pr/r C.29r)
4. Ковариантные производные S-тензоров относительно
5а-параметризации. Ниже мы выпишем также формулы для кова-
риантных производных от компонент тензора 2-го ранга отно-
относительно 5а-параметризации Q. Применяя формулы C.27а, б)
формально к Г' и г1', деривационные формулы C.26а, б) можно
записать в виде
VWV = pf VA-r" = p, й', Ге[1,3].	C.26в)
Аналогично докажем
Vfe'<?r/, = O, \k,eiJ: = O, \ц,е1:-=О, :Vveri'"=O. C.26r>
Деривационные формулы для базисов ^-параметризации области
можем записать в виде (см. гл. IV, § 2, п. 7)
/Я/ = О. C.26д)
Применяя теперь равенства C.26в, д), покажем также
Vkeir = дкец—Gklleir—Yk4rl'ew = О,
,,,,^;/' = О,
T"eVr = 0,	<
Если представим тензор 2-го ранга в виде
/= ft'Perr = f.\.e%l = Й^Г/' = /t-ye'V'	C.30a)
/= Р'ец. = /;.>е;/' - /;/V./« = Дге^',	C.306)

§ З] .Sa-ПЛРАМЕТРИЗЛЦИЯ ОБЛАСТИ	279
а затем продифференцируем относительно координаты	хк, то
в силу деривационных формул C.26д, е) получим
dk.f= V*'/"''e/T = vfje'S. = VjiW;. = Vjire^'	C.31a)
и
=W/'e«'=V*//'e/y' = V*'/;/'e'.>=V*'Ve^'f	C.316)
где
W"'" = d*/7' + ТыЛ'р'Г + Тк.т.*'р'*\	C.32а)
т*'/}:=аА./}: + гА^''/5Р'-г*7.«7^,	(З.32б>
^/^flffe-V^-r.y.%.,	C.32в)-
i/'7' = V7' + GW'P' + Г„.''/"',	C.32r)
//^.v-r^''/1.-/.,	C.32Д)
tfr + Tb/f;1',	C.32e)
ц—Гь/Ъг.	C.32ж)
Из формулы C.32а, ж) легко усматриваем общее правило: р
ковариантном дифференцировании компонент Sgj а-тензора 2-го
ранга для g-индексов (соответственно а-индексов) используем сим-
символы Кристофеля 2-го рода Gk/ для S^параметризации {соответ-
{соответственно S-символы Кристофеля 2-го рода Г^т7' для Sa-napaMem-
ризации). В остальном общая структура формул ковариантного
дифференцирования полностью сохраняется. Нетрудно убедиться,
что это правило сохраняется для S а-тензора любого ранга.
Таким образом, рассматривая различные 5-параметризации
пространства, целесообразно применять три вида различных
операторов ковариантного дифференцирования. Символы V,- (со-
(соответственно V,-) обозначают операторы ковариантного диффе-
дифференцирования, которые образуются при помощи символов Кри-
Кристофеля 2-го рода Gfj для .^-параметризации (соответственно
5-символов Кристофеля Т.:-Гк' для 5а-параметризации). Кроме
того, рассматриваем операторы ковариантных производных сме-
смешанного типа V,-, которые применяются к Sgt а-тензорам и об-
образуются относительно g-индексов (соответственно а-индексов)
при помощи Gtjk (соответственно IY/'*'). Таким образом, символы
fj, V,- и V/ обозначают соответственно операторы ковариантного
дифференцирования для 5^-, Sa- и Sgta- тензоров пространства.
Формулы для ковариантных производных S-тензоров любого
ранга здесь не будем выписывать. Эти формулы нетрудно вы-
выписать по аналогии с формулами C.32а — ж).

280	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VII
При помощи равенств C.276) формулы C.32а, в) можем за-
записать в виде
I Ve./p'8-6&/» + Wp'7\ k'=a\ Г-р, /' = 3,
?*'Г''={ ?а'Г'-6&/и+*«'Э'/е'г. ^'=а'' 1" = 3- '' = ?' C.33a)
W33+WP'3+W/3p', k'^a, i' = j' = 3,
[d,/"/'f	?' = 3;
{'| W?6^+b'/I. fe'=a'' ^' = 3' /' = Y'. C.336)
C.33b)
где символом W мы обозначаем ковариантные производные от
компонент тензора поверхности 5: VV —Va-
Применяя формулы C.33) к тензорам щ,;,, а1'1', а)',, получим
равенства
VA'fl(^ = Of Vfc'a'''' = 0, Vfc-a}:==0.	(З.ЗЗг)
Докажем, например, первые равенства. Применяя формулы C.27)
и C.27а), будем иметь равенства
d
которые согласно формулам C.32в) можем записать в виде
vYat'/' = 0, что и требовалось доказать. Остальные равенства
(З.ЗЗг) доказываются аналогично.
В силу равенств (З.ЗЗг) тензоры асу и аУ'}' можно перестав-
переставлять со знаком ковариантного дифференцирования V&' компо-
компонент 5а-тензоров. Вводя в рассмотрение также операторы кон-
травариантных производных
легко убедимся, что ковариантные производные YV от (р, ^-ком-
^-компонент 5а-тензора ранга n = p-{-q представляют 5д-тензор типа
(p-\-l,q) и, следовательно, ранга /г + 1.

§ з]	Яд-параметризация области	281
Применяя формулы C.32), можно доказать равенства
$И//- = о. $И'./- = о. vkA}!' = o, vHi7' = 0- C-34)
Но эти равенства можно еще проще доказать, применяя дерива-
деривационные формулы C.26в, г). Докажем, например, первое из ра-
равенств C.34). Имеем
М</'> V*(*,!» = (V*J?,) rr + J?, (v*-rr) = 0.
Остальные равенства доказываются аналогично.
Пользуясь представлением C.236) 5^-тензора /{'•¦••*<» через
5а-тензор f\\- • • 'Я, при помощи равенств C.24) докажем следую-
щую важную формулу:
^/1;:::^ = л:';...лЧл;;;...л^/;;;;;|? C.35а)
(fe = fc').
Имеет место также более общая формула для Sgt а-тензоров про-
произвольного ранга. Мы выпишем ее в виде
Отметим еще раз важное обстоятельство, которое заключается
в том, что символы Кристофеля 1-го и 2-го рода Г^-,,-, Тки}' для
S^параметризации области, при помощи которых выражаются
формулы для Vfc, не зависят от координаты хъ. Этим свойством,
как видно из формул B.28а — в) и B.34а), символы Кристофеля
^-параметризации области и, следовательно, операторы V\ и VA»
не обладают. Указанное свойство операторов ковариантных про-
производных Xk- относительно 5а-параметризации области Q позво-
позволяет иногда дифференциальные уравнения, коэффициенты которых
зависят от переменной х3, приводить к уравнениям, коэффициенты
которых не зависят от этой переменной.
5. Sg,а-параметризация области, связанная с координатной
системой в линиях кривизны поверхности S. Рассмотрим теперь
S-параметризацию области Q, связанную с координатной систе-
системой в линиях кривизны поверхности 5. Тогда формулы C.8а, в)
принимают вид
Л^, = A— kxx3)~\ Л?а- = A—V8)-1, А*'3' = \, А['г=0, гФ\'.
C.36)

282	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VII)
В силу формул C.356) и C.36) будем иметь
где
Если произведения kax3 малы по абсолютной величине, то
можно положить
1— kax3^\.	C.38)
Тогда будем иметь приближенные формулы
At' s*s f\i	/Q QQ\
'-*k'f%\%	C>40)
Эти формулы в силу их тензорной природы можно сохранить и
относительно произвольной 5-параметризации области Й.
6. Повторные ковариантные производные S-тензоров. Докажем
теперь, что при повторном применении операторов V, к компо-
компонентам Sa-тензоров, вообще говоря, результат зависит от порядка
их применения. Это достаточно доказать для случая вектора.
Представим вектор f в виде
/=-/*>*.	C.41а)
Дифференцируя это равенство, согласно формулам C.26в)
напишем
di'f^i'fk'rk' (»' = *)•	C.416)
Дифференцируя последнее равенство и вновь используя фор-
формулы C.26в), легко выводим
дгдг/-= V/'Vf/AVjfe' + F/'i'm'Vm-/fe'AV.	C.41 в)
Левая часть этих равенств не изменится при перестановке ин-
индексов i' и у". Поэтому имеем
?rVf/*'—VrV/'f = (IY/"' —Гп.т') W*'.	C.42)
Пусть i'=a't j' = $f. Тогда
ГаТт' = Т^т'.	C.43)
Поэтому из C.42) имеем
= Ve'V«'/*'.	C.43a)

§ 3]	Sa-ПАРЛМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ	283
Если /f = 3, j'=ar, то
А за' —V,
Я'з
т'
Следовательно, из C.42) следует, что
Va-V,/* = V3 V«./*' + №W*'.	C.43b)
Таким образом, вообще говоря,
Va'V3/fe'^V3Va,/*'.	C.44)
7. Связь между символами Кристофеля GikJ и IYy*'. При
помощи тензоров Л1.}' и /4t:/ можно выразить связь между сим-
символами Кристофеля Gijk и Г;</<&'. Дифференцируя равенство
/? — Л'т'г ,
получим
ад. - /?,7 = djAlfrm- + А;Г'ГГт> п'гП' =
- (аг л ;.т'+гу- „'т' а;?' - тг г n'A'nf) rm- + Г/т"' л;?' гт.
{д} =д/-, я'=п, / = /', / = i').
Умножая обе части скалярно на Rk, получим
Так как Лл?'Л?«' = б*, то имеем формулу
Gy*=ry.».*' + ^«'V/'4;.m'	C.45)
.(t = t'f / = /', k = kr, хга;г'=*чгА'г?).
В силу формул B.6а) и равенств C.336) имеем
'	&r', М;*'=-Ь?	C.46)
При помощи формулы C.336) находим
ао,У> 1 = 3.'

284	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Подставляя эти выражения в C.46), получим искомую формулу
C.48)
C.49)
О	k' = j' = 3.
Применяя теперь операторы V/e' к равенствам
А1;т,А]?' = Ь]ъ
получим
Чк.А1:т.А}?' + А1:т>Чк-А]? = 0.
Умножая эти равенства на Л'.'П' и суммируя относительно ин-
индекса /, в силу формул C.13) получим
Vk'A'.'n^—A'.n'A'.'m'Xk'Ai?'.	C.50)
Если рассматривается 5|, ^-параметризация области, то в силу
формул C.36) и C.48) из равенств C.50) получим
V*.А\'п> = - A
-1 A -k
C.51)
§ 4. О погружении поверхности в римановы многообразия
трех измерений
Как мы уже видели выше, поверхности ненулевой гауссовой
кривизны представляют римановы многообразия двух измерений,
которые вложены в трехмерное евклидово пространство. Бла-
Благодаря этому о свойствах этих многообразий можно составить
достаточно четкие наглядные представления. Теперь мы рассмот-
рассмотрим класс римановых многообразий трех измерений, которые
тесно примыкают к двумерным римановым многообразиям, реа-
реализуемым в виде поверхностей евклидова пространства. Мы увидим,
что любую достаточно регулярную поверхность можно вложить
также в римановы многообразия трех измерений. Ниже мы поль-
пользуемся обозначениями и формулами предыдущих параграфов
этой главы.
Рассмотрим трехмерное риманово многообразие Ms, связан-
связанное с поверхностью S: г = г(хх, х2) при помощи метрики, опре-
определяемой формулой
D.1)
где
D.2)

§ 4]	ПОГРУЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В РИМЛНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 285
В силу формул C.3) и C.46) квадратичная форма D.1) может
быть записана в виде
ds* = A — x*k0) dsl + (dx*)\	D.3)
где
dsl = aa^dxadx^	D.4)
a k0 — нормальная кривизна поверхности 5 в направлении дуги
ds0. На координатных поверхностях xz = c = const метрика мно-
многообразия Ms определяется при помощи квадратичной формы
ds* = (\—cko)dsl	D.5)
Теперь нетрудно пояснить геометрически смысл метрики, опре-
определяемой формулой D.3). На координатных поверхностях 5: х* = с
получаем метрику посредством параллельного переноса дуги ds0
из точки (х1, х2, 0) поверхности 5 в точку (х1, х2, с) ?S вдоль
соответствующей нормали к S, подвергая ее (дугу) растяжению
или сжатию согласно формуле ]/l—ck0ds0, а затем определяем
расстояние между произвольными близкими точками (х1, х2, с)
и (xl-\~dx1, x*-\-dx2, c-i-dx3) согласно теореме Пифагора.
Рассмотрим также трехмерное многообразие М% с метрикой,
определяемой квадратичной формой
ds2 = d$> + (dx3J = аи dxl dx->~.	D.6)
В этом случае на координатной поверхности S: хг — с имеем
ds = ds0, т. е. метрика поверхности 5 параллельно переносится
без сжатий и растяжений на любую координатную поверхность
Х3=С.
Дискриминанты форм D.1) и D.6) связаны между собой фор-
формулой
g = ab,	D.7)
где
а = а11а22 — а\г,	D.8)
fl = A — k^) (\—k2x5) = 1 — 2Hxs + К {х3}2.	D.8а)
Обозначив символы Кристофеля 1-го и 2-го рода многообра-
многообразия Ms через Yi;-, к и Ti; k, будем иметь
Г,у, * =-§¦ ^iAJh + djAlk~dkAu\	D.9а)
Г17* = Л*»Г//1Я,	D.96)
где матрица А1к — обратная относительно матрицы Aim, которая
согласно формулам C.11а) имеет вид
), Л33-1, Аш = Ааз=0, D.10)

286	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. V1U
где ?JvaPv — контравариантные компоненты тензора Римана
Кристофеля поверхности S. Согласно формул C.9)
Pv.	D.11)
Напомним, что тензор Римана — Кристофеля выражается посред-
посредством символов Кристофеля поверхности S при помощи фор-
формулы (см. гл. V, § 10, п. 1)
Я:а^=дуГа^-д^а^ + Га^Г^-ТаухТ^\ D.12)
В силу D.2) имеем
Г,/, * = ri7t k~x*fif< k-1 F?*/ft-f б^-б^,), D.13)
где
Г<7, к = у (diaj* + djailt—dkaf/),	D.14а)
f,/t* = -j(^/* + 5A*-3A/).	D-146)
Минимальное сужение индексов символов Tlftk и f {J-t к дает
ГаР, v = 4" (^%v + 5pa«v — дуа^),	D.15а)
Г «э. v = у ^a&^p + aPbav—dvbap),	D.156)
а сужение их индексов всех других порядков равны нулю.
Пользуясь формулой
bvprva v + bavrap v,	D.16)
равенство D.156) можем записать в виде
fap.T=sT<Vap + 2rapV&vp).	D.15в)
Рассматривая теперь сужения 1-го порядка индексов символов
Г/у, k (T- е- Два индекса греческие, один индекс равен 3), будем
иметь
Гар,з ~у^ар> Гза> РГа3| р = — у&ар*	D.15г)
Сужения 2-го и 3-го порядков индексов символов Г,;) А,, очевидно,
равны нулю.
Таким образом, существенное ядро матрицы Г,7< к составля-
составляют минимальные сужения и сужения 1-го порядка, которые

§4]	ПОГРУЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 287
выражаются по формулам
Гар, v = ГаР, v -1 х° (\ab$v + 2ГаЭ v6Vv),	D • 17a)
Гар, з = — r3C6t p = — Га3( p = Y^osp.	D.176)
Кроме того, имеем
.ГИ1Л = Г,Л,в = ГЛ8.,1	D.17в)
Ha основании формул D.10), D.17) для Гарv имеем
, а)
D.18)
При помощи D.13) и D.146) легко убеждаемся, что
^	D.19а)
i* =/СГар v.	D.196)
В силу этих формул равенства D.18) принимают вид
где
Я?ар = -q (Vvbafi—x*K~1RlxxaKbiXx\oaafi)-	D.21а)
Очевидно, Bv.ah — тензор 3-го ранга координатной поверхности
я3 = const. Легко показать, что относительно, 5|. ^-параметриза-
^-параметризации области имеем
При помощи формул D.96), D.10), D.11) и D.176, в), получим
rjp = -g-6ap,	D.22а)
ГзаР = Газ Р =
(	)
4- D-226)

288	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Относительно координат |, г\, х3 последние формулы имеют вид
1 __. Г" 1 	.	*1	"р 2
2
2A— AjX3) ' 23	33	2A — k2x3) '
Ра 1-—Р i = f 3 —Г312 = 0.	D.23)
Символы Кристофеля многообразия М$ выражаются по формулам
Следовательно, минимальные сужения их индексов дают
Г° 	, р	Р° V	Р V	(А. О^Л
яр, V	я|3, ^ji А ссC	¦*¦ ссC •	^T.iiij^
Сужения других порядков все тождественно равны нулю.
Таким образом, следует обратить внимание на тот факт, что
символы Кристофеля многообразий Ms и М% не совпадают на
поверхности 5: %3 = 0, несмотря на то, что на ней их метрики
одинаковы.
Чтобы убедиться в том, что многообразия Ms и M°s действи-
действительно римановы, надо построить соответствующие тензоры Ри-
Римана— Кристофеля и обнаружить, что они не равны нулю.
Тензоры Римана — Кристофеля многообразий М% и Ms выра-
выражаются при помощи формул
~Rn'-V =dS--n — d-T'unJt-Y--mY un — V- тТ п	/4 27а1»
Рассматривая минимальные сужения индексов этих тензоров,
получим
t D.266)
ЯГ v_i"r А, Г1 v Р ^Г v i_"r зр v
D.276)
Другие сужения индексов тензора RVifk , очевидно, равны нулю.
Таким образом, мы видим, что тензор Римана — Кристофеля
многообразия M°s равен тензору Римана — Кристофеля поверх-
поверхности S. Следовательно, согласно формуле D.1) он отличен от
нуля, если главная (гауссова) кривизна К поверхности 5 от-
отлична от нуля. Итак, сопутствующее поверхности 5 многообра-
многообразие M°s с метрикой D.6) риманово, если К?=0. В этом случае М§
представляет пример трехмерного риманова многообразия, в ко-
которое вложена поверхность S.
Переходим теперь к рассмотрению тензора D.276).

§ 4]	ПОГРУЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В РИМЛНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 289
Согласно формулам D.22) имеем
Г „ 3Г v Г 3Т v		' ih hv h hv
^^V^vAp-bpAv)}- D-28)
Но в силу формулы D.11)
Внося эти выражения в D.28), получим
rap3r,vv-raT»r,pv = -^(/?r;PY-^/?vipv^)- D-29)
Если внесем выражения D.20) и D.29) в D.276) и учтем фор-
формулу D1.4а), то получим
D.30)
Из этих формул следует
Rv.a^\x^o = ^Rr^ = ~Kca:c^.	D.31)
Отсюда видно, что если /С=т^=О, то минимальные сужения индек-
индексов тензора Римана—Кристофеля Яп.цк риманова многообразия Ms
тождественно в нуль не обращаются. Например,
Ж'1\21х^о=^Я2Л'г1=^Кс[2.с1^^Ка11фО. D.32)
Это означает, что при КфО в окрестности поверхности 5 тензор
Римана — Кристофеля многообразия Ms отличен от нуля. Сле-
Следовательно, если КфО, то Ms—трехмерное риманово много-
многообразие, в которое вложена поверхность S.
Таким образом, мы построили два вида сопутствующих по-
поверхности S трехмерных римановых многообразий М$ и Ms,
в которые вложена эта поверхность. Оба эти многообразия пред-
представляют собой расширение двумерного риманова многообразия,
реализуемого поверхностью S, в трехмерные римановы многообра-
многообразия. Очевидно, М§ является наиболее простым расширением.
Метрика поверхности S параллельно (вдоль нормали) перено-
переносится без искажения в координатные поверхности а'3 =с = const,
а затем расстояние между близкими точками определяется со-
гласно'^теореме Пифагора. Поэтому Ms назовем простым пифа-
пифагоровым расширением поверхности S в трехмерное риманово про-
пространство.

290	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. VIII
Многообразие Ms будем называть также пифагоровым (но не
простым) расширением поверхности S. В нем метрика в каждой
точке (х1, х2, х3) пространства также строится согласно теореме
Пифагора при помощи формулы D.3). Различие с М% состоит
только в том, что метрика поверхности S предварительно пере-
переносится вдоль нормали в координатную поверхность #3=c=:const
с искажениями, определяемыми множителем \f\—ck0. Тут сле-
следует заметить, что множитель \f\ — ck0, характеризующий рас-
растяжения или сжатия метрики поверхности, зависит, вообще го-
говоря, не только от точки поверхности, но и от направления
элемента дуги. Если элемент дуги ds0 составляет с одним из
главных направлений поверхности угол Фо, то при перенесении
вдоль нормали на поверхность х3 = с он умножается на множи-
множитель, который в силу формулы Эйлера имеет вид
V\ — cko = V(\ —ckj cos2 й0 + A —ck2) sin2 $0. D.33)
Это означает, что если конец дуги ds0 с началом в точке (л;1, х2)
поверхности 5 на соответствующей касательной плоскости опи-
описывает единичную окружность, то концы ее образов на каса-
касательной плоскости к поверхности х3 = с опишут эллипс с глав-
главными осями 1 —ckx и 1 —ck2. Поэтому риманово многообразие Ms
назовем эллиптическим пифагоровым расширением поверхности 5.
В случае простого пифагорова расширения М%, очевидно, еди-
единичная окружность переходит в единичную же окружность.
Если 5 — сферическая поверхность радиуса R, то, очевидно,
что при эллиптическом пифагоровом расширении единичная
окружность переходит в окружность радиуса 1—Б-).
\ " I
Заметим, что при К = 0 простое пифагорово расширение Ms
поверхности S будет евклидовым трехмерным пространством,
так как в этом случае тензор Римана—Кристофеля равен нулю.
Но M°s, вообще говоря, в прямом смысле не будет совпадать
с обычным"евклидовым пространством, в которое вложена поверх-
поверхность S. Метрика М% не совпадает с метрикой Sg-napaMempu-
зации области евклидова пространства вблизи S.
Например, в случае кругового цилиндра (К = 0) радиуса R
при S^-параметризации области Q метрическая квадратичная
форма (относительно координат |, т), я3) выражается при по-
помощи формулы
( ^y	D.34a)
Метрика простого пифагорова расширения М% (относительно
тех же координат |, т], х3) декартова:
D.346)

§ 4]	ПОГРУЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 291
Последняя формула выражает декартову метрику прастранства
в том случае, когда S—плоскость. В этом праявляется тот факт,
что поверхности нулевой гауссовой кривизны (и только они)
развертываются на плоскость. Поэтому естественно считать все
простые пифагоровы расширения торсов эквивалентными. Вообще,
простые пифагоровы расширения двух поверхностей Sx и 52 будем
считать эквивалентными, если их метрики одинаковы, т. е. если
Sx и Sz изгибаемы друг на друга (при изгибаниях поверхности
метрики не изменяются). Следовательно, под М% можно подра-
подразумевать класс эквивалентных простых пифагоровых расширений
поверхности S.
В этом смысле иначе обстоит дело с многообразием Ms. Оно
более тесно связано с поверхностью 5. Два римановых много-
многообразия MSi и MSi будут эквивалентны лишь в том случае,
когда поверхность S± получается из S2 движением. Это понятно,
так как эти поверхности должны иметь одинаковые первую и
вторую основные квадратичные формы.
Пусть S — сферическая поверхность радиуса R. Тогда
п = -~г	D.35)
и __	п r _J_rr ~-„а	D36)
Следовательно,
Л =1 Л =Л =0	D.37а)
Л33=1, Лза = Лаз = 0.	D.376)
Тогда простые вычисления показывают, что
Г	f ] ХЗ
f ] ХЗ\Г	Г	—
V — I j	^" I 1 «р. у»	х ар, з —
Газ, р~Гза1р = — 2Raa^ Г'зз, fc —r3fc4 3 = Г'йз,з = 0, D.38a)
Рт
аз = 1 за =
D.386)
Вычисляя теперь тензор Римана — Кристофеля, согласно фор-
формуле D.27а) получим
(^МГа^	D.39)

292	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ	[ГЛ. Vlll
где RVa'p'v — тензор Римана — Кристофеля сферической поверх-
поверхности,
Из формулы D.39) видно, что
RVaiv^O, если Xs <^.	D.41)
Следовательно, вне сферической поверхности радиуса 3R/4,
концентрической с 5, Ms строго риманово. На сфере радиуса
SR/4 тензор Римана — Кристофеля многообразия обращается
в нуль, т. е. эта сфера является поверхностью вырождения
риманова многообразия Ms. Это замечание заслуживает внима-
внимания по той причине, что евклидова параметризация простран-
пространства, нормально связанная со сферической поверхностью ра-
радиуса R, возможна при х3 > 0. (Надо иметь в виду, что вне
сферы 5 ха принимает отрицательные значения, ибо нормаль
к 5 направлена в сторону центра сферы.) Непростое эллипти-
эллиптическое пифагорово трехмерное расширение сферы сохраняет
свойства риманова многообразия лишь на части той области,
а именно вне концентрической сферы радиуса 3R/4, где воз-
возможна ^-параметризация пространства, нормально связанная
со сферой 5. Интересно выяснить, как обстоит дело в этом от-
отношении в случае поверхности произвольного вида, т. е. оце-
оценить расстояние поверхности вырождения многообразия Ms от
поверхности 5.

ЛИТЕРАТУРА
1.	Веку а И. Н. Обобщенные аналитические функции.— М.: Физмат-
гиз, 1959.
2.	Веку а И. Н. Замечания о свойствах решений уравнений Ды = —2кеи.—
Сибирский математический журнал, 1960, т. 1, № 3, с. 331—342.
3.	К^аган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении.—
М.—Л.: Гостехиздат, 1947—1948,—тт. I, II.
4.	Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями
к геометрии, механике и физике.— М.: ИЛ, 1^63.
5.	Н орден А. П. Теория поверхностей.— М.: Гостехиздат, 1956.
6.	Н орден А. П. Краткий курс дифференциальной геометрии.— М.: Гос-
Гостехиздат, 1958.
7.	Веку а И. Н. Об одном функциональном уравнении теории минималь-
минимальных поверхностей—ДАН СССР, 1974, т. 217, № 5.
8.	Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.— М.:
Гостехиздат, 1953.
9.	Смирнов В. И. Курс высшей математики.— М.: Физматгиз, 1С58.—-
тт. II, IV.
10. Schouten J. A. Ricci-calkulus.— Berlin, 1954.
П. Levi-CiviiaT. Lezioni di calcolo differenziale assoluto.— Roma. 1925.
12.	Nitsche Johannes С. С. On New Results in the Theory of Minimal
Surfaces.— Bulletin of the Americal Mathematical Societi, 1965, t. 716, №2.
13.	Ricci G. Lezioni sulla teoria delle superficie.— Verona — Padova, 1898.
14.	Weiers trass K. Untersuchungen uber die Flachen deren mittelere
Krummung uberall gleich Null ist.— Mathematische Werke, Band 3, Berlin,
1903.
15.	Эйзенхарт Л. П. РиманоЕа геометрия.— М.: Гостехиздат, 1948.
16.	Оссерман Р. Минимальные поверхности.— Усп. матем. наук, 1967,
1. 22, вып. 4 A36) —с. 55—135.
17.	Векуа И. Н. Основы тензорного анализа.— Тбилиси: Изд. Тбилисского
университета, 1967.
18.	Car tan E. Les systems differential exterieurs et leurs applications geo-
metricues.— Paris, 1945.
19.	Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.— М.:
ИЛ, 1960.
20.	Шиффер М., Спенсер Д. Функционалы на конечных римановых
поверхностях.—М.: ИЛ, 1957.
21.	Hodge W. Harmonic Integrals, 1952.
22.	М у с х е л и ш в и л и Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.:
Наука, 1966.
23.	Заманский М, Введение в современную алгебру и анализ (пер.
с франц.) — М.: Наука, 1974.
24.	Nitsche Johannes С. С. Vorlesungen uber Minimalflachen.— Berlin:
Springer — Verlag, 1975.
25.	Б е р с Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой
динамики.— М.: ИЛ, 1961.
26.	Vek.ua I. N. On eonformal invariant differential forms in shell theory.—
Funct. theor. meth. part. diff. equat., Acad. Press, 1969, с 303—311.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная производная 130
Аддитивная группа 14
Алгебра тензоров 97
Алгебраическое дополнение 25
Аналитический ковариант 240
~ скаляр 213 "
Антианалитический ковариант 242
Асимптотическая линия 182
Асимптотическое направление 182
Асимптоты поверхности -182
Базис 37, 41
—	подвижной ковариантный 61, 142
—	— контравариантный 62, 144
Базисные матрицы 42
Бельтрами система уравнений 184
—	уравнение 214
Бианки тождества 134, 174
Бонне формула 194
Вейерштрасса формулы 198
Вейнгартена деривационные формулы 154
Вектор 36
—	Родрига 160
—	свободный 36
—	скользящий 36
Векторное поле, 36, 62
—	произведение 38
—	— двойное 40
Вектор-функция 62
Векторы поверхности 149
Внешнее умножение дифференциалов ко-
координат 69, 78
Внешний дифференциал линейной формы
257
—	кодифференциал линейной формы 258
Внутреннее произведение матриц 19
—	— тензоров 60
Внутренние координаты поверхности 141
Вторая основная квадратичная форлм по-
поверхности 159
Гаусса деривационные формулы 152
—	уравнение 172
Гаусса-Остроградского формула 136
Гауссова (главная) кривизна поверхности
164
Гауссовы параметры поверхности 141, 207
Геодезическая кривизна 162
—	окружность 158
Геодезические линии поверхности 155
Геодезический многоугольник 194
Геодезическое кручение 161
Гильбертово пространство коварнантов 22 7
—	— тензоров 84
Главная нормаль кривой 155
Главные кривизны поверхности 165
—	направления поверхности 163
—	радиусы кривизны поверхности 165
Глобальная норма тензора 112
Глобальное скалярное произведение ко-
вариантов 227
—	— — тензоров 111
Глухой индекс 18
Гомеоморфизм 52
—	уравнения Бельтрамн 185
Гомоморфизм 15
Градиент скаляра 56, 122
—	тензора 130
Грина формула 137, 171
Декартова система координат 67
—	— — локальная 77
Деривационные формулы Вейнгартена 154
—	—Гаусса 152
Дивергенция (расходимость) 135, 168
Дивизор 226
—	ковариантный 242
—	нормальный 226
Дирихле интеграл для ковариантов 255
Дискриминант квадратичной формы 31
—	метрической формы 67, 145
Дискриминантный тензор 68, 147
Дифференциал замкнутый 258
—	ковариантный 250
—	контравариантный 255
—	тензора 127
—	точный 257
Дифференцирование коварианта 232
—	тензора 122
Зацепление индексов 18
Изгибание поверхности 157
Изображение сферическое 159
Изомеры тензора 60
Изоморфизм 15
Изоморфные группы 15
Изотропный тензор 81
Инвариантная метрика 76
Инвариантность 57
Индекс глухой 18
— свободный 18
Квадратичная форма положительно опре-
определенная 31
Ковариант поверхности аналитический 240
—	— константного типа 251
—	— нулевой 221

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
295
Ковариант поверхности обобщенно анали-
аналитический 242
—	—универсальный 223
Ковариантная дифференциальная форма 251
—	производная 123, 127, 167, 233
Ковариантный базис координатной системы
60, 142
—	дивизор 242
—	дифференциал 250
—	закон преобразования 56
—	кодифференциал 254
—	— сопряженный 255
—	тензор 56, 58
Ковариантов р-ассоциация 230
Коварианты когредиентные 222
—	контрагредиентные 222
Кодацци—Петерсона система уравнений 172
Кодифференциал линейной формы 258
—	— — внешний 258
—	— — замкнутый 259
—	— — точный 268
Кольцо 16
—	коммутативное 16
—	с единицей 16
Комплексные гауссовы координаты поверх-
поверхности 207
—	символы Кристофеля 192, 237
Компонент отображения 54
Компоненты вектора 37
—	— ковариантные 43
—	—контравариантные 43
—	— физические 65
Контравариант коварианта 227
Контравариантная производная 130, 234
Контравариантный базис координатной сис-
системы 62, 144
—	закон преобразования 55
—	тензор 55, 58
Конформно эквивалентные системы коорди-
координат на поверхности 208
Координатная линия 53, 142
—	система в асимптотических линиях 181
—	— в линиях кривизны 177
—	— декартова 67
—	— изометрическая 183
—	— нормально связанная с поверхностью
г- 261
—	— полугеодезическая (полярная) 158
—	— сопряженно изометрическая 205
—	— сферическая 67
—	— цилиндрическая 68
Коши — Буняковского неравенство 46
Коши — Римана система уравнений 184
—	уравнение для ковариантов 239
Кривизна кривой 155
—	поверхности главная (гауссова) 164
—	— средняя 164
—	риманова пространства 135
Кристофеля символы 116, 153, 237
Кронекера символы 20
Лапласа оператор 137, 175, 236
Леви-Чивита символы 21
Линейная зависимость тензоров 85
Линейное отображение 20
—	пространство 19
Линии координатные 53, 142
—	кривизны поверхности 165
Локальная норма коварианта 227
—	— тензора 84
Локально декартова система координат 77
—	скалярное произведение ковариантов 227
—	— — тензоров 83
Локальное гильбертово пространство тен-
тензоров. 84
Матрица 13
—	дискриминантная 45
—	квадратная 22
—	типа (р, д) 15
—	эрмитова 31
Менье теорема 158
Метрическая квадратичная форма евкли-
евклидова пространства 66
—	— — поверхности 145
—	— — риманова пространства 76
Метрический тензор евклидова пространст-
пространства 66
—	— поверхности 145
—	— риманова пространства 76
Минимальная поверхность 198
Минор 27
Модуль 20, 84
Моноформа 213, 220
Мультипликативный тензор 89
Направление асимптотическое в точке по-
поверхности 182
—	главное (в точке поверхности) 163
Нормальная кривизна поверхности 158
Нулевой ковариант 221
—	тензор 59
Обобщенно аналитический ковариант 242
Окружность геодезическая 158
Омбилическая точка поверхности 164
Оператор Лгпласа 137, 175, 236
Операция зацепления индексов 18
—	опускания индексов 80
—	поднятия индексов 80
—	сокращения (свертывания) индексов 18
—	сужения индексов 262
Ортогональная система координат 63
Ортогональное вращение вектора 175
Ортонормальная система тензоров 86
Открытое множество 51
Относительный тензор 75
Отношение эквивалентности 15
Отображение линейное 20
—	непрерывное 52
—	топологическое 52
Параметризация области 53
—	пространства 53
Первая основная квадратичная форма по-
поверхности 145
Петерсона — Коднцци система уравнений
172
Пифагорово расширение поверхности 29
—	— — простое 289
—	— — эллиптическое 290
Поверхность минимальная 198
—	постоянной гауссовой (главной) кривиз
ны 200
—	— средней кривизны 196
Подвижной базис ковариантный 61, 142
—	—контравариантный 62, 144
Поле 16
—	векторное 36, 62
Положительно определенная квадратич-
квадратичная форма 31
Полугеодезические (полярные) координаты
158
Потенциал линейной формы 258
Правило параллелограмма 37
—	суммирования 16
—	частного 71
Приведение тензора к главным осям 105

296
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Проекция коварианта 226
Производная ковариантная 123, 127, 167,
233
Пространство арифметическое (числовое) 51
—	Банаха ковариантов 228
—	линейное (векторное) 19
Прямое матричное умножение 16
—	произведение тензоров 59
Псевдосфера 201
Разложение детерминанта 25
—	тензора 88
Ранг квадратной матрицы 27
—	коварианта 221
—	матрицы типа (р, q) 15
—	тензора 58
Расходимость вектора 135, 168
—v тензора 140
Расширение поверхности 289
Римана — Кристофеля тензор 134, 172
Риманово многообразие (пространство) 76
Риччи тензор 134
—	тождества 1 34
Родрига вектор 160
Свертывание тензоров 59
Серре — Френе формулы 161
Сильвестра теорема 34
Символы Кристофеля 116, 153, 237
—	Кронекера 20
—	Леви-Чивита 21
Система координат в асимптотических
линиях 181
—	—'В линиях кривизны 177
—	— декартова 67, 76
—	— изометрическая 183
—	— ортогональная 63
—	— полугеодезическая (полярная) 158
—	— сопряженно изометрическая 205
—	— сферическая 67
—• — цилиндрическая 68
Скаляр 55
—	аналитический 213
Скалярное произведение векторов 59
—	— ковариантов глобальное 227
—	— — локальное 227
—	— тензоров локальное 83
—	— глобальное 111
Смешанное произведение векторов 38
Собственное значение тензора 102
Сокращение индексов 19
Сопряженно изометрическая система ко-
координат 205
Средняя кривизна поверхности 164
Сужение индексов тензора 262
—	— — максимальное 263
—	— —¦ минимальное 263
Сферическая система координат 67
Сферическое изображение поверхности 159
Тензор 49, 55, 56, 58, 6Ф, 81
—	дискриминантный 68, 147
—	изотропный 81
—	кривизны Римана — Кристофеля 134
172
—	метрический 66, 76, 145
—	мультипликативный 89
—	обратный 75
—	относительный 75
—	поверхности 151
—	пространства 53
~- Риччи 134
—	симметрический 60
Тензор Эйнштейна 135
—	эрмитов 107
Тензоры ортогональные 84
—	эквивалентные 81
Теорема о делении тензоров 71
—	Сильвестра 34
Торсы 180
Точка округления (омбилическая) 164
Точный дифференциал 257
—	кодифференциал 258
Третья квадратичная форма поверхности 160
Угловой избыток поверхности 194
Угол между двумя направлениями 44, 148
— — — тензорами 85
Умножение внешнее 69, 146, 252, 253
Универсальный ковариант 223
Факторизация ковариантов 226
Физические компоненты вектора 65
Формы когредиентные 252
— контрагредиентные 252
Фундаментальные тензоры Риччи и Леви-
Чивита 74
Характеристическая функция координат-
координатных систем 214
Цилиндрическая система координат 68
Шмидта метод ортогонализации 86
Эйлера формула 166
Эйлерова разность 164
—	— комплексная 193
Эйнштейна правило суммирования 16
—	тензор 135
Эквивалентные тензоры 81
Элемент объема 69, 78
—	площади 70, 146
Эллиптическое расширение поверхности 290
Эндоморфизм 20
Эрмитова матрица 31