ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Конспект лекций
Лобанова Л.Ф.,
Прудников В.В.,
Цехмистрова Н.В.
il А И
1991 г.
Рля описания двикения сплошной средн необходимо вводить
математические объекты,инвариантные относительно выбора системы
координат. Именно такими объектами являются тензоры.
Движение сплошной среды рассматривается в трехмерном эвкли-
довом пространстве, при этом изучение движения деформируемой
среды требует использования криволинейных координат. Поэтому
будем изучать тензорные операции в трейлерном эвклидовом про-
странстве в произвольных криволинейных координатах.
Кри хътн-эйные координаты
В эвклидовом пространстве можно ввести единую для всего
пространства декартову систему координат О ОС Ц£. Наряду с
L Л -3
декартовыми вводятся криволинейные координаты ос , ОС , ос. ,
как независимые между собой параметры,связанные с декартовыми
координатами взаимно-однозначным соответствием
Эти соотношения разрешаются относительно ос , у , 2
При этом якобианы преобразований координат
2.x 1	2^- 'Ъос-	
	Их*	Эдс4
	"И	
2л1-		
Ог-	2/	
		
2л1		
-58-
дексов
•	II
где * P> t "If£ ol	'' принимают значения
определяют нетождественно равные нулю выражение	•
Таким образом, существует шесть независимых компонент тензо-
ра Римана-Кристоффеля, а именно
D к к к к к
^12.12 >	п22>23 , Л3'/3/ 2	1223	j ^3112. ’
Шесть независимых компонент тензора Римана-Кристоффеля удобно
представить через компоненты симметричного тензора Риччи
Условие равенства нулю тензора Римана-Кристоффеля в эвкли-
довом пространстве выражается шестью уравнениями,которые полу-
чаются приравниванием нулю шести независимых компонент, например
( из ).
- z-
или
не обращаются в коль в рассматриваемой области пространства.
Если задать JE rtX}U'i)=con$t , то получим уравнение
координатной поверхности. Линии пересечения координатных поверх-
ностей, вдоль кавдой из которых меняется только одна из координат.
называются координатными лиювар.
Введем векторы
.?г 2*, Г + 1L Т+
L -	3
Эти векторы некомпланарин, так как
V - • (э^ х = А О
Заметим,что V >О . т.к. используется правая система координат.
Векторы , Э-д, , ЭЛ , направленные по касательным к ко-
ординатным линия:.: в сторону возрастания координат, образуют
основной базис криволинейных координат.
Эти векторы образуют локальный базис, в котором ди^ферен-
ш радиуса-вектора представляется в виде
<& =- da 1 г 2? cl*.	= d*1- э. (3)
Qjc1	t
Здесь и далее зредполагается,что,если верхний и нижний индекс
в выражении одинаковы, то по этим индексам производится сумми-
рование.
Векторы
X.' = i f	,	4)
d	Эх	2Z-
*
направленные по нормалям к координатным поверхностям в сторону
возрастания координат, также нексщпланарны, т.к.
\/ =3^.	=4 О ,
и образуют взаимный базис.
Установим связь иехцу векторами основного и взаимного базиса.
Следовательно ,
Так как jc ,л , х - независимые параметры, то
где - символы Кронекера.
Найдем зависимость ->х от Л ’ Аг.» эз .
Так как 3* э - О и э* о = О , то э1 / я и 5 £jL э,
*	3	Л-	3
Поэтому
Э± = (ч * эз) * '
£ /
Так как Э  Э =	, то т ---------
1	V
Меняя индексы, получи.,
/'=Л/3. Х5, )	<5>
.	V ‘ d J
где i yj образуют перестановку из 1,2, .
Аналогично можно показать,что
Л = у- (э*) •	, <«
Если ввести трехиндексные величины, называемые символами Леви-
Чивите,
= V . если
V ’
i, А, 3
5=^-
i
_L
= -V, если с > J
«Тли
Ьу) , или I
1ЛЛИ J-K
о
3
= /< .

I
Y ’
если

L
' > л , 3
О , {См С -J пли С- к
ИЛ И J Г /<
1, 3
ч -
то Формулы (5) и (6) можно представить в виде
У	э.л3лС
9. г . .
t	Lj К
Легко показать,что
э‘ " э«- • 3
э‘ „ э4 ~ г‘J к
(8)
Ковариантные и контравэриантнке компонента вектора
Рассмотрим вектор а- , определенный в т. А (х. >^,2.)
О, = а- (А)
Разложим его по векторам Э, 9А , Э3 основного базиса
1 г .. з
и по векторам .3,9 ,9 взаимного базиса
6L = С? Э t- — Gj Э	(9)
Величины а1 называются контпавариант»!зди компонентами
вектора CL- .
Величины Q; называются ковариантными компонентами вектора а- .
V
Умножим ( 9) скалярно на 9. , затеи на
а.Э- ~ Э; ) = я,-	= CfL
а ^=ас(э.-э')^аг	= а'
Таким образом, получил еще формулы для ковариантных,контра-
вариантных состэвлящих
ai = Q ’ э;	(Ю)
а" = ci  У
<тт)
Геометрический смысл ковариантных и контравариаятных
,компонент
Рассмотрим вектор съ .расположенный в плоскости векторов
Коктравариантные компоненты выражаются через косоугольные
составляющие вектора в основном базисе или через оротогональные
проекции вектора на направления векторов взаимного базиса.
Ковариантные компоненты выражаются через косоугольные сос-
тавляющие вектора во взаимном базисе или через ортогональные
проекции векторе на направления векторов основного базиса.
В декартовой системе координат нет разницы между ковариантными
и контравариантными компонентами, т.к. базис этих координат сос-
тавляют ортогональны , единичные векторы.
Связь между ковариантными и контравариантными
компонентами вектора
Введем обозначения
(12)
- 7 -

Согласно формулам (10),СИ) заключаем,что
-я ковариантная компонента вектора Э -
j -я контравариантная компонента вектора 3>4
Т.е.
(13)
р‘= у 4/ 9у	(14)
Установи?.! связь мекцу контравариантными и ковариантными
компонентами вектора.
‘ а- э. = a Ъ aj = у	(is)
<? = а.	да)
Такт образом/ieMy ковариантными и контравариантными компо-
нентами существует линейная связь, коэффициентами в которой в-
ляются q. . и qiJ .
It	‘•ц
Покаиам,что матрицы Цд. fl и	/ взатшо
обратные.
Воспользуемся соотношение?.!
Э-
и формулами (13) и (14).
- s-
2аметим,что
(i. . — з л =	
	<- / Эос''
Следовательно,	
- I	Qx- Ъ %	Э2:
	
	-?-Г£
IIО = J	? ос ‘Ъх*- Эх4"
	Qz Э^
	О-Г* Олг4
^2#.^ , '-. ?ос4 TLe.^				 ?х4	Эх'
»	9V •? £	7> ?ДГЛ 2£- -Элг*	?Х 'гх г	
	-?2	Э2- ?ХА		(17)
V		' > V	t	
Ортогональные координаты
Если координаты ортогональные, то
5.7 = о
т.е. матрицы Цд.. Ц
При этом
и

| Э 11 г \j
при	J
list'll
>
- диаго ьны .
1^1 =
1
I

- D~
(суммирование no L отсутствует).
Введем единичные векторы
- Э-	Э1
=. —
Ъл ' dLi
£ля произвольного вектора азеем
о- - а: э. -	3‘ - aS ’ е, =д. tyj =
= Wx'S.pM л<3> ёа ,
где
й<^ = а'‘=	и)
физические компоненты векторе, равные проекциям вектора на
касательные к координатным линиям.
Операции над векторами в криволинейных
координатах
Вычислим скалярное произведение векторов и £ .
СС Э1 = a-J
I = ^£>.
•	U
(«-. Щ..	\ I. -- О,,	(19)
6
Найдем модуль вектора
- 4.0-
Зычислим косинус угла между двумя векторами ц, и £
 1Ш1
Таким образом,длины векторов ( расстояния между двумя точ-
ками ) и углы между векторами выражаются с помощью величин
Эти величины характеризуют метрические свойства пространства.
Найдем квадрат элемента длины сС<ъ
с/х
(22)
Положительно-определенная квадратичная форма (22) называется
фундаментальной квадратичной формой.
Величины а.
ной формы.
называются коэффициентами фундаментальной квадратич-
Вычислим компоненты векторного произведения с векторов <2. и £
э. * э.- = а.. £. ээ<*
*	<7	</
Воспользовавшись формулами (8), получим
с = <ГЛ , ак = о,/.
Следовательно,ковариантные и контравариантные компоненты
векторного произведения выражаются через компоненты со:ложителей
по формулам
(23 )
с> «7
- 4. L -
Преобразование координат
Пусть пространство арийб'етизировано координата;»
.!	, Л , 3
п одновременно координат^;: х , х , л .
Координаты	и [х' у связаны г»за1ияо одиозна чаем
соответствием
/ г / ' 4	'
X ~ X (X , -Х‘ у 'Д’
(24).
х 2? >fi(х V
(25)
Рассмотрим преобразование координат с фиксн|>ованжм началом,
т.е. преобразование координат окрестности некоторой точки
или,иначе,	ос'^} эс'^)
Положение точки Jk1 окрестности точки задается "локаль-
ными" координатами cfx 1, cfxz ,	или ЛсЬ*
которые связаны между собою соотношениями
- <2-
Проязводные
и
вычис.тяатся в точке
преобразовании координат с фиксирован-
и соотношения (26), (27) задают лиией-
поэтому в рассматриваемом
ним началом они постоянны
ное преобразование "локальных" координат.
Введем-обозначения
У
(28)
Величины <=<	, А . образуют матрицы
d J <
А^11, М/J/ И9)
ЕУдем считать,что нижний индекс является номером строки, а
верхний - номером столбца.
Из взаимной однозначности преобразований координат следует,
что якобиан, равный детерминанту матрицы Д .отличен от нуля.
То ке самое справедливо для матрицы & .
Матрицы А и А) взаимно обратны, г.к.
J	*
т.е.
В точке •т’ можно ввести
нейных координат /~£ j и
векторы основного базиса криволи-
- 1 5 -
(30)
(31)
Используя правило матричного умножения, удобно соотношения
(30),(31) представить в вице
(32)
Назовем координаты / "старили" координатами , рс,4У
- "новыми".
Переход от старых координат к новым назовем прямым преоб-
разованием, переход от новых координат к старым назовем обратным
преобразованием.
Заметим,что векторы основного базиса преобразуются при пря-
мом преобразовании с помощью матрицы А , а при обратном - с
помощью матрицы £> . ( См.(30),(31) ).
Локальные же координаты преобразуются при прямом преобразо-
вании с помощью матрицы 3 • s при обратном - с помощью матрицы А-
Выбирая за эталон преобразование векторов основного базиса,
назовем матрицу А матрицей прямого поеобоазовевия, ьвтрхцу А
- патрицей обратного преобразования.
ВбЛнх‘*ШЧ,	ГГ.1* ИрЯГЛО** прообрязоданий-посрвкст-*
- /V -
вом коэффициентов матрицы прямого преобразования, называются
коурианткы^и (сопреобразующшлися). При обратном преобразовании
эти величины преобразуются с помощью коэффициентов матрицы об-
ратного преобразования.
Величины,преобразующиеся при прямо;? преобразовании посредст-
вом коэффициентов матрицы обратного образования, называются
контра^риантными ( противопреобразующииися). При обратном преоб-
разовании эти величины преобразуются с помощью коэффициентов мат-
рицы прямого преобразования.
Заметим,что основной базис является ковариантным, локальные
координаты - контравариантными.
Рассмотри!.! дифференциал радиуса-вектора
=	с!^'6'с - dx-'h'.
Следовательно,выражение wl - через компоненты в векторы
базиса соответствующей системы координат не меняется при переходе
от одной системы координат к другой,что свидетельствует об
вдвавиентности с1л . Инвариантность cbi обеспечивается сово-
купностью прямого в обратного преобразований векторов основного
базиса и приращений координат.
Преобразование компонент вектора
Пусть в некоторой точке Л*/Д ГГ Допределен вектор
Рассмотрим преобразование координат.
Используя формулы (30) преобразования векторов базиса,имеем
Я =ЛЬ Э. ~ сС У = а'У. 
1 S i	d
Откуда следует
J = /> 1		(33)
Подученные формулы пряного преобразования контравэриаиткых
компонент вектора оправдывает их название.
При обратном преобразовании,используя формулы (31) .получи?.;
сС- -= Ci!3 У. =	Э = tlS Э- ,
d	de-
откупа
Я-6 г с/1. сс‘ .	(34)
d
Рассмотрим преобразование компонент С1  вектора Л
Л. -Й- Л ’	(36)
Лналог;г;но получим
а,'.	а,- .	<зб)
d j с
(35) и (36) показывают,что компоненты явля-
ются ковариантными.
Т.к. вектор, как геометрический объект,задаваемый направлен-
ны?.? отрезком, инвариантен относительно выбора системы координат,
то в силу формул (35),(36), векторы взаимного базиса преобразуются
при преобразовании координат как контравариантные величины
d = fS • >	'	(37)
j i.		j
~ 16 —
Матричная запись формул (30),(31)(33)-(37) имеет виц
и; II-АЦ||
цт 6rhjn
И| = Arll^ll
||Л; I'Ala.-ll
d
польки
M|.Ar|p(|
Здесь знаком "T" обозначено транспонирование матриц.
Аналитическое определение вектора
Принято вводить векторы как направленные отрезки,укладываю-
щиеся по правилу параллелограмма. В силу этого вектор есть инва-
риантная линейная комбинация векторов базиса
et -дЛэ. - э*.
Инвариантность вектора при преобразовании системы координат
дает возможность аналитически определить вектор как на тела тический
объект, задаваемый в выбранной системе координат в данной точке
трем числами £(I. j ( или { оУ J ), преобразующимися при
преобразовании координат по ф-орлулам (33)-(36).
Формулы преобразования (33)-(36) линейны и однородны относи-
тельно ксипонент вектора. Поэтому, если компоненты вектора равны
нулю в какой-либо системе коорджат, то они равны нулю в любой
другой системе.
-1 л -
Полгапные r:r и 1вслснкя вектопов
Поставь в соответствие двум векторе:.: сЪ :: 6 математичес-
кий объект ЛЬ , назкваеиыЗ диакным произведение:.: ( пиано?. ) век
торов ci и i> •
Аналитически киана задается матрицей Ца,‘ или //*2-;^//
или Цо,. 6J|| или lb* 6-// .
Операция цяадного умножения является линейно.* и неко:«ута-
тявной	__	1	__
(At Лч +	'-I - Л t О-ч 6	£
Базис ди иного пространства составляют базисное днади.
Э.-? ,	, Э'9 , >i}J	(зе)
Г'	о
Компоненты базисных диад образуют матрицы,состоящие из одной
единицы и остальных нулей.
Дх!аду вектороз Л и можно представить в виде линейной
комбинации базисных диад
У.9-
* d
е О
О О
О О
i_ / i
+ (л Ь о
о
L О
О о
о о

о
с
о
о
0
Л з
• • Ь Л Ъ
о
<3
I
13
Аналогично циаиному произведению вводится полиацное произ-
ведение векторов. Например,базисные полиады представляются в
вице •
< ,
Формулы преобразования полнадных произведений легко получить,
зная формулы преобразования векторов базиса и пользуясь свойст-
вом линейного подсадного произведения

/к /	. f	(40)
V V...	э; э'„у,
Определение тензора
Тензор вводится как инвариантная по отношений к преобразо-
ванию координат лидейная комбинация базисных полиад
Г- T-JK	• з1
(41)
Из условия инвариантности тензора и правила преобразования
полиадных произведений (40) следует закон преобразования тенз ра
при преобразовании координат.
T = T.\-V I
Откуда
т"’;; ;-Гт*:* )
• И />	п Р	1 - гс с (42)
tS
Полученное правило дает возможность определить тензор как
?ла тематический объект,запаваолмл в некоторой системе координат
совокупностью компонент
, преобразупн'хся
при преобразовании координат по формулам (42).
Рангом тензора называется число индексов его компонент.
Рассмотри подробнее тензор П ранга - инвариантную линейную
комбинацию базисных диад.
I ='	= /..? 3 d ^т; :	Э Э.
.. с d ‘j	' d 1	; j
Т d называются контравариентными компонентами, 7^’ - ковариант-
у и 7у <! - с:.:ем иными компонента?»
тензора второго ранга.
(43)
нымп компонент ми,
Формулы преобразования компонент тензора второго ранга. ш. е?- т
вид
(44)
zo
Матричная запись формул (44):
:1тМ|нь'г нт "Mi &
и ТуII-А II-|;t ||Д'
ЙТ>Й||=&Г//Т“И1АГ
и
(45)
!1т':^||=А1|т;Л1в
При этом в матрице компонент тензора первый индекс независимо
от того', является ли он ковариантным или контравариантным, есть
номер строки, а второй - столбца.
Метрический тензор
Докажем,что введенные по формулам (12), величины , QV ,
, Q, являются компонентами тензора П ранга.
Пользуясь формулами (30),(31),запишем
4 - эг \	-/Л да
>	Q	V
Следовательно, коэффициенты фундаментальной квадратичной формы
являются ковариантными коглпонентами тензора второго ранга
G = <h
<> ч
называемого цетопческаз тензора.!.
Используя формулы (14), имеем
Так’.п образа,?, величины $	• являются контравархантными
смешанными компонентами метрического тензора. Заметим,что
матрица его смешанных компонент всегда единичная.
Тснзоо Леви-Чивита
Покажем,что символы £ <!к и £  •	( 6Z), ( 6 ),явля-
ются компонентами тензора третьего ранга.
Воспользуемся формулами (23) для компонент векторного произ-
ведения

Так как
преобразуется как контравариант-
вб<-
ные величины, то для того,чтобы Ск преобразовались как ко-
вариантные компоненты вектора, необходимо, чтоЛ/ £  . были
V
трижды ковариантными величинами,т.е. компонентами тензора

V
называемого тензором Леви-Чизита.
Используя формулы (14) преобразуем праву» часть выражения (46)
-га
Эе Зт эл =
<
= ?7Э^ э")эеэ„эп=е^пэеэтэп
_	г ЕГГ)П	.	, It .
Следовательно, величины с. .определенные формулами (6 ),яв-
ляются контравариантными компонентами тензора & .
Заметим,что векторное произведение двух векторов является
аксиальным вектором ( псевдо-векторо;^ £лк_. меняет направление
при переходе от правой системы координат к левой. Поэтому его
компоненты преобразуются по формулам (33 -36) при преобразова-
нии координат, сохраняющем ориентацию базиса.
В случае не изменения ориентации базиса формулы преобразования
компонент векторного произведения имеют виц
(47)
В силу формул (47) и (23) компоненты тензора Леви- [ивита
обладают аналогичными свойствами. Поэтому
называется
псевцотензороы.

Тенаопная алгебоа
Тензорное исчссле* ие изучает совокупность t:8 тематических опе-
рац::!', производимых нац тензора^:, в результате которых вновь поду-
чаются величин-:,обладавшие свойствами тензоров. Разделы тензорного
исчисления - тензорная алгебра и тензоре анализ.
Рассмотрим основные алгебраические операции над тензорами.
I.Сложение относится к тензорам одного ранга, заданным ком-
понентами одинаковой структуры. Сумма двух тензоров есть тензор
того ке ранга, причем его компоненты есть суммы соответствующих
кокпонент слагаемых тензоров.
Например, если
У •
то
2 .Перестановка индексов £ и у тензора т= ?
это образование тензора ’к э^з эк , называемого
соппяг:с.ч '.ел тензору Т по жцексам L и
Тензор Т называется симметричанк ( антисишетричным) по
индексам L и j .если Т*~ 7~ < соответственно7"*=-7 \
Любой тензор Т представляется в вице сумиы симметричной по с
~7Ч -
е антисимметричной по с я j чести (операция альтепнцпомкга)
Ъ-кСт-т*)
Умножение тензоров ( тензорное .луожеяие)
Произведением двух тензоров называется тензор, компоненты
которого равны всевозможным проазвецениям компонент исходных тен-
зоров. Например,
Г= Г‘<'эсэй >	,
P=TQ = T‘7Q6 а.л j'
о
Заметим,что ~TQ£QT, т.е. тензорное умножение некоммута-
тивно.
Свертывание - это операция,которая производится над смешанными
компонентами тензоров. Чтобы произвести операцию свертывания, дос-
таточно приравнять один из контрэвариантных индексов одному из ко-
вариантных и произвести суммирование по приравненным индексам. В
результате образуется новый тензор, ранг которого на две единицы
меньше, чем ранг исходного тензоре.
Пусть
т-т:;;
Произведем свертывание по индексам I и J . Получим новый
объект
t- rii;
Докажем,что t - тензор первого ранга ( вектор )
)
т.е. компоненты С* преобразуются как коварпактннс еошкх»-.г?"
вектора.
Скалярное умножение
Скалярное произведение ( с»ертка ) двух тензоров есть резуль
таг умножения двух тензоров с последукшш свертыванием по индек-
сам, относящимся к различным сомножителям.
Ранг скалярного произведения на две единицы меньше сужми; ран
гов сомножителей.
Пример I. Произведение двух тензоров второго ранга
Скалярное произведение этих тензоров
т-о. = т^а^
Пример 2. Произведение тензора второго ранга на вектор
ТгГ''Чэг , л = а. =>‘ ,
т'«-- Т“1а.{эл - I
f к -у-к?
о —
Пример 3. Произведение вектора на тензор второго ранга
а-Г. а. = с
1 I
-2Ь-
В примерах 2,3 тензор Т выступает как линейный оператор,
преобразующий вектор в вектор.
Пример 4. Используя операцию скалярного умножения, .•*оыю
вычислить компоненты тензора второго ранга по йорг-улага
Т = 3 -Т-9 Т'пп-эт Т л'ь
(48)
тт; =эт.т-эп , т^^.т-з*'
Например,
(S(m э(у (Т.
_ <г t т X ~г~
~ ° £j с л = ' ,Г!П-
Двойн-м скалярным произведением двух тензоров ( двойной сверт-
кой ) называется тензор, подученный в результате свертывания по
двум индексам произведения этих тензоров.
Например,
Г:<?=Т;/<Э
Ранг понижа тся на четыре единицы по сравнению с рангом произведения.
Еонглирование индексами
(скалярное умножение на метрический тензор)
Пусть
Т-тЧ Э.э-
t d
<1^
Итак, скалярное умножение на летрячесхк": тензор не меняет
тсзора.
С другой стороны заметим, что
т .С.
Такта образов, с помощью тензора G* j компонент тензораТ
можно опускать ( поднимать ) индексы.
Компоненты тензора второго ранге связаны завмстаостью
Удобно пользоваться матричной записью этих формул. .1апример,
(49)
иту-Нш
V
Симметричный тензор второго ранга
Пусть в некоторой точке пространства X * X задан
с;а»1етричный тензор
—2 8 -
Рассмотрим малую окрестность точки #	, т.е. цнодество точек
f yf-'j > определяемых радиус-векторами
di = с/х/
Выражение ..
t/f. Т-с!л = dr‘‘ lti r/xJ = T.dxW
J	J
является инвариантом.
Оно определяет квадратичную форму
‘К Г Tij dr- ‘	<50)
тензора Т.
Полагая
9^ = ' /	LС'Гх</ ~	(51)
<7
где С. - некоторое.число, получаем уравнение поверхности второго
порядка, которая называется тензорной поверхностью тензора Т.
Дифференциала	рассматриваются как координаты
точек зтой тензорной поверхности.
При проведении алгебраических операций вместо бесконечно
малого вектора (Ьг могло ввести коллинеарный ему конечный вектор
Формулы (50) и (51) приобретают вид
Т 7 J J	(52)
Вектор
-19 -
(53)
неправлен по нормали к тензорной порерхностп в точке
5 =
Если вектор Jj удовлетворяет условию
Т / ~	>	(54)
то такой вектор называется главным ( собствеижгл ) вектором,
а соответствующее направление называется главны:; направлением
( главной осью ), число А называется главны?,; ( собственным, ха-
рактеристическим ) значением тензора Т .
Условие ( 54 ) можно переписать в вике
(т-АС-)-р.О	(55,
Следовательно,
= О	<56,
-Зо-
Система трех алгебраических линейных однородных уравнений
имеет нетривиальное реаение
определитель системы равен нулю
, если
$
или
IT-  - Д а .. I - О
1 Ч 3 V f
(57)
или

(58)
Iг/ -Но	(59)
Уравнения (58),(59) могут быть получены из (57), если исполь-
зовать формулы (49) и невырозденность матриц // 'j Ц
Раскрывая (59), получим уравнение
-У3 »О,	<ео>
которое называется характеристически, уравнением.
Здесь
Коэффициенты J ,	характеристического
уравнения являются скалярными Функциями компонент тензора,назнвас-
-Ъг
мне внвариантауп. Вид характеристического уравнения и,следователь-
но, его корни не зависят о? выбора системы координат.
>окадем,что корни уравнения (СО ) действительна.
Пусть
Л - -X * i ft>
Здесь 4 = ^-1 .
Выделяя действительные и мнимые части уравнений (56), находим
= О ,	(G2)
Умножая на уи6 уравнение (&2)t на V4 уравнение f63)
руя по с и вычитая их друг на друга, получим с учетом
, СУ7<.!И-


у j -=о
Откуда

-зг-
Так как не все и V рении нули, и выражение вица
положительно,-то Jb-0 • Поэтому корни уравнения (60) дейст-
вительна и соответствующие им значения , подученные кз ураз
нений (56) такте действзтельны.
Золи систему уравнений (56) пополнить условием нор:.жровки
то получим три единичных векторе	.
Покажем,что эти векторы ортогональны.
Пусть А и А два неравных между собой корня уравнения
(60).
/ *	— А ~~
'П	г»	т >
Т- ёп - А „
fj	fir
Умножим скалярно эти равенства на бА , С м соответственно •,
/I	'п	J
вычитая одно из другого, подучим
Т-е'. - т- ёп - (Ап	,
откуда,используя форглулы (40) и симметрию тензора, имеем
Следовательно, е. Q~n
33
Зслх зсе корни характеристического уравнвзкя различны
. то Tpoifca главных векторов определяется одно-
значно ( с точностью но цкомиеля ± 1 ) .
"'-ела ига корня характеристического уравнения совпадают
i L - Д 0	) , то с точность» цо ."нокителя £- 1
определяется лявь главный вектор в t . 3 качестве глазих векторов
g” ё", нсияо выбирать любые два взаимно-ортогональнкх единич
них вектора, лемзпзх в плоскость, перпендикулярно:: вектору t? i .
Если все ’три корня характеристического уравнения совладают
, то в качестве главного базиса могло выбрать
любую ортонормированную тройку векторов е.
В качестве системы главных осей будем в дальнейшем подразуме-
вать декартовы оси X , эс*' ,	, образованные главинки
направлениями. Пусть <? £ , <?х ,	главные векторы -л ссответствуэдке глазные значения. Т = т‘*ё ёк =f -Т-ёЛ L К	XL	KJ i К - L i. 4 = 1 (ю-ТкЮ)е- = 3	3	_ TKS;KZ^..L t tK.Sl	К~* Таким образом, в главных осях тензор предст; Т= Т ё € + Г в	£> J 1 - 1 л л л 3 з v з	L . Т~ г - 6 // к /?34 Ц Евляется в виде и* • ' \ i ПЬ f
В главных осях матрица тензоре диагональная
Квадратная форма приводится к каноническому виду
(65)
уравнение тензорной поверхности записывается так
Инварианты тензора (61) ( первый «X - линейный, втооой .X
*-	“	Л/
- квадратичный, третий 0^ - кубический) выраваются через главные
значения
'д 'г 1$
“У-Т -г Т	+
3 1 А 3
2^.	> 0^ - тройка независимых инвариантов тензора; все другие
инварианты являются их функциями.
Пусть единичный вектор /г определяет некоторое направление
в точке Л , где задан тензор Т .
Вектором симметричного тензора Т называется вектор

f 
Иошгльяая составлялся вектора n есть вектор
=^пп » = (" Т-п' п
" П nri	V	/
Касательная составляемая вектора Trt
есть вектор
7=. = Т-Т = 7-л -(&• ’-Я)л	(69)
«I я пп	4
Пусть в главных осях зс/, Р<А, JC'3 тензора Т вектор /Г
задается компонентами /?4, Я , Н$  п®и эТОи *еиз0Р задает-
ся матрицей (65).
Длины всктосов Г и Т„~ определяются по «сорелухам
| Тля | = Я • Г’П —	+ Iх /7л * з i
(70)
|Тлг1 = /7„(л-|Г^гс
’	4	тй
Поставим задачу об определении экстоемальнюс значений I
и I Т на всех единичных нопмалях W , исходящих из точки Л 
Так кек -+ Н^ + Пъ1 - У , то в соотнопениях (70)
заменим величину п выреиением i-n*- п. л • Получим
X	**“ э
(71)
7’;* (л-л>хл+ (г,-т.)пз]г
Экстремальные значения ^пп\ и / ~„г] соответствуют тем
значениям и Л?} , при которых производные правых частей
равенств (71) по этим направляющим косинусам равны нулю.
Для / ТАя | получим
Т7?1	^п^-7^0.
Если Т % 7,	7,	, то Л . - Я --- О , т.е. л» е,
ТЛЯ = 77 .
Последовательно выбирая в качестве независимых переменных
Я. , /?. и Я, , И . . убедимся,что экстремальные
А	*	-Э
значения Т„„ равны главным значениям тензора, а нормали, на
которых достигается экстрему.!, имеют главные направления тензора.
Соответствующие этим направлениям касательные составляющие равны
нулю.
Можно убедиться,что результат будет тот же в случае,когда
два или три главных значения равны между собой.
Условия экстремума наследующие
?Ti =
Oz?a
г ч Г	Г	(?2)
Т, )^Tt -П.4т,- 7,	]/-0
37
Пусть TL 4 7Д V 7Л .
Очевидно,уравнения (72) будут удовлетворены, котта
Оде нова тел ыго, rtx = Z -L . При этов 7^г » с? , г.с. соотзетс-
вует своему минимуму. То х:е замечание справедливо для других глав-
ных направление.
Пусть	, пл ’-V О 
Тогда
В итоге придем к выводу,что максимальное значение касательных
составляющих достигается на биссектрисе прямого угла мезду главными
направлениями,которым соответствуют максимальное и минимальное
главные значения.
При этом
П =
Vi.
Величина нормальной составляющей вектора для этого направления
получается равной
-38-
Результат будет таким же,если среди
главных значений есть
равные.
Шаровой тензор л девиатор
Пусть главные значения тензора 5 равны между собой
Тензорная поверхность, определяемая уравнением
Z
L
является сферой. Следовательно, любые три декартовых оси,исходя-
щие из-центра сферы,можно считать главными.
В декартовых осях
S’XM,* t ё3ё3)^С-
Это соотношение представляет связь между инвариантами S и
£, т.е. имеет место в любой системе координат. Для компонент тен-
зора .$ говеем
Тензор Ъ называется маровым.
Дериатор это тензор /Э .первый инвариант которого равен нулю.
=о.
J	<7
Любой тензор монно представить в вице cyi .;ы шарового тензора а
девиатора:
Произведем цво:1.чул свертку с метрически;.: тензором
Т:С = $ ; £ 1- Ъ . С- ,
% (я)* О ,
J>C~: <7- ’Ь^(С)-Ь/
Главные оси тензора и его девиатора совпадают.
Действительно, если р главный вектор тензора Т ,
откуда

где
Равенство (73) показывает,что вектор у является главным
векторе^ цевкатора.
Касательная составляющая вектора Тп - Т.п не зависит
от шаровой части тензора, а зависит только от его девиатора.
Т„ = Т-И - (й.Г-й)й =
= $«	-(п- S-Я л - (Я'5>'п)п -
= И G.-й - ЦП
its-n - (й  Я  п)п
Так как G--.fi - /г , а	п - { , то
- 5? • п - (п п) К
Антисимметричный тензор второго анга
Пусть
Т=Т. • У э'
Ld
- антисимметричный тензор второго ранга
. Так как ц ~ О , а = “ при i
то число независимых компонент тензора равно треи, что дает основа-
ние утверждать: всякому антисамметричноыу тензору второго ранга
соответствует аксиальный вектор.
г?
Образуем двойную свертку тензора Леви-Чивита С г с тензо-
ром т
i	Т\ Л
7	d
(71)
*7
Так образованный объект Т является псевдовекторол, ком-
поненты которого определим, используя формулы (б'”).

(75)
Здесь(7 J /<)
образуют четкую перестановку из ( I 2 3 .
Итак, три независимые отличные от нуля компоненты тензора Г
/ I j2.	д
образуют три величины ~Г ,	7	,	7	• являющиеся компонен-
темп псевдовектора ~Г 
Наряду с псевдовекторои Т вводится псевцовехтор
t--iE :T=iT
cL 7
(76)
с компонентами
хк_	<77>
* ' /г
Верно и обратное утверждение: любо;; псевдовектор определяет
антисимметричный тензор второго ранга.
Если t" - псевдовектор, то величины
образуют объект
являвшийся антиси:.2*етричныи тензором второго равга. ла тогда которого
имеет вид

Заметкл.что для произвольного вектора выполняется
тождество
T-CL = I х 62.
Тензорный анализ
Ранее мы рассматривали скаляры , векторы п тензоры в одной
точке пространства, а теперь изучим их свойства,сравнивая их в
различных точках пространства. Это естественным образом приводит
нас к изучению операции дифференцирования тензоров.
Рассмотрим поле скалярной функции	( тен-
зора нулевого ранга).
Вычислим частные производные	и изучи их преоб-
разование при переходе к новым координатам / -z-/ ‘'j
Таким образом, частные производные скаляра преобразуются
как ковариантные величины. Если отнести эти величины к взаимному
(контравариантному) базису, образуем дивариант, в данной случае
вектор-градиент скалярной 'уп:;ц:п:
=	(so)
ox*	* '
Пусть СЬ ( jc * х^ Л'i) определяет векторное поле, Рассмотри
частные производные

Ъэ*.	/	>
Разложш вектор ^,7	' по базису / Э j и обозначим
коылоненты этого разложения символами /Ч

(81)
Величины являются функция?.»! координат и называется символами
Коистоффеля второго рода.
Для производной вектора получил
Qyc.1
- Л п п Г 9
\'еняя во втором слагаемом обозначения индексов сугмировзнся /<
на J и j на К. э /-> а )	> ,злее:л
(82)
Коэффициенты при Эл обозначаются <vZ . 6L 4 и называются
нова пив ктн:з.1и nnonsBoyfen контравапиентных калпонент векторе:
(83)
Оормула (82) приникает виц
Б декартовой системе координат базис не зависит от
координат, и все символы Крзстоййеля равны нулю. Ковариантная
производная совладает с обычной псоизвошюй компонент вектора по
t
координате
Заметим,что величина является ковариантной (см.(79) ),
и образуем инвариант
который представляет собой линейную комбинацию базисных диад и,
следовательно, является тензором второго ранге. Этот тензор обоз-
начается символом 47Л- и называете? градиентом вектора съ
VO- = V-ZZ K Э*	(84)
Ковариантные производные контравариантных компонент вектора
д/. являются смешанными компонентами тензора .
Вычислим ковариантную производную контраварибнтной компоненты
тензора второго ранга
<1
Проведем вычисления следующим образом
Здесь
(85)
называется ковариантной производно! контравариантных компонент
тензора второго ранга.
Величины V. Ч образуют тензор третьего ранга ( градиент
тензора второго ранга)
О v ‘ t	।	‘
(86)
Из определения ковариантной производной ( ее линейности по ком-
понентам ) ясно,что ковариантная производная от суммы компонент
равна сумме ковариантных производных.
солладаег
Правило ковариантного дифференцирования произведения^ пра-
вилам обычного дифференцирования произведения. В этом легко убе-
диться, используя формулы (83) и (85).
Определим ковариантную производную ковариантной компоненты
вектора.
С^- - Q.
(86)
к
Следовательно,
С учетом (87) «ормула (86) прилет вид
Величины 'b.Q- есть ковариантные компоненты тензора
i </
=	ЭСЭК
О СР	г/	4
Величины V Лк и V. G . как компоненты тензора второго ранга
i «- в
(смешанные и ковариантные) связаны между собою
V-	а--
-*7
Так как aS, то	V v7j
Следовательно, ^дкг=(Э или v (^ - <? > -•©• граа;:еят мет-
рического тензора равен кулю.
Jia основании полученного сформулируем теогему Риччи: при
ковариантном дифференцировании компоненты метрического тензора
можно рассматривать как постоянные величины.
Теорему Риччи можно доказать иначе. Следуя формуле (85),
запишем
X. J	O' Л Л	K ~
Так как в декартовых координатах	; ^4	>
то в этих координатах,а, следовательно, и во всех других
Метрический тензор является примером тензора - константы,
т.к. имеет постоянные компоненты в неиз.« ном декартовом базисе.
Этим же свойством облдает тензор Леви-Чивита.
Заметим,что при параллельном переносе вектора из одной точки
пространства в другую не должны оставаться постоянными его ком-
поненты в базисе криволинейных координат.Условием параллельного
переноса вектора является обращение в ноль ковариантных производны:
его компонент. Это же условие определяет операцию параллельного
переноса тензора.
Операция ковариантного дифференцирования может быть выполнена
длЯ к 1понент/^$ф5г/любого тензора
т- T'Sэеэ^к--
48
При этом тензору Т~ ставится в соответствие градиент этого
тензора
v, rf у • - ? х №)
?jc *	/ * - J  у	J
ранг которого на единицу больае ранга исходного тензора.
Обойная формулы (85) и (88) для ковариантных производных
компонент тензора Т , получим
v. Т
с-
I.. ...
jK...
"Э эс *
+ / .
м t.
/“/г.
Л'
fa')
ЧР 
Изучим свойства символов Кристоффеля. Наряду с символами Кристоф-
феля втброго рода / ., (81) вводят символы Кристоффеля пеового
Г	Э -л
рода /  г, - «разлагая производную	по вектооам взаимного
базиса
? 9zc
С’, нг
>
(so)

il3 соотношения
слегши формулы
(91)
С с j волы Кристоффеля ле являются компонентами какого-либо тензора,
т.к. будучи равными хулю в декартовой системе координат, они отлич-
ны от нуля в криволинейных координатах. Компоненты тензора таким
свойством обладать не могут.
Символы Кристоффеля симметричны: по индексам 4 :: у .
Действительно,
. 2_ /71.) = 2_ /2*.) г 11L ,
поэтому



50
г'	, 2.^2-	/
Л L.	?:r'-	>	(92)
г 1 = 1	.. Пд^; Пд.; 7	(93)
Д J L	J.
Если координаты оротогоналъные, то т.н. ^j = o при i =* j t
из йои.1ул (92) и (93) получки
Получим формулу для суммы
Для этого продифференцируем по У выражение
Г У. = J- DE
(94)
Детзеоенпиальнне операции зектоонях :; тензорных полей
Дифференциальные операция тензорных полей вводятся как ре-
зультат операции тензорной алгебры^полем градиента тензора.
Дивергенция вектора есть первьй инвариант тензор; -градиента
этого вектора
disa- - У, (&О- Ъа‘ vs)
4- QJ Г1	4-
JC %

Меняя в последней слагаемо:: индекс суммирования / ла , получил

Дивергенциейтеизога rJ' незыва тся тензор,полученный в ре-
зультате свертывания по первым двум индексам тензора \7'Т.
Рассмотри:! эту операцию на примере тензора второго ранга
с/с<г / = V- TtJ =
2ггес*
Ротор вектора Л есть ексимальный вектор,соответствующий
антисимметричному тензору J2--52.-.	полученному в
результате альтернирования тензора
. Е7 : Л = £	.
S3
ft.ix-гь вектора равен половине ротора этого вектора

(99)
Спепатор Лапласа (лапласиан) скалярной функции ('л'}х\х*)
есть дивергенция вектора
ду =	= Ъ vuу5 = g'J £ у>	(100)
Здесь введена операция

(101)
поднятия индекса у. ковариантной производно?..
Используя формулу (96), запишем оператор Лапласа в вице
A‘f---L- 2-, /ft ?и ЭД)
'	у <r <f Q>yJ J
Лапласиан вектора Q это дивергенция тензора VQ
Дй = c/ur^)= V- Р‘Я= ^'К£7(7к ojz = (да^. j (ЮЗ)
где	йJ	- лапласиан компоненты вектораД/
Тензор Римана - Кэистоареля
При вычислении частных производных второго и более высокого
порядке непрерывной функции результат не зависит от порядка диф-
ференцирования. Убедимся,что в эвклидовом пространстве результат
лопторного когариантного диффвреицирогания тяк'-о че зависит от
порядка его выполнения.
_ f к
Рассмотри вторую ковариантную производную vj- 14 и
контравариантной компоненты вектора . Вспоминая,что
представляет компоненту тензора второго ранга ковариантную по с
и контравариантную по К , и применяя правило ковариантного
дифференцирования ( 8S ), получим
Нетрудно убедиться,что подчеркнутые слагаемые войдут в выражение
у	' полученное из V 63 х перестановкой ин-
дексов L и j . Поэтому приходим к соотношению
ап ,	ms)
где обозначено
п . . . к	'"'b Г mi	_ г~ * /
KijJ	4-/ ч • (106)
-33-
3 левой части соотношения (105) стоят когдпонелтн тензора третьего
„ W-
ранга, ковариантные по t и j и контравариантные по к . Л -
контравариантные компоненты вектора. Следовательно, величины
являются ковариантными по , j , а контра-
вариантнкг-и по к компонентами тензора четвертого ранта
,	(107)
V
который называется тензором Римана-Кристо^еля.
В эвклидовом пространстве ионно ввести единую для всех его
точек декартову спстецу координат,
в которой все символы Крястоффеля, а вместе с ними и все компоненты
тензора.Римвна-Кристоффеля обращаются в ноль. Свойство тензора
нс мохет быть связано с выборок системы координат, поэтому в эвкли-
довом пространстве тензор Ршинэ-йристоффеля-нулевой тензор} >^.е-
(108)
Из формулы (105) еледует,что в эвклидовом пространстве при
любом выборе криволинейных координат
\7е <4fc =	,	(109)
т.е. результат ковариантного дифференцирования не зависит от по-
рядка переменных.
Вычислим ковариантные компоненты тензора R
Предварительно найдем производные компонент метрического тензора
= эС= f n>KJ
(ио)
Используя ( ЦО ) «преобразуем часть выражения ( Ш )
г *	-f.	I
Л7‘	т ; 'Ъу1
-	( 1 K,r>J Ф	(1	•
Далее с учетом (91) имеем
-&F-
Ппедставляя Г , по	в")
*	Лвл7ь j'j
окончательно получим
R •= -/	____Ъ - -у- ?	).л
г ( 'tx^c-x™ ?xJ*x" "м^х"'	?^, ?xz7/
к>/>; ~	'< k, >ij
Учитывая свойства симметрии метрического тензора и символов
лристоффеля заключаем, что	удовлетворяют соотлоае-
J
ниш
Rijtn/i ^jimn }
Rijmn -Rijnm}
Rijmt -	.
Первые два из этих уравнений вырахают тот йаэтято м ,у/1( п
ант;!с;*>ыметрнчнк по индексам j i: по 'l . Следователь-
но, только схеиутеии: r-se группы последоватслыго располомпигах ин-