ББК 22.161.5 22.162 22.21
Сикорский Ю. С.
Элементы теории эллиптических функций: С приложениями к механике.
Изд. 2-е, испр. — М.: КомКнига, 2006. — 368 с.
ISBN 5-484-00401-2. >
Настоящая книга, написанная известным отечественным математиком,
профессором Ю. С. Сикорским, посвящена эллиптическим функциям. Книга
особенно ценна вычислительной стороной дела: читатель не только знакомится с
теорией, но и полностью овладевает техникой расчетов с помощью эллиптических
функций. Изложенный в доступной форме материал не предполагает у
читателя предварительных знаний по теории функций. Приложения эллиптических
функций иллюстрируются на многочисленных, детально разобранных задачах
из механики. В конце книги даются таблицы для вычисления эллиптических
функций и интегралов.
Книга представляет большой интерес для математиков, механиков,
инженеров, преподавателей механики и математики во втузах. Несмотря на элементарный
характер, она, благодаря разнообразному и интересному материалу и большому
числу задач, может служить также пособием для студентов университетов.
Издательство «КомКнига». 117312, г.Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Подписано к печати 19.12.2005 г. Формат 60x90/16. Тираж 350 экз. Печ. л. 23. Зак. № 378.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД». 117312, г.Москва, пр-т 60-летия Октября, д. ПА, стр. 11.
ISBN 5-484-00401-2
Ю. С. Сикорский, 1936, 2006
КомКнига, 2006
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (095) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 (095) 135-42-46
3291 ID 33913
GJI785484»004010">

ПРЕДИСЛОВИЕ
Выпускаемая книга рассчитана на читателя, интересующегося
эллиптическими функциями преимущественно с точки зрения их приложений. Ввиду
этого в ней развита вычислительная сторона больше, чем это вообще
принято делать в руководствах по эллиптическим функциям.
Содержание книги разбито на восемь глав, образующих как бы три
концентра сведений из теории эллиптических функций. Именно, главы
I и II образуют первый концентр, содержа определения, основные
свойства, способы вычисления и простейшие приложения эллиптических
функций Якоби-Абеля. При этом от читателя не требуется знакомства с
теорией аналитических функций, элементы которой, необходимые для
дальнейшего изложения, даются в главе III, составляющей вместе с главами
IV, V, VI и VII второй концентр сведений. Здесь читатель знакомится
с функциями р и, £ и и в и Вейерштрасса, с теорией тэта-функций и их
приложениями к вычислению значений эллиптических функций, с общими
эллиптическими интегралами и с приложениями вейерштрассовых
функций к различным задачам механики. Наконец, содержащийся в главе VIII
общий очерк теории эллиптических функций, на основе теории
аналитических функций образует третий концентр. Следует отметить, что в
предыдущих главах эллиптические функции определяются как функции,
обратные эллиптическим интегралам.
Имея прикладной характер, книга в то же время содержит
теоретический материал, усвоение которого может быть полезным для
первоначального знакомства с учением об эллиптических функциях.
Напечатанные в конце книги таблицы должны в значительной мере
облегчить практическое применение эллиптических функций и интегралов.
Ю. С. Сикорсний

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие % 4 3
Глава 7, Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 1. Задача о колебаниях маятника 9
§ 2. Эллиптические интегралы первого рода . 12
§ 3. Дуга эллипса и эллиптические интегралы второго и третьего
рода .■...., —
§ 4. Преобразование эллиптических интегралов к новым
переменным. Высшие трансцендентные . • 14
§ 5. Функции sn, сп и dn 15
§ 6. Периодичность функций Якоби. Четность и нечетность.
Формулы t приведения 16
§ 7. Вторая группа формул <приведения» 19
§ 8. Производные от функции Якоби, Диференцнальные
уравнения функций Якоби 20
§ 9. Некоторые приложения 22
§ 10. Выражение угла отклонения маятника, его угловой скорости
и координат центра качания через эллиптические функции 24
§ It. Случаи вырождения эллиптических функций 25
§ 12. Графики функций sn и, спи и dn ci 26
§ 13. Приближенное вычисление периода колебаний маятника . . 27
§ 14. Преобразование Ландена 28
§ 15. Вычисление амплитуд 31
§ 16. Приведение формулы (26) к логарифмическому виду .... —
§ 17. Пример •.....■ 32
§ 18. Об одном свойстве интегралов первого и второго рода . . 34
«
Т
--?====s=te=s: , . 35
]/ 1 — A*$ln»«p
§ 20. Преобразование Ландена (продолжение) 37
§ 21. Таблицы эллиптических интегралов и их применение
(табл, 1) 39
§ 22. Интерполяционная формула 40
§ 23. Таблицы 2 и 3 41
§ 24. Эллиптические интегралы с модулем, большим единицы . . 42
§ 25. Формула сложения для функции sn 43
§ 26. Формулы сложения для функций си и dn. Формулы
вычитания • 46
§ 27. Формулы умножения и деления аргумента на 2 47
§ 28. Функции sn, сп и dn от чисто мнимого аргумента 48
§ 29. Функции sn, сп и dn от комплексного аргумента * 51
§ 30. Теорема сложения в общем виде. Формулы «приведения» . 53
§ 31. Двоякопериодичиость якобиевых функций . . . Г6
§ 32. Параллелограм периодов. Конгруэнтные точки » . 57
§ 33. Нули и полюсы якобиевых функций .......... . 59

Оглавление
5
Стр,
§ 34. Поведение якобиевых функций иа сторонах и средних линиях
параллелограма периодов 61
§ 35. Вычисление значений функций snu, спи и dnu 62
| 36. Вычисление и, когда даны sou и модуль к 64
§ 37. Вычисление и, когдт даны сп и или dn и и модуль к . , . . 66
Упражнения • _
Глава II. Приложения эллиптических функций и интегралов
38. Задача о продольном изгибе f 69
39. Определение критической сжимающей силы 72
40. Численный пример 73
41. Движение шатуна паровой машины 75
42. Центроиды шатуна . 78
43. Относительное движение стержня в трубке, движущейся в
горизонтальной плоскости 80
§ 44. Форма вращающейся нити, прикрепленной к оси вращения
двумя концами 83
§ 45. Случай, когда точки прикрепления нити лежат не иа оси
вращения , „ . 87
Глава III. Краткие сведения из теории функций комплексного
переменного
§ 46. Предварительные сведения. Бесконечно удаленная точка.
Сфера Римаиа , , 89
§ 47. Окрестность трчки. Область 91
§ 48. Пределы. Функции. Геометрическое научение их.
Непрерывные .функции , 93
§ 49. Производная функции комплексного переменного. Уравнения
Кошн-Римаиа , 4 95
§ 50. Интеграл от функции комплексного переменного 97
§ 51. Теорема Кощи , 99
§ 52. Интеграл н первообразная функция ', 1QI
| 53. Формула Кошц 103
| 54. Производные высших порядков от аналитической функции 104
§ 55. Ряды с комплексными членами 105
§ 56. Функции е\ sin г и cos г 109
| 57. Ряд Тейлора \\\
§ 58. Ряд Лорана • • . # ИЗ
| 59. Нули и полюсы. Существенно особые точки 115
| 60. Теорема о вычетах 117
§ 61. Теорема о разности между числом нулей аналитической
функции и числом ее полюсов 119
§ 62. Теорема о разности между суммой нулей аналитической
функции и суммой ее полюсов 120
| 63. Целые функции. Теорема Лиувилля, Мероморфные функции -*-
§ 64. Эллиптические функции Якоби . . , , , 121
§ 65. Особые Точки якобиевых функций * 124
§ 66. Разложение якобиевых функций в ряды Тейлора и Лораиа 126
§ 67. Многозначные функции. Точки разветвления 128
г
/dx
--—ц» 131
У1—г3
о
г
/И*
■"■ ■ -■■ ~ iqq
уМ(г-а){г — Ъ){г — с)(г — й) 15И

о Оглавление
Стр.
Глава IV. Функции Веиерштрасса.
§ 70. Эллиптические функции. Теория Веиерштрасса 138
§ 71. Эллиптический интеграл в нормальной форме
Веиерштрасса, Функция фи Веиерштрасса 139
§ 72. Дискриминант b—gtf — Tlg£ и корни elt е2 и е9 143
§ 73. Выражение вейерштрассовой функции фи через якобиевы 144
§ 74. Случай, когда Д < 0 146
§ 76. Случай, когда Д=»0 147
| 76. Формула однородности функции фг и одно ее применение 149
§ 77. Периоды функции фи в случае, когда Д>0 ....... . 150
§ 78. Периоды функции фи в случае, когда Д<0 ,..-.. . 151
§ 79. Примеры вычисления периодов 154
§ 80. Вычисление значений функции фи 156
| 81. Формула сложения для функции фи. . . 161
| 82. Функция ф от комплексного аргумента 164
§ 83. Зависимость между корнями eh е2 и еа и полупериодами . —
§ 84. Результат прибавления полупериода к независимой пере-
меиной функции фи 165
§ 85. График функции фи и ее первая производная 168
§ 86. Поведение функции ф и в комплексной глоскости.... 170
§ 87. Вычисление аргумента а, когда дано Р№ ?» 4аХ 173
f 88. Примеры 176
§ 89. Производные высших порядков функции фи 177
§ 90. Формулы удвоения аргумента функции фи 178
§ 91. Разложение функции фи в ряд Лорана —
§ 92. Функции Си и аа 181
§ 93. Формула сложения для функции С 182
| 94. Формула сложения для функции <г 183
§ 95. Формула однородности функций он и Си —
§ 96. Результат прибавления периода к независимой переменной и
функций Си и си 184
§ 97. Соотношение между"полулериодями и постоянными ijjH^, 185
§ 98. Кофуикции аги, о2и и ави. Их нули и нули функции аи . . 186
| 99. График функции Си • . 188
§ 100. Вычисление значений функции Си • . . • • 189
Упражнения « 192
Глава V. Тэта-функции
§101. Разложение функций в бесконечные произведения 195
§ 102. Тэта-функции . . . . • 197
§103. Выражения эллиптических функций через тэта-функции . . 201
§ 104. Ранине обозначения Якоби для тэта-функций . 207
§ 105. Разложение тэта-функций в ряды Фурье 210
| 106. Вычисление величины <?..... 213
§ 107. Вычисление значений тэта-функций 215
§108. Вычисление значений функций sn «, en и и dn и 217
§ 109. Выражения значений В{0) и в {К) в конечном виде .... 218
§ ПО. Вычисление полного интеграла К 219
§111. Вычисление эллиптических интегралов первого рода, когда
даны амплитуда ? и модуль к • 220
§ 112. Обратная задача 222
§ 113. О некоторых свойствах тэта-функций • . . 223
§ 114. Выражение нормального эллиптического интеграла второго
^ода через тэта-функцию 226
вычисление эллиптических интегралов второго рода • • • 228
§116. Выражение нормального эллиптического интеграла третьего
рода через тэта-функцию . . , • \ t « . t • • 231

Оглавление 7
Стр.
§ 117. Соотношения между функциями он, Си и фи и функциями Я
ив Якоби 232
§ 118. Вычисление постоянных щ и т)8 • 236
§ 119. Примеры вычисления значений вейерштрассовых функций
в случае, когда дискриминант Д > 0 237
§ 120. Вычисление значений функции фи в случае, когда
дискриминант Д < 0 239
§ 121. Вычисление значений функций Си и си при Д<0.
Вычисление постоянных тд и rpt . . 243
§ 122. Решения уравнения $>и = а . . . 246
Упражнения 249
Глава VI. Эллиптические интегралы в общем виде
| 123. Общий вид эллиптического интеграла. Его преобразование 251
| 124. Приведение эллиптических интегралов к нормальной форме 255
| 125. Интегрирование посредством эллиптических функций Якоба 258
| 126. Интегрирование посредством функций Вейерштрасса . . . 260
§ 127. Ишегрироваиие функций, рациональных относительно фи. 262
§ 128. Случаи функции, рациональной относительно фи иф'и . . 264
Упражнения 265
Глава VII. Дальнейшие примеры приложений эллиптических
функций к задачам механики
§ 129. Приложение фуижции Вейерштрасса к изучению колебаний
маятника 267
§ 130. Сферический маятник . • 269
| 131. Исследование вида траектории . 271
| 132. Вычисление координаты г и угла ? 273
§ 133. Вращение волчка. Предварительные сведения из механики 276
§ 134. Дифереициальиыс уравнения движения тела вращения,
подвешенного в одной из точек своей оси, и их первые
интегралы 278
§ 135. Вычисление эйлеровых у£Лов 0, ф и ? 2£0
§ 136. Движение регулятора Уатта 283
§ 137. Притяжение точки однородным эллипсоидом 285
§ 138. Прямолинейное движение точки под влиянием
отталкивающего центра 286
§ 139. Движение точки по гладкой прямой вследствие действия
постоянной притягивающей силы . . . 288
§ 140. Движение тяжелой точки по параболе с вертикальной осью 291
§ 141. Движение точки в среде, сопротивление которой
пропорционально кубу скорости ' 293
§ 142. Исчисление времени. Разложение выражений для у at в ряды 297
Глава VIII. Эллиптические функции в общем случае
| 143. Общее определение эллиптической функции 299
§ 144. Теоремы о числе полюсов эллиптической функции 300
§ 145. Теорема о разности между суммой нулей и суммой полюсов
эллиптической функции 302
§ 146. Соотношения между двумя эллиптическими функциями . . 303
I 147. Теорема сложения для функций sn и, сп и и dn и 304
§ 148. Выражение функции фи при помощи ее периодов . . . • . 306
§ 149. Выражения функций Си н ои при помощи периодов . . . . 307
£ 160. Новое определение функций фи, Си н си 308

8
Оглавление
Стр.
§ 151. Аналитическое выражение эллиптической функции в общем
случае , 310
§ 152. Второй способ аналитического выражения эллиптической
функции . , , 313
Сводка наиболее важных формул » 314
Приложения (таблицы)
Таблица 1. Эллиптические интегралы первого рода .... • . ♦ 322
Таблица 2. Эллиптические иигегралы второго, рода • 352
Таблица 3. Полные эллиптические интегралы первого и второго рода 360
Таблица 4. Логарифмы q 362

ГЛАВА I
НОРМАЛЬНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
ЯКОБИ
§ 1. Задача о колебаниях маятника
Представим себе, что маятник ОР совершает колебания около
горизонтальной оси, которую надо представить себе проходящей через точку О
(фиг. 1) и перпендикулярной к плоскости колебаний маятника.
Приняв точку О за начало
координат, направим ось ОХ гори"*
зонтально, а О К вертикально вниз.
Время t будем отсчитывать от трго
момента £ = 0, когда маятник,
колеблясь, занимает вертикальное
положение ОРц, Пусть OPt есть то
положение маятника, при котором
скорость его становится равной
нулю. Угол Р0ОР1 обозначим
буквою а, а угол Р0 ОР — буквою 8;
ОР есть некоторое положение
маятника, занимаемое им в момент t.
Масса маятника пусть будет М\
расстояние от точки привесаО
до центра тяжести С (-равно А.
Момент инерции маятника
относительно оси, проходящей через
точку С и параллельной оси
вращения, равен Mr3, где г — радиус инерции относительно этой оси. При
этих обозначениях момент инерции относительно оси вращения
выразится через лл/ а . ,2ч
Диференциальное уравнение колебаний маятника представится в виде:
Фиг. 1
с*Ъ
- М[? + А2) ш=м& sin 6,
rfse
причем — есть угловое ускорение, a Mgh sin 8 — момент силы
тяжести относительно оси вращения. После сокращений получим:

10 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
С—*s,n9. а)
же /-jf + A.
Продлив прямую ОС, отложим на ней отрезок СР = ^. Найденная
таким образом точка Р называется центром качания маятника, а длина
— приведенною его длиною.
Точка Р обладает весьма замечательным- свойством. Чтобы его
обнаружить представим себе, что маятник опрокинут и подвешен к оси
вращения в точке Р. Вычислим приведенную длину вновь полученного
маятника. Эта длина
d-£+CP-A+?.
т. е. /x = /.
Таким образом выходит, что если маятник подвесить за центр
качания, то прежняя точка привеса станет центром качания. Точка привеса
в центр качания — сопряженные точки.
Переходя к интегрированию, помножим левую часть уравнения (1) на
-rrdt, а правую на db и, заметив, что
получим:
Ч
откуда, интегрируя, найдем:
'6г),-2*с08в+г'
где Г—произвольная постоянная интегрирования.
Эту постоянную можно определить, если заметить, что в тот момент,
//А
когда угловая скорость -^ «* 0, угол в = а.
Ьвиду этого
О » 2g cos а 4- Г,
Следовательно:
/(~)8«2£(cos6-cosa)
(^)J=4^(sin^^sin^),
£~:fc2*/sin'f-sin>J-. (2)
ки
где Л3 = |«
Отсюда:

Задача о колебании маятника
И
Так как при перемещении маятника из положения ОР0 в положение ОРг
угол 8 с течением времени возрастает, то ;п-.>0 и
,_i f 'j
J I/em» у —sin* у
о
Выполняя под знаком интеграла замену переменного, положим, что
sin
В таком случае:
(т) = $1п jrsincP* (3)
q sin у«cos <р • dy
у
nt~ f «
sin* к- sin*?
sin2 у
0
Полагая siny = £, будем иметь:
о
Если время перемещения маятника от положения ОР0 до ОР, обозна-
Г
чим через ~, то соответствующие этим положениям значения угла О
будут 0 и а, а угла <р будут 0 и ~. Поэтому
п
Т
L — JL Г d*
4 ~~ nJ Yx-k%i
• sin2 ?
о
Нетрудно видеть из выражения (2), что угловая скорость ^ станет
равной нулю в тот момент, когда маятник займет положение ОР2,
симметричное относительно оси OYс положением ОРг. Промежутки времени,
в течение которых точка Р проходит дуги Р^Рг и Р0Р2, равны между
собою.
Периодом колебания обыкновенно называют время, в течение
которого маятник из положения ОРф придет в положение OPt и затем
в ОР2и, наконец, вернется в ОРь. Очевидно этот период
,1 Г d*
nJ yi-tfslnV

12 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 2. Эллиптические интегралы первого рода
Мы видели, что время колебания маятника выражается через интеграл:
--*■■-- да
/
который, по предложению Лежандра, называют эллиптическим интегралом
первого рода и обозначают через FQf,k), или иногда короче FQf).
В частном случае, когда верхний предел у = ~, мы имеем так
называемый полный эллиптический интеграл первого рода:
rfy
о
обозначаемый обыкновенно буквою К, а иногда и К (ft)* При таком
обозначении период колебания маятника можно представить так:
Т-АКУ1.
Верхний предел <р называют амплитудою интеграла, а число k его
модулем. В дальнейшем мы будем предполагать, если не будет
оговорено противоположное, что 0<й<1. Поэтому можно будет положить,
что & = sin8. Угол 6 называют модулярным углом (l'angle modulaire)»
Келая подчеркнуть зависимость интеграла первого рода от модулярного
угла, иногда вводят обозначение:
F(9).
Наряду с интегралом (5) часто приходится рассматривать интеграл:
/-*-
J^l-ft'isli.»?'
(6)
модуль которого k' определяется из равенства:
называется дополнительным для модуля k.
§ 3. Дуга эллипса и эллиптические интегралы второго и
третьего рода
Пусть дан эллипс, полуоси которого равны а и Ь\ его параметриче-
ские уравнения

Дуга эллипса и глиптические интегралы второго и третьего рода 13
Диференциал его дуги:
ds = j/ (dxf -f <4у? = a j/1 — A' sin2 <р tfy,
где k = - есть эксцентриситет эллипса.
Дуга эллипса выразится через
5 = a f ]/l — A2 sin2 ср <fy.
Интеграл
|/ Г— A2 sin2 ? d<p,
согласно терминологии Лежандра, называется эллиптическим интегралом
второго рода и обозначается через E(y,k), или короче £"(9)- В случае,
когда верхний предел ср = -*-, имеем полный эллиптический интеграл
второго рода:
/
|/1 ^— A2 sin2 ср с/ср,
который мы будем обозначать буквою Е или E(fy).
Интеграл с дополнительным модулем будет:
1
/Vl—A'^in2^,
причем A2-f А'2=1.
Кроме интегралов первого и второго рода приходится рассматривать
эллиптические интегралы третьего рэда:
<Р
/
(l-+-n3ln*f)Kl-*28in8 ?'
обозначаемые через П(ср, л, А).
Относительно параметра л будем считать, что
«50; л ^ —-1 и п ^ — А2.
Модуль А, как и раньше, будем считать ббльшим нуля и меньшим
единицы.
В начале этого параграфа мы привели задачу о нахождении дуги
эллипса. Мы видем, что дуга эллипса выражается помощью
эллиптического интеграла второго рода. Заметим, что именно этому обстоятельству
эллиптические интегралы и обязаны своим названием.

14 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 4. Преобразование эллиптических интегралов к новым
переменным. Высшие трансцендентные
Если положим, что sin ср = х, то интеграл первого рода, представится
в виде:
h
dX (7)
Yi\-X*)(\-k*X*)
О
Для интеграла второго рода будем иметь:
о о
в Г dx & С x%dx
J V(\ -jfl)(l -»jfi) J /(l -*■>(!
dx
Отсюда мы видим, что кроме (7), типичной для эллиптических
интегралов является форма:
х
x*dx
I
о
Что касается интеграла третьего рода, то его можно представить так:
dx
h
(1 + Л**) У11 - **) (1 - Л»**)
О
Здесь мы сделаем одно общее замечание об интегрировании функций.
Если предложено интегрировать функцию f(x), то только лишь
в редких случаях интеграл
ff(x)dx (8)
может быть выражен посредством известных из алгебры и тригонометрии
функций. Случаи эти хорошо изучены и излагаются в курсах
интегрального исчисления. Задача интегрального исчисления, понятая в том смысле,
чтобы результат интегрирования был представлен элементарными
функциями, была бы сравнительно весьма узкой.
При произвольном виде функции f(x) интеграл (8), вообще говоря,
не берется в конечном виде (не выражается при помощи конечного
числа элементарных функций) и представляет новую функцию от X.
Гаким образом интегральное исчисление является богатейшим источником
происхождения новых функций.
Целесообразно ли, однако, введение этих функций? Этот вопрос
решается, исходя из соображений об их практической пригодности и
простоты их свойств. Рассмотренные нами выше эллиптические интегралы
в происходящие от них эллиптические функции, о которых будет речь

Функции en, СП и dn
15
впереди, представляют собою простейшие примеры новых функций, или
так называемых высших трансцендентных. Простота их свойств, наряду
с теми обширными применениями, которые онн нашлн себе в различных
отделах механики, физики, математики и прикладных наук, послужила
поводом к созданию теории эллиптических функций.
Мы видели, что вопрос о времени колебания маятника привелся
к эллиптическому интегралу первого рода, а о вычислении дуги эллипса —
к интегралу второго рода. Мы в дальнейшем укажем на целый ряд
вопросов, приводимых к эллиптическим интегралам и эллиптическим
функциям. Лежандр, немало потрудившийся над изучением свойств этих
интегралов, составил особые таблицы, напечатанные в его руководстве:
«Traitfe des fonctions elliptiques», т. II, и перепечатанные впоследствии
многими другими авторами. В этих таблицах содержатся численные
значения эллиптических интегралов первого и второго рода, найденные для
различных значений модуля k и амплитуды ср 1).
Мы перечислили три рода эллиптических интегралов. Кроме
приложений к конкретным задачам, они привлекают наше внимание еще и
потому, что через них, как об этом будет речь в главе VI, может быть
выражен всякий интеграл
ff{x;YR)dx,
где R есть многочлен вида:
ах*-}-Ьхь-{-сх* + (1х~\~е,
либо вида:
ах1 + Ьх% + ex *\- d%
а/есть рациональная функция как относительно х% так и относительно i//?,
5 5. Функции 5П, СП и dn
Рассматривая интеграл
*-/writer' (0<л<1)
как функцию <р, мы видим, что эта функция определена для любого
вещественного <f. Более того, она непрерывна при любом у и имеет
конечную и отличную от нуля производную:
1
Так как последняя всегда положительна, то и возрастает с
возрастанием 9» причем, как нетрудно видеть, и возрастает от — оо до + °°>
когда <р изменяется от —оо до -f-00- В самом деле, подинтегральное
выражение всегда больше или равно единице и, следовательно, |а|^»|ср|.
*) Таблицы эллиптических интегралов читатель может найти в конце
настоящего руководства.

16 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
Отсюда следует, что и <р также является однозначной функцией от
щ определенной для любого и, непрерывной и имеющей конечную
производную:
Для этой функции — амплитуды интеграла и—Якоби ввел обозначение
<р = ат(и, ft)
или короче:
9 = am и,
а для функций от и\
sin ср = sin (am и) и cos ср = cos (am и),
являющихся также однозначными, непрерывными и диференцируемымй
функциями и, обозначения:
sin (am и) = sin am и, cos (am и) = cos am и.
Якоби также рассматривал как функцию и положительное значение
квадратного корня fl — ft2 sin2 <р и обозначал ее через A am и:
V\ — ft2sin*cp = \f\ —ft* (sin am u)% = Д am u.
Эти функции: sin am u, cos am и и Дат и, называются эллиптическими
функциями Якоби и, по предложению Гудермана, обозначаются короче
следующим образом:
sinamtt = sntt; cos am и = спи; Дати = <1пи.
Последние обозначения общеприняты в настоящее время. Читаются
они обычно так: «эс эн у», «це эн у», сдэ эн у»«
Функции Якоби, в силу самого их определения, связаны между собой
простыми алгебраическими соотношениями:
sin2 и + сп* и == 1, \ (0Л
йп*и + кЧп2и=\. J W
Вследствие этого каждые две из них могут быть алгебраически
выражены через третью. Например:
СПИа/ 1 — sn*tf,
dn«==i/l — ft2sn*w. v
§ 6. Периодичность функций Якоби. Четность и нечетность.
Формулы «приведения»
Покажем здесь, что snи, спи и dnи —-периодические функции, причем
sna и спи имеют период 4/С, a dntt — период 2/С, где

Периодичность функций Якоби. Четн. и нечетн. Формулы «приведения» 17
Иными словами, мы покажем, что каково бы ни было и, всегда:
sn(tt + 4/0==sn« ^
сп(н + 4/0==спн, (Ю)
dn(u + 2K)~dnu. )
Для этого достаточно будет доказать, что увеличение и на 2К
вызывает увеличение <р на 7г, т. е., что
am (и-|-2/0 s23 am и + я. (И)
Действительно, если мы установим это, то будем иметь:
sn(tt + 4/C)=sin[am(tt + 4/0] = sin[am(tt + 2/0 + ^]~
= sin (am и -}- 2тг) = sin (am и) = sn и,
en (и + 4К) = cos [am {и + 4АГ)] = cos [am (и + 2/0 + *] =
= cos (am и -|- 2тг) = cos (am и) = en и,
dn (и + 2/0= /1—A;4inHam(tt + 2/C)] = /l~-A;asina(amtt + 7T)===
= |/1 — /j2 sin2 (am и) = dn и,
т. е. формулы (10).
Но в справедливости формулы (11) можно убедиться следующим
образом.
Записывая сначала 2/С в виде:
2/С« Г dt -Ь Г dtl
о о '
полагаем во втором интеграле ^ = 16 — £ Получаем:
Т те ТС
2/^== Г dt 4* Г dt Г ~
J vT=jFsin2 * •/ y/l—&dto*tmaJ V\-k4№'
0 _re 0 Y
2
Если теперь в равенстве
и + 2К= f-т-^ + Г , dt
о о r
положить в первом интеграле: tx~t — тг, то найдем:
«+2/с= Г di + Г dt ■=/% ~
sin* ? ''
Таким образом увеличение интеграла на 2/С вызывает увеличение
амплитуды нате, откуда и следует равенство (11), а вслед за ним и
равенства (10), выражающие периодичность функций Якоби.

18 Нормальные эллиптические интегралы и функции ЯкобиТ
Из равенства (И), кроме того, непосредственно следуют формулы:
sn(«-f- 2K)= — $nut)
en (и + 2/0— -спи. J (12)
6 самом деле, например:
sn(H-f-2/():=sin [am (и -\- 2К)] = sin (ати+«)= — sin (am и) = —sn и.
Можно, наконец, получить и еще несколько следствий из формулы (11),
установив сначала важный сам по себе факт нечетности snu и четности
сп и и dn и. Действительно, полагая в подинтегральном выражении, в правой
части равенства:
/dt
—,
Aasm2t
t= — tlt получаем:
откуда
— 9
dt_
]/l—A*Sitt**
(13)
am (— и)в-ати,
т. e. am к есть нечетная функции и. Но тогда, в согласии с нашими
утверждениями:
sn (— и) = sin [am (— и)} = sin (— am и) = — sin am и = — sn и,
сп (—- и) = сп и,
dn (— и) = dn и.
Из формул (12), (10) и (13) вытекают следующие формулы:
sn(/C—tt) = -~sn( — /С— U) = sn(K+u)9 ]
СП(/С~И)=:-СП(/С+И), (14)
dn(/C — «) = dn(/C+«). J
sn(2A —и) = —sn(2/f+")t cn(2ff— «) = сп(2АГ + и),
dn (2/C- и) = dn (2K+ Щ- (16)
Очевидно, формулы (10), (12), (13), (14) и (1Б) аналогичны формулам
«приведения> элементарной тригонометрии.
Полезно еще заметить некоторые частные значения якобиевых функций.
Так, из того, что
о= Л. *
«/ ]Л — ft*eln»f
1С
т
#= г *Р

Вторая группа формул «приведения»
19
следует:
и поэтому:
am 0 = 0, am = /С-~,
sn 0 = sin (am 0) = 0,
cn0 = cos (am 0)= 1,
dnO- /1 — /52sina(amO)=l,
sn/C=sin(am/0= 1»
en К = cos (am /0 = 0,
dn tf= /l—/s2sin2(am /C)=j/l —£2 = *'.
Пользуясь формулами (12) и (10), мы теперь можем утверждать, что
sn2tf= 0, сп 2Л«—1, dn2/C=l,
sn3/C=—l, спЗ/С= 0, dn3tf=/5'
и вообще:
sn4/i/C=0, sn(4n-t-l)/f=lf sn(4* + 2)/if—0. 8п(4и + 3)Л = —1,
cn4/t/C=l, сп(4гс+1)К=0, Сп(4л + 2)ЛГ~~ 1, сп(4л + 3)Л: = 0,
dn2/t/C=l, dn(2/i + l)/C = A',
где л — целое число или нуль.
§ 7. Вторая группа формул «приведения»
Теперь мы выведем формулы, аналогичные тем, которые связывают
тригонометрические функции дуги £±а и дуги а, В интеграле
положим:
В таком случае;
(16)
(17)
!/1 —/5ав1паф = ■■ * ■ ■ . (18)
Т Т v/(l —Л281П»<р)» '
где £'2 = 1—Л2. Вследствие этого

20 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби"
Но при ^ = 0 имеем: <^=:к- Поэтому
У1 — Д» sJn2 ф J
rfcp
/<*У
\/l — /г2
rfy
У1 — Л2 sin2 <р ,/ Vl — *а sin2 У
или
2 ср
(rfc? р rfcp
1Л - WiWy ~•/ /r^n^a'sin^ '
о г о
ф
Г *♦ —К-и
J У"! - Л2 Sln2 ф ~ '
где am и = ср.
Отсюда видно, что
ф = am (Л — и).
Заменив в (16), (17) и (18) ф и ср их значениями, придем к
соотношениям:
спи
/г/ ч /г' sn и,
«(*-«)== Tie'
(19)
Заменив в равенствах (19) и на — и, пользуясь тем, что функция su
нечетна, а сп и dn — четные (см. § 6), находим:
sn(/C+a) =
сп (К+и) =
dnu *
k' sn u
dnu
dn(/C+tt) =
dnu
(20)
§ 8. Производные от функций Якоби. Диференциальные
уравнения функций Якоби
В § 5 было указано, что
du
-jL^l—tfsin1?.
Но
Поэтому
|/1 —A2 sin2 ср = dntt.
-*Р- = do «.
du

Производные от функций Якоби. Дифереиц. урави. функций Якоби 21
Исходя из этого, без труда получаем:
d sn и d sin ф dcp . ,
sr—-*г '■■"*= cos *'dn и =cn" *dn "•
den и d cos ф ЙФ , j j
(21)
d dn и d V1 — A2 «In2 ч d<t .* , 1.2
rfcp
При помощи формул (9) § 5 правые части формул (21) могут быть
выражены, соответственно, через sn«, спи и dnw. Именно:
v/(l — sn2«) (1— A2sn2tf),
rfsnu
d dn u
1
</и
f= -у/(1 —dn2**) (dn1»-*'1),
(22)
где A'2=l—A2—дополнительный для k модуль (см. § 2).
Каждое из уравнений (22) является диференциальным уравнением
первого порядка относительно соответствующей функции Якоби.
Знаки, стоящие перед радикалами, относятся лишь к значениям к,
близким к нулю (они годятся до ближайшего к и» 0 нуля производной),,
и вообще должны ставиться в соответствии со знаками правых частей
формул (21), которые (знаки), очевидно, различны при разных и. С учетом
этой оговорки уравнения (22) могут быть переписаны в виде:
«=/
dt
V{i ~ &) (l - нщ •
J \/(l— t2){k'
*+кЩ '
dn и
U~ f, ■- .*
(23)
т. е. каждая из эллиптических функций Якоби появляется при обращении
соответствующего эллиптического интеграла первого рода.
При этом под обращением интеграла вообще понимается рассмотрение
предела интеграла как функции от величины интеграла.
Заметим, что лишь первый из интегралов (23) непосредственно пред-
ставлен в нормальном виде интеграла первого рода (см. § 4). Остальные
два могут быть приведены к нормальному виду посредством простых
подстановок, на которых мы здесь не останавливаемся.

22 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби!
§ 9. Некоторые приложения
В этом параграфе мы покажем, каким образом при помощи формул
приведения задача обращения эллиптического интеграла может быть решена
более сложных случаях.
Пример 1. Обратить интеграл
Z
/<tz
о
Переписав наше выражение в виде:
Z
<tz
+ 2*9)
мы переменную z заменим на х помощью подстановки z = )/1 — х2.
Легкие вычисления приведут нас к равенству:
1
/7Г"
ИЛИ
X
dx
\
--K—u ft.
)тсюда следует, что
*=sn(/e—ttj/3),
или, в силу первой из формул (19):
__ сп {и у 3)
~~~ dn(«\/3) '
= /dn2 (ц у/Т) — сп» (и \/ 3)
"" dn(«V"3)
Ио так как
&пЦи\/3)~\--~$п*(и\/3) и са2(« |/3)=1 —sn2(«/3),
V"3 ' dn(H\/3)'
i задача обращения разрешена.

Некоторые приложения
23
Пример 2. В виде более сложного примера обратим еще интеграл:
Z
dz
e=5S Г d*
J V(z*4-z+l)
(Ъг2 + г+\)
О
Прежде всего упростим наш интеграл. Введем вместо переменной z новую
Е при помощи соотношения:
в котором коэфициенты аир выберем так, чтобы после преобразования
находящийся под знаком корня многочлен не содержал нечетных степеней
переменной. Применяемая нами подстановка имеет весьма важное значение
в интегральном исчислении и о ней еще будет речь в главе VI. Произведя
действия, мы увидим, что
(5 + 1)* т
z ^""г1 ({ + i)i >
Г Г ft+D2
Выберем числа аир так, чтобы пропали в числителях дробей первые
степени 5. Это случится, если:
гар + а + Р + Э — О,
бар 4-* -Ь Р -Ь 2 === О,
откуда
а~0, р = — 2
и, следовательно,
г_ L.
Вместе с тем:
(5 + 1)а •
Вследствие чего:
• «= Г 2*
J 1/-Кз+з)(р+Ц)-
Здесь удобно положить
^ = —г/з" • tgcp.
Это дает:
8
у Sin2 <р

24 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
или
откуда
~- sin*? УП J у i--y sln<<p
d? = /f «Уп
]/ 1 - -jy- sin» <p
Поэтому u yU
«£n\
СП
dn-g—
«УГ1
sin у '" cn
\/l —sinSc. V- 3 «/И
sn —y-
о gV"
_ 2 __ 2sn~2~
K &T У 11 -СП—7j ~Sn^
§ 10. Выражение угла отклонения маятника, его угловой
скорости и координат центра качания через эллиптические функции
В виде приложения эллиптических функций покажем, каким образом
при их помощи могут быть выражены угол отклонения маятника от
положения равновесия, его угловая скорость и координаты центра качания.
В § 1 для половины угла в мы имели формулы (3):
sin -к- •« sin -н- • sin <р « k • sin <p.
Но из формулы (4) того же параграфа следует, что
Следовательно,
Если еще заметим, что
em 4=*•«(<• j/Ч-) ■
cos4 = J/l-A'sn» (У+) = <1»(*у/»,
то для целого угла 6 будем иметь:
sin8 = 2*sn(*j/£-J.dn (*}/-f).

Случаи вырождения эллиптических функций
25
Если координаты центра качания Р обозначим буквами х и j/, то на
основании фиг. 1 будем иметь:
х = 1 • sin ee=2ft/sn(*|/"^) • dn (ty-f-}%
j, = /. cos6=/(l~2sin2^) = /[l--2£2sn2 (/j/x)J.
Выразим еще в эллиптических функциях угловую скорость маятника.
Воспользуемся для этого равенством (§ 1):
dt
= 2л j/sin24-— sin2 4,
из которого нетрудно получить, что угловая скорость
§ 11. Случаи вырождения эллиптических функций
Если модуль & = 0 или 1, то эллиптические функции вырождаются в
тригонометрические или в гиперболические (показательные).
Действительно, в первом случае при /5 = 0 мы имеем:
X
■=/■
dx
V
откуда tt = arcsinA;> т. е. x — sinu.
Следовательно, в этом случае
sn и = sin и; сп и = cos и; dn и = 1.
Во втором случае, когда k = l,
или
и= In
т. е.
Г 1-х'
1-Х «8"+1 —е«^е-«*
Но выражение —- есть гиперболический тангенс; поэтому
еи+е ~~и
СПП=: N/r^lh^F^ ТА"2 "~ ** » = 1 ,
Г ch?« спи

26 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
Точно так же и dn «=-jjj—. Мы видим, таким образом, что
тригонометрические и гиперболические функции представляют лишь весьма
частные случаи эллиптических.
§ 12. Графики функций snn en» и una
Для того чтобы построить график функции A: = sn и, заметим сначала,
что это функция периодическая, с периодом 4/С Поэтому достаточно
построить график для промежутка 0^и^4К, чтобы затем путем
смешении его в направлении оси и на величины, кратные 4/С, получить весь
график функции.
Далее, согласно первой из
формул (15):
sn(2A:— H) = ~sn(2A:+H),
т. е. график симметричен
относительно точки (2К, 0) и достаточно
построить его часть для промежутка
0^и^2/С, чтобы затем, для
промежутка 2К^и*^4К, взять кривую,
симметричную построенной
относительно точки (2/С, 0).
Наконец, согласно первой из
формул (14):
sn(/C— и) = $п(К+и),
т. е. график симметричен
относительно прямой: и == К, почему
достаточно ограничиться построением его
части для промежутка:
фиг. 2 0<и</С
В этом промежутке первая производная
dnu
du
Хсм. первую из формул (21)] положительна, т. е. х растет вместе с и
от sn0=0 до snAT= 1. Вследствие указанного свойства симметрии
графика относительно прямой и = /С, при и =/(, sn и имеет максимум.
Заметим, что вид графика sn и зависит от величины модуля k. При
k = 0, sn и вырождается в тригонометрическую функцию sin и с периодом
4/С=
t /*d<f =
2к.
При значениях К, не слишком близких к единице, график зпи еще
шесьма напоминает синусоиду (см. первый из чертежей на фиг. 2, где

Приближенное вычисление периода колебаний маятнижа 27
взято *=!/=-). По мере приближения к единице период 4К растет,
приближаясь к сю. При этом кривая по своему внешнему виду все более
отличается от синусоиды (см. первый чертеж на фиг. 3, где взято
/г=1/ -А Наконец, при A=l, snu вырождается в гиперболическую
функцию thu, которая уже не имеет вещественного периода (4/С=оо)и
для которой поэтому рассуждения начала этого параграфа неприменимы.
На тех же фигурах *) и для тех же значений k даны графики сп и и dn и.
Рассматривая их, полезно иметь перед глазами графики, соответствующие
предельным случаям:
при А = 0:
сп и = cos и, dn и = 1
и при k=l:
1
спи =
dn и =
chu
chu '
Важно отметить, что
вещественным значениям
аргумента соответствуют
вещественные значения
функций sn и, сп и и dn и.
Обратим внимание
читателя еще на одно
обстоятельство :
косинусоида, как известно, может
быть совмещена с
синусоидой простым переме-
1
0
0"
\
^**\л
В'
s,*w ' ^/**
с^
0
1
1
У
А'
щением на ^ вдоль
оси ои
следствие соотношения
Но из формулы
Возможность такого совмещения есть
sin (~y -f- иj = costt.
««+«)«a?
мы видим, что от прибавления К к аргументу и функция sn не
переходит в сп.
Поэтому кривые sn и сп вообще совмещены быть не могут.
§ 13. Приближенное вычисление периода колебаний маятника
При малых модулях k полные эллиптические интегралы первого и
второго рода могут быть с большим удобством приближенно вычисляемы
посредством разложения подинтегральной функции в ряд и почленного
!) Фиг. 2 и 3 заимствованы из Theorie der Elliptischen Funktionen, M. К r a u s е.

28 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
интегрирования этого ряда. Действительно, согласно формуле бинома
Ньютона:
i_
1 =(1 —A?2sin2y) 3 =
VI — Л» sin' f т/
Помня, что
= 1 +-J-*1sln,? + -jT ■ tfein^-t-...
2
Sln Trfy= 2-4-6-211 Т'
о
и интегрируя обе части предыдущего равенства в пределах от 0 до -^,
находим:
те
если угол а отклонения маятника от положения равновесия мал, то модуль
£=sin £ тоже мал. Пренебрегая вторым и прочими членами суммы,
заключенной в скобках, мы получим, что период колебания маятника
е. получаем общеизвестное выражение.
Пользуясь тем же приемом для интеграла второго рода, можно найти,
т. о
я
2
fvT^wiw-^d^ \ [i _(4-)V-4- (4-4)1*1—■]•
§14. Преобразование Ландена
Сейчас мы переходим к решению весьма важной практически задачи
о том, как вычислять эллиптические интегралы F (с?, k) при различных
значениях аргумента <р и модуля к. Иными словами, переходим к
вопросу о том, как составить таблицы численных значений эллиптических
интегралов. Нам придется здесь встретиться с равенствами,
связывающими эллиптические интегралы, имеющие различные модули.
Если требуется вычислить интеграл
<?
^■fe)=yVi-£ginv
о
модуль k и амплитуда ср которого известны, то один из способов,
помощью которых вопрос может быть решен, есть так называемое
преобразование Ландена. Оно заключается в том, что данный интеграл при-

Преобразование Ландена
29
водят к другому, модуль которого меньше модуля данного интеграла.
Повторяя операцию и уменьшая постепенно модули, можно дойти до
интеграла, модулем которого можно пренебречь и свести вопрос к интегралу
о
Переходя к самому преобразованию, мы заменим аргумент ср на cpj по*
мощью соотношения:
sin (2ср — Ti) = *i sin <plf (24)
где kt есть число пока произвольное.
Диференцируя последнее равенство, получим:
2cos(2<р — Ъ)tf<p — cos(2<р — Vi)d^flz=zklcos^ d^,
откуда
<*<Pi 2dy
cos (2? — tpi) £j cos <pi+cos(2^—<pi)"
Ho
COS (2cp — cpj) =: j/l — A?i2 sin2 sPi '
Поэтому
У1 — Л*! sin8 ?! A?! cos ft + cos 2? cos уj + sin 2? • sin <?i '
z ... —■ будем иметь:
<foi _ 2\Zl4-tg2yrrfy
Замечая, что cds cpi = - — э будем иметь:
\/l — *i2sin*ft~ A?! + cos 2<p -f sin 2«p • tg ft '
Sin 2cp cos cpj — sin cpj cos 2cp = /fj sin cplf
lo.,ft __ sin 2y
T? ™ (Afi + cos2f)2 *
Ho
откуда
следовательно:
а также
kx +cn« ?T J, cm 9T. tg т — iki + !0s2y)21Sln2 2l - *l2 + 2kl cog 2? + Д
„ f ТЛ^ T fiYl *i + cos2? ^ + cos2<p
Поэтому
<*ft 2tfy
\А — ^x«sin2fl y*l 4- 2Apj cos 2y + ля/
no
1 -f- 2A, cos 29 -f A,2 = 1 -f 2A, (1 — 2 sin» <p) + *2» =
= (1+*')2[1-(bTO-^4
И если число ^ подберем так, чтобы

30 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби!
то будем иметь:
1 +2^ cos 2<f+ ^2 = (1 +^)2 (1— Л2 sin8 ср).
Следовательно:
Ф?1 2 dy
V\ — At12sin2<p1~" \ + kx Vl— ^Sin3cp'
и далее:
Г * _,l+jl Г '* /СЕЧ
,/ -j/"! _ *a sin» 7 2 J V\— k$sin2 ft■ K'0)
о 0
ибо при <p = 0 и «Pi == 0* как это следует из (24).
Желая сравнить новый модуль kx с модулем k, заметим, что
Если к модулю Л введем дополнительный Л', то будем иметь:
1—#> = £'*
и стало быть:
о сюда
а —^ *' l~fef2 fl»
Rr~ 1 + Л'" (1 + Л')8ет (1 + Л')2 ■
т е. &t <fc2, и так как k< 1, то ^<*.
Таким образом модуль kx вновь полученного интеграла меньше
модуля k.
Последовательное я-кратное применение равенства (25) приведет нас к
соотношениям:
F(<P,ft) = 14i-,f(Ti.*i).
Перемножая эти равенства и сокращая на общий множитель, получим
Р{ъ >)а(1+Ц(1+у-(1+Ц; ^ ЛЛ
г ичем модули Л, ^, &а,..., kn образуют быстро убывающую последова-
1 льность чисел. Если модуль kn достаточно мал, то, пренебрегая им,
к идем, что
/7(сря,^) = срл;
у следовательно:
/ *Р _ J1 + *i)(l+*i)."(l + *J (26)
J Vl-*2Sin2? "~ 2я ™
о

Приведение формулы (26) к логарифмическому виду 3)
§ 15. Вычисление амплитуд
Исходя из основного равенства
sin (2ср — cpj) = kx sin cpt,
нетрудно получить формулу, удобную для вычисления амплитуды ср1э.
когда дано ср и k,
В предыдущем параграфе было показано, что модуль
где k' есть модуль дополнительный для модуля &. Ввиду этого будем иметь
sin (29 — 91) \—У
sin 91I — 1 + Л"
откуда, составив производную пропорцию, получим:
sin cpi + sm (2у — 9i) l_
sin 9i — sin (2<p — cp;)""" k' '
Преобразуя сумму и разность синусов, без затруднения придем к ра-
венствУ: lgib-<t) = k'tgb (27)
по которому удобно вычислять амплитуду <рг последующего интеграла,,
когда известна амплитуда ср и модуль £'= yi — до предыдущего.
§ 16. Приведение формулы (26) к логарифмическому виду
Пусть k\ kx\ k2\ ... —модули дополнительные для модулей k, klt k2%..*
формулы (26). Так как все они суть числа, меньшие единицы, то
можно положить:
&=:sin6; ft4= sin вх; &, = sin в2...
и тем самым
Л'— cos 6; /51'=cos91; &2?=: cos 0а...
В таком случае будем иметь:
*i- rTF-l+cosQ-^ Т= Sln °»
таким же образом
k2~tg* Ц- = sin 82
и т. д. Следовательно:
l+*1 = l+tg'4- = —!—; l+ft,= —Ц-.
cos2 -я- cos* -?г*
и т. д.
Внося эти выражения в равенство (25), находим:
9
"vi-*«*»= •._А .~,vV*' (28)
/i
о cos2 -j- • cos2 — . ■ cos2

32 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби»
При приближенном вычислении эллиптического интеграла первого рода
можно пользоваться этой формулой. Но можно подвергнуть ее и
дальнейшему преобразованию. Заметим, что
* cos8-о s№-g- -„.(,
г. е.
точно так же
4S 2 -"
1
cos^-r"
1
е
cos*~2-
cos бх
\/cose '
cos02
cos*T
cos*ii- Vcosa,
и т. д.
После подстановки и сокращений равенство (28) принимает вид:
/t а? ф„ l/cos ei'cos •!'•••cos V-i
J Vi-l**, =*"**••* 551 -■ (29)
0
Сравнивая эту формулу с (28), мы видим, что (29) заключает в себе
одну лишнюю величину, а именно cos6„. Но на практике приходится
принимать cos8rt = l, как это будет выяснено на примере.
§ 17. Пример
Вычислить интеграл
6 а
[Berlrand, Calcul integral, стр. 662.]
Пользуясь формулой (29), вычисляем 6. В данном случае sin9 6 =
= -i-; sin 8 =:-Д=г; следовательно, 6 = 45°.
Вычисляем вг Имеем:
sinO^tg'i-^tg2 22°30',
lg sin в, = 2 lg tg 22°30' = Т, 23444,
Вычисляем 62. Имеем:
sin 02 = tg1-}- = tg2 4°56'22", 5,
lg sin 62 = 2 lg tg 4°56'22", 5=3, 87328,
62 = 25'4Г.

Пример
33
Вычисляем 03. Имеем:
elnOl = tB,4 = *f12'60"'6'
lgsin03 = 21gtg 12'50",5 = 5,14434.
Можно принять О3 = 0.
Вычисляем амплтуду <pi* Согласно уравнению (27), имеем:
tg (?i ~ <р) =• *' *в ? = cos 0 tg ср.
Но <р«=30°; ft'=coa45°; поэтому
tgOpi —30°) = cos45°-tg30° = -гту; ?t = 52e12'28*.
Вычисляем амплитуду ср2. Имеем:
tg (?2 — Ti) = A/ *g Ti = cos Oj tg cpp
т. e.
tg Op, - 52° J 2'28") = cos 9°52'45" tg 52°12'28",
lgtg(cp? — 52°12'28") = 0,10395,
<pa-52°12'28"=:51047'32'',
?a~104°.
Вычисляем амплитуду <p8. Имеем:
tg (?s — ?a) = A/ *g ?j = c°s 0, tg cp2,
tg(?3 - 104°) = cos 25'41" tg 104°,
tg(180° - cp3 +104°) = cos25'41" ctg 14°,
Igtg (28 te — <h) = 0,60322,
284° —<p8~75c59'59";
<p3 = 208°0T'.
Отвлеченная мера
_ 743 80b
'•■""648 000 '
Теперь, согласно (29), имеем:
те
Д_ dy 7*8*801* i/cof 905i'45*-cos 2r>'4i"
lg« = T, 72883,
и = 0,53552.
т. е.
или

34 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 18. Об одном свойстве интегралов первого и второго рода
Так как этим свойством нам в дальнейшем придется неоднократно
пользоваться, то мы его здесь предварительно и отметим»
Докажем, что
я
где К= j ^i_^sini?r» а я~ Ц^ое число,
о
Считая я положительным, будем иметь:
* * - п «
/'/+/+/+■•■+/
о О * * (Я.тО «
2~~ 2
Но каждый из интегралов второй части этого равенства равен К
Относительно первого это очевидно. Во втором положим <р = тс — ф.
Получим:
«
rf? _ /» </ф _ /» rfy _ у
/l^~»lin»T ~" •/ i/l-^sma^ J уг—ЯшНР^
В третьем интеграле придется положить ср = 1с+ф; а четвертом tp а»2*~- <|»
и т. д. Следовательно:
«
(30)
Равенство это имеет место и при отрицательном п, в чем нетрудно
убедиться, заменяя <р на —ср.
Совершенно так же можно доказать, что
J /l-ft» sin» 9 d<t~nE.
о
Из (30) следует еще, что
(31)

Вычисление полного интеграла
35
2
§ 19. Вычисление полного интеграла АГ= С' V==p=
о
В § 13 уже было сделано предварительное замечание о вычислении
этого интеграла. Теперь мы покажем, каким образом к его вычислению
можно приспособить формулу (26).
Из равенства
tg(<Pi — Т) = ЛГ tg <р
слезет, что при 9 = 0 амплитуда срх = 0, а при <р « -у амплитуда
t^ssir. Поэтому из (25):
о о
Но на основании формулы (32) предыдущего параграфа
«
"5
Следовательно:
и далее:
«
о о
Если Ай достаточно мало, то можно считать, что

36 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
Перемножение ряда полученных равенств после сокращения результата
на общий множитель дает формулу:
fyxJl^-Q+w+H-v+u-T'
(33)
которой, повторив выкладки § 16, можно придать удобный для
логарифмирования вид:
/df . JLcos0Й 1 /cos А,■ cosfl,,-■• cos О (М
О
Пример. Вычислить интеграл:
2 .
к- г У
J Vl— sln»75gsin»f '
о
Пользуемся формулой (34).
Согласно заданию, угол 0 = 75°.
Вычисляем 0Х. Имеем:
sinO^tg'y^tg^W,
Igsinei = 21g«g37°30'=n76996f
0Х = 36°4'17".
Вычисляем 02. Имеем:
sIn01 = tgJi = tgM8°2/8'rA
lg sin 02 = 21g tg 18°2'8",5 =1,02454
0, = 6°4'25'\
Вычисляем Ьу Имеем:
sIn-6R = tg^^tg2302'13ff,
lg sin 0, = 2Ig tg 3°2' 13*= 3,44944,
0, = 0°9'42",
Примем 04=O.
Внося значения 0, 0V 02, 08 и 04 в формулу (34), получим:
1Л_ * l/cos 36°4'l7".cos 64 W-cos U°9'42"
^-7 Г ^75* '
lg/C= 0,44218,
AT = 2,76807.

Преобразование Ландеяа (продолжение) 37
§ 20. Преобразование Ландена (продолжение)
Применяя в § 14 преобразование Ландена, мы рассматривали такие
эллиптические интегралы первого рода, модули которых, уменьшаясь,
стремятся к нулю.
Но существует и другой способ преобразования, основанный на
применении возрастающих и стремящихся к единице модулей. Дело в том,
что если модуль £л= 1, то эллиптический интеграл может быть легко
вычислен. Действительно, в этом случае
/*(<?» -1)=/^7 = 1п tg (45°+£) • <3б>
ST
Переходя к самому преобразованию, мы заменим в основном интеграле
F(¥,k) его аргумент <f на новый <р2, помощью равенства
sin (2^ —■T0 = *sin<p. (36)
Повторив выкладки, выполненные в § 14, мы придем к
соотношению:
/ '» *~ С *ъ . 1ЧП
J Vl — *а sina ? 14- k J Vl~^3Sin«9i ' l '
котором модули к и kx связаны так, что
Следуя пути, намеченному в § 14, можно убедиться в том, что kx>kt
т. е. что при преобразовании модуль возрастает.
Если через kx' обозначим модуль, дополнительный модулю kv то бу*
дем иметь:
Отсюда
TTA-^ + V- (38)
Ввиду этого (37) дает;
/7W,*) = (i + *iO/7«»*i),
ги равенства и сокращая результат н;
F(4,k) = (\+kl') (\+k1')...{\+kn'yF(%tfin).
Перемножая эти равенства и сокращая результат на общего
множителя, получим:

38 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
Если модуль kn близок к единице, то, принимая его равным единице,
на основании (35) будем иметь:
Fibk) = (1 +*/) О +*Д-(1 +kn ') in tg( 45° + &-). (39)
Приведем эту формулу к виду, удобному для вычисления. Положим в
(37), что верхний предел интеграла ^ = -~. Представив (36) в виде,
*(¥ —«ft)=*i't8MPi
(см. § 15), мы найдем, что при <pi=-£ аргумент ?=«. Приняв во
внимание сказанное в § 18, найдем, что
Заменим здесь модуль к на Л/. В снлу соотношения
придется &! заменить на к', н мы получим:
/C=(l+*i')*i'
идалее: *',=(!+*,')#,'
tfV,:=<l+*.№
Перемножение этих равенств и сокращение на общего множителя
дает:
*Г=(1 + *,') (1 + А,')... (1+ Ая') Кя'. (41)
Но так как модуль Artr при беспрестанном возрастании и стремится к
нулю, то при достаточно малом kn* можно принять, что интеграл /Ся' =
= ~ . В таком случае:
Вследствие этого из (39) получим формулу:
/4<p,ft)==2JClntg(450 + *f), (42)
удобную для вычисления интеграла F(<f,k).
Отметим здесь еще одно соотношение, которым нам придется
воспользоваться впоследствии.
На основании (40) имеем:
/Г1Я=(1 + *)К
н далве: и- — П _1_ ь \ v
к^=1\+кп'-1)Кп1х.
Отсюда
Кя = (1+Л)(1 +*,)... Ц+кш-хЖ. (43)

Таблицы эллиптических интегралов и их применение (табл. 1) 39
Теперь перемножим (41) и (43). Результат будет такой:
...(i+V)W-
Но на основании (38):
(1 +#(1 + */) = 2
и далее:
(1+ *,)(! + */) = 2.
(1 + kn'-i) (Г-И„'} = 2.
Следовательно:
КЯК=2"-К„,'К.
Если теперь положим, что я безгранично растет, то
И
I,mrt=2T'-
Пример. Формула (42) практически особенно удобна в тех случаях,
когда модуль k близок к единице.
Пусть, например, требуется вычислить интеграл
Т
/= Г ** —
J k'l-8in2 890~sinV
о
Исходя из равенства sin(2y, — <Р) = Л «sin <р, находим:
sin (2^— 30°) = sin 89° - sin 30«\
lg sin (2<pt — 30°) =1,69890,
2^ —30° = 29°59'41",
45° + ^--59°59'55'r.
В табл. 3 находим, что при 0=1° полный интеграл К ~ 1,57092.
Теперь имеем:
/~ liil!5i.intg59°59'55".
Произведя вычисления, получим:
/ = 0,64930.
в 21. Таблицы эллиптических интегралов я их применение
(табл. 1)
В конце этой книги напечатаны таблицы, в которых имеются
значения эллиптических интегралов, вычисленные с пятью десятичными знаками.
Табл. 1 содержит значения эллиптических интегралов первого рода,
вычисленные для всех амплитуд <р от 0° до 90° и для всех модулярных

40 Нормальные эллиптические интегралы и функции Як оби
углов от 0° до 90°, причем как амплитуды, так и модулярные углы
идут через 1°. Эта таблица заимствована из книги РоНп «Formules el
tables numeriques». Но из числа девяти десятичных знаков, имеющихся
у Potin, здесь удержаны только пять.
Эллиптические интегррлы первого рода обозначены в таблице через
^(б); буква 6 обозначает модулярный угол.
Способ применения таблиц поясним на нескольких примерах.
Пример 1. Найти интеграл F(b)9 если амплитуда ср = 41° и
модуль к = 0,60182.
Из уравнения sin 6 = 0,60182 находим модулярный угол 0 = 37°.
Таблица дает непосредственно:
Т8, (37°) = 0,73714.
Пример 2. Найти F (О), если амплитуда со = 27° и модуль
к = 0,9474.
Из уравнения sin 6 = 0,9474 получаем модулярный угол 0 = 71°20'.
В таблице непосредственно находим, что:
углу 0 = 71° соответствует /г(71с)=» 0,48756,
углу 6 «72° соответствует F(720) = 0,48778.
Предполагая, что приращения интеграла F{Q) пропорциональны при*
ращениям угла 6, будем иметь:
/471° 20')-- /»(71°)_71'20'—71*
F{720)-F(71*) —' 72° — 7Г '
откуда, приняв во внимание значения У7 (71°) и /7(72°), получим:
F (71° 20) = 0,48763.
Пример 3. Дано F(9°)= 1,09481. Найти амплитуду ср.
В таблице находим, что
амплитуде ср=62° соответствует F (9°) = 1,08623,
амплитуде ср = бЗ° соответствует F (9°) = 1,10385,
Предполагая, что приращения амплитуды пропорциональны
приращениям интеграла F, получим:
у— 62° _ 1,09481 — 1,08623
63е — 62е"" I,lu3fi5—1,0йО23'
откуда ср = 62029'13".
§ 22. Интерполяционная формула
При вычислениях в более сложных случаях удобно пользоваться
интерполяционной формулой, которую мы сейчас и составим.
Предположим, что требуется найти значение интеграла F,
соответствующее модулярному углу 6 и амплитуде ср, причем заданные углы
6 и ср непосредственно в таблице не имеются.

Таблицы 2 и 3
41
Пусть 60 и ?0 выраженные в градусах значения модулярного угла и
амплитуду ближайшие меньшие к заданным 0 и ср и имеющиеся в
таблице. Пусть F0 соответствующее значение интеграла.
Будем иметь соответствие:
Здесь Ft и Ft значения интегралов, соответствующие углам,
находящимся в одной с ними строчке. Все числа этой таблицы нам известны.
Величина F есть функция о г 8 и <р и если F, 8 и <р мы примем за
координаты некоторой точки, то точки (F, 8, <р) расположатся на
некоторой поверхности. Интерполируя, примем в первом приближении эту
поверхность за плоскость, причем плоскость должна проходить через
точки:
(ЛЛ.П) (ЛЛ+1>«Ро) ЛЛъ + П.
Уравнение такой плоскости:
F~Ft = (Ft-Fy-=^ +(Fa-F,) ^р . (44)
Отсюда, зная 0 и ср, легко вычислить F, Этой же формулой можно
льзоваться для вычисления 8, когда даны F и ср, и для вычисления <р,'
гда даны F и 8.
Пример 1. Вычислить /7(33°24'), если амплитуда у=77°40'.
десь: 8=:33024'=:330,4; 8, = 33°; ср0 — 77°.
В таблице находим:
/>о = 1,44235; Fx — 1,44876; F2 =г 1,46295.
После подстановки в формулу (44) и выполнения действий получим:
Z7— 1,45855.
Пример 2. Вычислить модулярный угол 8, если F(Q) = 1,27222 и
ср = 63° 35л.
Приняв <р0 = 63о, подыскиваем в таблице для ^(О) ближайшее менъ-
шее число. Находим F0~ 1,26920, причем 0О=*55°. Теперь находим:
Fx = 1,27515 и /^ 1,29523.
Если подставим значения <р, <р0, 80, Ft FQt Fx и Ft в (44), то получим:
8 = 53° 52'58".
§ 23. Таблицы 2 и 3
Обе эти таблицы заимствованы из книги L. Levy, «Precis elementaire
de la theorle des fonctions elliptiques*.
Табл. 2 содержит значения эллиптических интегралов второго рода,
вычисленные для всех амплитуд от 0° до 90° и модулярных углов о
0° до 90°, причем амплитуды идут через 1 °, а модулярные углы через 5

42 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якобя
Эллиптические интегралы второго рода обозначены в таблице через
£(0). Способ пользования таблицей тот же, что и предыдущей. Но так
как модулярные углы идут через 5°, то интерполяционная формула
будет иметь вид:
Е-Е^Ъ-Е,)*-^*- +(Е3-ЕУ-^±\ (45)
причем 6,60, <р, <р0 выражены в градусах.
Табл. 3 содержит значения полных эллиптических интегралов первого
и второго рода.
Пример. Еычислить полный интеграл Е при модуле k = 0,72.
Из уравнения sin 6 = 0,72 находим 6 = 46°3'15'г = 46°, 054. В табл. 3
непосредственно находим, что углу 8 = 46° соответствует £"= 1,34181,
углу 8 = 47° соответствует Е= 1,33287.
Так же, как и в § 21, составим пропорцию:
£-1,34181 _46°,054-46*
1,33287 — 1,34181— 47е —46е '
из которой £=: 1,34133.
§ 24. Эллиптические интегралы с модулем, большим единицы
В практике вычислений приходится иногда отыскивать эллиптические
интегралы с модулем, большим единицы. Такие интегралы всегда можн
привести к интегралам с модулой, меньшим единицы. Пусть, наприме
требуется вычислить интеграл
а
<fy
/-,
О
модуль которого к > 1., а верхний предел а определяется из равенства
sin а = ~—. Введем вместо ср новую переменную «J> так, чтобы sin ф =
— JL.sim{>. Мы видим, что если sin tf изменяется от 0 до-j-, то sin ф
изменяется от 0 до 1, т. е. ф от 0 до •— ;и так как
Vl—ЛЫп»? V# —§1п*У
го
я 2
/*F ___1 Г <*Ф __ 1 / 1 \
о о у 1—-р-зтЧ
На атом основании, например,

Формула сложения для функции an 43
Но модулю -т= соответствует модулярный угол в = 45°. И согласно
табл. 3 имеем:
Следовательно;
К (^)= 1,85*07.
l/"l-2sin»? ==:1'311-
о г
Можно показать, что для интегралов второго рода имеет место формула;
/ут=тщ .* =4-/с(4-)+м 2?(4-)-*(4-)}.
о
где sin а = -g-. Согласно этой формуле, пользуясь табл. 3, найдем:
fvt=
2slnf¥-rf¥=0,699.
§ 25. Формула сложения для функции sn
1. Под именем формулы сложения для функции / вообще понимают
выражение функции ){u-\-v) через функции /(и) и f(v). Если
зависимость между ними имеет характер алгебраический, то ее называют
алгебраической формулой (иногда теоремой) сложения. Мы сейчас рас*
смотрим формулу сложения для функции sn и и покажем, что эта
функция, взятая от суммы аргументов, выражается рационально через
эллиптические функции каждого аргумента в отдельности. Имея в виду
осветить вопрос путем аналогии, мы сначала дадим вывод формулы
сложения для синуса, исходя, однако, из соображений, совершенно
отличных от тех, которые приводятся в тригонометрии. За исходную точку
рассуждений мы примем диференциальное уравнение:
dx +-^iL=r-o (46)
и будем искать его интеграл в алгебраической форме*
Это можно сделать следующим образом: перепишем данное уравнение
в виде:
и интегрируя его, получим:
f}ft:^'dx+ftfT^P'dy = at
где «-—произвольная постоянная.

41 Нормальные эллиптические интегралГы и функции Якоби
Но интегрирование по частям дает:
Следовательно:
Отсюда, принимая во внимание (46):
xVl—y2+yVl— хА = а, (47)
я, таким образом, интеграл в алгебраической форме найден. Теперь
положим: г у
о о г
т. е.
х = sin и и _у = sin v
и, стало быть:
\/rl—x3 = cosu; |/"l—jf8=cosv.
В таком случае (47) перепишется в форме:
sintt'Cosi>-f"s*n'l,,cosw = <х. (49)
С другой стороны, уравнение (46) можно представить в виде:
du-{-dv = 09
если только учесть равенства (48). Интегрируя, имеем:
«4-^= Р. (5Р)
где р — новая произвольная постоянная. Она, однако, связана с
прежней. Связь между ними можно обнаружить очень просто, если в (49)
и (50) положить v = 0. Это дает:
sin и = а и и = р.
т. е. а «sin р. Заменяя в этом равенстве а и р их значениями (49)
и (50), приходим к формуле:
sin (ц -\-v) =» sin tt*cos v -j- cos й« sin i>,
выражающей теорему сложения для синуса. И мы видим, что формула
эта установлена помощью интегрального исчисления.
2. Этот же способ можно применить для установления формулы
сложения эллиптической функции sn.
Будем искать интеграл уравнения
dx , dv
l/(l - х*) (I - kW) / (1 —>»>Х1 - WO
в алгебраической форме.
г-° (51)

Формула сложения для функции an
45
Умножим обе части уравнения на
и результат проинтегрируем. Получим:
J —&& dX+J l-kWy> <* = "•
где a — произвольная постоянная.
Применив к первому из этих интегралов формулу интегрирования по
частям, находим:
РУ(1-М{\-»У) . _
•/ 1 —Й**>"
_ ж^р-^лТ^лУД) /• (1 + А»,(1 4-ЛА*»^-2*«(*а + У») . .
Аналогичный результат можно получить и для второго интеграла.
Складывая оба результата, приходим к равенству:
1 — kWy* "• 1 ~ kWy* +
J ХУ (1 - А»ОД> | у (П^2; (i - A3*2;
dy \
Но в силу данного уравнения (5!) выражения, заключенные в
фигурные скобки, исчезают, и мы имеем:
xV{T^Sh(i~&у2) +у\Г(\ ~*з)(1 -ТКЗ) _ - ,52ч
Такова алгебраическая форма интеграла уравнения (51). Теперь положим,
что
Р~ *«— ee „ / U— _- (53)
т. е.

46 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
и, следовательно:
В таком случае равенство (52) представится в виде:
впи-cnv-dnv + snv-cntt-dnu __ ,
l—k*sn*U-Sn*V -а' (б4)
Но, с другой стороны, ввиду (53), уравнение (51) можно переписать в
виде:
du + dv = О,
откуда
« + * = ft (55)
где р — произвольная постоянная. Отыскивая зависимость между аир,
положим в (54) и в (55) t>=0. Будем иметь: sn i/ = 0; спг/ = 1;
dnv=l. Следовательно, а=г$пи и и~р, т. е. а = sn (J. Внося сюда
на место аир выражения (54) и (55), приходим к формуле:
выражающей теорему сложения для эллиптической функции sn,
§ 26. Формулы сложения для функций сп и dn. Формулы
вычитания
Обращаясь к равенству (52), образуем выражения для 1—а* и для
] —к2а2. Получим:
1 —&«*- (1 - »*№-» [хУ(\ -j^О -&Я+У VQ-*)(Ь^л*) ]a
1 Л<Х~ J^myip—
Произведя несложные выкладки и извлекая затем квадратные корни
найдем:
и
NAM
с (а + «) = 1_^sri2nfin^ • <57)
-■-/- < -л dn«-dn» — ДОзпИ'впя-спи-спо /Kov

Формулы умножения и деления аргумента на 2 47
Правильность выбора знака при извлечении квадратного корня в этих
формулах можно проверить, полагая v = 0.
Если А=0, то из (56) и (57) получим формулы для sin(tt + i;) и
cos(tt-f-i;); (58) дает тождество 1 = 1.
Если в трех формулах сложения заменим v на —«и, то будем иметь-
формулы вычитания:
/ ч snH-cntf'dni; — snu-cnH'dtiH
sn(«-i»)= i-m^u-nfiv >
СП («-«) = -Х—^-р- .
dn (u — v) = =-*—is—5 5 •
§ 27. Формулы умножения и деления аргумента на 2
Полагая в (56), (57) и (58) v = и, находим формулы удвоения
аргумента:
sn2ar 2sn"'cn"-dn"
сп2д =
dn2tt =
" l — ft«sn*K •
en2 ii—sn2tt-dnatt
1 — ft2 8П« U
dn2 И - Л1 Sn2 U'СП2 U
1 — ft* sa1 a
(60)
Нетрудно получить и формулы деления аргумента на 2. Для этого
можно вычесть dn 2a из единицы и сп 2й прибавить к единице; это.
дает:
1 — dn 2и »* ~ *3sni"~dn2" + *2sn3f/*cn»n
5:5:3 1 — ft2 sn4 и
1 +сп 2и = I-»"'« + cn'«-ipn^giL
1 1 — ft2 sn* u
Заменим в этих равенствах сп2и и dn2tt их выражениями сп2и=:
= 1 — sn2 и и dn3 и «я 1 — k* Sn2 и и разделим почленно первое на второе.
Получим:
1 — dn 7и .2 2
т+щ-и^ sn и>
откуда, после аамены и на-~ и извлечения квадратного корня имеем:
8пт-=+т|/1-Гс—. (61)
Выражение для en -j- можно вывести так. Найти:
сп 2и 4- dn 2и-=сп*и ~~ snt "'dn'" + dn*" — *' *п*и сда Д
' 1 — ft* en* u
1 4- dn 2u = *""" ** sn4 ц "^dn2tf —- fe2sn2tt»cn*g
' 1— ft38H*« '

43 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
затем заменить sn2# и dn3w, согласно формулам:
sn2 и = 1 — сп3 и и dna и "= 1 — А3 -|- A3 en1 а
и полученные после этого равенства почленно поделить. Это приведет
к соотношению:
cn?tt + dn 9« ,
1 + dn^ ~сп и*
Отсюда после замены ц на ~ н извлечения квйдратного корня,
получим:
сп-5- =+|/ -j-^—-. (62)
Формула деления аргумента на 2 для функций dn имеет вид:
а„ и , ,/"cniH-dnii /Д9ч
41 выводится аналогично.
Найденные сейчас формулы для sn -у > сп -~- и dn 4~ дают по два
значения для каждой из этих функций. Это, однако, в том случае,
когда известны сп и и dn и. Если известен только sn и, то формулы
несколько усложняются. Для функции sn-i в зависимости oTsna
получается восемь значении.
Заметим еще, что, исходя из формул сложения и вычитания, можно
получить большое число соотношений, напоминающих тригонометрические.
§ 28. Функции sn, сп и dn от чисто мнимого аргумента
В § 8 мы отметили, что и и sn и связаны соотношением:
■= С г ^
к№)
В этом интеграле sn и = sin (am и) по абсолютной величине не боль*
ше единицы. Итак, функция £ = sna для вещественных значений и
определяется посредством обращения эллиптического интеграла
ж
dt
s
в котором интегрирование ведется от я = 0 до значения в,
расположенного на отрезке (—JL» —f— 1 )-
Мы придем к определению snu для чисто мнимых значений
аргумента рассматривая обращение интеграла

Функции sq, со и dn от чисто мнимого аргумента 49
взятого от точки g = 0 до точки с чисто мнимым аффиксом g=yi,
вдоль соответствующего отрезка мнимой оси (о комплексных функциях,
производных и интегралах от них см. ниже, главу III).
Так как при интегрировании вдоль отрезка мнимой оси от точки
0 = 0 До точки яг = j/i переменное интеграции t является чисто мнимым
числом t~ri, причем вещественный коэфициент г изменяется от нуля
до у, то имеем:
2 у
Г *_.„/ Г dr
J \J(\ — /?) (l — km) J y^(i + г») (l + b№)'
0
Интеграл, стоящий в правой части, является числом вещественным.
Обозначая его через
«- /У dr
О
и рассуждая так же, как это мы делали в начале § 5, найдем, что V
возрастает от —оо до -f-oo, когда у возрастет от —оо до -f-oo;
иными словами, не только каждому значению у соответствует
определенное значение г>, но и обратно, каждому значению v соответствует
определенное значение у. Следовательно, в соотношении:
w = iv = i f, dr — - Л g
*»**)
каждому значению w = iv соответствует определенное значение g= /у,
т. е. г можно рассматривать как функцию от w. Эту функцию мы
снова обозначаем через snw и таким образом записываем:
0r= iy—sn(iv).
Таким образом, согласно нашему определению, sn от чисто мнимого
аргумента (to) имеет чисто мнимые значения. Покажем теперь, что
коэфициент у в выражении sn(rp) можно просто выразить через
эллиптические функции вещественного аргумента v. Для этого в
эллиптическом интеграле
_ С dr
о
сделаем замену переменного интегрирования по формуле: г = ТлП—
Тогда получим: ' * х
у У
Vf+y dx Vi + y
/ у т^г-—rrv—
о с
где
\/(1-t»)(1-aV)

50 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
Отсюда выводим, замечая, что -===_,
<1:
у sn V
~—=^snt> или у=~
Vl+У2 \/l — 8lfiV CUV
В обозначениях якобиевых функций здесь необходимо указать, что
они соответствуют модулю k', дополнительному по отношению к
первоначальному. Полная запись будет:
sn(p; к')
у cn(i>; к) '
и, следовательно:
Определив sn от чисто мнимого аргумента, мы определяем сп и dn
по формулам:
сп (fa. *) = VF^GSTk^Yi +%{(Щ- агбЬт I
dn(to; k)=Vr=n*T^) = Yl + k2 SfS=« I (65)
SB= cn(i>; Л') cn(u; /s') J
При v***fC знаменатель дробей в правых частях фэрмул (64), (65)
обращается в нуль: сп(К\ А') = 0 в то время, как числители отличим
от нуля:
sn(/C', *') = 1; dn(/T, *') = *
(см. формулы в конце § 6; в них нужно заменить только применительно
к рассматриваемому случаю к на k\
0
Отсюда следует, что
и
причем:
0
sn(iK\ A) = oo,
сп (//С', А) = °о
dn(WC, А)=оо,
sn(WC, Л) сп (/С', Ar) = li
сп(/А7, k) сп (/Г, *')=Ь
dn (i/Г, *)сп(/Г, *') = *-

Функции sn, en н dn от комплексного аргумента 51
Если в найденных формулах (64), (65) положить & = 0 (и,
следовательно, К = 1), то якобиевы функции выродятся в тригонометрические
(и гиперболические) функции (см. § 11). Получим:
sin vi =
cost// =
1-=
IN!
I
"V
1
ch«
cii и
=r=
=
•■ / sh ti,
cii //,
1.
Последнее соотношение представляет собой тождество, первые два
хорошо известны из анализа: они выводятся там из определения
тригонометрических и гиперболических функций, посредством степенных рядов.
Впрочем, эти формулы легко вывести и непосредственно, следуя во всем
рассуждениям этого параграфа. Так, если г--sin//, можно определить
для и вещественного посредством обращения интеграла:
о
dt _
то, полагая z чисто мнимым: £ = yi, будем интегрировать вдоль
мнимой оси. Получим:
/dt . /* dr
о о
Мы снова можем условиться считать по определению z=yi синусом
чисто мнимого аргумента w~vi:
Z : Sill •?£'.
Но:
V
dr
«-/-^—inCv+Vi-W).
следовательно:
У + У1 + у2 = е* и у = ■ - ■--7/ *■•» sh v.
Окончательно:
sin(w) = /sh^.
§ 29. Функции sn, en и dn от комплексного аргумента
Определив якобиевы функции для чисто мнимого значении аргумента,
ш получаем формальную возможность, пользуясь теоремой сложения,
определить их и для любого комплексного значении аргумента:

52 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якобн
w =г u-\-iv, где и и v вещественны. Именно, заменяй в (56) v на to,
получим:
sn (и A- it)\ = Sf1fo*)'cn (/р» *)'dn 0'^ *)+sn (fa, *)cn (a, k)dn(u, ft)
v n ' ~~ 1— №btf{u,k)-*tf{iv, *)
Теперь на место sn (/г/, ft), en (in, ft) и dn (to, ft) подставим их
значения из формул (64), (65). Результат будет такой:
sn (и -f- to)—X [sn (и, ft) dn (v, ft') -]r
+ г sn (г/, Л') ■ en (v, ft') • en (и, ft) ■ dn (и, ft)], (66)
где
^l^jtTWy+W^ip,k) • siTa"(t;7/7') • (67)
Аналогичным способом для en и dn получим:
en (и + to) = X [сп (и, ft) en (v, ft') —
- i sn (г>, ft') dn (v9 ft') sn (и, ft) dn (u} ft)],
dn (и +to) = X [dn (и, ft) en (<r>, ft') dn (v, ft') —
— zft2 sn (v, ft) sn (w, ft) en (tt, ft)].
(68)
Путем проверки можно убедиться, что определенные нами функции
продолжают удовлетворять соотношениям (9) § 5.
Заметим, что совершенно аналогично, пользуясь фомулами:
sin (to) = i sh *v,
cos (to) = eh v,
мы можем, формально применяя теоремы сложения тригонометрических
функций:
sin (а 4- ?) = sin а . cos {i + cos а • sin р,
cos (а +Р) = cos а • cos р — sin а • sin р
1 фу чаю, когда а = и, (5 = to (й и у вещественны), получить опреде-
енй* синуса и косинуса для любых комплексных значений аргумента
в виде формул:
Sin (u-\-iv) = sin и*cos to-f-cosH-sin to = sin и-ch t> + * cos w-sh v,
cos(//-f-to) = costt-cos to sin u*sin to = costt-ch v — i sin u> sh v.
Эти формулы, как легко может убедиться читатель, находятся в
полном согласии с классическими формулами Эйлера:
— v + /« ль ~iu _ — v + to i _г>.— ire
? _ . ™* /« _L /|»Л — * т*
sin (и -)- «0 — 2Г~^ ' cos (tt "f" ^
и могут быть получены из формул Эйлера, если в последних произвести
з амену:
c-v + iu^e-v-ela*=e-v(co$u + isinul
ev -iu^v е-*вev(C0Su__/sin„)

Теорема сложения в общем виде. Формулы «приведения» 53
§ 30. Теорема сложения в общем виде. Формулы «приведения»
Для якобиевых функций, определенных нами в § 29 для любого
комплексного аргумента wt справедливы формулы, ранее установленные нами
для функций от вещественного аргумента, и прежде всего справедливы
формулы, выражающие теорему сложения. Так, например:
sn(Wl + w2) = —1 ?_klZntWrB*iWt \ (56b.s)
где wx^^uiJrivx и w2 = u2-\-iv2— какие-либо комплексные числа.
Разумеется, это утверждение нуждается в особом доказательстве, так
как теорема сложения доказывалась нами в § 25 лишь для sn от
вещественного аргумента. Принципиально, проще всего было бы проверить
справедливость формулы (56bis), опираясь на самое определение
функции sn для комплексного аргумента. Именно, по формулам (66) и (67)
гп («J+т,)= sin [{их + и2) + i (gx + 0,)] —
^ ^ зп (их -f "2? *) dn {ух j- t/a; ft') ,
да СП2 {Vi + v2\ Л') + ft* sn2 (Hi -f u2t k) 8n2 0?1 + v* k')
' / sn (Vj + v%\ ft) en (Vj 4 Vy ft') en (Uj 4 и%1 ft) dn («i + ut; ft)
+ СП3 {VX + V2\ ft') + ft2 sn2 ^ + и2; ft) Sn2 («^ 4 Vtf ft') '
sn Wj = sn (ut -f tl/j) =
sn (uu ft)dn (t^, ft') >f /sn (glt ft') en (vl% ft') en (at, ft) dn (ttlt ft)
** en' (vu ft') + ft2 sn2 (uu ft) sn2 (vlf ft') »
sn w7 = sn (ttj -f w2) =
sn (% ft) dn (<y2, ft') + / sn (vp ft') en (ga, ft') en (tf2, ft) dn (u2, ft)
" ~" СП*(*в. ft') + ft2Sn2(«2> ft)sn2(^a, ft') '•
Подставляя эти выражения в формулу (56bis) и заменяя в левой
части: sn(wt-4-wa, Л), zn{ux-\-u2i k)t dn(ut^u2t k)t sn(v1 + «p2, A')f
cn^ + ^j, £') и dn^ + ^B, ft') их выражениями по формулам (55),
(57) и (58), мы должны после алгебраических преобразований, при
которых следует использовать формулы (9), получить в левой и правой
частях одно и то же выражение. Однако такого рода проверка была бы
крайне громоздкой. В главе VIII мы докажем справедливость формулы
(56bis) для любых комплексных w1 и w2t пользуясь теорией
аналитических функций. А сейчас выведем из формул (66), (67), (68) и из
формулы (56bis) ряд важных следствий.
Прежде всего из формул (66), (67) получаем:
sn (— w) = sn (— и — iv) =
д sn (— и, ft) dn (— vt ft') 4- i sn (— v, k') en (—■ v% ft') en f— u, ft) dn (■— u, ft)
*" en2 (— v, ft') 4 fta *n2 (■— v, ft') sn2 (— и, ft)

54 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби]
Но, как мы видели в § б, функция sn для вещественного аргумента
является нечетной, и функции сп и dn — четными. Поэтому
sn(-—теО =
(sn ц, k) dn (p, k') + / sn [yy k') en (v, k') сп (ц, k) dn (ut k)
в cn»(tf, Af') + Af3sn3(f, Af')sn»(tt, *) ~ STiW'
т. е. формула
sn(— w)=* — sntei (13bis)
справедлива при любом комплексном w. Аналогично,- при любом ком»
плексном w имеем:
сп (— w) = en w, dn(— Т0) = с1пт0. (13bis)
Рассмотрим теперь sn (?г>-{-/(). Из формулы (56bis) выводим:
, . г,ч snw-cn/Cdn K+snKcnwdnw
sn(w + #0- 1-»,„»«■ «JК '
Но в конце § 6 мы видели, что sn/f=l, cn/f—О, dn/C=£'.
Поэтому:
, , ~ч enw-dnt» enw-dnw enw /опкил
sn(tt>4-/0=i_ft2snaa, °^H^r-°dlT^- <20bis)
Рассуждая аналогично, мы могли бы получить:
сп(«+/о = -*'5й и dn(w+^ = 5^- <20bis)
Эти формулы совпадают с формулами § 7, выведенными нами для
вещественных значений аргумента.
Совершенно так же получим:
sn (w + 2К) = — sn w% сп (<о/ + 2/0 = —enw, dn(w-f-2A)=:dn wt
sn(w + 4/0« snw, cn(^ + 4/C)== cnwi (lObis)
для любого комплексного w. Отсюда следует, что функции sn и сп
имеют вещественный период 4К и функция dn — вещественный
период 2/С
Выведем теперь группу новых формул, прибавляя к аргументу w
выражения ОС и /f+#C. Мы убедимся, что каждая из якобиевых функций
помимо вещественного периода имеет еще и по одному мнимому периоду.
Формула (56bis) неудобна для непосредственного вычисления
sn (w + МО- В самом деле, если положить в ней tWlz^w и w%=iK,
то в числителе и знаменателе дроби, стоящей в правой части, появятся
члены: sniA", сп iff и dnilC, равные бесконечности. Чтобы избежать
•того неудобства, перепишем формулу (56bis), умножив предварительно
числитель и знаменатель на cna(—to2, kf). Получим:
sn (w, + w2)-{en (wlt k) en (wa, k) en (—to,, £') dn (w2, k) en — to,, Л')+
+ sn (w„ A) en (—• to8 Л') en (wv k) dn (wlf h) en ( —/ w„ h') }.
:{cn* ( — iwv k') — £2 sn» (»!, A) [sn (w„ k) en (— to,, A')]1}.

еорема сложения в общем виде. Формулы «приведения» 55
Полагая теперь здесь wl=s=w и w2=-iK и замечая, что
sn (iK'k) сп {К А') = *, сп [1К\ k) сп (К, *') = 1, dn (*#', А) сп (/С', kf) = Л
и сп (/С', £') = 0 (см. § 28), находим:
a., i -iv4 sn((M)-l-fc + *cn(a>,fc)dn(a\fc)*0 1 ,Л^
sn (« + iA') = да-У8д»с^Л ' А1572Г' (69)
Совершенно таким же образом, пользуясь теоремами сложения для
спад и dnw (распространенными на комплексные значения аргумента)
, , ч спша-спшв — sn Wi sn w2 dn a/i dn w2 /C7,. ч
сп (Wl + Wl) = _-L_^__^__J .. (57bis)
. , . v dn w\ dn w2 —- Af2 sn wi sn w2 en a>i en w2 /cc, . .
dn к+«g=—!—i-w»ii«Ai»^—*— ' <5Sbis>
получим, предварительно умножив числитель и знаменатель правой
части каждого из равенств на сп3(—iw2>k') и положив затем wt =w
и w2~iK':
«(. + ИГ)--*Й5-, dn («Р + 1ДГ) = - i £5- (70)
Двукратное применение формулы (69) дает:
sn (w -j- 2//С) = = j— « sn w. ^7 j v
ksn(w + iK') k-k^b
Следовательно, функция snze/ имеет мнимый период 2iK\
Точно так же найдем в результате двукратного применения формул
сп (w -f 2iK) = — сп щ dn (w 4- 2ifC) = — dn w. (72)
В свою очередь, двукратное применение этих формул дает:
сп (w + 4//Г)=сп w; dn (w 4- W) = dn w, (73)
т. е. функции enw и dnw имеют мнимый период 4*7С.
Рассмотрим еще эффект прибавления выражения К-\~1К', к
аргументу якобиевых функций. Имеем, пользуясь первой из формул (20Ыз)
и формулами (70):
«(.+*+«*)=г5$38-Й£. (74)
Аналогично:
cn(w^K-\-i/C) = —^~;dn(w + K-\-iK')^ik'^. (75)
Наконец, двукратно» применение формулы (74) дает:
sn (И, + 2*+ Ж)=£*™+»^ = -sn W. (76)
Точно так же:
сп (« 4- 2А + 2ИГ) — сп да; dn (w -f а/Г-f- 2WT) = — dn w. (77)

50 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 31. Двоякопериодичность якобиевых функций
В предыдущем параграфе мы обнаружили, что якобиевы функции
помимо вещественных периодов имеют еще и мнимые. Так как сумма
или разность двух периодов функции является снова периодом этой
функции, то каждая из якобиевых функций имеет бесчисленное
множество комплексных периодов. Так, например, функция sn w имеет
периоды:
±4К, ± Ш', ±4К± 2iK\ ± 8К, ± 4iK, 8К± 2*/Г,...
Заметим, что каждая из элементарных периодических функций sin w,
cos w, tg w, ew, ...) имеет также бесконечное множество периодов. Так,
sin w имеет периоды: ± 2тг, ±-4я, ± бтс...; igw имеет периоды: ± тс, ± 2я,
± Зтг, ± 4тг, wew — периоды: ± 2rd, ± 4та, ± 6ш,...
Однако для каждой из этих функций, может быть указан один
основной период, такой, что всякий другой период той же функции можно
получить, умножив основной период на некоторое целое число
(положительное или отрицательное). Таким основным периодом для sin w
является 2тс (или — 2тс), для Xgw и (или—я), для ew 2iti (или —2m).
Такого рода периодические функции называются однопериодическими
или просто периодическими. Если основной период однопериодической
функции f (w) обозначить через со, то любой другой период Q будет
иметь вид: И = тт (w—целое число).
В этой формуле можно придавать т также и нулевое значение,
включая таким образом нуль в число периодов функции. В самом деле,
нуль можно считать периодом любой функции, так как
f(w + 0) = f(w).
В отличие от однопериодических функций якобиевы функции
являются двоякопериодическими.
Прежде всего, ни для какой из них, вообще (если только она не
вырождается в тригонометрическую или гиперболическую функцию) нельзя
найти одного основного периода со, такого, чтобы всякий период этой
функции был целым кратным от со. В самом деле, если бы, например, для
функции зп-к; был такой единственный основной период со, то должны
были бы иметь место соотношения:
4/<Wm1-a> и 2iK' = m2-co,
где m, и /По — целые (вещественные числа).
2ifC Я'
Но тогда отношение -та- = / щ*, являющееся чисто мнимым числом,
должно было бы равняться вещественному числу -^ , что невозможно.
Каждая из якобиевых функций имеет зато два основных периода (0j
и (о2, таких, что любой период Q такой функции выражается через
основные периоды по формуле:
0 = m1(o1 -j- w2(o2.
Не доказывая здесь этого предложения, укажем только основные
периоды якобиевых функций. Так, для sn w за основные могут быть взя-

Параллелограм периодов. Конгруэнтные fочки 57
ты периоды (о1«4/С и (o2 = 2W. Мы говорим: «могут быть взяты», так.
как выбор пары основных периодов для двоякопериодической функции
может быть сделан бесчисленным множеством способов. Так, например,
за основные периоды snw можно принять также <Dj -}- <о2 = 4/C-f- 2гЛ'
и (Di-— (оа = 4/(— 2iK или 2(0,4-Зоь = 8/С4-6*/С' и 3(0.4-5(1).=
с= \2К+№К и т. д.
Однако сделанный нами выбор является наиболее простым.
Для функции cnze/ мы обнаружили в § 30 следующие периоды: 4/С
[формула (lObls)J, МК [формула (73)] и 2/C-f 2W [формула (77)].
Очевидно, что периоды 4/С и 4/А*' не могут быть взяты за основные.
В самом деле, период 2K-{-2iK' нельзя представить в виде:
ни при каких mi и т2 (целых), так как в последнем выражении коэфи-
циенты при /Cj и iK суть целые числа, кратные четырем, в то время
как в выражении 2/C-f- 2//С каждый из соответствующих коэфициентов
равен 2.
Можно показать, что за основные периоды функции сп W могут быть
взяты числа 4/С и 2K-\-2iK'. Заметим, что период UK! следующим
образом выражается через эти два:
4WT = -l-4/:+2-(2/C+2«').
/Наконец, за основные периоды dn w могут быть взяты числа: 2/С и 4iK'.
Таким образом любой период функции sn w может быть записан
в виде:
любой период спад в виде:
и любой период dnw в виде:
m1'2K+mi4iKt.
f Здесь, т1 й т2 обозначают целые числа (или нули).
§ 32. Параллелограм периодов. Конгруэнтные точки
Для того чтобы нагляднее представить себе поведение якобиевых
функций комплексного аргумента w, воспользуемся плоскостью
комплексного переменного w, где каждому значению w = u-\-iv
соответствует точка с прямоугольными декартовыми координатами ufv*
Обозначая основные периоды якобиевой функции f(w) (какой из трех,
пока безразлично) через со2 и со2, отметим точки с аффиксами о>1 и со2-
Вместе с точками с аффиксами <ш = 0'и до = Wj-|-u>t (которые также
изображают собой периоды нашей функции) эти точки являются
вершинами параллелограма, называемого основным параллелограмом периодов.
В случае sn до параллелограмом периодов будет прямоугольник со

58 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
:торонами АК и 2/С, в случае dn w—прямоугольник со сторонами 2К
и АК и, наконец, в случае zww — параллелограм с основанием АК
К*
углом при основании arctg тг- и высотой 2/С •
Покроем теперь всю плоскость сетью параллелограмов, равных основ*
ному параллелограму периодов и одинаково с ним расположенных (так
что каждый из них может быть совмещен с основным путем
параллельного переноса (без поворота). При этом потребуем, чтобы
параллелограм ы не налегали друг на друга и не оставляли просветов в плоскости.
Тогда каждая точка плоскости будет лежать внутри или на контуре
некоторого параллелограма. (В последнем случае она принадлежит
одновременно контурам двух или четырех параллелограмов, смотря по тому,
отлична она от вершины параллелограма или нет.)
Покажем, что каков бы ни был аффикс W этой точки, всегда в
основном параллелограме (исключая из него стороны, не проходящие через
начало координат) найдется одна,- и только одна, точка с аффиксом w,
таким, что
где Q = m1o)1-f-/nscDs есть период функции f(w).
Для доказательства сдвинем, как одно целое, параллелограм, внутри
или на границе которого лежит точка W, так, чтобы после сдвига он
совместился с основным параллелограмом. Пусть wf будет аффикс той
точки, в которую попадет точка W. Очевидно, что разность между
первоначальным аффиксом точки (W) и новым (w ) будет одна и та же
для всех точек данного параллелограма. Геометрически она представится
вектором перемещения, который можно разложить на две компоненты,
параллельные сторонам параллелограма. Каждая из этих компонент
будет отличаться лишь целочисленным множителем от соответствующего
вектора, образующего сторону основного параллелограма. Поэтому
W-v/=m'«>l + т"(о2.
Если теперь wr не лежит на стороне основного параллелограма, не
проходящей через начало, то теорема доказана (w' = wv т! = тг и
т"~гп2)-
Бели нет, если она лежит, например, на стороне, не проходящей через
начало и параллельной вектору, изображающему число &lt то точка
w^zw'— <i>2 удовлетворяет условиям теоремы: действительно, она лежит
на стороне основного параллелограма, проходящей через начало, и,
кроме того, связана с W соотношением:
W— W = W — w* + о>з = /я'©! + (01* +1) <в2.
(Здесь следует положить: т! ***т\ и т'' + 1 «=* т2) •
Две точки, аффиксы которых отличаются периодом, называются
конгруэнтными. Мы можем формулировать поэтому наше предложение
следующим образом: для всякой точки комплексной плоскости
существует одна, и только одна, конгруэнтная тонка в основном
параллелограме периодов (исключая из него стороны, не проходящие через
начало координат).

Нули и полюсы якобиевых функций 39
Так как значения эллиптической функции в двух конгруэнтных
точках одинаковы, то достаточно изучить поведение функции внутри
основного параллелограма и на его сторонах, прилегающих к началу, чтобы
знать поведение функции во всей плоскости.
В каждом параллелограме нашей сети функция принимает те же
значения, что и в основном параллелограме и притом в той же
последовательности.
§ 33. Нули и полюсы якобиевых функций
Отыщем теперь все те точки основного параллелограма периодов,
в которых якобиева функция обращается в нуль (аффиксы этих точек,
а иногда и сами точки называются нулями функции), а также те точки,
в которых функция обращается в оо (аффиксы таких точек, а иногда и
сами точки называются полюсами функции). Тогда мы будем знать все
возможные нули и все возможные полюсы функции: они получатся из
нулей и полюсов» лежащих в основном параллелограме, путем
прибавления к ним периодов.
Проведем исследование для функции $nw, а для остальных сообщим
только результат (рассуждать можно совершенно так же).
По формулам (66) и (67):
sn (ц, k) dn (р, k') + i sn (p, k') en {v, k') cn (ц, k) dn (u, k)
snw — — cn* (v, k!) + № sn* (и, k) sna (v, k')
Для того чтобы комплексное число, каким представляется snw,
обратилось в нуль, нужно, чтобы обратились в нуль одновременно его
вещественные и мнимые части, т. е. нужно, чтобы выполнялись равенства:
sn (и, k) dn (р, k') п
cfi*(vtk,) + №stfl(a,k)stf(v>k')'~~Vt \'*>
sn (у, k') cn (р, fe') сп (и, AQ dn (u%k) ~ /удч
Cn2(^fc')+#»Sn2(«.*)snHM') " К
Отыщем, при каких значениях и и v обращаются в нуль числители
дробей, стоящих в левых частях этих уравнений. Если знаменатели при
этом в нуль не обращаются, то соответствующие значения wz=u-\~iv
и будут искомыми нулями sn w. Заметим, что так как и и V числа
вещественные, то мы можем опираться в нашем исследовании на хорошо
известное нам из § 6 и 12 поведение якобиевых функций для
вещественных значений аргумента.
Приравнивая нулю числитель дроби из уравнения (78), находим:
/sn (it, А) = О
так как dn (v, к') не обращается в нуль ни при каком вещественном
значении v).
Но sn(«,ft) при и, изменяющемся от 0 до АК (мм ищем сейчас нули,
лежащие в основном параллелограме, почему 0^и^4К), обращается
в нуль только лишь при и « 0, «т= 2К и и =я 4/С

60 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
При этих значениях и имеем:
010=1, сп2/С= —1, сп4/С=1,
dnO=l, dn2/C=l, dn4/C=l
:м. формулы в конце § 6).
Поэтому числитель дроби в уравнении (79) обратится в + sn (v, kl)
сп(г>, ft')> a знаменатель в en* (if, A').
Очевидно, что соответствующее значение дроби; ±--;-*{- может
СП {V, к }
равняться нулю лишь при значениях V, при которых sn (v, kr)
обращается в нуль, т. е., ограничиваясь значениями v : 0 ^ • v < 2/Ci при
v ~ 0, v - 2К'.
Знаменатель сп2 (у, Л') -f ft2 $п3 (и, к) sn2 (г>, А;') обеих дробей при
найденных значениях и и v равен единице, т. е. в нуль не обращается.
Таким образом получим все возможные нули sn w, лежащие в основ»
ном параллелограме, комбинируя значения и = О, и = 2/С, и = 4/С со
значениями г/ = 0 и v = 2/ф найдем:
те/^О+О • * = 0; 0 + 2K'i — 2КЧ; 2K+Q-i = 2K, 2K+2Ki\
4/C+0i = 4/C; 4K+2KL
Из них только w = 0 и i^ = 2/C не лежат на сторонах основного
параллелограма, не проходящих через начало координат. Прибавлял
к каждому из чисел 0 и 2/С любой период, получим все возможные
нули функции snw:
w = 4/С» ^ + 2iK'mv
w = 2/С+ 4#* mi + 2*/('ma.
Совершенно аналогично можно было бы отыскать все полюсы
функции snw. Только теперь нужно было бы приравнивать нулю не
числитель, а знаменатель выражения snw.
Полюсами snw, лежащими внутри основного параллелограма, являются;
w=K'i и w=z2K+K'i.
Все возможные полюсы snwзаключаются поэтому в формулах:
w =± Ki + Штг + 2/С'ша,
w = 2K^K!i + 4/Cm2 -f- 2/C'm2.
Нули и полюсы в основном параллелограме для каждой из трех
кобиевых функций отмечены в следующей табличке:
Полюсы . . . « .
sn а
0
Ж+КП
спи v
К
Ж+K'i
зк
AK + K't
dn и
к+гкч\
ZK'i

Поведение якобиевых функций на сторонах и средних линиях 61
>4ЛЧК'/
§ 34. Поведение якобиевых функций на сторонах и средних
линиях параллелограма периодов
Мы ограничимся здесь рассмотрением поведения sn w. Рассуждая
аналогично, читатель может изучить поведение en w и dn w.
I. На фиг, 4 отдельно начерчен основной параллелограм периодов
функции snw.
Аффиксы его вершин суть О, АК, 4K-\-2K'i, 2K'i-
Мы уже видели раньше, что вещественным значениям аргумента w
соответствуют вещественные значения
sn w. И если аргумент будет изменяться
вдоль вещественной оси от 0 до 4К, \и
то функция snw, оставаясь все время 2#',Д 2K+2K'i q4K+2tCt
вещественной, будет при значениях -до, ] Т
равных О, К9 2К, 3/С, АК, иметь значе- I t
ния: 0, 1, 0,-1, 0. я'/! l£$LL
Посмотрим теперь, что станет с
функцией sn w; гёогда w будет принимать
чисто мнимые значения. Qb
На основании формулы (^4) имеем: "к
"С* *>«*££&.
где v — вещественное.
Отсюда заключаем, что когда w изменяется вдоль мнимой оси Ov,
то функция snw получает чисто мнимые значения: при w, равных О,
/Ci, 2K'i, ее значения будут: 0, оо, 0.
Чтобы проследить за характером изменения функции sn и в точках
верхней стороны основного параллелограма и его правой стороны,
достаточно вспомнить, что периодами sn w служат АК и 2K!i-
Следовательно, картина дпя верхней стороны будет та же, что и для нижней,
а для прзвэй — та же, что и для левой.
Если бы понадобилось исследовать значения функции sn W в точках
средних .линий параллелограма, то это нетрудно сделать, пользуясь
формулой (§ 30):
для линии, параллельной оси Ои, и формулой
sn (2/С+ iv) = — sn iv
Для линии, параллельной оси Ov. При этом в первом случае придется
менять и от 0 до АК, а во втором v от 0 ло 2К'-
В точке пересечения средних линий будем иметь (§ 51):
sn(2ff+K7) = ©o.
На фиг. 4 все те точки, в которых функция snw обращается в нуль
нули функции), обозначены кружками, а те, в которых функция
обращается в бесконечность (полюсы), отмечены знаками оо. В общем мы

62 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
ki-
,2/T+ff'/
видим, что sn w обращается в нуль в шести точках и в бесконечность
в трех. Но из всех этих точек к основному параллелограму можно
отнести только два нуля (0 и 2/0 и два полюса (R'i и 2К-\-К'£).
Прочие придется отнести к параллелограмам, смежным с основным.
Особенно наглядно это можно видеть, если основной параллелограм
несколько сдвину)ь по способу параллельного
перенесения, как показано на фиг. 5.
Мы доказали выше, что кроме тех нулей
и полюсов, которые нами отмечены, других
в основном параллелограме быть не может.
Таким образом в основном, а стало быть,
и во всяком параллелограме периодов
„ функция snw имеет только два нуля и два
~*~ полюса.
Мы указали здесь прием, помощью кото-
рого можно изучить распределение значений
функции sn w вдоль некоторых прямых, параллельных осям. Чтобы
изучить распределение значений этой функции в прочих точках параллело-
грама периодов, надо образовать
и менять и от 0 до АК и v от 0 до 2/('. Выполнять этого, однако,
здесь мы не будем.
2. Не входя в подробности, мы укажем только вид параллелограио*
периодов для функций en W и dn w (фиг. 6 и 7).
\гн
Фиг. б
2/f+3K'/
гк+K'i
Фиг. б
Фиг. 7
§ 35. Вычисление значений функций sn», спаи dn»
Если дан аргумент и и модуль k (или модулярный угол G), то вьг
числение функций sntt, спи и dtiH производится весьма просто при
помощи табл. 1 и обыкновенных логарифмических таблиц.
Пример 1. Вычислить функции sn к, спиибпи, если и — 0,26444
и модулярный угол 0 = 69°.
Прежде всего определим число К. При 8=69°, согласно табл. 3:
#«2,46100.

Вычисление значений функций sn и, сп а и dn а 63
Мы видим, что в нашем случае и<^К. Обращаемся к табл. 1. В ней
находим, что при и = 0,26444, и 6 = 69° амплитуда <р=а15°.
Следовательно, на основании формул
sn и = sin ? и сп и = cos <р
будем иметь:
sn 0,26444 = sin 15°= 0,25882,
en 0,26444 = cos 15°= 0,96593.
Далее, согласно формуле:
dn и = V\ — sin2e.sin3lT
находим: __
lgdn 0,26444 =1,98693,
dn 0,26444 — 0,97035.
Пример 2. Вычислить sn5,8423, если модулярный угол б«28°.
При 6 = 28°, согласно табл. 3:
К== 1,67006.
Пользуясь формулою приведения, пишем:
sn 5,8423±= sn (5,84 23 — 4JK) = sn (— 0,83794) = — sn 0,83794.
Табл. 1 при б «я 28° дает соответствие:
46° 0,82052
47° . . 0,83908
Теперь из пропорции (см. § 21)
у —46° 0,83794 — 0,82052
47е — 46° *" 0,83908 — 0,82052
находим:
Ф = 46°56'19"; lgsin у =1,86369; sin <р = 0,73062;
следовательно:
sn 5,8423=— 0,73062. '«
Пример 3. Вычислить sn (0,38437/) при модулярном угле 6 = 78°.
На основании формулы (64) будем иметь:
еп/Лоо^7/ ь\ ;8П (0,38437, k')
sn (0,38437 *,*)-! ^___ .
зцесь ft = sin 78°; ft'=*»sinl2°. л.
При модулярном угле б = 12° и и ==0,38437, пользуясь табл. 1,
находим амплитуду <р = 22°.
Поэтому
sn (0,38437, ft') = sin 22°,
en (0,38437, ft') = cos 22°;
следовательно:
sn (0,38437 i) = i \g 22° = 0,40403/.

64 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 36. Вычисление kf когда даны sn и и модуль к.
Предположим, что из уравнения
sn (и, Щ = а,
в котором k и а известны, требуется определить и. При решении этого
вопроса надлежит отличать несколько случаев.
1. 0<а<1.
Переписав заданное уравнение в виде:
sin <р = а,
определим из него амплитуду <р. Модулярный угол определим помощью
равенства sin 8 = k.
Зная ф и 6 при помощи табл. 1, находим соответствующее им
значение аргумента и, которое обозначим через и0. Общее решение будет
иметь вид:
и — и0+ 4тК+ 2nK'it
где т и п — произвольные целые числа.
Пример. Решить уравнение
sn (и; 0,5) = 0,971.
Здесь sin <р = 0,971; <f = 76° 10'. Из уравнения sin 6 = 0,5 = Л находим
О = 30°.
Теперь воспользуемся табл. 1. При 0 = 30° в ней находим, что
амплитуде 76° соответствует аргумент 1,40452;
амплитуде 77° соответствует аргумент 1,42449.
Из пропорции
ц0 — 1,40452 76°10'-76*
1,42449-1,40452 """ 77° —76°
находим:
й§= 1,40785.
Обращаясь к табл. 3, находим, что при модулярном угле 0 = 30°:
ЛГ= 1,68575.
При модулярном угле 8 ~ 60°:
/С~2,15652.
Теперь имеем общее решение:
и=1,40785+6,743 m + 4,31304 mf
где т и п — произвольные целые числа.
2. к«<4-
Будем искать и в форме JC-f-iM- Наше уравнение перепишется в виде,
sn(K+4 Л) = а.

Вычисление а, жогда даны зп и и модуль к 65
Но, согласно формулам (20bis) и (65) будем иметь:
Следовательно:
1 _
и отсюда
В этом уравнении только v неизвестно. Так как количество ■ ."Г -
больше нуля и меньше единицы, то мы приходим к первому случаю.
3. -£-<а<оо.
Будем искать и в форме f(~\-ICi-\-v. Уравнение принимает вид:
Но пользуясь формулой (74), будем иметь:
sniK+K4+Vtk)=gggy
Вследствие этого наше уравнение представится так:
<*п(р.*) _ д
Л-сп(г>, Л) "~"
Отсюда уже нетрудно получить, что
«(*,*)«-iV^S-
Таким образом вопрос приведен к первому случаю.
4. Если а есть число отрицательное и равное — &, где £>0, тс
!8п(к,&) = —6, или sn(—u>k) = b и приходим к рассмотренному
раньше случаю.
б. Пусть, наконец, а — число чисто мнимое, т. е. а = М, где й —
вещественное. Будем искать аргумент и в формуле ш. Мы получим:
sn(tf/, k)=^bit
или вследствие формулы (65):
зп(р, fe') __.
cn(v, Л') "~р>
тогда sn (v, k')— > s,
имеем первый случай.

66 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
§ 37. Вычисление я, когда даны спи или йпи и модуль к
Пусть cn(u,k)~b. Требуется по данным Ь и к найтн и. Имеем:
sn (и, ft) = )/1 — £а = а.
И если и0 есть одно решение, то общее решение:
и = й0 + 4w/f-f 2л (/С + /С/).
Пусть dn(«, ft) = £. Будем иметь:
sn (и, ft) = -~ у/1 —с* = а.
Если и0 есть одно решение, то вообще
и = uQ + 2/я/С+ 4л/П.
В формулах, выражающих общее решение, буквы тип обозначают
произвольные целые числа.
УПРАЖНЕНИЯ
Докааать, что
2 sn u сп v dn v
,. М1(« + *)+М1<11-*)= !_*„«„„!, •
/.41 / , 2cnucnt>
2. cn(ii + P) + cn(ii-P).Sl,ifcP8tf|i8nap.
2dnudnv
3. dnCii + ^ + dndi^p)^ ^^щв^,^
/ i ч ч sn2« — snap
4. anfr + ^snCM-*)^^^.^.
, t dn2«-dn3v —Л'2
5. cn(« + v).cn(«-v)-iB|(I_^sntlIsirF).
ft2cn2«Cn2V —Л'«
, . % . „ , • , . v 2sn«'Cn«.dnt;
7. sn (и + v)• en (« — v) 4- sn (i* — v)■ en (« + v)« ~—да81Ж«ц.81Жгр .
I. cn«-sn v-dn(« + v) =s dnv •sn(u + t;)~"- cnv-sn«.
9. cntt-cnv-dn(« + l;)!=s dnH-dnt/.cn(u + v) + £'2snU'Sni;.
и +1; и — v J « — v
2sn—g—' cn """5— n —2—
10. snu4-snt/£=
u 4- v
2 cn —л—" cn —о—
11. спи + cnw- u + v -jzrv
1 —Af2sn2—~—-stf
2 ,a" 2

Упражнений
67
ля и+v я U—V
2 dn —§— "dn —2—
12. dnu + dnv^- j37^r IT^tr
1 — Л» sn2 '2 .Sn2 —g—
1 — en 2u _ atfiu-dtfu
13- )+сп2и ~ cn2«
sn u- dn ««en v — sn v• dn t>♦ сп и
14. 8Il(«-tF).dn (« + ©)= l-tfsrftt.StfV •
15. sn-~ = ±|/f
~cn«,
+ dn«
u ft' i / 1 — dnH~
16. cn-j-- ±TV dim'-cna '
J и , ,, i/ 1 —спи
sn' и-сп' u /dnu \3
л —dirs—(-г-;-
20. sn" и « — (1 + ft2) sn и + 2*a sn» и.
21. сп"и = (2*2 — 1)спи — ДОсп'и.
22. dn* u ~ (2 — V) dn и — 2 dn3 н.
23. sn'(0) = l.
24. sn"'(0)= — (1 + *■).
25. cn"(0):= — 1.
26. вп<Б>(0)=1 + 14*а + Л*.
21, dn"(0)« — #.
«P
0
Обратить интегралы:
« f Yb dn(«/5) У 5

68 Нормальные эллиптические интегралы и функции Якоби
1
V/2
dg i j
У*(*-1)(4*-1)' 0твет- z==Wi< *-Т-
1
Л и=*уг1шкщ' 0шет- г~сп8и; *=ут-
г
з
as. и- — /* ОЛгг _ 3dnu _1_
i/ ^+12г-18)(4г«-6« + 9)'С,,яв<р,я'*=:г dnu + snu ;*e|/3
86. Вычислить функции snu, спи и dnu, если «=» 0,37; Л =0,8367.
Ответ. 0,35627; 0,93438; 0,96464.
37. Вычислить функции snu, спи и dnu, если и«0,89; А = 0,63245-
Ответ. 0,76139; 0,65986; 0,87987.
38. Вычислить sn и, если и = 2,38; k — 0,8944.
Ответ. 0,99849.
39. Вычислить en и, если и = 1,36/; £2 = 0,6.
Ответ. 2,9473/.
40. Вычислить snu, спи и dne, если и = 8,91628; Лгг-у
Отпет. 0,96818; 0,25027; 0,72892.
41. Вычислить sn и, если ц е= 6,35814, Л = ^j-,'
Ответ.-— 0,98953.
42. Решить уравнение sn (и; 0,4472) = 0,90025.
Ответ. и« 1,16 + 4/и/С+2лАг7, где /С === 1,66967; /<" =2,25740;т и п-
любые целые числа. _
43. Решить уравнение en(u;^-j-) = 0,93305.
0/яв«/я. и = 0,4 + 4/я^ + 2л(Л:+/<'7), где tf = К" « 1,85407.
44. Решить уравнение dn (и;^г) = 0,87253.
Ответ, и = 0,8 + 2тК + АпК' I, где К — /С » 1,86407.
45. Доказать, что
те те

ГЛАВА II
ПРИЛОЖЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛОВ
§ 38. Задача о продольном изгибе
Мы сейчас покажем, что одна из основных задач строительной
механики, именно исследование продольного изгиба, принадлежит к области
эллиптических интегралов. Постановка задачи, как известно, такова:
Брус, закрепленный одним концом неподвижно, подвергается действию
сжимающей силы Р, приложенной к его другому концу. Если сила Р
достигает некоторого значения, называемого критическим, то брус
искривляется и начинается явление продольного изгиба.
На фиг. 8 линия О А представляет изогнутую ось бруса.
Первоначально эта ось была прямолинейна и совпадала с осью Ох. За
плоскость ху мы выберем плоскость наименьшей жесткости
бруса, в которой и возможен его продольный изгиб.
Расстояние от точки А до оси ОХ обозначим буквою &.
Диференциальное уравнение изогнутой оси бруса
будет:
Ely"
X
«Ж.
0)
o+yV
Здесь буква Е обозначает модуль нормальной
упругости; /—момент инерции поперечного сечения,
которое мы будем считать постоянным, М — изгибающий
момент в каком-либо сечении S.
Если изгиб бруса незначителен, то величина первой г~
производной у' мала и можно пренебречь ее квадратом . _
с единицей. В таком случае получаем иг'
приближенное диференциальное уравнение изогнутой
по сравнению
общеизвестное
оси в виде:
ЕЬ" — М.
Мы здесь, однако, будем предполагать, что искривление бруса
значительно, и будем пользоваться диференциальным уравнением изогнутой
оси в форме (1).
6 данном случае нагибающий момент в сечении S:
М=Р(Ь—у).

70 Приложения эллиптических функций и интегралов
Поэтому
-5uLTeP(i_,).
<i+/*)T
Полагая У =«р» мы будем иметь:
У ~ dx lx dy dx~~p dyJ
т. e.
Elpdp
L=P{t-y)dy. (2)
(1+Л2
В начале координат, при jc = 0, ордината у~0; вследствие условия
закрепления и производная
у'=р = 0.
В уравнении (2) переменные отделены. Ради краткости положим:
и для участка OS будем интегрировать левую часть уравнения (2) ■
пределах от 0 до р, а правую в пределах от 0 до у. Получим:
"[тгт*-1]-*-"-*
откуда
„ — *У LXlV-[1*4-(*-■)»-«Т.
V[V + (« -JO* - «Ч18» - V -№ '
Преобразуя эго выражение, удобно будет положить
&—у = 9 cos?.
В таком случае
Вводя обозначение
2ц» ~* '
получим:
ux~_.*_ <l~ 2*Mtoaf)rfy
УЗ \/l--A2sin*y
или

Згдача о продольном изгибе
71
При интегрировании этого равенства предварительно заметим, что в
начале координат, при у=*0, получаем cos у = 1. Примем ф«-0. Теперь
имеем;
х —
2*L J J /l-*»sln«¥J
(3)
Равенство это, взятое вместе с равенством
j; —9(1—cos<f>),
(4)
представляет параметрические уравнения изогнутой оси стержня.
Эта ось может получать разнообразные очертания. Чтобы получить
«х, заметим, что в точке А приложения силы ордината у~Ъ и
cos<f>=0; поэтому <f = ~j-, -j, у,...,
вообще (2й-{~1)~2~» где я —произвольное
целое число.
Придавая в равенстве (3) верхнему
пределу <р эти значения, будем получать те
кривые, очертание которых может
принимать изогнутая ось бруса. На фнг. 9 v
10 указаны кривые в случаях, когда
<р = -^- и ф г= -^-. При построении
промежуточных между О и А точек каждой
из таких кривых приходится при
вычислении их координат пользоваться таблицами Y-
эллиптических интегралов первого и
второго рода (см. приведенный ниже
численный пример).
Величины Ь и kt с которыми нам
пришлось здесь встретиться, связаны одним соотношением, которое
нетрудно найти, если заметить, что, если пренебречь сжатием, то длина
изогнутого бруса равна начальной его длине /. Вычисляя диференциал
dl дуги изогнутой оси, после несложных выкладок найдем:
Фиг. 9
Фиг. 10
2k
yi—**sin><p
Отсюда, интегрируя, имеем:
/ =
2kJ
или короче:
tf?
}Л — tfsin*?
'=£•■*•
(5)

72 Приложения эллиптических функций и интегралов
§ 39. Определение критической сжимающей силы
Теперь определим ту сжимающую силу, при которой начинается
выпучивание бруса, т. е. продольный его изгиб.
Эту силу можно будет получить, если заметить, что в точке А при
х=ОД = /1 (фиг. 8) верхний предел <р принимает значения•—, —t
-=-, ,.t В частности при <р = -тр имеем:
/, 8
2k
Т
2 J lA-^sinVrtp — J yr=rw^Tf
или
*i = -5f[2£(A)-F(A)],
где через E{k) и F(k) обозначены полные эллиптические интеграл!
второго и первого рода. Ввод» обозначение
2E{k)-~F(k) = f(k),
находим:
И, следовательно, сила
представится в виде:
и ц2 62
Критическую силу мы получим, если предположим, что прогиб 8
стремится к нулю. Но вместе с прогибом 8 к нулю стремится и модуль kf
а длина 1Л стремится к /. Поэтому
крит Р = Я, = ^-/*(0).
Однако
/(0) = %Е (0) - F(0) = 2fd4-fd<t = -±-.
о о
Следовательно:
Если пожелаем определить критическую силу, соответствующую
деформации, указанной иа фиг. 9, то придется в равенстве (3) положить,
что верхний предел у вс= ~ . Мы получим:
Q в /

Численны А пример
Но (§ 18)
2
УУ1 — # sin1 <р rff = 3£(Л),
2l
2
-3F(k),
вследствие чего
а критическое
5*
fcasJitfcp
/,==§■/(*); P=ffW,
40 •
При <f"=*-o (фиг. 10) будем иметь:
~ 52.ц2.£/
крит Я=—^—
и т. д.
§ 40. Численный пример
2£/
Если по заданной силе Р требуется определить вид искривленного
бруса, то ход вычисления координат точек его оси может быть таков.
р
Задаемся отношением -=-, большим единицы, где Р0 есть критическая
сила. По формуле
определяем ja.
Затем из соотношения (5), которое можно переписать в виде:
пользуясь табл. 3, определяем модулярный угол 6. Когда знаем 6, то уже
нетрудно, пользуясь табл. 1 и 2, вычислить х и у для любых значений
угла <р и построить изогнутую ось.
Пусть, например,
г. е.
и, следовательно:
В таком случае
75=1.293,
р__ l,293.g2.£/
8/9
К^\ /1,293 = 1,6862.

74 Приложения эллиптических функций и интегралов
Пользуясь табл. 3, находим модулярный угол G = 40°. Теперь,
согласно (3) и (4), имеем:
I ?
х
I
«y-JTSS V t/ J Vl -«о» 40е sin* r / '
> ^ в-ан140°
•sin
l V
Будем приписывать амплитуде
Ф какие-либо значения, например
30°, 60°, 90°, и вычислим,
соответствующие им отношения тну
Результаты помещаем в таблице а.
Таблица а
?
0
30е
60е
90°
X
1
0
0,277
0,469
0,560
у 1
т J
0
0,096
0,860
0,720
Кривая IV на фиг. 11
построена на основании этих
результатов, следовательно, эта кривая
представляет вид оси стержняv
изгибаемого силою Я= 1,293 Р0.
Прочие кривые, начерченные на
той же фигуре, изображают форму
изогнутой оси бруса, которую она принимает при действии сил, ука-
Фиг. 11
занных в
N
Р
Ро
1 *1
1 '
1 ^
I /
табли!
I
1,015
0,970
J 0,220
*е Ь,
II
1,064
J 0,881
0,422
III !
М52
0,741
0,593
VI
1,293
0,560
0,720
V
1,618
0,349
0,792
VI
1,884
0,123
0,803
VII
2,541
— 0,107
0,750
Таблица b
VIII
4,029
-0,340
0,925
IX
9,116
— 0,577
0,421 J
Здесь буквами хх и ух обозначены координаты точки приложения
силы Р.

Движение шатун паровой машиаы
75
cl
ъ
/а ,
Jq
Г
м
^^7?^-
Фиг. 12
Р
ч
§ 41. Движение шатуна паровой машины
При изучении движения точек шатуна паровой машины часто
пользуются тригонометрическими функциями. Но исследование можно вести
также и при помощи
эллиптических
функций, причем вид
формул несколько
упрощается.
Примем центр О
маховика (фиг. 12) за
начало координат,
прямую, вдоль которой
перемещается поршень
парового цилиндра, за
ось ОХ, а
перпендикуляр к ней в точке О за
ось OY. Систему XOY
будем считать неподвижной. Подвижной будем считать систему SQi],
в которой прямая QSecib ось шатуна; длину шатуна обозначим через /,
а радиус маховика через R.
Если возьмем какую-либо точку М шатуна, то координаты ее х и у
связаны с координатами 6,и г\ помощью соотношений:
х = л:0 -f- S cos у — г] sin у,
у—у0 + S sin y +т) cosy,
где x0 и y0 — координаты точки Q, a y — угол, отсчитанный в
положительную сторону между положительными направлениями оси ОХ
и QS.
Для нас будет удобно вместо угла у ввести угол р, дополняющий у до
360°. Кроме того, заметим, что
xQ~Rcosa,
yQ~R sin а,
где а — угол, показанный на фигуре.
Формулы преобразования координат можно написать теперь в виде:
х = R cos a -f- g cos fi -f- ij sin j},
jr = R sin а — S sin ft -f *1 cos (5.
Обращаясь к треугольнику OQP, мы видим, что
о
sinp = — sina«=*-sina,
где Л = -j- и есть число, меньшее единицы.

76 Приложения эллиптических функций и интегралов
Сводя вопрос к эллиптическим функциям, примем интеграл
и
о
за аргумент. В таком случае:
а = ати,
slna=sn«,
cos a = en ut
sin ^=Л sn «,
cos [J =' У \ — k2 sn2 и = dn и,
и, следовательно, формулы преобразования координат:
к = AZcn«-f"Sdntt-f~*4sntt>
у = *(/-- 5) sn и -f- ч dn«.
(в)
В этих равенствах примем сначала, что S и 7] постоянны. В таком
случае получим выражения координат ^ и) некоторой точки М
шатуна в зависимости от эллиптических функций аргумента и. Если
исключим величины sn и, спи и dnu из равенств sn*и + спаи = 1;
dna# = 1—A2sn2« и из равенств (6), то получим уравнение
алгебраической кривой четвертого порядка. Это та кривая, которую точка М
шатуна при его движении вычерчивает в неподвижной плоскости XY.
Проше всего ее можно построить, исходя из равенств (6). Нетрудно
видеть, что при перемещении точки Q по окружности угол а
изменяется от 0 до 2я. Следовательно, аргумент и изменяется от 0 до
4/С (см. § 18).
Рассмотрим такой частный случай:
/?=1; / = 3;
6=1; Ч = 0Л.
Ограничиваясь при вычислениях тремя десятичными знаками, будем
иметь:
к = 0,333; *' = 0,943;
в = 19°28'; К =1,617.
Формулы для координат точки Е = 1 и >) = 0,1 таковы:
X — cn«-f-dntt+ зо snu>
y=z-^snu+~dnu.

Движение шатуна паровой машины 77
Координаты для восьми ее положений приведены в следующей таблице:
1 •
U— !
0
1 п
Т
1 п
2
Зп
4
1 п
1 ч *.
т
3f
'т
2я
■
и
0
0,794
К
2tf-0,794
2АГ
2*+ 0,794
I за:
4JC—'0,794
4АГ
X
2,000
1,703
0,976
0,289
0,000
0,241
0,910
1,656
2,000
У
0,100
0,568
0,761
0,568
0,100
— 0,374 1
— 0,573
-0,374
0,100
Для нахождения максимума и минимума j/ составляем уравнение:
du
3
1 и ( dn и — -QQ sn и ) = 0
и его корни и = К и и = 3/С подставляем в выражение второй
производной -g-.
Фиг. 13
При и = 3/С будем иметь -^> 0, а при и = К, -рт < ^. Следователь-
О, при и = /С ордината j/ достигает наибольшего значения, а при
= 3/f—наименьшего. Траектория точки £= 1, q = 0,1 показана на
Фиг. 13.

78 Приложения эллиптических функций и интеграле
В частном случае, когда /? = '/, то k= 1 и $п д = th и; сп и = dn и =
«-jj-^(§ И). Точка Л1 шатуна в этом случае описывает эллипс
(окружность, прямую линию). В этом можно убедиться, исключая параметр
из равенств (6), которые примут вид:
X СП и — kt\ sh и — kl-\- 5,
j/chtt — (/ — £)/jsh и~ т].
Но это видно и непосредственно, ибо в этом случае точка М
оказывается неподвижно связанной с отрезком прямой длиною 2/, который
концами своими скользит по осям ОХ и OY, и мы имеем дело с так
называемым эллипсографом. В этом нетрудно убедиться из чертежа, если
продолжить отрезок PQ до пересечения с осью О К
В равенствах (6) мы считали 5 и г\ постоянными. Но в них мож>
считать постоянными х и у. В таком случае исключение из них
аргумента и приведет нас к уравнению той кривой, которую на подвижной
плоскости $7] вычерчивает неподвижная точка М плоскости XY.
§ 42. Центроиды шатуна
Покажем еще, каким образом могут быть выражены координаты
мгновенного центра и найдены центроиды шатуна.
Диференцируя (6) по времени t} получим равенства:
х' = — /j[/snH-dnH-f-cnH'(S/jsntt — i)dntt)]tt',
у= k[lcnu-dnu — спи (ij/jsntt-J-SdnH)]**7,
выражающие проекции скорости на оси X и Y любой точки М. '
Принимая во внимание (6), их можно переписать так:
х? - -~£[/snH-dnH + cntt (klsnu—у)\и\
у' —- k [/en u-dnu-\-cnu (klcnu — x)] u\
Пусть xc,yc, Ec и i)c представляют координаты мгновенного центра относи
тельно осей XY и £?). Для мгновенного центра придется положить х/ =:
=s= 0 и у/ = 0, вследствие чего
/ sn и • dn и -f- сп и (kl sn и —j/c) i= О,
/ сп и • dn и -|~ сп и (/г/ сп и — х0) = О,
откуда координаты мгновенного центра
хс ~ /(/jcntt-f-dnMX )
*=/»«(*+5i).}
Т. С. у ' . ■
Л ™ Хг сп И •

Центроиды шатуна
7*
Исключение из этих равенств аргумента и приводит к уравнению:
(V - wy (V+Л') - 4«Ч\
(8)
в котором Ыг = 1 — k*.
Мы видим отсюда, что неподвижная центроида есть алгебраическая
кривая шестого порядка. В случае /=/? имеем Л' = 0; й=»1.
Следовательно, уравнение центроиды
представляет окружность радиуса 21.
Построить неподвижную центроиду можно, либо исходя из равенст»
(7), либо из уравнения (8). Так как кривая, очевидно, симметрична
относительно оси ОХ, то параметр и достаточно изменять от 0 до 2/С
Координаты хс и ус для некоторых положений мгновенного центра,
вычислены и помещены в прилагаемой
таблице. Вычисления производились в
предположении, что/? == 1, /=3, т.е.
1 а
0
1 я
7
1 ^
Зк
4
г,
U
0
0,794
К
2АГ-0,794
2*
*t
4,000
3,623
2,829
2,'.09
2,000
Ус
0,000
3,623
со
-2,109
0,000
Вид кривой показан на фигуре.
Часть ЕЕг соответствует перемещению
точки Q по дуге АВ\ Е2Е% по дуге
ВС\ Е2ЕА по дуге CD и ЕЕЬ по дуге
DA. Эти четыре дуги отмечены иа Фиг. 14
фиг. 14.
Уравнение (8), содержа четную степень j/, содержит только четные
степени и х. Следовательно, центроида симметрична не только
относительно оси ОХ, но и относительно оси OY. Вторая часть центроиды
на фиг. 14 не показана. Она соответствует предположению, что точка Р
лежит левее от О.
Мы говорили до сих пор только о неподвижной центроиде. Чтобы
найти уравнение подвижной центроиды, следует в равенствах (6)
заменить х и у значениями (7) координат мгновенного центра и решить по-

SO Приложения эллиптических функций и интегралов
лученные уравнения относительно ^ и i)c. Результат будет таков:
5c = '£jf<cn«-dn«-Asn'«),
i)e = /dn^iL(dnB+Acnw)
Исключение из этих равенств параметра и приводит нас к уравнению
подвижной центроиды.
§ 43. Относительное движение стержня в трубке, движущейся
в горизонтальной плоскости
Поставим себе целью решить такую задачу.
Внутри гладкой трубки с прямолинейной осью помещен прямой
стержень. Трубка лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Определить
закон относительного движения центра
тяжести стержня, если трубке был сообщен
Ъ/Ш? начальный толчок парою сил.
Пусть (фиг. 15) точка А есть центр
тяжести трубки, В — центр тяжести стержня,
О — общий центр тяжести, М — масса
трубки, т — масса стержня, расстояние АВ = р.
В таком случае:
ОА^а:
/яр
М + т'
Фиг. 15
ов = ь = 1МГт.
Так как в данном случае действует только имеющая потенциал
вертикальная сила тяжести, то имеет место интеграл живой силы и в
горизонтальной плоскости — интеграл площадей.
Напишем интеграл живой силы. Учитывая поступательные и
вращательные движения трубки и стержня, мы сможем написать, что
+ •
(-§)8 = const-
Здесь /?'и г — радиусы инерции трубки и стержня относительно
вертикальных осей, проходящих через центры их тяжести; и — угол,
образованный осью трубки с какой-либо прямой, лежащей в плоскости и
принятой за ось х.

Относит, движение стержня в трубке, движущ, к горизонт, плоек. 81
Если мы заменим а и Ь их значениями, то после упрощений найдем:
-Ь^[(*)р+'(*Я+>1*+-> (* )'-
-Т№с"»'+Т<Л"!'+"^)"* <9>
Здесь буква с означает начальное расстояние центров тяжести А и В,
а да — начальную угловую скорость системы.
При принятых обозначениях интеграл площадей будет иметь вид:
M(R2 + a*)-|f + т (г3 + б2) -g- = const.
Заменив а и & их значениями и приняв во внимание начальную
угловую скорость, мы можем последнее равенство представить еще и так:
(^+w+-0^=(^S.+^8+^)w- <10)
Заметив, что %=*%[%^й> мы из (9) получим:
+(Л1Л34'/»'а)(|Л
Теперь сюда подставим выражение производной -щ% найденной из (10).
Это даст:
/ Afmp« \t
Отсюда уже нетрудно получить, что
fry °*-**tt .;";'• оч
Если далее положим, что
р— cosy1 Mmc* *■*■• I1*5'
то получим:
откуда
т, е.
и, следовательно,
*/ 1Л - Л2 81П2 <р '
0 Г
<р =* am я, cos ? = en и,

82 Приложения эллиптических функций и интегралов
Последнее равенство и выражает закон относительного движения центра
тяжести стержня. Мы видим, что вопрос привел нас к эллиптическим
функциям.
Если, например, положим М = 3 ед. массы; т = 1 ед. массы;
f? ===== 10 ед. длины; г=2 ед. длины; с = 40 ед. длины, то, согласно (12),
19
&2== Sin2 0 =» щ- и модулярный угол 8 = 26°43'. Зададимся каким-нибудь
значением угла и, например положим, что и = 0,315. Помощью табл. 1
найдем, что амплитуда <р =18° и в таком случае
В частном случае, когда £==0, (11) дает:
(■£)V[i+ =«-
или, полагая
будем иметь:
(Л*+т)(Л/Д2 + тг2)
ТЯт~ —А»
Предполагая, теперь, что длина трубки растет неопределенно, получим:
оо
Иетх f—Jt
р]Л2 + р2
Но:
J р v"x2+P2 х \ р у
~ * а 4- лЛ« 4- Ра
При подстановке верхнего предела р«=оо дробь—— !-!■-
принимает неопределенный вид.
Применяя правило Лопиталя, мы без затруднений найдем, что дробь
эта обращается в единицу. В общем будем иметь:
B-ta(i±^±j-),
откуда
ИЛИ
p(ett — е~и) = 2Х,
т. е.
pshtt = X.

Форма вращающейся нити, прикрепл. к оси вращения двумя концами 83
,
0
/
1
1*
3^
X
А
J^^
?
^',
А
§ 44. Форма вращающейся нити, прикрепленной к оси
вращения двумя концами
Предположим, что около оси ОХ вращается нить, прикрепленная к
ней обоими концами О и А, расстояние между которыми обозначим через 2а
(фиг. 16). Исследование формы изогнутой нити производится при помощи
эллиптических функций
и предстжпяет
хороший образец их
применения.
Обозначим буквою т
массу единицы длины
нити и выделим
элемент нити ММ1
длиною As. Пусть
натяжения нити в точках М
и Мг равны Т и 7\.
Эти натяжения
направлены по касательным
в точках М и М1 и образуют с осью ОХ углы а и av Пренебрегая
весом, мы сможем сказать, что на элемент ММ1 действует еще
центробежная сила тю2у, где со есть угловая скорость вращения, которое мы
предполагаем равномерным. Проектирование всех сил на оси ОХ и OY
дает:
Тх cos ох — Т cos а = О
и
Ту sinocj — rsina-f-mAscD2)/ = 0
или
A(rcosa)=:0
и
A (Г sin a) + m As oty = 0.
Фиг. 16
Разделим обе части этих уравнений на As и перейдем к пределу в
предположении, что As—"О. Если при этом примем во внимание, что
cosa=~; sina=^; s = ОМ,
;ги получим:
Первое из этих уравнений дает:
T-fo~ С = const.

84 Приложения эллиптических функций и интегралов
Определим отсюда Т и внесем его значение во второе уравнение. Мы
найдем;
или
Но так как
то
вследствие этого
d (dy\ mufiy _ n
л\3*7"*" с ~u
(fly dx . mufiy n
dx 'dx*** dx'dx*'
<&a . mufly dy _ r\
Лс*"1" С </x~"U'
Отсюда после интегрирования получим:
dx + 2C ~1'
где Г — постоянная.
Предположим, что в точке, наиболее удаленной от оси вращения
ордината у = Ь. В этой точке ~ = 0 и д~ = 1. Вследствие этого
Г — 1 | т^ьъ
£=1+^-(*>~У). (13)
Далее из равенства
будем иметь:
dx = - &
Теперь положим, что j; =6-sin <р. В таком случае
*4y"l-*8sinV
где
*, _ MtiW
и
Вторичное интегрирование дает:

Форма вращающейся нити, прикрепл. к оси вращения двумя концами 85
Устанавливая пределы интегрирования, мы принимаем во внимание,
что в точке О, которую мы принимаем за начало координат, х~0 и
у =р 0, т. е. <р = 0. В точке, наиболее удаленной от оси вращения, X = х0;
yi=6-sin <р=й; т. е. <?"==---. Следовательно, в этой точке
Axt~f
* К
т. е.
о к
*0
х0 J \^1—tfa'Jn»* '
о
т. е.
¥=*ат
Уравнение изогнутой оси нити
* х0
Если здесь положим # = 2#0, то получим
_у = 6 . sn2AT=»0.
Но, с другой стороны, известно, что в силу способа закрепления у= 0
при л: = 2а. Следовательно, уравнение изогнутой оси нити
y=b • sn-^.
В более общем случае можно полагать x=*2nx0t причем «*о = -,
где л — целое и положительное число. При этом предположении
получаются новые формы вращающейся нити. (Об этом см., например, Аппель
«Руководство теоретической механики», т. I, стр. 211.)
В исследуемой задаче естественно предположить, что известны: длина
нити, которую мы обозначим через 2/, расстояние ОА = 2а, линейная
плотность нити, равная т, и угловая скорость со. Покажем, каким обра-
зом можно вычислить параметры Ь и К в зависимости от этих данных.
Для упрощения выкладок кроме модуля k введем еще
дополнительный k\ определяемый равенством:
k"> = 1 — ** = 4С + т9%ьъ.
Имеем;
Л'* e 4С •

86 Приложения эллиптических функций и интегралов
Заменяя у на 6 sin ср, мы сможем равенство (13) представить в виде:
4-т?г(1~*«-п"«-1.
Но так как
дх- а • d<?
то
и, следовательно:
Для половины длины нити будем иметь:
¥-■£-; £(f,A) = £(|. *.); /4¥,A)=f(-J-,*) = *.
Поэтому
^ТЫ? а> О4)
или
2д (1—*а)Х
l + a** Е
В этом уравнении неизвестным является модуль &. Он входит в
уравнение непосредственно и, кроме того, содержится в выражениях
интегралов Е и /С. При данных / и а число & может быть найдено способом
последовательных попыток, выполняемых при помощи табл. 3. Если будет
найдено kt а стало быть, К и Е9 то параметр Ь определится из
уравнения
' + * = -*-•
Оно получается из (14), если заметить, что
2д£ 4ECk WEC ЬЕ
Например, если 2/=» 156 ел*; 2а = 94 еж, то имеем
<1^>*=0.752.
Пользуясь табл. 3, приблизительно находим k = sin 40° =0,64279;
следовательно, /С— 1,78677; £=1,39314.
В таком случае:
Уравнение изогнутой оси нити
3/^=67,6 • sn 0,038*.

Случай, когда точки прикрепления иити лежат не иа оси вращения 87
§ 45. Случай, когда точки прикрепления нити лежат не на оси
вращения
Найдем уравнение той поверхности, которую описывает нить в том
случае, когда точки ее прикрепления расположены не на оси вращений.
Диференциальные уравнения вращения пространственной кривой будут
иметь вид:
ds \' ds J' u>
(15)
Первое из них дает:
Т-£ = А. (16)
Если третье умножим на у, а второе на z и результаты вычтем, то
получим:
или, как нетрудно убедиться:
откуда
T(y^~^)>=B = const. (17)
Выполнив указанные в уравнениях (15) диференцирования, помножим
первое ив них на dx, второе на dy, третье на dz и результаты сложим.
Получим:
dT+ Т (5** + "& аУ +S" &) + >"<»*(У dy+*dz) = 0.
Но вследствие перпендикулярности касательной к кривой и ее главной
нормали выражение, заключенное в первых скобках, равно нулю.
Следовательно:
dT+ wo2 (у dy -f я dz) = О,
откуда
7>-J-«а1 (у1+ *■)=-С, (18)
где С — произвольная постоянная.
Пусть у2-|-;г2:=га. В таком случае:
.У&+-&-Т ■&■<*• ... <19>
Если мы (17) поделим на (16) и результат возвысим в квадрат, то
будем иметь:
*(&)■-*■ £-#+"0*У-5- <*»

88 Приложения эллиптических функций и интегралов
или
Теперь возведем (19) в квадрат и сложим с (20). Найдем:
-да+(£Я-К£)+£
'[(£)'->]Ч(-£)'+-£-
Но так как
dx ** A e A lA ' Г '
то
*-[(4-ff-y-«]-(^r+¥-
Отсюда
(■£)-^V-"-+^-r>-
Разлагая многочлен в правой части на множителей, положим, что
(-g-)2=.^-*(r»-a«)(r»-^)(r»-0, (21)
где будем считать, что а2 > Ь2 > с2. По смыслу задачи г конечно. Будем
полагать Ъ2^>г2У>с2 и применим подстановку:
г2 - Ь2. sin* <р + с* • cos2 <р. (22)
В таком случае:
г2 — а2 = (£2 — а2) (1 — Л» sin2 <р),
а» —с» '
г3 — б2 = (г2 — Ь1) cos2 <р; Н — с2 = (Ь2 — £2) sin2 у.
Ввиду этого (21) принимает вид:
Пусть при * ass 0, г ■=» г, т. е, «р = 0. Интегрируя, получим:
44» (а» — с*) д /» rfy
т2<о* t/ \/l — Л2 ^П2 tp '
1С
Если при r=&, Л«А, то ¥ = -2". Следовательно:
И таким образом:
442(fl2~g2)
Уравнение искомой поверхности, согласно (22), будет:

Г Л А В A III
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 46. Предварительные сведения. Бесконечно удаленная точка.
Сфера Римана
Многие чрезвычайно важные свойства эллиптических функций оста*
ются в тени или проходят совершенно незамеченными, если
ограничиваться изучением этих функций лишь для вещественных значений
аргумента. Напротив, теория эллиптических функций, рассматриваемых как:
функции комплексного аргумента, и притом как аналитические функции,
приобретает чрезвычайную законченность и ясность и в этом виде
принадлежит к одним из наиболее разработанных математических
дисциплин. Не имея в виду давать в этой книге развернутой теории
эллиптических функций на базе теории аналитических функций'), мы все же
ознакомим читателя с ее основами. И прежде всего изложим здесь
необходимые понятия и теоремы из теории аналитических функций. При»
этом мы будем предполагать, что читатель знаком с комплексными
числами и действиями над ними, например, по «Курсу высшей математики»>
т. II, В. И. Смирнова.
Читатель знает, конечно, что комплексное число х -f- iy
изображается точкой плоскости с координатами (я, у)в системе декартовых
прямоугольных координат2). Число z называется при этом аффиксом
соответствующей ему точки. Плоскость, точками которой представляются-
комплексные числа, называется комплексной числовой плоскостью, илш
плоскостью комплексного переменного.
Предположим, что неременное комплексное число x-\-iy изменяется*
так, что его модуль .
\г\**ух*-\-уъ
неограниченно возрастает. Соответствующая точка комплексной плоско»
сти неограниченно удаляется от начала координат. Говорят тогда, что
число £ стремится к бесконечности, а соответствующая ему точка — к
бесконечно удаленной точке плоскости.
Читателю необходимо освоиться с мыслью, что, в то время как для
вещественного переменного и на числовой прямой рассматривания две
1) См., например, чрезвычайно изящное изложение Гурвица «Теория
аналитических и эллиптических функций», ГТТИ, 1933, а также В. И. Смирнов «Курс
высшей математики» т. III.
2) А также вектором, с проекциями х и у на координатные оси.

DO Краткие сведения из теории функций компл. переменного
бесконечности +оо и две бесконечно удаленные точки для
комплексного переменного и в комплексной плоскости рассматриваются
одна бесконечность и одна бесконечно удаленная точка. Так, относи*
тельно переменных zlt г2 и £3> принимающих значения: zt=i, 2i, St,
4t,...; йг2 = — 1, —2, -3, -4,...; *a=' + l; 2* + 2, 3/+3, 4*-f4,...,
смы одинаковым образом говорим, что каждое из них стремится к бес*
конечности и что изображающие их точки стремятся к бесконечно
удаленной точке плоскости.
С этой точки зрения обычная (эвклидова) плоскость, вполне пригод*
ная для изображения конечных комплексных чисел, перестает годиться
для изображения чисел, стремящихся к бесконечности, так как для обычной
плоскости мы считаем, что двум непараллельным прямым плоскости
соответствуют различные бесконечно удаленные точки.
Затруднения с геометрическим истолкованием бесконечно удаленной
точки исчезают, однако, если изображать комплексные числа не точками
плоскости, а точками поверхности сферы. Представим себе некоторую
<феру, например диаметра 1, касающуюся комплексной плоскости в
начале координат О (см. фиг. 17). Пусть Л—некоторая точка плоскости с
аффиксом £. Соединим А прямой с
Р точкой Р сферы, диаметрально
противоположной О. Прямая АР
пересечет поверхность сферы в точке Alf
которую и будем считать
изображением комплексного числа z на сфере.
Очевидно, для каждого комплексного
числа г можно найти изображающую
его точку сферы, причем разным
числам будут отвечать разные точки
сферы. Обратно, если дана какая-
либо точка сферы Blt отличная от Р,
фИГр 17 мы, найдя точку В пересечения
прямой РВ1 с плоскостью, найдем вместе
с тем и комплексное число —аффикс точки В, изображением которого
являлась точка В1 сферы. По мере того как точка В1 берется все более
и более близкой к Р, соответствующие точки В отходят все дальше
и дальше от начала координат. Если поэтому точка Bt будет по
поверхности сферы стремиться к точке Р, то соответствующие ей комплексные
числа будут стремиться к бесконечности. Таким образом точку Р можно
рассматривать как образ «бесконечно большого числа» на поверхности
ч:феры и в то же время как образ бесконечно удаленной точки плоскости.
Сфера, точки которой изображают комплексные числа, называется
сферой Римана, по имени знаменитого немецкого математика.
Ею следует пользоваться предпочтительно перед плоскостью всякий
раз, когда речь идет о бесконечно удаленной точке.
Заметим, что прямым линиям плоскости на сфере Римана соответствуют
вследствие указанного построения окружности, проходящие через точку
Р, и что, в частности, прямым, проходящим через начало координат,
соответствуют большие круги, проходящие через точки О и Р. Таким
образом полуплоскости, образованной точками, лежащими по одну сторону

Окрестность точки. Область
91
от прямой, проходящей через начало координат, соответствует полусфера
(см. фиг. 18, а), а части плоскости, заключенной между двумя
полупрямыми, выходящими из начала координат, на сфере соответствует
сферический двуугольник с вершинами в О н Р (см. фиг. 18, Ь).
а) Ь)
Фиг. 18
Соответственно с этим в комплексной плоскости прямую следует
мыслить как замкнутую линию, концы которой сходятся в бесконечно
удаленой точке (представляйте себе при этом окружность на римановой
сфере, проходящую через точку Р), а полуплоскость и внутренность
угла — как части плоскости, ограниченные замкнутой линией.
§ 47. Окрестность точки. Область
Введем в этом параграфе некоторые геометрические понятия, важные
для дальнейшего. Условимся, прежде всего, для краткости называть
окрестностью точки А плоскости (или сферы) множество всех точек,
лежащих внутри кружка (любого радиуса) с центром в А. Если точка
принадлежит какому-либо множеству точек (расположенных, например,
вне некоторой кривой или внутри некоторой замкнутой кривой), то мы
называем А внутренней точкой этого множества, если существует
такая окрестность А, все точки которой принадлежат к рассматриваемому
множеству. Так, например, любая точка полуплоскости, ограниченной
некоторой прямой, является внутренней для полуплоскости, если она не
лежит на ограничивающей прямой. Напротив, точки, лежащие на этой
прямой, не будут внутренними для полуплоскости, так как какую бы
малую окрестность мы ни взяли, часть ее (половина) будет содержать
точки, не принадлежащие к рассматриваемой полуплоскости.
Теперь мы дадим определение области: областью называется такое
множество, состоящее лишь из внутренних точек, две любые точки
которого могут быть соединены непрерывной линией (например ломаной),
состоящей из одних лишь точек этого множества. Поясним это
определение на примерах,
а) Полуплоскость. Все точки, лежащие по одну и ту же сторону от
некоторой прямой (но не на самой прямой!), образуют область.

92 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
b) Внутренность окружности. Все точки, лежащие внутри
некоторой окружности (но не на самой окружности), образуют область.
c) Внешность окружности. Все точки, лежащие вне некоторого
круга, образуют область.
d) Плоскость с разрезом. Все точки плоскости, не лежащие на
некоторой полупрямой Ооо, образуют область.
e) Круговое кольцо. Область образуют также все точки, лежащие
между двумя концентрическими окружностями («о не на самих
окружностях).
f) Все точки, лежащие внутри (но не на сторонах) двух
треугольников с общей вершиной С (без других общих точек), не образуют
области. Хотя каждая точка этого множества и является внутренней
для него, однако две точки, принадлежащие двум разным треугольникам,
нельзя соединить непрерывной линией, состоящей лишь из точек
множества. В самом деле, такая линия должна была бы пройти через точку С,
которая не принадлежит множеству (по самому способу его задания).
Граничными точками области называются такие точки, не
принадлежащие области, в любой окрестности которых находятся точки,
принадлежащие области.
Все граничные точки области образуют границу области. Эта граница
может состоять из одной или нескольких линий. Так, в примерах «а»,
«Ь»,«с»,«(Ьи «е» границами областей являются, соответственно: прямая,
окружность, окружность, полупрямая, две концентрические окружности.
Границей области могут являться также одна или несколько точек: так,
например, все точки плоскости, за исключением бесконечно удаленной
точки (под окрестностью которой можно понимать внешность любого
круга с центром в начале координат), образуют область, границей
которой служит сама бесконечно удаленная точка. Наконец, область может
вовсе не иметь границы: такова, например, область, образованная всеми
без исключения точками плоскости.
В тех случаях, когда общее число отдельных линий и отдельных
точек, образующих границу области, конечно, это число называется
порядком связности области, а сама область называется либо одно-
связной, либо двусвязной, трехевязкой и т. д. соответственно порядку
связности.
Так, в примерах <а», «Ь», «с» и «d» области односвязны, в примере
«е» область двусвязна.
Легко можно получить примеры бесконечно связных областей,
рассматривая, например, область, состоящую из всех точек плоскости,
кроме точек с аффиксами:-}-" 1, + 2,+ 3,-f*4,... ,-f-t, + #+ 1,...
Последние образуют границу области и так как это отдельные точки
(не составляющие одну или несколько линий) и число их бесконечно,
то и порядок связности бесконечен.
Дадим в заключение этого параграфа понятие замкнутой области.
Замкнутой областью называется множество точек, которое получится,
если ко всем внутренним точкам области присоединить также все ее
граничные точки. Так, в примере «Ь» мы получим замкнутую область
(замкнутый круг), если к точкам, лежащим внутри окружности,
присоединим еще точки самой окружности.

Пределы. Функции. Геометр, изучение их. Непрерывные функции 93
§ 48. Пределы. Функции. Геометрическое изучение их.
Непрерывные функции
Говорят, что переменная величина z~x~{-iy стремится к пределу
с = а-\-Ы, если все точки я, начиная с некоторого момента, попадают
в любую сколь угодно малую окрестность точки с.
Так как расстояние между точками г и с, равное |з — с\, становится
при этом меньшим, чем радиус кружка, образующего окрестность точки с,
то мы можем определить стремление к пределу еще следующим образом.
г стремится к пределу с, если, начиная с некоторого момента,
выполняется неравенство:
|0 — с|<е,
как бы ни было мало наперед заданное положительное число 8.
Наконец, Заметив, что
__—, ( 1л; — а I
\*-с\ = у/{х-а)* + {у-Ь? 7*У\у_ьу
мы можем утверждать, что lim в = lim с в том, и только в том случае, если
lim \х— а| = 0 и limjj/ — 6|=«0. Иными словами: комплексное пере*
менное g=sX-\-iy стремится к пределу c = a-j-bi, если вещественные
числа хну стремятся соответственно к пределам а и Ь. На основании
последнего определения все результаты теории пределов для
вещественных чисел сами собою переносятся на теорию пределов для
комплексных чисел.
Если аффиксу каждой точки z из некоторой области В комплекс*
ной плоскости соответствует определенное комплексное число W, то
говорят, что w есть функция от % (и притом однозначная),
определенная в области 5.
Например w = g2 является функцией от з, определенной во всякой
области, так как для всякого в = л:-4-у/ получаем определенное
Значение w = а2 « (л; -{- iyf а х2 —-у2 + 21 -ху. Также модуль яг: | aJ =
= | x-{-iy\ = у/ х2-{-у2 является всюду определенной функцией от «г.
Если положим 0г=л;4-у/ и w*=u-\~iv, то, очевидно, и и v
являются двумя вещественными функциями от двух вещественных
переменных X и у каждая. (В самом деле, если заданы х и у, то тем самым
задано а, а следовательно, и w, т. е. и и v.)
Таким образом изучение функций комплексного переменного в
принципе можно свести к изучению двух вещественных функций от двух
вещественных переменных.
Изучая функции вещественного переменного, мы привыкли пользоваться
графиком, для того чтобы наглядно представить себе характер
изменения функций в зависимости от изменения аргумента. Для функции
комплексного переменного с той же целью используются две плоскости
комплексного переменного, в одной из которых перемещают точку г
[плоскость (g)]9 а в другой следят за соответствующими перемещениями
точки w =/ \г).
Так, например, в случае w~z2, что можно записать также в виде:
U-j-iv=;x2-~y2-\-2ixyt откуда следует, что и*=*х2—у2 и v*=*2xy,

94 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
мы видим, что когда точка г перемещается по гиперболе типа:
х2 -у5 = а, вещественная часть wt равная и = х2—у2, остается
постоянно равной а, т. е. точка перемещается по прямой, параллельной оси V+
Точно так же, если z перемещается по гиперболе типа xy=zbf
постоянной остается мнимая часть w, равная v~2xy, и точка
-о/перемещается параллельно оси и.
J итоге два семейства гипербол: х2—У = а, ху = Ь, в плоскости
(г) переходят в плоскости (w) посредством функции: w = #2, в два
семейства прямых, параллельных координатным осям.
Можно также без труда убедиться, что, в то время как г описывает*
окружность с центром в начале координат и радиуса г, точка w
описывает окружность также с центром в начале координат и радиуса г2;
а если z описывает полупрямую, выходящую из начала координат под
углом а к оси х, то точка w описывает полупрямую, выходящую иэ
начала координат под углом 2а к оси и.
Чтобы притти к этим заключениям, удобнее записывать комплексные
числа г и w в их тригонометрической форме:
я=г (cos а+ * sin а),
w = R (cos А + i sin А) = г2 (cos 2a + i sin 2a).
Но вернемся к общим вопросам и дадим определение непрерывной
функции комплексного переменного.
Пусть W ==/0з) определена в некоторой окрестности точки г0. Если
для всякой сколь угодно малой окрестности точки wQ =/(г0) можно
указать такую окрестность точки £0, что все соответствующие значения
и =/(#) будут попадать внутрь указанной окрестности w0 =/ (#в), то
/(#) называется непрерывной в точке г. Это определение можно
заменить другим, заметив, что факт нахождения двух точек в одном и том же
малом кружке эквивалентен факту малости абсолютной величины разности
аффиксов этих точек. Иными словами, функция/(г), определенная в
некоторой окрестности точки 0О, непрерывна в этой точке, если для любого,
сколь угодно малого е (е > 0), можно указать такое 8 (8 > 0), что
будет:
.|/(*)-Л*о)Ю.
если только
|« — *ol<*.
или, короче, если
Hm/(e)-/(«,).
г—>г.
Так как
f (*)— /(*•) I - I N*Ofl + fo(*»,y)] — [" С*о..Уо) + И'(*о..Уо)] 1*"
— /И*, у)— и(х0, jf,>r+[«(*, JO—«(*» Л)]"^
Ми(х, jO — «(■*„, _у0)|
^| !•»(•*. у)—«С*ь»Л>1-

Производная функции комплексн. перемен. Уравнения Кошн-Римана 95
и
|в — ш9\ = \х+1у — (xo + iVo)le\/(JC—*o)a+Cv—УоУ^>
\X-Xol
^\У-УЛ'
то из сказанного выше следует, что / (g) непрерывна при g = g0 тогда, и>
только тогда, если
и
\v{x, y) — v(x0ty0)\-+0,
при \х — х01—кО и \у— у0 |—► (), т. е. если каждая из функций веще*
ственных переменных и (х, у) и v (х, у) непрерывна относительно х и у,.
при xz=zx0, У=Уо- Из этого следует, что все свойства непрерывных
функций вещественных переменных без изменения переносятся на
непрерывные функции комплексного переменного.
§ 49. Производная функции комплексного переменного.
Уравнения Коши-Римана
Пусть дана функция f(g) от переменной g = x-\-iy, однозначна»
и непрерывная в некоторой области. Дадим переменной g приращение
Дз = Дх-|-гДу и рассмотрим отношение
А/(*)^/(* + А*)-/(*)
Д* ^ Дет
в предположении, что g не меняется, а меняется только Дё. Если это
отношение при Аз—► 0 имеет конечный предел, не зависящий от того
способа, по которому Аз—»0, то этот предел называют производной
функции f(g) в точке g и обозначают через
я*)-
Заметим, что функция, имеющая производную в точке, в этой точке
необходимо непрерывна.
Функцию f(z), определенную в некоторой области G и имеющую в
этой области (т. е. в каждой точке области) непрерывную производную
f(z), мы будем называть функцией, аналитической в области О.
Требование, чтобы функция f{z) была аналитической в области (?,
приводит к некоторым условиям, которым должны удовлетворять ее
вещественная и мнимая части.
Выведем эти условия. Пусть f(z) = <р (я, _y)-f-i<J>(;t, у).
В таком случае:
/(0 + Дя) —¥(* + **• У4-Ду)-Нф(.* + Д*, У + Ьу).
Вследствие этого:
Д/(*) _ у (х + Ьх,у + Ду) -- tfxty) А(х+&х,у + Ду)-ф(х,у), /U
Д* Д* + '4У +1 Ег+Ду ' 11/

96 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
так как lim-4— не зависит от способа, по которому Дг = Ддс -{"" * АУ
стремится к нулю, то положим сначала, что Aj/ = Q. В таком случае
Дг = Дл;. Полагая, что Дя—► (), и переходя к пределу из (1), получим:
Теперь выберем другой способ изменения Да и положим, что Дя=*0.
В таком случае Д# = *Ду. И если Ду—► (), то в пределе из (1) следует, что
Сравнивая результаты, приходим к заключению, что
dx ду и дх ду* w
Этн равенства называют уравнениями Коши-Римана.
Таким образом для того чтобы функция f(z) была аналитической
в некоторой области О, необходимо, чтобы функция <р (х, у),
составляющая ее вещественную часть, и функция ф (х, у), служащая коэфициентом
при мнимой единице, имели в этой области непрерывные частные про*
«вводные, удовлетворяющие уравнениям (2).
Покажем, что полученные условия не только необходимы, но и
достаточны.
Пусть известно, что функции <f(x, у) и §(х,у), в каждой точке (х, у)
области G имеют частные проиводные, непрерывные и удовлетворяющие
уравнениям (2). Мы можем написать, что
где е и е1—бесконечно малые высшего порядка относительно у/(Д*)я4-(4У?«
Следовательно:
^(в)=д?+*Дф»Й>4'*+-|-л->'+^(^-4л+^'А-у)+8-1-м
«ли, на основании (2):
Д/(е)= Й"(^+«Ду)+^(Д*+^)+« + м-
Вследствие этого
Но модуль
|j±h.'M_l.U1jlU М + '-^ -

Интеграл от функции комплексного переменного 97
Сумма этих дробей стремится к нулю, так как числители их являются
бесконечно малыми высшего порядка по отношению к знаменателям.
В пределе будем иметь из (3):
независимо от того, каким образом Аг—»-0.
При этом /' (г) непрерывна в области G, так как ее вещественная
и мнимая части -^ и — непрерывны в этой области.
Равенство (4) можно переписать на основании уравнений (2) еще
и так;
/'(*>=$-<!■ (б)
Вследствие существования между функциями Ч(х,у) и $(х,у)
соотношения (2)'эти функции не могут быть взяты произвольно. Бели задана
одна из них, например Ч(х>у), то $(х,у) определяется уравнениями (2).
Положим для примера, что <f(x, y)z=xy. В таком случае:
т. е.
откуда
rf<j> =—х dx 4- у dy,
♦-4-<У»-■*•)+G
где С — постоянная интегрирования.
Формулы, выражающие производные от основных элементарных функ*
ций и правила диференцирования суммы, произведения, частного и т. д.
не трудно распространить и на функции от комплексного переменного.
Они имеют тот же вид, как и для случая функций вещественного
переменного и выводятся аналогично.
§ 50. Интеграл от функции комплексного переменного
Пусть /(з) есть однозначная и непрерывная функция аргумента #,
принимающего комплексные значения в некоторой области. Предположим,
что точка jSf, перемещаясь внутри области, описывает некоторую кривуюАВ.
Обозначим через #0 и gn значения переменной 0 в точках А и В. Кроме
этих точек возьмем еще п — 1 каких-нибудь точек
0|,02» • • • > #л—1»
расположенных на АВ. Составим/сумму:
^л = (^1 —^о)Г(Со) + (^2 —^i)/(Ci)+--.4-(^— ^Л-0/(СЛ^1),
или
л~1
я»0

98 Краткие сведения из теории функций компз. переменного
где число Zk есть аффикс точки, взятой каким-нибудь образом на части
дуги, заключенной между точками яЛ ияЛ+1. Сумма Sn, как это нетрудно
видеть, может быть переписана так:
л-1
л-1
+1 £[(v*+i - yk) <Р &, чл) + С**+1 - **) ф (£Л1 ч Д (6)
причем предполагается, что
***** + %; <*==£* + ")*•
Будем увеличивать неограниченно число п отрезков, уменьшая самые
отрезки до нуля.
Суммы, находящиеся в правой части равенства (6), имеют пределы.
Эти пределы являются не чем иным, как взятыми вдоль линии АВ
криволинейными интегралами от функций вещественных переменных.
Отсюда заключаем, что и сумма Sn имеет предел, который не зависит
от способа выбора на линии АВ точек деления. Этот предел называют
интегралом функции комплексного переменного, взятым вдол-
дуги АВ, и обозначают через
/№**.
Нетрудно видеть, что
ffWdt^f&'dx-^W + lfty-dy + tl^xl (?)
АВ АВ АВ
Эта формула дает нам выражение интеграла от функции комплексного
переменного через два криволинейных интеграла от функций
вещественных переменных.
Если уравнение линии АВ известно и дано в параметрическом виде
причем перемещению точки z от А до В соответствует изменение
параметра t от а до (3, то, заменяя в (7) х и у их выражениями, легко
придем к результату:
Р Р
Г/(*) dz = JFX (t) dt +1 Jf% (t) dt
AB a a
и этим приведем нахождение интеграла от функции комплексного
переменного к нахождению двух обыкновенных определенных интегралов
от функций вещественного переменного t.
Теоремы о вынесении постоянного множителя за знак интеграла, об
интегрировании суммы, об изменении знака интеграла при перемене
направления интегрирования, ,о разбиении интервала интегрирования на

Теорема Кош и
99
частные интервалы остаются в силе и для интегралов от функций
комплексного переменного. Проверить ати теоремы предлагаем читателю в
виде упражнения.
Мы предполагали, что функция непрерывна в области. Можно, однако,
было ограничиться предположением, что она непрерывна в точках линии
АВ. Относительно этой линии мы будем предполагать, что она в
каждой точке имеет касательную, направление которой изменяется
непрерывно при переходе от точки к точке. Такую линию называют гладкой.
В более общем случае придется интегрировать по линиям
кусочно-гладким, т. е. таким, которые состоят из конечного числа гладких дуг.
§ 51. Теорема Коши
Понятие об интеграле от функции комплексного переменного уже
установлено. Отметим, что соображения, которые были высказаны до
сих пор относительно интеграла, не требовали существования у подин-
тегральной функции производной. Речь шла только о функции
непрерывной.
Возникает теперь такой вопрос: зависит ли значение интеграла
ff{%)dz от вида кривой АВ, соединяющей точки А и В, или не за-
АВ
ВИСИТ?
Ответ на этот вопрос дает знаменитая теорема Коши,
опубликованная им в 1825 г. и послужившая основанием для создания теории
функции комплексного переменного. Содержание теоремы таково:
1. Если функция f {^аналитическая в замкнутой одно связной
области, ограниченной контуром С, то интеграл
/7(a) <te,
взятый по любой кривой L в этой области, от вида кривой
не зависит и определяется только положением начальной и
конечной точек» кривой. И если кривая L замкнута, то
интеграл равен нулю. В частности
У>(*)Л-0.
2. Если функция f(z) аналитическая в замкнутой
многосвязной области, ограниченной контуром, состоящим из наружной
кривой С и внутренних Cif Сг,..., Сп _ i, то интеграл от этой
функции по наружной кривой равен сумме интегралов, взятых
по внутренним кривым. При Этом все интегралы берутся в од*
ном и том же направлении, например в направлении, обратном
движению часовой стрелки.
Устанавливая первую часть теоремы, прежде всего заметим, что для
того чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования, необходимо и

100 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
достаточно, чтобы не зависели от пути интегрирования те
криволинейные интегралы, к которым он приводится и которые находятся в правой
части равенства (7).
Но условием, необходимым и достаточным для независимости криво*
линейного интеграла
f(Mdx-\-Ndy)
от пути интегрирования,
известно, соотношение:
дМ ждЛщ
Ну ** дхч
служит, как
(8)
Применяя его к двум интегралам правой
части равенства (7), находим, что
^7 о* °* W •
Черт, 29
т. е. находим уравнения Коши-Римана.
Огсюда заключаем, что результат интегрирования не зависит от вида
кривой L в том, и только в том, случае, когда кривая L взята в
области, в которой подинтегральная функция аналитическая. В этом случае
значение интеграла определяется только лишь положением начальной и
конечной точек L
Равенство нулю интеграла, взятого по замкнутой кривой, вытекает из
сказанного как простое следствие.
Перейдем теперь ко второй части теоремы и рассмотрим случай
многосвязной области. Пусть, например, область ограничена контуром,
состоящим из наружной кривой С и двух внутренних кривых Сх и С2
(фиг. 29), и пусть функция f(z) в этой области и на ее контуре есть
функция аналитическая. Произведя разрезы а$ и у$» мы превратим
заданную многосвязную область в односвязную. Интегрируя в
направлении, указанном стрелками, будем иметь по-доказаннОму для однэсвязной
области:
^(«Y) + /(T«)+/(C1)+/(«y) + ^(Y«) + /(*P)+/(C.) + ^(P«).-0.
где буква I заменяет знак интеграла, а буквы в скобках указывают
контур, по которому берется интеграл.
Но так как
/Й)+/(Т«)-/(С); 7(г8)+/(»г) = 0; /(ap)+/(W-0,
то выходит, что
/(О—/(с,) -/(С,).
Интегралы, находящиеся в правой части равенства, взяты по
направлению движения часовой стрелки. Изменяя это направление и
возвращаясь к обычному знаку интеграла, получим:
//(г) dz =ff{*) dz +//(я) dz.
с с, с,

Интеграл и перзообразная функция
101
§ 52. Интеграл и первообразная функция
Пусть функция f{z) однозначная и аналитическая в некоторой одно-
связной области и 0О и г—две точки этой области. Соединим эти точки
внутри области гладкой линией L и рассмотрим интеграл
!>
i
На основании теоремы Коши значение этого интеграла определяется
только лишь положением начальной и конечной точек линии I и от
вида этой линии не зависит. И если мы предположим, что точка #0
постоянна, а г переменна, то мы можем сказать, что наш интеграл есть
функция от г. Не завися от вида линии L, эта функция однозначна,
Z
Обозначим ее через Г f(3)dz или короче Ф(г) так, что
z
Ф(2)=У*f{2)dZ.
Мы покажем, что функция Ф(г)г0 в каждой точке области имеет
производную f (г). На основании формулы (7) пишем:
Б таком случае:
(х (у)
f {vdx-^dy) + lf{
Ф(г) = Р(х, y) + iQ(x, у).
Пусть
(ду)
Q(x,y)=f (<t-dy + ty-dx),
откуда
(*о* Уо)
№ ш дР f dQ f dQ ,Л
~ ая а#> dQ dj
Очевидно, g~ , yr , gr- и -v~ непрерывны в области, так как
/ (z) = <р-|~/ф функция аналитическая, а следовательно, непрерывная.
Из найденных соотношений выводим:
дх ду ' ду дх1
т. е. функции Р и Q удовлетворяют уравнениям Коши-Римана. Отсюда

102 Краткие сведения иэ теории функций *омпл. переменного
следует, что функция Ф в области аналитическая. Согласно (4) ее
производная
•-«-£+•-&.
т. е.
Ф'(*) = ¥(*, .У)+ *!>(*, .У)
Мы видим, что функция Ф(я) служит первообразной функцией для f(e).
Покажем, что всякая другая первообразная функция будет иметь
вид:
где С — произвольная постоянная.
Рассмотрим разность:
<0 (*)=*F (*) = *(*).
Так как F и Ф первообразные функции, то
Следовательно:
<о' (я) =* 0.
Пусть
©(*) = «(*« J0+to fojO-
В таком случае:
т. е.
ди л ^ л. ^ л. ^и п
-JJ--0; -as—0; -^ = 0; -^-0.
А это значит, что функции и и v от х и j/ не зависят и являются в
области постоянными. Следовательно, о (z) = C, и мы имеем:
/?(«)«Ф(*)-{-С
или
П')-/П')*+'с
*о
Но, полагая # = #01 получим:
т. е. z
ff{*)d*-F{*)-F(»0). (9)
Результат этот можно формулировать так:
Интеграл от аналитической функции равен приращению пер-
вообразной функции вдоль контура интегрирования.

Формула Кошн
ЮЗ
§ 53. Формула Кош и
Пусть /(#) есть аналитическая функция в замкнутой односвязной
области, ограниченной контуром С. Выберем какую-нибудь точку г внутри
области и составим функцию
/(Р
где С — переменная точка контура С. Эта функция аналитическая во всей
области, кроме точки я. Примем точку за центр и опишем из нее окружность
с малым радиусом р. В таком случае, по теореме Кош и, будем иметь:
/7(0 Л: //(ОД
J С-* J С-*'
с с
Интегрирование по обоим контурам ведется в одном и том же
направлении: против часовой стрелки.
Так как функция f(z) непрерывна, то можно предположить, что/(я)=
==/(*)-"Ь8» причем при достаточно малом р будем иметь |г|<7], где ?] —
любое наперед заданное положительное число. Вследствие этого
/7(С)<К *лл /* *с i /*«чЦ
7 1=7 "'Wy Т=7 + У 1=7'
С с с
Найдем сначала первый из полученных нами двух интегралов. Пусть
C«~*+jrf; лг == а + pi.
Параметрическое уравнение окружности с центром в точке # можно
написать так:
х — a = pcos8,
у— P = psin0,
0=^e^2it.
Отсюда
л — а-|~'(У — P)==p(cos6 + /sin ')»
т. е.
С —^ = р^е' и cft = pieudb.
Следовательно:
Что касается второго интеграла, то его величина, с одной сторона, не
зависит от р, так как
с С
с другой стороны, этот интеграл может быть записан в виде:
С О

104 Краткие сведения из теории функций комйл. переменного
и так как г по модулю меньше т], то модуль интеграла меньше, чем
2яг], где г) сколь угодно мало при достаточно малом р. Отсюда следует,
что
с
и мы имеем:
С
Эта формула, известная под именем формулы Коми, представляет
аналитическую функцию в форме интеграла по замкнутому контуру и
весьма важна по своим приложениям.
Заметим, что та же формула справедлива и для многосвязной области.
Если мы через Сх обозначим внешний контур области, а через С2,
С8,..., СЛ— внутренние контуры и, наконец, через с — окружность с
центром в точке z, целиком лежащую внутри области, то, по теореме Коши,
будем иметь:
Ci Ся С с *
где интегрирование по всем контурам ведется в одном и том же
направлении: против часовой стрелки.
Но по доказанному:
с
Следовательно:
L. d С% С ■—■■
Изменяя направления интегрирования во всех интегралах, стоящих
в квадратных скобках, начиная со второго, на обратные, мы сможем
записать эту формулу в виде:
где интегрирование ведется по всем контурам, образующим границу;
при этом внешний контур обходится против часовой стрелки, а
внутренние— по часовой стрелке. Легко видеть, что при таком
направлении обхода граничных контуров область остается все время слева; это
направление называется положительным.
§ 54. Производные высших порядков от аналитической функции
Докажем, что функция f(z) аналитическая в некоторой
области имеет в этой области производные всех высших по-
рядков.

Ряды с комплексными членами
105
Пользуясь формулой (10), нетрудно обнаружить, что
с/.д* j/ /Фу/с-*-** с-*;
/«)«
*)«(С — *—Д^-
Если Дг—»-0, то независимо от закона изменения этого приращения
в пределе будем иметь:
т-ыт- по
Мы представили производную под видом контурногск интеграла.
Найденная формула не может, конечно, служить доказательством
существования первой производной, ибо при ее выводе мы предполагали, что
функция f(z) есть функция аналитическая и тем самым имеет первую'
производную. Но формула эта послужит для обнаружения производных
высших порядков. Пользуясь (И), применим к функции /'(г) те же
выкладки, которые были применены к функции f(z). Мы получим:
Вообще
Таким образом из факта существования у функции в области
непрерывной производной первого порядка вытекает существование в этой
области производных всех высших порядков,
§ 55. Ряды с комплексными членами
Бесконечный ряд комплексных чисел
«1 + «а + "а + »4 + ... + ил + ... (13)
называется сходящимся, если частичная сумма его членов
Sn*=ux + u2 + u9 + ...-{.un
стремится к определенному конечному пределу S, когда h стре*
мится к бесконечности.
Число 5 называют при этом суммой ряда и пишут:
«! + * + «•+■■■ + «,.+ ■■■=■£
Если положим un=*xn-\*iyni то частичная сумма Sn представится
в виде:
^«ae + ^-(*i+x, + ... + *,) + * СУ1+Л + ---+Л)-

106 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
Для того чтобы Sn стремилось к пределу 5, когда п стремится к
бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы ап и тл — частичные
суммы рядов с вещественными членами:
*1 + *2-Ь ..+*„ + ... и л+л-|-...+1Уя + ... (Н)
стремились к некоторым пределам а и т; иными словами, условия
сходимости ряда (13) с комплексными членами эквивалентны условиям
сходимости двух рядов (14) с вещественными членами. На основании этого
замечания все общие теоремы о рядах с вещественными членами
переносятся на ряды с комплексными членами. В частности:
Для того чтобы ряд (13) сходился, необходимо и достаточно,
чтобы для любого е, е > 0 можно было указать такое п (s) чтобы
неравенство
|«л+1 + ^+2+ ... + "« + />!<*
имело место, при я>я(е), для любого целого положительного р.
Из этой теоремы заключаем, чтб ряд (13) будет сходиться, если
сходится ряд
l«il + |eil + .-- + l«J + --. 05)
составленный из модулей членов ряда (13).
Действительно, величина
не больше, чем
|ил + 1| + |ил+2] + ...4-|ил+р|
и если последняя может быть сделана сколь угодно малой, при достаточно
большом п, то с тем большим основанием это справедливо и для первой.
Обратное, конечно, неверно, как показывает известный пример сходя-
щегося ряда: . 1
1 _i.j_-- —
1 2-т-3 •■■»
для которого ряд модулей
расходится.
Если наряду с рядом (13) сходится также и ряд (15), то ряд (13)
называется абсолютно сходящимся.
В дальнейшем мы будем заниматься, главным образом, рядами с
переменными членами:
Ml(z) + «*(z) + - • + «„(*) + •••. 06)
члены которых являются аналитическими функциями от г в некоторой
области плоскости.
Ряд с переменными членами называется равномерно сходящим*
ся в некоторой замкнутой области, если для любого е, е>0
можно указать такое я(е), что неравенство
|ил + 1(г) + ил + а(г)+ . . . -f tin + p(z)\ <е
будет иметь место, при п > п (s), для любого р, каково бы ни
было z из данной замкнутой области.

Ряды с комплексными членами
107
Так, например, ряд
(*— 1)+(*а — *) + (*• — *а)+. - • + (zn~-z"-1) + . . .
равномерно сходится в замкнутом круге: |я|^г<. 1, ибо
1(04+1 —0»)^(0« + » — ** + !) + . . . 4-(*л + '~Зп + Р ~1)\~
-= 10л +р_ а* |-^| 0*| + | гп+р\^г* + г»+Р,
что может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большом п.
Если члени ряда (16) при всех значениях z из некоторой замк*
нутой области, соответственно, не больше по модулю членов
сходящегося ряда
*i+?! + *•+.. • + <**+• •■ О?)
с положительными членами, то ряд (16) сходится абсолютно
и равномерно. В самом деле, для любого е можно указать такое /г (г),
что неравенство
ап +i + ап+2 + . . . + о>п + р < *
будет иметь место при п > л (е) и любом /?. Но
|Ил+1(*)1 + К+2(*)|4-.- • +|ИЯ+р(*)|<а„+1 +
+ 0Л+2+. ■ .+Я„ + /><е
И
| ИЛ+!(*)-+ИЛ + 2 (*)+... +Ии + /,(з)|^|ил+1 (0)| +
+ |ил + 2(*)| + . .. +|ил+/;(0>|^ал + 1 + ал + 2+ . . .
.. . + ал-}-./*<>.
Следовательно, для рядов
1М*)ЖМ*)1+...4ЧМ*)1+..-
выполняются условия сходимости и даже условия равномерной
сходимости [так как полученные нами неравенства справедливы для любого 0
из той области, в которой модули членов ряда (16) меньше членов ря-
да (17)].
Очевидно, что сумма ряда аналитических функций (16), равномерно
сходящегося в некоторой области, представляет собой функцию от в:
и, (0)+ *,(«)+ • .■ + ».(*)+• • • -5(«).
Можно доказать, на чем мы не будем здесь останавливаться,
что эта функция является аналитической и что ее
производную некоторого порядка или интеграл вдоль некоторой кривой
можно представить как сумму ряда соответствующих
производных или интегралов от членов ряда (16):
5W(0)eii1W(0) + ii1«(0) + .. . +и№(«>(0) + . ..,
fs(x)dz =» J их (0)d0+/* щ (0) d* +... + J unW(e)de + .. .

108 Краткие сведения из теории функций гчомпл. переменного
Простейший и вместе с тем наиболее важный случай рядов (16)
представляют степенные ряды:
B0 + B1(*-a) + Bi(z-af + ..., (18)
где В0, Ви Въ — постоянные числа.
Для этих рядов может быть доказана следующая теорема.
Для всякого степенного ряда возможен лишь один из
следующих трех случаев: Г. Ряд (\Ъ) не сходится ни при каком z,
отличном от а. (Пример: 1 -|- 1! (z - а) + 2! (z — а)а -+• 3! (z — а)8 -f ...)
2°. Ряд сходится, и притом абсолютно, внутри некоторого круга
с центром в точке а и радиусом R и расходится во всякой
точке, лежащей вне этого круга. Круг этот называется кругом
сходимости, а его радиус—радиусом сходимости. Во всякой замкнутой
области, лежащей целиком внутри круга сходимости, сходимость
будет равномерной. (Пример: 1 -j- (z — а) + (z — а)2 + (z — а)1 + . * •;
здесь радиус сходимости равен 1.) 3°. Ряд сходится, и притом
абсолютно, во всякой точке плоскости. Сходимость будет
равномерной во всякой замкнутой {конечной) области/ Пример: 1 -|- z~7a -f-
1 (*~*)2 | {г-а? х \
Если оставить в стороне степенные ряды типа 1°, не представляющие
никакого интереса, то можно утверждать на основании этой теоремы
и на основании сказанного ранее, что сумма степенного ряда
представляет аналитическую функцию от z внутри круга сходимости (в случае 2°)
и во всей плоскости (в случае 3°).
Сопоставляя эту теорему с теоремой о почленном диференцировании
и интегрировании равномерно сходящихся рядов аналитических функций,
мы получаем важное следствие: степенной ряд можно почленно ди-
ференцировать и интегрировать внутри круга сходимости*,
полученные степенные ряды будут иметь тот же круг сходимости,
что и первоначальный ряд [в случае рядов типа 3° вместо «круга
сходимости» следует говорить о всей (конечной) плоскости].
Заметим еще без доказательства, что со степенными рядами можно
производить действия сложения, вычитания и умножения как если бы это были
многочлены, расположенные по возрастающим степеням z — а. В
результате будет получаться степенной ряд, сходящийся во всяком случае
в наименьшем из кругов сходимости данных рядов.
Укажем, наконец, как производится деление рядов.
Пусть нужно разделить ряд:
B0-\-B1-(z-a) + B2(z-ay + ...
на ряд
bm(z~a)m + bm + i(*-a)m+l + ...
(где через Ьт обозначен первый из необращающихся в нуль коэфициен-
тов второго ряда).

Функции е*, sin* и cos г
109
Заметив, ^то
В0±ВХ (z-a) + B%(z-a)*+...
~bnl(z-ar + bm+l(z~a)m+l + ...-
"*А Bo + B1(z-a) + B%(z-a)2+..t
делим ряд
на ряд
** + **+! (*~-а) + **и-2 (*~а)а + ...
по тем же правилам, по которым а алгебре делят многочлены!
расположенные по возрастающим степеням одной и той же буквы. В результате
получится степенной ряд а0 ~j- at (z — a) 4- «а (z — «)+•••» который во
всяком случае будет сходиться в меньшем из следующих двух кругов:
круг сходимости ряда /?0 + i?i (*-" а) + 52(г — #)* + •.. и круг,
окружность которого проходит через ближайшую к z ■* а точку, в которой
обращается в нуль сумма ряда Ьт+Ьт + i (z —- a) -j~ ftm + з (* —• я)3 +. ».
Окончательно будем иметь:
A> + £i(* —*) + Дя(* —<*)2 + ..* g0-hai(* — д) + <*я (* —flP + *. ■
Ьт (* - в)" + *т+| (« - а)»+х + .... "" Cf-e)"
- a0(* - аГ"Ч~ аг (# - аГ*+1 + ая (я - а)-*-1"2 + ...
Полученный обобщенный степенной ряд (заключающий отрицательные
степени z — а, если только тфО) сходится внутри упомянуго круга,
исключая (в случае, когда т ф 0) его центр: z «= a.
§ 56. Функции £*, sin з и cos 2
Степенные ряды дают простейший способ определить элементарные
функции анализа; е*% sin х% cos х, не только для вещественных, но и для
комплексных значений аргумента.
Именно, как известно, для х вещественного имеют место следующие
разложения (в ряд Тейлора):
Правые части этих равенств представляют собой степенные ряды,
сходящиеся для любого х. Если мы подставим в них вместо вещественного,

ПО Краткие сведения иа теории функций компл. переменного
переменного х комплексное переменное zt то получим степенные ряды:
1+т+-5т+*т+--'г1<а
сходящиеся при любом #. Следовательно, функции fx{*),fiijs)%fb{?) будут
аналитическими для любого конечного значения z.
Значения этих функций при а вещественном также вещественны и
совпадают, соответственно, со значениями функций е®, sinx, cosx
Поэтому первую из этих функций обозначают при любом z (не только
при я вещественном) через ez% вторую через sin# и третью через cos я.
Итак, под еl ~ 2i, наприме р, следует разуметь комплексное число,
равное сумме сходящегося ряда:
■ (1-2/) , (1~2Ц2 , (1-2/,» ,
Пользуясь этими определениями функций £*f sin я и cos я, легко
найдем между ними важное соотношение, известное под названием формулы
Эйлера. Именно:
* - '-Г 1 + 2! + 81 + 4! +••• —
~~ "" 1 2! 31 "^ 41 "Г • '■ —
-(1-|^ + -{т-"...)+'(-Г-5Г + -)-С0§* + "|"-<19)
На основании этой формулы мы можем, между прочим, любое
комплексное число с с модулем г и аргументом а
c = r(cosa-f-^sina)
представлять в виде:
<* (20)
Как можно проверить на основании правил действий над рядами,
основные свойства функции e*t sin# и cos я, известные для вещественного
переменного, сохраняются и для комплексного переменного; например,
при любых *, не только при я вещественных, справедливы соотношения:
dz <г>
ег' . <?*■= е*+*
sin2 «■ -{- cos* «■ == 1,
d sin * d cog z .
dz ,-co-»' <ti =
sin*
и г. д.

Ряд Тейлора
Ш
Однако выявляются и некоторые новые свойства этих функций,
остававшиеся скрытыми при рассмотрении лишь вещественных значений
переменного. Так, например, из того, что
e2™ = cos2tt + tsin2it=:l,
выводим:
** + *"«*». **" = *,
т. е. функция ez оказывается функцией периодической с мнимым
периодом, равным 2iu. Заметим, наконец, что для комплексных значений
аргумента уже нельзя утверждать, что |cosz| и |sinz| не могут быть
большими единицы. В самом деле, из формулы Эйлера
e" = cos г-}-*sin2,
следует, что
е ~гг = cos (—z) -j-/ • sin (—z) = cos z — i sin z\
складывая и вычитая эти две формулы почленно, находим выражение
cos z и sin z через показательную функцию:
cosz==-i-i^ , sin*«~—~ . (21)
С помощью этих формул получаем, например:
cos t = ±-^t±- = 1,543,
slni= 2. = 1,175*.
§ 57. Ряд Тейлора
Покажем здесь, что всякая функция /(г), аналитическая в некотором
круге с центром в а и радиуса /?, может быть представлена степенным
рядом, расположенным по степеням z — а и сходящимся внутри этого
круга (а, быть может* и за его пределами). Для доказательства нам
послужит формула Коши. Пусть z какая-либо точка внутри круга.
Проведем внутри круга окружность с с центром в а так, чтобы точка z
лежала внутри этой окружности; пусть г</? радиус этой окружности.
По формуле Коши:
Представим ? в виде:
1 1
г; — z С — а — (г — а)
'к-"'(чШ)'

112 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
Выражение может быть, в свою очередь, преобразовано сле-
ующим образом;
1 С-а
— а\ «+>
*—Д z — a m *— а "*"
-'+г=-:+а=э,+-+е=0,+^С
■-t-«
Следовательно:
fin? V +*
С_ж С-«-г (С-аЯ + (С-а)» +•■•■+" (С_а)»+г + С~* '
Подставляя это выражение под знак интеграла и интегрируя почленно,
получим:
+*-**,/№+...+*-*■£/££*+*.
ГД«
с
Но, по формуле Коши:
с
и, по формулам § 54:
2«/,/ (С-а)п+1 * Л!
с
Таким образом:
/W^/(a)+/(a)(«^a)+4rl^-a>l +
Это—формула Тейлора для функций комплексного переменного.
Чтобы получить отсюда ряд Тейлора, нужно убедиться, что остаточный

Ряд Лорана
113
член формулы Rn стремится к нулю при я—>оо. Для этого заметим,
что
Обозначая max |/(С)| на окружности с через М, замечая, что
|С — а| = г и |С— *| = |С —а — (яг — а)|> |С —а| — |* —а | = г —
|#— а|, получаем:
Последнее число, содержащее множитель —— , может быть
сделано сколь угодно малым при п достаточно большом, так как - ~~а < 1.
Таким образом /?п —►О при /1-+оо и
№=/(«)+Г («) (* - «)+4т- (* ~ а>3 + • ■ •
••.+ ^-(*-в)"+... (23)
з/ио разложение f(z) в ряд Тейлора.
§ 58. Ряд Лорана
Если функция f(sf) аналитическая в круговом кольце, ограниченном
двумя окружностями с центром в а и радиусами Rx и /?2 (/?i<C#i)i
то /(#) можно разложить по степеням {з — а) в ряд Лорана, являющийся
обобщением ряда Тейлора в том смысле, что он вообще содержит не
только положительные, но и отрицательные степени (# — а).
К этому разложению можно прийти, как и в предыдущем параграфе,
отправляясь от формулы Коши. Именно, пусть в какая-либо точка внутри
кольца. Проведем внутри кольца две окружности Сг и С2 с центром в
а, радиусами гх и г2, (г2<>а), так чтобы точка 0 лежала между этими
окружностями.
По формуле Коши, имеем:
JW~lSrJ Z-z^2ni J Z-z>
причем интегрирование должно вестись по каждой из окружностей в таком
направлении, чтобы область оставалась все время слева.
Преобразуем выражение ■= двумя различными способами, имея в
виду два различных интеграла, под знаки которых оно входит. Именно,
имея в виду подингегральное выражение во втором интеграле напишем:

114 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
Для подинтегрального выражения в первом интеграле выполним несколько
иное преобразование:
■1 1 11
С — % г — а — (С — а) г —а С-- а '
г—-а
/С — а\ да-И
U —в/
Подставляя каждое из полученных выражений под знак соо иетствую-
щего интеграла и интегрируя, получим:
•■—s^p-dr//(0«-«)"*+...
-+*-*-в-/-г^г+,|5-
где
Введем обозначения:
с, с,
Заметим, что величины B_i, В~2, •. -, Во» ^п #2» • • • не зависят от
радиусов rt и г8 окружностей Сх и Са. В самом деле; изменим, напри:
мер, радиус rv взяв вместо него другой радиус г/, для определенности
больший, чем /у, по теореме Коши, интегралы от функций Да)
дг).(г — а), /(г) (г — а)2,..., аналитических межау С, и С/, взятые ш

Нули и полюсы. Существенно особые точки 115
наружному контуру С/, должны равняться интегралам от тех же
функций, взятым по внутреннему контуру Сг
ИТЯК: №-В-т-г1г-аГ*-* + ...
...+B-2(z-~ar2 + B-i(z — ayl-\-BQ-\-
+ Bl(z~a) + B2(z-ay+...-\-Bn(z-ay + R'm + Rl (24)
Рассматривая остаточные члены R!m и R"'„, можно совершенно так же
как и в § 57, убедиться, что каждый из них стремится к нулю, когда
соответственно т—юо и п—*оо. Окончательно получаем разложение
функции в ряд Лорана:
m *- + °°
/<*>- ЦДЛ*-а)» (25)
т — — оо
абсолютно и равномерно сходящееся во всякой замкнутой области,
лежащей целиком внутри кольца, в котором функция аналитическая.
§ 59. Нули и полюсы. Существенно особые точки
Если в разложении функции в ряд Тейлора, по степеням (z — а).
/(г) = Д,+В1(*-а) + ... +Bm(e-a)'» + Bm+1(«-a)'n + 1+ • • •
коэфициент В0 = 0, то /(а) = 0 и значение g = a называется нулем,
функции /(g). Если при этом коэфициент
^=/'(0)4=0,
то £ = а называется простым нулем или нулем первого порядка
(я); вообще, если коэфициенты £0, Bv...t Вт-\ равны нулю, а
коэфициент
то значение #=*=а называется /я-кратным нулем или нулем порядка т,
а число т — порядком кратности этого нуля.
Так, для функции
Sin(3-a) = ^_^+...
г == а является нулем первого порядка: для функции
1_сов(0-а)-Цгг-&7Г!+-
g = a является нулем второго порядка.
Заметим, что функция }(z)t имеющая нуль порядка/и в точке з = а,
может быть представлена в окрестности этой точки в виде
произведения:
/(*) = (*-а)" ¥(*), (26)
где функция <р(я), аналитическая в окрестности 0 = а, не обращается
в нуль при г sbb а.

116 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
В самом деле, имеем по определению:
Пв)=Вт{в~аГ + Вт + 1(в-а)т + 1 + ...,
где Вт ф 0. Отсюда
/(0)«(0-аГ- [Bm+Bw + i(0-a) + fim + 2(0-a)3+...],
причем степенной ряд в квадратных скобках представляет функцию <f (g)
обладающую указанными выше свойствами.
Предположим теперь, что функция / (з) аналитическая во всех точках
круга С с центром в точке а, за исключением самой точки а. В таком
случае говорят, что в точке в = а функция f(e) имеет изолированную
особую точку. Здесь мы не можем уже пользоваться рядом Тейлора по
степеням g — а, так как вывод последнего предполагал аналитичность
функции ВО' всех без исключения точках круга. Однако формула
Лорана здесь приложима, и притом для любого кольца, ограниченного
окружностью С данного круга и другой окружностью с с центром в точке
а и сколь угодно малого радиуса. В самом деле, во всяком таком кольце
функция f(z) является функцией аналитической. Итак, имеем следующее
разложение для нашей функции:
л « + °°
Г(•)- £Вк{г-of,
п ■» — оо
причем разложение это сходится при любом zt лежащем внутри круга
и отличном от его центра, так как каждая такая точка при достаточно
малом радиусе окружности с лежит внутри кольца, в котором/" (z) ана-
литична и в котором, следовательно, ряд Лорана сходится.
Относительно этого ряда, а priori, возможны следующие
предположения:
Г. Все коэфициенты при отрицательных степенях {г — а)
суть нули.
В этом случае ряд Лорана приводится к обыкновенному аепенному
ряду:
/W«Be + *l(0--a) + *1(0--<iy+...
При стремлении z к a, f(z) будет стремиться к В0 и если мы положим
f(a)—BQt то наша функция f[z) во всех точках круга без исключения
будет совпадать с суммой сходящегося степенного ряда и, следовательно,
по §55, будет являться аналитической функцией z во всех точках круга,
в том числе и в точке а. Но это противоречит нашему предположению
о том, что точка а есть особая точка. Таким образом возможность 1°
отпадает.
2°. Из коэфициентов при отрицательных степенях (z -*- а) лишь
конечное число отлично от нуля, В этом случае разложение Лорана
имеет вид:
/(*) = Я_т(*-а)-яЧ-В_/я + 1(*-а)-,я+,-Ь"
...+В_,(я-аГ1 + В0 + Я1(г-а) + ,8г(з~а)г+...)

Теорема о вычетах
117
где коэфициент В—т предполагается отличным от нуля. Это равенство
можно еще переписать в виде:
откуда видно, что при г, стремящемся к a, /(a) стремится к ос.
Значение я = а называется полюсом функции /(ж), а число т — по-
рядком кратности полюса. При этом полюс называется простым,
если т= 1, и кратным, если /я>1.
3°. Наконец, если бесконечное множество коэфициентов при
отрицательных степенях (я— а) отлично от нуля, то уже непосредственно
ничего нельзя сказать, что будет делаться с /(£), когда г стремится к а.
Специальные и довольно тонкие исследования показывают, что в этом
случае в любой близости к точке а существуют точки з, в которых
/(я) принимают любые, наперед заданные значения (за исключением,
быть может, одного значения).
В этом случае значение z = а называется существенно особой
точкой функции /(я).
Заметим, что в случае 2° и 3° часть ряда Лорана, состоящая из
членов с отрицательными степенями з — а, называется главной частью ряда
Лорана, так как именно она, в конечном счете, определяет поведение
функции /(я) в окрестности особой точки г = а.
§ 60. Теорема о вычетах
Коэфициент В~.\ при (0 — а)-1 в разложении f(gs) в ряд Лорана в
окрестности особой точки а = а (полюса или существенно особой точки)
называется вычетом/(а)в точке Я—а. Этот коэфициент играет важную роль
при вычислении интегралов от f(z) по контурам, окружающим особые
точки. Допустим сначала, что внутри такого контура С находится лишь
одна особая точка я = а. Проводя окружность с с центром в точке а,
целиком лежащую внутри С, будем иметь по теореме Коши:
ff(B)dB = ff(B)dr,
Ъ с
заменяя во втором интеграле f(z) ее разложением в ряд Лорана и
замечая, что возможно почленное интегрирование ряда (в силу его
равномерной сходимости в круговом кольце, с центром в а, содержащем с и
лежащем внутри С), получаем:
ff(z)dz^BQfdz + Blf(z-a)dz + B2f(a-^a)2de-\'t..
С с с с
...+B_,y'(*-a)-|<b-f-
С
+В~2/(г — a)-*dz-\-B~3f(2-a)~3dg+...

118 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
Интегралы, коэфициенгами при которых являются S0, Blt Bv В3,...,
равны нулю, по теореме Коши (функции 1, (з~-а), (я— а)8, (в—а)8...—
аналитические всюду). К интегралам, коэфициентами при которых являются
В-и В-2, #_з,..', теорема Коши непосредственно неприменима, так как
функции (в —а)-1, (г—а)~2, (г — я)~3,... не являются аналитическими
всюду внутри с, но имеют особые точки (полюсы) при г = а. Величины
этих интегралов легко получить, выражая г — а через модуль и
аргумент этого числа. Именно, обозначая модуль я-— а, равный радиусу
окружности с (точка а лежит в центре с и г на самой окружности с\
через г и аргумент г — а через в, находим:
в —а = г-еы у dz~r-i-ebi db:
в_^(в-«-1)-0
и т. д. Окончательно получаем:
7(*)Л = 2я<Я~1. (28)
/'
Аналогично вычисляется интеграл, взятый по контуру, внутри которого
находится не одна,,а несколько особых точек: а, а', а ,... В этом случае
мы проводим окружности £, с\ с'\,.. сц ентрами в точках а, а\ а",.. .
и настолько малые, чтобы каждая из них лежала вне других и чтобы все
вместе они лежали внутри С. Тогда, по теореме Коши:
С с С с"
Но каждый из интегралов в правой части взят по контуру, внутри
которого лежит лишь одна особая точка функции f (в). Следовательно, по
формуле (28), он равен произведению 2ш на соответствующий вычет.
Таким образом:
Г/(*)йз==2га(Д +£' + £"+•.•), (29)
/'
т. е. интеграл от аналитической функции, взятый по
замкнутому контуру, равен произведению 2ni на сумму вычетов, отно-

Теорема о разн. между числом нулей аналит. функции я числ ее под. 119
сательно всех особых точек, лежащих внутри контура. Эта
формулировка заключает в себе как частный случай теорему Коши: когда
отсутствуют особые точки, вычеты обращаются в нуль, а вместе с
ними и интеграл по замкнутому контуру С.
§ 61. Теорема о разности между числом нулей аналитической
функции и числом ее полюсов
Рассмотрим сначала случай, когда функция/(г) имеет полюс и имеет,
следовательно, вид:
причем функция <р(я) ПРИ Я = # не обращается в нуль. Составив
логарифмическую производную от функции /(я), получим:
f (*) _■ * [ т'(*) (30)
f(z) z — aiyW '
Предположим теперь, что точка т ъпужъч для функции /(я) нулем
кратности д. Это значит, что (§ 59)
где ф(з) при g=.m в нуль не обращается.
Беря логарифмическую производную, получаем:
/'(*>- JL_4-iL^ (31)
JJzj^z^m^^z) '
Из (30) и (31) заключаем, что нули и полюсы функции /(г) являются
f (z) л
простыми полюсами для ее логарифмической производной Vrr Вычеты,
соответствующие этим полюсам, равны либо кратности нуля, либо
взятой со знаком минус кратности полюса функции /(a).
Предположим теперь, что дана ограниченная контуром С замкнутая
область и в ней функция f(z). Пусть эта функция аналитическая во
всех точках области кроме нескольких полюсов
а Ь ... /,
кратности которых
ар... К
Пусть, далее, на контуре С функция /(я) в нуль не обращается, но
внутри области имеет несколько нулей:
т, п ... s,
кратности которых пусть будут:
ц, v . .. о.
Принимая во внимание в данной области все нули и все полюсыфункции
/(0), применим к функции у& теорему о вычетах. Мы получим:
/'

120 Краткие сведения из теории функций комп*. переменного
т. е. интеграл по замкнутому контору С от логарифмической
производной функции f(z) равен умноженной на 2ni разности
между числом нулей функции f(z) и числом ее полюсов, причем
каждый нуль и каждый полюс считаются столько раз, скблькц
единиц заключается в его кратности.
§ 62. Теорема о разности между суммою нулей аналитически
функции и суммой ее полюсов
На основании (30) и (31) нетрудно получить, что
* f(z) ~ z~-a^\ * + *• Т>
f (z\
Отсюда видно, что вычет функции яЬтЬг, относящийся к полюсу at
равен — и а, а вычет, относящийся к полюсу т, равен m\i. Применив
f (z)
к функции #• ттч теорему о вычетах. Мы получим:
T\z)
f*'T$i rf0==2™ И*+ЛИ |-м — аа — b$ 14 (ад)'
т. е. интеграл по замкнутому контуру С от функции z- Срг рйвет
умноженной на 2та разности между суммою нулей и суммот
полюсов функции f(z), заключенных в области, ограниченной
контуром. Каждый нуль и каждый полюс считаются при этом
столько раз, сколько единиц находится в его кратности*
§ 63. Целые функции. Теорема Лиувилля. Мероморфные
функции
Функция, определенная и аналитическая во всех точках конечной
плоскости (т. е. для всех значений я? за исключением z = оо), назы4
вается целой. Если целую функцию разложить W ряд Тейлора по
степеням z— а (в частности по степеням z), то этот ряд будет сходиться
при любом z и таким образом будет представлять целую функцию вО
всей конечной плоскости. Обратно, всякий степенной ряд, сходящийся
при любом г, имеет суммой целую функцию. Всякий многочлен
представляет собой целую функцию. Целые функции, не являющиеся
многочленами, называют целыми трансцендентными в отличие от
многочленов, которые называются иногда целыми рациональными функ*
циями. Простейшими примерами целых трансцендентных функций могут
служить функции: sin г, cos я, е2.
Относительно целых функций мы докажем следующую важную
теорему, принадлежащую Лиувиллю.
Если целая функция f (z) ограничена по модулю одним и тем
же числом К для всех значений z, то она есть постоянное.

Эллиптические функции Якоби
121
Для доказательства рассмотрим два каких-нибудь значения аргумента
Z и 0j. Опишем из центра 0 окружность С радиусом R^2\zx — 0|.
Для точки С этой окружности будем иметь:
На основании формулы Коши:
(С)
Следовательно:
Но | С — ^ | ^ _ /?. Вследствие этого:
о 2
Заставляя /? стремиться к со, мы увидим, что /(0) —/(04) = 0 и,
следовательно:
/ (*i) e/(*) ^ const«
Функция, определенная и аналитическая во всей конечной плоскости,
за исключением отдельных точек, являющихся ее полюсами, называется
мероморфной функцией. Всякая рациональная дробь является меро-
иорфной функцией. Мероморфные функции, не являющиеся
рациональными, называются трансцендентными мероморфными. В качестве
примеров мероморфных функций укажем tg0, ctg0.
Мы увидим ниже, что функции sn0, спя и dn0 также являются
мероморфными функциями.
§ 64. Эллиптические функции Якоби
В главе I мы определили якобиевы функции sn0, cti0 и dn0 для
тюбого комплексного значения 0 посредством формул:
sn в « «п (г-L.лл -—8ПЮ) dn (У.*')+7яп tM') сп {у,ft') en (*,ft) dm (*, ft)
8П 0 « 8П {X + (y) —-W cn4V,ft') + ft2sn2(JC,ft)s1F0U?)
спяигпГуО- мЛ ^cn, (^ ft) en (y, ft') - /sn (y, ft') dn Qr, ftQ sn (x, ft) dn (*, ft)
en 0 « en {x+iy) * cl?orft-) + ft»sn2(jc,ft)8a2(y,ft')
in y — dn / Y. I. м — dn (*» *) gn l* *') dn (y, ftp - /ftg sn (yt ft') sn (JC, ft) en (X, ft)
Для каждого значения z = x-{-iy дроби, стоящие в правых частях
авенств, представляют определенные комплексные числа, за исключением

122 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
тех случаев, когда знаменатели обращаются в нуль. Все эти исключи*
тельные значения заключаются в формуле;
где т и т! — целые числа (или нули) (см. § 33).
Очевидно, что для всех значений г, отличных от только что указан*
ных, snz, сп z и dnz являются непрерывными функциями. Покажем, что
они не только непрерывные, но еще и аналитические. Для этого
достаточно проверить, что вещественная и мнимая части для каждой из них
имеют непрерывные частные производные, удовлетворяющие уравнениям
Коши-Римана (2). Проведем проверку для snz. Имеем, пользуясь
формулами § 5:
_дГ sn(jc,ft)dn(.y,ft') ]
<** 1спя(д/,ft') + fta.sna(jc,h)sn*(ytft') J e
en (jc, ft) dn (jc, ft) dn (y, ft) [cna (y, ft') - fta sna (jc, ft) sna (y, ft')]
e [cna(.y,ft') + ftasnJ (jc, ft) sn« (у, Л')]»
A. fsn (.y, ft') en (>>, ft') en (x, ft) dn (jc, k)l
dy (_cn« СУ, ft') + fcasn^^sn»^,*') J e
- en (jc, ft). dn (jc, ft). dn (>>, ft') [en* (yp ft') + stfl (yt ft') ctfi (y, ft') —
- ft* sna (Xf k) sn» (y, ft') • cna (yt ft') - fta sna (*, *). sn* (y, ft')]:
: [cna (y, ft') + ft* sna (jc, ft), sna (j/, ft')]a.
Но числитель последней дроби может быть переписан в виде:
en (jc, ft) dn (jc, ft) dn (yt ft') {en* (у, ft') [ctfi(y, ft') + sn* (.y, A')] -
- fta sna (jc, ft) sn» (.y, A'). [cn« (yt ft') + sn« (.y, ft')]) «
= en (jc, ft) dh (jc, ft) dn (.y, k'). [en* (у, ft') - fta sna (jc, k) sna (^ ft') •
Отсюда видно, что частная производная по х от вещественной части sn X
равна частной производной по у от коэфициента мнимой части sn z:
Таким образом первое уравнение Коши-Римана выполняется.
Приступая к проверке второго уравнения, получаем, прежде всего-
д Г ' sn (*/ft) dn (у, ft') Л
ty [сп3 (У, ft') + fta sna (jc, к) stfl (yt ft') J **
*VL(x*)*nW)cuW) [2da4x,k)dn*(ytk')-k'2 спЦу,к') - №л bk\xjt)^{ytk%
e [cna (x ft) + fta 8ni (jc, *) sna (д,, #)]«
Числитель здесь можно переписать в виде:
sn (jc, к) sn (у, к') сп (у, kf) {2 dna (*, к) dn* (.у, ft') - ft'2 сп« (.у, ft) -
- [I -dna (jc( ^)] [1 - dna (у, ft')]}=sn (*, ft) sn (.y, ft') en (y, ft') [dn* (jc, ft) dna(.yfl*')~
- ft'* cna (y, ft') ~ 1 + dn» (j/, ft') + dna (jc, ft)] «
= sn (jc, ft) sn (y, ft') en (y. ft') [dna (jc, ft) dna (y, ft) + ft2 cna [x, ft)]

Эллиптические функции Якоби 128
Подобным же образом получим:
д Г sn (у, k') en (у, к) сп (х, k) dn (х% k) 1
di[ сп* {у, Л') + #* sn* (at, k') sn* (у, k') J ""
sn (*, fe) sn (yt k') en (y, k') [dn2 (*, fe) di*» (y, k') 4- fe2 cn2 (x, fe;]
- [en2 (y, k') + *a sn2 (jc, k) sn» (y, A')]2
Следовательно, частная производная по у от вещественной части sn #
отличается лишь знаком от частной производной по х коэфициента
мнимой части, и второе условие Коши-Римана также выполняется.
Из полученных нами выражений, представляющих частные производные
в виде дробей, в числителях и знаменателях которых стоят всюду
непрерывные функции от X ft у, следует, что эти производные непрерывны
во всех точках плоскости, кроме тех, в которых обращается в нуль
общий знаменатель дробей:
[спа О, k') + k2 sn2 (*, k) sn9 (j/, k')]\
т. е. за исключением точек с аффиксами:
Сопоставляя все полученное нами, заключаем, что sn» действительно
является аналитической функцией г во всех точках конечной плоскости,
за исключением точек с аффиксами: »
ief = 2/п /f+:(2от' + 1)
Аналогично можно убедиться, что и спя и dng являются
аналитическими функциями а (при всех значениях z, кроме z = 2mf(-\-
+ (2/п'+1)/Г).
Обозначая вещественную часть и коэфициент мнимой части sn3
через <t(x,y) и ф(лг, у), соответственно, имеем, по формуле (4):
dsnz д<р(х,у) , ,ду(х,у)
=* <cn (jc, k) dn (ж, к) dn (у, к') [сп* (у, k') — № sn* (ж, k) sn* (.у, Л')] —
-1 тЩ k) sn (у, k') сп (у, Л').[dn2 (х, k) dn2 (.у, Л') -И2 сп3 W:«] >:
:[ сп* (Я А') + Л2 за2 (jc, Л) sn2 (у, Л')]2
Полученное выражение равно ensf'dna, как сейчас же убеждаемся
перемножая почленно ра^рртва, определяющие спз и dn я?. Итак,
4ъпх ,
-^^ens-dna,
т. е. первая ив формул (21) (глава I) справедлива при любом
комплексном значении в.
Точно так же получим, что и две другие формулы (21) справедливы
при любом комплексном я, т. е. имеют место формулы:
rfen* , rf'dns <п
-gj—= — sns-dns, -j£- = — k2*sn&-cng.

124 Кр аткие сведения из теории функций компл. переменного
Пользуясь соотношениями:
sn23-|-cn2£«= 1,
dn3 0 + й2 sn3 0 = 1,
выводим отсюда, что якобиевы функции sns, спя и dn г при любых
комплексных значениях г удовлетворяют диференциальным уравнениям:
dsnz
~df = K(l-~sn20)(l— k2sn^t
TST e - Vr(l-dn20)(dn^-A^).
Обозначив в первом из этих уравнений sn я через t, находим, разделяя
переменные и интегрируя:
t
л С dt
J 1^0 —«чо —
кЩ
т. с, функция t—snzn для комплексных значений г? является функцией,
обратной эллиптическому интегралу первого рода.
Заметим, что величина этого интеграла вообще зависит не только от
верхнего предела t, но еще и от пути интегрирования (см. ниже, § 68
и § 69). Это находится в полном согласии с тем обстоятельством, что одному
и тому же значению £=sin,£ соответствует не одно значение а, но
бесконечное множество различных значений, отличающихся между собой на
периоды:
4mK+2m'K'i.
Совершенно таким же образом, в виде функций, обратных
эллиптическим интегралам первого рода, могут быть представлены cms и dn z.
§ 65. Особые точки якобиевых функций
Мы указали, что функции sn я, спя? и dn в определены при всех
конечных значениях £, исключая значения
г = 2тК+(2т'+1)КЧ
(т и т' — любые целые числа или нули).
Очевидно, что соответствующие точки являются изолированными
особыми точками.
Когда я? стремится к одному из этих значений, то знаменатель каждой
из трех дробей, посредством которых определены якобиевы функции,
стремится к нулю, в то время как числители к нулю не стремятся.
Поэтому модули [sns| -|сп е\ и |dn г\ бесконечно возрастают и, следовательно,
все указанные особые точки являются полюсами якобиевых функций.
(В конце § 59 было отмечено без доказательства, что в любой
окрестности существенно особой точки всегда найдутся точки, в которых функ*

Особые точки якобиевых функций 125
ция принимает любое аперед заданное значение, кроме, быть может,
одного исключительного значения; поэтому при произвольном стремлении
гочки z к особой точке а значения функции ^(г)не могут стремиться
ни к какому определенному пределу, в частности не могут стремиться
к бесконечности). Таким образом якобиевы функ ии, не имея в
конечной плоскости других особых точек, кроме полюсов, суть мероморфные
функции.
Покажем, что полюсы являются здесь однократными (простыми).
Доказательство проведем лишь для sn£ (для остальных двух функций
рассуждения буквально те же). Отправным пунктом послужит формула
27) § 59, нз которой следует, чхо когда z—*а, где а — полюс
порядка т функции f(z), то f(z)-(z-~а)т = B-m-{-B-m-i(8 — a)-{-
-B-m+2(z — а)а+... стремится к В-т, (В~тфО).
Именно, если для функции sn# мы покажем, что произведение
пя-[г— 2тК—(2m'4-l)/C'i] стремится к конечному, отличному от нуля
пределу, когда г~~+ 2тК + (2mf +1) K'U то этим самым будет доказано,
что 2mf(-*{-(2m'~\~l)/('t является простым полюсом sn0. Что касается
предела, то он будет равняться коэфициенту JSLi при г„отш2т-\-1)К'1
разложении sn z в ряд Лорана в окрестности полюса 2тК + (2tnf -f-l)/$
т. е. будет вычетом snz относительно точки 2m/C+(2m' + l)/C7.
Для того чтобы найти упомянутый предел, перепишем выражение
tlz[z — 2тК~-(2/и'+!)/('*] в виде:
Stl*
Обозначая —- через f(z) и замечая, что g— —*0,когдаз-~*2т/С+
-f-(2m'-fl)tf% положим:
f[2mK+{2rn'-{-l)lC/]==0.
Тогда имеем:
*~ 2тк— (Чт'± 1) K'i
1
/ 1 V _ ZnZ-tolZ -I /(I — Stl* Z) (1 — £2 Svfi)
* ^Ж\ snxj ** $n*z жа±У 8П«*

126 Краткие сведения из теории функций комлл. переменного
откуда
/ [2тК+ (2т' + 1) КЧ] = + ft
и, следовательно:
Hmsnz.[*—2даАГ— (2«'+1)/ГЯ= ±4^°'
что и требовалось доказать.
Проведенное доказательство оставляет, однако, открытым вопрос о том
равняется ли вычет -\-~~r или —-г.
Мы вернемся к этому в следующем параграфе.
§ 66. Разложение якобиевых функций в ряды Тейлора и Лоран*
Ближайшей к началу координат особой точкой каждой из трех
функций: snz, сп г и dnz, является точка КЦ, Поэтому каждую из этих функ*
ций можно разложить в ряд Тейлора по степеням z, причем радиус
сходимости ряда будег равен К.
Коэфициенты членов разложения находим обычным путем, вычисляв
значения последовательных производных при z =s 0.
Имеем:
(snz)'=cn z • dnz,
(snz)"=(cnz)f dnz -J-cnz(dnz)',
(sn z)"'= (en z)" dn z + 2 (en z)' (dn z)f -f (dn z)",
(sn z)w= (en z)'"dn z + 3 (en z)"(dn z)' + 3 (en z)' (dn z)"+ (dn z)'",
(sn z)v=<(cn z)IV dnz + 4(en z)"1 (dn z)' + 6(enz)IV(dn z)" +
-1- 4 (en z)' (dn z)m'+ en z (dn z)lv,...
(enz)'= —sn rein г,
(en z)"= — (sn z)' dn z — sn z • (dn z)', ....
(dn Z)'=* —- ft2 sn z en z,. ,
(dn z)"= — ft3 (sn z)' en z — ft2 (sn z) (en z)', ...
Таким образом производные порядка п от функций sn z, сп z, dn z
выражаются через производные порядка /I—Л от тех же функций.
Полагая z = 0, получаем последовательно:
(sn z)0' = 1, (сп z)o' = 0, (dn z)'0 = О,
(snzV —0, (cnz)0"—1, (dn*)0" = -ft2,
(snzV—1—ft», (cnz)0"'=0, (dnz)0'"=0,
(sn z)»v = 0, (en z)"v = 1 + 4ft2, (dn s))v = 4ft2 + ft4,
(snz)Jf = l + Mftf + ftV (cnz)^-O, (dnz^-O,
(snz)vr-o, :

Разложение якобиевых функций в ряды Тейлора и Лорана 127
Так как, кроме того, snO = 0, сп0=1 и dnO = l, то имеем:
sn z = z —
1 + *3
СП Z= 1—-5J *2 +
dnzs= 1
1 . . 1 + 4*2
l + Hff+fe1
5!
2!
*2
4!
2!
0 , 4#>+*4 й
(34)
)
причем каждый из рядов сходится при \z\ < Kf.
Из первого разложения тотчас же заключаем, что точка 2 — 0 есть
простой нуль функции snz. Можно легко убедиться, что и все вообще
нули якобиевых функций являются простыми. Так, например, для
второго нуля snz, лежащего в основном параллелограме периодов: 2 = 2К
(см. § 33) имеем:
(snz)'z-2* = 1™*-***Уяит2К' 1*0,
откуда следует, что 2/С—простой нуль snz.
Найденные разложения, вместе с формулами приведения § 30,
позволяют легко получить разложение в ряд Лорана в окрестностях полюсов:
Так, в окрестности точки z=*Ki имеем для snz:
snzr- ■ 1
"k sn (* — ПСУ
1
*[С^ — /AT > — -gj— (г - iK'Y + —!—5-,—J (г - /A") —... J
или, выделяя множитель k (g_|/y'») и деля затем 1 на
по правилу деления рядов (см. § 55) получим;
+ -7"gu+W('-^'+-.(»)
разложение sn z в ряд Лорана в окрестности z =-= */('. Мы видим отсюда,
что iK! действительно является простым полюсом snz с вычетом-f-^r»
Аналогично можно получить разделение в ряд Лорана в окрестности
другого полюса, лежащего в основное параллелограме периодов: z = 2K\
+ IK. Имеем здесь по формуле (10 bis) § 30 и по только что
полученной фррмуле:
sn s=* — sn(z~2К)=* - !
1+Н
31*"
k(z-2K~tfC) ~
(36)

128 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
Здесь вычет равен j->.
Совершенно также можно найти разложения в ряды Лорана функций
спг и dn# в окрестностях полюсов, лежащих в основном параллело-
граме периодов:
спг =
*ЬгЛ-!тГ.<*-«-«'>+
Л(*-2ЛГ-
_<j+m-m{z_AK_iK)_
СП
dn*
2-IK'
(37)
.(*—зжо+
Мы видим, что вычет en г: относительно 2K-\-iK равен-jj-, а вычет
относительно 4/C+i/C'равен —-р. Вычеты dnz относительно полюсов
1К' и ЪЬК' равны — i и -}-/, соответственно.
§ 67. Многозначные функции. Точки разветвления
Пусть г = ДО*, z есть однозначная целая аналитическая функция от W.
Полагая
z а г (cos в -f * sin б), w =-. р (cos а + / sin а),
имеем:
откуда:
г (cos 8 -f- * sin 8) = p* (cos 2 a + / sin 2 a),
ра=г и 2a = 6-f-2/wc.
Таким образом каждому значению г « г (cos в -j- i sin в) соответствуют
два различных (если г ф 0) значения до = \Jz\
w=**rT(cos -2" + ^s,nT"),
w
= rT(cos •_£*. +/sin «4^) rf (cos-f +t-Si„ ±.y
(38)
Иными словами, w = Vz является двузначной функцией от 2, две
ветви которой задаются формулами (38).

Многозначные функции. Точки разветвления
129
Легко проверить, что каждая из ветвей представляет аналитическую
функцию от в с производной, равной ——, причем под У в нужно ра-
2у Z
зуметь то значение корня, которое соответствует рассматриваемой ветви.
Точка £ = 0, в которой обе ветви принимают одно и тоже значение
^ = 0, называется точкой разветвления функции да»Уз.
Другой точкой разветвления служит в = оо, в которой каждая из
ветвей обращается в оо.
Рассмотрим еще в качестве важного примера многозначной функции In я.
Из равенства:
B~ewt
де 0=*rcos6-(-rsin6 и w = и + ivt выводим:
г (cos 8 -f~ i sin 8) = еи (cos v + i sin t>),
откуда
ea = r и tf = ft-f-2/w<\
Таким образом каждому значению в = r(cosft-f-rsin9) отвечает
бесконечное множество различных значений w=*\nB. Все эти значения
заключаются в формуле:
w = lnr-f- *(6-f 2/лтс),
где под символом In г следует разуметь вещественное значение In г.
Таким образом w является многозначной функцией з, состоящей из
бесконечного множества ветвей. Каждая из этих ветвей является
аналитической функцией от в с производной, равной — (таким образом
производная от In г? есть однозначная функция в).
Точками разветвления функции w~\t\B служат: в = 0 и 0«яоо.
Важно заметить, что ветви одной и той же аналитической функции
вовсе не представляют чего-то изолированного, напротив, заставляя точку в
перемещаться в ее плоскости вдоль надлежащим образом выбранной
непрерывной кривой, мы всегда можем перейти от одной ветви к другой.
Пусть, например, в имеет определенное значение:
в ж» в0 = r0 (cos 80 + i sin 60) (г0 ф 0).
Соответствующие значения обеих ветвей w — уТ будут:
Wi^y/F^cos -^-+isin -^),
Заставим теперь точку в описать один раз в направлении против
вращения часовой стрелки замкнутую не пересекающую себя кривую,
окружающую начало координат. Аргумент з, равный 60 в отправной точке,
будет непрерывно увеличиваться и когда вернется в точку отправления

130 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
примет значение 6'e=60-f-2rc. Соответственно этому непрерывно
менявшееся вместе с z значение первой ветви т/"* перейдет в
<~»^(С08 *+1*1п*)=Щс0В^ + 1ЛпЦ*1)
2 i "*'" 2
а значение второй ветви в
0</+2тс , . .
■■w».
W,
1= V4 (cos
0О' 4- 2it"
:)-Vr0(cos
■4«
+
+ *вшН^)-
w,,
т. е. первая ветвь перешла во вторую, а вторая — *
первую.
Заметим, что основное характеристическое свойств
точек разветвления многозначной функции вообще зг
ключается в том, что при обходе вокруг них по надле
жащим замкнутым кривым ветви функции переходя
одна в другую. При этом нужно допускать также и с;
мопересекатошиеся кривые, обход по которым соотве'
ствует не одному, а нескольким поворотам около точк
разветвления (см. фиг. 20).
Ввиду дальнейшего для нас особый интерес представит функция, ог
ределяемая равенством:
Фиг. 20
w~~
V(z — aj(z — ea).. .(z~-a„).
Положим;
z — a^ — r^ (cos \ 4~ i sin 6:) = r^1,
г — a2 = r2 (cos 02 -J~ i sin 92) = r2eM,
* — *n=rn (cos 6* + *sin 0n) « г„Л'"'
Тогда:
или
№+*■ + '
-MJ'
w = (r1r%...ry.e
r„)2(cos
H+h+ >
+ K
• * sin
i + 02 +
.+o»
ьл
Пусть точка £ описывает контур Z,, не содержащий внутри точек av
л2,..., ал (фиг. 21). В таком случае угол 0t, образованный вектором
гх с осью ОХу после полного обхода точкою 2 контура примет свое
первоначальное значение. Сказанное о точке ах можно применить и к прочим
точкам а2, а99- • -,ап. Вследствие этого функция w примет тоже свое
первоначальное значение.
Не то будет, когда точка z описывает контур L (фиг. 22),
содержащий внутри точку а1 (но не содержащий точек а2,.. .,а„). После полного

Исследование интеграла
131
обхода точкою 0 контура L угол \ возрастет на 2гс. При этом и
перейдет в:
ли
1
« = -(r1rs-.-r„)a(cos
»1 + *|+ •••+'..
-}- i sin
t|+ea-|-..+e„
')■
т. е. функция и при обходе точкою г контура, содержащего внутри
точку av изменяет знак на обратный. После второго обхода точкою &
точки at знак и восстановится. После третьего опять изменится на обрат-
Фиг. 21
Фиг. 22
чый и т. д. Все сказанное целиком относится ко всем прочим точкам
avazt" *9atr Отсюда следует, что все эти точки являются точками
разветвления нашей функции.
§ 68. Исследование интеграла / y1_j<a
о
Имея в виду в дальнейшем изучить интеграл более сложный, пока
покажем, каким образом, пользуясь приемами теории функций
комплексного переменного) можно исследовать интеграл
/
dz
рта
(39)
взятый от нулевой точки до некоторой точки £ числовой плоскости
(фиг. 23). Будем соединять эти точки различными кривыми и проследим
за теми значениями, которые принимает наш интеграл при
интегрировании по этим кривым.
Сначала будем интегрировать по контуру Qaz. Под интегральная
функция двузначна. Ради определенности начнем интегрировать ту ее ветвь,
которая при я«-0 обращается! в +1. В этом предположении обозначим
интеграл буквою w так, что
№ = ЦОа*).

132 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
Особыми точками (точками разветвления) подинтегральной функции
служат 4-1 и —1.
Если вместо Oaz за контур возьмем некоторую кривую Obz и притом
гак, чтобы область-ОаяФ не содержала особой точки, то, по теореме
Кошн, значение интеграла не изменится, т. е. он останется равным w.
Но если за контур принять кривую Осг так, что особая точка -Ц п0"
падет внутрь области Осва,
то значение, принимаемое
интегралом, придется
исследовать особо.
Приложим к этому
случаю прием, обыкновенно
применяемый. Из точки -f-1
малым радиусом р опишем
окружность efg. Этим мы как
бы изолируем особую точку
г +1. Так как область,
ограниченная контуром ОсгаО и OefgO, не содержит особых точек и в ней
рассматриваемая ветвь однозначна, то в силу теоремы Коши мы можем
интеграл по контуру ОаваО заменить интегралом по контуру OefgO.
Последний контур, состоящий из прямолинейного отрезка Ое,
окружности efg и отрезка go, называют элементарной петлей точки -f-^-Mbi
будем иметь:
I(OczaO)=f{OefgO)J'fT£L^.JrJ'7^ ? а*
Фиг. 23
6'
•*2
У\ — *2
Здесь L обозначает окружность efg. Последний интеграл взят со знаком
минус потому, что после обхода точкою г особой точки -f-1 корень
переменит свой знак, как это следует из сказанного в предыдущем
параграфе.
Исследуя интеграл, взятый по окружности £, положим z— 1 = ре". Мы
будем иметь:
/
dz
УТТ-
:1?
1
!2 db
/2 + р*«
Пусть р -♦ 0; так как интеграл в правой части последнего равенства
сохраняет конечное значение, то
Jim
Следовательно:
ЦОсгаО)^/^
ъ,
причем здесь z есть переменная, принимающая вещественные значения.

Исследование интеграла
133
Мы теперь можем написать, что
/(Ocz)+/(zaO) = it,
откуда
I(Ocz)it==-\-I{Oaz).
Но после обхода особой точки подинтегральная функция переменит
знак, т. е. I(Oaz)~ — w.
Следовательно:
/(0cz) = te — w.
Если контур интегрирования обойдет точку -|-1 два раза, то интеграл
примет значение 2n-\-w; если три раза, то значение интеграла будет
3ir — w и т. д.
Совершенно аналогичные выводы можно сделать и относительно
контура ObzdO, заключающего внутри точку —1. Интеграл вдоль петли
эгой точки равен —тс. В общем мы приходим к такому выводу:
интеграл
Z
I
У1-*2
рассматриваемый как функция верхнего предела, есть
многозначная функция, значения которой выражаются формулой
л« + (— l)n-w, где п —любое целое число.
Исследование интеграла (39) закончено. Теперь мм ясно видим, чем
обусловлена многозначность выражаемой этим интегралом функции arcsin #.
более глубокое понимание интересующего нас вопроса стало
возможным потому, что, не ограничиваясь областью вещественных чисел, мы
вели исследование в области чисел комплексных.
§ 69. Исследование интеграла f dz
у/М {г — а) (г — Ь) (г — с) (г — d)
1. В § 68 мы исследовали интеграл
г
dz
/
пользуясь соображениями, свойственными теории функции комплексного
переменного. Применим теперь тот же прием к исследованию интеграла
и"" / »ои(*-«)с*-ж*-*><*-4г (40)
в котором М служит коэфициентом, а, Ь, с и d—постоянные
комплексные числа и z — комплексное переменное.
Пусть О есть нулевая точка, a z — какая-нибудь точка числовой
плоскости (фиг. 24). Выбрав вещественную ось ОХ и мнимую О У, отме-
тим точки с аффиксами а, &, с и d. Будем поступать так же, как и в § 68.

134 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
Соединяя точку О с точкою z различными кривыми, проследим, какие
значения будет иметь интеграл (40), взятый по этим кривым.
Обозначим интеграл, взятый по прямой Oz, буквою w.
Имеем;
1{Ог) = w.
Особыми точками подинтегральной функции (точками разветвления)
являются точки а, Ь7 с, d.
Соединим точку О с в кривой OEz так, чтобы особая точка а
попала внутрь области, ограниченной
контуром ОЕЮ. Построим петлю
OefgO точки а. На основании
теоремы Коши можем написать что
I(OEz)^I(OefgOz)
или
/(0£а)==А + /(Ог),
где A-I(Oe) + I(efg) + I(gO)
есть интеграл, взятый вдоль петли.
В последних двух равенствах Ог и
gO представляют те части контура,
по которым интегрирование произ^-
водится уже после обхода особой
точки а. Для интеграла вдоль петли имеем:
о
'dz
0 L а —г
Здесь а—г—-аффикс точки с, |г|-=р — радиус кружка efg, А —его
контур и
R = уд* (* — а) (* — ft) (* — с) (г— d).
Последний интеграл взят с отрицательным знаком. Сделано это цотому,
что после того, как переменная обойдет особую точку, радикал R
изменит свой знак (§ 67).
Исследуя сначала интеграл, взятый по окружности L, положим, что
z -= а + [>еы .
Мы увидим, что
/4r-«vf/ Ч-
где
R1^VM(a~b + pe*i)(a--c-{-pe1>i)(a--d-{-pe*i)
и при р =0в нуль не обращается. 60 есть начальное значение амплитуды 6
при интегрировании по контуру L.

Исследование интеграла
135
Теперь уже нетрудно видеть, что в пределе при р—►О
Переходя к интегралу I(Oz)f заметим, что в начале исследования для
него было введено обозначение w. Но когда переменная обойдет
особую точку, то подинтегральная
функция изменит знак. Она удержит этот
обратный знак на пути gO и Oz.
Следовательно:
/(О*) —
И мы будем иметь:
■ W.
I(OEz) = A — w.
Следуя тому же приему, можно пока-
дагь, что интегралы вдоль петель точек
Ь, с и d выразятся так:
ъ
Фиг. 25
Я = 2
/£> C-t/f: D^J'i.
Значения интеграла (40) после обхода каждой из этих точек в
отдельности будут:
В — w, C — w; D — w,
2. Рассмотрим случай, когда ограниченная контуром интегрирования
область содержит внутри две особые точки (фиг. 25).
Мы можем написать, что
I(OEFOz) = I(OefgO) + I(OlihO) + I(Os),
или
(OEFOz) = А — Д + '(0*)-
Нетрудно понять состав этой формулы.
Интегрируя вдоль петли OefgO, мы получим в результате А. Когда
переменная обойдет вокруг особой точки а, то подинтегральная
функция изменит знак. Этот измененный знак она удержит вдоль пути
gO и 01. Вследствие этого интеграл вдоль петли точки Ь равен — В.
Когда переменная обойдет вокруг точки Ь, то подинтегральная функция
приобретет свой первоначальный знак, который она удержит вдоль пути
КО и Og. Это значит, что
I(OEFOz) = A — B + w.
Совершая обращение интеграла w = / -^ > мы можем рассматривать
w
как независимую переменную, а верхний предел z как функцию от w.
В таком случае выходит, что при добавлении к аргументу w величины
А — В функция z принимав прежнее значение. Следовательно, А — В

136 Краткие сведения из теории функций компл. переменного
есть период функции z. Можно убедиться в том, что А — С, А — Д
В— С, В— Д С—Д тоже ее периоды. Но так как В — С =*
= Л — С — {А — В); B-D = A — D — (A — B); C—D=A—D—
— (А — С), то шесть периодов сводятся к трем: А — В, А — С и А — D.
Покажем, что последний приводится к двум первым. Опишем из центра О
окружность настолько большого радиуса г, чтобы все точки а, Ь, с и d
оказались внутри нее (фиг. 26).
Нетрудно убедиться в том, что интеграл, взятый по контуру ONPNO,
равен сумме интегралов, взятых вдоль петель точек а, Ь9 с и d.
Но так как
I{ONPNO)*=I(ON)-\-l(NPN) + I{NOl
то имеем:
I(NPN)^A — B+C — D.
В интеграле левой
случае:
части этого
2*
равенства положим г«гЛ
В
таком
I(NPN)
1Г '*'■<*?
■f)(-*-f)
Полагая г —
/ Ь
1 0
\ °с
*оо, получим,
р
"О \
1 N
"* /
что
7(Л/ЯЛ0 = 0.
Следовательно:
Л — В + C~D = 0.
Но так как С—D=A—D-
С-(А-В),
С),
пе*
С.
Фиг. 26
то Л —£>=Л — С—(А—В), т. е.
риод Л — D приводится к А —- В и Л -
Неприводимыми для функции 2 являются
только два периода А — В и А — С.
3. Найденные результаты приложим к
эллиптическому интегралу
х
I
dz
\/(1-*«К1-А**Ч'
все особые точки которого a = -f"^ ^^ —1» С===Т»
'<1р
1
d як г- лежат
л
на вещественной оси.
Заменяя обозначение 2 на ;с для периодов функции х> будем иметь:
Л — В = 2 / dx — 2 7* dx
у V(i—^2)(i—^

Исследование интеграла
137
Заменим во втором интеграле первого из этих равенств х на —х~
Получим:
о
т. е.
А-В = 4К
Что касается второго периода, то, заметив, что
J у/{\-хЩ\-
"а
положим:
J
где А' = 1—№. Мы будем иметь:
А'25 &
х~-
rf* =
У V(i-n(i-*'V)
т. е.
л-с=2*а:'.
Мы приходим к тому же результату, что и раньше: функция х» sn и
имеет периоды 4/С и 2*/('.

ГЛАВА IV
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
§ 70. Эллиптические функции. Теория Вейерштрасса
В главе I мы ознакомились с эллиптическими функциями Якоби,
определив их сначала лишь для вещественных значений аргумента, а затем
чисто формальным приемом—на основе теоремы сложения—и для любых
комплексных значений аргумента.
Мы знаем теперь из глав I и Ш, что якобиевы функции sn и, сп и
ис!пм являются двоякопериодическими мероморфными функциями и.
Кроме них существует еще бесчисленное множество мероморфных
дноякопериодических функций. К их числу принадлежат, например,
производные якобиевых функций:
(snz)' = cnz dnz,
(en z)'= — sn z dn z,
(dn z)' = — k2 sn z en z
и вообще любые рациональные функции snz, enz и dnz.
Мероморфные двоякопериодические функции называются
эллиптическими функциями. Основы общей теории эллиптических функций
рассматриваемых именно как двоякопериодические мероморфные функции
дал впервые К. Вейерштрасс, являющийся (наряду с Коши и Риманом
создателем современной теории аналитических фушщий.
До Вейерштрасса эллиптические функции трактовались главным образом
исходя из задачи обращения эллиптических интегралов.
Развивая по-новому теорию эллиптических функций, Вейерштрасс взял
в ней в качестве основных новые функции, получившие вскоре всеобщее
распространение.
Имея в виду ознакомить читателя с функциями Вейерштрасса и с их
употреблением, мы последуем здесь плану изложения первых глав
книги, т. е. будем снова исходить из задачи обращения эллиптического
интеграла.
Что касается общей теории Вейерштрасса, то эскиз ее мы дадим
в последней главе книги, отсылая читателя для подробного изучения
к другим книгам и в первую очередь к уже цитированной книге Гурвица

Эллиптический интеграл в нормальной форме Вейерштрасса 139
§. 71. Эллиптический интеграл в нормальной форме
Вейерштрасса. Функция Ри Вейерштрасса.
Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода в нормал ьной форме
Вейерштрасса:
сю
/dz
г
где g% и g9— какие-либо комплексные числа. Обозначая через е1У ez
и е2 корни многочлена 4z3 — g^z— gv мы можем переписать этот
интеграл в виде:
и=/^
dz
\/(z~-el){z — e2)(z-~eB) '
Так как подинтегральное выражение имеет особые точки (точки
разветвления: ev ег и еа), то интеграл не является вообще однозначной
функцией от нижнего предела z: его значение зависит от пути
интегрирования, ведущего от точки z к оо . Рассуждая подобно тому, как это
делалось в §§ 68, 69 главы III, можно установить, что если и0 есть
значение и, получающееся при интегрировании от z0 до <*>, вдоль
некоторого определенного пути, то все значения и, получающиеся при
интегрировании вдоль других возможных путей, заключаются в формуле:
и = + и0 + 2т1И1 + 2/я2Й2 + %Щ (2)
где Qv й2, й8 — значения следующих интегралов:
со
У' dz
yW-~eJ~{7^e~2) (z - e3j '
CO
dz
• 'J V4(z-
?i) (z — e2) {z - *3)
йз ** У ]/4~(Г~ ei) (^ -^и7=^) •
Интегрирование в каждом из них ведется вдоль пути, соединяющего
соответствующую точку ek (&= 1, 2, 3) с бесконечно удаленной точкой,
причем путь не должен проходить через две остальные точки ек и не
должен самопересекаться.
После того, как пути выбраны, можно выбрать знак подинтеграль-
ного выражения таким образом, чтобы выполнялось соотношение:
Qj + Oj + Q,- 0.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим контур С, изображенный на
фиг. 27. Выбирая внутри области, ограниченной этим контуром, одну
из ветвей функции
1

140
Функции Вейерштрасса
будем иметь для нее, по теореме Коши:
dz
I
Y*{z-e{)(z~~e2){z-ez)
= 0.
Если теперь радиус /? окружности стремится к оо, причем петли,
охватывающие точки ev е2 и ev бесконечно утончаясь, стремятся слиться
с путями, вдоль которых вычисляются Qv Й2 и Q„ то интегралы, взятые
вдоль петель, стремятся, соответственно, к 2Яг 2Й2 и 2Qe, в то время
как интегралы вдоль дуг окружности стремятся к нулю. (В самом деле,
модуль подинтегрального выражения
_ 1 1
при возрастании | z | = /? до бесконечности стремится к нулю, как ^
2Я
в то время как длина пути интегрирования стремится к оо, как 2nR.)
Итак, путем предельного перехода
получаем:
2^ + 282 + 203 = 0
Обозначая через Й' и Я" две
какие-нибудь из величин Qlt Q2t Q8, мы
можем выразить через них третью
величину Qk:
Qft = — Q'~-Q".
Подставляя это выражение в формулу
(2) и группируя члены с Я' и Я", по*
лучим:
и =* ± uQ + 2/n'Q' + 2т" Я". ()
Отметим, в частности, все значения и, соответствующие z=oo.
Очевидно, что при 2, стремящемся кос,интеграл
Фиг. 27
I
dz
Vfiz-eJiz -e2)(z-ea)
взятый, например, вдоль прямой, проходящей через точку z и через
начало координат, стремится к нулю. Полагая и0 == 0, мы найдем все
остальные значения и, соответствующие z =* °о, из формулы:
и = 2/и'а'+2/п"8".
и, как функция z, является многозначной (бесконечно значной)
аналитической функцией с точками ветвления: elfe2 и еь.
Станем теперь рассматривать z как функцию от и, иными словами,
нижний предел интегрирования как функцию величины интеграла.

Эллиптический интеграл в нормальной форме Вейерштрасса 141
Можно было бы доказать, на чем мы здесь не останавливаемся, что
г является однозначной аналитической функцией и. Эту функцию
обозначают через ®и (произносится «пэ от у» или просто спэ у»):
0= Ри.
Желая в обозначении функции с* указать, кроме значения аргумента,
еще и значения величин g2 и g8, называемых инвариантами Р, пишут:
2=Р (и; ft, ft).
В каждой точке плоскости и за исключением точек;
u^2m'Q' + 2m"Q"
функция 9 и имеет определенное конечное значение и аналитична. Что
касается точек u=z2m'Qr-\-2m"Q'\ то в них s обращается в
бесконечность, поэтому эти точки суть полюсы 9 и. Таким образом Ф и, не имея
в конечной плоскости других особых точек, кроме полюсов, является
мероморфной функцией и.
Из формулы (3), указывающей все значения и, соответствующие
одному и тому же значению г, равному 0О= Ри0, выводим:
Р (± и, -Ь 2/и'й' -f 2/я"0") = Р и0.
Полагая здесь т! = т" =0 и удерживая перед и0 знак,=»получаем:
Р(-~и0)=Ри0,
откуда следует, что & и — четная функция и.
Удерживая в той же формуле знак -}- перед щ и считая т! и т"
какими угодно целыми числами или нулями, получаем:
9 (н0 + 2/гс'й' +2т''Й'')==*Р Щ,
откуда следует, что с$ и есть функция двоякопериодическая 1).
Итак, функция Р п является мероморфной, двоякопериодической функ-
цией. Следовательно, Р и есть эллиптическая функция.
Заметим, что производная от Р и: Р'и также является эллиптической
функцией.
В самом деле, она, во-первых, мероморфна (ее особыми точками
в конечной плоскости являются полюса функции 9 и, в которых 9 'и также
!) Для того чтобы сделать этот вывод из полученной формулы, нужно знать,
во-первых, что два периода 2 Q' и 2 8" я* могут быть сведены к одному, т. е,
что они не являются целыми кратными одного и того же периода 2 Q, и,
во-вторых\ что не существует никакого третьего^ независимого от 2 Q' н 2 Q",
периода, т» е., что всякий период функции g> и может быть представлен
через 2 Я' и 2W в виде: 2 т 'И' + 2 m"Q", где т' и т"—целые числа или нули.
Первое из этнх обстоятельств, т. е. невозможность сведения периодов 2Й'
и 2 й" к одному периоду, как можно доказать, имеет место всякий раз, когда
корни *i, е2 и *8 различны.
Второе обстоятельство, т. е. невозможность существования третьего
независимого периода, имеет место во всех случаях: действительно, можно доказать,
что аналитическая функции, имеющая три независимых периода, есть
тождественная постоянная.

142
Функции ВеЙерштрасса
имеет полюса с кратностями, на единицу большими, чем для *? и), во-
вторых, она является двоякопериодической функцией с теми же
основными периодами 2 в' и 2 ft", что и Р и.
Действительно:
=- Нт Р(« + * и + 2m'Q'+2m»Q'')— ф(и + 2m'Qr + 2ffl"Q") ^
Да
Ли -*» О
= lln,WM-f«aflBj
Дм
ли ->о
Из соотношения
Р(— и) = Фщ
характеризующего #>и как четную функцию, получаем, диференцируя обе
части равенства по и:
т. е. Р'м является нечетной функцией и.
Эллиптические функции Фи и ®'и играют в теории ВеЙерштрасса
такую же роль, как и функции sn и, спи и dn и в теории Якоби.
Из определения z=i°u как функции, обратной эллиптическому
интегралу
оо
dz
■-/
yw-gtz—gz'
легко вывести диференцияльное уравнение, которому она удовлетворяет
Действительно, диференцируя интеграл по нижнему пределу, получаем:
dz
du=*
|/*4гз— g4z — g9 '
или, заменяя z через Ф и н выполнив очевидные преобразования:
т
-.4 ^>зи — q% ® ы — g-3.
Это и есть искомое уравнение.
Заметим, что оно выражает алгебраическую зависимость между двумя
основными функциями Р и и &'и теории ВеЙерштрасса.
В ближайших параграфах мы изучим функцию 9 (и\ g21 g3),
предполагая инварианты g2 и gz вещественными. Так как в приложения функции
di°u к механике наиболее важны вещественные значения этой функции,
то мы, главным образом, сосредоточим внимание на вещественных
значениях и вместе с этим также, в целях приложений, на вычислениях
значений функции по заданным инвариантам и значению аргумента,
вычислении значений аргумента по заданным инвариантам и значению
функции и т. п.

§ 72] Дискриминанг Д = ^~ 27^и ^орни: elt е2н е9 ИЗ
§ 72. Дискриминант Д=^| —27^ и корни: ev е2 и es
Если инварианты g2 и gz вещественны, то многочлен
4**—g2z-gs
принимает вещественные значения для вещественных значений г. Желая
изучить сначала g= ® и для вещественных значений и, будем придавать
г такие значения, чтобы многочлен 4z3 •— g2z —g% (стоящий под знаком
квадратного корня) был положительным.
Различные случаи, которые здесь могут представиться, зависят от знака
дискриминанта-,
Д = £23-27 g*.
1°. Д>0. В этом случае, как известно1)) все три корня е„ е2 и е3
многочлена вещественны и различны. Условившись обозначать через е1
наибольший, а через е3 наименьший из них, будем иметь:
et>e2>es.
Представив наш многочлен в виде:
А (г-О <jfc-'£j) 0£-*з)>
убеждаемся, что он будет положительным, если з > ех или если е2 > £ > е3*
2°. Д<0. В этом случае два корня мнимые сопряженные и один
вещественен.
Обозначая вещесгвенный корень через е2> будем иметь для мнимых
корней:
еъ = т - niy
Очевидно, что многочлен принимает здесь положительные значения
тогда, и только тогда, если z^>ev
3°. А=0. В этом случае все корни вещественны, но среди них два
(в случае, когда g2 и g3 не равны нулю) или три (в случае, когда g2 и
£*з равны нулю) равны между собой. Здесь многочлен принимает
вещественные значения при &, большем неравного корня (если не все три
равны между собой), или при г9 большем общего значения всех трех
корней (если все корни равны между собой).
Во всех случаях имеем в силу известных зависимостей между корнями
многочлена и его коэфициентами 2):
егег -\- егеь •+■ еге1^= j-,
Если все три корня вещественны (Д5^0), то первая из этих
зависимостей показывает, что либо все корни равны 0: ел = е2 = еь = 0 (в слу-
г) См. для этого и для следующих дзух случаев В. И. Смирнову Курс
высшей математики, т. II, п. 23.
2) См., например, Смирнов, Курс высшей математики, т. II, п. 22.

144
Функции Вейерштрасса
чае, когда g2 = g-8ж*0), или корень^ (наибольший) положителен, а
корень ег (наименьший) отрицателен. Что касается знака е2) то из
третьего соотношения следует, что этот знак противоположен знаку gs.
§ 73. Выражение вейерштрассовой функции Фи через якобиевы
Предположим здесь, что дискриминант Д положителен. Если в интеграле
ею оо
Z Z
производить интегрирование вдоль положительной части вещественной
оси, считая z большим ех и выбирая перед квадратным корнем знак-j-i
то интеграл будет получать вполне определенные вещественные
положительные значения. При этом возрастанию z от ех до оо будет
соответствовать убывание и от значения, равного
/
т, доО.
Уцг-ех) (г-е2) (z~<?a)
Введем обозначения:
(X)
dz
/
v4(*~*i) (*-*2> (*-*з)
«/ \/4{z-~ex) (z-a) (*—&) ""*/ :
\/4 (*-«!) (*-*2) (*~*а) — V УЧ^-ж) (*,_*) fo-*)a
*шя.
(Во втором интеграле интегрирование производится вдоль
отрицательной части вещественной оси. Значение квадратного корня под знаком
интеграла выбираем так, чтобы коэфициент при i был положительным.)
Тогда, согласно § 71, все возможные значения и, соответствующие
значению г===г0, ех < #0 < оо, заключаются в формуле:
и = + и0 + 2тг o)j -{- 2/яа (о8,
где через ц0 обозначено положительное значение и, содержащееся между
О и (ov Так как <о8 в нашем случае чисто мнимое число, а (о2 число
вещественное, то все возможные вещественные значения и,
соответствующие данному 0, заключаются в формуле:
и » + и0 -f- 2wj ©|.
Все они могут быть получены при интегрировании в комплексной
плоскости от 0 = 0О до 0 = оо вдоль пути, делающего один или несколько
оборотов около точки 0 = ^. Покажем, что, делая надлежащую
подстановку под знаком интеграла, можно все эти значения и получить
интегрированием вдоль вещественной оси. Именно, положим:
—••+*£?■ (5)

Выражение вейерштрассовой функции р через якобиевы 145
Тогда интеграл примет вид:
1 ? df
где
Очевидно, что 0 <^ Л* < 1 (в силу того, что ех > е2 > £|)-
Когда <р в равенстве (5) возрастает от 0 до -£-, то z убывает от со
до ev
Обозначая через <р0 значение <р, лежащее в промежутке (О, -я-) и
соответствующее данному значению 2 = z0 из промежутка (£п оо),
получим, что все возможные значения <р, соответствующие, по формуле (5),
z = z0, заключаются в формуле:
<Р=±¥о+ *»!*,
где /я, — любое целое число или нуль.
Этим значениям <р соответствуют, по формуле (б), значения и:.
йшу^/
Vl — Л* sin*?
*»
e ± yei - <?B V У*1~Аа sin* ? V*i - *o У Vl-b* sin* f
(Мы пользуемся здесь формулой (30) главы I.) Замечая,
что
1 р dy в
l/*i — *8 •/ V^"! —As^ sin2<p в W°
о
(«q — значение и, соответствующее z = 20 и заключенное в промежутке
U, щ) и что
1 £ * ,,,
получаем:
Отсюда заключаем что все значения интеграла (6), получаемые при
интегрировании вдоль вещественной оси от 0 до любого значения <р,
соответствующего, по формуле (5), данному значению g = g0, ех <^z0<^oot
дают все возможные вещественные значения эллиптического интеграла
(1'), получаемые при интегрировании в комплексной плоскости по
различным путям от ZQ до оо.

146
Функции Вейерштрасса
Из (6) выводим:
sin у =\*[\/ег—еъ • и; к]
и, следовательно, на основании (5):
sn2[K «i —е8 -u; k]'
Эта формула определяет 2 как функцию и, т. е. вейерштрассову
функцию Ри,для любого вещественного значения и. (Действительно, всякое
вещественное число и можно представить в виде: и=; + и9-\-2т1и>и
где т1 — целое число или нуль и 0 ^ я0 «^ со.) Подставляя в
полученную формулу значение k из формулы (7), имеем окончательно:
z^*u^et + gl~g* --, . (8)
Мы получили таким образом, формулу, выражающую вейерштрассову
функцию через якобиеву.
Заметим, что эта формула, выведенная в предположении вещественных
инвариантов g2 и gt, положительного дискриминанта Л и вещественных
и и zt справедлива также при любых g2, gst и и z. Однако,
наибольшие удобства для приложений она представляет именно в
рассмотренном нами случае, когда все члены ее вещественны. В случае,
например» & и ?• вещественных, но дискриминанта Д, меньшего нуля,
вещественным значениям и попрежнему соответствуют вещественные значения z.
~ Л . £• — вп €о —- 1Л -4- III
Однако здесь е9 = т — ш, ег -~ е9 === 2ш, ga_g3== -=—^ЛГ— и в пра*
вую часть формулы (8) входит sn от комплексного аргумента с
комплексным модулем. Мы выведем в следующем параграфе другую формулу,
выражающую Фив случае Д < О через якобиевы функции с вещественным
меньшим единицы модулем и от вещественного аргумента.
§ 74. Случай, когда Д<0
В этом случае один корень трехчлена
4z8— g*z — gz
вещественен и два миимы. Согласно условию § 72 вещественный корень
будем обозначать через е2- Мнимые корни будут:
e1 = m-\-nl, ег=*=т — ni, (9)
причем за ел будем иринимать тот из них, в котором коэфициент при
/ положителен.
Разлагая трехчлен на множители, имеем:
4*8 — gf — А = 4 (* — е2) [(* — т)*+ »Ч.
Вследствие этого интеграл (1) принимает вид:
«= 7. d* сю)

Случай, когда Л <0
147
Из (9) следует, что
2/п «* £х + £8 = — е29 т. е. /я = — -^-
Будем поступать аналогично тому, что мы делали в случае Д*>0.
Произведем в интеграле (10) замену переменной:
*•*, + //• ctg'£, (11)
где Н«я )f9m2 + л*. Мы получим:
«- /* *
J 2s\n*%Y fl(l+ctg*|-)-f-3ea ctg"^
или
dftf
2/// I ■
или еще
J/ sin* у + cos* ■£■ + jf sina -*p cos* -^
W«-/pp=S
sin3 ^
где *»-4~a-(Заметим, что [-^ g y3^ <±«, следо-
вательно, 0<Л3 = ^~|^< 1. )
Теперь мы видим, что
<р — am (2и у/Я).
А так как, кроме того, из (10) г = Р и, то (11) дает:
рц~*,+я1+сп?^Ш. 02)
я ' 1 —сп (2а у/И) '
Формула эта, аналогичная (8), служит для вычисления функции fu
с отрицательным дискриминантом, когда даны инварианты g2 и g9 и
дано и. Применяя ее, надо помнить, что функция сп (2и у/Л)
вычисляется при модуле:

148
Функции Вейерштрасса
§ 75. Случай, когда Д==0
Если дискриминант Д равен нулю, то корни трехчлена
вещественны и два из них равны между собой (или, если £г=г£-3=0,
то все три корня равны нулю).
Мы рассмотрим отдельно случай, когда
6 у = 6^ И £2 = 6^.
В первом случае из соотношений
pi + *« + ег =- 0; exe} + е,е, + еаег = —*£ ; ^Л = ~р
следует, что
р _— Ор . л2 f| . 0/> » — £з
Отсюда
поэтому
и (8) дает:
где
Но в этом случае
Поэтому (§ 11)
и мы видим, что
*1 2*2'
2^2
Ри =
3£з Eg8
ft 2ft ЗП»©.'
ft» = 4*^ = 1.
«1 —<"з
8П*=_*~+^- = Й1Ф
т. е. в этом случае функция Ри выражается рационально через
гиперболическую функцию.
Во втором случае, когда ег = е„ очевидно k = 0; es* = f^' — ^в»' ^
= Т-' в«—Й' ^-«. = -8e, = 5g " W Дает:
2" * s„.„^
2ft
Но при А = 0:
S„(VI;)=-(VS)

Формула однородности функции фи
149
Вследствие этого
sin2
ыь
Функция Ри, как видно из последнего равенства, выражается
рационально через тригонометрическую функцию.
Отметим еще случай, когда ^а=^3 = 0; здесь все три корня ev et
и £8 равны нулю. Имеем:
оо
/dz —т"
г
откуда
§ 76. Формула однородности функции Ри и одно ее
применение
Установим для функции &и формулу, имеющую широкое применение
и известную под названием формулы однородности. Одно из этих
применений будет здесь дано.
Положим в интеграле
00
dz_^
V 4*ь— ёг*-~ St »
г
что г= —, где— есть численный множитель. Мы получим:
I* и-
00
Теперь мы видим, что
«-'(рт.'*"■)•
Но так как
то выходит, что
|» 9 («; ft. ft)- ' (^; лм*. ft»»»). (13)
Это и есть искомая формула.
Покажем, каким образом при ее помощи можно выразить функцию
Р от чисто мнимой переменной через 1Р от вещественной переменной
(но с другими инвариантами). Положим в (13), что pi = —1. Мы
получим:

150
Функции Вейерштрасса
Теперь положим, что u = vif где v —• вещественно. Будем иметь:
* (<* g*> ft) — * (v; ft, - ft) (14)
Мы видим, что функция Р от мнимой независимой переменной
приводится к функции Р от вещественной переменной, но с инвариантами
ft и—ft.
Соотношение (14) можно рассматривать как определяющее функцию
Г {vi).
Отметим еще формулу однородности для Р'и. Эта формула немедленно
получится из равенства (13), если обе части равенства диференцировать
по к. Получаем:
**'(«;*..*.)-*'(^; ли», ^8)W'
ИЛИ
F«"(«4ft.ft)-*'(^; */; *r/)
Отсюда имеем, в частности, положив: цв — 1 и u = fi:
«"(о* ft. ftW^ft. -Л)-.,
§ 77. Периоды функции Ри в случае, когда Д>0
В § 73 мы видели, что в случае, когда ft и ft вещественны и Д>0,
функция Ри имеет вещественный период 2^:
^-tfv^-e^-bU*-* (15)
Ч
и чисто мнимый период 2 щ:
— ОО ^з
2о), — 2 Jyj^-_ei) {г 1 ^(г3^ 2f 7 Г4(*,-*)(*«-*М^)(16)
Значения квадратного корня под знаками интегралов можно выбрать так,
чтобы щ и y были положительными.
Укажем другие выражения для перидов 2<йх и 2«g. Прежде всего,
уже употреблявшаяся нами подстановка
приводит (Uj к виду:

Периоды функции pu
151
Подобным же образом подстановка
Z ^ .Jin» f
приведет 2<o8 к виду:
^--vThfyr^m- (,8)
где k'*= <^*-=\ — &.
*i - *з
Положим теперь в интеграле (15):
Получим:
2(о, = 2 /', *
или, изменяя обозначения переменной интеграции:
2а>1==2 /* , ** ^= (19)
Делая ту же подстановку в интеграле (16), найдем:
2о>й~™ ' **
«>8 = 2i /—=J
V"4(ei-6)(e.-Oh-0 •
или, изменяя обозначение переменной интеграции:
2»t=2/ /-7 " —. (20)
§ 78. Периоды функции &и в случае, когда 4<Q
В качестве основных периодов 2о/ и 2а>"' мы возьмем здесь величины
00
У 1/4 z8 — £а*-"£8
, ^
(21)
00
2о>"' - 2 f , dz . (22)
Интегрирование будем производить в первом интеграле по пути,
целиком лежащем в верхней полуплоскости, а во втором — по пути, цели-

152
Функции Вейерштрасса
ком лежащем в нижней полуплоскости (это возможно, так как ех ===
г=т-\-п1 и ев=*т — ni, причем л>0).
Числа 2со' и 2о/" — комплексные числа, вещественные и мнимые
части которых мы представим сейчас в виде некоторых эллиптических
интегралов. Для этого рассмотрим величины:
** п /* dz (23)
2о),
3 J 1/4*8 —
-#2*--£8
/
YA(z-e2)[(z--m)*+n*\>
2ш'2 = 2 Л * -И ?~ ~
2 J у/ 4z*~-gzz~gii J V 4 (е2~-*)[(*-
■ т)2+п*Т ■
(24)
В обоих случаях интегрирование будем производить вдоль
вещественной оси, выбирая значения квадратного корня таким образом, чтобы
числа 2(оа и -у- были положительными. Очевидно 2<о9 и 2а>/ также
являются периодами 9 и.
Надлежащим образом выбирая значения
квадратных корней в интегралах (21,22) и
пользуясь теоремой Коши, подобно тому
как мы это делали в § 71, можем
убедиться, что величины ©', о/", а>а и а>4'
связаны следующими соотношениями:
(о2 — 2о>' — а>2'» 0,
со2 —2со'"+<*= 0.
На фиг. 28 изображены два контура,
применяя к каждому из которых теорему
Коши и затем переходя к пределу
(заставляя неограниченно расти радиус большой
окружности, одновременно неограниченно
уменьшая радиусы малых и сближая
соответствующие прямолинейные участки контуров), можно получить
указанные соотношения. (Из них выводим:
Фиг. 28
2(of =
2(0
= (02— Ш,', |
= о>2 ~f-w2'. /
(25)
Таким образом периоды 2«/ и 2а)"' оказываются комплексными
сопряженными числами (так как а>2 — вещественное, а>2' — чисто мнимое
число).
Из равенств (25) следует, что 2а/ и 2а>"' не могут быть
представлены как линейные комбинации с целыми коэфициентами периодов 2со2 и
2(0,'* (Действительно, если бы, например существовало соотношение:
2<о' sss о)а — а>2'« 2/ла>2 -f- 2/п' а>2',

Периоды функции фи
153
то мы имели бы:
(1 — 2m)o>a = (l + 2tfi')<,
что невозможно, так как в левой части равенства стоит вещественное,
а в правой чисто мнимое число.)
Напротив периоды 2(оа и 2а>/ легко могут быть выражены через
основные периоды в виде линейных комбинаций с целыми коэфициентами.
Именно:
2со2 = 2со' + 2а>"',
2ш2' = -- 2со' + 2<о'".
Укажем еще две формулы для вычисления со2 и <о2'. Делая подста*
новку
(где Н=\/9т2 + п*) в интеграле (23), получаем:
К 2
I р dtf 1 /» df
о о
(26)
где &*«—_J*L
Аналогично, подстановка
в интеграле (24) дает:
я
Т
<=—£=- Г , *У —--/т f r---f--=, (27)
2^7/ •/ Т/"1 — Л2 sin2 ср >^7? J Kl~^2sine¥' ^''
О ¥ о
где ^^i. + ^-1-Л1.
Заметим, что, обозначив через К и /(', соответственно, полные
эллиптические интегралы первого рода:
tt
2
Г <*?
%/ Vi — *2sin2»
О
И
7t
2
Г <*<Р
мы могли бы убедиться, что величины
действительно являются периодами функции Фи, пользуясь формулой (12),
выражающей JP через сп, и известными нам свойствами функции сп
(формулы § 30).

154
Функции Вейерштрасса
Аналогичное замечание справедливо и для случая предыдущего
параграфа (Д>0).
Только там имеем:
2<o1=-7JL=, 20)3=3 /.2f*L-- (29)
и следует пользоваться формулой (8) § 73.
При этом нужно иметь в виду, что в случае Д<0,
уг \ fl»
* ~ 2 4Н*
а в случае Д>0
§ 79. Примеры вычисления периодов
Пример 1. Вычислить периоды функции
§>(и; 21, —10).
Прежде всего вычисляем дискриминант. В нашем случае:
&-21; ft——10.
Поэтому
A=*ft> — 27ft2 = 6561>0.
Ввиду этого периоды вычисляем по формулам (29), согласно которым
2Ы1шш—Ш==я и 2со,. УУ—
Модули полных интегралов К ъ К определяются помощью равенств
«1 —«в' «1 — «!»'
Корнями многочлена
4г'— 21г+10
служат:
^2 яв 2; ^2яе=х-2"; ^а *■*—тр.
Ввиду этого
Л — з • Л """"IT' Vei е9 — у-}-
Модулярный угол 0 вычисляем по формуле:
Ограничиваясь минутами, находим, что в =я 54° 44' и, следовательно
в'= 35° 16'.
Вычисляем К. Обращаясь к табл. 3» находим, что
углу в «я 54° соответствует полный интеграл 2,01327,
углу в » 55° соответствует полный интеграл 2,03472.

Примеры вычисления периодов
165
Интерполируя, составляем пропорцию:
К- 2,01327 44.
2,03472 —2,01327 " §0 '
откуда К =2,029.
Ввиду этого вещественный период
2^ = ^^=1,913.
Повторив аналогичные выкладки при 9' *=:35э 16', находим:
К «1,73398.
Следовательно, мнимый период
Я.,-Ь~^ 1-1*848*.
Пример 2. Вычислить периоды функции
Здесь
Л«4-; ft—4-; д=««,-27^»=-^-<о.
Вычисляем периоды по формулам (28):
Корни трехчлена
таковы: *1 = -Цр; «f —— у 5 «а—Ц^;
далее: /я — ~; л«=~; #™/9/л2 + я* = ~ /16;
2 4Я 2 2^10 IV"**—15111 °*
lg sin 9 = Г.99434; 9 = 80° 46'.
В табл. 3 находим, что
модулярному углу 80° 36' соответствует полный интеграл 3,21317,
модулярному углу 80° 48' соответствует полный интеграл 3,23400.
Интерполируя, составляем пропорцию:
К-3,21317 10
3,23400-3,21317 ** 12 ;
откуда /С= 3,23053.

156
Функции Вейерштрасса
Далее имеем: модулярный угол 8' = 9°14'.
Интеграл К в 1,58108. Следовательно:
К 3,230532 OAQQQ
<*>а = тт= » 4 _ = 3,6333,
V" }Ло
« '« ,7Г - *'1.58108-2 _ 1 77ЙО/
*% 7т —* 1,7782*
v" /Го
и
2<о' = (о3 + < = 3,6333 — 1,7782/,
2о>'" = (о2 — < = 3,6333 + 1>7782*.
§ 89. Вычисление значений функции ®и
Покажем, как вычислять $ut когда дано и и инварианты g% и gy
Прежде всего вычисляем дискриминант А. Если окажется, чтоД^>0,
то корни ev е2 и еа вещественны, причем ег^>ей^>е9. Найдя эти
корпии, значение функции находим, согласно формуле:
1 и = еь Н 71Х=М=. . (8)
Модулем при вычислении функции sn (и Ye\ — ев) СЛУЖИТ число:
Если А<0, то вычисления производим по формуле:
Рм_еа + Я__-(5rj^-. (12)
Здесь га— вещественный корень. Комплексные корни
ea = /7i + /t/ и е^^т— ni\ я>0.
Коэфициент Н = ]/9/tt2 -f- л2. Модулем при вычислении функции
сп (2и у'//) служит:
л Г 2 4/7-
Формулы (8) и (12) удобно применять в тех случаях, когда и есть
число вещественное. Покажем, каким образом можно приспособить эти
формулы для вычисления функции Фи в случае, когда и число мнимое.
Будем исходить из формулы:
* Ы\ Sv gb) = —V (*i gv — ёг\
доказанной в § 76. Мы видим, что функция Р (ш) будет вычислена,
если будет вычислена функция Pif, причем инварианты последней
функции те же, что и первой, но инвариант gz взят с обратным знаком.

Вычисление значений функции $и \^j
Посмотрим, каким образом перемена знака инварианта g5 влияет на
корни трехчлена 4г*— g2z — g9. Рассматривая зависимости
мы видим, что если знак g3 изменяется на обратный, то должны при
этом изменяться знаки всех трех корней. Поэтому корни ev e2t et
перейдут в корни — ev — е2, —еь, причем по величине:—г8>-—
Применяя формулу (8) к функции Р (v) g2>~-gs), мы должны будем
написать:
V(v;g2f—g3)=~er
e] — e<i
4v\/ex-eb к') '
Следовательно:
Под знаком sn здесь указан модуль k'. В самом деле в основной
формуле (8) модуль k определяется помощью равенства:
Но в силу отмеченной выше перестановки корней квадрат нового модуля
выразится дробью:
причем
«1 — «8
е\ — *д '
-*!* = #
Таким образом новый модуль есть действительно дополнительный и,
согласно принятому раньше условию, обозначен через k'.
Формула (8') удобна для вычисления значения функции Р при
положительном дискриминанте и при мнимом значении независимой переменной.
Если дискриминант отрицательный, то функцию Р (vi) удобно вычислять
по формуле:
легко получаемой из (12). Здесь:
R V 2 + 4tf'
Пример 1. Вычислить Р (и; —., *—) при и = 0,4536. В данном
случае g% = ~; gz = ~ . Дискриминант Д « g\ — 27g\ > 0. Корни

158
Функции Вейерштрасса
Согласно (8), находим:
V 4 8 / 4 8П>(0,4536 }/3)
Значение sn (0,4536-уТ) или sn (0,78565) вычисляем при модуле,
квадрат которого
*i — *e 4
Модулярный угол 9 е 30°.
В табл. 1 находим, что:
амплитуде 43° соответствует аргумент 0,76714,
амплитуде 44° соответствует аргумент 0,78573.
Из пропорции
у— 43° 0,78565-0,76714
44° —43° * 0,78573 — 0,76714
имеем:
<р=43°59'45".
Теперь можем написать, что
Р(0,4536; f-, »)-—|- +
т. е.
sin243°59'45" '
Вычисляя величину Даа$1п2 43°59,45г/' бУдем иметь:
lg а = 0,79364; а = 6,2179,
в>(0,4536: ~, —-) -= 4,9679.
Пример 2. Вычислить Р (и; —24, —28) при и = 0,1345. Здесь
#2 = -24; & = ~28; Л<0- К°РНИ
1+3/УТ. _ „ ,. Л 1-3/Уз .
далее:
/тс
«4-5 п-Ч1-* Я-»/9л1в + л»-8.
2
Согласно формуле (12):
г 0,1346,-24. -«о—1+8 -;+^gy*
Квадрат модуля

Вычисление значений функции fa
159
Находим амплитуду, соответствующую модулярному углу 60° и
аргументу 0,269)^3, или 0,46592. Пользуясь табл. 1 и интерполируя найдем,
что <р = 26° 0' 23" и, следовательно:
*>(0,1345;-24,-28)= 1+3 \tC£w*W * 1+3<*» 13°0'11,5''.
Вычисляем: a = 3ctg213°041,5". Имеем: lga= 1,75018; a —56,258;
^(0,1345; -24, -28) = 55,258.
Пример 3. Вычислить f (и; 4,552, 0,552) при и = 24,683. Здесь
ft — 4,552; ft «. 0,552; Д — 86,093 > 0.
Пользуемся формулой (8).
Корнями трехчлена
4г8-4,552а-- 0,552
служат:
^=1,1229; *2 = — 0,1229; е, «=— 1-
Поэтому
«.У^ —е8™ 35,9631.
Для модуля k имеем:
Aja==sin36~'2~8«0,4l317,
отсюда 6 = 40°. Теперь имеем:
•> (24,683) = — ! + - 2'1229
stf (35,9631)'
Чтобы вычислить sn (35,9631), выписываем, согласно табл. 3, полный
интеграл К, соответствующий модулярному углу 40°. Имеем:
/С= 1,78677.
Период функции sn равен 4/С, т. е. равен 7,14708. Следовательно
sn (35,9631) — sn (4tf • 5 -f 0,2277) == sn (0,2277).
В табл. 1 находим, что аргументу 0,2277 при модулярном угле 40*
соответствует амплитуда <f= 13°. Стало быть
sn(0,2277)^sinl3°.
Вследствие этого
9 (24,683) = -1 + gg^ . 40,952.
/ 39 5 \
Пример 4. Вычислить &(и; щ, —392У при И=5Ш l»0046i.
39 5
Здесь инварианты ft *> щ; ft « — _. Поэтому корни
. _Ь_% 0 __ 1 1
^1 — 2g i ^2 — 74 ' в* e -f
Дискриминант Д > 0.

160
Функции Вейерштрасса
Модуль к определяется из равенства:
е1 —е8 4 '
Модулярный угол 9 = 60°.
При положительном дискриминанте и при мнимом значении и можно
вычислять функцию & по формуле (8'). Можно поступать и так: на
основании (8) имеем:
Г (1,0046*) — i + ( 3 —.- .
7 sn2 f 1,0046/ %/ -у-J
Но, согласно формуле (§ 28):
sn
( 1ДО4Ы y/-f S *) - *п (0,65766*, Л) = i ~gg^ .
где Л-sin 60° и &'=*sin3Q°.
Теперь из уравнения sin f = sn (0,65766, k') вычисляем амплитуду <f
Пользуясь табл. 1, составляем пропорцию:
у — 37° 0,65766—0>65655
38° — 37°"" 0,67487 — 0,65655 •
из которой
<р»37°3'38".
Вследствие этого
sn (l,0046 / Yt) *" *tg 37°3'38"
и, стало быть:
f (1,00460 Т-7^37%-38^-1'0014-
Пример 5. Вычислить периоды функции Р (и; 0, 4) и ее значение
при ц« 1,8696.
Здесь Д — — 432 < 0; корни
» -1 + ^ . e_i. -1-11/Т . И,гТ. 6^15о.
О'= 75°; /С= 1,59814; #' = 2,76806.
Пол у периоды:
©,= 1,2143; <-2,1033*.
При отрицательном дискриминанте и мнимом значении и вычисляем
рц по формуле (12'), согласно которой
9 (1,86960 - 1-VT ' + "3-739f =1 -VI -JJSW-
1 —en 3.7391/3
Вычисляем en 4,9209. Для этого заметим, что
сп 4,9209 - сп (2,76806 -2 — 0,61522) — — сп 0,61522.

Формула сложения для функции $и
161
И поэтому
*> (1,8696*)-1-,/зГ \~?*%*£>■
Обращаемся к табл. 1, в которой находим, что аргументу 0,60802
соответствует амплитуда 33°, аргументу 0,62865 соответствует амплитуда 34°.
Пропорция
у— 33° _ 0,61522-0,60802
34° - 33° ~" 0,62865-0,60802
дает:
<р = 33°20'56".
Теперь имеем:
9 (1,86960= 1 - /Ту^Ц^= 1 - ]/Т tg»16°40'28"
ИЛИ
Р (lt8696l) ~ 0,84461.
§ 81. Формула сложения для функции fu
Устанавливая теорему сложения для функции $и, будем исходить из
уравнения
dx _ + *У -
^№-g2x-gli у/ w-g%y-gb и'
в котором положим:
4х8— gyc — g9 = X\ 4yb-g2y-~g3=V-
Вследствие этого будем иметь:
Положим далее, что -£=г = dt и тем самым -Д. = — dt В таком
YX VY
случае:
(£)'-* (£)'->-■
Продиференцируем эти равенства по £ и результаты сократим на ~
-~. Это даст:
at
2£?=12л*-й; 2§!-1ЯУ-Л.
Теперь введем обозначения:
Х+у=*р; x — y — q;
в таком случае:
или
g-з (/,'-f<78)-g8-
Сикорский 11

162
Функции Вейерштрасса
Вместе с тем, произведение производных
г-г-(г),-($-),-4(х.-у)-Лс*-л
или
5-4-?№»'+«•-*>■
dt dt
Из этих формул выводим равенство:
d2p dp do ., о
* 2 dp
умножая обе части которого на ^•-^т> получим:
£
dt
xti
д2
d(4p)
dt
Интегрирование дает:
1 (dp
где а — произвольная постоянная. Но
*-£+£-^-^-
Следовательно:
у/Х— у/Т^ 2 (х —.у) s/x+y-^,
или
Но, с другой стороны, если обозначим
/* dx
V
=*U\
то получим:
где р — новая произвольная постоянная и, кроме того:
(30)
(31)

Формула сложения для функции fu ЮЗ
Теперь, подобно тому как это было сделано в § 25 при выводе
формулы сложения для функции sn, найдем зависимость между постоянными
1 и jif. Положим для этого, что 1/ = 0. Из (31) будем иметь:
Но так как при v = 0 функция fv = оо, то j/ = o© и (30),
написанное в виде:
1 /уТ-У*^2
принимает неопределенную форму оо—сх>. Эту неопределенность можно
раскрыть, полагая у = i2 и разлагая выражение
в ряд. Сначала заметим, что
Следовательно:
Далее:
1
У — х
■о-*)
*(■+*+?+->
Перемножим два последних равенства и обе части вновь полученного
равенства возведем в квадрат. Результат будет такой:
|(1Х^Х)'.,(1_^..+^-.)'('+*^-ь.-Т-
-<,(1+£+£+-),-*'0+#+#+-)-'1+-2*-|-7+-
Теперь уже нетрудно видеть, что при г> = 0, т. е. при ^ = ^ = 00,
будем иметь:
т. е.
2 = х = ИР И,
и, следовательно, связь между постоянными представится в виде:
а=Р(р).
Заменим в этом равенстве а и ji их значениями (30) и (31). Если при
этом заметим, что
УХ^Ъ'и и У? =9'vt
то получим:

164
Функции Вейерштрасса
Равенство это и выражает теорему сложения для функции #>.
Замена в (32) v на — v приводит нас к формуле вычитания:
„._„+,.+„_.}.(Е±!?)г.
Если в формулах сложения и вычитания заменим ®'и и ®lv их
выражениями через Фи и Pv по формуле (4), то увидим, что Р (u-{-v) и
Р (и — -у) выражаются через Фи и Pt> алгебраически.
Вследствие этого обе приведенные формулы можно назвать
алгебраическими формулами сложения и вычитания.
§ 82. Функция i° от комплексного аргумента
Пользуясь формулой однородности в § 76, мы вывели соотношение:
* № ft» ft) — — * (*; ft - ft)»
которое может служить определением функции Р от чисто мнимого
аргумента. Теперь воспользуемся формулой сложения для того, чтобы
дать равенство, определяющее функцию Р от комплексного аргумента.
Представив (32) в виде:
.(а + ^)-(ГИ)г+4((^^2р)Г"--(^+^)-
заметим» что
(*'«)»-4*8и—ft *« — £,; (f'vy-4V*v — gi*v — g9.
Произведя действия, получим:
Пи + v) _____ .
Теперь в полученном равенстве заменим v на vi. Если примем во
внимание что,
*'(**)-**'tee» -ft).
то найдем:
где
$?и = 9 (щ g2t ft); fv=Q {v\ ft, —ft).
Найденное соотношение может служить для определения функции _? от
комплексного аргумента через ее значения от вещественного аргумента.
§ 83. Зависимость между корнями еь е.г и^и полупериодами
1. _>0. Из формул (15) и (16) § 77 заключаем, что
е1=»9ш1 и е8=Р<о8.

Результат прибавления полупериода
165
Замечая, что
оо et
J 1/"4гЗ— gtf—gi J V № — g2Z— Яз
e, e9
CO
«/ V 4*8 —g^—#3
выводим:
e2 = P (a), + o)S).
Таким образом, в случае Д>0, имеем:
2. Д<^0. В этом случае, формулы (21) и (22) дают:
*!=§>(«>') и e3=g>(a>'").
Кроме того, из формул (23), (24) выводим:
Итак, в случае Д<0, имеем:
^=«Р (со'), *.-PK)-*(»i'). <?•-»(»"). (34)
§ 84. Результат прибавления пулупериода к независимой
переменной функции ®и
1. Основываясь на теореме сложения, выведем для функции 9 и
формулы, аналогичные формулам приведения для тригонометрических функций.
В предположении, что Д>0, перепишем прежде всего уравнение (4)
в виде:
(*'и)я — 4(*и —^(Ри — ej{9u — е3) (35)
и в нем положим и«ю1а Если вспомним, что Ф<о1 — е1 (§ 83), то сейчас
же получим:
Теперь обратимся к формуле сложения (32).
Полагая v = со1я из нее будем иметь:
или, принимая во внимание (35):
Вычтем из обеих частей этого равенства по ех и в правой части
произведем действия. Это даст:
Р (« + «!>-*!- ^__^

166
Функции Вейерштрасса
Но так как
то
tr (W ~4 0),)- — £, т- = -
*(„ + •,)-«,-&^#^*. (36)
Заметив, что ^)/(w1 ~J-0)8) ^О и Р'а>8=:0 и, следуя тому же приему,
нетрудно найти еще две формулы:
f (и 4- ., + - J - * - ^-^ЛТ"1 <37>
И
Г(и + т4-е,-Ь=$Ь^. (33)
2. Если А<0, то, согласно формулам (34):
РЮ^^, P(wB)=* «,«)»6S, Р (<*>'") = *3.
Поэтому
Р' (0)') «Р' (V) = IP' «) = Р' («/") « 0.
Основываясь на этих равенствах и повторив выкладки, аналогичные
предыдущим, получим:
Ku + O-'.-^iS^P*1. (36')
t (в + ш.) - е, - Р (« + »2') - е, - &c^L<i=£!>, (37')
P(H + »'">-ei-(U^i^ial.. (38')
Эти формулы отличаются от формул (36), (37,), (38) только
обозначениями. Действительно, периоды 2о/ и 2(0'" играют в случае Д<0
совершенно ту же роль, что и 2(0, и 2<о3 в случае Д]>0. Что касается
о)., и w2', то имеем, по формулам § 78:
wi = о' + ю"' и <о2' = — о/ + 0)'" ~ 0)з — 2ю'
и так как 2о/ есть период Ра, то
Р {и f о)2') — е2 = Р (а -f а>2 — 2о/) — *?2 = Р (а + щ) *""
Сгорим ер. Вычислить P(<01-j"~5~ 0)8l 15' И)'
Так как инварианты g-s=15; ft — H, то корни
14-2 д/8 , „__,. Л =1-2\/3
2
б?2 = —1; е3 =

Результат прибавления полупериода
167
Квадрат модуля
ех — е3 2
sinO-j/?
. ь я, 1 — cos 30°
sin f* — "
2
Отсюда заключаем, что модулярный угол 6=15°.
3'
(gi — е2) (et — i
Полагая в (36) u = ~f~, можем написать:
>(„,+.£)_«+
(D8
г — ~*i
Но согласно (8):
е JUs. — р J gi--g3 _ * 1 gi- *з
Следовательно:
СП21
3
сп2т
Если выражения sn -а- и сп -*- преобразуем, согласно формулам (64) и
(65) § 28, то найдем:
V
(«з+тш«)в 4-+v^-(4+^)sn2(^^')j
где &' = sin7o°.
Здесь #' = 2,76806 (согласно табл. 3). Теперь из уравненш
sin 'f = sn (0,92269, k') находим амплитуду ср. Пользуясь табл 1, можел
составить пропорцию:
у -47° 0,92269-0,92124 .
4,8° — 47^ -" 0,94610 — 0,92124 '
отсюда <f = 47°3Г30//.
Следовательно:
* (о, + х <°з) ж 4 + v^- (4 + ^)sin2 4ГЗ' 30"
Произведя вычисления, получим:

168
Функции Вейерштрасса
§ 85. График функции Ра и ее первая производная
Исходя из уравнения (4), находим, что первая производная
9,и=±2\Г{9и — е1){9и — е2)(9и — е3),
в случае, когда Д>0, и
9' и = ±2 т/(9и — ел) [{9и~т)2 + п?]}
в случае, когда Д<0.
На основании данного в § 71 определения функции N мы знаем, что
9 (0) — оо.
В первом случае, при Д ,>■(), корни вещественные и 9^ *=ev Мы
видим, что, в то время как переменная и возрастает от 0 до Wj,—
функция 9 и убывает от бесконечного значения до£г Производная $'U
U сЛа . _ г, 14 ел
Зш, 4ш,
Фиг. 29.
все время вещественна и ввиду убывания функции отрицательна, так что
при О^Иа^О)!
Р'и = — 2\/~(9и — е1)(9и — *2)(Рн- е8);
график функции Ри в этом промежутке имеет вид кривой AS (фиг. 29).
Для дальнейшего исследования хода функции заметим, что вследствие
четности функции 9 и можно написать, что
9(2^ — и) =9 (и — 2©!),
а вследствие ее периодичности:
9(и — 2т1)^9и.
Следовательно:
9(2щ — и)^9и.
Отсюда явствует, что при изменении переменной и от ©j до 2шг
значения функции 9и будут те же, что и для промежутка (0, (dj), но

График функции р и и ее прямая производная
169
только в обратном порядке. График представится кривой ВС. Так как
функция tu возрастает, то при ш1<й<2(о1 будем иметь:
9'и=-{-2У(11>и-е1)(1Ри~~е2)(9и-ед).
При u*ss®v как известно, Ф'ф^О (§ 84) и функция Р и достигает
своего минимума.
Так как периодом служит 2®v то дальнейший ход функции Фи
представится кривыми:
Вследствие того, что ел у> 0, все эти кривые расположены выше оси
В случае Д<0 ход функции f?u будет тот же.
В § 83 мы имели,что Фш2~е%, Р'со2п:0. Функция 9 и будет иметь
при и~щ минимальное значение, равное ev На фигуре индексы 1
должны быть заменены на индексы 2. Так как е2 может быть как
положительным, так и отрицательным, то кривые, представляющие изменение
функции, могут не пересекать, но могут и пересекать ось Ои.
Пример 1. Вычислить значение производной
*'{а; —24, -28)
при «««0,1345.
В § 80 мы уже видели, что при g2 = —24 и gt = —28
дискриминант Д<0. Кроме того:
с __ i+з/у/з. -_ ,. _i-3iV3.
m = -j-; /t = —J~—; //«3.
Вычисление производим по формуле:
Р'и^ + г^Ри — ^) [(?«-- m)2+/t'].
При w=s 0,1345, как было найдено в § 80:
Ря*= 55,258.
Внося значения 9 и, £а, т и я в написанное равенство! находим после
выполнения действий:
Р'и=»± 827,64.
Чтобы ориентироваться в выборе знака, вычисляем вещественный
полупериод а>2.
Так как модулярный угол 6 = 60°, то, согласно табл. 3, имеем:
#=2,15652.
Следовательно:

170
Функции Вейерштрзсса
Так как
0< 0,1345 < 1,245,
то
*>'(0,1345)««=- 827,64.
Пример 2. Вычислить значение производной
*>'(«; 4,552, 0,552)
при и «=24,683.
В § 80 было найдено, что для функции Р (и; 4,552, 0,552) дискр«1
мннаит Д>0 и
ех = 1,1229; е% «= — 0,1229; es = — 1;
0(24,683) ==40,952.
Воспользовавшись первой из формул, приведенных в начале этого пё
раграфа, находим:
#'(24,683) = ±2v/39,8291 • 41,0749 . 41,952.
Чтобы решить вопрос о том, какой знак удержать перед корнем, вы
числим вещественный полупериод рассматриваемой функции Р. Этот по1
лупериод:
(0; » _*,.. в ЬЩ1 в 1,2263.
У^-ез V2.1229
Но
1,2263 ■ 20 < 24,683 < 1,2263 - 21.
Аргумент uzz* 24,683 заключен в интервале (20®,; 21^). В этом
интервале функция fit убывает. Следовательно, перед корнем удерживаем
знак минус. Произведя действия, окончательно имеем:
9' (24,683)= -523,95.
§ 86. Поведение функции Фи в комплексной плоскости
Для того чтобы изучить поведение &и в комплексной плоскости, мм
можем, пользуясь ее двоякопериодичностыо, ограничиться изучением ее
поведения в основном параллелограме периодов. При этом мы будем
предполагать, как и всюду в этой главе,
что инварианты g2 и gd вещественны,
1. Д>0. В этом случае за
основные периоды мы принимаем величины
2a)t и 2со8. Так как 2(лг является
вещественным положительным числом, а
2<1)3 — числом чисто мнимым с
положительным коэфициеитом при г, то
- 30 параллелограм периодов представляет
ив" собой прямоугольник с аффиксами
вершин: 0, 2«lf 2a>l-f-2ft>8 и 2a>3 (фиг. 30). Заставим аргумент и изменяться
вдоль контура параллелограма. При этом, когда и, оставаясь веще-
1
С м3
3
0
\
В
С
1
F
М
С
",
2i
Zu» *2ии
0
А „
l'i

Поведение функции рн в комплексной плоскости 171
зтвенным, будет возрастать от 0 до <olf Ри, будучи также веществен-
шм, будет убывать от оо до e1ss Р(ог При дальнейшем возрастании
ч от а^ до 2ю11 $ и будет возрастать от ех до оо . Очевидно, что
1роизводная Р'и прл возрастании а от 0 до 2ю1 вещественна и,
обращаясь в нуль, при и = ©j, меняет знак с — на -f-.
Пусть теперь и, принимая чисто мнимые значения u=*vi (где v ве-
дественно), непрерывно изменяется от 0 до 2<о3. Так как
*(<"■; s» ^"> =• — * (*V' ft» —ft).
:о мы приходим к рассмотрению функции Р (v; g2}—gz) от
вещественного аргумента V, возрастающего от 0 до -~-. Замечая, что
дискриминант gij — 27 (—g-g)2 сохраняет прежнее значение и что корни
многочлена 4z3 — &г +g8, суть — еъ> —■ elt —• ег (— е3 > — е2 > — ех)% мы
дожем утверждать, что Р(-£>; g"2»—"£з) уменьшается от оо до — £3 *=
= ^("Т^"» ft» —ft) и затем-, при дальнейшем изменении и, возрастает
)т — е3 до -f-оо. Следовательно, Р(и; g*2> ft) при и чисто мнимом,
)ставаясь вещественным, возрастает от — оо до е3=Р(<о3; g„ g"3), а
заем начинает убывать от еь до — оо. Производная Р'и«: Ига -~- при
том чисто мнимая (так как Л^ вещественное числе, a Aw чисто мнимое)
i обращается в нуль при и ^= со3, причем при переходе через ю3
вещественная функция $JL мени-ет знак с —на -(-(так как сначала ДР > О,
затем АР <0; что касается ibu = — &v, то это число все время
1еньше нуля).
Рассмотрим еще поведение функции t°u на средних линиях параллело-
рама периодов.
Пусть сначала аргумент фунвкции Р имеет вид (о8 + г/, где г;
вещественно и меняется от 0 до 2(0*- По формуле (38), имеем
Гл едовательно, Р(0~(-юз)» оставаясь вещественным, сначала возрастает
так как Pi/ убывает) от Р (со 8) = ^8 а0 ^ (ю1 + шз) =* ^2» а затем убы-
ает до Р (ю3 -f 2c0j) =* g При этом производная Р' (ю3 + v)«lim -г^ ве-
цественна и, обращаясь в нуль при v = Wj [P^Wj + ^iJ — O], меняет
1нак с-(- на — .
Пусть, наконец, аргумент сфункции Р имеет вид w, -f- г;/, где г; —
1ещественное число, изменяющееся от 0 до -^-. По формуле (36)
шеем:
Таким образом P(^i-(-Wi), оставаясь вещественным (мы уже видели,
то P^i вещественно при вещественном v), сначала убывает (так как

172 Функции Вейерштрасса
Ф vi возрастает) от ^((0^ = ^ до ^(©i+(i)3)==^2, а затем возрастает
от ег до Pfe»! -f- 2(о8) = ег При этом производная Р' (ш + «О »ljm "лт^
оставаясь чисто мнимой, обращается в нуль при г/at-y [P'((o1-f-(os)=0]>
причем, проходя через нуль, вещественная функция f W-f-gi) меняет
знак с -{- на —.
Из этого исследования вытекает, что Р и принимает вещественные
значения на контуре и на средних линиях основного параллелограма
периодов. При этом (если исключить из параллелограма, как это мы делали
в главе I, стороны его, не проходящие через начало координат)
значения Ри, заключенные между — ос и е3> принимаются лишь на стороне ОВ
(фиг. 30), значения между е3 и е2 — лишь на средней линии СД
«значения между е2 и ех — на средней линии EF и, наконец, значения,
заключенные между ех и+оо, на стороне ОА. Во всех остальных точках
параллелограма Фи принимает мнимые значения. В вершинах
параллелограма (из которых к основному параллелограму причисляется лишь вер*
шина с аффиксом 0) Фи имеет полюсы, как увидим ниже, двойные.
Нули Ф и (функция Фи имеет два нуля в основном параллелограме),
расположены на одной из средних линий, именно на линии СД если е2
и е% разных знаков, и на линии EF, если ех и е2 разных знаков. Эти
нули, вообще простые, сливаются в один двойной нуль в центре парал*
лелограма, в случае, когда е2 = 0.
2. Д<0. В этом случае за основные периоды принимаем: 2а>1 = щ —
—- (1>2 и 2а>"' = (о2 -f- со/. Параллелограм периодов представляет здесьфомб
(фиг. 31) с аффиксами вершин:
0,2(о'=:а>а— о)/; 2(о2 = 2а>' + 2а>'"; 2»w«», + «;.
Заставим и меняться вдоль диагоналей. Пусть сначала и возрастает
от 0 до 2(о2. Тогда, как мы видели выше, Фи, будучи вещественной,
будет сначала убывать от оо до ей = Ра>2, a
затем возрастать от е2 до оо. Производная
Ф'и при .этом будет также вещественна и,
проходя через нуль, при и = о>2 меняет знак
с—на-{-.
Пусть теперь точка, изображающая
аргумент, описывает вторую диагональ. Мы
можем представить тогда аффикс этой точки
в виде: со2 -)- vj, где вещественное число vx
меняется от —Ц- до -f- -у- - Так как
К + гу; д, #>)« * K'+»'i; £2> ft)"
[та: (Ojj-f-^j/ и i/j/-)-^' отличаются на ве;
) и г^/ -J- (Og'* будучи чисто мнимым, менз
2(о/, когда г;х меняется от — -^- до-(--^?-» то нам достаточно про-
(значения аргумента: (u2-\-vxi и i/j/-)-^' отличаются на величину
периода 2(1>'=а>2 — а>2') и t^/ -f- а>2', будучи чисто мнимым, меняется от 0 до

Вычисление аргумента и
173
следить изменение Ф (vi, ft, ft), когда вещественное переменное v
меняется от 0 до -—-, Но
9(vi\ ft, ft) = —*№ ft. —ft)
и так как дискриминант Ф (г/; #2, —ft) равен дискриминанту Ф (г/; ft, #3)
(т. е. также отрицателен), а корни многочлена Azb — ft£-f-ft отличаются
знаками от корней 4г3 — g2z — ft и, следовательно, вещественный
корень равен — е2, то при изменении г/ от 0 до ~-, Ф (z>; ft,— ft)
сначала убывает от + оо до — £2 = #4-у-; ft,— ft j, а затем возрастает
до + оо. Поэтому Ф (Ш; ft, ft), сначала возрастает от — сю до £2 =
= Р<©/; ft,ft)=P (w2J ft» ft)» а затем убывает до — сю. Производная
#' остается при этом чисто мнимой. Знак коэфициента при / в ее
выражении меняется с—на-)-» когда она переходит через нуль, при г/ =
= ~-(или, возвращаясь ко второй диагонали основного параллелограма,
при vx *= 0).
Таким образом в случае Д<0, Фи принимает вещественные значения
на диагоналях основного параллелограма. При этом на диагонали ОА
она принимает значения от е2 до сю, а на диагонали ВС— от — сю до е2-
Во всех остальных точках параллелограма Фи принимает мнимые значения.
В вершинах параллелограма (из них к основному параллелограму
причисляется лишь точка 0) Фи имеет полюса (и притом, как можно
показать, двойные). Внутри параллелограма Фи имеет два нуля, расположенные
на диагонали ОА, если е2<0, и на диагонали ВС, если е2>0. Эти
нули, вообще простые, сливаются в один двойной нуль в центре
параллелограма в случае, когда £2=»0.
§ 87. Вычисление аргумента и, когда дано Ф(и; gi9 ft)
Пусть дано, что Ф (и; ft, ft) = tf. Требуется вычислить аргумент и.
Прежде всего вычисляем дискриминант:
и корни:
в j, €2 И &g«
Рассмотрим такие случаи.
/ случай. Д>0 и ay>ev
Переписав формулу (8) в виде:
положим:
¥ = am(ttoV/^^)-

J 74
Функции Вейерштрасса
В таком случае будем иметь:
'-iv/^^- (39)
sin <р = -г \/ — ^
Отсюда находим амплитуду <р.
Модулярный угол 0 находим из равенства:
sin'9 = A2 = f^. (40)
Зная у и G, воспользуемся табл. 1 и найдем соответствующий им
аргумент, который обозначим через uv Будем иметь:
■u^e1 — €i=uv (41)
откуда находим uQ. Общая формула, дающая все значения аргумента и,
такова:
и = ± и0 -(- 2/па)! + 2я(о8,
где т и /г — произвольные целые числа. Полупериоды <л>1 и и>8
вычисляем по формулам:
К . #1 К7
(Оо = :
как указано в § 78.
// случай, 4>0 и е2>а*>еа.
Мы уже знаем, что все значения функции Фщ заключающиеся между
е2 и ev получаются при изменении аргумента и вдоль средней линии
параллелограма от <оя до (о1-(-(Оз или от ^i + ^s Д° 2cot —f- соа.
Следовательно, одно из значений аргумента и имеет вид: v-\-(a2) где
(Oj > t; > 0, так что
Ри = f (i/-|- шв) =*а-
Применяя формулу (38), будем иметь:
откуда
р,,-е^Й^йС^>в1. (42,
Вычислив 1/ но способу, указанному в предыдущем случае, будем
знать и:
и = i/~f~ w8-
/// случай, А > 0 и а < еь.
Все вещественные значения Ри, меньшие еъ, принимаются на стороне
основного параллелограма при изменении аргумента от 0 до а>3 или от
о>3 до 2(о3- Следовательно, одно из значений аргумента и имеет вид:
u=~vi(o<v<ty

Вычисление аргумента и
175
Имеем:
g>w = f (ш) = а,
ко на основании формулы (8') § 80 мы знаем, что:
$ Ш\ s2, ft) = — * («о; а> -ft)- «1—-T2t:,~i/-j—~ тг, = а-
Следовательно:
sn* (*0 v'i^F,, А') = sin2 Ф' - f^f < 1,
откуда определяем амплитуду <р'.
Модулярный угол определяется равенством:
sin'O'^—Э.
Пользуясь табл. 1, находим аргумент vv соответствующий модулярному
углу 6' и амплитуде <f'. Далее имеем:
Отсюда, получив v0t сможем написать и общую формулу для v и для и.
IV случай. Д>0 и ex>a^>ev
В этом случае одно из значений аргумента и должно иметь вид
!~»1.+ *A .(0<tf<»).
Воспользовавшись формулой (36), приведем вопрос к предыдущему
случаю.
V случай. Д<0 и ft>*v
Пользуясь формулой (12), имеем:
cn(2«,x^"-;e5s»-
Положим, что <f = am (2w0 |/^)« в таком случае:
cos^*-^.
т a^e^ff-
Отсюда определяем амплитуду у. Модулярный угол определяем из
равенства:
1 /- 2 W
Зная 'f и 9, в табл. 1 находим соответствующий аргумент и причем
2u0]/JT=su1.

176
Функции Вейерштрасса
Отсюда получим и0. Общая формула:
Ий= + "о + 2то>' + 2/ш'",
где т и п— произвольные целые числа.
VIслучай. Д<0 и а<Се2.
В этом случае и=*а>2 + ^' Имеем случай, аналогичный IV.
§ 88. Примеры
Пример 1. Вычислить аргумент и, если известно, что
&(и; 24,96,- 17,92) = 60,377.
Здесь дискриминант Д>0. Корни
^ = 2; £2 = 0,8; *?э*= —2,8.
Так как а = 60,377 ^>ett то сначала вычисляем угол <р по формуле
(39). Имеем:
т. е. ^==16°.
Для модулярного угла 8, согласно (40), имеем:
т. е. О —60е.
Теперь обращаемся к табл. 1. Амплитуде ^^16° и модулярному углу
8 as 60° соответствует аргумент
«!= 0,282.
Поэтому, на основании (41), получим:
i и0 Дв ==0,282;
отсюда
щ =0,12872.
Табл. 3 дает:
К= 2,15652; '/С «1,68575.
Вследствие этого
№i = 2J5652_ = 09843. e)8=1^75_i==0,76946i.
1/ 4,8 у 4»8
Общая формула, выражающая искомый' аргумент:
и « ± 0,12872 + 2т • 0,9843 + 2п • 0,76945*,
где т и я— произвольные целые числа.

Производные высших порядков функции фи 177
■■' ■ i ■ ' i i »■■ 'I ' " ' ■
Пример 2. Пусть Р (и; 24,96,— 17,92) = 0,2.
Требуется вычислить и.
Дискриминант А и корни ev е2 и ег те же, что и в первом примере.
Так как здесь а ~ 0,2 и е2 > а > е3, то сначала вычисляем 9v по
формуле (42). Имеем:
Pi; = 2,96.
Мы пришли, таким образом, к случаю, когда а = 2,96>£1, т. е. к
случаю 1. Повторяя выкладки предыдущего примера, вычисляем:
sin ?==]/—; <? = 65°54'20"; 0 = 60°.
Согласно табл. 1, интерполируя, находим:
ух — 1,34893 _ 3260
1,37728-1,3489^ ~3600 ;
юх = 1,37460; v0 /TiS = 1,3746; v0 =0,62743.
Следовательно:
v = ± 0,62743 + 2тшх + 2аш3,
и-= ± 0,62743+2/П(о1 + (2л+1)(о3.
§ 89. Производные высших порядков функции i°u
Диференцируя равенство
(8>'и)*.= 4$?8и — g^u — gb
по переменной и, будем иметь:
Г'и = 6Р*и lTg2t
1?'"и = 12&и-&'и,
1?lV(u)^l2Vu'&''u+l2(1?'u¥^l2fw*u |-£9Ри— д),
Производные четного порядка являются целыми многочленами
относительно #и; производные нечетного порядка — целыми многочленами
относительно Р и, умноженными на Р'и.
Пусть 2(0есть любой из периодов функции Ри.
В таком случае:
8>(и + 2(о)=^.
Отсюда:
8>'(/г + 2а>)«Р'и,
8>"(и+2а>)=8>'4
Мы видим, что периоды функции Фи служат периодами ее производных.

178
Функции Вейерштрасса
§ 90. Формулы удвоения аргумента функции Фи
Формулу удвоения аргумента функции Фи можно получить, полагая
в формуле сложения
v—u. Так как при этом правая часть написанного равенства принимает
неопределенный вид:
J>_
0 »
то применяем к выражению
Ф'и- ф'у
фи — jpv
известное правило Лопиталя. Получим:
\ фи-фь]"* ф'и*
v-+ и
Вследствие чего
Так как
(*?'и)а:=4$?8и — g2Vti—gs
и
то формула (43) может служить для вычисления Ф2и, когда известны
значение функции Фи и инварианты gi и £8.
Пример. Вычислить Ф2щ если дано Ф (и; — 20, — 40)«=5. Здесь:
ga = — 20; g"8 = — 40; (P'u)2 = 640; IP'и а. 160. Подставляя эти
значения в (43), находим, что
Р2и = 0.
§ 91. Разложение функции Фив ряд Лорана
Найдем разложение аналитической функции Фив ряд Лорана в
окрестности полюса й = 0.
Обозначая кратность полюса w = 0 (пока нам неизвестную) через т>
будем иметь:
р«-^+^+;--+^+с.+с1«+ •■■ If.**0)-
Так как Фи функция четная,т. е. так как
то наше разложение должно содержать лишь члены с четными степенями
и и, в частности, т должно быть четным числом: т = 2k.

Разложение функции Цри в ряд Лорона
179
Таким образом:
Диференцируя почленно (что возможно на основании § 55 гл. III ввиду
равномерной сходимости ряда Лорана в любом круговом кольце:
0<р«|»| </?<*,
где Ъ — модуль ближайшего к й = 0 неравного нулю полюса fPu)
получаем:
Из этих соотношений выводим:
Умножая теперь обе части равенства
на и6* и переписывая результатов виде;
(р/».на* + |)2-и2*"2«4(Ри.и1*)1— g2(Pu-u**)-u" — $,.»■*
заставим здесь и стремиться к нулю.
Предел правой части, равный 4с8_2*, отличен от нуля,
Поэтому и предел левой части должен быть отличен от нуля, что
возможно лишь в случае 2k— 2=*0, или й = 1.
Итак, 2k = 2 и полюс является двухкратным. Замечая теперь, что
предел левой части последнего равенства есть
4cL2
и приравнивая пределы правой и левой частей, получаем:
с-2 = 1;
поэтому лорановское разложение Ф и имеет вид:
Остается найти коэфициенты cQf cv cv ce,...
Для этого заметим, что
Ги==~£8 + 2с2и4-4с4и8 + ...
Подставляя эти разложения в основное соотношение:

190 Функции Ветершграсса
получаем:
= 4 (р + с0+саиг + с4и4 ■+-...)' —ft (^+^+с,и,+с1иЧ- • •)~Ai
или, пользуясь правилом умножения рядов:
4_3__16С4- -1д-—а4-—"4-—«4-
+ 12c4+24V8 + 4cg+.-.-^(i4-c0 + ^+...)-ft.
Приравнивая коэфициенты при одинаковых степенях и} в обеих частях
равенства получаем:
12с0 = 0, 12^+12*8—ft-—&„
12ci + 24c0c2-\~4c*—g2c0— gs« — 1б£?4,.-.
откуда:
Коэфициенты с6, с8, • • • проще определять, пользуясь соотношением:
28>"и=12в>2и — #2,
в котором следует заменить Ри и в>"и их • лорановскими разложениями
[«"'« = («" и)'=| + 2са+12С4и2+...)]
и приравнять коэфициенты при одинаковых степенях ич
Таким образом для &и получаем окончательно:
®Uu* + ttU+MU* + **lfiU +2ТТТТ1" +■" <44>
Этот ряд, абсолютно и равномерно сходящийся в круговом кольце:
где b — модуль ближайшего к и = 0, неравного нулю полюса р и,
может служить для вычисления $и для малых по модулю и.
Например для функции g> {и; 0, 4) имеем:
f(«; 0,4)= !-£+...,
откуда
Р (0,2024; 0,4)^)24,4103.

Функции Си и о«
181
§ 92. Функции U и ои.
Кроме (р и Вейерштрасс ввел еще функции С и (дзета от и) и о и
(сигма от и).
Они определяются равенствами:
tu-i-f{9u-h)du <4б>
аи = we0 (46)
Заметим, что обозначение £и введено Гальфеном (Halphen).
Обе новых функции, как увидим из дальнейшего, не могут быть
отнесены к классу эллиптических функций.
Из (45) и (46) следует, что
С'и« — Ри (47)
и
(Шеи)'-£-<;«. (48)
Воспользовавшись равенствами (44) и (45), мы можем получить
разложение в ряд Лорана функции С:
1 g2 «8 gs «8 & «7 Ч<&% «9 , .
Условия сходимости ряда (49) те же, что и (44). Заменим в (46) С и
ее значением и выполним интегрирование. Получим:
ОйдаИ-е
ft л *1 *■*»
, - я« — яв _„ ■■* ■■, яВ , , ,., . _ я10 _
2*.3-5 28- 3.5-7" 2т.3.5».7 2».3-5».7.11 и
Теперь разложим показательную функцию в ряд по формуле:
результат выполнения действий таков:
пишшп gi"V ft* №9 gaga»11 iWi
2*1ПЗ 2B.3-6-7 29-32.5-7 27-33.52.7-11 "" ™'
Полученный ряд, как можно показать, сходится при всяких значениях и,
т. е. о и является целой функцией и.
Из (49) и (50) легко видеть, что
С(— н) = — £и и а(—и) — — ои,
т. е. что обе рассматриваемые функции нечетны.

182
Функции Вейерштрасса
При малых по модулю значениях и рады (49) и (50) удобны для
вычисления значений функций Си и а и.
Здмегим, что С(0) = оо. Точка и = 0 служит полюсом функции C«i
Полюсы этой функции те же, что и функции f)U, с той лишь разницей^
что для Си они однократны.
Если тип произвольные целые числа и2ю и 2ю' периоды
функции %>и, то общее выражение для полюсов функции Си будет:
2та)-\-2п(й'.
§ 93. Формула сложения для функции С
Напишем равенства:
*<«-»>+«■»+«•«...-к *ёад
полученные нами в § 81.
При их помощи находим:
$>(u — г/) — $p(H-f г;):
Отсюда, интегрируя по переменной v, получим:
;(и~гг)+С(и + Ф)=»р^-4-С.
Для определения постоянной С положим v = 0. Так как g> (0) = оо, то
С = 2Си.
Следовательно:
С(ц-г0 + ;(и + г.)-2!;ц=, f/J"рр. (51)
Формуле этой можно придать более симметричный вид таким
образом: переменив и и v местами, будем иметь:
или
-C(H-f>)+C(H+p)-2Cp»-fB^'pf|>. (52)
Сложение (51) и (52) приводит к равенству:
которое можно рассматривать как формулу сложения для функции С
Заметим, однако, что, зная Си и Ct>, нельзя из (53) получить С(« + *>)
при помощи алгебраических действий. Вследствие этого полученная фор •
мула сложения, в отличие от формул для $ (u-\-v) и g> (и— г?), не
может быть названа алгебраической.

Формула однородности функций ом hU
188
§ 94. Формула сложения для функщш. а
Пользуясь (48), можем (51) представить в виде:
■£ [In {»(а-г»)в(и+ «)}]-£ [Ш (о» и (Ре-»«)}!.
Интегрируя это равенство и затем потенцируя результат, получим:
а(« — v) • а(н4-гО = С • о2" • (в?и— в?*0-
Здесь С—постоянная. Чтобы ее определить, положим и=0 и
заметим, что
lira [а'и^и—**>)]=■ *.
как в этом можно убедиться, принимая во внимание данные в § 91 и 92
разложения в ряды функций аи и $>и.
Ввиду Л того
С = — &v.
И, следовательно:
м-^—'^-;^^. (54)
Это соотношение играет большую роль в теории вейерштрассовых
функций и называется, хотя и не вполне правильно, формулой
сложения для функции сигмы.
§ 95. Формула однородности функций за и Си
Интегрируя по переменной и обе части равенства:
^(^А^-'^аЛА!*1).
выражающего формулу однородности для функции Фи (см. § 76), мы
находим:
VI • С<«? А. А)-< (^ А/Л в1*1). (55)
Постоянная интегрирования равна здесь нулю. В этом можно
убедиться, разлагая функции Сии Сг/= в ряды, согласно (49), и полагая
затем в полученном равенстве д=-»0.
Зависимость (55) представляет так называемую формулу однородности
для функции С^.
Из нее нетрудно получить формулу однородности для функции а и.
Для этогб следует обе ее части проинтегрировать по и. Результат будет
таков:
!«(«.' А> ft) —1"(р^; А/Л A/*s) + teC

184
Функции Вейерштрасса
где С—постоянная. Переписав полученное равенство в виде:
разложим функции а и и о -— в ряды, согласно (50). Сократив разлей
жения обеих частей на и и положив затем а = 0, мы без затруднений
найдем, что _
Следовательно:
°(«; а, ftbv^ * * (^; лЛ &и8)- C56JI
§ 06. Результат прибавления периода к независимой
переменной и функций U и зи
Пусть со есть какой-нибудь из полупериодов функции &и. В таком
случае имеем:.
Умножая обе части этого равенства на du и интегрируя результат,
мы найдем, что
С(н-Ъ2а>) = Си + 27), (56)
где 2*] — постоянная.
Эту постоянную можно определить, если положить
И= — (0.
В таком случае:
Ссо«С( — (о) + 2т).
Но так как
С( — (о)™ —С»,
то У] а=в С©. И таким образом:
С (и + 2ш) == Си + 2Сю. (57)
Найденная формула выражает результат прибавлений периода 2со к
независимой переменной и функции Си.
Переходя к функции <зи, умножим обе части (56) на du и результат
снова проинтегрируем. Мы получим:
In а (и + 2а>) =з In аи -f- 2т) . и + In Г,
где Г — постоянная. Переписав полученное равенство в виде:
а(и + 2со) = Г . e2i« . он,
положим в нем и«=— а>. Помня, что а( — со)»— aw, найдем:
Г в — е2*ф.
Следовательно:
а (и + 2о>) — — е2ч <« + °>> > ей. (58)

Соотношение между полупериодами ■ постоянным tqi и т^ 185
Если в равенствах (56) и {58) будем считать 2а> равным
последовательно 2(02 и 2(1>„ то будем иметь:
W + 2»%) = Iu + 2im С(и + 2со,) = Си-|-2>ь. (59)
И также:
а (и -f 2(ot) — — е2^ <в + Wl) • о и; о (и + 2<#8) = — е27>» <й + ш«> • <ш, (60)
где
731 = С(01 И 7J3 «= С «д. (61)
Можно показать, что константы 7)х и 7)а не равны нулю. Тогда из
полученных формул следует, что периоды функции Pw не могут быть
периодами функций Си и о и. Так как, с другой стороны, эти функции,
как следует из формул (47), (48), не могут иметь периодов, отличных от
периодов &и, то они вообще не имеют периодов, а поэтому не могут
быть эллиптическими функциями.
Из равенства (58) видно, что от прибавления 2а> к аргументу
функция ои приобретает показательного множителя, имеющего вид:
По предложению Эрмита, функции, обладающие этим свойством, на*
зывают периодическими функциями третьего рода.
Заметим, что периодическими функциями второго рода Эрмит называл
такие функции, которые от прибавления 2и> к аргументу приобретают
постоянного множителя. Согласно этой терминологии, эллиптические
функции могут быть названы двоякопериодическими первого рода и
являются частным случаем предыдущих двух видов.
§ 97. Соотношение между полупериодами и постоянными
It И 7)8
Выведем одно соотношение между полупериодами cot и сов и
постоянными 7)2 и 7)3. Этим соотношением нам в дальнейшем придется
пользоваться неоднократно.
Точка и == 0, как было уже замечено,
служит полюсом функции С#» Полюс этот
простой и вычет его равен единице.
Предполагая, что и принимает комплексные
значения, будем функцию Си интегрировать в :
положительном направлении по контуру па-
раллелограма периодов функции f?ut который
выберем так, чтобы точка и«0 оказалась
внутри него. Таким параллелограмом может
служить тот, вершины которого — щ — соа; Фиг- 32.
о)1-—u)8; (Oj + Wa; — «1 + ^8 (Фиг- 32)-
Кроме полюса и*=0, никаких других особых точек внутри и на
контуре параллелограма не имеется.
|tt,i_

186
Функции Вейерштрасса
В силу формулы (2S) главы Ш будем иметь:
Шд — U)f U), -f" Ша — Шд + шэ —. ш1 — ш3
/ Си du -f- f Zjidu-^- J \u du-\- I Си du = 2ui.
— U)t — U)3 U)t — U), U)t -f- Ш, — U^ + U)3
Совершая замену переменных, положим в первом интеграле, что и =
= v — (о81 во втором ^=^4-^, в третьем tt — tz-j-^a и в четвертом
u=sv — ©x. Будем иметь:
у,,[С(г/-а>8)-С(гг + <о3)]<*г/ +
+ У [C^ + mj) —С(ф —ш^^^г^.
Но
С (v + в>х) — С (г>— (о J « С (v — ©! + 2(0!) — С (г> — «О = 24^
точно так же:
Следовательно:
ЧЛ —Ч»»1втт- (62)
Заметим, что при нашем выборе основных периодов коэфициент при ь
отношении —2- есть число положительное.
СО!
§ 98. Кофункции J; и, з2и н з8 и. Их нули и нули функции аи
В формуле (54) сложения функции а положим, что «щш^ Помня,
что Фа^к*^ будем иметь:
IP» * q(toi + a)e(<Qi —и) ,fiqv
Но заменив в первом из равенств (60) и на и — ©х, в то же время
получим:
3 ((!>! + и) = е2^ и • о (©! — и).
Следовательно:
Выражение ~—*q ^ "7 ■ целесообразно рассматривать как особую
•функцию. Ее обозначим через ахи\ так что:
0* Ilea — . (64)
Следовательно:
Р„_е =' (65)
В2 К

Кофункции охи, а3и и osu
187
Положим в той же формуле (54) сложения функции о, что v «= (о^ ^а»
Так как Р (а^-f-а>8) =* е2 (§83), то
о (ц), + «>а + «)*q (<°i + Ц>8 -"«)
Но первое из равенств (60) после замены в нем и на и — ml -|~ а>3
дает:
а^ + Юд + и)^-- е2ч.(" + ша> -<i(m8 —о^ + и).
Вместе с тем в силу второго из равенств (60):
а (а>я — а)1 -J- и) = J (и — (!>! — (Og + 2(od) =» ^ч> (« - «О. j (^ -j- а>8 — и),
т. е.
0 К + ю8 + «) » — *2U <4' + Ч,) + 2 (Ч1Ш* ~ 4|U>1> ' в К + Ш, — И).
В § 96 мы показали, что если в отношении — коэфициент при i
положителен, то
ЧЛ — ИЛ-х*
Л''
В нашем случае этот коэфициент равен -^ и положителен.
Вследствие этого:
е2 (тг^Ша - т^ш,) в gni -_- J ^
Поэтому
a (a)t -{- (og -f~ и) = е2и to' + чз) • j ((Oj + ^з — и)
и я
где
v.*5±!^lfu±-LZa. (67)
Положив, наконец, в (54) гг=эа>8, нетрудно показать, что
*«-«.--$£-. <68>
где
«.и-'*'"*'"-''». (69)
Оперируя с периодами щ и а>8, мы тем самым предполагали, что
дискриминант Д>0. Для Д< 0 отметим формулу:
'Й-*-!—о%|.Д » <7°)
вполне аналогичную предыдущим. Этой формулой нам придется
воспользоваться впоследствии.

188
Функции Вейерштрасса
Из формулы (50) § 92 следует, что а (0) = 0. Пользуясь (60), можно
найти, что в случае Д]>0 формула
2/П(оа + 2/ш3,
в которой тип обозначают произвольные целые числа, выражает нули
функции аи.
Исходя из формул, определяющих функции ахи, аяи и а8и9 нетрудно
проверить, что нулями будут.
для а2и (2/п-|-1)(о1 + 2па)8,
для о2и (2/п+1)(о1 + (2л + 1)й)з»
для оъи 2ггшг + (2л+1)й>8,
где m и п — произвольные целые числа.
Аналогичные результаты получаются и в случае Д<0. Прибавляя
к независимой переменной функции а±и, з2и и о3и период, можно убедиться
в том, что эти функции двоякопериодические третьего рода.
§ 99. График функции С a
Если дискриминант Д>0, то при изменении и в интервале (0,2(0^
функция #и>0 (см. § 85). Следовательно:
и при возрастании и функция С убывает [см. формулы (45), (47)]. Так
какС(0)=оо и С (2(0!) = — ос, то в интервале (0,2а>|) график Си имеет
вид, показанный на фиг. 33.
Фиг. 33.
На той же фигуре указан общий вид графика и для соседних
интервалов.
Точки перегиба определяются из уравнения
С"и*=— р'и = 0,
из которого
Точки перегиба лежат на прямой, проходящей через начало координат.

Вычисление значений функции Ы
189
Если А < О и е% > О, то график функции Си имеет тот же вид.
Фиг. 84.
Если Д<0 и е2<0, то #>а>а<0. Функция %>и обращается два раза
в нуль. Один раз в интервале (0,а>2), а другой раз в интервале (а>212а>а).
В силу соотношения
С'и = —ри
в этих местах функция Си будет иметь экстремальные значения. Графи
ее имеет вид, показанный на фиг. 34.
§ 100. Вычисление значений функции Си
Отличим два обычных случая: во-первых, когда дискриминант полож
тельный и, во-вторых, когда он отрицательный.
Случай Д>0. Будем исходить из формулы:
>й *=»<?.
еЛ
в которой модуль k определяется из равенства:
(см. § 73). Ради краткости положим et — е8«Х. Будем иметь:
8П»(и1/Г)»^—;
отсюда, интегрируя в пределах от 0 до и, получим:
и ы и
Но последний интеграл можно выразить через интеграл второго рода
Е(у). Действительно, если положим <f = am (и "J/T), то будем иметь:
sin ср == sn (и j/T), dy = |/Г. ^ (ц \J\).dm

190
Функции Вейерштрасса
Вследствие этого:
£(<Р) = jVl—к*sin*<t-d<t**V* fdn2(uVk)du.
и
Внесем выражение интеграла / dn2 (uY^h)du в равенство (71). Ее-
о
ли при этом заметим, что, согласно формуле (38):
X _ 1? {и+ <**) — *з
то получим:
о
Примем еще во внимание, что, согласно (53):
В таком случае будем иметь:
Си = j/T•£(«р)-ехи —\ у|^_. (72)
Из сказанного следует, что порядок вычисления функции Си может
быть таков:
Если известны инварианты g2 и gb и аргумент и, то вычисляем
корни ед, е2 и £д. Затем X = ег — е3 и и |/Х. Вычисляем модуль Л и
модулярный угол Ь. 'Пользуясь табл. 1, находим амплитуду <р, как показано
в § 21. Зная 6 и <р, при помощи табл. 2 находим Е(у). Вычислив <@и
и ргй по способу, описанному в § 80 и 85, при помощи (72)
вычислим (и.
Пример. Вычислить £ f-у; -j-, -g- J.
Воспользуемся формулой (72).
п 39 35
ПРИ & = —» в"з = ТГ имеем корни:
7 * . * — _ А
^i = -j"» ^2 = 2 * 3 — 4 •
Поэтому
Х-е.-е.-З; 51пгв = ^ = -Ь в-30°.
Амплитуду у определяем из равенства
sin tp == sn (и j/X )»

Вычисление значений функции Си
191
которое при а = -н- и Х=3 дает:
sin <f> = sn 0,86602.
Обращаясь для нахождения <f к табл. 1, в ней находим, что
0,86055 соответствует амплитуда 48°,
0,87937 соответствует амплитуда 49°.
На этом основании пишем пропорцию:
у —48° 0,86602 — 0,86055
49°— 48° * 0,87937-0,86055'
из которой следует, что <р = 48°17'26". Теперь определяем E(<f) при
<p = 48°17'26".
Согласно табл. 2, имеем:
амплитуде 48° соответствует £ = 0,81599,
амплитуде 49° соответствует Е~ 0,83217.
Пропорция
£-0,81599 _ 17'26* 523
0,83217 — 0,81599 ~ 60' в 1800
дает:
£=0,82069.
Далее, согласно формуле (8), будем иметь:
V\-t)ss~- — + sin2 48°17'26" =х4>133'
Вычисляем производную Р' (~п~) •
Для этого воспользуемся первой из формул § 85. Мы получим:
*'(т) = —2/2,383-4,633.5,383=:— 15,418.
Здесь перед корнем удержан знак минус. Это сделано потому, что
1ргумент и=~^ меньше полупериода
«>, = -* ^68575:
Vi = -р=г- «ввз —.
1 уТ ]/з
С (-у) = 1,9786.
исчисления значени
С(и+»*)-Ч.«-и#+2 т/Я-£(Т,А1)+^-, (73)
Внося значения X, £(?), ^, tf, р'я, $>и и ей в равенство (72), полу-
им:
Случай Д<0. Для вычисления значений функции С можно пользо-
аться формулой:

192
Функции Вейерштрасса
в которой
H=V9m2 + я2; el^m^nl\ еа = ~2/гс;
(d2 — вещественный полупериод, соответствующий функции С;
Чг t=zV^ (К—2Я), а функции "®и соответствуют корни:
е — .£. £t. * «. еа . . в Я е2
б1— 2 4' ** Т' 8 5 4"'
<см. £4иу, Precis elementaire de la theorie des fonctions ellipticjues)
Заметим, что в рассматриваемом случае вычисления будут проще
если воспользоваться приемом, указанным в главе V.
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать, что
* mt л \ * 1 д (Р'Ц~Р'<Л
Lflu + v^fu—r^^^^).
2. g> (u + V)*afti +
Н 2 (8? и — ^ tf)a '
2 (ffapfr-^" ft )(#>*+**)-**
3. g> (« + *)+ Р(и-*)« * (Ри-Р»)» •
4. |» (« + *)- V (a-*) = - (|rjrr^-
&P (« + «»-P(«-«0---gj^ln(Pii--PiO.
6. p (« + *)• P (и-Ю = - (p«~p"5)» '
i i a2
8. P2tt«p«—-ygjj- lnp'«.
(р8« + ТГл)Я + *|Р|Г
9. f?2u^ rf,u?
2.
- 4Я3 -sn (2u У"Я) rf* (2u VH) . . .
10. g>'« = —-—~-=~—-t приД<0.
г [1-сп(2иКЯ)р

Упражнения
198
12.
о* и
- р 'и
13. <j(u + v)9(u — v)*=&ua*v — tfVQ2Ku (*=1, 2,3).
14. §»'**'
08«
15. а2« = 2а«.а1ц.а|и-а8и.
а'2й fte'« . 1 fa
1С
17 У"" Р'ц+Р'Зи
18. Ce + ^-C(« + »)«-^/f«+P»+f (« + »)•
1 Р"и .
19. С2««ур^ + 2Си.
**(т)+*
20. Доказать, что функция у «■ ; х . =— удовлетворяет диференциаль-
V»'(t)
<rtp 3
ному уравнению gg1"^ §> «•?;/1 и; В —
постоянные.
Обратить интегралы: ,
21
"=/i
/ 4z«+12z8+12z
х
о
1
z
2z*
24.
dz
/2-3*~9*Т
Отлепи z-
Отлет, z*
Ответ, z =
-5*»-z*
= *(«; 0.4)-l.
1
Pfa0,4)-1
'1>(«.'0.4)+Г
1
25. Если p(u; 0,1) = 1, то и
(2и;0,1) = 1.
Доказать, что:
26. Если£8 = 0;£8»1,
то, Р^з" «ej— 1;

194
Функции Вейерштрасса
27.
28
«>(^;48, 44)»~4.
29. f(»i + x'- 48, 44) «2.
30. Вычислить 8>u,Cu, си и f'u, если
us* 0,306 и £i = 0;£8«l.
31. Вычислить &и; ta, ои и р'ы, если
и = Ш| и g2 = 0; g8«l.
32. Если fp (и; —60, —10) = 5, те
f>2a=0; fp3u=*j; fAu =f.
5
33. Если fp (u, —15, 19) «у, то
5 456
34. Вычислить С2и, если
u «0,61198; ^2 = °; £e=l-
35. Решить уравнение
f»(u; 0, 1)== 1,7211
Ответ. 10,6805; 3,2680; 0,3060;
-69,8040.
Ответ. 0,63; 0,5928; 1,50*6; 0.
Ответ, 0,7972.
Ответ. а=х±0,725 +
-f2«»a+2rt«j', где «2=1,53;
ъ' = 2,65/; тип произвольные
целые числа.

ГЛАВА V
ТЭТА-ФУНКЦИИ
§ 101. Разложение функций в бесконечные произведения
Представление функций в виде произведений других функций с более
простыми свойствами играет важную роль в математике. Наиболее
простое решение задача получает тогда, когда функция / (») есть многочлен:
/ («) = Д0ия + ахип~1 + • • • + я*-1 и + ап.
Обозначая через аь а2,..., ап нули этого многочлена, имеем, как
известно:
л
Также легко решается задача в случае, когда f(u) есть вообще какая-
либо рациональная функция. В этом случае ее всегда можно представить
в виде частного двух многочленов степеней man; поэтому имеем:
т
П(*-ъ>
Следующие по сложности случаи имеем для функции целых и меро-
морфных, простейшими представителями которых являются соответственно
многочлены и рациональные дроби.
Однако здесь мы получаем разложения в виде бесконечных
произведений. Мы займемся специально разложениями эллиптических функций.
Эти разложения для функций sn и, сп и и dn и были предложены и
изучены еще Якоби. Прежде чем перейти к изложению результатов Якоби
и к их приложениям, напомним основные определения и факты,
относящиеся к бесконечным произведениям.
Пусть zu z2, ztt . . . у zn, . . . бесконечная последовательность
комплексных чисел, из которых ни одно не равно нулю. Если существует
предел:
1Цпжг«2-*, - • . zn§
конечный и отличный от нуля, то говорят, что бесконечное
произведение
Zl'Z2...Zn'Zn + •• •

W6 Тата-фуккцшс
' ' - ■ ' ' ' ■■ " ■-——i
сходится и пишут
во
llffl *i *| . . . Zn =в П if .
Л—-К» р ав 1 *
Так, например, полагая
* + «■ (P + V
имеем:
* * у 1-3'а-4»3.5...я(я + а) я?(я+2)1 _ 1 * + 2 1
*t'*i- • • ^п^.з». . .(ft-fl)' в"2|!(я + 1Й* *"?« + ! ~*2>
когда я-» со.
Поэтому мы пишем
/it (Р-Ы)2 2
Обыкновенно общий член zp бесконечного произведения представляют
в виде:
При этих обозначениях можно высказать следующую теорему.
Для того чтобы бесконечное произведение
П 1 +ир)
абсолютно сходилось, т. е. чтобы наряду с ним сходилось и
00
произведение1^ (l-f 1«»|). необходимо и достаточно, чтобы ряд
V «р абсолютно сходился.
В дальнейшем мы будем рассматривать бесконечные произведения, для
которых ир являются аналитическими функциями комплексного аргумента и.
В этом случае особую важность приобретает вопрос о равномерной
сходимости бесконечных произведений; Бесконечное произведение
оо
П(1+Ир) называется равномерно сходящимся в некоторой
замкнутой области В, если абсолютная величина разности
ОО П
П(1+ир)-П(1+и„)
может быть сделана меньшей любого положительного числа *t
каково бы на было и из области В, лишь бы только п было больше
некоторого N (*).
Простой критерий равномерной сходимости дает следующая теорема.
оо
Если в бесконечном произведении!! (1 +и„) абсолютные вели
pent

Тэта^функдии
Xtt
чины членов \и \ остаются меньшими, какого бы ни было и из
00
области В, членов ар сходящегося ряда: ]£ ар (ар — постоянные
положительные числа), то произведение равномерно сходится в
области В.
Укажем, наконец, следующую важную теорему.
оо
Если бесконечное произведение |~| (1 -\~ир), в котором ир явля-
ются аналитическими функциями и-в замкнутой области В3
равномерно сходится в этой замкнутой области, то величина
этого произведения является аналитической функцией от и
внутри области В.
§ 102. Тэта-функции
Пусть q обозначает число, модуль которого меньше единицы.
Рассмотрим бесконечные произведения:
оо
По-**-1 ■««•).
Лив1
ОО
Я=»1
где и—комплексное переменное и q— постоянное, равное еж*~, причем
т означает комплексное число с положительным коэфициентом при /.
Полагая т«=р-["*а*» °>0> имеем:
q-=.e = e *e ,
откуда
\q\ = e—<\.
Отсюда выводим, что оба бесконечные произведения абсолютно сходятся
при любом конечном и. В самом деле:
•/"-'•««•l-SI^IW
г2и - 1 лы I __ V"1 I «2i« I I л 13л — 1
л — 1
Xl-?2''•*2"'|=5>l"'N<7!2',
представляют геометрические прогрессии со знаменателем \q\2> меньшим
единицы, и, следовательно, сходятся. Так как далее в каждой
фиксированной конечной области плоскости переменного и функция еш
ограничена по модулю: | еш ] -^ Му то члены обоих рядов меньше
соответственно членов сходящихся! рядов с постоянными членами:
оо со
В-1 л=<1

198 Тэта-функции
Таким образом каждое из произведений сходится абсолютно и
равномерно в любой конечной части плоскости и, следовательно, представляо*
функции и, аналитические в любой конечной части плоскости, т. е.
целые функции и.
Целой функцией и будет также следующая функция, введенная Якоби1
оо оо
П «- 1 П к= 1
где G"— некоторое постоянное. (Мы употребляем здесь общепринятые
в настоящее время обозначения, принадлежащие Таннери и Мольку; сам
Якоби употреблял несколько иные обозначения.)
Переписывая последнюю формулу в виде:
оо
и выполняя умножения под знаком произведения, получим:
со
», (и) = О. f] (1 — 2?2«~» - cos 2» + ЯАп*2У (2)
Отметим сейчас же некоторые свойства функции ftA (и). Прежде всего,
заменяя и через н-f-rc, найдем, что
g2i (и + к) =z gllu е -
Таким образом при указанной замене величина произведения не
меняется, и мы получаем:
Аналогично, заменяя и через и-j-irr, найдем:
e2i {и + *т) __ еЧ1и . л2 £ — 2* (и + **) = £ ~2'и • Л' ~"2
и, следовательно:
со со
bt(ji + m) = Gf](l -tf* + » • ««•) f](i _?2Л-з . е-ш)==
=G(l-q3-e»u)(l-q*-e2la)..Xl-q-i.e-Va)(l-qe-iltt)(l-qie-*u)...=
_1 — 21и °° °°
/i^i /»«> 1
«,_f-i . e-a/« . 84(й),
Из формул (3) и (4) следует, что функция &4 (и) может быть названа,
согласно терминологии Эрмита, двоякопериодической функцией третьего
рода. Заметим, что множитель—д~1*е-ш может быть записан в виде:
„q — 1 . g — 2f« я— g — 2iu — ** (t — 1) ^

Ten-функции
199
Мы определим сейчас еще три функции, аналогичные функции ЬА(и)
(и также введенные Якоби), и покажем, что отношения этих функций
представляют эллиптические функции, а именно эллиптические функции
Якоби.
Положим:
м«)-»4(и+4-я) Y
М") = -^4 -eiu»< (« + 4711), ■ (5)
Очевидно, будем иметь:
»3(и) = 0 П (1 +0*|-1.*Я") ["] (1 + ^«-i г~2'и) =
оо
= О fj (1 + 2^ -' • cos 2и + ?4я-2),
я—1
(6)
Л—1
1
~ + 2GqT'$inuf[(l~q2n.e2iu)fl(l~q2n-e-2iu)~
л-1
n»t
1 оо
~ 2Gq 4 • sin и П (1 — 2?2л • cos 2и + ?4л), (7)
л-1
»>(и)- + 20ут- cos и- [7(1 +?2л*^й)П(1+?2"•^2/")=й:
- -f 2Gq 4 • cos и П (1 + 2q7n . cos 2и + ?4л). (8)
Я=»1
Фунщии ftjfa), Ми), »,(и) и &4(а) называются тэта-функциями.
Из формул (3) и (4) и из определения функций »я(и), Ъг(и), »2(и)
»j(«+t)=»«(«+4-7,+it)e»* (и+4-п)=М").
=- Г1 • Г" ("+ т") • »4 (й+4- ■«) - г-1 • «-*■ ■», (и),
следует

200
Тэта-функции
= /?т ■ ** -0, (« + -J"irc)— -О^и),
. -у /и —1 - 2/ (и -f 4" *t) л / , 1 \
« —^4.е ._^ .<, v-^2 /.о4 ^И + 4"7ГГ)ЯМ
•л»+«)-»! (и+4-*+*)" -**(«+4-*) - - •»(«) •
-1 -2/ (и+4-*)
•i^+T"18)"* 1-^"*в'*э(")«
Выпишем для удобства обозрения формулы, определяющие
тэта-функции, а также формулы, характеризующие их как двоякопериодические
функции третьего рода:
1 со
Ьх (и) » 2GqT • sin и Ц (1 — 2^2я• cos 2и + ?4rt *
JL °° - '
02 (к) = 20?4 • cos и П (1 + 2?**'cos 2« + ?4rt),
&з (и) » G' П 0 + W*~l'cos 2и + ЯАп~2) >
'* (и) » о П 0 — V1-1'cos 2w + ?4rt"2)
О)
da (u -{- я) = — 0а (и), »а (a -f тег)« «у-1. e?-2'e - 04 (и),
(10)
Нули тэта-функций проще всего получить, пользуясь выражениями
(1),(6), (7) и (8).
Так, например, для Ь1(и) получаем, приравнивая нулю отдельные
множители каждого из двух произведений, входящих в правую часть
формулы (7):
^2/И е-, л— 2/1 я g~2nnte g—2tU за- (7*~2rt = £~"2яп|Т

Выражения эллиптически» функций через тэта-функдви 201
откуда, замечая, что показательная функция обладает периодом 2ти*г
+ 2iu •« — 2лтгт / -f- 2/mxi
млн
Эту формулу мы можем переписать в виде:
понимая под 2т и 2/г любые положительные или отрицательные четные
числа. Совершенно так же получим общие выражения для пулей функций/
Ь2(и)$ ft,(и) и 04(и). Именно, для 0а(и) получим:
и = (2/я-1)~- + 2/*-£-,
для 08(и):
tt = (2m-l)-f--K2/i-l)-£
и, наконец, для 04(*):
w — 2/w-y-f (2л — 1)-£.
Все эти нули являются простыми.
§103. Выражения эллиптических функций через тэта-функции»
Так как функции ^(и), Ъ2(и)> &а(и) и ft* (и) — функции целые, т. е.
аналитические во всей конечной плоскости, то отношения их:
М") М«) MfL)
М")' "Ш' М")'
являются аналитическими во всей конечной плоскости, исключая те точки,
в которых знаменатель обращается в нуль. Такими точками,
являющимися полюсами, и притом простыми, для рассматриваемых отношений
тэта-функций, будут все нули Ьл(и):
и==2/71-£- + (2/*~-1)-£.
Функции
Ми) Mffi Mffl
д4(«)' д4(«)' а4(иГ
не имея в конечной плоскости других особых точек, кроме полюсов,,
мероморфны. Покажем, что они, кроме того, двоякопериодичны и,
следовательно, являются эллиптическими функциями. Действительно, из
формул (10) выводим, обозначая для краткости рШ, ^Ш и -^jjx-
через <р(«)| ф(и) и х(и), соответственно:
<?(« + *)=== -~-¥(*)» *(и + 7ст) = ¥(и),
ф(и4-*)=— ф(и), ф(и + ^)к==--ф(и),

202
Тэта-функции
откуда:
<р(и + 2тс) = ?(«), ¥(и + яг) —<р(и), I
ф(и + 2я)=ф(и), ф (и-f^ + irO^ <!>(")* ]
Х(" + *) = Х("), Х(" + 2то) = х("),
т.е. <f(«) имеет периоды: 2тг и тст, ф (и)—периоды 2я и ir + тп и,
наконец, ^(и)— периоды тс и 2тгс.
Отметим еще нули функций <р(и), ф(и) и х(и).
Очевидно, что нули <р(й), ф(и) и x(tt) совпадают, соответственно,
с нулями дх(и), fl2 (и) и д8(д). Таким образом имеем следующие нули*
и=*21И.-|+2дуТ [для <р(д)],
««(2/п—1)|-+2я^т [для ф(и)],
и=^(2/гс~1)| + (2л-1)^ [для х (it)].
Покажем теперь, что эллиптические функции <р (д), ф (и) и х (я) весьма
простым образом связаны с эллиптическими функциями Якоби.
Рассмотрим, в самом деле, функции sn(#, k), en (а, к) и dn(w, Л).
Полюсы всех этих функций заключаются в формуле:
Все эти полюсы, как мы знаем, простые.
Периодами функций sn#, спи, dnw являются:
4К 2ifC (Для sntt),
4/0 2АГ+2*А" (для спи),
2/С, 4*/С (для dntt).
Наконец, нулями sn и, спи и dn« являются:
ц ±- 2/п/С+ 2«/Ci (для sntt),
и » (2w — 1) К-\- ЧпК'ь (для сп и),
и--(2т—l)ff-j-(2fl—1)КУ (для dntt).
Сравним с эллиптическими функциями Якоби эллиптические функции:
причем в тэта-функциях, через которые они выражаются, примем т=»
: f ~, и, следовательно:
/Г'
Очевидно, полюсы функций <j> f~~-и), ф (^и) и )[(Лг и) заключаются
в формуле:

Выражения эллиптических функции через тэта-функции 309
или
и — 2тК+{2п — \)тК=2тК+(2п—\)1К'.
Периодами будут:
АК и 2Kb для 'f (~ и) ,
АК и 2К+2КЦ для *}(щи),
2К и AK'i для х (з^ и) •
Наконец, нули этих функций заключаются в формулах:
и = 2т/С+ 2я/С7 для ^р (щ- и) ,
и=~(2т—\)К+2пК1 для ф(др и),
и — (2т—1)/С+(2« — 1)АГ^ для *(др в).
Мы видим, что эллиптические функции sn и и tp Q^ a J , en и и ф (™и)
к dnu и X (§??") попарно имеют одни и те же периоды, полюсы
и нули. Но можно доказать, на основании теоремы Лнувилля (§ 63
главы III), что две эллиптические функции с одинаковыми
периодами, полюсами и нулями могут отличаться лишь постоянным
множителем (мы дадим доказательство этого предложения в последней
главе книги).
Таким образом, обозначая через А, В я С некоторые постоянные
числа, имеем:
СП
^А 2A*Telll«_5=! ,(И)
h (flf «) П(1 - 2**-1 cos -$ + ^"~2)
с»«-Я*(£«)-
до
„В _2Д^.со$5^=! , (12)
•« (Й- «) П(1 -2**-1 -cos ■£ +?4"-2)
R-.1

204
dn«-Cx(£«) =
« / П
Тэта-функция
с»
1 I I/ , » л 2л—
и J
1 _„ *" , _4n-2^ 1
=с
я—1
П-ei
В этих формулах остается лишь определить значения постоянных
В и С.
Для того чтобы определить коэфициент Л, положим в обеих част!
равенства (11) «=*/£
Тогда получим, замечая, что sn/f—1:
, П<1 + 2*2* + *4л)
1— 2AqA
Я**А
П<1 + 2^,+ *4л-2)
««1
2А<7~
П(1 + *2л) "
я-1
По+«*-')
Откуда
irT
-i. i»
, гПа + в2"-1)
Д«1
Па + Л
(H)
Полагая и = 0 в формулах (12) и (13), получаем:
\*=2Bq
Т_"г
п-1
По+з^Ч»4"-2)
i-c«?
П О-Ze*-'+ «*-">
п=1

Выражения млипткческих фуккций через та-функции 205
откуда
В
1 -
Я 4
П(1-»*,-,>
По-?2"-1)"2
Ш + я2"-1)
'л—1
(15)
(16>
В этих формулах А, В и С выражены через q<=*e к. Укажем для
коэфнциеитов А, В и С еще и другие выражения через модули k и W
функций sbк, спя и dnu.
Положим для этого в равенстве (11) « = /С+//С Так как
[см. формулу (74)1 и
C-OSjw (/f-f-//f)= cos f ir-f- W -£-J — — COSCT = — -——
2
TO
По + <?я +•*-•+в4""2)
Л—1
-А?"
. лл~ Т (1 + Ф)(1 -4-g)(l -ЬV*)(14-g»)-•
4 2(1+^(1+9") (1 + qt) (1+f).
<Ц- 9)П(И- ^^-^(i Н-*2"^)
■ л>-1
По+ ?*-') оч-*2")
л*»1
Поч-*2"-1--2
ж
л-1
Поч-*2")

206
Тэта-функция
откуда
2д*
П(1 + 9ая)
П(1+92я-1)
J
Перемножая почленно равенства (14) и (17), получим:
А — к •
откуда
1
Vk
(Щ
Чтобы получить аналогичное выражение для С, положим в формул»
(13) и«=/(. Получим:
оо
По-з^-ч-»4"-2)
Па + зв^-Ч*4"-*)
л—1
откуда
C = fc'
П^*2"-*)
П«1
По-в2"-*)]
Перемножая равенства (16) и (19) найдем:
С2 = А5' или C = i/a7.
Наконец, из формул (14), (15) и (16) следует, что
Поэтому имеем:
(19)
(20)
(21)
Окончательно получаем следующие формулы для sn а, en и и dn ж:
1_^(-ДГ")_ой-т Л
Snil-
9*Х
Xsin
со
П(>-
Я«1
2^я. cos—- + I?4'1
')
Ж
пн
я=1
2л- 1
cos
-?+<"-)
(22)

Ранние обозначения Якоби дл! тэта-функции
207
спи
-у*Ш-ж**~**
X?4cos^
П(
л=1
l+2?2«-cos •— +q*n
)
f](l- 2f*-'.co.-2- + ,*"'«)
(23)
Л—1
dn« = l/A
p *» ( 2/C
»«(жи)
n(l-2^-'.cos-^-+^-^)
(24)
/1=*1
Эти формулы, представляющие мероморфные функции sn и, спи и dnи
в виде отношения двух целых функций, каждая из которых представлена
в виде бесконечного произведения, аналогичны формулам,
представляющим рациональные дроби в виде отношения двух многочленов, каждый,
из которых разложен на множители»
§ 104. Ранние обозначения Якоби для тэта-функций
Для функций
••(-иг") и •«(-*-")•
Якоби в своем сочинении «Fundamenta Nova Theoriae Functionum Elllp-
ticorum» (1829) употреблял следующие обозначения, которыми мы будем
пользоваться в дальнейших параграфах:
•i-Gnre)-tf(«o.
»,(1«) = 8.(«).
(25)
Таким образом для функций в (и), Я (и), Я, (и) и в, (и) имеем
формулы:
е(я)-0П(1_2в*-».с08-2-+?*.-.),
(23)

208
Тата-функдия
H(u) = 2Gq* • sin JjL f] (l _ 2^» . cos ^ + <Л) (27)
Я.(«)-.20*4 • cos-g, П (l + 2^ • cos ~+Я*п), (28)
OO
в,(и)-СП (1 + 2**»-1 • cos -^-+^4я-2). (29)
В этих формулах G означает некоторый постоянный коэфициент, значение
которого мы позднее фиксируем.
К
Из формул (5), (10) и (26) вывоним, замечая, что x=*i—^-:
е(и+/о=е,(и),
//,(«+К) Н(и),
в(и+2/0-»в(и),
Я(и+2К)=—Я(и),
Я, (и+2Я) =»-//,(«).
9Х (и+2/0-^1 (и).
e(«+wr)-fe 4АГ -я(и),
•JL- (2« + /ГО
4* -e(«),
H{u-\-iK) = ie
я,(и+</Г)- <? * -et(«),
!lL (2 + fi
0, (и+ */(') = e
в(«+2йГ)—e
^ -в (и),
*(
H(u+2iK')=—e
Я,(и+2//С') =
в,(в + «ЛГ)-
(в+КЧ)
//(«),
e * -Я, (и),
e ^ -в, (и).
(30)
(31)
(32)
(33)

Ранние обозначения Якоби для тэта-функций
209
Для примера покажем, как выводится соотношение:
-«^"Vc").
е1(н+гл:')=е
Из формул (25) и (5) имеем:
I . / -кп I \
,^-тв-'(иг + т-).
+f)-
+
= e'
4АГ
V 2K 2 /
Чт^'
2/C/
— ^L (2« -f- I/O
Аналогично выводятся к остальные формулы. Эти формулы играют для
тэта-функций ту же роль, что и формулы приведения для
тригонометрических функций. Из них следуету что функция в (и) и вДя) имеют
период 2К, а функции Н(и) и Нг («) — период АК.
Из формул (26) — (29), определяющих функции в (и), Н{и\ Н1{ц) и
в^и), следует непосредственно, что 6 (и), Н1(и)нд1(и)— четные
функции, а Н(и) — нечетная функция:
е(-И)=в(н),
Н( -и) --Л(и),
вл-»)-в, (я).
(34)
Отметим еще нули рассматриваемых функций. Выражения для них
тотчас же получаются из выражений § 102 для нулей функций ФДи),
••(и). М") и »*(«)•
Именно нулями будут:
и = 2отА'+(2я— 1)А"г [для в (и)],
и = 2/гаЛ"+ 2л/П {для Я (м)],'
и — (2т — 1) К-\- 2пКЧ [для //t (и)],
м = (2/№— 1)/С+(2я — 1)/C'i [для et(H)].
Наконец, из формул (22)-
(24), следует:
JL я<»>
уТ ' в(и) '
Г k в(и)
^1« =
СП и •
(35)

210
Тэта-функция
Так как
sn20 -}-СПай = I
н
k2Sl\2 U-\~6n2 U 5=5 I,
то
j2
H2(u) + k'H\{u)^№(tt) }
(36)
§ 105. Разложение тэта-функций в ряды Фурье
Из курса анализа хорошо известно, сколь важное значение имеет
разложение функции в ряд, расположенный по синусам и косинусам
кратных дуг, т. е. в ряд Фурье. Благодаря своей крайней гибкости эта
аналитическая форма способна отобразить самые разнообразные
функциональные зависимости. Вполне естественно поэтому искать удобные
аналитические выражения в виде ряда Фурье и для функций в (и), И (и),
Разложив эти функции по синусам и косинусам кратных дуг, мы вместе
с тем обнаружим, что каждая из двоякопериодических функций snu,
сп и и dnu может быть представлена в вице отношения двух рядов Фурье.
Разлагая в ряд Фурье функцию 9(a), прежде всего заметим, что
эта функция четная. Поэтому ее разложение должно иметь вид:
6(w) = i40-f AjCos-^— + ^ac0S-j~ + A8C0S--^+ ...
Для определения коэфициентов Д0, Аи А2, А9,... удобнее перейти or
тригонометрических к показательным функциям, заменяя косинусы их
выражениями по формуле Эйлера.
При этом
...+А-е « + Qe"~jr + &e "*"+... (37)
Умножение обеих частей этого равенства на
It IB
l —JT~
дает:
L/"**\Afirt — — At e K — A—h-fZ—^Le K — . .
—-e >v(u) — -~ j e 2q 2q e ^q e
■■~%°~K ~%°~ *-%*'*--' <38>

Разложения тэта-функций в ряды Фурье 211
С другой стороны, заменяя в (37) аргумент и на u-\-2K'i, получим:
хш 2niu Эиш
пш 2кш 3*ш
- + &• *+&• * + £• * + ••• <39>
Но в силу первой из формул (33):
Следовательно, (38) и (39) должны быть равны между собой. А это
требует, чтобы
— Hq^^0' Ах = — 2qA0,
jdfl d.42! т «, л —о**А
_А—d^ А 2лМ
Вследствие чего:
в (и) «Л0 (l—2? cos ™ + 2<7*.cos^-2^-cos^+...). (40)
Для нечетной функции //(и), следуя тому же пути, получим:
/У(«) = Дв ^4 sin-|^-~^4 .sin-5-+<74 .sin-§--...j. (41)
Коэфициенты A0 и Д0 в этих разложениях остаются неопределенными.
Можно показать, что Б0 = 2Л0. Сделать это можно таким образом.
Перепишем (40) в виде:
e<«)=A(i+2£(-i)V-cos^)
и выразим cos-~ через показательные функции. Получим;
[оо rmlu оо __ пкШ"1
1 + £(-1)"Я*еТ + £ (-1)V* "*"_[
Теперь ^заменим в третьем слагаемом п на — л. Мы найдем:
Г °° Я*/и — со л*/и~1
в(в)-Л,[_1+2(-1)"^в * +^(-1)-.,-«в * |,
ИЛИ
оо яхш —ов яп iu

212
Тэта-функции
или короче:
оо nttlu К' ,
е(и) = Л0£(-1)"е * * ,
— с»
причем во всех случаях суммирование производится по значку п.
Но показатель степени
Следовательно:
Jl -hnu + rMl)
в(и) = А0Ж-1Гек
— оо
Проделав с (41) аналогичное преобразование, можно показать, что
— с»
Замена в этом равенстве аргумента и на и + КЦ дает:
— оо
т. е.
//(B+/Ci)-^e 4К -в(и).
Сравнивая это равенство со вторым равенством группы (32), заключаем,
что
Д-1, т.е. В0=2Л0.
Приняв Aj = 1 (что равносильно выбору оставшегося неопределенным
множителя и), будет иметь разложения:
9(и) = 1 -2?cos ^ + 2?4 cos ^ — 2?»cos -^+ ■ ■ • (*2)
/f(«) = 2(^.sln^-]/^sin-^ + )/^^-...) (43)
и, на основании первых двух из формул (30):
/Л(«) = 2 (y-gCOS™+yq'cos^ + fa^™ + ...) (44)
^(w) = 1 4-2?cos^-f 2^cos-^ + 2<?ecos-^- + ... (45)
Заметим, что все эти ряды абсолютно сходятся при \q\<l. Если Ц£-
граничено и |^|^?1<СЬ то ряды равномерно сходятся.

Вычисление величины q
213
Разложения, выраженные в показательных функциях, будут таковы:
1
е<«>- £(-!)"*
~г {пи + п*КЧ)
Р л *
1_/ 1ч„ ^h+4. + fc±ffir,]
W(«)-i£(-l)»e'
Я, (а).
- оо
оо -к/
»!(«)- Ъе
-=£- (пи + пЧС1)
(46)
Замечание. Определяя функции в и И равенствами (26)—(29), мы
в их состав вводили множитель G. Этот множитель может быть теперь
после выбора А0 определен, например, из равенства:
G(l+2tf cos ^ + ?2) (l +2?8 cos ^ + q*) .. .=
H 1 +2? cos ^ + 2<?4 cos ^+ 2?* cos ^ +...,
получаемого путем сравнения двух выражений функции в1(и).
Значение О может быть получено, если положим, что и—0. Якоби
показал, что полученное таким образом значение может быть заменено
таким:
G - (1 - <72) (1 - 9«) (1 - 9в).... (47)
Не останавливаясь на доказательстве, мы примем (47) за известное.
§ 106. Вычисление величины q
1. Для нахождения численного значения величины q по заданному
модулярному углу 8, меньшему 45°, воспользуемся равенством:
dn и =, л/У Ь{и) то л/ьГ 8 (У + и)
и положим в нем и = 0. М^ получим:
Но так как
2пи
в (и) - 1 - 2(7 cos ^р + 2<7* cos ^р -
то
в(/0» 1+2(7 + 2(7* + ...; 6(0)= 1-2(7 + 2?*-,..

214
Тэта-функции
Вследствие этого:
yjk = 1+2^ + 2^+2^ + ...' I™)
Производя деление рядов и замечая, что /5r = cos8, будем иметь:
/Eos¥«=: 1 —4^ + 8^2 — 16^3 + 32?1 — 56?* + ...
Первые пять членов разложения не изменятся, если мы примем
приближенно:
У cos ° = 1 + 2$ •
т. е.
^«llzJ^.. (49)
Например, если 0=30°, то, положив y/cos 30° == cos pi, находим:
fA = 21°28'20",
т, е.
?~=itg310°44'10",
или
?=0,017974.
2. Если модулярный угол 0 больше 45°, то вместо величины q
вычисляют величину q' == в А , зная которую нетрудно вычислить и q. Прием
этот основан на том замечании, что если в интеграле
п
Т
rf<P
*~/ ]/Т=1з1
мы заменим модуль k на Л', или, что то же, заменим угол 0 на 90q—в,
то К превратится в интеграл
2"
f-/7l=
F2sn?7 "
И если угол 0 > 45°, то угол О' = 90° — 6 < 45°
Притом, очевидно, величина
преобразуется в величину
_ Л!£
Установим связь между q и q\

Вычисление значений тэта-функций 215
Заметив, что
пЛГ' *к_
будем иметь:
Следовательно:
т. е.
или
Iglg7 + lglg7 = 2(lgw + lglge),
i*igj-+igig-I-o,26986. (50)
Так как модулярный угол 6'<Ч5°, то величину ^' можно вычислить
приближенно по формуле:
. 1 1—VcosT'
Зная q\ при помощи (50) найдем q.
Пусть, например, требуется вычислить q в случае, когда % = 76°.
Имеем: 8' =14°; '
,_ 1 1—1/соа 14°
* 2 1+|/"йП45 '
Полагая \/cos 14°«cosy, находим:
,1 = 9° 55'30".
Следовательно:
jr-2ctg4e67'46*; lglg ia0,38448;
lglg-~«T,88538; lgl« 0,76803;
lg? = T,23197;
?« 0,17059.
§ 107. Вычисление значений тэта-функций
Для вычисления этих функций можно пользоваться весьма быстро
сходящимися рядами (42)—-(45).
Пусть, например, при модуле А=»у требуется вычислить:
6(1,2); Я(1,2); Я, (1,2) и 0,(1,2).

216
Тэта-функции
иметь:
где
1. Ограничиваясь первыми тремя членами для функции 6 (и), будем
еть:
0(а)= 1 — 2q cos ^r-f- 2qi cos -~.
Обозначим градусную меру дуги ^ через 2х. В таком случае:
0 = 1 — 2<у cos 2х + 2<?4 cos Ах,
или
в=1+а + ^
a = — 2q cos 2х, 6 = 2<?4 cos 4х.
В табл. 4 находим, что при ^ = -^-, т. е. при модулярном угле 30°:
lg? = 2,25461.
Вычисляем:
а = — 2q cos 2л\
Заметив, что согласно табл. 3, при модулярном угле 30° интеграл
/С= 1,68575, имеем:
'--^-(■ЙЙяУ- ^^1,80633;
л: = 64°,066;
т. е.
x = 6403'58"; 2х^ 128°7'56".
Следовательно:
a=^2?cos51°52'4";
lg а = 2,34626;
л = 0,02220.
Вычисляем £ =s 2qi cos 4х. Имеем:
4х = 256°15'52"; & = 2?4cos256°15'52" = — 2^sin 13°44'8";
lg (— £) = 8,69503; & = — 0,00000005;
в (1,2) ==1,02220.
2* Ограничиваясь двумя членами для функции Н(и), имеем:
# (и) « 2 у7 sin Ц — 2 у? sin§.
или
4 4__
// = 2 \/q$\nx — 2>V sin Здг,
или еще
где
4 _ 4__
а = 2 у^ • sin х\ Ь = — 2 VV • sin Зх.

Вычисление значений функций sn и, сп и и dn и 217
Вычисляем а. Имеем:
a = 2V^sin6*03'58"; lg«=T,81859; а = 0,65855.
Вычисляем Ь. Имеем:
Ъ = — 2 yqtsln 192°11'54" = 2 Vtf sin 12°11'54";
\g Ь = 5,69880; Ъ « 0,00005;
Я(1, 2) ==0,65860.
3. Для функции ©! (и) берем три члена. Получим:
в, (и) = 1 -f- 2? cos ~ + 2?4 cos ^.
Воспользовавшись результатами, полученными при вычислении 8(1,2),
получим:
0^1,2) = 0,97780.
4. Для функции Н^[и) имеем:
Нх («) - 2 Гя cos -g + 2 У^ cos f£,
или
где
a = 2 ^ cos х;
6 = 2 |/"^«" cos Зх,
пи »-,
причем ^=2^« Проделав выкладки, аналогичные предыдущим,
получаем:
Я2 (1,2) = 0,32002.
§ 108. Вычисление значений функций sn и, en и и dn и
В виде примера вычислим значения функций
sn(U); сп (1,2); dn(l,2),
при модуле А?™-;*-.
Согласно формулам (36), 1^дем иметь:
сп (1,2) = ,/3^1,
ЦЯ(1^),^-^(1'?1..
V ' ' V2 в (1,2)

218
Тэта-функции
Воспользуемся результатами предыдущего параграфа. Мы найдем:
,.„ л о\ Л-0,32002
СП (1,2)-/8 тш,
*п /1 о\ V5 0,9778
dn XW)-^-ПИЯ-
Вычисления при помощи логарифмических таблиц дадут:
sn(l,2) = 0,91115;
en (1,2) «0,41202;
dn (1,2) «0,89019.
§ 109, Выражения значений 0(0) и в(АГ) в конечном виде
Выведем здесь важные для дальнейшего выражения для 0(0) и в (К)*
Положим сначала в равенстве (26), что и=0. Пользуясь для Q
выражением (47), будем иметь:
в(0)-(1+Л(1+^)(1+?,)..-(1-?)(1--?,)(1-Л...
...(1-0»(1-*у...
Отсюда, приняв во внимание, что
и ?д> 9Д1 ?;— (i+«(i+«q<i + rt...'
получим:
й лл (1 -?)(!- ОТ (1 - д>)...
"w" О+ «ОН-«•)(> +Л~'
т. е.
•w-n(4rf). "о"*
i
Теперь воспользуемся равенством (12) и в нем положим, что « = 0 и'
кроме того, что и = /С Будем иметь:
l-M^nc-^)' <и
1
[спо л L « /
,2/1-1 J

Вычисление полного интеграла К
3119
Так как левая часть последнего равенства имеет вид -q~ , то
отношение функций заменяем отношением производных. Результат будет такой:
snu-dnu т 2Kb'
[спи п в г — snu-anu -1 я
«и I I я теИ Г
тс
./с
Следовательно:
2Kk'
I
Отсюда при помощи (52) находим:
(1-?*")(! -д2п~1)-Л*
Ъ-^Щт&У- от
к
- = H[(nVn-1)(i + ?8n) I
или
1
Приняв во внимание (51), приходим к заключению, что
9(0)-}/^. (54)
Так как в § 106 мы нашли, что
1 V* 8(0) '
то
в(#0-|/?- (55)
§ 110. Вычисление полного интеграла К
Вычисление полного интеграла К можно производить по формуле:
*-y6«(K)-f(l+2f + 2f«+2?» + ".>\
легко получаемой из (55). На практике часто в скобках удерживают
только два члена так, что
K=j(l+2q)\ (56)
Можно получить и другую весьма удобную для вычислений формулу
Для этого надо сложить (54) и (55). Выполнив нетрудные преобразования,
найдем:

220
Тэта-функции
При модулярном угле 9 = 45° будем иметь lg ^=2,636 (см. табл. 4).
Стало быть:
lg 2qu = 22,477.
Отсюда видно, что во вторых скобках последней формулы достаточно
удержать два члена, причем
*-,. , ,2;^(1+2^)а. (57)
(TT#F(1+V)a
Пример. Вычислим полный интеграл К, модулярный угол которого
в = 22°.
Воспользуемся формулой (56).
Сначала вычислим 2q. Пользуясь табл. 4, при модулярном угле 22°
находим:
lg 2q = 0,30103-f 3,97540 « 2,27643;
1 + 2? = 1,01890; lg/f = lgy + 21g 1,01890 = 0,21238;
/C= 1,63073.
§ 111. Вычисление эллиптических интегралов первого рода,
когда даны амплитуда f и модуль к
При вычислении интеграла
будем исходить из равенства:
левая часть которого вычисляется по формуле
0- Vl — ft2sin2y
dnw = }/l—A;2sinaf,
при данном модуле k и амплитуде <р известна.
После замены функций %х(и) и 6(и) их значениями получим:
drm l + 2gcos^ + 2f*cos-^+2fl«eoB -у-+ ...■
I — 2q cos -^ + 2fl* cos -тт- — 2g9 cos -jr- + ...
или
nu . , 2zu , Л Л Зли .
1 + 2# cos -дг + 2#* cos -дг- -f- 2<^ cos -y- -+■...
ctg X = - я« . a Йш ~ to" '
1 — 2q cos -^ 4- 2?* cos -g 2^ cos -jjr- + ...
где положено, чго
dnu
^p = ctgX.

Вычисление эллиптических интегралов первого рода 221
Составив производную пропорцию, будем иметь:
. . I COS -ZT -+■ q* COS -j7~ ■+■ . .
Б 1 4- 2?* cos -^- + 2gie cos -дг- +
В виде первого приближения, весьма часто удовлетворяющего
практическим требованиям, можно положить, что
tg(45° — >0 = 2?cosg.
Отсюда вычисляем и, если предварительно вычислены \ q ъ К*
Если требуется второе приближение, то при помощи найденного
значения и вычисляем первые откинутые члены:
^costo и 2?*cos.^f
и из уравнения
/ г.и . „ Зш \
2ff { COS -тг Н- 08 cos -тг- J
tg(45°-X) = ±-Л gjJU
1 -f- 2д* cos -j^-
1Ш
находим cos-pr и, стало быть, w.
Пример, Вычислить интеграл
J ]Л — А2 *in« ?
0
при <p =n 20° и A « sin 42°.
Вычисляем dn и = |/l —sin2 42^sin2 20°, полагая sin 42° • sin 20# -
=*rcos(J»; в таком случае:
ф « 7б°46'13"; dn w = sin 76046'13".
Далее имеем:
. ч dnu sfn76°46'l3"
сщ Л =■• ==: = ■——===—:
Vb* l/"coe42e
lgctgX = 0,05279;
Х = 41°ЗГ35".
Уравнение для вычисления первого приближения и принимает вид:
tg3°28'25"-2?cos~.
Отсюда, пользуясь табл. 4, находим, что при в = 42"
lg cos— «1,91349.

222
Тате-функции
Теперь имеем:
~р==34°58'33''.
Но так как, согласно табл. 3, К ==1,81216, то
«==0,35213.
§ 112. Обратная задача
Покажем, каким образом может быть решена обратная задача, т, е.
как по данному значению интеграла и и модулю k определить верхний
предел <р.
Пусть дано, например, что
/
—А-^а,-1,23116
и требуется вычислить <р.
Будем исходить из формулы:
Так как
dnw = /l— sin3 36° • sin2 f
J!
k' = cos 36°,
то вопрос приводится к решению уравнения:
4 2Q*o , | осе в? 0,23116)
l~sin*36°-sinay = cos360-6g(1 ^щ.
Если в выражениях (45) и (42) для функции 0t и 0 удержим первые
два члена, то будем иметь:
$г l+2?cos7f
1 — 2q cos -j?
Так как
К =-1,74150,
то после нетрудных вычислений получим, что
?! 14-2gcosl27014'49" 1 - 2gcos51°45'll"
в в 1 ~ 2q cos 127°14'49" ** Г+ 2? cos 51°45'11"'
Полагая a~2q cos 51°45;Н", находим:
lg а — 2,50568 и а = 0,03204.
Вследствие этого
?1 _ 0,96796
в ~ 1,03204'

О некоторых свойствах ma-функций
223
и, следовательно:
1 _ sln2 36°. sin3 ср - cos 36° (fgjj;
отсюда _
lg (1 — sin2 36° sin2 <p) « 1,85228;
sin2 36° sin2 у « 0,28833;
ip = 66°.
§ 113. О некоторых свойствах тэта-функций
1. В § 104 мы видели, что функция в (и) удовлетворяет уравнениям:
в(и+2/С) = в(и)
и
%(u-\-2K'i) = — $(u)e «
Таким же уравнениям удовлетворяют и прочие функции //, Н\ и вл
с разницей только, быть может, в знаке.
Но если обе части этих уравнений мы возведем в квадрат, то разница
в знаке исчезнет, и мы увидим., что квадраты всех четырех функций
удовлетворяют системе уравнений:
?(«+2л:)2-?("). )
y(u + 2K'i)^y(u)e • J
Будем искать общий вид целых функций, удовлетворяющих системе (58)*
Ив первого уравнения системы видно, что искомая функция допускает
период 2/С Но целая функция, имеющая такой период, может быть
представлена в виде ряда;
оо nvia
<P(«)=I>ne * ,
— оо
каждый член которого имеет период 2/0
Введем вместо Ап другие коэфициенты Вп посредством соотношений:
Ап = Впе
""2Г
Тогда получим:
оо ulna __ пК'п*
*(«)=i;sne * w •
Заменяя здесь и на tt-J-2/f'/, будем иметь
оо *in
ninu 2пК'п _ itK'ri*
К 2К

224
Тэта-функции
и, следовательно, в силу второго из соотношений (58):
2 в/* ~^~ ж к к -Е Vх"""1*"
— оо —оо
Это равенство можно переписать в виде:
—оо —оо
Замечая, что коэфициенты при одной и той же степени е в левой и
правой частях равенства отличаются лишь индексами, а именно, индекс
коэфициента в левой части на две единицы меньше индекса
соответствующего коэфициента в правой, получим:
Вп„2~Вп(п = 0, ±1, ±2, ±3, ±..,)
(так как наше равенство являлось тождеством и, следовательно,
коэфициенты при одних и тех же показательных функциях должны быть равны
между собой).
Задавая по произволу два коэфициента, например В0 и Blt мы будем
получать всевозможные решения функциональных уравнений (58).
Так, полагая £0 = 1, Вх = 0, получим решение <Ро(и), для которого все
коэфициенты с четными индексами равны единице, а с нечетными —нулю:
m«-{-oo 2nima 4w#fma
<r0(«)=£* * 2* .
m«s — оо
Аналогично, полагая В0 = 0 и fllBl, получим функцию <pt (#), дл^
которой все коэфициенты с четными индексами равны нулю, а все
коэфициенты с нечетными индексами равны единице. Очевидно
««со ni (2m — 1) и ■ тс/Г (2m — 1)*
?.(«)=£ * к ~^a .
т*шв — оо
Общее решение задачи получим, задав В0 и Bt какие-либо
произвольные значения. Тогда все коэфициенты с четными индексами будут
равны В0, с нечетными—В,, и, следовательно:
"Ь°° *i2mu _ п/С (2/n)a -foo it/ (2/n — 1) к к /T (2m — 1)'
2/f , V D „ * 2/f
?(«) = £*„* * 2* + £я1<?
m== — oo
— Д> ?•(») +^1 «Pit») ■
В частности, для функций в2 (и) и Нг(и), являющихся решениями
уравнений (58), получаем:
е2 (и) = Яо ?„(«)+£,>,(«), \ t
Я» («O-fiSVo («О+ #?>(«>• I l ;

О некоторых свойствах тэта-функций
226
Решая эти уравнения относительно <?0(и) и <fr (и), найдем:
»о(") ^ я J Л," «*b в» («) + &!«•(«),
т\ («) в ~J *Ъ -*Ь в» (И) + *1/Я (И),
^0^1 "~ а\ °о
Заметим, что наши выкладки вполне законны, так как выражение
Во В* — BiBq не может равняться нулю. Действительно, допустив
противное, мы имели бы:
и на основании (59):
что невозможно, так как
В9 Вх
в' (и) '
6»(«) -*
Подставляя выражения <р0(и) и <рг(и) через ва(и)и/Л(и) в формулу,
дающую общее решение задачи, получаем:
¥ («О-Ро»Ч«)+ &№<«). (60)
где р0 и pt — постоянные.
Таким образом всякая целая функция У (и), удовлетворяющая
соотношениям (58), должна выражаться указанным образом через ва(«) и
2. Вели в системе уравнений
Я(и+2/0=-Я(«),
мы заменим и на и-f fl, а также и на и — а и перемножим надлежащим
образом результаты, то увидим, что произведение
Н{и-\-а) Я(в-о)
удовлетворяет системе (58). Следовательно, должно быть:
Я(и+а) • Я(«-а) = р0/Я(и)-|-р1в'(«).
Имея в виду определить постоянные (50 и р1? положим здесь сначала,
что и = 0 и затем и = а. Будем иметь:
- Я» («)=?, 9'(0)
0 = (J,№(a)-H^e'(a).

226
Тэта-функции
Отсюда
й __®М£) ft __//2ja)
Следовательно:
М(и + а)-Н(и — а) = '-— Q2(0) v ■ (61)
Заменяя здесь и на u-\~Ki и воспользовавшись формулами (32), мы
найоем что
' е(Ц+^)-в(В-а) = ^^^-о7(,,),№(-- '<«)
§ 114. Выражение нормального эллиптического интеграла
второго рода через тэта-функцию
Если в эллиптическом интеграле второго рода
J ]Л — fc2 Sin2? dp,
О
сделаем подстановку:
<р = am и,
sin <f = sn и,
dy = dnu du,
то будем иметь:
Л/1 — k2 sin^d <р = Ус1па u-du=*
о
« У*(1 — fc* sn* u)du = u — k*J*sn*u-dli.
и о
а
Выразим интеграл / sn2 и Л* через функцию в. Логарифмируя равен-
о
ства
- ^ (и + ICi)
в(и + 2К)^в(и) и 9(и + К'С)=-в(и)е «
и взяв затем от логарифмов производные, получим:
в'(и+ 2*) В'(и)
0 (Ц-Н2/С)"" 0(к)
в(и + 2К7) 0(a) """/Г
Взяв производную вторично, будем иметь:
rfu 0 (и + 2/С) "~ du в (и) '

Выражение нормального эллиптического интеграла второго рода 227
d в'(и + 2К'1) d 0' (и) rfi4v
du &{u + 2K'i) ~ du в (и) {°q}
Отсюда, между прочим, заключаем, что функция -^^т^г имеет два
периода: 2К и 2K'i-
Рассмотрим теперь функцию
«Р(«)-в»(«)-^- |§-в*(«) • в (а)-[У («)]«.
Напишем, что в2 (и) удовлетворяет уравнениям системы (58). Если мы
затем первое уравнение этой системы почленно перемножим с (63), а
второе с (64), то увидим, что функция
п w dH -е(И)
также удовлетворяет уравнениям (58). Следовательно:
в* (и) в («) - [в' (и)]* = р0 № (и) + ргФ (и).
Чтобы найти jJ0 и pjf положим сначала, что и = 0 и затем u = K'i- Будем
иметь:
e"(0).e(0) = ^e2(0)
-[6'(а:'0]4=?«яма:'о.
Отсюда
, _ в»(0)
р1~ 0(0) ;
ft - Г9'(*'')?
р»~ L ЖК'О J'
Выражение для коэфициента р0 можно упростить, воспользовавшись
формулой (§ 104):
в(и + К'1)*=Щ(и)е 4к
Диференцируя ее, получим:
в'(a+ /ro-*[tf («)--&//(«)]* 4*
Затем положим и = 0, Это даст:
&(К1)*=Ш'{<й)е 4К-
И так как, кроме того, согласно второй формуле группы (32)
то
К {КО ."'(О)
4/С
-&& = £
Я yen в|

228
Те та-функции
и потому
Ро Lewi-
Но так как
snu,
то
сп и • dn и;
полагая здесь и = 0, выводим:
Следовательно
Б общем имеем:
<Р(«Н-шчи)+5$е'(и;
<р(и)=в»(и)^ e-(u)
т. е.
1У "* *> (")J "" *а в
du в(и) '
(0) mJ_ d 9Чи)
(0) # й(м * 9(м) '
2 . в"(0) du 1 *в'(ц)
Интегрирование дает:
и
J iT?Ul*»— ~w -що)—"Р" W
frfBr_iL«*(0)_.i_e^o.
0
Следовательно:
/
У1=Ж£ЪЪ-и-иШ+*&. CSsi
0(0) л 8(н)
§ 115. Вычисление эллиптических интегралов второго рода
Решая этот вопрос, будем пользоваться формулой (65), которую сна-*
чала преобразуем к виду, удобному для вычислений.
Мы имели:
в (и)- 1 -2?cos-f- + 2?4cos 2^ 2qicQS 3^_ +
Следовательно производная
в»--£ (? sin f-2?*sln ^L + 3?'sin-^ - ...)

Вычисление эллиптических интегралов второго рода 229
Отсюда
в"(0) m 2^ ^-4^ + 0g>-... ,fifiv
в(0) tf2 i_2f + 3f«-2fl»-r-...' V ;
В § 104 мы имели:
e(e)«0(l—2?cos^ + f») (l-2?»cos-^?-f ?*)...
Взяв логарифмические производные от обеих частей равенства,
получим:
(пи пи \
-gsln7 >*"д7 , »
l-2?cos-^ + 9» 1-2+*»%+* '")'
Но известно, что
Вследствие этого
в'(и) 2* Г , о , ч пи , , . , _ , ч 2*ы .
ТГ^р «-jjf |fa + q* + ...) sin -^ + (<fl + <fl 4- • •.) sin -£- +
или, суммируя заключенные в малых скобках прогрессии:
1-?а" + i-?4 + l-^e 4""-J"
Сначала рассмотрим частный случай, когда верхний предел интеграла
/
j/l — Л2 sin2 ^ дГ^
равен А. Если <а—£, т0 и =/< и -g$-0.
sin а через -пт (<?'" -- * ~ '«). Тогда найдем
J) Проще всего получить эту формулу, заменяя cos а через-гр U'e + * ia) и
2/
gsina 1_ (l-gg-'g)-(l~gg'a)
l-2^cosa + ^ —"2/ (1-^я)(1—^~"'a)
1/1 1
2t \\-qeia l-qe-1* )'
тку да при |$|<1:
-rriv с^тт^г - w К» + *•"+«■«"" + *3<3/q + •■■>-
— (1 -f qe - '" + ?зе - 2'« + 9зе - 3i« _| )] ж д gIn a+9s S|n 2a+?s;sln3a + . .

230
Тэта-функции
Обозначая, как и раньше, полный эллиптический интеграл второго
рода буквой Е, имеем на основании (65):
@"(0)
или, учитывая (66):
£"*—tf-epjp
Этой формулой удобно пользоваться для вычисления полного
интеграла Е.
Возвращаясь к общему случаю, заметим, прежде всего, что
, О"(0) _Е_
1 в (0)' ~ /ч *
Вследствие чего из (65) получим:
/
|/1—A2sin2«prftp =
[ям „ 2гл п Ът,и 1
Пример 1, Вычислить полный эллиптический интеграл Е, если модуль
fc=sin 22°.
Воспользуемся формулой (67). При 6 = 22° находим q = 0,00945;
lg4^4=:"8,50356, т. е. 4^ = 0,00000003. Можно поэтому принять,
что
с А К 1-2?'
Путем приведенного в § ПО вычисления или по таблицам находим
/0= 1,63073.
Если теперь в нашей формуле заменим К и q их значениями и
произведем действия, то получим:
£= 1,51415.
Пример 2. Вычислить интеграл
]/1 —/г2 sin2<p d<p,
/■
если верхний предел <р~37°, а модуль /г = sin 22°.
Будем вычислять интеграл по формуле:
которую получим из (68), удерживая в скобках тодьхо два члена и
откидывая в знаменателе второго члена q*. Пользуясь этой формулой,

Выражение нормального эллиптического ингеграла третьего рода 231
надо предварительно определить К» Е q и и. Эти величины можно либо
вычислить по вышеуказанным приемам, либо отыскать их в таблицах.
Будем иметь:
/С = 1,63073; £=1,51415; ? = 0,00945; «=0,65171.
Теперь вычисляем:
^Еи^ 1,51415.0,65171
К 1,63073
\g а =1,78185,
а = 0,60513;
пи
2^ sin к 2rcgsln71°56'12"
°— /C(1-|-tf)(l~?) в 1,63073- 1,00945.0,99055'
lgfc = 2,53929,
&-= 0,03462;
lg с = 4,30714,
с = 0,00020.
Следовательно:
/1 — £3sin2 yrffs а+^ + с = 0,63995.
§ 116. Выражение нормального эллиптического интеграла
третьего рода через тэта-функцию
Рассмотрим эллиптический интеграл
to
J (1 + п sin* <(>) 1Л— *2 sin**
о
третьего рода (§ 3).
Производя под знаком интеграла подстановку:
sin^ <р
о
мы сейчас же получим, что

232
Тэта-функцдш
зПИг.^Я(«)
Выразим последний интеграл через функцию в. Воспользуемся для
этого формулой:
e(tt+a)e(u-a)^eiwea^-oT(,,)W,->
установленной в § 113. Принимая во внимание, что
' У к в (и)'
мы можем написать, что
в(« + в).в(«-а)-^@^)(1-.*».вц«а.8п»я),
или
1 иг ~па д ^ „ в (« -f в)-в (и — а) ft2 m
1—Л -sn a-sn U*= ез(а).9Ма) *> (V).
Если от обеих частей этого равенства мы возьмем логарифмические
производные по параметру а, то получим:
№-sna-cna-dna-sn*u в' (a) 1 в' (и — а) 1 9' (и-f a)
1 — fc2.sn2a.sn2и щ8(а) + 2 8(к-^а) 2в(ц — а)'
Но
fc*-snasn2a _ 1 1 1
1 — Ла-8П3а-8п2« sna 1 — Ь2-зп*а-$п2и sna'
Вследствие этого:
cna-dna ^ 1 en a-dn а д в'(fl) * «э (и — а)
sna *1 — /8*-sn4a-sn8w та в в (а) ' ^ в (и —а)
2 в(и + а) •
Полагая, что /г*-sna —— п, умножим обе части полученного равен*
ства на du и проинтегрируем результат в пределах от О до и. Будем
иметь:
/du ,. I sna [&'(а) „ i 1 1w8 (и — а)] /доч
Г+«!К-а+5иПАГ^ (69>
п
Таким образом эллиптический интеграл третьего рода удалось выразить
помощью удобных для вычисления функций в.
§117. Соотношения междуфункциями о и, <§ и и$и и функциями Я
и в Якоби
1. Будем предполагать пока, что дискриминант Д>0 и рассмотрим
целую функцию
/(и)=е~^.а(и),
гдеи^ есть полупериод функции <$«, а rjx— соответствующая ему постоян*
ная функции С (и).

Соотношения между функциями ей, Си и $а и тэта-функциями 23$
Заменяя аргумент и на и + 2(ох и потом на я + 2юв, последовательно
найдем: *
/(и + 2(00 = -/(и), *
/(« + 2»,)—/(«)* «" J {™У
если только вспомним, что
о(и + 2(о1) = -~ <?24,(" + WJ'^
н
о (и + 2w8) — — *2^(w + We) • * («)•
Но в силу отмеченного в § 97 соотношения
Wi — ^e<°i = ^ » (71>
второе из равенств (70) может быть переписано в виде;
/(и + 2(ой) = -/(и) * -/ ^
Имея в виду воспользоваться далее результатами § 113, перепишем
яолученные соотношения в виде:
или, вспоминая, что
2»!« -_-_ и 2(0, = ^
м обозначая /* ( -Л =) через /Чи)» получим:
\V*i-'a/
f<"+2/0Tf(v^+2"')-/"(75=)-'I<'"'
Я(«+«'0-=/'(;7^+2.,)-/-(^7-)е-ё'(^"-)-
Отсюда на основании § 113 выводим:
Полагая в обеих частях и = 0и замечая, что /^(О)»5/* (0) = 0 (так как
о (0) = 0), в2 (0) = 1 и Я2 (и) = 0, будем иметь:
Ро = 0,
откуда
F(B)-p ««(в),

234
Тэта-функции
фтУ^'ы
или
или, наконец:
/(и)» АЯ (и/Г),
где А — постоянное и через X обозначена разность е1— еъ.
Теперь мы видим, что
ои~А<е 2ш1.//(иуТ).
Коэфидиент А мы определим, если разделим обе части последнего
равенства на и и за!ем предположим, что и стремится к нулю. Если
при этом примем во внимание, что
что
1
[о чем можно судить, например, на основании формулы (50) § 92] К
А>
то получим:
и поэтому
]Л#'(о/
1),U»
,u„**.«Jsmm (72)
У* //'(0) v
2, Установив соотношение между функциями о и и Н, нетрудно
найти связь между функцией £и и Я. Для этого стоит лишь взять
логарифмическую производную от обеих частей равенства (72). Будем
иметь:
«»-*+*■■££$-• <*>
3, Найдем связь между функцией oi(u) и функцией Hv
В § 98 мы определили функцию о1(и) помощью равенства:
,*»..(М1-„) ш (74)
Если в формуле (72) заменим м на ©j — и и вспомним, что
Н(К—и\/:Г)~Н1 (и\/Т), то после нетрудных преобразований получим:
1/Т.//'(0)
Кроме того:
1 УЧЯ'(О)

Соотношения между функциями ои, См и ^м и тэта-функциями 235
в чем можно убедиться, полагая в (72) u = a)v Следовательно:
или
Можно показать также, что
°1«^"'-"-7Ш- (75>
и
'.«-^•*эдр. <76>
4. Переходя к выводу зависимостей между функцией #>и и функциями
Я к оби, будем исходить из формулы
о? и
доказанной в § 98. Внося сюда найденные выше значения о1и и а и*
получим:
fB-^J«M*fll'.X. (77)
Можно показать также, что
' а I.e7(0)wW))J I
3 Le(0)W(tt\/;) J )
(78)
5. Мы установили зависимость между функциями а и и £и и тэта-
функциями //ив. При этом предполагалось, что Д>0 и что
Если Д<0, то, как было замечено в § 78» основными периодами
функции fu служат:
2о/=«оа — (Og и 2со'" = со2 -(- со2.
Они заменяют периоды 2ш1 и 2ш3.
О способах вычисления функций а и, Си и р и при помощи
тэта-функций в случае, когда дискриминант отрицателен, будет сказано ниже.

236
Тэта-функции
§ 118. Вычисление постоянных га и -^
Покажем, каким образом при помощи функции И можно вычислить
постоянные 7)j и 7)3, соответствующие функции С и. Воспользуемся
формулой:
Так как
и
Н{и /I) = „/1я'(0) + ^Я'" (0)+...,
то
Сравнивая полученное разложение с разложением (50) § 92, находим
что
Отсюда
1* 3 и1 фу V?)
Вычислив, согласно этой формуле, т),, будем знать и
Ч.-£(чА-т). (80)
Например, если требуется вычислить постоянные т^А и ца функции
/ OQ ОС Ч
С ( tt5 -т*»~<г) i то, удержав в разложении (43) для функции И два
первых члена, будем иметь:
/f(„/X)-^(/?C08^-3/?»C08-*g^),
Я'М«/Х)=-^.(^соз^_27^соз^).
Кроме того, wL = ру . Ввиду этого:
■rfyHifl ^27<у2)_^\/"3-0,99127
11е* 12АГ<1 — 3<f) J2/O0,99903 '
где при 0 = 30° интеграл Кв 1,68575. Произведя действия, получим
^ — 0,8384. Принимая во внимание это значение 7\t и помня, что
«J£L, где К = 2,15652, согласно (80), получим:
г)3=—0,5413i.

Примеры вычисления значений вейерштрассовых функций 237
§ 119. Примеры вычисления значений вейерштрассовых
функций в случае, когда дискриминант Д>0
/39 35 N
Пример 1. Вычислить функцию а^ 1; —^-, -g-) •
„ 39 35
При инвариантах^ — -j- и ^'«у имеем:
р =L- р = L- р — JL- \г=е р = 3-
Пользуясь формулой
sin0 = i-; 9 = 30°.
■У^.//'(0)
вычисляем предварительно rj, =0,8384. При помощи табл. 3 находим
/е= 1,68575, и, следовательно:
Фг у/1 \/3
Согласно приему, указанному в § 107, вычисляем Н (и г/Т) ~ Н{\ ,73205) в
- 0,73185 и Я' (0) - 0,68167.
Теперь имеем:
({)ят £^^0/73185
lgj(l)=r,97935;
а (1) = 0,95356.
Если воспользоваться рядом (50) § 92 и удержать в нем пять первых
членов, то при их помощи получим:
а (1)== 0,95356.
Пример 2. Вычислить СЛу; "г* *т)'
Воспользуемся формулой:
«1 V Н(и\/\)'
в которой Н' (и YT) означает производную функции //, взятую по
переменной wj/T. При отмеченных в предыдущем примере значениях
ри Й2> ег и ю1 будем иметь:
т] i-0,8384 (см. § 118).
Ввиду этого при и = -£- получим, что
^ - 0,43072.
С0]

238
Тэт а-функции
Ограничиваясь двумя первыми членами, согласно (43), будем иметь:
Н (и уП) = 2 (И" sin ^-р - / sin -*jp)
/Г(«/X) =J (</* cos ^-p-Zq* cos *jjp).
Следовательно:
,._ч соч —-— —• 3tf* cos 1—
//(m|/"X) 2K rail/"* e SzuVl'
sin —2^— — Я2 sin ч—2K—
Но при l в» 3; и = —; /C= 1,68575 будем иметь:
iiyp—0,80698.
Этому числу как отвлеченной мере угла соответствует 46° 14' 10*.
Следовательно:
/r^H'iuVI) __ к УЗ t cos 46°14r 10r/ Ч- 3^2 cos 41°17r30^
* H(uV~\) 3,3715* sin46°14'10"-g2sm4ri7r30"
Но так как
cos 46°14'10" = 0,69169; sin 46°14'10"= 0,7222;
3q2 cos 4Г17'30" == 0,00073; q2 sin 4Г17'30"= 0,0002,
то
/Xe^O = 1,5478;
стало быть:
C ft) ==0>43072 + ^5478 =1,97852.
/ 39 35 Л
Пример 3. Вычислить g> f 0,4536; -r-, -g-J .
Пример этот решен в § 80. Вычисление по формуле (77) может
служить проверкой полученного раньше результата. Так как
ех = -^; £2 s=a j^> ^з=== If» л = о,
то, согласно (77), будем иметь:
Qf,_ 7 №(0,78565)-^ (0)12 «
^И 4 "^L ^ (0).Я(0,78565) J °"
Вычисляя значения Я,(0,78565); Я (0); Я'(0) и Я (0,78565) по
способу, указанному в § 107, находим:
Нх (0,78565) = 0,54452; Нх = 0,73252;
Я' (0) = 0,68167; Я(0,78565) « 0,48929.

Вычисление значений функции %>и
239
Следовательно:
*>т аыл 7 л. * Г0.54452-0,в81бГр
f>(0,4536) — -у + 3• [o748929.0773252j •
Полагая
находим:
Поэтому
*-$
'0,54452-0,681671»
48929-0,73252] '
\gA= 0,03040; А = 1,0725.
Р (0,4536) = 1,75+1,0725-3 = 4,9675.
§ 120. Вычисление значений функции %>и ъ случае, когда
дискриминант Д<0
1. Общий ход решения задачи будет таков: мы преобразуем
многочлен 4za — g2z-~g"8 с отрицательным дискриминантом в новый 4 С8 —
— у2С — Ys» дискриминант которого положителен, и тем сведем вопрос
к уже разобранному случаю.
При Д < 0 будем иметь:
4z* —gbZ~gs = 4(z- et) [(z - my + n2],
причем et = m-f~/и'; e2 = — 2/ra; e3 ~ /ra — ni. Введем новую переменную
С при ломощи равенства
4и ^ -g8_ _2 = <« - «У + я* _ 2 (81)
Так как
т — 2~ 2 ,
то
С "-.У + да , (82)
где
Н* = \ ё* + п* = 9т* + п\
Теперь рассмотрим разность:
Z-* 7=72 '
и выберем е так, чтобы числитель правой части этого равенства стал
точным квадратом. Требуемых значений е будет два. Действительно,
числитель
z4(e + *2)z + "2 + s*2
будет точным квадратом прц условии, что
(е + *2)2 = 4(Я2 + ее2).
Отсюда е = е2±2Н. Положим .е, == е2 -f- 2#; е8 = £3— 2# и возьмем:
з2 = — (е, + ss) = — 2^2.

240
Тэта-функция
Пусть при е=ед:
2*-*(в1+*1) + //» + М1«(*--2Г1)1,
«i-^-^ + W.
где
2
а прн t=Et:
где
В таком случае:
C-^4^ C-b-fe^. (83)
Диференцируя первое из этих равенств, будем иметь:
или, в силу того, что zx -\- г3 = 2е2:
или еще, принимая во внимание (83):
dC <fc ■_,
КК-чЖ'-ч) *-«i #
Но так как в силу (81)
то
dz dt
Viz - е2) [{z - w)2 + л2] /4 (C - 8l) (с - ej)(C - e,)'
причем числа ex, Ea и e3 вещественны и таковы, что
*i > е2 > *з-
Мы теперь видим, что
оо ее
Г dz ^ Г dt
причем инварианты
Y»в - 4 (М2 + «А + Мз) - 12е22 + 16Я2;
Y, == 4 е^е, = 32егН2 — Ъе\>
а дискриминант
А —у| —27та — 256«2 (4tf2 - 9е1)'
есть величина положительная.

Вычисление значений функции р и
341
Если положим
00
dz
-/-
У 4z*-g2z-g9 '
то
оо
«-/
-К 4С» — т2с — Те
отсюда
ри и ѫЫ;
и иа основании (82):
Р« = «'"+р^7а- (84)
Здесь "ри есть функция, соответствующая положительному дискриминанту.
Если периоды втой функции обозначим через 2®х и 2юв, то будем
иметь:
2<o1==~?J^«-^L^a>a,
1 Уч-ч Vй
где (о2 и ш2' — вещественный и мнимый полупериоды функции ри. Мы
видим, что периодами функции ®и служат полупериоды функции ри.
2. Если требуется вычислить ри, то сначала вычисляем ри,
пользуясь, например, формулой:
'*-«•*+'
[//х(0).Я(«]/"Х) J ' '
или одной из аналогичных ей формул (78).
. Заметим, что входящие в состав этих формул функции Я, Hlt 6 и
вх соответствуют периодам 2©! == со2 и 2со8 ™» ©а'- Следовательно, для
иих
при модулярном угле в, определяемом из равенства:
•l —h 2 4//
Узиаври, обршкемся к уравнению (84), из которого определяем
ри. Так как оио Квадратное, то для ри дает два значения. Из иих
надо еще выбрать то, которое соответствует данному значению аргумента.
О способе выбора можио судить из прилагаемого примера.

242
Тэта-функции
Пример. Вычислить р (и; О, 1) при и = 0,51. Инварианты ft«4*0,
£а»1. Дискриминант Д<0. Корни
^1ет 2 ' ^2 а> *з 2 »
Коэфициенты
а =»-!=« 0,62996.
f 4
Следовательно, корни, соответствующие функции р (и), будут
•j-«(l + 2 VT); е2=*= —2а; е,-а (1 — 2^3).
Квадрат модуля
«>»!!=*« 1 «sin115°.
Модулярный угол 8 в 15°,
Разность корней
__ б
в1 — е3 = X == 4а у'З «2^108;
и /X— 1,0654.
Теперь имеем:
Ограничиваясь в разложениях функций Н н Нх первыми членами,
получим:
Нг (1,0654) - 2^ • cos ^р « 2?* - cos 59° 59' 55",
причем tf= 1,59814.
1 1 1
И< (0) ■ £ А? . //х (о) - 2?4 ; Я (1,0654) »2g4 sin 69° 59' 55";
a (1 + 2 /аГ)8* 2,812.
Выполнив действия, получим ?и =4,2175. Теперь из квадратного
уравнения
4^176-РЛ + ^-j.
■ котором а известно, вычисляем $>и. Находим:
ри* 2,4237 ±1,4237,
Из двух значений предстоит выбрать то, которое соответствует аргу.
менту и = 0,51.

Вычисление значений функций С и и а и
243
Мы нашли, что р(0,51) = 4,2175. Так как периодом функции ри
служит
"•"рг"1*68»
то будем еще иметь:
Г (0,51) = F(»i — 0,61) — Г (1.02).
Следовательно, из двух значений $>иа3,8474 и ри=1 первое
соответствует #=:0,51, а второе #«1,02, что наглядно можно видеть из
фиг. 35.
Окончательно:
?(0,51; 0,1)-3,8474.
§ 121. Вычисление значений функций Си и о и при Л<0,
Вычисление постоянных щ и rj/
1. Будем исходить из формулы (84). Предварительно заметим, что
при e1sstm-{'ni; е2=* — 2т; ед~т — ni и Н**9т*-\-п2 формула
(37') § 84 дает:
Ввиду этого
H=ptt + K« + w2)-e2
или
Будем интегрировать обе части этого
равенства.
Выбирая надлежащим образом
произвольную постоянную, мы получим:
U~U + C(tt —wa)-b£2« + 4a. (85)
Здесь Tjj^C^» а Функция Си
соответствует функции ¥и, т. е. периодам
2©! «* <о2 и 2(о8«<о/.
Если теперь* в формуле
■<оа и результат сложим с (85), то получим уравнение:
i
Ч
или
0,51 1,02 шг
Фиг. 35
положим V*
U = 2C« + fttt+i-|£tr7
из которого находим Си, определив предварительно U по указанному
в § 119 приему для случая Д>0.

244
Тэта-функции
2. Для нахождения о и будем интегрировать обе части равенства (85).
Выбрав надлежащим образом произвольную постоянную, получим:
In о и on» In а и + In з (и — (о2) -f -^г" + Ча и —*1п * (~ ^а)»
2
или
*„ц«
<Ги = — g«'«(«--<»»l еV + ^
» («2)
Но так как, согласно замеченному в § 98 [формула (70)]:
ТО
ай = ±а2и • j/ри — <?2 -е 2 . (86)
В этом равенстве все величины, кроме а и, могут быть вычислены по
раньше указанным приемам. Следовательно, оно может служить
уравнением для нахождения о и. Знак перед корнем выбирается согласно
знаку аргумента и.
3. Положим в (85), что и == (0j =- -#•. Мы получим:
Ч.-^+Ч.. (87)
где iijeQcDj. Эту постоянную мы умеем вычислить по способу,
указанному в § 118. Так как способы вычисления е2 и <о2 известны тоже, то
полученное уравнение дает возможность найти 7]а.
Теперь покажем, еще каким образом мржно вычислить постоянную 7]2Г.
В §78 мы видели, что в случае отрицательного дискриминанта
основными периодами функции $и служат
2<о' = <о2 — ш/ и 2(0 w = <оа ■■+ ®2-
Обращаясь к формуле (56) § 96, последовательно будем в ней
полагать, что <о = <о' и <о = о'". Мы придем к равенствам:
С(и+ 2ш') = Си + 2у1',
В КОТОРЫХ 7)' = С (I)' И 7]"' = С ш'".
Положим в первой из формул (88), что и = <о'"—ю', а во второй,
что и = <о'—•«>'". Сложив результаты, мы сейчас же найдем, что
5<»' + 0-Ч' + Чя'.
Но
Ч, + С <», -СК + <->'")•
Следовательно:
ч,=ч'"+ч'-
Можно показать также, что
^2 = 4 — Ч •

Вычисление значений Си и о и
245
Исходя из соотношения
7)V"-V"<«>' = y
и принимая во внимание, что
-/ 18 — V . „ т 12 ~Н 12' . ,rt» —. w2 ~~ wa' .
#rt w _ w2 4- «а'
ш 2 —,
можно найти равенство
Ча< — *)2Ч в *** (89)
из которого, вычислив предварительно все прочие величины, найдем 7]/.
Пример 1. Вычислить постоянные 7)2 и т)2'для функции С (и; 0, 1).
Сначала вычисляем 7)t по формуле (см. § 118):
г. _>i /У" (0)
4l* Т " Я' (0) •
В примере, разобранном в § 120, было отмечено, что при инвариантах
б
gi в0 и £-, *■ 1 модулярный угол 9 = 15° и X =* 2 j/l08 . При модулярном
угле в 15° в разложении функции И в ряд можно ограничиться только
первым его членом. При этом условии:
H'(«/T)-£<7Tcos!^,
tf'"(«j/T) =
Поэтому
Теперь имеем:
Щ0)-^; Н»'(0) = -%£.
т. е.
Так как
то, согласно (87):
Помня, что
Ч^Т^ТТвдвТГ8"1'0761'
Oj-1,53 и e2«=-i-= 0,62996,
/Г
т)2« 0,5932.
г 1С 7 2,76806/l/*2*
2 ** —: _ * ее ■ ■ • ■ ■ «■■ .
Vh
V*
найдем i\%' из формулы (89). Мы получим:
V——1,0261«.

246
Тота-функции
Пример 2. Вычислить о (а\ 0, 1) при и =1,02.
Вычисляем сначала з (1,02). Воспользуемся формулой (72):
у/\ -//'(0)
В предыдущем примере мы нашли, что ^ == 1,0751. Кроме того,
и «1,02; Ь = 2 /108; 2ш! = со2«= 1,53.
Следовательно:
5Г(1,02)-«^Г-, ^(2,1308) s
но
#(2,1308) = 2?4 зШПЭ^Э'гв^^г?4 sin60°0'32v;
//"(О)-*-*
/С '
где /С= 1,59814.
Вследствие этого:
"Г /1 по\ «°,781°7 • V*"* 1,59814-sm60°0'32"
а (1,02) -* ^— . 0,8762.
ну/106
В примере, рассмотренном в § 120, мы видели, что
*(1,02; 0, 1)=1; <?а« 0,62995.
Ввиду этого уравнение (86) дает:
0,62996-1,02'
0,8762 »а9и /0,37004- в *
Произведя действия, получим, что при и» 1,02
а (и; 0, 1)=» 1,0187.
§ 122. Решение уравнения ри«а.
Случай Д>0. 1. Допустим сначала, что a>ev Воспользовавшис!
формулами (78), нетрудно получить, что
отсюда
/Ju=h е (и УХ)9,(0) в

Решение уравнения $>и = а
247
^ Удерживая в разложениях (42) и (45) для функций в и вх по два
первых члена и откидывая прочие, вследствие их малости, получим:
1 — 2q cos —Ь—
1 + 2? cos —^—
где :
®i(0) г Д—*a 1+2? У а—е%-
Далее будем иметь:
пи \/Т 1 —- Л
cos-^ 2,(1 +Л).-
Отсюда найдем и. Если обозначим то значение и, которое заключено
между 0 и (Dj через и0, то вообще
* e i ио + 2^<«>i + 2/ш3,
где /п и «—произвольные целые числд.
Пусть, например, требуется решить уравнение:
*(*?.т)-4'188-
гт 39 35
При инвариантах g2 = -j- и #8 = -g- , как мы это уже видели
неоднократно,
*i-T;- **~-4; *з = ~т; Хс=3; Л>0;
9 = 30°; /С «1,68576;
полупериод
' 1,68575
1 V*
Согласно табл. 4:
lg у «2,25461; ? = 0,01797.
л = °'96406 1/4,138 + 1,25 « 1 0031-
А ГДЗВЙ Г 4,133 + 0,5" 1,UUdlf
cos 3L*T- °'0031 •
/С 4,0062? '
lg cos к (l — S^I) - 2,63402; 180° (l - ^p) = 87°27'57";
^0= 0,5003.
0-±0,5003 + 2^-1^575+^.2,15652/ ^
"» /3

348
Тэта-фуикции
2. В случае, когда а заключено между е3 и ег> одно из значений аргу
мента и, как известно» содержится между coj ~{- <ов и <о8 (см. § 86). Ш
жем поэтому положить
« = (D3 + ^i
где
Применяя формулу (38) § 84, мы найдем, что
или
Из уравнения f г; в 6 находим 9 согласно приему, указанному в прт
дыдущем случае. Зная V, будем знать hb18»^^
3. Пусть а < еу Одно из значений аргумента и в этом случае солерт
жится между нулем и <о8, являясь чисто мнимым. Положим, что u=^vi\
где v — вещественное. Будем иметь:
f (vft ft. «•)-«-
Но так как
f(trt; ft, ft)*»—*(*; ft, -ft),
(см. § 76), то
PCoSft, — ft) «—е.
где число — а > — £8, т. е. больше наибольшего из трех корией — $щь
— ev—ev соответствующих функции f(f,ft> —ft). Таким образом
мы опять приходим к первому случаю.
Пусть, например, требуется решить уравнение
Инварианты:
Корни:
УЧИ' 196» 892У 1в
А. * 1. * ■ ■ ±
J28' ^""М" ^"м 4 '
Полагая и = w, имеем:
/ . 39 5 \ -
и, следовательно:
*VV; 196' 392J""1,
Корни, соответствующие последней функции $(v)f будут:
1 1 5

Упражнения
249
Квадрат модуля:
»1 — е8 4
модулярный угол в = 30°.
Величина
A-T+tq У ^^а r^35^>Лl>1~U•У7b•
Cлeдoвaтeльнo:
*t'K Т
стало быть:
3
. . 0,024
C0S К в 3,952?'
wVy ,-.
lgcos ^ «1,52932,
^—- = 70°13'33",
г>=, 1,0046;
и0 = 1,0046*,
и= ±1,0045^ + 2w(0i +2лю8.
4. Если £3<#<£i> то одно из значений аргумента и заключается
между (ох и cot -f- (о8« Можно положить и = (ох ~f- ш\ Дальнейший ход
решения указан в пунктах втором и третьем этого параграфа.
Случай 4 < 0. Воспользовавшись формулой
- , Я»
в силу равенства $>и = а} будем иметь:
где & = а-4--—~ и где р» есть вейерштрассова функция с положи-
тельным дискриминантом. Таким образом задачу мы привели к ранее
разобранному случаю.
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать что,
1. Н? (0) -Я! (и + V) Нх (и — V) = 9^ (и) 0J» (V) — в* (и) • 0а (V).
2. Я^ (0) 0 (Ц + V). 0 (U — V) = Я2 (Ц) 022 (t,) + Я!» (и) 0а (V).
3. Иг (0) 0Х (ц).0Х (V) Я! (Ц - V) - 0! (0) Hi(U)-HX (V) 0! (Ц - V) «=
«в (0)//(«)■#(*; 8 (и-*)•
4. Нг (0) Я! (и) 0 (и) e(v) + H (0) Я (и) 0! (и) • 0! (V) =
-0 (0)Я, (0)Я!(и - *) 0 (и + сг).

Пользуясь тэта-функциями, показать, что
5* sn (0,34; yf/ °'329- 9-dn (°>65; y-fj^0'891-
6. зп (\,Щ --^^ 0,873. 10. р (-«>,; 0, l)=2,17.
7. cnfo,44; --^^=,0,906. И. С (j*j О, l)«l,47.
8. сп (l,4; y/f )=0,35. 12. о (~<о2; 0, l)=»0,68.

ГЛАВА VI
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ В ОБЩЕМ ВИДЕ
§ 123. Общий вид эллиптического интеграла. Его
преобразование
1. Интегралы вида:
//(*, \l*)dx, (1)
где
/?=ял:4 -f bx* + cx%-\-dx-\-e,
или
/? = ах9 + Ьх* -\-cx-\-d,
г f означает рациональную функцию как от х, так и от y"R, называют
эллиптическими 1). Раньше встреченные нами виды представляли частные
случаи интеграла (1).
Заметим, что в случае, когда R есть целый многочлен степени
выше четвертой, то интегралы вида (1) называют ультраэллиптическими.
Последние в свою очередь являются частным видом так называемых абе-
левых интегралов. Под этим именем известны интегралы вида;
ff{x,y)dx,
где / есть рациональная относительно х и у функция, а у есть корень
неприводимого уравнения я-й степени:
у«+р1У»-1+р2Уп~-2+... 4-Ял-о,
коэфициенты которого целые и рациональные функции от X.
Функция /(я, |//?), рациональная относительно х и ]//?, в самом
общем случае может иметь вид дроби, в состав числителя и знаменателя
которой входят целые и положительные степени }/7?скоэфициентами—
целыми многочленами относительно х\ так что
fix УТП - Л° + Ai VW + А* ^УУ +'''
1) При этом предполагав^ что многочлен R (х) не имеет кратных корней. В
случае когда R (х) имеет кратный корень, например, двойной корень д; «с ос, мы
можем представить R(x) в виде:
/?(*) = (*-«)»*,(*),
где #i (х) — многочлен второй или первой степени. Тогда
УЩх) = (х-*)УЩх)
н наш интеграл выражается в конечном внде через влементарные функции.

252
Эллиптические интегралы в общем виде
Здесь буквами А0, Av А2, ...,^ &i> S2,..., обозначены целые
относительно х многочлены.
Принимая во внимание, что все четные степени J/7? суть тоже целые
многочлены относительно х, мы можем последнее равенство переписать
в виде:
где буквами С, Д Е и F обозначены целые относительно х многочлены.
Умножая числителя и знаменателя полученной дроби на Е— F'VR,
находим: _
fiXtVR)-* &-F*R К +K VR>
где
H=*EC~DFR; I^DE—CF; K — E' — F^R.
Но так как
kvr~k\/r~Yr1
то
fi ir
где L =» j£ и M ■■ ^ • и как I, так и Л/ представляют рациональные
относительно л: функции. Теперь мы видим, что
Первый из интегралов, полученных нами в правой части этого
равенства, есть интеграл от рациональной функции, и способы его нахождения
известны из курса интегрального исчисления. Вопрос поэтому приводится
к нахождению второго интеграла, который мы напишем в виде:
J w^ (2)
подразумевая под <p(x) рациональную функцию х.
2. Теперь диференциал
Т (*) dx
преобразуем так, чтобы вместо многочлена
R^axt-irbxt + cx' + dx+e (3)
под знаком корня получить многочлен
в котором отсутствуют нечетные степени переменной.

Общий вид эллиптического интеграл!
353
Заметим, что многочлен четвертой степени (3) можно разложить на
два множителя второй степени, так что
ах* + Ьх* + сх* + (1х+е==а(х*-\~2тх + п) (х* + 2рх~\-д). (4)
Если коэфициенты а, Ь, с и d вещественны, что мы предполагаем, то
мы можем потребовать, чтобы коэфициенты mt п, р и q тоже были
вещественны; их нахождение, вообще говоря, требует решения уравнения
третьей степени1).
Если /и=р, то многочлен (3) можно привести к требуемой форме,
полагая, что
x-{-m = t
Если тЗс/>, то применим подстановку
'+1
х-±Ы
уже примененную нами в § 9.
Трехчлен
х2-\-2тх-}-п
после замены переменной примет вид:
(a*+2rna + n)fi + 2№ + ma + m$-\-n)t + f* + 2ml + n
Аналогичный вид примет и трехчлен
x*~\-2px-\-q.
Коэфициенты аир выберем так, чтобы в выражениях обоих трехчленов
исчезли в вычислителях первые степени переменной L Для этого
придется ос и р подчинить таким двум условиям:
Откуда
i q n — q
г /? — т »
причем, согласно предположению, р^т.
Мы теперь видим, что а и ^ являются корнями квадратного уравнении
(p — m)f - (п-д)ч + тд — пр=*0> (5)
Ц Заметим, что в случйе, когда по крайней мере два корня многочлена мнимы,
разложение указанного типа можно произвести лишь одним способом. Если же
все четыре корня вещественны, то можно получить три разных разложения
вида (4). Обозначая в этом случае через хь хь хь и *4 корни в порядке их
величины, мы будем полагать для определенности, что
дг8 + 2тх + п ss (х ■— хг) {х — х%)
и
х2 + 2рх + 1 = (х-х3){х — х$.

254 Эллиптические .интегралы в общем виде
дискриминант которого
Д«=(л—.qf — 4 (р — т)(тд — пр). (6)
Докажем, что коэфициенты а и р вещественны. Для этого достаточно
доказать, что Д>0.
Обозначим через хх и *а корни трехчлена х% ~\-2рх-\-п, а черев х%
и л:4 — корни трехчлена x*-\-2px-\-q. Будем иметь:
2т^~(х1-]гхг)\ п = хгх%; 2р = — (х% + ^); ?«*8;c4.
Внося значения т, п, р н q в (6), находим:
А ■"? (*i — *а) (л:1 — *J (л:2 — лг3) (л:2 — л:4).
Если все четыре корня мнимы, то хх сопряжен с х2, а х3 сопряжен с xv
Нетрудно проверить, что в этом случае Д>0.
Также нетрудно проверить, что Д>0 в случае, когда х1 и х2
вещественны, а хь и jc4 сопряженные мнимые (или наоборот).
Б обоих этих случаях коэфициенты а и Р вещественны.
Если все четыре корня многочлена (3) вещественны, то наибольший
возьмем за xlt следующий по величине — за х% и т. д. В таком случае
опять Д>0. И если коэфициенты т% п, р и q, взятые из (4), подставим
в уравнение (5), то это последнее опять даст вещественные корни аир.
Ввиду выбора коэфициентов а и р и на основании (4) будем иметь:
Л, X и д вполне определены.
И так как, кроме того:
"Ля" (* + 1)« »
то в общем будем иметь:
Atp+iw + ti
где
♦ «)-»-«>•?(?#).
Очевидно, <]>(£) есть рациональная функция от аргумента t. Таким
образом интеграл (2) приведен к нужному виду.
В случае, когда в интеграле (2) под знаком корня находится
многочлен третьей степени вида:
axb-\»bx%-{-cx-\~d9
то к тому же виду можно притти с помощью подстановки
JC-P + 0,
где а есть вещественный корень многочлена.

Приведение эллиптических интегралов к нормальной форме 265
§ 124. Приведение эллиптических интегралов к нормальной
форме
Функцию ty(t)f рациональную относительно t, можно представить в
виде:
где F{P) и Fl{f) — функции, рациональные относительно Р.
Вследствие этого:
/у (*) dx в П F(t*)dt П Fj(mt-dt
V~R "•/ VAW + W + V) J улр + тр + й
Последний интеграл подстановкой
приводится к виду:
1 Г F\V)d*
h
2«
и выражается посредством элементарных функций. Интеграл
шл m
УАр + Ър + й V'
приводится, вообще говоря, к нормальным эллиптическим интегралам
первого, второго и третьего рода.
Приведение к этой форме мы начнем с преобразования диференциала
dt
который, учитывая различные возможные комбинации знаков Л, А и \ь,
можно написать в виде:
dt
где /, g и h — действительные числа.
ал
Полагая, что h^>gf |^ = <72<1 и вводя вместо переменной/ новую
I3
А»
8, связанную с t зависимостью
мы видим, что наш диференциал можно еще представить так:
/•*Vr±(i±?)d±c|p) ■
Комбинируя знаки, мы приходим к восьми формам. Исключая
комбинацию: —, -j-, -J-, которой соответствует мнимое значение квадратного
корня, при любом вещественном £, все эти формы помощью
соответствующих вещественных подстановок можно привести к одной
dv

256 Эллиптические .интегралы в общем виде
5 = sec <f;
?= cosy.
с '
£_ secv,
ч —• '■ 1
С
1 + <*
где О ^А<1,Отметим все формы и соответствующие им подстановки:
У (1 - ^)(1 -lajaf "■ /1 _ Л2 Sin2 , ; 5 == sin ср; k7^c\
^ я У . g _. fo- Ш' k2 sss 1 C3
V (p — 1) (1+ c2 p) "J/" i _ л» sin* у
rf$ _. — 6-rfy
V(l + P) (1-с*РГ \/l~^sinS(p
dt = x/r^dy
V (1 + €2)((!52ПГ \Л—*2sina¥
V <P — i;c-op) \/i —^2Sla2? ' c*
A2=l~c3.
Теперь мы видим, что интеграл (7), к которому нам удалось свести
интеграл (2), принимает вид:
v'l — A3sin2<p ' '
где Ф — рациональная функция относительно sin2 <f. Такая функция должна
быть суммой слагаемых вида:
B.^ + sin2?)*,
где В и р — достоянные, а п — числа целые» положительные,
отрицательные или нуль.
Поэтому
/Ф (sing у) rfy ^ уч pB(p + sln*4)nd4
Если положш, что
/(/>+Sln2y)^(iy
Vl— ^Sin2? "'
то для интеграла этого вида можно установить формулу приведения:
О + sin2 <#л -sin ср. cos ^ Kl— Л2 sin2 <р = 2/tiW ./л _ i + (2л + 1) ЛГ/„ —
--(2л + 2)Р/л + 1 + (2л + 3)А2/л+2, (9)
в которой
P-1 + 3AV
и которую moiho проверить диференцированием.

Приведение эллиптических интегралов к нормальной форме 257
Если в формуле (9) положим л^О, то увидим, что интеграл /а
выражается через /lf /0 и Л.1. Придавая указателю п другие положительные
или отрицательные значения, мы увидим, что и прочие интегралы вида
1п могут быть выражены, через Д /0, и /_ь Но три последние приводятся
к нормальному виду Лежандра. Действительно:
0 J \Л—*2sin2?
представляет интеграл первого рода.
/.- Г *т -I Г *Т
J (р + sln2 ?) \/l — *2 sin2 <р /> J (1 + л sin2 ?) y/i 4- ft sin» f
{где л a —J приводится к интегралу третьего рода.
/{р + sin2 у) rfy l-f/>*2 /• rfy ][ /• _
приводится к интегралам первого и второго рода.
Сопоставляя все вышесказанное, мы можем теперь утверждать, что всякий
эллиптический интеграл
ff(xt}/R)dxt
где
R = ал:4 + Ьх* + cx2 + dx + e
или
R = ахъ -f- &х2 -\-cx-{-dt
может быть выражен через элементарные функции и через
нормальные эллиптические интегралы Лежандра.
Пример. Надо заметить, что вышеизложенный способ приведения
эллиптических интегралов к нормальному виду на практике приводит часто
к весьма сложным выкладкам. Надо стараться поэтому по мере возможности
пользоваться соображениями частного характера, упрощающими действия.
Пусть, например, требуется привести к нормальной форме интеграл
/ <*
V (*-
3)3 у^А _ 14л»+ 71*2 - 154* + 120
(Fabry, Problemes d'Analyse mathematique, стр. 65).
Приводя к нормальной форме Лежандра, мы должны находящийся под
знаком корня многочлен преобразовать в такой, корни которого по
величине попарно равны, а по знаку противоположны. Заметив, что
х*— 14л:8+71*2-. 154л:-f 120 = (л: —5) (л:—4) (л: —3) (х — 2\
положим:
X ~2
Мы будем иметь:
х* — 14л:3 -+• 71л:2 - 164* + 120= j|(l -у2) (1 — £).

258
Эллиптические интегралы в общем виде
Поэтому
/== 16 Г йу
Если
то,диференцируя выражениец+■»■' нетРУдн0 проверить, что
\TR 2. /,ЯУ8-10У-я(1+У)_(9'-.Уа) d.
T+W°9j (1+yfVR
1 /»Г4(2-4я) ■ 4(л-1) . 2(2л-3) . 2-я 1 dy
"TJ IU+У? "*(l+yf-^(Ц-д-)"-2 т(\+у)я~*]уП '
Придавая показателю я последовательно значения 3, 2 и 1, получим
1 /*Г -40 ■ 8 6 1 «<у y/R
TJ 10+»* Ml+.v)*'1" 1 + У J l/Д" 0+JO» '
1 /*Г -2* ■ 4 Lol-^L УЯ
7J L о+у? +1+>■ ^ J утг " (ттз^'
9 J 1и-*-и-.у V/Г irr
Умножим эти равенства соответственно на 12, 4 и 11 и результаты
слвжим. Мы найдем:
i ГГ ~480 |Цу»-151 &-- ОЬ>» + 26,уЧ-27)|//Г
э J U + до» +11у х & J. |/fc —^-тгйрз^ '
Следовательно:
,16 Г йу
1Г (11^+^ + 27)1/"^ ,11 ГД^ 5 ГJ& I
1=8"Го[ (П-7)5 +"»V Vr'~~tj Vrу
Таким образом предложенный интеграл выражен через интегралы Ле-
жандра первого и второго рода.
§ 125. Интегрирование посредством эллиптических функций Якоби
В предыдущем параграфе мы видели, что всякий эллиптический
интеграл в общем случае может быть приведен к форме:
/<E(sing<p)fo -.
Vl— A»Sin*V ' W
где Ф есть рациональная функция относительно sin*<f.

Интегрирование посредством эллиптических функций Якоби 259
Если мы сделаем замену переменного, введя и вместо <р, посредством
соотношения:
то у вав am и и sin «р = sn и.
Тогда (8) принимает вид:
fф(sn*u)du. (Ю)
Но Ф (sn3 и) как рациональная функция от sn3 и может быть пред*
ставлена в виде:
Ф(зпа и) = Л0 + Л1 sn2a~}-i42sn4H-}-... + ЛЛ en3" и+
» д* j Дз I I ^л j
Т 8П2 « ~ sn* й "' * ~ Sn^U ~
+ 2*\зп*и — а +(sn8«-~a)2 + -" +(sn2« — aJV'
Поэтому интеграл (10) приводится к интегралам вида:
/sn2 и du, /sn* udu>..., fsn2m u rfu 9
Г du f du^ f du
Jsiflu* J sn*u ""> J ^V 01)
У sna« —a • У (зп^и —a)2 У (sn2« — о/ # (12^
Для интегралов вида (.11) можно указать формулу приведения, при
помощи которой все они приводятся к первому /sn2 и du, для
вычисления которого мы имеем равенство:
J SI1 UaU— & в(0) Л2 в (и)
(см. §114).
Эту формулу приведения можно вывести таким образом: составим
производную:
£^п*»-*и.спи-йпиУ)>т(2п— 3)(l -~вп2и)(1 — tfsn^sn3"-'//--
— sn*»~2 и (1 - A2 sn2 и) - Аа sn2"-2 и (1 - sn2 и)«
- (2я—1) A3 sn2" и — (2л — 2) (1 + A2) sn2"-2 и -f (2я — 3) en2*-* и.
Интегрируя обе части этого равенства, получим:
(2п~ l)A3/en и-Л* —(2л~2)(l+A2)/sn2"-2иdи-j-
+ (2л — 3) /sn2"-4 и • <*и = sn2"-3 и. en и. dn и.

260
Эллиптические «интегралы в общем виде
Придавая числу п положительные и отрицательные целые значения,
мы все интегралы вида (11) выразим через первый из них.
Интегралы вида (12) можно получить путем диференцирования по
параметру а обеих частей равенства (69) § 116. Надо при это иметь в виду>
что в левой части этого равенства
п = — k2 sn2 а.
§126. Интегрирование посредством функций Вейерштрасса
1. Будем интеграл (2) писать здесь в виде:
? (*) dx
А
V AqX* + 4Л,** + 6Лал:2 -|_ 4Л3 х + А* *
и кратко обозначать его буквой /.
Полагая
(13)
мы получим:
где
1_
J УУ
Л'
F Wrfy
Й2 =
А0А2-
(14)
Ло2
■4»
аА=
ЛИ0а - 4ЛоМИ8 + 6Л0ЛаЛ1а — 3/1!*
Ло4
Положим:
/У + 6а2У + 4а^ + а4 =/ +а2 - 2z.
Возводя обе части этого равенства в квадрат, будем иметь:
4а2у3 -f Azf + Аа^у —4г2 + 4а2 z+ а4 — V = 0. (15)
Диференцируем это равенство и результат запишем в виде пропорции!
dy dz
3>а -f- аг — 2z ^ 2д,.у + 2уг -f а3»
или
(16)
'2а2у-\-2уг + ав\
Но, решая уравнение (15) относительно j/, в то же время получим:
♦, «. — ga±T^4g«—gi«—gj ^ ^fa
где
^ 2 (* + в|)
&=«Я4 + За22; gi^Ot^ — ащ'
•*2 »

Интегрирование посредством функций Вейерштрасса 261
й ш i (ЛИ*- 4ЛИ, + ЗЛ4г),
или еще:
Теперь положим г = р (и; g2l g8) ■= f> и.
Переписав (17) в виде:
(2гу + 2а2з/ + а8)3 - 4г4 — #3г — gz,
будем иметь:
(2zj/ + 2a2v + a8)2 = (<?'tt)2.
Л на основании (16);
У у* + ба&у3 + 4а^у +■ а4
Кроме того, из (17) находим:
37"" 2(р5Т^Г (1Ь)
Обращаясь теперь к интегралу (14), заключаем, что ввиду (18) функция
F(y), будучи рациональной относительно у, будет рациональной также
относительно ри и $'и. Это значит, что
/«-7= ГПги,9'и).<1и, (19)
где f есть знак рациональной функции.
Таким образом интеграл (13) приведен к (19), в котором
подынтегральная функция рациональна относительно $>и и $ги.
2. Случай, когда R есть многочлен третьей степени.
Если R — многочлен третьей степени, то интеграл (2) будем писать
в виде:
/У (*) <**
У'АохЪ + ЬАгХ + ЪАъ + Аъ
и обозначать буквой /х.
Полагая
Х = тг-\-п
и выбрав
л = —~* и Л0т8 = 4,
мы приведем наш интеграл к виду:
f{z)dz
I e /* /(*)**
где / (z) есть рациональная относительно г функция.
Полагая далее z = fp и, получим:

262 Эллиптические -интегралы в общем виде
§127. Интегрирование функций, рациональных относительно (ри
В двух предыдущих параграфах нам удалось показать, что всякий
эллиптический интеграл приводится к виду:
ff(&u)du,
или к виду:
ff(&u, &'u)-duf
где / есть знак рациональной функции.
Рассмотрим сначала первый из этих интегралов. Разлагая функцию f
на элементы, будем иметь:
где C0, Cx, Ca,..., 4lf Да,..., Дх, Да,..., a, p,...—
постоянные.
Умножив обе части этого равенства на du и интегрируя результат,
мы увидим, что интересующий нас интеграл представляет сумму
интегралов вида:
Л""*» "/(*£*■ (20)
Придется поэтому рассмотреть эти виды.
Для первого при п = 1 имеем:
f^udu^ — t^u
(произвольную постоянную не выписываем).
Для п = 2 воспользуемся формулой (§ 89):
в>"к~6р*и-§, (21)
на основании которой
/*■«•<*« =/(4- §>"'« +§)<to-yl>'« +73?.
Пусть л = 3. Чтобы найти
У* g> Зи • du,
постараемся выразить р3и линейно через $и и через производные от этой
функции.
Переписав (21) в виде:
продиференцируем это равенство два раза.

Интегрирование функций рациональных относительно Ра
269
Пропуская в записи букву щ получим:
Кроме того:
(РТ-4Р8— grf — ft.
и еще на основании (21):
Если теперь из трех последних равенств исключим (Р7)3 и &"t то
результат будет такой:
1 HV) 8 1
Следовательно:
/IP "'а 3 1
Можно показать, что при л ==4:
/»(V)„ 115
и т. д.
Обращаясь ко второму из интегралов (20), положим, прежде всего, что
a=$v, причем аргумент v при известном а определяется по приемам
§ 87 и 122. Таким образом имеем интеграл:
Г du
Здесь надо отличать два случая.
1. Аргумент v не равен полупериоду функции $>и. Начнем с
предположения) ЧТО Лея 1.
Согласно формуле (52) главы IV:
f]r=pF-~F»5[5(e+f)-C(»-i»)-2CtF].
Отсюда
Г du 1 t «(ц — у) 9 цСр
J *>«- pv g>'f ш «(« + *) + Р'*'
Диференцируя обе части этого равенства по параметру vt мы получим
выражение для интеграла
Г du
J (8>«-
*>о)»'

264 Эллиптические интегралы в общем виде
Дальнейшее диференцирование по параметру последовательно получаемые
выражений нам даст интегралы:
Л du
J (*>"
du
и т. д.
2. Аргумент v есть полупериод. Пусть, например, v==v>v В такой
случае, согласно формуле (36) главы IV:
1 д Р (и + щ) — <?i
Ptt—^u)!8"3 fo — е2) (*i — ед) *
Возведя обе части этого равенства в я-ю степень, помножив результат*
на du и интегрируя, мы увидим, что наш интеграл представит сумму
интегралов вида
f 9я(Ц + щ)(1и,
помноженных на постоянные коэфициенты, т. е. получим интегралы уже
изученного типа.
§ 128. Случай функции, рациональной относительно f>u и р'и
Если функция/($>и, <jp'u) рациональна относительно ри и, р'итотем
самым она рациональна относительно <&и и
Следовательно, на основании сказанного в § 123 имеем:
где L и ЛГ = ^гя—функции, рациональные относительно fu. Теперь мы
можем написать, что
ff(t?,tf>')du=fLdu-{-fNdfp.
Последний интеграл правой части этого равенства есть интеграл от
рациональной функции. Первый имеет вид, рассмотренный в предыдущем
параграфе.
Пример. Рассмотрим в качестве примера интеграл
Инвариант g7 функции g? будем предполагать равным нулю. Совершая
несложные преобразования, последовательно получим:
1 У'у+ У и Р 'у + 1? гч §>'v+1p'u
fp 'v—V' {f? 'v)2 — (fp 'и?~ 4p*v -.gB — (4 fpWJT—gt) 4 W*v — tf>«a

ГЛАВА VII
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
§ 129. Приложение функции Вейерштрасса к изучению
колебаний маятника
1. Рассматривая колебания маятника в § 1, мы получили равенство
'(ST- Ч (со8 в — сов а).
Умножая на /, мы придадим ему вид:
(' жУ " 2#*(cos 8 ~" cos а)-
Но / -JT- я« vt где v есть скорость центра качания в некотором его
положении Р (фиг. 1). Ордината точки Р есть _y=m/cos6; абсциссу этой
точки обозначим буквой х\ lcosa=a есть ордината точки Рг При
принятых обозначениях полученное нами равенство примет вид:
v2 = 2g(y — a)
и выразит закон изменения скорости центра качания. Но
Поэтому
Следовательно:
«■-.£Lf&.Y- * f^Y
&~-^v'0'-a)</a-y),
где перед знаком корня удержан знак минус потому, что ордината у есть
убывающая функция от t.
или

266 Эллиптические интегралы в общем виде
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
snu
du
спи
du
dnu
snurfu
e In
dn и — en и
-i-ta
1 /Л'
1
snu
dn и -f fe'sn и
en и
cnu-4-lft'snu
»тг In
спи Л'
snu du i
dn» ^ЛЛ'
и du
1 dau
dn и + ft'
спи
#' — k en и
/ dn и rfu *а Пп (ca*u — / sn u).
/•
/
/■
/■
/
/
/■
/
/
/
/
/
• - -T-ln
dnu
1 — Л sn и
dnu
dnu £
en и du 1 — dnu
snu в n snu
snurfu 1 dnu
cn«u ^F^'cnu *
en и du dnu
sn*u est~" snu *
'snu-cnu-rfu 1 , л
= — -T5" In dn и.
dnu
cnU'dnU'rfu
snu
dx\u>du an и
In sn u.
en* и
спи
rfcp
18.
19.
20.
где U :
/>-С-^-"
-v) —2вС*]а
Vss—-
/
ос
/
ос
l'u-lv *о = 2[1па {v-Q-lnov + vtu].
(1 - 4)dz _0J. , f'«РР'и.+ П

['ЛАВА VII
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
§ 129. Приложение функции Вейерштрасса к изучению
колебаний маятника
1. Рассматривая колебания маятника в § 1, мы получили равенство
/(^)2 = 2g(cos0-~cosa).
Умножая на /, мы придадим ему вид:
(/J-)2- 2gl (cos 6 — cos a).
ил
Но I —я= v, где v есть скорость центра качания в некотором его
положении Р (фиг. 1). Ордината точки Р есть j/=/ cos 6; абсциссу этой
точки обозначим буквой х\ /cosa»a есть ордината точки Pv При
принятых обозначениях полученное нами равенство примет вид:
v2~2g(y-a)
и выразит закон изменения скорости центра качания. Но
—(*М§У.
*3 _|_ у e pt
Поэтому
Следовательно:
*-£+*£-«■
#\dt) p-yt\dt )•
ИЛИ
где перед знаком корня удержан знак минус потому, что ордината j/ есть
убывающая функция от £

268 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
Выполнив несложное преобразование и проинтегрировав результат, мы
получим:
I V 2 J i/*4(v— Л(
у V4(y-D{y~"){y+i)'
или
оо
/Гау y4(y-l)(y-a)iv + D
ОО
Но в данном случае:
Поэтому
о*
и мы будем иметь:
/V 2 -i-w> ,/ y^..,^..^.^1
г. е.
Преобразуя это выражение при помощи формулы
(см. § 84), мы получим:
j,_<+ г"'~"
'(*КЧ)-«
Таким образом ордината д/, а, следовательно, и абсцисса л:»!//3 — у2
выражены через функцию g> Вейерштрасса, взятую от мнимого аргумента.
Формула для вычисления функции р в случае мнимого аргумента
приведена в § 80.
2. В выражении ординаты у можно заменить функцию $ через
функцию sn Якоби. Так как в нашем случае корни е19 е2 и е3 вещественны
и дискриминант Д>0, то преобразование для мнимого аргумента
следует производить по формуле (8') § 80. Пользуясь зтой формулой, будем
иметь:
<^-l-zw^T

Сферический маятник 269
причем квадрат модуля
ft'i-uZL&.Ir^-sin
Следовательно:
4/з sin3
«1 — *з
2 '
у-1-
ip/s
-I
= /[1-2^-«5п«(^1)],
т. е. мы приходим к тому же выражению ординаты, которое уже имели
в § 10.
§ 130. ^Сферический маятник
1. Поставим себе целью исследовать движение тяжелой материальной
точки по внутренней поверхности совершенно гладкой сферы.
Отнесем точку к координатной системе, начало которой совпадает
с центром О сферы. Оси X и Y
расположим в горизонтальной
плоскости, а ось Z направим
вертикально вверх (фиг. 36). Вопрос
будем решать, применяя полярные
координаты в пространстве.
Так как движение происходит
по совершенно гладкой
поверхности под действием силы тяжести,
имеющей потенциал, то имеет
место интеграл живой силы:
mv*
™~и+
mh
0)
Фиг. 36
Здесь т — масса точки, v— ее
скорость, /У» — mgz—
потенциал силы тяжести; h —
произвольная постоянная.
Так как равнодействующая силы
тяжести и реакции поверхности
все время пересекает ось Z, то в плоскости XY имеет место интеграл
площадей, т. е.
гу = С, (2)
где С — произвольная постоянная, а г и <р имеют указанные на фигуре
значения; <р'— производная, взятая по времени L
В полярной системе в пространстве положение точки определяется
величинами г, z и <р.
Для их нахождения кроме (1) и (2) служит еще уравнение
r2 + z2*=P, (3)
где / есть радиус сферы (длина сферического маятника).

270 Дальнейшие примеры приложения эллиптических функций
Для отыскания зависимости между координатой z и временем Ц
а также между углом <р и z, преобразуем уравнения (1), (2) и (3),
Прежде всего вспомним, что в полярной системе квадрат скорости
Заменим здесь производную <р' ее выражением, взятым из (2), и
выражения ф2 и t/ подставим в (1). Результат будет такой:
r'2Jr%-\-z'* = h-2gz. (4)
Но, диференцируя по времени, из (3) имеем:
/г' + «'=0,
т. е.
,»-.. "'~ .
Подстановка в (4) дает:
/«Z'2 в (Л — 2£Z) (/« - Z2) - С2,
или
!■($)'-/«. (б)
где
/(*)=<Л-2£*)(/2-*2)-С>. (6)
Из (5) следует, что
т. е.
J V/(z) у
Здесь z0 — начальное значение координаты г, а из двух энаков берется
-[- или —, сМотря потому, возрастает ли zt исходя от zQi или
убывает.
Нетрудно убедиться также и в том, что
<*?» + • С1-?_
откуда
*-<Po = ±C//(7,-^Jp (8)
Здесь <р есть начальное значение угла <р.

Исследование вида траектории 271
§ 131. Исследование вида траектории
Прежде чем дать способ вычисления z и 9 в зависимости от времени tr
мы исследуем вид траектории, описываемой точкой. Сначала покажем,
что все корни многочлена (6) вещественны. Действительно, делая г
последовательно равным со, I, z0, —I, мы увидим, что f{z) принимает
значения:
оо -С2 + — С2.
Здесь отмечено, что /*(^0)>0. Это потому, что, как это видно из (5):
/<*>-<■(£)'.
т. е. есть величина положительная. Мы теперь видим, что фукция f(z)
при изменении z от -|- оо до — / меняет знак три раза. Следовательно,
она имеет три вещественных корня:
я, Ь, с,
причем
<*>>a>l>b>z,>c> — /.
Мы видим, что начальное значение ?0 заключается между Ь н с*
Поэтому в начальный момент движущаяся точка находится на поверхности
шарового пояса, определяемого плоскостями z=hr = c,
При своем движении точка будет все время оставаться на поверхности
этого пояса. Действительно, если бы точка вышла за его пределы, то
координата z прошла бы через корень функции f(z). Но в таком
случае функция f(z) должна была бы переменить знак. А так как /(z,)>0,
то, следовательно, f(z) должна бы стать отрицательной, и производная
выражающая проекцию скорости точки на ось Z, обратилась бы в мни*
мую величину. Отсюда и следует, что точка за пределы шарового пояса
выйти не может.
Представляя f(z) в виде:
будем иметь в силу известных связей между корнями и коэфициентами
аЬ + Ьс + са=*-- Р,
Из второй зависимости находим:
аф + с) = — (Р-\-Ьс).

272 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
Но так как величины b н с заключаются между /и — /, то I2 -f- be >0
и, следовательно:
а(Ь-\-с)<0.
Но а>0; значит, Ь-\-с<^0\ а так как Ь^>с, то с<0 и плос
кость г = с расположена ниже центра сферы.
Переписав равенство (2) в виде:
и допустив, что в силу начальных условий С, например, положительно,
мы увидим, что при движении точки угол ф все время возрастает. В те
моменты, когда z становится
равным by точка занимает
положения Вхл Вг% ... (фиг. 37). В
моменты, когда z=ct точка
находится в положениях С19 С2,. . .f
причем и в тех и в других
положениях проекция ее скорости на
Л ось OZ, т. е. jf, равна нулю, и
траектория точки касается
окружностей В ПЛОСКОСТЯХ Z=b И 2=»С.
Если мы проведем меридиан
через одну из точек касания,
например, через точку. jS2, то
нетрудно показать, что положения
фиг> 37 Мг и М% движущейся точки,
соответствующие z ев zv
относительно взятого меридиана симметричны. Пусть <f>i» ф2 и ср8 значения угла
<р для точек Mv В2 и М2. В таком случае на осноавнии (8) будем
иметь:
>7м-
" Т2 J (/»— 2ГЗ) д
v7w
Отсюда
V 2— *i = ^а — Т2,
я, следовательно, точки Жх и Ж2 расположены симметрично относительно
меридиана В2.
Исходя из (7), нетрудно обнаружить также, что время прохождения
точкой пути МгВъ равно времени, которое она затратит на
прохождение пути jBjAf,.

Вычисление координаты г и угла <р
273
§ 132, Вычисление координаты z и угла <р
1. Координату z мы будем вычислять, исходя из (5). Прежде всего
преобразуем это уравнение, вводя вместо z новую переменную С согласно
равенству:
*-2/2 - I g + ft-fC
*~F;i з •
Б таком случае:
f(z)» 2g(* - а) (г - *) (г ~ г) = g-6(C - ех) (С - ef) tf - е,),
где
ei№p(2* — *~ *); ^1-да<2й —а —г); е^^^с — а — Ь),
причем, очевидно:
^1 + ^2 + ^=0 и ^>^2>^3-
И так как
&t g* dV
то уравнение (5) приобретает вид:
или
где инварианты
ft = — *(^i^a + <% + *a*i); Si" =* **i*A •
Одновременно с (9) рассмотрим уравнение:
(#'и)2=»4$>8и — ftfa — ft, (Ю)
где и есть функция от L Сопоставляя оба уравнения, приходим к
заключению, что
при условии, что
или
(8>'«)2=(e>'«)2(|r)'.
т. е. при
(£)'->■
откуда
u = ±t+Yt
где Г—произвольная постоянная.

274 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
Так как fpu есть четная функция, то из двух знаков можно удержан
только -f-), т. е. принять
и, следовательно:
откуда
Величину Г можно определить на основании начальных условий, ЕслЖ|
например, мы условимся отсчитывать время от того момента, когда двн*
жущаяся точка была на уровне z = с, то при t = 0 будем иметь:
Г=(о8
см. § 83), где (ов—полупериод функции р. Теперь мы видим, что
ноа-|~^-|-с==2~' Преобразовав р(£+<о3), согласно формуле (38)
§ 84, получим:
Согласно этой формуле, удобно вычислять значения z при заданных t
Способы вычисления функции jjp t приведены в § 80 и 119, 120. Можно
пользоваться и рядом (44) § 91.
Заметим, что вещественный полупериод фх выразит время, нужное для
того, чтобы из положения на уровне z = с точка перешла в соседнее
положение на уровне z «■ Ь. В этом нетрудно убедиться, исходя из (9)
2. При выводе формулы для вычисления угла <р будем исходить и
уравнения (2), которому придадим вид:
dt Я—Я»
или
dy__C /1 Ц \
du~~ 21 yi — z^ l+ж J'
Но из (11) имеем:
z — с = — (*« — *,).
Пусть значениям г, равным / и — /, соответствуют значения и, равные
их и и2. В таком случае:
9/2 9/3

Вычисления координаты г и угла <р
276
Заметим, что вследствие четности функции Р и знаки их и и2 из по*
следних двух равенств еще не определяются. Далее имеем:
2/2
l-z=l — c — (Z — С) - ~yO«-- P«i),
2/2
Вследствие этого:
rfy^Qr/ 1 i__\
Умножая обе части этого равенства на 2/, получим:
о:^ш 1 ( СЦ Cgi \
* йи 2/»^ц —g>w2 8Рм — tP"i/"
Но при t=/ и ^ = — /:
/(/) = -С2и/(-/)=-С, ;
что следует из (10).
А так как
и в то же время на основании (5)
(dz \* 1
то
Полагая в последней равенстве z = / и г = — 1, будем нм«ТЫ
Извлекая квадратны^ корень и выбирая надлежащим обрйВОй ItfUNH К^
и и„ получим: || Ч
Cgl
т. е. p'l^ и р'иа имеют мнимые значения. Это об^яйМШя Д Цт°
взятые для г значения, именно /и — /, лежат вне уровне^ тЬЩ Pfb-
рыми колеблется маятник.
Теперь можем написать, что

276 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
— ... ■» , —___ , , , -^_____ •
Применим к последним двум дробям формулу
fjrrk--C(" + *) + C(«*-*> + 2C«,
найденную в § 93; получим:
— С(и-+-и2) + С(и — и2)4-2С«а.
Отсюда, выполняя интегрирования находим:
причем произвольная постоянная А может быть определена на
основании начальных условий. Согласно полученной формуле, можно вычислять
угол <р при данном t. Вычисление функций а и С можно произвести,
пользуясь, например, рядами (49) и (50) § 92, или по способу,
указанному в главе VI.
§ 133, Вращение волчка. Предварительные сведения из
механики
Представляя большой теоретический интерес, волчок, благодаря тем
применениям, которые он нашел себе в настоящее время в технике, имеет
вместе с тем и немалое практическое значение. Гироскопический компас,
однорельсовый вагон, предохраняющий от качки судовой волчок Шлика,
волчок в самодвижущихся аппаратах (торпедах) — вот примеры его
технических применений.
Основанием для теории движения волчка служит теория движения
тела вращения, подвешенного в одной из точек своей оси. Этот вопрос
мы здесь вкратце и рассмотрим и покажем, каким образом к его
изучению прилагаются эллиптические функции. Более подробные сведения
читатель может найти в книге Klein und Sommerfeld, Theorie des Krei-
sels.
Начнем с напоминания некоторых положений кинематики и динамики.
1. Если твердое тело вращается около неподвижной точки, то его
положение в пространстве, как известно, определяется при помощи трех
углов, называемых углами Эйлера. Напомним сейчас, каким образом они
могут быть построены.
Предстоим себе в пространстве неподвижную систему координатных
осей Xv Yv Zt, началом которой О служит неподвижная точка тела:
Вместе с тем вообразим и другую систему XYZy имеющую то же начало,
но неизменно связанную с твердым телом (фиг. 38).
Пусть ОХ2 есть линия пересечения плоскостей XY и XXYX. Отметим
углы:
xxoxv х2ох, zx6z%

Вращение волчка
277
которые будем обозначать:
фЛ, 9
и называть углами Эйлера.
Можно показать, что всякое положение тела (XYZ) может быть
получено из положения (XXYXZ^) путем вращений, совершаемых около осей
OZv OZ и ОХг на углы ф, <f и 6.
Действительно, если тело занимало сначала положение (XXYXZ^ то
после поворота около оси OZx на угол ф оно придет в положение
(X2YtZ^). После второго поворота около оси ОХ2 на угол в тело перейдет
в положение (X2YZZ). Угол Y2OYz равен 6 и служит линейным для
двугранного угла между плоскостями XY и XXYV Прямая OYz лежит
в плоскости XY. Наконец, третий поворот около оси OZ на угол <р
приведет тело в положение(XYZ).
Отсюда следует, что положение
тела будет вполне определено,
если будут известны углы ф, <f и
О как функции от времени.
2. При вращении тела вокруг
неподвижной точки во всякий
момент времени t существует
проходящая через точку О мгновенная
ось О А, вокруг которой тело
вращается с мгновенной угловой
скоростью (о. Эту угловую скорость
условились откладывать вдоль оси
ОА в виде вектора, содержащего
столько единиц длины, сколько
единиц угловой скорости
содержится в со. Вектор этот
откладывают в такую сторону, чтобы наблюдателю, расположенному вдоль него,
вращение казалось происходящим по направлению движения часовой стрелки.
О системе XYZ мы пока говорили, как о выбранной произвольно.
Но известно, что твердое тело в каждой точке имеет три главных оси
инерции. 1 Эти именно оси, построенные для точки О, мы в Дальнейшем
и будем считать за оси XYZ. Пусть р% q, г обозначают проекции вектора
со на эти подвижные оси.
Основанием для изучения вращения тела вокруг неподвижной точки
служат известные данные Эйлером дифереициальные уравнения:
Фиг. 38
dt
■ AL
A% + (C-B)qr-
Qrp^My9
С% + (В-А)рд-Мй.
(14)
Здесь Л, В и С обозначают моменты инерции тела относительно осей
X, Y и Z; Мх, Му И Мг—суммы моментов относительно тех же осей
внешних сил, действующих, на тело; £ г—время.

278 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
Заметим еще, что проекции р, q и г угловой скорости <о связаны
с эйлеровыми углами такими доказываемыми в кинематике
соотношениями:
/? = ф' sine-sin ff -|~ 6'cos <{>, ]
? = <(>'sin6.cos<p — 6'sintp, \ (15)
r = <j>'cose + <f'. J
Здесь ф', yr и 6' — производные, взятые по времени t.
§ 134. Диференциальные уравнения движения тела вращения,
подвешенного в одной из точек своей оси, и их первые
интегралы
Представим себе, что имеющее ось симметрии твердое тело
вращается вокруг неподвижной точки О, расположенной на этой оси. Эту
точку мы примем за начало неподвижной координатной системы XXYXZ1%
плоскость XlYl которой совместим с горизонтальной. Ось Zx будем
считать направленной снизу вверх.
Кроме того, выберем связанную с телом подвижную координатную
систему XYZ. Осью Z этой системы будет служить ось симметрии
тела, которая, как известно, служит для расположенных на ней точек
одной из главных осей инерции. Оси X и Y перпендикулярны к оси Z
и проходят через точку О. Центр тяжести тела обозначим буквой G
и положим:
OG = k.
Имея в виду воспользоваться уравнениями (14), составим предварительно
выражения для моментов внешних сил, т. е. силы тяжести и реакции
опоры.
Что касается до моментов реакции, то они, очевидно, относительно
всех трех осей равны нулю.
Если примем во внимание, что координаты центра тяжести
то мюменты силы тяжести будут:
Мх = Mgk-cos (YZX),
My=* — Mgk-cos (Х\\
где M — масса тела, a g— ускорение силы тяжести.
Бели воспользуемся известными из аналитической геометрии
формулами:
cos (XZX) = sin в • sin <f,
cos (KZj) = sin6'Cosf,

Диференциальные уравнения движения теда вращения 279
и примем еще во внимание, что вследствие симметрии тела моменты
инерции А и В равны между собой, то уравнения (14) представятся
в виде:
А?£-\-(С ~-A)qr==Mgk-smb. cos у, *
B-J-\~(A-C)rp = -Mgk-$inb'S\n<t,
и dt и"
(16)
Последнее уравнение дает интеграл:
г-г0, (17)
где г0 есть проекция на ось Z угловой скорости о) в момент t = 0.
Другой интеграл получится, если помножим первое из уравнений (16)
на р, а второе на q и результаты сложим.
Мы найдем
Ар ~L + Aq -|£ = Mg* sin 0 (/? cos <р — ? sin <р). (18)
Но при помощи соотношений (15) нетрудно показать, что
sin в (/7 cos «f> — ^ sin ср) = sin в.в' = — S™lL.
Вследствие этого (18) дает интеграл:
А (р7 + Я2) = — 2Mgk • cos 8 + 24, (19)
где А — произвольная постоянная.
Найдем еще трзтий интеграл системы (16). Помножим первое из ее
уравнений на sin в • sin <р, второе на sin в. cos <р и результаты опять
сложим. Мы придем к равенству:
А ( sln * % ~Ъ cos * 1йг) sin ° = 04 — С) (? •sin ¥ — /> •cos <Р) ^оsin е>
или
dcos О
A(«n»f- + coe»g-)8inee(A-Or(
Если, продолжая преобразование, мы прибавим к обеим частям этого
равенства по выражению
70 оно по;ле небольших упрощений примет вид:
~- (А/> sin в sin <р -{- Aq sin в cos <р + Ов cos в) =
^(y^ti + f^+r, igi). (20)

280 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
Теперь обратим внимание на выражение, стоящее в последних скобка*!
Произведя все указанные в нем диференцирования и заменив р, q и г
их значениями (15), мы без особых затруднений найдем, что
risin(bsiny . d sin 9.cos у . ricosO n
P dt "Г?dt rro dt = U.
Вследствие чего (20) дает интеграл:
Ар smb-$\n<f-\-Aqsmb-cosy-\-Cr0co$b = Dt (21)
где £) — произвольная постоянная. Величины г0, А и D можно опреде^
лить, если будут заданы начальные условия движения.
Заметим, что равенства (19) и (21) можно было бы написать и н!
основании других соображений. Дело в том, что первое из них
выражает интеграл живой силы, а второе может быть рассматриваемо к art
интеграл площадей.
Равенства (17), (19) и (21) представляют так называемые первые
интегралы системы (16). Пользуясь соотношениями (16), можно иХ
представить в виде:
«• # + £-*■
sln26^i + «cosO = p,
(22)
где
dt
$135. Вычисление эйлеровых углов 0, <|> и f
1. Если из двух последних уравнений (22) исключим -£•, то получим:
(§")' = («- т*> О - *'> - (Р - я^2 te ^ <*> • (23>
где я = cos 6.
Пусть 0О есть начальное значение г. В таком случай:
/Л)» О,
как это видно из (23). Меняя аргумент 0 отоодо — 1, мы увидим,
что:
/(оо)>0; /(1)<0; /р(я.)>0; /(-1)<0.
Следовательно, функция f(z) имеет три вещественных корня:
а, Ь н с,
причем
во>а>1>»>20>0 —1.

Вычисление эйлеровых углов
281
Дальше придется проделать выкладки, тождественные с теми, которые
были выполнены для сферического маятника. Вводя вместо z новую
переменную С, согласно равенству
т ч «
мы придем к заключению, что
(
/a),e4<,-ft<-ft.
причем корни:
И далее найдем:
Если условимся считать время с того момента, когда z = с> то найдем,
что произвольная постоянная Г = <о3. Следовательно:
г = со56^1-р(^+(1,э)+а+з+С • <24>
Таким образом cos 0 выражен в зависимости от времени t Вещественный
полупериод щ выразит время, в течение которого z изменяется от
с до ft.
Угол в, на который может отклониться ось симметрии тела от оси
OZv заключен в пределах:
Ьх sas arc cos с и в2 = arccos b,
2. Для угла ф последнее из уравнений (22) дает:
d^"8* 1 —*» '
или
d» 1 /р-я ■ P + nN
Л"" 2 U—* "^ 1+*А
где z = cos 8. И здесь придется повторить выкладки, проделанные при
вычислении угла <р в случае сферического маятника. Результаты таковы.
Из (24) имеем:
где u = t-\-v>zi
Пусть значениям 1 и— 1 аргумента z соответствуют значения щ ии2
переменной и. В таком случае:
1— £=4 (&и1 — е*У> 1+£ = — ^(РИа-е,).
Вследствие четности функции ри знаки д1 и д2 из последних равенств

х82 Дальнейшие примеры приложений эллиптических фушкций
еще не определяются. Два значения их или два значения u%i отличав
ющиеся на кратные периоды, рассматриваются как эквивалентные.
Далее имеем:
l-a^-i^a-piO; 1+* = £(ри—pa,); (26j
и вследствие этого:
^ г— т ( $ + п $ — п \
Лв 8 \фи—$>и2 pu—puj'
Умножая обе части этого равенства на 21, получим:
21$<, mi/ р + я р—л \
Но при г»1 и 2? = —1 для функции f(z) имеем:
/(1)--(Р-/0> и /(-1) ^~(Р + лЛ
как это видно из (23).
Выбирая надлежащим образом знаки их и и2, мы, как и в случи
сферического маятника, придем к заключению, что
^(Р + П)=р'Иа; ^'(р-П)=р'И1.
Вследствие этого:
9/ ^ — **'"* — Р/ц1
и
* ^0(11+ «4)0 (и-«О*
где Е — произвольная постоянная.
3. Переходя к определению угла <р, будем исходить из первого
уравнения системы (22), которое дает:
rf© di b-~nz
Ж ~~ г° э d* ~~ г° i -- *» •
или
откуда
И-^ = 2^(г0-~л) + С(а-и8)-С(и + иа) + 2и,+
+ С(и-й1)~С(и+^1) + 2и1.
Выполнив интегрирование, будем иметь:

Движение регулятора Уатга
283
где произвол! ная постоянная L может быть найдена с помощью
начальных условий.
Примечание. О вычислении ut и и2 в зависимости от а, р и г0 см.
Lacour, Sur le mouvement cTun solide pesant autour cTun point fixe,
«Nouv. Annates de mathematiques». Troisieme serie, 1889.
§ 136. Движение регулятора Уатта
Вертикальный вал ОС (фиг. 39), вращаясь, приводи* в движение
четыре стержня, попарно равные и соединенные в О, А и В
шарнирами. Муфта С скользит по вертикальному валу, регулируя посредством
системы рычагов впуск пара в
паровой цилиндр. Стержни ОА и ОВ
снабжены на концах массивными шарами
Р и R.
Рассматривая стержень ОА
отдельно, отнесем его к подвижной
координатной системе XYZ, плоскость XZ
которой при движении регулятора
постоянно совпадает с плоскостью ОАС.
Ось ОХ горизонтальна, OZ вертикальна.
Движение стержня О А состоит из
его вращения вокруг оси OZ с
угловой скоростью со, принимаемой нами
за постоянную, и из вращения вокруг
оси OYс угловой скоростью-зт-, где в
есть угол АОС.
Заметим, что двумя главными осями
инерции стержня в точке О служат его
геометрическая ось ОР и ось OY.
Пусть OQ будет третьей главной осью
в той же точке О. Обозначим
моменты инерции стержня относительно осей
ОР и OY буквами К и /. В таком случае момент инерции
относительно оси OQ будет тоже /,
Проекции угловой скорости на оси OY, OQ и ОР будут:
Z7 в"— "2F' ? в —■ со sin 0 ; г—©cos в.
Для определения угла в в функции от времени воспользуемся одним
из диференциальных уравнений Эйлера вращения твердого тела вокруг
неподвижной точки. Оно будет иметь вид (§ 133):
i %+(*-№
•м„
(26)
где Му — сумма моментов внешних сил относительно оси OY. Если А
Обозначает расстояние от неподвижной точки О до центра тяжести
стержня, М есть его масса, а ^ — ускорение силы тяжести, то
VW-MgftsinO.

284 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функи.
Ввиду этого уравнение (26) можно переписать в виде:
/,S?a + (A:—/)<e2sin6cos6= — Mghslnb. (27)
Если К = /, то получаем рассмотренное в § 1 диференциальное
уравнение колебаний маятника.
Будем интегрировать уравнение (27), предполагая, что угол U
изменяется в границах от а до р. Пусть а > р. Умножая обе части
уравнения (27) на
после выполнения квадратур мы получим:
7^y = (/-A:)(o2sin28 + 2/W^cos9-"C,
где С—постоянная интегрирования. Так как при 6 = а угловая скорость
~-0,то
С= (/ — /0 (о2 sin2 a -f 2 MgA cos а.
Вследствие этого:
/ ГЁ?Y = (/ — К) (о2 (sin2 8 — sin2 а) + 2 Mgh (cos в — cos а).
Но так как и при 8 = р угловая скорость -^ = 0, то
С=(/ — A0<o2sin2P + 2AfgAcosp.
Сравнивая оба значения С, находим:
2Mgh = (/— /0 ©г (cos а + cos (О-
Ввиду этого первый интеграл уравнения (27) можно представить в виде:
/ №у = (/ — /() ш* (cos 9 — cos a) (cos р — cos 8).
Второй интеграл удобно найти, полагая, что:
О а 8 '
Так как при этом
С08в-1НР3 5 coscc===bR2j ^Р-ТТ*
db 2 dx
Ш " 1 + *2#Л »
то будем иметь:
g*J „ Ц* W2 cos2 5- cos2 i (a* - x2) (x2 - b*).

Притяжение точки однородным эллипсоидом 285
Отсюда, полагая
V7-
-К
(О cos я-cos й-*3 л,
получим второй интеграл диференциального уравнения (27) в виде:
nt=fv~ dx
х2){х*~Ь*)
а
Рассматривая полученный интеграл, мы замечаем, что он представляет
седьмой указанный в § 124 случай. Полагая
*2 = &asin2cp + a2cos2cp, (28)
мы приходим к равенству:
^"-/Vi-wt • (29>
в котором
* а*
Но из (28) и (29) следует, что
х = a dn (nt,k),
т. е. что
tg^-tg % dn (nt,k), (30)
где . \ ■
sin -у1 sin —2^
ft = -J р •
sin 2 cos «r
Для каждого момента времени t мы можем согласно (30) вь1<ИЙЬить 0.
§ 137. Притяжение точки однородным эллипсоиде!
Заметим, что если однородный эллипсоид
а2 "Т* Ь2 "Т~ С2 *
притягивает по закону Ньютона внешнюю материальную точку P(X,j/,#),
то потенциал силы притяжения
V-ъаЬс? f(l * > 'М * (3D
где р — плотность эллипсоида, а X — переменная, зависящая от
положения точки Р. Если эта точка лежит на эллипсоиде, то X *» 0; если она

286 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
удаляется в бесконечность, то Х«= оо. (См. Апиель, «Руководство
теоретической механики», перевод Безрукова, т. III, стр. 113).
Пусть а<^Ь<С.с. Положим, что
4" (*2 + с* — 2а2) - ех; 4" ^2 + а* ~ 2Ь^ в е»
-J..(ai + *l-2c1) = eJ.
Очевидно
*i>*a>*i и ^ + ^ + ^-0,
Произведем замену переменного интеграции в интеграле (31)
посредством:
со
dt_
в - / *> =_- (32)
или
где
Х-*---!- (a2 + fc2+c2).
Дискриминант
Д=(е2 - е9)2 (е9 — ехУ (ег - е9)2 = (*2 - с3)3 (с3 - а2)3 (а3 — *2)2 > 0.
Заметив, что £=рд, имеем:
a2-fX = g> и — ег\ &2 + Ь=Р и —е«; са + х=* и — е8.
Следовательно:
У-^СХ^-^--^-^;)
du.
Указанные здесь квадратуры легко выполняются при помощи формул
(36), (37) и (38) § 84. Например:
/du _ Z {и + Mi) — Cq>i — е_ги
■ *i Л - ех) (ех — е2)
§ 138. Прямолинейное движение точки под влиянием
отталкивающего центра
Пусть точка массы т в начальный момент /==0 занимает на гладкой
прямой ОХ положение ЛТ0 (фиг. 40). На покоящуюся в этом
положении точку из центра С, удаленного от ОХ на расстоянии а,
действует постоянная по величине отталкивающая сила А

Прямолинейное движение точки
287
Требуется определить вызванное действием силы движение точки по
прямой.
Полагая, что Р = &2/п, будем иметь диференциальное уравнение дви-
ения;
&х ДО*
dt* ""■ г *
Откуда
d*x dx ja— №xdx
di* dt
у/Ж+lP
или
dt \ dx )
или еще:
'(*)■-
Отсюда после
ния:
№xdx
Vx*+a2'
интегрирова
Фиг. 40
(-S-)-2*».v^F?+c
Но так как в момент t = 0 скорость -^- = 0 и л1-)-а1 «я/?1, ^
то
Но
■л
Вследствие этого:
dx dr
dr * dt **
£]/"2<# =
г dx
х * dt
Yr*—a* dt
rdr
V{r*-a*)(r~R)
kt p rdr
+>t
где #<r<oo.
Приводя интеграл к нормальной форме Вейерштрасса, положим, что
В таком случае:
4 (г3 - as) (г-/?) = 4г» - &г - & = 4 (z - О (* - *,) (* - *|Л

288 Дальнейшие примеры приложений эллиптических функций
где
Поэтому
или еще:
op /J р
('+40*
2
J V4*«-ft*-ft
Полагая я=ри, будем иметь:
U)
где чх=С«1-
Таким образом
/2ftf»2(C« —ч^+^К —и);
3
равенство это выражает время £ в функции от аргумента и. Далее имеем!
«ли
*-l/7r«-*.)<f»--e,) -^-
Мы получили выражение абсциссы х в функции от того же аргумента и
$ 139. Движение точки по гладкой прямой вследствие действия
постоянной притягивающей силы
Предположим, что материальная точка массы т движется по гладкой
прямой ОХ вследствие действия постоянной силы, притягивающей точку
к центру С, удаленному от ОХ на расстояние а (фиг. 41). Пусть буквы
/С, П и Е обозначают кинетическую, потенциальную и полную энергию
точки. В таком случае:
Здесь
П- — fPdr = k2mr+A,
где Р=? — k2m есть величина притягивающей силы и А — постоянная
интегрирования.

Движение точки по гладкой прямой
289
Следовательно, имеем:
%(£f + k*mr+A=E.
Но
Поэтому
причем
х = yV — а'2,
dt ~~dr* dt ^/7* —a* dt'
В*
E~-A
Если в начальный момент точка т была удалена от центра С на
расстояние /?, то
£ = £*#.
Вследствие чего:
Откуда
г2(^У°=ЫЦг*-а*)№--г)
dt*
rdr
b^2-yJ(r* — aZ){R-r) И
Фиг. 41
М д /• rdr
\/Т *" У У"4(г9 — <fl)(R-r
Вместо г введем аргумент г, полагая, что
z
и что
2а (R — a) . _1_
-Щ^^) ^ 3 "
1
1 а
Будем в таком случае иметь:
"/Г
*»** 3
(33)
2«(* + -§-) №—)(«—Г ~fr)
dr-
7a(R-a)dr

290 Дальнейшие примеры (Приложений, эллиптических функций
Теперь введем новое переменное:
az
z
'a)
z
причем
Если, кроме того, положим, что
б
то из (33) получим:
-4-+*--'».
V 2 a J ffu-et ^ R J ffu-e,-
(34)
Если теперь в формуле
(см. § 84) заменим корни еи е2 и ед их значениями, то будем иметь:
<а е I I \ * I а 2а (R —а)
Поэтому
Далее (2) дает:
'■?■ К (м + ш> + <•>») —С 0»i+ <■>,)+ <¥»].
•^-5- « + С(« + с. + »1>-5К + «Д
Но согласно формуле
будем иметь:
«<>+•>-«—*-V*S5*?
1 Р'и
?(« + »! + »,) —С^ + в^ — СиЧ--J" р¥-Г7о'
если только вспомним, что
*'К + »|)в0 и р((о1 + ^)=^2-
Ввиду этого:
Л* 1 | * . 1 Р'и
_в_и + Си+_ _I1_. (35)

Движение тяжелой точки по параболе
291
Уравнение движения определится равенством:
а скорость:
При р« — 01е 0, т. е. при tt = <olf скорость обращается в нуль, и
точка меняет направление движения. Обозначим время, необходимое для
Т
перехода от начального положения до поворотного пункта, через —.
Т
В таком случае, полагая в (35), что и = ю, и t = -j-, полечим:
r_fl?S (* + „).
§ 140. Движение тяжелой точки по параболе с вертикальной
осью
Представим себе, что тяжелая материальная точка массы m движется
по параболе, уравнение которой
х* = 2ру (фиг. 42).
Время условимся отсчитывать от того момента £ = 0, когда точка была
в начале координат О.
В некотором положении М
кинетическая энергия точки равна:
1 т\Ж)
или
Фиг. 42
а потенциальная энергия равна:
здесь s~OM и А — постоянная.
Если полную энергию обозначим буквой Е% то уравнение движения
представится в виде:
ИЛИ

292 Дальнейшие -примеры приложений1 эллиптических функций
где В = . Допустим, что скорость точки была равна нулю в пей
ложении М0 на уровне А. В таком случае B*=gh; и мы будем иметь!
Н£ ft)'-*»-*
Отсюда
у>./ уЧу(А-.У)0»+ЭД
Введем новое переменное и, определяемое равенством:
оо
Г dz
J V4{z — e{) (г — е2) кг — еъ)
где
р —К* + Л/ ^ 2*-? . „ **+/»
В таком случае z=* Фи. И если положим, что
h
то будем иметь*
v+sy-^fe?..
И на основании (36) получим:
У Р J * — е2
ИЛИ | ';■'
,;У£.,4. fV^-du = » + -tw^- (37)
0 о
Но на основании формулы (37) § 84:
1 ~ Р (" + °>1 + °>Я) — *2
РИ—«1 L(«2 — ^l) («I - «?»)
Вследствие этого:
и «
^-^JT и+2К [С (« + "i-+"а)—'СК + шз)1-

Движение точки в сопротивляющейся среде
293
Но в силу формулы сложения функций £ и, принимая во внимание
первую из формул § 85, получим:
Теперь (37) можем переписать в виде:
У р*1- Гр "Н-Си |/ 0ГЦ— - ■
Исходя из соотношения
и dt V 2у dt
найдем, что скорость
Период колебаний
§ 141. Движение точки в среде, сопротивление которой
пропорционально кубу скорости
Вопрос о движении точки в среде, сопротивление которой
пропорционально кубу скорости, впервые был решен Гринхиллем (Greenhill) при
помощи эллиптических функций.
Мы предположим, что точка выходит из некоторого положения с весьма
большой начальной скоростью. Сила
сопротивления среды направлена по касательной к
траектории точки. В исходной точке, которую мы
примем за начало координат (фиг 43),
касательная к траектории образует с горизонтальной
плоскостью угол <р. Эту касательную примем
за Ось ОХ. За ось OY примем вертикальную
прямую, направленную сверху вниз. Таким
образом точка будет отнесена к косоугольной
системе, координатный угол которой равен
Сопротивление среды выразится через
\dtj*
где s — дуга, отсчитанная от начала координат, t—время ее прохожде-
ст
Фиг. 43

294 Дальнейшие примеры .приложений эллиптических функций
ния точкой, т — масса точки и с — постоянный коэфициент. Диферен-
циальные уравнения движения точки будут иметь вид:
S—«($)'•£. да»
где g—ускорение силы тяжести. Исключая члены, содержащие ско-
ds
рость-^у, получим:
Фу dx d?x rfy dx
dt*' dt W dt ~~8'dt '
В дальнейшем удобно будет ввести аргумент /?» -^ , выражающий
угловой коэфициент касательной к траектории точки. Представив р в виде:
нетрудно будет, образовав производную ~ , показать, что
^..if^o- (40)
dt dt ©• v ;
Теперь заметим, что квадрат скорости
(*У-(3)'+(*У-*-$-*
ввиду соотношения -zr ~ Р • ш"т: > можно переписать в виде:
" (*),-(^о+^-***
Вследствие этого уравнение (38) дает:
или, если принять во внимание (40):
Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 0 до t и принимая
во внимание, что при £ = 0 аргумент р = 0, имеем:
ЖжГЧхХТ-'-*—»+*
Но по условию начальная скорость весьма большая. Ввиду этого член
~(~ГУ должен быть весьма мал. Пренебрегая им и вводя обозначе-

§ 141] Движение точки в сопротивляющейся среде 295
ния £=sw, р8 — Зр2 sin <р + Зр =* Р, мы получим:
Но
Следовательно:
Отсюда
rfx _rfjc dx dx __g_
rf* a> dp dp* ( dx
(■«'
«,p-T_£.e3.
ар ш
p 2
gx_
d
£-/я а-4>. (41)
Исходя из равенств dy« р flfх и Л « —- —, нетрудно еще получить, что
Р 2
~3-/р т-'* <42)
*-/
3-dp. (43)
Совместно взятые равенства (41) и (42) выражают параметрические
уравнения траектории. Постараемся установить непосредственную связь между
координатами х и у движущейся точки. Полагая, что
1
-— = *,
4г* ~gb «* (4^27ga)Pa-12/7siny+12
найдем
л.г_„ _(4-27ЫР!
27р»
Число g9 выберем так, чтобы числитель полученной дроби был точным
квадратом, т. е. чтобы
36 sin2 ¥ = 12 (4 - 27ft),
откуда
4 —3sin2<p
ft- 27 •
В таком случае:
|ЛЙП1д-.«=^!и. (4.)
А после диференцирования:
6*»д* = 2 dp

296 Дальнейшие «примеры приложений эллиптических функций
Следовательно:
dz
и поэтому
-Р *-dp
ИЛИ
г°=«Ч-Ц; о, ft),
или короче:
Мы видим, что интеграл (41) приводится к нормальной форме Вейер-
штрасса.
Переходя к интегралу (42), прежде всего заметим, что
Следовательно, на основании (44):
'-ЙПФ-ЗПГ (4б)
Пусть при х~а
''(S)-W
В таком случае при ;es=a />=*=оо. Прямая х*=*а, параллельная оси ОУ,
служит асимптотою траектории.
Перепишем выражение (46) в виде:
'"П'-®-)-»-(©1
и заметим, что
Вследствие этого ^(42) принимает вид:
*-§-
о
Но в § 128 было найдено, что
X
(4Г)
J р'в-^'ц^
= -- уПпз(г> —«) + elna(a"» —и)4-аг1чо(а2г»—и)+Зи«;г»1 + С, (48)

Исчисление времени
297
где pl — 1+2 • Полагая в (47), что Ц- = v и |~ = и, и
пользуясь (48), мы получим:
Таково уравнение траектории.
§ 142. Исчисление времени. Разложение выражений для у и t
в ряды
Сопоставляя (41) и (45), находим Р 3 -dp^du.TsiK как Я 3«
= Ъгр и2=1Ри, то
Следовательно, на основании (43):
^=9 / &udu .
но в § 128 мы видели, что
1 =Дг8"а4-Р'^Г * l 1_ + _-*! 1
Ввиду этого:
Но так как 1 -|-a~(-a2=:0, то мы можем прибавить этот
трехчлен к выражению в прямых скобках. Пользуясь затем
формулами (22) § 128, мы получим:
Выше было замечено, что
/ sin <р
4—3 sing cp
*»*"" 27 *
Следовательно:
Учитывая последнее равенство, будем интегрировать (50). Так
как при £ = 0 и и = 0, то мы получим:
W 9V а {ар) а{а?р) VW1/

293 Дальнейшие примеры .приложений' эллиптических функций
(см. § 128). Теперь приведем формулы (49) и (51) к виду,
удобному для вычисления у и t С этой целью разложим ■ ряды
выражения, находящиеся в правых частях рассматриваемых
равенств. Здесь* удобно будет рассматривать функцию
Нетрудно видеть, что
|£ « — inф(и, v) — a Inф(и, а, г>)-~а*In ф(и, а2, а)
и
~ =» — In ф (а, г>) — а2 In ф (и, а, г>) — а In ф (и, а*, а).
Но, беря логарифмические производные, мы найдем:
или, разлагая С (г; — и) по формуле Тейлора:
Отсюда путем интегрирования
Inф(/г, v)=— ^~*>tf-f IT v'v — ■£ip,,*;-f...
Точно так же:
In ф(и, аг>)«- — "~ а^рг; + ~g>'г; — •—• а2р''г> +...,
ln$(ttfa4>) —— ^a2$v\+^ $'v — ^aQ''v-\~...
Вследствие этого
где g„ gz ъ и имеют вышеотмеченные значения и
jp^:=JL; p4> = I sin?; $>"г>=~; p"4>«-g-sin<p.
Равенства (52) содержат искомые разложения в ряды О сходимости
рядов (52) см. заметку de Sparre в «Bulletin de la societe mathematque
de France>.
(52)

ГЛАВА VIII
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
$ 143. Общее определение эллиптической функции
В предыдущих главах мы ознакомились с функциями sn и, сп и н dn и
Якоби н с функцией Р и Вейерштрасса и рассмотрели некоторые их
свойства, часто напоминающие свойства рассматриваемых в
тригонометрии круговых функций. Все четыре функции были нами названы
эллиптическими; но все они представляют только простейшие частные случаи
эллиптических функций в общем случае.
Мы сейчас имеем в виду изложить вкратце свойства, характеризующие
общую эллиптическую функцию, и дать для нее аналитическое выражение.
Эллиптической функцией, как мы уже говорили, называется такая
однозначная аналитическая функция, не имеющая других особенных точек
в конечной части плоскости, кроме полюсов, которая имеет два основных
периода.
Имея особенными точками полюсы, эллиптическая функция является
мероморфной.
Основные периоды эллиптической функции f(u) будем обозначать
через 2d) и 2а>'. Следовательно:
/<и + 2ш) = /(и; и /(и + 2<о') = да),
и вообще
/(и + 2т<!> + 2лсо') = f(u),
где т и п — произвольные целые числа.
Мы примем, что отношение ~ периодов есть число комплексное. Можно
доказать, что если бы это отношение было вещественным, то функция
f(u) была бы либо периодической, либо привелась бы к числу
постоянному.
Мы видели, что свойство двоякой периодичности функций sn и, сп и,
dn и и Фи можно истолковать весьма наглядно прн помощи сети парал-
лелограмов, покрывающих плоскость комплексного переменного. Таким
же способом можно истолковать свойство двоякой периодичности
эллиптической функции в общем случае. Сеть можно построить так» чтобы
нулевая точка оказалась вершиной. Один из параллелограмов с
вершиной в нулевой точке берут за основной.
Такой параллелограм представлен на фнг. 44 Изучив эллиптическую
функцию в области, ограниченной его контуром, мы тем самым изучим

300 Эллиптические функции в общем случае
ее во всей числовой плоскости. Это обстоятельство, как это нетрудно
понять, является прямым следствием двоякой периодичности
эллиптической функции.
§ 144. Теоремы о числе полюсов эллиптической функции
/. Эллиптическая функция^ не имеющая полюсов, есть
постоянное.
Действительно, эллиптическая функция /(и), не имеющая полюсов,
должна быть функцией целой. Обозначая через М максимум ее модуля
в основном параллелограме периодов, имеем для любой точки и
плоскости:
\f(u)\*zM,
так как значение f(u) в силу двоякой периодичности принимается
внутри или на границе основного параллелограма периодов. Вспоминая
теорему Лиувилля, заключаем, что целая
функция f(u\ ограниченная во всех точках
конечной плоскости, тождественно равна
постоянному числу.
Отсюда следует, что эллиптическая
функция имеет по меньшей мере один
полюс.
Можно доказать, с другой стороны, что
в параллелограме периодов число полюсов
эллиптической функции конечно.
2. Если на контуре параллелограма
периодов не лежат полюсы
эллиптической функции f (и), то интеграл от этой
функции, взятый по контуру
параллелограма, равен нулю.
Представим себе какой-нибудь параллелограм периодов, например тот,
который изображен на фиг. 44. Если бы на его контур попали полюсы,
то мы могли бы параллелограм сдвинуть по способу параллельного
перенесения так, чтобы полюсов на контуре не было. Это возможно потому,
что число полюсов конечно.
Интегрируя по контуру ОАВСО будем иметь;
2u> 2u> -f 2ш' 2ш'
Фиг. 44
/ (ОАВСО) = f -f(u)du+ J f{u)du + j f(u)du +
6 2u> 2m + 2(Or
0
+ ff{u)du.
2u>'
Положим в первом интеграле правой части этого равенства, и == v; во
втором и =»v-f-2<о; в третьем и*»v-j-2о/ и в четвертом «яф. Мы
сейчас же увидим, что первый интеграл даст нуль в сумме с третьим,
а второй с четвертым. Вследствие этого:
ЦОАВСО) = 0.

Теоремы о числе полюсов эллиптической функции 301
При доказательстве теоремы надо, конечно, помнить, что
/<* + 2«)=/(*)
/(* + 2вО-/<*>■
3. Порядок эллиптической функции не может быть меньше
двух. Порядком эллиптической функции называют число ее полюсов
в параллелограме периодов Каждый полюс при этом считается столько
раз, сколько единиц заключается в его кратности.
Действительно, если мы рассмотрим интеграл J f (u)du, где С есть
с
контур параллелограма периодов, то, согласно доказанной теореме, этот
интеграл равен нулю. Но, согласно теореме § 60, этот же интеграл
равен произведению 2тн на сумму вылетов функции f(u)f относящихся
к ее полюсам. Таким образом выходит, что сумма вычетов равна нулю.
Эта сумма не может, очевидно, равняться нулю в случае одного лишь
простого полюса.
Отсюда следует, что эллиптическая функция первого порядка
невозможна.
Простейшими эллиптическими функциями являются функции второго
порядка. К их числу относятся: sn и, спи и dnи, имеющие по два
простых полюса, i°u, имеющая один двукратный полюс.
Примером эллиптической функции третьего порядка может служить
функция $'щ имеющая в точке а = 0 один трехкратный полюс.
4. Внутри параллелограма периодов эллиптическая функция
имеет столько же нулейь сколько и полюсов (с учетом кратности
нулей и полюсов).
Бели эллиптическая функция f(u) имеет периоды 2<о и 2<о', то они
служат периодами также и для функций, f {и) и 44-у. Но, согласно
теореме, доказанной в § 61:
f£$du=2m(M-N),
где М —- число нулей, а N — число полюсов внутри параллелограма
периодов, причем каждый нуль и каждый полюс сосчитаны соответственно
их кратности; С—контур параллелограма периодов.
Вместе с тем вследствие двоякой периодичности функции -АЦ- мы
можем к ней применить теорему вторую. Мы получим, что
т. е. число нулей равно числу полюсов.
5. Укажем еще на одно следствие, вытекающее из доказанной теоремы.
Оно заключается в следующем:
Эллиптическая функция порядка п принимает в
параллелограме периодов всякое значение а п раз.

302 Эллиптические функции в общем случае
Пусть/(и) есть эллиптическая функция п-го порядка.
Рассмотрим функцию F(u)*=f(u)— а. «Периоды и полюсы функции
f(u) будут служить периодами и полюсами (той же кратности) для F{u),
т. е. F(u) есть эллиптическая функция п-го порядка. Следовательно, она
имеет в параллелограме периодов п полюсов и п нулей. Другими
словами, уравнение
/(«) — а = 0
имеет п корней, т. е. функция f{u) принимает значение а при п
значениях переменной и,
В частности эллиптическая функция второго порядка принимает в
параллелограме периодов два раза не только нулевое и бесконечное
значение, но и всякое другое.
§ 145. Теорема о разности между суммой нулей и суммой
полюсов эллиптической функции
Разность между суммой нулей и суммой полюсов, находящихся
внутри параллелограма периодов эллиптической функции f(ujt
равна периоду этой функции*.
На основании формулы (33), доказанной в § 62, мы можем написать,
что
С
где Д—разность между суммой нулей и суммой полюсов, находящихся
внутри параллелограма периодов функции/(й); С—контур этого
параллелограма.
Но, с другой стороны, полагая, что С есть контур ОАВСО (фиг. 44),
будем иметь:
2uT-f 2ш' 2ш'
Положим во втором интеграле правой части равенства u~v-\-2(a.
Мы получим:
2ш О
2ш' 2ш' 2ш'
Применим аналогичное преобразование к интегралу третьему, полагая

Соотношения между двумя функциями
308
в нем u = v-\~2(u'. Если затем в интегралах первом и четвертом заменим
и на V, то, произведя простые выкладки, получим:
ИО
2ш'
потому, что/(2(1)')-=/(0).
А так как In 1 == 2тм, то
2ш'
где /и— целое число.
Точно так же:
где /f — целое число.
Вследствие этого:
f и у^ du mm Azi (tit® — ла>').
с
Сравнивая это значение интеграла с тем, которое было получено в
самом начале этого параграфа, находим, что
Д *» 2/иа> — 2жо'.
Так как выражение, находящееся в правой части полученного равенства,
есть период, то теорема наша доказана.
§ 146. Соотношения между двумя эллиптическими функциями
1. Если две эллиптические функции fx и /а имеют одни и те
же периоды и в параллелограме периодов одни и те же полюсы
с одинаковыми к ним относящимися главными частями (§ 59), то
/1—/а «* const.
Написав для обеих функций разложения в ряд Лораиа, мы увидим, что
в разности Д— /а главные части, относящиеся к одинаковым полюсам,
сократятся, и мы получим эллиптическую функцию, не имеющую
полюсов. Такая функция, согласно теореме первой § 145, есть число
постоянное. Следовательно:
f\—Л яж const.
2. Если две эллиптические функции /, и/2 имеют одни и те же
периоды и в параллелограме периодов одни и те же полюсы
одинаковой кратности и одни и те же нули одинаковой кратности, то
—=*=* const.

304 Эллиптические функции в общем случае
Это потому, что отношение — есть эллиптическая функция, не имею-
h
щая ни нулей, ни полюсов, т. е есть число постоянное.
§ 147. Теорема сложения для функций sn а, сп и и dn и
В виде приложения теорем предыдущих параграфов выведем теоремы
сложения для якобиевых эллиптических функций.
Напомним, прежде всего, что каждая из функций sn, сп и dn имеет
по два полюса и, следовательно, по два нуля в основном параллелограме
периодов. Периоды, полюсы и нули этих функций сведены в следующей
табличке.
snu
сп а
dnu
Периоды
4/С; 21К
4K;2K±2iK'
2К\ МК 1
Полюсы
2mK + (2n+\)iK'
2mK+{2n + l)iK'
2mK+(2n+\)iK'
Нули
1
2mK + 2nlK
{2m + l)K + 2nifC
<2m + l)K + (2n + \)iK'\
Обозначая через а произьольное комплексное число (отличное от 2тК-\-
~f- (2л -+-1) i/C'), рассмотрим две функции от и\
/(и) = sn и • sif {и — а),
у {и) = сп и • сп (и — а) —- сп а.
Пользуясь известными свойствами sn и и сп и (см. § 30), легко
убедимся, что функции /(и) и <р (и) имеют периоды 2/f и 2iK-
Полюсами функций /(и) и <р(м) являются полюсы функций sn»,
sn (и — а), спи, сп(и— а). Следовательно, эти полюсы простые, и
все содержатся в формулах:
я«2жЯ + (2я-{-1) ifC,
и = а + 2«/Г+(2л,+ 1) ОС.
Очевидно* что полюсы функций f(u) и <р(и) совпадают.
Так как основной параллелограм периодов функций f(u) и <р(и)
с вершинами в точках: О, 2К, 2K-\-2iKff 2iK! содержит по о^
ной, и только по одной, точке, конгруэнтной с 2mK~{-(2n-\-l)iKl
и а-ь2т/С+(2я + 1) i К (см § 32; как обычно, к основному
параллелограму не причисляются его стороны, не проходящие через
начало координат), то в основном параллелограме каждая из функций / (а)
и <р (и) имеет по два, и только по два, простых полюса. Но тогда,
являясь функциями второго порядка» /(и) и у (и) должны иметь в
основном параллелограме периодов по два, и только по два, нуля. Этими
нулями как для функции / (и), так и для функции у (и) будут!
и s=0 и и = а.
Справедливость этого утверждения проверяется непосредственно
подстановкой значений й = 0ий = ов выражения функций f{u) и <р(и).

Теорема сложения для функций Якоби
Из изложенного следует, что эллиптические функции /(н) и <р(и)
имеют одни и те же периоды, полюсы и нули. Поэтому, по § 146:
/(«) = <ЗД,
где С—const.
Подставляя вместо /(и) и ср(и) их выражения, получаем:
sn и —sn (и—а) = С[сп и • сп (и — а) — сп а].
Полагая здесь и = К и замечая, что
сп а
sn/C=l, sn(/C—-a) = sn(a~f/0 = diTa' cn #=0,
находим:
Г- *
и, следовательно:
сп а а» сп и • сп (и — а) -)- sn sn (и — a) dn а. (1)
Изменяя в этой формуле обозначения, положим a == — v.
Тогда получим:
сп и • сп (а -|" *0 + sn и sn (Л + *0 dn V ^ cn ^ (2)
и, заменяя г/ через v и v через и:
сп г; • сп (и -f- г;) -(- sn г; • sn (и -f- г;) dn и = cn и. (3)
Полученные формулы можно рассматривать как два уравнения первой
степени относительно сп (и ~f- v) и sn (и -j- г>).
Решая их изестными приемами, получим:
jn(u + v)~ сп* и ~ сп* у
4 I 7 snvcnudnu — япы.гппНпо' * '
„.,/ i ~.\ sn© • сп » dna —snii-cnttdn w /СЧ
сп (и 4- г>) = -. -= . (о)
v ' ' sn v сп и dn и — sn u cn v dn v v '
Мы получили формулы сложения для функций сп и sn. Преобразуем
эти формулы к знакомому нам виду (формулы § 25 и 26).
Для этого помножим числитель и знаменатель выражения для sn (u-\-v)
на sn v cn u-dn tt-|~sn ы cn v dn v. Получим:
sn (u 4- тЛ = (cn2 ц " cn2 v) (sn t> cn д da д + sn ц cn vdn v)
^ ' ' sn2 v cn* и dn2 u — sn8 и cn2 v dna v
Но, как легко проверить, пользуясь соотношениями (9) §5:
sn2 v сп2 и dn2 и — sn2 и сп2 г; dn2 г; = (cn2 v — сп2 и) (1+ k2 sn2 и • sn2 v\
Следовательно:
с, / i ~.\ snvcntfdntt + snucnvdnv
Аналогично найдем:
/-«/,. j .л cn U'cnv — sntt'snv-dn udnv
СП (tf 4- f) ss ~ Г- = 5 .
v ' ' 1 — A3 snB u sn2 v

305 Эллиптические функции в общем случае
Чтобы получить формулу сложения для dn, положим в уравнении (1
а =*= a -|- v. Решая полученное уравнение относительно dn (и + v) и за меня!
cn(u-\~v) только что найденным выражением, получим:
1 — № sn2 и sn2 v
Выведенные формулы справедливы при любых комплексных и и v.
§ 148. Выражение функции $и при помощи ее периодов
В § 91 было показано, что точка и = 0 служит двукратным полю сот
функции Фи. Любой ее полюс может быть выражен формулой
и = 2т<й-\-2т'9
где т и п — произвольные целые числа.
Главная часть функции #>и, относящаяся к полюсу 2ma> -f- 2я©', буде*||
(и - 2/жо — 2лю')2 '
Заметив это, рассмотрим функцию:
Риа*'цГ + 2* [ (и — 2т» - 2я»')* ~" (2т<о + гжо'У11 J '
где сумма 2' распространяется на все значения целых чисел т и п di
-—оодо 4" °° за исключением т = л=:0.
Можно доказать, что двойной ряд
2-1 [ (и — 2т<о — 2л»';1 (2т»'+2л»')> J
сходится абсолютно и равномерно во всякой замкнутой области, не
заключающей точек 2mco -\- 2/ш' ни внутри, ни на границе. Так как
в такой области все функции (u_2J_2w,)!8 -p^ + w)* явл,,,,ш*
аналитическими, то по теореме, указанной в § 55, функция Ри анали*
тична всюду в конечной плоскости, кроме точек 2ma> -f- 2яа>'. В последний
точках она имеет двукратные полюсы. Итак, Ри является мероморфной
функцией с теми же полюсами, что и функция $и. При этом главные
части обеих функций в окрестности каждого полюса совпадают.
Сейчас покажем, что и периоды Ри и fU совпадают. Для этого
образуем разность:
"Т" 2* I (и + 2(о — 2т<о — 2пи>')* ~" (и — 2т<о — 2л<о';а J в
e^L{tt-2(m-l)(o-2rt(o7y,""(«-2ma>-~2rtM')2j-
Здесь сумма 2 распространяется на все значения целых чисел /л и п,
включая и значение /я=.л = 0.

Выражения функций tu и <зи при помощи периодов 307
Но эта сумма состоит из попарно равных по величине и обратных
по знаку слагаемых и поэтому обращается в нуль. Следовательно:
Р(и-4-2(о) = Ря.
Точно так же:
Из сказанного заключаем, что Ри есть эллиптическая функция. Периоды
ее, полюсы и соответствующие главные части те же, что и у функции
Фи. На основании теоремы, доказанной в § 146, можем утверждать, что
разность
#>и — Ри = А,
где А — постоянная.
Представив полученное равенство в виде:
^-(M-i-)-(ft-ir).
положим в нем, что и = 0. Нетрудно видеть, что обе заключенные
в скобки разности обращаются в нуль. Следовательно, А = 0, т. е.
&и**=Ри,
и тем самым:
ри«
-]• (6)
Формула (6) показывает, каким образом функция %>и может быть
построена при помощи своих периодов. Эта формула имеет важное
значение при изучении функций Вейерштрасса.
§ 149. Выражения функций Си и ои при помощи периодов
Полагая 2то> -{- 2лс/ = w, будем иметь:
p"-i+E'[c2T5?-ir]. (?)
где сумма 2' распространяется на все значения целых чисел т и //
от — оо до-f-oo, исключая т = л = 0.
Согласно данному в § 92 определению
Вследствие этого:
т. е.
или
:„,J...+£'(_L__„,.J_ + .»2V (8)

308 Эллиптические функции в общем случае
В том же § 92 функция аи была определена равенством:
аи = ие°
или
*(*)-/(*-*■)*■
Отсюда
1п|
'(т)-/£'(гЬ+4+*)*-
-2'[i.(.—)+i+^I-£'[i.(i—;-)+u.j**]
где П' обозначает произведение множителей:
и9
"Я*
0-v)
распространенное на все значения целых чисел т и п от — оо до -f- оо
за исключением т = п = 0.
Потенцируя, получим:
+ 5
Формулы (8) и (9) показывают, каким образом можно построить функции
£и и аи при помощи периодов 2ю и 2ю'.
§ 150. Новое определение функций fti, См и аи
При изучении функций Вейерштрасса мы за исходную точку приняли
эллиптический интеграл
оо
?__ rf*
в котором полагали, что коэфициенты (инварианты) gq и gs числа
вещественные. Совершив обращение этого интеграла, мы пришли к
представлению о функции fit. Затем определили функции £и и ои помощью
равенств*.
„_-Ly(M-i)
Л-т)
аи = #£о
tfw,
(Ю)

Ноеое определение функций
309
(см. § 92). Но теорию вейерштрассовых функций можно развить, исходя
из совершенно других соображений.
Взяв два произвольные комплексные числа, отношение которых есть
тоже число комплексное, можно их принять за периоды функций $и
и самую функцию определить при помощи равенства (6), принимая его
таким образом за исходную точку при построении теории функций
Вейерштрасса. И когда, функция %>и уже определена, то функции £и
и аи можно определить при помощи равенств (8) и (9), как было
показано в предыдущем параграфе.
Все те свойства функций $>и, £и н <зи, которые нами были рассмотрены
в главе IV, можно обнаружить, пользуясь, как основными, формулами
(6), (8) и (9). В виде примера мы-покажем, каким образом можно
доказать, что функция $и удовлетворяет диференциальному уравнению
{%>'и)2 =*4jp*u - g2$>u — gr
Вместе с тем мы выведем интересное и важное соотношение между
инвариантами g2 и gs и периодами 2ш и 2со'.
Примем за основание формулу
Ptt = -jr + 2j [(н —a>)2~~"Pj> (7)
гдехе/=я2/по).-)-2/10)'; т и п — произвольные целые числа. Прежде всего,
заметим, что
т. е. $>и—функция четная.
В этом можно убедиться, заменяя в (7) и на —и. А так как сумма
2' распространена на все значения целых чисел т и я от тоо до 4-°°
(кроме т~п~0), то можно также заменить w на —w.
Заметим еще, что
. 1 __ 1 2и Заа At*
Составив сумму 2' слагаемых этого вида, мы получим:
*»== 3]£ -ffT't с8« б£ ^ ; . . .
Члены, содержащие нечетные степени и, сократятся, ибо функция $>и
четная.
Теперь имеем:
где
Далее последовательно получим:
f'u--± + 2c1u + 4citf + .

310
Эллиптические функции в общем случае
«,8"=1Г.- + § + 3с« + '--
И
(8>'и)3-4*>3и = --^-28с8 + ...
Но так как
■25"=РИ — W2 - сгик — . . . .
то
(^'«)2 —4^8tt + 20f2^tt + 28f8==(^ + ^* + .. .)20с2 + ...
В левой части равенства имеем'эллиптическую функцию. Следовательно»
и правая есть эллиптическая функция. Но она, очевидно, не имеет
полюсов и вследствие этого есть постоянное число. Полагая и = О, мы найдем,
что это постоянное равно нулю. И мы видим, что функция &и
удовлетворяет диференциа..:.ному уравнению
(р'/*)2 = 4р8и~ g2j?u-~gSj
где
ft-aoc.-eoX'y; ^ = 28f3^i4o£'^-.
§ 151. Аналитическое выражение эллиптической функции
в общем случае
В нескольких предыдущих параграфах мы определили эллиптическую
функцию и рассмотрели некоторые ее свойства. Теперь поставим себ*
целью дать аналитическое выражение эллиптической функции в общем
случае. Такое выражение можно составить, пользуясь функциями Вейер-
штрасса.
Пусть требуется составить эллиптическую функцию, имеющую в парал-
лелограме периодов однократные полюсы а, 6,'...,/, и периоды 2а> и 2о)2*
Обозначим вычеты этой функции, относящиеся к этим полюсам,
буквами:
a,b,...;l
На основании теоремы (3) § 144 мы можем написать, что
A+B + ...+ I-0.
Рассмотрим функцию:
/(а)«А?(и-а) + ДС(и-Ь) + ... + «(и-0 + Г, (П)
в которой все функции £ могут быть определены при помощи формулы (8)у
Г — постоянная, Функция f(u), очевидно, имеет заданные полюсы(1
Кроме того, она имеет и заданные периоды. Действительно, помня^
ЧГ° ;(^ + 2о))==^ + 2т],
мы будем иметь:
f [и + 2») -/(«) + 2ч (А + В + ■ • • + L),

Аналитическое выражение эллиптической функции 311
Т е
f(u + 2<») = f(u).
Точно так же:
/(и+ 2о)') ==/(«).
Мы видим, что функция f(u) есть эллиптическая, имеющая заданные
периоды и полюсы. Заметим, что всякая другая эллиптическая функция,
имеющая те же периоды и те же полюсы с одинаковыми
относящимися к ним главными частями, будет отличаться от /(#) только
постоянным слагаемым, в чем можно убедиться, вспомнив теорему,
доказанную в § 146.
Отсюда следует, что формула (11) дает общее решение вопроса.
Если в более сложном случае полюсы
а, Ь,..., /
имеют кратности
то составим функцию:
/(и) = А£(и — я) + Ах $(и —• а) — А2$г (и — a) -f~
-)-ВЦи — Ь)^-В^(и — Ь) — Вг9' (« — *) +
+ ---+(-1>№_а)ГТ^2)р(?~а,("-*) +
+'... ~\-Щц -fl-f £lP(« —0—£,в" (и -/) +
+ ••.+(-1)^8>гСТГ2}^-2)(«-0 + Г, (12)
где сумма вычетов
А + В+---.+ £ = 0.
Нетрудно убедиться, рассуждая попрежнему, что функция /(и) имеет
периоды 2<о и 2о>' и что всякая другая функция с теми же полюсами
и периодами может отличаться от f(u) только постоянным слагаемым.
Таким образом (11) представляет общее решение вопроса.
Заметим, что (11) и (12) представляют аналогию известного из алгебры
разложения рациональной функции на элементарные дроби.
Имея в виду дать пример пользования общей формулой (12), покажем
каким образом из Hfee можно получить известную уже нам формулу
сложения функций $>, Рассмотрим функцию:
fW 4 V Qu-fv) '

312 Эллиптические функции в общем случае
Заметив, что
мы получим
»<">-*■+■.■ j
Отсюда заключаем, что функция <р(и) имеет двукратный полюс и »(1
Соответствующая ему главная часть есть — j . Заметим еще, что
g?tt= g> ( — if + й-f- v) =$v — (и + v)p^ + -"»
т. e.
g?tt— g>г/ = —(и-f-f) &'v-\-...
Точно так же;
g?^ = -~g?,x/ + (tt + 't;) ^/,г; + " •»
т. е.
р 'tt _ р 'х, -а- _ 2 g> 'г; -)- (и + v) g> "г/ — ,..
Следовательно:
Мы видим, что <р (и) имеет еще один двукратный полюс и = — г/. Со»
ответствующая ему главная часть равна -. ^ . Применяя к функ*
ции <р (и) общую формулу (12), полагаем а = 0; b » — г/; Лх ===== 1; Вх = 1;
а все прочие коэфициенты равны нулю. Мы будем иметь:
т(ё^ЕУ-*<И->+м+г.
Чтобы определить постоянную Г, представим левую часть равенства
в виде:
^(-2-»Vz/~...)4i-»2^+...r2»
где a = 0, когда // = 0. Теперь можем написать, что
p(«+/0)+p«-f Г==-£а -f-2g>x/-fa-
Но g?tt = — -4-jJf где р==0, когда и=0. Сокращая равные члены
и полагая затем и = 0, находим Г ==== g? г;. Следовательно:
1 /g>'« — #>ЧЛ2 ./|ч| |

Второй способ аналитического выражения
313
§ 162. Второй способ аналитического выражения
эллиптической функции
Кроме разложения на элементарные дроби рациональная дробная
функция может быть, как известно, представлена еще в другом виде. Этот
второй вид получится, если числителя и знаменателя дроби разложим
на линейные множители.
Приведем здесь еще одно выражение эллиптической функции,
аналогичное этому второму способу представления рациональной дробной
функции.
Рассмотрим эллиптическую функцию с основными периодами 2со и 2<о',
полюсы которой в параллелограме периодов пусть будут
a, bt ..., U
а нули
т, tt, ..., s,
причем число к полюсов равно числу нулей.
Согласно теореме § 145, разность между суммой нулей и суммой по-
люсов есть период эллиптической функции, т. е.
■т + л+•••+« = * +* + --- + ' + 2Bi
где 2Q есть период, представляющий линейную комбинацию основных
периодов.
Нетрудно видеть, что искомым аналитическим выражением
эллиптической функции может служить формула:
/w 1 с(и-а)*(и-*)...с'(^1Г7) ' \l6>
в которой Г — постоянный множитель. Что функция f(u) имеет периоды
2© и 2ш', это можно проверить, пользуясь доказанной в § 96
формулой:
а (и -f 2(о) = — е2* <* + "hu.
Действительно, Именяя в (13) и на u-f-2o), мы получим:
т) {ku + kw — т —■ п — .,
^ (*« + *<*> — в— ft —
в2т) {ku + Аа> — tit -~ п — ...■>- s + 2Э)
Точно так же:
/(и + 2ш')-/(и).
Пряной подстановкой нетрудно проверить также, что нулями и
полюсами функции f(u) служат заданные числа.
Всякая другая эллиптическая функция, имеющая те же периоды, нули
и полюсы, на основании теоремы § 146 может отличаться от функции
f(u) только постоянным множителем. Следовательно, данное решение
есть общее.

314
Сводка наиболее важных формул
Сводка наиболее важных формул
Эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода:
О т
<*
о
П(ш)=/ лл
О (1 + "slnaT)\/l-*2sln2J1
И 1С
У уТ=*»8Ш»<р &/ |/l-ft'*8lu»?
к
"2
£«/У П^А5" sin2? • d<p.
cos в2... cos 0„.
/ -7====-.« — cos8„l/
J v/l~-*2sin2<p 2» "J/
о
T
/tfo « /" COS 6i
. — «~COs6,,l/ —'
V1 - Л» sin2 «p 2 n у cos в
0
COS Oj COS fla • • • cos °/t — 1
Здесь:
sme—Ajsmei—tg1^; ... sin8n==:tg2-Ap-;
Интерполяционные формулы:
Эллиптические функции Якоби;
sin <р =* sn и; cos tp' — cn u't j/l — ft2 sin* cp » dn «,

Сводка наиболее важных формул
315
Если k » 0, то sn и = sin и\ en и = cos и; dn и «■ 1.
Если А= 1, то sntt= thtt; cntt = dntt= -gj^;
, , ч sn и en v dn р + sn v en ц dn и.
Sn (И ± V) « ГГ-Л28П2и8па^ '
, ч сп и en v + sn ц sn v dn u dn v
СП (и ± tf) = i_*3siia«sn*V ;
j / i \ dnudnt/T^snusnwcnucno,
dn (tt + V) = i-»sn»tteu«n '
, , L4 . sn(«, Л') .
сп(ш, Л)—
1
СП (и, ft')'
j / • £.\ dn{«, Л')
dnKA)^-n^rF).
sn (—и) =* — sn (и); en (— u)«»en и; dn (— и) = dn u;
sn (2ЛГ+ и)« — sn u; en (2AT-f и) — — en щ dn (2/C-f- u) = dn и;
sn (2/C—») === sn и; сп(2/С-~и) = — спи; dn(2/<:—и) = dn и;
/спи
-! стк L-h-u) &=—t : aniAi-httj=»-
fcsn*
sn (2/C7 + ») =* sn щ сп (2/П + и) = — сп и; dn (2/C*-{- и)= — dn и.
Основными периодами для функции
sntt служат 4/С и 2А'\
спи * 4Л: и 2AT+2A'i,
dntt » 2К и 4АГЧ
Некоторые частные значения эллиптических функций
и
SilU
спи
d.iи
0
0
1
1
к
1
0
*
2К
0
— 1
1
кч
оо
оо
оо
2КЧ
0
— 1
- 1
К+К7
1
ikf
— k
0

316
Сводка наиболее важных формул
Нулями для функции
sn и служат и = 2mKJr 2nK'i,
спи > и-{2т—\)К-\-2пКЧ,
dntt > и-(2т—\)К+(2п — \)K'i.
Полюсы для всех трех функций выражаются формулой:
и = 2тК+(2п — \)K'L
Здесь т и п — произвольные целые числа.
dsnu , den и . ddtiu «2
—--—«cnttdntt; —j—re- snttdntt: —-J— « — A2 sn и en и.
Функция fu Beueptumpacca
Нормальный эллиптический интеграл Бейерштрасса
со
Дискриминант
Корни многочлена 4z3—g22:—g3 обозначаются через ^, е2У еп.
Если Д>0, то корни вещественные и ех^>е2^>еь.
Если Д<0, то e1~m-{-ni; £2 = -—2*я; ez~m — /г/, причем /г>0.
Если Д>0, то
причем sn (и y^ZT^B) вычисляют при модуле
k
Если Д<0, то
где
Функцию
вычисляют при модуле
1 1-с-.(2и\/Ю
en (2«l/77)

Сводка наиболее важных формул
817
Свойства функции ®и\
w (и; ft» ft) = р (^=; ft и1, а ^У
р («'; л» ft) =—р («»ft» —ft);
Основными полупериодами для функции ри служат:
при А>0:
* _ КЧ
при Д<0:
, (О — ■
*t — р (Oj; ег = p (ю, -j- ш,); е,»рщ (ПР" Д > 0);
<?, — р и'; е„ = р шг = р <ог'; <?, = р<о'" (при Д<0);
<о8 = <о'+ «>'"; Ш2=-ш'+(о'".
rta + .J-e. + iu^i&ziL.
Аналогичные формулы имеют место и для полупериодов ю2, сог, со', <о"
Производные
f'u*~±Vr4{tpu — el)(i>u~e9){vu—~ej при Д>0;
р'й = +/4(ри-^)[(ри — /n)* + »aJ; при Д<0:
ff g - J- ь ft"2 . ft"4 | ft^ ■ Щ& ,
* «а "Г 4#5 "Г 4. 7 t- 24.3.C« ^2i .5-7.JI + ' *"
Функции Си и au BeUepiumpacca:
Ce = -j—/ (pu — ^du; au^uei

318
Сводка наиболее важных формул
и 4-5 3 4-7 5 2*. 3 • 52 " 7
ОИ = и
g2ub
g*tf
* Zg2gs tfl_
2*.5*7-if 9
24-3-5 23.3-5.7 2i.32.5-7 *"•••
C(—«) = — U; а(-й) = ^«;
>--p«—* g(»-;:),y p)-;
C(«4-2<o1) = u + 2t)1; C(B + 2e,)*»U + 2i|t;
4, = Ca>,; J]„ —5ш3;
■■>.«—«*--Зтг; *-i. 2.3.
Функции 6 (и) и Я (и) Якоби:
е(и)= 1 -29cos ^- +2^cos^ 299cos-^-+
Я(
Зяы I -/"^-^ 5яи
/^sin-|^- + |/?«sin-
Я, (и)«2 (/? cos -gr-l/? йп-^ + У?
2АГ
■);
2АГ
4"^81п4г^ + 1/5Ясо8^Й-+...);
2К
2яи
2АГ
вг(и) = 1+2? cos^- + 2q* cos -^- + 2^cos -2™.+ ...
Яуля и периоды функций Якоби:
в («)
Я (и)
*i(«>
в, (и)
ЯуЛИ
2|я/С + (2п+1)#С7
2mK+2nK't
(2m + l)PC+2nK'i
(2m+l)K+(2n + l)K'
Периоды
2К
4К
4К 1
2/С

Сводка наиболее важных формул
819
sn
]/Т в(н) у к в(ц) в
и ИНК). ,, в»(0)
«•да* *~ ef (0) •
с^; —н и в(0) -г в(ц; •
П= Г *Ц
II J 1 + л sn*u
о
,„-| »!Lg_ f.g-W ц+_]_1п в(Ц-а) ]>(П;
1 cnadna Le(o) ' 2 6(u + a)J
(Ц)
(")
•4i"*
яп «2m- Я (ц Ух)
Vi я'(0)
Си=
«>! ' г Я(и ]/*)
lT^ [я,(0).Я(и|/Х)]
ри«г,+
Гв(ита)ячо) ]a?,
[ в(0)//(«^) J' '
Л — £j — £3
1 / ™ \
-**sn»a).
(otX //w (0) _ 1
а н = + а2 и у g> и — г, • е 2.

ПРИЛОЖЕНИЯ

322 Таблица 1. Эллиптические интегралы первого рода
1 *
0°
1
3
4
5
6
7
8
10
12
13
14
15
1 16
1 18
19
20
21
1 22
I 23
24 1
25
1 26 1
27
28
29
1 30
31 1
32
33
34
35
36 1
37
38
39
40
41
42
43
44
45
1 ?Ю
I 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,10472
0,12217
0,13963
0,15708
0,17453
1 0,19199
0,20944
0,22689
0,24435
0,26180
1 0,27925
0,29671
0,31416
0,33161
0,34907
0,36652
0,38397
0,40143
0,41888
0,43633
0,45379
0,47124 i
0,48869 .
0,60614
0,52360 |
0,54105 1
0,55851
0,57596
0,59341
0,61087 j
0,62832
0,64577
0,66323
о,в80ба
0,69813
0,71558 I
0,73304
0,75049
0,76794
0,78540
F(V)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
\ 0,10472
0,12217
0,13963
0,16708
0,17453
1 0,19199
0,20944
0,22689
0,24435
| 0,26180
0,27925
0,29671
0,31416
0,33161
0,34907
0,36652
0,38398
0,40143
0,41888
0,43634
0,45379 1
0,47124 1
0,48870
0,50615
0,52361
0,54106 1
0,55851
0,57597
0,59342
0,61088 j
0,62833 1
0,64578
0,66324
0,68069
0,69815
0,71560 ]
0,73306
0,75051
0,76797
0,78542
F(2°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,С6981
0,08727
0,10472
0,12217
0,13963
0,15708
0,17453
| 0,19199
1 0,20944
0,22690
1 0,24435
0,26180
0,27926
0,29671
0,31417
0,33162
0,34907
0,36653
0,38398
0,40144
0,41889 1
0,43635 |
0,45380
0,47126
0,48871
0,50617
0,52363
0,54108 I
0,55854
0,57599
0,59345
0,61091 j
0,62837 1
0,64582
0,fc6328
0,68074
0,6981В j
0,71565
0,73311
0,75057
0,76803
0,78549
F(3*)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,03727
0,10472
0,12217
| 0,13963
1 0,15708
0,17454
, 0,19199
0,20944
0,22690
0,24435
0,26181
0,27926
0,29672
0,31417
0,33163
0,34908
0,36654
0,38400
0,40145 |
0,41891 I
0,43637
0,45383 1
0,47128
0,48874
0,50620
0,52366
0,51112 !
0,55858
0,57604
0,59350
0,61096 |
0,62842
0,64588
0,66335
0,68081
0,69827 |
0,71574 1
0,73320
0,75066
0,76813
0,78559
FW)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,10472
0,12217
0,13963
0,15708
0,17454
! 0,19199
0,20945
0,22690
0,24436
0,26181
0,27927
0,29673
0,31418
0,33164
0,34910
0,36656
0,38402
0,40148
0,41894
0,43640
0,45386
0,47132
0,48878 |
0,50625 1
0,52371
0,54117
0,55864
0,57610
0,59357
0,61104
0,62850 1
0,64597
0,66344
0,68091
0,69838
0,71585 1
0,73333
0,75080
0,76827
0,78575
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,10472
0,12218 1
0,13963 1
0,15708 I
0,17434 1
\ 0,19200 1
0,20945 [
0,22691 I
0,24436 1
0,26182 1
0,27928 1
0,29674 1
0,31420 1
0,93166 1
0,34912 1
0,36658 1
0,38404 I
0,40151 1
0,41897 1
0,43643 1
0,45390 1
0,47137 1
0,48883 1
0,60630 1
0,52377 1
0,54124 1
0,55871 1
0,57619 |
0,59366 |
0,61113 1
0,62861 1
0,64609 1
0,66356 I
0,68104
0,69852
0,71600
0,73349 1
0,75097 1
0,76846 1
0,78594 1

323
¥
45°
46
47 J
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64 ■,
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
! 89
90
/="(0°)
0,78540
0,80285
0,82030
0,83776
0,85521
0,87266
0,89012
0,90757
0,92502
0,94248
0,95993
I 0,97738
0,99484
1,01229
1 1,02974
1,04719
1,06465
1,08210
1,09955
1,11701
1,13446
1,15192
1,16937
1,18682
1,20428
1,22173
1,23918
1,25664
1,27409
1,29154
1,30900
1,32645
1.34W0
1,37881
1,39626
1 1,41372
1,43117
1,44862
1,46608
| 1,48353
1 1,50093
! 1,51844
1,53589
1,55331
1,57080
Р(П
0,78542
0,80287
0,82033
0,83778
0,85524
0,87269
0,89015
0,90760
0,92505
0,94251
0,95996
0,97742
0,99488
1,01233
1,02979
1,04724
1,06470
1,08215
1,09961
1,11707
1,13452
1,15198
1,16943
1,18689
1 1,20434
1,22180
! 1,23925
1,25671
1,27417
1,29162
1,30908
1,32653
1,34399
i 1,3)145
1,37890
1,3ь636
1,41381
1,43127
1,44872
1,46618
1,48364
1,50109
1,51855
1,53600
1,55346
1,57091
F{2°)
0,78549
0,80294
0,82040
0,83786
0,85532
0,87278
0,89024
0,90770
0,92516
0,94262
0,96008
0,97754
0,99500
1,01246
1,02992
1,04738
1,06485
1,08231
1,09977
1,11723
1,13469
1 1,15216
1,16962
1,18708
1,20454
| 1,222С0
1 1,23947
1,25794
1,27439
1,29186
| 1,30932
1,32678
1,34425
1,36171
1,37917
1,39564
I 1,41410
1,43156
1,44903
1,46649
1,48396
1,50142
1,51888
1,53635
1,55381
1,57127 ]
^(3°)
0,78560
0,80306
0,82053
0,83799
0,85546 '
0,87293
0,89039
0,90786
0,92533
0,94280
0,96027
0,97774
0,99521
1,01268
1,03015
1,04762
1,06509
1,08256
, 1,10003
1,11751
1,13498
| 1,15245
I 1,16993
1,18740
1 1,20487
1,22235
1,23982
1,25730
1,27477
1,29225
1 1,30972
1,32720
1,34467
1,36215
1,37963
1,39710
1,41458
1,43206
1,44953
1 1,46701
1,48449
1,50196
1,51944
1,53692
1,55439
1,57187
^(4°)
0,78575 1
0,80322
0,82070
0,83817
0,85565
0,87313
0,89061
j), 90809
0,92557
0,94305
0,96053
0,97601
0,99549
1,01293
1,03046
1,01795
1.С6543
1,08292
, 1,10040
1,11789
| 1,13533
1,15287
1,17036
1,18785
1,20534
1,22283
1,24032
1,25781
1,27530
1,29280
1,31029
1,32776
1,34528
1,36277
, 1,38026
1,39776
1 1,41505
1,43275
1,45024
1,46774
1,48523
1,53273
1,52022
1,53772
1,55522
1,57271
J» (5е)
0,78'>94 1
0,80343
0,82092
0,83841 1
0,85590 1
0,87339
0,89083 1
0,90838 1
0,92587
0,94336
0,96086
0,97836 1
0,99586
1,01336
1,03086
1,04837
1,06587 1
1,08338
1,10088
1,11839
1,13590
1 1,15240 1
1,17091
1,18842
1,20593
1,22345
1,24096 1
1,25847
1,28599
1,29350
1,31102
1,32853 1
1,34605
1,36356
1,38103
1,32860
1,41612 1
1,43364
1,45115
1,46867
1,48619
1,50371 1
1,52123
1,53875
1,55627
1,57379

324
¥
0е
1
2
3
4 i
б
6
7
8
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1 26 1
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
3d
40
41
42
43
44
1 45
F(6°)
0,00000
0,01745
> 0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,10472
0,12218
0,13963
0,15709
0,17454
0,19200
0,20946
0,22691
0,24437
0,26183
0,27929
0,29675
0,31421
0,33168
0,34914
0,36661
0,38407
0,40154
0,41901
0,43618
0,45395
0,47142
0,48890
0,50637
0,52385
0,54132
0,55880
0,57628
0,59377
0,61125
0,62874
0,64622
0,66371
0,68120
0,69869
0,71619
0,73368
0,75118
0,76868
0,78618
1 FW)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,и6981
0,08727
0,10472
0,12218
0,13963
0,15709
0,17454 J
0,19200
0,20946 1
0,22692
0,24438
0,26184
0,27931
0,29577
0,31423
0,33170
0,34917
0,36664
0,38411
0,40158
0,41905
0,43653
0,45401 1
0,47149
0,48897
0,50645 1
0,52394
0,54142 !
0,55891
0,57640
0,59390
0,61139
0,62889
0,64639
0,66389
0,68139
0,69Ь9Э
0,71641
0,73392
0,75143
0,76894
0,78646
F(V)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05235
0,06981
0,08727
0,10472
0,12218
0,13964
0,15709
0,17455
0,19201
0,20947
0,22693
0,24439
0,26186
0,27932
0,29679
0,31426
0,33173
0,34920
0,36667
0,38415
0,40163
0,41911
0,43659
0,45408
0,47156
0,48905
0,50654
0,52404
0,54154
0,55903
0,57654
0,59404
0,61155
0,62906
0,64657
0,66409
0,68161
0,69913
0,71666
0,73418
0,75172
0,76925
0,78679
гт
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,10472
0,12218
0,13964
0,15710
0,17455
0,19201
0,20948
0,22694
0,24440
0,26187
0,27934
0,29681
0,31428
0,33176
0,34924
0,36671
0,38420
1 0,40168
0,41917
0,43666
0,45415
0,47165
0,48915
0,50665
0,52415
0,54166
0,55917
0,57669
0,59421
0,61173
0,62926
0,64679
0,66432
0,68186
0,69949
0,71694
0,73449
0,75204
0,76960
0,78715
F{W)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,10473
0,12218
0,13964
0,15710
0,17456
0,19202
0,20949
0,22695
0,24442
0,26189
0,27936
0,29684
0,31431
0,ЗШ9
0,34927
0,36676
0,38425
0,40174
0,41924
0,43674
0,45424
0,47174
0,48925
0,50677
0,52428
0,54181
0,55933
0,57686
0,59439
0,61193
0,62948
0,64702
0,66457
0,68213 .
0,68969
0,71726
0,73483
0,75241
0,76998
0,78756
F(\V)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08727
0,10473 1
0,12218
0,13964 I
0,15710
0,17457
0,19202 1
0,20949
0,22696
0,24443
0,26191 1
0,27938
0,29686
0,31434
0,33183
0,34932
0,36681 1
0,38431
0,40181
0,41931
0,43682
0,45453
0,47185
0,48937
0,50690
0,52443
0,54196
0,55950
0,57705
0,59460
0,01216
0,62972
0,64728
0,66486
0,68243
0,70002
0,71761
0,73520
0,75280
0,77041
0,78802

9 1
4У 1
46
47
48
49
50 |
51 1
52
53
54
1 бб
56
57 1
58
59
60 j
61
62
63
64
65
66
67
68
1 69
] 70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
1 81
82
83
84
85
86
87
88
89
£0
F(V)
0,78618
0,80368
0,82119
0,83869
0,85620
0,87371
0,89122 1
0,90873
0,92624
0,94376
0,96127 J
F(T) 1
0,78646
0,80398
0,82160
0,83903
0,85655
0,87408
0,89161 1
0,90915
0,92668
0,94422
0,96176
0,97879 1 0.97930 '
0.99631 0,99684
1,01383 1,01439
1,03136 1,03194
1,04888 j 1,04949
1,06641
1,08394
1,10146
1,11899
1,13653
1.15406
1,17159
1,18913
1,20666
1,22420
1,24174
1,25928
1,27682
1,29436
1,31190
1 1,32945
1,34699
1,36454
1,38208
1.39963
1 1,41718
1,43472
1,45227
1,46982
1,48737
1,50492
1,52347
I 1,54001
1,55756
1,57511
1,06704
1,08460
1,10215
1,11971
1,13727
1,15483
1,17240
1,18996
1,20753
1,22510 |
| 1,24267
1,26024
1,27781
1,29538
1,31296
1 1,33053
1,34811
1,36569
1,38327
j 1,40G85
I 1,41843
1,43601
1,45359
1,47117
1,48876
1,50634
1,52393
1,54151
1,55909
1,57668
F(*')
0,78679
0,80433
0,82187
0,83942
0,85696
0,87452
0,89207 1
0,90963
0,92719
0,94475
0,96232 j
0,97989
0,99746 !
1,01504
1,03261
1,05019
1,06778
1.08536
1,10295
1,12054
1,13813
1,15573
1,17332
1,19092
1,20852
1,22613
1 1,24373
1,26134
1,27895
1,29656
j 1,31417
1 1,33179
1,34940
1,36702
1,38464
| 1,40226
1 1,41988
1,43759
1,45512
1,47274
j 1,49036
1,50799
1,52561
1,54324
1,56086
1,57849
F {Г)
0,78715
0,80472
0,82228
0,83985
0,85743
0,87501 1
0,89259 |
0,91017
0,92776
0,94536
0,96295
0,98055
0,99816
1,01676
1,03337
1,05099
l,068ffl
1,08623 '
1,10385
1,12148
1,13911
1,15674
1,17438
1,19201
1,20966
1,22730 j
i
1 1,24495
1,26259
1,28025
1,29790
j 1,31555
1 1,33321
1,35087
1,36853
1,38619
1 1,40385
I 1,42152
1,43919
1,45686
1,47452
1,49219
1,50986
1,52753
1,54520
1,56287
1,58054
F (10°)
0,78756
0,80515
0,82275
0,84035
0,85795
0,87556
0,89317 1
0,91078
0,92841
0,94603
0,96366 J
0,98130
0,99894
1,01658
1,03423
1,05188
1,06954
1,08720
1,10486
1,12253
1,14020
1,15787
1,17555
1,19324
1,21092
( 1,22861 I
1 1,24630
1,26400
1,28169
1,29939
j 1,31710
1 1,33480
1,35251
1,37022
1,38793
j 1,40565
I 1,45336
1,44108
1,45879
1 1,47651
| 1,49423
1,51195
J,52968
1,54740
1,56512
1,58284
F(U°)
0,78802 1
0.80564
0,82326
0,84089
0,85852
0,87616
0,89381 1
0,91146
0,92911
0,94678
0.95444
0,98212 1
0,99980
1,01749
1,03517
1,05286
1,07056 1
1,08827 1
1,10598
1,12369
1,14*41 1
1,15913 1
1,17686
1,19459
1,21232
,1,23006
1 1,24780 1
1,26555
1,28330
1,30105
1,31881
1 1,33657
1,35433
1,37209
1,38986
j 1,40763
I 1,42540
1,44317 1
1,46095
1,47872
1,49650
1,51428
1 1,53206
1 1,54983
1,56761
1,58539

326
9
0°
1
з
1 4
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
16
I7
13
19
20
121
22
23 i
24
25
26 1
27
28
29
30
31
32
L зз'
Г34
35
36
37
38
39 1
40
41
42
43
44
45
1 F(\*°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08727
0,10473
0,12219
0,13965
0,15711
J 0,17457
I 0,19204
0,20951
0,22698
0,24445
0,26193
0,27941
1 0,29689
0,31438
! 0,33187
0,34937
0,36687
0,38437
0,40188
0,41939
0,43691 |
0,45443 1
0,47196
0,48950 !
0,50704
0,52458
0,54213
0,55969
0,57725' j
0,59482
0,61240 j
0,62998
0,64757
0,66516
0,68277
0,70037
0,71799
0,73561
0,75324
0,77087
0,78?51
F(\3°)
0.00000
0,01745
1 0,03491
0,05236
0,06982
0,08727
0,10473
0,12219
0,13965
0,15711
0,17458
0,19205
0,20952
0,22699
0,24447
0,26195
0,27943
0,29692
0,31442
0,33191
0,34942
0,36692
0,38444
0,40196
0,41948
0,43701 j
0,45455 1
0,47209
0,48964
0,50719 1
0,52475
0,54232
0,55959
0,57748 J
0,59507
0,61266
0,63027
0,64788
0,66550
0,68313
0,70076
0,71840
0,73605
0,75371
0,77138
0,78905
F№)
0,00000
0,01745
1 0,03491
I 0,05236
0,06982
0,08727
0,10473
0,12219
0,13965
0,15712
0,17458
0,19205
0,20953
0,22701
0,24449
0,26197
0,27946
0,29696
0,31446
0,33196
0,34947
0,36699
0,38451
0,40204
0,41957
0,43712
0,45466
0,47222
0,48978 1
0,50735
0,52493
0,54252
0,56011
0,57772
0,59533
0,61295
0,63058
0,64821
0,66586
0,68381
0,70118
0,71885
0,73653
0,75422
0,77192
0,78963
F(\5°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06962
0,08727
0,10473
0,12219
0,13966
0,15712
0,17459
0,19206
0,20954
0,22702
0,24451
0,26200
0,27949
0,29699
0,31450
0,33201
0,34953
0,36706
0,38459
0,40213
0,41968
0,43723
0,45479
0,47236
0,48994
0,50753
0,52513
0,54273
0,56035
0,57797
0,59561
0,61325
0,63090
0,64857
0,66624
0,68393
0,70162
0,71938
0,73704
0,75477
0,77251
0,790?5
1 F(16e)
0,00000
0,01745
| 0,03491
0,05236
0,06982
0,08727
0,10473
0,12220
0,13966
0,15713
0,17460
0,19208
0,20965
0,22704
0,24452
0,26202
0,27952
0,29703
0,31455
0,33207
0,34959
0,36713
0,38467
0,40222
0,41978
0,43735
0,45493
0,47252
0,49011
0,50772
0,52533
0,54296
0,56060
0,57825
0,59591
0,61358
0,63126
0,64895
0,66665
0,68437
0,70210
0,71934
0,73759
0,75535
0,77313
0,79092
F(17°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0,10474 1
0,12220
0,13966
0,15713
0,17460
0,19209 1
0,20957
0,22706
0,24455
0,26205
0,27956 1
0,29707
0,31459
0,33212
0,34966
0,36721 1
0,38476
0,40232
0,41990
0,43748
0,45507 1
0,47268
0,49029
0,50792
0,52555
0,54320 1
0,56086
0,57854
0,59622
0,61392
0,63163 1
0,64935
0,66709
0,68484
0,70260
0,72038
0,73817
0,75597
0,77379
9,79162

327
<р
45е
46
1 47
1 48
49
5Q
61
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61 1
62
63
64
65
66
67
68
69
70
1 71 1
72
73
74
75
76 1
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
• 1
F (12°)
0,78851
0,80616
0,82382
0,84148
0,85915
0,87682
1 0,89451
0,91220
0,92989
0,94759
0,96530
0,98302
| 1,00074
| 1*01847
1,03620
1,05394
1,07169
1,08943
1,10720
1,12496
1,14273
1,16050
1,17828
1,19607
1,21386
1,23165 |
1,24945
1,26725
1,28506
1,30287
1,32069
1,33850
1,35632 1
1,37415
1,39198
1,40981 1
1,42764
1,44647
1,46331 |
1,48115 J
1,49899
1,51683
1,53467
1,55251
1,57035
1,58820
t (13е)
1 0,78905
0,80673
0,82442
0,84212
0,85983
0,87754
1 0,89527
0,91300
0,93073
0,94848
0,96623
0,98400
1,00176
1,01954
1,03732
1,05511
1,07291
1,09072
1,10853
1,12635
1,14417
1,16200
1,17984
1,19768
1,21553
1,23338
1,25124
1,26911
1,28698
1,30485
1,32273
1,34061
1,35850
1,37639
1,39428 i
1,41218 |
1,43008 1
1,44793
1,46538
1,48379
1,50170
1,51961
1,53752
1,55543
1,57334 1
1,59125
/414°)
1 0,78963
0,80735
0,82508
0,84282
0,86056
0,87832
1 0,89609
0,91386
0,93165
0,94944
1 0,96724
0,98506
1,00287
1,02070
1,03854
1,05638
1,07425
1,09210
1,10997
1,12784
1,14573
1,16302
1,18152
1,19943
1,21734
1,23526 |
1.25318
1,27112
1,58905
1,30700
1,32494
1,34290
1,36085 1
1,37881
1,39678
1,41475
1,43272
1,45070
1,46867
1,48665
1,50464
1,52262
1,54061
1,55859
1,57658
1,59457
| HW)
1 0,79025
0,80801*
0,82578
0,84356
0,86135
0,87915
1 0,89697
0,91479
! 0,93262
0,95047
| 0,96832
1 0,98618
1,00406
1,02194
1,03984
1,05774 .
1,07566
1,09358
1,11151
1,12945
1,14740
1,16536
1,18333
1,20103
1,21928
1,23727
1,25527
1,27328
1,29129
1,30930
1,32733
1,34535 ,
1,36339
1,38143
1,39947
1,41752 |
1,43557 1
1,45362
1,47168
1,48974
1,50781
1,52587
1,54394
1,56200
1,58007
1,59814
/416е)
0,79092
0,80872
0,82653
0,84436
0,86219
0,88004
0,89791
0,91578
1 0,93367
I 0,95166
| 0,96947
0,98740
1,00533
; 1,02327
1,04123
1,05920
1,07718
1,09517
1,11317
1,13117
1,14919
1,16722
1,18526
1,20331
1,22137
1,23943
' 1,25751
1,27559
1.29368
1,31178
1,32988
1,34799
1,36611
1,38423
1,40236
1,42049 1
1,43862 1
1,45676
1,47491
1,49305
1,51120
1,52936
1,54751
1,56567
1,58382
1,60198
Р(\Г) 1
I 0,79162
0,80947
0,82733
0,84520
0,86309
0,88099
1 0,89890 1
0,91683
0,93478
0,95273
0,97070
1 0,98869 1
1,00668
1,02469
1,04271
1,06075
1 1,07880 1
1,09686
1,11493
1,13301
1,15111
1,16921
1,18733
1,20545
! 1,22359
1,24174
1,25990 1
1,27806
1,29623
1,31442
1,33261
1,35080 I
1,36901
1,38722
1,40544
1,42366
1,44189 1
1,46012
1,47836
1,49660
1,51484
1,53308
1,55133
1,56958
1,58783
1,60е08

32 в
?
о*
1
S
з
J 4
5
6
! 7
9
12
,1 13
15
16
17
18
19
20
1 21
22
23
24
25
26 1
27
23
29
30
31 1
32
33
34
35
36
37
38
39
1 40
41
42
43
44
41
F(\V)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0,10474
0,12220
0,13967
0,15714
0,17462
| 0,19210
0,20958
0,22708
0,24458
0,26208
0,27960
0,29712
0,31465
0,33218
0,34973 J
0,36729
0,38485
0,40243
1 0,42002
0,43761
0,45522
0,47285
0,49048
0,50813
0,52579
0,54344
0,56114 !
0,57884
0,59655
0,61428
0,63202
0,64978 1
0,66755
0,68533
0,70314
0,72095
0,73878
0,75663
0,77449
0,79237
F(1P)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0,10474
0,12221
I 0,13967
0,15715
J 0,17463
0,19211
0,20960
0,22710
0,24460
0,26211
0,27963
0,£9716
0,31470
0,33225
0,34980
0,36737
0,38495
0,40254
0,42014
0,43775
0,45538
0,47303
0,49068
, 0,50835
0,52603
0,54372
0,56144
0,57916
0,59691
0,61466
0,63244
0,65023
0,66803
0,68586
0,70370
0,72155
0,73942
0,75732
0,77523
0,79315
/420°)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0,10474
0,12221
0,13968
0,15715
0,17464
0,19212
0,20962
0,22712
0,24463
0,26216
0,27967
0,29721 i
0,31475 1
0,33231
0,34988
0,36746
0,38505
0,40265
0,42027
0,43791
0,45555
0,47321
0,49089
0,50858
0,52628
0,54401
0,56175
0,57950
0,59727
0,61506
0,63287
0,65070
0,06854
0,68641
0,70429
0,72219 1
0,74010
0,75805
0,77600
0,79398
/=421*)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0,10474
0,12221
0,13968
0,15716
0,17465
, 0,19214
0,20963
0,22714
0,24466
0,26218
0,27971
0 29726
0,31481
0,33238 i
0,34996
0,36755
0,38516
0,40278
0,42041
0,43806
0,45573
0,47341
0,49110
0,50882
0,52655
0,54430
0,56207
0,57985
0,59766
0,61548
0,63333
0,65119
0,66908
0,68698
0,70490
0,72285
0,74082
0,75881
0,77682
0,79485
F(2V)
1 0,00000
0,01745
0,08491
0,05236
0,06982
. 0,08728
1 0,10475
1 0,12222
0,13969
, 0,15717
0,17466
0,19215
0,2Q965
0,22716
0,24468
0,26222
0,27976
0,29731
0,31478
0,33245
0,35004
0,36765
0,38527
0,40291
0,42056
0,43822
0,45591
0,47361
0,49133
0,50907
0,52688
0,54461
0,56240
0,58022
- 0,59806
0,61592
0,63380
0,65171 |
0,66963
0,68758
0,70555
0,72a54
0,74156
0,75960 ,
0,77767
0,79575
F(W)\
\ 0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08728
0,10475 1
0,12222
0,13970 1
0,15718
0,17467
0,19217
0,20967
0,22719
0,24471 I
0,26225 1
0,27980 I
0,29736
0,31494
0,33253
0,35013
0,36775 1
0,38538 1
0,40304 1
0,42071 I
0,43839
0,45610 1
0,47382 I
0,49157
0,50933
0,52712
0,54493 1
0,56275 1
0,58060
0,59848 I
0,61638 1
0,63430
0,65224 1
0,67021 I
0,68820 1
0,70522 1
0,72427 1
0,74234 1
0,76043
0,77855
0,79670

339
?
45'
46
47
1 48
! 49
БО
51
52
53
54
55
55
57
58
59
60
1 61 1
62
63
64
65
ее !
1 67
68
1 69
70
71
72
73
1 74
75
76
77
78
79
80
81
82
ез
84
1 85
86
1 87
88
89
90
1
| /418°)
1 0,79237
098Ю26
0,82817
0,84610
0,86403
0,88199
0,89996
0,91795
0,93595
0,95397
0,97200 |
0,99005
1,00812
1,02619
1,04429
1,06239
1,08051 1
1,09365
1,11680
1,13496
1,15313
1,17132
1,18952
1,20773
1,22595
1,24419
1,26243
1,28069
1,29895
1 1,31723
1,33551
1,35380
1,37210
1,39040
1,40872
1,42704
1,44536
1,46369
1,48203
1,50037
1,51871
1,55705
1,55440
1,57375
1,59210
Ь 6W45
F(19°)
0,79315
0,81110
0,82906
| 0,84704
! 0,86504
0,88305
0,90108
0,91913
0,93720
0,95528
0,97338 |
0,99150
1,00963
1,02778
1,04595
1,06413
1,08233 1
1,10055
1,11878
1,13702
1,15528
1,17356
1,19184
1,21014
1,22846
1,24678
1,26512
1,28347
1,30185
1,32020
1,33859
1,35698
1,37538
1,39378
1,41220
1,43062
1,44905
1,46749
1,48593
1,50437
1,52282
1 1,54127
1,5',973
1,57818
1,59664
J,6J510
F (20е)
0,79398
0,81198
0,82999
0,84803
0,8:609
0,8£416
0,90226
0,92037
0,93850
0,95666
0,97483
0,99302
1,01123
1,02946
1,04/70
1,06597
1,08425
1,10255
1.К087
1,13920
1,15755
1,17592
1,19430
1,21269
1,23110
1,24953
1,26796
1,26641
1,30488
1,32335
1,34184
1,36034
1,37884
1,39726
1,41588
1,43442
1,45296
1,47150
. 1,49005
! 1,50861
1,52717
1,54574
1,56431
1,58288
1,60145
1,62003
| F (2Г)
0,79485
0,81290
0,83098
0,84907
0,86719
0,88533
0,90349
0,92167
0,93988
0,95811
0,97635
0,99462
1,01291
1,03122
1,04955
1,06790
1,08627
1,10466
1,12307
1,14149
1,15994
1,17840
1,19688
1,21538
1,23389
1,25242
1,27096
1,28952
1,30809
1,32667
1,34527
1,36383
1,38250
1,40113
1,41977
1,43842
1,45708
1,47574
1,49442
1,51309
1,53178
1,55046
1,56915
1,58584
1,60654
1,62*28
F (22°)
0,79575
0,81387
0,83200
0,85016
0,86834
| 0,88655
0,90478
0,92304
0,94132
0,95962
0,97795
0,99630
1,01467
1,03307
1,05148 !
1,05992 ,
1,08839
1,10687
1,12537
1,14390
1,16245
1,18101
1,19959
1,21820
1,23682
1,25546
1,27411
1,29278
1,31147
1,33017
1,34689
1,36761
1,38636
1,40511
1,42387
1,44264
1,46143
1,48022
1,49901
1,51782
1,53663
1,55544
1,57426
1,59308
1,61191
1,63073
1 ^(23°)
0,79670
0,81487
0,83307
0,85130
0,869г5
0,88783
0,90613 I
0,92447
0,94282
0,96121
0,97962 1
0,99805 1
1,01651
1,03500 1
1,05351 1
1,07204
1,09060 1
1,10919
1,12779
1.И642
1,16507
, 1,18375 1
1 1,20244
1,22116
1,23989 1
1,25565
1,27742 1
1,29621
1,31502
1,33384
1,35263
1,37154 1
1,39041
1,40929
1,42618
1,44708
1,46600 1
1,48492
1,5^385
1,52279
1,54174 1
1,56069
1,57964
1,59860 |
1,61756 I
1,63*32

330
. , . . , J
¥
0°
1
з
i б
6 1
7
8
10
12
13
14
15
16 1
18
19
20
21
22
2S
24
25
1 26
27
28
I 29
1 зо
1 31
1 32
1 33
I 34
1 35
1 36
1 37
38
1 39
1 40
1 41
1 42
1 43
1 44
1 45
F (24°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,0'236
0,06982
0,08723
0,10475
0,12222
0,1^970
0,15719
0,17468
0,19218
0,20969
0,22721 |
0,24475 ;
0,26229
0,27985
0,29742
0,31500
0,33260
0,35022
0,36785
0,38550
0,40317
0,42086
0,43857
0,45629
0,47404
0,49181
0,50960
0,52742
1 0,54526
0,56312
0,58100
0,59891
0,61685
0,63481
0,65280
1 0,67081
0,68885
0,70592
0,72502
0,74314
0,76129
0,77947
0,79768
/>(25°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06962
0,08729
0,10475
0,12223
0,13971
0,15719
0,17469
0,19220
0,20971
0,22724
0,24478 |
0,26233
0,27989 ;
0,29748
0,31507
0,33268
0,35031 |
0,36796
0,38563
0,40331
0,42102
0,43875
0,45650
0,47427
0,49207
0,50988
0,52773
0,54560
0,56349
0,58141
0,59936
0,61734
1 0,63534
0,65337
0,67144
0,68953
0,70765
0,72580
0,74398
0,76219
0,78043
0,79871
F(2V)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06982
0,08729
0,10476Г 1
0,12223
0,13971
0,15720
0,17470 |
0,19221 1
0,20973
0,22726
0,24481
0,26236 J
0,27994
0,29753
0,31514
0,33277
0,35041
0,36807
0,38675
0,40346
0,42119
0,43893
0,45571
0,47450
0,49233
0,51017
0,52805
! 0,54595
0,56388
0,58184
0,59983
| 0,61785
0,63589
0,65397
0,67208
0,69022
0,70840
0,72660
0,74484
0,76312
0,78142
0,79976
/427е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236 |
0,С6982
0,08729 ,
0,10476 1
0,12224
0,13972
0,15721
0,17471
0,19223 1
0,20975
0,22729
0,24484
0,26241 J
0,27999
0,29759
0,31521
0,33285
0,35051
0,36819
0,38589
0,40361
0,42136
0,43913
0,45692
0,47475
0,49260
, 0,51047
0,52838
1 0,54632
0,56428
0,58228
0,60031
| 0,61837
1 0,63646
0,65459
0,67275
0,69094
1 0,70917
0,72744
0,74574
0,76408
0,78245
0,80086
F(2S°)
0,00000 ,
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983 |
0,08729
0,10476
0,12224
0,13973
0,15722
0,17473 1
0,19225
0,20978
0,22732
0,24488
0,26245 |
0,28005 1
0,29766
0,31529
0,33294
0,35061
0,36830
0,38602
0,40376
0,42153
0,43932
0,45714
0,47499
0,49287
0,51078
1 0,52872
Е 0,54669
0,56469
1 0,58273
0,60080
0,61891
1 0,63705
0,65522
0,67344
0,69169
J 0,70997
0,72830
0,74666
0,76506
0,78351
0,80199
/>(29«)
0,00300
0,01746
0,03491
0,05237
0,06983
0,08721
0,10476
0,12224
0,18071
0,15721
°'174?1
0,19226
0,20980*
0,22735
0,24491
0,26250
0,28010 |
0,29772
0,31586 '
0,33303
0,35071
0,36842
0,38616
0,40393
0,42171
0,43953
0,45737
0,47526
0,49316
0,51110
0,52907
1 0,54708
0,56512
! 0,58320
I 0,60131
0,61946
1 0,63765
0,65588
0,67414
0,69245
1 0,71080
0,72919
0,74762
0,76609
0,78460
0,80316

■*
45°
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60 |
61
62
68
64
65
66
67
68 J
69 1
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
F (24°)
0,79768
1 0,81592
| 0,83419
0,85248
0*87080
1 0,88916
0,90754
0,92595
0,94439
0,96286
0,98136
0,99988
1,01844
1,03702
1,05562
1,07426
1,09292
1,11161
1,18032
1,14906
1,16783
1,18661
1,20542
1,22426
1,24311
1,26199
1,26089
1,29980
1,31874
1,88769
1,35667
1,87565
1,39466
1,41367
1,43270
1,45174
1,47080
1,48986
1,50893
1,52802
1,54710
1,56620
1,58529
1,60440
1,62350
1,64260
F (25°)
0,79871
0,81701
0,83535
0,85371
0,87211
0,89054
0,90901
0,92751
0,94603
0,96458
0,98317
1,00179
1,02044
1,03912
1,05785
1,07657
1,09534
1,11114
1,13296
1,15182
1,17070
1,18961
1,20854
1,22750
1,24648
1,26548
1,28451
1,30356
1,32263
1,34172
1,36083
1,37996
1,39911
1,41827
1,43744
1,45663
1,47583
1,49504
1,51426
1,53350
1,55273
1,57198
1,59123
1,61018
1,62974
1,64900
F (26°)
0,79976
0,81814
0,83655
0,85499
0,87347
0,89198
0,91053
0,92911
0,94772
0,96637
0,98506
1,00377
1,02253
1,04131
1,06013
1,07898
1,09786
1,11677
1,13572
1,15469
1,17369
1,19273
' 1,21179
1,23088
1,24999
1,26913
1,28830
1,30749
1,32670
1,34594
1,36519
1,38447
1,40376
1,42307
1,44240
1,46174
1,48110
1,50047
1,51985
1,53924
1,65863
1,57804
1,59745
1,61685
1,63628
1,65370
F (27°)
0,80086
0,81931
0,83779
0,85631
0,87487
0,89347
0,91210
0,93078
0,94948
0,96823
0,98701
1,00583
1,02469
1,04358
1,06251
1,08148
1,10048
1,11951
1,13858
1,15768
1,17681
1,19598
1,21517
1,23440
1,25366
1,27294
1,29225
1,31159
1,33095
1,^5034
1,36974
1,38918
1,40863
1,42810
1,44758
1,46709
1,48661
1,50614
1,52569
1,54524
1,56841
1,58438
1,60396
1,62354
1,64313
1,66272
^(28°) 1
0,80199
0,82052
0,83908
0,85768
0,87633
0,89501
0,91374
0,93250
0,95131
0,97016
0,98904
1,00797
1,02694
1,04594
1,06499
1,08407
1,10320
1,12236
1,14155
1,1607Й
1,18005
1 1,19936
1,21870
1,23807
1,25747
1,27690
1,29636
1,31585
1,33537
l 1,35492
1,37449
1 1,39408
1,41370
1,43334
1 1,45299
1,47267
1,49236
1,51207
1,53179
1,55152
1,57126
1,59101
1,61077
1,63053
1,65029
1,67006
F(29e)
0,80316 1
0,82176 1
0,84041 1
0,85910
0,87783 1
0,89660
0,91542 1
0,93429
0,95319
0,97215
0,99114
1,01018 1
1,02926
1,04839
1,06756
1,0867| I
1,10602 1
1,12531 1
1,14464
1,16401
1,18342
| 1,20287 |
1,22235
1,24188
1,26143
1,28102
1,30064 1
1,32030
1,33998
I 1,35969
1.37943 1
1,39920
1,41899
! 1,43880
1 1,45864
1,47849
1 1,49836 1
1,51825
1,53816
1,55807
1,57800 J
1,59793 I
1,61788 I
1,63783 1
1,65778 1
1,67773 1

882
«р
О'
1
з
5
Mi
10
1 п
12
13
14
15
1 16 1
17
18
19
20
21 1
22
23
24
25 J
26 1
27
28
29
30
1 31
32
S3
34
35
1 36 1
37
38
39
40
41
42
1 43
1 44 !
I 45
F (30°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08729
0,10477
0,12225
0,13974
0,15724
0,17475 |
0,19228
0,20982
0,22738
0,24495
0,26254
0,28015 1
0,29779
0,31544
0,33312
0,35082
0,36854
0,38630
0,40408
0,42189
0,43973
0,45761
0,47551
0,49345
0,51142
0,52943
0,54747
0,56555
0,58367
0,60183
0,62003
0,63827
0,65655
0,67487
0,69324
0,71166
0,73010
0,74860
0,76714
0,78573
0,80437
F (ЗГ)
0,00С00
0,01745
0,03491
0,05237
0,06083
0,08730
0,10477
0,12225
0,13975
0,15725
0,17477
0,19230
0,20984
0,22741
0,24499
0,26259
0,28021
0,29785
0,31552
0,33321
0,35093
0,36867
0,38644
0,40425
0,42208
0,43995
0,45784
0,47578
0,49375
0,51175
0,52980
0,54788
0,56600
0,58416 1
0,60237
0,62061
0,63890
0,65724
0,67562
-0,69405
0,71252
0,73104
0,74961
0,76822
0,78689
0,80560
F (32е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08730
0,10477
0,12226
0,13975
0,15726
0,17478
1 0,19232
0,20987
0,22744
0,24503
0,26263
0,28027
0,29792
0,31560
0,33331
0,35104
0,36880
0,38659
0,40442
0,42227
0,44016
0,45809
0,47605
0,49405
0,51209
0,63017
0,54829
0,56646
0,58466
0,60291
0,62121
0,63955
0,65795
0,67638
0,69487
0,71341
0,73200
0,75064
0,76933
0,78808
0,80688
F (33е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08730
0,10478
0,12226
0,13976
0,15727
0,17480
0,19234
I 0,20989
0,22747
1 0,24506
0,26268
0,28032
0,29799
0,81568
0,33340
0,35115
0,36893
0,38674
0,40459
0,42247
0,44038
0,45834
0,47633
0,49436
0,51244
0,53056
0,54872
0,56692
0,58517
0,60347
0,62182
0,64022
0,65867
0,67717
0,69572
0,71433
0,73299
0,75169
0,77047
0,78930
0,80818
/•(34е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08730
0,10478
0,12227
0,13977
0,15728
0,17481
; 0,19235
0,20992
0,22750
0,24510
0,26273
0,28038
0,29806
1 0,31577
0,33350
0,35127
0,36906
0,38690
0,40476
0,42267
0,44061
0,45859
0,47661
0,49468
0,51279
0,53095
0,54915
0,56740
0.58570
О;60405
0,62245
0,64090
0,65941
0,67797
0,69659
0,71526 |
0,73399
0,75278
0,77163 1
0,79054
0,80952
/435*) 1
0,00000
0,01745
0,03491 1
0,05237
0,06983
0,08730 1
0,10478 1
0,12227 1
0,13978 1
1 0,15729
0,17482
0,19237 1
0,20994
0,22753
0,24514
0,26278
1 0,28044 1
0,29813
0,31585
0,33360
0,35138
0,36920
0,38705
0,40494 1
0,42287
0,44084
0,45885 I
0,47690
0,49500
0,51315
0,53134 1
0,54959 1
0,56788
0,58623
0,60463 1
0,62308
0,64159 1
0,66016
0,67879 |
0,69747 1
0,71622 1
0,73502 1
0,75389 1
0,77282 1
0,79182 1
0,81088 1

заз
?
45»
46
47
48
49
60
61 1
52
53
54
55
56
67
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
J 70
1 71
72
73
74
75
76 i
77 {
78
79
80
81
82
63
1 84
86
86
87
88
89
90
F(30e)
0,80437
0,82305
0,84178 1
0,86055 I
0,87937
0,89825
0,91716
0,93613
0,95514
0,97420
0,99331
1,01247
1,03167
1,05092
, 1,07021
1,08955
1,10894
1,12837
1,14784
1,16735
1,18691
| 1,20651
1,22615
1,24583
1,26556
1,28530
1,30609
1,32491
1,34477
1,36466
1,38457
1,40452
1,42449
1,44449
1,46451
1,48455
1,60462
1,52470
1,54479
1,56490
1,58503
1,60516
1,62630
1,64545
1,66560
1,68575
F{S\m)
0,80560
0,82437
0,84319
0,86205
0,88097
0,89994 1
0,91896
0,93803
0,95715
0,97632
0,99555
1,01483
1,03415
1,05353
1,07296
1,09243
1,11195
1,13153
1,15115
1 1,17082
1,19053
1,21029
1,23009
1,2499J
1,26982
1,28974
1,30971
1,32971
1,34974
1,36982
1,38992
1,41005
1,43022
1,45041
1,47063
1,49087
1,61113
! 1,63141
1 1,65171
1,67203
1,69235
1 1,61269
1,63304
1,65339
1,67375
1,69411
F(fa9)
0,80688
0,82573
0,84463
0,86359
0,88261 !
0,90168
0,92080
0,93998
0,95922
0,97851
0,99786
1,01726 1
1,03671
1,05622
1,07579 1
1,09541
1,11508
1,13480
1,15453
1,17440
1,19427
1,21419
1,23416
1,25418
1,27404
1,29435
1,31449
1,33468
1,35491
1,37517
1,39547
1,41580
1,43617
1,45656
1,47699
1,49743
1,51791
1,53840
1,55891
1,57944
1,59998
1,62054
1,64111
1,66168
1,68226
1,70284
* (33*)
0,80818
0,82712
0,84612
0,86518
0,88429
0,90347
0,92270
0,94200
0,96135
0,98076
1,00023
1,01976 1
1,03936
1,05900
1,07871
1,09848 ;
1,11830
1,13818
1,15811
1,17810
1,19814
1,21823
1,23838
1,25858
1,27882
1,29911
1,31945
1,38984
1,36026
1,38073
, 1,40123
1,42177
1,44235
1,46295
1,48359
| 1,50426
1,52495
1 1,54567
1,56640
1,58716
1,60793
1,62871
1,64950
1,67031
1,69111
1,71192
/?(34e)
0,80952
0,82865
0,84764
0,86680
0,86602
0,90530 1
0,92465
0,94406
0,96854
0,98308
1,00268
1,02234 1
1,04207
1,06187
1,08172 1
1,10164
1,12162
1,14166
1,16176
1,18192
1,20213
1,22241
1,24274
1,26312
1,28356
1,3.405
1,32459
1,34517
1,36581
1,38648
1,40720
1,42796
1,44876
1,46959
1,49045
1,51135
1 1,53227
1 1,55322
1,57419
1,59518
1,61619
i 1,63721
1,65825
1,67929
1,70034
1,72139
^(35#>
0,81088 1
0,83001 1
0,84920
0,86846
0,88779 1
0,90719
0,92665
0,94618
0,96578 1
0,98545 1
1,00519 1
1,02499
1,04487
1,06481
1,08482
1,10490 1
1,12604 1
1,14525 1
1,16662
1,18586 1
1,20626
1,22672 j
1,24724
1,26782
1,28846
1,30915
1,32990 1
1,35070
I 1,37165
1,39244
1,41339
1,43437
1,45540
1,47647
1,49757
1,51870
1,53987 1
1,56106
1,58226
1,60362
1 1,52478
1,64606
1,66733
1,68864
1,70994
1,73125

334
*
0°
1
2
з
4
5
6
8
' 9
10 j
" 1
12
13
14
15 j
16 1
17
18
19
20
1 21 1
22
23
24
25
26 i
27
28
29
30
31
32
аэ
34
36
1 36 1
37
38
39
40
41
42
43
1 44
45
1 j
/ЧЗб0)
0,00000
0,01745
0,03491
0,06237
0,06983
0,08730
0,10479
0,12228
0,13978
0,15730
0,17484
0,19239
0,20997
0,22756
0,24318
0,2д283
0,28050
0,29820
0,31594
0,33370
0,85150
0,36934
0,38721
0,40512
0,42307 1
0,44107
0,45911
0,47720
0,49333
0,513>2
0,53175
0,55004
0,56S37
0,68877
0,60522
0,62373
0,64230
0,66093
0,67962
0,69837
0,71719
0,73607
п,75502
0,77404
0,79313
0,81228
/*(37в)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08731
0,10479
1 0,12228
0,13979
! 0,15731
0,17485
0,19241
0,20999
0,22760
0,24522
0,26288
0,28056
0,29828
0,31602
0,33380
0,35162
0,36948
0,38737
0,40530
0,42328
0,44131
0,45938
0,47750
0,49567
0,51389
0,53216
0,55043
0,56888
0,58732
0,60582 |
0,62439
0,64302
0,66171
0,68047
0,69929
0,71818
0,73714
0,75618
0,77528
0,79446
0,81371
|| iHni tl.l | |П 1 1 II'
F(38°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06983
0,08731
1 0,10479
0,12229
0,13980
0,15732
[ 0,17487
0,19243
0,21002
0,22763
.0,24527
0,26233 j
0,28063
0,29335
0,31611
0,33391
0,35174
0,36932
0,38753
0,40349
0,42349
0,44155
0,45965
0,47780
0,49600
0,51426
0,63253
0,55095
0,56933
0,5878$
0,60644
0,62506
0,64375
0,66250
0,68133
0,70023
0,71919
0,73324
0,75735
0,77654
0,79581
0,81516
F(39°)
0,00000
0,01745
I 0,03491
0,05237
0,06984
0,08731
0,10480
0,12229
0,13980
0,15734
0,17488
0,19245
0,21005
0,22766
0,24531
0,26298
0,2806)
0,29843
0,31620
0,33401
0,35186
0,36976
0,3*770
0,40568
0,42371
0,44179
0,45992
0,47810
0,4963*
0tM464
0,53300
0,55142
0,56989
0,58844
0,60706
0,62574
0,64449
0,66331
0,f8220
0,70117
0,72022
0,73934
0,75855
0,77783
0,7^19
0,81664
F (40°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06984
0,08731
0,10480
0,12230
0,13981
0,15735
0,17490
0,19247
0,21C07
0,22770
0,24 *>35
0,26303
0,28075 i
0,2980
0,31629
0,33412
0,35198
0,3 990
0,3u786
0,40587
0,42392
0,44203
0,460 0
0,47841
0,496 9
0,51503
0,53343
0,55189
0,57042
0,5Ь902
0,60709
0,62643
0,64524
0,66413
0,68309
0,70214
0,72126
0,74047
0,75976
0,77914
ojmo
0,81815
!■
^(4Г)
0,00000 I
0,01745 1
0,03491 1
0,05237 I
0,06984 1
0,08731
0,10480 1
0,12230
0,13982
0,15736
0,17491
0,19249 1
0,21010
0,22773
0,24539
0,2630J
0,28081 1
0,29858
0.Д1РЗЗ
0,33423
0,35211
0,37005 1
0,38803
0,40606
0,42414
0,44228
0,46047 1
0,47873
0,49704
0,51542
0,53386
0/5237 1
0.570J5
0,58960
0,60832
0,62712
0,64600 1
0,6496
0,68399
0,70311
0,72232
0,74161
0,76099
0,76046
0,80002
0,81968

т
*
45°
46
47
48
49
50
51
52
53
54 ;
55
56
57
58
59 1
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
1 71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
1 ■ Г,Г'
/^Зб")
0,81228
0,83150
0,85080
0,87017
0,88960
0,90911
0,92870
0,94835
0,96908
0,98789
1,00776
1,02771
1,04774
1,06783
1,08800
1,10824
1,12856
1,14894
1,16939
! 1,18992
| 1,21051
1,23116
1,25189
| 1,27267
1,29351
1,31442
1,33539
1,35641
1,37749
1,39861
1,41929
1,44102
1,46229
1,48360
1,50495
1,52634
1,54776
1,56921
1,59068
1,61218
1,63370
; 1,65524
! 1,67679
1,69836
1,71993
1,74150
F(№)
0,81371
0,83303
0,85243
0,87191
0,89146
0,91109
0,93079
0,95058
0,97044
0,93038
1,01041
1,03051
1,05068
1,07093
1,09127
1,11169
1,13218
1,15274
1,17338
i 1,19409
1,21488
1,23574
1,25667
1,27767
1,29873
1,31986
1,34106
1,36231
1,38363
1,40500
1,42642
1,44789
1,46942
1,49099
1,51260
1,53425
1,55593
1,57766
1,59940
1,62118
1,64297
1,66479
1.68662
1 70846
U73031
1,75217
/*(38°)
0,81516
0,83459
0,85409
0,87368
0,89335
0,91310
0,93294 :
0,95285
0,97286
0,99294
1,01311 ]
1,03336
1,05370 1
1,07412
1,09463 J
1,11522 J
1,13589
; 1,15664
1,17748
1,19839
1,21939
1,24046
1,26160
1,28282
1,30411 j
1,32547
1,34691
1,36841
1,38997
1,41159
1,43327
1,45501
1,47680
1,49864
1,52052
1,54245
1,56441
1,58642
1,60845
1,63051
1,65260 |
1,67471
1,69683
1,71896 I
1,74111
1,76326
' F(39°)
0,81664
0,83617
0,85579
0,87549
0,89528
0,91516
0,93512
0,95518
0,97532
0,99555
1,01588
1,03629
1,05679
1,07739
1,09807
1,11884
1,13970
1,16065
1,18169
1,20:81
1,22402
1,24531
1,26668 ,
1,28813
1,30966
1,33127
1,35295
1,37470
1,39652
1,41840
1,44035
1,46236
1,48443
1,50655
1,52872
1,55094
1,57320
1,59550
1,61783
1,64020
1,66259
1,68500
1,70743
1,72988
1,75233
1,77479
/=-(40°)
0,81815
0,83779
0,8^752
0.87734
1 0,89725
| 0,91725
0,93735
0,95755
0,97784
0,99822
1,01871
1,03928
1,05996
1,08073
1,10159
' 1,12256
1,14361
1,16476
1,18601
1,20735
1,22877
1,25029
1,27190
1,29359
1,31537
1,33723
1,35917
1,38118
1,40328
1,42544
1,44767
1,46997
1,49232
1,51474 1
1,53721
1,55973
1,58230
1,60401
1,62756
1,65024
1,67295
1,69569
1,71844 1
1,74121
1,76399
1,78677
^(41°)
0,81968
0,83943
0,85927
0,87921
0,89925
0,91939
0,93963 1
0,95997
0,98041
1,00095
1,02159
1,04234
1,06319
1,08415
1,10520
1,12636
1,14476 1
1,16698
1,19044
1,21200
1,23366
1,25542 1
1,27727
1,29921
1,32124
1,34337
1,36558
1,38787
1,41024
1,43270
1,45522
1,4778»
1,50048
1,52321
1,54600
1,56884
1,59173
1,61466
1,63764
1,66066
1,68370
1,70677
1,72987 1
1,75298
1,77610
1,79922

336
f
0е
1
з
4
5
6 1
10
и 1
12
13
14
15
16
18
19
20
21 1
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32 |
1 зз
34
35
36
37
38
1 39
1 4°
42
1 43
I 44
45
t (42*)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05287
0,06984
0,08732
0,10481
0,12231
0,13983
0,15737
0,17493
0,19251 1
0,21013
0,22776
0,24543
0,26314 |
0,28088
0,29866
0,31647
0,33433
0,35224
0,37019
0,38820
0,40625
0,42436
0,44253
0,46075
0,47904
0,49739
0,51581
0,53430
0,55285
0,57148
0,59018
0,60897
0,62783
0,64677
0,66579
0,68490
0,70410
0,72339
0,74277
0,76224
0,78181
1 0,80147
1 0,82128
/443*)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06984
0,08732
0,10481
0,12231
0,13984 :
0,15738
0,17495
0,19253
0,21015
0,22780
0,24548
0,26319 |
0,28094 |
0,29873 1
0,31656
0,33444 '
0,35237
0,37034 1
0,38836
0,40644
0,42458
0,44278
0,46104
0,47936
0,49775
0,51621
| 0,53474
1 0,56534
1 0,57202
0,59078
0,60962
0,62854
0,64754
0,66664
0,68583
0,70510
0,72447
0,74394
0,76851
0,78317
0,80294
0,82281
/'(44е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06984
0,08732
0,10481
0,12232
0,13985
0,15739
0,17496
0,19256 1
0,21018
0,22783
0,24552 !
0,26324 |
0,28101 I
0,29881
0,81666
0,33455 !
0,35249
0,37049
0,38853
0,40664
0,42480
0,44303
0,46132
0,47968
0,49810
0,51660
0,53518
0,55383
0,57256
0,59137
0,61027
0,62925
[ 0,64853
0,66749
0,68675
0,70611
0,72557
0,74512
0,76478
0,78455
0,80442
0,82440
F (45е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06984
0,08732
0,10482
0,12233
0,13985
0,15740
0,17498
0,19258 |
0,21021
0,22787 !
0,24556 J
0,26330
0,28107
0,29889
0,31675
0,83466
0,35262
0,37063 1
0,38871
0,40683
0,42503
0,44328
0,46161
0,48000
0,49846
0,51700
0,53562
0,55432
0,57310
0,59197
0,61093
0,62998
i 0,64912
0,66836
0,68769
0,70713
0,72667
0,74632
0,76608
0,78594
0,80592
0,82602
/*(46') i
0,00000 \
0,01745 1
0,03491 I
0,05237
0,06984
0,08732
0,10482
0,12233
0,13986
0,15741
0,17499
0,19260
0,21023 !
0,22790
0,24561
0,26335
0,28114
0,29896
0,31684
0,33477
0,35275
0,37078
0,38888
0,40703
0,42525
0,44354
0,46189
0,48032
0,49882
0,51741
0,53607
0,55482
0,57365
, 0,59258
0,61159
0,63070
1 0,64991
0,66922
0,68864
0,70816
0,72779
0,74753
0,76738
0,78735
0,80744
0,82765
f(47-> 1
0,00000 I
0,01745 1
0,08491 1
0,05237
0,06984
0,08733 1
0,10482 1
0,12234 I
0,13987 1
0,15743 I
0,17501
0,19262 1
0,21026
0,22794
0,24565 1
0,26340 1
0,28120 1
0,29904
0,31693 1
0,33488 I
0,35288 1
0,37093 1
0,38905 1
0,40723
0,42547
0,44379 1
0,46218 1
0,48064 1
0,49919
0,51781
0,53652 1
0,55531 1
0,57420
0,59318 1
0,61226 I
0,63148 1
1 0,65071 1
0,67010 I
0,63959 1
0,70919 1
J 0,72891 I
0,74874 1
0,76869
0,78877
0,80897
0,82930

337
f
45е
46
*7
48
49
50
51
52
53
54
55
56 1
57
58
59
60
1 61 1
62
63
64
65 |
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
8в
87
88
89
1"
/■(42е) j
0,82123
0,84109
0,86106
0,88112
0,90129
0,92156 j
0,94194 1
0,96243
0,98303
1,С0373
1,02454
1,04546 1
1,Of649
1,08764
1,10889
1,13025 |
1,15172 1
1,1/330
1,19498
1,21678
1,23867 |
1 1,26068
1,28278
1,30108
1,82729
1,34969
1,37218
1,39476
1 ДО
1,53196
1,55508
1,57825
( 1,60148
1,62476
1,В4809
1,17145
1,69485
1,71828
1,74173
1,76520
1,78868
1,81216
/?(43°)
0,82281
0,84279
0,86287
0Г88306
0,90336
0,92377 j
0,94430 1
0,96494
0,98569
1,00656
1,02754 )
1,04865
1,06986
1,09120
1,11265
1,13422
1,15591 1
1,17772
1,09963
1,22167
1,24381
| 1,26607
1,28844
1,31092
1,33850
! 1,35618
1,37897
1,40185
1,42483
1,44790
1,47105
1,49429
1,51761
1,54100
1,56447
1,58799
(Lu. . .....
[1,61158
1,63522
1,65891
1,68264
j 1,70641
1,73021
1,75404
1,77788
1,80174
1,82563
F(W)
ОООООО
Iiiiii
0,94669
0,96748
0,98840
1,00944
1,03060
1,05189 1
1,07330
1,09484
1,11650
1,13329 |
1,16020 1
1,18223
1,20439
1,22668
1,24908
1 1,27160
1,29425
1,31700
1,33988
1,86286
1,38595
1 1,40915
1,43245
1,45585
I 1,47934
1,50293
1,52659
1,55034
1,57417
1,58906
1 1,62203
1,646^1
1,677.2
Г,69424
j 1,71839
1,74259
1,76681
1,79105
1,81530
1,83957
Н*г)
ОООООО
"iiiiii
0,94912
0,97007
0,99115
1,01237
1,03371 |
1,05519 1
1,07680
1,09854
1,12042
1,14243
1,16457 1
1,13685
1,20296
1,23180
1,25447 |
1 1,27727
1,30020
1,32325
1,34642
1 1,36972
1,39313
1,41666
1,44030
1,46404
1,48788
1,51183
1,53586
1,55999
1,58419
1,60848
1 1,63283
1,65725
1,68172
1,70625
J 1,73081
1,75542
1,78006
1,80472
1,82939
1,85407
/?(46#)
0,82765
0,84798
0,86844
0,88903
0,90975
0,93060
0,95159 S
0,97270
0,99395
1,01534 !
1,03687
1,05855 1
1,08036
1,10232
1,12441
1,14665
1,16904 1
1,19156
1,21423
1,23704
1,25998
1,28307
1,30629
1,32965
1,35314
4,37676
1,40051
1,42438
1,44837
1,47247
1,49668
1,52100
1,54543
1,56994
1,59456
1,61924
1 1,64400
1,66884
1,69374
1,71869
J 1,74369
1,76873
1,79381
1,81891
1,84402
1,86915
F(AV) 1
0,82930
0,84975 |
0,87034 [
0,89107 1
0,91193
0,93293
0,95407 1
0,97536
0,99678
1,01836
1,04008
1,06196
1,08398
1,10615
1,12848
1,15096
1,17359 1
1,19637
1,21930
1,24239
1/.6562
1,28901 1
1,31254
1,33621
1,36003
1,38399
1,40808 1
1,43331
1,45666
1,48115
! 1,50575
1,53046
1,55529
1,58022
1,60524
1,63036
1 1,65556
1,68083
1,70618
1,73158
| 1,75704
1,78254
1,80807
1,83364
1,85922
1,88481

338'
г
0°
1 2
I 3
4
5
6
7
8
9
ю
п
12 1
13
14 1
1 1Ь 1
\ лв ]
19
20
1 21
22
23
24
25
1 26
27 '
28
29
1 30
1 31
32
33
34
I 35
36
1 37
?8
1 39
I 40
1 41
I 42
1 43
1 44
1 4S
F(48e)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06984
0,08733
1 0,10483
0,12234
| 0,13988
1 0,15744
0,17502
0,19264 j
0,21029
0,22797 !
0,24569
0,26346
■"«ЛЯ» 1
04129912
0,31703
0,33499
0,35300
0,37108
0,36921 !
0,40743
0,45570
0,44404
0,46247
0,48097
0,49955
, 0,51821
0,53697
0,55581
0,57475
0,59379
0,61293
0,63217
0,65152
0,67097
0,69054
0,71023
0,73004
0,74996
0,77002
0,79020
0,81051
0,83096
/449е)
0,00000
0,01745
1 0,03491
0,05237
0,06965
0,08733
0,10483
0,12235
0,13989
0,15745
0,17504
0,19266
0,21031
0,22800
0,24574
0,26351 j
0,28133
0,29920
0,31712
0,33510
0,35313
0,37123
0,38939
0,40762
0,42593
0,41430
0,46275
0,48129
0,49991
0,51822
0,53742
0,55631
0,57530
0,69440
0,61360
0,63290
0,65232
0,67185
0,69150
0,71127
0,73117
0,75119
0,77135
0,79164
0,81206
0,83263
/450°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06985
| 0,08733
0,10483
0,12235
0,13989
0,15746
0,17505
0,19268 '
0,21034
0,22804
0,24578
0,26356 j
0,28139 1
0,29927
0,31721
0,33520
0,35326
0,37157 1
0,38956
0,40782
0,42614
0,44455
0,46304
0,48161
0,50027
0,51902
0,53787
0,55681
0,57586
0,59501
0,61427
0,63364
0,65313
0,67273
0,69246
0,71232
0,73231
0,75243
0,77269
0,79308
0,81362
0,83431
^(51°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06985
1 0,08733
0,10484
0,12236
0,13990
0,15747
0,17507
0,19270
0,21037
0,22807
0,24582
0,26361
0,28146
0,29935 ]
0,31730 1
0,33531
0,35338
0,37152 1
0,38973
0,40801
0,42637
0,44480
0,46333
0,48193
0,50063
0,51943
0,53832
0,55731
0,57641
0,59562
0,61494
0,63438
0,65393
0,67362
0,69343
0,71337
0,73345
1 0,75365
0,77403
0,79453
0,81519
0,83600
F(b2°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05237
0,06985
0,08734
0,10484
0,12236
0,13991
0,15748
0,17508
0,19272
0,21039 i
0,22611
0,24586
0,26367
0,28152 1
0,29943
0,31739
0,33542
0,36351
0,37169 1
0,38990
0,40820
0,42659
0,44506
0,46361 1
0,48225
0,50099
0,51983
0,53876
0,55781
0,57656
0,59622
0,61561
0,63511
1 0,65474
| 0,67450
0,69439
0,71442
0,73459
0,75491
0,77537
0,79599
0,81676
0,83770
F{№)
0,00000
0,01745
0,03491
1 0,06238
0,06985
0,08734
От104в4 1
0,13ЙЙ
0,1574Ь 1
0,17510 1
0,19274 1
0,21042 I
0,22814
0,24590 1
0,26372 1
0,28158 1
0,29950 I
0,31748 1
0,33553 I
0,35363 1
0,37181 1
0,39007 1
0,40840 1
0,42681 1
0,44531 1
0,46389 1
0,48257 |
0,50135
0,52023
0,53921 1
0,55830 1
0,57751 1
0,59683 1
0,61628 I
0,63585 1
0,65555 1
0,67538 I
0,69535 I
0,71547 1
0,73573 1
1
0,75614
0,77671 1
0,79744
0,81834
0,83940

339
45°
46
47 |
! 48
49 j
50
51 '!
52 1
53
'64
55
56 1
67
58
59
60
61 «1
62
63
64
65
66
67
€8
69
70
71
72
78
74
75
1 Й
I 77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
ыидаишми ftn Mian ц
! /448е)
0,83096
0,85154
0,87226
0,89313
0,91413
0,93529
0,95659
0,97806
0,99956
1,02142
1,04384
1,06542 1
1,08766
1,11005
1,13261
1,15534
1,17822
1,20127
1,22448
1,24786
1,27138 ]
1 1,29507
1,31893
1,34293
1,36709
1,39140
1,41585
1,44045
1,46519
1,49007
1,51507
1,54020
1,56545
1 1,59061
j 1,61628
1 1,64184
1 1,66750
1,69824
1,71905
1,74493
1,77087
1,79685
1,82288
; 1,84803
1 1,87500
1,90108
5(49°)
0,83263
0,85334
0,87420
0,89520
0,91636
0,93767
0,95914
0,98077
1,00256
1,02452
1,04664
1,06893
1.09J39
1,11402
1,13682
1,15979 j
1,18294
1,20626
1,22975
1,25342
1,27726
1 1,30127
1,32545
1,34980
1,37431
1,39899
1,42383
1,44882
1,47396
1,49924
1,52467
1,55024
1,57593
1,60174
1,62767
1,65371
1,67985
1,70607
1,73238
1,75876
1,78520
1,81170
1,83824
1,86481
1,89140
1,9\80Э
/450*)
0,83431
0,85515
0,87614
0,89729
0,91860
0,94008
0,96171
0,98352
1,00550
1,02765
1,04998
1,07248 ;
1,09517
1,11803
1,14108 1
1,16432 |
1,18773 ,
1,21134
1,23513 1
1,25910
1,28326
| 1,30760
1,33212
1,35683
1,38171
1,40677
1 1,43200
1,45739
1,48296
1 1,50867
1,53455
1 1,56056
1,58672
1,61302
1,63943
1,66597
1 1,692Ы
! 1,71935
1 J,74618
1,77309
1,80006
1,82710
1,85418
1,88129
1,90843
1,93558
F{b\b)
0,83600 1
0,85697
0,87810
0,89940 '
0,92086
0,94250
0,96431
0,98630
1,00846
1,03082
1,05336
1,07608 1
1,09900
1,12211
1,14541
1,16891 |
1,19261
1,21650 !
1,24059 |
1,26488 1
1,28937 |
1 1,31405
1,35894
1,36401
1,38928
1,41473
1,44037
1,46619
1,49219
1,51836
1,54470
1 1,57119
1,59784
1,62463
1,65156
1,67862
1,70579
1,73308
1,76046
1 1,78792
1,81546
1,84307
1,87072
1,89841
1,92613
1,95386
F{529)
0,83770
0,85860
0,88007
0,90152
0,92314
0,94494
0,9^692
0,98909
1,01146
1,08411
1,05676
1,07972
1,10287
1,12623
1,14979.
1,17357
1,19755
1,22174
1,24615
1,27077
1,29559
1 1,32063
1,34588
1,37134
1,39701
1 1,42288
1,44895
1,47521
1,50167
1,52831
1,55513
! 1,58213
1,60929
1,63661
1 1.6640S
, 1,69169
1,71942
1,74728
1,77544
1,80329
1,83143
1,85964
1,88790
1,91620
1,94454
1,97288 ,
f (53°)
0,83940
0,86064
0,88205
0,90364
5,92542
0,94739
0,96955
0,99191
1,01447
1,03723
1,06020
1,08339 1
1,10678
1,13040
1,15423
1,17828
1,20256 1
1,22706
1,25179
1,27675
1,30193
! 1,32734
1,35297
1,37883
1,40491 1
| 1,43212 1
1 1,45772 1
1,48445 1
1,51139 1
1,53852 1
1,56586 1
1,59338 1
1,62108 1
1 1,64895 1
1 1,67699 1
| 1,70518 1
1
1,73351 1
1,76196 1
1,79054 1
1,81922 1
1,847991
1
■
1,87683 1
1,90574 1
1,93469 1
1,96367 [
1,99267 1

ДО
ч
0*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
П
12
13
14
15
16 I
17
13
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39 i
40
41
1 42
43
44
4&
/454*)
0,0Г,000
0,01745
0,03491
0.05238
0,06935
0,08734
0,10485
0,12237
0,13992
0,15750
0,17511
0,19276
0,21045
0,22817
0,24595
0,26377
0,28165
0,299t8
0,31757
0,33563
0,35376
0,37196
0,3S023
0,40859
0,42703
0,44655 j
0,46417
0.4Я289
0,50170
0,52062
0,53965
0,55880
0,57805
0,59743
0,61694
0,63658
0,65635
0,67626
0,69631
0,71651
0,73687
0,75738
0,77806
0,79890
0,81991
0,84110
^(55*)
0,00000
! 0,01745
0,03491
0,05238
0,06935
0,08734
0,10485
0,12238
0,13993
0,15751
0,17513
0,19278
0,21047
0,22821
0,245fc9
0,26382
0,28171
0,29965
0,31766
0,33574
0,35388
0,37210
0,39040
0,40878
0,42724
0,44580
0,46445
0,48320
0,50206
0,52102
0,54009
0,55928
0,57860
0,59803
0,61760
0,b3730
0,65715
0,67713
0,69727
0,71756
0,73801
0,75862
0,77940
0,80035
0,82149
0,84281
F(56*)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06935
0,08734
0,10485
0,12238
0,13994
0,15752
0,17514
0,19280
0,21050
0,22824
0,24603
0,26387
0,28177
0,29973
0,31775
0,33584
0,35400
0,37224
0,39056
0,40897
0,42746
0,44605
0,46473
0,48352
0,50241
0,52141
0,54053
0,55977
0,57913
0,59863
0,61826
0,63803
0,65794
0,67800
0,69822
0,71860
0,79914
0,75985
0,78074
0,80180
0,82306
0,84450
/Ч5П
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06935
0,08734
0,10485
0,12239
0,13995
0,15754
0,17516
0,19282
0,21052
0,22827
0,24607
0,26392
1 0,28183
0.29S80
0,31784
0,33594
0,35412
I 0,37238
0,39072
0,40915
0,42767
0,44629
0,46500
0,48382
0,50275
0,52180
0,54096
0,56025
0,57967
0,59922
0,61891
0,63874
0,65873
0,67887
0,69916
0,71963
0,74026
0,76107
0,78207 i
0,80825
0,82462 1
0,84520 j
—-
F (58')
0,00000
0,01745
0 03491
0,05238
0,06935
0,08735
0,10486
0,12239
0,13995
0,15755
0,17517
0,19284
0,21055
0,22830
0,24611
0,26397
0,28189
0,29987
0,31792
0,33604
! 0,35424
0,37252
0,39088
0,40933
0,42788
0,44652
0/6527
0,48413
0,50310
0,52218
0,54139
0,56073
0,58020
0,59980
0,61955
0,63945
0,65951
0,67972
0,70010
0,7206»
0,74198
0,76229
0,78389
0,80468
0,82618
0,84788
F(№)
0,00000 1
0,01745
0,03491
0,05238
0,06985
0,08735
0,10486 1
0,12240
0,13996
0,15756
0,17519 j
0,19286
0,21057
0,22833
0,24615
0,26402
[ 0,28195
0,29994
| 0,31801
0,33614
0,35436
0,37265
0,39104
0,40951
0,42809
0,44676
0,46554
0,48443
0,50343
0,52266
0,54181
,. J
0,56120
0,58073
0,60038
0,62019 1
0,64016 1
^J1
0,66028
0,68057 J
0,70101
0,72167
О!74243
—f 1
о,7взао |
°>7& r 1
°Ш
0,84956 1

341
*
45-
46
47
48
49
50
51
52
53
54
б5
56
57
I 58
59
j 60
|> 61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
1 73
74
75
I 76
77
78
79
80
81 I
82
83
84
85
86
87
) 88
1 89
1 90
/7(б4°)1
0,84110
0,86247
0,88409
0,90577
0,92771
0,94985
0,97219
0,99474
1,01750
1,04048
1,01367
1,08709
' 1,11074
! 1,13461
1,15872
1,18306
1 1,20764
1,23246
| 1,25752
1,28282
1,30837
1,33415
1,36018
1,38646
! 4,41297
1,43972
1,46670
1,49391
1,52134
1,54900
1,57687
! 1,60494
1,63321
! 1,66167
1 1,69030
1 1,71910
' , ■-, ,'
1,74806
1>715
1,80638
1,83572
1,86515
1,89468
1,92423
1,95390
| 1,98353
2,0ДО7
/455е)
0,84281
0,86431
0,88601
0,90791
0,93001
0,95232
0,97784
0,99759
1,02055
, 1,04374
1,05716
1,09082
ММ72
1,13886
1,16325
1,1е788
1,21277
1,23702
1,26332
1,28898
1,31491
1,34109
1,36753
1,39423
1,42119
1,44840
1,47587
1,50359
1,53055
1,55974
1,58817
1,61682
1,64569
1,67476
1,70403
1,73347
1,76309
1,79286
1,52278
1,85281
1,88296
1,91320
1,94351
1,97388
!■' 2,00429
2,03472
i ■
/456")
0,84450
0,86615
0,88799
0,91004
0,93231
0,95479
0,97750
1,0j044
1,02361
1,04702
1,07057
1,09457
1,11872
1,14314
1,16782
I 1,19276
1,21797
1,24345
1,26920
1,23523
1,32154
1,34813
! 1,37500
I 1,40214
1,42957
1,45727
1,48524
1,51349
1,54199
1,57076
1,59977
1,62903
1,658^3
1,68825
1,71818
1,74831
1,77863
1,80911
1,83976
1,87054
1,90144
1,93244
1,*6352
1,99467
2,02585
2,05706
F(57°)
0,84620
0,86798
0,88997
0,91218
0,93461
0,95727
0,98016
1,00329
1,02667
1,05031
1,07419
1,09834
1,12276
1,14745
1,17242
1,19767
1,22321
1,24903
1,27515
1,30155
1,32827
1,35528
1,38259
1,41019
1 1,43810
1,46631
1,49481
1,52360
1,55268
1,58204
1,61167
1,64157
1,67173
1,70213
1,73276
1,76362
1,79468
1,82592
1,85734
1,88891
1,92061
1,95242
1,98433
2,01630
2,04832
2,08036
/458е)
0,84788
0,86980
0,89194
0,91430
0,93690
0,95974
0,98282
1,00615
1,02974
1,05360
1,07773
1,10213
1,12681
1,15179
1,17705
1,20262
1,22849
1,25456
1,28115
1,30796
1,33508
1,36252
| 1,39029
1,41837
1 1,44678
1,47551
1,50456
1,53393
1,56361
1,59359
4,62387
1,65445
1,68530
1,71642
1,74780
1,77941
1,81123
1,84331
1,87555
1,60795
1,94051
1,97317
2,00597
2,03882
2,07173
2.1046G
F&V)
0,84956
0,87162
0,89390
0,91642
0,93919
0,96220
0,98547 1
1,00900
1,03281
1,05689
1,08126
1,10592 1
1,13088
1,15614
1,18171
1,20760
1,23381 1
1,26034
1,28721
1,31442
1,34196
| 1,36986 1
1,39809
1,42668
1 1,45561
1,48488
1,51451 1
1,54447
1,57478
1,60541
1,63638
1,66766 1
1,69924
1,73112
1,76329
1,79571
1,82839 1
1,86130
1,89441
1,92771
1,96117
1,99477
2,02349
2,06228
2,09614
2,13002

342
9
0°
1
2
3
4
5
1 6
7
10
1 П
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
1 22
1 23
24
25
26 1
27
28
29
30
31
32
33
34
;5
1 ЯГ) 1
37
38
39
1 40
41
42
43
44
45
Т(60°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08735
I 0,10486
0,12240
0,13997
0,15757
0,17520
0,19288 1
0,21059
0,22836
0,24618
0,25406 |
I 0,28200 1
0,30001
0,31809
0,33624
0,35447
0,37279 1
0,39119
0,40969
0,42829
0,44699
0,4^580 1
0,48472
0,50377
0,52293
0,54223
0,56166 1
0,58123
0,f0095
0,62-82
0,64085
0,66104 1
0.68141
0,70195
0,72267
0,74358
0.764С9
0,78600
0,80762
0,82926
0,85122
' /"(6Г)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06946
0,08735
0,10487
0,12241
0,13997
0,15758
0,17521
0,19289 1
0,21062
0,22839
0,24622 !
0,26411 j
0,28206 I
0,30008
0,31817
0,33634
0,35458
0,37292 1
0,39135
0,40987
0,42849
0,44722
0.46F06 1
0,48502
0,50409
0,52 т
0,542.4
0,5612 I
0,58174
0,60151
0,62144
0,64153 J
'0,66179 I
0,Ь8223
0,70285
0,72366
0,74466
0,76387
0,78729
0,8(892
0,83078
0,85287
F(62°)
, о,огооо
0,01745
1 0,03491
0,05238
0,06986
0,08735
0,10487
0,12241
0,13998
0,15759
0,17523
0,19291
0,21064
0,22842
0,24626 1
0,26416 1
0,28212 1
0,30015
0,31825
0,33643
0,35469
0,37205 1
0,39149
0,41004
0,42869
0,44744
0,46631 I
0,48530
0,50441
0,52366
0,54304
0,56256 1
0,58224
0,60206
0,Ь2205
0,64221
0,6f254 1
0,^8305
0,70374
0,7^464
0,74573
0,76703
0,78856
0,81030
0,83228
0,85450
/463°) /?(64°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08735
0,10487
0,12241
0,13999
0,15759
0,17524
0,19293
0,21066
0,22845
0,24629
0,26420
0,28217
0,30С21
0,31833
0,33652
0,35480
0,37317
0,39164
0,41021
0,42888
0,44766
0,4^6 1
0,48558
0,50473
0,52401
0,54344 |
0,56300
0,58273 |
0,60261
0,622^5
0,64287 |
0,66326 j
0,68384 1
0,70462
0,72560
0,74679 j
0,76818
0,78981
0,81166
0,83376
0,85611
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08736
1 0,10487
0,12242
0,13999
0,15760
0,17525
0,19294
0,21069
0,22848
0,24633 1
0,26424
0,28222
0,30027
0,31840
0,33661
0,35491
0,37330 1
0,39178
0,41037
0,42906
0,44787
0,46680 1
0,48585
0,50504
0,524Я6
0,54382
0,56344 1
0,58320
0.Ю314
0,62324
0,64852
0,66398 1
0,68463
0,70548
0.72651
0,74781
0,76931
0,79104 !
0,81300
0,83522
0,85769
/>(6о°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08736
0,10488
0,12242
0,14000
0,15761
0,17526
0,19296
0,21071
0,22851
0,24636
0,26428
0,28227 i
0,30084
0,31848
0,33670
0,35501
0,37342
0,39192
0,41053
0,42925
0,44808
0,46704
0,4842
9,50534
0,52470
0,54420
0,56385
0,58367
0,60365
0,62381
0,64416
0,66468
0,68540
0,70681
0,72741
0,74893
.-..JL
0,77641
0,79224
0,81433 1
0,33601
0,85Ш
1

45°
46
47
48
49
to
51
52
53
54
55
56 :
57
58 ,
59
to
61
62
63
64
C5
66
67
68
1 69
70
71 1
72
73
74
75
1 76
77
78
79
80 1
81 1
82
83
85 ]
86
87
88
1 89
J 90
F(bOc)
0,85122
0,87342
0,89585
0,91853
0,94146
0,96465
0,93811
1,01185
1,03587
1,06018
1,08479
1,10971
1,13494
1,16060
1,18638
1,21254
1,23916
1,26606
1,29332
1,32094
1,34893
1,37728
1,40600
1,43510
1,46457
1,49441
1,52463
1,55522
1,58617
1,61750
1,64918
1,68120
1,71356
1,74625
1,77924
1,81253
1.M609
i,lm\
1,91395 !
1,94821 |
1,98264
2,01723
2,05194
2,08674
2,12161
2,15652
/»(6Г)
1 0,85287
1 0,87520
0,89778
0,92062
0,94372
0,96709
0,99074
1,01468
1,03892
1,06346
1,08832
1,11350
1,13901
1,16486
1,19106
1,21761
1,24453
1,27181
1,29947
1,32751
1,35595
1,38477
1,41400
1,4436?
1,47365
1,50409
1,53343
1,56617
1,59781
1,62985
1,66228
1,69509
1,72827
1,76180
1,79568
1,82988
1,86438
1,89916
1,93420
1,96947
2,00495
2,04059
2,07637
2,11226
2,14822
2,18421
/=■(62")
0,85450
0,87697
0,89970
1 0,92269
0,94696
0,96951
0,99335
1,01750
1,04195
1,06673
1,09183
1,11728
1,14307
1,16922
1,19574
1,22263
1,24991
1,27758
1,30565
1,33412
1,36302
1,39233
1,42208
1,45225
1,48286
1,51391
1,54539
1,57732
1,60968
1,64247
1,67568
1,70932
1,74336
1,77779
1,81260
1,84777
1,88327
1,9190^
1,95519
1,99155
2,02814
2,06491
2,10184
2,13890
2,17602
2,21319
F(Z3C)
0,85611
0,87871
0,90159
0,92474
i 0,94817
0,97190
0,99594
1,02029
1,04496
l,0f997
1,09533
1,12104
1,14712
1,17357
1,20041
1,22765
1,25529
1,28336
1,31184
1,34077
1,37013
J 1,39995
1 1,43022
1,46096
1,49217
1,52386
1,55601
1,58865
1,62175
1,65533
1,68938
1,72388
1,75833
1,79422 1
1,83002
1,86621
1,90279 i
1,93971
1,97695
2,01447
2,05225
2,09025
2,12842
2,16672
2,20511
2,24355
/="(64°)
0,85769
0,88043
0,90345
0,92676
0,95036
0,97427
0,99849
1,02305
1,04794
1,07319
1,09880
1,12458
1,15114
1,17790
1,20507
1,23266
1,26067
1,28913
1,31805
1,34742
1,37727
1,40761
1,43843
1,46975
1,50158
1,53392
1,56678
1,60015
1,63404
1,66845
1,70336
1,73878
1,77469
1,81109
1,84694 ;
1,88523 1
1,92295
1,96105
1,99951
2,03829
2,07735
2,11666
2,15616
2,19582
2,23557 1
2,27538
/=■(65°) 1
0,85925
0,88213
0,90529
0,92875
0,95252
0,97660
1 1,00102
| 1,02578
| 1,05089
1,07637
1,10223
i 1,12848 1
1,15513
1 1,18220
1,20970
1,23764
1,26604 1
1,29490
1,32425
1,35409
1,38443
1,41529
1,44668
1,47860
1,51107
1,54410
1,57768. 1
1,61182
1,64653
1,68180
1,71763
1,75401 1
1,79094
1,82840
1,86637
1,90484
1,94377
1,98313
2,02290
2,06303
2,10348 1
2,14421 1
2,18515 I
2,22627 1
2,26750 I
2,30879 1

144
*
0'
1
3
1 з
4
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
16 1
17
18
19
20 |
1 21
22
23
24
25
26 ,
27 |
28 |
29
30
31
1 32 1
33
34
35
36 1
37
38
39
40
41 1
43
44
41 1
F(W)
1 0,00000
I 0,01745
1 0,03491
0,05i38
0,06986
0,08736
1 0,10488
0,12243
0,14001
I 0,15762
0,17528
1
0,19298
0,21073
0,22853
0,24640
0,26433
0,28232 ]
0,30040
0,31855
0,33678
0,35511 J
| 0,37353
0,39206
0,41058
1 0,42943
0,44828
0,46727
0,48638
0,50563
0,52502
0,54457
0,56427
0,58413 1
0,60416
0,62437
0,61477
1
0,66536
0,68615
0,70715
0,72837
0,74982
0,77150
0,79342
0,81561
0,83805
0}86078
1
F (67°)
I 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08736
I 0,10488
0,12243
0,14001
0,15763
0,17529
0,19299
I 0,21075
0,22856
0,24643
0,26437
0,28237 1
0,30045
0,31862
0,33687
0,35521 |
0,37365
1 0,39219
1 0,41083
0,42960
0,44848
0,46749
0,48663
0,50592
0,52534
0,54492
0,66467 1
0,58457
0,60465
0,62492
0,64537 |
0,66602 1
0,68688
0,70795
0,72925
0,75078
0,77255
0,79458
0,81687
0,83943
0,86227 |
f 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08736
1 0,10488
0,12244
0,14002
0,15764
J 0,17530
0,19301
! 0,21077
0,22858
0,24646
0,26440
0,28242 1
0,30051
0,31869
0,33695
0,35530 J
0,37376
0,39231
0,41008
0,42977
0,44867
0,46771
0,48688
0,50619
0,52565
0,54527
0,56505 I
0,58500
0,60513
0,62545
0,64596 |
0,66667 1
0,68759
0,70874
0,73011
0,75172
0,77358
0,79570
0,81809
0,84077
0,86373
F(69°)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08736
t 0,10489
0,12244
0,14002
0,15765
J 0,17531
0,19302
0,21079
i 0,22861
0,24649
0,26444 |
0,28246 1
0,30057
0,31875
0,33702 |
0,35539 j
0,37386
0,39244
0,41112
0,42993
0,44886 |
0,46792
0,48712
0,50646
0,52595
0,54561
0,56543 I
0,58542
0,60560
0,62596
0,64653 j
0,66730 1
0,68828
0,70950
0,73094
0,75264
0,77458
0,79680 1
0,81929
0,84207
0,86615
/?(70t)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,03736
I 0,10489
0,12244
0,14003
0,15765
| 0,17632
1 0,19304
0,21080
0,22863
0,24652
0,26448
0,28251 1
0,30062
0,31881
0,33710
0,35548 j
0,37396
0,39255
0,41126
0,43008
0,44904
0,46812
0,48735
0,50372
0,52624
0,51593 |
0,56579 1
0,58582
0,60604
0,62646
0,64707 |
0,66790 1
0,68895
0,71023
0,73175
0,75352
0,77555
0,79786
0,82045
0,84333
0,16663
F(7n\
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08737
1 0,10489 1
0,12245
0,14003
0,15766
1 0,17533
0,19305 I
0,21082
0,22865 1
0,24655 1
0,26451 1
0,28255 |
0,30039 1
0,31887 1
0,33717
0,35556
0,37406 I
0,39267 1
0,41139 1
0,43023
0,44921
0,46831 1
0,48756
0,50697
0,5265-2
0,54624
0,56614 1
0,58621 1
0,60648 1
0,62694 1
0,64760 1
0,66849 I
0,68960
0,71094 1
0,73253 1
0,75438 I
0,77649 1
0,79888 1
0,82157 1
0.84456 1
0,86786 I

84(
*
45е
46
47
48
4
50
1 51
52
53
54
55
56 1
57
58
59
60 J
61
62
63
64
65
1 66
67
68
69
70
1 71 1
72
73
74
75
76
77
78 J
79
80
81 1
82
83
84
85
86
87
88
89
90
F(66e)
1 0,86078
0,88379
0,90709
0,93070
0,95464
0,97890
1 1,00351
1,02847
1,05380
1,079>2
| 1,10563
1,13214
1,15909
1,18347
1,21430
1,24260 [
1,27138
! 1,30065
1,33044
1,36075
1,39139
1,42299
1,45496
1,43750
1 ,,52063
1,65436
1,58869 1
1,62364
1,65920
1,69537 |
1,73217 |
1,76957 ,
1,80757
1,84616
1,88532
1,92504
i'M i
2,00599
2,04717
2,03875
2,13070
I 2,17296
1 2,21547
, 2,25817
2,30105
'2,34390
/r(67°)
1 0,86227
0,88541
0,90886
0,93362
0,95672
0,98116
1,00595
1,03112
1,05666
1 1,08261
1 1,10897
1,13576
1,16299
1,19068
1,21885 ,
1,24751 |
! 1,27667
1,30636
1,33659
1,36738
1,39874
1 1,43069
1,46325
! 1,49643
i 1,58024
1,56469
1,59381
1,63558
1,6/20 *
1,70916
1,74696
1,78543
1,82457
1,86436
1,90479
1,91584
1,98747
2,02965
2,0>234
2,11550
2,15907
2,20299
2,24720
| 2,v9163
2,83624
2,38087
5(68')
0,86373
0,88700
0,91058
0,93450
0,95875
0,983:6
1,00835
1,03371
1,05947
1,08565
1,10226
1,13932
1,166*4
1,19484
1,22834
1,25236
1,28192
1,31202
1,34270
1,37398
1,40586
1 1,43838
1,47154
1 1,50536
1,53987
1,57508
1,61100
1,64764
1,68502
1,72313
1,76199
1,80159
1,84193
1,88300
1,92478
1,93725
2,01038
2,05413
2,09847
2,1433 J
2,18866
2,23439
2,Ш)16
| 2,32678
I 2,37327
| 2,4«M
/469#)
0,86515
, 0,88855
0,91227
0,93633
0,96074
0,98552
1,0106)
1,03625
1,05223
1,08864
1,11549
1,14232
1,170 2
1,19894
1,22777
1,25715
| 1,28709
1,31762
, 1,34876
1 1,38052
1,41293
1,44602
1,47980
1 1,51429
1,54951
1,58549
1,62224
1,65978
1,69812
1,73727
1,77724
1,81803
1,85965
1,90207
1,94529
1,98928
2,03402 (
2,07947
2,12558
2,17229 j
2,21954
2,26725
2,31534
2,36373
2,41231
2,46100
J7 (70°)
0,86653
. 0,89005
0,91390
0,93811
0,£6267
0,98763
1,01297
1,03872
1,05491
1,09165
1,11865
1,14624
1,17433
1,20295
1,23212
1,26186
i
1,29219
1,32314
i 1,35473
1,38599
I 1,41994
1 1,45360
1,48800
1,52317
1,56913
1,59591
1,63352
1,67198
1,71132
1,75155
1,79269
1,83473
1,87768
1.9Л54
1,96630
2,01193
2,05840
2,10568
2,15371
2,20244
2,25178
2,30166
2,35198
2,40265
2,45354
2,50465
ПП*)
0,86785 1
0,89150 1
0,91549
0,93983
0,96455 1
0,98966
1,01518 1
1,04113
1,06753
1,09438
1,12173
1,14957 1
1,17795
1,20683
1,23638
1,26647
i
1,29180 1
1,33857
1,36062
1,39337
| 1,42685
1 1,46110 I
1,49614 1
1,53200
1,56871 1
1 1,60529 I
1,64478 1
1,68421
1,72459
1,76594
1,80829
1,85165 1
1,89602
1,94141
1,98780
2,03518
2,08352
2,13278
2,18291
2,23383
2,28347
2,33774
2,39052
2,44370
2,49716
2,5507a

346
»
0°
1
2
3
4
б
6
7 1
8
9
ю
И
12
13
14
15
16
17
Ж
19
50
1 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31 ,
1 32
33
34
35
36
37
38
39 <
40
41
42
43
44
45
/7(72°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06986
0,08737
0,10489
0,12245
0,14004
0,15767
0,17534
0,19306
0,21084
0,22867
0,24657
! 0,26454 ,
0,28?59
0,30072
0,31893
0,33724
0,35564
0,37415
0,39278
0,41151
0,43038
0,44937
0,46850
I 0,48778
0,50720
0,52679
0,54654
0,56647
0,58658
0,60689
0,62740
0,64811
0,66905
0,69021
0,71162
0,73328
0,75520
0,77739
0,79987
0,82265
0,84574
1 0,86915
/7(73°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0,10490
0,12245
0,140J4
0,15/67
0,17535
0,19307
0,21085
0,22869
0,24660
0,26457
0,28263
0,30076
0,31899
0,33730
0,35572
0,37424
0,39288
0,41163
0,43051
0,44953
0,46868
0,48798
0,50743
0,52704
0,54683
0,56679
0,58694
0,60729
0,62784
0,64860
0,66959
0,69081
0,71227
0,73400
0,75599
0,77825
0,80082
1 0,82368
0,84687
0,87039
/474°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0,10490
0,12245
0,14005
0,15768 |
0,17536
0,19308
0,21087
0,22871
0,24662
| 0,26460
0,28266
0,30081
0,31904
0,33737
0,35579
0,37433
0,39298
0,41175
0,43064
0,44968
0,46885
0,48817
0,50765
0,52729
0,54710
0,56710
0,58728
0,60766
0,62825
0,61906
0,67010
0,69137
0,^1290
0,73468
0,75674
i 0,77908
1 0,80172
0,82467
0,84795
0,87157
F(750)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0,10490
0,12246
0,14005
0,15769
0,17537
0,19310
0,21088
0,22873
0,24664
0,26463
. v
0,28270
0,30085
0,31909
0,33742
0,35586
0,37441
0,39307
0,41186
0,43077
0,44982
0,46901
0,48835
0,50785
0,52752
0,54736
0,56739
0,58760
0,60802
0,62865
0,64950
0,67058
0,69191
0,71349
0,73533
0,75745
0,77987
0,80258
1 0,82562
0,84898
0,87270
F (76°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0,10490
0,12246
0,14006
0,15769
0,17537
0,19311
0,21090
0,22875
0,24667
0,26466
0,28273 1
0,30089
0,31913
0,33748
0,35593
0,37449
0,39316
0,41196
0,43088
0,44995
0,46916
0,48852
0,50804
0,52774
0,54760
0,56766
0,58791
0,60836
0,62903
0,64992
0,67104
0,69242
0,71405
0,73595
0,75813
0,78061
0,80340
0,82651
0,84996
0,87377
F{77°) 1
0,00000 1
0,01745 1
0,03491 1
0,05238 1
0,06987 1
0,08737 1
0,10490 1
0,12246 1
0,14006 I
0,15770 I
0,17538 I
0,19312
0,21091
0,22876
0,24669 1
0,26468 1
0,28276 1
0,30092
0,31918
0,33753
0,35599
0,37456 1
0,39324
0,41205
0,43099
0,45007 J
0,46930 1
0,48868 I
0,50823
0,52794
0,54783
0,56791 1
i 0,58819
0,60868
0,62938
0,65031
0,67148 1
0,69289
0,71457
Ь,73653
0,75877
0,78131
0,80416
0,82735
0,85088
0,87478

847
' 1
45°]
46
47
48
49
50
51 1
52
53
: 54
55
' 66 I
57 !
58
1 59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
1 69
70
71
72
73
74
1 75
76
77
78
79
80
1 81
1 82
I 83
84
85
86
1 87
88
89
90
F(72°)
0,86915
0,89291
0,91702
0,94150
0,96636
0,99164
1,01733
1,04346
1,07006
1,09714
1,12472
1,15282
1,18147
1,21070
1,24053
1,27098
1,30209
1,33388
1,36638
1,39963
1,43366
1,46849
1,50417
1,54073
1,57820
1,61662
1 1,65601
1,69642
1 1,73788
1,78040
1,82402
1,86876
1,91463
1,96164
2,00978
2,05904
1 2,10939
2,16080
2,21320
2,26654
2,82070
2,37560
2,43110
2,48708
2,54337
2,59982
F(73°)
0,87039
0,89426
0,91849
0,94310
0,96811
0,99354
1,01940
1,04571
1,07251
1,09980
1 1,12761
1,15596
| 1,18489
1,21441
1,24456
1,27537
1,30686
| 1,33906
1,37202
1,40576
1,44033
1,47576
1,51208
1,54934
1,58758
1,62684
1,66716
1,70859
1,75115
1,79488
1,83983
1,88602
1,93346
1,98218
2,03229
2,08346
2,13599
2,18973
2,24463
2,30061
2,35757
2,41538
2,47391
2,53300
2,59247
2,65214
/7(74°)
0,87157
0,89555
0,91990
0,94464 '
0,96979
0,99536
1,02139
1,04788
1,07486
1,10236
1,13039
1,15899
1,18819
1,21800
! 1,24847
1,27961
1,31148
1,34410
1,37750
1,41174
1,44684
1,48285
1,51982
1,55780
1,59682
1,63693
1,67819
1,72065
1,76435
1,80934
1,85566
1,90336
1,95246
2,00300
2,05499
2,10843
2,16331
2,21959
2,27722
2,33611
2,39616
2,45722
I 2,51915
2,58174
2,64479
2,70807
F(75°)
0,87270 1
0,89678
0,92124
0,94610
0,97139
0,99711
1,02329
1,04995
1,07711
1,10481
1,13307
! 1,16190
1 1,19136
1,22145
1,25223
1,28371
1,31594
1,34896
1,38281
1,41753
1,45316
1,48976
1,52738
1,56606
1,60586
1,64684
1,68905
1,73256
1,77743
| 1,82371
1,87145
1,92073
1,97157
2,02403
2,07814
2,13390
2,19131
2,25035
2,31097
2,37309
2,43658
2,50129
2,56703
2,63357
2,70068
2,76806
/7(76°) J
0,87377 1
0,89795
0,92252
0,94750
0,97291 1
0,99876 !
1,02509
1,05192
1,07926
1,10715
1,13562
1,16468
1,19438
1,22475
1,25583
1,28764
1,32023
1,35564
1,38792
1,42311
1,45927
1,49645
, 1,53470
1,57409
1,61467
1,65651
1,69969
1,74427
1 1,79032
1,83791
1,88713
1,93804
1,99071
2,04519
2,10154
| 2,15978
2,21994
2,28200
2,32531
2,4П59
2,47893
2,54774
2,61780
2,68685
2,76059
2,83267
Я(7П 1
0,87478 I
0,89905 1
0,92372 1
0,94881
0,97434 1
1,00033 1
1,02680 1
1,05378 1
1,08129 1
1,10937 1
1,13803
1,16732 1
1,19726 I
1,22789 1
1,25925 I
1,29188 I
1,32432 1
1,35811
1,39281
1,42847
1,46514
1,50288 1
, 1,54176
1,58)84
1,62320
1,66690
1 1,71*04
1,7Й69
1,80295
1,85189
| 1,90261
1 1,95521
2,00977
2,06638
2,12510
! 2,18600
2,24912 1
2,31446
2,38200
2,43166
2,62331 1
2,59676
2,67175 I
2,74798
2,82505
2,90256

348
»
0е
1
2
з
4
5
6
7
8
10
1 И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
I 23
1 24
| 25
26 1
27
-8
29
30
81 1
32
33
34
85
36 I
37
38
39
40 |
41 1
42
43 1
44 I
45
1 /?(78°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
1 0,10490
0,12246
0,14006
0,15770
0,17539
1 0,19312
0,21092
0,22878
0.24670
0,^471
| 0,28279
0,30096
0,31922
0,33758
0,35604
0,37462
0,39332
0,41214
0,43110
0,45019
0,46943 1
0,48883
0,50839 !
0,52813
0,54805 .
0,56815 1
0,58846
0,60897
0,62971
0,65067
0,67188 1
0,69334
0,71307
0,73707
0,75936
0,78196
0,80488
0,82814
0,85174
0,87572
/479°)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0,10490
0,12247
0,14007
0,15771
[ 0,17539
0,19313
0,21093
! 0,22879
| 0.24672
| 0,26473
0,28282
0,30099
0,31926
0,33762
0,35610
0,37468
0.39339
0,41222
0,43119
0,45030
0,46956
0.488J7
0,50855
0,52831
0,54824
0,56637 |
0,,58871
0,60925
0,63001
0,65101
0,67226 1
0,69375
0,71552
0.73757 1
0,75992 |
0,78257
0,80555
0,82857
0,86255
0,87660
Р(80°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
1 0,10491
0,12247
0,14007
0,15771
0,17540
1 0,19314
0,21094
0,22880
0,24674
1 0,26475
0,28284
0,30102
0,31929
0,33766
0,35615
1 0,37474
0,39346
0,41230
0,43128
0,45040
0,46997 1
0,48910
0,50870
0,52847
0,54843
0,56858 1
0,58893
0,60950
0,69029
0,65132
0,67260 1
0,69414
0,71594
0,73804
0,76043
0,78313
0,80617
0,82954
0,85329
i 0,87741
If
F(S\°)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08737
0,10491
0,12247
0,14007
0,15771
0,17540
0,19315
0,21095
0,22882
! 0,24675
0,26477
0,28286 !
0,30104
0,31932
. 0.33770
0.35619
0,37479
0,39351
0,41237
0,43135
0,45049
0,46977 1
0,48921
0,50883
0,52862 |
0,54859
0,66876 "1
0,58914
0,60973
0,63055
0,65161 1
0,67291 I
0,69448
0,71633
0,73846
0,76089
0,78364
0,80673
0,83016
0,85396
0,878)5
F(82*)
0,00000
0,01745
0,03491
! 0,05238
0.06987
1 0,08738
0,10491
0,12247
0,14007
0,15772
0,17541
0,19315
0,21096
0,22883
0,24677
0,26478
0,28288
0,30107
0,31935
0,38774
0,35623
0,37484
0,39357
0,41243
0,43143
0,45057
0,46986
0,48932
0,50894
0,52875
0,54874
0,56693
0,58932
0,60994
0,63078
0,65186
0,67320 1
0,69479
0,71667
0,73884
0,76131 J
0,78410
0,80723
0,83071
0,85457
■ 0,87881
/W)
1 0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0.08738
0,10491
0,12247
0,14008
0,15772
0,17541
' 0,19316 1
0,21096
0,22884
0,24678 1
0,26480
0,28290 1
0,30109
0,31938
0,33777 1
0,35626
0,37488 1
0,39362
0,41248
0,43149
0,45064
0,46994 1
0,48941
0,50905
0,52887
0,54887
0,56908 1
0,58949 1
0,61012 I
0,63098 I
0,65209 [
0,67345 I
0,69507 1
0,71698 1
0,73917
0,76168 1
0,78451 1
0,80768 I
0,83121
0,8551) 1
0r8794l I
1

349
f
45°
46
47
1 *8
49
50
51
52
53
54
55
1 56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
1 €6
67
1 68
1 69
1 70
71
72 1
73
74
1 75
76
77
78
79
1 80
81 1
82
83
84
88
86
87
88 \
89
90
F{7V)
0,87573
0,90008
0,92485
0,95005
0,97569
1,03180
1,02841
1,05553
1,08321
1,1U46
1,14031
1,16981
1,19998
1,23086
1,26250
1,29492
1 1,32819
1,36236
1,39746
1,43357
1,47073
1 1,50903
1,54862
1,58928
1,63140
1,67496
1,72005
1,76678
1,81523
1,86554
1,91780
1,97213
2,02865
2,08748
2,14871
2,21244
2,27875 1
2.34W
2,41930
2.493*
2,569Й0
2,64854
2,72921
2,81142
2,89472
2,97857
/*(79e) | /'(вО*)
0,87660
0,90104
0,92590
0,95119
0,97694
1,00317
, 1,02991
1,05717
1,С8<99
1,11341
1,14244
1 1,17214
1,20252
1,23364
1 1,26554
1,29825
1 1,33184
1,36635
1,40184
1,43838
| 1,47602
1 1,51485
1,55493
1,59636
1,63922
1,68362
1,72965
1,77744
1,82710
1,87876
1,93258
1,98867
2,04721
2,10833
2,17219
2,23893
2,30866
2,38147
2,45741
2,53645
2,61848
2,70328
2,79053
2,87976
2,97038
3,06173
0,87741
0,90193
0,92687
0,95226
0,97810
1,00444
[ 1,03129
1,05868
! 1,08665
1,11521
| 1,14442
1,17730
1,20488
| 1,23623
1,26837
1,30135
1,33524
1,37008
1,40594
1,44288
| 1,48098
1 1,52031
1,56096
1,60303
1,64661
[ 1,69181
1,73877
1,78759
1,83844
1,89146
1,94682
2,00470
2,С6529
2,12878
2,17538
2,26527
2,33866 1
2,41569
2,49648
2,58105
2,6693$ J
2,76116 |
2,85612 |
2,95366 |
3,05303
3,1533d
F(W)
0,87815
0,90274
0,92776
0,953П
0,97916
1,00560
1,03256
1,06007
1,08816
1,11687
1,14623
1,17628
1,20705
1,23860
1,27097
1,30421
1 1,33837
1,37352
1,40973
1,44705
1,48558
1 1,52539
1,56658
1,60925
1,65351
| 1,69949
1,74733
1,79716
1,84916
1,90351
1,96040
2,02006
2,08271
2,14860
2,21802
2,29121
2,36848
2,45005
2,53616
2,62693
2,72237
2,82233
2,92641
3,03393
3,14396
3,25530
F(W)
0,87881
0,90347
0,92856
0,95410
0,98012
1,00665
1,03370
1,06132
1,08953
1,11837
1,14787
1,17808
1,20902
1,24076
1,27334
1,30680
1,34123
1,37666
1,41318
1,45086
1 1,48978
1 1,53С04
1,57173
1,61497
1 1,65987
1,70658
1,75525
1,80605
1,85916
1,91478
1,97317
2,03456
2,099', 6
2Г16757
2,23984
2,31644
2,39776
2,48419
2,57609
2,67376
2,77737
2,88685 1
3,00184
3,12156
3,24478
3,36987
/Ч8&*)
0,87941
0,90412
0,92927
0,95488
0,98097
1,00758 1
1 1,03472 1
1,06244
1,09076
1,11971
1,14934
1,17968 1
1 1,21078
| 1,24269
1,27545
1,30913
[ 1,34378 1
1,37947
1,41628
1,45428
1,49356
1 1,53423 1
1,57638
1,62014
1,64564
| 1,71303
1 1,76248 1
1,81417
1,86832
1,92526
1,98496
( 2,04803 1
2,11471
2,18540
2,26052
2,34056
I 2,42507
2,51760
1 2,61575
| 2,72106
2,83396 J
2,95463 1
3,08284 I
3,21772 I
3,35769 1
3,50042 |

350
*
0°
1
2
3
4
5
6 1
8
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
1 22
23
24
25
26
27
28 !
29
30
1 31
32
1 33
1 34
1 35
36
37
38
39
1 40
1 41
42
1 43
1 44
45
/*(84e)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08738
0,10491 I
0,12247
0,14008
0,15772
0,17542 J
0,19316
0,21097
0,22884
0,24679
0,26481
0,28291
0,30111
0,31937
0,33779
0,35629
1 0,37491
0,39366
0,41253
0,43154
0,45070
0,47002
0,48949
0,50914
0,62897
0,54899
0,56920
0,58963
0,61028
1 0,63116
0,65229
1 0,67367
0,69531
0,71724
0,73947
J 0,76200
0,78487
0,80807
0,83164
0,85558
0,87992
^(85°)
0,UOOOO
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987 !
0,08738
0,10491 1
0,12248
0,14008
0,15772
0,17542
0,19317
0,21098
0,22885
0,24680
0,26482
0,28293
0,30112
0,31942
0,33781
0,35632
0,37494
0,39369
0,41257
0,43159
0,45075
0,47008
0,48956
0,A0922
0,52905
0,54908
0,56931
0,58975
0,61042
0,63131
0,65245
| 0,67385
0,69552
0,71747
0,73972
0,76228
0,78517
0,80841
0,832(0
0,85598
0,88037
^(86°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238 '
0,06987
0,08738
0,10491 I
0,12248
0,14003
0,15773
0,17542 1
0,19317
0,21098
0,22886
0,24680
0,26483 |
0,28294
0,30114
0,31943
0,33783
0,35634
0,37497
0,39372
0,41260
0,43163
0,45080
0,47012
0,48962
0,50928
0,52913
0,54916
1 0,56940
0,58985
0,61053
0,63144
0,65259
! 0,67400
0,69569
0,71766
0,73992
j 0,76251
0,78542
0,80868
0,83230
0,85631
0,88073
F{M9)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08738
0,10491
0,12248
0,14008
0,15773
0,17542
0,19317
0,21098
0,22886
0,24681
0,26483
0,28294;
0,30115
0,31944
0,33784
0,35636
0,37499
0,39374
0,41263
0,43166
0,45083
0,47016
0,48966
0,50933
0,52918
1 0,54923
0,56947
0,58993
! 0,6»062
0,63153
0,65270
I 0,67412
0,69582
0,71780
0,74008
1 0,76268
0,78561
0,80839
0,83254
0,85657
0,88101
F (88°)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05238
0,06987
0,08738 !
0,10491 1
0,12248
0,14008
0,15773
0,17542
0,19318
0,21099
0,22886
0,24681
0,26484
0,28295
0,30115
0,31945
0,33785
0,35637
| 0,37500
0,39376
0,41265
0,43163
0,45086
! 0,47019
0,48969
0,50936
| 0,52922
0,54927
0,56952
0,58999
0,61068
0,63160
0,65278
1 0,67421
0,69591
0,71790
0,74020
0,76281
0,78575
0,80904
0,83271
0,85675
0,88121
F(89°) J
0,00000 1
0,01745 1
0,03491 1
0,05238 I
0,06987 1
0,08738 J
0,10491 1
0,12248 1
0,14008 1
0,15773 I
0,17543 1
0,19318 1
0,21099 I
0,22886 I
0,24681 1
0,26484 I
0,28295 1
0,30116 I
0,31946 I
0,33786 I
0,35638 1
0,37501 1
0,39377 1
0,41266 1
0,43169 1
0,45087 I
0,47021 1
0,48971 1
0,50939 1
0,52924 1
0,54930 1
0,56955 1
0,59002 1
0,61072 1
0,63164
0,65282
0,67426 1
0,t9597
0,71797
1 0,74027
0,76288
0,78584
0,80914
0,83281
0,85687
0,88133

45°
46
J 47 ■
48
J 49
! 50
51 1
52
53
54
55 J
56
57
58
59
60
1 61 1
62
63
64
65
66
67
68
10
71
I 72
73
74
75
76
77
78
79
| 80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
МинШГЧЩУиЩ-ГП
F(84°)
0,87992
0,90469
0,92989
0,95556
0,98172
1,00839
1,03562 1
1,06342
1,09183
1,12088
1,15062 J
1,18109 1
1,21232
1,24438
1,27731
1,31117
1,34603 1
1,38195
1,41901
1,45730
1,49690
1,53793
1,58049
1,62472
1,67076
1,71876
1,76892
1,82143 |
1,87653 1
1,93449
1,99562
2,06027
2,12883
2,20179
2,27$69
2,36414
2,54961!
2,65442
2,76806
2,89147
3,02528
3,16963
3,32376
3,48564
3,65186
5(85°) F(86°)
0,88037
0,90517
0,93042
0,95614
0,98235
1,00909
1,03638
1,06425
1,09274
1,12188
1,15171 |
1,18229
1,21364
1,24582
1,27890
1,31292
1,34795
1,38407
1,42135
1,45989
1,49977
1,54112
1,58404
1,62868
1,67518
1,72372
1,77450
1,82774
1,88370
1,94267
2,00499
2,07106
2,14136
2,21644
2,29694
2,38365
2,47748
2,57954
2,69109
2,81362
2,94869
3,09782
3,26198
3,44116
3,63279
3,83174
0,88073
0,90557
0,93085
0,95661 *•
0,98287
1,00966
1,03700
1,06493
1,09349
1,12270
1,15262
1,18328
1,2*472
1,24702
1,28021
1,31436
1,34954
1,38582
1,42329
1,46203
1,50215
1,543X6
1,58698
1,63197
1,67887
1,72787
! 1,77918
1,83303
1,88972
1,94955
2,01290
2,08023
2,15205
2,22900
2,31185
2,40153
2,49920
2,60627
2,72452
2,85612
3,00371
3,17204
3,35887
3,57110
3,80508
4,05276
F{8V)
0,86101
0,90588
0,93119
0,95699
0,98238
1,01011
1,03749
1,06547
1,09407
1,12335
1,15332
1,18405
1,21557
1,24795
1,28124
1,31549
1,35079
1,38720
1,42481
1,46372
1,50402
I 1,54584
1,58930
1,63456
1,68177
1,73114
1,78287
1,83723
1,89450
1,95503
2,01923
2,08758
2,16065
2,23917
2,32400
2,41622
2,51722
2,62876
2,75314
2,89341
3,05363
3,23915
3,45645
3,71311
4,01091
4,33865
/488е)
0,88121
0,90610
0,93144
0,95725
0,98367
1,01043
1,03784
1,06585
1,09450
1,12381
1,15383
1,18460
1,21618
1,24862
1,28197
1,31631
1,35168
1,38819
1,42591
1,46493
1,50537
' 1,54734
1 1,59098
1,63643
1,68387
1,73350
1,78555
1,84027
1,89797
| 1,95902
1 2,02384
2,09295
2,16697
2,54666
2,33300
2,42718
2,53079
2,64589
2,77530
2,92295
3,09449
3,29837
3,54748 1
3,86108
4,26139
4,74272
* ffl
0,88138 1
0,90623 1
0,93156
0,95741
0,08375
1,01062
1,03805 1
1,06608
1,09475
1,12408
1,15413
I 1,18494 1
1,21655
1,24903
1,28242
1,31679
1,35222
1,38879
1,42657
1,46566
1,50618
1,54824 1
1,59199
1,63756
1,68514
1,73494
1,78717 1
1,84211
1,90008
1,96144
2,02665
2,09622 1
2,17082
2,25126
2,33853
2,43395
2,53922 |
2,65664 1
2,78938 1
2,94206 1
3,13170
3,33964 1
3,61613
3,99110
4,55347 1
5,43491

352
¥
0#
1
2
1 з
4
5
1 6
1 7
1 8 1
10
11
12
13
14
15
16
18
19
1 20
1 21
I 22
I 23
1 24
] 25
26
27
1 У8
29
1 30
F{W)
0,00000
0,01745 |
0,03491
0,05238
0,0 987
0,08738
0,10491
0,li248
0,14008
0,15773
0,17543
0,19318 1
0,21099
0,22886
0,24681
0,26484
0,28295
0,30116
0,3i946
0,33786
0,35638
ооооо
till
0,47021
0,4^972
0,50939
0,52925
0,54931
¥
31'
32
33
34 -
35
36
37
38 !
39
40
41
42
43
44
45 !
46
47
48
1 49'
50 1
51 '
52
53
1 54
55
36
57
58
59
60
F(90#)
0,66956
0,f>9003
0,61073
0,63166
0,65284
0,67428
0,69599
0,71799
0,74029
0,76291
0,78586
0,80917 !
0,83284
0,85690
0,88137
0,90628
0,93163
0,95747
0,98381
, 1,01068
1,03812
1,06616
1,09483
1,12418
1,15423
1,18505
1,21667
1,24916
1,28257
1,31696
*
61°
62
6i
£4
65
66
67 '
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
1 80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
F{90')
1,35240 1
1,38899 1
1,42679 I
1,46591 1
1,60645 1
1,54855 1
1,59232 1
1,63794 I
1,68557 1
1,73542 1
1,78771
1,84273 1
1,90079
1,96226
2,02759
2,09732
2,17*12
2,252*0
2,34040
2,43625
2,54209
2,66031
2,79422
2,94870
3,13130
3,P5467
6,64753
4,04813
4,74135
00

Таблица 2. Эллиптические интегралы второго рода 393
* 1
0°
1
2
3
1 4
1 5 1
6 1
1 7
1 9
1 10
11 1
1 12
13
14
1 15
1 16 1
1 17 |
1 18
1 19
20
21
22
23
1 24
25
26
I 27
28
1 29
30
81
32
33
34
1 85
86
1 37
88
39
1 40
1 41
1 4?
1 43
1 44
1 45
Е (0е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727 |
0,10472 |
0.12217
0,13963
0,15708
0,17453 1
0)19199
0,20944 ;
0,22689
0,24435 1
0,26180 |
0,27925
0,29671
0,31416
, 0,33161
0,34907
1 0,36652
0,38397
0,40143
0,4i888
0,43633
1 0,45379
0,47124 -
0,48869
0,50615
| 0,52360
1 0,54105
0,55861
1 0,57596
1 0,59341
J 0,6,087
1 0,62832
0,64677
0,66323
0,68068
J 0,69813
I 0,71558
0,73304
0,75049
0,76794
0,78540
E(V)
0,00000
0,01745
0,03491
0.05236
0,06981
0,08727
°,Г0472
0, ^217
0,151^7
0,17^д
0,19198
0,20943
0,22688
0,24433
0,26178
0,27923 '
0,29667
0,31412
0,33157
0,34901
1 0,36646
0,38890
0,40135
0,41879
0,43623
0,45367
0,47111
0,48835
0,50599
0,52343
1 0,54086
0,55830
0,57573
0,593i7
1 0,61060
1 0,62803
0,64646
0,66289
0,68031
J 0,69774
1 0,71517
0,73259
0,76001
0,76744
0,78486
Е (10е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08726 |
0,10471
0,12216
0,13961
0,15706
0,17451
0,19195
0,20939 |
0,22683
0,24427
0,26171
J 1
0,27914
0,29658
0,31401
0,33143
0,34886
I 0,36628
0,38370
0,40111
0,41852
0,43593
0,45333
0,47074
0,48813
0,50553
0,52292
1 0,54030
0,55768
0,57506
0,59243
0,&)980
1 0,62716
0,64452
0,66188
0,67923
J 0,69658
1 0,71392
0,73126
0,74859
0,76592
0,78324
Е (15е)
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08726
0,10471
0,12215
0,13960
0,15704
0,17447
0,19191
0,20934
0,22676
0,24419
0,26160
0,27901
0,29642
0,31382
0,33121
0,34860
0,36598
0,36386
0,40073
0,41809
0,43544
0,45278
0,47012
0,48745
0,50477
0,52208
1 0,53938
0,55667
0,57396
0,59123
0,60850
1 0,62575
0,64300
0,66023
0,67746
1 0,69467
' 0,71188
0,72907
0,74626
0,76343
0,78059
1
£(20°)
0,С0000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08725 1
0,10470
0,12214
0,13957
0,15700
0,17443
0,19185
0,20926
0,22667
0,24406
0,26145
0,27883
0,29620
0,31357
0,33092
0,34825
0,36558
0,38290
1 0,40020
| 0,41749
0,43477
0,45203
0,46928
0,48651
0,50373
0,52094
1 0,53813
0,55530
0,57245
0,58959
0,60672
1 0,62382
0,64091
0,65798
0,67503
0,69207
1 0,70909
0,72609
0,74307
0,76003
0,77697
Е (25е) 1
0,00000 1
0,01745 1
0,03491 1
0,05236 1
0,06980
0.08725
0,10469 1
0,12212 1
0,13955 1
0,15696
0,17438
0,19178 1
0,20917
0,22655
0,24392
0,26127
0,27861 1
0,29594
0,31325
0,33055
0,34783
0,36509 1
0,38233
0,39955
0,41676
0,43394
0,45110 1
0,46824
0,48586
0,50245
0,51953
0,53657
0,55360
0,57059
0,58756
0,60451
1 0,62143
0,63832
0,65519
0,67203
0,68884
1 0,70562
0,72238
0,73910
0,75580
0,77247

354
1 *
I 450
1 46
1 47
1 48
1 49
50
51
52
53
54
55
56 1
57
58
59
60
61 1
62
63
64
65
66 1
Ы
68
69
70
1 71 1
72
73
74
75
76
1 77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
1
E (0е)
0,78540
0,80285
0,82030
0,83776
0,85$21
0,87266
0,89012 1
0,90757
0,92502
0,94248
0,95993
0,97738 1
0,99484
1,01229
1,02974
1,04720
1,06465 1
1,08210
1,09956
1,11701
1,13446
1,15192 1
1,16937
1,18682
1,204?8
1,22173
1,23918 1
1,25664
1,27409
1,29154
1,30900
1,32645
1,34390 ;
1,36136
1,37881
1,39626
1,41372
1,43117 1
1,44862 !
1 1,46608
1,48353
1,50098
1,51844
1,53589
1,55334
1,57080
В (5°)
0,78486
0,802*28
0,81969
4,83711
0,85453
0,87194
0,88936
0,90677
0,92418
0,94159
0,95900
0,97641
0,99381
1,01122
1,02863
1,04603
1,06343 j
1,08084
1,09324
1,11564
1,13304
1,15043 |
1,167£3 1
1,18523
1,20262
1,22002
1,23741
1,25481
1,27220
1,28959
1,30598
1,32437
1,34176
1,35915
1,37654
1,39393
1 ,.41132
1,42871
1,41610
1,46349
1,48J87
1 1,49826
1,51565
1,53304
1,55042
1,50781
E (10')
0,78324
0,80056
0,81787
0,83518
0,85249 <
0,86979 j
0,88709
0,90438
0,92166
0,93895
0,95622
0,97350
0,69077
1,00803
1,02529
1,04255 j
1,05980
1,07705
1,09430
1,11154
1,12878 1
1,14601
1,16324
1,18047
1,19769 ,
1,21491
1,23213
1,24935
1,26656
1,28377
, 1,30097
I 1,31818
1,33538
1,35258
1,36978
1,38698
1,40417
1,42137
1,43856
1 1,45575
1,47294
1 1,49013
1,50732
1,52451
1,54170
1,55889
E (15°)
0,78059
0,79775
0,81489
0,83202
0,84914
0,86606
0,88336
0,90045
0,91753
0,93450 J
0,95166 j
0,96872
0,98576 l
1,00279
1,01981
1,03^83 i
1,05383 1
1,07083
1,08781
1 10479
1,12176 1
1,13873
1,15568
1,17263
1,18957
1,20650
1,22343
1,24034
1,25726
1,27417
1,29107
1,30796
1,32486
1,34174
i 1,35862
1,37550
1 1,39238
1,40925
1,42612
1,44299
j 1,45986
1 1,47671
1,49357
1,51043
1,52729
1,54415
£(20°)
0,77697
0,79390
0,81081
0,82770
0,84457 1
0,86142
0,878 6
0,89507
0,91187
0,92865 !
0,94541
0,96216
0,97889
0,99560 1
1,01229
1,02897
1,04563 1
1,06228
1,07891
1,09553
1,11213 j
1,12871
1,14529
1,16185
1,17839 ;
1,19493
1,21145
1,22796
1,24446
1,26094
1,27742
1,29389
1,31035
1,32680
1 1,34325
{ 1,35968
, 1,37611
1,39254
1,40896
1,42537
j 1,44178
I 1,45819
1,47459
1,49100
1,50740
1,52380
E(2F) j
0,77247 1
0,78911 1
0,80573 1
0,82231 1
0,83887 1
0,85539 1
0,87189 1
0,88836 1
0,89481 I
0,91122 1
0,92761 j
0,95397 1
0,97030 1
0,98661 1
1,00289 I
1,01915 1
1,03538 1
1,05158 1
1,05776 1
1,08392 I
1,10005 1
1,11616 1
1,13225 I
1,14832 1
1,16437 1
1,18040 1
1,19640 |
1,21239
1,22837 1
1,24432 1
1,25026 I
1,27619
1,29210 1
1,30800 1
1,32389 I
1 1,33976
1 1,35553 1
1,37148
1,38733
1,40317
1 1,41900
I 1,43483
1,45066
1,46648
1,48230
1,49811

855
*
0е
1
3
4
5
6 1
7
8
9
10
1 n I
12
13
14
15
16
17
19
20 ;
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
E (30°)
0,00000
0,01745
0,03490
0,05235
0,06980
0,08724 J
0,10467 1
0,12210
0,13951
0,15692
0,17431 1
0,1Й169 I
0,20906
0,22641
0,24374
0,26106
0,27836
0,29563
0,31289
0,33012
0,34733
0,36451
0,38167
0,39880
0,41590
0,43298
1 0,45002
0,46703
0,48402
0,50097
0,51788
0,53476
0,55161
0,56842
0,68520
0,60194
1 0,61864
0,63530
0,65193
0,66851
| 0,68506
1 0,70157
0,71804
0,73446
0,75085
1 0,76720
E (35°)
0,00000
0,01745
0,03490
0,05235
0,06979
0,08723 |
0,10463 1
0,12207
0,13948
0,15687
0,17427 J
0,19160 '
0,20894
0,22626
0,24355
0,26083 |
0,27807
0,29529
0,31248
0,32965
0,34678
0,36387
0,38094
0,39796
0,41496
0,43191
1 0,44882
1 0,46569
0,48252
0,49931
0,51605
0,53275
0,54940
0,56600
0,58256
0,59907
0,61552
0,63193
0,64828
0,66459
0,68084
1 0,69703
0,71318
0,72927
0,74530
0,76128
E (40°)
0,C0000
0,Cl745
0,03490
0,05235
0,06979
0,08722 |
0,10464 1
0,12205
0,13944
0,15681
0,17417
0,19150
0,20881
0,22609
0,24335
0,26058 )
0,27777
0,29493
0,31205
0,32914
0,34619
0,36319
0,38015 ,
0,39707
0,41394
0,43076
0,44753
0,46425
0,48092
0,49753
0,51409
0,53059
0,54703
0,56341
0,57972
0,59598
1 0,61217
0,62830
0,64436
0,66035
0,67628
1 0,69214
0,70793
0,72365
0,73931
0,75489
E (45°)
0,00000
0,01745
0,03490
0,01235
0,06978
0,08721
0,10462 1
0,12202
0,13940
0,15676 1
0,17409 ,
0,19140
0,20868
0,22593
0,24324
0,26032
0,27746
0,29455
0,31161
0,32862
0,34558
0,36249
0,37934
0,39614
0,41289
0,42958
0,44620
! 0,46276
1 0,47926
0,49569
1 0,51205
f 0,52834
0,54456
0,56070
0,57677
0,59276
0,60868
0,62451
0,64027
0,65594
0,67163
1 0,68703
0,70245
0,71778
0,73303
0,74819
£(50°)
0,00000 1
0,01745
0,03490
0,05235
0,06978
0,08720 1
0,10461 1
0,12199
0,13936 1
0,15670 I
0,17401
0,19130
0,20855
0,22576
0,24293
0,26006
0,27714
0,29418
0,31116
0,32809
0,34496
0,36178
0,37853
0,39521
0,41183
0,42838
| 0,44486
0,46126
0,47759
0,49383
| 0,51000
0,52608
0,54207
■ 0,55798
0,57379
0,58952
0,60515
0,62068
0,63612
0,65146
J 0,66671
1 0,68185
0,69688
0,71182
0,72665
0,74137
E (55°)
0,00000
0,01745
0,03490
0,05234
0,05978
0,08719
0,10459
0,12197
0,13932
0,15665
0,17394
0,19120 1
0,20842
0,22559
0,24272
0,25981
0,27684 1
0,29381
0,31073
0,32758
0,34437
0,36109 1
0,37773
0,39431
0,41080
0,42722
0,44355 1
0,45980
0,47595
0,49202
0,50799
0,52386 1
0,63964
0,55531
0,57087
0,58634
0,60169
0,62693
0,63206
0,64707
1 0,66197
I 0,67675
0,69140
0,70594
0,72036
0,73465

356
т
i 45°
46
1 47
1 48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61 1
62
63 1
64
65 1
1 66 1
67
68
69
70
1 71 ]
72
73
74
75 ■
76 i
77
78
79
80 |
81 1
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Я (30е)
0,76720
0,7^350
0,79977
0,81599
0,83217
0,84832
| 0,86442
0,88048
0,89650
0,91248
0,92843
0,94433
0,96019
0,97602
0,99180
1,00756
1,02327
1,03895
1,05459
1,07020
1,08377
1,10132
1,11683
1,13231
1,14776
1,16318 ]
1,17857
1,19394
1,20928 1
1,22459 |
1,23989
1,25516
1,27041
1,28565
1,300.86
1,31606
1,33124
1,34641
1,36157
1,37672
1,39186
1,40699
1,42211
1,43723
1,45235
1,46746 1
Е (35е)
0,76128
0,77721
0,79308
0,80890
0,82466
| 0,84036
1 0,85601
0,87161
0,88715
0,90064
0,91<Ю7
0,93345
0,94878
0,96405
0,97928
0,99445
1,00957
1,02465
1,03967
1,05465
1,06958
1,08447
1,09932
1,11412
1,12888 ,
1,14360
1,15828
1,17293
1,18754 1
1,20211
1,21666
1,23117 1
1,24565
1,26012
1,27456
1,28897
1,30336 1
1,31773
1,33209
1,34643
1,36076
1,37508
1,38939
1,40369
1,41799
1,43229
Е (40°)
0,75489
1 0,77040
I 0,78584
0,80121
0,81651
| 0,83173
1 0,84689
0,86197
0,87698
0,89193
0,90680
1 0,92160
0,93634
0,95100
0,96560
0,98013
0,99460
1,00900
1,02334
1,03762
1,05183
1,06599
1,03009
1,09413
1,10812
1,122)5
1,13594
1,14977
1,16256 !
1,17731 i
1,19101
1,20467
1,21830
1,23189 1
1,24544 л
1,25897 |
1,27246 1
1,28594
1,29939
■1,31282
1,32623
1,33963
1,35302 |
1,36640
1,37977
1,393'Н
Е (45°)
0,74819
0,76326
0,77824
0,79313
0,80794
1 0,82265
1 0,83728
0,85182
0,86627
0,88063
| 0,89490
1 0,90908
0,92318
0,93719
0,95111
| 0,95495
0,97871
0,99238
1,00598
1,01949
1,03293
1,04629
1,05957 |
1,07279
1,08593
1,03901 |
1,11202»
. 1,12497
1,13786 1
1,15068
1,16346
1,17618
1,18885
1,20148
1,21407
1,22651
1,23912 1
1,25159
1,26404 ,
1,27646
1,28836 J
1,30124
1,31360
1,32596
1,33830
1,35064
Е (50°)
0,74137
0,75599
0,77050
0,78490
0,79920
0,81338
1 0,82746
0,84143
0,85529
0,86904
0,88269
1 0,89622
0,90965
0,92297
0,93619
0,94930
0,96231
0,97521
0,98802
1,00072
1,01333
1,02585
1,03827
1,05060 1
1,06234
1,07500 |
1,08707
1,09907
1,11098
1,12283
1,13460
1,14631
1,15795
1,16954
1,18107
1,19255
1,20399 1
1,21538
1,22673
1,23805
1,24934 J
1,26061
1,27186
1,28310
1,29432
1,30554 1
£(55°)
0,73465
0,74881
0,76285
0,77676
0,79054
0,80419
1 0,81772
0,83111
0,84438
0,85752
J 0,87052
) 0,88340
0,89614
0,90876
0,92125
0,93362
1 0,94586
0,95797
0,96996
0,98183
0,99358
1,0052 2
1,02674
1,02815
1,03945
1,05064
1,06173
1,07272
1,08362
1,09442
1,10513
1,11577
1,12632
1,13680
1,14721
1,15755
1,16784
1,17807
1,18825
1,19839
1,20850
1,21857
1,22862
1,23865
1,24867
1,25868

357
9
0е
.1
2
5
6
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
1 36
37
38
39
40
41
42
43 1
44
45
£(60°)
0,00000
0,01745
0,03490
0,05234
0,06977
0,08718
0,10458
0,12195
0,13929
0,15660
1 0,17387
0,19110
0,20830
0,23544
0r24253
0,25957
0,27655
0,29347
0,31032
0,32710
0,34381
0,36044
0,87699
0,39345
0,40983
0,42612
0,44232
0,45842
0,47441
1 0,49031
1 0,50609
0,52177
0,53733
0,55278
0,56811
0,58332
0,59841
0,61337
0,62820
0,64290
0,65746
0,67189
0,68619
0,70034
0,71435
0,72822
£(65°)
0,00000
0,01745
0,03490
1 0,05234
0,06977
0,08718
0,104S6
0,12192
0,13925
0,15655
0,17381
0,19102
0,20819
0,22530
0,24236
0,25^36
0,27629
0,29315
0,30995
0,32666
0,34330
0,35983
0,37631
0,39268
0,40895
0,42513
0,44120
0,45716
0,47301
0,48875
0,50437
0,51986
0,53524
0,55048
0,56559
0,58057
0,F9541
0,61011
0,62467
0,63908
0,65334
0,66745
0,68140
0,69520
0,70884
; 0,72232
1
£(70°)
0,00000
0,01745
0,03490
0,05234
0,06976
0,08717
0,10455
0,12190 |
0,13923 1
0,15651 '
0,17375 J
0,19095
0,20809
0,22518
0,242fcl
0,25917
0,27606
0,29288
0,30963
0,32629
0,34286
0,35934
0,37572 1
0,39201
0,40819
0,42426
0,44023
0,45607
0,47180
0,48740
0,50287
0,51821
0,53341
0,54848
0,56340
0,57818
0,59280
0,60727
0,61159
0,63574
0,64974
0,66356
0,67722
0,69070
0,70401
0,71715
£(75°)
1 0,00000
0,01745
0,03490
0,05234
0,06976
0,08716
0,10454
0,12189
0,13920
0,15648
0,17371
0,19089
0,20801
0,22508
0,24209
0,25902
0,27588
0,29267
0,30937
0,32598
0,34250
0,35892 ]
0,37525
0,39146
0,40757
0,42356
0,43944
0,45518
0,47081
0,48629
0,50165
0,51686
0,53193
0,54684
0,56161
0,57622
0,59067
0,60495
0,61907
0,63302
0,64679
0,66038
0,67379
0,68701
0,70005
0,71289
£(80°)
0,00000
0,01745
0,03490
0,05234
0,06976
0,08716
0,10453
0,12188
0,13919
0,15645
0,17367
0,19084
0,20796
0,22501
0,24200
0,25891
0,27575
0,29250 |
0,30917 1
0,32575
0,34224
0,35862 1
0,37490
0,39106
0,40711
0,42304
0,43885
0,45453
0,47007
0,48548
0,50074
0,51586
0,53082
0,54563
0,56028
0,57477
0,58909
0,60323
0,61720
0,63099
0,64459
0,65801
0,67124
1 0,68426
0,69710
| 0,70972
/7 (85е)
0,00000
0,01745
0,03490
0,05234
0,06976
0,08716
0,10453 1
0,12187
0,13918
0,15644
0,17365
0,19082
0,20792
0,22497
0,24194 1
0,25884
0,27567 I
0,29241
0,30906 1
0,32561
0,34207
0,35843 1
0,37468
0,39081 1
0,40683
0,42273 1
0,43849 1
0,45413
0,46962
0,48498
0,50019
0,51525
0,53015
0,54489
0,55947
0,57388
0,58811
0,60217
0.61C05
0,62974
0,64324
0,65655
0,66966
0,68257
0,69527
0,70777

358
<р
45°
46
47
48
49
50
51 1
52
53
54
55
56 1
57
58
59
60
61 1
62
63
61
65
66
67 1
68
69
70 !
1 71
72
73
74
1 ?5
1 76
77
78
79
80
81
82
83
84
1 85
86
87
88
89
90
£(60°)
0,72822
0,74195
0,75553
0,76896
0,78225
0,79538
0,80836 1
0,82120
0,83388
0.846И
0,85S79 J
0,87101 1
0,88308
0,89500
0,90677
0,91839
0,92986
0,94118
0,95236
0,96339
0,97427
0,98502
0,99562
1,00609
1,01613
1,02664
1,03672
1,04668
1,05651
1,06624
1,07586
1 1,08537
1,09478
1,10410
1,11333
1,12249
1 1,13156
1,14057
1,14952
1 1,15841
1 1,16726
1 1,17606
1,18484
1,19359
1,20233
1 1,21106
£ (65°)
0,72232
0,73564
0,74879
0,76177
0,77459
0,78724
0,79971 |
0,81202
0,82415
0,83610
0,84788 J
0,85949 I
0,87092
0,88217
0,89325
0,90415
0,91488
0,92543 !
0,93581
0,94602
0,95606
0,96593
0,97664
0,98518
0,99456
1,00379
1,01286
1,02178
1,03066
I 1,03919
1,04769
I 1,05607
1,06432
1,07245
1,08047
1,08839
1 1,09621
1,10395
1,11161
1,11920
1,12673
1,13421
1,14165
1,14906
1,15645
1,16383
£(70°)
0,71715 1
0,73010
0,74287
0,75546
0,76786
0,78007 1
0,79208 1
0,80391
0,81554
0,82698
0,83322 |
0,84926 1
0,86011
0,87075
0,88119
0,89144
0,90148
0,91132
0,92096
0,93041
0,93965
0,94870
0,95756
0,96622
0,97469
0,98298
1 0,99108
0,99900
1,00674
1,01431
1,02172-
1 1,02896
1,03605
1,04300
1,04981
1,05648
1 1,06304
1,06948
1,07582
1,08207
1,08*25
1,09435
1,10041
1,10642
1,11241
1,11838
£(75°)
0,71289
0,72554
0,73800
0,75025
0,76230
0,77414
0,78578 1
0,79720
0,80842
0,81941
0,83020
0,84076 1
0,85110
0,86122
0,87112
0,88080
0,89025 j
0,89948
0,90848
0,91725
0,92580
0,93412
0,94222
0,95010
0,95775
0,96519
0,97240
0,97940
0,98619
0,99278
0,99916
1 1,00534
1,01133
1,01714
1,02277
1,02823
1 1,03354
1,03870
1,04372
1,04864
1,05343
1,05813
1,06277
1,06735
1,07188
1,07641
£(80°)
0,70972
0,72215
0,73436
0,74636
0,75815
0,76971
0,78106 1
0,79218
0,80307
0,81374
0,82417 J
0,83436 1
0,84432
0,85404
0,86352
0,87276 1
0,88175
0,89049
0,89898
0,90273
'0,91523
0,92297
0,93047
0,93771
0,94470
0,95144
1 0,95793
0,96417
0,97016
0,97590
0,98141
1 0,98667
0,99170
0,99650
1,00107
1,00543
1 1,01958
1,01354
1,01731
1,02091
1,02436
1 е
1,02768
1,03089
1,03401
1,03708
1,04011
£(85°)
0,70777
0,72005
0,73211
0,74396
0,75558
0,76697
0,77814. 1
0,78907
0,79976 1
0,81021 1
0,82042
0,83039 1
0,84010
0,84957
0,85878
0,86773
0,87643
0,88486 1
0,89303
0,90094
0,90858
0,91595
0,92305
0,92987 1
0,93642 !
0,94270 |
1 0,94870
0,95442
0,95987
0,96503
0,96992
1 0,97453
0,97887
0,98293
0,98671
0,99023
1 0,99348
0,99646
0.&9920
1,00168
1,00394
1 г
1,00598
1,00784
1,00954
1,01113
1,01266

359
<р
0°
1
Г 2 1
з
5
10 1
I1
12
13
14
15
16
17
16
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Е (90°)
0,00000
0,01745 |
0,03490 1
0,05234
0,06976
0,08716
0,10453
0,12187
0,13917
0,15643
0,17365
0,19081
i 0,20791
0,22495
1 0,24192
0,25882
0,27564
0,29237
0,30902
0,32557
0,34202
0,35837
0,37461
0,39073
0М>674
0.V62
'■ , -'W-i'"-- -
1
0,43837
0,45399
0,46947
0,48481
0,50000
<Р
31
32
33 |
34
35
36 .
37
38
39
40 ,
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Е (90°)
0,51504
0,52992
0,54464 (
0,55919
0,57358
0,58779
0,60182
0,61566
0,62932
0,64279
0,65606
0,66913
0,68200
0,69466
0,70711
0,71934
| 0,73135
| 0,74314
0,75471
0,76604
0,77715
0,78801
0,79864
0,80902
0,81915
0,82904
0,83867
0,84805
0,85717
0,86603
9
61*
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
1 72
1 73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Е (90°)
0,87462
0,88295
0,89101
0,89879
0,90631
0,91355
0,92050
0,92718
0,93358
0,93969
0,94552
0,95106
0,95630
0,96126
0,96593
0^7030
| 0,97437
I 0,97815
0,98163
0,98481
0,98769
0,99027
0,99255
0,99452
0,99619
0,99256
0,99863
0,99939
0,99985
1,00000

Таблица 5. Полные эллиптические интегралы первого и второго рода
0
0°
1"
2°
3°
4"
5°
6°
7°
8°
9^
10°
11"
12°
13°
14" |
15°
16°
17°
18"
19°
20"
2 Г
22°
23°
24"
25°
26°
27е
28"
29J
30"
31"
32°
33°
34°
К
1,57080
1,57092
1,57127
1,57187
1.57271
1,57379
1,57511
1,57668
1,57849
1,58054
1,58284
1.68539
1,58820
1,59125
1,59457
1,59814
1,60198
1,60608
1,61045
1,61510 „
1,62003
1,62523
1,63073
1,63632
1,64260
1,64900
1,65570
1,66272
1,67006
| 1.67773
1,68575
1,69411
1,70284
1,71192
| 1,72139
Е
1,57080
1,57068
1,57032
1,56972
1,56888
1,56781
1,56650
1,56495
1,56296
1,56114
1,55889
1,55640 1
1,55368 1
1,55073 1
1,М755 I
1,54415
1,54052
1,63667
1,53260
1,52831
1,52380
1,51908 1
1,51415
1.509Л 1
1,50366
1,49811
1,49237 '
1,48643
1.48029
1,47397
1,46746 1
1,46077
1,45391
1,44687
.1,43966 !
6
35"
36*
37°
38°
39°
40°
41°
42(;
43°
44°
45°
46°
47"
48°
49° |
50°
51° 1
52°
53"
54°
55°
w !
57°
58°
59°
60° 1
61°
62°
63°
64°
65°
66°
67° !
68°
69" '
К
1,73125
1,74150
1,75217
1,76326
1,77479
1,78677
1,79922
1,81216
1,82560
1,83957
1,8)407
1,86915
1,88481
1,90108
1,91800
1,93558
1,95386
1,97288
1,99267 |
2,01327
2.0Л472
2.05706
2,08036
2,10466
2,13002
2,15652
2,18421
2,21319
2,24355
2,27538
2,80879
2,34390
2,38087
2,41984
2,46100
Е
1,43229
1,42476
1,41707
1,40924
1,40126
1,39314 1
1,38489
1,37650
1,36800
1,35938
1,35061 1
1,34181
1,33287
1,32384 1
1,31473
1,30554
1,29628 1
1,28695 1
1,27757
1,26815
1,25868
1,24918
1,23966
1,23013
1,22059
1,211(6
1,20154
1,19205
1,18259
1,17318
1,16383
1,15415
1,14535
1,13624 J
1,12725 I

361
0
70° 0'
70°30' J
7Г 0'
7Р30'
72° 0'
I 72°30'
1 73° 0'
1 73°30'
1 74° 0'
1 74°30'
1 75° 0'
1 75°30'
1 76° 0'
1 76°30'
1 77° 0'
1 77°30'
1 78° 0'
78°30'
79° 0'
1 79°30'
1 80° 0'
1 80°12'
1 80°24'
80°36'
1 80°48'
1 81° 0'
1 81°12'
Г 81°24'
[ 81°36'
8Г48'
82° 0'
82°12'
82°24'
82°36' 1
, 82°48'
83° 0'
83° 12'
83°24'
83°36'
83°48' 1
К
2,50455
2,52729
2,55073
2,57490
2,59982
2,62555
\ 2.65214
I 2,67962
| 2,70807
2,73752
2,76806
2,79975
2,83267
2,86691
2,90256
2,93974
2;97857
3,01918
3,06173
3,10640
3,15339
3,17288
3,19280
3,21317
3,23400
3,25530
3,27711
3,29945
3,32234
3,34580
3,36987
3,39457
3,41994
3,44601 1
3,47282 1
1
3,50042 1
3,52884*
3,55814
3,58837
3,61939
Е
1,11838
1,11399
1,10964
1,10533
1,10106
1,09683
1,09265
1,08851
1,08443
1,08039
1,07641 >
1,07248
1,06861
1,06480
1,06106
1,05738
1,05378
1,05024
! 1,04679
1,04341
1,04011
1 1,03882
1,03754
1,03628
1,03503
1,03379
1,03257
1,03126
1,03017 |
1,02900
1,02784
1,02670 ,!
1,02558
1,02447
1,02338
1,02231
1,02126
1,02023
1,01921
1,01821
6
84° 0'
84°12'
8Г24'
84°36'
84°48'
85° 0'
85°12'
85°24'
85°36'
85°48'
■ 86° 0'
86°12'
86°24'
86°36'
86°48'
87° 0'
87°12'
87°24'
87°36'
87°48'
88° 0'
88°12'
88°24'
88°36'
88°48'
89° 0'
89° 6'
89*12'
89°18' 1
89°24'
89°30'
89°36'
89°42'
89°48'
89°54'
90°
К
3,65186
3,68525
3,71984
3,75572
3,79298
3,83174
3,87211
3,91423
3,95827
4,00437
4,05276
4,10366
4,15736
4,21416
4,27444
4,33865
4,40733
4,48115
4,56190
4,64765
I 4,74272
4,84785
4,96542
1 5,09876
5,25274
5,43491
5,54020
5,65792
5,79140
5,94550 J
6,12778 |
6,35038 '
6,63854
7,64398
7,73711
00
Е
1 1,01724
1,01628
! 1,01534
1,01443
1,01354
1,01266
! 1,01181
1,01099
1,01018
1,00940
1,00865
1,00792
1,00721
1,00653
1,00588
1,00526
1,00466
1,00410
1,00356
1,00306
1,00258 1
1,00215
1,00174
1,00137
1,00104 1
1,00075 1
1,00062 1
1,00050 I
1,00049 1
1,00030 I
1,00021 1
1,00014
1,00008
1,00004
1,00001
1,00000

362 Таблица 4. Логарифмы q
(Характеристики всех логарифмов увеличены на 10)
9
0° ,
1 1
2 1
4 '
5 1
7
8
9
1 к* 1
12
13
14
1 *5 1
16
17
18
19
20 1
1 21
22
1 Ж
1 24
1 25
I 26
27
28
29
80
1 31
32
33
34
1 35
36
1 37
38
39
1 40
41
42
43
J 44
0'
5,27966
5,88178
6,23408
6,48411
6,67813 I
6,83673
6,97091
7,08723
7,18991
7,28185 1
7,36510
7,44119 1
7,51128
7,57625
7,68683 |
7,69359
7,74699
7,79743
7,84524
7,89068
7,93400
7,97540
8,01503
8,05311
Й,08971
1 8,12498
8,15901
8,19190
8,22374
1 8,25461
8,28456
8,31367
8,84199
8,36957
1 8,39646
8,42271
8,44835
8,47342
8,49796
| 8,52199
8,54555
8,56867
8,59138
8,61368
5'
3,12127
5,34918
5,91725
6,25789
6,50203
6,69250 1
6,84874
6,98122
7,09626 1
7,19795 !
7,28910 I
7,37170
7,44725
7,51688
7,58146
7,64170 1
7,69816
7,75130
7,80151
7,84911
7,89437
7,93752
7,97877
8,01828
8,05621
8 09270
| 8,12786
8,16179
8,19459
1 8,22635
8,25714
8,28702
8,31606
8,34431
8,37184
1 8,39867
8,42487
8,45046
8,47548
8,49998
1 8,52397
8,54750
8,57058
8,69325
8,61553
10'
3,72333
5,41356
5,95132
6,28106
6,51960
6,70664 1
6,86053
6,99140
7,10520
7,20592
7/: 9528 1
7,37825
7,45326
7,52244
7,58664
7,64654 I
7,70271
7,75560 1
7,80558
7,85297
7,89804
7,94103
7,98213
8,02150
8,05931
8,09568
8,13073
| 8,16457
8,19728
8,22895
8,25966
8,28947
8,31844
8,34664
8,37410
8,40088
8,42702
- 8,45256
8,47754
8,50200
1 8,52595
8,54944
8,57249
8,59512
8,61737
15'
4,07552
5,47349
5,984il
6,30363
6,53681
6,72056 j
6,87226 1
7,00147
7,11405
7,21381
7,30341
7,38475
7,45924
7,52797
7,59178
7,65186
7,70724 1
7,75987 !
7,80962
7,85681
7,90170
7,94452
7,98547
8,02471
8,06239
8,09865
8,13360
8,16734
8,19996
8,23155
8,26218
8,29191
8,32082
8,34895
8,37636
8,40308
! 8,42917
1 8,45467
8,47960
8,50401
I 8,52792
8,55137
8,57439
8,59699
8,61920
20'
4,32539
5,52955
6,01571
6,32564
6,55369
6,73426
6,88379
7,01143
7,12281
7,22164
7,31048
7,39120
7,46517
7,53346
7,59690
7,65615
7,71-74
7,76402
7,81365
7,86064
7,90535
7,94801
7,98881
8,02791
8,06547
8,10161
8,13645
8,17010
8,20263
8,23414
, 8,26469
8,29435
8,32319
8,35126
8,37861
8,40528
8,43132
8,45677
8,48166
8,50602
1 8,52990
8,55331
8,57620
8,59885
8,62104
25'
4,51922
5,58221
6,04620
6,34710
6,57025
6,74775 1
6,89516
7,02127
7,13148
7,22939
7,31750 1
7,39760
7,47107 |
7,53893 1
7,60199
7,66091 1
7,71622 |
7,76835 1
7,81766
7,86445
7,90898 |
7,95147
7,99212 1
8,03109 !
8,03853 1
8,10456 1
8,13930
8,17283 1
8,20529 1
8,23672 1
8,26719 I
8,29679 1
8,32556
8,35357
8,38086
8,40747 1
; 8,43346
8,45886
8,48371
8,50803
8,53186 1
8,55524
8,57818
8,60072
8,61287 ■

set
1
1 •
.1 л
0е
ll 1
! 2
■ 3
1 ' 4
5
1 6
7
1 8
9
ю
12
13
14 ,
1 16
16
17
18
19
] 20
J 21
1 22
23
24
26 1
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35 1
86
37
38
39
40 1
41
42
43
44
30'
щ
4,67758
5,68187
6,07565
6,36804
6,58651
1
1 6,76103
6,90639
7,03100
7,14007
1 7,23708
7,32446
7,40396
7,47693
7,54436
7;60705
7,66Мб
7,72068
7,77256
7,82165
7,86824 ,
7,91259
7,95493
7,99543
8,03427
8,07159
8,10751
8,14214
8,17559 |
8,20795
8,23929
8,26969
8,29922
8,32792
8,35587
8,36310
8,40966 1
8,43560
8,46095
8,48575
8,51003 1
8,53383 1
8,55717
8,58007 1
8,60258 |
8,62470 1
35'
4,81148
5,67883
6,10414
6,38849
6,60246
1 6,77411
6,91748
| 7,04063
7,14858
1 7,24470
7,33136
7,41028
7,48274
! 7,54975
7,61208
7,67037
7,72512
7,77675
7,82562
7,87202
7,91620
7,95837
7,99873
8,03744
, 8,07463
8,11044
8,14497
8,17833
8,21060
8,24186
8,27219
8,30164
8,33028
8,35816
8,38534
8,41185 1
8,43774
8,46304
8,48779
8,51204
8,53579 1
8,55909
8,58197
8,60443
8,6'i653
40'
1 4,92746
5,72339
6,13173
. 6,40847
6,61813
! 6,78700
6,92843
7,05015
: 7,15700
1 7,25226
7,33821
7,41655
7,48*2
7,55511
7,61709
7,67506
7,729.4
7,78093
7,82958
7,87578
| 7,91979
7,96180
8,00202
8,04059
8,07767
8,11336
8,14780
8,18106
8,21324
8,24442
8,27467 1
8,30406
8,33263
8,36046
8,38757
8,41403 1
8,43987
8,46512
8,48983
8,51403 |
8,53775 1
8,56101
8,58385
8,60629
8,62835
45'
5,02977
5,76578
6,15847
6,42801
6,63352
6,79970
6,9*925
7,05957
7,16534
J 7,25975
7,34501
7,42277
7,49427
7,56045
7,62206
7,67973
7,73393
7,78508
7,83352
7,87953
| 7,92336
7,96522
8,005*29
! 8,04374
8,08069
8,11628
8,15061
8,18378
8,21588
8,24698
8,27715 I
8,Я0647
8,33498
8,46274
8,38980
8,41620 I
8,44199
8,467^0
8,49187
8,51603 1
8,53971 1
8,96293
8,58574
8,60814
8,63017
50'
5,12129
5,80619
6,18441
6,44711
6,64864
6,81222
6,94993
7,06888
7,17361
7,26718
1 7,35176
: 7,42896
7,49997
7,56575
7,62701
7,68437
7,73831
| 7,78922
7,83744
7,88326
7,92692
7,96863
8,00856
8,04687
8,08371
8,11919
8,15342
8,18550
8,21851
8,24953
8,27963 1
8,30887
8,33732
8,36502
8,39203
8,41838 1
8,44411
8,46928
8,49390
8,51802 J
8,54166 1
8/6485
8,58762
8,60999
8,63199
55'
5,20408
5,84481
6,20960
6,46581
6,66351
6,82456 !
6,96049 ,
7,07811 1
7,18180
1 7,27454
1 7,35846
7,43510
7,50564
7,57101
| 7,63194
| 7,68899
7,74266
7,79333
1 7,84135 1
7,88698
I 7,93047
7,97202
! 8,01181
8,05000
8,08672
8,12209
8,15622
8,18920
8,22113
8,25207
8,28210 1
8,31127 1
8,33966 1
8,36730 1
8,39425 I
8,42054 I
8,44623 1
8,47135 1
8,49595 1
8,52001 1
8,54361 I
8,56676 1
8,58950 1
8,61184 1
8,63381 1

304
0
45°
46
47
48
49
1 5° 1
51
52
53
54
55 1
56
57
58
59
60 1
61
62
63
64
65
66
67
68 1
69 |
70
71
1 72
1 73
74
1 75
76
1 77
1 78
1 79
80
1 81
1 82
83
1 84
1 85
1 86
87
88
89
0'
8,63562
8,65722 i
8,67848
8,69944
8,72012
8,74052 1
8,76067
8,78059
8,80030
8,81980 J
8,83911 |
8,85826
8,87726 !
8,89611
8,91484
8,93347
8,95200
8,97045
8,98885
9,00720
9,02553
9,04385
9,06218
9,08055
9,09897
1 9,11748
9,13609
9,15484
9,17376
9,19289
1 9,21228
9,23197
9,25202
9,27250
9,29351
1 9,31515
9,33766
9,86091
9,38545
1 9,41152
I 9,43962
9,47054
9,50569
1 9,54798
9,60564
5'
8,63744
8,66900
8,68024
8,70118
8,72183
8,74221 1
8,76234
8,78224
8,80193
8,82142
8,84072 |
8,85985
8,87883
8,89768 !
8,91640 j
8,93501 ;
8,95354
8,97199
8,9903s
9,40873
9,02704
9,04537
9,06371
9,08.08
9,10051
9,11902
1 9,13765
9,15641
9,17535
j 9,19450
1 9,21391
9,23362
9,25371
9,27423
9,29529
1 9,31699
9,33946
9,36291
9,38756
J 9,41377 -
1 9,44207
9,47328
9,50889
9,55200
9,61185
10'
8,63925
8,66078
8,68200
8,70291
8,72353
8,74390 1
8,76401
8,78389
8,80356
8,82303 j
8,84232
8,86144
8,88041
8,69924
8,91795 j
8,93656
8,95508
8,97352
8,99191
9,01026
9,02858
9,04690
9,06524
9,08361
9,10205
9,12057
9,13920
9,15798
i 9,17693
| 9,19610
9,21554
9,23528
; 9,25540
9,27597
9,29707
1 9,31883
9,34138
9,36491
9,38968
1 9,41604
1 9,44455
9,47605
9,51213
9,55613
9,61844
15'
8,64105
8,66256 1
8,68375 !
8,70646 '
8,72524 !
8,74558 !
S, 76567
8,78554
8,80519
8,82464 j
8,84392
8,86302
8,88198
8,90080
8,91951
8,93811
8,95662
8,97506
8,99344
9,01178
9,03011
9,04843
9,06677
9,08515
9,10359
9,12212
9,14076
9,15955
9,17852
9,19771
| 9,21717
1 9,23694
9,25709
9,27770
9.29886
1 9,32067
9,34330
9,36692
9,39181
9,41833
1 9,44704
9,47886
9,51542
9,56036
9,62547
20'
8,64286
8,66434 i
8,68550 !
8,70636 '
8,72695
8,74726 1
8,76733
8,78718
8,80682
8,82626 j
8,84552
8,86461
8,88356
8,90237
8,92105
8,93965
8,95816
8,97659
8,99497
9,01831
9,03163
9,04996
9,06830
i 9,08668
9,10513
9,12367
9,14232
9,16113
9,18011
9,19932
9,21880
9,23861
9,25879
9,27944
j 9,30065
1 9,32253
9,34523
9,86894
9,39395
9,42063
1 9,44956
9,4*169
9,51877
9,56472
9,63302
25'
8,64466
8,66611
8,68725
8,70809
8,72865
8,74895
8,76900
8,78883
8,80845
8,82787
8,84711
8,86619
8,88513
8,90393
8,92261
8,94120
8,95970
8,97812
8,99650
9,01484
9,03316
9,05148
9,06983
9,08822
9,10667
9,12522
9,14388
9,16270
9,18170
9,20094
9,22044
9,24027
9,26050
9,28119
9,30244
I 9,32438
9,34716
9,37097
9,39610
9,42294
1 9,45210
9,48456
9,52218
9,56921
9,64122

366
0
45°
46
47
48
49
1 50 1
Г 51
52
53
64
1 55
56
57
58
59
1 60 1
61
62
63
64
1 65 1
66
67
68
69
70 1
71
1 72
73
74 1
75
76
77
1 78
79
1 80
81
82
83
1 84
1 85
86
87
88
89
30'
8,64646
8,66789
8,68900
8,70981
8,73035
8,75063 1
8,77066
8,79047 '
8,81007
8,82948 J
8,84871
8,86778
8,88670
8,90549
8,92417
8,94274
8,96123
8,97966
8,99803
9,01687
9,03469
9,05301
9,07136
9,08975
9,10821
9,12677
9,14544
9,16428
9,18330
9,20255
9,/2208
9,24191
9,26220
1 9,28294
9,80424
1 9,32625
9,34910
9,37301
9,39827
9,42527
1 9,45466
9,48746
9,52565
9,57384
9,66025
35'
8,64826
8,66966
8,69074
8,71154
8,73205
8,75231
8,77232
8,79211
8,81170
8,83109
8,85030
8,86936
8,88827 .
8,90705
8,92572
8,94429
8,96277
8,98119
8,99956
9,01789
9,03621
9,05454
9,07289
9,09129
9,10975
9,12832
9,14701
9,16585
9 J 8489
9,20417
9,22372
9,24361
9,26391
9,28469
I 9,30605
1 9,32812
9,35105
9,37306
9,40044
1 9,42762
1 9^5724
9,49040
9,52918
9,57F63
9,66035
40'
8,65006
8,67143
8,69249
8,71326
8,78375
8,75398
8,77398
8,79375
8,81332
8,83270 1
8,85190
8,87094
8,88984
8,90861
8,92727
8,94583
8,96431
8,98272
9,10109
9,01942
9,03774
9,05607
9,07442
9,09282
9,11130
9,12987
9*14857
9,16743
9,18649
9,20578
1 9,22537
9,24529
9,26562
1 9,28645
9,30786
1 9,32999
JU.35301
?, 37712
9,40263
1 9,42998
1 9,45985
9,49338
9,53278
9,58359
9,67196
45'
8,65185
8,67320
8,69428
8,71497
8,73544
8,75566 1
8,77563
8,79539
8,81494
8,88430 J
8,85349
8,87252
8,89141
8,91017
8,92882
8,94737
8,96584
8,98425
9,10261
9,02095
9,03927
9,05760
9,07595
9,09436
9,11284
9,13142
9,15014
9,16901
9,18809
9,20740
1 9,22701
9.24^97
9,26734
9,28821
9,30968
1 9,33187
9,35497
9,37919
9,40488
9,43237
| 9,46248
9,49639
9,53646
9,58875
9,68579
1* и
50'
8,66364
8,6749о
8,69597
8,71669
8,73714
8,75733 1
8,77*29
8,79703
8,81656
8,83591 ]
8,85508
8,87410 |
8,89298
8,91173
8,93037
8,94891
8,96738
8,98579
9,10414
9,02247
! 9,04079
9,05912
9,07748
9,09590
9,11439
1 9,13298
9,15170
9,17059
9,18969
9,20903
9,22866
1 9,24865
9,26906
1 9,28997
9,31150
J 9,33376
9,35694
9,38127
9,40705
1 9,43476
1 9,46514
9,49945
9,54021
9,59412
9,70342
55' 1
8,65543
8,67672 I
8,69771
8,71840
8,73883 1
8,75900 1
8,77894
8,79866 I
8,81818
8,83751 1
8,85667 1
8,87568
8,89454
8,91329
8,93192
8,95046 1
8,96892
8,98732
9,10567
9,02400
9,04232
9,06065
9,07902
! 9,09743
9,11953
9,13453
9,15327
9,17218
9,19129
9,21065 !
9,23031
9,25033
9,27078
9,29174
| 9,31332
1 9,33566
9,35892
9,38335
9,40928
J 9,43718
1 9,46783
9,50255
9,54405
9,59974
9,72938