3
ник
М.Л. Галицкий
А. М. Гольдман
Л. И. Звавич
Сборник задач
по алгебре
У- классы
Учебное пособие
для общеобразовательных
организаций
23-е издание
Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2019
УДК 373:512
ББК 22.14я72
Г15
6+
Серия «Задачник» основана в 2006 г.
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой алгебры
МПГУ им. В. И. Ленина А. А. Фомин;
методист Московского института повышения квалификации работ-
ников образования Ю. П. Дудницын
Галицкий М. Л.
Г15 Сборник задач по алгебре. 8—9 классы : учеб, пособие для
общеобразоват. организаций / М. Л. Галицкий, А. М. Гольд-
ман, Л. И. Звавич. — 23-е изд. — М. : Просвещение,
2019. — 301 с. : ил. — (Задачник).— ISBN 978-5-09-064875-2.
В данном пособии содержатся задачи, способствующие системати-
ческому углублению изучаемого материала и развитию навыков ре-
шения сложных задач, а также подготовке к вступительным экза-
менам в X класс школ, гимназий и лицеев с углубленным изучени-
ем математики.
УДК 373:512
ББК 22.14я72
ISBN 978-5-09-064875-2	© Издательство «Просвещение», 1992
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2009
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга представляет собой сборник задач по кур-
су алгебры, предназначенный для учащихся 8—9 классов
с углубленным изучением математики.
В пособии содержится тринадцать параграфов, охваты-
вающих все основные темы курса алгебры восьмого и девя-
того общеобразовательных классов и ряд дополнительных
вопросов, соответствующих программе математических
классов. В начале каждого параграфа помещены справоч-
ный материал теоретического характера и решения несколь-
ких типовых примеров.
Имеется приложение, в котором для самоконтроля уча-
щихся предлагается двадцать проверочных работ, состоя-
щих из пяти заданий каждая и охватывающих различные
темы по всему курсу. Следует иметь в виду, что уровень
сложности этих работ намеренно задан выше, чем предпо-
лагаемый уровень сложности письменного экзамена по ал-
гебре за курс девятилетней школы в классах с углублен-
ным изучением математики.
Несмотря на то что данный задачник адресован уча-
щимся специализированных классов, думается, что его
успешно можно использовать и в общеобразовательных
школах и классах, в первую очередь для организации диф-
ференцированной работы на уроках, занятий кружков и
факультативов.
Часть материалов, составляющих содержание данного
задачника, использовалась авторами для проведения семи-
наров в Московском городском институте усовершенство-
вания учителей с учителями школ и классов с углублен-
ным изучением математики.
В предлагаемой книге параграфы 4, 6, 7, 9 написаны
М. Л. Галицким, параграфы 5, 8, 11—13 — А. М. Гольд-
маном, параграфы 1, 14 и приложение — Л. И. Звави-
чем, параграфы 2, 3, 10 — совместно М. Л. Галицким и
А. М. Гольдманом; справочный материал к параграфам 4,
13 написан Л. И. Звавичем, к остальным параграфам —
А. М. Гольдманом.
Авторы благодарят Ю. П. Дудницына и А. А. Фоми-
на, чьи замечания способствовали улучшению содержа-
ния книги, и выражают глубокую признательность
М. О. Гольдман, оказавшей большую помощь при подго-
товке рукописи.
Все замечания по данной книге просим присылать в из-
дательство «Просвещение».
3
Повторение и углубление
курса алгебры 7 класса
1.	Степень с натуральным показателем.
Степенью числа а с натуральным показателем п (п > 1)
называется произведение п множителей, каждый из кото-
рых равен а, т. е.
ап = а -а ... -а,
п множителей
аг=а
2.	Свойства степеней с натуральным показателем.
ат • ап = ат + л;
ат : ап = ат ~ п, где а Ф 0 и т > п;
(ат)п = атп;
(ab)n = ап Ьп;
[ a I = дп
I* J ~ Ьп '
3-	Одночлены и многочлены.
Одночленами называются произведения чисел, пере-
менных и их натуральных степеней (число, переменная и
ее натуральная степень также являются одночленами).
Многочленами называются суммы одночленов. Напри-
мер:
-4а2&3, 7, с, d4 — одночлены;
2а5 - 1, За&2 - 4abc — многочлены.
4. Действия над многочленами.
При сложении и вычитании многочленов используются
правила раскрытия скобок. Например:
(2аЬ - 5с) + (Зп2& + Зе) = 2аЪ - 5с + За2& + Зс =
= За2Ь + 2аЪ - 2с;
(2аЬ - 5с) - (Зп2Ь + Зс) = 2аЪ - 5с - За2& - Зс =
= -За2Ь + 2аЪ - 8с.
При умножении одночлена на многочлен каждый член
многочлена умножается на этот одночлен и произведения
складываются.
При умножении двух многочленов каждый член перво-
го из них умножается на каждый член второго и произве-
дения складываются. Например:
4
2а (За - 4b) = 6а2 - Sab;
(2а - b) (За - 4Ь) = 6а2 - Sab - ЗаЬ + 462 = 6а2 - llab + 4Ь2.
5. Формулы сокращенного умножения.
(а - Ь)(а + Ь) = а2 - Ь2;
(а + b)2 = а2 + 2аЬ + &2;
(а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2;
(а + b)(a2 - ab + Ъ2) - а3 + &3;
(а - b)(a2 + ab + b2) - а3 - &3;
(а + Ъ)3 = а3 + За2Ъ + ЗаЬ2 + Ъ3;
(а - Ь)3 = а3 - За2& + ЗаЬ2 - Ь3.
в. Уравнения с одной переменной.
Уравнением с одной переменной называют равенство,
содержащее переменную.
Корнем уравнения называется значение переменной,
при котором уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или
доказать, что их нет.
Например, число 2 является корнем уравнения х3 - 2 =
= Зх; уравнение (х - 1) (х + 2) = О имеет корни 1 и -2, при-
чем других корней нет; уравнение х2 + 5 = 0 не имеет
корней.
Уравнения, имеющие одни и те же корни (либо не име-
ющие корней), называются равносильными.
Например, уравнения (х - 4) (х + 4) = О и | х | = 4 равно-
сильны; уравнения х8 + 8 = О и * = О равносильны.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в
другую, изменив его знак, то получится уравнение, равно-
сильное исходному.
Если обе части уравнения умножить на одно и то же от-
личное от нуля число, то получится уравнение, равносиль-
ное исходному.
Например, уравнения Зх2 = 2х2 + 1 и Зх2 - 2х2 = 1 рав-
носильны; уравнения Зх4 = 48 и х4 = 16 равносильны.
7.	Линейные уравнения.
Уравнение вида ах = &, где а и Ь — числа, х — пере-
менная, называется линейным уравнением с одной пере-
менной. Если а Ф 0, то уравнение имеет один корень х =
а
Если а = О, то в случае, когда Ъ 0, уравнение не имеет
корней; в случае, когда Ь = О, корнем уравнения является
любое число.
5
8.	Уравнение с двумя переменными и его график.
Решением уравнения с двумя переменными называется
пара значений переменных, обращающих это уравнение в
верное равенство.
Например, пара чисел х = 1, у — -1 является решением
уравнения 5х - Зу = 8.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те
же решения, называются равносильными.
Свойства, связанные с равносильностью, для уравнений
с двумя переменными аналогичны соответствующим свой-
ствам для уравнений с одной переменной.
Любое решение (х; у) уравнения с двумя переменными
изображается на координатной плоскости точкой с абсцис-
сой х и ординатой у. Графиком уравнения с двумя пере-
менными называется множество всех таких точек.
Например, график уравнения 2х - 5у — 1 — прямая,
проходящая через точки (0; -0,2) и (0,5; 0); график урав-
нения х2 + у — 0 — квадратичная парабола с вершиной в
точке (0; 0), ветви которой направлены вниз.
9.	Линейные уравнения с двумя переменными и их
системы.
Уравнение вида ах + by = с, где а, b и с — числа, х и
у — переменные, называется линейным уравнением с дву-
мя переменными.
Графиком линейного уравнения с двумя переменны-
ми, в котором а * 0 или Ъ 0, является прямая. Если а - 0
и Ъ — 0, то в случае с — 0 графиком является вся коор-
динатная плоскость, в случае с 0 уравнение не имеет ре-
шений.
Решением системы уравнений с двумя переменными
называется пара значений переменных, обращающая в
верное равенство каждое из уравнений системы.
Система двух линейных уравнений с двумя переменны-
ми может иметь единственное решение, бесконечно много
решений и не иметь решений, что геометрически интер-
претируется соответственно как пересечение, совпадение и
параллельность прямых, являющихся графиками уравне-
ний системы.
10.	Функция и ее график. Линейная функция.
Функцией называют зависимость переменной у от пере-
менной х, если каждому значению переменной х соответ-
ствует единственное значение у.
Множество значений переменной х называют областью
определения функции.
Множество значений переменной у называют множест-
вом значений функции.
Графиком функции называется множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны значе-
ниям аргумента, а ординаты — соответствующим значени-
ям функции.
Функция вида у = kx + &, где k и b — числа, х — пере-
менная, называется линейной, ее график — прямая линия.
Упражнения
Вычислите (1—7):
1.1.	(6,8547 : 2,19 + 0,6039 : 5,49) : 1,62.
1.2.	(0,9893 : 0,13 - 6,4) - 62,9 - 7,109.
1.3.	(1^-14,05 j: 0,04 + 13,8 :
1.4.	(14:1,125-1,75: 41-1|
I 4	3) 7
(19—+ 43,75 |	| 26,8 - 23-|: —
х 6 I 6________J 6 I___________7 J 35
(13,3 - 11,5) : 1|	0,5
20—7,5- 54,6
1.7.	+ 43,75 :114 + 24,6: 1±
n 1**	4	5
Найдите х из пропорции (8—9):
f 13 _ 2 _ 5 . 21"| jl
15,2 • 0,25 - 48,51: 14,7 (44 11 66 ' 2 ) ’ 5
Х	3,2 + 0,в(5,5 - 3-|
I 4)
X
1.9.
10,5 0,24- 15,15:7,5
9 (1— - 0,945 :0,9
20
1— - 4—: 7
40
3
8
1.10. Вычислите
а>1-4
Z э
б)А-
7 5
в) 1
7 8
г) —- —
7 11	14
1
8
1
11
7
а) 999...9 +22; б) 999...9 +22...2 ;
100 девяток	100 девяток 100 двоек
г) 999...9 : 999...9;	д)333...3-4;
100 девяток 50 девяток	100 троек
14	17	2-5	5-8	8 11	11-14	14-17
ж) 1 + 1 . 1	+ 1	. 1 .
’ 1 • 4	4 • 7 7 • 10 10 • 13	13 • 16 ’
з) —— + —-— + —-— + —-— + —------------
3-7	7-11	11 15	15 19	19-23
1.11.	Вычислите:
в) 999...9 : 99;
100 девяток
е) 333...3 11.
100 троек
1.12.	Выполните действия:
а)	((637 637 : 7) : 11) : 13;
б)	((538 538 : 13) : 11) : 7;
в)	((753 753 : 11) : 13) : 7; г) 11 • 13 • 7.
Найдите общую закономерность.
1.13.	Докажите, что (10п + 5)2 = п • (п + 1) • 100 + 25.
Используя данный результат, объясните, почему
352 = 3 • 4 • 100 + 25 = 1225.
Вычислите устно: а) 852; б) 9952; в) 99 952.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
Докажите, что (10а + Ь) • 11 = 100а + 10 (а + 6) + Ъ.
Используя данный результат, объясните, почему 35 х
х 11 = 385 (8 = 3 + 5), 75 • 11 = 825 (12 = 7 + 5).
Вычислите устно: а) 81 • 11; б) 72 • 11; в) 87 • 11;
г) 93 • 11.
10 • а
Докажите, что а • 5 = —-—. Используя данный ре-
820
зультат, объясните, почему 82 • 5 — —— = 410,
153 • 5 = 1^0 = 765. Вычислите устно: а) 94 • 5;
б) 846 • 5; в) 4846 • 5; г) 397 • 5.
100 • а
Докажите, что а • 25 — —-—. Используя данный ре-
Л	лол ок 48400
зультат, объясните, почему	484 • 25 = —-— =
4
= 12 100, 683  25 = Ь-8300 = 17 075.
4
Вычислите устно:
а)	48 • 25; б) 64 • 25; в) 6416 • 25; г) 347 • 25.
Вычислите: II2; 1012; 10012; (10n + I)2.
Попробуйте угадать закономерность 100...012 =. Ис-
п цифр
пользуя ее, вычислите 10 0012; 1 000 0012.
8
1.18.	Вычислите: 92; 992, 9992; (10" - I)2.
Попробуйте угадать закономерность 9... 92 — .
п девяток
Используя ее, вычислите 99 9992; 9 999 9992.
1.19.	Какие два наименьших стоящих подряд натуральных
числа надо перемножить, чтобы получить в конце:
а) один нуль; б) два нуля; в) три нуля; г) три еди-
ницы.
1.20.	Найдите все такие двузначные натуральные числа,
при перестановке цифр в которых это число:
а) увеличивается на 9;
б)	уменьшается на 63;
в)	увеличивается на 75%.
1.21.	Выписали все числа от 1 до 10 000.
а)	Сколько раз написали цифру 0?
б)	Сколько раз написали цифру 3?
в)	Сколько раз написали цифру 1?
1.22.	Напишите самое большое и самое маленькое шести-
значное число, используя три цифры 5 и три цифры 0.
1.23.	а) Пусть а + Ъ + с = 2р. Докажите, что
4Ь2с2 - (Ъ2 + с2 - а2)2 = 16р (р - а) (р - Ъ) (р - с).
б)	Пусть a+&+c+d= 2р. Докажите, что
4 (cd + аЪ)2 - (а2 + Ь2 - с2 - d2)2 =
= 16 (р - а) (р - b) (р - с) (р - d).
1.24.	Пусть х{ + х2 = 7, хг - х2 = 2. Найдите:
a) XiX2+xfx2; б) х2+х2, в) xf -х2 +х* -xf;
г)	Xj+xf; д) xfxf +x®xf; е) xf+x£.
1.25.	Пусть а + - = 3. Найдите:
а
ч 2 . 1	«ч а“ + 1	. а8+ 1 ч 3,1
а) а2 +—; б) -у-у-; в) ——; г) а3 +^-.
аг 2аг	сг	а4
1	2
1.26.	Пусть а — — -. Найдите;
CL о
.	2 . 1	я 1	. а12 + 1
а) а2 +—;	б) а3 ; в)  ё—.
ал	ал	а°
1.27.	Пусть
Х+у + 2 = 7,
Х + у +V = 11,
x+z + v = 15,
У +2 +V = 3.
Найдите: а) х + у + z + v; б) х; у; z; v.
1.28.	Автомобиль проехал расстояние от А до В со скоро-
стью километров в час за tr часов, а обратный путь
9
от В до А за t2 часов. Запишите алгебраическим вы-
ражением:
а)	расстояние от А до В,
б)	скорость v2 движения автомобиля от В до А;
в)	общее время движения туда и обратно;
г)	среднюю скорость движения за все время пути.
Вычислите числовые значения этих выражений при
= 60 км/ч, = 4 ч, £2 = 6 ч.
1.29.	Два пешехода отправились навстречу друг другу—
один из пункта А в пункт В, другой из пункта В в
пункт А. Через 2 ч они встретились на расстоянии
8 км от А и 6 км от В. Достигнув пункта назначе-
ния, они, не задерживаясь, пошли обратно. В каком
месте пути они опять встретятся?
1.30.	Напишите все трехзначные числа, записанные циф-
рами 1; 2; 5.
а)	Сколько таких чисел?
б)	Сколько из них делится на 2?
в)	Сколько из них делится на 5?
г)	Найдите сумму всех этих чисел.
д)	Делится ли эта сумма на 111?
1.31.	Найдите значение выражения | х - 3 | + | х + 4 | при
х = -5, х = -3, х = -1, х - 0, х = 3, х = 5.
1.32.	На координатной плоскости найдите точки А (3; -5);
В (3; 3); С (8; 3); D (8; -5) и соедините их отрезками
АВ, ВС, СВ, ВА.
а)	Определите вид и периметр четырехугольника
АВСВ.
б)	Найдите координаты какой-либо точки внутри
этой фигуры.
в)	На какие фигуры делит данную фигуру ось абс-
цисс?
	Постройте график	функции (33—41):
1.33.	у = 3.	1.34. у = 3 - х.
1.35.	у = 5 - 2х.	1.36. у = 2х - 3.
1.37.	_ (х при х < 0. [ 2х при х > 0.	1 чй	/1-хприх<2. а	[ 2х - 5 при х > 2.
1.39.	У = х2.	„	(х2 при х <0. 1.40. у = ( о	„ 1 xd при х > 0.
1.41.	у = х \ х \.
1.42.	Рассматривается линейная функция у = ах + Ь.
При каких значениях а и Ь ее график:
а)	проходит через начало координат;
б)	проходит через начало координат и точку М (-1; 3);
10
в)	параллелен графику функции у = Зх + 5;
г)	отсекает на осях координат равные отрезки;
д)	является биссектрисой координатного угла третьей
четверти;
е)	проходит через точки М (3; 8) и W (4; 8);
ж)	проходит через точки К (3; 5) и N (-3; 7);
з)	проходит только через те точки, координаты ко-
торых имеют один знак;
и)	не проходит через точки, обе координаты кото-
рых положительны?
1.43.	В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г ее
10%-ного раствора. Определите концентрацию полу-
ченного раствора.
1.44.	Какое количество воды надо добавить к 100 г
70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить
5%-ный раствор уксуса?
1.45.	Цену на товар сначала повысили на 20% , а затем по-
низили на 20%. На сколько процентов изменилась
первоначальная цена?
1.46.	Процентное содержание соли в растворе сначала снизи-
лось на 20%, а затем повысилось на 20%. На сколько
процентов изменилось первоначальное содержание соли?
1.47.	Что больше: 20% от 10% данного числа или 10% от
его 20% ?
1.48.
Какие из чисел - 2;-1;0;1,2;3 являются корнями
х5 + Зх4 + 2х3 - х2 - Зх - 2
уравнения-------—-----------= 0?
Зх2 + х- 2
Решите уравнение (49—60):
1.49.	Зх = -7.		1.50. Зх - 8 = 5 - 7х.	
1.51.	8х + 1 _	5х - 1	1	Зх + 11 _ 5х - 7	
	3	7	5	15	
1.53.	7х - 2 _	8х + 5	ч г. 8х - 3 5х + 2 1 fSzl. 	 	 	 —	1.
	111	37	11	2	
1.55.	3 4- 7 х	8 + 8х	1	Зх + 1 2х - 1 _	7x4-3
	7	8	'	’	5	3	15
1.57.	X 4- 3 X 6	- 7 _ х	+ 11	
		3	2	
1.58.	(Зх - I)2 + (4х + 5)2 - (5х - 7)2.
1.59.	(2х + 7) (Зх - 1) - (5х - 1) (х + 3) = (х + I)2.
1.60.	(х - 2)3 + (х + 2)3 = 2 (х - 3) (х2 + Зх + 9).
1.61.	Петя выполняет некоторую работу за два дня. Коля
выполняет эту работу за 3 дня, а Вася — за 6 дней,
а) За какое время они выполнят эту работу вместе?
б)	За какое время они выполнят всю работу, если сна-
чала третью часть ее выполнит один Петя, затем поло-
вину оставшегося — Коля, а уже остальное — Вася?
в)	Кто выполнит работу быстрее: Петя один или Ко-
ля и Вася вместе?
г)	Ребята выполнили эту работу вместе и получили
45 р. Сколько денег причитается каждому?
д)	Первый день работал один Петя, а с начала вто-
рого дня к нему присоединились Коля и Вася. Когда
работа была закончена, им заплатили 45 р. Как рас-
пределить полученные деньги?
е)	То же, что и в пункте д), но в первый день рабо-
тал один Коля.
ж) То же, что и в пункте д), но в первый день рабо-
тал один Вася.
з)	То же, что и в пункте д), но в первый день
работали Коля и Вася вместе, затем Вася ушел, а
Коля с Петей закончили работу.
Рациональные дроби
1.	Рациональные выражения.
Алгебраические выражения, составленные с помощью
действий сложения, вычитания, умножения и деления
на число, отличное от нуля, называют целыми выраже-
ниями.
Отношение двух целых выражений называют дробным
выражением.
Областью определения выражения (областью допусти-
мых значений переменных) называют множество значений
переменных, при которых выражение имеет смысл.
2.	Основное свойство дроби.
При любых значениях а, b и с, где Ь Ф О, с 0, имеет
а ас
место равенство - = —.
b Ьс
3.	Действия с дробями.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знамена-
телями:
а ъ _ л + Ъ
--;
С С с
12
a b_a-b
c c c
Для выполнения сложения (вычитания) дробей с раз-
ными знаменателями необходимо привести эти дроби к об-
щему знаменателю и использовать предыдущее правило.
Умножение и деление дробей, возведение дроби в сте-
пень:
а с _ ас .
b' d~bd’
ас_ a d ad.
b * d be be '
lb ) ~ bn
4.	Разложение на множители выражений вида Xй - 1
их2л 1 + 1 (л > 2, п е N).
хл - 1 = (х - 1) (хл-1 + хл~2 + ... + х + 1);
22"-1 + 1 = (х + 1) (х2п~2 - х2л’3 + ... - х + 1).
Пример 1. Разложите на множители многочлен
ab (b - а) + Ьс (Ь + с) - ас (а + с).
Решение. Разложить многочлен на множители озна-
чает представить его в виде произведения многочленов;
обычно для этого используют группировку слагаемых, фор-
мулы сокращенного умножения, вынесение за скобку обще-
го множителя.
аЪ (Ъ - а) + Ьс (Ь + с) - ас (а + с) ~
= ab2 - а2Ь -I- Ъ2с -I- Ьс2 - а2с - ас2 =
= (ab2 - ас2) - (а2Ь + а2с) + (Ьс2 + Ь2с) =
= а (Ь - с) (Ь + с) - а2 (Ь + с) + Ьс (Ь + с) =
= (Ь + с) (а (Ь - с) - а2 + be) = (b + с) (ab - ас - а2 + Ьс) =
= (b + с) ((ab - а2) + (Ьс - ас)) - (Ь + с) (а (Ь - а) + с (Ь - а)) =
= (Ь + с) (Ь - а) (а + с).
Возможен и другой способ решения:
ab (Ь - а) + Ьс (Ь + с) - ас (а + с) =
= ab ((Ь + с) - (с + а)) + Ьс (Ь + с) - ас (а + с) =
= (b + с) (ab + be) - (a -I- с) (ab -I- ас) =
= Ь (Ь + с) (а + с) - а (а + с) (Ь + с) = (Ь + с) (а + с) (Ь - а).
Пример 2. Найдите частное и остаток от деления
многочлена х4 - 6х3 + 5х2 - 1 на многочлен х2 + 2х - 1.
Решение. Деление многочлена на многочлен удобно
выполнять «уголком» по аналогии с делением натуральных
чисел.
13
х4 - 6х3 + 5х2 - 1 х2 + 2х — 1
х4 + 2х3 - х2 “х2 - 8х + 22
-8х3 + 6х2- Г
-8х3 - 16х2 + 8
_22х2 - 8х - 1
22х2 + 44х - 22
-52х + 21
Итак, частное равно х2 - 8х + 22, остаток равен -52х +
+ 21. Результат деления может быть записан в таком виде:
х4 - 6х3 + 5х2 - 1 = (х2 + 2х - 1) (х2 - 8х + 22) - 52х + 21
или
Пример 3. Найдите числа а и Ь из тождества
5х + 11	_ а b
х2 + Зх - 10 ~ х + 5 х - 2'
Решение. Сложив две дроби в правой части тождест-
ва, перепишем его в виде
5х + 11	_ (а + Ь)х + (56 - 2а)
х2 + Зх-10 “ х2 + Зх - 10
Поскольку дроби в левой и правой части равенства тож-
дественно равны, то они принимают равные значения при
всех значениях х, отличных от 2 и -5. Отсюда
(а + Ъ = 5
]5Ь - 2а = 11.
Решив полученную систему, находим: а = 2, Ь = 3.
Упражнения
ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2.1.	Представьте в виде многочлена:
а)	(а + b) (а - b + 1) - (а - b) (а + b - 1);
б)	(а + 36) (а + Ъ + 2) - (а + Ъ) (а + ЗЪ + 2);
в)	(а2 - За + 1) (2а + I)2;
г)	(2Ь + 3) (b - 2)3;
д)	(а - I)3 + 3 (а - I)2 + 3 (а - 1) + 1;
е)	(а + I)4 + (а - I)4;
ж)	(Ь - 2) (64 + 263 + 463 + 86 + 16);
з)	(а2 + ab + 62) (а2 - ab + 62) (а4 - а262 + 64).
14
2.2.	Докажите, что при всех значениях переменных
значение выражения:
а)	(х + 2)2 - 2 (х + 2) + 1 неотрицательно;
б)	(х — у) (х — у — 6) + 9 неотрицательно.
2.3.	Упростите выражение и найдите его числовое значение:
а)	8а3 + 12a2b + 6аЬ2 + Ь3 при а = 2,5, Ь = -3;
б)	64х3 - 144х2у + 108ху2 - 27у3 при х = 0,75, у = 1^.
О
Разложите на множители (4—10):
2.4.	а) а4 - 2а3 + а2 - 1; б) &4 - b2 - 2Ь - 1;
в) с8 — с4 - 2с2 - 1.
2.5.	а) а {а + 2) - (5 + 1) (b - 1);
б)	{а + Ъ - 2) (а + 6) - (а - b)2 + 1.
2.6.	а) х3 - у3 + Зу2 - Зу + 1; б) 8х3 + у3 + бу2 + 12у + 8.
2.7.	а) (а + Ь) (а - Ъ)3 - (а - Ь) (а + Ь)3;
б)	(а - &)2 (а + &)5 + (а + Ь)2 (а - Ь)5.
2.8.	а) п4 - 12п2 + 16;	б) т4 + 2т2 + 9; в) р4 + 324.
2.9.	а) х4-х3-х-1;	б) у8 - у6 - 4у2 - 16.
2.10.	а) Ъ2 + ab - 2а2 - Ъ + а;
б)	(а + Ъ) (а + b + 2) - (а - 6) (а - b - 2);
в)	а (а + 2) + Ъ (Ъ + 2) - 2 (а + 1) (b + 1) + 1;
г)	(а + Ь) (а + Ь + 2) + {а - Ь) (а - Ь + 2) + 2 (а + Ь + 1) х
х (а - b + 1) - 2.
2.11.	Упростите выражение:
(а + b + с)2 + (а + Ъ - с)2 + (а - Ь + с)2 + (Ь + с - а)2.
2.12.	Известно, что а + Ь + с = 12 и ab + be + са = -15.
Найдите а2 + Ъ2 + с2.
2.13.	Известно, что а - b + с = 8 и а2 + Ь2 + с2 = 110. Най-
дите ас - ab - Ьс.
Разложите на множители (14—18):
2.14.	а)	а (а + b + с) + b (а + Ь + с) + с (а + b	+ с)	- 4с2;
б)	1 - а (а - Ь + с) + b (а - Ъ + с) + с (Ь	- а	- с).
2.15.	а) ху (х + у) + уг (у - z) - xz (х + z);
б)	а (Ь2 - с2) + Ъ (с2 - а2) + с (а2 - Ь2).
2.16.	х (у + г)2 + у (х + z)2 + z (х + у)2 — 4хуг.
2.17.	(ab + ас + be) (а + Ь + с) - abc.
2.18.	х3 + у3 + г3 - (х + у + г)3.
2.19.	Докажите, что а3 + Ь3 + с3 — ЗаЬс, если а + & + с = 0.
2.20.	Упростите выражение
(а + Ь) (а2 + Ь2) (а4 + Ь4) (а8 + &8) (а16 + &16) (а32 + &32)
при условии, что а = b + 1.
15
2.21.	Найдите наименьшее значение выражения
(2а - 1) (2а + 1) + 36 (36 - 4а).
2.22.	Найдите наибольшее значение выражения
46 (5а - 6) - (5а - 2) (5а + 2).
2.23.	Найдите наименьшее значение выражения 2а2 - 2аЪ +
+ Ъ2 - 2а + 2. При каких значениях а и Ъ оно дости-
гается?
2.24.	Найдите наибольшее значение выражения 2аЪ -а2 —
- 2Ь2 + 46. При каких значениях а и Ъ оно достигается?
2.25.	Докажите, что из равенства х2 + у2 + z2 = ху + yz + zx
следует равенство х = у = г.
2.26.	Докажите, что из равенства (а - Ъ)2 + (Ъ - с)2 + (с - а)2 =
= (а + Ъ - 2с)2 + (6 + с - 2а)2 + (с + а - 2Ъ)2 следует, что
а = Ъ = с.
ДРОБНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Укажите допустимые значения i (27—31):	теременных в выражении
2.27. а) —; б)	-1; 5х2 + 2х	х4 - 1 2.28. а) Д—б) |а| - 5 В) |3а - 1|-|а + 2|’	Г>	в) х	 X 4 2 —|2ft - 3| ’ ft ft2 - 3 | ft |'
2.29. а) 	—	; б) (2х + I)4 - (х - I)4 2.30. a) f ~ 16 ;	б) а2 - 6а + 8	2у + 1 (5у - 2)5 - (1 - 2у)5 ’ 2 - 4ft 2ft2 + 5ft - 3'
2.31. а) -4* + Зу2, ;	б) 9z/4 - 16 х2 ч	2а + 36 в)	 62 - 9 - а2 + 6а	8 х2 + бух - бу2 ’
Сократите дробь (32—38):
232 а) (5а - 4)2 + 2(5а - 4)(4 - За) + (За - 4)2 .
' (2а + 5)2 - 2(2а + 5)(5 - За) + (За - 5)2 ’
(4ft + 5)2 + 32ft2 - 50+ (4ft - 5)2
' (4ft - 5)2 + (4ft + 5)2 + 50 - 32ft2 ’
2.33.
64х3 - 27г/6
9у4 - 16х2
а33 + 1
' а11 - а22 + а33
16
2.34.	a)
2.35.	a)
2.36.	a)
a2 - a + 1
a4 + a2 + 1
a2 - b2 - c2 + 2bc
b2 - c2 - a2 - 2ac ’
c4 - 3c2 + 2
c5 * * + 1
b2 - 2b + 2 ’
xn+2 - 4xn+1 + 4xn
x3 - 6x2 + 12x - 8
X47 + X46 + ... + X + 1
x15 + x14 + ... + X + 1
o 4 a4 + 2a3 - 9a2 - 18a	-
2.37.	a) -----------------; вычислите значение дроби,
a2 - a - 6
если оно существует, при а = -1,3; а = -2; а — 3;
Ь12 - 1
б)		, вычислите значение
(Ь4 + Ь2 + 1)(д3 - Ь2 + b - 1)
дроби, если оно существует, при b — -2; b = 1.
2 38 а3 + д3 + с3 - ЗаЬс
(а - Ь)2 + (Ь - с)2 + (с - а)2
2.39.
Упростите выражение и найдите его числовое зна-
чение:
ч 9а2 - 24аЬ + 16д2 - 25	1 L n 1
а) -----------— ------- при а = Ъ = 2—;
~	*7	0
За - 4Ь - 5
х8 * * *- у8
б) ------------%--------— при х = 17,0625, у = —.
(х4 +у4)(х3 + х2у+угх+у3)	16
2.40. Выполните сложение или вычитание:
а) _____________™; б) +	9у2---;
(2а- З)2	(3 - 2а)2	(х - Зу)3 (Зу - х)3
в) ух2 + 16	16г/ + х2
(у - 1)(х - 4) ху - х - 4у + 4
2.41. Докажите, что при всех допустимых значениях пе-
ременных значение выражения
За + 2	18а	1
9а2 - 6а + 4	27а3 + 8 За + 2
равно нулю.
2.42.
Докажите, что при всех допустимых значениях пе-
ременных значение выражения
8у2(2у2 - х2)
(х - 2у)2
(2г/ + х)2
неотрицательно.
Преобразуйте в дробь выражение (43—46):
2 43 т2 ~ тп__________2т2_______
т2п + п3 п3 ~ тп2 + т2п- т3
17
о ЛА . 2 8х3 + 27 г/3	л 2
2.44. 4х2---------------9ц2 .
2х ~ Зу *
2 45	1	2	1
а2 - ас - ab + be b2 - ab - Ьс + ас с2 - ас - be + ab
2 а + 2Ь Зс - а	а2 - Ьс
За — ЗЪ 2с — 2а ab + ас — Ьс — а2
Упростите выражение (47—49):
2 47 Зд3 - 81р3	+ 81g2p - 54др2 + 9р3
18p2q + 6q2p + 2<?3 2qp2 - 12pq2 + 18<?3
2 4g 8 - 8x + 2x2 x
x4 - 4x3 + 16x - 16 x2 - 4
x + 2	3 - x
i,.
x3 - 3x2 - 4x + 12 x2 - 5x + 6
2.50. Выполните умножение:
4x2 - 6xi/ + 9y2	9y2 - 4x2
2x - 3y 8x3 + 27y3 ’
3 - 6x 2x + 1	8 - x3
6) ----------- . --------- . -----;
2x2 + 4x + 8 x2 + 4 - 4x 4x2 - 1
.	a2 +	ab
5a	-	a2 +	b2	- 5b
.	a +	b
a2	-	4b +	4a	- b2
a2 - b2 + 25 - 10a
^T2	;
16 - b2 - a2 - 2ab
a2 + ab
2.51.
Выполните действия:
/	+1 \б
а) 2а" ,	 (0,25а3 2 п Ь2п+1)3 ;
I Ьп~2
2.52.	Выполните деление:
ч 27а3 - 64b3 9а2 + 12ab + 16b2
a)		:----------------------;
b2 - 4	b2 + 4b + 4
6)	6<?(а6 ~ Ь12)- : (с3 (2а + 2b2)(3a2 - 3ab2 + 3b4));
a2 + ab2 + b4
4 2a2 + 6ac - ab - 3bc 2ac + ab + 3bc + 6c2
g i _________________ ;_____________—-----•
2ab — 4a2 + be - 2ac 2ab + be - 4ac — 2c2
. x4 - 3x2 + 1 x2 + x - 1
r)		-_----:.
x3 - 27 x2 + 3x + 9
Упростите выражение (53—56):
2 53 *2 + (а + &)х + х2 - с2
х2 - (а - с)х - ас х2 - а2
2х2 + ху - бу2 2х2 - 7ху + бу2
6х2 - Бху 4- у2 Зх2 - 7ху 4- 2у2
х3 - ху 4- 4х - Бу - 5
х2 - 4г/2
х3 - 2х2у- 5х2 4- Юхг/ 4- 25х - БОу
х3 + 125
х8 - 16	х4 * * * 4- 2х2 4- 4
х2 4- 2х 4- 2 х4 - 2х3 4- 4х2 -4x4-4
2.57. Определите х из пропорции:
ч 9 - 4а2 - 4аЬ - Ъ2 3 + 2а + Ъ
а) —----------------=------------;
4а2 + 2ab + 35 - 9 х
а - b - 5 а2 - 10а -Ъ2 4- 25
б) --------=------------------------;
х а2 4- 2аЬ - 5а- 55 4- 52
) а~ ь + с =х
а2 - Ъ2 4- с2, 4- 2ас а2 4- ab - Ъс - с2
а с
2.58. Докажите, что если - = —, то:
и а
ч а 4- Ъ с 4- d
а)—:
б)—— = ——;
а 4- b с 4- d
b d b + d’
а - Ъ с - d ’
b d nb + md ’
na + mb _ пс 4- md
pa + rb pc + rd
2.59.	Докажите, что при всех допустимых значениях пе-
ременной значение выражения
4	Г 2а 4- 2	f а 4- 9	2а
1-а [ 3 - a J I а2 4-2а 4-1 1-а2
не зависит от значения переменной.
2.60.	Докажите, что при всех допустимых значениях пе-
ременных значение выражения
2	+ 6п_________4	1	+ 4тп2 4- п2
2т - п п2 — 4т2 2ти 4- п J 4m2 - п2
не зависит от значения переменной п.
19
Упростите выражение (61—64):
2.61.	[____-_____+ х2 + 8_____L_ 1 . f х2___2__1.
|<х2+2х + 4 x3 - 8 x-2j x2 - 4	2 - x )'
2 02 f 1	। ®a — 4 — a 2 - a a3 + 4a2 + 8a + 8
[2 -a a3 - 8 a2 + 2a + 4,	4-4a + a2-a3
x ~2y + у "l x2 + y2 +
x3 + y3 x3 - x2y + xy2 j x3 - xy2
______2y2_______
X3 + x2y + xy2 + y3
1 1
a b — c ( b2 + c2 - a2 b - a - c
--------• 1--------------:---------и вычислите его
1.	1	2bc J abc
a b - c
значение при a - 1,2, b - 0,5, c = 1,3.
2.65.
2.66.
Докажите, что значение выражения положительно
при всех допустимых значениях переменных:
а)	2	. (1 + 11 +	1	• (— + — 1-
(a + b)3 la b) а2 + b2 + 2ab 1а2 Ь2 )
б)	Г а2 + 2^ . ( а 1 + 2^ . (а - 2b)2 + 8аЬ
14fe3 a J ' V 2b2	b a J ’	4 + —
b
Докажите, что при всех допустимых значениях пе-
ременных значение выражения
(Ь2 + Ь + аЪ + а) (2а - Ь - Ь2 + 2аЪ) х
| a-b a2+b2 + a + 5]
х 7---г-------о------• (2Ь2 + а + 5)
[2а - b 2а2 + ab - b2 I
неположительно и не зависит от значения перемен-
ной а.
2.67.	Докажите, что при любом значении а > 1 значение
выражения
-Ь + -Ь + 2 +^+ 8 +
1 а 1 + а 1 + о 1 + а^ 1 + а
+ 16 + ^2
1 + а16	1 + о32
отрицательно.
2.68.	Известно, что ^ + а = 2, Найдите:
5о-76
. 4a - 5d	За2 - 2ab + b2 t	а3 - ЗаЬ2
За + b	5а2+2д2	4а2Ь + ЗЬ3
20
Постройте график функции (69—70):
2.69. а) у =	2 . > X	б)	3 у = X
в) у =	4	г)	1 у = о ;
	х + 2		3 — х
я) у =	1-1;	е)	У = 2-—',
	X		X
ж) у =	= -Ц-3;	з)	У = 1	Ц-
	х + 4		х - 2
2.70. а) у =	х - 1	б)	х + 1 у = о;
	X + 1 ’		х - 3
г) «/ =	х + 3 #	д)	х- 1 у = ?	;
	2- х ’		х2 - 1
	х2 - 4		х2 + 4х + 3
ж) у =		з)	У = Л ,
	х2 - Зх + 2		9-х2
в)
У =
х - 2
2 + х ’
х + 2
4- х2 ’
2.71.	Найдите частное и остаток от деления многочленов:
а)	х3 - Зх2 + 7х - 8 на х - 1;
б)	х4 + 5х3 - 6х + 1 на х2 - Зх + 1;
в)	2х5 - 6х4 + Зх3 - 2 на х2 - х - 2.
о . тт	Зх2 - 6х + 7
2.72.	а) Представьте выражение ------------- в виде ах +
х + 1
, с	.
+ Ь + р где а, & и с — целые числа.
-г	х3 - 2х2 + 7 х + 5
б)	Представьте выражение ------------------- в виде
х2 - 4х + 2
, сх + d	7	,
ах + b + —---------, где а, о, с, а — целые числа.
х2 — 4х + 2
2.73.	При каких натуральных значениях п выражение
— является целым числом?
71 + 1
2.74.
При каких целых значениях п выражение
Зп - 1
71 4- 2
яв-
ляется натуральным числом?
2.75.	При каких натуральных значениях п выражение
Зп2 - 16п 4-21	q
------------ является натуральным числом?
71 - 3
2.76.	При каких натуральных значениях п выражение
Зп2 - 26п + 35	q
------------ является целым числом?
Ал - 28
2.77.	Найдите а и & из тождества:
а) ------------*-----= -°— +
(г - 6)(х + 1) X — 6 X + 1
21
б)		= —— + —
х2 + х - 6 х - 2 х + 3
2.78.	Упростите выражение:
а)	—1	+______1______+________1______+
х(х + 1) (х + 1)(х + 2) (х + 2)(х + 3)
+________1______+_______1______;
(х + 3)(х + 4) (х + 4)(х + 5)
б)	- 1 - +________1______+________1------- +
х(х + 3) (х + 3)(х + 6) (х + 6)(х + 9)
+	1____________+----------1--------.
(X + 9)(х + 12) (X + 12)(х + 15)
Делимость целых чисел
1.	Определение и свойства делимости.
Целое число а делится на целое число Ъ 0, если
существует такое целое число с, что а — Ьс.
Если а делится на &, то ka делится на Ь (здесь и далее
все числа целые, если это специально не оговаривается).
Если аиЬ делятся на с, то сумма а + Ъ и разность а - Ъ
делятся на с.
Если а делится на ft, Ъ делится на и, то произведение аЬ
делится на произведение fen.
Если а делится на & и & делится на с, то а делится
на с.
2.	Теорема о делении с остатком.
Для любого целого числа а и натурального числа Ъ су-
ществует единственная пара чисел q и г таких, что
а = bq + г, где q — целое, г — натуральное или нуль, при-
чем г может принимать лишь Ъ различных значений 0; 1;
2; ...; Ъ - 1.
Заметим, что если остаток г равен нулю, то число а де-
лится на &.
3.	Взаимно простые числа.
Два числа называются взаимно простыми, если они не
имеют общих натуральных делителей, кроме единицы.
Если число а делится на каждое из двух взаимно про-
стых чисел Ь и с, то оно делится и на их произведение Ьс,
Если произведение ab делится на число с, причем числа
а и с взаимно простые, то b делится на с.
22
4.	Основная теорема арифметики.
Каждое натуральное число п > 1 имеет единственное
(с точностью до порядка множителей) разложение на простые
а 1 ао	а ь
множители п = рг р2 ••••• Pk > где ри р2, ..., pk — попарно
различные простые числа, oq, а2, ..., ak — натуральные числа.
Указанное в теореме представление называется канони-
ческим разложением числа и.
5-	Наибольший общий делитель.
Общим делителем чисел а и & называется число, на ко-
торое делятся оба числа а и &. Наибольший общий дели-
тель чисел а и Ь обозначается НОД (а; Ь).
Для нахождения НОД (а; &) можно использовать алгоритм
Евклида, выполняя последовательно деление с остатком:
а = bq0 + г19 0 < гг < &,
& = rrqx + г2, 0 < r2 < гп
П = r2q2 + г3, 0 < г3 < г2,
rn-2 = rn_1gn_1 + гп9 0<гл<гп„!,
гп _ 1 = rnqn.
(Процесс заканчивается после того, как первый раз
получен нулевой остаток.) Тогда НОД (а; Ъ) - гп.
Другой способ нахождения НОД (а; &) состоит в разло-
жении чисел а и b на простые множители, отыскании об-
щих множителей, входящих в оба разложения, и вычис-
лении произведения общих простых множителей в наи-
меньших степенях, с которыми эти множители входят в
разложение а и Ь.
6.	Наименьшее общее кратное.
Общим кратным чисел а и b называется число, которое
делится на о и на Ь. Наименьшее общее кратное обознача-
ется НОК (а; Ь).
Для нахождения НОК (а; &) можно разложить на про-
стые множители а и Ъ и вычислить произведение всех про-
стых множителей, входящих хотя бы в одно из разложе-
ний, причем простые множители, входящие в оба разло-
жения, надо брать в наибольшей из степеней, с которыми
этот множитель входит в разложение а и Ъ.
Заметим, что НОД (а; Ь) • НОК (а; &) = ab.
7.	Разложение на множители выражений вида хп - ап
и х2п+ 1 + а2п + \
Имеют место формулы:
хп - ап = (х - а) (хл ’1 + хп " 2а + ... + хап ~2 + ап ~х),
Х2л + 1 _|_ а2п + 1 _	+ ^х2п _ х2п - 1а	_ ха2п - 1 а2п^
где п е N.
23
8.	Принцип Дирихле.
Если т > п, то при отнесении каждого из т предметов
к одному из п классов хотя бы в один класс попадет не ме-
нее двух предметов.
Пример 1. Докажите, что если а и & — целые числа,
то ab (а2 - Ь2) делится на 6.
Доказательство. Поскольку 6 = 2-3 и числа 2 и
3 — взаимно простые, то для решения задачи достаточно
показать делимость числа аЬ (а2 - &2) на 2 и на 3.
Если хотя бы одно из чисел а или Ь четно, то ab(a2 — Ь2)
кратно 2. Если же оба числа а и Ъ нечетны, то число а + Ъ
четно и, значит, ab(a2 - b2) = ab(a + Ь)(а - Ь) кратно 2.
Если хотя бы одно из чисел а или Ь кратно 3, то произ-
ведение ab(a2 ~ &2) также кратно 3. Осталось рассмотреть
случай, когда оба числа а и & не делятся на 3. По теореме о
делении с остатком каждое из чисел при делении на 3 мо-
жет давать остатки 1 или 2. Если остатки от деления чисел
а и & на 3 одинаковые, то тогда разность а - Ь делится на
3, если же остатки разные, то сумма а + Ь делится на 3,
так как сумма остатков равна 3. Во всех случаях число
аЪ(а2 - Ь2) кратно 3.
Пример 2. Сумма двух целых чисел равна 101, а
разность их квадратов — простое число. Найдите эти
числа.
Решение. Обозначим искомые числа через а и 6. То-
гда а2 - Ъ2 = р, где р — простое, т. е. (а - 6)(а 4- &) = р,
поскольку а + Ъ ~ 101, то 101 (а - 6) = р. Отсюда следует,
что р делится на 101, но р — простое, значит, р = 101.
Имеем: а - b = 1. Так как а 4- Ъ - 101, находим а = 51,
& = 50.
Пример 3. Найдите все простые числар, для которых
число р2 4- 2 также простое.
Решение. Очевидно, чтор Ф 2, так какр2 4- 2 = 6 не яв-
ляется простым, а р = 3 удовлетворяет условию, так как
р2 + 2 = 11 — простое число. Покажем теперь, что не сущест-
вует простых чисел р > 3, для которых р2 4- 2 — простое чис-
ло. Пусть р > 3 — простое число, тогда р не делится на 3,
значит, по теореме о делении с остатком р = Зп 4-1
или р = Зп + 2, где п 6 N. Если р = Зп + 1, то р2 4- 2 =
= 3(3п2 4- 2п 4- 1) делится на 3, т. е. не является простым. Ес-
ли же р = Зп 4- 2, то р2 + 2 = 3 (Зп2 4- 4п 4- 2) также делится на
3, т. е. не является простым.
Пример 4. Можно ли разменять 100 р., имея
рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так,
чтобы всего в размене участвовало 29 купюр?
Решение. Пусть в размене участвуют х рублевых, у
трехрублевых и z пятирублевых купюр, тогда х 4- Зу 4- 5z =
24
= 100. Записав это равенство в виде (х + у + г) + (2г/ + 4г) =
= 100, заключаем, что х + у + г = 29 — четное число, так
как числа 100 и 2г/ + 4г — четные. Следовательно, нельзя
разменять 100 р. с помощью 29 купюр достоинством в
1 р., 3 р. и 5 р.
Пример 5. Сколько раз входит число 2 в разложение на
простые множители числа а = (п + 1)(п + 2)... (2п - 1) 2п, где
П G ЛГ?
Решение. Поскольку
(2п)!	. _ .	1	2 4 6.....2П
n!	1 • 2 • 3 • ... • п
= 1 • 3 • 5* ...  (2п - 1)-2",
то число 2 входит п раз в разложение числа а.
Упражнения
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.
ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
3.1.	Докажите, что если а, Ъ и с делятся на тп, то а + Ъ - с
делится на тп.
3.2.	Число а кратно 3. Докажите, что число 4а кратно 12.
3.3.	Число а кратно 6. Докажите, что а2 - 12а кратно 36.
3.4.	Известно, что а кратно 3, Ь кратно 8. Докажите, что
аЪ кратно 24.
3.5.	Известно, что а кратно 3, Ъ кратно 2. Докажите, что
2а + 3& кратно 6.
3.6.	Докажите, что сумма квадрата целого числа и само-
го числа есть число четное.
3.7.	Докажите, что I3 + 23 + ... + 993 делится на 100.
3.8.	Докажите, что I3 + 23 + ... + 93 не делится на 10.
3.9.	Докажите, что число тпп (тп + п), где тп и п — целые
числа, четное.
3.10.	Докажите, что любое натуральное число, десятичная
запись которого состоит из Зп (п е 2V) одинаковых
цифр, делится на 37.
3.11.	Докажите, что число:
a) ab-ba кратно 9; б) аЪс-сЪа кратно 99;
в) аЪ+Ъа делится на 11; г) abcd + dcba делится на 11.
3.12.	Число а + i — целое. Докажите, что числа а2 -I-
а	ст
3 ,	1
а н—- также являются целыми.
а6
25
3.13.	Известно, что ab + cd делится на а + с. Докажите,
что ad + be делтся на а + с,
3.14.	В классе 27 учащихся. Может ли каждый из них
дружить ровно с девятью одноклассниками?
3.15.	Каких чисел больше среди первых 1000 натураль-
ных чисел: тех, которые делятся на 3 или на 5, или
тех, которые не делятся ни на 3, ни на 5?
ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ
3.16.	Докажите, что сумма квадратов двух последователь-
ных целых чисел при делении на 4 дает остаток 1.
3.17.	Число а четное, число Ъ нечетное. Каким может
быть число:
а) а + &, б) а - &; в) ab*9 г) За + &; д) а2 + ft;
е) а + &2; ж) а + 2Ь?
3.18.	Число а длится на 3, число Ъ не делится на 3. Де-
лится ли на 3 число: а) а + Ь, б) а - &; в) ab.
3.19.	Число а — четное. Может ли остаток от деления
числа а на 6 быть равным 1? 3?
3.20.	Число а кратно 3. Может ли остаток от деления чис-
ла а на 12 быть равным 2?
3.21.	Число а при делении на 12 дает остаток 7. Чему ра-
вен остаток от деления числа а на 2; 3; 4; 6?
3.22.	Числа а и Ъ дают одинаковый остаток при делении
на т. Докажите, что разность а - Ъ дрлжея на т.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
3.23.	Нечетное число а кратно 3. Чему равен остаток от
деления числа а на 6?
3.24.	Четное число а при делении на 3 дает остаток 1. Че-
му равен остаток от деления числа а на 6?
3.25.	Напишите общий вид чисел, кратных 3 и дающих
при делении на 4 остаток 1.
3.26.	Четные числа а и ft, не кратные 6, при делении на
6 дают разные остатки. Докажите, что сумма а + Ъ де-
лится на 6.
3.27.	Число а — четное, не кратное 4. Докажите, что чис-
ло а2 при делении на 32 дает остаток 4.
3.28.	Число а не делится ни на 2, ни на 3. Найдите оста-
ток от деления числа а2 на 6.
3.29.	Докажите, что если п не кратно ни 3, ни 2 и п > 3,
то п2 при делении на 24 дает остаток, равный 1.
3.30.	Нечетные числа а и b дают разные остатки при деле-
нии на 4. Докажите, что а2 - Ь2 кратно 8.
26
3.31.	Число а — четное, не кратное 6. Чему равен остаток
от деления числа а2 на 12?
3.32.	Найдите все числа, которые при делении на 3 дают
остаток 1, а при делении на 5 дают остаток 3.
3.33.	Найдите остаток от деления числа 10! + 49 на 42.
3.34.	Известно, что число а при делении на 5 дает оста-
ток 2, а при делении на 3 — остаток 1. Найдите
остаток от деления числа а на 15.
3.35.	Известно, что число а при делении на 5 дает оста-
ток 1, а при делении на 3 дает в остатке 2. Найдите
остаток от деления числа а на 15.
3.36.	Известно, что число а при делении на 3 дает оста-
ток 1, а при делении на 4 — остаток 3. Найдите
остаток от деления числа а на: а) 12; б) 6.
3.37.	Существует ли такое целое число, которое при деле-
нии на 12 дает остаток 11, а при делении на 18 —
остаток 1?
3.38.	Докажите, что квадрат нечетного числа при делении
на 8 дает в остатке 1.
3.39.	Докажите, что если тип — нечетные числа, то
т2 - п2 кратно 8.
Докажите, что при любом натуральном п (40—42):
3.40.	а) п (n + 1) кратно 2; б) п2 + Зп кратно 2;
в) п (Зп + 1) кратно 2; г) п (п + I)2 (Зп + 2) кратно 4.
3.41.	а) п (2п - 1) (2п + 1) кратно 3;
б)	п (2п2 + 1) кратно 3;
в)	п3 + 5п кратно 3;
г)	п (п + 1) (2п + 1) кратно 6.
3.42.	а) п3 - п кратно 6;
б)	п3 + 11п кратно 6;
в)	п3 + Зп2 + 2п кратно 6;
г)	п (п2 + 6п + 5) кратно 6.
3.43.	Докажите, что если число а не кратно 5, то или
а2 + 1 делится на 5, или а2 - 1 делится на 5.
3.44.	Известно, что а2 + Ъ2 делится на 3. Докажите, что а
кратно 3 и Ъ кратно 3.
3.45.	Известно, что а2 + Ъ2 делится на 7. Докажите, что
а2 + Ъ2 делится на 49.
3.46.	Докажите, что при любом натуральном п число вида:
а) Зп - 1; б) 4п - 1 не является квадратом целого
числа.
3.47.	Числа 2146, 1991 и 1805 дают равные остатки при
делении на натуральное число п > 1. Найдите п.
27
3.48.	Докажите, что сумма кубов трех последовательных
натуральных чисел кратна 9.
3.49.	Докажите, что число п2 4- п + 9:
а)	не кратно 25 ни при каких натуральных п;
б)	не кратно 49 ни при каких натуральных п.
3.50.	Докажите, что п2 + 5п + 16 не кратно 169 ни при ка-
ких натуральных п.
	ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
3.51. 3.52.	Верно ли, что числа п и п 4- 1 взаимно просты? Докажите, что при любом целом п число п (n + I)2 х х (п + 2) делится на 12.
3.53.	Докажите, что при любом целом п число (п3 + Зп2 + + 2п)(п + 7) делится на 24.
3.54.	Докажите, что: а)	п3 + 20п делится на 48, если п — четное число; б)	п3 + Зп2 - п - 3 делится на 48, если п — нечетное число.
3.55.	При каких натуральных значениях п выражение п (Зп3 + 4п2 - 1) кратно 6?
3.56.	Докажите, что при любом целом п число п5 - 5п3 + 4п кратно 120.
3.57.	При каких натуральных значениях п число п6 + 2п5 - п2 - 2п делится на 120?
3.58.	тт	п5	п4	7 п3	5п2	п Докажите, что 	4- — 4-	4-	h — при любом М	120	12	24	12	5	Р целом п есть число целое.
3.59.	Докажите, что если натуральное число п не кратно 5, то п8 4- Зп4 - 4 делится на 100.
3.60.	Докажите, что: а)	п2 - 1 делится на 8, если п2 - 1 делится на 2; б)	п3 - 4п делится на 48, если п3 - 4п делится на 2; в)	п3 - 9п делится на 162, если п3 - 9п делится на 3; г) п3 - 16п делится на 384, если п3 - 16п делится на 16.
3.61.	Известно, что числа п и 6 взаимно просты. Докажи- те, что число п2 при делении на 24 дает в остатке 1. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
3.62.	Докажите, что НОД двух (или нескольких) чисел кратен любому их общему делителю.
3.63.	Найдите НОД чисел: а) 2п и 2п + 2;	б) Зп и 6п 4- 3; в) 2п и 4п 4- 2;	г) ЗОп 4- 25 и 20п 4- 15.
28
3.64.	Докажите, что НОД (n; п + k) = НОД (n; k).
3.65.	Найдите два натуральных числа, сумма которых
равна 35, а наименьшее общее кратное равно 42.
3.66.	Найдите два натуральных числа, разность которых
равна 66, а НОК равно 360.
3.67.	Найдите НОД всех шестизначных чисел, состоящих
из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений).
3.68.	Приведите пример четырехзначного числа, имеюще-
го ровно три делителя.
3.69.	Докажите, что только одно число, состоящее из чет-
ного числа одинаковых цифр, простое. Найдите это
число.
3.70.	Сумма двух чисел равна 463, а разность их квадра-
тов — простое число. Найдите эти числа.
3.71.	Докажите, что в натуральном ряду после простого
числа, большего трех, не может стоять квадрат целого
числа.
3.72.	Отцу 50 лет, а произведение возрастов трех его сыно-
вей 4199. Сколько лет каждому сыну?
3.73.	Пусть р — простое число, р > 3. Докажите:
а)	р = 6k ± 1, keN;
б)	р2 - 1 делится на 12;
в)	р2 - 1 делится на 24.
Докажите или опровергните утверждение (74—78):
3.74.	Для того чтобы сумма двух неравных натуральных
чисел была простым числом, необходимо, чтобы они
были разной четности. Является ли это утверждение
достаточным?
3.75.	Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была
простым числом, необходимо, чтобы одно из них было
простым. Является ли это утверждение достаточным?
3.76.	Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была
простым числом, необходимо, чтобы они были вза-
имно просты. Является ли это утверждение доста-
точным?
3.77.	Для того чтобы сумма двух натуральных чисел бы-
ла составным числом, достаточно, чтобы они оба
были простыми. Является ли это утверждение необ-
ходимым?
3.78.	Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была
составным числом, достаточно, чтобы они были про-
стыми восьмизначными числами. Является ли это
утверждение необходимым?
29
3.79.	Найдите два трехзначных числа таких, что:
а)	они взаимно просты;
б)	каждое из них — простое число;
в)	их сумма и их разность — простые числа;
г)	каждое из них имеет ровно три делителя;
д)	их произведение имеет ровно шесть делителей;
е)	каждое из них имеет ровно четыре делителя;
ж)	разность их квадратов — простое число.
3.80.	Докажите, что четырехзначное число, не имеющее
делителей, меньших 100, — простое.
3.81.	Найдите все простые числа, являющиеся одновре-
менно суммами и разностями двух простых чисел.
3.82.	Докажите, что 210 + 512 — составное число.
3.83.	Числа р и 2р + 1 — простые (р > 3). Докажите, что
число 4р + 1 — составное.
3.84.	Укажите все простые числа р, для которых число
8р2 + 1 — простое.
3.85.	Натуральных чисел п, для которых 0,2 (и3 - 1) — це-
лое, укажите такие и, что число 0,2 (и3 - 1) — простое.
3.86.	Докажите, что не существует наибольшего простого
числа.
3.87.	Докажите, что в натуральном ряду существуют
1992 идущих подряд составных числа.
3.88.	Найдите все такие натуральные числа и, что числа
п - 2, п + 24, Ti + 26 — простые.
3.89.	Укажите число делителей числа:
а) 225; б) 23 • З4; в) 2700; г) 9!.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
3.90.	Докажите, что:
а)	число 555 ... 53 — является составным;
1992 цифры
б)	число 1ООО1000 - 1 является составным.
3.91.	В числе 4758967□ напишите последнюю цифру та-
кую, чтобы число делилось на 2; 5; 3; 9; 4; 25; 11.
3.92.	Докажите, что число 49100 - 1450 кратно 5.
3.93.	Докажите, что разность двух десятизначных чисел,
запись каждого из которых содержит все десять
цифр, делится на 9.
3.94.	Выписаны подряд 300 натуральных чисел, начиная
. с 1. Докажите, что полученное число делится на 3.
Верно ли, что оно делится на 9?
30
3.95.	Существует ли число, десятичная запись которого
содержит шесть единиц и семь нулей, являющееся
квадратом целого числа?
3.96.	Может ли число вида 5" + 1 делиться на число вида
5* - 1, где п и k — натуральные числа?
3.97.	Может ли сумма цифр квадрата целого числа рав-
няться 1991?
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА х" - ап и х2к +1 + а2к + 1
В ЗАДАЧАХ НА ДЕЛИМОСТЬ
Докажите, что при любом натуральном значении п
(98—99):
3.98.	а)	7" - 1 кратно 6;	б)	15" - 1 кратно 7;
в)	З3" - 1 кратно 13;	г)	24" - 1 кратно 15.
3.99.	а)	5" + 3 делится на 4;	б)	7" + 5 делится на 6;
в)	13" + 5 делится на 6;	г)	15" + 6 делится на 7.
3.100.	Докажите, что:
а)	нечетная натуральная степень числа 16, увели-
ченная на 1, кратна 17;
б)	нечетная натуральная степень числа 23, увели-
ченная на 1, кратна 12;
в)	нечетная натуральная степень числа 11, увели-
ченная на 13, кратна 12;
г)	нечетная натуральная степень числа 6, увели-
ченная на 8, кратна 7.
3.101.	Докажите, что:
а)	четная натуральная степень числа 7, уменьшен-
ная на 1, кратна 48;
б)	четная натуральная степень числа 9, уменьшен-
ная на 1, кратна 40;
в)	четная натуральная степень числа 4, увеличен-
ная на 14, кратна 15;
г)	четная натуральная степень числа 5, увеличен-
ная на 23, кратна 24.
3.102.	Докажите, что при четном натуральном и:
а) 7" - 5" делится на 24; б) 5" - 3" делится на 16.
3.103.	Докажите, что при любом натуральном и:
а) 7" - 6 • 2"	кратно	5;	б)	7"	+ 3" + 1 кратно 4;
в) 5" + 2" + 1 кратно 3;	г)	9n	+ 4" + 1 кратно 5.
3.104.	Докажите, что при любом натуральном и:
а) 21" + 4" + 2	кратно	17;	б)	15" + 7" + 1 кратно 8;
в) 13" + 3" + 2	кратно	10;	г)	5"	+ 7 • 9" кратно 4.
3.105.	Докажите, что при любом нечетном натуральном и:
а) 5" + 2" кратно 7;
б)	5" + 11" + 2 кратно 6;
31
в)	5я 4- 13 • 11я - 4 кратно 6;
г)	Iя 4- 3я 4- 5я 4- 7я кратно 8.
3.106.	Докажите, что при любом натуральном п:
а)	7 • 52я 4- 12 • 6я делится на 19;
б)	7л + 2 + 82я + 1 делится на 57;
в)	33я + 2 + 5 • 23я + 1 делится на 19;
г)	62я + Зя + 2 + 3я делится на 11.
3.107.	Докажите, что:
а)	5я 4- 8я - 2я +1 кратно 3 при любом натуральном п;
б)	5я 4- 7я - 2я +1 кратно 3 при четном натуральном п.
3.108.	Докажите, что при любом натуральном п:
а)	Iя 4- 3я 4- 5я 4- 7я кратно 4;
б)	3я 4- 5я 4- 7я 4- 9я кратно 4;
в)	5я 4- 7я 4- 9я 4- 11я кратно 4;
г)	Iя + 3я + 5я + 7я + 9я + 11я + 13я 4- 15я кратно 8.
3.109.	Докажите, что при любом натуральном п число
5я - 3я 4- 2п делится на 4.
УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
3.110.	а) Если двузначное число разделить на сумму его
цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Най-
дите это число.
б) Если двузначное число разделить на сумму его
цифр, то в частном получится 6, а в остатке 4. Най-
дите это число.
3.111.	Двузначное число в шесть раз больше суммы его
цифр. Найдите это число.
3.112.	Докажите, что не существует двузначного числа, рав-
ного произведению цифр, входящих в его десятичную
запись.
3.113.	Можно ли из двадцати монет достоинством 5, 20 и
50 к. составить сумму в 5 р.?
3.114.	На мебельном комбинате изготовляют табуретки с
четырьмя и с тремя ножками. На складе имеется
786 484 ножки. При изготовлении продукции
должны быть использованы все ножки.
а)	Можно ли изготовить одинаковое количество тех
и других табуреток?
б)	На какое минимальное число можно изготовить
табуреток с четырьмя ножками больше, чем с тремя?
в) На какое минимальное число можно изгото-
вить табуреток с четырьмя ножками меньше, чем с
тремя?
г) Какое максимальное число табуреток можно из-
готовить?
32
д) Какое минимальное число табуреток можно из-
готовить?
е) Известно, что цена одной ножки выражается
числом копеек, большим 50, но меньшим 80, а цена
всех ножек — целым числом рублей. Сколько стоят
все 786484 ножки?
Решите в целых числах уравнение (115—119):
3.115.	а)	(х -	2) (ху + 4) = 1;	б)	2х2 + ху = х +	7;
в)	х2 -	ху - х 4- у = 1;	г)	х2 - 3xi/ = х -	Зу + 2.
3.116.	а) у + х = Xi/;	б) у - х - ху = 2;
в)	Зху	+ 2х + Зу = 0;	г)	у + 4х + 2ху =	0.
3.117.	а)	х2 -	ху - 2у2 = 1;	б)	х2 - Зху + 2у2	= 3.
3.118.	а)	х2 +	ху - 2у2 - х + у	= 3;
б)	2у2 - 2х2 -I- Зху - 2у + х ~ 2.
3.119.	а) у2 - 2ху - 2х = 6; б) х2 4- ху - у = 2.
3.120.	Докажите, что уравнение:
а) х2 - Зу = 17;	б) Зх2 - 4г/2 = 13
не имеет решений в целых числах.
3.121.	Решите в целых числах уравнение:
a) 3x + 2z/=7;	б) Зу = 2х 4- 8.
3.122.	Решите в натуральных числах уравнение: х 4-1/4-
4-	2 — Ху2.
3.123.	Решите в натуральных числах уравнение:
а) 1! + 2! + 3! + ... + х! = у2; б) х! + у\ = 4г + 3.
3.124.	Решите в целых числах уравнение 19х2 4- 91 у2 =
= 1991.
3.125.	Решите в простых числах уравнение х2 - 4г/2 = 9.
3.126.
3.127.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
При каких целых значениях п дробь
туральное число?
При каких целых значениях п дробь
целое число?
4п - 5
------есть на-
2п - 1
п2 - п + 3
п 4- 1
есть
3.128.	При каких натуральных значениях п дробь
2п2 - Зп + 2	о
----------есть целое число?
2п - 1
3.129.	Докажите, что сумма четырех различных двузнач-
ных чисел, записанных с помощью двух заданных
цифр, не может быть квадратом целого числа.
3.130.	Докажите, что сумма квадратов пяти последова-
тельных целых чисел не является квадратом целого
числа.
33
3.131.	Найдите 1000 последовательных натуральных чи-
сел, среди которых нет ни одного точного квадрата.
3.132.	Найдите знаменатель дроби, полученной после со-
3.133.	Какой цифрой оканчивается число 91191"1919 ?
3.134.	Сколькими нулями оканчивается число 51!?
3.135.	а) Сколькими нулями оканчивается число 400!?
б)	Четной или нечетной является последняя нену-
левая цифра числа 400!?
3.136.	Докажите, что если целое число а кратно 2, но не
кратно 4, то у него четных делителей столько же,
сколько и нечетных.
3.137.	Докажите, что из любых ста целых чисел всегда
можно выбрать:
а)	два таких, что их разность делится на 99;
б)	несколько таких чисел (или, быть может, одно),
что их сумма делится на 99.
3.138.	Докажите, что из п целых чисел всегда можно вы-
брать несколько таких чисел, что, поставив между
ними знаки «+» и «-», получим число, делящееся
на п.
3.139.	Имеется п целых чисел. Докажите, что среди них
найдутся несколько (или, быть может, одно) таких
чисел, что сумма их делится на п.
3.140.	Докажите, что существует число вида 19911991 ...
... 199100 ... 0, которое делится на 1992.
Квадратные корни
1. Арифметический квадратный корень и его свойства.
Арифметическим квадратным корнем из числа а назы-
вается такое неотрицательное число, квадрат которого ра-
вен а, т. е. равенство 4а — Ь означает, что Ь2 = а и Ь 0.
Если а > 0 и & > 0, то 4аЬ = 4а  4b.
Если а > 0 и b > 0, то
\b 4b
Если а 0, то (4а)2 =а.
4а2 =|а| при любом значении а.
34
2. Функция у - Vx-
Функция у - у[х определена на множестве неотрицатель-
ных чисел и принимает неотрицательные значения.
Графиком функции у — 4х является полупарабола, сим-
метричная графику функции у = х2, где х > 0, относительно
прямой у - х.
Большему значению аргумента х из области определе-
ния соответствует большее значение функции.
Пример 1. Докажите, что если а е 2V, то д/а либо на-
туральное число, либо иррациональное.
Доказательство. Пусть 4а - —, где т g TV, neN,
п
2
причем т и п — взаимно простые. Тогда а = ——,
п2
т2
т. е. —j- е N. Но т2 и п2 — взаимно простые, поскольку
числа т и п не имеют общих делителей и п2 Ф 1, значит,
т2
—— не является натуральным числом. Пришли к противо-
п2
речию.
Пример 2. Докажите, что д/З + д/5 + 4~7 — иррацио-
нальное число.
Доказательство. Пусть д/З + д/5 + 44 — г, где г —
рациональное. Тогда
V3+V5 = r-V7,	8+ 2-/15 = г2+7-2rV7,
2V15+2rV7 =r2 -1,
где Г; — рациональное. Отсюда 15 + 7r2 + 2r V105 = г2,
r2 _	_ Yr2	___
т. е. V105 = —---------рациональное число. Но д/105
не натуральное, а значит, иррациональное (см. пример 1).
Получили противоречие.
Пример 3. Вычислите д/б - 2д/б - д/б + 2д/б.
Решение. 1-й способ. Пусть х=д/б - 2д/б - д/б + 2д/б,
тогда х2 = 5 - 2д/б + 5 + 2д/б - 2д/25 - 24, х2 = 8. Так как
х < 0, то х = -2д/2.
2-й способ.
д/5- 2V6 - д/5 + 27б = 7(V3 - V2)2 - V(V3 + V2)2 =
=|V3 -V2|-|V3+V2| = V3-V2-V3-V2 = -2V2.
35
Пример 4. Вычислите (2 - Тб)д/9 + 4-75.
Решение. 1-й способ. Используем внесение мно-
жителя под знак корня:
(2 - 75)79 + 475 = -7(2- Т5)2 (9+ 475) =
= - 7(9 - 4Т5)(9 + 475) = - 781 - 80 = -1.
2-й способ. Используем метод вынесения множителя
из-под знака корня:
(2 - 75)79 + 475 = (2-75)7(2 +Тб)2 =
=(2 -Т5)(2 +75) = 4- 5 = -1.
Пример 5. Какое из чисел больше: 7101+7103 или
799 + 7105?
Решение. Рассмотрим разность этих чисел:
7101 + 7103 - 799 - 7105 = 7101 - 799 - (7105 - 7103) =
так как знаменатель первой дроби меньше знаменателя
второй. Значит, 7101 + ТЮЗ > 799 + 7105.
Упражнения
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
4.1.	Проверьте равенство:
а)	781 = 9, 7121=11, 7441 = 21,7676 = 26;
б)	Д = 1,5, 71 = £’ ТМ4 = 1,2,7бЖ = 0,3;
в)	7«2 =а(а 0),	=а3 (а 0), 7а4 =а2, 7а8 =а4 ,
г)	Т25^=-5а(а^0), J^=-|(a^O),	=
V 4 z	V 49	7
4.2.	Объясните, почему неверно равенство:
а) 725 =-5;	б) 72,25 = -1,5;
в) л/4-273 =1-73; г) д/(-3)2 =-3.
4.3.	Пользуясь определением квадратного корня, най-
дите:
а)<лЧМ’('/Л)ЧЖ1*;
б)	(-7П)2, -(713)2, -(-72)2, -(-Т2-ТЗ)2;
36
в)	(7(-V5)2 )2, (-V11)4, (V2)18, (7(V2)6 )4;
г)	(2ТЗ)4, (s-JlQ , (7(2л/3)4 )2, ( 7<V(^2)4)2 ) •
4.4.	Найдите:
a)	7(2-73)2,7(2-Тб)2,7V625, 72764,
727271024,7a 7a Ta18 ;
6)	>/4a2 , yja4b8 , л/9агЬ4 , y/81a2bec4 .
4.5.	Вычислите:
а) 7з + 736; 6) 74 + 725; в) 77 + 74; г) 77-79.
4.6.	Найдите значение выражения:
а) 2Д + ТМ4; б) 3,2-75,76;
в) 7256 + 7144; г) >/1024 + 7729- 7484;
д) 276^5 + 3Л/11|; е) |7*Ш-О,57<М54.
V У	о
4.7.	Имеет ли смысл выражение:
а)	-715; б) 7-289;
в)	73-711; г) 77123-11;
д)	72-73?
4.8.	При каких значениях а имеет смысл выражение:
а) Та; б) 7-а; в) Ja2', г) 7а®7 д) л/-а2;
е) >/2а-а2 -1; ж) J- — + 2a-5; з) >/-а5; и) V-а6 ?
V 5
4.9.	Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:
а) 49 см2; б) 100 дм2; в) 2,25 м2; г) 5 м2; д) 17 м2;
е) 30 дм2.
4.10.	Вычислите диаметр круга, если его площадь равна:
а) 25л см2; б) 49л см2; в) 7л дм2; г) 11л дм2;
д) 4ла2 дм2 (а > 0); е) 9л • с6 м2 (с > 0).
Решите уравнение (11—13):
4.11.	а) х2 = 25; б) 4у2 = 81; в) z2 = 3; г) х2 = 7.
4.12.	а) (х - 2)2 = 9; б) 9 {у + З)2 = 1; в) (2z - I)2 = 7.
4.13.	а) х2 - 10х + 25 = а2; б) 2х2 - 16х + 32 = Ъ.
4.14.	Одна из сторон прямоугольного участка составляет
25% другой его стороны. Найдите периметр участ-
ка, если его площадь равна 16 м2.
4.15.	Одна из сторон прямоугольного участка в 2 раза
больше другой. Найдите периметр участка, если его
площадь равна 8 м2.
37
Решите уравнение, используя определение арифметиче-
ского квадратного корня (16—19):
4.16. а) 4х = 3; б) Ух = в) Ух-1 = УЗ; г) У4х + 1 = 7.
__________________ о	__
4.17. а) У7х-1 =1;
б) УЗх-1 = 0;
г) У7-2х = 3.
б) Ух = 1 - У2;
в) У3^5х = 1;
4.18. а) Ух =-2;
в) Ух-3 = У2-Уб; г) Уб-х =4-УЗ-7.
4.19.	а) Ух = х;	б) Ух = -х;
в) Ух-2 = 2-х;	г) Ух —3 = 2-х.
Упростите выражение (20—23):
4.20.	а) У(а -З)2 при а > 3; б) У(&-4)2 при b < 4;
в)	У(а-2)2 +У(а-4)2 при 2 < а < 4;
г)	У(а-З)2 +д/(а-5)2 при а < 3.
4.21.	а) Утп2 -2т + 1 при т < 1;
б)	УЭтп2 — 6тп + 1 при т <
в)	Уу2 -10у+25+ Уу2 - 14у+49 при у > 7;
г)	Уз2 — 4г+4 + Уг2 + 8z+16 при -4 < z < 2.
4.22.	а) У(а+1)2 -4а; б) У(а-З)2 + 12а;
в) У(а2 -4)2 + 16а2 ; г) У(а4 + 2)2 -8а4 .
4.23.	а) Уа2 +а +4 + Уа^ - 6а +9 при а > 3;
б)	У10а + 23 + Уа4 + 4а2 +4;
в)	Уа2 -13а+45 + Уа2 -8а+16 при а < 4;
г)	720а+92 + Уа4 +16а2 +64.
4.24.	Какое из чисел больше:
а)	2 или д/З; б) V5 или V3; в) Зл/2 или V19;
г)	3V5 или бУЗ; д) 4УЗ ИЛИ ЗУб;
е)	УбУЗ ИЛИ УбУ2; ж) 2УЗ ИЛИ ТбУ2?
4.25.	Найдите наибольшее целое число, меньшее числа:
а) Уб; б) УТ1; в) Уб7; г) У95; д) У149;
е) У274; ж) У1250.
4.26.	Найдите наименьшее целое число, большее числа:
a) V7; б) V10; в) V62; г) ЛбЗ; д) V245; е) V893.
4.27.	Найдите два последовательных натуральных числа,
между которыми заключено число: __________ 
а) УЗ; б) Уб; в) У13; г) У32; д) У105; е) У238;
38
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
4.28.	Докажите, что сумма, разность и произведение ра-
циональных чисел есть число рациональное.
4.29.	Докажите, что если и г2 — рациональные числа
(г2 * 0), то —------рациональное число.
Г2
4.30.	Известно, что сумма и разность двух чисел а и & есть
рациональные числа. Докажите, что числа а и & так-
же являются рациональными.
4.31.	Известно, что числа г1? г2 и г3 * 0 — рациональные.
Объясните, почему рациональны числа:
а) 2гн б) + 2Гг; в) г/ +4,1; г) 2г? + 3г2 + |;
о	о
3rx-5r2	г2 + 2г23 - r35	(7-3rj)2-y
гз	2г32	5г3
4.32.	Докажите, что следующие числа иррациональны:
a) Уб; б) 713; в) 77; г) 715.
4.33.	Какие из следующих чисел являются рациональны-
ми, какие — иррациональными:
a) 79; б) 712; в) 716; г) 718; д) 0; е) -Уб;
ж) 0,666...; з) 0,(31); и) 0,010010001...?
4.34.	Проверьте справедливость неравенств:
а) 6,1 < У38 < 6,2; б) 4,4 < 720 < 4,5;
в) 10,5 < УШ < Ю,6; г) 21,5 < 7463 < 21,6.
4.35.	Найдите два первых десятичных знака после запя-
той числа:
a) 72; б) УЗ; в) Тб; г) 77; д) 710; е) у'19^3;
ж) 725,1; з) 725,35; и) 7172; к) 7173,46;
л) 72543,105; м) 716837,24.
4.36.	Сравните числа:
а) 1,(34) и 1,34; б) 77 и 3; в) Тб и 2; г) УЮ и 4;
99
д) -54,72 и-54,679; е) 3,1415 и у;
ж) -710 и-3,16; з) Зу и 712,8; и) -729 и-5^.
4.37.	Найдите два первых десятичных знака после запя-
той числа:
а) 1+ 77; б) Уз + 77; в) 2УЗ; г) —; д) 77 + Уб - 77;
е) 2УЗ - 377; ж) (Уз +1)2; з) -Ь и) А?
77 Уз
к) Уз+77+77.
39
4.38.
Число г — рациональное, аир — иррациональные
числа. Рациональным или иррациональным являет-
ся число:
ОС
а) г + а; б) а - г; в) 2а; г) —; д) а2; е) а + Р;
О
ж) а • Р; з) и)
м) За + г?
а; к) л/г+а; л) а + 2г;
4.39.	Докажите иррациональность числа:
a) 1 + V2; б) V3+V2; в) 2V3; г)
д) -=; е) 72 + V2; ж) V5 + V2-1; з) 41 + V2 + V3.
4.40.	Приведите пример двух иррациональных чисел, сум-
ма которых есть число рациональное.
4.41.	Приведите пример двух иррациональных чисел, про-
изведение которых есть число рациональное.
4.42.	Докажите, что сумма рационального и иррациональ-
ного чисел есть число иррациональное.
4.43.	Докажите, что произведение рационального (отлич-
ного от нуля) и иррационального чисел есть число
иррациональное.
4.44.	Числа а, b и 4a+4b— рациональные. Докажите,
что 4а и 4b — рациональные числа.
4.45.	Докажите, что число V3n + 2 при любом натуральном
п есть число иррациональное.
4.46.	Докажите, что 4гпп — иррациональное число, если
J — — иррациональное число (тп, и е ЛГ). Верно ли
V п
обратное утверждение?
ФУНКЦИЯ у = Vx И ЕЕ ГРАФИК
4.47.	Площадь квадрата может быть вычислена по форму-
ле S = а2, где а — сторона квадрата. Задайте форму-
лой зависимость а от S.
4.48.	Путь тела, падающего в безвоздушном пространстве,
может быть вычислен по формуле s = ——-, где t —
£
время падения, g — ускорение силы тяжести
(g « 10 м/с2). Задайте формулой зависимость t от s.
Найдите t, если s = 4500 м.
4.49.	Площадь круга вычисляется по формуле S = пН2, где
R — радиус круга. Найдите зависимость R от S. Вы-
числите R, если S = 1256 дм2, считая п ~ 3,14.
40
4.50.	Постройте график функции:
a)	у = Ух;	б)	у = У^х; в) у = ^/\х\; г)	у = -Ух;
д)	у = 2у[х;	е)	у = У2х; ж) у = Ух-2;
з)	у = у/4-х;	и)	у = У2х-1; к) у — 1 + Ух.
4.51.	При каком	значении а точка М (2; 3) принадлежит
графику функции:
а) у=а4х\ б) у = Vox; в) у = Vx-a; г) y = aV-x;
Д) y = yja\x\?
4.52.	Используя свойства функции у = Ух, найдите значе-
ния переменной х, при которых:
a)	Ух <2;	б)	Ух > 3;	в)	Ух <5; г) Ух > 7;
д)	Ух^1;	е)	У х - 2 0;	ж)	Ух > -1; з) Ух>-3;
и)	Ух < -2;	к)	У2х-1 < -1;	л)	УЗх-1 < 3 - У10.
4.53.	Решите графически уравнение:
а)	Ух - 3; б) Ух-2 = 2;	в) Ух = 6-х;
г)	Ух-1 = 3-х; д) У-х = х + 2; е) х | = 3;
ж)	Ух-2 = х-4.
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ
Найдите значение выражения (54—56):
4.54.	а) У121-64; б) У169 • 0,36;
в)	^16 • | • 0,25;	г)	У1,44 • 0,04 • 0,0001.
4.55.	а)	У27 -12;	б)	У32 18;
в) У45 10 18; г) У21-6-7-8.
4.56.	а)	У77 -24-33 14;	б)	У5 • 6 • 8 • 20 • 27;
в)	У21 • 65 • 39 • 35;	г)	У10 • 20 • 48 • 36 • 75 • 98.
4.57.	Упростите выражение (а > 0, Ъ > 0):
а)	У26 • За • 8а • 126; б) у12а•156 • 35а • 286;
в)	у30а7-4563•756®-98а3;
г)	У12а17 • 2163 -246® -42а3 .
Вынесите множитель из-под знака корня (58—61):
4.58.	а) У12; б)	У8;	в)	У48; г)	У175.
4.59.	а) У45; б)	У72;	в)	У20; г)	У128.
4.60.	а) У363; б)	У162;	в)	У1152; г)	У432.
4.61.	а) У12-15; г) У28-56-	б) д/18 10 • 35.	•10	; В) 720-	35 • 14:
41
4.62.	Найдите значение выражения:
. /81-25 I 36 ч I 9 16	. /121-256
а) б) ilwTl2i; в) <1гГ19: г) 1/ 2Поо 
4.63.	Выполните действия (а > О, Ь > О):
ч	/169а®	. /49а18 ч /576а12
а)	б) \ 2^="; в) i : г) ^22^-
4.64.	Вынесите множитель из-под знака корня:__
а) Д; б) Д;	в) Д; г) ®.
V 49	7 V16	v 81	V100
Вынесите множитель из-под знака
с > 0) (65—67):
4.65.	а) л/а3; б) ^аЬ3; в) ^а1Ь\
корня (а > О, b > О,
г) л/8а2&7с9 .
ч /50а8с7
Г) ’,' 81^'
4.вв. а) &	6)	в)
а2пЬ4т ; б) yla2n+1; в) у/а4п+3Ь2т+3 ; г)
4.68.	Внесите множитель под знак корня:
a)	2V2, 4V5, ЗТЗ, 2V7;
б)	aV2, Ь4а, а.1- + Л» bj- + т (а > О, b > 0);
V а а2 V а Ъ
в)	(7П“3\Е^’ (n"2)j?7’ (n~4)J^r~6’
\j пг — о	у А — п	у Ап — о
у п О
г)	(х-у)4а, если х > у, (а-Ь)4т, если а < b, ajb,
bja.
4.69.
Упростите выражение:
а)
б)
в)
г)
Va3 -Ь3 +a2b-ab2 , если а > b > 0;
у/a3 +а2 -а-1, если а > 1;
о Г1 2а-1	. . п
a3 J—-------—, если а < 1, а Ф О;
V а2 а4
а2
2 - а
1	4(1 - а)
а + а3
если а > 2.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ КОРНЕЙ
Упростите выражение (70—72):
4.70.	a) V28-3V63; б) V50+V98 - V200;
в) V27 + V12 + V75; г) V20 + 2V45 - 3V5U6-
42
4.71.	a) +	6)Л4 + Д + Д;
в) >/8+Д-Й; г) л/ол+Viooo+Vio.
V Z у
4.72.	а) 8^-3^;
б)	(J16ab - -J121ab) - (SjOab - 3УЗбад);
в)	(Ja3b + 2jasb)-(2y/a7b -yla9b), где а > О, b > О;
г)	(Ja5b2 - ЗУа7д4 )- 5Уа9&8 - 2^1 а3Ь3 , где а > О,
b > 0.
4.73.	Решите уравнение:
a) ЗУ8х + У2х = 1; б) ^У4х-^У9х+^У25х = 2;
в>^-У1=1; г><+^-4М=1-
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ
Выполните умножение (74—76):
4.74. a) (ЗУ12-У75)УЗ; б) (4У0,02+ У8)-У2;
4.75. a) (2 + Уб)(ЗУ2-2УЗ);
в) (1 + У15)(УЗ-Уб);
4.76. а) (У7+УЗ)(-У7~УЗ);
в) 3 + У2 • д/ 3 — У2:
б) (3 + У21)(УЗ - У7);
г) (2У5-УЗ)(УЗ+ЗУ5).
б) (Та +Va -l)(Va - Уa -1);
г) 75 + 2V6-75-2V6.
4.77. Докажите, что следующие числа являются взаимно
обратными:
a) 72 + V3 и 72-V3; б) 7 +4УЗ и 7-4УЗ;
в) д/3 + 2>/2 и 73-2^2; г) (V9+4V5)5 и (V9-4V5)5.
4.78.
Решите уравнение:
a) (У2+Ух)(3-Ух) = 1-х;
б) (7 - 2-Ух)(1+ Ух) = 3-2х;
. Jx + 1 Vx - 2
в) ~г=— - -у=—;
4х - 2 4х + 1
г)
Ух - 3
лПс + 1
-х/х + 2
4~х - 1
Выполните действия (79—81):
4.79.	а) (1 + У2)2,(2-УЗ)2,(У2+Уб)2,(У15-УЗ)2;
б) (3Va-2VF)2,(27^&+V^)2,(V^&+2V&ar)2,
(24а9 - -Jab)2;
43
в)	(T3 + V2+1)2,(V5-V2-1)2,(V6+V2-1)2,
(V3-T2 + V6)2;
г)	(V2 +1)3,	- 2)3 , (v'a + 1)3 , (To - 3)3.
4.80.	a) (V3 + V2)2+(V3-V2)2;
6)	(Тз+l)3 +(7^-l)3;
в)	(7a + 4b - 4c)2 + (4a - 4b+4c)2;
r)	(V3 + V2)4 -G/3-V2)4.
4.81.	a) (х + 1 + 73)(х + 1-73); 6) (а-2 + Т5)(а + 2-Тб);
в) (77 + 72-1)(77-72+1);
r) (V6-V2-1)(V6 + V2+1);
. 143 + 42 + 1 V3+V2-1 _ V3-V2+1 1 + V2-V3
Д) v 2	’	2	’	2	'	2
Упростите выражение, представив подкоренное выраже-
ние в виде полного квадрата (82—83):
4.82.	а) л/4 + 273;	б) ^9-4^5;
в) 710 + 2V21; г) 712 + бТз.
4.83.	a) yl d + 24 d — 1б) Ta +1 — 47a — 3;
в) ^2 + 241-а2 ; г) 73a-l + 272a2 -а.
Вычислите (84—85):
4.84.	а) 77 + 4л/3+77-4УЗ; б) 714+ б7б+714-675;
в)	V8 + 2V7-л/8-2У7; г) 728-1073 + 728+1073;
д)	7|1273-21| -721+1273;
е)	718+872-7|872-18|-0,5732.
4.85.	а) (7з + 272- 73-272)2; б) (7з + 7б+7з~ Тб)4 ;
в) (72 + 73+72-73)6; г) (74 + 715-74-71б)8.
4.86.	Вычислите значение выражения:
а)	х2 -	2х - 1	при	х = 1 + д/З;
б)	хг -	Зх - 2	при	х = —~;
&
в)	х2 -	4х - 6	при	х = 2 - V11;
ч	2	с о	5 + >/3
г)	х - 5х + 3 при х = —----
Выполните деление (87—88):
4.87.	а) (12745 - 67^0): 37^; б) (15744 - 24799): 3711;
в) (4775 + 2712): 273; г) (728 - 7252 + 2763): 77
44
4.88.	a) (a-b):(Va-V&); 6) (a-fe):(Va+VF);
в) (a4a+b4b);(4a+4b)’>
r) (aT8a -by[2fb)-.(y/2a - V3&).
Разложите на множители (89—92):
4.89.	a) VH-V7;	б) 7б-73;	в) 2 + Тб;
г) 7 + V14-V7; д) V6 + V3+V18; е) 75 + 5-710.
4.90.	а) а + 24а;
б)	a + 4ab, где а > О, b > 0;
в)	7а2 -&2 -4а+Ь, где а > b > 0;
г)	4аЪ +ас - 7b2 +Ьс, где а > О, b > 0, с > 0.
4.91.	а) а4а + &7F + a4b + b4a; б) a4b - 4a+4db-1;
в) 2 + b4a - 24ab - 4b; г) ab + а4а + b4b + 4ab.
4.92.	а) х-бТх+5; б) а-Ь4а +6;
в) а - Зл/а — 4; г) b + 4b — 2.
Сократите дробь (93—94):
4.93. а) + 1; б) 4a + 4b.
а -1	а-Ь
у[а + л/b . г) а-бУа +9
aVa+fcVF’ а-9
4.94.
ч 72 + 1	(73+1)2 . (1-V7)2. ч Тб+ТЗ-72-1
42 + 2	2 + ТЗ 77-4	46+243-42-2
4.95.	Решите уравнение:
а)	(х+1)- 4з = х + 3; б) (х-1) • 72 = 2х-1;
в)	(2-хТб) • 72 = 2(х-Тб);
г)	(хТб-2)-V10 = 5x-2V5.
4.96.
Упростите выражение:
а)	^=; б) а + ^_, где а < 0, & < 0;
y/-b b + -Jab
в)	+ Ж где а < О, b < 0;
и \ о
„ч 4аЬ-а.	a + b + 24ab. „ч а-Ь
г)	г— ; Д) ~1=—/=Г’ е) Т=—ГТ
V— a	yi—a — -j—b -4—а—^—Ь
4.97.	Вычислите значение функции:
ч ч (х-1)(х-2)(2х + 1)	л
а)	/(х) = --—.	------- при х = 1 - 42;
у2х2
т-/ ч (х + 2)(х + 4)(4х + 1)	гтг „
б)	/(х) = --— - м--------- при х = 43 - 2.
V3x2
4.98.	Докажите «формулы сложного радикала»:
I—;—т= 1а +4а2-Ь , (а--/а2 -Ъ
^aiy'b =л —— ± J  
v	V 2 V 2
45
Упростите сложные радикалы (99—100):
4.99.	a) 77 + V24;	б) 77-V24; в) 75 + V24;	г) д/7 + 748.
4.100.	а) д/17-4-79+4/5; б) +	713 + /48 ; в) 7728-16V3; г) VV17+V228.
Приведите к рациональному виду знаменатель дроби
(101—104):
4.101.	ч 3	-8	8	6	a	ab а)	——7= у -7=,	-г—, , — ; 2/б	/12	/32	/18	/а3&	Jasb3 б)	fl + 3 т4п а-2	а-Ь . у/а2 -9 Пу/т /4-а2	/а2 -Ъ2 в)		1 /2-1 3 + /2 3-2/2 /2 + 1 г)	m ~ 1 х — 4	1	2 Vm +1’ Vx-2’ Va + 3-2’ 3-72х-1
4.102.	а) ,	;	б) f ~2х ; /х+3-2	у/х + 2-2 в) - *2 ~9 ;	г) 	х , 2-Vx + l	V1-х-д/1-2х
4.103.	а) -• 61 ^a + Ja2-b2	72-д/З в) /з/2-2/3. г) //15 + /6 /2/3+3/2 ’	//15-/6
4.104.	,	4	.	23	. &) j		1	-j='> б)	!			 j	9 /2 + /б + 4/2	/3 + /2 - /2 в)--^	, г) V5-V7-V2	3 + V2-V1 + V2
Приведите к рациональному виду числитель дроби
(105—107):
4.105.	. /2	йч/б	ч/б	ч /Ю а> т; 6) т; в)	г) —.
4.106.	6)^1; в)^/!; г)
4.107.	\ 2 — Vя + 3 #	2-д/За-2. *	а-1	’	 '	2-а	’	 в) У2х + 1 - V13-X.	х V х + 2 - УЗх + 4 }	5х-20	’	7	Зх + З
46
УПРАЖНЕНИЯ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С КОРНЯМИ
4.108. a)
б)
в)
г)
4.109. а)
б)
в)
г)
2 _ + _ 2 * * * * 
5+2V6 5-2V6________
|ЗУ2+2УЗ 1зТ2-2ТЗ.
уз72“-273 V3V2+2V3’
1	4	3723 + 713.
77+75 75+2	72	’
1	-	1	+	3 _io+V5
2 + 75 77+3 1-77 75
1________1
77-724 + 1 77 + ^24~1’
f 72	1 V2-72 2+72 у
\2~242 J V 1 + 72 ” 72-1 /
-4+72—^+7з	г-
72___7з	15+з Тб
713+1 1э7з
Выполните действия (110—112):
4.110. а)
б)
2
3 + се 72
Г72 + 73 ТЗ-с?
I 72 7з ,
а-b	а-2
a-j2a 4a-Jb
4.111. а)
б)
72
х4 + 2х2 +4
4.112. а)
б)
а + 2ТЗ	Зс-а а2-сТЗ
3а-373	2а-2с+а2_ас + с7з_а7з’
4ху((х + Т2)2-у2) Л _ 2х
2-х2 -у2 +2ху I х+у + 42 J
Упростите выражение (113—118):
4.113. f -^-г ~ - г-^ г- ] • -4-
{л/а-л/Ь у}а +7^ ) a +ab
4.114.
47
| Va , Vb . 24ab r— 4ab+b\
4.115.	-7=—— + —=—~ 4-------— y/a —7=—.
+ л/а-л/b a-b jy	yja + y/b)
2b
4.116.
4.117.
2a /-------r
	+ у/a - b
у/d 4- b
1+ la~b (a + b)ja + b -(a-b)y/a-b
N d + b
aja 4- byfb
Va 4- V& + 2y/b _ Jdb
d b	-yj д jb fit b
d + b + ^(d + b)2 -(d-b)2
2(djd - bjb)
(y[d 4- yfb)(d 4- b - д/(а 4- b)2 - (a - b)2 )
Сравните числа (119—124):
4.119.	a) V19 и V7 + V3; б) V37 - V14 и 6-V15.
4.120.	а) и ; б) Vll - V10 и Тб - V5.
1-V3 1-Л
4.121.	а) Л7-Л5и V7-V5;	б) Л + VH) и л/3 + V19.
4.122.	а) л/з + Л + Л и 1 + 72;	б) +£z2^ и V10.
у	' 5-Л 5 + 75
4.123.	а) 1 + 7/17 + 1272 и 72 + 73;
б)	7/6 + 720 и 71 + 75.
4.124.	а) и 711+6/2+711-6/2;
75-2
б)	71990 + 71992 и 271991.
Упростите выражение (125—127):
4.125.	J3~^a +j3ab - J3b+a -y/3ab, при а > О, b > О.
V 2a	v 2a
4.126.	^—?а3 +9g2 +74°4.-^3 +<г при 0,5 < a < 3.
Va2 4- 4a 4- 4
127	^d> 4" Vd2 — 4a 4" 3
a/6 - 2a
48
1. Формула корней квадратного уравнения.
Корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 (а Ф 0)
находят по формуле
-Ъ ± д/б2 - 4ас
х =------------
2а
Выражение Ъ2 ~ 4ас называют дискриминантом квад-
ратного уравнения и обозначают буквой D.
Если D > 0, то уравнение имеет два корня; если D = 0,
то уравнение имеет один корень; если D < 0, то уравнение
не имеет корней.
В случае когда второй коэффициент квадратного урав-
нения четен, т. е. Ь = 2fe, то корни удобнее находить по
формуле
х —
а
Неполные квадратные уравнения, т. е. такие, в кото-
рых 6 — 0 или с — 0, удобнее решать методом разложения
на множители левой части уравнения.
2. Теорема Виета.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения
равна второму коэффициенту, взятому с противополож-
ным знаком, а произведение корней равно свободному чле-
ну, т. е. если хт и х2 — корни уравнения х2 4- рх + q = 0, то
Xi + х2 = -р и • х2 = q.
Верно и обратное утверждение: если числа хг и х2 тако-
вы, что хх + х2 = -р и хг • х2 = q, то эти числа являются
корнями уравнения х2 + рх + q - 0.
Пример 1. Решите уравнение
(4х2 + 12х + 9)2 + 20х2 + 60х + 39 = 0.
Решение. Данное уравнение сводится к квадратному
путем замены переменной. Запишем данное уравнение в
виде (2х + З)4 + 5 (2х + З)2 - 6 = 0. Пусть у - (2х + З)2. Ре-
шая уравнение у2 -I- 5у - 6 = 0, находим ух = 1, у2 = -6 (не
подходит, так как у > 0). Из уравнения (2х + З)2 — 1 полу-
чаем 2х -I- 3 = 1 или 2х + 3 = -1, откуда х1 = -1; х2 = -2.
49
Пример 2. Пусть хг и х2 — корни уравнения
2х2 - 7х 4- 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями
X, х2
которого являются числа —- и —
х2 Xj
Решение. По теореме Виета имеем хх 4- х2 = 3,5,
хх • х2 = 0,5. Для составления квадратного уравнения с за-
данными корнями и можно воспользоваться теоре-
*2 X?
мой, обратной теореме Виета, для чего необходимо найти
их сумму и произведение:
*1 х2 = хх3 + х3 = (хх +x2)(xf -ххх2 + х2) =
х22 X2 (ххх2)2	(ххх2)2
_ (^i 4" х2 )((хх + х2)	Зххх2 ) _ 3,5 * (3,52 — 3 • 0,5) _
—-------------------— ------------— ----------------------— JLDU, О;
(XjX2)2	(0,5)2
А. х2 _ 1	1 _ 2
х2 х2 XjX2 0,5
Искомое уравнение имеет вид:
х2 - 150,5х 4-2 = 0, или 2х2 - 301х 4-4 = 0.
Пример 3. При каких значениях b уравнения
х2 + (b2 + ЗЬ + 2) х = 0 и х2 - 2 (& + 2) х + Ъ2 + 5& + 6 = 0
равносильны?
Решение. Уравнения называются равносильными, ес-
ли множества их решений совпадают. Заметим, что х = 0
является корнем первого уравнения при любом значении
параметра Ь, значит, необходимым условием равносильно-
сти уравнений является наличие корня х = 0 у второго
уравнения. Найдем все значения параметра Ь, при кото-
рых х = 0: Ъ2 + 5Ь + 6 = 0, Ъ = -2 или b = -3. Таким обра-
зом, если и существуют значения параметра &, при кото-
рых уравнения равносильны, то это могут быть лишь
Ъ = -2 или Ъ = -3 (во всех других случаях х = 0 являет-
ся корнем первого уравнения, но не является корнем вто-
рого, что противоречит определению равносильности).
Проверим теперь каждое из возможных значений парамет-
ра: при Ъ = -2 оба уравнения принимают вид х2 = 0, т. е.
являются равносильными; при Ъ = -3 оба уравнения при-
нимают вид х2 4- 2х = 0, т. е. также являются равносиль-
ными.
Пример 4. При каких значениях параметра а уравне-
х + а а-Зх _	„
ние----- 4---— = 2 имеет одно решение ?
X 4-1 X — о
Решение. Областью определения уравнения является
множество действительных чисел, кроме чисел 3 и -1. На
50
указанном множестве данное уравнение равносильно урав-
нению, полученному умножением обеих частей на (х - 3) х
х (х + 1): (х + а) (х - 3) + (а - Зх) (х + 1) = 2 (х + 1)(х - 3).
После раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых
и сокращения на 2 получим уравнение 2х2 + х (1 - а) +
+ а - 3 = 0. Замечая, что сумма коэффициентов в уравне-
нии равна 0, находим хт = 1. По теореме Виета
х2 = 0,5(а - 3). Таким образом, при любом значении пара-
метра а исходное уравнение имеет решение х - 1. Для того
чтобы уравнение имело одно решение, необходимо и доста-
точно, чтобы второй полученный корень х2 не добавлял бы
новых решений. Это возможно в двух случаях: либо х2 не
входит в область определения, т. е. х2 = 3 или х2 = -1, либо
х2 совпадает с хг, т. е. х2 = 1. Отсюда находим соответству-
ющие значения параметра а: х2 — 3 при а = 9, х2 = -1 при
а = 1, х2 = 1 при а = 5. Итак, искомые значения параметра
равны 1; 5; 9.
Упражнения
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение (1—8):
5.1.	а)|х2-9 = 0;
в) |х2 -3,5 = 0;
д) 4 - 9 (2 - 5х)2 = 0;
б) 4х2= 12,25;
г) 12,25 - Зх2 = 6х2;
е) 5 (х2 - 2)2 - 9,2 = 0
5.2.	а) Зх2 - 8х = 0; б) 15х+11х2 = 0;
в) 12х = 7х2;	г)^- = ^;
д) 2 (Зх - 5)2 = 9 (Зх - 5); е) (2х - I)2 = 2 - 4х.
5.3.	а) х2 + а = 0;	б) х2 - 2х + 1 = а;
в) а2х2 -4 = 0;	г) а (х2 - 6х + 9) + 4 = 0.
2х2-3х	х2+2х	5х-х2	х2+3х
5.4.	а) -------=--------: б) --------=-------:
7	4	3	’	'	2 5 ’
. (2х-3)2	6-4х	„	5х-2 (4-10х)2
В) ----2----=	~5-;	Г)	-8~ = 2-*
---—---- » -------------=-------,
х + 3	х-3	7 х-2 8х + 20
5.6.
а)
х 2	х , 3
—— — ——:
2 х	3 х’
1+х	6 _ 4	х + 1.
6	1+х х + 1	4 ’
51
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
a) x2 - 5 | x | = 0;	6) 3x2 + 4 | x | = 0;
в) 2x2 + | x | - 3x = 0;	r) 4x2 - 3 | x | + x = 0.
a)4x2+~ = 0;	6)x2-™ = 0;
|x|	X
о ~2	„2
Напишите общий вид квадратного уравнения, в ко-
тором:
а)	один из корней равен нулю;
б)	оба корня равны нулю;
в)	корни равны по модулю, но противоположны по
знаку.
При каких значениях т ровно один из корней урав-
нения равен нулю:
а) Зх2 4- х 4- 2т -3 = 0; б) х2 - 2х 4- т2 - 1 = 0;
в) 2х2 - тх 4- 2т2 — Зт = 0;
г) х2 4- (т 4- 3) х + | т | - 3 = 0?
При каких значениях т корни уравнения равны по
модулю, но противоположны по знаку:
а)	х2 + (Зт - 5) х - 2 = 0; б) 2х2 - (5т - 3) х 4- 1 = 0;
в) Зх2 4- (т2 - 4т) х 4- т - 1 = 0;
г) 4х2 4- (5 | т | - 1) х 4- Зт2 4- тп = 0?
При каких значениях т корни уравнения равны
нулю:
а) Зх2 4- (т - 1) х 4- 1 - т2 - 0;
б)	х2 - (Зт2 4- 4т) х 4- 9тп2 - 16 = 0;
в)	2х2 4- (Зт2 - | тп |) х - тп3 - Зт = 0;
г)	х2 4- (16 - тп4) х + тп3 4- 8 = 0?
Найдите число, удвоенный квадрат которого равен
этому числу, уменьшенному в 3 раза.
Произведение двух последовательных натуральных
чисел в два раза больше меньшего из них. Найдите
эти числа.
Произведение трех последовательных натуральных
чисел в три раза больше среднего из них. Найдите
эти числа.
От вершины прямого угла по его сторонам одновре-
менно начинают двигаться две материальные точки,
скорости которых равны 5 см/с и 12 см/с. Через какое
время расстояние между ними будет равно 52 см?
52
ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение методом выделения квадрата двучлена
(17—19):
5.17.	а)	х2 - 6х + 8 = 0;	б)	х2 + 10х + 9 = 0;
в)	х2 - х - 2 — 0;	г)	х2 + Зх - 40 = 0;
5.18.	а)	5х2 + Зх - 2 = 0;	б)	4х2 - Зх - 22 = 0;
в)	5х2 - 4х - 12 - 0;	г)	Зх2 + 5х - 2 = 0.
5.19.	а)	х2 + рх + q = 0;	б)	ах2 + Ьх + с = 0.
Решите уравнение (20-22):
5.20.	а) х2 - х - 90 = 0; б) х2 + 5х - 6 = 0;
в)	4х2 - х - 3 = 0;	г)	2х2 - 7х + 6 = 0.
5.21.	а)	25х2 + 90х + 81	= 0;	б)	36х2 - 84х + 49 =	0;
в)	0,25х2 - х + 1 =	0;	г)	^х2 +1у х + 9 =	0.
5.22.	а)	х2 + 5х - 8 = 0;	б)	х2 - 13х + 4 = 0;
в) 9х2 - 4х - 2 = 0; г) 7х2 + 18х + 5 = 0.
5.23.	Вычислите с точностью до 0,01 приближенные зна-
чения корней уравнения:
а) х2 - х - 7 = 0;	б) х2 + 7х + 3 = 0;
в) Зх2 + х - 5 = 0;	г) 2х2 - Зх - 3 = 0.
Решите уравнение (24—29):
5.24.	а) х2-3V2x+4 = 0;	б) х2 +2(1 + V8)x+8V2 = 0;
в) х2-Зх-5-V7 = 0;	г) х2 +4х-V3 +1 = 0.
5.25.	а) (Зх - 2) (х - 3) = 20;
б)	(х + 2) (4х - 5) = -3;
в)	(8х - 9) (Зх + 2) - (2х - 3) (8х - 2) = ЗЗх + 20;
г)	(4х - 5) (Зх + 7) - (х - 2) (4х + 2) = ЗЗх + 73.
5.26.	а) (Зх - 8) (7х + 5) = (Зх - 8)2;
б)	3 (5х + 3) (4х2 - 1) = 8 (4х2 - I)2;
2 (х2-3х)2
в)	Зх - х2 =-------;
г)	9((3х - 4)2 - (2х - 10)2) = (х + 6)2 (5х - 14)2.
к 97	(х-1)2 х + 4	2х-2
527  а> —5------6 = —•
(х + 2)(х-5)	11х + 12 _	х~2.
'	3	10	2	3““ ’
. х2+3х	10-х Зх2+8х
В)	—5~ =	------Г1 ’
Зх2-14х + 11 х + 9 х2 + х + 1
Г)		14----= ~2---------5-
5.28.
(Зх-4)2 (2х-5)(х-1) _	(х+2)2
5	2	5	’
53
(х + 7)2	х2+5х	„ (5х + 11)2
б)	—2---------Г-= 6 +-----4---;
(х-3)(х-Т)	2х + 8 (5х-3)2
В)		2-------вХ ==~5---------2—’
X2 -1	(х-3)2 _ (х+3)2
Г) 3	8	“	4 ЗХ'
5.29.	а) (2х - I)2 (х + 5) = (х + I)2 (4х + 5);
б)	(х + 1) (х - 2)3 - (х2 - 4х - 4)(х2 - х) = 16;
в)	(х - 5)3 (х - 1) - (х - 8)2 (х2 - 2) = 49;
г)	(х2 + 2х - 1) (х2 - х - 3) - (х2 + 10х + 1) х
х (х2 - 9х - 2) = 66.
5.30.	Существует ли на окружности, заданной уравнением
(х - З)2 + (у + I)2 = 7, точка:
а) с абсциссой, равной 1,5;
б)	с ординатой, равной -3?
5.31.	Существует ли на эллипсе, заданном уравнением
±(х-2)2 +±(у+2)2 =1, точка:
а)	с абсциссой, равной 4,1;
б)	с ординатой, равной -4,9?
Решите уравнение (32—34):
5.32.	а)	х2 + 5ах + 4а2 - 0; б) х2	- Ьх	- 2Ъ2	= 0;
в)	х2 - Зах + 2а2 = 0; г) х2	+ 5дх	- 6д2	= 0.
5.33.	а)	х2 - (2а - 4) х - 8а = 0;
б)	х2 + (За - 2) х - 65 = 0;
в)	х2 - (За - 2) х + 2а2 - а - 3 - 0;
г)	х2 - 4&х + ЗЬ2 - 4д - 4 = 0.
5.34.	а) ах2 - (а + 1) х + 1 = 0;
б)	(а + 1) х2 - 2х + 1 - а - 0;
в)	аЪх2 + (а2 + Ъ2) х + ab = 0;
г)	аЬх2 + (а2 - Ь2) х + (а - Ь)2 = 0.
5.35.	Дано соотношение:
а) а2 - ЗаЬ - 4Ь2 = 0; б) 21а2 - 4ад - Ь2 = 0;
. (а + 2й^|	п(а +	„
в) —	— 2	— — 3.
a-b ) a-b )
Выразите а через Ь.
5.36.	Дано соотношение:
а)	2а2 + 4а + 2Ъ2 - 4Ь - 5 (а + 1) (Ь - 1) + 4 = 0;
б)	а2 + 2Ь2 - ЗаЬ - 7а + 10b +12 = 0.
Выразите Ь через а.
5.37.	Найдите отношение двух чисел, если отношение
произведения этих чисел к сумме их квадратов рав-
но 0,3.
54
5.38.	Найдите отношение двух чисел, если квадрат суммы
этих чисел в 3 раза больше неполного квадрата раз-
ности этих чисел.
5.39.	Найдите отношение двух положительных чисел, ес-
ли отношение их среднего геометрического к средне-
му арифметическому равно 0,6.
Решите графически уравнение (40—41):
5.40.	а)	х2 - 7х - 8 = 0;	б)	х2 + х - 12 = 0;
в)	2х2 - 5х + 2 = 0;	г)	0,5х2 + 3,5х -4 = 0.
5.41.	а)	х2 + | х | - 6 = 0;	б)	х2 - 2 | х | - 15 = 0;
в)	2х2 + |х| - 1 = 0;	г)	2х2 - 3 |х| - 2 = 0.
Решите уравнение (42—47):
5.42. а) х2 +(7х)2 - 2 = 0;
в) х2 -3(7*)2 -4 = 0;
6 I X I
5.43. а) х2 - 5х---= 0;
х
х2
в) f4-7x+12 = 0;
1*1
б) х2 + 7x^-2 = 0;
г) х2 - 37*2 -4 = 0.
-у 2
б) х2 + ~-6 = 0;
1*1
г) х|х| + 7х+12 = 0.
5.44.
5.45.
5.46.
а) х2+(7x^2)2-5 = 0; б) х2 -(7* + 3)2 -8 = 0;
в) х2 — Зх + г——-—“т = 0; г) *2 -4х-———+2 = 0.
|х-3,5|	х-л
а) х2 + 51 = 6х;	б)	х2 + х - 3 | = х;
в) х2 — х - 81 = -х; г) х2 + 2х + 3 | = Зх + 45.
а)
б)
в)
г)
х + 3 | = 12х2 + х - 51;
Зх2 - Зх + 5 = |2х2 + 6х-3|;
Зх2 - 6х - 1 =2 |3-х|;
3 | 2х2 + 4х + 11 = | х2 + 5х + 11.
5.47. а) |х — 2| х2 = 10 - 5х;
б)	(х2 — 5х + 6)2 + 3 | х — 3 | = 0;
в)	(7х2 - Зх - 4)2 + | 7х + 41 (х2 - I)2 = 0;
г)	6х - 9 = х2 (| х - 31 + 1).
5.48.	Найдите все корни уравнения х2 + х + 7б-6 = 0,
удовлетворяющие условию х < V2.
5.49.	Сравните меньший корень уравнения х2 — 14х + 28 = 0
с большим корнем уравнения х2 - 2х - 1 = 0.
5.50.	Сравните больший корень уравнения
х2 -(6-72)х+ 8-272 = 0
л/7 + V3 1 п /7>Т\
С ЧИСЛОМ -7=--7= — — (9 - V 21).
77-7з 2
55
5.51.	Сравните меньший корень уравнения x2-3(V14 +
+V5)x + 2(714+ V5)2 — О с числом . г----т=--.
V5+2V6	2V6-5
5.52.	Найдите все корни уравнения 2 |х2 + 2х - 5 | = х - 1,
удовлетворяющие условию х < 72.
5.53.	Найдите все корни уравнения |х2-х-3| + х + 1 = 0,
714
удовлетворяющие условию х > —.
о
ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите j	/равнение (54—60):
5.54. а)	х2-2х	2х-1	_ х2-2х+1 х + 1	.
		— Q.		1	— Л*
	
	х-1	1-х	х-3	3-х
в)	с* 1 00 1 со 00 /* с и о сс с 1 н (N
	
	х-4 х2-4х	’ х2-12х	х-12
5.55. а)	2х-5 Зх + 4 ч	Зх + 1 2х-3	_ 1
		1	— 1 •	ЛЧ 		— _7 —•
	
	х + 5 х + 2	’	х-3 4х + 3	11’
	4-Зх х + 1 _ 50.	. 2х-5	21х + 7
в)	х + 1 + 4-Зх 7 ’	Зх + 1 + 2х-5
5.56. а)	7	х + 4 _ Зх2 - 38.
б)	х + 1	2 —2х - X2 - 1 ’ х + 0,5 8х2+3_ х + 2 9х+3 ' 9х2 -1 “ Зх-Г х+3	3-х	2
в)	
	4х2-9	4х2 + 12х + 9	2х-3’
	1-2х	2х+1	8
г)		-J—.— 	— —	. 6х2+3х 14х2-7х	12х2-3
5.57. а)	30	7-18х _	13
	х2—1	х3+1 х2-х + 1’
б) в)	1	2	_2х + 1 1-х х2 + х + 1	1-х3’ 65	17х-10 _ 25 1-х3 х2+х + 1	х-1’
г)	х2+х + 16 36-х _ х-6 X2—х + 1	X3 +1 х + 1'
5.58. а)	2х-7	1	_ 1
	
	х2-9х + 14 х2—Зх+2	х-1’
	2х+7	3	_ 1
б)	х2+5х-6^ х2+9х + 18 х + 3’
.	25	8х + 29	18х+5
JJ 1_____________— _______________•
4х2 + 1 16х4-1	8х3+ 4х2+2х + 1’
56
х-1	1 _	х + 2
х3 + 3х2 +х + 3 + х4-1 х3 +3х2-х-3’
е ч 6	8	1
5.59. а)	2 „----7--о о о---- =	---5
х -7х-7х + 1	х3-8х2+х х2+х
х2-2х + 4	х2+2х + 4 _2х + 2
х3 -2х2 + 4х-8 + х3 +2х2 + 4х + 8 х2 - 4’
38	х + 10 _ х + 10
х4-х2+20х-100 х2-х + 10	х2+х-10’
г) 4х |1	2
8х3 + 1 16х4-4х2 + 4х-1	4х2 +2х-1’
5.80. a)	= о; 6)	=
х2-х-12	Зх2-7х + 2
ч х2-(ЗЬ-1)х + 2Ьг-2Ь л
в) -----s------------- 0;
ч х2+(l-46)x + 3fe2-Ь л
г) -----s---------— 0.
2х2+Зх-5
УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ
Решите уравнение (61—69):
5.61.	а) х2-7|х| + 6 = 0; б) х2 - 4 |х | - 21 = 0;
в)	(х - 2)2 - 8 |х - 2 | + 15 = 0;
г)	(х + З)2 - | х + 31 - 30 = 0.
5.62.	а) х2 + 2х + 2 |х + 1| = 7;
б)	х2 - 2х - 5 | х - 11 + 5 = 0;
в)	4х2 - 12х - 5 | 2х - 3 | + 15 = 0;
г)	9х2 - 24х - | Зх - 41 = 4.
5.63.	а) х2 - | х - 51 = 5; б) х2 + | х + 41 = 4;
в)	х2 + 4х + | х + 3 | + 3 = 0;
г)	х2 + 17 = 9х + 4 |х - 3|.
5.64.	а)	х = 5 + 4>/х;	б)	х-12>/х+35 = 0;
в)	2х-1 = 3^2х-1;	г)	Зх-5-2л/Зх-5 = 0.
5.65.	а)	х-3 + 477^3 = 12;	б)	х+ 2-13+7+2 =-42;
в)	х + 17 = 107х-4;	г)	х = 32+27х + 3.
5.66.	а)	х4 - 5х2 + 4 = 0;	б)	х4 - 8х2 - 9 = 0;
в)	9х4 + 23х2 - 12 =	0;	г)	16х4 - 409х2 + 225 = 0.
5.67.	а) (х + З)4 - 13 (х + З)2 + 36 = 0;
б)	(2х - I)4 - (2х - I)2 - 12 = 0;
в)	(х - I)4 - х2 + 2х - 73 = 0;
г)	(х + 2)4 + 2х2 + 8х - 16 = 0.
5.68.	а) х4 - (а2 + 9) х2 + 9а2 = 0;
б)	х4 - (9а2 + 4) х2 + 36а2 = 0;
в)	4х4 ~(b + 36) х2 + 9Ь = 0;
г)	9х4 - (Ь - 18) х2 - 2Ь = 0.
с со х *-2	0	2	«X Х2-2х-3
5.69.	а) —= 2х - х2; б) ——-г----------= 2х - 6;
XJ	X2
8х-4х2 _ х3-4х х2-х-2 _ 2х-4
1-х2 х + 1 ’	х-3	х2-3х
111	х+1
5.70.	Решите уравнение f(x)= f\ — L где f(x) = —
\ X J	Хг
5.71.	Решите уравнение f(x) = -/(-|х|), где:
х + 1	V 2
а) =	б) ftx) = ^.
5.72.	Найдите сумму квадратов корней уравнения:
а) х2 + 2 |х| - 1 = 0; б) х2 - 4 |х| + 1 = 0.
Решите уравнение (73—74):
5.73.	а) (х + I)2 (х2 + 2х) = 12;
б)	(х - 2)2 (х2 - 4х) + 3 - 0;
в)	(х2 + Зх + 1) (х2 + Зх + 3) + 1 = 0;
г)	(х2 - 5х + 2) (х2 - 5х - 1) = 28.
5.74. а)
в)
г)
х2-2х	16х-12	х2+4х 12-42х
4х-3 +5~ 2х-х2 ;	' 7х-2	х2+4х ~
\ 2	/	х 2
4х-5]	।Зх+2 ।
Зх+2) + (б-4х)
5х + 1 V ( 3-2хУ
2х-3 J I5х + 1 J
= 4,25;
= —
9 "
ТЕОРЕМА ВИЕТА
Решите устно уравнение (75-		-79):	
5.75.	а) х2 - 6х + 8 = 0;	б)	х2 - 5х - 6 = 0;
	в) х2 + 2х - 24 = 0;	г)	х2 + 9х + 14 = 0.
5.76.	а) Зх2 - 8х + 5 = 0;	б)	2х2 + 7х + 5 = 0;
в)	463х2 - 102х - 361 = 0;	г)	67х2 - 105х - 172 = 0.
5.77.	а)	х2 - Чах + 12а2 = 0;	б)	х2 + 5Ьх + 652 = 0;
в)	7х2 - 4ах - За2 = 0;	г)	7х2 + 13&х + 6&2 = 0.
5.78.	а)	х2-(712+1)х+ 72 =	0;
б)	х2 + (73-2)х-273 = 0;
в)	х2 + (72 + 7б)х + 27з = 0;
г)	х2 - (75-715)х-573 = 0.
( о \2	( о \
5.79.	а) 2х2 - 5х - 7 = 2 • £ -5-^-7;
V5)	<5 7
58
б)	Зх2 + 7х - 2 = 3 • f-^1 + 7-Г-^П-2;
V О 7	V о у
в)	4х2 - Зх + 9 = 4 • (3,7)2 - 3 • (3,7 - 3);
г)	5х2 + 10х + 3 = 5 • 4,2 • (4,2 - 2) + 3.
Составьте квадратное уравнение с заданными корнями
(80—82):
5.80.	а) -7 и -2; б) 8 и -3; в) 1| и 2; г) -3,4 и 6.
О
5.81.	a) v и Т» б) -2^ и -2^; в) V3 и V3; г) -V5 и -V5.
7	7	о о
5.82.	a) V3hV5; 6)3-V5h3 + V5; в) -41 и V2;
г) 2-41 к 41.
5.83.	Составьте квадратное уравнение с рациональными
коэффициентами, если известно, что один из корней
уравнения равен:
a) -V6; б) 41} в) 2-V5; г) 3 + V3.
5.84.	Найдите пары чисел (zn; п), удовлетворяющие условиям:
а) т + п = 4 и тп = 4; б) т + п — -5 и тп — 6;
в) т + п - 2 и тп — -48; г) т + п = -3 и тп = -18.
5.85.	Не вычисляя корней уравнения Зх2 + 8х — 1 — 0,
найдите:
a) xf + х2; б) xtxf + x2xf; в) + г) х* + х2.
х2 Xj
5.86.	Не вычисляя корней уравнения 2х2 - 5х - 4 = 0,
найдите:
а) -^2+4’ б) Х1*2 +Х2Х?; В) Э’+3’; Г) +Х^‘
5.87.	Не вычисляя корней уравнения 2х2 - 5х + 1 = 0,
найдите разность квадратов его корней.
5.88.	Пусть хх и х2 — корни уравнения 2х2 - 7х - 3 — 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого
являются числа:
а) хх - 2 и х2 - 2; б) 2хг + 3 и 2х2 + 3;
1
х2
X 1
в) — и
Х1
5.89.	Пусть хл и х2 — корни уравнения 4х2 - 6х - 1 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого
являются числа:
а) х^2 и х2х2г; б) и
59
5.90.	При каких значениях k произведение корней урав-
нения х2 + Зх + (k2 - 7k + 12) = 0 равно нулю?
5.91.	При каких значениях k сумма корней квадратного
уравнения х2 + (k2 + 4й - 5) х - k = 0 равна нулю?
5.92.	В уравнении х2 - 4х + а = 0 сумма квадратов кор-
ней равна 16. Найдите а,
5.93.	В уравнении х2 - 2х + а = 0 квадрат разности кор-
ней равен 16. Найдите а.
5.94.	При каких значениях а сумма корней уравнения
х2 — 2а (х - 1) - 1 = 0 равна сумме квадратов его
корней?
5.95.	При каком значении параметра т сумма квадратов
корней уравнения x2 + (2-/n)x-zn-3 = 0 наи-
меньшая?
5.96.	При каком значении параметра т сумма квадратов
корней уравнения х2 + (т - 1) х + т2 - 1,5 = 0 наи-
большая?
5.97.	Найдите сумму квадратов всех корней уравнения
х2 - 3 | х | + 1 = 0.
5.98.	При каких значениях р и q корни уравнения
х2 + рх + q - 0 равны 2р и -?
2
5.99.	При каких значениях параметра а один из корней
квадратного уравнения (а2 - 5а + 3) х2 + (За - 1) х +
+ 2 = 0 в два раза больше другого?
5.100.	Известно, что корни уравнения х2 - 5х + а = 0 на 1
меньше корней уравнения х2 - 7х + За - 6 = 0. Най-
дите а и корни каждого из уравнений.
5.101.	Известно, что корни уравнения х2 - 13х + 6 = 0 рав-
ны соответственно квадратам корней уравнения х2 +
+ ах + 6 = 0. Найдите а и Ь и корни каждого из
уравнений.
ИССЛЕДОВАНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
5.102.	При каких значениях параметра с уравнение
5х2 - 4х + с = 0:
а)	имеет действительные различные корни;
б)	имеет один корень;
в)	не имеет действительных корней;
г)	имеет хотя бы один общий корень с уравнением
х2 + 13х - 30 = 0?
Здесь и далее фраза «квадратное уравнение имеет
один корень» означает наличие у уравнения корня
двойной кратности.
60
5.103.	При каких значениях параметра Ь уравнение
х2 + Ьх + 4 = 0:
а)	имеет один из корней, равный 3;
б)	имеет действительные различные корни;
в)	имеет один корень;
г)	не имеет действительных корней?
5.104.	При каких значениях параметра Ъ корни уравнения
4х2 + (3&2 -5|Ь| + 2)х-3 = 0 равны по модулю?
5.105.	Найдите наибольшее целое значение fe, при котором
уравнение х2 + х - k = 0 не имеет действительных
корней.
5.106.	Найдите наименьшее целое значение а, при кото-
ром уравнение х2 - 2 (а + 2) х + 12 + а2 = 0 имеет
два различных действительных корня.
5.107.	При каком значении а уравнение
ах2 - (а + 1)х + 2а - 1 = 0
имеет один корень?
5.108.	При каком значении а уравнение
(а + 2)х2 + 2 (а + 2)х + 2 = 0
имеет один корень?
5.109.	При каких значениях а уравнение
(а2 - 6а + 8)х2 + (а2 - 4)х + (10 - За - а2) = 0
имеет более двух корней?
5.110.	При каких значениях а уравнение 2х2 + х - а = 0
имеет хотя бы один общий корень с уравнением
2х2 - 7х + 6 = 0?
5.111.	При каких значениях а уравнения х2 + ах + 1 = 0
их2 + х + а- 0 имеют хотя бы один общий корень?
5.112.	При каких значениях а уравнения
х2 + 2 (а - 3)х + (а2 - Та + 12) = 0 и
х2 + (а2 - 5а + 6)х = 0
равносильны?
5.113.	Докажите, что корни уравнения х2 + рх + q = 0, где
р и q — нечетные числа, иррациональны.
5.114.	При каком соотношении между а, b и с уравнение
0,75х2 + (а + Ь + с) х + а2 + Ъ2 + с2 = 0 имеет один ко-
рень? Может ли данное уравнение иметь два дейст-
вительных различных корня?
5.115.	При каком значении параметра а уравнение
(а + 4х - х2 - 1) (а + 1 - | х - 2 |) — 0
имеет три корня?
61
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.116.	Найдите двузначное число, если цифра его десятков
на 2 больше цифры единиц, а произведение числа и
суммы его цифр равно 900.
5.117.	Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше дру-
гой, а сумма квадратов этого числа и числа, полу-
ченного перестановкой его цифр, равна 1877. Най-
дите это число.
5.118.	В однокруговом шахматном турнире было сыграно
78 партий. Сколько человек участвовало в соревно-
вании?
5.119.	В период военных учений в системе обороны диви-
зии было создано несколько командных пунктов,
причем каждый из них имел линию связи с любым
другим из числа оставшихся. Сколько командных
пунктов организовано, если количество линий свя-
зи равно 45?
5.120.	Население города за 2 года увеличилось с 20 000 до
22 050 человек. Найдите средний ежегодный про-
цент роста населения этого города.
5.121.	Производственное объединение получило задание
увеличить вдвое объем выпускаемой продукции в
течение двух лет. Каким должен быть ежегодный
прирост продукции (в процентах), если он планиру-
ется одинаковым для каждого года?
5.122.	С аэродрома вылетели одновременно два самолета:
один — на запад, другой — на юг. Через два часа
расстояние между ними было 2000 км. Найдите
скорости самолетов, если скорость одного составля-
ла 75% скорости другого.
5.123.	Катер прошел 18 км по течению реки, а затем 20 км
против течения, затратив на весь путь 2 ч. Найдите
скорость течения реки, если собственная скорость
катера 20 км/ч.
5.124.	Расстояние между станциями А и В равно 120 км.
В полночь из А в В отправляется поезд. В 3 ч той
же ночью из А в В отправляется другой поезд, про-
ходящий в час на 10 км больше первого. Второй по-
езд прибывает в В на 2 ч позже первого. В котором
часу второй поезд прибыл в В?
5.125.	Из двух пунктов, расстояние между которыми
28 км, выходят одновременно навстречу друг другу
два пешехода. Если бы первый пешеход не задер-
жался на 1 ч на расстоянии 9 км от места своего от-
62
правления, то встреча пешеходов произошла бы на
середине пути. После остановки первый пешеход
увеличил свою скорость на 1 км/ч, и они встрети-
лись на расстоянии 4 км от места его остановки.
Найдите скорость второго пешехода.
5.126.	Экскаватор роет котлованы емкостью по 20 м3. По-
сле того как был вырыт первый котлован, произво-
дительность экскаватора уменьшилась на 1 м3/ч.
Известно, что через 6,5 ч после начала работы было
вырыто полтора котлована. Найдите первоначаль-
ную производительность экскаватора.
5.127.	Два двигателя начали работу одновременно. Пер-
вый из них, прекратив работу на 2 ч позже второго,
израсходовал 300 г топлива. Второй двигатель из-
расходовал 192 г топлива. Сколько топлива в тече-
ние одного часа расходует первый двигатель, если
известно, что эта его характеристика на 6 г превы-
шает соответствующую характеристику второго
двигателя?
5.128.	Бак емкостью 2400 м3 наполняется топливом. При
опорожнении этого бака производительность насо-
са на 10 м3/мин выше, чем производительность на-
соса при заполнении. В результате время опорожне-
ния бака на 8 мин меньше времени заполнения.
Определите производительность насоса при запол-
нении бака.
5.129.	В колхозе два поля засеяли пшеницей: с первого по-
ля собрали 1080 ц зерна, а со второго поля — 750 ц.
Площадь первого поля на 10 га больше площади
второго. Если бы с 1 га первого поля собрали столь-
ко же пшеницы, сколько собрали с 1 га второго по-
ля, а с 1 га второго поля собрали бы столько же,
сколько собрали с 1 га первого поля, то с обоих по-
лей собрали бы одинаковое количество зерна. Сколь-
ко центнеров зерна собрали с 1 га каждого поля?
5.130.	Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 ч быст-
рее второго. За сколько часов второй рабочий изго-
товит 90 деталей, если, работая вместе, они изгото-
вят за 1 ч 30 деталей?
5.131.	Баржа была разгружена с помощью двух подъем-
ных кранов в течение 15 ч, причем первый кран
приступил к работе на 7 ч позже второго. Известно,
что первый кран, работая один, может разгрузить
баржу на 5 ч быстрее, чем второй кран, работаю-
щий отдельно. За сколько времени может разгру-
зить баржу каждый кран, работая отдельно?
63
5.132.	Имеется два одинаковых бака. При совместной ра-
боте двух насосов один бак наполняется водой за 3 ч
36 мин. За сколько времени наполнится каждый
бак, если к нему подведен только один насос и с по-
мощью второго насоса бак наполняется на 3 ч быст-
рее, чем с помощью первого?
5.133.	Два тракториста могут вспахать зябь на 18 ч быст-
рее, чем один первый тракторист, и на 32 ч быст-
рее, чем один второй. За сколько часов может вспа-
хать зябь каждый тракторист, работая один?
5.134.	В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг
алюминия, добавили 15 кг магния, после чего со-
держание магния в сплаве повысилось на 33%.
Сколько весил сплав первоначально?
5.135.	Имелось два слитка меди. Процент содержания ме-
ди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент
содержания меди во втором слитке. После того как
оба слитка сплавили, получили слиток, содержа-
щий 36% меди. Найдите процентное содержание
меди в первом и во втором слитках, если в первом
слитке было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.
5.136.	После смешения двух растворов, один из которых
содержал 48 г, а другой 20 г безводного йодистого
калия, получили 200 г нового раствора. Найдите
концентрацию каждого из первоначальных раство-
ров, если концентрация первого раствора была на
15% больше концентрации второго.
5.137.	В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого
спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили
столько же литров смеси и сосуд опять долили во-
дой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта
втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в
первый раз?
5.138.	Два пешехода одновременно выходят навстречу
друг другу из пунктов А и В и встречаются через
полчаса. Продолжая движение, первый прибывает в
В на 11 мин раньше, чем второй в А. За какое вре-
мя преодолел расстояние АВ каждый пешеход?
5.139.	Две точки движутся по двум окружностям, радиусы
которых относятся как 1 : 6. Найдите скорость дви-
жения каждой точки, если за 10 с точка,
движущаяся по большей окружности, прошла на
2 м больше и совершила при этом в 5 раз меньше
оборотов.
5.140.	По окружности движутся два тела: первое тело про-
ходит круг на 2 с быстрее второго. Если тела дви-
64
жутся в одном направлении, то они встречаются че-
рез каждые 60 с. Какую часть окружности прохо-
дит каждое тело за 1 с?
5.141.	Придумайте задачу, решение которой приводит к
уравнению:
а) х (х - 3) = 180;
,	10	20 г
10-х г + 50	’
42	40 = -
J 17-х	17 + х
1 12 , 530 .
Г) х х + 1 х + 2
Решите эту задачу.
Неравенства
1. Числовые неравенства и их свойства.
Число а больше числа Ь, если разность а-Ь — положи-
тельное число. Число а меньше числа Ь, если разность
а - Ь — отрицательное число.
Если а > b и & > с, то а > с (свойство транзитивности
отношения неравенства).
Если а > b и с е R, то а + с > Ь + с.
Если а > Ь и с > 0, то ас > Ьс.
Если а > Ъ и с < 0, то ас < Ьс.
Если а> Ь и с > d, то а + с > Ъ + d.
Если а>Ь>0ис>й>0, то ас > bd.
Если а > Ь > 0 и п g N, то ап > Ьп (в случае нечетного п
условие Ь > 0 избыточно).
Если ап > Ь\ а > 0, Ь > 0 и п е 7V, то а > & (в случае не-
четного п условия а > 0, Ь > 0 избыточны).
2» Неравенства с одной переменной, их системы и
совокупности.
Решением неравенства с одной переменной называют
значение переменной, которое обращает его в верное чис-
ловое неравенство. Термин «решить неравенство» означает
найти все его решения (или доказать, что их нет).
Неравенства называются равносильными, если множе-
ства их решений совпадают (неравенства, не имеющие ре-
шений, также равносильны).
Несколько неравенств с одной переменной образуют си-
стему, если ставится задача найти все числа, каждое из
которых является решением каждого из указанных нера-
венств.
65
Несколько неравенств с одной переменной образуют со-
вокупность, если ставится задача найти все числа, каждое
из которых является решением хотя бы одного из задан-
ных неравенств.
Пример 1. Известно, что 2а + ЗЬ = 5 и | Ъ | < 9. Оцени-
те значение а.
Решение. Из условия имеем а = 0,5 (5 - ЗЬ). Нера-
венство | Ь | < 9 равносильно двойному неравенству
-9 < Ь < 9. Умножая все части двойного неравенства на -3,
получаем -27 < -ЗЬ <27. Прибавляя ко всем частям полу-
ченного неравенства 5, имеем -22 < 5 - ЗЬ < 32. Наконец,
умножая на 0,5 все части последнего неравенства, получа-
ем оценку значения а: -11 < а < 16.
Пример 2. Докажите, что (а + 1) (а + 2) (а + 3) х
х (а + 6) > 96а2, где а > 0.
Доказательство. Рассмотрение разности обеих час-
тей неравенства и сравнение ее с нулем, т. е. попытка до-
казательства неравенства по определению, в данном слу-
чае затруднительна. Воспользуемся неравенством Коши
между средним геометрическим и средним арифметиче-
ским двух положительных чисел: а +1 > 2д/а, а + 2 > 2^а,
а +3 > 2у[3а, а + 6 > 2л/ба. Почленно перемножим получен-
ные неравенства (это возможно, так как обе части каждого
из них положительны): (а + 1) (а + 2) (а + 3) (а + 6) > 96а2.
Заметим, что равенство здесь возможно лишь в случае,
когда каждое из четырех перемножаемых неравенств обра-
щается в равенство, но это означает, что а = 1, а = 2, а = 3
и а = 6 одновременно, чего быть не может. Значит,
(а + 1) (а + 2) (а + 3) (а + 6) > 96а2.
Пример 3. Для каждого значения параметра а реши-
те систему неравенств:
ГЗ (х + 1) + 3,5 (х + 3) <5х-0,25 (2-х),
[| х | > а.
Решение. Умножая обе части первого неравенства
на 4, раскрывая скобки и перенося все слагаемые, содержа-
щие переменную, в левую часть, а все константы — в пра-
вую часть неравенства, получим 5х < -56, откуда х < -11,2.
Решая второе неравенство, рассмотрим три случая. Ес-
ли а < 0, то любое действительное число х является реше-
нием неравенства, а значит, решение системы совпадает с
решением первого неравенства. Если а = 0, то решением
неравенства | х | > 0 является любое действительное чис-
ло, отличное от нуля, а значит, и в этом случае решение
системы совпадает с решением первого неравенства, так
66
как 0 й (-со; -11,2). Если же а > 0, то решением неравен-
ства
|х| > а является совокупность
х <-а,
х>а,
и для отыска-
ния решений системы необходимо сравнивать а с чис-
лом -11,2. Пересечением множеств -11,2) и
(-со; -a) U (а; + оо) является интервал (-оо; -11,2), если
О < а < 1,2, и интервал (-со; -а), если а > 11,2.
Ответ: (-оо; -11,2) при а < 11,2; (-оо; -а) при а > 11,2.
Упражнения
ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА
6.1.	Сравните числа а и Ь, если известно, что:
а)	а = Ь - 0,2;	б) Ь + 3 = а + 2-У2;
в)	а - 3 = b - с, где с < 3; г) а + 2 = b + с, где с > 2;
д)	а + 1 = 2Ъ, где b > 1; е) Ь + а = 1 + Ь2.
6.2.	Сравните числа:
а)1и|;	б) — и —;
89	12	11
в) 323 • 325 и 3242; г) 742 - 272 и 732 - 26^
д) V23-V11 и V22-V10; е) V38 + V20 и л/37 + V21.
6.3.	Сравните выражения:
а)	(а - 1) (а + 2) и (а + 4) (а - 3);
б)	(а - 2)2 и 4 (1 - а);
в)	а2 + 25 и 10а;	г) (b + З)2 и (Ь + 2) (Ь + 4);
д)	Ь2 + 5 и 26 + 3;	е) 1 - а и — -1 (а > 0);
а
ж)	с4 + 1 и 2с | с |.
Докажите неравенство (4—9):
6.4.	а) а2 + 9б2 > баб;	б)	< а2 + Ь2-,
в) 2а2 + б2 + с2 > 2а (б + с); г) а2 + Ъ2 > 2 (а + Ь - 1).
6.5.	а) (а2 - Ь2)2 > 4аЬ (а - Ь)2;
б)	(а3 - Ь3) (а-Ъ)> ЗаЬ (а - б)2;
в)	(а2 - б2) (а4 - б4) < (а3 - б3)2;
г)	(ab2 + а3) (а - Ъ) > (а2Ь + Ь3) (а - б).
6.6.
6.7.
a)	а2 - ab + Ь2 > 0; б) а2 + баб + 10б2 > 0;
в)	а2 + 3 > 2а;	г) (б + 1) (3 - б) < 5.
1 д < А- а <1.
а2+а + 1	3’	а2 — 4а+9 3’
ч 2 । 1 -ъ ,1	X а4+16 . _
в) а2 +-^>а + -;	г) —j—->2а.
а2 а а2+4
67
6.8.	а) в)	9а2-30 |а| + 25 > 0; а2-4а + 5>2|а-2		б) Ъ2 + 25 3 |; г) &2-26 +	г Ю |&|; 10 > 6 | b - 11.
6.9.	а) в)	а4 + Ь4 5= а6 + Ь6	 a3b + ab3', а4Ь2 + а2&4;	б) а4 + Ъ4 + г) а6 + Ь6 >	ab (а2 + Ь2) > 0; а56 + аЬ5.
6.10.	Докажите, а) а3 + Ь3 в) а5 + Ь5 >		что если а > ! a2b + ab2; ! a4b + ab4;	0 и 6 > 0, то: б) (а + Ь)3 < 4 (а3 + Ь3); г) а5 + Ь5 > а3Ь2 + а2Ь3.	
6.11.	Докажите, а) а3 - Ь3 > в) а3 - &3 >		что если а >  a2b - ab2; ! ab2 - а2Ь;	Ь, то: б) а3 - Ь3 > г) а5 - ft5 >	ЗаЬ (а - Ь); a4b - ab4.
6.12.	Докажите,		что при любых а и Ъ имеет место неравен-		
ство:
а)	а4 - 2а3& + 2а2Ь2 - 2а63 + &4 > 0;
б)	а4 - 4а3Ъ + 8а2Ь2 - 16а&3 + 16&4 > 0.
6.13.	Докаждте, что для любых а, 6, с и d имеют место не-
равенства:
а)	(а2 - Ъ2) (с2 - d2) (ас - bd)2;
б)	(а2 + Ь2) (с2 + d2) > (ас + bd)2.
причем равенство имеет место тогда и только тогда,
когда ad = be.
6.14.	Докажите, что для любых а и Ъ таких, что ab > 0,
имеет место неравенство (а2 - Ь2)2 > (а - 6)4.
6.15.	Докажите, что если а < &, то а <	<Ъ.
А
Л	-rr	/ т /	/	а + Ь + с
6.16.	Докажите, что	если а < Ъ < с,	то а <	—-—	<с.
6.17.	Известно, что а > 0, Ъ > 0, с < 0, d < 0.
Какой знак имеют выражения: ab, ас, cd, -, —, —,
b d с
abc, bed,	abed,
с d ad cd bd с
6.18.
Какой знак имеет произведение ab. частное
а
Ь*
если
известно, что:
а)	а и Ъ — числа одного знака;
б)	а и b — числа разных знаков?
6.19.	Положительными или отрицательными являются
числа а и Ь. если известно, что:
a) ab > 0; б) £ > 0; в) ab < 0; г) £ < 0;
и	и
д) а2Ъ > 0; е) а2Ъ <0; ж) ^- < 0?
Ь*
68
6.20.	Известно, что а > 2. Какой знак имеет выражение:
а) За - Ь; б) 10 - 5а; в) 2а - 2; г) (а - 2) (1 - а);
. а -2 ч z оч2/	х -5 ч (а-1)(2-а)„
Д) --S е) (а - З)2 (а - 1); ж) -—; з) --------?
а -1	2 —а	5 + а
6.21.	Известно, что а < 3. Какой знак имеет выражение:
а) 2а ~ 6; б) 12 - 4а; в) 2а - 8; г) (а - 5) (а - 3);
д)^; е) (а - I)2 (а - 2); ж)з) —-?
3 — а	3 — а	(а — 2)(3 — а)
6.22.	Какой знак имеет выражение (а - 1) (а - 4), если из-
вестно, что:
а) а < 1; б) а > 4; в) 1 < а < 4; г) а > 5?
6.23.	Докажите, что если а > 1 и & > 1, то аб + 1 > а + 6.
6.24.	Докажите, что если а > Ь и Ъ < 2, то 6 (а + 2) <
< Ъ2 + 2а.
6.25.	Докажите, что если а > Ъ > 1, то
а2Ъ + Ъ2 + а > ab2 + а2 + Ъ.
6.26.	Докажите, что если а < Ъ < 2, то
а2Ъ + 2Ъ2 + 4а < ab2 + 2а2 + 46.
6.27.	Докажите, что если 1<а<6<2, то
а2Ь - ab2 - а2 - аЪ + 2Ъ2 + 2а - 26 > 0.
6.28.	Докажите, что если а > 6 > с, то
а2 (6 - с) + 62 (с - а) + с2 (а -6) > 0.
6.29.	Докажите, что:
а)	если а > 2, 6 > 3, то За + 56 > 21;
б)	если а > 5, 6 < 2, то 2а - 36 > 4;
в)	если а > 56, 6 > 2с, то а > 10с;
г)	если а < 26 + Зс, 6 < 5тп + 1, с < 4т - 2, то
а < 22т — 4.
6.30.	Верно ли, что:
а)	если а х	> з,	Ь '	> 5, то ab '	> 15;
б)	если а <	С 2,	ъ <	С 3, то ab <	С 6;
в)	если а х	> з,	то	а2 > 9;	
г)	если а <	: 2,	то	а2 < 4?	
6.31.	Верно ли, что:
а)	если а > 3, то | а | > 3;
б)	если а < 4, то | а | < 4;
в)	если а < -2, то | а | > 2;
г)	если -5 < а < 5, то | а | < 5?
6.32.	Докажите, что если | а | < е (е > 0), то -е < а < е.
69
6.33.
6.34.
6.35.
6.36.
6.37.
6.38.
6.39.
6.40.
6.41.
6.42.
6.43.
6.44.
Докажите, что если | а | > М (М > 0), то а < -М или
а > М.
Верно ли, что:
а) если а > Ъ, то > 1; б) если то ad > Ьс,
b	b d
в)	если £ > 1 и а > 0, то а > Ъ;
b
г)	если а>&>0ис>с!>0, то^>-?
d с
Верно ли, что:
а) если а > 2, то — < 3; б) если а < 2, то — > 3;
а	а
2
в)	если —- > 1, то 3 < а < 5;
CL — о
г)	если 2 < а < 3, то —> 1?
Верно ли, что:
а2
а) если а2Ь > 0, то Ь > 0; б) если — 0, то Ъ < 0;
b
в) если а2Ъ < 0, то Ь < 0; г) если Д- > 0, то а > 0?
Ъ2
Сравните а и Ь, если известно, что:
а)	а	< с, с < Ь;	б)	а	>	с, с > &;
в)	а	< с, с < Ь;	г)	а	>	с, с > Ь;
д)	а	> тп = п > с > &;	е)а<тп<п=р<6.
Сравните а и &, если известно, что:
а)	а	> тп, in > Ь +	2;	б)	а	>	тп, тп > & + 1;
ъ)	а	тп, тп > Ъ +	с2*,	г)	а	>	тп, тп > Ь + | с |.
Известно, что а > Ь + 3, & + 1 > 7. Докажите, что
а > 9.
Сравните а и Ъ, если известно, что:
а)	а-2<с<&-3;
б)	2а + 5 < с + 2 и с - 3 < 2 (Ь - 1);
в)	а > 1 + тп2, b < 2тп; г) а < 6п, b > п2 + 9.
Докажите, что если а + с>&иа-с<&, тос>0.
Сравните а и Ъ, если известно, что:
а) & - а < с, а -Ъ > с*, б) а + с > Ь + 1, с < 1.
Известно, что 2 < а < 3. Оцените значение выражения:
а) За; б) -а; в) 2а - 1; г) 3 - 4а.
Известно, что 1 < а < 2. Оцените значение выраже-
ния:
а)а* + 1; б) а* - 6а + 10; в)	г)
70
6.45.
6.46.
6.47.
6.48.
6.49.
6.50.
6.51.
6.52.
6.53.
6.54.
6.55.
6.56.
6.57.
6.58.
Известно, что с — 1 < а < b + 2, 25 - 1 < 5, Зс + 2 > 11.
Оцените значение выражения:
а) За; б) в) 2а + 3; г) 1 - 2а.
Оцените значение а, если известно, что:
a)	а -	b2 = 1;	б)	а + |&| < 3;
в)	а +	|Ь| = 2;	г)	а - Ъ2 > 5.
Оцените значение а, если известно, что:
a)	а +	Ъ = 3 и	&	<	7;	б)	а + Ь > 3 и	Ь	<	2;
в)	а +	Ъ < 5 и	b	>	1;	г)	а + 6 = 7 и	2	<	&	< 3.
Оцените значение а, если известно, что:
б) Ь-а = 2 и |&| > 3.
а) а + & = 3и|&|<7;
Сравните а и Ь, если
а) а = 5Ь и Ь > О;
в) v >3и & > 0;
ь
д) I > I и ь > 0;
а b
известно, что:
б)	5а = 76 и а > 0;
г) — <3 и а < 0;
а
е) - | и а > 0.
а Ъ
Сравните а и 6, если известно, что:
а п + 1 , . Л л а 2п + 5
а) - = ——, Ъ > 0, п > 1; б) - = —-—, b > 0, п > 1;
7 Ъ 2п ’	7 b 7п
Докажите, что среднее арифметическое двух неотри-
цательных чисел не меньше, чем их среднее геомет-
рическое, т. е. 7а& (а > 0; Ъ > 0). Покажите,
что равенство возможно лишь при а — &.
Докажите, что сумма двух взаимно обратных поло-
жительных чисел не меньше, чем 2.
Докажите неравенство:
а)	а2 + Ь2 > 2 | ab |;
б)	т + ~ >2(а иб — числа одного знака);
b а
а2 + 4
г) > 2-
' у	а + Ь’
тт	X Л а + 4а + 9 г /—
Докажите, что если а > 0, то ———+ —^ > 5уа.
Докажите, что если а, Ь, с, d — положительные чис-
а+с b+d . г.----------гт;--зт
ла, то ——+ —о > ^(a+b)(c + d).
Докажите, что если а > 0, Ь > 0, с > 0, то —-— > 2д/а&.
Докажите, что если тп = 1, т > 0, то а2т + Ь2п > 2аЬ.
Докажите, что если а > 0, Ь > 0, то (а3 + Ъ) (а + &3) >
> 4а2&2. При каких а и Ь имеет место равенство?
71
6.59.
6.60.
6.61.
6.62.
6.63.
6.64.
6.65.
6.66.
6.67.
6.68.
6.69.
6.70.
6.71.
6.72.
6.73.
Докажите, что при а > О, b > 0 имеет место неравен-
ство (а +6)| - + I > 4.
6 J
Докажите неравенство (а + b) (ab + 9) > 12аЬ (а > О,
Ь > 0). При каких а и b имеет место равенство?
Докажите неравенство Ь (а2 + 1) + a (b2 + 1) > 4аЬ
(а > 0, 6 > 0).
Докажите, что при а > 0, 6 > 0 имеет место неравен-
ство (а + 1) (b + 1) (ab + 1) > ЗаЬ. При каких а и Ь
имеет место равенство?
Докажите неравенство	+ 4— > 4 (а и Ь — одного
знака).	ЗЬ 5а
Докажите неравенство (а2Ь2 + 36) |	+ — | > Зблб
\4b a J
(а > 0, Ъ > 0). При каких значениях а и б имеет мес-
то равенство?
ab 3
Докажите, что (1 + а) (1 + 6) (1 + с) > 24, если -
и а > 0, b > 0.	А с
( а2 Ь2 с2
Докажите неравенство 11 + — 11 1 + — II 1 + — I > 8
(а > 0, Ь > 0, с > 0).
Докажите неравенство
( о 4 Л
(ab + 6) (2а + 36)	+ 4 \> 288 (а > 0, 6 > 0).
\а2	62 J
При каких значениях а и 6 имеет место равенство?
Докажите, что если а > 0, то имеет место неравенство:
а) ^|а + - | + а2 > 2а; б) а4 + ~ + ->4;
2\ а)	а2 а
в)	а10 +4 + ->8; г) а40+4г + 4 + 4 + ^16.
а2 а	а16 а4 а2 а
При каком значении а в каждом из неравенств име-
ет место равенство?
Докажите неравенство а4 4- 64 4- 2с2 > 4а6с.
Докажите, что если а < 0, то а + - -2.
Докажите, что если а > 0, 6 > 0, с > 0,
а + 6 Ь + с а + с Л
---+-----+ —— > 6.
cab
_____	\ л	а 4-4 а 4- 2 6	„
Докажите, что если а > 0, то ——+ —;j~ + “ > °’5*
Докажите, что если а > 0, 6 > 0, с > 0, d > 0, то
b + c + d a + c + d a + b + d a+b+c
-----------+ ------+--------+ —-— >12.
abed
то
72
Докажите неравенство (74—86):
6.74.	(а + &+с)| 1+ J + - I > 9 (а > О, Ъ > 0, с > 0).
Ь с)
6.75.	£ + - + § + -^4(а > О, b > 0, с > 0, d > 0).
Ъ с d а
6.76.	(l + ^Yl + ^Yl + ^Yl + ^W (а > О, Ь>0,
V ad J\ ab J\ be J\ cd)
c > 0, d > 0).
«	ad 4~ be be 4" ad .	~ 7	л \ л\
6.77.	? ? +---------4, (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0).
bd ac
6.79.	-^- + — + ^->3, (a > 0, b > 0, c > 0).
b + c c + a a + b
6.80.	, 3a , + 3fe , + 3c , + 3d >4, (a > 0, b > 0,
b + c + d a+c+d a+b+d a+b+c
c > 0, d > 0).
6.81.	(a + b)2 ^(l+c)a2 +| 1 + - |d2, (c > 0).
k c J
6.82.	ab + 7(l-a2)(l-d2) 1, (| a | < 1, | b | < 1).
6.83.	-Ja +c)(&+d) Jab + Jcd, (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0).
6.84.	< Jab <	(a>0, b> 0).
a + b
6.85.	J a2 + c2 + Jb2 +d2 ^^(a+b)2 +(c + d)2.
6.86.	yj(a2 + c2 ) (b2 +c2) +7(&2 +c2 ) (b2 +d2 ) +
+ ^(b2 +d2 )(a2 +d2) + y](a2 +d2)(a2 +c2) >
> 2 (a + b) (c + d), (a > 0, b > 0, c > 0, d > 0).
6.87.	Докажите, что если произведение двух положитель-
ных чисел есть число постоянное, то их сумма будет
наименьшей, если эти числа равны.
6.88.	Найдите наименьшее значение выражения х 4- I/, ес-
ли известно, что ху = 9, х > О.
6.89.	Найдите наименьшее значение выражения 2а 4- &,
если известно, что ab = 8, Ъ > 0.
6.90.	Найдите наименьшее значение выражения 3z 4- 2£,
если известно, что zt = 6, z > 0.
6.91.	Найдите наименьшее значение выражения:
а) х + ~, (х > 0); б)	(х > 0);
73
. 4га-Тг + 25 , _	, Ь'+Ьг+1
в) ----1----• <г >0); Г> ~^г-
6.92.	Найдите наибольшее значение выражения:
а) —5 9> (* > 0); б) —? ;
16 + х2	4z4+9
ч	42 г	/ х лч	х 24х z .
в) (г =0); Г) <х > 0)-
6.93.	Докажите, что если сумма двух положительных чи-
сел есть число постоянное, то их произведение будет
наибольшим, если эти числа равны.
6.94.	Найдите наибольшее значение ху, если известно,
что х + у = 10, х > 0, у > 0.
6.95.	Найдите наибольшее значение ху, если известно,
что 2х + у = 6их>0, у > 0.
6.96.	Найдите наибольшее значение ху, если известно,
что Зх + 4у = 12 и х > 0, у > 0.
6.97.	Найдите наибольшее значение выражения х (4 - х),
если известно, что 0 < х < 4.
Докажите неравенство (98—103):
6.98. a) 6)	a2 + b2 + c2 > ab + ac + be; (a + b + c)2 < V3 (а2 + b2 + c2);
в)	Л1 о + + <3 1 Л\ | <3 + + (N	 j3l*c
r)	Га + d + c^j >ab + ac+bc 1 3 J 3
6.99. a)	+	+	+	> 0, ь > 0, с > 0, d > 0); cd da ab Ьс
6) 6.100. a) 6)	a4 + &4 + c4 + d4 > 4abcd. a4 + b4 + c4 > a + b + с, если abc = 1, a > 0, b > 0; д.3	1,3	лЗ ^- + —+ £г^а + & + с(а > 0, b > 0, c > 0); be ac ab
в)	f—1 + f—1 + f—1 a2bc + b2ac + c2ab; \a J \b J \c J
r)	+ n 1 o- + о |n V <3-| Й + I o- + о 1
6.101. a)	a3 + b3 + c3 > 3abc (a > 0, b > 0, c > 0); f A3 fh\3	( \3
6)	?	+	+ £	>3 (a > 0, b > 0, c > 0). \b ) \c J \a J
6.102.	а) 3 (а2 + Ь2 + с2 + d2) > 2 (а& + ас + ad + be + bd + cd)-,
б) (a + b + c + d)2 < 4 (a2 + b2 + c2 + d2).
74
6.103.	(a + b - c)2 + (b + c - a)2 + (a + c - b)2 > ab + be + ac.
6.104.	Докажите, что если a > 0, то a"
6.105.	Докажите, что если а2 + b2 = 1, то | a + b | < V2.
6.106.	Докажите, что если а + b = 1, то а2 +Ь2
6.107.	Докажите, что если а2 + Ь2 + с2 = 1, то | а + Ъ + с | V3.
6.108.	Докажите, что если 1 < а < 2, то 2 <а + — <3.
а
( (1% А [л h А
6.109.	Докажите, что 4 —5- + —-3 — + - + 5>0 при
V 4bz аг )	а)
любых а Ф О, Ъ Ф 0.
6.110.	Докажите, что а (а + 1) (а + 2) (а + 3) + 1 >0. При
каких а имеет место равенство?
6.111.	Докажите, что —-Ц- + —п с N, п > 2.
п +1 л + 2	2 л 2
6.112.	Докажите,	что1+-^=	+ -^=+... + -^ > Jn, п g	N, л > 2.
6.113.	Докажите,	что	. 1 < 1, п	е N.
*	1-2	2-3	га(га + 1)
6.114.	Докажите,	что	+	<1, п е N, п	> 2.
22 3d л2
6.115.	Докажите неравенство 1 • 3 • 5 ... (2п - 1) < п".
л . j л тт	—	"4“ CLn “Н • • • 61 п
6.116.	Докажите, что дробь —------------ не меньше наи-
bi + ь2 + ••• Ьп
меньшей и не больше наибольшей из дробей -Ц ...,
di Ъ2
(bt > 0, i = 1, 2, ..., п).
6.117.	Докажите неравенство:
а) a > - |а|;	б) а < | а |;
в) |a + &|<|a| + |b|; г) | a - Ь | > 11 а | - | & 11.
6.118.	Докажите неравенство:
а)	|a-l| + |a-2|>l;
б)	|a-2| + |a-5|>3;
в)	|a- l| + |a-2 | + |а-3| >2;
г)	| а - 11 + | а - 21 + |а - 31 + | а - 4 | > 4.
6.119.	Докажите неравенство:
а)	х2 + у2 - 2х + 4^ + 6 > 0;
б)	2х2 + 2у2 - 2ху + 4х - 2у + 5 > 0.
75
6.120.	Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В
до А против ветра, причем скорость ветра не меня-
лась. В другой раз самолет совершил рейс по тому
же маршруту в безветренную погоду. В обоих случа-
ях моторы самолета развивали одинаковую мощ-
ность. В каком случае на весь полет ушло меньше
времени?
6.121.	Два тракториста могут вспахать поле за tx дней. Ес-
ли бы первый тракторист вспахал половину поля, а
затем второй остальную часть, то потребовалось бы
t2 дней. Докажите, что t2 > 2tv.
6.122.	Докажите, что правильная дробь с положительны-
ми членами увеличивается с увеличением числите-
ля и знаменателя на одно и то же положительное
число, а неправильная дробь уменьшается.
6.123.	Какая из двух дробей ближе к единице: правильная
- или неправильная - (а > 0, b > 0)?
b	а
6.124.	Два катера, имеющие одинаковую скорость в стоя-
чей воде, проходят по двум рекам одинаковые рас-
стояния по течению и возвращаются обратно в
пункты, откуда они начали движение. В какой реке
на это передвижение потребуется больше времени: в
реке с быстрым течением или в реке с медленным
течением?
6.125.	Два туриста вышли из пункта А в пункт В. Первый
турист половину затраченного времени от начала
движения шел со скоростью их км/ч, затем — со
скоростью v2 км/ч. Второй же турист первую поло-
вину пути шел со скоростью км/ч, а вторую поло-
вину — со скоростью и2 км/ч. Кто из них затра-
тил меньше времени на прохождение пути от А до В?
6.126.	Теплоход прошел путь АВ по течению реки и обрат-
но. Докажите, что средняя скорость теплохода в
этом движении меньше его собственной скорости
(собственную скорость теплохода и скорость тече-
ния реки считать постоянными).
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
И ИХ СИСТЕМЫ
6.127.	Является ли решением неравенства 2х + 3 > 7х - 17
значение х, равное:
а) 2; б) 6,5; в) -V3; г) ^20?
6.128.	Какие из чисел 3: 2j 1: 2; 2^3; V10 являют-
ся решениями неравенства х2 < Зх + 1?
76
6.129.	Укажите какие-либо два решения неравенства:
а) Зх > 7; б) 4х < х + 2; в) х2 < 2; г) х2 > Зх.
6.130.	Укажите какие-либо два целых решения неравенства:
а) — <2;	б) ^^<0;
х	х-5
в)	(х - 3) (8 - х) < 0; г) х2 > 1.
Равносильны ли следующие неравенства (131—133)?
6.131. а) 2х - 3 > 2 и 2х - 4 > 1; б) 2х > 6 и Зх > 12;
в) 3-5х<хи3< 6х;
г)	Зх + —> 6ч—и Зх > 6.
х-3	х-3
6.132.	а) 2х2 < 8х и х < 4;
б) (х - 2) (х2 + 1) < 3 (х2 + 1) и х - 2 < 3;
в) (х - 2) (х2 - 9) > 5 (х2 - 9) и х - 2 > 5;
г) ~ >2 и 1 > 2 (х- 3).
6.133.	а) <2 и 2х - 1 < 2 (х2 + 3);
Xz +3
б)	<2 и Зх - 1 < 2х - 6;
х-3
в)	-V <2 и 2х2 > 1;
х2
г)	> 3 и Зх2 < 1.
Решите неравенства (134—136):
6.134.	а) -Зх + 21 > 0;	б) 18 - 6х < 0;
в) х - (5 - 2х) >3; г) 2 (х - 2) - 5 (1 - Зх) < 2.
ciqk \ 2х-1	5х-2	2х-1 3-х
6.135.	а) —	S) —-----— <2;
\ %—7(х — 3) r-zz» _ .
В) —2~ >-2—~ + 5<6 ~ 2х) + 14;
г) 5(х-2) - 3 < 9(х~2) -3(2х-4).
6.136.	а) ^-зГгх- —2(.Х~1)1>х + 2|;
о	4 J	4
_ х —2	3(2-х) 7х + 1 х + 11 13 + 16х
7	2	10	4	3	20	’
7	4 — х А
в) 2(Зх-5)(х-1)-3 1-(2х+1)(3-х)ч-——— <13;
. „I ч 4 - Зх |ч п( , х+2Н|
г) 3 х- 1ч-—------1-2 х-1---—	> 5х-7.
I	4	11	5	) I I
77
Решите неравенства (137—138):
6.137. а) (3-710) (2х - 7) < 0;
б)	37ГГ(5-2х) > 10 (5 - 2х);
в)	2*~3 >5 + 276;
476-10
г)	(1-V2)(4-5х)<-^=.
Z Т 7^
6.138. а) 372-3>2х(1-72);
б)	(3710-б73)х <5(273-710);
в)	(1+х73)72 <х + 2ТЗ;
г)	Тб (2 - х) > 5 - 2х.
Найдите область определения функции (139—140):
6.139. а)	у = 73 - 5х;	б)	У =
в)	у = 72(Зх-1)-7x4-2;	г)	У =
6.140. а)	y = 7-V2(2-3x);	б)	У =
в)	у = д/2- 73(х4-73)-2х; г)		У —
14-х
/3-2 (7-5х)’
3 + 4х
73-2х-4 (1-5х)’
________1_______.
7(Зх-1)72-3x4-2*
________2_______
7(х-73)73-2х4-1’
Решите неравенства (141—142):
6.141. а)	3	Л	б)	-4 Зх-7	>0;
в)	2 -5 <0; 4 - Зх	г)	272-3 4 + 5х	<0.
6.142. а)	^<2; х-2	б)	3-4х 2х-1	<-2;
в)	3-х , ~л— 4-х	г)	34-8х 2х-5	> 4.
6.143.	Решите неравенство (а — параметр):
а) 5х - а > ах - 3; б) а (2х - 1) < ах + 5;
в) а (3 - х) > Зх + а; г) 3 (2а + х) < 1 - ах.
6.144.	Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее не-
равенству:
. 2х-1 2х-2 п	Зх-2 5х-1
5-----3 >2;	6)-^------з->1;
. 2х2-5x4-3 4-х. 154-х2 1-2х
в)		6--------12^	3-------9~5
г)	(х 4- 4)2 - (х - 10)2 < 140.
78
6.145.	Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее не-
равенству:
. 1-х _ _	2х + 1	_ 3-2х л 3-2х
а) —+3<3х------б) —------------1>—б----х;
в) (Зх - 5) (2х - 5) - (2х - 3) (х - 3) + 6х >
>(2х - 5)2 + 6;
ч (Зх-7)(Зх-2) (8х-19)(х + 1)	(6х-7)(2х-5)
г) -----3-------------4---- '-----12-----•
6.146.	Найдите все значения а, при которых квадратное
уравнение:
а)	Зх2 - 2х + а = 0; б) ах2 - Зх - 1 = 0;
в)	(2а - 1) х2 + 2х - 1 = 0;
г)	ах2 - (2а -1)х + а + 2 = 0
имеет два действительных и различных корня.
6.147.	Найдите все значения а, при которых квадратное
уравнение:
а)	х2 - 4х + а - 0; б) 5х2 - бах -1 = 0;
в)	(1 - а) х2 + 4х - 3 = 0;
г)	(За - 5) х2 - (6а - 2) х + За - 2 = 0
не имеет действительных корней.
6.148.	Найдите все значения а, при которых квадратное
уравнение:
а)	х2 - 4х + а = 0, б) ах2 — 9х - 2 = 0;
в)	(1 - За) х2 - 4х - 3 = 0;
г)	(а - 1) х2 - (2а + 3)х + а + 5 = 0
имеет действительные корни.
6.149.	Решите уравнение:
а) |х-2|=х-2; б) 12х - 3 | = 3 - 2х;
в) \2х - 4|= 10 - 5х; г) |-х - 3 | = ^ + 2.
6.150.	При каких значениях а уравнение 2х + 3 = 2а + Зх
имеет положительное решение?
6.151.	При каких значениях а уравнение 1 + Зх - ах -
= 2 + х имеет отрицательное решение?
6.152.	При каких значениях а уравнение а (Зх - а) - 6х - 4
имеет одно положительное решение?
6.153.	При каких значениях а уравнение а (х - 1) — х - 2
имеет решение, удовлетворяющее условию х > 1?
Решите систему неравенств (154—157):
6.154.	a) f2x-6>0,	б) f5x + 7>0,
[4х- 20 <0;	[2х-3 > 0;
в) |Зх-5<0,	г) fl8x-6<0,
[7х + 28 <0;	[15-Зх<0.
79
6.155.	а) б) в)		3(х-1)-2(2-Зх)> 5х-3, 8х- 3(2х + 5) < 2(х- 7); 5(х + 2)-9(х+1)-3 <1-4(х + 3), 7(3 + 5х)<Зх-5(х-2);	
			х _ 7 5х 7	г) 2~ 4>~Г~ 8’	J 2х+1 с 1-2х 1 4 <5“ 3 ;	[2х+1 „	3-2х 1 3	3<*	5  |х_7 5х 11 [з 6 < 3	6 '
6.156.	а)		Зх - 5 > х - 3,	б)	2х-1>3-5х,
		<	2х + 4 < Зх + 5,	<	Зх + 2 < 3 - 4х,
			7 - 2х > х - 2;	-3 + 5х<2х + 5;
	в)	*	2х-3 > 3(х-2)-1,	г) 2-3 (2-х) < 5(2х-1), 13-^>3(х + 2)-1;	^-1 <3-2(1-2х), Зх-5> 1 - 2(1 — х), 1-2х <3(2х-1).
6.157.	a) f(x-0,2)2 - (x+ 0,2)(x-0,2) > 0,04,
[(x + 0,4)(x+0,04) - (x - 0,4)(x - 0,04) > 0,044;
6)	[ x-4	x-2 x-3
— -x+K----------
3-x > 2x-10;
в)
r)
< |(x-l) + I<i(x-l) + |,
x_ 2x-3
I 4	3	’
(x-l)2-l x 2(x-l)2+3 x-1
5	+ 2 <	10	+ 9 + •
0,5(x-l)-l 2(x-l) + 4,5
l1“X>-----2-----------3----'
6.158.	При каких значениях а система неравенств имеет
хотя бы одно решение:
а) /х<3, б) |х^5, в) Гх<7, г) (х^а,
[х>а;	[х>а;	[х^а;	[х^2?
6.159.	При каких значениях а система неравенств не име-
ет решений:
а) Гх<4, б) (х^2, в) fx<5, г) (х^а,
|х>а;	1х>а;	|х^а;	|х>2?
6.160.	Существуют ли значения а, при которых решением
1х > 3,
системы неравенств ]х> а является промежуток:
а) (5; +°°); б) (3, +°о); в) [3, +°°); г) (2; +°о)?
80
6.161.	Существуют ли значения а, при которых решением
\х < 5,
системы неравенств i <а является промежуток:
а) (-0°; 7); б) (-оо; 5); в) (-оо; 5]; г) (-°°; 2)?
6.162.	При каких значениях параметра а система неравенств
(3-7х <Зх-7,
[1+2х <а + х
не имеет решений?
6.163.	При каких значениях парметра а система неравенств
3 (а - 5х) < 1 + х,
' 2-^>3 + 5(х-а)
имеет хотя бы одно решение?
6.164.	Решите двойное неравенство:
а) -3 < 3 - 2х < 1;	б) -2 < Зх - 1 < -1;
в) 0 < 4 - Зх < 2;	г) 0 < 1 - 2х < 1.
Решите систему неравенств (165—166):
6.165.	а) 1 в) 1	[-1 <1-2х<2, [3 — 5х > 0; [ -3 < 2х - 3 < -1, [1 — 4х <0;	б) ] г) 1	10 < 1 - Зх < 1, [3-4х<2; [ -1 < 3 - 5х < 0, [4-2х <-3;
6.166.	а)	ьо И 1 СО /Л о	б)	Зх-2^5х-8,
		^24- х-2	’		2х-1 л 	<4; 2-х
	в)	7 <2х+1 <11,	г)	-2 < 2 - х < 1,
		х + 2 х~6. х-5 < х-3’		х+3 < 8-х 1-х	х-4’
6.167. Найдите середину промежутка, являющегося мно-
жеством решений системы неравенств:
а) _ 13 Зх < х-1	7
J 4 + 4 " 4	8’
I 2 — + 3~-2х;
I 4	3 ’
6.168. Найдите наименьшее
системе неравенств:
,о 3-7 х х + 1
13-~10 + 2
7-8х
2 ’
7(3х- 5) + 4(17 -х) > 18 - 5(2*~6)
А
б)
з ,3х 1>2 х
5+ 10	5	°’3
1 > ^i+0,5(x + 3).
О
целое х, удовлетворяющее
81
6.169
Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее сис-
теме неравенств:
х Зх-1 2-х х + 1 _
3- —	2~+3’
5х-4 Зх-1 _ „
к'-О-------5- - 2’6-
6.170.	При каких значениях а уравнение х2 - (2а - 1) х +
+ 1 - а — 0 имеет два различных действительных
положительных корня?
6.171.	При каких значениях а уравнение х2 - (2а + 4) х -
- 5 - 2а - 0 имеет два различных действительных
отрицательных корня?
6.172.	При каких значениях а уравнение х2 - (2а - 6) х +
+ За + 9 = 0 имеет корни разных знаков?
6.173.	При каких значениях а уравнение х2 - (а - 2) х -
- 2 - За = 0 имеет корни хг и х2 такие, что хт < О,
х2 > 0, | Xj | > х2?
6.174.	Найдите все значения а, при которых корни уравне-
ния х2 + (а + 1) х - 2а (а - 1) = 0 меньше, чем 1.
6.175.	Найдите все значения а, при которых один из кор-
ней уравнения х2 - 2ах + а2 - 1 - 0 меньше 1, а дру-
гой — больше 1.
6.176.	Найдите все значения а, при которых корни уравне-
ния х2 - 4х - (а - 1) (а - 5) - 0 больше, чем 1.
6.177.	Найдите все значения а, при которых корни уравне-
ния х2 - 2 (а -1)х + а+1 = 0 больше, чем 1.
6.178.	При каких значениях а один из корней уравнения х2 -
-2(а + 1)х + 4а + 1= 0 меньше 1, а другой больше 1?
6.179.	При каких значениях а система уравнений
f X + у = а,	Л ч ЛО
I о _ о имеет решение х < 0, у > 0?
I 2х +1/ — о
6.180.	При каких значениях а система уравнений
f х + Зу = 2а -1,	. Л
| х	а имеет решение х > 0, у < 0?
6.181.	При каких значениях а система уравнений
I Зх - у = 1 - а,	... л „
s _ л имеет решение х > 1, у < 4?
[х + у = 2а + 1
Решите совокупность неравенств (182—186):
6.182. а) х <3,
б)
х > 2;
х <5,
х<3;
в)
х < 7,
х > 8;
г)
х 5* 9,
х>3.
82
6.183. а)	х > 3,	б)	х <2,		
	5-2х<2(1-	х);	Зх + 5 > 3(х + 1);		
в)	2х-3>1,	г)	х <2,		
	3-2х>2(1-	х);	Зх + 5 > 3(х+1).		
					
6.184. а)	2 < х < 5,	б)	3 < х < 5,		
	х 5$ 2;		х >	5;	
в)	-1<х <0,	г)	-1 < х < 2,		
	0 $ х < 2,		2 х < 5,		
	2 х < 5;		х > 5.		
					
6.185. а)	х 3, б)	х <5,	в)	х > 7, г)	х < 2,
	х > 3;	х < 5;		х> 7;	х > 2.
6.186. а)	_ 3-х .2х	-1 б)	2х+1 2-х		
	1+ 3 "	5 ’		2	7 >Х’	
	-1 > 4х - 4;		-4д	т-1 <0;	
в)	3-2х	1-х 	 << 		г)	Зх-	-2	1-5х	
	5	2	>	4	"	6 ’	
	2 - Зх > х;		Зх-	1^3-2х.	
Найдите все значения х, удовлетворяющие условию
(187—188):
6.187. а)
в)
6.188. а)
в)
0<х^З,
х > 2;
-Зх > -12+х,
~х < -2,
2х+1 > -х-10;
{2х-3<5,
(О <х <1,
[ Зх < 1;
fl <2х-1 <5,
[2<Зх-1 <11,
|10^4х-2<26,
|3<2х-1 <11;
г)
-3<2х-1^ 7,
< Гх<-1,
х>3;
-2<Зх-5<19,
< ГЗх-1 <5,
2х - 5> 7;
х <15,
3-6х<15,
х > 5,
3 < х -1 < 5;
) < х < 3,
83
6.189.	Докажите, что при а < Ь каждое из неравенств
Z	\ Z	7 \ А	X	А	X	А
(х-а)(х-&) <0,	--г<0,	---<0
х~Ъ х-а
равносильно двойному неравенству а < х < Ь.
6.190.	Пользуясь результатом упражнения 189, решите
неравенство:
а) (х - 2) (х - 5) < 0; б)
в) ^—| < 0;	г)
(х - 4) (х + 3) < 0;
~<0.
х-9
Решите неравенства (191—192):
6.191.	а) (3 - х) (2х - 5) > 0; б)
в)	г)
6.192.	а) х2 - 5х < 0;	б)
в) х2 - Зх + 2 < 0; г)
(5 - Зх) (2х + 1) > 0;
7х - х2 > 0;
4х + 5 - х2 > 0.
6.193.	Докажите, что при а < b каждое из неравенств
(х - а) (х - Ь) > 0, ——£ > 0, ——- > 0
х-Ъ х-а
равносильно совокупности неравенств
х <а,
х>Ь.
6.194.
Пользуясь результатом упражнения
неравенство:
а) (х - 1) (х - 3) > 0; б)
в) |9|>о;	г>
193, решите
(х - 2) (х + 5) > 0;
^о.
х-3
Решите неравенство (195—198):
6.195.	а) (2 - х) (х - 8) < 0; б) (1 - х) (7 - х) > 0;
6.196.	а) х2 — 5х > 0;	б) 4х - Зх2 < 0;
в) х2 - 8х + 7 > 0; г) 3 + 2х - х2 < 0.
О	Х^ 4- 1
6.197.	а) —<0;	б) —~г<0;
х-3	х-2
в) (х2 + 5) (2х - 17) < 0; г) (-х2 - 3) (Зх + 7) > 0.
6.198.	а) (х - З)2 (х - 7) < 0; б) (х - 2) (2х - 9)2 > 0;
в)	(х2 - 10х + 25) (2х - 4) < 0;
г)	(9х2 - 6х + 1) (х - 2) > 0.
84
Для каждого значения а решите неравенство (199—200):
6.199.
6.200.
а)
б)
в)
г)
а)
в)
хг - ах < 0;
(х - 3) (х - а) < 0;
ах - Зх2 < 0;
х2 - (а + 1) х + а > 0.
х „	.	Зх-1
— < Зх -1;	б) ---— < х;
а	а-2
х-3 х-2	. х-2	1-2х
----<-----:	г) --->------.
а+1	а-3	а-3 а
6.201.	Докажите, что неравенство | х | < а (а > 0) равно-
сильно двойному неравенству -а < х < а.
6.202. Пользуясь результатом
неравенство:
а) | х | < 3;	б)
в) 12х - 11 < 3;	г)
6.203. Решите неравенство:
а) |х-3|<-2;	б)
в) | х - 51 < 0; г)
упражнения 201, решите
|х|< 2;
|3- 2х|< 7.
| х - 41 < 0;
|2х + 1|< -3.
6.204.	Докажите, что неравенство | х | > а (а > 0) равно-
сильно совокупности неравенств
х < -а;
х > а.
6.205.	Пользуясь результатом упражнения 204, решите
неравенство:
а) |х| > 3;	б) |х| > 7,3;
в) |2х-4|>6;	г) 13- 2х| > 1.
Решите неравенство (206—208):
6.206.	а)	|х-3|>-1;	б)
в)	\2х- 101 > 0;	г)
6.207.	а)	1 < |х|< 2;	б)
в)	-1 < 12х - 31 <	7;	г)
6.208.	а)	11 х - 31 - 21 < 1;	б)
в)	||2х- 11-2| >	3;	г)
|х- 5|> 0;
| Зх - 51 > -2.
2 < | х - 31 < 5;
0 < \2-Зх|< 1.
||х-4|-2|< 3;
||Зх-4|-5|> 1
6.209.	Для каждого значения а решите неравенство:
а) | х - 31 < а;	б) | х - 21 < а;
в) | х + 51 > а;	г) 13 - 2х | > а.
6.210.	При каких значениях а неравенство справедливо
при любом значении х:
а) | х | > а;	б) | х | + 2а - 1 > 0;
в)а|х|-1<0; г) 2 |3-5х|+2 - За > 0?
85
Решите неравенство (211—212):
6.211.	а) | х - 11 < 2х - 4;	б) | х - 31 < 6 - Зх;
в) | х - 4 | > 2х - 1;	г) |2х + 5|<х + 4.
6.212.	а) |х-1|+|х-3|<х + 1;
б)	|х + 2|-|х-3|>2х-1;
в)	|х-1|+|х-2|<Зх-9;
г)	| х - 21 + | х - 31 < 6 - Зх.
Решите систему неравенств (213—216):
6.213. а) *		- . rs со N	Ю	v	v/ V/	л\	—	— — —	л	1-1 1	1 	'	н	н X	X	cq	М	б) г) -1	X X X X 1111 to СО	сл V Л V /Л {-* сл to со
	в) 1			
6.214.	а) < в) <	7“ со	со 1 со «	s	“ Н О1 | 1 м	' 1 V to 1-1	1	»+	to	।	X +	to|H	л	V	СО	Л "Г-4	'	м	СЛ	Р	to *	V	-	X	| * to	1	X м X	со л Л со - 1	б) < г) ч х;	to	to X 1 . z	ч Н S1 ЬЭ '	W|R	1	со	X +	СО 1	“	Л +	to	/д ^1	|—1	сл "х"'^Г>	к> ч~7">	1 1 2	со * 5 + — н V * н 1 КЗ
6.215.	а) в) г) <	Зх - 2 < х + 6, 3-2х>^-4, | х —7 | + | х —9| <15; |х-11 <9-2х, | х — 51 + | х — 61 +| х- Г х-4| <х-3, t х-11 + |х-21 + |х-	б) -7|>1£ 31 < 6.	2х -1 > х + 2, — — 3 < х 2 ** < 3 ’ х-3| + |х-1б| <15;
6.216.	а) 1 в)	х х	их 1	1	1	II 05 СО	ГО	СО	СП л	Л	'х'	/Л ft1	СЯ	1 1	ел <?	б) г)	’|2х-1| <5, ^^<0; х-2 |х-3|<2х-3, ^^<2. х-1
86
6.217.	Докажите, что неравенство х2 < а2 равносильно не-
равенству | х | < а (а > 0), а неравенство х2 > а2 рав-
носильно неравенству | х | > а (а > 0).
Решите неравенство (218—223):
6.218.	а)	х2 < 4;	б)	4х2 < 9;
	в)	(2х - 5)2 < 1;	г)	16 - (2х - З)2 > 0.
6.219.	а)	х2 > 1;	б)	9х2 > 16;
	в)	(3 - 5х)2 > 49;	г)	81 - (3 + 2х)2 < 0.
6.220.	а)	(Зх - 2)2 > 0;	б)	(1 - 2х)2 < 0;
	в)	х2 - 6х + 9 > 0;	г)	4х2 - 4х + 1 < 0.
6.221.	а)	(2х - I)2 > -1;	б)	(3 - х)2 + 4 < 0;
	в)	х2 - 8х + 17 < 0;	г)	х2 + 4х + 7 > 0.
6.222.	а)	(х2 - 9) (2х - 3) < 0;	б)	(1 - х2) (3 - 5х) > 0;
		х2 — 4	_		2х + 7 Л
	в)		г)		5-^0. 9-х2
		х2 —9		х2 -25
6.223.	а)	2	, <0*’ -1	б)	Г<0; 4-х2
	в)	(х2 - 4) (4х2 - 1) > 0;	г)	(х2 - 1) (16 - 9х2) > 0.
6.224.	При каких значениях а неравенство удовлетворяет-
ся при любых значениях х:
а) (х - 2)2 > а;	б) (х - З)2 > 2а - 7;
в) х2 - 2х + 1 + а > 0; г) х2 + 6х + а > 0?
6.225.	При каких значениях а уравнение не имеет корней:
а) х2 - ах + 9 = 0;	б) х2 - (2а - 1) х + 1 = 0?
6.226.	При каких значениях а уравнение имеет два раз-
личных корня:
а) Зх2 - 2ах + 12 = 0; б) х2 + (1 - а) х + 1 = 0?
Решите неравенство (227—229):
6.227.	а)	(х - I)2 (х - 3) < 0;	б)
в)	(х - 2)2 (х - 1) < 0;	г)
6.228.	а)	| х - 11 (х - 1) > 0;	б)
в)	|х2 — 161 (3-х) > 0;	г)
6.229.	а)	(х-3)д/х-5 >0;	б)
в)	(1 -х)л/2х-3 >0;	г)
|х-5|fx-7) < 0;
|х - 51 (Зх - 7) < 0.
> 0;
(x-5)Vx^2>0;
Для каждого а решите неравенство (230—231):
6.230. а) (х - З)2 < а;	б) (5х + З)2 > а;
в) (3 - 4х)2 < а - 1; г) (2 - х)2 > 3 - а.
87
6.231.	a) |x - a| (x - 3) < 0; 6) (x - a) |x - 51 < 0;
в) (x - a)2 (x - 7) > 0; r) (x - a) (2x + 3)2 > 0.
Найдите область определения функции (232—235):
6.232.	а) у~ 7|х|-3 + 7х2 + 9+ , 1	;
л/Ю-х
б)	у = 77~|x-2| + л/х + 2 +	1.;
в)	у = у[х2 -9 + V6-2х + д/5+|2-Зх|;
г)	у - 716-х2 + 7-2х-8 + л/х2 -6х + 9.
6.233.	а) у = У5Х~6 ; б) у = 7(3х-2)(х-5);
л/7х-14
в) У = J"Л; г) У = л/Зх-2>/х-5.
V 7х-14
6.234.	а) у =	б) у = 7|х|(х2 -16);
В)	У =	~4~^; г) у = 71X-5|(4-|х|).
1-х2
6.235.	а) у = -7x-2->/x-3 + V5-xV6-x;
б)	у = ^(х- 2)(х - 3) + 7(5 - х)(6 - х);
х д/Зх+2	V4-х	ч /Зх+2 I 4-х
д/7-2х	*	\ 5-х V 7-2х
6.236.	Найдите промежутки знакопостоянства функции:
а) у = (х - 1) (2х - 5); б)	у =
в) у = х2 - 4;	г)	г/ = 16-25х2.
6.237.	Решите неравенство:
а) <2х -1 < 3;	б)	72х-3 4;
в) V9-x2	1;	г)	7|х|—2 С3.
Постройте график функции (238—239):
6.238. а) у =|2х —5| +Зх-1; б) у =|х-5| + | х-21;
в) у = л/х2 +6х + 9 - д/х2 - 2х + 1;
г) у-^!х2 -4х + 4 +	>/х2 -8х + 16 + л/х2 -12х + 36.
6.239. а) у = ’ а х-1	|х-2| |х-3| б^= х-2 + х-3’
В) У= 'х + 2^3 х);	.	| х + 11	1-х Г)	« + 1 Х + |х-1Г
88
6.240. Решите уравнение:
в) хг + 2 I х - 1 I - 2 = 0;
,	2	1
Д) -j----п = -1;
г х-1
б)
г)
е)
I х+2 |-3 _
-i--г--- —
|х|-1
х2 + 4|х + 1|-8 = 0;
х| х |-1 _ 2
| х-2 |	3‘
Степень с целым показателем
1. Определение степени с целым показателем.
а~п = —, где а # 0 и п е N; а0 — 1, где а * 0.
ап
Таким образом, с учетом известного определения степе-
ни с натуральным показателем (см. § 1), определена сте-
пень с произвольным целым показателем.
2, Свойства степени с целым показателем.
Для любых целых тп, п и произвольного а Ф 0 имеют
место равенства:
ат • ап = ат + п, ат : ап = ат~п, (ат)п = атп.
Для любого целого п и произвольных а 0, Ь 0 имеют
место равенства:
(dАп dn
(ab)n = «"•&"; —	-----
U J Ьп
Пример 1. Упростите выражение
((а-3 - а-1Ь~2 - Ь-3) (&3 - а2Ъ - а3)-1)-1.
Решение. Преобразовывая выражения, содержащие
степени с целым показателем, полезно помнить, что заме-
на всех степеней с целым отрицательным показателем на
степени с натуральным показателем не всегда приводит
к наиболее рациональному решению. Часто бывает целесо-
образнее использовать свойства степеней, как, например,
в данном случае:
((а-3 - а-1Ь-2 - Ь~3) (Ь3 - а2Ь - а3)-1)-1 =
= ((а-3 - а1^2 - Ь~3) (а3Ь3 (а~3 -	- &-3))1)1 =
= ((а~3 - а-1&“2 - Ь~3) (а3&3)-1 (а-3 - а-1Ь“2 - &-3)1)'1 =
- ((а3&3)-1)1 = а3Ь3.
89
( 2х — 1 I
Пример 2. Решите уравнение —-— + (0,5 - х)~2 =
= 4,25.	V ’
Решение. Используя определение степени с целым
отрицательным показателем и свойство квадратов действи-
тельных чисел, запишем: (0,5 - х)"2 =----г- —------.
(0,5-x)z	(х-0,5/
Введем новую переменную у = (х - 0,5)2. Уравнение при-
мет вид: i/+—= 4-^. Очевидно, что числа 4 и 4 являются
у 4	4
корнями данного уравнения, а других корней быть не мо-
жет, поскольку уравнение это сводится к квадратному,
т. е. имеет не более двух корней.
Итак, (х ~ 0,5)2 = 4 или (х - 0,5)2 = 0,25. В первом слу-
чае х - 0,5 = ±2, откуда хг = 2,5, х2 = -1,5. Во втором слу-
чае х - 0,5 = ±0,5, откуда х3 = 1, х4 — 0.
Упражнения
Вычислите (1—4):			б) (-1,7)°; б) ~52;		в) (0,2)-2; в) 16 • 2-3;		г) г)	ИГ- 18 • З1.
7.1. 7.2.	а) З-4; а) (-1)-3;							
7.3.	а)	(-0,1)-3;	б)	гзу2.	в)	3 4-2;	г)	з-1 4 '
7.4.	а)	9- З1 2	’	б)	ГзГ2 9-1	в)	9 • 6~х 2-1 ’	г)	ьэ СЛ со СЛ Z-	X Л со|^ ьэ
7.5.
Представьте числа:
а)	64, 16, 4, 1, 4, 4, хту в виде степени с основанием 2;
2 о 32
б)	81, 27, 9, 3, 1,	в виде степени с осно-
3 У 2( о!
1
ванием -.
3
7.6.	Представьте числа
а)	1000; 10; 1; 0,01; 0,0001 в виде степени числа 10;
б)	125, 5, 1, ±, —тг в виде степени числа i.
25 625	5
Вычислите (7—8):
/	\-2	/
7.7.	a) -L ; б) (V3)-4; в) \ ^- ; г) .
90
7.8.
(V2-1)1	5 + 2V6
a} 1+V2 ’	' (5-2V6)-1’
7 + 4V3	(3 + V2)-2
В (V3-2)-2 ’ Г) 11-6V2 ‘
7.9.
Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержа-
ло нулевых и отрицательных показателей:
а)
б)
в)
г)
тп3п-2, а°Ь~3, 7х~1у°, 7-1сг2&3с-1;
(а - Ь) (а + 2)~2, (х + у) (х - у) \ (т + п)° (т - п) 3;
5"1 ху~3
т°г~2
2-1 а~2Ь~2
4-2 а°Ь3
(а-1 + б’1) (а + Ь)-1.
2k(a +ЬУ2
4-1(а-Ь)-1
Найдите значение выражения (10—12):
7.10.	а) 2-5 • 24;	б) 53 • 5'7 • 52;
в)ЙГ’(1,5)3; г) (^2) 3 (^2)1-
7.11.	а) 3~14 : З16;	б) 7‘5 : 73;
7.12.	а) (З-1)-2;	б) (2’3)-2 • 2~3 • 28;
в) 5’7 • (52)3; г) ((V2)-3 )-2.
7.13.	Вычислите:
а) 16-2 • 83; б) 7° • 7’2;
2~3 • 43	3~12 • 95
В g-г ’ г' 27-4  З12 • 9-2 ’
Упростите выражение (14—15):
7.14. а)
в)
а10а~2а-3;
Ь~2 : &5;
7.15. а)
б)
в)
г)
б) а10 : а-3;
. а-3а2а-1
Г) ---j--•
а 8
(24 • 2~4&5) : (2-3a 5fe-4);
1	(А
—---------• I — п h п+^г
12a"-xd-3c-4 Чб	Ь
I 12 V -Я п-2 » 2 ] . _
I 3 х У г J - 5-!xV2-3’
/	\-3 /	\-5
-4х3 j
У4 ) ’
(х-2р3 ) 3
б’1
91
Вычислите (16—17):
7.16.
а)
в)
((_2)3)2 ,(_2)-7
(-2)3 • (-2)5
(2-(-ЗГ2ГЧ-3)-2 .
^•(-згМ-зг2)-1’
• (3.375)"1
(2,25)"2
(0,4)~2 • (2,б)"4
(0,16)"5 • ((6,25)"3 )2
г)
7.17.
г) (1 - (1 - 2"1)"1)"1 + (! + (! + 21)1)1.
7.18. Упростите выражение:
. (ab~5 — а"5&)-1(а"3 + Ь"3)
а) (сг1^ -ЬЛг4)-1	;
(ab 7 — а 7Ь) J(a 3b + ab 3)
J (ft-4 -а"4)’1
7.19.
Упростите выражение и вычислите его значение при
указанных значениях переменной:
а) (3d-2 - 2а-1 )| -—ч—|| 4а"2	| при а =-2,
АЗ"1 2 а Д З"2 ) F
Ь = V3;
б) I Ь~2 +	|| —r~r~b~2 iffe"4 + -V | при а = b = V2;
’ V 2"1 Дг^а8 Д а6 ) И
при
при
Упростите выражение (20—26):
п-п 11,” п ( 1	1
7-20. а)
б) ^.д-&-2п.р_+_!_г;
а п—Ь л Vfl л b "у
92
7.21	a)	.	6) (2a~3+3b~2)n.
(3a-1-4b-1)" ’	(4a-6-9b-4)"
7.22.	a) f ° „ ] : —;
ЦЬ-а)2 )	(a-b)1’2"
6)	-Х-Г.
7.23.	fl^o‘d-10 -^-1: °'2‘>,1. '
25	5b10 )	a~3b2
7.24.	f---g)3-------
Ц2т)-2(р+д)2 J
7.25.	| (b 1 + а 1)  ° +b ,
4 f ab 1
I a + b )
/	\ -2
P-Q
^41-(p+?)3 J
а-ЧЬ-1 V (f-LV.f a]’T 3(а-1+Ь-*)
a~2+b~2 J \l3aj k3bj J '	(ab)-1
Решите уравнение (27—31):
7.27.	a) (-X)1 =	б) (2x + I)1 =
о	э
в) (Зх-1 + 2)-1 =	г) (5 - (2X)-1)-1 = (j) '.
7.28.
7.29.
a) x-2 = ^;	6)
У
в) (2 - x-1)-2 = 4;	г)
a)
Зх + 1 V _ f 2x-6 *
x-2 J x )
6)
(Зх - I)’2 =	\
(17 - (5x)-2)-1 = 1.
Г 3 x 1 + 2	Гх + 2^1
[бх-1-! J " I 3 J ’
l-(l,5x)-1
(Зх-2)-1
(ЗхН-б’1
(Зх-5)"1
= (3x)1 +5X1;
= l-(0,6x)1.
7.30.	a)	x + x-1 = 2;	6)	x - 3 (-x)"1 =	4;
в)	x + (—x)-1 = 1,5;	r)	x + 9x-1 = 6.
7.31.	a)	X'2 - Зх1 + 2 = 0;	6)	x 4 - 5x a + 4	= 0;
в) (2x + I) 2 - 3 (2x + I)1 -4 = 0;
( . л \ -4	(	\-2
r) +l2+lP -2=o-
93
Решите неравенство (32—33):
7.32. а)	х-1 > 0;	б)
в)	(3 - 2х)-1 < 0;	г)
7.33. а)	(х + 11 —< 1; ^х-2 J	б)
в)	2х-5 (2х)-1-5-1 < ’	г)
7.34.
Найдите все целые
системе неравенств:
(4х - 2)'1 > 0.
«V3H;
3-1 > 0.
3-х
значения п, удовлетворяют!
|<2П <3,
Зл >2;
|<3" <4,
5
< 2” <|,
3" >0,1.
7.35.
Докажите тождество
(pg-1 + l)2	p3Q~3-l	р3(?~3+1
pq'1 -p~*q P2q~2 +pq-1 + 1 pq~l + p-1Q-l
7.36. Докажите тождество
a 2b 1 +a 1b 2
a-2 -b~2
+ a3 (a2 - 2ab + b2)2 =
3a2b — 3ab2+b3
(a—b)4
7.37. Докажите тождество
a^+fb+c)-1 / 0 + f 2bc
a-1 -(6 + c)"1	I b2 +c2 -a2
(a + 6 + c)2
2bc
Упростите выражение (38—39):
94
7.41.
-1
7.39. a)	+(d + V^)-1)- 2 t, 2
I сГ -а b *
7.40. Вычислите:
4	+ 3 т_уо
б) у J к 4Уз J
' (б-1 + (V6)-1 Г1 + (1 + (Ve) 1)
Упростите выражение a+ 1 +
3-аГ'
a + 1J
V1
и най-
1
дите его значение при а = - -.
о
7.42.
--Х"1	/
2	|(2 + х)
Упростите выражение -------——5-: ——
(1 у I 2 *
4- —
ух )
1
и найдите его значение при х - - -.
л
-2х 1 -1
7.43.
Упростите выражение
1-(а + х) 2
(1-(а +х)”1 )2 *
1 _ I 2ах
^1-(а2 + х2)
1
, если х = —
а-1
95
Функция
1, Квадратичная функция*.
Функция вида у - ах2 + Ъх + с, где а, Ъ и с — числа,
причем а 0, называется квадратичной.
График квадратичной функции — парабола. Ветви па-
раболы направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0. Абс-
-	Ь тт	Ь
цисса вершины параболы равна - —. Прямая х = - — явля-
ется осью симметрии параболы.
2.	Метод интервалов для решения неравенств.
Пусть требуется решить неравенство f (х) > 0. Это мож-
но сделать по следующей схеме.
1)	Найти область определения функции f (х).
2)	Найти нули функции, т. е. корни уравнения
f (х) = 0.
3)	На координатной прямой указать область определе-
ния функции и отметить в ней нули функции. Таким обра-
зом, область определения будет разбита на интервалы, в
каждом из которых функция сохраняет знак. Для опреде-
ления знаков значений функции в полученных интервалах
достаточно найти знак значения функции в любой точке
соответствующего интервала.
Замечание. Рассмотренный метод применим не толь-
,	Р(х)
ко для рациональных функции, т. е. функции вида ,
цд х)
где Р (х) и Q (х) многочлены, но и для любых функций,
непрерывных на каждом из промежутков, входящих в об-
ласть определения.
3.	Общие свойства функций.
Функция f называется четной, если:
1)	область определения функции симметрична относи-
тельно нуля, т. е. для любого х, принадлежащего области
определения, -х также принадлежит области определения;
2)	f (-х) = f (х) для любого х из области определения
функции. Функция f называется нечетной, если:
1) область определения функции симметрична относи-
тельно нуля;
* О понятии функции, области ее определения, множестве
значений и графике функции см. справочный материал к § 1.
96
2) f (-x) = -f (x) для любого x из области определения
функции.
График четной функции симметричен относительно оси
Оу; график нечетной функции симметричен относительно
начала координат.
Функция f называется возрастающей на промежутке X,
если для любых хг и х2 из этого промежутка таких, что
х1 < х2, выполняется неравенство f (хг) < f (х2).
Функция f называется убывающей на промежутке X,
если для любых х1 и х2 из этого промежутка таких, что
х1 < х2, выполняется неравенство f (хг) > f (х2).
Точка х0 из области определения функции f называется
точкой максимума этой функции, если существует такая
окрестность точки х0, что для всех х Ф х0 из этой окрестно-
сти f (х) < f (х0).
Точка х0 из области определения функции f называется
точкой минимума этой функции, если существует такая
окрестность точки х0, что для всех х Ф х0 из этой окрестно-
сти f (х) > f (х0).
Точки максимума и минимума называются точками эк-
стремума, а значения функции в этих точках — экстрему-
мами функции.
Функции f и g называют взаимно обратными, если:
1)	область определения функции f совпадает с множе-
ством значений функции g;
2)	множество значений функции f совпадает с обла-
стью определения функции g;
3)	У^ — f (*о) тогда и только тогда, когда х0 = g (у0) (для
любого х0 из области определения функции f и любого yQ
из области определения функции g).
Графики взаимно обратных функций симметричны от-
носительно прямой у = х.
Пример 1. Известно, что квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с = 0 не имеет корней и а + с < Ь. Определите
знак с.
Решение. Рассмотрим функцию f (х) = ах2 + Ьх + с.
Поскольку уравнение ах2 + Ьх + с = О не имеет корней,
то график функции f (х) не пересекает ось Ох, сле-
довательно, соответствующая парабола целиком лежит
либо в верхней, либо в нижней полуплоскости. За-
метим, что данное в условии неравенство а — b -I- с < О
можно записать в виде f (—1) < О, т. е. существует зна-
чение аргумента х = -1 такое, что значение функции
в этой точке отрицательно. Отсюда следует, что график
функции f (х) лежит в нижней полуплоскости, значит,
f (х) < 0 для всех действительных х. Но с — f (0), поэтому
с < 0.
97
7	9
Пример 2. Решите неравенство —-----------+1 -----.
х ~5х+6	3-х
Решение. Разложив знаменатель первой дроби на
множители, перенеся все слагаемые в левую часть и при-
х^ + 4х — 5
ведя их к общему знаменателю, получим ------—----— О.
(х -3)(х-2)
х^ + 4х — 5
Положим /(х) = ----—----— и решим неравенство /(х) > О
(х — о)( X — Л)
методом интервалов.
1)	Область определения функции — множество дейст-
вительных чисел, кроме 2 и 3.
2)	/ (х) = О, если х = 1 или х = -5.
3)	Так как областью определения функции является
множество действительных чисел, кроме чисел 2 и 3, то на
координатной прямой выколем точки 2 и 3. Отметим нули
функции — точки 1 и -5 (рис. 1). Поскольку решается не-
строгое неравенство, то нули функции входят в множество
решений (это принято изображать «жирными» точками на
координатной прямой). Расставляя знаки значений функ-
ции в полученных интервалах, получаем, что f(x) > О, ес-
ли х < -5, 1 < х < 2, х > 3.
-5
. + - +
1	2 3
Рис. 1
Пример 3. Исследуйте на
функцию
четность — нечетность
_ I х-5|(х + 6) _ I
2х-1
х + 5 |(х-6)
2х + 1
Решение. Область определения функции — множест-
во действительных чисел, кроме ±0,5, значит, область
определения симметрична относительно нуля. Рассмотрим
выражение / (-х) и попытаемся выразить его через /(х):
|-х-5|(-х + 6) | -х + 5 |(—х —6) _
2(-х)-1	2(-х) + 1
-|х + 5|(х-6) -|х-5|(х + 6)_
—(2х + 1)	-(2х-1)
| х + 5 |(х-6) I х-5|(х + 6)
= ---------------=
Значит, функция f (х) по определению является нечет-
ной.
98
Пример 4. Найдите функцию, обратную функции
у = х2 - 4х + 7, где х е (-°°; 2].
Решение. На промежутке (-оо; 2] данная функция
убывает, а значит, обратима. Для получения формулы, за-
дающей обратную функцию, заменим переменную х на у,
</ на х в аналитическом задании данной функции и из по-
лученной формулы выразим переменную у', х — у2 - 4у + 7,
у2 - 4у + (7 - х) = 0, рассматривая последнее уравнение как
квадратное относительно у, имеем у = 2±Ух —3. Посколь-
ку область значений обратной функции — промежуток
(-оо; 2] (совпадает с областью определения исходной функ-
ции), то перед корнем берем знак «минус», имеем: у = 2 -
- Ух- 3.
Упражнения
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Разложите на множители (1—5):
б)
г)
б)
г)
8.6.	a) в)
8.7.	a)
	в)
8.8.	a)
	в)
8.1.	а) х2 - х - 72;
в) За2 + 8а + 5;
8.2.	а) 15и2 + и - 2;
в) 20р2 + 31р + 12;
8.3.	а) 49с2-42с+ 9;
в) -16л2+ 6-п-—;
7	49
8.4.	а) х4 - 13х2 + 36;
в) -36с4 + 25с2 - 4;
8.5.	а) а2 + Юад + 9&2;
в) -8х2 - Юху - Зу2;
Сократите дробь (6—10):
а2 — 6а + 8 ф
8-0,5а2
8с2+10с-3
8с3 + 36с2 + 54с + 27 ’
х2 +(2-УЗ)х-2>/3
х2 -(Уз + 1)х + Уз ’
Ь2-(У2-У3)&-Уб
-Ь2 +(У5-УЗ)Ь + У15 ’
а4 -а2 -12 .
а4 + 8а2 +15’
Зс6 - 2с3 - 5
-бс6 + 13с3 - 5’
-у2 - 4у + 21;
-452 + 7Ь - 3.
-21у2 + 8v + 4;
-42g2 + 59g - 20.
б) -25 - 80d - 64d2;
г) 11,25т2 + 12т+ 3,2.
б) —у4 + 26у2 - 25;
г) 100d4 - 226d2 + 2,25.
б) -15u2 + 2uv + п2;
г) 7п2 - 22тп + Зт2.
б) 27&3+1
} ЗЬ2 +105 + 3 ’
г) 8d3 - 12d2 + 6d-l
-14d2+3d + 2
. а2+(У2-1)а-72
72+(1-ЗУ2)а-За2 ’
г) Зу2 +(ЗУб-У2)у-2УЗ
’ 2у2 -(УЗ-2Уб)у-ЗУ2
254 +752 + 6.
* ЗЬ4 + ЗЬ2 - 6 ’
. 30d6 -2d3 -4.
} 6d6 — 19d3 - 7 ’
99
8.9. а)
в)
8.10. а)
б)
6д2 + ab-2b2	Зп2 + тп - 4т2 и
4Ь2 -11а£ + 6а2 ’ 8тп2 + 18?пп + 9п2 ’
6р2 - 13ul> - 5u2 . ч 10с2 + cd - 2d2
Зи2 + 5ии - 12р2 ’	15с2 - 31cd 4- 10d2
2х2 + (3а + 4£)х + а2 4- ЗаЬ + 2Ъ2
х2 + (а + 6-2)х-2а-2Ь
2х2 + (4а - 66 — 1)х - 2а + ЗЬ
х2 4- (За - 46)х 4- 2а2 - 5а6 4- ЗЬ2
Упростите выражение (11—14):
ч х2 + х-20 2х2-5х+3	4-8х-5х2
о.И. а) ------------------------------;
х-4	2х-3	х + 2
х24-х-56 Зх2-х-14 64-7х-5х2
} 0,5x4-4	Г+2	5х + 3
\ (7х-х2-12)2	2х2-7х+5
х2-8х + 16	х-1
(-х2-Зх-2)2	2х2-х-1
х2 + 4х + 4	х-1
_<о X (2-х)(2х2-5х-3)	Зх2+4х-7
о. 1 о. а) —------------1----:
х3-Зх2-4х + 12	Зх2 + 13х + 14
6х2+17х-10	х3-2х2-9х + 18
* 4х2+12х-7 + (3-х)(2х2+Зх-14)‘
X (х2+3х)2-2х2-6х-8	4х2 + 16х + 16
0.14. а)--------------------------------:
х4 — 5х2 +4	х3 + 2х2 -4х-8
Зх2 + ЗОх + 75 х4-10х2+9
х3 + 5х2 - 25х-125 (х2 - 4х)2 -2х2 + 8х-15
8.15.	а) Найдите р и д, если точка А (1; —2) является вер-
шиной параболы у = х2 + рх + q.
б)	Найдите Л и тп, если точка А (-2; -7) является
вершиной параболы у = kx2 + 8х + тп.
8.16.	а) Найдите а, Ъ и с, если точка М (-1; -7) является
вершиной параболы у — ах2 + Ьх + с, пересекающей
ось ординат в точке N (0; -4).
б)	Найдите а, Ь и с, если точка М (1; 5) является
вершиной параболы у = ах2 + Ьх + с, пересекающей
ось ординат в точке N (0; 1).
8.17.	а) Найдите функцию у = ах2 + Ьх + с, если известно,
что график ее проходит через точки А (1; 4),
В (-1; 10), С (2; 7).
б)	Парабола у = ах2 + Ьх + с проходит через точку
В (-1; 5) и имеет вершину А (1; 1). Найдите ордина-
100
ту такой точки данной параболы, абсцисса которой
равна 5.
Постройте график функции (18—24):
8.18.	а) в)	у = -0,2х2 + 2; у = —х (Зх + 2);	б) г)	у = -3 (х + I)2 + 2; у = (2 - х) (х - 6).
8.19.	а)	у = (х + 2)2 - 4 (х + 2) + 3;		
	б)	У = ~(х - I)2 + 5 (х - 1)	- 4	
	в)	у = -(х + I)2 + 6 (х + 1)	- 8	
	г)	у = (х - 2)2 - 2 (х - 2) -	3.	
8.20.	а)	у = (х2 - 2)2 - (х2 - I)2;	б)	у - (х + 2)3 - (х + I)3;
	в)	У = (х - I)2 (х — 2) — (х •	-2)	2 (х - 1);
	г)	у = (х - 1) х (х + 1) - X	(х + 1)(х + 2).	
8.21.	а)	у = у/х4 + 8х2 +16;	б)	у — д/х4 -6х2 +9;
	в)	у = 1- Vx4 + 2х2 +1;	г)	у = 1-л/х4 -4х2 +4.
8.22.	а)	2 И У = х2	;	б)	2 х2 у = х -г-
		X		|х|
	в)	у = 1-х\х ;	г)	у = 2x+xVx^.
8.23.	а)	_ х3	1.	б)	х3 , у = 1-1г - 1;
		у ~~	1—		
		(Vx)2		Vx2
	в)	л	X3 у = 4х — ;	г)	л	X2 у = ±х- .— •
		(Vx)2		v^
8.24.	а)	у - х2 -Зх-(л/Зх-9)2;	б)	у - х2 - Зх - д/(3х - 9)2
	в)	y = x(Vx-3)2 -Зх + 8;	г)	у = хЛ/(х-3)2 - Зх + 8.
8.25.	При каком значении Ь корнем квадратного трехчлена
f (х) = -Зх2 + Ьх - 2Ь - 12 является число 6? При най-
денном значении Ь определите второй корень трехчле-
на, постройте график функции у - f (х), укажите про-
межутки возрастания и убывания функции, значения
х, при которых f (х) < 0, f (х) > 0, -9 < f (х) < 3.
8.26.	При каком значении с корнем квадратного трехчле-
на f (х) = х2 - 12х -I- с является число 9? При найден-
ном значении с определите второй корень трехчлена,
постройте график функции у = f (х), укажите проме-
жутки возрастания и убывания функции у = f (х),
значения х, при которых f (х) <0, f (х) > 0,
-5 < f (х - 1) < 7.
8.27.	Постройте график квадратного трехчлена у = ах2 -
- (а + 6) х + 9, если известно, что прямая х = 2 явля-
ется его осью симметрии.
101
8.28.	Постройте график функции:
а)	у = х2 — 6х + а, если известно, что ее наименьшее
значение равно 1;
б)	у = -х2 + 4х + а, если известно, что ее наиболь-
шее значение равно 2.
8.29.	Постройте график квадратного трехчлена:
а) у = 2х2 - (а + 2) х + а, если известно, что корни
хг и х2 связаны соотношением — +— = 3;
Х1 х2
б)	у = х2 + Зх + а, если известно, что его корни свя-
заны соотношением х2х2 +х2х1 =12.
8.30.	При каких значениях а множество значений функ-
ции у = х2 - 2х + а совпадает с областью определе-
ния функции у = у/2х-а?
8.31.	При каких значениях а множество значений функ-
ции у = —х2 + 4х + а не пересекается с областью опре-
деления функции у = л/Зх + а?
8.32.	При каких значениях Ъ графики функций у = 2Ьх2 +
+ 2х + 1 и у = 5х2 + 2Ъх - 2 пересекаются в одной
точке?
8.33.	Даны функции f (х) = 2х2 и g (х) = 5х - с.
а)	Не выполняя построения, определите, пересека-
ются ли графики функций при с = 2.
б)	Исследуйте взаимное расположение графиков
функций / и g в зависимости от параметра с.
8.34.	Даны функции f (х) = тх2 - 3 и g (х) = 4х + 1.
а)	Не выполняя построения, определите, пересека-
ются ли графики функций при пг = -2.
б)	Исследуйте взаимное расположение графиков
функций f и g в зависимости от параметра т.
8.35.	Графики функций у = х2 + 6х - 3 и у = (х + З)2 - 25
пересечены прямой х = а. Найдите расстояние меж-
ду точками пересечения.
8.36.	Графики функций у = 2х - х2 и у = 2х2 - 20х + 48
пересечены прямой у = а. Найдите число точек пере-
сечения в зависимости от а.
8.37.	Графики функций i/ = x2 + 2x + 4hi/ = -Зх2 - 18х -
- 25 пересечены прямой у = Ь2. Найдите число точек
пересечения в зависимости от Ъ.
8.38.	При каких значениях параметра k вершина парабо-
лы у = fex2 - 7х + 4fe лежит во второй четверти?
8.39.	При каких значениях с вершина параболы у = х2 +
+ 6х + с находится на расстоянии, равном 5, от нача-
ла координат?
102
8.40.	При каких значениях b вершина параболы у = х2 +
+ 2Ьх + 13 находится на расстоянии, равном 5, от на-
чала координат?
8.41.	При каких значениях а вершина параболы у = ах2 + 2х +
+ 1 находится на расстоянии 2л/2 от точки А (1; 2)?
8.42.	Найдите все значения параметра а, для которых
уравнение х2 - 2 (а - 1) х + 2а + 1 = 0 имеет два раз-
личных положительных корня.
8.43.	Найдите все значения параметра fe, при каждом
из которых ровно один корень уравнения х2 + 2(й-
-l)x + 3fe + l = 0 удовлетворяет неравенству х < -1.
8.44.	При каких значениях параметра а число 3 заклю-
чено между корнями уравнения х2 - (2а + 1) х +
+ 4 - а = 0?
8.45.	При каких значениях параметра k число -2 заклю-
чено между корнями уравнения -х2 + (3k - 1) х +
+ k - 1 = О?
8.46.	Найдите все значения параметра а, для которых
уравнение Зх2 - 4 (За - 2) х + а2 + 2а = 0 имеет кор-
ни хх и х2, удовлетворяющие условию хх < а < х2.
8.47.	Изобразите на координатной плоскости множество
точек, каждая из которых равноудалена от данной
точки F и данной прямой, если:
a) F (-4; 1), у = -1;	б) F (4; -1); у = 1;
в) F (1; 4), у = 3;	г) F (-1; -4), у = -3.
8.48.	На прямой 2х - у - 5 = О найдите такую точку М,
сумма расстояний от которой до точек А (-7; 1) и
В (-5; 0) была бы наименьшей.
8.49.	а) Какую линию описывают вершины парабол
у = х2 + 2рх + р2 + р, где р е R1
б)	Какую линию описывают вершины парабол
у = х2 - 2ах + 2а2, где а е R?
8.50.	Парабола у = х2 + рх + q пересекает прямую у — 2х —
- 3 в точке с абсциссой х0 = 1. При каких значениях
р и q расстояние от вершины параболы до оси Ох ми-
нимально? Найдите это расстояние.
НЕРАВЕНСТВА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решите неравенство (51—54):
8.51. а) (5х - 2) (4х + 3) < 0;
в)	8х2 + Зх - 5 > 0;
8.52.	а) 2х2 - Зх + 5 > 0;
в) х2 - 10х + 27 < 0;
б) (6х - 5) (8х + 1) > 0;
г) Зх2 + 5х - 8 < 0.
б) Зх2 - 4х + 2 > 0;
г) 5х2 - 12х + 8 < 0.
103
8.53.	a) 9x2 + 12x + 4 < 0;	6)	49x2 - 70x + 25 > 0;
в) 64x2 + 112x + 49 > 0; r) 25x2 - 40x + 16 < 0.
8.54.	a) (x2 + l)3 < (3 - x)3;	6)	8 (x - 2)3 > (x2 - 3)3;
в) (x2 - 1) (x2 + 4) < (2x2 - 5) (x2 + 4);
r) (3x2 + 4) (2x2 + 1) > (2x2 + 1) (2 + 5x2).
8.55.	Равносильны ли неравенства:
a) 5x2 > 2x и 5x > 2; б) Зх3 < 7x2 и 3x < 7;
в) 4x5 < 5x4 и 4x < 5; г) 2x3 > Зх2 и 2x > 3?
8.56.	При каком значении а неравенства равносильны:
а) | х - 2 | < 3 и х2 - (а - 1) х - а < 0;
б)	I х - 11 > 2 и х2 - ах - а > 1?
Решите неравенство (57—60):
8.57.	а) (2х2 + Зх + 4) (х + 3) > 0;
б)	(7 + 6х - х2) (Зх - 5) < 0;
в)	(25х - х3) (4 - х2) < 0;
г)	(х4 - 27х) (х2 - 4х - 5) > 0.
8.58.	а) х4 - 13х2 + 36 < 0;	б) х4 - 2х2 - 15 > 0;
в) х4 - 12х2 + 36 > 0;	г) 16х4 - 24х2 + 9 < 0;
8.59.	а)	(х -	I)2	(х2 - 2) < (х - I)2 (6 - 2х);
б)	(х -	I)3	(х - 2) (2х - 3) < (х - I)3 (х - 2)2;
в)	(х -	4)3	(х2 - 10х + 25) > (х - 4)3 (5 - х);
г)	(х -	1) (2х - 4) (х - З)2 < (х2 - Зх + 2) (х	- З)2.
8.60.	а)	(х2 -	4х	+ 4) (Зх2 - 2х - 1) < 0;
б)	(9х2 - 6х + 1) (х2 - 6х + 8) > 0;
в)	(х2 + х)2 (7х2 - 5х - 2) > 0;
г)	(5х2 + 6х + 1) (х4 - 4х3 + 4х2) < 0.
8.61.	Дана функция f (х) = (х - З)4 (х + I)3 х2. Укажите
все значения х, при которых:
a) f (х) < 0; б) f (х) < 0; в) f (х) > 0; г) f (х) > 0.
8.62.	Дана функция f (х) = (х + 3) (х - 2)2 (х + I)3 (х - 4)4.
Укажите все значения х, при которых график функции
расположен: а) в верхней полуплоскости; б) в нижней
полуплоскости.
8.63.	Дана функция g (х) = 3 - х - х2.
1)	При каких значениях х имеет место неравенство
g (х) < 1?
2)	Найдите наибольшее значение функции g (х).
3)	Решите неравенство g (х) > g (х2).
4)	При каких значениях а неравенство g (х) < а вы-
полняется при всех значениях х?
104
8.64.	Решите неравенство:
а)	х2 - 2 (Ь - с) х + а2 > 0;
б)	х2 + (а2 + Ь2 - с2) х + а2Ь2 > 0, если а, & и с — дли-
ны сторон треугольника.
8.65.	При каких значениях а решением неравенства
х2 - (а2 - 2а - 3) х + а2 + 2 < 0 является отрезок [2; 3]?
8.66.	При каких значениях а решением неравенства
х2 + (а2 - 7) х + а2 + 2а + 6 > 0
является объединение промежутков (-°°; 1) и (5; оо)?
Решите неравенство (67—71):
8.67.	Зх2 - Ь < ах, если известно, что а2 + 12& < 0.
8.68.	5х2 - ах + Ъ > 0, если известно, что Ь > 0,05а2.
8.69.	ах2 + Ьх + с С 0, если известно, что Ь2 < 4ас и
а + с > Ь.
8.70.	ах2 + х - Ь > 0, если известно, что аЬ < -0,25 и
Ь < 9а + 3.
8.71.	ах2 + Ьх + с > 0, если известно, что Ь2 - ±ас < 0 и
а + Ь + с < 0.
Равносильны ли неравенства (72—74):
8.72. а) (2х + 5) (3 - 2х) <	3-2х Л
	0 и 	- <0; 2х + 5 Зх — 5	Л
б) (Зх - 5) (5 + 2х) > Зх—1 Зх—1	Ои^т-^0? 5 + 2х
8.73. а) 2х +	->	—-4их>-2; х+1	х+1 2х + 5	2х + 5 б) 5х		 10		 и х < 2? х-4	х-4	
8.74. а) - <1 и х > 1; X	б) Д- > 1 и х2 < 2; X2
в)	<1 и 1 х 1 > 2;	г) г-——г > 1 И I X I < 3? |х|
Решите неравенство (75—82): Яг-1	2г-1	
8.75. а) -		 > 3; 2х + 5 ч 7 х + 4	„	б> Зх + 5 ч 5-6х	.
в) 	> 2; ’ 3-2х	’ „	ъ (х2-9)(1-х) „	Г) Зх + 4<1' х2-ьх—6 Л
8.76. а) .. ом 's»0; х2 +2х + 14 ч х2 + 6х+9 . _	б) 	 ' (9-х)3 . х2 +8х + 7 Л
в) к+>о; О 4- 4Х — X	г) — 	< 0. 4х8 +4х + 1
105
8.77. а)	Зх2 + 10х + 3 (3-х)2(4-х2) > ’	б)			<0; (5х + 10)2(-1-Зх)
в)	х2(6-х)3(х + 4) (х + 7)5	" ’	г)	(1-2х)3 (3-2х)4 (2х-5)5
8.78. а)	3-х^^-; 2-х	б)	8-х < 2 х-10	2-х’
в)	2х-3 > х-2 4х-1 " х + 2’	г)	х+1 х-1 л 1-х + х <2-
8.79. а)	2ЗХ,~5 _ *£0,5; х2 + 4х-5	б)	+0,5 »0; 12-х-х2
в)	5-2х Зх2-2х-16 < ’	г)	5-4х	. —5	<4. Зх2 —х-4
8.80. а)	х х + 1 х + 2	б)	1,2	3 +	>	j х-2 х х-1
в)	х-1 х + 1 х + 2	г)	21 < 16	6 х + 1	х-2 х ’
14х(2х + 3)	(9х-30)(2х + 3)
0.81. а) ---------<---------------;
х +1	х-4
(5х + 4)(Зх-2)	(Зх-2)(х + 2)
'	х+3	1-х	’
(х + 5)(3х2-Зх + 1) (х + 5)(х2+2х-1)
х2-6х+9	х2-6х+9
(х2 —6х + 9)(3х2-2х-1) < (х2-6х + 9)(2 + 2х-4х2 )
5-х	5-х
I х2 —2 Г
8.82.	а)	> 0;
I х + 1 )
1
(х-2)2
--^+9>0;
х-2
в)
г)
(х-3)2 + ——i---->2;
х2 -6х + 9
9	х2-8х + 16	8х-2х2
х2-2х+1	х-1
8.83.	Укажите все целые значения х, для которых не вы-
Зх-1 о
полняется неравенство 1 < 2x + i <
8.84.	Найдите множество значений х, при которых гра-
х —13
фик функции у = —5----не выходит за пределы по-
х2 + х-6
лосы 0 < у С 1.
8.85.	Укажите все целочисленные решения неравенства
О < I х2 - 2х I < 3.
106
Решите систему неравенств (86—8! 8.86. а) |2(х-1)-3(х-4) > х + 5, 23х 4 >0; х2 + 4х + 4 в) 14х2 > 1 [-2х2 + 5х-3>0; 8.87.	a) fx2 -2х-3>0, [х2 -11х + 28^0; в) 2-х х + 1	’ 8.88.	a) Jх2 4,	б) [х2 -х-6> 0; в) |х2 +2х-3>0,	г) х2 +х-6^0; 8.89.	а) [х2-14х + 45 <0,	б> х2-11х + 30>0, х2 -х + 2 в) [х2-х-20<0,	г) ' х2 - 2х - 8 > 0, 2х2 +х-45 <0; Решите совокупность неравенств (I 8.90.	а) Гх2 -Зх + 2^0,	б) |2х-3| <1; в) Г4х2+7х-15^0,	г) 20х2 -23х-21 <0; 8.91.	а) Гх2 +16х+15>0,	б) Х + 1 <0,	г) х-1 X2 0; х + 1	9): б) 1х2+Зх + 2>0, ' —— ^0; Х + 1 г) (х2 — х-6^ 0, [х2 -4х <0. б) |Зх2-4х+1>0, [Зх2 -5х + 2^0; г) Зх2 -7х+8	1 < х2 + 1	’ Зх2-7х+8 х2+1 |2х-3| С1, х2 -4х + 3> 0; Vx2 -4(х-3)>0, |х + 2|(х2 -5х+6)<0. Зх2 -5х-2>0, Зх2 -7х-6<0, 6х2 -11х-10^0; 4х2 -4х-3^0, 1 -.л х2 Зх2 -20х-7 <0. 90—91): Зх2 - 7х+4 <0, х2 -4^0; "х2 -6х-27>0, 4х2 +31х + 60^0. 9х2 -4х-5 <0, 5^<1-
	3-2х з
	3-2х-х2 11х-х2 >28.
107
8.92.	Найдите все значения х, при которых меньшее из
1 — х
двух выражений 1 - х2 и не меньше, чем 0,5.
8.93.	Найдите все значения х, при которых большее из
двух выражений х2 + 2х и - — не больше, чем 0,5.
8.94.	Найдите все значения х, при которых большее из
двух выражений 2х-х2 и х-2 не меньше, чем 1.
8.95.	Найдите все значения х, при которых меньшее из двух
выражений х2 - 2х - 3 и х - 3 не больше, чем -4.
Найдите область определения функции (96—99):
8.96.	a) г/ = 7бОх-25х2 -36; б) у = .	1
V112x + 64 + 49x2
8.97.
8.98.
в)
г)
а)
в)
а)
в)
г)
г/ = 74-х|х|;
у = 7(x“2)Vx;
I 3-2х-х2
у = J--------;
Vx2 +7х + 12
у = у1\х\(х-1);
у = 7(1-х)/х-2.
1-х2 + 6х-8~
У Ух2 +5х + 6
2
л/х2 +х- 20
у = 720-х-х2
+ 7х2 +5х-14;
______3
714- 5х-х2
8.99.
717-15х-2х2
х + 3
я, !	7-х
б)	у -	,	;
у ^4х2 -19х + 12
Н6+7Х-ЗХ2"
г У ~ V -Зх2+2х + 8 ‘
Решите неравенство (100—102):
8.100.	а)	| х2 + 2х|> 3;	б)
в)	12х2	+ 5х - 41 < 3;	г)
8.101.	а)	х2 -	5 | х | + 6 < О;	б)
в)	X2 -	|х| - 12 > О;	г)
8.102.	а) | х2 - 41 (х2 - 1) < 0;
б)	х2 - 41 (х 2 - 4х + 3) < 0;
в)	I х2 - 6х + 91 < 2х - 6;
г)	х2 - 2х + 1 < 2 | х - 11.
| х2 + Зх | < 4;
| Зх2 - 4х - 2 | > 2.
7 | х | - х2 - 12 < О;
11 |х|+ 20 - Зх2 > 0.
10В
8.103.	Найдите целочисленные решения неравенства:
а) | х2 + 2х | < х; б) | х2 + 2х - 31 < 16х - 61;
в) |х2-9|(х2- 7 |х| + 10) < 0;
г) |х2-4х + 3|+2<2|х-1|+|х-3|.
Решите неравенство (104—106):
8.104. а)	х-1 2-х	>1;	б)	1+4-х—х ——!— <1; З-х
в)	х-1 2	+ X + 1 	>2; - X	г)	х + 4
8.105. а)	х2-7| х 1 + 10 —s——!	0; х2 +6х + 9	б)	|х + 2| — > 2; х2 +Зх + 2
в)	х2 -|х 1 — 12 х-3	<2К	г)	|х2 + х-б| 		-21. X2 -х + 1
8.106.
х2 +6х-|х + 3| + 7 <0;
х2 +0,5х-4|х + 0,25 +3,0625 > 0;
Зх2-5х-7|х-2| + 15 <
2х2-х + 1
а)
б)
в)
2х2+15х-10|2х + 3|+32
2х2 + Зх + 2
8.107.	При каких значениях с графики функций у = сх2 -
-х + сиу = сх + 1- сне имеют общих точек?
8.108.	При каких значениях р графики функций у = рх2 -
- 24х + 1 и у = 12х2 - 2рх - 1 не пересекаются?
8.109.	При каких значениях параметра а корни уравнения
х2 + Зх + а = 0 удовлетворяют условию — + — +1 > О?
х2 Х1
8.110.	Найдите все значения параметра 6, для которых
уравнение х2 - 2Ьх + 6 + 6 = 0 имеет: а) отрица-
тельные корни; б) положительные корни; в) корни
разных знаков.
8.111.	При каких значениях а неравенство:
а) х2 - (а + 2) х + Sa + 1 > О; б) т~х2 + ах - а + 1 >0;
в) ах2 + 4х + а + 3 < 0; г) ах2 - 4ах - 3 < О
выполняется для всех действительных значений х?
8.112.	При каких значениях 6 неравенство:
а)	х2 + 26х + 1 < 0;	б) Ьх2 + 46х + 5 < 0;
в)	Ьх2 + (26 + 3) х + 6 - 1 > О;
г)	(4 - 62) х2 + 2 (6 + 2) х - 1 > О
не имеет решений?
109
Для каждого значения а решите неравенство (113—115):
8.113.	а)	х2	— ах + 3 < 0;	б) х2 + 2х	-	а	>	0;
в)	ах2 + Зх -	4 > 0; г) ах2	- х	+	2	<	0.
8.114.	а)	х2	- 2ах +	2а2 -	2а + 1 >0;
б)	х2	- 2ах +	2а2 +	4а + 4 < 0;
в)	9х2 + 12ах + 5а2 < 4а - 4;
г)	16х2 + 13а2 + 4а > 24ах - 1.
8.115.	а) Х(Х~а) СО;	б) Х—0;
х + 3	х-а
х2-(а-3)х-3а	24-5х-х2
в) -----т------> 0; г) —---------------0.
х2 -4	х2 +(2а-5)х-10а
8.116.	При каких значениях а не существует ни одного
значения х, одновременно удовлетворяющего нера-
венствам х2 - ах < 0 и ах > 1?
8.117.	При каких значениях а нули функции f (х) = х2 +
+ 2 (а - 2) х + 2а - 5 расположены между числами
-2 и 4?
8.118.	При каких значениях а нули функции g (х) = х2 -
- 4 (а - 3) х - 20а + 35 расположены между числа-
ми -4 и 3?
8.119.	При каком значении параметра а оба корня уравне-
ния х2 - (2а + 1)х + 4- а = 0 заключены между
числами 1 и 3?
8.120.	Найдите все значения параметра а, при которых все
решения неравенства х2 - 2 (а + 4) х + 4а + 13 < 0
являются решениями неравенства х2 + 4|х|-5<0.
8.121.	При каких значениях параметра а любое решение
неравенства х2 - Зх + 2 < 0 является одновременно
решением неравенства ах2 - (За +1)х + 3>0?
8.122.	При каких значениях параметра р неравенство
рх2 - 4х + Зр + 1 >0 справедливо при всех положи-
тельных х?
8.123.	Укажите все значения параметра й, при которых
квадратный трехчлен х2 + kx + k2 + 6й отрицателен
при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству
8х2 + 17 < 24х + 2 | х - 1,51.
8.124.	Найдите все значения а, при которых любое значе-
ние х, удовлетворяющее неравенству ах2 + (1 - а2) х -
- а > 0, по модулю не превосходит 2.
8.125.	Найдите все значения параметра 6, при которых из
неравенства Ьх2 - х + 1- &<0 следует неравенство
х (х + I)2 (х - I)3 (х + 2)4 < 0.
110
8.126.	Даны два утверждения:
1)	уравнение х2 + (fe + 2) х + 1 = 0 имеет два раз-
личных отрицательных корня;
2)	уравнение х2 + (1 - k) х + 4 = 0 имеет два раз-
личных положительных корня.
При каких значениях параметра k оба утверждения
истинны; оба утверждения ложны; одно из утверж-
дений истинно, а другое ложно?
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Найдите область определения функции (127—129):
8.127.
а)
в)
2
У~ Ух-З’
3
У =---Г-7=
б) У = -7=—.'’
<х -1
2
г) у = ,	——
д/х2 -6х+8-2
8.128.
_ 5х
У “ 2| х + 1|-5'
значение функции равно 2?
б) у — j--Д----—. При каком значении аргумента
а)
При каком значении аргумента
значение функции равно 1?
\	ч 5	тт
в) у = т ——— При каком значении аргумента
I х — — 1х + о|
значение функции равно -1?
4х
г) у = j-———---—. При каком значении аргумента
I X — о| — о ] X 4-
значение функции равно 4?
8.129. а)г/ = У12х2 -4х3 -9х-72-|х|;
б) у = 7|х-1|(3х-6)+	?	;
х^+4х-21
ч	J(x2-4x-21)\x + 2\
в) о =-----s;
* х2 + х-72
г) у = л/б-У4х2 -20х + 25 - А/|х|(2х-10).
Найдите область значений функции (130—136):
8.130. а)	г/= х2 + 2;	б)	у	= 3 - 4х2;
в)	у - Зх - х2;	г)	у	- Зх2 - 6х + 1.
8.131. а)» = ^; в)у = ^; ») » = г) V =
8.132. а)	у = Ух-2+3;	б)	у	= | х - 4 | — 2;
в)	у = 5-У2х + 1;	г)	у	- 3 - | 2х + 3 |.
111
8.133. а) у = у/хг +4;	б) y = 4-2jx2 +9;
в) у = л/Зх2 -6х + 4;	г) у = >/8х- 2х2 -7.
8.134.
8.135.
а)
в)
г)
а)
б)
в)
г)
у = 1-; б) у = 2---------—; 3----;
V*~i+1	2х2-8х+9
у = 1 - 79-/2х2 +6V2X + 9;
у - 3- д/16-/4х2 -4V3X + 3.
(х-1)3 , если х > О,
1	Л
---т, если х <0;
х-1
-х2 - 2х, если х < 1,
---, если х > 1;
> х
2х2 +8x4-6, еслих<-1,
Зл/х + 1, если х > -1;

8	О
—, если х -2,
х
х3 +4, если- 2 <х О,
4	л
—з—, если х > 0.
х2 + 1
8.136.	а) у = ^-^
_ х4 + 6х3 - 27х-162
У ~ х2 + Зх-18
Найдите наибольшее значение функции и значение аргу-
мента, при котором достигается это наибольшее значение
(137—138):
8.137.	а) у = 5 - | х + 81; б) у = 2- Vx- 2;
в)	у = х2 - 2х + 3, если х е [1; 5];
г)	у = -х2 - 4х + 1, если х е [-3; 0].
8.138.	а) у ——~б) у =	;
у 5 + |Зх-21	' у х2-2х + 2
ч 2х	ч	х
в) У =	г) У = л 2 :а’
х^+1	4x^+9
Найдите наименьшее значение функции и значение аргу-
мента, при котором достигается это наименьшее значение
(139—140):
8.139.	а) у = 74х2 -12х + 9-2; б) у = 3 + л/х2 -Зх + 2;
в)	у — х2 + 6х + 11, если х е [-4; 2];
г)	у = -х2 + 2х + 2, если х е [-1; 2].
112
Q	9
„1+1;
.	х	ч х2 + 4х + 4
В	12х2+3’ Г) У ~ х2 +4х + 5*
8.141. Функции f и g возрастают на промежутке X. Верно
ли, что функции:
a)	f + g, f2 и fg возрастают на промежутке X;
б)	-f, -i убывают на промежутке X?
Используя определение возрастания и убывания функции
на промежутке, докажите, что функция (142—144):
8.142.
а)
б)
в)
г)
8.143.
а)
8.144.
б)
в)
г)
а)
б)
в)
[0; 1]
5
у - ---- убывает на (-°°; -0,5);
Л X 4" 1
4
у = ---возрастает на (2; оо);
— х
21х-9	(	П
у = —---— возрастает на -оо; - ;
3 X — 1	у	3 у
4х + 31 _	z _ ч
у = убывает на (-7; о°).
2 .
3J
У “ ~5х2 + 6х + 19 возрастает на (-оо; 0,6];
у = Зл/4х +1 -1 возрастает на [-0,25, оо);
у - 2 + д/З- 5х убывает на (-оо; 0,6].
у = х3 - Зх возрастает на [1; °о);
у = 12х - х3 убывает на [2; оо);
у = 0,5х2 - 2д/х возрастает на [1; °о) и убывает на
у — Зх2 — 4х + 7 убывает на
—оо:
возрастает на [0; 0,25] и убывает на
8.145.
8.146.
[0,25; оо).
Дана функция f (х) = х2. Докажите, что для любых
значений аргумента xt и х2 имеет место неравенство
/Xi + x2	f(x1) + f(x2)
2 2
Дана функция f (х) - Докажите, что для любых
значений аргумента xt > 0 и х2 > 0 имеет место не-
равенство
f(x1) + f(x2)
2
Исследуйте функцию на четность (147—150):
8.147. a) f (х) = 9; б) ф (х) = 0;
113
в) g (х) = (2 - Зх)3 + (2 + Зх)3;
г) h (х) = (5х - 2)4 + (5х + 2)4.
8.148.
а)
б)
в)
f (х) = (х + 3) I х - 11 + (х - 3) I х + 11;
Ф (х) = (х + 5) I х - 3 I - (х - 5) I х + 31;
. -	1х-7| |х + 7|	|х-4| |х + 4
g(x) = ----1 + !--1; г) й(х) = ------------
х+1	х-1	7	4 7	х+2	х-2
8.149. а) /(х) = (х + 2) (х + 3) (х + 4) - (х - 2) (х - 3) (х - 4);
б)	Ф(х) = (х - 5)8 (х + 7)11 + (х + 5)8 (х - 7)11;
в)	g(x) = (х - 6)9 (х + З)5 + (х + б)9 (х - 3)s;
г)	h (х) = (х2 - Зх + 5) (х3 - 8х2 + 2х - 1) -
- (х2 + Зх + 5) (х3 + 8х2 + 2х + 1).
8.150. a) f(x) = -—=^-
х3 +2х2
х-1
б)
х5-2х2-3 х5+2х2+3
в)
г)
Ф(Х)=	х-4
(x-i)5
ё(Х) (Зх + 4)3 '(Зх-4)3 ’
(х-2)3(х + 1)5(х-5)7 , (х + 2)3(х-1)5(х + 5)7
х + 4
(х + 1)5
2х + 1
2х-1
8.151.	Функция у = f (х) является четной; известно, что:
a)	f(x) = yfx при х > 0;
б)	/(х) = х2 - Зх при х > 0;
в)	f (х) = х2 + 4х + 3 при х < 0;
г)	ft*) = при х < 0.
Постройте график функции y = f(x), Задайте дан-
ную функцию одной формулой.
8.152.	Функция у = g (х) является нечетной; известно,
что:
а)	£(х) = х2 при х > 0;
б)	g(x) = х2 при х < 0;
в)	£(х) = х2 - 2х при х > 0;
г)	£(х) = Vx при х > 0.
Постройте график функции y = g(x). Задайте дан-
ную функцию одной формулой.
Найдите функцию, обратную данной. Укажите область
определения и область значений обратной функции. По-
стройте графики данной функции и обратной в одной сис-
теме координат (153—156):
8.153.	а) у = 2х;	б) у — -Зх;
в) у — 5х - 1; г) у = 3 - 4х.
114
Q 1 KA	\	2	\	3X	x	1 X
8.154.	a) y =---7; б) у - ---; в) у = ---7; г) у =-----•
7	57	х-1	7 57	2-х	7 57	2х-1	7	57	х + 2
8.155.	а)	у = (х +	З)2, х <	-3;	б)	у = (х -	4)2,	х >	4;
в)	у = х2 +	8х	- 4, х > -4;	г)	у — х2 —	2х + 5,	х < 1.
8.156.	а) у = Vx - 2;	б) у - V3-x;
в) у = 4-Vx-1;	г) у — 5 +V4-X.
Постройте график функции (157—161):
йШ1	- £2	4х+^.		б)	_ х2 +5х+6	
	’ у	9-Зх ’		У —	9-х2
8.158.	а) у = х2 - | х | - 6;	б)	У =	1 х2 - X - 6 |.
8.159.	а) у = | —х2 + 6х - 81;	б)	У =	-х2 + 6 | х | - 8.
8.160.	а) у = х (| х | - 4);	б)	У =	х | х - 41.
8.161.	а) у = (х - 3) (|х| + 1);	б)	У =	|х - 3| (х + 1).
8.162.	Постройте график функции у —			| х2 + 4х + 3 | и най-
	дите координаты точек пересечения этого графика с			
	прямой у — —2х - 5.			
8.163.	Постройте график функции у			— (2х - 1) 14 - х | и
	найдите координаты точек		пересечения этого гра-	
	фика с прямой у = 4х -	2.		
Постройте график функции (164—176):
8.164. а) у = 8.165. а) у =		^(х2 +6х); Т“(*2 -2х);		б) у = ^-(4х-х2 -3). 1*1 6>*=iX(x2+4x+3)- б) у = |2 - 11 - х|||.
8.166.	а) у =	111*1	- 2| -1 |;	
8.167.	а) У =	|х2 -	 5 | х | + 61;	б) у — 74х2 - 4х21 х | +х4 .
8.168.	а) у —	111-	х21 - 31;	б) у = II X2 - 2х| - 3|.
8.169.	а) у =	2-71	1*-3|;	б) у = 2-7з~|х|;
8.170.	в) У—\ а) у =	2-71 _l*l_. х-1’	|х-3||; б)	г) у =|2-7з-|х||. 1*1-1
8.171.	в) У = а) у = - * В) У =	X х-1 х2 -5 Jx-x х4 + ^ 4-	;	г) >*-6 _ 2-12’ 1х2-5  г)	X У = I	. .• 1 *-1| _ 2х2-17х + 21 У~ 7+6х-х2 ’ _ 13х2-х4-36 V	х2-х-6
115
1	1	х-2 х-2
--1--—	---1---—
о	ч X Х + 1	_	X Х + 1
8.172.	а) у = г; б) у =
X х+1	х х+1
8.173.	а) у = х (| х + 21 + |х + 41; б) у = 1х + 2Нх—4
8.174.	а) у = (х - 1) | х + 11 + | х - 11 (х + 1);
...	х2-Зх + 2 х2+Зх + 2
б)	У - --:-:-- +--;---j-
|x-i| |x + i|
J^ + 2
8.175.	a) у = ---—..	; б) у = \ 3x  —
I fl-x2?	9 + x2 ,2
V ll+x2 J	V 3x ’ 3x
9 + x2 9
3x
8.176. a) у = 1x3 3Г21
|3x-x2 -2|
б) у = —------
x2 + x-2
Постройте график функции и с его помощью укажите ну-
ли функции, интервалы знакопостоянства, промежутки
монотонности, экстремумы функции, наибольшее и наи-
меньшее значения функции, область значений функции
(177—178):	3, если х -4,
8.177. а) у = <	х2 - 4 х +3 |, если -4 <х 4, 3 - (х - 4)2 , если х > 4; 8-(х + 6)2 , если х <-6,
б) у = *	х2 - б|х| +8 |, если - 6 х < 5, 3, если х 5. II х I -11 -1 если | х | < 2,
8.178. а) у = <	д/| х - 2, если | х |	2; 2- д/4-|х|, если | х 4,
б) у = <	8	11л ।—।, если |х|> 4. X
8.179.	Дана функция f (х) = х2 - 6х. Постройте графики
функций:
а)	у = f (х) - 2;	б)	у = f (х - 2);	в)	у = 2f (х);
г)	у = f (2х);	д)	у ——f (х);	е)	у = f (-х);
ж)	У = f (I х |);	з)	у = | f (х) |;	и)	у = | f (| х |) |.
116
+ 1
8.180.	Даны функции / (х) = х2 - 4х + 4 и g (х) =-
X + о
а)	Докажите, что f (х) возрастает на промежутке
[2, оо).
б)	Докажите, что g (х) убывает на промежутке
[2; °0).
в)	Найдите все такие значения а, что f (3) = g (3).
г)	Решите уравнение (х - 2)2 = на промежутке
8.181.	Даны функции / (х) = (х - З)2 и g (х) = а +*-
4— X
а)	Докажите, что f (х) убывает на промежутке
(-°°; 3].
б)	Докажите, что g (х) возрастает на промежутке
(-ос; 3].
в)	Найдите все такие значения а, что f (2) = g (2).
2
г)	Решите уравнение х2 - 6х + 9 = --- на проме-
жутке (-оо; 3].	4“х
8.182.	Докажите, что если функция f (х) возрастает (убы-
вает) на промежутке X, а функция g (х) убывает
(возрастает) на этом промежутке, то уравнение
f (х) = g (х) имеет не более одного корня на проме-
жутке X.
Решите уравнение (183—187):
8.183.	а) (х + I)3 = 41 - Зх - х3;
б)	Зх3 + 2х = 4 + (2 - х)3.
8.184.	а) (х - I)5 + х5 = 45 - х3 - 2х;
б)	4х5 + 2х3 + 71 = (3 - х)3 + 1.
8.185.	а) х1991 + 1 = V5^x;
б)	л/Ю+х +5 ~ -2х13 - 6х.
8.186.	а) 24x^2 = --1;
X
б)	л/З^Х=1-^-.
х-4
8.187.	а) л/х2 +3х + 6+7х + 1 = 2;
б)	д/Зх2 -х + 2 + 7х-1 = 3-х.
117
Уравнения и системы
'5 / уравнений
1. Уравнения высших степеней.
Основные методы решения уравнений высших степе-
ней — замена переменной и разложение на множители.
В отдельных случаях при решении уравнений целесообраз-
но использовать свойства монотонности и ограниченности
функций.
Используя метод разложения на множители, полезно
помнить, что если число а является корнем многочлена
Р (х), то Р (х) делится на х - а, т. е. представим в виде
Р (х) - (х - a) Q (х). Таким образом, зная корень много-
члена, его легко разложить на множители (например, раз-
делить Р (х) на х — а «уголком», получив в частном Q (х).
Заметим, что «угадать» корень часто удается, основываясь
на следующем факте: любой целый корень многочлена с
целыми коэффициентами является делителем его свобод-
ного члена.
2. Системы уравнений.
Если ставится задача отыскания всех общих решений
двух уравнений с двумя переменными1 (вообще говоря, п
уравнений с k переменными), то говорят, что задана систе-
ма уравнений.
Каждая пара значений переменных (вообще говоря,
упорядоченный набор k чисел), обращающая в верное ра-
венство каждое уравнение системы, называется решением
системы уравнений. Решить систему — значит найти все
ее решения или доказать, что таковых нет.
Две системы называются равносильными, если множе-
ства их решений совпадают. Если обе системы не имеют
решений, то они также считаются равносильными.
Решая системы уравнений, обычно заменяют данную
систему другой, равносильной исходной, которую решать
проще. При этом можно использовать следующие утверж-
дения о равносильности систем уравнений:
1)	если одно из уравнений системы заменить на равно-
сильное уравнение, то получим систему, равносильную ис-
ходной;
2)	если одно из уравнений системы заменить суммой
каких-либо двух уравнений данной системы, то получим
систему, равносильную исходной;
1 Подробнее об уравнении с двумя переменными и его графи-
ке см. справочный материал к § 1.
118
3)	если одно из уравнений системы выражает зависи-
мость какой-либо переменной, например х, через другие
переменные, то, заменив в каждом уравнении системы пе-
ременную х на ее выражение через другие переменные, по-
лучим систему, равносильную исходной; например, систе-
мы уравнений
(х = у2-1 (х = у2~1
19	9 л и 1 / 9 ч х9	9 а равносильны.
[x2+z/2 = 4	[(у2 -I)2 +у2 =4
Основными средствами аналитического решения систе-
мы являются метод подстановки и метод введения новых
переменных.
Для графического решения системы двух уравнений
с двумя переменными надо построить в одной системе ко-
ординат графики обоих уравнений и найти координаты то-
чек пересечения этих графиков.
Пример 1. Решите уравнение:
а)	х3 - 5х - 12 = 0;
б)	4 (х + 5) (х + 6) (х + 10) (х + 12) = Зх2.
Решение, а) Разложим на множители левую часть
уравнения (это легко сделать, заметив предварительно, что
число 3 является корнем уравнения), имеем
(х3 - 27) - (5х - 15) = 0,
(х - 3) (х2 + Зх + 9 - 5) = 0, откуда х = 3.
б) Записав уравнение в виде
4 (х2 + 17 + 60) (х2 + 16х + 60) = Зх2,
разделим обе его части на х2 (очевидно, что х = 0 не явля-
ется корнем уравнения). Имеем:
4fx + 17 + — ¥х+16 + —1 = 3.
\ х А х )
Положим у = х + 16 + —L Получим квадратное уравнение
4 {у + 1) • у = 3, т. е. 4г/2 + 4i/ - 3 = 0,
откуда ух = 0,5, i/2 = -1,5. Далее найдем х: из уравнения
х + 16 + ^ = 0,5 получаем хг = -8, х2 = -7,5, уравнение
х + 1о + — = -1,5 не имеет действительных корней.
Пример 2. Решите систему уравнений
fx3 +x3z/3 +t/3 =17,
[х + xi/ +у = 5.
119
Решение. Данная система является симметрической.
Как и всякую симметрическую систему (т. е. такую, кото-
рая не меняется при замене в каждом уравнении х на у и у
на х), ее целесообразно решать с помощью введения новых
переменных и = х + г/иу = ху. Так как
х3 + г/3 = (х + у) (х2 - ху + у2) = (х + у) ((х + у)2 - Зху) =
-и (и2 - Зу),
то данную систему можно записать в виде
fu3 -Зыу + у3 = 17,
[u + v = 5.
Применяя формулу суммы кубов и осуществляя подста-
новку и + v = 5 в первое уравнение, получим
Г5(u2 - uv + v2)-3uv — 17,
[u + у = 5.
Далее, осуществляя равносильные переходы, имеем:
[б(и2 + у2) - Зии = 17,
[u + у = 5,
f 5((u + у)2 - 2uv) — 3uv = 17, f5(25-2uy)--8uy = 17,
[u + y = 5,	[u + y = 5,
{uy = 6,	\u — 2	f и = 3
, к откуда s o или s o
u + y = 5,	[y = 3	[y = 2.
Таким образом, исходная система равносильна совокуп-
ности двух систем
\х+у — 2 \х + у — 3
[xt/ = 3 И \ху = 2,
первая из которых решений не имеет, а решением второй
системы являются пары чисел (1; 2) и (2; 1).
Пример 3. Решите систему уравнений
fx2 + 3ху -Ь 2 г/2 = 3,
[5х2 - 2ху - у2 = 5.
Решение. Умножим первое уравнение системы на
-5, второе — на 3 и сложим почленно полученные уравне-
ния. Имеем однородное относительно х и у уравнение вто-
рой степени 10х2 - 21хг/ ~ 13г/2 = 0, которое равносильно
r 1
* (это легко пока-
зать, найдя корни трехчлена 10/8 - 21/ - 13).
совокупности двух уравнений
120
Итак, исходная система уравнений равносильна сово-
купности двух систем
Jx2+3xz/ + 2z/2 = 3, х2 +3ху + 2у2 = 3,
1 о	б
{У = -2х	У = Т5Х>
J.O
teniaa	которые находим ответ: (1; -2),	(-1; 2),
13 . 5 Г 13	5
V138’ V138 У I V138’ Л38 )
Замечание. Аналогичным образом к однородному
уравнению второй степени относительно х и у сводится
любая система уравнений вида
ахх2 + brxy +cry2 = dr,
а2х2 +b2xy +с2у2 = d2.
Пример 4. Решите систему уравнений
х(у +з) = 20,
< i/(x + z) = 18,
z(x + y) = 14.
Решение. Сложив почленно все три уравнения систе-
мы, имеем:
2 (ху + xz + yz) — 52, т. е. ху + xz + yz - 26.
Подставляя в последнее равенство значения ху + xz,
ух + yz, zx + zy из первого, второго и третьего уравнений
системы соответственно, получим систему, равносильную
исходной:
yz - 6,
<хг = 8,	(1)
xz/= 12.
Почленно перемножив все три уравнения системы (1), по-
лучим (xyz)2 - 242, откуда xyz - 24 или xyz - -24. Под-
ставляя в каждое из полученных равенств значения yz, xz
и ху из первого, второго и третьего уравнений системы (1),
находим две тройки решений: (4; 3; 2), (-4; -3; -2).
Пример 5. Решите систему уравнений
fx2 = 6х—1у - 3|,
[г/2 = xj/-9.
Решение. Пусть (х0, у0) — решение системы. Тогда
6х0 - Xq = | yQ - 3 |, откуда (ввиду неотрицательности моду-
ля) 6х0 — Xq > 0, т. е. 0 < х0 < 6 (1). Из второго уравнения
Уо + 9
системы имеем х0 =------- (очевидно, что у0 0). Если
Уо
121
У о +9
у0 > 0, то ----> 6, т. е. х0 > 6 и, учитывая условие (1),
Уо
х0 = 6. В этом случае у0 = 3 (например, из первого уравне-
ния системы). Подставляя пару (3; 6) во второе уравнение
системы, убеждаемся, что она является решением. Если
zx	Уо +9 Z.	....
же у0 < 0, то х0 =---6, что противоречит условию (1).
Уо
Упражнения
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решите уравнение (способом разложения левой части на
множители) (1—8):
9.1.	а)	х3 +	х2 - 4х - 4 =	0;	б)	Зх3 + 5х2 + 5х + 3 = 0;
в)	х3 -	х2 - 81х + 81	= 0;	г)	х3 +	Зх2	- 16х - 48 = 0.
9.2.	а)	х4 +	2х3 - х - 2 =	0;	б)	х4 -	Зх3	+ х - 3 = 0;
в)	2х4 + Зх3 + 16х +	24 =	0;
г)	24х4 + 16х3 - Зх - 2 = 0.
9.3.	а) х3 + Зх2 - 6х - 8 = 0; б) х3 + 5х2 + 15х + 27 = 0;
в) 8х3 - 6х2 + Зх - 1 = 0; г) 27х3 - 15х2 + 5х - 1 = 0.
9.4.	а) х3 + 1991х + 1992 = 0;
б)	(х + I)2 (х + 2) + (х - I)2 (х - 2) = 12;
в)	х3 + 4х2 -5 = 0;
г)	х3 - Зх2 + 2 = 0.
9.5.	а) х3 - Зх2 - 6х + 8 = 0; б) х2 | х - 3 = 6х - 8;
в) х3 + 8 = Зх| х + 21;	г) х|х2-6 = Зх2 - 8.
9.6.	а) 28х3 + Зх2 + Зх + 1 = 0;
б)	126х3 - Зх2 + Зх - 1 = 0.
9.7.	а)	(х2 + 4х) (х2 + х - 6) = (х3 - 9х) (х2	+	2х	- 8);
б)	(х2 + 5х) (х2 - Зх - 28) = (х3 -	16х)	(х2 -	2х - 35).
9.8.	а)	х4 - х3 - 13х2 + х + 12 = 0;
б)	х4 - х3 - 7х2 + х + 6 = 0.
Решите уравнение (9—11):
9.9.	а) ах3 - 2х2 - 5х + 6 = 0, если известно, что один из
его корней равен —2;
б)	х3 + ах2 - 5х + 6 = 0, если известно, что один из
его корней равен 3.
9.10.	а) х3 - х2 + ах + 12 = 0, если известно, что один из
его корней равен -3;
б)	2х3 + Их2 + 17х + а = 0, если известно, что один
из его корней равен -0,5.
9.11.	а) х4 + 4х - 1 = 0; б) х4 - 4х3 - 1 = 0.
122
Решите уравнение, выполнив подходящую замену пере-
менной (12—17):
9.12.	а)	9х4 - 37х2 + 4-0; б) 25х4 +	66х2	- 27	= 0;
в)	х6 + 9х3 + 8 = 0; г) 27х6 -	215х3	- 8	= 0.
9.13.	а)	х4 - (а2 + 3) х2 +	За2 - 0;
б)	х4 - (а3 + 2) х2 +	2а3 = 0;
в)	х6 + (а3 - 8) х3 -	8а3 = 0;
г)	х6 + (8а3 + 27) х3 + 216а3 = 0.
9.14.	а) (х2 - 2х)2 - Зх2 + 6х - 4 = 0;
б)	(х2 - Зх)2 - 14х2 + 42х + 40 = О;
в)	(2х2 + Зх - I)2 - 10х2 - 15х + 9 = 0;
г)	(х2 - 5х + 7)2 - (х - 3) (х - 2) - 1 = 0.
9.15.	а) (х - 2) (х - З)2 (х - 4) = 20;
б)	(х2 - Зх) (х - 1) (х - 2) = 24;
в)	(х2 - 5х) (х + 3) (х - 8) + 108 = 0;
г)	(х + 4)2 (х + 10) (х - 2) + 243 = 0.
9.16.	а) х (х + 4) (х + 5) (х + 9) + 96 = 0;
б)	х (х + 3) (х + 5) (х + 8) + 56 = 0;
в)	(х - 4) (х - 3) (х - 2) (х - 1) = 24;
г)	(х - 3) (х - 4) (х - 5) (х - 6) = 1680.
9.17.	а) 4х2 - 2 2х - 1 = 34 + 4х;
б)	9х2 + 2 Зх + 2 = 20 - 12х;
в)	х4 + х2 + 4 | х2 - х | = 2х3 + 12;
г)	х4 + 4х3 = 30 - 7 | х2 + 2х | - 4х2.
9.18.	При каких значениях параметра а уравнение
х2 - (а + 1) | х | + а = 0 имеет три решения?
9.19.	При	каких	значениях	параметра	а	уравнение
х4 - (За - 1) х2 + 2а2 - а = 0 имеет два решения?
9.20.	При	каких	значениях	параметра	а	уравнение
(х2 - 2х)2 - (а + 2) (х2 - 2х) + За - 3 = 0 имеет четы-
ре решения?
9.21.	Сколько решений имеет уравнение (х + 2)2 (х2 + 4х +
+ 5) = а (а - 1) в зависимости от а?
Решите уравнение методом замены переменной (22—32):
9.22.	а) -г------х2 =3-4х;
х — 4х +1
.	16	20
В) (х + 6)(х-1) (х + 2)(х + 3)
V	6	8
г) (х + 1)(х + 2) (х-1)(х + 4)
123
9.23.	a) 6|x2+-И + 5|г + -j-38 = 0;
к X2 ) V X J
б)	|x2+-^г| + 7|х--1 + 10 = 0;
V x2 J v x)
в)	fx2 + -4-1-fx + —1-8 = 0;
V	x2 ) \	x)
г)	Гх2 + —^-1 — f x + —1-12 = 0.
V	x2 ) V	x)
9.24.	a) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 = 0;
6)	2x4 + x3 - llx2 + x + 2 = 0;
в)	6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0;
r)	78x4 - 133x3 + 78x2 - 133x + 78 = 0.
9.25.	a) x4 - 5x3 + 10x2 - lOx + 4 = 0;
6)	x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4 = 0.
9.26.	a) (x + 5)4 - 13x2 (x + 5)2 + 36x4 = 0;
6)	2 (x - l)4 - 5 (x2 - 3x + 2)2 + 2 (x - 2)4 = 0.
9.27.	a) 2 (x2 + x + I)2 - 7 (x - l)2 = 13 (x3 - 1);
6)	3 (x + 2)2 + 2 (x2 - 2x + 4)2 = 5 (x3 + 8).
X2
9.28.	a) —	=12x2 +7x-6;
l-2x‘
6)	2x + 1 +	= 5x2.
2x + l
9.29.	a) (2x2 - 3x +	1) (2x2 + 5x + 1) =	9x2;
6)	(x + 2) (x +	3) (x + 8)	(x + 12)	=	4x2.
9.30.	a) —---------=	12x— +5;
2x2-3x + 4	x2+x + 2
4x ,	5x	. c
6)	—5-----h—z-------= -1,5.
x2 + x + 3 x2-5x + 3
л оч \ x2-10x + 15	3x
9.31.	a) —z--------= —r-------;
7 x2-6x + 15	x2-8x + 15
x2+5x + 4 x2-x + 4 13 л
6)	-r~™—1+—2--------; + ^r = °-
x2-7x + 4 x2+x + 4	3
v 2	Q y2
9.32.	a) x2 + ?	= 3;	6) x2 +	=7.
7 (x + 1)2	'	(x-3)2
Решите графически уравнение (33—38):
9.33.	a) 3 - x2 =	6) 2 - 2x - x2 = -Дт-
7	2-x	7	x+3
_____ r 2 4- 2 r	t------	9
9.34.	a) Vx + 3 =	o +1;	6) l + V2-x = -.
о	X
9.35.	a) 1 - x3 = 73^х;	6) v'2x + 4 - 1 = (x + l)3.
124
9.36.	a) (2 - x)3 = 2x - x2;	б) (x + 2)3 + ^ + 2 = 0.
9.37.	a) —£- = |x-2,5|-1,5; 6) |3 - x| - 3 = 2 |x| - x2.
|x -1|
9.38.	a) (x - l)3 = |x2 - 4x + 31; б) 1 + 2x - x2 = д/|х-1|.
9.39.	При каких значениях параметра а уравнение
|х + 3| = а|х-2| имеет единственное решение?
Найдите это решение.
9.40.	Сколько решений имеет уравнение д/4-х2 = | х| + а в
зависимости от а?
9.41.	Сколько решений имеет уравнение V1 -х2 = | х - а | в
зависимости от а? Найдите решение уравнения в том
случае, когда оно единственное.
9.42.	Найдите все значения параметра Ь, при которых урав-
х2 +(ЗЬ-1)х + 2Ь2-2 Л
нение------------5----------= 0 имеет одно решение.
xd -Зх-4
9.43.	Найдите значения параметра k, при которых уравне-
х2 + (3-2fe)x + 4А-10 Л
ние------------.	—------= 0 имеет одно решение.
д/2х — 2 х — 1
9.44.	При каком значении а уравнение х10 - а | х | + а2 -
- а = 0 имеет единственное решение?
х1990 х2+а
9.45.	При каком значении а уравнение —-------+а2 = 0
имеет единственное решение?
УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
ЗАДАНИЕ ФИГУР НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
УРАВНЕНИЯМИ И НЕРАВЕНСТВАМИ
Найдите все пары чисел (х; у), удовлетворяющие соотно-
шению (46—51):
9.46.	а) ху - 2 = 2х - у;	б) y-Jx -1 = у - Jx.
9.47.	а) 9х2 + 4у2 + 13 = 12 (х + у);
б)	20х2 + у2 - 4ху + 24х + 9 = 0.
9.48.	а) х2 + 2,5у2 + Зху - у + 1 = 0;
х2+у2+х+у	,-
б)		г- г = 2^ху.
Jx+y/y
9.49.	а) (х2 + 4) (у2 + 1) = 8ху;
б)	х2у2 + х2 + у2 - 14x1/ + 2х - 2у + 37 = 0.
9.50.	а) (х2 + 2х + 2) (у2 - 4у + 6) = 2;
б)	(х2 - 4 | х | + 5) (у2 + Gy + 12) = 3.
125
9.51. a)
б) л/4х2 -20х + 25+\^-х\ = 6-^-~-
Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых (х; у) удовлетворяют уравнению
(52—65):
9.52.
9.53.
9.54.
9.55.
9.56.
9.57.
9.58.
9.59.
9.60.
9.61.
9.62.
9.63.
9.64.
9.65.
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
|у| = 2 - х;
I у + 11 = 2 - х;
1?/-*1 = 1;
\у - х\ = х;
х2 - 9у2 - 0;
х2 - Зху + 2у2 = 0;
б) | у | = Зх - 4;
г) \у - 2| = Зх - 4.
б) | у + х | = 3;
г) |у + х| = у.
б) 4х2 — 25у2 = 0;
г) Зх2 + Юху + Зу2 - О
(у - 2)2 = (х + I)2; б) (2у + х - I)2 = (Зх - у + I)2;
| Зу + 2х - 2 | = | х - у + 31; г) у2 + 4у = х2 - 4х.
|у | = 9 - х2;
| у | = х2 - 6х + 8;
х I у I =-2;
| у | = Vx + 2 -1;
у2 -- 0,5х;
у2 - 4у - х + 5 = 0;
|у| = 2 |х| - х2;
|у| = |2х-х2|;
х2 = у4;
1*1 = у2 - 2у;
1*1 + Ы = 2;
Ы - 1*1 = 3;
(х-1)(у-х2+3) = 0
у-1
(х2-у2 )(х2+у2 - 4) =0>
а)
в)
а)
в)
а)
в)
х2+у2
1	1
х-----у —;
х	у
I х | +1 г= | у | + i г;
1*1 М
х2 + у2 = 2х;
х2 + у2 = 2 I у |;
х4 - 2х2 = у2 + 2у;
х4 - 2х2 = у2 + 2 | у |;
б) | у | = х2 - 4х;
г) |у | = 8 + 2х - х2.
б) |у (х + 1) = 1;
г) |у =1-л/1-х.
б) у2 = -2х;
г) У2 + У + х - 0,75 = 0.
б) | у | = х2 - 4 IXI + 3;
г) IУI = I х2 - 4х + 31.
б) х2 - 6х + 9 = у4;
г) |х| = у2 — Зу + 2.
б) |х - 3| + |у| = 1;
г) 11х| - |у 11 = 2.
(х + 2)(у2-х)
б)	2 1	— О’
У -1
(х-у)(ху + 2)
г) ------------= U.
х+у
1	1
б) х + — = у + -;
х	у
б) х2 + у2 - 4х + бу = 12;
г) х2 + у2-2 |х|+4у +1 =0.
б) х2 - 2х = у4 + 2у2;
г) х2 - 2 | х | = у4 + 2у2.
126
Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых (х; у) удовлетворяют неравенству
(66—72):
9.66.	а) у>3\х\-2;	б) у < | Зх - 2 |; в) |г/|>3х —2;	г) | у | < 3 | х | - 2.
9.67.	а) (х - 1) (у + 2) > 0;	б) (| х | - 1) (у + 2) < 0; в) (х - 1) (| г/1 + 2) < 0;	г) |х - 11 {у + 2) > 0.
9.68.	а) ху < 2;	б) | х | у > 2; в) х |у| > 2;	г) |ху| < 2.
9.69.	а) у > х2 - 4 | х | + 3;	б) у < | х2 - 4х + 31; в) | у | > х2 - 4х + 3;	г) | у < | х2 - 4х + 31.
9.70.	а) х2 > у2;	б) х4 < у4; в) х4 > у2;	г) у4 < х2.
9.71.	а) у > ^\х\+1 - 2;	б) у +2 < д/|х+1|; в) у <|2-л/х + 1|;	г) |у|+2 > 7x4-1.
9.72.	а)	|х| + |у| < 3; б)	| х - 2 | + | у - 3 | < 0; В) Ы - |х| > 2; г) х2 + у2 - 2 | х | + 4у + 1 < 0.
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную
неравенством, и вычислите ее площадь (73—76):
9.73.	а)	х2 + у2 < 4х; б)	х2 + у2 < 4 | у |.
9.74.	а)	х2 + у2 + 3 < 4 | х |; б)	х2 + у2 + 1 < 2 (I х I + I у I).
9.75.	a)	(2-Jx-jy)2	4(1 - д/xi/); б)	Зху+(х-Jxy-у)(х + у[ху-у)<, 4.
9.76.	а)	1 х | + 11/1 + | х — i/|<2; б)	|х - l| + |i/ + l| + |x + i/|<2.
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную
системой неравенств, и вычислите ее площадь (77—78):
9.77.	a) fx2+у2	4(х+у -1), б) (|х-1|+|у-1|> 1, [</>|х-2|;	[|x-2|+|i/-2|C 2.
9.78.	(|Х	х	б) (х+у)	г0;	\х^1-у2. 1	\	У J
127
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Решите графически систему уравнений (79—86):
9.79. a) j	х + у — 5,	б) <	(х+у = 4,
	хг/ = 4;	[х2 +у2 =8;
в)	х-р = 1,	г) 1	[ху = 2,
	у = х2 +2х- 3;	|	[х2 +уг =5.
9.80. а)	(х-3)2 + (у-2)2 =1, б) 1	[(х-1)2 +(у + 2)2 = 4,
	х-у = 4;	|	[ 2х - у = 2;
в)	х2 -2х = 4j/-j/2 -1,	г) 1	\х2 +у2 = 13,
	4у+1 = х2;	1	[у = х2 - 7.
9.81. а)	г/ = (х-1)2,	б)	х2 -4х-12 у =	о
<	х2+6х + 5	<	х + 2
	х + 1	8 У = —
		х + 1
в) <	X = у + 6,	г) 4х2-х4	*	8 + xz/-2z/-x3 	2-х	=5’
	У =	2 л ’ [	х2 -4	1 го Н II 00
9.82. а)	1/ = |х2+6х + 5,	б)	|р| = х-3,
	1 н II од	у = х2 - 8х + 15;
в)	ху = 3,	г)	у = х2 -4х + 7,
	у2 - х-2;	у|х-2| = 4.
9.83. а)	у + |х2 +6х+8| = 0,	б) 1	(у + \х2 +6х + 5| = 0,
	(у+1)2 =(х + 3)2;	|	[х2 +6х + 9у+45 = 0.
9.84. а) 1	[ х + 5у = 4,	б)	у + 5х = 12,
	[у = л/|х + 2|;	|р-1| = (х-1)2.
9.85. а)	х2 +у2 + 12 = 4х + 6у, б)	х2 + у2 + 7 = 4у- 4х,
	_у + |х-2| = 4;	]у -2| = х + 3.
9.86. а) 1	\у = х2 +4х + 3,	б) <	[ у| = (х-2)3,
	[х = у2 + 2у-1;	[х2 + у2 = 6х-8.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ,
СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Решите систему уравнений (87—99):
9.87. а) Гх+у = 3,	б) f2x + 3z/ = 3,
[х-г/ = 1;	[2х-3р = 9;
в)	fx + 2i/ = 5,	г) (3x + 5i/ = 8,
[-x + 7i/ = 13;	(-3x + i/ = -2.
128
9.88. a)	7x-3y _ 5x-y _ x+y		
< б)	5	3	2 x — 1 _ y + 1' 5	3’ 0,5(y+0,5x)-0,2(x + 2)	= 1,1,	
	x + 4 = 0,25(2x + 3(y - 0,5)) + 2y.		
9.89. a)	H 1 to H 1 03 +	1 | СЛ	| 4^ II	II	б) «	^J_ + 2±l = 0,25, 2х Зу --- = 3,5. х У
9.90. a)	II И Ю 1 «N 1 К H +	1 Si	Ji CO + CO + и	H	б)	Ю 1-5 II	П X 1	1 +	1 л <N О (N 10 + ,-4 + К X
9.91. a)	lj_+ 18 = 18, 2x-3y 3x-2y 27	2	= p 3x-2y 2x-3y	б) <	—3— + -2- = 1,9, 2х+у х-у -1- -	= 1,15. х-у 2х+у
9.92. a) •<	4x + 5y —12 + 5-/7, 2x- 47y = -1;	б) 1	12х-3у = 6-2л/5, 1 2у -	= 2.
9.93. a)	——> X « + 1 И — II 11 Г'	б),	. II « X II 1 + 2^ X со
в)	х + 1 у 1 = 2, Зх + | у | = 4;	г) «	3|х| + 2у = 1, 2|х| —у = 3.
9.94. a)	f|x|+y = 5, (х + 4у = 5;	б)	of II W 	 Ji СО | + X X со
в)	П х\+у = 2, [Зх + у = 4;	г)	)х + 2|у 1 = 3, [х-Зу = 5.
9.95. a)	ч х + |у | = 3, Jx|-y = -l;	б)	’2|х| + 3у = 8, 2х-|у | = -4;
в)	< |х|+у = 3, х + 2 у | = 4;	г)	2|х| + у = 4, 4х + 3|у | = 12.
9.96. a)	(х+у - 2, [|3х-у | = 1;	б)	(х + 2у = 2, (|2х-3у| = 1.
9.97. a)	j х-21 + | у - 51 = 1, у —|х-2| = 5;	б)	Jx-2| + 2|y-l| = 2, х + | у-11 = 3,5.
129
9.98.
9.99.
a) ||х-1|+у = 4,
х-|у-2| = 3;
a)	f|x + 2| + | у | = 2,
у +2 = |x + 2|;
6)
x + |j/ + 1| = 7,
|x-l| + i/ = 5.
6)	f|x-3| + |y-2| = 3,
| у +|x - 3| = 5.
9.100.	Числа x, у и z связаны соотношениями
2 4 л 2 8 4 . „ - У
-------- 1 и -------= 1. Найдите —.
2	У	2
9.101.	Найдите все значения параметра а, при которых си-
стема:
а) f3x + 7z/ = 20, б) |(а+1)х-1/ = а,
[ax + 14i/ = 15;	[(а-3)х + ау = -9
имеет единственное решение.
9.102.	Найдите все значения параметра Ь, при которых
система:
а) Г&х-8у = 12, б) f(&+l)x + i/ = 3,
[ 2х - бу - 15;	12х - (Ь - 2)у = 6
не имеет решений.
9.103.	Найдите все значения параметра с, при которых
система:
a) |15x + cz/ = 3,	б) Гх-(с-1)у = 2,
[5х + 101/ = 1;	[(с + 2)х + 21/ = 4-с2
имеет бесконечно много решений.
9.104.	Найдите все значения параметра fe, при которых
прямые Зх + 2ky = 1 и 3 (k - 1) х - ky = 1:
а) пересекаются в одной точке; б) совпадают;
в) не имеют общих точек.
9.105.	Найдите все значения параметра а, при которых
выражение Xq +у% принимает наименьшее значе-
ние, где (х0; Уо) — решение системы уравнений
Зх - у = 2 - а,
х + 2у = а+1.
9.106.	При каких значениях а и Ъ система уравнений
а2х-ау = 1-а,
Ъх + (3-2Ъ)у = а + 3
имеет единственное решение (1; 1)?
9.107.	Найдите все значения а, при которых система урав-
нений имеет единственное решение, укажите это ре-
шение:
130
а) [з|х|+у = 2,
Jx|+2y = a;
в) (x+y = a,
У -1 x | = 2;
x + | У | = 3,
2х-\у\ = (г,
ax-у = За,
z/-|x| = L
Решите систему уравнений (108—		-110):
9.108. а)	х + z = 4,	б)	x+y = -2,
	У +2 = 5,	У+z = -1,
	х + 2у + 4z —17;	x + z - 3;
в)	х + 2у = 5,	г)	X-у = 1,
<	y+2z-\2,	<	y+z = l,
	z + 2x= 7;	z-x = -2.
9.109. а)	х + 1 у-2	z-1 б)	x-6 y + 4 z + 2
	— '  	 	 	 —	
	2	1	-1 ’	3	-2	-2 ’
	Зх - 2у +z - 3 = 0;	2x-3y-z+16 = 0;
в)	x+y+z = 6,	г)	x + 2y +z = 4,
	у + z +1 = 9,	<	у + 2z +1 = 4,
	z + t + х = 8,	z + 2t + x = 4,
	t+х+у = 7;	t + 2x+y = 4.
9.110. а)	2x+y-z+v = 5, б)	x+y+2z-v = ll,
	2х+у -z +t = 11,	x +y + 2z +1 = 13,
	2x-z + t> + f = 17,	x+y-u + t = 15,
	2х+у +v + t = -1,	x + 2z -v + t = 1,
	у - z + v + t = 0;	у + 2z - v + t = 0.
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Метод подстановки и алгебраического сложения
Являются ли равносильными системы уравнений (111—
115): 9.111.	f 2x - 3y = 0, [5x2+2y = 3 И	(2xy = 3y2, [5x2 +2y = 3?
9.112.	J3x-5xy+1 = 0, 1 .	o	и [4x — у = 2	(3x- 5xy +1 = 0, [(y-4x)2 =4?
9.113.	Jx2 +y2 = 5, ]xy = 2	И	J(x+y)2 =9, [xy = 2?
9.114.	fx-y = 1, [x+p = 2	И	f(x-y)(3x2 +4|y|)=3x2 +4|y|, [x+y = 2?
9.115.	(x+y = 3, \9-3xy = 4	и	(x+y = 3, [x2 -xy+y2 =4?
131
Решите систему уравнений (116—128):
9.116.	а)	Х(у+1) = 16, -А = 4; [у+1	б)	^4=2, у + 2 (х-1)2 +(у + 2)2 =45;
	в) <	(х + 2у)(2х-у+1) 2x-z/ + l _ 2 х + 2у 3’	=6'г) {	Зх+у=2(х-у), (Зх+у)2 +2(х-у)2 =96.
9.117.	а) <	х+у = 3, х3 + х2у = 12;	б) ]	(х-3у+2 = (х+у)2, [Дх + 1/)2 +(х-3у)2 =8;
	в) ,	х+у = 6, х2 -у2 = 12;	г) 1	« । 1 *1 И II Р 0°
9.118.	а) х	х2 -у2 =3, х4 -у4 =15;	б) ]	[х2 +у2 = 5, [х4 -у4 = 15;
	в) <	и н “ 1 1 «= Ч II II " с©	г) 1	[х + у = 2, [х3 +у3 = 26.
9.119.	а) <	х+у = За, ху = 2а2;	б) ]	| х+у = 4а, [ху =За2;
	в) <	[х-у = а, (ху = 2а2;	г) 1	[х- у = За, [ху = 4а2.
9.120.	а) ,	(х2 +у2 - 5а2, [ху = 2а2;	б) <	j. _ 1 _ 2 х у а' ху = -а2.
9.121.	а) .	(х+у2 = 2, [2у2 +х2 =3;	б).	[х+у3 =2, [2х + х2 +5у3 =8;
	в) .	(х+у2 = 3, [х4 +у4 + 6х = 29;	г) <	[х3 +у = 1, ^у3 -4у2 +4у+х6 =1.
9.122.	а) .	[х2 +у2 = 10, (х4 +х2у2 = 90;	б).	[х2 +у2 = 13, [х3 +у3 +ху2 +х2у = 65;
	в)	(х3 +ху2 -10, [у3 +х2у = 5;	г) <	[х2 +у2 = 5, [у6 +у4х2 = 80.
9.123.	а)	(х+у = 4, ((х2 -у2 )(х-у) =	б) 16;	fx3 -у3 = 124, [х2 +ху +у2 = 31;
	в)	(2х+у2 = 3, [Зх+у4 =4;	г) .	[х2 +3у = 1, [х4 +4у = 12.
9.124.	а)	(х2 -у2 -2х + 2у  [х2 +у2 =10;	= 0, б)	(х2 =ху, [х2у = 4у;
132
в) ,	х2 +ху = 6х,	г) 1	х2у = Зх,
	х2+у2 =3(х+у);	I	х4 +у4 =6ху.
9.125. а) <	у2 -х2 = 4-4х, б) 1	[у2 -1 = 4х2 +4х,
	х2 +у2 - Зху = 4;	|	[4х2 +у2 +3ху = 1.
9.126. а) 1	Г|х|+у = 1,	б)	х|+ у =2,
	[_х2 +у2 = 5;	ху =1.
9.127. а)	| X |+у2 =13,	б) 1	[ | X | +у2 =5,
	х + |у| = -1;	|	Jx |+| у | = 3.
9.128. а) 1	[| X | +у2 =5,	б) 1	[х|у| = -1,
	[ху2 =-4;	1	[х2 +у2 =2.
9.129. Числа х, у и г связаны соотношениями
3 _ 4
Ч х + z/ “ 2’
3	4 4
— — —1—.
X у 2
X
Найдите отношение —, если 0 < х < г.
z
Решите систему уравнений (130—138):
9.130.	а)	1х3 + у3 = 7, [х2у +ху2 = -2;	б) ]	|х3 -у3 = 65, [х2у-ху2 =-20.
9.131.	а)	(х2 - ху = 2, [у2 -ху = -1;	б) .	м м 1	1 н н II II 1 Iе
	в)	|х4 +х2у2 =20, {у4 +х2у2 = 5;	г).	+ 1 Н со ьэ № II СЛ II
9.132.	а)	[х+у = 5ху, [х-у = ху;	б)	[7-х+у - ху = 0, [5-у +х-ху = 0;
	в)	\х2 -х+1 = у, [у2 — у+1 = х;	г) 1	12х2 -5ху +3х- ^5ху - 2х2 +7х-
9.133. a) fl2x2 + 2у2 - 6х + 5у = 3,
[18х2 + 3у2 - 6х + 8у = 7;
б)	(х2 + 2у2 - Зх-5у = -4,
\-2х2 - бу2 + 2х+15у = 6;
в)	[ 9у2 + бху - 4х - 9у + 2 = О,
[27у2 + Зху - 2х-42у+16 = О;
г)	(Зх2 + ху - 18х-4у +24 = О,
[5х2 + ху - 24х-4у +16 = 0.
133
9.134. а)	[ х2 + у = 2,	б) fх2 + 2у = 6, \у2+х = 2’,	[у2+4х = 9.
9.135. а)	(х2 + 2у + 1 = 0, б) /х2 + у2 -2х = 0, [у2+2х + 1 = 0;	[х2 - 2ху +1 = 0.
9.136. а)	[х2-6у = -14, б) [9х2 + 12г/=-5, [у2 -4х = 1;	[4у2-6х = -5.
9.137. а)	((х + ху2 + у2 )(х +у2 )2 =225, [(х-ху2 + у2 )(х+у2 )2 =25;
б)	Г(13х4г/8 — 6х2 -6у4)ху2 =356, [(5х4у8 - 6х2 - бу4 )ху2 =100;
в)	|(х + 2у)2 +(х + 2у)(х+у) = 28, [(х+у)2 +(х + 2у)(х + у) = 21;
г)	[х3 +2х2у + ху2 -х-у-2, [у3 + 2ху2 + х2у +х+у = 6.
9.138. а)	fx2 + у2 + 2ху - у +х = 0, [х2 + у2 + ху + у + 2х = 2;
б)	(х3 + у3 + 2ху -х-у = 2, [х3 + у3 - ху + 2х + 2у = 5. Метод почленного умножения и деления уравнений системы
Решите систему уравнений (139—147):
9.139. а)	1х5у7 =32,	б) 1х8у6 =64, [х7у5 =128;	[х6у8 =256.
9.140. а)	((х + 2у)(х-у) = 4, б) [(х+у)3 (х-у)2 =27, [(х + 2у)(х+у) = 12;	[ (х - у )3 (х + у )2 =9.
9.141. а)	((х+у)ху = 6,	б) (ху2-х = 9, [(х-у)ху = 2;	[ху-ху3 =-18;
в)	(х + ху3 =9,	г) jx+xy+xy2 =6, [ху+ху2 =6;	[х2 +х2у2 +х2у4 =12.
9.142. а)	(ху3 +х3у = -10, б) (х2у3 +х3у2 =12, [х2у4 +х4у2 =20;	[х3у4 +х4у3 =24.
9.143. а)	[ ху - х = 2,	б) [ х - ху = 0, [ху3 - ху2 =8;	[ху-ху2 =0.
9.144. а)	[2х4 = Зх2у + 20,	б) [2х8 =х4у4 +1, [Зу2 =2х2у-5;	[Зу8 =х4у4 +2.
134
9.145.	a) lx2 + Зху +x + 3y = 8,
[3y2 + xy -2x- 6y = -4,
6) [ 2x2 -xy-3y2 + x+y = 6,
2x2 - 5xy + 3y2 + x — у = 2.
9.146.	a) (x2 — xy +y2 -7,	6) (x2 + xy +y2 = 3,
x4 +x2y2 + y4 =91;	[x4 +x2y2 + y4 =21.
9.147. a) Jx3 - x2y +xy2 - y3 =5,
[x3 + xzy +xy2 + y3 =15;
6) (x4 + 4y2 — 5x2y2 = 45,
x2 + 2y2 + Зху = 15.
Замена переменной. Симметрические системы
Решите систему уравнений (148—164):
9.148. а) ((х+у)2-5(х+у) + 4 = 0,
[(х-у)2 -(х-у)-2 = О;
б) ((х+у)2 -4(х+у) = 45,
1(х - у)2 -2(х-у) = 3.
9.149. а) (х+ху+у = 5, б) (ху - 29 = х+у,
х2 + ху+у2 = 7;
х2 +у2 -х+у + 72;
в)	1х-ху+у = 1,
[х2 + у2+2х + 2у = 11;
г)	(х2 + у2 +3ху = 4(х+у)-3,
[2х + 2у = 5-ху.
9.150. а) |ху+2х + 2у = 5,
[х2 + у2 + Зх + Зу = 8;
б)	(х2 + у2 - Зху + 4х+4у = -9,
[ху — Зх — Зу = 7;
в)	(х2 + у2 +5х + 5у+3ху = 15,
[х2 + у2 -х-у+ху = 1;
г)	[2х2 + 2у2 -Зх-Зу +ху = -1,
х2 +у2 - 2х-2у+ 3ху = 1.
9.151. а) (х4 + у4 + х2 + у2 =92,
[ху = 3;
б) /х8 +уъ + х4 +у4 =274,
[ху = 2.
9.152. а) (|х| + |у| = 1
х2 +У2
б) (|х|+|у| = 3,
х2 + у2 =5.
135
9.158.
9.159.
9.160.
9.161.
9.162.
9.153.
9.154.
9.155.
9.156.
9.157.
a) <	x3 — y3 = 7(x-y), [(x + l)(y+l) = 6;	б) I	x+xy+y = 7, x2 +xy +y2 = 13.
a) <	(x-l)(y-l) = l, x2y +xy2 = 16;	6)	f(x-2)(y-2) = 4, [x2 +y2 +xy — 3.
a) <	(x2 -x)(y2 -y)=72, (x + l)(y+1) = 20;	6)	f(x+y+l)2 -x-y = 31, [xy = 6.
a) <	xy+x-y = 7, x2y -xy2 = 6;	6)	\x2y - xy2 = 6, [xy +x-y = -5.
a)	CO II + CM I	6)	x o xy - - = 2,
	1 OO |<NJ II Г0 00 1 + +' H H | CM H		.	У У 1 lxy-7 = 2; 1 1 1
в)	+ XZ/ =	r)		1	— — ,
<	x-y Q(x-y) xy +	= 4; X+y		< xy x+y 2 x2y +xy2 = -2.
a)	'с I H 4- 1 H 1 * II H 1 w CO| CO II ^1 СЛ	6)	'x+2y !y-3x < У	X ~ ' x|y| + x2 +y2 =l + 2x.
a)
б)
2 f^r + C-'l-9 f-+ -1 + 14= О,
‘ y2 X2 ) \У x )
x2 +y2 = 5;
x2 у2 = х_.У_
' y2 x2 у x’
x2 +y2 =2.
a)	fx2 +y2 + 2x2y = 2xy +9,
x + 3 = x2y +y;
6)	x2y2 + 3xy = 2 [j+1
2(x2y2 +xy)-^-+l.
a) Ix3+xy2 = 10y,
\x+x2y+y3 = 7y,
a) (x2 +xy +2x+y = 7,
[y2 +xy +x + 2y = 11;
6) \x3y +2x2y2 +xy3 =4,
[x+y+x2y+y2x = 4.
6) fx2 +xy +x+y = -2,
[y2 +xy+x+y = l.
136
9.163. a) I х(х+1)(3х + 5у) = 144,
[х2 + 4х + 5у = 24;
б) /х(2х + 1)(Зх + 10у) = 144,
[х2 + 2х + 5у = 6.
9.164. а) (х3 + у3 + 2х2у + 2ху2 =21,
[2х3 + 2у3 + х2у +ху2 =24;
б)	(х2у + 3ху2 = -4,
[5ху2 - 2х2у = 52;
в)	[х4 + 2х2у2 + у4 +х+у = 28,
[х2 + у2 -2х-2у = -1;
г)	[х2у2 - ху +х+у +2 = О,
|х2 + у2 - 2ху + 4х + 4у +8 = О.
Системы однородных уравнений
и приводящиеся к ним системы
Решите систему уравнений (165—176):
9.165.	а) в)	J х2 — Зху +2у2 =0, [х2 + у2 = 20; (2х2 -Зху+у2 =0, \у2 -х2 = 12;	б) J г) 1	[х2 +ху-6у2 =0, [х2 - 5ху+2у2 =-4; \у2 -2ху-3х2 =0, [у2 -ху - 2х2 — 4.
9.166.	а)	fx2 - 5у2 = -1, [3x1/ + 7у2 = 1;	б) )	[2х2 - Зху +3у2 =80, [х2 +ху-2у2 =-56;
	в)	/х2 -ху +у2 = 3, [2хг -ху -у2 =5;	г) 1	[х2 - 2ху -у2 = 2, [ху+у2 =4.
9.167.	а)	Г х2 + Зху = 4, [4у2 + ху = 5;	б) ]	1 х2 - 4xi/ +у2 = 6, [у2 - Зху = 4;
	в)	fx2 - у2 =3, [2х2 - Зху + 2у2 =4;	г) 1	[х2 - 2у2 = -2, [ху+у2 =1.
9.168.	а)	Гх2 - 2ху -5у2 = -2, [Зх2 +2ху+у2 =2;	б) ]	[бх2 - 2ху +у2 =4, [Зх2 - Зху -2у2 =2;
	в)	[2х2 - 2ху+3у2 =3, [х2 - ху +2у2 = 2;	г) 1	(х2 + Зху - Зу2 = 1, [2х2 - ху +у2 = 2.
9.169.	а)	[х2 - Зху +2у2 = 0, [х| у |+у | х | = 2;	б)<	х2 - 5ху +4у2 = 0, у|у -х х| = 15;
	в)	/х2 - Зху -4у2 = 0, [х у |-у|х| = 2;	г) ч	х2 - 2ху - Зу2 = 0, 1/1 = 2.
137
9.170.	а) 9.171.	а) 9.172.	а) 9.173.	а)	to	to to	со to	to to 00 + W |	|	|	|	|| H	co to (c tt: co to К	CO to 1	+	*=	II	II	*	* II II	"	“	<c «= м +	-r- -	1 + X	,	,	*	<ct «=	III	к k> 1 II	II II - 	 # 01	01	01	01 Чи/	CM | т—1 11 1 <7 £ H	* 00	1	| Ю	. 00 I CM 11	11	J	II	« -	к oj 00 H + >rv	"	«	и	”	j? <N	co	Н	+	II	« 1	+	1	M	I	H IN + CO CM	CM	co	$*j	$*J	1	<N H	S»i	H	CM	CM	SJi	н
9.174.	а) 9.175.	а) < 9.176.	а)	V	(V» cm	cm см |те н «1 н H 10	'	V	'	' Z-S Ю	VO H	rd 1	11	-r* g> || <N	^1* +	11 N ?	11 ci ' cm	b- ’ ц	<N + || 4 4 +	+ 11 H « »> + g> s> к + ™ н	a> *<	н	a +	<n	f4 +	«।	|	I	|	+ _i_	1	00 OJ	T	pg	CM pj	H CM * H	cm H	<+ •»%. +' +" *-« ? t to II	to	I +	1	+ .	to К erM ?c co GO । «и и	4	« н Ю + о to +	1 £	A	11	A +	+m£ 1	<« "=О	II	* CO	4^	| II	"	1 11	5*	-q
Системы уравнений с тремя переменными
Решите систему уравнений (177—182):
9.177. a)	x+у = 3,	6)	1 to fci II 00
<;	y+z = -l,	X + z = 1,
	xz = -3;	x2 +y2 - 5;
в)	у - x - 2,	г)	x+у = 3,
<	2y - z — 3,	<	x + z — 0,
	z2 +z/2 -x2 =1;	xy + xz + yz = -1.
9.178. a)	X+у + 2z = 6,	6)	xy = 6,
	x + 2y + z = 5,	i/z = 2,
	x2 +z/2 +z2 =6;	x2 +z2 =10.
9.179. a)	VO co II 1 N	x-l_z/ + l_ z-2
<	Z - X = 4,	•!	3 “ 2 “ 1
	x2 +j/2 +z2 = 30;	x2 +y2 +z2 = 26.
9.180. a)	xi/ = 2,	6)	xy2zs =108,
	xz = -3,	<	x2y3z = 24,
	У z = -6;	x3yz2 =18.
138
9.181.	а)	xy+yz = 9, yz +xz = 8, ху +хг = 5;	б) <	1 t 1 =±, х + у x + z 12 Х+у у + 2	15 у+ z х + z 20	
9.182.	а)	х+у = 2,	б:	1	х+у +z = 0,
		ху + Х2 +yz = 5,		<	ху +yz = -1,
		х2 + у2 + г2 = 6;			X2 + у2 + Z2 =6.
Разные системы
9.183.
Найдите все пары чисел (х; у), каждая из которых
удовлетворяет системе:
a)	f </— |х — 2г/-+1| = 3,
]у | + |j/-2|+(i/-4)2 «5 5;
б)	I х+(3у-х-1)2 = 2,
[|х-3| + |4-х|+(х-1)2 ^4.
9.184.	Найдите все решения системы уравнений
(х-2)2 + (у2 - I)2 = 4,
X2 + у2 = х-у,
удовлетворяющие условию х < 0.
Решите систему уравнений (185—189):
9.185. 1	| х2 + 5у2 - 4ху + 2х - бу + 2 = 0, [Зх2 - 2у2 + ху -Зх + 2у -1 - 0.
9.186. 1	\х2 - 2у 2 - ху + 2х- у +1 = 0, [ 2х2 - у2 + ху + Зх - 5 = 0.
9.187. 1	\х2у2 — 4х + 4у2 =0, [х2 - 4х + 6- 2у6 = 0.
9.188. 1	[х2 - у2 + 2у -2 = 0, [2х2 + у2 +2ху+х = 0.
9.189.	х2 - ху +4 = 0, \х-2\+у2 - 4у = 0.
9.190. Решите в положительных числах систему уравнений:
а)	х + 2 у + 3z = 6,	б)	х + 2у + Зг + 4и = 10,
	1 .23 —. 	1	— о х у Z		1 + 2+3 + 4 = 10 X у Z U
139
Решите систему (191—194):
9.191. а) (х2 + у2 + г2 =12,
[ху +xz +yz —12;
9.192.	а) [х+у+г = 3,
[х2 + у2 + г2 =3;
9.193.	а) (х+у = 2,
[ху -г2 =1;
9.194.	а) (х2 + у2 + 8 = z,
[6х + 2у-г 2;
б) (х4 + у4 + г4 = 3,
[х2у2 +y2z2 +г2х2 = 3.
б) fx+p+z = 18,
[х2 + у2 + z2 = 108.
б) (х+у = 8,
[гу -16 = г2-
б) fxp = l,
[х+у + 71 -4з2 = 2.
Системы уравнений с параметрами
9.195.	При каком значении параметра а система уравне-
ний:
а) fx+y = a, б) (x+y = a,
[xi/ = 9;	[х2 +уг = 2;
в) [2х+у = а, г) fx+y=a,
[г/-х2=1;	[уг+2х = 1
имеет единственное решение? Найдите это решение.
9.196.	При каких значениях параметра тп система уравне-
„ Гх2 + у2 = иг,	„
нии i у - тп имеет единственное решение?
9.197.	При каких значениях параметра а система уравне-
ний имеет два решения:
a) fx2 + у2 = 2(1+а), б) fx2 + у2 - а,
|(х+у)2 =14;	[(х+р)2 =36;
в) fx2 + уг = 1, г) /х2 + у2 = 2а-1,
(хр = а;	[хг/ = а-1?
9.198.	Найдите число решений системы уравнений
Jl X 1+1 у I = 1,
V ' ' 1 в зависимости от параметра а.
[х2 + у2 = а
9.199.	Сколько решений в зависимости от а имеет система
уравнений:
а) fx2 + у2 =9,	б) |х2 +у2 +10х = 0,
[|х| = р- а;	|у = |х-а|?
9.200.	При каких значениях параметра а система уравнений
у-х2 = а,
х2 + у2 =4
имеет три решения? Найдите эти решения.
140
9.201.
9.202.
9.203.
9.204.
При каких значениях параметра р система уравне-
ний
/х2 + у2 =9,
[(ру+х)(х-рл/З) = 0
имеет три решения?
При каких значениях параметра Ъ система уравнений
а) х
<
+ 4|у | = д,
+ х2 = 1;
б)
|х| + 2|у | = 1,
| У |+х2 =&;
в)
| у 1 + х2 = 4,
х2 +у2 =Ь
имеет четыре различных решения?
При каких значениях параметра с система уравнений
ч 3|х|+|у | = с,
х2 +у2 = 1
имеет восемь различных решений?
Решите систему уравнений
-^---^- + 1 = 0,
CL + 3 CL + 2
к^=1,
х у-2
У
где а > 0, и докажите, что если а — целое число, то
для каждого решения (х; у) данной системы число
1 + ху является квадратом целого числа.
9.205.
9.206.
9.207.
9.208.
9.209.
При каких значениях параметра а система уравне-
т ~ Iх2 +У2 + %ХУ - 6х - бу +10 - а = О,	А
нии S «	«	имеет хотя бы
[х2 +у2 - 2ху -2x + 2z/ +а = О
одно решение? Решите систему при найденных зна-
чениях а.
Найдите все значения параметра а, при которых си-
„ fx2 + (у-2)2 =1,
стема уравнении s 9	имеет хотя бы
[у = ах2
одно решение.
Найдите все значения параметра а, при которых
окружности х2 + у2 = 1 и (х - а)2 + у2 — 4 касаются.
Найдите все значения параметра а (а > 0), при
которых окружности х2 + у2 = 1 и (х - З)2 +
+ (у - 4)2 = а2 касаются. Найдите координаты точки
касания.
Найдите все значения а (а > 0), при которых
окружность х2 + у2 = а2 касается прямой Зх + 4у =
= 12. Найдите координаты точки касания.
141
9.210.	Прямая у — 5х + а проходит через центр окружно-
сти х1 2 + у2 — 2х +	= 21. Найдите координаты то-
чек пересечения прямой и окружности.
9.211.	При каком значении параметра а прямая у = х + 1
будет проходить через центр окружности (х - I)2 +
+ (у - а)2 = 8? Найдите координаты точек пересече-
ния прямой и окружности.
9.212.	Известно, что прямая у - 12х - 9 и парабола у - ах2
имеют только одну общую точку. Найдите коорди-
наты этой точки.
9.213.
9.214.
При каких значениях Ь и г (Ь > 0, г > 0) окруж-
ность (х - I)2 + (у — Ь)2 = г2 будет касаться прямых
у = 0 и у = — х? Найдите координаты точек касания,
о
Изобразите на координатной плоскости множество
точек с координатами (а; Ъ) таких, что система
уравнений
fx2 +z/2 = а2,
[х + у = Ь
имеет хотя бы одно решение.
9.215.	При каких значениях параметра а система уравнений
а(х4 +1) — у - | х | + 1,
х2 + у2 =1
имеет единственное решение?
Текстовые задачи
Текстовые задачи, как правило, решают по следующей
схеме: выбирают неизвестные; составляют уравнение или
систему уравнений, а в некоторых задачах — неравенство
или систему неравенств; решают полученную систему
(иногда достаточно найти из системы какую-то комбина-
цию неизвестных, а не решать ее в обычном смысле).
Условно содержание текстовых задач можно классифи-
цировать по следующим типам: задачи, связанные с поня-
тиями «процентное содержание», «концентрация»; задачи
на «движение»; задачи на «работу». Приведем примеры
решения задач каждого типа.
1 Здесь и далее в скобках указан номер задачи из данного
параграфа.
142
Пример 1 (З)1.
Решение. Пусть в 40 т руды содержится х т желе-
за. Тогда (40 - х) т составляют примеси. При выплавке ста-
ли количество железа не меняется, а количество примесей
уменьшается. Поскольку из условия задачи следует, что
в 20 т выплавленной стали содержится 94% железа,
то х = 0,94 • 20. Теперь вычислим процент примесей в руде:
40-х
40
.юо=4О-°>94-20
40
•100=53.
Ответ: 53%.
Пример 2 (39).
Решение. Пусть расстояние между городами А и В
равно з км, скорость поезда, отправляющегося из города А,
равна х км/ч, скорость поезда, отправляющегося из города
В, равна у км/ч. Тогда ч — время, за которое преодолева-
х
ет половину пути первый поезд (отправляющийся из города
А), — ч — время, за которое проходит половину пути вто-
рой поезд. Из условия задачи заключаем, что
Кроме того, (6х + 6г/) км — расстояние, которое преодолели
бы оба поезда за 6 ч, если бы выехали одновременно, — рав-
но 0,9s км. Таким образом, получаем систему уравнений
s____s _ 3
< 2х 2у ~ 2’
6x + 6z/ = 0,9s.
Количество уравнений в системе меньше количества не-
известных, но в задаче требуется найти время, за которое
каждый из поездов преодолевает расстояние s км, т. е.
фактически требуется найти tx = — и t2 = -. Тогда первое
уравнение системы примет вид tr - t2 = 3, а второе уравне-
ние системы после деления обеих частей на 3s преобразу-
2 2	3
ется к виду — + — = —. Решая систему уравнений относи-
сь t2	ю
тельно и t29 находим = 12, t2 = 15.
Ответ: 12 ч, 15 ч.
Пример 3 (80).
Решение. Пусть первая бригада изготовляла х дета-
лей в час, а вторая бригада — у деталей в час. Тогда 72 де-
72
тали бригады изготовили вместе за --- часа, значит, в
Х+1/
(	72
первый день они работали раздельно 7----ч. За время
V Х+У)
143
раздельной работы первая бригада изготовила 7----х
V	Х + У)
(	72
деталей, а вторая — I 7 - * I у деталей. Из условия зада-
чи заключаем:
—— Ъ = 8.	(1)
х + у J	х+у J
Во второй день первая бригада изготовляла (х+1) дета-
лей в час, а вторая — (у - 1) деталей в час. Значит, 72 де-
72
тали бригады изготовили вместе за * часа, таким обра-
f 72
зом, во второй день бригады работали раздельно I 5 — I
(	72
часов и изготовили за это время 15 -	1(х + 1) деталей —
(	72
первая бригада и 15 -	l(t/ -1) деталей — вторая. Из
условия задачи заключаем, что
<2>
Итак, условия (1) и (2) дают систему уравнений
^7 - —у) = 8,
х+у /
I 5-— (x-t/+2) = 8.
х+у у у
72
Положим х - у = и, = и, тогда
f(7-v)u = 8,
[(5-и)(и+2) = 8.
во второе уравнение системы:
Выразим из первого уравнения переменную и и подставим
8
и ~	,
7-v
(б-р/у^+ф4-
Второе уравнение последней системы приводится к виду
V2 - 12и + 27 = О, откуда Pi = 3, v2 — 9. Теперь находим со-
ответствующие значения и: их = 2, и2 = -4 (не удовлетворя-
ет условию задачи х > у). Следовательно, для определения
144
х и у имеем систему уравнений <
х-у = 2,
72 _ „ откуда х = 13,
----— о
Х + 1/
У =И.
Ответ: 13 деталей в час изготовляла первая бригада,
11 деталей в час изготовляла вторая бригада.
Задачи
10.1.	Найдите отношение двух чисел, если известно, что
разность первого числа и 10% второго числа состав-
ляет 50% суммы второго числа и 50% первого.
10.2.	Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные — 12%.
Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?
10.3.	Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содер-
жащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?
10.4.	Антикварный магазин, купив два предмета за 225 р.,
продал их, получив 40% прибыли. За какую цену
был куплен магазином каждый предмет, если при
продаже первого предмета было получено 25% при-
были, а второго — 50% ?
10.5.	Стоимость 70 экземпляров первого тома книги и 60
экземпляров второго тома составляла 230 р. В дейст-
вительности за все эти книги уплатили 191 р., так
как была произведена скидка: на первый том —
15%, а на второй том — 20%. Найдите первоначаль-
ную цену каждого из томов.
10.6.	Третий и четвертый кварталы года предприятие ра-
ботало по новой технологии, что позволило повысить
производительность труда на 50%. На сколько про-
центов предприятие выпустило больше продукции
за год, если бы новая технология использовалась
уже со второго квартала?
10.7.	Заведующий лабораторией получил премию, равную
40% своего оклада, а его заместитель — 30% своего
оклада. Премия начальника оказалась на 45 р. боль-
ше премии заместителя. Каков оклад заведующего
лабораторией, если он на 50 р. больше оклада заме-
стителя?
10.8.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
3V5 м. Найдите катеты, если известно, что после то-
го, как один из них увеличить на 133^%, а дру-
о
2
гой — на 16—%, сумма их длин станет равной 14 м.
о
145
10.9.	Каково минимально возможное число учеников в
выпускном классе средней школы, если известно,
что процент неуспевающих учеников в классе за-
ключен в пределах от 2,5% до 2,9% ?
10.10.	Из ста учеников девятых классов на первом экзаме-
не получили отличные и хорошие оценки 80%, на
втором экзамене — 72%, на третьем — 60%. Какое
может быть наименьшее число учащихся, получив-
ших отличные и хорошие оценки на всех трех пер-
вых экзаменах?
10.11.	Найдите двузначное число, зная, что число его еди-
ниц на 2 больше числа десятков, а произведение ис-
комого числа на сумму его цифр равно 280.
10.12.	Двузначное число в 4 раза больше суммы своих
цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше са-
мого числа. Найдите это число.
10.13.	Если двузначное число разделить на сумму его цифр,
то в частном получится 3 и в остатке 3. Найдите это
число, если разность квадратов его цифр по модулю
в 2 раза больше квадрата разности его цифр.
10.14.	Если двузначное число разделить на произведение
его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16.
Если же к квадрату разности цифр этого числа при-
бавить произведение его цифр, то получится данное
число. Найдите это число.
10.15.	Сумма кубов цифр двузначного числа равна 243,
а произведение суммы его цифр на произведение
цифр этого числа равно 162. Найдите это двузнач-
ное число.
10.16.	Если двузначное число разделить на произведение
его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9.
Если же из квадрата суммы цифр этого числа вы-
честь произведение его цифр, то получится данное
число. Найдите это число.
10.17.	Найдите трехзначное число, если известно, что сум-
ма его цифр равна 17, а сумма квадратов его цифр
равна 109. Если из этого числа вычесть 495, то по-
лучится число, записанное теми же цифрами, но в
обратном порядке.
10.18.	Принятых в институт первокурсников первоначаль-
но распределили поровну по учебным группам.
В связи с сокращением числа специальностей коли-
чество групп уменьшилось на 9, всех первокурсни-
ков перераспределили по новым группам, причем
так, что группы снова получились равные по чис-
146
ленности. Известно, что всего 1512 первокурсников
и число студентов в группе стало меньше 28. Сколь-
ко стало групп?
10.19.	Четыре школьника сделали в магазине канцеляр-
ских товаров следующие покупки: первый купил
пенал и ластик, заплатив 40 к.; второй купил лас-
тик и карандаш, заплатив 12 к.; третий купил пе-
нал, карандаш и две тетради, заплатив 50 к; четвер-
тый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил чет-
вертый школьник?
10.20.	Четверо рабочих обрабатывают детали с постоянной
производительностью. Если первый будет работать
2 ч, второй — 4 ч и четвертый — 6 ч, то вместе они
обработают 260 деталей. Если второй и четвертый
будут работать по 6, а третий — 2 ч, то будет обра-
ботано 270 деталей. Если второй и четвертый будут
работать по 1ч, то они успеют обработать 40 дета-
лей. Сколько деталей будет обработано, если первый,
третий и четвертый рабочий будут работать по 1 ч?
10.21.	Группа студентов, состоящая из 30 человек, полу-
чила на экзамене оценки «2», «3», «4» и «5». Сум-
ма полученных оценок равна 93, причем троек было
больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кро-
ме того, число четверок делилось на 10, а число пя-
терок было четным. Сколько каких оценок получи-
ли студенты группы?
10.22.	Около дома посажены липы и березы, причем их об-
щее количество больше 14. Если увеличить вдвое
количество лип, а количество берез увеличить на
18, то берез станет больше, чем лип. Если же уве-
личить вдвое количество берез, не изменяя количе-
ства лип, то лип все равно будет больше, чем берез.
Сколько лип и сколько берез было посажено?
10.23.	Квартал застроен девятиэтажными и шестнадцати-
этажными домами, причем шестнадцатиэтажных
домов меньше, чем девятиэтажных. Если число
шестнадцатиэтажных домов увеличить вдвое, то об-
щее число домов станет более 24, а если увеличить
вдвое число девятиэтажных домов, то общее число
домов станет менее 27. Сколько построено девяти-
этажных и сколько шестнадцатиэтажных домов?
10.24.	Сумма, равная 53 к., составлена из трехкопеечных
и пятикопеечных монет, общее число которых мень-
ше 15. Если в этом наборе монет трехкопеечные
монеты заменить пятикопеечными, а пятикопееч-
ные — трехкопеечными, то полученная в результа-
147
те сумма уменьшится по сравнению с первоначаль-
ной, но не более чем в 1,5 раза. Сколько трехко-
пеечных монет было в наборе?
10.25.	За самостоятельную работу ученикам были выстав-
лены оценки «2», «3», «4» и «5». Оценки «2», «3»,
«5» получило одинаковое число учеников, а оценок
«4» поставлено больше, чем всех остальных, вместе
взятых. Оценки выше «3» получили менее 10 уче-
ников. Сколько троек и сколько четверок было по-
ставлено, если писали работу не менее 12 учеников
и каждый писавший получил оценку?
10.26.	Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и полу-
чили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каж-
дого раствора в килограммах было использовано?
10.27.	Имеются два сплава золота и серебра. В одном спла-
ве количество этих металлов находится в отноше-
нии 2 : 3, а в другом — в отношении 3 : 7. Сколько
нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг
нового сплава, в котором золото и серебро были бы
в отношении 5:11?
10.28.	В двух сосудах имеется вода разной температуры.
Из этой воды составляют смеси. Если отношение
объемов воды, взятой из первого и второго сосудов,
равно 1 : 2, то температура смеси будет 35 °C, а ес-
ли 3 : 4, то температура смеси будет 33 °C. Найдите
температуру воды в каждом сосуде (считая, что
плотность и удельная теплоемкость воды не зависят
от температуры).
10.29.	Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг рас-
твора кислоты разных концентраций. Если их
слить вместе, то получится раствор, содержащий
35% кислоты. Если же слить равные массы этих
растворов, то получится раствор, содержащий 36%
кислоты. Сколько килограммов кислоты содержит-
ся в каждом сосуде?
10.30.	Плотность первого металла на 4 г/см3 больше плот-
ности второго металла. Из 6 кг первого металла и
4 кг второго изготовили сплав, деталь из которого
имеет массу 0,5 кг. Если бы такая же по объему де-
таль была изготовлена только из второго металла,
то ее масса была бы на 20% меньше. Найдите плот-
ность первого металла.
10.31.	Из двух растворов с различным процентным содер-
жанием спирта и массой тп г и п г отлили по одина-
ковому количеству раствора. Каждый из отлитых
растворов долили в остаток от другого раствора, по-
148
еле чего процентное содержание спирта в обоих по-
лученных растворах стало одинаковым. Сколько
раствора было отлито из каждого сосуда?
10.32.	Имеются три смеси, составленные из трех элемен-
тов А, В и С. В первую смесь входят только элемен-
ты А и В в весовом отношении 1:2, во вторую
смесь входят только элементы В и С в весовом отно-
шении 1 : 3, в третью смесь входят только элемен-
ты А и Св весовом отношении 2 : 1. В каком отно-
шении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полу-
ченной смеси элементы А, В и С содержались в
весовом отношении 11:3:8?
10.33.	Допуская, что стрелки часов движутся без скачков,
определите, через какое время после того, как часы
показывали 4 ч, минутная стрелка догонит часовую.
10.34.	Длина обода переднего колеса экипажа на а м мень-
ше длины обода заднего колеса. Переднее колесо на
расстоянии Ъ м сделало столько же оборотов, сколь-
ко заднее на расстоянии с м (с > &). Найдите длину
обода каждого колеса.
10.35.	Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору
и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх
по тому же эскалатору с той же скоростью относи-
тельно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколь-
ко ступенек он насчитал бы, спустившись по непо-
движному эскалатору?
10.36.	Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от
А, одновременно отправились велосипедист и пеше-
ход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 ч раньше
пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал
с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В
он затратил бы вдвое меньше времени, чем пеше-
ход. Найдите скорость пешехода.
10.37.	От пристани А отправились одновременно вниз по
течению реки катер и плот. Катер спустился вниз
по течению на 96 км, затем повернул обратно и вер-
нулся в А через 14 ч. Найдите скорость катера в
стоячей воде и скорость течения реки, если извест-
но, что катер встретил плот на обратном пути на
расстоянии 24 км от А.
10.38.	Из пунктов А и В навстречу друг другу одновремен-
но выезжают велосипедист и автобус. Время, затра-
чиваемое велосипедистом на проезд из А в В, на 2 ч
40 мин больше времени, которое тратит автобус на
проезд из В в А, а сумма этих времен в 5^ раза боль-
3
149
ше времени, прошедшего от начала движения вело-
сипедиста и автобуса до момента их встречи. Какое
время велосипедист затрачивает на проезд из А в В,
а автобус — на проезд из В в А?
10.39.	Два поезда отправляются навстречу друг другу из
городов А и В. Если поезд из города А отправится
на 1,5 ч раньше, чем поезд из города В, то они
встретятся на середине пути. Если оба поезда вый-
дут одновременно, то через 6 ч они еще не встретят-
ся, а расстояние между ними составит десятую
часть первоначального. За сколько часов может
проехать каждый поезд расстояние между А и В?
10.40.	Из городов А и В навстречу друг другу одновременно
вышли два поезда. Двигаясь без остановок с посто-
янной скоростью, они встретились через 30 ч после
выхода. Сколько времени затратил на прохождение
пути АВ каждый поезд, если известно, что первый
прибыл в В на 25 ч позже, чем второй прибыл в А?
10.41.	Два пешехода выходят одновременно навстречу
друг другу из пунктов А и В и встречаются через
3 ч. Если бы они оба вышли из пункта А и пошли в
пункт В, причем второй вышел бы на 3 ч позднее
первого, то второй пешеход догнал бы первого,
пройдя две трети расстояния от А до В. Сколько
времени потребуется первому пешеходу на путь из
пункта А в пункт В?
10.42.	Из двух пунктов, расстояние между которыми
2400 км, выезжают одновременно навстречу друг
другу пассажирский и скорый поезда. Каждый из
них идет с постоянной скоростью, и в некоторый
момент времени они встречаются. Если бы оба поез-
да шли со скоростью скорого поезда, то их встреча
произошла бы на 3 ч раньше фактического момента
встречи. Если бы оба поезда шли со скоростью пас-
сажирского поезда, то их встреча произошла бы на
5 ч позже фактического момента встречи. Найдите
скорости поездов.
10.43.	Велосипедист отправляется с некоторой скоростью
из пункта А в пункт В, отстоящий от А на расстоя-
нии 60 км. Прибыв в В, он сразу же выезжает об-
ратно с той же скоростью, но через 1 ч после выезда
из В делает остановку на 20 мин, после чего продол-
жает путь, увеличив скорость на 4 км/ч. В каких
пределах заключена скорость велосипедиста, если
известно, что на обратный путь от В до А он затра-
тил времени не более, чем на путь от А до В.
150
10.44.	Два туриста вышли из пункта А в пункт В одновре-
менно. Первый турист каждый километр проходит
на 5 мин быстрее второго. Первый, пройдя пятую
часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 мин,
снова пошел в В. Каково расстояние между А и В,
если известно, что второй турист прошел его за
2,5 ч и оба туриста пришли в В одновременно?
10.45.	Турист отправляется в поход из А в В и обратно и
проходит весь путь за 3 ч 41 мин. Дорога из А в В
идет сначала в гору, потом по ровному месту, а по-
том под гору. На каком протяжении дорога тянется
по ровному месту, если скорость ходьбы туриста со-
ставляет: в гору — 4 км/ч, по ровному месту —
5 км/ч, под гору — 6 км/ч, а расстояние между А и
В (по дороге) равно 9 км?
10.46.	Два туриста вышли одновременно навстречу друг
другу, один из А в В, другой из В в А. Каждый шел
с постоянной скоростью и, придя в конечный
пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый
раз они встретились в 12 км от В, второй раз — в
6 км от А через 6 ч после первой встречи. Найдите
расстояние между А и В и скорости обоих туристов.
10.47.	Из городов А и В, расстояние между которыми
70 км, одновременно выехали навстречу друг другу
автобус и велосипедист и встретились через 1 ч
24 мин. Продолжая движение с той же скоростью,
автобус прибыл в В и после 20-минутной стоянки
отправился в обратный рейс. Найдите скорости ав-
тобуса и велосипедиста, зная, что автобус догнал ве-
лосипедиста через 2 ч 41 мин после первой встречи.
10.48.	На расстояние 100 км грузовой автомобиль расхо-
дует не менее, чем на 10 л бензина больше, чем лег-
ковой. Расходуя 1 л бензина, грузовой автомобиль
проходит на 5 км меньше, чем легковой. Какое рас-
стояние может преодолеть легковой автомобиль,
расходуя 1 л бензина?
10.49.	Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной
точки кольцевого шоссе в одном направлении. Пер-
вый мотоциклист впервые догнал второго, сделав
4,5 круга после старта, а за 0,5 ч до этого он впер-
вые догнал третьего мотоциклиста. Второй мото-
циклист впервые догнал третьего через 3 ч после
старта. Сколько кругов в час делает первый мото-
циклист?
10.50.	По шоссе навстречу пешеходу движутся велосипе-
дист и мотоциклист. В момент, когда велосипедист
151
и мотоциклист находились в одной точке, пешеход
был от них в 8 км, а когда мотоциклист встретил
пешехода, велосипедист отставал от мотоциклиста
на 4 км. Какое расстояние будет между мотоцикли-
стом и велосипедистом, когда пешеход встретит ве-
лосипедиста?
10.51.	Из пункта А по шоссе в одном направлении выез-
жают одновременно два автомобиля, через час вслед
за ними выезжает третий автомобиль. Еще через
час расстояние между третьим и первым автомоби-
лями уменьшилось в полтора раза, а между третьим
и вторым — в два раза. Во сколько раз скорость
первого автомобиля больше скорости второго, если
известно, что третий автомобиль не обгонял первых
двух?
10.52.	Два приятеля собрались на охоту. Один из них жи-
вет в 46 км от охотничьей базы, другой, имеющий
машину, — в 30 км от базы (между базой и домом
первого приятеля). Они двинулись в путь одновре-
менно, причем владелец машины поехал навстречу
своему приятелю, идущему пешком. Встретившись,
они вместе поехали на базу и прибыли туда через
час после выхода из дома. Если бы пешеход вышел
из дома на 2 ч 40 мин раньше владельца машины,
то приятели встретились бы в 11 км от дома пеше-
хода. Какова скорость машины? (Все скорости счи-
таются постоянными.)
10.53.	Три пловца должны проплыть из А в В и обратно.
Сначала стартует первый, через 5 с — второй, еще
через 5 с — третий. На пути от А до В все пловцы
прошли некоторую точку С одновременно. Третий
пловец, доплыв до В и сразу повернув назад, встре-
чает второго в 9 м от В, а первого в 15 м от В. Най-
дите скорость третьего пловца, если расстояние
между А и В равно 55 м.
10.54.	От пристани А вниз по реке, скорость течения кото-
рой равна v км/ч, отходит плот. Через час вслед за
ним выходит катер, скорость которого в стоячей во-
де равна 10 км/ч. Догнав плот, катер возвращается
обратно. Определите все те значения v, при которых
к моменту возвращения катера в А плот проходит
более 15 км.
10.55.	Два судна двигаются прямолинейно и равномерно в
один и тот же порт. В начальный момент времени
положения судов и порта образуют равносторонний
треугольник. После того как второе судно прошло
152
80 км, указанный треугольник становится прямо-
угольным. В момент прибытия первого судна в порт
второму остается пройти 120 км. Найдите расстоя-
ние между судами в начальный момент времени.
10.56.	В реку впадает приток. Катер отходит от пристани
А на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки,
далее по реке вверх против течения до пристани В,
затратив 18 ч на весь путь от А до В. Затем катер
возвращается обратно. Время обратного движения
от В до А по тому же пути равно 15 ч. Собственная
скорость катера, т. е. скорость катера в стоячей во-
де, равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна
3 км/ч. Каково расстояние от пристани А до при-
стани В и какова скорость течения притока?
10.57.	В озеро впадают две реки. Лодка отплывает от при-
стани А на первой реке, плывет 36 км вниз по тече-
нию до озера, далее 19 км по озеру (в озере нет тече-
ния) и 24 км по второй реке вверх против течения
до пристани В. На весь путь от А до В лодка затра-
чивает 8 ч. Из них 2 ч она плывет по озеру. Ско-
рость течения первой реки на 1 км/ч больше, чем
скорость течения второй реки. Найдите скорость те-
чения каждой реки. (Собственная скорость лодки
постоянна.)
10.58.	От пристани А вниз по течению реки одновременно
отплыли теплоход и плот. Теплоход, доплыв до при-
стани В, расположенной в 324 км от пристани А,
простоял там 18 ч и отправился обратно в А. В тот
момент, когда он находился в 180 км от А, второй
теплоход, отплывший из А на 40 ч позднее первого,
нагнал плот, успевший к этому времени проплыть
144 км. Считая, что скорость течения реки постоян-
на, скорость плота равна скорости течения реки, а
скорости теплоходов в стоячей воде постоянны и
равны между собой, определите скорости теплохо-
дов и скорость течения реки.
10.59.	Две точки А и В начинают одновременно сближать-
ся по меньшей дуге окружности, равной 150 м, и
встречаются через 10 с. Если же точки начнут дви-
гаться по большей дуге, то они встретятся через
14 с. Найдите длину окружности и скорости движе-
ния точек, если точка А может пройти всю окруж-
ность за время, за которое точка В пройдет 90 м.
10.60.	Два тела движутся равномерно по окружности в од-
ну сторону. Первое тело проходит окружность на 3 с
быстрее второго и догоняет второе тело каждые пол-
153
торы минуты. За какое время каждое тело проходит
окружность?
10.61.	Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с по-
стоянными скоростями в одном направлении, ока-
зываются рядом через каждые 3 ч. При движении
с теми же скоростями в противоположных направ-
лениях автомобили встречаются через каждые
20 мин. За какое время проедет всю кольцевую
трассу каждый автомобиль?
10.62.	Фрукты в магазин были доставлены двумя машина-
ми, по 60 ящиков в каждой; при этом в 21 ящике
были груши, а в остальных — яблоки. Сколько
ящиков с грушами было в каждой машине, если из-
вестно, что в первой машине на один ящик с груша-
ми приходилось в 3 раза больше ящиков с яблока-
ми, чем во второй?
10.63.	На прокладке двух параллельных трубопроводов
работали два экскаватора. Первый из них начал ра-
ботать на 30 мин раньше второго. Когда второй эк-
скаватор прокопал 27 м, оказалось, что он отстает
от первого на 1 м. С какой скоростью копали экска-
ваторы, если известно, что второй выкапывает в час
на 4 м больше, чем первый?
10.64.	Двум землекопам было поручено вырыть канаву за
3 ч 36 мин. Однако первый приступил к работе тогда,
когда второй уже вырыл треть канавы и перестал ко-
пать. В результате канава была вырыта за 8 ч. За сколь-
ко часов каждый землекоп может вырыть канаву?
10.65.	Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн
за 6 ч. За какое время наполняет бассейн каждая
труба в отдельности, если известно, что в течение
1 ч из первой трубы вытекает на 50% больше воды,
чем из второй?
10.66.	60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 ч
быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабо-
чий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они
изготавливают за 1 ч 30 деталей?
10.67.	Две машинистки должны перепечатать рукопись,
состоящую из трех глав, из которых первая вдвое
короче второй и втрое длиннее третьей. Работая
вместе, машинистки перепечатали первую главу за
3 ч 36 мин. Вторая глава была перепечатана за 8 ч,
из которых 2 ч работала только первая машинист-
ка, а остальное время они работали вместе. Какое
время потребуется второй машинистке, чтобы од-
ной перепечатать третью главу?
154
10.68.	Резервуар объемом 18 м3 можно наполнить по двум
трубам. Обе трубы, работая одновременно, заполня-
ют резервуар за 3 ч. Если сначала вода поступает
только через большую трубу, а после того как резер-
вуар заполнится на 3/4 объема, труба будет перекры-
та и одновременно будет открыта меньшая труба, то
для заполнения всего объема понадобится 6 ч. Сколь-
ко воды поступает за 1 ч через каждую из труб?
10.69.	Бассейн может наполняться водой с помощью двух
насосов разной производительности. Если половину
бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а
затем, выключив его, продолжить наполнение с по-
мощью второго насоса, то весь бассейн наполнится
за 2 ч 30 мин. При одновременной работе обоих на-
сосов бассейн наполняется за 1ч 12 мин. Какую
часть бассейна наполняет за 20 мин работы насос
меньшей производительности?
10.70.	В бассейн проведены две трубы — подающая и от-
водящая, причем через первую бассейн наполняется
на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется.
При заполненном на 1/3 бассейне были открыты
обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 ч. За
сколько часов, действуя отдельно, первая труба на-
полняет, а вторая опорожняет бассейн?
10.74.	В цехе проходит соревнование между тремя токаря-
ми. За определенный период времени первый и вто-
рой токари обработали в 3 раза больше деталей, чем
третий токарь, а первый и третий токари — в 2 раза
больше, чем второй. Какой из токарей победил в со-
ревновании?
10.72.	На угольной шахте сначала работали два участка, а
через некоторое время вступил в строй третий учас-
ток, в результате чего производительность шахты
увеличилась в полтора раза. Сколько процентов со-
ставляет производительность второго участка от
производительности первого, если известно, что за
четыре месяца первый и третий участки выдают уг-
ля столько же, сколько второй за весь год?
10.73.	Три бригады, работая одновременно, выполняют
норму по изготовлению деталей за некоторое число
часов. Если бы первые две бригады работали в 2 ра-
за медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее,
чем обычно, то норма была бы выполнена за то же
время. Известно, что первая и вторая бригады при
совместной работе выполняют эту же норму в 2 раза
быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей.
155
Во сколько раз первая бригада делает деталей за 1 ч
больше, чем третья?
10.74.	Совхоз располагает тракторами четырех марок —
А, Б, В и Г. Бригада из одного трактора марки А,
двух тракторов марки Б и одного трактора марки В
производит вспашку поля за 2 дня. Бригада из од-
ного трактора марки В и двух тракторов марки Г
тратит на эту работу 3 дня, а бригада из трех тракто-
ров марок Б, В и Г — шесть дней. За сколько време-
ни выполнит эту работу бригада, составленная из че-
тырех тракторов различных марок?
10.75.	Пять человек выполняют некоторую работу. Первый,
второй и третий, работая вместе, выполняют всю ра-
боту за 7,5 ч, первый, третий и пятый — за 5 ч, пер-
вый, третий и четвертый — за 6 ч, четвертый, второй
и пятый — за 4 ч. За какой промежуток времени вы-
полняют эту работу все пять человек вместе?
10.76.
В бак может поступать вода через одну из двух
труб. Через первую трубу бак может быть наполнен
на 1 ч быстрее, чем через вторую трубу. Если бы ем-
кость бака была больше на 2 м3, а пропускная спо-
4 м3
собность второй трубы была бы больше на — —, то
о ч
для наполнения бака через вторую трубу понадоби-
лось бы столько же времени, сколько требуется для
прохождения 2 м3 воды через первую трубу. Какова
емкость бака, если известно, что за время его напол-
нения через вторую трубу через первую трубу могло
бы поступить 3 м3 воды?
10.77.	Через 2 ч после того как первый трактор начал па-
хать поле, к нему присоединился второй, и они вме-
сте закончили вспашку. Если бы тракторы поменя-
лись ролями, то они закончили бы вспашку на
24 мин позднее. Сколько времени тракторы работа-
ли вместе, если известно, что первый может вспа-
хать четверть поля на 3 ч быстрее, чем второй —
треть поля?
10.78.	Токарь и его ученик получили наряд на изготовле-
ние деталей. По нему ученик должен был изгото-
вить 35 деталей, а токарь — 90 деталей. Токарь и
ученик начали работу одновременно. Сначала то-
карь сделал 30 деталей, обрабатывая в час вдвое
больше деталей, чем ученик. Затем он стал обраба-
тывать в час на 2 детали больше и закончил работу
на 1 ч позже ученика. Если бы токарь все детали об-
рабатывал с той же производительностью, что и при
156
работе над 60 деталями в первом случае, то он за-
кончил бы работу на 30 мин позже ученика. Сколь-
ко деталей в час обрабатывал ученик?
10.79.	Двое рабочих работали одно и то же время и изгото-
вили вместе (работая с постоянной производитель-
ностью труда и независимо один от другого) 150 де-
талей. Если бы оба рабочих работали с производитель-
ностью первого рабочего, то для изготовления
150 деталей им потребовалось бы времени на 1/2 ч
меньше. Если бы оба рабочих работали с производи-
тельностью второго рабочего, то для изготовления
150 деталей им потребовалось бы времени на 3/4 ч
больше. Сколько деталей изготовит второй рабочий
за восьмичасовой рабочий день?
10.80.	Две бригады рабочих начали работу в 8 ч. Сделав
вместе 72 детали, они стали работать раздельно.
В 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы
первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем
вторая. На другой день первая бригада делала за 1 ч
на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 ч на
одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в
8 ч и, сделав 72 детали, снова стали работать раздель-
но. Теперь за время раздельной работы первая брига-
да сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к
13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада?
10.81.	Объем грунта, который вынимает за 1 ч первый эк-
скаватор, меньше, чем объем грунта, который вы-
нимает за 1 ч второй экскаватор. Оба экскаватора
начали работать вместе и вырыли котлован объ-
емом 240 м3. Потом первый экскаватор начал рыть
второй котлован, а второй экскаватор продолжал
рыть первый котлован. Через 7 ч после начала их
работы объем первого котлована оказался на 480 м3
больше объема второго котлована. На другой день
второй экскаватор вынимал за 1 ч на 10 м3 больше,
а первый за 1 ч вынимал на 10 м3 меньше. Вырыв
вместе котлован объемом 240 м3, первый экскава-
тор стал рыть другой котлован, а второй экскаватор
продолжал рыть первый. Теперь объем первого кот-
лована стал на 480 м3 больше объема второго котло-
вана уже через 5 ч после начала работы экскавато-
ров. Сколько м3 грунта в 1 час вынимает каждый
экскаватор?
10.82.	К двум бассейнам подведены две трубы разного диа-
метра (к каждому бассейну своя труба). Через пер-
вую трубу налили в первый бассейн определенный
157
объем воды и сразу после этого во второй бассейн
через вторую трубу налили такой же объем воды,
причем на все это вместе ушло 16 ч. Если бы через
первую трубу вода текла столько времени, сколько
через вторую, а через вторую — столько времени,
сколько через первую, то через первую трубу нали-
лось бы воды на 320 м3 меньше, чем через вторую.
Если бы через первую трубу проходило воды на
10 м3/ч меньше, а через вторую — на 10 м3/ч боль-
ше, то, чтобы налить в бассейны (сначала в первый,
а потом во второй) первоначальные объемы воды,
ушло бы 20 ч. Сколько времени лилась вода через
каждую из труб?
10.83.	Имеются три не сообщающихся между собой резер-
вуара, причем объем третьего не меньше объема
второго. Первый резервуар имеет объем V и может
быть заполнен первым шлангом за 3 ч, вторым
шлангом — за 4 ч, третьим шлангом — за 5 ч.
К каждому из резервуаров может быть подключен
любой из этих трех шлангов. После того как к каж-
дому из резервуаров подключают по одному шлангу
каким-либо способом, все шланги одновременно
включаются. Как только какой-нибудь резервуар
наполнится, соответствующий шланг отключается
и не может быть подключен в дальнейшем к друго-
му резервуару. Заполнение считается оконченным,
если наполнены все три резервуара. При самом бы-
стром способе подключения заполнение окончится
через 6 ч. Если бы все резервуары сообщались, то
заполнение окончилось бы через 4 ч. Найдите объ-
емы второго и третьего резервуаров.
Степень с рациональным
показателем
1.	Арифметический корень n-й степени и его свойства.
Арифметическим корнем п-й степени (n е А, п > 2) из
неотрицательного числа а называется такое неотрицатель-
ное число, я-я степень которого равна а.
Если а > 0 и Ъ > 0, то y[ab = \а  tfb.
Если а > 0 и b > 0, то
V ь Vb
158
Если а > 0, то tft/a = ktfa.
Если а > 0, то n^amk - у]ат .
Последнее свойство называется основным свойством
корня.
2.	Степень с рациональным показателем и ее свойства.
т
Если а > 0, то а п - у/ат , где т с Z, п е N, п> 2.
Если — > О, т е ДГ, п g ДГ, то 0 п =0.
п
Для любых а > 0, Ъ > 0 и любых рациональных чисел р
и q выполняются следующие свойства:
ар • aq = ар + q,
ар : aq = ap~q,
(ap)q = apq,
(ab/ = aftf,
fa V _ aP_
J ~ bp'
3.	Иррациональные уравнения и неравенства.
При решении иррациональных уравнений, как пра-
вило, применяют преобразование, связанное с возведени-
ем обеих частей уравнения в натуральную степень. Сле-
дует помнить, что при возведении обеих частей уравнения
в нечетную степень получается уравнение, равносиль-
ное исходному. Если же возводить обе части уравнения
в четную степень, то, вообще говоря, получается уравне-
ние, являющееся следствием исходного, т. е. такое, ко-
торое, кроме корней исходного уравнения, может содер-
жать и другие корни (их называют посторонними). Зна-
чит, в этом случае необходимо проверить все найденные
корни непосредственной подстановкой в исходное урав-
нение.
Возможен и другой путь решения иррациональных
уравнений — переход к равносильным системам, в кото-
рых учитывается область определения уравнения и требо-
вание неотрицательности обеих частей уравнения, возво-
димых в четную степень.
При решении иррациональных неравенств либо исполь-
зуют метод интервалов, либо с помощью некоторых равно-
сильных преобразований заменяют данное иррациональ-
ное неравенство системой (или совокупностью систем) ра-
циональных неравенств.
Пример 1. Внесите множитель под знак корня:
xt/V-x.
159
Решение. V-x определен при х < 0. Значит, знак
множителя перед корнем определяется знаком перемен-
ной у. Если у > 0, то ху < 0, -ху > 0, следовательно,
ху\Г^х = -(-ху)Ч--х = -V(-xy)4 (-х) = -\1~х5у4 .
Если у < 0, то ху > 0, следовательно,
хулГ^х = \1~х5у* .
Ответ: \)-х5у4 при у < О, ~\j~x5y4 при у > 0.
Пример 2. Найдите область определения выражения
(3 - | 5а + 2 |)-3’4.
Решение. Поскольку степень с отрицательным ра-
циональным показателем определена только при положи-
тельном основании, область определения данного выраже-
ния составляют те и только те значения а, которые удов-
летворяют неравенству 3 - | 5а + 2 | > 0, т. е. | 5а + 2 | < 3,
откуда -3 < 5а + 2 < 3, -5 < 5а < 1, таким образом,
-1 < а < 0,2.
Пример 3. При каких значениях параметра а уравне-
5
ние	+ (2а - 3)х^ - ба - 0 имеет два решения?
Решение. Область определения уравнения — проме-
жуток [0; оо). На этом множестве имеет место тождествен-
___________________	5
ное равенство xVx2 = х3, значит, данное уравнение —
5
квадратное относительно х6 . Корни этого уравнения (по
теореме Виета) 3 и -2а, следовательно, данное уравнение
равносильно совокупности
5
х6 =3,
5
х6 =-2а.
Первое уравнение совокупности имеет одно решение при
любом значении параметра а, а потому совокупность имеет
два решения тогда и только тогда, когда второе ее уравне-
ние имеет одно решение, не совпадающее с решением пер-
(-2а^0, _
вого уравнения совокупности, т. е. при s о Q 1аким
I —Za о.
образом, получаем ответ: а < 0, а -1,5.
Пример 4. Решите уравнение 710-Зх = х + 6.
Решение. I способ. На основании определения
арифметического квадратного корня можно утверждать,
что исходное уравнение равносильно системе
160
[10-3x = (х + 6)2,
[х + 6^0.
Заметим, что условие 10 - Зх > О является в данном слу-
чае избыточным, так как оно следует из первого уравне-
ния полученной системы.
Решая уравнение системы, находим два корня: -2 и
-13, второй корень не удовлетворяет неравенству системы,
т. е. не является корнем исходного уравнения.
Замечание. Аналогичным_рбразом можно показать,
что любое уравнение вида f(xj = g (х) равносильно сме-
шанной системе
f f(x) = (g(x))2 ,
[g(x)SsO.
II способ. Умножим обе части уравнения на 3 и вве-
дем новую переменную у = д/10- Зх. Тогда уравнение при-
мет вид: Зу = 28 - у2, откуда у± — 4, у? = -7 (не удовлетво-
ряет условию у > 0). Таким образом, д/10- Зх = 4. Обе час-
ти последнего уравнения неотрицательны, значит, возводя
их в квадрат, приходим к равносильному уравнению
10 - Зх - 16, откуда х = -2.
III способ. Заметим, что х = -2 является корнем дан-
ного уравнения. Левая часть уравнения — функция убы-
вающая на своей области определения, как композиция
убывающей линейной функции и возрастающей функции
у = -Jt. Правая часть уравнения — возрастающая линейная
функция. Значит, данное уравнение имеет не более одного
корня (см. § 8, № 182), который уже определен.
Упражнения
КОРЕНЬ П-Й СТЕПЕНИ
Вычислите значение числового выражения (1—4):
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
a)	-V(-2)3 ;
а) 3v'125-8-0,5-1(Л024;
б)	^(-З)6
б) 1,5-^512-^/216-1000.
б> vb<L!/vw9,i-
а)
б)
л/54-32 - V8-162+з/42^;
V 8
V648 1250 - д/256-54 - 5 7
19
32'
161
При каких значениях переменной определено выражение
(5-6):	____ __________
11.5. a) V9-x2; б)	в) в/^4; г) в/г^-?
\3-х	’ ух+3 ’ у| х |-2
11.6. a) V-5a2 + 7а-2; б) r/^J—;
V Va -1
в) ^|а|-|а+2|; г)
у а той —ctvju,
Решите уравнение (7—9):
11.7.	a) Xs =25;	б)х6=10;
в) 2х4 -15 = 0; г) Зх2 +13 = 0.
11.8.	a) V2x-3 = 2; б) V3x + 5 = 3;
в) З^Зх-1+2 = 0; г) 2V5x + 2-l = 0.
11.9.	а) х8 -9х4 +18 = 0; б) х6 - Зх3 -10 = 0;
в) х12 =21+4х6; г) 2х5 =15-х10.
11.10.	Укажите два последовательных целых числа, меж-
ду которыми заключено число:
a) V35; б) А/67; в) ^-463; г) V1112.
11.11.	Оцените значение выражения у/a, если известно, что:
а) 16 < а < 39,0625; б) Ю"8 < а < 0,1296.
11.12.	Оцените значение выражения у[а, если известно,
11.13.
что:
а) -27 < а < 42,875; б) -0,512 < а < -0,085184.
Определите знак числа:
3/7 Q _ з/q 7
у ,а у ,<	б) (5^5-5/^)(б/о,999-1);
.---	,-- I--- I---	V-1990-V-1991
в) (V^5-VmmV6^-V^2); г) v	.
Решите неравенство (14—16):
11.14.	а) Ух~—"1 <2;
в) Vx^2>3;
11.15.	а) Зх8 - 10 > 0;
в) 5х® - 30 > 0;
11.16.	а) х8 - 5х4 + 6 > 0;
в)	х12 - х6 - 20 < 0;
б) Vi+1 5*2;
г)	Vx + 2 < 3.
б) 4х8 + 5 < 0;
г) 8х6 - 7 < 0.
б) х6 + х3 - 42 < 0;
г) х14 + 7х7 + 12 > 0.
Постройте график функции (17—18):
11.17. а) у = 14-Vi; б) у=^; в) у = фс\;
г) j/ = Vx + l-l; д) у = 4/|х-1|; е) j/ = «/|x|-l.
162
11.18. a) i/ = 2-Vx;
г) у = Цх-1+1;
б) у = ^х;
д) i/ = ^|*+i|;
в) y = tf\x~;
е) у = ^\х +1.
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ Л-Й СТЕПЕНИ
Вычислите значение выражения (19—22):
11.19. a) 0.5-V96 ^1J-№^^;
6)	2Vioo.v^.<-№5.
V	д/ &
__	__ ___ __ 5Го
11.20.	a) V3-	-V9-t^==;
V-64
6)	V8-V25-V32+	‘ •
V3
11.21.	a) V6 + 275 • V6-2V5;
6)	V6-2V17 • V6 + 2V17.
11.22.	a) VV6+V52 • V5 + 2V13 • VV52-V5;
6)	VV2-V12 • ^2 + 273 • VV12 + V2.
Вынесите		множитель за знак корня (23—		27):
11.23.	а)	V-3000; б) t	<48; в) V-486;	r) -l,5V-160.
11.24.	а)	V24a6;	6) V-54&9;	
	в)	V32a5;	r) V6467 .	
11.25.	а)	l/162a6 , где a	>0;	6) t/32b4	1, где b < 0;
	в)	yja6b7, где a «	S 0;	r) $Janb	6 , где Ь > 0.
11.26.	а)	A/243a4d12c8 ,	где a < 0;	
	б)	л/128а1266с18 ,	где b > 0;	
	в)	Va7&4c8;	г) Я/а6&7с13 .	
11.27.	а)	M-a5b4 ;	6) >/-a6&7;	
	в)	V-a7b4c8 ;	r) V-ae67c13.	
Внесите множитель под знак корня (28—32):
в) 2V3; г) -2^025.
11.28. а) 3^3; б) -5^5;
11.29. а) а^5; б) -&V3;
г) Ьу/2, где Ь < О.
в) а>/3, где а > 0;
11.30. а) а61/2, где а < О, Ъ > 0;
б) аЬА/З, где а < О, b < 0;
163
в) -ab\[2, где а > О, Ь < О;
г) -а&Тз, где а > О, й > О.
11.31.	a) а Та;
11.32.	a) айТа;
б) ЬХГЪ',
б) -abtfb*',
в) -aV2;
в) ab^-a-,
г) йТЗ.
г) -ab^^-b.
Сравните числа (33—34):
11.33.	а) 726 и 754;
в) у/~5 и 73;
б)
г)
б) 73 и ТбТ2;
г) -TWe и-ТэТг.
11.34.
а) - 171О и
в) 7^/3 и
-7799;
Расположите числа в порядке возрастания (35—36):
11.35. а) 73, V4, 718; б) 7з, 72, *730.
11.36.	а) 74, ТзТЗ, 1У25; б) 1Тб4, ^7^7, ^2^1,25.
Вычислите значение выражения (37—39):
11.37.	а)
в)
4-3V2
(V2-V8)2 ’
(7э+7з)2 '
3ТЗ+26ТЗ+Г
(724+7б)2
' 47з+з7б ;
1-275+75
Г) (73-745)2'
11.38.	а) V3-2V2 -717+1272; б) 773-2 • 726+1573;
в) 72 + 75 -717-75-38; г) 727б-5 • 749+2076.
11.39.	а) 7Ю + 673+71О-673;
б) 7572 + 7-7572-7;
в) 720+1472 +720-1472;
г) 726+1573-74-273.
Сократите дробь (40—43):
	ч Та-Тй2"	-jb—a3
11.40.	а) 77-7F ’	б) V аг-- а4а +Vb
	+Ь	4a—by/b
11.41.	а) 7F+7F’	б> «Л-Л 
	v а — Ъ	bjb + lfa?
11.42.	а)	;—;	« а^Ъ‘4ъ'
	.	1 — Va	1-7F+VF-V&3
11.43.	а) —		 qr_;	б) —2—=:	2—
	л/а(а + 1)-2у[а2	4ъ-ъ
164
Избавьтесь от знака корня в знаменателе дроби (44—48):
11.44. а) 77=-; б)	в) 77=; г)
Щ V27 V8 V-49
1	7
"43 “>	«	wbr
ч	5	.	Ч	29
В)	2-V3’	Г)	3 + V2’
п-46-а)	б)	wb-
11.47.	а)	-	б)	3-^-
V3-V3	V2+V2
11.48.	а)	; б)	---
^5+^3	V2+V4+V8+2
Решите уравнение (49—51):
11.49.	a) Vx-3^x-4 = 0; б) зТх = 7-42^хг.
11.50.	a) 4^- х4х = 3;
б)	5у[х+1 = 6-!2/х3 +3х2 +Зх+1.
11.52.	Найдите значение выражения:
а)	(1 +Va)(l + Va)(l + Va)(l + 1Va)(l + 3^a)(l-3Va) при
а = 1991:
б)	(а - 4а +l)(Va +Va + l)(Va - Va +1) при a - 5.
Постройте график функции (53—56):
11.53.	а) у =А/х2 - 6х + 9;	б) у = 1 -V9 + 6x + x2 .
11.54.	а) у =>/х2 + 4х + 4;	б) у = 2-Vx2 -4х + 4.
11.55.	а) у =^/(х2 +2х+1)2 + ^/(х2 -2х + 1)2 ;
б)	у=б/(х3 -Зх2 + Зх-1)2 -Я/(х2 +6х + 9)3.
11.56.	а) у =^х2 -2|х|+1; б) у = 1-^/х2 -4|х|+4.
11.57.	Докажите, что среднее арифметическое а) четырех;
б) трех положительных чисел не меньше их средне-
го геометрического.
Упростите выражение (58—64):
п со а ।	1	,	1
4а-1 4а + 1 1-4а 1+4а
165
11.62. ((Va-VF)1 +(Va+V&)1)-2
a-b
4(Ja+Jb)'
11.63.
11.65. Решите уравнение
fVx-Vx Vx-1^1 1+1/x3 _ g Vx+Vx-1
I Vx-1 Vx J i/x	-fx
11.66.	Докажите, что при всех допустимых значениях пе-
ременных значение выражения
неотрицательно и не зависит от х.
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вычислите значение числового выражения (67—68):
81°,75.32-0.4 _ 8’3 .273 + 2560-5;
4
16-°>75 • 25-0,5 + 64 3 • 91,5 - 100-°’5.
/ л \-°.з
(0,5 Г1 + 160 5 - (0,0625)-° 75 • J ;
\ <7 J
1	2	z
--	- ( 1 л А ч
(0,008) 3 1253 - 2^	:(2,5)-2 -(0,75)-!.
11.67.
11.68.
а)
б)
а)
б)
Докажите, что число а-
11.69.
\ -0,5	п _
• 10-3 +10000-0’75 ) ’
является корнем уравнения 11 Ох2 - 21х +1 = 0.
166
11.70.	Составьте квадратное уравнение, корнями которого
являются числа
2	3	1
а = 643 16 2 (0,5)"2 + (-3,375) 3
и
b = (0,25)-1’5 + (81 Г0’25 - (0,125) 3 .
11.71.	Докажите, что число а = 19891991 - 463462 делится на
число b =	+ (0,5)4 - 6250-25 - (2,25г1-5.
(19)
При каких значениях переменной определено выражение
(72—73):
11.72.	а) (2-Зх)04; б) (5х + 2)“3;
7
в) (х2 - 3)-°’91; г) (5-х2)9?
( 2 г — Я А-0’2	-
11.73.	а)	; б) (Зх2 -23х + 14)7;
(	2	V’7	_±
в) _ * 2 I ; г) (5-|2х-5|) 1Х?
I 5х-х2 -6 )
Решите уравнение (74—75):
1	2
11.74.	а) х3 =2;	б) х5 =2;
2	4
в) (2х-1)3 =3; г) (2-Зх)7 =-1.
1
11.75. а) (х2 -I)3 =2;
2
в) (3-2х3)3 =9;
б) (1 - | х |)°’8 = 2;
г) (Зх2 + 13 | х |)°’75 = 8.
В каких пределах изменяется значение выражения
(76—78):
11.76.	а) х0,5; б) х0,75; в) 4х0,5 + Зх0,75, если известно, что
16 < х < 81?
11.77.	а) х0,4; б) 2 - 5х0,4, если известно, что 243 1 < х <
< 321?
1 1 1 1 1
11.78.	а) х°’5; б) х3; в) х6; г) 2х2 -Зх3 +6х6, ес-
ли известно, что 10-6 < х < 0,015625?
11.79. Определите знак числа:
а) 53 _бз
2 I
0,77 -1 ;
б)
1 1
5 3-63
1-0,7 7
167
. (1Д991)02 -1
’ 1-(1,1991)-°’2 ’
г) 2 - 0,1991-°*7 - 1,9910’8.
Постройте график функции (80—81):
1 1
11.80. а) у = х2; б) у = 1-х2; в)
1 1
г) У = |х|2; д) у = |1-х|2; е)
1 1
11.81. а) у = х3; б) у = -х 3 -1; в)
i_	1
г)г/ = |х|3; д) у = —|х — 8|3 ; е)
У = (1-х)2;
1
у = (1 —|х|)2.
1
у =1 —(х+1)3;
1
у = (| х I - 2)3.
11.82.	Решите графически уравнение:
а)	х2 +(-х)3 -2 = 0; б) (х + 2)1,5 + х = 10;
в)	| х - 1 |°’2 + 2х = х2 + 1;
г)	х2 + 4х + (х + 2)3 +2 = 0.
СВОЙСТВА СТЕПЕНИ
С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вычислите значение числового выражения (83—85):
11.83.
11.84.
а) ((2 + 15°’25) (2 - 150,25))-1  (50,5
23 -53 )
З0’5);
б) (91 + 2 2 - 0,5 • 9-°’5) (2-1 + 81-°’25).
1 1
11.85. a) 9((2V54)3 - (3/0?375)3 ) ';
/1x1
б) [1+43J +163 (1-2V4+V16)0’5.
Выполните действия (86—89):
/ 1 3
11.86. а) (а-0,5 + 0,5а0,75)2;	6)1 Ь3 -Ь~3\ .
11.87. а) (а-0’5 - а0-5)1  (а + а’1 - 2);
2	4
б) b’5 -Ь°’8 (б1-6 + ЬЧ)’8)Ь5 +&-0’4 .
/	6	3
11.88. а)|(а''8 +1)а5 +а5 +11(а0’6 -1);
б) (д4 - 2)(&3’5 + 2Ь1,75 + 4) (8 + b5’25).
168
11.89. а) (а'3 +а4](а‘3
б)(б3 +&-Ii&-2-8]
Сократите дробь (90—92):
-а12 +ai5
|(&з
11.90.
а)
а6 +5
б)
д.0,25 _gO,5
11.91.
а)
25-а3
aU>
Ь-а
3 - х 0,5
11.92.
а)
а0,75 _fe0,5
11.93.
б)
б)
а + Ъ
2 1 I £
а —а363 +а3&з
8
67 _ао>3
ё 12- *
аб + 6 7
08 +&12
Представьте выражение в виде степени с основанием х:
а) х^хЧх; б) х2 д/х^хТх ;
V2 3
в)^Ч
ч X
; г)-
Упростите выражение (94—95):
11.94.
(ab~3 + a~3b)~l (а-4 + tr*)
_2
(0,5) 3
11.95.
8Ь-а
6
а363
а3 -2&з
11.96.
2	1	1	2
3 —Ь 3 4д 3 +2а 36 3 +6 3
Упростите выражение
11.97.
<	1	1 _з Л
0,5а4 , (2-а)4 а 4
<(2-а)?
Может ли значение данного выражения быть равным:
а) 1; б) -|?
Существует ли такое значение переменной тп, при
котором значение выражения
2
: (2а-а2 )4 .
3 3	1-тп3
zn2-Vm + l tfi + 1 Vm2 -1
отрицательно?
_1 V -2
1 + тп 3 ~т 3
169
Упростите выражение (98—100):
11.99.
fl IV 1 _1	_1 Г|2
[а3 +b3J|4aeb 3 + а 3b6j
f --	( -- IT)
а^+Ь”1-^ з -ь зДа з ~ъ 3j
11.100.
i i
2a2b2 .
f _1	-1V1 f _1	-1V1
[(а + b)’2 + (a-b) 2) + [(a + b) 2 -(a-b) 2)
(	--	_i\-i (	--	--V1	*
(a + b) 2 + (a-b) 2	-(a + b) 2 -(a-b)’2
Докажите, что при всех допустимых значениях перемен-
ных, при которых выражение имеет смысл, его значение
не зависит от значений переменных (101—103):
11.101. 104)5 <o+b)1
0,75
ао,5_до,5
11.102. 0,25
1
1
2а4 -2
1 1
а4 -а8 +1 а2 + а4 +1
a2 + a4 +1 I.
11.103.
(Va-Vb)3
2 1	12
a-b-a3b3 +a3b3
Упростите выражение (104—107):
f 5	1	1 Г|2 Г 5	1	1 1)2
[bQa 6 +b3a3J +lb6a 6 -b3a3l	Л 4a2
11Л04‘	f-1	_l)f2 g 11] " ~2a + ^=b
[a 3-b 3j ^аз+Ьз+a3b3j
f 5	1	2 2p
[a9b 9-a9b9J +3(Va^-Va^b) (a-b)2 a + b
,г-т ,r-r ( ?	11	" 2 <« I !> + “2"
+V^T) a3 -a3&3 +b3
170
11.106.	|x~3 fl + [—У*] "l + x 3 -
3	V3 J J 3(1-V7)
+ Vx[l-x 3)(x 3 + 2x 3][l + x3 + x3]
6(л/х - 1)(V^ + Vx + l)3
(l-2Vx(Vx + 4y +4z) 1)(Цху)2 (г-х-у + г/хуУ1 -1)
( _i _i _i V1
fiV.fil2 111 2
[xj [zj [у J
< >
и вычислите его значение при х = 126 025,
у = 18 225, г = 729.
Докажите, что для всех положительных значений
переменной имеет место неравенство (108—110):
11.108.
X-1’25 + х-2
X-2 +х-1,75
<2 +
X-0’5 -X-1’5
X-1’5 + х-1
11.109. (х2 + 6х + 9)0-5 >
х2 V9+9Vx
xV9+3Vx
11.110.
l+ecb-i)-1 ( i V15
Jfr+ieb-’-S)-1 -1225 )
b~2-4Ь'2’5
b-1 + 4ft-1'5
>16,
если b * 4, b * 16.
11.111.	При каких значениях x имеет место неравенство
f 42	21»5
JI-х2)'1	x~2 J
x~2
-L
<1,5?
11.112.	Решите уравнение:
f -	11 ( -	1)
a)|x3 -2x2J3-[2x3 -23J = V81;
6)	(x2’4 +3x2 )°’2 +3(x°>4 +3)0'2 = V4096.
11.113.	При каком значении а уравнение x2 - (a + 2)x2 +
+ 2a = 0 имеет единственное решение?
11.114.	Сколько решений в зависимости от а имеет уравне-
ние х3’2 + (2а - 3) х Vx3 - 6a = 0? Найдите эти ре-
шения.
171
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Докажите, что уравнение не имеет решения (115—117):
11.115.	а) Тб^х+2 = 0;	б) ТЗх^Л + 75х + 8 +1 = 0;
.---	--- (/х4-16 + 0/х3-8
в) 7х-4 + 7х2 -3 = 0; г) --------л-----= 0.
Зх-х2 -2
11.116.	a) 7х-8 +3 = 77-х; б) 78-х2 -27х-3 = 1;
в) б7х- 2 - 74-х2 = —-—; г) 71-х2 +75х-5 = 2.
2-х
11.117.	а) л/10 + Тх-х2 = 3;
б)	7х + 17 + 7х = 4;
в)	7х-7 -7х-6 = х2;
г)	71-х = 7х-2.
Равносильны ли уравнения (118—119):
11.118.	а) Тх--5 = 9 и х - 5 = 81;
б)	У2^х = -3 и 2 - х = -27;
в)	72-х = -3 и 2 - х = 81;
г)	7-Х3 -1 = -1 И X3 + 1 = 1?
11.119.	а) 7х-5 = х и х2 = х - 5;
б)	72х + 1 = х и 2х + 1 = х3;
в)	А/х-2 = |х| и х - 2 = х4;
г)	7х-1 = -X и х - 1 = -х5?
Решите уравнение, используя определение арифметиче-
ского квадратного корня (120—122):
11.120.	а)	7х2 -1 = 2;	б)	73-2х2 = 1;
в)	д/|х-3| + 2 = 3;	г)	75-|1-х2| =2.
11.121.	а)	77-Зх = х + 7;	б)	715 + Зх = 1-х;
в)	Зх + 5 = 73-х;	г)	2х + 734-5х = 7.
11.122.	а) х = 7х+1;	б) 7х+1 = -х;
в) д/5+|х-2| = 1 -х; г) д/3-|х+3| = х + 2.
Решите уравнение, используя введение новой переменной
(123—126):
11.123. а) х-7х = 30;
в) Vx +7х = 2;
б) 7х-Л- = 1;
V х
г) 34х + 2 7х = 3.
172
11.124. a) 78-х = 2 - x;	6) 7x-3 = x-5;
в) 3x = 107x-2; r) ЗТх + 2 = 2х-5.
11.125. a) V2-x-20 = V2-x;	6) V5 + 2x = 10-3A/5 + 2x;
r) 107x2 - x -1 = 13 -	---
7x2-x-l
11.126.	a) x2 + 4 = 57x2 -2;
6)	x2 4-37х2-Зх = 3x4-10;
в)	x2 4-2л/х2 -3x4-11 = 3x4-4;
г)	х2 4-7х2 -Х4-9 = х4-3.
Решите уравнение, используя свойство монотонности функ-
ций (127—129):
11.127.	a)	7^14-7х + 3 = 2;	б)	27х4-7хт3 =	5;
в)	72х 4-3-74-х = 2;	г)	у/74-Зх - 75-	4х 4-1 = 0.
11.128.	а)	7х-1 4-7x4-3 = 3-х;	б)	2Тх 4-7х- 3 =	9-х;
в)	У2x4-3-74-х = 77-х;___
г)	77 4-Зх - 75- 4х = 1 - 27x4-2.
11.129.	а) 72x^1 4-Vx + 7 = 3;	б) 7'3-5х - 7x4-1 = 2;
в) 7х~1 4-х = 3 ;	г) 1 4- л/2-Х = х3-Ц--
х-1	х-2
Решите уравнение (130—144):
11.130. а) 74х2 4-5х-2 = 2;
в) 7234-3х-5х2 =3;
11.131.	а) 7х2 -16 = 75x4-8;
в) У144-|х| = 7х2 -16;
б) 7х2 4-4х-50 = 3;
г) 7х2 4-14х-16 = -4.
б) 7-2х-1 =7х2 -36;
г) 73|x|4-3 = 7x2 -25.
11.132.	а) (Зх4-5)7бх2 4-22х-15 = 0;
б)	(2х4-3)723х-14-Зх2 =0;
в)	(2-х)7х2 -х-20 = 12-6х;
г)	(х4- 1)7х2 -х-6 = 6x4-6.
11.133.	а)	7х-5 = а 4-1;	б)	74-х = а -2;
в)	72х-а = 7х;	г)	73-ь2х = 7а-х.
11.134.	а) 73х2 - 6х 4-16 = 2х -1; б) 14-27бх2 -5x4-1 =6х;
в)	|х-7| = 272х-8-3;	г)	74^х = 3-|х-1|.
11.135.	а)	7х+1 = 24-7x^7;	б)	7х-13 = 7х + 8 -3;
в)	74x4-8 - 7Зх-2 = 2;	г)	7x4-8 - 75x4-204-2 = 0.
173
11.136.	a) 7x-3 4- 7б-х = л/3;	6) Vx + 5 = 2 + 75x4-5;
в) 7x4-4 - 3 = 77 -0,5x;	г) 7x4-8 +1 = 77x4-9.
11.137.	a) Vx + 7 = 73x4-19 - Vx+2;
6)	V5x + 4 + J2x-j = л/Зх+1;
в)	7x-2 4-7x4-3 = 76x-ll;
г)	77x4-1 - 72x4-7 = Зх -18.
11.138.	а) 74х-3 =	б) = 372x4-3;
ТЗх-5	7з7^8
2	/х+6	х + 1	---
72-х х + 4	ТзТ+1
11.139.	а) 7бх-5 = -~1- 4-73х-2;
73х-2
б)	0,3V2X+13 4-О,17х+3 = -~~7.
•J 2 х + 1о
в)	У?3*'20 -2,3.
7х2 -5x4-6 7Х~2 Jx-3 '
г) 72x4-7	_	1____1
721х2-123Х-18	73х-18 77x4-1’
11.140	. а)	= 2>5;
у2х-3 \3x4-2
б)	з/—— 2»5 = 3./1 ——;
ух-1	у X
ч [1с-1	[2 х +1 10
’ 72x4-1 V X-1	3
г)	4л1з---лС^ = 3.
V х 73х-1
11.141.	а) 73х-15 - 2х = 3- ТбТх;
б)	7х-44-4 = х4-78-2х;
в)	7х2 -2х4-7х-х2 = Jx;
г)	7х2 -2х-3-73х-х2 = 7х-3.
11.142.	а) >/х4-7х-34-х = 2;
б)	713-5х4-2 = х-л/5-Зх.
11.143.	а) 7б4-4х-х2 = х2 -2х4-4;
б)	J2x2 -4x4-3 4- 73х2 -6x4-7 = 2 4- 2х - х2 .
11.144.	а) х2 4-24- —j— -= 2x4-712-х2 +4х;
х2 -2x4-2
б)	74х-х2 =х3 -12x4-18.
174
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решите неравенства (145—153):
11.145. a) 73х + 2>1;		б) л/Зх-2^3; г) 5-274x4-1 >0.
в)	2V5X-3 >3;	
11.146. а)	д/4х2 - 12х + 9>2;	б) 725х2 - 10x4-1 <1;
в)	75-|2х-1| >2;	г) 75-|2х-1| <2.
11.147. а) в)	7х — 2 > а; 71x1-2 >а;	б) 7x4-1 <а; г) 7|х|+1 <а.
11.148. а)	2712 + х-х2 +1>0;	б) 7х2 +6x4-8 >-1;
в)	д/4л:2 - 5х-6 0;	г) 73х2 - 7х-6>0.
11.149. а)	75х + 7 <72-Зх;	б) 73-7х^7бх-8;
в)	7х2 - 3>74х-6;	г) 74х + 7 <7х2 - 2х.
11.150. а)	у]Зх2 - 10х + 7 >2;	б) 72х2 +5х + 11 >3;
в)	yjx2 + 17х <4;	г) Jx2 - 24х С 5.
11.151. а)	(х-2)7х-1 >0;	б) (х + 3)72-х «5 0;
в)	(2х-9)73х-4 >0;	г) (4х + 7)73-5х ^0.
11.152. а) б)	(Зх2 - 16х + 21) V2x+ 5^0; (5х2 4- 17х 4- 14) 74- Зх 0;	
в) (2х + 3)7б+х-х2 >0;
г) (5х-7)7х2 -9х + 14<0.
11.153. а)
в)
<0:
•7 х2 + 7 х + 12
х2 >8Тх;
б) , ,	>0;
7х2 -5х-24
г) 277-х-х2 <0.
Решите неравенство, используя введение новой перемен-
ной (154—155):
11.154. а)
в)
5-/х+3
^=Х_<1+
V х-1+5
б)
^Т'-3 >0;
2^/x + l —5
5	1	1
  <1 == •
/х+2 + 4	/х + 2 - 4
11.155. а)
в)
Д)
715-х х + 5;
^^-2 /2+- >3;
х V х
х2 + 5х - /х2 + 5х+4 + 2 < 0.
б) х- 9 < 37х + 1;
г) —---- 1—^— С -;
1 2-х	4^ 2-х	4
175
§
Последовательности
к и прогрессии
1.	Способы задания последовательностей.
Числовая последовательность задана, если всякому на-
туральному числу п поставлено в соответствие некоторое
число ап. Обозначение: (ал).
Последовательность чаще всего задают с помощью фор-
мулы n-го члена или рекуррентно.
Если задана формула ап = f (и), где п е У, f — некото-
рая функция, то последовательность задана формулой п-го
члена. Например, последовательность (ап), заданная фор-
мулой ап = n2, n е 7V, имеет вид: 1; 4; 9; 16; 25; ....
Последовательность задана рекуррентно, если определе-
ны один или несколько первых ее членов и дана формула,
выражающая n-й член последовательности через предыду-
щие. Например, (ал): аг = а2 = 1, ап + 2 = ап + 1 + ап, п е N
(данная последовательность называется последовательно-
стью Фибоначчи), т. е. (ап): 1; 1; 2; 3; 5; 8; ... .
2.	Монотонность и ограниченность последовательности.
Последовательность (ап) называется возрастающей
(убывающей), если для любого номера п имеет место нера-
венство
an+i > ап (ап + 1 < ап).
Последовательность (ал) называется ограниченной свер-
ху (снизу), если существует такое число М (тп), что для лю-
бого номера п имеет место неравенство ап < М (ап > тп).
Последовательность называется ограниченной, если она
ограничена и сверху, и снизу.
3.	Метод математической индукции.
Метод математической индукции используется для до-
казательства утверждений, зависящих от натурального ар-
гумента. Для доказательства утверждения методом мате-
матической индукции необходимо:
1)	проверить справедливость утверждения для n = 1
(либо для первого натурального числа, для которого дока-
зывается утверждение);
2)	в предположении, что утверждение верно для нату-
рального числа п = fe, доказать справедливость утвержде-
ния для следующего натурального числа п = k + 1.
Первый шаг называется базисом индукции, второй —
индукционным шагом.
176
a
n
4.	Арифметическая прогрессия.
Числовая последовательность называется арифметиче-
ской прогрессией, если каждый ее член, начиная со второ-
го, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же
числом, т. е. арифметической прогрессией называется по-
следовательность, заданная рекуррентно следующим обра-
зом: = а, ап + 1 = ал + d, где п е /V (число d называют раз-
ностью прогрессии).
Формула n-го члена: ап = ах + d (n - 1), п е АГ. Характе-
ристическое свойство: последовательность (ал) являет-
ся арифметической прогрессией тогда и только тогда, ко-
гда каждый ее член, начиная со второго,
му арифметическому соседних с ним
а„+1 +а„-1
=-----------, где п > 2, п е N.
Формула суммы первых п членов: Sn
2а. +d(n-l)
-	-п, п g N.
равен средне-
членов, т. е.
ai+an
—-----п или

2
5.	Геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность называется геометриче-
ской прогрессией, если каждый ее член, начиная со второ-
го, равен предыдущему, умноженному на одно и то же
число, отличное от нуля, т. е. геометрической прогрессией
называется последовательность, заданная рекуррентно
следующим образом: Ьг = Ь, Ьп + 1 = bnq, где п е N (q называ-
ют знаменателем прогрессии).
Формула n-го члена: Ъп = bxqn l, п е 7V.
Характеристическое свойство: последовательность (&л)
является геометрической прогрессией тогда и только тог-
да, когда каждый ее член, начиная со второго, равен сред-
нему геометрическому соседних с ним
Ъп2
членов, т. е.
= Ьп-1 • &п + р п > 2. п е N.
Формула суммы первых п членов: Sn
(1-q п )
—	—q—’ n G	1 (в случае q — 1 очевидно, что Sn = nb^).
1-g
Sn
Ь1~Ьп<1
или
6.	Предел последовательности.
Число а называется пределом последовательности (ал),
если для любого положительного числа е можно указать
такой номер 2V, что для всякого натурального числа п > N
выполняется неравенство | ап - а | < е.
Последовательность называется сходящейся, если она
имеет предел. Обозначение: а = liman .
п—* оо
177
Если последовательность имеет предел, то он единстве-
нен.
Если последовательность имеет предел, то она ограни-
чена.
Если последовательности (ал) и (Ьп) имеют пределы, то
существуют пределы последовательностей (ап + &л), (ап • Ьп)
и пРичем
lim (а „ + b „ ) = lim а „ + lim Ь „,
х **	fl z	п
п-*- оо	n—f оо	n—f оо
lim(an-&„ )= lima„ -Ит6л,
пш — = ——— •
п-*- оо bn lim bn
(утверждение для частного верно в случае, если Ъп Ф 0 при
любом п е N и lim Ъп Ф 0).
Теорема о сходимости монотонной и ограниченной
последовательности: всякая возрастающая и ограничен-
ная сверху последовательность имеет предел; всякая убы-
вающая и ограниченная снизу последовательность имеет
предел.
7* Бесконечная геометрическая прогрессия.
Если (6Л) — бесконечная убывающая геометрическая
прогрессия (|g| < 1), то сумма ее вычисляется по формуле
s=
1-д
Пример 1. Найдите наибольший член последователь-
ности ап = 119п - Зп2.
Решение. Функция f (х) = 119х - Зх2 достигает наи-
-	119 1П5 „
большего значения в точке х0 = ——- = 19—. Ближайшее це-
6 о
лое значение п = 20, значит, а20 — наибольший член по-
следовательности, а20 = 1180.
Пример 2. Последовательность (ал) задана формулой
5п + 3
n-го члена: ап = —---, п е N.
п 10п-9
Найдите все такие и, что
Решение.
любого п е 2V,
5га + 3 -1 <0,1;
10/1-9 2	’ ’
15	1
то --------< —,
2(10п-9)	10’	15
образом, условию удовлетворяют все натуральные числа
так как 10п - 9 > 0 для
10п-9
> 5, п > 8,4. Таким
178
Пример 3. Докажите, что Зл - 2п > n, и е 2V.
Доказательство. При п = 1 утверждение верно.
Пусть при п ~ k утверждение справедливо, т. е. 3* - 2k > k.
Докажем его справедливость для п — k + 1. Имеем:
3* + 1 - 2А + 1 = 3 (3*) - 2А + 1 > 3 (2* + ft) - 2* + 1 =
= 3 • 2k + 3k - 2 • 2k = Зй + 2* > k + 1.
Таким образом, на основании принципа математиче-
ской индукции утверждение доказано для любого натураль-
ного п.
Пример 4. Могут ли числа V2, -/З, V5 быть членами
одной арифметической прогрессии?
Решение. Если V2, 7з, V5 являются членами арифме-
тической прогрессии, то 4§-4%=dn и V5-V3 = d?n, где
~—Д = —, 4Ъ(т - и) = т4~2 - п43.
4Ь-43 т’ '	'
т е TV, n с Тогда
5(т-п)2 =2т2 + 3п2 -2тп4б, откуда следует, что 4& —
рациональное число. Получим противоречие. Следователь-
но, числа V2; 43; 4§ не могут быть членами одной арифме-
тической прогрессии.
Упражнения
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
12.1. Напишите первые шесть членов последовательности
(пл), заданной формулой n-го члена:
п2 - 9 ч 2"+1
ч (-1)" г) а =-	—; 7	"	9п-10	7	"	п ’	7 **л ю-п2 (-1)п+1(п + 1) д) а. =	;
е) ап = 2Л + (-2)л; з) ап =2"2;	ж) an = (-l)n + (-l)n + 1; 22П	2п2 и) а„ = —5—;	к) а_ =	; 7 п 22п	п 22П
л) ап = п(-1)";	м) ап =	|( 1)" га3 . £
12.2.	Напишите первые шесть членов последовательности
(Ьп), заданной рекуррентно:
а)	Ьх = 9, Ь„ + 1 = 0,1&л+ 10;
б)	Ь1=-3, Ьл + 1 = 9-2&л;
в)	&г = 5, Ьл + 1 = (-!)"&„-8;
г)	= ЬЛ + 1 = М;
д)	&1 = &2 = 1, ъп + 2 = Ъп +! +
е)	&! = — 1, b2 = 1, Ъп + 2 = 36л + ] — 2Ьп;
ж)	&! = -10, &2 = 2, Ьп + 2 = | ъп I - 6Ъ„ + J.
179
12.3.	Напишите первые шесть членов последовательности:
а) четных натуральных чисел, не делящихся на 4;
б) нечетных натуральных чисел, делящихся на 3;
в)	натуральных чисел, которые при делении на 10
дают остаток 9;
г)	натуральных чисел, кратных 3 и 4;
д)	квадратов простых чисел;
е)	приближенных значений числа V5 с точностью
до (по недостатку).
Составьте, если это возможно, формулу n-го члена
для каждой из последовательностей.
12.4.	Подберите одну из возможных формул n-го члена
последовательности:
а) 4; 16; 36, 64; 100;	б) 1;	|; i; ...;
д) 2; -2; 2; -2; 2; ...;	е) 3; 1; 3; 1; 3; ...;
ч 1 2	3 4	5
Ж> — 2’ 3; "4; 5’ “в-;
1-7 2-8 3-9 4 10 5 11
3)	3^5’ 44J’ 57’ 6-8 ’ 7-9 ’’
и)	19; 32; 45; 58; 71; ...;
к)	99; 74; 49; 24; -1; ...; л) 1;	...;
м) 1 • 2; 3 -4; 5 -8; 7 • 16; 9 -32; ...;
н) 1; 2; 6; 24; 120; ...;	о) 6; 12; 24; 48; 96; ...;
п) 0; 5; 8; 17; 24; ...;	р) 1; 5; 19; 65; 211; ... .
12.5. Докажите, что последовательности, заданные следу-
ющими формулами, являются убывающими:
Ъп = -9п2 + 10п + 25;
_9"+1
“п 32п :
71 + 1
а) ап = 910 -25п; б)
д)	е)
12.6.
12.7.
Докажите, что последовательности, заданные следу-
ющими формулами, являются возрастающими:
а) ап — 9п - 10; б) Ъп — п2 + 2п - 3; в) сп =
г) dn = 3 • 2п- 1; д) ип = Зп-2п.
Докажите, что последовательности, заданные сле-
дующими формулами, не являются возрастающими
и не являются убывающими:
а> “-"Т71 • б) - 2+>>-
180
12.8.
12.9.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
12.16.
в) с„ = Зп2 - Пп + 1;
г) d„ = 3 + 12п-|п3.
Найдите наибольший член последовательности, за-
данной формулой n-го члена:
а) ап - 10 + 9п - 2п2; б) ап = 18п - п3;
В) ап = —п3 + 25п - 1; г)ап = -^— 
nz+4
Найдите наименьший член последовательности, за-
данной формулой n-го члена:
а) ап- п2 - 17п + 21; б) ап = (п - 1) (и - 3) (п - 5);
в) ап - п2 + —.
п
Докажите, что у последовательности (ага), заданной
л »	л + 1
формулой а п =--, не существует наименьшего члена.
Докажите, что у последовательности (Ь„), заданной
,	«, 2п	-
формулой Ьп=-----, не существует наибольшего члена.
71 + д
Является ли ограниченной последовательность, за-
данная формулой n-го члена:
а) 17 - 5и; б) 17п - 5;
Д) ; е) (-1)" п2; ж)
ЮООл-9’ 3> 154П ~nS|;
2511п2 +910
Докажите, что последовательность (ап), заданная
.	. Юп-4
формулой а= —------, ограничена снизу.
п2 + 6п
Проверьте, является ли число 1 верхней границей
для данной последовательности. Если является, то
можно ли найти меньшую верхнюю границу?
Последовательность (сп) задана формулой сп = 2Л.
Проверьте справедливость равенства сп + i + сп + 2 = 6сп.
Последовательность (un) задана формулой ип = 2п + Зп.
14 n + J 4“ Un + 2
Верно ли равенство-----------ип = 3“ ?
Последовательность (ал) задана рекуррентно:
ах = 0, а2п = а2п _ i + k; а2п + 1 = ka2n, где k — действи-
тельное число (fe ф 0; k Ф 1). Найдите: а) а6; б) а9.
„	йп+1-Л
Докажите, что а2 = —-—-—.
181
12.17.	Последовательность (ал) задана формулой ап = (-1)" + Ч
Последовательность (Ьп) задана формулой Ьл = aj +
+ а2 + ... + ап. Выразите n-й член последовательно-
сти Ъп через п.
12.18.	Последовательности (ап) и (Ьп) заданы формулами
Зп +1	4 -и-	-
ап = —------, Ьп = —. Докажите, что для любого
п/ + 3п + 5 п
п g N имеет место неравенство ап < Ьп.
12.19.	Последовательности (ап) и (&л) заданы формулами
4п2 + 1
ап = + 2 > Ьп = 2п. Докажите, что любой член по-
следовательности (ал) не превосходит члена после-
довательности (Ьп) с соответствующим номером.
12.20.	Последовательности (ап) и (&л) заданы формулами
5n + 4	_ 5п + 11
ап = и Ьп= п + 2 . Докажите, что:
а)	последовательность (ал) — возрастающая;
б)	последовательность (&л) — убывающая;
в)	для любого п g N ап < Ьп. Существует ли такое
число с, что для любого п е N ап < с < Ьп? Если су-
ществует, то докажите, что это число единственное.
12.21.	Последовательность (ил) задана формулой ип = 2п2 -
- 11п + 442. Является ли членом этой последователь-
ности число: а) 463; б) 876? Если является, то ука-
жите номер этого члена.
12.22.	Последовательность (уп) задана формулой 1/л = п3 +
+ и2 - 9п + 383. Является ли членом этой последо-
вательности число 1112? Если является, то укажите
номер этого члена.
12.23.	Найдите все члены последовательности (ал), задан-
ной формулой ап = и2 - Зп, для которых выполняет-
ся неравенство ап < 3.
12.24.	Укажите номера тех членов последовательности
/ \	«	2п + 3
(хл), заданной формулой хп =----—z-, которые не
12-п-п2
превосходят -0,5.
12.25.	Для каких членов последовательности (г/л), задан-
ной формулой уп - | п2 - 2п - 3 |, не выполняется
условие уп > 2?
12.26.	Сколько членов последовательности (ил), заданной
формулой ип = 116 - Зп |, принадлежит множеству
значений функции у = -2х2 + Зх + 7?
12.27.	Существуют ли члены последовательности (хл), за-
данной формулой хл = 78 - 15п, принадлежащие
182
области определения функции у — 7144-х2 + х ?
X — о
Если существуют, то укажите их.
12.28.	Последовательность (хп) задана формулой хп —
(-1)л+9 п
= ——---—. Сколько членов последовательности при-
надлежит промежутку (0,02; 0,22)?
12.29.	Докажите, что ни один из членов последовательно-
сти (ап), заданной формулой ап = 6п + 5, при деле-
нии на 18 не может дать в остатке 10.
12.30.	Существуют ли члены последовательности (Ьп), за-
данной формулой Ьп = 8п - 6, которые при делении
на 12 дают в остатке 3?
12.31.	Существуют ли члены последовательности (сп), за-
данной формулой сп = и3 - п + 2, которые при деле-
нии на 6 дают в остатке 4?
4tz — 1
12.32.	Последовательность (хп) задана формулой хп = --
оП 4-Л
Укажите наименьший из номеров членов последова-
тельности, для которых выполняется неравенство:
а)
хп~ъ <0,1; б) X
о
<0,01.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
12.33.	Докажите, что сумма первых п чисел натурального
п(п + 1)
ряда равна —~—.
12.34.	Докажите, что сумма первых п чисел вида ап = Зп - 2
п(Зп-1)
равна------------.
12.35.	Докажите, что сумма квадратов п первых натураль-
п(п + 1)(2п + 1)
ных чисел равна------------.
6
12.36.	Докажите, что сумма кубов п первых натуральных
п2 (п + 1)2
чисел равна--------.
4
Докажите, что при любом neN выполняется равенство
(37—51):
12.37.	(аг + а2 + ... + ап)2 = а* + а2 + ... + ап2 + 2ага2 +
+ 20^3 + ... + 2an_ian.
12.38.	1 • 3 + 2 • 5 + ... + п (2п + 1) =	+ 5).
12.39.	2 • 2 + 3 • 5 + ... + (n + 1) (Зп - 1) = ”(2”2+5п + 1\
183
12.40.	5 + 9 • 5 + 13 • 52 + ... + (4n + 1) 5""1 = n5".
12.41.	4 • 2 + 7 • 23 + 10 • 25 + ... + (Зп + 1) • г2"-1 = n22n + 1.
12.42.
12.43.
12.44.
1 + 6 + 20 + ... + (2п - 1) 2"- 1 = 3 + 2" (2п - 3).
fl—iVl—f 1 _ 4 1— п+^
fi_^Yi_iYifi 4 l-1+2n
f 1 JI1 9 Jc 25;*” I (2n-l)2 I l-2n
12.45.	——+—-—+ ... +-----=------
5-12 12-19	(7n-2)(7n + 5)	5(7n + 5)
1 о 40	1 + 1 +	+______1______= ra<4n + 5)
'	1-5 3-7	(2n-l)(2n + 3) 3(2n + l)(2n+3)
12.47.	... +-----------—— -------= — ------
1-3 3-5	(2n-l)(2n + l) (2n + l)
12 48 14 + 2'5 .	n(ji + 3) = n(n + l)
2-3 3-4	(n + l)(n + 2)	n + 2
7 13	6n-5 2-3"-3n-2
 — — 4~ • • • -
3 9	3"-1
1.2
12.49.
12.50.
3n-i
n
12.51.
n(n+l)
2(2n + l)2
2"+1
12.32 32.52	(2n-l)2 (2n + l)2
1 • 21 2 • 22 3 • 23 n2n
3! + 4! + 5! + *” + (n + 2)!~	(n + 2)I
Методом математической индукции докажите, что при п е N:
12.52.	п3 + 5п кратно 6.
12.53.	п3 + 9п2 + 26п + 24 кратно 6.
12.54.	72" — 1 кратно 24.
12.55.	13" + 5 кратно 6.
12.56.	15" + 6 кратно 7.
12.57.	9" + 3 кратно 4.
12.58.	7" + 9 кратно 8, если п — нечетное.
12.59.	3" + 7 кратно 8, если п — четное.
12.60.	7" + Зп - 1 кратно 9.
12.61.	7" + 12п + 17 кратно 18.
12.62.	6" + 20п + 24 кратно 25.
12.63.	5" + 2 • 3" + 5 кратно 8.
12.64.	5" - 3" + 2п кратно 4.
12.65.	5 • 23"-2 + З3"’1 кратно 19.
12.66.	4" - 3" - 7 кратно 84, если п — четное.
12.67.	Докажите, что если 0 < а < Ь, то а" < i>" (п е N).
184
Докажите неравенство (68—72):
12.68.	4" > 7п - 5, если п е N.
12.69.	2п > 5n + 1, если п е N, п > 5.
12.70.	З”-1 > 2п2 - п, если n е N, п > 5.
12.71.	3” - 2” > п, если п е N.
12.72.	4я > п2 + 3”, если п е N.
12.73.	Последовательность (ап) задана рекуррентно: аг = 3,
ап + j = 7ап + 3. Докажите, что ап - 0,5 (7" - 1).
12.74.	Последовательность (Ь„) задана рекуррентно: = 4,
Ьп + 1 — ЗЬп - 2. Выразите Ьп через п.
12.75.	Последовательность (сп) задана рекуррентно: ct - 6,
сп + j = 2сп - Зп + 2. Докажите, что сп = 2п + Зп + 1.
12.76.	Последовательность (dn) задана рекуррентно: dj = 7,
d2 - 27, dn + 2 = 6dn +1 - 5dn. Найдите dn.
12.77.	Последовательность (ип) задана рекуррентно: щ — 4,
un + i = Зип - 2. Докажите, что все члены последова-
тельности с нечетными номерами делятся на 4.
12.78.	Последовательность (ип) задана рекуррентно: иг = 3,
и2 = 15, ип + 2 = 5ип + j - 4ип. Докажите, что:
а) все члены последовательности кратны 3;
б)	все члены последовательности с четными номе-
рами кратны 15.
12.79.	Последовательность (и„) задана рекуррентно: щ = 1,
и„ + 1 = и„ + 8п. Докажите, что любой член последо-
вательности является квадратом целого числа.
12.80.	Докажите, что п различных прямых, лежащих в
одной плоскости и имеющих общую точку, делят
плоскость на 2п частей.
12.81.	В плоскости проведено п различных прямых, из ко-
торых никакие две не параллельны и никакие три
не проходят через одну точку. Докажите, что эти
п(п + 1)
прямые разбивают плоскость на —-------1-1 частей.
12.82.	В плоскости проведено п различных окружностей
так, что каждые две из них пересекаются в двух
точках и никакие три из них не имеют общей точ-
ки. Докажите, что окружности разбивают плос-
кость на п2 - п + 2 частей.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
12.83.	Сумма второго, четвертого и шестого членов ариф-
метической прогрессии равна 18, а их произведение
равно -168. Найдите первый член и разность про-
грессии.
185
12.84.	В арифметической прогрессии 10 членов. Сумма членов с четными номерами равна 25, а сумма чле- нов с нечетными номерами равна 10. Найдите седь- мой член прогрессии.
12.85.	При каком значении разности арифметической прогрессии, седьмой член которой равен 3, произ- ведение четвертого и девятого членов будет наиболь- шим?
12.86.	В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наи- меньшей?
12.87.	Сумма первых п членов некоторой последователь- ности определяется по формуле: a) S„ = Зп2 - л; 2 б) Sn =	Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?
12.88.	Числа аЛ, az, ат являются членами арифметической прогрессии. Докажите, что 3 (a2 + а? + а2т ) = = (ак + at + ат)2 + 6 (ак а^2, если 1 = 2 •
12.89.	Тринадцатый член арифметической прогрессии ра- вен 5. Найдите сумму первых 25 ее членов.
12.90.	В арифметической прогрессии сумма четвертого, восьмого, девятнадцатого и двадцать третьего чле- нов равна 30. Найдите сумму 26 первых членов прогрессии.
12.91.	Между числами -13,5 и -3,7 вставлено семь чисел так, что они вместе с данными составляют арифме- тическую прогрессию. Принадлежит ли разность этой прогрессии множеству значений функции у = 1 + х - X2?
12.92.	Между числами -19,88 и 19,91 вставлено л чисел так, что они вместе с данными составляют арифме- тическую прогрессию. При каком значении л раз- ность этой прогрессии принадлежит области опре- деления функции у = ^7\х\-х2 -12?
12.93.	Найдите арифметическую прогрессию, в которой среднее арифметическое л первых ее членов рав- но 2л.
12.94.	В арифметической прогрессии сумма восьми пер- вых членов равна 32, а сумма двадцати первых членов равна 200. Найдите сумму первых 28 чле- нов прогрессии.
186
12.95.	Сумма первых пятнадцати членов арифметической
прогрессии равна 20, а сумма первых ее двадцати
членов равна 15. Найдите сумму первых 35 членов
прогрессии.
12.96.	Сумма первых семнадцати членов арифметической
прогрессии равна 85, а сумма первых ее двадцати
одного члена равна 189. Сколько положительных
трехзначных чисел содержится в этой прогрессии?
12.97.	Даны две арифметические прогрессии. В первой из
них сумма второго и пятого членов на 15 меньше
суммы третьего и седьмого членов, а сумма первых
тридцати членов равна 2385. Во второй прогрессии
первый член равен 2, а разность равна 3. Найдите
сумму первых сорока чисел, встречающихся в обе-
их прогрессиях.
12.98.	В арифметической прогрессии 3; 6; 9; ... содержит-
ся 463 члена, в арифметической прогрессии 2; 6;
10; ... содержится 351 член. Сколько одинаковых
членов содержится в этих прогрессиях?
12.99.	Сколько членов арифметической прогрессии нуж-
но взять, чтобы их сумма равнялась -122,5, если
первый член прогрессии — наименьшее целое чис-
ло, удовлетворяющее неравенству 2х2 + 21х -
- 50 < 0, а разность прогрессии — большее из чи-
сел 0,5 и ——=?
V2+7102-2072
12.100.	Известно, что Хх и х2 — корни уравнения х2 - 7х +
+ а = 0, х3 и х4 — корни уравнения х2 - 19х + b = 0,
причем числа х15 х2, х3, х4 составляют в указанном
порядке арифметическую прогрессию. Найдите а и &.
12.101.	В арифметической прогрессии Sn = Sm(n* тп). До-
кажите, что Sn + m - 0.
12.102.	Могут ли числа: а) 3; 77; 9; б) 4~2; 73; 75 быть
членами одной арифметической прогрессии?
12.103.	Может ли в арифметической прогрессии, все члены
которой являются натуральными числами, содер-
жаться ровно 1992 члена, являющихся квадратами
целых чисел?
12.104.	Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день ее
рождения, начиная с пяти лет, столько книг,
сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей состав-
ляют арифметическую прогрессию, разность кото-
рой равна 2. Сколько лет было каждой дочери, ко-
гда у них составилась библиотека общей численно-
стью в 495 книг?
187
12.105.	Шары одинакового радиуса расположили один раз
в форме правильного треугольника, а другой —
в форме прямоугольника. Найдите количество ша-
ров, если известно, что и на стороне треугольника,
и на большей стороне прямоугольника располага-
ется на два шара больше, чем на меньшей стороне
прямоугольника.
12.106.	Для асфальтирования участка длиной 99 м исполь-
зуются два катка. Первый каток был установлен в
одном конце участка, второй — в противополож-
ном. Работать они начали одновременно. За первую
минуту второй каток прошел 1,5 м, а за каждую
последующую — на 0,5 м больше, чем за предшест-
вующую. Первый каток в каждую минуту прохо-
дил 5 м. Через сколько минут оба катка встрети-
лись?
12.107.	Сумма членов арифметической прогрессии и ее
первый член положительны. Если увеличить раз-
ность этой прогрессии на 4, не меняя первого чле-
на, то сумма ее членов увеличится в 3 раза. Если
же первый член исходной прогрессии увеличить в
5 раз, не меняя ее разности, то сумма членов уве-
личится также в 3 раза. Найдите разность исход-
ной прогрессии.
12.108.	Найдите четыре целых числа, составляющих воз-
растающую арифметическую прогрессию, в кото-
рой наибольший член равен сумме квадратов осталь-
ных членов.
12.109.	Сумма первых четырех членов арифметической
прогрессии в 5 раз меньше суммы следующих вось-
ми членов. Найдите отношение суммы первых
восьми членов прогрессии к сумме ее первых четы-
рех членов.
12.110.	В арифметической прогрессии, разность которой
отлична от нуля, сумма первых Зп членов равна
сумме следующих п членов. Найдите отношение
суммы первых 2п членов к сумме следующих 2п
членов.
12.111.	В арифметической прогрессии отношение суммы
первых семи членов к сумме последних семи чле-
нов равно -0,2, а отношение суммы всех членов без
первых двух к сумме всех членов без последних
двух равно 3. Найдите число членов арифметиче-
ской прогрессии.
12.112.	В треугольнике АВС из вершины В проведены вы-
сота BD и биссектриса BE. Величины углов ВЕС,
188
ABD, ABE и CAB в указанном порядке образуют
арифметическую прогрессию. Найдите длину высо-
ты треугольника, проведенной из вершины А, если
известно, что АС = 1 см.
12.113.	В трапеции ABCD (AD — основание) проведены
диагонали АС и BD, которые пересекаются в точ-
ке О. Величины углов АОВ, АСВ, ACD, BDC и
ADB в указанном порядке образуют арифметиче-
скую прогрессию. Найдите длину основания AD
трапеции, если АС = 1 см.
12.114.	Докажите, что если стороны прямоугольного тре-
угольника составляют арифметическую прогрессию,
то ее разность равна радиусу вписанного круга.
12.115.	В сосуде имеется несколько одинаковых кранов,
которые открывают один за другим через равные
промежутки времени. Через 8 ч после того, как
был включен последний кран, сосуд был заполнен.
Время, в течение которого были открыты первый
и последний краны, относится как 5:1. Через
сколько времени заполнится сосуд, если открыть
все краны одновременно?
12.116.	Докажите, что если корни уравнения х4 + рх2 +
+ q = 0 образуют арифметическую прогрессию, то
9р2 = 100 q.
12.117.	Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение х8 + ах4 + 1 = 0 имеет ровно четыре дей-
ствительных корня, образующих арифметическую
прогрессию.
12.118.	Докажите, что если (ап) — арифметическая про-
грессия, все члены которой положительны, а раз-
ность отлична от нуля, то имеют место неравенства:
- 1 <	- 2 < ....
12.119.	В однокруговом баскетбольном турнире участвова-
ло п команд. После окончания турнира оказалось,
что очки, набранные командами, образуют арифме-
тическую прогрессию. Сколько очков набрала
команда, занявшая последнее место, если за победу
в каждой встрече команда получала 2 очка, за по-
ражение очки не начислялись, а ничьих в баскет-
боле нет?
12.120.	Бригада рабочих могла выполнить всю работу за
24 ч, если бы работали одновременно все рабочие.
Однако по плану в первый час работал один рабо-
чий, во второй час — два рабочих, в третий — три
и т. д. до тех пор, пока в работу не включились все
189
рабочие. И только несколько часов перед заверше-
нием работы работала вся бригада. Время работы,
предусмотренное планом, было бы сокращено на
6 ч, если бы с самого начала работы работала вся
бригада, за исключением пяти рабочих. Найдите
количество рабочих.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
12.121.	Сумма первых трех членов геометрической про-
грессии равна 357, а третий член прогрессии на
255 больше первого. Найдите разность между пер-
вым и вторым членами прогрессии.
12.122.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую
прогрессию, равна 3, а сумма их квадратов равна
21. Найдите эти числа.
12.123.	Верно ли, что----=------, если известно, что а, Ь
а с
и с — три последовательных члена геометрической
прогрессии?
12.124.	В геометрической прогрессии первый член поло-
жителен. При каком значении знаменателя про-
грессии сумма первых трех ее членов принимает
наименьшее значение?
12.125.	Седьмой член геометрической прогрессии равен 2.
Найдите произведение первых тринадцати ее членов.
12.126.	В последовательности с четным числом членов сум-
ма членов, стоящих на четных местах, в 3 раза боль-
ше суммы членов, стоящих на нечетных местах.
Верно ли, что данная последовательность является
геометрической прогрессией?
12.127.	Сумма первых п членов некоторой последователь-
5П
ности определяется по формуле: a) S„ = ———;
Л + о
б)	Sn — 2 • 5" - 3. Является ли эта последователь-
ность геометрической прогрессией?
12.128.	Найдите сумму членов геометрической прогрессии с
пятнадцатого по двадцать первый включительно, ес-
ли сумма первых семи членов прогрессии равна 14,
а сумма первых четырнадцати ее членов равна 18.
12.129.	В геометрической прогрессии с четным числом чле-
нов сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы
членов, стоящих на нечетных местах. Найдите зна-
менатель прогрессии.
12.130.	Числа а2, а2, а4 составляют геометрическую
прогрессию. Найдите произведение аг • а2 • а3 • а4,
190
если известно, что а14-а2 + а3 + а4 = 15 и-1--F
О>2
+—+— = 1,875.
а3 а4
12.131.	Известно, что хг и х2 — корни уравнения х2 - Зх +
+ а = 0, х3 и х4 — корни уравнения х2 - 12х +
+ 6 = 0, причем числа х1? х2, х3, х4 составляют в
указанном порядке геометрическую прогрессию.
Найдите а и Ь.
12.132.	Известно, что хг и х2 — корни уравнения х2 + ах +
+ 4 = 0, х3 и х4 — корни уравнения х2 + Ьх + 16 = 0,
причем числа хп х2, х3, х4 составляют в указанном
порядке геометрическую прогрессию. Найдите а и Ь.
12.133.	Найдите число членов геометрической прогрессии,
у которой отношение суммы первых 11 членов к
сумме последних 11 членов равно 0,125, а отноше-
ние суммы всех членов без первых девяти к сумме
всех членов без последних девяти равно 2.
12.134.	Докажите, что сумма первого, четвертого и седьмо-
го членов геометрической прогрессии не больше,
чем -1,5, если первый член прогрессии — мень-
ший корень уравнения х4 + 16 = 8х2 + Зл/4-х2 .
12.135.	Могут ли длины сторон прямоугольного треуголь-
ника образовывать геометрическую прогрессию?
12.136.	Длины трех отрезков составляют геометрическую
прогрессию. При каких значениях знаменателя про-
грессии из этих отрезков можно составить тре-
угольник?
12.137.	В острый угол вписаны и кругов, касающихся один
другого. Докажите, что радиусы этих кругов обра-
зуют геометрическую прогрессию. Укажите зави-
симость между знаменателем прогрессии и величи-
ной острого угла.
12.138.	В квадрат со стороной 1 вписан квадрат наимень-
шей площади. В полученный квадрат вписан квад-
рат наименьшей площади и т. д. Всего построено
таким образом п квадратов. Найдите сумму площа-
дей всех построенных квадратов.
12.139.	Трое рабочих обрабатывали одинаковые детали.
К концу месяца оказалось, что количество деталей,
обработанных первым, вторым и третьим рабочи-
ми, образуют геометрическую прогрессию. Месяч-
ный заработок каждого рабочего складывался из
части, пропорциональной количеству обработан-
ных деталей, и премии. У первого рабочего он со-
191
ставил 150 р., у второго — 180 р., у третьего —
250 р. Определите размеры премий, если известно,
что у первого и второго рабочих они одинаковы, а у
третьего — в полтора раза больше.
12.140.	Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопе-
ечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 ка-
рандаша, Миша — блокнот и 6 карандашей, Вася —
блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, ко-
торые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют гео-
метрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?
12.141.	Три брата, возрасты которых образуют геометриче-
скую прогрессию, делят между собой некоторую
сумму денег пропорционально своему возрасту. Ес-
ли бы они это проделали через три года, когда са-
мый младший окажется вдвое моложе самого стар-
шего, то младший получил бы на 105 р., а сред-
ний — на 15 р. больше, чем сейчас. Сколько лет
каждому из братьев?
12.142.	В трех растворах проценты содержания (по массе)
спирта образуют геометрическую прогрессию. Если
смешать первый, второй и третий растворы в весо-
вом отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор, со-
держащий 32% спирта. Если же смешать их в ве-
совом отношении 3:2:1, то получится раствор,
содержащий 22% спирта. Сколько процентов спир-
та содержит каждый раствор?
12.143.	Три конькобежца, скорости которых в некотором
порядке образуют геометрическую прогрессию, од-
новременно стартуют (из одного места) по кругу.
Через некоторое время второй конькобежец обго-
няет первого, пробежав на 400 м больше его. Тре-
тий конькобежец пробегает то расстояние, которое
пробежал первый к моменту обгона его вторым, за
2
время на — мин больше, чем первый. Найдите ско-
О
рость первого конькобежца.
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ
НА АРИФМЕТИЧЕСКУЮ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИИ
12.144.	Верно ли, что три числа, взятые в одном и том же
порядке и составляющие арифметическую и гео-
метрическую прогрессии одновременно, равны
между собой?
12.145.	Восьмой член арифметической прогрессии с нену-
левой разностью равен 60. Известно, что первый,
192
седьмой и двадцать пятый члены составляют гео-
метрическую прогрессию. Найдите знаменатель
геометрической прогрессии.
12.146.	Даны арифметическая и геометрическая прогрес-
сии. В арифметической прогрессии первый член
равен 3, разность равна 3. В геометрической про-
грессии первый член равен 5, знаменатель равен
V2. Выясните, что больше: сумма первых семи чле-
нов арифметической прогрессии или сумма первых
шести членов геометрической прогрессии.
12.147.	Три различных числа а, Ъ и с образуют в указан-
ном порядке геометрическую прогрессию. Числа
а + &, b + с и с + а образуют в указанном порядке
арифметическую прогрессию. Найдите знамена-
тель геометрической прогрессии.
12.148.	Между числом 3 и неизвестным числом вставлено
еще одно число так, что все три числа образуют
возрастающую арифметическую прогрессию. Если
средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то
получится геометрическая прогрессия. Найдите не-
известное число.
12.149.	Сумма первых тринадцати членов арифметической
прогрессии равна 130. Известно, что четвертый, де-
сятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в
указанном порядке, представляют собой три после-
довательных члена геометрической прогрессии.
Найдите первый член арифметической прогрессии.
12.150.	Сумма первых пяти членов геометрической про-
грессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой,
одиннадцатый члены этой прогрессии являются со-
ответственно первым, вторым и десятым членами
арифметической прогрессии. Найдите первый член
геометрической прогрессии.
12.151.	Сумма трех чисел, составляющих арифметическую
прогрессию, равна 15. Если к этим числам приба-
вить соответственно 1, 1 и 9, то получатся три чис-
ла, составляющих геометрическую прогрессию.
Найдите исходные три числа.
12.152.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую
прогрессию, равна 14. Если от первого числа отнять
15, а второе и третье увеличить соответственно на
11 и 5, то полученные три числа составят арифмети-
ческую прогрессию. Найдите исходные три числа.
12.153.	В арифметической прогрессии, содержащей девять
членов, первый член равен 1, а сумма всех членов
равна 369. Геометрическая прогрессия также име-
193
ет девять членов, причем первый и последний ее
члены совпадают с соответствующими членами
данной арифметической прогрессии. Найдите пя-
тый член геометрической прогрессии.
12.154.	Найдите четыре числа, из которых первые три со-
ставляют геометрическую прогрессию, а последние
три составляют арифметическую прогрессию, при-
чем сумма крайних чисел равна 32, а сумма сред-
них чисел равна 24.
12.155.	Цифры трехзначного числа составляют геометриче-
скую прогрессию. Если из данного числа вычесть 297,
то получится число, написанное теми же цифрами, но
в обратном порядке. Если же к цифрам данного чис-
ла, начиная с разряда сотен, прибавлять соответст-
венно 8, 5 и 1, то полученные суммы составят ариф-
метическую прогрессию. Найдите исходное число.
12.156.	Сумма первых десяти членов арифметической про-
грессии равна 155, а сумма первых двух членов
геометрической прогрессии равна 9. Найдите эти
прогрессии, если первый член арифметической про-
грессии равен знаменателю геометрической про-
грессии, а первый член геометрической прогрессии
равен разности арифметической прогрессии.
12.157.	Три отличных от нуля числа образуют арифметиче-
скую прогрессию, а квадраты этих чисел образуют
геометрическую прогрессию. Найдите все возмож-
ные знаменатели последней прогрессии.
12.158.	Даны две геометрические прогрессии с положитель-
ными членами ах, а2, а3 и Ьх, Ь2, Ь3. Известно, что
числа агЬ19 а2Ъ29 а3Ь3 образуют арифметическую
прогрессию и аг + а2 + а3 = Ьг + Ь2 + Ь3. Докажите,
что ах +	= а3 + Ь3.
12.159.	Даны две арифметические прогрессии а19 а29 а3 и Ь19
Ь29 Ь3. Известно, что аг + а2 + а3 = Ъх + Ъ2 + Ъ39 а чис-
ла 4- Ь19 а2 + Ь29 а3 + Ь3 образуют геометрическую
прогрессию. Докажите, что ах = Ъ39 а2 = Ъ29 а3 = Ьх.
12.160.	Первый член возрастающей арифметической про-
грессии равен 0,2. Найдите разность прогрессии,
если известно, что при делении каждого ее члена
на номер этого члена получается геометрическая
прогрессия и число членов прогрессии больше трех.
12.161.	Найдите трехзначное положительное число, если
его цифры образуют геометрическую прогрессию со
знаменателем, отличным от единицы, а цифры чис-
ла, меньшего на 200, образуют арифметическую
прогрессию.
194
12.162.	Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказа-
лось, что количества рыб, пойманных каждым из
них, образуют в указанном порядке арифметиче-
скую прогрессию. Если бы Алик поймал столько
же рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12
рыб больше, то количества рыб, пойманных юно-
шами, образовывали бы в том же порядке геомет-
рическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?
СУММИРОВАНИЕ
12.163.	Вычислите: 1- 2 + 3 - 4 + 5-6 + ... 999 999-
- 1 000 000.
12.164.	Найдите сумму всех натуральных чисел, не превос-
ходящих 165, которые при делении на 7 дают в
остатке 5.
12.165.	Найдите сумму всех четных трехзначных натураль-
ных чисел, делящихся на 7.
12.166.	Вычислите сумму всех натуральных чисел, не пре-
восходящих 1112 и не делящихся на 15.
12.167.	Среди чисел вида Зп + 1, где п найдите сумму
первых тридцати, которые при делении на 5 дают в
остатке 2.
5n I 2
12.168.	Среди чисел вида —-—, где n е найдите сумму
первых семидесяти целых чисел.
12.169.	Найдите сумму: 22 - 42 + 62 - 82 + ... + (4* - 2)2 -
- (4fe)2.
12.170.	Найдите сумму S = аг2 - а2 + а32 - а42 + ... + a22k-1 ~
— a22k> где последовательность (аЛ) — арифметиче-
ская прогрессия.
12.171.	Докажите, что для арифметической прогрессии (art)
имеет место равенство:
”7=	7=	~г=-/= -г ... -г -)	—-== — —==--^=,
Найдите сумму (172—175):
12.172.	I2 + 22 +	З2 + ... + п2.
12.173.	I2 + З2 +	52 + ... + (2n - I)2.
12.174.	1 • 2 + 2	• 3 + 3 • 4 + ... +	п	(п +	1).
12.175.	1 • 2 + 2	• 5 + 3 • 8 + ... +	п	(Зп	- 1).
12.176.	Найдите сумму первых п членов последовательно-
сти, заданной формулой fe-ro члена ak = 3fe2 + 3fe + 1.
12.177.	Найдите сумму всех попарных произведений чисел
1, 2, 3, ..., k.
195
12.178.	Найдите сумму I3 + 23 + З3 + ... + п3.
12.179.	Найдите сумму первых п членов последовательно-
сти, заданной формулой fe-ro члена ак = k (k + l)2.
Найдите сумму (180—184):
12.180.	1 + 18 + 75 + ... + п (2п - I)2.
12.181.	1 + 12 + 45 + ... + п2 (2п - 1).
12.183.	-i-+	+--------А------.
Л * t 7 * 1^	( D ПТ— о ) ( О 771 Ч-)
12’184’ 5 • 11 + 11 • 17 + • • • + (6Л-1)(6А + 5)'
12.185.	Докажите, что если а2, ..., ап образуют арифме-
тическую прогрессию, причем Ф 0 (i = 1, ..., п), то
а2а3	an-l^n а1ап
Найдите сумму (186—187):
12’ 186‘ 1-2-3 + 2-3-4 + • • • + п(ге + 1)(п + 2)’
12‘187’ 2-5-8 + 5-8-11 +	+ (3*-1)(3* + 2)(3Л + 5)'
12.188.	Докажите, что если отличные от нуля числа а19 а2,
ап + 2 составляют арифметическую прогрессию с
ненулевой разностью d, то справедливо равенство
_J_+^_+...+__________1__= J_[^
ala2a3 а2аЗа4	anan + lan+2	\а1а2 ап + 1Лп+2 )
12.189.	Найдите сумму 1 • 1! Ч- 2 • 2! Ч- 3 • 3! Ч- ... Ч- А • &!.
12.190.	Найдите сумму +	+ + ... +(w"1)|-
12.191.	Найдите сумму первых п членов последовательно-
_£2 _ £	1
сти, заданной формулой fe-ro члена а, - ———т—•
« К(К + 1)
12.192.	Найдите сумму первых k членов последовательно-
„	„	2л+1
сти, заданной формулой n-го члена ап = —------
п2(п + 1)2
12.193.	Найдите сумму всех несократимых дробей со зна-
менателем 5, заключенных между натуральными
числами k и п, если k < п,
12.194.	Найдите сумму первых тп членов последовательно-
сти, заданной формулой n-го члена ал = 2(п +
+ 3" г) - 3.
196
12.195.	Найдите сумму первых k членов последовательно-
сти, заданной формулой n-го члена ап - 15 - 4п - —
5Л
12.196.	Найдите сумму 1 + 2 • 2 + 3 • 22 + 4 • 22 + ... + 50 • 249.
12.197.	Найдите сумму 5 + 55 + 555 + ... + 55...5
12.198.	Найдите сумму	л пятеР°к
(	1У	(	1 у	г	1 у
S= а+- + а2+-V +...+ ал +— .
k	а?	<	а2 )	I	ап J
12.199.	Найдите сумму S = а + 2а2 + За3 + ... + пап.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
12.200.	Известно, что последовательность (ап) сходится,
а) Найдите lim (ап + j - а„);
л—°°	а_+1
б)	Верно ли, что lim----= 1?
п—> оо ап
12.201.	Известно, что lim(an -bn ) = 0. Верно ли, что
lima = lim b ?
п	п
П~><х	n-t-oo
12.202.	Известно, что lim = 1. Верно ли, что lima„ = lim bn?
n—> оо un	n—>oo	n—► oo
12.203.	Известно, что каждый член сходящейся последова-
тельности (ал) положителен. Может ли быть отри-
цателен предел последовательности?
12.204.	Приведите пример последовательности (ал), сходя-
щейся к нулю, все члены которой положительны.
12.205.	Объясните, почему последовательность с общим
членом ап = (-1)" не имеет предела.
12.206.	Последовательность (ал) сходится, последователь-
ность (Ъп) расходится. Что можно утверждать о схо-
димости последовательности (ап 4- Ьл)?
12.207.	Может ли последовательность (ап -I- Ьп) иметь пре-
дел, если каждая из последовательностей (ал) и (Ьл)
расходится?
12.208.	Имеет ли предел последовательность:
а) 1; 2; 3; ...; п; ...; б) I2; 22, З2, ...; п2; ...?
12.209.	Чему равен предел последовательности:
а) 1; 2; 3; 4; 4; 4; ...; б) 1; 2; 3; 5; 5; 5; ...?
12.210.	Известно, что последовательность (ал) имеет пре-
дел, равный а. Чему равны пределы последователь-
ностей, получающихся из данной путем отбрасыва-
ния: а) одного, б) шестидесяти семи, в) тысячи
первых ее членов?
197
12.211.	а) Чему равны пределы последовательностей
(П f И ((-1)п L
I п/ ( n J
б)	Объясните, почему если lim ап = 0, то и
lim(-art ) = lim (-1)п ап =0.
п—► оо	п—> оо
12.212.	Докажите, что если liman =0, то и limlan| = 0.
п-»оо	П—► оо
12.213.	Известно, что lim|an| = 0. Верно ли, что lim ап =0?
п—► оо	п—>оо
12.214.	Известно, что lim ап = а. Верно ли, что lim |a„ | = | а |?
п—► ОО	п—> оо
12.215.	Известно, что lim |an | = д. Можно ли сделать какой-
либо вывод о пределе последовательности (ап)?
12.216.	Могут ли какие-нибудь члены сходящейся после-
довательности быть равными пределу этой последо-
вательности?
12.217.	Может ли последовательность (an) быть расходя-
щейся, если известно, что последовательность (an2)
сходится?
Вычислите предел (218—222):
12.218.	а)
.. 7п + 1
hm -----------
оо 3 п — 2
в)
12.219.	а)
в)
12.220.	а)
в)
lim —;
П^оо +1
4п2+Зп + 1
lim------------;
оо 2 712 — 1
.. fl 5п + 1
lim — + ---- I;
п—оо и Зп + 2 )
(Зга2 + 1 6га3 1
Л’Д 2га+1 4га2 -1/
(га + 2)3-(га-1)3
11ГП —-----7V7-7^— J
П—► оо (2п + 1)(п + 1)
б)
г)
б)
г)
б)
г)
lim
п—* оо
lim
П—► ОО
( а\П
-63
2n + 3
п2 +5n + 2*
(2n + l)(3ra —1)
(га + 2)(4га-1) ’
(2га-1 5 'I
11т	-----2 Г
оо <5П п J
(п + 1 П2
lim —-— -------- I;
п-юо 2 2n + l J
(га + 1)3+(3-п)3
hm--------5—-------
П->оо	+ 1
12.221.	а) lim .	. ;
п-°° ^4п2 +1
в) lim(л/4п2 + га+1 -2га);
П—> ОО
12.222.	а) Нт ;
л^оо 1+3-п
б)
г)
б)
в)
2"+3"
lim п
П—► оо о
г)
..	6п + 1
lim г——	---;
yjn2 +3n + 10 +3n
lim (J(n + l)(n + 3) - n).
n—► oo
l + 2~n+3-5n
hm--------------;
п^оо 7+3-n+7-n
2n+3n+4n
hm------:----
n-oo 4n + 1+3
198
12.223. Найдите предел последовательности (ап), если:
.11 1
а) Q, —-----------+----+ • • 4----------«
’ п 1-3 3-5	(2п-1)(2п + 1)
б) ап -	1 + 4+7 + ...+(Зп-2) п2
в) ап 	I2 +22 +... + П2 п.	1 + 2 + 4+... + 2"-1 (п + 1)(п + 2)	3’	°п ~	2Л+1
Д) :	1-2 + 2’3 + ... + п(п + 1) 2п3+1
е)	_1 + 1 + 1+... + _1г
12.224.	Представьте в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(4); б) 11,(12); в) 0,4(63); г) 1,99(2).
12.225.	Найдите сумму:
. /к 7з 2V3-3
a) V3+--	---г-+...;
2 + V3	2 + V3
-.1 1,1 11 1
^ 2 3 + 4 9+8 27+”‘ *
12.226.	Первый член бесконечной геометрической прогрес-
сии (ап) равен а, ее знаменатель равен q. Найдите
сумму:
a)	а2 + а% +а% +...;
б)	+ Д3 +•••>
в)	(aj + а2)2 + (а3 + а4)2 + (а5 + а6)2 + ...;
г)	(а! - а2)2 + (а3 - а4)2 + (а5 - ав)2 + ...;
Д) «1 +|а2 + ^а3 + |а4 +...;
. ( 1А ( с ( iw 1
е)	|«i +2J + ^2 ~ 4] + [аз +gJ + ^4
Да ^4	^6	^8
ж)	— + — + — + —
а1 а2
з)	(ах + а2+ а3)2 + (а4 + а5 + а6)2 + (а7 + а8+ ад)2 + ....
12.227.	Первый член бесконечной геометрической прогрес-
сии относится к сумме второго и третьего членов
как 9:10. Найдите первый член прогрессии, если ее
сумма равна 12.
12.228.	Первый член бесконечной геометрической прогрес-
сии на 8 больше второго, а сумма ее членов равна
18. Найдите третий член прогрессии.
12.229.	Сумма членов бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии равна 1,5, а сумма квадратов ее
членов равна 1,125. Найдите первый член и знаме-
натель прогрессии.
199
12.230.	Сумма бесконечной геометрической прогрессии
равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5.
Найдите сумму кубов членов этой прогрессии.
12.231.	Сумма бесконечной геометрической прогрессии
равна 4, а сумма кубов ее членов равна 9—. Найди-
те сумму квадратов членов этой прогрессии.
12.232.	Решите неравенство | х + х2 + ... + х" + ... | < 1, где
|х| < 1.
12.233.	Решите уравнение х-2 + х-4 + ... + х2(1"п) + ... = 0,125,
если известно, что переменная х не принадлежит
множеству решений неравенства х6 + 2х4 - х2 < 2.
12.234.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии, второй член которой, удвоенное
произведение первого члена на четвертый и третий
член образуют в указанном порядке арифметиче-
. 1
скую прогрессию с разностью, равной -.
о
12.235.	Две бесконечно убывающие геометрические про-
грессии таковы, что первый член первой прогрес-
сии является знаменателем второй, а знаменатель
первой прогрессии является первым членом второй
прогрессии. Отношение суммы первой прогрессии
к сумме квадратов всех ее членов равно —, а такое
о
же отношение для второй прогрессии равно 4,5.
Найдите сумму каждой из этих прогрессий.
12.236.	Второй член бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии равен -2, а отношение суммы чле-
нов этой прогрессии к сумме квадратов ее членов
3
равно —-. Составьте квадратное уравнение, корня-
ми которого являются первый и четвертый члены
исходной прогрессии.
12.237.	В бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии с отрицательным знаменателем сумма первого
и шестого членов равна 62, а произведение четвер-
того и восьмого членов равно 4. Найдите сумму
этой прогрессии.
12.238.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии, если известно, что сумма квадра-
тов первых пятнадцати ее членов равна сумме пер-
вых тридцати ее членов, а сумма кубов первых пят-
надцати ее членов в три раза меньше суммы
первых сорока пяти членов данной прогрессии.
200
12.239.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрес-
сия, сумма которой равна 13,5, содержит член,
равный Отношение суммы всех членов прогрес-
О
сии, стоящих до него, к сумме всех членов прогрес-
сии, стоящих после него, равно 78. Найдите поряд-
ковый номер этого члена прогрессии.
12.240.	Сторона квадрата равна а. Середины сторон это-
го квадрата соединили отрезками. Получили но-
вый квадрат. С этим квадратом поступили так же,
как и с данным, и т. д. Найдите предел суммы пе-
риметров и предел суммы площадей этих квадра-
тов.
12.241.	Сторона равностороннего треугольника равна а.
На высоте его построен новый равносторонний
треугольник. На высоте нового треугольника по-
строен еще равносторонний треугольник и т. д.
Найдите сумму периметров и сумму площадей всех
этих треугольников.
12.242.	В равносторонний треугольник со стороной а впи-
сан круг. В этот круг вписан новый равносторон-
ний треугольник. В этот треугольник опять вписан
круг и т. д. Найдите сумму длин окружностей и
сумму площадей всех этих кругов.
12.243.	Найдите сумму ряда:
а) Ь2+F3+3^4 + ’*'’ б> 4-11 + 11 • 18 + 18• 25 + ’
BJ 3-7 7 11 + 1115+“‘’ Г) 2-9 + 9 • 16 + 16 • 23 +	’
Тригонометрические
выражения
и их преобразования
1.	Соотношения между тригонометрическими функ-
циями одного аргумента.
cos2 а + sin2 а = 1;
sin а	д	_
tga =-----, а Ф — + ян, YI g Z;
cos а	2
cos а	. ,	„
ctga =	» а ф яА, k е Z;
sin а
201
1	71
tga+1 = —, a Ф — + nk, k g Z;
cos2 a	2
ctga +1 = —, a тип, n e Z.
sin2 a
a cos р + sin а sin р;
а cos Р - sin а sin Р;
а cos Р - cos а sin Р;
а cos Р + cos а sin р;
tga + tgp
2.	Теоремы сложения.
cos (a - p) = cos
cos (a + p) = cos
sin (a - P) = sin
sin (a + p) = sin
, . , Q4	tga + tgp	_ я _
te„t|,|f “*2+та
P + лЛ, a + P + n, k, m e Z-,
a - p Ф £ + nm; n, k, m e Z.
A
3.	Формулы двойного аргумента.
cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a;
sin 2a = 2 sin a cos a;
2tga	n	n Ttm ,	„
tg2a = у— 2a* —+ лй, a’h4+-2-’
4.	Выражение синуса и косинуса через тангенс пол
винного аргумента.
i-tg2 2
cosa =------—> a Ф n +2nk, ke Z;
1+tg2i
bi
a
2tg-
sina  ------—> a * л + 2jtfe, k e. Z.
1+tg2|
5, Формулы понижения степени.
ф 9	1-cos 2a	2	1 +cos2a
sin2a =------; cos a ---------
6.	Формулы половинного аргумента.
. а
Sin2
tg“ =
B 2
/ 1-cosa
I 2
1-cosa
а
cos 2
1 + cos a
2
-------, a * я + 2лп, n e Z;
1 + cos a
202
.a	1- cos a	_
tg — = —:, a * Tin, n € Z;
2	sin a
.a sin a	„
tg — = ---------, a * к + 2nn, n e Z.
2	1 + cos a
2 ’
. a-p
sm-g-;
a-p
cos-^-;
a + p
cos-2~;
7.	Преобразование суммы (разности) тригонометри-
ческих функций в произведение.
п л	a + р	а-р
cos а + cos р = 2 cos —— cos----•
cos a - cos P = -2 sin
 a a • a + P
sin a + sin p = 2 sin —
a-B
sin a - sin 0 = 2 sin ——
a
sin(a + p)	я	я	,	„
tg a + tgp =------a ^ — + Tin, p Ф — + Tik-, n, k e Z;
cosacosp	2	2
n sin(a-p) я л я	,	„
tg a-tgp =--------а * —+ ЛП, p Ф — + Tik', n, k g Z.
cosacosp 2	2
8.	Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму.
cos a cos Р = (cos (a - p) + cos (a + p));
£
sin a sin P = 4 (cos (a - P) - cos (a + P));
sin a cos P = - (sin (a + P) + sin (a - P)).
9.	Преобразование выражения a cos a + bsina путем
введения вспомогательного аргумента.
a cos a + b sin a = 7a2 + b2 cos (a - (p), a2 + b2 Ф 0,
где вспомогательный аргумент ср определяется из условий
а .	Ъ
coscp —	и sin ср = —===.
Пример 1. Сколько целых значений может прини-
мать выражение 3 sin2 х + 5 sin 2х?
Решение.
о . о гг •	« 3-3cos2x	Л
3 smz х + 5 sin 2х =------+5sm2x =
л
-1,5-^cos2x-5sin2x) = 1,5- д/25 + 2,25 • cos(2x+cp),
5	3
где sincp = .	и coscp = —,	
727^5 v 2V27JT
203
Таким образом, учитывая ограниченность косинуса,
имеем:
1,5 - 727^25 < 3 sin2 х + 5 sin 2х С 1,5 + 72^25.
Поскольку 5 < 727,25 < 5,4, то 3 sin2 х + 5 sin 2х может
принимать десять целых значений (от -3 до 6).
Пример 2. Вычислите без таблиц значение выраже-
ния
sin 18° cos 36°.
Решение.
• -.оо «/-о 4sin 18° cos 18° cos 36°
sml8°cos36°=-----------—-------
4cos18°
_ sin 72° _ cos 18° _
“ 4cos 18° ” 4cos 18° " 4*
2 sin 36° cos 36
4cosl8°
1
3
Пример 3. Известно, что cos (a - 60°) = —. Найдите
о
sin a.
Решение. Из основного тригонометрического тожде-
ства получаем, что sin (а - 60°) = ±-|. Далее имеем: sin a =
= sin ((a - 60°) 4- 60°) = sin (a - 60°) cos 60° + cos (a - 60°) x
. ano c 4 1 3 V3 3V3 ± 4
x smeo° = ±-- + - — = —— •
Пример 4. Пусть (an) — арифметическая прогрессия
с разностью d. Найдите сумму Sn = sin ах + sin а2 +
+ sin a3 + ... + sin an.
Решение. 1) Если d = 2itk, k g Z, to Sn = n sin
2) Если d * 2лА, k g Z, то домножим и разделим Sn на
o . d	d	d
2sin— и, поскольку ak +— = ak+1 - получим:
о if I d | Г . d | . f d |	(	, d ) ,
=----—I cos a{-~ -cos at+— +cos a2~ — -cos a2+— +
c* . Ct I \	Z /	\	£ )	\	)
2sm-V
+... +cos an
d | Г d
_ J _ cos^(ln+—
1	( d
d COS <4	2
2sin2
( d
-cos I an + -
d d	d d
1 o • a" + 2'ai + 2	• a"+ 2+ai“ 2
а*28111-----2------Sm-------2------=
2Sln-
. dn . I d(n-l)
sin — sin a, +  —-
2 I 1	2
. d
sin-2
204
Пример 5. Найдите наибольшее значение выражения
cos13 х + sin14 х.
Решение. Поскольку для всех действительных значе-
ний х выполняются неравенства cos13 х < cos2 х и sin14 х <
С sin2 х, то cos13 х + sin14 х < cos2 х + sin2 х = 1. Кроме то-
го, cos13 0 + sin14 0 = 1, т. е. существует такое значение х,
при котором значение выражения равно 1. Значит, наи-
большее значение выражения равно 1.
Упражнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА
И КОТАНГЕНСА. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Найдите значение выражения (1—4):
13.1.	а) 2 sin 30° - V3 sin 60° tg 45° tg 30°;
б)	4 cos 45° ctg 60° tg 60° - 3 sin 45°.
v 6sin30°cos30°	1-2sin2 60°
13.2.	a) ---------------; 6) ------------
cos2 30° - sin2 30°	2cos2 60°-l
13.3.	a) (0,75 tg2 30° - sin260° + tg2 45° + cos 600)1;
6)	(2 cos 30° - tg 45° + sin2 60° + ctg2 60°)-1.
13.4.	a) 7(1 -2sin45°)2 -7(1-2cos45°)2 ;
6)	V(tg60°-2)2 - V(ctg30°-2)2 .
13.5.	Верно ли утверждение:
а)	если 0° < a < 90°, то a — угол I четверти;
б)	если a — угол I четверти, то 0° < a < 90°?
13.6.	Какой знак имеет сумма sin a + sin Р + sin у, если a,
Р и у — углы треугольника?
Углом какой четверти является угол а, если известно, что
(7-8):
13.7.	а) в)	sin a  cos a	С 0 и cos a > 0; < 0 и tg a > 0;	6) r)	sin a cos a '	> 0 и tg a < 0; > 0 и tg a < 0?
13.8.	а)	| cos a	| = cos a;	6)	| sin a |	= -sin a;
	в)	1 tg a|	+ tg a = 0;	r)	ctg a -	| ctg a | = 0?
13.9.	а)	Укажите несколько		значений		a, при которых:
sin а = -1; cos а = 1; tg а = 0; ctg а = 0.
б)	Укажите все значения а, при которых:
sin а - -1, cos а = 1, tg а = 0, ctg а = 0.
13.10.	Известно, что sin Р = 0,5.
а)	Верно ли, что р = 30°?
б)	Укажите несколько углов, синус которых равен 0,5.
в)	Укажите все углы, синус которых равен 0,5.
205
13.11.	Известно, что cos р = 0,5.
а)	Верно ли, что Р = 300°?
б)	Укажите несколько углов, косинус которых ра-
вен 0,5.
в)	Укажите все углы, косинус которых равен 0,5.
13.12.	Возможно ли равенство:
a)	sin а = 7з - 2; б) cos Р = -V2; в) sin а =
г)	cosP = ^; д) sin а - т + где тп Ф 0;
е)	cos Р = 2а - а2 - 2?
Укажите
(13—14):
наибольшее и наименьшее значения выражения
13.13.	а)	1 + sin а;	б)	1 - cos а;
г)	3 + 2 cos а;	д)	| cos а |;
13.14.	а)	2cos2а-1;	б)	l-2sin2a;
г)	|2-5cosa|;	д)	4-3|sina|;
в) 2 - 3 sin а;
е) - | sin а|.
в) 2 - 5 |соза|;
е) 13 + 4 sin а |.
13.15.	Возможно ли равенство:
а) sin a + 2 cos a = 3;	б) 3 sin a - 2cos a = 5;
в) 5 cos a - 3 sin a = 8;	r) 2 sin a + 5 cos a = -7?
13.16.
Найдите значение выражения (16—18):
а)
. Л Л , Л	. Л Л . Л
sin-cos-tg^; 6) ctg - cos sin--
о 4 О	4 о 4
13.17.
a)
6)
13.18.
a)
• л	I л L л |
sin-cos -- tg
О	\ 4 J	\ О J
f x \ -2
, л	л . I л 1 I
Ctg — COS — Sin——	.
О	о { 4 J )
/	/	\	\2
I	( 3л | . 3л I
cos —— -sin——
I \ 2 )	2 I
6)
л Л . Л	* к . Л
2 sin — tg—+cos(—л) — sin —
4tg0 —2sin -— ctg—
у 2 j о
( . ( Зя A	( kAY
sin —— -cos ——
I I 2 J	I 2 J J
Определите знак выражения (19—20):
л \ • 5л 5л , 5л . 5л
13.19.	a) sin—cos— tg — ctg
О 7 о У
• 4л ( 4л К 4л .( 4л
б) sin—cos^-—Jtg-5-ctg^-— J.
206
io пл \	• 5л 5л, Г 7л ) .9л
13.20.	a) sin—cos —tg—— ctg — ;
о 4	\ о J о
. ( 6л 5л. 9л . ( Ия
б)	sin —— cos — tg—ctg ——
V э 7 о 11	\	9
Сравните два числа (21—23):
13.21. a) cosyy и cos2 рр
13.22. a) sin-j^ и sin cos
-gooo \ Зя	3 Л . Л
13.23	. a) cos—и cos —sin—;
о	5	5
gt \	• Л • о Л
б) sin— и sinz —.
7	7	7
2л	2л . л
б) cos—и cos—-sin—.
о	5	5
. 11л	. 11л л
б) sin— Hsm-cos-.
13.24.
я
Известно, что 0 < а < —. Докажите неравенство:
a) sin а > sin2 а;	б) cos а > cos2 а;
в)	sin а > sin а cos а;	г) sin а < tg а.
13.25.	Докажите, что sin а + cos а > 1, если 0 < а < ^.
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
ОДНОГО АРГУМЕНТА. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
7	Зя
13.26.	Найдите sin а и tg а, если cos а = - — и л < а <
Zu	Z
5 Зя
13.27.	Найдите cos а и ctg а, если sin а = - — и — < а < 2л.
13	2
3
13.28.	Известно, что ctg а = -Зу и л < а < 2л. Найдите
cos а и tg а.
13.29.	Известно, что tg а = 2,4 и < а < Найдите sin а
и ctg а.
13.30.	Известно, что cosa = , а , где а > 0. Найдите
Va2 +Ь2
sin а и tg а.
Вычислите (31—36):
13.31.	a) sin 225° cos 120° tg 330° ctg 240°;
.7л	7л. 5л , 4л
б)	sin—cos — tg—ctg —.
4 b 3	3
13.32.	a) sin (-300°) cos (- 135°) tg (-210°) tg (-120°);
. i 11л ।	( 13nV ( 5л) , ( 5л1
6)	sin —— cos —— tg —— ctg .
\ ° 7	\ v /	\ 4 7	\ 3 J
13.33.	a) 1 + sin^ + sin2 ^+sin3 ^ + ...;
boo
\	Л	о Я	о Л
6)	1-COS~t+COS^ — -cosd — +....
4	4	4
207
13.34.	a) 1-tgJ + tg2 $-tg3 J + ...;
ООО
I	7C ।	9	о 7t
6)	1+COS—+COS2 —+ COS3 —+...	.
6	6	6
13.35.	a)	cos (-7,9 я) tg (-1,1 л) -	sin	5,6 л	ctg 4,4	л;
6)	sin 5,9 л tg (-0,6л) + cos	3,6	л	ctg	(-4,9	л).
13.36.	a) sin (-1,3л) cos (-1,7л) tg (-0,7л) +
+ sin 0,8л cos 1,8л tg 1,2л;
6)	ctg 2,2л sin 2,7л sin (-3,2л) +
+ ctg (-2,3л) cos (-3,7л) cos 1,2л.
Упростите выражение (37—42):
13.37.	a) tg(^-a jtg(n +a)-cos
sin(n +a);
6)	ctg( ^ + P ]ctg(n-P)-ctg(£ + p |tg(2n+P).
13.38.	a) cos^^ + aj sin a + sin2 (3л + a) + tg (5л + a) tg a;
6)	cos (Зл - P) + ctg (3,5л - P) + cos (	+ P ] (л + P)-
13.39.	а) -^°7а +tga;
’ 1 + sina
6) ctgp+l;inP,
l+cosp
. 1-sin2 a
13.40.	a) ------z—i- tg a ctg a;
l-cosz a
6)	(1 - cos2 P) tg2 P + 1 - tg2 p.
13.41.	a) (ctg a + tg a)2 - (ctg a - tg a)2;
„	.	sin 150° - cos 240°
*	* a) ctg730° ctg800° + tg730° tg800° ’
6)	sin 750° sin 150° + cos 930° cos (-870°) + tg 600°.
13.43.	Вычислите:
a)	ctg 1° • ctg 3° • ctg 5° • ... • ctg 89°;
6)	tg 88° • tg 86° • tg 84° • ... • tg 2°.
13.44.	Исключите параметр t из системы:
a) fx = 5cosi, 6) fx = 3cost, в) [x = sinf+cosf,
[y = 5sinf; [y = 5sint; [y = sintcost.
Докажите тождество (45—48):
13.45.	a) (-cos a + ctg a) (sin a + tg a) = (1 + cos a) (1 - sin a);
б)	1 + cos p - sin P - ctg P = (1 - ctg P) (1 - sin P).
13.46.	a) sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a cos2 a = 1;
208
1-cos4 0-sin4 0	4„
« —tpp—=2cos ”•
v sin a-cos В	sin В-cos a
13.47.	а) —------ = ^-^-----Й-;
smp +cosa	sin a + cos p
V3-2sina_ l + 2cosa
2cosa-l 2sina + V3
4 cosactga-sinatga 1	1
lo.4o. a) 	,
(sina+cosa) -sina cosa sina cosa
cos В + sin В-cos2 В sin В-sin2 pcosP . o o
6) -------—— -----------x—------ - smp cosp.
7	sinptgp + cosp ctgp
13.49.	Известно, что tg a = 2. Найдите:
3sina-5cosa. 2 sin2 a-sin a cosa.
4sina + cosa ’	3sin2a + 2cos2 a
4	sin a - 2 cos a
B	) » . Q--5-
2smda + cosda
13.50.	Известно, что ctg a = -2. Найдите:
4 2sina + 3cosa	2cos2 a-7 sin2 a
a)	;	6) ---z-----;
5sina-cosa	3cos2a + 4smacosa
sin3a-2cos3a
7 cos a + 2 sin a
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения и
значения переменной, при которых они достигаются
(51—52):
13.51.	а) sin2 a + 2 cos2 a;	б) 3 cos2 a - 4 sin2 a.
13.52.	a) 3 cos2 a - tg a ctg a; 6) 2 sin2 a + 3 tg a ctg a.
Упростите выражение (53—54):
13.53. а)
б)
13.54. а)
б)
,	ч / ч / чч2 2sin2 (л-а)
(ctg (6,5л - a) cos (-а) + cos (л - а))2 +	>
Гсов(2,5л+а) . . ч , Г5л W tga
----------—-sm(-a) tg —+а +—z--------------т.
I ^(Зл + а)	v V2 )) хГЗл
tgll“+aJ
, я I
sin а-~ z	х	z х
\	47	х ।	5л ।	/л	|	. z ч
---------v ctg а —— -cos — +а sin (а - л);
. ( л	I \	4 )	у*	7
sin —+ а
\ 4	)
-a -соэ(л-а) sin(3n + a)
(cos (3,5 л-а) + sin (1,5 л +а))2 -1
209
Докажите, что при всех допустимых значениях перемен-
ных выражение принимает одно и то же значение (55—56):
13 55 COs4 Р Sin2 а s*n2 + s^n2 cos2 Р ” sin2 а cos2
sin2 а • sin2 р - sin2 а -cos2 а - cos4 а + cos2 а • sin2 р
13.56.
(tga+ctga)2 -(tga-ctga)2
1
sin2 acos2 a
tg2a-ctg2a
Упростите выражение (57—59):
13.57.	а) д/sin2 a(l-ctgaT+cos2 a(l- tga), если —^<a <2л;
6)	^/cos2 P(l + tgP) + sin2 P(l+ctgp), если л < p <	•
Tiо to \ x	1-cosa	o
13.58.	a) ctga- ------, если л <a <2л;
7 & *	yl+cosa
Jl—sin2 a-cos2 a • cos2 P	Зл л „
б)		—л—------------, если л < a < —, - <Р<л.
tgp ctga	2	2
13.59.	а) -74cos2 a+4cosa + l - V4-4sin2 а, если а л;
О
б)	^/2-20032 Р + y]2sin2 P~2V2sinP+l, если Р л.
Докажите неравенство (60—64):
13.60.	а)	sin2 a cos2 a < 0,25;	6)	sin4 a + cos4 a	>	0,5.
13.61.	a)	sin6 a + cos6 a > 0,25;	6)	sin8 * a + cos8 a	>	0,125.
13.62.	a)	| tg a + ctg a | > 2;	6)	9 cos2 a - ctg2	a	< 4.
13.63.	a)	sin a + cos a + tg a + ctg	a + -Д—I--К— > 6,
sin a cos2 a
n ,	, л
если 0 < a < —;
6) tg2 a + ctg2 a + - 1  +—6.
sin2 a cos2 a
13.64. a) | sin (sin a)| < 0,5 a/3;	6) 0,5 < cos (sin a) < 1.
13.65. Найдите sin4 a + cos4 a, если sin a + cos a = a.
13.66. Найдите cos a + sin a, если tg a + ctg a = a.
+ ~ TX	-9	9	TT «	sin10 a ,
13.67. Известно, что sin2 a cos2 a = a. Найдите -——-т— +
l-tg4a
cos10 a
l-ctg4a
13.68. Вычислите sin2 a - sin4 a, если tg2 a + ctg2 a +
sin2 a cos2 a
210
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(69—70):
13.69.	а) 2 cos2 а-3 sin а; б) 3 sin2 0 + 2 cos 0.
13.70.	a) 1- v'cos2 а -2sin2 а; 6) 1 + ^/sin2 0 +2cos2 0.
13.71.	Найдите наибольшее значение выражения
sin2 х cos4 х (2 - sin2 х).
13.72.	Найдите наименьшее значение выражения:
a) tg2a+—; б) —^-r-tg20.
cos a	' cos4 0
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
Вычислите (73—77):		
13.73. а)	sin	f Я	]	л v	Я 1 — - a L если cos a = -0,5 и — < a < я;
б)	cos	I я n ]	• о * 3 Яд — + 0 , если sin 0 —— и — < 0 < л. о )	&	2
13.74. а)	tg(	я	1	л	3 я	д — + а если cos a = 0,6 и — < a < 2я; о	J	Л
б)	ctg	1 - 0 |, если sin 0 = -0,8 и л < 0 < к 4	J	Li
13.75.
1	2 3л
а) cos (a - 0), если cosa = —, sin0 = - -, — <a <2л,
О	о Л
Зя о о
-у <0 <2л;
б) sin (а + 0), если sina — cos0 = -^, ^<а<л,
л <р <^-
	21л ,3л	Зл . л cos—— sm—- + cos-- sin—
13.76. а)	10	20	20	10. . 7я	.	7я	7я	я ’ Sln— sm— + cos— cos_ . 15я	.	4я	4я	6я sm—— sin-— + cos—г cos—-
б)	7	21	21	7 . 7л л	7л . 23л’ sm 24 cos24 cos 24 sm 24
13.77. а)	tg2	tg2 2L	tg2 5л . t 2 A-1 24 ё 24 . g)	24	24 1-tff^—•	—	tff2	tff2 — 6 24	ё 24	K 24 K 24
13.78. Найдите cos 0, если
0<а <Ь л <0 <^.
cos а - 0,6, cos (а + 0) = 0,
211
13.79.	Найдите а + Р, если tg а = 0,5, tgp = ^, 0<а<^.
о	2
0<Р<|.
13.80.	Найдите а - Р, если sina =	, sinp = --^-.0<а<^,
4 X	4 А
-|<Р<0.
13.81.	Найдите а + р, если tg а = 3, tg р = -0,5, 0 < а < ^,
-|<Р<0.
ГУ a/^"
13.82. Докажите, что а - Р = 30°, если tga = -—> tgp =
4—а
= ---0 <а<—, 0 <р < -•
у[3	2 н 2
13.83.	Докажите, что а + Р + у = ^-, если sina =
2	3
sinp = —= , siny = ~7=,0 <а <^> О <Р <^>0 <у <^-
н ЗЛ1 Л1 2 н 2	' 2
Пусть tga = (72 + l)tgx, tgP = (V2-l)tgx, tgy =
= 2 sin x cos x. Докажите, что a = p + у, если
0<a<|, 0<p<|, 0<у<|.
13.84.
Докажите тождество (85—88):
13.85.	а)
13.86.	а)
13.87.	а)
sin(a-P)
tga-tgP
— cosa cosP;
tga + tgP _ sin(a + p).
tga-tgp sin(a-P)’
1+tga
1-tga
, (	. Л I
= tg|a+4 I;
6)
6)
6)
ctga+ctgP _
sin(a+£) sina sinp
sin(a-P) _ ctgp-ctga
sin(a + P) ctg p+ctga
Ctgp + 1	(7t A
1
13.88.	a) sin 2a + cos 2a ctg a = ctg a;
6)	ctg p sin 2p - cos 2p - 1.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(89—91):
13.89. а) sin a + cos a;
13.90. a) sin a - 7з cos a;
6) 73 cos p - sin p.
6) 42 sinp + V6 cosp.
13.91. a) 3 sin a + 4 cos a;
6) 2 sin p - 5 cos p.
Упростите выражение (92—94):
13.92.
a) sin2 +a + sin2
\ о /
Я	,	• 2
--a +snr a;
о J
6) cos2 p+cos21 “У” — p |+ cos21	+ P
\ 3 J к о
13.93. a) cos (a - P) (tg a tg P - 1) + (1 + tg a tg P) cos (a + p);
212
6) (ctg a ctg р + 1) cos (а + р) + (1 - ctg а tg р) х
х cos (а - Р).
13.94.
sin2(a-P) + sin2(a + p) „
а) -----о—~г----Го—-~tg a;
2cos2a cos2 р
. 2	. 2 a cos2(a-p)+cos2(а + Р)
б) ctg2 a ctg2 р-----—-г-------------
2sin2a siivp
Докажите неравенство (95—96):
13.95. а) sin (a + р) < cos a + cos p, если 0<a<^,0<P<^;
£1	Li
6) cos (a - P) < cos a + sin p, если 0<a<^,0<p<^.
A	и
13.96. a) sin (a + p) < sin a + sin P, если 0<a<^,0<P<
<-»
6) tg (a + P) > tg a + tg p, если 0 < a < ^ > 0 < P < ^ •
13.97.
13.98.
13.99.
Докажите, что tg a tg P + tg p tg у + tg у tg a = 1,
если a + P + у = ^.
Докажите, что tg a + tg P + tg у = tg a tg p tg у,
если a + P + у = л.
f 2 A
Вычислите tg I — + a I, если известно, что
2cos2 a +(6- V2)cosa -Зд/2 = 0.
13.100.	Найдите: a) cos a, если
и
7 я 5л
— <a <—;
. (	л	5
б) sin а, если sin a—- = —
v	4 J lo
и
COS 0C4~ = 0,6
\ о J
Зл	5л
—- <a <—.
4	4
13.101.	Найдите величины а и Р углов ромба, если
sinfa-^ | + sinf“pl = 1.
I 2 J 12 H J
13.102.	Углы треугольника связаны соотношением cos =
л
Р у
= 2sin— cos^. Докажите, что треугольник равнобед-
ренный.
13.103.	В каких пределах находится отношение суммы
катетов к гипотенузе в прямоугольном треуголь-
нике?
213
ФОРМУЛЫ двойного
И ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
Вычислите (104—107):
7 Зя
13.104. a) sin 2а и cos 2а, если cosa = —, — <а <2к;
Ju &
б)	sin 2р и cos 2р, если sinP = -If, л <Р
10	Л
13.105.	а)
б)
13.106.	а)
13.107.	sin
. a , a .	72 3it n
sin и ctg —, если sin a = ——, — < a < 2л;
£	Li	Li
a . ct . m	3 л
cos— и tg—, если tga = y3, n <a < —.
L	Li	Q
tg a, если ctg 2a — 3; 6) ctg P, если tg2p - -5.
f 3	1
4 —— 2a , если cos (it - 4a) =
12/
Докажите справедливость формулы (108—109):
a	, . о a
2tg—	1-tg2^
13.108.	a) sin a ----—; 6) cos a -----------
1 + tg2-	1+tg 2
13.109.	a) sin 3a = 3 sin a - 4 sin3 a;
6)	cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a.
Вычислите (110—113):
13.110.	a) sin 2a, cos 2a и tg 2a, если tga = |;
О
9
6) sin 2P, cos 2P и ctg 2p, если ctgP = - —•
О
о	\ COS Ct	j Ct f\
13.111.	a) -—, если tg — = 3;
' 2-3 sin a	6 2
2 sin a	, a n
6)	, если ctg—=-2.
’ 4+5cosa	2
13.112. a) sin 4a, если ctg a = -3;
6) cos 4p, если tg P - 2.
13.113. a) sin 3a, если tg^ = -2;
6) cos 3a, если ctg^ = 0,5.
13.114. Найдите величину угла А треугольника ABC, если:
a) sin4 * А = cos4 А + 0,5;
б) sin3 A cos А - 0,25 - cos3 A sin А.
13.115. Докажите неравенство:
а) sin 2a < 2 cos а, если < a < —;
6) sin 2a < 2 sin a, если 0 < a < it.
214
Вычислите (116—118):
13.116.	а) 8 sin2 • cos2 -1;
16	16
. 4 23л	13л
6)	sin4 -y^-cos4 —•
13.117.	a) tg^ +ctg^; 6) ctg^ +ctg9^.
13.118.	a) sin2 — + sin2 —6) cos2 — + cos2 — •
lo	26	24	1 I
13.119.	Что больше: tg 2a или 2 tg a, если 0 < a < ^?
13.120.	Найдите значение выражения s*n если извест-
sina
но, что
4 sin2 a - 9 cos a - 6 = 0.
a.
Докажите тождество (121—124):
13.121.	1 + cos (Зл + 3a) cos 2a - cos (1,5л - 3a) sin 2a =
= 2 sin2 2,5a.
13.122.	tg4 a (8 cos2 (л - a) - cos (л + 4a) - 1) = 8 sin4
13.123.	 1-2 sin2 a------- = L
л x f Л J о | Л ]
2ctg —-a cos2 —+a
\4	)	^4	)
13.124.	2tg2 5(tga+ctga)(l-tg2§l = —-—
2	\	2 J a a
cos -
4cos2 2a-4cos2 a + 3sin2 a
13.125.	Сократите дробь------------r----------.
4cos2 ( ^p-a j-sin2 2(а-л)
Г	л A	1
13.126.	Вычислите tg a +— , если cos2a = — и л <a
V	4 j	36
5л
~T'
13.127.	Вычислите tg p + ctg p, если cos 2P = 0,8 и < P < л.
2
13.128.	Вычислите:
a)	tg2(^-a^, если sin2a =
6)	ctg2 + если sin2p = 0,25.
13.129.	Найдите:
a) cos 2a,
6) sin 2a,
cosa-2sina
если —---------= -0,5;
sin a - 2 cos a
cosa + 2 sin a
если у—----------= -2.
2 sin a - 3cosa
215
Упростите выражение (130—133):
13.130.	а) 0,125 cos 4а + sin2 а cos2 а;
б)	sin2 р tg р - cos2 Р tg р + 2 ctg 2р.
13.131.	а) -±- - ---- 3
tg2a 1 + sin(2a + 1,5л)
1-tgp	cos2p
13.132.	а) cos2 (^-a |+0,5sin 2a;
\ 4 у
6)	2sin2 (p-^l + sin 2p.
13.133. a)
6)
T2VVT+ljcos4a, если 0 < a <
________________
+ |cosp, если 2л < p < 4л.
у	у &
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(134—137):
13.134	. а)	3 sin2 a + cos 2a;	6)	cos2	p - 2 cos 2p.
13.135	. a)	sin4 a + cos4 a;	6)	sin6	p + cos6 p.
io-юг» x	l + cosa + cos2a	_	sin(2,5rc + 2P)
Id.loo. a)	—. zz4 g;	o)	---•
sin(0,5n+a)	V2cos(1,5k + P)-1
13.137	. a) cos 2a - | cos a |;	6) cos 2a + | sin a |.
13.138	. Найдите cos ~ - a sin +a , если cos a + sin a = m.
4 j \ 4 J
При каких значениях т условие задачи имеет
смысл?
13.139	. Найдите cos| -7 - р | cos| + р L если
14	) к 4	)
cos р sin (3,5я + р) = т.
При каких значениях т условие задачи имеет
смысл?
13.140	. Известно, что sin х — cos х = где | t | < V2 и t Ф 1.
Найдите tg^.
13.141	. Найдите ctg (a + р), если известно, что tg a = Ь и
tga-tgp _
tg(a-p)
13.142	. Найдите sin а, если известно, что cos 2a = -cos а и
я -
- a < л.
216
13.143	. Найдите tg а + ctg а, если известно, что
. (к п	Зя
sin — + 2а = аи — <а<л.
V 2 I	4
Вычислите (144—145):
13.144	. a) sin sin б) cos 20° cos 40° cos 80°.
л jf; \ • 7 л * 5л . тс
13.145	. a) sm—sin—sin—;
п 2л Зя 4л 5л
б) cos—cos—-cos — COS —COS —*
13.146	. Проверьте справедливость равенства:
a)	8 cos 20° cos 40° cos 80° -sin 10° = 2 sin2 40°;
6)	sin 50° + 8 sin 10° sin 50° sin 70° = 2 cos2 20°.
13.147	. Известно, что а и P — величины смежных углов
параллелограмма. Докажите, что
1-sin 2a _ l+cos2p
(cos р +sin a)2 o .	. . (3 л ,
2cos(n+a)sin -^-+a
13.148	. Докажите, что если аир — острые углы прямо-
угольного треугольника, то:
• 21 о	I а 2 I	3 it	a j
sinz	— + p - 4cosz	—----—	z n x
12 H J I 2	2 J x 4 f P л )
—-------f= tg a + 2 “ I ’
cos2 p - 4 -I- 4cos2
a)
COS
6)
- COS (л + P)
-------z-----Г + tg — = 0.
. (3л	1	H	2
sm —— a + sin(a - л) tg — - -
\ a	J	14л/
13.149.	Найдите величины аир смежных углов парал-
лелограмма, если известно, что sin a + sin Р =
= V2 sin (a - Р).
13.150.	В равнобедренном треугольнике a — величина уг-
ла при основании, Р — величина угла при верши-
не, причем cos a + V3 cos p = 0. Найдите аир.
13.151.	Найдите величины острых углов аир прямоуголь-
ного треугольника, если sin 2a = 1 + sin (3a - p).
13.152.	Найдите величины аир острых углов прямоуголь-
ного треугольника, если cos a + sin (a - p) - 1.
13.153.	В равнобедренном треугольнике аир — величины
углов при основании и вершине соответственно.
Найдите аир, если известно, что V2 cos а +
+ cos Р = 1.
217
13.154.	Найдите cos—, если известно, что
6 sin2 а > 4 + cos а и cos2a >
13.155.	Найдите tg 2а, если известно, что
у
9 cos2 а < 5 + 9 sin а и cos 2а > —.
13.156.	Вычислите: a) sin 36°; б) sin 18°.
13.157.	Рациональным или иррациональным числом явля-
ется tg2 За, если известно, что cos 2а = -0,1?
13.158.	Рациональным или иррациональным числом явля-
ется ctg2 4,5a, если известно, что
cos За = 0,25 (д/21-1273-2V3)?
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ОБРАТНО
Проверьте справедливость равенства (159—161):
13.159. а) cos 47° + cos 73° = cos 13°;
б) sin 87° - sin 27° = cos 57°.
13.160. a) cos 29° - cos 31° = sin 1°;
6) sin 18° + sin 42° — cos 12°.
13.161. a) sin 93° - cos 63° = sin 33°;
6) cos 14° - sin 16° = cos 46°.
13.162. Вычислите:
2sin2 49°-1
* sin 11°-sin49°
S cos53°-cos37°’	* l-2cos2 54°30'
Упростите выражение (163—164):
13.163.	a) cosct~cosP; 6)
sin a + sin p	sin p - sin a
x sin4a-sin6a sin7p + sinllp
13.164.	a) --------—; 6) ------—5------75-
cos3a + cos 7 a	cos 10p-cos8p
Докажите справедливость формулы (165—167):
13.165. sin a cos p = (sin (a + p) + sin (a - P)).
13.166.	sin a sin 0 = i (cos (a - 0) - cos (a + 0)).
13.167.	cos a cos 0 = (cos (a - 0) + cos (a + 0)).
13.168.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выра-
жения:
а)
• (	. п
sin a + —
I	| Q 7t | * f Q Л
а-24Г б) sin|P“ 5 I sin|P+20
218
я	I	I я
—+ a cos --a
6	)	V о
13.169.	Вычислите:
a)	sin 15° cos 7° - cos 11° cos 79° - sin 4° sin 86°;
6)	cos 17° cos 73° - sin 13° cos 21° - cos 4° cos 86°.
13.170.	Докажите тождество:
a) 1 + 2 cos 2a = 4 cos
б)	7з - 2 sin 2p = 4 sin [ - p 1 cosl + P
О 7	\ o
13.171.	Преобразуйте в произведение:
a) V2 - 2 cos a; б) 0,5 + sin р.
13.172.	Докажите тождество:
а)	1 - 4 sin2 a = 4 sin
б)	3 - 4 cos2 р = 4 sin [ ^ + Р ] sinf Р -
v 6	7 V о
13.173.	Упростите выражение:
sin3a-sina cos2a	cos2a-cos4a
sin 3a + sin a	’ cos 2a - cos a cos 3a
Докажите тождество (174—175):
sin 5a-2 sin За • cos За	х _ _
--------------------= ctg 5,5а;
1-cos 5а -2sinz За
2cos22P + cos5p -1 _	д.
sin5p + 2cos2p sin2P c & ’ P’
sin 4a+2 sin 2a	,
—----------= cos a tg2a;
2(cosa +cos3a)
2cosP +cos3p + cos5P
cos3p + sinp sin2p C°S
13.174. а)
б)
13.175. а)
б)
13.176.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выра-
жения
2cos2 a +cos 4a -1
4 a . 4 a
cos4 - -sin4 —
d d
Упростите выражение (177—178):
13.177.	a) cos2 a + cos2 p - cos (a + P) cos (a — P);
6)	sin2 a + sin2 p + cos (a + p) cos (a - p).
13.178.	a) cos2 fa — ^1— sin2 fa — ^1;
6)	sin2 (p+|^)-cos2 (p+yj)-
219
13.179.	Докажите, что
tg 30° + tg 40° + tg 50° + tg 60° = --2^°°.
л/ 3
13.180.	Верно ли равенство
0,5 sin 40° - cos 30° + cos 20° cos 10° =
= 2л/3 sin2 20° cos 20°?
13.181.	Докажите, что
.o|7U j • о | 7Г |	. Я	( Я	л
sinz — +a - sin2 -x-a -sin—cos • — + 2a = sin2a;
14 J 16 J 12	112	}
13.182. Верно ли равенство
cos2 73° + cos 47° cos 73° + cos2 47° = 0,75?
sin 2a - * - sin I 2a + ~ I
I 6 J I 6)
-----------7-----r-------, если sin a -
( л I
cos I — - a
\ 4 J
t, При каких значениях t условие задачи
смысла?
13.183. Найдите
- cos a =
не имеет
13.184.	Известно, что 2 sin2 a + 3 cos2 a = b. Укажите допу-
стимые значения параметра Ь и найдите произведе-
(я	f 4я	|
ние cos — - a cos — + a .
у О	/	\ О	J
13.185.	Известно, что cos2 2р + (2а - 5) sin 2р + 10a -1 = 0.
Укажите допустимые значения параметра а и най-
дите произведение sin^^ + р^ sin^^ - p^j.
Вычислите значение выражения (186—191):
13.186.
13.187.
cos lla + 3cos9a + 3cos 7a + cos5a	1
----------------------------, если cos a = —
cos 8a---------------------3
cos 2a - cos 6a, если cos a =
V3
2
13.188.	sin 5a - sin 3a, если sin a = -7= •
V5
13.189.	cos 3a - cos 5a, если cos a = -U-
VI
13.190.	cos 8a + cos 6a + 2 sin 5a sin 3a, если sin a = —U-
V3
13.191.	cos 12a - cos 6a - 2 cos 7a cos 5a, если cosa = —!=•
13.192.	Найдите sin 2a cos 5a — sin a cos 6a, если sin a = a.
13.193.	Найдите cos 7a cos 4a - cos 8a cos 3a, если cos a = a.
220
COSn°OSi6COS8COSieSm24;
. 7л . Зя . 7л . л . л
Sln Гб51" 8 3ln24S1"ieS'n25-
cos 10° cos 50° cos 70°;
sin 20° sin 40° sin 80°.
cos 24° - cos 84° - cos
tg 9° - tg 63° + tg 81°
2л . 4л , 6л
cos — + cos — + cos-у-;
2л 4л . 2л...
12° + sin 42°
- tg 27°.
2л 4л , 2л 6л , 4л 6л
cos—cos — + cos—cos — + cos—cos	•
Вычислите (194—197):
13.194.	а)
б)
13.195.	а)
б)
13.196.	а)
б)
13.197.	а)
б)
Докажите тождество (198—199):
13.198.	sin а + sin 2а + sin За + ... + sin па =
. па . (п + 1)а
sin-— sin----------------
_	2 2
. а
sin2
13.199.	cos а + cos 2а + cos За + ... + cos па =
. па (п + 1)а
sin-— cos—-—
2	2
Найдите сумму (200—201):
13.200.	cos а + cos (а + <р) + cos (а + 2ф) + ... + cos (а + пф).
13.201.	sin а + sin (а + ф) + sin (а + 2<р) + ... + sin (а + пф).
Тематические серии для
организации заключительного
повторения
Серия 1. Делимость целых чисел
1.	Числа а и Ъ таковы, что 0 < а < Ъ. Может ли Ъ делить-
ся на а? Может ли Ь делиться на а1991? Может ли а де-
литься на Ь?
2.	Число 1989 выписано подряд 1991 раз. Можно ли
между выписанными числами расставить знаки «+» и
«-» таким образом, чтобы результат был равен
10 000?
3.	При каких натуральных значениях п число целое?
о
4.	Может ли число 6п + 5, где п — натуральное, при де-
лении на 9 давать остаток 1?
5.	Докажите, что ни при каком натуральном п число:
а) Зп + 2; б) 5п + 3; в) 7п + 5 не является точным
квадратом.
6.	Докажите, что сумма двух последовательных четных
чисел не может быть квадратом целого числа.
7.	При каких натуральных значениях п число 700...07
ДеЛИТСЯ На 11?	п нулей
8.	Докажите, что числа:
а) 2п - 1 и 2n + 1; б) 2n + 1 и Зп + 2 взаимно просты.
9.	Докажите, что при любом п число:
а) п4 - п2 кратно 12; б) п9 - п3 кратно 504.
10.	Докажите, что при любом нечетном п число:
а) п4 + 14п2 + 49 делится на 64; б) 5п - 5 делится на 24.
11.	Докажите, что при любом четном п число:
а) п2 (п2 - 4) делится на 64; б) 7П - 7 делится на 8.
12.	Докажите, что все простые числа, большие 2, имеют
вид 4k + 1 или 4k - 1, где k — натуральное число.
13.	Известно, что числа р и 4р + 1 — простые (р > 3). До-
кажите, что при делении на 6 число р дает остаток 1.
14.	Существуют ли в натуральном ряду четыре последова-
тельных нечетных числа, каждое из которых — простое?
15.	Три простых числа, большие 3, образуют арифметиче-
скую прогрессию. Докажите, что ее разность делится
на 6.
16.	Может ли дискриминант квадратного уравнения с це-
лыми коэффициентами равняться 1991?
222
Серия 2. Квадратные корни
1.	Докажите, используя определение квадратного корня,
что:
a) 725 = 5; б) 749 * -7; в) 763*8.
2.	Вычислите:
а) 7(75-1)2 * * * +1;	б) 7(75-З)2 -3;
в) 7(75-I)2 +7(7б-3)2; г) (75 - 2)79+475;
д) (75- 3)714 + 675.
3.	Сравните два числа:
а) 70,63 и 70,83; б) 70,63 и ^0,63;
в) ТГбЗиТ^бЗ; Г) 72 и Ч/З; Д)7б-73и1.
4.
Вычислите:
——---1——---
72+1 7з+72
1
Т4+7з
100 + 799
+
5.	Постройте график функции:
а) у = 7х; б) у = Тх2; в) у = (7х)2;
г) у = Тх2” + 7х2 -2х+1; д) у = 7х+27х-1 -7х-1;
е) у = 7х-27х-1 - 7х-1.
Серия 3. Квадратные уравнения
1.
Докажите, что
&2 -4дс
4а2
= ах2 +5х+с.
2.
3.
4.
5.
Решите уравнение:
а) х2 = 9; б) (х - З)2 = 7; в) (5х + 7)2 = 11;
г) 25х2 + 70х + 38 = 0; д) | х2 - х - 3 = 0;
е) 2х + Зх + 5 = 0; ж) 16х2 + 88х + 121 = 0;
з) 16х2 - 88х + 121 = 0; и) 121х2 - 88х + 16 = 0.
Докажите, что если в квадратном уравнении ах2 + Ьх +
+ с = 0 а + & + с = 0, то X! = 1, х9 = —.
1	а
Докажите, что если в квадратном уравнении ах2 + Ьх +
+ с = 0 а - Ь + с = 0, то х, = -1, х9 = -
1	2 а
Докажите, что если в квадратном уравнении ах2 + Ьх +
+ с = 0 Ь = 2m и т2 > ас, то корни можно вычислить
_	-m±^m2 -ас 2 В
по формуле х12 -------, где тп - ас = —.
223
6.	Решите уравнение х2 - 4ах - 5а2 = 0:
а) относительно х; б) относительно а.
7.	Решите квадратное уравнение а2 - аЪ - 2ас + 13&с -
- 15с2- 2&2 = 0:
а) относительно а; б) относительно Ь; в) относитель-
но с.
8.	Покажите, что уравнение 2х2 - 2х (1 + 2у) + 4у2 +1 = 0
имеет действительное решение только при у — i и
&
найдите это решение.
9.	Найдите все такие значения х и г/, при которых вы-
полняется равенство х2 + 4хг/ + 13г/2 - 6г/ + 1 = 0.
10.	Докажите, что при всех натуральных значениях п
уравнение х2 - 2х - 4п - 1 = 0 не имеет целых корней.
11.	Докажите, что при всех значениях а уравнение
х2 - (2 cos а - 3) х + cos2 а - 4 cos а + 7 = 0
не имеет действительных корней.
12.	Докажите, что ни при каких значениях а уравнение
cos2 х + cos х - а4 - 5а2 - 6 = 0 не имеет решений.
13.	При каких значениях а уравнение (х2 - Зх - 4) х
х (х2 - а) = 0 имеет ровно три корня?
14.	При каких значениях а уравнение (х2 — а) (х2 + Зах +
+ а) = 0 имеет ровно два корня?
Серия 4. Дробно-рациональные уравнения
Решите уравнение (1—10):
3.	5*+7 =0	А	2 Зх-1 Л 1-Зх X2 +	7=16	-. х +4	х+4
	49-25х2		
5.	х2-3х	_ 5х2-х-42	6.	1	3	2
	х2 + 7 х-30 х2 + 7х-30*					 	— 		 Зх+2 5х+6	7х+8‘
7.	12	х	2 х2-9 х-1	х-3’	8.	х-а „ х-3’5’
Q	х2 -5х + 4 _	10.	х2 -(4 + а)х + 4а _ х-1
tz.	— и» х~ a		
Серия 5. Теорема Виета
1.	Не решая уравнения Зх2 - х - 1 = 0, найдите:
a) Xi + х2;	б) хг - х2; в) xf +2хгх2 +х2;
г) xf +xf;	д) xf + 3xfx2 +3xjx| +xf; е) тг + 7-;
224
ж) — + —; з) х,х2 + х?х2; и) A" + ”v-
Х2 Xi	12	12	х2 х2
2.	Составьте квадратное уравнение с корнями:
a)	Xi	= -3, х2 = 5;	б)	хг -	х2 =	-7;
в)	хг	= За + 1, х2 =	5а - 2; г)	хх =	6	- д/б,	х2 — 6 + д/б;
д)	хг	= д/7 - д/б, х2	= -д/7 + д/б;
е)	хх	= д/7 - д/б, х2	= 4~7 + д/б.
3.	Не решая квадратного уравнения Зх2 - х - 1 = О, со-
ставьте новое уравнение, корни которого:
а)	противоположны корням данного;
б)	обратны корням данного,
в)	в 5 раз больше корней данного.
4.	При каких значениях а разность корней уравнения
Зх2 - х + а = 0 равна 7
3
5.	При каких значениях а частное корней уравнения
Зх2 + ах + 1 = 0 равно 27?
6.	Найдите корни уравнения, применив теорему, обрат-
ную теореме Виета:
а)	х2 - (37 + а) х + 37а = 0; б) х2 -(5-73)х-5V3 = 0;
в)	х2 -(8-V5)x + 5(3-V5) = 0;
г)	х2 - (За + 5) х + (2а + 1) (а + 4) = 0.
7.	Решите систему уравнений, применив теорему Виета:
a) fx+y = 7,	б) fx+2y = 7,
[ху=6;	[ху = 3;
в) /х-3у = 7, г) (х+у+хц=11,
[xi/ = -2;	[ху(х+у)=30.
Серия 6. Уравнения с параметрами.
Для каждого значения параметра а решите уравнение
(1-Ю):
1. |х| = а.	2. ах = 3.	3. а (а - 1) х = а.
4.	^| = 0.	5. х2 + ах + 36 = 0.
х-3
-у-2
6. -—= 0.	7. х2 - (2а + 1) х + а2 + а = 0.
X — о
х2-(2а + 1)х + а2+а _ Q	х2-(2а + 1)х +а2 +а _
х	’	*	х-3
Ю х2 -(2а + 1)х + а2 +а _
2х-а
225
Серия 7. Неравенства с параметрами.
Для каждого значения параметра а решите неравенство (1—9):
1. |х-3|<а.	2. 3. ах < 3.	4.	| х - 41 > а. (а2 - 1) х > а - 1.
5. (х - 3) (х - а) < 0. 6.	2 ^^<0. х + 3
7. х2 + ах + 9 > 0.	8. 9. ах2 + 6х - 4 < 0.	х2 + ах + 9 < 0.
Серия 8. Квадратичная функция.
1.	Постройте график функции:
а)	у = х2 - 4х - 3;	б)	у = х2 + 4х + 11;
в)	у = —х2 + 3; г) у = ^х2	- х; д) у = -Зх2 + 6х - 1;
е)	у = х|х-2|;	ж)	у = |х| (х - 2);
з)	у = х2 - | 2х - 11;	и)	у = | х2 - 2х | + 1;
к)	у = | х2 - 11 - 2х.
2.	Найдите квадратичную функцию у = ах2 + Ьх + с, если:
а) вершина параболы М (-2; 3) и график проходит че-
рез точку N (3; -2);
б)	график пересекает ось Ох в точках М (3; 0) и
N (7; 0) и проходит через точку К (8; 20);
в)	график проходит через точки N (0; -1), К (1; 1) и
F(-l;-5);
г)	график проходит через точки М (1; 1), К (2; 13) и
F (-1; 7).
3.	Пусть у = ах2 + Ьх + с (а # 0), у (0) < у (3) и у (3) > у (5).
а) Сравните а с нулем.
б)	Сравните Ь с нулем.
в)	В каких пределах может изменяться отношение -?
а
Серия 9. Наибольшее и наименьшее значения
квадратичной функции.
1.	Найдите наименьшее значение функции:
а) у	= х2 - 7;	б)	у = 2 (х - 5)2 - 1;
в) у	= х2 - 4х - 1;	г)	у = 2х2 -х + 3.
2.	Найдите наибольшее значение функции:
а) у	= -х2 + 1;	б)	у = —(х - 7)2 - 3;
в) у	= -х2 - 8х	+ 11;	г)	у = -4х2 -х-3.
3.	При каком значении а наименьшее значение функции
у = х2 - 2х + а равно 6?
4.	При каком значении а наименьшее значение функции
у = х2 - ах + 7 равно 6?
226
5.	При каком значении а наименьшее значение функции
у = ах2 - 2х + 7 равно 6?
6.	При каком значении а наибольшее значение функции
у = ах2 + (а - 3) х + 1 равно 4?
7.	В фигуру, ограниченную параболой у = 4 - х2 и осью
Ох, поместили прямоугольник, две вершины которого
лежат на параболе, а две — на оси Ох. Найдите наиболь-
ший из периметров этих прямоугольников.
8.	Фигура ограничена параболами у = х2 - 4х - 7 и у =
= -х2 + 9. Найдите длину наибольшего отрезка, парал-
лельного оси Оу и лежащего внутри данной фигуры.
9.	Фигура ограничена параболой у = х2 и прямой у = 2х +
+ 3. Найдите длину наибольшего отрезка, параллель-
ного оси Ох и лежащего внутри фигуры.
Серия 10. Решение квадратных неравенств.
1.	Решите неравенство:
а) х2 - Зх - 4 > 0;	б)	х2 - 5х - 6 < 0;	в)	х2 > 16;
г) х2-7х+143 > 0;	д)	х2-17х - 143 <	0;
е) х2- 18х + 81 > 0;	ж)	х2 - 18х + 81 <	0,
з) (3 - 5х) (х+ 11) < 0.
2.	Решите неравенство:
а) | х2 - 7х + 51 С 5; б) | х2 - Зх | < х;
в) | х2 - Зх | > х; г) | х2 - 4х + 11 < | х2 - 11.
3.	При каких значениях параметра а неравенство х2 -
- Зах + 1 > 0 выполняется для всех действительных х?
4.	При каких значениях параметра а неравенство ах2 +
+ 5х + 3 > 0 выполняется при всех положительных х?
5.	При каких значениях параметра а неравенство
ах2 + (За2 -1)х-3>0 выполняется при х = 1?
6.	При каких значениях параметра а все решения нера-
венства х2 - Зх - 4 < 0 являются решениями неравен-
ства х2 - а < 0?
7.	При каких значениях параметра Ъ все решения нера-
венства х2 — 5х + 4 < 0 являются решениями неравен-
ства х2 - Ь2 > 0?
Серия 11. Графики функций.
1. Постройте график функции:
а) у = х2; б) у = ^; в) у = |х|; г) у = х3; д) у = Vx;
е) y = Vx; ж) у = ^-; з) у = Vl-'x2 .
227
2.
Постройте график функции:
I ч I I I	х2-Зх + 2	2х2+3х
а) у = | х - 11 + | х б) у = ——; в) у = ——
г) у = Vx2 + 4х + 4 - 2; д) у = л/4х2 +4х + 1 + 21 х |.
3.	Постройте график функции:
а)	у = х2 - 6х + 3;	б)	у = х2 - 6х + 31;
в)	у - х2 - 6 | х| + 3;	г)	у - х2-б|х| + 3|;
д)	у - | х2 - 6х + 31 - 3; е) у- х|(х-6) + 3;
ж)	у = х|х-б| + 3;	з)	у = х2 - 5х + | х - 31;
и) у = | х2 - 5х | + х - 3; к)	у - | х - 21 (| х | - 3)	- 3.
4.	Постройте график функции:
Ч	Ч	1	_ 2
а)у = ТТ2; б) у =Х ~ 3; в) у = Т~з +1; г) у = х--з
Д) У = з) у = - к) у =	х-2	.	|х|-2 х-3;	Ж>!1 = х|-2	х2 + Зх + 2 х-3 	х2-4х + 3 ; 3	X2 + 2х + 3 х	S	 х+2	х+2	(М оо 1	1 к к
5.	Постройте график функции:_____
а) у = Vx-2;	б)	у = х | - 3;
в) у = 7б-х;	г)	у = \х+24х- 1;
д) у = 7^-2л/х-1;	е)	у = -7x + 2Vx-l + 7*-2л/х-1.
Серия 12. Замена переменной
при решении уравнений.
1.	Решите уравнение:
а)	х4 - 5х2 + 4 = 0;
б)	7х4 - х2 - 6 = 0;
в)	Зх4 - 5х2 + 2 = 0.
2.	Решите уравнение:
а)	(5х2 + х - I)2 - (5х2 + х - 1) - 2 = 0;
б)	(Зх2 - х - I)2 - 18х2 + 6х - 1 = 0.
3.	Решите уравнение:
(	1Y	( 1
а)	х + —	-5 х + — +6 = 0;
V	х)	х)
б)	х2 + 5х + 8 + - + -4 = 0;
X X2
в)	х4 - 5х3 + 8х2 - 5х + 1 = 0;
г)	10х4 - 29х3 + ЗОх2 - 29х + 10 = 0.
228
4.
5.
Решите уравнение:
а) (х - 1) (х + 1) (х - 3) (х + 3) = 105;
б) х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 3.
Решите уравнение:
а)	х2 +1 + —— = 5,2; б)
xJ + 1
Зх+7 5х-1	_„
---— +-------= 5,2;
5х-1 Зх+7
в)
г)
д)
2х2+5х-1	2х —1
	 J_ 	 — R О*
2х-1________х2+5х-1_’ ’
2х2-5х+4	15x10
Зх-2 +2х2-5х + 4
[2 9х + 1 У t Г 18х + 2 У =g
x2+6x + lj	2x2+3x + 1J
Решите уравнение:
а) х2 - х (2а2 - а + 2) + а4 - а3 - 4а2 - 11а - 3 = 0;
б)	х4 - х3 - 2х2 (2 + а) — х (11 - а) + а2 - 2а - 3 = 0.
Серия 13. Системы уравнений.
1. Решите систему уравнений:
а) [ Зх + 5у = 11, б) J Зх + 5у = 20, в)
[2х-Зг/ = 17;	[6х + 10у = 7;
120х-15г/ = 51,
14х-3у = 10,2.
2.
При каких значениях а система уравнений
ах - 5г/ = а,
2х - 10г/ = 2
3.
4.
5.
а)	имеет единственное решение;
б)	не имеет решений;
в)	имеет бесконечное множество решений?
Решите систему уравнений:
а) (х + 2г/ = 3,	б) (Зх+4г/ = 12,
[х2 + 3хг/+5г/2 =3;	[х2 +у2 =5,76;
(5х-12г/ = 60,
В (х2 +у2 = 4.
При каких значениях а система уравнений
f 7х-24г/= 168,
[х2 +у2 = а2
а)	имеет два решения;
б)	имеет одно решение;
в)	не имеет решений?
Решите систему уравнений:
а) (х = Зг/,	б) J 2х - Зг/ = 0,
|х2 + 5хг/+ 7г/2 = 31;	[х2+3хг/+5г/2 = 47;
в) [х2 -5хг/+4г/2 =0, г) (х2 + 3ху+у2 =5,
\х2 +3ху+у2 =5;	[2х2 +ху-2у2 =-1.
229
6.	Решите систему уравнений:				+У1 +z-1 +1Г1 = 7, ч-у’1 + Z-1 + t~1 — 11, ч-у"1 +U'1 Ч-f1 = -5, 4-Z-1 4-U-1 Ч-f-1 =-13, + z-1 ч-u-1 ч-t-1 = 4;	
	а) ч в)	x+y +z + u = 7, Х+у +2 + t = 11, x+y +u + t = -5, X+Z+U+t = -13, у +z + u + t = 4; xyz = 1, xyt = 2, xtz = 4, yzt = 27.	б) 4	4= И И Н Н । । । । ।		
7.	Пр!	i каких значениях		Л,	Ъ, с	график функции
у = ах2 + Ьх + с проходит через точки М (1; -3) и
N (6; -48) и имеет с осью абсцисс одну общую точку?
3 х2 + 5 х_*1
8. При каких значениях а и Ъ выражения —=-------- и
х* -4х-5
о , а , b
3 ч--т ч---- равны при всех допустимых значени-
х + 1 X э
ЯХ X?
9. При каких значениях а система уравнений
fi/2 + 2i/(2 + x) + (x2 + 2х)(4-х2 ) = О,
[ у - ах - За - О
имеет не менее трех различных решений?
Серия 14. Арифметическая прогрессия.
1. Найдите сумму семи первых членов арифметической
прогрессии, если а2 = 7, а4 = 11.
2* Найдите сумму десяти первых членов арифметической
прогрессии, если а5 + aQ — 11.
3.	Найдите наибольшую из возможных сумм п первых
членов арифметической прогрессии, если = 137,
а2=121.
4.	Найдите последовательность общих членов двух ариф-
метических прогрессий -7, 11, 29, ... и -3, 11, 25, ... .
5.	Докажите, что если сумма первых п членов последова-
тельности задается формулой Sn = Зп2 + 5n, п е ЛГ, то
эта последовательность является арифметической про-
грессией.
6.	Докажите, что если сумма первых п членов последова-
тельности задается формулой Sn = 2n2 + In + 1, n е ЛГ,
то, начиная со второго члена, эта последовательность
является арифметической прогрессией.
230
7.	Пусть а2, ...» ап — арифметическая прогрессия,
ах = а, ап- Ъ (а > 0; Ь > 0). Выразите через а, Ь и п
сумму
8.	Может ли среди членов бесконечной арифметической
прогрессии быть:
а)	ровно одно целое число;
б)	ровно два целых числа;
в)	ровно одно иррациональное число?
Серия 15. Геометрическая прогрессия.
1.	Найдите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии, если:
а) Ь2- 7,	= б) Ь3 = 2; Ь5 = 8;
в) Ь17 = —131, &18S = 243; г)	zlk
I U g I Сл д — nt tz*
2.	Между числами 5 и 25 вставьте еще семь членов гео-
метрической прогрессии,
3.	При каких значениях а корни уравнений х2 - 5х +
+ 4 = 0 и 2х - а = 0 различны и составляют геометри-
ческую прогрессию?
4.	При каких значениях а корни уравнений х2 - 5х +
+ а = 0 и 4х - 1 = 0 различны и составляют геометри-
ческую прогрессию?
5.	Пусть числа а19 а29 ... составляют бесконечно убываю-
щую геометрическую прогрессию со знаменателем д.
Выразите через ах и д:
а) а, + а2 + а» + б) а2 +а2 + а2 +...;
в)	+ а2 +а| +... .
6.	Пусть числа а19 а29 ..., ап составляют геометрическую
прогрессию. Выразите через а19 п и q сумму:
а)	а* +а2 + ... +а2п ;
в)	(сь + I)2 + (а2 + I)2 + ... + (ап + I)2;
(	1Y f V (
г)	а, н—	+ а2 + +	+... + а„ + —
I 1 «J	I «2 ) I " ап
7.	Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если
одно из них удвоить, то эти числа, взятые в том же по-
рядке, образуют арифметическую прогрессию. Найди-
те эти числа, если первое из них равно 1.
231
8.	Три числа составляют арифметическую прогрессию,
сумма которой равна 12. Если одно из них удвоить, то
эти числа, взятые в том же порядке, образуют геомет-
рическую прогрессию. Найдите эти числа.
9.	Два положительных неравных числа являются пер-
вым и третьим членами арифметической и третьим
и первым членами геометрической прогрессии. У ка-
кой из этих прогрессий сумма трех первых членов
больше?
10.	На графике функции у = х2 взяты три точки, абсциссы
которых составляют геометрическую прогрессию. Со-
ставят ли геометрическую прогрессию их ординаты?
11.	На графике функции у = х2 взяли три точки, абсциссы
которых составили арифметическую, а ординаты —
геометрическую прогрессию. Докажите, что по край-
ней мере одна из этих точек не имеет рациональной
абсциссы.
Серия 16. Тригонометрические выражения.
1.	Найдите тригонометрические функции угла а, если:
ч .	3	Зя	_	12	л
a) sma =	--,	л<а< —;	б)	cosa = - —,	—	<а<л;
О	2	13	2
в) tga = 2V2, 0<а<^; г) ctga = -2V6, ^<а<2л.
2.	Постройте на единичной окружности точки, указав их
координаты:
а)	Рп , Р^п , Р7я , Р11тг ;
6	"б”	"б”
б)	Р£, Ргк, Р^, Р5я;
3	3	3	3
в)	Р_п ’ Рз л ’ Рбл ’ Р? л ’
4	4	4	4
3.	Пусть a — угол I четверти. Постройте на единичной
окружности точки, соответствующие углам:
ч	, л	Зя	Зп
а)	а, л - а, л + а, — - а, — - а, — + а;
2	2	2
б)	а + 2лй, k e Z;
в)	+а + 2лп, n g Z;
г)	а + nm, meZ;
д)	(-1)" а + пп, n е Z;
а + лл
е)	— , n е Z.
4.	При каких значениях а число является корнем урав-
о
нения 3 cos 6х + 2 sin 5 х + 5 cos 4х - 3 sin 3х + 2 cos 2х -
- sin2 х = a?
232
5.	При каких значениях а и Ь числа и являются кор-
нями уравнения a cos2 Зх + Ь cos 4х = sin2 х?
6.	Решите неравенство:
а)	х cos 8 > cos 8;
б)	х2 - х (cos 4 + cos 3) + cos 4 cos 3 < 0.
7.	Постройте график функции:
а)	у = sin2 х + cos2 х;
б)	у = sin2 (ctg х) + cos2 (ctg х);
г)	у = tg х ctg х.
8.	Вычислите:
ч . л . 2л . Зл . 71л
а)	sln 36 sln Зв sln 36 '" sm-36_;
л , 2л . Зл ,	,	35л
в)	cos- +003^+006-+ ... +OOS-—;
ч . л . 2л . Зл х 35л
в)	tg72 tg72 tg72 ... tg 72 ;
ч , л . . 2л ,	, . 71л
Г) ctg—+ ctg—+ ...+ctg—•
9.	а) Задайте на микрокалькуляторе любое число. Най-
дите его синус, найдите синус того, что получится,
и т. д. На каком шаге и на каком значении перестали
меняться показания? Почему?
б) То же с косинусом.
1.
2.
3.
5.
2.
3.
4.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБОБЩАЮЩИЕ ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
Работа 1
Упростите выражение
1
л/2(х-а)	( у[х У	+	2
2х—л	\ а/2х +	\ 2>/л J
Автомобиль, идущий со скоростью 100 км/ч, выехал
из пункта А в пункт Вив пункте С встретился с вело-
сипедистом, выехавшим на полтора часа раньше из
пункта В в пункт А со скоростью 10 км/ч. Если бы
скорость автомобиля была на 20 км/ч больше, а ско-
рость велосипедиста на 5 км/ч больше, то встреча про-
изошла бы на 10 км ближе к пункту А. Найдите рас-
стояние от В до С.
Найдите cos а, если cos (60° + а) =	120° < а < 210°.
э
Докажите, что при всех натуральных и, начиная с 5,
2" > и2.
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной
плоскости соотношением 2 (3 - 2х) > | у - х2 j + | у + х2 |.
Работа 2
Упростите выражение
_£	г	*1"2
_______X 2_______ ♦	1___________1
i+(Vx + i)2(i-Vx)-z ’[aVx(i-Vx) 2V*(i+Vx)_
i
2yfx -2х^х
Если велосипедист и мотоциклист выедут одновремен-
но из двух пунктов навстречу друг другу, то они встре-
тятся через 1 ч 20 мин. Если они выедут одновременно
в одном направлении, то мотоциклист догонит велоси-
педиста через 4 ч. Найдите отношение скорости мото-
циклиста к скорости велосипедиста.
sina =	<а < л. Найдите V3sin2a + sin^.
I2 22	п2	п(п + 1)
Докажите, что -—- + -—- +... + —--ттт;-тт = тттт;-
1-3 3-5	(2п-1)(2п + 1)	2(2п + 1)
п е N.
234
5.
Решите уравнение
| |х| + 2 + —-V6 || |х| + 2 + —k=-V5 1 = 0.
U * 1	2V3 Д' 1	273	)
Работа 3
1.	Вычислите —-------при х =	а > 0, b > 0.
x + Jl^	2^b V а)
2.	Если второй каменщик начнет работу на 4,5 дня позже
первого, то на всю работу уйдет 21 день. За сколько
дней каждый из них может выполнить эту работу
один, если у первого на это уйдет на 9 дней больше,
чем у второго?
3.	Упростите выражение
| tg (а + л) | sin4 Нт + а - ctg (л - а) sin3 a^/l-cos2 (л +а).
Найдите его значение для каждого натурального п,
л , л
если a = —п.
J.
4.	Докажите, что 11л + 2+122п + 1 делится на 133, где
п € АГ.
_ _	ч 5а-3	5(2а + 1)(1-а)
5* Решите уравнение 1 +----- 7---—------— •
х-а (x~a)(x-3a + l)
Работа 4
1.
2.
(x + 1) 2
Упростите выражение <	i)-Q5—<—при
a2 +1
x —------.
2a 9
3.
Три бригады, работая вместе, могут выполнить неко-
торую работу за а дней. Если сначала будет работать в
течение двух дней одна первая бригада, а затем в тече-
ние одного дня вторая и третья, то выполненной ока-
жется — работы. За какое время может выполнить всю
работу одна первая бригада? При каких значениях а
задача имеет решения?
Упростите выражение
2cos2 2a - л/3 sin 4| a + ^7
л
4
-1
. J	л
sin 4 a + —
ll	24
2cos2 I 2a + ^
I 2
. I J л
sin 4 —- - a
I I 24
235
и вычислите его значение, если это возможно, при
4.	Пусть члены последовательности вычисляются по фор-
муле ап = (2п + 1) • Зл. Докажите, что сумма первых п
членов последовательности вычисляется по формуле
Sn = п • Зл + 1.
5* По двум взаимно перпендикулярным шоссе начинают
двигаться по направлению к их пересечению две маши-
ны, Первая машина находится от места пересечения на
расстоянии 60 км и движется со скоростью 40 км/ч,
а вторая — на расстоянии 40 км и движется со скоро-
стью 30 км/ч. Через какое время расстояние между ма-
шинами станет минимальным? (Проехав место пересе-
чения шоссе, каждая машина движется дальше.)
Работа 5
1.	Упростите выражение
“|-2
(1-х2) 2+1 +-----1_—	: (2-Х2 -2V1-X2 ).
(1-Х2)'2-1
2.	В двух сосудах по 5 л каждый содержится раствор со-
ли. Первый сосуд содержит Зл р%-ного раствора, а
второй — 4 л 2р%-ного раствора одной и той же соли.
Сколько литров надо перелить из второго сосуда в пер-
вый, чтобы получить в нем 10%-ный раствор соли?
При каких значениях р задача имеет решение?
3.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
sin2 11° + sin2 131° + sin2 109°.
4.	Докажите, что произведение любых четырех натураль-
ных чисел, являющихся последовательными членами
арифметической прогрессии, сложенное с четвертой сте-
пенью разности этой прогрессии, есть полный квадрат.
ГС	11х-9 .
5.	Решите неравенство	х.
Работа 6
1. Упростите выражение
l-(mlx) 2	(	1-(/п2+х2)А 1	1
———— * I 1------------I ппи х = —
1
т + х
тх
т-
236
2.
3.
Двое рабочих, работая одновременно, выполняют не-
которую работу за 15 мин. Сколько времени потребу-
ется второму рабочему, чтобы одному выполнить эту
работу, если известно, что один первый рабочий вы-
полнил бы эту работу на т часов быстрее, чем второй?
tg а = -	< а < л. Найдите:
о 2
. а оч • о ач sina + 3cosa
1) sin-; 2) sin 2а; 3) —-----—------
2	5sina + 3cosa
4, Найдите такие целые числа п и пг, чтобы 7п + 3/п =
— 87, а их сумма была наименьшей и положительной.
5. При каких значениях а корни уравнения х2 - 5х - 6 =
= 0 перемежаются с корнями уравнения х2 - (8 -
- 5a) х - а - 9 - О?
Работа 7
1.	Упростите выражение
1
3	I / I-- I А 5
(x + a2 : Vx)5 1 - J— + а ^(х-a)3 .
V v х -Jх-у/а )
2.	Моторная лодка прошла 60 км против течения реки и
60 км по течению реки, затратив на путь против тече-
ния на 50 мин больше, чем на путь по течению. Най-
дите скорость течения реки, если скорость лодки в
стоячей воде 21 км/ч.
3.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
л	2л	4л
cos — cos — COS — .
7	7	7
4.	Если к четырем последовательным членам арифмети-
ческой прогрессии прибавить соответственно 7; 1; -3;
-6, то получим четыре первых члена бесконечной гео-
метрической прогрессии. Найдите ее сумму.
5.	При каких значениях а множества значений функций
у = ах2 -4х-3иу = х2 + 2ах - 6 совпадают?
Работа 8
j _ -	а х + й х	2 а b
1. Упростите выражение .	—— при х = —-------,
д/a + x-^/a-x	£г+1
а > 0, 0 < Ь < 1.
2. Если двузначное число разделить на некоторое целое
число, то в частном получится 4, а в остатке 6. Если
же в делимом поменять местами цифры, а делитель
оставить прежним, то в частном получится 3, а в
остатке 9. Найдите первоначальное двузначное число.
237
3.
Докажите, что выражение
sin3x
1-2 sin
не принима-
V5
ет значения — ни при каких значениях х
&
4.
Сумма квадратов членов бесконечной геометрической
прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6
раза меньше суммы четвертых степеней ее членов.
Найдите второй член прогрессии.
5.
Решите систему уравнений
7х2 + 3ху +8у2 = 6,
X2 +Х1/ +у2 = 1.
Работа 9
1. Упростите выражение
2.
3.
Двое рабочих, работая последовательно один за дру-
5
гим, выполнили некоторую работу. Первый работал
того времени, которое необходимо второму для выпол-
нения одному всей работы. Если бы они работали
вдвоем одновременно, то окончили бы работу на 6 ч
40 мин раньше, причем первый выполнил бы той ра-
боты, которую на самом деле сделал второй. За сколь-
ко времени каждый из них в отдельности мог бы вы-
полнить всю эту работу?
Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
8 cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°.
4. Сумма первых и членов некоторой последовательности
выражается формулой Sn = 5п2 - 7п + 3. Докажите,
что члены этой последовательности, начиная со второ-
го, образуют арифметическую прогрессию.
5. Найдите площадь фигуры, заданной соотношением
| Зх - 5 | + | 2у + 7 | < 6.
Работа 10
1.	Упростите выражение
(Va+Vb)2-4d а + 9д + бТоЬ
+ За 0 5 Г1 ’ Ь~°>5 + а"0'6
238
2,	Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 ч. Определи-
те, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в
отдельности, если известно, что из первой трубы в час
вытекает на 50% больше воды, чем из второй.
3.	Найдите множество значений выражения
tg a cos а + tg а sin а.
4.	Найдите наименьший и наименьший по модулю члены
последовательности ап = Зп2 - 118п + 115.
5.	Для каждого значения а решите неравенство ™ > 1.
1.
2.
3.
4.
5.
Работа 11
Решите уравнение
(х- 1)л/х2 -х- 6 = 6х - 6.
Решите неравенство
д/8-2х-х2	д/8-2х-х2
х + 10	2х+9
Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу
друг другу из пунктов А и В соответственно, расстоя-
ние между которыми 56 км. Через 2 ч они встречают-
ся и без остановки продолжают двигаться в прежних
направлениях с прежней скоростью. Определите ско-
рость каждого велосипедиста, если первый прибыл в В
на 1 ч 10 мин раньше, чем второй прибыл в А.
4
Найдите sin а и sin р, если sin (а + р) = sin (а - р) =
о
5 л Л	у
=я.0<р<«<?
Упростив выражение для f (х), постройте график этой
функции:
.	--г	— 4—,..  =---
yJx + 2 + д/х-2 т/х2 -4-х + 2 ;
(	х-1	2
^2(Vx + l) J Vx + 1)
Работа 12
1.	Докажите методом математической индукции равенство
1  2 + 2  5 + ... + п (Зп - 1) = п2 (п + 1).
239
2.	Решите неравенство
|х-10|	|х-10|
х2-Зх-2	х2-4х-5
3.	Найдите а + 0, если tg а = ^, tg 0 = и 180° < а +
2	о
+ р < 360°.
4.	Дорога из села в город сначала идет в гору, а затем под
уклон. Велосипедист проехал этот путь за 5 ч, а обрат-
но за 5 ч 30 мин. Определите расстояние от города до
села, если путь в гору (от села) на 30 км меньше спус-
ка, а скорость на спуске на 5 км/ч больше, чем на
подъеме.
5.	Упростите выражение
75-2^6 (5 + 2Тб)(49-20V6)
V27 -3 V18 +“з V12 -V8”
Работа 13
1* Найдите площадь фигуры, заданной неравенством
2.
3.
4.
Три первых члена геометрической прогрессии являют-
ся первым, четвертым и двадцать пятым
растающей арифметической прогрессии,
числа, если их сумма равна 114.
тт -	За 5а	.	2V6
Найдите cos — cos—-, если sina =-—, и
4	4	7
Упростите выражение
/
1	- V2a+1
I^V^+i
1__________
д/2а + 1 J2a^l
членами воз-
Найдите эти
Зя о
— <а <2л.
1
х
V2a+lJ’4a2-l
(2а -1)Т2о + 1 - (а +1)	,
5. Смешали 30%-ный и 10%-ный раствор соляной кисло-
ты и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько
граммов каждого раствора было взято?
Работа 14
1. От пункта А до пункта В по реке 24 км. С какой ско-
ростью должна идти лодка, чтобы на путь туда и об-
ратно затратить не менее 7 и не более 10 ч, если ско-
рость течения 1 км/ч? (В ответе укажите скорость лод-
ки в стоячей воде.)
240
2. Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
sin 20°cos 10°cos60° + cos 160°cos 100° sin 150°
sin21°cos9° + cos 159°cos99°
3.
В сберегательный банк поместили некоторую сумму, и
через 2 года она возросла на 512 р. 50 к. Сколько де-
нег было положено в банк, если вкладчикам выплачи-
4.
вается 5% годовых?
Докажите, что все решения неравенства
х2 + 2х-3
х2 -2х-8
являются решениями неравенства
12 + х-х2 о
х2-10х + 25 "
5. Девятый и девяносто второй члены некоторой арифме-
тической прогрессии являются соответственно семьде-
сят третьим и пятым членами другой арифметической
прогрессии. Найдите отношение разности первой про-
грессии к разности второй прогрессии.
Работа 15
1.	При каких значениях а все решения неравенства х2 — 1 <
< 0 являются решениями неравенства х2 + ах-11<0?
2.	Сложили три различных четырехзначных числа, запи-
санных одними и теми же цифрами. Докажите, что
данная сумма всегда делится на 3.
3.	Двое рабочих изготовляют вместе за 8 ч 136 деталей.
Если бы первый рабочий делал на 2 детали в час мень-
ше, а второй на одну деталь больше, то на изготовле-
ние одной детали второй рабочий тратил бы на 4 мин
меньше, чем первый. Сколько деталей в час изготов-
ляет первый рабочий?
4.	Найдите cos 2а, если 2 ctg2a + 7 ctga + 3 =0 и < a < 2л.
5.	Решите уравнение
13х-3х2 -^=-4^ + |4-х| = Зх|4-х|--^^ + 4.
/ГИ Illi
Работа 16
о	1^1
Решите неравенство —- > —-
2х 1-
2.
Найдите
Зл
"Г*
2	2
о a
2cos —
л
если sina = ~
Уб
3 и
2
241
Зх - 2у = а,
х2 +у2 = 9
3. На заводе рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На
сколько процентов нужно повысить производитель-
ность труда, чтобы количество продукции за день ра-
боты увеличилось более чем на 5%?
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна
64, а сумма ее первых трех членов равна 65. Найдите
третий член прогрессии.
5* При каких значениях а система уравнений
имеет единственное решение?
Работа 17
2	3
1.	Решите неравенство---- ч---- > 2.
х+1	х+2
2.	Из точек А и В, расстояние между которыми по пря-
мой равно 1 м, начинают одновременно двигаться в
одном направлении два тела. Первое тело движется с
постоянной скоростью из точки А, а второе — с началь-
ной скоростью 16 м/с и с некоторым постоянным
ускорением. Известно, что через 1 с после начала дви-
жения второе тело находилось от точки А на расстоя-
нии не большем, чем 15 м, а еще через 1с — не мень-
шем, чем 25 м. Определите скорость первого тела, ес-
ли через 3 с после начала движения расстояние между
телами составило 2 м.
3.	Докажите, что для углов любого треугольника АВС
справедливо равенство sin А + sin В + sin С = 4cos — х
в с
х cos — cos —.
.	_	1	• 3 • 5 • 7 •• 223	1
4.	Докажите, что 2 . 4.6.8 .	.	224	< й •
5.	Найдите tg а, если 6 cos2 а	+ sin а - 5 - 0 и	< а < 0.
Работа 18
1.	Упростите выражение
х2у-у2
X	л л
/ _ Ч х+у + ху__________хл-ул
Х У х+ W	(х+у)2 + х2у + ху2
к	У Х + У
х3 + х2у-х2 ~ху2 -у3 +у2
х + ху + у
242
2.	Перемножили все двузначные числа. На какую наиболь-
шую степень числа 3 делится это произведение?
3.	Пусть sina = x, sinB = -Д=, sin у = —^<а<тс,
3’ н VTT ' ЗЛ1 2
ТС	ТС	т у «_»
— < р < тс, — < у < тс. Найдите:
&	л
4.
а) sin (a + р + у); б) a + р + у.
Двум бригадам общей численностью 18 человек было
поручено организовать в течение трех суток непрерыв-
ное круглосуточное дежурство по одному человеку.
Первые двое суток дежурили члены первой бригады,
распределив это время между собой поровну. Извест-
но, что во второй бригаде 3 девушки, а остальные юно-
ши, причем девушки дежурили по 1 ч, а остальное
время юноши распределили между собой поровну.
При подсчете оказалось, что сумма продолжитель-
ностей дежурств каждого юноши второй бригады и
любого члена первой бригады меньше девяти часов.
Сколько человек в каждой бригаде?
Вершины М и F прямоугольника KNFM лежат на оси
Ох, а К и N — на параболе у - 1 - 0,25х2. Длина диа-
гонали MN - - V13. Найдите площадь прямоугольника.
Работа 19
i	1	3V7 и -	4 . 1
1.	Пусть а — = - „ . Найдите а +-т*
а 7	а4
2.	Найдите два натуральных числа, разность кубов кото-
рых равна 127.
3.	Величины углов образуют арифметическую прогрес-
сию 5°; 10°; 15°; .... Какое наименьшее число членов
этой последовательности, начиная с первого, надо
взять, чтобы сумма их косинусов была равна нулю?
2 х
4.	Постройте график функции у = ?--1—j---?•
IX -	| X + 1|
5.	Решите неравенство х2 - (V5 + V2)x + ^800 <0.
Работа 20
тт	. 39я г 39л
1.	Докажите, что sm —— + cos—— < V2.
loO IbU
2.	На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно за-
тратить не более 1р. 40 к. Тетрадь в клетку стоит
3 к., в линейку — 2 к. Число купленных тетрадей
в клетку не должно отличаться от числа тетрадей в
243
линейку более чем на 9. Необходимо купить макси-
мально возможное суммарное количество тетрадей,
при этом тетрадей в линейку нужно купить как можно
меньше. Сколько тетрадей в клетку и сколько в ли-
нейку можно купить при указанных условиях?
3.	При каких целых значениях а неравенство
4х* 1 2-х(2а-9) + 30 Л
----=---------> 0 выполняется при всех х?
х2+Зх + 7
4.	Даны прогрессии 0; 5; 10; 15; ... и -2; 5; 12; 19; ... .
Найдите сумму десяти первых чисел, являющихся их
общими членами.
5.	Постройте график функции у — | х2 - х | - Зх.
ТЕКСТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ
ДЛЯ IX КЛАССОВ
С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ
1991 год
Вариант 1
1. Найдите значение выражения —~----------1- 13,7 • 25,3.
11,0
2. Решите уравнение :---j— = 1.
О и	(х-2)(х2+2х + 3)
3. Решите неравенство ----—---------0.
н	х2 + х-12
4. Докажите утверждение
cos (170 ° + а) - sin (100 ° - а)
sin(280°-a)
5. Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч
быстрее другого. Найдите скорость каждого поезда, ес-
ли известно, что первый проходит 240 км за то же
время, что второй проходит 200 км.
Вариант 2
1 г.	-	82,63+31,63	_
1. Выполните действия ------ --------82,6 • 31,6.
7 + х
2. Решите уравнение ,-----1— = -1.
| х +1| - 6
Х2 _ 7 Х _|_ Ю
3. Решите неравенство ---------50.
н	(х + 3)(х2-Зх +10)
244
л „	sin(290°+a)-cos(340°-a)
4. Докажите утверждение ----------sin(110° + a)---~ = “2-
5. Расстояние, равное 840 км, один из поездов проходит
на 2 ч быстрее другого. В то время как первый поезд
проходит 63 км, второй проходит 54 км. Сколько вре-
мени тратит каждый поезд на прохождение этого рас-
стояния?
1993 год
Работа 1
Вариант 1
3	2	1
1.	Решите уравнение —--------+ — -- = — —.
F	х2-2х + 1	1-х2 х + 1
2.	Докажите утверждение sin 10° cos 20° cos 40° — 0,125.
3.	Упростив выражение, сравните полученное число с
нулем: (2V6-5)2 -10^49-20-/6 4-1.
4. Постройте график функции у =
х2 + 2х -1 при х < 1,
4
---- при X > 1
х + 1
используя его, определите область значений функции и
все целые значения, принимаемые функцией ровно в
двух различных точках.
5. Два пешехода идут с постоянными скоростями навстре-
чу ДРУГ другу из пунктов А и В, расстояние между ко-
торыми 15 км. Второй вышел из В на 1 ч 15 мин позже,
чем первый из А, и до встречи находился в пути
45 мин. Прибыв в В, первый пешеход сразу повернул
обратно. Какова скорость первого пешехода, если в А
он пришел одновременно со вторым пешеходом?
6. Найдите наибольшее с, при котором система
/х2 -2ху + 3у2 =6,	,
]х 2у - с	имеет хотя бы одно решение.
Вариант 2
1.	Решите уравнение ——------1-—= —Ц-.
н	х2+6х+9 9-х2	х-3
2.	Докажите утверждение 4 cos 36° cos 72° - 1.
3.	Упростив выражение, сравните полученное число с
нулем: (4- Зл/2)2 +8^34- 24^2 - 2.
245
4.
Постройте график функции у =
2	п
---- при х 2,
х-3
-х2 + 8х-14при х> 2
и, используя его, определите область значений функции
и все целые значения, принимаемые функцией ровно в
трех различных точках.
5. Из пункта М в пункт К, расстояние между которыми
260 км, одновременно выехали автомобиль и автобус.
Доехав до К, автомобиль сразу повернул обратно и
встретил автобус через 4 ч после своего выезда из М.
Найдите скорость автобуса, если он прибыл в К на 1 ч
18 мин раньше, чем автомобиль в М. (Скорость автомо-
биля и автобуса считать постоянными.)
6. Найдите наименьшее а, при котором система уравнений
(у-х + а-0,
|2х2 - Зх + г/2 ч-t/ - 17 имеет хотя одно решение.
Оценка «5» ставится за любые пять верно выполнен-
ных заданий.
Работа 2
Вариант 1
1. Упростите выражение
2.
Докажите утверждение
tg- + ctga
х — х$	-
^^-2x3
хз -1
1 + хЗ
Г'
1-хз
3.	Решите уравнение--------------— = —.
о ~ о 24
х-3 + —	Х+2+—
х	х
4,	При каких значениях п сумма первых п членов арифме-
тической прогрессии 7; 11; ... не превосходит 375?
5.	При изготовлении первой партии деталей мастер в тече-
ние 1 ч работал один, после чего к нему присоединился
ученик, и через 4,5 ч после начала работы мастера рабо-
та была выполнена.
При изготовлении второй партии деталей, в 1,5 раза
большей, чем первая, ученик начал помогать мастеру
через 40 мин после начала работы последнего. По окон-
чании работы выяснилось, что мастер изготовил в
2,6 раза больше деталей, чем ученик. Считая
производительности мастера и ученика постоянными,
определите, за сколько часов мастер, работая один, из-
готовит первую партию деталей.
246
6.	Изобразите на координатной плоскости область, задава-
емую неравенствами у > 2х2 + 4х-1их + г/< 2, и ана-
литически найдите такое р9 при котором отрезок пря-
мой х - р, лежащей внутри области, имеет наибольшую
длину.
Вариант 2
1. Упростите выражение
2
1 + 2п3
2 Л 2
а + а3	1-а3
1 •
а3 +1 j 1—а3
2.
Докажите утверждение
ctg а- ctg „
£
3.	Решите уравнение (х2 + х - 2) (х2 + х - 12) = 144.
4.	При каких значениях п сумма первых п членов арифме-
тической прогрессии 19; 13; ... не меньше -240?
5.	Из пункта А в пункт В вышел пешеход, а в тот момент
времени, когда он прошел пути, из В в А выехал вело-
о
сипедист. Встреча между ними произошла через 1 ч
30 мин после выезда велосипедиста. Если бы велосипе-
дист выехал из В спустя 2 ч после выхода пешехода из
А, то к моменту встречи он проделал бы расстояние в
1,4 раза большее, чем пешеход. Считая скорости пеше-
хода и велосипедиста постоянными, найдите время, за
которое пешеход пройдет расстояние от А до В.
6.	Изобразите на координатной плоскости область, зани-
маемую неравенствами у - 2х > 5 и у + х2 + 4х 0, и
аналитически найдите такое а, при котором отрезок
прямой х = а, лежащей внутри области, имеет наиболь-
шую длину.
Оценка *5» ставится за любые пять верно выполненных заданий
Ответы. Указания. Решения
§	1
1.1.	2.	1.2. 69.	1.3. -140,6.	1.4. -1-.	1.5. 1.	1.6. 36-.
6	6
1.7.	24,875. 1.8. 25.	1.9. 5.	1.10. е) —;	ж) —;	з) —.
34	16	69
1.17.	100...0200...01. 1.18. 99...9800...01. 1.19. а) 4 и 5; б) 24 и
п раз п раз	п-1раз п-1раз
25; в) 375 и 376, г) таких нет. 1.20. а) 12, 23, 34, 45, 56, 67,
78, 89; б) 81, 92; в) 12, 24, 36, 48. 1.21. а) 2893; б) 4000;
в) 4001. 1.22. 555000; 500055. 1.24. г) 301; д) 2408; е) 2017.
1.25. а) 7; б) 3,5; в) 47; г) 18. 1.26. а) 2|; б) 2^; в) 7Щ.
1.27. а) 12; б) 9, 3, 1, 5. 1.28. а) 240 км; б) 40 км/ч; в) 10 ч;
г) 48 км/ч. 1.29. На расстоянии 4 км от А. 1.30. а) 6; б) 2;
в) 2; г) 1776; д) да. 1.42. г) | а | = 1, b * 0; з) а > 0, Ъ = 0;
и) а < 0, Ъ < 0. 1.43. 12,5%. 1.44. 1300 г. 1.45. Снизилась
на 4%. 1.46. Снизилось на 4%. 1.47. Они равны. 1.48. -2, 1.
1.51.	1.56. 0,625. 1.57. Нет решений. 1.59. 1-. 1.60. -2,25.
2
1.61.	а) За 1 день; б) за 3- дня; в) одинаково; г) 22 р. 50 к. —
Пете, 15 р. — Коле, 7 р. 50 к. — Васе; д) 33 р. 75 к. — Пете,
7 р. 50 к. — Коле, 3 р. 75 к. — Васе; е) 15 р. — Пете, 25 р. —
Коле, 5 р. — Васе; ж) 18 р. 75 к. — Пете, 12 р. 50 к. — Ко-
ле, 13 р. 75 к. — Васе; з) 13 р. 50 к. — Пете, 24 р. — Коле,
7 р. 50 к. — Васе.
§2
2.1. а) 2а; б) 4fc>; д) а3; ж) 65 - 32.	2.3. а) 8; б) -1.
2.4. а) (а2 - а - 1) (а2 - а + 1). Указание, а4 - 2а3 + а2 - 1 = (а2 -
- а)2 - 1; б) (Ъ2 - Ъ - 1) (b2 + b + 1). Указание. b* - b2 - 2Ъ - 1 =
= (d2)2 - (d + I)2; в) (с4 - с2 - 1) • (с2 + с + 1) (с2 - с + 1). 2.5. а) (а +
+ b + 1) (а - b + 1); б) (2а - 1) (2b - 1).	2.8. а) (п2 - 2п -
- 4) (п2 + 2п - 4). Указание, п4 - 12п2 + 16 = п4 - 8п2 + 16 -
- 4п2 = (п2 - 4)2 - (2п)2; б) (тп2 + 2т + 3) (тп2 - 2тп + 3); в) (р2 +
+ 6р + 18) (р2 - 6р + 18). Указание. р4 + 324 = р4 + 36р2 + 324 -
- Збр2 = (р2 + 18)2 - (6р)2. 2.9. а) (х2 + 1) • (х2 - х - 1); б) (р2 +
+ 2у + 2) (р2 - 2р + 2) (р4 -у2 - 4).	2.10.	а) (Ь - а) (Ъ + 2а - 1);
б) 4а (b + 1); в) (а - b + 1) (а - Ъ - 1); г) 4а (а + 2). 2.12. 174.
Решение. 122 = (а + b + с)2 = а2 + Ъ2 + с2 + 2 (ab + Ьс + са) =
248
= a2 + b2 + c2 + 2 (-15), откуда a2 + b2 + c2 = 174.	2.13.	-23.
2.14.	a) (a + b + 3c) • (a + b - с); б) (1 + a - b + c) (1 - a + b - c).
2.15. a) (x + z) (x + y) (y - z); 6) (a - b) (c - a) (b - c). 2.16. (x + y) x
x (y + z) (z + x). 2.17. (a + b) (b + c) (c + a). 2.18. -3 (x + y) (y +
+ z) (z + x). 2.20. a64 - d64. Указание. Умножьте данное выра-
жение на а - b и 6 раз последовательно примените формулу раз-
ности квадратов. 2.21. -1. Указание. Исходное выражение
тождественно равно (2a - 3d)2 - 1. 2.22. 4. 2.23. 1; a = b=l.
2.24. 4; а = b = 2. 2.25. Решение. Умножим обе части данного
равенства на 2, перенесем все слагаемые в левую часть и после
группировки получим (х - у)2 + (у - z)2 + (z - х)2 = 0. Поскольку
каждое слагаемое неотрицательно, то сумма их равна 0 тогда и
только тогда, когда x-z/ = z/-z = z- x = 0, т. е. х - у - z.
2.27. в) х*±1; х * 0. 2.28. в) а *1,5, а *-0,25; г) b * 0,
Ь * ±3. 2.29. а) х * -2, х Ф 0; б) у * |. 2.30. а) а * 2, а * 4.
Указание, a2-6a+ 8 = a2-2a- (4а - 8) = (а - 2) (а - 4); б) b *
* -3, b * 0,5. 2.31. а) х * ±0,75у2; б) х * z/, х * —6г/; в) а + d * 3,
а-&*3. 2.32. а) 0,16; б) 0,64&2. 2.33. а) -16*2+12хУ2+9У4 .
4х + Зу2
б)	tl. 2.34. а) 1------. Указание, a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 +
а11	а2 + а +1
+ 1 - а2 = (а2 + I)2 - а2 = (а2 - а + 1) (а2 + а + 1); б) d2 + 2d + 2.
Указание, d4 + 4 = (d2 + 2)2 - (2d)2 = (d2 + 2d + 2) (d2 - 2d + 2).
2.35. а) c~a~b; б) -^L. 2.36. а) (с2?2)(оС~1) ; б) х32 + х16 + 1.
a + d+c	х —2	с4 — с3 + с2 — с +1
—	X47 + X46 + ...+X + 1
Решение. 1-и способ. --------------------=
X15 + X14 + ...+ Х + 1
_ (х47 + ...X32 )+(х31 + ...+ х16) + (х15 + ...+ х + 1)_
х15 + х14 + ...+ х + 1
_ X32 (X15 + ...+ х + 1)+ х16(х15 + ...+ х + 1)+(х15 + ...+ х + 1) _
х15 + х14 + ...+ X + 1
= (х15 + -+х + 1)(х32 + х16 +1) = х32 + х16 + i
х15 +...+ х + 1
2-й способ. Умножая числитель и знаменатель исходной дро-
би на х - 1 и используя формулу разложения на множители
п -I	X48-l	(X16)3-l	32	16
выражениях х-1, получим -------------=---------= х + х10 +1.
х16-1	х16-1
2.37.	а) а2 + За; -2,21 при а = -1,3; значение дроби не существу-
ет при а = -2 и при а = 3; б) (d + 1) (d4 - d2 + 1); -13 при d - -2,
-	,	_	a + d+ c
значение дроби не существует при d = 1. 2.38. ------------—.
249
2.39.	a) -4; б) 17.2.40. в) х 4-4. 2.42. У к а з а н и е. Выражение
х4 « jo т	6ху(2х + 3у)
тождественно равно -------. 2.43. ----. 2.44. —------
(2у+х)2	п(т-п)	Зу-2х
245‘ (^Ь-с)- 2-46-	2-47- х’5- 2-48- -772- 2-49-
2.50.	а) -1; б) -J—; в)	Г)	251‘ а)
2(х-2)	(a-b)2	a2—ab
б) aV’. 2.52. a) (3“-Wll’t2); 6)	в) 2-^. г)
Ь — 2	Ь+2с х—3
л (х+д)(х-с) л . х + 2ы л-- х-и-1	о
2.53. --------. 2.54. -2.55. ------—. Указание, х2 - ху +
(х-а)2	2х-у	х + 2у
4-4x-5i/-5 = x2-xe/-x4-5x-5e/-5 = x(x-i/-1)4-5(x-i/-
- 1) = (х - у - 1) (х + 5). 2.56. х6 - 8. Указание, х8 - 16 = (х4 -
- 4) (х4 + 4) = (х2 - 2) (х2 + 2) ((х2 + 2)2 - (2х)2) = (х2 - 2) (х2 + 2) х
х (х2 - 2х + 2) (х2 + 2х + 2), х4 - 2х3 4- 4х2 - 14х 4- 4 - (х2 4- 2)2 -
- 2х (х + 2) = (х2 + 2) (х2 - 2х + 2).	2.57. а) -2а - 3; б) а + Ь;
в) а-с. 2.59. -4. 2.60. ——. 2.61. -L_. 2.62.  — .
2т	х 4-2	(а-2)(а-1)
2.63. ——.2.64. 0,5а (а 4- с - 5); 1,2. 2.66. Указание. На мно-
Х4- у
жестве допустимых значений переменных исходное выражение
тождественно равно -(6 4- I)2. 2.67. Указание. Данное выраже-
ние тождественно равно —2.68. а) 5; б) в) 2.73. 4.
2.74. -9, -3, 5. 2.75. п > 4. 2.76. п = 4/г - 1, где k — нату-
ральное, п 7.	2.77. а) а = i, 6 = -^; б) а = Ь = -^.
7	7	5	5
2.78. а) ----5---; б) ---5--.
х(х4-5) х(х + 15)
§3
3.6. Решение. п2 + п = п(п + 1) — произведение двух последо-
вательных целых чисел, значит, одно из них четное, т. е. делит-
ся на 2. 3.7. Указание. Сгруппировав первое и последнее сла-
гаемое, второе и предпоследнее и т. д., воспользуйтесь формулой
суммы кубов. 3.8. Решение. I3 4- 23 4-... 4- 93 = (I3 4- 93) 4-
4- (23 4- 83) 4- (З3 4- 73) 4- (43 4- 63) 4- 53 = 10п 4- 125 не делится на 10.
3.9. Решение. Если одно из чисел т или п четное, то тп, зна-
чит, и тп (т + п) — четное. Если же оба числа нечетные, то
т 4- п, значит, и тп (т 4- п) — четное. 3.10. Указание. Число
делится на 111, значит, и на 37. 3.12. Указание. Если
а + — = k, то а2 +	= k2 - 2, а3 4- ~ = k3 - 3/г. 3.13. Решение.
а	а2	а3
ad 4- be = (а 4- с) (Ь 4- d) - (ab 4- cd), поскольку уменьшаемое де-
250
лится на а 4- с, вычитаемое делится на а 4- с по условию, то раз-
ность, т. е. ad 4- be, делится на а 4- с. 3.14. Нет. Решение.
Пусть каждый из 27 учеников дружит ровно с девятью одноклас-
27. 9
сниками, тогда количество дружащих пар равно —----не целое
число. 3.19. Нет. 3.20. Нет. Указание. Если предположить,
что 3k = 12g 4- 2, где k п q — целые, то отсюда следует, что 2 де-
лится на 3. 3.23. 3. 3.24. 4. 3.25. 12п - 3, п е N. 3.28. 1.
3.29. Решение. Так как п не кратно 2, то п = 2k 4- 1 и
п2 - 1 = (п 4- 1) (п - 1) = 4k (k 4- 1). Поскольку k (k 4- 1) делится
на 2, то п2 - 1 делится на 8. Так как п не кратно 3, то либо п 4- 1,
либо п - 1 кратно 3, т. е. п2 - 1 кратно 3. Следовательно, п2 - 1
кратно 24, т. е. п2 = 24т + 1. 3.31. 4. 3.32. 15п + 13. 3.33. 7.
Указание. 10! делится на 42. 3.34. 7. 3.35. 11. 3.36. а) 7;
б) 1. 3.37. Нет. 3.39. Указание, т2 - п2 = (т2 - 1) - (п2 - 1).
Далее воспользуйтесь № 38. 3.40. б) У к а з а н и е. п2 + Зп =
= п (п 4-1) 4-2п. Далее используйте № 40, а. 3.42. б) Указа-
ние. п3 4- Ип = (п3 - п) 4- 12п. Далее используйте № 42, а.
3.46. а) Решение. Пусть существует а е Z такое, что
а2 = Зп - 1. Ясно, что а не кратно 3 (в противном случае левая
часть равенства кратна 3, а правая нет). Тогда а = 3k ± 1, где
k е Z. Имеем (3k ± I)2 = Зп - 1, откуда 3 (3/?2 ± 2k - п) = -2. При-
шли к противоречию, так как левая часть равенства — целое
число, кратное 3, а правая нет. 3.47. 31. Решение. Поскольку
три данных числа дают равные остатки при делении на п, то
2146 - 1991 = 155 делится на п, 1991 - 1805 = 186 делится на п.
Значит, 186 - 155 - 31 кратно п, но n > 1, а 31 — простое число,
значит п = 31. 3.49. а) Решение, n2 + п + 9 = (п + 3) (п - 2)+
4- 15. Если п + 3 кратно 5, то и п - 2 кратно 5, отсюда
(п + 3) (п - 2) кратно 25 и (п 4- 3) (п - 2) + 15 не кратно 25. Если
же п + 3 не кратно 5, то и п - 2 не кратно 5, тогда (п 4- 3) (п - 2)
не кратно 5 и (п + 3) (п - 2) + 15 не делится на 5, значит, и на
25; б) Указание, n2 + п + 9 = (п + 4) (п - 3) + 21. 3.50. Ука-
зание. п2 + 5п + 16 = (п - 4)2 + 13п. 3.51. Да. 3.55. neN.
3.57. neN. Решение. п6 4- 2n5 -n2-2n = n5(n + 2)-n(n +
+ 2) = (п + 2) (n5 - n) - (п - 1) n (n 4- 1) (п + 2) (п2 4- 1). Заметим,
что п-1, п, п + 1 и п + 2 — четыре последовательных натураль-
ных числа при n > 1 (если n = 1, то данное число делится на 120,
поскольку в этом случае оно равно 0). Значит, по крайней ме-
ре одно из них кратно 3 и два из них — последовательные чет-
ные числа, одно из которых делится на 2, другое — на 4. Итак,
(п - 1) n (n + 1) (п + 2) делится на 3 и на 8. Если при делении п
на 5 остаток равен 0, 1, 3 или 4, то число n, п — 1, п + 2 и n+ 1
соответственно делится на 5. Если же n = 5g 4- 2, где g > 0 — це-
лое, то п2 4- 1 = 25g2 4- 20g 4- 5 кратно 5. Таким образом,
(п - 1) п (п 4- 1) (п 4- 2) (п2 4- 1) делится на 5. Поскольку числа 3,
5 и 8 взаимно простые, то данное число делится и на их произ-
251
ведение, т. е. на 120. 3.61. Решение. Число п не являет-
ся четным числом, так как п и 6 взаимно просты.
п2 - 1 = (п - 1) (n + 1) — произведение двух последовательных
четных чисел, поэтому п2 - 1 кратно 8. Число п не кратно 3, так
как и и 6 взаимно просты, значит, п - 1 или п + 1 кратно 3.
Итак, п2 - 1 делится на 3. Числа 3 и 8 взаимно просты, поэтому
п2 - 1 делится на 24 (их произведение), т. е. п2 = 24тп + 1.
3.63. а) 2; б) 3; в) 2; г) 5. 3.65. 14 и 21. 3.67. 3. Решение.
Поскольку сумма цифр каждого рассматриваемого шестизначно-
го числа равна 21, то каждое из чисел кратно 3, но не кратно 9.
Заметим, что 123 465 - 123 456 = 9, значит, НОД является дели-
телем числа 9. Таким образом, НОД равен 3. 3.69. 11. 3.70. 232
и 231. 3.71. Указание. Предположив противное, имеем
п2 - 1 — простое число. 3.72. 13, 17 и 19. 3.73. в) Решение.
Поскольку р > 3 — простое, то р — нечетное; р2 - 1 = (р - 1) х
х (р + 1) — произведение двух последовательных четных чисел,
поэтому делится на 8. Рассмотрим числа р - 1, р, р 4- 1. Это три
последовательных целых числа, значит, одно из них кратно 3,
этим числом не может быть число р, так как оно простое и боль-
ше 3. Значит, р2 - 1 кратно 3. Следовательно, р2 — 1 кратно 24,
так как 3 и 8 взаимно просты. 3.81. 5. Указание. Используйте
то, что единственным четным простым числом является число 2.
3.82. Решение. 210 + 512 = (25 + 56)2 - 2 • 25 • 56 = (25 + 56)2 -
- 106 = (25 + 56 - 103) (25 4- 56 4- 103). Итак, данное число разло-
жено на два множителя, каждый из которых больше 1.
3.83. Решение. Число р > 3 — простое, значит, р = 6/? ± 1,
k е N (см. № 73, а). Тогда 2р 4- 1 = 12/? ±2 4-1, но по условию
2р 4- 1 — простое, следовательно, 2р 4- 1 = 12/? -1 и р = 6/?-1,
тогда 4р 4- 1 = 3 (8/? - 1) — составное. 3.84. 3. Указание. Про-
верьте р = 2 и р = 3. Используя утверждение № 73, покажите,
что 8р2 + 1 делится на 3 при р > 3. 3.85. 6. Решение. Число
оканчивается цифрой 1 или 6, поскольку п3 - 1 кратно 5. Зна-
чит, п = 5/? 4- 1,	/? g N; тогда 0,2 (и3 - 1) = 0,2 (125/?3 +
4- 75/?2 4- 15/?) = /? (25/?2 4- 15/? 4-3) — простое число лишь при
/? = 1. 3.86. Решение. Пусть р — наибольшее простое число.
Выпишем все простые числа 2, 3, 5, ..., р и рассмотрим число
п = 2- 3- 5- ...-р4-1 (произведение всех простых чисел, увели-
ченное на 1); число п не является простым (оно больше наиболь-
шего из простых), значит, имеет некоторый простой делитель рг
Число 2 • 3 • 5 • ... • р также делится на рр так как pt — один из
множителей. Отсюда заключаем, что pt — делитель 1. Пришли к
противоречию. 3.87. Указание. Рассмотрите 1992 числа
1993! + 2, 1993! + 3, ..., 1993! 4- 1993, каждое из которых, оче-
видно, составное. 3.88. 5. Решение. -2 = 3 • (-1) + 1,
24 = 3 • 8 + 0, 26 = 3 • 8 4- 2. Видим, что числа -2, 24 и 26 при де-
лении на 3 дают разные остатки, значит, и числа п - 2, п + 24 и
п + 26 при делении на 3 дают разные остатки. Возможных остат-
252
ков лишь три: 0, 1, 2. Следовательно, одно из чисел п - 2,
и + 24, п + 26 делится на 3. Так как эти числа простые, то одно
из них равно 3. Ясно, что этим числом может быть лишь число
п - 2, откуда п = 5. Проверкой убеждаемся, что при п = 5 все три
числа — простые. 3.89. а) 26; б) 20; в) 36; г) 160. 3.90. Ука-
зание, а), б) Число делится на 3. 3.92. У к а з ан и е. 49100 окан-
чивается цифрой 1, а число 1450 — цифрой 6. 3.95. Нет. Реше-
ние. Пусть существует целое число а такое, что десятичная за-
пись числа а2 содержит шесть единиц и семь нулей. Тогда по
признаку делимости а2 кратно 3, значит, а кратно 3 (так как
3 — простое число), отсюда а2 кратно 9. Получили противоречие
с признаком делимости на 9. 3.96. Нет. Решение. Число 5” + 1
оканчивается 26 при п > 1 или равно 6 при п = 1, значит, не
кратно 4. Число 5* - 1 оканчивается 24 при k > 1 или равно 4
при k = 1, значит, кратно 4. 3.97. Нет. Решение. Пусть суще-
ствует целое число а такое, что сумма цифр числа а2 равна 1991.
Тогда а2 не кратно 3, значит, и а не кратно 3, т. е. а = 3k ± 1.
Итак, а2 = 9Л2 ± 6/? + 1 = ЗЬ + 1, т. е. число а2, следовательно, и
сумма цифр числа а2 при делении на 3 дает в остатке 1. Пришли
к противоречию, так как 1991 при делении на 3 дает в остатке 2.
3.99. а) Указание. 5” + 3 = (5” - 1) + 4. 3.103. Указание,
а) 7п - 6 • 2п = (7” -	2п) - 5 • 2п;	б) 7п + Зп + 1 = (7п - 3”) + 4	•	3”;
в) 5” + 2п + 1 = (5” -	2п) + 3 • 2п;	г) 9” + 4” + 1 = (9” - 4”) + 5	•	4”.
3.104. Указание,	а) 21” + 4” +	2 = (21” - 4”) + 17 • 4”; б) 15” +
+ 7” + 1 = (15” - 7”) +	8 • 7”; в)	13” + 3” + 2 = (13” - 3”) + 10	•	3”;
г) 5” + 7 • 9” = 8 • 9” - (9” - 5”). 3.105. У к а з а н и е. б) 5” + 11” +
+ 2 = (5” + 1) + (11” + 1); в) 5” + 13 • 11” - 4 = (5” + 1) + (11” + 1) +
+ 12 -11”-6; г) 1” + 3” + 5” + 7” = (1” + 7”) + (3” + 5”). 3.106. Ука-
зание. а) 7 • 52” + 12 • 6” - 7 (25” - 6”) + 19 • 6”; б) 7” + 2 +
- 82” +1 = 57 • 7” + 8 (64” - 7”); в) З3” + 2 + 5 • 23” +1 = 9 (27” - 8”) +
+ 19 -8”; г) 62” + 3” + 2 + 3” = 3” ((12” - 1) + 11). 3.107. Указание,
а) 5” + 8” - 2” +1 = 2 (5” - 2”) + (8” - 5”); б) 5” + 7”-2” + 1 = 2(5”-
2”) + (7” - 5”) = 2 (52* - 22*) + (49* - 25*), где n = 2k. 3.108. Ука-
зание. а) Если п нечетное, то 1” + 3” + 5” + 7” делится на 8; ес-
ли п четное, то п = 2k и 1” + 3” + 5” + 7” = 1* + 9* +
+ 25* + 49* = (49* - 1) + (25* - 1) + (9* - 1) + 4 делится на 4; г) ес-
ли п нечетное, то условие, очевидно, выполняется; если п чет-
ное, то п = 2k и 1* + 9* + 25* + 49* + 81* + 121* + 169* +
+ 225* = (225* - 1) + (169* - 1) + (121* - 1) + (81* - 1) + (49* - 1) +
+ (25*- 1) + (9* - 1) + 8 кратно 8. 3.109. Указание. Если п
четное, то n = 2k, 25k - 9* + 4k делится на 4. Если п нечет-
ное, то 52* + 1 - 32* + 1 + 4k + 2 = (52*+ 1 - 1) - (32*+ 1 + 1) + 4k + 4
делится на 4. 3.110. а) 37; б) 64. 3.111. 54. 3.112. Указа-
ние. Предположив противное, получим равенство 10х = у х
х (х - 1) и, используя то, что х и х - 1 взаимно простые, пока-
жите, что х = 1. 3.113. Нет. Решение. Пусть х, у, z - коли-
чество 5-, 20- и 50-копеечных монет соответственно. Тогда
253
J5x 4-20i/4-50z = 500, „
|x+^ + 2 — 20	Вычитая из первого уравнения системы
второе, имеем: Зу + 9 у = 80. Получили противоречие, так как ле-
вая часть равенства — целое число, делящееся на 3, а правая
нет. 3.114. а) Нет; б) на 5; в) на 2; г) 262 161; д) 196 621;
е) 589 863 р. 3.115. а) (3; -1), (1; -5); б) (1; 6), (7; -12),
(-1;-4), (-7; 14). Указание. Представьте уравнение в виде
х (2х + у - 1) = 7; в) (2; 1), (0; 1). Указание. Представьте
уравнение в виде (х - у) (х - 1) = 1; г) (2; 0), (-1; 0). Указа-
ние. Представьте уравнение в виде (х - Зу) (х - 1) = 2.
3.116. а) (0; 0), (2; 2); б) (4; -2), (-2; 0), (2; -4), (0; 2). Указа-
ние. Представьте уравнение в виде (у + 1) (х - 1) = -3; в) (0; 0),
(-3;-1). Указание. Представьте уравнение в виде (у 4- 1) х
х (Зу 4- 2) = 2; г) (0; 0), (-1; -4). Указание. Представьте урав-
нение в виде (у 4- 2) (2у 4- 1) = 2. 3.117. а) (±1; 0). Указание.
х2 - ху - 2у2 = (х - 2у) (х + у)- б) (1; 2), (-1; -2), (5; 2), (-5; -2).
3.118. а) (±2; 1). Указание, х2 + ху - 2у2 - х + у = (х - у) (х +
4- 2у - 1); б) (1; 1). Указание. 2у2 - 2х2 4- Зху - 2у 4- х =
= (2х + у - 1) (2у - х). 3.119. а) (-3; 0), (1;-2), (1; 4), (-3;-6).
Указание. Записав уравнение в виде (у2 — 1) - 2х (у 4- 1) = 5,
разложите на множители левую часть; б) (0; -2), (2; -2). Ука-
зание. Записав уравнение в виде (х2 - 1) 4- у (х - 1) = 1, разло-
жите на множители левую часть. 3.120. а) Решение. Из урав-
нения следует, что х не кратно 3, т. е. х = 3k ± 1, k е Z; подста-
вив х = 3k ± 1 в уравнение, получим 3 (ЗЛ2 ± 2k - у) = 16. При-
шли к противоречию, так как левая часть — целое число,
делящееся на 3; б) Указание. Из уравнения следует, что
х — нечетное число. 3.121. а) (7 - 2п; Зп - 7), где п е Z. Ре-
шение. Записав уравнение в виде 2 (х 4- у) = 7 - х, заключаем, что
7 — х кратно 2, т. е. 7 - х = 2п, где пе2их=7 - 2п. Далее из
уравнения находим у = Зп - 7; б) (Зп - 4; 2п), где п е Z.
3.122. (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1).
Указание. Пусть для определенности х < у < z, тогда
х 4- у 4- z < 3z, откуда xyz < 3z, т. е. ху С 3. Но поскольку
х2 < ху, то х2 С 3, т. е. х = 1. 3.123. а) (1; 1), (3; 3). Решение.
При х = 1 имеем у2 - 1, откуда у - 1 (у е W); при х = 2 решений
нет, при х = 3 получаем у = 3. Пусть х > 4, тогда левая часть
уравнения имеет вид 33 4- k, где k оканчивается нулем, так как
5!, 6!, ... оканчиваются нулем. Итак, при х > 4 левая часть урав-
нения — число, оканчивающееся на 3. Но квадраты целых чисел
не могут оканчиваться на 3, поэтому уравнение решений не име-
ет; б) (1; 3; 1), (3; 1; 1). Решение. Поскольку 4z 4- 3 — нечет-
но, то левая часть уравнения — нечетное число. Значит, или х,
или у меньше 2. Пусть для определенности х = 1, тогда
у\ - 4z 4- 2. Правая часть последнего равенства не кратна 4, зна-
чит, у < 4. Проверкой убеждаемся, что решение (1; 3; 1). Второе
решение получается перестановкой х и у, 3.124. (10; 1), (10; -1),
254
(-10; 1), (-10;-1). Решение. Запишем уравнение в виде
19 (х2 - 100) = 91 (1 - I/2) (1). Поскольку числа 19 и 91 взаимно
просты, получаем х2 - 100 кратно 91, 1 - у2 кратно 19, т. е.
х2 - 100 = 91n, 1 - у2 = 19/?, где п, k е Z. Подстановкой в равен-
fx2 - 100 = 91k
ство (1) убеждаемся, что k = п. Имеем <	’, где k е Z.
[1-у* = 19/?,
х2 = 91/? + 100 > 0, откуда /? >	*/2 = 1 - 19/?	0, откуда
/? ^ ^. Таким образом, /? = 0 или k = -1. При /? = 0 получим
х2 = 100, у2 = 1, т. е. четыре ответа; при k = -1 решений в Z нет.
3.125. (5; 2). Решение, (х - 3) (х + 3) = 4t/2; х — простое, и
очевидно, что х 2, значит, х — нечетное. Итак, х-3 и
х + 3 — четные числа, причем одно из них кратно 2, а другое
кратно 4, следовательно, 4z/2 делится на 8, т. е. у2 делится на 2,
значит, у кратно 2, причем у — простое, значит, у = 2, откуда
х = 5. 3.126. -1; 0; 2. 3.127. -6; -2; 0; 4. Указание.
п ~п + 3 = п - 2 + —. 3.128. 1. 3.131. 5002 + 1, 5002 + 2, ....
п +1	п + 1
5002 + 1000. 3.132. 23 • З52. 3.133. 9. 3.134. 12. 3.135. а) 99;
б) четная. 3.137. Решение, а) При делении на 99 целое число
может давать любой из 99 различных остатков (0; 1; ...; 98). По-
скольку имеем 100 целых чисел, то найдутся по крайней мере
два из них, которые дают одинаковые остатки при делении на 99
(принцип Дирихле). Разность этих двух чисел делится на 99.
б) Пусть а1? а2, ..., а100 — произвольные целые числа. Рассмот-
рим 100 других целых чисел:	ах + а2, ах + а2 + а3, ...,
аг + а2 + ... + а100. Применив к ним результат пункта а, получим
утверждение задачи. 3.139. Решение. Пусть даны п целых чи-
сел ар а2, ..., ап. Рассмотрим п других целых чисел а19 аг + а2,
..., ах + а2 + ... + ал. Возможны два случая: 1) хотя бы одно из
них делится на п; 2) ни одно из них не делится на п. В первом
случае утверждение доказано. Рассмотрим второй случай. Всего
чисел и, при делении на п ненулевых остатков п - 1. Отсюда по
принципу Дирихле существует по крайней мере два числа с оди-
наковыми остатками при делении на п. Разность этих двух чисел
делится на п и является требуемой в условии суммой нескольких
исходных чисел. 3.140. Решение. Рассмотрим 1992 числа: 1991,
19911991, 199119911991, ..., 19911991... 1991. Ни одно из этих
1992 раза
чисел не делится на 1992 (все они нечетные), т. е. все они при де-
лении на 1992 имеют ненулевой остаток. Но при делении на
1992 существует 1991 различных ненулевых остатков, а рассмат-
риваемых чисел 1992. Следовательно, среди этих чисел есть по
крайней мере два числа с одинаковыми остатками (принцип Ди-
рихле). Значит, разность этих двух чисел делится на 1992, при-
чем имеет требуемый в условии задачи вид.
255
§4
4.4. a) 2-V3; V5-2; 5; 4; 4; a3; 6) 2 | a |, a2b\ 3 | a | b2,
9 | ab2 | c2. 4.8. б) a C 0; г) a > 0; д) a = 0; e) a ~ 1; ж) a = 5;
з) a < 0; и) a = 0. 4.13. a) 5 ± a-, 6) 4±^|. 4.19. a) 0; 1; 6) 0;
в) 2; г) нет решений. 4.20. a) a - 3; 6) 4 - b; в) 2; г) 8 - 2a.
4.21. в) 2y - 12; г) 6. 4.22. a) |a - 11; в) a2 + 4. 4.23. a) a + 1;
6) | a + 51; в) 7 - a; r) | a + 101. 4.24. e) ^б-ч/З > л/бТ2; ж) 2^3 >
> V6V2. 4.32. а) Р е шение. Пусть д/б = —, где meN, п е N,
а дробь — — несократима. Тогда т2 = 5п2, т. е. т2 делится на 5,
п
значит, т делится на 5. Итак, т - 5/?, откуда (5Аг)2 = 5п2 или
п2 — 5k2. Следовательно, п2 кратно 5, значит, и п кратно 5. Полу-
чили противоречие с несократимостью дроби —. 4.33. г) Ирра-
п
циональное; д) рациональное. 4.38. а) — г) Иррациональное;
д) — з) может быть как рациональным, так и иррациональным;
и) — м) иррациональное. 4.39. ж) Указание. Достаточно до-
казать иррациональность числа д/б+д/2; з) Решение. Пусть
VT + д/2 + д/3 = г, где г — рациональное, тогда 41 + д/2 = г - д/3,
9 4- 2д/14 = г2 - 2гд/3 4- 3 откуда д/14 + г4з = = 0,5г2 - 3. После воз-
ведения обеих частей равенства в квадрат и уединения квадрат-
ного корня имеем: д/42 =^((0,5r2 -З)2 —Зг2 -14), т. е.
V42 — рационально, поскольку г — рационально. С другой сто-
роны, легко показать, что д/42 — иррационально. 4.44. Реше-
ние. Поскольку 4а - 4b = -4L—~ и а, 4а + 4b — рациональ-
у/а + у/Ь
ные, то число 4а - 4b — рациональное. Из равенств
г- 4а + 4ь 4а - 4ь I— 4а 4- 4b 4а - 4ъ
у/а =------+--------и у/b =----------------следует рациональ-
ность чисел 4а и 4b. 4.46. Указание. Предположив против-
ное, воспользуйтесь равенством тп = 44т*	, правая часть кото-
V п
12s
рого — иррациональна (см. № 43).	4.48. t — /—,	30 с.
V S
4.52. д) 0 < х < 1; е) х = 2; з) х > 0. 4.68. в) д/тп - 3, - д/2-n,
4О,5п - 2, - д/л - 5; г) ^а(х -1/)2 , - ^mfa-b)2 , yja2b при а > 0 и
-у/а2Ь при а < 0, 4b2a при b > 0 и -y/b2a при b < 0.
4.69. а) (а + Ь) • yja ~b\ г) -4а. 4.73. г) 0,32. 4.78. б) Нет ре-
шений; г) —. 4.80. г) 40д/б. 4.81. в) 4-|-2д/2. Указание. Ис-
49
пользуйте формулу разности квадратов. 4.82. а) д/3 4-1;
256
г) 3 + 73. 4.83. а) 7а - 1 + 1; б) |7а-3-2|; в) -Jl-a+Jl + a;
г) 72а-1 +7а. 4.84. а) 4; б) 6; в) 2; г) 10; д) -6; е) 0.
4.86. а) 1. Решение, х2 - 2х - 1 = х (х - 2) - 1 = (73 + 1)(7з - 1) -
-1 = 1.	4.94. г) 4.95. а) 3; б) -^; в) 72; г)
4.96. в) 1; г) + V-F. Указание. Из условия следует, что
а < 0, значит, 4аЬ = 4~а4~Ь и -а = (4~а)2', д) - 4~^а;
е) -У^а-УЧл 4.97. а) 1; б) -1. 4.100. а) У5-2; б) Уб + У2;
в) 73-1; г) 1 + 72.	4.103. а) -^-Ja-ja2 -Ь2 ; б) 2 + Тз.
I ъ\
4.104. а) 272 -2.Указание. Используйте тот факт, что 7б + 472 =
= 2 + 72; в) -(75 + Т7^2)(Т2 + 1). 4.109. а) 0; в) 1; г) 1. 4.113.
а
4.114. 2а. 4.115. 4a + 4b. 4.116. 1. 4.117. 1. 4.118. З(а+Ч
а -Ь
4.119. а) У19 < У7 + УЗ. 4.122. б) Первое меньше. 4.123. а) Пер-
вое больше. 4.124. б) Первое меньше. Указание. Достаточно
сравнить числа У1992 - У1991 и У1991 - У1990, которые соответ-
ственно равны числам ,	1 , и ,	1 ,	4.125. J—
У1992 + У1991	V1991 + V1990	V а
при а3 > ЗЬ, aj2 при а3 < ЗЬ. 4.126. а. 4.127.	ука-
V 2
зание. Из условия следует, что а < 0.
§ 5
5.8. а) -0,5; б) 2; в) ±3; г) нет решений. 5.10. в) т = 1,5;
2
г) т = 3. 5.11. а) т = 1-; б) таких т нет; в) т — 0; г) т = -0,2.
о
5.12. а) т = 1; б) m =-1^; в) т = О; г) т = -2. 5.13. О или
5.14. 1 и 2. 5.15. 1; 2; 3. 5.16. Через 4 с. 5.27. б) -2,7; 8;
в) -6--; 2. 5.29. б) ±2; г) -1; Ц. 5.32. а) -4а; -а; г) -66; Ь.
5.33. б) —36; 2; в) 2а - 3; а + 1. 5.35. а) а = — Ь или а = 46;
б) а = -у или а =	5.36. a) Ъ = 0,5 (а + 3) или Ь = 2а + 3;
б) Ь = 0,5а - 2 или Ь = а — 3. 5.37. 3 или —. 5.38. 2 или
3	2
5.39. 9 или j. 5.42. a) 1; б) ±1. 5.43. a) 6; б) ±1; в) 3; 4;
-7-Т97	7-Т97	729-1 „ 1+745 . 3±7б . „ г
---2----; Г) ~2---• 5-44, а) ~Т~’ б) —2~5 В) “2~' Г) 2 + л/2;
-2 ±72. 5.45. а) 1; 5; б) 1; 73; в) -2; -27^; г) -6; 7.
5.46. а) ±2;	б) 1; 8; в) ±1; 1-; 2-; г) -1; -0,4;
1	2	' ’	’ ’ ’	' 3	3	14
257
Указание. Уравнение вида | f (х)| = |£ (х)| равносильно сово-
купности двух уравнений f (х) = ±g (х). 5.47. а) 2; -V5. Указа-
ние. Поскольку левая часть неотрицательна, то 10 - 5х > 0,
т. е. х < 2 и |х - 21 = 2 - х; б) 3. Указание. Левая часть урав-
нения — сумма двух неотрицательных величин, значит, равенст-
во нулю возможно тогда и только тогда, когда одновременно оба
слагаемых обращаются в нуль; в) 1; г) 3. Указание. Запи-
шите уравнение в виде х2 |х - 31 + (х - З)2 = 0. 5.48. -7б. Ука-
зание. -д/б и Тб -1 — корни данного уравнения. 5.49. Мень-
ший корень первого уравнения больше, чем больший корень
второго. 5.50. Больший корень уравнения больше данного чис-
ла. Указание. 2 и 4-V2 — корни уравнения, данное в усло-
вии число равно V21 - 2. 5.51. Меньший корень уравнения мень-
ше данного числа. Указание. V14 + V5 и 2(V14 + V5) — корни
.^113 _5
уравнения, данное в условии число равно 6. 5.52. -----. У ка-
4
з а н и е. Уравнение | f (х) | = g (х) равносильно совокупности двух
уравнений f (х) = +g (х) при условии, что g (х) > 0. 5.53. 1-V5.
5.55. в) -0,3; 1^-; г) -6;	. 5.57. в) -4; -2,5; г) -2;
22	19	9
5.58. а) 0; б) -8.	5.59. б) Нет решений; г) -0,25;	0,5.
2	1
5.60. а) а при а + -3, а Ф 4, г) при Ъ = -иЬ = - - — один корень
о	2
х = Ъ; при b = 1, Ь = -2,5 и Ъ — 0,5 — один корень х = ЗЬ - 1; при
других Ь — два корня х = Ь9 х = 3&-1. 5.61. а) ±6; ±1. Ука-
зание. Уравнение является квадратным относительно |х|;
г) -9; 3. 5.62. б) -3; 0; 2; 5. Указание. Записав уравнение в
виде (х - I)2 - 5 | х - 11 + 4 = 0, введите переменную у = | х - 1 |;
г) -i; 3. Указание. Пусть у = | Зх - 41, тогда уравнение имеет
о
вид у2 —у —20 = 0. 5.63. в) -3; -2; г)	5.64. а) 25.
Указание. Уравнение является квадратным относительно Vx;
б) 25; 49. 5.65. в) 13; 53. Указание. Записав уравнение в ви-
де х - 4 - 10 •>/х - 4 +21 = 0, введите переменную у ~ 7х - 4;
г) 46. 5.66. в) ±|; г) ±0,75; ±5. 5.67. в) 4; -2. Указание. За-
писав уравнение в виде (х - I)4 - (х - I)2 - 72 = 0, введите пере-
менную у — (х - I)2; г) 0; -4. Указание. Пусть у = (х + 2)2, то-
гда уравнение имеет вид у2 + 2у - 24 = 0. 5.68. а) ±3; ±а;
б) ±2; ±3а; в) ±3;	при b > 0; г) при b > 0. 5.69. а) 2;
б) -0,5; 1; 3; в) -3; 0; 2; г) -2; 1; 2. 5.70. ±1. 5.71. а) -1;
б) 0. 5.72. а)2(3-2д/2). Указание. Рассматривая уравнение
как квадратное относительно | х |, получим | х | = V2 - 1. Тогда
258
xf + х2 = 2 |х|2 = 2 (3 - 2V2). 5.73. a) -3; 1. Указание. Введи-
те переменную у = (х + I)2; б) 2 ± >/3; 1; 3; в) -2, -1. Указа-
ние. Введите переменную у = х2 + Зх + 2; г) 2;
5.74. а) -3; 1,
х2 -2х
_	5±3V5
’	2	'
-7±V61. Указание. Введите переменную
4
у = — —, тогда уравнение примет вид i/ + 5 =—; б) 1; 2;
19 ± >/349. 5.79. г) -4,2, 2,2. Указание. Представив правую
часть уравнения как 5 • 4,22 + 10 • (-4,2) + 3, легко видеть, что
хг — -4,2; кроме того, по теореме Виета + х2 = -2.
5.83. а) х2 - 6 = 0; в) х2 - 4х - 1 = 0. 5.85. а) 7^. Указание.
8	1
По теореме Виета хг + х2 = - -, Xj х2 = - -, . Воспользуйтесь ра-
венством xf + xf = (хх + х2)2 - 2xtx2. 5.86. г) Указание,
xf + xf = (хх + х2) (х* - xf х2 + xfxf - ххх23 + х2 ) = (х! + х2 )((х2 +
+ Хр)2 -х?х2 -х1х9(х? + х2)). 5.87. ±Решение. По тео-
л z	14	1	4 х 1	4 ''	4
5	1	I 2	2
'2 =2’ Х1Х2 = 2	|Х1 Х2
2 \2 _
реме
Виета
^(xf+ x^)2-4xfxf = 7(( Xi + х2 )2 - 2Х! х2 )2 - 4xf xf =
- Ж-цУ-ч - ф.°™- *Ф-
5.89. в) х2 + 9х - 9 = 0. 5.90. 3, 4. 5.91. 1. 5.95. 1. 5.96. -1.
5.97. 14. Решение. Пусть | х | = t; + t2 > 0 и trt2 > 0 (по тео-
реме Виета), D > 0, значит, уравнение t2 - 32 + 1 = 0 имеет два
положительных корня, следовательно, исходное уравнение имеет
четыре корня. Тогда xf + х2 + х2 + х2 = 2(t2 +t2) = 2((tt +
+ t2)2 - 2t1t2) = 2 (9 - 2) = 14. 5.98. p = q = 0 или p = 1, q = -6.
2
5.99. a = -. 5.100. a = 6; 2 и 3 — корни первого уравнения, 3 и
о
4 — корни второго уравнения. 5.101. а = -5, b = 36, корни пер-
вого уравнения равны 2; 3, корни второго уравнения равны 4; 9
или а = 5, b = 36, корни первого уравнения равны -2; -3, корни
2	1
второго уравнения равны 4; 9. 5.104. ±-; ±1. 5.107.	0; 1.
5.108. 0. 5.109. 2. 5.111. -2. 5.112. 3; 4. 5.114. а = Ъ = с; нет.
Указание. D = -2 (а2 + Ь2 + с2 - ab - ас - Ьс) = - (а - Ь)2 - (а -
- с)2 - (Ь - с)2 < 0, причем равенство достигается тогда и толь-
ко тогда, когда а = Ъ = с. 5.115. -1. 5.116. 75. 5.117. 14 или
41. 5.118. 13 человек. 5.119. 10. 5.120. 5%. Указание. Пусть
х — средний ежегодный процент роста, тогда 20 000 + 200х +
+ 0,01х (20 000 + 200х) = 22 050, откуда х = 5. 5.121. -42%.
5.122. 800 км/ч, 600 км/ч. 5.123. 4 км/ч. 5.124. В 6 ч. Ука-
259
зание. Пусть х км/ч — скорость первого поезда, тогда
120	120
(х + 10) км/ч — скорость второго. Имеем —- —--— = 1, откуда
х	х + 10
х = 30. 5.125. 3 км/ч. Указание. Пусть х км/ч — скорость второго
пешехода, тогда —+ 1 + —= —. 5.126. 5 м3/ч. Указание.
X	х + 1 X
Пусть х м3/ч — начальная производительность экскаватора, то-
гда 6,5 - — =	5.127. 30 г. Указание. Пусть х г — искомая
х х-1
величина, тогда —— -	= 2. 5.128. 50 м3/мин. 5.129. 18 ц,
х х-6
15 ц. Указание. Пусть х га — площадь второго поля, тогда
° • (х + 10) - 1080 • х. 5.130. 9 ч. Указание. Пусть х деталей
х	х + 10
в час — производительность второго рабочего, тогда
—--^- = 3. 5.131. 20 ч, 25 ч. 5.132. 9 ч, 6 ч. 5.133. 42 ч,
х 30-х
56 ч. 5.134. 25 кг. 5.135. 20 %, 60 %. 5.136. 40 %, 25 %.
5.137. 10 л. 5.138. 55 мин, 66 мин. 5.139. 1 м/с, 1,2 м/с.
5.140. -+, +.
10 12
§6
6.1. а) а < Ь; б) а > Ъ; в) а > Ь; г) а > Ь; д) а > Ь;
е) а > Ь. 6.6. а) Указание. а2 - ab + b2 = i ((а - Ъ)2 + а2 +
2
+ Ъ2) > 0. 6.8. в) Указание, а2 - 4а + 5- 2|а-2| = (| а - 2 | -
- I)2 > 0. 6.30. а) Верно, б) неверно. 6.31. а) Верно; б) невер-
но. 6.34. в) Верно; г) верно. 6.35. а) Верно; б) неверно; в) вер-
но. 6.36. а) Неверно; б) неверно; в) верно; г) верно.
6.37. б) а > д;	д)	а	> Ъ.	6.38. а) а	> Ъ; б)	а > &;	в)	а	> Ъ;
г) а > Ъ. 6.40.	а)	а	< Ъ;	г) а < Ъ.	6.42. а)	а >	б)	а	> Ь.
6.46. а) а > 1; б) а < 3; в) а < 2; г) а > 5. 6.47. а) а > -4;
б) а > 1; в) а <	4;	г)	4 < а < 5. 6.48.	а) - 4 <	а < 10;	б)	а	< -5
или а > 1. 6.49.	а)	а	> д;	б) а > Ь; в)	а > Ъ\ г) а < д;	д)	а	< &;
е) а > Ь. 6.50. а) а < Ъ, Указание. Так как п > 1, то
п + 1 < 2п; б) а < Ъ.	6.68. в) Решение.	а10 +	+ — =
а2 а
+ - 5» 2а4 +	+ - = 2 (а4 +	+ - > 4а + - =
а	а2 а [ a2 J	а
2
а2
= 4|а + -|>8.
I а )
Равенство имеет место только при а = 1.
6.86. Указание. Воспользуйтесь неравенством из упражнения
6.83. 6.88. 6. 6.89. 8. 6.90. 12. 6.91. а) 18; б) 27; в) 13; г) 1.
6.92. а) 1; б) в) 1; г) 2. 6.94. 25. 6.95. 4,5. 6.96. 3. 6.97. 4.
о 12
260
6.100. Указание. Воспользуйтесь последовательно несколько
раз неравенством из упражнения 6.98, а. 6.115. Решение.
Воспользуемся неравенством о среднем геометрическом и сред-
нем арифметическом положительных неравных чисел: 1 • 3 х
х 5 • ... (2п -1) = д/12 -З2 -52 • ••(2п - I)2 = 71-(2п-1)  73(2п-3)х
ЛЕ—7й-------- /7й-----—Г 1+(2л-1) 3 + (2п-3) 5 + (2п-5)
х 75 -(2га-5)-... • 7(2п-1) • 1 < —'--------L_----I----------<x
(2n -1) +1
x --------= n • n .	. .-n = n n . 6.116. Решение. Обозначим наи-
2	---------
n множителей
„ 6Z1 £^2	& n	e!
меньшую из дробей —-, —, ..., —— через тп и наибольшую — че-
Ь1 Ь2	Ьп
рез М. Тогда можно записать: т М, т < — < М, ...,
&1	Ъ2
а „
т < __2_ < м. Так как Ьг > О, Ь2 > 0, ..., Ьп > 0, то, освобождаясь
от знаменателей, получим mb1 < аг < Mb19 mb2 < а2 •М’&г» •••»
mbn < ап < Суммируя неравенства и вынося множители т и
М за скобки, получим: т (Ьх + Ь2 + ... + &rt) <ax + a2+...+
4- ап < М (by + b2 4- ... + Ьп). Разделив почленно на by 4- Ъ2 4-
4-... 4- b > 0, получим т < —-------------— > М. 6.118. а) | а - 11 4-
di 4- Ъ2 4- ... 4- Ьп
4- | а - 21 = | а - 11 4-| 2 - а | > \а - 1 4- 2 - а | = 1. Равенство насту-
пает при а = 1. 6.119. б) Указание. Представьте левую часть
неравенства в виде (х - у)2 4- (х 4- 2)2 4- (у - I)2. 6.120. В безвет-
ренную погоду. 6.124. Время движения по реке с быстрым тече-
13
нием больше. 6.125. Первый турист. 6.136. а) х < —; б) х < 4;
в) х < 6; г) х > 8. 6.137.
б) х > - в) х < 72;
в) (-оо; д/З-2]; г) (-оо;
в) х < г)
г) X <
2-V6
2
-2(73 + 2)).
а > 5;
3-а
а -5’
если а < 5;
х < 1. 6.138. а) х > -1,5,
6.140. б) 7^; +°°j;
6.143. а) х < -——, если
а -5
нет решений, если
а — 5.
х >
6.144. а) -6; б) -2; в) -5; г) 8. 6.145. а) 2; б) 1; в) 2; г) 3.
6.146. а) а <	6.147. а) а > 4.	6.148. в) а «Д; г) а у.
6.149. а) х > 2; б) х < 1,5; в) 2; г) -3.	6.150. а < 1,5.
6.151. а > 2. 6.152. а > -2, а # 2. 6.153. а < 1. 6.156. а) 1 < х < 3;
б) | < х < |; в) | < х < у; г) х > 4. 6.157. а) 0,05 < х < 0,1.
6.158. а) а < 3; б) а < 5; в) а <7; г) а > 2. 6.159. а) а > 4;
б) а > 2; в) а > 5; г) а < 2. 6.160. а) а = 5; б) а < 3; в), г) не
261
существует. 6.161. а) Не существует;	б) а = 5; в) а > 5;
г) а = 2.	6.162. а < 2.	6.163. а >	6.164. а) 1 < х < 3;
б) < х < О. 6.165. а) -1 < х < б) 1 < х < |. 6.166. а) х = 1,5;
3	2	5	4	3
в) 3,6 < х < 5; г) 1 < х < 2,5. 6.167. а) 0,925; б) -0,5. 6.168. 1.
6.169. 5. 6.170.	< а < 1. 6.171. а < -2,5, а * -3. 6.172. а < -3.
2
6.173. -| <а < 2.	6.174.	-0,5 < а	< 2.	6.175. О <	а	<	2.
6.176. 2 < а < 4. 6.177. 3 <	а < 4. 6.178.	а <	0. 6.179.	а	>	3.
6.180. | < а < 1.	6.181. а = 2.	6.182. а) Я; б) х < 5;
в) (-°°; 7) U (8; +оо).	6.183.	а) х > 3;	б)	R;	в) R; г)	х	>	1.
6.184. а) х < 5; б) х	> 3; в)	-1 < х <	5; г)	х >	-1. 6.185.	а)	Я;
б) х < 5; в) х > 7; г) Я\{2}.	6.186. a) f-oo; U [3; +°°);
к 4 J
б)х>-|;	в)х<|; г) R. 6.187. б) 3 < х < 4, х =-1;
г) 1 < х < 2,	6 < х < 8.	6.188. а) 1 < х < 4,	0 < х <
б) -2 < х < 15; в) 1 < х < 6; г) -2 < х < 5. 6.199. а) 0 < х < а,
если а > 0; а < х < 0, если а < 0; нет решений, если а = 0;
б) 3 < х < а, если а
6.200. а) х>
а
За-Г
> 3; а < х < 3, если а < 3; х = 3, если а = 3.
если а < 0 или а > х <	, если
3 За - 1
О < а < 1;
3
а = 0, а =
3
нет решений при
б) х < 1 , если а < 2 или а > 5; х > * , если 2 < а < 5; нет
5-а	5-а
решений при а = 2, а = 5; в) х > ——если а < -1 или а > 3;
4
11-а	Л
х < —-—, если -1 < а < 3; нет решении, если а = -1, а = 3;
4
г) х > -—-, если 0 < а < 2 или а > 3; х < если
а-2	а-2
а < 0 или
2 < а < 3; х — любое действительное число, если а — 2; нет ре-
шений при	а	= 0,	а = 3. 6.207. а) -2 < х < -1, 1 < х	< 2;
б) -2 < х < 1,	5 < х < 8; в)	-2 < х < 5; г) 1 < х < 1, х	* -.
О	о
6.208. а) 0 <	х	< 2,	4 < х < 6;	б) -1 < х < 9; в) х < -2	или
х > 3; г) х <	0 <	х < -; х >	—; . 6.209. а) 3-а<х<3	+ а,
3	3	3
если а > 0; нет решений, если а < 0; б) 2-а^х<2 + а, если
а > 0; х = 2, если а = 0; нет решений, если а < 0; в) х < —а - 5
или х > а - 5, если а > 0; х Ф -5, если а = 0; х — любое действи-
. _ ч	3 — а	3 + а	. _
тельное число, если а < 0, г) х <- или х >---, если а > 0;
2	2
262
х — любое действительное число, если а < О. 6.210. а) а < О;
б) а > в) а < О; г) а < -. 6.211. а) х > 3; б) х < 1,5; в) х < -;
2	3	3
г) -3 < х < -1.	6.212. а) 1	< х < 5;	б) х < 3; в) х > 6; г) х	< 1.
6.213. а) х = -1; б) 6 < х	< 8,	х	= 2.	6.214. а) 3 < х <	3,5;
б) 1 < х < 2|;	в) О < х < г) х	>	17. 6.215. а) 0,5 < х <	2,8;
б) 3 < х < 16;	в) х < 1;	г) 3,5	<	х < 4. 6.216. а) 5 < х	< 6;
б) -2 < х < 2; в) 3 < х < 3,5; г) 2 < х < 3. 6.222. а) х < -3,
1,5 < х < 3; б) -1 < х < |; х > 1.	6.223. а) -3 < х < -1,
1 < х < 3; б) х < -5;	-2 < х < 2, х > 5.	6.224. а) а < О;
б) а < 3,5; в) а > О; г) а > 9.	6.225. а) -6 < а < 6;
б) -0,5 < а < 1,5. 6.226. а) а < -6; а >	6;	б) а < -1,	а >	3.
6.227. а) х < 3, х Ф 1; б) х < 7, х Ф 5; в)	х <	1, х - 2; г)	х <
о
х — 5. 6.228. а) х > 1; б) х > 2; в) х <	3,	х = 4; г) х	> 2,5,
х =-3. 6.229. а) х > 5; б) х > 5, х = 2;	в)	х = 1,5; г)	х
3
6.230. а) 3 - у/а < х < 3 + Va, если а > О; нет решений, если
л	—	-3+4а	. Л 3	Л
а < О; б) х <-------, х >-------, если а > 0; х Ф если а = О;
5	5	5	____
л ч 3-Ja-l
х — любое действительное число, если а < 0;в) -------------< х <
4
3 + J а —1	3
±---z----, если а > 1; х = -, если а - 1; нет решений, если а < 1;
4	4
г) х 2 - д/3 - а, х > 2 4- у/3-а если а < 3; х — любое действите-
льное число, если а > 3. 6.231. а) х < 3, если а > 3; х < 3, х Ф а,
если а < 3; б) х < а, х = 5, если а < 5; х < а, если а > 5;
в) х > 7, х = а, если а < 7; х > 7, если а > 7; г) х > а, если
а>-|; х > а, х*-|, если а<-|. 6.232. а) (-оо; 3] U [3; 10);
б) [-2; 1,5); в) (-°о; -3] U {3}; г) {-4}. 6.233. а) (2; +°о);
б)	-оо; -
U [5; + оо); в) (-°о; 1,2] U (2; +°о); г) [5; +°о).
6.234.	а) (-оо; -3) U {0} U (3; +°о); б) (-оо; -4] и {0} U U [4; +°о);
в) (-1; 1) U {2}; г) [-4; 4] U {5}. 6.235. а) [3; 5]; б)
и [6; 4-00); в)
3,5]; г)
О	J
|; 3,5 ] U [4; 5).
(-□о; 2] U [3; 5] U
6.236. а) у > О
при х<1, х > 2; у < 0 при 1 < х < 2,5; в) у > О при х < -2,
х > 2; у < 0 при -2 < х < 2. 6.237. а) | $ х < 5; б) | х у;
в)	-242 < х < 2V2; г) -11 < х < -2; 2 < х < 11. 6.240. а) 3 < х < 4,
х > 4; б) -0,5; в) -1 + V5; 0; г) -2 + V8, -2.
263
§7
7.7. a) 5; б) 1; в) г) 4. 7.8. а) 1; б) 1; в) 1; г) *
У	о	4У
7.9. г) LA; 8fe(a Ь\ ±. 7.10. а) 0,5; б) в)
1+х (а + Ъ)2 аЬ	25	3
7.11. а) 9; б) —; в) г) 1. 7.12. а) 9; б) 2048; в) 1;
49	2	9	5
и17
7.13. а) 2; б) 49; в) 512; г) 9. 7.15. г)------. 7.16. а)
128х18
г) 8.
___1_.
512’
б) -§; в) А; г) 1. 7.17. г) -0,4. 7.18. а) -±-; б) 1. 7.19. а) 0;
о zr	а 1г
б) А; в) 1; г) 13. 7.20. а) апЬп\ б) -А_. 7.21. а) (За1 + 461)-
16	апЪп
4.22. а) б) AJ?. 7.23.	7.24. 16 (р - q)4 (р + q)2.
ах	5 Ь*
7.25. 0,25. 7.26. 1. 7.27. а) -1,5; б) 1; г) А. 7.28. а) ±1,5;
8	82
б) Ь в) I? I г) ±А. 7.29. а) 1; -12; б) 1; -3; в) 2;
6	2	5 3	20	3
г) нет решений. 7.30. а) 1; б) 1; 3; в) 2; -i; г) 3. 7.31. а) 1; -;
б) ±1; ±1; в) -1; г) -2; -6. 7.32. а) х > 0; б) х < -1;
2	8
в) х > 1,5; г) х > 0,5. 7.33. а) х > -1, х Ф 2; б) х < х * -2;
о
в) х > 0, х * 2,5; г) х > 0, х * 3. 7.34. а) 1; б) -1; в) -1; г) -2.
7.38. а) jab-, б) 1; в) 8; г) -2. 7.39. а) 2; б) V2; в) 1; г) 0.
7.41. 2. 7.42.	1А&.
17	2(а —1)
§8
8.6. в)
8.8. в)
4с-1
(2с + 3)2 ’
г)	8.7.
7	7d+2
8.9. а)
2d3 -7
За + 2Ь п-т . 2и-5и
------; б) -----; в) ----;
За-46-2тп + 3п--Зи-4р
г)
2с + d
Sc-bd
. 8.10. а)
-х+а^2Ь; б) 2х 1 . 8.11. б) -9. 8.12. а) (х-2)2;
х-2	х + а-Ь
б) х2. 8.13. а) -1; б) 1. 8.14. а) б) 8.15. а) р = -2,
х — 2	5 — х
д = -1. 8.16. a) a = 3, 6 = 6, с = -4. 8.17. а) у = 2х2 - Зх + 5;
б) 17. 8.21. г) Указание. р = 1 - | х2 - 2 |. 8.24. а) Указа-
ние. у = (х - З)2, х > 3; б) Указание, у = (х - З)2 при х > 3,
у - х2 - 9 при х < 3; в) Указание, у = х2 - 6х + 8, х > 3.
264
8.25. b = 30; x = 4; возрастает на 5], убывает на [5; °°);
f (х) < 0 при х < 4, х > 6; f (х) > 0 при 4 < х < 6; -9 < f (х) < 8
при 3 < х < 7, х 5. 8.27. Указание, а = 2. 8.28. Указа-
ние, а) а = 10; б) а - -2. 8.29. Указание, а) а = 1; б) а - -4.
8.30. а = 2. Решение. ух = х2 - 2х 4- а = (х - I)2 + а - 1, зна-
чит, Е (уг) = [а - 1; °о); у2 = 72х -а, значит, D (z/2) = оо\
Итак, Е (z/J = D (у2) при а - 1 = т. е. при а = 2. 8.31. а < -3.
8.32. b = 4, Ъ = 2,5. 8.34. б) Графики не пересекаются при
т < -1, одна точка пересечения при т = -1, т = 0, две точки пе-
ресечения при т > -1, т * 0. 8.35. 13. 8.36. Две точки пересече-
ния при а > 1, а < -2, три точки пересечения при а - 1, а ~ -2;
четыре точки пересечения при — 2 < а < 1. 8.37. При
-л/З < b < -V2, V2 < Ъ < д/З точек пересечения нет; при
b = ±V2, b = ±V3 одна точка пересечения; при b < -V3
—42 <Ъ < 42, b > V3 две точки пересечения. 8.38. -1,75 < k < 0.
8.39. с =5, с = 13. 8.40. b = ±3, Ь = ±4. 8.41. a = -i, а=1.
3
8.42. а > 4. 8.43. k < -4, k - 5. Решение. Если D = 0, то k = 0
или k = 5. В случае k = 0 уравнение имеет вид х2 - 2х + 1 = 0, его
корень х = 1 не удовлетворяет неравенству х < -1. В случае k = 5
уравнение имеет вид х2 + 8х + 16 = 0, его корень х = -4 < -1. Ес-
ли же D > 0, то для того, чтобы ровно один корень уравнения
удовлетворял условию х < -1, необходимо и достаточно, чтобы
значение квадратного трехчлена в точке х = -1 было отрицатель-
но или
случае
х = -1 являлся бы большим корнем трехчлена. В
\k2 - 5& > 0,
имеем систему неравенств i_2ft + 2 + 3ft + 1 <0>
первом
откуда
k < -4. Если же хт = -1, то k = -4; тогда х2 = 11 и х2 > хт и, зна-
чит, полученное значение параметра условию задачи не удов лет-
воряет. 8.44. а > 1|. 8.45. k < -0,6. 8.46. а < 0, а > 1,25.
8.47. б) у = --(х-4)2; в) р = 0,5х2-х + 4. 8.48. М (1; -3). У ка-
4
зан ие. Пусть М (х; 2х - 5), тогда f (х) = л](х + 7)2 +(2х - 6)2 +
+ 7(х + 5)2 + (2х-5)2 = д/5(х-1)2 + 80 + ,ft>(x - I)2 + 45. Наи-
меньшее значение f (х) достигается при х = 1. 8.49. а) Прямую
у = -х. Указание. Покажите, что х0 = -р, z/0 = р (ре Я), где
(х0; р0) — координаты вершины параболы; б) Параболу у = х2.
8.50. р = -2, q = 0; 1. Решение. По условию х0 = 1 — решение
уравнения х2 + рх + q = 2х - 3, откуда q = -р - 2. Итак,
у = х2+рх—р-2 — заданная функция, хг = - — абсцисса вер-
265
2
шины параболы, тогда у =	- р - 2. Пусть d — расстояние от
4
2
вершины параболы до оси Ох, тогда d = | уг | = ^- + р + 2 =
2	(	\2
= — + р + 2 = — + 1	+ 1. Наименьшее значение d равно 1 и до-
4	2 J
стигается при р = -2, в этом случае q = 0. 8.54. а) -2 < х < 1;
б) х = 1; в) х < -2; х > 2. 8.55. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет.
8.56. а) а = 5; б) а = 2. 8.59. а) -4 < х < 1, 1 < х < 2; б) х < 2,
х Ф 1; в) х = 4; х > 5; г) 1 < х < 2, х = 3. 8.60. а) х -0,2;
о
х = 2; б) х < 2, х Ф х > 4; в) х < х = 0, х > 1; г) -1 < х < 1,
х = 0; х = 2. 8.63. а) х < -2, х > 1; б) 3,25; в) х < 0, х > 1;
г) а > 3,25. 8.64. б) х е R. Указание. D = (а - В - с) (а - & +
+ с) (а + b - с) (а + Ь + с) < 0. 8.65. а = -2. Указание. х = 2 и
х = 3 — корни данного квадратного трехчлена. 8.66. а = -1.
8.67. Нет решений. 8.68. х g R. 8.69. Нет решений.
8.70. х g 1?. Указание. В < 0 и f (3) > 0, где f (х) = ах2 + х - Ь.
8.71. Нет решений при Ъ2 - 4ас <0, х — - при Ъ2 - 4ас = 0.
8.72. а) Да; б) нет. 8.73. а) Нет; б) да. 8.74. а) Нет; б) нет;
в) да; г) нет. 8.78. а) х 5	, 2 < х	; б) х < 2, х = 6,
х > 10. 8.81. в) —5 < х < —, х > 2, х * 3; г) хС1, х = 3,
7	2	7
х > 5. 8.82. а) х ф V2, х ф -1; б) х Ф 2, х Ф 2^; в) х Ф 2, х Ф 3,
3
х * 4; г) х*±2, х*1. 8.83. -3; -2; -1; 0; 1; 2. 8.84. х> 13.
8.85. 1. Указание. Решение неравенства: -1 < х < 3, х * 0,
х * 2. 8.88. а) х = -2; б) х = 1; в) х = -3, 1 < х < 2; г) х = ±2,
х = 3. 8.89. г) -1 < х < 1, х * 0. 8.90. а) х е R; б) -2 < х < 2;
3
в) -3 < х < 1,75; г) х < -3, х > 9. 8.91. а) х < -15, х > -4;
б) х < 1, х > 1,5; в) х < 1; г) х < -3; -2 < х < 0, х > 1. 8.92.
-	х^0. Указание. Сравнив выражения 1 - х2 и , по-
лучим: 1-х^	--- при х - или х > 1, 1 - х > ——- при
2	2	2
< х < 1. Таким образом, искомые значения х
определяются
совокупностью двух систем неравенств
X > 1, и
1-х2
2
-i < X < 1,
2
266
8.93. -1 х С	8.94. х = 1, х > 3. 8.95. х < -1, х = 1.
8.96. а) {1,2}; б) (-оо;	оо^. 8.97. а) (-°°; 2];
б) {0} U [1; оо); в) {0} U [2; °о); г) {2}.	8.99. в) [-0,5; 0,5);
г) Г-|; 2) U {3}.	8.102. а) -1 < х < 1, х = ±2; б) х =-2,
3 J
1 < х < 3; в) 3 < х < 5; г) -1<х<3, х^1. Указание. Пусть
у — | х - 1 |, тогда неравенство имеет вид у2 - 2у < 0. 8.103. а) 0.
Указание. Поскольку при любом хей |х2 + 2х|>0, то из
условия, учитывая свойство транзитивности неравенств, заклю-
чаем, что х > 0. Значит, х2 + 2х > 0 и |х2 + 2х| = х2 + 2х; б) -8;
-7; -6;	-1; 0; 2. Указание. Приведите неравенство к виду
| х - 11 (| х + 3 | - 6) < 0, откуда -9 < х < 3, х ф 1; в) ±4. Указа-
[2 <|х| <5,
н и е. Неравенство равносильно системе неравенств Л । &
г) 3;	4. Указание. Учитывая, что х2 - 4х + 3 =
= | х - 1|-|х + 3|, приведите неравенство к виду
(| х - 1 | - 1) (| х - 3 | - 2) < 0, откуда 0 < х < 1,	2<х<5.
8.106. б) х < -3,25, -1,25 < х < 0,75, х > 2,75; в) -3 < х < 0,
4 < х < 7. Указание. Умножение обеих частей неравенства на
2х2 -х+1 приводит к неравенству, равносильному данному.
8.107. с < -1, с > 1. 8.108. 12 < р < 14. 8.109. 0 < а < 2,25.
7
8.110. а) -6 < b < -2; б) Ъ > 3; в) Ь < -6. 8.111. а) 0 < а < 28;
6)-l<a<i; в) а < -4; г) --«а<0. 8.112. а) -1 < b < 1;
2	3	4
б) 0 < b < в) Ь < г) Ь < -2. 8.114. а) х е R при а Ф 1,
4	16
х 1 при а = 1; б) х = -2, при а = -2, нет решений при а Ф -2;
в) х - -11 при а = 2, нет решений при а 2; г) хеЯ при
3
а Ф -0,5, х * -0,375 при а = -0,5. 8.116. -1 < а < 1. Решение.
При а > 0 система неравенств -ах < 0» равносильна системе
[ах > 1
0 < х < а,
<	1	, которая не имеет решений тогда и только тогда, ко-
fl
гда а < откуда (с учетом условия а > 0) получаем 0 < а < 1.
а
При а = 0 условие задачи, очевидно, выполняется. При а < 0 си-
[х2-ах<0	[а<х<0,
стема неравенств <	>	’ равносильна системе < % < 1	,
I а
267
1 s
которая не имеет решении тогда и только тогда, когда — а, от-
а
куда (с учетом условия а < 0) получаем	-1 < а < 0.
8.117. 0,5 < а < 3,5. 8.118. Таких а нет. 8.119.	а <
2	3
8.120. -3 < а < -1. 8.121. а < 1. 8.122. р > 1. 8.123. -7 + ^ < k С
2	2
< -4 + 2V3. Указание. Приведите неравенство к виду
у2<0, где у = |х- 1,51, откуда 1 < х < 2.
8.124. -2 < а < -0,5. 8.125. | < b < L 8.126. При k > 5 оба
утверждения истинны, при k < 0 оба утверждения ложны, при
0 < k < 5 первое утверждение истинно, второе ложно. Указа-
ние. Уравнение х2 4- (k 4- 2) х + 1 = 0 имеет два различных отри-
£>> 0,
цательных корня тогда и только тогда, когда
k + 2
2
откуда
k > 0. Уравнение х2 + (1 - й) х + 4 = 0 имеет два различных по-
D > 0,
ложительных корня тогда и только тогда, когда <
1-k
~~2~
отку-
да k > 5.	8.127. в) (0; 4) U (4; <*>)•	8.129. а) [-2; 0] U {1,5};
б) {1} U [2; 3) U (3; оо); в) (_(х>; ~9) и (-9; -3] U {-2} II [7; 8) U (8; оо);
г) {0,5}. 8.130. б) (-оо; 3], в) (-оо; 2,25]. 8.131. а) (-оо; 0) U (0; оо);
б) (-оо; 1) и (1; оо), в) (0; 1]; г) (-оо; -2] U [2; оо). 8.132. б) [-2; оо);
в) (-оо; 5]. 8.133. а) [2; <^); б) (-QQ; -2]; в) [1; оо). у к а з ан и е.
у = д/Зх2 -6x4-4 = д/3(х - I)2 + 1 > 1 для всех х е R; г) [0; 1].
Указание, у = ^1-2(х-2)2 .	8.134.	а) [-4; 1); б) [-1; 2);
в) [-2; 1]; г) [-1; 3]. 8.135. а) [-1; оо); б) (-оо; 1]; в) [-2; «э);
г) [-4; 4]. 8.136. а) [3; <*>); б) [3; 12) U (12; оо); в) [6,75;
оо); г) [6,75; 27) U (27; оо). 8.138. в) у (1) =1; г) у (1,5) =
8.140. г) у (-2) = 0. 8.148. в) Нечетная; г) четная. 8.149. а) Чет-
ная; б) нечетная; в) четная; г) четная. 8.150. а) Нечетная;
б) четная;	в)	четная; г) четная.	8.151.	а)	у = х |; б)	у = х2 -
-3|х|; в)	у2	= х2 - 4 |х| 4- 3; г)	у = -——. 8.152. а) г/	= х|х|,
Iх Г1
б)	z/ = -x|x|;	в) i/ = x(|x|-2); г)	у = Jх |. 8.160. а)	Рис. 2;
б)	рис. 3.	8.161. а) Рис. 4;	б) рис.	5. 8.162.	(-4; 3),
(-1-V3; 2V3-3).	8.163. (0,5; 0),	(2; 6),	(6; 22).
8.	165. а) Рис. 6.	8.166. а) Рис. 7.	8.167. б) Рис. 8. Ука-
зание. у = | х2 - 2 | х 11.	8.169. в) Рис. 9; г) рис. 10.
268
у =V4x2— 4х2|х| 4- х4
Рис, 8
269
270
8.173. а) Рис. 11.	8.174. б) Рис. 12.	8.175. а) Указание.
у = х2 + 1 при х > 0, у = - (х2 + 1) при х < 0; б) Рис. 13. У к аз а-
3	х
ние. у = — при 0<х<3, у при х > 3. 8.176. а) Рис. 14.
X	о
Указание. у = \х2 + х-2\ при х>1, у = -\х2 + х-2\ при
х < 1; б) Указание, у = |х - 11 при х < -2, х > 1, у = - |х - 11
при -2 < х < 1. 8.180. г) 3. 8.181. г) 2. 8.183. а) 2; б) 1.
8.184. а) 2; б) -1. 8.185. а) 1; б) -1. 8.186. а) 3; б) -1.
8.187. а) -1. Решение. Область определения уравнения
-[-1; оо), на данном промежутке функция х2 + Зх + 6 возрастает,
значит, возрастает функция ух2+3х+6, откуда следует, что
левая часть уравнения — возрастающая на [-1; оо) функция (как
сумма двух возрастающих функций). Правая часть уравне-
ния — постоянная, уравнение, следовательно, имеет не более од-
ного решения. Корень х =-1 легко угадать; б) 1. Указание.
Левая часть уравнения — возрастающая на [1; °°) функция, а
правая часть — убывающая.
9.1. в)
ч 2
г) —;
7 з
§9
-9; 1; 9; г) -4; -3; 4. 9.2. а) -2; 1; б) -1; 3; в) -2; -1,5;
0,5. 9.3. а) -4; -1; 2; б) -3; в) 0,5; г) |. 9.4. а) -1.
О
Указание. Левая часть уравнения — возрастающая на R
функция, значит, уравнение имеет единственное решение; б) 1.
Указание. Приведите уравнение к виду х3 + 5х - 6 = 0, далее
.	. 4	-5±V5
рассуждения аналогичны рассуждениям в 4, а; в) 1; —-—;
г) 1; 1±УЗ. 9.5. а) -2; 1; 4; б) 2, 4; в) -2; -1; 4; г) -1; 2; 4.
9.6. а) -0,25. Указание. Запишите уравнение в виде
(Зх)3 + (х + I)3 = 0, далее разложите левую часть уравнения, ис-
пользуя формулу суммы кубов; б) i. 9.9. а) -2; 1; 3, а = 1;
6
б) -2; 1; 3, а = -2. 9.10. а) -3; 2; а = -8. Указание. Подстав-
ляя значение х = -3 в уравнение, покажите, что а = -8. Ле-
вую часть уравнения разложите на множители: х3 — х2 -
- 8х + 12 = х3 - 2х2 + х2 - 8х + 12 = х2 (х - 2) + (х - 2) (х - 6) = (х -
„	-V2± J4V2 -2
- 2) (х2 + х - 6); б) -3; -2; -0,5, а = 6. 9.11. а) -2---.
&
Указание. Разложите на множители левую часть уравнения:
х4 + 4х - 1 = х4 + 2х2 + 1 - 2х2 + 4х - 2 = (х2 + I)2 - (V2x - V2)2 =
= (х2 - V2x + 1 + V2)(x2 + V2 • х + 1 - V2); б) Указание. Заме-
1	А
нои переменной у = — уравнение сводится к уравнению из 4, а.
х
9.12. а) ±2, ; б) +|±0,6; в) -2; -1; г) -|; 2. 9.13. а) ±а; ±V3;
О	о
271
6) ±V2; ±у[а^ при а > 0; в) -а; 2; г) -2а; -3. 9.15. в) -1; 6;
5 ±л/^; г) -7; -1; -4±V3. 9.17. а) -3; 4; б) -2;	в) -1; 2.
2	3
Указание. Введите переменную у — | х2 - х |; г) -3; 1. Указа-
ние. Введите переменную у = | х2 + 2х |. 9.21. Нет решений при
0 < а < 1; одно решение при а - 0, а = 1; два решения при а < О,
а > 1, Указание. Записав уравнение в виде
(х + 2)4 + (х + 2)2 - а2 + а = 0, покажите, что оно равносильно со-
вокупности уравнений
(х+2)2 - а 1, 924 г) 2 3 925 а)
(х + 2)2 =-а.	3’ 2
——. У казание. Разделив обе части уравнения
2	2
на х , введите переменную у = х - —, после чего уравнение при-
зе
7 + У 3 3
мет вид у2 - у - 6 = 0. 9.27. б) 1; 2; —-. Указание. Разде-
4
лив обе части уравнения на (х + 2)2, введите переменную
х3-2х+4	3 ± 41 2 ± 42
г/ =-. 9.29. а) —-—; —-—. Указание. Разделите обе
части уравнения на х2, введите переменную у = 2х + —> тогда
х
—15 + V129
(у - 3) (у + 5) = 9, откуда у = -6 или у - 4; б) -6; -4; --.
9.30. а) 1; 2. Указание. Разделив числитель и знаменатель
2
каждой дроби на х, положите у = х + —, тогда уравнение примет
х
вид—+ 5; б) ~5±Л^. 9.31. а) 7 ± V34; б) 1; 4. Указа-
2у-3 j/+l	2
ние. Разделите на х числитель и знаменатель каждой дроби и
4
положите у = х + —. 9.32. а)
-—. Указание. Выделяя квад-
2
рат разности в левой части уравнения, получите
( X У 2х2	( х2 У 2х2
х ----- +------= 3, откуда ----- ч-------3 = 0, далее введите
x + lj	х + 1	l^x + lj	х + 1
Г2 -1±л/13
переменную у = ——; б) --------. 9.33. а) -1, 0; 3, б) -4; -1; 0.
9.34. а) -2; 1; б) 1; 2. 9.35. а) -1; б) -2; 0. 9.36. а) 1; 2; 4;
б) -3, -1. 9.37. а) -1; 5; б) -1; 0; 3. 9.38. а) 1; 2; б) 0; 2.
9.39. х = -3 при а = 0, х = -0,5 при а = 1. 9.40. При | а | > 2 нет
решений, при а = 2 одно решение, при -2 < а < 2 два решения.
9.41. При | а | > V2 нет решений, при | а | = 42 одно решение,
। । / Гъ	42	42
при | а | < У 2 два решения; х = — при а = У2, х~~~^ при
а = -42, 9.44. а = 0. Решение. Если х0 — корень уравнения,
272
то — х0 также является корнем уравнения, значит, для единст-
венности решения необходимо, чтобы х0 = 0. В этом случае из
уравнения получим а2 - а = 0, т. е. а = 0 или а = 1. Проверим до-
статочность каждого из полученных значений параметра: при
а = 0 уравнение имеет вид х10 = 0, т. е. решение единственно;
при а = 1 уравнение имеет вид х10 - | х | = 0, корнями которого
2. 3\
3’2/
являются числа ±1 и 0. 9.45. а = 1. 9.46. а) (-1; у), у е R; (х; 2),
х ей, б) (1; у), у g R; (х; -1), х > 0.	9.47. а)
(	3 з \
б) I -- I. 9.48. а) (-3; 2). Указание. Рассматривая урав-
нение как квадратное относительно х, получите D = -(у - 2)2, от-
куда у = 2. Другой способ: умножая на 4 обе части уравнения,
представьте уравнение в виде (2х + Зг/)2 + (у - 2)2 = 0, б) (1; 1).
9.49. а) (2; 1), (-2; -1). Указание. Приведите уравнение к ви-
ду (х - 2у)2 + (ху - 2)2 ~ 0, б) (2; 3), (-3; -2). Указание. При-
ведите уравнение к виду (ху - 6)2 + (х - у + 1)2 = 0.
9.50. а) (-1; 2). Решение. (х2 + 2х + 2) (у2 - 4у + 6) = ((х +
4- I)2 + 1) ((у - 2)2 + 2) > 1 • 2 = 2, причем равенство достигается
тогда и только тогда, когда х =-1 и у = 2; б) (2; -3), (-2; -3).
9.51. а) (1; 0), (-1; 0). Указание, х2 + -Д- > 2 для всех х 0,
х2
।	।	9
числа, имеем: 2х - 5 + -=-------г
|5-2х|
д/4-|г/| < 2 для всех у g R; б) (1; 1), (4; 16). Решение. Исполь-
зуя неравенство Коши между средним арифметическим и средним
геометрическим и неотрицательность модуля действительного
2х-5| • ——;+0 = 6,
1 |2х-5|
причем равенство достигается только тогда, когда |2х - 5| -
и Jy = х, откуда находим решения (4; 16), (1; 1). 9.53. в) Объ-
единение двух лучей с общим началом в точке (0; 0): у = 0 при
х > 0, у = 2х при х > 0. 9.54. в) Объединение двух прямых у = х
и у = 0,5х. 9.55. г) Объединение двух прямых г/ = -хиг/ = х- 4.
Указание. Записав уравнение в виде у2 + 4у + 4 = х2 - 4х + 4,
получим (у + 2)2 = (х - 2)2, откуда |у + 2| = |х-2|, т. е. у + 2 =
= х - 2 или у + 2 = 2 - х. 9.56. в) Рис. 15. 9.58. б) Рис. 16;
в) рис. 17. 9.59. б) Рис. 18; в) объединение двух симметрич-
ных относительно оси Ох парабол у = х2 - 2х и у = 2х - х2.
9.60. г) Рис. 19. 9.61. б) Квадрат с вершинами в точках (2; 0),
(3; 1), (4; 0), (3; -1); г) рис. 20. 9.62. в) Объединение окружно-
сти с центром (0; 0) радиуса 2 и двух прямых у = ±х, исключая
точку (0; 0). 9.63. а) Объединение ветвей гиперболы ху = 1 и
прямой у = х, исключая точку (0; 0); в) объединение ветвей ги-
пербол ху = ±1 и прямых у = ±х, исключая точку (0; 0).
9.64. а) Окружность с центром (1; 0) радиуса 1; в) объединение
273
274
Рис. 25
Рис. 27
275
двух окружностей с центрами (0; 1) и (0; -1) и радиусов 1;
г) Указание. Запишите уравнение в виде (| х | - I)2 +
+ (у + 2)2 = 4. 9.65. а) Объединение двух парабол у = х2 - 2 и
у = -х2. Указание. Запишите уравнение в виде (х2 - I)2 =
= (у 4- I)2; в) рис. 21; г) рис. 22. 9.66. г) Рис. 23. 9.67. г) Рис. 24.
9.68. в) Рис. 25. 9.70. г) Рис. 26. 9.71. в) Рис. 27. 9.72. б) Точ-
ка (2; 3); г) рис. 28. 9.73. а) 4л; б) 8л. 9.74. а) 2л. Указа-
ние. Искомая фигура — объединение двух кругов с центрами
(2; 0) и (-2; 0) радиусов 1; б) 4л. Указание. Искомая фигу-
ра — объединение четырех кругов с центрами (1; 1), (-1; 1),
(-1;-1) и (1;-1) радиусов 1. 9.75. а) 2. Указание. Искомая
фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках
(0; 4), (1; 0) и (0; 0); б) 2л. Указание. Искомая фигу-
ра — часть круга с центром (0; 0) радиуса 2, лежащая в I и III
координатных углах. 9.76. а) 3. Указание. Искомая фигура
изображена на рисунке 29. 9.77. а) 4 + 2л; б) 7. Указание.
Искомая фигура — часть квадрата с вершинами (2; 0), (4; 2),
(2; 4), (0; 2), не лежащая внутри другого квадрата с вершинами
(1; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 1). 9.78. а) 1; б) 1 + 0,75л. Искомая фи-
гура изображена на рисунке 30. 9.81. а) (4; 9); б) (7; 1);
в) (-3; -9); г) ( - 2; -1). 9.82. а) (-5; 0), (-2; 3), (0; 5); б) (3; 0),
(4; -1), (6; 3); в) (3; 1); г) (1; 4), (3; 4). 9.83. а) (-5; -3), (-4; 0),
(-3; -1),	(-2; 0),	(-1;	-3);	б)	(0; -5), (-6; -5), (-3; -4).
9.84. а) (-6; 2),	(-1; 1),	(-11;	3); б) (3; -3), (2; 2), (4; -8),
(-5; 37). 9.85. а)	(1; 3), (2; 4),	(3;	3); б) (-3; 2), (-2; 1), (-2; 3).
9.86. а) (-2; -1),	(-1; 0);	б) (2;	0),	(3; 1), (3; -1). 9.90. а) (2; 1);
б) (1; 2). 9.92. а) (3; -Л); б) (-V5; -2). 9.93. в) (1; 1), (1;-1);
г) (1; -1), (-1; -1). 9.94. а) (5; 0), (-3; 2); б) (1; 2), (-1; 4);
в) (1; 1);
-1),
I 3	3/
г) (-1; -2). 9.95. а) (1; 2),
(2; 1),	21); г) (0; 4),
\ о о /
б) (-1; 2); в) (-10; -7),
(2,4; -0,8), (-12; -20).
9.97. а) (1,5; 5,5), (2,5; 5,5); б) (3; 0,5), (3; 1,5). 9.98. а) (х; 5 - х),
где х > 3; б) (х; 6 - х), где 1 < х < 7. 9.99. a) (£; £), где
-2 < t < 0; (£; -t - 4), где -4 < t < -2; б) (t; t + 2), где 0 < t < 3;
(t; 8 - t), где 3 < t < 6. 9.100.	9.105. a =	9.106. a = 1,
6 = -l. 9.107. a) a = 4, (0; 2); 6) a = 6, (3; 0), в) a > 2,
fa-2 a + 2\ r) a < _1; a = -l. a > 1. 9.108. а) (1; 2; 3);
2	2 J	3
6) (1; -3; 2); в) (1; 2; 5); г) (5; 4; 3).	9.109. a) (5; 5; -2);
6) (-3; 2; 4); в) (1; 2; 3; 4); г) (1; 1; 1; 1). 9.110. a) (4; -9; -9;
-3; 3);	б) (10; 9; -2,5; 3; -1).	9.116. г) (3; -1),	(-3; 1).
9.117. б) (2; 0),	(-1; -1).	9.120.	б)	(а; -а). 9.121. a)	(1; 1),
(1;-1); б) (1; 1),	(2; О), в)	(2; 1),	(2;-1), (-2; 75), (-2;	-Тб);
г) (1; 0), (0; 1),	(-1; 2).	9.122.	б)	(3; 2), (2; 3); в)	(2; 1).
9.123.	а) (3; 1), (1; 3); б) (5; 1), (-1; -5); в) (1; 1), (1; -1),
276
(г2?)’ [г ~1г)	(-2;-1). 9.124. a) (V5; V5),
(-V5; - V5), (3; -1), (-1; 3); б) (0; 0), (2; 2), (-2; -2); в) (0; 0),
(0; 3), (3; 3). 9.125. а) (0; 2), (2; 0), (0; -2); б) (0; 1), (0; - 1),
(-0,5; 0).	9.126. а) (2; -1),	(-2; -1); б) (1; 1),	(-1; -1).
9.127.	а) (-4; 3), (-4; -3); б) (1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2).
9.128.	а) (-1; 2), (-1; -2), (-4; 1), (-4; -1); б) (-1; 1), (-1; -1).
9.129. 0,25. 9.131. б), в),
9.132. а) (0; 0),	-1;
г) (2; 1), (2; -1), (-2; -1), (-2; 1).
б) (3; 2),	(-2; -3); в) (1; 1).
9.133.	а) (1;-1),	б) (1; 2), (1; 0,5); в) (-1; 1), [ х; ?
\ *	* /	\ о
где х е R; г) (-1; 9), (4; у), где у е R. 9.134. а) (1; 1), (-2; -2),
fl+V5 i-Vs'l (1-V5 l+VK'i
------; --- , ----; ----- . Указание. Вычтите из одного
|<2 2j |<2 2j
уравнения системы другое; б) (2; 1), (~4; -5), (0; 3). Указание.
Рассмотрите разность уравнений системы и, записав полученное
уравнение в виде (х - 2)2 - (у - I)2 = 0, получите у = х - 1 или
у = 3 - х. 9.135. а) (-1;-1). Указание. Сложите уравнения
системы; б) (1; 1). 9.136. а) (2; 3). Указание. Сложите урав-
нения системы и запишите полученное уравнение в виде
(х - 2)2 + (у - З)2 = 0; б) нет решений. 9.137. а) (4; 1), (4; -1),
(1; 2), (1;-2). Указание. Сложите уравнения системы;
б) (2; 1), (2;-1), (1; V2), (1; -V2). Указание. Рассмотрите
разность уравнений системы; в) (2; 1), (-2; -1). Указание.
Сложите уравнения системы и преобразуйте полученное уравне-
ние к виду (2х + Зу)2 = 49; г) (1; 1). Указание. Сложите урав-
нения системы и получите х + у = 2. 9.138. а) (0; 1), (-3; 1).
Указание. Рассмотрите разность уравнений системы; б) (1; 1).
Указание.	Рассмотрите	разность уравнений системы.
9.139.	а) (2;	1), (-2; -1);	б)	(1; 2), (-1; -2),	(-1; 2), (1; -2).
9.140.	а) (2;	1), (-2; -1);	б)	(2; 1). 9.141. б)	(3; 2); в) (1; 2),
(8; 0,5); г) (2; 1). 9.142.	а)	(2; -1), (-2; 1),	(1; -2), (-1; 2);
б)	(2; 1), (1; 2). 9.143. а) (2; 2),	-2^; б) (0; а), а е R,
ч 3	)
(5; 1), b g R. 9.144. а) (2; 1), (-2; 1). Указание. Перемножьте
уравнения системы; б) (1; 1),	(-1; -1),	(1; -1),	(-1; 1).
9.145. а) (1; 1), (7;-2). Указание. Почленно разделите одно
уравнение системы на другое, предварительно преобразовав пер-
вое уравнение к виду (х + Зу) (х + 1) = 8, а второе — к виду
(х + Зу) (у - 2) = -4; б) (2; 1), (-4; -2).
((х +у)(2х - Зу + 1) = б,
тему в виде	Л Л
[(х - у)(2х - Зу + 1) = 2,
Указание. Записав сис-
разделите почленно одно
уравнение на другое. 9.146. а) (3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3).
Указание. Используйте равенство х4 + х2у2 + t/4 = (х2 -
277
-ху + у2) (х2 + ху + у2); б) (-2; 1), (1; -2), (2; -1), (-1; 2).
9.147. а) (2; 1). Указание. Преобразуйте систему к виду
{(х2 + i/2)(x —1/) = 5
, и почленно разделите одно уравнение на
(х2 + у2)(х + у)=15
другое; б) (1; 2), (-1;-2), | 2-/2; I, I —2^2; —I. Указание.
V 42 J V 42)
Используйте равенство х4 + 4у4 - 5x2j/2 = (х2 + 2у2 + Зху) (х2 +
+ 2у2 - Зху). 9.149. б) (6; 7), (7; 6), (-5 + >/б; -5-V6),
(-5-V6; -5 + V6).	9.150. а) (1; 1); б) (-1;-1); в) (1; 1);
г) (1; 1). 9.152. а) (0,5; 0,5), (0,5; -0,5), (-4),5; 0,5), (-0,5; -0,5).
Указание. Введите переменные и = | х |, v = | у |; б) (1; 2),
(1; -2), (-1; 2),(-1; -2), (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1). 9.153. а)
(-1 + V^; -1 + V6), (-1-V6; -1-V6), (2; 1), (1; 2); б) (3; 1),
(1; 3). 9.154. а) (2; 2), (-2 + 242; -2-2^2), (-2-2>/2;-2+ 2л/2);
б) (1;-2), (-2; 1). 9.155. а) (3; 4), (4; 3), (11 + V31; 11-2V31),
(11-2V31; 11 + 2V31); б) (2; 3),	(3; 2),	(-3 + V3; -3->/3),
(-3-V3; -3 + V3).	9.157. в) (2; 1),	(-2;-1);	V21),
-V21); г) (-1;-1), (2;-1), (-1; 2). 9.158. б) (1; 1),
(1-42; 1 — 42).	9.159. а) (2; 1),	(-2;-1), (1; 2),	(-1;-2),
Л) ЛЛ; _ Л)б) (1; 1к (-1; -1)-91б°-а) (2; 1к (0:3)*
(-3; 0). Указание. Умножьте второе уравнение на 2 и сложите
с первым, полученное таким образом уравнение является квад-
ратным относительно х — у; б) (1; 1), (-1;-1), I 2-/13; 4=1,
\	у/13 /
[-2V13; --Д=|. 9.161. а) (0; 0), (2; 1), (-2;-1), |-Д=; -А=|,
V	413 )	VV13 413)
f	5	1 А
—= . Указание. В случае у 0 разделите обе час-
V V13	V13 J
ти каждого уравнения на у и введите переменные и = х2 + у2,
v =—; б) (1; 1).	9.162. а) (1; 2),	(-2,6;-3,4); б) (1;-2).
У
9.163. а) (-4; 4,8), (3; 0,6). Указание. Введите переменные
и = х2 + х, и = Зх + 5z/; б) нет решений. 9.164. а) (2; 1), (1; 2);
б) (4;-1); в) (2; 1), (1; 2); г) (-1;-1), (-2 + 42; -2 - 42),
(-2-42; -2 + 42). 9.165. а) (410; 410), (-410; -410), (4; 2),
(-4; -2); б) (2; 1), (-2; -1); в) (2; 4), (-2; -4); г) (1; 3), (-1; -3).
9.166. в) (2; 1), (—2; -1), (-^=;	4=1 9-167. б) (-1; 1),
\47 V7) \ V7 V7}
278
(1;-1); в) (2; 1), (-2;-1), А; 2 , _ 5 . _ 2 . г) (0;
IV7 V7) V V7 V7 7
(0;-1). 9.168. a) (4=; 4=1» (—U; -4= I, (1;-1), (-1; 1);
кТз 4з )	17з 4з )
б)	(1; 1), (-1; -1), f-L; -ДД 7=’ "4=^ в) 1). (0; ~1)>
l7io TioJ I Tio	716)
(1; 1), (-1; -1); г) (1; О), (-1; 0), (1; 1), (-1; -1). 9.169. а) (1; 1),
Гл/2; -1=1; б) (-4;-1); в) (1;-1); г) (1;-1),	(1,5; 0,5).
\ V J
9.170.	а) (1; -1), (-1; -1), (2±; 11, (-21; 11; б) (-1; 1), (-1; -1),
(-4=; 4=1 (-4-; -4=1- 9.171. а) (2; 1), (-2; -1), (- -4=1>
I 41 41) I 41	41)	\ 4з 4з )
( 5	4 'l ,, ,ч	о ( з 2 A f з 2
l73	43)	1719 719j I 719	719 J
9.172.	a) (0; 0), (1; 1), (1,6;-3,2); 6) (0; 0), fl; |1, (-1; -1].
9.173.	a) (2; 1), (-2;-1). 9.174. a) (273; 73), (-273; -73),
(-247; 77), (247; - 47); б) (8; 4), (-8; -4), (7; 1), (-7; -1).
9.175. а) (1;-1). 9.176. а) (2Тб; 2Тб), (-276; -2Тб), (8;-2),
(-1; -2; -3).	9.181. а) (1; 3; 2),	(-1; -3; -2);
9.182. а) (1; 1; 2); б) (—2; 1; 1),	(1; 1; -2),
(-8; 2); б) (-1; -1), (3; 2), (-3; -2). 9.177. а) (1; 2; -3), (3; 0; -1);
б) (2; 1; -1); в) (-1; 1; -1); г) (1; 2; -1),	(-1; 4; 1).
9.178.	а) (1; 1; 2); б) (3; 2; 1), (-3; -2; -1). 9.179. б) (4; 1; 3),
(-^;	1). 9.180. а) (1; 2; -3), (-1; -2; 3). Указание. Пе-
ремножив почленно все уравнения системы, получите xyz = ±6;
б) (1; 2; 3),
б) (1; 2; 3).
(-1; -1; 2), (2; -1; -1). 9.183. а) (5; 3). Указание. Из первого
уравнения следует, что у > 3, значит, |г/| = г/и|г/-2| = 1/-2. Не-
равенство системы преобразуйте к виду (у - З)2 < 0, откуда у = 3;
б) (2; 1). 9.184. (0; -1). Решение. При х = 0 имеем у = -1. Ес-
ли х < 0, то (х - 2)2 > 4, и, учитывая, что для всех у g R
(у2 - I)2 > 0, получаем (х - 2)2 + (у2 - I)2 > 4, т. е. первое уравне-
ние системы решений не имеет. 9.185. (1; 1). Указание. Пер-
вое уравнение системы перепишите в виде (х - 2у + I)2 +
+ (у - I)2 = 0. Другой способ: первое уравнение системы рассмот-
рите как квадратное относительно х, тогда D = - (у - I)2.
(	1	2 А
9.186.	(1; 1), -2-; -- . Указание. Преобразуйте систему к
\ 3	3 у
{(х + у + 1)(х - 2у + 1) = 0,	zn 14 zn 14
(х+ у + 1)(2х-у + 1) = 6. 9Л87- (2; D’(2;-l). Решение.
Записав второе уравнение системы в виде (х - 2)2 = 2 (г/6 - 1), по-
279
лучим у6 > 1, т. е. у2 > 1. С другой стороны, из второго уравне-
ния у2 = —4х , для всех х е R - 4х о 1, значит, у2 < 1. Таким
4 + х2	4 + х2
образом, у2 = 1 и х = 2. 9.188. (-1; 1). Решение. Записав пер-
вое уравнение системы в виде (у - I)2 = х2 - 1, имеем х2 > 1, т. е.
х < -1 или х > 1. Второе уравнение системы перепишем в виде
(х + у)2 = —х2 - х, откуда х2 + х < 0, т. е. -1 < х < 0. Таким обра-
зом, х = —1, далее получаем у = 1. 9.189. (2; 4).
9.190. а) (1; 1; 1); б) (1; 1; 1; 1). Указание. Сложите уравне-
ния системы и воспользуйтесь тем, что сумма двух взаимно об-
ратных положительных чисел не меньше 2. 9.191. а) (2; 2; 2),
(-2; -2; -2). Указание. Условие х2 + у2 + z2 = ху + xz + yz рав-
носильно условию х = у = г; б) (1; 1; 1), (1; 1;-1), (1;-1; 1),
(1; -1; -1), (-1; 1; 1), (-1; 1; -1), (-1; -1; 1), (-1; -1; -1).
9.192. а) (1; 1; 1); б) (6; 6; 6). 9.193. б) (4; 4; 0). Решение.
Из второго уравнения системы следует, что ху > 16, т. е. хи
у — одного знака, но их сумма равна 8, значит, х > 0 и у > 0.
Используя неравенство между средним арифметическим и сред-
ним геометрическим, имеем: 8 = х + у > 2^[ху	2-/16 = 8, при-
чем равенство возможно тогда и только тогда, когда х = у = 4. Из
второго уравнения находим 2 = 0.	9.194. а) (3; 1; 18);
б) (1; 1; 0,5), (1; 1; -0,5). Указание. Если х > 0 и у > 0, то
2 = х + у + д/1 - 4z2	2^/xz/ + 71 - 4z2	2. Равенство возможно
тогда и только тогда, когда х = у = 1 и 1- 4г2 = 0. Если х < 0 и
у < 0, то у = —, х + —	-2, и, учитывая, что 71 - 4z2	1, заклю-
X X
чаем, что 2 = х + — + Vl - 4z2 < -2 + 1 = -1, получили противоре-
чие. 9.195. а) а = 6, (3; 3); а = -6, (-3;-3); б) а = 2, (1; 1);
а =-2, (-1;-1); в) а = 0, (-1; 2); г) а = 1, (0; 1). 9.196. т = 0,
т = 2. 9.197. а) а = 2,5; б) а = 18; в) а = ±0,5; г) а = 0,75.
9.198. Нет решений при а < 0,5, а < 1;
четыре решения при а = 0,5, а = 1; во-
семь решений при 0,5 < а < 1.
9.199. а) Нет решений при а < -Зл/2,
а > 3; одно решение при а = 3; два реше-
ния при -3 < а < 3, а = -3^2; три реше-
ния при а ~ -3; четыре решения при
-Зл/2 < а < -3; б) нет решений при
а < -5 -572, а > -5 + 572; одно решение
при а = -5 ±572; два решения при
-5-572 <а < -5 + 571.	9.200. а = -2,
(0; —2), (73; 1), (-73; 1). 9.201. р = ±72,
р = ±73.	9.204. (-а - 3; 0),	(а2 + За;
280
a2 4- За 4- 2). 9.203. a = 1, (2; 1). Указание. Преобразуйте сис-
f(x 4- у— З)2 = а - 1 л	2 + V3 л	5
тему к виду С у '	9.206. а>------. 9.207. а = ±1,
[(х-у-I)2 = 1-а.	2
а = ±3. 9.208. а = 4, (0,6; 0,8); а = 6, (-0,6; -0,8). 9.209. а = 2,4,
(1,44; 1,92).	9.210. (2; 3),	(0; -7).	9.211. а = 2,	(3; 4),
(-1; 0). 9.212. (1,5; 9). 9.213. Ъ = г = 0,5; (1; 0), (0,6; 0,8).
9.214. Рис. 31. Указание. Первое уравнение системы явля-
ется уравнением окружности с центром (0; 0) радиусом | а |,
второе — уравнением прямой у - Ъ - х. Если | b | = V21 а |, то пря-
мая касается окружности, т. е. система имеет единственное
решение. Если | b | < V2| а |, то прямая пересекает окружность,
т. е. система имеет два решения. Если | b | > V21 а |, то прямая
и окружность не пересекаются и система решений не имеет.
Итак, | b | < V2| а |. 9.215. а = 2. Решение. Если (х0; у0) —
решение системы, то (-х0; yQ) также является ее решением. Зна-
чит, для единственности решения необходимо, чтобы х0 = -х0,
т. е. решение имело вид (0; i/0). Подставляя пару чисел
(0; уQ) во второе уравнение системы, получим у0 = ±1; из перво-
го уравнения соответственно получим а = 2, а = 0. Проверим
достаточность полученных условий. При а = 0 система принима-
ет вид Iх] 1’ она имеет три решения (0; -1), (1; 0), (-1; 0).
[х2 4-I/2 = 1,
тт о	\у - 2х4 + I X I 4- 1,
При а = 2 система принимает вид <	11	она име-
[х2 4- у2 =1,
ет единственное решение (0; 1), так как для всех х g R
у = 2х4 + | х | + 1 > 1 (равенство при х = 0), с другой стороны
(из второго уравнения) у2 = 1 - х2 < 1, т. е. -1 < у < 1, значит,
У = 1.
§ 10
10.2. 1 — кг. 10.3. 53%. 10.4. 90 р., 135 р. 10.5. Цена первого
тома 2 р., второго тома 1,5 р. 10.8. 3 м, 6 м. 10.9. 35. Реше-
ние. Пусть п — количество учащихся, k — количество неуспе-
вающих. Тогда 2,5 <	• 100 < 2,9, откуда < n < 40Z? (1).
При k = 1 имеем 34— < п < 40, т. е. минимально возможное чис-
29
ло учащихся равно 35. При k > 2 все значения п, удовлетворяю-
щие неравенству (1), не соответствуют смыслу задачи (п — коли-
чество учащихся в классе). 10.12. 36. 10*16. 63. 10.19. 39 к.
Решение. Пусть х к. стоит пенал, у к. — ластик, г к. — каран-
281
даш и t к, — тетрадь. Тогда
х+у = 40,
< г/ + z = 12, Из данной системы
х + z + 2t - 50.
уравнений необходимо определить х + t. Для этого, сложив по-
членно все уравнения системы, получим x + z/ + z + t = 51, и по-
скольку у + г- 12, то х + t = 39. 10.20. 65. 10.21. 11 человек по-
лучили оценку 2, 7 человек — оценку 3, 10 человек — оценку 4,
2 человека — оценку 5. 10.22. 11 лип, 5 берез. 10.23. 9 девяти-
этажных, 8 шестнадцатиэтажных. 10.24. 6. Решение. Пусть
х — количество трехкопеечных, у — количество пятикопеечных
3x + 5z/ = 53,(1)
монет. Тогда
х + у < 15, (2) Сложив почленно уравнение (1) и
3j/ + 5x>^3 (3)
1,0
неравенство (3), получим 8 (х + у) > 53
т. е. х + у > 11-К
ал
1 + —
3
Учитывая условие (2) и то, что х 4- у е Z, имеем три возможно-
. fx + z/ = 12,	(
сти:	’ (данная система не имеет целых решении),
|Зх + 5# = 53
[х + у = 13,	„ (x + i/ = 14 z
[Зх + 5у = 53, °ТКуда Х = 6’ [Зх + 5у = 53 (данНаЯ СИСТеМа не ИМе’
ет целых решений). 10.25. 2 тройки, 7 четверок. 10.27. 1 кг,
7 кг. 10.28. 21°, 42°. Указание. Если температура воды в пер-
о	о х + 2у	Зх + 4у
вом сосуде х°, а во втором у, то ——- = 35 и —-— = 33.
О	I
10.29. 1,64 кг, 1,86 кг. Указание. Пусть в первом сосуде со-
держится х кг кислоты, а во втором — у кг. Тогда = 0,35.
ах ау
Если взять по а кг каждого раствора, то 4 - 6 = 0,36, т. е.
— + - = 0,72. 10.31. -^-г. 10.32. 3; 4; 15. Указание. Пусть
4	6	т + п
х — количество первой смеси, у — второй и z — третьей. Тогда
12	2 1	3 1
А = -х + -г,	В = -х + -у9	С	= -y + -z.	Имеем систему
3	3	3 4	4 3
откуда x:z = l:5 и i/:z = 4:15.
10.33. 21 — мин. 10.34. м — длина обода переднего колеса,
11	с-Ъ
— м — длина обода заднего колеса. 10.35. 50 ступенек.
—Ъ
10.36. 4 км/ч. 10.37. 14 км/ч, 2 км/ч. 10.38. 4 ч, 1| ч.
О
282
10.39. 12 ч, 15 ч. 10.40. 75 ч, 50 ч. 10.41. 9 ч. 10.42. 60 км/ч,
100 км/ч. 10.43. Не более 20 км/ч. Решение. Пусть
v км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, тогда
— ч — время, затраченное на путь от А до В,
v
(4 60-иА	„	. тт
- 4------ ч — время, затраченное на путь от В до А. Имеем не-
^3 и + 4 J
4 60-и . 60	Л
равенство - 4-----С —, откуда с учетом, что и > 0, получаем
3	U4-4 и
у2 4- 16у - 720 <0, т. е. 0 < v < 20. 10.44. 10 км. Указание.
Пусть Vi км/ч, v2 км/ч — скорости первого и второго туристов
соответственно, s км — расстояние АВ. Тогда ~~~~ ~ ф
s = 2,5v, и — + ! + — = —. ю.45. 4 км. 10.46. 30 км, 6 км/ч,
5^!	6 Uj v2
4 км/ч. 10.47. 35 км/ч, 15 км/ч. 10.48. 5 км < s < 10 км.
10.49. 3. 10.50. 8 км. 10.51. 1,125. Указание. Пусть v2,
— скорости первого, второго и третьего автомобилей СООТВеТ-
tJ.	3	р„	Uq 4	3
ственно, тогда------= - и ------= 2, откуда — = - и — - -. Та-
2i>i -U3	2	2v2 -l>3	Uj 3	i>2	2
ким образом, — = х : =	Ю.52. 60 км/ч. Указание. Ско-
1?2	2 о О
рость машины х км/ч и скорость пешехода у км/ч удовлетвори-
„ о 46-30 30 .	11 46-30-11	з
ют системе уравнении 2----------4- — = 1 и —------------= 2
х+ у	х	у х	2
10.53. 1 м/с. Указание. Пусть х м/с, у м/с и z м/с — скоро-
сти первого, второго и третьего пловцов соответственно,
s м — расстояние АС. Тогда имеем систему — = - + 5 = - + 10,
х у z
55 — 9 554-9 „ 55—15 554-15 л Л t j е	/ла ?
-----=------4- 5,-----=-------4-10. 10.54. 5 км/ч < V < 10 км/ч.
У	2	X	2
Решение. Пусть через 1 ч плот окажется в точке В, а встреча
произошла в точке С. Требуется определить, при каких v имеет
( АС АС
место неравенство v-------h-----4-1 > 15 (*). Выразим АС через
^104-и 10-и	)
ВС
и: — ч — время, за которое плот проплыл расстояние ВС,
v
ВС + р	.
y^-j-— ч — время, за которое катер проплыл расстояние АС, то-
ВС BC+v	у2	v2	Юи + и2
гда — = —-----, откуда ВС = — и АС = v 4- — = ———. Подстав-
v	104-и	10	10	10
ляя найденное значение АС в неравенство (*), после преобразова-
ний получим v2 4- 25и - 150 > 0, откуда и > 5. Кроме того, из
условия очевидно, что v < 10. 10.55. 240 км. 10.56. 290 км,
2 км/ч. 10.57. 2,5 км/ч, 1,5 км/ч. 10.58. 15 км/ч, 3 км/ч.
283
10.59. 360 м, 12 м/с, 3 м/с. Указание. Пусть х м/с и
у м/с — скорости точек, s м — длина большей дуги окружности,
Юх 4-10г/= 150,
14х 4- 14у = s,
S + 150 _ 90
х у
10.60. 15 с, 18 с. Указание. Пусть х и у — скорости точек,
с — длина окружности (расстояние измеряется в единицах дли-
[--- = 3
ны, время — в секундах). Тогда s у х ’ решая систему
90 х — 90z/ = с;
тогда имеет место система уравнений
с	с
относительно Л = — и , находим t. = 15 с, = 18 с.
х	У
10.61. 36 мин, 45 мин. Указание. Пусть s — длина кольцевой
дороги, tr ч и t2 ч — время прохождения дороги каждым из
автомобилей (для определенности
3.A-3.A = S,
^1	^2
V \ - откуда t. = 0,6 и
8,81
— 4-— •- = 8,
V1 *2 J 3
15 ящиков. 10.63. 14 м/ч, 18 м/ч.
считаем
Тогда
= 0,75. 10.62. 6 ящиков
10.64. 9 ч, 6 ч или 4 ч
48 мин, 14 ч 24 мин. 10.65. 10 ч, 15 ч. 10.66. 9 ч. Указание.
Пусть производительность первого и второго рабочего х дет/ч и
.	60	60 о
у дет/ч соответственно, тогда х 4- г/ = 30 и — - — = 3, откуда
У х
у — 10. 10.67. Зч. Указание. Пусть первая машинистка мо-
115
жет напечатать главу за х ч, а вторая — за у ч, тогда — 4- - = — и
х у 18
^ + - = 2. Искомое число часов равно ^у. 10.68. 4,5 м3, 1,5 м3.
Указание. Если за 1 ч из большей трубы поступает х м3 воды,
а из меньшей — у м3
о । о 1 о 13,5	4,5 п
воды, то Зх + Зг/ = 18 и -------+ -— = 6.
х у
ч. 10.71. Первый токарь. 10.72. 60%.
10.69. А. 10.70. 8 ч, 6
9
Решение. Пусть х,
второго и третьего
{X + у + 2 = 1,5(х 4- и),
ч ’ v Разделив на х каждое уравнение системы,
4(x + z) = 12y.
у и г — производительности первого,
участников соответственно, тогда
У 2
получим систему двух линейных уравнении относительно — и —,
I/ 3
из которой — — т. е. у составляет 60% от х. 10.73. В 4 раза,
х 5
Указание. Пусть х, у и z — количества деталей, которые изго-
товляют в час соответственно первая, вторая и третья бригады.
284
Тогда х + у + z = 0,5х + 0,5г/ + 42 и х + у = 2 (у + 2), откуда
х : 2 = 4. 10.74. 1,5 дня. Указание. Из условия следует, что
А + 2Б + В = ^, В + 2Г = ^ и B + B + T = i. Складывая почленно
2	3	3
первое и второе равенства и вычитая третье, получаем
А + Б + В = -. 10.75. 3 ч. 10.76. 2 м3. Указание. Если емкость
3
бака V м3, пропускные способности первой и второй труб х м3/ч
3/	V У 1 У + 2	2	V Q
и у м/ч соответственно, то —-----— 1, -----= — и х — = 3.
У х у+1 х У
3
10.77. 6 ч. Указание. Пусть первый трактор может вспахать
все поле за х ч, второй — за у ч, тогда - - — = 3. Если тракторы
3	4
о Л 1	1Л	2	(1	1
работали вместе	t	ч,	то	—I- £ —	+ - =	1,	- + (£ + 0,4)	I - +	— I =	1.
х \х	у)	у	\у	х)
Исключив	t	из двух	последних уравнений, получим	Зх =	2у.	Ре-
шив систему уравнений Зх = 2у и ^-^ = 3, получим х = 12,
у = 18. После чего находим t = 6. 10.78. 5 деталей в час. Ука-
зание. Если производительность ученика х деталей в час, то
30 ,	60	35 ,	90	35 Л е ~
+----- = — + 1 и --- - — = 0,5. Решая полученную систему
2 х 2x4-2 х	2 х 4” 2	х
двух уравнений с одной переменной, получим х = 5. 10.79. 160 де-
талей. 10.80. 13 деталей, 11 деталей. 10.81. 100 м3, 140 м3.
10.82. 10 ч, 6 ч. 10.83. — V, 2V.
§ И
11.5. в) -3 < х < 2; г) х Ф ±2. 11.6. б) а > 0, а Ф 1; в) а ~1.
11.9. a) ±V3, V6; б) V5, -V2; в) ±^7; г) -V5; V3.
11.11. а) 2 < Va 2,5; б) 0,01 < Ча < 0,6. 11.12. а) -3 < Ча < 3,5;
б) —0,8 < Ча < 0,44. 11.13. б) минус; г) минус. 11.14. г) — 2 < х <
<79. 11.16. а) х < -V3,-42 < х < V2, х^ЧЗ; б) -41 < х <Чб;
в) -45 <х <45; г) х < -V4; х > -Чз. 11.17. е) Рис. 32.
11.18. д) Рис. 33.	11.21. а) 2; б) -2.	11.25. в) -аЬЧЪ;
у =л/|х| - 1
Рис. 32
285
г) ab*y/a?. 11.26. а) -За | d3 | с2 V3; б) 2а2Ь | с3 | V2;b) а | Ъ | с2 х
х tfa3; г) | ab | с2 tybc. 11.27. а) -а| b |V-а; б) a |bV-6;
в) -а| Ъ |с2 V-а3 ; г) | аЪ |с2 л/-Ьс. 11.31. a) Va^; б) -V-b5 ;в)
-^2а4 при а > О, ^2а4 при а < О, г) \>ЗЬ6 при Ъ > О, -V366 при
Ъ < О. 11.32. а) \1а5Ь4 при Ъ > О, —tfa5b* при b < О; г) МУ-а10Ьп
при а > О, ~^-awbn при а < О. 11.37. в) 3; г) 1. 11.38. а) 1;
3
б) -1; в) 1; г) -1. 11.39. а) 2; б) 2, в) 4; г) 3. 11.43. б)
где 5*1.	11.45. г) 9-3V2+V4.	11.48. б) 0,5(2-V8).
11.49. а) 48; б) 1. 11.50. а) 1; 3^/3; б) О. 11.51. а) 8; б) 81.
11.52. а) -1990, б) 31. 11.56. б) Рис. 34. 11.57. Решение,
а) Дважды применяя соответствующее неравенство для двух по-
ложительных чисел, имеем:
а 4- b 4- с + d 1 ( а + b с + d	I а +'~d с + d i i—~~ / 1 л i——г
---------= -	+	> /------- >Jjab-ylcd = i/abcd;
ТЕ	\	J у
6)1 способ. Для доказательства неравенства а---^ + с tyabc
о
положим а = х3, b = у3, с - z3 и будем доказывать, что
х3 4- у3 4- г3 > 3x1/2. Поскольку (х + у 4- 2)3 - х3 4- у3 4- г3 4- Зху (х +
+ у + 2) + 3X2 (X 4- у 4- 2) 4- 3yZ (X 4- у 4- z) - ЗХ1/2, ТО Имеем X3 4-
4- у3 4- 23 - 3xyz ~ (X 4- у 4- 2)3 - 3 (х 4- у 4- z) (ху 4- Х2 4- yz) = (х + у +
+ z) ((х + у + z)2 - Зху - 3X2 - 3yz) = (х + у + z) (х2 4- у2 4- z2 - ху -
- xz - yz) > О, так как х>0, I/ > О и 2 > О (по условию числа a, b
ис — положительные) и очевидное неравенство (х - у)2 4- (у -
- г)2 4- (2 - х)2 > О равносильно неравенству x2 + y2 + z2-xy-
- xz - yz > О. Заметим, что неравенство вырождается в равенство
тогда и только тогда, когда х = у — z, т. е. при а = b = с. II с п о-
у = 1 —л/х2— 4|х| 4- 4
Рис. 34
286
„	X + у+ 2+ t , I--
соб. В неравенстве---xyzt, которое доказано в пункте
а, положим а = х, Ъ = у, с = ги будем подбирать число t так, что-
x+y+z+t a + b+с	а + Ь+с __
бы ------------=--------, откуда t =------------. Имеем
4	3	3
а + Ь+с
a + b+c x+y+z+t а+ +с+	§	. .ГТ a + b + с
------------z-----------------2---> 4 abc-------. Тогда
3	4	4	V 3
(а+Ь+с)	, a + b+с	[а + Ь+с] . ,
------	> abc------, т. е. ------------- > abc или
I з J	з	V з J
а + Ь+с	11.58. 2 + Va^, где а ±1. 11.60. 2 при а > О,
Ъ > 0, а*Ь. 11.65. х > О, х#:1. 11.66. Указание. Исходное
выражение тождественно равно 2^[у. 11.70. 9х2 + 66х - 23 = 0.
Указание. а = —, Ь = -7—. 11.71. Указание. Число 19891"1
3	3
оканчивается на 9, число 463462 оканчивается на 9, значит, а де-
лится на Ъ = 10. 11.72. в) х < -ТЗ, х > ТЗ; г) —Уб < х -Уб.
11.73. в) х = 0, 2 < х < 3; г) 0 < х < 5. 11.74. а) 8; б) 4д/2;в)
0,5(373 + 1); г) нет решений. 11.75. а) ±3; б) нет решений; в)
-V12; г) ±1. 11.76. в) (40, 117]. 11.77. б) (?; 1^ . 11.7& г) (-0,148,
к 4	9
3,22). 11.79. в) Плюс; г) минус. 11.82. а) -1; б) 2, в) О; 2; 1;
г) -1. 11.85. а) 4; б) 3. 11.89. а) а“2 + а2’25; б) Ь4 - д’4’2. 11.94.
-Д—. 11.96. —-—-, 0 < а < 2. а) Да, при а - 1, б) нет.
оаЬ	2а-а2
11.97. Нет. Указание. Данное выражение тождественно равно
1
т3. 11.98. а + Ь, где а > О, Ъ > 0. 11.99. а + Ь, где а > О, Ъ > 0.
11.100.	где а + Ь > 0, а - b > О, Ь О. 10.101. Указа-
V а + Ь
ние. Данное выражение тождественно равно 0,2. 11.102. Ука-
зание. Данное выражение тождественно равно 1. 11.103. Ука-
зание. Данное выражение тождественно равно 2.
11.104. 2 (Ь + а), где а > О, b > 0, а Ъ. 11.105. а, где а > 0;
Ь > 0. 11.106.	---, где х > 0. 11.107. Jx+Jy-jz. 463.
Х3(1-Х)
11.108. Указание. Разность дробей левой и правой частей не-
1
равенства равна 2-х4. Поскольку для всех х > 0 имеет место
1 1
х4 > 0, то 2 - х4 < 2. 11.109. У к аз а н ие. Разность левой и пра-
вой частей неравенства равна -УЗх. 11.110. Указание. Левая
1
часть неравенства тождественно равна (&+1)(&2 +4)2. Для всех
287
b > 0 (область определения) имеем Ъ + 1 > 1 и (Ъ2 4- 4)2 > 42, от-
1
куда (Ь + 1)(д2 + 4)2 > 16. 11.111. х 6 R, х Ф 0, х*±1. Указа-
ние. Левая часть неравенства тождественно равна 72.
11.112. a) 575; б) 1. 11.113. а < 0, а = 2. 11.114. При а = -1,5,
а > 0 одно решение: х = 7243; при а < 0, а + -1,5 два решения:
х — 7243, х = I!-32а5 . 11.119. в) Равносильны. 11.121. в) -1;
г) 0,75. 11.122. a) (1 + 7К); б) 0,5(1-75); в) -2. Указание.
Поскольку х < 1, то | х - 2 | = 2 - х. 11.125. в) 1±7б; г) -1, 2;
0,1(5 ±7134). 11.127. в) 3; г) -1. 11.128. а) 1; б) 4; в) 3; г) -1.
11.129. а) 1; б) -1; в) 2; г) 1. 11.133. в) х = а при а > 0, нет
решений при а < 0. 11.134. а) 3; б) 0,25; в) 6; 12; г) 0; 3; 4.
11.136. а) 3; 6; б) -1; в) 12; г) 1. 11.137. а) 2. 11.139. а) 6;
б) -2; в) 154(?34; г) 9. 11.140. в) 1|; г) 0,5. 11.141. в) 0.
Указание. Область определения уравнения состоит из одной
точки 0; г) 3. 11.142. а) Нет решений. Решение. Область
определения уравнения: х > 3. Переписав уравнение в виде
7х + 7х - 3 = 2 - х, заметим, что 2 - х > 0, т. е. х < 2.
11.143. а) Нет решений. Указание. 7б +4х - х2 =
= д/9 - (х - 2)2 3, равенство достигается при х = 2,
х2 - 2х + 4 = (х - I)2 + 3 >3, равенство достигается при х = 1;
б) 1.	11.144. а) 2. Реше н и е. Для всех х е R имеем
712-х2 + 4х = д/16 - (х - 2)2	4, причем равенство достигается
при х = 2. Заметим, что х2 - 2х + 2 = (х - I)2 + 1 >0 для всех
х g R, тогда, используя неравенство Коши, имеем х2 - 2х + 2 +
4	I 9	4
+---------5*2 (х -2х + 2)----------= 4, причем равенство до-
х2-2х + 2 у	х2-2х + 2
стигается при х — 0 и х-2. Таким образом, х = 2 — корень ис-
ходного уравнения; б) 2. Решение. Область определения урав-
нения задается неравенством 4х - х2 > 0, т. е. 0 < х < 4. Заме-
тим, что 74х - х2 = д/4- (х - 2)2	2, равенство достигается при
х = 2. Таким образом, получаем, что х3 4 - 12х + 18 < 2, т. е.
х3 - 12х + 16 < 0, откуда (х - 2)2 (х + 4) < 0 и х < -4 или х = 2.
Учитывая область определения уравнения, заключаем, что
х = 2 — корень исходного уравнения. 11.146. в) 0 < х < 1;
г) -2 х < 0, 1 < х 3. 11.149. в) х > 3; г) -1,75 < х < -1,
х > 7. 11.151. а) х = 1, х > 2; б) х <-3, х = 2; в) х = 1|,
х > 4,5; г) х < -1,75, х = 0,6. 11.153. г) х < -9, х = 0.
11.155. б) -1 < х < 24. Указание. Положив у/х + 1 = у, запи-
шите данное неравенство в виде у2 - Sy - 10 < 0.
288
§ 12
12.4.	д) (-l)n + 1 -2; е) (-l)n + 1 + 2; з)	и) 13п + 6;
п2
к) 124 - 25п; л) ——;	м) (2п - 1) • 2Л; н) п!; о) 3 • 2П;
2л-1
п) п2 4- (-1)л; р) Зл - 2Л.
ние.
п
п2 +4
ап < 0 при п > 5;
. п 1
— = -, причем
4л 4
12.8. а) а2 = 20; б) а2 = 28. Указа-
fl) а3 = 47; г) а2 = 0,25. Указание,
равенство достигается при п = 2.
12.9. а) а8 = п9 = -51; б) а4 = -3. Указание. = а3 = а5 = 0,
ап > 0 при п > 5; в) а2 — 12. 12.10. Указание. Последователь-
ность убывает, причем ап > 1 для любого п е N. 12.11. Указа-
ние. Последовательность возрастает, причем Ъп < 2 для любого
п е N. 12.12. а) Ограничена сверху; б) ограничена снизу; в), г),
д) ограничена; е) не ограничена; ж), з) ограничена снизу; и) не
ограничена. 12.13. Число 1 — наименьшая верхняя гра-
ница. Указание. а2=1. 12.15. Да. 12.16. a) k3 + k2 4- Aj;
б) k5 + k* + k3 + k2. 12.17. 0,5 (1 + (-1)л + 1). 12.21. а) Да, n = 7;
б) нет. 12.22. Да, п = 9. 12.23.
12.25. i/3. Указание. Покажите,
няется при п < 1 - л/б, п > 1 4- Тб,
что neN. 12.26. 6. Указание.
а19 а2, а3. 12.24. 4; 5; 6.
что неравенство уп > 2 выпол-
1 - V2 < п < 1 4- V2, и учтите,
£(i/)= -оо; 8^
V	О _
. Из условия
|3п - 161 < 8^, с учетом того, что п — натуральное, получите
8
возможные значения па 3, 4, 5, 6, 7, 8. 12.27. Да, а6. 12.28. 41.
Решение. Если п — четное, то х„ = ———, решая относитель-
п Юл-9
но
23
п неравенство 0,02 < хп < 0,22, находим п = 6, 8, ..., 50 (всего
значения). Если п — нечетное, то хп
8
-----, в этом случае
10л-9
из соответствующего неравенства получаем п = 5, 7, ..., 39 (всего
18 значений). 12.30. Нет. 12.31. Нет. Указание. Используйте
то, что п3 - п кратно 6. 12.32. а) 12; б) 122. 12.77. Указа-
ние. Докажите, что ип = Зл 4- 1. 12.78. Указание. Докажите,
что ип = 4Л - 1. 12.79. Указание. Докажите, что ип ~ (2п - I)2.
12.83. аг = -6; d = 4 или аг = 18; d = -4. 12.84. 8. 12.85. -0,25.
12.86. -8.	12.87. а) Да; б) нет. 12.89. 125.	12.90. 195.
49	(	5
12.91.	Принадлежит. Указание. d = —, Еи = -оо; - .
40	у v	4
12.92.	9, 10, 11, 12. 12.93. а = 2, d = 4. Указание. В равенст-
аг 4- а2 4-... + а„ _
во------------= 2 л, справедливое для любого натурального п,
подставьте п = 1 и л = 2 и найдите аг и d. Проверкой убедитесь,
что в прогрессии с найденным первым членом 2 и разностью 4
289
выполняется требуемое условие. 12.94. 392.	12.95. -35.
12.96.	450. 12.97. 12 380. Указание. Числа, встречающиеся в
обеих прогрессиях, образуют арифметическую прогрессию с пер-
вым членом 17 и разностью 15. 12.98. 116. 12.99. 14 или 35.
Указание, а =-12, d = 0,5. 12.100. а = 10, Ъ = 88. 12.102. а),
б) Нет. 12.103. Нет. Указание. Если в прогрессии есть один
квадрат целого числа, то их (квадратов) — бесконечно много.
12.104. 10; 12; 14; 16; 18. 12.105. 15. Указание. Если на сто-
роне треугольника расположено х шаров, то 0,5х х
х (х 4- 1) = х (х - 2). 12.106. 11 мин. Указание. Пусть встреча
состоится через х мин, тогда 0,5 (2 • 1,5 4- 0,5 (х - 1)) 4- 5х = 99.
12.107. 1. 12.108. -1, 0, 1, 2. Решение. Из условия имеем:
а + 3d = а2 4- (а + d)2 + (а + 2d)2, откуда За2 + a (6d - 1) + 5d2 -
- 3d = 0. Требование неотрицательности дискриминанта квадрат-
ного относительно а уравнения приводит к неравенству
24d2 - 24d -1<0. Так как d > 0, то получаем 0 < d <
Поскольку d — целое и 1 <	<2, то d = 1. Тогда За2 +
+ 5а 4- 2 = 0, и ввиду того, что а — целое, находим а = -1.
12.109. 3. 12.110. 0,2. Указание. Из условия S3n = S4n - S3n
о	ч _	S2n 2a + d(2n-l)
получите 2а = d (1 - п). В этом случае ——— = -----—---— =
S4n-S2n 2a + d(6n-l)
-J^L-0 2. 12.111. 13. У к аз ан и е. Из условий-—---= -0,5
5dn	Sn-Sn_7
s — s
и —|---- = 3 получите равенства 6а 4- lid 4- nd = 0 и 2а - 5d +
&п-2
4-	nd = 0. Исключив из полученных соотношений а, покажите,
что 2nd = 26d, откуда (с учетом d 0) п = 13. 12.112. 0,5-УЗ см.
12.113. 1см. 12.115. 24 ч. 12.116. Решение. Биквадратное
уравнение имеет две пары корней, попарно равных по модулю
и противоположных по знаку -х1? -х2, х2, хР Поскольку кор-
ни образуют арифметическую прогрессию, то 2х2 = хг -
- х2, т. е. Зх2 = хг. Кроме того, х2 4- х2 = -р и xf • х2 —q. Име-
ем -р = 10х2 , q = 9х2 . Значит, 9р2 = 100g. 12.117. -9^.
12.119. 0 очков. Решение. Общее количество игр равно
0,5n (п - 1), значит количество очков, набранных всеми коман-
дами, равно n (п - 1). Пусть последняя команда набрала х очков,
d — разность прогрессии, тогда 0,5 (2х 4- d (п - 1)) п — количе-
ство очков, набранных всеми командами. Из уравнения
n (п - 1) = 0,5 (2х 4- d) • (п - 1) находим 2х = (п - 1) (2 - d), по-
скольку d > 2 и n > 1, то х<0, значит, х = 0. 12.120. 25.
12.121. -51 или 510. 12.122. 1; -2; 4 или 4; —2; 1. 12.123. Да.
12.124. -0,5. 12.125. 8192. 12.126. Нет, например последователь-
ность 1; 3; 1; 3; ... . 12.127. а) Нет; б) нет, 12.128. 1|.
290
12.129.	2. 12.130. 64. 12.131. a = 2, b = 32 или a = -18,
b = -288. 12.132. a = -5, b ~ —10, или a = 5, b = 10, или a = -5,
b = 10, или a = 5, b = -10. 12.133. 38. Указание. Из условий
= 0,125 (Sn - Sn _ п) и Sn - S9 = 2Sn - 9 получите равенства
qn - 11 = 8 и q9 = 2. Таким образом, qn ~ 11 = g27, т. e. n = 38.
12.134. Решение. Заметим, что x = -2 — корень уравнения,
причем областью определения уравнения является отрезок
[-2; 2], значит, х = -2 — меньший корень. Итак, Ьх = -2,
bx + bTq3 + b^q3 = -2 (1 + q3 + qQ) = -2 ((g3 + 0,5)2 + 0,75	-2 • 0,75 =
= -1,5. 12.135. Могут, q =	12.136.	< q <
У 2	2	2
12.137.	q= ctg2 f 45 е- —1 12.138.1-—. 12.139. 60 p.; 90 p.
k 4)	2"
12.140.	18 k. 12.142. 12%, 24%, 48%. 12.143. 600 м/мин.
12.144. Да. 12.145. 3. 12.146. Больше сумма геометрической
прогрессии. 12.147. -2.	12.148. 27.	12.149. 10 или 70.
12.150.	12,4 или 2. 12.151. 1; 5; 9 или 17; 5; -7. 12.152. 18; -6;
2 или 2; -6; 18. 12.153. 9. 12.154. 2; 6; 18; 30 или 32; 16; 8; 0.
12.155. 421. 12.156. 2; 5; 8; ... и 3; 6; 12; ... или —; —; —... и
2	6	6
|;	....	12.157. 3-2V2;	1;	3 + 2^2.	12.160. 0,2.
12.161.	842 или 248.	12.162. 6 рыб. 12.163. -500 000.
12.164.	1886. 12.165. 35 392. 12.166. 577 203. Указание. Ис-
комая сумма есть разность суммы всех натуральных чисел, не
превосходящих 1112, и суммы всех натуральных чисел до 1112,
делящихся на 15. 12.167. 6735. Указание. Рассмотрите слу-
чаи п — 5k, п = 5k + 1, п = 5k + 2, п = 5k + 3 и п = 5k + 4, пока-
жите, что лишь в случае п = 5k + 2, где k — целое неотрицатель-
ное число, числа вида Зп + 1 дают при делении на 5 остаток 2.
Далее найдите сумму тридцати первых членов арифметической
прогрессии с первым членом 7 и разностью 15. 12.168. 12 145.
12.169. -8А2 - 4fe. 12.170.	12.172. n<n + 1)<2n + 1\
2Л-1	6
12.173.	n<2n~1)<2n + 1\ 12.174. я<я + 1><п + 2.\ 12.175. л2 (л + 1).
3	3
12.176.	л3 + Зл2 + 3 л. 12.177. fe3fe + 1)(3fc2	12.178.0,25л2(n +1)2.
24
12.179.	л (л + 1) (л + 2) (3л + 5). Решение. Поскольку
аг = 1 • 22 = (2 - 1) • 22 = 23 - 22, а2 = 2  З2 = (3 - 1) • З2 = З3 - З2, ...,
..., ап = л (л + I)2 = ((л + 1) - 1) (л + I)2 = (л + I)3 - (л + I)2, то
аг + а2 + а3 + ... + ап = (23 + З3 + ... + (л + I)3) - (22 + З2 + ... + (л +
+ I)2) = (I3 + 23 + З3 + ... + (л + I)3) - (I2 + 22 + З2 + ... + (л + I)2) =
(п + 1)2(п + 2)2	(n+l)(n + 2)(2n + 3)	1	»
4	о	12
291
5(6А+5)’
зуйте
равенство
12.180. ^Л1)*6”2-2”-1). 12.181. ^+.1К3п2.+ п.-1) 12 182 -5-
6	6	п + 1
Указание. Используйте равенство	—-— = — — * .
k Zf4"l
2
12.186. --n+Sn Указание. Исполь-
4(п + 1)(п + 2)
1	= 1 f 1 _	1	1
k (k + 1)(/г + 2)	2 V Ле(Лг 4- 1)	(/г + 1)(/г + 2)/
k
12.187.	„__т '-------. Указание. Используйте равенство
20(ЗА + 2)(ЗА + 5)
___________1_________ 1 ( 1 _ 1
(Зп - 1)(3п + 2)(3п + 5)	6 ЦЗп - 1)(3п + 2) (Зп + 2)(3п + 5))'
12.189.	(k + 1)! - 1. Решение. 1  1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + k  k\ =
= (2 - 1) • 1! + (3 - 1) • 2! + (4 - 1) • 3! + ... + ((А + 1) - 1) • k\ = 2! -1! +
+ 3! - 2! + 4! - 3! + ... + (k + 1)! -kl = (k + 1)! - 1. 12.190. 1-1—.
(п + 1)!
/г	1	1
Указание. Используйте равенство -----------------= — — —-----.
(Z? + l)! k! (fe + 1)!
12.191.	- ——.	Решение. Посколькуah = -1 + —-— = —-
n + 1	y k k(k + l) k
—— _ 1 д + d + я» + ... + a = I - — — —1 | + ( — — — —1 | +1 — —- — 11 +
fc + 1	12-3	П 1^1 2 J 1^2 3 J V3 4	)
+ ... + | - - ^-- 1 | = 1 - — - n = - —.	12.192. 1-----.
^n	n + 1	J n + 1	n + 1	(fc + l)2
12.193.	2 (n2 ~ k2). Решение. Пусть — сумма всех дробей
(в том числе и сократимых), заключенных между числами k и п,
~	_ 5Аг + 1 5fe + 2	1	ч
тогда Si = k +-------1-----1-...+ п = -(5А: + 5/е + 1 + 5& + 2+ ...+
5	5	5
+ 5п) = 0,5 (k + п) (5п - 5£ + 1). Поскольку число 5 простое, то
дробь со знаменателем 5 сократима тогда и только тогда, когда
данная дробь — целое число. Найдем сумму S2 всех целых чи-
сел, заключенных между k и п: S2 = k + k + 1 + k +
+ 2 + ... + n = 0,5 (k + n) (n - k + 1). Искомая сумма равна
Si - S2 = 2 (n2 - A2). 12.194. 3m + m2 - 2m - 1. 12.195. -2A2 + 13A +
+ 0,25 • 5-k - 0,25. 12.196. 49 • 250 + 1. 12.197. 5<10П+1^~9п-10\
(a2n -1W a2n+2 +D
12.198.	—------------ZJ2 + 2n, если a*±l, 4n, если a = ±l.
a2n (a2 -1)
12.199.	0,5n (n + 1) при a = 1; —-—- (nan + 1 - an (n + 1) + 1) при
(a-I)2
a*l. 12.220. a) -0,75. 12.221. a) 0,5; в) 0,25. 12.222. г) 0,25.
12.223. a) 0,5; 6) 1,5; в) -0,5; д) .Указание. Покажите, что
= п(п + 1)(п + 2) 12.227. 4. 12.228. 1+ 12.229. 5=1, q = 1.
"	3(2п3+1)	3	3
292
12.232.	-1 < х < 0,5. 12.233. -3, 3. 12.234. 1,125. 12.235.	%.
4 3
12.236.	8х2 - 63х - 8 = 0 или 24х2 - 37х - 72 = 0. 12.237. 421.
12.238.	|. 12.239. 4. 12.240. (8 + 4V2)a, 2а2. 12.241. 6a(2 + V3),
3
а^З. 12.242. ^лал/З, 12.243. a) 1; б) -L
3	9	'	' 28
§ 13
13.13.	г) 5; 1; е) О; -1. 13.14. в) 2; -3; г) 7; 0. 13.15. а), б), в),
г) нет. 13.21. a) cos > cos2 13.22. а) Первое больше.
13.23.	а), б) Первое меньше. 13.25. Указание. Используйте
неравенство треугольника, определение синуса и косинуса.
13.34. а) 0,5 (3-73). 13.35. а) 0. 13.36. а) 1; б) 1. 13.43. а) 1;
б)	1. 13.44. б) +	= 1; в) х2 - 2у = 1. 13.50. б) 0,25; в) не су-
ществует. Указание. Умножьте знаменатель дроби на cos2 a +
+ sin2 а, после чего разделите числитель и знаменатель на sin3 a.
13.52. а), б) Наибольшего и наименьшего значений не существу-
ет. 13.53. а) 1; б) 1. 13.54. з) cos2 a; б) 0,5 ctg2 a. 13.55. Ука-
зание. Значение выражения равно -1. 13.56. Указание. Зна-
чение выражения равно 2. 13.59. а) -1; б) 1. 13.62. б) Указа-
ние. Покажите, что разность левой и правой части до-
-(3cos2a-2)2 о . ч
называемого неравенства равна--------------. 13.64. а) Указа-
sin2 a
ние. Используйте неравенство
- — < -1 < sin a < 1 < —.
3	3
13.67.	a3-a2.	13.68. -.	13.69. а) 3,125;	-3. Решение.
9
2 cos2 ос - 3 sin a = 2 - 2 sin2 a - 3 sin a = -2t2 - 3£ + 2, где t = sin a,
t. e. -1 < t < 1. Функция у (t) = —2t2 - 3£ + 2 возрастает на
[-1; -0,75] и убывает на [-0,25; 1]. Значит, наибольшее значение
функции у (t) равно у (-0,75) = 3,125. Кроме того, у (-1) = 3,
у (1) = -3, следовательно, наименьшее значение функции у (t)
равно р(1) = -3; б) з|; -2. 13.70. а) 0; -1,125. Указа-
3
ние. Приведите выражение к виду 2t2 - t - 1, где t =
= I cos a I, fe[O;l]; 6)3,125;	2.	13.71.0,25. Реше-
ние. sin2 x cos4 x (2 - sin2 x) = (1 - cos2 x) cos4 x (1 + cos2 x) = (1 -
- cos4 x) cos4 x = t - t2, где t = cos4 x, t. e. 0 < t < 1. Функция
у (0 = t - t2 достигает наибольшего значения при t - 0,5,
у (0,5) = 0,25.	13.72. а) -1. Решение. tg2 a + —*
сова
= - \ + —— - 1 = t2 +1 - 1, где t == ——, т. е. | t I > 1. Функция
cos2 а ос	сова
293
у (t) = t2 + t - 1 убывает на (оо; -1] и возрастает на [1; оо).
Поскольку у (-1) =-1 и у (1) = 1, то наименьшее значение функ-
ции у (t) при | t | > 1 достигается при t = -1 и равно -1; б) 1.
Указание. Рассмотрите функцию t2 - t + 1, где t = —-—, т. е.
cos2 р
t > 1. 13.77. a) 73. 13.81. -. 13.89. a) 72; -72; б) 2; -2.
4
13.91.	а) 5;-5; б) 729;-729. 13.92. а) 1,5; б) 1,5. 13.93. а) 0;
б)	0. 13.94. a) tg2 р; б) -1. 13.99. -2 + 7^ или 2 + Тз. Указа-
ло	7л/2
ние. Покажите, что cosa = —, т. е. tga = ±l. 13.100. б) ——.
2	26
Указание, sina = sin| fa- — | + — | = — • — + — cos fa - — да-
(д 4) 4 J 13 2	2 к 4) *
лее покажите, что cos | a - — | = - —. 13.101. a = —; В = —. Р е ш е-
I 4 J 13	3 н 3
ние. Поскольку a + р = л, то,	используя формулы приведения, Oft	Oft
перепишем условие в	. op	op - виде sin ~~ + cos	= 1,откуда
124)2	24	4	так как —< — + —<	Таким 4	2	4	6
образом, р = —, тогда a = —. 13.103. (1, 721. Указание. Иско-
3	3	'	-
мое отношение равно 72 sin (a + 45°), где a — острый угол пря-
4
моугольного треугольника. 13.107. -. 13.114. а) 60°; б) 15° или
75°. 13.116. а) б) 13.117. а) -2V2; б) 2. 13.118. а) 1;
б)	1. 13.119. tg 2a > > 2 tg a. 13.120. 0,875. 13.125. ^CO3j-- + ^.
2(cos 2a-l)
13.126.	3 + 272. Указание. Записав выражение cos 2a через
tg a (cm. № 108 (б)), найдите tg a. 13.127. -3^.
13.130. a) 0,125; 6) 0. 13.131. a) 1; 6) 1. 13.132. a) 0,5; 6) 1.
13.133. a) 2 cos а при 0< a<|, 2 sin a при i < a < 6) -cos^-
при 2л < P < 3л, sin|- при Зл < p < 4л. 13.134. а) 2; 1; б) 2; -1.
13.135. а) 1; 0,5; б) 1; 0,25. 13.136. а) 3; -1; б) 72-1; -72-1.
13.137. а) 0; -1,125; б) 1,125; 0. 13.138. 0,5тп2; | т | < 72.
1 + /2 — t2
13.139.	т + 0,5; -1 < т < 0. 13.140.	---. 13.144. а) 0,25;
t-1
б)	0,125. 13.145. а) 0,125; б) +. 13.149. a = 135°, р = 45°.
13.150.	a = 30°, Р = 120°. 13.151. a = 15°, р = 75° или a = 75°,
Р = 15°.	13.152. a = 60°, р = 30°.	13.153. a = 45°, р = 90°.
294
13.154.	±—. Решение. Записав первое неравенство в виде
2	1
6 cos2 а + cos а - 2 < О, находим, что -- < cos а < Из второго
3	2
неравенства получаем, что cos а < — или cos а . Таким обра-
о	о
_	2	а . /l+cosa 	.4-/2
зом, cosa = — и cos— = ±J-----------------=±——.	3.155. ±——.
3	2 V 2	6	7
13.156.	а) ; б) • 13.157. Рациональным. 13.158. Ра-
циональным. 13.169. а) 0; б) 0. 13.173. а) 0,5; б) 2. 13.176. 2;
—2. 13.177. а) 1; б) 1. 13.178. а) -^cos2a; б) ^cos2p.
13.180.	Да. 13.183. tV2; 111 > V2. 13.184. 2 < b < 3; 2,75 - Ь.
13.185.	-0,5 < а < 0,5; а - 0,5. 13.186. А. 13.192. a (2 (1 -
- 2a2)2 - 1). 13.193. 4a (1 - a2) (2a2 - 1). 13.195. а) 6)
8	8
. (n + l)(p ( пф^
sin-------cos a + _l
13.197.	a) -0,5; 6) -0,5. 13.200. ---------------------если
. Ф
sin —
2
<p * 2nk, k g Z; (n + 1) cos a, если ф = 2л£, k g Z. 13.201.
. (п + 1)ф .	( ПфА
sin------ sin ан—-
2 I 2 J
---------------------, если ф 2л£, k g Z; (n + 1) sin a, если
• Ф
sin —
2
Ф = 2л/?, k g Z.
Тематические серии для организации
заключительного повторения
Серия 1. 2. Нет. 3. п = 3/?-1, /? g 4. Нет. 7. п — четное.
16. Нет. Решение. Пусть существуют целые числа a, Ъ и с та-
кие, что Ь2 - 4ас = 1991. Перепишем данное равенство в виде
(b - 1) (b + 1) = 4ас + 1990. Числа b - 1 и Ъ + 1 одинаковой четно-
сти, если оба эти числа нечетные, то левая часть — нечетное чис-
ло, а правая — четное, получаем противоречие. Если же оба чис-
ла Ь - 1 и 5 + 1 четные, то левая часть — число, делящееся на 4,
а правая — нет. Получили противоречие.
Серия 3. 7. а) ах = 2Ъ - Зе, а2 = 5с - д; б) Ъх = 0,5 (а + Зс),
Ъ2 - 5с - а; в) сг - ~b а, с2 = 0,2 (а + Ь). 8. х-1. 9. х = -|,
3	3
у = |. 13. а = 0, а = 1, а = 16. 14. а < 0; 0 < а <
3	9
295
Серия 4. 4. 4.	5. -3,5.	6. -—;	-1.	7. Нет решения.
8. х = 0,25 (15 - а) при а 3, нет решений при а = 3. 9. х = 1
при а = 4; х = 4 при а = 1; х = 1, х = 4 при а Ф 1 и 0 Ф 4, 10. х = 4
при а = 1 или а = 4; х = а, х = 4 при а 1 и а Ф 4.
Серия 5. 4. а =—40,25. 5. а = ±9-. 7. a) (1; 6), (6; 1); б) (1; 3),
3
(6; 0,5); в) (1; -2), (б, г) (2; 3), (3; 2), (5; 1), (1; 5).
\	О /
Серия 6. 1. Нет решений при а < 0, х = 0 при а — 0, х = ±а при
3
а > 0. 2. Нет решений при а = 0, х = — при а 0. 3. Нет реше-
а
ний при а = 1; х е R при а = 0; х = —— при а*0иа*1. 4. Нет
а-1
решений при а = 3, х = а при а Ф 3. 5. Нет решений при | а | < 12;
-а ± Jа2 -144	. .	. .
х =-----—---- при |а| > 12. 6. х — —3	при	| а | = 3,	х	= ±а
при	|а| = 3.	7. х = а, х = а + 1. 8. х = 1	при а = 0;	х	=-1
при	а = -1;	х = а, х = а + 1 при а ф -1 и	а	0. 9. х =	2	при
а = 2, х = 4	при а = 3, х = а, х = а + 1	при	а — 2 и	а	3.
10.	х - 1 при а = 0; х = -2 при а = -2; х =- а, х = а + 1 при а -2
и а Ф 0.
Серия 7. 1. Нет решений при а < 0, 3-а<х<3+а при а > 0.
2.	х g R при а < 0, х 4 при а = 0, х < 4 - а, х > 4 + а при
3	3
а > 0. 3. х > — при а < 0, х g R при а = 0, х < — при а > 0.
а	а
4.	х е R при а = -1, нет решений при а = 1, х > при | а | > 1,
а +1
х < * при | а | < 1. 5. а < х < 3, нет решений при а = 3,
а 4-1
3 < х < а при а > 3, при а < 3. 6. х < -3 при а < 0; х < -3, х = 0
при а = 0, х < -3, -Та < х 4а при 0 < а < 9; х < -3, -3 < х 3
при а = 9; х < ~4а, -3 < х 4а при а > 9. 7. х е R при |
-а - д/а2 -36
2
при | а | > 6; х Ф 3 при
а | < 6,
а = -6;
х * -3 при а = 6.	8. Нет решений при | а | < 6,
-a-Ja2 -36	-а + J а2 -36	. .	Л	_
----< х <---------------- при | а | > 6; х = 3 при а = -6;
х = -3 при а = 6. 9. х е R при а < -2,25; х
—3 + л/9 + 4 а
х <--------—-----
а
4
*з при
-3-J9 + 4a	Л
х >----У.---при -2,25 < а < 0; х
а
а = -2,25;
< | при
Л -3-J9 + 4a
а = 0;----—- —
а
-3+79 + 4а
---—-----при а > 0.
а
296
Серия 8. 2. а) у = -0,2х* 2 3 * - 0,8х 4- 2,2; б) у = 4х2 - 40х 4- 84;
в) у = -х2 + Зх - 1; г) у = 5х2 - Зх - 1. 3. а) а < 0; б) b > 0;
в) -8 < - < -3.
а
Серия 9. 1. а) -7; б) -1; в) -5; г) 2,875. 2. а) 1; б) -3; в) 27;
г) -2,9375. 3. а = 7. 4. а = ±2. 5. а = 1. 6. а = -3. 7. 10. 8. 18.
9. 2.
Серия 10. 2. а) 0 < х < 2,	5 < х < 7; б) х = 0,
2 < х < 4;
в) х < 0, 0 < х < 2, х > 4; г) 0 < х < 0,5, х > 2. 3.
2
3
2
3
4. а > 0. 5. а < а > 1. 6. а > 16. 7. -1 < b < 1.
Серия 12. 2. а) -0,2; О; 0,1(-1±7б1); б) 0;	• 3. а) 1,
0,5(3 ±V5); б) -1, 0,5(-3±V5); г) 0,5, 2. 4. а) -4,4;
б) 0,5(-3± V13). 5. а) -2; 2; б) -3,6; в) 1; 4; 0,1(-23 ± V609);
г) 1;	3;	5±3V2; д) -1,	6. а) х = а2 + 2а + 3,
х = а2 - За - 1; б) нет решений при а < -3,25;
х =0,5(3 ± V13- 4а) при -3,25 < а < 2; х = 0,5(3 ± 713 - 4а),
х = -1 ± yja-2 при a > 2.
Серия 13. 2. а) а ±1; б) а = -1; в) а = 1. 4. а) | а | > 6,72;
б) | а | = 6,72;	в) | а | < 6,72. 6. а) (-3; 14; 6; -10; -6);б)
f--; —;	—; --1; в) 1,5; 3; б\ 7. а = -3, b = 12, с =-12
I 3 14 6	10	6/ 7 \9	J
или а = -1,08, fe =-1,44, с =-0,48.	8. а = 0,5, b = 16,5.
9. а < -6 - 2-Л, -6 + 2^5 < а < 4 - 2^3, а > 4 + 2^.
Серия 14. 1. 77. 2. 55. 3. 657. 4. Арифметическая прогрессия
с первым членом 11 и разностью 126. 7.	——. 8. а) Да;
V Ь 4- V а
б) нет; в) нет.
Серия 15. 3. а =-4, а = 0,5, а = 4, а = 32. 4. а =-7,8125,
а = 0,0625, а = 4. 6. б) ------; в) L12 +
«19" Х(9 - 1)	1 - 92
7 + 4>/3 или 1,2-л/З, 7 - 4-Уз. 8. 4-2V2, 4, 4+2^2 или 4+2V2, 4,
4— 2у[2. 9. У арифметической прогрессии. 10. Да.
Серия 16. 4. а = -6,75.	5. а = -, Ь =6. а) х < 1;
3	6
б) cos 3 < х < cos 4. 8. а) 0; б) 0; в) 1; г) 0.
297
Обобщающие и проверочные работы
Работа 1. 1.	2. 30 км. 3. -0,1(473 + 3). 5. 40.
Работа 2. 1.	2. 2. 3. 14л^~24. 5. Тб - 2 -	2 + -5= - Тб.
х2-1	49	273	273
Работа 3. 1. a + Ъ. 2. 42 дня и 33 дня. 3. 0,25 при п = 4k,
k е N; -0,125-/3 при п = 4k + 1, k е Z, k > 0; 0,125л/3 при
п = 4k + 2, k g Z, k > 0; 0,25 при n = 4k + 3, k e Z, k > 0. 5. x = 5
при a = -0,5; x -при a = x = -1 при a = 1; x = a - 2,
о	о
Работа 4. 1. -—2. дней, 3 < a < 6. 3. 0; при a = £ значе-
2a a-3	7
ние выражения равно
5. Через 1,44 ч.
13 л
0; при a ------выражение не определено.
24
Работа 5. 1. 1 - х2. 2. 3(10 р); — С р < 10. а 1,5. 5. х < -5, х = 3.
2(р —5) 7
Работав. 1. т3 . 2. 0,25(2m + l + 74m2 +1). 3.
2(т-1)	5	25
-А. 4. п = 21, т = -20. 5. a < 0, a > —.
11	29
Работа 7, 1. 7x -a. 2. 3 км/ч. 3. -0,125. 4. 16. 5. a = 1.
Работав. 1. i 2. 54. 4. -^. 5.	-^П,
b	3 t 3	3 J V 3	3 )
(277 . ТП ( 277. _7И
7 ’ 7	7 ’	7 J”
Работа 9. 1. 1. 2. 12 ч и 15 ч. 3. 1,5. 5. 12.
Работа 10. 1. —. 2. 10 ч и 15 ч. 3. [-72; - 1) (J (-1; 1) U (1; 72].
ab
4, a20 = -1045, аг = 0. 5. —— < х < 1 при а < 0; нет решений
при а = 0; 1 < х < —при 0 < a < 1; х>1 при а = 1; х < —,
1-а	1-а
х > 1 при а > 1.
Работа 11. 1. -6, 7. 2. -4 < х < 1, х = 2. 3. 16 км/ч, 12 км/ч.
4. sin a =	, sin В = —Указание, /(х) = 0,25 (х2 - 4), х > 2.
V130	7130
Работа 12. 2. х < -3, -1 < х < 0,5 (3 - Д7), 0,5(3 + Л7) < х < 5,
х = 10. 3. 225°. 4. 90 км. 5. 1.
298
Работа 13. 1. 36. 2. 2, 14, 98. 3. 1 7^?. 4. 1->/4а2 -1.
6. 150 г, 450 г.
Работа 14. 1. 5 км/ч < v < 7 км/ч. 2. 0,5. 3. 5000 р. 5. -Ц.
Работа 15. 1. -10 < a < 10. 3. 8 деталей. 4. 0,8. 5. 1 < х < 4.
Работа 16. 1. 0 < х < i, х > 1. 2. -5-. 3. Более чем на 20%.
3	3
4. 5.5. | а | = 3V13.
о
Работа 17. 1. -2 < х < -1,5, -1 < х < 1. 2. 11 м/с или 9- м/с.
'	3
5. -0,25V2.
Работа 18. 2. На З44. 3. а) 1; б) 2,5л. 4. 9 человек. 5.
Работа 19. 1. 8—. 2. 6, 7. 3. 35.
49
Работа 20. 1. 26 тетрадей в клетку и 31 тетрадь в линейку.
3. a = -6, -5, —4, .... 14, 15. 4. 1625.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................... 3
§ 1. Повторение и углубление курса алгебры 7 класса . .	4
§2. Рациональные дроби........................................ 12
Целые выражения.......................................... 14
Дробные выражения........................................ 16
§ 3.	Делимость целых чисел.................................... 22
Делимость чисел. Делимость суммы и произведения .	25
Теорема о делении с остатком............................. 26
Взаимно простые числа.................................... 28
Наибольший общий делитель. Наименьшее общее
кратное. Простые числа.................................... —
Признаки делимости....................................... 30
Использование разложения на множители выражений
вида х" - ап и х2А +1 + а2к +1 в задачах на делимость ...	31
Уравнение в целых числах................................. 32
Разные задачи ........................................... 33
§ 4.	Квадратные корни......................................... 34
Арифметический квадратный корень......................... 36
Иррациональные числа..................................... 39
Функция у = Jx и ее график............................... 40
Квадратный корень из произведения и дроби.....	41
Сложение и вычитание корней.............................. 42
Умножение и деление корней............................... 43
Упражнения на все действия с корнями..................... 47
§ 5.	Квадратные уравнения..................................... 49
Неполные квадратные уравнения............................ 51
Полные квадратные уравнения.............................. 53
Дробные рациональные уравнения........................... 56
Уравнения, сводящиеся к квадратным....................... 57
Теорема Виета ........................................... 58
Исследование квадратного уравнения....................... 60
Задачи на составление квадратных уравнений ....	62
§ 6.	Неравенства.............................................. 65
Числовые неравенства и их свойства....................... 67
Неравенства с одной переменной и их системы ....	76
§ 7.	Степень с целым показателем.............................. 89
§ 8.	Функция.................................................. 96
Квадратичная функция..................................... 99
Неравенства второй степени. Рациональные неравенства 103
Элементарное исследование функции....................... 111
300
§9.	Уравнения и системы уравнений.................. 118
Уравнения высших степеней...................... 122
Уравнения с двумя переменными. Задание фигур на ко-
ординатной плоскости уравнениями и неравенствами	125
Графическое решение системы уравнений........... 128
Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся
к ним............................................. —
Нелинейные системы уравнений.................... 131
§ 10.	Текстовые задачи............................... 142
§11.	Степень с рациональным показателем............. 158
Корень п-й степени.............................. 161
Свойства арифметического корня п-й степени.... 163
Степень с рациональным показателем.............. 166
Свойства степени с рациональным показателем ....	168
Иррациональные уравнения........................ 172
Иррациональные неравенства...................... 175
§12.	Последовательности и прогрессии................ 176
Последовательности ............................ 179
Метод математической индукции.................. 183
Арифметическая прогрессия...................... 185
Геометрическая прогрессия...................... 190
Комбинированные задачи на арифметическую и гео-
метрическую прогрессии.......................... 192
Суммирование.................................... 195
Предел последовательности. Бесконечная геометриче-
ская прогрессия................................. 197
§ 13.	Тригонометрические выражения и их преобразования 201
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Радианная мера угла............................. 205
Зависимость между функциями одного аргумента.
Формулы приведения.............................. 207
Теоремы сложения................................ 211
Формулы двойного и половинного аргумента...... 214
Преобразование суммы тригонометрических функций
в произведение и обратно........................ 218
Тематические серии для организации заключительного по-
вторения ............................................ 222
Приложение. Обобщающие проверочные работы .... 234
Тексты экзаменационных работ по алгебре для IX классов
с углубленным изучением математики................... 244
Ответы, Указания, Решения............................ 248

Учебное издание
Серия «Задачник»
Галицкий Михаил Львович
Гольдман Александр Михайлович
Звавич Леонид Исаакович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ
8—9 классы
Учебное пособие
для общеобразовательных организаций
Центр естественно-математического образования
Редакция математики и информатики
Зав. редакцией Е. В, Эреле
Редакторы Л. М. Котова, Т. Ю. Акимова, П. А, Бессарабова
Младшие редакторы Н. В, Ноговицина, Е. А, Андреенкова
Художник А. В. Щетинцева
Художественный редактор О. П. Богомолова
Технический редактор и верстальщик Н. К. Румянцева
Корректоры Л. С, Александрова, Е. Г. Терскова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК
005-93—953000, Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано
в печать 10.07.18. Формат бОХЭО1/^- Бумага офсетная. Гарнитура
SchoolBookCSanPin. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 14,88 + 0,37 форз.
Тираж 1100 экз. Заказ № 5110ТТ.
Акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в России.
Отпечатано по заказу АО «ПолиграфТрейд»
в ООО «Тульская типография».
Россия, 300026, г. Тула, пр-т Ленина, 109.