Т.А.ЛЕОНТЬЕВА, В.С.ПАНФЕРОВ,
В.С.СЕРОВ
Задачи
по теории
функций
действительного
переменного
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

УДК 513
ББК 22 161
Л47
Рецензенты кафедра высшей математики МИРЭА,
профессор Г Г Стронгин
Леошьева Т.Л., Панферов B.C., Серов B.C.
Задачи по 1еории функций действительного переменно-
переменного — М Изд-во МГУ, 1997 — 208 с
ISBN 5-211-04054-6
Сборник состоит из пяти пав Элементы теории множеств
Метрические пространства Мера Лебега и измеримые функции
Инге!рал Лебега Тригонометрические ряды, ряды Фурье и преобра-
преобразование Фурье
В сборник включено около тысячи задач Задачам каждой гла-
главы предшествует сводка теоретических сведений Имеются краткие
комментарии и ответы к задачам Сборник задач предназначен для
сопровождения курсов математического анализа, теории функций,
функциональною анализа и ориентирован на студентов и препода-
преподавателей математических факультетов университетов России
ББК 22.161
(г) Издательпво Московскою
ISBN 5-211-04054-6 университета, 1997 г

ПРЕДИСЛОВИЕ
Метрические пространства, интеграл Лебега, пространства Lp и
преобразование Фурье — эти разделы теории функций действитель-
действительного переменного в последнее время прочно вошли во многие курсы
по )еории функций и функциональному анализу, которые читаются
в рамках анализа III университетов и многих технических вузов.
Boi почему весьма актуальным является создание сборников задач
по указанным разделам
Насюящий сборник задач по теории функции действительного
переменного составлен таким образом, что указанные выше разделы
занимают центральное место в изложении. При этом в сборник задач
включены также все традиционные темы теории функций — теория
множеств, измеримые множества, измеримые функции, ряды Фурье и
тригонометрические ряды, интеграл Фурье и некоторые другие.
Пособие написано па основе опыта авторов, ряд лет читавших
курс лекций по теории функций и функциональному анализу и
ведущих упражнения по этому курсу иа факультете вычисли 1ельной
магематики и кибернетики Московского государственного универси-
1ета им М.В.Ломоносова.
В сборнике задач представлены задачи по всем разделам курса
теории функции, читаемым на математических факультетах уни-
университетов. Пособие состоит из пяти глав Первые две посвящены
теории множеств и метрическим пространствам. И хотя обычно
эти темы являются вспомогательными при изучении теории функ-
функции, в данном пособии они представляют самостоятельный интерес.
Во-первых, потому, что здесь собрано очень большое количество
»адач, во-вторЬ[х, рассматриваются вопросы полноты метрических
пространств Вктючение рассмотрения метрических пространств в
настоящее пособие связано еще и с тем, что без них довольно сложно
пзчатать теорию меры, интеграл Лебега и пространства Lp. Третья
и четвертая главы посвящены теории меры Лебега и измеримым
функциям и интефалу Лебега соответственно. При этом в пособии
обсуждаются различные подходы при введении меры Лебега. Прежде
рассматривается мера Лебега на прямой и в К , а затем мера рассма-
рассматривается как функция множеств н строится лебегово продолжение
меры. При изучении интеграла Лебега рассматривается неопределен-
неопределенный интеграл Лебега и функции ограниченной вариации. Кроме тот о,
в эгон же тлаве системашчески излагается теория пространств Lp.

Многие задачи в этом разделе являются новыми для таких сборников
задач и встречались ранее тотько в монографиях и научных сталях
Пягая пава посвящена тригонометрическим рядам и рядам Фурье, а
также преобраюванию Фурье и интегралу Фурье При составлении
задач .зтой части пособия мы использовали подходы, изложенные в
книгах В Л Ильина и Э Г Позняка «Магматический анализ» (ч 2) и
Г X Харди и В В Рогозинского «Ряды Фурье» Следует отметить, что
преобразование Фурье функций из Лр, 1 < р < 2, изложено двумя
эквивалешными способами
Сборник задач устроен таким образом, что каждому разделу
(главе, параграфу) предшествует теоретический материал, представ-
представляющий собой сводку понятий и теорем, соответствующих данной
теме Часто при этом теоретический материал обобщает не только
известные учебники, но и научные монографии Задачи в параграфах
расположены, как правило, в порядке возрастания сложности При
этом имеется большой перечень простых задач в каждой шаве
При составлении сборника задач нами в основном испочьзо-
вались монографии и задачники, указанные в списке литера 1уры
Во многих задачах предлагается доказать какое-либо утверждение,
к другим же даны ответы и иногда указания >. решениям Есть
некоторое количество очень трудных задач, которые прелставля-
ют собой утверждения каких-тнбо известных или менее известных
георем из указанных монографий Эчи задачи ориентированы на
сильных студентов, и для их решения необходимо ботее глубокое
изучение книг hj списка литературы Некоторые задачи являются
оригинальными и составлены специально для настоящею сборника
Список предлагаемой литературы будет полезен для самосто
ягельного и более глубокого изучения курса теории функций и
функционального анализа
В заключение нам приятно выразить благодарность заведующему
кафедрой общей математики факультета ВМиК Московского госу-
государственного университета академику РАН В Л Ильину, по чьему
совету мы начали составлять этот сборник задач Мы благодарны
шкже ви;м коллегам, высказавшим много полезных предложений
При подготовке рукописи к печати огромную и квалифицирован-
квалифицированную помощь оказали Т К Эфримиди и А Г Ветров, за что авторы
приносят им свою искреннюю благодарность
Авторы
Москва, октябрь 1996 г

Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Понятие множества является одним из первоначальных (основ
ных) математических понятий Множеством называется семейство
или совокупность объектов, объединенных по какому-либо при-
признаку Говоря о множестве, мы будем считать, что относительно
всякого объекта верно одно и только одно из двух утверждений
этот объект либо входит в множество в качестве его элемента,
либо не входит Если А есть множество, ai — некоторый объект,
то факт принадлежности х множеству А обозначается так х € А
и в этом случае х называется элементом множества А Если же х
не входит в А, то это обозначается так х 0 А и в этом случае х не
eci ь элемент множества А Само множество А никогда не является
своим элементом, т е А 0 А Пустым множеством ф будем
называть множество, не имеющее элементов Будем использовать
кванторы 3 — «существует», V — «для любого», Э' — «существует
и единственно», => — «следует», <=^> — «тогда и только тогда»
Символом N будем обозначать множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел, Z+ — множество целых неотри-
неотрицательных чисел, Q — множество рациональных чисел, R —
множество действительных чисел, С — множество комплексных
чисел
Множество А называется подмножеством множества В, если
Ух {Е А => х g В При этом пишут А С В Ясно, что любое
множество А является подмножеством самого себя А С А Пустое
множество есть подмножество любого множества А ф С А
Множество всех подмножеств множества А будем обозначать сим-
символом 2А Если для множеств А и В одновременно справедливы
соотношения А С В и В С А, то множества А и В называются
равными и в этом случае пишут А = В В противном случае
пишут Аф В
§1. Операции над множествами
Объединением множеств А и В называется множество С,
состоящее из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы
одному из множеств А или В В таком случае пишут С = A U В
5

В общем случае множество С называется объединением мно-
множеств Л„, где а пробегает множество индексов /, и обозначается
С = U А„, если оно состоит из всех таких элементов, которые
принадлежа! хо/я бы одному и? множеств А„, г е
v .г g с <=> з « е I ¦¦ х е Аа.
Пересечением множеств Л и В называется множество С, со-
состоящее из таких элементов, которые принадлежат одновременно
множествам А и В В этом случае пишут С = А Л В. В общем
случае множество С называется пересечением множеств Ла, где
a npo6eraei множество индексов !, и обозначается С = П А,,
если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат
одновременно всем множествам А„, а 6 /, i.e.
Уз- е С *=> Vo е / : х 6 .4„.
Операции объединения и пересечения множеств обладакм
следующими свойствами
1) коммутативность
A U В = В U Л, /1 П Д = ЯП А,
2) ассоциативность
(A U Д)и Г' = Л U (BUC),
(ДПВ)П(' = ДП(ЙПГ);
3) ДИСТрибу1ИВНОС1Ь
Ли (ЙПГ) = (ДиВ)П(ДиГ).
= (ДПВ)и(ДпГ).
Разностью множеств Л и У называется множество С, состо-
состоящее из тех элементов множества Л, которые не принадлежат
множеству В В этом случае пишут С = А\ В Эта операция не
облалае1 свойством коммутативности
Симметрической разностью множеств .4 и В называется мно-
множество А д В = (A\B)U(B\A).
Если множество А является подмножеством множества В, то
множество В\ А называется дополнением множества Л до В и
6

обозначается С в А или С А В этом случае удобно также ввести
характеристическую функцию множества А в множестве В ¦
Декартовым произведением множеств Ль Л2, ..., Л„ называ-
называемся множество, состоящее из упорядоченных наборов п элсмен-
юв (jj, х2, ..., х„), где X] Е Л,, ..., х„ Е А„ Это множество
обозначается символом Л, хЛ2 х ... х А„.
Непустое семейство множеств А' называется полукольцом,
если оно содержит пустое множество и для любых множеств
1. Be А' справедливы утверждения:
1) 4П В Е К;
2)ЗГ,,...,С„ G А : С, /С,, зфг
и
а\в = и с,.
Непустое семейство множеств А' называется кольцом, если оно
содержит пустое множество и для любых множеств А, В Е А'
вы ] екает, что Л Д В Е К и А п В Е А. Если К — кольцо и
множества Л, В Е А, то Ли# е А', а следовательно, объединение
тюбого конечного числа множеств из А' также содержится в А.
Кольцо А' называется ст-колыюм, если для любой последователь-
последовательно
ности множеств {Лп}~=1 ,Л„ Е К, их объединение U А„ также
содержится в А'. Кольцо А' называется й-кольцом, если для любой
последовательности множеств {Л„}™=| . Л„ Е А', их пересечение
П Л„ 1акже содержи 1ся в К
Множество Е называется единицей некоторой системы мно-
множеств .S', если Е Е S и для любого множества А ? Я вытекает, что
1 П Е = А Кольцо множеств с единицей называется алгеброй,
гг-кольцо с единицей — ст-алгеброй и E-кольцо с единицей —
/¦-алгеброй.
Пусть {Л„}^_, — некоторая последовательность множеств.
Верхним пределом {Лп}~=1 называется множество
1ш7Л„ = П ( U Ап
а нижним пределом {Л„}™=1 называется множество
1ш1Л„ = 0 ( П Л„Ч

Последовательность множеств называется сходящейся, если
lim А„ = lim Лп = lim Ап .
§2. Отображение множеств. Понятие мощности множеств
Пусчь заданы множес1ва 4 и В И пуаь каждому элемент
i 6 А по некоторому закону / однозначно ставится в соответствие
некоторый элемент у а В Этот элемент у называется образом элс-
MeHia х при оюбражении / и обозначается у = f(x) Графиком
Г/ отображения / называется множество, лежащее в декартовом
произведении Л х В, такое, что
Гу = {(х. Да-)), те А] С Ах В.
Образом множества А при отображении / называйся множество
f(A) = {y = f(x) : хеА}сВ.
Если у 6 f(A), то множество
называется полным прообразом элемента у при отображении /
Если у ? В \ /{Л), то /~'(у) = 0 Полным прообразом множества
(" С /(/1) являе[ся множество
Если при этом каждому элемету у 6 Д-4) сгави1ся в
cooiBeiciBHe однозначно элемент х 6 Л ¦ (/ = /(j), мы
будем говорить, что отображение / обратимо и его обратное
оюбражение обозначается /~' При этом /~' : }(А) —> Л
Отображение / : А —» В называется
1) сюръективиым или отображением «на», если f(A) = В,
2) инъек1ивным или одно-однозначным, если
3) биектвным или взаимно-однозначным, если оно сюръек-
тивно и ипъективпо Композицией отображений / : А —> В и
д : В — С пазывае!ся оюбражение k . А — С такое, что
V,t е Л =^, h(i) = g(f(x))

При эюм пишут h = q о / Эт соотношение не является
комму 1а1ивным
Множество А эквивалентно множес1ву й, если существует
в<аимно-однозначное отображение / : А —» В. При эюм пишут,
что 4 ~ В Справедливы следующие свойства эквивалентных
множеств
1) Л ~ А ;
2) Л ~ В <=> fl ~ 4,
Таким образом, все множества распадаются на непересекаю-
непересекающиеся классы эквивалентности. В каждом классе находятся только
эквивалентные друг другу множества При этом говорят, что
множества, попадающие в один класс эквивалентности, имеют
одинаковую мощность. Мощность множества А будем обозначать
\ Если А и В — конечные множества, то они имею! одинаковую
мощность югда и только тогда, когда имеют одинаковое число
леменюв.
Множество А называется счетным, если А ~ N. Мощность
счепюго множества обозначается символом и. Множество А
имссЕ мощность континуума, сели оно эквивалентно сегменту
О, I] С R Мощность кошинуума обозначается символом с
Пусть множества А и В имею! мощности А и В соответственно
Если множества 4 и В не эквивалентны, по 3 Bt С В : А ~ Вь
[о мы считаем, что А < В Имеют место следующие у1верждения
Пусть даны множества ,1,, А>. А и при этом А2 С <4i С А
Если Л-2 ~ 4, то и /Ij ~ А Пусть даны множества /1 и Д Если
3 Д, : й, С й • 4 ~ й, и ЗЛ, С Л • /li ~ В, ю Л ~ В По-
стеднее у1всрждение называется теоремой Каптора-Бернштейпа
( аедствием этой теоремы является утверждение о том, что всегда
выполняе1ся юлько одно из трех соотношений
1. = 1, 1<1, й <1.
Это свойство называется трихотомией мощности.
Пусть множество А имеет мощность д Тогда мощность
множества всех подмножеств множества А обозначается 2" Спра-
Справедливо неравенство 2'' > ^
Для мощности о счетного множества и мощности с кон-
гинуума справедливо равенство с = '2° Мощность множества
всех подмножеств сегменм [О, 1] С R называется мощностью
гиперконтинуума
2 Задачи по теории функций действительного переменного 9

§3. Упорядоченные множества
Множество А называется упорядоченным, если указано неко-
юрое правило /, согласно которому из любых двух различных
элементов х и у множества А один предшествует другому. При
эюм выполнены фебования.
1) если х предшествует у, то у не предшествует г;
2) если х предшествует у, а у предшествует z, ю х предшест-
предшествует ::.
Эю записывается следующим образом-
\) х < у , у У х : 2)г-!},Н-'=>'-!г'
Правило / при эюм называется отношением порядка. Если
о [ношение порядка имеет место только для некоторого под-
подмножества множеС|Ва А, то множество А называется частично-
упорядоченным Кроме юго, если А — упорядоченное множес!во,
л В С А, то любые два элемеша из В входят и в Л и там имею!
определенный порядок следования, тот же, что и в Л,
Пусть А — упорядоченное множество и х 6 А Если в
мпожеСЕве А нег элементов, предшествующих х, то х называется
минимальным элементом, а если в Л нет элементов, которым
предшествует г, то х называется максимальным элементом.
Упорядоченные множества А и Я пазывакися изоморфными,
если существует биективное отображение <р '¦ А —> В, 1акое, чго
V.r, у€А : х -<</=> *(х)-<Ау)-
Эго отображение <р называйся июморфизмом. Изоморфные мно-
множества обозначаЮ1ся >ак: .1 ~ И. Июморфизм между упорядо-
упорядоченными множествами обладае1 свойствами.
1) .1 ~ 1 ; 2) 4 ~ И ^=> И ~ 1: 3) если А ~ В и В ~ С .
ю .1 ~ С .
Таким образом, все упорядоченные множества можно разбить
па непересекающиеся классы В один класс попадают только изо-
изоморфные между собой множества Каждому такому классу можно
соотнести некоторый символ, который называется порядковым
1ипом любого множества из данного класса Порядковый 1ип
упорядоченного множества .4 обозначается символом А Все мно-
множества, имеющие данный порядковый тип п, имеют одинаковую
мощность Ее называют мощностью типа а и обозначают через
G, т.е. если А = п, то А = п Порядковый inn любого упорядо-
упорядоченного множества из п элементов обозначают буквой v. Таким
образом, символом я обозначают одновременно и мощность, и
порядковый тип такого множества. Для удобства считают, что
[О

пустое множество упорадочено, и его порядковый тип обозначают
через О
Естественным порядком на множестве действительных чисел
in на его подмножествах N, Z и Q) назовем порядок, порожден-
порожденный отношением <. Порядковый тип множества N с естественным
порядком обозначим и, множества Z — т, множества Q — >/,
множества R — Л Имея упорядоченное множество А со способом
\ порядочивания /, получим другое упорядоченное множество
-Г, состоящее из iex же элементов, но с обратным способом
упорядочивания /", т е. если х,у€.Аит-<у согласно /, то
согласно /' должно быть х У ^_Если тип А есть о, то тип А'
обозначают а* и в эюм случае А* = (А)"
Пусть А — упорядоченное множество и х ? А. Множество
всех элементов А, предшествующих т, называется отрезком, отсе-
отсекаемым элементом j- от множества А, и обозначается Ах
Пусть / = {а} — упорядоченное множество индексов и для
каждого a g / множество Аа является упорядоченным. Пусть,
кроме того, для ц ф 0 Ла П Ав = ф. Символом S обозначим
объединение множеств Д., о ? /, т.е. .S' = U А„.
«а
Упорядочим множество S следующим образом. Пусть а, Ь 6 Л'
и а ф Ъ Будем считать, что а -< Ь, если.
1) а е А„ , b 6 А„ , а ф ;} и а < ft
или
2) о = J и а -< Ь .
Упорядоченное шким образом множество S назовем упорядочен-
упорядоченной суммой упорадоченных множесгв, а порядковый тип S будем
называть суммой порядковых типов А„ и писать S = J2 Аа-
Например, 1+и = л,ш*+ш = тг,иол + 1фи1Ии> + ы'фи}'+и>.
Таким образом, сложение порядковых типов кекомму1ативпо.
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным,
если любое его непустое подмножество имеет минимальный эле-
элемент Ясно, 41 о любое конечное упорядоченное множество вполне
упорядочено. Ясно также, чго любое непустое вполне упорядо-
упорядоченное множество имеет минимальный элемент и упорадочениое
множество, изоморфное вполне упорядоченному множеству, само
является вполне упорядоченным. Сумма вполне упорядоченных
множеств еет ь вполне упорядоченное множество.
Порядковый тип вполне упорядоченного множества называет-
называется порядковым числом. Порядковое число, имеющее бесконечную
мощность, называет ся трансфинитным. Ч исло 0 и все натуральные
числа cyib конечные порядковые числа Числа ш, w + 1, и + 2
суть трансфинитные числа. Порядковые же типы ш', г, )/, Л не

являются порядковыми числами, так как они суть порядковые
типы упорядоченных, но не вполне упорядоченных множеств.
Если вполне упорядоченное множество А изоморфно некоторому
отрежу вполне упорядоченного множества В, то будем говорить,
что множество А короче множества В.
Пусть А и В — вполне упорядоченные множества с порядко-
порядковыми числами аи 0 соответственно. Если А короче В, то говорят,
что а меньше /3 и пишут а < /3 (или /3 > а). В применении
к конечным числам данное определение равносильно обычному
сравнению
О < 1 < 2< ... ,
а трансфинитные числа больше всех конечных. Для порядковых
чисел имеет место трихотомия, т. е. если а и /9 суть порядковые
числа, то обязательно выполняется только одно из следующих
соотношений:
а = 0, а < /) , а> li .
Из определения следует, что порядковое число а + 1 есть первое
следующее за порядковым числом а.
Сравнение порядковых чисел лежит в основе трансфинитной
индукции. Пусть Р(а) — утверждение, зависящее от порядкового
числа Если
1) -Р(«о) истинно,
2) из истинности Р(а) при всех а: ап < а < /3 вытекает
истинность Р(/3),
то Р(а) истинно для всякого порядкового числа а > а0
Аксиома Цермсло. Пусть 5 = {А} есть семейство непус-
непустых и попарно не пересекающихся множеств Тогда существует
множество В, обладающее свойствами:
1) ВС U А,
Aes
2)VA?53!ieAnfl.
С аксиомой Цермело тесно связан общий принцип выбора. По
этому принципу если мы имеем некоторое семейство Т = {М} не-
непустых множеств, то существует отображение /, которое каждому
множеству М?Т ставит в соответствие некоторый элемент f(M)
множества М.
Теорема Цермело. Всякое множество можно вполне
упорядочить.
Справедливо утверждение, называемое теоремой Хартогса, о
том, что аксиома Цермело (и общий принцип выбора), теорема
Цермело и утверждение о трихотомии порядковых чисел эквива-
эквиваленты.
12

Задачи
§ 1. Операции над множествами
1.1.1. Доказать дистрибутивность операций пересечения и
объединения
1) (A U В) ПС = (Д ПС) U (В ПС);
2) (А П В) U С = (A U С) П (В U С).
1.1.2. Пусть / = {«} — произвольное множество индексов
Доказать равенства
!>€У ") аеГ " >'
2) ( П До')иЛ= П(/
1.1.3. Пусть / = {a}, J = {ft} — произвольные множества
индексов Доказать равенства
1) (иЛ.) Л (U В^ = U^ ^А„ П В0)\
2) (п ла)и (п в Л = п (д„ив„).
1.1.4. Справедливы ли равенства
V / N \ / N \
О и(Д„пй„)= U д„ n I U в„ ,
2) П (Л„ ufl,,)=fn J,,l и ( П
= 1
1.1.5. Пусть/1 = U Д„ Представить множество А в виде объ-
i1 шпепия U й„ так, что В, П В, = 0, г ^ j, В„ С Ап для всех в.
1.1.6. Пусть {-4ьЛГп=1 —семейство множеств, занумерован-
занумерованных двумя индексами Доказать, что
U ( П Atn) с П ( U Аы) .
Привести пример строгого включения
1.1.7. Докатать дистрибутивность операций пересечения и
разнос: и
1) (Д\В)ПС = (ЛПС)\(ВПС);
2) (ЛДВ)ПС= (ДПС)Д(ВПС);
3)(ДиВ)\С = (Д\С)и(В\С);
4)(ДПВ)\Г' = (Д\С)П(В\С);
\\\\С)
\\)\(
б)(Ддй)\С = (Л\С)Д(В\С).
13

1.1.8. Доказать равенства
1) ЛП В = Л\(А\В);
2) Л\(В\Г) = (Д\В)ЩЛПГ);
3) (А\ В)\С = Л\(ВиС) = (А\В)и{АпС);
4) Д\(ВиС)МЛ\В)П(Л\С),
5) Л\(ВПС) = (А\ВI>(А\С),
(
7) А\ В = Л\(А ПВ) = (Ли В)\ В;
8) А\В = ЛП(С\В).
1.1.9. Верно ли равенство
(А\В)\С = Л\(В\СI!
1.1.10. Найти необходимые и достаточные условия па множе-
множества Лий, при которых справедливы равенства
1) (Ли В)\ В = Л;
2) (Л\ В) U В = Л.
1.1.11. Доказать, что
1) АЛВ = (А 1)Я)\(Л ПВ);
2) Л U В = (ДД Я) Д(Л П Д);
3) (ЛД В)ДГ.' = ЛД(ДДС'):
4)Лдй = (Г\ Д)Д(Г\ Д) , если А, В с С ¦
1.1.12. Доказать, чт
1.1.13. Справедливы ли следующие равенства
1) D Д В) U С = (Л U C)A(B U Г');
2) (Л U В) ДГ= (Л Д("I)(Д А Г);
3) (Л ДВ)П(" = (ЛПГ)Д(НПГ);
4) (,4ПЙ)ДГ = (ДДГ)П(В ДГ) ?
1.1.14. Доказать, чго для любых множеств Л, .4Ь В, Bi
справедливы соотношения.
1) ЛДВ С (Л ДЛ1)и(ВдЛ1),
2) (Л U Д,)Д(ЯиВ1) С (Л ДВ)и(Л) Д^!);
3) (Л П Л0Д(В nBi) С (А А В) П(Л, ДВ,) .
1.1.15. Найти необходимые и достаточные условия па множе
ства А, В и С, при которых справедливы равенства
1) Л\(ВДГ) = (Л\В)Д(Д\С);
2) Л А (В U С) = (Л ДВ)и(Л АС);
3) Л Д(В\Г) = (ЛДВ)\(Л ДГ);
4) Л Д(В ДГ') = (Л ДВ)Д(Л ДГ).
1.1.16. Доказать принцип двойственности.
1) С U Д„ = П Л„;
14

2) С П Аа = U САа, где / = {а] — произвольное множест-
во индексов.
1.1.17. Представить характеристические функции множеств
\Г\В,ЛиВ,А\В,ААВ, U Аа, П Л„ с помощью характе-
ристических функций множеств А, В и Ла, а е /.
1.1.18. Доказать, что:
1) Ах (В U С) = (Л х В) и (А х С);
2) (В U С) X Л = (В х A)U(C х А);
3) Ах(ВпС) = (Ах В)П(АхС);
4) (ВпС) х Л = (Вх Д)П(С х /t).
1.1.19. Справедливы ли равенства:
1) (А X В) Л (С X ?>) = (АПС)Х (ВП D);
2) (Д х B)U(Cx D) = (ЛиС)х (BUD)?
1.1.20. Доказать, что для последовательности непересекаю-
непересекающихся множеств {А„}™=1, А, П А3 =0 при t ф ], справедливы
равенства
lim Л„ = lim А„ = 0 .
1.1.21. Построить последовательность множеств { А„}™_, так,
чтобы выполнялись соотношения
lim An ф 0 , lim Л„ / lim An .
1.1.22. Доказать, что для любой последовательности мно-
множеств {/!„}"_, справедливы включения
П Ап С lim Ап С Пт А„ С U А„ .
п=1 п=1
Привести примеры строгих включений
1.1.23. Доказать, что если {/!„}"_, — последовательность
подмножеств множества А, то.
1) А\ ШпЛ„ =Ш(А\Ап);
2) А\ШАп =Ит(Л\Л„).
1.1.24. Доказать, что если последовательность множеств
{Ап)™_1 моиогонно возрастает: Ап С An+J или монотонно убы-
убывает: Ап Э Д„+1,то
lim Д„ = lim A,, = lim Л„ .
При этом в первом случае имеем
lim А, = Дд, = Л, U (t(t+1 \t)) ,
15

а во втором —
lim Ап = П Л„ = Л, \ U (Ак \Ак+1).
1.1.25. Доказать, что для любых последовательностей мно-
множеств {Л„}™=1 и {В„}^=| имеют место равеншва:
i)lm7(.4n U Вп) = 1пт7 4„ UliirTfl,, ; !
2) ММп П В„) = Um А„ П lim В„ . '¦
1.1.26. Доказать, что для любых последова!ельнос1ей мно-
жеив {Л„}™=] и {^n}^li справедливы включения:
1) 1Ш1 Л„ U liui Вп с1ш1(Д„ U Бп);
2) Пш"(.4„ П Д„) С Um А„ Г) lhn В„ . |
Привес1И примеры строгих включений.
1.1.27. Пусть {А„}^'_1 — последовательность множеств, а
{\„}^_, — последовательность их характеристических функций.
Доказать, Что характеристическими функциями множеств lim А„
и lim/i,, являются функции lim \„ и lim \n соответственно.
1.1.28. Доказать, что предел последова1ельности множеств
существует тогда и только югда, когда существует предел после-
последовательности соо[встствующих им характеристических функций.
1. 1. 29. Доказать, что полукольцо А' множеств будет кольцом,
если объединение любых двух множеств из А лежит в А
1. 1.30. Доказать, что если А' — кольцо, то для любых мно-
множеств А. В 6 А" множества .4 и В и .4 \ В также лежа> в А, i.e.
А' замкну to относительно операций п и \
1.1.31. Доказать, что получится эквиваленшое определение
кольца, если пофебовать от непустого семейства А' чамкну1ос]и
относшельно следующих операций1
1) U и \ ; 2) U и Д ; и 3) \ и Д .
1.1.32. Доказать, что непустое семейство множеств А', замк-
замкнутое относительно операций. 1) и и П; 2) п и \ , может не быть
кольцом.
1.1.33. Доказать, что пересечение любого семейства колец
есть кольцо.
1.1.34. Пусть множества A, A,,. .,At принадлежат полу-
полукольцу А', Л, С /I, ! = 1,. .. ,fc, Л, П/4, = 0, г ф }¦ Доказать, что в
А' можно выбрать такие множества .4t+)...., Л„, что .4 = U Л,,
и все множества Л,,..., Л„ попарно не пересекакнея.
1.1.35. Пусть множества Л,,.. .,Лк принадлежа! полукольцу
А' Доказать, что в А можно выбрать !акие попарно непересе-
непересекающиеся множества В[,..., Д„, что каждое Л, есть объединение
каких-то множеств И}
16

1.1.36. Пусть К — полукольцо множеств и R(K) — множест-
g0 конечных объединений множеств из А\ Доказать, что Я(А') —
кольцо и что любое кольцо, содержащее А', содержит также Д( А ).
0 этом смысле Д(А') является минимальным кольцом, содержа-
содержащим А , и называется кольцом, порожденным полукольцом А'.
1.1.37. Пусть К — i-кольцо и А„ ? К, п = 1, 2,... Тогда
ПА, 6 А'.
1.1.38. Построить кольцо К, такое, что пересечение любой
последовательности множеств из А' принадлежит К, но А* не есть
(Т-КОЛЬЦО (
1.1.39. Доказать, что для произвольного множества А:
1) множество всех подмножеств А образует <т-алгебру;
2) множество конечных подмножеств А образует кольцо. При
этом если А конечно, то получим алгебру, а если счетно, то сг-
кольцо.
1.1.40. Доказать, что множество ограниченных подмножеств
числовой прямой образует кольцо, которое не является ни
(т-колыдом, ни алгеброй.
1.1.41. Пусть А — кольцо множеств и Л ? К. Символом КА
обозначим семейство множеств вида ЛП В, В ? А'. Доказать, что
А .1 — алгебра. В случае, если А* — <т-кольцо, то Кл — <т-алгебра.
1.1.42. Доказать, что если А — бесконечное множество, го
множество всех не более чем счетных подмножеств А является
(т-кольцом. При каком условии на А это кольцо будет алгеброй?
1.1.43. Путь множество А является несчетным. Доказать,
чго множество всех таких подмножеств нз А, которые либо
сами несчетны, либо их дополнения до А являются несчетными,
образуют (т-алгебру.
1.1.44. Параллелепипедом -к в пространстве M.N (N > 1) на-
назовем множество точек
зг = < х : х ? Y[[ak , bk], где ak < xk < bk > .
Кроме того, будем предполагать, что любое из 2^ неравенств,
определяющих ж, может быть строгим.
1. Пусть PN — множество параллелепипедов в R , таких,
что все правые неравенства являются строгими. Доказать, что
/',v — полукольцо, но кольцом не является. Кроме того, M.(PN)
не является ни алгеброй, ни а-алгеброй.
2. Пусть Un — множество всех параллелепипедов в R .
Доказать, что II,V — полукольцо, но кольцом не является. Кроме
того, K(PW) не является ни алгеброй, ни а-алгеброй.
17
3 Задачи по теории функций действительного переменного

1.1.45. Доказать, что множество всех R(Pn), К(Плг), ко.
торые принадлежат Л1-мерному единичному кубу {0 < xt < 1
L = 1. 2, . N), образует алгебру
1.1.46. Доказать, что для полукольца А минимальное коль-
п
цо, содержащее А, совпадает с системой множеств вида U Ak
Ак 6 А
1.1.47. Пусть А" = [0, 1] Рассмотрим систему К всех подмно.
жеств множества рациональных чисел отрезка [0,1] Доказать, чте
А — а-кольцо Является ли А' (т-алгеброй1?
1.1.48. Пусть А" — множество всех непрерывных функций нг
[0,1] Символом А обозначим множество всех таких подмножеств
из \ , что /@) = 1 Является ли А кольцом1? Алгеброй1?
§ 2. Отображение множеств. Понятие мощности множества
1.2.1. Пусть / — отображение множества X в множество Y,
f X -> Y Пусть также А С В С Y, а Аг с fli С Y Torad
справедливы включения ]
ДД)с/(я), r^icr'tft) I
I
1.2.2. Пусть/ X -^Y Тогда для любых множеств Л, В С А",
At В\ С Y имеют место соотношения I
)) f(A\jB) = f(A)Uf(B),
5) f-i(Y\Al) = X\ri(A,)
1.2.3. Доказать, что для любого отображения / имеет место)
следующее включение
flf-'(A)] С А
Привести пример строгого включения
1. 2. 4. Справедливы ли равенства
1)/
1.2.5. Доказать равенства
18

4) Г'(!ш1Л,) =
ч) /-](ШпЛ„) = Шг7/-'(Л„)
1.2.6. Доказать включения
У)ПП1Аа)сП1/{Аа},
2)/(/ [(Y\A))CY\f(f-4A)),
3)*\/ 1(/(-4))С/1(\
4) fflim Л„) С hm
5) /(Пт А„) С пт/(А„)
1.2.7. Пусть h X -*Y,g Y -* Z, / . Z -> W Доказагь,
что композиция отображений ассоциативна, т е
/ о (д о h) = (/ о д) о h
1.2.8. Пусть/ X->Y,g . Y-> X,h Y^Z
1) Доказать, что если до f есть тождественное отображение на
\ , то / инъекгивно, а д сюръективно,
2) доказать, что / обратимо тогда и только тогда, когда /
биективно
3) доказать, что из биекгивности / следует биективность /"'
и равенство (/"')"' = /,
4) доказать, что если отображения / и h биективны, то
суперпозиция ha f биективна и
(/ю/)-' =/ 'о/Г1
1.2.9. Доказать, что если А" — конечное множество и / \ —.
— X инъектнвно, то оно биективно
1.2.10. Доказать, что для отображения / X —> У следующие
>тверждсния эквивалентны
1) / — взаимно-однозначное отображение,
2) V.4 С Л" =>/"'(/(А)) = А.
3)УЛ,ВсХ=>/(ЛпВ) = }{А) П /(В);
4) VA, В С X, An В = ф =» f(A)n f(B) = 0,
5) V А, В с X, В с А =» /(А \ В) = /(А) \ f(B)
1.2.11. Привести примеры отображений
1) сюръективного, но не биективного,
2) инъективного, но не биективного,
3) инъектнвного, но не сюръективного,
4) сюръективного, но не инъективного
1.2.12. Доказать, что если отображение / А" -» У сюръек-
i ивно, то для любого А С Y =>
f(f-\A)) = A
19

1.2.13. Пусть множество У = {у} состоит из одного элемента
у Доказать, что отображение / X -» А" х У, такое, что
Vie х -^(i,y)e х хУ,
является биективным
1.2.14. Пусть / А" —> У Доказать, что отображение из А" в
А" х У , такое, что
является инъективным
1.2.15. Доказать, что отображение из А" х У в Y х А", такое,
что
(г, у) —> (у, г),
является биективным
1.2.16. Проекцией на множество А" декартова произведения
А" х У называется отображение prs X х Y -» А", такое, что
Аналогично определяется проекция ргу
Доказать, что
1) Ргх и Рг» являются сюръективными,
Х=* рг;'(Л)= AxY,
Y ==>pr-1(B) = X xB,
4)VZcXxY=>ZC przZ x pryZ
1.2.17. Пусть Д[а,Ь] — множество функций f(x), интегриру
емых по Риману на отрезке [о,6] Отображение F R[a,b] — R
введем по формуле
s
у/е я[0, &]— //(i)di
Является ли отображение F сюръективным, инъективным или
биективным17
1.2.18. Пусть / А —> В и SA и SB — некоторые семейства
подмножеств из Л и В соответственно Пусть также
в xesA},
f-1(SB)={f'l(Y)cA Y?SB}
20

Доказать следующие утверждения
1) если ?в — кольцо, то /~'( Ьв) — кольцо,
2) если SA — кольцо, то /(9Л) не обязательно кольцо,
3) если 9В — алгебра или а алгебра, то f~l(Sa) — алгебра
ичи о алгебра
1.2. 19. Пусть В (f '(?в)) — кольцо, содержащее семейство
f'1(SB) Доказать, что
где R(SB) — минимальное кольцо, содержащее семейство SB
1.2.20. Пусть множество А имеет п элементов, п — нату-
натуральное число Символом С* обозначим число сочетаний из п
элементов по к
1) Доказать что множество всех подмножеств 2А множества
А имеет 2" элементов и показать, что
с° + с'„ + + с;1 = 2"
2) Доказать, что для любого 0 < к < п
ска = сг"
1 2.21. Установить взаимно однозначное соответствие между
1) отрезком [0,1] и отрезком [а, 6],
2) отрезком [0,1] и полуинтервалом [0,1),
3) отрезком [0,1] и интервалом @ 1),
4) интервалом (а,6) и числовой прямой R,
5) полуинтервалом [0,1) и полупрямой [0,+оо),
6) интервачом (а,6) и полупрямой [0,+оо)
1.2 22 Существует ли непрерывная функция, которая взаим-
взаимно однозначно отображает
1) отрезок [0,1] на числовую прямую R,
2) отрезок [0,1] на интервал @,1),
3) отрезок [0,1] на множество [-2,-1] U [1,2]9
1.2.23. Установить взаимно-однозначное соответствие между
множествами точек на плоскости R2
2) {(*,
3){(r,
4) {(?,
5) {(x,
6) {(-r,
t/) X
У) x
У) x
V) *
У) x
У) x
2 + y2 =
2 + y2 =
2 + v2<
2+y2<
2 + y2<
2 + y2<
1}
1}
]}
1}
1}
1}
и
и
и
и
и
и
{(х,
{(л
{(*.
{(.г,
У)
У)
У)
У)
У)
у)
0
у ¦
X2
X2
х2
У
¦5 х <
= 0},
+ у2-
+ у2
+ у2
> 0}
1, у -.
< 1},
> 1},
21

1.2.24. Установить взаимно однозначное соответствие между
1) отрезком [0,1] и квадратом [0,1] х [0,1],
2) поверхностью единичной сферы в R3 с одной выколотой
точкой и плоскостью R ,
3) всей поверхностью сферы в R3 и плоскостью R2,
4) плоскостью и полуплоскостью
1.2.25. Доказать, что каждое бесконечное множество А содер-
содержит счетное подмножество В , такое, что А \ В бесконечно
1.2.26. Доказать, что множество А бесконечно тогда и только
тогда, когда А содержит подмножество В ф А, такое, что В ~ А
1.2.27. Пусть А — бесконечное множество, а В — счетное
множество Доказать, что А и В ~ А
1.2.28. Установить взаимнооднозначное соответствие между
множеством иррациональных чисел и множеством всех действи
тельных чисел
1.2.29. Пусть А2 С /4i С А и Л2 ~ А Доказать, что At ~ A
1.2.30. Доказать теорему Каш ора-Бернштейна
1.2.31. Пусть Л и В — непустые множества и В состоит более
чем из одного элемента Доказать, что множество однозначных
отображений А в В, которые мы обозначим ВА, имеет мощность
большую, чем мощность множества А
1.2.32. Доказать, что множество всех подмножеств некото
рого множества А имеет мощность ботьшую, чем мощность
множества А
1.2.33. Доказать, что мощность множества 2N равна мощно-
мощности множества всех последовательностей {«„}"_, , где гп = 0 или 1
1.2.34. Доказать, что объединение не более чем счетного
(либо конечного, либо счетного) числа не более чем счетных
множеств не более чем счетно
1.2.35. Доказать счетность множества
1) рациональных чисел,
2) рациональных точек в R , т е точек, все координаты
которых суть рациональные числа
1.2.36. Доказать счетность множества
1) непересекающихся интервалов на прямой,
2) точек Rw, расстояние между любыми двумя из которых
больше некоторого фиксированного числа fc > 0,
3) интервалов (а, 6) с рациональными концами,
4) непересекающихся шаров в R2,
5) непересекающихся прямоугольников в R2
22

1.2.37. Какова мощность множества шаров в R*
1) радиусы которых рациональны,
2) координаты центров и радиусы которых рациональны
1.2.38. Доказать счетность множества
1) алгебраических многочленов с рациональными коэффици-
коэффициентами,
2) алгебраических чисел, т е чисел, которые являются корнями
алгебраических многочленов с целыми коэффициентами
1.2.39. Доказать, что множество конечных подмножеств счет-
счетного множества счетно
1.2.40. Доказать, что множество точек разрыва монотонной
функции не более чем счетно
1.2.41. Доказать счетность множества значений функции f(x),
заданной на О1резке [0,1], имеющей в каждой точке локальный
минимум
1.2.42. Пусть А — некоторое подмножество @,+оо) Спра
ведливы ли следующие утверждения
1) если А — бесконечное множество, то найдется такое а > О,
что множество А П (а, +оа) бесконечно,
2) если А — несчетное множество, то найдется такое а > О,
что множество А П (а, +оо) несчетно9
1.2.43. Пусть А — счетное множество Справедливы ли сле-
следующие утверждения
1) если А С R, то можно найти число о, такое, что множество
а + А = {у е R у — а + х, х е А) не пересекается с А,
2) если А лежит на единичной окружности, то можно повер-
поверну 1Ь A Hd yroi <р так, что полученное множество не пересекается
с 1
1.2.44. Доказать, что объединение
1) счетного числа множеств мощности континуума имеет мощ-
мощность континуума,
2) континуума множеств мощности континуума имеет мощ-
мощность континуума
1.2.45. Доказать, что множество Rw имеет мощность конти-
континуума
1.2.46. Пусть множество А имеет мощность континуума
1) Доказать, что если А = A, U Л2, то по крайней мере одно
из множеств Л, или А2 имеет мощность континуума
2) Доказать, чго если А = U Ап, то по крайней мере одно из
множеств {Ап} имеет мощность континуума
1.2.47. Какова мощность множества конечных наборов
(аьа2, , ад,), ot G А (к = 1,2, ,N), если
23

1) Л — счетное
2) А — множеств^ мощности континуума.
1.2.48. Доказать •> что множество последовательностей
{й»}™=1, «п е А, нме е> мощность континуума, если:
1) Л — конечное Множество,
2) А — счетное множество,
3) А — множеств»0 мощности континуума.
1.2. 49. Доказать . Что мощность континуума имеет множество
действительных чисе=л интервала @,1), в представлении которых
бесконечной десятич ной дробью участвуют только две, три,
девять цифр.
1.2.50. Какова мощность множества:
1) возрастающих последовательностей натуральных чисел;
2) сходящихся по следовательностей действительных чисел;
3) ограниченных последовательностей действительных чисел;
4) всех последова/геЛЬН0СТей Действительных чисел;
5) сходящихся чи'СЛОВЬ1х рядов?
1.2.51. Может л*! быть несчетным множество:
1) попарно непе ресекающихся букв Т (размеры букв и их
расположение могут быть различными) на плоскости;
2) попарно непер»есекающихся одинаковых и одинаково ори-
ориентированных букв Г на плоскости;
3) попарно непересекаЮ111ихся восьмерок на плоскости;
4) попарно непересекающихся букв на плоскости?
1.2.52. Какова мощность множества:
1) функций, непр«Рывны* 1|а отрезке [0,1);
2) возрастающих фУнкчий, непрерывных на отрезке [0,1];
3) кусочно-линейИЫх Функций на отрезке [0,1];
4) функций, интеГРиРУемых По Риману на отрезке [0,1];
5) функций, имеК>и1ИХ не б°лее чем счетное число точек раз-
разрыва на отрезке [0, lj;
6) функций, ограНИченнЫх "а отрезке [0,1];
7) всех действите^ьИЬ1Х однозначных функций на отрезке [0,1]?
§ 3. Упорядоченное мн0*ества
1.3.1. Доказать, чТО множество действительных чисел R (и
его подмножества N. 2 и Q) является упорядоченным относи-
относительно как естествеИноГ0 "орядка, так и порядка, порожденного
отношением >.
1.3.2. Доказать, что множество комплексных чисел С можно
упорядочить следуюШим образом. Пусть гь z2 e С. Будем
считать, что zx -< z,< ^^^ либ° \z\\ < \a2\, либо arg^ <
в случае \
24

1.3.3. Будут ли частично упорядоченными множества А в
следующих случаях?
1) Пусгь X — произвольное множество, X = 0, А = 2х. Для
1,, .4., 6 А будем считать, что А, ч Л2, если А, С Л2
2) Пусть А — множество непрерывных функций на [0,1]. Для
fi(<)< h(t) е А будем считать, чю /, -< /2, если V< e [0,1] =;>
=^/.@</2@-
3) Пусть А", К — любые множества, X, Y ф 0, а множество
1 = {?.' : ? С X или В с Y]. Для Ль Л2 6 А будем считать, что
1, -; А2, если Л, С А2
1.3.4. Пусть А — множество, содержащее N элементов.
Сколькими различными способами можно упорядочить множест-
множество Л?
1.3.5. Доказать, что если А я И — изоморфные упорядочен-
упорядоченные множества, то их мощности равны.
1.3.6. Доказать, что если А и В упорядоченные конечные
множества и их мощности равны, то они изоморфны. Привести
пример равномощных бесконечных упорядоченных множеств, ко-
1 орые не являются изоморфными
1.3.7. Пусгь Л, В. С — упорядоченные множества Доказать,
чю справедливы утверждения:
1) А ~ А,
2) если 4 ~ Я, то В ~ А;
1) Если .4 ~ В и В ~ С, то А ~ Г.
1.3.8. Определить порядковый тп множеств-
1) Z",
2)Q",
3)R";
4) @,1),
5) {!/»}, п = 1,2,...
1.3.9. Доказать, что для любого счетного упорядоченного
множества А найдется Qo с Q, упорядоченное естественным
порядком, такое, что А ~ Qa.
1.3.10. Пуоь А — упорядоченное множество. Доказать, что
отрезки множества А обладают следующими свойствами:
1) если г — минимальный элемен! в А, то Ат = 0;
2) если у<х, го (Ат)у - Ау,
3) если 1А = {Лт : х 6 А) — множество отрезков в А,
ю 1Л будег упорядоченным множеством. Для этого достаючно
усыновить порядок.
Ах -< А, при Аг С Ау, т.е. при х <у.
4 Задачи по теории функций действительного переменного

1.3.11. Пусть А — упорядоченное множество, а 1Л — упоря-
упорядоченное множество отрезков в А. Доказать, что А ~ 1Л.
1.3.12. Найти сумму порядковых типов:
1) п + т, и, ш 6 N;
2) п + w, n ? N;
4) и* + oj;
5) 1 + А + 1
и указать упорядоченные множества с полученными порядковыми
типами.
1.3.13. Будут ли следующие множества:
1) N; 2) Z; 3) Q; 4) R; 5) (а, 6); 6) [а, 6]
с естественным порядком вполне упорядоченными?
1.3.14. Доказать, что любое конечное упорядоченное мно-
множество является вполне упорядоченным.
1.3.15. Доказать, что:
1) всякое непустое подмножество вполне упорядоченного мно-
множества является вполне упорядоченным;
2) всякое непустое вполне упорядоченное множество имеет
минимальный элемент;
3) сумма вполне упорядоченных множеств является вполне
упорядоченным множеством;
4) за каждым, быть может кроме максимального, элементом
вполне упорядоченного множества есть непосредственно следую-
следующий;
5) из вполне упорядоченного множества А, -< нельзя выделить
бесконечно убывающую последовательность {х„}~_, ,х„ 6 Л, т.е.
последовательность вида
хх У х2 У -гя !-...;
6) пусть А и В — упорядоченные множества. Если А вполне
упорядочено и А ~ В, то В также вполне упорядочено.
1.3.16. Пусть А, -< — вполне упорядоченное множество и
В С А. Доказать, что не существует изоморфизма / множества
А на В, при котором f(x) -< х, х 6 А.
1.3.17. Доказать, что:
1) вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно
никакому своему отрезку или подмножеству;
2) два различных отрезка вполне упорядоченного множества
не могут быть изоморфны друг другу;
3) вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно
никакому отрезку своего подмножества.
26

1.3.18. Доказать, что упорядоченная сумма вполне упорядо-
упорядоченных множеств является вполне упорядоченным множеством.
1.3.19. Доказать, чт если Л и В — два изоморфных вполне
упорядоченных множества, то изоморфизм между Л и Я опреде-
определен единственным образом.
1.3.20. Доказать, что если Л и В — два вполне упорядо-
упорядоченных множества, то или А изоморфно В, или А изоморфно
некоторому отрезку В.
1.3.21. Доказать, что в любом семействе попарно неизоморф-
неизоморфных вполне упорядоченных множеств найдется самое короткое.
1.3.22. Какие из порядковых типов являются порядковыми
числами:
1) 0; 2) п 6 N; 3) ш; 4) 1 + и;; 5) и; + 1; 6) шщ; 7) тг; 8) »;; 9) А?
1.3.23. Доказать трихотомию порядковых чисел.
1.3.24. Доказать, что в любом множестве попарно неравных
порядковых чисел найдется наименьшее число.
1.3.25. Доказать, что сумма вполне упорядоченного множе-
ciBa порядковых чисел есть порядковое число.
1.3.26. Доказать, что если .9 = {а} есть множество порядко-
порядковых чисел, го найдутся порядковые числа, которые больше любого
и из ,V.
1.3.27. Доказать, что если п — порядковое число, то первое
следующее за п есть п + 1.
1.3.28. Используя лемму Цермело, доказать общий принцип
выбора
1.3.29. Доказать теорему Цермело.
1.3.30. Доказать трихотомию мощности.

Глава II
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Пусть задано некоторое непустое множество М И пусть на
М х М задана Неотрицательная числовая функция р(х, у), которая
удовлетворяет условиям
1) Р(*,У) = О <=*¦ х = !1\
Р(у) р(у,),у
3) р(х,у) < p(x,z) + p(z,yLa,y,zE M.
В этом случае функция р{х,У) называется метрикой (расстояни-
(расстоянием), а множество М с введенной на нем метрикой называется
метрическим пространством и обозначается (М,р) Свойство 2) в
определении функции р называется симметрией, а свойство 3) —
неравенством треугольника
Если (М,р) метрическое пространство, a F С М, ю пара
(?,/>) также Является метрическим пространством с метрикой,
индуцированной мефикой пространства (М,р) Пространство
(Е,р) называется также подпространством (М,р) Если по смыслу
ясно, о какой метрике идег речь, то метрическое пространство
[М.р) обозначается просто символом М
Расстоянием от точки хо метрического пространства М до
множества Л Q д/ можно назвать число
p(ra,A) = mf p(J-o.x).
Расстоянием между двумя подмножествами Л и В метрического
пространства Л/ можно назвать число
Пусть А —- некоторое подмножество метрического простран-
пространства М Диаметром множества А называется число
dwiii Д = sup p(x,y).
Пусть х0 — некоторая точка метрического пространства М
Множество
О(х0,т) = {j е М ¦¦ P(i-<u*) < г, г > 0}
28

называйся открьпым шаром с центром в точке х(] и радиусом г,
а множество
R(xo,r) - {х ? М : р(ха,х) < г]
называется замкнутым шаром.
§ 1. Открытые и замкнутые множества
Пусть (М,р) — метрическое пространство. Точка х0 6 Е С А/
называется внутренней точкой множества Е, если найдется число
г > О, такое, что О{х0,г) С Е Точка х0 ? М называет-
называется предельной ючкой множества Е, если для любого г > О
(О(х0,г)\{ха}) П Е -ф ф Точка х„ ? Е С М называе1СЯ
точкой прикосновения множества Е С М, если для любого г > О
множество О(х0,г) П Е ф 0. Точка xtl 6 М называется точкой
конденсации множества Е, если для любого г > 0 множество
(О( io,7)\ {г0}) Л Е несчетно. Точка х0 е Е с М называется
изолированной точкой множества F, если найдется г > 0, такое,
Что(О(г„.г)\К})П Е = 0
Множество всех внутренних точек множества Е С М пазы-
ваеи;я внуфенностыо Е и обозначается int E Множество всех
предельных тчек множества Е называется производным множе-
множеством и обозначае1ся Е'
Множество Е называе1ся открытым, если все его точки явля-
являются внутренними, те Ъ = int Е Множество Е называется
замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, i e
F,' с Е Само метрическое пространство является открытым
и замкну 1ЫМ одновременно Замкнуюе множество называется
совершенным, если каждая его точка является предельной, i e.
t = ?." Операция присоединения к множеству Е всех его
предельных точек называется замыканием, а полученное при этом
множество Ей /•" называется замыканием Е и обозначается F, т е
? = Е U Е'
Множество Е называется всюду плотным в метрическом про-
пространстве М, если Е — М Множество Е называется нигде
не плотным, если его замыкание Е не содержит никаких не-
непустых открытых подмножеств М Пример совершенного нигде
не плотного множества мощности континуума был построен
Г Кантором На первом шаге из отрезка [0,1] удалим среднюю
греть A/3,2/3), а полученное множество обозначим С\. На
втором шаге из оставшихся двух отрезков, которые составляют
(",, удалим их средние трети A/9, 2/9) и G/9, Н/9), а полученное
множество обозначим ( Если этот процесс продолжить далее,
то на н-м шаге из оставшихся 2П~' равных по длине Офезков,
29

коюрые составляки ('„_,, удалим средние трети, л полученное
множество обозначим ('„ Канторовым совершенным множеством
называе!ся множество С - П С'п, где Со = [0,1].
Множество Ь в метрическом пространстве М называется
множеством типа <7Л, если Е можно представить в виде пере-
пересечения счетного числа открытых множеств в М. Множество Е
называется множеством типа Е„, если Е можно представить в виде
объединения счетного числа замкнутых множеств в М
Метрическое пространство называется сепарабельпым, если в
нем существует счетное всюду плотное подмножество.
Базисом метрического пространства (М,р) называется всякое
семейство открытых множеств, такое, чю любое открытое мно-
множество из М есть объединение пекоюрой совокупности множеств
этого семейства
Для того чтобы метрическое пространство имело счетный
б<иис, необходимо и достаточно, чтобы оно было сепарабельиым
Любое замкнутое множество в сепарабельном метрическом
пространстве представммо в виде объединения совершенного и
не ботее чем счетного
Подмножество мефического пространства называется множе-
множеством первой ка!егории, если оно представимо в виде объеди-
объединения не более чем счетого числа нигде не плошых множеств,
в про!ивном случае это подмножество называется множеством
вюрой категории
Множество Е метрического пространства М называется не-
несвязным, если его можно представить в виде Е = A U В, где
1 не содержи! ючек прикосновения Я, а Л не содержит точек
прикосновения А. Если же Е нельзя представить в 1аком виде, то
оно называется связным
§2. Полные метрические пространства
Последовательность {^„}~_, элементов метрического про-
пространства (М,р) является сходящейся к элементу х0 6 М, если
р( >,,, ''а) —• 0 при п —> оо, т е
V? > О ЗЛ'(?) : Vn г N{e) => р(х„,х0) < е.
При этом пишут Пш ,г„ = х0 Если же
Vt~ > О Э N(?) Vn,?» > N(?) => р(х„,хт) < f,
то такая последовательность {.г„}™_, называется фундаменталь-
фундаментальной в метрическом пространстве (М,р) При этом также пишут
lim р(х„,хт) = 0.

Не в каждом метрическом пространстве фундаментальная
последовательность являе1ся сходящейся к элемешу эюго про-
странс]ва Метрическое пространство называется полным, если
в нем любая фундаментальная последовательность сходи 1Ся к
элементу эюго пространства Справедлив следующий критерий
полноты морического пространства
Метрическое пространство является потыч тогда и только
тогда когда в нем любая последовательность непустых вложен-
вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся
к нулю имеет непустое пересечение
Для полных метрических пространств справедлива теорема
Бэра
Всякое непустое полное метрическое пространство есть мно-
множество второй категории.
Пространство всех действительных чисел К с метрикой
р(.т,у) = \х - у\, х,у е R, является полным метрическим
пространством Пространство же всех рациональных чисел Q с
той же ме]рикой полным не является Однако подпространство Q
всюду плотно в (R, р) Это означает, чю (Q,p) можно пополнить
до (R,p), которое является полным
Биективное отображение /, действующее и! метрического
пространства ( l/i,/'i) на метрическое пространство (А/2,р2), на-
называется изометрическим (или изомефией), если
V.r.i/ 6 (A/,,Pl) => pAH-r)J(y)) = РЛ*-У).
i е изометрия сохраняет расстояние При этом пространства
( \l\.pi) и (M-iip-i) называются изометричными
Пополнением метрического пространства (M\,pi) называется
iaKoe полное метрическое пространство (М,,/>2), что выполнены
условия
• 1) пространство (Mupi) изометрично (ЛГ,/>,>), где М" С М2,
2) множество М' всюду плотно в метрическом пространстве
(М,.р7)
Справедлива следующая теорема о наполнении-
Любое метрическое пространство можно пополнить
Метрические пространства (М\,р\) и \М2.р2) называют го-
меоморфными, если существует биективное отображение / из
(М\,р\) на (Л^2,р2), такое, что
i e при гомеоморфизме сохраняется сходимость Ясно, что изо-
ме1ричные пространства являются гомеоморфиыми. Однако об-
обратное у!верждение неверно
31

Пусть в одном и том же множестве М введены лве метрики рх
и р,_. Если
то метрики р\ и рг называются эквивалентными. Ясно, что в этом
случае пространства (М,р,) и (М,р2) являются гомеоморфными.
§3. Компак1ность в метрических пространствах
Множество Е в метрическом пространстве (М.р) называется
ограниченным, если
diam E < со.
Любое ограниченное множество содержится в некотором шаре.
Существенную роль играет понятие полной ограниченности в
метрическом пространстве. Пусть е > 0 Подмножество А мет-
метрического пространства (М,р) называется t-сетью для множества
Е С М, если для любого J6f существует элемент а ? А, такой,
что р(х'.а) < f Множество Е С (М,р) называется вполне огра-
ничсппым если для любого и > 0 множество Е имеет конечную
(г-есть в пространстве (М,р). Любое вполне ограниченное мно-
множество является ограниченным. Множество Е С (М,р) называет-
называется компактным, если из любой последовательности {.г„}~1, 6 Е
можно выделить подпоследовательность {.<ч„}.7=1- сходящуюся к
1 очке из Е
Множество Е С (М.р) называется относительно компактным,
если его замыкание 7. компактно в (М.р). Это эквивалешно
тому, чю из любой последовательности {г„}~=1 G Е можно
выделить подпоследовательность {ji-.}^=1, сходящуюся к точке
из М. Справедлива 1еорема Хаусдорфа
Для того чтобы множество Е в метрическом пространстве
(М р) было относительно компактно, необходимо, а в случае, если
i и' п) полное пространство, то и достаточно, чтобы Е было
вптне ограниченным
Рассмотрим важный критерий относительной компактности в
пространстве непрерывных функций С[а,Ъ] с ме1рикой />(/,?) =
-= шах |/(.г) - 9(х)\ Множество Е С С[а,Ь] равномерно огра-
ограничено',' если найдется такая константа К > 0, чго для любой
/ е Е '
шах |/(J-)| < А.
1Е[о Ь]
12

множество Е с С{а,Ь] называется равностепенно непрерывным,
если
Ve > 0 36(е) > 0 • Ут,г/€ [а,Ь], \х-у\<Ь
Если ввести поня1Ие модуля непрерывности любой функции /
С С'[а,6] по формуле
^(/-*) = sup |/(j)
ю равностепенная непрерывность множества функций Е С С[а, Ь]
означаем чю существует функция uiF) > 0 nu(i) —> 0 при 6^0,
такая, что
V/ 6 Е =>«;(/,6) S ш(Ь).
Справедлива теорема Асколи — Арцсла:
Множество Е С ('[«./>] относительно компактно тогда и
только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно
непрерывно.
В заключение данного параграфа дадим эквивалентное опре-
определение компакшости в метрических пространствах.
Семейство множеств {(>„}, о 6 /, называется покрытием
множества Е, если tc U (•„ Покрытие \Са}, »?/, называется
открытым, если каждое множество Сг'„ является открытым Любое
подсемейство {(V,,}, а 6 ,/ С /, такое, что Е С U Ga, называ-
стся подпокрытием данного покрытия. Справедлива теорема
Гейне—Бореля'
Множество в метрическом пространстве является компакт-
пым тогда и только тогда, когда любое его открытое покрытие
содержит конечное подпокрытие
§ 4. Непрерывные отображения и принцип сжатых
оюбраженин
Соображение /, действующее из метрического пространства
(A/[,/)i) в метрическое пространство [М^.рг), называется непре-
непрерывным в точке х0 6 Mi, если
Vt > 0 Э 6(е) > 0 : Vj e M,
и
р,(г,г„)< 6 =*¦ p2(/(j'),/(J4,)) < ?¦
33
5 Задачи по теории функций действительного переменного

Отображение, непрерывное в каждой точке метрического про-
пространства, называется непрерывным на этом метрическом про-
пространстве
Справедлив следующий критерий непрерывности на мегриче-
ском пространстве:
Отображение / является непрерывным па пространстве
(Mi.Pi) тогда и только тогда, когда прообраз /~'(<7) всякого
открытого множества О С (М^рг) есть открытое множество в
(Мьр,).
Отображение / метрического пространства (Mi, р1) в метриче-
метрическое пространство (М2,/э2) называется равномерно непрерывным
на некотором множестве Е С Мь если
Vj > О 36(е) > 0 : Vj-.г/ ё Е
и
Pi(x,y)<6 =$. pi(f(r),f(y)) < ?.
Важный подкласс класса всех равномерно непрерывных ото-
отображений дают отображения, удовлетворяющие условию Липши-
Липшица. Отображение / метрического пространства (М,, рх) в метри-
метрическое пространство (М2,р2) удовлетворяет условию Липшица
с показателем о, 0 < а ? 1, если существует положительная
константа L, такая, что
V(z,t/)eA/, => P2(f(x),f(y)) i L[p,(x,y)]a .
Справедлива следующая теорема:
Любое непрерывное отображение полного метрического про-
пространства в метрическое пространства является равномерно не-
непрерывным.
Кроме того, справедливо следующее утверждение о продол-
продолжимости равномерно непрерывного отображения. Пусть отобра-
отображение / метрического пространства (Mt,p\) в полное метриче-
метрическое пространство [Mi,pi) является равномерно непрерывным
на множестве Е с Мь которое всюду плотно в М\. Тогда
существует и единст венно равномерно непрерывное отображение
F пространства (Mupt) в пространство (М2.р2), которое на Е
совпадает с /
Оюбражение / метрического пространства (М,р) в себя назы-
вае1ся сжатым (или сжимающим), если существует а, 0 < а < I,
такое, mi о
34

Точка хи 6 (М,р) называется неподвижной точкой отображе-
отображения / пространства {М,р) в себя, если f(x0) = х0.
Справедлив принцип сжатых отображений Банаха:
Пусть (А/, р) — полное метрическое пространство, а ото-
отображение / пространства (М,р) в себя является сжатым. Тогда
существует и единственна неподвижная точка отображения /.
Этот приицип часто называют принципом неподвижной точки.
Следует отметить, что условие
f>(f(x)J(y))< р(х,у). хфу,
недостаточно для существования неподвижной точки отображе-
отображения /. В качестве такого примера можно рассмотреть множество
действительных чисел К с обычной метрикой и отображение
f(x) = х + ~ - arctgar, х ? К.
Принцип сжа<ых отображений имеет многочисленные приме-
применения в теории дифференциальиых и интегральных уравнений.
Задачи
§ 1. Открытые и замкнут ые множества
2.1.1. Показать, что только из условий 1) — 3) на функцию
расстояния в метрическом пространстве (без предположения о
неотрицательности функции р) вытекает, что р(х,у) > 0 при
х ф у Рассмотреть пример функции р(х, у) = х-у, тех,у ? R —
множество действительных чисел, и показать, что одно из условий
1) — 3) не выполнено
2.1.2. Показать, что любое множество М може1 быть снаб-
снабжено метрикой
/ I-
которая называется дискретной.
2.1.3. Пусть х0 — точка метрического пространства М с
метрикой р Доказать, что функция р(х, ха) является .непрерывной
числовой функцией на (М,р).
2.1.4. Пусть 4 — подмножество метрического пространства
(М,р) Доказать, что функция р(х. А) является непрерывной
чистовой функцией на (М.р).
2.1.5. Пус1ь (М'р) — метрическое пространство. Рассмотрим
семейство {А} подмножеств множества М Является ли это се-
семейство метрическим пространством, если мефику ввести по
формуле
35

i)pi(A,B) = ^Ы?вр(х,у);
2)/JD,5)= sup p(x,y)l
2.1.6. Пусть числовая функция /(<), определенная для t > О,
является возрастающей, выпуклой снизу и /@) = 0 Пусть
(М,р) — метрическое пространство. Рассмотрим функцию
Pi(x,y) — f(p(x,y)), где х, у € М. Является ли функция р1
метрикой на Л/?
2.1.7. Пусть / — взаимно однозначное отображение метри-
метрического пространства (М,р) в себя Пусть pi(r.y) = p(f(x),f(y)),
где х,у € М Является ли функция ру метрикой на Ml
2.1.8. Пусть R — множество всех наборов из Лг действи-
действительных чисел- х = (xl,x2,... ,xN). Показать, что метрику в R
можно ввести по формулам'
2) р(г7у} = I ^2\х, - у
N I r _ у I
1
Г
- у,\
2.1.9. Показать, что функция рр(х,у), введенная в предыду-
предыдущей задаче, для 0 < р < 1 не является метрикой в R , N > 2
Однако р(х,у) = \Z\f~--~y\ является метрикой в R
2.1.10. Рассмотрим множество всех числовых последовалель-
ностей х = (j- 1,.г2, , J1,,,. •) Доказать, чго функция
является метрикой. Метрическое пространство всех числовых по-
последовательностей с данной метрикой обозначается символом д
2.1.11. Рассмотрим множество числовых последовательно-
последовательностей х - (х1,х2,... ,Jn,- • •)¦ У которых J-, ф 0 только для
конечного множества индексов Доказать, что функция
р(х,у) = s\ip|j-, ~ у,\
является метрикой. Полученное пространство обозначается сим-
символом /
2.1.12. Рассмотрим множество ограниченных числовых по-
медовательностей j- = (.ть.г2,... ,хп, ..) Доказать, что функция
р(г,у) = sup |j-, - у,|
1
36

является метрикой. Полученное метрическое пространство обо-
обозначается символом /^ (или т). Подпространство всех сходящих-
сходящихся числовых последовательностей с той же метрикой обозначается
СИМВОЛОМ С, а ВССХ СХОДЯЩИХСЯ К 0 — СИМВОЛОМ Го
2.1.13. Пусть р > 1 Рассмотрим множество числовых после-
последовательностей j = (x,,j 2,... ,хп,...), которые удовлетворяют
по
условию Y1 \х'\р < °° Доказать, что функция
1/р
является метрикой Полученное пространство обозначается сим-
символом /р.
2.1.14. Если в условиях предыдущей задачи рассмотреть 0 <
< р < 1, то будет ли функция р{г,у) метрикой?
2.1.15. Рассмотрим множество натуральных чисел N. Дока-
Доказать, что метрику в этом пространстве можно ввести по формуле
т Ф п,
р{т,п) = I m+ n r т,п € N.
[ 0, т = ?i,
2.1.16. Рассмотрим множество функций, ограниченных на
[и.Ь] Доказать, что функция
p(f,9) = SUP \f(*)- ff(x)\
хф b]
является метрикой Полученное метрическое пространство обо-
обозначается символом В[а,Ь]. Множество непрерывных на [а,Ь)
функций с указанной метрикой является также метрическим про-
пространством и обозначается символом Г'[а,6].
2.1.17. Если в предыдущей задаче заменить отрезок [а, Ь]
интервалом (а,Ь), то будут ли метрическими пространствами
Я(а,Ь) и С{а,ЬI
2.1.18. Рассмотрим множество функций, имеющих на [а, Ь]
it непрерывных производных Доказать, что на этом множестве
можно ввести метрику по формуле
Полученное пространство обозначается символом Сп[а,Ь]
37

2.1.19. Показать, что на множестве бесконечно-дифференци-
бесконечно-дифференцируемых функций, заданных на отрезке [а, Ь], можно ввести метрику
по формуле
2* l
[а Ь]
Данное пространство обозначается символом С1пи[а,Ь]
2.1.20. Показать, что на множестве функций, заданных на
отрезке [а, Ь] и удовлетворяющих условию Липшица с показателем
а, 0 < а < 1 (т е модуль непрерывности Ц<*>,/) функции f(x)
на [а,Ь) удовлетворяет условию иF, /) = О($а)), можно ввести
метрику по формуле
p{f,g) = sup \f(x)-g(x)\+ sup
[a b] a<xi x2Kb Kl ~ X2\
Полученное пространство иногда называют пространством Гель-
дера-Зигмунда и обозначают На[а,Ь]
2.1.21. Показать, что на множестве непрерывных функций,
заданных на отрезке [а, 6], метрику можно также задать по фор-
формуле
ь
Данная метрика называется интегральной
2.1.22. На множестве функций, интегрируемых по Риману на
отрезке [а, 6] в собственном смысле, введем метрику по формуле
PU,9)= [j\f(x)-g(x)Ydx
для некоторого р > 1 Будут ли метрическими пространствами с
указанной метрикой следующие множества функций
1) множество кусочно-непрерывных функций,
2) множешво кусочно-непрерывных функций, значения кото-
которых в точках разрыва есть полусумма правого и левого предель-
предельных значений,
3) множество ограниченных функций7
2.1.23. В условиях предыдущей задачи рассмотреть случай
О < р < I
38

2.1.24. Пусть {Cia}a^r — система открытых множеств,
*}а€/ — система замкнутых множеств в некотором метри-
метрическом пространстве, а / — произвольное множество индексов
Доказать, что
1) U (та — открытое множество,
2) П Fa — замкнутое множество,
п
3) П (та — открытое множество,
п
4) U FQ — замкнутое множество
2.1.25. Пусть М — метрическое пространство, а множества
А, В С М Доказать справедливость следующих утверждений
*) Если А С_В, то А С В (верно ли обратное утверждение9),
2) AU В = Ли Д,
3) АП В С АП В (привести пример строгого включения)
2.1.26. Доказать, что открытый шар О(а-0,г) — открытое
множество, а замкнутый шар B{in,r) — замкнутое множество
2.1.27. Доказать, что любое конечное множество точек мет-
метрического пространства является замкнутым
2.1.28. Доказать, что замыкание открытого шара содержится
в замкнутом шаре, но может с ним не совпадать
2.1.29. Привести пример метрического пространства, в кото-
котором некоторый замкнутый шар яввдется открытым множеством,
но не является открытым шаром
2.1.30. Привести пример метрического пространства, в кото-
котором некоторый шар большего радиуса целиком лежит в шаре
меньшего радиуса
2.1.31. Доказать, что в дискретном пространстве любое мно-
множество является открытым и замкнутым одновременно
2.1.32. Доказать, что производное множество 4' для множе-
множества А является множеством замкнутым
2.1.33. Доказать, что ( 1U В)' = 4' U И'
2.1.34. Пост рои ib пример множества в метрическом про-
пространстве, состоящее только из изолированных точек и имеющее
непустое множество предельных точек
2.1.35. Построить пример ограниченного замкнутого множе-
множества, имеющего счетное число предельных точек
2.1.36. Поетрошь пример счетного множества, для коюрого
множество преде 1ьных точек имеет мощность континуума
2.1.37. Доказахь, что int 4 есть наибольшее открытое мно-
множество, содержащееся в 4 _
2.1.38. Доказать, что множество 4 есть наименьшее замкну-
гое множество, сотержащее 4

2.1.39. Доказать, что в метрическом пространстве М имеют
место следующие утверждения
1) множество А с М открыто тогда и только тогда, когда
Ч \ А замкнуто,
2) множество А с М замкнуто тогда и только тогда, когда
\1 \ А открыто
2.1.40. Привести пример замкнутых, непересекающихся мно-
множен в Fi и F, на плоскости М.2 с метрикой р2, таких, что
2.1.41. Пусть {Gn}^=l — семейство множеств типа G6, a
{^"}T=i — семейство множеств типа Fa Доказать, что
1) П (т'п есть множество шпа G6,
Л = 1
N
2) U Г/* есть множество 1ипа 6V
п= 1
ОС
3) U Fn есть множество типа Fa,
n=l
N
4) П Fk есть множество типа Fa
n=l
2.1.42. Является ли система всех замкнутых (открытых) мно-
множеств метрического пространства полукольцом7
2.1.43. Привести примеры последовательностей открытых
множеств {<V,,}~=1 и замкнутых множеств {f^}~=1 так, что П Gn
не является открытым, a U Fn не являе1ся замкнутым
2.1.44. Доказать, что для любых точек х,у, х ф у, метричес-
метрического пространства найдутся открытые множества <7Г и (,'у, такие,
чю i 6 Gx, у € ('у, но j- ^ Gy, у ? GХ, т е выполняется аксиома
oiделимости Хаусдорфа в метрическом пространстве Более того,
эти множества можно выбрать так, что Gx П Gy = 0
2.1. 45. Пусть А — замкнутое множество в метрическом про-
пространстве (М,р) и пусть х € М, но т ^ А Доказать, что
(>{>-, А) > О
2.1.46. Пусть Л;, А2 — произвольные замкнутые множества
в мефическом пространстве (М,р), такие, что Ах П А7 = 0
Доказать, что существуют открытые в (М,р) множества G\ и G2,
что выполнены следующие соотношения
Ах с <Vi, Л2 С G2, (r\ П G2 = 0
2.1.47. Справедливо ли утверждение о том, чю в произволь-
произвольном метрическом пространстве существуют два непересекающихся
открытых множества, которые нельзя заключить в два непересе-
непересекающихся замкнутых множества9
40

2.1.48. Привести пример метрического пространства и двух
непересекающихся, замкнутых, ограниченных множеств в нем,
расстояние между которыми равно нулю
2.1.49. Пусть / — предельная точка множества А, но х g A
Доказать, что для любого открытого множества G, содержаще-
содержащего х, множество (i л А является бесконечным
2.1.50. Доказать, что любое замкнутое множество есть предел
убывающей последовательности открытых множеств, а любое от-
открытое есть предел возрастающей последовательности замкнутых
множеств
2.1.51. Доказать, что любое открытое множество на прямой
К с метрикой р(х у) — \т - у\, х, у ? К, есть не более чем счетное
объединение непересекающихся интервалов
2.1.52. Доказать, что любое открытое множество на плоско-
плоскости К" с метрикой р( г, у) = | г - у\, х, у 6 К2, есть счетное объеди-
объединение непересекающихся полуоткрытых прямоугольников (Полу-
(Полуоткрытый прямоугольник — множество точек (х,у) а < х < Ь,
( < у < (I)
2.1.53. Можно ли нобое открытое множество на плоскости
представить в виде счетного объединения непересекающихся от-
открытых кругов9
2.1.54. Можно ли действитеаьную прямую представить в виде
счетного объединения непересекающихся конечных отрезков?
2.1.55. Доказать, что на плоскости найдется такое счетное се-
семейство открытых кругов, что любое открытое множесгво можно
представить в виде объединения некоторой совокупности кругов
эти) семейства
2.1.56. Доказать, что открытый круг нельзя представить в
виде объединения двух непересекающихся непустых открышх
множеств, а замкнутый круг — в виде объединения двух непе-
непересекающихся непустых замкнутых множеств
2.1.57. Привести пример метрического пространства, в кото-
котором некоторый открытый шар является замкнутым множеством,
но не является замкнутым шаром
2.1.58. В метрическом прост ранстве С[а, Ь] рассмотрим следу-
следующие множества
1) пусть М — множество алгебраических многочленов, степень
которых не превосходит некоторого натурального числа,
2) пусть М — множество алгебраических многочленов, сво-
свободный член которых равен нулю,
3) пусть М - множество функций f(x) А < /(.г) < В при
фиксированных числах А и В,
4) пусть М — множество функций /(т) А < f(x) < В при
фиксированных числах А и В,
41
6 Задачи по теории функции действительною переменного

5) пусть М — множество функций /(г) : f(x) < F{x) при
фиксированной функции F(x) € С'[а, 6];
6) пусть М — множество функций f(x) : f(x) > F(x) при
фиксированной функции F(x) 6 C[a,b].
Будет ли множество М в п. 1) — 3), 5) замкнутым? Будет ли
множество М в п 4), 6) открытым? В п. 1) и 2) определить М
2.1.59. На множестве непрерывных функций на отрезке [а,Ь\
введем метрику p{f,g) по формуле
(ь \^
P(f,g)= l]\f(x)-g(x)\>dx\ , p> 1.
Как и в предыдущей задаче, определить характер множеств М в
п. О —6). ..
2.1.60. В пространстве 1р, р > 1, рассмотрим множество М
тех последовательностей, все координаты которых положительны.
Будет ли множество М открытым?
2.1.61. Рассмотрим множество {sm 7t7ra}^=1, где а — ир-
иррациональное фиксированное число Доказать, что производное
множество есть отрезок [-1,1].
2.1.62. Доказать, что множество {sin г}, где г — любое ра-
рациональное число, всюду плотно на [-1 Л] 2
2 1.63. Доказать, что множество функций у = пг , где п —
любое целое число, является нигде не плотным в пространстве
Пол]
2.1. 64. Является ли множество функций у = с, где с — произ-
произвольное действительное число, нигде не плотным в пространстве
С[а,ЬР
2 1 65 Пусть М — нигде не плотное множество на прямой
R с метрикой р(х,у) = \х- у\. Доказать, что множество R \ Л*
всюду плотно на прямой Верно ли обратное утверждение/
2 1 66. Пусть а — открытое, всюду плотное множество в
мегрическом пространстве (М, р) Доказать, что множество М \ G
являелся нигде не плотным в (М,/>)
2 1.67. Пусть А — нигде не плотное множество в метрическом
пространстве (М,р) Доказать, что множество А также нигде не
плотно в (М, р).
2.1. 68. Привести пример метрического пространства, в кото-
котором единственным нигде не плотным множеством является пустое
множество
2.1.69. Доказа.ь, что если множество не имеет внутренних
точек и является замкнутым, ю оно нигде не плотно.
42

2.1.70. Доказать, что пересечение счетного числа открытых,
всюду плотных множеств на прямой является всюду плотным
множеством Справедливо ли это утверждение в произвольном
метрическом пространстве?
Справедливо ли также утверждение о том, что это множество
имеет мощность континуума?
2.1.71. Привести пример убывающей последовательности
всюду плотных множеств на прямой R, пересечение которых
пусто
2.1.72. Всегда ли объединение конечного (счетного) числа
совершенных множеств является совершенным множеством?
2.1.73. Построить совершенное нигде не плотное множество
мощности континуума. Построить совершенное нигде не плотное
множество иррациональных чисел мощности континуума.
2.1.74. Верно ли утверждение, что любое непустое совершен-
совершенное множество в произвольном метрическом пространстве имеет
мощность континуума? Доказать, что в (Ж,р),гд.ер(х,у) = \х — у\,
любое непустое совершенное множество имеет мощность конти-
континуума.
2.1. 75. Пусть А и В — подмножества прямой R с метрикой
р( j , у) — \х - у\ Доказать, что
1) если 4 — совершенное нигде не плотное множество, а
В —интервал, то А П В — либо совершенное нигде не плотное
множество, либо объединение счетного числа попарно непересе-
непересекающихся нигде не плотных совершенных множеств,
2) если А п В — совершенные нигде не плотные множества,
ю 1 \ В — либо совершенное нигде не плотное множество, либо
объединение счетного числа попарно непересекающихся нигде не
плотных множеств.
2.1.76. Пусть Л' — канюрово совершенное множество на
oiрезке [0,1] Доказать, что множества
А'хА', [0,1]х[0,1]\(([0,1]\А')х([0,1]\А')), [0,1]хЛ'
являются совершенными нигде не плотными множествами па
плоскости R2. Эти множества называются «кладбище Серпинско-
Серпинского», «ковер Серпинского» и «канюрова гребенка» соответственно.
2.1.77. Доказать, что множество ючек конденсации объеди-
объединения конечного числа множеств есть объединение их точек
конденсации Верно ли это утверждение для счетного объединения
множеств?
2.1. 78. Доказать, что множество точек конденсации несчетно-
несчетного множества совершенно и имеет точки, принадлежащие исход-
исходному множеству
43

2.1.79. Пусть А — некоторое несчетное множество в метри-
метрическом пространстве Доказать, что множество точек, не являю-
являющихся точками конденсации А, не более чем счетно.
2.1. 80. Доказать, что дополнение к любому множеству первой
категории на прямой R является всюду плотным в R.
2.1. 81. Доказать, что интервал на прямой не является множе-
множеством первой категории.
2.1. 82. Доказать, что:
1) любое подмножество множества первой кагегории есть
множество первой категории,
2) объединение счетного числа множеств первой категории
есть множество первой категории,
3) дополнения к множеству первой категории на прямой есть
множество второй категории
2.1.83. Доказать, что Е есть множество первой категории
тогда и только тогда, когда Е нигде не плотно.
2.1.84. Пусть множество А обладает свойством Бэра, т. е А
предел авимо в виде А — G Д Р, где G — открытое множество,
а Р — множество первой категории. Доказать, что А обладает
свойством Бэра тогда и только тогда, когда А можно представить
в виде объединения множества типа (i6 и множества первой
категории, или разности множества типа Fa и множества первой
категории
2.1.85. Пусть функция / принадлежит первому классу Бэра,
те/ есть предел в каждой точке прямой R последовательности
непрерывных функций Доказать, что / непрерывна всюду на R,
кроме, быть может, множества первой категории.
2.1.86. Доказать, что точки разрыва действительнозначной
функции /, заданной на прямой или на ее подмножестве, образую!
множество первой категории тогда и только тогда, когда /
непрерывна на всюду плотном множестве.
2.1.87. Доказать, что любое множество первой категории
содержится в некотором множестве типа Fa первой категории
2.1. 88. Доказать, что в пространстве С[а, Ь] множество функ-
функций, таких, что в каждой точке х б [а, Ь] разностное отношение
l{r+hy-!{x) ОГраниченно есть множество первой категории.
2.1. 89. Доказать, что:
1) всякое замкнутое множество имеет тип (!6, а всякое откры-
открытое — тип fa,
2) если Е есть множество типа Fa, то его дополнение есть
множество типа A6.
2.1.90. Показать, что множество иррациональных чисел есть
множество типа (it, а множество рациональных чисел — гипа Fa.
44

2.1.91. Пусть { ?n}~=1 — последовательное! ь замкнутых мно-
множеств в пространстве (Л/,/>) Доказать, что lhii Еп есть множество
шпа Р„, a lini(M \ Е„) есть множество типа d'6.
2.1.92. Пусть {?„}~=1 — семейство всюду плотных множеств
типа (j/, Верно ли, что П Еп — всюду плошое множество типа
11
71=1
2.1.93. Доказать, что никакое счетное всюду плотное мно-
множество в пространстве R не может быть множест вом типа Gf
2.1. 94. Привести пример множества, не являющегося ни мно-
множеством типа Fa, ни множеством типа GЛ
2.1.95. Доказать, что множество точек непрерывности функ-
функции, заданной на отрезке, не может совпадагь с множеством
рациональных точек отрезка.
2.1.96. Доказать, что если для функции, заданной на отрезке,
любая точка есть точка локального минимума, то множество
значений этой функции не более чем счетно.
2.1.97. Пусть {/„},7J=1 — произвольная последовательность
непрерывных функций в пространстве RN. Доказать, что мно-
множест во точек j g RJ , гаких, что lim |/„(-г)| = + сю, есть множество
типа (!„
2.1.98. Доказать, что множество Е связно тогда и только
тогда, когда его нельзя представить в виде Е - А И В, где А
и В — непустые множества, обладающие свойством
(АП^)и(БПА) =0.
2.1.99. Доказать, что если множество Е связно, то Е также
связно. Привести пример, показывающий, что обратное утверж-
утверждение не верно
2.1.100. Пусть Ei и Е2 — связные множесгва. Доказать, что
если множество Ех П Е2 связно, то множесгво Е\ U Е2 также связно.
2.1.101. Доказать, что множество Е связно тогда и только
тогда, когда для любого ?, с ? найдется связное множество (j,
такое, что ?\ С A С Е
2.1.102. Доказать, чго открытый (замкнутый) шар любого
метрического пространства является связным множеством
2.1.103. Доказать, что на прямой R с естественной метри-
метрикой связными множествами являются только множества вида
(-оо,+оо); (-оо,а), (-оо,а], (а,+оо); [а,+оо), [в,6]; (a,b); [a,b),
(а,Ь], 0, одноточечное^множество.
2.1.104. Доказа1ь, что в метрическом пространстве R нет
множеств одновременно открьпых и замкнутых, кроме пустого
множесгва и всего пространства R
45

2.1.105. Доказать, что множество
является связным, нигде не плотным множеством на плоскости R .
2.1.106. Пусть Е — множество из предыдущей задачи. Дока-
Доказать, что если из множества Е удалить любое подмножество вида
{0} х А, где А С [-1,1], то получим связное множество.
2.1.107. Пусть Е — связное множество, содержащее более
одной точки. Доказать, что оно не имеет изолированных точек.
2.1.108. Пусть Е и F — замкнутые множества. Доказать, что
если Е U F и Е П F связны, то Е и F связны Показать, что
это утверждение перестает быть верным, если хотя бы одно из
множеств Е и F не является замкнутым.
2.1.109. Доказать, что множество всех изолированных точек
сепарабельного метрического пространства не более чем счетно
2.1.110. Доказать, что множество точек конденсации любого
множества в сепарабельном метрическом пространстве является
совершенным
2.1.111. Доказать, что если в метрическом пространстве лю-
любое бесконечное множество имеет предельную точку, то это
пространство сепарабельно Верно ли обратное утверждение?
2.1.112. Доказать, что любое замкнутое множество в произ-
произвольном метрическом пространстве есть объединение двух мно-
множеств совершенного и не более чем счетного.
2.1.113. Какие из следующих пространств являются сепара-
бельными:
1) RN; 2) /; 3) с0; 4) с; 5) 1р; 6) /то, 7) С[а,Ь]; 8) Сп[а,Ь);
9) С~[а,Ь}; 10) В[а,Ь]; И) В(а,Ь), 12) Иа[а,Ь]; 13) 5?
2.1.114. Является ли сепарабельным множество непрерывных
на отрезке [а, Ь] функций с метрикой
2.1.115. Является ли сепарабельным метрическое простран-
пространство, состоящее из всех иррациональных чисел отрезка [а, Ь] с
метрикой р(х,у) — \х — 2/|?
2.1.116. Является ли сепарабельным метрическое простран-
пространство непрерывных, ограниченных на интервале (а, 6) функций с
метрикой
sup |
(а 6)
46

2.1.117. В сепарабельном метрическом пространстве постро-
построить счетное всюду плотное множество
2.1.118. Привести пример сепарабельного метрического про-
пространства и пример ограниченного множества, состоящего только
из изолированных точек и счетного.
2.1.119. Доказать, что метрическое пространство является
сепарабельным тогда и только тогда, когда оно имеет счетный
(или конечный) базис.
2.1.120. Доказать, что из любого бесконечного семейства
открытых множеств в сепарабелыюм метрическом пространстве
можно выделить счетное семейство с тем же объединением Спра-
Справедливо ли обратное утверждение?
2.1.121. Верно ли утверждение, что из любого бесконечного
семейства открытых множеств в сепарабельном метрическом про-
пространстве можно выделить счетное семейство попарно непересе-
непересекающихся множеств с тем же объединением?
2.1.122. Доказать, что мощность любого сепарабельного мет-
метрического пространства не превосходит мощности континуума.
§ 2. Полные метрические пространства
2.2.1. Доказать, что любое метрическое пространство имеет
пополнение и оно единственно с точностью до изометрии
2.2.2. Какие из следующих пространств являются полными:
1) Е (с различными метриками, см задачу 2 1 8), 2) ь, 3) /,
4) с0, 5) (, 6) /^, 7) I,,, р > 1; 8) пространство натуральных чисел с
мефикои, введенной в задаче 2 1 15, 9) В[а, 6], В{а,Ь), 10) С[а.Ь],
И) Г"[«,Ь], 12) Г°°[а.6], 13) На[а,Ь]1
В случае неполных пространств определить их пополнение
2.2.3. Доказать, что любое метрическое пространство с дис-
крегной метрикой является полным
2.2.4. Рассмотрим подмножество пространства R , состоя-
состоящее из элементов вида г = (х^х-2,... ,а>) только с рацио-
рациональными координатами и метрикой р(х,у) = шах \xk — г/*|
на этом подмножестве. Доказать, что полученное метрическое
пространство не является полным Определить его пополнение.
2. 2.5. Рассмофим множество многочленов {Р(х)} на отрезке
[а, Ь], степень которых не превосходит некоторого натурального п
Будет ли это метрическое пространство полным, если метрика
задана по формуле
[a b]
47

2) p(P,Q) = Yl \(h - Ьк |, где /'(/)— ^ я(.г*, Q(.r) = ? ЬцУ"*;
3)p(F,g)= / |f(.r)-g(j)|'dj- , p > if
2.2. 6. Будет ли полным метрическое пространство всех много-
многочленов, если метрика задается так же, как в п 1) — 3) предыдущей
задачи7
2.2.7. Будет ли полным метрическое пространство непрерыв-
непрерывных на отрезке [а,Ь] функций, если метрика задается формулой
2.2.8. Содержит ли пополнение метрического пространства
непрерывных на отрезке [а,Ь] функций с метрикой из предыдущей
задачи с р = 1 характеристические функции замкнутых множеств?
2.2.9. Пусть Е — подмножество 12, определенное следующим
образом
G h ¦ Ы < —, « = 1,2,.
Доказать, что множество Е с метрикой пространства /2 является
полным метрическим пространством Множество Е называется
основным параллелепипедом в 12 или «гильбертовым кирпичом»
2.2.10. Рассмотрим в пространстве /^ подмножество / с
метрикой пространства 1ги Будет ли полученное пространство
полным?
2.2.11. Рассмотрим в пространстве г подмножество (а с мет-
метрикой пространства с Будет ли полученное пространство пол-
полным?
2.2.12. Пусть (М,р) — полное мефическое пространство, а
F с Л/ Доказа1Ь, чю просфансгво (F,p) является полным тогда
и только тогда, когда F — замкнутое множество в (А/,р)
2.2.13. Привести пример полного метрического пространства
и замкнутого множества в нем, для которого расстояние от точки
вне этого множества до этого множества не достигается ни на
одной точке этого множества
2.2.14. Пусть (М,р) — полное метрическое пространство
Будет ли полным пространство (А/,/?,), где рх — метрика, опре-
определенная в задачах 2 1 6 и 2 1 7?
4S

2.2.15. Пусть В( Mi, М2) — множество ограниченных отобра-
отображений метрического пространства (Mi,pi) в метрическое про-
пространство (Мг,р2), т.е. таких отображений /, что множество
/(Л/,) является ограниченным в (М2,р2). Доказать, что простран-
пространство B{MY, М2) с метрикой
p{f,g) = sup р2(/(т),д(т))
является полным метрическим пространством
2.2.16. В пространстве 12 построить последовательность вло-
вложенных друг в друга замкнутых, непустых множеств с пустым
пересечением
2.2.17. Привести пример полного метрического пространства
и последовательности непустых, вложенных друг в друга замкну-
замкнутых шаров, имеющих пустое пересечение.
2.2.18. Доказать, что метрическое пространство является пол-
полным тогда и только тогда, когда:
1) любая последовательность непустых, замкнутых и вложен-
вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет
непустое пересечение,
2) любая последовательность непустых, замкнутых и вложен-
вложенных друг в друга множеств, диаметры которых стремятся к нулю,
имеет непустое пересечение
2.2.19. Пусть {Г7П}~_, — последовательность открытых всю-
всюду плотных множеств в полном метрическом пространстве До-
пи
казать, что П (V,, — всюду плотное множество Будет ли это
утверждение'справедливым, если отказаться от полноты метри-
метрического пространства?
2.2.20. Пусть {(Vn}?°=i — последовательность всюду плотных
множеств типа G6 в полном метрическом пространстве. Доказать,
(XI
что П (in — всюду плотное множество типа G6. Будет ли это
утверждение справедливо, если отказаться от полноты метричес-
метрического пространства?
2.2.21. Пусть (М,р) — полное метрическое пространство и
М = U Fn, где Fn — замкнутые множества Доказать, что хотя
п = 1
бы одно из множеств Fn имеет внутренние точки.
2.2.22. Доказать, что в полном метрическом пространстве:
1) любое множеству первой категории содержится в некотором
множестве типа Fa также первой категории;
2) любое множество второй категории содержит всюду плот-
плотное множество типа Gb,
49
7 Задачи по теории функций действительного переменного

3) дополнение к множеству первой категории не может быть
множеством первой категории.
2.2.23. Доказать, что в полном метрическом пространстве
множество является множеством второй категории тогда и только
тогда, когда оно содержит всюду плотное подмножество типа (!6.
2.2. 24. Доказать следующую теорему Бэра-Хаусдорфа. Лю-
Любое полное метрическое пространство есть множество второй
категории.
2. 2.25. Доказать, что числа Лиувилля образуют множество
второй категории на числовой прямой. Число х ? R называ-
называется числом Лиувилля, если оно иррационально, и для каждого
натурального п существуют целые числа р и ц, такие, что
х-Р-
Т> q>
цп
2.2.26. Рассмотрим игру (Л, В) двух игроков (Л) и (В).
Правила игры таковы:
Игроку (А) «выдается» подмножество А некоторого отрезка
/п числовой прямой. Игрок (В) «владеет» множеством 10\А.
Игрок (А) выбирает отрезок 1\ С h, затем игрок (В) выбирает
отрезок /2 С /ь затем игрок (А) выбирает отрезок /3 с h и
ПО
т.д. поочередно. Если П /„ 6 Л, то выигрывает игрок (Л), в
противном случае выигрывает игрок (В). Эта игра называемся
игрой Банаха-Мазура. Доказать, что:
1) для игрока (В) существует выигрышная стршегия тогда и
только гогда, когда . 1 — множество первой категории;
2) для игрока (А) существует выигрышная стратегия тогда и
юлько тогда, когда для некоторого отрезка 1} С h множество
/] П В есть множество первой категории;
3) пусть множество .4 обладает свойством Бэра. Выигрышная
стратегия существует либо для игрока (В), либо для игрока (А),
в зависимости от того, является ли А множеством первой или
второй категории.
2.2. 27. Доказав, чт для любой последовательности {ап}~_,
действительных чисел и для любого интервала / С R найдется
такая точка р ? /, что р ф а„ для любого и - 1,2,... Это
утверждение называется теоремой Канюра.
2.2.28. Доказать, что полное мефическое пространство без
изолированных точек несчетно.
2.2. 29. Доказать, что замкнутое множество в полном сепа-
рабельном метрическом пространстве либо не более чем счетно,
либо имеет мощность континуума.
50

2.2.30. Доказать, чю множество частичных сумм абсолютно
сходящегося числового ряда является замкнутым и, кроме того, со-
совершенным, если этот ряд содержит бесконечно много ненулевых
чтенов Можег ли "это множество иметь изолированные точки?
Можег ли таких точек быть бесконечно много?
2.2.31. Доказать, что в полном сепарабельном метрическом
пространстве любое замкнутое множество единственным образом
разбивается на два непересекающихся множества: совершенное и
не более чем счетное Показать, что единственность разбиения
может быть нарушена в неполном метрическом пространстве.
§3. Компактность в метрических пространствах
2.3.1. Привести пример некомпактного множества в метриче-
метрическом пространстве.
2.3.2. Доказать, что компактное множество в метрическом
пространстве замкнуто.
2.3.3. Доказать, что замкнутое подмножество компактного
множества компактно.
2.3.4. Доказать, что если Л — компактное множество в
метрическом пространстве (М,р), то метрическое пространство
( \,(>) является полным
2.3.5. Доказать, что множество F в евклидовом пространстве
Ж является компактным тогда и только тогда, когда F замкнуто
и ограничено.
2.3.6. Доказать георему f ейне-Бореля- множество в метри-
метрическом пространстве компактно тогда и только тогда, когда из
любого открытого покрытия этого множества можно выделить
конечное подпокрытие
2.3.7. Показать, что условие замкнутости и ограниченности
множества является необходимым, но недостаточным, чтобы мно-
множество было компактным в метрическом пространстве.
2.3.8. Показать, что в теореме Гейне-Бореля отказаться от
условия открытости покрытия нельзя.
2.3.9. Доказать, что каждое бесконечное подмножество ком-
компактного множества имеет хотя бы одну предельную точку.
2.3.10. Построить компактное множество, имеющее счетное
число предельных точек.
2.3.11. Доказать, что множество изолированных точек ком-
компактного множества конечно или счетно.
2.3.12. Привести пример ограниченного множества в метри-
метрическом пространстве, имеющего мощность континуума и состоя-
состоящего только из изолированных точек. Доказать, что в сепарабель-
сепарабельном пространстве такой пример невозможен.
51
7

2.3.13. Построить пример бесконечного метрического про-
пространства, не имеющего бесконечного компактного подмножества.
2.3.14. Доказать, что из любого открытого покрытия любого
множества в пространстве К. можно выделить счетное подпо-
подпокрытие. Верно ли это утверждение в произвольном метрическом
пространстве?
2.3.15. Доказать, что любое ограниченное множество в про-
пространстве HN относительно\компак1но.
2.3.16. Доказать, что множество в полном метрическом про-
пространстве относительно компактно тогда и только тогда, когда
оно вполне ограничено Показать, что полнота нужна только при
доказательстве достаточности.
2.3.17. Доказать, что если множество для каждого г > О
имеет конечную ?-сеть в метрическом пространстве, то оно имеет
конечную ?-сеть, состоящую из точек этого множества.
2.3.18. Доказать, что если множество вполне ограничено, то
оно является сепарабельным множеством.
2.3.19. Пусть {А'„}^_! — последовательность непустых ком-
компактных множеств метрического пространства, таких, что A'n+i С
С A'n, п - 1,2,...
оо го
Доказать, что П А'„ ф 0, причем если diam А'„ —> 0, то П Кп
п—1 м=1
СОСТОИТ ТОЛЬКО ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ
2.3.20. Пусть {Агп}~=1 — последовательность вложенных
друг в друга компактных множеств. Доказать, что если П А'„
состоит из одной единственной точки, то Inn diam A'n = О
п—>оо
2.3.21. Пусть А — компактное множество в метрическом
пространстве (М,р). Доказав, чт для любой точки х 6 М
существует точка у ? А, ткая, что
р{х,А) = р(х,у).
2.3.22. Пусть А — компактное множество, а В — замкнутое
множество в метрическом пространстве (М, р). Доказать, что если
АП В = 0, то р(А, В) > 0.
2.3.23. Пусть Fi и F2 — замкнутые множества в метрическом
пространстве (М,р). Если F, n F2 — 0. то верно ли, что
p(FuF2)>M
2.3. 24. Пусть Е — {in}~=1 — счетное множество на числовой
оо
прямой R и U Gn — его открытое покрытие. Можно ли из этого
покрытия выделить конечное подпокрытие множества Е, если
52

1) жх = 0, хп = —-, п = 2,3,...,
,» = 2,...,0<?<5;
?\ r __ „ _ i ¦> n — I ' ) n у- с ^ _
' » ~ on-i' 'i'vi un - „ i ,, I > "<.?<. ,
*s \ Z I. / ?
3) тп = n, Cn = (n - ?, n + e), n = 1,2,..., 0 < ? < -?
2.3.25. Рассмотрим на плоскости ]R2 открытый единичный
круг с центром в начале координат и проведем окружность С с тем
же центром радиуса |. Далее построим семейство всевозможных
открытых кругов радиуса |, центры которых лежат на С Эти
открытые круги образуют некоторое открытое покрытие единич-
единичного круга Доказать, что из этого покрытия нельзя выделить
конечного подпокрытия А можно ли выделить счетное подпо-
подпокрытие7
2.3.26. Совокупность открытых кругов, рассмотренная в
предыдущей задаче, покрывает замкнутый круг радиуса 1-е,
О < ? < т; с центром в начале координат. Как из этого покрытия
выделить конечное Подпокрытие?
2.3.27. Построить пример ограниченного открытого множе-
множества на числовой прямой К., покрытого интервалами так, что из
этого покрытия нельзя выделить конечного подпокрытия
2.3.28. Пусть {А'„}^=1 — последовательность компактных
множеств, такая, что пересечение любой конечной совокупности
ои
этих множеств непусто. Доказать, что П Кп ф 0.
2.3.29. Доказать, что множество последовательностей {жп}™=1
оо
в метрическом пространстве 12, таких, что JZ kn|2 < Ь является
замкнутым, ограниченным, но не компактным
2.3.30. Доказать, что «гильбертов кирпич» в /2 является ком-
компактным множеством
2.3.31. Доказать, что любое О1носительно компактное (а сле-
следовательно, и любое компактное) множество в /2 (С[а,Ь\) нигде не
плотно в /2 (С'[а, Ь}).
2.3.32. Доказать критерий относительной компактности в
пространстве я. Пусть А С s. Множество А относительно ком-
компактно тогда и только^тогда, когда существуют числа М\, Л/2,...,
такие, что Va- = (г,,х2,..., хп, ..)€ А оказывается, что
х„| < Мп, п — 1,2,...
53

2.3.33. Доказать критерий относительной компактности в 1р,
р > 1 Пусть А С 1р. Множество 4 относительно компактно тогда
и юлько тогда, когда выполнены следующие два условия'
оо
1) ЗЛУ > 0 : V.r ? A, jc - (.г,, .г 2,. ..) => ? |з-„|'' < М,
п = 1
оо
2) Уе > 0 3 Л'(?) : Vu>NhVt?A=> ? |аг*|" < ?¦
к = п
Показать, что условие 1) можно заменить на следующее:
Г)ЭМ,,М2,...: V.r G .4, х = {хи j2, ...) => |jt| < Мь
2.3.34. Сформулировать и доказать критерий компактности в
пространстве Z^.
2.3.35. Пусть дана последовательность чисел (al,a2, ¦ ¦ ¦,
... ,ап,...), действительное число р > 1 и натуральное q > р.
При каких условиях на последовательность (ai,a2,...,«„,...)
оо Лг„\'
множество элементов j- ? L, таких, что 52 ~~ < Ь будет
n=l Vf>n/
компактным?
2.3.36. Доказать теорему Асколи-Арцела. Множество Е С
С C[(i.b} относительно компактно тогда и только тогда, когда
оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
2.3.37. Привести пример множества в пространстве С[п,Ь]
опюсигельно компактного, но не компактного
2.3.38. Доказать, что в пространен ве ('[а, Ь] множен во много-
многочленов /"'(.г) степени не выше и, для которых |Р(.г)| < Со, является
компактным (п и (\, фиксированы).
2.3.39. Будет ли компактным в пространстве ('{и, Ь] множест-
множество функций вида .с", п = 0,1,2....?
2.3.40. Доказать, что в пространстве Г'[а,Ь] множество функ-
функций j{х), таких, что max |/(.г)| < 1, является ограниченным, замк-
путым, но не компактным.
2.3.41. Будет ли относительно компактным в пространстве
('[0, 1] множество функций /„(.г) = sin ти-, п = 1,2....?
2.3.42. Выяснить, какие из множеств функций являются отно-
относительно компактными в пространстве Г'[0,1]:
1) множество функций /(.г), удовлетворяющих условию Гель-
дера—Липшица. |/(.ri) - /(.г2)| < Цх\ - х2\" с фиксированными
I > 0, 0 < а ч 1 и /@) = 0,
2) множество функций /п(.г) = sin(.r + п), п - 1,2,...;
3) множество функций f(x), удовлетворяющих условиям
шах |/(j-)| < 1, max |/'(.r)| < 1 .
а-е[о l] re[n i]
54

2.3.43. В пространстве ('[0,1] рассмотрим множество Е вида
E=\f:
= 0, J\f'(xfdr < 1 .
Доказагь, что Е относительно компактно. Является ли Е ком-
пак шым множеством?
2.3.44. В пространстве ("[О, 1] рассмотрим множество Е вида
E=lf: f@) = О, /'@) = 0, У |/'V)|2 «k < 1 1 ¦
Доказать, что ?" относительно компактно. Является ли Е ком-
компактным множеством?
2.3.45. В пространстве С'[0.1] рассмотрим множество Е вида
f{x) =
Будет ли Е относительно компакшым, компактным?
2.3.46. Пусть Е — компактное множество в метрическом
пространстве (Л/,/>). Пусть далее {/„}^_, — последовательность
деистви1елыюзначных функций, монотонно и поточечно сходя-
сходящихся к функции /(.с) Доказать, чю/jj) непрерывна на Е тогда
и только тогда, когда /,,(.г) — /(.г) равномерно на Е.
2.3.47. Пусть Е — множество в мефическом пространстве, не
имеющее изолированных точек Доказагь, что Е компакшо тогда
и юлько тогда, когда любая действительнозначная непрерывная
на Е функция являеюя равномерно непрерывной.
2.3.48. Доказагь, что множество Е является компактным в
мефическом пространстве югда и только тогда, когда любая
непрерывная на Е действигсльнозначная функция ограничена.
2.3.49. Доказать, чго множество Е является компакшым в
метрическом пространстве тогда и только тогда, когда любая
непрерывная на Е действительнозначная функция достигаст ми-
минимального и максимального значения.
2.3.50. Доказать, чго объединение конечного числа компакт-
компактных (ошосигелыю компакшых) множеств есть множество ком-
компактное (относи!слыю компакпюе).
2.3.51. Доказать, чю пересечение любой совокупности ком-
компакшых множеств являстся компакшым множеством. Чю можно
55

сказа! ь о пересечении любой совокупности относительно ком-
компактных множеств?
2.3.52. Пусть А и В — непустые множества в метрических
пространствах [Мирх) и (М2,/э2) соответственно. Доказать, что
множество А х В является компактным в метрическом простран-
пространстве (А/] х М2,р), где метрика р задана по формуле
= у/р\{Х\,Хъ
где х\,х-г ? Мх, t/i, j/2 € М2 тогда и только тогда, когда А
компактно в (Mi,pi), а В компактно в (М2,/>2).
2.3.53. Говорят, что множество Е в метрическом простран-
пространстве (М,р) обладает свойством Я, если его пересечение с любым
замкнутым шаром в (М,р) является компактным множеством.
Доказать, что любое компактное множество обладает свойством
Н и что любое множество, обладающее свойством Н, замкнуто,
2.3.54. Показать, что в пространстве С'[а,6] класс всех замк-
замкнутых множеств совпадает с классом множеств, обладающих свой-
свойством Я. Построить пример полного метрического пространства
и замкнутого множества в нем, не обладающего свойством Н.
2.3.55. Доказать, что множество Е в пространстве С[а,Ь],
обладающее свойством //, нигде не плотно в С[а,Ь].
2.3.56. Доказать, что непустое компактное множесп во без
изолированных точек имеет мощность континуума.
2.3.57. Доказать критерий относительной компактности мно-
множества функций в метрическом пространстве интегрируемых по
Риману функций с метрикой p(f,g) вида
P(f,g)= lj\f(x)-g(x)rdx\
Up
, Р > 1.
Этот критерий носит название критерия Колмогорова. Множест-
Множество Е в указанном пространстве является относительно компакт-
компактным тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
) ЗА/ >0: VfeE=* I [ \f(jr)\p dx) < M ;
2)Ve>0 3<5>0: Vh : |/*f< b и V/ ? E
56

где
)dt
x-h
и функция f(t) доопределена нулем вне отрезка [а,Ь].
§ 4. Непрерывные отображения и принцип сжатых
отображений
2.4.1. Доказать, что отображение / метрического простран-
пространства (Mi,pi) в метрическое пространство (М2.р2) непрерывно
в точке х0 ? Mi тогда и только тогда, когда для любой
последовательности {.г„}, хп ? Мь lira х„ = г0 следует, что
n—*oo Mi
lim f(.rn) = /(.Го).
71 —' ПО М 2
2.4.2. Доказать, что отображение / метрического простран-
пространства (Mi,pi) в метрическое пространство (М2.р2) непрерывно на
М{ тогда и только тогда, когда:
1) прообраз /~'(<V) любого открытого множества G С
С (М-;,р2) является открытым в [М{,рх);
2) прообраз f~l(F) любого замкнутого множества F С
С {М-}-,р->) является замкнутым в (Mupi);
3) для любого множества Е С Mj имеет место включение
/(?) с W).
2.4.3. Доказать, что при непрерывном отображении компакт-
компактное множество переходит в компактное.
2.4.4. Пусть / — непрерывное взаимно-однозначное ото-
отображение метрического пространства (Mi.pi) на метрическое
пространство (М2,р2)- Буде1 ли обрашое оюбражение /~' не-
непрерывным на (М2,р2)?
2.4.5. Пусть / — взаимно-однозначное непрерывное ою-
оюбражение компактного множества- Е С (М.р) на компактное
множество Ei С (Mbpi). Доказать, что обратное отображение
/"' непрерывно.
2.4.6. Доказать, что непрерывный образ связного множества
есть связное множество.
2.4.7. Пусть / — действительнозначная функция, являющая-
являющаяся непрерывным отображением на метрическом пространстве
(Mi ,pi) Пусть далее Е — связное множество в (М\, pi). Доказать,
что если / принимает на Е значения а и 6 (а < Ь), го / принимает
на ? и любые значения из отрезка [«,&].
2.4. 8. Верно ли, что непрерывное отображение всюду плотное
множество переводит во всюду плотное множество?
8 Задачи по теории функций действительного переменного

2.4.9. Доказать, что множество компактно тогда и только
тогда когда оно является непрерывным образом канторова со-
совершенного множества на прямой
2.4. 10. Доказать, что множество нулей непрерывной действи-
действительнозначной функции, заданной на метрическом пространстве,
замкнуто
2.4.11. Построить разрывную действительнозначную функ-
функцию на некотором метрическом пространстве, такую, что для
любого действительного числа а множества /—1 [а, +оо) и /~'(а)
замкнуты
2.4. 12. Пусть А и В — непустые, непересекающиеся, замкну-
замкнутые множества в метрическом пространстве {М,р) Для каждого
) е М рассмотрим функцию
rv ' р(т А) + р{х,В)
Доказать, что р(т) — непрерывная числовая функция на про-
пространстве 11, множество значений которой лежит на отрезке [0,1],
л множество нулей совпадает с множеством А Таким образом,
для любого замкнутого множества А существует непрерывная
функция /, такая, что ьирр Дг) = А
2.4.13. Пусть / — действительнозначная непрерывная функ-
функция на компактном множестве F метрического пространства
( 1/ р) Доказать, что / ограничена и найдутся такие точки xt
и г, е / что
2.4.14. Является ли изомефическое отображение непрерыв-
непрерывным
2.4.15. Показать, что изометрическое отображение полное
пространство переводит в полное
2.4.16. Может ли непрерывное отображение полное метриче-
метрическое пространство переводить в неполное7
2.4.17. Верно ли, что изометрическое отображение открытое
множество переводит в открытое, а замкнутое — в замкнутое9
2.4.18. Верно ли утверждение предыдущей задачи для произ
вольного непрерывного отображения?
2.4.19. Показать, чт изометрическое отображение сспара-
белыюе пространство переводит в сепарабельное
2.4.20. Доказать что компактное множество нельзя изоме-
фически отобразить на его собственное подмножество

2 4.21. Доказать, что множество всех изометрических отобра
жений компактного метрического пространства (М,р) на себя
является компактным метрическим пространством, если метрика
в нем задана по формуле
Р\A'9) = ™yp(f(x),g{x)),
где /, д — изометрические отображения
2.4.22. Пусть (М,р) — компактное метрическое простран-
пространство Доказать, что пространство всех непрерывных отображений
С(М,р), определенных на М, является сепарабельным, если мет-
метрика в С\М,р) вводится аналогично предыдущей задаче
2.4.23. Существует ли изометрическое отображение метричес-
метрического пространства Rn на метрическое пространство Rm, если
т ф ?»7
2.4.24. Пусть задан фиксированный набор чисел nl,a2 ,а„
и отображение пространства R" в пространство R"
При каком условии на числа {ак}^=1 данное отображение будет
изометрическим7
2.4.25. Рассмотрим метрическое пространство многочленов
{/'(;)}, заданных на отрезке [а Ь] с R, степень которых не
превосходит некоторого фиксированного числа п Метрику на
эюм множестве введем по формуле
p(P,Q)= max \P(t)-Q(x)\
r?[a b]
Далее каждому многочлену Р(т) = а0 + a, j + + апхп поставим
в соответствие элемент/(/') = (с0, «ч, ,ап) пространства R" + 1
Будет ли отображение / изометриеи между пространством этих
многочленов и пространством R""'7
2.4. 26. На этом же пространстве многочленов (см предыду-
предыдущую задачу) метрику введем по формуле
1/2
гцеР(х) = ao + alx+ +anxn,Q(i) = bo + b[x + +bnxn Будет
ли в эт ом случае отображение / из предыдущей задачи изометриеи
па пространство R." + '7
59

2.4.27. Рассмофим отображение viei рического пространства
( " [а Ь] в Mei рическое пространство ( [а, Ь] которое каждой функ-
функции / с- Г '"[« ft] аавит в соответствие /(т)( /) ? С [а Ь] Является
in чанное отображение непрерывным7
2.4. 28. Рассмотрим отображение метрического пространства
С [я 6] в метрическое пространство всех непрерывных на [а, Ь]
функции с интегральной метрикой, которое каждой функции
f ё ( [о Ь] ставит в соответствие эту же функцию / Будет ли
непрерывным отображение, обратное к данному7
2.4.29. Пусть / — непрерывное, взаимно-однозначное ото-
отображение пространства RA в пространство HN Доказать, чго
1) образ замкнутого ограниченного множества замкнут и
ограничен,
2) прообраз замкну!ого ограниченного множества также за-
замкнут и ограничен
Справедливы ли эти утверждения для произвольных метриче-
метрических пространств}
2.4.30. Пусть / — непрерывное, взаимно-однозначное ою-
бражение множесгва /, с! на множество ?2 сК Доказать,
hi о если множество F i замкнуто и ограничено, то обратное
соображение /"' явпяется непрерывным на Е2
2.4.11 Пусть / — непрерывное, взаимно-однозначное ото-
отображение множества t, с M.N на множество Е-> С МЛ Доказать,
41 О
1) ести множество кх не имеет изолированных точек, то
множество / _, также не имеет изолированных точек,
2) если множество Lx замкнуто и ограничено, а множество
/ не имест изолированных точек, то множество Ех не имеет
изолированных точек
Справедливы ли эти утверждения, если / — непрерывное,
но не взаимно-однозначное отображение7 Справедливы ли эти
угверждепия в произвольных метрических пространствах7
2.4.32. Если отображение / множества Е С (М,р) на мно-
множество Е] с (Mi,рх) являе!ся взаимно-однозначным и непре-
непрерывным и если обрашое отображение /"' также является не-
непрерывным, ю / называется гомеоморфным отображением или
гомеоморфизмом При этом множества Ei и Е-, называются
гомеоморфными
Доказать, что всякое сепарабельное метрическое пространство
i омеоморфно подмножеству «гильбертова кирпича»
2.4.33. Пусть SA — V -мерная единичная сфера в простран-
пространстве Rv+1 и пусть а — какая-либо точка SN Доказать, что
Sv\{a} и! гомеоморфны
60

2.4.34. Доказать, что отрезок [0,1] С Ж и квадрат [0,1] х
х[0, 1] С Ж не гомеоморфны
2.4. 35. Пусть / — отображение метрического пространства
(Л/ р) в пространство Ж Доказать, что / непрерывно на (М,р)
гогда и только тогда, когда
1) для любых чисел а, 6 6 Ш, а < Ь, множество f~1(a,b)
открыто в (М,р),
2) для любого а 6 Ж множества /"'(a,-foe) и /"'(-сю,а)
открыты в ( М,р),
3) для любого а Е Ш множества f~l[a,+оо) и f~1(-oo,a]
замкнуты в (М,р)
2.4.36. Пусть на отрезке [а,Ь] с Ж задана непрерывная
числовая функция / и пусть множество А с [а, Ь] Доказать, что
1) если А замкнуто, то f(A) также замкнуто,
2) если А — множество типа 1„, то f(A) также множество
типа Fa,
3) если А всюду плотно на [а, Ь] и f(x) — строго возрастающая
функция, то /(/1) всюду плотно на [f(a),f(b)],
4) если А нигде не плотно на [а.Ь] и f(x) — строго возраста-
возрастающая функция, то /(Л) — нигде не плотно на [f(a), f(b)]
2.4. 37. Доказать, что проекция на ось От множества Е, лежа-
лежащего на плоскости Оху, является непрерывным отображением
2.4.38. Доказать, что проекция на ось От обладает следую-
следующими свойствами
1) образ тоского открытого множества есть оифьпое мно-
множество на прямой,
2) образ замкнутого ограниченного множества на плоскости
есть замкнутое множество на прямой
2.4.39. Доказать, чго непрерывное отображение метрическо-
метрического пространства (М{ р{) в метрическое пространство (Л/2,/>2)>
заданное на компактом множестве, является равномерно непре-
непрерывным
2.4.40. Доказать, что отображение /, удовлетворяющее усло-
условию Липшица, является равномерно-непрерывным
2.4.41. Доказать утверждение о продолжимости равномерно-
непрерывного отображения (см § 4 введения к настоящей главе)
2.4.42. Привести пример метрических пространств и равно
мерно-непрерывных отображений, произведение которых не явля-
является равномерно-непрерывным отображением
2.4.43. Доказать, что любое сжатое отображение является
непрерывным
2.4.44. Привести пример метрического пространства М и
сжатого отображения в нем, не имеющего неподвижной точки
61

2 4.45. Показать, что если сжатое отображение имеет непо-
неподвижную точку, то она единственна
2.4.46. Доказать, что в полном метрическом пространстве
сжатое отображение имеет единственную неподвижную точку
2.4.47. Пусть / — сжатое отображение в полном метрическом
пространстве (М,р) и х^ ? М — неподвижная точка отображе-
отображения / Доказать, что для любой х0 ? М итерационная последова-
последовательность хп = /(?„_]), п = 1,2, , является сходящейся к хм и
имеет место неравенство
а"
— О>
где константа а взята из условия сжатого отображения /
2.4.48. Пусть (М,р) — полное метрическое пространство и
отображение / в нем таково, что
\/х,у ? М 30 < а < 1 => p(f(x)J(y)) < ар(х,у)
Будет ли отображение / сжимающим9
2.4.49. Пусть / — непрерывное отображение полного мет-
метрического пространства (М,р) на себя, которое удов1етворяет
условию
За > 1 \/х,убМ =>p(f{x)J{y)) > ар{х,у)
Доказать, что существует и единственна неподвижная точка ото-
отображения /
2.4.50 Пусть / — отображение полного метрического про-
пространства (М,р) в себя, такое, что
Ух,у ? М,хфу=> p(f(x),f(y)) < р(х,у)
Имеет 1и такое отображение всегда неподвижную точку'? Если
такое отображение имеет неподвижную точку, то всегда ли она
единственна
2.4.51. Пусть / — отображение полного метрического про-
пространства (М,р) в себя и пусть v — некоторое фиксированное
натуральное число Доказать, что если /" является сжатым ото
бражением, то отображение / имеет неподвижную точку, притом
единственную
2.4.52. Привести пример отображения метрического про-
пространства в себя, не являющегося непрерывным, для которого
некоторая натуральная степень является сжатым отображением
62

2 4 53. Привести пример отображения метрического про-
пространства в себя, имеющего одну неподвижную точку, но не
являющегося сжатым
2 4.54. Доказать, что любое непрерывное отображение отрез-
отрезка [а, Ь] С Ж в себя имеет неподвижную точку
2.4.55. Пусть / — отображение пространства Ж в себя с
метрикой р(х, у) = max Iхк -ук I, х, у е Ж , задаваемое системой
1 <t </V
линейных уравнений
N
Ук ^^2akjxj +bk, к =1,2, ,ЛГ,
или
Ах + b = у, гдех = (хх,х2, ,xN),
У-(У1,У2, <Уы), b - (bub2, ,bN)
N
Доказать, что условие ^ |а^| < а < 1, к = 1,2, , N, является
j = i
необходимым и достаточным для того, чтобы отображение / было
сжатым
2.4.56 Пусть / — отображение пространства Ж в себя,
введенное в предыдущей задаче, но метрика р{г,у) задается
формулой
N
\
Доказать, что условие ?) |atJ| < а < 1, к — 1 2, JV, является
необходимым и достаточным условием для того, чтобы отобра-
отображение / было сжатым
2 4.57. Пусть / — то же самое отображение пространства К.
в себя, что и в предыдущих задачах, но метрика р{т,у) задается
формулой
Доказать что условие Yl jafcj |2 < 1 является достаточным,
чтобы отображение / было сжатым Является ли это условие
необходимым9
63

2.4.58. Пусть \к, к = 1,2, ...,ЛГ, — собственные значения
матрицы А - (ak}),k,j = 1,2... ,7V Доказать, что итерационная
последовательность х(п) = Ах1-"'^ + 6, х[п) 6 RN, п - О,1,2,...,
сходится к решению системы х — Ах -f 6 при любом начальном
приближении тогда и только тогда, когда |Afc| < 1Д = 1,2,..., N
Метрика в пространстве Шм задается евклидова
2.4.59. Рассмотрим бесконечную систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений
хк - ^2ahxi +Ьь А; =1,2,...,
где Ь = Fb62,...) 6 /2 Является ли условие J2 а1, < ^ необ-
ходимым и достаточным для того, чтобы имелось единственное
решение х - (хих2,...) € /2 данной системы.
2.4.60. Доказать, что система алгебраических уравнений
оо
^2akjx3-bk, А: =1,2, (Ах = Ь)
в пространстве /р, р > 1, имеет единственное решение, если
выполнены условия
2.4.61. Доказать, что система Ах = Ь в пространстве /, имеет
единственное решение, если выполнены условия
2.4.62. При каких Л отображение / пространства 6'[0,1] в
себя, задаваемое формулой
f(x(t)) = \x(tl)), x(t)eC[O,l],
где /j > 0 и фиксировано, является сжатым?
2.4.63. Доказать, что для любой непрерывной на [0,1] нео-
неотрицательной функции f(t) найдется непрерывная на [0,1] поло-
положительная функция g(t), удовлетворяющая уравнению
9(t) = e~'{t) + f(t).
64

2.4.64. Пусть (М,р) — компактное метрическое пространство
и пусть / — отображение {М,р) в себя, удовлетворяющее условию
Vi,(/ 6 (М.р), хфу=> p(f{x)J{y)) < р(х,у).
Доказал ь, что / имеет единственную неподвижную точку
2.4.65. Пуст ь (М, р) — компактное метрическое пространство
и пусть / — отображение (М,р) в себя, удовлетворяющее условию
Vx,y ? М, х фу => p{f(r),f{y)) > р(х,у).
Доказать, что / — изометрическое отображение.
2.4.66. Пусть отображение / действует из пространства С[а, Ь]
в С[и,Ь] по правилу
где функция^ ? С[а, Ь), а функция K(t,s) 6 C([a,b]x[a,b}) Найти
условия на А, при которых отображение / будет сжатым.
2.4.67. Пусть функция h'(t,s) ? C([n,b] x [а,Ь]) и выполнено
условие
s С а.
Зо < 1 : V/ ? [а, b] => I \K(t,s)\ds
а
Доказав, что интегральное уравнение Фредгольма II рода
x{t)- J h{t,s)jr(s)ds
имеет единсгвенное непрерывное решение для любой непрерыв-
непрерывной функции y(t)
2.4. 68. Пусть отображение / действует из пространства С[а, h]
в себя по правилу
где функция ip(t) непрерывна на [а,Ь], а функция K(t.s,u) непре-
непрерывна па [а, Ь] х [я, h] гтри каждом фиксированном и и удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица по и
\h'(t,t>, tii) - А'(/, чи2)| ^ M\tii - u2|,
65
8 Задачи по теории функций действительного переменного

где константа М не зависит от t и s 6 [а, Ь] Найти условия на Л,
при которых отображение / будет сжатым
2.4.69. Пусть отображение / действует из пространства С[а, Ь]
в себя по правилу
1
f(x(t))=\j
где функции h(t,s) и <^(s) непрерывны по своим переменным
Доказать, что для любого Л отображение / имеет единственную
неподвижную точку
2.4.70. Рассмотрим пространство многочленов {Р(х)}, задан-
заданных на отрезке [0,1], с метрикой р(РиР2) следующего вида
2)
*е[а ь]
Пусть отображение / этого пространства в себя действует по
правилу
где Q(x) — фиксированный многочлен Доказать, что отобра-
отображение / является сжатым только при |Л| < 1 При Л = -1
отображение / или не имеет неподвижную точку, или имеет
единственную неподвижную точку
2.4.71. Пусть отображение / действует из пространства
Г[0, -] в себя по правилу
/(*(*)) = \Jsm(t + y)x(y)dy
При каких Л отображение / будет сжатым? При каких Л отобра-
отображение / будет иметь неподвижную точку? Найти неподвижную
точку при Л — 1
2.4.72. Пусть F(x,y) — числовая функция двух действитель-
действительных переменных — является непрерывной вместе с частными
производными первого порядка в окрестности точки @,0) е К2
и удовле! воряет условиям F@,0) = 0, FjJ(O,O) ф 0 Доказать,
что при всех достаточно малых \х\ уравнение F{x,y) = 0 имеет
единственное решение у = у(х), которое обращает F(x,y) = 0 в
тождество и удовлетворяет условию у@) = 0
66

2.4.73. Пусть действительная функция f(x) переменного х €
Ё R удовлетворяет условию Липшица
1/A) - f(y)\ < К\х - у\,
где 0 < А' < 1 Доказать, что уравнение х — f(x) имеет
единственное решение Найти последовательность, сходящуюся к
этому решению
2.4.74. Пусть действительная функция определена и диффе-
дифференцируема на всей числовой прямой R, причем \f'(x)\ > К для
некоторого А > 1 Доказать, что уравнение х = f(x) имеет
единственное решение
2.4.75. Пусть функция f(x) определена и дифференцируема
на [0,1] и удовлетворяет условиям
О < /(а-) < 1, 0 ? f\x) < |.
Имеет ли уравнение х - f(x) решения?
2.4.76. Пусть функция f(x,u) определена и непрерывна в
некоторой области G С R2 Пусть, кроме того, функция }{х,и)
удовлетворяет условию Липшица по переменной и
\/{т,щ) - f{x,u2)\ < Ь\щ - и2\,
где константа L не зависит от х Пусть точка (хо,уо) € G
Доказать, что существует d > 0, такое, что для х, удовлетворя-
удовлетворяющих условию \х — хо\ < d, существует и единственно решение
дифференциального уравнения
y'(x)-f(x,y(x)), у(хо) = уо.
2.4.77. Решить интегральное уравнение
f(x) - A I sin / f(t) dt + cos x
о
2.4.78. Решить интегральное уравнение
1
f(r) = х + A J xyf(y)dy
о
67
9*

2. 4.79. Решить интегральное уравнение
1
f(x) = x + \J(xy+y-)f(y)dy.
о
2.4. 80. Решить интегральное уравнение
2.4.81. Решить интегральное уравнение
2.4.82. Решить интегральное уравнение

Глава III
МЕРА ЛЕБЕГА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Мера Лебега на прямой
Мерой Лебега /л(а,Ь) конечного интервала (а, Ь) называется
его длина, т е число b - а,
ц(а,Ь) = b — а
При этом всегда выполнено условие ц(а,Ь) > 0.
Пусть (т — непустое ограниченное открытое множество на
прямой Тогда оно предшавимо в виде объединения не более чем
счетного числа непересекающихся ишервалов
G = U(ak,bk).
к
Мерой Лебега множества G называется число
где сумма не более чем счетна и в случае счетной суммы числовой
ряд сходится в силу ограниченности множества A. Если множест-
множество (! = 0, то по определению полагаем ц(С) = 0. Таким образом,
любое ограниченное открытое множество G является измеримым
по Лебегу и мера Лебега множества G равна /i(G').
Пусть F — непустое, ограниченное замкнутое множество
на прямой и [А, В] — наименьший отрезок, содержащий F.
Тогда множество [А,В}\ F открыто и его мера Лебега равна
[i([A,B}\ F). Мерой множества F называется число
В частности, если F - [А, В], то (.i(F) = В - А, т.е мера Лебега
отрезка равна его длине Ясно, что мера Лебега ограниченного
замкнутого множества на прямой не отрицательна.
Мера Лебега ограниченных замкнутых и открытых множеств
на прямой обладае1 следующими свойствами
69

1) мера непустых открытых множеств положительна, а мера
замкнутых множеств неотрицательна;
2) пусть каждое из ограниченных множеств Mi и М2 явля-
является либо открытым, либо замкнутым и Mi С М2. Тогда
ц(Мх) < fJ.(M2) Это свойство называется монотонностью меры;
3) пусть ограниченное открытое множество G есть объеди-
объединение не более чем счетного числа непересекающихся открытых
множеств Gk, G — UGb а ограниченное замкнутое множество F
есть объединение конечного числа непересекающихся замкнутых
п
множеств Fk, F = U Fk. Тогда
Эти свойства меры Лебега называкмея счетной аддитивностью и
конечной аддитивностью соответственно.
Пусть Е — произвольное ограниченное множество на прямой
Назовем верхней мерой Лебега множества Е число
/**(?)= mfu(<7),
где точная нижняя грань берется по открытым ограниченным
множествам. Верхняя мера Лебега существует для любого огра-
ограниченного множества на прямой.
Ограниченное множество Е С Ш. называется измеримым по
Лебегу, если для любого е > 0 найдется ограниченное открытое
множество Gt, такое, что Е С G? и n*(Gc\E) < г Если
Е измеримо по Лебегу, то мерой Лебега ц(Е) множества Е
называется его верхняя мера Лебега ц*(Е), т е
Таким образом, введенные понятия измеримости и меры Лебе-
Лебега обладают тем свойством, что любые ограниченные открытые и
замкнутые множества являются измеримыми по Лебегу, и вновь
определенная мера совпадает с мерой, введенной ранее для этих
множеств Кроме того, объединение и пересечение конечного чис-
числа измеримых множеств есть множество измеримое, разность двух
измеримых множеств есть множество измеримое. Более того, если
ограниченное множество Е является объединением счетного числа
измеримых множеств, то Е измеримо, а пересечение счетного
числа измеримых множеств есть множество измеримое. При этом
мера Лебега обладает следующими свойствами'
70

1) если Е измеримо по Лебегу, то ц(Е) > О, т.е. мера Лебега
неотрицательна;
2) если Ei С Е2 и оба множества измеримы, то
т. е. мера Лебега монотонна;
ОС
3) если измеримое множество Е = U ?ь где ЕкПЕ} =0 при
к ф j n множества Ек измеримы, то
т. е. мера Лебега счетно-аддитивна;
4) если {Еп}™=1 — последовательность измеримых множеств,
оо
Еп С ?„+1 и множество Е = U Еп ограничено, то Е измеримо и
п = 1
ц(Е) = lim ц(Еп);
5) если {Еп}™=1 — последовательность измеримых множеств,
оо
En D Еп+] и Е = П ?п, то ?¦ измеримо и
п = 1
/х(?) = lim ц{Еп).
Множество Ее К (необязательно ограниченное) называется
измеримым, если для любого натурального п измеримо множество
Еп = [—7), 7i] П Е .
Мерой Лебега такого множества называется предел
fi{E)= lim ц(Еп).
П—Ю)
Этот предел либо конечен, либо равен +оо, поскольку ц{Еп)
возрасгае1 при п —> +оо.
Класс измеримых множеств и после указанного расширения
будет инвариантным ^относительно объединения, пересечения и
разносл и, если они производя! ся не более чем счетное число раз.
Кроме того, будут выполнены свойства монотонности и счетной
аддитивности меры Лебега.
71

§2. Мера Лебета в RN
Рассмот рим метрическое пространсгво R с евклидовой мет-
метрикой Полуоткрытым параллелепипедом в Ж называется мно-
множество
II = <л € Ж ак < гк i Ьк, ак < bi, к = I, ,.
Мерой Лебега параллелепипеда П называется положительное
чисто
N
/г(П) = J}(frfc - а-к)
Символом II будем обозначать замкнутый параллелепипед
TT={jGIRN а, < хк < bk, aL < bk, к = 1, , v}
с той же мерой Лебега /*(П), что и у полуоткрытого параллелепи-
параллелепипеда II
Пусть d — непустое ограниченное открытое множество в Ж
Тогда оно пределавимо в виде счетного объединения полуоткры-
полуоткрытых паралаелепипедов
d = U Н„ , П_, П П, = ф , j ф п
Мерой Лебега множества d называйся число
где числовой рад сходится в силу ограниченности множества d
Есгш множество d — ф, то полагаем по определению ^(d) - О
Пусть h — непустое ограниченное замкнутое множество в
Ж и II — наименьший замкнутый параллелепипед, содержащий
/ Тогда множество П \ F открыто с мерой ц(П\Г) Мерой
множества / называется число
v
В частности, если F = Il,To/<(f )— Y\(bk-aL) Аналогично одно-
мерному случаю можно доказать, что мера Лебега ограниченного
замкнутого множества неотрицатетьна
72

Пусть Е — произвольное ограниченное множество в
Назовем верхней мерой Лебега в RN множества Е число
= mf
где точная нижняя грань берется по всевозможным открытым
ограниченным множествам Верхняя мера Лебега существует для
тюбого ограниченного в RjV множества
Ограниченное множество h С RN называется измеримым по
Лебегу, если для тюбого г > О найдется ограниченное открытое
множество (т€, такое, что Е С Gt и ц*(Сс\Е) < г В этом
случае мерой Лебега ц(Е) множества Е называется его верхняя
мера Лебега ц*(Е),т е
Из определения измеримости вытекает, что любое ограни-
ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо и вновь
определенная мера совпадает с мерой, введенной ранее для этих
множеств То же самое верно и для полуоткрытых параллелепи-
параллелепипедов Кроме того, объединение и пересечение конечного числа
измеримых множеств есть множество измеримое, разность двух
измеримых множеств есть множество измеримое Более того, если
ограниченное множество Е является объединением счетного числа
измеримых множеств, то Е измеримо, а пересечение счетного
числа измеримых множеств есть всегда множество измеримое
При этом мера Лебега обладает следующими свойствами
1) если Е измеримо по Лебегу, то /i(F) > 0, т е мера Лебега
неотрицательна,
2) если Ei С Е2 и оба множества измеримы, то
/*(?i) < ц{Е2),
т е мера Лебега монотонна,
DO
3) если измеримое множество Е = U Ек, где ?*. Л Е} — 0 при
к ф j и множества Ек измеримы, то
/с=1
т е мера Лебега сче i но-аддитивна,
4) если {Еп}^=1 —>монотонная последовательность измери-
измеримых множеств и Е = Inn En ограничено, то Е измеримо и
ц(Е)= Ьш ц{Еп)
73
10 Задачи по теории функций действительного переменного

Справедлив критерий измеримости по Лебегу в R Для
того чтобы ограниченное множество Е С К было измеримо,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовали
ограниченное открытое множество G, Е С G, и замкнутое
множество F, F С Е, такие, что /j,*(G \ F) < е.
Этот критерий измеримости по Лебегу справедлив и в одно-
одномерном случае
Множество Е с К^ (необязательно ограниченное) называется
измеримым, если для любого натурального п измеримо множество
где Пп — замкнутый параллелепипед вида
n, fc= 1,2,...,
Мерой Лебега /л(Е) множества Е С М^ называется предел
lim
П-+ОО
§3. Мера как функция множеств, продолженная с полуколец
на кольца множеств
В этом параграфе мы дадим более общее понятие меры и
измеримости.
Функция множеств ц называется мерой, если
1) функция fi определена на множествах Е, Е € а^, где а^ есть
полукольцо множеств,
2) для любого множества Е € (Гц ц(Е) > О,
3) функция ^ конечно-аддитивна, т.е для любого множества
Ее <т„
E=\J^Ek, ЕкпЕ3=0, кф3, Екеа^
справедливо равенство
Отметим, что из этого определения вытекает, что /л@) = 0.
Мера Д, заданная на а^, называется продолжением меры
заданной на а^, если а^ С о^ и для каждого множества Е с
имеет место равенство
74

Справедлива теорема о продолжении меры. Для каждой меры
/и, заданной на полукольце а^, существует одно и только одно про-
продолжение ft, имеющее своей областью определения кольцо TZ(a^),
минимальное кольцо над полукольцом а^
Мера ц, имеющая область определения ст,,, называется счетно-
аддитивной или ст-аддитивной, если для любых множеств Е и
{?„}~=1, таких, что Е, Еп е сг», п = 1,2,...,
ОО
Е= U Еп, ЕкПЕ3=0, кф3,
имеет место равенство
Если мера /х, определенная на полукольце а^, является ст-аддитив-
ной, то и ее продолжение Д на кольцо 7?(<т^) также <т-аддитивно
Если в качестве полукольца а^ в R рассмотреть множест-
множество всех открытых, замкнутых, полуоткрытых параллелепипедов,
то кольцо Щст^) в этом случае есть множество, состоящее из
конечных объединений этих параллелепипедов. Кольцо 7?(о^) в
данном случае не является <т-кольцом и не является алгеброй. По-
эгому теорема о продолжимости меры, заданной первоначально
на параллелепипедах, в этом случае не позволяет нам получить
(т-аддитивную функцию множеств и кольцо Ti(cr^) в значительной
степени исчерпывает тот класс множеств, на который можно
продолжить исходную меру Если мера на полукольце <т^ является
ст -аддитивной, ю ее можно продолжить на существенно более ши-
широкий класс множеств, чем кольцо Щст^), и в некотором смысле
максимальный. Это можно сделать с помощью так называемого
лебегова продолжения
Пусть на некотором полукольце а^ с единицей Е задана ст-ад-
дитивная мера ^ Определим на совокупности всех подмножеств
{А} множества Е функцию множеств ii*(A) по формуле
где нижняя грань берется по всем покрытиям множества А не
более чем счетным семейством {Вп} множеств из ст^ Функцию
/л" назовем внешней мерой.
Множество А называется измеримым по Лебегу, если для
любого е > 0 найдется такое множество В 6 7^((т^), что
ю*
75

В этом случае внешняя мера множества Л, м*(Л), называется
лебеговой мерой множества Л Все множества из ац и VJ^a^)
являются измеримыми по Лебегу и для этих множеств ц* — ц
Более того, система всех измеримых по Лебегу множеств является
ст-алгеброй с единицей Е Функция множеств ц, определенная на
системе измеримых множеств и совпадающая с внешней мерой ц*,
называется лебеговым продолжением меры ц с полукольца ам с
единицей Е.
Если полукольцо ст^, на котором определена исходная мера
(л, не имеет единицы, то построение лебегова продолжения от-
отличается от вышеизложенного тем, что в определении внешней
меры /j," точная нижняя грань берется только по таким покрытиям
множества не более чем счетным семейством {Вп} множеств из ам,
для которых сумма ряда ^2ц(Вп) конечна.
Классом В борелевских множеств в M.N называется наимень-
наименьшее ст-кольцо, порожденное классом всех компактных подмно-
подмножеств R . Множество А называется борелевским, если А ? В.
Мера Бореля ц на замкнутых параллелепипедах П определяется
по формуле
л
/*(П)= Ц(Ък-ак).
* = i
Этим соотношением мера // однозначно определяется на
(т-кольце В, а любое множество А € В называется измеримым по
Борелю Мера Лебега в Ш является продолжением меры Бореля,
заданной на а-кольце В, на ст-алгебру с единицей Е - Кл И мера
Лебега является ст-аддитивной мерой на этой ^-алгебре
Мера /л называется полной, если из того, что /«(Л) = 0 и
4' С Л, вытекает, что Л' измеримо Очевидно, что при этом
д(Л') = 0 Лебегово продолжение любой меры полно И вообще
любую ^-аддитивную меру на ст-алгебре можно продолжить до
полной, положив ее равной нулю для любого подмножества
каждого множества нулевой меры В дальнейшем будем всегда
предполагать, что рассматриваемая мера является полной
§ 4. Измеримые функции
Пусть в пространстве R (N > 1) задана ст-аддитивная мера ц,
определенная на ст-алгебре а^ Пусть Е — множество в IR/V,
измеримое относительно меры ц Рассмотрим действительнознач-
действительнозначную функцию f(x), определенную на Е Функция / называется
^-измеримой на множестве Е, если для любого действительного а
76

множество
{х 6 E : f(x) > a}
измеримо относительно меры /« Функция / //-измерима тогда
и только тогда, когда для любого действительного числа а ц-
измеримы или множество {х б Е : f(x) > о}, или множество
{х ? Е : }{х) < а}, или множество {х € Е : f(x) < a}.
Если функции / и д //-измеримы, то /t-измеримы следующие
функции. f±g,f-g, \f\(\g\),f/g (д Ф 0), max(/,#)
Если на измеримом множестве Е задана последовательность
измеримых функций {/n}~=i и для каждого х Е Е существует
конечный или бесконечный предел
/(r)= lim /„(a-),
п —*оо
то функция f(x) измерима. Так же как и в этом утвержде-
утверждении, в случаях, когда ясно, о какой мере идет речь, мы вместо
«//-измеримости» будем писать просто «измеримость».
Если {/„}~=1 — ограниченная при каждом т последователь-
последовательность измеримых функций, то следующие функции будут также
измеримы
lim /„(j'), Inn. fn(x), sup fn(x), \nifn(x).
Ясно, что множество измеримо тогда и только тогда, когда
измерима характеристическая функция этого множества.
Говорят, что некоторое свойство выполнено почти всюду
(п в) па измеримом множестве Е, если оно выполнено на Е
всюду, кроме, быть может, множества точек меры нуль. Две
функции, заданные на одном и том же измеримом множестве
Е, называются эквивалентными, если они совпадают п. в на Е.
Функция f(j ), определенная на некотором измеримом множестве
Е и эквивалентная на нем некоторой измеримой функции д(х),
также измерима.
Пусть множество Е /«-измеримо на Е и fi(E) < 00. Функция
f(x), принимающая п. в на Е конечные значения, измерима тогда
и только тогда, когда для любого е > 0 найдется /«-измеримое
множество Е? С Е, такое, что ц(Е \ Ес) < е и на Ес функция
f(x) непрерывна. Это свойство называется С'-свойством Лузина.
Для числовых функций С-свойство Лузина может быть положено
в основу самого определения измеримости.
Если в определении //-измеримости функций рассмотреть меру
Лебега или меру Бореля в R , то получим функции, измеримые по
Лебегу или по Борелю соответственно Любая функция, измеримая
77

по Борелю, является измеримой и по Лебегу. Обратное, вообще
говоря, неверно Тем не менее справедливо утверждение любая
измеримая по Лебегу функция будет измеримой и по Борелю
после надлежащего исправления на множестве меры нуль, а всякое
измеримое по Лебегу множество с точностью до множества меры
нуль является измеримым по Борелю.
Последовательность {/п}~=1 функций, определенных на неко-
некотором измеримом множестве Е, называется сходящейся п. в. на Е
к функции f{x), если
lim fn{j) = f{x)
п—*оо
п в. на Е.
Если последовательность {fn(x)}™=i измеримых на множестве
Е функций сходится к функции }(х) п в. на Е, то /(ж) измерима
на Е.
Говорят, что последовательность /^-измеримых функций
{fn(x)}™=i> определенных на /^-измеримом множестве Е и п.в.
на Е конечных, сходится по мере ц к измеримой и п. в. на Е
конечной функции Да-), если для любого и > О
Ui^ ц{т Е Е : |/n(j) - f(x)\ > a} = 0 .
Этот факт в дальнейшем обозначается следующим образом.
Ш-^ f(x) ш Е .
Далее будем считать, что мера множества Е конечна. Спра-
Справедлива теорема Лебега:
Если последовательность измеримых функций {/„(а1)}^ схо-
сходится п. в. на множестве Е к функции f(x), то она сходится к
f(x) и по мере на Е.
Иными словами, из сходимости п. в. вытекает сходимость
по мере В обратную сторону это утверждение, вообще говоря,
неверно. Однако справедлива теорема Рисса.
Пусть последовательность /п -^-> / на множестве Е Тогда
найдется подпоследовательность Jkn{x) этой последовательности,
которая сходится к /(у) п. в. на Е.
Кроме этого сущес1вует связь между сходимостью п в и
сходимостью равномерной. Справедлива теорема Егорова-
Пусть последовательность измеримых п. в. конечных функций
{/„ (г)}~_, сходится п. в. на множестве Екп.в конечной функции
f{x). Тогда для любого 6 > 0 найдется измеримое множество Е6 С
Е, такое, что:
78

) > ц(Е) - 6;
2) fn(x) сходится равномерно к f(x) на Еь-
К числу важных относится следующее утверждение.
Для всякой измеримой и п. в. конечной на множестве Е функ-
функции существует последовательность непрерывных на Е функций,
которая сходится к ней по мере на Е.
Применив далее теорему Рисса, мы можем утверждать, что
существует последовательность непрерывных функций, которая
сходится к данной функции п. в. на Е.
Задачи
§ 1. Мера Лебега на прямой
3.1.1. Доказать, что если AY и А2 суть ограниченные множе-
множества на прямой и Ах С А2, то
3.1.2. Доказать, что если ограниченное множество Е есть
объединение не более чем счетного числа множеств Ek, E — U Ек,
то __
3.1.3. Путь G — открытое множество на прямой и
= q > 0. Доказать, что для любого /3, 0 < в < а, существует
01 крытое множество Gp с G, такое, что ц(Ср) = /3
3.1.4. Пусть счетная последовательность интервалов {/„}^°=i
покрывает интервал I, т.е. I с U /п. Доказать, что
ОО
5^д(/„) > цA).
п=1
3.1.5. Доказать, что мера Лебега замкнутого ограниченного
множества на прямой не отрицательна.
3.1.6. Доказать, что мера Лебега открытого ограниченного
множества есть точная верхняя грань мер всевозможных замкну-
замкнутых подмножеств данного множества.
3.1.7. Доказать утверждение предыдущей задачи для любого
измеримого по Лебегу ограниченного множества на прямой.
3.1.8. Доказать, что ограниченное множество А измеримо
тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует
замкнутое множество F, такое, что F С А и ц*(А \ F) < е.
3.1.9. Доказать, что множество А (необязательно ограничен-
ограниченное) будет измеримым тогда и только тогда, когда для любого
79

ограниченного измеримого множества Е множество А П Е изме-
измеримо При этом
ц{А) - sup/x(?).
ЕСА
3.1.10. Доказать, что объединение не более чем счетного
числа измеримых множеств есть множество измеримое.
3.1.11. Доказать, что пересечение не более чем счетного числа
измеримых множеств есть множество измеримое.
3.1.12. Верно ли, что объединение (пересечение) любого числа
измеримых множеств есть множество измеримое?
3.1.13. Доказать, что разность и симметрическая разность
двух измеримых множеств есть множество измеримое.
3.1.14. Доказать, что дополнение до всей числовой прямой
измеримого множества есть множество измеримое.
3.1.15. Доказать признак Балле—Пуссена измеримости по
Лебегу ограниченное множество А измеримо тогда и только
тогда, когда для любого е > 0 найдется конечное число попарно
непересекающихся множеств Ех, Е2,..., Еп, таких, что
/х*( А А Ек) < е, к=\,'2,...,п.
3.1.16. Доказать признак измеримости Каратеодори: ограни-
ограниченное множество А измеримо тогда и только тогда, когда для
любого ограниченного множества В
3.1.17. Доказать, что для любого измеримого множества А
можно построить множество А\ типа Fa и множество ,42 типа
(it, такие, что
А1САСА3, n{Al) = fi{A) = n(Ai).
3.1.18. Пусть Е — множество иррациональных точек на
01 резке [0,1]. Доказать, что для любого е > 0 найдется замкнутое
множество F С Е, такое, что p(E\F) < e.
3.1.19. Можно ли построить на отрезке [а,Ь] замкнутое мно-
множество, мера которого равна b - а, но которое отлично от всего
отрезка [а,Ь]?
3.1.20. Доказать, что в каждом совершенном множестве есть
совершенное множество меры нуль.
3.1.21. Для любого о, 0 < q < 1, построить совершенное
нигде не плотное множество на отрезке [0,1], мера которого
равна а.
80

3.1.22. Построить всюду плотное открытое множество на
отрезке [0,1], дополнение которого до отрезка [0,1] имеет поло-
положительную меру.
3.1.23. Можно ли построить на отрезке [0,1] нигде не плотное
множество меры 1?
3.1.24. Доказать, что любое непустое замкнутое множество на
прямой меры нуль является нигде не плотным.
3.1.25. Построить счетное множество на прямой, производ-
производное множество которого имеет положительную меру.
3.1.26. Построить счетное множество на прямой, производ-
производное множество которого имеет положительную меру и является
нигде не плотным.
3.1.27. Построить измеримое множество на прямой, которое
на каждом интервале имеет положительную меру так же, как и
его дополнение.
оо
3.1.28. Пусть Е — U Ек, Ек С Ек+Х и Е ограничено.
Доказать, что ^*{Ек) —> ц*(Е) при к -+ оо.
00
3.1.29. Пусть Е — П Ек, Ек Э Ek+i и множества Ек
измеримы. Доказать, что если и(ЕЛ < оо, то ц(Е) = lim
к—юо
Показать, что в случае ц(Е^) = +оо утверждение несправедливо.
3.1.30. Доказать, что мощность множества всех измеримых
множеств на числовой прямой больше мощности континуума.
3.1.31. Построить неизмеримое множество на прямой.
3.1.32. Доказать, что у любого множества на прямой поло-
положительной меры существует неизмеримое подмножество.
3.1.33. Доказать, что для любого множества на прямой по-
положительной меры в нем найдутся по крайней мере две точки,
расстояние между которыми есть число рациональное (иррацио-
(иррациональное).
3.1.34. Назовем разностным множеством FE данного множе-
множества Е на прямой совокупность точек z вида z = х — у, где х,у —
любые точки из Е. Доказать, что:
1) если fj,(E) > 0, то множество FB содержит некоторую
?-окрестность точки 0;
2) если Е — канторово совершенное множество меры нуль на
отрезке [0,1], то FE = [-1,1].
3.1.35. Пусть на отрезке [0,1] заданы измеримые множе-
множества А\ и А2, такие, что ц(Ах) + ц(А2) > 1. Доказать, что
ц(А1ПА2)>0.
3.1.36. Доказать, что если множество Е на прямой имеет меру
р > 0, то для любого q, 0 < q < p, найдется подмножество Е\
множества Е, такое, что fi(Ei) = q.
81
11 Задачи по теории функций действительного переменного

3.1.37. Пусть Е — измеримое множество на отрезке [0,1] и
для любого интервала/ имеет место неравенство fj,(Enl) < afj,(I),
где а < 1 и фиксировано. Доказать, что fJ,(E) = 0.
3.1.38. Для любого числа а, 0 < а < 1, построить такое из-
измеримое множество Е С [О,1], что
3.1.39. Пусть Е — измеримое множество на отрезке [0,1] и
для любого интервала / имеет место неравенство fx(Ef)I) < /j,(I).
Следует ли отсюда, что ц(Е) = 0?
3.1.40. Доказать, что для интегрируемости функции по Рима-
ну на отрезке необходимо и достаточно, чтобы множество точек
разрыва этой функции на этом отрезке имело меру Лебега, равную
нулю.
3.1.41. На отрезке [а, Ь] построить измеримое множество пер-
первой категории меры Ь - а.
3.1.42. На отрезке [а,Ь] построить множество меры нуль
второй категории.
3.1.43. Привести пример множества меры нуль, не являюще-
являющегося множеством точек разрыва никакой действительнозначной
функции.
3.1.44. Доказать, что числовую прямую можно разбить на два
дополняющих друг друга множества так, что одно из них есть
множество первой категории, а другое — множество меры нуль.
3.1.45. Доказать, что каждое подмножество числовой прямой
можно представить в виде объединения множества меры нуль и
множества первой категории.
3.1. 46. Доказать, что любое множество, измеримое по Боре-
лю, является измеримым и по Лебегу.
3.1.47. Построить на числовой прямой измеримое по Лебегу,
но неизмеримое по Борелю множество.
3.1.48. Доказать, что всякое измеримое по Лебегу множество
на прямой есть объединение множества, измеримого по Борелю,
и множества меры нуль.
3.1.49. Доказать, что совокупность всех множеств на отрезке
[0,1], измеримых по Борелю, имеет мощность континуума.
3.1.50. Доказать, что совокупность измеримых по Лебегу
множеств, каждые два из которых отличаются на множество
положительной меры, имеет мощность не больше, чем мощность
континуума.
3.1.51. Найти меру Лебега множества чисел на отрезке [0,1],
в десятичной записи которых не встречаются цифры 1 и 2.
82

3.1.52. Найти меру Лебега множества чисел на отрезке [0,1],
в десятичной записи которых не встречается цифра 1.
3.1.53. Какова мера Лебега множества чисел на отрезке [0,1],
десятичная запись которых невозможна без цифры 1?
3.1.54. Пусть {Еп}™=1 — последовательность измеримых
множеств на отрезке [0,1], обладающая тем свойством, что для
любого ? > 0 найдется такой номер к, что ц(Ек) > 1 —е. Доказать,
/( Еп) = \.
3.1.55. Доказать, что если Ei и Е2 — измеримые множества
на числовой прямой, то
+ ц(Е2) - ц(Е, U Е2) + ц(Ех Л Е2).
3.1.56. Доказать, что для любой не более чем счетной сово-
совокупности {Еп} измеримых множеств на числовой прямой имеет
место неравенство
3.1.57. Пусть Е — измеримое множество на прямой и а —
произвольное действительное число. Символом аЕ обозначим
множество точек вида ах, где х Е Е. Доказать, что множество
аЕ измеримо и
/л(аЕ) = \а\ц[Е).
3.1.58. Пусть ^ — отображение числовой прямой R на себя,
при котором
\<р(х)~ <Р(У)\ = \х-у\
для любых х и у е R. Доказать, что если Е — измеримое
множество на прямой, то образ <р(Е) при отображении <р этого
множества является также измеримым и
§ 2. Мера Лебега в R"
3.2.1. Пусть Аи В — произвольные ограниченные множества
N. Определим величину
которая называется уклонением множеств А и В. Доказать, что
справедливы следующие свойства уклонения:
83

2)p(A,A) =
Ъ)р{А,В) йр(,)
4)p(A,B) <p{X\A,X\B),
S)P{AUAUBUB1 (A
6)р{АПАиВПВ1
7)p{A\Al,B\Bl) < p(A,B)+p(A1,B1);
S)\^(A)-^(B)\ <p(A,B).
3.2.2. Доказать, что если Ах и А2 суть ограниченные множе-
множества в RN и Ах С Аг, то
3.2.3. Доказать, что если Е — ограниченное множество в
со
и Е = U Еп, то
п=1
п=1
3.2.4. Доказать, что верхняя мера Лебега инвариантна отно-
относительно сдвига, т. е. для любого ограниченного множества А и
любого h e RN имеет место равенство
где /1 + h = {х е RN : х - h e A}
3.2.5. Доказать, что мера Лебега регулярна на полукольце ац
параллелепипедов (открытых, замкнутых, полуоткрытых), т.е. для
любого множества Е G <т^ и любого е > 0 найдутся открытое
множество G ? о^ и замкнутое множество F G (тм, такие, что
3.2.6. Доказать, что если А — счетное ограниченное множест-
множество в RN, то ц*(А) = 0.
3.2.7. Пусть G — ограниченное открытое множество в RN.
Доказать, что для любого е > 0 найдется замкнутое множество
F С (V, такое, что ^(F) > ц{(!) - ?
3.2. 8. Доказать, что меру ограниченного замкнутого множе-
множества FcK можно определить по формуле
где G — любое ограниченное открытое множество в RN, такое,
что F С G и число /i(F) не зависит от выбора множества G.
84

3.2.9. Доказать, что ограниченное множество Е измеримо по
Лебегу в RN тогда и только тогда, когда для любого е > О
найдется замкнутое множество F С Е, такое, что
- е
3.2.10. Верно ли будет утверждение предыдущей задачи, если
замкнутое множество F заменить открытым множеством G, та-
таким, что Е С G и
el
3.2.11. Доказать, что ограниченное множество Е измеримо
по Лебегу в RN тогда и только тогда, когда для любого е > О
найдется замкнутое множество F и открытое множество G, такие,
что F С Е С G и
»{G\F)<e.
3.2.12. Доказать, что множество А измеримо по Лебегу в RN
тогда и только тогда, когда:
1) А = FU Fj, где F — множество типа Fa, a Fx — множество
меры нуль;
2) А = Г/ \ G'i, где G — множество типа G6, a Gx — множество
меры нуль.
3.2.13. Доказать, что мера Лебега в RN инвариантна относи-
относительно сдвига (см. задачу 3.2.4).
3.2.14. Показать, что измеримые по Лебегу множества меры
нуль в RN образуют (т-кольцо.
3.2.15. Показать, что все измеримые по Лебегу множества в
R образуют (т-алгебру.
3.2.16. Показать, что мощность множества всех измеримых
по Лебегу подмножеств RN имеет мощность 2е, где с — мощность
континуума.
3.2.17. Показать, что мощность множества измеримых по
Лебегу множеств R , каждые два из которых отличаются на мно-
жесгво положительной меры, имеет мощность не более мощности
континуума.
3.2.18. Пусть {Ап}™=1 — последовательность измеримых
множеств в M.N, такая, что Д„ э Ап+1. Доказать, что если
оо
l-i(Ai) < оо, то множество А = П Ап измеримо и ША) =
п = 1
= lim ц(Ап).
п —*оо
3.2.19. Привести цример последовательности {^4n}?°=i изме-
измеримых множеств, такой, что Ап С Ап+\, но lim /л(Ап) Ф №{А\
П-+ОО
оо
где А - П Ап.
п=1
85

3.2.20. Пусть {А„}~=1 — последовательность измеримых
множеств в RN, такая, что Ап С Ап+1. Доказать, что множество
А = U Ап измеримо и ц(А) = lim ц{Ап).
3.2.21. Пусть {Ап}™=1 — произвольная последовательность
измеримых множеств в RN. Являются ли множества lim An и
п—<-оо
lim An измеримыми?
п—<-оо
3.2.22. Пусть {Ап}?°=1 — последовательность измеримых
множеств в R , такая, что ? /х(Ап) < оо. Доказать, что
fi( lim /4n) = 0.
3.2.23. Доказать, что любое множество на прямой (в том
числе и неизмеримое) есть множество, измеримое на плоскости
(и в любом пространстве RN, N > 2). Найти его меру в RN.
3.2.24. Построить на плоскосги множество, неизмеримое по
Лебегу
3.2.25. Пусть А и В — множества меры нуль на числовой
прямой. Доказать, что множество А X В имеет плоскую меру по
Лебегу нуль.
3.2. 26. Пусть А и В — измеримые множества на числовой
прямой конечной меры. Доказать, что множество Ах В измеримо
на плоскости и
ц(А х В) = p,(A)ii(B).
3.2.27. Пусть А и В — измеримые множества на числовой
прямой и ц(А) = +оо, 0 < ц{В) к оо. Доказать, что А X В
измерило на плоскости и
ц(А xfl) = +OO .
3.2.28. Пусть М — множество точек на плоскости, коорди-
координаты которых (х,у) удовлетворяют условию у — кх, где к —
рациональное число. Определить меру множества М.
3.2.29. Определить меру множества точек на плоскости, одна
координата которых рациональна, другая — иррациональна.
3.2.30. Определить меру множества точек в пространстве R ,
у которых хотя бы одна координата рациональна.
3.2.31. Доказать, что график непрерывной функции на отрез-
отрезке [а, Ь] является множеством, измеримым по Лебегу на плоскости.
Найти его меру.
3.2.32. Построить на плоскости непрерывную кривую, мно-
множество точек которой имеет положительную меру на плоскости.
86

3.2.33. Рассмотрим в RN множество точек, проекция которо-
которого на каждую координатную ось есть множество положительной
меры на прямой. Может ли множество М иметь меру нуль?
3.2.34. Пусть Е — замкнутое ограниченное множество в R
положительной меры. Рассмотрим множество Е' в пространстве
RN+1 следующего вида:
E'={(x,y)eRN+1: xeE, г, = /(*)),
где / — действительнозначная непрерывная функция, определен-
определенная на Е. Показать, что множество Е' измеримо по Лебегу в RA+1,
и найти его меру.
3.2.35. В пространстве M.N построить неограниченное изме-
измеримое множество конечной положительной меры Лебега.
3.2.36. В пространстве Шм для любого числа а, 0 < о < ос,
построить неограниченное измеримое множество меры а
3.2.37. Доказать, что если множество Е неизмеримо в R1 , а
Ех — множество меры нуль, то множество Е П (R' \Е\) также
неизмеримо.
3.2.38. Может ли открытое неограниченное множество в RJ
иметь конечную меру?
3.2.39. Пусть замкнутое множество в Шм имеет конечную
меру Может ли оно быть неограниченным?
3.2.40. Привести пример множества меры нуль в R' , не
являющегося множеством типа Fa.
3.2.41. Пусть множество Е неизмеримо в R^, множество Ег
имеет в RjV положительную меру и ?.\ ПЕ = 0. Следует ли отсюда,
что множество Ех П ? неизмеримо?
3.2.42. Пусть множество Е неизмеримо в R , множество Ех
имеет в RA положительную меру, а множество Е П Ех измеримо
Следует ли отсюда, что ц(Е П ?,) = О?
3.2.43. Пусть множества Ех и Е2 неизмеримы в R'v и
Ei П Е2 = 0 В каком случае можно утверждать, что множество
Ei U Е2 неизмеримо?
3.2.44. Рассмотрим в R^ совокупность всех измеримых по
Лебегу множеств. Разобьем эту совокупность на классы эквива-
эквивалентности, считая, что два множества А. и В принадлежат одному
классу, если ^(Ал В)^= 0. На этом множестве введем функцию
р(А, В) = /х(ДдВ), где А и В — классы эквивалентности, а
.4 G А, В б В Показать, что функция р(А,В) есть метрика, а
пространство ({Д},/>) есть полное метрическое пространство.
87

3.2. 45. В условиях предыдущей задачи заменить множества,
измеримые по Лебегу, на множества, измеримые по Борелю.
Показать, что в этом случае пространство ({А},р) не является
полным. Найти его пополнение.
3.2.46. Внешней мерой Лебега // ограниченного множества Е
N назовем число
= inf
где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества
Е конечными или счетными системами параллелепипедов П.
Доказать, что
3.2.47. Пусть А — множество на числовой прямой меры нуль,
а В — произвольное множество на числовой прямой, Доказать,
что множество А х В измеримо на плоскости и имеет меру нуль.
§ 3. Мера как функция множеств, продолженная с полуколец
на кольца множеств
3.3.1. Для непустой совокупности множеств {Аа}, где а про-
пробегает произвольное множество индексов /, построить минималь-
минимальное кольцо, содержащее все множества Аа, а е /.
3.3. 2. Доказать, что множества, измеримые по Борелю, в RN:
1) образуют (т-алгебру;
2) эта алгебра является минимальной (т-алгеброй, содержащей
все открытые (замкнутые) множества.
3.3.3. Пусть if — конечно-аддитивная функция множеств,
заданная на кольце 7Z. Доказать, что:
1) v@) = о;
2) узЩ Ак) = ? ч>{Ак), если Ак П А, = 0, к ф j и Ак ? П;
3) <f(A, U А2) +~<p(Ai ПА2) = ,p{Ai) + у?(Л2), AUA2? TZ;
4) если функция <р неотрицательна, то для множеств Ль
А2 € 1Z и таких, что Ах С А2, справедливо неравенство
) )
5) если АиА2 € 11, Ах С А2 и (^(Л^ < оо, то
6) если функция ср неотрицательна, то из равенства
ДЛ2) = 0 для множеств АХ,А2 € TZ вытекает, что <р{Ах) =
7) если функция (р неотрицательна, то совокупность тех эле-
элементов А ? 71, для которых <р(А) = 0, образует кольцо.
88

3.3.4. Показать, что в утверждениях 4), 6) и 7) предыдущей
задачи отказаться от условия неотрицательности функции (р не-
нельзя
3.3.5. Пусть /1 — мера, заданная на кольце 1Z, и {4N}~=1 —
последовательность множеств из 7Z, которые попарно не пересе-
пересекаются. Доказать, что если множество A G 7Z, то:
оо оо
I) из включения U Ап С Л вытекает неравенство ?
"=1 п=1
п
2) из включения А с U Ак вытекает неравенство ц(А) <
п
< X] К^А') ДЛЯ ЛЮбоГО 71.
3.3. 6. Пусть /1 — мера, заданная на кольце 1Z. Доказать, что ц
является (т-аддитивной тогда и только тогда, когда для любой по-
последовательности множеств {Л„}~=1, Ап G 7Z, и множества А Е 71
ее оо
из включения Л С U Ап вытекает неравенство ц(А) < J2 ^{Ап).
3.3.7. Пусть /i — ограниченная (т-адцитивная мера на кольце
71. Доказать, что:
1) если {Ап}™=1 — возрастающая последовательность мно-
оо
жеств из 71 и А - U Ап е 71, то
п=1
lim /х(Л„) = М'4);
2) если {Лп}™_, — убывающая последовательность множеств
из П и А - П Л„ G 71, то
1
lim
3.3.8. Пусть /i — мера, заданная на кольце 71. Доказать,
что любое из следующих условий достаточно для (т-аддитивности
меры /л
1) если {Лп}~=1 — возрастающая последовательность мно-
множеств из 71 и lim An e 7^, то
Нш /х(Лп) = /г( lim А„);
О
П—"ОО
2) если {Лп}~=1 — убывающая последовательность множеств
из 71 и lim Ап = 0, то lim fi(An) = 0.
п—>оо п—kxj
89
12 Задачи по теории функций действительного переменного

3.3.9. Рассмотрим полукольцо интервалов вида а < х < Ь.
Пусть /ii,...,/xn — (Т-аддитивные меры на этом полукольце.
Рассмотрим полукольцо параллелепипедов в Ш. .
Tl = {x?RN: ак < хк < Ьк, к= 1,...,ЛГ}.
Введем меру \х на полукольце П по формуле
Доказать, что ц — сг-аддитивная мера.
3.3.10. Пусть N — множество натуральных чисел, а ОТ —
множество всех подмножеств N. Для любого множества Е ? Ш
определим меру ц{Е), считая, что fi{E) — число элементов
множества Е. Показать, что \х — (т-аддитивная мера на ОТ.
3.3.11. Показать, что любое полукольцо множеств А из X
всегда может быть включено в кольцо подмножеств X, например
в кольцо всех подмножеств множества X. Описать наименьшее
кольцо 71 подмножеств X, содержащее данное полукольцо.
3.3.12. Показать, что конечно-аддитивная (необязательно зна-
знакоположительная) функция множеств, определенная на некотором
полукольце множеств из X, всегда может быть продолжена на
кольцо 71 (см. предыдущую задачу) с сохранением аддитивности,
причем единственным образом.
3.3.13. Показать, что а-аддитивная мера при продолжении с
полукольца ац на кольцо 71{стц) остается а -аддитивной.
3.3.14. Показать, что предположение о том, что исходная
мера \х задана на полукольце (а не на некоюрой произвольной
системе множеств), существенно для однозначности ее продолже-
продолжения.
3.3.15. Привести пример конечно-аддитивной, но не (т-адди-
тивной меры.
3.3.16. Пусть X — множество всех рациональных точек от-
отрезка [0,1], а ор состоит из пересечений множества X с произволь-
произвольными интервалами (а,6), отрезками [а,Ь] или полуинтервалами
(а,Ь], \а,Ь) отрезка [0,1]. Показать, что а^ — полукольцо. Для
каждого такого множества АаЬ ? а^ положим
) = Ь- а.
Показать, что \i — конечно-аддитивная мера. Выяснить, будет ли
она (т-аддитивной.
90

3.3.17. Пусть X — произвольное бесконечное множество, а
{хп}^=1 — последовательность элементов X. Каждому хп поста-
поставим в соответствие число ап > 0 так, чтобы последовательность
чисел {оп}^1[, соответствующая последовательности {тп}™=1 эле-
элементов X, обладала свойством
Пусть А — подмножество X. Введем функцию множеств /и. по
формуле
(при этом если {хп}™=1 П А — 0, то /х(Л) = 0). Показать, что /х —
(Т-аддитивная мера на множестве всех подмножеств X и любое
А с А' является /х-измеримым.
3.3.18. Рассмотрим функцию /(х) = х1 действительно пере-
переменного х. На полукольце всех интервалов (открытых, замкнутых,
полуоткрытых) отрезка [0,1] введем меру по формуле
Показать, что ц — о--аддитивная мера. Продолжим эту меру на
кольцо и рассмотрим лебегово продолжение. Доказать, что кан-
юрово открытое и замкнутое множества измеримы относительно
меры /г, и найти меру этих множеств.
3.3.19. Пусть f(x) — непрерывная неубывающая функция
действительного переменного х. На полукольце всех интервалов
действительной прямой определим функцию ц по формуле
Будет ли функция /х мерой?
3.3.20. Рассмотрим строго возрастающую функцию f(x) дей-
действительного переменного х. На полукольце интервалов введем
функцию ц по формуле
М((а,Ь)), fi{[a,b]), /*([а,Ь)), М(а,Ь]) = ДЬ-0) - Да + 0).
Будет ли эта функция мерой?
3.3.21. Пусть f(x) — строго возрастающая непрерывная
функция. Показать, что функция множеств ц из предыдущей
задачи является мерой на полукольце интервалов. Будет ли она
(т-аддитивной?
12*

3.3.22. Пусть X = [0,1] х [0,1], a 1Z — кольцо множеств на
плоскости вида Е х [0,1], где Е — измеримое по Лебегу множество
из [0,1] Введем функцию // на этом кольце TZ по формуле
Показать, что ц — <т-аддитивная мера на TZ и ее можно продол-
продолжить по Лебегу на <т-кольцо измеримых по Лебегу множеств из
[0,1] х [0,1] Показать, что множество [0,1] х [0, -] неизмеримо по
Лебегу относительно введенной меры, т. е. оно не принадлежит
G-КОЛЬЦу.
3.3.23. Пусть X - [0,1] х [0,1]- Рассмотрим полукольцо
множеств Ха1ь вида {[а,6] х [0,1]}, {[а,6) х [0,1]}, {(о,6] х [0,1]},
{(а,Ь) х [0,1]}, где 0 < а < Ь < 1 Введем функцию множеств по
формуле
) = Ь- а.
Показать, что ц — ст-аддитивная мера на этом полукольце мно-
множеств. Описать лебегово продолжение меры fi. Показать, что
множество А = [0, 1] х [0, |] неизмеримо по Лебегу относительно
введенной меры.
3.3.24. Рассмотрим полуинтервал @,1] и полукольцо всех
интервалов вида (а, Ь), [а, Ь), [а, Ь], (а, Ь], где 0 < а < 6< 1. Введем
на этом полукольце функцию множеств по формуле
ц([а,Ь}) = /х([о,6)) = /i((o,6]) = ц({а,Ь)) = 6 - о,
/к((О,Ь)) = /*((О,Ь])= 1 + 6.
Показать, что ц — мера на полукольце, но ее нельзя продолжить
до (Т-аддитивной меры на ст-кольце.
3.3.25. Рассмотрим на X = [0,1] х [0,1] кольцо 1Z множеств
Е' — Е х [0,1], где Е С [0,1] измеримо по Лебегу и имеет
меру ц(Е). Положим //(?') = /х(?). Показать, что мера ц' на И
является борелевской, но не лебеговой. Показать, что множество
[0,1] х [0, \] не принадлежит кольцу TZ и не входит в область
определения лебегова продолжения меры /х'
§ 4. Измеримые функции
3.4.1. Пусть Е — измеримое множество в Жм относительно
некоторой гт-аддитивной меры и пусть / — измеримая функция
на множестве Е. Доказать, что / измерима тогда и только тогда,
когда для любого действительного а измеримы или множество
{х ? Е : /(л1) < а}, или множество {х 6 Е : f(x) > а), или
множество {х 6 Е : f(x) < а}.
92

3.4.2. Доказать, что если функция / измерима на измеримом
множестве Е, то функции |/| и 1// (/ ф 0) измеримы на Е.
3.4.3. Доказать, что непрерывная на измеримом множестве
функция измерима.
3.4.4. Доказать, что кусочно-непрерывная на [а,Ь] функция
является измеримой относительно меры Лебега на числовой пря-
прямой.
3.4.5. Доказать, что сумма и произведение двух измеримых
функций являются измеримыми
3.4.6. Доказать, что характеристическая функция множества
измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество
3.4.7. Пусть {/„(j)}~=1 — ограниченная при каждом j- из
измеримого множества Е последовательность действительнознач-
действительнозначных функций. Доказать, что следующие функции измеримы
sup/п(>), inf /„(a-), Inn /„(.г), Inn /„(х).
п n n-»no n — <v
3.4. 8. Доказать, что множество точек j, для которых последо-
последовательность измеримых функций {/„(r)}^ является сходящейся,
есть измеримое множество
3.4.9. Доказать, что непрерывные на отрезке [о, Ь] функции
эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны
3.4.10. Доказать, что если функция f(x) имеет конечную
производную всюду на [а, Ь], то функция f'(x) измерима на [а, 6]
3.4.11. Доказать, что если функция измерима на любом от-
отрезке вида [а + е, b - е], е > О, то она измерима и на всем отрезке
[а,Ь]
3.4.12. Доказать, что любая монотонная на [а,Ь] функция
измерима
3.4.13. Доказать, что любая кусочно-монотонная на [а,Ь]
функция измерима
3.4.14. Доказать, что функция Дирихле измерима на любом
измеримом множестве числовой прямой.
3.4.15. Доказать, что функция Римана измерима на любом
измеримом множестве числовой прямой.
3.4.16. Пусть функция f(x) такова, что для некоторого нату-
натурального р функция (f(x))r измерима. Вытекает ли отсюда, что
функция f(x) измерима?
3.4.17. Доказать, что суперпозиция непрерывной функции и
измеримой функции есть функция измеримая.
3.4.18. Верно ли,.-что суперпозиция измеримой функции и
непрерывной функции есть функция измеримая?
3.4.19. Верно ли, что суперпозиция измеримых функций есть
функция измеримая?
93

3.4.20. Доказать, чт функция, измеримая по Борелю, изме-
измерима и по Лебегу
3.4.21. Привести пример функции, измеримой по Лебегу, но
не измеримой по Борелю
3.4.22. Доказать, что любая функция, измеримая по Лебегу
и заданная на борелевском множестве, будет измеримой и по
Борелю после надлежащего исправления ее на множестве меры
нуль
3.4.23. Доказать, что числовая функция f(x), заданная на
борелевском множестве В, измерима по Борелю, если для любого
борелевского множества М числовой прямой прообраз /~'(М)
есть борелевское множество
3.4.24. Доказать, что числовая функция /(/), заданная на
лебеговском множестве А, измерима по Лебегу, если для любого
борелевского множества М числовой прямой прообраз f~l(M)
есть тебеговское множество
3.4. 25. Доказать, что суперпозиция борелевских функций есть
функция борелевская.
3.4.26. Доказать, что функция f(x), заданная на борелевском
множестве В, измерима по Борелю тогда и только тогда, когда для
любого действительного а измеримо по Борелю или множество
{г ? В f(x) > а}, или множество {.г ? В : /(/) < а}, или
множество {т ? В : f(x) < а}
3.4.27. Доказать, что две эквивалентные функции измеримы
или неизмеримы одновременно.
3.4.28. Привести пример ограниченной, измеримой по Лебегу
на числовой прямой действительнозначной функции, не эквива-
эквивалентной никакой функции, интегрируемой по Риману
3.4. 29. Привести пример действительнозначной функции, не-
непрерывной на oiрезке и отображающей измеримое множество на
неизмеримое
3.4. 30. Привести пример измеримой на отрезке [а, 6] функции,
являющейся неограниченной на любом отрезке [а,{3] С [а,Ь]
3.4.31. Определить, будут ли следующие функции измери-
измеримыми
!)/(,) =-^,,6 @,1);
{1, х — иррациональное,
m х
и, х = —,
^ sin х, х <? Ь ,
где Е — неизмеримое множество на числовой прямой,
94

Г sin J\ x ? E,
4) /(-г) = '
^ cos т, x f b ,
где x e @, —), a E — неизмеримое множество на ин1ервале@, —),
где ? — неизмеримое множество на числовой прямой, а функция
<7(ж) непрерывна на прямой R и (/(ж) ^ 0;
0) Л.) =
где ? = U ?ь a ?t — неизмеримые множества на числовой
к=\
прямой
3.4.32. Измерима ли функция f(x), которая равна х2 во всех
точках пересечения канторова множества и некоторого неизмери-
неизмеримого множества Е и равна а-3 во всех остальных точках отрезка
[0,1]?
3.4.33. Доказать, что если функция /(ж) измерима на любом
отрезке [a, ft], л а < а < ft < Ь, то она измерима и на всем отрезке
\а,Ь]
3.4.34. Пусть F(tu ... ,xN) — непрерывная функция в про-
пространстве RA, а функции /i(/),/2@' -ч/\'@ измеримы на пря-
прямой Доказать, что функция h(t) — F{fx(t),.. . ,/д(<)) измерима
на прямой
3.4.35. Пусть функция f(xu .,гл ) непрерывна по каждому
переменному в отдечьности на отрезке [а,Ь] Будет ли функция
N
f{xi ,xN) измерима на множестве Е= П[а.Ь]сК ?
3.4.36. Пусть Е — измеримое множество положительной
меры и {/„}~=1, {<7„}тТ=1 — последовательности измеримых функ-
функций, сходящиеся по мере на множестве Е к функциям /ид
соответственно. Доказать, что последовательности {/„ ± <7n}™=i>
{/„ • <7n}^=i и {~}tT=i сходятся по мере на Е к функциям f ± д,
f-3,f/9(9?0n* на?)
3.4.37. Пусть {/п}^°_[ сходится по мере на множестве Е к
функции /. Доказать, что если для всех х ? Е и для всех п имеет
место неравенство /„(/) < а, то f{x) < а п в. на Е
3.4.38. Привести пример последовательности измеримых
функций, сходящейся по мере на некотором измеримом множе-
сгве, но не сходящейся ни в одной точке этого множества.
95

3.4.39. Выделить из последовательности, построенной в пре-
предыдущей задаче, подпоследовательность, сходящуюся п. в.
3.4.40. Доказать теорему Егорова.
Пусть Е — множество конечной меры и {fn}™=l — последо-
последовательность п в конечных измеримых функций, которая сходится
п в на Е к п в конечной функции /. Тогда для любого 6 > 0
найдется измеримое множество Ев С Е, такое, что:
2) fn(x) сходится равномерно к f(x) на Е6.
3.4.41. Доказать теорему Лебега:
Если последовательность измеримых функций {/„}?°_i сходит-
сходится п в на измеримом множестве Е конечной меры к функции /,
то она сходится к / и по мере на Е
3.4.42. Доказать теорему Рисса:
Пусть последовательность измеримых функций {/„}^°=] схо-
сходится по мере к функции / на измеримом множестве Е конечной
меры Тогда найдется подпоследовательность {/tn}™=1 этой по-
последовательности, которая сходится к / п. в. на Е.
3.4.43. Доказать, что если любая подпоследовательность дан-
данной последовательности {/„}~=1 измеримых функций сходится
п в к некоторой фиксированной функции /, то {/*}™=1 сходится
к / по мере
3.4.44. Доказать теорему Лузина:
Функция /(г), заданная на отрезке [а,6], измерима тогда и
только тогда, когда для любого е > 0 существует непрерывная на
[а. Ь] функция д(х), такая, что
/л{х . /(х)фд(г)} < е.
3.4.45. Пусть f[t) — измеримая и п. в. конечная функция,
заданная на отрезке [а, 6] Доказать, что существует такая убы-
убывающая на [о. 6] измеримая функция g(t), что для любого дей-
действительного X
fi{t: g(t) > х) = /i{t : f(t)>x}.
3.4.46. Пусть семейство измеримых функций {fi'l\x)}^Jn-x,
заданных на измеримом множестве Е, удовлетворяет условиям:
1) \h^f{kn)(x) = f^(x),seE;
2) iim /<nV) = /(-с).лея.
п —»ои
Доказать, что из семейства {/1"\-г)}™п=1 можно выделить
подпоследова1ельность, сходящуюся к f(x) по мере на Е При-
Привести пример, показывающий, что сходимость по мере нельзя
заменить на сходимость в каждой точке множества Е
96

3.4.47. Доказать 1еорему Фреше.
Для любой измеримой п. в конечной функции /, заданной
на отрезке [а, Ь), найдется последовательность непрерывных функ-
функций, сходящаяся к / п в на [а, Ь]
3.4.48. Доказать, что для любой измеримой п. в. конечной
функции /, заданной на отрезке [а,Ь], найдется последователь-
последовательность многочленов, сходящаяся к / п в. на [о, Ь].
3.4.49. Ilycib f(x,у) — измеримая функция на измеримом
множестве Е плоскости R Следует ли отсюда, чю для любого
фиксированного х б 1R функция f(r,y) как функция переменного
у измерима на множестве Ех = {у, (х,у) ? Е}?
3.4. 50. Пусть функция f{jc,y) задана на квадрате [0,1] х [0.1].
Пусть также /(.г, у) непрерывна по каждой переменной в отдель-
отдельности при фиксированной другой Следует ли отсюда, чго f(x,y)
измерима на [0, 1] х [0,1]?
3.4.51. Пусть функции f(x) и д(т) измеримы на измеримом
множестве Е числовой прямой, а функция F(u, v) непрерывна на
R" Доказать, что функция h(r) = F(f(x),g(x)) измерима на Е
3.4. 52. Функцию, принимающую не более чем счетное число
значений ух, у2,..., уп,..., назовем простой Доказать, что про-
сгая функция f(x) измерима тогда и только тогда, когда все
множества вида
Еп - U- ¦ fix) = Уп}
измеримы
3.4. 53. Доказать, что для измеримости произвольной функ-
функции необходимо и достаточно, чтобы она могла быть предста-
представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности
простых измеримых функций
13 Задачи по теории функций действительного переменного

Глава IV
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Основные свойства интеграла Лебега
Пусть Е — измеримое по Лебегу, ограниченное множество в
пространстве RN и пусть / — действительнозначная ограничен-
ограниченная функция, заданная на множестве Е. Совокупность измеримых
по Лебегу множеств {Ек}^=1 называется разбиением множества Е,
если выполнены условия
Е = U Ек, Е: П Ек = 0 при j ф к .
Разбиение будем в дальнейшем обозначать символом Р. Введем
также следующие обозначения:
тк — inf /(ж), М/с = sup /(а-), к — 1,2,..., п .
Для каждого разбиения Р множества Е и любой ограниченной
функции / на Е введем верхние и нижние интегральные суммы
соответственно по формулам
п п
V(P, f) = Е м*м(?*), ЦР, Л = X) mtti{Et).
к=\ к-\
Верхним интегралом Лебега функции / на множестве Е назо-
назовем величину
/• = inft/(P,/),
а нижним интегралом Лебега — величину
/. =snpL{P,f),
р
где точная верхняя и точная нижняя грани берутся по всем
разбиениям множества Е. Легко видеть, что верхний и нижний ин-
интегралы Лебега существуют для любой ограниченной функции /
98

на любом измеримом ограниченном множестве Е в простран-
пространстве RN.
Функция / называется интегрируемой по Лебегу на измери-
измеримом множестве Е, если /* = /,. При этом интегралом Лебега
называется верхний (или нижний) интеграл Лебега и обозначается
символом [f(x)dx.
Е
Справедлива теорема: Любая ограниченная, измеримая по
Лебегу на измеримом, ограниченном множестве Е С 1R функция f
интегрируема по Лебегу на этом множестве.
Понятие интеграла Лебега можно распространить на случай
неограниченных функций. Пусть функция измерима на измери-
измеримом ограниченном множестве Е С RW и неотрицательна на Е.
Для каждого натурального п введем следующую функцию:
ff(x)] = I А*), если/(ж) < п,
\ п, если f(x) > п .
Функция [f(x)]n называется срезкой функции /. Положим по
определению
In(f) = j[f(x)}ndx.
Е
Интеграл в правой части существует в силу вышеприведенной
теоремы.
Если существует Vim /„(/), т° функция / называется сумми-
П—.ПО
русмой по Лебегу на множестве Е, и этот предел называется
интегралом Лебега функции / на множестве Е и обозначается
тем же символом j f(x)dx.
Е
Пусть функция f(x) является измеримой на измеримом огра-
ограниченном множестве Е. Введем следующие неотрицательные
функции:
f+(x) \f(x)\ + f(x) \f(x)\-f(x)
J \J) — 2 i У V / — о
Функция f(x) называется суммируемой по Лебегу на множестве
Е, если на Е суммируемы функции f+(x) и f~(x). При этом
интегралом Лебега функции / называется число
f(x)dx = J f+(x)dx- J f-(x)dx.
E E E
99
13*

Все суммируемые по Лебегу функции будем также называть
интегрируемыми по Лебегу.
Откажемся теперь от условия ограниченности множества Е С
С R^ и распространим определение интеграла Лебега на случай
неограниченных измеримых множеств.
Пусть Е — произвольное измеримое по Лебегу множество в
пространстве RN и f(x) — измеримая неотрицательная функция,
определенная на этом множестве Функция / суммируема по
Лебегу на множестве Е, если существует конечный предел
lim / f(x)dx.
Этот предел называется интегралом Лебега функции / на множе-
множестве Е и обозначается, как и прежде, символом / f(x)dx.
Е
Если / — измеримая функция произвольного знака, то / назы-
называется суммируемой по Лебегу на множестве Е, если суммируемы
функции /+ и /". При этом интегралом Лебега функции / на
множестве Е называется величина
f(r)dx = I f+(x)dx- I f-(r)dx.
E E E
Все суммируемые по Лебегу функции будем по-прежнему назы-
называть интегрируемыми по Лебегу Класс всех интегрируемых по
Лебегу на множестве Е функций будем обозначать символом
L{h,/u) Интеграл Лебега обладает следующими свойствами-
1) Если f,g ? L(E,/.i), то для любых констант cj и с2 функция
) и
j
g dx.
E ЕЕ
Это свойство называется линейностью
2) Если / е L(E,n) и Е = E^U Е2, ЕхП Е2 = 0, где множества
Е, и Е2 измеримы по Лебегу, то / 6 Ь{Е,ф), j - 1,2 и
fdx=ffdx+ffdx.
Е Я, Ез
Это свойство называется аддитивностью.
100

3) Если / е ЦЕ,ц) и Е = U Е,, Ек П ?; = 0, к ф j, где
множества Е3 измеримы по Лебегу, то / е L( ?,, /х) для j = 1,2,...
и
I
/rfj-.
Это свойство называется (т-аддитивностью интеграла Лебега как
функции множеств
4) Если / G L(E,fi), то для любого г > 0 найдется 6 > 0 такое,
что для любого измеримого подмножества е С Е, мера которого
/*(г) < 6, справедливо неравенство
f(x)dx
< е.
Это свойство называется абсолютной непрерывностью интеграла
Лебега как функции множеств
5) Если /.д е Ь(Е,ц) и /(я) > #(•*") для любого х ? Е,то
J f(x)d
г > I g(x)dx .
Е
В частности, если / > 0, то J f(x)dx > 0
Е
6) Функция / G L{E,ft) тогда и только тогда, когда |/| €
? L(F,fi) При этом
J f(r)dx < J\f(x)\di
7) Если / G ?(?\/х) и/х(Е) = 0, то //(т)^ = 0.
?
8) Пусть / е ЦЕ,ц) и / > 0 на Е Рассмотрим следующую
функцию множеств
F(e) = J f(x)dx,
где с — измеримое подмножество множества Е Функция мно-
множеств F задает <т-аддйтивную меру Эта мера определена на той
же (т-алгебре, что и мера Лебега \i Кроме того, если ц{Е) = 0, то
101

9) Если функция / интегрируема по Риману на множестве Е =
= [а,6], то / SE L(E,n) и
О
(x)dx = (R)jf(x)dx,
где слева в этом равенстве стоит интеграл Лебега, а справа —
интеграл Римана. Аналогичное утверждение верно и для кратного
интеграла Римана.
10) Если / — неофицательная измеримая ограниченная функ-
функция на множестве Е и J f(x) dx = 0, то / = 0 п. в. на Е.
с
§ 2. Предельный переход под знаком интеграла Лебега
1. Теорема Лебега об ограниченной сходимости
Пусть {/г,}™-] — последовательность измеримых функций,
сходящаяся п. в. на измеримом множестве Е к функции f(x). Если
существует такая интегрируемая по Лебегу на Е функция <р(х),
что для всех п и п. в. на Е
|/„(:г)| < ф),
то функция f ? L{E,f_i) и
lim I fn(r)dx— f(x)dx.
rwcxj J J
E E
Следствие. В условиях теоремы имеет место равенство
lim [g(x)fn(x)dx= jg(x)f{x)dx,
п —оо J J
E E
где g(x) — любая измеримая на Е ограниченная функция.
Замечание. В теореме Лебега можно заменить сходимость
п. в. сходимостью по мере на множестве Е.
2. Теорема Беппо-Леви
Пусть последовательность функций {/п}™=1 удовлетворяет на
измеримом множестве Е следующим условиям:
1) fne L(E,ii). n= 1,2,...;
2) fi(x) < h(x) а ... < fn(x) < ..., х е Е\
102

3) J fn(x)dx < К, где Л —const
Е
Тогда п. в. на Е существует конечный предел
f(x)= lim fn(x).
п —>оо
При этом f ? Ь(Е,(л) и
lim / fn(x)dx = / f(x)dx.
n-юо J J
Следствие Если fn(x) > 0 и ^ J fn(x)dx < oo, то п.в. на
? ряд J2 fn{x) сходится к интегрируемой функции и имеет мест о
п = 1
равенство
E "-1
3. Лемма <Paiy
Пусть {fn{x)}^-i — последовательность измеримых неотри-
неотрицательных функций, заданных на измеримом множестве Еип.в.
на Е, сходящихся к функции /. Если fn ? L(E,fi) и существует
константа А, такая, что для всех и имеет место неравенство
J
fn(x)dx < К,
то f e L(E.fi) и J fdx < К.
Е
Следствие. Если в условиях теоремы существует
lim Г fn(x) dx, то
If dx < lim / /„ dx .
J П^ГХ, J
Пусть F = {f{x)} — семейство интегрируемых функций,
заданных на измеримом множестве Е С КА'. Если для любого
? > 0 найдется 6 > 0, такое, чюю соотношения е С Е и ц(е) < 6
вы гекае! неравенство '
J
fdx
< е
103

для любой / ? F, то говорят, что семейство F имеет равностепен-
равностепенно абсолютно-непрерывные интегралы.
4. Теорема Витали
Пусть {fn}^=1 — последовательность интегрируемых по Ле-
Лебегу функций на измеримом множестве Е С IRA — сходится
по мере к функции /. Если семейство функций {/п}„ = 1 имеет
равностепенно абсолютно непрерывные интегралы, то функция f
является интегрируемой по Лебегу на Е и
lim ffn(x)dx= ff(x)dx.
n^cw J J
§3. Теорема Фубини
Пусть даны евклидовы пространства R и Rm с мерами
Лебега f_iN и цт соответственно Рассмотрим декартово произве-
произведение R х Ш!", которое можно интерпретировать как евклидово
пространство R +m. Пусть R. — полукольцо множеств из RA+m
вида .4 х В, где А и В — измеримые по Лебегу множества из
пространств Ш' и М'" соответственно Такие множества измери-
измеримы по Лебегу в пространстве М "' относшельно меры Лебега
ц,\+,п- При этом легко установить, что
VLN+m{Ax В) =jiyv(A)/tm@).
Далее, эту меру можно продолжить на (т-алгебру измеримых
множеств в R^" с сохранением вышеуказанного равенства.
При этом будут выполнены следующие свойства. Пусть Е —
произвольное измеримое по Лебегу относительно меры
множес1во в пространстве R +m. Для каждого фиксированного
.г е М символом Ех обозначим следующее множество:
а для каждого фиксированного у ? Wn символом Еу — множество
Для п. в у б Е.т (х G RN) множества Еу С RN (Ex С Ж")
измеримы по Лебегу относительно меры /гл> (/*,„) в пространсгве
104

R (Rm). Более того, функции цт{Ех) (p,N{Ey)) интегрируемы по
Лебегу в пространстве Rw (Rm) и справедливо равенство
= /
- /
Кроме того, справедлива теорема Фубини.
Пусть Е — измеримое множество в пространстве К и
f{x,y) — измеримая функция на Е. Если f(x,y) интегрируема по
Лебегу на множестве Е, то для п.в.уЕ В?т (х € В? ) функция
f(x,y) no переменным х (у) интегрируема по Лебегу на множестве
(Е,С Rm) и при этом справедливо равенство
J
- I
J
(*)
При вычислении повторных интегралов в равенстве (*) нас фак-
фактически интересуют только те множества Ех (Еу), для которых
(лт(Ег) >0(ц„(Еу) > 0).
Следует отметить, что из существования только повторных
ин1егралов не вытекает, вообще говоря, ни равенство (*), ни
ишегрируемость функции f(x,y) на множестве Е. Однако если
существует хотя бы один из повторных интегралов
J J\f(x,y)\dx\ dy,
\f(x,y)\dfim(y) d[iN(x),
то функция f(j-,y) интегрируема по Лебегу на множестве Е С
С RN+m и справедливо равенство (*). При этом функция / должна
быть измеримой на множестве Е.
Справедлива также следующая теорема Тонелли:
Пусть функция f(x,y) > 0 и измерима на измеримом множе-
множестве Е С R"+m. Тогда:
14 Задачи по теории функций действительного переменного
105

V f{x,y) измерима no x (у) на множестве Еу (Ех) для почти
всех у(х);
2) справедливо равенство повторных интегралов в (*);
3) если функция <р(у) = ff(x,y)dnN(x) (<р(х) = ff(x,y)dnm(y))
интегрируема на Rm (RN), то функция f(x,y) интегрируема на
множестве Е.
В частности, если функция f(x,y) > 0 и измерима на мно-
множестве Е С Rw+m, то всегда имеет место равенство повторных
интегралов
Теорема Фубини позволяет вычислить интеграл по параллеле-
параллелепипеду. Если множество Е в пространстве Жы (N > 2) является
N
параллелепипедом Ц [а,,Ь;] и функция f(xi,x2, ¦ ¦ ¦ ,*n) интегри-
руема на Е, то имеет место формула сведения интеграла Лебега к
повторному интегралу:
/
= J dxx j dxi ... J f{xuxiy ...,xN) dxN .
aj
Отметим также, что теорема Фубини допускает обобщение
на произвольные пространства с ст-аддитивными и конечными
мерами.
§4. Классы LP(E)
Пусть Е — измеримое по Лебегу множество в пространстве
RN. Если р — действительное число, удовлетворяющее неравен-
неравенствам 1 < р < оо, а измеримая действительнозначная функция /,
заданная на множестве Е, такова, что функция |/|р интегрируема
по Лебегу на Е, то положим
106

Lr(E)
= (j\f(x)\'dx\
Эта величина называется нормой функции / в смысле ЬР(Е),
а символом LP(E) будем обозначать множество всех функций,
имеющих конечную норму в смысле LP(E). Две эквивалентные
функции fl и /2 из ЬР(Е) считаются равными одному и тому же
элементу функционального пространства LP(E). В частности, если
функция / е LP(E) и равна нулю п. в. на Е, то / = 0 в смысле
LP(E).
Определение нормы в Lp распространяется и на случай р =
= +оо Если функция / измерима на измеримом множестве Е С
С M.N и существенно ограничена, т. е. существует наименьшее из
чисел М, обладающее тем свойством, что множество всех х е Е,
для которых \f(x)\ > М, имеет меру нуль, то это наименьшее
число Mf и называется нормой функции / в пространстве Loo(?').
Иными словами,
Н/1к„(Е) = esssup |/(x)| =
= mf{M : |/(a-)| < М п.в. на Е} = Mf .
Множество всех существенно ограниченных функций на мно-
множестве Е обозначается символом LO0(E). При этом для любой
функции / б ЬСЮ(Е) на ограниченном множестве Е имеет место
равенство
С другой стороны, из существования этого предела вытекает
существенная ограниченность функции / на множестве Е. Для
любого 1 < р < оо имеет место неравенство треугольника для
норм
которое называют неравенством Минковского. Кроме того, имеет
место также следующее неравенство:
Lr(E) " = 1
при условии, что числовой ряд в правой части является сходя-
сходящимся.
107
14*

Если в пространстве LP(E), 1 < р < сю, расстояние между
двумя элементами /, д ввести по формуле
PP(f,S) = \\f - 9\\l,(b) ,
то Lp{E) становится метрическим пространством. Более того,
Lp(E) — полное метрическое пространство, т.е. из соотношения
lim ||/n-/m||i,(B) = 0, /„ 6LP(E),
тп,п —> оо
вытекает, что найдется функция / е LP{E), такая, что
Таким образом, LP(E) — полное линейное нормированное
пространство. Такие пространства называются Банаховыми.
Пусть / е Lp(E),ag е Lp.(E),rm 1<р<сю, - + — = 1 (при
р = 1 считаем, что р' = сю, а при р = сю считаем, что р' — 1).
Тогда произведение f • д G L^E) и имеет место неравенство для
норм
\\/-д\\ЫЕ) < \\f\\Lr{E)-\\9\\LAE),
которое называется неравенством Гельдера для интегралов. Оно
обращается в равенство тогда и только тогда, когда функции |/|р
и \д\р' линейно зависимы.
Для функции F(u,y), заданной на измеримом множестве Е
вида Е = ?, х Е2 С RN, где х = (и, у) 6 Е, и G Е, С Rm, у G
? Е2 С M.Nm, имеет место обобщенное неравенство Минковского
для интегралов
J
F(u,y)dy
\Г(и,у)\? du\ dy,
где 1 < p < oo и интеграл в правой части имеет смысл.
Имеет место важное свойство последовательности функций,
сходящейся по норме в LP(E) к некоторой функции.
Пусть /,/„ <Е Ьр{Е)и
Тогда существует подпоследовательность Д„(х) последователь-
последовательности fn(x), такая, что при п —> сю
fkn{x)—у f(x) п.в. на?.
108

Функция / G LP(E) называется непрерывной в смысле LP(E), если
для любого ? > О найдется 6(е) > 0, такое, что
\\f(x + h)-f(x)\\Lr{Eh)<?,
как только |/г| < 6, где Eh = {x G Е : х + h € Е}. Для любого
1 < р < оо всякая функция f Е ЬР(Е) непрерывна в смысле LP(E).
Кроме того, множество непрерывных на Е функций всюду плотно
в LP(E), т.е. для любой функции / € LP(E) A < р < оо) найдется
последовательность непрерывных на Е функций fn(x), такая, что
lim ||/n - /\\lp(E) = 0.
Можно доказать, что пространства LP(E), 1 < р < оо, являются
сепарабельными метрическими пространствами. Более того, су-
существует последовательность бесконечно дифференцируемых фи-
финитных в Е функций >рп(х) (т.е. имеющих компактный носитель
в Е), для которой выполняются свойства
В случае LOO(E) имеет место более слабое утверждение. А именно,
для любой функции / 6 ЬЖ(Е) существует последовательность
бесконечно дифференцируемых финитных в Е функций <рп(х), для
которой выполняются свойства:
lira <рп(х) — f(x) п. в. на Е ,
п* оо
Пусть а{х) — неотрицательная измеримая на множестве Е
функция, которая п. в. на Е отлична от нуля. Рассмотрим сово-
совокупность всех таких измеримых на множестве Е функций, для
которых конечен интеграл
(j\f{x)\>o{x)dx\<<x>, 1<р<оо.
Множество всех таких функций обозначим символом U,JE).
Это множество является полным нормированным пространством,
норма в котором введена по формуле
/ ч 1/р
\,ЛВ)= \ f\f(x)Mx)dx] .
109

Кроме того, символом L™(r)(E) будем обозначать множество
1аких измеримых на множестве Е функций, для которых будет
конечна следующая норма:
||/1к»1){Е) = esssiip|/(r).<r(r)| =
= Ы{М . \/(х)-<т(т)\<М п.в. на?}.
§ 5. Неопределенный интеграл Лебега
Пусть / — интегрируемая по Лебегу функция на некотором
измеримом множестве X числовой прямой R. Тогда интеграл
f(x)dx
существует для каждого измеримого множества Е С X и при
фиксированной функции / представляет собой функцию мно-
множеств Такой интеграл называется неопределенным интегралом
Лебега В частном случае, когда множества Е имеют вид [о,ж],
где а фиксировано, а х меняется, мы будем изучать свойства
следующего интеграла Лебега с переменным верхним пределом.
F(x) = Jf(t)
dt
Поскольку интегрируемая функция f(r) представима в виде раз-
разности двух интегрируемых неотрицательных функций
ДО = /+@-/"(*),
то интеграл с переменным верхним пределом Е(х) есть разность
двухмонотонно неубывающих функций. Относительно дифферен-
цируемости монотонной функции имеет место теорема Ле-
Лебега:
Монотонная функция, определенная на отрезке [а, Ь], имеет п. в
на этом отрезке конечную производную
Следствием этой теоремы является утверждение о гом, что
всюду сходящийся ряд
ПО

из монотонно неубывающих на [а, 6] функций п. в. допускает
почленное дифференцирование:
Еще более важным следствием является то, что для каждой инте-
интегрируемой функции / интеграл с переменным верхним пределом
F(X) - f f(t)dt является функцией, дифференцируемой п. в., и
имеет место равенство
F\x)= (jf(t)dt\ =/'(*).
Важным классом функций, имеющих конечную производную
п в., являются функции с ограниченным изменением. Функция /,
заданная на отрезке [а,Ь], называется функцией с ограниченным
изменением, если существует константа А > О, такая, что для
любого разбиения Р отрезка [а, 6] точками
а — х0 < х\ < х2 < . ¦ ¦ < хп - b
выполнено неравенство
?1Я*)/(*1I< А.
= i
При этом величина
называется полной вариацией (изменением) функции / на [а,Ь].
Если функция / задана на всей прямой, то / называется функцией
с ограниченным изменением, если величины Ve*(/) ограничены в
совокупности для любых а и Ь. При этом
называется полной вариацией функции / на прямой Справедлива
i еорема.
111

Любая функция с ограниченным изменением может быть пред-
представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.
Поэтому в силу теоремы Лебега любая функция с ограничен-
ограниченным изменением имеет п. в. конечную производную
Тем не менее для того чтобы описать класс функций, для
которых имеет место равенство
ь
J
f'(t)dt=f(b)-f(a),
необходимо сузить класс функций, имеющих ограниченное изме-
изменение, и ввести следующее определение. Функция /, заданная на
отрезке [а,Ь], называется абсолютно непрерывной на [а, 6], если
для любого ? > О найдется ё > О, такое, что, какова бы ни была
конечная система попарно непересекающихся интервалов (ак, Ьк),
к = 1,2,... , п, с суммой длин
выполнено неравенство
J2 - f(ak)\ < е .
к=\
Легко показать, что любая абсолютно непрерывная функция
равномерно непрерывна и имеет ограниченную вариацию. Об-
Обратное не верно. Вместе с тем имеет место следующая теорема
Лебега:
1) если / интегрируема на отрезке [а,Ь], то функция F(x) =
X
= Jf(t)dt абсолютно непрерывна на [а,Ь];
а
2) если F абсолютно непрерывна на отрезке [а, Ь], то произ-
производная F'{x) интегрируема на [а, 6] и имеет место равенство
X
jF'(t)dt=F(x)-F(a).
Таким образом, абсолютно непрерывные функции, и только
они, могут быть восстановлены с точностью до постоянного
слагаемого по своей производной с помощью операции интегри-
интегрирования.
112

Задачи
§1. Основные свойства интеграла Лебега
4.1.1. Доказать, что / ? Ь(Е,ц) тогда и только тогда,
когда существует последовательность простых интегрируемых на
Е функций, равномерно сходящихся к /. Функция называется
простой на множестве Е, если она измерима на Е и принимает не
более чем счетное число значений.
4.1.2. Пусть Е — измеримое по Лебегу множество в R с
конечной мерой Для любых измеримых на Е функций / и д
введем расстояние p{f,g) по формуле
\f(x)-g(x)\ ^
+ \f(x)-g(x)\
Е
Доказать, что функция p(f,g) определяет метрику. Пространство
всех измеримых функций с этой метрикой обозначим символом
Wl(E) При этом будем считать, что два элемента / и д из Ш(Е)
равны, если функции / и д равны на Е п. в.
4.1.3. Доказать, что сходимость по метрике в пространстве
9Л(?) совпадает со сходимостью по мере Лебега на Е Доказать
также, что 9Л(?) — полное метрическое пространство.
4.1.4. Пусть функция / ? L(M.N,fi). Для любого измеримого
множества Е С R'V определим
Доказав, что <р — ст-аддитивная функция множеств
4.1.5. Доказать абсолютную непрерывность интеграла Лебега
как функции множеств (см 4 1.4)
4.1.6. Пусть функция / ограничена на отрезке [а, 6] Доказать,
что / интегрируема по Риману на отрезке [а, 6] тогда и только
тогда, когда / непрерывна на [а,Ь] п в
4.1.7. Доказать, что если функция f(x) интегрируема по
Риману на отрезке [а,Ь], то / ? L([a,Ь],(х) и эти интегралы
совпадают.
4.1. 8. Привести пример ограниченной функции, разрывной в
каждой точке отрезка [а,Ь] и интегрируемой по Лебегу. Будет ли
ома интегрируема по Риману на [а, 6]?
4.1.9. Доказать неравенство Чебышева
Пусть / ? ЦЕ,ц) и / > О Тогда
//(т € Е ¦ f{x) > с) < - I f(x)dx
с J
Е
для любого с > О
113
15 Задачи по теории функций действительного переменного

4.1.10. Пусть / > 0 и / f(x) dx - 0. Доказать, что / = 0 п. в.
Е
на множестве Е
4.1.11. Пусть / f(x)dx = 0 для любого измеримого подмно-
е
жества е С Е Доказать, что / = 0 п. в. на Е.
4.1.12. Пусть функция / ограничена на отрезке [а, 6] и для
любого с, а < с < 6, / f(x)dx = 0. Доказать, что / = 0 п. в. на
4.1.13. Интегрируема ли по Риману, по Лебегу на отрезке
[0,1] функция f(x) вида
( х, х—иррациональное,
f(x) = {
[ —х, х — рациональное?
4.1.14. Существует ли интеграл Лебега по отрезку [0,1] от
функции f(x) вида
/(*) =
sin —, х Ф —
J- 7Г7»
-1, Т = —
пп
4.1.15. Найти интеграл Лебега по отрезку [0,1] от функции
f(x) вида
{0, х — иррациональное,
m
п, х = -, m G Z, n G N, НОД(т,п) = 1 .
71
4.1.16. Найти интеграл Лебега по отрезку [0,1] от функции
f(x) вида
f(x) =
х, если х принадлежит канторову совершенному
множеству из [0,1],
—, если х принадлежит тому из интервалов от-
открытого канторова множества, длина которого
1
равна — .
О
4.1.17. Пусть функция /(т) > 0 и для нее существует несоб-
несобственный интеграл Римана II рода
(Я) I f{x)dx = Jim f f(x)dx.
114

Доказать, что / б L([a,b],/j.) и
ь ь
(L)Jf(x)dx=(R)jf(x)dx.
4.1.18. Привести пример условно сходящегося несобственно-
несобственного интеграла Римана II рода, который не существует как интеграл
Лебега.
4.1.19. Для каких положительных а и /3 будет интефируемой
по Лебегу на отрезке [0,1] функция f(x) вида
sin
X
1,
1
X0
а '
X
X
ф
=
о,
0?
f(x) =
4.1.20. Для каких положительных а и /3 будет интегрируемой
по Лебегу на интервале @,1) функция f(x) = — I —-—- 1 ?
ах \ х° J
4.1. 21. Пусть функция / е L(E,fi) ограничена. Верно ли, что
\f\p e L(E,fi) для любого р > 0?
4.1.22. Верно ли утверждение, если функция / ограничена и
измерима на множестве Е 6 ~M.N, то для нее существует интеграл
Лебега по любому измеримому подмножеству из Е1
4.1.23. Верно ли утверждение- если функция f(x) ограни-
ограничена и измерима на каждом из ограниченных множеств Еп,
оо
7i = 1,2,..., то она интегрируема на множестве Е = U Еп1
оо
4.1.24. Пусть множество Е имеет вид Е = U F,,; функция /
п=1
ограничена на Е и / f(x) dx = 0, n = 1,2,... Следует ли отсюда,
что / интегрируема по Лебегу на Е и / f(x)dx = 0?
Б
4.1. 25. Вычислить интеграл Лебега по множеству Е от функ-
функции f(x) вида
f(x) = sm7ix , х б Еп ,
где
4.1. 26. Существует ли интеграл Лебега по множеству Е от
функции f(x) вида
115
15*

/in °°
гдеЕ„= -,- , n = 1,2,..., ? = U ?„?
Vn + 1 raj «=1
4.1.27. Существует ли интеграл Лебега по множеству Е от
функции /(я) вида
гдеЕп= (-1—,~],п= 1,2,..., ? = О ?п?
4.1.28. Вычислить интеграл Лебега по множеству Е ол функ-
функции f{x) вида
/(а:)=(-1)п, хвЕп,
]
4.1.29. Пусть / и у — ограниченные измеримые функции на
всей числовой прямой Е. Пусть F{x) - {fog)(x) — суперпозиция
функций fug. Интегрируема ли по Лебегу функция F(x) на
измеримом ограниченном множестве?
4.1. 30. Пус1Ь / — непрерывная функция на числовой прямой
Ж, g — ограниченная функция, интегрируемая по Лебегу на
ограниченном множестве Е С Ж Доказать, что суперпозиция
F(x) = (f о g)(x) интегрируема на множестве ?с^.
4.1.31. Пусть / — непрерывная функция на числовой пря-
прямой Ж, g — ограниченная функция, интегрируемая по Лебегу
на множестве Е С R бесконечной меры. Будет ли функция
F(x) = (/ о g)(x) интегрируема по Лебегу на множестве Е1
4.1.32- Пусть / — непрерывная функция на числовой прямой
Ж, у — неограниченная функция, интегрируемая по Лебегу на мно-
жеаве ? с К конечной меры. Будег ли функция F(x) ¦-= (fog)(x)
ишегрируема по Лебегу на множестве Е'!
4.1.33. Вычислить интеграл Лебега от суперпозиции F(x) =
= (/ ° 9)(г) по отрезку [0,1], если функция / определена в задаче
4.1.13, функция g — в задаче 4.1.15.
4.1.34. Вычислить интеграл Лебега от суперпозиции F{x) —
= (/ о д)(х) по отрезку [0.1], если функция / определена в задаче
4.1.14, а функция д — в задаче 4.1 13.
4.1.35. Привести пример функции, интегрируемой по Лебегу
на [0,1], но не ограниченной ни на каком отрезке [а,/?] С [0,1].
4.1.36. При каких неотрицательных значениях ои/i функция
f(x) = xnrsin(rtf) будет интегрируемой по Лебегу на [0,1]?
(Сравнить с задачей 4.1.19.)
116

4.1.37. Доказать, что функция f(x) = -cos- неинтегрируема
X X
по Лебегу на интервале @,1).
4.1.38. Будет ли интегрируема по Лебегу на интервале @,1)
функция fix) = —- ( х2 sin — )?
ах \ хг)
4.1.39. Будет ли интегрируема по Лебегу на интервале @,1)
функция f(x) = — (tcos-i?
ах \ х J
4.1.40. Доказать, что функция f(x) - интегрируема
у/х — 1
по Лебегу на интервале @,1), и вычислить этот интеграл.
4.1.41. Пусть функция / ? Ь{Е,ц) и fi(E) < oo. Верно ли,
что функция |/|р ? Ь(Е,ц) дляр > 0? (Сравнить с задачей 4.1.21.)
4.1.42. Пусть функция / G Ь(е,ц) для любого измеримого
множества е С Е. Будет ли / интегрируема по Лебегу на
измеримом множестве ??
4.1.43. Показать, что из существования интеграла Лебега
от неограниченной непрерывной функции на интервале (а, Ь)
следует существование несобственного интеграла Римана II рода
на интервале (а, 6).
4.1.44. Существует ли интеграл Лебега на @,1) от функции
4.1.45. Вычислить интеграл Лебега на @,1) от функции
IX — Г-
4.1.46. Существует ли интеграл Лебега на [0,1] от функции
f(x) вида
х, х ? С — капторово совершенное множество
на [0,1] меры нуль,
-sin-, ле[0,1]\Г?
X X
4.1.47. Существует ли интеграл Лебега на [0,1] от функции
f(x) вида
1.1
- sin —, х ? С — канторово совершенное множество
f(x) = I на [0,1] меры нуль,
-cos-, jj?[0,l]\r?
X X
4.1.48. Верно ли утверждение, если Е — нигде не плотное
множество на [а, 6], то функция \е(х) интегрируема по Риману
117

на [а, 6]? Будет ли верно аналогичное утверждение, если мера Е
равна нулю?
4.1.49. Доказать, что если Е — измеримое множество в Жы
с конечной мерой, то его характеристическая функция хе(х)
интегрируема по Лебегу, причем
4.1.50- Пусть Е — ограниченное множество в R и Е =
= lim En Пусть, кроме того, существует положительная констан-
п—*оо
та С, такая, что для каждого п справедливо неравенство
I dx
< С.
Следует ли отсюда, что функция /(т) интегрируема по Лебегу на
множестве Е?
оо
4.1.51. Пусть Е — U Еп и на любом Еп функция j(x)
П= 1
ограничена и интегрируема по Лебегу. Следует ли отсюда, что
функция f(x) интегрируема по Лебегу на Е1
оо оо
4.1.52. Пусть Е = U Еп и рад ]Г) / f{x)dx сходится.
Следует ли отсюда, что / ? L{E,fi)?
4.1.53. Пусть / > 0. Доказать, что / 6 L(E,fi) тогда и только
югда, когда
где Еп = Е(п < /О) < п + 1)
4.1.54. Привести пример функции f(x), для которой оба
интеграла / f+(x)dx и f f~(r) dx не существуют.
Е Е
4.1.55. Привести пример знакопеременной функции /(г), для
которой / f+(r)dx существует, а / /~(x)dx — нет
Е Е
4.1.56. Пусть / G ЦЕ,ц), ц(Е) < оо. Следует ли отсюда, что
f эквивалентна на Е некоторой ограниченной функции?
4.1.57. Привести пример функции, интегрируемой по Лебегу
на [0,+ос), но неограниченной на любом отрезке [а,/?], 0 < а <
< И < оо.
118

4.1.58. Будет ли интегрируемой по Лебегу на [0, +оо) функция
f(x) вида
О, х — рациональное,
—, х — иррациональное, а 6 R?
ха
4.1.59. Привести пример функции, интегрируемой по Лебегу
на любом отрезке [а,/3], но не интегрируемой на (-оо,+оо).
4.1.60. При каких аи/? существует интеграл Лебега по
множеству [1, +оо) от функции f(x) = xa sin(a;/3) ?
4.1.61. Привести пример функции, непрерывной на
(-оо,+оо), для которой существует несобственный интеграл
Рймана по множеству (-оо,+оо), но не существует интеграл
Лебега по тому же множеству.
4.1.62. Существует ли интеграл Лебега по множеству B, +оо)
от функции fix) - 5— ?
х In х
4.1.63. Вычислить интеграл Лебега по множеству ( — эо, +эс)
01 функции f(x) - ——;—— .
4.1.64. Пусть для /(г) существует несобственный интеграл
Рймана I рода на [а. +оо), который к тому же сходится абсолютно
Доказать, что в этом случае функция / будет интегрируема по
Лебегу на [а. +ос) и
А
(L) I f{x)dr= lim (R) f f[x)dx.
J A —+"^ J
[a +00) а
4.1.65. Пусть функция / > 0 и интегрируема по Лебегу на
Будет ли интегрируемой по Лебегу на [а.+ос) функция
4.1.66. Пусть, функция f(x) такова, что интеграл Лебега
[ f{r)dx = 0 для любого с, а с с < ос. Следует ли оiсюда,
[ас]
что функция f(x) - 0 п в на [а,+ос)?
4.1.67. Пусть функция f{x) интегрируема по Лебегу на всей
числовой прямой R и /(;) / 0 для любого х ? Ж. Следует ли
отсюда, что функция /(j ) эквивалентна некоторой ограниченной
функции на Ж?
4.1.68. Пусть функция /(.г) непрерывна и интегрируема по
Лебегу на R. Следует ли отсюда, что f(x)— 00 при х —>¦ ос ?
119

4.1.69. Пусть функция f{x) такова, что для любого ограни-
ограниченного измеримого множества Е сШ. выполнено условие
(L)Jf(T)dr = A,
E
где число А не зависит от множества Е. Следует ли отсюда,
что функция f(x) интегрируема по Лебегу на числовой прямой
и / f{x)dx = A?
( — O~i -f- CXJ )
4.1.70. Доказать, что в условиях предыдущей задачи А = 0 и
/ = 0 п. в. на R.
оо
4.1.71. Пусть Ж - U Еп и функция j(x) такова, что
(L) / f(x)dx — А для каждого Еп, п — 1,2,... Следует ли
отсюда, что функция /(т) интегрируема по Лебегу на всей
числовой прямой и f f(x)dr — Л?
ОО
4.1.72. Пусть R — U Еп Привести пример функции f(x),
ОО
для которой числовой ряд Yl(L) [ f dx сходится, но f(x) неин-
п — 1 Еп
тегрируема по Лебегу на прямой Ж.
ОО
4.1.73. Пусть Е — U Ек, где Ек = (к,к + 1). Определим
к —— сю
функцию /(г) вида '
f{x) = { к
о, х е Ео.
Сущесгвует ли интеграл Лебега от функции f(x) по множеству Е1
4.1.74. Пусть множество Е определено в задаче 4 1 73, а
функция j(x) имеет вид
/(*¦)= — , х Е Ек, к = 0.±1, ..
Существует ли интеграл Лебега от функции /(т) по множеству ЕЛ
сх>
4.1.75. Пусть Е = U Ек, где ?fc = B*,2*+1] Определим
функцию f{x) вида
sin .г
, з- 6 Е2п ,
cosy
120

n = 0,1,2,... Существует ли интеграл Лебега от функции f(x)
по множеству Е1
4.1.76. Привести пример знакопеременной функции f(x), от-
отличной от нуля всюду на R, для которой (L) J f+(x) dx существу-
ж
ei, a (L) / f~(x)dx не существует.
ж
4.1.77. Привести пример функции f(x), отличной от нуля
всюду на R, для которой оба интеграла (L)Jf±(x)dx не сущест-
ж
вуют
4.1.78. Пусть Е — измеримое множество в RA и ц(Е) < оо.
Пусть далее функция f(x) > 0 и измерима на Е. Доказать, что
/ ? Ь(Е,ц) тогда и только тогда, когда сходится ряд
где Еп - {х Ё Е : f(x) > 2"}. (Сравнить с задачей 4 1.53.)
4.1.79. Пусть Е — измеримое множество в R и/х(?) =
Пусть далее функция f(x) > 0 и измерима на Е. Доказать, что
/ ё L(E,fi) тогда и только тогда, когда сходится ряд
n=0
где Еп = {.г Ё Е :
4.1.80. Пусть Е — измеримое множество в Ж и ц{Е) < оо.
Пусть далее f(x) измерима на Е. Доказать, что существует
положительная измеримая функция <р{х), такая, что произведение
Пх)ц>(х)еЦЕ,11)
4.1.81. Выяснить, будет ли функция f(x), заданная на изме-
измеримом множестве Е С 1R, интегрируемой по Лебегу на Е:
1I{У) Я И1]х[11];
5) /(-с,?/) = c~xy cobxcosy, E = [0,+oc) X [0,+00);
121
16 Задачи по теории функций действительного переменного

6) f(x, у, z) =
? = {(г,»,г): х2 + у2 + z2 > 1} ;
7) /(я:, у, z) = c-Ca+»a+*a), ? = R3
8) f(xux2, zjv)
~ /1 - -A - -7-2 ГТ5"'
E - {(xux2,...,xN) : x\ + x22 + ... + x% < 1};
_ ^^
9) f{x-i,x2, ¦ ¦ ¦, ?jv) = e ¦¦;I=I , где {aij}fJ=i — симмет-
симметричная, положительно-определенная матрица, Е = RN.
§ 2. Предельный переход под знаком интеграла Лебега
4.2.1. Пусть {/п(ж)}~=1 — последовательность измеримых на
множестве Е с RN ограниченных неотрицательных функций.
Пусть (L) / fn(x)dx -+ 0 при п —>• оо. Следует ли отсюда, что
Е
fn(x) —> 0 всюду на Е; почти всюду на Е1?
4.2.2. Пусть {fn(x)}™=1 — последовательность интегрируе-
интегрируемых на множестве Е функций. Пусть / также интегрируема
на Е и
lim
— oo
E
Доказать, что существует подпоследовательность Д„(г), такая,
что fkn(x) —>¦ /(ж) п.в. на ?¦.
4.2.3. Пусть {/п(а;)}~=1 — последовательность неотрицатель-
неотрицательных на множестве Е конечной меры функций и пусть /„ —> 0 п. в.
на Е. Следует ли отсюда, что (L) f fn(x) dx -^ 0 при п —>¦ оо?
в
4.2.4. Привести пример последовательности функций, сходя-
сходящейся по мере на некотором измеримом множестве Е, но не
сходящейся ни в одной точке Е.
4.2.5. Для любого а > 0 построить последовательность нео-
неотрицательных функций {/n(z)}™=i> заданную на отрезке [0,1] и
такую, что /п(х) —> 0 всюду на [0,1], но
fn(x)dx = a.
о
4.2.6. Показать, что если последовательность неотрицатель-
неотрицательных функций {/п(ж)}?°=1, измеримых на Е, ц{Е) < оо, такова,
122

что (L)ffn{x)dx -*¦ 0 при п -> оо, то /п -» О по мере на
множестве Е. Показать также, что условие неотрицательности
функций отбросить нельзя.
4.2.7. Пусть последовательность интегрируемых по Лебегу на
множестве Е функций {/„(ж)}^.! такова, что lim J \fn(x)\dx =0.
Доказать, что существует подпоследовательность {/*„(«)} такая,
что lim /fc (x) = 0 п. в. на Е.
п—»оо
4.2. 8. Построить пример последовательности неотрицатель-
неотрицательных функций {fn(x)}™=i, сходящейся по мере на множестве Е к
нулю, но такой, что f fn(x)dx ¦/* 0 при п —>¦ оо.
Е
4.2.9. Доказать, что соотношение
1,/Т(Л)' , <*« - 0 при» ^оо
равносильно тому, что fn(x) —>¦ 0 по мерс на множестве Е конеч-
конечной меры. Показать, что условие конечности меры множества Е
является существенным.
4.2.10. Следует ли из сходимости п. в. или всюду на мно-
множестве Е последовательности непрерывных функций сходимость
этой последовательности по мере на Е1
4.2.11. Пусть Е = @,1], Еп = (^>^ГГт]> п = 1>Ъ---
ОО
Построить функцию / б L(En,fi), такую, что ряд J2 / f(x)dx
n = l En
сходится, но / ? Ь(Е,ц).
4.2.12. Пусть / измерима на [0,1] и / > 0. Пусть также
/п(х) = [f(x)Y~*, n — 1,2,... Следует ли из существования
1
(L)ffn(x)dx для любого п = 1,2,... интегрируемость функции
о
/ по отрезку [0,1]?
4.2.13. Пусть последовательность интегрируемых на множе-
множестве Е функций {/п(а;)}~_1 сходится на Е к функции f(x) и
lim Г fn(x)dx = 0. Следует ли отсюда интегрируемость функ-
П-чСОг.
Cj
ции / на множестве Е1 Если функция / окажется интегрируемой,
то обязательно ли тогда / / dx = О?
Е
п
оо sm-
4.2.14. Будет ли функция f(x) — YL —^~ интегрируемой по
п = 2 П
Лебегу на множестве [1,+оо)?
16- 123

4.2.15. Пусть последовательность измеримых функций
{/п(-*0}?°=1 сходится в каждой точке множества Е. Следует ли
отсюда, что последовательность {/п(ж)}?°=1 сходится по мере
на ??
4.2.16. Пусть последовательность измеримых функций
{/п(х)}^°=1 сходится равномерно к функции f(x) на множестве Е
конечной меры Лебега. Доказать, что если /n g Ь(Е,ц) для
п= 1,2,...,то/е L{E,/i) и
lim f\fn{x)-f(x)\dx = 0.
П-.0О J
4.2.17. Верно ли утверждение предыдущей задачи, если
ц(Е) = ос?
4.2.18. Пусть последовательность непрерывных функций
{fn{x)}^=i сходится в каждой точке множества Е к непрерывной
функции f(x). Пусть /„ g L(E,fi), n = 1,2,... Следует ли отсюда,
что /6 L{E,n)l
4.2.19. Пусть измеримое множество Е имеет вид Е — U Ет,
m=l
где Ет измеримы. Пусть также функции f(x) и {fn(x)}^'=l
таковы, что для любого т = 1,2,...
lim f \fn(x)-f(r)\dr = 0.
Следует ли отсюда, что
Um
п—>оо
Е
4.2.20. Пусть измеримое множество ? имеет вид Е = U ?m,
т= 1
где ?т измеримы Пусть также функции f(x) и {/п(г)}~=1
таковы, что
jimf f(fn(x)-f(x))dx = 0.
Следует ли отсюда, что
lira ffn(r)dx= (' f{x)dx1
E
124

4.2.21. Пусть {fcn}~=1 — возрастающая последовательность
положительных чисел, а Е — множество всех точек х € (-тг,тг),
в которых последовательность {sin(A;ria;)}~_] сходится. Доказать,
что ц(Е) = 0.
4.2.22. Пусть Е — подмножество интервала (—7г,7г) — по-
положительной меры и ё > 0. Доказать, что имеется не более чем
конечное число таких целых п, что sinGta;) > b при всех х ? Е.
4.2.23. Пусть множество Е измеримо, а последовательность
неотрицательных функций {/п(х)}^=1 такова, что /„ € ЦЕ,ц),
п = 1,2,... Пусть функция f(x) определена следующим образом:
/(*)= km/„(*), х?Е.
Привести пример такой последовательности {/п(ж)}~=1, для *ко-
торой выполняются неравенства.
l)ff{x)dx < Ша ffn(x)dx;
Е п-.со Е
2) Ша / Jn{/)dx < оо.
п—.оо ?
4.2.24. Пусть на измеримом множестве Е задана последова-
последовательность функций {/п(я")}~=1, таких, что /„ ? L(E,fi), n =
оо
= 1,2, Следует ли из сходимости числового ряда ^ J fndx,
п = 1Е
что f(x) ? L(E,/i) и что выполнено равенство
4.2.25. Привести пример последовательности неотрицатель-
неотрицательных на всей числовой прямой Ж функций {fn{x)}^L1, такой,
что fn{x) е ЦЖ,ц), п = 1,2, .., lim fn{x) = f(x) на Ж,
f(x)? L(R,/i), но
lim / fn(x)dx =
n^ca J
4.2. 26. Привести пример равномерно сходящейся к нулю на
всей числовой прямой последовательности непрерывных функций
{L}nli< Для которой
fn(x)dx - Л,
где число А ф 0 и не зависит от и
125

4.2.27. Показать, что в теореме Лебега об ограниченной схо-
сходимости наличие мажорантной функции F(x) — достаточное, но
не необходимое условие, т. е. привести пример последовательности
функций {/п(ж)}~=1, такой, что:
1) lim fn{x) = f(x), х е Е;
п—>оо
2)fa(x),f(x)eL{E,n),n= 1,2,...;
3) Um f Ux)dx = Г f(x)dx,
n-.oo? JE
но не существует такой функции F(t), что:
2)|/„(я:)| < F(a:),a:G Я, n = 1,2,...
4.2.28. Пусть на измеримом множестве Е задана последова-
последовательность функций {/„(я)}?°=1» удовлетворяющая условиям:
l)/i(*) < /з(*) < ... < fa(x) < ...,x?E;
2)/n(xN L(E,M),n= 1,2,...;
3) существует конечный предел
lim /«(ж) = /(х) п.в. на ?\
П —>0О
Следует ли отсюда, что / € Ь{Е,цI
4.2.29. Пусть выполнены условия 1)-3) предыдущей задачи и
известно, что f(x) 6 L{E,jl). Доказать, что существует константа
к > 0, такая, что / fn(x) dx < к.
Е
4.2.30. Пусть последовательность {/п}~=1 неотрицательных
функций на множестве Е такова, что выполнены условия:
1)/„(*)€/,(Д,/х);
2) J2 fn(x) сходится п.в. на Е к функции f(x)\
ОС
Доказать, что сходится числовой ряд J2 / fn{x)d% и выпол-
пено равенство
ОО ПО
^„—1 л J
4.2.31. Пусть выполнены условия теоремы Фату. Следует ли
отсюда, что:
2) lim f Ux)dx = ff(x)dx?
"-ЮЕ Е
126

4.2.32. Пусть выполнены условия теоремы Лебега об ограни-
ограниченной сходимости. Следует ли отсюда, что
lim
n—. ею
E
оо
4.2.33. Пусть / e L(R,fi). Доказать, что ряд ? /(х + 2тпг)
n = —oo
сходится п. в. на R.
оо
4.2.34. Пусть ряд Yl fix + 2rni) сходится п. в. на R. Следует
п = —оо
ли отсюда, что f(x) € L(R,/i)l
§3. Теорема Фубини
4.3.1. Пусть Е С R — множество, плоская мера которого
равна нулю. Доказать, что множество Ех С К имеет линейную
меру, равную нулю для п. в. ?.
4.3.2. Пусть ?с!хУ — измеримое множество относитель-
относительно меры fi = Их х fiy, где цх и цу — <т-аддитивные полные меры,
определенные на <т-алгебрах множества X и Y соответственно.
Доказать, что для п. в. (в смысле меры fix) множество Ех измеримо
относительно меры fiy и для п. в. (в смысле меры fiy) множество
Еу измеримо относительно меры fix.
4.3.3. Доказать, что в предположениях предыдущей задачи
имеет место равенство
fi{E) = / fiy(Ex)dfix — I fix(Ey)dfiy .
X Y
4.3.4. Пусть Y = R, /iy — мера Лебега на числовой прямой,
а Е сШ2 — множество точек вида
Е - {(х,у) : х б А, 0 < у < f(x)},
где А — измеримое относительно меры Лебега цх множество на
числовой прямой, а функция / неотрицательна и интегрируема
относительно меры цх на множестве А. Доказать, что
127

4.3.5. Пусть функция f(x,y) > О и определена на множестве
[0,1] х [0,1]. Верно ли приведенное ниже утверждение?
1 1
Пусть существуют повторные интегралы /dx/f(r,y)dy и
о о
1 1
/ dy J f{x,y) dx и они равны Тогда отсюда следует, что / €
о о
Ё Ь{Е,ц). Сравнить с теоремой Фубини.
4.3.6. Пусть функция f(x,y) определена на множестве Е С
С К2 Будет ли справедлива теорема Фубини, если:
S = [0,1] x [0,1];
S = [0,1] х [0,1];
{1,
0 во всех остальных точках ,
7) f(x,y) - е~ху cos х cos у, Е = [0,ос)] х [0,оо)
8)
1 11
2 F 2
1 11 1
~ ' 2"+' 2"' 2" ^ 2"-1 '
0, во всех остальных точках,
гдеп= 1,2,..., ? = [0,1] х [0,1].
Доказать, что все повторные интегралы в указанных примерах
существуют
4.3.7. Пусть функция /(г, у) определена на множестве Е С
С^хУи пусть существует хотя бы один из интегралов
J ( J \f{x,y)\d»y I dfit или J \ J\f{x,y)\dnA dfis.
X \ет / Y \Еу )
128

Доказать, что / е Ь(Е,ц), где ц = цх х цу, и справедливо
равенство из теоремы Фубини (см введение к § 3).
4.3.8. Пуспь Е С [0,1] х [0,1] — измеримое множество
Известно, что при пересечении множества Е прямой х = с,
0 < г < 1, получастся множество, линейная мера Лебега которого
равна 1 Определить меру Лебега множества Е
4.3.9. Пусть Е\ — неизмеримое множество на [0,1], а Е2 —
любое счетное множество на [0,1] Пусть далее Е — ?\ х Е2
Справедлива ли теорема Фубини для функции f(j,y) — Хе{->',у)
по квадрату [0,1] х [0,1], где \Е — характеристическая функция
множества Е1
4.3.10. Пусть / ? /,(R,/t) Доказать, не используя теорему
Фубини, что если
J
для любого А ё R, то / — 0 п в на R.
4.3.11. Пусть функции f(x) и К{х,у) таковы, что f2 €
t L([a,b].fii), К2 е L([a,b] X [а,й],/х2), где цх — меРа Лебега на
прямой, а //2 — мера Лебега на плоскости Пусть, далее, функция
¦р(х) определена по формуле
<р{х)= J К(х,
Ь]
С помощью теоремы Фубини доказать следующее неравенство
И < J J \K(r,y)\2dii2(jr,y) J \f{y)\2dlh(y).
[it] [a l]x[a 1] [a J]
4.3.12. Пусть функция f(x,y), определенная на множестве
/•' = [0,1] х [0,1], обладает следующими свойствами:
l)|/(r,v)| < 1, (т,у)?Е,
2) при каждом фиксированном j- функция f{x,y) непрерывна
по у, а при каждом фиксированном у непрерывна по х
Будет ли непрерывной функция вида
9{*)= J f{^y)dy?-
[v i]
4.3.13. Пусть на измеримом множестве Е С X х Y зада-
задана последовательность функций {/„( г,у)}~=1, удовлетворяющая
условиям
129
17 Задачи по теории функций действительного переменного

D/,(j,(/) < Ы*,у) < ... < fn(*,y) < ... ;
2) каждая из функций ftl(x,y), » = 1,2,..., удовлетворяет
условиям теоремы Фубини.
Доказан», что если Пш /п(*-у) = Кх^у) пв- на Е> то
функция f{-r,y) также удовлетворяет теореме Фубини.
4.3.14. Пусть на измеримом множестве К С X х Y зада-
задана последовательность функций {/„(з*,?/)},^!» удовлетворяющая
условиям1
1) /i(J-.y) < /2(^2/) < ... < /„(*,») < ... ;
2) lini /,,(j-,y) = /(а-, ?/) п. в. на ?;
3) сущеС1вуют конечные пределы
lim / fn(x,y)dfiy , V.r € X ,
Ex
A fix
Доказать, что функция / удовлетворяет условиям георемы
Фубини
4.3.15. Пусть последовательность неотрицательных на мно-
множестве ? С А' х V функций {/„ },7=i удовлетворяем условиям:
1) v и = 1,2,... YL А(•' • у) ^ у(J" 1 у) 1
2) функции fn(x,y), v - 1,2 и д(х,у) удовле1воряют
1сорсме Фубини.
¦4J
Доказать, что функция f(.r,y) — Yl fn(*,y) также удовлепво-
ряе! условиям теоремы Фуби»и.
§4. Классы LP{E)
4.4.1. Пусть Е — измеримое ограниченное множество Дока-
Доказать, что для любой функции / € IJrxJ{ E) имеет место равенство
4.4.2. Пусть функция/(.г) Е //,,( Е), а функция д е Lpl(E),rm
I < р < эс, —I = I, а ? — измеримое множество. Доказан»,
Р V'
чю верно неравенство Гёльдера, т.е. .
II/-1/11/.,.*) <
130

Доказать, что равенство здесь имеет место тогда и только тогда,
когда функции |/(х)|р и |<jr(z)|p' линейно зависимы.
4.4.3. Доказать неравенство Гёльдера для весовых про-
пространств LTO{E), 1 < р < оо.
4.4.4. Доказать неравенство Минковского для функций f(x),
д(х) 6 LP(E), 1 < р < оо, т.е. неравенство
Знак равенства в этом неравенстве будет тогда и только тогда,
когда или д — 0 почти всюду или / = ад, а > 0.
4.4.5. Доказать неравенство Минковского для весовых про-
пространств Lpa(E), 1 < р < оо.
4.4.6. Доказать, что пространство LP(E), 1 < р < оо, является
полным нормированным пространством.
4.4.7. Доказать, что весовое пространство Lpa(E), 1 < р < оо,
является полным нормированным пространством.
4.4.8. Доказать, что пространство непрерывных функций на
отрезке [а,6] с метрикой p(f,g) — ( / \f(x) — д(х)\р dx
Via,»]
1 < р < оо, не является полным.
4.4.9. Показать, что пространство LP(E), 1 < р < оо, является
сспарабельным пространством.
4.4.10. Показать, что весовое пространство Lpa(E), 1 < р <
< оо, является сепарабельным пространством.
4.4.11. Являются ли пространства LCO(E) и L™(E) сепара-
бсльными пространствами?
4.4.12. Доказать, что при Pi > р? > 1 имеет место вложение
4.4.13. Справедливо ли вложение
LPI(E)CLP2(E)
для любого измеримого множества Е С RW?
4.4.14. Пусть множество Е — конечной меры. Доказать, что
имеет место вложение LPl(E) С Lpi(E), р2 > рг.
4.4.15. Доказать, что справедливо вложение
при условии, что функция <т(х) € L(E), a E — произвольное
измеримое множество в R .
131

4.4.16. Доказать, что если функция f(x) ? LPl(E)C\LP2(E),то
f(r) ? Lp( E) для любого р : Pi < p < p2, где E — произвольное
измеримое множество в RN.
4.4.17. Для любого Л > Ои I < р < оо символом L''b(E.N)
обозначим следующее весовое пространство: LP6(R.N) = {/:/?
Up
? Lv(\x\ < R) для любого R > 0 и / |/(j;)|''A + \х\Ур dx <
< эо}. Доказать, что справедливо следующее вложение:
1?(КЛ) с L1(R'v)nLp(R'v)
N 1 1
для 1 < р < og и й > —, где - Н— =1
у р р'
4.4.18. Привести пример функции, не эквивалентной нулю и
принадлежащей пространству L;;[a,+оо) для любого 1 < р < ос.
4.4.19. Для любого р > 1 привести пример функции f(x) ?
? L;,@, +oo), но не принадлежащей пространству Lp_e@, +oo) для
любого сколь угодно малого е > 0.
4.4.20. Для любого р > 1 привести пример функции f(x) ?
? /,,,((). +ос), но не принадлежащей пространству ip_?@,+oc) и
Л,,+Е@,+оо) дчя любого сколь угодно малого е > 0.
4.4.21. Пусть р > 1 и /(.г) ? Lp[a,b]. Пусть, кроме того, для
каждого 7» = 1.2, ..
/ x"f(x)dx = 0.
[а Ь]
Доказать, что /(/) = 0п.в на [а,Ь].
4.4.22. Пусть /(.г) ? Lx[a,b\ и для любого п = 1,2
/ Jnf(x)dx = 0.
[а,Ь]
Следует ли отсюда, что f(x) = 0 п в. на [а,Ь}1
4.4.23. Пусть р > 1 и /(j-) ? 1^[а,Ь]. Пусть также для
каждого п — 1,2,...
/ xnf(x)(r(x)dx = 0
[аЬ]
и функция гт(.г) интегрируема на [а,Ь] Доказать, что f(x) = 0 п. в
на [а,Ь].
132

4.4.24. Пусть f(x) ? L2@, +00) и для каждого п = 1,2
xnf(x)dx = 0.
(О,+00)
Следует ли отсюда, что f(x) = 0 п. в. на @, +оо)?
4.4.25. Пусть f(x) € /,2(-оо,+то) и для каждого ?t = 1,2,
xnf{x)dx = 0.
Следует ли отсюда, что f(x) = 0 п.в. на @, +оо)?
4.4.26. Пусть последовательность {/„(j)}~=1 сходится равно-
равномерно на [a,-foo) к функции f(x) и для каждого п = 1,2,...
fn(x) € Li[a,+oo). Следует ли отсюда, что fn(x) сходится к /(х)
в пространстве L\\a, +00)? Верно ли это утверждение для каждого
отрезка [а, 6]?
4.4.27. Доказать, что если последовательность функций
{/м(-'")}~=1 сходится к функции f(x) в пространстве LP{E),
1 < р < оо, а Е — произвольное измеримое множество, то fn(x)
сходится к f(x) по мере на Е.
4.4.28. Пусть 1 ^ р{ < р2 и множество Е — конечной ме-
меры Показать, что из сходимости последовательности функций в
пространстве L,,2(E) вытекает сходимость последовательности в
пространстве LPl{E).
4.4.29. Привести пример последовательности функций, схо-
сходящейся к нулю в пространстве L;), @,1), но не сходящейся ни к
какому пределу в пространстве Lf>2{0.1), р2 > Р\
4.4.30. Пусть 1 < р\ < р2 и множество Е — бесконечной
меры. Вытекает ли из сходимости последовательности функций в
пространстве ЬГ2(Е) сходимость последовательности в простран-
пространстве LPl(E)t
4.4.31. При каких значениях а функция f(x), определенная
по формуле
1 х" sin -, 0 < х «; 1 ,
0, i = 0,
будет принадлежать Lp[0,1], ?„„[0,1]?
4.4.32. Показать, что функция f(x) = -—=— принадлежит
.г In х
пространству L,@,|), но не принадлежит никакому Lp@, |) при
р> 1.
133

4.4.33. Привести пример функции /, принадлежащей про-
пространству LP( Е) для любого р > 1, но не принадлежащей Г^(Е).
4.4. 34. Доказать обобщенное неравенство Минковского (см.
введение к настоящему параграфу)
4.4.35. Пусть функция / ? Lr[a,b], 1 < р < со, и равна нулю
вне [а,Ь]. Символом <fh(x) обозначим следующую функцию:
г + Л
f(t)dt-
r-h
Доказать, что справедливо неравенство
ч. 4.36. Доказать, что при h — 0 имеет место соотношение
4.4.37. Пусть функция / ? LP(K), 1 < р < со. Будут ли верны
утверждения задач 4 4.35 и 4.4 36?
4.4.38. Пусть функция / ? Lp{U), функция д G Lp,(R) и
—I—- — 1, 1 < р < оо. Символом <р(х) = (/ * д)(-г) обозначается
свертка функций / и д, которая имеет вид
= J f{i)g{s-t)d1.
Доказать, что ip — равномерно непрерывная функция на R.
4.4. 39. Верно ли утверждение предыдущей задачи для случая
4.4. 40. Используя обобщенное неравенство Минковского, по-
показать, что свертка р функций /ид корректно определена
Для / ? ЬР{Щ, 1 < р < оо, д ? Li(R). Показать также, что
i?(r) ? IP(R) и имеет место неравенство
4.4.41. Пусть функция f(x) ? Ьр(Ш), 1 < р < со. Доказать,
что / непрерывна в смысле 1Р, т е.
134

4.4.42. Верно ли утверждение предыдущей задачи для р = сю?
4.4.43. Пусть функция v'@ определена по формуле
1 0. |/| > 1,
а константа Л выбрана так, чтобы / ij>(t)dt = 1. Пусть далее
— ОС
функция /(.г) G Lp[a.6], 1 < р < сю, и f(x) = 0 вне [а.Ь].
Рассмотрим функцию fe{x) следующего вида:
коюрая называется f-усреднением по Соболеву. Доказать, что
(
4.4.44. Пусть функция f(j) G Lp[a,b], I < р < оо. Доказать,
41 О
1и11||Л-/||м») = 0.
4.4.45. Пусть функция f(x) 6 /,^[0,6] и равномерно непре-
непрерывна Доказать, что
4.4.46. ПуС1ьфункция f(x) G Lr[a,b], I < Р < сю. С помощью
обобщенного неравенства Минковского доказать, что
4.4.47. Доказать, чго если интеграл [ f{x)g(x)d,T сущест-
@ 1)
вусм при любой функции f(x) Е 1,@,1), то функция д(х) ?
( /-ч.@,1)
4.4.48. Доказан., чго если интеграл / f{x)g(x)dx > 0 для
@,1)
любой неофицателыюй функции f(x) > 0и/(;)? i^@,1), го
функция <?(¦'¦) > 0 п. в на @,1).
4.4.49. Пусть последовательность функций {/n(j-)}?l, >ако-
ва,чюдля7(= 1,2 /„(х)? L7(E), E — измеримое множество,
и для некоторой фиксированной функции f(x) G L?(E) и любой
(функции (/(.г) G />:»( Е)~
lim f f,,(x)f,(x)d.,= f f(r)(i(j)(!x.
"-^7 J
F Г
135

Вытекает ли отсюда, что
Ьт ||/„ - f\\L2(E) = 0 '
71 —» OJ
4.4.50 Доказать, что если интеграл J f(x)q(x)dx существует
Е
при любой функции / Е Li{E), то функция д Е L2(E)
4.4.51. Пусть Е — ограниченное множество на числовой
прямой Доказать, что в пространстве LP{E) множество всех
многочленов с рациональными коэффициентами образует счетное
всюду плотное множество Верно ли утверждение, если Е —
неограниченное множество9
4.4.52. Пусть fn(x) = ьи\пх на [—тг.тг], п = 1,2, Дока-
Доказать, что последовательность {/п(з")},Т=1 образует ограниченное и
замкнутое множество в L2[—k,k}, но не компактное
4.4.53. Доказать, что множество всех полиномов всюду плот-
плотно в весовом пространстве /^х)@,+оо), где весовая функция
а(.с) = лае~х, а > -1 Это утверждение носит название теоремы
Стеклова, а ст(х) называют весом Лагерра
4.4. 54. Доказать, что множество всех полиномов всюду плот-
плотно в весовом пространстве Ll(r^( —ос, +оо), где весовая функция
er{j) = e r2
4. 4. 55. Доказать, что множество всех непрерывных функций,
имеющих компактный носитель в открытом множестве Ь С КА,
всюду плотно в пространстве Lra(F), 1 < р < со
4.4.56. Доказать, что дтя любой функции f(x) E L^( t ), где
F — открытое множество в R , существует последовательность
непрерывных функций {^n(j )}~_,, имеющих компактный носи
тсль в Г, которая удовлетворяет условиям
Ьт ч>п(х) = f(x) п в на Е ,
П 'CXJ
§ 5. Неопределенный интеграл Лебега
4.5.1. Доказав, что монотонная на отрезке [а Ь] функция
имеет п в на этм отрезке конечную производную
4.5.2. Доказать, что всюду сходящийся ряд
136

из монотонно неубывающих функций на отрезке [а,Ь] допускает
почленное дифференцирование п в на [а, Ь], т е
?№) = /'(¦«•) пв
4.5.3 Пусть функция f(x) ? Ь([а,Ь],ц) Доказать, что функ-
функция F{r), которая определена по формуле
= (L)Jf(t)dt,
имеет производную п в на [а,Ь]
4.5.4. Пусть f(x) и д(т) — функции ограниченной вариации
(с ограниченным изменением на отрезке [а, Ь]) Доказать, что
функции / ± д, с /, где с = const, также есть функция с
ограниченным изменением на [а, Ь] и справедливы соотношения
]I,6[/±з]< ^[/]ОЛя],
2Н „»[<¦/] = 1Ф Л/]
4.5.5. Доказать, что любая функция с ограниченным измене-
изменением ограничена
4.5.6. Пусть /(г) и д(х) — функции с ограниченным из
менснием на отрезке [а Ь] Доказать, что fg(r) — функция с
ограниченным изменением и что справедливо неравенство
где \ - мф | f( r)\, Б = snp \g( г)\ на отрезке [а.Ь]
4.5. 7. Доказать, что монотонная на отрезке [а, Ь] функция есть
функция с ограниченным изменением
4.5. 8. Пусть /( < ) — функция с ограниченным изменением на
отрезке [и Ь] и число г удовлетворяет неравенствам а < с < b
Доказат ь, что
4.5. 9 Пусть /(г) — функция с ограниченным изменением на
отрезке [а Ь] Доказать, что функция вида
является монотонно неубывающей
4.5.10. Доказать, что любая функция с ограниченным изме
пением есть разность двух монотонно неубывающих функций
137
18 Задачи по теории функции действительного переменного

4.5.11. Доказать, что любая функция с ограниченным измене-
изменением на отрезке [а, Ь] имеет п в конечную производную, которая
является интегрируемой по Лебегу на [а, Ь].
4.5.12. Пусть функция f(x) имеет всюду на [а,Ь] производ-
производную, которая является ограниченной функцией. Доказать, что
функция f(r) имеет ограниченное изменение на [а,Ь] и справед-
справедливо неравенство
где С — константа, ограничивающая \!'{х)\.
4.5.13. Доказать, что функция, удовлетворяющая условию
Липшица с показателем а = 1 на отрезке [а, Ь], есть функция с
ограниченным изменением
4.5.14. Построить пример функции с ограниченным измене-
изменением, которая не удовлетворяет никакому условию Липшица.
Построить пример функции, удовлетворяющей условию Липшица
данного порядка а < 1 и имеющей бесконечное изменение.
4.5.15. Пусть функция f(x) имеет вид
,, , _ J j-sin-, х е @,1],
(О, х = 0.
Показать, чго Vol[f] = +оо
4.5.16. Доказать, что величина
является нормой в линейном пространстве всех функций с огра-
ограниченным изменением на отрезке [а, Ь]. Доказать также, что это
пространство является полным.
4.5.17. Пусть функция f(x) имеет производную п.в на [а,Ь]
и /'(.г) ограничена на [а,Ь] Доказать, что f'(x) ? L([a,b],fi).
4.5.18. Пусть функция /(а-) непрерывна на [а, Ь] и имеет там
ограниченное изменение. Доказать, что функция V(x) вида
является непрерывной на [а,Ь]
4.5.19. Пусть функция /(а-) непрерывна на [а,Ь]. Для любого
разбиения Р отрезка [а,Ь] точками а = х0 < х{ < ... < хп - Ь
составим суммы
138

^ = Ex, „ff I/GO-/(•*")!.
Доказать, что при max(y, - хг_г) —»• О
Wx —> Vab[f], W2 —> Vab[f].
4.5.20. Пусть / € Ь([а, Ь],/х). Тогда п в. на отрезке [а,Ь]
(//@*1 =/(*)-
Доказать.
4.5.21. Пусть функции /(х) и р(х) абсолнггно непрерывны на
[а,Ь] Доказать, чт функции f(x)±g(x), f(x)g(x) являются абсо-
абсолютно непрерывными на [а,Ь]. Доказать, что если дополнительно
предположить, что |<7(г)| > <т0 > 0, где <г0 — некоторая константа,
ю абсолютно непрерывной на [а,Ь] будет и функция f{x)/g(x).
4.5. 22. Пусть на сегменте [а, Ь] задана суперпозиция функций
д(х) = F(f(r)), причем функция f(x) абсолютно непрерывна,
а функция F(y) удовлетворяет условию Липшица с показателем
а = 1 Доказать, что д(х) абсолютно непрерывна на [а, 6]
4.5. 23. Пусть на сегменте [а, Ь] задана суперпозиция функций
()(i) = F{f(x)), причем функция f(x) абсолютно непрерывна
и возрастает на [a,b], a функция F(y) абсолютно непрерывна
Доказать, что g(j) абсолютно непрерывна на [а,Ь].
4.5.24. Доказать, что любая абсолютно непрерывная на [а,Ь]
функция имеет ограниченное изменение.
4.5. 25. Доказать, что если функция /(а-) абсолютно непрерыв-
непрерывна на [а, Ь], то п. в. на [а,Ь] существует конечная производная }'{х)
и/'(х)е Ь([а,Ь],ц).
4.5. 26. Доказать, что если функция f{x) абсолютно непрерыв-
непрерывна и f'(x) - 0 п.в. на [а,Ь\, то f(x) = const.
4.5. 27. Доказать, что любая абсолютно непрерывная функция
есть разность двух абсолютно непрерывных неубывающих функ-
функций
4.5.28. Пусть функция / 6 L([a,b],fj,). Доказать, что функция
/'(j) вида
- F{x) = j f(t)dt
а
является абсолютно непрерывной на [а,Ь].
139

4.5.29. Пусть F(x) — абсолютно непрерывная функция на
[а,6] Доказать, что /(а-) = F'(x) 6 Ц[а,Ь],ц) и для каждого
х ? [а, Ь] имеет место равенство
jf(t)dt = F(x)-F(a).
4.5.30. Доказать, что функция f(x) абсолютно непрерывна на
[а,Ь] тогда и только тогда, когда ц(/(Е)) = 0 для любого Е С
С [о,Ь]и/х(Д) = 0.
4.5.31. Пусть / G L([a,b],fi) и функция
Г
F(x) = J f(t)dt,
а
тогда справедливо следующее равенство:
t.
4.5.32. Доказать, что возрастающая непрерывная функция
f(x) абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда
ь
f'(x)dx = f{b)-f{a).
4.5.33. Пусть функция f(x) в каждой точке [а, Ь] имеет произ-
производную f'(x), которая ограничена на [а,Ь] Доказать, что /'(а-) ?
Ь([а,Ь],ц) и имеет место равенство
х
/(*) = /(о) + j f'(t)dt.
4.5.34. Пусть функция /(а*) имеет вид
f,x) _ J •r*si" -^ J- 6 @,1],
\ 0, X x = 0.
Доказать, что / имеет всюду на [0,1] конечную производную,
однако утверждение предыдущей задачи к ней неприменимо.
140

4.5.35. Пусть функция / непрерывна на [а, Ь] и f'(x) сущест-
Byei на [а,Ь] Пусть, кроме того, f'(x) ё L([a,b],fi). Доказать, что
если Е{х : |/'(.г)| = + сю} не более чем счетно, то f(x) абсолютно
непрерывна на [а,Ь].
4.5.36. Пусть последовательность функций {/n(z)}?°=i удо-
удовлетворяет следующим условиям:
1) /„ ё Ь{[а,Ь],ц), п = 1,2,...;
2) для каждого измеримого множества Е С [а, 6] существует
конечный предел
lim I fn{x)dx .
п — ос J
Е
Доказать, что существует функция / е Ц[а,Ь],ц), такая, что
для любой ограниченной измеримой функции д(х) имеет место
равенство
ь ь
lim fn(x)g(x)dx= f(x)g(z)dx.
"—°° J J

Глава V
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Тригонометрические ряды
Тригонометрическим рядом называется ряд вида
— + ^(а„ cos пх + Ьп sin 71л), A)
п—\
где ап, 6„ — действительные числа (п = 0,1,2,..., 60 = 0). Эти
числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если тригонометрический ряд A) сходится для всех х ? R,
то его сумма является периодической функцией с периодом 2тг,
Т= [0,2л-).
Пусть са = у, сп - ап - гЬп (п = 1,2,...) и z = re'1, r > 0,
j- G Ж. Рассмотрим ряд
лп. B)
Тогда ряд A) есть действительная часть ряда B) на единичной
окружности (i.e. \z\ = 1); мнимая часть ряда B) при z — е",
.г ? Ж есть ряд
& их + ап sin nr), C)
который называется рядом, сопряженным с рядом A).
Пусть последовательность {сп} ограничена, тогда ряд B)
изображает аналитическую внутри единичного круга функцию,
т.е. при z — ге'х, 0<г< 1, ж G Т. Поэтому действительная и
мнимая части этой функции
По
и{г, х) = — + ^(я,, cos nr + bn sin itx)r"
и
v(r,x) = E,T=i(-&n fosuj- + a,, sin nx)rn
являются сопряженными гармоническими функциями.
142

Ряд
? с,е'кх, D)
<z0 сц — ibk ak -\- ibk
где г0 = —, ск = ; , r_fc = ; , к = 1,2,..., называется
комплексной формой тригонометрического ряда A).
Частичные суммы рядов A) и C) имеют соответственно вид
Sn(x) = -^ + Yl(ak cos kj' + Ьк S!n
*=1 n E)
Sn(x)= ? Cketkr.
Из результатов, дающих связь между сходимостью ряда A)
и поведением его коэффициентов, отметим классическую теорему
Кангора—Лебега.
Теорема Кантора—Лебега. Если тригонометрический
ряд сходится на множестве положительной лебеговой меры, то
его коэффициенты стремятся к нулю.
Однако Г. Штейнгаузом был построен пример тригономе-
фического ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю, но
расходящегося в каждой точке.
Говорят, что тригонометрический ряд A) сходится абсолютно
па множестве ЕсТ, если в каждой точке множества Е сходи 1ся
ряд
ПО
V^ \nn cos v r + bn sin vr\ .
n = i
Справедливо следующее у!верждение.
Теорема Лузина — Данжуа. Если тригонометрический
ряд A) сходится абсолютно на множестве положительной лебе-
лебеговой меры, то ряд
( ходится.
Важную роль в теории тригонометрических рядов играют
вопросы, связанные с проблемой единственности тригонометриче-
тригонометрического ряда. Иными словами, вопрос состоит в том, могут ли суще-
ивовать два различных тригонометрических ряда, сходящихся в
каждой точке к одной и той же функции? Справедливо следующее
у1верждение.

Теорема Кантора. Если тригонометрический ряд A) схо-
сходится к нулю в каждой точке Т, то все его коэффициенты равны
н v 7/о
К этим вопросам близко примыкают вопросы восстановле-
восстановления функции по данному тригонометрическому ряду. Важным
методом восстановления функции является метод суммирования
Римана тригонометрических рядов, который использует понятие
второй производной Шварца
Пусть функция F(x) определена в некоторой окрестности
точки х; если существует предел
F(x- h)-2F(x) + F(x +h)
то говорят, что F(x) имеет в точке х вторую производную
Шварца и пишут
Пусть далее коэффициенты тригонометрического ряда A)
ограничены Проинтегрируем формально почленно тригономе-
1рический ряд A) два раза, получим
— Г + X+ -^ —
Этот ряд сходится абсолютно и равномерно Обозначим его сумму
F(x) Функция F(x) непрерывна, и ее называют функцией Римана
1ригономефического ряда A)
Пусть в некоторой точке ,г0 функция F(x) имеет шварцеву
производную D2F(xo), тогда говорят, что ряд (\) суммируется в
ючке .(о методом Римана к римановской сумме D2F(x0)
Введенная в рассмотрение функция Римана F(x) для ряда A)
используется не только в проблеме единственности, но и при
изучении сходимости ряда A) Для любого тригонометрического
ряда с коэффициешами, стремящимися к нулю, сходимость или
расходимость ряда в некоторой точке зависит только от поведения
функции Римана ряда в окрестности этой ючки
§ 2. Тригонометрические ряды Фурье
Пусть /(.г) ? L(T). Рассмотрим тригонометрический ряд
(- / (я*- <"os к г -\- о* sin кг) ,
2 t\
144

где коэффициенты имеют вид
ак = — / f(x) cos kxdx ,
Л" J
О
In
bk — — I f(x) sin kx dx ,
7Г J
к — 0,1,2,..., 60 = 0 Этот ряд называется тригонометрическим
рядом Фурье (или просто рядом Фурье) функции /(х). В этом
случае пишут
f(x) ~ — 4- 2_J(ajfe cos kx -f bk sin kx) = a(f, x). F)
Л- — 1
Частичные суммы ряда Фурье a(f, x) будем обозначать
п
5„(/, х) = — -f У^(а* cos&x + ЬА sin &x). G)
Комплексная форма ряда Фурье имеет вид
сю
<т(/,х)= V с„е'",
где
2 я
п = ^- f f(t)etni dt, n = 0,±l,±2,.., (8)
Z7T У
Если функция f(x) имеет период 21, I > 0, то ее ряд Фурье имеет
вид
оо
f{x) ^ ~г + y,{ak^oskx—+ bksm кх — ), (9)
где
i
ak = - f(x) cos k-xdx, к = 0,1,2,.. ,
A0)
f гЧ sin ? — r rfr i1 — 1 2
^ / I sin к t aj , к — i, z, . . .
145
19 Задачи по теории функций действительного переменного

Если функция /(х) четная, то ее ряд Фурье содержит одни
косинусы, т. е.
а( т. х) = \- > пк cos kx ,
* = 1
где
2
О-к
= — / /(х) cos A;x dx , А; = 0,1,2,...
7Г J
Если же функция /(.г) нечетная, то ее ряд Фурье содержит одни
синусы, т, е.
сю
сг(/, х) — ^2 bk sin kx ,
к = \
где
2
= — I /(у) sin kxdx .
7Г У
Тригонометрическая система
1, cos i, sin x,cos'2x,sin 2x,... ,rnsnT,sin vx,... A1)
является ортогональной на Т, т. е,
2* 2>г
/ cos nx cos mx dx = 0 , /sin пз- sin mx dx = 0 , т ф п\
о о
/ sin nx cos mx dx = 0 , m, м = 0, ± 1, ±2,... ;
о
2л-
/ 1 dx = 2тг ,
о
2тг 2т
/ cos2 nx dx = J sin2 nx dx = 7г, n = 1,2,...
о о
Следовательно, система
1 cos х sin x cos тгаг sin nx
V27T \Л -/7^ v^ V1
является ортонормированнои системой на Т.
146

Тригонометрическая система A1) является полной в LP(T),
р > 1, и в Г(Т), т.е. если функция Дх) ортогональна ко всем
функциям тригонометрической системы, то она равна нулю почти
всюду на Т. Функция вида
Tn(x) = f- 2j(at cos A;x + /?t sin kx),
fr — 1
где «0,аь ... ,«n,/jb... ,/?„ 6 R, называется тригонометрическим
полиномом. Если а? + /?? > 0, то Тп(х) — тригонометрический
полином порядка п, в частности, частичная сумма G) Sn(/, x) ряда
Фурье функции Дх) есть тригонометрический полином порядка
не выше п.
Тригонометрическая система A1) является замкнутой в Lp(T),
V > 1,(Г(Т)), т.е.
V?>ov/(*)eLp(T)(p> 1) (Дх)бС(Т))
(i)-Tn(i)||c(T)<?)-
Множество тригонометрических полиномов, степень которых
не превосходит п, будем обозначать Тп.
Пусть Да-) 6 Г(Т) и
/-„(/) называется наилучшим приближением функции /(т) в
Г(Т) тригонометрическими полиномами порядка не выше v.
Аналогично, если f(x) € Lp(T), p > 1, то
— наилучшее приближение функции /(х) в ip(T) тригонометри-
тригонометрическими полиномами порядка не выше п
Справедливы теоремы.
Теорема 1 Если ряд Фурье непрерывной на Т функции Дх)
сходится равномерно, то его сумма равна f{x) на Т.
Теорема 2. Для любой функции из L2(T) ряд Фурье сходится
к этой функции в метрике L2(T).
Частичные суммы G) Sn(f,x) ряда Фурье функции f(x) e
6 ?2(Т) обладают следующим свойством:
147

т е. среди всех тригонометрических полиномов степени не выше
п наилучшее приближение в L2(T) для Дх) 6 L2(T) дают
частичные суммы рада Фурье Sn(f,x).
Справедливы следующие теоремы.
Теорема (Фишера—Рисса).Если
Z n=l
то существует функция f{x) ? L2(T), такая, что
а0 = - / f(x)dx ,
о
ап — — I J(x) cos 7ix rix , /3„ = — / /(x) sin 7ix dx ,
7Г J IT J
0 0
ra = 1,2,..., m. e. ao,an,j3n (n — 1,2,...) являются коэффициен-
коэффициентами Фурье некоторой функции f(x) € /^(Т).
Теорема (равенство Парсеваля). Пусть функции f{x),g(x) 6
е Ц{Т); а0,<*„,/?„ (те = 1,2,...) и ао,ап,Ьп (п = 1,2,...) —
коэффициенты Фурье функций f(x) и д(х) соответственно. Тогда
имеет место равенство
2»
- / f(*)g{r)dx -
7Г J
о
В частности,
Из равенства Парсеваля немедленно следует, что если функция
f(x) € L2(T), то ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю, т.е.
ап —у 0 и /?„ —> 0 (п —»¦ ос). Этот факт имеет место и для более
широкого класса функций. Справедлива следующая теорема:
Теорема (Римана—Лебега). Коэффициенты Фурье любой ин-
интегрируемой по Лебегу на Т функции стремятся к нулю.
Если функция f(x) абсолютно непрерывна, то ее коэффициен-
коэффициенты Фурье а„,(Зп (или сп) таковы, что при п -> оо
а„=о(-), рп = о(-) (с„ = о(-)).
/fc /(¦ /i
148

Более того, если для любого натурального к функция /(* *\х)
абсолютно непрерывна, то ее коэффициенты Фурье таковы, что
при п —> сю
а"=°(~т)' $" = <>{ — ) {сп = о( — )).
Пк 71* |П|*
Если же функция такова, что ее производная f'(x) 6 L2(T), то
ряд Фурье этой функции сходится абсолютно и равномерно.
Функции
1 sin(n + k)x
Dn(x) = - + cosx + ... + cosnx= —у . I , A2)
— cos ? — cosfn 4- \~\x
Dn(x) = smx + ... + smnx = 2 г-1^ ^^- A3)
2 sin |
называются ядром Дирихле и ядром, сопряженным с ядром Ди-
Дирихле, соответственно.
Пусть f(x) € ?(Т), тогда для частичных сумм ряда Фурье G)
функции f(x) имеет место представление
Sn[f,x) = I j f(u + x)Dn(u)du= l- j f(u + *
j
—n
Аналогично для частичных сумм Sn(f,x) тригонометрическо-
тригонометрического ряда, сопряженного с рядом Фурье F) функции f(x), справед-
справедливо представление
~frfc cos A;j + ak siu kx) =
= ~\j f(t)Dn(t-x)dt =
cos| -cos(ra + |)Ц
2 IZ
1 / tt
к J
2 sin ^
Для рядов Фурье справедлив принцип локализации Римана.
Теорема (Риманд). Если две функции /i(x), fi{x) совпадают
на некотором отрезке [а, Ь], то на любом отрезке [a -f e, b — е] их
ряды Фурье являются равномерно равносходящимися, т. е. разность
этих рядов равномерно сходится к нулю.
149

Константой Лебега Ln (n = 1,2,...) называется число
n = - f\Dn(t)\dt
7Г J
где Dn(t) — ядро Дирихле A2).
Известно, что при п —> оо имеет место асимптотика
Ln К —In 71 G1 -> ОО) .
Пусть
?>,(«) = f(x - и) - 2f(x) + f{x + и).
Справедлив следующий критерий сходимости ряда Фурье <т(/, х)
функции f(x) в точке х0.
Теорема. Для того чтобы в некоторой точке х0 ряд <7(/,х)
сходился к f{x0), необходимо и достаточно, чтобы
о
/ sin Ti a
lim ipTn{u) аи — 0 ,
п — ¦х-J u
где Ь > 0.
Важным признаком сходимости ряда Фурье является следую-
следующая теорема.
Теорема (признак Дини). Если для некоторого 6 > 0 ин-
интеграл
,, du
/¦
сходится, то ряд Фурье cr{f,x) функции f(x) в точке х0 сходится
к /(^о) «о всякой точке х0, где
Из результатов, относящихся к равномерной сходимости рядов
Фурье, отметим следующие теоремы.
Теорема (признак Жордана). Если функция f(x) имеет огра-
ограниченное изменение на интервале (а, 6), то ее ряд Фурье сходится
в каждой точке этого интервала. Е?о сумма есть f{x) в точке
непрерывности и
/(х + 0) + Дх - 0)
2
150

в точке разрыва. Если интервал (а',Ь') лежит целиком внутри ин-
интервала (а, 6), где f(x) непрерывна, то ряд Фурье a(f,x) сходится
равномерно на (а', 6').
Другие условия равномерной сходимости дает следующая те-
теорема.
Теорема. Если функция f(x) на сегменте Т принадлежит
классу Lip а, 0 < а < 1, то ее ряд Фурье сходится к f(x) равно-
равномерно на Т.
Это утверждение будет справедливо и для кусочно-гёльдеровой
функции. Класс функций Lip а @ < а < 1) называют также
классом Гёльдера и обозначают Са.
Справедлива также следующая теорема.
Теорема. Если функция f(x) на сегменте Т является абсо-
абсолютно непрерывной, то ее ряд Фурье сходится к f(x) равномерно
на Т.
Ряды Фурье (даже расходящиеся) можно интегрировать по-
почленно, т.е. пусть /(я) е ^i(T) и
oo
U x) = 7Г + У^(а* cos kx + bk sin A;i).
Если F(x) — первообразная функции /(г), то
„, . a0 ^ — bk coskx + atsinkx
F(x) = — i + c+ x
t=i
причем ряд в правой части сходится равномерно.
Пусть
0
= ^ @<г<2тт),
Тогда при любом х ? (—7г,пг)
Um 5„(*)=
п—»оо
Однако кривые у = Sn(x) сгущаются около отрезка [-/,/] в любой
окрестности точки х = 0, где
X
f sin t
/smt ж
о
151

Это явление называется явлением Гиббса, а число 21/ж — кон-
константой Гиббса
Фейером, а затем Лебегом были построены примеры не-
непрерывных функций, ряды Фурье которых расходятся в одной
точке. Первый пример ряда, соответствующего интегрируемой
по Лебегу функции, который расходится всюду, был построен
А. Н. Колмогоровым.
Л. Карлесон доказал, что для любой функции из L2(T) ее ряд
Фурье сходится к ней почти всюду на Т.
Из теоремы Карлесона вытекает, что ряд Фурье не только
любой кусочно-непрерывной, но и любой интегрируемой в соб-
собственном смысле Римана функции сходится к этой функции почти
всюду.
Из методов суммирования рядов Фурье отметим методы сум-
суммирования Фейера и Абеля—Пуассона.
Пусть Sn(f,x) (п = 0,1,2,...) — частичные суммы ряда Фурье
функции f(x) Средние арифметические частичных сумм ее ряда
Фурье
<7„(/,а-) = —IrrEW,*), n=l,2,... A4)
называются фейеровскими средними порядка п ряда Фурье функ-
функции /(х).
Ряд Фурье функции /(а-) суммируется методом Фейера (или
(С, 1)-методом) в точке jt0 K числу 5, если
lim ст„(/>0) = 5.
п—*оо
Пуассоновскими средними рада Фурье F) функции f(x) назы-
называются функции
/(г, х) = -^- + ?)(at cos кх 4- Ьк sin kx)rh @ 4 г < 1).
Ряд Фурье функции f(x) суммируется методом Абеля—Пуас-
Абеля—Пуассона в точке .г0 к числу S, если
lim/(Л,, г) = S .
Справедливы следующие теоремы
Теорема (Фейера—Лебега). Для любой функции /(а-) 6
6 ЬХ(Т) ряд Фурье a(f,x) суммируется почти всюду методом
Фейера к /(а1)
152

Теорема (Фейера). 1) Если х0 есть точка непрерывности
функции f(x) или ее точка разрыва первого рода, то в этой точке
ряд Фурье a(f,x) суммируется методом Фейера соответственно
К /(.Го) WIU К
-0)
2
2) Если f(x) непрерывна на интервале (а,Ь), то ряд Фурье
(т(/, .г) суммируется равномерно методом Фейера к f(x) на всяком
отрезке [a, ft] С (а, Ь)
3) Если f(x) непрерывна на Т, то ряд Фурье а(/, х) равномерно
суммируется к f(x) на Т
Теорема. Для любой функции f{x) 6 Li(T) ряд Фурье a(f,x)
суммируется методом Абеля—Пуассона к f(x) почти всюду; он
с уммируется к /(х0) в точке непрерывности та и к AT°+0)+AJ°-°)
во всякой точке х0 разрыва первого рода
§3. Преобразование Фурье
Пусть функция f(x) интегрируема по Лебегу на всей числовой
прямой, т.е. /(.т) е Li(R). Тогда для любой точки ? 6 R
существует интеграл
'xifHdx, A5)
который Нс1зывае1ся преобразованием Фурье (образом Фурье)
функции /(.г). Более того, функция F(f)(?) непрерывна на 1R и
Iimf(/)(O = 0. A6)
Наряду с преобразованием Фурье A5) функции f(x) введем об-
обратное преобразование Фурье функции д(?) следующим образом:
F-l(g)(x)=- J g{t)e-"*dt, A7)
считая, что интеграл в A7) сходится в каком-нибудь смысле.
Для каждой функции f(j) из класса Lt(M.) предел (при усло-
условии, что он существует)
4 А
Inn -1- [с-^Ff(t)dt= lim ~ I
-A -A
+ои
A8)
называется разложением этой функции в интеграл Фурье.
20 Задачи по теории функций действительного переменного

Справедлива следующая теорема.
Теорема (условие разложимости в интеграл Фурье). Если
функция f(x) € L\ (R) и в точке х удовлетворяет условию Гёльдера
с каким-нибудь показателем а, О < а ^ I, то
A—> + oo 2x J
-A
Равенство A9) означает, что обратное преобразование Фурье
A7) функции F/(?) в смысле главного значения совпадает с
функцией f(x) в каждой точке х, где выполнено условие Гёльдера.
В этой теореме условие Гёльдера в точке х может быть заменено
условием Дини, т.е. условием сходимости следующего интеграла:
О
/
п
для некоторого 6 > 0.
Учитывая нечетность функции sin?(y - х) по переменной ?
и тот факт, что предел в A8) понимается в смысле главного
значения, разложение в интеграл Фурье A8) функции /(х) может
быть переписано в виде
B1)
Отметим следующие важные свойства преобразования Фурье
функций из класса Z/i(R)
1) Если /6 ?i(R)hV? GR F/(O = 0, то f{x) = 0 п. в. на R.
2) Преобразование Фурье Ff(?) функции / из Ьх(Ш) пред-
представляет собой ограниченную непрерывную функцию, которая
стремится к нулю при |?| —> оо.
3) Если функция f(x) такова, что для некоторого к > 1
/(х),/A)(г),. ..,/(*)(?) существуют почти всюду и принадлежат
L,(R), то
B2)
°(КГ), |?|-°о. B3)
4) Если /(j;) существует и принадлежит Lj(R), то преобразо-
преобразование Фурье F(/)(?) € Г
154

5) Если для некоторого натурального к функция xkf(x) ?
€ ?i(R), то преобразование Фурье F(/)(?) к раз дифференци-
дифференцируемо и выполнено равенство
B4)
6) Если для некоторого 6 > О функция е*|г|/(а:) 6 Li(R), то
преобразование F(/)(?) может быть аналитически продолжено в
полосу на плоскости ( = ? + гг/ комплексного переменного по
крайней мере для \ij\ < 6.
7) Символом S обозначим множество бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций на Ж, для каждой из которых выполнено условие
\хп/™(т)\ < Cmn B5)
для любых неотрицательных чисел типе константами Стп.
Пространство S называется пространством Шварца. Если функ-
функция / ? S, то преобразование Фурье F(f) также принадлежит
пространству S. Более того, это отображение взаимно однозначно
из S на S и обратное отображение есть не что иное, как обратное
преобразование Фурье.
8) Пусть функции fi(x) и f2(x) G I^R). Функция f(x) вида
+ &J
/(¦*)= j h{y)h{x-y)dy B6)
называется их сверткой. Функция /(г) определена при почти всех
г и интегрируема на Ж. Свертка /(г) обозначается символом
Л * /2. Преобразование Фурье свертки обладает следующим
замечательным свойством:
Рассмотрим теперь функцию f(x) из класса L2(R). Для такой
функции преобразование Фурье в смысле A5), вообще говоря, не
существует, поскольку функция из Ь2(Ж) может не принадлежать
Li (Ж). Однако преобразование Фурье такой функции можно
определить в смысле сходимости интеграла A5) в среднем.
Справедлива следующая теорема.
Теорема (Планшереля). Для любой функции f(x) € J
интеграл
А
9л({)= J
20*
155

при любом А представляет собой по ? функцию из L2(R) Более то-
того, при А —* оо функции <?д(?) сходятся в метрике пространства
Ь2(Ш) к некоторому пределу <?(?), причем
+оо
J Ш)\*<Ц=2т j \f(x)\*dx. B8)
Функция g называется преобразованием Фурье функции f(x) ?
€ Ь2(Ш), а равенство B8) называется равенством Парсеваля.
Следствие 1 Если f(x) G Ь^Ж) П Ь2(Ж), то функция д(х)
совпадает с преобразованием Фурье функции f(x) в смысле A5).
Следствие 2 Если f\(x) и /2(х) G Ь2(Щ, то справедливо
равенство
+ ОО
где символами F(fx) и F(/2) обозначены преобразования Фурье
функций f\(x) и ft(x) соответственно
Из свойств преобразования Фурье функций из Ь}(Ш) и теоре-
теоремы Планшереля вытекает, что преобразование Фурье F является
линейным отображением из Li(K) в Ь^{Щ и из 12{Щ в L2(R),
причем в обоих случаях это отображение является ограничен-
ограниченным Далее применение известной интерполяционной теоремы
Рисса—Торина показывает, что преобразование Фурье может
быть распространено как ограниченное линейное отображение
на функции из пространства ЬР(Ж) для 1 < р < 2. При этом образ
Фурье Ff(Q будет лежать в пространстве Lp,(R), где Л + L = 1,
и будет справедливо следующее неравенство.
которое носит название неравенства Хаусдорфа—Юнга
Пусть функция / € C'~(R). Тогда для любого комплексного z
определен интеграл
F(f)(z)= j e^f(x)dx. C1)
Функция F(f)(z) в этом случае есть целая аналитическая функция
переменного z, так как возможно дифференцирование под знаком
156

интеграла Если при этом носитель функции f(x) лежит на
сегменте [—А, А], то интегрирование по частям позволяет доказать
оценку
)I< (Гтт^геД|1тг|' zG<c' C2)
где N — любое натуральное число, a cN — некоторая положи-
положительная константа. Справедливо также обратное утверждение.
Теорема (Пэли—Винера). Целая аналитическая функция
д(г) есть преобразование Фурье функции из С?°(Ж) с носителем
на сегменте [—А, А] тогда и только тогда, когда для каждого
натурального N существует константа с^, такая, что для
функции g(z) выполнено неравенство C2).
Задачи
§ 1. Тригонометрические ряды
5.1.1. Доказать, что произведение тригонометрических поли-
полиномов есть тригонометрический полином.
5.1.2. Доказать, что тригонометрический полином порядка п
имеет не более '2п корней на Т с учетом их кратности
5.1.3. Доказать, что для всякого тригонометрического поли-
полинома
Тп(х) = -^ + ^(а* coskjr -f bk sin kx)
1) справедливо тождество
= апсоьпх + ^JT(
ln k=x
где j4 = ^тг (k = 1,2, .,2
k~\ Sill r
Это тождество называется интерполяционной формулой Рисса
5.1.4. Доказать, что для всякого тригонометрического поли-
полинома Тп(х) порядка не выше п выполняется неравенство
НПИ11с(Т) < п\\Тп[х)\\сA)
Установить необходимые и достаточные условия равенства в
этом неравенстве. Это неравенство называется неравенством Берн-
нпейна
157

5.1.5. Доказать, что для любой 2 тг-периодической функции
/(.г) € С(Ш) и для любого натурального п существует тригоно-
тригонометрический полином
Тп(х) € Тп : ||/(г) - Тп(х)\\С{Т) = ?,(/) ¦
Такой полином называется полиномом наилучшего равномерного
приближения функции f(x), а сформулированное утверждение
называют теоремою Бореля.
5.1.6. Вычислить
?n_i(cos nx).
5.1.7. Доказать, что (см A2), A3) §2 введения)
sin(n -f k)x
+ cosiix ' /
= - + cosr
2
+ cosr + .., + cosiix . /
2 2 sin ~
_- . COS ? - COSfn
Dn(r) — sin a; -f .. -f sin nx = —
2 sin |
5.1.8. Доказать, что если х ф 2кж, к — О, ±1,..., то
1 1
2| sin || " | sin 11
5.1. 9. Доказать, что
1) если 0 < |-г| < ж, то
\Dn(*)\ < ?-, \Щт)\ < -;
2) если 0 < <*> < |з*| < ж, то
Л" Ж
5.1.10. Пусть м0, Mi,..., Го, «1,... — последовательности дей-
ствительных чисел, a Vn = 51 »,.
t=0
Доказать, что справедливо равенство
п п-1
где при m = 0 будем считать, что К_1 = 0. Эга формула
называется преобразованием Абеля.
158

5.1.11. Пусть последовательности {ип}™=0, {г\,}~_0 (см за-
задачу 5 1 10) таковы, что ип+1 > ип > ... > щ > и^ > и0 > 0,
3 V > 0 : VA,', т < fc < ?t, |V*| < V Тогда
ukvk
к=т
2umV
Доказать
5.1.12. Пусть последовательность {ип}, монотонно убывая,
стремится к нулю Рассмотрим последовательность функций vo(x),
vl{x),v2(x),... и Vn{x) = vo(.r) + ... + vn(x). Доказать, что если
3 V > 0 : Va- G [a,b] \Vn(r)\ ? V, то ряд
п=0
сходится равномерно на отрезке [а,Ь] и для его суммы S(x)
выполняется неравенство
|ЗД| < Vua, х?[а,Ь].
Это утверждение называется леммой Абеля
5.1.13. Пусть последовательность {ап}, монотонно убывая,
стремится к нулю Доказать, что тригонометрический ряд
«о . Г"
cos их
z tl=l
сходится всюду, кроме, быть может, точек х = 2кж (к — 0,1,...),
и при любом S > 0 он сходится равномерно на 6 < х < 2т - 6.
5.1.14. Пусть последовательность {&„}, монотонно убывая,
ci ремится к нулю Доказать, что тригонометрический ряд
ПО
^ bn sin v r
п = 1
сходится всюду и при любом 6 > 0 он сходи 1ся равномерно на
t> < X < 27Г - 6.
5.1.15. Пусть последовательность {&„}, монотонно убывая,
стремится к нулю. Доказать, что для равномерной сходимости
ряда
2_2 bn sin nx
п = 1
на Т необходимо и достаточно, чтобы nbn —> 0 (п —> сю).
5.1.16. Привести пример тригонометрического ряда, сходяще-
сходящегося равномерно на Т, но не сходящегося абсолютно на Т.
159

5.1.17. Построить тригонометрический ряд, сходящийся рав-
равномерно на Т, но не сходящийся абсолютно ни в одной точке
Т
5.1.18. Пусть последовательность {Ьп}, монотонно убывая,
стремится к нулю, и последовательность {nbn} ограничена. До-
Доказав, что частичные суммы ряда
2_] Ьп sin их
71 = 1
ограничены в совокупности на К
5.1.19. Доказать, что существует число С > 0, такое, что при
тюбых и 6 N, х 6 Т
^ sin кх
5.1.20. Пусть
ros»х соь(п+ 1)х cosBn -
+ ...+
n - I 1
x с оь B и + 2) x
2
2 n
—- ыппх m\{n + \)x s\i\Bn — \)x
n n - 1 ' 1
/smB?i + \)x ыпBм + 2)x sn\'inx
{ + + +
Эти полиномы называются полиномами Фейера Доказать, hi о
1)
г—у sin kj — v-^ sin kx
Q(j<n) = 2sm 2nx 2_^ —I— , Q{x, n) = -2соь'2пх 2_^ —]— ,
2) Существует такая константа с, что для любых .г и и
\Q(t.i,)\ < c,Q{x,n)\ < с _
5.1. 21. Пусть >f(x,Q) (y?(r,Q)) — сумма любого числа первых
слагаемых полинома Q {Q) (см. задачу 5.\ 20)
1) Доказать, что для любого ,г е Т
\(fi(x,Q)\ < 2A +1П71), |^(^,Q)| < 2A +1пи).
2) Доказать, что для любого 6 > 0 найдется такая константа
A/,s > 0, что для всех х : 6 < j < ж
160

f
5.1.22. Пусть
cosnx cosin + \)x cosBn-l)z
P(jfiB)=__ + -_L_2- + ...+ i > ,
—, sin 713- sin(n+ l)i smB7t-l)x
P(x,ii) = + —i ^_ + ...+ _A_^ L-.
11 71-1 1
P(x,n) (P(x,7i)) — сумма первых п членов полинома Q(x,n)
x,n)) (см. задачу 5.1.20). Доказать, что
Р@,п) > \ri7i, Р(—, 7i) > —-р= In п .
5.1.23. Пусть
где Dk(x) — ядро Дирихле (см A2), A3) §2 введения). Доказать,
что
2) А'п(г) > 0,
7Г
4)- f Kn(x)dx= 1;
— 7Г
5) при любом # > 0
lim — / A',,(j)dj = 1 .
-t
5.1. 24. Пусть
1 °°
Р(г,а) = - + ^rncos7m , 0 < г < 1 , абТ;
2 п = 1
Q(r,a) = ]Г г" sin па, 0 < г < 1, об Т.
п=1
161
21 Задачи по теории функций действительного переменного

Эти функции называются ядром Пуассона и сопряженным с ним
ядром соответственно. Доказать, что
Р()
1 ' ' 2A -2rcoso+~r2) '
r sin a
<?(r'Q)= 1 о -T^-
1 — It cos о + f
5.1.25. Доказать, что если тригонометрический ряд сходится
в каждой точке некоторого отрезка из Т, то его коэффициенты
стремятся к нулю Это утверждение называется теоремой Кантора.
5.1.26. Доказать, что если тригонометрический ряд сходится
на множестве положительной лебеговой меры, то его коэффици-
коэффициенты стремятся к нулю
5.1. 27. Доказать, что тригонометрический ряд
^ cos к(х — In In к)
расходится в каждой точке Т. Этот пример тригонометрического
ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю, и расходящегося
всюду на Т, принадлежит Г. Штейнгаузу.
5.1. 28. Доказать, что если тригонометрический ряд
го
-—f- 2_,(a*: cos kx + bk sin kx)
сходится абсолютно на множестве положительной лебеговой ме-
меры, то ряд
сходится Это утверждение называется теоремой Лузина—Данжуа.
5.1. 29. Функция f(x) называется гладкой в точке х, если
(f(x — '0 ~~ 2/(г) + /(¦** + '0)
Inn = 0 .
ft—о h
Функция f(r) обладает свойством Д (свойством Дарбу) на неко-
некотором множестве Е, если для любых a, ft ? Е и для любого С,
/(ft }<C< f(A), найдется -у ? Е, такое, что /G) = С Доказать,
ЧГО'
1) если /( j- ) — непрерывная и гладкая на некотором интервале
(о,Ь) функция, то она имеет производную /'(.г) на множестве Е
мощности континуума на любом интервале (a, ft) С (о, Ь),
162

I 2) если f(x) — непрерывная и гладкая на интервале (а,6)
[функция, то ее производная J'(x) обладает свойством Д на
ч множестве Е тех точек, где она существует;
', 3) если коэффициенты тригонометрического ряда
1-V
(- ^,(ufc COS KX + Ofc Sin fcXj
удовлетворяют условию
n
Efc(|au| + \bk\) — о(тг
то сумма проинтегрированного ряда
„ ч a0 n s--~, bn cos nx - an sin
{ >~ 2 + -4 n
— непрерывная и равномерно гладкая на Т функция Исходный
тригонометрический ряд сходится в тех и только тех точках, где
F'{x) существует и
lim
А-»0
F(i 4- A) - Fix — h) a0 , . ,
—^ —;— > (at cos fcx 4- oj. sm kx) = 0
2Л 2
равномерно по х на [0,27г].
5.1.30. Доказать, что если для тригонометрического ряда
выполнены условия задачи 5.1.29, 3), то:
1) этот ряд сходится на множестве мощности континуума на
любом интервале (а, Ь) С [0,2х] и его сумма обладает свойством
Д на множестве тех точек, где она существует;
2) сумма этого тригонометрического ряда не может иметь
точек разрыва первого рода
5.1.31. Доказать, что если функция F(x) непрерывна на [а,Ь]
и вторая шварцева производная (см. введение) D2F(x) = 0, то
F(x) — линейная функция на [а,Ь].
5.1.32. Доказать, что если тригонометрический рад с коэффи-
коэффициентами, стремящимися к нулю, сходится в точке х0 к числу S, то
он суммируется в этой точке методом Римана к тому же числу S.
163

5.1.33. Доказать, что если ряд
00
An + Y, Д*
сходится и число 5 есть его сумма, то
lim
Л-»0
= s.
~ \ bh I
fc = l
5.1.34. Доказать, что если коэффициенты тригонометриче-
тригонометрического ряда стремятся к нулю, то его функция Римана (см. введение)
является равномерно гладкой на [—7г,тг].
5.1.35. Доказать, что если тригонометрический ряд сходится
к нулю в каждой точке Т, то все его коэффициенты равны нулю.
Это утверждение называется теоремой единственности Кантора.
5.1.36. Пусть Fx{x) и F2(x) — функции Римана для двух
тригонометрических рядов с коэффициентами, стремящимися к
нучю Доказать, что если эти функции равны на некотором
интервале (а, Ь) или хотя бы если их разность есть линейная
функция на (а, 6), то разность данных тригонометрических рядов
есть ряд, сходящийся к нулю всюду на (а, Ь), причем равномерно
на любом отрезке, целиком лежащем в (а, Ь). Это утверждение
называется принципом локализации Римана.
§2. Тригонометрические рады Фурье
5.2.1. Доказать, что если функция f(x) четная, то ее ряд
Фурье cr(f,x) имеет вид
по
о-(/, х) = -у + J2 пк cos kx '
а если функция /(х) нечетная, то ее ряд Фурье a(f,x) имеет вид
оо
<т(/, х) — 2_J bt sin kx.
5.2.2. Выписать тригонометрический ряд Фурье функции
( ~, *€@,2»),
[ -, х = 2Ьг, * = 0,±1,...;
164

3)/(*)=
,6@,»),
0, X = 7ГТг, 74 = 0, ±1,. . .
Доказать, используя этот ряд Фурье, что
111
4) /(ж) = |z|, X 6 ( —7Г,7Г) .
Доказать, используя этот ряд Фурье, что
8
1 1
З2 + 52
е!_ 1 1 1
6 ~ 22 + З2
5) /(ж) = |sinx| — четная функция с периодом п Доказать,
используя этот ряд Фурье, что
7Г
2
)/() (м)
Доказать, используя этот ряд Фурье, что
12 4 + 9 16 +""'
5.2.3. Выписать тригонометрический ряд Фурье функции f(x):
2) /(«) =
х , 0 < х < 7г;
-7Г , -7Г < X < О,
х , 0 < а; < 7Г;
1
ж + г, -1 < х < 0,
1 2
--г, 0 < ж < 1;
4) f(x) = е°х, -L < х < L;
sin а;, 0 < х < 7Г.
165

5.2.4. Выписать тригонометрические ряды Фурье по cos x и
smx функции /(хI
1) Дх) = х, 0 < х < тг;
2) Дх) = тг2 -х2, 0 =5 х < тг;
J х , 0
' ~ \ 1 - z, ±
\ <х < 1;
4)Дх)=1-х, 0<х< 1;
5) Дх) = е*,0< х < ж.
5.2.5. Выписать тригонометрический рад Фурье функции
/(х) = cos ах, -тг < х < jt, а — нецелое число Доказать,
используя этот рад Фурье, что
1 (\ ^ 2а
IOS JTO = — I > —
ж уа ,™ п' — с,
5.2.6. Доказать, что тригонометрическая система (см A1) §2
введения) полна в ?Р(Т), р > 1, и в Г(Т)
5.2.7. Доказать, что если рад Фурье непрерывной функции
/(х) равномерно сходится, то сумма этого ряда совпадает с /(х)
5.2.8. Пусть тригонометрический рад
^? 4- У\а cosfcj- + 6 s'lfcxl
i. — 1
имеет подпоследовательность частичных сумм, сходящуюся рав-
равномерно к некоторой функции /(х). Доказать, что тогда этот рад
есть ее ряд Фурье
5.2.9. Доказать, что для всякой функции f(x) 6 L7(T)
Иными словами, среди всех тригонометрических полиномов сте-
степени не выше п наилучшее'приближение в L2(T) для /(х) 6 L2(T)
дают частичные суммы рада Фурье Sn(f,x).
5.2.10. Доказать, что для всякой функции f(x) 6 L2(T) рад
Фурье <г(/,х) сходится к /(х) в метрике L2(T).
5.2. И. Доказать, что в пространстве L2(T) полнота и замкну-
замкнутость тригонометрической системы эквивалентны
5.2.12. Пусть функции /(х),#(х) ? L2(T),a0.at,At »аа,ак,Ьк
(к = 1,2,...) — коэффициенты Фурье функций /(х) и д(х)
соответственно Доказать, что
166

в частности,
Эти равенства называются равенствами Парсеваля.
5.2.13. Пусть рад
сходагся. Доказать, что существует функция /(ж) е ?г(Т), такая,
что
2т 2*
о0 = — I f(x)dx, ок = - / f(x)vaskxdx,
ж J я J
о о
2»
fit = — / /(г) sin кж da:,
о
т.е. ao,at,l3t (к = 1,2,...) являются коэффициентами Фурье
некоторой функции /(г) 6 L2(T). Это утверждение есть теорема
Рисса—Фишера.
5.2.14. Пусть /(ж) е ?i(T). Доказать, что коэффициенты
Фурье такой функции по тригонометрической системе стремятся
к нулю.
5.2.15. Пусть f(x) € ?i(T), g(x) имеет период 2?г и ограни-
ограничена. Доказать, что
=^;J f(x)dx j si*) dx.
Это утверждение называется леммой Фейера.
5.2.16. Пусть /(ж) — 2тг-периодическая функция. Функция
U)F, /) = Slip
называется модулем непрерывности /(ж). Доказать, что если /(ж)
непрерывна на Т, то
167

5.2.17. Доказать, что для любой функции f(x) с ограничен-
ограниченным изменением при п —> оо
= 0A). .и-оф.
ункции }(
оо
5.2.18. Пусть функции f(x) и j(i) имеют соответственно
ряды Фурье
п = — оо n= —оо
Доказать, что:
п = —оо
2) если А е R, то А/(г) - Е Лее*;
П=г — ОО
3) если а ? R, то f(x + а) ~ Е с„е'"^+<1>;
П = —ОО
4) если га е Z, то f{x)elmx - Е fn-mf'1
6) если /,5 е МТ),то ^ У /A + *)9(*)Л~ f) сл7.„е'"
7) если /(ж), д(х) ? L2(T) , то f(x)g(x) - Е ^е"", где
8) если /(х) е L,(T) и F(х) = с + J /(t) Л, то
о
F(x) — сох ~ Со + ? —е';
9) если f(x) абсолютно непрерывна, то /'(х) ~ Е "icne'nl.
5.2.19. Пусть функция f(x) такова, что /(l)(i) почти всюду
определена и f{k){x) ? L^T), а„,Ьп (п = 1,2,...) — коэффициен-
коэффициенты Фурье функции /(ж) Доказать, что при п -» оо
168

5.2.20. Пусть функция f(x) 2-к-периодична. Доказать, что
если равномерно относительно х выполнено условие
где 0 < а < 1, или, в более общем виде, если
(x + h)-f(x)\>dx\ =O(\k\°),
где р > 1, то при п —> оо коэффициенты Фурье а„ и Ь„
удовлетворяют оценке
5.2.21. Доказать, что если f"(x) 6 ?i(T), то рад Фурье
функции f(x) сходится к f{x) равномерно на Т.
5.2.22. Доказать, что если f(x) имеет производную п в. и
/' 6 /^(Т), то РЭД Фурье f(x) сходится абсолютно и равномерно.
5.2.23. Последовательность {ап} (п = 0,1,2,...) называется
выпуклой, если
Да„ = а„ - а„+1 , Д2а„ = Да„ - Аа„+1 > 0, п = 0,1,2,...
Доказать, что если последовательность {а„}, монотонно убывая,
стремится к нулю и выпукла, то ряд
-—h 2^ at cos «ж
сходится всюду, кроме, быть может, точек а; = 2кл (к - 0,1,2,...),
к неотрицательной функции f(x) 6 ?i(T) и является ее рядом
Фурье
5.2.24. Доказать, что тригонометрический рад:
.. S. cos пх
1) Е -; ссть Рад Фурье;
п = 2 Ш П
^ Sin ИХ
2) Y. ~j ие является радом Фурье.
5.2.25. Рассмотрим рады
^ ros пх ^ sin пх
~^ П 111 И ' ??п П 111 7(
169
22 Задачи по теории функций действительного переменного

Доказать, что первый рад есть рад Фурье, а второй — нет, т е. рад,
сопряженный к раду Фурье, не обязан быть радом Фурье Кроме
того, доказать, что первый рад расходится абсолютно
5.2.26. Пусть функции f(x), g(x) 2тг-периодические, f(x) 6
? Li(TT), а д(х) ограничена Доказать, что равномерно по х
/ f(x + t)g(t) cos lit dt -* 0 (n -> со)
I f(x+ t)g(t)sinntdt-+O (n-.oo).
— Ж
5.2.27. Доказать, что для любой функции /(х) ? i](T) имеют
место соотношения*
2) 5„(/,г) = - / /(( + х)^^- Л + оA), где о( 1) — функция,
7Г J I
— !Г
стремящаяся к нулю равномерно относительно х при п —» оо.
5.2.28. Доказать, что сходимость или расходимость рада
Фурье функции f(x) в точке х0 зависит только от поведения
функции /(х) в окрестности точки х0 Это утвервдение назы-
называется принципом локализации Рнмана.
5.2.29. Доказать, что при п -» оо
ж
Ln = ^ J\Dn(t)\dt~^\nn.
— *
Числа Ln называются константами Лебега
5.2.30. Пусть f(x) — ограниченная функция Доказать, что
для всех х е Т и п = 2,3,..,
\SB(f,x)\ < rinnSup|/(()|, \Щ/,х)\ < С Ьп вир
где С — абсолютная константа
Это утверждение называется теоремой Лебега.
5.2.31. Пусть
170

Доказать, что для сходимости ряда Фурье <т(/, х) функции /(г)
необходимо и достаточно, чтобы
lim f Vx(u)^^-du = 0 ,
« — oaj U
S.2.32. Доказать, что.
]) ряд Фурье o(f,x) функции f(x) сходится в точке х0 к
величине
если следующий интеграл:
является сходящимся;
2) в точке xq, где f(x) имеет конечную производную, ряд Фурье
сходится к f(x,>),
3) если функция f(x) дифференцируема всюду на (-л\?г), то
ее ряд Фурье сходится всюду на этом интервале.
5.2.33. Доказать, что если функция }(х) имеет ограниченное
изменение на интервале (а, 6), то ее ряд Фурье сходится в каждой
точке этого интервала. Его сумма есть f(x) в точке иепрерыв-
f(x + 0) + f(x - 0)
иости и есть величина — ~~ в точке разрыва Если
интервал (я', V) лежит целиком внутри (с, А), где }(х) непрерывна,
то ряд Фурье сходится равномерно на {а',Ь'). Это утверждение
называется теоремой Жордаиа
5.2.34. Доказать, что ряд Фурье всякой периодической абсо-
лю]но непрерывной функции сходится равномерно всюду на R.
5.2.35. Пусть функция /(х) е МТ) и
f[x) ~ — + /_,(<** coskx + bt sin кх).
k = \
Если F(x) — первообразная для f(x), то
„

причем ряд в правой части сходится равномерно Доказать также,
что для всякого ряда Фурье ряд V -i сходится
5.2.36. Пусть
X
= ф(х)
Доказать, что
1) при любом х 6 (—ir, ir)
lim Ч„(х)= ф(х),
2) кривые у = ,$„(х) сгущаются около отрезка [-1,1] в любой
окрестности точки х = О, где
} Slllt
I
b
Это явление называется явлением Гиббса, а число ~ — константой
Гиббса
5.2.37. Доказать, что для 0 < х < 2-х
^ cos пх 1
5.2.38. Пусть даны следующие тригонометрические ряды
- Ао + ^ ^n cos пх и J^ ^n sm пх ,
в которых Ап положительны и стремятся монотонно к нулю
1) Доказать, что данные ряды сходятся равномерно к сво
им суммам }(х) и д(х) соответственно в каждом интервале
0<ё<х<2тг-6
2) Доказать, что если f(x) или д(х) принадлежат /,]@,7г), то
данные ряды являются рядами Фурье функции / или д соответ-
соответственно
172

3) Доказать, что если YI — < оо, то данные ряды являются
п = 1 И
рядами Фурье Более того, для второго ряда это условие также
необходимо
4) Доказать, что второй ряд сходится равномерно всякий раз,
когда его сумма непрерывна
5) Доказать, что условие
при п —> оо
необходимо и достаточно как для равномерной сходимости вто
рого ряда, так и для непрерывности его суммы
5.2 39. Доказать, что если функция }(х) в точке х0 удовле-
удовлетворяет условию
для некоторого а > 0, то ряд Фурье функции /(х) сходится к
/(х0) в точке х = х0 Если /(х) удовлетворяет данному условию
равномерно по х в некотором замкнутом интервале, то ряд Фурье
сходится равномерно в этом интервале
5.2.40. Доказать, что если равномерно в некотором открытом
интервале выполнено условие
1Л' + Л)-Я'I = °((ьш
-НУ)
то ряд Фурье сходится равномерно к f(x) в любом замкнутом
интервале, содержащемся в исходном интервале
§ 3. Преобразование Фурье
5.3.1. Доказать, что преобразования Фурье F(f)(() функции
}{х) из i](R) равномерно непрерывно на R
5.3.2. Пусть {/„}~=1 —последовательность функций из ^(R)
сходится в метрике Li к некоторой функции / Доказать, что
последовательность {Д/„)(?)}™_, сходится равномерно па R к
Ff)O
5.3.3. Найти преобразование Фурье следующих функций
1) 1П = е-М , а>0
_1_
2)/(х)= < М' ]Т < "'
0, |х|>а,
173

4) f(x) = е- , a > 0;
»Л.). = , .El;
0, |x| > a;
a2
г
X
+
1
_
x2 '
z
1
9) /(*) =
5.3.4. Пусть функция / 6 S и при всех г» > 0
J xnf(x)dx = 0.
Следует ли отсюда, что / = 0?
5.3.5. Доказать, что если функции / и F(f) 6 ?i(R), то для
п. в х 6 R
= ~ J
5.3.6. Доказать, что если /i и /2 6 L,(R) и f(/,) = F(/2)
п, в иа R, то /] = /2 п. в. на R.
5.3.7. Доказать, что преобразование Фурье F как отображе-
отображение / —> F(f) обладает следующими свойствами:
l(f(/)()«
4)Дг)с
174

5) /(a-)sm(eoi) -> ^ИЯ(? + So) -
i 6)/(a-)sin2(*f) - j
5.3. 8. Пусть функции / и д 6 ?, (R) или ?2(R) Доказать, что
для любого ifR имеет место равенство
В частности,
J я{ОП/М)#= J ng)(y)f(y)dy.
— го —rw
5.3.9. Пусть функция Да-) € ti(R) Доказать, что функция
, , 1 / ,. . 1 - cos ay
=' L —«^—
принадлежит пространству Li (R) и справедливо равенство
5.3.10. Доказать, что если функция / 6 i,(R), то справедливо
равенство
da- = 0.
5.3.11. Пусть функция /(т) 6 L,,(R), 1 < р < 2. Доказать, что
при Л —> +оо функции
9aU)= J f(xy**
сходятся в пространстве ipi(R), где L + Л = 1, к некоторой
функции д[(,), которая является преобразованием Фурье функции
/(г) Доказать также, что справедливо неравенство
175

5.3.12. Символом L,(R) + L2(R) обозначим пространство
всех таких функций f(x), что f(x) = f}(x) + /2B), где /i(x) e
Ё L1(K),/2(i) e L2(R) Для любой функции f(x) е i.!(R)+i.2(R)
определим преобразование Фурье по формуле
Доказать, что
1) определение преобразования Фурье функций из простран-
пространства Li(R) + L2(R) корректно,
2) пространство L^R) + L2(R) содержит все пространства
LP(R), 1 < р < 2,
3) так определенное преобразование Фурье функции из ip(R),
1 < р < 2, совпадает с определением из задачи 5 3 11
5.3.13. Пусть }{х) 6 ?,(R) и s(i) 6 LP(R), I <p<2
Доказать, что свертка h - f*g принадлежит ?P(R) и справедливо
равенство
п в па R
5.3.14. Пусть числа р, q и ,<s удовлетворяют соотношениям
11,1
p,q,.s > 1 , - + - = 1 + -.
Р <1 »
Доказать, что если / е tP(R), ff 6 i?(R), то функция h = f *g
принадлежит i*(R) и справедливо неравенство
Ml, < ll/lk HfflU,.
которое носит название неравенства Юнга
5.3.15. Пусть функции f(x) и д(х) принадлежат Ь2(Ж) Дока-
Доказать, что справедливо равенство
Сравнить с результатом задачи 1 3 14
5.3.16. Пусть функция / ? L2(R) Пусть g(z) — представле-
представление Коши преобразования Фурье функции f,z = x + iy,
176

Доказан., что справедливо равенство
\ Jf(t)r"-dt, y>0,
[ - / №e«'dt, y<0.
5.3.17. Доказать утверждение предыдущей задачи в предпо-
предположении, что / б Ц(Щ и F(f) e ii(R)
5.3.18. Пусть функция / непрерывна на К и при t —» оо
справедлива оценка
при некотором «El Для таких функций введем обобщенное
преобразование Фурье по формуле (z = j + iy)
f ]f(tyudt, y>0,
Доказав, что справедливы следующие соотношения
1) V^ > О
— j [F(!)(x + и) -
2) Jim F-1 (f(/)(x + it) - F(f)(x - te)) = /(*).
5.3.19. Доказать, чго для функции / из предыдущей задачи
справедливо равенство
где символом l(f)(z), г - х + iy, обозначено преобразование
Лапласа функции /
L(f)(z) = jf(i)e-'dt, x>0
5.3.20. Доказать, что
177
23 Задачи по теории функций действительного переменного

ч z + ?0 z-
J' г \*~ )\z)~ с •
5.3.21. Пусть функция / удовлетворяет условиям задачи
5 3 18 Доказать, что
1) F(f)(z) — аналитическая функция при Imz ф О,
где справа Я(() есть функция Хевисайда, a F — обычное преобра-
преобразование Фурье,
3) для е > О
- F(f)(x - гв) =
5.3.22. Пусть функции / и д удовлетворяют условиям задачи
5 3 18 Рассмотрим функцию h следующего вида
t
h(t) = I'g(t- x)f(x)dx, t > 0
о
Доказать, что справедливо равенство
F{h)(z)= \ ^'^Z' 'ff^2'' тг > '
Л \ 0, 1шг<0.
5.3.23. Пусть 1 < р < 2, функция / 6 i,,(R) и является
граничным значением аналшической в верхней полуплоскости
функции нз пространства Харди #Р(С+) Доказать, что преобра-
преобразование Фурье F(f){?) = 0 для п в ? > 0.
5.3. 24. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравне-
уравнение на всей прямой с постоянными коэффициентами порядка
у{п)(х) + a1yi"-1\x) 4- + <Jn-i2/(z) 4- апу(х) = }(х).
Предположим, что функции у,у', ,у'п) и / принадлежат про-
пространству ii(R) Рассмотрим многочлен P(f) вида
178

Предположим, что он не имеет действительных корней Доказать,
|то решение дифференциального уравнения может быть найдено
о формуле
5.3.25. Рассмотрим уравнение теплопроводности
du[x,t) d2u(x,t)
dt дх^
при т ё R, ( > 0 Пусть u(i,t)|i=o = ио(х) — известная функ-
функция Предположим, что функция ио(х) такова, что ио(х), и'0(х),
и'а(х) ё Ij(R) Применив преобразование Фурье по переменной
х, доказать, что решение и(х, () может быть получено по формуле
1
— ^ю
Этот интеграл называется интегралом Пуассона для решения
уравнения геплопроводности Доказать, что u(x,t) удовлетворяег
тем же условиям гладкости по х, что и функция щ(х); кроме того,
функция mJ(j,0 в каждом конечном интервале 0 ё t < Т имеет
интегрируемую мажоранту }(х), т е
f(x)dx < сю.
5.3.26. Рассмотрим одномерное волновое уравнение
I, а > О,
с начальными условиями
дп
u(x,O)=f(x), —(x,O) = g(x).
Применив преобразование Фурье по переменной х в волновом
уравнении и обосновав такое преобразование, доказать, что ре-
решение этой задачи можно получить по формуле
u(x,t) = l-(f(x - at) + f(x + at)) + i J(g(x - ar) + g(x + ат)) dr .
0
179

5.3.27. Пусгь функция <р(х) принадлежит пространству Швар-
Шварца S (см введение к настоящей главе) Доказать, что справедлива
формула суммирования Пуассона
27г Yl :A2iTn) = J2 F('-p)(n)
5.3.28. Пусть функции f(x), g[x) и А'0('г) принадлежат про-
пространству i](R) Рассмотрим интегральное уравнение типа сверт-
свертки 1 и II рода соответственно
д(х)= У ho{r-t)f(t)dt,
-СО
g(x)=f(x)++fKa(x-t)f{t)dt,
-со
где д и Л'о — заданные функции, а / — неизвестная функ-
функция Предположим дополнительно, что функция F(A'0)(?) для
интегрального уравнения 1 рода и функция 1 + F(h)(?) для
интегрального уравнения II рода не имеют действительных кор-
корней Доказать, что частные решения этих уравнений могу г быть
получены по формулам
F(y)
где F ] — обратное преобразование Фурье и величины в правых
частях этих равенств корректно определены Решить уравнение
7
5.3.29. Используя преобразование Фурье, решить задачи:
1)м, = а2«„, «(О, <) = /'(*). u(j-.0) = 0,
2) и, = а2и„, и,@,«) = "(*)- и(а-,0) = 0;
3) и, = а2п„ + f(x,t), м@,«) = u(j-,0) = 0.
Решение u(j-,<) определено при 0 < г < оо, t > 0
180

5.3.30. Используя преобразование Фурье, решить задачи:
1) и„ = «'«„ + }{х, t), и{х, 0) = щ(х, 0) = 0;
2) а, = а2их± + f(x,t), и(г,0) = 0.
Решение u(x,t) определено для х 6 R, ( > 0
5.3.31. Решить интегральные уравнения относительно непре-
непрерывной функции <р(х) (см. задачу 5 3.22):
1) tp{x) = sin x + f(x - t)ifi(t) dt;
о
2) v>(z) = /(z)
5) Я(х)г2е-* = /?>(х-<)е-1Л)
о
где К — некоторая известная функция.
5.3.32. Пусть / 6 ?2(R) Доказать, что функция е'М/(г) 6
6 ?j(R) для любого b < а тогда и только тогда, когда пре-
преобразование Фурье F(f) имеет аналитическое продолжение иа
множество {z : |Imz| < а}, причем для любого г) 6 R, \tj\ < a
функция F(f){( + гг)) е L2(R) и
5.3.33. Пусть ifi(a) есть дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемое решение уравнения
= A I
Доказать, что v»(s) является в этом случае решением следующего
дифференциального уравнения.
V>"(e) +BA-l)v>(s) = 0.
Показать также, что у»(а) нельзя получить при помощи пре-
преобразования Фурье, примененного к исходному интегральному
уравнению
5.3.34. Используя преобразование Фурье, показать, что реше-
решение задачи
vy(x,y) = a(y)vIX(x,y), ieR, v>0,

где функция а(у) > 0 и непрерывна при у > О, может быть сведено
у
при помощи замены переменных t — J a((j)</?, «i(r,j() = u(x,t) к
о
решению задачи
u,(j,t) = игг(хЛ), г g R, t > 0,
5.3.35. Используя преобразование Фурье, показать, что.
1) ограниченное решение u(x,t) задачи
u,(s,t) = «„(¦*-,') + ut(i,i), i e R, < > о,
имеет вид
2) решение и(т,у) задачи
«„(j,v)+ «,»(!,v) = 0, j- е R
где функция /(j-) непрерывна на прямой и для некоторого на-
|урального L > 1 удовлетворяет оценке |г*/(х)| < const, имеет
стедующий вид

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
Глава I
1.1.4. Равенства не справедливы Например, пусть множества
4, = [0,1/2], Л2 = [1/2,1], В, = [0,1/3], В2 = [1/3,1] Тогда
2 / 2 \
U (Л„ П Вп) = [0,1/3] U [1/2,1], в то же время U Л„ П
n-i V-1 /
П ( U иЛ = [0,1] С другой стороны, П (Л„ U Вп) = [1/3,1/2]
V"-' ) »='
и ( П А„)и( П В„) ={1/11/2}
\п=1 / \п=1 /
1.1.5. В качестве множеств Вп можно взять, например, мно-
множества В, = А,,В2 = А2\А,, ,В„ - А„\ 0 А,
1.
верно,
1.
.6. 4Ь = [п(А,- 1) пк)], к,п= 1,2,
. 9. Равенство неверно, например, А = В = С
.10. 1) А П й = 0, 2) Л С А
.13. 1) Равенство неверно, например, А = В, f'
2) равенство неверно, например, Г = A U Л, Л ф В, Ч) равенство
4) равенство верно
.15. 1) А = 0, 2) А П (Д U С) = 0, 3) Л = 0, 4) Л = 0
.17.
Х(Л\Д)= \D)-х(Л)х(В),
\(А А В) = х:(Л) + \{В)- 2Х(А)Х(В),
V(U Л„)= 1-ПA-и-4„))
1.1.19. 1) Справедливо, 2) не всегда
183

1.1.21. Рассмотрим, например, множества А2„ - [0, l],A2n+i =
= [1,2], п = 1,2,... .тогда Urn Д, = {1},Пт Ап = [0,2].
1.1.22. См. решение предыдущей задачи.
1.1.26. Рассмотрим, например, множества А2„ = [0, l],A2tJ-i =
= [1,2], Д2„ = [0,2], В2„+1 = [2,3], п = 1,2,... Тогда
(ШпЛ„)и(ШпДп) = {1,2}; Цт(Д,и В„) = [1,2].
Теперь рассмотрим множества А2„ = [0,1], А2п+1 = [1,2],
В2п =[2,3], В2п+1 = [0,2], п = 1,2,... Тогда
Ш{А„пВп) = [1,2\; (ШАп)п{ШВ„) = [0,2].
1.1.38. Пусть S — система множеств на плоскости (х, у), каж-
каждое из которых есть конечная сумма непересекающихся множеств
Mai. Множество М„& определяется одним из неравенств вида
а < х < Ь, а < х < Ь, а <, х < b, a < x z b и одним из неравенств
а < у < Ь, а < у < Ь, а < у < Ь, а < у < Ь.
1.1.42. А — счетное множество.
1.1.47. Система К является <т-алгеброй.
1.1.48. Система К является алгеброй.
§2
1.2.3. Например, пусть X = Y = R = А, отображение f(x) =
= х0, где х0 — фиксированная точка.
1.2.4. 1) Равенство справедливо; 2) равенство справедливо,
если / — взаимно-однозначное отображение. Для произвольных
отображений верно лишь включение. Например, f(x) = х2, х = К,
A = R+.
1.2.11. 1) Например, отображение у : [-1,1] -» [0,1],
у(х) = х^
2) например, отображение у -. [0,1/2] -* [0,1/2], у(х) = х2\
3) см. предыдущий пример; 4) см. задачу 1.
1.2.17. Отображение сюръективно, но не инъективно, тем
самым не является биективным.
1.2.21. 1) Например, отображение f(x) = х(Ь - а) + а, х 6
6 [0,1];
2) отображение строим следующим образом: пусть {г„} —
последовательность всех рациональных чисел из интервала @,1),
любую иррациональную точку из интервала @,1) переводим в
себя, 0 -> 0, 1 -> г,, г-! -> г2, . ¦ ¦, г„ -> гп+1, ...;
184

3) см. предыдущую задачу, при этом 0 -» г,, г, -» г2, ...,
гп -> г„ + 1, ...;
4) например, отображение у(х) — arctgx + —-—, iel;
i 5) например, отображение у(х) = tg —х, x g [0, +оо];
6) например, ишервал (а,Ь) переводим на полуинтервал (см.
п. 3), а затем отображение, рассмотренное в п. 5.
1.2.22. 1) Hei;2) нет; 3) ис1.
1.2.23. 1) Любую точку на окружности \г\ = 1 можно пред-
предстаешь в виде z = e'v, 0 4 у? < 2гг. Отсюда достаточно построить
отображение полуинтервала [0,2гг] на отрезок [0,1];
I 2) см. решение предыдущей задачи;
3)siB) = i, z = x + iy, \z\< 1;
4) пусть Г] = 1, {rn} — последовательность чисел: 0 < г„ < 1.
' Отображение строим следующим образом: окружность {х2 + у2 =
= 1} переводим в окружность {х2 + у'г = Г]}; окружность {z2 +
+ уг = г,} переводим в окружность {г2 + у2 = г2} и так далее.
Остальные точки единичного круга переводим в себя;
5) отображение y(z) = -, z = x + iy, \z\ < 1;
6) отображение y(z) = :, z — x + iy, у > 0; |л(г)| < 1.
1.2.24. 4) Точке (х,^) полуплоскости при ^ > 0 ставится в
соответствие точка плоскости {я2 — у2,2ху)\ точке (г,0) ставится
в соответствие точка (z,0).
1.2.37. 1) Мощность множества — мощность континуума;
2) множество счетное.
Г П°°
1.2.42. 1) Нет. Например, А = \ - > ,2) утверждение
UJn=l
справедливо.
1.2.43. 1) Утверждение справедливо; 2) утверждение справед-
справедливо
1.2.47. 1) Множество счетное; 2) мощность множества —
мощность континуума.
1.2.50. 1) Мощность континуума; 2) мощность континуума;
3) мощность континуума; 4) мощность континуума; 5) мощность
континуума.
1.2.51. 1) Не может, 2) может быть; 3) не может быть;
4) множество может бьпь конечным, счетным или мощности
континуума.
1.2.52. 1) Множество мощности континуума; 2) множест-
множество мощности континуума, 3) множество мощносги континуума;
I Of
24 Задачи по теории функций действительного переменного

4) мощность гнперконтннуума — 2'; 5) множество мощности
континуума; 6) мощность гиперконтинуума — 2е; 7) мощность
гнперконтннуума — 2Г.
§3
1.3.3. 1) Да; 2) да; 3) нет.
1.3.4. п!
1.3.6. А = {1,2,3,...,}, В = {...,3,2,1}.
1.3.8. 1) тг; 2) г/; 3) А; 4) А; 5) а.
1.3.12. 1) п + т; 2) ы; 3) w + 1 — гнп множества, в котором
есть последний элемент; 4) гг; 5) порядковый тнп отрезка [о,Ь].
1.3.13. 1) Да; 2) нет; 3) нет; 4) нет; 5) нет; 6) да.
1-3.32. ]) Да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет, 7) нет; 8) нет;
9) нет
Глава II
§1
2.1.3. Доказательство следует из неравенства
2.1.4. Пусть 1Ьг2 6 (М,р). Для любого е > О найдется
^е ? Л, такое, Что p(xi,A) > /)(х|,^г) — ?. Имеем
р(хьА) - р(гиА) < р[х2,у.)-р(хиус) + ? « ? + p(i2»^i),
отсюда
|/)(ij,A) - />(ii, A)\ < г +p(i2,i1).
2.1.5. И в первом и во втором случае функция р(А,В) не
удовлетворяет аксиометождества Если АПВ ф 0,то ру(А,В) =0;
если А= В фф,то р2(А, В) ф 0.
1Ф ( )
2.
. 6. Функция р,(х,у) является метрикой.
.7. Функция р{(х,у) является метрикой
.14. Функция р(х,у) не является метрикой, так как не
выполняется аксиома треугольника.
. 17. В(а, Ь) и С(а, Ь) — метрические пространства.
. 22. а) Пространство метрическое; б) пространство мегрн-
ческое, в) пространство метрическое.
2.1.23. Пространство не является метрическим, не выполняет-
выполняется аксиома треугольника.
2.1.25. 1) Если Ас В, то А не обязано принадлежать В
Например, А = R, В = Q. _ _
3) Например, А = Q, В = R\ Q, тогда An В = 0, АпВ = Ш..
186

' 2.1.28. В качестве примера рассмотрим множество М =
= (-оо,0) U @,1/4] U {1/2}и[1,+оо) с метрикой р(х, у) = \х - у\.
Шар 0A/2,1/2) — открытый шар, суть замкнутое множество, но
замкнутым шаром не является,
2.1.29. Рассмотрим множество М = (-оо,0) U @,1/4]U
и{1/'2} U [1,-)-оо) с метрикой р(х,у) = \х - у\. Замкнутый тар
ВA/4,1/4) суть открытое множество, но открытым шаром не
является.
2.1.30. Например, пространство с дискретной метрикой.
1.1. 34. Например, на прямой R с метрикой р(х,у) — \х — у\
множество А — {1/п}, п g N, а множество А' - 0.
2.1.35. Например, на прямой R с метрикой р(х,у) = \х - у\
множество точек х = —, в, т g N.
п -f то
2.1.36. Например, на прямой R с метрикой р(х,у) = \х — у\
множество рациональных точек Q.
2.1.40. Например, множество F\ = {х,у : у = 0}, множество
Г2 = {х,у: у= l/x,xeR,x^Oj.
2.1.42. Система всех замкнутых множеств, а также и система
всех открытых множеств метрического пространства не обязана
быть полукольцом. В случае дискретного пространства это так.
2.1.43. Например, на прямой R с метрикой р(х, у) = \х - у\
0„ = (-1- -, 1 + -), neN, Fn = [-l + -,-l--], ngN.
n n n n
2.1.47. В общем случае утверждение не справедливо. Если
М — пространство с дискретной метрикой, то достаточно рас-
рассмотреть два множества: Е С М и СЕ — Дополнение к Е
2.1.48. Рассмотрим метрическое пространство С[0,1]. Пусть
множество Et — множество функций х2п, п g N, множество
Е2 — множество функций x2n+1, n g N. Множества Ех и Е2 —
замкнутые множества, но Е^ Л Е2 = 0, р(?ь Е2) — 0.
2.1.53. Открытый круг нельзя представить в виде счетного
объединения непересекающихся открытых кругов.
2.1.54. Нельзя.
2.1. 57. См. решение задачи 2.1.28.
2.1.58. 1) М —замкнутое, М' = М; 2) М — незамкнутое
множество Если 0 <?_ [а,Ь], то М' = С[о, Ь]; если 0 е [а,6],
то М — множество непрерывных функций, обращающихся в
точке 0 в нуль; 3) множество замкнутое; 4) множество открытое;
5) множество замкнутое; 6) множество открытое.
2.1.59. 1) Множество М — замкнутое, М' = М; 2) множество
М — незамкнутое, М' = С[о, Ь]; 3) множество М — замкнутое;
187

4) множество М — открытое; 5) множество М — замкнутое,
6) множество М — открытое
2.1.60. Множество М не является открытым. Например, точ-
точка х = A,1/2,..., 1/?<,...) g M, но она не есть внутренняя точка
множества М.
2.1.64. Да, является.
2.1.65. Например, М = Q — всюду плотное множество на
прямой R, но R \ М также всюду плотно.
2.1.68. Пространство с дискретной метрикой.
2.1. 70. Утверждение верно только для полного пространства
В случае неполного пространства утверждение перестает быть
верным. Пример: М = Q, р(х,у) = \х - у\, М„ = Q - {гп}, г„ —
фиксированное рациональное число, т„ ф rm, п ф т. Г\М„ = ф.
М„ — всюду плотное, открытое множество.
2.1.71. Например, М„ = Q\ 0 {г,}, где {г,} — фиксирован-
фиксированные рациональные числа, г, ф rlt i ф j. П М„ — 0.
2.1.72. Сумма конечного числа совершенных множеств —
множество совершенное. Для счетного объединения множеств
утверждение перестает быть верным. Пример:
@,1)= О [1,1- Ц
2.1.73. Например, множество Кантора.
2.1.74. Утверждение неверно. Например, М = Q, р(х,у) =
= \*-у\-
2.1.77. Для объединения последоваiельности множеств это
неверно.
2.1.92. Утверждение верное.
2.1.94. Например, множество М = Mi U М2, где Ы\ — мно-
множество рациональных чисел из отрезка [а,Ь], М2 — множество ир-
иррациональных чисел из отрезка [c,d], причем {[а,6]}и{[е,(/]} = 0.
2.1.99. Е — [a,6)U (Ь,с] — множеаво несвязное, Е = [а,с] —
связное множество, а < Ь < с
2.1.111. Обратное утверждение не обязано выполняйся. На-
Например, М = Q,p(x,y) = \х - з/|.
2.1. ИЗ. 1) R" — сепарабельиое пространство;
2) / — сепарабельное пространство;
3) С'о — сепарабельное пространство;
4) С — сепарабельное пространство,
5) (р — сепарабельиое пространство;
6) (то — песепарабельное пространство;
1SS

7) С[а,Ь] — сепарабсльное пространство;
8) С[о,&] — сепарабелыюс пространство;
9) С"°[а,Ь] — сепарабельное пространство;
10) В[а,Ь] — нссепарабельное пространство;
11) В(а,Ь) — нссепарабельное пространство;
12) На[а,Ь] — сепарабсльное пространство;
13) в — сепарабсльное пространство.
2.1.114. Пространство сепарабельное.
2.1.115. Пространство сепарабельное.
.1.116. Пространство несепарабельное.
2.1.117. Множество М, состоящее нз элементов х = (хи
xi,..., хп), п = 1,2,.. ., где х„ — рациональные числа.
2.1.121. Утверждение неверно. Например, открытый круг в
R2 нельзя представить в виде объединения непересекающихся
открытых кругов.
§2
2.2. 2. 1) RN — полное пространство;
2) S — полное пространство;
3) / — пространство неполное, его пополнение — простран-
пространство С 'о;
4) С'о — полное пространство;
5) С — полное пространство;
6) 1са — полное пространство;
7) /Р, (р > 1) — полное пространство;
8) пространство полное;
9) пространство В[а,Ь] — полное, пространство 5{а, Ь) —
полное;
10) С[а,Ь] — полное пространство,
11) Сп[а,Ь] — полное пространство;
12) С"[а,Ь] — полное пространство;
13) Па\а,Ь\ — полное пространство
2.2.4. Пополнением является пространство R с метрикой
р(.с,</) = \г- у\.
2.2.5. 1) Пространство полное; 2) прост ранство полное; 3) про-
пространство полное.
2.2.6. 1) Пространство неполное; 2) пространство неполное;
3) пространство неполное.
2.2.7. Пространство неполное.
2.2.8. Содержит.
2.2.10. Нет.
2.2.11- Будет.
189

2.2.13. Рассмотрим пространство (, Множество М = {@,...,
О, 1,0,... ,0)}, i = 1,2,..., где 1 стоит на г-м месте. Множество
М — замкнутое множество, в качестве точки х0 е 12 рассмотрим
х0 = (а,,в2, at,- ¦ •)> ак = т Точка х0 i
р(а-о, М) = inf p(r0, г,) = inf
2.2.14. Пространства (M,pi), определенные в задачах 2 1.6 и
2 17,— полные пространства
2.2.16. Пусть х, = @,... ,0,1,0,... ,0), х ? 12, Где 1 стоит
на г-м месте. Множество Мо = U х, — множество замкнутое,
М, = Mo-ix,}, М, = M0\{j-1a-2'},1...,Mn = Mo\{xiX2...Tn}
Отсюда A М„ = 0.
2.2.17. Множество натуральных чисел с метрикой
I 0 , л - тп,
К п -I- m
является полным метрическим пространством Последователь-
Последовательность замкнутых шаров fi(n, 1 + —) удовлетворяет условию
задачи
2.2.19. Утверждение перестает быть справедливым, если про-
пространство неполное. Например, пусть М = Q — множество всех
рациональных чисел, метрика p(y,t/) = |/ — у\, Оп = Q\{''n} Для
каждого -л — 1,2,..., где гь г2, ... — последовательность всех
рациональных чисел Тогда П О„ = 0.
2.2.20. Утверждение перестает быть верным, если простран-
пространство неполное. См решение предыдущей задачи
§3
2.3.1. На прямой R метрика р(х,у) = \х-у\, множество М =
= Q — некомпактное множество.
2.3.7. Например, пространство ('[0,1] содержи! множество
функций /(j) = j", n = 1,2 Это множество замкну! ое и
ограниченное, по не компактное.
2.3.10. На прямой R с метрикой р(х,у) = \х - у\ таковым
является множество точек вида , n,ra ? N, в объединении
п + m
с точкой х = 0
190

2.3.12. Например, в пространстве 1^ — множество, состоящее
из элементов х = (ж,,х2,. •..хп,...), где г, = 0 или х, = 1.
2.3.13. Пространство натуральных чисел с метрикой
/О, » = »,.,
р(щт)=( г _, ^— , пфт.
У. 71+ 7»
2.3.14. Для любого метрического пространства утверждение
перестает быть верным. Метрическое пространство должно быть
сепарабельным.
2.3.23. Утверждение неверное. Например, в пространстве
("[0,1] множество A/i = {х }, п = 1,2,..., множество А/2 =
2.3.24. 1) Да, можно; 2) нельзя; 3) нельзя
2.3.25. Счетное подпокрытие выделить можно.
2.3.27. @,1)= О (К\ - у) .
2.3.35. Ряд У \AЛ" сходится, где о = —-— .
t = 1 q-V
2.3.37. Например, множество, состоящее из функций вида
/(*) = т", п = 1,2,...
2.3.39. Не будет
2.3.41. Не будет
2.3.42. 1) Множество относительно компактное; 2) множество
О1носительно компактное, 3) множество относиюльмо компакт-
компактное
2.3.43. Множество Е О1носитсльно компактное
2.3.44. Множество Е относительно компактное.
2.3.45. Множество Е относительно компактное, но не ком-
компактное.
2.3.51. Пересечение любой совокупности относи 1ельно ком-
компактных множеств не обязано быть относительно компактным
множеством
2.4.4. Обрашое отображение непрерывно
2.4.11. Например, пусть Mi Pl - М2 п = R, pt(x,y)
-Л*.у) = \г- у\,
/ 1 . х = 0,
2.4.14. Изометрическое о i ображение непрерывно.
191

2.4.16. Да, может Например, рассмотрим полное простран-
пространство С[а,Ь] и неполное пространство непрерывных функций на
отрезке [а,Ь] с итегральной метрикой Отображение / —> / —
непрерывное отображение
2.4.17. Утверждение верное, 1ак как изометрическое отобра-
отображение является непрерывным и имеет непрерывное обратное
отображение
2.4.18. Утверждение несправедливо Например, А/, ,,, = R,
р, — дискретная метрика, М2р, = R, Р?{х,у) = \х — у\
Отображение х ^ х
2.4.23. Изометрического отображения не существует
2.4.24. Отображение будет изометрическим при условии, но
\а,\ = 1, г = 1 2, ,п
2.4.25. Отображение не является изометрическим Пусть от-
отрезок [а,6] = [0,1]. Pi (-с) = г, Рг(-с) = -г2 Тогда р(р,,р2) = -,
rf/(Pi),/(ft)) = V2
2.4. 26. Отображение изометрическое
2.4.27. Отображение непрерывно
2.4.28. Отображение непрерывно
2.4.29. Утверждения верны для любого метрического про-
пространства
2.4 31. Нет, не справедливы
2.4.42. Мр = R, р{х,у) = \х - у\ Отображение f(x) = x —
равномерно непрерывно, но Р(х) = т2 таким не является
х2
2.4.44. Например, Мр = @,+оо), р(х,у) = \т - у\, f(x) = —
2.4.48. Отображение не обязано быть сжимающим Напри-
Например, Мр — Ж, р(х,у) = \х — у\, }{х) = х — arctgx + 7r/2
2.4.50 Отображение не обязано иметь неподвижную точку
См , например, указание к задаче 2 4 48 Но если существует
неподвижная точка, то она является единственной
2.4.52. Например, Мр = R, р(х,у) = \х - у\ Отображение
/@) = 1. f{x) = 0, з1 / 0 Отображение разрывно в ючке х = 0,
но р = 0
2.4.53. Например, Мр = R, р(х,у) = \т - у\, f(x) = х
п
2.4.57. Устовие ? (а,.,J < 1 не является необходимым На-
> j=i
пример, А = [ /-г. I — отображение Ж2 —> R\ Ах = -\/11
у U VJ/iy 2
\/3 2 i
При этом р(Аг, Ау) = —-р(т,у), но ^ а\} = - > 1
? ij=i ^
192

2.4.59. Условие ? |a,j|2 < 1 — достаточное, но не необхо-
¦j=i
димое
2.4.62. При |А| < 1 отображение сжимающее
2.4.66. Условие на A IAI < —— -,
М(Ь — а)
М = max |A(i,jf)l
2.4.68. Условие на А |А| < ——
М [о — а)
2.4.71. При |А| < —-= отображение является сжимающим
v2
При А ф -j отображение имеет неподвижную точку При
2
А = 1 функция x(t) = cost + -sin t есть неподвижная
1 — It' 1 — 7Г-*
точка отображения
2.4.73. Пусть х0 6 К, ?л — фиксированная точка и х„ =
= /( г„_|), п = 1, 2, , тогда х — \\\\\ хп — неподвижная точка
2.4.75. Уравнение имеет решение, так как отображение / —
сжимающее отображение
2.4.77. При А ф г единственное решение f(x) = cos x
При А = - решение /(ж) = а + cos ж, где a — произвольное
действительное число
2.4.78. Прн А = 3 решений нет При А ф А единственное
решение имеет вид f(x) — —
2.4.79. При А = —'-=. решений нет При А ф
единственное решение имеет вид
2.4 80. При А ф - решение /(г) = 0 Прн А = — решением
7Г 7Г
является функция /(г) = aros2.r + 6sin2j- + г, где а,6,с —
произвольные действительные числа
193
25 3 плач и по теории функции действительного переменного

2.4.81. При А ф ±- решение f(x) = 0. При А = - решением
является функция f{x) = a cos 2т + Ь, где о, 6 — произвольные
действительные числа.
2.4.82. f(x) = 0
Глава III
§1
3.1.6. Воспользоваться представлением открытого множества
в виде не более чем счетного объединения непересекающихся
интервалов.
3.1.12. Неизмеримое множество есть объединение своих то-
точек, поэтому объединение измеримых не обязано быть изме-
измеримым, аналогично пересечение измеримых может быть неиз-
неизмеримо.
3.1.17. Л] = О Fn, Fn —замкнутое, Fn С А и /i'{A\Fn) <
< re; A2 = Л О„, 6'„ — открытое, 6'„ Э А и ^*(G„ \ А) < п'1.
3.1.18. Таким свойством обладает всякое измеримое множе-
множество.
3.1.19. Такое множество построить нельзя. Рассмотрите до-
дополнение.
3.1.21. Такое множество строится аналогично канторову со-
совершенному множеству меры нуль.
3.1.22. См. задачу 3.1.21.
3.1.23. Такое множество построить нельзя.
3.1.25. Например, множество рациональных чисел.
3.1.26. См. задачу 3.1.21. В качестве счетного множества
достаточно взять множество концов выброшенных интервалов.
3.1.27. См. задачу 3.1.21 На каждом из выброшенных ин-
интервалов строим совершенное нигде не плотное множество по-
положительной меры и т.д. Искомое измеримое множество есть
счетное объединение совершенных нигде не плотных множеств
положительной меры.
3.1.30. Доказательство можно провести гак. Капторово со-
совершенное множество меры нуль несчетно и всякое его подмно-
подмножество измеримо
3.1.36. Выберем отрезок [а,6] так, что q < \[а,Ь] П Е\ < р;
рассмотрим функцию f(x) = \[а,х] П ?| и покажем, что она
непрерывна.
194

3.1.38. Пусть А = J2 "~2> рассмотрим отрезок [О, А] и
множества Е, : ?, = (А-^,А\,Е, = (Л-? k~2-^, A-J^ k~%
1 *=i • i=1
г > 1, а ф 0. Е, П Е, = ф {г ф j), \Е,\ = —. Искомое множество
Е = U Е,.
3.1.39. Пусть {г;} — некоторая нумерация рациональных
тачек интервала @,1), (а,, 6,) — интервал с центром в точке г,
длины —, 0 < ? < 1. В качестве множества Е можно взять
2г
Е = @,1)\ О (а,, 6,).
3.1.41. Например, пусть С„ — канторово совершенное мно-
^ | со
жеаво на отрезке [0, 1] меры и пусть С = U С„. Мно-
п п~^
жество С — первой Категории и ц(Сп) = < р(С) < 1, т.е.
3.1.42. См. задачу 3.1.41. Искомое множество [0,1] \ С.
3.1.43. Множество точек разрыва всякой функции из М в R
является множеством типа Fa, т.е., в частности, борелевское, по-
поэтому измеримое неборелевское множество дает нужный пример,
см задачу 3.1.47.
3.1.47. Пусть ifi(x), х € [0,1],— канторова функция для
канторова совершенного множества меры нуль чз отрезка [0,1],
Ф(х) = (р(т) + т, х 6 [0,1]. Функция ф(х) возрастает и непрерывна,
Ф(С) — множество положительной меры, D — неизмеримое
подмножество Ф(С). ф'^(О) — измеримое, но неборелевское
множество.
3.1.51. Мера Лебега равна нулю.
3.1.52. Мера Лебега равна нулю.
§2
3.2.10. Утверждение неверно. Для любого ограниченного
множества Е, в частности для неизмеримого, можно построить
такое открытое множество.
3.2.16. См. задачу 3.1.30.
3.2.19. Например, Ап = [я,+оо).
3.2.21. Да, оба этих множества измеримы.
3.2.23. Мера равна нулю.
195

3.2.24. Пусть ? — неизмеримое по Лебегу подмножество
[0,1], тогда множество Е х [0,1] — неизмеримое по Лебегу
подмножество на плоскости.
3.2.28. Мера равна нулю. _
3.2.29. Мера равна нулю.
3.2.30. Мера равна нулю.
3.2.31. Мера равна нулю.
3.2.33. Да, может, например М = Мх U М2, где А/, = [0,1]х
х{0}, Мг = {0} X [0,1], тогда ^(Af) = 0.
3.2. 34. Мера этого множества нуль.
3.2.35. Например, множество точек К , все координаты ко-
которых — рациональные числа, имеет меру нуль и не ограничено.
3.2.36. М = [0,«]х[0,1] X ... X [0,1]иЛ/, , где А/, — мно-
N - 1
жество точек MN, все координаты которых — рациональные
числа
3.2.38. Да, может. Например, в МЛ множество точек, распо-
расположенных между графиками функций у = ±е~х .
3.2.39. Да, может.
3.2.40. См. задачу 3.1.47.
3.2.42. Нет, не следует. Пуаь Е = A U [2,3], где А —
неизмеримое подмножество [0,1], F, = [2,3], югда p(EnEi) > 0.
3.2.43. Множество Et U ?2 будет неизмеримо, если существу-
существуют такие измеримые F, и F2, что ?\ с F,, Е2 С F> и Fx n F-, = ф.
3.2.45. Пополнением будет пространство, построенное в за-
задаче 3 2.44.
§3
3.3.1. Пусть множество \ = U Л„ и Щ\) — кольцо всех
подмножеств множества \. Если S — совокупность всех колец
Я, содержащихся в ГО1(\) и содержащих {Аа, а ? /}, тогда
минимальное кольцо Н = Л R.
3.3.15. См задачу 3.3.34.
3.3.18. Мера открытого равна 1, замкнутого — 0
3-3.19. Да, будет.
3.3.20. Пет, не будет.
3.3.21. Да, будет.
1%

§4
3.4.16. Нет, не следует, например, Е — неизмеримое множе-
множество,
' -1, х 6 ?,
функция /(.г) неизмерима., а /2(.л) = 1.
3.4.18. Нет, неверно. См. указание к задаче 3.1.47. Е =
= t/*~[(D) — измеримое множество, функция
| J; Itch,
функция д = t/'~' — непрерывная, /[д(х)) — неизмеримая.
3.4.21. Например, характеристическая функция измеримого
по Лебегу неборелевского множества. См задачу 3 1.47.
3.4.28. Например, характеристическая функция канторова
множества С положительной меры па отрезке [0,1] ограничена и
всюду полунепрерывна сверху. Множество ее точек разрыва есть
множество С — положи i ельной меры.
3.4.29. См. задачу 3.1.47. Е = t~\D) — измеримое, D —
неизмеримое.
3.4.30. Например,
{0 , -г — иррациональное,
п, х = — , те Ъ, п € N, НОД(т,71)= 1, х ? [а,6].
3.4. 31. 1), 2) измеримые, 3), 4), 6) неизмеримые, 5) если ff(j') =
= 1/2, ю f{i) измеримая, иначе — неизмеримая.
3.4.35. Да, измерима
3.4.38. Например, Е- @,1],
1 . ~- <т < '-. Ы 1,2,...,/:, к ? N,
0, в остальных х е @,1].
Занумеруем /,(U(j) подряд (при фиксированном к — нумерация
по возрастанию г)
3.4.46. См пример ладдчи 3 4 38
197

Глава IV
§<
4.1.8. Например, функция Дирихле: _
Jo, если х иррационально,
^ [ 1 , если х рационально.
D(x) интегрируема по Лебегу на [0,1], но неинтегрируема по
Риману на [0,1].
4.1.13. Функция интегрируема по Лебегу, но неинтегрируема
по Риману.
4.1. 14. Существует.
4.1.15. Интеграл Лебега равен нулю.
4.1.16. Интеграл Лебега равен 1/4.
4. ,.18. J™±dx.
о i
4. 1.19. 0 < а < 1, 0 < /3. После замены t = х~& получаем
интеграл
со
sin (
1 - а
dt.
1 "i
20. 0 < a < ji.
21. Верно, если fi(E) < со.
22. Утверждение верно.
23. Утверждение неверно.
24. Не следует. Например,
1, х > 0, R
— 1 э* <* П '
?„ = [-п,п], п е N. Если же функция интегрируема по Лебегу,
то интеграл не обязан равняться нулю.
1 со ] Зп П
4.1.25. / f(x)dx - Yl ~SIIt 5^Тг s'n эд+7 •
4.1.26. Не существует.
4.1.27. Существует.
1
4.1.28. //(r)dx = 1/3.
о
4.1. 29. Не следует, см. задачу 3 4,16.
4. 1.31. Функция не обязана быть интегрируемой. Например,
198

4.1.32. Функция не обязана быть интегрируемой. Например,
f[x) = х\ д(х) = х~1'\ ? = @,1].
4.1.33. / F(x)dx = 0.
[o,i]
4.1.34. / F(x)dx = J~dt.
[о,П i *
4. I. 35. Например, функция, определенная в задаче 4.1,15.
4.1.36. Если /i > О, го а + 0 + 1 > 0; если /? < 0, то а + 1 > 0.
4.1. 38. Функция неинтегрируема.
•4.1.39. Функция неинтегрируема.
@,1) V
4.1.41. Утверждение неверно. Например, }(х) = х~1/2, р = 2,
= @,1).
4.
. 42. Да, будет.
. 43. 11е существует.
.45. тг.
4.1.46. 11е существует.
1.47. Не существует.
.48. Характеристическая функция множества рациональ-
рациональных чисел из [0,1] — функция Дирихле, см. задачу 4.1.8.
4.1.50. Не следуе!. Например,
f(x) = \ 0, х = 0, ^ = [-1,1],
( -.г, ж < 0,
= [-1,-*.--'] и {0} U [^-',1], к= 1.2,...
4.1.51. См. задачу 4.1.50.
4.1.52. См. задачу 4.1.50.
4.1.54. См. задачу 4.1.50.
4.1.55. Например,
,-', г<0, ? = [-1,1].
4.1.56. Не следует. Например, f{x.) = ar1'2, x e @,1).
4.1.57. См. задачу 4.1.15.
4.1.58. При любом о ? R функция неннтегрируема на
[0,+оо].
4.1.59. Например, /(.с) = 1.
4.1. 60. Если /3 > 0, то и + 1 < 0; если /) < 0, то о + ft + 1 < 0.
199

4.1.61. Например,/(j) =
4.1.62. Да, существует
4 1 63 ^~ 1 -
¦v/3 4
4.1. 65. Нет, например, f(x) = х~2, р = 1/2, Е = [1, +оо)
4.1. 66. Да, следует
4.1.67. Не следует, например,
О, г < О и J- > 1,
j--1/j, О < х < 1
4.1. 68. Не следует
4.1.69. Да, следует
4.1.71. Не следует, например,
- > О,
< О,
Е„ = [-п, и], п = 1,2,..
.72. См задачу 4 1 71
I. 73. Не существует
1.74. Да, существует
1.75. Не существует
.76. Например,
1 ,
И>
4.1.77. Например,
4.1.81. 1), 3), 5) неинтегрируема, 7), 8), 9) интегрируема,
2) неинтегрируемй ни на Elt ни на Ь\, 4) интегрируема при р > 1,
q > 1,6) интегрируема при р > ,5/2
§2
4.2.1. При фиксированном п 6 N строим г? функций
1-1 I
' п
1 ,
о,
к - 1
к = 1,2, .,п
200

Сiроим последова!ельность {<^,rl(j)}, состоящую из функций
^„ (.(/), н 6 N, к — 1.2, ,?(, нумеруемых по возрастанию
п, d при фиксированном п — по возрастанию к от 1 до п
Последовательность {^„(j)} не сходная ни в одной точке [0,1],
а 1ак как / /„ k(j )dx = п'\ ю / ^m(x)dx -> 0 (т -> оо)
[О 1] [0 1]
4.2.3. Не следует, например,
п , 0 < я < - , ;
fnU)=\ j « /
)dx=l
4.2. 4. См задачу 4 2 1
4 2 5. Например,
f an, j-6 @,l/«
Д)"\0, j-6[
4.2. 8. См пример 4 2 5
4.2.10. Если /i(F) < оо, то из сходимости почти всюду на
F следует сходимооь по мере Если же ц(Е) = ос, то даже из
сходимости всюду на F не следует сходимость по мере Например,
/( г) = 0, 111 < п, fn(T) — U U | > ?) + 1, а на oiрезках [—п— 1, — п],
[и,7г+1] /(^) — линейная
4.2.11. Например, /(ж) = -^ , х 6 Fn, и = 1,2,
4.2.12. Не следует Например, /(j-) = г"', т е ? = @,1)
4.2.13. Интегрируемость предельной функции не следует На-
Например,
' < \Т\ i 1 , L J
4.2.14. Неинтегрируема
4.2.15 Если i-i(E) < оо, то из поточечной сходимости следует
сходимость по мере, если же /*(?) = оо, то не следуе!
4. 2.17. Неверно
4. 2.18. Не следуе!
4.2.19. Не следуе1
4 2.20. Не следует Функция f(x) может быть неинтегрируема
на Е
4.2.23. Например, Е- @,1),
0 < г < п~' ,
«- « |Л|<1. " = 1'2'
26 Задачи по теории функции действительного переменного

4.2.24. Не следует
4.2. 25. Например,
п,
4.2.
J
4.2.
26.
f (~
n\X
27.
Например,
) - '
0,
Ax
Ax
~1J
0,
Например,
+
E
2A
n
X
0
n
X
<
<
<
>
0,
X < П
x < Ъ
2и,
п= 1,2,...
О, г < -и ,
-п, -п.'1 < т ? - Bи)"',
О, -B»)-1 <х < Bп)"Л
п, Bп)"' < х < п ,
О, п < т,
4.2.28. Не следует
4.2.31. Не следует ни одно утверждение См., например, зада-
задачу 4 2 23
4.2.32. Да, следует
4.2.34. Не следует, например,
§3
4.3.5. Утверждение, вообще говоря, неверно если f(x,y) из-
измерима на L, то / е L{E,ii), ио }{х,у) может быть неизмерима
на Л
4.3.6. В примерах 1-7 f(x,y) g ЦЬ,ц)
4.3.8. д(?)= 1
4.3.9. Справедлива
4.3.12. Функция д{х) непрерывна
202

§4
4.4.11. ?^(?) — несепарабельное пространство
4.4.13. Если ji(E) < оо, то вложение справедливо, если
/t( F) = оо, то нет
4.4.18. Например,
'О, j <\а\+1,
х'\ т > \а\ + 1.
4.4.19. Например,
О , 0 < i « 2 ,
, х >2
/ , \-Ч?
4.4.20. Например,/(а-) = (j(l+ln x)\
4.4. 22. Да, следует
4.4.24. Да, следует
4.4.25. Да, следует
4.4.26. Не следует, например,
4.4.29. Например,
f И , 0 < X < Г»"" ,
/в(')=\0, «-
где р, < /i < Р2
4.4.30. Не следует, например,
п~1 , 0 < х
где р! < /^ < р2, ?¦ = (>)
4.4.31. При а > -p~l f(x) e i^0'1)- при а > 0 /(ж)
6 Ь«[0,1]
4.4.33. Например, f(x) = lnx, ? = @,1)
4.4.37. Да, эти утверждения верны
4.4.42. Утверждение неверно, например,
,,4 0,
203

4.4.49. Не следует, например, fn(i) = sin пт, п = 1,2,...,
E = [-я-.я-], f(j-) = 0, s 6 t
4.4.51. Если fi(E) = тс, го утверждение неверно, если же
ц(Е) < ос, то возможен как тот, так и другой случай.
Глава V
§2
\, 1
. 4 yi, cosBn - \)irx
A\shalj , .1 г. r V^ (-1)" / , mtx . nirx\
V ——+2shaL ) ——-—'——- oicos —; пт sin ;
aL ~l a'L* + iri' \ L Z, /
1 2 ^ч cos 2»i 1
5.2.4. 0 7 + -
sin ns ;
(-1)"+' ~ /2t 4
n-1 ,.=i V и x
о ~ cos-B»-1)tj
;
5.2.5.
204

§3
5.3.3. l)-^-ji 2)^; 3)-e-»l?i; 4) ./V^4<\
?2 + a2 af a \ a
7r' ? ' ' 1 2cosa? 2
ir/2, Ul = |a|, 6)^——; 7) ^7^ + —;
7Г/2,
0,
10) 2т t •
11)
'
0,
где Я (f) — функция Хевисайда;
1 -fl(-f)^',
* > о,
a < 0.
S.3.4. Да.
5.3.28. /(х
5.3.29. 1) u(x,() = ;
a
'A
('-') dr;
U
2) u(x,( = —j= / ' e'¦'('-¦¦) dr;
} dr 1 ( --till- --Щ^
-) X
о о
t
5.3.30. 1)u(j-,«) = j- /dr / F(rt,r)drt,
0 i-a(«-T)
-foo
SF(r,,t) = -~ J e-">'f(x,t)dx;
5.3.31. l)v(x)=i(eI
3) ^(г) = 1 - x;
5) уз(х) = 2x6"", x > 0

ЛИТЕРАТУРА
1 Александров П С Введение в общую теорию множеств и функций М Л: «
Гостехиздат, 1948
2 Бари Н К Тригонометрические ряды М Ф(иматгиз, 1961
1 Бремерман Г Распределения, комплексные переменные и преобрлюв<шие
Фурье М Мир. 1965
4 Винер Н Интеграл Фурье и некоторые его приложения М Физматгиз, 1961
5 Гелбаум Б , Олмстед Дж Контрпримеры в анализе М Мир, 1967
6 Дьедоне Ж Основы современного анализа М Мир, 1964
7 Зигмунд А Тригонометрические ряды Т 1,2 М Мир, 1965
8 Ильин ВА, Позняк ЭГ Основы математического анализа Ч И М
Наука, 1976
9 Кириллов А А , Гвишиапи А Д Теоремы и задачи функционального
анализа М Наука, 1979
10 Колмогоров А Н , Фомин С В Элементы теории функций и функцио-
функционального анализа М Наука, 1976
11 Colton D Partial Differential Equations (an introduction) N Y Random House, 198S. '
12 Леонтьева Т А Сборник задач по теории функций действительного пере-
переменного Изд-во Моек ун-та, 1978
13 Леонтьева Т А Введение в функциональный дналш /Сборник задач Изл во
Моек ун-та, 1978
14 Нлтансои И П Конструкшвная теория функций М Л Гостехиздат, 1949
15 НатансоиИ П Теория функций вещественной переменной М Наука, 1974
16 Никольский С М Прибтижение функций многих переменных и теоремы
вложения М Наука, 1977
17 Очлн ЮС Сборник задач и теорем по теории функций действительного
переменною М Просвещение, 1965
18 Рид М , Саймой Б Методы современной ма(ема1ичсской физики Т 1,2
М Мир, 1977, 1978
19 Рисе Ф , Секефал ьв и-надь Б Лекции по функциональному анализу М
Мир, 1979
20 Рудии У Основы математического анализа М Мир, 1966
21 Рудии У Функциональный анализ М Мир, 1975
22 Соболев С Л Лекции по дополнительным главам математического анализа
М Наука, 1968
23 Теляковскии С А Сборник ылач по теории функций действительного
переменного М Наука, 1980
24 Халмош П Гильбертово пространство в задачах М Мир, 1970
25 Харди Г X , Рогозинский В В Ряды Фурье М Физмаггиз, 1962
26 Хаусдорф Ф Теория множеств М Л Гостехиздат, 1917
27 Шварц Л Математические методы физических наук М Мир, 1965
28 Шварц Л Анализ Т 1 М Мир, 1972
29 Шилов Г И , Гуревич Б А Инте! рал, мера, производная М Наука, 1%7
206

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Элементы теории множеств S
Задачи
§ 1 Операции над множествами 13
§ 2 Отображение множеств Понятие мощности множества 18
§ 3 Упорядоченные множества 24
Глава II. Метрические пространства 28
Задачи
§ 1. Открытые и замкнутые множества 35
§ 2 Полные метрические пространства 47
§ 3 Компактность в метрических пространствах 51
§4 Непрерывные отображения и принцип сжатых отображений 57
Глава III. Мера Лебега и измеримые функции 69
Задачи
^ 1 Мера Лебега на прямой 79
4 2 Мера Лебега ви" 81
§ 3 Мера как функция множеств, продолженная с полуколец на кольца
множеств 88
§ 4 Измеримые функции 92
Глава IV. Инте1рал Лебега 98
Задачи
§ 1 Основные свойства интеграла Лебега 113
§ 2 Предельный переход пол знаком интеграла Лебега [22
§ 3 Теорема Фубннн 127
И Классы L,,(Е) [30
§ 5 Неопределенный интеграл Лебега 136
Главв V. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Преобразование
Фурье [42
Задачи
§ 1 Тригонометрические ряды 157
§ 2 Тригонометрические ряды Фурье 164
§ 3 Преобразование Фурье 173
Ответы и указания к задачам 183
Лнтерщура 206

Учебное издание
Леонтьева Татьяна Алексеевна
Панферов Валерии Семенович
Серов Валерий Сергеевич
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Зав редакцией Л А Нитлова
Редактор Р А Бунатян
Художественный редактор Ю М Добрянская
Технический редактор Н И Матюшина
Корректоры Г В Сибирцева И И Коновалова
Компьютерная верстка Л Л Поляков
Изд лиц №040414 от 18 04 97
Подписано в печать 20 08 97
Формат 60x90 1/16 Бумага офс кн журн
Гарнитура «Тайме» Офсетная печать
Уел печ I 13 0 Уч изд i 10 4
Тираж ЗООО экз Заказ 3548 Изд № 6221
Ордена «Знак Почета»
издательство Московского университета
103009 Москва Большая Никитская ул 5/7
Отпечатано в Протводствсино издатечьском комбинате ВИНИТИ
140010 Люберцы Октябрьский пр 403
Тел 554 21-86