МФТИ | ШКОЛЬНИКАМ
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ПО ФИЗИКЕ
для старшеклассников
и абитуриентов
Профильный уровень

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ПО ФИЗИКЕ
для учащихся старших классов и абитуриентов
Профильный уровень
Издание 6-е, стереотипное
Г/	^
Ч	&г
Москва
ФИЗМАТКНИГА
2017

ББК22.3
457
УДК 53(075)
Д. А. Александров, В. В. Можаев, Ю. В. Чешев, В. И. Чивилёв, А. А. Шеронов
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ для учащихся старших клас¬
сов и абитуриентов/Отв. ред. Ю. В. Чешев. — 6-е изд., стер. — М.: Физмат-
книга. 2017. - 432 с. - ISBN 978-5-89155-289-0.
Методическое пособие основано на задачах, предлагавшихся абитуриентам
на вступительных экзаменах по физике в Московском физико-техническом
институте (государственном университете), а также на олимпиадах «Физтех-
абитуриент» с 1991 по 2014 год. Пособие является уникальным изданием, позво¬
ляющим проверить уровень и улучшить качество подготовки по физике учащих¬
ся старших классов профильного образования. Сборник содержит более 1200
задач, структурированных по тематическим разделам (в конце каждой задачи
приведен номер билета и год, в котором она предлагалась абитуриентам МФТИ).
Многие задачи даны в нескольких вариантах, что позволяет педагогам исполь¬
зовать пособие в проведении контрольных работ для оценки знаний учащихся.
Около 20% задач в пособии приводятся с решениями, поэтому оно с успехом
может применяться и для самообразования.
Пособие в течение многих лет используется в учебном процессе препода¬
вателями физико-математического лицея №5 г.Долгопрудного, Физтех-лицея
им П. J1. Капицы, учащимися вечернего и заочного отделений Заочной физико-
технической школы Московского физико-технического института, рядом других
профильных школ и классов.
Для школьников старших классов, преподавателей и абитуриентов. Посо¬
бие может быть полезно также студентам техникумов, младших курсов вузов и
лицам, занимающимся самообразованием.
Интернет-магазин специализированной литературы www.fizmatkniga.ru
Уважаемые читатели! Если вы заметили в нашей книге опечатку или ошибку, пожалуйста,
сообщите нам об этом по электронной почте publishers@mail.mipt.ru или по адресу 141701,
Московская область, г. Долгопрудный-1, ул. Циолковского, д. 4, а/я 180, Издательство
«Физматкнига». Это поможет сделать следующие издания книги лучше!
ISBN 978-5-89155-289-0
© Коллектив авторов, 2017
© Физматкнига, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЗАДАЧИ
1. Механика	5
2. Термодинамика	78
3. Электричество	125
4. Оптика	218
5. Атомная и ядерная физика	275
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. Механика	278
2. Термодинамика	317
3. Электричество	345
4. Оптика	398
5. Атомная и ядерная физика	430

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемое вниманию читателей Методическое пособие состоит из за¬
дач, предлагавшихся абитуриентам на вступительных экзаменах по физике
в Московском физико-техническом институте (государственном универси¬
тете), а также на олимпиадах «Физтех-абитуриент» и заключительном туре
олимпиады «Физтех» с 1991 по 2014 год.
В пособие включены самые разнообразные задачи всех уровней сложно¬
сти — от простых до очень сложных.
Структурирование сборника построено по тематическому, календарному
и порядковому принципу: внутри каждого раздела задачи размещены по
годам в том порядке, в котором они были включены в соответствующие
билеты экзаменов или олимпиад. В конце каждой задачи указан год и номер
билета, в который она входила.
Большинство задач в пособии даны в нескольких вариантах, что позво¬
ляет педагогам использовать его в проведении самостоятельных работ для
оценки знаний учащихся. Около 20% задач в пособии приводятся с реше¬
ниями, что позволяет использовать его и для самообразования.
Для векторных величин в данном пособии применено, как это принято в
литературе для вузов, полужирное начертание вместо «стрелочек»; для ска¬
лярных величин — курсивное написание (например, F = F, mg = mg и т. п.).
Пособие в течение ряда лет используется в учебном процессе препода¬
вателями физико-математического лицея №5 г.Долгопрудного, учащимися
вечернего и заочного отделений Заочной физико-технической школы Мос¬
ковского физико-технического института, рядом других профильных школ
и классов, а также курсов углубленной подготовки по физике.
Долгое время над составлением задач для вступительных экзаменов
в МФТИ и олимпиад «Физтех-абитуриент» (и, соответственно, данно¬
го сборника) трудился авторский коллектив преподавателей кафедры Об¬
щей физики МФТИ: доценты В. В. Можаев , Ю. В. Чешев, В. И. Чивилёв,
А. А. Шеронов; с 2007 года — доценты Д. А. Александров, В. И. Чивилёв,
А. А. Шеронов. Кроме того, в составлении отдельных задач принимал также
участие доцент В. Н. Дерябкин.
Издательство с благодарностью примет все замечания и пожелания по
улучшению данного пособия. Информацию о замеченных опечатках просьба
направлять по электронной почте publishers@mail.mipt.ru или почтой по
адресу 141701, Московская обл., г. Долгопрудный, ул. Циолковского, д. 4,
а/я 186, издательство «Физматкнига».

1. МЕХАНИКА
1.1.	Сани с седоком и собакой общей массой М съезжают с постоян¬
ной скоростью но с горы (рис. 1.1), имеющей уклон a (cosa = 6/7). Соба¬
ка массой га спрыгивает с саней по ходу их движения и приземляется,
имея скорость г/, направленную под углом |3 (cos|3 = 3/7) к горизонту.
Сани после этого продолжают двигаться по горе вниз. Найти скорость
саней с седоком после прыжка собаки. (Билет 1, 1991)
1.2. Мальчик массой га съезжает на санках массой М с постоянной
скоростью Hi (рис. 1.2) с горы, имеющей уклон a (cosa — 8/9). Другой
мальчик такой же массы т бежит за санками и запрыгивает в них,
имея в начале прыжка скорость, направленную под углом у (cosy = 7/9)
к горизонту. В результате этого санки с мальчиками движутся по горе со
скоростью н2. Найти скорость прыгнувшего мальчика в начале прыжка.
(Билет 2, 1991)
1.3. С горы с уклоном a (cosa = 5/6) съезжают с постоянной скоро¬
стью сани с седоком общей массой М. Навстречу саням бежит и запры¬
гивает в них собака массой га, имеющая при прыжке в момент отрыва
от поверхности горы скорость н, направленную под углом (3 (cos|3 = 2/3)
к горизонту (рис. 1.3). В результате этого сани продолжают двигаться
по горе вниз со скоростью и. Найти скорость саней до прыжка собаки.
(Билет 3, 1991)
1.4.	Девочка со снежным комом в руках съезжает на санках с по¬
стоянной скоростью г/i с горы, имеющей уклон a (cosa = 7/8). Снежный
ком выбрасывается через голову в направлении, обратном движению
(рис. 1.4), и падает на склон горы, имея скорость ?/, направленную под
умом у (cosy = 3/4) к горизонту. В результате этого санки с девочкой
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4

6
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
продолжают двигаться по горе со скоростью V2. Найти массу снежного
кома. Общая масса девочки, санок и кома М. (Билет 4, 1991)
1.5. Тележка и ящик с равными массами удерживаются упором А
(рис. 1.5) на поверхности горки, наклоненной под углом a (tga = 0,4)
к горизонту. Упор убирают, ящик и тележка приходят в движение. Во
сколько раз при этом уменьшается сила давления тележки на ящик?
Коэффициент трения скольжения между ящиком и поверхностью горки
[1 = 0,2. Соприкасающиеся поверхности стенок ящика и тележки счи¬
тать гладкими и расположенными перпендикулярно поверхности горки.
(Билет 5, 1991)
1.6. На наклонной плоскости (рис. 1.6) с углом наклона а = 60° непо¬
движно удерживают доску. На верхней гладкой поверхности доски ле¬
жит брусок, прикрепленный с помощью нити к гвоздю, вбитому в доску.
Нить параллельна наклонной плоскости. Если доску отпустить, то она
начинает скользить по наклонной плоскости, и сила натяжения нити
уменьшается в 10 раз. Найти значение коэффициента трения скольже¬
ния между ДОСКОЙ И наклонной ПЛОСКОСТЬЮ. (Билет 6, 1991)
1.7. Брусок и тележка с равными массами связаны легкой нитью
(рис. 1.7) и удерживаются неподвижно за брусок на наклонной плоско¬
сти с углом наклона a (tga = 3/7). Брусок отпускают. Система прихо¬
дит в движение, и сила натяжения нити уменьшается в 3 раза. Найти
коэффициент трения скольжения бруска о наклонную плоскость. Нить
параллельна наклонной плоскости. (Билет 7, 1991)
1.8. Ящик прямоугольной формы с шаром удерживается на наклон¬
ной плоскости с углом наклона a = 30° (рис. 1.8). Ящик отпускают, и он
начинает скользить. Во сколько раз уменьшится сила давления шара
на переднюю стенку ящика? Внутренние поверхности ящика гладкие.
Коэффициент трения скольжения ящика о наклонную плоскость р =
= 0,25. (Билет 8, 1991)
1.9.	Космический аппарат массы М = 40 кг движется по круговой
орбите радиуса R — 6800 км вокруг Марса. В аппарат попадает и за¬
стревает в нем метеорит, летевший со скоростью V = 50 км/с перпенди¬
кулярно направлению движения аппарата. При какой массе метеорита
отклонение в направлении движения аппарата не превысит угол a =
= 10-4 рад? Масса Марса М0 = 6,4 • 1023 кг. Гравитационная постоян¬
ная у = 6,67 • 10~и м'*/(кг • с2). (Билет 9, 1991)
Рис. 1.5
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Рис. 1.8

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
7
1.10. После разрыва неподвижного снаряда образовались четыре
осколка. Осколок массы mi = 4 кг полетел вертикально вниз со ско¬
ростью V] =150 м/с, осколок массы т.2 — 3 кг — горизонтально на юг
со скоростью V2 = 100 м/с, осколок массы газ = 1 кг — горизонтально на
восток. Осколок массы 7714 = 3,5 кг — полетел со скоростью V4 = 200 м/с.
Найти скорость осколка с массой га3. (Билет 10. 1991)
1.11. Искусственный спутник Луны массой М = 8 кг движется вбли¬
зи ее поверхности по круговой орбите. Метеорит массой га = 0,1 г, ле¬
тящий со скоростью v — 40 км/с, перпендикулярной скорости спутника,
попадает в спутник и застревает в нем. На какой угол повернется из-за
этого вектор скорости спутника? Радиус Луны R = 1740 км. Ускорение
свободного падения на Луне в б раз меньше, чем на Земле. (Билет 11, 1991)
1.12. Неподвижный снаряд разорвался на четыре осколка. Оскол¬
ки массами гаi = 3 кг, га,2 = 2 кг, га3 = 4 кг полетели соответственно со
скоростями v\ = 200 м/с вертикально вверх, U2 = 150 м/с горизонтально
на север и г;3 = 100м/с горизонтально на восток. Под каким углом к
горизонту полетел четвертый ОСКОЛОК? (Билет 12, 1991)
1.13. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости вниз, скользит
по ней, ударяясь об упор, отскакивает от него и возвращается к месту
1
1 iL
м/с
i
А
k V, м/с
1
f.
№
м/с
V
k V, м/с
10
1
4
/
О
\
4
V
1 л.
8
\
\,
J
2
/
Ч
1
4

\
/
>1
3
?
г
4
\
ч
1
V
——^
г
2
\
У
<
I
0
2
3 А
о
2 3 1, с 0 ]
2 :
3 А
5 <
3 7 8 /, с 0
1
3 А
■ U с
Рис. 1.9	Рис.	1.10	Рис. 1.11	Рис. 1.12
броска. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на
рис. 1.9. Найти угол наклона плоскости к горизонту. (Билет 1. 1992)
1.14. По плоскости с углом наклона к горизонту a (sina = 4/9) со¬
скальзывает брусок. Коэффициент трения скольжения р между бруском
и плоскостью меняется вдоль плоскости. График зависимости скорости
бруска от времени представлен на рис. 1.10. Найти минимальное значе¬
ние р. (Билет 2, 1992)
1.15. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по
ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска. График за¬
висимости модуля скорости шайбы от времени дан на рис. 1.11. Найти
угол наклона ПЛОСКОСТИ К горизонту. (Билет 3, 1992)
1.16. Брусок соскальзывает с плоскости с углом наклона к горизон¬
ту a (sina = l/7). Коэффициент трения скольжения р между бруском
и плоскостью меняется вдоль плоскости. График зависимости скорости
бруска от времени представлен на рис. 1.12. Найти максимальное значе¬
ние р. (Билет 4, 1992)

8
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
1.17. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой го¬
ризонтальной поверхности стола (рис. 1.13). Брусок в пять раз тяжелее
доски. Система совершает колебания с амплитудой А — 8 см и периодом
Т = 0,8 с по поверхности стола под действием пружины, прикрепленной
к бруску. Доска и брусок при колебаниях неподвижны относительно
друг друга. При каких значениях коэффициента трения между доской и
бруском такие колебания ВОЗМОЖНЫ? (Билет 5, 1992)
1.18. Два груза общей массой га = 1 кг, соединенные упругой пру¬
жиной жесткостью к = 100 Н/м, висят на нити (рис. 1.14). Найти все
возможные расстояния, на которые следует оттянуть вертикально вниз
и затем отпустить нижний груз, чтобы при последующих его колебаниях
верхний Груз оставался НеПОДВИЖНЫМ? (Билет 6, 1992)
1.19. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой гори¬
зонтальной поверхности стола (рис. 1.15). Система совершает колебания
^^^X^XЧ^X\Ч\^ЧVXЧЧЧ^^^	ЧЧЧчЧЧЧчЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧУЧЧЧЧ4-
I шмп
i	Н—Ч
Рис. 1.13	Рис.	1.14	Рис.	1.15	Рис.	1.16
под действием упругой пружины вдоль прямой с периодом Т — 1с и
максимальным значением скорости v = 0,5 м/с. При этом доска и бру¬
сок неподвижны друг относительно друга. При каких значениях коэф¬
фициента трения скольжения между доской и бруском такие колебания
возможны? (Билет 7, 1992)
1.20. Два груза общей массой m — 1 кг, связанные нитью, висят на
упругой пружине жесткостью & = 100Н/м (рис. 1.16). Найти все воз¬
можные расстояния, на которые следует оттянуть вертикально вниз гру¬
зы и затем отпустить их, чтобы при последующих колебаниях грузов
нить не провисала. (Билет 8, 1992)
1.21. Между шариками массой га и М, связанными нитью, вставлена
легкая пружина жесткостью /с, сжатая на некоторую величину. Систе¬
ма шариков движется со скоростью г>() вдоль прямой, проходящей через
центры шариков (рис. 1.17). Нить пережигают, и один из шариков оста¬
навливается. НаЙТИ начальную Величину СЖаТИЯ пруЖИНЫ. (Билет 9, 1992)
1.22. Два груза массой га каждый связаны нитью. Между грузами
вставлена легкая упругая пружина, сжатая на величину х. Система дви¬
жется со скоростью v вдоль прямой, перпендикулярной ее оси (рис. 1.18).
Нить пережигают, и грузы разлетаются под углом 90°. Найти коэффи¬
циент упругости пружины. (Билет 10. 1992)
шиш

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
9
1.23.	Шарики массами га и 3т связаны нитью; между ними вставле¬
на легкая пружина жесткостью к, сжатая на величину хо. Система дви¬
жется с некоторой скоростью вдоль прямой, проходящей через центры
3 т
wQ
Рис. 1.17
Рис. 1.18
Рис. 1.19
Рис. 1.20
т
У
У//.7//////Л
’/У
М
7УУ/ /7У777ГТ777Т77777Г7:
7777777
Рис. 1.21
шариков (рис. 1.19). Нить пережигают, и скорость шарика массой т
увеличивается в 7 раз. Найти начальную скорость шариков. (Билет 11. 1992)
1.24. Грузы с одинаковыми массами связаны нитью. Между ними
вставлена легкая пружина жесткостью к, сжатая на величину хо. Гру¬
зы движутся со скоростью v вдоль прямой, составляющей угол а с осью
системы (рис. 1.20). После пережигания нити
один из грузов полетел перпендикулярно пер¬
воначальному направлению движения. Найти
массу груза. (Билет 12, 1992)
1.25. На горизонтальной гладкой по¬
верхности стола покоится доска массой М
(рис. 1.21). На доску со скоростью V въезжает шайба массы га. Какой
должна быть длина доски, чтобы шайба не соскользнула с нее? Коэф¬
фициент трения скольжения между шайбой и доской К, размер шайбы
мал ПО сравнению С ДЛИНОЙ ДОСКИ. (Билет 1. 1993)
1.26. Брусок, двигавшийся по горизонтальной поверхности стола со
скоростью V()y сталкивается с неподвижным бруском вдвое большей мас¬
сы. На какое расстояние разъедутся бруски после столкновения? Удар
упругий, центральный. Коэффициенты тре¬
ния брусков о стол одинаковы и равны р. (Би¬
лет 2, 1993)
1.27. На длинную доску массой Л/, сколь¬
зящую по гладкой горизонтальной поверхно¬
сти стола со скоростью V, кладут с нулевой
скоростью относительно стола шайбу массы га (рис. 1.22). Какое рассто¬
яние пройдет шайба по доске к моменту, когда ее скорость относительно
доски станет равной нулю? Коэффициент трения между шайбой и доской
равен К. (Билет 3, 1993)
1.28. Брусок, двигавшийся по горизонтальной поверхности стола со
скоростью Vo, сталкивается с неподвижным бруском, вчетверо мень¬
шей массы. На какое расстояние разъедутся бруски после столкнове¬
ния? Удар центральный, упругий. Коэффициенты трения брусков о стол
одинаковы И равны р. (Билет 4, 1993)
т
V
м
Рис. 1.22

10
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
1.29. Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх с
некоторой скоростью, упало на Землю через 3 с. Через какое время упа¬
дет тело, брошенное вертикально вверх с той же скоростью на Луне?
Радиус Земли в 3,8 раза больше радиуса Луны, а масса Земли в 81 раз
больше массы Луны. (Билет 5, 1993)
1.30. Во сколько раз отличаются минимальные периоды обращения
спутников для Марса и Земли? Масса Марса составляет а = 0,11 массы
Земли, а радиус (3 = 0,53 радиуса Земли. (Билет 6. 1993)
1.31. Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикаль¬
но вверх с некоторой скоростью на Земле, оказалось 10 м. Найти макси¬
мальную высоту подъема тела, брошенного вертикально
вверх с той же скоростью на Луне. Радиус и масса Зем¬
ли больше радиуса и массы Луны в 3,8 раза и 81 раз
соответственно. (Билет 7. 1993)
1.32. Во сколько раз отличаются максимальные ско¬
рости движения спутников по круговым орбитам для
Земли и Марса? Масса Марса составляет а = 0.11 массы
гл 1 О О
ис‘ ‘	Земли, а радиус р = 0,53 радиуса Земли. (Билет 8, 1993)
1.33. Шар вращается с частотой v = 0,7c_1 вокруг вертикальной
оси, проходящей через его центр (рис. 1.23). К верхней точке шара при¬
креплена нить с небольшим телом. Длина нити равна четверти длины
окружности большого круга шара. С поверхностью шара соприкасается
2/3 длины нити. Найти радиус шара. (Билет 9. 1993)
1.34. При какой продолжительности суток на Земле камень, лежа¬
щий на широте ср = 60°, оторвется от поверхности Земли? Радиус Земли
6400 км. (Билет 10, 1993)
1.35. Шар радиуса Я = 12 см вращается вокруг вертикальной оси,
проходящей через его центр (рис. 1.24). К верхней точке шара прикреп¬
лена нить с небольшим грузом. Длина нити равна пЯ/2. При каком пе¬
риоде вращения с поверхностью шара будет соприкасать¬
ся третья часть ДЛИНЫ НИТИ? (Билет 11, 1993)
1.36. Груз висит на нити в Москве. При какой продол¬
жительности суток Земли нить расположилась бы парал¬
лельно оси вращения Земли? Радиус Земли Я = 6400 км.
(Билет 12. 1993)
1.37. По доске, наклоненной к горизонту под углом
Рис. 1.24 а — arcsin(l/3), можно передвигать вверх или вниз гру¬
зы, прикладывая силу вдоль доски. Чтобы передвинуть ящик массой
т = 30 кг вниз на расстояние L — 3 м, надо совершить минимальную ра¬
боту А — 100 Дж. Какую минимальную работу потребуется совершить,
чтобы вернуть ПО доске ЭТОТ ЯЩИК назад? (Билет 1, 1994)
1.38.	Мальчик съезжает на санках без начальной скорости с горки
высотой Н — 5 м по кратчайшему пути и приобретает у подножия горки
скорость н = 6 м/с. Какую минимальную работу необходимо затратить,

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
И
чтобы втащить санки массой га = 7 кг на горку от ее подножия, прикла¬
дывая силу вдоль плоской поверхности горки? (Билет 2, 1994)
1.39. На наклонной плоскости с углом наклона a = arctg(l/4) ле¬
жит коробка. Чтобы передвинуть коробку вниз по наклонной плоскости
на некоторое расстояние, нужно совершить минимальную работу А\ =
= 15 Дж. Для перемещения коробки вверх вдоль наклонной плоскости
требуется совершить работу не менее А2 = 65 Дж. В обоих случаях си¬
лы к коробке прикладываются вдоль наклонной плоскости. Определить
по этим данным коэффициент трения скольжения между коробкой и на¬
клонной плоскостью, если величины перемещений вверх и вниз равны.
(Билет 3, 1994)
1.40. Чтобы затащить от подножия на горку санки массой т = 5 кг,
прикладывая силу вдоль поверхности горки, необходимо совершить ра¬
боту не менее А = 480 Дж. С какой скоростью достигнет подножия де¬
вочка на санках, если она съедет с горки без начальной скорости по
кратчайшему пути? Угол наклона поверхности горки к горизонту а =
= arctg0,2. Коэффициент трения скольжения между санками и горкой
(Я = 0,1. (Билет 4, 1994)
1.41. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль
одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью и =
= 1 м/с и небольшой шарик со скоростью v = 2 м/с. В некоторый момент
времени шарик оказался в точке А на расстоянии 5= 1,5 м от бруска.
Через какое время, считая от этого момента, шарик снова окажется в
точке А? Столкновение шарика с бруском упругое. Скорость шарика
перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса шарика
намного меньше массы бруска. (Билет 5, 1994)
1.42. От неподвижного мяча удаляется массивная плита с посто¬
янной скоростью и = 2 м/с, направленной вертикально вниз и перпен¬
дикулярно поверхности плиты. В момент, когда плита находилась на
расстоянии L = 0,3 м от мяча, мяч отпускают. На какое максимальное
расстояние от плиты удалится мяч после упругого удара о плиту? Масса
мяча намного меньше массы плиты. (Билет 6, 1994)
1.43. По гладкой горизонтальной поверхности льда скользят в од¬
ном направлении массивный брусок со скоростью и = 1 м/с и небольшая
шайба со скоростью v = 3 м/с, догоняющая брусок. В некоторый момент
времени шайба находилась в точке В на расстоянии L = 1 м от бруска.
Через какое время, считая от этого момента, шайба вернется в точку В?
Столкновение шайбы с бруском упругое. Скорость шайбы перпендику¬
лярна грани бруска, о которую она ударяется. Масса шайбы намного
меньше массы бруска. (Билет 7, 1994)
1.44. По направлению к неподвижному шарику движется массив¬
ная плита с постоянной скоростью v = 4 м/с, направленной вертикально
вверх и перпендикулярно поверхности плиты. В момент, когда плита
находилась на расстоянии Н = 1м от шарика, шарик отпускают. На

12
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
какое	максимальное расстояние	от	плиты удалится	шарик после упру¬
гого	удара	о	плиту?	Масса	шарика много меньше	массы плиты. (Би¬
лет 8, 1994)
1.45.	С верхней точки шара радиуса R = 54 см, закрепленного на
горизонтальной поверхности стола, соскальзывает без начальной скоро¬
сти и без трения небольшой ша¬
рик. На какую	максимальную вы¬
соту от стола	поднимется шарик
после упругого	удара о СТОЛ? (Би¬
лет 9, 1994)
1.46. Небольшой шарик без на¬
чальной скорости соскальзывает с
высоты 2R, двигаясь без трения по
желобу, расположенному в вертикальной плоскости (рис. 1.25). Горизон¬
тальный участок желоба плавно переходит в полуокружность радиуса
R = 81 см. Какой максимальной высоты Н достигнет шарик после отры¬
ва ОТ желоба? (Билет 10, 1994)
1.47. Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости и без
трения с верхней точки шара, закрепленного на горизонтальной поверх¬
ности стола. Под каким углом к поверхности стола шайба ударится о
СТОЛ? (Билет 11, 1994)
1.48. С высоты 1,5R соскальзывает без начальной скорости неболь¬
шой шарик, двигаясь без трения по желобу, расположенному в верти¬
кальной плоскости (рис. 1.26).
Горизонтальный участок желоба
плавно переходит в полуокруж¬
ность радиуса R. Под каким уг¬
лом (3 к горизонту упадет шарик
на горизонтальный участок жело¬
ба после отрыва ОТ желоба? (Би¬
лет 12, 1994)
1.49. Призма находится на горизонтальной поверхности шероховато¬
го стола (рис. 1.27). На поверхность призмы, наклоненную под углом а
к горизонту, положили брусок массой пп и отпустили. Он стал соскаль¬
зывать, а призма осталась в покое. Коэффициент трения скольжения
между бруском и призмой р. Найти силу трения
между призмой И СТОЛОМ. (Билет 1, 1995)
1.50.	Призма находится на горизонтальной по¬
верхности гладкого стола и упирается в гладкую
стенку (рис. 1.28). На гладкую поверхность приз-
Рис. 1.27	МЫ1	наклоненную	под	углом	а к горизонту, положи¬
ли шайбу массой т и стали давить на нее с постоянной горизонтальной
силой F. Найти силу давления призмы на стенку при движении шайбы
вверх. (Билет 2, 1995)

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
13
1.51.	Призма массой М находится на горизонтальной поверхности
гладкого стола и упирается в гладкую стенку (рис. 1.29). На поверх¬
ность призмы, наклоненную под углом а к горизонту, положили брусок
*F м
чччччТч^
Рис. 1.28	Рис. 1.29	Рис. 1.30
массой га и отпустили. Брусок стал соскальзывать. Коэффициент трения
скольжения между бруском и призмой р. Найти силу давления призмы
на СТОЛ. (Билет 3. 1995)
1.52. На горизонтальной поверхности гладкого стола находится приз¬
ма массой М, упирающаяся в гладкую стенку (рис. 1.30). На гладкую
поверхность призмы, наклоненную под углом а к горизонту, положили
брусок массой га и стали давить на него вертикально вниз с постоянной
силой F. Найти силу давления призмы на стол при движении бруска по
призме. (Билет 4, 1995)
1.53. Шары с массами т ь га2 и тз подвешены к потолку с помощью
двух невесомых пружин и легкой нити (рис. 1.31). Система покоится.
S///SSSS
т
т2
т
Рис. 1.31
Рис. 1.32
Рис. 1.33
Рис. 1.34
Определить силу натяжения нити. Определить ускорение (направление
и модуль) шара массой га\ сразу после пережигания нити. (Билет 5. 1995)
1.54. Бруски с массами гп\ и га2 соединены невесомой пружиной
(рис. 1.32) и прикреплены с помощью легкой нити к упору А, закреп¬
ленному на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а. Система
покоится. Найти силу натяжения нити. Найти ускорение (направление и
модуль) бруска с массой rai сразу после пережигания нити. (Билет 6, 1995)
1.55. К потолку с помощью легкой нити и двух невесомых пружин
подвешены грузы с массами mi, га2 и газ (рис. 1.33). Система покоится.
1) Определить силу натяжения нити.
2)Определить ускорение (направление и модуль) груза массой гп\
сразу после пережигания НИТИ. (Билет 7. 1995)
1.56. Бруски с массами 777-1 и га2 соединены легкой нитью (рис. 1.34)
и прикреплены с помощью невесомой пружины к упору А, закрепленно¬

14
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
му на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а. Система поко¬
ится.
1) Найти силу натяжения нити.
2) Найти ускорение (направление и модуль) бруска с массой 77?i сразу
после пережигания НИТИ. (Билет 8, 1995)
1.57. Луна движется вокруг Земли с периодом Т = 27,3 суток по
орбите, которую можно считать круговой. Радиус Земли г — 6400 км.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 9,8 м/с2. Опре¬
делить по этим данным расстояние между Землей и Луной. (Билет 9. 1995)
1.58. Спутник Фобос обращается вокруг Марса по орбите радиуса
Я = 9400 км с периодом Т = 7 ч 39 мин. Радиус Марса Я{) = 3400 км.
Найти по этим данным ускорение свободного падения на поверхности
Марса. (Билет 10. 1995)
1.59. Период обращения Луны вокруг Земли Т = 27,3 суток. Радиус
Земли г = 6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности Зем-
ли g = 9,8 м/с2. Определить по этим данным скорость Луны, считая ее
Орбиту круГОВОЙ. (Билет 11, 1995)
1.60. Радиус Марса Л() = 3400 км. Спутник Фобос обращается во¬
круг него по орбите радиуса Я = 9400 км с периодом Т = 7 ч 39 мин.
Найти по этим данным первую космическую скорость для Марса.
(Билет 12. 1995)
1.61. Из бункера с высоты Н — 1м высыпалась порция песка массой
га = 100 кг и попала в вагонетку массой 2га, движущуюся горизонтально
со скоростью v = 3 м/с. Сопротивление движению вагонетки со стороны
рельсов не учитывать.
1) Найти скорость вагонетки с песком.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия вагонетки,
песка И окружающих тел? (Билет 1, 1996)
1.62. Пружина жесткостью к прикреплена к потолку и бруску массой
га (рис. 1.35). Брусок лежит на подставке так, что ось пружины верти-
Рис. 1.35
m
6 m
77Т7Т777777?
v/4
Рис. 1.36
й
Рис. 1.37
К
m
mm mv
К\\\\\\\\\\\\\\
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
Рис. 1.38
кальна и пружина сжата на величину L. Подставку быстро убирают.
Найти амплитуду колебаний бруска. (Билет 1, 1996)
1.63.	Кусок пластилина массой га = 32 г (рис. 1.36) попадает в бру¬
сок массой 6га, двигающийся по гладкой горизонтальной поверхности
стола, и прилипает к нему. Перед ударом скорость куска пластилина

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
15
Г
равна v = 7 м/с и направлена под углом а = 60° к горизонту, а скорость
бруска равна v/i и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью
пластилина.
1) Определить скорость бруска с пластилином после удара.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска,
пластилина И окружающих тел? (Билет 2, 1996)
1.64. На пружине жесткостью к висят два груза, связанные нитью
(рис. 1.37). После пережигания нити верхний груз стал колебаться с
амплитудой А. Найти массу нижнего груза. (Билет 2, 1996)
1.65. Камень массой т — 1 кг подняли на некоторую высоту и отпу¬
стили без начальной скорости. Через время t = 1с практически свобод¬
ного падения камень попал в ящик с песком массой 5т, скользивший
по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v = б м/с.
1) Найти скорость ящика с камнем.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия ящика,
песка, камня и окружающих тел? (Билет 3, 1996)
1.66. Груз массой ш привязан нитью, перекинутой через блок, к
другому грузу, который удерживается на гладком горизонтальном сто¬
ле пружиной, прикрепленной к стене (рис. 1.38). Нить	ni
пережигают, и груз на столе начинает колебаться с ам¬
плитудой А. Найти жесткость Пружины. (Билет 3, 1996)
1.67. Кусок пластилина массой т = 200 г (рис. 1.39)
попадает в брусок массой 2т, двигающийся по гладкой
горизонтальной поверхности стола, и прилипает к нему.
Перед ударом скорость куска пластилина v = 6 м/с и Рис. 1.39
направлена под углом а = 60° к горизонту, а скорость бруска равна v/2
и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью пластилина.
1) Определить скорость бруска с пластилином после удара.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска,
пластилина и окружающих тел? (Билет 4, 1996)
1.68. Чашка с гирями пружинных весов покоится. На чашку по¬
ставили еще одну гирю массой га. Найти амплитуду колебаний чашки.
Жесткость пружины к. (Билет 4, 1996)
1.69. На наклонной плоскости с углом наклона
а = 30° удерживаются неподвижно тележка и бру¬
сок, расположенные рядом (рис. 1.40). Их отпуска¬
ют. Какое расстояние будет между тележкой и брус¬
ком к моменту, когда тележка пройдет расстояние	Рис-	1,40
L = 50cm? Коэффициент трения скольжения между бруском и наклон¬
ной плоскостью [I = 0,3. Массу колес тележки и трение качения не учи¬
тывать. (Билет 5, 1996)
1.70. Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена ртутью и
закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой ско¬
ростью оо вокруг вертикальной оси так, что ртуть не выливается и за¬
v/2
2т
7ГГТТТ771^ГГГГТТ7777

16
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
полняет полностью горизонтальное колено трубки (рис. 1.41). Открытое
колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны
на рисунке. Атмосферное давление Р0, плотность ртути р.
1) Найти давление ртути в месте изгиба трубки.
2) Найти давление ртути у запаянного конца трубки. (Билет 5, 1996)
3 R	L
Н
R
н
R
1.71.	По горизонтальной поверхности стола скользит брусок мас¬
сой га и сталкивается неупруго с неподвижным бруском массой 2га,
имея перед ударом скорость v = 2 м/с. Какое расстояние пройдут слип¬
шиеся бруски до остановки? Коэффициент трения
скольжения между брусками и столом р = 1/18. (Би¬
лет 6, 1996)
1.72. Тонкая трубка, запаянная с одного конца,
заполнена водой и закреплена на горизонтальной
платформе, вращающейся с угловой скоростью со
вокруг вертикальной оси (рис. 1.42). Открытое и
запаянное колена трубки вертикальны. Геометрические размеры уста¬
новки даны на рисунке. Атмосферное давление Р0, плотность воды р.
1) Найти давление воды в месте из¬
гиба трубки, расположенном на оси вра¬
щения.
2) Найти давление воды у запаянно¬
го конца Трубки. (Билет 6, 1996)
1.73. На наклонной плоскости с
углом наклона а = 30° удерживаются
неподвижно тележка и брусок, располо¬
женные рядом (рис. 1.43). Их отпуска¬
ют. На каком расстоянии друг от друга
окажутся тележка и брусок к моменту,
когда брусок пройдет расстояние S = 31 см? Коэффициент трения сколь¬
жения между бруском и наклонной плоскостью р = 0,4. Массу колес
тележки и трение качения не учитывать. (Билет 7, 1996)
1.74.	Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена жидкостью
и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой ско¬
ростью со вокруг вертикальной оси (рис. 1.44). Открытое колено трубки
5R
Рис. 1.44

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
17
/Я//?/;
Рис. 1.45
вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке.
Атмосферное давление Ро, плотность жидкости р.
1) Найти давление жидкости в месте изгиба трубки.
2) Найти давление жидкости у запаянного конца трубки. (Билет 7, 1996)
1.75. Слипшиеся брусок и тележка движутся по горизонтальной по¬
верхности стола (рис. 1.45). В некоторый момент, когда скорость равна
v = 1 м/с, брусок отлипает от тележки. На каком
расстоянии друг от друга окажутся тележка и бру¬
сок к моменту остановки бруска? Коэффициент тре¬
ния скольжения бруска о стол р = 0,1. Трением ка¬
чения пренебречь. (Билет 8. 1996)
1.76. Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена маслом и
закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой ско¬
ростью со вокруг вертикальной оси так, что масло не выливается и за¬
полняет полностью горизонтальное колено трубки (рис. 1.46). Открытое
колено трубки вертикально. Геометриче¬
ские размеры установки даны на рисунке.
Атмосферное давление Р(), плотность мас¬
ла р.
1) Найти давление масла в месте из¬
гиба трубки.
2) Найти давление масла у запаянного
конца трубки. (Билет 8. 1996)
1.77. В цилиндрическом сосуде с во¬
дой (стенки сосуда вертикальны) плавает
деревянная дощечка. Если на нее сверху
положить стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на
плаву и уровень воды в сосуде увеличится на Ah. На сколько изменится
уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную
пластинку бросить на дно сосуда? Плотность стекла рс, плотность во¬
ды рв. (Билет 9, 1996)
1.78. Металлический прут в форме дуги окружности радиусом L
висит на двух легких нитях длины L каждая (рис. 1.47). Масса
прута га, его поперечное сечение постоянно. Угол меж¬
ду нитями 2ф.
1) Найти силу натяжения нитей в положении равно¬
весия.
2) Найти период малых колебаний такой «дуги» в
вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью
«дуги». (Билет 9. 1996)
1.79. В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосу¬
да вертикальны) опустили кусок льда, в который был вморожен осколок
стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на h\ — 11 мм, а
лед стал плавать, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится
Рис. 1.47

18
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
уровень воды в сосуде за время таяния всего льда? Плотности стек¬
ла рс = 2,0 г/см3, воды рв = 1 г/см3, льда р = 0,9 г/см3 (Билет 10. 1996)
1.80.	Конструкция из жестко соединен-
ных легкого стержня и небольшого по раз¬
мерам шарика массой га может совершать
и	^	т	колебания в вертикальной плоскости под
о	=0 действием пружины с жесткостью к\ двига¬
ясь при вращении без трения вокруг гори-
Рис- 148	зонтальной оси О (рис. 1.48). Пружина лег¬
кая, ее точка прикрепления к стержню делит его длину в отношении
1 : 2, считая от шарика. В положении равновесия стержень горизонта¬
лен, а ось пружины вертикальна.
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия си¬
стемы.
2) Найти период малых колебаний конструкции. (Би¬
лет 10, 1996)
1.81.	В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда
вертикальны) плавает деревянная дощечка, на которой свер¬
ху лежит стеклянная пластинка. На какую величину Ah из¬
менится уровень воды в сосуде, если стеклянная пластинка
свалится с дощечки и окажется на дне сосуда? Известно, что
если стеклянную пластинку бросить на дно сосуда с плава-
Рис 1 49 ющей дощечкой, то уровень воды в нем увеличится на к.
Плотность стекла рс, плотность воды рв, (Билет 11, 1996)
1.82. Груз массой га подвешен с помощью пружины жесткостью к,
легких нитей и невесомого блока (рис. 1.49).
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия системы.
2) Найти период вертикальных колебаний груза при условии непро-
висания нитей. (Билет 11, 1996)
1.83. В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикаль¬
ны) опустили кусок льда, в который была вморожена металлическая
проволока. В результате уровень воды в сосуде поднялся на h\ —
— 36 мм, а лед с проволокой стал плавать, целиком погрузившись в во¬
ду. За время таяния всего	льда уровень воды опустился	на	h<2 = 3,4 мм,
и проволока оказалась	на	дне сосуда.
Найти плотность материала проволоки.
£s*2	т	Плотность воды рв = 1	г/см3, льда —
,	—	■■	т! (Q	р = 0,9 г/см3. (Билет 12, 1996)
1.84.	Конструкция из жестко соеди-
1	ненных легкого стеожня и небольшого
шарика массой т может совершать ко¬
лебания под действием двух пружин с
жесткостями Ац и &2, двигаясь при вращении без трения вокруг верти¬
кальной оси О по гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 1.50).
О
Рис. 1.50

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
19
Пружины легкие, их оси горизонтальны, а точки прикрепления к стерж¬
ню делят его на три равные части. В положении равновесия оси пружин
перпендикулярны стержню и пружина с жесткостью к\ растянута на
величину L\.
1) Найти деформацию второй пружины в положении равновесия.
2) Найти период малых колебаний конструкции. (Билет 12, 1996)
1.85. Пуля летит горизонтально со скоростью Vo, пробивает лежа¬
щую на горизонтальной поверхности стола коробку и вылетает в том
же направлении со скоростью втрое меньшей.
Масса коробки в пять раз больше массы пули.
Коэффициент трения скольжения между короб¬
кой и столом р.
1) Найти скорость коробки сразу после выле¬
та из нее пули.
2) На какое расстояние передвинется короб¬
ка? (Билет 1, 1997)
1.86. На столе лежит брусок. На легкой ни¬
ти длиной L висит шарик, касаясь бруска. Нить
вертикальна. Масса бруска в 7 раз больше массы шарика (рис. 1.51).
Шарик отклоняют в сторону так, что нить занимает горизонтальное по¬
ложение, и отпускают. После неупругого удара о брусок шарик останав¬
ливается, а брусок смещается по горизонтальной поверхности стола на
расстояние S.
1) Найти скорость бруска сразу после удара.
2) Найти коэффициент трения скольжения между бруском и столом.
(Билет 2, 1997)
1.87. На горизонтальной поверхности стола покоится ящик. Пуля
массой в 50 раз меньше массы ящика летит горизонтально со скоростью
Ко, пробивает ящик и продолжает лететь в прежнем направлении со ско¬
ростью вдвое меньше. Коэффициент трения скольжения между ящиком
и столом р.
1) Какую скорость приобретает ящик сразу после вылета из него
пули?
2) Найти Время движения ящика ПО столу. (Билет 3, 1997)
1.88. На легкой нити длиной L висит шар. Пуля летит горизонталь¬
но со скоростью Vq, пробивает шар и продолжает лететь в прежнем на¬
правлении. В результате максимальный угол отклонения шара на нити
оказался равным а = 60°. Масса шара в 10 раз больше массы пули.
1) Найти скорость шара сразу после вылета из него пули.
2) НаЙТИ СКОрОСТЬ ВЫЛетеВШеЙ ИЗ шара ПуЛИ. (Билет 4, 1997)
1.89. Два камня брошены из одной точки с одинаковыми скоростями:
один — вертикально вверх, другой — вертикально вниз. Они упали на
землю с интервалом времени т. С какой скоростью были брошены камни?
Сопротивление воздуха не учитывать. (Билет 5. 1997)
Рис. 1.51

20
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
1.90. Снаряд разорвался на несколько осколков, полетевших во все
стороны с одинаковыми скоростями. Осколок, полетевший вертикаль¬
но вниз, достиг земли за время t\. Осколок, полетевший вертикально
вверх, упал на землю через время £2. Сколько времени падали оскол¬
ки, полетевшие горизонтально? Сопротивление воздуха не учитывать.
(Билет 6, 1997)
1.91. Из одной точки на высоте h от поверхности земли брошены с
одинаковыми скоростями камень А вертикально вверх и камень В верти¬
кально вниз. Известно, что камень А достиг верхней точки своей траек¬
тории одновременно с падением камня В на землю. Какой максимальной
высоты (считая от поверхности земли) достиг камень А? Сопротивление
воздуха не учитывать. (Билет 7, 1997)
1.92. Осколки от разорвавшегося на некоторой высоте снаряда по¬
летели во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок А, полетев¬
ший вертикально вверх, упал на землю через время С, а горизонтально
полетевший осколок В — через время £2.
Какое расстояние по горизонтали пролетел
осколок В? Сопротивление воздуха не учи¬
тывать. (Билет 8, 1997)
1.93. На гладкой горизонтальной по¬
верхности стола покоится горка с дву¬
мя вершинами, высоты которых Н и 3Н.
На левой вершине горки находится шайба
массой т (рис. 1.52). Масса горки 5га, ее поверхность гладкая. От незна¬
чительного толчка вправо шайба приходит в движение. Найти скорость
шайбы на правой вершине, если:
1)горка закреплена на столе;
2)горка не закреплена.
Считать, что при движении шайба не отрывается от поверхности
горки, а поступательно движущаяся горка — от стола. (Билет 9, 1997)
1.94. В лунку размером 10 х 10 х 10 см, целиком заполненную во¬
дой, опускают цилиндрическое тело (ось цилиндра вертикальна). В ре¬
зультате часть воды из лунки выливается, а тело на-
—	— чинает плавать в ней (рис. 1.53). После этого из лун¬
ки отлили еще т = 250 г воды, так что цилиндр стал
плавать, касаясь дна лунки.
1) Какая масса воды М осталась в лунке?
2) Чему равна плотность р материала цилиндра?
Диаметр цилиндра d немного меньше 10 см, высо-
!	'	та цилиндра равна его диаметру. (Билет 9, 1997)
1.95. Трубка в форме петли укреплена на бруске, находящемся на
гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 1.54). Нижний конец
трубки горизонтален и находится на расстоянии h от стола. Шарик мас¬
сой т, который может скользить по трубке без трения, удерживается на
т

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
21
высоте Н от стола. Масса платформы с трубкой Зга. Вначале система
покоилась. Шарик отпустили. Найти скорость вылетевшего из трубки
шарика, если:
1) платформа закреплена на сто¬
ле;
2) платформа не закреплена и по¬
сле вылета шарика движется посту¬
пательно. (Билет 10, 1997)
1.96. В лунке размером 10 х
х 10 х 10 см, полностью заполнен¬
ной водой, лежит шарик (рис. 1.55),
плотность материала которого р = 2 г/см3. Диаметр шарика d немного
меньше 10 см. Какую минимальную по величине работу А надо совер¬
шить, чтобы вытащить шарик ИЗ ВОДЫ? (Билет 10, 1997)
1.97. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся две
горки с гладкими поверхностями, плавно переходящими в поверхность
стола (рис. 1.56). Горка А закреплена на столе, и на ней на высоте Н
н
3 т
V77'T777777777777777777777777777777777:
Рис. 1.54
Рис. 1.55	Рис. 1.56	Рис. 1.57
удерживают шайбу массой га. Масса горки В равна 6га. Шайбу отпус¬
кают. Найти максимальную высоту (считая от стола) подъема шайбы по
горке J3, если:
1)горка В закреплена на столе;
2) горка В не закреплена. (Билет 11, 1997)
1.98. На дне лунки размером 10 х 10 х 10 см лежит шар, диаметр
которого d немного меньше 10 см. В лунку наливают воду до тех пор,
пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в лунку
пришлось долить еще га = 250 г воды, чтобы она оказалась заполненной
водой до верха (рис. 1.57).
1) Какую массу воды М налили в лунку вначале?
2) Чему равна плотность материала шара?
Указание. Объем шарового сегмента высотой h равен AV —
в ^Kh2(^d — /г), где d — диаметр шара. (Билет 11, 1997)
1.99. Трубка в виде петли жестко укреплена на платформе, нахо¬
дящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Правый конец
трубки горизонтален, его расстояние до стола h. В трубке на высоте Н
удерживается шарик массой га, который может скользить по трубке без

22
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
,77777/777'77У7777У7/У//7/7/7/////77/77,
Рис. 1.58
Рис. 1.59
трения (рис. 1.58). Масса платформы с трубкой 4га. Система покоится.
Шарик отпускают. Найти скорость вылетевшего из трубки шарика, если:
1) платформа закреплена на столе;
2) платформа не закреплена и по¬
сле вылета шарика движется поступа¬
тельно. (Билет 12, 1997)
1.100.	В лунке размером 10 х 10 х
х 10 см, целиком заполненной водой,
лежит на дне металлический ци¬
линдр (рис. 1.59). Диаметр цилиндра
d немного меньше 10 см. Высота ци¬
линдра равна его диаметру. Для того чтобы вытащить цилиндр из воды,
необходимо совершить работу не меньше величины А — 0,185 Дж. Чему
равна плотность р материала цилиндра? (Билет 12, 1997)
1.101. Человеку массой га требуется подтянуть
к стене ящик массой М = Зга, с помощью кана¬
та, перекинутого через блок. Если человек стоит
на горизонтальном полу, то для достижения це¬
ли ему надо тянуть канат с минимальной силой
F\ = 600 Н (рис. 1.60). С какой минимальной си¬
лой F2 придется тянуть этому человеку канат, ес¬
ли он упрется в ящик ногами? Части каната, не
соприкасающиеся с блоком, горизонтальны. Массами блока и каната
пренебречь. (Билет 1, 1998)
1.102. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными
трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен водой
(рис. 1.61). После того как «тройник» ста¬
ли двигать по горизонтали (в плоскости ри¬
сунка влево) с некоторым постоянным уско¬
рением, из него вылилось 1/16 массы всей
воды. Чему при этом равно давление в жид¬
кости у закрытого конца (точка О) горизон¬
тальной трубки? Трубки имеют одинаковое
внутреннее сечение и длину L (Билет 1, 1998)
1.103. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски
с массами га и М = 4га, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с
углом наклона а — 30° (рис. 1.62). При каком минимальном значении ко¬
эффициента трения к между брусками ОНИ будут ПОКОИТЬСЯ? (Билет 2, 1998)
1.104. «Тройник» из трех вертикальных открытых в атмосферу тру¬
бок полностью заполнен водой (рис. 1.63). После того как «тройник»
стали двигать в горизонтальном направлении (в плоскости рисунка) с
некоторым ускорением а, из него вылилось 9/32 всей массы содержав¬
шейся в нем воды. Чему равна величина ускорения а? Внутреннее сече¬
ние трубок одинаково, ДЛИНЫ трубок равны /. (Билет 2, 1998)
/7У777’77/77/7/7/77’7У777'7
Рис. 1.60

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
23
1.105.	Человек массой т, упираясь ногами в ящик массой А/, под¬
тягивает его с помощью каната, перекинутого через блок, по наклонной
плоскости с углом наклона а (рис. 1.64). С какой минимальной силой
Рис. 1.63
Рис. 1.62
/
Рис. 1.61
надо тянуть канат человеку, чтобы подтянуть ящик к блоку? Коэффи¬
циент трения скольжения между ящиком и наклонной плоскостью к.
Части каната, не соприкасающиеся с блоком, параллельны наклонной
плоскости. Массами блока и каната пренебречь. (Билет 3, 1998)
1.106.	«Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными
трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен во¬
дой (рис. 1.65). После того как «тройник» стали двигать по горизонтали
(в плоскости рисунка направо) с некоторым ускорением, из «тройника»
пылилось 1/8 массы всей содержавшейся в нем воды. Чему при этом
Рис. 1.64
Рис. 1.65
77777777777777777
Рис. 1.66
равно давление Р в жидкости у закрытого конца (точка О) горизонталь¬
ной трубки? Внутреннее сечение всех трубок одинаково, длина трубок
равна L. (Билет 3, 1998)
1.107. Бруски с массами т и М — 2т привязаны к концам нити,
перекинутой через блок. Система находится на наклонной плоскости с
углом наклона а = 60° (рис. 1.66). При каком минимальном значении
коэффициента трения к между нижним бруском и наклонной плоско¬
стью бруски будут покоиться? Трением между брусками пренебречь. (Би-
лгг 4, 1998)
1.108. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными
трубками и одной закрытой целиком заполнен водой (рис. 1.67). Ко¬
гда «тройник» стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением

24
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
L
U 2
(в плоскости рисунка), то из него вылилось 1/8 всей массы содержав¬
шейся в нем воды. Чему равно давление в жидкости в нижней части
(точка О) закрытой трубки? Внутреннее сечение всех трубок одинаково,
длина трубок равна L. (Билет 4, 1998)
1.109.	На доске, наклоненной под углом а = 30° к горизонту, удер¬
живают в покое однородную гибкую веревку длиной I = 40 см так, что
на доске лежит 4/7 длины веревки, а 3/7 ви¬
сит вертикально (рис. 1.68). Трение веревки о
доску и направляющий желоб Р пренебрежи¬
мо мало. Веревку отпускают, и она движется,
оставаясь в одной и той же вертикальной плос¬
кости.
1) Найти ускорение веревки в начальный
момент движения.
2) Найти скорость веревки в момент, когда
она соскользнет с доски и примет вертикальное
положение. (Билет 5, 1998)
1.110. Однородный гибкий канат массой т
и длиной L — 75 см прикреплен к бруску мас¬
сой 2т, находящемуся на горизонтальной поверхности стола (рис. 1.69).
Со стола свешивается половина длины каната. Коэффициент трения
скольжения бруска о стол р = 0,15. Трением каната о стол и направ¬
ляющий желоб Р пренебречь. Брусок удерживают в покое, а затем от¬
пускают.
1) Найти ускорение бруска в начале движения.
2) Найти скорость бруска в момент, когда канат соскользнет со стола.
(Билет 6, 1998)
1.111.	Цепочку длиной I = 20 см удерживают в покое на клине так,
что на наклоненной под углом a (sina = 3/5) к горизонту поверхности
р
2т
О
Рис. 1.67
у
/
.
-
в
/
Рис. 1.69
клина лежит 2/3 цепочки, а 1/3 висит (рис. 1.70). Трение цепочки о
клин и направляющий желоб Р пренебрежимо мало. Цепочку отпуска¬
ют, и она «заползает» на клин, оставаясь в одной и той же вертикальной
плоскости.
1) Найти ускорение цепочки в начальный момент движения.
2) Найти скорость цепочки в момент, когда она полностью окажется
на клине. (Билет 7, 1998)

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
25
1.112. Однородный гибкий канат длиной L — 1 м и массой т = 1 кг
удерживают в покое за верхний конец так, что 1/3 каната находится на
столе, а 2/3 свисает (рис. 1.71). В некоторый момент канат перестают
удерживать и начинают втаскивать на стол, прикладывая силу F = 8H
вдоль горизонтальной поверхности стола перпендикулярно кромке стола.
Трением каната о стол и направляющий желоб Р пренебречь.
1) Найти ускорение каната в начальный момент его движения.
2) Найти скорость каната в момент, когда он полностью окажется на
СТОЛе. (Билет 8, 1998)
1.113. Небольшой брусок массой га лежит на гладком столе внут¬
ри жесткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью лег¬
кого стержня и пружины жесткостью к соединен с неподвижной опо¬
рой (рис. 1.72). Брусок отводят к противоположной стороне рамы и от¬
пускают. В результате упругих столкновений брусок и рама совершают
периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с бруском.
2) Найти период колебаний бруска. (Билет 1, 1999)
1.114. На тележке, которая может двигаться по горизонтальным
рельсам прямолинейно и без трения, укреплена в горизонтальной плос¬
кости трубка в форме кольца (рис. 1.73). Внутри трубки может двигаться
Рис. 1.71
Рис. 1.72
Рис. 1.73
без трения шарик массой га. Масса тележки с трубкой М, массой колес
тележки пренебречь. Шарику, при неподвижной тележке, сообщают в
точке А скорость v{), направленную параллельно рельсам.
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком точки В те¬
лежки, диаметрально противоположной точке А.
2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется те¬
лежка через время t0, когда шарик совершит несколько оборотов и ока¬
жется в точке В тележки? (Би¬
лет 1, 1999)
1.115.	Небольшой брусок мас¬
сой га. лежит на гладком столе
внутри жесткой рамы. Длина ра¬
мы L, масса — га. Брусок с помо¬
щью легкого стержня и пружины жесткостью к соединен с неподвижной
опорой /. Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной опо¬
рой 2 (рис. 1.74). В начальном положении брусок касался правой стенки
к
т
т lL
Рис. 1.74

26
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
рамы, а пружины не были деформированы. Брусок отводят к противопо¬
ложной стенке рамы и отпускают. В результате упругих столкновений
брусок и рама совершают периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с бруском.
2) Найти период колебаний бруска. (Билет 2, 1999)
1.116. Тележка может двигаться прямолинейно, поступательно, без
трения по горизонтальной поверхности стола, К тележке прикреплена
горизонтальная ось О, перпендикулярная возможному направлению дви¬
жения тележки (рис. 1.75). Вокруг оси О, в плоскости, перпендикуляр¬
ной ей, может вращаться без трения на стержне длиной L небольшой по
размерам шарик массой т. Масса тележки, оси О и ее крепления — 4т.
Массами стержня и колес тележки пренебречь. Вначале тележка поко¬
илась, а стержень удерживался под углом (3 = 30° к вертикали. Затем
стержень отпустили.
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком нижней точки
своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний тележки, половину расстояния между
наиболее удаленными друг от друга положениями тележки. (Билет 2, 1999)
1.117. Небольшой брусок массой га лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы, касаясь ее правой стенки. Длина рамы L, масса — ш. Ра¬
ма пружиной жесткостью к соединена с неподвижной опорой (рис. 1.76).
4 т
Рис. 1.75
Раму отводят направо так, что брусок касается ее левой стенки, и от¬
пускают. В результате упругих столкновений брусок и рама совершают
периодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с рамой.
2) Найти период колебаний бруска. (Билет 3, 1999)
1.118.	Брусок может двигаться поступательно без трения по прямо¬
линейным горизонтальным салазкам, не отрываясь от них. На бруске
укреплен в вертикальной плоскости, параллельной салазкам, желоб ра¬
диусом Я, по которому может скользить без трения небольшой по разме¬
рам шарик массой ш (рис. 1.77). Масса бруска с желобом 6т. Вначале
брусок покоился. Шарику в верхней точке желоба сообщили горизон¬
тальную СКОрОСТЬ V().
1)	Найти скорость бруска при прохождении шариком нижней точки
желоба.

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
27
т
^1 У,
1 т в
/ tOOOOOOOd
1 1
(> 0 0 0 0 0 0 0II /
А 1
л
1
У/
Рис. 1.78
2)	На каком расстоянии от первоначального положения окажется
брусок через время Uь когда шарик совершит несколько оборотов и ока¬
жется В нижней точке желоба? (Билет 3, 1999)
1.119. Небольшой брусок массой га лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы длиной L и массой га. Брусок с помощью легкого стержня
и пружины жесткостью к соединен с неподвижной опорой 1 (рис. 1.78).
Рама пружиной жесткостью к со¬
единена с неподвижной опорой 2.
В начальном положении брусок ка¬
сался левой стороны рамы, а пру¬
жины не были деформированы. Ра¬
му отводят налево, до соприкосно¬
вения бруска с правой стенкой рамы, и отпускают. В результате упругих
столкновений брусок и рама совершают периодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с рамой.
2) Найти период колебаний рамы. (Билет 4, 1999)
1.120. Муфта может двигаться поступательно без трения вдоль го¬
ризонтальной направляющей ЕЕ\ (рис. 1.79). К муфте перпендикуляр¬
но ЕЕ\ прикреплена горизонтальная ось О, вокруг которой может вра¬
щаться без трения обруч радиусом R с закрепленным на нем небольшим
по размерам грузом массой га. Масса муфты,
оси О и ее крепления 3?тг. Массой обруча прене¬
бречь. Вначале муфта неподвижна, и обруч удер¬
живают в положении, когда ОР составляет угол
а = 30° с горизонтом. Затем обруч отпускают.
1) Найти скорость муфты при прохождении
грузом нижней точки своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний муфты, т.е. половину расстояния
между наиболее удаленными друг от друга положениями муфты. (Би¬
лет 4, 1999)
1.121. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона а к горизон¬
ту в точке О прикреплена нить длиной L К другому концу нити привязан
небольшой шарик (рис. 1.80). В началь¬
ный момент шарик находится в положе¬
нии равновесия в точке А. Какую мини¬
мальную скорость надо сообщить шари¬
ку в точке А вдоль наклонной плоско¬
сти в горизонтальном направлении, что¬
бы шарик совершил полный оборот, дви¬
гаясь ПО ОКруЖНОСТИ? (Билет 5, 1999)
1.122. Обруч в форме окружности
закреплен на столе в положении, когда его плоскость наклонена под
углом а к горизонтальной поверхности Р стола (рис. 1.81). По обру¬
чу может скользить без трения небольшое колечко массой т. Вначале
Рис. 1.79
Рис. 1.80

28
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
колечко удерживают в верхней точке С обруча. В результате незна¬
чительного толчка колечко приходит в движение. Найти модуль силы,
с которой колечко действует на обруч в точке А, находящейся на гори¬
зонтальном диаметре обруча. (Билет 6. 1999)
1.123. Небольшой шарик прикреплен с помощью нити длиной / к
гвоздю, вбитому в доску с гладкой плоской поверхностью, наклоненной
под углом а к горизонту (рис. 1.82).
Вначале шарик удерживают на доске в
точке А, слабо натянув нить горизон¬
тально вдоль доски. Какую минималь¬
ную скорость V надо сообщить шарику
в точке А вдоль доски перпендикуляр¬
но нити, чтобы шарик совершил пол¬
ный оборот, двигаясь по окружности?
(Билет 7, 1999)
1.124. Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом R
закреплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а
(рис. 1.83). В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии 2R от
горизонтального диаметра петли, опускают без начальной скорости ма¬
ленький шарик массой т. Шарик скользит внутри трубки без трения. С
какой силой (по модулю) действует шарик на трубку в точке Л, находя¬
щейся на горизонтальном диаметре петли? (Билет 8, 1999)
1.125.	Монета скользит по наклонной плоскости с углом наклона к
горизонту а и имеет в точке С скорость vq (рис. 1.84). Через некоторое
время монета оказалась в точке D наклонной
плоскости, пройдя путь S и поднявшись по
вертикали на высоту Н. Коэффициент трения
скольжения между монетой и наклонной плос¬
костью р. Найти скорость монеты в точке D.
(Билет 1, 2000)
1.126. Небольшая шайба на нити длиной I
может вращаться вокруг неподвижной оси О,
скользя по наклонной плоскости с углом на¬
клона к горизонту (3 (рис. 1.85). Шайбу поместили в точку А наклонной
плоскости, соответствующую горизонтальному положению нити, и от¬

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
29
пустили. Определить скорость шайбы в точке В — самой низкой точке
траектории. Коэффициент трения скольжения шайбы о наклонную плос¬
кость р. Нить всегда параллельна наклонной плоскости и не задевает ее.
(Билет 2, 2000)
1.12Т. Широкая доска наклонена под углом а к горизонту (рис. 1.86).
Небольшой шайбе сообщили в точке А доски скорость vy направленную
2 т )
Рис. 1.88
вдоль нее. Через некоторое время шайба оказалась в точке В, сместив¬
шись по вертикали на Н вниз и имея скорость 2v. Какой путь прошла
шайба между точками А и В? Коэффициент трения скольжения шайбы
О доску р. (Билет 3. 2000)
1.128. На нити длиной I вокруг неподвижной оси О может вращать¬
ся небольшой брусок, скользя по наклонной плоскости с углом наклона
К горизонту у (рис. 1.87). Брусок помести¬
ли в самую низкую для него точку К (нить
наклонена под углом у к горизонту). Ка¬
кую скорость надо сообщить бруску в точ¬
ке К, вдоль наклонной плоскости и пер¬
пендикулярно нити, чтобы он достиг точки Р (при горизонтальном по¬
ложении нити), имея втрое меньшую скорость? Коэффициент трения
скольжения бруска о наклонную плоскость р. Нить всегда параллельна
наклонной плоскости и не задевает ее. (Билет 4, 2000)
1.129. Шары насажены на прямолинейную горизонтальную спицу и
могут скользить по ней без трения (рис. 1.88). К шару массой т при¬
креплена легкая пружина жесткостью Ку и он по¬
коится. Шар массой 2т движется со скоростью v.
Радиусы шаров много меньше длины пружины.
1) Определить скорость шара массой 2т после от¬
рыва от пружины.
2) Определить время контакта шара массой 2т с
Пружиной. (Билет 5, 2000)
1.130. В цилиндрическом стакане с водой на ни¬
ти висит проволока, вмороженная в кусок льда. Лед
с проволокой целиком погружен в воду и не касается
стенок и дна стакана (рис. 1.89). После того как лед растаял, проволока
осталась висеть на нити, целиком погруженная в воду. Уровень воды

30
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
в стакане за время таяния льда уменьшился на АН (АН > 0), а сила
натяжения нити увеличилась в К раз. Найти объем проволоки. Плот¬
ность воды рв, проволоки — р, площадь внутреннего сечения стакана S.
(Билет 5, 2000)
1.131. По гладкой горизонтальной поверхности стола движутся с по¬
стоянной скоростью v два бруска массами т и 3га, связанные нитью.
Между брусками находится пружина жесткостью К, сжатая на вели¬
чину Хо (рис. 1.90). Пружина прикреплена только к бруску массой га.
Размеры брусков малы по сравнению с длиной нити, массой пружины
пренебречь, скорость брусков направлена вдоль нити. Во время движе¬
ния нить обрывается и бруски разъезжаются вдоль начального направ¬
ления нити.
1) Найти скорость бруска массой 3га после его отделения от пружины.
2) Найти время соприкосновения пружины с бруском массой Зга, счи¬
тая от момента разрыва НИТИ. (Билет 6, 2000)
1.132. Гайка, вмороженная в кусок льда, висит на нити. После
того как снизу поднесли цилиндрический стакан с водой, в которую
целиком погрузили лед с гайкой, сила натяжения нити уменьшилась
на АТ (АТ > 0), а уровень воды в стакане повысился. Лед с гайкой
т
ттт?
т
стш-
Рис. 1.90
Рис. 1.91
при этом висит на нити в воде и не касается стенок и дна стакана.
После того как лед растаял, гайка осталась висеть на нити, целиком
погруженная в воду, а уровень воды в стакане за время таяния льда
понизился на АН (АН > 0). Чему равен объем гайки? Плотность во¬
ды рв, льда — рл, площадь внутреннего сечения стакана S, ускорение
свободного падения g. (Билет 6, 2000)
1.133. Вдоль прямолинейной горизонтальной спицы могут скользить
без трения две муфты. Муфта массой т с прикрепленной к ней легкой
пружиной жесткостью К движется со скоростью v (рис. 1.91). Муфта
массой 4га покоится. Размеры муфт намного меньше длины пружины.
1) Определить скорость муфты массой 4га- после отрыва от пружины.
2) Определить время контакта муфты массой 4га с пружиной.
(Билет 7, 2000)
1.134. Деревянный шарик, вмороженный в кусок льда, удерживает¬
ся внутри цилиндрического стакана с водой нитью, прикрепленной ко
дну (рис. 1.92). Лед с шариком целиком погружен в воду и не касает¬
ся стенок и дна стакана. После того как лед растаял, шарик остался

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
31
плавать внутри стакана, целиком погруженный в воду. Сила натяжения
нити за время таяния льда уменьшилась при этом в К раз (К > 1), а
уровень воды в стакане уменьшился на АН (АН > 0). Чему равен объ¬
ем шарика, если плотность воды равна рв, дерева — р (р < рв), площадь
внутреннего сечения стакана S. (Билет 7, 2000)
1.135. Бруски с массами т и 5т связаны нитью, длина которой
много больше размеров брусков. Между брусками вставлена сжатая на
величину Х[) и прикрепленная только к бруску с массой 5т, легкая
пружина жесткостью К (рис. 1.93). Система движется по гладкой гори¬
зонтальной поверхности стола вдоль горизонтально натянутой нити со
скоростью v. Нить разрывается, и бруски разъезжаются вдоль началь¬
ного направления нити.
1) Найти скорость бруска массой т после его отделения от пружины.
2) Найти время соприкосновения бруска массой га с пружиной, счи¬
тая ОТ момента разрыва НИТИ. (Билет 8, 2000)
1.136. Болт, вмороженный в кусок льда,
висит на нити. После того как снизу под-
несли цилиндрический стакан с водой, в
5 т
которую целиком погрузили лед с болтом,
сила натяжения нити уменьшилась на АТ	рис	j	93
(АТ > 0). При этом лед с болтом не касались
дна и стенок стакана. Спустя некоторое время лед растаял, а болт остал¬
ся висеть на нити, целиком погруженный в воду. При этом уровень воды
в стакане увеличился на АН по сравнению с уровнем воды в стакане
до опускания в него льда с болтом. Найти объем болта. Плотность во¬
ды рв, льда — рл, площадь внутреннего сечения стакана 5, ускорение
свободного падения g. (Билет 8. 2000)
1.137. Ящик с шайбой удерживают в
покое на наклонной плоскости с углом
наклона к горизонту а = 30° (рис. 1.94).
Ящик и шайбу одновременно отпускают
и ящик начинает скользить по наклонной
плоскости, а шайба — по дну ящика. Че¬
рез время t — 1с шайба ударяется о ниж¬
нюю стенку ящика. Коэффициент трения
скольжения между шайбой и ящиком pi = 0,23, а между ящиком и на¬
клонной плоскостью р2 = 0,27. Масса ящика вдвое больше массы шайбы.
1) Определить ускорение шайбы относительно наклонной плоскости
при скольжении шайбы по ящику.
2) На каком расстоянии L от нижней стенки ящика находилась шай¬
ба до начала движения? (Билет 1, 2001)
1.138. Систему из груза массой т.у бруска массой 2га и доски мас¬
сой Зт удерживают в покое (рис. 1.95). Брусок находится на расстоя¬
нии S = 49 см от края доски. Систему отпускают и брусок движется по

32
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
доске, а доска — по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент
трения скольжения между бруском и доской pi =0,35, а между доской
и столом р2 — 0,10.
1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении
бруска по доске?
2)Через какое время брусок достигнет края доски?
Считать, что за время опыта доска не достигает блока. Массу нити,
блока И Трение В ОСИ блока Не учитывать. (Билет 2, 2001)
1.139.	Доску с находящимся на ней бруском удерживают в покое на
наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а = 60° (рис. 1.96).
1) Определить ускорение бруска относительно наклонной плоскости
при скольжении бруска по доске.
2)Через какое время брусок достигнет края доски? (Билет 3, 2001)
1.140.	Систему из доски массой т, бруска массой 5т и груза мас¬
сой 3тп удерживают в покое (рис. 1.97). Затем систему отпускают,
и доска движется по горизонтальной поверхности стола, а брусок дви¬
жется по доске, через время £ = 1,4 с брусок достигает края доски, а
доска еще не доходит до блока. Коэффициент трения скольжения брус¬
ка о доску pi = 0,1, а доски о стол р2 = 0,3.
1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении
бруска по доске.
2) На каком расстоянии от края доски находился брусок до начала
движения?
Массу нити, блока и трение в оси блока не учитывать. (Билет 4, 2001)
1.141.	На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится гор¬
ка, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку (рис. 1.98). Участок
2/7?
Расстояние от бруска до края доски S =
= 49 см. Доску и брусок одновременно
отпускают, и доска начинает скользить
по наклонной плоскости, а брусок по
доске. Коэффициент трения скольжения
между бруском и доской pi = 0,3, а меж-
о
Рис. 1.95
ду ДОСКОЙ И наклонной ПЛОСКОСТЬЮ Р2 =
= 0,4. Масса доски в три раза больше
массы бруска.
Рис. 1.96
Рис. 1.97

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
33
АВ профиля горки — дуга окружности радиусом R. По направлению к
горке движется со скоростью небольшая по сравнению с размерами
горки монета массой т. Монета въез¬
жает на горку, движется по горке без
трения, не отрываясь от нее, и дости¬
гает точки Ку продолжая движение.
Радиус ОК составляет с вертикалью
угол р (cosp = 5/7).
1) Найти скорость монеты в точке К.
2) Найти силу давления горки на
стенку в момент прохождения монетой
ТОЧКИ К. (Билет 5, 2001)
1.142. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится гор¬
ка массой М, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку (рис. 1.99).
Участок АВ профиля горки — дуга окружности радиусом R. По на¬
правлению к горке движется со скоростью U небольшой по сравнению с
размерами горки брусок массой га. Брусок въезжает на горку и движется
по горке без трения, не отрываясь от нее, и достигает точки D на высо¬
те Н = R/2, продолжая движение. Радиус OD составляет с вертикалью
угол у (cosy = 3/4).
1) Найти скорость бруска в точке D.
2) Найти силу давления горки на стол в момент прохождения бруском
ТОЧКИ D. (Билет 6. 2001)
1.143. На горизонтальной поверхности стола покоится чаша с
небольшой по сравнению с размерами чаши шайбой массой т
(рис. 1.100). Нижняя часть АВ внутренней поверхности чаши есть часть
Рис. 1.99	Рис.	1.100
сферы радиусом R. Глубина чаши Н = ЗЯ/5, ее внутренняя поверхность
гладкая. Шайба начинает скользить без начальной скорости и при дви¬
жении не отрывается от чаши, а чаша остается в покое. Шайба до¬
стигает точки С, для которой угол между радиусом ОС и вертикалью
ра вен a (cos а = 4/5).
1) Найти скорость шайбы в точке С.
2) Найти силу трения между чашей и столом при прохождении шай¬
бой ТОЧКИ С. (Билет 7, 2001)
О
Рис. 1.98

34
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
1.144. Полушар радиусом Я покоится на горизонтальной поверхно¬
сти стола. В точку А на полушаре помещают небольшую по сравнению
с размерами полушара шайбу массой т и отпускают (рис. 1.101). Шайба
скользит без трения и оказывается в точке В, а полушар при этом оста¬
ется неподвижным. Радиусы О А и ОВ составляют с вертикалью углы
ах и СХ‘2, такие, что cosai = 5/6, cosc*2 = 2/3.
1) Найти скорость шайбы в точке В.
2) Найти силу трения между полушаром и столом при прохождении
шайбой ТОЧКИ В. (Билет 8, 2001)
1.145. Во время града автомобиль едет по дороге со скоростью и =
= 25 км/ч по горизонтальной дороге. Одна из градин ударяется о пе¬
реднее (ветровое) стекло автомобиля, наклоненное под углом a = 30° к
вертикали, и отскакивает горизонтально в направлении движения авто¬
мобиля (рис. 1.102). Считая, что удар градины о стекло абсолютно упру¬
гий и что скорость градины непосредственно перед ударом вертикальна,
найти скорость градины:
1) до удара,
2) после удара. (Билет 9, 2001)
1.146. Массивная плита поднимается вверх с постоянной скоростью.
Мяч, брошенный вертикально вверх, нагоняет плиту, ударяется абсолют¬
но упруго о боковую поверхность плиты, наклоненную под углом у = 30°
к горизонту, и отскакивает в горизонтальном направлении со скоростью
V2 = 1,7 м/с (рис. 1.103).
1) Найти скорость плиты VB.
2) Найти скорость V[ мяча непосредственно перед ударом.
Масса плиты намного больше массы мяча. (Билет 10, 2001)
1.147.	Идет град, и автомобиль едет со скоростью U — 29 км/ч по
горизонтальной дороге. Одна из градин ударяется о стекло заднего окна
автомобиля, наклоненное под углом (3 = 30° к горизонту, и отскакивает
горизонтально в направлении, противоположном движению автомоби¬
ля (рис. 1.104). Считая, что удар градины о стекло абсолютно упругий
и что ее скорость непосредственно перед ударом вертикальна, наити
скорость градины:
1) до удара,
2) после удара. (Билет И, 2001)
Рис. 1.101
Рис. 1.102
Рис. 1.103

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
35
1.148. Кабина подъемника движется вертикально вниз с постоянной
скоростью. В боковую стенку кабины, наклоненную под углом ср = 30°
к вертикали, попадает брошенный вертикально вверх мяч (рис. 1.105).
После абсолютно упругого удара мяч отскакивает в горизонтальном на¬
правлении со скоростью V4 — 3,4 м/с.
1) Найти скорость кабины Vo.
2) Найти скорость мяча V\ непосредственно перед ударом.
Масса кабины намного больше массы мяча. (Билет 12. 2001)
1.149. Шайба массой т скользит со скоростью Vo по гладкой гори¬
зонтальной поверхности стола, попадает на покоящийся клин массой 2т,
скользит по нему без трения и отрыва и покидает клин (рис. 1.106).
Клин, не отрывавшийся от стола, приобретает скорость Vo/4. Найти
угол а наклона к горизонту поверхности верхней части клина. Нижняя
часть клина имеет плавный переход к поверхности стола. Изменени¬
ем потенциальной энергии шайбы в поле тяжести при ее движении по
клину пренебречь. Направления всех движений параллельны плоскости
рисунка. (Билет 1, 2002)
1.150. На чашке пружинных весов уравновесили сосуд, в котором
находится вода массой тв. Для приготовления соленого раствора была
использована крупная соль, содержащая нерастворимые в воде примеси.
Соль с примесями в марлевом мешочке была опущена на нити в сосуд,
так что мешочек оказался полностью погруженным в воду (рис. 1.108).
После того как соль полностью растворилась в воде, показания весов
изменились на АР (АР > 0) по сравнению с их показаниями до опуска¬
ния соли в воду. Плотность соленого раствора была измерена и оказалась
равной р. Найти объем примесей Vn, оставшихся в мешочке после рас¬
творения соли, если он остался висеть на нити целиком погруженным в
раствор. Плотность чистой соли — рс, воды — рв, ускорение свободного
падения — g.
Указание. Считать раствор однородным с плотностью р =
= (тс + 7nn)/(Vc + VB), где mB и тс — массы воды и соли, a VB и Vc - их
объемы. (Билет 1. 2002)
1.151. Горка массой 4т с шайбой массой т покоятся на гладкой гори¬
зонтальной поверхности стола (рис. 1.107). От незначительного толчка
шайба начинает скользить по горке без трения, не отрываясь от нее,
Рис. 1.104
Рис. 1.105
Рис. 1.106

36
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
и покидает горку. Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает ско¬
рость и. С какой скоростью шайба упадет на стол? Нижняя часть по¬
верхности горки составляет угол у = 30° и находится на расстоянии Н
от стола. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.
(Билет 2, 2002)
1.152.	Для приготовления раствора сахара был использован сахар¬
ный песок, содержащий некоторое количество нерастворимых в воде
примесей. Песок с примесями в марлевом мешочке был опущен на нити
’Z7777?7777Z777Z77Zff7Z?777777Z7777777HZ7fr7/777,
Рис. 1.107
Рис. 1.109
в сосуд с водой, стоящий на чашке весов, так что мешочек оказался це¬
ликом погруженным в воду (рис. 1.108). После того как сахар целиком
растворился в воде, показания весов изменились на АР (АР > 0) по
сравнению с их показаниями сразу после опускания мешочка в воду со¬
суда. Мешочек с примесями после растворения сахара остался висеть на
нити целиком погруженный в раствор. После этого измерили плотность
раствора и объем примесей, которые оказались равными р и Гп. Найти
первоначальный объем воды в сосуде 14, если ее плотность — рв. Плот¬
ность чистого сахара — рс, ускорение свободного падения — g. Раствор
сахара считать однородным с плотностью р = (шс + mB)/(Vc + 14), где
гас и тв — массы сахара и воды, a Vc и VB — их объемы. (Билет 2, 2002)
1.153. На вершине покоящейся на гладком горизонтальном столе
горки массой Зга удерживают шайбу массой га (рис. 1.109). Шайбу от¬
пускают, и она скользит по горке без трения и отрыва и покидает горку.
Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает скорость и. Найти раз¬
ность высот Н между вершинами горки. Верхняя часть поверхности
правой вершины горки наклонена к вертикали под углом (3 = 30°. На¬
правления всех движений параллельны плоскости рисунка. (Билет 3. 2002)
1.154. Сосуд с водой уравновешен на чаше весов. Для приготов¬
ления соленого раствора была использована крупная соль, содержащая
нерастворимые в воде примеси. Соль с примесями в марлевом мешоч¬
ке была опущена на нити в сосуд, так что мешочек оказался целиком
погруженным в воду (рис. 1.108). Сразу после этого показания весов
изменились на АР (АР > 0). После того как соль целиком раствори¬

МЕХАНИКА « ЗАДАЧИ
37
Рис. 1.110
лась в воде, была измерена плотность раствора р и объем примесей Vn,
оставшихся в мешочке. Найти массу воды /пв, находившейся в сосуде.
Плотность чистой соли — рс, воды — рв.
Ускорение свободного падения — g. После
растворения соли раствор считать однород¬
ным с плотностью р = (тс + mB)/(Vc -f V„),
где mc и mB — массы соли и воды, a Vc и
Vn — их объемы. (Билет 3, 2002)
1.155. Игрушечная пушка может сколь¬
зить по рельсам, укрепленным на горизон¬
тальном полу. Ствол пушки наклонен под углом ср к горизон¬
ту (рис. 1.110). Масса пушки без снаряда — М, масса снаряда — т.
Из покоившейся пушки произведен выстрел. В результате пушка, не от¬
рывавшаяся от рельсов, получила скорость и. На каком расстоянии от
места выстрела снаряд упал на пол? Высоту пушки не учитывать. На¬
правления всех движений параллельны плоскости рисунка. (Билет 4, 2002)
1.156. Для приготовления раствора сахара был использован сахар¬
ный песок, содержащий некоторое количество нерастворимых в воде
примесей. Песок в марлевом мешочке был
опущен на нити в сосуд с водой, стоящий на
чашке весов, так что мешочек оказался цели¬
ком погруженным в воду (рис. 1.108). После
того как сахар целиком растворился в воде,
а примеси остались в мешочке, показания ве¬
сов изменились на АР (АР > 0) по сравне¬
нию с их показаниями сразу после опускания
мешочка в сосуд. Найти объем примесей V^,
если мешочек с ними остался висеть целиком
погруженный в раствор. Плотность раствора
оказалась равной р, плотность чистого сахара — рс, воды — рв, уско¬
рение свободного падения — g. Начальная масса воды в сосуде — гав.
После растворения сахара раствор считать однородным с плотностью
р = (тс Ч- mB)/(Vc -Ь Vn), где гас и /пв — массы сахара и воды, a Vc и
Vn — ИХ объемы. (Билет 4, 2002)
1.157. Стеклянный шар объемом V и плотностью р находится в со¬
суде с водой (рис. 1.111). Угол между стенкой сосуда и горизонтальным
дном а. Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Плотность воды р. Най¬
ти силу давления шара на дно с двух случаях:
1) сосуд неподвижен,
2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а.
(Вилет 5, 2002)
1.158. Пробковый шар объемом V привязан ко дну конического со¬
суда с водой так, что нить вертикальна, а шар касается гладкой стенки
сосуда (рис. 1.112). Угол между горизонтальным дном и стенкой сосу¬

38
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
да у. Плотности воды и пробки р и рь Найти силу натяжения нити в
двух случаях:
1) сосуд неподвижен,
2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а.
(Билет 6, 2002)
1.159. В сосуде с водой находится алюминиевый шар объемом V,
прикрепленный ко дну сосуда нитью АВ (рис. 1.113). Дно сосуда гори¬
зонтальное и гладкое. Плотность алюминия и воды р<> и р. Найти силу
давления шара на дно сосуда в двух случаях:
1) сосуд неподвижен,
2)сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а, и
НИТЬ составляет С ДНОМ угол (3. (Билет 7, 2002)
1.160. В коническом сосуде с водой находится деревянный шар объ¬
емом V, удерживаемый от всплытия горизонтальной полкой BD, при¬
крепленной к стенке сосуда (рис. 1.114). Поверхность полки и стенки
гладкие. Угол между полкой и стенкой сосуда ср. Плотности воды и
дерева р и pi. Найти силу давления шара на полку в двух случаях:
1) сосуд неподвижен,
2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением а.
(Билет 8, 2002)
1.161. Толстая однородная веревка массой т = 0,3 кг соединена с
бруском массой 6т легкой нитью, перекинутой через блок (рис. 1.115).
Коэффициент трения скольжения между бруском и наклонной плоско¬
стью р = ОД. Угол наклона плоскости к горизонту |3 = 30°.
1) Найти ускорение бруска.
2) Найти силу натяжения веревки в точке В, для которой BD—
— AD/A. Массой блока и трением в его оси пренебречь. (Билет 9, 2002)
1.162. Однородный канат массой т — 1 кг соединен с бруском мас¬
сой Зга/2 легкой нитью, перекинутой через блок (рис. 1.116). Канат нахо¬
дится на наклоненной под углом a (cosa = 0,8) к горизонту поверхности.
Коэффициент трения скольжения между этой поверхностью и канатом
р = 0,2.
1)	Найти ускорение каната.

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
39
2)	Найти силу натяжения каната в его середине. Массой блока и
трением в его оси пренебречь. (Билет 10, 2002)
1.163.	Брусок массой га = 0,5 кг соединен с толстой однородной ве¬
ревкой массой Зга легкой нитью, перекинутой через блок (рис. 1.117).
А
3?п
в
D
Рис. 1.115
Рис.
16
Рис. 1.117
Коэффициент трения скольжения между бруском и наклонной плоско¬
стью [I = 0,4. Угол наклона плоскости к горизонту р = 30°.
1) Найти ускорение веревки.
2) Найти силу натяжения веревки в точке В, для которой BD—
= AD/6. Массой блока и трением в его оси пренебречь. (Билет 11, 2002)
1.164. Однородный канат массой га = 3 кг соединен с бруском мас¬
сой 2га легкой нитью, перекинутой через блок (рис. 1.118). Канат на¬
ходится на горизонтальной поверхности, а брусок — на наклоненной
под углом a (sinа = 0,6) к горизонту поверхности. Коэффициент трения
скольжения каната и бруска о соответ¬
ствующие поверхности р = 0,3.
1) Найти ускорение бруска.
2) Найти силу натяжения каната
в точке В, для которой АВ = АС/3.
Массой блока и трением в его оси пре¬
небречь. (Билет 12, 2002)
1.165. Предположим, что между Калининградской и Московской об¬
ластями прорыт прямолинейный железнодорожный тоннель длиной L —
« 1000 км. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в Московской об¬
ласти и отпускают без начальной скорости.
1) Через какое время вагон достигнет Калининградской области?
2) Найдите максимальную скорость вагона.
Землю считать шаром радиусом R = 6400 км с одинаковой плотно¬
стью по всему объему. Вращение Земли, сопротивление воздуха и все
виды трения при движении не учитывать. (Билет 1, 2003)
1.166. Представьте себе, что в астероиде радиусом R = 16 км пробу¬
рен канал вдоль его диаметра. В канал с поверхности астероида сбрасы¬
вают без начальной скорости предмет.
1) Через какое время предмет окажется первый раз на расстоянии
U/2 от центра астероида?
2) Найдите скорость предмета в этот момент.

40
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
Известно, что первая космическая скорость для астероида щ = 14м/с.
Плотность астероида одинакова по всему объему, атмосферы нет. Вра¬
щение и трение при движении предмета не учитывать. (Билет 2, 2003)
1.167. В проекте из области фантастики предлагается прорыть меж¬
ду Москвой и Парижем прямолинейный железнодорожный тоннель дли¬
ной S = 2400 км. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в Париже и
отпускают без начальной скорости.
1) Через какое время вагон достигнет середины тоннеля?
2) Найдите скорость вагона в середине тоннеля.
Землю считать шаром радиусом R = 6400 км с одинаковой плотно¬
стью по всему объему. Вращение Земли, сопротивление воздуха и все
виды трения при движении не учитывать. (Билет 3, 2003)
1.168. Для транспортировки контейнера с грузом на противополож¬
ную сторону астероида предполагается пробурить шахту вдоль его диа¬
метра и сбрасывать в нее контейнер без начальной скорости. Радиус
астероида R = 1 км, его плотность постоянна по всему объему и в 2 ра¬
за меньше средней плотности Земли. Атмосферы на астероиде нет, его
вращением можно пренебречь. Радиус Земли Дз = 6400 км. Не учиты¬
вая трение при движении в шахте, найдите:
1) время, через которое контейнер окажется первый раз на расстоя¬
нии R/2 от центра астероида;
2) скорость контейнера в ЭТОТ момент. (Билет 4, 2003)
1.169. В результате удара шар получил скорость v0 вдоль гори¬
зонтальной поверхности стола и вращение вокруг своего горизонталь¬
ного диаметра, перпендикулярного скорости (рис. 1.119). После удара
скорость шара уменьшилась в течение време¬
ни т, а затем стала постоянной.
1) Найдите эту постоянную скорость.
2) На каком расстоянии от места удара ока¬
жется шар через 4т после удара?
Коэффициент трения скольжения между по¬
верхностями шара И стола — р. (Билет 5, 2003)
1.170. Груз уравновешен на чашке пружинных весов, при этом в
пружине запасена потенциальная энергия деформации Uq. На чашку
весов поставили дополнительную гирю, так что масса нового груза стала
в три раза больше первоначальной.
1) Во сколько раз величина максимального ускорения атах во время
возникших колебаний отличается от ускорения свободного падения g?
2) С каким по величине ускорением движется груз в момент, когда
его кинетическая энергия Т = 3?Уо?
Затуханием колебаний пренебречь. (Билет 5, 2003)
1.171. Обручу, закрученному вокруг горизонтальной оси, проходя¬
щей перпендикулярно плоскости обруча через его центр, сообщают вдоль
горизонтальной поверхности стола скорость г>о, направленную перпенди¬

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
41
кулярно оси вращения (рис. 1.120). Обруч сначала удаляется, а затем, из-
за трения о стол, возвращается к месту начала движения со скоростью
гц=^о/4, катясь без проскальзывания. Коэф¬
фициент трения скольжения между обручем и
столом — [I.
1) Найдите время движения до места макси¬
мального удаления.
2) Через какое время, считая от начала дви-	Рис.	1.120
жения, обруч возвратится назад? (Билет 6, 2003)
1.172. Шарик висит на пружине в поле силы тяжести g. В положении
равновесия в пружине запасена энергия деформации С/о- Вертикальным
толчком шарику сообщается кинетическая энергия, равная 3Uq.
1)Чему равна величина максимального ускорения шарика атах во
время возникших вертикальных колебаний?
2) Чему равна кинетическая энергия движения шарика Т в момент,
когда его ускорение а — атах/3?
Затуханием колебаний пренебречь. (Билет б, 2003)
1.173. Шару сообщили ударом скорость г;0 вдоль горизонтальной по¬
верхности стола и вращение вокруг его горизонтального диаметра, пер¬
пендикулярно скорости (рис. 1.119). В результате скорость шара в тече¬
ние времени to увеличилась, а затем шар стал двигаться с постоянной
скоростью.
1) Найдите эту постоянную скорость.
2) На какое расстояние от места удара удалится шар за время 3£()
после удара?
Коэффициент трения скольжения между поверхностями шара и сто¬
ла — {1. (Билет 7, 2003)
1.174. Груз уравновешен на чашке пружинных весов, при этом в
сжатой пружине запасена потенциальная энергия деформации £/0. После
того как часть груза быстро сняли, оставшийся груз стал совершать
вертикальные колебания, в которых величина максимального ускорения
составила atTiax =2g (g — ускорение свободного падения).
1) Во сколько раз масса первоначального груза больше оставшейся?
2) Чему равна кинетическая энергия оставшегося груза в момент,
когда его ускорение а = атах/2?
Затуханием колебаний пренебречь. (Билет 7, 2003)
1.175. Обруч, закрученный вокруг горизонтальной оси, проходящей
перпендикулярно плоскости обруча через его центр, бросили вдоль го¬
ризонтальной поверхности стола со скоростью н0, направленной перпен¬
дикулярно оси вращения (рис. 1.120). Обруч сначала удалялся, а затем
из-за трения о стол возвратился к месту броска, катясь без проскальзы¬
вания со скоростью vi =vo/3. Коэффициент трения скольжения между
обручем и столом р.
1)	На какое максимальное расстояние от места броска удалился обруч?

42
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
2)	Найдите отношение времени возврата (движения к месту броска)
ко времени удаления (движения от места броска). (Билет 8, 2003)
1.176. Шарик висит на пружине в поле тяжести g. В положении рав¬
новесия в пружине запасена энергия, равная Uq. Шарик оттягивают вниз
так, что в пружине запасается энергия U\ — 9£/()/4, а затем отпускают.
1)Чему равна величина максимального ускорения «тах, с которым
движется шарик во время возникших вертикальных колебаний?
2) Чему равна кинетическая энергия Т движения шарика в момент,
когда его ускорение а = аП1ах/2?
Затуханием колебаний пренебречь. (Билет 8, 2003)
1.177. Два небольших по размерам шарика связаны нитью и при¬
креплены к оси 00\ другой нитью в v/З раз меньшей длины. Система
Ох
Рис. 1.121
вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ООi
(рис. 1.121). Нити составляют углы а = 30° и (3 = 60° с вертикалью. Най¬
дите отношение масс mi/m,2 шариков. (Билет 9. 2003)
1.178.	Горизонтальная платформа и находящиеся на ней небольшие
по размерам шарики с массами m и 4т вращаются с постоянной угловой
скоростью вокруг вертикальной оси 00\ (рис. 1.122). Нить, прикреплен¬
ная к шарику с массой 4т и оси ООь составляет с осью угол айв
два раза короче нити, связывающей шарики. Шарик с массой 4т давит
на платформу с силой в два раза большей, чем другой шарик. Найдите
силу натяжения нити между шариками. Трение
между платформой и шариками пренебрежимо ма¬
ло. (Билет 10, 2003)
1.179. Вокруг вертикальной оси 00\ враща¬
ется с постоянной угловой скоростью система из
двух небольших по размерам шариков различной
массы (рис. 1.123). Нить, связывающая шарики, в
три раза длиннее нити, прикрепленной к верхне¬
му шарику и оси вращения. Нити составляют уг¬
лы у (siny = 3/5) и ср (sinср = 4/5) с вертикалью. Найдите отношение
сил натяжения верхней и нижней нитей. (Билет 11, 2003)
1.180.	Два небольших по размерам груза с массами 3га и га связаны
нитью длиной 1.2 и прикреплены к оси 00\ нитью длиной /ь составляю¬
щей угол (3 с осью 00\ (рис. 1.124). Грузы находятся на горизонтальной

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
43
платформе и вращаются вместе с ней вокруг вертикальной оси 00\.
При какой постоянной угловой скорости грузы будут давить на плат¬
форму с одной и той же силой? Трение между грузами и платформой
пренебрежимо мало. (Билет 12, 2003)
1.181. На горизонтальной поверхности стола протягивают с посто¬
янной скоростью v тонкую ленту шириной d. На ленту въезжает сколь¬
зящая по столу монета, имея скорость 4/Зг?, направленную перпендику¬
лярно к краю ленты (рис. 1,125). Монета скользит по ленте и покидает
ее со скоростью v (относительно стола) под не равным нулю углом к
краю ленты.
1) Найти скорость монеты (по модулю) относительно ленты в начале
движения по ленте.
2) Найти коэффициент трения скольжения между лентой и монетой.
(Билет 1, 2004)
1.182. Лента транспортера на почте движется с постоянной ско¬
ростью v, находясь в одной плоскости с горизонтальной поверхностью
Рис. 1.125	Рис.	1.126	Рис.	1.127
стола. На ленту попадает небольшая коробка, двигавшаяся по столу
со скоростью г;/2, направленной под углом a (cosa= 1/9) к краю лен¬
ты (рис. 1.126). Коэффициент трения скольжения между коробкой и лен¬
той равен \i.
1)Чему равна скорость коробки (по модулю) относительно ленты в
начале движения по ленте?
2) При какой минимальной ширине ленты коробка не преодолеет лен¬
ту? (Билет 2, 2004)
1.183. По горизонтальному столу передвигают с постоянной скоро¬
стью тонкую ленту шириной d. На ленту въезжает двигавшаяся по столу
пуговица, имевшая до въезда скорость, равную скорости ленты и направ¬
ленную под углом a = 60° к краю ленты (рис. 1.127). Пуговица скользит
по ленте и покидает ее со скоростью (относительно стола), направлен¬
ной под углом (3 = 30° к краю ленты. Коэффициент трения скольжения
между пуговицей и лентой равен р.
1)Во сколько раз отличается модуль скорости пуговицы относитель¬
но ленты в начале движения по ленте от модуля скорости ленты?
2) Найти скорость ленты (по модулю). (Билет 3, 2004)
1.184. Лента горизонтального тротуара шириной d движется с посто¬
янной скоростью V. На ленту попадает шайба с горизонтальной скорос¬
тью Зп, направленной под углом a (cosa = 2/3) к краю ленты (рис. 1.128).

44
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
1) Чему равна скорость шайбы (по модулю) относительно тротуара в
начале движения по нему?
2) При каком максимальном коэффициенте трения скольжения меж¬
ду шайбой и тротуаром шайба преодолеет тротуар? (Билет 4, 2004)
1.185.	Бруски с массами га и 2га связаны легкой нитью, перекинутой
через блок, и находятся на наклонной и горизонтальной поверхностях
призмы (рис. 1.129). Угол наклона к горизонту одной из поверхностей
Рис. 1.128	Рис. 1.129
призмы равен a (sina = 3/5). Коэффициент трения скольжения бруска о
горизонтальную поверхность р = 1/6, а о наклонную поверхность — 2р.
При перемещении призмы с некоторым минимальным горизонтальным
ускорением а брусок с массой 2га начинает скользить по призме влево
при натянутой нити. Найти отношение a/g, где g — ускорение свобод¬
ного падения. Трением в оси блока пренебречь. (Билет 5, 2004)
1.186.	В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски, так
что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на Ah = 1 см. За¬
тем на доску сверху положили пластину из льда. В результате доска по¬
грузилась в воду полностью, а пластина льда наа = 7/10 своего объема.
На сколько изменится объем воды в ведре,
когда лед полностью растает? Плотность во¬
ды рв = 1 г/см3, льда р;, = 0,9 г/см3, дерева
р = 0,6 г/см3. Площадь внутреннего сечения
ведра S = 300 СМ2. (Билет 5, 2004)
1.187.	Небольшие бруски с массами га
и Зга связаны легкой нитью, перекинутой
через блок (рис. 1.130). Брусок массой 3т
удерживают на гладкой наклоненной под уг¬
лом (3 (cos|3 = 3/5) к горизонту поверхности
чаши. Коэффициент трения скольжения меж¬
ду бруском массой га и вертикальной стенкой
чаши р = 2/5. Чаша с брусками может вра¬
щаться вокруг вертикальной оси ООг. Бруски находятся на расстояниях
R и 2R от оси ОО'. Нить и бруски лежат в плоскости, перпендику¬
лярной поверхности чаши. При какой минимальной угловой скорости
вращения брусок массой га начнет двигаться вверх, если второй брусок
не удерживать? Трением в оси блока пренебречь. (Билет 6, 2004)

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
45
1.188. Обрезок доски из дерева опустили в цилиндрическое ведро с
водой так, что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на
Д/г = 0,5см. Затем на доску положили алюминиевую пластинку объе¬
мом V = 30 см3. Доска вместе с пластинкой осталась на плаву. При этом
доска погрузилась полностью, а пластинка — на а — 7/10 своего объема.
Найти плотность дерева. Плотность алюминия р = 2,7 г/см3, плотность
воды рв = 1 г/см3, площадь внутреннего сечения ведра S = 280 см2. (Би¬
лет 6. 2004)
1.189. Грузы с массами т и 2га связаны легкой нитью, перекинутой
через блок, и находятся на наклоненных под углами a (sin а = 4/5) и |3 =
= 90° — а к горизонту поверхностях горки (рис. 1.131). Поверхность BD
гладкая, коэффициент трения скольжения груза о поверхность АВ р =
= 1/3. С каким минимальным горизонтальным ускорением а надо дви¬
гать горку, чтобы груз массой 2т поднимался вверх по поверхности BD?
Трением в оси блока пренебречь. (Билет 7. 2004)
1.190. В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски, так
что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на Ah = 1,5 см.
Затем на доску сверху положили пластину из льда. В результате дос¬
ка погрузилась в воду полностью, а пластина льда на a = 0,6 своего
объема. После того как лед растаял, объем воды в ведре увеличился
на v; = 0 ,9 л. Найти плотность дерева. Плотность воды рв = 1 г/см3,
льда рл= 0,9 г/см3. Площадь внутреннего сечения ведра S = 200 см2.
(Билет 7, 2004)
1.191. На горизонтальной и наклонной поверхностях призмы нахо¬
дятся небольшие бруски с массами га и 2га, связанные легкой нитью,
перекинутой через блок (рис. 1.132). Призма с брусками может вращать¬
ся вокруг вертикальной оси ОО'. Ось ОО' составляет угол a (sina =
*= 4/5) с наклонной поверхностью призмы, причем ось и бруски лежат
в плоскости, перпендикулярной наклонной поверхности призмы. Бруски
находятся на расстояниях R и 3R от оси вращения. Коэффициент трения
скольжения бруска о наклонную поверхность призмы р = 1/2, горизон¬
тальная поверхность призмы гладкая. При какой минимальной угловой

46
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
скорости вращения брусок массой га начнет удаляться от оси вращения?
Трением в оси блока пренебречь. (Билет 8. 2004)
1.192. В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски из
дерева, который стал плавать. Когда на доску положили алюминиевую
пластину объемом V — 90 см3, доска с ней осталась на плаву. При этом
доска погрузилась в воду полностью, а пластина на а = 1/5 своего объ¬
ема. На сколько изменился уровень воды в ведре вначале, когда в него
пустили плавать обрезок доски? Плотность алюминия р = 2,7 г/см3, во¬
ды рв = 1 г/см3, дерева рЛ = 0,55 г/ см3. Площадь внутреннего сечения
ведра S = 300 см2. (Билет 8, 2004)
1.193. Клин с массой 2га и углом наклона к горизонту a (cosa = 2/3)
находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 1.133).
Через блок, укрепленный на вершине клина, перекинута легкая нить,
связывающая грузы с массами га и Зга. Груз с массой 3га может сколь¬
зить вдоль вертикальной направляющей АВ, закрепленной на клине.
Этот груз удерживают неподвижно на расстоянии Н — 27 см от стола, а
затем отпускают. В результате грузы и клин движутся поступательно,
их скорости лежат в одной и той же вертикальной плоскости. На какое
расстояние сместится клин к моменту удара груза с массой Зга о стол?
Массами блока и направляющей АВ пренебречь. (Билет 9, 2004)
1.194. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится бру¬
сок в форме прямоугольного параллелепипеда. На бруске укреплен сту¬
пенчатый блок с радиусами шкивов г и R = 4г и вертикальная штан¬
га ВС (рис. 1.134). На шкивы намотаны легкие нити, прикрепленные
к грузам с массами га и 5т. Груз с массой га может скользить вдоль
штанги ВС. Вначале груз с массой 5га удерживали в покое, а затем
отпустили. Брусок и грузы стали двигаться поступательно, их скорости
оказались в одной и той же вертикальной плоскости. К моменту удара
груза с массой га о стол другой груз не достиг блока, а брусок сместился
на S = 2,5 см. На каком расстоянии от стола находился груз с массой га
вначале? Массами блока и штанги пренебречь. (Билет ю, 2004)
1.195.	Бруски с массами га и Зга связаны легкой нитью, перекинутой
через блок, укрепленный на вершине клина с углом наклона к горизон¬

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
47
ту a (сова = 7/9) и массой 4га (рис. 1.135). Клин находится на глад¬
кой горизонтальной поверхности стола. Брусок с массой 3га удерживают
неподвижно на расстоянии L = 24 см от края клина, а затем отпуска¬
ют. В результате бруски и клин движутся поступательно, их скорости
Рис. 1.135
777.7
лежат в одной и той же вертикальной плоскости. На какое расстояние
сместится клин к моменту удара бруска с массой Зга о стол? К моменту
удара другой брусок еще не достигает блока. Массой блока пренебречь.
(Билет 11, 2004)
1.196. Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда находится
на гладкой горизонтальной поверхности стола. На бруске укреплены сту¬
пенчатый блок с радиусами шкивов г и jR = 37’ и вертикальная штан¬
га АС (рис. 1.136). На шкивы намотаны легкие нити, прикрепленные к
грузам с массами т и 4га. Масса бруска 2т.
Груз с массой га может скользить вдоль штан¬
ги АС. Вначале груз с массой 4га удерживали
в покое. При этом груз с массой га находился
на расстоянии Н = 14 см от стола. Затем грузы
отпустили. Брусок и грузы стали двигаться по¬
ступательно, их скорости оказались в одной и
той же вертикальной плоскости. На какое рас¬
стояние сместится брусок к моменту удара груза с массой га о стол?
При ударе другой груз не достигает блока. Массами блока и штанги
пренебречь. (Билет 12, 2004)
1.197. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится
клин, прислоненный к гладкой вертикальной стене. Поверхность клина
наклонена к горизонту под углом а (рис. 1.137). Автомобильное колесо
массой М скатывается без проскальзывания с клина. В процессе дви¬
жения колеса по клину клин действует на стену с постоянной силой F.
Какой скорости достигнет колесо, пройдя из состояния покоя путь S по
клину? (Билет 1, 2005)
1.198. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится
призма, упирающаяся в гладкую вертикальную стенку. Поверхность
призмы наклонена под углом у к горизонту (рис. 1.138). Велосипедное
Рис. 1.137

48
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
колесо массой т движется вверх по призме, катясь без проскальзыва¬
ния и имея при прохождении точки А скорость уц. При движении колеса
вверх призма давит на стенку с постоянной силой F. На какое макси¬
мальное расстояние удалится колесо от точки А при движении вверх?
(Билет 2, 2005)
1.199.	Клин, прислоненный к гладкой вертикальной стене, находит¬
ся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Поверхность клина
Рис. 1.138
Рис. 1.140
Рис. 1.141
наклонена под углом р к горизонту (рис. 1.139). Автомобильное коле¬
со массой т скатывается без проскальзывания с клина. При движении
колеса по клину клин давит на стол с постоянной силой, величина ко¬
торой на ДF больше веса клина. На какое расстояние сместится колесо
ПО КЛИНу за Время t, начав Движение ИЗ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ? (Билет 3. 2005)
1.200.	Призма находится на гладкой горизон¬
тальной поверхности стола и упирается в гладкую
вертикальную стенку. Поверхность призмы накло¬
нена под углом ф к горизонту (рис. 1.140). Коле¬
со игрушечного велосипеда массой т движется
вверх по призме, катясь без проскальзывания и
имея при прохождении точки В скорость vq. При
движении колеса вверх призма давит на стол с по¬
стоянной силой, величина которой на Q больше веса призмы. За какое
время скорость колеса уменьшится в 3 раза при его движении вверх?
(Билет 4, 2005)
1.201. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизон¬
ту а колеблются с амплитудой А как одно целое вдоль прямой шайба
массой т и брусок массой 3т под действием пружины
жесткостью /с, прикрепленной к бруску (рис. 1.141). При
каком минимальном коэффициенте трения скольжения
между шайбой и бруском такие колебания возможны?
(Билет 5, 2005)
1.202.	Кусок льда привязан нитью ко дну цилиндри¬
ческого сосуда с водой (рис. 1.142). Над поверхностью
воды находится некоторый объем льда. Нить натянута
с силой Т = 1 Н. На сколько и как изменится уровень
воды в сосуде, если лед растает? Площадь дна сосуда S = 400 см2, плот¬
ность воды р = 1 г/сма. (Билет 5, 2005)
Рис. 1.142

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
49
1.203. Доска массой га и брусок массой 677* совершают колебания
вдоль прямой как одно целое на гладкой наклонной плоскости с уг¬
лом наклона к горизонту а под действием пружины с жесткостью к,
прикрепленной к бруску (рис. 1.143). Коэффициент трения скольжения
между бруском и доской равен р. При какой максимальной амплитуде
колебаний такие колебания возможны? (Билет 6. 2005)
1.204. На нити, привязанной к стойке, висит кусок льда, частич¬
но погруженный в воду, налитую в цилиндрический сосуд (рис. 1.144).
Рис. 1.143	Рис.	1.144	Рис.	1.145	Рис. 1.146
Найти силу натяжения нити, если после того, как лед растаял, уровень
воды в сосуде изменился на Ah = 3 см. Площадь дна сосуда S — 60 см2.
Плотность ВОДЫ Р = 1 г/см3. (Билет 6, 2005)
1.205. Шайба массой т и брусок массой 4т совершают колебания с
амплитудой А вдоль прямой как одно целое на гладкой наклонной плос¬
кости с углом наклона к горизонту а под действием упругой пружины,
прикрепленной к бруску (рис. 1.145). Коэффициент трения скольжения
между шайбой и бруском равен р. При каком максимальном коэффици¬
енте жесткости пружины такие колебания ВОЗМОЖНЫ? (Билет 7, 2005)
1.206. Деревянный шарик привязан ко дну цилиндрического сосуда
с водой (рис. 1.146). Над поверхностью воды находится часть шарика,
а нить натянута с некоторой силой. Если нить пе¬
ререзать, то шарик всплывет, и уровень воды в со¬
суде изменится на Ah — 4см. С какой силой была
натянута нить? Площадь дна сосуда S = 100 см2.
Плотность ВОДЫ р = 1 г/см3. (Билет 7, 2005)
1.207. Доска массой т и брусок массой 8т
колеблются вдоль прямой как одно целое на глад¬
кой наклонной поверхности с углом наклона к го¬
ризонту а под действием пружины жесткостью к,	рнс	i 147
прикрепленной к бруску (рис. 1.147). Коэффици¬
ент трения скольжения между бруском и доской равен р. При какой
максимальной амплитуде колебаний такие колебания возможны? (Би¬
лет 8, 2005)
1.208. На нити, привязанной к стойке, висит деревянный ша¬
рик, частично погруженный в воду, налитую в цилиндрический сосуд

50
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
(рис. 1.148). Нить натянута с силой Т = 3 Н, Если нить перерезать, то
шарик станет плавать в сосуде. На сколько и как при этом изменит¬
ся уровень воды в сосуде? Площадь дна сосуда S = 300 см2, плотность
ВОДЫ р = 1 г/см**. (Билет 8, 2005)
1.209.	По гладкой горизонтальной поверхности стола движется со
скоростью и брусок с выемкой в форме полуцилиндра радиусом R
(рис. 1.149). Небольшая по сравнению с размерами бруска монета мас¬
сой m скользит по столу со скоростью vу догоняет брусок, скользит без
/я»»»»?}»»»1»)».
Рис. 1.148
трения по поверхности выемки, не отрываясь от нее, и оказывается в
точке Ач продолжая скользить вверх по выемке. Радиус ОА составляет
угол у = 60° с вертикалью. Масса бруска намного больше массы монеты.
1) Найдите скорость монеты относительно бруска в точке А.
2) Найдите силу давления монеты на брусок в точке А. (Билет 9. 2005)
1.210.	Горка движется со скоростью и по гладкой горизонтальной по¬
верхности стола (рис. 1.150). Небольшая по сравнению с размерами гор¬
ки шайба массой m скользит по столу навстречу горке со скоростью v,
заезжает на горку, скользит по гладкой поверхности горки, не отрываясь
от нее, и оказывается на высоте Н в точке С, продолжая скользить вверх
по горке. Поверхность горки в точке С составляет угол a (cosa = 3/4)
окружности радиусом R = 4Н. Масса горки
намного больше массы шайбы.
1) Найдите скорость шайбы относитель¬
но горки в точке С.
2) Найдите силу давления шайбы на гор¬
ку В ТОЧКе С. (Билет 10, 2005)
1.211.	Брусок с выемкой в форме полу¬
цилиндра радиусом R движется со скоро¬
стью и по гладкой горизонтальной поверхности стола (рис. 1.151).
Небольшая по сравнению с размерами бруска монета массой m скользит
по столу со скоростью v навстречу бруску, скользит далее по гладкой
поверхности выемки, не отрываясь от нее, и оказывается в точке Б,
продолжая скользить по выемке вверх. Радиус ОБ составляет угол q
(cosср = 2/3) с вертикалью. Масса бруска намного больше массы монеты.
1) Найдите скорость монеты относительно бруска в точке Б.
2) Найдите силу давления монеты на брусок в точке Б. (Билет 11, 2005)
Рис. 1.151

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
51
1.212. По гладкой горизонтальной поверхности стола двигается гор¬
ка со скоростью и (рис. 1.152). Небольшая по размерам шайба массой т
скользит по столу со скоростью v в том же направлении, что и горка,
догоняет горку, скользит по гладкой поверхности горки, не отрываясь
от нее, и оказывается на высоте Н в точке С, продолжая скольжение
вверх по горке. Поверхность горки в точке С наклонена к горизонту под
углом р (cos(3 = 5/7). Участок АВ вертикального профиля горки — дуга
окружности радиусом Я = 7Н. Масса
горки намного больше массы шайбы.
1) Найдите скорость шайбы отно¬
сительно горки в точке С.
2) Найдите силу давления шайбы
на горку В точке С. (Билет 12, 2005)
1.213. Ровная шероховатая доска
движется с постоянным горизонталь¬
ным ускорением а, сохраняя постоянный угол наклона а к вертикали
(рис. 1.153). Доска толкает перед собой массивный брусок. Оказалось,
что при а > g брусок с доской движутся вместе без проскальзывания,
а при а < g брусок падает вниз. Найдите коэффициент трения р между
ДОСКОЙ И бруском, если tga = 0,2. (Билет 1, 2006)
1.214. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизон¬
тальным ускорением a=g} сохраняя постоянный угол наклона а к вер¬
тикали (рис. 1.153). Доска толкает перед собой массивный брусок. Ока¬
залось, что при a < a() (tgao = 0,2) брусок с доской движутся вместе
без проскальзывания, а при a > а0 брусок падает вниз. Найдите коэф¬
фициент трения р между ДОСКОЙ И бруском. (Билет 2, 2006)
1.215. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизон¬
тальным ускорением а, сохраняя постоянный угол наклона а к вертика¬
ли (рис. 1.153). Доска толкает перед собой массивный брусок. Оказалось,
что при а > g брусок с доской движутся вместе без про¬
скальзывания, а при а < g брусок падает вниз. Найдите
угол а, если коэффициент трения между доской и бруском
равен р = 1,5. (Билет 3, 2006)
1.216. Ровная шероховатая доска движется с постоян¬
ным горизонтальным ускорением а, сохраняя постоянный	рис. i 153
угол наклона а к вертикали (рис. 1.153). Доска толкает
перед собой брусок массой т = 1 кг. Оказалось, что при a < a0 (tga0 =
ш 0,2) брусок с доской движутся вместе без проскальзывания, а при
и > а() брусок падает вниз. Найдите а, если коэффициент трения между
ДОСКОЙ И бруском равен Р = 1,5. (Билет 4, 2006)
1.217. Шарик, висящий на упругой пружине, совершает колебания с
периодом Т и амплитудой А вдоль вертикали. Масса пружины намного
меньше массы шарика.
1)	Найдите максимальное ускорение (по модулю) шарика о,
■max

52
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
2)	Найдите скорость (по модулю) шарика в те моменты, когда его
ускорение (по модулю) равно 0,75атах. (Билет 5, 2006)
1.218. Чашка пружинных весов совершает колебания с периодом Т
вдоль вертикали под действием упругой пружины, прикрепленной к чаш¬
ке снизу. Максимальная скорость (по модулю) чашки равна ггтах. Масса
пружины намного меньше массы чашки.
1) Найдите максимальное ускорение чашки (по модулю).
2) На каком расстоянии от положения равновесия находится чашка в
те моменты, когда ее скорость (по модулю) равна 2г>тах/3? (Билет 6, 2006)
1.219. Висящий на упругой пружине шар совершает колебания с пе¬
риодом Т и амплитудой А вдоль вертикали. Масса шара намного больше
массы пружины.
1) Найдите максимальную скорость (по модулю) шара vm&K.
2) Найдите ускорение (по модулю) шара в те моменты, когда его
скорость (по модулю) равна г>тах/3. (Билет 7, 2006)
1.220. Чашка пружинных весов совершает колебания с периодом Т
вдоль вертикали под действием упругой пружины, прикрепленной к чаш¬
ке снизу. Максимальное ускорение (по модулю) чаши равно атах. Масса
чаши намного больше массы пружины.
1) Найдите максимальную скорость (по модулю) чаши.
2) Найдите скорость (по модулю) чаши в те моменты, когда она бу¬
дет находиться на расстоянии от положения равновесия, втрое меньшем
амплитуды колебаний. (Билет 8, 2006)
1.221. Автомобиль тормозит с постоянным ускорением до полной
остановки. Торможение заняло 4 с, а тормозной путь составил 20 м.
Какова была скорость автомобиля на середине тормозного пути? (Би¬
лет 9, 2006)
1.222. Маятник представляет собой шарнирно прикрепленный к по¬
толку жесткий легкий стержень длины 41, на котором закреплены два
маленьких груза массой m каждый (рис. 1.154). Трением в шарнире и
сопротивлением воздуха можно пренебречь.
1) Стержень отклоняют на угол <р0 = 60° от вертикали и отпускают
без толчка. Найдите максимальную скорость движения нижнего груза.
2) Найдите период колебаний маятника при малых отклонениях от
положения равновесия. (Билет 9, 2006)
1.223. Трамвай тормозит с постоянным ускорением до полной оста¬
новки. Найдите тормозной путь трамвая, если торможение заняло 5 с, а
скорость трамвая на середине тормозного пути была 4 м/с. (Билет 10, 2006)
1.224. Маятник представляет собой шарнирно прикрепленный к по¬
толку жесткий легкий стержень длины 21, на котором закреплены два
маленьких груза массами m и 2га (рис. 1.155). Трением в шарнире и
сопротивлением воздуха можно пренебречь.
1)	Стержень отклоняют на угол ф() = 60° от вертикали и отпускают
без толчка. Найдите максимальную скорость движения нижнего груза.

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
53
2)	Найдите период колебаний маятника при малых отклонениях от
положения равновесия. (Билет 10, 2006)
1.225. Электричка тормозит с постоянным ускорением до полной
остановки. Тормозной путь составил 50 м, а скорость на середине тор¬
мозного пути была 10 м/с. Сколько времени продолжалось торможение?
(Билет 11, 2006)
1.226. Маятник представляет собой шарнирно прикрепленный к по¬
толку жесткий легкий стержень длины 4/, на котором закреплены два
маленьких груза массой т каждый (рис. 1.156). Трением в шарнире и
сопротивлением воздуха можно пренебречь.
1)	Стержень отклоняют на угол ф0 = 60° от вертикали и отпускают
без толчка. Найдите максимальную скорость движения нижнего груза.
ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ
2)	Найдите период колебаний маятника при малых отклонениях от
положения равновесия. (Билет И, 2006)
1.227. Автобус тормозит с постоянным ускорением 1 м/с2 до полной
остановки. Определите тормозной путь, если его вторая половина была
пройдена за 5 С. (Билет 12, 2006)
1.228. Маятник представляет собой шарнирно прикрепленный к по¬
толку жесткий легкий стержень длины 21, на котором закреплены два
маленьких груза массами т и 2т (рис. 1.157). Трением в шарнире и
сопротивлением воздуха можно пренебречь.
1) Стержень отклоняют на угол ср0 = 60° от вертикали и отпускают
без толчка. Найдите максимальную скорость движения нижнего груза.
2)Найдите период колебаний маятника при малых отклонениях от
положения равновесия. (Билет 12, 2006)
1.229. Проехав «лежачего полицейского» со скоростью vq = 5 км/ч,
автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге,
увеличивает свою скорость таким образом, что сила тяги, развивае¬
мая двигателем, оказывается пропорциональной скорости автомобиля.
На расстоянии Si = 30 м от «полицейского» автомобиль достиг скорости
\)\ — 20 км/ч. На каком расстоянии от «полицейского» скорость автомо¬
биля будет равна г;2 = 30 км/ч? Сопротивлением движению пренебречь.
(Билет 13, 2006)
1.230. По прямолинейной горизонтальной дороге движется автомо¬
биль со скоростью vi = 140 км/ч. На расстоянии Si = 500 м от пере¬
крестка водитель выключил передачу и на расстоянии S2 = 400 м от

54
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
перекрестка скорость автомобиля упала до V2 — 120 км/ч. На каком рас¬
стоянии от перекрестка скорость автомобиля станет равна г?з = 90 км/ч?
Считать, что сила сопротивления движению автомобиля пропорциональ¬
на его скорости. Кинетической энергией вращения колес пренебречь.
(Билет 14, 2006)
1.231.	Автомобиль при разгоне, двигаясь прямолинейно по горизон¬
тальной дороге, увеличивает свою скорость таким образом, что сила
тяги, развиваемая двигателем, оказывается пропорциональной скорости
автомобиля. Пройдя путь S\ = 20 м, автомобиль увеличил
скорость с vi = 4 км/ч до V2 = 12 км/ч. До какой скорости
разгонится автомобиль, пройдя еще S2 = 30 м? Сопротивле¬
нием движению пренебречь. (Билет 15, 2006)
1.232. Лодку оттолкнули от берега озера, сообщив ей ско¬
рость vo = 1 м/с. Лодка, двигаясь прямолинейно, имела на
расстоянии S\ = 14 м от берега скорость гц = 0,3 м/с. На ка¬
ком расстоянии от берега скорость лодки была v = 0,5 м/с?
Считать, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна ее
СКОрОСТИ. (Билет 16, 2006)
1.233. Два груза висят на нитях в воздухе (рис. 1.158). Сила натя¬
жения верхней нити в два раза больше силы натяжения нижней нити.
Когда оба груза полностью погрузили в воду, оказалось, что их взаим¬
ное положение не изменилось; при этом сила натяжения верхней нити
уменьшилась на 20%, а нижней — на 30%. Найдите плотности нижнего
и верхнего грузов. Плотность воды р = 1 г/см3. (Билет 1, 2007)
1.234. Однородный канат длиной I и массой т с прикрепленным к
одному концу грузом массой т/3 находится на гладкой горизонтальной
поверхности стола и вращается с угловой скоростью ш вокруг
вертикальной оси, проходящей через другой конец каната.
Размер груза мал по сравнению с длиной каната.
1) Найдите силу, действующую на груз со стороны каната.
2) Найдите силу натяжения каната на расстоянии 1/3 от
оси вращения. (Билет 1, 2007)
Рис. 1.159	1.235.	В	воздухе	на нитях висят два шара (рис. 1.159). Си¬
ла натяжения верхней нити на 40% больше силы натяжения
нижней нити. Когда оба шара полностью погрузили в воду, оказалось,
что их взаимное положение не изменилось; при этом сила натяжения
верхней нити уменьшилась в 7 раз, а нижней — на 20%. Найдите плотно¬
сти нижнего и верхнего шаров. Плотность воды р = 1 г/см3. (Билет 2, 2007)
1.236.	Шайба массой т прикреплена к концу однородной веревки
массой 2т и длиной I. Другой конец веревки прикреплен к вертикаль¬
ной оси. Шайба с веревкой вращаются вокруг оси с постоянной угловой
скоростью, скользя по гладкой горизонтальной поверхности стола. Раз¬
мер шайбы мал по сравнению с длиной веревки. Скорость шайбы v.
1)	Найдите силу натяжения веревки вблизи шайбы.
Рис. 1.158

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
55
Й
2)	Найдите силу натяжения веревки на расстоянии 31/4 от оси. (Би¬
лет 2, 2007)
1.237. Два предмета висят на нитях в воздухе (рис. 1.160). Сила
натяжения верхней нити в четыре раза больше силы натяжения нижней
нити. Когда оба предмета полностью погрузили в воду, оказа¬
лось, что их взаимное положение не изменилось; при этом си¬
ла натяжения верхней нити уменьшилась на 60%, а нижней —
на 40%. Найдите плотности нижнего и верхнего предметов.
Плотность ВОДЫ р = 1 г/см3. (Билет 3, 2007)
1.238. Однородный канат длиной I и массой т, с при-	рис.	ибо
крепленным к одному концу грузом массой га/4 находится
на гладкой горизонтальной поверхности стола и вращается с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через другой конец
каната. Размер груза мал по сравнению с длиной каната.
1) Найдите силу, действующую на груз со стороны каната.
2) Найдите силу натяжения каната на расстоянии l/А от оси враще¬
ния. (Билет 3, 2007)
1.239. В воздухе на нитях висят два бруска (рис. 1.161).
Сила натяжения верхней нити на 80% больше силы натяже¬
ния нижней нити. Когда оба бруска полностью погрузили в
воду, оказалось, что то их взаимное положение не измени¬
лось; при этом сила натяжения верхней нити уменьшилась в
9 раз, а нижней — на 60%. Найдите плотности нижнего и
верхнего брусков. Плотность воды р = 1 г/см3. (Билет 4, 2007)	Рис.	1.161
1.240. Брусок массой га прикреплен к концу однородной
веревки массой 5га и длиной /. Другой конец веревки прикреплен к
вертикальной оси. Брусок с веревкой вращаются вокруг оси с постоян¬
ной угловой скоростью, скользя по гладкой горизонтальной поверхности
стола. Размер бруска мал по сравнению с длиной веревки. Скорость
бруска V.
1) Найдите силу натяжения веревки вблизи бруска.
2) Найдите силу натяжения веревки на расстоянии 3//5 от оси. (Би¬
лет 4, 2007)
1.241. На достаточно длинной невесомой нити, переки¬
нутой через блок, подвешены два груза (рис. 1.162). Грузам
сообщили некоторую начальную скорость, и систему предо¬
ставили самой себе. В некоторый момент скорость левого
груза массой га = 1 кг направлена вверх и равна 6 м/с. Че¬
рез время t = 2 с после этого груз остановился. Определить
силу натяжения нити. Ускорение свободного падения g при¬
нять равным 10 м/с2. (Билет 5. 2007)
1.242. Брусок массой т колеблется с амплитудой Ло
вдоль прямой на гладкой горизонтальной поверхности стола под действи¬
ем упругой пружины. В момент, когда смещение бруска от положения

56
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
Рис. 1.163
1.244. На
равновесия было Ао/3, на него упал и прилип кусок пластилина массой
т/3, двигавшийся перед ударом вертикально. Время соударения значи¬
тельно меньше периода колебаний; при соударении брусок не отрывается
от стола.
1) Как и во сколько раз изменился период колебаний?
2) Найдите амплитуду колебаний бруска после прилипания пласти¬
лина. (Билет 5, 2007)
1.243.	Груз массой га = 2 кг соединен достаточно длинной невесо¬
мой перекинутой через блок нитью со вторым грузом, находящимся на
закрепленной наклонной плоскости (рис. 1.163).
Грузам сообщили некоторую начальную скорость,
и систему предоставили самой себе. В некоторый
момент скорость груза га направлена вверх и равна
8 м/с. Через время t — 2 с груз остановился. Най¬
дите силу натяжения нити. Ускорение свободного
падения примите равным g = 10 м/с2. (Билет б, 2007)
гладкой горизонтальной поверхности стола колеблется
вдоль прямой под действием упругой пружины брусок массой га, имея
максимальную скорость v{). В момент, когда скорость бруска равна г/о/2,
его нагоняет другой брусок массой га/2, имеющий скорость 2vq, сона-
правленную со скоростью колеблющегося бруска. В результате неупру¬
гого удара бруски слипаются. Время соударения значительно меньше
периода колебаний.
1)Как и во сколько раз изменился период колебаний?
2) НаЙДИТе максимальную СКОрОСТЬ СЛИПШИХСЯ брусКОВ. (Билет 6, 2007)
1.245. На достаточно длинной невесомой нити, перекинутой через
блок, подвешены два груза (рис. 1.164). Грузам сообщили некоторую
начальную скорость, и систему предоставили самой себе. В
S//SS///S	'о	1
некоторый момент скорость левого груза массой га = 1 кг
f Л направлена вниз и равна 4 м/с. Через время t = 2 с после
этого груз остановился. Определите силу натяжения нити.
Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.
(Билет 7, 2007)
1.246.	Брусок массой га колеблется с амплитудой А{)
вдоль прямой на гладкой горизонтальной поверхности стола
под действием упругой пружины. В момент, когда смещение
бруска от положения равновесия было 2Л(>/3, на него упал и прилип
кусок пластилина массой 2га, двигавшийся перед ударом вертикально.
Время соударения значительно меньше периода колебаний; при соударе¬
нии брусок не отрывается от стола.
1) Как и во сколько раз изменился период колебаний?
2) Найдите амплитуду колебаний бруска после прилипания пласти¬
лина. (Билет 7, 2007)
И с
1
Рис. 1.164

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
57
1
1
Рис. 1.166
1.247. Груз массой т, — 2 кг соединен достаточно длинной невесо¬
мой перекинутой через блок нитью со вторым грузом, находящимся на
закрепленной наклонной плоскости (рис. 1.165).
Грузам сообщили некоторую начальную скорость,
и систему предоставили самой себе. В некоторый
момент скорость груза га направлена вниз и равна
9 м/с. Через время t. = Зс груз остановился. Най¬
дите силу натяжения нити. Ускорение свободного	Рис	j 165
падения примите равным g = 10 м/с2. (Билет 8, 2007)
1.248. Брусок массой га совершает колебания под действием упру¬
гой пружины вдоль прямой на гладкой горизонтальной поверхности сто¬
ла, имея максимальную скорость г>0. В момент, когда скорость бруска
равна vo/3-t его нагоняет другой брусок массой
га/3, имеющий скорость Зд»0, сонаправленную со
скоростью колеблющегося бруска. В результате
неупругого удара бруски слипаются. Время соуда¬
рения значительно меньше периода колебаний.
1) Как и во сколько раз изменился период ко¬
лебаний?
2) Найдите максимальную скорость слипших¬
ся брусков. (Билет 8. 2007)
1.249. Массивная плита поднимается с постоянной скоростью вер¬
тикально вверх. По направлению к плите движется шарик, имеющий
непосредственно перед ударом скорость г;(), направленную под углом а
(sina = 2/3) к вертикали (рис. 1.166). После
абсолютно упругого удара о гладкую горизон¬
тальную поверхность плиты шарик отскакива¬
ет со скоростью, составляющей угол у (siny =
= 1/3) с вертикалью.
1) Найдите скорость отскочившего шарика.
2) Найдите скорость плиты.
Ответ достаточно выразить через корни из
целых чисел. (Билет 9. 2007)
1.250. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользит бру¬
сок и ударяет своей гладкой вертикальной гранью АВ по шарику, сколь¬
зящему по столу навстречу бруску (на рис. 1.167 показан вид сверху).
Скорость бруска составляет угол a = 60° с гранью АВ. После абсолют¬
но упругого удара шарик отскочил со скоростью v под углом (5 — 45° к
направлению движения бруска. Масса шарика намного меньше массы
бруска.
1) Найдите скорость шарика перед ударом.
2) Найдите скорость бруска.
Ответ ДОСТаТОЧНО ВЫраЗИТЬ Через КОрНИ ИЗ ЦеЛЫХ ЧИСеЛ. (Билет ю, 2007)
Рис. 1.167

58
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
1.251. Массивная плита поднимается вертикально вверх с постоян¬
ной скоростью. Плиту догоняет шарик, имеющий непосредственно перед
ударом скорость, направленную под углом (3 (сов(3 = 1/3) к горизонту
(рис. 1.168). После абсолютно упругого удара о
гладкую поверхность плиты шарик отскакивает со
скоростью v, составляющей угол qp (coscp = 3/4) с
горизонтом.
1) Найдите скорость шарика перед ударом о
плиту.
2) Найдите скорость плиты.
Ответ достаточно выразить через корни из це¬
лых чисел. (Билет 11, 2007)
1.252. Шарик скользит по гладкой горизонтальной поверхности сто¬
ла, нагоняет скользящий по столу в том же направлении брусок, ударяет¬
ся абсолютно упруго о гладкую вертикальную грань CD бруска и отска¬
кивает со скоростью v под углом (3 = 45° к направлению движения брус¬
ка (на рис. 1.169 показан вид сверху). Скорость бруска составляет угол
у = 30° с гранью CD. Масса шарика намного
меньше массы бруска.
1) Найдите скорость шарика перед ударом.
2)Найдите скорость бруска.
Ответ достаточно выразить через корни из
целых чисел. (Билет 12, 2007)
1.253. Два мальчика бегут к неподвижной
тележке, находящейся на горизонтальной по¬
верхности. Мальчик массой т запрыгивает на
тележку. Второй мальчик массой 1,2т нагоняет уже движущуюся те¬
лежку и тоже запрыгивает на нее. Скорость тележки увеличивается на
80%. Найдите массу тележки. Горизонтальные составляющие скоростей
мальчиков относительно поверхности земли перед попаданием на те¬
лежку одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. На¬
правления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.
(Билет 13, 2007)
1.254. На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной
поверхности, сидят кошка массой т и собака массой 4т. Кошка спры¬
гивает с тележки. Затем с уже движущейся тележки по направлению к
кошке спрыгивает собака, при этом скорость тележки возрастает в 7 раз.
Найдите массу тележки. Горизонтальные составляющие скоростей кош¬
ки и собаки относительно поверхности земли перед приземлением оди¬
наковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления
всех движений находятся в одной вертикальной ПЛОСКОСТИ. (Билет 14, 2007)
1.255. К неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной по¬
верхности, бегут мальчик массой т и девочка массой 0,8т. Мальчик
запрыгивает на тележку. Девочка нагоняет уже движущуюся тележку
1
Рис. 1.168

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
59
и тоже запрыгивает на нее. Скорость тележки увеличивается на 60%.
Во сколько раз масса тележки больше суммарной массы мальчика и
девочки? Горизонтальные составляющие скоростей мальчика и девочки
относительно поверхности земли перед попаданием на тележку одинако¬
вы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех
движений находятся в одной вертикальной ПЛОСКОСТИ. (Билет 15. 2007)
1.256. На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной по¬
верхности, сидят собака массой т и щенок массой 0,2т. Собака спры¬
гивает с тележки. Затем с уже движущейся тележки по направлению
к собаке спрыгивает щенок, и скорость тележки возрастает на 30%. Во
сколько раз масса тележки больше суммарной массы собаки и щенка?
Горизонтальные составляющие скоростей собаки и щенка относитель¬
но поверхности земли перед приземлением одинаковы. Сопротивлением
движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся
в ОДНОЙ вертикальной ПЛОСКОСТИ. (Билет 16, 2007)
1.257. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся неза¬
крепленные горки массами Ат и 5т. На вершине горки массой Ат на
высоте h лежит монета массой т (рис. 1.170). От незначительного толч¬
ка монета съезжает с горки в направлении другой горки.
1) Найдите скорость монеты на столе.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке
массой 5т? Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к
поверхности стола. Монета не отрывается от поверхности горок, а посту¬
пательно движущиеся горки — от стола. Направления всех движений
находятся В ОДНОЙ вертикальной ПЛОСКОСТИ. (Билет 1, 2008)
1.258. Горка массой 5т с покоящейся на ее вершине шайбой массой
т скользит со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности стола
в направлении покоящейся незакрепленной горки массой 7т (рис. 1.171).
Рис. 1.170	Рис.	1.171
От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка останавлива¬
ется, а шайба движется по столу в направлении горки массой 7т.
1) Найдите высоту горки массой 5т.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на горке
массой 7т? Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к
поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхности горок, а посту¬
пательно движущиеся горки — от стола. Направления всех движений
находятся в одной вертикальной плоскости. (Билет 2, 2008)
1.259.	На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся неза¬
крепленные горки массами 3m и 6т,. На вершине горки массой Зт на

60
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
высоте h лежит монета массой га (рис. 1.172). От незначительного толчка
монета съезжает с горки в направлении другой горки.
1) Найдите скорость монеты на столе.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке
массой 6га,?
Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхно¬
сти стола. Монета не отрывается от поверхности горок, а поступательно
движущиеся горки — отстола. Направ¬
ления всех движений находятся водной
вертикальной ПЛОСКОСТИ. (Билет 3. 2008)
1.260. Горка массой 7га с покоя¬
щейся на ее вершине шайбой массой
га, скользит со скоростью v по гладкой
Рис> 1,172	горизонтальной	поверхности	стола в
направлении покоящейся незакрепленной горки массой lira, (рис. 1.173).
От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка останавлива¬
ется, а шайба движется по столу в направлении горки массой 11га,.
1) Найдите высоту горки массой 7га.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на горке
массой 11га? Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход
к поверхности стола. Шайба не отры¬
вается от поверхности горок, а посту¬
пательно движущиеся горки — от сто¬
ла. Направления всех движений нахо¬
дятся в одной вертикальной плоско¬
сти. (Билет 4, 2008)
1.261. Шарик, движущийся со
D	11 7Q
'	скоростью V по гладкой горизонталь¬
ной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхно¬
сти кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик на¬
чинает двигаться поступательно со скоростью v/З. Какая часть первона¬
чальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту? (Билет 5, 2008)
1.262. Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности
со скоростью v, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности
брусок. В результате неупругого удара шарик останавливается и 60%
его первоначальной кинетической энергии переходит в теплоту, а брусок
начинает двигаться поступательно. Какова скорость бруска после удара?
(Билет 6, 2008)
1.263. Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхно¬
сти, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. В
результате неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает
двигаться поступательно со скоростью v. При этом 75% первоначаль¬
ной кинетической энергии шарика переходит в теплоту. Какова была
скорость шарика ДО удара? (Билет 7, 2008)

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
61
Рис. 1.174
1.264. Шарик массой га, движущийся по гладкой горизонтальной
поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности
брусок. В результате неупругого удара шарик останавливается и 80%
его первоначальной кинетической энергии пере¬
ходит в теплоту, а брусок начинает двигаться по¬
ступательно. Какова масса бруска? (Билет 8, 2008)
1.265. Дифференциальный ворот представля¬
ет собой два скрепленных соосных цилиндра ра¬
диусами R = 10 см и г = 8 см, на которые на¬
мотан трос. Трос перекинут через подвижный
блок, а его концы закреплены на цилиндрах
(рис. 1.174). При вращении рукоятки О А дли¬
ной L = 20 см вокруг неподвижной горизонталь¬
ной оси цилиндров О трос наматывается на боль¬
ший цилиндр и сматывается с меньшего, а груз,
подвешенный к подвижному блоку, поднимается.
1) Найдите минимальную силу F, которую
необходимо приложить к рукоятке ворота, чтобы
поднимать груз массой га = 140 кг.
2) Какой скорости достигнет этот груз за t = 2 с, начав движение из
состояния покоя, если силу F увеличить на 0,4%?
Массами цилиндров, рукоятки, троса, подвижного блока и трением
в осях пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g =
= 10 м/с2. (Билет 9, 2008)
1.266. Дифференциальный блок состоит из двух
скрепленных между собой и насаженных на об¬
щую горизонтальную ось О барабанов с радиуса¬
ми г\ = 9 см г2 = 13 см. На барабаны намотан за¬
мкнутый трос (цепь), перекинутый через подвиж¬
ный блок (рис. 1.175). В устройстве обеспечены
условия непроскальзывания троса по барабанам.
1) Найдите минимальную силу F, которую
необходимо приложить к тросу, чтобы поднимать
груз массой га = 65 кг.
2) За какое время этот груз достигнет скоро¬
сти v = 10 м/с из состояния покоя, если силу F
увеличить на 0,2%?
Массами барабанов, троса, подвижного блока
и трением в осях пренебречь. Ускорение свобод¬
ного падения принять равным g = 10 м/с2. (Билет Ю, 2008)
1.267.	Дифференциальный ворот представляет собой два скреплен¬
ных соосных цилиндра радиусами R\ = 10 см и R2 = 6 см, на которые
намотан трос. Трос перекинут через подвижный блок и его концы за¬
креплены на цилиндрах. При вращении рукоятки ОБ длиной R = 30 см

62
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
вокруг неподвижной горизонтальной оси О цилиндров трос наматывает¬
ся на больший цилиндр и сматывается с меньшего, а груз, подвешенный
к подвижному блоку, поднимается (рис. 1.176).
1) Какую минимальную силу F необходимо приложить к рукоятке
ворота, чтобы поднимать груз массой т — 90 кг/?
2) На какую высоту поднимется этот груз за время t = 1 с, начав
движение из состояния покоя, если силу F увеличить на 1%?
Массами цилиндров, рукоятки, троса, подвижного блока и трением
в осях пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g =
= 10 м/с2. (Билет 11, 2008)
1.268.	Дифференциальный блок состоит из двух скрепленных между
собой и насаженных на общую горизонтальную ось О барабанов с ра¬
диусами г\ = 12 см и г2 = 15 см. На барабаны намотан замкнутый трос
(цепь), перекинутый через подвижный блок
(рис. 1.175). В устройстве обеспечены условия
непроскальзования троса по барабанам.
1) Какую минимальную силу F необходимо
приложить к тросу, чтобы поднимать груз массой
т = 80 кг?
2) За какое время этот груз поднимется на вы¬
соту Н = 24 см из состояния покоя, если силу F
увеличить на 0,3%?
Массами барабанов, троса, подвижного бло¬
ка и трением в осях пренебречь. Ускорение сво¬
бодного Падения ПрИНЯТЬ раВНЫМ g = 10 м/с2. (Би¬
лет 12, 2008)
1.269. С балкона вертикально вверх бросают
мяч. Через время т скорость летящего вверх мяча
уменьшается на 20%. С какой высоты был произ¬
веден бросок, если в момент удара о землю ско¬
рость мяча в два раза превышала начальную? Сопротивление воздуха
не учитывать. (Билет 13, 2008)
1.270. Мяч, брошенный с поверхности земли почти вертикально
вверх, через некоторое время упал на балкон со скоростью, вдвое мень¬
шей начальной. На какой высоте над землей находилась точка падения,
если за время т после броска скорость летящего вверх мяча уменьши¬
лась на 25%? Сопротивление воздуха не учитывать. (Билет 14, 2008)
1.271. С балкона вертикально вверх бросают камень. Через время т
скорость летящего вверх камня уменьшается на 10%. С какой высоты
был произведен бросок, если максимальная высота подъема камня над
поверхностью земли вдвое больше начальной? Сопротивление воздуха
не учитывать. (Билет 15, 2008)
1.272. Камень, брошенный с поверхности земли почти вертикально
вверх, через некоторое время упал на балкон. За время т после брое-

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
63
г
V,
и
v2
Рис. 1.177
35
и А
v
ка скорость летящего вверх камня уменьшается на 25%. На какой вы¬
соте над землей находилась точка падения, если максимальная высота
подъема камня над поверхностью земли вдвое больше? Со¬
противление воздуха не учитывать. (Билет 16, 2008)
1.273. Два комка глины, отстоящие друг от друга по
горизонтали на S = 6 м и по вертикали на Н — 10 м, бро¬
сают одновременно со скоростями v\ под некоторым уг¬
лом к горизонту вверх и v2 — 2 м/с вертикально вниз
(рис. 1.177). Через время t = 1с комки столкнулись. Най¬
ти V\. (Билет А, 2009)
1.274. Пустая стеклянная бутылка плавает в воде, погрузившись на
3/4 своего объема. Какой минимальный объем воды нужно долить в
бутылку, чтобы она утонула? Плотность стекла рс = 2,5 г/см3, воды р =
= 1 г/см3, вместимость бутылки 0,7 Л. (Билет А. 2009)	  в
1.275. Снежки Aw В, отстоящие друг от друга по го¬
ризонтали на S и по вертикали на 35’, бросают одновре¬
менно со скоростями v\ = 5 м/с под углом a (cosa = 4/5)
к горизонту вверх и v2 вертикально вниз (рис. 1.178).
Через некоторое время снежки столкнулись. Найти v2.
(Билет Б, 2009)
1.276. Пустая стеклянная бутылка плавает в воде,
погрузившись на 2/3 своего объема. Найти отношение
объема воздуха в бутылке к объему стекла. Плотность
стекла в 2,5 раза больше плотности воды. (Билет Б, 2009)
1.277. Брусок совершает колебания на легкой пру¬
жине, скользя прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности.
Период колебаний равен Т, а максимальная скорость бруска — v0. Ка¬
ково удлинение пружины в момент, когда скорость бруска равна vo/3?
(Билет Б, 2009)
1.278. При движении автобуса по горизонтальному участку дороги
у него устанавливается скорость v> если на ведущие колеса передает¬
ся мощность N. При движении на спуске с углом наклона поверхности
дороги к горизонту a (sina = l/30) при передаваемой на
ведущие колеса той же мощности N у автобуса устанав¬
ливается скорость 3v/2. При движении на подъеме при
передаваемой на ведущие колеса мощности 2N у автобу¬
са устанавливается скорость v/2. Найдите синус угла на¬
клона поверхности дороги к горизонту на подъеме. Сила
сопротивления движению автобуса пропорциональна его
скорости. Все участки дороги Прямолинейные. (Билет 1, 2010)
1.279. Однородный стержень постоянного поперечного
сечения висит на нити. При этом 70% длины стержня находится в воде
(рис. 1.179). Когда стержень переместили вверх, оставив в воде 30% его
s -►
Рис. 1.178
Рис. 1.179

64
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
длины, сила натяжения нити увеличилась на 20%. Найдите плотность
материала стержня. Плотность воды р() = 1 г/см3. (Билет 1, 2010)
1.280. При движении автомобиля на спуске с углом наклона поверх¬
ности дороги к горизонту ф (sinф = 1/25) при передаваемой на ведущие
колеса мощности N = 10 кВт у автомобиля устанавливается скорость v.
При движении автомобиля по горизонтальному участку дороги у него
устанавливается та же скорость v, если на ведущие колеса передает¬
ся мощность 4.N. Какую мощность надо передавать на ведущие колеса
при движении со скоростью Зи/4 на подъеме с углом наклона поверхно¬
сти дороги к горизонту у (sinу = 1/15)? Сила сопротивления движению
автомобиля пропорциональна его скорости. Все участки дороги прямо¬
линейные. (Билет 2, 2010)
1.281. Однородный поплавок в форме цилиндра постоянного попе¬
речного сечения удерживают притопленным в воде с помощью нити.
Поплавок находится в вертикальном положении, погрузившись в воду
на 60% своей длины (рис. 1.180). Если поплавок погрузить
в воду на 80% его длины, то сила натяжения нити уве¬
личится на 50%. Найдите плотность поплавка. Плотность
воды Ро = 1 г/см3. (Билет 2, 2010)
1.282. При движении грузовика по горизонтальному
участку дороги у него устанавливается скорость v, если
на ведущие колеса передается мощность N. При движе¬
нии на подъеме с углом наклона поверхности дороги к
горизонту |3 (sin(3 = ОД) при передаваемой на ведущие ко¬
леса той же мощности N у грузовика устанавливается скорость 2v/3.
При движении на спуске при передаваемой на ведущие колеса мощно¬
сти N/3 у грузовика устанавливается скорость 4г>/3. Найдите синус угла
наклона поверхности дороги к горизонту на спуске. Сила сопротивления
движению грузовика пропорциональна его скорости. Все участки дороги
прямолинейные. (Билет 3, 2010)
1.283. Однородный тонкий цилиндр висит на нити. При этом 40%
длины цилиндра находится в воде. Когда, цилиндр переместили вниз, то
в воде оказалось 60% его длины и сила натяжения нити уменьшилась
на 25% (рис. 1.179). Найдите плотность материала цилиндра. Плотность
ВОДЫ ро = 1 г/см3. (Билет 3, 2010)
1.284. При движении мотоцикла на подъеме с углом наклона поверх¬
ности дороги к горизонту (3 (sin|3 = 0,06) при передаваемой на ведущее
колесо мощности N = 15 кВт у мотоцикла устанавливается скорость v.
При движении мотоцикла по горизонтальному участку дороги у него
устанавливается та же скорость г?, если на ведущее колесо передается
мощность 27V/5. Какую мощность надо передавать на ведущее колесо
при движении со скоростью 2v на спуске с углом наклона поверхно¬
сти дороги к горизонту ф (втф = 0,07)? Сила сопротивления движению

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
65
мотоцикла пропорциональна его скорости. Все участки дороги прямоли¬
нейные. (Билет 4. 2010)
1.285. Однородную деревянную палочку в форме цилиндра постоян¬
ного поперечного сечения удерживают притопленной в воде с помощью
нити. Палочка погружена в воду на 90% своей длины (рис. 1.180). Если
палочку удерживать за нить, погрузив в воду 80% ее длины, то палочка
остается в вертикальном положении и сила натяжения нити уменьша¬
ется на 1/3. Найдите плотность дерева. Плотность воды ро = 1 г/см3.
(Билет 4, 2010)
1.286. При движении грузовика по горизонтальному участку дороги
у него устанавливается скорость vy если на ведущие колеса передает¬
ся мощность N. При движении на спуске с углом наклона поверхности
дороги к горизонту ф (sin9 = 0,06) при передаваемой на ведущие коле¬
са мощности N/4 у грузовика устанавливается та же скорость v. При
движении на подъеме при передаваемой на ведущие колеса мощности
37V/2 у грузовика устанавливается скорость v/2. Найдите синус угла
наклона поверхности дороги к горизонту на подъеме. Сила сопротивле¬
ния движению грузовика пропорциональна его скорости. Все участки
дороги прямолинейные. (Билет 5, 2010)
1.287. Деревянный брусок с приклеенными к нему снизу двумя оди¬
наковыми болтами плавает в воде так, что болты полностью находятся
в воде. При этом в воде находится 90% объема бруска. Когда один болт
отклеился и утонул, брусок оказался погруженным в воду на 80% сво¬
его объема. Найдите плотность бруска. Плотность воды ро = 1 г/см3.
(Билет 5. 2010)
1.288. При движении мотоцикла на спуске с углом наклона поверх¬
ности дороги к горизонту a (sinа = 0,04) при передаваемой на ведущее
колесо мощности 7V = 12 кВт у мотоцикла устанавливается скорость v.
При движении мотоцикла по горизонтальному участку дороги у него
устанавливается скорость 2v/3, если на ведущее колесо передается та
же мощность N. Какую мощность надо передавать на ведущее колесо
при движении со скоростью v/З на подъеме с углом наклона поверхно¬
сти дороги к горизонту ф (этф = 0,12)? Сила сопротивления движению
мотоцикла пропорциональна его скорости. Все участки дороги прямоли¬
нейные. (Билет 6. 2010)
1.289. На плоту из бревен могут находиться несколько человек рав¬
ной массы, не касаясь воды. Если на плоту находится четыре человека,
то над водой остается 10% объема бревен. Когда на плоту находится три
человека, то над водой остается 20% объема бревен. Найдите плотность
бревен. Плотность воды р{) = 1 г/см3. (Билет 6, 2010)
1.290. При движении автобуса по горизонтальному участку дороги
у него устанавливается скорость vy если на ведущие колеса передается
мощность N. При движении на подъеме с углом наклона поверхности
дороги к горизонту (3 (sinр = 0,025) при передаваемой на ведущие коле¬

66
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
са мощности 47V/3 у автобуса устанавливается та же скорость v. При
движении на спуске при передаваемой на ведущие колеса мощности
N/3 у автобуса устанавливается скорость 5v/3. Найдите синус угла на¬
клона поверхности дороги к горизонту на спуске. Сила сопротивления
движению автобуса пропорциональна его скорости. Все участки дороги
прямолинейные. (Билет 7, 2010)
1.291. При испытании поплавка для удочки к нему подвешивают на
коротких кусочках тонкой лески одинаковые дробинки и пускают пла¬
вать в ведре с водой так, чтобы дробинки не касались стенок и дна ведра.
Когда к поплавку подвесили две дробинки, то он плавал, погрузившись
в воду на 65% своего объема. Когда подвесили еще одну дробинку, то
поплавок погрузился в воду на 85% своего объема. Найдите плотность
материала поплавка. Плотность воды ро = 1 г/см3. (Билет 7. 2010)
1.292. При движении автомобиля на подъеме с углом наклона по¬
верхности дороги к горизонту р (sinp = 0,03) при передаваемой на ве¬
дущие колеса мощности N = 81 кВт у автомобиля устанавливается ско¬
рость v. При движении автомобиля по горизонтальному участку дороги
у него устанавливается скорость Зи/‘2, если на ведущие колеса переда¬
ется та же мощность N. Какую мощность надо передавать на ведущие
колеса при движении со скоростью 2v на спуске с углом наклона по¬
верхности дороги к горизонту у (siny = 0,04)? Сила сопротивления дви¬
жению автомобиля пропорциональна его скорости. Все участки дороги
прямолинейные. (Билет 8, 2010)
1.293. Кусок доски с несколькими гайками на нем может плавать в
воде так, что гайки не касаются воды. При плавании с одной гайкой над
водой находится 15% объема доски. При плавании с тремя гайками над
водой находится 5% объема доски. Найдите плотность доски. Плотность
ВОДЫ ро = 1 г/см3. (Билет 8, 2010)
1.294. На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся брус¬
ки массами т\ — т и т<2 = 3га, к которым прикреплена легкая упругая
пружина жесткостью к, сжатая на величину хц (рис. 1.181). Брусок мас¬
сой Зга удерживают неподвижно, другой брусок прижат к упору. Затем
брусок массой Зга отпускают.
1) Найдите скорость бруска массой Зга в момент отрыва другого
бруска от упора.
2) Найдите величину деформации пружины при минимальном рас¬
стоянии между брусками в процессе их движения после отрыва от упора.
Примечание. Величиной деформации называется модуль разно¬
сти длин пружины в напряженном и ненапряженном состояниях. (Би¬
лет 1. 2011)
1.295. На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся брус¬
ки массами т\ = 9га и га-2 = 7га, к которым прикреплена легкая упругая
пружина жесткостью к, сжатая на величину жо (рис. 1.181). Брусок мае-

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
67
сой 7т удерживают неподвижно, другой брусок прижат к упору. Затем
брусок массой 7т отпускают.
1) Найдите скорость бруска массой 7т в момент отрыва другого
бруска от упора.
2) Найдите величину деформации пружины (см. примечание к зада¬
че 1.294) при максимальном расстоянии между брусками в процессе их
движения после отрыва от упора. (Билет 2, 2011)
1.296. На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся брус¬
ки массами т\ — 4т и m2 = 5т, к которым прикреплена легкая упругая
пружина жесткостью к, сжатая на величину дд>
(рис. 1.181). Брусок массой 5т удерживают 	 &
неподвижно, другой брусок прижат к упору. За-
тем брусок массой 5т. отпускают.	Я
т\
-ШШL
т2
тгттттттгтттттттгттгтгтшп
1) Найдите скорость бруска массой 5т в мо-	рис	\jgj
мент отрыва другого бруска от упора.
2) Найдите величину деформации пружины (см. примечание к зада¬
че 1.294) при минимальном расстоянии между брусками в процессе их
движения после отрыва от упора. (Билет 3, 2011)
1.297. На гладкой горизонтальной поверхности стола находятся брус¬
ки массами т\ — 16т, и т2 = 9т, к которым прикреплена легкая упру¬
гая пружина жесткостью к, сжатая на величину хц (рис. 1.181). Брусок
массой 9т удерживают неподвижно, другой брусок прижат к упору. За¬
тем брусок массой 9т отпускают.
1) Найдите скорость бруска массой 9т в момент отрыва другого
бруска от упора.
2) Найдите величину деформации пружины (см. примечание к зада¬
че 1.294) при максимальном расстоянии между брусками в процессе их
движения после отрыва от упора. (Билет 4, 2011)
1.298. На горизонтальной поверхности стола находится платформа с
укрепленным на ней штативом. К штативу привязан на нити длиной /
небольшой по сравнению с длиной нити шар. Масса платформы со шта¬
тивом т, масса шара 2т. Шар отклоняют и удерживают неподвижно
так, что нить составляет угол ср = 60° с вертикалью, а платформа при¬
жата к упору (рис. 1.182). Затем шар отпускают.
1) Найдите скорость шара в момент отрыва платформы от упора.
2) Найдите максимальный угол отклонения нити от вертикали на¬
право в процессе движения системы после отрыва от упора.
Направления всех движений параллельны одной и той же вертикаль¬
ной плоскости. Массой колес платформы пренебречь. (Билет 5, 2011)
1.299. На горизонтальной поверхности стола находится платформа с
укрепленным на ней штативом. К штативу привязан на нити длиной I
небольшой по сравнению с длиной нити шар. Масса платформы со шта¬
тивом 7т, масса шара т. Шар отклоняют и удерживают неподвижно

68
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
ГтТ^&тгтт
так, что нить составляет угол р (cosp = I) с вертикалью, а платформа
прижата к упору (рис. 1.182). Затем шар отпускают.
1) Найдите скорость шара в момент отрыва платформы от упора.
2) Найдите максимальный угол отклонения нити от вертикали налево
в процессе движения системы после отрыва от упора.
Направления всех движений параллельны одной и той же вертикаль¬
ной плоскости. Массой колес платформы пренебречь. (Билет 6, 2011)
1.300. На горизонтальной поверхности стола на¬
ходится платформа с укрепленным на ней штативом.
К штативу привязан на нити длиной / небольшой по
сравнению с	длиной нити шар. Масса платформы
со штативом	2га, масса шара 3?7i. Шар отклоняют
и удерживают неподвижно так, что нить составляет
Рис 1 18?	угол у (cosy = ~) с вертикалью, а платформа прижа¬
та к упору (рис. 1.182). Затем шар отпускают.
1) Найдите скорость шара в момент отрыва платформы от упора.
2) Найдите максимальный угол отклонения нити от вертикали на¬
право в процессе движения системы после отрыва от упора.
Направления всех движений параллельны одной и той же вертикаль¬
ной плоскости. Массой колес платформы пренебречь. (Билет 7, 2011)
1.301. На горизонтальной поверхности стола находится платформа с
укрепленным на ней штативом. К штативу привязан на нити длиной I
небольшой по сравнению с длиной нити шар. Масса платформы со шта¬
тивом	5т,	масса	шара т. Шар	отклоняют и удерживают неподвижно
так, что	нить	составляет угол 0	(cos0= |) с вертикалью, а платформа
прижата к упору (рис. 1.182). Затем шар отпускают.
1) Найдите скорость шара в момент отрыва платформы от упора.
2) Найдите максимальный угол отклонения нити от вертикали налево
в процессе движения системы после отрыва от упора.
Направления всех движений параллельны одной и той же вертикаль¬
ной ПЛОСКОСТИ. МаССОЙ КОЛеС Платформы пренебречь. (Билет 8, 2011)
1.302. Небольшая шайба массой га соскальзывает без начальной ско¬
рости с вершины гладкого закрепленного полушара. С какой силой дей¬
ствует шайба на полушар в момент, когда касательная составляющая
ускорения Шайбы равна ат = |g? (Билет 1. 2012)
1.303. Небольшая шайба массой т соскальзывает без начальной ско¬
рости с вершины гладкого закрепленного полушара. Найдите касатель¬
ную составляющую ускорения шайбы (в единицах g) в момент, когда
шайба действует на полушар с силой ^mg. (Билет 2, 2012)
1.304. Небольшая шайба массой т соскальзывает без начальной ско¬
рости с вершины гладкого закрепленного полушара. С какой силой дей¬
ствует шайба на полушар в момент, когда касательная составляющая
ускорения шайбы равна ат = pjg? (Билет 3, 2012)

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
69
1.305. Небольшая шайба массой т соскальзывает без начальной ско¬
рости с вершины гладкого закрепленного полушара. Найдите касатель¬
ную составляющую ускорения шайбы (в единицах g) в момент, когда
шайба действует на полушар с силой \mg. (Билет 4. 2012)
1.306. Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена и
двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, вращающей¬
ся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси (рис. 1.183).
Вертикальные колена находятся на расстояниях R и 3R от оси враще¬
ния. Установившаяся разность уровней (по высоте) налитой в трубку
жидкости в вертикальных коленах равна Н. Найдите угловую скорость
вращения платформы. Диаметр трубки значительно меньше ее длины.
(Билет 1, 2012)
1.307. Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена
и двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, враща¬
ющейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси
(рис. 1.184). Вертикальные колена находятся на расстояниях R и 2R
cj>
Рис. 1.183
_
Рис. 1.184
Рис. 1.185
Рис. 1.186
от оси вращения. Найдите установившуюся разность уровней (по высо¬
те) налитой в трубку воды в ее вертикальных коленах. Диаметр трубки
значительно меньше ее длины. (Билет 2. 2012)
1.308. Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена и
двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, вращающей¬
ся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси (рис. 1.185).
Вертикальные колена находятся на расстояниях R и 5R от оси враще¬
ния. Установившаяся разность уровней (по высоте) налитой в трубку
жидкости в вертикальных коленах равна Н. Найдите угловую скорость
вращения платформы. Диаметр трубки значительно меньше ее длины.
(Билет 3, 2012)
1.309. Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена
и двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, враща¬
ющейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси
(рис. 1.186). Вертикальные колена находятся на расстояниях R! и 4R
от оси вращения. Найдите установившуюся разность уровней (по высо¬
те) налитой в трубку воды в ее вертикальных коленах. Диаметр трубки
значительно меньше ее длины. (Билет 4. 2012)

70
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
1.310. Изогнутая трубка состоит из горизонтального колена дли¬
ной I, запаянного с одного конца, и вертикального колена, открытого
в атмосферу (рис. 1.187). Трубка заполнена водой так, что в вертикаль¬
ном колене высота столба воды равна 1/3. Трубку двигают с ускорением
a = g/5, направленным вдоль горизонтального колена. Плотность воды
р, атмосферное давление Pq. Диаметр трубки значительно меньше ее
длины.
1) Найдите давление в воде в месте изгиба трубки.
2) Найдите давление в воде у запаянного конца трубки. (Билет 5, 2012)
1.311. Изогнутая трубка состоит из горизонтального колена длиной /,
запаянного с одного конца, и вертикального колена, открытого в атмо¬
сферу (рис. 1.188). Трубка заполнена жидкостью так, что в вертикальном
колене высота столба жидкости равна 1/4. Трубку двигают с ускорением
a = g/8, направленным вдоль горизонтального колена. Плотность жид¬
кости р, атмосферное давление Р0. Диаметр трубки значительно меньше
ее длины.
1) Найдите давление в жидкости в месте изгиба трубки.
2) Найдите давление в жидкости у запаянного конца трубки. (Би¬
лет 6, 2012)
1.312. Изогнутая трубка состоит из горизонтального колена длиной /,
запаянного с одного конца, и вертикального колена, открытого в атмо¬
сферу (рис. 1.189). Трубка заполнена маслом так, что в вертикальном
g
а
а
!?
Рис. 1.187
Рис. 1.188
g
а
а
g
Рис. 1.189
Рис. 1.190
колене высота столба масла равна l/Б. Трубку двигают с ускорением
a—g/7, направленным вдоль горизонтального колена. Плотность мас¬
ла р, атмосферное давление Р{). Диаметр трубки значительно меньше ее
длины.
1) Найдите давление в масле в месте изгиба трубки.
2) Найдите давление в масле у запаянного конца трубки. (Билет 7. 2012)
1.313.	Изогнутая трубка состоит из горизонтального колена длиной /,
запаянного с одного конца, и вертикального колена, открытого в атмо¬
сферу (рис. 1.190). Трубка заполнена жидкостью так, что в вертикальном
колене высота столба жидкости равна 1/2. Трубку двигают с ускорением
a—g/9, направленным вдоль горизонтального колена. Плотность жид¬
кости р, атмосферное давление Р0. Диаметр трубки значительно меньше
ее длины.
1)	Найдите давление в жидкости в месте изгиба трубки.

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
71
2)	Найдите давление в жидкости у запаянного конца трубки. (Би¬
лет 8, 2012)
1.314. Маленький шарик массой т висит неподвижно на невесомой
нерастяжимой нити длиной /. Шарику толчком сообщают такую гори¬
зонтальную скорость, что он в итоге поднимается над начальной точкой
на максимальную высоту ho < I. Найдите силу натяжения нити в мо¬
мент, когда шарик находился на высоте h = /го/2. (Билет 5, 2012)
1.315. Маленький шарик массой т висит неподвижно на невесомой
нерастяжимой нити длиной I. Шарику толчком сообщают такую горизон¬
тальную скорость, что при последующем движении шарик поднимается
над начальной точкой на высоту, меньшую /, а минимальная сила на¬
тяжения нити равна \mg. На какой высоте находился шарик в момент,
когда сила натяжения нити равнялась mg? (Билет 6, 2012)
1.316. Маленький шарик массой т висит неподвижно на невесомой
нерастяжимой нити длиной /. Шарику толчком сообщают такую гори¬
зонтальную скорость, что он в итоге поднимается над начальной точкой
на максимальную высоту ho < I. На какой высоте находился шарик в
момент, когда сила натяжения нити равнялась mg? (Билет 7, 2012)
1.317. Маленький шарик массой т висит неподвижно на невесомой
нерастяжимой нити длиной I. Шарику толчком сообщают такую горизон¬
тальную скорость, что при последующем движении шарик поднимается
над начальной точкой на высоту, меньшую /, а минимальная сила на¬
тяжения нити равна \mg. На какой высоте находился шарик в момент,
когда сила натяжения нити равнялась mg? (Билет 8. 2012)
1.318. На горизонтальной поверхности стола находится тележка. На
шероховатой горизонтальной поверхности тележки находится брусок,
прикрепленный к тележке легкой упругой пру¬
жиной (рис. 1.191). Масса тележки в 3 раза
больше массы бруска. Брусок отклоняют влево
так, что удлинение пружины равно х, а тележка
прижата к упору. Затем брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент
отрыва тележки от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва тележки от упора.
3) Найдите скорость тележки после прекращения движения по ней
бруска.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна 2х. Если брусок тащить по неподвижной тележке
с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к прикреп¬
ленной к бруску пружине, то деформация пружины равна 2а:/3. Массой
колес тележки и трением в их осях пренебречь. Деформация х пружины
меньше длины пружины в ненапряженном состоянии. (Билет 1. 2013)
1.319. Тележка находится на горизонтальной поверхности стола. На
шероховатой горизонтальной поверхности тележки находится брусок,
-шш
U-
Рис. 1.191

72
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
прикрепленный к тележке легкой упругой пружиной (рис. 1.192). Масса
тележки в 2 раза больше массы бруска. Брусок отклоняют влево так,
что пружина сжата на величину х, а тележка прижата к упору. Затем
брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва тележки от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва тележки от упора.
3) Найдите скорость тележки после прекращения движения по ней
бруска.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна Зх. Если брусок тащить по неподвижной тележке
с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к прикреп¬
ленной к бруску пружине, то деформация пружины равна За:/4. Массой
колес тележки и трением в их осях пренебречь. (Билет 2, 2013)
1.320.	На горизонтальной поверхности стола находится тележка. На
шероховатой горизонтальной поверхности тележки находится брусок,
прикрепленный к тележке легкой упругой пружиной (рис. 1.191). Масса
тележки в 4 раза больше массы бруска. Брусок отклоняют влево так, что
удлинение пружины равно х, а тележка прижата к упору. Затем брусок
отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва тележки от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва тележки от упора.
3) Найдите скорость тележки после прекращения движения по ней
бруска.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна 4х/3. Если брусок тащить по неподвижной те¬
лежке с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к
прикрепленной к бруску пружине, то деформация пружины равна х/3.
Массой колес тележки и трением в их осях пре-
77777^ LooOOOOOJ	 небречь. Деформация х пружины меньше дли-
Г QP.QQQQ I, J ны пружины в ненапряженном СОСТОЯНИИ. (Би¬
лет 3, 2013)
7^^777^77777777777^^
тт7тт7777т77тшг7гг 1.321. Тележка находится на горизонталь-
рис. 1 192	ной поверхности стола. На шероховатой го¬
ризонтальной поверхности тележки находится
брусок, прикрепленный к тележке легкой упругой пружиной (рис. 1.192).
Масса тележки в 5 раз больше массы бруска. Брусок отклоняют влево
так, что пружина сжата на величину х, а тележка прижата к упору.
Затем брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва тележки от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва тележки от упора.
3) Найдите скорость тележки после прекращения движения по ней
бруска.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна 5х/2. Если брусок тащить по неподвижной те¬

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
73
77777)
1
Рис. 1.193
7777/
лежке с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к
прикрепленной к бруску пружине, то деформация пружины равна х/2.
Массой колес тележки и трением в их осях пренебречь. (Билет 4, 2013)
1.322. Доска находится на шероховатой горизонтальной поверхности
стола. На гладкой верхней горизонтальной поверхности доски находится
брусок, прикрепленный к доске легкой упругой пружиной (рис. 1.193).
Брусок отклоняют влево так, что пружина рас¬
тянута на величину х, а доска прижата к упору.
Затем брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент
отрыва доски от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва
доски от упора.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна х/7. Если брусок с доской двигать по столу
с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к бруску,
то деформация сжатой пружины равна Ъх/А. Все деформации пружины
меньше длины пружины в ненапряженном СОСТОЯНИИ. (Билет 5, 2013)
1.323. На шероховатой горизонтальной поверхности стола находится
доска. На гладкой верхней горизонтальной поверхности доски находится
брусок, прикрепленный к доске легкой упругой пружиной (рис. 1.194).
Брусок отклоняют влево так, что пружина сжата на величину хч а доска
прижата к упору. Затем брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва доски от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва доски от упора.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна х/9. Если брусок с доской двигать по столу
с постоянной скоростью, прикладывая горизон¬
тальную силу к бруску, то деформация растяну¬
той пружины равна 4^/5. (Билет 6, 2013)
1.324. Доска находится на шероховатой го¬
ризонтальной поверхности стола. На гладкой
верхней горизонтальной поверхности доски на¬
ходится брусок, прикрепленный к доске легкой
упругой пружиной (рис. 1.193). Брусок отклоняют влево так, что пру¬
жина растянута на величину х} а доска прижата к упору. Затем брусок
отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва доски от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва доски от упора.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна х/5. Если брусок с доской двигать по столу
с постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к бруску,
то деформация сжатой пружины равна 2ж/3. Все деформации пружины
меньше ДЛИНЫ пружины В ненапряженном СОСТОЯНИИ. (Билет 7, 2013)
77777)
1
ЯНЯ77Я7^Я777777ТГ777777Тн
Рис. 1.194

74
МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
1.325. На шероховатой горизонтальной поверхности стола находится
доска. На гладкой верхней горизонтальной поверхности доски находится
брусок, прикрепленный к доске легкой упругой пружиной (рис. 1.194).
Брусок отклоняют влево так, что пружина сжата на величину х, а доска
прижата к упору. Затем брусок отпускают.
1) Найдите деформацию пружины в момент отрыва доски от упора.
2) Найдите скорость бруска в момент отрыва доски от упора.
Известно следующее. Если брусок подвесить на пружине, то дефор¬
мация пружины равна 4ж/11. Если брусок с доской двигать по столу с
постоянной скоростью, прикладывая горизонтальную силу к бруску, то
деформация растянутой пружины равна 5х/6. (Билет 8. 2013)
1.326. По горизонтальной поверхности пола движется со скоростью
и = 1 м/с тележка со штативом, к которому на нити длиной / = 0,5 м
привязан шар (см. рис. 1.195). Пуля, летящая го¬
ризонтально со скоростью 51 и, попадает в шар
и застревает в нем. Массы пули и шара т и
24т, масса тележки намного больше массы шара.
Направления всех движений находятся в одной
т 51 и
24т
_q	вертикальной плоскости. Размеры шара малы по
™штт7Т7Т7ггттгтг	сравнению с длиной нити.
Рис. 1.195	1) Найдите скорость шара v\ относительно те¬
лежки сразу после попадания пули.
2) Найдите скорость шара v2 относительно пола сразу после попада¬
ния пули.
3) На какой максимальный угол от вертикали отклонится нить при
дальнейших колебаниях шара? (Билет 1, 2014)
1.327. На гладкой горизонтальной поверхности тележки находится
брусок, прикрепленный к тележке легкой упругой пружиной жесткостью
к= 10Н/м (см. рис. 1.196). Тележка с брус-
m 33и гг:— rvwYw^	I	ком Движутся со скоростью и = 0,25 м/с по
и горизонтальной поверхности пола. Пуля, ле¬
тящая горизонтально со скоростью 33и, по-
77^^ТП777Т777ТТ777ТТ/УУ/ / / г	падает в брусок и застревает в нем. Массы
рис 1 196	пули и бруска m — 0,5 г и 7т, масса тележки
намного больше массы бруска. Направления
всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.
1) Найдите скорость бруска v\ относительно тележки сразу после
попадания пули.
2) Найдите скорость бруска v2 относительно пола сразу после попа¬
дания пули.
3) Найдите максимальную деформацию пружины при последующих
колебаниях бруска. (Билет 2, 2014)
1.328. По горизонтальной поверхности пола движется со скоростью
и = 0,2 м/с тележка со штативом, к которому на нити длиной I = 0,25 м
1т
-шш
7\	Го

МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
75
привязан шар (см. рис. 1.197). Пуля, летящая горизонтально со скоро¬
стью 59и, попадает в шар и застревает в нем. Массы пули и шара т.
и 11т, масса тележки намного больше массы шара. Направления всех
движений находятся в одной вертикальной плоско¬
сти. Размеры шара малы по сравнению с длиной
нити.
1) Найдите скорость шара v\ относительно те¬
лежки сразу после попадания пули.
2) Найдите скорость шара V2 относительно пола
сразу после попадания пули.
3) На какой максимальный угол от вертикали
отклонится нить при дальнейших колебаниях ша¬
ра? (Билет 3. 2014)
1.329. На гладкой горизонтальной поверхности тележки находится
брусок, прикрепленный к тележке легкой упругой пружиной жестко¬
стью А: = 0,45Н/м (см. рис. 1.198). Тележка с
бруском движутся со скоростью и = 0,2 м/с по
горизонтальной поверхности пола. Пуля, летя¬
щая горизонтально со скоростью 26и, попада¬
ет в брусок и застревает в нем. Массы пули и
бруска т = 0,5 г и 8т, масса тележки намного
больше массы бруска. Направления всех дви¬
жений находятся в одной вертикальной плоскости.
1) Найдите скорость бруска v\ относительно тележки сразу после
попадания пули.
2) Найдите скорость бруска г>2 относительно пола сразу после попа¬
дания пули.
3) Найдите максимальную деформацию пружины при последующих
Колебаниях бруска. (Билет 4, 2014)
1.330. По гладкой горизонтальной поверхности стола движется со
скоростью и горка с неподвижной относительно горки шайбой на вер¬
шине горки (см. рис. 1.199). Пуля, летящая го¬
ризонтально со скоростью 31 и, попадает в шай¬
бу и застревает в ней. В результате шайба съез¬
жает с горки, не отрываясь от ее гладкой по¬
верхности, и покидает горку. Массы пули и
шайбы т и 9т, масса горки намного больше
массы шайбы.
1) Найдите скорость шайбы v\ относительно
горки сразу после попадания пули.
2) Найдите скорость шайбы V2 относительно стола сразу после попа¬
дания пули.
3) С какой скоростью относительно стола шайба покинула горку?
Рис. 1.199
т 26 и
и
7ТТТП77ТГТ7777Т7Т777777ТПТ7Т
Рис. 1.198
Рис. 1.197

76
МЕХАНИКА • ЗАДАЧИ
Направления всех движений находятся в одной вертикальной плос¬
кости. Известно, что при съезде с неподвижной горки изначально непо¬
движной шайбы шайба приобретает скорость 4и. (Билет 5, 2014)
1.331. По гладкой горизонтальной поверхности стола движется со
скоростью и горка с неподвижной относительно горки шайбой на ниж¬
нем горизонтальном участке горки (см. рис. 1.200). Пуля, летящая го¬
ризонтально со скоростью 41 гд попадает в шайбу и застревает в ней. В
результате шайба заезжает на верхний горизонтальный участок горки,
не отрываясь от ее гладкой поверхности, и покидает горку. Массы пули
и шайбы т и 7т, масса горки намного больше массы шайбы.
1) Найдите скорость шайбы vi относительно горки сразу после попа¬
дания пули.
2) Найдите скорость шайбы v2 относительно стола сразу после попа¬
дания пули.
3) С какой скоростью относительно стола шайба покинула горку?
Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоско¬
сти. Известно, что при съезде изначально неподвижной шайбы с верхне¬
го участка неподвижной горки на ее нижний участок шайба приобретает
скорость 4и. (Билет 6, 2014)
1.332. По гладкой горизонтальной поверхности стола движется со
скоростью и горка с неподвижной относительно горки шайбой на вер¬
шине горки (см. рис. 1.201). Пуля, летящая горизонтально со скоростью
т 41 и
•	►
/и
1т
т Ъ5и
•	►
и
8т
т 69и
•	►
и
6т /
Рис. 1.200
777777}/rmir/tn*firr/rr/lirr/rfll/rrifl
Рис. 1.201
Рис. 1.202
35и, попадает в шайбу и застревает в ней. В результате шайба съезжает с
горки, не отрываясь от ее гладкой поверхности, и покидает горку. Массы
пули и шайбы т и 8т, масса горки намного больше массы шайбы.
1) Найдите скорость шайбы v\ относительно горки сразу после попа¬
дания пули.
2) Найдите скорость шайбы v2 относительно стола сразу после попа¬
дания пули.
3) С какой скоростью относительно стола шайба покинула горку?
Направления всех движений находятся в одной вертикальной плос¬
кости. Известно, что при съезде с неподвижной горки изначально непо¬
движной шайбы шайба приобретает скорость 3и. (Билет 7, 2014)
1.333.	По гладкой горизонтальной поверхности стола движется со
скоростью и горка с неподвижной относительно горки шайбой на ниж¬
нем горизонтальном участке горки (см. рис. 1.202). Пуля, летящая го¬

МЕХАНИКА•ЗАДАЧИ
77
ризонтально со скоростью 69и, попадает в шайбу и застревает в ней. В
результате шайба заезжает на верхний горизонтальный участок горки,
не отрываясь от ее гладкой поверхности, и покидает горку. Массы пули
и шайбы 771 и 6га, масса горки намного больше массы шайбы.
1) Найдите скорость шайбы v\ относительно горки сразу после попа¬
дания пули.
2) Найдите скорость шайбы относительно стола сразу после попа¬
дания пули.
3) С какой скоростью относительно стола шайба покинула горку?
Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоско¬
сти. Известно, что при съезде изначально неподвижной шайбы с верхне¬
го участка неподвижной горки на ее нижний участок шайба приобретает
скорость б и. (Билет 8, 2014)

2. ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. Резиновый шарик массой т = 2 г надувается гелием при темпе¬
ратуре t = 17°С. По достижении в шарике давления, равного 1,1 атм,
он лопается. Какая масса гелия была в шарике, если перед тем, как
лопнуть, он имел сферическую форму? Известно, что резиновая пленка
рвется при толщине Д = 2 • 10~3 см. Плотность резины р = 1,1 г/см3,
молярная масса гелия р = 4 г/моль, универсальная газовая постоянная
R — 8,31 Дж/(моль • К). (Билет 1, 1991)
2.2. В кастрюлю-скороварку залили небольшое количество воды при
температуре t{} = 20°С, причем занимаемый водой объем намного мень¬
ше объема кастрюли. После этого ее герметично закрыли крышкой и
медленно нагрели. Когда температура в кастрюле достигла t\ = 115°С,
а давление трех атмосфер, вся вода испарилась. Оценить по этим дан¬
ным, какую часть объема кастрюли занимала вода до начала нагрева.
Давлением водяных паров в кастрюле при 20°С можно пренебречь. Уни¬
версальная газовая постоянная R — 8,31 ДжДмоль • К), молярная масса
ВОДЫ (Я = 18 г/моль, плотность воды р = 1 г/см3. (Билет 2, 1991)
2.3. В сферический газгольдер из стали закачан азот при температуре
17°С и давлении р= 100 атм. Найти массу оболочки газгольдера, если
известно, что она вдвое больше массы закачанного азота. Плотность
стали р = 7,8 г/см3, толщина стенки газгольдера Д = 1 см много меньше
его радиуса. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 ДжДмоль • К).
Молярная масса азота ц = 28 г/моль. (Билет 3. 1991)
2.4. В герметичный сосуд, содержащий сухой воздух при температуре
17°С и некотором давлении, впрыснули немного воды и стали медленно
нагревать. Определить давление воздуха в сосуде до впрыскивания во¬
ды, если к тому моменту, когда испарилась вся вода, давление воздуха
составляло 46% от общего давления в сосуде. Начальный объем воды со¬
ставил 1/1200 от объема сосуда. Универсальная газовая постоянная R =
= 8,31 ДжДмоль • К), молярная масса и плотность воды соответственно
(1 = 18 г/моль и р = 1 г/см3. (Билет 4, 1991)
2.5. В цилиндре под поршнем находится смесь v молей жидкости
и v молей ее насыщенного пара при температуре Д>. К содержимому
цилиндра подвели количество теплоты Q, медленно и изобарически на¬
гревая его, и температура внутри цилиндра увеличилась на АТ. Найти
изменение внутренней энергии содержимого цилиндра. Начальным объ¬
емом жидкости пренебречь. (Билет 5, 1991)
2.6. Жидкость и ее насыщенный пар находятся в цилиндре под порш¬
нем при некоторой температуре. При медленном изобарическом нагреве
температура системы повысилась до 100°С, а объем увеличился на 54%.
На сколько градусов нагрели содержимое цилиндра, если масса пара
вначале составляла 2/3 от полной массы смеси? Начальным объемом
ЖИДКОСТИ ПО Сравнению С Объемом СИСТеМЫ Пренебречь. (Билет 6. 1991)

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
79
2.7. В цилиндре под поршнем содержится v молей ненасыщенно¬
го водяного пара при температуре То. При медленном изобарическом
охлаждении цилиндра половина пара сконденсировалась, а внутренняя
энергия содержимого в цилиндре уменьшилась на AU. Какое количе¬
ство теплоты пришлось при этом отвести от содержимого цилиндра,
если температура в цилиндре уменьшилась на АТ? Объемом воды по
сравнению с объемом пара пренебречь. (Билет 7, 1991)
2.8. Смесь воды и ее насыщенного пара занимает некоторый объем
при температуре 90°С. Если смесь нагревать изохорически, то вся вода
испаряется при увеличении температуры на 10°С. Чему равно давление
насыщенного водяного пара при 90°С, если в начальном состоянии масса
воды составляла 29% от массы всей смеси? Объемом воды по сравнению
с объемом смеси пренебречь. (Билет 8. 1991)
2.9. Моль идеального одноатомного газа из начального состояния 1
расширяется сначала изобарически, а затем в процессе с линейной зави¬
симостью давления от объема (рис. 2.1). Известно, что V3/V2 = V2/V1,
Т2 = Т3. Найти отношение V2/V1, если количество теплоты, подведенное
к газу на участке 1-2, в два раза больше величины работы, совершенной
газом на участке 2-3. (Билет 9, 1991)
2.10. Моль идеального одноатомного газа расширяется сначала изо¬
барически, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от
объема (рис. 2.2). Известно, что V2/V1 = Из/Иг, а прямая 2-3 проходит
Рис. 2.1	Рис.	2.2	Рис.	2.3
через начало координат. Найти отношение объемов V2/V1, если коли¬
чество теплоты Q12, подведенное к газу на участке 1-2, в четыре ра¬
за меньше величины работы Л23, совершенной газом на участке 2-3.
(Билет 10. 1991)
2.11. Моль идеального одноатомного газа сжимают сначала изобари¬
чески, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объема
(рис. 2.3). Известно, что Т2—Т3 и Vi/V2 = V2/V3. Найти отношение
V1/V2, если количество теплоты, отведенное от газа на участке 1-2, в
три раза больше величины работы сжатия на участке 2-3. (Билет 11, 1991)
2.12. Моль идеального одноатомного газа сжимают сначала изобари¬
чески, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объема
(рис. 2.4). Известно, что V1/V2 = V2/V3, а прямая 2-3 проходит через

80
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
начало координат. Найти отношение объемов V1/V2, если количество
теплоты Q12, отведенное от газа на участке 1-2, в 16 раз больше вели¬
чины работы сжатия А23 на участке 2-3. (Билет 12, 1991)
2.13.	Колокол для подводных работ объемом 10 м3 опускается вверх
дном с борта корабля на дно водоема глубиной 20 м. Зашедшая в колокол
емом V = 20 л. Найти разность времени пребывания аквалангиста на
глубинах 5 и 25 м, считая, что масса воздуха, потребляемая им в этих
условиях, остается такой же, как и без акваланга. В обычных услови¬
ях человек делает 20 вздохов в минуту, потребляя при каждом вздохе
Vi — 2,5 л воздуха. Газовая постоянная равна R = 8,31 ДжДмоль • К),
температуру считать постоянной. (Билет 2, 1992)
2.15. Цилиндрический колокол для подводных работ высотой 2 м
опускается вверх дном с борта катера на дно водоема глубиной 3 м. Най¬
ти толщину воздушной подушки, образовавшейся у «потолка» колокола
к моменту его касания дна водоема. Температуру считать постоянной.
(Билет 3, 1992)
2.16. Пустой сосуд наполняется через вентильное устройство путем
подсоединения к нему баллонов со сжатым воздухом. После выравнива¬
ния давлений в сосуде и баллоне вентиль перекрывается, затем подсо¬
единяется следующий баллон и т.д. Найти отношение давлений в сосуде
после подсоединения одного и двух баллонов со сжатым воздухом. Из¬
вестно, что объем сосуда втрое больше объема одного баллона. Считать,
что в процессе выравнивания давлении выравнивается и температура
газа в сосуде и баллоне. (Билет 4, 1992)
2.17. Равные массы гелия Не и водорода Н2 находятся в теплоизо¬
лированном цилиндре под поршнем. Объем цилиндра Vo = 1 л, давление
в нем Р{) = 9 атм. При адиабатическом расширении смесь газов совер¬
шает работу А = 650 Дж. Найти относительное изменение температуры
смеси. Внутренняя энергия моля гелия равна |i?T, водорода — §i?T,
Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная. Молярные массы
гелия и водорода равны соответственно 4 г/моль и 2 г/моль. (Билет 5, 1992)
2.18. В цилиндре под давлением Р — 2 атм находится смесь гелия
Не и водорода Н2. Изобарический нагрев смеси газов приводит к уве¬
личению объема цилиндра на AV = 1 л. На сколько изменилась при
2
вода вытесняется из него с помощью баллонов
со сжатым воздухом. Объем одного баллона 40 л,
давление внутри 200 атм. Найти минимальное
количество баллонов, которое нужно подсоеди¬
нить к колоколу с помощью шланга, чтобы вы¬
теснить из него воду. Газовая постоянная R =
/
— 8,31 ДжДмоль • К), температуру считать посто-
v янной. (Билет 1, 1992)
Рис. 2.4
2.14.	Аквалангист берет с собой для подвод¬
ного плавания баллоны со сжатым воздухом объ-

ТЕРМОДИНАМИКА ♦ ЗАДАЧИ
81
этом внутренняя энергия смеси газов? Масса водорода в 1,5 раза боль¬
ше массы гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна |RT, а водоро¬
да — §ЯТ, где Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная.
Молярные массы гелия и водорода равны соответственно 4 г/моль и
2 г/моль. (Билет 6, 1992)
2.19. Гелий Не и водород Н2 находятся в теплоизолированном цилин¬
дре под поршнем. Объем, занимаемый смесью газов, Vo = 1 л, давление
Р[) — 37 атм. При адиабатическом расширении смеси газов относитель¬
ное уменьшение температуры составило 75%. Найти работу, совершае¬
мую при этом смесью газов, если масса водорода в 1,5 раза больше массы
гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна	а	водорода — |RT,
где Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная. Молярные
массы гелия и водорода равны соответственно 4 г/моль и 2 г/моль. (Би¬
лет 7. 1992)
2.20. В сосуде объемом V = 1 л находится смесь гелия Не и водо¬
рода Н2. При изохорическом нагреве смеси к ней подвели количество
теплоты Q — 220 Дж. При этом давление в сосуде возросло на АР =
= 1 атм. Найти отношение числа молей водорода к числу молей гелия в
сосуде. Внутренняя энергия моля гелия равна |/?Т, а водорода — |RT,
где Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная. (Билет 8. 1992)
2.21. В горизонтально расположенном теплопроводящем цилиндре
под подвижным поршнем заперт воздух при атмосферном давлении и
комнатной температуре. В объем под поршнем впрыснули ш = 5 г лег¬
ко испаряющейся жидкости. После того как жидкость испарилась, ока¬
залось, что объем, занятый воздухом и парами жидкости, увеличил¬
ся на AV = 0,6 л. Найти по этим данным молярную массу жидко¬
сти. Наружное давление равно атмосферному, газовая постоянная R =
= 8,31 ДжДмоль • К), t = 27°С. Объемом, занимаемым жидкостью в на¬
чале опыта, можно Пренебречь. (Билет 9, 1992)
2.22. Легкая подвижная перегородка делит герметичный теплопро¬
водящий сосуд на две неравные части, в которых находится воздух при
атмосферном давлении и комнатной температуре. В меньшую часть сосу¬
да впрыскивается легко испаряющаяся жидкость, давление насыщенного
пара которой при комнатной температуре равно 3,5 атм. Спустя некото¬
рое время перегородка перестала двигаться, а жидкость почти вся ис¬
парилась. Объем части сосуда, в которой находятся воздух и пары, уве¬
личился при этом вдвое по сравнению с первоначальным. Найти, какую
часть объема сосуда составляла вначале его меньшая часть? Объемом,
занимаемым жидкостью в начале и конце опыта, можно пренебречь. (Би¬
лет 10, 1992)
2.23. При «зарядке» сифонов углекислотой часть ее растворяется в
воде. Определить эту часть при зарядке сифона одним баллончиком, со¬
держащим 10 г углекислоты. Объем сифона, не занятый водой, равен

82
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
V = 0,2 л, температура 24°С. Конечное давление в сифоне после раство¬
рения углекислого газа в воде устанавливается равным 4 атм. Газовая
постоянная R = 8,31 ДжДмоль • К). Объемом баллончика и изменени¬
ем температуры в сифоне при растворении углекислоты пренебречь. (Би¬
лет 11, 1992)
2.24. Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем. Изотер¬
мическое увеличение давления в (3 = 2 раза уменьшает объем цилиндра
в у = 2,5 раза. Какую часть конечного давления составляет давление
пара, если начальная относительная влажность воздуха равна а = 0,64
(объемом сконденсировавшейся воды пренебречь). (Билет 12, 1992)
2.25. В ресторане «Седьмое небо» на высоте Н « 300 м вода закипает
при температуре 99°С. Давление воздуха в изотермической атмосфере с
высотой h меняется по закону: Р(А) = Р(0) • exp(—[igh/RT), где Р(0) —
атмосферное давление у поверхности земли, р = 29 г/моль — средняя
молярная масса воздуха, g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения,
R = 8,31 ДжДмоль • К). Считая, что малые относительные изменения
давления ДР„/Р„ и температуры АТН/ТН насыщенного водяного пара
связаны формулой ДРН/РН = СДТ„/ТН, найти величину константы С.
Указание. Для малых ^«l имеет место формула е~х « 1 — х.
(Билет 1, 1993)
2.26. В модели «адиабатической» атмосферы температура воздуха
меняется с высотой h по линейному закону: T(h) = Т(0) — 2\igh/7R,
где Р(0) = 273 К (температура у поверхности земли), р = 29 г/моль —
средняя молярная масса воздуха, g = 9,8 м/с2 — ускорение свободно¬
го падения, R — 8,31 ДжДмоль * К) — газовая постоянная. В той же
модели температура T(h) и плотность р(/?.) на высоте h связаны с
температурой Т(0) и плотностью р(0) у поверхности земли формулой
T5(/?.)/p2(/i) = Т5(0)/р2(0). Найти массу воздуха, содержащегося в 1 л,
взятом на высоте Эльбруса Н = 5,5 км. Воздух у поверхности земли на¬
ходится в нормальных условиях.
Указание. Для малых х 1 имеет место формула (1 — х)а «
~ 1 — ах. (Билет 2, 1993)
2.27. Для насыщенного водяного пара вблизи температуры ~ 100°С,
малые относительные изменения давления ДРН/Р„ и температу¬
ры АТн/Тп связаны формулой ДРН/РН = 13ДТН/ТН. При какой тем¬
пературе закипит вода на высоте Останкинской телебашни Н — 550 м?
Давление воздуха в изотермической атмосфере P(h) с высотой h изме¬
няется по закону: P(h) = Р(0) • ехр(—рgh/RT), где Р(0) — нормальное
атмосферное давление у поверхности земли, р = 29 г/моль — средняя
молярная масса воздуха, g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения,
R = 8,31 Дж/(моль • К), Т = 273 К.
Указание. Для малых х 1 имеет место формула е~х ^ 1 — х.
(Билет 3, 1993)

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
83
2.28. В модели изотермической атмосферы зависимость давления
P(h) каждого газа, входящего в состав воздуха, от высоты h опре¬
деляется барометрической формулой P(h) = Р(0) • ехр(—\igh/RT), где
Р(0) — давление у поверхности земли, р — молярная масса компоненты
воздуха, Я = 8,31 Дж/(моль • К), g — 9,8 м/с2 — ускорение свободного
падения. В литре воздуха, взятого при нормальных условиях у поверх¬
ности земли, содержится 23% (по массе) кислорода. Какая масса кисло¬
рода содержится в литре воздуха, взятого на вершине Эвереста (высота
Н = 8,9 км)? Средняя молярная масса воздуха у поверхности земли рв =
= 29 г/моль.
Указание. Для малых ж<1 имеет место формула е~х « 1 - х.
(Билет 4, 1993)
2.29. Мыльный пузырь диаметром d, наполненный газом, находится
в герметичной воздушной камере. После того как часть воздуха из каме¬
ры откачали, пузырь увеличил свой диаметр вдвое. Чему равно конечное
давление воздуха в камере? Поверхностное натяжение мыльного раство¬
ра равно о, начальное давление воздуха в камере — Р0. (Билет 5, 1993)
2.30. Мыльный пузырь надувается воздухом, температура которого
выше комнатной. При диаметре пузыря 0,3 мм он начинает всплывать
(в комнате). На сколько процентов температура воздуха в пузыре выше
комнатной? Поверхностное натяжение мыльного раствора о — 38 дин/см.
Весом пленки Пренебречь. (Билет 6. 1993)
2.31. Мыльный пузырь находится в воздушной камере при комнатной
температуре. Давление воздуха в пузыре вдвое отличается от давления в
камере. При нагревании воздуха в пузыре и в камере до 70°С радиус пу¬
зыря увеличивается на 15%, а давление в камере остается неизменным.
Найти отношение коэффициентов поверхностного натяжения мыльного
раствора при конечной и начальной температурах опыта. (Билет 7, 1993)
2.32. Мыльный пузырь надувается азотом при комнатной температу¬
ре. При каком диаметре пузырь начнет всплывать в атмосферном возду¬
хе? Поверхностное натяжение мыльного раствора о = 40 дин/см, весом
пленки Пренебречь. (Билет 8, 1993)
2.33. Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от темпера¬
туры Т и объема V по формуле U = сТ — a/V, где с и а — известные
константы. Такой газ, расширяясь в процессе 1-2: P=fiV, (рис. 2.5)
совершает работу величиной А (Р — давление, (3 — заданная констан¬
та). В процессе изохорического охлаждения газа 2-3 до первоначальной
температуры от него пришлось отвести количество теплоты Q. Сколько
теплоты было подведено к газу в процессе расширения 1-2, если его
объем увеличился при этом в а раз? (Билет 9, 1993)
2.34. Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от температу¬
ры и объема по формуле U = сТ — у, где с и а — заданные константы.
Такой газ из состояния с объемом \\ расширяется в адиабатическом
процессе 1-2 до объема = осУ\ (рис. 2.6). Затем его в изохориче-

84
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
ском процессе 2-3 возвращают в состояние с первоначальной темпе¬
ратурой и, далее, в изотермическом процессе 3-1 переводят в исход¬
ное состояние. Найти разность конечной и начальной температур газа в
изохорическом процессе, если в изотермическом процессе от газа при¬
шлось отвести количество теплоты Q, а работа сжатия при этом ока¬
залась в |3 раз больше работы расширения в адиабатическом процессе.
(Билет 10, 1993)
2.35,	Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от темпе¬
ратуры Т и объема V по формуле U — сТ — у, где с и а — заданные
константы. Такой газ в процессе 1-2 (рис. 2.7) при постоянном дав¬
лении Р[) увеличивает свой объем в а раз, совершая при этом работу
Pi 1
К
К v
Рис. 2.5
Рис. 2.6
Рис. 2.7
Рис. 2.8
величиной А. Если бы газ из того же начального состояния увеличил
свой объем в а раз в адиабатическом процессе /—3, то он совершил бы
работу в |3 раз меньшую первоначальной, На сколько градусов АТ из¬
менилась бы температура газа в адиабатическом процессе? (Билет 11, 1993)
2.36.	Внутренняя энергия U неидеального газа зависит от температу¬
ры Т и объема V по формуле: U = сТ — у, где си а — заданные констан¬
ты. Такой газ из состояния с объемом Vj описывает замкнутый цикл,
состоящий из адиабаты 1-2, изотермы 2-3 и изохоры 3-1 (рис. 2.8).
Найти разность конечной и начальной температур газа в изохорическом
процессе, если величина работы газа в
адиабатическом процессе оказалась в (3 раз
больше величины работы изотермического
сжатия. Известно, что V-2 = aVi, а суммар-
t	ное	количество	теплоты, подведенное к газу
за ЦИКЛ, равно Q. (Билет 12, 1993)
У	2.37.	Моль одноатомного идеального га¬
за переводится из состояния 1 в состояние 3
путем изобарического нагрева 1-2 и изохо-
рического охлаждения 2-3 (рис. 2.9). На участке 1-2 газ совершает
работу А = 1250 Дж. В процессе всего перехода 1-2-3 газ получает сум¬
марное (алгебраическая сумма) количество теплоты Q — 750 Дж. Найти
разность температур Tz и Тф (Билет 1, 1994)
2.38.	В процессе расширения к одноатомному идеальному газу бы¬
ло подведено количество теплоты, в 4 раза превышающее величину его
внутренней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз увеличился
Рис. 2.9

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
85
объем газа, если в процессе расширения он изменялся прямо пропорци¬
онально давлению (V ~ Р)? Под внутренней энергией газа понимается
сумма кинетических энергий всех молекул. (Билет 2, 1994)
2.39. Один моль одноатомного идеального газа переводится из со¬
стояния / в состояние 3 путем изохорического охлаждения /-2, а затем
изобарического нагрева 2-3 (рис. 2.10). На
участке 1-2 температура газа уменьшается 1
на АТ = 100 К, а в процессе 1-2-3 газ полу¬
чает суммарное (алгебраическая сумма) ко¬
личество теплоты (2 = 1870Дж. Какую по
величине работу совершил газ в процессе
изобарического нагрева? (Билет 3, 1994)
2.40. Одноатомный идеальный газ рас-	к
ширяется в процессе с линейной зависимо-	Рис.	2.10
стью его давления от объема. В итоге этого
процесса к газу было подведено количество теплоты, в 3,6 раза меньшее
его внутренней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз увели¬
чился объем газа, если в конечном состоянии величина его внутренней
энергии оказалась равной первоначальному значению? Под внутренней
энергией газа понимается сумма кинетических энергий всех молекул.
(Билет 4, 1994)
2.41. В горизонтально расположенной трубке столбиком ртути дли¬
ной I = 12 см заперт слой воздуха толщиной L = 35 см (рис. 2.11). Если
трубку повернуть один раз открытым концом вниз, а другой раз вверх, то
столбик ртути смещается. Разность величин этих смещений от начально¬
го горизонтального положения равна 2 см. Найди-	L
те величину наружного давления (в мм ртутного h
столба). (Билет 5. 1994)	С
2.42. В одно из колен U-образной вертикаль-	Рис	2ц
но расположенной трубки, частично заполненной
жидкостью, долили слой более легкой жидкости. Возникшая при этом
разность уровней жидкости в коленах составила h = 4 см. Когда тол¬
щину слоя легкой жидкости увеличили еще на Зсм, уровень тяжелой
жидкости переместился на 1 см. Найдите толщину слоя более легкой
жидкости, первоначально налитой в трубку. Жидкости в трубке не сме¬
шиваются. (Билет 6, 1994)
2.43. U-образную вертикально расположенную трубку заполнили ча¬
стично ртутью, а затем одно из колен трубки закрыли. Если в открытое
колено трубки долить некоторое количество ртути, то уровни ее в ко¬
ленах сместятся. Найдите наружное давление (в мм ртутного столба),
если отношение величин этих смещений уровней равно п — 4, а толщи¬
на воздушной прослойки в закрытом колене в конечном состоянии равна
L = 25 СМ. (Билет 7, 1994)

86
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
2.44. U-образная вертикально расположенная трубка частично за¬
полнена жидкостью, так что расстояния от открытых концов трубки до
уровня жидкости в коленах трубки равны h. Какой максимальный по
толщине слой более легкой жидкости можно налить в одно из колен
трубки, чтобы жидкость из трубки не выливалась? Отношение величин
плотностей жидкостей равно к (к > 1). Жидкости не смешиваются. (Би¬
лет 8, 1994)
2.45. В переносном газовом баллоне объемом v{) = 5 л может поме¬
ститься не больше га0 = 2,2 кг жидкого пропана (С8Нн) под давлением
16 атмосфер и при температуре 17°С. Сколько пропана в газообразном
состоянии останется в баллоне, если из «полного» баллона израсходо¬
вать 80% пропана? (Билет 9, 1994)
2.46. Транспортный баллон с гелием имеет массу 61,6 кг при тем¬
пературе 27°С и давлении гелия внутри, равном 200 атмосфер. Часть
гелия была использована, чтобы надуть резиновые шарики объемом 4 л
каждый. Масса оставшегося гелия с баллоном при температуре —3°С
оказалась равной 60,6 кг, а давление в баллоне 70 атмосфер. Найти объ¬
ем транспортного баллона и количество надутых шариков, если давление
в них равно 1 атмосфере. (Билет 10. 1994)
2.47. 300 г пропана (СзН8) были закачаны при температуре 17°С и
давлении 16 атмосфер в переносной газовый баллон объемом 1 литр.
Сколько пропана в газообразном состоянии содержится в этом баллоне,
если при указанных выше давлении и температуре пропан превращается
В ЖИДКОСТЬ С ПЛОТНОСТЬЮ 440 кг/м3? (Билет 11, 1994)
2.48. По магистральному газопроводу с диаметром труб 1020 мм по¬
дается смесь горючих газов под давлением 10 атмосфер. Скорость дви¬
жения газов в трубе 10 м/с, температура 17°С, средняя молярная масса
смеси 44 г/моль. Какая масса газа перекачивается по газопроводу за
1 ГОД? (Билет 12, 1994)
2.49. В вакуумной теплоизолированной камере находятся два мас¬
ляных пузыря одинакового размера, один из которых наполнен гелием,
а другой — водородом, до давления Pq каждый. Найти отношение дав¬
ления Р, установившегося в камере, после того как пузыри лопнули,
к начальному давлению газа в пузырях. Отношение температуры ге¬
лия Т\ к температуре водорода Т2 составляет Ti/T2 = 0,6. Молярная
теплоемкость гелия при постоянном объеме Су1 — 3/2 Р, водорода —
Су2 — Ь/2 Р, Р — газовая постоянная. Объем пузыря в 160 раз меньше
объема камеры. Изменением поверхностной энергии пленок при разрыве
пузырей пренебречь. (Билет 1, 1995)
2.50. В сосуде объемом V\ = 20 л находится вода, насыщенный водя¬
ной пар и воздух. Объем сосуда при постоянной температуре медленно
увеличивают до = 40 л, давление в сосуде при этом уменьшается от
Pi = 3 атм до Р2 = 2 атм. Определить массу воды в сосуде в конце опы¬
та, если общая масса воды и пара составляет m — 36 г. Газовая постоян¬

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
87
ная R = 8,31 Дж/(моль • К). Объемом, занимаемым жидкостью в обоих
случаях, пренебречь. (Билет 2, 1995)
2.51. В вакуумной теплоизолированной камере находятся два масля¬
ных пузыря одинакового размера, один из которых наполнен аргоном, а
другой азотом до давления каждый. После того как пузыри лопают¬
ся, в камере устанавливается давление Р, которое в 30 раз меньше Р0.
Найти отношение объема пузыря Уо к объему камеры У, если отноше¬
ние температур аргона Т\ и азота Т2 составляет Т\/Т2 = 0,6. Молярная
теплоемкость аргона при постоянном объеме CV, =3/2 R, а азота —
Су2 = 5/2 R, где Р — газовая постоянная. Изменением поверхностной
энергии пленок при разрыве пузырей пренебречь. (Билет 3, 1995)
2.52. В сосуде объемом V\ = 31 л находятся воздух, вода и насы¬
щенный водяной пар. Температура в сосуде Т = 373 К, давление Р\ —
= 2,5 атм. При постоянной температуре объем сосуда медленно умень¬
шают, пока давление не станет равным Р2=4атм. Определить массу
воды в сосуде в конце опыта. Общая масса воды и пара в сосуде состав¬
ляет га = 22 г. Газовая постоянная R = 8,31 ДжДмоль * К). Объемом,
занимаемым жидкостью в обоих случаях, пренебречь. (Билет 4, 1995)
2.53. На диаграмме зависимости давления Р от объема V для некото¬
рой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изобарами
Рис. 2.12	Рис.	2.13	Рис.	2.14
в точках /, 2, 3 и 4 (рис. 2.12). Найти отношение температур Т:\/Т\ в
точках 3 и /, если отношение объемов в этих точках У3/У1 = а. Объемы
газа в точках 2 и 4 равны. (Билет 5, 1995)
2.54. На диаграмме зависимости давления Р от объема У для неко¬
торой массы идеального газа две изобары и две изохоры пересекают¬
ся в точках /, 2, 3 и 4 (рис. 2.13). Найти температуры газа Т\ и 7~з
в точках / и Л, если точки 2 и 4 лежат на прямой, проходящей через
начало координат, а температуры газа в этих точках равны соответствен¬
но Т2 И Г4. (Билет 6. 1995)
2.55. На диаграмме зависимости давления Р от объема У для неко¬
торой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изохо¬
рами в точках /, 2, 3 и 4 (рис. 2.14). Найти отношение давлений Ра/Pi
в точках 3 и /, если отношение температур в этих точках Тц/Т\ = р.
Давления газа в точках 2 и 4 равны. (Билет 7. 1995)

88
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
2.56. Диаграмма зависимости давления Р от объема V для некоторой
массы идеального газа состоит из двух изотерм и двух отрезков прямых,
проходящих через начало координат (рис. 2.15). Найти объем газа Vi в
состоянии 4, если известны его объемы Vz и V3 в состояниях 1, 2 и 3.
(Билет 8, 1995)
2.57. Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический со¬
суд с гладкими стенками разделен подвижным теплонепроницаемым
поршнем на две части, в которых находятся различные идеальные газы
с одинаковой температурой То = 300 К. Объем, занимаемый одним из
газов, в а = 3 раза больше объема другого газа. Газ в большем объе¬
ме нагревают, и он увеличивает свой объем на (3 = 1/20 объема всего
сосуда. На сколько увеличилась температура этого газа, если темпера¬
тура в другой части сосуда поддерживается постоянной и равной То?
(Билет 9, 1995)
2.58. В цилиндрическом сосуде с вертикальными гладкими стенка¬
ми и открытой в атмосферу верхней частью под подвижным тяжелым
поршнем находится v молей идеального газа. К поршню и дну сосу¬
да прикреплена пружина с жесткостью к (рис. 2.16). При температуре
газа Т\ пружина растянута, и ее длина равна L. До какой темпера¬
туры Т2 надо нагреть газ, чтобы его объем увеличился в п = 2 раза?
(Билет 10, 1995)
2.59. Закрытый цилиндрический сосуд объемом V = 18 л с гладкими
стенками расположен горизонтально и делится подвижным теплонепро¬
ницаемым поршнем на две части, в которых находятся различные иде¬
альные газы при одинаковой температуре. Объем, занимаемый одним
из газов, в а-2 раза больше объема другого газа В результате нагре¬
ва температура газа в меньшем объеме увеличилась в (3 = 2 раза. На
сколько увеличился объем этого газа, если температура газа в другой
части сосуда поддерживается постоянной и равной начальной темпера¬
туре? (Билет 11, 1995)
2.60. На столе стоит цилиндрический сосуд с гладкими вертикаль¬
ными стенками (рис. 2.17). К невесомому подвижному поршню и дну
сосуда прикреплена упругая пружина. Верхняя часть сосуда сообщается
с атмосферой. Под поршнем находится идеальный газ при температу¬
ре Т\ и под давлением в р = 2 раза большим внешнего атмосферного
Рис. 2.15
Рис. 2.16
Рис. 2.17

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
89
давления. Во сколько раз надо увеличить температуру газа в сосуде,
чтобы его объем увеличился в п = 2 раза? Длиной недеформированной
пружины пренебречь. (Билет 12, 1995)
2.61.	На рисунке для v молей гелия показан цикл, состоящий из
двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и изобары
рч
Рис. 2.18
Рис. 2.19
Рис. 2.20
(рис. 2.18). На изобаре 1-2 газ совершил работу А, и его температура
увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Точки 2 и 3
на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей через начало координат.
1) Определить температуру Т\ в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл. (Билет 1, 1996)
2.62. Цикл для v молей гелия состоит из двух участков линейной
зависимости давления Р от объема V и изохоры (рис. 2.19). В изо-
хорическом процессе 1-2 газу сообщили количество теплоты Q, и его
температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 рав¬
ны. Точки 1 и 3 на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей через
начало координат.
1) Найти температуру Т\ в точке 1.
2) Найти работу газа за цикл. (Билет 2, 1996)
2.63. На рисунке для v молей гелия показан цикл, состоящий из
двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и изобары
(рис. 2.20). На изобаре 3-1 над газом совершили
работу А (А > 0), и его температура уменьшилась
в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны.
Точки 1 и 2 на диаграмме PV лежат на прямой,
проходящей через начало координат.
1) Определить температуру Т\ в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл. (Билет 3, 1996)
2.64. Цикл для V молей гелия состоит из двух
участков линейной зависимости давления Р от объ¬
ема V и изохоры (рис. 2.21). В изохорическом про¬
цессе 1-2 от газа отведено количество теплоты Q
(Q > 0), и его температура уменьшилась в 4 раза. Температуры в состо¬
яниях 2 и 3 равны. Точки / и 3 на диаграмме PV лежат на прямой,
проходящей через начало координат.
Рис. 2.21

90
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
1) Найти температуру Х\ в точке /.
2) Найти работу газа за цикл. (Билет 4, 1996)
2.65. В сосуде находится жидкость и ее насыщенный пар. В процессе
изотермического расширения объем, занимаемый паром, увеличивается
в (3 = 3 раза, а давление пара уменьшается в а = 2 раза. Найти отно¬
шение массы жидкости Ш2 к массе пара т1, которые первоначально
содержались В сосуде. (Билет 5, 1996)
2.66. В сосуде находится водяной пар и вода при температуре 100°С.
В процессе изотермического расширения вода начинает испаряться. К
моменту, когда она вся испарилась, объем пара увеличился в (3 = 10 раз.
Найти отношение объемов пара и воды в начале опыта. (Билет 6, 1996)
2.67. В сосуде находится ненасыщенный пар. В процессе его изотер¬
мического сжатия объем, занимаемый паром, уменьшается в р = 4 раза,
а давление возрастает в а = 3 раза. Найти долю пара, которая сконден¬
сировалась В ЭТОМ процессе. (Билет 7, 1996)
2.68. В сосуде находится насыщенный водяной пар при температу¬
ре 100°С. В процессе изотермического сжатия пар начинает конденсиро¬
ваться. Найти отношение объемов пара и воды к моменту, когда объем
пара уменьшится в а = 7 раз. (Билет 8, 1996)
2.69. Гелий из состояния с температурой Т\ = 200 К расширяется
в процессе PV2 = const (Р — давление, V — объем газа) с постоян¬
ной теплоемкостью С. От газа отвели количество теплоты 415 Дж, и
конечный объем газа стал вдвое больше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоемкость С. (Билет 9, 1996)
2.70. Гелий в количестве v = 2 моля расширяется в процессе с по¬
стоянной теплоемкостью С. В результате к газу подвели количество
теплоты 3000 Дж, и внутренняя энергия газа уменьшилась на 2490 Дж.
1)Чему равна работа, совершенная газом?
2) Определить теплоемкость С. (Билет 10, 1996)
2.71. Гелий из состояния с температурой Т\ = 100 К расширяется в
процессе P2V = const (Р — давление, V — объем газа) с постоянной
теплоемкостью С. К газу подвели количество теплоты 2910 Дж. Конеч¬
ное давление газа вдвое меньше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2)Определить теплоемкость С. (Билет 11, 1996)
2.72. Гелий в количестве v = 4 моля сжимают в процессе с посто¬
янной теплоемкостью С. От газа отвели количество теплоты, равное
изменению его внутренней энергии, и температура газа увеличилась
на 100 К.
1)Чему равна работа, совершенная газом?
2) Определить теплоемкость С. (Билет 12, 1996)
2.73. Вода и водяной пар находятся в цилиндре под поршнем при
температуре 110°С. Вода занимает при этом 0,1% объема цилиндра.

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
91
о о
о
ЕТГТШ
Рис. 2.22
При медленном изотермическом увеличении объема вода начинает ис¬
паряться. К моменту, когда она вся испарилась, пар совершил рабо¬
ту величиной Л = 177Дж, а объем, который он занимал, увеличился
на AV = 1,25 л.
1) Найти давление, при котором производился опыт.
2) Сколько воды и пара было в цилиндре в начальном состоянии?
(Билет 1, 1997)
2.74. В цилиндре поршнем с пружиной (рис. 2.22) заперты водяной
пар и вода, масса которой М = 1 г. Температура в цилиндре поддержи¬
вается постоянной и равной 100°С. После того как из цилиндра вы¬
пустили часть пара массой т = 7 г, поршень
стал двигаться. После установления равно¬
весия объем содержимого в цилиндре под
поршнем оказался в 2 раза меньше первона¬
чального. Какая масса пара была в цилиндре
и какой объем он занимал в начале опыта?
Внешнее давление отсутствует, недеформи-
рованная пружина соответствует положению поршня у дна цилиндра,
трением между поршнем и стенками цилиндра пренебречь. (Билет 2. 1997)
2.75. Насыщенный водяной пар находится в цилиндре под порш¬
нем при температуре 120°С. При медленном изотермическом уменьше¬
нии объема цилиндра пар начинает конденсироваться. К моменту, когда
сконденсировалось т = 5 г пара, объем, им занимаемый, уменьшился на
AV = 4,5 л. Какая по величине работа была
совершена внешней силой в этом процессе?
Сколько пара было в цилиндре вначале, если
в конце опыта вода занимала 0,5% объема
цилиндра? (Билет 3, 1997)
2.76. В цилиндре поршнем с пружиной
(рис. 2.23) заперт водяной пар в объеме V\ =
= 4 л. Температура в цилиндре поддерживается постоянной и рав¬
ной 100°С. В цилиндр впрыскивается 4 г воды, и поршень начинает пе¬
ремещаться. После установления равновесия часть воды испарилась, а
объем цилиндра увеличился в 2 раза.
1) Какая масса пара была в цилиндре вначале?
2) Сколько воды испарилось к концу опыта?
Внешнее давление отсутствует, длина недеформированной пружины
соответствует положению поршня у дна цилиндра. (Билет 4, 1997)
2.77. Атмосфера Венеры состоит в основном из углекислого газа
СС>2, масса которого по некоторым оценкам составляет М = 6' 10lf) т.
Чему равна плотность углекислого газа вблизи поверхности Венеры, ес¬
ли его температура Т = 800 К? Радиус Венеры R& = 6300 км, а ускоре¬
ние свободного падения g = 8,2 м/с2. Толщина атмосферы Венеры много
меньше радиуса планеты. (Билет 5, 1997)
О о
о
Рис. 2.23

92
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
2.78. По некоторым оценкам масса озона (Оз) в атмосфере Венеры
составляет а = 10~5% от массы всей атмосферы. Какой толщины слой
образовал бы озон, если бы он собрался вблизи поверхности планеты и
имел бы при этом температуру и давление, равные температуре и дав¬
лению атмосферы у поверхности Венеры? Ускорение свободного падения
у поверхности Венеры g = 8,2 м/с2, температура атмосферы Т = 800 К.
(Билет 6, 1997)
2.79. Найти массу кислорода, содержащегося в атмосфере Земли.
Известно, что температура воздуха вблизи поверхности Земли Т =
= 290 К, радиус Земли Rs = 6370 км, а ускорение свободного падения
g = 9,8 м/с2. Масса кислорода, содержащегося в одном литре воздуха,
взятого у поверхности Земли, р = 0,26 г/л. Процентное содержание кис¬
лорода (по массе) в атмосфере Земли считать постоянным. Толщина
атмосферы много меньше радиуса планеты. (Билет 7, 1997)
2.80. Если бы озон (О;?), содержащийся в атмосфере Земли, собрал¬
ся бы у ее поверхности тонким слоем и имел бы температуру и давле¬
ние, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Земли,
то толщина этого слоя составила бы /i«3mm. Найти массу га озона,
содержащегося в атмосфере Земли. Радиус Земли Rs = 6370 км, тем¬
пература атмосферы у поверхности 290 К и давление Р = 1 атм. (Би¬
лет 8, 1997)
2.81. Два моля гелия при постоянном давлении Р() = 105 Па охла¬
ждаются на АТ =1 К, так что относительное уменьшение объема га¬
за ДУ/Vo составляет а = 0,25%.
1)На сколько литров уменьшился объем газа?
2) Найти начальную температуру газа. (Билет 9, 1997)
2.82. Моль гелия при постоянном объеме У0 = 200л охладился на
АТ = 1 К так, что относительное уменьшение его давления АР/Ро со¬
ставило а = 0,2%.
1) На сколько атмосфер уменьшилось давление газа?
2) Какова была начальная температура газа То? (Билет 10, 1997)
2.83. Моль гелия нагревается при постоянном давлении Р0 = 10 атм
так, что относительное увеличение объема ДУ/Уо составило а = 0,5%.
На сколько градусов увеличилась температура газа ДТ, если началь¬
ная температура составляла То = 400 К? На сколько литров увеличился
объем газа? (Билет 11, 1997)
2.84. Моль гелия нагревается при постоянном объеме Vo = 400 л
так, что относительное увеличение его давления составило АР/Ро =
= а = 0,4%.
1) На сколько градусов ДТ увеличилась температура газа, если его
начальная температура Т0 = 500 К?
2) На сколько атмосфер увеличилось давление газа? (Билет 12, 1997)
2.85. Найти величину работы А, которую совершает моль гелия в
замкнутом цикле, состоящем из адиабатического процесса /-2, изоба¬

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
93
ры 2-3 и изохоры 3-1 (рис. 2.24). В адиабатическом процессе разность
максимальной и минимальной температур газа равна АТ. В изобариче¬
ском процессе от газа отвели количество тепла Q. (Билет 1, 1998)
2.86.	Моль гелия совершает работу величиной А в замкнутом цикле
(рис. 2.25)» состоящем из адиабаты 1-2, изотермы 2-3, изобары 3-1.
Рис. 2.24
Рис. 2.26
р и
Рис. 2.25
Найти величину работы, совершенной в изотермическом процессе, ес¬
ли разность максимальной и минимальной температуры газа в цикле
равна АТ градусов. (Билет 2, 1998)
2.87. Моль гелия совершает работу величиной А в замкнутом цикле,
состоящем из изобары 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1
(рис. 2.26). Сколько тепла Q было подведено к газу в изобарическом
процессе, если разность максимальной и минимальной температур гелия
в цикле равна АТ? (Билет 3, 1998)
2.88. Моль гелия расширяется в изотермическом процессе 1-2, со¬
вершая работу величиной A12. Затем газ охлаждается в изобарическом
процессе 2-3 и, наконец, в адиабатическом
процессе 3-1 возвращается в исходное состо¬
яние (рис. 2.27). Какую работу совершил газ
в замкнутом цикле, если разность максималь¬
ной и минимальной температур газа в нем со¬
ставила величину АТ градусов? (Билет 4, 1998)
2.89. Чему равна масса т. азота, который
содержится в воздухе комнаты объема V =
= 75м3? Средняя квадратичная скорость мо¬
лекул азота v = 500 м/с. Считать, что воздух
состоит из азота и кислорода. Концентрация молекул азота в (3 = 4 раза
больше концентрации молекул кислорода. Атмосферное давление Р =
= 105 Па. (Билет 5, 1998)
2.90. Воздух состоит в основном из азота и кислорода. Концентра¬
ция молекул азота при этом в а = 4 раза больше концентрации молекул
кислорода. Чему равна суммарная кинетическая энергия вращения всех
молекул азота, содержащегося в комнате объемом V = 60 м3? Атмосфер¬
ное давление Р = 105 Па.
Указание. Внутренняя энергия моля двухатомного газа равна
5/2 RT (Я — газовая постоянная, Т — температура), она возрастает
Рис. 2.27

94
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
по сравнению с энергией одноатомного газа за счет кинетической энер¬
гии вращения молекул. (Билет 6, 1998)
2.91. В воздухе комнаты объемом V = 75 м3 находится т = 20 кг
кислорода. Найти величину средней квадратичной скорости молекул
кислорода. Воздух в комнате состоит из кислорода и азота. Концен¬
трация молекул кислорода в (3 = 4 раза меньше концентрации молекул
азота. Атмосферное давление Р — 10г> Па. (Билет 7, 1998)
2.92. Воздух состоит в основном из кислорода и азота. Концентрация
молекул кислорода при этом в а = 4 раза меньше концентрации моле¬
кул азота. Чему равна суммарная кинетическая энергия вращения всех
молекул кислорода, который содержится в воздухе комнаты объемом
V = 60 м3? Атмосферное давление Р = 10Г) Па.
Указание. Внутренняя энергия моля двухатомного газа равна
5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — температура), она возрастает
по сравнению с энергией одноатомного газа за счет кинетической энер¬
гии вращения молекул. (Билет 8, 1998)
2.93. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что от¬
носительные изменения давления ДР/Р, объема AV/V и температу¬
ры АТ/Т газа малы. Найти относительное изменение давления газа,
если над ним была совершена работа А = 15 Дж. Начальная температу¬
ра газа Т = 300 К. (Билет 1, 1999)
2.94. Моль гелия расширяется в процессе P2V = const так, что из¬
менение температуры газа составило АТ = 0,3 градуса. Какую по ве¬
личине работу совершил газ, если относительные изменения его давле¬
ния ДР/Р, объема AV/V и температуры АТ/Т малы? (Билет 2, 1999)
2.95. Моль гелия из начального состояния с температурой Т = 300 К
расширяется в адиабатическом процессе так, что относительные изме¬
нения давления ДР/Р, объема AV/V и температуры газа АТ/Т малы.
Найти работу Л, совершенную газом, если относительное изменение его
давления ДР/Р = —1/120. (Билет 3, 1999)
2.96. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что отно¬
сительные изменения давления ДР/Р, объема AV/V и температуры
АТ/Т газа малы. На сколько процентов изменяется давление газа, если
относительное изменение температуры АТ/Т = 0,0032? (Билет 4, 1999)
2.97. Летним днем перед грозой плотность влажного воздуха (масса
пара и воздуха в м3) р = 1140 г/м3 при давлении Р = 100 кПа и темпе¬
ратуре 30°С. Найти отношение парциального давления водяного пара,
содержащегося в воздухе, к парциальному давлению воздуха. Принять,
что молярные массы воздуха и пара рв = 29 г/молъ, рп — 18 г/моль, га¬
зовая постоянная R = 8,31 ДжДмоль • К). (Билет 5, 1999)
2.98. В парной бани относительная влажность воздуха составляла
ах = 50% при температуре 100°С. После того как температура умень¬
шилась до 97°С и пар «осел», относительная влажность воздуха стала
равной а2 = 45%. Какая масса воды выделилась из влажного воздуха

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
95
парной, если ее объем V — 30 м3? Известно, что при температуре 97°С
давление насыщенного пара на 80 мм рт. ст. меньше, чем при 100°С.
(Билет 6, 1999)
2.99. После теплого летнего дождя относительная влажность возду¬
ха у поверхности земли достигла 100%. При этом плотность влажного
воздуха (масса пара и воздуха в 1 м3) оказалась равной р = 1171 г/м3,
его давление Р = 100 кПа и температура 22°С. Найти по этим дан¬
ным давление насыщенного водяного пара Рнас при температуре 22°С.
Принять, что молярные массы воздуха и пара рв= 29 г/моль, рп =
= 18 г/моль, газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К). (Билет 7. 1999)
2.100. В жарко натопленной парилке объемом V = 20 м3 при тем¬
пературе 100°С относительная влажность воздуха составляет ai = 20%.
Посетители плеснули на печку т = 1 кг воды, которая вся испарилась,
и температура воздуха в парилке упала до 90°С. Какая относительная
влажность воздуха установилась в парилке? Известно, что уменьшение
температуры от 100°С до 90°С вызывает уменьшение давления насы¬
щенного пара на 234 мм рт. ст. Считать, что весь пар остался в воздухе
парИЛКИ. (Билет S, 1999)
2.101. В вертикально расположенной тонкой трубке длиной 3L =
= 840 мм с открытым в атмосферу верхним концом, столбиком ртути
длиной L = 280 мм заперт слой воздуха длиной L. Какой максимальной
длины слой ртути можно долить сверху в трубку, чтобы она из трубки
не выливалась? Внешнее давление Ро =
= 770 мм рт. СТ. (Билет 1, 2000)
2.102. Имеется Г-образная тонкая труб¬
ка постоянного внутреннего сечения и общей
длиной 3L = 1260 мм. Между слоем воздуха
длиной L = 420 мм и атмосферой находится
слой ртути той же длины L (рис. 2.28). Какой
длины слой ртути останется в трубке, если
вертикальное колено повернуть на 180°, рас¬
положив его открытым концом вниз? Внешнее
давление Р0 = 735 ММ рт. СТ. (Билет 2, 2000)
2.103. В вертикально расположенной трубке постоянного внутрен¬
него сечения и длиной 3L — 1080 мм с открытым в атмосферу верхним
концом, столбиком ртути длиной L = 360 мм заперт слой воздуха тоже
длиной L. Какой длины столб ртути останется в трубке, если ее пере¬
вернуть открытым концом вниз? Внешнее давление Ро = 774 мм рт. ст.
(Билет 3, 2000)
2.104. U-образная тонкая трубка постоянного внутреннего сече¬
ния с вертикально расположенными коленами заполняется ртутью так,
что в каждом из открытых колен остается слой воздуха длиной L =
= 320 мм (рис. 2.29). Затем правое колено закрывается пробкой. Какой
максимальной длины слой ртути можно долить в левое колено, что¬
С
ш! U 2
L/2
L
Рис. 2.28

96
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
71
бы она не выливалась из трубки? Внешнее давление Р() = 720 мм рт. ст.
(Билет 4, 2000)
2.105.	Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным
поршнем. Газ нагревают при постоянном давлении, переводя его из со¬
стояния 1 в состояние 2 (рис. 2.30). При этом газ совершает работу Ai2.
Затем газ сжимается в процессе 2-3, когда его дав¬
ление Р прямо пропорционально объему V. При этом
L	l	над газом совершается работа А2з (А2з > 0)- Нако¬
нец, газ сжимается в адиабатическом процессе 3-1,
возвращаясь в первоначальное состояние. Найти ра¬
боту сжатия Азь совершенную над газом в адиабати¬
ческом процессе. (Билет 5, 2000)
2.106. Газообразный гелий находится в цилиндре
под подвижным поршнем. Газ сжимают в адиабатиче-
Рис. 2.29	ском процессе, переводя его из состояния 1 в состо¬
яние 2 (рис. 2.31). Над газом совершается при этом
работа сжатия Ai2 (Ai2 > 0)* Затем газ расширяется в изотермическом
процессе 2-3, и, наконец, из состояния 3 газ переводят в состояние /
в процессе, когда его давление Р прямо пропорционально объему V.
Найти работу А2з» которую совершил газ в процессе изотермического
расширения, если во всем замкнутом цикле 1-2-3-1 он совершил рабо¬
ту А. (Билет 6, 2000)
2.107.	Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным
поршнем. Газ охлаждают при постоянном давлении, переводя его из
о
Рис. 2.30
Рис. 2.31
Рис. 2.32
Рис. 2.33
состояния / в состояние 2 (рис. 2.32). При этом от газа отводится коли¬
чество теплоты Q (Q > 0). Затем газ расширяется в процессе 2-3, когда
его давление Р прямо пропорционально объему V, совершая работу А2з-
Наконец, газ расширяется в адиабатическом процессе 3-1. Найти рабо¬
ту Азь совершенную газом в процессе адиабатического расширения.
(Билет 7. 2000)
2.108.	Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным
поршнем. Газ расширяется в процессе 1-2, когда его давление Р прямо
пропорционально объему V (рис. 2.33). Затем газ расширяется в адиа¬
батическом процессе 2-3, совершая работу А23. Наконец, газ сжимается
в изотермическом процессе 3-1, при этом от него отводится количество

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
97
теплоты Q31 (Q:n > 0). Какую работу совершил газ во всем замкнутом
цикле 1-2-3-1? (Билет 8. 2000)
2.109. В цилиндре под поршнем находятся 0,5 моля воды и 0,5 мо¬
ля пара. Жидкость и пар медленно нагревают в изобарическом про¬
цессе, так что в конечном состоянии температура пара увеличивается
на АТ градусов. Сколько тепла было подведено к системе «жидкость-
пар» в этом процессе? Молярная теплота испарения жидкости в задан¬
ном процессе равна Л. Внутренняя энергия v молей пара равна U —
= v • 3RT (R — газовая постоянная). (Билет 1, 2001)
2.110. В цилиндре под поршнем находится один моль ненасыщенно¬
го пара при температуре Т. Пар сжимают в изотермическом процессе,
так что в конечном состоянии половина его массы сконденсировалась,
а объем пара уменьшился в к = 4 раза. Найти молярную теплоту кон¬
денсации пара, если в указанном процессе от системы «жидкость-пар»
пришлось отвести количество теплоты Q (Q > 0).
Указание. Пар можно считать идеальным газом. Работа, совер¬
шаемая в изотермическом процессе v молями пара при расширении от
объема V\ до равна vRT \n(V2/Vi). (Билет 2, 2001)
2.111. В цилиндре под поршнем находится половина моля ненасы¬
щенного пара. Содержимое цилиндра медленно охлаждают в изоба¬
рическом процессе, так что часть пара конденсируется (уж = 1/3), а
температура внутри цилиндра уменьшается на АТ (АТ > 0). Опреде¬
лить молярную теплоту конденсации пара, если в этом процессе при¬
шлось отвести от содержимого цилиндра количество тепла Q (Q > 0).
Пар можно считать идеальным газом с внутренней энергией v молей
U = V • 3RT. (Билет 3, 2001)
2.112. В цилиндре под поршнем находятся один моль воды и один
моль пара при температуре Т. К содержимому цилиндра подводится теп¬
ло в изотермическом процессе, так что объем, занимаемый паром, в ко¬
нечном состоянии увеличился в к = 3 раза. Найти количество теплоты,
подведенной в этом процессе. Молярная теплота испарения жидкости
при указанной температуре равна Л. Газовая постоянная — R. Объе¬
мом, занимаемым жидкостью вначале, пренебречь. Пар можно считать
идеальным газом.
Указание. Работа, совершаемая v молями пара в изотермиче¬
ском процессе при расширении от объема V\ до объема V2, равна
vRT\n(V2/Vi). (Билет 4, 2001)
2.113. Температура гелия увеличивается в к — 1,5 раза в процессе
PV2 — const (Р — давление газа, V — его объем). При этом внутренняя
энергия газа изменилась на AU = 300 Дж. Найти:
1) минимальное давление Ртin,
2)начальный объем газа V\.
Максимальное давление, которое было у газа в этом процессе, со¬
ставило Ртах = 9 • 105 Па. (Билет 5, 2001)

98
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
2.114. Температура гелия уменьшается в к = 2 раза в процессе
PV2 = const (Р — давление, V — объем газа). Найти:
1) начальный объем газа V\,
2) изменение его внутренней энергии в процессе охлаждения.
Начальное давление газа Р\ — 10 Па, а минимальный объем, который
он занимал в процессе охлаждения, составил Vm\n = 1 л. (Билет 6, 2001)
2.115. Температура гелия уменьшается в к — 3 раза в процессе
PV2 — const (Р — давление газа, V — его объем). При этом его внут¬
ренняя энергия изменилась на величину, равную 50 Дж. Найти:
1) максимальное давление газа Ртах,
2)величину объема газа VK в конечном состоянии.
Минимальное давление газа в этом процессе составило Рт\п —
= 105 Па. (Билет 7. 2001)
2.116. Температура гелия увеличилась в к — 3 раза в процессе
PV2 = const (Р — давление газа, V — его объем), а его внутренняя
энергия изменилась на 100 Дж. Найти:
1) начальный объем V\ газа;
2) начальное давление Р\ газа.
Максимальный объем, который занимал газ в процессе нагрева, рав¬
нялся Ишах = 3 л. (Билет 8. 2001)
2.117. Легкий подвижный не проводящий тепло поршень делит объ¬
ем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две части. В
нижней части под поршнем находятся в равновесии жидкость и ее пар,
температура которых поддерживается постоянной и равна Т0. В верхней
части цилиндра над поршнем находится газообразный гелий. К гелию
квазистатически подводится некоторое количество теплоты, и он совер¬
шает работу А. При этом часть пара сконденсировалась, и от пара с
водой пришлось отвести количество теплоты Q.
1) Какое количество теплоты было подведено к гелию?
2) Найти удельную теплоту испарения жидкости.
Молярная масса пара р. Трением и теплоемкостью поршня прене¬
бречь. Считать, что объем жидкости значительно меньше объема обра¬
зовавшегося из нее пара. (Билет 9, 2001)
2.118. Легкий подвижный теплонепроницаемый поршень делит объ¬
ем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две части. В
нижней части под поршнем находятся в равновесии пар и вода, темпе¬
ратура которых поддерживается постоянной и равной Т(). Над поршнем
находится v молей газообразного гелия. К гелию подвели квазистатиче¬
ски количество теплоты Q. В результате его температура увеличилась,
а часть пара сконденсировалась.
1) Найти изменение температуры гелия.
2) Сколько теплоты необходимо при этом отвести от пара и воды?
Удельная теплота испарения воды X, молярная масса пара р. Трением
и теплоемкостью поршня пренебречь. Считать, что объем сконденси¬

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
99
ровавшегося пара значительно больше объема образовавшейся из него
ВОДЫ. (Билет 10, 2001)
2.119. Легкий неподвижный теплонепроводящий поршень делит объ¬
ем вертикально расположенного замкнутого цилиндра на две части. Под
поршнем находятся в равновесии жидкость и ее
пар, температура которых поддерживается посто- рк
янной и равной Т0. Над поршнем находится газо¬
образный гелий. К жидкости и пару подводится
квазистатически количество теплоты Q. При этом
часть жидкости испаряется, и пар совершает ме¬
ханическую работу А.
1) Найти удельную теплоту испарения жидко- L
сти.
2) Сколько теплоты пришлось отвести от ге¬
лия?
Молярная масса пара р. Теплоемкостью поршня и трением прене¬
бречь. Считать, что объем жидкости значительно меньше объема обра¬
зовавшегося из нее пара. (Билет 11, 2001)
2.120. Легкий неподвижный теплонепроводящий поршень делит объ¬
ем вертикально расположенного цилиндра на две части. Под поршнем
в нижней части цилиндра находятся в равновесии вода и пар, темпера¬
тура которых поддерживается постоянной и равной То. В верхней части
цилиндра над поршнем находится газообразный гелий.
1) Какое количество теплоты надо подвести квазистатически к пару
и воде, чтобы часть воды массой Лт испарилась?
2) Сколько тепла необходимо при этом отвести от гелия?
Удельная теплота испарения воды X, молярная масса пара р. Трением
и теплоемкостью поршня пренебречь. Считать, что объем пара значи¬
тельно больше объема воды, из которой он образовался. (Билет 12, 2001)
2.121. Моль гелия расширяется из начального
состояния 1 в конечное состояние 3 в двух процес¬
сах. Сначала расширение идет в процессе 1-2 с по¬
стоянной теплоемкостью С — |R (R — газовая по¬
стоянная). Затем газ расширяется в процессе 2-3,
когда его давление Р прямо пропорционально объ¬
ему V (рис. 2.34). Найти работу, совершенную га¬
зом в процессе 1-2, если в процессе 2-3 он со¬
вершил работу А. Температуры начального (/) и
конечного (3) состояний равны. (Билет 5, 2002)
2.122. Моль гелия, расширяясь в процессе
ние Р меняется прямо пропорционально объему V совершает работу А
(рис. 2.35). Из состояния 2 гелий расширяется в процессе 2-3, в котором
его теплоемкость С остается постоянной и равной С = R/2 (R — газо¬
вая постоянная). Какую работу А23 совершит гелий в процессе 2-3,
Рис. 2.35
1-2, где его давле-

100
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
если его температура в состоянии 3 равна температуре в состоянии /?
(Билет 6, 2002)
2.123. Моль гелия сжимают из начального состояния / в конечное
состояние 3 в двух процессах (рис. 2.36). Сначала сжатие идет в процес¬
се 1-2, когда давление гелия Р прямо пропорционально его объему V.
Затем из состояния 2 газ сжимают с процессе 2-3 с постоянной теп¬
лоемкостью так, что тепло подводится к газу. В конечном состоянии 3
температура гелия равна его температуре в состоянии /. Найти тепло¬
емкость газа в процессе 2-3, если в процессе сжатия 1-2 над газом
совершена работа А (А > 0), а в процессе 2-3 над газом совершена ра¬
бота 2А. (Билет 7, 2002)
2.124. Моль гелия из состояния / сжимается в процессе с постоян¬
ной теплоемкостью 1-2, а затем в процессе 2-3, когда давление газа Р
прямо пропорционально его объему (рис. 2.37). В конечном состоянии 3
температура гелия равна начальной температуре в состоянии /, Найти
теплоемкость газа в процессе сжатия на участке 1-2, если работа сжатия
на участке 1-2 в К = 1,5 раза больше работы сжатия на участке 2-3.
Известно, что в процессе сжатия тепло к газу подводится. (Билет 8, 2002)
2.125. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине,
делит объем вертикально расположенного откачанного цилиндра на две
v
Рис. 2.36
Рис. 2.37
Рис. 2.38
части (рис. 2.38). В положении равновесия высота нижней части Но, а
удлинение пружины равно xq. В нижнюю часть цилиндра впрыскивают
v молей воды. При медленном нагреве до некоторой температуры вся
вода испаряется, а поршень перемещается на величину х\ — ахо (сх =
-1/2).
1) Определить конечную температуру Т.
2) Найти работу А, совершенную паром. (Билет 9. 2002)
2.126.	Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине, де¬
лит объем вертикально расположенного пустого цилиндра на две части
(рис. 2.38). В положении равновесия высота нижней части цилиндра Но,
удлинение пружины х0. В нижнюю часть цилиндра впускают v молей
воздуха. После установления равновесия пружина оказывается сжатой.
Величина деформации сжатой пружины х\ = ахо (сх = 2). После этого

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
101
воздух медленно охлаждают до некоторой температуры, так что в ко¬
нечном состоянии деформация сжатой пружины х2 = ахо/2.
1) Найти конечную температуру воздуха.
2) Найти работу, совершенную воздухом в процессе охлаждения. (Би¬
лет 10, 2002)
2.127. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине,
делит объем откачанного вертикально расположенного цилиндра на две
части (рис. 2.38). В положении равновесия высота нижней части ци¬
линдра Но. Удлинение пружины хо. В нижнюю часть цилиндра впрыс¬
кивают v молей воды. После того как вся вода испарилась, поршень
переместился на величину х\ = ах0 (а — 3/2).
1) Найти конечную температуру.
2) Найти работу, совершенную паром. (Билет 11, 2002)
2.128. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине,
делит объем вертикально расположенного откачанного цилиндра на две
части (рис. 2.38). В положении равновесия высота нижней части цилин¬
дра #о, а удлинение пружины х0. В нижнюю часть цилиндра впускают
v молей воздуха. После установления равновесия удлинение пружины
оказалось равным х\ = ах0 (а = 1/4). Затем воздух в цилиндре стали
медленно охлаждать, так что в конце процесса охлаждения удлинение
пружины оказалось х2 = Захо-
1) Найти конечную температуру воздуха в цилиндре.
2) Найти работу, совершенную воздухом в процессе охлаждения.
(Билет 12, 2002)
2.129. Тонкая пробирка частично заполнена водой и расположена
вертикально в камере большого объема, в которой воздух поддержива¬
ется при нулевой относительной влажности и постоянном давлении, рав¬
ном наружному атмосферному давлению. Вследствие диффузии в про¬
бирке устанавливается линейное изменение концентрации пара с высо¬
той: вблизи поверхности воды пар оказывается насыщенным, а у верх¬
него открытого конца пробирки его концентрация в 2 раза меньше. Про¬
бирку сверху закрывают крышкой. После установления равновесия ока¬
залось, что плотность влажного воздуха внутри пробирки отличается от
плотности сухого воздуха в камере вдали от пробирки на величину Др =
= 5,4 г/м'3. Найти давление насыщенного пара при температуре опыта,
равной 27°С. Молярная масса сухого воздуха рв = 29 г/моль, пара рп =
= 18 г/моль. Изменением уровня жидкости в пробирке во время опыта
Пренебречь. (Билет 1, 2003)
2.130. Тонкая пробирка частично заполнена водой и расположена
вертикально, открытым концом в атмосферу. Вследствие диффузии в
пробирке устанавливается линейное изменение концентрации пара с вы¬
сотой: вблизи поверхности воды пар оказывается насыщенным, а у верх¬
него открытого конца пробирки его концентрация в 3 раза меньше. Про¬
бирку сверху закрывают крышкой и увеличивают температуру на АТ =

102
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
= 1 К. На сколько изменится давление влажного воздуха внутри про¬
бирки после установления равновесия по сравнению с атмосферным дав¬
лением? Атмосферное давление Ро — 760 мм рт. ст., начальная темпера¬
тура Т = 300 К, давление насыщенного пара при этой температуре Рн =
= 27 мм рт. ст. Известно, что малые относительные изменения давления
насыщенного пара АР/Р связаны с малыми относительными измене¬
ниями его температуры АТ/Т формулой АР/Р = 18ДТ/Т. Изменением
УРОВНЯ ЖИДКОСТИ В Пробирке ВО Время ОПЫТа Пренебречь. (Билет 2, 2003)
2.131. Тонкая пробирка частично заполнена водой, закрыта сверху
крышкой и расположена вертикально в камере большого объема, в ко¬
торой воздух поддерживается при нулевой относительной влажности и
постоянном давлении, равном наружному атмосферному давлению. На¬
чальная плотность влажного воздуха в пробирке меньше плотности су¬
хого воздуха в камере на Др = 27 г /см3. После снятия крышки вслед¬
ствие диффузии в пробирке устанавливается линейное изменение кон¬
центрации пара с высотой: вблизи поверхности воды пар оказывается
насыщенным, а у верхнего открытого конца пробирки его концентра¬
ция в 5 раз меньше. Найти изменение среднего по объему парциального
давления сухого воздуха в пробирке после снятия крышки. Температу¬
ра опыта t = 37°С, давление насыщенного пара при этой температуре
Рп = 47 мм рт. ст., молярная масса сухого воздуха рв = 29 г/моль, па¬
ра рп = 18 г/моль. Изменением уровня жидкости в пробирке во время
опыта пренебречь. (Билет 3, 2003)
2.132. Тонкая пробирка частично заполнена водой и расположена
вертикально, открытым концом в атмосферу. Вследствие диффузии в
пробирке устанавливается линейное изменение концентрации пара с вы¬
сотой: вблизи поверхности воды пар оказывается насыщенным, а у верх¬
него открытого конца пробирки его концентрация составляет 60% от
концентрации насыщенного пара. Пробирку сверху закрывают крышкой
и охлаждают на АТ = 2 К. На сколько изменится по сравнению с перво¬
начальным давление влажного воздуха внутри пробирки после установ¬
ления равновесия? Атмосферное давление Ро = 755 мм рт. ст., начальная
температура to — 29°С, давление насыщенного пара при этой темпера¬
туре Рн = 30 мм рт. ст. Известно, что малые относительные изменения
давления насыщенного пара АР/Р связаны с малыми относительны¬
ми изменениями его температуры АТ/Т формулой АР/Р = 18АТ/Т.
Изменением объема жидкости в пробирке во время опыта пренебречь.
(Билет 4, 2003)
2.133. Газ фотонов из начального состояния 1 расширяется в изо¬
термическом процессе 1-2, а затем нагревается в изохорическом про¬
цессе 2-3 (рис. 2.39). Во всем процессе перехода 1-2-3 газ совершил
работу Л, а его температура и объем увеличились в два раза. Какое
количество теплоты было подведено к газу в процессе перехода 1-2-3?

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
103
Указание. В пустом сосуде переменного объема V, температура
стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов, которые излу¬
чаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя энергия этого газа
U = а • Т4 ■ V, где а — const. Давление газа фотонов определяется толь¬
ко его температурой Р — а • Т4/3. (Билет 5, 2003)
2.134. Газ фотонов из начального состояния 1 расширяется в изо¬
термическом процессе 1-2, а затем охлаждается в изохорическом про¬
цессе 2-3 (рис. 2.40). В конечном состоянии 3 его внутренняя энергия
оказалась равной начальной. В процессе перехода 1-2-3 температура
газа уменьшилась в два раза, и к газу пришлось подвести количество
теплоты Q. Найти внутреннюю энергию газа фотонов в начальном со¬
стоянии.
Указание. В пустом сосуде переменного объема V, температура
стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов, которые излу¬
чаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя энергия этого газа
U = а ■ Т4 • V, где а = const. Давление газа фотонов определяется толь¬
ко его температурой Р = а • Т4/3. (Билет 6, 2003)
2.135. Газ фотонов из начального состояния 1 сжимают в изотерми¬
ческом процессе 1-2, а затем охлаждают в изохорическом процессе 2-3
(рис. 2.41). В процессе перехода 1-2-3 над газом совершена работа А
I *——t.
I
—•/
о
о
V
Рис. 2.39
Рис. 2.40
Рис. 2.41
Рис. 2.42
(л > 0), а его температура и объем уменьшились в два раза. Какое
количество теплоты пришлось отвести от газа фотонов в процессе всего
перехода 1-2-3?
Указание. В пустом сосуде переменного объема V\ температура
стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов, которые излу¬
чаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя энергия этого газа
U — а • Т4 • V, где а = const. Давление газа фотонов определяется толь¬
ко его температурой Р — а • Т4/3. (Билет 7, 2003)
2.136.	Газ фотонов из начального состояния / нагревается в изохо¬
рическом процессе 1-2 так, что его температура увеличилась в 3/2 раза.
Затем газ сжимается в изотермическом процессе 2-3 (рис. 2.42). В ко¬
нечном состоянии 3 внутренняя энергия газа фотонов оказалась равной
начальной. В процессе всего перехода 1-2-3 от газа пришлось отвести
количество теплоты Q (Q > 0). Найти внутреннюю энергию газа фото¬
нов в начальном состоянии.

104
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
Указание. В пустом сосуде переменного объема V, температура
стенок которого Т, возникает равновесный газ фотонов, которые излу¬
чаются и поглощаются стенками сосуда. Внутренняя энергия этого газа
U = а • Т4 • V, где а = const. Давление газа фотонов определяется толь¬
ко его температурой Р = а • Т4/3. (Билет 8, 2003)
2.137. Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем при тем¬
пературе 100°С и давлении Pi = 1,2 атмосферы. Если увеличить дав¬
ление на поршень в |3 = 2 раза в изотермическом процессе, то объем,
занимаемый воздухом, уменьшится в у — 2,5 раза, а на стенках вы¬
падет роса. Найти начальную относительную влажность воздуха <р в
цилиндре. Объемом образовавшейся жидкости пренебречь. (Билет 9, 2003)
2.138. Влажный воздух с относительной влажностью ср = 0,5 нахо¬
дится в цилиндре под поршнем. Если в изотермическом процессе увели¬
чить давление на поршень в (3 = 3 раза, то объем, занимаемый воздухом,
уменьшится в у = 4 раза, а на стенках цилиндра выпадет роса. Какую
часть конечного давления в цилиндре составляет давление пара? Объе¬
мом образовавшейся жидкости пренебречь. (Билет 10, 2003)
2.139. Влажный воздух с относительной влажностью ср = 0,6 нахо¬
дится в цилиндре под поршнем при температуре 100°С. Если в изо¬
термическом процессе увеличить давление на поршень в (3 =
= 2 раза, то объем, занимаемый воздухом, уменьшится в у =
= 2,5 раза, а на стенках цилиндра выпадет роса. Найти на¬
чальное давление влажного воздуха в цилиндре. Объемом
Образовавшейся ЖИДКОСТИ Пренебречь. (Билет 11, 2003)
2.140. Влажный воздух с относительной влажностью ср =
= 0,6 находится в цилиндре под поршнем. Если в изотерми¬
ческом процессе увеличить давление на поршень в (3 = 2 ра¬
за, то объем, занимаемый воздухом, уменьшится в у = 3 ра¬
за, а на стенках цилиндра выпадет роса. Какую часть на¬
чального давления в цилиндре составляет парциальное дав¬
ление сухого воздуха? Объемом образовавшейся жидкости пренебречь.
(Билет 12, 2003)
2.141. В вертикально расположенной, открытой с одного конца в
атмосферу трубке легкий теплонепроницаемый поршень отделяет гелий
Не от жидкости, налитой поверх поршня (рис. 2.43). Объемы, занятые
в трубке гелием, жидкостью и атмосферным воздухом, равны соответ¬
ственно Vo, Vo/2, Vo/2. Атмосферное давление Р0 = 10Г) Па, Vo = 0,5 л.
Добавочное давление, создаваемое столбом жидкости, первоначально
налитой в трубку, равно Ро/8. Гелий медленно нагревают и поршень,
медленно двигаясь, вытесняет всю жидкость из трубки. Какое количе¬
ство теплоты получил гелий к моменту, когда вся жидкость вытекла из
трубки? Трением поршня о трубку пренебречь. (Билет 1, 2004)
2.142. U-образная трубка расположена вертикально и заполнена
жидкостью. Один конец трубки открыт в атмосферу, другой конец со¬
Не
Рис. 2.43

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
105
единен с сосудом объемом Vf, = 0,1 л, заполненным гелием (рис. 2.44).
Объем всей трубки равен Vq. Гелий медленно нагревают, и он медлен¬
но вытесняет жидкость из трубки. Какое количество теплоты получил
гелий к моменту, когда вся жидкость вытекла из трубки? Атмосферное
давление Ро = 10Г) Па, длина трех колен трубки одинакова, добавочное
давление, создаваемое столбом жидкости в вертикальном колене, рав¬
но Ро/8. (Билет 2, 2004)
2.143.	В вертикально расположенной, открытой с одного конца в ат¬
мосферу трубке легкий теплонепроницаемый поршень отделяет водород
Н2 от жидкости, налитой поверх поршня (рис. 2.45). Водород медленно
нагревают, и поршень медленно перемещается. К моменту, когда пор¬
шень переместился настолько, что вся жидкость из трубки вылилась,
водород получил количество теплоты Q— 100 Дж. Найти объем, заня¬
тый водородом в трубке в начальном состоянии, если известно, что он
вдвое больше объема, занятого жидкостью, который, в свою очередь,
равен объему, занятому в трубке атмосферным воздухом. Атмосферное
давление Р0 = Ю5 Па, добавочное давление, создаваемое столбом жид¬
кости, первоначально налитой в трубку, равно Ро/9. Трением поршня о
трубку пренебречь. (Билет 3, 2004)
2.144. U-образная трубка состоит из трех одинаковых колен, распо¬
ложена вертикально и заполнена жидкостью. Один конец трубки соеди¬
нен с баллоном, заполненным водородом, другой конец трубки открыт
в атмосферу (рис. 2.46). Водород в баллоне медленно нагревают, и он
медленно вытесняет жидкость из трубки. К моменту, когда из трубки
вылилось 2/3 всей массы жидкости, водород получил количество тепло¬
ты Q = 30 Дж. Найти объем баллона, заполненного вначале водородом.
Известно, что объем всей трубки равен объему баллона. Атмосферное
давление Рп = 10г> Па, добавочное давление, создаваемое столбом жид¬
кости в вертикальном колене трубки, равно Ро/9. (Билет 4, 2004)
2.145. Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа
зависит от температуры Т и объема V по формуле U = сТ — a/V, где
с, а — известные константы. Такой газ из начального состояния с давле¬
нием Р\ и объемом V\ расширяется сначала в изобарическом процессе,

106
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
а затем в изохорическом процессе переводится в конечное состояние,
в котором его объем в к раз (к > 1) больше начального. В результате
всего процесса температура газа уменьшилась на АТ (АТ > 0), а его
внутренняя энергия не изменилась.
1) Найти АТ.
2) Какое суммарное количество теплоты сообщили газу во всем про¬
цессе? (Билет 5, 2004)
2.146. Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа
зависит от температуры Т и объема V по формуле U = сТ — a/V, где
с, а — известные константы. Такой газ из начального состояния с давле¬
нием Р нагревается в изобарическом процессе, а затем в изохорическом
процессе охлаждается до первоначальной температуры. В результате в
конечном состоянии объем газа увеличился в к раз по сравнению с пер¬
воначальным, а внутренняя энергия изменилась на величину AU.
1) Найти начальный объем газа.
2) Какое суммарное количество теплоты сообщили газу во всем про¬
цессе? (Билет 6, 2004)
2.147. Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа за¬
висит от температуры Т и объема V по формуле U — сТ - a/V, где с, а —
известные константы. Такой газ из начального состояния с энергией U\
нагревается сначала в изохорическом процессе, а затем в изобарическом
процессе переводится в конечное состояние, в котором его объем в к
(k: > 1) раз меньше начального. В результате всего процесса от газа от¬
вели суммарное количество теплоты Q (Q > 0), его внутренняя энергия
изменилась, а температура увеличилась на АТ.
1) Найти начальную температуру газа.
2) Найти конечное давление газа. (Билет 7, 2004)
2.148. Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа
зависит от температуры Т и объема V по формуле U — сТ — a/V, где
о, а — известные константы. Такой газ нагревается сначала в изохо¬
рическом процессе, а затем охлаждается в изобарическом процессе до
первоначальной температуры. Объем газа в конечном состоянии в к раз
(к > 1) меньше начального, а внутренняя энергия в конечном состоянии
меньше, чем в начальном на величину AU (AU > 0). В результате всего
процесса от газа отвели суммарное количество теплоты AQ (AQ > 0).
1) Найти начальный объем газа.
2) Найти конечное давление газа. (Билет 8, 2004)
2.149. В закрепленной длинной гладкой горизонтальной трубе рас¬
положены два поршня с массами mi и га2, между которыми в объеме Vo
находится при давлении Р() v молей идеального одноатомного газа, масса
которого много меньше массы поршней. Наружное давление на поршни
пренебрежимо мало. Первоначально удерживаемые поршни отпускают,
и к некоторому моменту времени температура газа между поршнями
становится равной Т\. Определить скорости поршней в этот момент вре¬

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
107
мени, полагая, что газ между поршнями все время остается равновес¬
ным. Теплопроводностью и теплоемкостью поршней и трубы пренебречь.
(Билет 9, 2004)
2.150. В закрепленной гладкой горизонтальной трубе между дву¬
мя поршнями массой га каждый находятся v молей идеального од¬
ноатомного газа. Наружное давление на
поршни пренебрежимо мало. В начальный
момент температура газа равна То, а скоро¬
сти поршней направлены в одну сторону и
равны bv и v (рис. 2.47). Полагая, что газ
между поршнями все время остается равно-	Рис.	2.47
весным, определите температуру газа, когда скорости поршней окажутся
равными. Масса газа мала по сравнению с массой поршней. Теплопро¬
водностью и теплоемкостью поршней и трубы пренебречь. (Билет 10, 2004)
2.151. В закрепленной длинной гладкой горизонтальной трубе рас¬
положены два поршня с массами т\ и га2, между которыми в объеме Vo
находится при давлении Р0 v молей идеального одноатомного газа, масса
которого много меньше массы поршней. Наружное давление на поршни
пренебрежимо мало. Первоначально удерживаемые поршни отпускают,
и в некоторый момент времени скорость поршня массой т\ становится
равной v\. Полагая, что газ между поршнями все время остается равно¬
весным, определить его температуру в этот момент. Теплопроводностью
и теплоемкостью поршней и трубы прене¬
бречь. (Билет И, 2004)
2.152. В закрепленной длинной гладкой
горизонтальной трубе между двумя поршня¬
ми массой га каждый находятся v молей иде¬
ального одноатомного газа. Наружное дав-	р	9	4g
ление на поршни пренебрежимо мало. В на¬
чальный момент температура газа равна То, а скорости поршней на¬
правлены в одну сторону и равны Зг> и v (рис. 2.48). В дальнейшем в
некоторый момент один из поршней остановился. Полагая, что газ меж¬
ду поршнями все время остается равновесным, определите температуру
газа в этот момент. Масса газа мала по сравнению с массой поршней.
Теплопроводностью и теплоемкостью поршней и трубы пренебречь. (Би¬
лет 12, 2004)
2.153. В цилиндре под поршнем находится насыщенный водяной пар
и вода под давлением Р = 1 атм. В процессе изобарического сжатия
конечный объем, который занимает пар, уменьшается в к = 4 раза по
сравнению с объемом, который он занимал вначале. При этом часть пара
конденсируется, а объем образовавшейся воды составляет а = 1/1720 от
конечного объема пара. Во сколько раз уменьшилась температура пара в
указанном процессе? Плотность воды р = 1 г/см3, молярная масса пара
[I = 18 г/моль. (Билет 1, 2005)

108
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
2.154. В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной
пар при температуре 100°С. Объем воды составляет а = 1/860 часть объ¬
ема, который занимает пар. При изотермическом расширении давление
уменьшилось в (3 = 2 раза, при этом вся вода испарилась. Во сколько
раз увеличился объем пара? Плотность воды р = 1 г/см3, молярная мас¬
са пара р = 18 г/моль. (Билет 2, 2005)
2.155. В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной
пар под давлением Р — 1 атм. Объем воды составляет а = 1/860 часть
объема пара. При изобарическом расширении температура увеличивает¬
ся в (3 = 2 раза. При этом вся вода испаряется. Во сколько раз конечный
объем пара больше его начального объема? Плотность воды р = 1 г/см3,
молярная масса пара р = 18 г/моль. (Билет 3, 2005)
2.156. В цилиндре под поршнем находится насыщенный водяной пар
и вода при температуре 100°С. В процессе изотермического сжатия ко¬
нечный объем пара уменьшается в к — 6 раз по сравнению с первона¬
чальным объемом пара. При этом часть пара конденсируется, а объем
образовавшейся воды составляет а = 1/1720 часть от конечного объема
пара. Во сколько раз увеличилось давление пара в указанном процессе?
Плотность воды р = 1 г/см3, молярная масса пара \х = 18 г/моль. (Би¬
лет 4, 2005)
2.157. Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой ма¬
шине, работающей по циклу, состоящему из адиабатического расшире¬
ния 1-2, изотермического сжатия 2-3 и изобарического расширения 3-1
(рис. 2.49). КПД цикла равен г], при изотермическом сжатии над газом
совершается работа Ат (Ат > 0). Какую работу совершает машина в
указанном цикле? (Билет 5, 2005)
2.158. Идеальный газ используется как рабочее вещество в тепловой
машине. Цикл 1-2-3-I состоит из изохоры 1-2, изобары 2-3 и участ¬
ка 3-1 линейной зависимости давления от объема (рис. 2.50). КПД этого
Рис. 2.49	Рис.	2.50	Рис.	2.51
цикла равен гц. Второй цикл 1-3-4-1 состоит из участка 1-3 линейной
зависимости давления от объема, изохоры 3-4 и изобары 4-1. Найти
КПД второго цикла. (Билет 6, 2005)
2.159.	Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой ма¬
шине, работающей по циклу 1-2-3-1, состоящему из адиабатического
расширения 1-2, изотермического сжатия 2-3 и участка 3-1 линейной
зависимости давления от объема (рис. 2.51). За цикл машина совершает

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
109
работу А, КПД цикла равен г|. Найти работу, совершаемую над газом в
изотермическом процессе. (Билет 7, 2005)
2.160. Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой ма¬
шине. Цикл 1-2-3-4-J состоит из двух изохор 1-2 и 3-4 и двух изо¬
бар 2-3 и 4-1 (рис. 2.52). Цикл 1-3-4-1 состоит из участка 1-3 линей¬
ной зависимости давления от объема, изохоры 3-4,
изобары 4—1. Найти КПД цикла 1-2-3-4-1, если
КПД цикла 1-3-4-1 равен Т]. (Билет 8, 2005)
2.161. В вертикально расположенном цилин¬
дрическом сосуде под поршнем находится моль ге¬
лия при температуре Т\ — 300 К. На поршень по¬
ставили гирю массой в а = 2,5 раза больше массы	рис	2	52
поршня.
1) Во сколько раз изменится температура гелия после установления
нового равновесия при отсутствии теплообмена с окружающей средой?
2) Какое количество теплоты необходимо отвести от гелия в изоба¬
рическом процессе, чтобы вернуть газ в состояние с первоначальной
температурой Т\?
Наружным давлением, трением поршня о стенку сосуда, теплоемко¬
стями СОСуда И поршня пренебречь. (Билет 9. 2005)
2.162. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под
поршнем находится моль гелия при температуре Т\ = 300 К. На поршень
поставили гирю массой, равной массе поршня.
1) Во сколько раз изменится объем газа после установления нового
положения равновесия в условиях отсутствия теплообмена газа с окру¬
жающей средой?
2) Какую работу должен совершить газ, чтобы в изобарическом про¬
цессе при наличии теплообмена вернуться в состояние с первоначальным
объемом?
Наружным давлением, трением между цилиндром и поршнем, тепло¬
емкостями поршня и цилиндра пренебречь. (Билет 10. 2005)
2.163. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под
поршнем находится моль гелия при температуре Т\ = 300 К. На поршне
стоит гиря массой, равной массе поршня. Гирю снимают.
1) Во сколько раз изменится температура газа после установления
нового равновесия при отсутствии теплообмена с окружающей средой?
2) Какое количество теплоты необходимо подвести к газу в изоба¬
рическом процессе, чтобы вернуть газ в состояние с первоначальной
температурой?
Наружным давлением, трением между цилиндром и поршнем, тепло¬
емкостями цилиндра и поршня пренебречь. (Билет 11. 2005)
2.164. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под
поршнем находится моль гелия при температуре Т\ = 300 К. На поршне
стоит гиря массой, равной массе поршня. Гирю снимают.

110
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
1)Во сколько раз изменился объем газа после установления нового
положения равновесия в условиях отсутствия теплообмена газа с окру¬
жающей средой?
2) Какую работу необходимо совершить, чтобы в изобарическом про¬
цессе при наличии теплообмена вернуть газ в состояние с первоначаль¬
ным объемом?
Наружным давлением, трением между цилиндром и поршнем, тепло¬
емкостями цилиндра и поршня пренебречь. (Билет 12. 2005)
2.165. С идеальным одноатомным газом проводят циклический про¬
цесс 1-2-3-1, состоящий из расширения в процессе 1-2, в котором теп¬
лоемкость газа оставалась постоянной, адиабатического расширения 2-3
и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давления от объема.
Т\ = Т2/2 = Т3, Vr-j = 4Vi. Найдите молярную теплоемкость газа в про¬
цессе 1-2, если работа, совершенная газом в цикле, в 15 раз меньше
работы, совершенной над газом в процессе 3-1. (Билет 1, 2006)
2.166. С идеальным одноатомным газом проводят циклический про¬
цесс 1-2-3-1, состоящий из адиабатического расширения 1-2, расши¬
рения в процессе 2-3, в котором теплоемкость газа оставалась посто¬
янной, и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давления
от объема. Т\ = 2Т2 = V3 = 4Vi. Найдите молярную теплоемкость
газа в процессе 2-3, если работа, совершенная над газом в цикле,
составляет 7/15 от работы, совершенной над газом в процессе 3-1.
(Билет 2, 2006)
2.167. С идеальным одноатомным газом проводят циклический про¬
цесс 1-2-3-1, состоящий из расширения в процессе 1-2, в котором мо¬
лярная теплоемкость газа постоянна и равна 2R, адиабатического рас¬
ширения 2-3 и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давле¬
ния от объема. Т\ — Т2/2 = Т%, Vs = 4Vi. Найдите работу, совершенную
газом в процессе 1-2-3, если работа, совершенная газом в цикле, соста¬
вила 100 Дж. (Билет 3. 2006)
2.168. С идеальным одноатомным газом проводят циклический про¬
цесс 1-2-3-1, состоящий из адиабатического расширения 1-2, расшире¬
ния в процессе 2-3, в котором молярная теплоемкость газа постоянна
и равна 2R, и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давле¬
ния от объема. Т\ = 2Т2 = 7з, V3 = 4Vi. Найдите работу, совершенную
газом в процессе 1-2-3, если работа, совершенная над газом в цикле,
составила 350 Дж. (Билет 4, 2006)
2.169. В комнате в вертикально расположенном цилиндре под ве¬
сомым поршнем, который может перемещаться без трения, находится
v молей идеального газа при температуре Т. Поршень подвешен на пру¬
жине жесткостью к. Газ нагревают так, что в конечном состоянии его
давление увеличивается в а = 2 раза, а температура увеличивается в (5 =
= 3 раза. Найдите начальное давление газа. Площадь поршня равна S.
(Билет 5, 2006)

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
111
2.170. В комнате в вертикально расположенном цилиндре под ве¬
сомым поршнем, который может перемещаться без трения, находится
v молей идеального газа при температуре Т. Поршень подвешен на пру¬
жине жесткостью к. Газ охлаждают так, что в конечном состоянии его
давление уменьшается в а = 1,5 раза, а температура уменьшается в р =
= 2 раза. Найдите начальное давление газа. Площадь поршня равна S.
(Билет 6, 2006)
2.171. В комнате в вертикально расположенном цилиндре под весо¬
мым поршнем, который может перемещаться без трения, находится v мо¬
лей идеального газа под давлением Р. Поршень подвешен на пружине
жесткостью к. Газ охлаждают так, что в конечном состоянии его давле¬
ние уменьшается в а = 2 раза, температура уменьшается в (3 = 3 раза.
Найдите начальную температуру газа. Площадь поршня равна S. (Би-
лет 7, 2006)
2.172. В комнате в вертикально расположенном цилиндре под весо¬
мым поршнем, который может перемещаться без трения, находится v мо¬
лей идеального газа под давлением Р. Поршень подвешен на пружине
жесткостью к. Газ нагревают так, что в конечном состоянии его давление
увеличивается в а = 2 раза, а температура увеличивается в (3 = 2,5 ра¬
за. Найдите начальную температуру газа. Площадь поршня равна S.
(Билет 8, 2006)
2.173. Астронавты, исследуя воздух открытой ими планеты, нагрели
порцию воздуха массой т = 200 г на АТ = 60°С один раз при посто¬
янном давлении, а другой — при постоянном объеме. Оказалось, что
при постоянном давлении требуется подвести на 1 кДж больше тепла,
чем при постоянном объеме. Найдите среднюю молярную массу воздуха,
считая его идеальным газом. (Билет 9, 2006)
2.174. Астронавты, исследуя воздух открытой ими планеты, прове¬
ли с порцией воздуха массой т — 100 г циклический процесс 1-2-3-1,
состоящий из изотермического расширения 1-2, изобарического сжа¬
тия 2-3 до начального объема и изохорического нагревания 3-1 до пер¬
воначальной температуры. Оказалось, что в процессе 2-3-1 от газа от¬
вели 1 кДж тепла, а разность максимальной и минимальной температур
в цикле составила АТ = 30°С. Найдите среднюю молярную массу воз¬
духа, считая его идеальным газом. (Билет 10, 2006)
2.175. Средняя молярная масса смеси идеальных газов равна р =
= 50 г/моль. Смесь нагрели на АТ = 30°С один раз при постоянном
давлении, а другой — при постоянном объеме. Оказалось, что при по¬
стоянном давлении требуется подвести на 500 Дж больше тепла, чем
при постоянном объеме. Найдите массу смеси. (Билет 11, 2006)
2.176. Средняя молярная масса смеси идеальных газов равна р =
= 50 г/моль. С порцией смеси провели циклический процесс 1-2-3-1,
состоящий из изотермического расширения 1-2, изобарического сжа¬
тия 2-3 до начального объема и изохорического нагревания 3-1 до пер¬

112
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
воначальной температуры. Оказалось, что в процессе 2-3-1 от газа от¬
вели 1 кДж тепла, а разность максимальной и минимальной температур
в цикле составила АТ = 30°С. Найдите массу порции. (Билет 12. 2006)
2.177.	Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изохо¬
ры 1-2, изобары 2-3 и участка 3-1 прямо пропорциональной зависимо-
Р
о
2	3
Р
о
VI
Р
о
р
3
3
о
V
Рис. 2.53
Рис. 2.54
Рис. 2.55
Рис. 2.56
сти давления от объема (рис. 2.53). Найти КПД цикла, если объем на
изобаре изменяется в 2 раза. Рабочее вещество — идеальный одноатом¬
ный газ. (Билет 13, 2006)
2.178.	Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изоба¬
ры 7-2, изохоры 2-3 и адиабаты 3-1 (рис. 2.54). Найти КПД этого
цикла, если объем на изобаре изменяется в 8 раз. Рабочее вещество —
идеальный одноатомный газ.
Указание. В адиабатической процессе температура Т и объем га¬
за V связаны уравнением ТЛУ2 — const. (Билет 14, 2006)
2.179. Тепловая машина работает по циклу, состоя¬
щему из изохоры 1-2, изобары 2-3 и участка 3-1 пря¬
мо пропорциональной зависимости давления от объема
(рис. 2.55). Найти КПД цикла, если объем на изоба¬
ре изменяется в 2 раза. Рабочее вещество — идеальный
одноатомный газ. (Билет 15, 2006)
2.180. Тепловая машина работает по циклу, состо-
Рис. 2.57 ящему из адиабаты 7-2, изобары 2-3 и изохоры 3-1
(рис. 2.54). Найти КПД этого цикла, если объем на изобаре изменяется
в 8 раз. Рабочее вещество — идеальный одноатомный газ.
Указание. В адиабатической процессе температура Т и объем га¬
за V СВЯЗаны уравнением T3V2 = const. (Билет 16, 2006)
2.181. Тепловая машина работает по замкнутому
циклу, состоящему из процесса адиабатического рас¬
ширения 7-2, изотермического процесса 2-3 и изо-
хорического процесса 3-1 (рис. 2.57). Рабочее веще¬
ство — v молей идеального одноатомного газа. В про¬
цессе, где тепло к газу подводится, давление газа уве¬
личивается в а = 3 раза. В процессе сжатия от газа от¬
водится количество теплоты Q (Q > 0). Во всем цикле
1-2-3-1 машина совершает работу А. Найти максимальную температуру
газа В цикле. (Билет 1, 2007)
2.182.	Тепловая машина работает по замкнутому циклу (рис. 2.58).
Процесс 7-2 — изобарический, 2-3 — адиабатический, 3-1 — изотер¬
Н 1
Рис. 2.58

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
113
мический. Рабочее вещество — v молей идеального одноатомного газа.
В процессе 1-2 объем газа увеличивается в (3 = 5 раз. В процессе изо¬
термического сжатия от газа отводится количество теплоты Q (Q > 0).
Во всем цикле 1-2-3-1 машина совершает работу А.
На йти максимальную температуру газа в цикле. (Би¬
лет 2, 2007)
2.183. Тепловая машина работает по замкнутому
циклу (рис. 2.59). Процесс 1-2 — изотермический;
2-3 — изохорический; 3-1 — адиабатический. Рабочее
вещество — v молей идеального одноатомного газа. В	0	__
Рис. 2.59
процессе расширения к газу подводят количество теп¬
лоты Q. В процессе, где тепло от газа отводится, давление газа умень¬
шается в а = 3 раза. Во всем цикле 1-2-3-1 машина совершает работу
А. Найти минимальную температуру газа в цикле. (Билет 3. 2007)
2.184. Тепловая машина работает по замкнутому циклу (рис. 2.60).
Процесс 1-2 — изотермический; 2-3 — изобарический; 3-1 — адиаба¬
тический. Рабочее вещество — v молей идеального одноатомного газа.
В процессе расширения к газу подводят количе¬
ство теплоты Q. В изобарическом процессе объем га¬
за уменьшается в (3 = 4 раза. Во всем цикле 1-2-3-1
машина совершает работу А. Найдите минимальную
температуру газа в цикле. (Билет 4. 2007)
2.185. Идеальный одноатомный газ совершает
циклический процесс, состоящий из адиабатическо-	Рис 2 б0
го расширения, изобарического расширения и изотер¬
мического сжатия. Какую работу совершил газ в адиабатическом про¬
цессе, если в изобарическом процессе была совершена работа 10 Дж?
(Билет 5, 2007)
2.186. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс,
состоящий из адиабатического расширения, изобарического расширения
и изотермического сжатия. Какую работу совершил газ в адиабатиче¬
ском процессе, если в изобарическом процессе газ получил 50 Дж тепла?
(Билет 6, 2007)
2.187. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс,
состоящий из изобарического расширения, адиабатического расширения
и изотермического сжатия. Какую работу совершил газ в адиабатиче¬
ском процессе, если при изобарическом процессе была совершена работа
20 Дж? (Билет 7, 2007)
2.188. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс,
состоящий из изобарического расширения, адиабатического расширения
и изотермического сжатия. Какую работу совершил газ в адиабатиче¬
ском процессе, если в изобарическом процессе газ получил 100 Дж теп¬
ла? (Билет 8, 2007)

114
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
2.189.	Тепловая машина работает по циклу Карно, состоящему из
двух изотерм 1-2 и 3-4 и двух адиабат 2-3 и 4-1 (рис. 2.61). Работа
сжатия в изотермическом процессе 3-4 равна Д34 (Д34 > 0), а работа
сжатия в адиабатическом процессе 4-1 равна Ап
(Ап > 0). Найдите работу, совершенную машиной
в процессе изотермического расширения 1-2, ес¬
ли температура в нем равна Т. Рабочее веще¬
ство — v молей идеального одноатомного газа. (Би¬
лет 9. 2007)
2.190. Тепловая машина работает по циклу
Карно, состоящему из двух изотерм 1-2 и 3-4 и
двух адиабат 2-3 и 4-1 (рис. 2.61). Работа сжатия
в изотермическом процессе 3-4 равна Аи (Ам > 0), а работа сжатия
в адиабатическом процессе 4-1 равна Ап (Ац > 0). Какую работу со¬
вершает машина за весь цикл 1-2-3-4-1? Рабочее вещество — v молей
идеального одноатомного газа. Изотермическое сжатие происходило при
температуре Т. (Билет 10, 2007)
2.191. Тепловая машина работает по циклу Карно, состоящему из
двух изотерм 1-2 и 3-4 и двух адиабат 2-3 и 4-1 (рис. 2.62). Рабочее
вещество — v молей идеального одноатомного га¬
за. В процессе изотермического расширения маши¬
на совершает работу А2, а в процессе адиабати¬
ческого расширения — работу А2з* Какая работа
совершается над газом в изотермическом процессе
3-4, если температура в нем равна Т? (Билет 11, 2007)
2.192. Тепловая машина работает по циклу
Карно, состоящему из двух изотерм 1-2 и 3-4 и
двух адиабат 2-3 и 4-1 (рис. 2.62). В процессе
изотермического расширения с температурой Т машина совершает рабо¬
ту Л.\2, а в процессе адиабатического расширения — работу А2.3. Какую
работу совершает машина за цикл 1-2-3—4-1} Рабочее вещество — v
молей идеального одноатомного газа. (Билет 12, 2007)
2.193.	Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герме¬
тичный цилиндр на две части. С одной стороны от поршня находится
га — 1 г воды, с другой стороны — воздух под давлением Р = 0,28 атм.
Начальная температура в цилиндре 11 = 7°С. При медленном нагрева¬
нии поршень в некоторый момент начинает двигаться, при температу¬
ре 12 = 100°С останавливается и при дальнейшем нагревании остается
неподвижным.
1) Какая масса воды находится в начальный момент в газообразном
состоянии?
2) Найдите объем цилиндра.
Объемом жидкости можно пренебречь по сравнению с объемом ци¬
линдра. Давление насыщенных паров воды при температуре 20°С равно

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
115
Р2о = 0,023 атм. Силу тяжести и трение поршня о цилиндр не учиты¬
вать. (Билет 13, 2007)
2.194. Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герме¬
тичный цилиндр постоянного объема на две части. В одной части на¬
ходится т — 1 г воды, в другой — воздух. Начальная температура в
цилиндре to = 120°С. При медленном охлаждении цилиндра поршень
некоторое время остается неподвижным, а затем при температуре t\ =
= 100°С начинает перемещаться. В конечном состоянии при температуре
t2 = 27°С давление воздуха в цилиндре равно Р = 0,5 атм.
1) Какая масса воды находится в конечный момент в газообразном
состоянии?
2) Найдите объем цилиндра.
Объемом образовавшейся жидкости можно пренебречь по сравнению
с объемом цилиндра. Давление насыщенных паров воды при температуре
30°С равно Р:ю = 0,04 атм. Силу тяжести и трение поршня о цилиндр
не учитывать. (Билет 14, 2007)
2.195. Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герме¬
тичный цилиндр объемом V = 3,7 л на две части. В одной части нахо¬
дится вода, в другой — воздух при давлении Р = 0,32 атм. Начальная
температура в цилиндре 11 = 7°С. При медленном нагревании поршень
в некоторый момент начинает двигаться, при температуре t2 — 100°С
останавливается и при дальнейшем нагревании остается неподвижным.
1) Какая масса воды находится в начальный момент в газообразном
состоянии?
2) Найдите полную массу воды в цилиндре. Объемом жидкости мож¬
но пренебречь по сравнению с объемом цилиндра. Давление насыщен¬
ных паров воды при температуре 20°С равно Р2о = 0,023 атм. Силу тя¬
жести И Трение ПОрШНЯ О ЦИЛИНДр Не учитывать. (Билет 15, 2007)
2.196. Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герме¬
тичный цилиндр объемом V = 8,3 л на две части. В одной части на¬
ходится вода, в другой — воздух. Начальная температура в цилиндре
to = 110°С. При медленном охлаждении цилиндра поршень некоторое
время остается неподвижным, а затем при температуре t\ = 100°С на¬
чинает перемещаться. В конечном состоянии при температуре t2 = 27°С
давление воздуха в цилиндре равно Р — 0,45 атм.
1) Какая масса воды находится в конечный момент в газообразном
состоянии?
2) Найдите полную массу воды в цилиндре.
Объемом образовавшейся жидкости можно пренебречь по сравнению
с объемом цилиндра. Давление насыщенных паров воды при температуре
30°С равно Дзо = 0,04 атм. Силу тяжести и трение поршня о цилиндр
не учитывать. (Билет 16, 2007)
2.197. С газообразным гелием проводится циклический процесс, со¬
стоящий из процесса 1-2 с линейной зависимостью давления от объема,

116
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
Рис. 2.63
изобарического сжатия 2-3 и изохорического нагревания 3-1 (рис. 2.63).
Известно, что объем в состоянии 2 в три раза больше, чем в состоя¬
нии 1. Найдите отношение работы газа в цикле 1-2-3-1 к количеству
теплоты, подведенной к газу в изохорическом процессе
3-1. (Билет 1, 2008)
2.198.	С газообразным гелием проводится цикли¬
ческий процесс, состоящий из процессов 1-2 и 2-3 с
линейной зависимостью давления от объема и изохоры
у 3-1 (рис. 2.64). В состояниях 1 и 2 объемы отличают¬
ся в 4 раза. Найдите отношение работы газа в	цикле
1-2-3-1 к количеству теплоты, подведенной к	газу в
изохорическом процессе 3-1. (Билет 2, 2008)
2.199. С газообразным гелием проводится циклический процесс, со¬
стоящий из процесса 1-2, изохоры 2-3 и процесса 3-1 с линейной зави¬
симостью давления от объема (рис. 2.65). Найдите отношение объемов
в состояниях 2 и /, если в цикле 1-2-3-1 газ совер-
1	шил работу А — 200 Дж, а в изохорическом процессе
ГЧ	2-3 от газа отвели количество теплоты <2 = 900Дж.
\	(Билет 3, 2008)
L—2	2.200. С газообразным гелием проводится цикли-
	►	ческий процесс, состоящий из процессов 1-2	и 2-3
у	с линейной зависимостью давления от объема	и изо-
Рис. 2.64	хоры 3-1 (рис. 2.66). Найдите отношение объемов в
состояниях / и 2, если в цикле 1-2-3-1 газ совер¬
шил работу А = 400 Дж, а в изохорическом процессе 3-1 от газа отвели
количество теплоты Q = 1800 Дж. (Билет 4, 2008)
2.201.	С v молями идеального газа проводится циклический процесс,
состоящий из двух изохор 1-2 и 3-4 и двух процессов 2-3 и 4-1 с ли¬
нейной зависимостью давления от объема (рис. 2.67). Температура газа
о
о
Рис. 2.65
Рис. 2.66
Рис. 2.67
Рис. 2.68
в состояниях / и 4 равна Т, а в состояниях 2 и 3 равна 2Т. Найдите рабо¬
ту, совершаемую газом в цикле 1-2-3-4-J, если давления в состояниях
1 И 3 равны. (Билет 5, 2008)
2.202.	С v молями идеального газа проводится циклический процесс,
состоящий из двух изохор 2-3 и 4-1 и двух процессов 1-2 и 3-4 с
линейной зависимостью давления от объема (рис. 2.68). Температура
газа в состояниях 1 и 2 равна Ть в состоянии 3 — Т2, а прямая 3-4

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
117
проходит через начало координат. Найдите работу, совершаемую газом
в цикле 1-2-3-4-1, если объем в состоянии 2 в 3 раза больше объема
В СОСТОЯНИИ /. (Билет 6, 2008)
2.203. С v молями идеального газа проводится циклический процесс,
состоящий из двух изохор 1-2 и 3-4 и двух процессов 2-3 и 4-1 с ли¬
нейной зависимостью давления от объема (рис. 2.69). Температура газа
в состояниях 1	и 4 равна Т, а в состояниях 2 и 3 равна
4Т. Точки / и	3 на РК-диаграмме лежат на прямой,
проходящей через начало координат. Найдите работу,
совершаемую газом в цикле 1-2-3-4-I. (Билет 7, 2008)
2.204. С v молями идеального газа проводится
циклический процесс, состоящий из двух изохор /-
2 и 3-4 и двух процессов 2-3 и 4-1 с линейной за¬
висимостью давления от объема, причем прямая 4-1	рИс.	2.69
проходит через начало координат (рис. 2.70). Темпе¬
ратура газа в	состоянии / равна Т\, а температура	в	состояниях	2	и
3 одинакова и	равна Р2- Найдите работу, совершаемую	газом	в	цикле
1-2-3-4-I, если отношение объемов в состояниях 3 и 2 равно 2. (Би¬
лет 8, 2008)
2.205. Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими
стенками делится не проводящим теплоту поршнем на два объема, в
которых находятся по одному молю гелия при температуре Т0 = 300 К.
В левой части цилиндра на некоторое время вклю¬
чается нагреватель. В результате поршень перемеша¬
ется, и объем правой части цилиндра уменьшается
в 2 раза. Найти количество теплоты Q, переданной
газу нагревателем. Известно, что давление Р и объ¬
ем У газа в правой части цилиндра связаны соотно¬
шением Р3УГ^ = const (адиабатический процесс). (Би¬
лет 9, 2008)
2.206. Теплоизолированный горизонтальный ци-	рИс.	2.70
линдр с гладкими стенками делится не проводящим
теплоту поршнем на два объема, в которых находятся по одному молю
гелия при температуре То = 300 К. В левой части цилиндра на некоторое
время включается нагреватель. В результате поршень перемещается, и
температура газа в левой части цилиндра становится в 2 раза больше
температуры газа в правой части. Найти работу, которую совершил газ,
находящийся в левой части цилиндра. Известно, что давление Р и объ¬
ем V газа в правой части цилиндра связаны соотношением РЛУ'’ = const,
(адиабатический процесс). (Билет 10, 2008)
2.207. Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими
стенками делится не проводящим теплоту поршнем на два объема, в
которых находятся по одному молю гелия при температуре ХЬ = 200 К.
В левой части цилиндра на некоторое время включается нагреватель.

118
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
Поршень перемещается. В конечном состоянии температуры в левой и
правой частях цилиндра отличаются в три раза. Найдите количество
теплоты Q, переданной нагревателем газу. Известно, что давление Р и
объем У газа в правой части цилиндра связаны соотношением Р3УГ) =
= const (адиабатический процесс). (Билет И, 2008)
2.208. Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими
стенками делится не проводящим теплоту поршнем на два объема, в
которых находятся по одному молю гелия при температуре Т0 = 300 К.
В левой части цилиндра на некоторое время включается нагреватель. В
результате поршень перемещается, и газ, содержащийся в левой части
цилиндра, совершает работу А = 1245 Дж. Найти отношение конечных
объемов газа в левой и правой частях цилиндра. Известно, что давле¬
ние Р и объем V газа в правой части цилиндра связаны соотношением
РЛУЪ = const (адиабатический процесс). (Билет 12, 2008)
2.209. Смесь гелия (цг = 4 г/моль) и кислорода (цк = 32 г/моль)
имеет при давлении Р — 105 Па и температуре Т = 300 К плотность р =
= 1 кг/м3.
1) Найдите отношение числа молекул кислорода к числу молекул гелия.
2) Какой станет при том же объеме плотность смеси, если из нее
удалить две трети молекул кислорода? (Билет 13, 2008)
2.210. Смесь гелия (|яг = 4 г/моль) и азота (ра = 28 г/моль) име¬
ет при давлении Р = 105 Па и температуре Т = 300 К плотность р =
= 0,32 кг/м3.
1) Найдите отношение числа молекул гелия к числу молекул азота.
2) Какую часть гелия нужно удалить из смеси, чтобы ее плотность
при том же объеме уменьшилась на 1/3? (Билет 14, 2008)
2.211. Смесь гелия (рг = 4 г/моль) и кислорода (рк = 32 г/моль)
имеет при давлении Р = 105 Па и температуре Т = 300 К плотность р =
= 0,3 кг/м3,
1) Найдите отношение числа молекул гелия к числу молекул кислорода.
2) Какой станет при том же обьеме плотность смеси, если из нее
удалить половину молекул гелия? (Билет 15, 2008)
2.212. Смесь гелия (рг = 4 г/моль) и азота (ца = 28 г/моль) име¬
ет при давлении Р = 105 Па и температуре Т = 300 К плотность р =
= 0,64 кг/м3.
1) Найдите отношение числа молекул азота к числу молекул гелия.
2) Какую часть азота нужно удалить из смеси, чтобы ее плотность
при том же объеме уменьшилась вдвое? (Билет 16, 2008)
2.213. В цилиндре под поршнем находится воздух с относительной
влажностью 70%. Объем цилиндра изотермически уменьшили в 10 раз.
Какая часть водяного пара сконденсировалась? Объемом жидкости в
конечном состоянии можно пренебречь. (Билет А, 2009)
2.214. Моль гелия совершает работу А = 5,5 кДж в процессе, в ко¬
тором молярная теплоемкость газа постоянна и равна 18 ДжДмоль • К).

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
119
Во сколько раз изменилось давление гелия, если его объем увеличился
в 4 раза? Начальная температура газа Т\ — 142 К. (Билет Б, 2009)
2.215. Газообразный гелий из начального состояния / расширяется
в процессе 1-2 с постоянной теплоемкостью, совершая в нем работу
А. 12 = 400 Дж. Затем к газу подводится количество теп¬
лоты Q2.3 = 400 Дж в процессе 2-3, в котором давление
прямо пропорционально объему. Температуры в состо¬
яниях / и 3 равны (рис. 2.71).
1) Найдите количество теплоты, подведенное к газу
в процессе 1-2.
2) Найдите молярную теплоемкость газа в процессе
1-2, выразив ее через R. (Билет 1, 2010)
2.216. Газообразный гелий из начального состоя¬
ния 1 расширяется в процессе /-2, в котором давление
прямо пропорционально объему, совершая в нем работу
А\2 — 200 Дж. Затем газ расширяется в процессе 2-3 с постоянной теп¬
лоемкостью, совершая работу Д2з = 1000 Дж. Температуры в состояниях
/ и 3 равны (рис. 2.72).
1) Найдите количество теплоты, подведенное к газу в процессе 2-3.
2) Найдите молярную теплоемкость газа в процессе 2-3, выразив ее
через R. (Билет 2, 2010)
2.217. Газообразный гелий из начального состояния 1 расширяется
в процессе 1-2 с постоянной теплоемкостью, совершая в нем работу
А\2 = 600 Дж. Затем газ расширяется в процессе 2-
3, в котором давление прямо пропорционально объему,
совершая работу А23 = 150 Дж. Температуры в состоя¬
ниях 1 и 3 равны (рис. 2.71).
1) Найдите количество теплоты, подведенное к газу
в процессе 1-2.
2) Найдите молярную теплоемкость газа в процессе
/-2, ВЫраЗИВ ее через R. (Билет 3, 2010)
2.218. Газообразный гелий из начального состоя¬
ния 1 расширяется в процессе 1-2, в котором давление
прямо пропорционально объему, при этом к газу подво¬
дится количество теплоты Qг2 = 800 Дж. Затем газ расширяется в про¬
цессе 2-3 с постоянной теплоемкостью, совершая работу Л2з = 750 Дж.
Температуры в состояниях 1 и 3 равны (рис. 2.72).
1) Найдите количество теплоты, подведенное к газу в процессе 2-3.
2) Найдите молярную теплоемкость газа в процессе 2-3, выразив ее
через R. (Билет 4, 2010)
2.219. Газообразный гелий из начального состояния 1 расширяется в
изобарическом процессе /-2, а затем продолжает расширяться в адиаба¬
тическом процессе 2-3. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Найдите

120
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
работу, совершенную газом в адиабатическом процессе, если в изобари¬
ческом процессе к нему подвели Q = 1000 Дж теплоты. (Билет 5, 2010)
2.220. Газообразный гелий из начального состояния / расширяет¬
ся в изобарическом процессе 1-2, а затем продолжает расширяться в
адиабатическом процессе 2-3. Температуры в состояниях 1 и 3 равны.
Найдите работу, совершенную газом в изобарическом процессе, если в
адиабатическом процессе газ совершил работу А = 750 Дж. (Билет 6, 2010)
2.221. Газообразный гелий из начального состояния 1 сжимают в
изобарическом процессе 1-2, а затем газ продолжают сжимать в адиа¬
батическом процессе 2-3. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Най¬
дите работу, совершенную над газом в адиабатическом процессе, если в
изобарическом процессе от газа пришлось отвести Q — 1500 Дж тепла.
(Билет 7, 2010)
2.222. Газообразный гелий из начального состояния / сжимают в
изобарическом процессе 1-2, а затем газ продолжают сжимать в адиа¬
батическом процессе 2-3. Температуры в состояниях / и 3 равны. Най¬
дите работу, совершенную над газом в адиабатическом процессе, если
суммарная работа, совершенная над газом в процессе 1-2-3, равна А =
= 1500 Дж. (Билет 8. 2010)
2.223. С идеальным одноатомным газом провели прямой цикл, со¬
стоящий их двух изобар и двух адиабат. Оказалось, что работа газа при
изобарическом расширении равна А, а суммарное количество теплоты,
полученной газом за цикл, равно Q.
1) Какое количество теплоты получил газ при изобарическом расши¬
рении?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 1, 2011)
2.224. С идеальным одноатомным газом провели прямой цикл, со¬
стоящий их двух изобар и двух адиабат. Оказалось, что работа газа при
изобарическом расширении равна Аь а работа над газом при изобари¬
ческом сжатии равна А2 (Л-2 > 0).
1) Какое количество теплоты получил газ при изобарическом расши¬
рении?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 2. 2011)
2.225. С идеальным одноатомным газом провели прямой цикл, состо¬
ящий их двух изобар и двух адиабат. Оказалось, что при изобарическом
сжатии над газом совершили работу А (А > 0), а работа газа за цикл
равна Ло-
1) Какое количество теплоты отвели от газа при изобарическом
сжатии?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 3, 2011)
2.226. С идеальным одноатомным газом провели прямой цикл, со¬
стоящий их двух изобар и двух адиабат. Оказалось, что работа газа
при изобарическом расширении равна А, а при изобарическом сжатии
от газа отвели количество теплоты Q (Q > 0).

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
121
1) Какое количество теплоты получил газ при изобарическом расши¬
рении?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 4, 2011)
2.227. Из баллона со сжатым газом израсходовали часть газа. Из¬
вестно, что давление в баллоне уменьшилось в 3 раза, отношение на¬
чальной и конечной масс баллона с газом равно 5/4, отношение началь¬
ной и конечной температур (по шкале Кельвина) равно 11/10. Какую
часть от начальной массы баллона с газом составляет начальная масса
газа? (Билет 5, 2011)
2.228. Воздушные шарики заполняются из баллона со сжатым газом.
Объем одного шарика в к = 10 раз меньше объема баллона. Сколько
шариков было надуто, если давление в баллоне упало с Д = 50 атм
до Р2 = 30 атм. Считать, что температура в баллоне и шариках успевает
принимать температуру окружающей среды, а давление в шариках равно
Ро = 1 атм. (Билет 6, 2011)
2.229. Из баллона со сжатым газом выпустили часть газа. В резуль¬
тате давление в баллоне уменьшилось в 2 раза. Отношение начальной
и конечной масс баллона с газом равно 10/9, отношение начальной и
конечной температур (по шкале Кельвина) равно 11/10. Какую часть
от начальной массы баллона с газом составляет масса корпуса баллона?
(Билет 7, 2011)
2.230. К пустому сосуду подсоединили через редуктор баллон со
сжатым газом. Давление в сосуде стало Р — 2 атм. Объем сосуда в к =
= 5 раз меньше объема баллона. Найти разность начального и конечного
давлений в баллоне. Считать, что температура в баллоне и сосуде успе¬
вает принимать температуру окружающей среды. (Билет 3, 2011)
2.231. Идеальный одноатомный газ совершает цикл, состоящий из
двух изобар и двух адиабат. Найдите КПД цикла, если при изобариче¬
ском расширении газ совершил работу Л, а работа газа во всем цикле
Ло (Л0 > 0). (Билет 1, 2012)
2.232. Идеальный одноатомный газ совершает цикл, состоящий из
двух изобар и двух адиабат. КПД цикла равен rj. Найдите отношение
работ, совершенных газом на изобарах. (Билет 2, 2012)
2.233. Идеальный одноатомный газ совершает цикл, состоящий из
двух изобар и двух адиабат. Найдите КПД цикла, если при изобари¬
ческом сжатии над газом совершили работу Л, а работа газа во всем
цикле Л о (Ло > 0). (Билет 3, 2012)
2.234. Идеальный одноатомный газ совершает цикл, состоящий из
двух изобар и двух адиабат. Найдите КПД цикла, если работа, совер¬
шенная над газом при изобарическом сжатии, в три раза меньше работы.
Совершенной ГаЗОМ При ИЗОбарИЧеСКОМ расширении. (Билет 4, 2012)
2.235. С v молями идеального одноатомного газа проводят прямой
циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух адиабат. В
процессе адиабатического расширения температура газа уменьшается на

122
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
ATi(ATi > 0), а в процессе адиабатического сжатия изменение темпера¬
туры вдвое меньше. Сколько тепла подводится к газу при изохорическом
нагревании, если при изохорическом охлаждении температура уменьша¬
ется на АТ2(АТ2 > 0)? (Билет 5, 2012)
2.236. С идеальным газом проводят циклический процесс, состоящий
из двух изохор и двух адиабат. В процессе адиабатического расширения
газ совершает работу Л, а в процессе изохорического нагревания к газу
подводят количество теплоты Q. КПД цикла равен тр Найдите отноше¬
ние изменений температуры в процессах адиабатического расширения и
сжатия. (Билет 6, 2012)
2.237. С v молями идеального одноатомного газа проводят прямой
циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух адиабат. В
процессе адиабатического сжатия температура газа изменяется на АТЬ
а в процессе адиабатического расширения модуль изменения темпера¬
туры втрое больше. Найдите совершенную газом в цикле работу. (Би¬
лет 7, 2012)
2.238. С идеальным газом проводят циклический процесс, состоя¬
щий из двух изохор и двух адиабат. В процессе адиабатического сжатия
над газом совершается работа А (А > 0), а в процессе изохорического
охлаждения от газа отводят количество теплоты Q (Q > 0). КПД цикла
равен г). Найдите отношение изменений температуры в процессах адиа¬
батического расширения И сжатия. (Билет 8, 2012)
2.239. Тяжелый подвижный поршень площадью S = 10 см2 делит
объем вертикально расположенного цилиндра на 2 равные части объе¬
мом Vq = I л каждая. Над поршнем находится вода и водяной пар общей
массой т = 2 г, под поршнем — т\ — 2 г азота. Температура в цилин¬
дре 100 °С. Принять g = 10 м/с2, молярные массы азота и воды ра =
= 28 г/моль, рв = 18 г/моль, плотность воды р = 1 г/смл.
1) Найдите массу М поршня.
2) Какую часть объема Vo занимает жидкая вода? (Билет 1. 2013)
2.240. Тяжелый подвижный поршень массой то = 10 кг делит объ¬
ем вертикально расположенного цилиндра на 2 равные части объемом
Vi) = 1 л каждая. Над поршнем находится вода и водяной пар общей
массой m = 2,5 г, под поршнем — т\ = 2,5 г азота. Температура в ци¬
линдре 100 °С. Принять g = 10 м/с2, молярные массы азота и воды ра ==
= 28 г/моль, Рв — 18 г/моль, плотность воды р = 1 г/смл.
1) Найдите площадь поршня.
2) Какую часть объема V}) занимает жидкая вода? (Билет 2. 2013)
2.241. Тяжелый подвижный поршень массой М = 12 кг и площадью
S = 10 см2 делит объем вертикально расположенного цилиндра на две
равные части объемом Vo = 1 л каждая. Над поршнем находится вода и
водяной пар общей массой ш = 3г, под поршнем — азот. Температура
в цилиндре 100 °С. Принять g= 10 м/с2, молярные массы азота и воды
Ра = 28 г/моль, Рв = 18 г/моль, плотность воды р = 1 г/смл.

ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
123
1) Найдите массу азота под поршнем.
2) Какую часть объема Vo занимает жидкая вода? (Билет 3, 2013)
2.242. Тяжелый подвижный поршень массой ?п0 = 9 кг и площадью
S = 10 см2 делит объем вертикально расположенного цилиндра на 2 рав¬
ные части объемом Vo = 1 л каждая. Над поршнем находится вода и во¬
дяной пар общей массой т = 1,5 г, под поршнем —т\ = 1,5 г азота. Тем¬
пература в цилиндре 90 °С. Принять g = 10 м/с2, молярные массы азота
и воды ра = 28 г/моль, рв = 18 г/моль, плотность воды р = 1 г/см2.
1) Определите по этим данным давление насыщенного пара воды при
90 °С.
2) Какую часть объема Vo занимает жидкая вода? (Билет 4, 2013)
2.243. В цилиндре под поршнем находится водяной пар при темпера¬
туре Т. При изобарическом охлаждении цилиндра объем уменьшается
в 2 раза, а температура — на 10%. К концу охлаждения в цилиндре об¬
разовалось 7 молей жидкости, объем которой намного меньше объема
пара. Найдите работу, совершенную над содержимым цилиндра в этом
процессе. Пар считать идеальным газом. (Билет 5. 2013)
2.244. В цилиндре под поршнем находятся в равновесии водяной
пар и v молей жидкой воды при температуре Т. При изобарическом
нагревании цилиндра объем увеличивается в 2,5 раза, а температура —
в 1,5 раза. Найдите работу, совершенную содержимым цилиндра в этом
процессе. Объем жидкости намного меньше объема пара. Пар считать
идеальным газом. (Билет 6, 2013)
2.245. В цилиндре под поршнем находится водяной пар при темпера¬
туре Т. При изобарическом охлаждении цилиндра объем уменьшается
в 3 раза, а температура — на 20%). Найдите работу, совершенную над
содержимым цилиндра в этом процессе, если к концу охлаждения в
цилиндре образовалось v молей жидкости. Объем жидкости намного
меньше объема пара. Пар считать идеальным газом. (Билет 7, 2013)
2.246. В цилиндре под поршнем находятся в равновесии v молей
воды (жидкость) и водяной пар при температуре Т. При изобарическом
нагревании цилиндра объем увеличивается в 4 раза, а температура —
на 25%. Найдите работу, совершенную содержимым цилиндра в этом
процессе. Объем жидкости намного меньше объема пара. Пар считать
идеальным газом. (Билет 8, 2013)
2.247. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермическо¬
го расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия.
Работа газа при расширении в 10 раз больше работы газа за цикл.
1) Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над
газом при сжатии?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 1, 2014)
2.248. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из адиабатическо¬
го расширения, изотермического сжатия и изохорического нагревания.
Работа газа при расширении в 9 раз больше работы газа за цикл.

124
ТЕРМОДИНАМИКА • ЗАДАЧИ
1) Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над
газом при сжатии?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 2, 2014)
2.249. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермическо¬
го расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия.
Работа газа при расширении в 8 раз больше работы над газом при сжатии.
1) Во сколько раз работа газа при расширении больше работы газа
за цикл?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 3, 2014)
2.250. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из адиабатическо¬
го расширения, изотермического сжатия и изохорического нагревания.
Работа газа при расширении в 7 раз больше работы над газом при сжатии.
1) Во сколько раз работа газа при расширении больше работы газа
за цикл?
2) Найдите КПД цикла. (Билет 4, 2014)
2.251. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермическо¬
го расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия,
КПД которого равен гр
1) Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над
газом при сжатии?
2) Найдите отношение работы газа за цикл к отведенному теплу.
(Билет 5, 2014)
2.252. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из адиабатическо¬
го расширения, изотермического сжатия и изохорического нагревания,
КПД которого равен гр
1) Во сколько раз тепло, подведенное при нагревании газа, больше
работы над газом при сжатии?
2) Найдите отношение отведенного тепла к работе газа за цикл. (Би¬
лет 6, 2014)
2.253. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермическо¬
го расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия,
КПД которого равен гр
1) Во сколько раз работа газа при расширении больше работы газа
за цикл.
2) Найдите отношение отведенного тепла к работе газа за цикл. (Би¬
лет 7. 2014)
2.254. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из адиабатическо¬
го расширения, изотермического сжатия и изохорического нагревания,
КПД которого равен гр
1) Во сколько раз работа газа при расширении больше работы над
газом при сжатии?
2) Найдите отношение работы над газом при сжатии к работе газа
за ЦИКЛ. (Билет 8, 2014)

3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.1.	В схеме, изображенной на рис. 3.1, в начальный момент времени
ключи К\ и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не за¬
ряжен. Через некоторое время после замыкания ключа К\ амперметр А
показывает величину силы тока Т1 = 1 мкА. В этот момент замыкают
ключ К2. Какую величину силы тока покажет амперметр сразу после
—1
Г 1
1 -J
£ R{
К /74
1 1
{К2
1 кУ
	L_ J—1
С
R
к.
I
R
g
т
R
<г>
R
1
/К1
/
К-
Рис. 3.1
Рис. 3.2
R
Рис. 3.3
R
I
<2>
С
л
замыкания ключа К2, если известно, что R2 = 2Ri = 108 Ом, а ЭДС ба¬
тареи $ — 100 В? Внутренними сопротивлениями амперметра и батареи
пренебречь. (Билет 1, 1991)
3.2. В схеме, изображенной на рис. 3.2, в начальный момент времени
ключи К\ и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не за¬
ряжен. После замыкания ключа К\ амперметр А показывает постоянный
ток силой 7i = 3 мкА. Затем замыкают ключ К2. Чему будет равно пока¬
зание амперметра сразу после замыкания ключа К2, если известно,что
R2/R1 — 2? Внутренним сопротивлением батареи и сопротивлением ам¬
перметра пренебречь. (Билет 2, 1991)
3.3. В схеме, изображенной на рис. 3.3, в
начальный момент времени ключи К\ и К2
разомкнуты, а конденсатор С (большой емко¬
сти) не заряжен. Через некоторое время по¬
сле замыкания ключа К\ амперметр А по¬
казывает величину силы тока I — 2 мкА. В
этот момент замыкают ключ К2. Сразу после
замыкания ключа К2 амперметр показывает	Рис- 3-4
нулевое значение силы тока. Чему равна ЭДС батареи, если известно,
что R\ = R2 = 108 Ом? Внутренними сопротивлениями амперметра и ба¬
тареи пренебречь. (Билет 3, 1991)
3.4. В схеме, изображенной на рис. 3.4, в начальный момент време¬
ни ключи К\ и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не
заряжен. После замыкания ключа К\ амперметр А показывает некото¬
рое постоянное значение силы тока. Если теперь замкнуть ключ К2у то
показание амперметра сразу после этого возрастет в 3 раза. Исходя из
этого факта, найти отношение R2/R\. Внутренними сопротивлениями
амперметра и батареи пренебречь. (Билет 4. 1991)
к,
к-

126
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО ♦ ЗАДАЧИ
3.5.	В схеме, изображенной на рис. 3.5, после замыкания ключа К
через некоторое время т установится стационарный режим. Какая мощ¬
ность будет выделяться в резисторе Я, если начать изменять емкость
конденсатора по закону C(t) = Со(1 Ч- Asinoetf), А < 1? Рассмотреть
к
L,
С г
£
К
R
£
к
R
£
с,
R
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Рис. 3.7
К
£
Рис. 3.8
R
случай медленных изменений емкости, т. е. когда 2л/оз^>т. Заданны¬
ми параметрами считать £, Со, Я, А, со. Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь. (Билет 5, 1991)
3.6.	В схеме, изображенной на рис. 3.6, после замыкания ключа К
через некоторое время т установится стационарный режим. Если те¬
перь начать изменять индуктивность по закону L = L0( 1 -Ь A sin cot), где
А < 1, то ток через резистор R будет также меняться. Найти амплитуду
переменной составляющей силы тока с частотой со. Рассмотреть случай
медленных изменений индуктивности, т. е. ко¬
гда 2л/со^>т. Заданными параметрами счи¬
тать £ъ Lq, А, Я, со. Внутренним сопротив¬
лением батареи пренебречь. (Билет 6, 1991)
3.7. В схеме, изображенной на рис. 3.7, по¬
сле замыкания ключа К через некоторое вре¬
мя т установится стационарный режим. Какая
мощность будет выделяться в резисторе Я, ес¬
ли начать изменять расстояние между пластинами конденсатора по за¬
кону d(t) = do(l + Л silicon), А< 1? Рассмотреть случай быстрых измене¬
ний емкости, т. е. когда 2я/со^>т. Заданными параметрами считать £,
А, Я. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 7, 1991)
3.8. В схеме, изображенной на рис. 3.8, после замыкания ключа К
через некоторое время т установится стационарный режим. Если теперь
начать изменять индуктивность по закону L(t) — Lo(l + Asinoctf), где
A <C 1, то в цепи появится переменная составляющая тока с частотой со.
Найти амплитуду этой составляющей. Рассмотреть случай быстрых из¬
менений индуктивности, т.е. когда 2л/со<Ст. Заданными параметрами
считать £, А, Я. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Указание. При а<1 можно считать, что (1 + a)n « 1 -f па.
(Билет 8, 1991)
3.9. Положительно заряженная частица пролетает через три плос¬
кие металлические сетки, между которыми с помощью двух источников
постоянной ЭДС £\ = 250 В и £2 = 200 В поддерживаются постоянные

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
127
разности потенциалов (рис. 3.9). На каком расстоянии х от первой сет¬
ки скорость частицы будет равна скорости, которую она имела вдали
от сеток? Расстояние d между сетками много меньше размеров сеток.
(Билет 9, 1991)
3.10. Через два последовательно соединенных проводника одинако¬
вого сечения S, но с разными удельными сопротивлениями pi и р>,
(Р2 > Pi) течет ток I (рис. 3.10). Определить знак и величину поверх¬
ностной плотности заряда, возникающего на границе раздела проводни¬
ков. (Билет 10, 1991)
3.11. Протон с удельным зарядом q/m = 0,96 • 108 Кл/кг налетает на
систему из трех плоских металлических сеток, между которыми с помо¬
щью двух источников с ЭДС &\ — 500 В и £2 = 200 В поддерживаются
!.v
3!
3\
d н
,d?2
/
р,
р2 /
1
1
V
. .. .
1
Рис. 3.9
Рис. 3.10
Рис. 3.11
2
3
£
Pi
Р 2
постоянные разности потенциалов (рис. 3.11). В точке, находящейся на
расстоянии d/4 справа от второй сетки, скорость протона оказалась рав¬
ной нулю. Чему была равна скорость протона на большом удалении от
сеток? Расстояние между сетками d равны и
много меньше поперечных размеров сеток. (Би¬
лет 11, 1991)	j
3.12. Между пластинами / и 3 плоского 	1
конденсатора помещена тонкая металлическая
пластина 2 параллельно обкладкам конденса¬
тора (рис. 3.12). Образовавшиеся объемы за¬
полнены диэлектрическими жидкостями с оди¬
наковой диэлектрической проницаемостью е, но с разными удельными
сопротивлениями pi и р2 (р2 > Pi)- Найти величину и направление си¬
лы, действующей на пластину 2 со стороны электрического поля, когда
через конденсатор течет постоянный ток I. Площади всех трех пластин
одинаковы И равны S. (Билет 12, 1991)
3.13. Заряженная частица движется в однородных взаимно перпенди¬
кулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент вре¬
мени ее скорость vo перпендикулярна Е и В (рис. 3.13). Чему будет
равно отношение изменения кинетической энергии к начальной кинети-
Рис. 3.12

128
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
ческой энергии частицы в те моменты, когда вектор ее скорости будет
перпендикулярен v0, если известно, что E/(vqB) = (3	1? (Билет 1, 1992)
3.14. Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый с за¬
рядом q и массой га, связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной а.
Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной
поверхности. Одна из нитей пережигается. Какие скорости будут иметь
шарики в тот момент, когда они будут располагаться на одной прямой?
Радиус шарика мал по сравнению с длиной нити. (Билет 2, 1992)
3.15. Заряженная частица движется в однородных взаимно перпенди¬
кулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент вре¬
мени ее скорость v(> перпендикулярна Е и В, при этом выполняется
соотношение E/(voB) 1 (рис. 3.14). В те моменты времени, когда ско¬
рость частицы направлена в противоположную сторону к v0, отношение
изменения кинетической энергии частицы к ее начальной кинетической
энергии равно (3. Определить отношение E/(vqB). (Билет 3, 1992)
3.16. Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый за¬
рядом q и массой га, связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной а.
Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной
Ов
©В
ТТ
а
Е
Е
Рис. 3.13
Рис. 3.14
Рис. 3.15
поверхности (рис. 3.15). Какую минимальную скорость v необходимо со¬
общить центральному шарику, чтобы при дальнейшем движении шарики
смогли образовать равносторонний треугольник? Радиус шариков мал по
сравнению С ДЛИНОЙ НИТИ. (Билет 4, 1992)
3.17. Неподвижное проволочное кольцо расположено в однородном
магнитном поле, линии индукции В которого перпендикулярны плоско¬
сти кольца (рис. 3.16). По кольцу скользит со скоростью v (без наруше¬
ния электрического контакта) проволочная перемычка РР' (v JL PPf).
Определить направление и силу индукционного тока в кольце и в пере¬
мычке в тот момент, когда перемычка пересекает центр кольца, как это
изображено на рисунке. Кольцо и перемычка выполнены из одного кус¬
ка проволоки с удельным электрическим сопротивлением р и площадью
поперечного сечения S. (Билет 5, 1992)
3.18. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположена в одно¬
родном магнитном поле, линии индукции В которого перпендикулярны к
плоскости рисунка. По перемычке скользит в плоскости рисунка прово¬
лочное кольцо со скоростью v (v _L РР') без нарушения электрического

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
129
контакта (рис. 3.17). Определить направление и силу индукционного то¬
ка в кольце и в перемычке в тот момент, когда центр кольца пересекает
перемычку. Кольцо и перемычка выполнены из одного куска проволоки
с удельным электрическим сопротивлением р и площадью поперечного
сечения S. (Билет 6, 1992)
3.19.	Неподвижная проволочная квадратная рамка расположена в
однородном магнитном поле, линии индукции которого перпендикуляр¬
ны к плоскости рамки (рис. 3.18). По рамке скользит без нарушения
Рис. 3.17	Рис.	3.18	Рис. 3.19
электрического контакта проволочная перемычка РР' со скоростью v
(v _L РР'). В тот момент, когда перемычка пересекает центр квадрата,
по ней течет ток силой I. Определить величину и направление индук¬
ции магнитного поля. Рамка и перемычка выполнены из одного куска
проволоки с удельным электрическим сопротивлением р и площадью
поперечного сечения S. (Билет 7. 1992)
3.20. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположена в од¬
нородном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны
к плоскости рисунка (рис. 3.19). По перемычке
скользит в плоскости рисунка проволочная квад¬
ратная рамка со скоростью v (v _L РР') без на¬
рушения электрического контакта. В тот момент,
когда центр рамки пересекает перемычку, по ней
течет ток силой I. Определить направление и ве¬
личину индукции магнитного поля. Рамка и пе¬
ремычка выполнены из одного куска проволоки
с удельным электрическим сопротивлением р и
ПЛОЩаДЬЮ ПОПереЧНОГО СечеНИЯ S. (Билет 8. 1992)
3.21. Три одинаковые неподвижные металлические пластины рас¬
положены в воздухе на расстояниях d\ и d2 {d2 > d\) друг от друга.
Площадь каждой из пластин равна S (рис. 3.20). На средней пластине 2
находится положительный заряд Q. Пластины 1 и 3 не заряжены и под¬
ключены через ключ К к катушке самоиндукции с индуктивностью L.
Определить максимальное значение силы тока через катушку после за¬
мыкания ключа К. Расстояния d\ и d2 между пластинами малы по срав¬
нению с их размерами. Омическим сопротивлением катушки пренебречь.
(Билет 9, 1992)

130
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.22. Три одинаковые неподвижные металлические пластины распо¬
ложены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга. Площадь
каждой пластины равна S (рис. 3.21). На пластине / находится поло¬
жительный заряд Q. Пластины 2 и 3 не заряжены и подключены че¬
рез ключ К к катушке самоиндукции с индуктивностью L. Определить
максимальное значение силы тока через катушку после замыкания клю¬
ча К. Расстояние между пластинами мало по сравнению с их размерами.
Омическим сопротивлением катушки пренебречь. (Билет 10, 1992)
3.23. Три одинаковые неподвижные металлические пластины рас¬
положены в воздухе на расстояниях d\ и d2 (d2 > d\) друг от друга
(рис. 3.22). На средней пластине 2 находится положительный заряд Q.
Пластины 1 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к катушке
самоиндукции.
1) Определить максимальную величину и знак заряда на пластинах 1
и 3 после замыкания ключа К. Расстояние между di и d2 малы по
сравнению с размерами пластины. Омическим сопротивлением катушки
пренебречь.
2) Какие заряды установятся на пластинах / и 3 при наличии в цепи
омических потерь? (Билет 11, 1992)
3.24. Три одинаковые неподвижные металлические пластины распо¬
ложены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга. Площадь
каждой из пластин равна S (рис. 3.23). На пластине 1 находится отри¬
цательный заряд — Q. Пластины 2 и 3 не заряжены и подключены через
ключ К к катушке самоиндукции с индуктивностью L.
1) Определить максимальную величину и знак заряда на пластинах 2
и 3 после замыкания ключа.
2) Найти производную в этот момент времени (при максималь¬
ном заряде на пластинах 2 и 3), где / — сила тока через катушку.
Расстояние d мало по сравнению с размерами пластин. Омическим со¬
противлением катушки Пренебречь. (Билет 12, 1992)
3.25.	В схеме, изображенной на рис. 3.24, в начальный момент
ключ К разомкнут, а в замкнутом контуре схемы течет установивший¬
ся ток. Определить величину и направление тока через конденсатор

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
131
сразу после замыкания ключа К. Параметры схемы: ЭДС батареи =
= 40 В, внутреннее сопротивление г\ = 20 Ом; ЭДС <§ч — 80 В, внутрен¬
нее сопротивление г2 = 5 Ом; сопротивление резистора = 15 Ом. (Би¬
лет 1, 1993)
3.26.	В схеме, изображенной на рис. 3.25, в начальный момент
ключ К разомкнут, а в замкнутом контуре схемы течет установившийся
Рис. 3.24
ток. Определить величину и направление тока через резистор R сразу
после замыкания ключа К. Параметры схемы: ЭДС <§\ — 10 В, внутрен¬
нее сопротивление т\ = 5 Ом, внутреннее сопротивление второй батареи
Г2 = 20 Ом, сопротивление резистора R — 4 Ом. (Билет 2. 1993)
3.27. В схеме, изображенной на рис. 3.26,
в начальный момент ключ К разомкнут, а в
замкнутом контуре схемы течет установивший¬
ся ток. Определить величину и направление то¬
ка через конденсатор С сразу после замыка¬
ния ключа К. Параметры схемы: ЭДС батареи
^1=80 В, внутреннее сопротивление гi = 5 Ом,
ЭДС батареи <§<z — 40 В, внутреннее сопротивле¬
ние г2 = 20 Ом, сопротивление резистора R —
— 15 Ом. (Билет 3, 1993)
3.28. В схеме, изображенной на рис. 3.27, в начальный момент
ключ К разомкнут, а в замкнутом контуре схемы течет установившийся
ток. Определить величину и направление тока через резистор R сразу
после замыкания ключа К. Параметры схемы: ЭДС батареи
&2 — Ю В, внутреннее сопротивление г2 = 20 Ом, внутрен¬
нее сопротивление первой батареи г\ = 5 Ом. Сопротивление
резистора R = 4 Ом. (Билет 4, 1993)
3.29. Прямоугольная проволочная рамка со сторонами а
и b (Ь = За) находится вблизи длинного прямого провода с
током (рис. 3.28). При выключении тока рамка приобрета- Рис- 3 28
ет импульс Pq. Какой импульс получила бы рамка, если бы она была
квадратной со сторонами, равными а? Самоиндукцией рамок пренебречь.
(Билет 5, 1993)

132
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.30. Квадратную проволочную рамку с длиной стороны а и сопро¬
тивлением R протягивают с постоянной скоростью v через зазор элек¬
тромагнита. Магнитное поле в зазоре однородно, и его индукция рав¬
на В. Плоскость рамки перпендикулярна В (рис. 3.29). Пренебрегая
краевыми эффектами, определить, какое количество теплоты выделится
в рамке, если сторона рамки а меньше продольного размера зазора 6, а
поперечный размер I > а. (Билет 6, 1993)
3.31. Квадратная проволочная рамка с диаметром проволоки d{) нахо¬
дится вблизи длинного прямого провода с током /о (рис. 3.30). При вы¬
ключении тока рамка приобретает импульс Ро. Какой импульс получила
хи
В0
V
_
а
т—		в»
4
а
а
Рис. 3.29
Рис. 3.30
Рис. 3.31
d
Рис. 3.32
С|, qY
бы рамка, если бы начальный ток в проводе был I — З/q, а диаметр про¬
волоки рамки d = 2d()? Самоиндукцией рамки пренебречь. (Билет 7. 1993)
3.32.	Квадратную проволочную рамку с длиной стороны а и сопро¬
тивлением на единицу длины р протягивают с постоянной скоростью
через зазор электромагнита. При этом в рамке выделяется количество
теплоты, равное Q. Пренебрегая краевыми эффектами, определить ско¬
рость рамки, если сторона рамки а больше продольного размера зазо¬
ра 6, а поперечный размер / > а. Магнитное поле в зазоре однородно,
а его индукция равна В. Плоскость рамки перпендику¬
лярна В (рис. 3.31). (Билет 8, 1993)
3.33. Внутри плоского конденсатора, между обклад¬
ками которого с помощью источника напряжения поддер¬
живается постоянная разность потенциалов U, располо¬
жена плоскопараллельная металлическая пластина тол¬
щиной а и массой т. В начальный момент пластина при¬
жата к левой обкладке конденсатора (рис. 3.32), а за¬
тем отпускается. Чему будет равна скорость пластины в
тот момент, когда она достигнет правой обкладки конденсатора? Пло¬
щадь каждой пластины равна S, а расстояние между обкладками d.
(Билет 9, 1993)
3.34.	В цепи, изображенной на рис. 3.33, при разомкнутом ключе К
заряд на конденсаторе с емкостью С\ (С\	равен	а	конден¬
сатор с емкостью б?2 не заряжен. Через какое время после замыкания
ключа заряд на конденсаторе С4 будет иметь максимальное значение?
/
К
с
Рис. 3.33

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
133
Чему будет равен этот заряд? Омическими потерями в катушке с индук¬
тивностью L Пренебречь. (Билет 10, 1993)
3.35. Внутри плоского конденсатора, между обкладками которого с
помощью источника напряжения поддерживается постоянная разность
потенциалов U, расположена плоскопараллельная металлическая пла¬
стина толщиной а и массой т. В начальный момент пластина прижата
к левой обкладке конденсатора (рис. 3.34), а затем отпускается. Че¬
му будет равно ускорение пластины в тот момент, когда она будет за¬
нимать симметричное положение относительно обкладок конденсатора?
Площадь каждой пластины равна 5, а расстояние между обкладками с/.
(Билет 11, 1993)
3.36. В цепи, изображенной на рис. 3.35, при разомкнутом ключе К
заряд на конденсаторе с емкостью С\ равен Q, а конденсатор с емко¬
стью С2 {С2 = 4Ci) не заряжен. Определить максимальный ток в цепи
после замыкания ключа. Омическими потерями в катушке с индуктив¬
ностью L пренебречь. (Билет 12, 1993)
3.37. Три конденсатора с емкостями С\ = Со, С2 = 2Со, Сз = ЗСо,
каждый из которых заряжен от батареи с ЭДС <?, и резистор с сопро¬
тивлением R включены в схему, изображенную на рис. 3.36.
1)Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Какая разность потенциалов установится на конденсаторе Ся? (Би-
лет I, 1994)
3.38. В схеме, изображенной на рис. 3.37, при разомкнутом клю¬
че К конденсатор С\ емкостью Со заряжен до напряжения U\ = 2<§, а
конденсатор С2 емкостью 2Со — до напряжения U2 = 3<£\ где 8 — ЭДС
батареи, внутреннее сопротивление которой равно г.
1)Чему будет равен ток в цепи сразу после замыкания ключа К?
2) Какая разность потенциалов установится на конденсаторе
(Билет 2, 1994)
с,?
и
а
CVQ
/
К
R
+1
+
—
с
1 С
'2
(J
Рис. 3.34
-нк
+11-
К
Рис. 3.35
С3
Рис. 3.36
С,
II
||
-11+
-11+
и2
Рис.
3.37
3.39.	Три конденсатора с емкостями С\ — Со, С2 = 2Со, Сз = ЗС(),
каждый из которых заряжен от батареи с ЭДС &, и резистор с сопро¬
тивлением R включены в схему, изображенную на рис. 3.36.
1)Чему будет равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Какая разность потенциалов установится на конденсаторе С|?
(Билет 3, 1994)

134
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.40.	В схеме, изображенной на рис. 3.38, при разомкнутом клю¬
че К конденсатор С\ емкостью 2 Со заряжен до напряжения U\ = 3<f,
а конденсатор С-2 емкостью ЗСо — до напряже¬
ния U2 — 4<?, где & — ЭДС батареи, внутрен¬
нее сопротивление которой равно г.
1)Чему будет равен ток в цепи сразу после
замыкания ключа К?
2) Какая разность потенциалов установится
на конденсаторе С2? (Билет 4, 1994)
3.41. В колебательном контуре, состоящем
из катушки с индуктивностью L = 1 Гн и кон¬
денсатора емкости С = 1 мкФ с утечкой (оми¬
ческое сопротивление диэлектрика, заполняющего конденсатор R =
= 103 Ом), происходят затухающие колебания. В некоторый момент вре¬
мени амплитуда (максимальное значение) напряжения на конденсаторе
была равна Uo = 2B. Какое количество теплоты выделится на конден¬
саторе от этого момента времени до полного затухания колебаний в
контуре? (Билет 5, 1994)
3.42. В колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктивно¬
стью L — 0,1 Гн и омическим сопротивлением R = 1 Ом и конденсатора
емкости С — 10 мкФ, происходят слабо затухающие колебания (в любой
момент времени потеря энергии за 1 период колебаний много меньше
энергии контура). В некоторый момент времени, когда ток в контуре до¬
стигает максимального значения, напряжение на конденсаторе Uq = 1 В.
Какое количество теплоты выделится в катушке за 1 период колебаний?
(Билет 6, 1994)
3.43. В колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктив¬
ностью L = 1 мГн и омическим сопротивлением R = 5 Ом и конденсато¬
ра емкости С = 40мкФ, происходят затухающие колебания. В некото¬
рый момент времени амплитуда (максимальное значение) тока в контуре
равна /тах = 0,1 А. Какое количество теплоты выделится в катушке от
этого момента времени до полного затухания колебаний в контуре? (Би¬
лет 7, 1994)
3.44. В колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктив¬
ностью L = 0,1 Гн и конденсатора емкости С — 10 мкФ с утечкой (оми¬
ческое сопротивление диэлектрика, заполняющего конденсатор, R —
= 104 Ом), происходят слабо затухающие колебания (в любой момент
времени потеря энергии за 1 период колебаний много меньше энергии
контура). В некоторый момент времени максимальная сила тока в кон¬
туре /о = ОД А. Какое количество теплоты выделяется в конденсаторе
за один период колебаний? (Билет 8, 1994)
3.45. По длинному прямолинейному проводу течет переменный ток.
В плоскости, проходящей через провод, расположены три проволочных
контура, изготовленные из одного куска провода (рис. 3.39). Контуры 1
к
Рис. 3.38

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
135
и 2 являются квадратами с длиной сторон а, третий контур состоит из
двух прямоугольников со сторонами а, b и а, с. В некоторый момент
времени токи в контурах 1 и 2 равны соответственно 1\ и /*2. Чему
равен в этот момент ток в контуре 3? Штриховые линии на рисунке
параллельны проводу. (Билет 9, 1994)
3.46. Два проволочных контура, изготовленные из одного куска про¬
вода, движутся с одинаковыми скоростями к длинному прямолинейному
проводу с постоянным током. Контур 1 является квадратом со сторо¬
ной а, контур 2 в виде восьмерки состоит из двух квадратов, стороны
которых равны сторонам квадрата / (рис. 3.40). Когда они оказались
на расстоянии Ъ = 2а от провода, ток в контуре / был равен 1\. Чему
был равен в этот момент ток в контуре 2, если известно, что индукция
магнитного поля, создаваемая током провода, обратно пропорциональ¬
на расстоянию от провода? Провод и оба контура расположены в одной
ПЛОСКОСТИ. (Билет 10, 1994)
3.47. По длинному прямолинейному проводу течет переменный ток.
В плоскости, проходящей через провод, расположены три проволочных
контура, изготовленные из одного куска провода (рис. 3.41). Контур /
является прямоугольником со сторонами а и 2а, контур 2 — квадратом
а а
Рис. 3.39	Рис.	3.40	Рис.	3.41	Рис.	3.42
со сторонами а, контур 3 в виде восьмерки состоит из двух квадратов со
сторонами а. В некоторый момент времени токи в контурах 1 и 3 равны
соответственно 1\ и 1$. Чему равен в этот момент ток в контуре 2?
Штриховые линии на рисунке параллельны проводу. (Билет 11, 1994)
3.48.	Два проволочных контура, изготовленные из одного куска про¬
вода, движутся к длинному прямолинейному проводу с постоянным то¬
ком. Контур I является прямоугольником со сторонами а, 2а. Контур 2
состоит из двух прямоугольников со сторонами 2а, а (рис. 3.42). Когда
оба контура находились на расстоянии b = а от провода, токи в контурах
были равны. Определить отношение скоростей контуров в этот момент
времени, если известно, что индукция магнитного поля, создаваемая то¬
ком провода, обратно пропорциональна расстоянию от провода. Провод
И оба контура расположены В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ. (Билет 12, 1994)

136
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
3.49. Какое количество теплоты выделится в схеме (рис. 3.43) после
размыкания ключа К? (Билет 1, 1995)
3.50. Между двумя неподвижными плоскопараллельными незаря¬
женными пластинами 1 и 2, закороченными через резистор сопротив¬
лением R (рис. 3.44), помещают аналогичную проводящую пластину 3
г = О
К
Я
я
с
а
R
kN—г т-i
2 *1
& -1
r2
5
>• = 0
}
Рис. 3.43
Рис. 3.45
+
-ь
R
Рис. 3.46
Рис. 3.44
с положительным зарядом q на расстоянии а от пластины 2 (а < d/2,
где d — расстояние между пластинами 1 и 2). После установления рав¬
новесного состояния пластину 3 быстро перемещают в симметричное
положение (на расстояние а от пластины /). По¬
лагая, что за время перемещения пластины 3 за¬
ряд на пластинах I и 2 не успевает измениться,
определить:
1) величину и направление тока через рези¬
стор R сразу после перемещения пластины 3;
2) количество теплоты, выделившееся на ре¬
зисторе после перемещения пластины.
Площадь каждой пластины S, расстояние между пластинами мало
по сравнению с линейными размерами пластин. (Билет 1, 1995)
3.51. Какое количество теплоты выделится на резисторе R2 в схеме,
изображенной на рис. 3.45, после перемещения ключа К из положения /
В положение 2? (Билет 2, 1995)
3.52. Два плоских конденсатора с пластинами
площадью S и расстоянием между ними d вклю¬
чены в цепь через резистор R. В левом конден¬
саторе (рис. 3.46) расположена диэлектрическая
пластина толщиной h (h < d)} площадью 5 и про¬
ницаемостью е. Конденсаторы заряжены до на¬
пряжения U. Пластину быстро выдвигают из кон¬
денсатора. Пренебрегая изменением зарядов на
пластинах конденсаторов за время удаления диэлектрика, определить:
1) какую работу пришлось совершить при этом;
2) чему равен и куда направлен ток через резистор сразу после уда¬
ления диэлектрика. (Билет 2, 1995)
3.53. Какое количество теплоты выделится в схеме (рис. 3.47) после
размыкания ключа К? (Билет 3, 1995)
Рис. 3.47

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
137
3.54.	Между двумя проводящими плоскопараллельными незаряжен¬
ными пластинами / и 2, закороченными через резистор сопротивлени¬
ем R, помещают пластину 3 с отрицательным зарядом q на расстоянии а
от пластины 2 (а < d/2, где d — расстояние между пластинами / и 2).
а
а
R
1—1
2 «1
Л,Г
/•-0
С
V,
h ±-
R
Рис. 3.48
Рис. 3.49
Рис. 3.50
После того, как система пришла в стационарное состояние, пластину /
быстро перемещают на расстояние а по направлению к неподвижным
пластинам 2, 3 (рис. 3.48). Полагая, что за время перемещения пласти¬
ны / заряд на пластинах / и 2 не успевает измениться, определить:
1) какая работа была совершена при перемещении пластины;
2) величину и направление тока через резистор R сразу после пере¬
мещения пластины /. Площадь пластин S. (Билет 3, 1995)
3.55. Какое количество теплоты выделится на резисторе R2 в схеме,
изображенной на рис. 3.49, после перемещения ключа К из положения 1
В положение 2? (Билет 4, 1995)
3.56. Два одинаковых плоских конденсатора с площадью пластин S
и расстоянием между пластинами d включены в цепь через резистор с
сопротивлением R. Конденсаторы заряжены до напряжения U. В левый
конденсатор (рис. 3.50) быстро вводят параллельно
обкладкам пластину с диэлектрической проницаемо¬
стью е, площадью S и толщиной h (h < d). Прене¬
брегая изменением зарядов на пластинах конденса¬
торов за время введения пластины, определить:
1) какую работу пришлось совершить при этом;
2) чему равен и куда направлен ток через рези¬
стор сразу после введения пластины. (Билет 4, 1995)
3.57. В схеме (рис. 3.51) ключи К\ и К2 разо¬
мкнуты, а конденсаторы не заряжены. Ключ К\ замыкают, оставляя К2
разомкнутым. В результате на конденсаторе емкостью С устанавливает¬
ся напряжение V\=6B. Найти ЭДС S источника тока. Каким станет
установившееся напряжение У2 на конденсаторе емкостью С после за¬
мыкания ключа К2 при замкнутом A'l? (Билет 5, 1995)
3.58. В модели атома Томсона предполагалось, что положительный
заряд q, равный по модулю заряду электрона, равномерно распределен
внутри шара радиуса R. Чему будет равен период колебаний (внутри
шара вдоль его диаметра) электрона, помещенного в такой шар? Масса
электрона т. (Билет 5, 1995)

138
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
3.59. При замкнутом ключе К (рис. 3.52) установившееся напряже¬
ние на конденсаторе V\ — 27 В. Найти ЭДС источника тока. Определить
установившееся напряжение V2 на конденсаторе после размыкания клю¬
ча. (Билет 6, 1995)
3.60. В закрепленной тонкостенной непроводящей равномерно заря¬
женной сфере радиуса R имеются два небольших диаметрально проти¬
воположных отверстия. Заряд сферы Q. По прямой, проходящей через
отверстия, из бесконечности движется частица, имеющая на бесконеч¬
ности скорость Vo. Масса частицы т, ее заряд равен q и противоположен
заряду сферы. Найдите время, в течение которого частица будет нахо¬
диться внутри сферы. (Билет б, 1995)
3.61. В схеме (рис. 3.53) ключи К\ и К2 разомкнуты, а конден¬
саторы не заряжены. Ключ К\ замыкают, оставляя К2 разомкнутым.
В результате на конденсаторе емкостью С устанавливается напряжение
Vi = 15 В.
1) Найти ЭДС & источника тока.
2) Каким станет установившееся напряжение V2 на конденсаторе ем¬
костью С после замыкания ключа К2 при замкнутом Кi? (Билет 7, 1995)
3.62. Определить период малых колебаний в вертикальной плоскости
небольшого тела массы т с зарядом q внутри непроводящей сферы ра¬
диуса Д, если в верхней точке сферы закреплен одноименный точечный
заряд Q. Внутренняя поверхность сферы гладкая. Ускорение свободного
падения g. (Билет 7, 1995)
3.63. При разомкнутом ключе К (рис. 3.54) на конденсаторе уста¬
навливается напряжение V\ = 12 В.
1) Найти ЭДС источника тока.
2)Определить установившееся напряжение V2 на конденсаторе после
замыкания ключа. (Билет 8. 1995)
3.64. В закрепленной тонкостенной непроводящей равномерно заря¬
женной сфере радиуса R имеются два небольших диаметрально проти¬
воположных отверстия. Заряд сферы Q. По прямой, проходящей через
отверстия, из бесконечности движется с некоторой скоростью V0 части¬
ца массы т с зарядом q, одноименным с Q. Известно, что в течение
времени Т частица находилась внутри сферы. Определите скорость Vo
частицы на бесконечности. (Билет 8, 1995)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
139
3.65. Две батареи с ЭДС £\ и £2 включены в схему, параметры
которой указаны на рис. 3.55, причем R\ — R2 = Я.з = R- В начальный
момент времени ключи и А'2 разомкнуты, конденсаторы не заряжены.
Ключи одновременно замыкают.
1) Найти начальный ток через резистор R\.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после замыка¬
ния ключей?
Внутренним сопротивлением батарей пренебречь. (Билет 9, 1995)
3.66. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
непроводящее кольцо массой т, вдоль которого равномерно распределен
заряд Q. Кольцо находится во внешнем од¬
нородном магнитном поле с индукцией Во,	ci|| .	||с2
направленной перпендикулярно плоскости
кольца. Внешнее магнитное поле выключают.
1) По какой причине (указать механизм)
кольцо начнет вращаться?
2) Найти угловую скорость вращения
кольца после выключения магнитного поля.	Ri	Ri
(Билет 9, 1995)	рис.	3.55
3.67. Батарея с ЭДС £ и внутренним со¬
противлением г включена через ключ К в схему, параметры которой
указаны на рис. 3.56. В начальный момент времени ключ К разомкнут,
конденсаторы не заряжены. Ключ замыкают.
1) Определить начальный ток через батарею.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после замыка¬
ния ключа? (Билет 10, 1995)
3.68. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
проволочное кольцо радиуса т. Кольцо находится во внешнем однород¬
ном магнитном поле с индукцией Во, направ¬
ленной перпендикулярно плоскости кольца.
Индукция внешнего магнитного поля стала
уменьшаться со временем t по закону: B{t) =
= Во — At, где А — константа.
1) Найти ток в кольце.
2) Чему равна максимальная сила натяже¬
ния проволоки кольца, обусловленная взаимо¬
действием тока в кольце и внешнего магнит-	Рис.	3.56
ного поля?
Сопротивление проволоки кольца R. Самоиндукцией кольца прене¬
бречь. (Билет 10, 1995)
3.69. Две батареи с ЭДС £ каждая включены в схему, параметры
которой указаны на рис. 3.57. В начальный момент времени ключи К\
и А2 разомкнуты, конденсаторы не заряжены. Ключи одновременно за¬
мыкают.

140
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
1) Найти начальный ток через батареи.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после замыка¬
ния ключей?
Внутренним сопротивлением батарей пренебречь. (Билет 11, 1995)
3.70.	На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
непроводящее кольцо массой га, вдоль которого равномерно распределен
заряд Q. Кольцо находится между полюсами электромагнита, создающе-
С
&
К
с
с
g
'К,
R
R
Рис. 3.57
го однородное магнитное поле, направлен¬
ное перпендикулярно плоскости кольца. При
включении электромагнита индукция маг¬
нитного поля возросла от нуля до некоторо¬
го значения Во, а кольцо начало вращаться
с угловой скоростью ш.
1)По какой причине (указать механизм)
кольцо начало вращаться?
2) Определите Bq. (Билет 11, 1995)
3.71.	Батарея с неизвестной ЭДС и внутренним сопротивлением г че¬
рез ключ К включена в схему, параметры которой указаны на рис. 3.58.
В начальный момент времени ключ К разомкнут,
конденсаторы не заряжены. Сразу после замыкания
ключа через батарею течет ток 10.
1) Определить ЭДС батареи.
2) Какое количество теплоты выделится во всей
схеме после замыкания ключа? (Билет 12, 1995)
3.72. На гладкой горизонтальной поверхности
расположено тонкое проволочное кольцо радиуса г.
Кольцо находится между полюсами электромагнита,
создающего однородное магнитное поле, направлен¬
ное перпендикулярно плоскости кольца. За время т
(с момента включения электромагнита) индукция магнитного поля в за¬
зоре между полюсами электромагнита равномерно нарастала от нуля до
некоторого значения Bq. При этом максимальная сила сжатия вдоль про¬
волоки кольца (обусловленная взаимодействием тока в кольце и внеш¬
него магнитного поля) оказалась равной F. Сопротивление проволоки
кольца В,
1)Найдите ток в кольце при нарастании магнитного поля, считая
известными г, т, Во, R.
2) Определите Во, считая известными г, т, F, R.
Самоиндукцией КОЛЬЦа МОЖНО Пренебречь. (Билет 12, 1995)
3.73.	Два одинаковых проводящих диска радиусами г вращаются с
угловыми скоростями COi и 002 (сох > 002) в однородном магнитном по¬
ле с индукцией В, перпендикулярной их плоскостям (рис. ??). Цен¬
тры дисков с помощью проводников присоединены к конденсатору ем¬
костью Сь а ободы — через скользящие контакты к конденсатору ем-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
141
костью С2. Найти напряжения, которые установятся в конденсаторах.
(Билет 1, 1996)
3.74.	В простейшей схеме магнитного гидродинамического генерато¬
ра плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием d между
со.
Г
с21
в®
со.
1
55-В® Д5-: гг-:;
с, II
Рис. 3.59
во
R
Г.
Рис. 3.60
Рис. 3.61
ве
V
Рис. 3.62
ними помещен в поток проводящей жидкости с удельным сопротивле¬
нием р, движущейся с постоянной скоростью v параллельно пластинам
(рис. 3.60). Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией В, на¬
правленной вдоль пластин и перпендикулярно скорости жидкости. Най¬
ти полезную мощность, которая выделяется в виде тепла на внешней
нагрузке сопротивлением R. (Билет 2, 1996)
3.75. Два проводящих диска радиусами и 7*2 вращаются с оди¬
наковыми (по модулю) угловыми скоростями оз в противоположных на¬
правлениях (рис. 3.61). Перпендикулярно плоскостям дисков направлено
однородное магнитное поле с индукцией В.
Центры дисков с помощью проводников присо¬
единены к конденсатору емкостью С\, ободы —
через скользящие контакты к обкладкам кон¬
денсатора емкостью С2. Определить со, если из¬
вестно, что на конденсаторе С\ установилось
напряжение и. (Билет 3, 1996)
3.76. Между закороченными пластинами плоского конденсатора с
площадью пластин 5 и расстоянием d между ними движется параллель¬
но пластинам с постоянной скоростью v проводящая лента толщиной h
(рис. 3.62). Ширина ленты больше размеров
конденсатора. Конденсатор находится в магнит¬
ном поле с индукцией В, направленной вдоль
пластин и перпендикулярно скорости ленты.
Найти наведенный заряд на пластинах конден¬
сатора. (Билет 4, 1996)
3.77. В схеме, изображенной на рис. 3.63,
сначала замыкают ключ К\ и после того, как
конденсатор емкостью Сч зарядится от бата¬
реи с ЭДС £, ключ К\ размыкают и замыка¬
ют ключ К2. После замыкания ключа К2 в схеме происходят свобод¬
ные незатухающие колебания. Когда напряжение на конденсаторе емко¬
стью С1 достигает максимального значения, в него быстро (за время,
Рис. 3.63

142
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
малое по сравнению с периодом колебаний) вставляют диэлектрическую
пластину, что приводит к увеличению его емкости е раз.
1)Чему равен начальный ток в цепи после замыкания ключа
2)Определить максимальный ток в цепи после вставки пластины.
(Билет 5, 1996)
3.78. В колебательном контуре, состоящем из двух последовательно
соединенных катушек с индуктивностями L\ и L2 и конденсатора ем¬
костью С, происходят свободные незатухающие колебания, при которых
амплитуда колебаний тока равна /о (рис. 3.64). Когда сила тока в ка¬
тушке L\ максимальна, в нее быстро (за время, малое по сравнению с
периодом колебаний) вставляют сердечник, что приводит к увеличению
ее индуктивности в р раз.
1) Определить максимальное напряжение на конденсаторе до вставки
сердечника.
2) Определить максимальное напряжение на конденсаторе после
вставки сердечника. (Билет 6, 1996)
3.79. В колебательном контуре, состоящем из двух параллельно со¬
единенных конденсаторов с емкостями С\ и С2 и катушки с индуктив¬
ностью L (рис. 3.65), происходят свободные незатухающие колебания,
при которых амплитуда колебаний заряда на конденсаторе С2 равна q0.
С
L2
UmiJ 1ишГ
Рис. 3.64
D
ft
р2
К
Рис. 3.65
L-i
иишшшшии
Рис. 3.66
В конденсаторе С\ расположена диэлектрическая пластина с диэлектри¬
ческой проницаемостью е, которая полностью заполняет его простран¬
ство. Когда заряд на конденсаторе С\ достигает максимального значе¬
ния, пластину быстро (за время, малое по сравнению с периодом коле¬
баний) удаляют из конденсатора.
1) Определить новый период колебаний.
2) Определить амплитуду новых колебаний тока в катушке.
(Билет 7, 1996)
3.80.	В схеме (рис. 3.66) конденсатор емкостью С заряжен до неко¬
торого напряжения. После замыкания ключа К в схеме происходят сво¬
бодные, практически незатухающие колебания, при которых амплитуд¬
ное значение тока в катушке с индуктивностью Ь2 равно Iq. Когда ток

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
143
в катушке с индуктивностью L\ достигает максимального значения, из
нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) вы¬
двигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в р
раз.
1) Найти ток через катушку Я2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти максимальное напряжение на конденсаторе после выдвига¬
ния сердечника. (Билет 8, 1996)
3.81.	На схему подано постоянное напряжение V = 70 В (рис. 3.67).
Найти пределы изменения напряжения на конденсаторе при медленных
Rijf
Rr
+	-
-0	0~
V
Рис. 3.67
¥-\\
а
з я
+ —
4# 0—CZ
V R
Рис. 3.68
:н
 CZZ]—
«1
+ - у
-0	0—CZIH
v
Рис. 3.69
R
TZZT-
2 R
+ -
-0 0~
V
Рис. 3.70
изменениях сопротивления резистора R\ в пределах от R/4 до 6R. Со¬
противление резистора Я2 постоянно и равно R. (Билет 9, 1996)
3.82. На схему (рис. 3.68) подано постоянное напряжение V = 36 В.
В каких пределах можно изменять напряжение на конденсаторе С\ при
медленных изменениях емкости в пределах от С/2 до 8С? Емкость кон¬
денсатора С2 постоянна И равна С. (Билет 10, 1996)
3.83. На схему (рис. 3.69) подано постоянное напряжение V = 60 В.
Сопротивление резистора R\ постоянно и равно R. Найти пределы из¬
менения напряжения на конденсаторе при медленных изменениях сопро¬
тивления резистора Я2 ОТ Я/3 ДО 5Я. (Билет 11, 1996)
3.84. На схему (рис. 3.70) подано постоянное напряжение V = 120 В.
В каких пределах будет изменяться напряжение на конденсаторе С\
с постоянной емкостью С при медленных измене¬
ниях емкости С2 В Пределах ОТ С/4 ДО 7С? (Би¬
лет 12, 1996)
3.85. Электрическая цепь состоит из батареи с
ЭДС сопротивления Я и конденсатора перемен¬
ной емкости, начальное значение которой равно Со
(рис. 3.71). Через некоторое время после замыкания
ключа К в цепи течет ток /о. Начиная с этого момента времени, ем¬
кость конденсатора изменяется таким образом, что ток в цепи остается
постоянным и равным /о.
1) Определить ток в цепи сразу после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость емкости конденсатора от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 1, 1997)
3.86. Положительно заряженная частица движется в однород¬
ных взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях
■я21
\к
R
Рис. 3.71

144
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
(рис. 3.72). В некоторый момент времени скорость частицы перпенди¬
кулярна векторам Е и В и равна Vq. Чему будет равна скорость этой
частицы в те моменты, когда вектор ее скорости будет составлять 180°
с вектором Vo, при условии, что Е = V^B? Поле тяжести не учитывать.
(Билет 1, 1997)
3.87.	Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС §, катушки
индуктивности L и переменного сопротивления, начальное значение ко¬
торого равно Я0 (рис. 3.73). Через некоторое время после замыкания
Е а
© в
L
\К
R
А
С
•	►
/1
Г . V
\S
	*1
Рис. 3.72
Рис. 3.73
© В ©
~г~
Рис. 3.74
1
К
R
&
Рис. 3.75
ключа К напряжение на катушке равно f/0. Начиная с этого момента
времени, сопротивление R меняется таким образом, что напряжение на
катушке остается постоянным и равным {70.
1) Определить напряжение на катушке сразу после замыкания клю¬
ча К.
2) Найти зависимость сопротивления от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 2, 1997)
3.88. Вакуумный плоский диод, в котором расстояние между като¬
дом К и анодом А равно d, находится в однородном магнитном по¬
ле, индукция которого равна В и направлена параллельно плоскости
электродов (рис. 3.74). При каком минимальном напряжении на дио¬
де электроны с поверхности катода смогут достичь анода? Электроны
у поверхности катода можно считать неподвижными, а полем тяжести
пренебречь. (Билет 2, 1997)
3.89. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС конденсатора
емкости С и переменного сопротивления, начальное значение которого
равно Яо (рис. 3.75). Через некоторое время после замыкания ключа К
в цепи течет ток /о. Начиная с этого момента времени сопротивление Я
изменяется таким образом, что ток в цепи остается постоянным и рав¬
ным /о-
1) Определить ток в цепи сразу после замыкания ключа К.
2) Найти зависимость сопротивления от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 3, 1997)
3.90. Отрицательно заряженная частица движется в однородных вза¬
имно перпендикулярных электрическом и магнитном полях (рис. 3.72).
В некоторый момент времени скорость частицы перпендикулярна векто¬
рам Е и В и равна Vo- Чему будет равна скорость этой частицы в те

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
145
моменты, когда вектор ее скорости будет перпендикулярен вектору V0
при условии, что Е = Vo В? Поле тяжести не учитывать. (Билет 3, 1997)
3.91.	Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС £, сопротивле¬
ния R и катушки переменной индуктивности, начальное значение кото¬
рой Lq (рис. 3.76). Через некоторое время после замыкания ключа К
я.
я
L
\
К
R
£
л
d
к'-
Рис. 3.76
О в G
~Г
Рис. 3.77
£
Ь-
к
R.
Рис. 3.78
на катушке падает напряжение С/о. Начиная с этого момента времени
индуктивность катушки изменяется таким образом, что напряжение на
катушке остается постоянным и равным С/0.
1) Определить напряжение на катушке сразу после замыкания клю¬
ча /С.
2) Найти зависимость индуктивности катушки от времени.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 4, 1997)
3.92. На вакуумный плоский диод, в котором расстояние между ка¬
тодом К и анодом А равно d, подано напряжение U (рис. 3.77). Диод
находится в однородном магнитном поле, ин¬
дукция которого направлена параллельно плос¬
кости электродов. При какой минимальной ве¬
личине индукции магнитного поля электроны
с поверхности катода не смогут достичь анода?
Электроны у поверхности катода можно счи¬
тать неподвижными, а полем тяжести прене¬
бречь. (Билет 4, 1997)
3.93. В электрической схеме, показанной на рис. 3.78, в начальный
момент ключ К замкнут. После размыкания ключа на резисторе Ri
выделяется количество тепла Q\.
1) Какое количество тепла выделится на резисторе R£
2) Чему равна ЭДС батареи?
Сопротивления R\, R?, R% и индуктивность катушки L известны.
(Билет 5, 1997)
3.94. Тонкостенный непроводящий цилиндр с гладкой внутренней по¬
верхностью неподвижно лежит на горизонтально расположенной непро¬
водящей пластине П (рис. 3.79). Размеры пластины (в горизонтальной
плоскости) много больше радиуса цилиндра. Известно, что отношение
периода колебаний маленького отрицательно заряженного шарика внут¬
ри цилиндра при некоторой положительной плотности поверхностных

146
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
зарядов ох пластины к периоду колебаний при о = О Тх./Т0 = а. Опре¬
делить ах, считая заданными отношение a, q — заряд шарика, т — его
массу и g — ускорение свободного падения. (Билет 5. 1997)
3.95. В электрической схеме (рис. 3.80) в начальный момент ключ К
замкнут.
1) Какое количество тепла выделится в цепи после размыкания ключа?
2) Какое количество тепла выделится на резисторах R\y R2 и Т3?
Сопротивления Ri% R2, R3, емкость конденсатора С и ЭДС батареи $
считать заданными. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
(Билет 6, 1997)
3.96. Три маленьких одинаковых шарика, каждый массой т и за¬
рядом q, расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Шарики
/?1
Я,
Я
с
к
Я:
Рис. 3.80
связаны друг с другом тремя нерастяжимыми и непроводящими нитями,
каждая длиной I (рис. 3.81). Все три нити одновременно пережигают.
Пренебрегая силой тяжести, определить:
1) ускорения шариков сразу после пережигания нитей;
2) импульс каждого шарика после разлета на большие расстояния
друг ОТ друга. (Билет 6, 1997)
3.97.	В электрической схеме (рис. 3.82)
ключ К в начальный момент замкнут. После
размыкания ключа в цепи выделяется количе¬
ство тепла Q.
1)Чему равна ЭДС батареи g?
2) Какое количество тепла выделится на
-zzzzzi каждом из резисторов Ri, R2, R3?
Считать заданными L, R1, R2, R:i. (Би¬
лет 7, 1997)
3.98. Маленький шарик массой гп с положительным зарядом q висит
на длинной нерастяжимой нити вблизи поверхности большой непроводя¬
щей пластины П (рис. 3.83). Определить период малых колебаний шари¬
ка, когда на пластине находится отрицательный заряд с поверхностной
плотностью оь если известно, что в отсутствие этого заряда (о = 0) пе¬
риод колебаний шарика равен То. Ускорение свободного падения считать
заданным И равным g. (Билет 7, 1997)
п
q, т
Рис. 3.83

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
147
Л,
R.
3.99. В электрической схеме (рис. 3.84) ключ К в начальный мо¬
мент замкнут. После размыкания ключа на резисторе R\ выделяется
тепло Q\.
1) Какое количество тепла выделится на рези¬
сторе i?2?
2) Чему равна ЭДС батареи ё?
Сопротивления R\y R-2, R3 и емкость конден¬
сатора С известны.
(Билет 8, 1997)
3.100. Три маленьких одинаковых шарика,
каждый массой та и зарядом qy расположены на
гладкой горизонтальной поверхности. Шарики свя¬
заны друг с другом двумя нерастяжимыми и непроводящими нитями,
каждая длиной I (рис. 3.85). Обе нити одновременно пережигают. Пре¬
небрегая силой тяжести, определить:
1) ускорения шариков сразу после пережигания нитей;
2) импульс каждого шарика после разлета на большие
расстояния друг ОТ друга. (Билет 8, 1997)
3.101. На двух длинных гладких параллельных и го¬
ризонтально расположенных проводящих штангах лежит
проводящая перемычка массой М. Расстояние между штангами рав¬
но I. Через резистор сопротивлением R и разомкнутый ключ К к штан¬
гам подключена батарея с некоторой постоянной ё (рис. 3.86). Штанги
расположены в области однородного магнитного поля с вертикально на¬
правленной индукцией В. Пренебрегая внутренним сопротивлением ба¬
тареи, сопротивлением штанг и перемычки, определить ускорение пере¬
мычки сразу после замыкания ключа, если известно, что после замыка¬
ния ключа максимально установившаяся скорость, которую приобретает
Перемычка, равна Vq. (Билет 9, 1997)
3.102. Проволочный контур в виде квадрата со стороной, равной а,
и общим сопротивлением контура R расположен на гладкой горизон¬
тальной поверхности (рис. 3.87). Часть контура находится в однородном
1
о-
<?
/
2
О
<?
/
Рис. 3.85
R
©В
it
/
и
К
П
а
в = о
в0 © © Ф
ф © ф
фф
ь
©ффффффф
1
Рис. 3.86
© © © © © © © ©
Рис. 3.87
магнитном поле с индукцией £?0, перпендикулярной плоскости контура.
Контур неподвижен и входит в область однородного магнитного поля
на глубину Ь. После выключения магнитного поля контур приобретает
некоторый импульс. Определить величину и направление этого импуль-

148
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
са, полагая, что за время спадания индукции магнитного поля смеще¬
ние контура пренебрежимо мало. Самоиндукцией контура пренебречь.
(Билет 10, 1997)
3.103.	На двух длинных гладких параллельных и горизонтально рас¬
положенных проводящих штангах лежит проводящая перемычка П мас¬
сой М (рис. 3.88). Через резистор сопротивлением R и разомкнутый
ключ К к штангам подключен конденсатор емкостью С\ заряженный до
напряжения £У{). Штанги расположены в области однородного магнитного
поля с вертикально направленным вектором индукции. Пренебрегая со¬
противлением штанг и перемычки, определить ускорение перемычки сра¬
зу после замыкания ключа, если при замкнутом ключе и принудитель¬
ном перемещении перемычки вдоль штанг с постоянной скоростью vq
на конденсаторе устанавливается разность потенциалов, равная U\. (Би¬
лет 11, 1997)
3.104.	Проволочный контур в виде квадрата со стороной а, массой М
и общим сопротивлением контура R расположен на гладкой горизон¬
тальной поверхности вблизи от границы области однородного магнитно¬
го поля (х ^ 0) с индукцией В0» перпендикулярной плоскости контура
(рис. 3.89). Контуру сообщают скорость v0, направленную перпенди¬
кулярно границе магнитного поля (ось У). Определить максимальную
величину ускорения контура при его дальнейшем движении, включая
область однородного магнитного поля. Самоиндукцией контура прене¬
бречь. (Билет 12, 1997)
3.105. В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.90, в начальный момент ключи К\ и /С2 разомкнуты. Снача¬
ла замыкают ключ К\, и, когда напряжение на конденсаторе достигает
значения Uo = §f2, замыкают ключ АГ2. Определить:
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа 1<2\
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батареи не учитывать. (Билет 1, 1998)
3.106. В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.91, в начальный момент ключи К\ и АГ2 разомкнуты. Вначале
замыкают ключ К\. Когда ток через катушку индуктивности достигает
значения /0, замыкают ключ /С2. Определить:
© Ф © © Ф © © ©
л
а
vo ФФФФФФФФ*
©ФФФФФФФ т
К
y1f© ф © © ф Ф ф ф
Рис. 3.88
Рис. 3.89

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
149
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа К2\
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батарей не учитывать. (Билет 2. 1998)
с
к-
R
£
Ь-
£
h-
Рис. 3.90
Рис. 3.91
3.107.	В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.92, в начальный момент ключи К\ и К2 разомкнуты. Сначала
замыкают ключ К\. Когда напряжение на конденсаторе достигает вели¬
чины U{) = £/2} замыкают ключ К2. Определить:
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа К2\
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батарей не учитывать. (Билет 3. 1998)
/с,
R
С
£
\-
к
.£
Ь-
R
R
с
'L
£
£
I-
R
Рис. 3.92
Рис. 3.93
3.108. В электрической схеме, параметры которой указаны на
рис. 3.93, в начальный момент ключи Кi и К2 разомкнуты. Сначала
замыкают ключ К\. Когда ток через катушку индуктивности достигает
значения /(), замыкают ключ К2. Определить:
1) напряжение на катушке индуктивности сразу после замыкания
ключа К2\
2) напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
Внутреннее сопротивление батарей не учитывать. (Билет 4, 1998)
3.109. Три тонкие незаряженные металлические пластины, площа¬
дью 5, каждая расположены на расстояниях d друг от друга, причем d
много меньше размеров пластин. К пластинам 2 и 3 подсоединили ба¬
тарею с ЭДС £ (рис. 3.94). Пластине / сообщили заряд q() и замкнули
ключ К.

150
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине 1 заряда <д>.
2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К. (Би¬
лет 5, 1998)
3.110.	В схеме, изображенной на рис. 3.95, катушки L\ и А2 закоро¬
чены через идеальный диод D. В начальный момент ключ К разомкнут,
%
к
а
+
о —
К
-КЪ
D
С
rll^-
£ К
%
£
4
Рис. 3.94
Рис. 3.95
Рис. 3.96
а конденсатор емкости С заряжен до напряжения £/<)• Через некоторое
время после замыкания ключа К напряжение на конденсаторе станет
равным нулю.
1) Найти ток через катушку L\ в этот момент времени.
Затем конденсатор перезарядится до некоторого максимального на¬
пряжения.
2) Чему будут равны В ЭТОТ момент ТОКИ В катушках? (Билет 5, 1998)
3.111.	Три тонкие незаряженные металлические пластины, площа¬
дью S каждая, расположены на расстояниях d друг от друга, причем d
много меньше размеров пластин. К пласти¬
нам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС &
(рис. 3.96). Пластины / и 2 через ключ К
можно подсоединить к батарее с ЭДС §.
Пластине / сообщили заряд qo и замкнули
ключ К.
1) Определить заряд пластины 3 до сооб¬
щения пластине 1 заряда <?о.
2) Определить заряд пластины 3 после
замыкания ключа К. (Билет 6. 1998)
3.112.	В схеме, изображенной на
рис. 3.97, сверхпроводящие катушки с ин¬
дуктивностями L\ и Ь'2 соединены последовательно с конденсатором
емкости С. В начальный момент ключи АТ и К2 разомкнуты, а конден¬
сатор заряжен до напряжения £Д). Сначала замыкают ключ АТ, а после
того, как напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
151
ключ К>2. Через некоторое время после замыкания ключа К2 конденса¬
тор перезарядится до некоторого максимального напряжения Um.
1) Найти ток через катушки индуктивности непосредственно перед
замыканием ключа К2.
2) Найти напряжение Um. (Билет 6, 1998)
3.113. Три тонкие незаряженные металлические
пластины площадью S каждая расположены на расстоя-
ниях d друг от друга, причем d много меньше размеров
пластин. К пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с
ЭДС £ (рис. 3.98). Пластине / сообщили заряд qo и
замкнули ключ К.	<?0
1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пла¬
стине / заряда до-
2)Определить заряд пластины 3 после замыкания
ключа К.
(Билет 7, 1998)
3.114. В схеме, изображенной на рис. 3.99, катуш¬
ки с индуктивностями Д и и пренебрежимо малыми
сопротивлениями закорочены через идеальный диод D. В начальный мо¬
мент ключ К разомкнут, а конденсатор емкости С заряжен до неизвест¬
ного напряжения Ux. Через некоторое время т после замыкания ключа
напряжение на конденсаторе станет равным нулю, а затем конденсатор
перезарядится до некоторого максимального напряжения и в этот мо¬
мент через диод D будет течь ток, равный /0.
1) Определить т.
2)Определить начальное напряжение Ux. (Билет 7, 1998)
Рис. 3.98
Рис. 3.99
Рис. 3.100
Рис. 3.101
3.115.	Три тонкие незаряженные металлические пластины площа¬
дью S каждая расположены на расстояниях d друг от друга, причем d
много меньше размеров пластин. К пластинам / и 3 подсоединили бата¬
рею с ЭДС £ (рис. 3.100). Пластине 2 сообщили заряд qo и замкнули
ключ К.

152
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине 2 заряда q0.
2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К.
(Билет 8. 1998)
3.116. в схеме, изображенной на рис. 3.101, сверхпроводящие ка¬
тушки с индуктивностями L\ и 1,2 соединены последовательно с кон¬
денсатором емкостью С через ключ К\. В начальный момент ключи К\
и К2 разомкнуты, а конденсатор заряжен до некоторого неизвестного
напряжения £/х. Сначала замыкают ключ К\. Через время т напряжение
на конденсаторе равно нулю и в этот момент замыкают ключ К2. Через
некоторое время после замыкания ключа К2 конденсатор перезарядится
до максимального напряжения Um.
1) Определить т.
2) Определить начальное напряжение Ux. (Билет 8, 1998)
3.117. В схеме, изображенной на рис. 3.102, при разомкнутых клю¬
чах К\ и К2 конденсаторы с емкостями С\ и С2 не заряжены. ЭДС бата¬
реи £, внутреннее сопротивление — г. Сначала замыкают ключ К\, а по¬
сле установления стационарного состояния в схеме замыкают ключ К2.
	1
/К2
Г'
1	1
С2
"1
—•—
1 н
Рис. 3.102
1 '
, 1
1 1
С,
1
-4 J	1
/*1
Рис. 3.104
1)Чему равен ток через источник сразу после замыкания ключа К1?
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после замыка¬
ния ключа /62? (Билет 1, 1999)
3.118. В схеме, изображенной на рис. 3.103, при разомкнутом клю¬
че К конденсатор емкостью С = 20 мкФ заряжен до напряжения Uq =
= 12 В. ЭДС аккумулятора £ — 5 В. Индуктивность катушки L = 2 Гн.
1)Чему равен ток, установившийся в цепи после замыкания ключа?
2)Чему равен максимальный ток в цепи после замыкания ключа?
Внутренним сопротивлением аккумулятора и омическим сопротивле¬
нием катушки пренебречь, D — идеальный диод. (Билет 2, 1999)
3.119. В схеме, изображенной на рис. 3.104, при разомкнутых клю¬
чах К\ и К2 конденсаторы с емкостями С\ и С2 не заряжены. ЭДС
батареи £, внутреннее сопротивление — г. Сначала замыкают ключ
а после установления стационарного состояния в схеме замыкают
ключ К2.
1)Чему равен ток через батарею сразу после замыкания ключа Кi?

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
153
S
С
Un
К
Рис. 3.105
2)	Какое количество теплоты выделится во всей схеме после замыка¬
ния ключа К2? (Билет 3. 1999)
3.120. В схеме, изображенной на рис. 3.105, при разомкнутом
ключе К конденсатор емкостью С = 10 мкФ заряжен до напряжения
Uq = 10 В. ЭДС аккумулятора £ — 15 В, ин¬
дуктивность катушки L = ОД Гн.
1) Чему равен установившийся ток в цепи по¬
сле замыкания ключа?
2) Чему равен максимальный ток в цепи по¬
сле замыкания ключа?
Внутренним сопротивлением аккумулятора
и омическим сопротивлением катушки прене¬
бречь, D — идеальный ДИОД. (Билет 4, 1999)
3.121. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС £ — 15 В,
резисторов R\ — 10 Ом и R2 = 30 Ом (рис. 3.106) замыкают ключ К.
1) Найти ток через резистор i?2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти ток через батарею в тот момент, когда напряжение на кон¬
денсаторе равно £/3. Внутренним сопротивлением пренебречь.
(Билет 5, 1999)
3.122. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая рамка из однородного куска проволоки в
виде равностороннего треугольника со стороной, равной а. Рамка нахо¬
дится в однородном горизонтальном магнитном поле, линии индукции
которого перпендикулярны одной из сторон рамки (рис. 3.107). Масса
£
R
К
R
С
Рис. 3.106
Рис. 3.107
Рис. 3.108
рамки М, величина индукции В. Какой силы ток нужно пропустить
по рамке (против часовой стрелки), чтобы она начала приподниматься
относительно ОДНОЙ ИЗ вершин треугольника? (Билет 5, 1999)
3.123. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС £ =
= 30 В, резисторов R\ = 10 Ом, #2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом и конденсатора
(рис. 3.108), замыкают ключ К.
1) Найти ток через резистор i?2 сразу после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в тот момент времени, когда ток через
резистор R3 равен / = 0,3 А.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 6, 1999)
3.124. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска

154
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
проволоки со стороной, равной а. Рамка находится в магнитном поле
длинного горизонтального провода с током, расположенного симметрич¬
но над рамкой (рис. 3.109). Масса рамки М, индукция магнитного поля
у боковых сторон рамки 1 и 2 равна В. Коэффициент трения скольжения
рамки о поверхность стола равен р (р < 1/3).
Какой силы ток нужно пропустить по рамке,
чтобы она начала скользить по столу, не отры¬
ваясь ОТ него? (Билет 6, 1999)
3.125. В электрической схеме, состоя¬
щей из батареи с ЭДС & — 10 В, резисто¬
ров R\ — 50 Ом, R2 — 100 Ом и конденсатора
(рис. 3.110), замыкают ключ К.
1) Найти напряжение на конденсаторе в
установившемся режиме.
2) Найти ток через батарею в тот момент,
когда напряжение на конденсаторе достигло
значения <§)2.
Внутренним сопротивлением пренебречь.
{Билет 7, 1999)
3.126. На непроводящей горизонтальной
поверхности стола лежит проводящая жесткая
тонкая квадратная рамка из однородного кус¬
ка проволоки со стороной, равной а. Рамка находится в однородном
горизонтальном магнитном поле, линии индукции которого параллель¬
ны одной из диагоналей квадрата рамки (рис. 3.111). Масса рамки А/,
Рис. 3.110	Рис.	3.111	Рис.	3.112
величина индукции В. Какой силы ток нужно пропустить по рамке, что¬
бы она начала приподниматься относительно одной из вершин квадрата?
(Билет 7, 1999)
3.127.	В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС § = 20 В,
резисторов с сопротивлениями R\ — 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом и
конденсатора, замыкают ключ К (рис. 3.112).
1) Найти ток через резистор R% сразу после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в момент времени, когда напряжение на
конденсаторе равно 0,6 &.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 8, 1999)
Рис. 3.109

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
155
3.128. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка со стороной, равной а.
Рамка находится в магнитном поле длинно¬
го горизонтального провода с током, располо¬
женного симметрично над рамкой (рис. 3.113).
Масса рамки М, индукция магнитного поля у
боковых сторон рамки / и 2 равна В. Коэф¬
фициент трения скольжения рамки о стол та¬
ков, что при некоторой величине тока, пропу¬
щенного через рамку, она начинает приподни¬
маться (без скольжения) относительно одной
из своих сторон. Найти величину этого тока.
(Билет 8. 1999)
3.129. Сложный воздушный конденсатор
состоит из четырех пластин, удерживаемых на
равных расстояниях d друг от друга. Пласти¬
ны / и 3 закорочены. Пластины 2 w 4 подсоеди¬
нены к источнику с ЭДС <§ (рис. 3.114). Опре¬
делить силу, действующую со стороны элек¬
трического поля на пластину 3. Площадь каж¬
дой пластины — 5, а расстояние между ними
много меньше размеров пластин. (Билет 1, 2000)
3.130. Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с ма¬
лым затуханием, изображенном на рис. 3.115, индуктивность катушки
быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают на
небольшую величину AL (AL <С L) каждый раз, когда ток в цепи равен
нулю, а через время, равное четверти периода колебаний, также быст¬
ро возвращают в исходное состояние. Определить величину AL, если
L = 0,15 Гн, С = 1,5 • 10-7 Ф, R = 20 Ом. (Билет 1, 2000)
3.131. Четыре проводящие пластины удерживают напротив друг дру¬
га. Расстояние между соседними пластинами d. Пластины 1 и 4 подсо-
Рис. 3.113
Рис. 3.114
2
\d
С
,
- 3
\d
г У
1 1
R
1
#
t
\d
Рис. 3.115
и.
\d т
Рис. 3.116
единены к источнику с ЭДС пластины 2 и 3 подсоединены к источни¬
ку с ЭДС <§ (рис. 3.116). Определить силу, действующую на пластину 2
со стороны электрического поля. Площадь каждой пластины 5, а рас¬
стояние между ними много меньше размеров пластин. (Билет 2, 2000)

156
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.132. Для поддержания незатухающих колебаний в контуре с ма¬
лым затуханием, изображенном на рис. 3.117, емкость конденсатора
быстро (по сравнению с периодом колебаний в контуре) увеличивают
на небольшую величину AC (AC С) каждый раз, когда напряжение
на нем равно нулю, а через время, равное четверти периода колебаний,
также быстро возвращают в исходное состояние. Определить величи¬
ну АС, если L = ОД Гн, С = 1СГ7 Ф, R = 30 Ом. (Билет 2, 2000)
3.133. Сложный воздушный конденсатор состоит из четырех пла¬
стин, удерживаемых неподвижно. Расстояние между соседними пласти¬
нами d. Пластины 2 и 4 закорочены. Пластины / и 3 подсоединены к
источнику с ЭДС <§ (рис. 3.118). Определить силу, действующую на пла¬
стину 3 со стороны электрического поля. Площадь каждой пластины S,
а расстояние между ними много меньше размеров пластин. (Билет 3. 2000)
С
L
R
Рис. 3.117
2
г1
3
I d
4
\d
g
Lit)
L0
гттфг.
Г
Рис. 3.118
0	Т/2	Т
Рис. 3.119
37V2 t
3.134. Для поддержания незатухающих колебаний тока в колеба¬
тельном LCR-контуре с периодом колебаний Т = 10_ч с индуктивность
L контура периодически изменяют во времени по закону, представлен¬
ному на рис. 3.119 (AL/Lq <С 1). При каком максимальном значении
сопротивления R колебания в контуре не будут затухать, если AL =
= 3 • 1СГ2 Гн?
Указание. Уменьшение индуктивности происходит при максималь¬
ном токе В контуре. (Билет 3. 2000)
3.135. Сложный воздушный конденсатор состоит из четырех пла¬
стин, удерживаемых неподвижно. Расстояние между соседними пласти¬
нами d. Пластины I и 4 закорочены. Пластины 2 и 3 подсоединены
к источнику с ЭДС g (рис. 3.120). Опре¬
делить силу, действующую на пластину 4
со стороны электрического поля. Площадь
каждой пластины S, а расстояние между
НИМИ МНОГО Меньше размеров ПЛаСТИН. (Би¬
лет 4. 2000)
3.136.	Для поддержания незатухающих
колебаний в колебательном 1/СЯ-контуре
с периодом колебаний Т = 2 • 10-4 с емкость С контура периодиче¬
ски изменяют во времени по закону, представленному на рис. 3.121
(АС/Со 1). При каком максимальном значении сопротивления R ко¬
&
Hi
Рис. 3.120

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
157
лебания в контуре не будут затухать, если L = 8 ■ 10 2 Гн, АС/Со =
= 8 • 1СГ2.
У казан и е. Уменьшение емкости конденсатора происходит при мак¬
симальном заряде на конденсаторе. (Билет 4, 2000)
3.137.	В схеме, изображенной на рис. 3.122, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсатор емкостью С = 100 мкФ не заряжен.
/
CU)
Со
1 ±АС
	 ,
_ _
i 1
1
	1	1	L_ .
!
1
• i
о
Т/2 Т
Рис. 3.121
3772 t
-он
D
К
С
R
Рис. 3.122
0 щ
Рис. 3.123
U
Вольт-амперная характеристика диода D изображена на рис. 3.123. ЭДС
батареи S — 6 В, пороговое напряжение диода Uq — 1 В, R = 1 кОм.
1)Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2)Какой заряд протечет через диод после замыкания ключа?
3) Какое количество теплоты выделится на резисторе R после замы¬
кания ключа?
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 5, 2000)
Ur
R
/, мАл
30
20
10
С
Рис. 3.124
О 1	2	U,	В
Рис. 3.125
К
-кь
D
R
£
Рис. 3.126
О и0
Рис. 3.127
U
3.138. В схеме, изображенной на рис. 3.124, конденсатор емкостью
С — 100 мкФ, заряженный до напряжения Uq = 5 В, подключается че¬
рез диод D к резистору с сопротивлением R = 100 Ом. Вольт-амперная
характеристика диода изображена на рис. 3.125. В начальный момент
ключ К разомкнут. Затем ключ замыкают.
1)Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Чему равно напряжение на конденсаторе, когда ток в цепи будет
равен 10 мА?
3) Какое количество теплоты выделится на диоде после замыкания
ключа? (Билет 6, 2000)
3.139. В схеме, изображенной на рис. 3.126, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсатор С не заряжен. Вольт-амперная ха¬
рактеристика диода D изображена на рис. 3.127. ЭДС батареи £ — 3 В,
пороговое напряжение диода Uq = 1 В, R = 2 кОм. Ключ К замыкают.
В установившемся режиме ток в цепи равен нулю.

158
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
1)Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Чему равна емкость конденсатора С, если известно, что после за¬
мыкания ключа через диод протек заряд q = 4 • 10"4 К л?
3) Какое количество теплоты выделится на резисторе R после замы¬
кания ключа.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 7, 2000)
3.140. В схеме, изображенной на рис. 3.128, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсатор С заряжен до напряжения С/о = б В.
Вольт-амперная характеристика диода D изображена на рис. 3.129. Со¬
противление резистора R = 125 Ом. Ключ К замыкают.
1)Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2)Чему равно напряжение на конденсаторе, когда ток в цепи равен
1\ — 8 мА?
3)Чему равна емкость конденсатора, если известно, что после замы¬
кания ключа на диоде выделилось количество теплоты Q = 2,5 • 10~4 Дж?
(Билет 8, 2000)
3.141. Батарея с ЭДС g подключена к удерживаемым неподвижно
пластинам 1 и 3 плоского конденсатора. Площадь пластин S, расстоя¬
ние между ними d. Посредине между этими пластинами расположена
закрепленная неподвижно металлическая пластина 2, на которой нахо¬
дится заряд Q (рис. 3.130). Пластину 1 отпускают. Какую работу со¬
вершит батарея к моменту соударения пластин 1 и 2? Силой тяжести и
внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 1, 2001)
3.142. При замкнутом ключе К в LC-контуре (рис. 3.131) происходят
незатухающие свободные колебания тока. В тот момент, когда напря¬
жение на конденсаторе С\ максимально и равно С/ь ключ размыкают.
Определить максимальное значение тока в контуре после размыкания
ключа. Параметры элементов схемы указаны на рисунке. (Билет 1, 2001)
3.143. Одну из пластин плоского конденсатора, заряженную положи¬
тельным зарядом gi, удерживают на расстоянии d от другой закреплен¬
ной пластины с отрицательным зарядом q2. Площадь каждой пластины S
(рис. 3.132). Верхнюю пластину массой М отпускают. Чему будет равна
ее скорость после абсолютно упругого отскока на прежнее расстояние d?
(Билет 2. 2001)
/ 2
/, мА
d/2	d/2
R
К
16
С +
8
О
2 U, В
Рис. 3.128
Рис. 3.129
Рис. 3.130

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
159
3.144.	При разомкнутом ключе К в LC-контуре (рис. 3.133) проис¬
ходят незатухающие свободные колебания тока. В тот момент, когда ток
||С2
Ci
к
L
Рис. 3.131
Т
d
±
+ <?,
Рис. 3.132
К
С
Рис. 3.133
в цепи максимален и равен /0, замыкают ключ К. Определить макси¬
мальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа. Парамет¬
ры схемы указаны на рисунке. (Билет 2, 2001)
3.145. К неподвижным пластинам 1 и 2 плоского конденсатора под¬
ключена батарея с ЭДС &. К пластине 1 прижата проводящая пласти¬
на 3 (рис. 3.134). Пластину 3 отпускают, и она начинает двигаться к
пластине 2. Какую работу совершит батарея за время перемещения пла¬
стины 3 от пластины / к пластине 2, если площадь каждой пластины
равна 5, а начальное расстояние между пластинами 2 и 3 равно d? Силой
тяжести пренебречь. (Билет 3, 2001)
3.146. В колебательном контуре, изображенном на рис. 3.135, про¬
исходят свободные колебания при замкнутом ключе К. В тот момент,
А
Рис. 3.134
1
II
Cl
1
с
1
"1
К
Т	I	42
d	Го
Рис. 3.136
когда напряжение на конденсаторе С\ достигает максимального значе¬
ния и равно Vo» ключ размыкают. Определить величину тока в контуре
в тот момент, когда напряжение на конденсаторе С\ будет равно нулю
При условии, ЧТО С2 > с 1. (Билет 3, 2001)
3.147.	Одна из пластин плоского конденсатора, на которой нахо¬
дится заряд д, неподвижно закреплена на непроводящей плите. Вторая
пластина с зарядом q и массой М удерживается на расстоянии d от нее.
Площадь каждой пластины S (рис. 3.136). Верхней пластине сообщают
такую начальную скорость v, что она долетает до нижней пластины и
после абсолютно упругого удара отскакивает от нее. Чему будет равна
скорость этой пластины, когда она снова будет находиться на расстоя¬
нии d ОТ нижней пластины? (Билет 4, 2001)

160
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.148.	В колебательном контуре, изображенном на рис. 3.137, про¬
исходят свободные колебания при разомкнутом ключе К. В тот момент,
Rn
L,
l2 К
II С
Рис. 3.137
Рис. 3.138	Рис.	3.139
когда ток в катушке индуктивностью L достигает максимального значе¬
ния, равного /о, ключ размыкают. Определить величину напряжения на
конденсаторе в тот момент, когда ток через катушку L будет равен нулю
при условии, что Ь2 > L\. (Билет 4, 2001)
3.149. В электрической цепи, представленной на рис. 3.138, дио¬
ды D\ и В2 идеальные. Считая параметры элементов цепи известными,
определить:
1)ток через батарею сразу после замыкания ключа К,
2)количество теплоты, выделившееся в схеме после замыкания
ключа К.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 5. 2001)
3.150. Проводник массой М и длиной I подвешен к непроводящему
потолку за концы с помощью двух одинаковых проводящих пружин,
каждая жесткостью к. К верхним концам пружин подсоединен конден-
С,	сатор емкостью С. Вся конструкция висит
в однородном магнитном поле с индукци¬
ей В, перпендикулярной плоскости конструк¬
ции (рис. 3.139). Проводник сместили и от-
_С2 пустили.	При прохождении положения рав¬
новесия скорость проводника оказалась рав¬
ной vq.	Определить максимальную высоту
r2	подъема	проводника от положения равнове¬
сия. Сопротивлением и самоиндукцией про¬
водников пренебречь. (Билет 5. 2001)
3.151. В электрической цепи, представленной на рис. 3.140, дио¬
ды Dt и D<2 идеальные. Известные параметры элементов цепи указаны
на рисунке.
1) Определить ЭДС батареи, если ток через нее сразу после замыка¬
ния ключа К равен /0.
2) Определить количество теплоты, выделившейся в схеме после за¬
мыкания ключа К. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
(Билет 6, 2001)
К/
■W
D,
R
Рис. 3.140

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
161
3.152.	На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая
неподвижная проводящая квадратная рамка со стороной а. На рамке
симметрично лежит стержень параллельно боковым сторонам рамки на
расстоянии Ь = а/4 (рис. 3.141). Рамка и стержень изготовлены из од¬
ного куска провода, омическое сопротивление единицы длины которого
равно р. В некоторый момент включается однородное магнитное поле,
вектор индукции которого перпендикулярен плоскости рамки. Какую
©в
а
Рис. 3.141
а
I
Рис. 3.143
Ч
Рис. 3.142
скорость приобретет стержень за время установления магнитного поля,
если установившееся значение индукции равно Во? Смещением стержня
за время установления магнитного поля пренебречь. Трение не учиты¬
вать. Масса стержня М. (Билет 6, 2001)
3.153. В электрической цепи, представленной на рис. 3.142, дио¬
ды D\ и D2 идеальные. Считая параметры элементов цепи известными,
определить:
1)ток через батарею сразу после замыкания ключа К,
2) найти количество теплоты, выделившейся в схеме после замыка¬
ния ключа К.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 7, 2001)
3.154. Проводник массой М и длинной I подвешен к непроводящему
потолку за концы с помощью двух одинаковых проводящих пружин,
каждая жесткостью к. К верхним кон¬
цам пружин подсоединен конденсатор ем¬
костью С. Вся конструкция висит в од¬
нородном магнитном поле с индукци¬
ей В, перпендикулярной плоскости кон¬
струкции (рис. 3.143). Проводник смеща¬
ют вниз на расстояние h от положения
равновесия, а затем отпускают. Определить скорость проводника, когда
он снова окажется в положении равновесия. Сопротивлением и самоин¬
дукцией проводников пренебречь. (Билет 7, 2001)
3.155. В электрической цепи, представленной на рис. 3.144, диоды D\
и D‘2 идеальные. Известные параметры элементов электрической цепи
указаны на рисунке.
Рис. 3.144

162
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
1) Определить ЭДС батареи, если ток через нее сразу после замыка¬
ния ключа К равен /().
2)Определить количество теплоты, выделившейся в схеме, после за¬
мыкания ключа К.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 8, 2001)
3.156.	На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая про¬
водящая рамка в виде равностороннего треугольника со стороной а. На
рамке лежит стержень, который параллелен основанию треугольника, а
середина стержня находится на середине высоты АС (рис. 3.145). Рамка
А
кТ
R
R
А
С г
В
I
Рис. 3.145
Рис. 3.146
Рис. 3.147
и стержень изготовлены из одного куска провода, омическое сопротивле¬
ние единицы длины которого равно р. В некоторый момент включается
однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикуля¬
рен плоскости рамки. Какую скорость приобретает стержень за время
установления магнитного поля, если установившееся значение индук¬
ции равно Во? Смещением стержня за время установления магнитного
поля пренебречь. Трение не учитывать. Масса стержня М. (Билет 8, 2001)
3.157.	В схеме, изображенной на рис. 3.146, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсаторы не заряжены. Какой заряд протечет
через перемычку АВ после замыкания ключа К?
Сопротивлением перемычки пренебречь. Парамет¬
ры СХеМЫ указаны на рисунке. (Билет 9, 2001)
3.158. В схеме, изображенной на рис. 3.147,
в начальный момент ключ К разомкнут. Катуш¬
ка с индуктивностью L обладает омическим со¬
противлением г. Какой заряд протечет через пере¬
мычку АВ после замыкания ключа? Внутренним
сопротивлением батареи и сопротивлением перемычки пренебречь. Па¬
раметры схемы указаны на рисунке. (Билет 10, 2001)
3.159. В схеме, изображенной на рис. 3.148, в начальный момент
ключ К разомкнут, а конденсаторы не заряжены. Какой заряд протечет
через перемычку АВ после замыкания ключа К? Сопротивлением пере¬
мычки пренебречь. Параметры схемы указаны на рисунке. (Билет 11, 2001)
3.160. В схеме, изображенной на рис. 3.149, в начальный момент
ключ К разомкнут. Катушка с индуктивностью L обладает омическим
Рис. 3.148

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
163
сопротивлением г. Какой заряд протечет через перемычку АВ после
замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи и сопротивле¬
нием перемычки пренебречь. Параметры схемы указаны на рисунке. (Би¬
лет 12, 2001)
3.161.	На рис. 3.150 изображена вольт-амперная характеристика
двух соединенных параллельно элементов, одним из которых является
2	3	4	5	К,	В
Рис. 3.149	Рис.	3.150	Рис.	3.151
резистор с сопротивлением R — 100 Ом, а другим — неизвестный эле¬
мент Z. Используя заданную вольт-амперную характеристику, постройте
вольт-амперную характеристику элемента Z. (Билет 1, 2002)
3.162. На горизонтальном непроводящем диске по его диаметру
укреплен тонкий проводящий стержень АС. Диск находится в одно¬
родном магнитном поле с индукцией В = 10-2 Тл, перпендикулярной
плоскости диска (рис. 3.151), и совершает крутильные колебания отно¬
сительно вертикальной оси, проходящей через точку О: ф = фосов(со£),
где t — время. Длина стержня L = а -Ь 6,
где а — 0,5 м, a b = 1 м. Определить мак- 7*
симальную разность потенциалов меж¬
ду концами стержня А и С, если ср0 =
= 0,6 рад, а со = 0,2 рад/с. (Билет 1, 2002)
3.163. На рис. 3.152 изображена
вольт-амперная характеристика двух со¬
единенных последовательно элементов,
одним из которых является резистор с
сопротивлением R = 100 Ом, а вторым —	о 1	2	3 4 5 V, в
неизвестный элемент Z. Используя за-	Рис	3
данную вольт-амперную характеристику,
постройте вольт-амперную характеристику элемента Z. (Билет 2. 2002)
3.164. Металлический стержень АС одним концом (точка А) шар¬
нирно закреплен на вертикальном диэлектрическом стержне АО. Дру¬
гой конец (точка С) связан с вертикальным стержнем с помощью
нерастяжимой непроводящей горизонтальной нити ОС длиной R = 1 м
(рис. 3.153). Стержень АС вращается вокруг стержня АО в однородном
I	I	I	I
 1	1	1 1 1—.
I
I	I	I	У1
 ^	1	h -vtK-Н	1
I	I	УI	I
 1	- Н 1	1
I	I	I
J	lilt

164
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
магнитном поле, индукция которого вертикальна и равна В = 10-2 Тл.
Угловая скорость вращения стержня АС сг> = 60 рад/с. Определить раз¬
ность Потенциалов Между ТОЧКами А И С. (Билет 2, 2002)
3.165.	На рис. 3.154 изображена вольт-амперная характеристика
двух соединенных параллельно элементов, одним из которых является
резистор с сопротивлением R = 200 Ом, а другим — неизвестный эле¬
мент Z. Используя заданную вольт-амперную характеристику, постройте
вольт-амперную характеристику элемента Z. (Билет 3. 2002)
3.166.	На горизонтальном непроводящем диске по его диаметру
укреплен тонкий проводящий стержень АС (рис. 3.155). Диск находит¬
ся в однородном магнитном поле с индукцией В = 2 • 10~2 Тл, перпен¬
дикулярной плоскости диска, и совершает крутильные гармонические
колебания относительно вертикальной оси, проходящей через точку О:
<р(£) = cpocos(oof), где t — время. Длина стержня b = 1 м, расстояние
а = 0,5 м. Определить максимальную разность потенциалов между кон¬
цами стержня А и Су если ср0 — 0,8 рад, а со = 0,3 рад/с. (Билет 3, 2002)
3.167.	На рис. 3.156 изображена вольт-амперная характеристика
двух соединенных последовательно элементов, одним из которых яв¬
ляется резистор с сопротивлением R = 1 кОм, а вторым — неизвестный
/, мА
50
А
0
Рис. 3.153
Рис. 3.154
Рис. 3.155
/, мА
50
М
40
20
30
10
0
2	3	4	5	К,	В
В
t
Рис. 3.156
Рис. 3.157
Рис. 3.158

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
165
элемент Z. Используя заданную вольт-амперную характеристику, по¬
стройте вольт-амперную характеристику элемента Z. (Билет 4. 2002)
3.168. Составной стержень, состоящий из проводящего стержня АС
и непроводящего стержня AD (рис. 3.157), вращается с угловой скоро¬
стью со = 100 рад/с вокруг вертикальной оси MN в вертикально направ¬
ленном однородном магнитном поле с индукцией В = 10-2 Тл. Длины
стержней одинаковы. Определить разность потенциалов между точка¬
ми Л и С, если точка С описывает в горизонтальной плоскости окруж¬
ность радиуса R = 0,4 М. (Билет 4, 2002)
3.169. Плоский конденсатор, пластины которого имеют площадь S
и расположены на расстоянии ri, заполнен твердым диэлектриком с ди¬
электрической проницаемостью е (рис. 3.158). Конденсатор подсоединен
к батарее постоянного тока, ЭДС которого равна £. Правую пластину
конденсатора отодвигают так, что образуется воздушный зазор. На ка¬
кое расстояние х отодвинута пластина, если при этом внешними силами
была совершена работа Л? Внутренним сопротивлением батареи прене¬
бречь. (Билет 5. 2002)
3.170. Плоский конденсатор с площадью пластин 5 и расстоянием
между ними d подключен к источнику с постоянным ЭДС £ (рис. 3.159).
Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы в простран¬
ство между пластинами конденсатора ввести металлическую пластину
толщиной L (L < г/)? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
(Билет 6, 2002)
3.171. Плоский конденсатор, квадратные пластины которого имеют
площадь S и расположены на расстоянии d, полностью заполнен твер¬
дым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е (рис. 3.160).
L,
£
Рис. 3.161
Конденсатор подсоединен к батарее, ЭДС которой равна £. Диэлектри¬
ческую пластину выдвигают из конденсатора. На какое расстояние х
выдвинута пластина, если при этом внешними силами совершена рабо¬
та А? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 7. 2002)
3.172.	В плоском конденсаторе с площадью пластин S и расстояни¬
ем между ними d расположена металлическая пластина толщиной Ь\.
Конденсатор подключен к источнику с постоянной ЭДС £ (рис. 3.161).

166
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
га, q
Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы передвинуть
верхнюю обкладку конденсатора на расстояние L2? Внутренним сопро¬
тивлением батареи пренебречь. (Билет 8, 2002)
3.173. Частица массой т с положительным зарядом q находится в
однородных электрическом и магнитном полях. Напряженность электри¬
ческого поля Е. Линии индукции магнит¬
ного поля параллельны силовым линиям
электрического поля. В начальный момент
частице сообщают скорость vo, направ¬
ленную под углом а к линиям индукции
(рис. 3.162). Через некоторое время части¬
ца возвращается в начальную точку.
1)Чему равно это время?
2) Найти индукцию магнитного по¬
ля В, при которой возвращение в началь¬
ную точку ВОЗМОЖНО. (Билет 9, 2002)
3.174. Батарею с ЭДС $ подключают к последовательно соединен¬
ным катушке с индуктивностью L и незаряженному конденсатору ем¬
костью С (рис. 3.163). В контуре происходят колебания тока. В этот
момент, когда ток в контуре становится равным нулю, батарею отклю¬
чают от схемы и подключают вновь, поменяв местами ее выводы. Чему
будет равен после этого максимальный ток в контуре? Внутренним со¬
противлением пренебречь. (Билет 9, 2002)
3.175. Ч астица массой т с положительным зарядом q находится в
однородных электрическом и магнитном полях. Линии индукции магнит-
			Е
Рис. 3.162
га, q
К
g
+
г
L
1
ГУ
Рис. 3.163
Рис. 3.164
Рис. 3.165
ного поля параллельны силовым линиям электрического поля. В началь¬
ный момент частице сообщают скорость vq, направленную под углом а к
силовым линиям (рис. 3.164). Через время т частица оказывается вновь
на той же силовой линии электрического поля, с которой она стартовала,
на расстоянии L от первоначальной точки.
1)Чему равна напряженность электрического поля Е?
2) Найти индукцию магнитного ПОЛЯ В. (Билет 10. 2002)
3.176.	В схеме, изображенной на рис. 3.165, при разомкнутом клю¬
че К напряжение на конденсаторе емкостью С равно Ь<§, где & — ЭДС

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
167
Е
т, q
батареи. Какой максимальный ток будет течь через катушку индуктив¬
ностью L после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи
и сопротивлением катушки пренебречь. (Билет 10. 200*2)
3.177. Частица массой т с положительным зарядом q находится в
однородных электрическом и магнитном полях. Линии индукции маг¬
нитного поля параллельны силовым линиям электрического поля. В
начальный момент частице сообщают скорость ?;(), направленную под
углом а (а > 90°) к линиям индукции (рис. 3.166). Через время т
частица возвращается в начальную точку.
1)Чему равна напряженность электри-
ческого поля Е?
2) Найти индукцию магнитного поля В.
(Билет И, 2002)
3.178. Незаряженный конденсатор с ем-
костью С подключают к последовательно
соединенным батарее с ЭДС & и катушке с
индуктивностью L (рис. 3.167). В контуре
происходят колебания тока. В тот момент,
когда ток становится равным нулю, конденсатор отключают от схемы и
подключают вновь, поменяв местами его выводы. Какой максимальный
ток будет течь после этого в цепи? Внутренним сопротивлением батареи
и сопротивлением катушки пренебречь. (Билет 11, 2002)
3.179. Частица массой т с положительным зарядом q находится в
однородных электрическом и магнитном полях. Напряженность электри¬
ческого поля Е. Линии индукции магнитного поля параллельны силовым
	*	Е
— I + 6d?>
Рис. 3.166
пи Q
Рис. 3.167
Рис. 3.168
Рис. 3.169
линиям электрического поля. В начальный момент частице сообщают
скорость vo, направленную под углом а к силовым линиям (рис. 3.168).
Через некоторое время частица оказывается вновь на той же силовой
линии электрического поля, с которой она стартовала, на расстоянии L
от первоначальной точки.
1) Найти это время.
2) Найти индукцию магнитного ПОЛЯ В. (Билет 12, 2002)
3.180.	В схеме, изображенной на рис. 3.169, при разомкнутом клю¬
че К напряжение на конденсаторе емкостью С равно 6£, где £ — ЭДС

168
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
Рис. 3.170
батареи. Какой максимальный ток будет течь через катушку индуктив¬
ности L после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи
и сопротивлением катушки пренебречь. (Билет 12, 2002)
3.181.	В электрической схеме, представленной на рис. 3.170, ключ К
разомкнут. ЭДС батарей S\ и <§2. Емкости конденсаторов — С\ — С2~С.
1) Найти заряд, протекший через бата¬
рею с ЭДС &2 после замыкания ключа К.
2) Какое количество теплоты выделит¬
ся в цепи после замыкания ключа К? (Би¬
лет 1, 2003)
3.182. Тонкое проволочное кольцо ради¬
усом а расположено в однородном магнит¬
ном поле с индукцией В, перпендикуляр¬
ной плоскости кольца. По кольцу скользят
в одном направлении две перемычки с угловыми скоростями coi и со2
(ooi > 002) (рис. 3.171). Перемычки и кольцо сделаны из одного куска
провода, сопротивление единицы длины которого равно р. Определить
величину и направление тока через перемычки, когда угол ф = л:/2.
Между перемычками в точке О и между кольцом и перемычками хо¬
роший электрический контакт. (Билет 1, 2003)
3.183.	В электрической схеме, представленной на рис. 3.172, ключ К
замкнут. Ключ К размыкают.
1) Определить заряд, протекший через батарею с ЭДС £\ после раз¬
мыкания ключа К.
2) Найти количество теплоты, выделившейся в цепи после размыка¬
ния ключа К.
Значения Д, L, С, £\ и £2 считать заданными. (Билет 2, 2003)
L 1
Ч
Ч
R
С
^ к
—&—
Рис. 3.171
Рис. 3.172
3.184.	Тонкое проволочное кольцо радиусом а расположено в одно¬
родном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной плоскости
кольца. По кольцу скользят в противоположных направлениях две пере¬
мычки с угловыми скоростями coi и ш*2 (рис. 3.173). Перемычки и кольцо
сделаны из одного куска провода, сопротивление единицы длины которо¬
го равно р. Определить величину и направление тока через перемычки,

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
169
когда угол ф = Зл/4. Между перемычками в точке О и между кольцом
И ПереМЫЧКамИ ХОрОШИЙ Электрический контакт. (Билет 2, 2003)
3.185. В электрической схеме, представленной на рис. 3.174, ключ К
разомкнут. После замыкания ключа К батарея с ЭДС £\ совершила
работу А.
1) Найти емкости конденсаторов С.
2) Найти работу батареи с ЭДС £2 по¬
сле замыкания ключа К (S\ ^ 2^)- (Би¬
лет 3, 2003)
3.186. Тонкое проволочное кольцо ра¬
диусом а расположено в однородном маг¬
нитном поле с индукцией В, перпенди¬
кулярной плоскости кольца. По кольцу
скользят в противоположных направлени¬
ях две перемычки с угловыми скоростями coi и со-2 (рис. 3.175). Перемыч¬
ки и кольцо сделаны из одного куска провода, сопротивление единицы
длины которого равно р. Определить величину и направление тока через
перемычки, когда угол ф — л/2. Между перемычками в точке О и между
КОЛЬЦОМ И ПереМЫЧКаМИ ХОрОШИЙ Электрический контакт. (Билет 3, 2003)
Рис. 3.174
со
СО 2
Рис. 3.176
Рис. 3.177
3.187. В электрической схеме, представленной на рис. 3.176, ключ К
замкнут. Ключ К размыкают. После этого батарея с ЭДС £\ совершила
работу А, а количество теплоты, выделившейся в цепи, равно Q.
1) Найти емкость конденсатора С.
2) Найти индуктивность катушки L.
ЭДС батарей и сопротивления резисторов R считать заданными (£2 =
= 2£г = 2£). (Билет 4, 2003)
3.188. Тонкое проволочное кольцо радиусом а расположено в од¬
нородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной плоско¬
сти кольца. По кольцу скользят в одном направлении две перемыч¬
ки с угловыми скоростями coi и оз2 (б)х > оз2) (рис. 3.177). Перемыч¬
ки и кольцо сделаны из одного куска провода, сопротивление едини¬
цы длины которого равно р. Определить величину и направление то¬
ка через перемычки, когда угол ф = Зл/4. Между перемычками в точ¬

170
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
ке О и между кольцом и перемычками хороший электрический контакт.
(Билет 4, 2003)
3.189. В электрической схеме, состоящей из катушки индуктивно¬
стью L и четырех проводящих пластин, каждая площадью S, располо¬
женных на расстоянии d друг от друга, ключ К разомкнут (рис. 3.178).
Пластина 3 заряжена зарядом q0.
1) Найти заряды пластин после замыкания ключа К в момент, когда
ток через катушку максимален.
2) Найти максимальный ток через катушку.
Омическим сопротивлением в схеме пренебречь. (Билет 5, 2003)
3.190. В электрической схеме, состоящей из батареи с неизвестной
ЭДС, катушки индуктивностью L и четырех проводящих пластин, каж¬
дая площадью S, расположенных на расстоянии d друг от друга, ключ К
d
1
1
i
d
d
d
2
3
4
<
t
%
d
d
d
2
3
4
L
Рис. 3.178
разомкнут (рис. 3.179). После замыкания ключа максимальный ток, про¬
текающий через катушку L, равен /().
1) Определить ЭДС батареи.
2) Найти заряды пластин после замыкания ключа К в тот момент,
когда ток через катушку максимален.
Считать, что площадь пластин S	d2.	Омическим сопротивлением
в схеме пренебречь. (Билет 6, 2003)
3.191. В электрической схеме, состоящей из катушки индуктивно¬
стью L и четырех проводящих пластин, каждая площадью S, располо¬
женных на расстоянии d друг от друга, ключ К разомкнут (рис. 3.180).
Пластины 1 и 3 закорочены, а на пластине 4 находится заряд q0.
1) Найти заряды пластин после замыкания ключа К в тот момент,
когда ток через катушку максимален.
2) Найти максимальный ток через катушку L.
Считать, что площадь пластин S d2. Омическим сопротивлением
в схеме пренебречь. (Билет 7, 2003)
3.192. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС ёл ка¬
тушки индуктивностью L и четырех проводящих пластин, каждая пло¬

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
171
щадью 5, расположенных на расстоянии d, друг от друга, ключ К разо¬
мкнут (рис. 3.181). Ключ К замыкают.
1) Найти заряды пластин в тот момент, когда ток через катушку
максимален.
2) Найти максимальный ток через катушку.
Считать, что площадь 5 d2. Омическим сопротивлением в схеме
пренебречь. (Билет 8, 2003)
3.193.	Вольт-амперная характеристика лампочки накаливания при¬
ведена на рис. 3.182а. Две такие лампочки JI\ и Л2 включены в схему,
1
f
1
d
d
2
3
К }
изображенную на рис. 3.1826. ЭДС батареи S — 4 В, сопротивление ре¬
зистора R — 8 Ом.
1) Чему равно напряжение на лампочке Л1?
2) Что покажет амперметр А?
Внутренним сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
(Билет 9, 2003)
3.194. Плоский воздушный конденсатор подключен к батарее с по¬
стоянной ЭДС $ и внутренним сопротивлением г. Между обклад¬
ками конденсатора вставлена проводящая пластина с зарядом q > 0
(рис. 3.183). После установления стационарного
состояния пластину с зарядом q быстро удаляют
из конденсатора так, что его заряд не успевает
измениться. Определить величину и направление
тока через батарею сразу после удаления пласти¬
ны. Площадь обкладок и пластины равна S, рас¬
стояние между обкладками конденсатора — d, а
расстояние между пластиной с зарядом q и ле¬
вой обкладкой конденсатора равно b (b < d/2). (Би¬
лет 9, 2003)
3.195. Вольт-амперная характеристика лампочки накаливания при¬
ведена на рис. 3.184а. Две такие лампочки Л\ и Л2 включены в схему,
изображенную на рис. 3.1846. ЭДС батареи <§ — 4,5 В, сопротивление
резисторов R — 15 Ом.
I
Г
b\
|~
«4—
d	►
(J, г
Рис. 3.183

172
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
1)Чему равен ток через каждую лампочку?
2) Что покажет идеальный вольтметр V?
Внутренним сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
(Билет 10, 2003)
3.196.	Два одинаковых плоских конденсатора с расстоянием между
обкладками d подключены к батарее с постоянной ЭДС £ и внутрен¬
ним сопротивлением г (рис. 3.185). В левом конденсаторе расположена
Рис. 3.184
Рис. 3.185
диэлектрическая пластина толщиной h (h < d) с диэлектрической про¬
ницаемостью е. После установления стационарного состояния пластину
быстро выдвигают из конденсатора так, что заряды на обкладках этого
конденсатора не успевают измениться. Определить величину и направ¬
ление тока через батарею сразу после удаления пластины. (Билет Ю, 2003)
Рис. 3.186
3.197.	Вольт-амперная характеристика диода в прямом направлении
изображена на рис. 3.186а. Два таких диода Дг и Д2 включены в схе¬
му, изображенную рис. 3.1866. ЭДС батареи S — 1,5 В, сопротивление
резистора R — 500 Ом.
1)Чему равно напряжение на диоде Д2?
2) Что покажет амперметр А?
Внутренним сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.
(Билет 11, 2003)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
173
3.198.	Между обкладками плоского конденсатора, подключенного к
батарее с постоянной ЭДС и внутренним сопротивлением г, помеще¬
на проводящая пластина с зарядом q > 0 на расстоянии b (Ъ < d/2) от
левой обкладки конденсатора (рис. 3.187). Здесь d — расстояние между
обкладками конденсатора. После установления стационарного состояния
/, мА
я :
	► j
—►
ь
;
ч*—
— d	►
-4
4-
—/■
-4
ТТ
/
¥
7> —
а
Д\Ч-
£
R
R
б
V
ДЛ
Рис. 3.187
О 0,5	1	1,5	2	£/,	В
Рис. 3.188
пластину с зарядом q быстро перемещают в положение, находящееся на
расстоянии Ь от правой обкладки. Полагая, что заряд на конденсаторе
не изменяется за время перемещения пластины, определить величину
и направление тока через батарею сразу после перемещения пластины.
Площадь обкладок И пластины — S. (Билет 11, 2003)
3.199. Вольт-амперная характеристика диода в прямом направлении
изображена на рис. 3,188а. Два таких диода Дх и Д2 включены в схе¬
му, изображенную на рис. 3.1886. ЭДС батареи £ — 2 В, сопротивление
резисторов R = 800 Ом.
1)Чему равен ток через каждый диод?
2) Что покажет идеальный вольтметр V?
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (Билет 12, 2003)
3.200. Два одинаковых плоских конденсатора подключены к бата¬
рее с постоянной ЭДС £ и внутренним сопротивлением г (рис. 3.189).
Расстояние между обкладками конден¬
саторов — d. После установления ста¬
ционарного состояния в левый конден¬
сатор быстро вводят пластину с диэлек¬
трической проницаемостью е и толщи¬
ной h (h < d). Пренебрегая изменением
зарядов на обкладках левого конденса¬
тора за время введения пластины, опре¬
делить величину и направление тока через батарею сразу после введение
пластины. Площадь пластины равна площади обкладок конденсатора.
(Билет 12, 2003)
3.201. В схеме, изображенной на рис. 3.190, в начальный момент
ключ К\ разомкнут, ключ К2 замкнут, а конденсаторы С\ и С2 не заря¬
ду
УШШ
d
.£* г
Рис. 3.189

174
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
жены. Сначала замыкают ключ Кь а в тот момент, когда заряд на кон¬
денсаторе С\ достигает максимального значения, размыкают ключ /С2.
Найти максимальный заряд на конденсаторе С2 после размыкания клю¬
ча /С2. Внутренним сопротивлением батареи с ЭДС £ и омическим со¬
противлением катушки пренебречь. (Билет 1, 2004)
3.202. На гладкой горизонтальной поверхности стола расположе¬
на проволочная прямоугольная рамка массой га со сторонами а и b
(рис. 3.191). Рамка находится в магнитном поле, составляющая вектора
индукции которого вдоль оси г зависит только от координаты х и изме¬
няется по линейному закону: Bz(x) — Bq( 1 — ах), где Во и а — заданные
константы. Рамке сообщают вдоль оси х скорость vo. Пренебрегая само¬
индукцией рамки, определить расстояние, пройденное рамкой до полной
остановки. Омическое сопротивление рамки равно R. Рамка движется
поступательно. (Билет 1, 2004)
3.203. В АОконтуре при разомкнутом ключе К происходят коле¬
бания (рис. 3.192). В тот момент, когда ток в контуре достигает мак¬
симального значения /о, замыкают ключ К. Считая заданными /(), L\
и L2, определить полное количество теплоты, которое выделится в рези¬
сторе R после замыкания ключа К. Омическое сопротивление катушек
считать равным нулю. (Билет 2. 2004)
3.204.	На гладкой горизонтальной поверхности стола расположена
проволочная прямоугольная рамка со сторонами а и b (рис. 3.193). Рамка
находится в магнитном поле, составляющая вектора индукции которого
вдоль оси z зависит только от координаты х и изменяется по линей¬
ному закону: Bz(x) = Во(1 — ах), где Во и а — заданные константы.
С помощью нерастяжимой нити и неподвижного блока рамка связана с
грузом массой М. Сначала груз удерживают, а затем отпускают, и рам¬
ка приходит в поступательное движение. Пренебрегая самоиндукцией
Рис. 3.190
Рис. 3.191
Рис. 3.192
Рис. 3.193

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
175
рамки, определить максимальную мощность тепловых потерь в рамке.
Омическое сопротивление рамки равно R. (Билет 2, 2004)
3.205.	В схеме, изображенной на рис. 3.194, в начальный момент
ключ К\ разомкнут, ключ К2 замкнут, а конденсаторы С\ и С2 не заря¬
жены. Сначала замыкают ключ К\, а в тот момент, когда заряд на кон¬
денсаторе С\ достигает максимального значения, размыкают ключ К2.
На йти максимальный заряд на конденсаторе С2 после размыкания клю¬
ча К2. Внутренним сопротивлением батареи с ЭДС & и омическим со¬
противлением катушки пренебречь. (Билет 3. 2004)
3.206. На гладкой горизонтальной поверхности стола расположе¬
на проволочная прямоугольная рамка массой т со сторонами а и b
(рис. 3.195). Рамка находится в магнитном поле, составляющая вектора
индукции которого вдоль оси г зависит только от координаты х и изме¬
няется по линейному закону: Bz(x) = Д)(1 — ах), где Во и а — заданные
константы. Рамке сообщают вдоль оси х скорость Уц. Когда рамка, дви¬
гаясь поступательно, проходит расстояние L, ее скорость уменьшается
в 3 раза. Пренебрегая самоиндукцией рамки, определите ее омическое
сопротивление. (Билет 3, 2004)
3.207. В Дб7-контуре при замкнутом ключе К происходят колебания
(рис. 3.196). В тот момент, когда напряжение на конденсаторе равно Г/о,
а ток через катушку L\ равен /0, замыкают ключ К. Считая заданны¬
ми Uo, /0, Ь\, Ь2 и С, определить полное количество теплоты, которое
выделилось в резисторе R после замыкания ключа К. Омическое сопро¬
тивление катушек считать равным нулю. (Билет 4, 2004)
3.208.	На гладкой горизонтальной поверхности стола расположена
проволочная прямоугольная рамка со сторонами а и 6 (рис. 3.197). Рамка
находится в магнитном поле, составляющая вектора индукции которого
вдоль оси z зависит только от координаты х и изменяется по линеи-
Рис. 3.194
Рис. 3.195
Рис. 3.196
Рис. 3.197

176
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
ному закону: Bz(x) — Д)(1 — ах), где Во и а — заданные константы.
С помощью нерастяжимой нити и неподвижного блока рамка связана с
грузом массой М. Сначала груз удерживают, а затем отпускают, и через
некоторое время мощность тепловых потерь в рамке при поступательном
движении достигает максимального значения, равного Wmах. Пренебре¬
гая самоиндукцией рамки, определите омическое сопротивление рамки.
(Билет 4, 2004)
3.209.	В схеме, изображенной на рис. 3.198, в начальный момент
все пространство между обкладками плоского конденсатора полностью
заполнено пластиной с диэлектрической проницаемостью е. Емкость та¬
кого конденсатора СПластину начинают медленно с постоянной скоро¬
стью выдвигать из конденсатора. Через некоторое время через батарею с
Рис. 3.198	Рис.	3.199
ЭДС устанавливается постоянный ток, направленный против ЭДС этой
батареи и равный /. Для этого установившегося режима определить:
1) напряжение на конденсаторе С2\
2)скорость перемещения пластины.
Размер обкладок конденсатора с начальной емкостью С\ в направ¬
лении перемещения пластины равен L. Внутренними сопротивлениями
батарей пренебречь. Величины в, /, Ly £2, С\ и R считать извест¬
ными. Обкладки конденсатора и пластина имеют прямоугольную форму.
(Билет .5, 2004)
3.210.	В схеме, изображенной на рис. 3.199, в начальный момент
все пространство между обкладками плоского конденсатора полностью
заполнено пластиной с диэлектрической проницаемостью в. Емкость та¬
кого конденсатора С2. Пластину начинают медленно с постоянной скоро¬
стью выдвигать из конденсатора. Через некоторое время на конденсаторе
емкостью С\ устанавливается постоянное напряжение U с положитель¬
ным зарядом на левой обкладке. Для этого установившегося режима
определить:
1)ток через батарею с ЭДС <§\\
2)скорость перемещения пластины.

	ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ	177
Размер обкладок конденсатора с начальной емкостью С2 в направ¬
лении перемещения пластины равен L. Внутренними сопротивлениями
батарей пренебречь. Величины 8, /, L, £\, $2, С\ и R считать извест¬
ными. Обкладки конденсатора и пластина имеют прямоугольную форму.
(Билет 6, 2004)
3.211.	В схеме, изображенной на рис. 3.200, в начальный момент
плоский конденсатор емкостью С\ — воздушный. В него медленно с
постоянной скоростью начинают вводить пластину с диэлектрической
Рис. 3.200	Рис.	3.201
проницаемостью в. Через некоторое время, когда пластина частично за¬
полняет конденсатор, через батарею с ЭДС &\ устанавливается постоян¬
ный ток, направленный по направлению действия ЭДС <§i и равный I.
Для этого установившегося режима определить:
1) напряжение на конденсаторе С2;
2)скорость перемещения пластины.
Размер обкладок конденсатора С\ в направлении перемещения пла¬
стины равен L. Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь. Ве¬
личины 8, /, L, $2, С\ и R считать известными. Обкладки конденса¬
тора И пластина имеют прямоугольную форму. (Билет 7. 2004)
3.212.	В схеме, изображенной на рис. 3.201, в начальный момент
плоский конденсатор емкостью С2 — воздушный. В него медленно с
постоянной скоростью начинают вводить пластину с диэлектрической
проницаемостью в. Через некоторое время, когда пластина частично за¬
полняет конденсатор, на конденсаторе С\ устанавливается постоянное
напряжение U (<^2 < U < $\) с положительным зарядом на левой об¬
кладке. Для этого установившегося режима определить:
1)ток через батарею с ЭДС £\;
2)скорость перемещения пластины.
Размер обкладок конденсатора С2 в направлении перемещения пла¬
стины равен L. Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь. Ве¬
личины в, U, L, £\, (§2> С‘2 и R считать заданными. Обкладки конденса¬
тора и пластина имеют прямоугольную форму. (Билет 8, 2004)

178
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.213. В схеме, представленной на рис. 3.202, две одинаковые про¬
водящие пластины с площадью S расположены на малом расстоянии d.
Пластины положительно заряжены: на левой — заряд qiy а на правой —
заряд q2. Ключ К замыкают.
1)Найти заряды на пластинах после установления равновесного со¬
стояния.
2) Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания
ключа К?
ЭДС батареи равна £. Считать, что до и после замыкания ключа за¬
ряды (по модулю) проводов, резистора и источника пренебрежимо малы.
(Билет 9, 2004)
3.214. В схеме, приведенной на рис. 3.203, при разомкнутом ключе К
конденсатор емкостью С — 20 мкФ заряжен до напряжения Uq = 8 В.
Индуктивность катушки L — 0,2 Гн, ЭДС батареи £ — 3 В, диод D —
идеальный.
1) Определить максимальный ток в цепи после замыкания ключа К.
2) Какое напряжение установится на конденсаторе после замыкания
ключа? (Билет 9. 2004)
3.215. В схеме, представленной на рис. 3.204, батарея с постоянной
ЭДС £ подключена через резистор к двум проводящим одинаковым пла¬
стинам площадью S с малым расстоянием d между ними. Обе пластины
к
L
U(
+
<€
к
£
Рис. 3.202
Рис. 3.203
Рис. 3.204
положительно заряжены, причем на левой пластине находится заряд r/i,
а на правой — некоторый неизвестный заряд. Правую пластину быстро
смещают на расстояние d вправо (заряды пластин за время перемещения
не изменяются).
1) Найти заряды пластин после установления равновесия.
2) Какое количество теплоты выделится в цепи после перемещения
пластины к моменту установления равновесного состояния?
Считать, что до и после смещения пластины заряды (по модулю)
ПРОВОДОВ, реЗИСТОра И ИСТОЧНИКа пренебрежимо малы. (Билет 10, 2004)
3.216.	В схеме, приведенной на рис. 3.205, при разомкнутом ключе К
конденсатор емкостью С = 10 мкФ заряжен до напряжения (70 = 2 В.
Индуктивность катушки L — 0,1 Гн, ЭДС батареи £ — 5 В, диод D —
идеальный.
1)	Определить максимальный ток в цепи после замыкания ключа К.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
179
2)	Какое напряжение установится на конденсаторе после замыкания
ключа? (Билет 10, 2004)
3.21Т. В электрической схеме, представленной на рис. 3.206, две
одинаковые проводящие пластины с площадью S расположены на малом
L
+
Ur
<£
DZ
к
к
£
\-
L
£
Ur
+
D
С
J
Рис. 3.205
Рис. 3.206
Рис. 3.207
расстоянии d друг от друга. Обе пластины заряжены, причем на правой
находится положительный заряд q\. Ключ К замыкают.
1) Найти начальный заряд левой пластины если после замыкания
ключа К батарея совершила работу А.
2) Какое количество теплоты выделилось в цепи после замыкания
ключа К?
ЭДС батареи равна £. Считать, что до и после замыкания ключа за¬
ряды (по модулю) проводов, резистора и источника пренебрежимо малы.
(Билет 11, 2004)
3.218. В схеме, приведенной на рис. 3.207, при разомкнутом ключе К
конденсатор емкостью С = 30 мкФ заряжен до напряжения С/0 = 4В.
Индуктивность катушки L — 0,3 Гн, ЭДС батареи S — 10 В, диод D —
идеальный.
1) Определить максимальный ток в цепи после замыкания ключа К.
2) Какое напряжение установится на конденсаторе после замыкания
КЛЮЧа? (Билет 11, 2004)
3.219. В схеме, представленной на рис. 3.208,
батарея с постоянной ЭДС <§ подключена через
резистор к двум проводящим одинаковым пласти¬
нам площадью S с малым расстоянием 2d между
ними. Обе пластины заряжены, причем на левой
пластине находится положительный заряд <дц, а на
правой — некоторый неизвестный заряд. Правую
пластину быстро смещают по направлению к левой
на расстояние d (заряды пластин за время переме¬
щения не изменяются).
1) Найти заряды пластин после установления равновесия.
2) Какое количество теплоты выделится в цепи после перемещения
пластины к моменту установления равновесного состояния?
Считать, что до и после смещения пластины заряды (по модулю)
проводов, резистора и источника пренебрежимо малы. (Билет 12. 2004)
j
Рис. 3.208

180
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.220. В схеме, приведенной на рис. 3.209, при разомкнутом ключе К
конденсатор емкостью С = 40 мкФ заряжен до напряжения С/о = 5 В.
Индуктивность катушки L = 0,4 Гн, ЭДС батареи £ = 2 В, диод D —
идеальный.
1) Определить максимальный ток в цепи после замыкания ключа К.
2) Какое напряжение установится на конденсаторе после замыкания
ключа? (Билет 12, 2004)
3.221. В схеме, изображенной на рис. 3.210, определите ток через
идеальный диод D и напряжение на диоде. Параметры схемы указа¬
ны на рисунке, внутренними сопротивлениями батарей пренебречь. (Би¬
лет 1, 2005)
3.222. В колебательном контуре, включающем в себя конденсатор
емкостью С и две катушки самоиндукции с индуктивностями Ь\ и L2
,£
Uc
к
D
С
J
2 S
2R
I
D
£
3£
3 R
Рис. 3.209
Рис. 3.210
3£
5 R
fi£ 5£
Р 3 R
Рис. 3.212
К
Р
С
(рис. 3.211), происходят гармонические колебания. Катушка L2 с числом
витков N и площадью одного витка S расположена в однородном и ста¬
ционарном магнитном поле с индукцией Во, перпендикулярной плоско¬
сти витков. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигнет
максимального значения С/о, магнитное поле выключают. Время спада¬
ния магнитного поля много меньше периода колебаний в контуре. Пре¬
небрегая омическим сопротивлением катушек и подводящих проводов,
определите величину максимального тока в контуре после
выключения магнитного ПОЛЯ. (Билет 1, 2005)
3.223. В схеме, изображенной на рис. 3.212, определи¬
те напряжение на идеальном диоде D и ток через диод.
Параметры схемы указаны на рисунке, внутренними сопро¬
тивлениями батарей пренебречь. (Билет 2, 2005)
3.224. В колебательном контуре, включающем в себя
конденсатор емкостью С и катушку самоиндукции с индук¬
тивностью L\ (рис. 3.213), происходят гармонические коле¬
бания тока (при разомкнутом ключе К). В тот момент, когда ток в кон¬
туре достигает максимального значения и равен /0, замыкают ключ К.
Пренебрегая омическим сопротивлением катушек и подводящих прово¬
дов, определите максимальное напряжение на конденсаторе после замы¬
кания ключа К. Величины L\, L2, С, /о считать заданными. (Билет 2, 2005)
3.225.	В схеме, изображенной на рис. 3.214, определите ток через
идеальный диод D и напряжение на диоде. Параметры схемы указа¬
L:
Рис. 3.213

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
181
ны на рисунке, внутренними сопротивлениями батарей пренебречь. (Би¬
лет 3, 2005)
3.226.	В колебательном контуре, включающем в себя конденсатор
емкостью С и две катушки самоиндукции с индуктивностями L\ и Lj
(рис. 3.215), происходят гармонические колебания. Катушка Ь2 с числом
витков N и площадью одного витка S расположена в однородном и ста¬
ционарном магнитном поле с индукцией Во, перпендикулярной плоско¬
сти витков. В тот момент, когда ток в контуре достигает максимального
значения /0, магнитное поле выключают. Время спадания магнитного по¬
ля много меньше периода колебаний в контуре. Пренебрегая омическим
4R
JL
у_
D
R
2& 3<?
Рис. 3.214
Вс
Рис. 3.215
Z
[
4R
D 2л[
L2 =\
с
L
~£
~S 6
Рис. 3.216
Рис. 3.217
сопротивлением катушек и подводящих проводов, определите величину
максимального напряжения на конденсаторе после выключения магнит¬
ного поля. (Билет 3, 2005)
3.227. В схеме, изображенной на рис. 3.216, определите напряже¬
ние на идеальном диоде D и ток через диод. Параметры схемы ука¬
заны на рисунке, внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.
(Билет 4, 2005)
3.228. В колебательном контуре, включающем в себя конденсатор с
неизвестной емкостью и катушку самоиндукции с индуктивностью L2
(рис. 3.217), происходят гармонические колебания тока (при разомкну¬
том ключе К). В тот момент, когда ток в контуре достигает максималь¬
ного значения и равен /о, замыкают ключ К. По¬
сле замыкания ключа максимальное напряжение
на конденсаторе оказалось равным Uq. Пренебре¬
гая омическим сопротивлением катушек и подво¬
дящих проводов, определите емкость конденсато¬
ра. Величины Lu L2, /о, Lo считать заданными.
(Билет 4, 2005)
3.229. В электрической схеме, представленной на рис. 3.218, клю¬
чи К\ и А2 разомкнуты. Ключ Ку замыкают, и после того как через
резистор с сопротивлением R протек заряд замыкают ключ К2.
1) Найти напряжение на катушке индуктивностью L непосредствен¬
но перед замыканием ключа К2.
2) Найти дополнительный заряд, протекший через резистор после
замыкания ключа К2.
£\
’л
I
R
Рис. 3.218

182
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
ЭДС батарей S\ и &2 и их внутренние сопротивления г\ и г2 извест¬
ны. (Билет 5. 2005)
3.230. В электрической схеме, представленной на рис. 3.219, клю¬
чи К\ и К2 разомкнуты. Ключ К\ замыкают, и когда ток через резистор
с сопротивлением R достигает значения /о, замыкают ключ К2.
1) Найти ток через конденсатор емкостью С сразу после замыкания
ключа К2.
2) Найти заряд на конденсаторе после установления стационарного
состояния.
ЭДС батарей <§\ и #2 и их внутренние сопротивления г\ и Г2 извест¬
ны. (Билет 6, 2005)
3.231. В электрической схеме, представленной на рис. 3.220, клю¬
чи К1 и К2 разомкнуты. Ключ К\ замыкают, и после того как напря-
Рис. 3.219
Рис. 3.220
Рис. 3.221
жение на катушке с индуктивностью L достигло значения £/(), замыкают
ключ К2.
1) Найти заряд, протекший через резистор с сопротивлением R к
этому моменту времени.
2) Найти дополнительный заряд, который протечет через резистор
после замыкания ключа К2.
ЭДС батарей <§\ и <§2 и их внутренние сопротивления т\ и г? извест¬
ны. (Билет 7, 2005)
3.232. В электрической схеме, представленной на рис. 3.221, клю¬
чи К\ и разомкнуты. Ключ К\ замыкают, и когда ток через конден¬
сатор емкостью С достигает значения /0, замыкают ключ К2.
1) Найти ток через конденсатор сразу после замыкания ключа К2-
2) Найти заряд конденсатора после установления равновесия.
ЭДС батарей <§\ и <§2 и их внутренние сопротивления п и г2 и со¬
противление R резистора известны. (Билет 8, 2005)
3.233. Две одинаковые металлические сферы расположены на боль¬
шом удалении друг от друга (расстояние между ними много больше их
диаметра). На сфере / расположен заряд Q, а сфера 2 не заряжена. К
сфере / подносят и приводят в соприкосновение с ней незаряженный ша¬
рик. Затем шарик переносят и приводят в соприкосновение со сферой 2.
После этого контакта на шарике оказался заряд, равный Q/9. Какой
заряд Приобрела Сфера 2? (Билет 9, 2005)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
183
3.234. Проволочное кольцо DBC, сопротивление которого Я, про¬
низывается магнитным потоком Ф = ФоСояозД где t — время, Ф0 и со —
заданные константы. Магнитное поле сосредоточено практически в уз¬
кой области (рис. 3.222). Точки D, В и С этого кольца делят его на
три равные части. Что покажет амперметр переменного тока с сопро¬
тивлением г, если его присоединить к точкам В и С? Сопротивлением
СОеДИНИТеЛЬНЫХ ПрОВОДОВ Пренебречь. (Билет 9, 2005)
3.235. Между двумя концентрически расположенными проводящими
сферами с радиусами г\ и и зарядами Q\ и Q2 расположен точечный
заряд q на расстоянии а от центра сфер (рис. 3.223). Какой заряд про¬
течет через гальванометр G после замыкания ключа К, приводящего к
заземлению внутренней сферы? (Билет 10, 2005)
3.236. Сопротивления участков ADC и СВА проволочного кольца
равны R и 3R (рис. 3.224). Кольцо пронизывается магнитным потоком
Ф = Фосоьсoty где t — время, Ф() и со — заданные константы. Магнитное
иоле сосредоточено практически в узкой области. Что покажет вольт¬
метр переменного тока с сопротивлением 4R, если его присоединить к
точкам А и С? Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
(Билет 10, 2005)
3.237. Две одинаковые металлические сферы расположены на боль¬
шом удалении друг от друга (расстояние между ними много больше их
диаметра). К сфере / подносят и приводят в соприкосновение проводя¬
щий заряженный шарик с зарядом Q. Затем шарик переносят к сфере 2
и приводят в соприкосновение с ней. После этого контакта на сфере 2
оказался заряд 0,16Q. Какой заряд остался на шарике? Радиус шарика
Меньше радиуса Сферы. (Билет 11. 2005)
3.238. Проволочное кольцо DBC, сопротивление которого R} прони¬
зывается магнитным потоком Ф = Ф()соscof, где t — время, Ф0 и ш —
заданные константы. Магнитное поле сосредоточено внутри кольца
(рис. 3.225). Точки D, В и С этого кольца отстоят друг от друга на
одинаковые расстояния. Что покажет амперметр переменного тока с со¬
противлением г, если его присоединить к точкам В и С? Сопротивлени¬
ем соединительных проводов пренебречь. (Билет И, 2005)

184
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.239.	Две проводящие концентрические сферы с радиусами /ц и т2
имеют заряды Qi и Q2. Вне этих сфер в точке В на расстоянии а от их
центра расположен точечный заряд (рис. 3.226). Определить величину
этого заряда, если после замыкания ключа (заземле¬
ния сферы радиусом гц) через гальванометр G протек
заряд q. (Билет 12. 2005)
3.240. Сопротивления участков ADC и СВ А про¬
волочного кольца равны В и	5R (рис.	3.227). Коль¬
цо пронизывается магнитным	потоком	Ф = ФооозсоС
где t — время, Ф0 и со — заданные константы. Маг¬
нитное поле полностью сосредоточено внутри коль¬
ца. Что покажет вольтметр переменного тока с со¬
противлением 87?, если его присоединить к точкам А
и С? Сопротивлением соединительных проводов пре¬
небречь. (Билет 12. 2005)
3.241. Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью за¬
полнен	двумя	слоями диэлектрика с толщинами	d\ и ^ и	диэлектриче¬
скими проницаемостями ei и е2 (рис. 3.228). Между обкладками конден¬
сатора поддерживается постоянная разность потенциалов <§. Определите
величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у
верхней Обкладки Конденсатора. (Билет 1, 2006)
3.242. В схеме на рис. 3.229 все элементы можно считать идеаль¬
ными. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указаны
на рисунке. Определите величину и направление тока через амперметр.
(Билет 1. 2006)
3.243. Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены
разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями Е\ и г2
Рис. 3.226
Рис. 3.227
3 Ом
4 В
Рис. 3.229
(рис. 3.230). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите ве¬
личину и знак связанного (поляризационного) заряда верхнего диэлек¬
трика у левой обкладки конденсатора. (Билет 2, 2006)
3.244.	В схеме на рис. 3.231 все элементы можно считать идеаль¬
ными. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указаны
на рисунке. Определите величину и направление тока через амперметр.
(Билет 2, 2006)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
185
3.245.	Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью за¬
полнен двумя слоями диэлектрика с толщинами d\ и и диэлектриче¬
скими проницаемостями £i и £2 (рис. 3.232). Между обкладками конден-
2 Ом
5 В
1 Ом
Рис. 3.235
Рис. 3.233
сатора поддерживается постоянная разность потенциалов <§. Определите
величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у
нижней обкладки конденсатора. (Билет 3. 2006)
3.246. В схеме на рис. 3.233 все элементы можно считать идеаль¬
ными. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указаны
на рисунке. Определите величину и направление тока
через амперметр. (Билет 3, 2006)
3.247. Две одинаковые половины плоского конден¬
сатора заполнены разными диэлектриками с диэлек¬
трическими проницаемостями £1 и £2 (рис. 3.234). За¬
ряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите
величину и знак связанного (поляризационного) заря¬
да нижнего диэлектрика у правой обкладки конденса¬
тора. (Билет 4. 2006)
3.248. В схеме на рис. 3.235 все элементы можно считать идеальны¬
ми. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указаны на
рисунке. Определите величину и направление тока че¬
рез амперметр. (Билет 4, 2006)
3.249. Две вертикальные проводящие рейки
(рис. 3.236), расстояние между которыми L = 25 см, на¬
ходятся в однородном магнитном поле, индукция кото¬
рого В — 1 Тл направлена перпендикулярно плоскости
рисунка. Сверху рейки соединены через батарею с ЭДС
(? = 6В и внутренним сопротивлением г = 2 Ом, а сни¬
зу — через резистор с сопротивлением R = 6 Ом. В на¬
чальный момент проводящую перемычку АС массой т — 100 г удержи¬
вают неподвижной, а затем отпускают. Через некоторое время перемыч¬
ка движется вниз с установившейся скоростью.
1) Найдите ток через перемычку при этой скорости.
2) Найдите установившуюся скорость перемычки.
Сопротивлением реек и перемычки пренебречь. При расчете принять
g — 10 м/с2. (Билет 5, 2006)

186
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.250. Плоский конденсатор с площадью пластин 5 полностью за¬
полнен двумя слоями диэлектрика с толщинами d\ и d2 и диэлектриче¬
скими проницаемостями ei и е2 (рис. 3.237). Между обкладками конден¬
сатора поддерживается постоянная разность потенциалов $. Определите
величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у
верхней обкладки Конденсатора. (Билет 5, 2006)
3.251. По двум горизонтальным проводящим рейкам (рис. 3.238),
расстояние между которыми L = 1 м, может скользить без трения пере¬
мычка, масса которой т = 50 г, а омическое сопротивление г = 0,5 Ом.
Слева и справа концы реек соединены через резисторы с сопротивлени¬
ем R = 1 Ом. Система находится в однородном вертикальном магнитном
поле с индукцией В = 0,1 Тл. Неподвижной перемычке сообщают на¬
чальную скорость vo = 50 см/с вдоль реек.
1) Найдите зависимость тока через перемычку от ее скорости.
2) На какое расстояние сместится перемычка?
Сопротивлением реек пренебречь. Перемычка расположена перпен¬
дикулярно рейкам. (Билет 6, 2006)
3.252. Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены
разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями si и е2
(рис. 3.239). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите ве¬
личину и знак связанного (поляризационного) заряда верхнего диэлек¬
трика у левой обкладки конденсатора. (Билет 6, 2006)
3.253.	Две вертикальные проводящие рейки (рис. 3.240), расстоя¬
ние между которыми L — 50 см, находятся в однородном магнитном
поле, индукция которого В — 1 Тл направлена перпендикулярно плос¬
кости рисунка. Сверху рейки соединены через батарею с ЭДС <§ — 3 В и
внутренним сопротивлением г — 1 Ом, а снизу — через резистор с сопро¬
тивлением R — 2 Ом. В начальный момент проводящую перемычку АС
удерживают неподвижной, а затем отпускают, и она через некоторое вре¬
мя достигает установившейся скорости v = 6 м/с, направленной вниз.
1) Найдите ток через резистор при установившейся скорости пере¬
мычки.
2) Найдите массу перемычки.
Сопротивлением реек и перемычки пренебречь. При расчете принять
g — 10 м/с2. (Билет 7, 2006)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
187
3.254. Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью за¬
полнен двумя слоями диэлектрика с толщинами d\ и d2 и диэлектриче¬
скими проницаемостями г\ и 82 (рис. 3.241). Между обкладками конден¬
сатора поддерживается постоянная разность потенциалов S. Определите
величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у
нижней обкладки конденсатора. (Билет 7, 2006)
3.255. По двум горизонтальным проводящим рейкам (рис. 3.242),
расстояние между которыми L = 0,5 м, может скользить без трения
перемычка, масса которой т — 100 г, а омическое сопротивление г =
= 0,5 Ом. Слева и справа концы реек соединены через резисторы с со¬
противлением R = 2 Ом. Система находится в однородном вертикаль¬
ном магнитном поле с индукцией В — 0,2 Тл. Неподвижной перемычке
сообщают некоторую начальную скорость. Сместившись на расстояние
S = 3 м, перемычка останавливается.
1) Найдите зависимость тока через перемычку от ее скорости.
2)Определите начальную скорость перемычки.
Сопротивлением реек пренебречь. Перемычка расположена перпен¬
дикулярно рейкам. (Билет 8. 2006)
3.256. Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены
разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ei и 82
(рис. 3.243). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите ве¬
личину и знак связанного (поляризационного) заряда нижнего диэлек¬
трика у правой обкладки конденсатора. (Билет 8, 2006)
3.257.	Электрическая схема, изображенная на рис. 3.244, состоит из
двух одинаковых батарей с ЭДС S и внутренними сопротивлениями г и
резистора сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам А
и В схема эквивалентна батарее с некоторой ЭДС So и внутренним со¬
противлением г0 (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы
на батарею с ЭДС Sq и внутренним сопротивлением г0 ток в нагрузке
не изменится).
1) Найдите ЭДС So и внутреннее сопротивление г() эквивалентного
источника.
2) К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которо¬
го можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая
мощность, выделяющаяся на нем, будет максимальной? (Билет 9, 2006)
Рис. 3.241
Рис. 3.242
Рис. 3.243
Рис. 3.244

188
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.258. Электрическая схема, изображенная на рис. 3.245, состоит из
двух батарей с ЭДС $\ и S2 {S\ ф S2) и внутренними сопротивлениями г
и резистора сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам А
и В схема эквивалентна батарее с некоторой ЭДС So и внутренним со¬
противлением го (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы
на батарею с ЭДС So и внутренним сопротивлением го ток в нагрузке
не изменится).
1) Найдите ЭДС So и внутреннее сопротивление г0 эквивалентного
источника.
2) К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которо¬
го можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая
мощность, выделяющаяся на нем, будет максимальной? (Билет 10, 2006)
3.259. Электрическая схема, изображенная на рис. 3.246, состоит из
двух батарей с ЭДС S и внутренними сопротивлениями г и резистора
сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам А и В схема
эквивалентна батарее с некоторой ЭДС S0 и внутренним сопротивлени¬
ем 7’о (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы на батарею
с ЭДС So и внутренним сопротивлением г() ток в нагрузке не изменится).
1) Найдите ЭДС So и внутреннее сопротивление г о эквивалентного
источника.
2) К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которо¬
го можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая
мощность, выделяющаяся на нем, будет максимальной? (Билет 11, 2006)
3.260. Электрическая схема, изображенная на рис. 3.247, состоит из
двух батарей с ЭДС S1 и S2 (S\ ф S2) и внутренними сопротивлениями г
и резистора сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам А
и В схема эквивалентна батарее с некоторой ЭДС Sq и внутренним со¬
противлением го (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы
на батарею с ЭДС So и внутренним сопротивлением г0 ток в нагрузке
не изменится).
1) Найдите ЭДС So и внутреннее сопротивление го эквивалентного
источника.
2) К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которо¬
го можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая
МОЩНОСТЬ, выделяющаяся на нем, будет максимальной? (Билет 12, 2006)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
189
3.261. При каких значениях сопротивления резистора R\ идеальный
диод в схеме, изображенной на рис. 3.248, будет открыт, если R2 = 2 Ом,
Rs = 3 Ом, R4 = 4 Ом? Чему будет равен ток через диод при Ri = 1 Ом,
если ЭДС батареи £ = 10 В, а ее внутренним сопротивлением можно
пренебречь? (Билет 13, 2006)
3.262. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S и
расстоянием между неподвижными обкладками d подключен к источ¬
нику постоянного напряжения через реостат (рис. 3.249). На нижней
обкладке расположена проводящая незаряженная пластина толщиной а
и массой га, имеющая хороший электрический контакт с обкладкой кон¬
денсатора. Горизонтальные размеры пластины равны аналогичным раз¬
мерам обкладок. В исходном состоянии напряжение на конденсаторе
равно нулю. Затем напряжение начинают медленно увеличивать, и при
некотором напряжении пластина отрывается и движется вверх, остава¬
ясь все время горизонтальной. Через некоторое время она оказывается
на высоте h от нижней обкладки, а напряжение на конденсаторе в этот
момент равно Uо. Какой заряд будет на нижней обкладке конденсатора
В ЭТОТ момент времени? (Билет 13, 2006)
3.263. При каких значениях сопротивления резистора Я 2 идеальный
диод в схеме, изображенной на рис. 3.250, будет закрыт, если Ri = 2 Ом,
Яз = 4 Ом, R4 = 5 Ом? Чему будет равен ток через диод при R2 = 1 Ом,
если ЭДС батареи £ — 13 В, а ее внутренним сопротивлением можно
пренебречь? (Билет 14, 2006)
3.264. Плоский воздушный незаряженный конденсатор с расстояни¬
ем между неподвижными обкладками d подключен к батарее с ЭДС £
(рис. 3.251). На нижней обкладке удерживают проводящую пластину
I
Ё
Рис. 3.249
£
£
ЕЛ
	) I
Рис. 3.251
толщиной а, имеющую хороший электрический контакт с обкладкой кон¬
денсатора, при этом минимальная сила, которой еще можно удержать
пластину на месте, равна F. Горизонтальные размеры пластины равны
аналогичным размерам обкладок. Пластину отпускают, она движется
вверх, оставаясь все время горизонтальной, и через некоторое время
оказывается на высоте h от нижней обкладки конденсатора. Чему равен
заряд нижней обкладки в этот момент времени? Омическое сопротивле¬
ние цепи настолько мало, что в любой момент времени напряжение на
конденсаторе равно ЭДС батареи. Силу тяжести не учитывать. До кон-

190
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
такта с обкладкой пластина была незаряжена. Считать заданными F, h
И £. (Билет 14, 2006)
3.265. При каких значениях сопротивления резистора R3 идеальный
диод в схеме, изображенной на рис. 3.252, будет открыт, если R\ = 1 Ом,
i?2 = 2 Ом, R4 = 4 Ом? Чему будет равен ток через диод при R3 = 3 Ом,
если ЭДС батареи £ — 20 В, а ее внутренним сопротивлением можно
пренебречь? (Билет 15, 2006)
3.266. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S и
расстоянием между неподвижными обкладками d подключен к источ¬
нику постоянного напряжения через реостат (рис. 3.253). На нижней
Яз
Я|
л4
r2
Ц- и
	1
1*
Рис. 3.252
I
Т* I
  d
	♦	I
г«I
Рис. 3.253
«3
T^r
r4
1 ^
Ч 1
-м- 1-1

Рис. 3.254
обкладке расположена проводящая незаряженная пластина толщиной а
и массой 771, имеющая хороший электрический контакт с обкладкой кон¬
денсатора. Горизонтальные размеры пластины равны аналогичным раз¬
мерам обкладок. В исходном состоянии напряжение на конденсаторе
равно нулю. Затем напряжение начинают медленно увеличивать, и при
некотором напряжении пластина отрывается и движется вверх, остава¬
ясь все время горизонтальной. Через некоторое время она оказывается
на высоте h от нижней обкладки, а напряжение на конденсаторе в этот
момент равно Uo. Какой заряд будет на верхней обкладке конденсатора
В этот момент времени? (Билет 15, 2006)
3.267.	При каких значениях сопротивления резистора R4 идеальный
диод в схеме, изображенной на рис. 3.254, будет закрыт, если Ri = 2 Ом,
R2 = 1 Ом, R3 — 4 Ом? Чему будет равен ток через диод при R4 = 5 Ом,
если ЭДС батареи £ — 26 В, а ее внутренним со-
■ - — ■ противлением МОЖНО Пренебречь? (Билет 16, 2006)
jg	I	3.268. Плоский воздушный незаряженный
d	конденсатор с расстоянием	между неподвижны-
~	$а\	ми обкладками d подключен к батарее с ЭДС £
i	(рис. 3.255). На нижней	обкладке удержива-
Рис. 3.255	ют проводящую пластину	толщиной а, имею¬
щую хороший электрический контакт с обклад¬
кой конденсатора, при этом минимальная сила, которой еще можно удер¬
жать пластину на месте, равна F. Горизонтальные размеры пластины
равны аналогичным размерам обкладок. Пластину отпускают, она дви¬
жется вверх, оставаясь все время горизонтальной, и через некоторое
£

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
191
время оказывается на высоте h от нижней обкладки конденсатора. Че¬
му равен заряд на верхней обкладке в этот момент времени? Омическое
сопротивление цепи настолько мало, что в любой момент времени напря¬
жение на конденсаторе равно ЭДС батареи. Силу тяжести не учитывать.
До контакта с обкладкой пластина была незаряжена. (Билет 16, 2006)
3.269. В схеме, изображенной на рис. 3.256, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т и
размыкают на время 2т, причем время т достаточно мало и напряжение
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в резисторе
2R в установившемся режиме. Все элементы можно считать идеальны¬
ми, их параметры указаны на рисунке. (Билет 1, 2007)
3.270. В схеме, изображенной на рис. 3.257, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т и
размыкают на время 2т, причем время т достаточно мало и напряжение
к
R
2 R
ё
2 R
R
2 R
ё
R
с
Рис. 3.256
Рис. 3.257
Рис. 3.258
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в резисторе
2R в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры указаны на
рисунке. (Билет 2, 2007)
3.271.	В схеме, изображенной на рис. 3.258, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время 2т и
размыкают на время т, причем время т достаточно мало и напряжение
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1)	Найдите это среднее значение.

192
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
2)	Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в резисто¬
ре R в установившемся режиме. Все элементы можно считать идеаль¬
ными, их параметры указаны на рисунке. (Билет 3. 2007)
3.272. В схеме, изображенной на рис. 3.259, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время 2т и
размыкают на время т, причем время т достаточно мало и напряжение
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в резисторе
R в установившемся режиме. Все элементы можно считать идеальными,
их параметры указаны на рисунке. (Билет 4, 2007)
3.273. В схеме, изображенной на рис. 3.260, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т и
размыкают на время 2т, причем время т достаточно мало и напряжение
к
£
R
2 R
R
ё
2 R
С
R
ё
К
2 R
С
Рис. 3.259
Рис. 3.260
Рис. 3.261
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в цепи в
установившемся режиме. Все элементы можно считать идеальными, их
параметры указаны на рисунке. (Билет 5, 2007)
3.274.	В схеме, изображенной на рис. 3.261, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т и
размыкают на время 2т, причем время т достаточно мало и напряжение
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в цепи в
установившемся режиме. Все элементы можно считать идеальными, их
параметры указаны на рисунке. (Билет 6. 2007)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
193
3.275. В схеме» изображенной на рис. 3.262, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время 2т и
размыкают на время т, причем время т достаточно мало и напряжение
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1)Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в цепи в
установившемся режиме. Все элементы можно считать идеальными, их
параметры указаны на рисунке. (Билет 7, 2007)
3.276. В схеме, изображенной на рис. 3.263, периодически (с пери¬
одом Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время 2т и
размыкают на время т, причем время т достаточно мало и напряжение
к
2 R
£
R
С
£
2 R
К
R
£
R
Рис. 3.262
Рис. 3.263
Рис. 3.264
на конденсаторе за это время изменяется незначительно. Через доста¬
точно большое число повторений напряжение на конденсаторе становит¬
ся практически постоянным, совершая лишь незначительные колебания
около своего среднего значения.
1)Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в цепи в
установившемся режиме. Все элементы можно считать идеальными, их
параметры указаны на рисунке. (Билет 8, 2007)
3.277. В центре закрепленного кольца радиусом Я с равномерно рас¬
пределенным по кольцу положительным зарядом Q удерживают неболь¬
шой по размерам шарик массой т с зарядом 2Q. Шарик отпускают, и
он движется вдоль оси кольца. Найдите скорость шарика на расстоянии
4Д/3 от центра кольца. (Билет 9, 2007)
3.278. В схеме, показанной на рис. 3.264, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на некоторое
время т, а затем размыкают. Оказалось, что за все время опыта (т. е.
за время, пока ключ был замкнут, и за время, пока ключ был разо¬
мкнут) в схеме выделилось количество теплоты Q. Найдите время т.
(Билет 9, 2007)
3.279. Кольцо радиусом R с равномерно распределенным по нему
зарядом закреплено. На оси кольца на расстоянии 3R/4 от его центра

194
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
удерживают небольшой по размерам шарик массой т с отрицательным
зарядом q. Заряд кольца равен 3q. Шарик отпускают, и он движется
вдоль оси кольца. Найдите скорость шарика на расстоянии 4Я/3 от
центра кольца. (Билет 10. 2007)
3.280. В схеме, показанной на рис. 3.265, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что за время, пока ключ был за¬
мкнут, и за время, пока ключ был разомкнут, в схеме выделились равные
количества теплоты. Какой заряд протек через источник за время, пока
КЛЮЧ был замкнут? (Билет 10, 2007)
3.281. Бусинка массой т с положительным зарядом q может дви¬
гаться без трения вдоль натянутой диэлектрической нити, совпадающей
с осью кольца радиусом R. Кольцо с равномерно распределенным по
нему зарядом — 6q закреплено. Вначале бусинку удерживали на расстоя¬
нии ЗЯ/4 от центра кольца, затем отпустили. Найдите скорость бусинки
при прохождении центра кольца. (Билет II, 2007)
3.282. В схеме, показанной на рис. 3.266, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на некоторое
к

&
R
L —
s Г
к
—
R
Рис. 3.265	Рис. 3.266
время т, а затем размыкают. Оказалось, что за время, пока ключ был
замкнут, через источник протек заряд q. Найдите время т. (Билет 11, 2007)
3.283. Бусинка массой т может двигаться без трения вдоль на¬
тянутой диэлектрической нити, совпадающей с осью кольца радиусом
R. Кольцо с равномерно распределенным по нему положительным заря¬
дом Q закреплено. Бусинка имеет заряд противоположного знака —Q/4
и удерживается на расстоянии 4Д./3 от центра кольца. Бусинку отпус¬
кают. Найдите скорость бусинки на расстоянии ЗД/4 от центра кольца.
(Билет 12. 2007)
3.284. В схеме, показанной на рис. 3.266, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что за время, пока ключ был за¬
мкнут, и за время, пока ключ был разомкнут, в схеме выделились равные
количества теплоты. Какое количество теплоты выделилось в схеме за
все время опыта? (Билет 12. 2007)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
195
3.285. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и
первоначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после со¬
единения процессы перезарядки закончились. Все элементы можно счи¬
тать идеальными, их параметры указаны на рис. 3.267.
1) Найдите разность потенциалов ср^ — срв в установившемся режиме
при разомкнутом ключе К.
2) Найдите (с указанием направления) ток через резистор с сопро¬
тивлением R сразу после замыкания ключа К. (Билет 13. 2007)
3.286. По длинным вертикальным проводящим штангам, находящим¬
ся на расстоянии / друг от друга, может без трения скользить, не теряя
R
Ъё
I-
5 С В ,
\*
С
1
3 С
К
► А
~4ё
Рис. 3.267
К
2 С
2ё
2 R
4ё
С
А
4 С
R
В
ё
Рис. 3.269
электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, прово¬
дящая перемычка массой т. Штанги соединены через резистор с сопро¬
тивлением г и идеальную батарею с ЭДС S’ (см. рис. 3.268). Сопротивле¬
нием остальных участков цепи можно пренебречь. Система находится в
горизонтальном постоянном однородном магнитном поле с индукцией В,
перпендикулярном плоскости рисунка.
1) Найдите массу перемычки т, если после подвешивания к ней на
нити груза такой же массы т перемычка оказалась неподвижной.
2) После обрыва нити через некоторое время устанавливается равно¬
мерное движение перемычки. Найдите величину и направление скорости
v этого движения.
Считайте заданными ёу Г, Ву I, g. (Билет 13, 2007)
3.287. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и
первоначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после со¬
единения процессы перезарядки закончились. Все элементы можно счи¬
тать идеальными, их параметры указаны на рис. 3.269.
1) Найдите разность потенциалов фл — <рв в установившемся режиме
при разомкнутом ключе К.
2) Найдите (с указанием направления) ток через резистор с сопро¬
тивлением 2R сразу после замыкания ключа К. (Билет 14, 2007)
3.288. По длинным параллельным горизонтальным проводящим
рельсам, находящимся на расстоянии I друг от друга, может без трения
скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь перпендику¬

196
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
лярной рельсам, проводящая перемычка (на рис. 3.270 изображен вид
сверху). Рельсы соединены через резистор с сопротивлением г и идеаль¬
ную батарею с ЭДС £. Сопротивлением остальных участков цепи можно
пренебречь. Система находится в вертикальном постоянном однородном
магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости рисунка.
Если к перемычке приложить параллельно рельсам силу F, то пере¬
мычка будет оставаться неподвижной, а при вдвое большей силе (в том
же направлении) через некоторое время устанавливается равномерное
движение перемычки со скоростью v.
1) Найдите величину силы F.
2) Найдите величину и направление скорости v.
Считайте заданными £, г, В, L (Билет 14, 2007)
3.289. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и
первоначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после со¬
единения процессы перезарядки закончились. Все элементы можно счи¬
тать идеальными, их параметры указаны на рис. 3.271.
1) Найдите разность потенциалов фд — фв в установившемся режиме
при разомкнутом ключе К.
2) Найдите ток (с указанием направления) через резистор с сопро¬
тивлением 3R сразу после замыкания ключа К. (Билет 15, 2007)
3.290. По длинным вертикальным проводящим штангам, находящим¬
ся на расстоянии I друг от друга, может без трения скользить, не теряя
электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам, про¬
водящая перемычка массой га. Штанги соединены через два резистора
с сопротивлением г и идеальную батарею с ЭДС £ (см. рис. 3.272).
Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь. Система
находится в горизонтальном постоянном однородном магнитном поле с
индукцией В, перпендикулярном плоскости рисунка.
1) Найдите массу перемычки га, если при разомкнутом ключе она
оказывается неподвижной.
2) После замыкания ключа через некоторое время устанавливается
равномерное движение перемычки. Найдите величину и направление
скорости v этого движения.
Считайте заданными S, 7\ В, I, g. (Билет 15, 2007)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
197
К
2ё
X
R
2 С
ё
3 С
В*
5ё
4 R
Рис. 3.273
3.291. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и
первоначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после со¬
единения процессы перезарядки закончились.
Все элементы можно считать идеальными, их па¬
раметры указаны на рис. 3.273.
1) Найдите разность потенциалов срл — фв в
установившемся режиме при разомкнутом клю¬
че К.
2) Найдите ток (с указанием направления)
через резистор с сопротивлением 4Я сразу по¬
сле замыкания ключа К. (Билет 16, 2007)
3.292. По длинным вертикальным проводя¬
щим штангам, находящимся на расстоянии I
друг от друга, может без трения скользить, не
теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной рельсам,
проводящая перемычка (на рис. 3.274 изображен вид сверху). Рельсы со¬
единены через два резистора с сопротивлением г и идеальную батарею
с ЭДС <§. Сопротивлением остальных участков цепи можно пренебречь.
Система находится в вертикальном постоянном однородном магнитном
поле с индукцией J5, перпендикулярном плоскости рисунка. Если к пе¬
ремычке приложить параллельно рельсам силу F, то при разомкнутом
ключе перемычка будет оставаться неподвижной, а при замкнутом через
некоторое время устанавливается равномерное движение перемычки со
скоростью V.
1) Найдите величину силы F.
2) Найдите величину и направление скорости v.
Считайте Заданными £, Г, В, I. (Билет 16, 2007)
3.293. В цепи, показанной на рис. 3.275, емкость каждого конденса¬
тора равна С. Левый конденсатор заряжен до напряжения C/q, правый —
к
R
ё
R
Рис. 3.275
Рис. 3.276
до напряжения 2С/(>. У обоих конденсаторов положительный заряд на¬
ходится на верхней обкладке. Какое количество теплоты выделится в
резисторе после замыкания ключа? (Билет 1, 2008)
3.294.	В схеме, показанной на рис. 3.276, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы-

198
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
кании ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что после размыкания ключа че¬
рез катушку протек заряд дп.
1) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.
2) Какой заряд протек через источник за время, пока ключ был за¬
мкнут? (Билет 1. 2008)
3.295. В цепи, показанной на рис. 3.277, емкости конденсаторов рав¬
ны С и 2С. Конденсатор емкостью С заряжен до напряжения Н0, кон¬
денсатор емкостью 2С не заряжен. Какое количество теплоты выделится
в резисторе после замыкания ключа? (Билет 2, 2008)
3.296. В схеме, показанной на рис. 3.276, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что после размыкания ключа че¬
рез резистор протек заряд q().
1) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.
2) Какой заряд протек через катушку за время, пока ключ был за¬
мкнут? (Билет 2, 2008)
3.297. В цепи, показанной на рис. 3.278, емкость каждого конденса¬
тора равна С. Левый конденсатор заряжен до напряжения Uо, правый —
с
2 С
С
С
С
зс
R
R
R
	г [
	f 1
	1 J
Рис. 3.277	Рис.	3.278	Рис.	3.279
до напряжения 3£/о- У обоих конденсаторов положительный заряд нахо¬
дится на верхней обкладке. Найдите С/и, если известно, что в резисторе
после замыкания ключа выделилось количество теплоты Q. (Билет 3, 2008)
3.298. В схеме, показанной на рис. 3.276, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что пока ключ был замкнут, через
резистор протек заряд q0.
1)На какое время замкнули ключ?
2) Какой заряд протек через резистор после размыкания ключа? (Би¬
лет 3, 2008)
3.299. В цепи, показанной на рис. 3.279, емкости конденсаторов рав¬
ны С и 3С. Конденсатор емкости 3С не заряжен. До какого напряжения
был заряжен конденсатор емкостью С, если в резисторе после замыка¬
ния ключа выделилось количество теплоты Q? (Билет 4. 2008)
3.300. В схеме, показанной на рис. 3.280, все элементы можно счи¬
тать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
199
к
S
R
Рис, 3.280
кания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что за время, пока ключ был
замкнут, через катушку протек заряд с/().
1) Найдите ток в катушке непосредственно перед размыканием
ключа.
2) Какой заряд протек через резистор после размыкания ключа? (Би¬
лет 4, 2008)
3.301. Четыре одинаковых маленьких шарика с массой т и зарядом г/
каждый удерживают в вершинах правильного тетраэдра с ребром а.
Один шарик отпускают, продолжая удержи¬
вать остальные неподвижно. Какую скорость
наберет освобожденный шарик, удалившись на
большое расстояние? (Билет 5, 2008)
3.302. Электрическая цепь состоит из ка¬
тушки индуктивностью L, резистора сопротив¬
лением Я, батарейки с ЭДС S и неизвест¬
ным внутренним сопротивлением (рис. 3.281).
Ключ К на некоторое время замыкают, а за¬
тем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, в цепи выделилось
количество теплоты Qь а после размыкания ключа в цепи выделилось
количество теплоты <32-
Г) Найдите ток через катушку в момент размыкания	ключа.
2)	Найдите заряд, протекший через катушку	за	время,	пока ключ
был замкнут. (Билет 5, 2008)
3.303. Четыре одинаковых маленьких шарика с массой т и зарядом q
каждый удерживают в вершинах квадрата со стороной а. Один шарик
отпускают, продолжая удерживать остальные
неподвижно. Какую скорость наберет освобож¬
денный шарик, удалившись на большое рассто¬
яние? (Билет 6, 2008)
3.304. Электрическая цепь состоит из катуш¬
ки индуктивностью Я, резистора сопротивлени¬
ем Я, батарейки с ЭДС S и неизвестным внут¬
ренним сопротивлением (рис. 3.281). Ключ К на
некоторое время замыкают, а затем размыкают.
За время, пока ключ был замкнут, через источник протек заряд г/,
катушке запаслась энергия W.
1) Найдите количество теплоты, выделившейся в цепи, пока ключ
был замкнут.
2) Какой заряд протек через катушку при замкнутом ключе? (Би¬
лет 6, 2008)
3.305. Четыре одинаковых маленьких шарика с массой т и заря¬
дом q каждый удерживают в вершинах правильного тетраэдра с реб¬
ром а. Один шарик отпускают, продолжая удерживать остальные непо¬
к
R
£
Рис. 3.281
а в

200
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
К
R
движно. При каком а шарик наберет на большом расстоянии скорость v?
(Билет 7, 2008)
3.306.	Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L,
резистора сопротивлением R, батарейки с ЭДС & и неизвестным внут¬
ренним сопротивлением (рис. 3.282). Ключ К на некоторое время за¬
мыкают, а затем размыкают. За время, пока ключ
был замкнут, через катушку протек заряд q ив
ней запаслась энергия W.
&	1) Найдите количество теплоты, выделившей¬
ся в цепи после размыкания ключа.
2)	Найдите количество теплоты, выделившей¬
ся	В цепи, пока КЛЮЧ был замкнут. (Билет 7, 2008)
рнс 3	2g2	3.307. Четыре одинаковых маленьких шари¬
ка	с массой т и зарядом q каждый удерживают
в вершинах	квадрата со	стороной а. Один шарик отпускают, продол¬
жая удерживать остальные неподвижно. При каком а шарик наберет на
большом расстоянии скорость V? (Билет 8. 2008)
3.308. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L,
резистора сопротивлением R, батарейки с ЭДС £ и неизвестным внут¬
ренним сопротивлением (рис. 3.282). Ключ К на некоторое время за¬
мыкают, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, через
катушку протек заряд q, а в цепи выделилось
количество теплоты Q\.
1) Найдите количество теплоты, выделив¬
шейся в цепи после размыкания ключа.
2) Какой заряд протек через катушку за
время, пока КЛЮЧ был замкнут? (Билет 8, 2008)
3.309. Шарик массой т с зарядом q нахо-
Рис 3 283	дится на расстоянии R от второго одноименно
заряженного шарика массой 3т. Неподвижные
вначале шарики одновременно отпускают, и они разлетаются. В момент,
когда расстояние между шариками стало 4R, скорость шарика массой т
достигла v.
1) Найдите скорость второго шарика в этот момент.
2) Найдите заряд второго шарика.
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации не учи¬
тывать. (Билет 9, 2008)
3.310.	Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС £ и внут¬
ренним сопротивлением г, конденсатора емкостью С и резистора сопро¬
тивлением R: = 2г (рис. 3.283). Ключ К замыкают, а затем размыкают в
момент, когда источник развивает мгновенную мощность Р.
1)	Найдите ток, текущий через конденсатор непосредственно перед
размыканием ключа.
£ г

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
201
2)	Какое количество теплоты выделится в схеме после размыкания
ключа? (Билет 9, 2008)
3.311. Шарик массой т с положительным зарядом q находится на
расстоянии R от шарика массой 7т с отрицательным зарядом —8q. Непо¬
движные вначале шарики одновременно отпускают, и они сближаются.
В некоторый момент расстояние между шариками стало равным R/S.
Найдите в этот момент:
1) отношение скоростей шариков массами т и 7т;
2)скорость шарика массой т.
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации не учи¬
тывать. (Билет 10, 2008)
3.312. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС <§ и внут¬
ренним сопротивлением г, конденсатора емкостью С и резистора сопро¬
тивлением R — 3г (рис. 3.283). Ключ К замыкают, а затем размыкают в
момент, когда ток через конденсатор достигнет величины /().
1) Какой ток течет через источник непосредственно перед размыка¬
нием ключа?
2) Какое количество теплоты выделится в схеме после размыкания
ключа? (Билет 10, 2008)
3.313. Шарик массой т с зарядом q находится на расстоянии R от
второго одноименно заряженного шарика. Неподвижные вначале шарики
одновременно отпускают, и они разлетаются. В момент, когда расстояние
между шариками стало 3R, скорость шарика массой т достигла г\ а
скорость второго шарика достигла 5ш
1) Найдите массу второго шарика.
2) Найдите заряд второго шарика.
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации не учи¬
тывать. (Билет 11, 2008)
3.314. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС $ и внут¬
ренним сопротивлением г, конденсатора емкостью С и резистора со¬
противлением R — 4г. Ключ К на некоторое время замыкают, а затем
размыкают (рис. 3.283). После размыкания ключа в схеме выделилось
количество теплоты Q.
1) Найдите ток, текущий через источник непосредственно перед раз¬
мыканием ключа.
2) Найдите ток, текущий через конденсатор в этот же момент. (Би¬
лет 11, 2008)
3.315. Шарик массой т с положительным зарядом q находится на
расстоянии R от шарика массой 2т с отрицательным зарядом —3q. Непо¬
движные вначале шарики одновременно отпускают, и они сближаются.
В некоторый момент скорость шарика массой т. достигла и. Найдите в
этот момент:
1) скорость шарика массой 2т;
2) расстояние между шариками.

202
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации не учи¬
тывать. (Билет 12, 2008)
3.316. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС £ и внут¬
ренним сопротивлением г, конденсатора емкостью С и резистора сопро¬
тивлением R = 5г (рис. 3.284). Ключ К замыкают, а затем размыкают
в момент, когда токи через конденсатор и резистор сравниваются по
величине.
1) Какую мгновенную мощность развивает источник непосредственно
перед размыканием ключа?
2) Какое количество теплоты выделится в схеме после размыкания
ключа? (Билет 12, 2008)
3.317. Параллельно соединенные резисторы с сопротивлениями R =
= 25 Ом и 2R соединены последовательно с другими параллельно со¬
единенными резисторами с сопротивлениями 3R и 47? (рис. 3.285). Цепь
подключена к сети с постоянным напряжением. На резисторе с сопро¬
тивлением R выделяется мощность Р — 49 Вт.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением 2R.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением 47??
(Билет 13, 2008)
3.318. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС £,
катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора
к	к
R
3 R
Г4
г
I
О 4
►	<
> 4
2 R
4 R
—1 1—
Ч.. . м
С
£
Рис. 3.284	Рис.	3.285	Рис.	3.286
с неизвестным сопротивлением (рис. 3.286). Ключ К замыкают на вре¬
мя т, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, через ис¬
точник протек заряд q.
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока ключ
был замкнут?
2) Какое количество теплоты выделилось в цепи после размыкания
ключа? (Билет 13, 2008)
3.319.	Параллельно соединенные резистор с сопротивлением R =
— 50 Ом и конденсатор емкостью С — 15 мкФ соединены последователь¬
но с параллельно соединенными резисторами с сопротивлениями 2R и
3R (рис. 3.287). Цепь подключена к сети с постоянным напряжением. В
установившемся режиме заряд конденсатора q — 0,75 мКл.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением R.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением 27??
(Билет 14. 2008)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
203
3.320. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС
катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора с
неизвестным сопротивлением (рис. 3.286). Ключ К на некоторое время
замыкают, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, че¬
рез резистор протек заряд q — CS/3. После размыкания ключа в цепи
выделилось количество теплоты Q.
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока ключ
был замкнут?
2) Сколько времени был замкнут КЛЮЧ? (Билет 14, 2008)
3.321. Параллельно соединенные резисторы с сопротивлениями R —
= 36 Ом и 3R соединены последовательно с другими параллельно соеди¬
ненными резисторами с сопротивлениями 2R и 4R. Цепь подключена к
сети с постоянным напряжением (рис. 3.288). На резисторе с сопротив¬
лением R выделяется мощность Р — 81 Вт.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением 3R.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением 47??
(Билет 15. 2008)
3.322. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС <£\
катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора
с
3 R
R
2 R
с
3 R
1
т
1
т
—^ ^—
1
т
<
—
> <
1— —(
> 4
»	4
> 4
\	 	4
4
	5
* (
R
2 R
3 R
4 R
R
5 R
ч
—
I
т
г
т
1
т
ч
н
Ч I-1
Рис. 3.287	Рис.	3.288	Рис.	3.289
с неизвестным сопротивлением (рис. 3.286). Ключ К замыкают на вре¬
мя т, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, через рези¬
стор протек заряд q.
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока ключ
был замкнут?
2) Какое количество теплоты выделилось в цепи после размыкания
ключа? (Билет 15, 2008)
3.323. Параллельно соединенные резистор с сопротивлением R =
= 32 Ом и конденсатор емкостью С = 25 мкФ соединены последователь¬
но с параллельно соединенными резисторами с сопротивлениями 3R
и 5R. Цепь подключена к сети с постоянным напряжением (рис. 3.289).
В установившемся режиме заряд конденсатора q = 0,32 мКл.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением R.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением 37??
(Билет 16, 2008)
3.324. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС
катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора с
неизвестным сопротивлением (рис. 3.290). Ключ К на некоторое вре¬

204
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
мя замыкают, а затем размыкают. Непосредственно перед размыканием
ключа напряжение на резисторе равнялось £/2. Суммарное количество
теплоты, выделившейся в цепи при замкнутом ключе и после размыка¬
ния ключа, равно Q.
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока ключ
был замкнут?
2) Сколько времени был замкнут КЛЮЧ? (Билет 16. 2008)
3.325. Электрическая цепь состоит из параллельно соединенных ре¬
зисторов с сопротивлениями R\ = 80 Ом, R<2 = 40 Ом и подключенного
к ним последовательно резистора с сопротивлением R% = 20 Ом. К це¬
пи подведено напряжение. На резисторе R\ выделяется мощность Р1 —
= 20 Вт. Найти мощности, выделяющиеся на резисторах R% и R^. (Би-
лет А, 2009)
3.326. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС £ и внутрен¬
ним сопротивлением г, катушки индуктивностью L и резистора сопро¬
тивлением R = Зг (рис. 3.291). Ключ К замыкают, а затем размыкают в
момент, когда напряжение на катушке достигает величины 2£/3.
1) Найдите напряжение на катушке сразу после замыкания ключа.
2) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания
ключа? (Билет А, 2009)
3.327. В цепи, показанной на рис. 3.292, конденсатор емкостью Г'
заряжен до напряжения С/0, а конденсатор емкостью 2С — до напряже¬
те
к
с
£
£
К
т
R
С
2 С
R
Рис. 3.290
Рис. 3.291
Рис. 3.292
ния ЗС/о. Одноименно заряженные обкладки соединены резистором с
сопротивлением R. Ключ замыкают на некоторое время, а затем размы¬
кают.
1) Найдите ток в цепи сразу после замыкания ключа.
2) Какое количество теплоты выделилось в цепи, если в момент
размыкания ключа ток в цепи был в 2 раза меньше начального? (Би¬
лет А, 2009)
3.328.	В схеме, изображенной на рис. 3.293, все элементы можно
считать идеальными, до замыкания ключа ток в цепи отсутствовал, па¬
раметры элементов указаны на рисунке. Ключ К замыкают, а затем
размыкают в момент, когда тепловая мощность на резисторе с сопро¬
тивлением R становится в 2 раза больше скорости изменения энергии
катушки.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
205
1) Найдите мощность, выделяющуюся на резисторе с сопротивлени¬
ем R сразу после замыкания ключа.
2) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания
ключа? (Билет Б, 2009)
3.329.	В схеме, изображенной на рис. 3.294, в начальный момент
конденсаторы не заряжены. Параметры элементов указаны на рисунке.
к
к
£
R
2 R
R
±Г 2 С
К-
R
Рис. 3.293
Рис. 3.294
Рис. 3.295
Сначала замыкают ключ К\ и дожидаются установившегося режима.
Затем замыкают ключ К2, причем ток через него сразу после этого
оказался равным &/R и направленным слева направо.
1) Найдите ЭДС левой батареи.
2) Найдите величину заряда, протекшего через ключ К2 после его за¬
мыкания, И укажите направление, В КОТОРОМ протек ЗарЯД. (Билет Б. 2009)
3.330. В цепи, показанной на рис. 3.295, все элементы можно считать
идеальными. В начальный момент ключ разомкнут, ток в цепи отсут¬
ствует. Ключ на некоторое время замыкают, а по¬
том размыкают. Оказалось, что после размыкания
ключа в цепи выделилось в два раза больше тепло¬
ты, чем при замкнутом ключе. Найдите отношение
заряда, протекшего через источник при замкнутом
ключе, к заряду, протекшему через резистор после
размыкания ключа. (Билет 1. 2010)
3.331. В цепи, показанной на рис. 3.295, все эле¬
менты можно считать идеальными. В начальный мо-	Рис.	3.296
мент ключ разомкнут, ток в цепи отсутствует. Ключ
на некоторое время замыкают, а потом размыкают. Оказалось, что за¬
ряд, протекший через катушку при замкнутом ключе, в 4 раза больше
заряда, протекшего через катушку после размыкания ключа. Найдите
отношение теплоты, выделившейся в цепи после размыкания ключа, к
теплоте, выделившейся в цепи при замкнутом ключе. (Билет 2, 2010)
3.332. В цепи, показанной на рис. 3.296, все элементы можно считать
идеальными. В начальный момент ключ разомкнут, ток в цепи отсут¬
ствует. Ключ на некоторое время замыкают, а потом размыкают. Оказа¬
лось, что после размыкания ключа в цепи выделилось в три раза меньше

206
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
теплоты, чем при замкнутом ключе. Найдите отношение заряда, протек¬
шего через катушку при замкнутом ключе, к заряду, протекшему через
катушку после размыкания ключа. (Билет 3, 2010)
3.333. В цепи, показанной на рис. 3.296, все элементы можно счи¬
тать идеальными. В начальный момент ключ разомкнут, ток в цепи
отсутствует. Ключ на некоторое время замыкают, а потом размыкают.
Оказалось, что заряд, протекший через источник при замкнутом ключе,
в 4 раза больше заряда, протекшего через катушку после размыкания
ключа. Найдите отношение теплоты, выделившейся в цепи после раз¬
мыкания ключа, к теплоте, выделившейся в цепи при замкнутом ключе.
(Билет 4, 2010)
3.334. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС £ и внутрен¬
ним сопротивлением г, катушки индуктивностью L и резистора сопро¬
тивлением R = 2г (рис. 3.297).	Ключ К замыкают,
а затем размыкают в момент,	когда ток через ис¬
точник равен £/{2г). Какой заряд протечет через
резистор после размыкания ключа? До замыкания
I ключа ток в цепи отсутствовал. (Билет 5, 2010)
3.335. Электрическая цепь состоит из батарей¬
ки с ЭДС £ и внутренним сопротивлением г, ка¬
тушки индуктивностью L и резистора сопротивле¬
нием R = 4?’ (рис. 3.297). Ключ К замыкают, а за¬
тем размыкают в момент, когда ток через резистор
равен £/(6г). Какой заряд протечет через катушку после размыкания
ключа? До замыкания ключа ток в цепи отсутствовал. (Билет 6, 2010)
3.336. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС £ и внутрен¬
ним сопротивлением	г, катушки индуктивностью L	и резистора сопро¬
тивлением	R = 3г	(рис. 3.297). Ключ К замыкают,	а затем размыкают
в момент, когда ток через источник равен £/(2г). Какой заряд протек
через резистор при замкнутом ключе? До замыкания ключа ток в цепи
отсутствовал. (Билет 7, 2010)
3.337. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС £ и внут¬
ренним сопротивлением г, катушки индуктивностью L и резистора со¬
противлением R — 6г (рис. 3.297). Ключ К замыкают, а затем размыка¬
ют в момент, когда ток через резистор равен £/(9г). Какой заряд протек
через резистор при замкнутом ключе? До замыкания ключа ток в цепи
отсутствовал. (Билет 8, 2010)
3.338. Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника посто¬
янного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика
(рис. 3.298) так, что диэлектрик заполняет половину объема конденса¬
тора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается
в два раза.
1)	Во сколько раз и как изменилась напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
Рис. 3.297

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
207
2)	Найдите диэлектрическую проницаемость е материала пластины.
(Билет 1, 2011)
3.339. Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника посто¬
янного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика
(рис. 3.298) так, что диэлектрик заполняет половину объема конденса¬
тора, из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается
в три раза.
1) Во сколько раз и как изменилась напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость е материала пластины
(Билет 2, 2011)
3.340. Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника посто¬
янного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика
(рис. 3.299) так, что диэлектрик заполняет треть объема конденсатора,
из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в два
раза.
1) Во сколько раз и как изменится напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость е материала пластины.
(Билет 3, 2011)
3.341. Плоский конденсатор заряжен и отключён от источника посто¬
янного напряжения. В конденсатор вставляют пластину из диэлектрика
Рис. 3.298	Рис. 3.299	Рис.	3.300
(рис. 3.298) так, что диэлектрик заполняет треть объема конденсатора,
из-за чего разность потенциалов между пластинами уменьшается в три
раза.
1) Во сколько раз и как изменилась напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость е материала пластины.
(Билет 4, 2011)
3.342.	Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного на¬
пряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину
из диэлектрика (рис. 3.300), толщина которой равна 2/3 от расстояния
между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 2/3 объема кон¬
денсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается
в два раза.
1) Во сколько раз и как изменилась напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость г материала пластины.
(Билет 5, 2011)

208
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.343. Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного на¬
пряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину
из диэлектрика (рис. 3.301), толщина которой равна 5/6 от расстояния
между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 5/6 объема кон¬
денсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается
в три раза.
1) Во сколько раз и как изменилась напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость в материала пластины.
(Билет 6, 2011)
3.344. Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного на¬
пряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину
из диэлектрика (рис. 3.302), толщина которой равна 3/4 от расстояния
Рис. 3.301	Рис.	3.302	Рис.	3.303
между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 3/4 объема кон¬
денсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается
в два раза.
1) Во сколько раз и как изменилась напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость в материала пластины.
(Билет 7, 2011)
3.345. Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного на¬
пряжения. Не отключая источника, в конденсатор вставляют пластину
из диэлектрика (рис. 3.303), толщина которой равна 4/5 от расстояния
между пластинами конденсатора (диэлектрик заполняет 4/5 объема кон¬
денсатора), из-за чего заряд на пластинах конденсатора увеличивается
в три раза.
1) Во сколько раз и как изменилась напряженность электрического
поля внутри конденсатора в области без диэлектрика?
2) Найдите диэлектрическую проницаемость в материала пластины.
(Билет 8, 2011)
3.346. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыка¬
ния ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое вре¬
мя, а затем размыкают. Оказалось, что величина тока через резистор R
непосредственно перед размыканием ключа и сразу после размыкания
ключа одинакова.
1) Найдите ток через резистор R сразу после замыкания ключа.
2) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО•ЗАДАЧИ
209
3)	Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания
КЛЮЧа? (Билет 1, 2011)
3.347. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов	указаны на	рисунке.	До	замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал.	Ключ замыкают на	некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что величина тока через рези¬
стор R непосредственно перед размыканием ключа в два раза больше,
чем сразу после размыкания.
1) Найдите ток через источник сразу после замыкания ключа.
2) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.
3) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания
Ключа? (Билет 2, 2011)
3.348. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов	указаны на	рисунке.	До	замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал.	Ключ за¬
мыкают на некоторое время, а затем размыкают.
Оказалось, что величина тока через резистор R
непосредственно перед размыканием ключа в три
раза меньше, чем сразу после размыкания.
1) Найдите ток через резистор R сразу после
замыкания ключа.
2) Найдите ток через катушку сразу после раз-	Рис.	3.304
мыкания ключа.
3) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания
ключа? (Билет 3, 2011)
3.349. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что величина тока через рези¬
стор R непосредственно перед размыканием ключа в два раза меньше,
чем сразу после размыкания.
1) Найдите ток через источник сразу после замыкания ключа.
2) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.
3) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания
ключа? (Билет 4, 2011)
3.350. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыка¬
ния ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое вре¬
мя, а затем размыкают. Оказалось, что величина тока через конденсатор
непосредственно перед размыканием ключа и сразу после размыкания
ключа одинакова.
1) Найдите ток через конденсатор сразу после замыкания ключа.
2) Найдите напряжение на конденсаторе сразу после размыкания
ключа.
к

210
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
К
\
С,
с
3) Какое количество теплоты выделилось в цепи после размыкания
ключа? (Билет 5, 2011)
3.351. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что величина тока через конден¬
сатор непосредственно перед размыканием ключа в
L, два раза больше, чем сразу после размыкания.
1) Найдите ток через источник сразу после замы¬
кания ключа.
2) Найдите напряжение на конденсаторе сразу по¬
сле размыкания ключа.
3) Какое количество теплоты выделилось в цепи
Рис. 3.305	после размыкания ключа? (Билет 6, 2011)
3.352. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что величина тока через конден¬
сатор непосредственно перед размыканием ключа в три раза больше,
чем сразу после размыкания.
1) Найдите ток через конденсатор сразу после замыкания ключа.
2) Найдите напряжение на конденсаторе сразу после размыкания
ключа.
3) Какое количество теплоты выделилось в цепи после размыкания
ключа? (Билет 7, 2011)
3.353. В схеме, показанной на рис. 3.304, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое
время, а затем размыкают. Оказалось, что величина тока через конден¬
сатор непосредственно перед размыканием ключа в два раза меньше,
чем сразу после размыкания.
1) Найдите ток через источник сразу после замыкания ключа.
2) Найдите напряжение на конденсаторе сразу после размыкания
ключа.
3) Какое количество теплоты выделилось в цепи после размыкания
КЛЮЧа? (Билет 8, 2011)
3.354. В схеме, показанной на рис. 3.305, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа конденсаторы были не заряжены. После замыкания ключа
максимальный ток в катушке равен /0.
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальное напряжение на конденсаторе С\. (Би¬
лет 1, 2012)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
211
3.355. В схеме, показанной на рис. 3.305, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа конденсаторы были не заряжены. После замыкания ключа
максимальное напряжение на конденсаторе С\ равно {70-
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальный ток после замыкания ключа. (Билет 2, 2012)
3.356. В схеме, показанной на рис. 3.305, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа конденсаторы были не заряжены. После замыкания ключа
максимальный ток в катушке равен /0.
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальное напряжение на конденсаторе С2> (Би¬
лет 3, 2012)
3.357. В схеме, показанной на рис. 3.305, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замы¬
кания ключа конденсаторы были не заряжены. По¬
сле замыкания ключа максимальное напряжение на
конденсаторе С2 равно Uq.
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальный ток после замыкания —
ключа. (Билет 4, 2012)
3.358. В схеме, показанной на рис. 3.306, все эле¬
менты можно считать идеальными, параметры эле-	30б
ментов указаны на рисунке. До замыкания ключа
ток в цепи отсутствовал, конденсатор был не заряжен. После замыкания
ключа максимальное напряжение на конденсаторе равно U{).
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальный ток в катушке L\. (Билет 5. 2012)
3.359. В схеме, показанной на рис. 3.306, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыка¬
ния ключа ток в цепи отсутствовал, конденсатор был не заряжен. После
замыкания ключа максимальный ток в катушке L\ равен /0.
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальное напряжение на конденсаторе. (Билет 6. 2012)
3.360. В схеме, показанной на рис. 3.306, все элементы можно счи¬
тать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыка¬
ния ключа ток в цепи отсутствовал, конденсатор был не заряжен. После
замыкания ключа максимальное напряжение на конденсаторе равно Uo.
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальный ток в катушке Ь2. (Билет 7. 2012)
3.361. В схеме, показанной на на рис. 3.306, все элементы можно
считать идеальными, параметры элементов указаны на рисунке. До за¬
мыкания ключа ток в цепи отсутствовал, конденсатор был не заряжен.
После замыкания ключа максимальный ток в катушке Ь2 равен /о.
Рис. 3.306

212
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
1) Найдите ЭДС источника.
2) Найдите максимальное напряжение на конденсаторе. (Билет 8, 2012)
3.362. Для подзарядки аккумулятора используется динамо-машина
(генератор) с сопротивлением обмотки ротора R — 1 Ом. Человек вра¬
щает ручку динамо-машины с частотой п = 1 об/с, прикладывая к ней
силу F — 20 Н на расстоянии р = 8 см от оси вращения вдоль направле¬
ния движения ручки. Через аккумулятор идет ток I — 1 А. Из-за трения
в механизмах динамо-машины теряется 20% затрачиваемой человеком
мощности. Считать, что ротор вращается между полюсами постоянного
магнита.
1) Какую мощность затрачивает человек?
2) Найти напряжение на зажимах динамо-машины. (Билет 1, 2013)
3.363. Ящик массой т = 50 кг передвигают с постоянной скоростью
v = ОД м/с вверх вдоль наклонной плоскости с углом наклона a (sincx =
= при помощи лебедки, приводимой в действие мотором постоян¬
ного тока. Сопротивление обмотки ротора мотора R = 2 Ом, ток через
нее I — 2,5 А. Из-за трения в оси мотора и передачах теряется 16% по¬
требляемой ротором мощности. Коэффициент трения скольжения меж¬
ду ящиком и наклонной плоскостью р = 0,2. Прикрепленный к ящику
легкий трос лебедки направлен вдоль наклонной плоскости. Принять
g = 10 м/с2.
1) Найти силу натяжения троса.
2) Найти напряжение, подводимое к ротору мотора. (Билет 2, 2013)
3.364. Трамвай массой т = 15500 кг движется со скоростью v —
— 36 км/ч в гору с небольшим уклоном = 0,01. Ротор двигателя трам¬
вая потребляет постоянный ток / = 80 А. Сопротивление обмоток рото¬
ра R = 1 Ом. Трение в оси двигателя и передачах приводит к потере
15% потребляемой ротором мощности. Сила сопротивления движению
трамвая составляет к = 0,01 от силы тяжести, действующей на трамвай.
Принять g = 10 м/с2.
1) Определить силу тяги, развиваемую двигателем трамвая.
2) Определить напряжение, подводимое к ротору двигателя. (Би¬
лет 3, 2013)
3.365. Груз массой т = 10 кг висит на легком тросе, намотанном на
вал. Вал через зубчатую передачу соединен с ротором генератора. Сопро¬
тивление обмоток ротора R = 1 Ом. К зажимам генератора подключён
электровентилятор. Груз под действием силы тяжести опускается с по¬
стоянной скоростью v = 1 см/с, и через вентилятор идет ток I = 0,3 А.
Потери на трение в подшипниках и передаче равны 20%) от энергии,
потребляемой вентилятором. Считать, что ротор вращается между по¬
люсами постоянного магнита. Принять g= 10 м/с2.
1) Найти мощность тепловых потерь в обмотке генератора.
2) Найти напряжение на зажимах генератора. (Билет 4. 2013)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
213
3.366. Проводящий шарик радиусом Я с зарядом Q имеет потенци¬
ал ф1 = 200 В. Каким станет потенциал ср2 шарика, если он окажется
внутри проводящего полого шара с радиусами сферических поверхно¬
стей 2Я и 3R и зарядом 2Q? Центры заряженного шарика и полого шара
совпадают. (Билет 5, 2013)
3.367. Потенциал электростатического поля в точке А на расстоя¬
нии Я от точечного заряда Q равен фх =300 В. Каким станет потенци¬
ал ф2 в точке А, если заряд Q окажется в центре полого проводящего
шара с радиусами сферических поверхностей 3Я и 4Я и зарядом 3Q?
(Билет 6, 2013)
3.368. Проводящий шарик радиусом R с зарядом Q имеет потенци¬
ал фх = 400 В. Каким станет потенциал ф2 шарика, если он окажется
внутри полого проводящего шара с радиусами сферических поверхно¬
стей 4R и 5R и зарядом 4Q? Центры заряженного шарика и полого шара
совпадают. (Билет 7, 2013)
3.369. Потенциал электростатического поля в точке А на расстоя¬
нии R от точечного заряда Q равен фх = 500 В. Каким станет потенци¬
ал ф2 в точке А, если заряд Q окажется в центре полого проводящего
шара с радиусами сферических поверхностей 5R и 7R и зарядом 6Q?
(Билет 8, 2013)
3.370. В схеме (см. рис. 3.307) все элементы можно считать иде¬
альными, Ri = 2Я, Д2 = 3Я, Я-з = Я, остальные известные параметры
элементов указаны на рисунке, неизвестная ЭДС меньше £. Ключ К
замыкают и дожидаются установления стацио¬
нарного режима. Затем ключ размыкают, после	—1|—	\\^—
чего в схеме выделяется количество теплоты,	с
равное jgCS’2.	Л	-г-	Л
1) Какое количество теплоты выделилось в N	И	3
резисторе ЗЯ после размыкания ключа?	N	2
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме 	J
в стационарном режиме. (Билет 1, 2013)	Рис	307
3.371. В схеме (см. рис. 3.307) все элементы
можно считать идеальными, R\ = R, R2 = 4Я, Яз = Я, емкость конден¬
сатора С, известная ЭДС £У неизвестная ЭДС больше £. Ключ К замы¬
кают и дожидаются установления стационарного режима. Затем ключ
размыкают, после чего в схеме выделяется количество теплоты, равное
1) Какое количество теплоты выделилось в резисторе 4Д. после раз¬
мыкания ключа?
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме в стационарном режиме.
(Билет 2, 2013)
3.372. В схеме (см. рис. 3.307) все элементы можно считать идеаль¬
ными, R\ = 2Я, R2 = ЗЯ, Д;х = Я, емкость конденсатора С, известная
ЭДС £, неизвестная ЭДС меньше £. Ключ К замыкают и дожидают-
к
с
1
т
I
R*
Рис. 3.307

214
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
с я установления стационарного режима. Затем ключ размыкают, после
чего в схеме выделяется количество теплоты, равное \С£2.
1) Какое количество теплоты выделилось в резисторе 2Я после раз¬
мыкания ключа?
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме в стационарном режиме.
(Билет 3, 2013)
3.373. В схеме (см. рис. 3.307) все элементы можно считать идеаль¬
ными, R\ — Я, R2 = 5Я, Яз = 2Я, емкость конденсатора С, известная
ЭДС £, неизвестная ЭДС больше £. Ключ К замыкают и дожидают¬
ся установления стационарного режима. Затем ключ размыкают, после
чего в схеме выделяется количество теплоты, равное ~^С£2.
1) Какое количество теплоты выделилось в резисторе 5Я после раз¬
мыкания ключа?
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме в стационарном режиме.
(Билет 4, 2013)
3.374. В схеме (см. рис. 3.308) все элементы можно считать идеаль¬
ными, Я.1 — Я, Я2 = 3Я, Я3 = 2Я, емкость конденсатора С, известная
ЭДС £, неизвестная ЭДС меньше £, Ключ замыкают и дожидаются
установления стационарного режима. Затем ключ размыкают, после че¬
го в схеме выделяется количество теплоты, равное \С£2.
1) Какое количество теплоты выделилось в резисторе 2Я после раз¬
мыкания ключа?
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме в стационарном режиме.
(Билет 5, 2013)
3.375. В схеме (см. рис. 3.308) все элементы можно считать идеаль¬
ными, R\ — Я, Я2 = 4Я, Яз = 2Я, емкость конденсатора С, известная
ЭДС £, неизвестная ЭДС больше £. Ключ замыкают и дожидаются
установления стационарного режима. Затем
ключ размыкают, после чего в схеме выделяется
количество теплоты, равное j^C£2.
1) Какое количество теплоты выделилось в
3 резисторе 4Я после размыкания ключа?
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме
в стационарном режиме. (Билет 6, 2013)
3.376.	В схеме (см. рис. 3.308) все элементы
можно считать идеальными, R\ — 2Я, Я2 = 3Я,
Яз = Я, емкость конденсатора С, известная ЭДС £, неизвестная ЭДС
меньше £. Ключ замыкают и дожидаются установления стационарного
режима. Затем ключ размыкают, после чего в схеме выделяется количе¬
ство теплоты, равное ^С£2.
1) Какое количество теплоты выделилось в резисторе 3Я. после раз¬
мыкания ключа?
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме в стационарном режиме.
(Билет 7, 2013)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
215
3.377. В схеме (см. рис. 3.308) все элементы можно считать иде¬
альными, R\ = 2R, /?2 =',R, Rs = R, емкость конденсатора С, известная
ЭДС <§, неизвестная ЭДС больше &, Ключ замыкают и дожидаются уста¬
новления стационарного режима. Затем ключ размыкают, после чего в
схеме выделяется количество теплоты, равное -~С(§2.
1) Какое количество теплоты выделилось в резисторе R после раз¬
мыкания ключа?
2) Найдите силу тока, протекавшего в схеме в стационарном режиме.
(Билет 8, 2013)
3.378. Плоский воздушный конденсатор емкостью Со и расстояни¬
ем между обкладками d заряжен до напряжения Со и отсоединен от
источника.
1) Найдите силу притяжения обкладок,
2) Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить
расстояние между обкладками на d/3? (Билет 1, 2014)
3.379. Плоский воздушный конденсатор емкостью Со и площадью
обкладок S заряжен до напряжения U{) и отсоединен от источника,
1) Найдите силу притяжения обкладок.
2) Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить
расстояние между обкладками в 3 раза? (Билет 2, 2014)
3.380. Плоский воздушный конденсатор, отсоединенный от источ¬
ника, имеет заряде Q заряжен до напряжения С{). Расстоянием между
обкладками равно d.
1) Найдите силу притяжения обкладок.
2) Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить
расстояние между обкладками в 1,5 раза? (Билет 3, 2014)
3.381. Плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и
расстоянием между обкладками d заряжен до напряжения Uo и отсоеди¬
нен от источника.
1) Найдите силу притяжения обкладок.
2) Какую минимальную работу надо совершить, чтобы увеличить
расстояние между обкладками в 4 раза? (Билет 4, 2014)
3.382. Плоский воздушный конденсатор емкостью Со заряжен до на¬
пряжения Uo и отсоединен от источника. Расстояние между обкладками
увеличили на 70%.
1) Каким стало напряжение на конденсаторе?
2) Какую минимальную работу пришлось совершить при этом? (Би¬
лет 5, 2014)
3.383. Плоский воздушный конденсатор емкостью Со заряжен и от¬
соединен от источника. После увеличения расстояния между обкладка¬
ми в 3 раза напряжение на конденсаторе стало U.
1) Каким было начальное напряжение на конденсаторе?
2) Какую минимальную работу пришлось совершить при этом? (Би¬
лет 6. 2014)

216
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
3.384. Плоский воздушный конденсатор емкостью Со заряжен до на¬
пряжения Uq и отсоединен от источника. Расстояние между обкладками
увеличили на 30%.
1) Каким стало напряжение на конденсаторе?
2) Какую МИНИМаЛЬНуЮ работу ПрИШЛОСЬ СОВерШИТЬ При ЭТОМ? (Би¬
лет 7, 2014)
3.385. Плоский воздушный конденсатор емкостью Со заряжен и от¬
соединен от источника. После увеличения расстояния между обкладка¬
ми в 4 раза напряжение на конденсаторе стало U.
1) Каким было начальное напряжение на конденсаторе?
2) Какую МИНИМаЛЬНуЮ работу ПрИШЛОСЬ СОВерШИТЬ При ЭТОМ? (Би¬
лет 8, 2014)
3.386. В схеме (см. рис. 3.309) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыкания ключа
конденсатор был заряжен до напряжения \<§. Ключ замыкают.
1) Найдите максимальный ток в цепи.
2) Найдите ток в момент, когда заряд на конденсаторе равен нулю.
(Билет 1. 2014)
Ч
К
+
С, 4(2
£
Н
К СЛ£
+
&
н
к
+
С, 3^
К С, Ъ£
Рис. 3.309
Рис. 3.310
Рис. 3.311
L
Рис. 3.312
3.387. В схеме (см. рис. 3.310) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыкания ключа
конденсатор был заряжен до напряжения 2£. Ключ замыкают.
1) Найдите максимальный ток в цепи.
2) Найдите ток в момент, когда заряд	на	конденсаторе	равен	нулю.
(Билет 2. 2014)
3.388. В схеме (см. рис. 3.311) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыкания ключа
конденсатор был заряжен до напряжения 3&. Ключ замыкают.
1) Найдите максимальный ток в цепи.
2) Найдите ток в момент, когда заряд	на	конденсаторе	равен	нулю.
(Билет 3, 2014)
3.389. В схеме (см. рис. 3.312) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. До замыкания ключа
конденсатор был заряжен до напряжения 3S. Ключ замыкают.
1) Найдите максимальный ток в цепи.
2) Найдите ток в момент, когда заряд	на	конденсаторе	равен	нулю.
(Билет 4, 2014)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ЗАДАЧИ
217
3.390.	В схеме (см. рис. 3.313) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. В некоторый момент
напряжение на конденсаторе было 3#, а в катушке шел ток I слева
направо.
1) Найдите максимальный ток в цепи.
2) Найдите ток в момент, когда заряд на конденсаторе равен нулю.
(Билет 5, 2014)
£
Ч
+
С, Ъ£
£
Ч
С,£
+
£
Ч
+
С, 4£
I
Рис. 3.313
/
Рис. 3.314
L
I
£
Чг
С, 2£
+
Рис. 3.315
1
Рис. 3.316
3.391. В схеме (см. рис. 3.314) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. В некоторый момент
напряжение на конденсаторе было £, а в катушке шел ток I слева на¬
право.
1) Найдите максимальный	ток в цепи.
2) Найдите ток в момент,	когда заряд	на	конденсаторе	равен	нулю.
(Билет 6, 2014)
3.392. В схеме (см. рис. 3.315) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. В некоторый момент
напряжение на конденсаторе было 4£ у а в катушке шел ток I справа
налево.
1) Найдите максимальный	ток в цепи.
2) Найдите ток в момент,	когда заряд	на	конденсаторе	равен	нулю.
(Билет 7, 2014)
3.393. В схеме (см. рис. 3.316) все элементы можно считать идеаль¬
ными, параметры элементов указаны на рисунке. В некоторый момент
напряжение на конденсаторе было 2£> а в катушке шел ток I справа
налево.
1) Найдите максимальный	ток в цепи.
2) Найдите ток в момент,	когда заряд	на	конденсаторе	равен	нулю.
(Билет 8, 2014)

4. ОПТИКА
4.1. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения пока¬
зателя преломления газов. Для этого на пути одного из интерферирую¬
щих лучей ставится кювета Г прямоугольной формы и длиной L — 10 см
с исследуемым газом, а на пути другого — стеклянный компенсатор К,
с помощью которого добиваются, чтобы в центральном максимуме раз¬
ность хода между интерферирующими лучами равнялась нулю (рис. 4.1).
Чему равен показатель преломления газообразного азота, если после за¬
мены в кювете воздуха на азот интерференционная картина в плоскости
наблюдения^ сместилась ровно на одну полосу в сторону, что соответ¬
ствовало увеличению показателя преломления? Показатель преломления
воздуха пв = 1,000292. Измерения проводились на длине волны света
\ = 500 нм. (Би.пет 1, 1991)
4.2. При нормальном падении света на бипризму Френеля (рис. 4.2)
пучки света, преломленные каждой из половинок бипризмы, интерфе-
г
р
Рис. 4.1	Рис.	4.2	Рис.	4.3
рируют между собой. На каком максимальном расстоянии от биприз¬
мы еще будет наблюдаться интерференционная картина? Расстояние
между вершинами бипризмы S = 4 см, показатель преломления мате¬
риала бипризмы п = 1,4; преломляющий угол а = 10~3 рад. Считать
а ~ sin а ~ tga. (Билет 2, 1991)
4.3. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения зави¬
симости показателя преломления газов от давления по смещению интер¬
ференционной картины. Для этого на пути одного из интерферирующих
лучей ставится кювета Г прямоугольной формы и длиной L = 10cm с
исследуемым газом, а на пути другого — стеклянный компенсатор К
(рис. 4.1), с помощью которого добиваются, чтобы в центре интерфе¬
ренционной картины разность хода между интерферирующими лучами
равнялась нулю. Какое минимальное изменение показателя преломления
Дп можно измерить в таком приборе? Считать, что минимальное надеж¬
но регистрируемое смещение интерференционной картины в плоскости
наблюдения Р соответствует появлению на месте центрального максиму¬
ма первого минимума. Наблюдение ведется на длине волны \ = 600 нм.
(Билет 3, 1991)
4.4. Пучки света, преломленные каждой из половинок бипризмы
Френеля, интерферируют между собой (рис. 4.3). При каком расстоянии

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
219
между бипризмой и экраном Р на нем будет наблюдаться интерференци¬
онная картина максимального размера при нормальном падении света на
боковую грань бипризмы? Расстояние между вершинами бипризмы 2а =
в= 5 см, показатель преломления материала бипризмы п = 1,5; преломля¬
ющий угол а = 10~3 рад. Считать, что а « sina « tga. (Билет 4, 1991)
4.5.	Булавка расположена на прямой, параллельной главной оптиче¬
ской оси тонкой отрицательной линзы, так, что ее ближний конец А
В
F
В
V"
В
А
I Ь
/Ч
Рис. 4.4
Рис. 4.5
Рис. 4.6
находится на расстоянии d = 19 мм от плоскости линзы (рис. 4.4). Рас¬
стояние между главной оптической осью линзы и булавкой Ь = 8 мм. Из¬
вестно, что длина изображения булавки в линзе в 8 раз меньше длины
самой булавки. Найти длину булавки, если фокусное расстояние линзы
F = 15 ММ. (Билет 5, 1991)
4.6. Спичка расположена на прямой, параллельной главной оптиче¬
ской оси тонкой положительной линзы, так, что ее ближний конец В
находится на расстоянии а = 81 мм от плоскости линзы (рис. 4.5). Рас¬
стояние между главной оптической осью линзы и спичкой Ь — 9 мм. Из¬
вестно, что длина изображения спички в линзе в два раза меньше длины
самой спички. Найти длину спички, если фокусное расстояние линзы
F = 40 ММ. (Билет 6, 1991)
4.7. Небольшой кусок проволоки длиной х = 8 мм расположен на
прямой, параллельной главной оптической оси тонкой рассеивающей
линзы, так, что его ближний конец В лежит в фокальной плоскости
линзы (рис. 4.6). Расстояние между прово¬
локой и главной оптической осью линзы b =
= 28 мм. Найти фокусное расстояние лин¬
зы, если известно, что длина изображения
куска проволоки в линзе в 4 раза меньше
его собственной ДЛИНЫ. (Билет 7, 1991)
4.8. Граммофонная игла расположена на
прямой, параллельной главной оптической
оси тонкой собирающей линзы, так, что ее ближний конец А находится
на расстоянии d = 8 см от плоскости линзы (рис. 4.7). Расстояние между
главной оптической осью и иглой Ь = 5 см. Известно, что длина изобра¬
жения иглы в линзе в 13 раз больше длины самой иглы. Найти длину
иглы, если фокусное расстояние линзы F — 12 см. (Билет 8, 1991)
в
F
Рис. 4.7

220
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
4.9. Падающий на тонкую линзу луч пересекает главную оптическую
ось под углом а = 4° (tga яз 0,07) на расстоянии а — 12 см от плоскости
линзы. Найти фокусное расстояние линзы F, если известно, что пре¬
ломленный линзой луч пересекает главную оптическую ось под углом
Р = 8° (tgP = 0,14). (Билет 9, 1991)
4.10. На тонкую рассеивающую линзу падает луч под углом а —
= 8° (tga = 0,14) к главной оптической оси, пересекая ее на расстоянии
а — 4 см от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние линзы, если
преломленный линзой луч идет под углом р яз 12° (tgp = 0,21) к главной
оптической ОСИ. (Билет 10, 1991)
4.11. Луч, падающий на тонкую собирающую линзу под углом a =
= 23° (tga = 0,42) к главной оптической оси, пересекает ось на рас¬
стоянии а= 14 см от плоскости линзы. Под каким углом к главной оп¬
тической оси пойдет преломленный линзой луч? Фокусное расстояние
ЛИНЗЫ 21 СМ. (Билет 11, 1991)
4.12. Луч, падающий на тонкую рассеивающую линзу под углом a =
= 4° (tga ^0,07) к главной оптической оси, пересекает ось на расстоя¬
нии а = 12 см от плоскости линзы. Под каким углом к главной оптиче¬
ской оси пойдет преломленный линзой луч, если ее фокусное расстоя¬
ние 2 СМ? (Билет 12, 1991)
4.13. Трапеция ABCD расположена так, что ее параллельные сто¬
роны АВ и CD перпендикулярны оптической оси тонкой линзы. Линза
создает мнимое изображение трапеции ABCD
в виде трапеции с теми же самыми углами
(рис. 4.8). Если повернуть трапецию ABCD
на	180° вокруг стороны АВ, то линза созда¬
ет	ее изображение в виде прямоугольника. С
каким увеличением изображается сторона АВ?
D	(Билет	1, 1992)
4.14. На оси тонкой отрицательной линзы
расположена трапеция таким образом, что ее
параллельные стороны перпендикулярны глав¬
ной оптической оси. Линза создает изображение трапеции, имеющее
вид прямоугольника. При этом меньшая из параллельных сторон изоб¬
ражается с увеличением А = 1/3. Если трапецию передвинуть вдоль
главной оси на некоторое расстояние, то получается изображение в ви¬
де трапеции	с	теми	же самыми углами. Найти, с каким увеличением
изображается	та	же	самая	меньшая сторона в этом случае. (Билет 2, 1992)
4.15.	Трапеция ABCD расположена так, что ее параллельные сто¬
роны перпендикулярны главной оптической оси тонкой линзы (рис. 4.8).
Линза создает действительное изображение трапеции ABCD в виде пря¬
моугольника. Если повернуть трапецию ABCD на 180° вокруг сторо¬
ны АВ, то линза создает ее изображение в виде трапеции с теми же

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
221
самыми углами. С каким увеличением изображается сторона АВ? (Би¬
лет 3, 1992)
4.16. На оси тонкой положительной линзы расположена трапеция
таким образом, что ее параллельные стороны перпендикулярны главной
оптической оси. Линза создает изображение в виде трапеции с теми же
самыми углами. При этом меньшая из параллельных сторон трапеции
изображается с увеличением Г\ = 0,8. Если теперь передвинуть трапе¬
цию вдоль главной оптической оси к линзе на некоторое расстояние,
трапеция будет изображаться в виде прямоугольника. С каким увеличе¬
нием будет изображаться меньшая из параллельных сторон трапеции в
ЭТОМ случае? (Билет 4, 1992)
4.17. На плоскую поверхность тонкой плоско-вогнутой отрицатель¬
ной линзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На вогнутую по¬
верхность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного излучения
с энергией W — 5 Дж и длительностью т = 10~8 с. Падающий луч рас¬
пространяется параллельно главной оптической оси линзы на расстоя¬
нии F/2 от оси (F — фокусное расстояние линзы). Найти величину
средней силы, действующей на линзу со стороны света, если половина
лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхости
линзы (без покрытия) пренебречь. (Билет 5, 1992)
4.18. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией W =
= 0,5 Дж и длительностью т = 10-9 с падает на рассеивающую линзу
параллельно ее главной оптической оси. Расстояние от пучка до оси рав¬
но F/у/3, где F — фокусное расстояние линзы. Найти величину средней
силы, действующей на линзу со стороны света, если половина энергии
лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхности
ЛИНЗЫ пренебречь. (Билет 6, 1992)
4.19. На плоскую поверхность тонкой плоско-выпуклой положитель¬
ной линзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На выпуклую по¬
верхность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного излучения
с энергией W — 4 Дж и длительностью импульса т = 10-8 с. Падающий
пучок распространяется параллельно главной оптической оси линзы на
расстоянии F/2\/3 от оси (F — фокусное расстояние линзы). Найти
величину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если
половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отражени¬
ем от поверхности линзы (без покрытия) пренебречь. (Билет 7. 1992)
4.20. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией W =
= 0,4 Дж и длительностью т = 10~9 с падает на собирающую линзу па¬
раллельно главной оптической оси. Расстояние от пучка до оси линзы F
(F — фокусное расстояние линзы). Найти величину средней силы, дей¬
ствующей на линзу со стороны света, если половина энергии лазерного
излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхности линзы пре¬
небречь. (Билет 8, 1992)

222
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
4.21. За линзой с фокусным расстоянием F = — 5 см расположена
линза с фокусным расстоянием F2 = 25 см так, что их главные оптиче¬
ские оси совпадают. Эта оптическая система создает изображение пред¬
мета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Как из¬
менится величина изображения, если линзы поменять местами? Рассто¬
яние между линзами L — 20 СМ. (Билет 9, 1992)
4.22. Математический маятник раскачивается с амплитудой А — 1 см
в плоскости рисунка (рис. 4.9). Равновесное положение нити маятника
О'
л
Рис. 4.9	Рис.	4.10
находится на расстоянии L = л/5 см от переднего фокуса тонкой положи¬
тельной линзы. Расстояние между изображениями маятника, лежащими
на главной оптической оси линзы, равно А = 2 см. Найти фокусное рас¬
стояние ЛИНЗЫ. (Билет 10, 1992)
4.23.	Две тонкие положительные линзы расположены друг за дру¬
гом так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между
линзами 14 см. Фокусное расстояние первой линзы
F\ = 10 см, второй — F2 = 4 см. Эта система созда¬
ет изображение предмета, расположенного перпен¬
дикулярно главной оптической оси. Величина изоб¬
ражения hi = А мм. Какова будет величина изоб¬
ражения h2, если линзы поменять местами? (Би¬
лет 11, 1992)
4.24. Математический маятник колеблется в
плоскости рисунка с амплитудой А = 1 см. Равно¬
весное положение нити маятника находится на рас¬
стоянии а = 4 см от тонкой отрицательной линзы с
фокусным расстоянием 2 см (рис. 4.10). Найти рас¬
стояние между изображениями маятника, лежащими на главной опти¬
ческой ОСИ системы. (Билет 12. 1992)
4.25.	В интерференционной схеме параллельный пучок монохрома¬
тического света с длиной волны X — 5000 А падает под углом а = 60°
на систему из двух плоскопараллельных, полупрозрачных зеркал /, 2
(рис. 4.11). Часть светового пучка отражается от зеркала 7, оставшая¬
ся часть, пройдя зеркало /, частично отражается от зеркала 2 и, снова
пройдя зеркало /, вместе с пучком, отраженным от зеркала /, с по¬
мощью собирающей линзы J1 фокусируется на приемник /7, сигнал ко¬

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
223
Рис. 4.12
торого пропорционален интенсивности падающего на него света. Какова
будет частота переменного сигнала, регистрируемого приемником, в слу¬
чае равномерного движения второго зеркала (относительно первого) со
скоростью U = 0,01 см/с? (Билет 1, 1993)
4.26. Точечный источник монохроматического света S с длиной вол¬
ны X = 6000 А расположен между двумя неподвижными, плоскопарал¬
лельными зеркалами, расстояние между которыми а = 3 см (рис. 4.12).
На удаленном расстоянии L — 1м
от источника расположен экран Э\,
на котором наблюдается интерфе¬
ренционная картина, создаваемая
двумя пучками света, отраженны¬
ми от зеркал. Прямой пучок света
от источника перекрывается экра¬
ном Эг2. В плоскости экрана Э\
(симметрично относительно зеркал)
расположен приемник /7, сигнал которого пропорционален интенсивно¬
сти падающего на него света. Размер приемника мал по сравнению с
шириной интерференционных полос на экране Э\. Учитывая только од¬
нократные отражения света от зеркал, определить частоту переменного
сигнала, регистрируемого приемником, который возникает при движе¬
нии источника в направлении, перпендикулярном зеркалам со скоростью
v = ОД мм/с.
Указание. При (3 <С 1 имеет место формула >/1 + (3 « 1 + 7(3. (Би¬
лет 2. 1993)
4.27. Параллельный пучок монохроматического света с длиной вол¬
ны X = 6000 А падает на экран Эь расположенный в фокальной плоско¬
сти собирающей линзы J1 с фокусным расстоянием F = 50 см (рис. 4.13).
В экране Э\ имеются две узкие,
симметричные щели (располо-	„	^
женные перпендикулярно плос-	'1
кости рисунка), расстояние меж¬
ду которыми мало по сравне¬
нию с F и равно а = 6 мм. На
некотором расстоянии за линзой
(в той области, где пучки света
от обеих щелей перекрываются)
расположен экран Э-2, на кото¬
ром наблюдается интерференци-	Рис-	4-13
онная картина. В плоскости экрана Э2 расположен приемник /7, сигнал
которого пропорционален интенсивности падающего на него света. Раз¬
мер приемника мал по сравнению с шириной интерференционных полос.
При равномерном движении приемника вдоль экрана (поперек интерфе¬
Г//

224
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
ренционных полос) приемник регистрирует переменный сигнал с часто¬
той / = 20 Гц. Определить скорость U приемника.
Указание. При |3 С 1 имеет место формула s/l 4- (3 « 1 + ^|3. (Би¬
лет 3. 1993)
4.28.	Точечный источник монохроматического света S с длиной
волны \ = 5000 А расположен посередине между неподвижными пло¬
скопараллельными зеркалами, расстояние между которыми а = 4 см
(рис. 4.14). На удаленном расстоянии Ь = 2 м от источника расположен
экран Э1, на котором наблюдается интерференционная картина, создава¬
емая двумя пучками света, отраженными от зеркал (остальными отра¬
жениями пренебречь). Прямой пучок света от источника перекрывается
экраном Э2. В плоскости экрана Э\ расположен приемник Я, сигнал ко¬
торого пропорционален интенсивности падающего на него света. Размер
приемника мал по сравнению с шириной интерференционных полос на
экране 5ь При равномерном движении приемника вдоль экрана (поперек
интерференционных полос) приемник регистрирует переменный сигнал с
частотой / = 80 Гц. Определить скорость v приемника, учитывая только
однократные отражения света от зеркал.
Указание. При (3	1	имеет	место	формула	>/l	+	р	«	1	+	^|3. (Би¬
лет 4, 1993)
4.29. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F = 15 см
прикреплена к стенке аквариума, заполненного водой (п = 4/3). На лин¬
зу под углом а падает параллельный пучок света. Известно, что луч,
прошедший сквозь линзу на расстоянии h от ее оптического центра, не
изменяет своего направления. Найти угол а, если h = 5 мм. (Билет 5, 1993)
4.30. На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной Н =
= 3 мм падает узкий пучок монохроматического света. Пучок паралле¬
лен оптической оси ОО', которая перпендикулярна к пластине и прохо¬
дит через ее центр (рис. 4.15). Расстояние между пучком и осью ОО'
R = Зсм. Показатель преломления стекла для падающего на пластинку
света имеет радиальную зависимость:
и
L
I ---•
Рис. 4.14
Рис. 4.15
Рис. 4.16
п(г) = по 1 -

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
225
где по и го — константы (щ = 1,5, го = 9 см). Определить угол между
ВЫХОДЯЩИМ пучком И ОСЬЮ ОО'. (Билет 6. 1993)
4.31. Тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием F =
= 15 см прикреплена к стенке аквариума, заполненного водой (п = 4/3).
На линзу под углом а падает параллельный пучок света (рис. 4.16). Из¬
вестно, что луч, прошедший сквозь линзу на расстоянии h от ее оптиче¬
ского центра, не изменяет своего направления. Найти h> если tga = 0,08.
(Билет 7, 1993)
4.32. На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщиной Н =
= 4 мм падает узкий пучок монохроматического света. Пучок паралле¬
лен оптической оси ОО', которая перпендикулярна к пластинке и про¬
ходит через ее центр (рис. 4.17). Расстояние между пучком и осью ОО'
R = 5 см. Показатель преломления стекла для падающего на пластинку
света имеет радиальную зависимость:
где по и го — константы (п0 = 1,4, г() = 10 см). Определить угол между
ВЫХОДЯЩИМ пучком и ОСЬЮ ОО'. (Билет 8. 1993)
И
4.33.	Минимальное расстояние, с которого можно снять фотоаппа¬
ратом, равно 48 см. Увеличение при этом оказывается максимальным и
равно 1/7. Какой максимальный размер чертежа можно переснять этим
аппаратом, используя удлинительное кольцо толщиной Д = 1/7см? Раз¬
мер кадра на пленке 24 х 36 мм.
Указание. Удлинительное кольцо устанавливается между объек¬
тивом и пленкой и служит для дополнительного увеличения расстояния
Между НИМИ. (Билет 9, 1993)
4.34. Площадь изображения треугольника ABC в 32 раза мень¬
ше площади самого треугольника. Определить, с каким увеличением Г
изображается сторона ВС, если точка А лежит в фокусе рассеивающей
ЛИНЗЫ (рис. 4.18). (Билет 10, 1993)
4.35. Максимальное увеличение, с которым можно снимать фотоап¬
паратом, равно 1/9. Какой минимальной толщины удлинительное коль¬
цо необходимо использовать, чтобы переснять чертеж размером 120 х
I в
С
I \
о
о
F
2 F
Рис. 4.17
Рис. 4.18
Рис. 4.19

226
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
х 180 мм? Фокусное расстояние объектива F — 5 см, размер кадра на
пленке 24 х 36 мм.
Указание. Удлинительное кольцо устанавливается между объек¬
тивом и пленкой и служит для дополнительного увеличения расстояния
между ними. (Билет И. 1993)
4.36. Линза создает изображение прямоугольного треугольника, ка¬
тет АВ которого лежит на главной оптической оси (рис. 4.19). Площадь
изображения треугольника в 9 раз меньше площади самого треугольни¬
ка. Найти, с каким увеличением изображается катет ВС, если точка А
лежит на двойном фокусном расстоянии от ЛИНЗЫ. (Билет 12, 1993)
4.37. Поверхность озера глубиной Н — 1,3 м покрыта тонким слоем
льда со снегом, практически не пропускающим свет. Найти площадь
светлого пятна на дне озера от полыньи в форме круга радиуса R —
— 2 м. Озеро освещается рассеянным светом. Показатель преломления
ВОДЫ п = 4/3. (Билет 1, 1994)
4.38. На горизонтальном дне водоема лежит монета радиуса г = 2 см.
На каком максимальном расстоянии от монеты надо поместить в воде
плоский экран радиуса R — 5 см, чтобы монету нельзя было обнаружить
из воздуха при спокойной поверхности воды? Показатель преломления
ВОДЫ 4/3. (Билет 2, 1994)
4.39. На спокойной поверхности водоема появилось пятно загрязне¬
ния радиуса R = 5 м, не пропускающее свет. Определите размер области
на дне водоема, куда не попадает свет. Поверхность воды освещается
рассеянным светом. Глубина водоема Н — 2,6 м. Показатель преломле¬
ния воды п = 4/3. Отражение от дна не учитывать. (Билет 3, 1994)
4.40. Цилиндрический стеклянный сосуд заполнен до краев водой и
поставлен на стол. Сверху на сосуд положили лист бумаги с круглым
отверстием так, что его центр оказался
на оси симметрии сосуда. Через отвер¬
стие какого минимального радиуса мож¬
но разглядеть все дно сосуда? Глубина
О’ сосуда Н = 5,2 см, радиус дна R = 8 см,
показатель преломления воды п — 4/3.
(Билет 4, 1994)
4.41. Тонкий пучок лучей света пада¬
ет перпендикулярно на плоскую поверх¬
ность половины оптически прозрачного шара (рис. 4.20). Радиус шара R,
расстояние от луча до оси СО\ проходящей через центр шара О, рав¬
но а = 0,6R, показатель преломления материала шара п = 4/3. Найти
расстояние от точки О до точки А пересечения луча, преломленного на
Сферической ПОВерХНОСТИ, С ОСЬЮ OOr. (Билет 5, 1994)
4.42.	Оптически прозрачный шар радиуса R, помещен в параллель¬
ный пучок лучей света. Минимальное расстояние, пройденное одним из
преломленных лучей внутри шара (до первого пересечения с поверхно¬

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
22 7
стью), оказалось равным \flRj2. Найти показатель преломления мате¬
риала шара. (Билет 6, 1994)
4.43. Луч света падает на поверхность стеклянного шара параллель¬
но некоторой оси 00\ проходящей через его центр. Угол падения этого
луча на поверхность шара ф = arcsin(24/25). Преломленный луч про¬
ходит через точку пересечения этой оси с поверхностью шара. Найти
Показатель преломления СТеКЛа. (Билет 7, 1994)
4.44. Шар из оптически прозрачного материала помещен в па¬
раллельный пучок света (рис. 4.21). Угол падения одного из лучей
на поверхность шара ф = arctg(4/3). Угол его отклонения от перво¬
начального направления после двух преломлений на поверхности ша¬
ра 6 = arctg(7/24). Найти показатель преломления материала шара.
(Билет 8, 1994)
4.45. На главной оптической оси линзы с фокусным расстояни¬
ем 10 см лежит спичка (рис. 4.22). Линза создает действительное изоб¬
ражение спички с увеличением 25/3. Если спичку повернуть на 90°
вокруг ее середины (точка С), то она будет изображаться с увеличени¬
ем 2,5. Определить длину СПИЧКИ. (Билет 9, 1994)
4.46. На главной оптической оси положительной линзы с фокусным
расстоянием 5 см лежит спица. Линза создает действительное изобра¬
жение спицы. Спицу передвинули параллельно самой себе и перпен¬
дикулярно главной оптической оси на расстояние h. При этом длина
изображения спицы увеличилась в 1,2 раза. Найти h. (Билет Ю. 1994)
С
и
л
э
L
Рис. 4.22
7777777777~
Рис. 4.23
4.47. На главной оптической оси положительной линзы лежит бу¬
лавка так, что ее середина находится на двойном фокусном расстоянии
от линзы. С каким увеличением изображается булавка, если ее длина
втрое меньше фокусного расстояния ЛИНЗЫ? (Билет 11, 1994)
4.48. Параллельно главной оптической оси тонкой отрицательной
линзы на расстоянии 6 см от оси расположен прямолинейный кусок про¬
волоки. Если, не меняя расстояния от проволоки до линзы, переместить
проволоку на главную оптическую ось, то длина ее изображения умень¬
шится в 1,3 раза. Определить фокусное расстояние линзы. (Билет 12, 1994)
4.49. Маленький воздушный пузырек всплывает по центру прямо¬
угольного сосуда, заполненного прозрачной жидкостью с показателем
преломления п — 1,4 (рис. 4.23). С помощью собирающей линзы с фо-

228
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
кусным расстоянием F = 24 см его изображение наблюдают на экране Э.
Скорость перемещения изображения пузырька на экране в момент пе¬
ресечения главной оптической оси линзы v = 80 см/с. Определить ско¬
рость и пузырька. Линейные размеры: I = 56 см, L = 10 см. (Билет 1, 1995)
4.50.	С помощью оптической схемы, состоящей из плоского зерка¬
ла 3, положительной линзы Л и экрана 3, наблюдают за падением ма¬
леньких шариков в сосуде с прозрачной жидкостью, показатель пре¬
ломления которой п = 1,5 (рис. 4.24). В начальный момент на экране
наблюдается изображение поверхности жидкости и неподвижного шари¬
ка. Затем линзу перемещают направо вдоль главной оптической оси на
расстояние 6 = 2 см и отпускают шарик. Через время т = 5 с на экране
появляется резкое изображение шарика. Полагая, что шарик падает с
постоянной скоростью иу определить ее величину. Расстояние а — 30 см.
(Билет 2, 1995)
4.51.	По вертикальной стене С ползет муха со скоростью v = 2 см/с.
С помощью собирающей линзы Л с фокусным расстоянием F = 24 см
п — 1,5 (рис. 4.26). В начальный момент на
экране наблюдается изображение дна сосуда и неподвижного пузырь¬
ка. Затем линзу перемещают влево вдоль главной оптической оси на
С л
^1
/
Рис. 4,24
Рис. 4.25
3 Л
изображение мухи получают на задней стен-
^ ке j прямоугольного сосуда, заполненного
/ прозрачной жидкостью с показателем пре-
£ ломления п — 1,4 (рис. 4.25). Определить
скорость и перемещения изображения му¬
хи в момент пересечения главной оптической
оси линзы. Линейные размеры: / — 28 см, L =
= 10 СМ. (Билет 3, 1995)
За
Рис. 4.26
4.52.	С помощью оптической системы,
состоящей из плоского зеркала 3 (под уг¬
лом 45° к горизонту), положительной лин¬
зы Л и экрана Эу наблюдают за всплыти¬
ем маленьких пузырьков воздуха в сосуде с
жидкостью, показатель преломления которой

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
229
Д = 1 см. Через время т = 3 с после отрыва пузырька на экране вновь
появляется его резкое изображение. Полагая, что пузырек все время
движется с постоянной скоростью и, определить ее величину. Значение
а = 20 СМ. (Билет 4, 1995)
4.53.	На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокус¬
ным расстоянием F = 20 см расположено плоское зеркальце на рассто¬
янии L — 3F от линзы (рис. 4.27). Зеркальце вращается с угловой ско¬
ростью (о = 0Д рад/с вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка
и проходящей через точку А. На расстоянии а = 5F/4 от линзы распо¬
ложен точечный источник света S. 1) На каком расстоянии от точки А
получится изображение источника S в системе линза-зеркальце в ре¬
зультате однократного прохождения лучей от источника S через линзу?
2)	Найдите скорость (модуль и угол между вектором скорости и глав¬
ной оптической осью) этого изображения в момент, когда угол между
ПЛОСКОСТЬЮ зеркальца И главной оптической ОСЬЮ а = 60°. (Билет 5, 1995)
5
аЛ
ьА
11
^ а w
« L
\
\
г
а
со.
L
тч.
Рис. 4.27	Рис. 4.28
4.54. На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F = 10 см расположено плоское зеркальце на рас¬
стоянии L — 4,2F от линзы (рис. 4.28). Зеркальце вращается с угловой
скоростью (о = 0,05 рад/с вокруг оси, перпендикулярной плоскости ри¬
сунка и проходящей через точку А. На расстоянии а = 4F от линзы
расположен точечный источник света S.
1) На каком расстоянии от точки А получится изображение источни¬
ка S в системе линза-зеркальце в результате однократного прохождения
лучей от источника 5 через линзу?
2) Найдите скорость (модуль и угол между вектором скорости и
главной оптической осью) этого изображения в момент, когда угол
между плоскостью зеркальца и главной оптиче¬
ской осью а = 40°. (Билет 6, 1995)
4.55. На главной оптической оси тонкой со¬
бирающей линзы с фокусным расстоянием F =
= 15 см расположено плоское зеркальце на рас¬
стоянии L = 5F от линзы (рис. 4.29). Зеркальце
вращается с постоянной угловой скоростью со
вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через
точку А. На расстоянии d = 1,2F от линзы расположен точечный источ¬
ник света 5. В некоторый момент времени скорость перемещения изоб¬
ражения, полученного в результате однократного прохождения лучей от

230
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
источника S через линзу и отражения в зеркальце, была параллельна
главной оптической оси и равна V — Зсм/с.
1) На каком расстоянии от точки А находится изображение?
2) Найти угловую скорость со вращения зеркальца и угол а между
его плоскостью и главной оптической осью в указанный момент времени.
(Билет 7, 1995)
4.56.	На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F = 20 см расположено плоское зеркальце на рас¬
стоянии L = 5,1F от линзы (рис. 4.30). Зеркальце вращается с посто¬
янной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной плоскости
рисунка и проходящей через точку А. На расстоянии d = 9F от линзы
расположен точечный источник света S. В некоторый момент времени
S
L
С
р
в
Рис. 4.30
Рис. 4.31
скорость перемещения изображения, полученного в результате однократ¬
ного прохождения лучей от источника S через линзу и отражения в
зеркальце, была равна V = 12 см/с и параллельна прямой СВ, состав¬
ляющей угол (3 = 10° с главной оптической осью.
1) На каком расстоянии от точки А находится изображение?
2) Найти угловую скорость ш вращения зеркальца и угол а между
его плоскостью и главной оптической осью в указанный момент времени.
(Билет 8, 1995)
4.57.	В фокальной плоскости тонкой рассе¬
ивающей линзы на расстоянии h — 2 см от ее
главной оптической оси расположен точечный
источник света S. Угол между двумя лучами,
один из которых параллелен главной оптиче¬
ской оси, а = 0,08 (рис. 4.31).
1)	Найти угол р между этими лучами после
преломления в линзе.
2)	На каких расстояниях от линзы и от главной оптической оси по¬
лучится изображение источника S?
Фокусное расстояние линзы F = 20 см. Считать, что аир малы и
h <С F. (Билет 9, 1995)
4.58.	Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F = 30 см. То¬
чечный источник света S находится на расстояниях F/2 от линзы и
h = 3 см от ее главной оптической оси. Угол между двумя лучами, один
из которых параллелен главной оптической оси, равен а (рис. 4.32).
Рис. 4.32

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
231
1) Найти угол а, если угол между этими лучами после прохождения
линзы (3 = 0,15.
2) Определить расстояния от изображения источника S до линзы и
главной оптической оси.
Считать углы а и (3 малыми и h «с F. (Билет 10, 1995)
4.59. В фокальной плоскости тонкой рассеивающей линзы на рас¬
стоянии h = 1 см от ее главной оптической оси расположен точечный
источник света 5. Угол между двумя лучами, один из
которых параллелен главной оптической оси, равен а
(рис. 4.33). Фокусное расстояние линзы F — 12 см.
1) Найти угол а, если угол между этими лучами
после преломления в линзе стал (3 = 0,24.
2) На каких расстояниях от линзы и от главной оп¬
тической оси получится изображение источника S?	Рис.	4.33
Считать, что а и (3 малы и h « F. (Билет И, 1995)
4.60. Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F = 40 см. То¬
чечный источник света S расположен на расстояниях Fj2 от линзы и
h = 5 см от ее главной оптической оси. Угол между двумя лучами, один
из которых параллелен главной оптической оси,
а = 0,2 (рис. 4.34).
1) Найти угол (3 между этими лучами после
прохождения линзы.
2) Определить расстояния от изображения
источника S до линзы и главной оптической оси.
Считать углы а и (3 малыми и h F. (Би¬
лет 12, 1995)
4.61. В отверстие радиусом R = 1,5 см в тонкой непрозрачной пере¬
городке вставлена тонкая собирающая линза. Точечный источник света
расположен на главной оптической оси линзы по одну сторону пере¬
городки. По другую сторону перегородки находится экран. Экран, со¬
прикасавшийся вначале с линзой, отодвигают от линзы. В результате
радиус светлого пятна на экране плавно увеличивается и на расстоя¬
нии L = 18 см от перегородки достигает значения г\ = 3 см. Если линзу
убрать, оставив экран на месте, то радиус пятна на экране станет г2 =
= 4,5 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние ЛИНЗЫ. (Билет 1, 1996)
4.62. Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом R —
= 2,5 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света распо¬
ложен на расстоянии d = 15 см от линзы на ее главной оптической оси.
Экран, находящийся по другую сторону ширмы, чем источник, отодви¬
гают от линзы. В результате радиус светлого пятна на экране плавно
уменьшается и на расстоянии L — 12 см от линзы становится равным
г = 1,5 см.

232
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
1) На каком расстоянии от линзы надо поместить экран, чтобы полу¬
чить четкое изображение источника?
2) Найти фокусное расстояние линзы. (Билет 2, 1996)
4.63. В отверстие радиусом R — 1 см в тонкой непрозрачной перего¬
родке вставлена тонкая рассеивающая линза. По одну сторону перего¬
родки на главной оптической оси линзы расположен точечный источник
света. По другую сторону перегородки на расстоянии L = 24 см от нее
находится экран. Радиус светлого пятна на экране гi = 4 см. Если линзу
убрать, то радиус пятна на экране станет г2 = 2 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы. (Билет 3, 1996)
4.64. Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом R =
= 2 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света распо¬
ложен слева от ширмы на расстоянии d — 30 см от линзы на ее главной
оптической оси. На экране, находящемся справа от ширмы, получено
резкое изображение источника. После перемещения экрана вправо вдоль
главной оптической оси на расстояние L — 15 см на нем появилось свет¬
лое пятно радиусом г — 0,5 см.
1)На каком расстоянии от линзы находился экран вначале?
2) Найти фокусное расстояние ЛИНЗЫ. (Билет 4, 1996)
4.65. Высота комнаты Нх — 3,3 м. На расстоянии Н2 = 2,2 м от пола
висит лампа. Нить накала лампы можно считать точечным источником
света. На полу лежит плоское зеркальце прямоугольной формы разме¬
рами 4x6 см.
1)На каком расстоянии от потолка находится изображение нити на¬
кала лампы в зеркальце?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркальца на
потолке. (Билет 5, 1996)
4.66. На стене в комнате висит плоское зеркало в форме ромба с
диагоналями 16 см и 12 см. Лампочка висит на расстояниях Si = 2 м от
стены с зеркалом и S2 = 1 м от противоположной стены. Нить накала
лампочки можно считать точечным источником света.
1)На каком расстоянии X от противоположной стены находится
изображение нити накала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркала на
противоположной стене. (Билет 6, 1996)
4.67. Лампочка настольной лампы находится на расстояниях Ьх —
= 0,6м от поверхности стола и 1/2 = 1,8 м от потолка. Нить накала
лампочки можно считать точечным источником света. На столе лежит
осколок плоского зеркала в форме треугольника со сторонами 5 см, 6 см
и 7 см.
1) На каком расстоянии от потолка находится изображение нити на¬
кала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от осколка зерка¬
ла на потолке. (Билет 7, 1996)

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
233
4.68. В комнате на стене висит плоское зеркало в форме эллипса,
большая и малая оси которого равны 15 см и 10 см. Стена с зеркалом
находится на расстояниях Х\ = 1 м от висящей лампочки и Х2 = 3 м от
противоположной стены. Нить накала лампочки можно считать точеч¬
ным источником света.
1) На каком расстоянии X от противоположной стены находится
изображение нити накала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркала на
противоположной стене. (Билет 8. 1996)
4.69. Тонкая собирающая линза диаметром D = 5 см с фокусным
расстоянием F = 50 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздви¬
нуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО' на рас¬
стояние а — 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя
зеркальными полуплоскостями П\ и /72, параллельными оси ОО' и друг
другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО' расположен точечный
монохроматический источник света S (рис. 4.35).
1) Найти угол между пучками лучей, вышедших из половинок линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (око¬
ло оси ОО') можно наблюдать интерференционную картину от лучей,
предварительно прошедших ПОЛОВИНКИ ЛИНЗЫ? (Билет 9, 1996)
о
/.////yysss/s///////////////////.
П\
%э
а	К
\
F
л.
L
Рис. 4.35
/7,
от
о
’/y/J *
а
ьэ
\
\
л.
L
ъог
Рис. 4.36
4.70. Тонкая рассеивающая линза диаметром D = 4,5 см с фокусным
расстоянием F = 100 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздви¬
нуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО' на рас¬
стояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя
зеркальными полуплоскостями П\ и /72, параллельными оси ОО1 и друг
другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО' расположен точечный
монохроматический источник света 5 (рис. 4.36).
1) Найти расстояние между изображениями источника S в половин¬
ках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (око¬
ло оси ОО') можно наблюдать интерференционную картину от лучей,
предварительно прошедших ПОЛОВИНКИ ЛИНЗЫ? (Билет 10, 1996)
4.71. Тонкая собирающая линза диаметром D — 4 см с фокусным рас¬
стоянием F = 60 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздвинуты

234
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
симметрично относительно ее главной оптической оси ОО' на рассто¬
яние а = 0,5 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя
зеркальными полуплоскостями П\ и Я2, параллельными оси ОО' и друг
другу. На расстоянии F/2 на оси ОО' расположен точечный монохрома¬
тический источник света S (рис. 4.37).
1) Найти расстояние между изображениями источника S в половин¬
ках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (око¬
ло оси ОО') можно наблюдать интерференционную картину от лучей,
предварительно прошедших ПОЛОВИНКИ ЛИНЗЫ? (Билет 11, 1996)
I
я,
о
'/77/
F/2
а
L
Рис. 4.37
а
я,
о
I
/О’
П-
Рис. 4.38
4.72.	Тонкая рассеивающая линза диаметром D — 7 см с фокусным
расстоянием F = 70 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздви¬
нуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО' на рас¬
стояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя
зеркальными полуплоскостями fli и П2, параллельными оси ОО' и друг
другу. На половинки линзы падает параллельный пучок монохроматиче¬
ского света от удаленного источника S (рис. 4.38).
1) Найти расстояние между изображениями источника S в половин¬
ках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (око¬
ло оси ОО') можно наблюдать интерференционную картину от лучей,
предварительно прошедших половинки линзы?
(Билет 12, 1996)
4.73. Показатель преломления некоторой
плоской среды имеет зависимость от коор¬
динат У:	при У < 0 п = по (п0 = 1,4); при
0 < У < Н п(У) = по — кУ, где к — константа
(,к = 0,2 м“\ а Н = 2 м); при У > Н n — 1. На
плоскость У = 0 падает узкий пучок света под уг¬
лом падения а = 60° (рис. 4.39). На какую макси¬
мальную глубину h сможет проникнуть световой
луч? (Билет 1, 1997)
4.74.	Высокий прямоугольный сосуд разделен вертикальной перего¬
родкой на два отсека. Первый отсек заполнен жидкостью с показателем
преломления п.\ = 1,4, а второй — с показателем преломления п2 < п\

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
235
(рис. 4.40). На дно первого отсека падает узкий пучок света под уг¬
лом а = 30°. При каких значениях показателя преломления п2 луч не
сможет проникнуть во второй отсек? Все вертикальные стенки и дно
являются прозрачными плоскопараллельными пластинами. (Билет 2, 1997)
4.75. Показатель преломления некоторой плоской среды имеет за¬
висимость от координаты У (рис. 4.41). В области I (У < 0) п = п{)
(п0 = 1,4); в области II (0 < Y < Н) п(У) = n0 — kY (к — 0.07 м-1, Н —
= 2 м); в области III (У > Н) п = п(Н) = const. При каких углах паде¬
ния узкого светового пучка на границу областей I и II (У = 0) он сможет
проникнуть В область III? (Билет 3, 1997)
4.76. Высокий прямоугольный сосуд разделен вертикальной перего¬
родкой на два отсека (рис. 4.42). Первый отсек заполнен жидкостью с
показателем преломления п\ = 1,5, а второй — жидкостью с показате¬
лем преломления п2 = 1,22. При каких углах падения на дно первого
отсека узкий световой пучок сможет проникнуть во второй отсек? Все
вертикальные стенки и дно являются про¬
зрачными плоскопараллельными пластинами.
(Билет 4, 1997)
4.77. Точечный источник света S распо¬
ложен на расстоянии а = 40 см от собираю¬
щей линзы на ее главной оптической оси. Оп¬
тическая сила линзы D = 5 дптр. При пово¬
роте линзы на некоторый угол а (рис. 4.43)
относительно оси, перпендикулярной плоско¬
сти рисунка и проходящей через оптический центр линзы, изображение
источника сместилось на АI = 10 см. Найти угол поворота линзы а. (Би¬
лет 5, 1997)
4.78. С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F на
экране Э, расположенном на расстоянии L = 4,9F от стены С, получе¬
но увеличенное изображение мухи, которая равномерно ползет по стене
по окружности радиуса Я = 5 см, совершая один полный оборот за вре¬
мя Т = 1 мин. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна стене и
экрану и проходит через центр окружности, по которой ползет муха
Рис. 4.43

236
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
(рис. 4.44). Чему равна линейная скорость движущегося изображения
мухи на экране? (Билет 6. 1997)
4.79.	Точечный источник света S расположен на главной оптиче¬
ской оси рассеивающей линзы в ее фокусе. Оптическая сила линзы
D = —4 дптр (рис. 4.45). На какое расстояние сместится изображение
а\-
5
-*
К
Рис. 4.45
источника, если линзу повернуть на угол a = 30° относительно оси, пер¬
пендикулярной плоскости рисунка и проходящей через оптический центр
ЛИНЗЫ? (Билет 7. 1997)
4.80.	С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F на
экране 3, расположенном на расстоянии L — 4,9F от циферблата ручных
часов Z/, получено уменьшенное изображение секундной стрелки часов,
длина которой R = 1,5 см (рис. 4.46). Главная оптическая ось линзы
перпендикулярна экрану и плоскости циферблата часов и проходит че¬
рез ось вращения секундной стрелки. Чему равна линейная скорость
перемещения кончика изображения стрелки на экране? (Билет 8, 1997)
4.81. Изображение точечного источни¬
ка, расположенного на главной оптической
оси собирающей линзы на расстоянии а =
= 60 см от нее, получено на экране. Меж¬
ду линзой и источником вставили плоско¬
параллельную прозрачную пластинку тол¬
щиной d — 3 см перпендикулярно главной
оптической оси линзы. Чтобы снова полу¬
чить изображение источника, экран при¬
шлось передвинуть вдоль оптической оси на расстояние Д = 1 см. Опре¬
делить показатель преломления пластинки, если фокусное расстояние
ЛИНЗЫ F — 30 СМ. (Билет 1, 1998)
4.82. Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось
собирающей линзы на расстоянии а — 7,5 см от линзы под углом a = 4°
(рис. 4.47). Определить угол между этими лучами после прохождения
ИМИ ЛИНЗЫ, если фокусное расстояние ЛИНЗЫ F = 10 см. (Билет 2, 1998)
4.83. Сходящийся пучок света, падающий на рассеивающую линзу
симметрично относительно главной оптической оси, собирается в точку
на экране, находящемся на расстоянии b = 90 см от линзы. Если перед
Рис. 4.47

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
237
линзои перпендикулярно главной оптической оси разместить плоскопа¬
раллельную оптически прозрачную пластинку, то из линзы будет вы¬
ходить параллельный пучок света. Чему равна толщина пластинки г/,
если ее показатель преломления п = 1,5? Фокусное расстояние линзы
F = 10 СМ. (Билет 3, 1998)
4.84.	Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось
рассеивающей линзы на расстоянии а = 24 см от линзы под углом а = 6°
(рис. 4.48). Определить угол между этими лучами после прохождения
ими линзы, если фокусное расстояние линзы F — 12 см. (Билет 4, 1998)
4.85. В комнате на столе лежит плоское зеркало, на котором находит¬
ся тонкая плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием F = 40cm.
По потолку АВ ползет муха со скоростью v = 2 см/с (рис. 4.49). Рас¬
стояние от потолка до зеркала h — 220 см.
1) На каком расстоянии от зеркала находится изображение мухи в
данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения мухи в тот момент, когда она
пересекает главную оптическую ось линзы (точка С)? (Билет 5, 1998)
4.86. Маленький грузик массой т на пружине жесткости К совер¬
шает гармонические колебания относительно главной оптической оси
тонкой плоско-вогнутой линзы с фокусным расстоянием — F (F > 0).
Линза плотно прижата к вертикально расположенному плоскому зер¬
калу (рис. 4.50). Расстояние от грузика до
зеркала L = 4,5F.
1) На каком расстоянии от зеркала на¬
ходится изображение грузика в приведен¬
ной оптической системе?
2) С какой скоростью изображение гру¬
зика пересекает главную оптическую ось
линзы, если амплитуда его колебаний рав¬
на А? (Билет 6, 1998)
4.87. На столе лежит плоское зеркало, к которому плотно приле¬
гает тонкая плоско-вогнутая линза с фокусным расстоянием F = 45 см
(рис. 4.51). Над оптической системой параллельно плоскости зеркала на
высоте h — 4F пролетает комар со скоростью v = 9 см/с.

238
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
1)На каком расстоянии от зеркала находится изображение комара в
данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения комара в тот момент, когда ко¬
мар будет пересекать главную оптическую ось линзы? (Билет 7. 1998)
4.88.	Маленький шарик массой т на пружине жесткостью к совер¬
шает гармонические колебания с амплитудой А относительно главной
оптической оси тонкой плоско-выпуклой линзы с фокусным расстоя-
щиной Н = 7 мм с показателем преломления стекла п = 1,4. Над зер¬
калом висит электрическая лампочка. Определите расстояние между
двумя соседними изображениями светящейся нити лампочки, возника¬
ющими из-за многократных отражений от двух поверхностей зеркала.
(Билет I. 1999)
4.90. На столе под стеклянной пластиной толщиной Н = 12 мм рас¬
положен кусок газеты, которая рассматривается с помощью микроскопа.
На какое расстояние нужно передвинуть тубус микроскопа, чтобы на¬
строиться на буквы текста в отсутствие стеклянной пластинки? Показа¬
тель преломления стекла п = 1,5. (Билет 2, 1999)
4.91. Если рассматривать свое изображение в плоскопараллельной
стеклянной пластинке толщиной Н = 10 см, то можно увидеть ряд по¬
следовательных изображений лица, отстоящих друг от друга на рассто¬
янии L = 14 см. Чему равен показатель преломления стекла пластинки:5
(Билет 3, 1999)
4.92. Стакан с тонким дном, наполненный прозрачной жидкостью,
ставится на монету, лежащую на столе. Если сверху через жидкость
нормально к ее поверхности рассматривать монету, то изображение мо¬
неты наблюдается на расстоянии h = 2,6 см от дна стакана. Определите
показатель преломления жидкости, если толщина слоя жидкости в ста¬
кане Н = 8 СМ. (Билет 4, 1999)
4.93. Часовщику необходимо рассматривать детали часов, размеры
которых в N = 3 раза меньше, чем то минимальное расстояние между
двумя точками, которое он может рассмотреть с расстояния наилучшего
зрения L — 25 см. Чему равно максимальное фокусное расстояние лупы
(собирающая линза), которую он должен использовать, чтобы рассмот¬
Y///A
нием F. Линза плотно прилегает к плоскому вер¬
тикально расположенному зеркалу (рис. 4.52).
Расстояние от шарика до зеркала L — 3F.
1)На каком расстоянии от зеркала находится
изображение шарика в приведенной оптической
системе?
2)С какой скоростью изображение шарика пе¬
ресекает главную оптическую ось линзы? (Би-
лет 8. 1998)
Рис. 4.52
4.89.	В комнате на горизонтальной поверхно¬
сти стола лежит плоское стеклянное зеркало тол-

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
239
реть эти детали? При использовании лупы глаз наблюдателя аккомоди¬
рован на бесконечность, а рассматриваемые предметы расположены в
фокальной ПЛОСКОСТИ лупы. (Билет 5, 1999)
4.94. Пожилой человек хорошо видит удаленные предметы, начиная
с бесконечности и до минимального расстояния I — 2 м (хрусталик глаза
этого человека не в состоянии сфокусировать на сетчатке предметы, рас¬
положенные ближе I = 2 м). В каких очках (с минимальной оптической
силой линз) этот человек сможет читать газету с расстояния наилуч¬
шего зрения L — 25 см? Расстоянием между глазами и линзами очков
пренебречь. (Билет 6. 1999)
4.95. Коллекционер марок, вооруженный лупой (собирающая линза с
фокусным расстоянием F = 10 см), в состоянии рассмотреть фрагменты
марки с минимальным размером I = 0,1 мм. Какого размера фрагменты
марки он сможет рассмотреть без лупы с расстояния наилучшего зрения
L = 25 см? При использовании лупы глаз наблюдателя аккомодирован на
бесконечность, а рассматриваемые предметы расположены в фокальной
ПЛОСКОСТИ лупы. (Билет 7. 1999)
4.96. Близорукий человек хорошо видит близко расположенные от
него предметы вплоть до расстояния / = 60 см. Хрусталик глаза этого
человека не в состоянии сфокусировать на сетчатке предметы, располо¬
женные дальше расстояния I — 60 см. Ему предложили воспользоваться
э	э
у	Г	1	IV
ЕЕ
\
а
т F ш
ST т
т F »
1 -г \ / ■
Рис. 4.53	Рис.	4.54
очками с оптической силой D = —1,5 диоптрий (1/м). На каком макси¬
мальном удалении он сможет отчетливо видеть предметы в этих очках?
Расстоянием между глазами и линзами очков можно пренебречь. (Би¬
лет 8, 1999)
4.97. Плоскопараллельная пластина составлена из двух стеклянных
клиньев с малым углом а = 5°. Показатель преломления клиньев п\ —
= 1,48, П‘2 = 1,68. На пластину нормально ее поверхности падает парал¬
лельный пучок света. За пластиной расположена собирающая линза с
фокусным расстоянием F = 60 см (рис. 4.53). На экране, расположенном
в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка. На сколько
сместится эта точка на экране, если убрать пластинку?
Указание. Для малых углов х справедливо sinx « х. (Билет 1, 2000)
4.98. Стеклянный трапецеидальный сосуд с малым углом а = 6° за¬
полнен водой с показателем преломления п = 1,33. На сосуд падает па¬
раллельный пучок света. За сосудом расположена собирающая линза с
фокусным расстоянием F = 50 см (рис. 4.54). На экране, расположенном

240
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка. На сколько
сместится эта точка на экране, если убрать сосуд?
Указание. Для малых углов х справедливо sinx « х. (Билет 2, 2000)
4.99. Плоскопараллельная пластина составлена из двух стеклянных
клиньев с малым углом а. Показатели преломления клиньев пi = 1,53.
7?2 — 1,73. На пластинку нормально ее поверхности падает параллель¬
ный пучок света. За пластинкой расположена собирающая линза с фо¬
кусным расстоянием F = 50 см (рис. 4.55). На экране, расположенном
в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка. Если убрать
пластинку, то эта точка смещается на экране на Н = 10 мм. Определить
величину угла а.
Указание. Для малых углов х справедливо sinx « х. (Билет 3, 2000)
4.100. На стеклянный трапецеидальный сосуд с углом наклона а =
= 6° падает параллельный пучок света. За сосудом расположена собира¬
ющая линза с фокусным расстоянием F = 45 см (рис. 4.56). На экране,
Рис. 4.55	Рис.	4.56
находящемся в фокальной плоскости линзы, наблюдается светлая точка.
После заполнения сосуда глицерином светлая точка смещается на экране
на // = 44,3 мм. Определить показатель преломления глицерина.
Указание. Для малых углов х справедливо sinx « х. (Билет 4, 2000)
4.101. Точечный источник света расположен на главной оптической
оси слева от линзы с фокусным расстоянием F\ — —10 см. Расстояние
от источника до рассеивающей линзы d — 40 см. На расстоянии L —
= 20 см слева от рассеивающей линзы расположена собирающая линза.
Главные оптические оси линз совпадают. Найти фокусное расстояние
собирающей линзы, если из системы линз выходит параллельный пучок
света. (Билет 5, 2000)
4.102. Точечный источник света находится на главной оптической
оси тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F\ = —30 см
слева от нее на расстоянии с/ = 70см. На каком расстоянии от рас¬
сеивающей линзы надо поместить справа от нее тонкую собирающую
линзу с фокусным расстоянием F2 = 50cm, чтобы из системы выходил
параллельный пучок света? Главные оптические оси линз совпадают.
(Билет 6, 2000)
4.103. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F\ = 20 см слева от линзы помещен точечный ис¬
точник света на расстоянии </ = 30 см от линзы. На каком расстоянии

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
241
от собирающей линзы надо поместить справа от нее тонкую рассеива¬
ющую линзу с фокусным расстоянием F2 = — 10 см, чтобы из системы
линз вышел параллельный пучок света? Главные оптические оси линз
совпадают. (Билет 7, 2000)
4.104.	На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F\ = 30 см слева от нее помещен точечный источ¬
ник света на расстоянии d = 50 см от линзы. Между источником и со¬
бирающей линзой помещают рассеивающую линзу. Расстояние между
л
 >
в
Рис. 4.57	Рис. 4.58
линзами L — 20 см. Главные оптические оси линз совпадают. Найти фо¬
кусное расстояние рассеивающей линзы, если известно, что из системы
ЛИНЗ ВЫШеЛ ПараЛЛеЛЬНЫЙ пуЧОК Света. (Билет 8. 2000)
4.105. Из стеклянной пластинки с показателем преломления п —
= 1,5 вырезали толстую линзу в форме полушара радиусом R — 10 см
(рис. 4.57). Через такую линзу рассматривается точечный источник све¬
та S, расположенный на расстоянии а = R/2 от плоской поверхности
полушара. На каком расстоянии от этой
поверхности наблюдатель видит изобра¬
жение источника света?
Указание. Для малых углов tga «
« sin a ~ а. (Билет 1, 2001)
4.106. В стеклянной пластине толщи¬
ной а = 2R вырезана половина шара ра¬
диуса R = 10 см. Показатель преломле¬
ния стекла п = 1,5. Наблюдатель рассмат¬
ривает через получившуюся толстую линзу точечный источник све¬
та 5, расположенный на расстоянии 5R/2 от плоской поверхности АВ
(рис. 4.58). На каком расстоянии от поверхности АВ он видит изобра¬
жение источника?
Указание. Для малых углов tga « sina а. (Билет 2, 2001)
4.107. Из стеклянной пластинки с показателем преломления п — 1,5
вырезали толстую линзу в форме полушара радиусом R = 10 см. Через
такую линзу рассматривается точечный источник света 5, расположен¬
ный на расстоянии а — 2R от плоской поверхности полушара (рис. 4.59).

242
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
На каком расстоянии от этой поверхности наблюдатель видит источник
света?
Указание. Для малых углов tga « sin а % а. (Билет 3, 2001)
4.108.	В стеклянной пластине толщиной а = 2R вырезана половина
шара радиуса В = 10 см. Показатель преломления стекла п = 1,5. На¬
блюдатель рассматривает через получившуюся толстую линзу точечный
источник света S, расположенный на
расстоянии Я от плоской поверхно¬
сти АВ (рис. 4.60). На каком рас¬
стоянии от поверхности АВ он ви¬
дит изображение источника?
Указание. Для малых углов
tga ~ sin a « а. (Билет 4, 2001)
4.109. Точечный источник све¬
та находится на главной оптической
оси на расстоянии а = 40 см от соби¬
рающей линзы с фокусным расстоя¬
нием F = 8 см. Источник сместили вверх на расстояние h = 5 см в плос¬
кости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и куда
надо сместить линзу, чтобы изображение источника вернулось в старое
положение? (Билет 5, 2001)
4.110. Точечный источник света находится на главной оптической
оси на расстоянии d = 40 см от рассеивающей линзы с фокусным рас¬
стоянием F = 10 см. Источник сместили вверх на расстояние h — 5 см
в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и
куда надо сместить линзу, чтобы изображение источника вернулось в
старое положение? (Билет 6, 2001)
4.111. Точечный источник света находится на главной оптической
оси на расстоянии а = 8 см от собирающей линзы с фокусным расстоя¬
нием F — 12 см. Источник сместили вниз на расстояние h = 4 см в плос¬
кости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и куда
надо сместить линзу, чтобы изображение источника вернулось в старое
положение? (Билет 7, 2001)
4.112. Точечный источник света находится на главной оптической
оси на расстоянии а = 60 см от рассеивающей линзы с фокусным рас¬
стоянием F —— 15 см. Линзу сместили вверх на расстояние L — 2 см в
плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и ку¬
да надо сместить источник, чтобы его изображение вернулось в старое
положение? (Билет 8. 2001)
4.113. С помощью рассеивающей линзы получено изображение спич¬
ки, расположенной перпендикулярно главной оптической оси линзы, с
увеличением Fi = 1 /2. По другую сторону линзы на расстоянии а —
= 9 см от нее перпендикулярно главной оптической оси линзы устано¬
вили плоское зеркало. Изображение спички в системе «линза-зеркало»

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
243
Рис. 4.61
получилось с увеличением Г —1/4. Определить фокусное расстояние
ЛИНЗЫ. (Билет 9. 2001)
4.114. На деталь космического аппарата в форме прямого кругового
конуса с радиусом основания R = 20 см и образующей L = 25 см падает
солнечный свет параллельно оси конуса
(рис. 4.61). Интенсивность света (мощность,
проходящая через единицу площади плоской
поверхности, ориентированной перпендикуляр¬
но световым лучам) I = 1,4 кВт/м2. С какой
силой свет действует на деталь? Считать, что
деталь отражает свет зеркально и полностью.
(Билет 9, 2001)
4.115. С помощью положительной линзы
с фокусным расстоянием 7^=15 см получено
мнимое изображение иголки, расположенной
перпендикулярно главной оптической оси лин¬
зы, с увеличением ]% =2. По другую сторону линзы перпендикулярно
ее главной оптической оси установили плоское зеркало. Изображение
иголки в системе «линза-зеркало» получилось с увеличением Г2 = 3.
Определить расстояние от линзы до зеркала. (Билет 10. 2001)
4.116. На полупрозрачное зеркало площадью S — 100 см2, находяще¬
еся на орбите искуственного спутника Земли, падают солнечные лучи
перпендикулярно поверхности зеркала. Зеркало отражает в обратном на¬
правлении 30% и пропускает в прямом направлении 20% энергии падаю¬
щего света, а остальную энергию поглощает. Найти силу, действующую
на зеркало со стороны света. Расстояние от Земли (зеркала) до Солнца
R — 150 • 10е км. Мощность излучения Солнца N = 3,9 • 1026 Вт. (Би¬
лет 10. 2001)
4.117. С помощью рассеивающей линзы с фокусным расстоянием
F — 12 см получено изображение гвоздика, расположенного перпендику¬
лярно главной оптической оси линзы, с увеличением Г = 1/3. По другую
сторону линзы перпендикулярно ее главной опти¬
ческой оси установили плоское зеркало. Изобра¬
жение гвоздика в системе «линза-зеркало» полу¬
чилось с увеличением Г = 1/6. Определить рас¬
стояние от ЛИНЗЫ ДО зеркала. (Билет 11, 2001)
4.118. Призма (рис. 4.62) отклоняет парал¬
лельный пучок света на угол а (сова = 7/9). Мощ¬
ность пучка N — 30 Вт. Найти силу, с которой свет действует на призму.
Отражением и поглощением света призмой пренебречь. (Билет 11. 2001)
4.119. С помощью положительной линзы на экране получено изобра¬
жение булавки, расположенной перпендикулярно главной оптической оси
линзы, с увеличением Г = 1. Между линзой и экраном на расстоянии
а = 10 см от линзы перпендикулярно ее главной оптической оси устано¬

244
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
вили плоское зеркало. Изображение булавки в системе «линза-зеркало»
получилось с увеличением Г = 2. Определить фокусное расстояние лин¬
зы. (Билет 12, 2001)
4.120. Лампочка излучает изотропно световую энергию мощностью
N = 40 Вт. На расстоянии R = 1 м от лампочки, перпендикулярно све¬
товым лучам, расположено небольшое полупрозрачное зеркальце пло¬
щадью S — 1 см2. Зеркальце отражает в обратном направлении 20% и
поглощает 30% энергии падающего света, а остальную энергию пропус¬
кает в прямом направлении. С какой силой свет действует на зеркальце?
(Билет 12, 2001)
4.121. Оптическая система, состоящая из собирающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F = 20 см и плоского зеркала в форме посеребрен¬
ной с одной стороны плоскопараллельной пластинки толщиной d — 6 см
с показателем преломления п = 1,5, создает действительное изображе¬
ние точечного источника света S, расположенного на главной оптической
Рис. 4.63	Рис. 4.64
оси линзы. Расстояние от источника S до линзы а = 3F/5, а от изоб¬
ражения Sь даваемого системой, до линзы b = 3F/2 (рис. 4.63). Найти
расстояние L от линзы до зеркала. Отражением от передней поверхности
ПЛасТИНКИ пренебречь. (Билет 1, 2002)
4.122. Оптическая система, состоящая из рассеивающей линзы и
плоского зеркала в форме посеребренной с одной стороны плоскопа¬
раллельной пластинки толщиной d — 3 см с показателем преломления
п — 1,5, создает мнимое изображение (после отражения от зеркала и
прохождения линзы) точечного источника света 5, расположенного на
главной оптической оси линзы. Найти фокусное расстояние линзы F,
если расстояние от источника света до линзы b = 2F/3, а от изображе¬
ния S1, даваемого системой, до линзы b = 2F/3 (рис. 4.64). Расстояние
между линзой и зеркалом L = 10cm. Отражением от передней поверх¬
ности пластинки пренебречь. (Билет 2, 2002)
4.123. Оптическая система, состоящая из собирающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F = 12 см и плоского зеркала в форме посеребрен¬
ной с одной стороны плоскопараллельной пластинки толщиной d = 9 см,
создает действительное изображение (после отражения от зеркала и про¬
хождения линзы) точечного источника света S, расположенного на глав¬

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
245
ной оптической оси линзы между линзой и зеркалом (рис. 4.65). Рассто¬
яние от источника до линзы а = 2F/3, а от изображения S\, даваемого
системой, до линзы Ь = 2F. Найти показатель преломления пластинки п.
Рис. 4,65	Рис.	4.66
Расстояние между линзой и зеркалом L = 10 см. Отражением от перед¬
ней пластинки пренебречь. (Билет 3. 2002)
4.124. Оптическая система, состоящая из рассеивающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F = —20 см и плоского зеркала в форме посереб¬
ренной с одной стороны плоскопараллельной пластинки с показателем
преломления п = 1,5, создает мнимое изображение точечного источника
света S, расположенного на главной оптической оси линзы (рис. 4.66).
Расстояние от источника S до линзы a — |F|, а от изображения S\, да¬
ваемого системой, до линзы b= |F|/2. Найти толщину зеркальной пла¬
стинки. Расстояние между линзой и зеркалом L — Зсм. Отражением от
передней поверхности пластинки пренебречь. (Билет 4, 2002)
4.125. Муха пересекает главную оптическую ось собирающей линзы
на расстоянии а — 3F, где F — фокусное расстояние линзы, под малым
углом а к оси линзы со скоростью v (рис. 4.67).
1) Под каким углом изображение мухи пересекает главную оптиче¬
скую ось?
2) Чему равна в этот момент скорость изображения мухи?
Указание. Для малых углов sin а « tga « а. (Билет 5, 2002)
Рис. 4.67	Рис.	4.68
4.126.	Муравей пересекает главную оптическую ось рассеивающей
линзы на расстоянии а = 4F, где F — фокусное расстояние линзы, под
малым углом а к оси линзы со скоростью v (рис. 4.68).

246
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
1)Под каким углом изображение муравья пересекает главную опти¬
ческую ось?
2) Чему будет равна в этот момент скорость изображения муравья?
Указание. Для малых углов sin а « tga ^ а. (Билет 6, 2002)
Рис. 4.69	Рис.	4.70
4.127. Комар пересекает главную оптическую ось собирающей линзы
на расстоянии а — 3F/4, где F — фокусное расстояние линзы, под малым
углом а к оси линзы со скоростью v (рис. 4.69).
1)Под каким углом изображение комара пересекает главную оптиче¬
скую ось линзы?
2)Чему равна в этот момент скорость изображения комара?
Указание. Для малых углов sin a « tga « а. (Билет 7, 2002)
4.128. Жук пересекает оптическую ось рассеивающей линзы под ма¬
лым углом а со скоростью v (рис. 4.70). Поперечное увеличение линзы
1)Под каким углом изображе¬
ние жука пересекает главную опти¬
ческую ось линзы?
2) Чему равна в этот момент
скорость изображения жука?
Указание. Для малых углов
sin a « tga « а. (Билет 8, 2002)
4.129.	Оптическая система со¬
стоит из двух линз: собирающей и
рассеивающей (рис. 4.71), главные
оптические оси которых параллель¬
ны и смещены друг относительно друга на расстояние d = 1 см. Парал¬
лельный пучок света, направленный на систему параллельно главным
оптическим осям, фокусируется системой в точке F, расположенной на
расстоянии а = 10см от рассеивающей линзы.
1) Найти расстояние между линзами L.
2) Найти расстояние b от фокуса F до главной оптической оси соби¬
рающей линзы.
Фокусные расстояния ЛИНЗ Fi = 40 CM, F2 = —40 СМ. (Билет 9. 2002)
яля панного момента Г = 1/6.
ir
d
т L ш
Рис. 4.71

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
247
V/A
i
а
L
d
4.130. Оптическая система состоит из рассеивающей линзы Л\ и со¬
бирающей линзы Л2> расположенных на расстоянии L = 10 см друг от
друга (рис. 4.72). Главные оптические оси линз параллельны. Парал¬
лельный пучок света, падающий перпендикулярно плоскостям линз, фо¬
кусируется системой в точке F, расположенной слева от рассеивающей
линзы Л\ на расстоянии а = 30 см
от нее и на расстоянии b — 1 см от
ее оптической оси.
1) Найти фокусное расстояние F2
собирающей линзы Л2.
2) Определить расстояние d меж¬
ду оптическими осями линз.
Фокусное расстояние линзы Л\
F\ = —10 см. (Билет 10, 2002)
4.131. Оптическая система со¬
стоит из собирающей линзы Л\ и
рассеивающей линзы Л2 (рис. 4.73),
главные оптические оси которых параллельны и смещены друг относи¬
тельно друга на расстояние d = 1 см. На систему со стороны собираю¬
щей линзы параллельно ее главной оптической оси падает параллельный
пучок света. Найти положение фокуса F такой системы:
\) х — расстояние от F до плоскости линзы Л2,
2)у — расстояние от F до главной оптической оси	линзы	Л\.	Рас¬
стояние между линзами а = 30 см, фокусные расстояния	линз	Л\	и	Л2
Fl = 10 СМ И F2 = -10 СМ. (Билет И, 2002)
4.132. Оптическая система состоит из рассеивающей линзы Л\ и
собирающей линзы Л2, расположенных на расстоянии L = 8 см друг от
Рис. 4.72
У^2
Рис. 4.73
друга (рис. 4.74). Главные оптические оси линз параллельны. Парал¬
лельный пучок света, падающий на систему параллельно оптическим
осям, фокусируется в точке F, расположенной на расстоянии b = 0,5 см
от главной оптической оси линзы Л2.
1)	Определить расстояние d между оптическими осями линз.

248
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
2)Определить расстояние а от фокуса системы F до плоскости со¬
бирающей линзы Л2.
Фокусные расстояния ЛИНЗ Jl\ И JJ2 F\ = —16 см И F2 = 16 см. (Би¬
лет 12, 2002)
4.133. На прозрачную усеченную призму, ширина верхнего основа¬
ния которой £> = 0,4 см, падает узкий пучок монохроматического света
параллельно плоскости основания (рис. 4.75). Угол при вершине призмы
а = 0,2 рад. Высота призмы L = 10 см. Показатель преломления мате¬
риала призмы в направлении оси х от верхнего основания имеет вид
п(х) = 1,4(1 — х/7£). На каком расстоянии а от верхнего основания на¬
до пустить узкий пучок света, чтобы, пройдя сквозь нее, он не изменил
своего направления?
Указание. Для малых углов а считать, что sina«a«tga. (Би¬
лет 1, 2003)
4.134. Под каким углом у к плоскости основания необходимо пу¬
стить узкий пучок монохроматического света через усеченную равно¬
бедренную призму из прозрачного материала, чтобы пройдя сквозь нее,
k a
А а
!\
кСС
И D
‘ X
i I
Lr A
1 1
1
1 1 \
a 1 ' ' - \
( r - , \
I jtlix) / \
1 Г
0
Рис. 4.76
Рис. 4.77
он вышел под тем же углом к плоскости основания на расстоянии а =
= 5 см от него (рис. 4.76)? Высота призмы L = 10 см. Угол при вершине
призмы a = ОД рад. Показатель преломления в направлении оси х имеет
вид п(х) = 1,2(1 + x/6L). Ширина верхнего основания D = 0,4 см.
Указание. Для малых углов а считать, что sina^a «tga. (Би¬
лет 2, 2003)
4.135.	На усеченную призму, выполненную из прозрачного материа¬
ла, ширина верхнего основания которой £> = 0,2 см, на расстоянии а =
= 5 см от нижнего основания падает узкий пучок монохроматическо¬
го света параллельно плоскости основания (рис. 4.77). Выходящий из
призмы пучок света не изменил своего направления. Высота призмы £.
Считая, что показатель преломления материала призмы зависит от ко¬
ординаты х как п(х) = 1,2(1 + x/6L), определить угол а при вершине
призмы.

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
249
tga
(Би¬
ос
Указание. Для малых углов а считать, что sina^a
лет 3, 2003)
4.136. На прозрачную усеченную призму с углом при вершине а =
= 0,2 рад под углом у = 0,06 рад к плоскости основания призмы
(рис. 4.78) падает узкий пучок монохроматического
света и выходит из призмы параллельно плоскости
основания на расстоянии а = 1 см от верхней гра¬
ницы призмы. Зависимость показателя преломления
вдоль оси х имеет вид п(х) = 1,4(1 — х/7L). Опреде¬
лить высоту призмы L. Ширина верхнего основания
D = 0,1 см.
Указание. Для малых углов а считать, что
sin a « a « tga. (Билет 4, 2003)
4.137. Тонкая рассеивающая линза с фокус¬
ным расстоянием F-— 15см вогнутой стороной с
радиусом кривизны R = 10 см притоплена в воду
(рис. 4.79). Показатель преломления воды п — 1,33.
На каком расстоянии от линзы и где будет находиться изображение
Солнца, находящегося В зените? (Билет 5. 2003)
4.138. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F — 20 см
выпуклой стороной с радиусом кривизны R — 15 см притоплена в воду
ИI
Рис. 4.79
i и
Рис. 4.81
(рис. 4.80). Показатель преломления воды п = 1,33. На каком расстоя¬
нии от линзы и где будет находиться изображение Солнца, находящегося
В зените? (Билет б, 2003)
4.139. Тонкая плоско-вогнутая линза, изготовленная из стекла с по¬
казателем преломления п2 = 1,66, вогнутой стороной с радиусом кри¬
визны Я = 14 см притоплена в воду (рис. 4.81). Показатель преломления
воды п\ — 1,33. На каком расстоянии от линзы и где будет находиться
изображение Солнца, находящегося в зените? (Билет 7, 2003)
4.140. Тонкая плоско-выпуклая линза, изготовленная из стекла с по¬
казателем преломления п2 = 1,66, выпуклой стороной с радиусом кри¬
визны Я — 12 см притоплена в воду (рис. 4.82). Показатель преломления

250
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
воды п\ — 1,33. На каком расстоянии от линзы и где будет находиться
изображение Солнца, находящегося в зените? (Билет 8, 2003)
4.141.	Интерференционная схема состоит из плоского зеркала 3,
экрана Э, небольшого фотоприемника и точечного источника 5, который
движется со скоростью v = 2 см/с перпендикулярно оси О А (рис. 4.83).
Определите частоту колебаний фототока приемника, когда источник све¬
та движется вблизи оси О А, если длина волны света X — 5 • 10-7 м, L =
= 1 м, d = 0,5 см. Фототок приемника пропорционален освещенности в
точке А.
Указание. При малых х полагать >/1 -f х « 1 + §. (Билет 9, 2003)
4.142.	Интерференционная схема, изображенная на рис. 4.84, состо¬
ит из точечного монохроматического (Х = 5-10_7м) источника S, ко¬
торый движется со скоростью v = 4 см/с перпендикулярно оси О А, и
двух экранов. На экране Э2 наблюдается интерференционная картина.
В центре экрана Э2 расположен небольшой фотоприемник А. Определи¬
те частоту колебаний фототока приемника, когда источник света будет
вблизи оси О А, если L = 1 м. Фототок приемника пропорционален осве¬
щенности в точке А.
Указание. При малых х полагать >/1 -Б х « 1 + §. (Билет 10, 2003)
4.143.	Интерференционная схема включает в себя точечный моно¬
хроматический источник света S (^=5-10_7м), экран Э, небольшой
фотоприемник А и плоское зеркало 3, которое движется со скоростью
v = 0,2 см/с перпендикулярно оси О А (рис. 4.85). Определите частоту
колебаний фототока приемника в момент, когда зеркало будет находить¬
ся на расстоянии d — 0,5 см от оси О А, если L = 2 м. Фототок приемника
пропорционален освещенности в точке А
Указание. При малых х полагать >/1 ч- х « 1 + |. (Билет 11, 2003)
3
э
R
о\
L
■с А
Рис. 4.82
Рис. 4.83
О
■с А
С
с А
L
Рис. 4.84
Рис. 4.85

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
251
4.144.	Интерференционная схема, изображенная на рис. 4.86, состо¬
ит из точечного монохроматического (Х = 5 • 10-7 м) источника S и двух
экранов Э1 и Э'2- В экране Э\ сделаны два маленьких отверстия В и С,
расстояние между которыми d — 0,5 см. На экране Э-2 наблюдается ин¬
терференционная картина. Небольшой фотоприемник Ф движется вдоль
О
?'
в1
ell
I
L
ч
А
Ф
Ол
а
т
L
Рис. 4.86
Рис. 4.87
экрана к оси О А со скоростью v = 0,4 см/с. Определите частоту колеба¬
ний фототока приемника, когда фотоприемник будет находиться вблизи
точки А, если 1 = 2м. Ось О А перпендикулярна экранам. Фототок при¬
емника пропорционален освещенности в месте нахождения приемника.
Указание. При малых х полагать уД -f X « 1 -ь |. (Билет 12, 2003)
4.145.	Параллельный пучок света падает на систему двух собираю¬
щих линз, главные оптические оси которых параллельны (ОО || OiOi)
и находятся на расстоянии а = ОД см друг от друга, под малым углом
л 2
Ji\	V
Рис. 4.88
а = 0,1 рад к ним (рис. 4.87) и, пройдя через линзы, отклоняется на
малый угол р = 0,2 рад от оптических осей линз. Определить фокусные
расстояния линз F\ и F2, если расстояние между линзами Ь = Юсм.
(Билет 1, 2004)
4.146.	Параллельный пучок света падает на систему двух линз: со¬
бирающую Jl\ и рассеивающую Л2 под малым углом а = 0,1 рад к их
оптическим осям. Оптические оси линз параллельны и находятся на
расстоянии а = ОД см друг от друга (рис. 4.88). После прохождения оп¬
тической системы пучок света отклоняется от оптических осей линз на

252
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
малый угол (3 = 0,2 рад. Найти фокусные расстояния линз F\ и F2, если
расстояние между линзами L — 10 СМ. (Билет 2, 2004)
4.147.	Параллельный пучок света падает на систему двух собираю¬
щих линз Л\ и Л2, оптические центры которых лежат на прямой ОО, под
малым углом а = 0,2 рад к главной оптической оси линзы JI\ (рис. 4.89).
Л1	Л2	Л\	л	2
Рис. 4.89	Рис.	4.90
Линза Ло повернута на малый угол (3 = 0,1 рад относительно плоскости
линзы Л\. Оказалось, что падающий пучок света, пройдя через систе¬
му линз, отклонился на малый угол (3 = ОД рад относительно оси ОО.
Определить фокусные расстояния линз F\ и F2, если расстояние между
оптическими центрами линз L — 10 СМ. (Билет 3, 2004)
4.148.	Параллельный пучок света падает на систему двух линз (рас¬
сеивающую Л1 и собирающую Л2), оптические центры которых лежат
на прямой ОО на расстоянии L — 10 см друг от друга, под малым углом
а = 0,2 рад к главной оптической оси линзы Л\ (рис. 4.90). Линза Лп
повернута на малый угол (3 — ОД рад относительно плоскости линзы Л\.
Оказалось, что падающий пучок света, пройдя через систему линз, от¬
клонился на малый угол (3 = ОД рад относительно оси ОО. Определить
фокусные расстояния ЛИНЗ F\ и F2. (Билет 4. 2004)
4.149.	Луч света падает на оптическую систему параллельно ее оп¬
тической оси ОО' (рис. 4.91). Оптическая система включает в себя со¬
бирающую линзу с фокусным расстоянием F и уголковый отражатель,
состоящий из двух плоских взаимно перпендикулярных зеркал. Отра¬
жатель расположен симметрично относительно оптической оси. Луч, от-

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
253
раженный от двух зеркал уголка, выходит из линзы под малым углом (3
к оптической оси. Найти этот угол, если падающий луч проходит на
небольшом расстоянии d	от	оптической оси, а расстояние от
линзы до уголкового отражателя L = 3F/2.
Указание. Для малых углов а можно считать, что sina « a « tga.
(Билет 5, 2004)
4.150. Луч света падает на оптическую систему параллельно ее опти¬
ческой оси ООг (рис. 4.92). Оптическая система включает в себя рассеи¬
вающую линзу с фокусным расстоянием F (F > 0) и уголковый отража¬
тель, состоящий из двух плоских взаимно перпендикулярных зеркал. От¬
ражатель расположен симметрично относительно оптической оси. Луч,
отраженный от двух зеркал уголка, выходит из линзы под малым уг¬
лом (3 к оптической оси. Найти этот угол, если падающий луч проходит
через оптический центр линзы, а расстояние от линзы до уголкового
отражателя L — F/2.
Указание. Для малых углов а можно считать, что sina « a « tga.
(Билет 6, 2004)
4.151. Луч света падает на оптическую систему под малым углом а к
ее оптической оси ОО' (рис. 4.93). Оптическая система включает в себя
собирающую линзу с фокусным расстоянием F и уголковый отражатель,
состоящий из двух плоских взаимно перпендикулярных зеркал. Отра¬
жатель расположен симметрично относительно оптической оси. Луч,
отраженный от двух зеркал уголка, выходит из линзы под углом (3 к
оптической оси линзы. Найти этот угол, если падающий луч проходит
через оптический центр линзы, а расстояние от линзы до уголкового
отражателя L = F. (Билет 7. 2004)
4.152.	Луч света падает на оптическую систему под малым уг¬
лом а к ее оптической оси 00\ проходя через оптический центр лин¬
зы (рис. 4.92). Оптическая система включает в себя собирающую лин¬
зу с фокусным расстоянием F и уголковый отражатель, состоящий из
двух плоских взаимно перпендикулярных зеркал. Отражатель располо¬
жен симметрично относительно оптической оси. Под каким углом к оп-
V
Рис. 4.92
Рис. 4.93

254
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
тической оси выйдет луч из линзы после отражения от двух зеркал
отражателя? Расстояние от линзы до уголкового отражателя L = F/2.
(Билет 8, 2004)
4.153. За тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F =
= 10 см поместили плоское зеркало, перпендикулярное главной оптиче¬
ской оси линзы. При этом оказалось, что при расположении предмета
на расстоянии L перед линзой изображение в системе линза-зеркало-
линза получается прямое при L > 3F и перевернутое при L < 3F. Найти
расстояние ОТ ЛИНЗЫ ДО зеркала. (Билет 9. 2004)
4.154. За тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F =
= 10 см поместили плоское зеркало, перпендикулярное главной оптиче¬
ской оси линзы. При расположении предмета на расстоянии d = F/2
перед линзой ближайший к предмету фокус линзы оказался посередине
между предметом и его изображением в системе линза-зеркало-линза.
Найдите расстояние от линзы до зеркала. (Билет 10, 2004)
4.155. За тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F —
= 12см поместили плоское зеркало, перпендикулярное главной оптиче¬
ской оси линзы, на расстоянии L = ^F от нее. При каких расстояниях
между линзой и предметом, расположенным перед линзой, его изобра¬
жение в системе линза-зеркало-линза будет прямым, а при каких —
перевернутым? (Билет И, 2004)
4.156. За тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F —
= 10 см поместили плоское зеркало, перпендикулярное главной опти¬
ческой оси линзы. При расположении предмета на расстоянии d — ^F
перед линзой ближайший к предмету фокус линзы оказался посередине
лянную пластину толщиной d = 1 см, то светящаяся точка смещается
по экрану на расстояние а = 8см. Определить показатель преломления
пластины.
Указание. При малых углах х можно считать, что sina; « tg » х.
(Билет 1, 2005)
4.158.	Для измерения показателя преломления плоскопараллель¬
ной пластины была собрана оптическая система, представленная на
рис. 4.95. Луч лазера, направленный перпендикулярно пластине и па¬
раллельно главной оптической оси собирающей линзы, проходит через
систему пластина-линза и наблюдается на экране Э в виде светящейся
d
между предметом и его изображением в системе
линза-зеркало-линза. Найдите расстояние от линзы до
зеркала. (Билет 12, 2004)
л
Рис. 4.94
4.157.	Луч лазера, направленный под малым углом
а = ОД рад к главной оптической оси рассеивающей
линзы с фокусным расстоянием F = —Зсм, наблюдает¬
ся в виде светящейся точки на экране Э, расположен¬
ном на расстоянии L = 630 см от линзы (рис. 4.94). Ес¬
ли слева от линзы поставить плоскопараллельную стек-

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
255
точки. При повороте пластины на малый угол а = ОД рад светящаяся
точка сместилась на расстояние а — 6 см по экрану. Определить пока¬
затель преломления пластины, если ее толщина d— 1 см, расстояние от
линзы до экрана L = 500 см, а фокусное расстояние линзы F = 3 см.
Указание. При малых углах х можно считать, что sinx tgcc « х.
(Билет 2, 2005)
4.159. Луч лазера, направленный на оптическую систему, состоящую
из плоскопараллельной диэлектрической пластины и рассеивающей лин¬
зы, параллельно ее главной оптической оси и перпендикулярно пластине,
наблюдается в виде светящейся точки на экране Э (рис. 4.96). При пово¬
роте пластины на малый угол а = ОД рад светящаяся точка сместилась
d
^ э
Рис. 4.95
dfy ‘
ЭЬ
i
5
/
V
ам^ 1
%
Г У
Рис.
4.96
L
Рис. 4.97
на расстояние а — 5 см. Определить показатель преломления пластины,
если ее толщина d = 1 см, расстояние от линзы до экрана L — 400 см, а
фокусное расстояние линзы равно F = —Зсм.
Указание. При малых углах х можно считать, что sin а: « tga™ « х.
(Билет 3, 2005)
4.160. Луч лазера, направленный под малым углом а = ОД рад к
главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием
F = Зсм, наблюдается в виде светящейся точки на экране Э, распо¬
ложенном на расстоянии L = 540 см от линзы (рис. 4.97). Если слева
от линзы поставить плоскопараллельную прозрачную пластину толщи¬
ны d — 1 см, то светящаяся точка сместится по экрану на расстояние
а = 7 см. Определить показатель преломления пластины.
Указание. При малых углах х можно считать, что sinx «tgx « х.
(Билет 4, 2005)
4.161. В жидкости с показателем преломления п — 1,5 на воздуш¬
ный пузырек, расположенный у плоской поверхности тонкой прозрачной
стенки сосуда, вдоль диаметра АВ пузырька падает параллельный пу¬
чок света (рис. 4.98). Диаметр пучка много меньше радиуса пузырька.
Если вплотную к стенке приставить линзу с фокусным расстоянием F\ —
= 2 см, то фокусировка света, вошедшего в пузырек, произойдет в цен¬
тре пузырька О. Линзу с каким фокусным расстоянием нужно поставить
взамен первой линзы, чтобы свет сфокусировался в точке А?
Указание. Для малых углов а можно считать, что sina^
ft tga ft а. (Билет 9, 2005)

256
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
4.162. На прозрачный шар с показателем преломления п = 1,5 вдоль
диаметра АВ шара падает параллельный пучок света. Диаметр пучка
много меньше радиуса шара. Если на расстоянии Li=8 см от шара
поставить линзу с фокусным расстоянием .F = 10cm, то фокусировка
света, вошедшего в шар, произойдет в центре шара О (рис. 4.99). На
каком расстоянии Ь2 от шара нужно поместить эту линзу, чтобы свет
сфокусировался в точке Л?
Указание. При малых углах а можно считать, что sina ^
« tga ~ а. (Билет 10, 2005)
4.163. Воздушный пузырек радиусом R в жидкости касается плоской
поверхности тонкой прозрачной стенки сосуда, к которой вплотную при¬
ставлена собирающая линза. На линзу вдоль диаметра АВ пузырька па¬
дает параллельный пучок света (рис. 4.100). Диаметр пучка значительно
меньше радиуса пузырька. Параметры оптической системы таковы, что
фокусировка света, вошедшего в пузырек, происходит в точке А. Опре¬
делить показатель преломления жидкости, окружающей пузырек, если
при смещении линзы на расстояние L — R/3 от пузырька свет фокуси¬
руется в центре пузырька (точка О).
Указание. При малых углах а можно считать, что sin a«
~ tga ^ а. (Билет 11, 2005)
4.164. На прозрачный шар с показателем преломления п = 1.5 вдоль
диаметра АВ шара падает параллельный пучок света (рис. 4.101). Диа¬
метр пучка много меньше радиуса шара. Если вплотную к шару приста¬
вить линзу с фокусным расстоянием F\ = 2 см, то фокусировка света,
Рис. 4.99
Рис. 4.100
АЬ// АО', /у) В „
T-'V" *7* / '7
Рис. 4.101
вошедшего в шар, произойдет в центре шара (точка О). Линзу с каким
фокусным расстоянием F2 нужно поставить взамен первой линзы, чтобы
свет сфокусировался в точке Л?
Указание. При малых углах а можно считать, что sina^
~ tga ~ а. (Билет 12, 2005)
4.165. Тонкая линза создает прямое изображение предмета с увели¬
чением 3. Во сколько раз расстояние между предметом и изображением
больше фокусного расстояния ЛИНЗЫ? (Билет 1, 2006)
4.166. Тонкая линза создает прямое увеличенное изображение пред¬
мета, причем расстояние между предметом и изображением в два раза
меньше фокусного расстояния линзы. Найдите увеличение. (Билет 2, 2006)

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
257
4.167. Тонкая линза создает прямое изображение предмета с увели¬
чением 0,25. Во сколько раз расстояние между предметом и изображе¬
нием больше фокусного расстояния ЛИНЗЫ? (Билет 3, 2006)
4.168. Тонкая линза создает прямое уменьшенное изображение пред¬
мета, причем расстояние между предметом и изображением в два раза
меньше фокусного расстояния линзы. Найдите увеличение. (Билет 4, 2006)
4.169. Вдоль оптической оси системы, состоящей из плоского зерка¬
ла и тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F, равномерно
движется точечный источник света S со скоростью v (рис. 4.102). Пре¬
небрегая отражением света от поверхностей линзы, определите скорости
(по величине и направлению) всех трех изображений в данной системе
в тот момент, когда источник находится посередине между зеркалом и
линзой, расстояние между которыми равно фокусному расстоянию лин¬
зы. (Билет 5. 2006)
4.170. Вдоль оптической оси системы, состоящей из тонкой собира¬
ющей линзы с фокусным расстоянием F и плоского зеркала, равномерно
движется точечный источник света S со скоростью v. Расстояние меж¬
ду линзой и зеркалом равно 2F (рис. 4.103). Пренебрегая отражением
F
S
•3F-
V
2F*
S v
2 F —
2 F
Рис. 4.102
Рис. 4.103
Рис. 4.104
Рис. 4.105
света от поверхностей линзы, определите скорости (по величине и на¬
правлению) всех трех изображений в данной системе в тот момент, когда
источник находится на расстоянии 3F от ЛИНЗЫ. (Билет 6, 2006)
4.171. Вдоль оптической оси системы, состоящей из тонкой рассеива¬
ющей линзы с фокусным расстоянием F и плоского зеркала, равномерно
движется точечный источник света S со скоростью v. Расстояние меж¬
ду линзой и зеркалом равно 2F (рис. 4.104). Пренебрегая отражением
света от поверхностей линзы, определите скорости (по величине и на¬
правлению) всех трех изображений в данной системе в тот момент, когда
источник находится посередине между зеркалом и линзой. (Билет 7, 2006)
4.172. Вдоль оптической оси системы, состоящей из тонкой рассе¬
ивающей линзы с фокусным расстоянием F и плоского зеркала, рав¬
номерно движется точечный источник света S со скоростью v. Рас¬
стояние между линзой и зеркалом равно F/3 (рис. 4.105). Пренебре¬
гая отражением света от поверхностей линзы, определите скорости (по
величине и направлению) всех трех изображений в данной системе
в тот момент, когда источник находится на расстоянии 2F от линзы.
(Билет 8, 2006)

258
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
4.173. Тонкая линза создает изображение предмета с некоторым уве¬
личением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным
увеличением предмет нужно передвинуть либо к линзе на Зсм, либо
от линзы на 6 см. С каким увеличением изображался предмет вначале?
(Билет 9, 2006)
4.174. Тонкая линза создает изображение предмета с некоторым уве¬
личением. Оказалось, что для получения изображения с требуемым уве¬
личением предмет нужно передвинуть от линзы либо на 2 см, либо
на 10 см. Во сколько раз требуемое увеличение больше первоначаль¬
ного? (Билет 10, 2006)
4.175. Тонкая линза создает изображение предмета с некоторым уве¬
личением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным
увеличением предмет нужно передвинуть либо к линзе на 6 см, либо
от линзы на Зсм. С каким увеличением изображался предмет вначале?
(Билет 11, 2006)
4.176. Тонкая линза создает изображение предмета с некоторым
увеличением. Оказалось, что для получения изображения с требуемым
увеличением предмет нужно передвинуть к линзе либо на 5 см, либо
на 10см. Во сколько раз требуемое увеличение больше первоначально¬
го? (Билет 12, 2006)
4.177. Оптическая система, состоящая из двух собирающих линз с
фокусными расстояниями F\ = 20 см и F2 = 30 см, расположенных соос¬
но на одной оптической оси, дает на экране прямое изображение предме¬
та с увеличением Го = 1. Расстояние от предмета до ближайшей к нему
линзы с фокусным расстоянием F\ равно а = 60 см.
1) На какое расстояние вдоль оптической оси требуется переместить
вторую линзу, чтобы на том же экране получить новое изображение
предмета?
2) Какое увеличение будет при этом давать оптическая система'^
(Билет 13, 2006)
4.178. Оптическая система, состоящая из рассеивающей линзы с фо¬
кусным расстоянием F\ = —20 см и собирающей линзы с фокусным рас¬
стоянием F2 = 20 см, расположенных соосно на одной оптической оси.
дает на экране перевернутое изображение предмета с увеличением Г() —
= 1. Расстояние от предмета до ближайшей рассеивающей линзы равно
а — 20 см.
1)На какое расстояние вдоль оптической оси требуется переместить
собирающую линзу, чтобы на том же экране получить новое изображе¬
ние предмета?
2) Какое увеличение будет при этом давать оптическая система?
(Билет 14, 2006)
4.179. Оптическая система, состоящая из двух собирающих линз с
фокусными расстояниями F\ = 20 см и F2 — 30 см, расположенных соос¬
но на одной оптической оси, дает на экране перевернутое изображение

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
259
предмета с увеличением Г0 = 1. Расстояние от предмета до ближайшей
к нему линзы с фокусным расстоянием Fi равно а = 10 см.
1) На какое расстояние вдоль оптической оси требуется переместить
вторую линзу, чтобы на том же экране получить новое изображение
предмета?
2) Какое увеличение будет при этом давать оптическая система?
(Билет 15, 2006)
4.180. Оптическая система, состоящая из расположенных соосно на
одной оптической оси рассеивающей линзы фокусным расстоянием F\ —
= — 30 см и собирающей линзы с неизвестным фокусным расстоянием,
дает на экране перевернутое изображение предмета. Расстояние от пред¬
мета до ближайшей к нему рассеивающей линзы а = 30 см. Собирающую
линзу переместили вдоль оптической оси на / = 45 см, и на экране полу¬
чилось перевернутое изображение предмета с увеличением Г = 1.
1) Найдите фокусное расстояние собирающей линзы.
2) С каким увеличением изображался предмет вначале? (Билет 16, 2006)
4.181. С помощью тонкой линзы на экране получено увеличенное
изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной опти¬
ческой оси линзы. Расстояние между предметом и экраном в 4,5 раза
больше фокусного расстояния линзы. С каким увеличением изобража¬
ется предмет? (Билет 1, 2007)
4.182. С помощью тонкой линзы на экране получено увеличенное в
3 раза изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной
оптической оси линзы. Во сколько раз расстояние между предметом и
экраном больше фокусного расстояния ЛИНЗЫ? (Билет 2. 2007)
4.183. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное
изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной опти¬
ческой оси линзы. Расстояние между предметом и экраном в 4,5 раза
больше фокусного расстояния линзы. С каким увеличением изобража¬
ется предмет? (Билет 3, 2007)
4.184. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное в
3 раза изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной
оптической оси линзы. Во сколько раз расстояние между предметом и
экраном больше фокусного расстояния ЛИНЗЫ? (Билет 4, 2007)
4.185. С помощью тонкой линзы на экране получено изображе¬
ние предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между предметом и экраном в 9 раз больше рас¬
стояния от предмета до ближайшего к нему фокуса линзы. С каким
увеличением изображается предмет? (Билет 5, 2007)
4.186. С помощью тонкой линзы на экране получено изображе¬
ние предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между линзой и экраном в 12 раз больше расстояния
от предмета до ближайшего к нему фокуса линзы. С каким увеличением
изображается предмет? (Билет 6, 2007)

260
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
4.187. С помощью тонкой линзы на экране получено изображе¬
ние предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между предметом и экраном в 9 раз больше рассто¬
яния от экрана до ближайшего к нему фокуса линзы. С каким увеличе¬
нием изображается предмет? (Билет 7, 2007)
4.188. С помощью тонкой линзы на экране получено изображе¬
ние предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между предметом и линзой в 12 раз больше расстоя¬
ния от экрана до ближайшего к нему фокуса линзы. С каким увеличе¬
нием изображается предмет? (Билет 8. 2007)
4.189. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение
предмета с двукратным увеличением. Предмет расположен перпендику¬
лярно главной оптической оси линзы.
1) Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше фо¬
кусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, чтобы, не
меняя положения экрана, получить на нем изображение с пятикратным
увеличением.
2) На сколько передвинули предмет, если линзу переместили на
30 СМ? (Билет 9, 2007)
4.190. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное в
два раза изображение предмета. Предмет расположен перпендикулярно
главной оптической оси линзы.
1)Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше фо¬
кусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, чтобы, не
меняя положения экрана, получить на нем изображение, уменьшенное в
три раза.
2) На сколько передвинули линзу, если предмет переместили на
30 СМ? (Билет 10, 2007)
4.191. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение
предмета с трехкратным увеличением. Предмет расположен перпенди¬
кулярно главной оптической оси линзы.
1)Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше фо¬
кусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, чтобы, не
меняя положения экрана, получить на нем изображение с двукратным
увеличением.
2) На сколько передвинули линзу, если предмет переместили на
30 СМ? (Билет 11, 2007)
4.192. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное в
три раза изображение предмета. Предмет расположен перпендикулярно
главной оптической оси линзы.

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
261
1)Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше фо¬
кусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, чтобы, не
меняя положения экрана, получить на нем изображение, уменьшенное в
пять раз.
2) На сколько передвинули линзу, если предмет переместили на
28 СМ? (Билет 12, 2007)
4.193. В круглое отверстие листа фанеры вставлена собирающая лин¬
за с фокусным расстоянием F = 20 см и диаметром D — 69 мм. Точечный
источник света находится на главной оптической оси линзы на рассто¬
янии а = 40 см от линзы. На экране, расположенном перпендикулярно
главной оптической оси линзы, получено резкое изображение этого ис¬
точника. Линзу при неподвижных источнике и экране передвигают на
х = 20 см вдоль главной оптической оси в сторону экрана.
1) На каком расстоянии от экрана получилось новое изображение
источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране. (Билет 13, 2007)
4.194. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 20 см и диа¬
метром D = 63 мм вставлена в круглое отверстие листа фанеры. Точеч¬
ный источник света находится на главной оптической оси линзы на рас¬
стоянии а — 28 см от линзы. На экране, расположенном перпендикуляр¬
но главной оптической оси линзы, получено резкое изображение этого
источника. При неподвижных линзе и экране источник передвигают на
х = 8 см вдоль главной оптической оси в направлении от линзы.
1)На каком расстоянии от экрана получилось новое изображение
источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране. (Билет 14, 2007)
4.195. В круглое отверстие листа фанеры вставлена собирающая лин¬
за с фокусным расстоянием F = 30 см и диаметром D — 72 мм. Точечный
источник света находится на главной оптической оси линзы на рассто¬
янии а = 60 см от линзы. На экране, расположенном перпендикулярно
главной оптической оси линзы, получено резкое изображение этого ис¬
точника. Линзу при неподвижных источнике и экране передвигают на
х = 15 см вдоль главной оптической оси в направлении от экрана.
1) На каком расстоянии от экрана получилось новое изображение
источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране. (Билет 15, 2007)
4.196. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 30 см и диа¬
метром D = 60 мм вставлена в круглое отверстие листа фанеры. Точеч¬
ный источник света находится на главной оптической оси линзы на рас¬
стоянии а = 55 см от линзы. На экране, расположенном перпендикулярно
главной оптической оси линзы, получено резкое изображение этого ис¬
точника. При неподвижных источнике и экране источник передвигают
на х = 15 см вдоль главной оптической оси по направлению к линзе.

262
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
1) На каком расстоянии от экрана получилось новое изображение
источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране. (Билет 16, 2007)
4.197. По столу катится шарик со скоростью v. В противополож¬
ном направлении со скоростью 2v перемещают поступательно плоское
зеркало АВ (рис. 4.106). Поверхность зеркала составляет угол а = 60° с
поверхностью стола. Скорости шарика и зеркала перпендикулярны ребру
двугранного угла, образованного поверхностями зеркала и стола.
1) Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите ее
направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола перемещается
изображение шарика в зеркале? (Билет 1, 2008)
4.198. Поверхность плоского зеркала MN составляет угол (3 = 60°
с поверхностью стола. Зеркало перемещают поступательно со скоро¬
стью v вдоль стола. По столу катится в противоположном направлении
шарик со скоростью 2v. Скорости шарика и зеркала перпендикулярны
ребру двугранного угла, образованного поверхностями зеркала и стола
(рис. 4.107).
1)Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите ее
направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола перемещается
изображение шарика в зеркале? (Билет 2, 2008)
4.199. Поверхность плоского зеркала АВ составляет угол а = 30°
с поверхностью стола. Зеркало перемещают поступательно со скоро¬
стью v вдоль стола. По столу катится в противоположном направлении
в
Рис. 4.107
Рис. 4.108
шарик со скоростью 3v. Скорости шарика и зеркала перпендикулярны
ребру двугранного угла, образованного поверхностями зеркала и стола
(рис. 4.108).
1)Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите ее
направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола перемещается
изображение шарика в зеркале? (Билет 3, 2008)
4.200.	По столу катится шарик со скоростью v. В противоположном
направлении со скоростью Av перемещают поступательно плоское зер¬
кало MN. Поверхность зеркала составляет угол (3 = 30° с поверхностью

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
263
v
стола. Скорости шарика и зеркала перпендикулярны ребру двугранного
угла, образованного поверхностями зеркала и стола (рис. 4.109).
1) Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите ее
направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола перемещается
изображение шарика в зеркале? (Билет 4, 2008)
4.201. Мошка S ползет перпендикулярно главной оптической оси
собирающей линзы с фокусным расстоянием F, находясь вблизи глав¬
ной оптической оси на расстоянии 4F/3 от линзы (рис. 4.110). Линза
перемещается поступательно в противополож¬
ном направлении перпендикулярно главной
оптической оси. Скорость линзы v = 1 мм/с,
скорость мошки 2v. Мошка и главная оптиче¬
ская ось линзы всегда находятся в плоскости
рисунка.
1) Найдите скорость мошки относительно линзы.
2)С какой скоростью движется изображение мошки относительно
неподвижного экрана? (Билет 5. 2008)
4.202. Собирающую линзу с фокусным расстоянием F перемещают
поступательно со скоростью v = 3 мм/с перпендикулярно ее главной оп¬
тической оси. Муравей S ползет в том же направлении перпендикулярно
главной оптической оси со скоростью 6щ находясь вблизи главной опти¬
ческой оси на расстоянии 8F/3 от линзы (рис. 4.111). Муравей и главная
оптическая ось линзы всегда находятся в плоскости рисунка.
1) Найдите скорость муравья относительно линзы.
2)С какой скоростью движется изображение муравья относительно
неподвижного экрана? (Билет 6, 2008)
4.203. Муха S ползет перпендикулярно главной оптической оси со¬
бирающей линзы с фокусным расстоянием F, находясь вблизи главной
Рис. 4.109
2v ‘
к
1
1
к
j
i
S
<
>
<
►
i
>
S
\v у
г
\v
г
^ V
Г 6v у
1 Ъу \
1
Рис. 4.110
Рис. 4.111
Рис. 4.112
оптической оси на расстоянии 5F/3 от линзы (рис. 4.112). Линза переме¬
щается поступательно в противоположном направлении перпендикуляр¬
но главной оптической оси. Скорость линзы v = 1,5 мм/с, скорость мухи
Зг;. Муха и главная оптическая ось линзы всегда находятся в плоскости
рисунка.
1)	Найдите скорость мухи относительно линзы.

264
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
2)	С какой скоростью движется изображение мухи относительно
неподвижного экрана? (Билет 7, 2008)
4.204.	Собирающую линзу с фокусным расстоянием F перемеща¬
ют поступательно со скоростью г; = 2 мм/с перпендикулярно ее глав¬
ной оптической оси. Жук S ползет в том же направлении перпендику¬
лярно главной оптической оси со скоростью 5г\ находясь вблизи глав¬
ной оптической оси на расстоянии 7F/3 от линзы {рис. 4.113). Жук и
главная оптическая ось линзы всегда находятся в плоскости рисунка.
^	1)Найдите скорость жука относительно
линзы.
2)	С какой скоростью движется изображение
		-т	 жука относительно неподвижного экрана? (Би-
S	Т	v	лет 8. 2008)
и	4.205.	Вертолет фотографируют с расстоя¬
ния d\ — 36 м с помощью объектива с фокусным
Рис- 4.ПЗ	расстоянием	F\ = 45 мм. Модель вертолета, вы¬
полненную в масштабе 1 : 200, фотографируют
с помощью объектива с фокусным расстоянием F2 = 90 мм. На пленке
размеры изображений вертолета и модели одинаковы. На каком рассто¬
янии d2 от объектива находилась модель вертолета? Объектив считать
ТОНКОЙ ЛИНЗОЙ, ОТ которой отсчитываются все расстояния. (Билет 9, 2008)
4.206. Яхту фотографируют с расстояния di = 52 м с помощью объ¬
ектива с фокусным расстоянием F\ =40 мм. Модель яхты фотографи¬
руют с расстояния d2 = 60 см с помощью объектива с фокусным рас¬
стоянием F2=80mm. На пленке размеры изображений яхты и модели
одинаковы. Во сколько раз отличаются линейные размеры яхты и ее мо¬
дели? Объектив считать тонкой линзой, от которой отсчитываются все
расстояния. (Билет 10, 2008)
4.207. Катер фотографируют с расстояния d\ — 40 м с помощью объ¬
ектива с фокусным расстоянием F\ — 50 мм. Модель катера, выполнен¬
ную в масштабе 1 : 300, фотографируют с расстояния d2 = 55 см с помо¬
щью объектива с фокусным расстоянием F2. Найдите F2, если на плен¬
ке размеры изображений катера и модели одинаковы. Объектив считать
тонкой линзой, от которой отсчитываются все расстояния. (Билет 11, 2008)
4.208. Самолет и его модель, выполненную в масштабе 1 : 375, необ¬
ходимо сфотографировать так, чтобы размеры изображении самолета и
модели на пленке были одинаковы. С какого расстояния d\ следует фо¬
тографировать самолет с помощью объектива с фокусным расстоянием
F\ = 50 мм, если модель была сфотографирована с расстояния d2 = 50 см
с помощью объектива с фокусным расстоянием F2 = 100 мм? Объектив
считать ТОНКОЙ ЛИНЗОЙ, ОТ которой отчитываются все расстояния. (Би¬
лет 12, 2008)
4.209. Сторона АВ квадрата ABCD расположена на оптической оси
собирающей линзы, причем расстояние от линзы до точки А в два ра¬

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
265
за больше фокусного расстояния линзы. Линза создает действительное
изображение квадрата. Площадь изображения составляет 3/8 площади
квадрата ABCD. С каким увеличением изображается сторона ВС? (Би¬
лет 13, 2008)
4.210. Сторона АС прямоугольного треугольника ABC (угол С —
прямой) расположена на оптической оси собирающей линзы, причем рас¬
стояние от линзы до точки А в два раза больше фокусного расстояния
линзы. Линза создает действительное изображение треугольника. Пло¬
щадь изображения составляет 1/4 площади треугольника ABC. С каким
увеличением изображается сторона ВС? (Билет 14, 2008)
4.211. Сторона АВ квадрата ABCD расположена на оптической оси
собирающей линзы, причем расстояние от линзы до точки А в два ра¬
за больше фокусного расстояния линзы. Линза создает действительное
изображение квадрата. Площадь изображения в 3 раза больше площа¬
ди квадрата ABCD. С каким увеличением изображается сторона ВС?
(Билет 15, 2008)
4.212. Сторона АС прямоугольного треугольника ABC (угол С —
прямой) расположена на оптической оси собирающей линзы, причем рас¬
стояние от линзы до точки А в два раза больше фокусного расстояния
линзы. Линза создает действительное изображение треугольника. Пло¬
щадь изображения в 4 раза больше площади треугольника ABC. С ка¬
ким увеличением Изображается сторона ВС? (Билет 16, 2008)
4.213. С помощью тонкой линзы на экране получили изображе¬
ние предмета, расположенного перпендикулярно оптической оси линзы.
Между линзой и экраном поставили вторую линзу на расстоянии 5 см
от экрана, после чего экран пришлось отодвинуть от линз на 5 см, чтобы
получить на нем новое изображение.
1) Найдите фокусное расстояние второй линзы.
2) Каково отношение размеров нового и старого изображений? (Би¬
лет А, 2009)
4.214. Оптическая система состоит из расположенных друг за дру¬
гом рассеивающей линзы с фокусным расстоянием —10 см и собираю¬
щей линзы с неизвестным фокусным расстоянием. Оптические оси линз
совпадают. Предмет расположен перпендикулярно оптической оси перед
рассеивающей линзой на расстоянии 10 см от нее. Система создает изоб¬
ражение предмета в натуральную величину на экране, находящемся за
собирающей линзой на расстоянии 30 см от нее.
1) На каком расстоянии от себя создает изображение предмета рас¬
сеивающая линза?
2) НаЙДИТе расстояние между ЛИНЗаМИ. (Билет Б, 2009)
4.215. Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного
перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Ес¬
ли расстояние от предмета до линзы увеличить вдвое, получается прямое

266
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
изображение с увеличением, вдвое большим первоначального увеличе¬
ния. С каким увеличением изображался предмет вначале? (Билет 1, 2010)
4.216. Тонкая линза создает прямое изображение предмета, располо¬
женного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увели¬
чением. Если расстояние от предмета до линзы уменьшить вдвое, уве¬
личение также уменьшается вдвое. С каким увеличением изображался
предмет вначале? (Билет 2, 2010)
4.217. Тонкая линза создает изображение предмета, расположенно¬
го перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением.
Если расстояние от предмета до линзы увеличить вдвое, получается
перевернутое изображение с увеличением, вдвое большим первоначаль¬
ного увеличения. С каким увеличением изображался предмет вначале?
(Билет 3, 2010)
4.218. Тонкая линза создает перевернутое изображение предмета,
расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым
увеличением. Если расстояние от предмета до линзы уменьшить вдвое,
увеличение также уменьшается вдвое. С каким увеличением изображал¬
ся предмет вначале? (Билет 4, 2010)
4.219. Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного
перпендикулярно главной оптической оси. Если, не трогая линзу, пере¬
двинуть предмет вдоль оптической оси на 1 см в направлении от линзы,
то получится изображение с тем же увеличением, находящееся на рас¬
стоянии 16 см от старого изображения. Найдите фокусное расстояние
ЛИНЗЫ. (Билет 5, 2010)
4.220. Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного
перпендикулярно главной оптической оси. Если, не трогая линзу, пере¬
двинуть предмет вдоль оптической оси на 2 см в направлении от линзы,
то получится изображение с тем же увеличением, находящееся на рас¬
стоянии 8 см от старого изображения. Найдите увеличение. (Билет 6, 2010)
4.221. Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного
перпендикулярно главной оптической оси. Если, не трогая линзу, пере¬
двинуть предмет вдоль оптической оси на 4 см по направлению к линзе,
то получится изображение с тем же увеличением, находящееся на рас¬
стоянии 9 см от старого изображения. Найдите фокусное расстояние
линзы. (Билет 7, 2010)
4.222. Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного
перпендикулярно главной оптической оси. Если, не трогая линзу, пере¬
двинуть предмет вдоль оптической оси на 1 см по направлению к линзе,
то получится изображение с тем же увеличением, находящееся на рас¬
стоянии 9 см от старого изображения. Найдите увеличение. (Билет 8, 2010)
4.223. Шарик на нити длиной I — 40 см совершает малые колебания
в поле тяжести Земли в вертикальной плоскости с угловой амплитудой
а0 = 0,1. Размеры шарика малы по сравнению с длиной нити. Плоскость
колебаний шарика перпендикулярна главной оптической оси тонкой со¬

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
267
бирающей линзы с фокусным расстоянием F = 15 см и находится на рас¬
стоянии |F от линзы. Шарик движется вблизи оси линзы. На экране
получено изображение колеблющегося шарика.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) Во сколько раз расстояние между крайними положениями изобра¬
жения больше расстояния между крайними положениями шарика?
3) Найдите максимальную угловую скорость По шарика.
4) Найдите скорость изображения в те моменты, когда нить состав¬
ляет угол |ао с вертикалью.
Указание. При малых углах а можно считать, что sin а«а,
COS а « 1 — —. Принять g = 10 м/с2. (Билет 1, 2011)
4.224. Шарик на нити длиной / = 90 см совершает малые колебания
в поле тяжести Земли в вертикальной плоскости с угловой амплитудой
Ф = 0,15. Размеры шарика малы по сравнению с длиной нити. Плоскость
колебаний шарика перпендикулярна главной оптической оси тонкой со¬
бирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см и находится на рас¬
стоянии |F от линзы. Шарик движется вблизи оси линзы. На экране
получено изображение колеблющегося шарика.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) Во сколько раз расстояние между крайними положениями изобра¬
жения больше расстояния между крайними положениями шарика?
3) Найдите максимальную угловую скорость По шарика.
4) Найдите скорость изображения в те моменты, когда нить состав¬
ляет угол |ф0 вертикалью.
Указание. При малых углах а можно считать, что sina«a,
COS a « 1 — Принять g = 10 м/с . (Билет 2, 2011)
4.225. Шарик на нити длиной I = 10 см совершает малые колебания
в поле тяжести Земли в вертикальной плоскости с угловой амплитудой
ао = 0,05. Размеры шарика малы по сравнению с длиной нити. Плос¬
кость колебаний шарика перпендикулярна главной оптической оси тон¬
кой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см и находится
на расстоянии |F от линзы. Шарик движется вблизи оси линзы. На
экране получено изображение колеблющегося шарика.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) Во сколько раз расстояние между крайними положениями изобра¬
жения больше расстояния между крайними положениями шарика?
3) Найдите максимальную угловую скорость По шарика.
4) Найдите скорость изображения в те моменты, когда нить состав¬
ляет угол |а() с вертикалью.
Указание. При малых углах а можно считать, что sina^a,
cosa « 1 — Принять g — 10 м/с2. (Билет 3, 2011)

268
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
4.226. Шарик на нити длиной / = 8,1 см совершает малые колебания
в поле тяжести Земли в вертикальной плоскости с угловой амплиту¬
дой фо = 0,045. Размеры шарика малы по сравнению с длиной нити.
Плоскость колебаний шарика перпендикулярна главной оптической оси
тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см и нахо¬
дится на расстоянии |F от линзы. Шарик движется вблизи оси линзы.
На экране получено изображение колеблющегося шарика.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) Во сколько раз расстояние между крайними положениями изобра¬
жения больше расстояния между крайними положениями шарика?
3) Найдите максимальную угловую скорость £20 шарика.
4) Найдите скорость изображения в те моменты, когда нить состав¬
ляет угол |фо с вертикалью.
Указание. При малых углах а можно считать, что sina^cc
cosa « 1 — Цр. Принять g = 10 м/с2. (Билет 4. 2011)
4.227. Груз совершает колебания с амплитудой А и периодом Т вдоль
вертикали на упругой пружине. Масса пружины намного меньше массы
груза. Груз находится на расстоянии |F от тонкой собирающей линзы
с фокусным расстоянием F, вблизи ее главной оптической оси, которая
горизонтальна. На экране получено изображение колеблющегося груза.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) С какой амплитудой колеблется изображение?
3) Найдите максимальную скорость груза.
4) Найдите скорость изображения в те моменты, когда смещение гру¬
за от положения равновесия равно (Билет 5, 2011)
4.228. Груз совершает колебания с амплитудой А и периодом Т вдоль
вертикали на упругой пружине. Масса пружины намного меньше массы
груза. Груз находится на расстоянии §F от тонкой собирающей линзы
с фокусным расстоянием F, вблизи ее главной оптической оси, которая
горизонтальна. На экране получено изображение колеблющегося груза.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) С какой амплитудой колеблется изображение?
3) Найдите максимальное ускорение груза (по модулю).
4) Найдите скорость изображения в те моменты, когда ускорение (по
модулю) груза равно | от максимального ускорения. (Билет 6, 2011)
4.229. Груз совершает колебания с амплитудой А и периодом Т вдоль
вертикали на упругой пружине. Масса пружины намного меньше массы
груза. Груз находится на расстоянии |F от тонкой собирающей линзы
с фокусным расстоянием F, вблизи ее главной оптической оси, которая
горизонтальна. На экране получено изображение колеблющегося груза.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) С какой амплитудой колеблется изображение?
3) Найдите максимальную скорость груза.

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
269
4)	Найдите скорость изображения в те моменты, когда смещение гру¬
за от положения равновесия равно jA. (Билет 7. 2011)
4.230. Груз совершает колебания с амплитудой А и периодом Т вдоль
вертикали на упругой пружине. Масса пружины намного меньше массы
груза. Груз находится на расстоянии |F от тонкой собирающей линзы
с фокусным расстоянием F, вблизи ее главной оптической оси, которая
горизонтальна. На экране получено изображение колеблющегося груза.
1) На каком расстоянии от линзы находится экран?
2) С какой амплитудой колеблется изображение?
3) Найдите максимальное ускорение груза (по модулю).
4) Найдите скорость изображения в те моменты, когда ускорение (по
модулю) груза равно | от максимального ускорения. (Билет 8, 2011)
4.231. Груз, висящий на пружине, совершает вертикальные колеба¬
ния, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фокус¬
ным расстоянием F=18cm. На экране, который можно перемещать,
получено изображение груза. При этом максимальная скорость изобра¬
жения оказалась в 3 раза больше максимальной скорости груза.
1) Найдите расстояние между грузом и линзой.
2) На какое расстояние и куда (по отношению к грузу) следует пере¬
местить линзу, чтобы максимальная скорость изображения увеличилась
в 2 раза по сравнению с предыдущей? (Билет 1, 2012)
4.232. Шарик, висящий на пружине, совершает вертикальные коле¬
бания, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фо¬
кусным расстоянием F = 12 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение шарика. При этом максимальная скорость изоб¬
ражения оказалась в 2 раза меньше максимальной скорости шарика.
1) Найдите расстояние между шариком и линзой.
2) На какое расстояние и куда (по отношению к шарику) следует
переместить линзу, чтобы максимальная скорость изображения увели¬
чилась В 12 раз ПО Сравнению С Предыдущей? (Билет 2, 2012)
4.233. Болт, висящий на пружине, совершает вертикальные коле¬
бания, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фо¬
кусным расстоянием F = 32 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение болта. При этом максимальная скорость изобра¬
жения оказалась в 8 раз больше максимальной скорости болта.
1) Найдите расстояние между болтом и линзой.
2) На какое расстояние и куда (по отношению к болту) следует пере¬
местить линзу, чтобы максимальная скорость изображения уменьшилась
в 4 раза по сравнению с предыдущей? (Билет 3, 2012)
4.234. Гайка, висящая на пружине, совершает вертикальные коле¬
бания, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фо¬
кусным расстоянием F = 20 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение гайки. При этом максимальная скорость изобра¬
жения оказалась в 3 раза меньше максимальной скорости гайки.

270
ОПТИКА•ЗАДАЧИ
1) Найдите расстояние между гайкой и линзой.
2) На какое расстояние и куда (по отношению к гайке) следует пере¬
местить линзу, чтобы максимальная скорость изображения уменьшилась
в 2 раза по сравнению с предыдущей? (Билет 4, 2012)
4.235. Шарик, висящий на пружине, совершает вертикальные коле¬
бания, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фо¬
кусным расстоянием Fi = 20 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение шарика. При этом максимальная скорость изоб¬
ражения оказалась в 2 раза больше максимальной скорости шарика.
1) Найдите расстояние между шариком и линзой.
2) Найдите фокусное расстояние F2 (F2 < 0) рассеивающей линзы,
которую надо поместить вплотную к собирающей линзе, чтобы макси¬
мальная скорость изображения увеличилась в 3 раза по сравнению с
предыдущей. (Билет 5, 2012)
4.236. Висящий на пружине груз совершает вертикальные колеба¬
ния, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фокус¬
ным расстоянием Fi = 32 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение груза. При этом максимальная скорость изобра¬
жения оказалась в 8 раз больше максимальной скорости груза.
1) Найдите расстояние между грузом и линзой.
2) Найдите фокусное расстояние F2 собирающей линзы, которую на¬
до поместить вплотную к первой линзе, чтобы максимальная скорость
изображения уменьшилась в 4 раза по сравнению с предыдущей. (Би¬
лет 6, 2012)
4.237. Болт, висящий на пружине, совершает вертикальные колеба¬
ния, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фокус¬
ным расстоянием F\ = 15 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение болта. При этом максимальная скорость изобра¬
жения оказалась в 1,5 раза больше максимальной скорости болта.
1) Найдите расстояние между болтом и линзой.
2) Найдите фокусное расстояние F2 (F2 < 0) рассеивающей линзы,
которую надо поместить вплотную к собирающей линзе, чтобы макси¬
мальная скорость изображения увеличилась в 4 раза по сравнению с
предыдущей. (Билет 7, 2012)
4.238. Висящая на пружине гайка совершает вертикальные колеба¬
ния, двигаясь перпендикулярно главной оптической оси линзы с фокус¬
ным расстоянием F2 = 24 см. На экране, который можно перемещать,
получено изображение гайки. При этом максимальная скорость изобра¬
жения оказалась в 6 раз больше максимальной скорости гайки.
1) Найдите расстояние между гайкой и линзой.
2) Найдите фокусное расстояние F2 собирающей линзы, которую на¬
до поместить вплотную к первой линзе, чтобы максимальная скорость
изображения уменьшилась в 3 раза по сравнению с предыдущей. (Би¬
лет 8, 2012)

ОПТИКА • ЗАДАЧИ
271
4.239. Для определения показателя преломления неизвестной про¬
зрачной жидкости экспериментатор Глюк положил на дно мензурки мо¬
нету и налил в нее исследуемую жидкость. Толщина слоя жидкости Н =
= 27 см. Далее он сфотографировал монету с высоты h — 37 см над по¬
верхностью жидкости и получил резкое изображение, диаметр которого
в к = 10 раз меньше диаметра монеты. Фокусное расстояние объекти¬
ва F = 50 мм. Оптическая ось объектива перпендикулярна поверхности
жидкости.
1) Какое расстояние d было установлено на шкале дальности объек¬
тива?
2) Найдите показатель преломления п жидкости. (Билет 1, 2013)
4.240. С борта яхты турист, установив расстояние d = 2,05 м на шка¬
ле дальности объектива, фотографирует рыбку и получает резкое изоб¬
ражение. Расстояние от поверхности воды до объектива h = 1,0 м. Фо¬
кусное расстояние объектива F = 50 мм. Показатель преломления воды
п= Оптическая ось объектива перпендикулярна поверхности жидко¬
сти.
1) Во сколько раз длина изображения меньше длины рыбки?
2) На какой глубине Н находится рыбка? (Билет 2, 2013)
4.241. Мальчик фотографирует черепаху, находящуюся на глубине
Н = 1,32 м, и получает резкое изображение, длина которого в к = 30 раз
меньше длины черепахи. Фокусное расстояние объектива F = 90mm.
Показатель преломления воды п= |. Оптическая ось объектива пер¬
пендикулярна поверхности жидкости.
1) Найдите расстояние / от объектива до изображения.
2) Найдите расстояние h от поверхности воды до объектива. (Би¬
лет 3, 2013)
4.242. Посетитель океанариума фотографирует рыбку, находящую¬
ся на глубине Я = 1,2 м, и получает резкое изображение на расстоянии
/ = 63 мм от объектива. Фокусное расстояние объектива F = 60 мм. По¬
казатель преломления воды п = |. Оптическая ось объектива перпенди¬
кулярна поверхности жидкости.
1) Во сколько раз длина изображения меньше длины рыбки?
2) На каком расстоянии h от объектива находится рыбка? (Би¬
лет 4, 2013)
4.243. Точечный источник находится на главной оптической оси со¬
бирающей линзы на расстоянии d = 15 см от линзы, его действительное
изображение наблюдается на вдвое большем расстоянии. Найдите фо¬
кусное расстояние F линзы. Если за линзой перпендикулярно ее глав¬
ной оптической оси поместить плоскопараллельную прозрачную пласти¬
ну толщиной h = 9 см с показателем преломления п = 1,5, то изображе¬
ние точечного источника наблюдается на задней поверхности пластины.
Найдите расстояние I от линзы до передней поверхности пластины. (Би¬
лет 5. 2013)

272
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
4.244. Точечный источник находится на главной оптической оси со¬
бирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см. Расстояние от лин¬
зы до действительного изображения втрое меньше расстояния от линзы
до источника. На каком расстоянии d от линзы находится источник? За
линзой перпендикулярно ее главной оптической оси на расстоянии / =
= 12 см от линзы помещают плоскопараллельную стеклянную пластину
толщиной h = 6,4 см. Найдите показатель преломления п стекла, если
изображение точечного источника наблюдается на задней поверхности
пластины. (Билет 6. 2013)
4.245. Точечный источник находится на главной оптической оси со¬
бирающей линзы с оптической силой D = 5 дптр. Расстояние от источ¬
ника до линзы вдвое больше расстояния / от линзы до действительно¬
го изображения источника. Найдите /. За линзой перпендикулярно ее
главной оптической оси на расстоянии I = 26 см от линзы помещают пло¬
скопараллельную стеклянную пластину. Найдите толщину h пластины,
если изображение точечного источника наблюдается на задней поверх¬
ности пластины. Показатель преломления стекла п = 1,5. (Билет 7, 2013)
4.246. Точечный источник находится на главной оптической оси со¬
бирающей линзы. Расстояние I = 64 см от линзы до действительного
изображения источника в три раза больше расстояния от источника до
линзы. Найдите фокусное расстояние F линзы. Если за линзой перпен¬
дикулярно ее главной оптической оси на расстоянии / — 59 см от лин¬
зы поместить плоскопараллельную прозрачную пластину, то изображе¬
ние точечного источника наблюдается на задней по¬
верхности пластины. Найдите расстояние от этого
“ изображения до линзы. Показатель преломления стек¬
ла П = 1,8. (Билет 8, 2013)
4.247. Фокусное расстояние собирающей лин¬
зы F. Муха в некоторый момент пересекает глав¬
ную оптическую ось линзы на расстоянии от линзы JIF, двигаясь со
скоростью v под углом a (tga = |) к оси линзы (см. рис. 4.114).
1)	На каком расстоянии от линзы находится изображение мухи в этот
момент?
v	2)	Под каким углом изображение мухи пересекает
главную оптическую ось?
~	3)	Найдите скорость изображения мухи в этот мо-
^ мент. (Билет 1, 2014)
р 4	4.248.	Фокусное	расстояние (по модулю) рассеи-
'	вающей	линзы F (F > 0). Пчела в некоторый момент
пересекает главную оптическую ось линзы на расстоянии от линзы
^Fy двигаясь со скоростью v под углом a (tga = |) к оси линзы (см.
рис. 4.115).
1)На каком расстоянии от линзы находится изображение пчелы в
этот момент?
F
а
v
Рис. 4.114
F Ха

ОПТИКА•ЗАДАЧИ
273
2) Под каким углом изображение пчелы пересекает главную оптиче¬
скую ось?
3) Найдите скорость изображения пчелы В ЭТОТ момент. (Билет 2, 2014)
4.249. Фокусное расстояние собирающей линзы — F. Комар в неко¬
торый момент пересекает главную оптическую ось линзы на расстоянии
от линзы |F, двигаясь со скоростью v под углом a (tga — |) к оси
линзы (см. рис. 4.116).
1) На каком расстоянии от линзы находится изображение комара в
этот момент?
2) Под каким углом изображение комара пересекает главную оптиче¬
скую ось?
3) Найдите скорость изображения комара в этот момент. (Билет 3, 2014)
4.250. Фокусное расстояние (по модулю) рассеивающей линзы F
(F > 0). Оса в некоторый момент пересекает главную оптическую ось
линзы на расстоянии от линзы 4F, двигаясь со скоростью v под углом
a (tga = |) к оси линзы (см. рис. 4.117).
1) На каком расстоянии от линзы находится изображение осы в этот
момент?
2) Под каким углом изображение осы пересекает главную оптическую
ось?
3) Найдите скорость изображения ОСЫ В ЭТОТ момент. (Билет 4, 2014)
Рис. 4.116	Рис.	4.117	Рис.	4.118	Рис.	4.119
4.251. Муравей ползет со скоростью с = 3 см/с к собирающей лин¬
зе с фокусным расстоянием F — 20 см вдоль прямой, параллельной ее
главной оптической оси и расположенной на расстоянии R — f^F от оси
(см. рис. 4.118). В некоторый момент муравей находится на расстоянии
3F от линзы.
1) На каком расстоянии от линзы находится изображение муравья в
этот момент?
2) Под каким углом к главной оптической оси движется изображение
муравья? (Найти значение любой тригонометрической функции угла.)
3) Найдите скорость изображения муравья в этот момент. (Би¬
лет 5, 2014)
4.252. Таракан ползет со скоростью v = 2 см/с к рассеивающей лин¬
зе с фокусным расстоянием (по модулю) F — 30 см вдоль прямой, па¬
раллельной ее главной оптической оси и расположенной на расстоянии
г — |F от оси (см. рис. 4.119). В некоторый момент таракан находится
на расстоянии 4F от линзы.

274
ОПТИКА • ЗАДАЧИ
1) На каком расстоянии от линзы находится изображение таракана н
этот момент?
2) Под каким углом к главной оптической оси движется изображение
таракана? (Найти значение любой тригонометрической функции угла.)
3) Найдите скорость изображения таракана в этот момент. (Би¬
лет 6, 2014)
4.253. Мошка летит со скоростью v = 2,4 см/с к собирающей лин¬
зе с фокусным расстоянием F = 24 см вдоль прямой, параллельной ее
главной оптической оси и расположенной на рассто-
Jr 9	''	янии	R	=	-p?F	от	оси	(см.	рис. 4.120). В некоторый
момент мошка находится на расстоянии 5F от линзы.
1) На каком расстоянии от линзы находится изоб¬
ражение мошки в этот момент?
2) Под каким углом к главной оптической оси дви¬
жется изображение мошки? (Найти значение любой тригонометрической
функции угла.)
3)	Найдите скорость изображения мошки В ЭТОТ момент. (Билет 7, 2014)
4.254. Жук ползет со скоростью г; = 0,64 см/с к рассеивающей
линзе с фокусным расстоянием (по модулю) F = 16 см вдоль прямой.
Рис. 4.120
V
Л
параллельной ее главной оптической оси и располо¬
женной на расстоянии г = jF от оси (см. рис. 4.121).
Бгг	—	В	некоторый	момент	жук	находится	на	расстоянии	SF
от линзы.
1)	На каком расстоянии от линзы находится изоб¬
ражение жука в этот момент?
2) Под каким углом к главной оптической оси движется изображение
жука? (Найти значение любой тригонометрической функции угла.)
3) Найдите скорость изображения жука в этот момент. (Билет 8, 2014)
Рис. 4.121

5. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
5.1. При некотором максимальном значении задерживающей разно¬
сти потенциалов на вакуумном фотоэлементе фототок с поверхности
катода, облучаемого светом с длиной волны Х,0| прекращается. Если
изменить длину волны света в а = 2 раза, то для прекращения фо¬
тотока необходимо увеличить задерживающую разность потенциалов
в (3 = 3 раза. Определить длину волны Х,о, если известно, что рабо¬
та выхода материала катода А = 1,89эВ, а постоянная Планка h —
= 6,63 • 10“34 Дж • с. Заряд электрона е = 1,6 * 10“19 Кл. (Билет 9, 1997)
5.2. Находящийся в возбужденном состоянии неподвижный атом во¬
дорода излучает фотон, а сам атом после этого начинает двигаться. Най¬
ти величину скорости атома после излучения фотона. Энергия возбуж¬
дения атома водорода W = 1,63 • 10“18 Дж, энергия покоя атома водоро¬
да гас2 — 1,49 • 10“10 Дж, где га — масса покоя атома, а с — скорость
света. При расчете движения атома водорода можно использовать нере¬
лятивистские формулы.
Указание. При х 1 можно считать, что (1 + х)а % 1 -f ах. (Би¬
лет 10, 1997)
5.3. Катод вакуумного фотоэлемента облучается световым пучком
с длиной волны к = 0,5 мкм и мощностью W = 1 Вт. При больших
ускоряющих напряжениях между катодом и анодом фототок достига¬
ет насыщения (все электроны, выбитые из катода в единицу времени,
достигают анода) /„ = 4 мА (4 ■ 10“3 А). Какое ко¬
личество п фотонов приходится на один элек¬
трон, выбиваемый из катода? Заряд электро¬
на е = 1,6 * 10“19 Кл. Постоянная Планка h —
= 6,63 • 10“34 Дж • С. (Билет 11, 1997)
5.4. Неподвижный невозбужденный атом водо¬
рода поглощает фотон. В результате атом переходит	Рис.	5.1
в возбужденное состояние и начинает двигаться.
Найти величину скорости, с которой стал двигаться атом после поглоще¬
ния фотона. Энергия возбуждения атома W — 1,63 • 10“18 Дж. Энергия
покоя атома тс2 = 1,49 * Ю“10 Дж, где га — масса атома, с — скорость
света.
Указание. Использовать формулу (1 - х)а «1 — ах, где id. (Би¬
лет 12, 1997)
5.5. Гамма-излучением называется электромагнитное излучение при
переходах атомных ядер из возбужденных в более низкие энергетиче¬
ские состояния, у-квант испускается движущимся со скоростью =
= 63,2 м/с ядром атома олова 119Sn под углом а = 60° к направлению
его движения с энергией, равной энергии перехода ядра из возбужден¬
ного в основное состояние (рис. 5.1). Найти энергию у-кванта. Энергия

276
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
покоя ядра олова Wq = т,яс2 = 113 ГэВ (1 ГэВ = 10'* МэВ = 10() кэВ =
= Ю9 эВ). (Билет 5, 2002)
5.6.	Гамма-излучением называется электромагнитное излучение при
переходах атомных ядер из возбужденных в более низкие энергети¬
ческие состояния, ^-квант испускается покоящимся ядром атома оло¬
ва 119Sn с энергией Еу = 23,8 кэВ, а затем поглощается таким же ядром,
движущимся навстречу у-кванту (рис. 5.2). Какую скорость v должно
Рис. 5.2
Рис. 5.3
Рис. 5.4
иметь ядро, чтобы поглотить испущенный у-квант? Энергия покоя ядра
олова Wq = т.яс2 = 113 ГэВ (1 ГэВ = 10* МэВ = 10(> кэВ = 109 эВ). При
испускании и поглощении у-кванта происходит переход между одними
и теми же энергетическими состояниями ядра. (Билет 6, 2002)
5.7. Электромагнитное гамма-излучение, поглощаясь атомными яд¬
рами, переводит их в возбужденное состояние (с основного энергети¬
ческого уровня на более высокие уровни энергии), у-квант, испущен¬
ный одним из ядер олова, поглощается движущимся навстречу под уг¬
лом а = 60° к направлению его движения ядром олова 119Sn (рис. 5.3).
Найти скорость движения ядра v, если энергия у-кванта равна энер¬
гии перехода ядра из основного в возбужденное состояние Еу = Ео —
= 23,8 кэВ. Энергия покоя ядра олова Wq = тяс2 = 113 ГэВ (1 ГэВ =
= 103 МэВ = 10е кэВ = 109 эВ). При испускании и поглощении у-кванта
происходит переход между одними и теми же энергетическими состоя¬
ниями ядра. (Билет 7, 2002)
5.8. Гамма-излучением (поглощением) называется электромагнитное
излучение (поглощение) при переходах атомных ядер из возбужденных
в более низкие энергетические состояния и наоборот. Ядро атома оло¬
ва 119Sn движется со скоростью v = 63 м/с и испускает у-квант в том
же направлении, который затем поглощается неподвижным свободным
ядром олова (рис. 5.4). Найти энергию у-кванта. Энергия покоя ядра
олова Wo = /г? я с2 = ИЗГэВ (1 ГэВ = 10* МэВ = 10г> кэВ = 109 эВ). При
испускании и поглощении у-кванта происходит переход между одними
и теми же энергетическими состояниями ядра. (Билет 8, 2002)
5.9. В вакуумном фотоэлементе один из никелевых электродов осве¬
щается монохроматическим светом (рис. 5.5). При увеличении задер¬
живающей разности потенциалов U3 фототок уменьшается и при U3 =
= 0,8 В становится равным нулю. Определить длину волны света. Ра¬
бота выхода электрона из никеля Л = 4,84эВ, постоянная Планка h —
= 6,63 • 10~:и Дж • с, заряд электрона е = 1,6 ♦ 10”19 Кл. (Билет 5, 2005)

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
277
5.10. Цинковый уединенный шарик радиусом г — 5 мм при облу¬
чении монохроматическим светом заряжается до максимального заряда
Q = 6,8-10“13 Кл. Определите длину вол¬
ны света, которым проводилось облуче¬
ние. Работа выхода электрона из цин¬
ка А = 3,74эВ, постоянная Планка h —
= 6,63 • 10“34 Дж • с, электрическая постоян¬
ная е0 = 8,85 • 10“12 Ф/м, заряд электрона
е = 1,6 • 10“19 Кл. (Билет 6, 2005)
5.11. В вакуумном фотоэлементе один из
литиевых электродов освещается светом с
длиной волны \ = 0,2 мкм (рис. 5.5). При ка¬
ком значении задерживающей разности по¬
тенциалов U3 фототок, измеряемый амперметром, прекратится? Рабо¬
та выхода электрона из лития Л = 2,39эВ, постоянная Планка h =
= 6,63 • 10“34 Дж • с, заряд электрона е = 1,6 • 10“19 Кл.
(Билет 7, 2005)
5.12. Медный уединенный шарик радиусом г = 5 мм облучают све¬
том с длиной волны X, = 0,2 мкм. До какого максимального заряда за¬
рядится шарик? Работа выхода электрона из меди Л = 4,47 эВ, посто¬
янная Планка h = 6,63 • 10“34 Дж • с, электрическая постоянная е(, =
= 8,85 • 10“12 Ф/м, заряд электрона е = 1,6 • 10“19 Кл. (Билет 8, 2005)

ОТВЕТЫ И ИЗБРАННЫЕ РЕШЕНИЯ
1.1. U =
1. МЕХАНИКА
A/^ocosa — гагcosр 2Mvq — mv
(А/ — га) cosa	2(A/ — m)
л 0	_	(M 4- 2ni)v2 — (А/ -f ra)ri Cosa _ 8	4-	2m)V2	— (M 4- m)v\
l.Z. XL —	—	-=
га	cos	у 7	m
(А/ 4- m)ucosa -I- mrcosP 5(M 4- ra)r 4- 4mv
1.0. Uq =
1,4. m —
M cosa	5	M
M{v2 — Vi) cosa _ 7M(v2 — v\)
V2 cosa -f vcosy ~	7v2	4- 6r
1.5. 2^a = 4 (раза).
1.6. n= ^	«0,17.
1.7. ц = |tg« = |.
1.8. ^ = -4= ~ 2-3 (раза).
9	x/3	F
1.9. m<	=	0,2r.
1.10. u3 =	-	CT	~	(m2V2)a = 20Q м
ШЗ	'
1.11. tga = —™v	~ 3 • 1СГ4, a SS 3 - 1СГ4 рад.
M ygR/6
1-10 1-	mivi	6
1.12. tga =	7 - 	=	=	= i.
v/(m2V2)2 + (m3-y3)2	5
1.13. При движении вниз: maBH = m^sina - /rmgcosa; вверх: maBb =
= mgsina4- kmgcosa. Отсюда sin a = aBH ^ Qrb = 2	0,3; a ~	18°.
1.14. pmin = (gsina - amax)/(gcosa) = (10 • | - 4)/(10 • |) =	0,05.
1.15. sina = a"BeP* + авииз = 4+|Z£ w o,15; a «9°.
1.16. Коэффициент трения p максимален на участке 2-3, когда ускорение
отрицательно (а = —2), откуда
gsina — а	10/7 4-2
Ртах = 5   cosa = —^7=— я» 0,3.
h	S	10v/48/7
1.17. (А ^	Так	как	—	=	5, то ц ^	~	ОТ-
\ Т /	т	т	1 T2g М 1
1.18. Пусть масса верхнего груза равна ть нижнего — m2 (mi + т2 = т),
(Го — удлинение пружины в состоянии равновесия. Максимальное расстояние
«оттягивания» — это амплитуда колебаний системы А. Верхний груз будет оста¬
ваться в покое, если к(А — хо) < m\g, где хо удовлетворяет условию Ахсо = m2g.
Отсюда А ^	~ 0,1 м.
1.19. Из уравнения колебаний следует, что v = Ща, где А — амплитуда
<•2
колебаний. Совместные колебания доски и бруска возможны, если ~~^~А ^ Н£.
отсюда р ^	^	~ 0,3.
о

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
279
1.20.
mg
Нить не будет провисать при условии со Л < g, откуда —A^g
?7Х
i ОД м.
1.21.	Остановиться может только шарик массой га. Согласно законам сохра¬
нения импульса и энергии
кх2 ,	(™	+	M)vo
2 2
(га M)vo = М v,
А/ гг
К задаче
1.22
откуда х = г; (т/к)( 1 4- га /А/).
1.22. В системе координат, движущейся со скоростью v, грузы
покоятся, а после отрыва разлетятся с одинаковыми скоростями в
противоположных направлениях. Так как в неподвижной системе
угол разлета 90°, то в силу теоремы Пифагора (см. рис.) v\ — v.
Тогда кх2/2 = 2mv\/2 = mv2 и к — 2mv2/х2.
1.23. Решим задачу в системе координат, движущейся вместе с шариками с
искомой скоростью v. Пусть в этой системе скорости шариков массами	Зга	и	га
равны соответственно v\ и v?. Тогда кх2/2 = 3mv2/2 -b mv2/2	и	3mv\	= mv2,
откуда V2 — 6v и v = xo у/к/48т.
1.24. В системе координат, движущейся с шариками со скоростью v, шарики
разлетятся с одинаковыми скоростями v\ в противоположные стороны. Так как
v\ = v/cosa, то кх %/2 = 2т v2 /2 и га = кх2 cos2 а/2 К2.
1.25. L > XJL . М _
2Kg М -Ь т
Решение. Сила трения между шайбой и доской Kmg. Относительно стола
ускорение шайбы Kg, а ускорение доски Kmg/M. Ускорение шайбы относи¬
тельно доски а = Kg -f Kmg/M. Начальная скорость шайбы относительно дос¬
ки равна V. Путь шайбы по доске до момента остановки на доске S = V2/(2а).
Длина доски L должна быть больше S.
>о
1.26.	L =
1.27. ж
1.28. ж =
1.29. tn =
18pg •
V2M
2 Kg(M + 7 n)
nvl
lOpg •
A/3 Ft21
Мля2
16,8 с.
К задаче 1.24
1.30.	Период обращения спутника минимален для круговой орбиты вблизи
поверхности планеты. Пусть Му[ и М3, Ям и Я3, 7м и 7'з — массы, радиусы и
периоды обращения спутника с орбитой вблизи поверхности планеты для Марса
и Земли соответственно. Приравняем силу, действующую на спутник массой т
по закону всемирного тяготения, к центростремительной силе:
уМм га
о2	=	™
ям
Отсюда
( 2.П
V 7"м
Ям — для Марса;
у А/3 т
Я3
га
для Земли
ГМ _ ЯМ / А73 Ям о [fi

280
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.31.	Нл~ж(%)^ - 56 м-
1.32. v3/vM = л/Э/ot « 2,2.
1.33. Легко показать, что а = л/3 (см. рис.). Тело движется по окруж¬
ности с радиусом г = Rsincx -f ^	^	* cosa = у|(6\/3 4- л). Ускорение тела
а = (2nv)2r. Так как сумма силы тяжести mg и силы натя¬
жения нити F дает центростремительную силу, равную та,
то tga = mg/(та). Используя записанные выше выражения
для а и г, находим
R —	%	26	см.
n2v2 (18 4- лУЗ)
К задаче 1.33	1.34. Т ^ 2л\Г^ • coscp ~ 42 мин.
V £
1.35. Т = 2л[Я(\/3 4- я)/6^]1/2 « 0,6 с.
1.36. 7^ = 2л ч [Щ % 84 мин.
V £
1.37. Ai = А 4- 2?ngLsina ~ 690 Дж.
Решение. При перемещении груза вниз работа А совершается против раз¬
ности силы трения и скатывающей силы mgsina: А = Атр — mgLsina. При
перемещении груза вверх работа Ai совершается против суммы сил трения
и скатывающей силы: А\ — Атр 4- mgL sin а. Из этих двух равенств находим:
А\ — А 4- 2mgL sin a « 690 Дж.
_ mv
А\ Ч- А2
2
1.38. А = 2mgH -	%	560	Дж.
1 39 ^ = ^2 - Л, tgCt ~ °’4'
!.40. 11=(ММ1/2 = 8м/с.
V m tg a 4- (.1J	'
1.41.	t= yS' = 0,75 c.
(г> 4- 2u)
Решение. Решим задачу в неподвижной системе координат. Скорость Сели¬
сь
жения шарика и плиты v Ч- и, время до столкновения t\ — v и, за это время
шарик удалится от точки А на расстояние Si = 1Г+и. После столкновения ша¬
рика с массивной двигающейся навстречу ему плитой его скорость в неподвиж¬
ной системе координат равна v 4- 2и, поэтому после отскока он пройдет рас¬
стояние Si до точки А за время t? = —т^г~ —  тг- тт- Таким образом.
r	v	4-	2и	(у	Ч-	u)(v Ч- 2и)	г
9 S'
время, за которое шарик вернется в точку А, равно t\ Ч- to =
v Ч- 2 и '
1.42. Атах — А Ч" — 0,5 М.
1.43. t = Щ = 2 с.
v — 2и
1.44. Т/тах = Н Ч- ^ = 1,8 М.
1.45. Н =	1	м.
Решение. По поверхности шара шарик движется под действием двух сил:
веса mg и реакции опоры 7V, перпендикулярной поверхности. Условие движения

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
281
ту*	at	гл
по окружности —= mg cos а — TV. В точке отрыва реакция обращается в ноль.
Из закона сохранения энергии для скорости шарика vo в точке отрыва находим
mvо/2 = mgR( 1 — coscxo). Эти два равенства позволяют найти значение скоро-
о О
сти и ее направление в точке отрыва: vfi = ^gR и cosao = |. При дальнейшем
движении шарика его горизонтальная составляющая скорости сохраняется vr =
= г/ocosao = ^ y/2gR/3 — максимальная высота отскока, то mg ■ 2R = mgH 4-
mv
Н	—">	поэтому Н — 2R
Тт. _ 50 р
2g ~ 27
1 м.
1.46. Я = 2R
1.47. cosp —
1.48. cosp =
1.49. На призму со стороны бруска действу¬
ют две силы: реакция опоры N = mg cosa и сила
трения скольжения между бруском и призмой FT =
= [xmgcosa. Со стороны стола на призму действует
неизвестная сила трения покоя F, направление ко¬
торой выбрано произвольно. Поскольку призма оста¬
ется в покое, то алгебраическая сумма проекций на горизонтальное направление
всех сил, действующих на призму, равна нулю: F + рrag cos 2 a — ?ng cosasina =
= 0. Отсюда F = mg с os a (sin a — pcoscx).
1.50. N = sina(Fsina 4- mgcosa).
1.51. N = Mg 4- mgcosa(cosa 4- psina).
1.52. N = Mg 4- (F 4- mg) cos2 a.
1.53. 1) Натяжение нити T — (m2 4- тз)^; 2) Ускорение шара массой т\
направлено вертикально вверх, а\ = (m2 4- m\\)g/m\.
1.54. 1) Сила натяжения нити Т — (т.\ 4- m2)gsina; 2) Ускорение брус¬
ка массой mi направлено вдоль наклонной плоскости вниз и равно а —
7771 4- 7772
7771
gsm a.
1.55. 1) Натяжение нити Т = (mi 4 m2 4 шз)^; 2) Ускорение груза мас-
7771 4- 7772 + 7773
сои 7771 направлено вертикально вниз и равно а
777]
£•
1.56. 1) Сила натяжения нити Т — m^gsincx; 2) Ускорение бруска с мас¬
сой 772i направлено вдоль наклонной плоскости вверх и равно а= ^gsina.
1.5Т. Обозначим расстояние между Землей и Луной через L. Уравнение дви¬
жения Луны:	L	= У1 где м3 ~ масса Земли. Отсюда у Mr3 =
Y А/о
Ускорение свободного падения на Земле g= - .у . Исключая из двух последних
выражений произведение у М3, получим, что L =
|(^)2«3,7 м/с2.
\ 1/3
Ч ~ 10' м/с.
(6)7
1/3
= 3,8 • 105 км.
1-58. gM = -g
1.59. К
о
fgr2

282
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.60.	V = трг (^р)	~	3,56	км/с.
1.61.	1) |v = 2 м/с; 2) т■ (тр + « 1,3 кДж
1.62. L +
1.63. 1)	=	2 м/с; 2)	=	0,63	Дж.
1.64.
g
1.65. 1) и = |и = 5 м/с; 2)	+	g2i2) =63 Дж.
Решение. За время падения камня и его взаимодействия с песком все
внешние силы, действующие на систему из камня и ящика с песком, были на¬
правлены вертикально. Поэтому проекция импульса системы на направление
скорости ящика сохраняется:
5mv = (5m 4- га)г*.
Отсюда скорость ящика с камнем
с	/
и =	=	5	м/с.
Обратите внимание на то, что и не зависит от скорости камня v\ = gt перед
падением в песок! Это связано с тем, что скорость v\ направлена вертикально,
и ее проекция на горизонтальное направление равна нулю.
Увеличение внутренней энергии ящика, песка, камня и окружающих тел
равно уменьшению кинетической энергии камня и ящика с песком за время
движения камня в песке (время удара):
ц/ _ / 5ти2 ■ mvi \	(5т	+	ш)и‘
2
С учетом выражений для и и гц, имеем
w =1г{ъу2 +s2f2) = 63 Дж-
1.66. k = ^f.
Решение. Направим ось х вдоль направления возможного перемещения
груза на столе (см. рис.). До пережигания нити груз на столе (какая-нибудь
точка груза, например, его центр масс) находился в точке С\ и удлинение пру¬
жины L = mg/k (здесь к — жесткость пружины).
После пережигания нити равновесное поло-
^ 4 д	жение груза на столе окажется в точке О на
1	***		 расстоянии L от точки С и будет соответство-
С О С}	х	вать	ненапряженной	пружине.	Груз на столе бу¬
дет совершать гармонические колебания около
К задаче 1.66	/
своего положения равновесия (точка О), пери¬
одически возвращаясь в точку С с нулевой скоростью и перемещаясь между
точками С и Ci. Амплитуда А — ОС = ОС\ = L = mg/k. Отсюда к — mg/А.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
283
1.67. 1)^ = 1 м/с; 2) ~mv2 = 5,1 Дж.
1.68.
к
1.69. Lpctga % 26 см.
1.70. 1) Л - Ро + р^Я; 2) Р2 = Ро + р^Я - 4рсо2Я2.
1.72. 1) Л - Ро + р^Я; 2) Р2 - Ро + pg{H - h) 4- ±pa>2Z,2.
1.73. —~ 70 см.
tg a - jj,
1.74. 1) Pi = P0 + р^Я; 2) P2 = Po -f pg-Я + 12poj2P2.
1.75. w~~ ~ 0,51 м.
2|xg
1.76. 1) Pi = P0 -f р^Я; 2) P2 = P0 + pgH - |pw2L2.
Pb
Pc
1.78.	1) 7’ = я г- ё-; 2) T = 2л. I L<p
1.77. Н^.Д/1.
2cos(p ’	V	gsinqj'
1.79.	~ p	?c	~ p--fci	=	1 мм.
Pc - P	Рв
1.80. 1) L =	2)	7’	=	3лРк'
1.81. Afc=	pc	~ pB h.
Рв
1.82. 1)^; 2)T = nJf.
1.83. pM = P"f;/^lL»- P)-P! = 2,7 г/см3.
(/ii//i2)(Pb - p) - Pb
1.84.1)^ = ^.; 2)	T	-	6*J=f=.
1.85.
Решение. Считая время взаимодействия пули с коробкой пренебрежимо
малым, запишем закон сохранения количества движения системы пул я-|-коробка
га Vo = ^raVo -f 5 raV,
где V — скорость коробки сразу после вылета из нее пули.
Отсюда скорость коробки
v = ±v0.
2)	После взаимодействия с пулей коробка приобретает кинетическую энер-
1/ ^ г
гию -~2	1 которая полностью переходит в работу против силы трения
= 5т^ц5.
Таким образом, путь, пройденный коробкой до полной остановки,
? = у2 = 2 ^
2ug 225	'

284
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.86.	1) V
V'2sL
Vo
lOOpg ■
1.88. 1) Vm = y/gl- 2) V„ = Vo - lOv^L.
1.89. vo =	0	— ^ (П и	(2	-	времена	падения	первого	и	второго
камней).
1.90. t = VUh-
1.91. Я = |/i.
О
1.92. 5 =
gt2(tj - 4)
2ti
1.93. 1) Hi = 2\fgH\2) H2 = JfgH.
— 160 r;
1.94. I) M = p„rf3 (i - 3) ^1 -
2)	p — Pb — 0,75 г/см3.
a
1.95. I) ui = v/2g(H - A); 2)	=	yT8-**^	h)-.
1.96. A = f (l - |)^4(р- т) =0-37Дж.
1.97.	1) h = Я; 2) h2 = f
1.98. 1) M = p
2) p = pB
з Jtd3 27
6 32
1 - A
d3
771
Pb
| d
m
Pb .
m
— 310 r;
Pb
d2
= pB Щ = 0,83 г/см3
1.99. 1) t>i = y/2g(H - h); 2) v2 = /8g(" h)
1.100. p =
2,7 * 103 кг/м'
1.101.	F2 = M2jf- ^1 = 1^1 = 400 H.
1.102.	Pn = Pb
+ bpgi-
атм i 2
1.103.	Решение. Пусть нижний брусок с массой М движется вниз вдоль
наклонной плоскости с ускорением а. Введем систему координат: ось X напра¬
вим вдоль наклонной плоскости, ось Y перпендикулярно ей. Рассмотрим силы,
действующие на нижний брусок. Это сила тяжести Mg, сила реакции IV, сила
натяжения нити Т, сила давления со стороны верхнего бруска / и сила трения,
действующая со стороны верхнего бруска. Уравнение движения бруска по оси X
имеет вид
Ма = Mg sin а — Krpi — Т.
Вдоль оси Y сумма всех сил, действующих на нижний брусок, равна нулю.
Следовательно,
N = Mg cos а 4- /•

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
285
В силу того, что трос нерастяжим, верхний брусок движется с тем же уско¬
рением а вверх по наклонной плоскости под действием силы веса mg, силы
реакции Мь силы натяжения Т и силы тре¬
ния со стороны нижнего бруска FTР2. Урав¬
нение движения для него по оси X имеет
вид
та = Т — mg sin а — FTp 2 (FгР 1 — FTp 2 = F).
По оси У имеем	К	задаче	1.103
Mi = mg cos a (Mi = /).
Поскольку система двух брусков покоится, то их ускорения равны нулю, и си¬
стема написанных уравнений примет вид
Т = Mg sin а — king cos а и = Amrgcosa -f mg sin а.
Решая систему полученных уравнений для искомого коэффициента трения,
получаем
k=Z = 21ёа= 4-
1.104. Решение. Очевидно, что при движении «тройника» с ускорением а
вправо вода будет выливаться из левой трубки. Уровни воды, оставшейся в сред¬
ней и правой трубках, обозначим через X и Y. Из условия задачи следует, что
l-Х + 1-Y =^-41.
Следовательно,
х + у = |/.	(1)
Давление жидкости у дна левой трубки равно Р\ = Ро + рgl, где Pq — ат¬
мосферное давление. Давление у дна средней трубки равно Р2 = Ро Н- pgM, а у
дна правой трубки Р-д — Ро + Р gY-
Запишем уравнение движения горизонтальной части жидкости, заключенной
между левой и правой трубками:
pgis - рgVS = plSа.	(2)
Для горизонтальной части жидкости, заключенной между средней и правой
трубками, уравнение движения имеет вид
pgXS - pgYS = pSia/2.	(3)
Совместное решение уравнений (1), (2), (3) дает искомое ускорение: а =
1.105. F = + cos a -h sina).
1.106. Fo — Ратм ~f~
1.107. /e = ^	771	tga	=	1	tga	=	.
M+m b 3 ъ 3

286
МЕХАНИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.108. Ро — Ратм +
1.109. 1) а = f(3 —	4sina) =	j = 1,4	м/с2;
2)	v = ‘^y/2gl(5 — 2	sin a) — 1,6 м/с.
1.110. 1) a = |(1 -	4 p.) = yg	= 0,65	м/с2;
2)	V =	~	1 м/с.
1.111. 1) Уравнение движения цепочки в начальный момент имеет вид
^mg sina — ^Tiig = та.
К задаче 1.111
Отсюда с учетом значения sina
а =	«	0,65.
10
2)	За нулевой уровень потенциальной энергии в поле тяжести возьмем уро¬
вень расположения вершины клина. Тогда потенциальная энергия висящей части
цепочки равна
ЕП1 = -\™g 1.
Потенциальная энергия части цепочки, расположенной на клине,
О	0 7
РП2 = — ^rngf sina.
Полная энергия цепочки в момент, когда она полностью находится на клине,
равна
Е — — mg ^ sin a + т£ .
Из закона сохранения энергии имеем
7	,	7	? ^	1	/	9	/	•
—tn^sma + ■ ■ ■■ = —	— |r7ng£sincL
Откуда v = ^ у/(5sin a — l)g/ % 0,66 м/с.
— P 2 ^ ^ 1 с; /Л2.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
287
2) v
4 L ( — —	«	2,5	м/с.
/л
1.113.	При отклонении бруска влево на расстояние L и отпускании его он
приходит в движение, совершая гармонические колебания с периодом
То = 2 я
т
к
В момент прохождения им положения равновесия и упругого столкнове¬
ния с рамой брусок останавливается, передав всю свою энергию и импульс
К задаче 1.113
раме. При этом брусок и рама обмениваются скоростями. Тогда энергия упругой
деформации пружины переходит в кинетическую энергию бруска
К L2 mV2
Откуда
v = L
Через время t\ — Т/А брусок останавливается, а рама двигается поступа
тельно со скоростью V. Через время
t - L -
Ьъ-у-
ГП
к
Zu
2л
рама вновь взаимодействует с бруском, передавая ему свой импульс, и брусок
совершает часть колебания в течение времени
f - То
to — -тт-
ДО следующего удара о раму. При этом он снова останавливается на время
То
t\ =
2л
после чего приводится в движение рамой и т.д. Очевидно, что период колебаний
бруска равен
Т = То + ^ = 2(л + lh/T.

288
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.114.	Из закона сохранения энергии и импульса
mv;
77114
+
М v2
2 2 1 2 ’
mv о = —mv 1 + Mv,
где vi и v — скорости шарика и тележки в момент прохождения шариком точ
ки В. Совместное решение уравнений дает
v =
2т v о
т 4 М'
Скорость центра масс системы шарик-тележка определяется из условия
mv о = (т Т- M)vn.
м.
или
V
д. м.
тур
т 4 М
Следовательно, путь, пройденный тележкой в момент прохождения шариком
точки В, равен
S — Цц. м.^0 —
тир
т 4 М
£о-
1.115. 1
1.116. L
1.117. 1
1.118. 1
1.119. 1
1.120. 1
v = L	2)	T = 2nJ¥
т '	\/	ъ
„=l^(2+v/3); 2)Л=^
v =	2)	Г	=	2(,	+	1)	/Ж.
ш
5
г;
v
3vo 4-	9г'5	4	42gR
vq
21
2)T =
Vo —
gfi( 1 + sina) _	2)	Л	=
Яга
6
Я
4
3m 4 m
1.121. Рассмотрим произвольную точ¬
ку В. Силы, действующие на шарик, пока¬
заны на рисунке. Пусть F — проекция силы
веса шарика на радиус ОВ. Тогда уравнение
движения шарика по окружности имеет вид
ту 2
I
= Т + F.
(Т — сила натяжения нити)
Из рисунка видно, что
F — mg sina.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
289
Тогда
171	=	Т	-f- mg sin а.
Из закона сохранения энергии следует, что
= rnYl + sina.
Чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности, необходи¬
мо, чтобы в точке В нить не провисала, то есть Т ^ 0. Тогда искомая мини¬
мальная скорость, сообщенная шарику, определяется из условия равенства нулю
силы натяжения нити Т.
Решая систему уравнений при Т — 0, находим
у = y5g/sina.
1.122. F = m gV_ i + 3sin2 a.
1.123. V = y/3gl^na.
1.124. F — m 5 sin2 a-f 1.
1.125. Рассмотрим силы, действующие на монету при ее движении по на¬
клонной плоскости. Это — сила mg, направленная вертикально вниз, N — сила
реакции, перпендикулярная наклонной плоскости, и FTp — сила трения, лежа¬
щая на этой плоскости и в любой момент времени направленная в сторону,
противоположную скорости движения монеты v. Сила реакции
N = mg cos a
и работы не совершает. Запишем закон сохранения энергии
ПШ_ _ 171 о — —j-ngH — [irngcos a • S.
Здесь Л — p/mg с osa • S — работа против силы трения. Отсюда
v — \J— 2g(H -I- piScosa).
1.126. v — y/gl(2sin(3 — рясояр).
1.127. S =	2г'2.
2pg cos a
1.128.	v = ^W^(2sin Y + prccosy).
1.129. 1) vi = f, 2) t = T =
1.130. Vn = 7-Ц-5ДЯ—Bs—.
/с - 1	Pn	-	Pb
1.131. 1) «2=V + W2c=t7+	2)t=fy^
1.132. К = ^ - Сл = —	—SAH.
pBg	Рв£Т	Pb	—	Рл

290
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.133.	Для ответа на первый вопрос рассмотрим систему тел, состоящую
из двух муфт. Вдоль горизонтальной оси на данную систему внешние силы
не действуют, а по вертикали сумма внешних сил равна нулю. Это означает,
что в любой момент времени у данной системы будут сохраняться энергия н
импульс. Пусть после отрыва муфты 4га от пружины она имеет скорость v\, ;i
муфта массой га — скорость г>2, и обе скорости направлены вдоль скорости г.
Запишем законы сохранения полной энергии и импульса наших муфт для двух
моментов времени: когда муфта 4т неподвижна, а муфта массой га движется со
скоростью v, и после отрыва муфты 4га от пружины:
mv2 _ 4mvi , ^2	,	, ,
2	2	2	1 1
mv = 4mv\ + mv2■	(2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет найти гц, равное
Для ответа на второй вопрос удобно перейти в систему координат, связанную
с центром масс нашей системы. Очевидно, что эта система будет двигаться со
скоростью Ццм = 1/5 V. В этой системе координат в момент касания пружины
с муфтой 4га ее скорость будет равна —1/5 г\ а скорость муфты массой га
равна 4/5 v. Обозначим длину недеформированной пружины через L. Тогда
расстояние от муфты 4га до центра масс /i = 1/5 L, а аналогичное расстояние от
муфты массой га, до центра масс h = 4/5 L. После соприкосновения пружины с
муфтой Лиг в системе центра масс обе муфты будут двигаться по гармоническому
закону с круговой частотой
ш=\[Ш=\[Ш-
Т I г
где К1 — жесткость пружины длиной 1\ (К\ =	—	ЪК),	а 1<2 — жесткость
пружины длиной /2, (Д"'2 =	= |Ю- Частота
»- \/Ш-
Очевидно, что муфта 4га оторвется от пружины через время т, равное половине
О —
периода колебаний Т (71 =	муфт:
1.134. Натяжение нити до таяния льда равно разности выталкивающей силы
и силы тяжести шарика, вмороженного в лед:
2 1 —	4“	Vni	)	Рл£	Vjl	Р§	^ил	—	§	V.Л (рп	Рл ) 4“ § I7! II (рв р) 7

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
291
где рл — плотность льда, Ул — объем льда, a Vm — объем шарика. После того
как лед растаял, новое натяжение нити
7 2 — рв^^Гн Р^Ил — ^Иц(Рв Р) ■
Условие уменьшения натяжения нити в К раз имеет вид
71   ft —	~	Рл)	+	Hll	(рВ	~ р)
72	Ил(рв	~	Р)
Уменьшение уровня воды в стакане после того, как растаял лед,
вызвана положительной разностью плотностей воды и льда рв — рл > 0.
Масса растаявшего льда гпл — рлУл, объем воды от растаявшего льда VH =
=	—	— Ул. Объем образовавшейся воды меньше объема льда на величи-
рв Рв
ну АУ = Ул — Ув = Ул( 1 — рл/рв). Это приводит к уменьшению уровня воды в
стакане:
АН ■ S = AV = Ул Р?-~ Р-л ■ (4)
рв
Исключая из уравнений (3) и (4) объем льда 1Л, получим, что объем шарика
\ГШ =
5АЯрв
(.К - 1)(рв - р)
1.136. V = SAH
Рв — Рл рв£ рв рл
1.137. 1) ai = g(sina — pi cos a) ^2,9 м/с2;
2)	L = |(p2 — pi )gt2 cos a = 25 cm.
1.138. 1) a\ = g/10 « 0,98 м/с2; 2) W3 = 1,7 c.
Решение. На брусок со стороны доски действует сила трения скольжения
F\ = 2\iirng, направленная вправо. Применяя второй закон Ньютона к грузу и к
бруску, найдем ускорение системы двух тел:
ох = (1 ~|tu)g = ^ = 0,98 м/с2.
Заметим, что движение доски не влияет на ускорение а±. Это связано с
тем, что при движущейся и закрепленной доске сила трения F\ между доской
и бруском одна и та же. Рассмотрим движение доски. На нее действуют две
горизонтальные силы: направленная влево сила трения F\ со стороны бруска
и направленная вправо сила трения F2 = 5цгmg со стороны стола. Ускорение
доски
F-[ - F2 (2pi - 5ц2)g _ g ^
02 ~ 3m -  3	 =	15	<	ab
Ускорение бруска относительно доски
(1-4щ+5ц2)£ g
ci = ai — «2 =

292
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
С этим ускорением брусок пройдет относительно доски путь S за время
t = Ш =	6S	=	^	с	=	17	с
У а у (1 - 4щ + 5(i2)g
1.139.	1)	ai	= g(sina — (.ii cosa)	=	7 м/с	;
2)	t = ./	35	» 1,2 c.
у 2((.12 - m jgcosa
1.140.	1)	ai	= mg = 0,98 м/с2;	2)	L =	|(1 -	Зщ	- 2(i3)g/2 w 72 c.
1.141.	1)	v	= \Jv%- jgR', 2) F	=	Щ-+	f V
1.142. 1)	v	=	u2-gR,2) F = Mg+i^(|g-%).
Решение. По закону сохранения энергии
Отсюда с учетом того, что // = Я/2 находим скорость шайбы в точке D:
г/
= v/u2 - gR.
Для ответа на второй вопрос найдем сначала силу давления шайбы на горку
в точке D. Запишем уравнение движения шайбы в проекции на направление DO:
mg cosy — N = rnv
R *
Отсюда с учетом полученного выражения для v
N-m(l g-У!).
По третьему закону Ньютона шайба давит на горку с такой же силой N в
направлении DO. На горку еще действует направленная вертикально вниз сила
тяжести Mg, горизонтально направленная сила давления со стороны стенки и
вертикально направленная сила F со стороны стола. Горка в покое, и поэтому
F = Mg -Ь N cosy.
С учетом полученного ранее выражения для N имеем
F = Mg+ fm(|g- 2Д).
По третьему закону Ньютона горка давит на стол с такой же силой F, но на¬
правленной вертикально вниз.
1.143.	1) v = J 2) FTр =	—	2	Н-	3cosa^	sin	a	=

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
293
1.144. I)	v =	уТ' 2) Frp = rng^.
1.145. 1) г>1 = и\/3 ~ 12 м/с; 2) г>2 = Згх % 21 м/с.
1.146. 1) г/о = -^= = 1 м/с; 2) vi — V2\/3 = 3 м/с.
V 3
Решение. Перейдем в систему отсчета, связанную с плитой. В этой системе
отсчета скорость мяча v = v\ — г/о и направлена вертикально вверх (см. рис.),
составляя угол у с нормалью к поверхности плиты (угол падения). Относительно
плиты мяч отскочит со скоростью г/ = v под углом отражения, равным углу
падения у. Векторное сложение относительной скорости v и скорости плиты г/о
даст скорость V2 мяча относительно Земли (см. рис.). Имеем
Vo
- v2 —	—	л	Л,	/г
tg2y Уз	'	'
V2
>/з
V =
V2
Vi = v + т/о =
sin 2у ’
=v2\/3 = 3m/c.
1.147. 1) г», = u.\/3 ~ 14 м/с; 2) -иг = и	—	l)	= и ~ 8 м/с.
2 м/с.
I	v	з
1
1.148. I) vo =	=	2	м/с;	2)	г/i	=	i/2tgcp	=
v 3	V	3
1.149. cosa =
/и
Решение. На рисунке изображен момент соскальзывания шайбы с клина.
Обозначим в этот момент скорость шайбы относительно клина через v0th, а
скорость самого клина через и. Очевидно, что скорость клина направлена го¬
ризонтально, а относительная скорость шайбы составляет угол а с горизонтом.
отн
V'
К задаче 1.149
Поскольку действующая на систему тел «шайба плюс клин» в горизонтальном
направлении результирующая сила равна нулю, то горизонтальная составляю¬
щая импульса этой системы остается неизменной:
?71 г/о = 2ти -f m(vотн cosa -f u).
Поскольку и — г/о/4, то уравнение (1) будет иметь вид
г/о = 47/oTHOOsa.
(Г
(2)

294
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
По закону сохранения энергии
mv0 _ 2mtt2 + тУт	(3,
2 2 2
В данном уравнении уш — скорость шайбы в момент соскальзывания отно¬
сительно неподвижной системы координат. По теореме косинусов
— ^?отн + и2 + 2i;0TH^cosa.
После подстановки этого соотношения в (3) и с учетом того, что u = vо/4,
получим
13г»о — 16^отн + 8^0TH^ocosa.	(4)
Из совместного решения (2) и (3) относительно cosa получим, что
cos a = -~=.
VTT
ДР	рс	(р	—	рв)
1.150.	Vn
9S P Рв Рс
Решение. Пружинные весы измеряют вес тела. Первоначальные показания
весов Pi = m-ag -f Mcg.
Здесь Mc — масса сосуда. Массой марлевого мешочка пренебрегаем. Пока¬
зания весов после растворения соли в воде
Р2 = mbg 4- Mcg + rncg + Vnpg.
Здесь 7пс — неизвестная масса соли. Изменение показаний весов
АР = Р2 - Pi = rncg + V„pg.	(1)
Плотность солевого раствора
р = ■■17!с.±_тв_	(2)
(ГПс , ТПъ
V Рс Рв
)
Определяя массу соли гас из уравнения (2) и подставляя это выражение
в (1), найдем объем примеси:
у — ар _ гпъ. Ее (р ~ Рв)
п Р£ Р рв Рс - р
1.151. V = х/91и2 4- 2gH.
1.152. Vb = рс-~ Р-
Рс - Рв
ДР
g(p — Рв) — 1п _
,2	/	_	л	\	оП/,,2
1-153.» = T(3 + ^pJ=a¥:
1.154.	mB =	-	VnPl

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
295
1.155.	S=2M(P+m)^tgcp.
§
1.156. Кп =
гп~
АР
тв (рс — Рв)
£(Р ~ Рв) Рв (рс - Р)
1.157. 1) Р20 = (ро - рв)Уg\ 2) Ро = (р<) - Рв)^(я + actga).
Решение. На рисунке изображены силы, которые действуют на шар в слу¬
чае движения сосуда с постоянным горизонтальным ускорением a: F\ и F2 — две
проекции результирующей силы давления со стороны воды на шар, N — реак¬
ция стенки сосуда на шар, Pi — сила тяжести шара, Р-2 — сила реакции дна
сосуда на шар. В том случае, когда сосуд неподвижен, силы Р\ и N равны
нулю, а сила Р2 = Р2о = Pi - Рч — poVg - pBVg = (ро - pBVrg), где g — уско¬
рение свободного падения, а рв — плотность воды. Очевидно, что сила давления
шара на дно сосуда равна Р2() и противоположна ей по направлению. В случае
движения сосуда с ускорением а, сила Pi = рвУа, а уравнение движения шара
по горизонтали будет иметь вид
poVci = рв Va -f N sina.
В вертикальном направлении, очевидно, сумма сил равна нулю:
pnVg + Р2 — роУ g - N cosa = 0.
Совместное решение уравнений (1) и (2) позволяет определить Р2:
Рг = Ро - Рв V(g И- actga).
(1)
(2)
1.158. 1) Т\ = (р - pi)Vg\ 2) Т2 = (p - pi)V{g - actgy).
1.159. 1) TV 1 = (ро - p)Vg; 2) N2 = (ро - p)^(g + a tga).
1.160. 1) Ni = (p — pi)Vg\ 2) TV2 = (p - pi)V^(g 4- actg<p).
!	1Л-,	1	\	2	-	3^1
1.161.	1) a = 	=	g
0,‘2lg= 2,1 м/с2;
2)	T2 = |mg(3 -	и 0,3mg« 0,89 H.
Решение. Уравнение движения системы «брусок плюс толстая верев¬
ка АО»:
7 та = 6mg sin (3 — ЛГр — rrtg,

296
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где N = 6mgcos р. Отсюда ускорение бруска
(6sinp — 6j.tcosP — 1)
а =
g-
Очевидно, что кусок веревки BD движется с тем же ускорением а, поэтому
уравнение движения этого куска будет иметь вид
|-та = 72 - \mg.
Отсюда сида натяжения веревки в точке В
7 2 = nr(aJrg) = О + sin (3 — pcosP)^rag(3 — pV^) ~ 0,3rag % 0,89 H.
28
1.162. 1) a = 1,8 51,6Mg^0,3g % 2,9 м/с2;
2) E —	1	4- sina 4- pcosa) « 0,24(2 4- \i)mg « 5,2 H.
1.163. 1) a - 5	« 0,54g % 5,3 м/с2;
2) T = ^(3 -h \/3p) « 0,23rag = 1,1 H.
1.164. 1) a - -1-’.2	0,14g^	1,4 м/с2;
2) 7’ — |jrag(sina -f p(l — cos a)) — ^ (3 4- \i)mg ^ 4,3 H.
1.165. 1) I = л ~ 42 мин; 2) цт = If ~ ^>6 км/с.
Решение. Пусть тело массой га движется по тоннелю в	виде	хорды	KL,
изображенному на рис. В некоторый момент времени это тело	имеет	координа¬
ту х. В этот момент со стороны Земли на него дей¬
ствует сила тяжести, равная
F =
GmM • 4лг3/3 __ СтМг
г2 • 4лЯ3/3	R3
где М — масса Земли, а г — радиус окружности, про¬
ходящей через тело массой га. Проекция этой силы
на ось х равна
Fx = —Fcosa = — F- =
GmMx
R
з
mg
x
где g — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Теперь мы можем
записать уравнение движения нашего тела:
или
тх = ~mg-R *
ж 4-	=	0.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
‘297
Это уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой со =
= y/g/R. Следовательно, наш вагон достигнет Калининградской области через
время, равное половине периода колебаний (Т = 2л/со):
Для ответа на второй вопрос будем искать решение уравнения гармонических
колебаний в виде
где Ли В — константы. Используя начальные условия .т(0) = L/2 и i:(0) = О,
найдем В = L/2 и ,4 = 0. Окончательно получим
Заметим, что максимальную скорость г;т можно найти сразу, воспользовав¬
шись связью при гармонических колебаниях между vm и амплитудой колебаний,
равной Lj2:
1.169. 1) v = но — \igr\ 2) S — Avqt — |р^т2.
Решение. Скорость точек шара, соприкасающихся с поверхностью сто¬
ла, является разностью скоростей двух движений шара: поступательного и вра¬
щательного. Поскольку после удара скорость поступательного движения шара
уменьшалась, то, следовательно, сила трения скольжения была направлена про¬
тивоположно скорости поступательного движения шара, что означает, что ско¬
рость поступательного движения точек соприкосновения шара больше линейной
скорости вращательного движения этих точек. Сила трения скольжения
x(t) — Asina>£ -Ь В cos cot,
x(t) = cos cot.
Скорость вагона будет изменяться со временем по закону
v(t) = x{t) — — ^Tpsina>t.
Отсюда находим абсолютную величину максимальной скорости вагона:
1.166. 1) т =	~	20	мин;	2)	v	=	v1	—	7\/3	м/с	~	1	2	м/с
^тр — [iMg,
где М — масса шара, а g — ускорение свободного падения.

298
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ускорение поступательного движения
а
гтр
тг
= И£*
Через время т скорость поступательного движения шара
V = v(t) = Vo - \XgT.
После этого момента скорость шара остается постоянной, а это означает, что
шар покатится без проскальзывания со скоростью и(т).
Путь, пройденный шаром за время т,
Si = VqT
За оставшееся время Зт шар пройдет путь
S2 = v(x) ■ Зт = Зг>от — Зр^т .
Полный путь, пройденный шаром за время 4т,
S = Si + #2 = 4ц0т — |р£т2.
1.170, 1) GLmax —	2)	а ~
Решение. Введем обозначения (см. рис.). Пусть первоначальная масса гру
за А/, тогда вторичная масса груза 3А/. Длина недеформированной пружины з,,.
z\ — длина пружины в положении равновесия в случае
первого груза, Z2 — положение равновесия для второго
случая, z-л — крайнее нижнее положение при колебаниях
второго груза. Жесткость пружины обозначим через к.
Потенциальная энергия деформации для первого груза
может быть записана в виде
Uo
k(zo - z\)‘
2
а условие равновесия
k{z0 — zi) = Mg.
f I
,/77У/77///7?//////у
К задаче 1.170
Деформация пружины в случае равновесия со вторым
грузом в три раза больше, чем для первого, т. е.
Zo -Z2= 3(20 - Zi ).
Амплитуда колебаний для второго груза
21 — 2-2 — 2( 2о — 21 ) — 2-j^-.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
299
Когда груз колеблется около своего положения равновесия, то на него действуют
две силы: сила тяжести и сила упругой деформации пружины, но действие этих
двух сил эквивалентно действию одной упругой силы kAz, где Дг - отклонение
от положения равновесия. Поэтому очевидно, что максимальное ускорение груза
при колебаниях во втором случае будет при максимальном отклонении груза от
положения равновесия (z = z2)\
k(z\ - го) _ 2„
шах -	3 м- з£-
Рассмотрим колебание груза массой 3М относительно положения равновесия
(z = Z2). В крайнем верхнем положении полная энергия системы равна потенци¬
альной энергии груза:
k(zi - z2)2	2{Mg)2
Е =
к
Потенциальную энергию груза мы записали через эквивалентную силу, о кото¬
рой говорилось выше. Если груз при колебании имеет кинетическую энергию
Т = 3£/о, то его потенциальная энергия
_
2	к
Здесь Дг — отклонение от положения равновесия.
Из уравнений (1) и (2) следует, что
(3)
  kAz _ \/3kU{)
ЗМ	37?г
С учетом (3)
а
g
3*
1.171. 1
t\ =
1.172. 1
flmax
1.173. 1
V = I
1.174. 1
m 1
7712
1.175. 1
^max
1.176. 1
flmax
1.177. 7712 = 1
Pg
25 vo
8 pg
= \/% 2) Т =
8 Ц0
Pg
V = Vo + pg^o; 2) S = Svoto + |pg£0
= 3; 2) T=Uo/S.
о
2pg ’
!• 2
2Ч «2 = Ц
' П 2гц г>2
16
t/o
m 1
Решение. Пусть I — длина нити, связывающей шарик
массой 77ii с точкой Оь Тогда длина нити, связывающей
шарики, равна /\/3.
Силы, действующие на шарики, показаны на рисунке.
Здесь Ть Т2 и То — силы натяжения нитей, причем IT21 =
= |Т'2| = Т2. Запишем уравнения движения шариков в про¬
екциях на оси у их:
Г Т\ cos а — Т-2 cos р = m 1 g,
1 Т2 cos р = m2g,

300
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
rn\L02l sin а = Т1 sin а — 7 2 sin (3,
m2C02(/\/3sinP -f- /sina) = 72 sin p.
Решая систему уравнений, получим
1.178.	Т = 2tgAShia1:2)mg.
m-2
7771
5 sin a
!.179. g = f.
1.180. со =
2g tgp
4/i sin p H- /2
1.181. 1) vioth = |v;	2)	n	=
1.182. 1) Vqth =	2)	d	—	.
1.183.	1)	=	1; 2) « = j^/Vhgd.
Решение. Пусть viOTH и V2OTH — скорости пуговицы относительно ленты в
начале и в конце движения по ленте, vi и V2— скорости пуговицы относительно
стола в начале и в конце движения по ленте, v — скорость ленты. По правилу
сложения скоростей (см. рис.)
Vl = VloTH + V, V2 = V20TH + v.
Так как по условию v\ = v, a = 60°, Р = 30°, то
^1отн = Щ ^’2отн — v/2.
Движение относительно ленты — прямолинейное равнозамедленное с ускорени¬
ем а = pg и начальной скоростью viOTni направленной под углом у = 60° к краю
ленты. Путь относительно ленты
К задаче 1.183
S =	^	^
~ sin7 ~ х/3’
Имеем
2	2
^2отн ^1отн —2aS.
С учетом выражений для 'щотн, т^отт а и S находим
V = I \Jy/3\igd.
1.184.	I) Voth = «vT4; 2)ц=^|^.
2p + 2pcosa 4- sina _ g
1.185.	£ = 0	0	.
g 2 — 2psma -f- cos a
13’
1.186. К =
Рл(Рв p) 5ДЛ = goo CM3_
P(pji ~ apB)
1.187, со =
1 + 3sinp g __ /17JL
6cosp — p R у 16 R '
Решение. Минимальная угловая скорость со соответствует ситуации, когда
нижний брусок находится на грани скольжения вверх. Силы, действующие на

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
301
бруски, изображены на рисунке. Сила трения Frр = p/Vi. Ускорения брусков
направлены к оси вращения:
а\ — со2 Я, а-2 — оз2 * ‘2Я.
Запишем уравнения движения для нижнего бруска в проекциях на оси х\
И У\:
Mi = 7па 1, Т — FTp — mg — 0.
Для верхнего бруска уравнение движения запишем в проекциях на ось х:
Т 4- Smgsinp = 3ma2Cosp
Подставив в последние три уравнения выраже¬
ния для аь а-2 и FTp и решив систему из этих
уравнений, находим
со =
1 4- 3sinр g
6cosP — р R
2	_	3	а	_	4
При [i — ф, cosp = ~, ship = ^ со =
О	О	О
рв SAh
- /ПК
16 я
1.188. pi =
(i~a)v + SAh
= 0,7 г/см'
Решение. Пусть V\ — объем доски. Можно показать, что вытесненный
вначале объем воды V2 = SAh. Условие плавания доски с плотностью pi
Рв V‘2g = plVig.
Условие плавания доски с пластиной
pB(Vi 4- o.V)g = (pi Vi 4- pVr)g.
Из записанных уравнений находим
рв SAh
Pi
(£-«)v
= 0,7 г/см'
1.189. a = p + Юс°ва+ sina„_ 33
(2 — (.ijsina 4- cos a
рл Рв SAh
1.190. p
pnSAh 4- Тв(рл — арв)
= 0,5 r/cMJ.
1.191. со = J
2g	ц sin a 4- cos a
R 3 4- 2(sina — pcosa) \
1.192. ^ ga P ~ aP" = II cm « 0,92 cm.
5 Рв Рв - Рд 12
1.193. Влево на Н/9 = 3 см.
JL
2 R'

302
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.194. Я = I —5 = 4rS = 18 см.
о т	о
Решение. Направим ось х горизонтально вправо. Пусть вначале координа¬
ты центров масс грузов с массами 5m, га и бруска были хъ> х\ и х-л. К моменту
удара о стол груз массой га сместился по вертикали на расстояние Я, груз
массой 5га сместился относительно бруска вправо на расстояние Hr/R. Новые
координаты центров масс грузов и бруска стали
хъ Т — $> xi — 5, х3 - S.
Координата хс центра масс системы из грузов и бруска не изменяется и опреде¬
ляется из равенств
(5т + т + 3т)хс = Ьтх*> 4- тх\ 4- Зтхз =
= 5т (х$ 4-	—	4-	т(хi — S) 4- Зт(хз — S).
Отсюда Я= |£5= ¥S = 18 см.
5 г 5
1.195. Xi = 7 см.
1.196. Сместится влево на % — Я = 12я = 24 см.
7 г	7
1.197. v = J JFs .
у Л/cos а
Решение. Во время движения колеса по поверхности клина клин остается
неподвижным. Поэтому проекция на горизонтальную ось всех действующих на
клин сил равна нулю (см. рис.):
F 4- ЯТр cosct — Я sin а = 0.
Здесь Ягр — сила трения покоя между колесом и поверхностью клина, IW —
= Mgcoscx — сила нормального давления колеса на клин, равная силе реакции
опоры. Сила трения покоя — величина неизвестная, но ее можно найти из преды¬
дущего уравнения:
77
Ято = Mg sin а ——.
1J	&	cos	а
Теперь запишем уравнение движения
центра масс колеса вдоль наклонной плос¬
кости клина:
Ма = Mg sin а — FTр,
откуда найдем ускорение колеса:
FT р	/г
а = gsin а	ту = у •
М М cos а
При равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью связь между
пройденным путем s и скоростью и, достигнутой в конце пути, имеет вид
К задаче 1.197
v = v2 as,

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
303
или
/ 2
у М cos а'
1.198. 5=
1.199. g = ("« ~ *у3 .
2m sm р
1.200. t = Q2;omsin41.
3(mg - О)
1.201.	Цтin = tga + S7„ffosa.
Решение. Будем рассматривать колебательное движение шайбы вдоль
оси х, параллельной наклонной плоскости, около положения равновесия х = 0.
Уравнение движения шайбы для произвольного момента времени, изображенного
на рисунке, имеет вид
тх = FTp -f mg'sin a,	(1)
где FTp — сила трения покоя между шайбой и бруском. Поскольку шайба вместе
с бруском совершает гармоническое колебание с амплитудой А и частотой со =
— I к , то
у 4 т
x(t) = Acosiot.	(2)
Подставляя (2) в (1), получим
FTp — — (mg si net + mA(a coswf).
Отсюда видно, что максимальной величина силы Frp
будет в те моменты, когда cosw^ = 1:
FTр шах = -(ragsina + тЛсо ).
Совместные колебания шайбы и бруска будут воз¬
можны, если максимальная сила трения покоя будет
меньше или равна силе трения скольжения между
шайбой и бруском:
•	2
mg sin a + in А со ^ pm geos а.
Отсюда минимальный коэффициент трения
Ernin = tga +	=	tga	+	4m^osa.
1.202.	АН = --Х-	= -2,5 мм.
Р gS
Решение. Условие равновесия куска льда:
К задаче 1.201
рл	Vg + Т = pVng,
(1)

304
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где рл — плотность льда, V — объем льда, р — плотность воды, Vn — объем
льда, погруженного в воду. Объем воды, образовавшейся из растаявшего куска
льда:
р-п
VB =
р
Изменение уровня воды в сосуде после того, как лед растает:
= Ув ~ Гл.,
После подстановки сюда Vn из (1) и из (2) получим, что
АН =	^	=	—2,5	мм.
Р gs
Уровень воды понизится
1.203. А =
7 mg
(6pcoscx — sin а).
1.204. Т = 1,8 Н.
1.205. к =	cos	а	—	sin	а).
1.206. Т = 4 Н.
1.207. А = —j^(8ц cosct — sin а)
1.208. Ah = 1 см.
1.209. 1) vA = V(v - йу2- 3 2
m
(v — и)
R
le
(2
Решение. 1) Систему отсчета, связанную с бруском, можно считать инер-
циальной. Начальная скорость монеты относительно бруска равна (v — и). По
закону сохранения энергии
m(v — и)2	гг iv
А
2
4- mgR( 1 -h cosy),
RI
s///s//7777777777777^^^77777,
К задаче 1.209
Отсюда скорость монеты в точке А
va — л/(v — и)2 — 2Rg(l 4- cosy) = у (v - и)2 — 3Rg.
2) Для нахождения силы давления N запишем для монеты
в точке А уравнение второго закона Ньютона в проекциях
на радиальное направление:
тгн
—Щ
— VV 4- mg с os у.
Отсюда
N — m
(v — и)'
R~~
h
1.210. 1) ш = y/(v + u)2 - 2 gH- 2) N=f{5g - (V +HU)2 )

МЕХАНИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
305
1.211. 1) vi = ,f(v + и)2 — ^gK; 2) N = т (-v U^
1.212. 1) V! = y/[v - и)2 — 2gH\ 2) N = f ^3g 4-
1.213. |i = Qt-g- + .g = 15
h a — g tga
R
(v — и)2 \
Я
Решение. Рассмотрим случай a = g, когда сила трения уже равна свое¬
му максимально возможному значению (F = [iN), но проскальзывание еще не
началось, и ускорения бруска равно а. Из системы
F — mg cos а = mas in а,
N 4- rag sin а = та cos а,
F = \iN,
находим
И
та sin a 4- ragcosa a tga -f g 0,2 4- 1
- 1,5.
mac os a — mg sin a	a — gtga 1 — 0,2
Второе решение. Пусть Q = F 4- N — полная сила реакции, действующая
со стороны доски на брусок (см. рис. б). Если F = [iN, то tgq) =	= р, кроме
того, tg(<p — a) = -. Отсюда получаем
[I = tgcp = tg((<p - a) 4- a) =
§ 4- tga
1 — — tg a
a to
1.214. (it = ?i-g-a°-= 15.
^ a — gt.ga0
1.215. tga -	-	0,2.
a 4- (utg
1.216. a = 1+l4gaog = g.
[i - t.gao
1.217. a„mx =	и	=
F1/
а/
а
'^ч£а
X
a
К задаче 1.213
T2
2T
Решение. При гармонических колебаниях х = A cos cot, г> = —со Л sina)/,,
a= —arAcostoT Отсюда находим:
4л2 А.
1) Qnmx = tO2А =	А	=
/ji 2	’
2)	(гД1—)	+	= 1- При = 4о„шх	получаем	#	=	х»пш
^тах /
_ Д7 . _ лУ7Л
“ 4 (оЛ — 2Т
1.218
2лг>
шах
т
 т/5
» Д* —	Гшах	1	•
1.219. tw =	a	=
Т
1.220. Ушах —
&тах Т
зт2
х/2
2л
* V —	^д.	•
1.221. v = Ял/2/« = Т м/с.

306
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение. Начальную скорость находим из условия S= ~vot. Скорость на
середине пути (v2 = 2а^) связана с начальной скоростью (v2 — 2aS) соотноше¬
нием v = vq/л/2. Отсюда получаем v — S\/2/t = 7 м/с.
1.222. г, = 4y/$gl'T = 2л^Щ.
Решение. 1) Обозначим скорость нижнего груза через vy тогда скорость
верхнего будет и/4. Из закона сохранения энергии
Ш(Т2у/ ■--- 4-	=	mgl( 1 — совфо) -Т mg ■ 4/(1 - costpo)
находим
V
4J- совфо) =
2)	Для нахождения периода колебаний необходимо получить уравнение гармо¬
нических колебаний ф 4- ш2ф = 0 и тогда Т — 2л/со. Запишем закон сохранения
энергии в виде (ф — угловая скорость маятника):
77т(/ф)2	ш(4/ф)2	,	.	,
 2 1	2	 “	TYlgl	COSСр — mg' • 4/совф = const.
После упрощений
17/ф2 — I cos ф — const.
Продифференцируем это соотношение по времени:
17/ • 2фф 4- lOgsincpcp = 0,
или
5 о
ф 4- J^s 1Пф = 0.
При малых ф (sirups ф) получаем уравнение гармонических колебаний
Ф + ^Ф = 0,
из которого находим
“2 = S- Т
1.223.	5 = -Vvt = 14 м.
V2
1.224. vum = 2ур/, Т = 2л4Ц.
1.225. t = ^/2 _ 5^2 с « 7 с.
V
1.226. г;п,нх = g s/7gl< Т = 2

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
307
1.227.	S = = 25 м.
1.228.	Umax = 2 */!§/.	=	2л	131
2g
1.229.	52 = Si^^ = 50 м.
VI - Vo
Решение. По условию ускорение автомобиля пропорционально его ско¬
рости: a = kv или v — kS. Отсюда следует, что v = hS + const, т. е. скорость
и перемещение связаны линейной зависимостью. Из про¬
порции (см. рис.)
VI - VQ
Si
V2 — VQ
V2 — VQ
S2
получаем 52 = Si ^ = 50 м.
1.230. S-л = S-2- {Si - S2)V2~-— = 250 м.
4	f	V\	—	V2
1.231. v-j = v-2 + [v-2 — wi)gr- = 24 км/ч.
1.232. S = Si v ~ v° = 10 м.
Vl- VQ
1.233. pi = IPp = 3,3 г/см'\ pa = Юр = 10 г/см'
Решение. 1 — нижний груз, 2 — верхний груз.
К задаче 1.229
т= piVtg,
2 Т = 7’ +	p2V2g,
0,77’ = (pi -р)Vig,
0,8 • 2 Т = 0,77’ + (рз - р
Т = piVig.
Т = р
0,7 Т = (pi
0,97’ = (ра
p)Vig,
Р Wig-
_В = 0,7,	еА2ТР=0,9,
Pi	Р2
В
pi =	=	3,3	г/см3,	р2	=	Юр	—	10	г/см3
мои
1.234.	1) Fi - f (о2/. 2) F2 = ^ 771(0 2 / .
Решение. 2) Центр масс движущейся по окружности под действием иско-
9	777
силы массы + -у = m находится на расстоянии
2 2
Зш
от оси вращения. По теореме о движении центра масс
2	7	2
F2 = 771(0 X = ^ 771(0 /.
1.235.	pi = 5р = 5 г/см3; р2 = fP — 0,4 г/см3.
О

308
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.236. I) Fi =	2)	F2	=	Щт^.
1.237. р! = 2,5р = 2,5 г/см3; р2 = 1,5р= 1,5 г/см3.
1.238. 1)	Ь\ =	\тю21.2)	F2 = Щгпм21.
1.239. Р1 = |р = 1,6 г/см3; р2 = 0,8р = 0,8 г/см3.
1.240. 1)	F\ = т^-.2)	F2 = Т"тТ'
1.241. Т = 7Н.
Решение. Ускорение левого груза направлено вниз и равно a — v/t —
= 3 м/с2. Из второго закона Ньютона mg — Г — та находим Т — m(g — а) =
= 7 Н.
Т 2	04 4 _ у/7
1.242.	1) Г = 2л 7^, Т.
— = л/§ = -т=. 2) А =
т0 V3 уз
Ло.
Решение. 2) Скорость v бруска перед ударом находим из закона сохране¬
ния энергии:
fcAg
fc
+	mW2	=	|fcAg.
2 2 2 ’
Скорость после удара находим из закона сохранения импульса: rnv = (m -f y)77'’
и = ~v.
4
Новую амплитуду Л находим из закона сохранения энергии:
АЛ2
к
Л0
+
А’Л 2 =
АЛ£	9	АЛ
   Н- — тп-v — —
9	^	4	9
0 + | ■	А	=	^А0.
1.243.
Т
- 12
Н.
1.244.
О
Т
То
л
. 2) v
= г)°'Д-
1.245.
Т
= 12
Н.
1.246.
1)
Т
TfЛ
■ \/з»
2) Л
=
1.247.
т
- 26
н.
1.248.
1)
Т
Т0
2
‘ у/3
2) 1/:
= г)оД
1.249.
1)
V =
: 2г/о, 2) и =
4\/2 - V5
6
г/о % 0,57г/о.
Решение. 1) Проекция скорости шарика на плиту не из¬
меняется:
vq sin а
г/siny, v = г/о 4^ = ^0777 = 2г/о
1	sin у	1/3
У ”1/3
2)	В системе отчета, связанной с плитой, модуль скорости
шарика при ударе не изменяется и угол падения углу отраже¬
ния (см. рис.). В проекции на нормаль к плоскости имеем
vcosy = 2и 4- г/ocosa.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
309
откуда получаем
1 t	\	1	(п ч/8	у/Е\	4у/2 -	VE ^ п с-7
и = ucosy	— ^ocosa)	= ^ I 2vq г;°“"з"~ )	~ 	6	1,0	0,57г>о.
Вместо этого можно записать теорему синусов
2и _ VQ
sin(a — у) sin у
и после раскрытия синуса суммы получить тот же ответ.
1.250. 1) vq = ^ ~ -vи 0,52г>. 2) и = « 0,30v.
v 2	v 6
1.251. 1) но =	2)	и	— 6л//^8~% 0,73н.
1.252. 1) но = ——-рт—— н ~ 1,12н. 2) и — и ^ и--1 и ~ 0,30н.
л/6	\/в
1.253. М = 4,4т.
Решение. Пусть и — скорость тележки после того, как в нее запрыгнул
первый мальчик. По закону сохранения импульса
{mv = (m 4* М)и,
1,2mv + (m + М)н = (2,2m -t- M) • 1,8и
Отсюда М — 4,4т.
1.254. М = Ют.
1.255. В 3 раза.
1.256. В 2 раза.
1.257.	1) J\gh. 2) §А.
Решение. При движении монеты и горок сохраняются механическая энер¬
гия и горизонтальная проекция импульса. Пусть импульс монеты после съезда
с первой горки р, тогда такой же по величине импульс будет у первой горки, а
также у второй горки, когда монета на нее заедет. Из закона сохранения энергии
.	р2	р2
тё>> =	+
2т	2 • 4т
находим р и скорость монеты на столе:
Р2=§ mV,	=
Из закона сохранения энергии для заезда монеты на вторую горку
р2	р2
2m =	+	2~~&т
найдем
5р2	2	г
= TSS = Зт^’
о
откуда максимальная высота поднятия монеты х = fh.

310
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.258.	1) 15^. 2) 22i£.
1.259. 1) yfgft. 2) f^h.
1.260. 1) 28^. 2)
g	3	g
1.261.	2/3.
Решение. Проще всего задача решается, если из трех возможных формул
для кинетической энергии
,'2	г)2
т/и __ _Р
2 2т 2
использовать последнюю. В этом случае закон сохранения энергии принимает
вид	,	. .
pv _ p(v/3) , ^
2 — 2 ’
откуда сразу находим	n	_	pv	_	2	_ 2^
С2 — -3- — з ~2	— 3^0.
1.262. 0,4и.
1.263. 4v.
1.264. 5т.
1.265. 1) F = ^rr^rng = 70 Н. 2) w = 0,004gt = 8 см/с.
Решение. При неподвижном грузе сила натяжения нити равна Т = mg/2,
а условие равновесия цилиндров состоит в равенстве нулю суммарного момента
всех действующих на них сил: FL + Tr = TR. Отсюда
F = R~l r mg = 70 Н.
Приложим к рукоятке силу kF, где к = 1,004. При повороте цилиндров на малый
угол а работа всех сил над цилиндрами равна нулю, так как из-за их нулевой
массы они не обладают ни кинетической, ни потенциальной энергией:
kF • La + Ti ■ та - L\ • Ra = 0.
Отсюда kFL + T\r — T\R = 0. С учетом выражения для F находим Т\ = kmg/2.
Ускорение груза
m
Скорость через время t: v = at = (к — 1 )gt = 0,004	=	8см/с.
1.266. 1) F = r22~2ri mg = 100 Н. 2) t = (fc	=	5c, где к = 1,002.
1.267. 1) F = Rl~ •/?2mg = 60H. 2) Я = (A' ~21)g*2 = 0,05м, где A: = 1,01
1.268. 1) F = r22r2rirri.g = 80H. 2) t=	=4c’	ГДе	k = 1,0°3-
1.269. ft = fgx2.
Решение. Пусть скорость во время броска равна и, тогда изменение ско-
(2v)2 V2 о 2
рости 0,2ц = gx, высоту найдем из уравнения h — 	' 0ТКУДа h —
— 75^2

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
311
1.270. h = 6gt2.
1.271. h = 50gt2.
1.272. h = 4gT2.
1.273. 10 м/с.
Решение. Поместим начало координат в точку бросания нижнего комка,
направив ось х горизонтально направо, а ось у вертикально вверх. Пусть v\x,
viу — проекции на оси х и у скорости нижнего комка. Если точка столкновения
имеет координаты (5, у), то
/	ё*2 С	4-	U	*	2.2	2
У — vi у t 2~, S = Vixt, y = H-v2t 2", vlx+Viy = v1.
Отсюда v\ = j \J(H — 17202 +	— 10 м/с.
1.274. 250 мл.
Решение. Пусть Vc и — объемы стекла и долитой воды, V — вмести¬
тельность бутылки. Условия плавания до и после долива
pc.Vcg = |р(К + V)g, (рсУ + Р = р(\4 + V)g.
Отсюда Vx = —рс	~ V = 250 мл.
4рс — Зр
1.275. 9 м/с.
Решение. При столкновении через время t координаты снежков совпадают.
Поэтому
afp"	а(?
Vitsina = 3 S — V21 — -ту-,	VI t COS ОС = S.
Отсюда
V2 = vi(3cosa — sina) = 9 м/с.
1.276. 11/4.
Решение. Пусть рс и рв — плотности стекла и воды, Vc и V — объемы
стекла и воздуха в бутылке. Условие плавания
Рс Vcg = §рв(И +
Отсюда
V _ Зрс 1 _ 11
Vc ~ 2Рв “ 4 •
1.277. j~v0T.
Решение. По закону сохранения энергии
т(у0/З)'2 kxl _
2 2 — 2 '
Здесь т — масса бруска, к — жесткость пружины, х — удлинение пружины
в искомый момент. Период колебаний Т — 2л\/т/к. Из записанных уравнений

312
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.278. 7/50.
Решение. Силы тяги на горизонтальном участке, на спуске и на подъеме
равны, соответственно,
Iт1   А	гг*	  А'	гг	  2	Ат
Агор-—,	^под ^//2*
Пусть к — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и
скоростью, |3 — угол наклона поверхности дороги к горизонту на подъеме. Так
как ускорение на всех участках равно нулю, то
/Фор — kv = 0, Fqu 4- mg sin а — к ■	— 0, /фюд — rag sin (3 — к ^ — 0.
Из записанных уравнений с учетом значения sina находим sin(3 = 7/50.
1.279. 2,7 г/см3.
Решение. Пусть V и р — объем и плотность стержня, Т — начальная сила
натяжения нити. Условия равновесия стержня до и после его перемещения
РVg - ро • 0,7Vg = Г, pVg - Ро - 0,3Vg = 1,2Т.
Отсюда р — 2,7ро = 2,7г/см3.
1.280. Лфод = 6М = 60 кВт.
1.281. р = 0,2ро = 0,2 г/см3.
1.282. sina = 0,13.
1.283. р = 1,2р0 = 1,2 г/см3.
1.284. Ncn = N/Ъ = 3 кВт.
1.285. р — 0,6ро = 0,6 г/см3.
1.286. siny = 0,2.
Решение. Силы тяги на горизонтальном участке, на спуске и на подъеме
равны, соответственно,
Г _ N р _ F/4	3N/2
ðР~ 57’ ^си ~ v ’ ^под “ г>/2 ‘
Пусть к — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и
скоростью, у — угол наклона поверхности дороги к горизонту на подъеме. Так
как ускорение на всех участках равно нулю, то
FTop — kv — 0, Fcu + mg sin cp — kv — 0, FnОЛ — mg sin у — k ^ = 0.
Из записанных уравнений с учетом значения sina находим siny — 0,2.
1.287. 0,7 г/см3.
Решение. Пусть V и р — объем и плотность бруска, Т — сила действия
одного болта на брусок. Условия равновесия бруска до и после отклеивания
болта
рVg -f 2Т = ро • 0,9Vg, pVg F Т = ро ■ 0,8Vg.
Отсюда р = 0,7ро = 0,7г/см3.
1.288. ЛГпод = 37V/2 = 18 кВт.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
313
1.289. р = 0,5ро = 0,5 г/см3.
1.290. sina = 0,11.
1.291. р - 0,25ро = 0,25 г/см3.
1.292. А^сп = SJV/27 = 24 кВт.
1.293. р — 0,8ро = 0,8 г/см3.
п 2	/t	X	^
1.294. 1) При отрыве ■rrlv — -тр-. Отсюда v = хо
2	2	'	^	зш-
2)	При минимальном или максимальном расстоянии между брусками у них
одинаковая скорость и. Из законов сохранения энергии и импульса
(m±3mV +	=	(m	+	3m)U	= 3mn
находим деформацию а: =
1.295.	1) у = хо л/ 2) х = |х0.
1.296.	\)v = xo^j-~^. 2) ж = |жо.
1 297’	2)х=|хо.
1.298.	1) При отрыве	—	2mg(l	—	/cos	ер)	=»	v	—	^/2^/(1	— coscp) —
= V^-
2)	При максимальном угле а отклонения платформа и шар имеют одинаковую
скорость и. По ЗСЭ и ЗСИ
(ш 4- 2т)и2	,	ч 2?тг
2
-f- 2rng(l — I cos a) = Л , (m -f- 2rn)u — 2m,v.
Окончательно cos a = |.
6
1.299. 1)	=	yj^gl*	2)	cos	a	=
1.300. i)W=7|ii. 2) cos a = —.
1.301.	\)v=J^gl. 2)	a = 60°.
1.302. Пусть a — угол между радиусом, проведенным к шайбе, и верти-
2 2
калью. ingcosa — N = гп^-,	-	=	mg(R	—	Rcosa)	=> TV = rag(3cosa — 2).
sin a = maT, aT = ^g => sina = §, cos a = TV = ^mg.
1.306.	Мысленно выделенный столбик жидкости сечением S в горизон¬
тальном колене имеет массу т = pS(3R — R) — 2рSR. Ускорение центра масс
ас — со2 R^ ^ — 2со2 Д. По второму закону Ньютона pgiTS' = mac- Угловая
y/gH
скорость СО — ~2	•
1.303. cos a = g, sina = /И. at = g.
1.307.	H -
1.304. sina = —, cos a = TV =

314
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1 о пс	7	•	4 л/2	4 л/2
1.305.	cosa = х, sin a = —. aT = —k~g.
1.309. Я =
9 ' 	 9
15 ш2Я2
2 g
2
1.314. Пусть ф — угол отклонения нити от вертикали.	=	mg(ho	—	h),
Т — mgcosф =	совф	=	^, /г = ^/го => Т = mg ^1 +
1.310. 1) Р, = Ро + |pgZ.
2)	Мысленно выделенный столбик жидкости сечением 5 в горизонтальном
колене имеет массу га — pSl. По второму закону Ньютона P?S — Р\ S — та.
р2 — Р\ Н“ р 0,1 = Ро +
1.315. Пусть ф и фо — угол и максимальный угол отклонения нити от
вертикали. То — rageовфо = 0, То = ^rag, ho = 1(1 — совфо) => ho = у. =
= mg (ho — /г), ho = т>, Т - mg созф =	Т = mgr соэф = 1 ~h => h =
1.311. 1) Л = Ро + jpg*. 2) Р2 = Pi - pal = Ро Н- ^pg/.
L3
I
8
1.316.	--тТ^-	=	mg(ho	—	/г),	7’	—	ттг^совф	=	,	совф	=	^	~	^	,	7'	—
= rag => h — | /го.
1.312. 1) Pi = Ро + ^РЯ^- 2) Р2 — Р\ + ра/ — Ро Т- ^pg/.
1.317. 7Ь — т^соБфо = 0, То =- ^mg, /го = /(1 — совфо) =Ф /го =
_ 2/ mv	_ mg(fl0 — h) => ho = T — т^совф = my -, T =	mg,	соэф1	=
=	=» h = ^
1.313.	1) Pi = Po + ^pgT 2) P2 = Pi — pal = Po +
1.318.	l)®orp = §ar. 2)V=^^E. 3)u=±V=lff^.
Пусть жесткость пружины /с, масса бруска т. По условию сила	трения	Ртр	—
о
= А-|х, сила тяжести mg = к2х.
1) Отрыв наступит, когда уменьшающаяся сила упругости пружины сравня¬
ется с силой трения: кхотр = к^х, Отсюда деформация пружины при отрыве
_ 2 _
./-отр 2	■
2) По ЗСЭ
^кх2 = ^/с^отр + 2m^2 Ftp(x ~ хо^р)'
Последнее слагаемое в правой части — модуль работы силы трения. С учетом
выражений для Ртр, mg и хОТр получаем скорость бруска при отрыве тележки
v =
1 \Pi
3) По ЗСИ inV = (Зга Н- т)и. Скорость тележки и = у = ^-y/gx.

МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
315
1.319. I) zo-rp = \х. 2)V=!§y/gx. 3)u=±V= t§y/gx.
1.320. 1) хотр = f. 2) V =	.	3) u=\V= j§s/gZ-
1.321. 1) xOTp = §. 2) V = 3)и=^=Ж^'
1.322.	1) хотр = |x.	2)	V =	Пусть жесткость пружины /с, масса
бруска т. Максимальная сила трения FTp = /с|х, сила тяжести mg = /су.
1) Отрыв наступит, когда увеличивающаяся сила упругости сжатой пружины
сравняется с максимальной силой трения: кхОТр = к^х. Отсюда деформация
я
пружины при отрыве Хотр = ^х.
2) По ЗСЭ укх2 = у/сх2тр -f- ymV72. С учетом выражений для FTp, mg и
у
д*отр получаем скорость бруска при отрыве доски V = ^y/gx.
1.323.	1)	х0тр	—	j|x.	2)	V =	jr\/§х-
1.324.	1)	ж0тр	=	\х.	2)	V =	| y/gx.
1.325.	I)	Хотр	—	gX.	2)	V =	ууу/§х.
1.326.	1) Vi =	2т/	= 2 м/с.	2) V2 = Зц = 3 м/с. 3) cosa = 1 — w 0,6.
1) По закону сохранения импульса в инерциальной системе отсчета (ИСО),
связанной с тележкой, m(51u — и) = (24т 4- m.)V\. Отсюда V\ — 2и — 2 м/с.
2) V2 = V\ + и = Зи■ = 3 м/с.
3) По закону сохранения энергии в ИСО, связанной с тележкой,
(24771 + m)V? .	.	.,	.	0-.2
 2	 — (24т Н- m)g(l — /cosa). Отсюда cosa = 1 — =-- « 0,6.
Замечание. При формальном применении закона сохранения энергии
в ИСО, связанной с полом, получается типичный ошибочный ответ cosa =
= 1 - ^4-~ 0.2!
gl
1.327. 1) Vi = 4tx = 1 м/с. 2) V2 = Vi + и = 5и = 1/25 м/с.
3)	х = 8г/,у= 2 см.
Замечание. Типичный ошибочный ответ х = 8 г/
неверен!
1.328. 1) V\ = 5гг = 1 м/с. 2) V2 = Vi — и = 4и — 0,8 м/с.
3)	cos a = 1 —	~ 0,8.
2 gl
Замечание. Типичный ошибочный ответ cosa = 1 —	%	0,88	неверен
1.329. 1) Vi = Зи = 0,6 м/с. 2) V2 = V\ — и = 2и = 0,4 м/с.
3)	х = 9— 6 см.
Замечание. Типичный ошибочный ответ х = 9и
неверен!
1.330. l)Vi=3u. 2) Vb = 4 и. 3 )V = 6u.
у ~ см ~ см

316
МЕХАНИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1) По закону сохранения импульса в инерциальной системе отсчета (ИСО),
связанной с горкой, т(3\и — и) = (9т -I- m)V\. V\ = 3и.
2) V2 = V\ Н- и — 4и.
9тп (4
3) Найдем высоту горки. Из условия следует, что 9rngH = :—-у-—. Отсюда
гI	8к2 П ora игл	-	-	lOrnVj2	10m(V - и)'1
Н = £liL-. По ЗСЭ в ИСО, связанной с горкой, —^5—Ь \9mgH = 	————
s	'	■
С учетом выражения для \\ и Н получаем V — 6и.
Замечание. Типичный ошибочный ответ V = 4\/2и неверен!
1.331. 1) Vi = Ъи. 2)	= V\ Н- и = 6и. 3) V = Аи.
Замечание. Типичный ошибочный ответ V = 2\/5гл неверен!
1.332. 1) Vi = 4w. 2) 13 = V3 - и = 3и. 3) V = Аи.
Замечание. Типичный ошибочный ответ V = Зх/2и неверен!
1.333. 1) Vi - 10и. 2) V2 = Vi - и = 9u. 3) V = 7и.
Замечание. Типичный ошибочный ответ V = Зу5и неверен!

2. ТЕРМОДИНАМИКА
2.1. М =
2.2. р =
2.3. 7п =
/пт = о 47 г
бЯТрД V лрД и’ ' 1 •
(<Ро
pR(ti + 273)
9лД2Г2р3Да
2 2
ГР
3 -
(П + 273)
(*о + 273)
990 кг.
9,3 • 10
-4
0,46
I р ять
2.4. Р0 = j _ 0 4б 1200	^
2.5. АР = Q - vRl\) - 2vRAT.
2.6. Д7Т = 10°.
2.7. Q = АР + %R{7Ь + Д7).
2.8. Pi = 0,71^2^ = 0,69 атм.
Гг
0,95 атм.
2.10.
Й-‘-
2ий-3
2.12.	•	- I.
\'2
2.13. Давление на дне водоема Р = 3 атм.
Поэтому масса воздуха в колоколе т =	—
=	1	()8	з	|	:"одр—~ 36 кг. На поверхности
при Р — 1 атм в колоколе было ^ • 36 = 12 кг
воздуха. Значит, из баллонов в колокол на¬
до перекачать 24 кг воздуха. В одном баллоне
объемом У\ = 40 л при Р — 200 атм содержится
К задаче 2.15
т — 29 » 10~3 • 2 • 10' • 40 ■ 10	_
”11	8,31	• 290	~
количество баллонов равно 24/9,7 « 2,5, т. е. достаточно трех баллонов.
2.14.	Разница во времени определяется различием в массах воздуха, оста¬
ющихся в баллонах на глубине 5 м (под давлением 1,5 атм) и на глубине 25 м
(3,5 атм). Разность этих масс
к-З
9,7 кг воздуха. Таким образом, необходимое
Ат =	\iAPV/(RT) = 29 •	10“:i	•	2	■	10°	•	20	•	10“7(8,3I	•	290)	%	0,05	кг.
-3
Расход воздуха для дыхания аквалангиста
Ami - 20 • и P0Vi/(RT) =
29 • 10“3 • Ю5 • 2,5 • КГ3 • 20
8,31 ■ 290
= 0,06 к г /мин.
Разность времени Ат/Ain 1 ~ 50 с.
2.15.	(См. рис.) Н — 3 м, h — 2 м.

318
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
По закону Бойля-Мариотта PohS = (Ро -f рgH — рg(h — х)) • xS (S —
площадь основания колокола, Ро — атмосферное давление), откуда х2 н-
+ (Я + (P0/pg) - h)x - Pah/ipg) = 0 и аг =	84 ~ 1>6 м
2.16.	Пусть V — объем сосуда; v — объем баллона; Ро — давление в нем и
V/v = 3. Тогда
/ P\(V + v) = Рощ
\ Р2(У Р v) = РгУ Р P0v,
Р\ V Р v 4
0ТКУДа Pi = 2V~+~v = 7-
2.17.
А = {-Z\yR/2 - 5у2Д/2)(7\ -
PoVo = (V! + v2)RTq,
откуда А = -PoVb (§ +
Т\ - То	ДТ	6 А	1
То	То	13	poVo	3
2.18
ДЯ = (3vi Я/2 + bv2R/2)AT,
PAV = (v i +	v
Отсюда AU = PAV (§ + PP = |РА1/ ~ 460 Д*-
2.19.	(См. решение 2.17).
л = -р°у°{1 + Р?
= P0Vo • (9/4) • (3/4) = 37 • 10* • 10-3 ■ (27/16) = 6250 Дж
Q = (3vj Д/2 + 5у2Я/2)ДГ,
APV = (vi + v2)RAT,
2.20.
nT,..,nn	v2	_ Q з_	220	3	_2. ,v2 _ о
°™УДа	~ VAP 2 ~	io-з ■	ю5	2	~ 3 и	77 ~ 2-
2.21. Ц =	~ 210.
2.22. Пусть Vi	и V2 —	объемы	вначале,	V{	и	V2	—	в конце. Имеем:
• Vi +	V2 = Vj' + V2 = Vo;	Vi = aV0; V{ = (3V0.
Из условия механического равновесия следует, что давления в обе¬
их частях сосуда равны, т. е. PoVi/V{ 4- Рп = P0V2/V1* следовательно, Рп =
= Р0(|3 — a)/(l - Р)(3. По условию Рп/Ро = 3,5, р = 2а. Тогда a = 3/7.
2.23. Масса углекислоты в одном баллоне га =10 г, р?п — количе¬
ство растворенной в воде углекислоты, р = 44 — ее молярный вес. Тогда
ру — /1	(\)m RT откуда 1	В —	_	44 • 10	• 3 • 10J • 0,2 -10	_	^
РV - (1	р)	ц Ш , откуда 1	р -	тЯТ -	10	10_3 8>31	297	-	0,1	и
ft = 0,9.
2.24. Для воздуха имеем:
рч _ пр   твоз
То	п	nV,	Р	V	—	Р	5
. откуда	S3-	=	X,	Vi	= yV2	и	х =	^	*-рг	= ^4.
Врп - р„ =	рРо	Р(ау	- 1)	12
10	П	[iV2

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
319
2.25.	Вода закипает, когда давление насыщенного пара в пузырьках срав¬
нивается с давлением наружного воздуха. На поверхности земли вода заки¬
пает при 100°С, когда давление насыщенного пара Рн равно давлению у по¬
верхности Р(0). На высоте Н атмосферное давление уменьшается на величи¬
ну АР = Р(0) — Р(Н) = Р(0)[1 — ехр(-^^)] «	а	температура	ки-
А	. т _	т-,	А	р„	лр	iLgH	^ДТН
пения уменьшается на АТН = 1 К. По условию ----н- =	=	С	ф-~.
Рн	1Н
Откуда находим
r _	_	373	29 ■ 10~3 • 9,8 ■ 300 _
° ~ ДТН RT ~	1	8,31	•	290	~	10-
2.26. р(Я) = р(0) (l - j^)5/2 ~ 0,65 кг/м3
2.27. АТ» = if ^ = 2 К.
2.28.	р(Я) « 0,09 кг/м-
1 р	За
8	Т *
2.29. Pk - iPo -
2.30. Избыточное давление в пузыре под мыльной пленкой равно 8o/d,
d — диаметр пузыря. Масса воздуха в пузыре при температуре Т\ равна тп =
=	(Ро -f ятГ’ ГД6 ~ наружное давление, рв — молярная мас¬
са воздуха, R — газовая постоянная. По закону Архимеда условие всплы-
7,г$	D
тия га ^ рв •	гДе	Го	—	наружная	температура.	Окончательно	имеем
Tl ~ Т° ^	—д	»	0,01.
Т0	dPo з . Ю-2 • 106
2.31. ^ « 0,64.
ai ’
2.32. 0 9- 10_3 см.
2.33. Работа газа А\2 в процессе р = $V — это площадь трапеции
А12 = А =	+ Р2 (У2 - Кх) = ^Ца2 - 1)	(1)
Тепло,	отведенное на участке изохорического охлаждения	Q23,	равно	изме¬
нению внутренней энергии (работа не производится)
Q23 — Q — с(Т2 — Т\).	(2)
Тепло, подведенное к газу в процессе р= fiV:
Q12 = А12 + и12 = А+ - ТО +
/B(a2 — 1)
Из равенства (1) находим a/V\ = aW -- -	—-. Окончательно находим C?i2:

320
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1/2
2.35.Г,-Г,=-^-а«(«-1)>.
г>	Т	гр	  |	<2
2.36. Тх - Т3 - ц + ^ • —35—.
2.37. В процессе всего перехода 1-2-3 подведенное к газу тепло Q склады¬
вается из работы А, совершаемой газом в процессе изобарического нагрева, и
разности величин внутренней энергии газа в конечном и начальном состоянии,
равной соответственно (3/2)/сТз и (3/2): Q — А + ^R(7з — 2i). Работа га¬
за в изобарическом процессе А= Pi(V2 — Vi) = Я(Т2 — Ti). Исключив из этих
■равенств неизвестную температуру Ti, находим окончательно: 22 — Тз = ^ —
- |g~ '4 = 190 К.
2.38. В два раза.
п пл Л ЗЯДТV -h 2Q 1 rjrri 77	-I
2.39. А =	~	 = 1250 Дж,	где v = 1 моль,
2.40. В полтора раза.
2.41. Пусть смещения столбика ртути соответственно равны х\ и .го.
По условию xi — Х2 — 2 см. Если Н — внешнее давление в см ртут¬
ного столба, то по закону Бойля-Мариотта имеем (Н — l)(L -f х\) = НL\
(Н -f 1){L — Х2) = HL. Из этих равенств находим И = 1( 14- + Т12_^Хо^
= 72 см = 720 мм рт. ст.
2-42' h' = A	=12 см-
2.43. Ро = 750 мм рт. ст.
2.44. /iniax = 2h ]_ •
2.45. Плотность жидкого пропана р =	=	440 кг/м3, давление в баллоне
Р— 16 * 105 Па. По условию осталось m — 0,2 то = 0,44 кг пропана. Часть
его в газообразном состоянии занимает объем V. Тогда имеет место равен-
створ (y0-V)+^-=m, здесь ц = 44 • 1СГ3, Р=16 105Па, 7" = 290Ки
R = 8,31 Дж/(молъ • К). Отсюда находим массу пропана в газообразном состо¬
янии [iPV - m° ~ 711	=	Х’76	-	П 1 ТчГГ
RT nRT _ ,	14,08	~	0,125кг.
р м-Р
2.46. V = 0,05 м3, N ^ 1560 шт.
2.47. М = Юг.
2.48. М = 5 • 109 кг.
2.49. Число молей гелия в пузыре vi = PqVo/JRTi, где Vo — объем пузы¬
ря. Во втором пузыре число молей водорода V2 = PqVo/RT2■ После того как
пузыри лопнут и в камере установится равновесное состояние, смесь гелия и
водорода будет иметь некоторую температуру Т и давление Р. Температура сме-

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
321
си может быть найдена по закону сохранения энергии: v\Cvx Т\ + v2CV2T2 =
/ /о I х—1 \гг~' гл	гт~'	^ 10Ti 4~ ^2С,\/2 Т*2
= (viGvx 4- v2CV2)i . Отсюда / = ——^-—.
ViOvj 4" V2 О \^2
Новое установившееся давление смеси будет складываться из давления
О VIКГ . v2PT	(vi -4- v2 )ЯТ
гелия	и водорода: Р = —^ 1——	=   —	,	где V — объем	ка¬
меры.	После подстановки выражений	для vi, v2 и	Г получим, что	Р —
-	w	- •/*
2.50. m = 13 г.
2.51. Uo/V = 1/64.
2.52. 7п = 13 г.
2.53. На участке 1-2 отношение температур Тл/Т\ = V2/V1, на участке 3—4
Тз/7'i = V-A/V2. Следовательно, Щ = (|/р|)	=	(1/)	' = а'/2-
2.54. Гг = (Т2Т4)1/2; Г3 = (Т2Т4)1/2.
2.55. Рз/Л = (Г2/Г1)2 = р2.
2.56. V4 = Vi^-.
•С2
2.57. Из — объем всего сосуда. Начальный объем (большей части) V4 =
нач^
aVb
_ «И) _ зу 05ъем меньшей части И2 = 1	~	— тИ- Обозначим Pi —
1 -f a	4	1	+ a 4
начальное давление, а Р2 — конечное. Новые объемы V{ — 1	4-	РК)	=
се 4- Р(1 -h се)	,	f \ Q\	1	—	Р(1	4	сс)	..	„
= 		V0; И2 = [y+u. ~ $) Vo =  ГТа V°' Запишем Уровня со¬
хранения масс газов для обеих частей сосуда:
р cxVq	P2[a	4-	Р(1	4-	ее)]	Уд	.
1 (1 + a)To	(1+а)Тг	’	К>
где Т\ — новая температура;
Pi Vo _ Рз[ 1 - РО +«)]
1 4- a	(1	4-	a)
К.-	(2)
п	/i\	rj,	m	«4	1(	14	a)	4
После почленного деления (1) на (2) получим, что /1 = 1q—Гл /г— тг = о,
4 7	4 7	а[1	— р(1 4- a)J о
Аг = м° ~ям)1Г°м = 5Го = 100 к-
а[1 - Р(1 4- а)]	4
2.58. Г2 = 2 (Ti + Yr)-
2.59. AV =	~	1)V'	=	Зл.
(1 + а)(а + |В)
2.60. Т2/Тг = |[1 + пф- 1)] = 3.
2.61. 1) 1\ =	2)	Л/4.
2.62.1)7г = |^; 2)Л = §.

322
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.63. 1) 1\ =	2) А\2з\ =
Решение. Если температура в точке 1 равна 1\, то в точках 2 и 3 тем¬
пература будет 471. Пусть Pi — давление в точках 1 и 3, Р2 — давление в
точке 2, Ц, Vi и И - объемы в точках /, 2 и 3. Работа газа на участке 3-1
Ащ = -А = Pi (Vi - Из). Поскольку Рх Vi - vP77 и Рг V:i = vR • 471, то —А =
= vR(T\ - 47i). Отсюда 7\ = A/(3vP).
Работа газа за цикл равна площади внутри кривой, изображающей цикл на
диаграмме зависимости Р от V:
Л12а1 = i(P2 - Pi)(V3 - Vi).
Выразим Р'2 через Р\. Имеем
Р2 _ Pi P2V2 _ Pi Vi
V2 Vi ’	4Ti Ti •
Из последних двух уравнений Р2 = 2Рь Тогда выражение для 412:ii прини¬
мает вид
Aiaai = \Pi(V3 - И).
Из записанного выше следует, что Pi (И* — V\) = A. Итак, А1231 = А/2.
2.64. 1)Т1 = |^; 2)А=%.
2.65. ^11 = fi _ 1 = 0,5.
mi а
2 вв * = гт^гГт) “19L
Здесь р = 1 г/см'3, р = 18 г/молъ, Р « 105 Па.
2.67. 1-|=|.
2.68. р	287. Здесь р = 1 г/см'4, и = 18 г/моль, Р % ИР Па.
цР(а — 1)
2.69. 1) 72 = Ц- = 100 К; 2) С = 4,15 Дж/К.
2.70. 1) 5490 Дж; 2) -30 Дж/К.
2.71. 1) 72 = 2Д = 200 К; 2) 29,1 Дж.
2.72. 1) А = —3vRAT = -10 кДж; 2) С = -|vP % -50 Дж/К < 0.
2.73. 1) Рп = 1,5 атм; 2) тп =	= ^у^у = г-
Решение. Процесс испарения воды происходит при постоянном давлении,
так как пар при этом остается насыщенным. Таким образом, работа, совершенная
паром к моменту испарения всей воды,
А = РпДК
Отсюда давление пара во время опыта
Рп = -£у =1,5 атм.

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
323
В этом процессе вся вода испарилась и, следовательно, заняла объем AV.
Для определения количества испарившейся воды ?т?.в воспользуемся уравнением
Клапейрона—Менделеева
PUAV = 7-A2-RT = А.
ц
Масса испарившейся воды равна
A[i
7Пв ~ RT = г’
Следовательно, начальный объем цилиндра V = 1 л. Используя уравнение
газового состояния для пара Pn{V — VB) = -—-RT и полагая, что Ив <$С V\ для
Pn[iV PnvVAV AV\n n Q
массы пара получим тп = RT = -	= RT^V = 0.8 г.
2.74. 1) mn = §(ш — М) = 8 г; 2) И =	=	13,8	л.
О	М"* п
2.75. 1) А = ~РР = 007 Дж; 2) гап = га ^1 + ДТ/) = ОД г« гДе ^ — объем,
занимаемый паром в конце опыта, V = 1 л.
2.76. 1) тп =	=	i)2r (рп = Ю* Па);
2) Испарилось Ат =	—	тп	=	3,6	г.
\iMg
2.78. h =	« 1 7 мм.
I Щ
4л:/ЙрРТ	й
2.79. ?п =  Д  яа 1018 кг.
4 л:ЯЯцР/1	„
2.80. m = 	  %	2,8 -10 т.
til
2.81. 1) ДИ = ЩАТ = 16.6 • 10~3 л; 2) Т = ^ = 400 К.
7	Ро	’	7	а
2.82. 1) ДР =	~	4д5 . Ю"4	атм; 2) 7Ь = “ = 500 К.
2.83. 1) АТ = То а « 2 К; 2) Д V =	= 16)6 . ю~3 л.
2.84. 1) АТ = То а = 2ЙГ; 2) ДР =	= 4 . 10~4 атм.
2.85. .4 = |ДДТ - |д.
2.86. Решение. Пусть температура гелия на диаграмме Р, V в точке /
равна Т\.	Так	как	точки	2	и	3 лежат на изотерме,	то	7Ь	=	7з.	Точка	/	лежит
выше точек	2	и	3.	Следовательно, ДТ = 7\ —	Запишем	уравнение	первого
начала термодинамики для адиабатического процесса /-2;
0 = А\2 — Су АТ.	(1)
Соответствующее уравнение для изотермы (участок 2-3):
Q2W — Д'23-	(‘2)

324
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Наконец, для изобары 3-1 имеем:
RAT = A3i.	(3)
В силу того, что работа газа в замкнутом цикле 1-2-3-1 равна А = А\2 4-
4- А-2з 4- Азь из уравнений (1), (2), (3) получим
А23 = А - \ RAT.
2.87. Q = А + |уйДТ, где v = 1 моль.
2.88. А =	А 12 — ^ vRAT, где v = 1 моль.
2.89. m = т-2— Щ¥- « 72 кг.
I т р я;
2.90. Евр = 7^^ = 4,8 • 10е Дж.
2.91. Атмосферное давление в комнате равно Р = Pq2 4- или Р — Ро2 +
4- Р>Р<э2- Откуда парциальное давление кислорода Pq2 = 1 р • С другой сторо¬
ны, Ро2 = i7io2mQ2v2r где по2 — концентрация, а то2 — масса молекулы
кислорода.
1 + [V
Теперь для v получим:
V = J-rrr^— = 474 м/с.
V (1 4- р)гл
2.92. £вр = лфу*4' « 1,2 • 10е Дж.
2.93. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона
PV = RT	(1)
в приращениях (считаем, что состояние гелия незначительно изменилось)
РАV 4- VАР = RAT.	(2)
Из первого начала термодинамики в случае адиабатического процесса следует,
что 5Q = АА + bU, или
0= PAV 4- Су АТ.	(3)
Работа, совершаемая газом, А\ = PAV. Тогда из уравнения (2) следует, что
VAP RAT - Аг
р -	р
Выразив Р из уравнения (1) и подставив в (4), получим
О)

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
325
Согласно (3) работа газа равна
PAV = Ai = —Cv АТ,
откуда АТ = ~Т^7-
Учитывая, что А = — А\, окончательно получаем
АР _ А Су + Я _ А Ср _ п П1
Р ~ RT Cv ~ RT Су ~U’U1
2.94. А = 2RAT = 5 Дж.
2.95.	А	=	RT= 12,5 Дж.
2.96.	=	=	=	0,008(0,8%).
2.97. Давление влажного воздуха складывается из парциальных давлений
воздуха и пара
Р-Рв + Рп.	(1)
Кроме того, очевидно, что плотность влажного воздуха равна
р = рв + рп.	(2)
Из уравнений Менделеева—Клапейрона следует, что
рп = RT и Рп = — RT.	(3)
Рп	Рв	V ’
Для давления Р имеем
Р = (^	^ RT.	(4)
U‘n Цв )	' '
Плотность водяного пара равна
рп — Р Рв •
Подставляя рп в уравнение (4), получим
_Р_ _	 L	0	(1
RT рп ^ РВ V Рв Рп ) *
откуда
р
РпРв — РРв
RT
рв — ~
Рп Рв
И
Ррп RP Рп Рв
Рп
рп Рв
Из уравнения (3)
Рп _ Рв Рп

326
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Подставляя полученные значения для плотностей воздуха и пара, окончательно
получаем
Ч Р И-В
ft _	RT Р _ ±
Ръ ~ Р М-п , ~ 37
RT р
- 1
2.98. Am = mi — m2 =	~	~) ~	^ КГ‘
2.99. Р„ п = РЦв ~ рДТ ~ 2668 Па « 2,7 кПа.
(М-в — Цп)
2.100. а = сц |г ^ + т /Тр ~ 0>4-
^ 2 i 1	Рп У Р2
2.101. Ясно, что при доливании ртути сверху в пробирку столбик ртути
сожмет запертый воздух на величину ж. Тогда	количество	долитой	в	пробирку
ртути равно L + х, а длина воздушного столбика	равна	L	—	х.	Так	как	темпе¬
ратура во время опыта не изменилась, то согласно закону Бойля—Мариотта
Pb0LS = Pb1(L-x)S,
где PBo,i — давления в воздушной пробке до и после эксперимента, a S —
площадь сечения пробирки. Если Ро — внешнее атмосферное давление, то Рво =
= Ро + pgA И Рв1 = Ро + pg(2L + ж).
Будем решать полученное уравнение в мм рт. ст. Тогда Ро = 11/4L, а Рво =
= Ро + 1 и Рв{ = Ро Т- (2L -f- ж).
Подставляя Рво и PBi в исходное уравнение, получим
(Ро + L)L = (Ро 2L -Т x){L — а;).
Отсюда
х =	=	70	мм.
Окончательно для длины столбика ртути, долитой в пробирку, находим L -f х =
= 350 мм.
2.102. х = ^L — 315 мм.
2.103. х = -^р = 270 мм.
2.104. х = 80мм, L + х = 400 мм. (х2 — -К 2L^j х -f- L2 = 0).
2.105. Л31 — ЗА.23 — ^Ai2-
2.106. А2з = A -f |Ai2.
2.107. ЗА2з - |Q.
Решение. На участке 1-2 согласно первому началу термодинамики от¬
водимое тепло Q = \Cv[T\ — Т2) + Pi2(Vi — V2), где v — число молей гелия.
Су — молярная теплоемкость при постоянном объеме, 1\ и Т2 — температуры в

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
327
точках / и 2. Р\2 — давление при изобарическом процессе 1-2, V\ и V2 — объ¬
емы в состояниях / и 2. Используя уравнение состояния для идеального газа,
можно записать:
Отсюда
Q = уСу {Т\ - Т2) + vi?(Ti - 7-2) - v(CV + Я)(71
7\ - Т2 = Q
- Г2)
v(Cv- + Я)
Работа, совершаемая газом на участке 2-3
Л23 = Д^(Кз-К2) = ^(Гз-Т2)
(5)
2
2
Здесь индексы 2, 3 соответствуют состояниям в точках 2 и 3. Из этого уравнения
следует, что
'2 Л 2з
т, -То =
vR
(6)
На участке 3-1 газ расширяется в адиабатическом процессе, и работа, соверша¬
емая газом
Л31 =vCv(T3 -Ti).
Для замкнутого цикла изменение внутренней энергии равно нулю. Это позволяет
записать:
Тз - г1\ = (Тз - Т2) - (1\ - Г2).
Используя соотношения (5) и (6), получим, что
2 А 23	Q
Тогда Азг
Q.
2Су
R
Т, - 71 =
Cv
vi? v(Cv + Я)'
' ^23 —	*	Q.	Поскольку	CV	=	|я,	ТО	Аз1	=	ЗА23
2.108.	А = ЩЛ2з - Q:
31
Л
2.109. Q13 = ^ -Ь 4ЯДТ.
2.110. Л = 2(Q - RT In2).
Решение. При изотермическом сжатии ненасы¬
щенного пара его давление растет, пока не станет рав¬
ным давлению насыщенного пара рн- При дальнейшем
сжатии давление и температура пара не меняются. Из¬
менение объема происходит за счет конденсации массы
пара Ат (см. рис.). В процессе изменения давления на
участке 1-2 над паром была совершена работа величи¬
ной vRT\n(Vi/V2). В процессе конденсации 2-3 от па¬
ра необходимо отвести теплоту конденсации Av/2. По
условию Q = yRrr\n(V\/V2) + Av/2, где Л — молярная теплота конденсации.
Чтобы найти отношение объемов V\/V2, заметим, что при конденсации в про¬
цессе 2-3 давление и температура постоянны. Объем изменился в два раза так,
К задаче 2.110

328
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
что половина пара сконденсировалась: V2/V3 = 2 = /с/2. По условию V1/V3 = к,
следовательно, V1/V2 = /с/2. Итак, Q = уРТ1п(/с/2) + Av/2,
Л = |(q - vPTln I) = 2(<5 - P7’ln2).
2.111. Л = 3Q - 6РДГ.
2.112. Q = Луж + 2Д7’1п |.
2.113.	1)	Р,	= Pmin = Лзтк = 4 . ю5 Па; 2) V! =	=	1	л.
к	о	л..	—	1	гтах
(ДР = v|P7i(fc - 1)).
2.114. 1) Vi = 1 л; 2) ДР = PlVlCfcv^1~ fc) = -75 Дж.
Решение. Из уравнения процесса РV2 = const и уравнения состояния
PV = vRT находим, что в указанном процессе имеет место TV = const. По
условию температура уменьшается (газ охлаждается), значит, объем V рас¬
тет. Следовательно, минимальный объем у газа был в начальном состоянии,
т. е. Vi = Hmjn = 1 л. Изменение внутренней энергии газа AU — U\ — U2 —
= vCv(T'2 — T1), где по условию T2=Ti/k. Начальную температуру газа 7i
можно найти из уравнения состояния:
Pi Vi = vPTi.
Таким образом,
А ГТ Г' Т ( 1	1	S\	Pi	ViCv(l	-	к)
AU = vCvl,- 1 ) = 	ш = -75 Дж.
2.115. 1) Ртах = fc2Pmin =9 • 105 Па; 2) И2 =	рЪ_	0,17	л.
11 min
2.116.	1) Vi =	=	i	л;	2)	Pi	=	=	10r'	Па
к*	о	о	к	—	L	Стах
2.117. 1)<Зг = |Л; 2) X = ~-RTq.
2.118. 1 )ДГ=Ц; 2)Qi = ^.
Решение. Давление насыщенного пара зависит только от температуры, ко¬
торая по условию в нижней части поддерживается постоянной. Следовательно,
давление пара и давление гелия остается в процессе постоянным (гелий отделен
от пара подвижной перегородкой). При увеличении температуры гелия в процес¬
се с постоянным давлением подведенное тепло Q идет на увеличение внутренней
энергии и совершение работы гелием против силы давления пара:
Q = vCv№ ~ Ti) + P{V2 - Vi) = v(CV + R){T2 - TO.
Итак, для гелия
ДТ= g	2Q
v(Cy 4- R)	5vP

	ТЕРМОДИНАМИКА	• ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	329
При конденсации пара массой Дтп при постоянном давлении выделяется тепло
в количестве \Ат, которое и нужно отвести. Чтобы найти массу Ат сконден¬
сировавшегося пара, надо приравнять величину работы, совершенной гелием
Ar=yR(n-'l\) = ^д
к величине работы пара Лп при постоянном давлении и температуре:
д   р/■ ^   И )   (тт12 ^ч х)/?Т{)   AmRRp
п — V 2	1)	—	jin	—	цп
Таким образом,
QR _ AmRTo д _ Qpn
Су 4- ft Рп	(Су	4-	Я)7о
Окончательно, тепло, которое необходимо отвести от пара:
^Рл	2цп
Qi = \Ат —
{Су 4- Я)Т0	5ЯТ0 •
2.119. 1) Х=	2)Qr	=	=	|А.
2.120. 1) Q = ХДт; 2) Qr = §Я7Ъ^.
z	j-iri
2.121. Aj2 =
Решение. По закону сохранения полной энергии для процесса 1-2 можно
записать
С(Т2 - 7 \) - Су(72 - 7 \) + Л12,
Отсюда работа Ai2, совершенная газом в процессе /-2, будет равна
Al2 = lR(T1-T2).	(I)
Работу, совершенную газом в процессе 2-3, можно выразить через площадь
под прямой 2-3:
А =%(Рз + P2)(V3 - V2) = ±(ЛяКз - P2V2) = iR(T\ - 72)-	(2)
Из совместного решения уравнений (1) и (2) найдем, что
А\2 = |А.
2.122. А га = 2А.
2.123. С = Я/2.
2.124. С = 0,75.

330
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.125. 1) Т= ^|(2Я0 + *0); 2)A=^f^.
Решение. Обозначим жесткость пружины через к и запишем условие рав¬
новесия поршня до впрыскивания воды:
mg = кх о.
Для определения температуры водяного пара воспользуемся уравнением состоя¬
ния идеального газа
т =
мЯ ’
где Р и V — давление и объем пара:
П _ mg - кхо(1 - а) _ amg ,, _ , „	  ,	е
	^	 —	—g—5 V — (jjo 4* CXXojO.
После подстановки Р и V в уравнение состояния
получим,
_ amg(Ho + ax())
vP
Работа, совершенная паром, идет на увеличение потен¬
циальной энергии поршня и на изменение энергии де¬
формированной пружины:
Л - гпппг4- fc(X° + _ ^fo _ TnggQ
■** mgaxo (	^	g	•
2.126. I) T = ^(Я0 + 2®o); 2) A = -f mga*.
2.127. 1) T = ^(tf„ + axn); 2) A =	=	0-
2.128. 1) T=	(Я0+	2)	A	= -|mgl0.
2.129. P„ = =——Я7’ »= 3,6 кПа ~ 27 мм рт. ст.
ОДв —
Решение. При открытой пробирке общее давление воздуха и пара в любом
сечении пробирки равно атмосферному давлению Ро. Следовательно, парциаль¬
ное давление воздуха в пробирке так же, как и давление пара, изменяется с
высотой по линейному закону и равно Ро — Рп У поверхности воды и Ро — Рн/2
у открытого конца пробирки (здесь Рн — искомое давление насыщенного пара).
Очевидно, что среднее (по высоте) давление воздуха будет равно Рср = Ро -
о
— ^Рн* Массу воздуха в пробирке найдем из уравнения состояния идеального
газа:
Ив Рср Е
ГОв -	I
где V — объем влажного воздуха в пробирке. После того, как пробирку закроют,
воздух равномерно распределится по высоте, но его общая масса сохранится, а
пар во всем объеме будет насыщенным.

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
331
Установившаяся плотность влажного воздуха равна сумме плотностей воз¬
духа и насыщенного пара:
Рвв — рв Т" pH •
Поскольку
Л	_	тв	_	~	_ ЙП Рн
Рв	—	V	—	RT	рн	~
плотность влажного воздуха равна
_ Ив Pop + ИпРн _	Ив(Р° _ 3Рн)	+ ЦпРн
рвв -	RT	RT
Плотность сухого атмосферного воздуха составляет
_ Нн Ро
рсв ят *
Разность этих плотностей равна
( ^ Рв — Рп) Рн
Др — Рсв рвв =	*
Отсюда находим давление насыщенного пара:
Рп z=z	« 3,6 • 10‘* Па « 27 мм рт. ст.
■ЗЦвв — 4рп
Заметим, что в процессе решения предполагалось, что рсв > рвв- Предположение
оказалось правильным, так как Зрв/4 — рп > 0.
2.130.
Р -
Po = Po^f
+ 3
Рп +
33 АТ
2 Т
2.131.
АР
= Др 4-
Цв к
( Ее
ЧЦв
-1)
Рп ^2
2.132. Давление уменьшится на АР = Ро^~ 4- Щ-Рп^~ — АРН = 2,4 мм рт. ст.
2.133. Q = 94А.
Решение. В процессе 1-2-3 газ фотонов совершил работу на участке 1-2,
Обозначим температуру на участке 1-2 через 7\, тогда работа
A=°^{V2- V,)= ^Vi.	(1)
Изменение внутренней энергии газа в процессе 1-2:
Д и 12 = a T?(v2 Vi) = ЗА.
Изменение внутренней энергии газа в процессе 2-3:
Д{/аз = aV2(T$ - if) = 2аViT?(24 - 1).

332
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Используя уравнение (1), окончательно получим, что
Д{/23 = 6А(24 - 1) = 90А.
Суммарное количество теплоты, подведенное к газу в процессе 1-2-3:
Q = А + A Ui + AU-2 = 94,4.
2.134. U = S.
О
2.135. Q =
2.136. U = ||д.
2.137. ср = 0,64.
Решение. Если ф — начальная относительная влажность воздуха в цилин¬
дре, то начальное давление сухого воздуха равно Р\ — фРнп, где Рнп Ю5 Па-
давление насыщенного пара в цилиндре при температуре 100°С. В случае выпа-
дения росы пар становится насыщенным, и давление сухого воздуха в цилиндре
равно Р2 — Рнп* где Р2 — давление воздуха после сжатия (Р2 = РPi). При из¬
менении давления сухого воздуха в изотермическом процессе справедлив закон
Бойля—Мариотта:
(Pi - cpP„n)Vi - (Р2 - Рнп)К2,
где Vi, V%2 — начальный и конечный объемы цилиндров (V\ — у Vi). Перепишем
последнее уравнение в виде
(Pi — фРнп)у — (P^l ~ Рнп)-
Отсюда
Ф
= -Р- fl - -) + - = 0,64.
Рн п V Y /
2.138. ~
У - Р
Р(уср - 1)
К задаче 2.143
2.139. Р = Р„^—= Р„ = 1 атм (Рн — дав-
у - р
ление насыщенного пара при 100°С)
ф(У ~ Р) _ I
■“’* 4'
2.140. х = 1 -
2.141. Q = ||P0Vo« 120 Дж.
2ко У 2.142. Q = fiPoK) « 26 Дж.
2.143. Vo =
12
36 Q
119 Р0
303 см3.
Решение. Пусть начальный объем водорода равен Vo. График зависимо¬
сти давления Р водорода от его объема V представлен на рисунке. Для всего
процесса 1-2-3 по закону сохранения энергии
Q = \>Су(Тз — Т\) + Ау2з-

ТЕРМОДИНАМИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
333
Здесь v — число молей газа, GV = Дз и — температуры газа в конце
и вначале расширения. А123 = ||PoVo — работа газа (находится как площадь
под графиком зависимости Р от V). Используя уравнение состояния, находим
уШз = 2P0Vo, vRT\ = ^PoVo.
С учетом записанных равенств Q = -Ш^РоКь Отсюда
36
^=шй"303 см3-
Замечание. Можно показать, что теплоту (при заданных в условии пара¬
метрах задачи) необходимо непрерывно подводить во время всего процесса, и не
будет ситуации, когда, с некоторого момента после выливания части жидкости,
она начнет в дальнейшем выливаться уже без подвода теплоты.
2.144. Vo = ЦО- % 0,1 л.
2.145. 1) АТ =	2)	<5	=	P\V\{k	-	1).
2.146. 1)1/, = ^i^;	2)Q	= AU+(^^
Решение. Пусть начальный объем газа равен Vi, тогда конечный объем
равен kV\. Обозначим через Т начальную и конечную температуры. Начальная
и конечная внутренние энергии
иг =сТ-ф U3
По закону сохранения энергии газу сообщили во всем процессе количество теп¬
лоты
Q = AU -f P\(kVi - Vi).
По условию Us — U\ — AU. Из записанных уравнений находим
У' = Ч1Ш'
(к - I)2 a Pi
к
2.147. 1) 21 = £ +	^2) =
2.148. 1) Vi = (А:д^)а: 2)pi = 7-Js—M.(Q-bu).
(к - I)2 «
2.149. ы =
2.150.	Т	= +
3m2(PoVb - vPTi)
1/2
Зга i( РуУЬ — vi?Ti)
1/2
mi (mi + 7712)
, Д2 =
7712(7111 4- 77i2)
Решение. Пусть, когда скорости поршней одинаковы и равны и, темпера¬
тура газа Т. По закону сохранения энергии
—(У)2 +	+	vCVTo	=	+

334
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Здесь Су = ^R. По закону сохранения импульса
т * bv 4- mv = 2ти.
Из записанных уравнений находим
гт' пн I Sttiv^
Т = Т0+ '
mi (mi -f m2)vj
3m 2
2.151. T = A
vR
2.152. T = To
2.153. A = 2.
12
PoVo —
2mv‘
vR
Решение. В исходном состоянии имеется ненасыщенный водяной пар, ко¬
торый будем рассматривать как идеальный газ. Запишем уравнение состояния
данного газа:
PVi = — ЯТь
где Р — давление, V\ — объем, mi — масса, Т\ — температура пара. В конечном
состоянии мы имеем равновесное двухфазное состояние — вода и насыщенный
водяной пар — при том же давлении и температуре г1\ = 373 К.
Насыщенный водяной пар также будем считать идеальным газом и запишем
его уравнение состояния:
PV2 = Z& ,
И
где V2 — объем и га2 — масса пара в новом состоянии.
Масса образовавшейся воды равна
га = ра V2 -
Закон сохранения количества вещества (Н2О) в цилиндре под поршнем поз¬
воляет записать
mi = m-2 -Ь т,
или
Отсюда получаем
М-PVi _ рР^2 , V3
RTi RT2 Мк ’
Т\ _ к
Т‘2	^	paRT2
= 2.
рР
2.154. Р (l + HJy) = 6- 3деСЬ Р° ~ 105 Па
2.155. |3 (l +	=	6. Здесь Т = 373 К.
2.156. § = 	 -= 3. Здесь ~ 105 Па.
Pi	раРТ
Р2/ер

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
335
2.157. А = ++
1 - >i
Решение. КПД цикла (по определению) равен
" =	(|)
где А — работа, совершаемая за цикл, a — тепло, подведенное к рабочему
телу. С другой стороны, полезная работа
А = Q31 — Q	-	(2)
Здесь Q2.3 — тепло, отведенное на участке 2-3 (Q23 > 0).
На изотермическом участке 2-3 отведенное тепло Q23 численно равно рабо¬
те, совершаемой при сжатии 2-3, т. е.
Q23 = Ат.	(3)
После подстановки (3) в (2) получим, что Q31	= А + Ат. Подставляя это выра¬
жение в (1), найдем, что А =	•
2.158. г|2 =
1	1	-	1Ц
2.159. Ат = ^—^А.
Ч
2.160. 1] = +7-.
1 1 + 11
2.161. 1)^ = 1 + ап * „ = 2;
1 1	Ly-j-n
2) Q = vaRTj = IvRTi % 6,2 кДж.
Решение. 1) Пусть Hi и Я2 — расстояния от поршня до дна сосуда соответ¬
ственно в начале и в конце опыта, Т2 — конечная температура газа, S — площадь
о
поршня, Су — ^R, V — 1 моль. По закону сохранения энергии
vCyTi + mg Hi + amgHi = \CvT2 + (m + аш)^.
Уравнения состояния газа:
Щ^-HiS = \RTi, (m +sam)g H2S = vRT-2-
Из записанных уравнений находим, что температура увеличится в
21 - Су- + Я + аЯ _ 1	аЯ _ 2 Т)аза
Ti ~ Су + Я	^	CV	+ Я раза'
2) Если Q — количество теплоты, отведенное от газа в изобарическом про¬
цессе, то газ получил количество теплоты — Q, причем
-Q = vCP(l\ - Г2).

336
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Здесь молярная теплоемкость при постоянном давлении Ср = Су -ь Я. С учетом
выражения для Тг
Q = vaRl\ = %т\ «6,2 кДж.
2.162. 1) Щ = Л 2) А = |v/TA « 1,5 кДж , где v = 1 моль
2.163. 1) Щ = |; 2) Q =	«	1,25 кДж, где v = 1 моль.
2.164. I) Щ =	2) Л = ^ vPPi « 750 Дж, где v = 1 моль.
Fk 2	2.165.	2Я.
А.	Решение.	Пусть ТА = Тз = 7\ 7 2 = 27’. Из условия сле-
дует, что Л123 = у^Лкъ Первое начало термодинамики для
11	‘	процесса	1-2-3	(U\	—	U3, Q23 = 0) дает
OF 4F F
К задаче 2.165	Л	12:3	= Q123 — ДР123 —Q123 = Q12 = vC(7 2 — 75) = vC7\
Работа Л13 равна площади трапеции:
л1:, = 1(Р, + Рз)(С, - И) = £(Pi +	=	I (PlV, + P3^) =
= 2(PaV + P3V) = 2 (vP7’i + |vP73) = ^vP7'.
Из условия
vCT = || •
находим С = 2Д.
2.166. 2R.
2.167. Л123 = 1600 Дж.
2.168. Д 12з = 400 Дж.
2Л69.
Решение. Изменение давления газа при перемещении поршня обусловлено
только пружиной, так как атмосферное давление и вес поршня постоянны. При
перемещении поршня на расстояние х вверх объем увеличивается на AV =
— Sx, давление тоже увеличивается на АР = и АР = AV. Обозначим
начальные значения Ро и Vo. Тогда конечные значения: Р = аРо — 2Ро, V =
= Со = !Vo. Изменения: ДР = (а - 1)Р0 = Р0, AV = ^-pV0 = 5V0. Из двух
уравнений АР = -j^AV, PoVq =vRT находим

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
337
2 171 Т — 3S'2p2
2kvR '
2.172. Т — ^S-2-?2
kvR ’
2.173. 100 г/моль.
Решение. Хотя теплоемкости Ср и Су смеси неизвестных газов най¬
ти невозможно, задачу можно решить, воспользовавшись формулой Майера
СР - Су = R:
QP = уСрАТ,	Qv = мСуАТ, AQ = v(CP - Су)АТ = &RAT,
г
[I = m	=100	г/моль.
2.174. р = rn'RQT' —	25 г/молъ.
2.175. т =	=	ЮОг.
2.176. m =	=	'200 г.
2.177. 1/13.
Решение. КПД цикла равен i] = jy-, где Q+ = Qi2-s — полученное тепло,
Ц/ -)-
I
А = Л.\2з 1 =	— работа газа за цикл. Имеем
<5123 = Al2:i	+U3-Ui= 2 PV + §(2Р • 2V -	= ^РУ,
ipv
2 _ 1
^	р 13
2 Г
2.178.	г| = 47
2.179.	Т] = ^.
2.180. 11= §§
140
J_
12
58
93
2.181. Тщах = ~Г-
Решение. Пусть	Т2 = Тз = Т, тогда = Р^~ = 37'. Л = Л12 + Лга +
-f Д31т где
Д12 = -AU = vCy(T1 - Г2) = ЗуДТ, Л23 - -Q, A3i = 0.
А + Q
А = 3vRT - Q => Tmax = 7i = 371 =
2.182. Тшах -
\R
А -к Q
2vR '

338
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.183. Tmj„ =
2.184. ТшЫ =	®vR .
2.185. Ai2 = 15 Дж.
Реше н ие.
А2:1 = РАУл - V2) = РяУа - P-iVi = \Я(Тз - Т2) = vft(7) - Т2).
Ац = - A U = vCv-(T1 - Та) = §vfl(7i - Га) = §Аая = 15 Дж.
2.186. Д,2 =	=	30 Дж.
2.187. Л2з =	= 30 Дж.
2.188. A2:i = rQ = 60 Дж.
О
2.189. А12 = 3v^T - 2Л41 ^34‘
Решение. Для машины Карно ri — 1 — ~ — = 1 — откуда 19±il—
Ql2	l1	i	3
=	Кроме	того,	А12	= Q12, А34 = |<Эз4| и Д41 = vCVA7’. Объединяя эти
соотношения, получаем
Д - Д т _ л Т _ л vCvT _ 3vЯТ л
I'2	4	Т	—	AT	34т A4i ,34vOvT-A4i 3vRT — 2A4i 34'
vCy
2.190.	Л -
3 v/ti
2.191.	А.м	3vR
*1 1 Q2 4 — 2 А 12 Л 23
J.19J. Л — 3vHT .
2.193.1)0. 2) V = рУпарЯ„ sa 2,75 л.
j 2	  _£_
т2 т
Решение. 1) Давление насыщенного пара при температуре 7°С меньше
давления при температуре 20°С и тем более меньше начального давления воз¬
духа. Поэтому в начальный момент вода прижата поршнем к стенке цилиндра и
количество пара равно нулю.
2) Давления и температуры по обе стороны от поршня одинаковы. В этих
условиях отношение объемов равно отношению количеств вещества, поэтому
поршень движется только тогда, когда испаряется вода, и то, что он остановился
при Ю0°С, означает, что при этой температуре вся вода (поскольку m = 1 г, то
vnap = 1/18) уже испарилась, но пар еще насыщенный (Р2 = 1 атм). В начальный
момент весь объем цилиндра занимает воздух. Из системы
РИ = vB03AP? ?
P2V = (vB03 д + Vnap )Р?2

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
339
находим
P2V
PV
Vnap}
V
vnap P
rt2
RT
~ P2 P
т2 т
2.194.
1)
0.
2)
V =
VnR
Pi P
% 4,6
л.
T2
2.195.
1)
0.
2)
ra =
(El
\T2
- £-)
TiJ
Г
1,2 r.
2.196.
1)
0.
2)
m =
4
\Ti
T2)
2,1 r.
2.197.	л = 1
Решение. Работа газа за цикл равна площади цикла:
А = ±(Л - P3)(V2 -	= I(PX - Р3) • 2Vi = (Pi - P3)VU
Тепло в процессе 3-1 равно изменению внутренней энергии, так как работа в
этом процессе не совершается:
Q = %vRTi - | vRTa = 2р,К, - §P;jP3 = §(Pi - P3)Vi.
А = (Л ~ Рз)У1 = 2
Q |(Pi-P3)Vi 3'
2.198. А = Q.
2.199. 3.
2.200. 3.
2.201. А = j\RT.
Решение. Так как
Ук - 2а = о El = Ei- Yl = 9
Vi тх ^ Р4 Р3 Vi
можно ввести удобные обозначения
Vi = Vh = И, Кз = V* = 2И,
Р4 = р, Pj = р3 = 2Р, Р2 = 4Р.
Тогда 2РК = vP7’ и
.423 = ±(Р2 + Pi)(Vi - V2) = i(4P + 2P)(2V	3	=	|vPT.
.414 = i(2P + P)V = |PV = fvPP
A = A23 -	Ai4 = \PV = fvPT.

340
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.202. А = ~vR(37\ - Т2).
2.203. А =	§vRT.
4
2.204. А = |\R(T2 - 2Ti).
2.205. Q = 3(v/32 - 3>AT0 и 16 кДж.
Решение. В начальном состоянии в двух объемах равны Р, Т, v, а сле¬
довательно, и У. Конечный объем правой части равен V/2. Конечное давление
находим из уравнения адиабаты: Р = Ро *25/3. По первому началу термодина¬
мики количество теплоты равно изменению внутренней энергии всего газа. Так
как давления в двух частях цилиндра всегда равны, можно записать
Q = AU = |(Р - Ро)И„6ш = 3(25/3 - 1)РоКбш =
= 3( <У32 -	«	16	кДж.
2.207. Q = 3(v/32 - l)vKT0 « 11 кДж.
2.208. 2.
2.209. 1) х = 3. 2) pi = 0,36р = 0,36 кг/м3.
Решение. 1) Пусть в смеси v молей гелия и xv молей кислорода. То-
2)	Первоначально в смеси на каждый моль гелия приходилось 3 моля кислорода.
Если удалить 2/3 кислорода, то на каждый моль гелия будет приходиться 1 моль
кислорода. Поэтому если первоначальную массу смеси принять за 4 -f 3 • 32 =
= 100 условных единиц, то новая масса смеси составит 4 4- 32 = 36 тех же еди¬
ниц, во столько	же раз	изменится и плотность: pi = 0,36р = 0,36 кг/м3.
2.210. I)	5.	2)	0,8.
2.211. 1)	7.	2)	0,23	кг/м3.
2.212. 1)	1.	2)	4/7.
2.213. 6/7.
Решение. Пусть V — начальный объем цилиндра, vi и V2 — числа молей
пара в цилиндре до и после сжатия, Ри — давление насыщенного пара, Т —
температура. Уравнение состояния пара до и после сжатия:
2.206.	А = | ^	—	1^	vJTTq	~	1,2	кДж.
гда масса смеси rri — prv -f- [iKxv, объем V =
(v 4- xv)RT
~ P
получаем
и плотность p =	—
4 + 32s 10—з
1 4- x
0,7 Р» • V = vi	RT,P„ - ~= v2RT.
Отсюда v2/vi = 1/7. Сконденсировалась часть пара x =
Vl ~ V2
Vl
= 1 - ^ = 6/7.
Vl	'

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
341
2.214. Приблизительно в 2 раза.
Решение. По закону сохранения энергии
vС(Т2 — Xi) = Л 4- vCv{T2 - 71).
Здесь v = 1 моль, С = 18 Дж/(моль ■ К), Су = ЗЯТ/2, Т2 — конечная темпе¬
ратура. Отсюда
Т2 = Ti + (Г, Ап , = 1136 к.
v(C - Су)
Для конечных и начальных давлений и объемов Р2 = к Pi, V2 =4Vi. С учетом
уравнений состояния уЯ72 — P2V2 = 4kPiVi — AkvRl\. Окончательно
= Л+у(С-СУ)71 .
~ 4Ti 4v(C - CvOTi ~
2.215. 1) 100 Дж. 2) -Я/2.
Решение. Работа в процессе 2-3 равна площади под графиком. Найдем ее
как разность площадей двух треугольников:
Агз = ^РзУз - \P2V2 = ±vR(T3 - Га) = ±vRAT.
Тогда
Q23 = ДР2.3 4- Л 23 = |уЯДТ + ^уЯДТ = 2vRAT.
Следовательно, Л2з =	= 100 Дж, AU23 = |<?2з = 300 Дж.
Q12 = AU\2 4- Л12 = —AU23 4- Л12 =	з	4-	Л12 — ЮО Дж.
ру	Ql2	р	Ql2	4Q23 + Л12	3Q23	— 4Ai2 р _ R
у ~ v(T2 -Тл)~ vR(-AT) “	-Q23/2	~	2Q23	2 •
2.216.	1) Q23	= Л2з - ЗЛ12 = 400 Дж. 2) С = -Я.
2.217.	1) Q12	= 150 Дж. 2) С =	-Я/2.
2.218.	1) Q23	= 150 Дж. 2) С=	-ЗЯ/8.
2.219. 600 Дж.
Решение. В изобарном процессе 1-2: Q\2 = vCpAT, AUi2=vCyAT, по¬
этому
AU\2 —	— fQl2-
В адиабатическом процессе 2-3:
Л23 = —AU23 = -\-AlJi2 — jr<512 —	=	600 Дж.

342
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2.220.	А12 = |А = -500 Дж.
2.221.	А23 = %Q = 900 Дж.
О
2.222.	А23 = = 900	Дж.
2.223.	1)	Пусть в процессе 1-2 изобарического расширения температура
изменилась на ДТ, газ получил количество теплоты Qi2- Тогда
С другой стороны,
Отсюда Q\2 — §А.
Qi2 = AU + А = V •	+
Q12 = vCpAT = v • |ДД'Г
2)	Газ получает теплоту только в процессе 1-2. КПД цикла:
^4цикл Q   2Q
Л =
Ql2 Q12 5Л ■
2.224. Q = §ЛЬ Л — - А
2.225. д=|АЛ=2л|125Л-
2.226. Q= |А п = 1 - |2.
2.227. 1) Пусть масса корпуса баллона ?по, начальная масса баллона с газом
га, объем баллона К, начальные давления и температура Р и Т\ молярная масса
газа р. Уравнение состояния в начале, и в конце:
4
Fm — 7710
PV =тп~тп° RT, £-V = - й- Мт.
(1	1	3	Ц	11
Отсюда — = Надо найти х = 77Lzi-mo — 1 — Получаем ж =
га 19	га	m	J	19
2.228. n = 200.
2.229. 7/9.
2.230. ДР = 0,4 атм.
2.231. Пусть в процессе 1-2 изобарического расширения газ получил ко¬
личество теплоты Qi2. Тогда Q12 — v|P(7~2 — Xi) -Ь A, Q12 = v|P(P2 — Ti).
Отсюда Qi2 = \Л. КПД цикла г| =
2.232. Пусть 1-2 — изобарическое расширение, 2-3 — адиабатиче¬
ское расширение, 3-4 — изобарическое сжатие, 4-1 — адиабатическое
сжатие, т) =	=	0±2 + Оз4 = j	Оыд1а = у§Д(Т2-7\) + А12, Qia =
V12	Ч;	12	VI2	^
= v|fl(ra-Ti), O34 = v| Д(7'4 — 2д) 4- Аял, Q34 = v|ii(T4 - Тз). Отсюда
А-
O12 = §^12, <3з4 = |А.з4, отношение работ = —Уу < О

ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
343
2.233.	Пусть 1-2 — изобарическое расширение, 2-3 — адиабатическое рас¬
ширение, 3-4 — изобарическое сжатие, 4-1 — адиабатическое сжатие, i) =
- Ао , Qv2 + Qm = Ао, Q-M = у 'йщт4 - 77) + (-А),	4 = v§/?(77 - 77). От-
2А0
СЮДа = 2Ао + 5Л ^
2.234. См. решение задачи 2.232. По усдовию	=3. Ответ: ц = |.
2.235. Пусть /-2 — адиабатическое расширение. 2-3 — изохорическое охла¬
ждение, 3-4 — адиабатическое сжатие, 4-/ — изохорическое нагревание. Q\a —
=	v^R(T\- 74),	77 - 72 = Д71,	Т4- = ±Д77, Т2 - 77 = ДГ2 =>	Q.,, =
= |уЛ(Д77 + 2Д72).
2.236. О = vCV(7’2 - 77) + Л, 0 = vCV(T4 - 77) + Ам. Л = '4 + А'л* -
Q
т2-т1 а
ТА - Тл	л Q - А ‘
2.237.	О = vCV(—ЗАТ-\) 4- А12,	0 = vCVA7\ 4- A34,	Ао = А12 4~
4- А34	Ао — 3vPA7\.
2.238. О = vCV(72 - 77) + Ai2, 0 = vCV(2’„ - 77) + (-4), л =
Q41 + (-Q) = ^412 + (—4) =>■ х = у.“ __ j? = — С — л ^ + ')'
2.239. 1)	М	=	—	( гплЯТ_ р\ _ 12 2) «=	Гш- Р)Аи) ~ 44 • Ю-3.
'	g	V	(laVn /	'	Vop	V	RT	)
1) Уравнение состояние для азота (р+ -ггр V<> = RT. Здесь Р « 105 Па —-
V Ь /	На
давление насыщенного пара воды при 100 °С. Отсюда М = — (_ р\ ~
& V Pa Vo /
12 кг.
2) Для пара PVo = ———-- Р71. Отсюда доля объема Vo, занимаемая водой,
Ид
2.240. 1) S =	^	«	5,7	см2. Здесь Р « 105 Па.
?7l j it 1	у-)
Ha И)
2) « =	^	1	’9	• Ю-Ъ
. 1) ша = (Р +	«2	г.	Здесь	Р	«	105 Па.
2.241
2)“=4(т-£яг£)”2-4|0"‘-
2.242.	1)	р,^Ж^ПМи0,7.10‘Ш. 2) „ _ ^ (т -	*
« 1,1 • 10-3.
2.243. .4 = ZvRT.
Пусть vi — количество пара в конце, Р, V, Т — начальные давление, объем
и температура пара. Работа А = Р [у — уЛ =	. Уравнение состояния для

344
ТЕРМОДИНАМИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
пара в начале и в конце: PV = {yi+v)Rrl\ Py = vi#y^T. Из записанных
уравнений А = |vRT.
2.244. А = %vRT.
4
2.245. А = |vRT.
2.246. А =
2.247. 1) ^ = ^.2)4=^.
Пусть 1-2 — изотерма, 2-3 — изохора, 3-1 — адиабата. Введем обозначения:
А12 — работа газа на изотерме, А31 — работа газа на адиабате, А — работа газа
за цикл, Q12 — количество теплоты, полученное газом на изотерме. Тогда - А31
будет работой над газом при сжатии.
1) А12 + А:и = А, А12 = ЮА. Отсюда	= др ~ ответ на первый вопрос.
2) КПД цикла п =■	=	-р—	— -77-г = ~г^ — ответ на второй вопрос.
W12	А12	ЮЛ	1U
3)
2.248. Пусть 1-2 — адиабата, 2-3 — изотерма, 3-1 — изохора.
1) AifL = 9 2) и = i
' —А2з 8‘	9’
2.249. Пусть /-2 — изотерма, 2-3 — изохора, 3-1 — адиабата.
1) А12 + А;н = A. = | _ответ
2)4=1’
2.250. Пусть 1-2 — адиабата, 2-3 — изотерма, 3-1 — изохора.
1) А12 -Н А2з = А.	^	—	ответ.
2) i)= ё.
2.251. l)*l = r-L_. 2) ж2 =
Пусть /-2 — изотерма, 2-3 — изохора, 3-1 — адиабата. Введем обозначения:
А12 — работа газа на изотерме, А31 — работа газа на адиабате, А — работа газа
за цикл, Q12 и Q2з — количество теплоты, полученное газом на изотерме и
изохоре. Тогда А31 будет работой над газом при сжатии.
1) 11 =	1 работа за цикл А = Aj2 + А31, Q12 = Ai2, из закона сохранения
энергии для 2-3-1 Q2з = А31. #i =	=	у	^ .
2) Х2 = ^ = Г^-
2.252. 1)®! = —L_. 2)^2 = ^^.
2.253. 1) xi =	2)	х2 = 1 ~~ 11
Ч	>1
2.254.
1)*1 = ГГ7|- 2)	=	Ар

3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
3.1./ = /1(1 + |1)-^=0,5мкА.
3.2.	1 = 1 i (l +	=	9 mkA.
3.3.	£ = I(Ri +	R2) = 400 B.
3.4. ф- = 2.
Hi
3.5. W as 1(^(оАС0)2Я.
3.6. /,,0
3.7. W s
2
fiujALo
r>2
(^4)2
2R '
' Я •
3.9. x =	=	|d.
2 G1 5
3.10. a = Eo/(p'2 ~ gil > 0.
3.8. A.o
3.11. w =
I (2&\ - <?2)q	5	,
= V 2m  = 796-10 м/с.
3.12. F= 5^(P2 - Pi).
3.13. При условии p 1 можно считать, что частицы движутся по окружно¬
сти радиуса Я —	Когда	v _L vo, частица сместится вниз на расстояние R.
Согласно закону сохранения энергии ttivq/2 + EqR = тгш2/2, следовательно,
А/С = Я^Я. Отсюда, учитывая, что E/(voB) = р, получим АК/Ко — 2р.
3.14. По закону сохранения импульса скорость центрального шарика рав¬
на v, а крайних —v/2. По закону сохранения энергии имеем:
1 3<?2_ 1 (+	+	Я^_\	+ 771 г;2 + 2 . mW2)2
4ясо а 4тгг{) \ а а 2а )	2	2
Отсюда г/ =	.	_.	—.
\/6лЕо77га
3.15. Частица движется по окружности радиуса Я=	Когда ее ско¬
рость v || vo, она перемещается по полю Е на расстояние 2Я. По закону со¬
хранения энергии mvo/2 -f qE • 2Я = mv2/2, откуда АК/Ко = 4E/(voB) = р и
E/(vqB) = Р/4.
3.16. Когда шарики образовали равносторонний треугольник, все они дви¬
жутся с одной и той же скоростью ц/3. По закону сохранения энергии имеем:
1	5 Я2 + 7П772 =	1	3g2	3 m(v/3)2
4яео 2 a 2 4лео а	2
откуда г; = (д/2) • >/3/(2л;еогаа).
3.17.	Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис.). Здесь <£ = Bv • 2a, r =
— n2a Я —	тпглп I —	^	^	г>ВЯ	..	г	_	1	г	_	2 г;ВЯ
- р 5 . К - р s, тогда	i„- г + я/2 - 4 + л р	к 2	4	+я р '

346
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.18. Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис.). Здесь £ — vB - 2а, а —
я а	D  л 2а.	^,	г _	£	_	4	BvS
радиус кольца, г = р^, Я = р^; тогда = д + г/2 _ 4 + л р
— ! т —	2	ff uff
- 2Jn ~ 4 4- я р '
И /к —
I,
I,
Я
я
л
&
R
К задаче 3.17	К	задаче 3.18	К	задаче 3.19
3.19.	Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис.). Здесь £ — Bva\f2 (а
длина стороны квадрата), г — р 2
£ ~
ал^ Я = р^, тогда 1П — I = 2/к и / =
откуда g = 1 + ^ /р
Я/2 + r pd+v^)	У	у/2	"S'
3.20.	Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис.). Здесь £ — Bva\/2, а —
$	BvSy/2
длина стороны. Тогда г — р^т, Я = р^-^,	/	=
Я =
/р(1 4- yg)
\/2vS
Я+ г/2	р(14-л/2)
Q	+Q
, откуда
1/2
1/2
,
i1
■<£>
L
R
1
А
К задаче 3.20
3.21.	После замыкания ключа возникнут колебания (LC-контур). Когда I —
= /тах, имеем = 0 и £ — —	= 0, т. е. напряжение между пластинами 7—3
равно нулю. Если заряды на пластинах В 3 в этот момент равны — q и 4-д, то
поле между ними складывается из постоянного поля Ео заряда Q и поля Е\
зарядов — q и 4-q.
Итак, U\3 — 0 = Eo(d2 — di) — E\(d\ 4- d2). Отсюда E\ =	^	^	^	.
Так как полная энергия поля сохраняется, то
^p-(ch +d2)S= Щ(Ео + Ei)*diS+ Щ(Ео - ri)2d25+
откуда
w=&(* -	=,<г/2,(* - W»

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
347
3.22.	(См. решение задачи 3.21). Когда / = /тах. Е\ = Ео. По закону со¬
хранения энергии: (eq/2)E2S • 2d — (во/2)E^Sd -f- Л(/тах/2). Отсюда /тах =
= Eo^/eoSd/L. Так как £0 = Q/(2e05), то /тах = (Q/2) yJd/{zoSL).
-Q +(] -q
~Q
+ <?
3.23. После замыкания ключа возникнут колебания (LC-контур). Когда за¬
ряды на пластинах /, 3 максимальны, ток через катушку равен I — -q-=
= 0, а ее магнитная энергия — нулевая. По закону сохранения энергии имеем
(e0/2)£?o(di + d2) = (ео/2)(ЬЪ 4- £a)2di 4- (е0/2)(£70 - E\)2d2, откуда находим
два возможных значения Е\\ Е\ = 0 и Е\ = 2Eo(d2 — di)/(d2 4- d\). Так как
Eq — постоянное поле заряда Q и Ео = Q/(2eoS), а Е\ = 9тах/(ео£). то:
1) <7max = Q J > 0;
2) При наличии омических потерь на пластинах /, 3 установится заряд сf,
который находится из условия равенства нулю напряжения между пластина¬
ми: Eo(d2 — d\) — E*(d2 4- di) = 0, поэтому E* = Eo(d2 — di)/(d2 4- d\) и q* =
— <7max/2.
3.24. На пластинах 2, 3 заряд <?max создает поле E\ = qm&-x/(zoS). Когда
92,3 = ±<?max, I — 0 и по закону сохранения энергии £qEq/2 = ео(Ео — Ei)2/2.
Для поля Е1 имеем Е\ = 0 и = 2Eq или (/max = Q. В этот момент =
= 2dl/dt = End = Qd/(2voS), откуда
di _ Qd
dt (2eqSL) ’
3.25.	До замыкания ключа установившийся ток через резистор Ir =
^2Я
Я 4- г-2 '
. Сразу после замыкания
Напряжение на конденсаторе Ус = Ir • R = ^ +
ключа ток /д и напряжение Vc останутся неизменными. Через батарею будет
гэ 	 т/
п с, а через источник 82 ток 12 — Ir. Тогда ток через кон-
течь ток /1 =
г 1
денсатор Ic = h 4- /2 - Ir =
А
7*1 П (Я 4- 7*2)
на рисунке, изображенном в условии задачи.
= — 1 А. Ток течет слева направо
3.26. Ir =
8\Т2
Я(Г 1 4- Г2) "4 7*1 7^2
= 1 А.
3.27.	1с =^2 '	^л
+
Н2 (Я -1- Г1 )г2
= 5 А.

348
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.28. IR = m	  =	0,25 А.
Н\г 1 4- ?'2j 4- Г\Г2
3.29. Pi = |Ро.
3.30. ЭДС индукции, ток в рамке и магнитная сила, действующая на рамку
со стороны магнитного поля электромагнита, будут иметь место только в том
случае, когда рамка не полностью пронизывается магнитным полем электромаг¬
нита. Эта ситуация будет возникать при входе рамки в зазор электромагнита и
при выходе. В этих случаях ЭДС индукции S’ — Bva, ток в рамке I — SjR —
— Bva/R. Магнитная сила F — Bla — B2va2/R. Работа, совершенная внешней
силой, будет численно равна количеству теплоты, которое выделится в рамке
Q = 2F • а = 2B2vas/R.
3.31. Pi = 36Р0.
3.32. v = 2Qp/{abB2).
3.33. В начальный момент времени на пластине будет находиться положи¬
тельный заряд, величина которого Q=	Этот	заряд	будет	сохраняться на
пластине во время ее движения между обкладками конденсатора. На левой об¬
кладке конденсатора начальный заряд равен нулю, а на правой — Q. По мере
перемещения пластины к правой обкладке конденсатора заряды на обкладках
будут расти и в тот момент, когда пластина достигнет правой обкладки, заряд
на левой обкладке будет равен 4-Q, а на правой —2Q (условие постоянства раз¬
ности потенциалов на пластинах). Работа, совершенная источником А = QU,
\/ ^
пошла на кинетическую энергию пластины: QU =	^	.	Отсюда	скорость пла¬
стины
V = U
2e0S
m(d — а)
3.34. с/2 max = 9i (cf + ci) = igl ’ t=(n ^)2яу'|ьс,1, где п = 0, 1,2, ...
3.35. а =	.
7п{а — а)
ч ч« г - 2Q
■	' max у/ЬLCh'
3.37.	Сразу после замыкания ключа напряжение на емкостях С\ и Со минус
напряжение на	емкости	Сз-	Ui 4- Uo — U3 — <F. Поэтому	начальный	ток	через
сопротивление	равен	/ =	$/R. Далее, после того как	в	схеме закончится	процесс
перетекания зарядов, между конечными напряжениями на конденсаторе будет
выполняться равенство:
и3 = и2 + и,.	(1)
Пусть при этом c/i, (/2и q-з — конечные значения зарядов на соответствующих
конденсаторах. Условие сохранения зарядов дает между ними следующие соот¬
ношения:
qi — (Ci 4- Сз)(о — f/з	(2)
и
с/2 = (С2 4- Сз )£ — с]з.	(3)
Из равенств (1) — (3) находим окончательно:
_ [2С2С2 + Сз(С\ 4- С2)\Сз s,
f/:, ~	С,С2+	С	+ Cl Сз й •

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
349
Конечное напряжение U3 на конденсаторе Сз равно
_ q:i _ 201 С‘2 4- Сз(Ci 4- С2) ^ _ 13 ^
:i Сз ~ С1С2 + С2Сз 4- Oi Сз	П
3.38. / = —^г; напряжение на емкости U = —
о А”	У
3.39. / =	напряжение на конденсаторе U = —
3.40. / =	напряжение на конденсаторе U = |rf.
3.41. В начальный момент ток утечки через конденсатор равен До/#, этот
ток течет и через последовательно соединенную с конденсатором катушку индук-
п	ОТУД	/	/	Ц()\~
тивности. I юэтому в контуре в этот момент запасена энергия — f-	1	=
С/2	_
-Л- — 4 . ю_,) Дж. Эта энергия и выделится в виде тепла.
nVLCU*	о
 ^ = 3,14 • 1(Г3 Дж.
+ CR2) = КГ'"’ Дж.
I2 = 3,14 • 10~5 Дж.
Rs/C
3.45. Ток в контуре 1 1\ =	а	в	контуре	2 12 = тТг Поток элек‘
тромагнитной индукции Фз% пронизывающий контур 3, равен разности потоков,
пронизывающих его левую (ближнюю к проводу) и правую части. В силу осевой
симметрии магнитного поля прямого провода эти потоки отличаются от потоков
поля Фг и Ф*2, пронизывающих контуры / и 2, множителями, равными соответ¬
ственно b/а и с/а. Общее сопротивление контура 3 равно 2(а 4- b)r -I- 2(а 4- с)т.
ЗФ1 ь _ d-Ф2 с
~	0	.	dt	a	dt	а	2{Ы{	- do)
Окончательно, ток в контуре 3 равен: /з = — -г — — = ———г——.
J v к	2(а 4- Ь)г 4- 2(а 4- с)г 2а 4- Ь 4- с
3.46. /2 - Л/4.
3.47. I2 = h+'pi	■
3.48. ^ = 4
vo 2
3.49. До размыкания ключа К установившийся ток через резисторы I —
= &/(R\ 4- Я2), а напряжение на конденсаторе Vc = <^#г/(#1 + #2). После
размыкания ключа конденсатор начнет разряжаться через резистор #2, и вся
энергия электрического поля, запасенная в нем, выделится в виде тепла: Q
. icvg =	(-z^)
3.50. Обозначим величину напряженности электрического поля, создаваемо¬
го пластиной 3, через До, а через Е\ — величину напряженности поля пластин 1
и 2. Запишем условие эквипотенциальности пластин / и 2 до перемещения пла¬
стины 3: До(d — 2а) — Eid — 0. Откуда Е\ — До(1 — 2a/d). После перемещения
пластины 3 между пластинами / и 2 возникает разность потенциалов U\2 =
= E\d 4- Eo(d — а) — Еоа = 2Eo(d — 2а). В последнем равенстве была исполь¬
зована связь между Е\ и До. Поскольку До = q/2eoS, то U\2 — q(d — 2a)/(z<)S).
2

350
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Возникшая разность потенциалов U12 приведет к появлению тока через рези¬
стор R: I = U12/R = q(d — 2ы)/(воSR). Ток будет направлен от пластины 1 к 2.
После перемещения пластины 3 будет происходить перезарядка пластин 1
и 2 до тех пор, пока они не станут снова эквипотенциальными. За это вре¬
мя в резисторе будет происходить выделение тепла. Поскольку начальная (до
перемещения) и конечная энергии электрического поля системы трех пластин
равны, то суммарное количества тепла, выделившегося на резисторе, будет
равно работе, совершенной при перемещении пластины 3: Q = qE\{d — 2а) =
3.51.	Q = (L<S’2)/2Ri(Ri + Я2).
3.
право
q со л (в “ l)£z0hSU2	h(e	-	1	)U
3.52. А =  	—	Toi I — г/ /	,	л— , i n 1 направление тока слева на-
2[(d — h)e + h]	[(d	-	Н)г	+	h]R'	v
3.53 .,s=<i±£^.
2(Я1 + Я2)2
о в- ^ ,44	q2a(d2 —4a2)	r	ga2	0	,
3.54. 1) Л = 	— - ^2	; 2) 1 =	ft 1 направление тока от 2 к /.
3.55. <5 - {CF,2R1R?2)/2(Rl + Я2)3.
. (е — l)eo/iS£/2 m r (е — 1)/гС/
3.56. 1) Л = —  		; 2) / = -——, направление тока — против
часовой стрелки.
3.57. 1) Ключ К\ замкнут, а А'2 разомкнут. В установившемся режиме ток
течет только через резисторы, поэтому суммарное напряжение на конденсаторах
гг <5 (Д + 2Я)	3	©	с	т/
— д + 2д = 4 Если на конденсаторе емкостью С напряжение равно Vi,
то на другом конденсаторе напряжение V2 = Vi/2. Следовательно, суммарное
напряжение Vi + V2 = V\ -f Vi/2 = (3/2)Vi. Приравнивая	два	выражения	для
общего напряжения U = V\ + V2, получим, что ^ = 2V\ =	12 В.
2)	После замыкания ключа К? напряжение на конденсаторе емкостью С
to D
будет равно напряжению на резисторе R. Это напряжение	Ur	—	д	r	\	or	=
= | = у = 3 В. Следовательно, 1/с = у = 3 В.
3.58.	При смещении электрона на расстояние г от центра
ОТ
атома на него действует сила F = E(r)q = —	-3g.	Уравнение
ЧАЬу it
движения электрона:
К задаче 3.58
ЩУг = 35 В
тг +	?2г .. = 0 => Т = 2л = 4лЯ ^/ЛЕ()Дт.
4леоЯ’1	\я	ч
3.59.	1К=Ик1=42В;	2)	^	=	/+2Д + ЗД =
2	1	Q?	\	1/2
3.60. Время пролета внутри сферы т = 2 (и2 — 2 л с о mfl)
3.61. 1)#= |V, =24 В; 2) V2 =	=	8 В.
3.62. 7’ = 2л f -t	^2—
\ A 32morniR )

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
351
3.63. 1) £ = |Vi — 16 В; 2)V2 = ^Vi=5 В.
3.64. Vo
+
Qq
1/2
I 7^2 2лео тй у
3.65. Сразу после замыкания ключей схема
имеет вид, изображенный на рисунке. Началь¬
ный ток /0 - (^i + g2)/3R. После установления
стационарного состояния заряды на конденсато¬
рах Q1 = Ci Ei, Q-2 — С'2&2- Работа батарей Л =
= Qi&i -h Q2<^2 = OiEi 4- С2Е2. Энергия конден-
... D
саторов IT = —7^ Н тг^. Выделившееся тепло
Я
f
□
2
2 •
+ С^2
-CZD-
R	R
К задаче 3.65
Q=A-w= 2	,	2
3.66. 1) Появляется вихревое электрическое
поле, которое действует на заряды кольца.
2) Пусть г — радиус кольца. Согласно закону электромагнитной индукции
Е • 2лг = — лг2	—> Е = -	Суммарная сила на кольцо вдоль окружно¬
сти Е — QE =	FvAt — А ^™2'")	ЕAt = mAv
тA v = --QAB
(О	и
/Аш=-/
Q_
2 т
АВ
<о =
QBg
2 т
в о
3.67. 1) /о = £ /г; 2)Q=<a±^±W!.
3.68. \)1=™^А-, 2) Fmах = ^ЛВ0.
3.69. 1) /о = <з/Д; 2)g=lC£2.
3.70. Во = 2mm/Q.
3.71. l)<f = /0r; 2) Q = (Cl + — t C’a)(J°r)2
2 /	\ 1/2
3.72. 1) 7 = —^7-r—. 2) Bo = l 1-Щ- J . Максимальная сила сжатия при В =
т	V	/		 ..
=
3 73 t/i = Вг2^1 ~ 0)2)	f/2	=	Бг2(ш1	~	ш2)
3.74. Q =
3.75. (о =
2(1 + С1/С2)
/ Bud Т
V Л + pd/S )
21/(1 + С1/С2)
2( 1 + С2/С1)	_±_
Д.
CV
К задаче 3.75
£(г2+г2)	*
Решение. Эквивалентная схема дана на рисунке. Можно показать, что
= ^Boari, <^2 = ^ Borrl.
Заряды на конденсаторах одинаковы и равны q, где q — CiU. Имеем ^	-
JL
Ci
с2
=о.

352
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из записанных уравнений находим выражение для со.
г) *7а   soSvBh
3.76.	q=
3.77.	1) /нач = 0; 2) /щах = c2<f ,/4ClC2 + Е(С2 Cl)2	1
eC2L(Ci + С2)2 (eCl + С2)Ь
3.78.	1) WLl t С 2) /0(Li + L2)
c ,,,, c(|aLi +La).
3.79.	1) T = 2H'/L(Cl + eC2); 2) ^ + C2)9°
3.80. 1) /„ач = 0,2; 2) £/max = I0 J
3.81. От %- = 14 В до %V = 60 В.
О	(
3.82. От Ь = 18 В до ^ = 3 В.
3.83. От |V = 45 В до У = 10 В.
4	6
3.84. От = 16 В до	= 70 В.
3.85. 1) / =	2) C(f) = Со + # £IoR0~ to^ ^ *о)-
Решение. 1) Сразу после замыкания ключа К конденсатор не заряжен, и
разность потенциалов на нем равна нулю. Тогда согласно закону Ома для цепи
&
£ 3- Uc — IR, и начальный ток в цепи равен I —
2)	В дальнейшем конденсатор начинает заряжаться (происходит процесс на¬
копления заряда). В произвольный момент времени t < to напряжение на кон¬
денсаторе равно
ис = ^ =<£■ - I(t)R.
К моменту времени to ток в цепи достигает значения /о = и в дальней-
шем остается постоянным. Тогда изменение заряда на конденсаторе Aq = ToAt
и заряд на конденсаторе
q(t) = qo -f Io(t — t0) (t ^ to),
где qo — заряд на конденсаторе Со в момент времени to.
С другой стороны, q(t) =	— IoR)C(t). Из совместного решения этих урав¬
нений для зависимости емкости конденсатора от времени получим
Г(л —	90	,	*о(*	-	*о)
Л4	£ - I0R	£ - IoR '
При t — to емкость конденсатора Со = g _д ■ Окончательно зависимость C(t)
имеет вид
СО) = Со + У1~/и*д

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
353
3.86.	14 = - Vo ± VхVo + ЗЦ)2 = -3Vo.
Решение. На заряженную частицу, движущуюся в электрическом и маг¬
нитном полях, действуют сила Кулона со стороны электрического поля и сила
Лоренца со стороны магнитного поля.
«о
‘о
К задаче 3.85
К задаче 3.86
Движение заряженной частицы вдоль оси X обусловлено действием на нее
силы Лоренца. Уравнение движения имеет вид
(I)
т. е. ускорение вдоль оси X связано с движением частицы вдоль оси У.
Из уравнения (1) имеем
AVX =	VyAt = -wo VyAt -coo Ay,
fit
(2)
qB
где coo = -— называется циклотронной частотой. Решая уравнение (2) для VXy
777»
получим
Ух — Vo — ту-
(3)
При движении частица приобретает энергию, обусловленную работой электри¬
ческого поля Л = qEy. Сила Лоренца работы не совершает. Поэтому закон со¬
хранения энергии дает
mV0 , /)	7nVx	п г с\\
+ qEy = -f- {Vy = 0).
Подставляя (3) в (4) и учитывая, что Е — УоВ для VXi получим уравнение
Ух + 2Vo 14 - 3Vb2 = О,
решая которое относительно Ух, находим Vx = Vo ± \/Ц2 + 3V02 = —3Vq.
(4)
3.87.	1)Уод=<Г; 2
Ro
1 4.	Yot
i" S - Vo L
3.88.	=
3.89. 1)1= JL- 2)	=	Ro	-	\t.
3.90. У — zty/ЗУо.

354
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.91. 1) Vol = 4Г; 2 )L(t) = + g
3.92.	=
2mU = 1 / 2t/
rfy g/m*
3.93. 1) Q2 = Qi 2) 4? = y/gjl .^L+-Mfl3
3.94. oT =
2^0(1 — a )rng
2
org
3.95. 1) Q =
_ C<?2	№	+	дг):
2 (Ki + й2 + Яз):
91 n _ C<?2	+	R2)	n _ CS'2 Я2(Д1 + K2)
2)ЦКЛ- 2	„	,	0	42’	V«2-	2	/о.	,	I	D..\2
(/?1 4- H'2 4~ Лз)
3.96.	1) a =	2)P = q
4jXEq /771
(Pi “H P2 Ч- Р.з)
Qrs — 0-
m
2Q
3-97. 1) * = Я„у2)Qx = r+iii//t2,
3.98. Ti = —= T°
Q2 = j-
0
+ Я2/Я1 ’
<2з = 0.
1 +
aig
2eo gm
3.99. l)Q2 = Q1|i; 2) # = Л1Д2 + gg + Д2Дз Pg-1- /-1>1 ^
3.100. 1) a2 = 0, ai = a3 = —	; 2) Pi =	= q
IQUEQlTll4
8JT8 ()/ ’
P2 = 0.
3.101. a =
vo(lB)2
MR
3.102. P=
3.103. a =
P0P1
M Rvq '
2 /12
3.104. Umax — °Д/F{ Vti'
3.105. 1) UL = 2S - U0 = \ё\ 2) t/c =
<?(Л2 + 2Ri)
R\ 4- R2
3.106.	Решение. Сразу после замыкания ключа К2 ток через катушку
индуктивности сохраняется и равен /о. Напряжение на конденсаторе сразу после
замыкания ключа К2 равно нулю. Обо¬
значим через /1 ток, протекающий че¬
рез резистор Pi, а ток через резистор
Р2 — соответственно /2. Согласно пер-
Р> = Р 4- 1-2-
Запишем закон Ома для замкнутой це¬
пи 3—4—5—6—3
£ = -I1R1 +/2Р2.
Из совместного решения приведенных уравнений находим ток Р, который равен
Р = -(£ - /0Р2)/(Р1 + Я2).

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
355
Для нахождения напряжения на катушке индуктивности запишем закон Ома
для замкнутой цепи 1-2-3—4—1
Отсюда
UL =
g=UL + I\Ri-
4- R'2) — IqR\R2
R\ 4- Я2
В установившемся режиме напряжение на катушке равно нулю, ток через рези¬
стор R2 равен нулю. Рассмотрим контур 1-2-3—6—5—4—1. Откуда Uc = 2<£\
UL = g +	Uo = 2) С/с	=
3.107. 1
3.108. 1
3.109. 1
3.110. 1
3.111. 1
3.112. 1
3.113. 1
rj __	И.2	—	R\)	— /0Я1Я2 . о-, Tj _ jp
R\ 4- Ro	*	^ С	^ •
  Seq j?,' c)\	  5eq	qo
Q3d	,7	*	)	9з d	2 ’
d
^max Eo
5t'o
93C
С . ow r Uo s/LiC
rr 2)/l = /2 = T7TTT
Яео ^ , <70
d
2)q*=	4-	-гг-
л2-
_ Яео л
93 _ ПГ
2) Пусть заряды на пластинах после замыкания ключа К равны дь <72 и дз.
По закону сохранения заряда
90 = 71 + <72 + дц.	(1)
Заряды каждой пластины создают между пластинами однородные электрические
поля с напряженностями	л	п	п
Е\ = кг4. Е2 = 92
2ео S
2е0S ’
Я’з =
2eq»S'
Между пластинами 2 и 3 поддерживается постоянная
разность потенциалов, равная :
d
2eq S
(— <1\ — 92 4- дз) — $•
(2)
Условие эквипотенциальности пластин 1 и 3:
(<7i - <7:0 = 0.
2eq $
(3)
F 2
Г
F 3
г
Ei
Е3
■
-'и
Совместно решая систему уравнений (1), (2), (3), по¬
лучим, что
  <7о | tQiS ^
<?3-Т + “ТГ ^ •
К задаче 3.113
3.114.	1) После замыкания ключа К конденсатор начинает разряжаться и от¬
давать свою энергию катушке L2, так как диод D закрыт. Имеем колебательный

356
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
контур, состоящий из катушки индуктивности Ь2 и конденсатора С. Период ко¬
лебаний Т\ — 2л\/Ь2С. Полный разряд конденсатора произойдет через четверть
периода. Следовательно, т = л/2у/Ь2С.
2)	Когда конденсатор начинает перезаряжаться, открывается диод D, и через
катушку индуктивности L\ начинает протекать ток h. При этом через L\ течет
ток 7-2. Согласно закону Ома
At
At
Ly
К задаче 3.114
или Lilo 4 7>2(7о - 72о) = 0, где /2о — ток
через катушку Ь2 в момент начала переза¬
рядки конденсатора. Из закона сохранения
L2/|о Ct/2 D
энергии —=	2	• Решзя систему, по¬
лучим ток /о:
7о =
L2
L\ -f i>2
L-2
Отсюда
rr _ т 7/i 4 T/2 L2 _ т
l2- \j~c~l0
3.115. 1) q3o =	2)	93	=
3.116. 1) т = § y/(Li + L2)C; 2
L\ 4 T/2
y/LiC
L\ 4- 7/2
max
L
3.117.	Сразу после замыкания ключа К\ заряды на конденсаторах С\ и С2
равны нулю. Следовательно, разности потенциалов на них Ucl — Uc2 — 0- По-
&
этому ток через батарею /о = у. В стационарном состоянии после замыкания
ключа К\ начальная энергия системы равна
W0 =
CiC2
Ci 4 С2
<Г
После замыкания ключа К2 и установления нового стационарного состояния
С л S2
Uc2 = 0. Тогда энергия системы W\ — —^—. Начальный заряд на левой пла¬
стине конденсатора Ci
Qo
2
С1С2
Ci 4 С2
S.
В конечном состоянии заряд левой пластины конденсатора Ci равен qi = C\S.
С2
Изменение ее заряда Aq = q\ — qo =	^	Из	закона сохранения энергии
SAq = W\ — Wo 4 Q, где Q — количество теплоты, выделившейся на резисто¬
рах. Подставляя Wo, Wi и Aq в последнее уравнение для количества теплоты Q
получаем
п - ci £L
4 ~ Cl + С2 2 ■

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
357
3.118.	1)7 = 0; 2) /„ах =	0,22	А.
С|
3.119. 1) /о = <?/г; 2) Q = с +2	/2.
3.120. 1) / = 0; 2) /шах = 7!^ - ^о) = 0,05 А.
3.121. Так как конденсатор мгновенно зарядиться не может,	то	в	момент
замыкания ключа разность потенциалов на нем равна нулю.	Тогда	разность
потенциалов на резисторе R равна Ток через резистор равен
/Я2 =	=	0,5	А.
Обозначим токи через резисторы Ri и R2 через /i и /2 соответственно. Эти
токи меняются в рассматриваемом переходном процессе данной цепи.
jp
Согласно закону Ома £ — I2R2 Т- Uc. Когда Uc = у, ток 12 равен
г - 2
2 з Я2 •
Ток через батарею I = 1\ + /2 =	~ ТГ А.
3.122. На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила
Ампера
F = IBl sina,
где a — угол между направлением вектора индукции магнитного поля В и
направлением тока. На сторону АВ действует сила
Fi = IBa,
направленная перпендикулярно плоскости тре¬
угольной рамки. На стороны АС и ВС дей¬
ствуют аналогичные силы, направленные в
противоположную сторону
b\ = F3 = IB
К задаче 3.122
Эти силы совместно с силой тяжести рамки создают момент относительно
оси 00\ проходящей через вершину параллельно прямой АВ. Запишем условие
равенства моментов
а л/З  2 у Ql х/З I	\/3
ИЛИ
Ь
1В
1 2
а2 у/3
2 2 2 + Ш£ 3
= 2IB	+mg^
Тогда для искомого тока / получаем
/ =
4 mg
3 aZ?

358
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.123. I) IR2 = f- = 1,5 А; 2) 7б =
3.124. I
£.
я2
yiMg
3.125. 1) Uc =
	 _	»Mg
2a В cos a	a В
SK2
Ft i + B'2
— 6,7 B; 2)7 =
&
2Ri
= 0,1 A.
3.126. I
Mg
\/2aB
3.127. I) IR. ~ S
3.128. I 5s
	Ra
3 ~ R\ + R2 Яя
Mg
0,44 A; 2)7=	=	0,8	A.
y/3aB
3.129. Из закона сохранения заряда следует, что суммарный заряд пластин /,
3 и пластин 2, -7 равен 0:
<71 + Яз = 0; Q2 ~Т <74 — 0.
Отсюда
<7з
qi и т/4 =	<72	•
Обозначим Ei и £2 — напряженности электрических полей, создаваемых заря¬
дами пластин /. 3 и 2, 4, которые равны
91
5ео
и Е2 =
<72
Se0'
Разность потенциалов между пластинами /, 3 равна нулю, а между пластина¬
ми 2, 4 — (ff — ЭДС батареи). Согласно принципу суперпозиции электриче¬
ских полей
Eid + (Ег + Я2)<* = 0; E2d -f (£1 + E2)d =	.
Решая систему уравнений, находим
Ei
<L.
3 d'
E2
2 S_
3 d '
Заряд третьей пластины равен
S’S го
Этот заряд находится в поле пластины /, рав-
ном -Л-, и поле, создаваемом пластинами 2, 4, —
Е2. Таким образом, сила, действующая на пла¬
стину 3, равна
F-«($ + ft) - gs*.
3.130.	Так как сопротивление контура мало, то колебания, возникающие
в контуре, можно считать почти синусоидальными, так что за период колеба¬
ний потери энергии достаточно малы. Тогда период колебаний определяется по
формуле Томсона (см. рис.):
Т = 2nsfbC.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
359
Индуктивность изменяется через время t — Т/2 = ку/LC. При изменении ин¬
дуктивности на величину AL в силу сохранения магнитного потока
UL = (L + АЬ)1 = Ф.
Здесь /т — амплитуда тока в контуре. Начальная энергия, запасенная в контуре,
равна
Wv —  —
1	2(L	4-	AL)
где Ф — магнитный поток, пронизывающий катушку индуктивности. В момент
уменьшения индуктивности на величину AL энергия, запасенная в катушке,
увеличилась и стала равной
W2 = :
ф2
2 L'
Изменение энергии равно
AW = W2-W i =
Ф^
AL
2 L(L + AL)
За время t — T/2 в контуре происходят по¬
тери энергии, выделяющейся в виде тепла на	l0
резисторе с сопротивлением Л, равные
^потерь — /эф Л 2
Ф2Д L
2 L2 '
Т/2 Т 37/2 /
К задаче 3.130
Для поддержания в контуре незатухающих колебаний требуется скомпенсиро¬
вать эти потери за счет увеличения энергии, запасенной в катушке индуктивно¬
сти. Следовательно,
AW ^ И/потерь или
1%АЬ I~FhiVLC
Откуда
AL>	лИл/ЬСss 9,4 •	1СГ3 Гн.
3.131. F=	+^)gen,
3.132. АС = ”ДС « 9,4 • 1СГЭФ.
sjL/C
3.133. F = 0.
3.134. R ^ ^ = 30 Ом.
3.135. F = ^5е0.
8 сг
3.136. Я LT^f- = 32 Ом.
3.137. 1) /о = («Г - Uo)/R = 5 • 1СГ3 А; 2) Qc = C(<f - С/0) = 5 • КГ4 Кл;
С(£ - С/о)2
-4

360
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.138. 1) /о = ^ = —	= 40 мА; 2) UCl = UD + U R = 2 В; 3) Wd -
(С£/2 \
Wi = UDC(Un -UCl), W2 = ± —p J .
3.139. 1) Поскольку ЭДС	батареи больше	порогового	напряжения диода
(S > Uo), то начальный ток в	цепи /о >	0. По	закону Ома	для замкнутой це¬
пи S = Uo Л- IoR. Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе
равно нулю. Найдем начальный ток
/о = S ~яи° = 10_:t А.
2) После замыкания ключа конденсатор начнет заряжаться. Он будет заряжать¬
ся до напряжения S — Uo = 2	В. После	этого	ток в цепи	будет равен нулю.
Заряд, протекший через диод,	очевидно,	будет	равен заряду на конденсаторе:
q = C{S — Uo). Отсюда емкость конденсатора С = qj(S — Uo) = 200 мкФ.
3)	Работа, совершенная батареей А = qS. Тепло, которое выделится на диоде,
И/д =	JIUo dt = j dq =
Конденсатор приобретет энергию Wc = q2/2С. Тепло, выделившееся на рези¬
сторе R, будет равно
Wr — А — Wq - Wc = qS — Uoq -	~	Uo)	=	4{S	~	Uo)	=	4	•	1(Г4	Дж.
3.140. !) /о = Ua ~	=	40	mA; 2)	=	2	B;
3) С = 	—	—	= 50 мкФ.
U0UD -	UDUCl + -p
3.141.	A	=	{y	+	S.
3.142.	Jm — U\ '	Cl °2
L(Ci + CO
3.143.	v = 91 t ?2I d
eo MS
Решение. После отскока верхней пластины от нижней заряд на каждой
пластине будет равен: q = (qi — <72)/2. Работа электрического поля до столкно¬
вения пластин А\ = qiq2d/2eoS. Работа поля за время подъема верхней пласти¬
ны до прежнего уровня А2 = (qi — q2)2d/8EoS. По закону сохранения энергии
суммарная работа поля равна кинетической энергии верхней пластины после
отскока на прежнее расстояние.
Ах + А2 =
После подстановки выражений для А\ и А^ получим, что

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
361
3.144.	Umax -	Го У Щ1ГТь7) ■
Решение. Сразу после замыкания ключа К напряжение на конденсаторе
остается равным нулю. Сохраняются и токи в катушках: через катушку L\ течет
ток /о, а в катушке L2 ток равен нулю. Затем начинает нарастать ток через
катушку Ь2. Пусть в некоторый момент ток через катушку Ь\ равен /i, а через
катушку L2 ток равен 12- Пусть токи в катушках текут по часовой стрелке.
Запишем закон Ома для контура, охватывающего обе катушки:
т dl\ 1 т 4/2 f'l
Ll4t +	-°*
Отсюда следует, что L\h + L2I2 = const. Очевидно, что константа равна Li/o,
поэтому L\I\ + L2I2 = L\Io.
В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально и равно Umах,
ток через конденсатор равен нулю, а через катушку будет течь ток, который
обозначим /т. Тогда (L\ + Z/2)An = £1/0. Отсюда Im = L\Io/{L\ *f L2).
В момент замыкания ключа энергия контура сосредоточена в катушке L\ и
равна
И
А в тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально, энергия, запа¬
сенная в контуре, равна
W2 = (L!+L2)I*\/ 2 + си£ах
2
По закону сохранения энергии
W, = И^2,
_	(М	± )/&	,	си,
4-
max
Отсюда
L1L2
3.145.	А =
го об
ч 1 ла т — т Сх {С2 — С\)
3.146.	I = v0J -j-—^—
3.147.	V =
г I L1	(Ь2	—	L\)

362
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.151.	1) £ = T0(Ri + Я2); 2)
C2I%(Ri + Я2):
Решение. В момент замыкания ключа К разность потенциалов на конден¬
саторах С1 и С2 равна нулю, а диод D2 заперт. Следовательно, батарея замкнута
на два последовательно соединенных резистора сопротивлением R\ + R2. Таким
образом, согласно закону Ома ЭДС батареи равна
& = Io(Ri + Я2).
В установившемся режиме разности потенциалов на резисторах равны нулю, ди¬
од D\ открыт, а диод D2 закрыт. Разность потенциалов на конденсаторе С\ равна
нулю. Поэтому напряжение на конденсаторе C2UcQ = £. Заряд конденсатора Сг
равен
Q = C2(F = C2Io(Ri + Я2).
Работа, совершенная батареей в процессе зарядки конденсаторов, равна
A = qS = C2ll(Ri +Я2)2.
Энергия, полученная электрической системой, равна
W--SL- С2/о(Д1 + Я2)2
V ~ 2С2 ~~	2
Из закона сохранения энергии А = W + Q, где Q — выделившееся тепло. Оче¬
видно, что Q — С2/02(А + Я2)2/2-
а2 Б2
3152«=зЦЖ-
Решение. Рассмотрим произвольный момент времени в процессе установ¬
ления магнитного поля. В этот момент в рамке и стержне текут токи, которые
изображены на рисунке. Из условия непрерывности тока следует, что
С
D
II ,
I
F
h
к
задаче
3.152
N
М
/2 = / + /!.
Закон Ома для контура ACDFA имеет вид
jf = ^pa/i —
Аналогично закон для контура FDNMF позволяет за¬
писать
За2 АВ _5
4“ ж = ¥al- + Ра/-
Из совместного решения предыдущих трех уравнений получим, что
j   2а Д В
~ 31р ' At'
Сила Ампера, действующая на стержень DF,
Fa = IaB =
31р

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
363
Импульс силы, подействовавшей на стержень за время установления индукции
магнитного поля, очевидно, равен импульсу стержня, который он приобрел за
это время:
31
FAdt =	-	d(B2) = =
Отсюда V =	а2	В2,/3\рМ.
3.153. 1) ./ =	-щ\2)	i '+
3.154. v = h.
2 к
М -f (	B'
3.155.	1) S = I0Ri, 2)	=
3156w = w
3.157.	Q =
SL
(Ci + С2)/02Я?
3.158.	Q=-
^ 2r(R + r)
Решение. На рисунке изображены токи в участках цепи в произвольный
момент после замыкания ключа К. Токи через резисторы R всегда равны. Из
непрерывности тока ток через катушку
II =/-/п,
а ток через резистор г
/г = / + /п.
Закон Ома для контура, содержащего катушку и рези¬
стор г, имеет вид
L4t= {/ + /п)г ~ hr■
После подстановки первых двух уравнений в третье получим
L
А1Ь
At
= (/ +J„)r = 2r/n
Из последнего уравнения следует, что LAIl — 2rInAt.
Учитывая, что начальный ток через катушку равен нулю, а конечный равен
установившемуся току /уст, находим заряд, протекший через перемычку АВ
BJyc/г — 2rQ,
или
Q=h^l
Поскольку установившийся ток через катушку

364
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
то заряд равен
Q =
(oL
2г (Я 4- г)
3.159.	Q =
3'1в°в=3Г(Я + ,)'
3.161.	Ответ на графике (см. рис.).
/, мА
50
"Г “Г “Г
1 1 1
40
1 1 1
1 1
30
1 XI
20
1 /2'
<[+-Х- +
Ж 1 1
10
I
1	2	3	4
К задаче 3.161
V, В
лученная таким способом прямая
неизвестного элемента.
(6 ^
Решение. На рисунке проведем вольт-
амперную характеристику резистора с сопро¬
тивлением R (прямая 2). Поскольку неизвест¬
ный элемент Z и резистор соединены парал¬
лельно, то падения напряжения на них все¬
гда равны, а их общий ток равен алгебраи¬
ческой сумме токов через каждый элемент.
Поэтому для построения вольт-амперной ха¬
рактеристики неизвестного элемента Z нуж¬
но при фиксированных значениях напряже¬
ния V из заданной вольт-амперной характе¬
ристики (прямая /) вычесть вольт-амперную
характеристику резистора R (прямая 2). По-
3 является вольт-амперной характеристикой
3.162.	Дфлс max = (роВсо
а1
)
= 4,5 • КГ4 В
ов
Решение. При вращении стержня в магнитном поле на свободные элек¬
троны стержня будет действовать сила Лоренца (см. рис.). Под действием этой
силы произойдет перераспределение зарядов, кото¬
рое приведет к появлению в стержне электроста¬
тического поля, направленного вдоль стержня. Рас¬
пределение напряженности электрического поля по
радиусу Е(г) находится из условия равновесия сво¬
бодных зарядов
+■
+
К задаче 3.162
qvB — qE(r)
Поскольку линейная скорость зарядов
г; = фг = — cpocosm(a>£)r,
то
Е(г) — — cpoaxB#sin(to£).
Разность потенциалов между концами стержня А и С
Дфас = J E(r)dr — I E(r)dr.
о	о

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
365
После подстановки выражений для Е(г) получим
Ь	а
Дфдс = — J фов wr sin(cot) dr -Ь J фи Вcorsin(to£) dr = — (poBto
(b2 - а2)	.	,
- ^ sin (0)^) •
Очевидно, что максимальная разность потенциалов между концами стержня
будет равна
Афлс max = фо В со ^ ^  — 4,5 -10 4 В.
3.163. Ответ на графике (см. рис.).
3.164. Uас =	=	0,3 В.
3.165. Ответ на графике (см. рис.).
3.166. и АС =	ab	+ Ьг) = 4,8 • 10~3 В.
3.167. Ответ на графике (см. рис.).
3.168. Uас = §£wi?2 = 0,06 В.
/, мА
50
“Г
"Г Т РГ “1
40
1
1 [ /1 1
-- + -Х- +
30
1 Z
	1
I
1X 1 1 х 1
- VT- + -X-H
/ 1 I / 1 1
20
1
■ /
1 1 1 1
/- + -Х- + -н
1 х 1 1 1
^Ж- + - + -н
1 1 1 1
11 1 1 1
10
1 X


0
12	3	4
К задаче 3.163
У. В
К задаче 3.165
12	3	4
К задаче 3.167
V, В
3.169. ж =
d
(£q£.S'^2 _
V 2dA

366
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Емкость конденсатора с отодвинутой пластиной
п BqsS
Аб = (<72 - <7iK = (С2 - Cl К2.
По закону сохранения энергии работа, совершенная внешними силами, и работа
батареи пошли на изменение энергии конденсатора:
Решение. На частицу с зарядом q будут действовать две силы: сила со
стороны электростатического поля F3 = qE и сила Лоренца Fj\ = qvpsinaB.
Под действием электрической силы частица движется сначала равнозамедленно,
а потом после остановки равноускоренно, и после возвращения в начальную
точку ее скорость вдоль горизонтального направления сйова равна vocosa:
В плоскости, перпендикулярной силовым линиям Е и В, под действием силы
Лоренца частица совершает круговые движения. Найдем период обращения ча¬
стицы Т по окружности радиуса R. Уравнение движения по окружности
Аб + А= \CiS2 - \СХ£2.
После подстановки работы батареи получим
гре2S2х
2d(d -f ex) ’
Отсюда
3.170. А = -
eqSL^2
3.171.	д =
2d(d - L) ‘
2 Ad
3.172.	А =
e0VS(e - 1)«?2‘
EpSS*2 L2
2(d — L\){d — L\ H~ 1/2)
3.173. 1)	=
; 2) Bjv =
vp cos a
kEN
где ti — время возврата частицы в начальную точку. Отсюда
I 	 ^
ЯЕ
2mvo cos a
m(v osina)2	.	„
 ^	 =	qvpsmaB.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
367
Период обращения
7’ — 2лЛ _ 2лт
vo sin a	qB
Условие возвращения частицы в начальную точку
tj = NT = 2n™N, где TV = 1, 2, 3, ...
q&N
Отсюда набор значений Вyv, при которых частица возвращается в начальную
точку:
о 2лтДг jiEN
Bn =	—
qt i	vo cos a'
3.174.	/max = 3^7шах0 —
Решение. Пусть при нулевом токе в цепи заряд на конденсаторе равен Q.
Работа, совершенная батареей, будет равна Q£. Эта работа равна энергии заря¬
женного конденсатора:
Q#=%.0)
Отсюда Q = 2С£, а напряжение на конденсаторе равно 2S1. После переполю-
совки батареи и при максимальном токе в контуре напряжение на конденсато¬
ре станет равно 3CJ?. Следовательно, изменение заряда на конденсаторе будет
равно ЗС^. По закону сохранения энергии работа батареи при переполюсовке
заряда конденсатора пойдет на энергию, запасенную в катушке, и на изменение
энергии конденсатора:
ог.^2 _ Ь^тах , С<У2 _ 4
,50 <Ь —	2	+	2	2	‘
Отсюда максимальный ток в контуре
Лпах — 3^ \ I •
Уравнение (1) имеет второе решение: Q — 0. Это означает, что переполюсов-
ка батареи происходит при напряжении на конденсаторе, равном нулю. В этом
случае закон сохранения энергии имеет вид
О<о 2 =	_j_ Cf>2
2
Отсюда
/	—	jp	С
1 maxQ — C'J -
3.175.	1)	Е = Щ(Ь- wocosaх);
qT1	Я	т
3.176.	/щах —

368
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2	1) Е   2тгь 1;о cos cl т *2) Е  ^ 2nN
'	~	q	т	’	'	~	q	т
3178. /щах — 3^у/, /тахо
, / Vq cos2 а 4- 2 -7— L — vq cos а
3.179.	1) £ = -Т ^	;
'	qb
2) Б -
т
2nEN
\ 22	,	2qE
i / cos^ а Н
у 0	т
L — vо cos а
3.180.	/тах =
3.181.	I) <? = (2^г - А)С; 2) Q = |С(2<% -
Решение. До замыкания ключа суммарный заряд левых обкладок обоих
конденсаторов равен нулю. После замыкания ключа и установления равновесия
заряд левой обкладки конденсатора емкостью С\ равен
qi = Ci(<f2 — <£i) — С($>2 — <?i),
а заряд левой обкладки конденсатора емкостью равен
<72 — С*2<^2 — с$2.
Суммарный заряд этих обкладок, а следовательно, и заряд, протекший через
батарею с ЭДС <^2> равен
q — q\ -Ь <72 = С*(2^2 ~ <^i)*
Теперь перейдем ко второму вопросу. Работа батареи с ЭДС #2 равна
Л 2 — </<^2 — С/^2 (2^2 —	) •
Найдем работу, совершенную батареей с ЭДС До замыкания ключа заряд
правой обкладки конденсатора емкостью С\ равен
/ _ С1С2А _ С<?г
qi ~ Cl +С2 ~	2	■
После замыкания ключа заряд на этой обкладке составляет
tf = -qi = C(£i-A).
Следовательно, через батарею с ЭДС S’i протек заряд
А	Я = <?"	-q’i=c(^2) ,
и эта батарея совершила работу
А-i = д<г#1 = CSi(f- - <%).

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
369
Начальная энергия, запасенная в конденсаторах (до замыкания ключа) равна
1 С1С2 £?2 _ С£?
^ - 2 Сх + С2 - —•
Конечная энергия этих конденсаторов (после замыкания ключа) составляет
W2 = — С, — +
Cl(<fi 62)2 , С2^2_ =	_	2Sig2	+
По закону сохранения энергии можно записать, что суммарная работа батарей
пошла на изменение энергии конденсаторов и на выделение искомого количества
теплоты:
А!+А2 = W2 -W\+Q.
Отсюда находим
Q = Ai +	Л2 +	Wl - W2 = - Cg\g2 +
r 'i £b Jp | С ~ CJ jp'2 . f 1 jrp jz>	g>2	  Су	(	CP	О	jC?	\	^
— 0^102 i	~	~2&1	T Су6l©2 — 062 — "4 1^1 —	■
о -i от г	4(Ш1 ~ М2) В a	~
3.182. 7 =	——ггЧ •	Ток	идет от перемычки с ш2 к перемычке	с	ап.
(16 + Зл)р
Решение. Пересечение перемычками линий магнитного поля приводит к
появлению в них ЭДС индукции. Численно эти ЭДС равны магнитным потокам,
которые пронизывают площади, заметаемые стерж-
нями за единицу времени:
Si\ —
0J1 Вал
2~
(Ci2 —
м2 В а2
г
R
R
4
1 1
J
1 1
К задаче 3.182
Каждая из перемычек будет эквивалентна батарее с
ЭДС, равной ЭДС индукции, и внутренним сопро¬
тивлением, равным омическому сопротивлению пе¬
ремычки. Эквивалентная электрическая схема бу¬
дет иметь вид, изображенный на рисунке. Здесь п и г2 — сопротивления пере¬
мычек:
П = Г2 = рО,
a Hi и 7?2 — сопротивления двух частей проволочного кольца, заключенных
между перемычками:
Злра
D кра
Tti = —5--,
R2 =
Согласно закону Ома
А -<6 = 7(п + г2) + /
Я1Я2
Яд -К я2
Отсюда находим ток через перемычки:
7 =
8 (А — <£2) 4аВ{м\ — oj2)
(16 Ззх)ра
(16 4- Зл)р

370
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.183, 1) Aq = С
S’l — ($2
2) Q =
С(^2 -^1 У
8
1 +
СВ?
3.184. I =
16(0)1 4- 0)2) В а
(64 4- 15л)р
3185' »с-
4(toi 4- <jl>2)Ва
Ток идет от перемычки с он к перемычке с 0)2.
2) Ag2 — —2А
„6 + 3,)р '
118ГЛ'С-Д1Л«)
16(о)2 — coi )Ва
Ток идет от перемычки с о>2 к перемычке с coi
_ 2 А .
3<f2 ’
3.188. I =
3.189. 1) 91 -
(64 4- 15л)р
2<?о
Q2
ЗА п. - ЗА п -
3 1	з	*
ЗА-
3 1
2)/,
max
Яо
d
6t*o SL'
Решение. В тот момент, когда ток через катушку максимален, разность
потенциалов между пластинами 2 и 4 равна нулю. Также нулю равна разность
потенциалов между пластинами I и 3, поскольку они закорочены. Заряды на
пластинах в этот момент изображены на рисунке. Из попарной эквипотенциаль¬
ности пластин /, 3 и 2, 4 следует, что напряженности полей в зазорах между
пластинами равны по величине и направлены, как показано на рисунке. Напря¬
женности полей между пластинами:
до - д\ дл до - 2<?i
£12 =
2eqS
Е2з = ~
Е34 =
2е0 S
2t'o S
д2 до - 2д1
ео S
<92
2ео S
до
со
(2)
£0 S 2eoS ’	4)
Поскольку Ег2 = Е\23 = £34, то, приравнивая попарно (1), (2) и (2), (3), получим
систему уравнений для определения д\ и дг\
Яо = 2qi — g2,
qi = 2 q2.
п	1
Из этой системы следует, что q\ = ggo, a q2 — ~^Qo-
т^до, на второй —^<9о, на тре-
2
3
4
Е
Е
Е
«2
*2
4
Заряд на первой пластине 	~—”	1
« 1	-	i
тьеи ±qo, на четвертой ±до.
К задаче 3.189
2) Величину максимального тока через катушку найдем
из закона сохранения энергии. Сразу после замыкания ключа
ток через катушку равен нулю, а заряды на пластинах 1 и 3
до
равны по
Напряженность электрического поля между пластинами 1, 2 и 2, 3 равна
нулю, а между пластинами 3 и 4 Е\ —	^ • Энергия электрического поля
между пластинами 3 и 4:
нч =	+	Wm	=	^	+ wBH.
где WBH — энергия поля вне пластин

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
371
В тот момент, когда ток через катушку достигнет максимального значения,
напряженность поля по абсолютной величине во всех точках пространства меж¬
ду пластинами будет равна Е2 =	>	а	энергия	электрического	поля
И'2 = З^ф-Sd + Ив„ =
Я О d
24е05
+
вн
Энергия поля вне пластин остается неизменной и определяется суммарным за¬
рядом пластин, который равен qo. Закон сохранения энергии запишем в виде
Wi =W2 + i/p.,
где /тах — максимальный ток через катушку. Подставляя значения для W\
и W'2, получаем, что
7т ах — Я о
6cq SL ’
S ь*<
3.190. 1) г? = /о
q2 =	-qA = 1^й«!Г=
6Ld. o\	„	  2	3'to	xp	 q ^	/2	£o3
—, Z) q\ = —q.i = — it —— <5 = —27
3 d
0\ о
3 d
L,
3 d
3 d
3.191. 1) qi =	f/2	=	<73	=	“	др	Я4	=	I<70; 2) /max = \/ 4
2
3 5e0T
3.192.	1) qi =	92	=	4^^.	93	=	1^^.	94	=	-^^^;
3 d
3 d
o\ т  	/1 5eo /г>9
2) imax - у 6 ~dL '
3.193. 1) Uj]1 = 2 B; 2) / — 0,55 A.
Решение. Напряжение на лампочке ЛТ
Ujjу =& — IjjlR, где	//71	—	ток	через	лампочку.
Последнее уравнение	есть	так	называемое уравне¬
ние нагрузочной прямой.
Пересечение этой прямой (см. рис.) с вольт-
амперной характеристикой лампочки дает
ГЛ1 =0,25 А, иЛх = 2 В.
Напряжение на второй лампочке Uj]2 — 4 В. По
вольт-амперной характеристике находим ток через
нее: Ijj2 = 0,3 А. Ток через батарею
/ = 1лг +	=	0,55	А.
Именно этот ток и покажет амперметр.
3.194. I =	1	течет справа налево.
Решение. В установившемся состоянии заряды обкладок 1 и 3 равны Q
и — Q соответственно. Найдем величину заряда Q из условия, что между об¬
кладка / и 3 конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов $.

372
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Пусть Е — суммарная напряженность электрического поля, создаваемого об¬
кладками / и 3, а Ео— напряженность электрического поля пластины 2. Картина
полей при Q > 0 показана на рисунке. Ясно, что
Е
Е
/
—►
2-^3
Д)
Ео
—».
b
d	►
Е =
Q
и Ео
<$> г
Тогда
Sz о	25ео
(Е 4- Д0)(£* - 6)(Я - Е0)Ъ = £
(О
или
Ed -f- Eod — 2Eob — (o’.
К задаче 3.194
Подставляя сюда соотношения (1), имеем
Q
Отсюда Q =
S во
q(d — 26)
d 4~
25to
d
2 q
2Seq
b = <f.
d	2d
После удаления пластины 2 разность потенциалов между обкладками / и 3 равна
Vc = § = £
q(d — 26)
2eqS
где С — емкость конденсатора, равная С =
Szо
d
Для замкнутой цепи
#=VC + Ir.
Из последних двух равенств находим ток в цепи: / =	*	^ок	чеРез	бата¬
рею течет справа налево.
3.195. 1) 1Лх = ТЛ2 = 0,2 А; 2) V = 1,5 В.
О 1 ПС	г	— 1)^
3.196.	/	=	т—— ,	'—г,—,	течет слева	направо.
[2cte 4- 6.(1 - е)]г	к
3.197. 1) иДл = 0,75 В; 2) I = 6 мА.
3.198.	I	=	^’	'течет справа налево.
3.199.	1)	1Дх	= 1д2	=	1,5 мА; 2) V = 0,5 В.
г.	г	— 1)&
3.200.	/	=	2der	’	течет справа налево.
ooni п _ ‘2&С\С2
3-201-42 -
rnRv о
(ааЬВо)2
LiL2I§
3.202. L =
3.203. Q = ;
3.204.	=
2(Li + £2)
(Mg)2R
(ааЬВо)2
3.205. gm = Ci<?
С2
Cl + С2 '

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
373
Решение. При максимальном токе ЭДС индукции в катушке равна нулю,
напряжение на конденсаторе С\ равно (о, а заряд его нижней обкладки ра¬
вен —Сгсэ. После размыкания ключа К2 в цепи будут происходить колебания,
при которых суммарный заряд нижней обкладки у С\ и верхней обкладки у С-2
должен оставаться постоянным и равным —С\&. При экстремальном заряде <72
на верхней обкладке С2 заряд нижней обкладки С\ равен —<72 —	а	ток	в
цепи равен нулю. К этому моменту прошедший через источник заряд равен <72
(считая от момента замыкания ключа К\) и работа источника равна <72<£. По
закону сохранения энергии
Решение. Пусть в некоторый момент времени рамка имеет скорость v, а
координата левой стороны рамки равна х. ЭДС индукции в рамке равна алгеб¬
раической сумме ЭДС в сторонах рамки:
Сила, действующая на рамку, равна сумме сил, действующих на все стороны
рамки. Проекция силы на ось х
За малое время At проекция на ось х скорости изменится на Avy причем
За время опыта х изменяется от 0 до L, v изменяется от vq до vq/З. Суммиро¬
вание последнего уравнения дает
Отсюда
смыслу вопроса в задаче надо наити макси-
о
мальное значение от |</2|- Итак, gm = С\$
3.206. Я =
= Bz(x)va — Вг(х + b)va — Bovaab.
Ток в рамке с сопротивлением Я направлен по часовой стрелке и равен
т _ S' _ Bovaab
R ~ R ‘
Fx — —[Bz(x)Ia — Bz(x + b)Ia] =
v(Boaab)2
R
FxAt = mAv.
С учетом выражения для Fx и того, что vAt = Аху получаем
Отсюда Я =
З(аЬаВо)2 L
2 mvo

374
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.207.0=^ + W5
3.208.	=
2 2(Li + Ь2У
{abaBo)2Wma,x
(Mg)
2
3.209. 1)	S-2	-	Si	-2) =
v.LI
(e - l)Ci(A + IR)
о om .4» U-Si	01	zL(U	-	Si)
3.210.	1) / = —в—ток течет вправо;
R   —i—• -/ (e-l)ftC2(t/-<£i)"
JJ 	 ^
Решение. Так как U > то ток I через £\ течет вправо: I = —.
Поскольку U = const, то ток через 6\ не течет, и ток через $2 равен I.
Напряжение на конденсаторе С2 равно U2 = U — <£2*
За время t пластина выдвинута из конденсатора на расстояние х = vty где
v — скорость пластины. Емкость конденсатора С2 стала
C(t) = grz +	=	ТЕ teL - (е - 'W-
Заряд левой обкладки
g(t) = U2C(t) = g[eL - (е - 1 )vt}(U - &).
Ток через £'2
/ = -яЪ) = eL
Отсюда скорость с учетом выражения для I
zL(U - <?i)
v
(е- 1	)RC2(U- <ft)
2)д =
3.211. I) У(С.) = |Л - « - /Я; 2) о = (> _ 1ЮИ _ ,Я).
3.212. 1)1=	течет .лево- 2) v -
з
[2е()5^ 4- d(q2 - qi)]2
о о 1 о 1 Ч Л   91 4" 92	|	£0	3^4	/	  gi	~Ь	(72	е0	3 <4 _
1) qx —  2 1 5’ 92 —  о	д—1
8ео Sd
3.214. 1) /щах = (£/о — ^)у £ = 50мА; 2) разность потенциалов (напряже¬
ние) между нижней и верхними обкладками U — 2£ — Uo = —2 В.
oo-ir |\	  ,,	I EQ 3*4	/ 	 |	3	Ер ЗУ; >	0\ /О 	 Ер 3(4'
3.215. I) (7i q\ ~r 2^ 1 92 9i ' 2 d ’
Решение. Заряд правой пластины (72 до ее перемещения найдем из условия,
что разность потенциалов между пластинами равна £:
Отсюда q2 = qi Н	Ч—

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
375
Заряд q, протекший через батарею слева направо после перемещения пласти¬
ны и установления равновесия, найдем тоже из условия, что напряжение между
пластинами равно S:
Отсюда с учетом (1) q = —	'
Заряды левой и правой пластин после установления равновесия
г	Eo.S’ff	/	,	3 £()Sto
Яг = <71 - Я = <7i + ~2d~’	Я2 = Я2 + Я = Яг + 2 “rf-’
Количество теплоты Q найдем, используя закон сохранения энергии:
A = Q + (W2-Wi) (2)
Здесь Л = qS =—— работа батареи, VP2 и И7! — энергии электриче¬
ского поля между пластинами после	установления равновесия и	сразу	после
перемещения правой пластины. При этом учтено, что энергия поля	вне	пластин
не изменилась, так как напряженность поля вне пластин определяется только
суммой зарядов пластин. Найдем W2 и W\.
После установления равновесия напряженность поля между пластинами
м ^	£0^2	.	а	е0	S(f2
hi —	плотность	энергии поля	W2 = —энергия W2 = W2 •	-	.
Сразу после перемещения правой пластины заряды пластин не изменились, и
поэтому не изменилась напряженность поля: Е\ = Плотность энергии гщ =
ЕО#?	...	ео ,	£()SS2
— —,	энергия W\	— w 1 • S2d —	—^—.
к SS2
Подставив в (2) выражения для Лу Wi и W-2, находим Q =	.
3.216.	1) /щах = (£/о 3-	= 70 мА; 2) U — 2S 4- Uo = 12 В, полярность
противоположна начальной.
Решение. При максимальном токе /max ЭДС индукции в катушке равна
нулю, и поэтому разность потенциалов между верхней и нижней обкладками
конденсатора равна S. Заряд, протекший через батарею, q — CS — (—CUo) —
— C(S 4- Uo). Работа батареи Л = qS = CS(S 4- Uo). Изменение энергии кон¬
денсатора
AIVс =	^	г- = у(<?2	- U2)-
По закону сохранения энергии
Ы2
Л = A\VC 4-
m ах
2
Отсюда, с учетом выражений для Л и AWc, находим
/max — (Uo +

376
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
После замыкания ключа начавшиеся колебания прекратятся из-за диода в мо¬
мент, когда ток попытается начать течь в обратном направлении, т. е. по часовой
стрелке. В этот момент ток равен нулю, а напряжение на конденсаторе U (раз¬
ность потенциалов между верхней и нижней обкладками). Это напряжение и
останется (установится) на конденсаторе. От момента замыкания ключа до мо¬
мента прекращения тока работа батареи
А' = [CU - (-СЧУоЖ = C&(U - (/0),
_ CU‘
CUq
изменение энергии конденсатора
AWc
По закону сохранения энергии
А' = A Wc-
Подставив в последнее уравнение выражения для Аг и AW'c, получаем U —
= 2+ Uo = 12 В.
3.217.	1) <72 = Ql - Ц- +	2) Q = - АЧ
d
С
2eqS<£2 '
3.218. 1) /щах = (<** — Uo)^/ Ц- — 60 мА; 2) U = 23 — Uo = 16 В, полярность
не изменится.
3.219. 1)^ =<?! + 5^,	=	9i
3 e0S^
2 d
; 2) Q =
8с/
3.220. /шах = (Е/о Н-	=	70	мА;	2)	U	=	2<б?	+	С/о	=	9 В, полярность
противоположна начальной.
3.221. / = § j; t/Ъ = 0.
Решение. Предположим, что диод открыт и через него течет некоторый
ток /. Напряжение на диоде в данном случае равно нулю. Соответствующая
схема будет иметь вид, изображенный на рисунке. Из закона сохранения заряда
следует, что
/г	Гл
I = h +/ 2.
J_2<?
|/ з4
п
^ "fi
2Я -4
- зл
т
т
2<Г - <^ = Ji ■ 2Л
К задаче 3.221 и ДЛЯ пРавого контура
3<f —-	= 12' зл.
Выразим отсюда токи /j и /2:

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
377
Подставляя их в первое уравнение, найдем ток через диод:
/ = /1 + /а = 1|.
Поскольку мы получили, что I > О, наше предположение верно — через диод
7 <£
б R
7 /г*
течет ток I — а напряжение на диоде Ud равно нулю
Г	_ SoSN /C(Li + L2)t/2
max - г, + Г2V 1 + (S5/V)2 •
Решение. Рассмотрим произвольный момент времени t в процессе убыва¬
ния магнитного поля. Обозначим суммарный магнитный поток через обе катуш¬
ки через Ф(/,). Закон Ома для колебательного контура будет иметь вид
АФ = Uo.
At
Поскольку время убывания магнитного поля мало, можно считать, что
ДФ(£) = 0.
А это означает сохранение магнитного потока за время т выключения магнитного
поля:
Ф(т) = Ф(0).
Пусть сразу после выключения поля в контуре течет ток /о. Тогда последнее
соотношение можно записать в виде:
(Li + L2)/o = BoSN.
Итак, мы имеем такие начальные условия в контуре сразу после А)
выключения поля: ток в контуре равен
т _ BpSN	К	задаче 3.222
i0 ” Li + L2’
а напряжение на конденсаторе равно Uo (см. рис.). Направление тока /о зависит
от направления индукции магнитного поля. В те моменты, когда ток в конту¬
ре достигает максимального значения 1тах, напряжение на конденсаторе равно
нулю. Пусть это будет вторым состоянием контура. Тогда по закону сохранения
энергии можно записать
+ ^2)/g	С£/2	_	(L\	4-	L2)/2iax
2
Отсюда находим
Т -/ /1 I СС/п	BoSN	/. , С(£,! + La)t/g
max “	0x1 + 72(L, +	L2) “ Z-i + 1.2 V	(fiS/V)2
3.223.	UD =	ID	=	0.

378
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.224. IIшах — 1о
L1L2
C(L, + Ь2У
3.225. Ud -0, Id =
А.
4 Я
3.226. Ешах —
L\ + L-2
С
In i=
B0SN
I>\	L ‘2
3.227. UD = -§<f, /0
0.
3.228. С =
Li L-2
(Li -h 1/2)
Un
/0
2 *
3.229. 1) t/,2 = ^ (A -	2)	ддол	=	£	(&	+
Я
L
<7o
Решение. Рассмотрим произвольный момент времени, когда ключ К\ за¬
мкнут, а ключ К2 разомкнут. Пусть в этот момент в цепи текут токи, изобра¬
женные на рисунке. Запишем закон Ома для контура, содержащего L и R:
1
% 41:
L R
Перепишем это уравнение в виде
dIL flndt = $-dq.
К задаче 3.229 гДе Q ~ заряд, протекший через резистор R. Возьмем конеч¬
ные приращения тока 1\ и заряда q за время от замыкания
ключа К1 до замыкания ключа Ку.
L 2
R
Здесь Il2 — ток через катушку к моменту замыкания ключа AV Аналогич¬
но обозначим ток через резистор /я2, ток через батарею — /2. По правилам
Кирхгофа можно записать:
h = Il2 + IR2 7	(	1)
— /2^1 + Ir2R-
(2)
Из этой системы уравнений найдем напряжение на катушке, которое равно на¬
пряжению на резисторе А:
UL2 = Ir2 ■ R =
R
Я -f- г г
(*
Яг igo
L
Установившиеся значения токов после замыкания ключа К2 будем обозначать с
индексом 3: 1ьз, 1т* В момент замыкания ключа К2 ток через катушку 1ь2 —
Iqo ^ . В установившемся режиме после замыка-
А i £2 . г
1
^<7о, а /яг я + ri
ния ключа К2

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
379
Используя уравнение (1), запишем приращение тока /д и заряда q с момента
замыкания ключа К2 до установившегося состояния:
R
R
Г1 ■	Г9доп-
Отсюда дополнительный заряд, протекший через резистор R
- L (gi , & _ Я
9дОп Я \ Г1 7*2 L '
<?о
3.230.	1) /с =	^	-	/о	Г1 + £ +	2)	г/с	=	ЯС-
/	^	Г1	Г2	у	Г1	у	j
. <^2
Г1 Г 2
1 _R I
Г1 Г2
3.231. 1) q0 =
rfi - ^0Т--д Я) i
3.232. 1) /с = —
/ ^ Г1
Яг1
^2 _ А — /р 74
r2 ri 4- R
04 п*   L (т т Г\ + R (02 \
•	2>q	-R-
— + — + 1
г 1	Г2
2)	-	RC
(>\
П
(02
Т2
14- — + —
ri	г 2
3.233.	Q2 = §Q.
Решение. Обозначим через q заряд, полученный шариком после контакта с
первой сферой. На первой сфере останется заряд Q — q. После каждого контакта
отношение заряда сферы к заряду шарика одно и то же:
Q — я Q2
Q/9*
Q
По закону сохранения заряда Q2 + -д- = q. Из полученных уравнений находим
о
заряд второй сферы: Q2 = |Q.
3.234.	/,<ь = ^ЗФо0) .
ф %/2(9 г + 2Д)
Решение. ЭДС индукции в кольце
$ = —	=	Фошвтсо^.
at
Сопротивления участков ВС и В DC кольца равны ^Я
О
и !_/?. Пусть мгновенные токи идут, как показано на
рисунке.
По второму правилу Кирхгофа для контура из коль¬
ца и контура из участка ВС кольца и амперметра
К задаче 3.234
£= h%R+ hf, 0 =	-	/2	f	•
R
По первому правилу Кирхгофа /2 + /з = /1

380
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из записанных уравнений находим
т —	3#	_	ЗФрсо	.	,
3	9	T	+	2R	9г	+	2Я
Амперметр покажет эффективное значение тока в у/2 раз меньшее амплитудно-
j   ЗФрсо
Г°' чф ~ -/2(9г + 2R) '
3.235. AQ = Q 1 + ^Q-2 + %q.
3.236. К,ф = ±у/2Ф0а>.
3.237. q = 0,04 Q.
3.238. /9ф = 6ФцШ .
ф \/2(9 г + 2R)
3.239. д* = — ^g + Qi + “<32
3.240. К,ф = 2^рФ0со.
3.241.	-Sen#-(El " 1)ё2
£1^2 “f £2^1
Решение. Пусть Я" — напряженность поля, которое было бы в конденса¬
торе в отсутствие диэлектрика при тех же зарядах на обкладках. Тогда поля в
диэлектриках соответственно равны Е\ = Е/г\ и Е2 = Е/г2- Из условия E\d\ +
-f E2CI2 = (о находим Е:
Ej \ Е л   & тт  S   jp £i£2
£1	€2	1	dj_	,	^2	Е1Ф2	+	£2^1
£1	£2
Поле E1 складывается из поля Е зарядов пластин и поля Е[ связанных заря¬
дов q на поверхности диэлектрика:
Ei =Е+Е[, Е[ = Ei - Е= Б. _ Е= е(± - )) = -Е
£'=	q' = SsqE' = -SeoE= -SeoS (ej ~ 1)е* .
£()	Е()5'	4	£1	8Н2	+	£2^1
3.242. Напряжение на левом резисторе равно 3 В, через него идет ток 1 А
влево. Напряжение на правом резисторе равно 6 В, ток через него 2 А влево.
Так как сумма токов в узле равна нулю, через амперметр идет ток 3 А вверх.
3.243. gi = - 61 ~ 1	Q.
11	El	+	£2	^
3.244. 1 А вниз.
3.245. g' = Sz0S Щ~ 1)ej .
£ 1<2 2 4- £2«1
3.246. 6А вверх.
3-247.
3.248.	5А вниз.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
381
3.249. 6 м/с.
Решение. В установившемся режиме ускорение перемычки равно ну¬
лю и сила Ампера равна силе тяжести: BIL = mg. Ток по перемычке те¬
чет влево и равен I — 7-^j- = 4 А. Скорость находим из системы уравнений
<£. г
I=/i + /2,
£и 4- £ — /гг,
£ц — ^2 /£,
£и = BvL,
BIL = mg,
/ 7ПР
откуда v = {jjg
£
г
Hr
BL(R 4- r)
3.250. См. задачу 3.241.
= 6 м/с.
К задаче 3.249
3.251. I =
3.252. q[ =
2BL
R + 2r
ei ~ 1
El + E2
v; 6" -
Q.
т(Я H- 27')
2B2L2
vq = 2,5 м.
3.253.	1) / =	=	1,5	A.
M
2) 771 =
/ BvL(R 4- ?•)
I
ГЙ
RL
Я
= 7,5 -10 2 кг
3.254. q' = Зъ^-Щ—£Ц-
Eicf2 4- e2ai
3.255. I =
3.256.	=
2BL
R 4- 2r
£2 ~ I
7 V, Vo =
2B2L2S
m(R -f 2r)
= 0,2 м/с.
Q.
E1 4- E2
3.257. 1) <f0 = r0 =	;	2)	Яшах	= r0.
Решение. 1) Так как по условию схема эквивалентна батарее при любой
нагрузке, можно рассмотреть такие частные случаи, при которых задача реша¬
ется легче всего. Например, £о равно напряжению на разомкнутых клеммах,
а го можно найти, зная, что по проводнику, замыкающему клеммы накоротко,
будет течь ток £о/го.
При разомкнутых клеммах А и В ток в контуре не идет, напряжения на
резисторах равны нулю и Uав — £, откуда получаем So — &.
Если клеммы замкнуть перемычкой с нулевым сопротивлением, то Uав = 0,
поэтому через батареи потекут токи
* h = £.
г
h =
г -f- R
гэ
Ток через перемычку АВ равен / = 1\ 4- /2 = —■ 4- r + r
= £
Го
£
I
r(R 4- г)
2г + Я
г(Я 4- г) ’
откуда
2г 4~ Я
2) При подключении к батарее (<£Ь, г0) резистора Ях на нем будет выделяться
мощность
\*	<5?	Я*
р = (^тж) д- =
(го 4- Ях )2
Это выражение максимально при Rx = го, в чем можно убедиться, например, с
помощью производной.

382
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.258. £о -	Я, го - r +2R'йтах _
о orq /» _	£г _ _	(г + 2Я)г D _ _ _ (r + 2R)r
3.259. So - r + R, r0 - r + R , Ятах - го - r+R .
3.260. (OQ = ^(^1	^2)»	Го — Я Т Дтах — г0 — Я Т •
3.261. 1) 1?! < 1,5 Ом; 2) /ДИОд = § А.
Решение. 1) Схема сбалансирована при R1R4 = Я2Я3. Диод будет открыт
при
Ri < -Т—4 = 1,5 Ом.
гС 4
2) При Я, = 1 Ом диод открыт и /Удиод = 0. Общее сопротивление цепи
„ _ Я1Я2 ,	R3R4_ 2 , 12 _ 50 гч..
Д = л,~ Tfe + Дз +	Щ- 3 + Т - 21 °м-
Ток через батарею I = ^/Я = 21/5 А. Соединенные параллельно резисторы R\
и i?2 делят этот ток между собой в отношении Я1/Я2, т. е.
Г   Я2	J	  14	А	Г	  Rl	Т   7	Д
71 - Я!	+я27	-	Т	А’	/2	-	ЯГ-Ь Я2	7 -	5	А-
Аналогично
г —	т	—	12	д	г	— Лз	г	9	д
3 Яз	4- Я4	5	74	Яз + Я4	5
Ток через диод
/диод — 1\ ~	=	^ А.
3.262. В момент отрыва пластина имеет отрицательный заряд —до, кото-
92
рый она унесет с собой. Заряд qo находится из условия mg = 2 ^ ■ и равен
qo — y^Siomg. Пусть в некоторый момент времени заряды верхней и нижней
обкладок равны qi и q2 соответственно, а поля сверху и снизу от пластины равны
соответственно Е\ и Е2 (положительным считаем направление вниз). Тогда
_ Qi + _90	Я2_	_	91	9о	92
25е0	25е0	25е0	5	*	25е0	25е0	2Яе0
Решая систему уравнений
Uo = Ei(d - а — h) + E2h,	<54	4-	92	=	9o,
находим
2SeoUo = (91 - 9r2)(d — a) 4- 9o(d — a — 2/i),
2SeoUo — qo (d — a — 2h)
91 - 92 =    	 ,	91	+	92	=	90
2SzoUo — qo(d — a — 2/г)
(d — a — h) y/2Szomg — SbqUq
d — a

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
383
3.263. Диод закрыт при Я2 > 2,5 Ом, /диод = 1 А.
3.264. ц =
<5
3.265. Диод открыт при Ял > 2 Ом, /диод = 0,8 А.
О О ^ *	Sc0Uo	4-	h^2Sсо mg
3.266. ci[ — 	-j	.
а — a
3.267. Диод закрыт при Яд < 2 Ом, /диод = 2 А.
3.268. m = -^h + d~a)
S'
4 S'2
3.269.	1 )U = |<f.	2) P —
Решение. Пусть в установившемся режиме напряжение на конденсаторе
равно £/, по условию его можно считать практически постоянным. Тогда при
(о   U
разомкнутом ключе конденсатор заряжается током 1\ =	а	при	замкну¬
том — разряжается током 12 = ув • В стационарном состоянии приходящий заряд
должен быть равен уходящему:
^	  U	Г)	f /	Т Т	4	/Е>
2т = 2ят> откуда U =	.
3 R
j? ц	jp
Через резистор 2R в течение времени 2т идет ток 1\ = "^	=	уу,	а	в	течение
ГГ	о	JP
времени т ток 12 — уу = уу. Средняя тепловая мощность равна
Р =
Д2 • 2Я - 2т + /| • 2Ят 2^2
Зт
ЗЯ
(«
49 Я •
3.270.	1) U =	2)	Р	—
4
49
Я
2
49
Я
2
<Г2
49
Я
7	7	•	7
3.272. 1) U =	2) Р —
3.273. 1)17 =	2)Р = 7R.
Решение. Пусть в установившемся режиме напряжение на конденсаторе
равно U. Тогда независимо от положения ключа через резистор R течет ток
^ f j	j	j
— ■■R	и, кроме того, при замкнутом ключе через 2Я течет ток 12 = уу. В
h =
стационарном состоянии приходящий на конденсатор заряд должен быть равен
уходящему:
^ ^ U Зт = ту^т, откуда U = %£.
2 Я
7
у   Г/ £?
За период через резистор Я идет ток I\ — g = уу в течение времени Зт, а
1C
2 Я
м
7Я
через резистор 2Я — ток 12 =
мощность равна
/2 Я ■ Зт + /2 ■ 2Ят ^2
я
в течение времени т. Средняя тепловая
Р =
Зт
ЗЯ
(0
г.З+(2)!.2
7Я ’

384
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Второе решение. Мощность источника постоянна и, следовательно, равна сред¬
ней тепловой мощности:
P = *-h=s-& = £.
3.274. I) U = !<?. 2) Р =
3.275. 1) U = 2<#. 2) Р =
3.276. 1)	U = 2) Р	=
3.277. и = I 2Q2
bmomR'
Решение. Потенциальная энергия взаимодействия кольца и шарика равна
W — к -~у~^ > где / = \/Я2 + х2. Вначале х = 0, / = Я, в конце х — | Я, I =
= у/Я2 -f (|Я)2 = §я. Из закона сохранения энергии
Р 2о2 _ тг^:2 , u
R ~	2
3
находим
тг)2 _ д. 4Q2 у _ . I &kQ2 _ . /	2Q‘
5Я ’	V	5тЯ	V	5лво?7?Я
3.278. т = Л £	+
(Й
2 2LQ L
Л
Решение. После замыкания ключа через резистор будет течь постоянный
ток /я = ^, а ток в катушке линейно нарастает со временем: /д(0 = ^т£. К мо¬
менту размыкания ключа в резисторе выделяется тепло /яЯт, а в катушке будет
Ь72(т)
запасена энергия —^—, которая полностью перейдет в тепло после размыкания
ключа. По условию
Q= (|)2Рт + f (ft)' =	+	gr2.
Решая квадратное уравнение т2 н- 2^т =	находим	его	единственный	поло-
3.279.	v = ' Зс/
3.280.	д =
у 1.Олео тЯ’
4 £Ь
R2 ‘
3.281.	v = ' 'iq
5TiEomR ‘

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
385
3-282-' = \JШ2 + 4r-Ti-
3.283. v = \в-
у 40леовгЯ
3.284. Q =
3.285. 1) Фа - фв = |«f. 2) I = (вверх).
Решение. 1) Второе правило Кирхгофа по замкнутому контуру:
4^-^=^ + ^, q = f C<f, фА - фв = £ =
2) Чтобы не связываться с током через другой резистор, запишем второе
правило Кирхгофа для контура из левой и средней ветвей схемы. Сразу после
замыкания ключа (заряды всех конденсаторов не успели измениться):
4^ — Ъ(о —	-I-	/Я,	I	=	^	(вверх).
3.286. I) т =	2)v	=
S
(вверх),
2gr ’	~	2В1
/Т>
Решение. 1) Равновесие: 2mg — В1
отсюда =
3.289. ]
3.290. 1
3.291. 1
3.292. 1
—Ч Rvl — —	V	— ———
=r> D Vi 2 , С	2В1
*ерх
F= Bly. 2)v = (вправо).
фА - фв =	2) / = (вверх)
(вверх)
фв = §<?. 2	) I = J(вверх).
<?
га
фл
В£1
2gr
Фв
3
. 2) v =
$
2 В1
9Я
(вверх).
4s- 2)1 = mi(вниз)-
F =	2)	и	=	2^7	(влево).
3.293.	Q= ^
Решение. В конечном состоянии имеем параллельное соединение конден¬
саторов общей емкостью 2С и зарядом CUq -Ь С • 2(Уо = 3CUo. По закону со¬
хранения энергии
Q=WH-WK
СЩ С{ 2Uo)‘
(ЗС(Уо)'
2 • 2 С
С(/2
3.294.	1) /0 = <7о^. 2) су = (7о -К
Ф)
2 Я2
Решение. После замыкания ключа напряжение на резисторе и катушке
постоянно и равно поэтому, пока ключ замкнут, через резистор течет по¬
стоянный ток Ir = <£/R, а ток в катушке определяется условием LI = £ и,

386
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ер
следовательно, увеличивается по закону Il — Ч-t. За время т через резистор и
катушку протекут заряды
<7я = Цт,	Я l
1£г2
2 L '
При размыкании ключа ток через катушку не изменяется. Ток в цепи после
размыкания определяется уравнением Li 4- IR = 0, из которого для малого вре¬
мени At находим
Li At 4- IAtR = О, LAI -f RAq = 0.
Просуммировав последнее соотношение за все время, найдем связь протекшего
заряда с током в момент размыкания:
L(0 — /о) -f Rqo = 0, Iq = до
&
Вспомнив, что /о = т, находим время т, на которое был замкнут ключ: т =
= яоН/£, и заряд, протекший за это время через источник:
Я — Яь + Qr — Яо +
4%R2
2<TL '
C\J2
3.295.	Q = -тр2-
2 d2
9() л
2<?L ‘
3.297. t/0 =
3.299. (70 =
3.300.	1) / =
3.301.	v =
SQ
3 С
L
■ 2) q =
3 я-
2л£о та '
Решение. Из закона сохранения энергии
п2	2	п2
6к— =	+	ЗА.-—
а	2	а
(L\2 ,
+	^	д2
находим
3.302. 1) / =
6hq2
та
3<Г
2леота
2Q2 9ч _ Qi 4 Q2
L
\y2Q2L
Я

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
387
Решение. При замкнутом ключе работа источника частично выделяется в
виде тепла на резисторе, а частично запасается в катушке. После размыкания
ключа перейдет в тепло запасенная в катушке энергия. Отсюда
Q‘2 —	^	~	~ТГ	'	+ Ql) — Ql + Q'2'
Пока ключ замкнут, выполняется соотношение LIl — <qrR, из которого находим
связь протекшего за это время через резистор заряда с током в катушке перед
размыканием ключа:
„ - LL - у/2QzL
Як	R	R
Заряд, протекший через катушку	за время,	пока ключ	был замкнут, равен
_	_	Q1 4- Q‘2	\J2Q2L
Ql —	Qooui	Qr —	•
3.303. v = J+ \/2)
у 4лео та
3.304. 1) Q = gq	- W.2)	qL = q -
3 a2
3.305. a - q
27iE(\mv
2 *
3.306. 1)	Ql = W. 2) Qx	S(q + V2^W ) - W.
3.307. a = q^(A_±Vi)
4n £omv
3.308. 1)	Q2	=	Sq — Q\,	2 Qi)
3.309. 1) v-2 = |. 2) <72 = eomv2 R'
Решение. Из закона сохранения импульса находим: 3mv2 = mv, V2 = ^
Закон сохранения энергии дает
i,QQ‘2 lQQ2 , rnv2 | 3m(v/3)“	Smv2R	32л £ornv2R
h~R-kTR + — + 	2	’ qi ~ 9~~bT	~ “9 q •
3.310.	1) /0 = f. 2)	Q	=	_	Jr	^	.
Решение. Ток /о через источник в момент размыкания находится из усло¬
вия Р = <*1о. Тогда напряжение на всех элементах цепи в этот момент U —
= S3 — 1\уг. Ток через конденсатор

388
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.311. 1
3.312. 1
3.313. 1
3.314. 1
3.315. 1
3.316. 1
3.317. 1
V2
= 7. 2) vi =
7 Я
\/2шо inR
_9_
32
1 = s +//ог■ =	~Ior)2-
m2 = f. 2)q2 = 18n»^.
т   fi_   j 2Q
I# - r r \ c
V2 = %.2 )R2 = -
P=^-.2)Q =
2) Ic = f
Rg2
f2 + лео»»гг>2 R
25	&2
98	’
/2 = 0,7 A. 2) P = 81 Вт.
Решение. Напряжение на резисторах R
и 2R находим из условия
U2/R — P\ U = VllP = у/25~49 = 35 В. Ток в резисторе 2R: I2 — U/2R =
= 35 В/50 Ом = 0,7 А. Ток в резисторе R вдвое больше (1,4 А), общий ток ра¬
вен 2,1 А. В резисторах 3R и 4R этот ток делится в отношении 4 : 3, поэто¬
му ток в 4R равен (3/7) • 2,1 = 0,9 А, а выделяющаяся в нем мощность равна
(0,9)2 • 100 = 81 Вт.
(д —	Si2 / [2L))2(^т2)2
3.318. 1)	Q -
2) Q2 =
(я
,р‘2
& Т
/(2Х))
+
2 L
2 С	1 2L •
Решение. При замкнутом ключе напряжение на катушке постоянно и рав-
/г>
но ток через нее растет линейно со временем: / = j-t, и за время т через
jo-2
катушку протечет заряд qL =	Заряд	конденсатора	в	момент размыкания
ключа qc = q — qL. Работа источника равна <£q. Из закона сохранения энергии
находим тепло, выделившееся до размыкания ключа:
я -
Ql =	S'q - Ig;	- ~
Тепло, выделившееся после размыкания ключа:
£ii
2L
2С
2 \ 2
Кт2)
2L
Q2 = Sq ~	Qi = || + Щ-
ill
2 L
2 С
+
(£f)
2L
3.319. 2) 1 А. 36 Вт.
3.320. 1) Qi =	2)	т
3.321. 1)0,5 А. 2)64 Вт.
2LQ ic
<Г2
<?2т2
9
3.322. 1)Q! =<f<? -	2)	Q2	=	^7	+
3.323. 1) 0,4 А. 2) 6 Вт.
3.324.	1) |	C
2LQ
£2
- LC.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
389
3.325. Р2 = 40 Вт; Р3 = 45 Вт.
Решение. Напряжение и ток для R\; Pi = \/Р\ R\ — 40 В, 1\ =	=	0,5
Р	Р"^
А. Ток и мощность для Яг:/2 =	=	1	А, Р2 =	=	40	Вт. Ток и мощность
для Я3: /3 =	h + h = 1,5 А,	Р3 = /?Яз = 45 Вт.
3.326. l)t/0 = f<f. 2)Q= ^0.
Решение.
1) Сразу после замыкания ключа ток через катушку не идет, ток через рези-
Р	/з	о
стор Iо = д т = -£р. Напряжение на катушке Uo — loR = ^.
О
2) Обозначим U =	.	Непосредственно	перед	размыканием	ключа	ток через
тт О/0	  [J
резистор IR — Р	ток	через	источник	1Т	=	—-— = ток через катушку
I = Ir — Ir = ^. Сразу после размыкания ключа ток через катушку останется
прежним, в ней запасется энергия, которая и выделится затем в цепи: Q —
_ LI2 _ LcГ2
162г
2 ■
3.327.	1) /о =	2)	Q	=	CU§.
Решение.
1)	Начальный ток /о = гТ =
2Р0
Я	я	•
2) В момент размыкания ток I = ^	Пусть	напряжения	на	конденса¬
торах в этот момент Pi и U2. Тогда
Р2 -Ui = /Я,	CC/i	4- 2СР2 -	РРо + 2С • ЗР0.
Из этих уравнений	находим Pi	= ^Ро» Р2	= § Ро-
Начальная энергия конденсаторов
W] = cus + 2.W _
Энергия конденсаторов в момент размыкания
^ _ СЩ + 2OTJ _ „сиг
В цепи выделилось количество теплоты Q = W\ — W2 = CUq.
3.328. .)P0 = f|.2)Q=^£L
Решение.
1)	Ток через катушку сразу после замыкания ключа равен нулю. Ток через
резистор с сопротивлением Я и мощность на нем
7		 S'	D 	 72 r>		 S’2
Уо ~	ЗЯ’	0 “	0	9Я ‘

390
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2) Пусть непосредственно перед размыканием ключа ток в катушке /д, на¬
пряжение на катушке U, на резисторе с сопротивлением R мощность Рц, потреб¬
ляемая катушкой мощность (скорость изменения энергии катушки) Рь. Имеем
Р -ПТ Г -- S - и и ... 2S - 3 и	р _ur _(£ - U)'2
lL~ R	2 R	2R ’	R	R
Так как по условию 2Рь — Pr< то
2 £- 3 U{£ - )2
2 U
2 R	R
Отсюда	U = тт-Ток	1ь =
Количество теплоты после размыкания ключа
L/2 _
Q =
32Я2 '
3.329. 1)	.	2)	3OS’ направо.
Решение.
1) Зная величину и направление начального тока, получаем, что напряжение
на конденсаторе С перед замыканием равно 2<£. Поэтому ЭДС второй батареи
равна 3<#.
2) Окончательно на нижнем конденсаторе будет напряжение на верхнем
2(о . Заряд проводника, состоящего из соединенных проводником пластин кон¬
денсаторов, изменился от нуля до
+CS - 2С . 2S = -3С£,
поэтому через ключ протек заряд 3С<о направо.
3.330. 3.
Решение. Пусть ключ замкнули на время т. Изменение тока в катушке
&
определяется уравнением $ — LI, за время т он вырастет до величины То — -jx.
До размыкания ключа через резистор идет постоянный ток <f/r, и выделившееся
в нем тепло равно
Сдо = ^т.
После размыкания ключа в виде тепла выделится энергия, запасенная в катушке:
п - LI0 - L f£.\2 _ £2т2
Цгпосле 2	— 2 \ L )	~	2L '
Из условия (Зпосле = 2QAo получаем т = 4L/R.
Пока ключ замкнут, через источник протек заряд

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
391
Из уравнения LIl — IrR находим заряд, протекший через резистор после раз¬
мыкания ключа:
ОС	ОО
С/R = J Indt = ~ J iLdt= j^AIl = Ipo = jfcj; T = 4
0	n
Таким образом, искомое отношение равно трем.
3.331. Q2/Qi=4.
3.332. <71/92 = 1/3.
3.333. Qz/Q\ = 3.
3.334. «?л = М.
8 rz
Решение. Заряд, протекший через резистор после размыкания ключа, на¬
ходим из уравнения LIl — IrR:
00	00
Qr = I Ir dt =&	I iLdt= ±AIl =
0 0
где /о — ток в катушке в момент размыкания ключа. Найдем его. Непосред¬
ственно перед размыканием ключа ток через источник по условию равен I =
—	, напряжение на нем U = & — Ir — (?/2, то же напряжение будет на рези¬
сторе R, и ток через него равен Ir = ^	^. Ток через катушку равен
Io = I - Ir =	§.
Окончательно получаем
„	- AZo _ L£_ _ Ы_
qR~ R ~ ArR ~ 8 r2 *
3.335.
Я =
24 г 2
3.336.
я =
ЬбГ
9г2
3.337.
я =
Ld
27 г2
3.338.	Пусть начальное напряжение U, емкость пустого конденсатора С\
расстояние между обкладками d.
\\ тг и тг	U/'2	Еч	1	О
1) Е\	—	, Е-2 =	—.	-gr-	= т.е. напряженность уменьшилась в 2	раза.
f 'I
2) Новая емкость ту + --8. Заряд конденсатора не изменился:
си = {Ц +
б/
2 '
Отсюда е = 3.
3.339.	Напряженность уменьшилась в 3 раза, е = 5,

392
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.340. Напряженность уменьшилась в 2 раза, е = 4.
3.341. Напряженность уменьшилась в 3 раза, е = 7.
3.342.	1) Напряженность в зазоре пропорциональна заряду обкладок кон¬
денсатора. Поэтому напряженность увеличилась в 2 раза.
2)	Пусть Е — напряженность поля в пустом конденсаторе, d — расстояние
между обкладками. После вставки пластины напряженность в зазоре 2Е\ а в
о
диэлектрике Напряжение между обкладками конденсатора не изменилось:
Ed = 2E%
Отсюда е = 4.
3.343. Напряженность увеличилась в 3 раза, е = 5.
3.344. Напряженность увеличилась в 2 раза, е = 3.
3.345. Напряженность увеличилась в 3 раза, е = 6.
гг>
3.346. 1) Ток через резистор Irq =
R 4- г'
2) Пусть /о — ток через катушку сразу после размыкания. Перед размыка¬
нием ток в катушке был тем же по направлению и величине. Через R после
размыкания ток тоже /о (идет вверх). Перед размыканием ток через R шел вниз
и по условию его величина не изменилась, т. е. была /о. Тогда ток через источник
равен /о 4- /о = 2/о. По второму правила Кирхгофа для контура из источника и
резистора S — IoR + 2/ог. Отсюда Iо = ,уг .
3) Количество теплоты после размыкания Q =
3.347. /, -	I,	=	О	-
3.348. h = -bS—. /2 =	Q	=
2 (Л + 2т)
/о —
S
Я 4 г '
■* 2 —
2 Я 4- Зг
S
3^
Я 4 г '
2 —
Я 4 4г '
S
/о —
2^
R 4 г
• *2 —
Я 4- Зг
(Я + 4г)'
3.349. /, =	/„	=	Q	=
3.350. 1) Ток через конденсатор сразу после замыкания ключа /со = у.
2) Пусть Uo — напряжение на конденсаторе сразу после размыкания. Перед
размыканием напряжение на конденсаторе было тем же. Поэтому ток через R до
и после размыкания один и тот же и идёт вниз. Обозначим его через /о. Тогда
ток через конденсатор после размыкания идёт вверх и тоже /о. До размыкания
ток через конденсатор идёт вниз и равен /о, поскольку его величина по условию
не изменилась. Следовательно, ток через источник равен /о 4- /о = 2/о. По вто¬
рому правилу Кирхгофа для контура из источника и резистора S = IqR -f 2/or.
Отсюда /о = д fp 9г . Напряжение £/о = /оЯ = ^	.2г •
3) Количество теплоты после размыкания Q = ■ 2° = ^ f p>^\r ) •
С ( SR
3.351.
h =
Г
Uo =
SR
Я43г'
Q =
3.352.
h =
£
г
Uo =
SR
R, 4 4r'
Q =
3.353.
h =
£
т
Uo =
2SR
2Я 4- 3r
• Q =
2 V R 4- Зг
С ( SR
2 V Я. 4- 4г
2CS2 R2
(2Я 4- Зг)'

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
393
3.354.	1) g = rJL(C'	±С2). 2) t/, max = I	^
CiC2 '	у	Ci	(Ci + C-2)'
Решение. Общая емкость С = ^ '1, ^ .
Ci + С 2
1)	При максимальном токе напряжение на конденсаторе С будет равно
ЭДС £. От момента замыкания до момента максимального тока работа ис¬
точника А =	•	(о	=	CS*2.	ЗСЭ:	А	—	—	+	-у-	Получаем	=	/°	а/ у =
r /L(Ci+C2)
~ °V CiC2
2) При максимальном напряжении ГУi max на СЗ (и одновременно максималь¬
ном напряжении Г/шах на С) будет равен нулю ток в цепи. ЗСЭ от момента за¬
мыкания до момента нулевого тока: CUinA* ■	—	^CU2unyc.	Отсюда	Uxntlx = 2<?>.
На Сг максимальное напряжение ГА шах =	~	— 2/оА / —	— г .
Ci -+- о2	у	Ci	(Ci	-f С2)
о о с сг п ^	r/0(Ci 4- С2)	,	Со /Ci (Ci 4- С 2)
3.355.	1)^=  2СА • 2) /о = УГ у  CCL	'
Решение. 1) При максимальном напряжении на С\ заряд конденсато¬
ров CiUo, ток равен нулю. ЗСЭ: CiUo • & — hC\Uo 4-	•	Отсюда	=
_ Г/„(С, +Сг)
2С2
2) При максимальном токе /о напряжение на конденсаторе емкостью С =
— с\ 1+ С2 будет Равно ЭДС ЗСЭ: CV? • £ — ^у- + —у. Отсюда /о = ^
Окончательно /о = у	^
3.356.	1)	=	/о,/--С t г'2},	2 = 2Д 1 LCl
СхС-2 • ' ‘	С,+С2	С2{СХ+С2)'
„	n	^	Uo(C\	+	С2)	0.	t/o jC2{Ci + С2)
3.357. 1)<? =	^	'	2)/(>	=	Ху СТХ •
3.358. 1) «? =	2) hmax - I ^
2 •	-/	max	-	2	Y	Li(Li 4- L2) '
Решение. 1) При максимальном напряжении f/o на конденсаторе заряд кон¬
денсатора СГ/оt ток равен нулю. ЗСЭ: СГУо • & — ^CUq. Отсюда ^ = у.
2) При максимальном токе /щах через эквивалентную индуктивность L =
—	напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС <С. ЗСЭ: CVf •	=
s~i tp2	L/C	j	С"*
=	 1	тр2-. Отсюда /щах = ^ \ L ’TaK K3K ^’^1 max = ^2/2 max И /max =
J J /	C'1	T	•
= h max + ^2 max» то максимальный ток B Li равен 11 max = yJLi(Li + l2)’
3.359.	1) При максимальном токе 7max через эквивалентную индуктивность
L = ^у~12 напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС <*. ЗСЭ:	=

394
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
=	+	^Шах	,	Отсюда	S	=	/щах	\	■	Так	как	Li7l	max	=	L2I2max И /шах =
~ Л max T I’2ma.x-> ^0 ^max — 7] max ^	• По УСЛОВИЮ /] max ~ Аь ОкОНЧЭ-
тельно = /о у/—~^2^	•
2) При максимальном напряжении /7о на конденсаторе заряд конденсатора
С7./(ь ток равен нулю. ЗСЭ: CUo • S — \CU2). Отсюда Uo = 2S. Окончательно
3.360.	См. задачу 3.358.
1)	S — Ну. 2) Максимальный ток в L2 равен /2	—	^	0
2 *	   '	 — - к— *г max 2 у Ь2{Ьг + L2) *
3.361. См. задачу 3.359.
1) <# =	/о ^	La)--	2) Uo = 2Я = 2/о	L?^-
3.362.	1) Скорость ручки	И = 2лпр. Мощность человека Р	=	РП = 2япрР	«
~ 10 Вт.
2) По ЗСЭ: Р — 0,2Р -f I2R + ГУ/. Отсюда напряжение на зажимах динамо-
тт	0,8 P-I2R
машины и = — j  « 7 В.
3.363.	I) F = mg(sma +	цссмза) rs 380 Н. 2) U =	%	24 В'
3.364.	I) F = mg si па +	king ~ mg(a + к) rs 3,1 кН. 2) U = ^ntb'l	^	~
~ 550 В.
3.365. 1)	Р = /2Л = 0,09 Вт.	2) С/ = mgVj	rs	2,5	В.
3.366. ф2 = 2ф, = 300 В.
Решение. На внутренней поверхности полого шара будет заряд —Q, на
внешней — заряд 3Q. ф1 = k.Q, ф2 =	+	=	2^ТР Отсюда ф2 =
= ^Ф1 = 300 В,
3.36Т.	ф2	=	|ф1	=	500 В.
3.368.	ф2	=	|ф1	=	700 В.
3.369.	ф2	=	|ф1	=	900 В.
3.370.1 )Q3r = ±C£2. 2)1=^.
Решение. 1) После размыкания ключа через резисторы 3R и R будет ид¬
ти одинаковый и убывающий со временем ток. Суммарное количество теплоты,
выделившейся на этих резисторах, Q =	Эта	теплота	поделится	между
о г>
резисторами пропорционально их сопротивлениям. Поэтому Q^r — Q у ^ =
= I Q = тас*2-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
395
2
2) Пусть при замкнутом ключе ток в цепи /, а заряд верхней обкладки
конденсатора q\. Тогда £ — ^ = /Д. Отсюда q\ — С{£ — IR). После размы¬
кания ключа в установившемся режиме напряжение на конденсаторе станет
равным £у заряд верхней обкладки конденсатора будет С£. Работа источни¬
ка А = (С£ — qi)£ — CIR£. Изменение энергии конденсатора AWc =
~ it = C]Rg ~По ЗСЭ А = ди/с + Q, где Q = -^СЯ2. С учётом
л л т т 7	C(I Я)2 лл ^	т I 20
выражении для А и Aw с получаем ——— = Q. Отсюда / = . /	^2- =
3.371. 1) (54Л =	4д + Д = Щ)^2- 2) 1 = У
3.372. 1) д2Я = |С'^2| = £с*а. 2) / =
3.373. 1) Qs/г = -[^С<<?2| = -^С^2. 2) F =	=	ёПг
3.374. I) Q2R =	2) / = yigl =
Решение. 1) Q2r = § C£2 2R2R.iR =
2) Пусть при замкнутом ключе ток в цепи /, а заряд верхней обкладки
конденсатора q\. Пусть £\ — неизвестная ЭДС. Тогда £\ — ^ = —2/i?.. От¬
сюда = 67(^1 + 2/Я). После размыкания ключа в установившемся режиме
напряжение на конденсаторе £\, заряд верхней обкладки СА. Работа источ¬
ника А = (С£1 — q\)£\ — —2CIR£\. Изменение энергии конденсатора ДИ^с =
= ^ - lb =	-2CFR£X -	2CI2R2.По ЗСЭ = + Q. где Q = §CV?2.
С учетом выражений для А и ДИс получаем 2С/2Я2 =	Отсюда / =
/ Q ^
/ 2CR2 3Я"
3.375. i) = ^С^2-	2)	1	= ,
3.376. I) <2зя = ^fCV?2. 2)/ =
3.377. 1) фд = д^дСч?2. 2)/ = у сд-2 - 6Д-
3.378. 1)F=Q§ =	2)A = F<1 = <^-.
Решение. 1) Напряженность поля Я = напряженность поля, создава¬
Q
2СЯ2
6Я
/ 2Q
1 CR2
зя
1 2 Q
- £
ем
гр
емого зарядом одной обкладки, равна ту- Заряд конденсатора Q — CqUq. Сила
с = пе_ C{)U*
2 2d ’
2) При раздвижении обкладок сила притяжения не будет изменяться, так как
, Cf/2
не изменится поле между обкладками. Работа Л =	^с~.

396
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
/72 тг2
3.379.	1)	F =	-£-§-■	2) А	= CoUfi.
3.380. \)F =	2)Л=^°.
3.38,.	2М	= ^.
3.382. 1) Напряженность поля в конденсаторе не изменилась. £/ = 1,7Г/о
f»(l,7l/0)2	а
2) Работа Л = -ЬС_	=	Xc0t/02.
3.383.	1 )UQ=%. 2)	Л =	±C0t/2.
3.384.	1)	U = 1,3U0. 2) А =	J^C0U£.
3.385. \)U0 =%. 2)A=^CaU2.
3.386.	1) /max =3«#ДС.	2)/ = 2^2/2.
Решение. 1) При максимальном токе /тах ЭДС индукции в катушке рав¬
на нулю. Тогда напряжение на конденсаторе равно <ft левая обкладка имеет
заряд Cff. Работа источника А = (C<f — 4С<£5)<£) = — 3C<f2. Изменение энергий
конденсатора и катушки AWc =	~	— — Щсв2, AWl =	—
I т2
_ 0 _ —По ЗСЭ А — AWc + AWl- С учетом выражений для A, AWc и
AWl получаем /шах =
2) По ЗСЭ от момента замыкания ключа до момента равенства нулю
заряда конденсатора (0 — 4Св)в = ^0 —	 Отсюда	/	=
=
3.387. 1) /шах =
3^. 2)1 = 2#^
3.388. 1)/тах =	.	2)I = £yJ
3.389. 1) /max = 4#J^-
. 2)1 = S.
зс
L '
lie
L
3.390. 1) /max =	+	/2- 2) /1 =	+	/2
Решение. 1) При максимальном токе /шах ЭДС индукции в катушке равна
нулю. Тогда напряжение на конденсаторе равно &% левая обкладка имеет заряд
Св. Работа источника А — (Св — ЗСв)в = — 2Св2. Изменение энергий кон-
денсатора и катушки	AWC	= C|i _ = = —	-	Щ-.
По ЗСЭ А = AWc + AWl- С учетом выражений для Л, AWc и AWl получаем
Т - he#2 . г 2
1 шах — \1 j	I	1

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
397
2) По ЗСЭ от момента замыкания ключа до момента равенства нулю за¬
ряда конденсатора (0 — 3 С£)£ — fo — —^-?р— j + (~y~ ~	'	^тсюда	^	~
L
+ /2
3.391. 1)/шах =	+/2. 2)
3.392. 1) /шах =	+	/2-	2)	/:	=
3.393. 1) / шах = ,/^+Я. 2) /! =	+	/2.
'зс.?2
+ /2
'8С7.?2
+ /2

4. ОПТИКА
4.1. na = nB + jr = 1,000297.
4.2. L =
S
2 (п — 1)а
= 50 м.
4.3.	Дп = ^ = 3
10
-6
4.4. L = 25 м.
4.5. х = 26 мм.
4.6. х = 39 мм.
4.7. F = 96 мм.
4.8. х = 1 см.
4.9. F = 4 см.
4.10. F = 8 см.
4.11. [3 « 8°.
4.12. (3 « 26°.
4.13. Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересека¬
ются в оптическом центре линзы.
Второе положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в
фокусе линзы. Таким образом, сторона АВ находится на расстоянии d — F/2;
|/| = F и Г =
1/1
С/
= 2
3
С
F — ^ ^
У
3
С
Г" J
^ — Z7
D
К задаче 4.13
К задаче 4.15
F
4.14. Достаточно очевидно, что перемещение Д =
F
d + F'
= F. Для отрицательной линзы имеем:	Г	i	=	—
Гг = d Та +~r = IT2F' тогда гГ = Й_/Г’ откуда
Г — Г1 _ 1
2 ~ Гг + 1	4 ■
4.15. Первое положение: продолжения боковых сторон
2^ трапеции пересекаются в фокусе линзы.
Второе положение: продолжения боковых сторон трапе-
К задаче 4.16 ции пересекаются в точке, соответствующей двойному фокусу
линзы. Таким образом, АВ находится на расстоянии d = 3F/2
от линзы; / = 3F и Г = f /d = 2.
4.16.	Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересека¬
ются на расстоянии 2F от линзы.
Второе положение: продолжения боковых сторон пересекаются в фокусе
линзы.
Пусть во втором положении расстояние от линзы до трапеции равно d, тогда
в первом положении оно равно d -f F. Для положительной линзы имеем Г2 =
    /   F	р    F_    F_ nTU../п„ р   Г1	  0,8	  .
d	d-F' 1 d+F-F	d' откУДа Г2	i _ Г!	1-0,8

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
399
4.17.	Рассмотрим ход лучей в линзе (см. рис.). Из рисунка видно, что
ААОВ — прямоугольный, АО = ОБ, поэтому а = 45°.
Пусть теперь ро = W/c — начальный импульс пучка света, ро/2 — импульс
отраженного от зеркала пучка света.
Так как Ft = Др, то F = ^у/5 + 2 = 2,3 Н.
К задаче 4.19
4.18. (См. решение задачи 4.17). Пусть ро = W/c — импульс падающего
пучка света, ро/2 — импульс прошедшего пучка, а = 30°.	Так	как	Fx = Др,	то
F = 1 ч/б -	2уД = 1 Н.
2 ст v
4.19. (См. решение задачи 4.17). а = 30°, ро = W/c — импульс падающего
пучка света, ро/2 — импульс прошедшего пучка света.
Таким образом,
F = 2 ' ст V 5 + 2v/3 « Ь9 Н.
4.20. (См,	решение задачи 4.17). ро = W/c — импульс	падающего	пучка
света, ро/2 — импульс прошедшего пучка света, а = 45°.
Таким образом, F = А • — \/5 — 2>/2 % 1 Н.
Z СТ
4.21. По условию система — телескопическая и останется таковой и по¬
сле перестановки линз. Увеличение в обоих случаях не зависит от положения

400
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
F2
Fi
предмета (см. рис.) и равно в первом случае Гх =
Отношение увеличений Г2/Г1 = F% / F$ = 1/25.
4.22.	(См. рис.). д + ^	fli,2	=	F	Н- L ± А, Л = Ь2 — Ъ\
условию, А — 1, А = 2, L — л/5, так что Т'2 = 4 и F = 2.
, а во втором Г2 —
2^0	р
К задаче 4.20
.	-	по
L2 - А2'
К задаче 4.21
К задаче 4.24
К задаче 4.25
4.23.	(См. решение задачи 4.21). По условию, система — телескопическая, и
hi2 = hi (]=г-) = 0,4 •	=	2,5	см.
4.24
= F
а -Ь А
(СМ. рИС.). i + i = -i,	-Ь21	=
2 AF2
(a ± A)F
a
A
a ± A 4- F
_	2-1-4
Д = 62 —	=
_	_	J_
a+l + F a - 4 + Fj (/? + a)2 _ ^2	(2 + 4)2 - 1	35 ’
4.25. Пусть в некоторый произвольный момент времени расстояние между
зеркалами равно х. Оптическая разность хода между пучками, отраженными от
зеркал, Д = \АВ\ — \АС\ = 2xcosa {ВС _L АС). Величина сигнала, регистриру¬
емая приемником, будет периодически повторяться с периодом Г при изменении

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
401
разности хода на длину волны X, т. е. 2иТсosa = X. Отсюда Т = X/2ucosa, а
частота переменного сигнала / = ^ = (2ucosa)/X = 200 Гц.
4.26. / = 2av/(XL) = 10 Гц.
4.27. U = FXf/а — 1 мм/с.
4.28. v = fXL/(2a) — 1 мм/с.
4.29. tga = {n_!_\)F ^О’1'
4.30. Пусть поперечный размер пучка равен Дг (Дг <С R). Тогда ко¬
ордината нижней границы пучка равна R, а координата верхней грани¬
цы R + Дг. Волновой фронт пучка после прохождения стеклянной пластин¬
ки повернется на некоторый угол а, величина которого определяется из усло¬
вия равенства оптических путей нижнего и верхнего краев пучка Hn(R) =
= Hn(R -f Дг) + Дг • sin а, где n(R) — значение показателя преломления пла¬
стинки при г = R, а n(R -f Дг) — значение показателя преломления при г =
= Я -Ь Дг. Из этого равенства найдем, что
ДГ	Гд
/
Дг
1.
(X
R
11
К
задаче 4.30
4.31. h — (п — l^tgcx = 4 мм.
4.32. sin а = 2RHtio/tq — 0,056, а % 3°.
4.33. Минимальное расстояние а, с которого можно снять фотоаппаратом,
определяется максимальным расстоянием Ь между плоскостями объектива и
1 1 1
пленки по формуле линзы: а	b = F' где ^ ~ фокусное расстояние объектива.
Увеличение объектива Г = ^	^	— 1. Увеличение объектива без удлинительно¬
го кольца Г1 =	—	1,	а	с	удлинительным кольцом Гг = b — 1 = Гх +
Фокусное расстояние линзы выразим через Гх и минимальное расстояние а:
F =	Окончательное выражение для максимального увеличения с удли¬
нительным кольцом Г2 — Г1 -f-	^ — g- Максимальный размер чертежа:
(24/Гг) х (36/Гг) = 144 х 216 мм.
4.34. Г - F/(2F - а) = 0,25.
4.35. Д = 4/9 см.
4.36. Г = 1/3.
4.37. Ход крайнего луча, попадающего в глаз наблюдателя от осве¬
щенного на дне пятна радиуса г, показан на рисунке. Угол падения это¬
го луча на поверхность воды а, угол преломления	Тогда из за-

402
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
кона преломления
Н
sina=^-. Радиус пятна на дне r = R+Htga = R +
,  « 3,5 м. Площадь пятна л г2
y/П2 - 1
4.38. L — (R — г)\/п2 — 1 ~ 2,6 см.
38 м'
4.39. г = R
4.40. г — R —
Н
Vгг2 - 1
И
2 м.
2 см.
у/ п2 — 1
4.41. Ход луча, преломленного на сферической поверхности, показан на
рисунке. По условию sin ц/ = a/г = 0,6. По закону преломления nsiny = sin ср.
Следовательно, sincp = 0,8. Далее находим: ЛБ = actg(cp — у) = 72Я/35; ОБ =
= Ясозу = 4Я/5. Искомое расстояние ОЛ = АБ 4- ОБ =	4- ^ Я
- 2»Я
7 it.
К задаче 4.37
4.42. п - 4/3.
4.43. п — 1,6.
4.44. п — 4/3.
4.45. d — расстояние от середины спички до линзы, I
ки, F =1.0 см — фокусное расстояние линзы. Увеличение в
F2	_	25
Г1 -
(d - F)2 +
I:
- длина спич-
первом случае
(вывод формулы мы оставляем читателю), увеличе¬
ние во втором случае Г2 = ^ ^ р = 2,5- Из этих двух равенств находим ~ =
I2
F
4.46
4 F2
h — 3,3 см
Г1
14
Откуда / — 4 см.
4.47.	Г = §|.
4.48. F — 7,2 см.
4.49. Распространение света от пузырька через слой жидкости толщиной 1/2
и преломление на плоской границе жидкость-воздух эквивалентно прямолиней¬
ному распространению света от мнимого изображения пузырька, расположенного
от границы раздела двух сред на расстоянии h — 1/2п. Здесь и далее речь идет о
световых лучах, распространяющихся под малыми углами к главной оптической
оси линзы (условие параксиальности). Мнимое изображение пузырька располо¬
жено на расстоянии 1/2п 4- L от линзы, а его изображение в линзе получается
на экране. Воспользовавшись формулой для тонкой линзы, найдем расстояние ;г
1	11	f(l	+	F
от линзы до экрана: 	—Ь	Отсюда	х	=	 7	 = 120 см. Увели-
L+^-F

ОПТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
403
чение линзы Г = —2—г- =  j- = 4. Скорость пузырька равна скорости
~ L	г	,	I	—
L+2к ^+2	ln~F „	;	^
„	v(L+2K~F)
его мнимого изображения и составляет и = ~ = р = 20см/с.
А	ЗА (а + А)п	.
4.50. и — 	—т-т— = 2,4 см/с.
(а - ЗА)т	'
4.51. и — 0,5 см/с..
4.52. и — 5,9 см/с.
4.53. 1) Расстояние от оси зеркала (точка А) до изображения \AS"\ = |AS'\,
но \AS'\ — |05'| — L (см. рис.). Расстояние |OS'7j находится по формуле линзы:
- + 77^77 = -t; \QS'\ = 5F = 100 см. Следовательно, \AS"\ = 40с.м.
с	[ г
2) Из геометрии р — 2а — л:/2, при а = 60° угол (3 = 30°. Скорость переме¬
щения изображения
V =	=	2^!|AS"'| = 2(0 •	4coF	=	8	см/с.
К задаче 4.53
4.54. 1) Расстояние от точки А до изображения I = 5F = 50 см;
2)	=	lOcoF = 5 см/с.
4.55. 1) Расстояние от точкиА до изображения / = F = 15 см;
2) со = v/2F = 0,1 рад/с.. Угол а имеет два значения: ai = 45°,
a2 = 135°.
4.56. 1) Расстояние от точки А до изображения I — 6F = 120 см;
2) со = v/V2F = 0,05 рад/с, a = 50°.
4.57. 1) р = 2а = 0,16; 2) Изображение мнимое, расстояние от линзы F/2 —
— 10 см, а от главной оптической оси — Н/2 = 1 см.
4.58. 1) a = 2р = 0,3; 2) Изображение на расстояниях / = 30 см от линзы
и Н = 6 см от главной оптической оси.
4.59. 1) a « Р/2 = 0,12; 2) Изображение на расстояниях / = 6 см от линзы
и Н — 0,5 см от главной оптической оси.
4.60. 1) р = а/2 = 0,1; 2) Изображение на расстояниях / = 40 см от линзы
и Н = 10 см от главной оптической оси.
4.61. 1) rf = 9 см; 2) F = 18 см.
4.62. 1) -—= 30 см; 2) F = 10 см.
1 — г /К
4.63. 1) d= 24 см; 2) F — -12 см.
Решение. Пусть источник S расположен на расстоянии d от линзы
(см. рис.), а его мнимое изображение 5i находится на расстоянии |/| от линзы.

404
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из подобия треугольников SCB и SAO (d -f- L)/d = r^/R. Отсюда с учетом чис¬
ленных значений L, го и R имеем d = 24 см. Из подобия треугольников S\KR
и Si АО (\f\-{-L)/\f\—ri/R. Зная численные значения А, п и Я, находим
|/|	8	см.	По	формуле	линзы
где / = —8 см. Отсюда фокусное расстояние линзы
F =	=	-12	см.
d + f
4.64. 1)	^ = 60 см; 2) F	=	-^f—c	= 20 см.
г	’	d Н- /
4.65. 1)	Н\ + iT-2 = 5,5 м;
2) Форма «зайчика» подобна	форме	зеркальца, 10 х 15 см.
4.66. 1) Л" = 2S\ Н~ Я'2 = 5 м;
2) Ромб с диагоналями 40 см и 30 см.
4.67. 1) Ь-2 + 2Li = 3 м;
2) Треугольник со сторонами 25 см, 30 см и 35 см.
4.68. 1) А	— Xi Н- А2 — 4 м;
2)	Эллипс	с осями 60 см и 4 см.
4.69. 1) ф и f = 0,02; 2) L = = 30Q см
4.70. 1) |	= 0,5 см; 2) L ss (^р+°)/ =	55	см.
4.71. 1) а	= 0.5 см; 2) L = Т, Tv -	=	&4	см.
'	D 2а
4.72. 1) о = 1 см; 2) L = (Xj + “>F = 80 см.
4.73. h = 1 м.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
405
Решение. Легко показать, что при прохождении луча света через плоско¬
неоднородный слой угол преломления луча |3 на выходе из среды связан с углом
падения на нее а выражением
sina _ п(Н)
sin р по
(С
где п(Я) — показатель преломления среды на выходе светового луча, а по — на
входе в среду, и не зависит от вариаций показателя преломления в самом слое.
В том случае, когда световой луч испытывает полное внутреннее отражение,
выражение (1) переходит в
sin ар _ n(h)
sin	no	’
здесь h — максимальная глубина проникновения луча в слой.
Следовательно, для угла падения ао получаем
n(h)
sm (Хо = 	.
по
Используя зависимость n(h) = по — kh,
_ по	- kh _	л	kh
sm ot о — 	 —	1	—	—,
п о	по
откуда h= -^г(1 — sinao) = 1 м.
Т
4.74. т?-2 — у/п\ — sin2 ot ~ 1,3, свет не проникает во второй отсек при
п < 1,3.
А	.	п(Я)	1,26	ГЛ	(Л LT	<
4.75. smao = ■	=	0,9, Н — глубина проникновения светового
пучка. При a < «о луч света сможет проникнуть в среду III.
4.76. sinao = у/n2 — п\ — 0,87, ao ~ 60°, a > «о = 60°.
4.77. cosa = 2a fV -77- = 0,9, a = arccos0,9.
a +Д1 Da
4.78. v = ^ R— = 1,3 cm/c,
t	a 2	1	'
= \ + y1 - *r j = 3’5 F'02 = 1 (l - у1 - ¥ ) =]-4 F
479 Z = 2fc = 21) ^ ! * °-87 CM‘
4.80.	v	=	^RTw 0,063 см/с, Г = — = 0,4.
1	’	'	a\
= I (] + v1 - ¥ j =3-5 F’a* = i p - v1 - ¥ J =x’4 F-
4.81. n = || = 1,48.
4.82. Решение. Через оптический центр линзы проведем вспомогательный
луч ОС параллельно лучу ЛЯ. Преломленный луч ВС пересекается с лучом ОС

406
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
в точке С, принадлежащей фокальной плоскости линзы. Продолжим луч ВС
влево до пересечения с главной оптической осью линзы в точке А'. Угол СА'О
является половиной искомого угла |3. Проведем линию BD параллельно OF.
Угол CBD равен (3/2. Из треугольника CBD
. Р FC-ОВ
tg5 =  р  =  р ■
Отсюда р = 1,7 • 10“2 рад.
4.83. d
nF‘
= 0,03 м.
Л О А 4 Р а F
4.84. tg {j =
4.85. 1) ti =
(n - 1)(6 + F)
Ptg | = 3tg P = 2arctg (3tg ss 0,3 рад.
' — 0	=	22	cm;	2) гх = v\~ = 0,2 см /с.
J/l — c	n.
4.86.	1) b = -	=	-°’45	F;	2>	^изобр	=	VrP£	=	0,1	ЛyX.
4.87.	Положение изображения комара, даваемое
линзой и равное а, определяется из формулы линзы
При учете зеркала оно снова является предме¬
том для линзы, которая дает новое изображение на
расстоянии 6, так что
-I + ! = _±
а 6 F*
Складывая эти уравнения, получаем
1 + 1=_2.
h. 6 F
Откуда Ъ ~ —	~	~^,’2 м- Изображение ниже зеркала на 0,2 м.
Из подобия треугольников ABC и А\ВС\	^	и	и	=	г;^-	=	1	см/с.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
407
4.88. 1)6 = 0,6 F; 2) ?/„3 = 0,2 А
4.89. Построим изображения нити лампочки, полученные путем
кратных отражений от двух поверхностей зеркала. Для этого пустим
лампочки Л под небольшим углом а к вертикали.
Тогда пересечение луча / с прямой ЛЛ, перпенди¬
кулярной плоскости зеркала, даст изображение Ль
Преломленный луч проходит в зеркало под углом р
к вертикали, так что
— п или ^ % п.
sin р	р
много-
луч от
После отражения от зеркальной поверхности и
преломления на верхней поверхности зеркала он вы¬
ходит под углом а к вертикали (луч 2). Продолже¬
ние луча 2 до пересечения с ЛЛ дает второе изоб¬
ражение нити лампочки Л2 и т. д. Из геометрии ри¬
сунка видно, что расстояния между изображения¬
ми одинаковы. Из геометрии рисунка очевидно, что
расстояния между изображениями одинаковы. Оче¬
видно, что
ОС = atga«aa, СВ — 2Н tg (3 « 2#р = 2Н~,
ОС 4- СВ — (а + х) tga ~ (а 4 х)а = аа 4- 2Н^
Откуда
4.90.	Ах = Н
71—1 \
П )
х =	—	10	мм.
п
4 мм.
4.91.	п = Щ = 1,43.
L
4.92.	п =
И
1,48.
Я - h
4.93.	Изображение рассматриваемого глазом предмета через хрусталик глаза
попадает на сетчатку. Если I — минимальный размер предмета, видимого глазом,
а L — расстояние от хрусталика до предмета, то минимальный угловой размер
предметов, которые часовщик может рассмотреть без линзы, равен
¥
mm
При использовании лупы, рассматривая предмет размером
фокальной плоскости, угловой размер предмета равен
/
помещенный в ее
*
¥ =
NF
где F — фокусное расстояние лупы. Приравнивая у и у* получим
F = X = 8,3 см.

408
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.94. D = ^ ^ — 3,5 дптр.
4.95. V — IN = 0,25 мм.
496 L = TTdT =6 м-
4.97.	При нормальном падении лучей на границу / последние не изменяют
своего направления. На границе 2 лучи преломляются так, что
К задаче 4.97
sin а _ гс-2
sinp п\ '
Принимая во внимание малость углов, имеем
а ^ п2
|3 п\ '
При выходе из пластины (поверхность 3)
sin у 1	7	1
——- — —	или	-	= —
S1I1 е 712	£	722
(см. рис.). Рассмотрим треугольник KLM. Ясно, что
а = у + 3 =	~	Н-	а—.
' Г	722	гг 2
Здесь е — угол выхода лучей из пластины, равный
е = a(n2 — ni).
При наклонном падении на линзу параллельного пучка последний фокуси¬
руется в фокальной плоскости линзы в точке О' на расстоянии X от главной
оптической оси линзы. Из геометрии рисунка видно, что
X — О (У = F tge ~ jРе = Fa(ri2 — п i) ~ 10,5 мм.
4.98. Дх = 2а(тг — 1) = 3,45 см.
4.99. а = 7 ——г-= =0,1 рад.
(n2-72l)T
4.100. n = 1 +	=	1,47.
2аг
4.101. Fi = 12 см.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
409
4.102. 1 = F2- ~~- , = 29 см.
с 1 — а
4.103. Для того чтобы из системы линз вышел параллельный пучок света,
необходимо, чтобы изображение источника S в собирающей линзе совпадало
с задним фокусом рассеивающей линзы (см. рис.). В этом случае можно записать
для собирающей линзы формулу для тонкой линзы:
1
+
1
1
Отсюда
х =
d ' х 4- \F2\ Fi 4
Fid
d- Fi
\F21 = 50 cm.
4.104. F‘2 = —15 cm.
4.105. x =	Rn2
2 4- n — n4
= 18 cm.
,	j 6n — l) Я
4.106. L = —	——	= 15 cm.
(3 n — 1 )n
Решение. Определим положение изображения источника S\ даваемое пре¬
ломляющей поверхностью АЛ\. Ввиду малости углов имеем
а
Р
= п
(см. рис.). Из теоремы синусов для треуголь¬
ника OS' D
Ь - 2Я = я
Р Ф'
Аналогично для треугольника OSD
_Я_
2а
Я
¥ ’
откуда \|/ = 2а или
Ф = у — а = Зрп — р.
Решая второе уравнение относительно 6, получаем
(6 п — 1 )Я
К задаче 4.106
Ь =
3 N - 1

410
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Определим положение изображения источника S при преломлении на гра¬
нице BBi. Очевидно, что S”С — Ь/п. Окончательно
S"С	= ^^ = 15 см.
(Зтг — 1 )п
4.ЮТ. у =
4.108. х =
4.109. L =
4.110. L =
2Л =26,7 см.
п( 2 — п)
R(n2 - 2)
п2 +гг - 1
= 0,9 см.
hF
а
hF
d
— 1 см.
= 1,25 см.
Решение. До смещения источника S' по формуле линзы найдем расстоя¬
ние b от изображения источника до линзы
Отсюда
Ъ =
dF
d+ F
= 8 см.
Источник, его изображение и оптический центр линзы всегда лежат на од¬
ной прямой. Поэтому проведем прямую через смещенный источник S" и его
изображение (точка В). На рисунке это прямая S"В. Точка О' является новым
оптическим центром линзы. Следовательно,
линзу надо сместить вниз на расстоя¬
ние ОО', которое обозначим L. Рассто¬
яние L найдем из подобия треугольни¬
ков S'S"В и ВОО'\
L
h
d-b'
Отсюда
L = -j^-r = Чг = 1,25 см.
а — о d
К задаче 4.110
4.111. L =
_ hF _
а
б см.
4.112.	h = ^ = 8см.
4.113.	=	2а
= 36 СМ.
R
4.114. F = 2л-^2 / « 7,5 • 10“7 Н.
4.115. с = ^- = 5 см.
Решение. Из формулы линзы (см. рис.)

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
411
при условии, что 6/а. = Гi, следует, что 6 = F. Общее увеличение, даваемое
системой «линза-зеркало», равно Г2 = ГГ Гр где
р'   d
1 ~ b + 2с *
К задаче 4.115
Используя формулу линзы для предметов S2 и S:\ (S2 — изображение пред¬
мета Si в зеркале), получаем
d= 0 + F+E)F = (1 +
Расстояние от линзы до изображения предмета S:u даваемого системой,
d = F(r\ + 1) = (6 -f 2с)Г1
или
F (ру + 1) = {Ь + 2с)уД.
Отсюда для искомого расстояния с находим
F г
с = ^ — 5 см.
4.116.	F = ■'.1 УЁ.'
AnR с
Решение. Мощность излучения, падающего на зеркало,
NS
Nr, =
4 kR
2 •
Импульс фотона Рф и его энергия Еф связаны соотношением Рф = Еф/с.
Здесь с = 3 * 10* м/с — скорость света. Поэтому импульс Р падающего на зер¬
кало света в единицу времени и мощность N3 (энергия в единицу времени)
связаны аналогично:
P=N3/c.

412
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В единицу времени импульс отраженного света Р0тр =0,3 Р, импульс про¬
шедшего света Рпр — 0,2 Р, импульс зеркала Р3 = Р -Ь Ротр — Рпр = 1,1 Р, по¬
скольку по закону сохранения импульса
Ротр Т Рпр + Рз — Р
Вотр	Впр	В	Р3
К задаче 4.116
(см. рис.). Сила на зеркало F = Р. С учетом полученных выражений для Р3,
Р и 7V3 находим силу Р
F=u._*s
4яР с
4.117. а = 2 см.
4.118. F = g ,/2(1 - cos а) = 0,67 • КГ7 Н.
4.119. F = ^ ss 5,7см.
4.120. F = 0,7 w 0,74 • 10"12 Н.
4яЯ С
4.121. L = 11 см.
Решение. Сначала найдем изображение источника S в линзе
1 + i = i
a b\ F’
При а= |Р расстояние до линзы Ь\ = — Изображение в линзе S' яв¬
ляется мнимым и совпадает с изображением Si (см. рис.). После прохождения
линзы световые лучи преломляются на передней границе зеркала. Преломленные
лучи кажутся исходящими из мнимого источника S". Расстояние от этого ис¬
точника до передней поверхности зеркала AS" = n(L + 6), где п — показатель
преломления материала зеркала. Это соотношение справедливо для параксиаль¬
ных лучей, то есть для малых углов падения, которые мы и рассматриваем.
После преломления лучи отражаются от зеркальной поверхности и кажутся ис¬
ходящими из мнимого источника S'". Расстояние от этого источника до зер-
S"
К задаче 4.121

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
413
кальной поверхности S В — AS + АВ = d + n(L + Ь). Зеркально отразив¬
шись, лучи снова преломляются на передней границе зеркала и кажутся исходя¬
щими из мнимого источника S"". Расстояние AS'"' — AS'"/п = 2d/n -f L -f b.
После преломления лучи проходят линзу и собираются в точке SРасстояние
OS"" = AS'"' + L = 2d/n -f 2L + b. По формуле линзы можно записать
^ + 2L + 6
71
После подстановки числовых значений получим ^	-	j	+	Отсюда	L	—
— 11 см.
4.122.	F = 2(ь +	=8	см.
4.123.	тг =
d
= 1,5.
4F/3 - L
4.124.	d = (F/4 — L)n = 3 см.
4.125.	1) (3 = 2a; 2) -u = v
6 sin a
a sin (3
b-
Решение. По формуле линзы найдем расстояние b от оси линзы до изоб¬
ражения мухи (см. рис.):
I + I = JL
а. Ь F
3 /. * f I ллг/n п. т^гг	4	  Ь	n	Q	4	fi	  ^
При a = 3F, b=^F. Поскольку a ^ tga = ^, а (3 « tg (3 = ^, to (3
fa = 2a.
о
4.126.	1) tg (3 = 5tga или (3 ~ 5a; 2) и = v
b sin a
asin|3
25
v.
4.127.	1) tgS = | tga; 2) и =	«	16v.
' bl 4 ь » /	a	Sill	(3
4.128. 1) tg(3 = 6tga; 2) и = v
dsina
1
asin(3 36
v.
4.129. 1) I = /i 2^%- = 32 CM'- 2) 6 = # = °-25 CM
0 + ^2
f2
К задаче 4.125

414
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение. Поскольку параллельный пучок света фокусируется справа от
рассеивающей линзы, то это означает, что фокус собирающей линзы больше
расстояния L между линзами, и на рассеивающую линзу падает сходящийся
пучок света. По формуле линзы можно записать
Fi — L
I
а
Отсюда
L = F1
aF2
а + F2
_1_
F2
— 32 см.
Для ответа на второй вопрос рассмотрим ход луча, проходящего через оп¬
тический центр собирающей линзы параллельно главным оптическим осям линз
(см. рис.).
Из подобия треугольников ЛОБ и BFC следует:
F2
а
d
6*
Отсюда
4.130. 1) F2 =
4.131. \) х =
4.132. 1) d =
ad
F2
= 0,25 см.
(а 4- L){F\ + L)
(а
(a-Fa)
- Fi)F2
= 40 см; 2) d =
(Fa 4- L)
(F2 — F\ + a)
= 6,7 cm; 2) у =
d
F2b
a - F2
= 0,25 cm; 2) a =
F2
F2(Fg +L)
(Fa - F2 + L)
(a - Fa)
x = 0,67 cm.
b = 1 cm.
= 48 cm.
4.133. x = L( 1 —
ik
w
1 \
D
2a L
= 9 cm.
ia\
Решение. Пусть пучок света проходит на рас¬
стоянии х от верхнего основания призмы (см. рис.).
Диаметр пучка обозначим через dx. Поскольку пу¬
чок проходит через призму без преломления, его вол¬
новые фронты (плоскости постоянной фазы) на входе
и на выходе призмы параллельны друг другу. Волно¬
вой фронт входного пучка перпендикулярен направле¬
нию распространения пучка и, естественно, паралле¬
лен грани призмы АА'. Этой же грани будет паралле¬
лен волновой фронт и выходного пучка. Пересечение
этого волнового фронта с плоскостью рисунка изоб¬
ражено в виде линии с/. Такое положение волнового
фронта означает, что оптические пути ас и kf должны
быть равны. Оптический путь ас включает в себя два
участка ab и Ьс:
Аас = АаЪ + Абс = (D + а: tga) • п(х) -h dx tga.
Оптический путь kf равен
A kf = (D -f (х 4- dx) tga) • п(х 4- dx).

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
415
Приравняем оптические пути:
Пренебрегая малым членом	(dx)2	(по	отношению	к	другим	членам),	най¬
дем расстояние пучка от верхнего основания призмы:
= 6-10 л рад.
= 39,5см. Изображение над линзой.
Решение. Поместим мысленно между линзой и водой тонкую прослой¬
ку воздуха. Это не повлияет на ход лучей в системе. Можно считать, что на
линзу падает параллельный пучок света. После прохождения линзы мы будем
иметь расходящийся пучок, как от точечного источника, находящегося в фокусе
нашей линзы (точка А на рисунке, вся картина на рисунке повернута на 90°).
Рассмотрим один из этих лучей, который под малым углом а падает на вы¬
пуклую сферическую границу воздух-вода (луч АС). После преломления на
этой границе преломленный луч распространяется вдоль направления СВ', а
его продолжение СВ пересекает оптическую ось системы в том месте, где на¬
ходится изображение (точка В). Расстояние от изображения до линзы равно
расстоянию BD на рисунке. Найдем это расстояние. Весь расчет проведем в
приближении малых углов. Из ААСО найдем связь между углами а и (5:
	ер—-^я
К задаче 4.137
F
R ’
Угол падения
\F\	Я+IFI
a -f 3 = а + а L-~- — а  1
гС	гС

416
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Преломленный угол
Сумма углов
Отсюда
ач-р Я + \F\
у = 	  —	а
п
nR
0 + (3 = у.
я + |Я
nR
\F\ R — \F\{n — 1)
а-н1 = а	!—тз
R	nR
Из A BCD по теореме синусов
\BD\ « |Ж7| w |F|f =
nR\F\
О Я — |F|(n — 1)
= 39,5 см
При построении хода одного из лучей мы предположили, что изображение будет
мнимое, и, поскольку числовой результат получился положительный, то наше
предположение оказалось верным.
4.138. F' =
4.139. F' =
4.140. F' =
4.141. / =
nFR
п	,ч - = 4,75 см. Изображение в воде,
Я — (n — 1)F
yj2^— гт.г = 56,4 см. Изображение над линзой.
Яп 1
п 2 — П1
= 48,4 см. Изображение в воде.
2 dv
L\
= 400 Гц.
Решение. Пусть а: — расстояние от источника света до оси СМ. Изоб¬
ражение источника света S*, создаваемое зеркалом, расположено на расстоя¬
нии 2d -f х от оси О А (см. рис.). Для оптического пути SA имеем
|5Л| =	VIS + х* =	1 + г_
6 *
Длина оптического пути S3A равна |Я*Л|, причем
|S*A| = \/L2 + (‘2d + ж)2 »b(l + 1{d +.Д
Разность хода лучей S3A и ЯЛ
д = \S\A\ - |5Л| « М + 2^Х

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
417
Максимум освещенности в точке А наблюдается, когда
2d? Щх _ тХ)
L
L
где т — любое целое число (га — порядок интерференции), а X — длина волны,
излучаемой источником S. Если за время At порядок интерференции изменился
на единицу, и источник сместился на Ах, то Ах = vAt и
2d А х
отсюда At = фф, частота / = ^	=	400	Гц.
2 dv
4.142. / =	=	400	Гц.
4.143. / =
4.144. / =
4.145. Fi я
4.146. Fi я
4.147. Fi я
4 dv
= 40 Гц.
= 20 Гц.
Ь\
dv
LX
a -f pL
; а + р
PL — а
* р - а
. w ,
ry ri   aL я  л
= 7 CM, jt2 =  —д- — 3 см
а 4- р
= 19 см, |F21 = Фг-—— = 9 см.
3,3 см, F2
р — а
La
6,7 см.
Л1
Л,
ct-hP	’	"	а	+	р
Решение. Пусть Ь\ и F2 — фокусные расстояния линзы Jl\ и Л2. После
прохождения линзы Л\ пучок соберется в фокальной плоскости BD линзы Л\
в точке В (см. рис.). Поэтому AD — F\.
Поскольку из линзы Л2 пучок выходит па¬
раллельно ее главной оптической оси, то
точка В должна быть фокусом линзы Л2 и
лежать на ее главной оптической оси, т. е.
ВС — F2. Из треугольника ABC по теоре¬
ме синусов
F2 _ АВ
L
sin a sinp sin( 180° — а — р)
К задаче 4.147
При малых углах аир справедливо: sina % a, sinp « р, sin(180° — a -
P) ~ a 4-
4- p, A В % F\. Тогда
F2
a
Отсюда Fi
4.148. IFi
Lp
P
a 4- p
PL
a 4- p
3,3 cm, F2 ~
a — p
4.149. p % d/F,
4.150. p « 2a.
= 10 cm, F2
La
a 4- P
a L
a — p
6,7 cm.
= 20 cm.
Решение. Можно показать, что любой упавший на уголковый отражатель
луч SA и отраженный от двух зеркал луч ВК параллельны (см. рис.). У нас
луч SA идет под углом а к оси ОО'. Следовательно, луч ВК идет тоже под
углом а к оси ОО'. Удобно на падающем луче взять точку S. Тогда Si —
изображение от 5 в верхнем зеркале, а S2 — изображение в отражателе, причем

418
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
SS2 = 2L — F. Теперь S2 для линзы — источник, его изображение S3 в линзе
будет мнимым на расстоянии F/2 от линзы, т. е. попадает случайно в вершину
отражателя. Продолжение вышедшего из линзы луча проходит через точку S-л.
Из треугольников SS-лК и SS2K
SK= ftg(i,	tga.
Поскольку SS-2 — F, то tgP = 2tga. С учетом малости углов аир получаем
Р « 2а.
4.151. р = а.
4.152. Луч выйдет параллельно оптической оси, т. е. угол р = 0.
4.153. ж = 5F/4 = 12,5 см.
4.154.	L — F — 10 см.
Решение. Обозначим через L расстояние от линзы до зеркала. В линзе
первое изображение Si от предмета S получается мнимым и попадает в фокус
(см. рис.). S\ является действительным предметом для зеркала. S2 — мнимое
изображение в зеркале предмета S\ и служит предметом для линзы. S3 — второе
изображение в линзе (окончательное изображение в системе) предмета S2.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
419
Из условия задачи следует, что S-лО = |F. По формуле линзы
_А_ + _2_ = ±
3 z? OS 2 F'
2
Отсюда OS2 = 3F. Так как зеркало должно находиться	посередине	между	Si
и 5-2, то F + L = 3F — L. Отсюда L =	F — 10 см.
4.155. При а > 30 см изображение	прямое, при	а <	30 см	— перевернутое.
4.156. L — F — 10 см.
1
4.157.	п =
1
a\F\
= 1,6.
ad{L + \F\)
Решение. Ход лазерного луча в отсутствие стеклянной пластинки и при
ее наличии изображен на рисунке.
При построении используется свойство параллельных лучей: при падении
на рассеивающую линзу на выходе из нее лучи расходятся, а их продолжения
(в обратную сторону) собираются в точке, при¬
надлежащей фокальной плоскости линзы. В на¬
шем случае это точка В. Она находится с помо¬
щью построения прямой ВО, параллельной па¬
дающему лучу лазера и проходящей через опти¬
ческий центр линзы. При падении луча на пло¬
скопараллельную пластинку под малым углом а
выходящий из пластинки луч распространяется
параллельно падающему лучу со смещением
/ = ud(1 - £)»
где п — искомый показатель преломления пла¬
стинки. На рисунке светящаяся точка А на
экране соответствует лазерному лучу без пластинки, а точка А! принадлежит
этому лучу при наличии пластинки. Расстояние между точками А и А! равно а,
а расстояние между точками С и С составляет
СС =
/ _ I
cos а
= /.
Из подобия треугольников АВА‘ и СВС’ следует
а = Ь-f 1 F\
С С	IF! ’
или
а
ad
Отсюда получаем
п
: -
ь + И
IFI
«И
ad(L+ |F|)
= 1,6.

420
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.158. п = 	Ц	= 1,56.
4.159. п = 	Цт	 = 1,6
4.160. п =
1
а
л
1
1
а
d\
чй + 0 “
1
1 - td О-О
4.161. F2 = 02Fl,\ = Зсм.
2п — 1
Решение. Можно считать, что оптическая система в обоих случаях состоит
из приставленной линзы и плоско-вогнутой «водяной» линзы. Оптическая сила
«водяной» линзы равна
(п ~ 1-) (_i) ■
Оптическая сила системы равна сумме оптических сил. Поэтому
^ = -р + (п - П (_я) ’	=	А +	~	^	‘
Отсюда фокусное расстояние второй линзы
г1   2 F1 тт.  q
Г2 — 75  т = 5 СМ.
271—1
л л «о /	//*	2(F	—	L\) 2Li — Fn 0
4.162. L'2 = r Чч   = —^	 = 2 cm.
2 — 71	2	—	71
4.163. n = 3/2.
4.164. F2 = 02^-— = 8 cm.
2 — 71
4.165. 4/3.
Решение. Увеличенное изображение предмета может дать только собираю¬
щая линза (F > 0). Прямое изображение предмета обязательно мнимое (Ъ < 0).
Решаем систему:
I , 1 = _L к
a b F ’ а
Раскрытие модулей дает:
3,	/	=	\а	4-	Ь|,	а	>	0,	b	<	0,	F	>	0.
£ + | = р, 6=-За,
1 - т-= F а=|С b=-2F,	1=%F.
а За F	3	’	’	3
Второе решение. Увеличение Г = 5/а = F/(a — F) = (b — F)/F% при¬
чем мнимому изображению предмета соответствует отрицательное увеличение.
Из условия Г — —3 находим а — F = —F/3, Ъ — F = —3F, или а = 2F/3, Ь —
= — 2F. Предмет и изображение находятся по одну сторону от линзы на рассто¬
яниях 2F/3 и 2F соответственно. Расстояние между предметом и изображением
равно / = 2F - 2F/3 = 4F/3.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
421
4.166. 2.
4.167. 9/4.
4.168. 1/2.
4.169. ы = v, V2 = 4г>, г»з = 4v.
Решение. Из формулы линзы ^	^	находим	связь	малых	перемеще¬
ний изображения А а и источника А Ь:
— 4^ —	=	0, или АЬ = —Да.
а 6	а
Отсюда следует связь модулей мгновенных скоростей изображения и источника:
г;изобр ^у^’ист-
Направления скоростей одинаковы.
1) Изображение источника в зеркале движется со скоростью v\ = г» влево.
2) Изображение источника в линзе движется вправо. При этом а—~,
b=-F, ^ = -2, v2 = 4v.
а
3) Третье изображение создается лучами, отразившимися от зеркала и затем
прошедшими линзу (изображение в линзе изображения в зеркале). Его ско¬
рость уз направлена так же, как v\ (влево), и равна v-л = &vi = 4vr где а = |F,
6 = 3F.
4.170. Vi = и/4 (влево), V2 = v/4 (вправо), уз = г?/9 (вправо).
4.171. vi = v (влево), ^2 = v/4 (вправо), уз = v/16 (влево).
4.172. vi = v/9 (влево), г>2 = v/9 (вправо), Уз = v/49 (вправо).
4.173. 6.
Решение. Увеличенное изображение предме¬
та может дать только собирающая линза (F > 0).
Увеличение равно
1 Хо\
Fi 2 г—
' Fi 2
6 см 1
3 см
F
Г - t - F _ F
1~а“а_/т — х ’	К	задаче	4.174
где а — расстояние от предмета до линзы, а х — а — F — расстояние от пред¬
мета до ближайшего к нему фокуса. Положения предмета, дающие двукратное
увеличение, соответствуют х — F/2 и расположены симметрично относительно
фокуса на расстоянии F/2 от него (ai = F/2, a? — 3F/2). Расстояние между
этими положениями равно F, что по условию должно быть равно 6 4- 3 = 9 см,
значит, F = 9 см (см. рис.). Теперь находим начальное положение предмета:
О	/О
хо =	 3	=	1,5 см. Начальное увеличение: Го = F/xо = 9/1,5 = 6.
4.174. Гтреб/Г нач — 1,5.
4.175. Г0 = 6.
4.176. Г/Го = 3.
4.177. 1) 45см; 2) 1/4.

422
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение. Предмет находится на расстоянии а = 3F\ от первой линзы,
поэтому в ней получается действительное перевернутое изображение с уве¬
личением
_ 1
Гт =
a - Fx 2
Это изображение является источником для второй линзы, причем источник дол¬
жен быть действительным, так как в противном случае итоговое изображение
на экране будет перевернутым. Таким образом, вторая линза должна дать вдвое
увеличенное действительное (поскольку оно получено на экране) изображение
действительного источника. Решив систему
_!_ , _1_ _ _1_	^2 _ 2
«•2 Ь2 F2 ’	CL-2 '
находим, что	это	возможно только при а-2 =	1,5F2, Ь2 = 3F2.	Расстояние	от	ис¬
точника до	экрана	в	этом случае / — а2 + Ь2	= 4,5F2.	Другие	положения линзы,
дающие изображения того же источника на том же экране, можно найти из
системы
^3 + Ч = А’ аз +	=	4’5/'2-
Получаем еще только одно новое решение: аз = 3F2, Ьз = 1,57*2. Увеличение, да¬
ваемое второй линзой, в этом случае равно Г2 = 5з/а.з = 1/2, а общее увеличе¬
ние двух линз Г = Г1Г2 = 1/4. Вторую линзу нужно переместить на расстояние
а.з — ci2 — 1,5 Fa = 45 см.
4.178. 1) 30 см. 2) 1/4.
4.179. 1) 45 см. 2) 4.
4.180. 1) 30 см. 2) 1/4.
4.181. Г = 2.
Решение. Изображение действительное, Ъ > 0. Из системы уравнений
^	^ = у, b— Га, а + b = 4,5F
находим: Г2 — 2,5Г + 1 = 0, Г1 —2Л Г2 = По условию изображение увеличен¬
ное, поэтому Г = 2.
4.182. 16/3.
4.183. Г = 1/2.
4.184. 16/3.
4.185. Г = 2.
Решение. Изображение действительное, линза собирающая, Ъ > 0, Г > 0.
Из системы
- + т =	, а + 6 — 9(а — F)> Ь = Га
а о г
получаем уравнение Г2 + 2Г — 8 = 0, из корней которого Г] = 2 и Г-2 = —4 под¬
ходит только положительный.
4.186. Г = 3.
4.187. Г = 1/2.
4.188. Г = 1/3.
4.189. 1) Ьх	= 3F.2)	хп = 27 см.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
423
Решение. Изображение получено на экране, поэтому оно действительное
и линза собирающая. Решая систему
1 I 1   _J_	_&		 Г’
a b ~ F'	а	~	’
при Гг = 2 получаем ai = 1,5F, Ъ\ = 3F, h = а\ + b\ — 4,5F; при Г2 = 5: а2 =
- 1,2F, 62 = 6F, h = 7,2F.
Линзу передвинули на расстояние = b-2 — b\ = 6F — 3F = 3F, предмет:
хп = ^2 — h — 7,2F — 4,5F — 2,7F. Таким образом,
4.190. 1) 61 = 1,5F. 2) хл = ^хп = б см.
4.191. 1)	61 = 4F.	2) Хл —	j^xn	=	36	см.
4.192. 1)	Ъ\ = ~F\	2) хл =	у^хп =	2	см.
4.193. 1) 10 см. 2) 23 мм.
Решение. До передвигания: а —2 F => b = 2F = 40 см. После а —
= 3F => 6=1,5F = 30cm, изображение находится на 10 см за экраном. Диа¬
метр пятна ^ • 69 мм = 23 мм.
4.194. 1)	25 см. 2)	35 мм.
4.195. 1)	15 см. 2)	12 мм.
4.196. 1)	54 см. 2)	27 мм.
4.197. 1) 3v влево. 2) и — \fl9v % 4,4н.
Решение. Скорость шарика относительно зеркала равна 3v и направлена
влево. Скорость изображения относительно зеркала также равна 3v и направлена
под углом 2а к поверхности стола. Скорость изображения относительно стола
и2 = (3v)2 4- (2v)2 — 2 • 3v ■ 2v - cos 2а = 9r2 -f- 4v2 4- 6v2 = 19x2,
и — \Zl9v ~ 4,4u.
4.198. 1) Зг; вправо. 2) и = \/ТЗг; « 3,6?;.
4.199. 1) 4г? влево. 2) и = \ZT3v ~ 3,6гь
4.200. 1) 5х вправо. 2) г/ = \/2Tx % 4,бп.
4.201. 1) и0тн = 3 мм/с. 2) V = 10 мм/с.
Решение. Расстояние от мошки до линзы a — |F; по формуле линзы на¬
ходим расстояние от линзы до	изображения	Ъ	=	4F	и	увеличение	Г = Ъ/а	=
= 3. Скорость мошки относительно линзы х0Тн =	2v + v = 3v = 3 мм/с. Скорость
изображения относительно линзы К>тн = Гг;0Тн = 9v. Скорость изображения от¬
носительно экрана V = V^TH = 10г> = 10 мм/с.
4.202. 1) v0TH — 15 мм/с. 2) V — б мм/с.
4.203. 1) Потн = б мм/с. 2) V	— 10,5 мм/с.
4.204. 1) Нотн = 8 мм/с. 2) V	— 4 мм/с.
4.205. 45 см.

424
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение. Из 'формулы линзы ji — 1 = где Г — поперечное увеличение.
Пусть Я, Я /к, h — размеры вертолета, его модели, изображения (к = 200). У
Н/к
нас
Fi
1
Я
/г 5
^2
Яг
Отсюда d2 = Яг
Яо
- 1 =
d\ 1
h
+ 1
45 см. Заметим, что
(f!	0	fc	+	4	~	"	*	L^i	А;
di/b\ 1, и это можно учитывать изначально.
4.206. к = 200.
4.207. F2 = 15 см.
4.208. di = 75 м.
4.209. Г = 1/2.
Решение. Пусть точка В находится на расстоянии 2F И- х от линзы (знак х
пока неизвестен, сторона квадрата равна I — |ж|). Из формул ^ + ^ = ^иГ=^
п F
находим Ь— - - г-. и Г =
a b F	а
а _ Р - * —	_	р	(формула	поперечного увеличения). Сторона
АО изображается в натуральную величину, а сторона ВС — с увеличением
Г = р ^ -. Найдем увеличение стороны АВ. Расстояние А'В' равно
2 F -
(2F 4- x)F	2F2	+ 2Fx	- 2F2	- Fx
F x
F F x
F 4- x
F Fx
= Гж,
т. e. увеличение стороны АВ тоже равно Г. Изображение А В С D является
трапецией, площадь которой равна
\{А’ D’ + В'С1) А' В' = ±(П + I) П = А(Г + 1)П2.
Из уравнения ^(Г + 1)Г = | находим Г = второй корень отрицателен и со¬
ответствует мнимому изображению отрезка ВС.
Решение будет совсем коротким, если воспользоваться известным фактом,
что продольное увеличение отрезка равно произведению поперечных увеличений
на его концах.
4.210. Г = 1/2.
4.211. Г = 2.
4.212. Г — 2.
4.213. 1) F = -10 см. 2) Г = 2.
Решение.
1) Изображение в первой линзе является мнимым источником для второй
линзы. По формуле линзы
1 , 1_1
а Ь ~ F'
Здесь а = —5 см, Ъ = 10 см. Отсюда фокусное расстояние F = —10 см, т. е. линза
рассеивающая.
2) Отношение размеров нового и старого изображений равно увеличению
Ь
а
второй линзы: Г =
= 2.
4.214.	1) 5 см. 2) 10см.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
425
Решение.
1) Предмет находится в фокусе рассеивающей линзы. В этом случае линза
создает мнимое вдвое уменьшенное изображение на расстоянии у = 5 см от
себя.
2) Так как итоговое изображение получается в натуральную величину, соби¬
рающая линза должна давать изображение с двукратным увеличением, поэтому
Г = Ь/а = 2 и расстояние от первого изображения до второй линзы a — hj2 —
— 15 см. Расстояние между линзами равно 15 — 5 = 10 см.
4.215.	3/2.
F
Решение. Увеличение, как известно, равно Г =
уравнение
а — F
По условию имеем
а
= ±
2а- F
О
у которого два решения: а = F/3, а = ^F (так как а > 0, линза обязательно
собирающая). Второе решение не подходит, так как новое изображение должно
быть прямым. Таким образом,
Г =
F
F
3
a - F
СО
1
~ 2
Возможен и другой подход: в рассеивающей линзе описанный случай невозмо-
r |F|
жен, так как увеличение Г =	^ не может увеличиться вдвое при увеличе¬
нии а в 2 раза. Стало быть, линза собирающая. После отодвигания изображение
мнимое (так как прямое), значит, и исходное изображение тоже мнимое. Следо¬
вательно, в обоих случаях b < 0 и в уравнении для увеличений следует брать
о F	F
знак плюс: 2—F.
а — F 2а — F
4.216. Г = 3.
4.217. Г = 5/2.
4.218. Г = 5.
4.219. 2 см.
Решение. Увеличение (отношение размеров изображения и предмета) Г =
Если F < 0, то зависимость Г(а) монотонна и описанная в
условии ситуация невозможна. Значит, линза обязательно собирающая. Из усло¬
вия Ti = Г2 получаем |<ц — F| = \а<2 — F|, т. е. два положения предмета распо¬
ложены симметрично относительно фокуса линзы. Пусть I = 1 см — расстояние
между положениями предмета, a L — 16 см — расстояние между изображения¬
ми. Тогда а\ = F — а2 = F + ~ и
Ь
F
а
a - F
L = Ь'2 — Ь\
<22 F
а2
a\F
а\ — F
(F+i)F
(F— i)F
4 F;
Таким образом, LI = 4F2 и F = \fLlf 2 = 2 см.
4.220.	Г = y/Tfl = 2.

426
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.221. F = \/Ы/2 = 3 см.
4.222. Г = sJTfl = 3.
4.223. 1) Используя формулу линзы, находим расстояние от линзы до экра¬
на: / = 4F = 60 см.
f
2) Поперечное увеличение Г =	=	3. Расстояние между крайними по¬
ложениями изображения в Г = 3 раза больше расстояния между крайними по¬
ложениями шарика.
3) Угол отклонения а нити от вертикали изменяется по гармоническому за¬
кону с амплитудой схо и циклической частотой со = y/g/l. Максимальная угловая
скорость шарика По = ооао = «о\rgjl ~ 0,5 с-1.
4) При гармонических колебаниях угловая скорость П шарика и угол откло¬
нения а нити от вертикали связаны равенством
(1L\2 + (sl\2 = 1 .
\ По ) V ао
Отсюда П = П0у 1 -	=	§П
Скорость шарика
о.
v = QI = По /у 1 —	=	^По/
Скорость изображения
г;из _ Tv - ГПо/у 1 ГМ -Гаоу^хД уао
2	   /	/	ч	2
а
По условию ^ = |. Тогда
П = ^По, v = П/ = ^По/,
'Сиз = Гг> = ^ГПоI = § Гсхо \/gl ~ 36 см/с.
Примечание. Для ответа на 3-й и 4-й вопросы можно использовать ЗСЭ.
Тогда понадобятся формулы для малых углов.
4.224. / = 3F — 60 см. Г = 2. По = Фо \fgfl ~ 0,5 с~]. -Сиз = §Гсро y/gl ~
~ 72 см/с.
4.225. / = 6F = 60 см. Г = 5. По = сt\/g/l ~ 0,5 с-1. г;Из = § Гс*о ^/gl, «
~ 15 см/с.
4.226. / = 5F — 60 см. Г = 4. По = Фоу/g/l ~ 0,5 с-1. г;из = §Перо ~
~ 13 см/с.
4.227. 1) Используя формулу линзы, находим расстояние от линзы до экра¬
на: / = 4 F.
f
2)	Поперечное увеличение Г =	/.	= 3. Изображение колеблется с ампли-
4jГ / О
тудой Лиз = Г Л = ЗЛ.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
427
3) Максимальная скорость груза Vm =
4) При гармонических колебаниях координата х груза и его скорость v свя
заны равенством
(*)а-(*)“=’■
Отсюда v = Vm J1 — (^) • При х = скорость груза г; =	=	%	"т
Скорость изображения vU3 = Tv — 2Vbnф.
4.228. f = 3F.Аиз = 2A. am = (^) А. г>из =
4.229. / = 6F. Айз = 5А. г;™ = ^А. w„3 = 4рЯ^.
4.230. / = 5F. Аиз =4А. ат = (Щ A. v„3 = ^я^.
4.231.	1)	Начальное поперечное увеличение Гх = 3.	yj-	= р Гх =
= A =*. dj = FV\+ - = 24 см.
d\	I	i
2)	Конечное поперечное увеличение Г2 = 3 ■ 2 = 6. d\ — d2 = F ^ ^г- — ут^ =
= Зсм. Линзу надо переместить на 3 см к грузу.
4.232. 1) Г! = 1; di = ^Flr^ 1 = 36 см.
2)	Гг = ^ • 12 = 6; d\ — d2 — F ^yjy- — у^ =22 см. Линзу надо переместить
на 22 см к шарику.
4.233. 1) Г] = 8; di = F Г-С+ 1 = 36 см.
i 1
2)	Г2 = | — 2; d\ — d-2 =	~	=	—12 см. Линзу надо переместить
на 12 см от болта.
4.234. 1) Ti = di = FT-Ff 1 = 80 см.
О	1	1
2)	Г2 =	^	^	d\	- d2 — F - у^-^ = —60 см. Линзу надо переме¬
стить на 60 см от гайки.
4.235. 1) Начальное поперечное увеличение Г: =2, ^4- уг-^ = -уг- =>■ d =
п Г1 4* 1 о
= h 1 —=— = 30 см.
1 1
2)	Конечное поперечное увеличение Гг = 3-2 = 6, ^ 4- ут^ = jr 4- jr.
l'1	(Ti	4	1)Гг	nn
г2 =	r i	—^	r=—	=	-90 см.
1 i — 1 2
4.236. Гх = 8; Г2 = | = 2.
1)	d = 36 см. 2) F2 = 96 см
4.237. Г1 = 1,5; Г2 = 1,5 • 4 = 6.
1)	d = 25 см. 2) F‘2 — —60 см
4.238. Гх = 6; Г2 = § = 2.
1)	d — 28 см. 2) /*г — 34 см.

428
ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.239. Для фотоаппарата предметом будет изображение монеты после вы¬
хода лучей из жидкости. Можно показать, что это изображение будет на рас¬
стоянии ^ от поверхности жидкости. Его размер равен размеру монеты.
1) Пусть Г — поперечное увеличение в объективе, / — расстояние от объ¬
ектива до изображения в фотоаппарате. Имеем ^ + J = Т1 d = j:- Отсюда
d = F(k + 1) = HF = 55 см.
2) h + % = d. Тогда n =	=	p(y_fЪ _	h = 1,5.
4.240. 1)	к = = 40; 2) Я = n{d - /7.) = 140 см.
4.241.	1)	/ = (I + l) Я = 9,3 см; 2) h = (fc + 1)F - Л = 180	cm.
4.242.	1)	/с = -pT— = '20; 2) h = ЛЛ +	Я2—- = 156 см.
/ - F	f	-
4.243. 1) i + Ъ = ±; 2) Я= |d= 10 cm.
h
2)	Изображение в линзе располагается внутри пластины на расстоянии ~
от ближайшей к линзе поверхности пластины. I Н- F = 2d. Отсюда I = 2d — ^ =
= 24 см.
4.244. 1) d	=	4F = 48 см; 2) п =	= -^=£— = 1,6.
7^	/	I
4.245.	1)	/ = -F = 30 см; 2) h = n(f — I)	= п ^F —	— 6 см.
4.246.	1)	F = ^ = 16 см; 2) x = Z -f n(f —	I) — 68 cm.
4.247.	1)	d =	If,	^ -h j = j;.	Отсюда	находим,	что	муха на расстоянии
2) Пусть луч, направленный вдоль скорости мухи, пересекает линзу на рас¬
стоянии Н от оптического центра линзы. Этот луч, преломившись в линзе, идет
в направлении движения изображения мухи под углом р к главной оптической
оси линзы. Тогда tgP = ////, tga = H/d. Отсюда tgр = tga/F, где Г = f/d —
поперечное увеличение. У нас Г = 5/2. Итак, tg(3 = 8/15.
3) Можно показать, что отношение проекций скоростей изображения и пред¬
мета на ось, направленную вдоль главной оптической оси линзы, равно Г2:
и cos р _ р2 0тсюда и — y2V . У нас Г = cosa = §, cosp = Щ. Полу-
V cos a	cos	р	2	5	1	17	J
i 7
чаем и =	■
4.248.	1)	|/|	=	jqF; 2) tgp = |.	р = § - а; 3)	и	=	||У.
4.249.	1)	|/|	=	2) tgp =	3) и =	Ц-V.
4.250.	1)	|/|	=	§F;	2) tgp = f;	3) u =	^V.
4.251. 1) d = 3F,i + j = f = |Я = 30см.
2)	tga = ■£ = (sina = c.osa =	.

ОПТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
429
3)	Г = i i — поперечное	увеличение. Можно	показать, что отношение
проекций скоростей изображения	и	предмета на ось,	направленную вдоль глав¬
ной оптической оси линзы, равно Г2: ис^а = Г2, и = Г v	—	0,85	см/с..
r	V	cos	а	60	’	1
4.252. 1) |/| =	=	24	см;	2)	tga	=	| ^sina = сова = ^; 3) и =
— i^V = 0,1 см/с..
4.253.	1) |/| = | F = 30 см;	2) tga = ^ = yj^	^sina = уу, cos а = уу) i
3)	и =	— 0,17 см/с.
4.254. 1) |/| = 3/г _ \2 см; 2) tga —	— \ (^smа ~ 5 ’ cosa = g) » 3) и —
= удУ — 0,05 см/с.

5. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
5.1. А,о = f—т	— 0,33 мкм,
р — 1 А
5.2. v — с
1+^-1
гас
W
тс
3,3 м/с.
WX
5.3.	Число фотонов, падающих на катод в единицу времени, Лф = Чис¬
ло электронов, вылетающих в единицу времени, Ne — ^. Количество фотонов,
Яф WXe	1 гл /л
приходящихся на один электрон, п —	=	100.
5.4.	v = cj 1
2W7
у тс тс
5.5.	Еу = Ч/0^ = 23,8 кэВ.
3,3 м/с.
Решение. Запишем закон сохранения энергии до испускания у-кванта и
после испускания:
Wo + Е0 +	FL = Wo + Еу +	*
2 га.
2тя
где Ео — энергия возбужденного состояния ядра,
Еу — энергия у-кванта, Ро — импульс ядра до ис¬
пускания у-кванта, Ря — импульс ядра после ис¬
пускания у-кванта. По условию Еу — Ео. Отсюда
следует, что Ро = Ря. Закон сохранения импульса
для системы «у-квант и ядро» в векторном виде изображен на рисунке. Посколь¬
ку Р0 = Ря, импульсный треугольник является равнобедренным, то
Еу
= 2Ро cosa.
При a == 60(
Еу = Р0с = Wo — = 23,8 кэВ
5.6. v =
5.7. v =
Е,
Мс2
Еу
Мс2
с — 63,2 м/с.
с = 63 м/с.
5.8. Еу = Мс2^ = 23,73 кэВ.
5.9. X =	—Т-г-	—	0,22	мкм.
А 4- eU3
Решение. Пусть длина волны света, падающего на катод, равна X. Тогда
энергия такого фотона
гр   he
Ф - Т’

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
431
где h — постоянная Планка, с — скорость света. Уравнение Эйнштейна для
фотоэффекта позволяет записать:
!f = A + EK,	(1)
где Ек — кинетическая энергия фотоэлектрона. Условие прекращение фототока:
Ек = eU3.	(2)
Из (1) и (2) находим длину волны света
А. = -т—д-с-тг = 0,22 мкм.
Л 4- еи3
5.10.	А — 	.— = 0,25 мкм.
А+ eQ
4 т'ог
5.11. К3 = I	Ш	-	А)	= 3,8 В.
5.12. Q =	Ш	-	А)	=	9,66	•	10“13 Кл.

Уважаемые читатели! Если вы заметили в нашей книге опечатку или ошибку, по¬
жалуйста, сообщите нам об этом по электронной почте publishers@mail.mipt.ru или
по адресу 141701, Московская область, г. Долгопрудный-1, ул. Циолковского, д. 4,
а/я 186, Издательство «Физматкнига». Это поможет сделать следующие издания кни¬
ги лучше!
Интернет-магазин литературы по физике и математике
www.fizmatkniga.ru
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ
для учащихся старших классов и абитуриентов
профильный уровень
Александров Дмитрий Анатольевич
Можаев Виктор Васильевич
Чешев Юрий Викторович
Чивилёв Виктор Иванович
Шеронов Александр Анатольевич
Издание шестое, стереотипное
Набор и верстка выполнены в издательстве «Физматкнига»
Редактор А. К. Розанов
Операторы верстки И. А. Розанов, Р. Д. Стрекалов
Художники А. И. Ажевский, М. В. Ивановский, И. П. Казанский,
А. В. Колесниченко, А. И. Чугуров
Издательство «Физматкнига».
141701, Московская область, г. Долгопрудный, ул. Академика Лаврентьева, д. 8.
Адрес для письменной корреспонденции
141701, Московская область, г. Долгопрудный-1, ул. Циолковского, д. 4, а/я 186.
Тел. (499) 390-51-38.
Подписано в печать 13.09.2017. Формат 60x88/16. Бумага офсетная.
Уел. печ. л. 27,0. Уч.-изд. л. 27,0. ТиражЗООэкз. Заказ № 5448
Отпечатано в АО «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская обл., г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. I