Текст
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию
ФИЗИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ (ВКЛЮЧАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ ВУЗЫ)
Под редакцией А. Г. Чертова
Издание пятое, переработанное
Москва «Высшая школа» 1987
ББК 22.5
Ф 50
УДК 530.1
Авторы:
А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов
Ф50 Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов (включая сельскохозяйственные вузы) / А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов — Лк: Высш, шк., 1987. — 208 с.: ил.
1704000000(4309000000)—280 . ББК 22.5
001(01)—87 — 53
Учебное
ФИЗИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений (включая сельскохозяйственные вузы)
Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Редактор JI. С. Куликова. Младший редактор Г. В. Вятоха. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор А. К. Нестерова. Корректор Г. И Кост-рикова.
Н/К
Изд. № ФМ—915/УМД. Сдано в набор 11.02.87. Подп. в печать 20.04.87. Формат 84Х108!/з2- Бум. кн.-журн. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 10,92. усл. печ. л. 11,02. усл. кр.-отт. 10,06 уч.-изд. л_ Тираж 200 000 экз. Зак. № 105. Цена 35 коп. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Ярославский полнграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР но делам издательств, полиграфии тл книжной торговли. 150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.
@ Министерство высшего и среднего специального образования СССР, 1987
ПРЕДИСЛОВИЕ
£•
Цель настоящего учебно-методического пособия — оказать помощь студентам-заочникам инженерно-технических специальностей высших учебных звведеиий в изучении курса физики.
Осиовиой учебный материал программы курса в пособии распределен иа шесть разделов. В каждом из них даны основные формулы, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения (с ответами) и контрольные задания. Кроме того, в пособии даны общие методические указания, сведения о приближенных вычислениях н некоторые справочные таблицы.
В пособии учтены особенности учебных планов разных специальностей — различие в числе контрольных работ и во времени, отводимом для изучения курса физики. Для этого даны две твблмды вариантов контрольных работ: одна—для студентов, выполняющих шесть контрольных работ, н вторая — для студентов, выполняющих четыре контрольные работы. Таблицы вариантов контрольных работ студентам специальностей, по которым предусмотрено выполнение только двух контрольных работ, рассылаются кафедрами физики учебных заведений.
3
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ФИЗИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ
СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ И ВУЗОВ*
Введение
Предмет физики. Методы физического исследования: опыт, гипотеза, эксперимент, теория. Роль физики в развитии техники и влияние техники на развитие физики. Связь физики с марксистско-ленинской философией и другими науками.
Физические основы классической механики
Механическое движение как простейшая форма движения материи. Представления о свойствах пространства и времени, лежащие в основе классической (ньютоновской) механики. Элементы кинематики материальной точки. Скорость и ускорение точки как производные радиуса-вектора по времени. Нормальное и тангенциальное ускорения. Радиус кривизны траектории. Поступательное движение твердого тела.
Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Закон инерции и инерциальные системы отсчета. Законы динамики материальной точки и системы материальных точек. Внешние и внутренние силы. Центр масс (центр инерции) механической системы и закон его движения Закон сохранения импульса.
Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Работа переменной силы. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних и внутренних сил, приложенвых к системе.
Поле как форма материи, осуществляющая силовое взаимодействие между частицами вещества. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку. Понятие о градиенте скалярной функции координат. Поле центральных сил. Потенциальная энергия системы. Закон сохранения механической энергии. Диссипация энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимое™ материи и ее движения. Применение законов сохранения к столкновению упругих и неупругих тел.
* Рабочая программа составлена на основе «Программы курса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений» (индекс УМУ-9/1). Утверждена Учебно-методическим управлением по высшему образованию Минвуза СССР 26 июия 1981 г.
4
Элементы кинематики вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с лииейиыми скоростями н ускорениями точек вращающегося тела. Момент силы и момент импульса механической системы. Момент силы относительно оси. Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения. Момент инерции тела относительно оси. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающегося тела. Закон сохранения момента импульса н его связь с изотропностью пространства.
Неииерциальные системы отсчета. Силы инерции.
-.Элементы специальной (частной) теории относительности
Преобразования Галилея. Механический принцип отиосительвости. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца. Понятие одновременности. Относительность длин и промежутков времени. Интервал между событиями и его инвариантность по отношению к выбору инерциальной системы отсчета как проявление взаимосвязи пространства и времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Основной закон релятивистской динамики материальной точки. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Энергия связи системы. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы. Границы применимости классической (ньютоновской) механики.
Механические колебания и волны в упругих средах
Гармонические механические колебания. Кинематические характеристики гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, физический и математический маятники. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда смещения и фаза вынужденных колебаний. Понятие о резонансе.
Волновые процессы. Механизм образования механических воли в упругой среде. Продольные и поперечные волиы. Синусоидальные (гармонические) волны. Уравнение бегущей волны. Длина волиы и волновое число. Волновое уравнение. Фазовая скорость и дисперсия волн. Энергия волны. Принцип суперпозиции волн и границы его применимости. Волновой пакет. Групповая скорость. Когерентность.
Интерференция волн. Образование стоячих воли. Уравнение стоячей волиы и его анализ.
Основы молекулярной фивики и термодинамики
Статистический метод исследования и его связь с учением диалектического материализма о соотношении случайности и необходимости. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесные состояния и процессы, их изображение на термодинамических диаграммах. Вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов для давления и его сравнение с
5
уравнением Клапейрона —- Менделеева. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул. Внутренняя энергия идеального газа. Работа газа пря изменении его объема. Количество теплоты. Теплоемкость. Первое начало термодинамики. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам и адиабатному процессу идеального газа. Зависимость теплоемкости идеального газа от вида процесса. Классическая молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей идеальных газов н ее ограниченность.
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Время релаксации. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах. Опытные законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения. Молекулярно-кинетическая теория этих явлений.
Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс (цикл). Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его КПД для идеального газа. Второе начало термодинамики. Независимость КПД цикла Карно от природы рабочего тела. Энтропия. Энтропия идеального газа. Статистическое толкование второго начала термодинамики. Критика идеалистического толкования второго начала термодинамики.
Отступления от законов идеальных газов. Реальные газы. Силы и потенциальная энергия меж молекулярного взаимодействии. Эффективный диаметр молекул. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Сравнение изотерм Ваи-дер-Ваальса с экспериментальными. Фазовые переходы I н II рода. Критическое состояние. Внутренняя энергия реального газа. Особенности жидкого и твердого состояний вещества.
Электростатика
Закон сохранения электрического заряда. Электрическое поле. Основные характеристики электростатического поля — напряженность и потенциал. Напряженность как градиент потенциала. Расчет электростатических полей методом суперпозиции. Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля в вакууме^ Применение теоремы Остроградского — Гаусса к расчету поля. Электрическое поле в веществе. Свободные и связанные заряды в диэлектриках. Типы диэлектриков. Электронная и ориентационная поляризация. Поляризованиость. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость среды. Вычисление напряженности поля в диэлектрике. Сегнетоэлектрики.
Проводники в электрическом поле. Поле внутри проводника и у его поверхности. Распределение зарядов в проводнике. Электроемкость уединенного проводника. Взаимная емкость двух проводников. Конденсаторы. Энергия заряженных проводника, конденсатора н системы проводников. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.
Постоянный электрический ток
Постоянный электрический ток, его характеристики и условия , существования. Классическая электронная теория электропроводности
6
металлов н ее опытные обоснования. Вывод закона Ома в дифференциальной форме из электронных представлений. Закон Видемана —= Франца. Закон Ома в интегральной форме. Разность потенциалов, электродвижущая сила, напряжение. Затруднения классической теории электропроводности металлов. Границы применимости закона Ома. Ток в газах. Плазма. Работа выхода электронов из металла. Термоэлектронная эмиссия.
к
Электром агнетизм
Магнитное поле. Магнитная индукция. Закон Ампера. Магнитное поле тока. Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. Магиитиое поле прямолинейного проводника с током. Магнитное поле кругового тока. Магнитный момеит витка стоком. Вихревой характер магнитного поля. Закон полного тока (циркуляция вектора магинтиой индукции) для магнитного поля в вакууме н его применение к расчету магнитного поля тороида и длинного соленоида. Действие магнитного поля на движущийся зарид. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Принцип дейстаия циклических ускорителей заряженных частиц. Эффект Холла. МГД-генератор. Контур с током в магнитном поле. Магнитный поток. Теорема Остроградского — Гаусса. Работа перемещения проводника И контура с током в магнитном поле.
Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея). Правило Леица. Закон электромагнитной индукции и его ВЫВОД ИЗ закона сохранения энергии. Явление самоиндукции. Индуктивность. Токи прн замыкании и размыкании цепи. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность. Энергия системы проводников с током. Объемная плотность энергии магнитного поля.
Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов. Типы магиетяков. Намагниченность. Микро- и макротоки. Элементарная' теория дна- и парамагнетизма. Магнитная восприимчивость вещества н ее зависимость от температуры. Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость среды. Ферромагнетики. Опыты Столетова. Кривая намагничивания. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Домены. Спиновая природа ферромагнетизма.
Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Ток смещения. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме.
Электромагнитные колебания и волны
Гармонические электромагнитные колебания и их характеристики. Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний. Электрический колебательный контур. Энергия электромагнитных колебаний. Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний и его решение. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и- фаза вынужденных колебаний. Случай резонанса. Электромагнитные волны. Дифференциальное уравиеиие электромагнитной волны. Основные свойства электромагнитных воли. Монохроматическая волна. Энергия электромагнитных воли. Поток энергии. Вектор Умова — Пойнтинга. Излучение диполя.
7
Волновая оптика
«-Интерференция света.«Когерентность и монохроматичность световых воли. ..Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Оптическая длина пути. < Интерференция света в тонких пленках. «Интерферометры.* Дифракция света.* Принцип Гюйгенса — Френеля.«Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. Дифракция Фраунгофера на одной щели и дифракциоииой решетке. Разрешающая способность оптических приборов. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа — Брэгга. Принцип голографии. Исследование структуры кристаллов.»Оптически неоднородная среда. Дисперсия света. Области нормальной и аномальной дисперии. Электронная теория дисперсии света. Эффект Доплера. Излучение Вавилова — Черенкова. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при отражении. «Закон—Брюстера. * Двойное лучепреломление. Одноосные кристаллы. Поляроиды и поляризационные призмы. *3акои Мадюса.
Квантовая природа излучения
‘Тепловое излучение.-Черное тело. ’ За кои Кирхгофа.* Закон Стефана — Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Плаика. Оптическая пирометрия. Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и ймпульс фотона. Давление света. Опыты Лебедева. Квантовое и волновое объяснения давления света.<Эффект Комптона и его теория. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения.
Элементы атомной физики и квантовой механики
Опытное обоснование корпускул яр ио-волнового дуализма свойств вещества. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей как проявление корпускулярно-волнового дуализма свойств материи. Волновая функция и ее статистический смысл. Ограниченность механического детерминизма. Принцип причинности в квантовой механике. Стационарные состояния.4Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Свободная частица. Туннельный эффект. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме». Квантование энергии и импульса частицы. Понятие о линейном гармоническом осцилляторе. Атом водорода. Главное, орбитальное и магнитное квантовые числа.
Опыт Штерна и Герлаха. «Спии электрона. -Спиновое квантовое число. Фермиоиы и бозоиы. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям. Понятие об энергетических уровнях молекул. Спектры атомов и молекул. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения. Понятие о лазере.
Элементы квантовой статистики и физики твердого тела
Фазовое пространство. Элементарная ячейка. Плотность состояний. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна.! Фатоииый и фоиои-
ный газы. Распределение фононов по энергиям. Теплоемкость кристаллической решетки. Сверхтекучесть. Понятие о квантовой статистике Ферми — Дирака. Распределение электронов проводимости в металле по энергиям при абсолютном нуле температуры. Энергия Ферми. Влияние температуры иа распределение электронов. Уровень Ферми. Внутренняя энергия и теплоемкость электронного газа в металле. Электропроводность металлов. Сверхпроводимость. Магнитные свойства сверхпроводника.
Энергетические зоны в кристаллах. Распределение электронов по энергетическим зонам. Валентная зона и зона проводимости. Металлы, диэлектрики и полупроводники. Собственная проводимость полупроводников. Квазичастицы — электроны проводимости и дырки. Эффективная масса электрона в кристалле. Примесная проводимость полупроводников. Электронный и дырочный полупроводники. Контактные явления. Контакт электронного н дырочного полупроводника (р-п-переход) и его вольт-амперная характеристика. Фотоэлектрические явления в полупроводниках. Люминесценция твердых тел.
Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
<3аряд, размер и масса атомного ядра. Массовое и зарядовое числа. Момент импульса ядра и его магнитный момент. Состав ядра. Работы Иваненко и Гейзенберга. Нуклоны. Взаимодействие нуклонов и понятие о свойствах и природе ядерных сил. Дефект массы и энергия связи ядра. Закономерности и происхождение альфа-, бета- и гамма-излучений атомных ядер. Ядерные реакции и законы сохранения. Реакция деления ядер. Цепная реакция деления. Понятие о ядерной энергетике. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций. Элементарные частицы. Их классификация н взаимная пре-вращаемость.«»Четыре типа фундаментальных взаимодействий; сильные, электромагнитные, слабые и гравитационные. Понятие об основных проблемах современной физики и астрофизики.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. Поли. собр. соч. Т. 18.
Трофимова Т. И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1985.
Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1973—1979. — Т. 1, 2, 3.
Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс обшей физики. — М.: Наука, 1972—1974. — Т. 1, 2, 3.
Савельев И. В. Курс обшей физики. — М.: Наука, 1977—-1979.— Т. 1, 2, 3.
Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. — М.: Наука, 1979.
Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. — М.: Высшая школа, 1981.
9
Дополнительная
Стрелков С. П. Меха инка. — М.: Наука, 1975.
Кикоин И. К-, Кикоин А. К. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1976.
Калашников С. Г. Электричество. — М.: Наука, 1977.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977—1980.— Т. I, 2, 3, 4.
Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1976, 1986.
Матвеев Л. Н. Молекулярная физика. — М.: Высшая школа, 1981.
Матвеев А. И. Электродинамика. — М.: Высшая школа, 1980.
Епифанов Г. И., Мома Ю. А. Твердотельная электроника. — М.: Высшая школа, 1986.
Сена Л. А. Единицы физических величии и их размерности. — М.: Наука, 1977.
Чертов А. Г. Единицы физических величин.—М.: Высшая школа, 1977.
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1. За время изучения курса общей физики студент-заочник должен представить в учебное заведение в зависимости от специальности от двух до шести контрольных работ.
2. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблицам вариантов (см., например, с. 35).
3. Контрольные работы нужно выполнять чернилами в школьной тетради, на обложке которой привести сведения по следующему образцу:
Студент строительного факультета ВЗПИ Киселев А. В.
Шифр 257320
Адрес: г. Каргополь Архангельской обл., ул. Сергеева, 2, кв. 5 Контрольная работа 1 по физике
4. Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставлять поля.
5. В конце контрольной работы указать, каким учебником или учебным пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год издания). Это делается для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.
6. Высылать на рецензию следует одновременно не более одной работы. Во избежание одних и тех же ошибок очередную работу следует высылать только после получении рецензии на предыдущую.
7. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения которых
оказались неверными. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтенной.
8. Зачтенные контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов во время экзамена дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольные работы.
9. Решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это возможно, дать чертеж, выполненный с помощью чертежных принадлежностей.
10. Решать задачу надо в общем виде, т. е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величии, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.
11. После получения расчетной формулы для проверки правильности ее следует подставить в правую часть формулы вместо символов величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно (см. пример 4 иа с. 53 и пример 3 на с. 78).
12. Числовые значения величин при подстановке нх в расчетную формулу следует выражать только в единицах СИ. В виде исключения допускается выражать в любых, но одинаковых единицах числовые значения однородных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени (см. пример 7 на с. 23).
13. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти- Например, вместо 3520 надо записать 3,52-103, вместо 0,00129 записать 1,29-10-3 и т.п.
14. Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением правил приближенных вычислений (см. в «Задачнике по физике» А. Г. Чертова, А. А. Воробьева Приложение о приближенных вычислениях). Как правило, окончательный ответ следует записывать с тремя значащими цифрами. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора.
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Основные формулы
Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х
где f(f) — некоторая функция времени.
Проекция средней скорости на ось х
<“«>=-£•
Средняя путевая скорость
, ч As
<“>=-£/-
где As — путь, пройденный точкой за интервал времени AL Путь As в отличие от разности координат Дх = = Х2 — Xi не может ^убывать и принимать отрицательные значения, т. е. As^O.
Проекция мгновенной скорости на ось х
Проекция среднего ускорения на ось х
, v До*
<««>=-дГ-
Проекция мгновенного ускорения на ось х
du,
Ох = —- .
d/
Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности
<р = ^(7), г = /? = const.
Модуль угловой скорости
Модуль углового ускорения
е= <й ‘
13
Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:
v = idR, at = e.R, ап — to2/?,
где v — модуль линейной скорости; и ап — модули тангенциального и нормального ускорений; ю — модуль угловой скорости; е — модуль углового ускорения; /? — радиус окружности.
Модуль полного ускорения
а = \[ап-\-а% , нли а = я/ё^+ю4-
Угол между полным а и нормальным а^ ускорениями a — arc cos (ап/а).
Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки
х = A cos ((at +<р),
где X — смещение; А — амплитуда колебаний; <о — угловая или циклическая частота; ср — начальная фаза.
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
v=—Лео sin (оГЦ-<р); а=—Am2 cos (со£<р)в
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
а) амплитуда результирующего колебания
А Л1+Л,+2Л1Л2 cos(q>2 — <р,);
б) начальная фаза результирующего колебания
W = ill С —Z-------.
V & COS<pj+/12 COStfj
Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,
х = Д1СО5<о/; у — ^2cos(to/-|-(p):
а) У = -^~х, если разность фаз ср=О;
б) У='---если разность фаз <р=±и;
в) -тг+-7Г= 1, если разность фаз
/11 /ig
14
Уравнение плоской бегущей волны у = A cos со (^t — ,
где у — смещение любой из точек среды с координатой х в момент t\ v — скорость распространения колебаний в среде.
Связь разности фаз Дер колебаний с расстоянием Ах между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;
А 2л д
Д<р=—Дх,
где X — длина волиы.
Импульс материальной точки массой т, движущейся со скоростью V,
Р = гпм.
Второй закон Ньютона
dp == F d/,
где F — результирующая сила, действующая на материальную точку.
Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости
F = — kx,
где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); х — абсолютная деформация;
б) сила тяжести
Р = mg;
в) сила гравитационного взаимодействия
F= Q /zL'"tg г~ ’
где G — гравитационная постоянная; mi и тг—массы взаимодействующих тел; г — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность G гравитационного поля:
F= mG;
iS
г) сила трения (скольжения)
F=fNt
где f — коэффициент трения; N — сила нормального давления.
Закон сохранения импульса
N
У, pr = const,
или для двух тел (1=2)
tniVi 4-wieV2=/HiUi 4- m2u8,
где Vi и V2 — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; tii и u2 — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,
Т = nw2/2, или Т = pz/(2m).
Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины П = l/2fex2,
где k — жесткость пружины; х — абсолютная деформация;
б) гравитационного взаимодействия
П = — Gm\m^/rt
где G — гравитационная постоянная; mi и — массы взаимодействующих тел; г — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
П = mgh,
где g — ускорение свободного падения; h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии где R— радиус Земли).
Закон сохранения мехаиической энергии
Е = Т+П = const.
Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:
А = ЛГ= Л —Л.
i6
Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z
Мг =
где Мг — результирующий момеит внешних сил относительно оси 2, действующих на тело; в — угловое ускорение; Jz — момент инерции относительно оси вращения.
Моменты инерции некоторых тел массой т относительно оси z, проходящей через центр масс:
а) стержня длиной I относительно оси, перпендикулярной стержню,
Л = 1
б) обруча (тонкостейиого цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
/г= т/?2, где — радиус обруча (цилиндра);
в) диска радиусом /? относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
1г = 'limR2.
Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,
Lz — J zCO, где со — угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,
Jz(d = const, где Jg — момент инерции системы тел относительно оси z; со — угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,
Т = 1 /2/или Т =
Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А -\-Bt-]-Ct3, где А = 2 м, В= = 1 м/с, С — —0,5 м/с3. Найти координату х, скорость vx и ускорение ах точки в момент времени £=2с.
17
Решение. Координату к найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени it
х=(2+1-2-0.5-23) м = 0.
Мгновенная скорость относительно оси к есть первая производная от координаты по времени:
Иж = -^=В + ЗСЛ
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
а, = =- = 6СЛ
ш
В момент времени t = 2с
= —3-0.5-22) м/с = —5 м/с; а* = 6(—0,5)-2 м/с2 =—6 м/с2.
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону (p=A-j-^A~Ci2, где Л —10 рад, В = 20 рад/с, С =— 2 рад/с2. Найти полисе ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени £=4 с.
Решение. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения at, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения ап, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1):
а = ат + ап.
Так как векторы ат и ап взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения
\ a а? + а'. (1)
Модули тангенциального и нормального' ускорения точки пп/ / вращающегося тела выражаются
| X формулами
аг — е.г, ап = со2г,
У где ю — модуль угловой скорости —тела; е — модуль его углового, Рис. 1 ускорения. i и
18
Подставляя выражения at и ап в формулу (1), находим __________ ___________
а = \/ е2г24~со4г2 =^= rj е2 + со*. (2)
Угловую скорость со найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:
ш = = В + 2СЛ
В момент времени /=4с модуль угловой скоростй со = [ 20 }-2( 2) 4] рад/с=4 рад/с. Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорсти по времени:
е = dco/d/ =2С=—4 рад/с2.
Подставляя значения со, е и г в формулу (2), получаем
а = 0,1д/ (—4)2 + 44 м/с2= 1,65 м/с2.
Пример 3. Ящик массой mi=20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной /—2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой тз=80кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Опре
делить скорость и тележкн с ящиком, если лоток наклонен под углом сс=30° к рельсам.
Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести mig и m^g и сила реакции Na (рис. 2). Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик — тележка нельзя. Но так как проекции указанных сил иа направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импуль-
са системы на это направление можно считать постоянной, т. е.
pl* + p2x = pu+ps*, (1) где pix и рчх — проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p'ix и р'ъх — те же величины после падения ящика.
19
Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р2х=0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью и:
rriiVix — (mi Ч-т2) и,
или
miVi cosa = (mi + ^2) и, где vt — модуль скорости ящика перед падением иа те-, лежку; i/lx = vicosa—проекция этой скорости на ось к.
Отсюда и = miVi cosa/(mi -j-mg). (2)
Модуль скорости Vi определим из закона сохранения энергии:
mtgh= 1 /smiZJh
где ft = /sina, откуда
vt =V ^gl sin a?
Подставив выражение vj в формулу (2), получим _________________ т sin a cos а
После вычислений найдем
2№V2 29^8205ln3°- COS 30° м/с = = 0,2\/ 19,6 • 0,867 м/с = 0,767 м/с.
Пример 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной L. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.
Решение. Систему человек — лодка относительно горизонтального направления можно рассматривать как замкнутую. Согласно следствию нз закона сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе человек — лодка, можно считать, что при перемещеиин человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. останется иа прежнем расстоянии от берега.
20
Пусть центр масс системы человек—лодка находится на' вертикали, проходящей в начальный момент через точку Ci лодки (рис. 3), а после перемещения лодки — через другую ее точку С2. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодкн относительно вертикали.
А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки. Как видно из рис. 3, в начальный момент точка О находится на расстоянии ai слева от вертикали, а после перехода человека — на расстоянии а2 справа от вертикали. Следовательно, искомое перемещение лодки
S = G] -|- ^2-
Для определения и а2 воспользуемся тем, что результирующий момент сил, действующих иа систему относительно горизонтальной оси, перпендикулярной продольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы Mgai = mg(l — ), откуда
ai = ml/(M + m).
После перемещения лодки Mgd2 = mg(L — d2 — I), откуда
a2 = m(L —/)/(М +m).
Подставив полученные выражения aj и a2 в (1), найдем
s = -sn—< + —(t — t), или « = -7^-;—L.
M -f- m 1 M-[-m v ' M + m
Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой т=20 г поднялась на высоту h=5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если оиа была сжата на х=10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.
Решение. Рассмотрим систему пружина — пуля. Так как иа тела системы действуют только консерватив
21
ные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Ei системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии £\> в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h)t т. е.
E^EZ, или П + П| = Гг + Пг, (1)
где Pi, Тг, П| и П2 — кинетические и потенциальные энергии системы в начальном н конечном состояниях. Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид
lb = П2. (2)
Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоятся на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. П1 = 1 /zkx2, а в конечном состоянии — потенциальной энергии пули и а высоте h, т. е. П2 = mgh.
Подставив выражения IL и П2 в формулу (2), найдем */zkx2=mgh, откуда
k = 2mgh/x2. (3)
Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы*:
lml [gl [ftl _ 1 КГ-1 м-сг-1 М __ 1 КГ - М С _ . ] , , [х] ~ Г м2 1м ' '
Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1 Н/м), подставим в формулу (3) значения величии и произведем вычисления:
, 2-0,02-9,81-5 и . ...
k =----Tojp---н/м =196 Н/м.
Пример 6. Шар массой т\, движущийся горизонтально с некоторой скоростью Vi, столкнулся с неподвижным шаром массой пг2- Шары абсолютно упругие, удар
* Единицу какой-либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенным в квадратные скобки.
22
прямой, центральный. Какую долю е своей кинетической энергий первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением
е = — = = т2( 2 (1 \
Ft mtv'i mt \ at/ ’ ' '
к '
где Л— кинетическая энергия первого шара до удара; itz и Т2 — скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (1), для определения в надо иайти U2- Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления ие изменяется н механическая энергия шаров в другие виды ие переходит. Пользуясь этим, найдем:
m\Vi — miUt +mzU2; (2)
mtvl _ miul . msul (3)
2 2 2 ’
Решим совместно уравнения (2) и (3):
2т । i/i «2 =----:--.
Подставив это выражение в формулу (1) и сократив на uj и mi, получим
е___ ms Г 2m,ui 1 2________ 4т,т2
/П1 |_ ft(/nt + ms)J (ini +
Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся
шаров.
Пример 7. Через блок в виде сплошного диска, имею-
щего массу т=80 г (рис. 4), перекинута инть, к концам которой подвешены грузы с массами mi — 100 г и т2 = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Треиием и массой нити пренебречь.
Решение. Рассмотрим силы, действующие и а каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для
тонкая гибкая
Рис. 4
23
каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза
mig — Ti = m,a-, (1)
для второго груза
mag — Tz= т2а. (2)
Под действием моментов сил Т\ и Т2 относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение е. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,
Т& — Т\г = /ге, (3)
где ъ=а/г\ — момент инерции блока (сплош-
ного диска) относительно оси z.
Согласно третьему закону Ныотона, с учетом невесомости иитн Т\=Т\, Tf2=Ti. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо Т\ и Т2 выражения Т\ н Г2, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):
(m2g — m2a)r — (tn\g + m\a)r~ mr2a/(2r).
После сокращения на г и перегруппировки членов иаЙДеМ _ m2-m,
a (4)
Формула (4) позволяет массы ть т2 и т выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение — в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим
° = (200 + 100 + 80/2) г ‘9’81 М/с2 = 2’88 М/с2'
Пример 8. Маховик в виде сплошного диска радиусом /?=0,2 м и массой т=50 кг раскручен до частоты вращения П\ = 480 мин“‘ и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через Z=50 с. Найти момент М снл треиия.
Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде
dL± = Mzd/, (1)
где dLz — изменение проекции иа ось z момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадаю
24
щей с геометрической осью маховика, за интервал времени d/; Мг — момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно ОСИ Z.
Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (AL=const), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению
ДЛ2 = МгМ. (2)
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение проекции момента импульса
ДЛ2 = /2Дш, (3)
где — момент инерции маховика относительно оси г; Д<л — изменение угловой скорости маховика.
Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим Л4-Д/ = /гД<о, откуда
= (4)
Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле
1г=' famR2.
Изменение угловой скорости Д(о = (ог— wi выразим через конечную пг и начальную п\ частоты вращения, пользуясь соотношением <о = 2лп:
Доз = (02 — <oi = 2лПг — 2лН1 = 2л(п2—rti)-
Подставив в формулу (4) выражения /, и Дсо, получим
Л42 =лщ/?2(пг —П1)/Д/. (5)
Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы (Н-м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:
[ mJ [ /?2] [ «I 1кг-1м2-1с“‘ , —21 и
1 н и I. _--------------_ 1 кг • м • с • 1 м = 1 Н-м.
И 1 с
Подставим в (5) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая, что щ = 480 мин-1 = = 480/60 с-1 = 8 с-1:
.. 3,14-60-(0,2)®-(0—8) u . г,
Мг——-----------------Н • м = — 1 Н-м.
25
Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.
Пример 9. Платформа в виде сплошного диска радиусом JM,5m и массой т1=180кг вращается около вертикальной оси с частотой п—10 мин . В центре платформы стоит человек массой /712=60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа — человек остается постоянной:
Lz=72<о=const, (1)
где /2 — момент инерции платформы с человеком относительно оси z; со — угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому В начальном состоянии 7Ж= 71+72, а в конечном состоянии 72 = =Л+Л-
С учетом этого равенство (1) примет вид
(7 > + 7г)<о = (7( + 7г)<о*, (2)
где значения моментов инерции Л и /2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоя.-иию системы; 7( и 7£ — к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: 7j = 7( == '/г/шЯ2. Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции 7г в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека 7g=m27?2.
Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ы=2лп) и конечной угловой скорости (и* =£>//?, где v — скорость человека относительно пола):
+ 0)2лл =('/2m\R2 + m2R2)v/R.
После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость:
v = 2nnRtni/(mi+2ш2).
26
Произведем вычисления.
2-3.14-1.1.5-180
°=----йо+Гёо—м/с=1 м/с-
Пример 10. Ракета* установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37-106 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.
Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,
1 Т} + П| = Г2Н-П2, (1)
где П< и Г2, П2—кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.
Согласно определению кинетической энергии, Ti= l/2mvi.
Потевцнальная энергия ракеты в начальном состоянии*
П, = — GmM/R
По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая — убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Г2 станет равной нулю, а потенциальная — достигнет максимального значения:
112=— GmM/(2R).
Подставляя выражения Пц Т? н П2 в (1), получаем mvl/2— GmM/R= —GmM/(2R),
откуда
Vl = ^GM/R.
* Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел. бесконечно удаленных друг от дуга, принимается равной нулю.
27
Заметив, что GM/R2= g (g— ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде ___
vt = ^fgR,
что совпадает с выражением для первой космической скорости.
Произведем вычисления:
v 1 = д/9,8 «6,37 • 106 м/с=7,9 км/с.
Пример 11. Точка совершает гармонические колебания с частотой v= 10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: хгаак= 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.
Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде
х=A sin(w/4- ф1), (1)
где А — амплитуда колебаний; со — циклическая частота; t — время; ф! — начальная фаза.
По определению, амплитуда колебаний
А=Хп\ах‘ (2)
Циклическая частота ы связана с частотой v соотношением
(i)=23lV. (3)
.Для момента времени /=0 формула (1) примет вид Xmax=4sinq>i,
откуда начальная фаза
ф, = arcsin(xmeK/4) = arcsin 1, или
ф1 = (2*4-1)31/2 (* = 0,1,2,...).
Изменение фазы иа 2л ие изменяет состояния колеблющейся точки, поэтому можно принять
q>i = л/2. (4)
С учетом равенств (2) — (4) уравнение колебаний примет вид
х= A sin(2jrvZ 4- ф), или x=/4cos2jtv^, где А = 1 мм= 10-3 м, v= 10 Гц, ф=зт/2.
28
График соответствующего гармонического колебания приведен на рис. 5.
Рис. 5
Пример 12. Частица массой т=0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Г=2с. Полная энергия колеблющейся частицы £=0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы £niax, действующей на частицу.
Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:
£ = 1/гты2 *А2г
где о) = 2л/Т. Отсюда амплитуда
2л V m ’
(1)
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая иа нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением £=—kx, где k — коэффициент квазиупругой силы; х— смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении хтВх, равном амплитуде:
£тах=М. (2)
Коэффициент k выразим через период колебаний: /?=/щр2=ги-4л2/Г2. (3)
Подставив выражения (1) и (3) в (2) и произведя упрощения, получим
Fmax = 2Л'\/2/п£ГIТ.
Произведем вычисления:
л 2 -^ / 2-10~~4 2-3,14 V Ю-«
м — 0,045 м — 45 мм;
29
F,„,= 2'3’HV2-10-M0~4 H = 4,44-10“3 H = 4.44 mH.
Пример 13. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями
Xi = А। cos-y-(/4-Ti); х2= A2cos-~( t
где A i = 3 см, А2=2см, ti = 1/6c, Т2=1/Зс, Г=2с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.
Решение- Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме х= Acos(oj/+(p), получим
. / 2л . . 2л \ л / 2л . , 2л \
xj = /4icosf — t-l——тЛ ; x2=A2cosf — «4—^-t2J .
Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту
(д=2л/Г.
Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны
„„ 2л . 2л
<Р1——Tt; ф2 = — Т2-
Произведем вычисления:
2л 2л __t о . . __1
<0=-*——с = 3,14 с ;
Г 2 ’ ’
2 л I оЛО 2 л 1
Ф1= —-g-рад=30 ; Ф2=“2-^- рад = 60 .
Изобразим векторы Ai и А2. Для этого отложим отрезки длиной А| = 3см н А2=2 см под углами ф| = 30° и ф2—60° к оси Ох. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой ю и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд Ai и А2: A = Ai+A2. Согласно теореме косинусов,
А = д^А? 4~ А2 4“ 2 A |z42cos((p2—•
30
Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 6):
Л| sin <pi -p-dgsinipa
A |COS <j?l -pjAjCOSIps ‘
Произведем вычисления:
А=V^+22+2 - 3 2 cos(60°—30°) см = 4,84 см;
, 3sin30°-|-2sin60e
<р—arctg 3cos30o+2cos60<
arctg 0,898 = 42°,
или <p= 0,735 рад.
Так как результирующее колебание является гармоническим. имеет ту же частоту, что и слагаемые колеба иия, то его можно записать в виде
х = A cos (со/ + ср), где Д = 4,84 см, со = 3,14с~’, ср=0,735рад.
Пример 14. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью v = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях Х| = 12м и xg= = 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз Д(р= 0,75л. Найти длину волиы к, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент /=1,2с, если амплитуда колебаний Д = 0,1 м.
Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны 1, колеблются с разностью фаз, равной 2л; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Ах, колеблются с разностью фаз, равной
Аср = А*•2п/А=(^2 — -*1) • 2л/Х.
Решая это равенство относительно А., получаем
X=2n(*2—Jti)/Acp. (1)
Подставив числовые значения величин, входящих в выражение (1), и выполнив арифметические действия, получим
, 2л(15—12) о
1=——-м —8 м.
0,75л
31
Для того чтобы иаписать уравнение плоской волны, надо еще иайти циклическую чвстоту со. Так как со = = 2л/Т (Т—к/и — период колебаний), то
co = 2jw/X.
Произведем вычисления:
2л-20 _j - _i со =——с = плс .
Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту со и скорость v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:
t/=4cosco(f—x/v), (2)
где Д = 0,1 м, со —5ncJ, v = 20 м/с.
Чтобы иайти смещение у указанных точек, достаточно в уравнение (2) подставить значения t и х:
ух = 0.1 соз5л( 1,2 — 12/20) м = 0,1 cosЗл м = —0,1 м;
02=О.1 cos 5л( 1.2—15/20) м = 0,1 cos2,25n м = = 0,1 cos 0,25л м = 0,071 м = 7,1 см.
Задачи для самостоятельного решения
1. Точка движется по окружности радиусом /? = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением $ = Д-|-В/2, где Д = 8м, В=—2 м/с2. Определить момент времени i, когда нормальное ускорение ап точки равно 9 м/с2. Найти скорость v, тангенциальное ат и полное а ускорения точки в тот же момент времени t. [1,5 с; —6 м/с; —4 м/с2; 9,84 м/с2]
2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям.* xi = 4if + ZM2 + C|f3 и Xz=Azt + Bzt2 + C2f3, где Д| = 4м/с, В| = 8м/с2, Ci = — 16 м/с3, Д2 = 2м/с, В2 = = —4 м/с2, С2= 1 м/с3. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости Vi и точек в этот момент. [0,235 с; 5,1 м/с; 0,286 м/с)
3. Шар массой гп1=10кг сталкивается с шаром массой т2—4 кг. Скорость первого шара vi=4 м/с, второго— ц2=12м/с. Найтн общую скорость и шаров после Удара в двух случаях: 1) малый шар изгоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу. Удар считать прямым, центральным, неупругнм. [6,28 м/с; —0,572 м/с]
4. В лодке массой М = 240кг стоит человек массой
32
m = 60 кг. Лодка плывет со скоростью v = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью н=4 м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодки; 2) в сторону, противоположную движению лодки. [1 м/с; 3 м/с]
5. Человек, стоящий в лодке, сделал шесть шагов вдоль иее и остановился. На сколько шагов передвинулась лодка, если масса лодки в два раза больше (меньше) массы человека? [2 шага; 4 шага]
6. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой т=5г. Жесткость пружины Л = = 1,25 кН/м. Пружина была сжата на Д/=8см. Определить скорость пульки при вылете ее из пистолета. [40 м/с]
7. Шар массой mi = 200 г, движущийся со скоростью v\ = 10 м/с, сталкивается с неподвижным шаром массой /722 = 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упругий. Определить скорости шаров после столкиовення. [—6 м/с; 4 м/с]
8. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром н передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара больше массы первого? [В 4 раза]
9. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг осн, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра mi = 12 кг. На цилиндр намотали шнур, к которому привязали гирю массой т2 — 1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяжения шнура во время движения гирн? [1,4 м/с2; 8,4 Н]
10. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами mi = 100r н т2=300 г. Массу колеса М=200 г считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы натяжения нити по обе стороны блока. [3,27 м/с2; 1,31 Н; 1,96 Н]
II. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость <о= = 63 рад/с и предоставили нх самим себе. Под действием сил трения маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N= 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз? [У первого больше в 1,2 раза]
2—105
33
12. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой Л = 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатнтсн с наклонной плоскости? [3,55 м/с]
13. На верхней поверхности горизонтального диска, который может вращаться вокруг верти калькой осн, проложены по окружности радиусом г=50 см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска М=10кг, его радиус /?=60см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой т— 1 кг и выпущеи нз рук. Ои начал двигаться относительно рельсов со скоростью v =0,8 м/с. С какой угловой скоростью будет вращаться диск? [0,195 рад/с]
14. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой «1 = 14 мнн-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до П2=25мнн“|, Масса человека «1 = 70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать кйк для материальной точки. [210 кг]
15. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте //=3200 км иад поверхностью Земли. Определить линейную скорость спутника. [6,45 км/с]
16. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки х = 5см, скорость ее и=20см/с и ускорение а=—80 см/с2. Найти циклическую частоту и период колебаний, фазу колебаний в рассматриваемый момент времени н амплитуду колебаний. [4 с-1; 1,57 с; эт/4; 7,07 см]
17. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 4sinwf, где Д = 5см, со = = 2 с-1 Найти момент временя (ближайший к началу отсчета), в который потенциальная энергия точки П= = 10-4 Дж, а возвращающая сила F— +5-10-3 Н. Определить также фазу колебаний в этот момент времени. [2,04 с; 4,07 рад]
18. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой, имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найтн разность фаз складываемых колебаний. [120° или 240°]
19. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным иаправлениям и выражаемых уравнениями х= Xicoswi/
34
и у = ^2CoSft>2(f-рс), где Д| = 4см, wi = nc_J, Дг = 8см, (1)2 = л с"1, т= 1 с. Найти уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба. [2х-Ьу=0]
20. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью и = 15 м/с. Период колебаний точек шнура Г=1,2с. Определить разность фаз Дер колебаний двух точек, лежащих и а луче и отстоящих от источника воли на расстояниях х1 = 20м н *2= 30 м. [200°]
Контрольная работа 1
Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики четыре и шесть контрольных работ
Вариант Номера задач
0 ПО 120 130 140 150 160 170 180
1 101 111 121 131 141 151 161 171
2 102 112 122 132 142 152 162 172
3 103 113 123 133 143 153 163 173
' 4 104 1Г4 124 134 144 154~ 164 174
5 105 115 125 135 145 155 165 175
6 106 116 126 136 146 156 156 176
7 107 117 127 137 147 157 167 177
8 108 118 128 138 148 158 168 178
9 109 119 129 139 149 159 169 179
101. Тело брошено вертикально ваерх с начальной скоростью Vo = 4 м/с. Когда оио достигло верхней точки полета нз того же начального пункта, с той же начальной скоростью ио вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.
102. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением о=5м/с2. Определить, на сколько путь, пройденный точкой в н-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять и0 = 0.
103. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми сс=60°. Скорость автомашин щ = = 54 км/ч н 1/2=72 км/ч. С какой скоростью v удаляются машины одна от другой?
104. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью Vo= 10 м/с и постоянным ускорением а=—5 м/с2. Определить, во сколько раз путь As, пройденный материальной точкой, будет превышать мо
2*
35
дуль ее перемещения Аг спустя /=4с после начала отсчета времени.
105. Велосипедист ехал нз одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью uj=18 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью V2—22 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью ^3=5 км/ч. Определить среднюю скорость (в) велоснпеднста.
106. Тело брошено под углом а=30° к горизонту со скоростью ио=30 м/с. Каковы будут нормальное ап н тангенциальное ускорения тела через время t= 1 с после начала движения?
107. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью со = л/6 рад/с. Во сколько раз путь As, пройденный точкой за время /=4 с, будет больше модуля ее перемещения Аг? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор г, задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол <р0=л/3 рад.
108. Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям х=.Ai-p/MH-Cif2 н у = Д2+^2^+ 4-С*2*2, где 2?i=7 м/с, С\=—2м/с2, В2= —1 м/с, С2= =0,2м/с2. Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени Z=5c.
109. По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью (0=1 рад/с платформы идет человек и обходит платформу за время /=9,9с. Каково наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли? Принять радиус платформы /?=2м.
ПО. Точка движется по окружности радиусом /?= = 30 см с постоянным угловым ускорением е. Определить тангенциальное ускорение аг точки, если известно, что за время /=4с она совершила трн оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение ап=2,7 м/с2.
111. Прн горизонтальном полете со скоростью v = = 250 м/с снаряд массой т=8кг разорвался на две части. Большая часть массой mi = 6 кг получила скорость «1 = 400 м/с в направлении полета снаряда. Определить модуль и направление скорости «2 меньщей части снаряда.
112. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью v(=3 м/с, в сторону, противоположную движению тележки, прыгает человек, после чего скорость телеЖкн изменилась и стала равной «1=4 м/с. Определять горизонтальную составляющую
36
скорости U2x человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки mi=210 кг, масса человека тг=70 кг.
113. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом а=30° к линии горизонта. Определить скорость отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью «1=480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами /П2=18т, масса снаряда mi — =60 кг.
114. Человек массой иц=70кг, бегущий со скоростью Vi=9 км/ч, догоняет тележку массой Ш2=190кг, движущуюся со скоростью 02=3,6 км/ч, н вскакивает иа нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком? С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком, еслн человек до прыжка бежал ^навстречу тележке?
115. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой mi = 2,5 кг под углом а= 30° к горизонту со скоростью 0 = 10 м/с. Какова будет начальная скорость во движения конькобежца, если масса его m2 = 60 кг? Перемещением конькобежца во время броска пренебречь.
116. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доскн стоит человек. Масса его т\ = 60 кг, масса доски тг = 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, еслн человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) 0=1 м/с? Массой колес и трением пренебречь.
117. Снаряд, летевший со скоростью и= 400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью ti\ = 150 м/с. Определить скорость нг большего осколка.
118. Две одинаковые лодки массами т — 200 кг каждая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v = 1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую н со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами mi = 200 кг. Определить скорости Ui и «2 лодок после перебрасывания грузов.
119. На сколько переместится относительно берега лодка длиной /=3,5 м и масоо*. mi = 200 кг, еслн стоя
37
щий иа корме человек массой тч = 80 -кг переместится на иос лодкн? Считать лодку расположенной перпендикулярно берегу.
120. Лодка длиной 1 = 3 м н массой т = 120 кг стоит на спокойной воде. На носу н корме находятся два рыбака массами mi = 60 кг и m2 = 90 кг. На сколько сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?
121. В деревянный шар массой mi =8 кг, подвешенный на ннтн длиной I = 1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой т2 = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ием пулей отклонилась от вертикали на угол а=3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.
122. По небольшому куску мягкого железа, лежащему и а наковальне массой лц = 300 кг, ударяет молот массой т2 = 8 кг. Определить КПД т] удара, если удар иеупру-гий. Полезной считать энергию, затраченную иа деформацию куска железа.
123. Шар массой т\ = I кг движется со скоростью Vi = 4 м/с н сталкивается с шаром массой тч ~ 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью V2 = 3 м/с. Каковы скорости Ui и ич шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
124. Шар массой т\ = 3 кг движется со скоростью щ — 2 м/с н сталкивается с покоящимся шаром массой /и2=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
125. Определить КПД т] неупругого удара бойка массой mi = 0,5 т, падающего на сваю массой тч = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.
126. Шар массой mi = 4 кг движется со скоростью Vi = 5 м/с н сталкивается с шаром массой тч = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью V2 = = 2 м/с. Определить скорости Ui и ич шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
127. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой mi = 10 г со скоростью п= 300 м/с. Затвор пистолета массой m2 = 200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой £==25 кН/м. На какое рас-38
стояние отойдет затвор после выстрела? ъчнтать, что пистолет жестко закреплен.
128. Шар массой т\ = 5 кг движется со скоростью = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой /Иг = 2 кг. Определить скорости и\ и иг шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
129. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие- было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью гц =600 м/с, а кбгда орудию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью иг = 580 м/с. С какой скоростью откатилось при этом орудие?
130. Шар массой mi = 2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40% кинетической энергии. Определить массу тг большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
131. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостнми fcj =400 Н/м н kz = 250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на А/ = 2 см.
132. Из шахты глубиной h = 600 м поднимают клеть массой mi = 3,0 т на канате, каждый метр которого имеет массу т=1,5 кг. Какая работа А совершается прн поднятии клети на поверхность Земли? Каков коэффициент полезного действия т] подъемного устройства?
133. Пружина жесткостью k = 500 Н/м сжата силой F = 100 Н. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей пружину еще на А/ = 2 см.
134. Две пружины жесткостью fet=0,5 кН/м и Лг=1кН/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию Л данной системы лрн абсолютной деформации А/ = 4 см.
135. Какую нужно совершить работу А, чтобы пружину жесткостью fe = 800 Н/м, сжатую на х = 6.см, дополнительно сжать на Ах = 8 см?
136. Если иа верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на А/ = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h=8 см?
137. Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k= 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой т = 8 г. Определить скорость v пули прн вылете ее нз
39
пистолета, есан пружина была сжата на Дх = 4 см.
138. Налетев на пружнииый буфер, вагон массой т = 16 т, двигавшийся со скоростью v = 0,6 м /с, остановился, сжав пружину на Д/ = 8 см. Найти общую жесткость k пружни буфера.
139. Цепь длиной 1= 2 м лежит иа столе, одним концом свисая со стола. Еслн длина свешивающейся части превышает */3/, то цепь соскальзывает со стола. Определить скорость v цепи в момент ее отрыва от стола.
140. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой ft=40 м, наружным диаметром D = 3,0 м и внутренним диаметром d = 2,0 м? Плотность материала р принять равной 2,8-103 кг/м3..
141. Шарик массой /л =60 г, привязанный к концу инти длиной /|= 1,2 м, вращается с частотой П| = 2с , опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарнк к осн до расстояния /2=0,6 м. С какой частотой п2 будет прн этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивай нить? Треинем шарика о плоскость пренебречь.
142. По касательной к шкнву маховика в виде диска диаметром D = 75 см н массой т = 40 кг приложена сила F= I кН. Определить угловое ускорение в и частоту вращения п маховика через время t= 10 с после начала действия силы, еслн радиус г шкива равен 12 см. Силой трення пренебречь.
143. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 2 кг. Определить момент инерцнн / маховика, еслн он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрел угловую скорость to = 9 рад/с.
144. Нить с привязанными к ее концам грузами массами mi = 50 г и гиг = 60 г перекинута через блок диаметром 0 = 4 см. Определить момент инерции J блока, еслн под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение е= 1,5 рад/с2. Треннем и проскальзыванием иитн по блоку пренебречь.
145. Стержень вращается вокруг осн, проходящей через его середину, согласно уравнению <р = At + О/3, где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3. Определить вращающий момент М, действующий на стержень через время t = 2 с после начала вращения, если момент ннерцни стержня / = 0,048 кг • м .
40
146. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью и=8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь з = 18 м.
147. Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой п = 12с-1, чтобы он остановился в течение времени №'= 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блока т = = 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.
148. Блок, имеющий форму диска массой гЛ = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами mt = 0,3 кг и тг = 0,7 кг. Определить силы натяжения и Гг нити по обе стороны блока.
149. К краю стола прикреплен блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой — вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент f трення между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы н грузы движутся с ускорением а = 5,6 м/с2. Проскальзыванием нити по блоку и силой трения, действующей на блок, пренебречь.
150. К концам легкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массами т\ = — 0,2 кг и m2 = 0,3 кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие иа инть по обе стороны от блока, если масса блока tn = 0,4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением а = 2 м/с2? Силами трения н проскальзывания нити по блоку пренебречь.
151. На скамье Жуковского сидит человек и держит иа вытянутых руках гири массой т — 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до осн скамьи I — 70 см. Скамья вращается с частотой п\ = 1с—*. Как изменится частота вращения скамьи н какую работу А произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гирн до оси уменьшится до 1ц = 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси I = 2,5 кг« м2.
152. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по осн скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью wj=4 рад/с. С какой угловой скоростью <02 будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи /=5 кг-м2. Длина стержня
41
/==1,8 м, масса m—6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы
153. Платформа в виде диска диаметром D — 3 м и массой Ж|==180 кг может вращаться вокруг вертикальной осн. С какой угловой скоростью (0| будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой /П2=70 кг со скоростью t?=l,8 м/с относительно платформы?
154. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной осн. На краю платформы стоит человек. На какой угол <р повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку? Масса платформы mi = 280 кг, масса человека т2 = 80 кг.
155. На скамье Жуковского стоит человек н держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей осн с угловой скоростью (щ=25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью сог станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтельной осн на угол <х=90°? Момент инерции человека и скамьи J равен 2,5 кг • м2, момент инерции колеса Jo = 0,5 кг-м2.
’156. Однородный стержень длиной 1= 1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой т—1 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу М стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол а=60°. Принять скорость пули ц=360 м/с.
157. На краю платформы в виде диска, вращающейся по ннерцнн вокруг вертикальной оси с частотой «1=8 мин"1, стоит человек массой mi—70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой мин"1. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
158. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D=0,8 м н массой mi=6 кг стоит человек массой Я12=6О кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой т=0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии г=0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v=5 м/с.
159. Горизонтальная платформа массой mi=150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через
42
центр платформы, с частотой «=8 мин-1. Человек массой m2—70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью ю начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым, однородным диском, а человека — материальной точкой.
160. Однородный стержень длиной /=1,0 м и массой М=0,7 кг подвешен на горизонтальной осн, проходящей через верхний конец стержня. В точку, отстоящую от осн на 2/з/, абсолютно упруго ударяет пуля массой т=5 кг* летящая перпендикулярно стержню н его оси. После удара стержень отклонился на угол а=60°. Определить скорость пули.
161. Определить напряженность G гравитационного поля на высоте й=1000 км над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R.
162. Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой т = 2 кг: 1) с высоты h= 1000 км, 2) из бесконечности?
163. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой т—30 кг. Определить работу А, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли н ее радиус R считать известными.
164. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v=5 км/с. На какую высоту она поднимется?
165. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом 7’= 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падеиня g у поверхности Земли и ее радиус Я считать известными.
166. На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны н что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.
167. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте Л=520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.
168. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте й=1000 км. Ускорение свободного падения g у по
43
верхности Земли н ее радиус /? считать известными.
169. Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли н расстояние от Земли до Луны равно 3,84-108 м?
170. Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного? Принять, что радиус /?з Земли в 390 раз больше радиуса /?л Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше иеса тела на Земле.
171. На стержне длиной /—30 см укреплены два одинаковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной осн, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L н период Т простых гармонических колебаний данного физического маятника. Массой стержня пренебречь.
172. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х= =Л| sintO]/ н у=А2СО8ч>2(, где Д1=8 см, Д2=4 см, <0i=<j)2=2 с"1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.
173. Точка совершает простые гармонические колебания, уравнение которых х=А sinw/, где Д=5 см, со= = 2 с-1. В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией П—0,1 мДж, на нее действовала возвращающая сила F=5 мН. Найти этот момент времени t.
174. Определить частоту v простых гармонических колебаний диска радиусом /?=20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.
175. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом Я = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.
176. Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения Дг= 18 см и максимальная скорость vmax=16 см/с.
177. Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещение Ло=4 см, а скорость го=1О см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу <ро колебаний, если их период 7=2 с.
178. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: Х]=Л] sin 0)1/ н х2— = Z2sin(02(/ + т), где А) = А2 = 3 см, сщ = ш2 = этс~’, т=0,5 с. Определить амплитуду А н начальную фазу <ро
44
результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить иекторую диаграмму для момента времени /=0.
179. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М=200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостью Л = 500Н/м. В шар попадает пуля массой т=10 г, летящая со скоростью о=300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая перемещением шара во время удара и сопротивлением воздуха, определить амплитуду А и период Т колебаний шара.
180. Шарик массой т—60 г колеблется с периодом Т=2 с. В начальный момент времени смещение шарика х0=4,О см и он обладает энергией £=0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика н закон изменения возвращающей силы с течением времени.
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА
Основные формулы
Количество вещества* тела (системы)
v = N/NA,
где N — число структурных элементен (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); Na— постоянная Авогадро (Na=6,02-1023 моль-1).
Молярная масса вещества
М = iYl/v,
где m — масса однородного тела (системы); v — количество вещества этого тела.
Относительная молекулярная масса вещества NL=Z tiiAr.h
где п, — число атомов i-ro химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества; Аг. < •— относительная атомная масса этого элемента. Относительные
* Количество вещества — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), содержащихся в теле или системе. Количество вещества выражается в молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.
45
атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.
См. также табл. 14 Приложения.
Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой вещества
М = M,k,
где Л=10-э кг/моль.
Количество вещества смеси газов
V= Vi H-V2+ ... +vn = A'i/A’a + JV2//V'a+ ... + Mi/JVa, или
v = W1 -I- -I- -I- W"
M, n q - q M„ ’
где v„ Ni, tn,, Mt — соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса t-го компонента смеси.
Уравнение Менделеева — Клапейрона {уравнение состояния идеального газа)
pV=-£.RT = vRT, г м
где т — масса газа, М — молярная масса газа, R — молярная газовая постоянная, v — количество вещества, Т — термодинамическая температура.
» Опытные газоиые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева — Клапейрона для изопроцессов:
а) закон Бойля — Мариотта (изотермический процесс: 7’=const, m=const)
pV = const,
или для двух состояний газа
pi V, =* p2V2;
б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: р = const, т—const)
V .
-у-= const,
нли для двух состояний
F, _ У2 .
Ti Tt '
46
в) закон Шарля (изохорный процесс: /=const, m—const)
-у= const
или для двух состояний
pl _ Л5 . 1\ Т1 ’
г) объединенный газовый закон (m=const) pv 4. p|V[ P>V2
-^= const, ИЛН y— = ,
где pi Vi, Ti—давление, объем и температура газа в начальном состоянии; р?, V2, Тч — те же величины в конечном состоянии.
Закон Дальтона, определяющий давление смесн газов, р == PiA-pz-V -\-Рп, где pi — парциальные давления компонентов смеси; п — число компонентов смеси.
Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.
Молярная масса смеси газов
Д4 = /л! +/П2+
V1+V2+ — +vn ’
Ш, где mt — масса (то компонента смесн; vt = ----коли-
чество вещества х'-го компонента смеси; п — число компонентов смесн.
Массовая доля i-ro компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)
где пг — масса смеси.
Концентрация молекул
/V „ ^УйР п V М ’
где N — число молекул, содержащихся в данной сищеме; р — плотность вещества; V — объе/и системы. Формула справедлива не только для газов, но н для любого агрегатного состояния вещества.
47
Основное уравнение кинетической теории газов Р=2!зП (е„) , где — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
<еп>=3/2ЛТ.
где k — постоянная Больцмана.
Средняя полная кинетическая энергия молекулы
<e;> = 4*r,
где i — число степеней свободы молекулы.
Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
р = nkT.
Скорости молекул:
средняя квадратичная;
---средняя арифметическая;
2ЯГ -
—м----наиболее вероятная.
где т, — масса одной молекулы.
Относительная скорость молекулы и — v/va, где v — скорость данной молекулы.
Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (су) и постоянном давлении (ср)
I R „ i + 2 R Cv 2 М ’ р 2 М ’
Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями
с=С/М, С = сМ.
Уравнение Майера
Ср—CV=R.
48
Внутренняя энергия идеального газа
и="‘Кт=.%.сгт.
М2 М
Первое начало термодинамики
Q = &U + A,
где Q — теплота, сообщенная системе (газу); At/—изменение внутренней энергии системы; А — работа, совершенная системой против внешних сил.
Работа расширения газа:
Vi
А= | pdV в общем случае;
А = p^Vz — Vi) при изобарном процессе;
А = -^-ЯТТп -у- при изотермическом процессе;
Л= -&и= _-2-CvAT, или Л = -^Т-£Г ']
М у— I М L \ W J
при адиабатном процессе, где у = ср/су— показатель адиабаты.
Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:
₽V’ = const, ^ = (4t)V"
_Р2/ЛУ
Pl \ VJ ' ' n k pj
Термический КПД цикла
n = Q' —
1 Q, ’
где Qi — теплота, полученная рабочим телом от тепло-отдатчнка; Q2 — теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.
Термический КПД цикла Карно
Qi —Qg _ Г|-Г8
1 Qi Ti *
где 7| и Та — термодинамические температуры теплоот-датчика и теплопрнемника.
49
Коэффициент поверхностного натяжения
F &Е
“ = —• ИЛИ “=-Д5-
где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур I, ограничивающий поверхность жидкости; &Е — изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное, с изменением площади AS поверхности этой пленки.
Формула Лапласа, выражающая давление р, создаваемое сферической поверхностью жидкости:
где R — радиус сферической поверхности.
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
2а cos6 pgR
где 6 — краевой угол (6 = 0 при полном смачивании стенок трубки жидкостью; 0 = л при полном несмачнваннн); R — радиус канала трубки; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения.
Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями
2acos6 pgd ’
где d — расстояние между плоскостями.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относительную молекулярную массу М,; 2) молярную массу М.
Решение. 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы данного вещества, н определяется по формуле
Мг =5 nt А,
(1)
где tii — число атомов i-ro элемента, входящих в молекулу; Аг, i — относительная атомная масса i-го элемента.
Химическая формула серной кислоты имеет вид H2SO4. Так как в состав молекулы серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равен
ства (1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид
Мг = riiAr, t + л2Аг, 2 + изАг. 3. (2)
Из формулы серной кислоты далее следует, что Л|=2 (два атома водорода), «2=1 (один атом серы) и лз=4 (четыре атома кислорода).
Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблице Д. И. Менделеева или в табл. 14 Приложения:
Аг, ,= 1, Л. 2 = 32, ДЛ,3=16.
Подставив значения п, и Аг,< в формулу (2), найдем относительную молекулярную массу серной кислоты:
Мг = 2-1 + 1-32 + 4-16 = 98.
2. Зная относительную молекулярную массу Mf, найдем молярную массу серной кислоты по формуле
М = Mrk, (3)
где k= 10“3 кг/моль.
Подставив в (3) значения величии, получим
М = 98 • 10-3 кг/моль.
Пример 2. Определить молярную массу М смеси кислорода массой /П|=25 г и азота массой т2=75 г.
Решение. Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси т к количеству вещества смеси v:
М = т/х. (1)
Масса смеси равна сумме масс компонентов смесн:
т = т\ +/^2-
Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:
. mi . m2
Т = ¥,+Т2=-^ 4-^.
Подставив в формулу (1) выражения т и v, получим
М = mi + m,---- (2
Применив метод, использованный в примере 1, найдем молярные массы кислорода Mi и азота М2:
Mi = 32-10-3 кг/моль; Ма = 28-10-3 кг/моль.
51
Подставим значения величии в (2) и произведем вычисления:
_ 25-10'3 4-75-10-3 ___
“ 25-10“7(32- 10-э)4-75-10-7(28-10"3) кг/моль “
= 28,9-10~3 кг/моль.
Пример 3. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V=1 мм3 воды, и массу т\ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.
Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой т, равно произведению постоянной Авогадро А/д на количество вещества -v:
N = vNA.
Так как-v=/n/Af, где М — молярная масса, то N = mN a „ „ .
= . Выразив в этой формуле массу как произведение
плотности на объем V, получим
N = pVNa/M.
Произведем вычисления, учитывая, что Af= 18Х ХЮ-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
AZ =*> ~|^-]о°-э * 6,02 • 102Э молекул = 3,34 • 1 О’® молекул.
Массу mi одной молекулы можно найти по формуле = (1)
Подставив в (1) значения М и Мд, найдем массу молекулы воды:
т'=теткг=2’"-10“26кг-
Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) Vi—d3, где d — диаметр молекулы. Отсюда
d = VK. (2)
Объем Vi найдем, разделив молярный объем Vm иа число молекул в моле, т. е. иа А/д:
Vi = Vm/flA. (3)
52
Подставим выражение (3) в (2) г d=\V„,/NA. где V,-=M/p. Тогда
d=AlM/(PNb). (4)
Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:
f 1 /а—f 1 кг/моль 1 ,/э_ |
I Р1ИаМ 1 1кг/м‘-1 моль-1/
Произведем вычисления:
d=-J 18-10"3 м = 3.11-10-,° М = 311 пм.
V 10я • 6.02-102
Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением pi = 1 МПа и при температуре 7’1 = 300 К-После того как из баллона было взято т=10г гелия, температура в баллоне понизилась до 7’2=290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.
Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева—Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:
p2V = ^-RT2, (1)
где т.2 — масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М — молярная масса гелия; — молярная газовая постоянная.
Из уравнения (1) выразим искомое давление: рг=т2ЯТ2/(МУ). (2)
Массу m2 гелия выразим через массу mi, соответствующую начальному состоянию, и массу т гелия, взятого из баллона:
m2=mi—tn. (3)
Массу mi гелия найдем также из уравиеиия Менделеева — Клапейрона, применив его к начальному состоянию:
mi=MpiV/(/?7’I). (4)
Подставив выражение массы mi в (3), а затем выражение т2 в (2), найдем
53
или
____ 7*2 т RT? , Р2— Г1 Pl М V (5'
Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим нх единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое нз них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Ts/Ti)—безразмерный, а второй — давление. Проверим второе слагаемое:
[т] [/?] [И_1 кг_1 Дж/(моль-К) - IK_ 1 кг-1 моль
[М] [ Iх] 1 кг/моль 1 м3 1 кг
у, 1 Дж-1 К ___ 1 Дж_ 1 Н-м_ I Н _। j-ja
I М3- 1 МОЛЬ- 1 К | м3 1М3 1м2
Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что Л4 = = 4-10“3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
Mw-106-T^-TjF-290) Па = 3,64.10= Па =
= 0,364 МПа.
Пример 5. Баллон содержит mi = 80 г кислорода и mg =320 г аргона. Давление смесн р~ 1 МПа, температура 7"= 300 К- Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.
Решение По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева — Клапейрона, парциальные давления pt кислорода и р? аргона выражаются формулами
= p2 = tn2RT/(M2V).
Следовательно, по закону Дальтона, давление смесн газов
. / mt . mA PT
р=р<+рь или р=(ж+ж)—
откуда объем баллона
V Л1| ' М2) р v ’
54
Произведем вычисления, учитывая, что М| = 32Х X Ю 3 кг/моль, М2= 40-10~3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения) :
„ / 0,08 . 0.32 \ 8,31-300 3 л лисп 3 псп
V =( < Ч--——г) — м= 0,0262 м = 26,2 л.
\ 32-10 40-10 / 10“
Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию (еВр) вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350 К, а также кинетическую энергию Ек вращательного движения всех молекул кислорода массой zn=4 г.
Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия (ei) = = ~crkT, где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (Молекула* кислорода — двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода л
<е.„>=2.±*Г. (1)
Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа
Е«=<евр>М (2)
Число всех молекул газа
(3) где /Va -— постоянная Авогадро; v — количество вещества.
Если учесть, что количество вещества где
m — масса газа; М — молярная масса газа, то формула (3) примет вид
/V=/Va^--м
Подставив выражение N в формулу (2), получаем
Е,к=Л/Лт<евр>/Л4. (4)
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М— 32-Ю-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
<Свр> = *?’== 1,38-10“23-350 Дж = 4,83-10~21 Дж;
£„=6,02- 1023- 4'10~3.,-4,83-10“21 Дж=364 Дж.
32-10-3
55
Пример 7. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме Су и при постоянном давлении ср иеона и водорода, принимая эти газы за идеальные.
Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами
где i — число степеней свободы молекулы газа; М — молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i=3 и Л4 = 2О-10-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения).
Произведем вычисления:
сг = 4^^гДж/(кг-К) = 6,24.102 Дж/(кг-К);
= 3 + 2 20^, Дж/(кг-К) = 1,04* 103 Дж/(кг-К).
Для водорода (двухатомный газ) t=5 и А4= == 2• 10-3 кг/моль. Тогда
С1'=Т'Г|^ Дж/(кг-К) “ 1,04-104 Дж/(кг-Ю;
Ср = .5+2 Дж/(кг-К) = 1,46-104 Дж/(кг-К).
Пример 8. Вычислить удельные теплоемкости су и ср смеси неона и водорода, если массовые доли неоиа и водорода составляют 224=80% и Ш2=20%. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.
Решение. Удельную теплоемкость су смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ДТ, выразим двумя способами:
Q^C\{rri\ 4-т2)ДД (1)
Q = (cv.imI-pcv.2/n2)A7’> (2)
где cv.i — удельная теплоемкость неонв; cv.2-—удельная теплоемкость водорода.
Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе
56
части полученного равенства на ДТ, получим -4-/n2) = cv.i/ni+cv.2tfi2. Отсюда
mt , m«
С v= С у. 1-----1- С и а-: ,
mi+«2 mi-j-ms
ИЛИ
Cu= C|/ |W| -p Cv.2^2,
mi m»
где Wi =-------- И W? =----:--.
mi -p m2 mi -p m2
Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:
Ср = Ср. IWI 4- Cp.iWz.
Произведем вычисления:
Cv= (6,24-102-0,8+ 1,04-104-0,2) Дж/(кг-К) = = 2,58-103 Дж/(кг-К) =2,58 кДж/(кг-К);
ср = (1,04-103-0,8+ 1,46-104-0,2) Дж/(кг-К) = = 3,75-103 Дж/(кг-К) =3,75 кДж/(кг-К).
Пример 9. Кислород массой т=2кг занимает объем У1=1м3 и находится под давлением pi = 0,2 МПа Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема у2г=3м, а затем при постоянном объеме до давления рз = 0,5МПа. Найти изменение Д£7 внутренней энергии газа, совершенную нм работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
Решение. Изменение внутренней энергии газа
Д1/ = С1/тЛГ=4Д-тД7-,- (1)
2 М
где i — число степеней свободы молекул газа (для' двухатомных молекул кислорода i=5); ЛТ = Т з — Т । — разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона pVt откуда
T=pVM/(mR).
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой
д,
1 м/гдг'
57
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:
Д2 = 0.
Следовательно, полная работа, совершаемая газом,
А = А । -f-Л2 А ।
Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии At/ и работы А:
Q = AU-|-A
Произведем вычисления, учтя, что для кислорода Л4=32-10-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):
Г| = S-Ю5-1-32-Ю^ к=385 к
2-8.31
Г2= 2-|0,-3-32-1D~i к=1155 К;
2-8.31
73= 5'ltf23833S1'10-3- К = 2887 К;
Л1= 8,31-2^(1165 - 385) дж = о 400.106 дж=04 МДж;
А = А i = 0,4 МДж;
Д1/ = -|- 8-31-^f07~ 385) Дж = 3.24-106 Дж=3,24 МДж;
Q = (3,24+ 0,4) МДж = 3,64 МДж.
График процесса приведен на рис. 7.
Пример 10. В цилиндре под поршнем находится водо-
род массой
т = 0.02 кг при температуре Ti = 300K-Водород сначала расширился адиа-батно, увеличив свой объем в И| — . = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем гвза уменьшился в «2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.
-—Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой
58
соотношением
Ts / ГД’-1 Т2 1
~г=Ы или ^r=7F’
где у — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; ni = V?/Vi.
Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:
Т2= TJnV1.
Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле
А1=с'(т' - т';>= у Ж7”’ - т-‘>'
где Cv—молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа Л 2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде
A2 = -^RT2\n-^, или A2 = ~RT2 1п -L, М V2 М г
где n2=V2/V3.
Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа у=1,4, (=5 и М=2-10“3 кг/моль:
™ 300 v 300 v
то
Так как 50,4—1,91 (находится логарифмированием),
П=-^-К=157 К;
А, = (300 — 157) Дж = 29,8 кДж;
Л2=-2^т.8,31-157 1п4-Дж=-21 кДж.
2-10 5
Знак минус показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.
График процесса приведен на рис. 8.
Пример 11. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карио. Температура теплоотдатчика 7] = = 500 К- Определить тер
59
мический КПД т] цикла и температуру Т2 теплоприем-ника тепловой машины, если за счет каждого кило-джоуля теплоты, полученной от теплоотдвтчика, машина совершает работу А = 350 Дж.
Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от тепло-отдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
еде Qi — теплота, полученная от теплоотдатчика; А — работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.
Зная КПД цикла, можно по формуле t) = (7’i— Т$/1\ определить температуру охладителя Т2\
Произведем вычисления:
Л = 350/1000 =0,35; Т2= 500(1 —0,35) К = 325 К.
Пример 12. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром е/=10см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?
Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление иа воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление
л 2а
Р = 2 —.
где г— радиус пузыря. Так как то
p=8a/d.
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на AS, выражается формулой
Л = аД5, или Л = а(5 —So).
В данном случае S — общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; So — общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая So, получаем
А = aS = 2nd2a.
60
Произведем вычисления:
р= 8 400 110 ' Па = 3,2 Па;
Л = 2-3,14-(0,1)2-40-10—3 Дж = 2,5-10~3 Дж = 2,5 мДж.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить массу т атома азота. [2,33*1 СТ26 кг]
2. Плотность газа р при давлении р = 96 кПа и температуре / —0°С равна 1,35 г/л. Найти молярную массу М газа. [32-10-3 кг/моль]
3. Определить давления р\ и р2 газа, содержащего jV= Ю9 молекул и имеющего объем V= 1 см3, прн температурах 7’1 = ЗКи Т2=ЮОО К. [41,4 нПа; 13,8 мкПа]
4. При температуре /=35°С и давлении р=708 кПа плотность некоторого газа р=12,2кг/м3. Определить относительную молекулярную массу Afr газа. [44,1]
5. Какой объем V занимает смесь азота массой mj = = 1 кг и гелня массой тг=1 кг при нормальных условиях? [6,4 м3]
6. В баллоне вместимостью У=15л находится смесь, содержащая mi = Юг водорода, z«2— 54 г водяного пара и тз ==60 г оксида углерода. Температура смесн t—27°. Определить давление. [1,69 МПа]
7. Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы аммиака NH3 при температуре /=27°С. [1,24 10-“ Дж; 6,2-10"21 Дж]
8. Определить удельные теплоемкости Cv и ср газообразного оксида углерода СО. [743 Дж/ (кг -К); 1,04 кДж/(кг-К)]
9. Смесь газа состоит из кислорода Ог с массовой долей ид = 85% и озона О3 с массовой долей W2= 15%. Определить удельные теплоемкости с у и ср этой газовой смесн. [629 Дж/(кг-К); 877 Дж/(кг-К)]
10. Газовая смесь состоит из азота массой mi = Зкг и водяного пара массой т%= 1 кг. Принимая эти газы за идеальные, определить удельные теплоемкости су и ср газовой смеси. [902 Дж/(кг-К); 1,24 кДж/(кг-К)]
11. Молекула газа состоит из диух атомов; разность удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме равна 260 Дж/(кг-К). Найти молярную массу газа н его удельные теплоемкости су н ср. [32-10-3 кг/моль; 650 Дж/(кг*К); 910 Дж/(кг-К)]
61
р,ИПа
/.J
1.2
2 3 V.M1
Рис. S
12. Найти среднюю длину </) свободного пробега молекулы водорода при р — = 133 мПа и / = — 173°С. [4,4 см].
13. Один киломоль двухатомного идеального газа совершает замкнутый цикл, график которого изображен иа рис. 9. Определить: 1) теплоту Qi, полученную от тепл оотдатчнка; 2) теплоту Q2, переданную теплопрнем-нику; 3) работу Д, совер-
шаемую газом за одни цикл; 4) термический КПД ц цикла. [7,61 МДж; 7,19 МДж; 0,4 МДж; 5,3%]
14. Водород занимает объем Г=10м3 при давлении pi = 0,1 МПа. Его нагрели при постоянном объеме до давления р2=0,ЗМПа. Определить изменение Д(7 внутренней энергии газа, работу Д, совершенную им, н теплоту Q, сообщенную газу. [5 МДж; 0; 5 МДж]
15. Кислород при неизменном давлении р=80кПа нагревается. Его объем увеличивается от Vi = 1m3 до У2=Зм3. Определить изменение Д(7 внутренней энергии кислорода, работу А, совершенную им при расширении, а также теплоту Q, сообщенную газу. [400 кДж; 160 кДж; 560 кДж]
16. В цилиндре под поршнем находится азот, имеющий массу т — 0,6кг и занимающий объем 16= 1,2 м3, при температуре Т| = 560 К. В результате нагревания газ расширился и занял объем Иг=4,2м3, причем температура осталась неизменной. Найти изменение АН внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, сообщенную газу. [0; 126 кДж; 126 кДж]
17. В бензиновом автомобильном двигателе степень сжатия горючей смеси рааиа 6,2. Смесь засасывается в цилиндр при температуре /1 = 15°С. Найти температуру tz горючей смеси в конце такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный идеальный газ; процесс считать адиабатным. [324°С]
18. Газ совершает цикл Карно. Температура тепло-отдатчика в три раза выше температуры теплоприемника. Теплоотдатчик передал газу ф1 = 41,9кДж теплоты. Какую работу совершил газ? [28,1 кДж]
19. Какую энергию надо затратить, чтобы выдуть
62
мыльный пузырь диаметром й=12см? Каково будет добавочное давление внутри этого пузыря? [3,62 мДж; 2,66 Па]
20, На нижнем конце трубки диаметром <2=0,2 см повисла шарообразная капля воды. Найтн диаметр этой капли. [4,42 мм]
21. В сосуд с ртутью частично погружены две вертикально расположенные и параллельные друг другу стеклянные пластинки. Расстояние между пластинками d= 1 мм. Определить разность Д/г уровней ртути в сосуде и между пластинками, краевой угол принять равным 138°. [—5.57 мм]
Контрольная работа 2
Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики четыре и шесть ком рольных работ
Вариант Номера контрольных работ
0 210 220 230 240 250 260 270 280
1 201 211 221 231 241 251 261 271
2 202 212 222 232 242 252 2&2 272
3 203 213 223 233 243 253 263 273
4 204 214 224 234 244 254 264 274
5 205 215 225 235 245 255 265 275
6 206 216 226 236 246 256 266 276
7 207 217 227 237 247 257 267 277
V 8 206 218 228 238 248 258 868 278
9 209 219 229 239 249 259 269 279
201. Определить количество вещества v и число N молекул кислорода массой т = 0,5 кг.
202. Сколько атомов содержится в ртути: 1) количеством аещества v = 0,2 моль; 2) массой. т= 1 г?
203, Вода при температуре /=4°С занимает объем V = 1 см3. Определить количество вещества v и число N молекул воды.
204. Найти молярную массу М и массу тк одной молекулы поваренной солн.
205. Определить массу ты одной молекулы углекислого газа.
206. Определить концентрацию п молекул кислорода, находящегося в сосуде вместимостью V— 2 л. Количество вещества v кислорода равно 0,2 моль.
207. Определить количество вещества v водорода,
63
заполняющего сосуд объемом У=3 л, если концентрация молекул газа в сосуде я —2-Ю18 м-3.
208. В баллоне вместимостью У=3л содержится кислород массой т=10г. Определить концентрацию п молекул газа.
209. Определить относительную молекулярную массу Мг‘. 1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.
210. Определить количество вещества v и число N молекул азота массой т=0,2 кг.
211. В цилиндр длиной /=1,6м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении ро, начали медленно вдвигать поршень площадью основания S = = 200 см2. Определить силу F, действующую иа поршень, если его остановить на расстоянии = 10 см от дна цилиндра.
212. В баллоне находится газ при температуре Т\ — = 400 К- До какой температуры Га надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?
213. Баллон вместимостью У=20л заполнен азотом при температуре 7=400 К- Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на Др=200кПа. Определить массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.
214. В баллоне вместимостью У=15л находится аргон под давлением р( = 600кПа н при температуре 71 — 300 К- Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р2= = 400 кПа, а температура установилась Гг=260К-Определить массу m аргона, взятого из баллона.
215. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р| = 2МПа н температура 71 = 800 К, в другом 02 = 2,5 МПа, Г2=200К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры Т=200К. Определить установившееся в сосудах давление р.
216. Вычислить плотность р азота, находящегося а баллоне под давлением р = 2МПа н имеющего температуру Т = 400 К-
217. Определить относительную молекулярную массу Мг газа, если при температуре Т— 154 К и давлении р=2,8МПа он имеет плотность р=6,1 кг/м3.
218. Найти плотность р азота при температуре 7= = 400 К и давлении р = 2 МПа.
219. В сосуде вместимостью V=40 л находится кислород при температуре Т = 300 К. Когда часть газа йз-
64
расходовали, давление в баллоне понизилось иа Ар = = 100 кПа. Определить массу т израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.
220. Определить плотность р водяного пара, находящегося под давлением р=2,5 кПа и имеющего температуру 7=250 К.
221. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию (е) молекулы этого газа при температуре Т — 300 К, если количество вещества v этого газа равно 0,5 моль.
222. Определить суммарную кинетическую энергию £к поступательного движения всех молекул газа, находящегося в сосуде вместимостью У=3л под давлением р—540 кПа.
223. Количество вещества гелия v= 1,5 моль, температура 7= 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию £к поступательного движения всех молекул этого газа.
224. Молярная внутренняя энергия Um некоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию <еВр> вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать идеальным.
225. Определить среднюю кинетическую энергию (е) одной молекулы водяного пара при температуре Т= = 500 К-
226. Определить среднюю квадратичную скорость (ике) молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью У=2л под давлением р = 200 кПа. Масса газа га=0,3 г.
227. Водород находится при температуре 7=300 К. Найти среднюю кинетическую энергию <евр) вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию Ек всех молекул этого газа; количество водорода v=0,5 моль.
228. При какой температуре средняя кинетическая энергия <еп) поступательного движения молекулы газа равна 4,14-10~21 Дж?
229. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 6-10—10 г. Газ находится при температуре 7=400 К. Определить средние квадратичные скорости (окв), а также средние кинетические энергии поступательного движения молекулы азота и пылинки.
230. Определить среднюю кинетическую энергию (бп)
3—105
65
поступательного движений и (евр) вращательного движения молекулы азота при температуре 7’= 1 кВ. Определить также полную кинетическую энергию Ек молекулы при тех же условиях.
231. Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность ср — су удельных теплоемкостей этого газа равна 260 Дж/ (кг - К).
232. Найти удельные ср и cv, а также молярные Ср и Су теплоемкости углекислого газа.
233. Определить показатель адиабаты у идеального газа, который прн температуре 7= 350 К и давлении р=0,4МПа занимает объем У —300 л и имеет теплоемкость Су~ 857 Дж/К.
234. В сосуде вместимостью 1/=6л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теплоемкость Су этого газа при постоянном объеме.
235- Определить относительную молекулярную массу ЛЬ и молярную массу AI газа, если разность его удельных теплоемкостей ср — су—2,08 кДж/(кг-К)-
236. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости су — 10,4 кДж/(кг-К) и ср = 14,6 кДж/(кг-К).
237. Найти удельные с у и ср и молярные Су и Ср теплоемкости азота и гелия.
238. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса А! =4-10-8 кг/моль и отношение теплоемкостей Ср/Су— 1,67.
239. Трехатомный газ под давлением р — 240 кПа и температуре /=20°С занимает объем У=10л. Определить теплоемкость Ср этого газа при постоянном давлении.
240. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем У=5л. Вычислить теплоемкость Су этого газа прн постоянном объеме.
241. Найти среднее число (z) столкновений за время t= 1 с и длину свободного пробега (!) молекулы гелия, если газ находится под давлением р=2кПа при температуре Т— 200 К.
242. Определить среднюю длину свободного пробега (!) молекулы азота в сосуде вместимостью У=5л. Масса газа т = 0,5 г.
243. Водород находится под давлением р— 20 мкПа и имеет температуру Т — 300 К. Определить среднюю длину свободного пробега (!) молекулы такого газа.
66
244. При нормальных условиях длина свободного пробега (!) молекулы водорода равна 0,160 мкм. Определить диаметр d молекулы водорода.
245. Какова средняя арифметическая скорость (о) молекул кислорода при нормальных условиях, _ еслн известно, что средняя длниа свободного пробега (!) молекулы кислорода при этих условиях равна 100 нм?
246. Кислород находится под давлением р= 133 иПа при температуре Т=200 К. Вычислить среднее число (z) столкновений молекулы кислорода прн этих условиях за время т= 1с. •
247. При каком давлении* р средняя длина свободного пробега (!) молекул азота равна 1 м, еслн температура газа /=10°С?
248. В сосуде вместимостью У=5л находится водород массой ш = 0,5 г. Определить среднюю длину свободного пробега (!) молекулы водорода в этом сосуде.
249. Средняя длина свободного пробега (!) молекулы водорода прн некоторых условиях равна 2 мм. Найти плотность р водорода прн этих условиях.
250. В сферической колбе вместимостью У=3л, содержащей азот, создан вакуум с давлением р = 80 мкПа. Температура газа 7=250 К- Можно ли считать вакуум в колбе высоким?
Примечание Вакуум считается высоким, если длина свободного пробега молекул в нем много больше линейных размеров сосуда.
251. Определить количество теплоты Q, которое надо сообщить кислороду объемом У =50 л при его изохорном нагревании, чтобы давление газа повысилось на Др = = 0,5 МПа.
252. Прн изотермическом расширении азота прн температуре 7 = 280 К объем его увеличился в два раза. Определить: 1) совершенную при расширении газа работу Д; 2) изменение At7 внутренней энергии; 3) количество теплоты Q, полученное газом. Масса азота т = 0,2 кг.
253. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от р] = 50кПа до р2 = 0,5МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление рз газа в конце процесса.
254. Кислород массой 200 г занимает объем Vi = = 100л и находится под давлением р| = 200 кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема У2=300л, а затем его давление возросло до
3*
67
рз = 500 кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии AU газа, совершенную газом работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.
255. Объем водорода прн изотермическом расширении при температуре 7= 300 К увеличился в п = 3 раза. Определить работу А, совершенную газом, и теплоту -Q, полученную при этом. Масса т водорода равна 200 г.
256. Азот массой т=0,1 кг был изобарно нагрет от температуры Т| = 200 К до температуры 7’2=400 К- Определить работу А, совершенную газом, полученную им теплоту Q и изменение АС/ внутренней энергии азота.
257. Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества v=0,4 моль при изотермическом расширении, если при этом газ получит количество теплоты (?=800Дж? Температура водорода т=зоок.
258. Какая работа А совершается при изотермическом расширении водорода массой т = 5г, взятого при температуре 7= 290 К, если объем газа увеличивается в три раза?
259. Какая доля w} количества теплоты Q, подводимого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется иа увеличение АС/ внутренней энергии газа и какая доля — на работу А расширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трех атомный.
260. Определить работу А, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21 кДж. Найти также изменение АС/ внутренней энергии газа.
261. Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах теплоприемника Тг=290К и теплоотдатчика Г1 = 400 К- Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия г] цикла, если температура теплоотдатчика возрастет до Г! = 600 К?
262. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т\ теплоотдатчика в четыре раза (п=4) больше температуры теплоприемника. Какую долю w количества теплоты, полученного за один цикл от теплоотдатчика, газ отдаст теплоприемнику?
263. Определить работу Аг изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого »] = 0,4, если работа изотермического расширения равна Ai = = 8 Дж.
68
264. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплопри-емнику теплоту Q2 = 14 кДж. Определить температуру Т\ теплоотдатчика, если при температуре теплоприемиика 72=280 К работа цикла /1 = 6 кДж.
265. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от теплоотдатчика теплоту Q| = 4,38 кДж и совершил работу А = 2,4 кДж. Определить температуру теплоотдатчика, если температура теплоприемиика 72= = 273 К.
266. Газ, совершающий цикл Карио, отдал теплопри-емиику 67% теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру Т? теплоприемиика, если температура теплоотдатчика 71 = 430 К.
267. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия т] цикла Карио при повышении температуры теплоотдатчика от 71 = 380 К до 71 = 560 К? Температура теплоприемиика Гг=280 К.
268. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура теплоотдатчика 7i = 500 К, температура теплоприемиика 72=250 К. Определить термически КПД ч] цикла, а также работу /1| рабочего вещества при изотермическом расширении, если прн изотермическом сжатии совершена работа /12 = 70 Дж.
269. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Qi = 84 кДж. Определить работу /1 газа, если температура 71 теплоотдатчика в три раза выше температуры 7 г теплоприемиика.
270. В цикле Карио газ получил от теплоотдатчика теплоту ф1 = 500Дж и совершил работу Л =100 Дж. Температура теплоотдатчика 71 = 400 К. Определить температуру 72 теплоприемиика.
271. Найти массу m воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром канала ^ = 0,8мм, опущенную в воду на малую глубину. Считать смачивание полным.
272. Какую работу А надо совершить при выдувании мыльного пузыря, чтобы увеличить его объем от У| = = 8 см3 до 1?2= 16 см3? Считать процесс изотермическим.
273. Какая энергия Е выделится при слиянии двух капель ртути диаметром d| = 0,8 мм н г/г=1,2 мм в одну каплю?
274. Определить давление р внутри воздушного пузырька диаметром d=4 мм, находящегося в воде у самой ее поверхности. Считать атмосферное давление нормальным.
275. Пространство между двумя стеклянными парал-
69
лельиыми пластинками с площадью поверхности S= = 100 см2 каждая, расположенными иа расстоянии I— = 20мкм друг от друга, заполнено водой. Определить силу F, прижимающую пластинки друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками.
276. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром канала 1 мм на высоту й = 20 мм. Определить поверхностное натяжение а глицерина. Считать смачивание полным.
277. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром канала d= 1 мм. Определить массу т воды, вошедшей в трубку.
278. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления р0, если диаметр пузыря J=5 мм?
279. Воздушный пузырек диаметром </=2,2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность р воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.
280. Две капли ртути радиусом г=1,2мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергию Е, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.
3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК-
Основные формулы
Закон Кулоиа у? QiQg
где F — сила взаимодействии точечных зарядов Qj и фг; г—расстояние между зарядами; е — диэлектрическая проницаемость; е0 — электрическая постоянная.
Напряженность электрического поля й потенциал E=F/Q, <p=n/Q,
где П — потенциальная энергия точечного положительного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).
70
Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда
F= QE, n = Q<p.
Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),
N N
е— 2 ь. ч>= S ч>1. » = 1 i= 1
где Е/, — напряженность и потенциал в данной точке
поля, создаваемого i-м зарядом.
^Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,
г- Q Q
Е= -, ф= . ,
4лЕОеГ 4ле0ег
где г — расстояние от заряда Q ди точки, в которой определяются напряженность и потенциал.
Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферон радиусом 7? иа расстоянии г от центра сферы:
а) Е = 0; 4>=т^ (при г<Я);
б) £=-4^; *Р= (прН Г=Л>;
в) Е=-——ф=г—2— (лрН г>Я), 4ЛЕ0ЕГ2 Y 4л£оег г '
где Q — заряд сферы.
Линейная плотность заряда
t=Q/l.
Поверхностная плотность заряда
<т= Q/S.
Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью т, то на лиини выделяется малый участок длиной d/ с зарядом dQ=
71
= xd/. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы
J-. тб/ г j -rd/
dE=—-----=—; d<j>=-T---,
4n₽.0sr г 4леоЕГ
где г — радиус-вектор, направленный от выделенного элемента d/ к точке, в которой вычисляется напряженность.
Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность Е и потенциал <р поля, создаваемого распределенным зарядом:
£=-!_$ 4-L; .
4лЕоЕ J. г* г ’ 4леое Л г
Иитегрврование ведется вдоль всей длины I заряженной линии (см. примеры 5 и 8).
Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной линией нли бесконечно длинным цилиндром,
Е=——, 2леоЕ< где г — расстояние от инти нлн оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется.
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, £— ° 2есе
Связь потенциала с напряженностью:
a) E^-gradT, или E=-(i-^+j-^+k-g-) в об-щем случае;
б) E=(<pj—q>2)/rf в случае однородного поля;
в) Е=—в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.
Электрический момент диполя
P=IQ1I,
где Q — заряд; I — плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).
Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом ф] в точку с потенциалом фа
Л 12= Q(<pi — фг).
72
Электроемкость
C^Q/ф, или C=QIU,
где <р — потенциал проводника (при условий, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U — разность потенциалов пластни конденсатора.
Электроемкость плоского конденсатора
C—b&S/d,
S — площадь пластины (одной) конденсатора; d — расстояние между пластинами.
Электроемкость батареи конденсаторов:
1 " 1
а) У — при последовательном соединении;
N
б) С= У, Ci при параллельном соединении, i=i
где ДО — число конденсаторов в батарее.
Энергия заряженного конденсатора:
W=QU/2, W=CUz/2, IT=Q7(2C).
Сила постоянного тока
где Q — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.
Плотность тока
i=i/s,
где S —* площадь поперечного сечения проводника.
Связь плотности тока со средней скоростью (v) направленного движения заряженных частиц
/=<?«<»>,
где Q — заряд частицы; п — концентрация заряженных частиц.
Закон Ома:
Ч » ф!---ф2 U
а) /= r — Для участка цепи, не содержащего ЭД С, где ф!—<р2=1/ — разность потенциалов (напряжение) на концах участка цели; R — сопротивление участка;
б) /=-^1—для уЧастка цели, содержащего
73
ЭДС, где S— ЭД С источника тока; R — полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);
в) п Д-ня замкнутой (полной) цепи, где R—
внешнее сопротивление цепи; /?( — внутреннее сопротивление цепи.
Законы Кирхгофа:
а) ХЛ=О— первый закон;
б) X I— второй закон,
где 2 Л — алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; 2 ЛЛ— алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков; 2 t — алгебраическая сумма ЭДС.
Сопротивление R и проводимость G проводника
/? = p//S, G=?£//,
где р — удельное сопротивление; у — удельная проводимость; / — длина проводника; S — площадь поперечного сечения проводника.
Сопротивление системы проводников:
а) /?=2 при последовательном соединении;
б) -^-=2 ПРН параллельном соединении, где Д — сопротивление i-rc проводника.
Работа тока:
А = IUt, А = fRt, А = U2t/R.
Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение V, последние две — для участка, не содержащего ЭДС.
Мощность тока:
Р = IU, Р = I2R, Р = U2/R.
Закон Джоуля—Ленца
Q = l2Rt.
Закон Ома в дифференциальной форме
j = ?E,
где у — удельная проводимость; Е — напряженность электрического поля; j — плотность тока.
74
Связь удельной проводимости у с подвижностью b заряженных частиц (ионов)
V = Qn(b+ + 6 ),
где Q — заряд иоиа; п — концентрация ионов; Ь± и Ь— — подвижности положительных н отрицательных ионов.
Примеры решения задач
Пример 1. Два точечных заряда 9Q и —Q закреплены на расстоянии I = 50 см друг от друга. Третий заряд Qi может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Qj, прн котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда Q] равновесие будет устойчивым?
Решение. Заряд Qj находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих иа него, равна нулю. Это значит, что на заряд Qi должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков /, //, /// (рис. 10) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Qi -— положительный.
Рис. 10
На участке I (рис. 10, а) на заряд Qi будут действовать две противоположно направленные силы: F| и F2. Сила Fj, действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка больше силы F2, действующей со стороны заряда — Q, так как больший заряд 9Q находится всегда ближе к заряду Q(, чем меньший
75
(по модулю) заряд — Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.
На участке II (рис. 10, б) обе силы Fi и F2 направлены в одну сторону — к заряду — Q. Следовательно, н на втором участке равновесие невозможно.
На участке III (рис. 10, в) силы Fi и F2 направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, ио в отличие от него меньший заряд — Q всегда находится ближе к заряду Q(, чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы Fj и F2 будут одинаковы по модулю, т. е.
Fj = F2. (1)
Пусть х и / + х — расстояние от меньшего и большего зарядов до заряда Qj. Выражая в равенстве (I) Fi н F2 в соответствии с законом Кулона, получим 9Q Q\/(l + х)2= Q Qi/x2, или I -f- х — ± Зх, откуда
Xi = + //2, х2 = — //4.
Корень х? не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы Fi и F2 хотя н равны по модулю, но сонаправлены).
Определим знак заряда Q,, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда Qi в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.
Если заряд Qi положителен, то при смещении его влево обе силы F\ и F» возрастают. Так как сила F\ возрастает медленнее, то результирующая сила, действующая на заряд будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы аэряд Qi будет удаляться си положения равновесия. То же происходит и прн смещении заряда Qi вправо. Сила F2 убывает быстрее, чем F>. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.
Если заряд Qj отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F! и F2, но сила Ft возрастает медленнее, чем F2, т. е. |F2|>|Fi|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряд Q]
76
возвращается к положению равновесия. При смещении Qi вправо сила F2 убывает быстрее, чем Fh т. е. |F1|>|F2l, результирующая сила направлена влево и заряд Qi опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Qi несущественна.
/
Рис. 11
Пример 2. Три точечных заряда Qi = Q2= Qs= 1 «Кл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?
Решение. Все трн заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь одни из трех зарядов, например Qi, находился в равновесии. Заряд Qi будет находиться в равновеснн, если векторная сумма действующих на него снл равна нулю (рис. II):
Гг + F3 + П = F + F, = О,
(1)
где F2, F3, F4 — силы, с которыми соответственно действуют на заряд Qi заряды Q2, <2з» Qi, F — равнодействующая СИЛ F2 и F3.
Так как силы F н F4 направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (I) можно заменить скалярным: F — F< =0, откуда F4 = F. Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3 = F2, получим
F« = Fs -\f2( 1 -J- cos сс).
Применив закон Кулона н имея в виду, что Q2 = Q3 — = Qi, найдем
откуда
Qi = + coscc)
(2)
77
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что
/*/2 Г г
П = 7/ = “о--Т7Г = ~л?» COS<% — СОЗ 60° = 1 /2.
cos(a/2) 2cos30° -уЗ '
С учетом этого формула (2) примет вид Q< = Q./т/з.
Произведем вычисления:
Q4 = 10“9/V3 Кл = 5,77- Ю"10 Кл = 577 пКл.
Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Пример 3. На тонком стержне длиной 1 = 20 см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а= 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q\ = 40 нКд, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность т заряда на стержне.
Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Qi зависит от линейной плотности т заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить т. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (рнс. 12) малый участок dr с зарядом c!Q = xdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,
Интегрируя это выражение в пределах от а до а 4-!, получаем
ч -V I
р___ Qit Г dr_______ Qit/ 1_________1 \ __ Qi-il
43ttc 4 г2 4леД а а + // 4л£аа(<2 + /) *
откуда
4л£ой(а +1) F Qil
Рис. 12
Проверим, дает лн расчетная формула единицу ли
78
нейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:
[ео] [с] [с 4-О [F] 1Ф/м-1 м-1 м-1 Н 1Ф-1Н
№][!] ~ 1Кл-1м ~~ 1 Кл ~~
1Кл/В-1Н 1Н IH 1Н-1Кл__1К .
~ 1 Кл — 1 В — 1 Дж/Кл — 1 Н-м — 1 1'-л'м-
Найденная единица является единицей линейной плот-
ности заряда. Произведем вычисления:
0,1(0,! 4-0.2)-6-10~6
9- 109.4-1(Г8.0,2
Кл/м = 2,5-10“9 Кл/м = 2,5 нКл/м.
Пример 4. Два точечных электрических заряда Qi = I нКл и Q2 — —2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал ср поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда Qj на расстояние п = 9 см и от заряда Qs на г% = 7 см.
Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей Ei и Ег полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е = Ei + Ег- Напряженности электрнче^ сКого поля, создаваемого в воздухе (е= I) зарядами Qi и Q2,
Ei =
IQ. I
£2 =
IQ2I
Вектор Ei (рис. 13) направлен no силовой линии от заряда Qi, так как этот заряд положителен; вектор Ег направлен также по силовой линии, но к заряду Qs, так как этот заряд отрицателен.
Рис. 13
79
Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:
Е = -\IEi+ Ё1 + 2ElE2cosa, (3)
где a — угол между векторами Ei н Е2, который может быть найден нз треугольника со сторонами л, г2 и d:
^2 _ f2 _ f2
cosa =----В данном случае во избежание
громоздких записей удобно значение cosa вычислить Отдельно:
{0,1)2-{0,09)а-(0,07)г_ _ 0 238
COSa— 2.0,09.0.07 ~
Подставляя выражение Et из (I) н Е-2 из (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(4зхео) за знак корня, получаем ________________________
Е=-^1 Л+Л+2^24^со8П . (4)
4ле0 V г, 1 Г2 грг 4 '
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал <р результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Qi н Q2, равен алгебраической сумме потенциалов;
<p=q>, + q>2. (5)
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии г от него, выражается формулой
В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим
___ Qi I Q?
4леоГ| ' 4ЛЕ()Г2 *
Произведем вычисления:
Е—_________L. -л-
4п/(4п-9-Ю9)
— (10-8)2 (2-Ю~8)3 . о То-8’2-!^ Готох п/м —
V (О?О9)4 + (0.07)4 + 2 (0.09)г-(0.07)2' 0,238) В/М
= 3,58-103 В/м —3,58 кВ/м;
1 / 10~s . —210'9\d IC-_n
45 “4и/(4я.9.I(P)\ 0,09 + 0,07 ) В 57 В’
80
Пример 5. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q = 40 нКл с линейной плотностью т= = 50нКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на осн кольца н удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.
Решение. Сов-
Рис. 14
мести м координатную плоскость хОу с плоскостью кольца, а ось Oz — с осью кольца (рис. 14). На кольце выделим малый участок длиной d/. Так как заряд dQ = xd/, находящийся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dE элекгрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде
j г*_ xd/
dE=—-----г
4леоГ
где г — радиус-вектор, направленный от элемента dt к точке А.
Разложим вектор dE на две составляющие: dEi, перпендикулярно плоскости кольца (сонаправлениую с осью Oz), и dE2, параллельную плоскости кольца (плоскости хОу), т. е. ,
dE=dEi + dE2.
Напряженность Е электрического поля в точке А найдем интегрированием;
E = ^E,+S е2,
где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dQ и dQ'(dQ= dQ')» расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы dE2 и dE2 в точке А равны по модулю и противоположны по направлению: dE2=—dE2. Поэтому векторная сумма (интеграл) j dE2 = 0. Состав-
ляющие dEi для всех элементов кольца сонаправлены
4—105
81
с осью Oz (единичным вектором k), т. e. dE| = kd/?i. Тогда
E=kJ d£i.
Так как d£=-4^y2, R*+(R/2)* =-^5R/2 и cosa=
= (/?/2)/г=1/^,°то
d£,=J—i^d/=—.
4™o 5J?S/5 5т/5лео/?2
Таким образом, 2nR
Е=Ц _ Td/_ — 1; 2т о 5-^5леоЛй &V5eo/?
Из соотношения Q=2jxJ?t определим радиус кольца: R=Q/(2m:). Тогда
р____к 2т2лт____k 4лтг
5д/5еоф 5-\/5eoQ
Модуль напряженности
|Е| =
4лт2
5~/5eoQ
(•)
Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу напряженности (В/м):
[г2] _ (I Кл/м)2 1Кл ,
[ев][(?] 1 Ф/м-1 Кл 1 Ф-1 м '
Выразим физические величины, входящие в формулу (1), в единицах СИ (т=5-10-8 Кл/м, @=4-10-8Кл, во=8,85-10-12 Ф/м) и произведем вычисления:
Е = 4-3,14-(5-10~Е)в В/м = 7 92 кВ/м
&VS-8,85-10“12-4-10-6
Пример 6. Две концентрические проводящие сферы радиусами R । = 6 см и /?г = 10 см несут соответственно заряды Qi = l нКл и @2 = —0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер иа расстояниях Г] = 5 см, Г2—9 см, г3= 15 см. Построить график Е(г).
Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех
82
областях (рнс. 15): области I(ri<zRi), области // (Т?1<У2<С/?2)» области III (г 3>£z).
1. Для определения напряженности Ех в области. I проведем гауссову поверхность Si радиусом Г\ и воспользуемся теоремой Остроградского—Г аусса:
ф £ndS = O
Рис. 15
(так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности, равен нулю). Из соображений симметрии Еп=Е\ = const. Следовательно, £|^> dS = O и Ei (напряженность поля в области /) во всех точках, удовлетворяющих условию будет равна нулю.
2. В области II гауссову поверхность проведем радиусом Г2. В этом случае*
$ EndS = Qi/eo,
(так как внутри гауссовой поверхности находится только заряд Qi).
Так как Еп= Е—const, то Е можно вынестн за знак интеграла:
£^dS = Qi/eo, или £S2=Qi/eo.
Обозначив напряженность £ для области II через £2, получим
£2= Qi/(eoS2),
где S2 = 4лг2 — площадь гауссовой поверхности. Тогда
Ei=-^r. (1)
4леоГ2 '
3. В области III гауссова поверхность проводится радиусом гз- Обозначим напряженность £ области III через
* Диэлектрическую проницаемость е среды будем считать равной единице (вакуум).
Ез и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен Q1 + Q2- Тогда
4 ЛЕО/’T'
Заметив, что фг<СО, это выражение можно переписать в виде
(2)
Р . Q.-IQ2I 3 4лр(1Гз
Убедимся в том, что правая часть равенств (1) и (2) дает единицу напряженности:
[Q] 1 Кл 1Кл . ,
НИ I Ф/м-1 м2 1Ф-1м 7
Выразим все величины в единицах СИ (Qt=10 9 Кл, Q2=—0,5-10~9Кл, и = 0,09 м, /-2=0,15 м, 1/(4яе0) = = 9-109м/Ф) н произведем вычисления:
£2=9-10’-(Wb/m=1’11 кВ/м:
Ез = 9 •108 (17П°^‘— В/м = 200 В/ м.
(V, 1 О)
Построим график £(г). В области I(ri<Ri) Е=0. В области II (Ri^r<7?2) Е2 (г) изменяется по закону 1/г2. В точке r~Ri напряженность E2(Ri) = <2i/(4sxeo/?i) = = 2,5кВ/м. В точке r=R2 (г стремится к Яг слева) £2(^2) = Qi/(4jif.0£2) = 0,9 кВ/м. В Области III (r>R2) Ез(г) изменяется по закону 1/г2, причем в точке r= R2 {г стремится к R2 справа) £з№) = (ф1 — |фг1/(4яео/?2) = = 0,45 кВ/м. Таким образом, функция £(г) в точках
г — R1 и г = Яг терпит разрыв.
Трафик зависимости Ег представлен на рис. 16.
Пример 7. Точечный заряд Q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью 0=0,2. иКл/см2.
84
Определить силу F,. действующую на заряд, если его расстояние от оси цилнидра г= 10 см.
Решение. Значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в поле, определяется по формуле
F=QE, (1)
где Е — напряженность поля.
Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цидилдра
где т — линейная плотность заряда.
Выразим линейную плотность т через поверхностную плотность о. Для этого выделим элемент цилиндра длиной I и выразим находящийся на нем заряд Q двумя способами: Q=oS = c2n.Rl, Приравняв правые
части этих формул н сократив полученное равенство на I, найдем т=2л/?о. С учетом этого формула (2) примет внд £= Ко/(еог). Подставив выражение Ев (1), получим
р___ QaR
6|>Г
Произведем вычисления:
р 2.5-10 8- 2-10 u-1 тт г- рг- । „—4 ж. -л- и
F=—ё"85-1О^и-То— Н = 5,65 • 10 Н ~ 565 мкН.
Сила F сонаправлена с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цнлнндр бесконечно длинный) перпендикулярна поверхности цилиндра.
Пример 8. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью т=?10нКл/м. Определить напряженность Е н потенциал <р электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина I ннтн составляет 1 /з длины окружности и равна 15 см.
Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Оу была бы симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 17). На нити выделим элемент длины d/. Заряд dQ — xd/, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.
85
Рис. 17
координат:
Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:
, „ тй1 г
dE = —-----5-—-,
4лесГ Г
где г — радиус-вектор, направленный от элемента dt к точке, в которой вычисляется
напряженность.
Выразим вектор dE через проекции d£* и АЕУ на оси
d Е = ld£*j d£^.
где i н j — единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием:
Е = $ dE=i$ dE« + jJ dE,.
Интегрирование ведется вдоль дуги длиной I. В силу симметрии d£x=0- Тогда
E = jJ АЕУ, (1)
где &ЕУ = d£cosf)’ = Td/cosf>/(4леог2). Так как г = R = = const, d/ = /^d-О-, то
d£jr = cos# = A T n cos'&d'fh y 4ne0/? 4лес/?
Подставим выражение дЕу в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрнровання возьмем от 0 до л/3, а результат удвоим:
E=j 2т t cos-&d-e=j т pV3/2-
л 4ле0/? j0 2леол
Выразив радиус R через длину I нити (3/=2st£)i получим
E = i^3. (2)
86
Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.
Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал dtp, создаваемый точечным зарядом dQ в точке О:
dtp—тб//(4леог).
Заменим г на R и проведем интегрирование:
___ т f il
4лео/? X 4ле0/? '
Так как / = 2л/?/3, то
<Р= т/(6ео). (3)
Произведем вычисления по формулам (2) и (3):
£=жте^в/"=2-|8кв/м'
?= б.е-.Г10^В=188 в-
Пример 9. На тонком стержне длиной I равномерно распределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Найтн потенциал <р, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние I.
Решение. В задаче рассматривается поле, создаваемое распределенным зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dQ == тбх, который можно считать точечным. Потенциал d<p, создаваемый этим точечным зарядом в точке А (рнс. 18), можно определить по формуле
d<p=^-=-^.
* 4л£С-£ 4леох
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в точке А, найдем интегрирование этого выражения:
21 2;
Г ъйх _
J. 4ЛЕоХ 4лео \ х
Рис. 18
87
Рис. 19
Выполним интегрирование:
Т I й т
Ф = — In X , — -— In 2.
т 4лео I ‘ 4ле0
Подставим числовые значения физических величин в СИ (т=10-10“9 Кл/м, 1/(4ш?о) =
= 9-109 м/Ф). н произведем вычисления:
<р = 9-109-10-10“9-0,693 В = 62,4 В.
Пример 10. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик — воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рнс. 19)
F = Q Е. (1)
Так как
£= о/(2е0) = <?/(2eoS),
где <т — поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид
F= Q2/(2e0S).
Произведем вычисления:
F = 2.8.85‘10^.kR Н = 5'65’ 'О" Н = 565 МКН-
Пример 11. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью т — 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся иа расстоянии ai = 0,5 см и Og = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.
Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля н изменением потенциала: Е = — grad <р. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде
Е -----, нли dtp = — £dr.
dr
88
Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих и а расстояниях г\ и г2 от оси цилиндра:
Ч>2 — <р, = — $ Ейг. (1)
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:
Е = т / (2лес|Г).
Подставив выражение Е в (1), получим
1 f dr т г2 «рг-ф, = —= --2^7 Ш—,
нли
ч» - ч* = 1П т- (2>
Произведем вычисления, учитывая, что величины Г[ и г2, входящие в формулу (2) в виде отношения, можно' выразить в сантиметрах (rt = R -|- сц = 1,5 см, г2 = = R + а2 = 3 см):
ф! _ <р2 = 2-10 е-1,8- Ю'°1п (3/1,5) =
= 3,6-102-2,3 1п 2 В = 250 В.
Пример 12. Электрическое поле создается двумя зарядами = 4 мкКл н Q2 = — 2 мкКл, находящимися на расстоянии а = 0.1 м друг от друга. Определить работу Л|,2 сил поля по перемещению заряда Q = 50 иКл нз
точки 1 в точку 2 (рис. 20).
Решение. Для определения работы Д1|2 снл поля воспользуемся соотношением
Д1.2 = Q (ф! — фг).
Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы ф1 и <ра точек 1 и 2 поля:
m | =
4леоа/2 ‘ 4леоа/2
Рис 20
2(Qi + Q2) 4леоД
89
Q, . Qt/^2 + Qg
т 4леоа-/2^ ’ 4 леса 4леоа
Тогда
Л,.2 = -^[2(О1+ Q2) -(Q,/t/2 +Q2)1,
ИЛИ
Ч2-^-) + 4
Проверим, дает ли правая часть равенства единицу работы (Дж):
[О] [QiJ _ » Кл-1 Кл [ео] [а] 1 Ф/м-1 м
1 Кл-1 В = 1 Дж.
Подставим числовые значения физических величин в СИ (Q = 50- Ю 9 Кл, Qi = 4 - IO”6 Кл, Q2 = 2-10“6 Кл, а =0,1 м, 1/(4ле0) =9-109 м/Ф) и произведем вычисления:
А,,2 = 50'Ю0 ;9'10' [4(2 - 1/т/2 ) - 2] • 10-6 Дж = = 14,3 мДж.
Пример 13. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью Щ = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в п = 2 раза.
Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:
A = eU. (1)
Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:
А = Т2-Т, = -^--^-. (2)
где Ti н Т2—кинетическая энергия электрона до н после прохождения ускоряющего поля; tn — масса электрона; vi и V2 — начальная и конечная скорости его.
90
Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
rj tmiz mvl mnzVi mv,
2 2 “ 2 2
где п = v2/vi.
Отсюда искомая разность потенциалов
2е
Произведем вычисления:
t7 = 9,l2.№^-<22-1> в = 8-53 в-
Пример 14. С поверхности бесконечного равномерно заряженного (т=50иКл/м) прямого цилиндра вылетает а-частица (&о=О). Определить кинетическую энергию Tz а-частицы (кэВ) в точке 2 иа расстоянии 8/? от поверхности цилиндра (рис. 21).
Решение. Так как силы электростатического поля являются консервативными, то для определения кинетической энергии а-частицы в точке 2 воспользуемся законом сохранения энергии, записанном в виде Ei = Ez, где £1 и Ez — полные энергии а-частицы в точках / и 2.
Так как Et = Т| + 1Л и £2= T2 + Uz (Л и Т2 — кинетические энергии а-частицы; V\ и Vz— потенциальные), то, учитывая, что Л = 0 (оо=0), можно записать L7i = = £2 + ^2, откуда Т2= СЛ —£Лг=<2(ф1 — <рг) {Q — заряд а-частицы; <pi и <р2 — потенциалы точек / и 2).
Используя решение примера 10, запишем
Т . Г2 ср, — <р2=——1п —- • 2л8о И
Тогда
Тг = ^1п9.
2яео
Проверка единиц аналогична проведенной в примере 11.
Выразим все величины в единицах СИ (Q = 2-l,60X X Ю“19 Кл, т=50-10~9 Кл/м, 1/(2ле0)= 18-10е м/Ф) и произведем вычисления
— 1п9. 2лео
91
(1/(1,60-10 1э) — коэффициент перевода из Дж в эВ): 72=18-10° 2'1’60,'вд?” ” 10-9 2,20 эВ = 3-96 кэВ-
Пример 15. Конденсатор емкостью Ci = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов t/1 = 40B. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2=5 мкФ. Какая энергия W' израсходуется иа образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
Решение. Энергия, израсходованная на образование искры,
W'=Wx-W2t (1)
где W7! — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; — энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле
и7=’/2СС72, (2)
где С — емкость конденсатора или батареи конденсаторов.
Выразив в формуле (1) энергии Wt и №2 по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
w =1лС|1^-1/2(С|-|-С2)^1 (3)
где — разность потенциалов иа зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
СИСг С1+С2
Подставив выражение 1/2 в (3), найдем
_ (Ci + СгСТЛ
2 2(С, + С2)2 ’
или
W' = 1 с,с*~- г Я
2 G + Сг Ь
92
Произведем вычисления:
1 3- 10~6-Б. 10~D 2 3-10-6 + 5-10^6
= 1,5 мДж.
Пример 16. Потенциометр сопротивлением R = 100 Ом подключен к батарее с ЭДС 8= 150 В и внутрен-
1600 Дж =
ним сопротивлением Rt = 50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением
Rv = 500 Ом, соединеиногос одной из клемм потенциомет-
ра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.
Решение. 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 22), определим по формуле
U^IrRi,
где R\ — сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра; It — суммарная сила тока в ветвях этого соединения (оиа равна силе тока в неразветвлеииой части цепи).
Силу тока /| найдем по закону Ома для полной цепи:
/.= «/№ + *)> (1)
где Re — сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:
Re^R/2 + Rt. (2)
Сопротивление Ri найдем по формуле параллельного
1 1 । 1
соединения проводников -=-=——|—откуда Л! l\J *
п.= RRv
Подставив в (1) выражение Re по (2), найдем
/1==---£_____
1 /?/2 + /?,+Л *
В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. • Поэтому удобно вычисление величин провести раздельно:
п 100-500 „ лек л
К' = 100+'2-5бо Ом = 45-5 °М;
93
Л = A = 1,03 A;
504-45,5 + 50 ’ ’
t/, = 1,03-45-5 B = 46,9 B.
2. Разность потенциалов между точками А и В прн отключенном вольтметре равна произведению силы тока /2 на половину сопротивления потенциометра:
С72=/2-/?/2, (3)
где /2 — сила тока в цепи при—отключенном вольтметре. Ее определим по формуле
72 = «/(/?+/?,).
Подставив выражение /2 в (3), найдем Us= S/(R + /?«)• Я/2-
Произведем вычисления:
Г Г _ 150 100 у»_ уч
^- 100 + 60 2 В-50 В-
Пример 17. Сила тока в проводнике сопротивлением 7?=20 Ом нарастает в течение времени А/—2 с по линейному закону от /о=О до 7=6 А (рис. 23), Определить теплоту Qi, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 — за вторую, а также найти отношение Q2/Q,.
Решение. Закон Джоуля—Леица в виде Q=.I Rt справедлив для постоянного тока (/=const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде
dQ — PRAt.
(1)
Здесь сила тока / является некоторой функцией времени. В данном случае
Рис. 23
/=/?/, (2)
где k — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:
*=+=|А/с = 3 А/с.
94
С учетом (2) формула (1) примет вид
dQ = k2Rf&. (3)
Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени А/, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t\ до t2‘
Произведем вычисления:
Q,= y-32-20(l-0) Дж = 60 Дж;
Q2 = Т.32.20(8 — 1) Дж = 420 Дж.
Следовательно,
q2/Q, = 420/60=7,
т. е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.
Задачи для самостоятельного решения
1. Два шарика массой т= 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити 1=10 см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы инти разошлись иа угол а= = 60°? [79 иКл]
2. Расстояние между зарядами ф1 = 100иКл и Qz= = —50 нКл равно d= 10 см. Определить силу F, действующую иа заряд Qg = l мкКл, отстоящую на п = 12см от заряда Qi и иа г2=10 см от-»заряда Q2. [51 мН]
3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью <=1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня иа расстоянии d= 12 см от его конца находится точечный заряд Q = 0,2 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. [2,25 мН]
4. Длинная прямая тонкая проволока несет равномерно распределенный заряд. Вычислить линейную плотность т заряда, если напряженность поля на расстоянии г=0,5м от проволоки против ее середины £=2 В/см. [5,55 иКл/м]
95
5. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда а = 2 мкКл/м2? [0,23 Н/м2]
6. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы получить скорость v = = 8 Мм/с? [182 В]
7. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью о= 10 нКл/м2. Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние а= 10 см. [56,6 В]
8. Электрой с начальной скоростью v = 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью £= =150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Определить: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t= = 0,1 мкс. [24 аН; 26,4 Тм/с2; 4 Мм/с]
9. К батарее с ЭДС £=300 В включены два плоских конденсатора емкостями С[ = 2пФ и Сг=ЗпФ. Определить заряд Q и напряжение U иа пластинках конденсаторов при последовательном и параллельном соединениях. [1) 0,36 нКл; 180 В; 120 В; 2) 0,6 нКл; 0,9 кКл; 300 В]
10. Конденсатор емкостью С[ = 600пФ зарядили до разности потенциалов Ui= 1,5 кВ и отключили от источника напряжения. Затем к нему параллельно присоединили незаряженный конденсатор емкостью 02=400 пФ. Определить энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов, [-0,27 мДж]
II. На концах медного провода длиной 1=5 м поддерживается напряжение (/=1 В. Определить плотность тока j в проводе. [1,18-107 А/м2]
12. Резистор сопротивлением /?i = 5 Ом, вольтметр и источник тока соединены параллельно. Вольтметр показывает напряжение t7|=10B. Если заменить резистор другим с сопротивлением /?2=12Ом, то вольтметр покажет напряжение t>2=12B. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока. Током через вольтметр пренебречь. [14 В; 2 Ом]
13. Определить электрический заряд, прошедший через поперечное сечение провода сопротивлением R—-3 Ом при равномерном нарастании напряжения иа концах про-
96
вода от Ui = 2 В до С7г=4 В в течение 7=20 с. [20 Кл]
14. Определить силу тока в цепи, состоящей из двух элементов с ЭДС $j=l,6 В н 1,2 В и внутренними сопротивлениями /?| = 0,6 Ом и /?2 = 0,4 Ом, соединенных одноименными полюсами. [0,4 А]
15. Гальванический элемент дает на внешнее сопротивление ТА =0,5 Ом силу тока Zi=0,2A. Если внешнее сопротивление заменить на ^2 = 0,8Ом, то элемент дает силу тока А? = 0,15 А. Определить силу тока короткого замыкания. [0,45 А]
16. К источнику тока с ЭДС $=12 В присоединена нагрузка. Напряжение U на клеммах источника стало при этом равным 8 В. Определить КПД источника тока. [68% ]
17. Внешняя цепь источника тока потребляет мощность Р = 0,75 Вт. Определить силу тока в цепи, если ЭДС источника тока £=2 В и внутреннее сопротивление Я=1 Ом. [0,5 и 1,5 А]
18. Какая наибольшая полезная мощность Ртак может быть получена от источника тока с ЭДС $= 12 В и внутренним сопротивлением 7? = 1 Ом? [36 Вт]
19. При выключении источника тока сила тока в цепи убывает по закону I=Ioe~at (1о=10А, а=5-102с-1). Определить количество теплоты, которое выделится в резисторе сопротивлением R = 5Om после выключения источника тока. [0,5 Дж]
Контрольная работа 3
Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ
Ва- Номера задач
риант f
0
1
2
3
4
5
8
9
310
301
302
303
304
305
306
307
308
309
320
311
312
313
314
315
316
317
318
319
330
321
322
323
324
325
326
327
328
329
340
331
332
333
334
335
336
337
338
339
350
341
342
343
344
345
346
347
348
349
360 351 352 353
354 355 Зоб 357 358
359
370
361
362
363
364
365
366
367
368
369
380
371
372
373
374
375
376
377
378
379
Таблиц* вараввтав для специальном©}}, учебными планами которых предусмотрено do курсу физики четыре контрольных работы
Вариант Номера задач
0 310 340 360 370 420 440 460 470
1 301 331 341 361 411 431 451 461
2 302 332 342 362 412 432 452 462
3 303 333 343 363 413 433 4.53 463
4 304 334 344 364 414 434 454 464
Б 305 335 345 365 415 435 '455 465
6 306 336 346 366 416 436 456 466
7 307 337 347 367 417 437 457 467
8 308 338 348 368 418 438 458 468
9 309 339 349 369 419 439 359 369
301. Точечные заряды Qi = 20 мкКл, Qz= —10 мкКл находятся на расстоянии £? — 5 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на Г1==3 см от первого и иа гг=4 см от второго заряда. Определить также силу F, действующую в этой точке на точечный заряд Q=1 мкКл.
302. Три одинаковых точечных заряда Qi = Q2=Q3 = = 2 иКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со сторонами а= 10 см. Определить модуль и направление силы F, действующей иа один из зарядов со стороны двух других.
303. Два положительных точечных заряда Q н 9Q закреплены иа расстоянии 100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы ои находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.
304. Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной точке иа нитях одинаковой длины. Пря этом нити разошлись на угол а. Шарики погружают в масло. Какова плотность р масла, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается неизменным? Плотность материала шариков р0=1,5-103 кг/м3, диэлектрическая проницаемость масла е=2,2.
305. Четыре одинаковых заряда Qi = Q2==Q3=Q4 = = 40кНл закреплены в вершинах квадрата со стороной а=10см. Найти силу F, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.
98
306. Точечные заряды Qi = 30 мкКл и Q2=—20 мкКл находятся иа расстоянии d = 20 см друг от друга. Определить напряженность электрического поля Е в точке, удаленной от первого заряда на расстояние л = 30 см, а от второго — на г2= 15 см.
307. В вершинах правильного треугольника со стороной о=10 см находятся заряды <21 = 10мкКл, Q2= = 20мкКл и фз = 30мкКл. Определить силу F, действующую иа заряд Qi со стороны двух других зарядов.
308. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Qi = Q2=Q3=Q4 = 8-1O-10 Кл. Какой отрицательный заряд Q нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?
309. На расстоянии £?=20см находятся два точечных заряда: Qi = —50 нКл и ф2=100иКл. Определить силу F, действующую на заряд Q3— —10 нКл, удаленный от обоих зарядов иа одинаковое расстояние, равное d.
310. Расстояние d между двумя точечными зарядами (21 = 2нКл и ф2=4иКл равно 60 см. Определить точку, в которую нужно поместить третий заряд Q3 так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить заряд Qi и его знак. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?
311. Тонкий стержень длиной /=20см несет равномерно распределенный заряд т=0,1 мкКл. Определить иапряжеииость Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежащей на оси стержня иа расстоянии а=20 см от его конца.
312. По тонкому полукольцу радиуса 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью т= = I мкКл/м. Определить иапряжеииость Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.
313. Тонкое кольцо иесет распределенный заряд Q= = 0,2мкКл. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г= = 20 см. Радиус кольца /?=10см.
314. Треть тонкого кольца радиуса /?=10см несет распределенный заряд ф = 50иКл- Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.
99
315. Бесконечный тонкий стержень, ограниченный с одной стороны, несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью т=0,5 мкКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии с = 20 см от его начала.
316. По тонкому кольцу радиусом /?=20см равномерно распределен с линейной плотностью т = 0,2 мкКл/м заряд. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, находящейся на оси кольца на расстоянии h~2R от его центра.
317. По тонкому полукольцу равномерно распределен заряд Q=20 мкКл с линейной плотностью т=0,1 мкКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.
318. Четверть тонкого кольца радиусом /?= 10 см песет равномерно распределенный заряд ф=0,05мкКл. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.
319. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q=10 иКл с линейной плотностью т=0,01 мкКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное радиусу кольца.
320. Две трети тонкого кольца радиусом /?=10см несут равномерно распределенный с линейной плотностью т = 0,2 мкКл/м заряд. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.
321. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями oi и 02 (рис. 24). Требуется: 1) используя теорему Остроградского—Гаусса, найти зависимость £(г) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: /, II и III. Принять щ = 4о, о2 = о; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра иа расстояние г, и указать направление вектора Е. Принять о = 30 иКл/м2, г= 1,5/?; 3) построить график £М.
322. См. условие задачи 321. В п. I принять oj = o, 02=—о. В п. 2 принять о=0,1 мкКл/м2, г=3.
100
323. См. условие задачи 321. В п. 1 примять oi =—4а, ог=о. В п. 2 принять о=50 нКл/м2, г=1,5/?.
324. См. условие задачи 321. В п. 1 принять oi =—2а, О2=о. В п. 2 примять о=0.1 мкКл/м2, г=ЗЯ.
325. На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями at и 02 (рис. 25). Требуется: 1) используя теорему Остроградского—Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найтн выражение Е(х) напряженности электрического поля в трех областях: I, II и III. Принять 01 = 2(1, 02=о; 2) вычислить напряженность Е поля в точке, расположенной слева от плоскостей, и указать направление аектора Е; 3) построить график Е(х).
Рис. 24
Рис. 25
326. См. условие задачи 325. В п. 1 принять Oi = = —4о, ог=2о. В п. 2 принять о=40 иКл/м2 и точку расположить между плоскостями.
327. См. условие задачи 325. В п. 1 принять oi = o, 02=—2о. В п. 2 принять о = 20 нКл/м2 и точку расположить справа от плоскостей.
328. На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными ПЛОТНОСТЯМИ О1 и 02 (рис. 26). Требуется: 1) используя теорему Остроградского—Г аусса: найти зависимость Е(г) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей:
Рис. 26
101
I, II н III. Принять Oi = —2о, 02 = о; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от оси цилиндров на расстояние г, и указать направление вектора Е. Принять а = 50 нКл/м2, г = 1,5/?; 3) построить график Е(г).
329. См. условие задачи 328. В п. 1 принять О] = с, 02=—о. В п. 2 принять о=60 нКл/м2, г=ЗЯ.
330. См. условие задачи 328. В п. 1 принять О| = —о, О2 = 4о. В п. 2 принять о = 30 нКл/м2, г = 4/?.
331. Два точечных заряда Qi = 6 нКл и Q2=3 нКл находятся на расстоянии d=60cM друг от друга. Какую работу необходимо совершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое?
332. Электрическое поле создано заряженным проводящим шаром, потенциал ф которого 300 В. Определить работу сил поля по перемещению заряда Q = 0,2 мкКл из точки 1 в точку 2 (рис. 27).
333. Электрическое поле создано зарядами Qj = = 2мкКл и Q2=— 2 мкКл, находящимися на расстоянии а= 10 см друг от друга. Определить работу сил поля, совершаемую при перемещении заряда ф=0,5мкКл из точки 1 в точку 2 (рис. 28).
334. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда которых сц = 2 мкКл/м2 и Ог=—0,8 мкКл/м2, находятся на расстоянии d = — 0,6 см друг от друга. Определить разность потенциалов U между плоскостями.
335. Диполь с электрическим моментом р = 100 пКл- м свободно установился^ в свободном электрическом поле напряженностью Е = 200 кВ/м. Определить работу внешних сил, которую необходимо совершить для поворота диполя на угол а= 180°.
102
336. Четыре одинаковых капли ртути, заряженных до потенциала (р = 10 В, сливаются в одну. Каков потенциал q>i образовавшейся капли?
337, Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = = 10 см. Он равномерно заряжен с линейной плотностью заряда т = 800 нКл/м. Определить потенциал ср в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии h = 10 см от его центра.
338. Поле образовано точечным диполем с электрическим моментом р = 200 пКл - м. Опредить разность потенциалов U двух точек поля, расположенных симметрично относительно диполя нв его оси на расстоянии г = = 40 см от центра диполя.
339. Электрическое поле образовано бесконечно длинной заряженной нитью, линейная плотность заряда которой Г= 20 пКл/м. Определить разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от нити на расстоянии П = 8 см и Г2 = 12 см.
340. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда т = 200 пКл/м. Определить потенциал <р поля в точке пересечения диагоналей.
341. Пылиика массой т = 200 мкг, несущая на себе заряд Q = 40 нКл, влетела в электрическое поле в направлении силовых линий. После прохождения разности потенциалов U = 200 В пылинка имела скорость v = = 10 м/с. Определить скорость vo пылинки до того, как она влетела в поле.
342. Электрон, обладавший кинетической энергией Т = 10 эВ, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потенциалов U = 8 В?
343. Найти отношение скоростей ионов Си++ и К+, прошедших одинаковую разность потенциалов.
344. Электрон с энергией Т = 400 эВ (в бесконечности) движется адоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом R = 10 см. Определить минимальное расстояние а, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если звряд ее Q = —10 нКл.
. 345. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость v = = 105 м/с. Расстояние между пластинами d = 8 мм. Найти: I) разность потенциалов U между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда о на пластинах.
103
346. Пылинка массой т = 5 нг, несущая на себе /V = = 10 электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 1 МВ. Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость v приобрела пылинка?
347. Какой минимальной скоростью должен обладать протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного до потенциала <р = 400 В металлического шара (рис. 29)? “
348. В однородное электрическое поле напряженностью Е = 200 В/м влетает (вдоль силовой линии) электрон со скоростью г>о=2 Мм/с. Определить расстояние I, которое пройдет электрон до точки, в которой его скорость будет равна половине начальной.
349. Электрическое поле создано бесконечной заряженной прямой линией с равномерно распределенным зарядом (т = 10 нКл/м). Определить кинетическую энергию 1\ электрона в точке 2, если в точке / его кинетическая энергия Tt = 200 эВ (рис. 30).
Рис. 29
Рис. 30
350. Электрой движется вдоль силовой линии однородного электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом = 100 В электрон имел скорость V\ =' = 6 Мм/с. Определить потенциал <рг точки поля, дойдя до которой электрон потеряет половину своей скорости.
351. Конденсаторы емкостью Ci = 5 мкФ и Сг = = 10 мкФ заряжены до напряжений = 60 В и (Л — = 100 В соответственно. Определить напряжение иа обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды
352. Конденсатор емкостью Ci = 10 мкФ заряжен до напряжения U = 10 В. Определить заряд иа обкладках этого конденсатора после того, как параллельно ему был
104
подключей другой, незаряженный, конденсатор емкостью С % = 20 мкФ.
353. Конденсаторы емкостями Ci = 2 мкФ, С% = = 5 мкФ и Сз — Ю мкФ соединены последовательно и находятся под напряжением U = 850 В. Определить напряжение и заряд иа каждом из конденсаторов.
354. Два конденсатора емкостями Ci = 2 мкФ и Сг = = 5 мкФ заряжены до напряжений Ui = 100 В я Uz = = 150 В соответственно. Определить напряжение на обкладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими разноименные заряды.
355. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора емкостью С = 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, иа сколько -изменится емкость С батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином.
356. Два конденсатора емкостями Ci = 5 мкФ и G = = 8 мкФ соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭД С 8 = 80 В. Определить заряды Qi и Qa конденсаторов и разности потенциалов Е\ и Uz между их обкладками.
357. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R = 10 см каждая. Расстояние между пластинами d = 2 мм. Конденсатор присоединен к источнику напряжения U = 80 В. Определить заряд Q и напряженность Е поля конденсатора в двух случаях: а) диэлектрик — воздух; б) диэлектрик — стекло.
358. Два металлических шарика радиусами R\ = = 5 см и R? = 10 см имеют заряды Qi = 40 нКл и Q2 = = — 20 нКл соответственно. Найти энергию W, которая выделится при разряде, если шары соединить проводником.
359. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: стекла толщиной di = 0,2 см и слоем парафина толщиной di = = 0,3 см. Разность потенциалов между обкладками U = =.300 В. Определить напряженность Е поля и падение потенциала в каждом из слоев.
360. Плоский конденсатор с площадью пластин S = = 200 см2 каждая зарижеи до разности потенциалов U — = 2 кВ. Расстояние между пластинами d=2 см. Диэлектрик — стекло. Определить энергию W поля конденсатора н плотность энергии w поля.
361. Катушка и амперметр соединены последовательно и подключены к источнику тока. К клеммам катушки
105
присоединен вольтметр с сопротивлением г = 4 кОм. Амперметр показывает силу тока I ~ 0,3 А, вольтметр — напряжение U = 120 В. Определить сопротивление R катушки. Определить относительную погрешность е, которая будет допущена при измерении сопротивления, если пренебречь силой тока, текущего через вольтметр.
362. ЭДС батареи 8 = 80 В, внутреннее сопротивление Ri — 5 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность Р = 100 Вт. Определить силу тока I в цепи, напряжение U, под которым находится внешняя цепь, и ее сопротивление R.
363. От батареи, ЭДС которой $ = 600 В, требуется передать энергию на расстояние I = 1 км. Потребляемая мощность Р = 5 кВт. Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов d — 0,5 см.
364. При внешнем сопротивлении Ri = 8 Ом сила тока в цепи /1 = 0,8 А, при сопротивлении Rz = 15 Ом сила тока I? = 0,5 А, Определить силу тока /к.3 короткого замыкания источника ЭДС.
365. ЭДС батареи $ = 24 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, /тах = 10 А. Определить максимальную мощность Ртя* которая может выделяться во внешней цепи.
366. Аккумулятор с ЭДС $ = 12 В заряжается от сети постоянного токв с напряжением U = 15 В. Определить напряжение на клеммах аккумулятора, если его внутреннее сопротивление R, = 10 Ом.
367. От источника с напряжением U = 800 В необходимо передать потребителю мощность Р = 10 кВт на некоторое расстояние. Какое наибольшее сопротивление может иметь линия передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10% от передаваемой мощности?
368. При включении электромотора в сеть с напряжением U = 220 В ои потребляет ток I = 5 А. Определить мощность, потребляемую мотором, и его КПД, если сопро-противление R обмотки мотора равно 6 Ом.
369. В сеть с напряжением U = 100 В подключили катушку с сопротивлением Ri — 2 кОм и вольтметр, соединенные последовательно. Показание вольтметра Ui = = 80 В. Когда катушку заменили другой, вольтметр показал U% = 60 В. Определить сопротивление R% другой катушки.
370. ЭДС батареи $ = 12 В. При силе тока 1 = 4 А
106
КПД баратери i] = 0,6. Определить внутреннее сопротивление Ri батареи.
371. За время t — 20 с при равномерно возраставшей силе тока от нуля до некоторого максимума в проводнике сопротивлением R = 5 Ом выделилось количество теплоты Q = 4 кДж. Определить скорость нарастания силы тока, если сопротивление проводника R = 5 Ом.
372. Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону / = 7ое-“', где /о = 20 А, а= 102с-1. Определить количество теплоты, выделившееся в проводнике за время t — 10~"2 с.
373. Сила тока в проводнике сопротивлением R = = 10 Ом за время t = 50 с равномерно нарастает от Л = = 5 А до /з = Ю А. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.
374. В проводнике за время t = 10 с при равномерном возрастании силы тока от Ц = 1 А до /2 = 2 А выделилось количество теплоты Q = 5 кДж. Найти сопротивление R проводника.
375. Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону I = Josincot. Найти заряд Q, проходящий через поперечное сечение проводника за время t, равное половине периода Т, если начальная сила тока 1о = 10 А, циклическая частота со = 50пс-1.
376. За время t = 10 с при равномерно возрастающей силе тока от нуля до некоторого максимума в проводнике выделилось количество теплоты Q = 40 кДж. Определить среднюю силу тока в проводнике, если его сопротивление R ~ 25 Ом.
377. За время t = 8 с при равномерно возраставшей силе тока в проводнике сопротивлением R = 8 Ом выделилось количество теплоты Q = 500 Дж. Определить заряд 9, проходящий в проводнике, если сила тока в начальный момент времени равна нулю.
378. Определить количество теплоты Q, выделившееся за время t = 10 с в проводнике сопротивлением R = = 10 Ом, если силв тока в нем, равномерно уменьшаясь, изменилась от h = 10 А до 12 = 0.
379. Сила тока в цепи изменяется по закону I = — /«sincoi. Определить количество теплоты, которое выделится в проводнике сопротивлением /?=10 Ом за время, равное четверти периода (от /i = 0 до t2 = Т/4 где Т= 10 с).
380. Сила тока в цепи изменяется со временем по закону I = Ioe~at. Определить количество теплоты, кото
107
рое выделится в проводнике сопротивлением R = 20 Ом за время, в тёчение которого ток уменьшится в е раз. Коэффициент а принять равным 2-102с~1.
4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Основные формулы
Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля
В = ццоН,
где ц — магнитная проницаемость изотропной среды; ро — магнитная постоянная. В вакууме ц = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме
В = |10Н.
Закон Био—Савара—Лапласа
dB [dlr] -Д или dB = №L_L5i”g di 4л 1 1 г 4л г *
Где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной dZ с током /; г—радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; а—угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода.
Магнитная индукция в центре кругового тока
где R — радиус кругового витка.
Магнитная индукция иа оси кругового тока D |i[io 2nR2I
(/г2+л2)*'2 ’
где h — расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля прямого тока
В = Ц|до//(2лго),
где Го — расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (см. рис. 31, а и пример 1),
В — * - (cosai — cosaa)
108
Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции В обозначено точкой — это значит, что В направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.
При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 31,6), —COSCC2 = COSCC1 = = cosa, тогда
Рис. 3!
в = Дсоза.
2л Го
Магнитная индукция поля соленоида В — рроп/,
где п — отношение числа витков соленоида к его длине. Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера),
F = /[IB], или F = JB/sina, где / — длина провода; a — угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции В. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля н прямого отрезка провода. Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу провода в отдельности:
dF= /[dlBJ.
Магнитный момент плоского контура с током
Pm = п/5,
где п — единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I — сила тока, протекающего по контуру; 5 — площадь контура.
Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,
М = [ртВ], или М = pmSsina, где а — угол между векторами р„, и В.
109
Потенциальная энергия (механическая)* контура с током в магнитном поле
' Пмех = — ₽т В, ИЛИ Пмех = — pmBCOStt.
Отношение магнитного моменте рт к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по крутой орбите,
Pm 1 Q
L 2 т'
где Q — заряд частицы; m — масса частицы.
Сила Лоренца**
F = Q[vB], или F = QoBsincc, где v — скорость заряженной частицы; а—угол между векторами v н В.
Магнитный поток:
а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности
Ф = BScosa или Ф = BnS, где S — площадь контура; а—угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции: б) в случве неоднородного поля и произвольной поверхности
ф = ( B„dS
s
(интегрирование ведется по всей поверхности).
Потокосцепление (полный поток)
V = N®.
Эта формула верна для соленоиде и тороида с равномерной нвмоткой плотно прилегающих друг к другу /V витков.
Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле
А = /ДФ.
* Часть полной потенциальной энергии, которая обусловлена существованием механического (вращательного) момента (см.: Савельев И. В. Курс общей физики. М., 1978. Т. 2. С. 129).
** Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение
F= QE + QLvB).
ПО
ЭД С индукции
d(
& = —
Разность потенциалов на концах провода, движущегося со скоростью v в магнитном поле,
U= Blvsina,
где / — длина провода; а — угол между векторами v и В.
Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур,
Q = АФ/Я, или Q = ^AФ/Я = АФ/Я,
где R — сопротивление контура.
Индуктивность контура
L = Ф//.
ЭДС самоиндукции
Индуктивность соленоида
L = pp0«2V,
где п — отношение числа витков соленоида к его длине; V — объем соленоида.
Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L-
а) / = -& (1 — e~Rt/L) (при замыкании цепи), гдей — ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замыкания цепи;
б) / = (при размыкании цепи), где /о — сила
тока в цепи при i =Ъ; i — время, прошедшее с момента размыкания цепи.
Энергия магнитного поля
Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему) w~ ВН/2, или w = В2/(2рро), или w=^qH^/2, гд.е В — магнитная индукция; Н — напряженность магнитного поля.
1И
Примеры решения задач
Пример 1. По отрезку прямого провода длиной 1= = 80 см течет ток /=50 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода н находящейся на расстоянии го=ЗОсм от его середины.
Решение. Для решения задач воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Закон Био—Савара—Лапласа позволяет определить магнитную индукцию dB, создаваемую элементом тока /dl. Заметим, что вектор dB в точке А направлен за плоскость чертежа. Принцип суперпозиции позволяет для определения В воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):
в=$ dB, (1)
где символ I означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.
Запишем закон Био—Савара—Лапласа в векторной форме:
dB=J^4[d11],
4л/-3 L J
где dB — магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dZ с током I в точке, определяемой
радиусом-вектором г; ро — магнитная постоянная; р — магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае р = 1*). Заметим, что векторы dB от различных элементов тока сонаправлены (рис 32), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:
= J dB,
* Во всех задачах, где это специально не оговорено, следует считать, что средой является воздух, для которого магнитная проницаемость принимается равной единице.
112
где
d^ = JW smad/ 4л г2
В скалярном выражении закона Био—Савара—Лапласа угол а есть угол между элементом тока Zdl и радиусом-вектором г. Таким образом,
В = _^£Г _sin« d/ (2)
4л J. г2 ' ’
Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная — угол а. Для этого выразим длину элемента провода d/ через угол da: d/=rda/sina (рис. 32).
гт. sin a j t
Тогда подынтегральное выражение —— al запишем sin a rda dec
в виде —-—. Заметим, что переменная г также зависит от a, (r=r0/sin а); следовательно,
da__ sin a
г r°
Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде
В= и-о/Д sin ad а, 4n/oJ <Xj
где eq и aj — пределы интегрирования.
Выполним интегрирование:
В=(cos ai — cos аз). (3)
4лг0 ' ' z
Заметим, что при симметричней расположении точки А относительно отрезка провода созс&=—cos at. С учетом этого формула (3) примет вид
fi=J«Lcosa|. (4)
2wo
Из рис. 32 следует
1/2 I
cos ai =—
V(//2)4^ тМ-M2
Подставив выражение cosai в формулу (4), получим
(5)
5-105 ИЗ
Произведя вычисления по формуле (5), найдем 3=26,7 мкТл.
Направление вектора магнитной индукции В поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на рис. 33) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор В. Вектор магнитной индукции В в точке А (рис. 32) направлен перпендикулярно .плоскости чертежа от нас.
Пример 2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлеини электрические токи силой /=60А, расположены на расстоянии d=10cM друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 34), отстоящей от оси одного проводника иа расстоянии Г| = 5 см, от другого — гг= 12 см.
Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций Bi и В^ полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, н сложим их геометрически:
В = Bi + В2-
Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:
В=+ Bi + 2В1З2 cos а, (1)
где а — угол между векторами Bi и В2.
114
Магнитные индукции Bi н В2 выражаются соответственно через силу тока / н расстояния и н г2 от проводов до точки А:
Bi = |л0//(2лГ1); В2= |Ло//(2лг2).
Подставляя выражения Bi и В2 в формулу (1) и выиося цо//(2л) за знак корня, получаем
Вычислим cos а. Заметив, что а= Z-DAC (как углы с соотаетстаеино перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем
d2 = г? + rl — 2rir2 cos сс,
где d — расстояние между проводами. Отсюда
cos а—
H + ri-d8 2rlra
5Z+122— 102 23
COS“=-----2-5.12 -=-40-
Подставим в формулу (2) числовые значения физических величии и произведем вычисления:
R_ 4-3,14- 10~7-60 /1 1 ~ 2 23 т
2-3,14 V (0.05)2 “Г (0,12)2’ 0,05-0,12* 40
= 3,08-10-4 Тл = 308 мкТл.
Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом /?= 10 см течет ток /=80 А. Найти магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г=20 см.
Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа:
4л г1
где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока /dl в точке, определяемой радиусом-вектором г.
Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 35). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.
Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,
5*
115
магнитная индукция В в точке А определяется интегрированием:
В = $ dB,
где интегрирование ведется по всем элементам d/ кольца.
Разложим вектор dB иа две составляющие: dBj_, перпендикулярную плоскости кольца, и dB|, параллельную плоскости кольца, т. е. .
dB— dB± + dB||.
Тогда
B = J dBj_4-J dBj.
Заметив, что ] dBn = O из соображений симметрии н что векторы dBj. от различных элементов d/ сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:
В = $ dBx,
где dZ?x = dB cosp и dB =-^-—— (поскольку dl перпендикулярен г и, следовательно, sina=l). Таким образом,
4л
“COS
2лК
4dz=
цо/ cos р-2лЯ
116
После сокращения на 2зт и замены cos 0 иа R/r (рис. 35) получим
D___ [Ар//?2
— гг ’
Проверим, дает лн правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):
[но] [/] [/?21 1 Гн-1 А»1 м2 1 Гн» 1 А2 _ 1 Дж
[г3] м»1мл 1А-1м8 1А-1мг
Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции:
£___ A^max
— Р
Тогда
1 Тл =
1Н»1м
1 А-1 м'2 '
Выразим все величины в единицах СИ н произведем вычисления:
_ 4л-10-'7»80-(0.1)5
2-(0,2)э
Тл = 6,28*10-5 Тл,
или В —62,8 мкТл.
Вектор В напраален по оси кольца (пунктирная стрелка на рис. 35) в соответствии с правилом буравчика.
Пример 4. Длинный провод с током /=50 А изогнут под углом а=^2п/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 36). Расстояние d=5 см.
Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. 37). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций В| и В2 полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В= В, 4- В2. Магнитная индукция Вг равна нулю. Это следует из закона Био—Сааара—Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода, dB—О ([dlr]=O).
117
Магнитную индукцию В} найдем» воспользовавшись соотношением (3), найденным в примере 1:
В i = ,Ип/- (cos Ct] — cos сс2), 4лго
где г0 — кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис. 37).
Рис. 36
Рис. 37
В нашем случае ai->0 (провод длинный), а2=а= — 2л/3 (cos «2= cos (2л/3)= - J /2). Расстояние го= = dsin(n— d) — d sin (зт/3)—dy/3 /2. Тогда магнитная индукция
й,=-----!Ц/_(1 + 1/2).
4этйд/3 /2
Так как В = В\ (Вг=О), то
D = л/3 4лсг '
Вектор В соиаправлеи с вектором Bi и определяется правилом правого винта. На рис. 37 это направление отмечено крестиком а кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас).
Проверка единиц аналогична выполненной в примере 3. Произведем вычисления:
в = УЛ 24л- ltr; 50 Тл = 3,46 • 10~Б Тл=34,6 мкТл. 4Л-5-10-2
Пример 5. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис. 38). По проводам текут токи Zi = 80 А и Zg=60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов.
Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция В поля,
118
создаваемого токами Л и ?2, определяется выражением В = В[ + Bg, где Bt — магнитная индукция поля, созданного в точке А током /р, Bg — магнитная индукция поля, созданного в точке А током /2-
Заметим, что векторы Bi и В2 взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис. 39). Тогда модуль вектора В можно определить по теореме Пифагора:
в=|в|=увТ+Ж
где Bj н В? определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:
В,=-^- и В2=-^.
2 л г о 2пго
В нашем случае гъ-й/Ч. Тогда
Проверка единиц величин аналогична выполненной в примере 3.
Произведем вычисления:
В = -^^-л/802 + 602Тл=4-10-1 Тл—400 мкТл.
Пример 6. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено иа рис. 40. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током 1=80 А, текущим по этому проводу.
Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных
119
полей: В=2 В,. В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 41): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса /?. Тогда
В= В] -|- В2 Т" В3,
где Вь В2 и Вз — магинтиые индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.
Рис. 40
Так как точка О лежит на оси проаода /, то Bj=O и тогда
В = В2 -р Вз.
Учитывая, что векторы В2 и В3 напрввлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:
В = В2 Т- Вз.
Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:
г>_
27?
В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому
120
Магнитную индукцию Вз найдем, воспользовавшись соотношением (3), выведенным в примере 1:
B=3to^c°sal-c°sa2)-
В нашем случае го=7?, ai = n/2 (cosai=0), ct2->-n (cos«2= —1). Тогда
О __
в*~-irtR ‘
Используя найденные выражения для В? и Вз, получим
в=вг+в3=^+^.
или
В=~^-
4лЯ
Проверка единиц величин примере 3.
аналогична выполненной в
Произведем вычисления:
В= 4"4'nnv’iS0 (« + I) Тл = 3,31-1(Г4 Тл,
или
В = 331 мкТл.
Пример 7. По двум параллельным прямым проводам длиной /=2,5м каждый, находящимся на расстояния г/=20см друг от друга, текут одинаковые токи 1= 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.
Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.
Предположим, что оба тока (обозначим нх для удобства Ii и А) текут в одном направлении. Ток Л создает в месте расположения второго провода (с током h) магнитное поле.
Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рнс. 42) через второй провод и по касательной к ней — вектор магнитной индукции Вь Модуль магнитной индукции В\ определяется соотношением
121
Согласно закону Ампера, иа каждый элемент второго провода с током /2 длиной dZ действует в магнитном поле сила
dF=/2BidZsin (dIB).
Так как вектор dl перпендикулярен вектору Вь то sin(dfB)= 1 н тогда
dT = Z2B1dZ.
Подставив в это выражение Bi согласно (1), получим
Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:
d;=-^z.
2nd Jo 2nd
Заметив, что /j = /2=7, получим
F__ go/2/ 2nd '
Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):
[gol[/2][Z) _ 1 Гн/М.(1 А)а-1м_ 1 Дж
[d] 1м 1м
Произведем вычисления:
4л. 10-7.(103)2-2,5 н_9с н
2^2 Н—2,э Н-
Сила F сонаправлена с силой dF (рис. 42) и определяется (в данном случае проще) правилом левой руки.
122
Пример 8. Протон, прошедший • • • • •
ускоряющую разность потенция- в
лов U ~ 600 В, влетел в однород- • ’
ное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R
окружности. • ' • •
Решение. Движение заря- \ /
жен ной частицы в однородном , •
магнитном поле будет происходить по окружности только в том слу- • • • •
час, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно ли- Рис. 43
ниям магнитной индукции v_LB.
Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то оиа сообщит частице (протону) нормальное ускорение ал.
Согласно второму закону Ньютона,
Ел = та,,,
(1)
где т — масса протона.
На рнс. 43 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно аектору v к центру окружности (векторы ап и Ед сона* правлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).
Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус):
Вл=тап.
(2)
В скалярной форме Ел= QvB sin ос. В нашем случае vl В и sinct=l, тогда Fn=QvB. Так как нормальное ускорение an=u2/R, то выражение (2) перепишем следующим образом:
QvB = mv2/R.
Отсюда находим радиус окружности: R = mv/(QB).
Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выражение можно записать в виде
R=p/(QB).
(3)
123
Импульс протона найдем, воспользовавшись свизью между работой сил электрического поля н изменением кинетической энергии протока, т. е. Д = ДГ, или
Q(<pi — <р2) = Га — Ti, где <pi — <рг — ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение £/); Г| и Га — начальная и конечная кинетические энергии протона.
Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (Т|«0) и выразив кинетическую энергию Т? через импульс р, получим
QU = p2/(2m).
Найдем из этого выражения импульс p=^2mQ(J и подставим его в формулу (3):
R = -1-V2ml//Q. (4)
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):
[т*^ [{/’'*] _ 1_Г 1 кг-1 В\ 71=
[В] IQ'/’] “1тД 1 Кл ) ~
__ (1 кг)'7*»! А-м2(! Дж)711 (1 кг)1/1»м*
1 Дж-1 Кл (1 Дж)7’-1 с
= (1 ю^=1 м (1 кг)'’-м/с-с
Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления:
д=~^з iДо7-'» ~°° м = 0,0118 м=11-8 мм-
Пример 9. Электрой, влетев в однородное магнитное поле (В=0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса /? = 5см. Определить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока.
Решение. Электрой начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис. 44 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крестиками).
124
Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением
/экв==±1_,
где е — заряд электрона; Т — период его обращения.
Период обращения можно выразить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период Т = v/(2nR). Тогда
Рис. 44
/SKB=l4v/(2nfl). (1)
Зная /9КВ, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением
рт=Акв5, (2)
где S — площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном (S = n/?2).
Подставив 1жв из (1) в выражение (2), получим
« lel° -~£>2
Сократим на nR и перепишем это выражение в виде: pm= (3)
В полученном выражении известной является скорость электрона, которая связана с радиусом R окружности, по которой он движется, соотношением R= = mv/(QB) (см. пример 8). Заменив Q на |е|, найдем интересующую нас скорость v=\e\BR/m и подставим ее в формулу (3):
_’|е2|В/?2
Р,"— 2m •
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А-м2):
[egj [В] |/га|__ (1 Кл)2-1 Тл-(1 m)s„ (1 Кл)2-! Н__
[т| л 1 кг ! кг -1 А-м
125
Произведем вычисления:
^=«f^A-^7'03-|frli А-“!=
= 7,03 пА’-м2.
Пример 10. Электрон движется в однородном магнитном поле (В=10мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг й=6см. Определить период Т обращения электрона и его скорость и.
Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (а^л/2) к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано иа рис: 45, скорость V электрона иа две составляющие: параллельную вектору B(v||) я перпендикулярную ему (vx). Скорость vn в магнитном поле не изменяется и обеспечивает- перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v±. в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (РдХу±) (в отсутствие параллельной составляющей (уц=О) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью пц и равномерном движении по окружности со скоростью Vj_.
Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением
T=2nR/v±. (1)
Найдем отношение R/v±. этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение an—u\/R. Согласно второму закону Ньютона
Рис. 45
Fn=ma„, или
\e\vi_B=mv2iJR, (2) где v± = nsinct.
Сократив (2) иа их» выразим соотношение R/v± {Rfvi. = m/\e\B) и подставим его в формулу (1):
Т—т-
1 |е|6
126
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):
jfnj 1 кг __ 1 кг-А-Ул2___________ 1 кг-с^м2
[в] [В] I Кл-1 Тл 1 А*С"Н-м 1 С'Кг-м2
Произведем вычисления:
т 2п-9,Ы0 ' г- . ——g „
Т= 1.6-10-'». 10.10^- с = 3'57'10 с=3,57 ИС.
Модуль скорости v, как это видно из рис. 45, можно выразить через vj. и иц:
v = ^v'i_ + vl
Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:
_ивд_ m
Параллельную составляющую скорости г?ц найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т. е. h=Tv\\, откуда
vt = h/T.
Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим
V11
1е|В/г
2лт
Таким образом, модуль скорости электрона
Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что и h имеют одинаковую единицу •— метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, /?):
[е] [Д] г p2i 1 Кл-1 Тл . 9и/s_ 1 А-с-Н-м-м _ 1 Н-с_
[т] 1кг (м ) ~ кг-А-м2 1кг
=-\Jt!£=l м/с.
127
Произведем вычисления:
= 2,46-IO7 м/с,
или 24,6 Мм/с.
Пример 11. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов t/= 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (£=10 кВ/м) и магнитное (В=0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.
Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе т, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:
QU= mv2/2, откуда
(?/т=ог/(2У). (I)
Скорость v альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:
а) сила Лоренца F^=Q[vB], направленная перпендикулярно скорости v и вектору магиитиой индукции В;
б) кулоновскаи сила Fk= QE, ненаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля (Q>0). На рис. 46 направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Oz, скорость v—в положительном направлении оси Ох, тогда Fn и Fk будут направлены так, как показано на рисунке.
Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил zi Fa = Fk будет равна нулю.
! В проекции иа ось Оу получим
____тв- X______ следующее равенство (при
/ 1/6 _ Е этом учтено, что v _1_ В и
7 и sin о = 1):
' QE — QvB = 0,
х । откуда
Рис. 46
v = E/B.
128
Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим
Q/m = £*(2t7B* 2).
Убедимся в том, что прааая часть равенства дает единицу удельного заряда (Кл/кг):
[Es &] _ (1В/м)2 (IB-А)2 1Дж-Кл 1Кл-м
[(/j [b2j Гв-(1Тл)а 1в.(1н)2 “ (1н-с)2 iH-e “
= 1 Кл/кг.
Произведем вычисления:
2-104(0.1)2 Кл/кг = 4’81 • *°7 Кл/кг = 48.1 МКл/кг.
Пример 12. Короткая катушка, содержащая A^=103 витков, равномерно вращается с частотой п = 10 с-1 относительно оси ДВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол а. = 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см2.
Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции
& определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:
«,=_____". (1)
' dl ' ’
Потокосцепление Ф = МФ, где N — число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение V в формулу (I), получим
При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону Ф — BS cos (at, где В — магнитная индукция; S — площадь катушки; <о — угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгиовеииое значение ЭДС индукции:
Ei = NBS(f)s'm Utt.
129
Рис. 47
Заметив, что угловая скорость со связана с частотой вращения п катушки соотношением со = 2пп и что угол со/ = л/2 — а (рис. 47), получим (учтено, что sin (п/2 — а) = = cos а)
& = 2nn/VBS cos а.
Убедимся в том, что правая часть этого рааенства дает единицу ЭДС (В):
[n][B][S] =
• 1 Тл• I м2 I Н-м2 1Дж .и 1с 1А-м-с 1 Кл
Произведем вычисления:
& = 2-3,14- 10- 103-0,04- 10-2 -0,5В = 2'5,1 В.
Пример 13. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением /?= 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол сс= 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.
Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции
«,=-----^2-
d/
Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновеииое значение которого можно определить воспользовавшись законом Ома для полной цепи k = где R — сопротивление рамки. Тогда
Так как мгновенное значение силы индукционного тока , dQ
/<= д , то это выражение можно переписать в виде
dQ n dd> 6Ф ,,,
~^R=---------откуда dQ =---------(I)
130
Проинтегрировав выражение (1), найдем
$ dQ =-----Г dO , или Q = Ф'~Фа .
Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние) Фг = 0, последнее равенство перепишется в виде
Q = &x/R. (2)
Найдем магнитный поток Фь По определению магнитного потока имеем
Ф1 = BS cos а,
где S — площадь рамки.
В нашем случае (рамка квадратная) S = а2. Тогда
Ф| = Ва2со5а. (3)
Подставив (3) в (2), получим
л Вс2
Q — cos а.
Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):
[В] [а2] 1Тл-(1м2) 1Н-м2 1Дж _ 1V„
(Я] Юм — 1А-м-Ом— 1В — 1Кл’
Произведем вычисления:
Q = °.°4-^И0-*.-/з/2 Кд = 8 67.10-3 Кд = 8 67 мКл
Пример 14. Плоский квадратный контур со стороной а= 10 см, по которому течет ток / = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно осн, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 9i = 90°; 2) ф2 = 3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис. 48)
М = ртВ sin <р, (1)
где рт= is = la2 — магнитный момент контура; В — магнитная индукция; — угол между векторами р™ (направлен по нормали к контуру) и В-.
131
Рис. 48
По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитное поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, <р = 0, т. е. векторы pm и В сона-правлены. Если внешние силы выведут контур нз положения равновесия, то возникший момент .сил [см. (1) ] будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против это-
го момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент снл переменной (зависит от угла поворота <р), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = М d<p. Учитывая формулу (1), получаем
6Д = 1Ва2 sin <pd<p .
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте иа конечный угол:
<р
А = 1Ва2 5 sin <pd<jp. ’ (2)
LI
Работа при повороте на угол <pi = 90° я/2-
Д1 = 1Ва2 Г sin <pd<p = /Ва2| (— cos <p)| £/2 = I Ba2. (3) о
Выразим числовые значения величии в единицах СИ (/ = 100 Д, В = \Г1, а = 10 см ==0,1 м) и подставим в (3):
Д) = 100- 1 (0,1)2 Дж= 1 Дж.
Работа при повороте на угол <р2 = 3°. В этом случае, учитывая, что угол ф2 мал, заменим в выражении (2) sin <р «<р:
Д2 = IBa2 J <pd<p = -^-1Ва2(р1. (4)
Выразим угол <р2 в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем
Л2 = -1-100 -1 - (0,1>= (0.0523)2 Дж = 1,37.10~3 Дж =
= 1,37 мДж .
132
Задачу можно решить и другими способами:
1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведении^ силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:
А — — /ДФ = /(Ф1 — Ф2) ,
где Ф1 — магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 — то же, после перемещения.
Если 9i=90°, то Ф1 = В5, Ф2 = О. Следовательно, А = IBS = 1Ва2, что совпадает с (3).
2. Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле
П (<р) = — pmBcos <р.
Тогда работа внешних снл
А = ДП = П2 — П|, или
А = pmB(cos epi — cos <р2).
Так как рт = la2, cos (pi = I и cos <р2 = О, то
А = 1Ва2, что также совпадает с (3).
Пример 15. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока 1=4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида н энергию W магнитного поля соленоида.
Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплением Чг и силой тока I соотношением
Т = £/. (1)
Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф н число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):
ЧГ = Л'Ф. (2)
Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида:
L = NG/I. (3)
133
Энергия магнитного поля соленоида
г= 7г£/г.
Выразив L согласно (3), получим
^ = ’/2АФ7- (4)
Подставим в формулы (3) и (4) значения физических величин и произведем вычисления:
1,2-10^6-10^ Гн= J g. ю-3 Ги= 1,8 мГн;
№ = -£- 1,2- 103-6- 10-6-4 Дж = 1,44- 1Q-2 Дж = s= 14,4 мДж .
Задачи для самостоятельного решения
1. Напряженность магнитного поля 77=100 А/м. Вычислить магнитную индукцию В этого поля в вакууме. [ 126 мкТл]
2, По двум длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи /1=10 А н /2= 15 А. Расстояние между проводами А=10см. Определить напряженность Н магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на п=8см и от второго -на г2=6 см. [44,5 А/м]
3. Решить задачу 2 при условии, что токи текут в противоположных направлениях, точка удалена от первого провода на r\— 15 см и от второго на Г2=Ю см. [17,4 А/м]
4. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного шестиугольника со стороной а=10 см, идет ток 7=20 А. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника. [138мкТл]
5. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром d=0,2 мм. Определить магнитную индукцию В на оси соленоида, если по проводу идет ток 7=0,5 А. [6,28 мТл]
6. В однородном магнитном поле с индукцией В= =0,01 Тл помещен прямой проводник длиной 7=20 см (подводящие провода находятся вне поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течет ток 7=50 А, а угол <р между направлением тока и вектором магнитной нидукции равен 30°. [50 мН]
7. Рамка с током 7=5 А содержит А=20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент рт рамки с током, если ее площадь S=10cm2. [0,1 А-м2]
134
8. По витку радиусом 5= 10 см течет ток 7=50 А. Биток помещен в однородное магнитное поле (5=0,2'Тл). Определить момент силы М, действующей на виток, если плоскость витка составляет угол ф~60° с линиями индукции. [0,157 Н-м}
9. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и описал дугу радиусом /?=10см. Определить скорость v протона, если магнитная индукция 5=1 Тл. [9,57 Мм/с]
10. Определить частоту п обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле (5=1 Тл). [2,&Х ХЮ,ос-'1
11. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой линии радиусом /?=5 см и шагом Л=20см. Определить скорость v электрона, если магнитная индукция 5=0,1 мТл. [ 1,04 • 106 м/с}
12. Кольцо радиусом R= 10 см находятся в однородном магнитном поле (5=0,318 Тл). Плоскость кольца составляет с линиями индукции угол <р=30°. Вычислить магнитный поток Ф, пронизывающий кольцо. [5 мВб]
13. По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной а=10см, течет ток 7=20 А. Плоскость квадрата перпендикулярна магнитным силовым линиям поля. Определить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля. Магнитная индукция 5 = 0,1 Тл. Поле считать однородным. [0,02 Дж}
14. Проводник длиной Z=1 м движется со скоростью ц=5 м/с перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Определить магнитную индукцию 5, если на концах проводника возникает разность потенциалов £/=0,02 Б. [4 мТл]
15. Рамка площадью 5=50 см2, содержащая N= = 100 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле (5=40 мТл). Определить максимальную ЭДС индукции $тах, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой 960 об/мин. [2,01 Б}
16. Кольцо нз проволоки сопротивлением R= I мОм находится в однородном магнитном поле (5=0,4 Тл). Плоскость кольца составляет с линиями индукции угол 9=90°. Определить заряд Q, который протечет по кольцу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца 5 = = 10 см2. [0,4 Кл]
17. Соленоид содержит #=4000 витков провода, по
135
которому течет ток 7=20 А. Определить магнитный поток Ф н потокосцепление 4х, если индуктивность £=0,4 Гн. [2 мВб; 8 Вб]
18. На картонный каркас длиной /=50см и площадью сечения S = 4 см2 намотан в один слой провод диаметром d=0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Определить индуктивность L получившегося соленоида. [6,28 мГн]
19. Определить силу тока в цепи через 7=0,01 с после ее размыкания. Сопротивление цепи Я —20 Ом н индуктивность £=0,1 Гн. Сила тока до размыкания цепн/о=50А. [6,75 А]
20. По обмотке соленоида индуктивностью £=0,2 Ги течет ток /=10А. Определить энергию W магнитного поля соленоида. (10 Дж]
Контрольная работа 4
Таблица вариантов дли специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ
Вариант Номера задач
0 410 420 430 440 450 460 470 480
1 401 411 421 431 441 451 461 471
2 402 412 422 432 442 452 462 472
3 403 413 423 433 443 453 463 473
4 404 414 424 434 444 454 464 474
5 405 415 425 435 445 455 465 475
6 406 416 426 436 446 450 466 Д25
7 407 417 427 437 447 457 467 477
8 408 418 428 438 448 458 468 478
9 409 419 429 439 449 459 469 479.
401. Бесконечно длинный провод с током 7= 100 А
изогнут так, как это показано на рнс. 49. Определить
магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R — 10 см.
402. Магнитный момент рт тонкого проводящего
кольца рт=5 А-м2. Определить магнитную индукцию В
в точке А, находящейся на осн кольца и удаленной от
точен кольца на расстояние г==20см (рис. 50).
403. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи 7 н 2/ (/=100 А). Определить магнитную индукцию В в точке А (рнс. 51). Расстояние d= 10 см.
136
404. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 52, течет ток /= 200 А. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги А = 10 см.
405. По тонкому кольцу радиусом Я = 20 см течет ток /=100 А. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А (рис. 53). Угол р = п/3.
406. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи А и /г=2А (А = = 100 А). Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов иа расстояние б/=10см (рис. 54).
407. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 55, течет ток /=200 А. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги Я = 10 см.
408. По тонкому кольцу течет ток /=80А. Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от точек кольца на расстояние г = 10 см (рнс. 56). Угол а = л/6.
409. По двум бесконечно длинным, прямым параллельным проводам текут одинаковые токи /= 60 А. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 57), рвв-ноудалеииой от проводов на расстояние </=10см. Угол 0=л/3.
410. Бесконечно длинный провод с током /=50А изогнут так, как это показано на рис. 58. Определить магнитную индукцию В в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии </=10 см от его вершины.
411. По двум параллельным проводам длиной 1= = 3м каждый текут одинаковые токи /=500 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить силу F взаимодействия проводов^
138
412. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии d=20cM друг от друга, текут одинаковые токн /=400 А. Б двух проводах направления токов совпадают. Вычислить для каждого из проводов отношение силы, действующей на него, к его длине.
413. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке н проводу текут одинаковые токи /=200 А. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамкн находится от него иа расстоянии, равном ее длине.
414. Короткая катушка площадью поперечного сечения S = 250cm2, содержащая М=500 витков провода, по которому течет ток 7=5 А, помещена в однородное магнитное поле напряженностью //=1000 А/м. Найти: 1) магнитный момент рт катушки; 2) вращающий момент М, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол <р=30° с линиями поля.
415. Тонкин провод длиной 7=20 см изогнут в виде полукольца и помещен в магнитное поле (В= 10 мТл) так, что площадь полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. По проводу пропустили ток 1= 50 А. Определить силу F, действующую на провод. Подводящие провода направлены вдоль линий магнитной индукции.
416. Шины генератора длиной 7=4 м находятся иа расстоянии б/=10см друг от друга. Найтн силу взаимного отталкивания шин при коротком замыкании, если ток /к.3 короткого замыкания равен 5 кА.
417. Квадратный контур со стороной а=10см, по которому течет ток /=50 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В=10мТл). Определить изменение АП потенциальной энергии контура при повороте вокруг оси, лежащей в плоскости контура, иа угол О = 180°.
418. Тонкое проводящее кольцо с током /=40А помещено в однородное магнитное поле (В = 80мТл). Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной нндукцнн. Радиус /? кольца равен 20 см. Найти силу F, растягивающую кольцо.
419. Квадратная рамка из тонкого провода может свободно вращаться вокруг горизонтальной осн, совпадающей с одной из сторон. Масса т рамки равна 20 г.
139
Рамку поместили в однородное магнитное поле (В = = 0,1 Тл), направленное вертикально вверх. Определить угол а, иа который отклонилась рамка от вертикали, когда по ией пропустили ток /= 10 А.
420. По круговому витку радиусом /? = 5 см течет ток /=20 А. Биток расположен в однородном магинтном поле (В=40мТл) так, что нормаль к плоскости контура составляет угол О = л/6 с вектором В Определить изменение ДП потенциальной энергии контура при его повороте на угол <р = л/2 в направлении увеличения угла О.
421. По тонкому кольцу радиусом /?=10см равномерно распределен заряд с линейной плотностью т= = 50иКл/м. Кольцо вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца н проходящей через его центр, с частотой п=10с-1. Определить магнитный момент pm, обусловленный вращением кольца.
422. Диск радиусом R = 8 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд (о= 100 иКл/м2). Определить магнитный момент р™, обусловленный вращением диска, относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Угловая скорость вращения диска <й = 60рад/с.
423. Стержень длиной /=20см заряжен равномерно распределенным зарядом с линейной плотностью т= = 0,2 мкКл/м. Стержень вращается с частотой п= 10 с"’ относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить магнитный момент рт, обусловленный вращением стержня.
424. Протон движется по окружности радиусом = 0,5 см с линейной скоростью и=106м/с. Определить магнитный момент рт, создаваемый эквивалентным кру. говым током.
425. Тонкое кольцо радиусом Я=10см несет равномерно распределенный заряд Q=80 нКл. Кольцо вращается с угловой скоростью о)=50рад/с относительно оси, совпадающей с одним из диаметров кольца. Найтн магнитный момент рт, обусловленный вращением кольца.
426. Заряд Q = 0,l мкКл равномерно распределен по стержню длиной t=50cM. Стержень вращается с угловой скоростью со=20рад/с относительно осн, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Найти магнитный момент рт, обусловленный вращением стержня.
427. Электрой в атоме водорода движется вокруг ядра (протона) по окружности радиусом /? = 53пм.
140
Определить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока.
428. Сплошной цнлиидр радиусом 7? —4 см и высотой й=15см несет равномерно распределенный по объему заряд (р = 0,1 мкКл/м3). Цилиндр вращается с частотой п=10с~’ относительно оси, совпадающей с его геометрической осью. Найти магнитный момент рП1 цилиндра, обусловленный его вращением.
429. По поверхности диска радиусом /?= 15 см равномерно распределен заряд ф=0,2мкКл. Диск вращается с угловой скоростью (0=30 рад/с относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить магнитный момент рт, обусловленный вращением диска.
430. По тонкому стержню длиной /=40см равномерно распределен заряд ф = 60нКл. Стержень вращается с частотой п=12с—1 относительно оси, перпендикулярной стержню н проходящей через стержень на расстоянии а=1/3 от одного из его концов. Определить магнитный момент р,п, обусловленный вращением стержня.
431. Два иона разных масс с одинаковыми зарядами влетели в однородное магнитное поле, стали двигаться по окружностям радиусами /?1 = 3см и /?2=1,73см. Определить отношение масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов.
432. Однозарядный ион натрия прошел ускоряющую разность потенциалов £7=1 кВ н влетел перпендикулярно линиям магнитной индукции в однородное поле (В = 0,5 Тл). Определить относительную атомную массу А нона, если он описал окружность радиусом /?=4,37 см.
433. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов £7=800 В и, влетев в однородное магнитное поле В = 47 мТл, стал двигаться по винтовой линии с шагом 7z = 6 см. Определить радиус R винтовой линии.
434. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов £7=300 В и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по винтовой линии радиусом /?= 1 см н шагом й = 4 см. Определить магнитную индукцию В поля.
435. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов £7= 100 В и, влетев в однородное магнитное поле (В=0,1 Тл), стала двигаться по винтовой линии с шагом й = 6,5см и радиусом /?=1 см. Определить отношение заряда частицы к ее массе.
436. Электрой влетел в однородное магнитное поле
141
(В = 200мТл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить силу эквивалентного кругового тока /Экв, создаваемого движением электрона в магнитном поле.
437. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов £/=300 В и влетел в однородное магнитное поле (В = 20мТл) под утлом а=30° к линиям магнитной индукции. Определить шаг h и радиус R винтовой линии, по которой будет двигаться протон в магнитном поле.
438. Альфа-частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, стала двигаться в однородном магнитном поле (В = 50мТл) по винтовой линии с шагом h = = 5 см и радиусом £=1см. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую прошла альфа-частица.
439. Пои с кинетической энергией Т= 1 кэВ попал в однородное магнитное поле (В = 21 мТл) и стал двигаться по окружности. Определить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока.
440. Ион, попав в магнитное поле (В = 0,01 Тл), стал двигаться по окружности. Определить кинетическую энергию Т (в эВ) иона, если магнитный момент рга эквивалентного кругового тока равен 1,6-10—14 А-м2.
441. Протон влетел в скрещенные под углом а= 120° магнитное (В = 50мТл) и электрическое (£=20 кВ/м) поля. Определить ускорение а* протона, если его скорость v (|v| = 4« 105 м/с) перпендикулярна векторам Е и В.
442. Иои, пройдя ускоряющую разность потенциалов 17 = 645 В, влетел в скрещенные под прямым углом однородные магнитное (В=1,5мТл) н электрическое (£= = 200 В/м) поля. Определить отношение заряда иона к его массе, если ион в этих полях движется прямолинейно.
443. Альфа-частица влетела в скрещенные под прямым углом магнитное (В = 5мТл) и электрическое (£= =30 кВ/м) поля. Определить ускорение а* альфа-частицы, если ее скорость v (|v| = 2-10e м/с) перпендикулярна векторам В и Е, причем силы, действующие со стороны этих полей, противонаправлены.
444. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U= 1,2 кВ, попал в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Опре
* Ускорение а определяется в момент вхождения заряженной частицы в область пространства, где локализованы однородные магнитное и электрическое поля.
142
делить напряженность Е электрического поля, если магнитная индукция В поля равна 6 мТл.
445. Однородные магнитное (В = 2,5мТл) н электрическое (Е—10 кВ/м) поля скрещены под прямым углом. Электрон, скорость v которого равна 4-106м/с, влетает в эти поля так, что силы, действующие на него со стороны магнитного и электрического полей, соиаправлеиы. Определить ускорение а* электрона.
446. Однозарядный ион лития массой т=7 а. е. м. прошел ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и влетел в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Определить магнитную индукцию В.поля, если траектория иона в скрещенных полях прямолинейна. Напряженность Е электрического поля равна 2 кВ/м.
447. Альфа-частица, имеющая скорость а = 2Мм/с, влетает под углом а=30° к сонаправленному магнитному (В=1 мТл) и электрическому (Е=1 кВ/м) полям. Определить ускорение а* альфа-частицы.
448. Протон прошел некоторую ускоряющую разность потенциалов U и влетел в скрещенные под прямым углом однородные поля: магнитное (В=5 мТл) и электрическое (Е=20 кВ/м). Определить разность потенциалов U, если протон а скрещенных полях движется прямолинейно.
449. Магнитное (В = 2мТл) н электрическое (Е== = 1,6кВ/м) поля сонаправлены. Перпендикулярно векторам В и Е влетает электрон со скоростью и = 0,8 Мм/с.. Определить ускорение а* электрона.
450. В скрещенные под прямым углом однородные магнитное (/7= 1 МА/м) и электрическое (Е= 50 кВ/м) поля влетел ион. При какой скорости v иона (по модулю и направлению) он будет двигаться в скрещенных полях прямолинейно?
451. Плоский контур площадью S = 20cm2 находится в однородном магнитном поле (В = 0,03Тл). Определить магнитный поток Ф, пронизывающий коитур, если плоскость его составляет угол <р=60° с направлением линий индукций.
452. Магнитный поток Ф сквозь сечение соленоида равен 50 мкВб. Длина соленоида /=50см. Найти магнитный момент р™ соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу.
* См. ссылку на с. 142.
143
453. В средней части соленоида, содержащего п= = 8 витков/см, помещен круговой виток диаметром d=4 см. Плоскость витка расположена под углом <р=60° к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток /=1 А.
454. На длинный картонный каркас диаметром rf= = 5 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром </=0,2мм. Определить магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока /=0,5А.
455. Квадратный контур со стороной <2= 10 см, в котором течет ток I — 6 А, находится в магнитном поле (В = 0,8Тл) под углом а=50° к линиям индукции. Какую работу А нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму иа окружность?
456. Плоский контур с током /=5 А свободно установился в однородном магнитном поле (В=0,4 Тл). Площадь контура S=200 см2. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол а=40°. Определить совершенную при этом работу А.
457. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока /=60А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 20мТл). Диаметр витка б/=10см. Какую работу А нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол а=л/3?
458. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции расположен плоский контур площадью £=100 см2. Поддерживая в контуре постоянную силу тока 1= 50 А, его переместили из поля в область пространства, где поле отсутствует. Определить магнитную индукцию В поля, если при перемещении контура была совершена работа А = 0,4 Дж.
459. Плоский контур с током /=50А расположен в однородном магнитном поле (В = 0,6Тл) так, что нормаль к контуру перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить работу, совершаемую силами поля при медленном повороте контура около оси, лежащей в плоскости контура, на угол сс=30°.
460. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий соленоид, если его длниа /=50см и магнитный момент рт=0,4Вб.
461. В однородном магнитном поле (В=0,1 Тл) рав-
144
номерно с частотой и = 5с_| вращается стержень длиной /=50см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую иа концах стержня разность потенциалов U.
462. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл вращается с частотой п= 10 с"1 стержень длиной /=20см. Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через одни из концов стержня перпендикулярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня.
463. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд ф = 50мкКл. Определить изменение магнитного потока ДФ через кольцо,- если сопротивление цепи гальванометра /?=ЮОм.
464. Тонкий медный провод массой ?т? = 5г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (В=0,2Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить заряд Q, который потечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.
465. Рамка из провода сопротивлением /? = 0,04 0м равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,6Тл). Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки S = 200 см2. Определить заряд Q, который потечет по рамке при изменении угла между нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 45°; 2) от 45 до 90°.
466. Проволочный виток диаметром Р=5см н сопротивлением =0,02 Ом находится в однородном магнитном поле (В=0,ЗТл). Плоскость витка составляет угол <р=40° с линиями индукции. Какой заряд Q протечет по витку при выключении магнитного поля?
467. Рамка, содержащая 200 витков тонкого провода, может свободно вращаться относительно осн, лежащей в плоскости рамки. Площадь рамки S=50cm2. Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,05Тл). Определить максимальную ЭДС Smax, которая индуцируется в рамке при ее вращении с частотой п = 40с .
468. Прямой проводящий стержень длиной I = 40 см находится в однородном магнитном поле (В=0,1 Тл). Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящим-6—105
145
ся вне поля. Сопротивление всей цепи /? = 0,5 Ом. Какая мощность Р потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью v = 10 м/с?
469. Проволочный контур площадью S=500cm2 и сопротивлением /?=0,1 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,5Тл). Ось вращения лежит в плоскости кольца и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить максимальную мощность Ртах, необходимую для вращения контура с угловой скоростью ы = 50 рад/с.
470. Кольцо из медного провода массой т~ 10 г помещено в однородное магнитное поле (В = 0,5 Тл) так, что плоскость кольца составляет угол 0=60° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по кольцу, если снять магнитное поле.
471. Соленоид сечением S=10cm2 содержит Af=103 витков. При силе тока /=5А магнитная индукция В поля внутри соленоида равна 0,05 Тл. Определить индуктивность L соленоида.
472. На картонный каркас длиной /=0,8м и диаметром £> = 4см намотай в один слой провод диаметром d — 0,25 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.
473. Катушка, намотанная на магнитный цилиндрический каркас, имеет /V = 250 витков и индуктивность £, = 36 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до £2= ЮО мГн, обмотку катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Сколько витков оказалось в катушке после перемотки?
474. Индуктивность £ соленоида, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 0,5 мГн. Длина I соленоида равна 0,6 м, диаметр £>=2см. Определять отношение п числа витков соленоида к его длине.
475. Соленоид содержит 800 витков. Сечение сердечника (из немагнитного материала) 5= 10 см2. По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В = 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, если сила тока уменьшается практически до нуля за время Д/ = = 0,8 мс.
476. По катушке индуктивностью £=8 мкГн течет ток I = 6 А. Определить среднее значение ЭДС само
146 fi
индукции, возникающей в контуре, если сила тока изменится практически до нуля за время Д/=5мс.
477. В электрической цепи, содержащей резистор сопротивлением /?=20Ом и катушку индуктивностью £ = 0,06Ги, течет ток / = 20А. Определить силу тока I в цепи через Д/ = 0,2 мс после ее размыкания.
478. Цепь состоит из катушки индуктивностью L= = 0,1 Гн и источника тока. Источник тока отключили, ие разрывая цепи. Время, через которое сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения, равно / = = 0,07 с. Определить сопротивление катушкн.
479. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением /?=10 Ом и индуктивностью L = 0,2Th. Через какое время сила тока в иепи постигнет 509х максимального значения?
480. Источник тока замкнули иа катушку сопротивлением = 20 Ом. Через время t = 0,1 с тока 1 в катушке достигла 0,95 предельного значения. Определить индуктивность L катушкн.
5. ОПТИКА
Основные Лормулы
Скорость света в среде v^c/n,
где с — скорость света в вакууме; п — показатель преломления среды.
Оптическая длина пути световой волны L=nl,
где I — геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления п.
Оптическая разность хода двух световых воли — Z.2.
Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн
Д<р = 2л(4), где К — длина световой волны.
6*
147
Условие максимального усиления света при иитер-1 фереиции
Д = ±/гХ (й = 0, 1,2, ...)
Условие максимального ослабления света
A=±(2ft+l)i
Оптическая разность хода световых воли, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки, ______
А — 2d-\ln2--sin2ii ± или
А = 2rfncos iz zb -у, где d — толщина пленки; п — показатель преломления пленки; 1\ — угол падения; iz — угол преломления света в пленке.
Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете rft=V(2A^l)/?X/2 (* = Ь 2, 3,
где k — иомер кольца; R — радиус кривизны.
Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете rk=~y]kRh.
Угол ф отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия
asinip=(2ft + 1)А/2 ' (& = 0, 1, 2, 3,...), где а — ширина щели; k — порядковый номер макси-л/ума.
Угол ф отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции света иа дифракционной решетке, определяется из условия
dsinip=±AA (£ = 0, 1, 2, 3, где d — период дифракционной решетки.
Разрешающая способность дифракционной решетки R = b/bh=kN,
где АЛ — наименьшая разность длия волн двух соседних спектральных линий (А и Аф-ДА), при которой эти линии
148
могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; /V — полное число шелей решетки.
Формула Вульфа — Брэггов
2dsin6=/ik,
где 0 — угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, н атомной плоскостью в кристалле); d — расстояние между атомными плоскостями кристалла.
Закон Брюстера
tg6B= «21»
где св — угол падения, прн котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; n2i — относительный показатель преломления второй среды относительно первой.
Закон Малюса
/—/с cos2 а,
где /о — интенсивность плоскополярнзовэнного света, падающего на анализатор; 1 — интенсивность этого света после анализатора; сс — угол между направлением колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и рлоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).
Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света прн прохождении через оптически активное вещество:
a) <p=ccd (в твердых телах),
где а — постоянная вращения; d — длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;
б) <p=[a]pd (в растворах),
где [ а] — удельное вращение; р — массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.
Релятивистская масса
где то — масса покоя частицы; и — ее скорость; с — скорость света в вакууме; р — скорость частицы, выраженная в долях скорости света (fl — v/c).
149
₽'
Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы
E=mcz, или Е~—тсС ——-
где £o=Woc2 — энергия покоя частицы. Полная энергия свободной частицы
Е=Е0 + Т,
где Т — кинетическая энергия релятивистской частицы. Кинетическая энергия релятивистской частицы
Т={ш—или
Импульс релятивистской частицы
р = -ПТо==-, или р — пгос =—
Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы
£2=Й+(рс)2.
Закон Стефаиа— Больцмана
/?е=оГ*,
где — энергетическая светимость (излучательиость) абсолютно черного тела; о — постоянная Стефана — Больцмана; Т — термодинамическая температура Кельвина.
Закон смещения Вина
Ъп = Ь/ Т,
где — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b — постоянная Вина.
Энергия фотона
E = ftv, или е=Йю,
где h — постоянная Планка; Й — постоянная Планка, деленная на 2л; v — частота фотона; ю — циклическая частота.
Масса фотона
m=e/c2 = /i/(cl),
где с — скорость света в вакууме; X — длина волны фотона.
150
Импульс фотона
p=rnc=h/‘k.
Формула Эйнштейна для фотоэффекта
hv = А + Гтах — Д + ИШ пк.х/2, где hv — энергия фотона, падающего на поверхность металла; А—работа аыхода электрона; Гтак—максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
Красная граница фотоэффекта vo = A/h, нли k0 = hc/A, где vq — минимальная частота света, прн которой еще возможен фотоэффект; 10 — максимальная длина волны света, прн которой еще возможен фотоэффект; h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме.
Формула Комптона
дх=г—х=—(1—cose). тоС ‘ '
НЛИ
ДЛ = V — А = 2—sin2 Л-, тьс 2 где X — длина волны фотона, встретившегося со свободным нли слабосвязанным электроном; V — длина волны фотона, рассеянного на угол 6 после столкновения с электроном; то — масса покоящегося электрона.
Комптоновская длина волны
A. = h/(moc) (Л=2,436пм).
Давление света прн нормальном падении на поверхность
р = Е^1 +р)/с=ш(1 +р), где Ее — энергетическая освещенность (облученность); w — объемная плотность энергии излучения; р — коэффициент отражения.
Примеры решения задач
Пример 1. От двух когерентных источников Si и S2 (А=0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (п=1,33), интерференционная картина нзмени-
151
лась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?
Решение. Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где'наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн, т. е.
Д2“* Д1=(2й + 1)Х/2, (1)
где Д( — оптическая разность хода пучков световых волн до внесения пленки; Д2 — оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; fe = 0, ±1, ±2,....
Наименьшей толщине dm,n пленки соответствует й=0. При этом формула (1) примет вид
Д2 —Д| = Х/2. (2)
Выразим оптические разности хода Д2 и Дь Из рнс. 59 следует:
Д] = h —к,
Д2 = [(/1 —~ drain) “Ь ndmin] А = (Л — fe) Т~ dmin(n 1).
Подставим выражения Д1 и Д2 в формулу (2):
(6 — ta) ~Ь dmin(fi— 1) — (А — ^/2,
илн
diTiin(n. ~ 1) = Х/2.
Отсюда
d.llln=M2(«-l)]-
Пронзведем вычисления:
dm-,n= 2(1 J3-I) мкм = 1 >21 мкм
Пример 2. На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падает параллельный пучок лучей
Рис. 59
монохроматического света с длиной волны Z = 0,6 мкм. Число т возникающих прн этом интерференционных полос, приходящихся на отрезок клнна длиной I, равно 10. Определить угол а клнна.
Решение. Параллельный пучок света, падая нормально к
152
грани клина, отражается как от верхней, так и от ннжней грани. Эти отраженные пучки света когерентны. Поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы. Так как угол клина мал, то отраженные пучки 1 и 2 света (рнс. 60) будут практически параллельны.
Темные полосы видны на тех участках клнна, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн:
Д = (2fc + 1)Х/2 (£ = 0, ±1, ±2. ...). (1)
Разность хода А двух воли складывается из разности оптических длин путей этих воли (2dncos82) и половины длины волны (Х/2). Величина Х/2 представляет собой добавочную разность хода, возникающую прн отражении световой волны / от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) разность хода Д световых волн, получаем
2^ncose^ + l/2 = (2fe+l)A/2, (2)
где п — показатель преломления стекла (п= 1,5); dk — толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k\ —- угол преломления.
Согласно условию, угол падения равен нулю; следовательно, и угол преломления ег равен нулю, a cosg2=l. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим
2dkfi == Л1. (3)
153
Пусть произвольной темной полосе Л-го номера соответствует толщина dk клина, а темной полосе Л-|-т-го номера — толщина dk+m клина. Тогда (рис. 60), учитывая, что т полос укладывается на расстоянии I, найдем:
sina—(dfe+fri — dk)/l. (4)
Выразим из (3) dk н dk+m я подставим их в формулу (4). Затем, учитывая, что sina=a(H3-3a малости угла а), получим
_ (А+т)1 — k"k тк а~ 2ni ini'
Подставляя значения физических величин, найдем 10-0,6-Ю'4 о 1П_4
—2,|5>1—рад = 2-10 рад.
Выразим а в секундах. Для этого можно воспользоваться соотношением между радианом н секундой: 1 рад= 206 265" « 2,06-105". Тогда
а= 2 • 1О4 2,06 • 105" = 41,2".
Пример 3. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d~ 2 мкм. Определить наибольший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного (Х| = 0,7мкм) и в случае фиолетового (Х2=0,41 мкм) света.
Решение. Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок tn дифракционного максимума:
m = (dsin<p)/X, (1)
где d — период решетки; <р — угол дифракции; X — длина волны ’монохроматического снега. Так как не может быть больше 1, то число т не может быть больше d/X, т. е.
m<d/X. (2)
Подставив в формулу (2) значения величин, получим: m-С 2/0,7 —2,86 (для красных лучей);
т^. 2/0,41 —4,88 (для фиолетовых лучей).
Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света #nmEI( = 2 и для фиолетового /Птах —4.
154
Пример 4. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света образует угол <р=97° с падающим пучком (рис. 61). Определить показатель преломления П| жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.
Решение. Согласно за-
Рнс. 61
кону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления tge = П21, где zi2i — показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).
Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателен преломления. Следовательно, tge = n.a/ni.
Так как угол падения равен углу отражения, то е=ф/2 и, следовательно, tg((p/2) = n2/ni, откуда
__ П1
1 “ tg(v/2,'
Произведем вычисления:
П'=Ж2)=Т^=1’33-
Пример 5. Два николя М н № расположены так, что угол между нх плоскостями пропускания составляет а=60°. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность Zo естественного света: 1) прн прохождении через один ннколь 2) при прохождения через оба ннколя. Коэффициент поглощения света в ннколе k— = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.
Решение 1. Естественный свет, падая на грань призмы Николя (рнс. 62), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний
155
обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок света (о) вследствие полного отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через первую призму,
/, = 72/0(1-*).
Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность /о естественного света, пвдающего на первый ннколь, на интенсивность /1 поляризованного света:
/о 2/р 2 ...
/< = /о(1—А) ~ 1-Л ' '
Произведем вычисления:
. 2°. —„ 2 =2 1 /, 1-0,05 ’
Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.
2. Плоскополярнзоваиный пучок света интенсивности Ii падает на второй ннколь N2 н также расщепляется на два пучка различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный пучок полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность Z2 необыкновенного пучка, вышедшего нз призмы N2, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором ннколе):
/2 = /icos2a,
где а—угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и плоскостью пропускания ннколи
156
Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором ннколе, получаем
/2=/|(1 —fe)cos2tx.
Искомое уменьшение интенсивности прн прохождении света через оба ннколя найдем, разделив интенсивность Iq естественного света на интенсивность света, прошедшего систему нз двух ннколей:
/о__ А)
/2 Л(1 — A)cos2a ‘
Заменяя отношение Io/Ii его выражением по формуле (1), получаем
10= 2
/2 (1—A)2cos2ot*
Произведем вычисления:
А) __ _______2 Q GT
ТГ- (1—0,05)2cos260° — '
Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.
Пример 6. Плоскополярнзованный монохроматический пучок света падает на поляроид и полностью нм гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластину, интенсивность / пучка света после поляроида стала равна половине интенсивности пучка, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением н отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения а кварца принять равной 48,9 град/мм.
Решение. Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (штриховая линия на рис. 63) перпендикулярна плоскости колебаний
(I—I) плоскополярнзованного саета, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол
<р=сс/, (1)
где I — толщина пластины
Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света прн прохождении его через поляроид, определим угол р, который установится между
Рис. 63
157
плоскостью пропускания полиронда н новым направлением (II—II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоекополяризоваиного света. Для этого воспользуемся законом Малюса
/=s/0COS2p.
Заметив, что р = я/2 — Ф> можно написать /=/0cos2(n/s'-<₽), нли 7=/osin2<p. (2)
Из равенства (2) с учетом (1) получим al = = arcsirr\/7//o. откуда искомая толщина пластины
Z=(1 /а) аrcsinд/7/7о -
Произведем вычисления во внесистемных единицах:
, 1 . ггг~ 0,785 . с
7=-^gg-arcsm-y /2 мм= 48 —мм = 16 мкм.
Пример 7. Определить нмпульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью о = = 0,9 с, где с — скорость света в вакууме.
Решение. Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:
p=tnv. (1)
Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле
tn— /По/л/1 — Р\ (2)
где tn — масса движущейся частицы; то — масса покоящейся частицы; fl— v/c — скорость частицы, выраженная а долях скорости света.
Заменив в формуле (1) массу т ее выражением (2) н приняв во внимание, что о=ср, получим выражение для релятивистского импульса:
р= ВС'= ™ ре. (3)
1/1-(-лг
Произведем вычисления:
р— 0,9-3» 10е кг -м/с=5,6-10-22 кг-м/с.
И VI-0,81
В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е н энергией покоя Ео этой частицы, т. е. Т—Е — Ео.
158
Так как Е—тс2 н £0 = тоС®, то, учитывая зависимость массы от скорости, получаем Т = /Пос2/у/1 — р2— тос2 или
(4)
Произведем вычисления:
Т=9,1.10-.(3.1^<^=г-1)Дж=
= 8,18-10—14-(2,29—1) Дж =1,06-10”13 Дж.
Так как во внесистемных единицах Мос2=0,51 МэВ, то вычисления упрощаются:
7=0,51-1,29 МэВ=0,66 МэВ.
Пример 8. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией 7=5 МэВ.
Решение. Решение задачи сводится к установлению соотношения между релятивистским импульсом р частицы и ее кинетической энергией Т.
Сначала установим связь между релятивистским импульсом и полной энергией частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т. е.
Е=тс2. (1)
Зависимость массы от скорости определяется формулой
т = то/-у11 — р2. (2)
Заменив массу т в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание, что тос2 = Ео, получим
E=a,/VT=₽?. (3)
Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем £2 = £2/(1—р2), откуда
£2-(₽£)2 = £g. (4)
Очевидно, что р£ = ~ tnvc = рс.
Поэтому равенство (4) можно переписать в виде £2 — — р2с2=£о, откуда релятивистский импульс
Р=(‘Л)7^-^ =('Л)л/(£-£о)(£+£о).
159
Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Т частицы: £' — £0=7’. Легко убедиться, что Е + Ео~ Т4- 2£о, поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится формулой
р=Ут/7-(Т+2Е(1).
Вычисления удобно провести в диа приема: сначала найтн числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ. Таким образом,
_ т/Г(7 + 2£о) -№ + 2-0,51) МзВ_ 5.5 МзЕ^
С с с
= 1аДж==2-93'10~5!1 кг'м/с-
Пример 9. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, Хо= =0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (из-лучательность) Re поверхности тела.
Решение. Энергетическая светимость Re абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана — Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой
Re = oT\ (1)
где о — постоянная Стефана — Больцмана; Т — термодинамическая температура.
Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:
U=b/T, (2)
где b—постоянная закона смещения Вина.
Используя формулы (2) н (1), получаем
/?е = о(6/М4- (3)
Произведем вычисления:
/?.=5,67-10-8(-^£54Вт/мг = 3,54-107 Вт/мг = \ 0,0* 1U /
=35,4 МВт/м2.
Пример 10. Определить максимальную скорость ип1ВХ фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:
160
1) ультрафиолетовым излучением с длиной волиы Xi = = 0,155 мкм; 2) ^-излучением с длиной волиы Х,2= I пм.
Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:
е=Д -|- "Г тоах, (1)
где е — энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А — работа выхода; Ттах— максимальная кине-тическвя энергия фотоэлектронов.
Энергия фотона вычисляется также по формуле
^=hcl^ (2)
где h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме; X — длина волиы.
Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле
7'=/Пос2/2, (3)
или по релятивистской формуле
7- = Eo(1/VT^F-1) (4)
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия е фотона много меньше энергии покоя £0 электрона, то может быть применена формула (3), если же е сравнима по величине с £о> то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).
1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):
6,63-1(Г34-3.10в „ . OQ 1П_18 „
6| = 155-Ю-7-----Дж = 1,28-10 Дж,
или
1,28-10-“ поп е‘ = 1.6-10-ь эБ = 8эВ.
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):
ё| = Д+ т0и^ах/2,
161
откуда
fmax = V2(8I —А)/1по . (5)
Проверим, дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения единиц:
(1^1) ,/2= ( 2^ '”=! м/с.
\ I /По] ) \ I КГ ) \ 1кг ;
Найденная единица является единицей скорости.
Подставив значения величии в формулу (5), найдем / 2( 1.28 10-18 - 0,75-10-’8) . ! по 1п6 ,
t>m.x= V —------g U.1O-SI--------М/С = 1,08 - 10- М/С.
2. Вычислим энергию фотона -р-излучения:
ег = -^= 6-63 '|0~_3,‘;310'дж= 1,99-10-13 Дж,
или во внесистемных единицах
е2= 'i9/;,1^.3 эВ= 1,24- 106 эВ= 1,24 МэВ.
Работа выхода электрона (Л = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (В2= 1,24 МэВ), поэтому можно.принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: 7’ГП8Х=е2 = = 1,24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем
₽ = л/(2£о + ПГ /(Ео + П-
Заметив, что п=ср*и Тгаах=е2, получим
£>max = eV(2£о + 62)62 /(fo + ег).
Произведем вычисления*:
Q 1Л8 VF2-0.51 +1,24). 1,24 . _ о_ .
vm&K=3-1 ов— 55! + 1>24 м/с = 2,85-108 м/с.
Пример II. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян иа угол О =
* Энергии Ео и £2 входят в формулу в виде отношения,, поэтому их можно ие выражать в единицах СИ.
162
= 90°. Энергия рассеянного фотона ег — 0,4 МэВ. Определить энергию фотона ei до рассеяния.
Решение. Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона:
Л?. = 2 —— sir,2 (1)
тос 2 ' ’
где ДА = Аг—Ai — изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне; h — постоянная Планка; то — масса покоя электрона; с — скорость света в вакууме; О — угол рассеяния фотона.
Преобразуем формулу (1) : 1) заменим в ней ДА на As — Ль 2) выразим длины воли Ai и Аг через энергии ei и eg соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой ъ — he/к; 3) умножим числитель и знаменатель правой части формулы иа с. Тогда
Сократим иа he н выразим из этой формулы искомую энергию:
1 тосг — е22 sin2 (fi/2) Ед — 2е0 sin® (0/2) ’ ' '
где Ео — mvc2 — энергия покоя электрона.
Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Так как для электрона Ео = 0,511 МэВ, то
е- = 0.5П-2.0.41'(90-72) МэВ = '>85 МэВ.
Пример 12. Пучок монохроматического света с длиной волны А = 663 нм падает нормально иа зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Фе = 0,6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.
Решение. 1. Сила светового давления иа поверхность равна произведению светового давления р иа площадь S поверхности:
F = pS. (1)
Световое давление может быть найдено по формуле
Р = Ее(р + 1)/с, (2)
где Ее — энергетическая освещенность;
163
с — скорость света в вакууме; р — коэффициент отражения.
Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем
F=EcS(p + l)/C. (3)
Так как EeS представляет собой поток излучения Фе, то
/г=Фе(р+1)/с- (4)
Произведем вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности р = 1:
F = -з^(1 + 1)Н = 4иИ.
2. Произведение энергии е одного фотона иа число фотонов ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т. е. потоку излучения: Ф₽ = = епь а так как энергия фотона е = hc/Ъ то
фЕ = hcnifky
откуда
th = ФД/(йс). (5)
Произведем вычисления:
Задачи для самостоятельного решения
Т. На пути пучка света поставлена стеклянная пластина толщиной d = 1 мм так, что угол падения луча й = 30°. На сколько изменится оптическая длина пути светового пучка? [550 мкм]
2. На мыльную пленку с показателем преломления п= 1,33 падает по нормали монохроматический сает с длиной волиы 1 = 0,6 мкм. Отраженный свет в результате интерференции имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина dmin пленки? [0,113 мкм]
3. Радиус второго темного кольца Ньютона в отраженном свете f2 = 0,4 мм. Определить радиус /? кривизны плосковыпуклой линзы, взятой для опыта, если она осве
164
щается монохроматическим светом с длиной волны Х = = 0,64 мкм. [125 мм]
4. На пластину с щелью, ширина которой а = 0,05 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны Л = 0,7 мкм. Определить угол отклонения лучей, соответствующий первому дифракционному максимуму. [1°12']
5. Дифракционная решетка, освещенная нормально падающим монохроматическим светом, отклоняет спектр третьего порядка на угол = 30°. На какой угол ф2 отклоняет оиа спектр четвертого порядка? [41°50']
6. Угол преломления луча в жидкости <2=35°. Определить показатель преломления п жидкости, если известно, что отраженный пучок света максимально поляризован. [1,48]
7. На сколько процентов уменьшается интенсивность света после прохождения через призму Николя, если потери света составляют 10%? [На 55%]
8. При какой скорости v релятивистская масса частицы в k = 3 раза больше массы покоя этой частицы? [2,80-108 м/с]
9. Определить скорость v электрона, имеющего кинетическую энергию Т = 1,53 МэВ. [2,91 10й м/с]
10. Электрон движется со скоростью v = 0,6 с, где с — скорость света в вакууме. Определить релятивистский импульс р электрона. [2,0- 10~22 кг-м/с]
11. Вычислить энергию, излучаемую за время t~ — 1 мнн с площади S = 1 см2 абсолютно черного тела, температура которого Т = 1000 К. [340 Дж]
12. Длина волны, на которую приходится максимум энергии нзлучеиия абсолютно черного тела, Кп = 0,6 мкм. Определить температуру Т тела. [4,82 кК]
13. Определить максимальную спектральную плотность (гх.г)твх энергетической светимости (излучатель-иости), рассчитанную иа 1нм в спектре излучения абсолютно черного тела. Температура тела Т — I К- [13 Вт/ / (м2 - им) ]
14. Определить энергию е, массу m и импульс р фотона с длиной волны Л= 1,24 нм. [1,60- 10“16 Дж; 1,78 X X Ю 33 кг; 5,35- 10“* кг м/с]
15. На пластину падает монохроматический свет (^=0,42 мкм). Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 0,95 В. Определить работу А выхода электроноз с поверхности пластины. [2 эВ].
165
16. На цинковую пластину падает пучок ультрафиолетового излучения (Х=0,2 мкм). Определить максимальную кинетическую энергию Гтах и максимальную скорость цтах фотоэлектронов. [2,2 эВ; 8,8- 105 м/с]
17. Определить максимальную скорость vma>s фотоэлектрона, вырванного с поверхности металла у-квантом с энергией е= 1,53 МэВ [2,91 108 м/с]
18. Определить угол & рассеяния фотона, испытавшего соударение со свободным электроном, если изменение длины волиы при рассеянии Д1=3.63 пм. [120°]
19. Фотои с энергией ei, равной энергии покоя электрона (жоС2), рассеялся иа свободном электроне иа угол 6= 120°. Определить энергию ег рассеянного фотона и кинетическую энергию Т электрона отдачи (в единицах ж0с2). [О,4жоС2; 0,6жоС2]
20. Поток энергии, излучаемой электрической лампой, Фс = 600 Вт. На расстоянии г = 1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено круглое плоское зеркальце диаметром d = 2 см. Определить силу F светового давления иа зеркальце. Лампу рассматривать как точечный изотропный излучатель. [0,1 нН]
21. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волиы 1=0,663 мкм падает иа зачерненную поверхность н производит иа нее давление р — 0,3 мкПа. Определить концентрацию л фотонов в световом пучке.
Контрольная работа 5
Таблицы вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ
Номера задач
Варна нт
0 510 520 530 540 550 560 570 580
1 501 511 521 531 541 551 551 571
2 502 512 522 532 542 552 552 572
'3 503 513 523 533 543 553 563 573
4 504 514 524 534 544 554 564 574
5 505 515 525 535 545 555 555 575
6 506 516 526 536 546 556 566 576
7 507 517 527 537 547 557 567 577
8 508 518 528 538 548 558 568 578
9 509 519 529 539 549 559 569 579
166
Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики четыре контрольных работы
Вариант
Номера задач
й 1 510 501 530 521 550 541 570 561 610 501 630 621 650 641 670 661
2 502 522 542 562 602 622 542 662
3 503 523 543 563 603 623 643 663
4 504 524 544 564 604 624 644 664
5 505 525 545 565 505 625 645 665
6 506 526 546 566 606 626 546 666
7 507 527 547 557 607 627 647 667
8 508 528 648 568 508 628 648 668
9 509 529 549 669 609 629 649 669
501. Между стеклянной пластинкой н лежащей на ней
плосковыпуклой линзой находится жидкость. Найти показатель преломления жидкости, если радиус Гз третьего темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете с длиной волны Л = 0,6 мкм равен 0,82 мм. Радиус кривизны линзы R = 0,5 м.
502. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический сает с длиной волны к = 500 им. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минимальную толщину dmin пленки, если показатель преломления материала пленки п = 1,4.
503. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юига равно 1 м. Определить расстояние между щелями, еслн на отрезке длиной / = 1 см укладывается Л'= 10 темных интерференционных полос. Длина волны А = 0,7 мкм.
504. На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плоско выпукл а я линза. Сверху лииза освещена монохроматическим светом длиной волны к =500 им. Найти радиус R лиизы, если радиус четвертого, темного кольца Ньютона в отраженном свете г4 = 2 мм.
505. На тонкую глицериновую пленку толщиной d — = 1,5 мкм нормально к ее поверхности падает белый свет. Определить длины воли к лучей видимого участка спектра (0,4 0,8 мкм), которые будут'ослаблены
в результате интерференции.
506. На стеклянную пластину нанесен тонкий слой прозрачного вещества с показателем преломления п = = 1,3. Пластинка освещена параллельным пучком монохроматического света с длиной волны ^=640 им,
167
падающим иа пластинку нормально. Какую минимальную толщину dmin должен иметь слой, чтобы отраженный пучок имел наименьшую яркость?
507. На тонкий стеклянный клин падает нормально параллельный пучок света с длиной волны А = 500 им. Расстояние между соседними темными интерференционными полосами в отраженном свете 6 = 0,5 мм. Определить угол а между поверхностями клииа. Показатель преломления стекла, из которого изготовлен клии, п = = 1,6.
508. Плосковыпуклая стеклянная лииза с f = 1 м лежит выпуклой стороной иа стеклянной пластинке. Радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете Г5 = 1,1 мм. Определить длину световой волны 1.
509. Между двумя плоскопараллельными пластинами иа расстоянии L= 10 см от границы их соприкосновения находится проволока диаметром d = 0,01 мм, образуя воздушный клин. Пластины освещаются нормально падающим монохроматическим светом (1=0,6 мкм). Определить ширину b интерференционных полос, наблюдаемых в отраженном свете.
510. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается нормально падающим монохроматическим светом (1=590 им). Радиус кривизны R лиизы равен 5 см. Определить толщину d3 воздушного промежутка в том месте, где в отраженном свете наблюдается третье светлое кольцо.
511. Какое наименьшее число Л^т1П штрихов должна содержать дифракционная решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две желтые линии натрия с длинами волн 1| = 589,0 нм и 1а = = 589,6 нм? Какова длина I такой решетки, если постоянная решетки d = 5 мкм?
512. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. ПостЬяиная дифракционной решетки в п — 4,6 раза больше длины световой волны. Найтн общее число М дифракционных максимумов, которые теоретически можно наблюдать в данном случае.
513. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок белого света. Спектры третьего и четвертого порядка частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка накладывается граница (1=780 нм) спектра третьего порядка?
168
514. На дифракционную решетку, содержащую п = = 600 штрихов иа миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длниу I спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L=l,2 м. Границы видимого спектра: 1кр = 780 нм, 1ф ~ 400 им.
515. На грань кристалла каменной соли падает па раллельиый пучок реитгеиовского излучения. Расстояние d между атомными плоскостями равно 280 пм. Под углом 0 = 65° к атомной плоскости наблюдается дифракционный максимум первого порядка. Определить длину волиы X реитгеиовского излучения.
516. На непрозрачную пластину с узкой щелью падает нормально плоская монохроматическая световая волна (1=600 им). Угол отклонения лучей, соответствующих второму дифракционному максимуму, <р=20°. Определить ширину а щели.
517. На дифракционную решетку, содержащую п = = 100 штрихов иа 1 мм, иормал’ьно падает монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум второго порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть иа угол А<р = 16°. Определить длину волны X света, падающего иа решетку.
518. На дифракционную решетку падает нормально монохроматический свет (1=410 им). Угол А<р между направлениями на максимумы первого н второго порядков равен 2°21'. Определить число п штрихов иа 1 мм дифракционной решетки.
519. Постоянная дифракционной решетки в п — 4 раза больше длины световой волиы монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол а между двумя первыми симметричными дифракционными максимумами.
520. Расстояние между штрихами дифракционной решетки d = 4 мкм. На решетку падает нормально свет с длиной волны 1 = 0,58 мкм. Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?
521. Пластинку кварца толщиной d=2 мм поместили между параллельными никелями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света повернулась иа угол <р=53°. Какой наименьшей толщины dmin следует взять пластинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно темным?
169
522. Параллельный пучок света переходит из глицерина в стекло так, что пучок, отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризованным. Определить угол у между падающим и преломленным пучками.
523. Кварцевую пластинку поместили между скрещенными ииколями. При какой наименьшей толщине dmi„ кварцевой пластины поле зрения между никелями будет максимально просветлено? Постоянная вращения а кварца равна 27 град/мм.
524. При прохождении света через трубку длиной h = 20 см, содержащую раствор сахара концентрацией С] = 10%, плоскость поляризации света повернулась иа угол <pi = 13,3°. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной 1ч = 15 см, плоскость поляризации повернулась иа угол <рг = 5,2°. Определить концентрацию С% второго раствора.
525. Пучок света последовательно проходит через два никеля, плоскости пропускания которых образуют между собой угол <р=40°. Принимая, что коэффициент поглощения k каждого николя равен 0,15, найти, во сколько раз пучок света, выходящий из второго николя, ослаблен по сравнению с пучком, падающим иа первый ии-коль.
526. Угол падения е луча на поверхность стекла равен 60°. При этом отраженный пучок света оказался максимально поляризованным. Определить угол е£ преломления луча.
527. Угол а между плоскостями пропускания поляроидов равен 50°. Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в п = 8 раз. Пренебрегая потерей света при отражении, определить коэффициент поглощения k света в поляроидах.
528. Пучок света, идущий в стеклянном сосуде с глицерином, отражается от диа сосуда. При каком угле е падения отраженный пучок света максимально поляризован?
529. Пучок света переходит из жидкости в стекло. Угол падения е пучка равен 60°, угол преломления ег = 50°. При каком угле падения ев пучок света, отраженный от границы раздела этих сред, будет максимально поляризован?
530. Пучок света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину, иижияя поверхность которой находится в воде. При каком угле падения ев свет, 170
отраженный от границы стекло—вода, будет максимально поляризован?
531. Частица движется со скоростью v = c/3, где с — скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?
532. Протон с кинетической энергией Т = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить, во сколько раз изменился релятивистский импульс а-частицы.
533. При какой скорости 0 (в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества в п = 3 раза больше массы покоя?
534. Определить отношение релятивистского импульса р-электроиа с кинетической энергией Т ~ 1,53 МэВ к комптоновскому импульсу гпос электрона.
535. Скорость электрона v = 0,8 с (где с — скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрои-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергию Т электрона.
536. Протои имеет импульс р=469 МэВ/c*. Какую кинетическую энергию необходимо дополнительно сообщить протону, чтобы его релятивистский импульс возрос вдвое?
537. Во сколько раз релятивистская масса m электрона, обладающего кинетической энергией Т = 1,53 МэВ, больше массы покоя то?
538. Какую скорость 0 (в долях скорости света) нужно сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия была равна удвоенной энергии покоя?
539. Релятивистский электрон имел импульс pi = moC. Определить конечный импульс этого электрона (в единицах тос), если его энергия увеличилась вп = 2 раза.
540. Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить, во сколько раз возрастет его кинетическая энергия, если его импульс увеличится в п = 2 раза.
541. Вычислить истинную температуру Т вольфрамовой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру Траа=2,5 кК. Принять, что поглощательная способность для вольфрама не зависит от частоты излучения и равна а, = 0,35.
* 1 МэВ/c — единица импульса:
1 МэВ/c = ~ 5,33- 10~82 кг-м/с.
171
542. Черное тело имеет температуру 1\ = 500 К. Какова будет температура Т% тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в п = 5 раз?
543. Температура абсолютно черного тела Т — 2 кК. Определить длину волны на которую приходится максимум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости (нзлучательностн) (гх.г)тах длн этой длины волны.
544. Определить температуру Т и энергетическую светимость (излучательность) абсолютно черного тела, если максимум энергнн излучения приходится на длину волны Хт = 600 нм.
545. Из смотрового окошечка печи излучается поток фв=4 кДж/мин. Определить температуру Т печи, если площадь окошечка S = 8 см2.
546. Поток излучения абсолютно черного тела Фе = 10 кВт. Максимум энергнн излучения приходится на длину волиы Хл=0,8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.
547. Как н во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного тела, если максимум энергнн излучении переместится с красной границы видимого спектра (Xmi = 780 нм) на фиолетовую (Хт2 = 390 нм)?
548. Определить поглощательную способность ат серого тела, для которого температура, измеренная радиационным пирометром, 7'Рад= 1,4 кК, тогда как истинная температура Т тела равна 3,2 кК.
549. Муфельнан печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт, имеет отверстие площадью S = 100 см2. Определить долю т) мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1 кК.
550. Средняя энергетическая светимость R поверхности Земли равна 0,54 Дж/(см2« мин). Какова должна быть температура Т поверхности Земли, если условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициентом черноты ат — 0,25?
551. Красная граница фотоэффекта для цинка 10=310 им. Определить максимальную кинетическую энергию Ттах фотоэлектронов в электрон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны 1 = 200 нм.
552. На поверхность калия падает свет с длиной волны X = 150 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Гтах фотоэлектронов.
553. Фотон с энергией е= 10 эВ падает на серебря -
172
ную пластину н вызывает фотоэффект. Определить импульс , р, полученный пластиной, если принять, что направления движения фотона и фотоэлектрона лежат иа одной прямой, перпендикулярной поверхности пластин.
554. На фотоэлемент с катодом нз литня падает свет с длиной волны X = 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов (7т,П} которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок.
555. Какова должна быть длина волны у-нзлучення, падающего на платиновую пластину, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была отах=3 Мм/с?
556. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетового излучения (1=0,25 мкм). Фототок прекращается прн минимальной задерживающей разности потенциалов t/rain=0,96 В. Определить работу выхода А электронов нз металла.
557. На поверхность металла падает монохроматический свет с длиной волны 1= 0,1 мкм. Красная граница фотоэффекта Хо = 0,3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энергии?
558. На металл падает рентгеновское излучение с длиной волны 1=1 нм. Пренебрегая работой выхода, определить максимальную скорость утах фотоэлектронов.
559. На металлическую пластину направлен монохроматический пучок света с частотой v = 7,3« 1014 Гц. Красная граница Хо фотоэффекта для данного материала равна 560 нм. Определить максимальную скорость цтях фотоэлектронов.
560. На цинковую пластину направлен монохроматический пучок света. Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U= 1,5 В. Определить длину волны К света, падающего на пластину.
561. Фотон при эффекте Комптона на свободном электроне был рассеян на угол & = л/2. Определить импульс'р (вМэВ/с)*, приобретенный электроном, если энергия фотона до рассеяния была ei = 1,02 МэВ.
562. Рентгеновское излучение (1=1 нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину волны 1™ рентгеновского излучения в рассеянном пучке.
563. Какая доля энергии фотона приходится прн
* См. сноску на с. 171.
173
эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол <&= л/2? Энергия фотона до рассеяния Ei = 0,51 МэВ.
564. Определить максимальное изменение длины волны (АХ)111ах при комптоновском рассеянии света на свободных электронах и свободных протонах.
565. Фотон с длиной волны М == 15 пм рассеялся на свободном электроне. Длина волны рассеянного фотона
16 пм. Определить угол & рассеяния.
Б66. Фотон с энергией ei = 0,51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона на свободном электроне на угол 0 = 180°. Определить кинетическую энергию Т электрона отдачи.
567. В результате эффекта Комптона фотон с энергией gj = 1,02 МэВ рассеян на свободных электронах на угол &= 150°. Определить энергию еа рассеянного фотона.
568. Определить угол &, на который был рассеян квант с энергией = 1,53 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи 7=0,51 МэВ.
569. Фотон с энергией ei = 0,51 МэВ прн рассеянии на свободном электроне потерял половину своей энергнн. Определить угол рассеяния О'.
Б70. Определить нмпульс ре электрона отдачи, если фотон с энергией Ei = 1,53 МэВ в результате рассеяния на свободном электроне потерял 1/з своей энергии.
571. Определить энергетическую освещенность (облученность) Ее зеркальной поверхности, если давление р, производимое излучением, равно 40 мкПа. Излучение падает нормально к поверхности.
572. Давление р света с длиной волны А- = 40 нм, падающего нормально на черную поверхность, равно 2 нПа. Определить число Л? фотонов, падающих за время t= 10 с иа площадь S= 1 мм2 этой поверхности.
573. Определить коэффициент отражения р поверхности, если прн энергетической освещенности Ее = = 120 Вт/м2 давление р света на нее оказалось равным 0,5 мкПа.
574. Давление света, производимое на зеркальную поверхность, р = 5 мПа. Определить концентрацию nD фотонов вблизи поверхности, если длина волны света, падающего на поверхность, 7 = 0,5 мкм.
575. На расстоянии' г = 5 м от точечного монохроматического (Х = 0,5 мкм) изотропного источника расположена площадка (S = 8 мм2) перпендикулярно падаю-174г
щим пучкам. Определить число N фотонов, ежесекундно падающих на площадку. Мощность излучения Р = = 100 Вт.
576. На зеркальную поверхность под углом 60° к нормали падает пучок монохроматического света (Х=590 нм). Плотность потока энергии светового пучка ф= 1 кВт/м2. Определить давление р, производимое светом на зеркальную поверхность.
577. Свет падает нормально иа зеркальную поверхность, находящуюся на расстоянии г= 10 см от точечного изотропного излучателя. Прн какой мощности Р излучателя давление р на зеркальную поверхность будет равным 1 мПа?
578. Свет с длиной волны Х= 600 нм нормально падает на зеркальную поверхность и производит на нее давление р=4мкПа. Определить число N фотонов, падающих за время /= 10 с на площадь S = 1 мм2 этой поверхности.
579. На зеркальную поверхность площадью 5 = 6 см2 падает нормально поток излучения Фе = 0,8 Вт. Определить давление р и силу давления F света на эту поверхность.
580. Точечный источник монохроматического (X — 1 нм) излучении находится в центре сферической зачерненной колбы радиусом R = 10 см. Определить световое давление р, производимое на внутреннюю поверхность колбы, если мощность источника Р = 1 кВт.
«.ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Основные формулы
Боровская теория водородоподобиого атома. Момент импульса электрона (второй постулат Бора)
Ln= hn, или mvnrn= hn,
где т — масса электрона; vn — скорость электрона на n-н орбите; гп—радиус n-й стационарной орбиты; h — постоянная Планка; п — главное квантовое число (« = = 1,2,3,...). „
Радиус n-й стационарной орбиты
гп ~ аоп2, где оо — первый боровскнй радиус.
175
Энергия электрона в атоме водорода
Е^Ь/п*.
где Ei — энергия ноннзацни атома водорода.
Энергия, излучаемая нли поглощаемая атомом водорода,
в — йсо = ЕПл — ЕП1, или
е— £,(!/«? — l/ni),
где ni н ns — квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.
Спектроскопическое волновое число
v=l/X=7?(l/n?-l/ni),
где X — длина волны излучения нли поглощении атомом; R — постоянная Ридберга.
Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля Х= 2л£/р,
где р — нмпульс частицы.
Импульс частицы н его связь с кинетической энергией Т:
a) р —mov; p='\2moT\
б) p = m„ = —; р== ‘/(2£o + rjT, yl—(»/с) с
где то — масса покоя частицы; m — релятивистская масса; v ~ скорость частицы; с — скорость света в вакууме; £о— энергия покоя частицы (£0=тос2).
Соотношение неопределенностей:
а) ДрхДх^Й (для координаты н импульса),
где Др* — неопределенность проекции импульса на ось X; Дх — неопределенность координаты;
б) (длн энергии н времени),
где Д£ — неопределенность энергии; Д/ — время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.
176
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний
-^+>(^-ЭДх) = 0,
где ф(х) — волновая функция, описывающая состояние частицы; т — масса частицы; Е — полная энергия; U=U(x)— потенциальная энергия частицы.
Плотность вероятности
где dw(jc) — вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dx.
Вероятность обнаружения частицы в интервале от Х\ до х2
*1
Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящнка:
л '-Х Г* „г- лп ~ (собственная нормнрован-
' ЧМ / vi I ная волновая функция);
б) Еп = (собственное значение энергии),
где п — квантовое число (n= 1, 2, 3, ...); I—ширина ящика. В области U=co н ф(х)=О.
Атомное ядро. Радиоактивность. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)
A = Z + N,
где Z — зарядовое число (число протонов); N — число нейтронов.
Закон радиоактивного распада
d/V——kNdt, илн JV=JVoe”M,
где dN — число ядер, распадающихся за интервал времени df; W — число идер, не распавшихся к моменту времени /; No — число ядер в начальный момент (/=0); X — постоянная радиоактивного распада.
Число ядер, распавшихся за время /,
AN=N0 — N=N0( \ — е1')-
177
7—105
В случае, если интервал времени AZ, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада 7j/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле
Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада
7’1/2=(1п2)А= 0.693/1.
Среднее время т жизни радиоактивного ядра, т. е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е рез,
т=1/%.
Число N атомов, содержашнхся в радиоактивном изотопе,
где т—масса изотопа; М — молярная масса; Na— постоянная Авогадро.
Активность А радиоактивного изотопа
А = — dA/d/ = XA, или Д = ^ое-м=Аое'“м,
где dM—число ядер, распадающихся за интервал времени d£; Ло — активность изотопа в начальный момент времени.
Удельная активность изотопа
а—А/т.
Дефект массы ядра
Am~ZmP'\-{A — tn^
где Z — зарядовое число (число протонов в ядре); А — массовое число (число нуклонов в идре); (A—Z) — число нейтронов в ядре; тр — масса протона; тп — масса нейтрона; т„—масса ядра.
Энергия связи ядра
Есв= Ате2,
где Ат — дефект массы ядра; с — скорость света в вакууме.
Во внесистемных единицах энергия связи идра равна £«,= 93^711, где дефект массы Ат — в а. е. м.; 931 — коэффициент пропорциональности (1 а. е. м. ~ 931 МэВ).
17g
Теплоемкость кристалла. Средняя энергии квантового одномерного осциллятора
е) Ео ч -Лв,Л|!П_1 »
где Ео — нулевая энергия (ео = ’ДЛо)); Д—постоянная Планка; со — круговая частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.
Молнрная внутренняя энергия системы, состоящей нз невзаимодействующих квантовых осцилляторов,
um= UOm + 3RGE/(ee?T- I),
где R— молярная газовая постоянная; &E=ha)/k — характеристическая температура Эйнштейна; Uom = = /зЯ0е— молнрная нулевая энергия (по Эйнштейну).
Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)
с"=-^«(-^)3=234Л(Ч;)’ <г<<в°)-
Теплота, необходимая для нагревания тела, Q=-2-Jc„dr,
где т — масса тела; М — молнрная масса; Т\ и Та— начальная и конечная температуры тела.
Элементы квантовой статистики. Распределение свободных электронов в металле по энергиям прн О К
где drt(e) — концентрации электронов, энергия которых заключена в пределах от е до е + Не; т — масса электро на. Это выражение справедливо прн »<Сбр (где ef— энергия нли уровень Ферми).
Энергия Ферми в металле при Г=ОК Br=-|W.
где п — концентрация электронов в металле.
7**
179
Полупроводники. Удельная проводимость собственных полупроводников
Т=уоехр(—kE/ZhT),
где Д£ — ширина запрещенной зоны; уо — константа. Сила тока в р-п-переходе
I = I0\exp(eU/kT)~ I],
где /о — предельное значение силы обратного тока; U — внешнее напряжение, приложенное к р-п-переходу.
Контактные и термоэлектрические явления. Внутренняя контактная разность потенциалов
17 _ «F,—
</12_------,
где bf, и ер, — энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; е — заряд электрона.
Примеры решения задач
Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного прн этом фотона.
Решение. Для определения энергнн фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:
l/x=«z2(l/n?-l/ni), (1)
где X — длина волны фотона; /? — постоянная Ридберга; Z— заряд идра в относительных единицах (при Z=1 формула переходит в сериальную формулу для водорода) ; ni — номер орбиты, на которую перешел электрон; «2 — номер орбиты, с которой перешел электрон и ns — главные квантовые числа).
Энергия фотона е выражается формулой
e.—hc/'K.
Поэтому, умножив обе части равенства (1) на he, получим выражение для энергии фотона:
е = RhcZ2( 1 /п? — 1 /ni).
Так как Rhe есть энергия ионизации £i атома водорода, то e=£,Zz(l//if-l/ni).
180
Вычисления выполним во внесистемных единицах: £’<=13,6 эВ (см. табл. 1 Приложения); Z=l; «1 = 2; «2 = 4:
е=13,6-12(-^—j,) эВ= 13,6-3/16 эВ = 2,55 эВ.
Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) Ui = 51 В; 2) Uz = 510 кВ.
Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой
K=h/p, (1)
где h — постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т, Связь импульса с кинетической энергией различна для иерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
p=^2mof, (2)
(3)
(4)
где то — масса покоя частицы. В релятивистском случае р=^(2Ео + Т)Т/с, где £о=тоС2 — энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:
в нерелятивистском случае 1= / ,
в релятивистском случае h
(5)
^Е. + ТУТ/с
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов £7| = 51В и 1/2=510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
181
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,
T=eU.
В первом случае Ti = et/=51 эВ = 0,51 • 10“4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона £’о = шоС2 = = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Ti=lO-4moC. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
х = h______= Ю2 h
V2m0-lO-4-/nZ? -/2 т°с'
Учитывая, что h/m^c есть комптоновская длина волны Л, получаем
м= ю'л/Тг.
Так как Л = 2,43пм (см. табл. 1 Приложения), то
Х,= 102-2,43/лЛ2пм= 171 пм.
Во втором случае кинетическая энергия Т2=е£72 = = 510 кэВ=0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что 72=0,51 МэВ= = тосг, по формуле (5) находим
V(2mofs -|- тосг)/посг/с д/Зтос
или
I, = A/V3 .
Подставим значение Л и произведем вычисления:
12 = 2,43/д/3 пм= 1,40 пм.
Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 7=10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид
АхАрх^Й, (1)
где Ах — неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Дрх — неопределенность импульса частицы (электрона); Н — постоянная Планка.
182
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры I, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью
Ах =1/2.
Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде
(l/2)Apx^h.
откуда
1^2К/Арх. (2)
Физически разумная неопределенность импульса Арх во всяком случае не должна превышать значения самого импульса рх, т. е. Арх^рх. Импульс рх связан с кинетической энергией Т соотношением рх = д/2тГ. Заменим Арх значением ->/2тТ (такая замена не увеличит I). Переходя от неравенства к равенству, получим
/шт — 2h/^2mT. (3)
Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:
[^] I Дж.с / 1 Дж^ 1/2 .
СтЦГ])4'2 (1 кгИ Дж)1'* к 1кг У
/ i кг-м8/^ 1/2 . .
\ 1 кг )
Найденная единица является единицей длины. Произведем вычисления:
<""=2.9,..Ю^5Х.0-'».10М= *-24- 1(Г‘“ М= 124 НМ'
Пример 4. Волновая функция ф(л) =^/2//sin-у-х описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной I. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале А/= 0,01/ в двух случаях: 1 (вблизи стенки) (О^л^А/); 2) в сред-
} I м I , д/\ нен части ящика ( ------—уЧ .
183
Рис. 64
Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интераале dx (от х до х -J- dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна
day = |ф(х)|2бх.
В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01/ (рис. 64):
0,011
2 ( . 9 л ,
w=—\ sin — ХОХ.
' п 1
Знак модуля опущен, так как ф — функция в данном случае не является комплексной.
Так как х изменяется в интервале 0^х^0,01/ и; следовательно, лх/1<^ 1, справедливо приближенное равенство
2 п л \ 2
С учетом этого выражения (1) примет вид о,ои о.оп
w=—j (-т-л) dx = ^-( x2dx
После интегрирования получим
а>=-|-п2-1 (Г6 =6,6- IO”6.
Во втором, случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Д/=0,01/) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
w= |ф(//2)|2Д/, или
и>=’4( sin-2-|-) 2М = ~0,011 = 0,02.
Пример 5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра iLi.
184
Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ндро образовалось. Дефект массы ядра Am н есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т. е.
Am = Ztnp -4- (Л — Z)mn — тя, (1)
где Z — атомный номер (число протонов в ядре); А — массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); тр, гпп, тя — соответственно массы протона, нейтрона и ядра.
В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса тя нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: ma=m« + + Zme, откуда
mn=ma — Zme. (2)
Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем Am=ZmP+G4 —Z)mn — та-|-2те,нли
\т= Z(mp-|-me) + (Л—Z)m,t — та.
Замечая, что тр-]-те=тн, где тн—масса атома водорода, окончательно находим
Ат=2тн+(Л—Z)m„— та. (3)
Подставив в выражение (3) числовые значения масс (см. табл. 15 и 17 Приложения), получим
Ат=[3-1,00783 + (7—3)-1,00867 — 7-0,1601] а. е. м = = 0,04216 а. е. м.
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии £=с=Дт, (4)
где с — скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности с2 может быть выражен двояко:
с2=9-1016 м2/с2, нлн c2 = AE/Am = 9-1016 Дж/кг.
Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то г2 = 931 МэВ/a. е. м. С учетом этого формула (4) примет внд
£=931 Ат (МэВ). (5)
185
Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим
£=931 -0,04216 МэВ = 39.2 МэВ.
Примечание. Термин «дефект массы» часто применяют в другом смысле: дефектом массы Д называют разность между массой нейтрального атома данного изотопа и его массовым числом А :Д==тя—А Эта величина особого физического смысла ие имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы Am, определяемый формулой (1).
Пример 6. При соударении а-частицы с ядром бора 'sB произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода }Н. Определить порядковый иомер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакций и определить ее энергетический эффект.
Р е ш е и и е. Обозначим неизвестное ядро символом zX. Так как а-частнца представляет собой ядро гелия 2Не, запись реакции имеет внд
Ше + ’ёВ-ИН + ёХ.
Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4 +10= 14-А, откуда А=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 24-5= = 1 + Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода ’iC.
Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:
42Не4-‘1В-^1Н + ‘1С.
Энергетический эффект Q ядериой реакции определяется по формуле
Q = 931 [(/Пне + ГПв) — (ЛПн 4- тс)] -
Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках — массы ядер — продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.
Число электронов в электроиной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер — продуктов реакции. Следовательно, электронные
186
оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.
Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода нз суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов (см. табл. 15 Приложения) в расчетную формулу, получим
Q = 931(4,002604- 10,01294) —(1,00783 + 13,00335) МэВ-= 4,06 МэВ.
Пример 7. Определить начальную активность До радиоактивного препарата магния ^7Mg массой т= = 0,2 мкг, а также его активность А через время /=6ч. Период полураспада Tt/2 магния считать известным.
Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dA ядер, распавшихся за интервал времени dZ, к этому интервалу:
A = —dN/dt. (1)
Знак «—» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.
Для того чтобы иайти dA/dZ, воспользуемся законом радиоактивного распада:
N = Nce-u, (2)
где N — число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени Z; No — число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (Z=0); X — постоянная радиоактивного распада.
Продифференцируем выражение (2) по времени:
dN/dt= (3)
Исключив из формул (1) и (3) dA/dZ, находим активность препарата в момент времени Z:
А = KNoe~u. (4)
Начальную активность Ао препарата получим прн Z=0:
Ао = ХАо. (5)
187
Постоянная радиоактивного распада X связана с периодом полураспада Т1/2 соотношением
Z= (1п2)/Г1/2. (6)
Число No радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро Nk на количество вещества v данного изотопа:
JV0=vJVa=-^-Wa, (7)
где т — масса изотопа; М — молярная масса.
С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают внд
(8) A=^;N^- (9)
Произведем вычисления, учитывая, что Л/2= 10 мнн = = 600 с (см. табл. 16 Приложения), 1п2=0.693, t~ = 6 ч = 6-3,6-103 с=2,16-104 с:
Ао= 6,02-10ю Бк=5,13-10'2 Бк = 5,13 ТБк;
. 0.2- IO”’ 0®3 р n9 lnS3 —_ Я1 , _
Л=“27ЛОТЗ”6ОО'6’02’10 е Бк = 81,ЗБк.
Пример 8. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с прн постоянном объеме алюминия при температуре 7=200 К. Характеристическую температуру ©е Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.
Решение. Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость Ст соотношением
с = Сп,/Л1, (1)
где М —• молярная масса.
Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйнштейна выражается формулой
Подставив в (1) выражение теплоемкости Ст по формуле (2), получим
_ ЗЯ /0е\2 енЕ/г С М\т) (&Гт — Vja '
188
Произведем вычисления:
3-8,31 ( 300 \2 езоо/2оо
С 27.10-Ц 200) (еЭС0/20° — I)2 / (кг К)
— 770 Дж/ (кг.К).
Пример 9. Определить теплоту AQ, необходимую для нагревания кристалла NaCl массой /п=20г от температуры Л = 2 К до температуры К- Характеристическую температуру Дебая ©d для NaCl принять равной 320 К и условие T-c©d считать выполненным.
Решение. Теплота AQ, подводимая для нагревания тела от температуры Т\ до Т2, может быть вычислена по формуле 7
AQ = j C,iT, (1)
где Ст — теплоемкость тела.
Теплоемкость тела связана с моляриой теплоемкостью соотношением
Сг=^тСт/М, (2)
где пг — масса тела; М — молярнаи масса.
Подставив выражение Ств формулу (1), получим
A<2 = -^-JC„d7-. (3)
В общем случае теплоемкость Ст есть сложная функция температуры, поэтому выносить ее за знак интеграла нельзя. Однако если выполнено условие Т«С ©о, то нахождение AQ облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу термодинамической температуры:
с-=-ЦгЧ^)3- <4>
Подставляя моляриую теплоемкость (4) в формулу (3), получим
Выполним интегрирование:
до = _12^_гп R
V 5 М 4 4 ) '
189
Переписав полученную формулу в виде
произведем вычисления:
АЛ 3-(3,14)4 2-10 8 8.31 ,.4 п4ч п
А(?= А" 58.5-.0-» (320)Д4 -2 ) ДЖ = = 1,22-10“3 Дж= 1,22 мДж.
Пример 10. Вычислить максимальную энергию eF (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре Т = 0К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.
Решение. Максимальная энергия ef, которую могут иметь электроны в металле при Т=0К, связана с концентрацией свободных электронов соотношением ЕР=Л2(Зл2н)2/3/(2т), (1)
где h — постоянная Плаика; m — масса электрона.
Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле
n = p/VA/M, (2)
где р — плотность меди; — постоянная ‘ Авогадро; М — молярная
Подставляя
масса.
выражение п в формулу (1), получаем
Й2 / о 2 Уд\2/3
Е1:=-2Д3яР7м)
вычисления:
{ 3-(3,14Г.8,9.10’.^^] 2/3 Дж =
Произведем (1,05-КГ3*)1 EF= 2.9.1.10^1 •°’”*" • 64-10 3
= 1,18-10“'8 Дж = 7,4 эВ.
Пример 11. Кремниевый образец нагревают пературы ft = O°C до температуры /2=10°С. Во раз возрастает его удельная проводимость?
Решение. Удельная проводимость у собственных полупроводников связана с температурой Т соотношением
т=Тое-^/<2^, где уо — коистаита; А£ — ширина запрещенной зоны.
от тем-сколько
190
Следовательно,
?2 r4WIm rJr
Полагая для кремния Д£=1,1эВ, произведем вычисления:
?! I.76-I0"19 /1 1 \ оос
„ — еХР'2(1,38- 10-2s) \ 273 283 ) 2,28‘
Задачи для самостоятельного решения
I. Определить энергию в фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического у ров ия на основной. [12,1 эВ]
2. Определить первый потенциал возбуждения <pj атома водорода. [10,2 В]
3. Вычислить длииу волиы де Бройля X для электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 17=22,5 В. [0,258 км]
4. Вычислить длииу волны де Бройля X для протона, движущегося со скоростью v = 0,6 с (с — скорость света в вакууме). [1,76 фм]
5. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию Tmm электрона, движущегося внутри сферической области диаметром £/ = 0,1 нм. [15эВ]
6. Определить относительную неопределенность Др/р импульса движущейся частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты равиа длине волиы де Бройля. [0,16]
7. Электрой находится в прямоугольном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками. Ширина ящика / = 0,2им, энергия электрона в ящике £=37,8 эВ. Определить номер п энергетического уровня и модуль волнового вектора к. [2; 3,14-1О10 м^1]
8. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения частицы: в средней трети ящика? в крайней трети ящика? [0,609; 0,195]
9. Вычислить энергию связи £св ядра дейтерия 1Н и трития ?Н. [2,22 МэВ; 8,47 МэВ]
10. Вычислить энергетический эффект Q реакции ?Ве + № -> 1!С + in. [5,71 МэВ]
11. То же, для реакции з1л-|~1Н->-2Не-|-2Не. [4,03 МэВ]
191
12. Определить число N атомов радиоактивного препарата иода ’&з1 массой /п = 0,5 мкг, распавшихся в течение времени: 1) /1 = 1 мин; 2) tz~7 сут. [1,38-10”; 1,04-1015]
13. Определить активность А радиоактивного препарата IsSr массой т=0,1 мкг. [543 кБк]
14. Определить частоту v колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйиштейиа, если характеристическая температура серебра 0е= 165 К. [3,44 10~12 Гц]
15. Определить среднюю энергию (в) линейного, одномерного квантового осциллятора при температуре г=еЕ=2оок. [i,6i-ю-2’дж]
16. Определить теплоту Q. необходимую для нагревания кристалла меди массой т= 100 г от 7\~ 10 К до Г2=20К- Характеристическая температура Дебая для меди 0d=32OK. Считать условие ?2<C0d выполненным. [3,48 Дж]
17. Выразить среднюю квадратичную скорость (цкв) через максимальную скорость г>тах электронов в металле при температуре 0 К. [л/ЗТбь'тах]
18. Металл находится при температуре ОК. Определить относительное число электронов, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более чем на 2%. [0,03]
Контрольная работа 6
Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ
Вариант Номера задач
0 601 611 621 631 641 651 661 671
1 602 612 622 632 642 652 662 672
2 603 613 623 633 643 663 663 673
3 604 614 624 634 644 654 664 674
4 605 615 625 635 645 655 655 675
5 606 616 626 636 646 655 655 676
6 607 617 627 637 647 657 667 677
7 606 618 628 638 648 658 668 678
8 609 619 629 639 649 659 669 679
9 610 620 630 640 650 660 670 680
601. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны Х= 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус г электронной орбиты возбужденного атома водорода.
192
602. Вычислить по теории Бора радиус гч второй стационарной орбиты и скорость электрона на этой орбите для атома водорода.
603. Вычислить по теории Бора период Т вращения электрона в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии, определяемом главным квантовым числом /1=2.
604. Определить изменение энергии ДЕ электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с частотой v = 6,28-10U Гц.
605. Во сколько раз изменится период Т вращения электрона в атоме водорода, еслн при переходе в невозбужденное состояние атом излучил фотон с длиной волны Л=97,5 им?
606. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны Х=435нм?
607. В каких пределах ДХ должиа лежать длина воли монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус гп орбиты электрона увеличился в 16 раз?
608. В однозарядном иоие лития электрон перешел с четвертого энергетического уровия иа второй. Определить длину волны X излучеиия, испущенного ионом лития.
609. Электрой в атоме водорода находится иа третьем энергетическом уровне. Определить кинетическую Т, потенциальную П и полную Е энергию электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
610. Фотои выбивает из атома водорода, находящегося в основном состоянии, электрон с кинетической энергией Г=10эВ. Определить энергию е фотона.
611. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны X молекул азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.
612. Определить энергию ДГ, которую необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его деброй-левская длина волны уменьшилась от Х[ = 0,2мм до Х2 = 0,1 ИМ.
613. На сколько по отношению к комнатной должна измениться температура идеального газа, чтобы деброй-левская длина волны X его молекул уменьшилась на 20%?
614. Параллельный пучок моиоэнергетических электронов падает нормально иа диафрагму в виде узкой прямоугольной щели, ширина которой а=0,06 мм. Опре-
193
делить скорость этих электронов, если известно, что иа экране, отстоящем от щели иа расстоянии / = 40 мм, ширина центрального дифракционного максимума Ь = — 10 мкм.
615. При каких значениях кинетической энергии Т электрона ошибка в определении дебройлевской длины волны X по иерелятивистской формуле не превышает 10%?
616. Из катодной трубки на диафрагму с узкой прямоугольной щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетнческих электронов. Определить анодное напряжение, трубки, если известно, что на экране, отстоящем от щели иа расстоянии /=0,5м. ширина нейтрального дифракционного максимума Дх= = 10,0 мкм. Ширину b щели принять равной 0,10 мм.
617. Протон обладает кинетической энергией Т= = 1 кэВ. Определить дополнительную энергию ДТ, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волиы X де Бройля уменьшилась в три раза.
618. Определить длины волн де Бройля ос-частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов V = 1 кВ.
619. Электрон обладает кинетической энергией 7= = 1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волиы де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона уменьшится вдвое?
620. Кинетическая энергия Т электрона равиа удвоенному значению его энергии покоя (2motj. Вычислить длину волны 1 де Бройля для такого электрона.
621. Оцеиить с помощью соотиошения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом /? = 0,05им.
622. Используя соотношение неопределенностей, оцеиить наименьшие ошибки Дг» в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.
623. Какова должна быть кинетическая энергия Т протона в моиоэиергетическом пучке, используемого для исследования структуры с линейными размерами I ~ ~ 10~13 см?
624. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину I одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона 10 эВ.
625. Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, примоугольном потенциальном ящике. 194
Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину I ящика, если известно, что минимальная энергия а-частицы Етт= 8 МэВ.
626. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет AZ » 10-8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волиы (1) которого равна 600 нм. Оценить ширину ДХ излучаемой спектральной линии, если ие происходит ее уширеиия за счет других процессов.
627. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Дг радиуса г электронной орбиты и неопределенность Др импульса р электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Дг « г и Др ~ р. Используя эти связи, а также соотношение неопределенностей, найти значение радиуса электронной орбиты, соответствующего минимальной энергии электрона в атоме водорода.
628. Моноэнергетический пучок электронов высвечивает в центре экрана электронно-лучевой трубки пятио радиусом г « 10 3 см. Пользуясь соотношением неопределенностей, найти, во сколько раз неопределенность Ах координаты электроиа на экране в иаправлеиии, перпендикулярном оси трубки, меньше размера г пятна. Длину L электронно-лучевой трубки принять равной 0,50 м, а ускоряющее электрон иапряжение U — равным 20 кВ.
629. Среднее время жизни At атома в возбужденном состоянии составляет около 10~8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длниа волны (X) которого равна 400 нм. Оценить относительную ширину Д1/1 излучвемой спектральной линии, если не происходит уширеиия линии за счет других процессов.
630. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Дг радиуса г электронной орбиты и неопределенность Др импульса р электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Дг » г и Др « р. Используя эти связи, а также соотношение неопределенностей, определить минимальное значение энергии Гт(п электрона в атоме водорода.
631. Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разиости ДЕП, п+1 соседних энергетических уровней к энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п = 2; 2) п -- 5; 3) п -+ оо.
195
632. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной /=0,1 нм. Определить в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.
633. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной / находится в возбужденном состоянии (л=3). Определить, в каких точках интервала 0 <х < I плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.
634. В прямоугольной потенциальной яме шириной I с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х < /) находится частица в основном состоянии. Найти вероятность w местоиохождеиня этой частицы в области 1 /4/ < <х<3Л/.
635. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность w обнаружения частицы в крайней четверти ящика?
636. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид
ч(г) =
где А — некоторая постоянная; а0 — первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.
637. Частица находится в основном состоянии в прямоугольной яме шириной I с абсолютно непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются вероятности местонахождения частицы: wi - в крайней трети и шг — в крайней четверти ящика?
638. Волновая функция, описывающая движение электрона в осиовиом состоянии атома водорода, имеет вид
ф(г) = Ле“г/О°,
где А — некоторая постоянная; ао — первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение (F) кулоновской силы.
639. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной I. В каких точках в интервале 0 <*:</ плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.
196
640. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид
ф(г) = Ае~г/о°,
где А — некоторая постоянная; а0 — первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение (П) потенциальной энергии.
641. Найти период полураспада Т1/2 радиоактивного изотопа, если его активность за время t = 10 сут уменьшилась на 24% по сравнению с первоначальной.
642. Определить, квкая доля радиоактивного изотопа 2вэАс распадается в течение времени t = 6 сут.
643. Активность А некоторого изотопа за время t = 10 сут уменьшилась на 20%. Определить период полураспада Т1/2 этого изотопа.
644. Определить массу т изотопа *53!, имеющего активность А = 37 ГБк.
645. Найти среднюю продолжительность жизии т атома радиоактивного изотопа кобальта 1?Со.
646. Счетчик а-частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа, при первом измерении регистрировал Ni = 1400 частиц в минуту, а через время t = 4 ч — только Ng = 400. Определить период полураспада Г1/2 изотопа.
647. Во сколько раз уменьшится активность изотопа iiP через время t = 20 сут?
648. На сколько процентов уменьшится активность изотопа иридия ’fllr за время t = 15 сут?
649. Определить число N ядер, распадающихся в течение времени: 1) 6 = 1 мин; 2) 2Я = 5 сут, — в радиоактивном изотопе фосфора массой т = 1 мг.
650. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 200 атомов. Определить период полураспада T'i/2 изотопа.
651. Определить количество теплоты Q, выделяющейся при распаде радона активностью А = 3,7-1010 Бк за время t ~ 20 мин. Кинетическая энергия Т вылетающей из радона а-частицы равна 5,5 МэВ.
652. Масса т = 1 г урана 2|fU в равновесии с продуктами его распада выделяет мощность Р = 1,07Х X10-7 Вт. Найти молярную теплоту Qm, выделяемую ураном за среднее время жизни т атомов урана.
653. Определить энергию, необходимую для разделения ядра 20Ne на две а-частицы и ядро ,2С. Энергии
197
связи иа один нуклон в ядрах 20Ne, 4Не и 12С равны со-ответствеиио 8,03; 7,07 н 7,68 МэВ.
654. В одном акте деления ядра ураиа 23SU освобождается энергия 200 МэВ. Определить: 1) энергию, выделяющуюся при распаде всех ядер этого изотопа урана массой т = 1 кг; 2) массу каменного угля с удельной теплотой сгорания q = 29,3 МДж/кг, эквивалентную в тепловом отношении 1 кг ураиа 23SU.
655. Мощность Р двигателя атомного судиа составляет 15 Мвт, его КПД равен 30%. Определить месячный расход ядерного горючего при работе этого двигателя.
656. Считая, что в одном акте деления ядра ураиа 235U освобождается энергия 200 МэВ, определить массу т этого изотопа, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом 30-106 кг, если тепловой эквивалент тротила q равеи 4,19 МДж/кг.
657. При делении ядра урана 235U под действием замедленного нейтрона образовались осколки с массовыми числами Mi = 90 и Mz = 143. Определить число нейтронов, вылетевших из ядра в данном акте деления. Определить энергию и скорость каждого из осколков, если они разлетаются в противоположные стороны и их суммарная кинетическая энергия Т равиа 160 МэВ.
658. Ядерная реакция 14N (а, р) t7O вызвана а-части-цей, обладавшей кинетической энергией Та= 4,2 МэВ. Определить тепловой эффект этой реакции, если протои, вылетевший под углом О = 60° к направлению движения а-частицы, получил кинетическую энергию Т = 2 МэВ.
659. Определить тепловые эффекты следующих реакций:
7Li(p, п)7Ве и 16O(d, a)l4N.
660. Определить скорости продуктов реакции |0В (л, a)7Li, протекающей в результате взаимодействия тепловых нейтронов с покоящимися ядрами бора.
661. Определить теплоту Q, необходимую для нагревания кристалла калия массой т~= 200 г от температуры 7’1 = 4 К до температуры Т2=5 К- Принять характеристическую температуру Дебая для калия ©d = = 100 К и считать условие Т ©d выполненным.
662. Вычислить характеристическую температуру 0и Дебая для железа, если при температуре Т — 20 К молярная теплоемкость железа Ст = 0,226 Дж/К*моль. Условие Т 0d считать выполненным.
198
663. Система, состоящая из N = 1О20 трехмерных квантовых осцилляторов, находится прн температуре Т = 0е (0е = 250 К)- Определить энергию Е системы
664. Медиый образец массой m = 100 г находится при температуре Л = Ю К- Определить теплоту Q, необходимую для нагревания образца до температуры Т? = 20 К- Можно принять характеристическую температуру ©d для меди равной 300 К, а условие Т ©о считать выполненным.
665. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определить коэффициент упругости 0 связи атомов в кристалле алюминия. Принять для алюминия 0е = 300 К-
666. -Найти отношение средней энергии (бкв) линейного одиомериого осциллятора, вычисленной по квантовой теории, к энергии (вкл) такого же осциллятора, вычисленной по классической теории. Вычисление произвести для двух температур: 1) Т = О,10е; 2) Т = 0е, где 0е—характеристическая температура Эйнштейна.
667. Зная, что для алмаза 0о = 2000 К, вычислить его удельную теплоемкость при температуре Т = 30 К.
668. Молярная теплоемкость С™ серебра при температуре 7=20 К оказалась равной 1,65 Дж/(моль-К). Вычислить по значению теплоемкости характеристическую температуру 0d- Условие Т 0d считать выполненным.
669. Вычислить (по Дебаю) удельную теплоемкость хлористого натрия три температуре Т — 0d/2O. Условие Т 0d считать выполненным.
670. Вычислить по теории Дебая теплоемкость цинка массой m = 100 г прн температуре 7=10 К- Принять для цинка характеристическую температуру Дебая 0d = 300 К и считать условие Т ®d выполненным.
671. Определить долю свободных электронов в металле при температуре Т — 0 К, энергии е которых заключены в интервале зиачений от 1 /2ВтЯх до
672. Германиевый кристалл, ширина &Е запрещенной зоны в котором равна 0,72 эВ, нагревают от температуры 71 — 0°С до температуры fa = 15°С. Во сколько раз возрастет его удельнаи проводимость?
673. При нагревании кремниевого кристалла от температуры h = 0° до температуры t? = 10°С его удельиая проводимость возрастает в 2,28 раза. По приведенным данным определить ширину запрещенной зоны кристалла кремния.
199
674. р-п-переход находится под обратным напряжением U = 0,1 В. Его сопротивление = 692 Ом. Каково сопротивление R2 перехода при прямом напряжении?
675. Металлы литий н цинк приводят в соприкосновение друг с другом при температуре Т = 0 К. На сколько изменится концентрация электронов проводимости в циике? Какой из этих металлов будет иметь более высокий потенциал?
676. Сопротивление Rt р-п-перехода, находящегося под прямым напряжением U = 1 В, равно 10 Ом. Определить сопротивление R2 перехода при обратном напряжении.
677. Найти минимальную энергию IFmin, необходимую для образования пары электрон—дырка в кристалле CaAs, если его удельная проводимость у изменяется в 10 раз при изменении температуры от 20 до 3°С.
678. Сопротивление Rt кристалла PbS при температуре t\ = 20°С равно 104 Ом. Определить его сопротивление /?2 при температуре t2 = 80еС.
679. Каково значение эиергии Ферми bf у электронов проводимости двухвалентной меди? Выразить энергию Ферми в джоулях и электрон-вольтах.
680. Прямое напряжение U, приложенное к р-л-пе-реходу, равно 2 В. Во сколько раз возрастет сила тока через переход, если изменить температуру от Т{ = 300 К до Т2 = 273 к?
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические постои иные (округленные значения)
Физическая постоянная Обозиачеиие Значение
Нормальное ускорение свободного падения g 9,81 м/с2
Гравитационная постоянная G 6,67-10-" м3/(кг-с2)
Постоянная Авогадро Na 6,02-1023 моль~‘
Молярная газовая постоянная R 8,31 Дж/(моль-К)
Стандартный объем* v,,, 22,4-10-3 м3/моль
Постоянная Больцмана k 1.38-10“23„ Дж/К
Элементарный заряд e 1,60-10"Кл
Скорость снета в вакууме c 3,00-108 м/с
Постояннаи Стефана—Больцмана* G.' 5,67-10“s Вт/(м2-К4)
Постоянная закона смещения
Вина b '>90<10“3 м-К
Постоянная Планка h 6,63 -ДО-34 Дж - с
h 1,05-ПЕ<Дж-с
Постоянная Ридберга R 1,10-10' м4-
Радиус Бора a 0,529-10-'“ м
Комптоновская длина волны электрона A 2,43-10“12 м
Магнетон Бора № 0,927-10“23 А-м2
Энергия ионизации атома водорода Ei 2,18- 10“18,Дж (13,6 эВ)
Атомная единица массы а.е.м. 1,660-10 27 кг
Электрическая постоянная ®o 8,85 -10712 Ф/м
Магнитная постоянная 1*0 4л-10 Ги/м
Молярный объем идеального газа прн
нормальных условиях.
2. Некоторые астрономические величины
Наименование Значение
Радиус Земли 6,37-106 м
Масса Земли 5,98-1024 кг
Радиус Солнца 6,95-106 м
Масса Солнца 1,98-1О30 кг
Радиус Луны 1,74-106 м
Масса Луны 7,33-1022 кг
Расстояние от центра Земли до
центра Солнца 1,49- 10й м
Расстояние от центра Земли до
центра Луны 3.84-106 м
201
3. Плотность твердых тел
Твердое тело Плотность, кг/ма Твердое тело Плотность, кг/м3
Алюминий 2,70-103 Медь 8,93-103
Барий 3,50-103 Никель 8,90-103
Ванадий 6,02-103 Свинец 11,3-103
Висмут 9,80-103 Серебро 10,5-103
Железо 7,88-103 Цезий 1,90-103
Литий 0,53-103 Цинк 7.15-103
4. Плотность жидкостей
Жидкость Плотность, кг/м3 Жидкость Плотность, кг/мэ
Вода (при 4°С) Глицерин Ртуть 1,00-103 1,26-103 13,6-103 Сероуглерод Спирт 1,26-10" 0,80-103
5 Плотность газов (при нормальных условиях)
Газ Плотность, кг/м3 Газ Плотность, кг/м3
Водород Воздух 0,09 1,29 Гелий Кислород 0,18 1,43
6. Коэффициент поверхностного натвжения жидкостей
Жидкость Коэффициент, мН/м Жидкость Коэффициент, мН/м
Вода 72 Ртуть 500
Мыльная пена 40 Спирт 22
7. Эффективный диаметр молекулы
Газ Диаметр, м Газ Диаметр, м
Азот Водород з.о-кг10 2,3-10“'° Гелий Кислород 1.9-10“'° 2,7-10“'"
202
8. Диэлектрическая проницаемость
Вещество Проницаемость Вещество Проницаемость
Вода 81 Парафин 2,0
Масло трансформаторное 2,2 Стекло 7,0
9. Удельное сопротивление металлов
Металл • Удельное сопротивление. Ом-м Металл Удельное сопротивление. Ом-м
Железо Медь 9,8-10—8 1,7-10-8 Нихром Серебро 1.1-10-6 1,6-10-8
10. Энергия ионизации
Вещество Е/, Дж Ei, эВ
Водород 2,18-10~’8 13,6
Гелий 3,94-10 24,6
Литий 1,21 - ю ' 75,6
Ртуть 1,66-10 10,4
11. Подвижность ионов в газах, м2/(В-с)
Газ Пол ож ите л ь ные ионы Отрицательные ионы
Азот 1,27-10-’ 1,81-10-’
Водород 5,4-10-’ 7,4-10“’
Воздух 1,4-10-’ 1.9-10“’
12. Показатель преломления
Вещество Показатель Вещество Показатель
Алмаз 2,42 Глицерин 1,47
Вода 1,33 Стекло 1,50
203
13. Работа выхода электронов
Металл А, Дж А, эВ
Калий 3,5-10—'9 2,2
Литий 3,7-10—19 2,3
Платина 10-10-'9 6,3
Рубидий 3,4- 10 ~19 2,1
Серебро 7,5-10-'9 4,7
Цезий 3,2-10 19 2,0
Цинк 6,4 -10”19 4,0
14. Относительные атомные массы (округленные значения) Аг и порядковые номера Z некоторых элементов
Элемент Символ Аг Z Элемент Символ Ar z
Азот N 14 7 Марганец Мп 55 25
Алюминий А1 27 13 Медь Си 64 29
Аргон Аг 40 18 Молибден Мо 96 42
Барий Ва 137 56 Натрий Na 23 11
Ванадий V 60 23 Неон Ne 20 10
Водород н 1 1 Никель Ni 59 28
Вольфрам W 184 74 Олово Sn 119 50
Гелий Не 4 2 Платина Pt 195 78
Железо Fe 56 26 Ртуть Hg 201 80
Золото Au 197 79 Сера s 32 16
Калнй к 39 19 Серебро Ag 108 47
Кальций Са 40 20 У глерод C 12 6
Кислород О 16 8 Уран u 238 92
Магний Mg 24 12 Хлор Cl 35 17
15. Массы атомов легких изотопов
Изотоп Символ Масса, а.е.м. Изотоп Символ Масса, а.е.м.
Нейтрон on 1,00867 Берилий ?Ве 7,01693
?Ве 9,01219
Водород 1н 1,00783 Бор ;:н 10,01294
?н 2,01410 11,00930
1Н 3,01605
Гелий 1Не 3,01603 Углерод 'еС 12,00000
5н 4,00260 'sC 13,00335
1;с 14,00324
Литий ,L 6,01513 Азот ’?N 14,00307
aLi 7,01601
Кислород ?о 15,99491
Чо 16,99913
204
16. Периоды полураспада радиоактивных изотопов
Изотоп Символ Период полураспада
Актиннй 2ЙАс 10 сут
Иод Чз1 8 сут
Кобальт “Со 5,3 г
Магний ?гМе 10 мин
Радий 2кКа 1620 лет
Радон 8бКП 3,8 сут
Стронций 3eSr 27 лет
Фосфор IIP 14,3 сут
Церий "вСе 285 сут
17. Масса и энергия покоя некоторых частиц
Частица т0
кг а.е.м. Дж МэВ
Электрон Протон Нейтрон Дейтрон а-частица Нейтральный л-мезон 9,11 -10”3* 1,672-10”27 1,675-10”27 3,35-10” 6,64-10”27 2,41 -10”28 0,00055 1,00728 1,00867 2,01355 4,00149 0,14498 8,16-10”14 1,50-10”'° 1.51-1O”10 3,00-10”'“ 5,96- IO”10 2,16-10”" 0,511 938 939 1876 3733 135
18. Единицы СИ, имеющие специальные наименования
Величина Единица
Наименование Размерность Наименование Обозначение Выражение через основные и дополнительные единицы
Основные единицы
Длина Масса
Время
L метр м
М килограмм кг
Т секунда С
205
Продолжение табл. 18
Величина Единица
Наименование Размерность Наименование Обозначение Выражение через основные и дополнительные единицы
Сила электрического тока I ампер А
Термодинамическая температура 0 кельвин к
Количество вещества N моль моль
Сила света J кандела кл
Дополнительные единицы
Плоскин угол — радиаи рад
Телесный угол — стерадиан ср
Производные единицы
Частота Сила, вес т-т LMTV герц иьютои Гц Н м - кг - с2
Давление, механическое напряжение L-'MT-2 паскаль Па м 1 «кг-с~2
Энергия, работа, количество теплоты L’MI2 джоуль Дж м2 - кг • с"2
Мощность, поток энергии СМТ"3 ватт Вт м2-кг-с—3
Количество электричества (электрический заряд) TI кулон Кл с-А
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила L2MT-3I“‘ вольт В м2«кгс»с~3* А 1
Электрическая емкость 1Л2М-'ТТ фарад ф м-2«кг-1 - с4-А2
Электрическое сопротивление L2MTy3I-2 ом Ом м2 кг • с-3 А~2
Электрическая проводимость L-’M-'T3!2 сименс См м~2-кг-1 - с3-А2
Магнитный поток L2MT-2I-‘ вебер Вб м2- кг-с2’ А-1
Магнитная индукция МТ”2!-1 тесла Тл кг-с“2-А_|
206
Продолжение табл. 18
Величина Единица
Наименование Размерность Наименование Обозначение Выражение через основные и дополнительные единицы
Индуктивность, взаимная индуктивность L2MT-!I-2 генри Гн м2•кг с"2 • А
Световой поток J люмен лм кд-ср
Освещенность L“2J люкс лк м^-кд-ср
Активность изотопа (активность нуклида в радиоактивном источнике) Т' беккерель Бк
Поглощенная доза излучения L’(’ грей Гр м2 с-2
Примечания:
1. Кроме температуры Кельвина (обозначение Г) допускается применить также температуру Цельсия (обозначение I ), определяемую выражением t=T—То, где То = 273,15 К- Температура Кельвина выражается в кельвинах, температура Цельсия — в градусах Цельсия (обозначение международное и русское °C). По размеру градус Цельсия равен кельвину.
2. Интервал или разность температур Кельвина выражают в кельвинах. Интервал или разность температур Цельсия допускается выражать как в кельвинах, так и в градусах Цельсия.
19. Миожители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименования
Приставка Множитель Приставка Множитель
Наименование Обозначение Наименование Обозначение
экса Э 10" децн Д 10“'
пэт а п 10ls санти С 10“2
тера т 1012 милли м Ю~3
гига г ю9 микро мк 10 9
мега м 106 нано н 10 9
кило к 103 ПИКО п ю-'2
гекто г 102 фемто ф io-|S
дека Да ю1 атто а ю-'8
207
20. Греческий алфавит
Обозначения букв Название букв Обозначения букв Названия букв
А, а альфа N, v ню
В. ₽ бета S, 5 ксн
Г, V гамма О. О омикрон
Д, 6 дэльта П, л пи
Е, е эпсилон р. р ро
Z, S дзета 2, о сигма
Н, т] эта т, Т тау
G, fl тэта Г, V ипсилон
J, i йота ф, (р фн
К, X каппа х, X хи
Л. 1 ламбда Ч'. ф ПСИ
М, р ми Q, о» омега
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .... . .... 3
Рабочая программа .... ...... . . . . 4
Литература........................................ .... 9
Общие методические указания................ ... 11
Учебные материалы по разделам курса физики . . ... 13
1. Физические основы классической механики ... ... 13
Основные формулы.......................... ... 13
Примеры решения задач................. . . . . 17
Задачи для самостоятельного решения...................... 32
Контрольная работа 1 .................................... 35
2. Молекулярная физика. Термодинамика..................... 45
Основные формулы ........................................ 45
Примеры решения задач.................................... 50
Задачи для самостоятельного решения . . 61
Контрольная работа 2................................... 63
3. Электростатика. Постоянный электрический ток........... 70
Основные формулы......................................... 70
Примеры решения задач.................................... 75
Задачи для самостоятельного решения...................... 95
Контрольная работа 3................................... 97
4. Электромагнетизм............. .... ... Ю8
Основные формулы .... .... ... 108
Примеры решения задач . . .............. . . 112
Задачи для самостоятельного решения..................... 134
Контрольная работа 4 . . . . - ... 136
5. Оптика . . ’......................................... 147
' Основные формулы .... ... 147
Примеры решения задач.............................. ... 151
Задачи для самостоятельного решения .... ... 164
Контрольная работа 5 ................................... 166
6. Элементы атомной физики и квантовой механики. Физика твердого тела........................................... 175
Основные формулы .... . . . . . 175
Примеры решения задач . ........................... ... 180
Задачи для самостоятельного решения......................191
Контрольная работа 6 ................................... 192
Приложения........................................... t 201