Предисловие
Глава I. Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений
§ 2. Решение алгебраических уравнений
§ 3. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
§ 4. Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными
§ 5. Различные способы решения систем уравнений
§ 6. Решение задач с помощью систем уравнений
Глава II. Степень с рациональным показателем
§ 8. Арифметический корень натуральной степени
§ 9. Свойства арифметического корня
§ 10. Степень с рациональным показателем
§11. Возведение в степень числового неравенства
Глава III. Степенная функция
§ 13. Возрастание и убывание функции
§ 14. Четность и нечетность функции
§ 15. Функция у =k/x
§ 16. Неравенства и уравнения, содержащие степень
Глава IV. Элементы тригонометрии
§ 18. Поворот точки вокруг начала координат
§ 19. Определение синуса, косинуса и тангенса угла
§ 20. Знаки синуса, косинуса и тангенса
§ 21. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
§ 23. Синус, косинус, тангенс углов а и -а
§ 26. Формулы приведения
Глава V. Прогрессии
§ 28. Арифметическая прогрессия
§ 29. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
§ 30. Геометрическая прогрессия
§ 31. Сумма n первых членов геометрической прогрессии
§ 32. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Оглавление
Текст
                    Алгебра
Рабочая
тетрадь
___®___
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО

Алгебра Рабочая тетрадь класса общеобразовательных учреждений Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации 4-е издание Москва •Просвещение- 2007
УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 Р13 Авторы : Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин Рабочая тетрадь является частью учебного комплекта по алгебре, включаю- щего учебник «Алгебра, 9» авторов Ш. А. Алимова и др. ISBN 978-5-09-017857-0 © Издательство «Просвещение», 2002 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2002 Все права защищены
Предисловие 1....................1....................1................... I....................I....................I...................f.....................I...................I....................I....................•»...................I................ I Данная рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Ал- гебра, 9» авторов Ш. А. Алимова и др. Содержание тетради организовано в соответствии с главами и параграфами этого учебника. Тетрадь предназначена в основном для работы учащихся с ее помощью в классе. Следует иметь в виду, что рабочая тетрадь не заменяет ни живого слова учителя, ни текста учебника. Она дополняет и то и другое, расширяя арсенал учебных средств учащихся и возможности работы учителя. Структурно материал каждого параграфа тетради расположен по четырем разделам. После первого раздела, который предназ- начен для подготовки школьников к изучению нового материала соответствующего параграфа книги, проведена черта. Эта чер- та символически обозначает раздел, который не имеет номера, поскольку после выполнения заданий I раздела учитель при- ступает к объяснению нового материала так, как он считает нужным. Проведя объяснение, учитель работает с учащимися над уп- ражнениями учебника, при этом ученики записывают решение традиционно: у доски или в обычной тетради. Следующий раздел обозначен как второй — это основной раз- дел в рабочей тетради, он содержит упражнения, дополнитель- ные к упражнениям учебника. Некоторые из упражнений тет- ради являются подготовительными к выполнению упражнений учебника, другие помогают слабым учащимся в усвоении опре- деленных алгоритмов благодаря увеличению от задания к за- данию доли самостоятельной работы школьников. Наиболее трудные упражнения раздела отмечены знаком *. В последнем разделе, обозначенном цифрой III, приведены тек- сты упражнений, позволяющих проверить уровень усвоения материала рассматриваемого параграфа. Учитель может выбо- рочно использовать их для проверки качества домашней ра- боты учащихся.
j Алгебраические уравнения. глава СиСТвМЫ НвЛИНвЙНЫХ уравнений Деление многочленов 1 Выполнить деление чисел уголком, результат проверить умно- жением: 1) 462:14; 2) 1776:37; 3) 1649:17. ► 1) 462:14 =......... 462 114 42 Гз? 2) 1776:37 = 3) 1649:17 = Записать в виде неправильной дроби число: 1)14|; 2)15|; 3)17^. ООО 2) 15f= 3) 17{= О 4
3 Выполнив деление уголком, записать число в виде суммы целого числа и правильной дроби, результат проверить сло- жением: 1ч 223 337 п\ 223 Т’ Т’ “пГ ► 1) =............. _223 19__ о, , 7_216+......................... _ 18 [24~ 9 9 ........ 43 36 7 337_ г) 8 .......... ох 223_ 16 4 Выполнить деление многочленов уголком, результат проверить умножением: 1) (Зх3-5х2-6х +8):(Зх2 + х-4); 2) (2х4-х3-7х2+2х + 6):(х2-2). 1)_Зх3-5х2-6х + 8 |3х2 + х-4 Зх3 + х2 - 4х х-2 -6х2-2х + 8 - 6х2..... (Зх2+х-4)(х-2)=......... 5
2) 2x'*-x3-7x2+2x + 6 x2-2 5 Найти частное и остаток при делении многочленов, результат проверить по формуле деления: 1) (х3 + 2х2-3):(х2 + 3х); 2) (4х4-6х3 + Зх2+8х):(2х3+4). ► 1) х3 + 2х2-3 |х2 + 3х х3 + Зх2 х....... ........................... 2) 4х4-6х3 + 3х2+8х 2х3+4 6 Выяснить, при каком значении а многочлен Р(х) делится на- цело на многочлен Q(x), если: 1) Р(х)=6х3+Зх2+а, Q(x)=2x+1; 2)Р(х)=4х4-4х2+а-3, Q(x)=x2-1. 1) 6х3 + Зх2 + а 2х +1 2) 4х4-4х2+а-3 х2-1 Ответ, а —............... Ответ, а —........ \| 7 Найти такой многочлен Q(x), чтобы при делении многочлена х3-2х2 + 4х на Q(x) частное было равно х-2 и остаток был ра- вен х + 6. По формуле деления х3-2х2 + 4х =........................ откуда ................................................... Ответ. Q(x) =.................... 6
8 Написать формулу деления многочленов: 1) (х3 - Зх2 - 5х +15): (х2 - 5); 2) (2х4 + х2 - 6): (2х2 - 3); 3) (Зх4 + 2х2 -1): (х2 + 2); 4) (2х5 - х3 - х +3): (2х3 - Зх). 1) х3-Зх2-5х+15 I х2-5 Ответ. х3-Зх2-5х +15=............................... 2) 2х4 + х2-6 |2х2-3 Ответ. 2х4 + х2-6=............................................. 3) Зх4 + 2х2-1 х2 + 2 Ответ. Зх4 + 2х2-1=............................................ 4) 2х5-х3-х + 3 2х3-Зх Ответ. 2х5-х3-х + 3 = 7
Решение алгебраических уравнений 1 Решить уравнение: 1) х1 2-4х-12 = 0.................................... 2) Зх2 + 5х-2 = 0.................................... 3) х4-6х2 + 8 = 0.................................... 4) х4-8х2 —9 = 0..................................... 2 Разложить на множители многочлен: 1) х2 + х-12.................................... 2) 2х2-7х-4..................................................................... 3) 2х3-5х2-Зх ................................................................... 4) х4+Зх2-4 ....................................... II 3 Найти целые корни многочлена Р(х), если: 1) Р (х) = х4 + х3 - х2 + х-2; 2) Р(х) = х4-2х3-2х2-2х-3; 3) Р(х)=х4 + х3-4х2-2х + 4. 1) Р(х) = х4 + х3-х2 + х-2. Делителями числа -2 являются числа 1, -1, 2, -2, прове- ряем: Р(1) = 0, Р(-1) = -4#=0, Р(2) = 2ОУ:О, Р(-2)=0. Ответ. х, = 1, х2=-2. 8
2) ......................................................................... 3) ................................................. Ответ............................................... 4 Используя результат упражнения 3, разложить на множители многочлен Р(х), если: 1) Р(х) = х4 + х3-х2 + х-2; 2) Р(х) = х4-2х3-2х2-2х-3; 3) Р(х) = х4 + х3-4х2-2х + 4. 1) Многочлен Р(х) = х4 + х3-х2 + х-2 делится нацело на многочлен (х-1)(х +2) = х2 + х-2, так как его целыми корнями являются числа 1 и -2 (см. упражнение 3). х4 + х3 - х2 + х - 2 х2+ х-2 х4+х3-2х2 х2 + 1 х2+х-2 х2+х-2 -О Ответ. Р(х) = (х-1)(х + 2)(х2 + 1). 2) Разделим Р(х) на многочлен....................... х4-2х3-2х2-2х-3|....... Ответ. Р(х)= ............................................... 3) Разделим Р(х) на многочлен.............................. х4 + х3 - 4х2 - 2х + 41.... Находим корни уравнения ................................... Ответ. Р(х) =.............................................. 9
5 Решить уравнение Р(х) = О, если: 1) Р(х) = х3 + Зх2-6х-8; 2) Р(х) = х4+ х3 - 10х2-4х +24. ► 1) Находим целый корень: Р(1)= ........=# О, Р(-1) = 0, откуда х1 = -1. Разделим Р(х) на x-xt: х3 + Зх2-6х-8 ............. Решая квадратное уравнение ...................., получим Ответ, х,=-1, х,=......, х=...... 1 Z о 2) Находим два целых корня: Р(1) =......#=0, Р(-1) =.., Р(2) =...., Р(-2) =..., откуда хх =..., х2 =...... Сведем решение уравнения Р(х) = О к решению квадратного уравнения делением Р(х) на многочлен (x-xj (х-х2) =.......: х4 + х3 - 10х2 - 4х + 24 .... Решая квадратное уравнение ..................., получим Х3,4 =........’ Х3 = Х1 ~..9 Х4 =..... Ответ. хх =..., х2=...., х3=..... 6 Найти действительные корни уравнения Р(х) = 0, если: 1) Р(х) = х3-х2-х-2; 2) Р(х) = х4-х3 + х2 + х-2. 1) Находим целый корень: Р(1) =......., Р(-1) =.., Р(2) = =...., откуда хх =.... Выполняем деление Р(х) на х-хх: 10
х3 - х2 - х - 2 ........ Уравнение.................действительных корней не имеет. Ответ. х=..... 2) Находим два целых корня: Р(1) =......., Р(-1) =...... хх =..., х2 =...... Выполняем деление Р(х) на многочлен (х-хх)(х-х2)-............. х4-х3 + х2 + х-2 ...... Уравнение.................действительных корней не имеет. Ответ. хх 2 =...... Р(х} 7 Сократить дробь —— если: <?(*) 1) P(x) = xs-x + 6, Q(x) = xs-3x2 + 5x-3; 2) Р(х) = х3-4х2 + 4х-3, Q(x) = x4-2x3 + x-2. ► 1) Находим целый корень числителя: Р(1) =......, Р(-1) =..., Р(2) =..., Р(~2) =..., хх =... Выполняем деление Р(х) на х-х^. Xs-х +6 ........ Р(х) =........................................... 11
Находим целый корень знаменателя: Q(l) =...., хг = Выполняем деление Q(x) на х-хг: х3 - Зх2 + 5х - 31... <?(*) =...................................... Р(Х) =_______________________________________ <?(*) 2) Находим целый корень числителя: Р(1) =......., Р(-1) =.... Р(3)=....., хх =..... Выполняем деление Р(х) на х-хх: х3 - 4х2 + 4х - 3 I... Р(*) =.................................................. Находим два целых корня знаменателя: Q(l) =......, Q(-l) = =....., Q(2) =..., Xj =.., x2 =..... Выполняем деление Q(x) на многочлен (х-хх) (х-х2) =..................=.... х4 - 2х3 + х - 21.... 12
Q(x)=.......................................... P(x) == Q(X) 8 Разложить на множители многочлен Р(х) и найти его дейст- вительные корни, если: 1) Р(х) = х3-2х-4; 2) Р(х) = х4-х3 + х2-3х-6. 1) Находим целый корень: Р(1) =., Р(-1) =..., Р(2) = , хг — ; разделим Р(х) на х-хх = : х3-2х-4|........ Уравнение..................не имеет действительных корней. Ответ: Р(х) =................. х =.... 2) Находим два целых корня: Р(1) =........ Р(-1) =...... Р(2) =..., хх =... х2 =...; разделим Р(х) на многочлен (х — хх)(х — х2) —...............: х4-х3 + х2-3х-6 |...... Уравнение ................ не имеет действительных корней. Ответ. Р(х) =......................... , хх =...... *2 =.....4 9 Решить уравнение Р(л:) = О, если: 1) Р(х) = х3-6х2+11х-6; 2) Р(х) = х4 + х3-7х2-13х-6. 13
1) Находим целый корень: Р(1) =. хх = на х-х1 =....: х3 - 6х2 +11х - 6 .. ; разделим Р(х) Решая уравнение.................. получим х2 = ... хз =.... Ответ. хх =.. х2 =.. х3 =.... 2) Находим два целых корня: Р(1) =..... Р(-1)=.., Р(2) =.... Р(-2) =.. хх =... х2 =...; разделим Р(х) на многочлен (х-хх)(х-х2) =...................: х4 + х3-7х2-13х-6 |............ Решая уравнение ........................... находим X =..... или X =..... Ответ. хх =... х2 =..., х3 =.... 14
Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Свести к квадратному и решить уравнение: 1) х(2х + 7) = 2(х+1)-х2; 2) х(Зх-7)+1 = 2(х2-3) + х. ► 1) 2> Ответ. <1 Решить уравнение: + - = — О, Сл) I----------- х + 3 х-2 х(х-1) х х-1 1 ) Умножив уравнение на общий знаменатель дробей, равный (х + 3)(х-2), получим .................................... При найденных значениях х знаменатели исходного уравнения не обращаются в нуль. Ответ. хх =...... х2 =... 2 ) Умножим уравнение на общий знаменатель дробей.......... получим .................................................. При хх =..... знаменатели двух дробей исходного уравнения равны нулю, при х2 =..... знаменатели дробей не равны нулю. Ответ. х =..... 15
3 Свести к алгебраическому и найти действительные корни урав- нения: 1) (х-1) (х2-2) = 5-х(2х-1); 2) х2(х2 + 3) = 6 + х(1-3х2). ► 1) Разложим левую часть полученного уравнения на множители способом группировки: ................................... 2) Находим целые корни получен- ного уравнения, обозначив Р(х) его левую часть, и проверяем: Р(1) =................................, P(-D =., Р(2) =.,.Р(-2) =., х1 =., Х2 =...... Разделим Р(х) на многочлен (х - xj (х - х2) =.............. х4 + Зх3 +3х2 - х - 61......... Уравнение............................. не имеет действитель- ных корней. Ответ. хх=....., х2 =.... 4 Найти действительные корни возвратного уравнения: 1) х4-Зх3 + 2х2-Зх + 1 = 0; 2) х4 + х3-4х2-х+1 = 0. 16
1) х = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение можно разделить на х2, получив х2-Зх + 2-^ + ^г =0. Сделаем замену x+i=£, тогда x2+~=t2-2, (x2+p0“3(x+ +i)+2=0, f2-2-3f+2 = 0, f2-3f = 0; x+^=0 или x+^ = 3. Уравнение x+y=0, не имеет действительных корней, урав- 1 3±V9-4 нение х+-^ = 3, х2-Зх+1 = 0 имеет корни хХ2 = 2 • лч з±7б Ответ, х, =—п—. 1,л 2) х = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение можно разделить на х2, получив ........................... Сделаем замену x--^=Z, тогда ............................. Ответ. хХ2 =................., х34=..................N 5 Решить уравнение: п *2 I х - 2(*+1) . х3 х2 _ х2-з 2х-3 х-2 (х-2)(2х-3) 9 х-3 х-1 (х-3)(х-1) * k 1) Умножим уравнение на общий знаменатель (х-2)(2х-3) дробей, получим ............................................ Находим целый корень полученного уравнения, в правой части которого записан 0, обозначив Р(х) его левую часть: Р(1) =...., P(-D=......., Р(2) =...., Р(-2) =...., хх=..... Разделим Р(х) на х-хх: х3-5х-2 .......... Решая уравнение х2-2х-1 = 0, находим х23= ........... При найденных значениях х знаменатели исходного уравнения не равны нулю. Ответ. хх= ...., х2 3= ...... Т^нгщные пол^и сообщества 17
2) Умножим уравнение на общий знаменатель ............... дробей: ..................................... Решим получен- ное уравнение, разложив его левую часть на множители спосо- бом группировки: При х= ...... знаменатели двух дробей исходного уравнения равны нулю, т. е. х = ... — посторонний корень. Ответ. хх= .... х2 3= ....d 6 Решить уравнение: 1) х2(х + 2) + 2 = 2х(х + 1) + Зх; 2) х2(х2-3) +2х = 2х(2х +1)-12. ► 1)......................................................... Преобразовав уравнение ....................... находим целый корень, обозначив Р(х) его левую часть (правая часть равна 0): Р(1) = .... Р(-1)= ....... Р(2)= ...... хх= ... Разделим Р(х) на х-хг: х3-5х + 2 .......... Находим корни квадратного уравнения .......................; х2,з= .......... Ответ. хх = ...... х23= .... 2) .......................................................... Решим полученное уравнение разложением его левой части на множители способом группировки: х4-3х2-....................= Ответ. х12= ....... х3 4= .. <1 18
7 Решить рациональное уравнение: 1)^L+_A_=______________11____. ' 1-х х+2 (1-х)(х + 2) ’ х3 х2 _ х2-3 х+3 х+1 “ (х+3)(х+1) * 1) Умножим уравнение на общий знаменатель.................. дробей, получим ............................................ Находим целый корень полученного уравнения, обозначив Р(х) его левую часть: Р(1) =...., Р(-1) =...., хх=..... Разделим Р(х) на х-х^. х3+2х2-5х-6 ............. Решим уравнение ..................., получим ............. ................................ При найденных значениях х знаменатели дробей исходного уравнения не равны нулю. Ответ. хх =.... х2 =..., х3 =..... 2) Умножим уравнение на общий знаменатель дробей, ........ получим ...................................... Решим полученное уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки: .......................... При х =. знаме- натели двух дробей исходного уравнения равны нулю, т. е. х =....................................................... — посторонний корень. Ответ. хх =...., х23 =..... 8 Найти действительные корни возвратного уравнения х4 + Зх3+2х2+Зх+1 = 0. 19
Разделив уравнение на х2#=0, получим .................. Сделаем замену x + ± = t, тогда х2+^= ................... откуда ........, t2== ...Уравнение ..............не име- ет действительных корней, уравнение .................... .... имеет корни ................... Ответ. х12 = Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными 1 Выразить у через х из равенства: 1) 2x+3i/ = 4; 2) 6x2-xi/-i/2 = 0. 2 Решить систему уравнений (х+7г/+19 = 0, I-4х + Зг/+17=0. (х+7г/+19 = 0, I • 4 |-4х + Зг/+17 = 0 I ......................... откуда у —.... Подставляя это значение в первое уравнение исходной системы, получим х+7-(.....)+19=0, откуда х =.............. Ответ. х =.... у —.....м 20
3 Решить способом подстановки систему уравнений: 1) (ху=8, 2) (х+у=0, 3) (2х2-у2=2, \х-у=2; 12х2-3ху +у2=54; 1х+у=7. 1) Из второго уравнения системы, выразив у через х, получим у=х-2. Далее х (х-2) = 8; х2-2х-8 = 0, хх = 4, У1 = 2, х2 = -2, j/2 = -4. Ответ. (4; 2), (-2; -4). 2) Из первого уравнения, выразив у через х, получим у =.. ............................’ .....«! =......, Ух =... *2 =....’ У2=..... Ответ......................... 3) i/= ......, 2х2- ....... = 2, ..............., ....> =.....’ х2=....’ у2=...• Ответ......................... 4 Способом сложения решить систему уравнений: 1) fx+y-3xy=7, 2) tx + 2y-4xy=5, I2x-y+3xy=-l; 12х+у-4xy=S; x2+z/2 = 5, xz/ = -2; 4) (4x2 + z/2 = 8, |xi/=2. 1) Складывая уравнения системы, находим Зх=6, откуда х=2. При этом значении х из первого уравнения находим у: 2+у-6у=7, 5i/=-5, у=-1. Ответ. (2; -1). 2) Вычитая из первого уравнения второе, получим ...... , откуда у =....... Подставляя это выражение для у в первое уравнение системы, получим ............................. Ответ......................... 21
3) Прибавляя к первому уравнению второе, умноженное на 2, получим (x + i/)2=... откуда i/=.или i/=.. Подставляя эти выражения для у во второе уравнение системы, находим =....> ...> х2=.... У2=.....’ *з=.. г/3 = хА =......... у А =..... 4 » г?4 Ответ.............................. 4) Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 4, получим Ответ. 5 Решить систему уравнений: 1) [ху = -2, 12х + у = 0; 3) 1х2+у2 = 10, l*y = 3; 2) I х2-у2=5, I х-2у=7; 4) fх - 2у + Зху = -16, 12х-у -Зху = 4. 1) ХГ...’ У i= «2=.....’ У 2=... 2) .................................................................... Ответ............................. 3) Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 2, получим ................... Если у—........ то из второго уравнения системы ..................... хг=...... уг=..., х2=...., у2=....; если у=....., то ..................... Ответ.................................................... 22
4) В результате сложения уравнений системы получим ..., откуда i/= ...... Подставляя во второе уравнение вместо у его выражение через х, получим .......................... ........, откуда......................................... Ответ.............................. \1 Различные способы решения систем уравнений г—J..4 4....1..4...4...1.4 1...................4 1 Выяснить, какая из пар чисел (3; 2), (3; -2), (-3; -2) являет- ся решением системы уравнений (x3-2i/2=19, 12x2-i/3 + 3xi/ = 8. Ответ.......... \| 2 Разделить уравнение 8x3-i/3=6 на уравнение 2x-z/=3. Ответ...................... 3 При хФ2у упростить уравнение — --^-= 2у~х х &у о 4 Выразить у через х из равенства 2i/2+7xi/-4x2=0. ►................................................................ Ответ. .............. или ................. и—тмив»1 23
5 Решить систему уравнений: 1) /х+у=2, |xj/=-8; 3) 12х2+ 5ху + у2=4, \х2+ 5ху + у2=4; 2) (х+у=6, U+M; \ х у 5’ 4) Iу3+2ху-4х+4=0, (х-у=1. 1) По теореме, обратной теореме Виета, искомые числа явля- ются корнями уравнения г2-2г-8 = О, z12=1±V1+8, ^=4, z2—2. Ответ. (4; -2), (-2; 4). 2) Так как х#=0, уф 0, то из второго уравнения, используя первое, получаем ................. По теореме, обратной теореме Виета: ................... Ответ................... 3) Вычитая из первого уравнения второе, находим х= ....., при этом значении х из первого уравнения находим i/= ..... Ответ................... 4) Из второго уравнения находим х = ........, подставляя которое в первое уравнение получаем ...................... откуда у = ....., i/2 3= ., х = ..., х2 3== Ответ. 6 Найти действительные решения системы уравнений: 1) (2х2+3ху-2у2=3, 2) (2х-у=2, (х’+Зх^-^-З; 3) (х3-у3 = 7, 4) | х3-4у2+6ху+5=0, \х2+ху + у2=7; (x-i/ = l. 1) Вычитая из первого уравнения второе, получаем у=± .... При у=....... из первого уравнения системы находим х12= =....., i/12=.... Если у=...., то первое уравнение системы не имеет действительных корней. Ответ............................ 24
2) При х#0, i/#0 из второго уравнения системы получаем . Ответ. Действительных решений ...... 3) Подставляя найденное выражение у через х во второе уравнение системы, получаем ....................................... Ответ.............................. 4) Выразим из второго уравнения у через х, получим ....... и подставим в первое уравнение .......................... Обозначив Р(х) левую часть полученного уравнения, найдем его целые корни: Р(1)=........, Р(-1)=....... хх=...... Разделим Р(х) на х-хх: Уравнение ....................... не имеет действительных корней. Ответ................... 7 Решить систему уравнений: 1) (Vx+Vi/==5, 2x+2Vxl/+i/==34; 1) Вычтем из второ] 2) [х~2у=2, 1) Вычтем из второго уравнения первое, возведенное в квадрат (учитывая, что х>0, i/>0): х = Ответ. 25
X IX 2) Из второго уравнения следует, что Обозначим =^, тогда ............................ ......... t2= ... Если ^1=...... то х=........ и из первого уравнения системы находим ................ уг=........ хх=..; если t2=....... то ................................. У2=......, Х2=..... Ответ............................d 8 Решить систему уравнений: 1)1х-2у=1, 2у х ~ 6 ’ 2) 2х+у 2х-у ~а’ ху=1. 1) 2) ...................................................................... Ответ. 9 Найти действительные решения системы уравнений: 1) (х2-4у=3, 2) 1хгу-х3у—6, (х2у=1; \у-ху=6. Ответ. 26
| Решение задач с помощью систем уравнений ...*..»..।...*..•»..।..*...*...।..*..*...।..* 6 1 Записать формулой предложение: 1) удвоенное произведение чисел а и b больше их суммы на единицу .................... 2) сумма кубов чисел х и у в три раза больше их суммы . 2 Составить систему уравнений по условиям задачи: 1) Разность произведения чисел ху и числа х равна нулю, сумма этого произведения и числа у равна 4: 2) Сумма натуральных чисел х и у равна 4, а сумма обратных 4 к ним чисел равна j: 3 Решить систему уравнений, полученную в задании 2. ....., ....., х2=....... г/2 =..... 2) «1=........ S/1=....’ «2=.....’ У 2 =...4 4 Бассейн может наполняться водой из двух кранов. Если пер- вый кран будет открыт в течение 10 мин, а второй — в тече- ние 20 мин, то бассейн будет наполнен целиком. Если первый кран будет открыт в течение 5 мин, а второй — в течение з 15 мин, то заполнится бассейна. Сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности? 27
Решение. Введем обозначения: v — объем................ х — часть v, заполняемая первым краном за 1 мин, у —........... V V ...................... тогда -=........... -=........... Л у По условию задачи Из этой системы нужно найти — и — . Вычитая из первого X у уравнения, умноженного на 3, второе, умноженное на 4, находим ............................................... .......................Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 2, находим .............................. Ответ....... мин. 5 Расстояние между пристанями А и В по берегу реки равно 60 км. Катер на один рейс от А до В и обратно тратит 5 ч. На путь от А до В по течению реки катер тратит на 1 ч меньше, чем от В до А. Найти собственную скорость катера и скорость тече- ния реки. к Решение. Пусть х км/ч — собственная........................... у км/ч —........................ тогда время движения катера по течению............. а против течения......... По условию задачи составим систему Складывая уравнения, получим.............................. а вычитая из первого уравнения второе, получим.......... Из новой системы .............. находим ..... i/ =....... Ответ........ км/ч, ..... км/ч. 28
6 Сумма двух чисел равна 5, а произведение этих чисел на 5 больше их разности. Найти эти числа. Решение. Пусть х, у — ..................... По условию задачи составим систему fx+i/=5, (xi/ = x-i/ + 5, решим ее способом подстановки: ............................. Ответ..................... N 7 Один катет прямоугольного треугольника на 2 см больше другого, гипотенуза треугольника равна 10 см. Найти катеты. Решение. Пусть х, у — катеты, х>у. По условию задачи и теореме Пифагора составим систему .................. которую решим способом подстановки: ........................... .............................................. Так как i/>0, то .....> * =....... Ответ............................ М
II Степень с рациональным 1 глава показателем 7 Степень с целым показателем -4..<....*..।..1...*..।... 1 Вычислить: 1) 33= .....; 2) (-7)3= .....; 3) 105 6 * *= . «({)’-......: 6)(4У-.........; «МГ-........... 7) (-г|)4= .....; 8) (0,1)6= ....; 9) 1101= ...... 10) 010= ...... 2 Заполнить пропуски: 1) если х=7, то х4= ........ (-х)4 = .... -х4= .... 2) если х=5, то х3= ....., (-х)3= ....., -х3= .... 3) если х=-3, то х4 = .... (-х)4= ....... -х4= .... 4) если х=-3, то х3= ..... (-х)3= ....... -х3= .... 3 Сравнить с нулем: 1) (0,01)43 Г/: 0; 2) (-0,1)43 Г.‘: 0. 4 Сравнить с единицей: 1) (3,07)101 □ 1; 2) (0,307)101 Г: 1. 5 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенство было верным: 1) 2 =8; 2) 3 = 81; 3) (-4) =256; 4) (-5) =-125. 6 Сравнить числа, заполнив пустые клетки знаками >, < или =: i>(4)W= 2>( :;)Ч Ц ;:у\ 3) (If □ (I)2; 4) <-°’2)3 (“°»1)2- 30
7 Записать в стандартном виде числа: 1) 3451,2=3,4512 • 10 ; 2) 423,7= ...............; 3) 0,021 = 2,1 • 10 ; 4) 0,0055= ................ 8 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенства были верными: 1) х5 • х = х18; 2) х17:х = х4; 3) (х5) = х35; 4) х • у =(ху)6. 9 Вписать в скобки делители так, чтобы выполнялось равенство х14 15 16:(..................)х2:(.......)=3х12. 10 В клетки над стрелками вписать знаки арифметических действий, которые приведут к данному результату: a2 a3:-d> а4—а9. 11 Вписать пропущенный одночлен стандартного вида: 1) • (2х2у3) = 8х4у5; 2) (ja5m2n) .............= -авт2п3. 12 Записать в пустых клетках числа так, чтобы равенства были верными: .... з 1) Зх y2z • ху х5^7^1; 2) ^а6& с &с3)=-а2&3с; 3) (тп и) • (-•| тп2и)3= тп12п8. 13 Записать в виде степени с натуральным показателем: 7^_ .... 2 34»2 /И 1) 713 — , 2)* 2,бб —• 14 Записать в пустые клетки показатели степени так, чтобы равенство было верным: 1) 2 ; 2) = 3'5; 3) ^2; 4) ^ = 3\ 15 Даны числа 161; 0,Г2; 0,001~3; 1,3~2; (j)*; 2"7; l.OOOl1; 75°. Подчеркнуть те из них, которые меньше 1. 16 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенство было верным: 1)^=3х'3У ; 2) (а+5) = =?; 3) ^+^-=:;:=-3+у-2; 4)уА=о Г: Л . 31
17 Заполнить пропуски в формулировке и доказательстве свойства степени: Для любого а и любых................................. пит справедливо равенство • Пусть п и т — целые отрицательные числа. Тогда , где I и k ........................ числа. По определению степени............................................ верно. ап:ат = а ' \ а )*. Применяя свойство степени с натуральным показателем для I и k, получаем (—) :(^) =(~J..., что по определению степени k-i с ............................ равно =а т, так как т = = -k, . Следовательно, верно равенство ап:ат = ап т. О 18 Записать в виде степени результат выполнения действий, заполняя пропуски: 1) 59:52-5"4=59-2+(-4) =53; 2) 7-2 • 73: 7"8 = =7 ; 3) 212: 25- 2"7 = = 2 ; 4) (43) 2-43==4 .43 = 4:::::::“::- == 4 ; 5) (7 6)-3:7-7 = 7<-6) J::::::::::::::::::::::: = 7 . 19 Заполняя пропуски, выполнить действия и записать результат в стандартном виде: 1) 4,32 • 104 • 2,1 • 10 3= ......... • 10; 2) 7,32 • 104 • 3,1 • 10"8 = . ...... 10 = ................; 3) 12,3 • 10"7:3 • 10"3= ......... • 10 ; 4) 1,05 • 10 3:3 • 10 7= ..........• 10 = ................... 20 Заполняя пропуски, выполнить действия: 1) (3<г2)3 (|4) 2=33 а -|-=33- -а =3 а =4г; /а“3\~2 d ... 2) :(а3£“2)~3 =—qo-:(a-9-t> ) = а Ъ :(а 9-Ь ) = ае~ = = a b ; 3) (х2</-4)-3:(^) =х у :^~=х у : (х у ) = х у =:.............. 32
21 Вычислить: 1) 5 3:(1) 2- 625 = 5~3:52 • 54 = 5-3 2+4 = 51 = |; 2) ((-18)5)5: ((-18)-4)6- 3 2(-18)™j(-18) ; -(jf = (-18)-™™™™- ~й) =(-18Г -й) =-□-□= ............; 3) (83) 4 • (Й)3) 3: (64) !=8 • 8 : П »-8==-8 7 = .. 22 Упростить выражение: 1) (2х+3х~1)(3х—2х !) + 6х-2; 2) (хг-у^х '+у-'у1; 3) . ► 1) (2х + Зх1)(Зх-2х1) + 6х-2 = ...................= 2) (x-i+jri)-i-( (Х2-У2)'(........ 3) (i/-2-x-2)-1 = ( (ху) 2= ......... , (х-у)’2= Ответ. 1) ; 2) ; з) III 23 Вычислить: 1) 102= 3) (82)6 • (83)4 + (|) = 4) 2,75 • IO 7 • 6 • 10 3: (1,5 • 10 4) = 24 Сравнить с единицей: 2) 2,745 • 10 4 ангин 33
25 Выполнить действия: 1)( 2,5а-2\-1 Ь3с* ) 2) (х2у 2-4у 2)-(|] 2=................................................. Арифметический корень натуральной степени ..I...•».I..+.•»...I..f...I..I..+•..I. Свойства арифметического корня 9 1 Найти длину стороны а квадрата, если дана его площадь S: 1) S = 36 см2, а=... см; 2) S=121 см2, а=.......... см; 3) S = 0,04 дм2, а=... дм; 4) 5=17 м2, а=.......... м. 2 Заполнить пропуски в определении арифметического квадратно- го корня из числа а. Определение. Арифметическим квадратным корнем из чис- ла а называется .................. число, ............. которого равен ..... Краткая запись определения: \а ...., (Va)2=..... 3 Проверить, верно ли равенство: 1) V81 = 9; 2) V144=-12; 3) V^9 = 0,3. 1) V81 = 9, 9= ...., 92= .................... 2) у[14А-—12, -12 .. ... (-12)2 = ......, ............; 3) VO/) = 0,3, 0,3 ..., (0,3)2 = ....., ............. <| 4 Вычислить: 1) V16=....; 2) \100=...; 3) Vl,21 =..; 4) VO,0004=...... 5 Выяснить, при каких значениях а имеет смысл выражение: 1) V3a; 2) Va-2; 3) 'Га. 34
1) \г3а имеет смысл при За ......., т.е. при ........; 2) Va - 2 имеет смысл при ......>0, т.е. при .......; 3) \г^-а ..... при ........., т.е. при ........... 6 Проверить справедливость неравенств: 1) 5 <\/31< 6; 2) 7 <V61< 8. ► 1) S-V~ e = V~, V77< '.31< V~; ........................................................... <1 7 Вычислить: 1) (\/3+l)(l-V3)2-2\/3=(V3+l)(.......)-2V/3=.................. 2) (18-3 V2)2 + 108\2 =.................................; 3) V53-2V5®+(5+V5)2 =..................................... 8 Упростить выражение (a>0, &>0): 1) V8a3&2:V2a&2=............................................. ............................................................9 2) V50a3-V2a3=............................................... 9 Сравнить числа: 1) 5V6 и 6V5; 2) V17 и 3'3. к 1) 5V/6=V.........=.......... 6V5=V.......=........... ......... , значит, 5V6 6V5; 2) 3V3=...................., значит, V17 3V3. 10 Сократить дробь: a-vV 7-a2 11 Упростить выражение (x - ^)^/~2_1QX_t_25 > заполняя пропуски: 1) при x>5; 2) при x<5. ► (x-S)- / 1 = (x-5)- V(......) ........... 1 1) При x>5 имеем |.........|=......, т.е. (x-5)--------- ; 2) при x<5 имеем |.........|=........, т.е. Ответ. 1) 1; 2) -1. 35
12 Заполнить таблицу: 1) X 0 1 8 27 64 125 216 з<— Vx 2 2) X 0 1 16 81 256 625 1296 4,— NX 4 13 Заполнить пропуски в определении арифметического корня на- туральной степени. Определение. Арифметическим корнем натуральной степе- ни п ..... из ............ числа а называется неотрица- тельное число, п-я степень которого .......... Если а >0, то (7а)п =....... ........... 14 Доказать, что ^0,008=0,2. Так как >0 и 3=............ то ................ 15 Вычислить: 1) 2) ^5; 3) 4) V(1000). 1) \43=4\'24=2; 2) \'8=V 3 =...; 3) ............; 4) \(-1000)=\ 3 = -V :":3=....<j 16 Решить уравнение: 1) x3 = 125; 2) x4 — 10000; 3) xs=~; 4) x4 = -16. 1) x3 = 125, x=V125, x = 3V53, x = 5; 4 I---- 2) x4 = 10000, x4=V......= V j;;:4, x = 5 3) x5=-^, X5 = \ 4/- 4) x4 = -16, V. -W—Ш7, x <0, следовательно, 36
17 Закончить фразу. 1) Выражение Vx-2 имеет смысл при .................... 3--- 2) Выражение У х-2 имеет смысл при ................... 3) Выражение \z3+x имеет смысл при ................... 4) Выражение Ух+5 имеет смысл при .................. 5) Выражение Vx2-6x+9 имеет смысл при .............. 6)* Выражение \4х-х2-10 ............................ 18 Вычислить, используя свойства арифметического корня: 1) V25-V5=3V25 • 5=3V53 =5; 4 I--------------- 2) \18-72 = V2-.....-9-.......= VLi4- :..;4=..... Можно вычислить другим способом: V644 (4/25)’2=\/642+ V...= : \642'2 + V25:----”j = ' \64 + + =..............+.......=......; 6) - vui =V.............-V........=......-.......=....... Можно вычислить другим способом: VV81 -VV64 = \£1- V64=V3 -V2 = 3-2 = 1. 19* Заполняя пропуски, разложить на множители по формулам со- кращенного умножения: 1) •)•(.•); 2) а + Ь — (\^а+Уь)(.-УаЬ+ ...........); 3) Va-2Vab + v£=( ,)2. 37
20* Сократить дробь: 1) 2) Va-2\'aF+Vfc \u-\b 1) 2) .....................................................................4 21 Вычислить: 1) V625=.......................... 2) ^-216= 22 Решить уравнение: 1) х4 = 625, х=.............................., х=..; 2) х3 = -27, х=.................................... х=........ 23 Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение: в,--- 5,—--- 1) V3-x; 2) Vx2-3. 38
о Степень с рациональным показателем ....4..4..1..4...4.1...4..4..1..4..1.1 Возведение в степень числового неравенства 1 Вычислить: 1) 4V0,0625=fc:"j4=.....; 2) V-343—Vj””*J3=.......; 3) V3«=\/((3) )»=....=..... 2 Закончить фразу. 1) Выражение ап, где п — любое натуральное число, имеет смысл при ............... 2) Выражение ар, где р — отрицательное число, имеет смысл при ............. 3) Выражение 0р имеет смысл при . 3 Выполнить умножение неравенств: х 3<5 17<19 2) 7<10 Х\ — *3<5 3<5 4) а>Ь х а >Ь х а >Ь а>Ь , где а>0, &>0. 4 Выполнить действия: 1) 3-3 -37-(|)°+V3z=......................................... 21 Д~3Ь2 . Уа* 5 * ; Е2-. .о = ' Ь3а а..... ь - ....................... 39
5 Записать в виде степени с рациональным показателем: 1) Va=......; 2) 4) \/р=....... 6 Записать в виде корня из степени с целым показателем: 1) а* =.....; 2) Ь~Л=.......; 3) (Зх)’* =.....; 4) (х-2)* =......... 7 Заполнить таблицу, используя равенство xv==Vx"*, где х>0: т X п 3 2 Х~5 _ 1 X Ъ 1 Х8 X0’2 ^Г2 Ух2 8 Закончить фразу. 1) Выражение а-", где имеет смысл при ............. 2) Выражение где ^<0, имеет смысл при ............. 3) Выражение аг, где г — любое рациональное число, имеет смысл при ........ 9 Вычислить: 1) 16*=V16=......; 2) 27* =V27=.....; 3)* 27’ = V :”:2= V(LJ3 *)2=..=.....; 4)* 32°-6 = 32з =VTF= V( i"’:5)3=..=....; 5)* 81-°-75 = 81’«-....=........=.......=...... 10 Заполнить пропуски в записи свойств степени с любым действи- тельным показателем. Для любых..........и...........верны равенства: 1) ар • aq=.........; 2) ар:ад=........... 3)...........= ард; 4)...........=арЬд; 5)(f)'=............. 40
11 С помощью свойств записать в виде степени: 1) Зз -З’ =3’+з =31=3; 2) б’:5 « =.................................... ; 3) (б^)'3 = ^::;::":::::"“:= =..................; 4) ЗУ .8<».8 = ЗУ - яр * =..........; 5) 33^-272^=32^F"== =3l." _......... 12 Разложить на множители: 1) а‘-а^ = от(.......); 2) а1-&1 = (....-......)(......+.....). 13 Сравнить числа: 1) (J)3 и (|)3; 2) (7,01)4 и (7,ОН)4; 3) (|)з и (|)з; 4) fa),21 и fa),31. ► 1) Так как , то (f)’C (j)’; 2) так как 7,017,011, то......................; 3) так как g =„ , у=..... и , то (у)7; 4) так как fa),21 = (0,21)° , fa),31 =(0,31) : и 0,21:3 0,31, то fah2iO 14 Заполнить пропуски в записи правила возведения в степень не- равенства. Если обе части неравенства....................., то при воз- ведении его в положительную степень знак неравенства ................... , а при возведении в.................. степень знак неравенства меняется......................... 15 Сравнить числа: 1) (0,44)~2 и (0,45)“2; 2) (И)3 и (15)~3; 3) (2,45)’3 и (2,47)’2; 4) (|) » и (f)’fa 1) Так как 0,44 <0,45 и -2<0, то (0,44)~2>(0,45)-2;
2) так как 11;.J15 и -3:\‘:...... то (И)3;..:(15)“3; 3) так как 2,45:**: 2,47, . то..................; 4) так как у = , и -ji’.J. , то 16 Решить уравнение: 1) 4Х=64; 2) 22х=8»; 3) 32х=27<; 4) 5Х1 = 25. 1) 4Х = 64, 4Х = 4 -i, х =.; 2) 22х = 8’, 22х = (;";)’. 22х=.. 2х =.... х =..; 3) 32х=27<, 32х = (:";)<, ............................... 4) 5Х"1 = 25, 5Х1=:":2, ..... х =..... Ответ. 1) х = 3; 2) х = 0,6; 3) х=|; 4) х = 3. 4 О 17* Упростить выражение: 2)4Л-4Л. а п а2+Ь2 х2~у2 х2+у2 Ь 1)-*-+-#_ =----------ъ-----+-^-т- = F а о а2 + Ь2 ( \ а2 + Ь2 (а++ЬЩ....../ 2) 4=4-^ Х2~у2 х2+у2 18 Решить неравенство (x2 + 2)i>(2x2+l)4 Так как х2 + 2;..;0, то и (х2 + 2)^ Так как 2х2 + 1 j :‘ :0, то и (2х2+1)^ j’jO- Возведем обе части неравенства (х2 + 2)^ > (2х2+1)^ с положи- тельной левой и правой частями в ......................степень. По свойству 1 (§ 11) Х2 + 2 : ‘:2х2+1, ...................... d 42
19 Вычислить: 1) 32+ =...........................; 2) 64“+=...........................; 3) 81< =........................... 20 Сравнить числа: 1) (0,48)+ и (0,048)+; 2) (2,3) + и (2,4) +. 1) Так как ........................................... то 2) Так как .............................................. то ..............................4 21 Решить уравнение: 1) 52х = 125; 2) 4х"2 = 64. k 1) 52х=....., ..............................; 2) 4х"2 =................................... Ответ. 1) х=........; 2) х=...........
глава Степенная функция 12 Область определения функции ..I-..I...I...I..I...4...I...I...»..1...1...4..1..4 1 Найти числовое значение каждого из алгебраических выраже- ний при заданном значении а и заполнить таблицу: а -2 -1 0 1 1,5 2 3 х2-1 Vx2-1 1 х2-1 00 I м не сущ. -1 не сущ. 4 5 JL 3 1 8 V'x2-! .......................................................4 2 Функция задана формулой г/(х) = 3х +1. Найти: 1) 1/(0); 2) i/(-3); 3) значения х, при которых i/(x) = 0,5, i/(x) = -3. ► 1) у(0) =...............; 2) у(-3) =........................; 3) 0,5 =...................., -3 =..................... 3 Функция задана формулой i/ = x2-2x-3. 1) Найти значения х, при которых функция принимает положи- тельные значения. 2) Найти наименьшее значение функции. 44
Ответ. 1) ....................; 2) ........... Найти: 1) 1/(1), у(-1), 1/(0), у(2{); 2) наибольшее значение функции; 3) два значения х, при которых функция не определена; 4) значениях, при которых i/(x)<0. Ответ. 1)..................; 2).....; 3)......; 4).......... 5 На каком из рисунков изображен график функции? Ответ. На рисунке .... 45
6 Закончить фразу. 1) Выражение 0,Зх + 0,7 имеет смысл при ........... 2) Выражение Зх2-х + 1 имеет смысл при ............ 3) Выражение имеет смысл при ...................... 4) Выражение Vx-1 имеет смысл при ................. 5) Выражение Vl-x имеет смысл при ................. 6) Выражение х 2 +1 имеет смысл при ........ 7 Закончить фразу. 1) График функции i/ = x2 + 2 получается из графика функции у = х2 сдвигом вдоль .................................... 2) График функции у = 2х2-1 получается из графика функции у = 2х2 сдвигом вдоль ................................... 3) График функции у = (х-2)2 получается из графика функции i/ = x2 сдвигом вдоль.................................... 4) График функции i/ = (x+l)2-2 получается из графика функ- ции i/ = x2 сдвигом вдоль ................................ а затем вдоль ........................................... 8* На рисунке изображен график функции у = ах2 + Ьх + с. Задать эту функцию формулой. Ответ, а) ..........; б) ............; в)................ 46
9 Заполняя пропуски, найти область определения функции: 1) у = Зх2 + 2х-1; 2)</=^-; 3) у = \£+3; 4) у^Хх^. 1) Выражение Зх2 + 2х-1 имеет смысл при ............. поэтому функция i/ = 3x2 + 2x-l определена при ............ 2) Выражение , п ’ х2-1 ................ при ........О, т.е, при ........ поэтому областью определения функции г/=-^у являются .............................. кроме ......... 3) Выражение Vx + 3 ............. при ............... поэтому функция i/ = Vx+3 определена при ..... 4) Выражение V'x-S .................................. .............. поэтому ............................. 10 Записать область определения функции, заданной графически. 47
Ответ, а) ..........................................; б) ; в) ..........; г) .......... д)............................................ 11 Задать формулой функцию, график которой изображен на ри- сунке, и найти ее область определения. а) Так как графиком функции является прямая, проходящая через точки (...) и (....), то формула имеет вид у =.... Подставим координаты точки А в формулу у =...., получим ........, откуда k = Функция задана формулой у =.... и определена при ...................................... б) Так как вершина параболы у = ах2 + Ъх + с лежит на оси Оуу то ....... Точки А(,...) и В( ) принадлежат графику функции, поэтому 2 = а :..:2 + & +1 и 2 = а • 2 + & *+с. Получим систему .............. Решим систему .................. и определена при ... Таким образом, а =...., & =..... Функция задана формулой................ 48
12 Построить график функции y = f(x), если эта функция определе- на на отрезке [-1; 2]: 1) у = 2х2; 13 Найти область определения функции: 1) —?rl-- ' х2 + Зх - 4 ’ 2) Н== 7 У vx+2 Ответ. 1)...................... ; 2)....................... 14* Изобразить (на с. 50) эскиз графика функции y = f(x), у которой область определения: 1) [-3; 3]; 2) х>2. 15 Построить (на с. 50) график функции: l)i/ = |x| + 2; 2) г/ = 2-Н; 3) у = \х-2\. * 1) Построим график функции i/ = |x|, затем осуществим его сдвиг вдоль .................................................. 2) Построим график функции i/ = -|x| и осуществим его сдвиг вдоль ................................................... 3) Построим график функции i/ = |x| и осуществим......... 49
i 50
@ 16 Найти область определения функции: 1) ^4’ 2) У = ^2-2х- ►................................................. Ответ. 1)............................ 2) 17 Построить график функции у = \х + 3|. 18* Построить график функции 2-х2 при х <-1, при -1<х<1, при х>1. Уп 51
Возрастание и убывание функции 2 В пустые клетки вписать необходимый по смыслу знак > или < : 1) 271i";2,l71, так как 0D.2:J2,l и 7177 0; 2) так как и ' 4 ' \ о/ Л О Zi 3) 72“4 5Е7 71,9 4, так как 727771,9:7=0 и -4Ё7О; 4) (0,3)’ *77(0,33) *, так как 0770,3770,33 и -|77о. Закончить фразу. 1) Областью определения функции у = х2 является множество 2) Областью определения функции */==~2 является множество 3) Областью определения функции i/ = Vx является множество 4) Областью определения функции z/ = Vx является множество 3 Сравнить с нулем разность выражений За + 7 и ЗЬ + 7, если а<Ь. (За + 7)-(ЗЬ + 7) =........................................... 4 Доказать, что 2х2 + 3> 2у2 + 3, если х>у>0. ► (2х2 + 3)-(2у2 + 3) =..................................... ..................., так как ............................, следовательно, 2х2 + 3:..: 2у2 + 3. 5 С помощью графика, изображенного на рисунке, записать промежутки, на которых функция возрастает (убывает). 52
II Заполнить таблицу. Функция г/=х у=х2 У=х3 1 1 У~ X2 у=^1х Показатель степени аргумента -1 Область определения функции х=#0 Заполнить пропуски в записи определения возрастающей на промежутке функции. Функция у(х) называется возрастающей на промежутке, если ............. значению аргумента соответствует ............. значение функции, т. е. для любых хг и х2, принадлежащих ............................................................, из неравенства . следует неравенство _ 1 - 8 Даны функции у = х, у = х3, у = х4, у = х~5, у = х2, у = х 3. Подчеркнуть одной чертой те из них, которые возрастают на промежутке х>0, и двумя чертами те, которые убывают на промежутке х>0. 53
9 Доказать, что функция z/ = x4 убывет на промежутке х^О. Пусть х2 : L: 0. Покажем, что i/(x2) ; J i/(x1). Рассмотрим разность i/(x2)-r/(x1) = x4-x4 = .............................. Так как ..................... то ....................... , следовательно, у(х2)-у(хг) 0 и функция является убываю- щей. 10 На эскизе графика написать соответствующую ему формулу, задающую функцию на промежутке х>0: 1 1) i/==x5, у = х4, у = х3; 11 Доказать, что функция i/ = x2-4x убывает на промежутке х<2. Пусть х2 хг •. ; 2. Покажем, что у(х2) ’ у(хг). Рассмотрим разность.......................... 54
12 Построить график функции: 1) y = Vx+2; 2) y = Vx+2; 3) y = Vx-l-2; 4) y = 2Vx. 1) Построим график функции у = Vx, предварительно заполнив таблицу: X 9 4 1 4 1 9 0 У=^х 1 2 Осуществим сдвиг графика вдоль ...................... 2) Построим график функции i/ = Vx, затем осуществим сдвиг его вдоль..................................... 3) Построим график функции y = Vx и осуществим сначала его сдвиг вдоль ......................., а затем вдоль ..... 55
13 4) Построим график функции у = Vx и осуществим растяжение графика функции у = Vx от оси ...... вдоль оси ....... в 2 раза. \| С помощью графиков, построенных в предыдущем задании, заполнить таблицу: Функция Область определения Область значений Промежутки возрастания (убывания) i/=Vx~+2 i/=Vx+2 X s=“2 х>-2 j/=Vx-l-2 14* 15 Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции 2х2, если х=^0, у = Vx, если 0 < х < 1, 2-х2, если х^ 1. Ответ. У1 0 X Изобразить эскиз графика некоторой функции y = f(x), которая является возраста- ющей при х^-1, х^З и убывающей при -1 х 3. У1 1 0 X 56
16 Нарисовать эскиз графика функции на промежутке х>Ои записать, возрастает или убывает функция, если 1 Ответ..................... 17 На рисунке изображен гра- фик функции i/ = /(x). Запи- сать промежутки, на кото- рых функция: 1) принимает положитель- ные значения; 2) принимает отрицательные значения; 3) возрастает; 4) убывает. 57
5)* Найти область определения функции. Какие значения прини- мает функция? Ответ..................................................... 1) 2) 3) 4) 5) 18* Доказать, что функция у = х6-1 возрастает на промежутке х>0. ► 4 Четность и нечетность функции 14 1 Вычислить: 1) (4Г-8?+(0,75)°= .................................. 58
2 Заполнить таблицу: X У=1х1 У=х2 У=х 2 У=х3 У=х~3 У=х4 -3 -27 -2,5 -15,625 -2 -8 -1 -1 -0,5 -0,125 0 0 0,5 0,125 1 1 2 8 2,5 15,625 3 27 3 На рисунке изображена часть графика функции y = f(x). Изобразить другую часть графика, если известно, что она: 1) симметрична данной относительно оси ординат; 2) симметрична данной относительно начала координат. 4 Дана точка А(-3; 7). Записать координаты точек В, С и D, если: 1) точка В симметрична точке А относительно оси Ох; 2) точка С симметрична точке А относительно оси Оу; 3) точка D симметрична точке А относительно начала координат. Ответ. 1) В(..........); 2) С(.........); 3) В(.........). 59
5 Даны функции: 1) г/ = х2-х4; 2) i/ = x + x3; 3) i/ = x + x2. Сравнить значения каждой из этих функций при х = 2 и х = -2. ► 1) У(2)=.................., у(-2) =................... 2) у(2)=................... у(-2) =.................. 3) у(2)=................... у(-2) =.................. Ответ. 1) у(2) :":у(-2); 2) у(2) ^y(-2)-, 3) у(2) ^у(~2). <] 6 Даны функции: у(х) = х2, y(x) = x~s, у(х) = х3, у(х) = х6, у(х) = х~6, у(х) = х5, у(х) = ]/х, y(x) — Vx. Подчеркнуть те из них, для которых выполняется равенство i/(-x) = i/(x). 7 Заполнить пропуски в доказательстве того, что функция i/(x) = 2x2+^4 является четной. Область определения функции:........... Для всех х -..-О у(~х) = = 2 (.....)2+ ........=............ т. е. верно равенство i/(-x)=............для любого х из .......................... Следовательно функция является ........... 8 Заполнить пропуски в доказательстве того, что функция г/(х) = = —+ 3х3 является нечетной. Ь Область определения функции: .........Для всех х#0 у(~х) = ...+ 3 ........=.......................... т. е. верно равенст- во 1/(-х)=.......для любого X Следовательно, функция является 9 Найти область определения и выяснить, является четной или нечетной функция: 13/— 1) i/ = 3x2; 2) i/ = x3+l; 3) i/ = 2x"4; 4)* i/ = ^Vx. ► 1) i/(x)=3x2. Область определения функции: ............... ............... i/(-x) = 3 ........ таким образом, у(х) = 60
..... для любого X из Следо- вательно, функция.............................................. 2) г/(х) = х3 +1. Область определения функции: .......... 3) г/(х) = 2х4. Область определения функции: ............ 1 з f~~ 4) У(х)=2 Ух. Область определения функции: ..................... ....................................................4 10 На рисунке изображены графики функций. Под каждым из них подписать, является ли функция, заданная данным гра- фиком, четной, нечетной или не является ни четной, ни не- четной. 61
11 Функция у(х) является четной. Найти: 1) у(-2), 3i/(—2), если i/(2) = 7; 2) i/(7), i/(7)-1, если у(~7) = 1. Ответ. 1) у (-2)=............, 3i/(-2) =.........; 2) i/(7) =..........; i/(7)-l =.............. 12 Функция у(х) является нечетной. Найти: 1) */(-3), если 1/(3) = |; 2) i/(10), если i/(-10)=-l. Ответ. 1) г/(-3) =..........; 2) ................... 13 На рисунке изображена часть графика четной функции у(х) для х^О. Достроить график функции для х<0. 14 На рисунке изображена часть графика нечетной функции у(х) для х^О. Достроить график функции для х<0. 62
15 Построить график функции: 1)у = х3 + 1; 2)у = (х-1)3; 3) у = х4-2; 4)у = (х + 1)4; 5) у = 2х3; 6) у=у. 1) Построим график функции у = х3. Функция у = х3 нечетная. X 0 1 2 1 2 У=х? Далее осуществим его сдвиг вдоль ...................... 2) Построим график функции i/ = x3. Осуществим его сдвиг вдоль 3) Построим график функции i/ = x4. Функция у = х4 .. X 0 _1 2 1 2 У=х4 Осуществим сдвиг .................................... 63
4) Построим график функ- ции i/ = x4. Осуществим сдвиг У1 5) Построим график функ- ции г/ = х3. Осуществим рас- тяжение ............... 6) Построим график функ- ции i/ = x3. Осуществим сжа- тие ................... 16 С помощью построенных в предыдущей задаче графиков функ- ций заполнить таблицу: Функция Область определе- ния Область значений Промежутки Четность, нечет- ность возрастания убывания у=х3+1 У = (х-1)3 II 1 Все действ, числа W 1 ьэ х > 0 х =s 0 четная У=(х+1)4 II 64
17 Исследовать функцию i/ = x2 + 3|x|-4 и построить ее график. 1) Область определения...................................... 2) У = (-х)=....1........... , т. е. </==(—х) =............ Следовательно, функция является........... 3) При х<0 |х|=....... , тогда при х<0 у=.................. Построим часть графика этой функции, лежащую в левой полуплоскости. Построим с помощью симметрии часть графика для х>0.^ 18 Изобразить эскиз графика функции 1) </ = х6; 2) z/ = x7; 3)* z/ = Vx. 19 Доказать, что функция 1) i/(x) = 2x2-|x| является четной; 2) i/(x) = x3-Vx является нечетной; 3) j/ = x2 + x3 + l не является ни нечетной, ни четной. Колягин 65
| Функция y= 4...........4...........1...........4..........4...........1..........4 1 Заполнить таблицу: Функция у=х4+1 б У=Х y=Vx2-l Область определения х =# 0 2 Заполнить пропуски в доказательстве того, что функция у = " является возрастающей при х>0. Пусть х1>х2>0. Покажем, что у(хг) . у(х2). Рассмотрим разность................................... 3 Изобразить эскиз графика функции, у которой областью оп- ределения являются все действительные числа, кроме 0, и при х>0 функция возрастает. 66
4 Доказать, что функция i/ = — является нечетной. ► г/(х) = 7» у(-х)= ................. для .............. из области определения. \| 5 Заполнить таблицу, предварительно вычислив значение k для k функции 1/ = -: X 0,3 0,5 3 4 1,5 2 2— Z3 СО|’* СО 4,5 II Н 1 9 7 ► 9 k у=~т, откуда ................................. 2з 6 На рисунке изображен график функции 1/ = -—при х>0. Достроить график этой функции при х<0 и записать: 1) область определения функции:.......................... 2) значения, которые может принимать функция:............ 3) промежутки возрастания (убывания) функции:............ 67
7 В одной системе координат построить графики функций у = х2 2 - 2 2 П и 1/ = — и выяснить, сколько корней имеет уравнение дг-—= 0. Ответ............................. 8 На рисунке изображены гра- фики функций Л 2 I L I i/ = — и i/ = ax2 + &x + c. Обвести красным каранда- шом ту часть графика функ- k ции У==~^9 для точек которой выполняется неравенство k —<ах2 + Ьх + с. 68
9 В одной системе координат построить (на с. 68) графики 3 х функций i/ = —иг/ = ^и найти значения х, при которых выпол- 3 х няется неравенство —>3;. Ответ............................. 10 На рисунке изображен график функции у = —. Нарисовать ЭСКИЗЫ графиков функций i/ = Vx, i/ = Vx, i/ = x3, i/ = x4 и выяс- нить, сколько корней имеет уравнение: 1) |=V£; 2) 3) |=х3; 4) 69
11 Построить график функции: 1)у=|+2; 2) 3)у=|-1; 4)у = ^-. 1) Построим график функции у=^, затем осуществим его 2) Построим график функции г/ = —, затем осуществим его сдвиг вдоль .................................... 2 3) Построим график функции i/ =—. X 4 2 1 1 2 J. 4 II Н | to Осуществим его сдвиг вдоль .......................... 70
4) Построим график функции г/ = —. Осуществим его сдвиг вдоль .............................................. 12 С помощью построенных в предыдущем задании графиков функций заполнить таблицу: Функция Область определения Область значений Промежутки возрастания убывания см + II У х+2 х * -2 у # 0 — х<-2, х>~2 II Н 1 ND 1 2 13 На эскизе графика функции написать формулу функции, кото- рой соответствует этот график: 71
Неравенства и уравнения, Т содержащие степень ......*...*...।..*..*...•...* 16 1 Вычислить: 1) V625“=................4 3) ^216 =...............: 5) ^3^= .................4 Даны графики функций у = а и i/=x2n, neN. Обвести другим цветом точки той части графика функции i/=x2n и той части оси Ох, для которой выполняется не- равенство х2п < а. 3 Даны графики функций у = а и y=x2k+1, keN. Обвести другим цветом точки той части графика функции у = x2k +1 и той части оси Ох, которых выполняется не- равенство x2k +1 > а. 2) V625 =............... 4) VT=.................. 72
4 Упростить: 1) V(x-5)3 при х>5; 2) V(2-x)2 при х>2. ► l)3V(x-5)3=............................... 2) V(2-x)2 =..........................<] 5 Найти значения х, при которых выполняется равенство: 1) Vx=3; 2) Vx=8; 3) Vx=O,5. 6 Решить неравенство: 1)х7<128; 2) х3э=216. ► 1) х7<128, 128 = 27, х7<27. Функция у = х7 определена и .............при всех ........ .............., следовательно, если х7 <..., то х<...... 2) х3э=216, 216= ........ Ответ. 1) .............; 2) ............. N 7 Решить неравенство: 1) х6^64; 2) х4>10 ООО. ► 1) хв SS64, 64= :Д6, хб« ....... Функция у = х6 убывает при ............и возрастает при .., х6 = 2в, хг ....., х2 ....., х6<64 при ....... 2) х4>10 ООО, 10 000= 4, х4.......... Функция г/ = х4 убывает при .......... и возрастает при .... ........., х4=....., хх=....., х2=........, х4>10 000 при 73
8 Проверить, является ли число х корнем уравнения: 1) Vx - 1 = 3, если х = 10; 2) Vx2-3 = 1, если х = -2; 3) Vx- l = V3x4-5, если х = -3; 4) Vx2-13 = l-x, если х = 7. ► 1)......................................................... 2)........................................................ 3)........................................................ 4) 9 Решить уравнение: 1) V3x+1 = 4; 2) Vx+T=7; 3) Vx+5"=V3x4-15; 4) Vx2-2x4-l = 2x-4. 1) V3x + 1 = 4, (V3x+1)2 = 42, 3x+1 = 16, 3x=15, x=5. 2) Vx + 1 = 7, ......................................................... 3) Vx + 5*=V3x4-15, (.......)2 = (......)2, .............. Проверка. При x =........... Vx4-5 =....................................................... V3x4-15 =..................................................... 74
4) Vx2-2x + l = 2х-4, (.........)2 = (..........)2, Проверка. Пусть х =......, тогда Vx2-2х +1 = V9-6 +1 = = V4 = 2, 2х-4 =........ Пусть х=......., тогда Vx2- 2х +1 =.................... 2х-4 =.................................................. Ответ. 1) .......; 2) ......; 3) .......; 4) ........ 10 ► 11* ► С помощью эскиза графика функции i/ = (x + l)3 решить нера венство (х+1)3>1. । У Л I Построим график функции / i/ = x3 и осуществим его сдвиг / Построим график функции у =.... и найдем абсциссу точки пересечения двух гра- фиков. Это ......... Ответ............... Решить неравенство \х-2 < 3 рацию решения. Функция i/ = Vx-2 определена при .......... и принимает неотрицательные значения, в правой части неравенства 3^0. Возведем обе части неравен- ства в ........., получим .... ..............., откуда ... Следовательно, решение нера- венства ................... и сделать графическую иллюст- 75
12 Решить уравнение: 1) Vx + 5"=3; 2) Vx^T^V^x; 3) <2х2+5х-3 = х+1. Ответ. 1) ............; 2) ............; 3) 13* Решить неравенство у!2-х<х с помощью изображенных на рисунке графиков. Ответ...............
глава Элементы тригонометрии Радианная мера угла 17 1 Заполнить пропуски в предложениях. 1) За единицу измерения углов принимают.......... 2) Развернутый угол содержит............ 3) Градус — это угол, равный..... части развернутого угла. 4) Прямой угол содержит..... градусов. 5) Бесконечные десятичные непериодические дроби называют числами. 6) Число тт................. число. 7) Число 77 с точностью до 0,01 равно..... 8) Угол с вершиной в центре окружности называется ее ... .................... углом. 9) Длина окружности радиуса R равна....... Длина окружности единичного радиуса равна..... Длина полуокружности единичного радиуса равна...... Длина четверти окружности единичного радиуса равна.... 2 На числовой оси даны точки А и В. Записать координаты этих точек: А (.......), В (....). Отметить на числовой оси точки C(V2), 1 4 11 2 1 1 '1 _1_ ЧЧ
3 Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: х) 5О==з^)’5 рад=..рад; 2) 18°=.........рад=......рад; 3) 54° =................;4) 135° =................. 4 Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: . ч 77 / 180 7Г \О 7Г ( 180 \о 1) 18 рад = (— • id =.; 2)2орад = (— •...) =...; 3) у рад =................; 4) 2,5 рад =............ 5 Сравнить числа, заполняя пропуск знаком < или >: 1) f Г.7: о,в; 2) f Г: 1,1; 3) -2; 4) -^7; -0,9. 6 Радиус окружности равен 36 см. Найти периметр сектора, дуга которого стягивает центральный угол в -д радиана. / X ► / Длина дуги АВ равна ............. / О<^ Периметр сектора равен .......... \ у В ...................< V...... 7 Вычислить радиус окружности, если ее дуга длиной 7,2 см стягивает центральный угол в 3,6 радиана. Так как l = aR, то В =... При 1 = 7,2 см и а = 3,6 рад R = 8 Дуга кругового сектора стягивает угол в 0,64 радиана. Найти площадь сектора, если радиус круга равен 2,5 дм. Так как 8 = -%- а, то S =..............................\ 9 Радиус круга равен 16 см, а площадь кругового сектора равна 512 см2. Найти радианную меру угла, который стягивается ду- гой этого кругового сектора. ► ™ „К2 Так как 8 = -?--а, то а =.. При S = 512 см2 и Я=16 см а = .......................... 78
10 В равнобедренном треугольнике угол при вершине в три раза больше угла при основании. Найти углы треугольника и выразить их в радианной мере. к Углы треугольника относятся как числа 3:1:1. Тогда угол при основании равен ....:5 =...; угол при вершине равен ... 36 =...........рад =....рад; 108 =..................... Ответ.....................\| 11* Заполнить таблицу: Угол (в град.) 60° 45° Угол (в рад.) 7Т 4 4 Радиус (в см) 3 4 6 8 Длина дуги (в см) 1 3 8 Площадь сектора (в см2) 2 тг 32 50 16 12* Окружность морского компаса делится на 32 равные части, называемые румбами. Выразить румб: 1) в градусах и минутах; 2) в радианах (с точностью до 0,001). ► 1) 2) 11° 15' = 11,25°= 13 Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: 1)10°=..................; 2)36°=..................; 3)80°=..................; 4)120°=................... 14 Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: 1) 0,5лрад=.............; 2) рад=.................; 7 3) 0,55 рад =............; 4) 12 РаД=..............• 15 Дуга окружности радиуса 3 см стягивает угол в 1,5 радиана. Найти длину этой дуги и площадь сектора, ограниченного ею. 79
Ответ. Z=.......... , S=......... Поворот точки вокруг начала координат В упражнениях 1—4 заполнить пропуски с помощью рисунка. На координатной плоскости построена окружность F, центр которой совпада- ет с началом координат, а радиус ра- вен 1. На окружности отмечены точки А, В, С и D. Координаты этих точек таковы: A(. ), B(. C(. ), D(. Вся окружность F совершила полови- ну оборота: 1) по часовой стрелке; 2) против часовой стрелки. В первом случае координаты точек А, В, С, D стали такими: ....;......), В(. Во втором случае: ), C(. ), D(. A(. ), B(. ), C(. ), D(. 1 2 3 Точка А переместилась по окружности F сначала на четверть ее оборота против часовой стрелки, а затем на половину оборота по часовой стрелке. Ее координаты стали сначала ), а затем (. 4 Точка В переместилась по окружности F на угол тт радиан против часовой стрелки, а затем на угол радиан по часовой стрелке. Ее координаты стали (...;.....). 80
5 На единичной окружности отметить точки А, В, С, D, полученные пово- ротом точки Р(1; 0) соответственно на угол: 1) Ь 2) 3)-^ + 2тг; 4)^-2л. 6 Точка М единичной окружности получена поворотом точки Р(1; 0) на угол а. Заполнить таблицу: Угол а Зтт 2 _ S'71 2 7тт 900° -450° 5тт ~2~ 45° -45° Координаты точки М (-1;0) 7 Точка М единичной окружности получена поворотом точки Р(1; 0) на угол а. Заполнить таблицу: Угол а 150° 315° — 77 3 _3тт 4 420° 1&Г 6 3,5 2,9 Четверть, в которой расположена точка М I 8 Колесо автомашины делает за две секунды 6 оборотов. За одну секунду оно повернется на угол .................. 9* За 1 ч 30 мин часовая стрелка описывает угол, равный ...... или ........ радиан, а минутная — угол, равный ...... или ....... радиан. @ 10 Записать координаты точки М, полученной поворотом точки Р(1; 0) на угол: 1)а=180°, М(..........); 2) а = 2тт, М(.......); 3) а = 450°, М(.......); 4) а = М(..........). 81
11 Точка М единичной окружности получена поворотом точки Р(1; 0) на угол а. Заполнить таблицу: Угол а 182° -300° тт 9 4тт З" 480° _ 13тт 6 1,4 5,2 Четверть, в которой расположена точкаМ IV Определение синуса, косинуса и тангенса угла 1 Подчеркнуть числа, которые являются абсциссами точек еди- ничной окружности: 0,7; I; -1; 1; 1,4; -2,1; 0; -1. о О 2 Подчеркнуть числа, которые являются ординатами точек еди- ничной окружности: 0; 0,5; -0,43; 1,001; 8; -1; 1. 3 На рисунке изображен треугольник АВС, в котором АВ = 1, zACB= 90°, АВАС = 30°. Заполнить пропуски: ВС= sin 30° = ^<зо° АС = cos 30° = А 4 Точка М получена поворотом точки у Р(1; 0) на угол 30°, а точка — на угол (-30°). Заполнить пропуски: / 1) Абсцисса точки М равна , / а ордината равна 1 2) Абсцисса точки равна , \ а ордината равна в с с <хУзо° У(1;0) /М1 82
5 Вычислить: 1) sin30°-2ctg45° =.....-2 • .......=.................... 2) 2 cos 4 sin тт =...................................... 3) 2cos0° + 3sin270o + 4tgl80° =......................... 4) tg2^-sin2iT + 2sin^-ctgy=............................. 6 Найти значение выражения sin (a + 45°)+ 2 sin (a - 45°) + 4 cos 2a + 2 cos (a +135°) при: 1) a = 45°; 2) a= -45°; 3) a= -135°. 1) sin....+ 2 sin....+ 4 cos...+ 2 cos....=............... 7 Выяснить, верно ли неравенство: 1) siny + sin^-cos^-< 1; 2) 3sin90°-V3 ctg60° + cos 180° >0. ► . IT . . IT TT 1) sm g- + sin gr-cos-g =..................................... 2) ........................................................... Ответ. 1) Неравенство ..........; 2) неравенство .......... 8* Заполнить таблицу: A Наибольшее значение A Наименьшее значение A 3 + sina -4 —cosa Вычислить: 1) cos90°-sin90°=................................................ 2) 4cos'7r + 3ctg^-=............................................. . тт тт . Зтт 3) tg“3 • COS-g • sin~2~ =....................................... 4) tg 45° • sin 60° • ctg 60° =.................................. 83
5) 0,7 tg'n —3 ctg+4 cos =....................... 6) sin2 45°-6 sin 360° +cos 180° =............... 10 Найти значение выражения sin a - cos 2a - cos 3a + sin 2a при: 1) a = 0; 2) a = £. ► 1)............................................... 2) ..........................................................v......... 1 Знаки синуса, косинуса и тангенса На единичной окружности, изображенной на рисунке, отмече- ны точки К, L, М и N. Заполнить пропуски в предложениях. 1) Положительными являются аб- сциссы точек ....... 2) Отрицательными являются аб- сциссы точек ....... 3) Положительными являются орди- наты точек ........ 4) Отрицательными являются орди- наты точек ........ 5) Абсциссу и ординату одного знака имеют точки ....... 6) Абсциссу и ординату разных знаков имеют точки ...... Дробь — >0 , если и ......... или ........ и — т Л Дробь ~<0, если или ....... и и 84
3 Заполняя пропуски, восстановить определения: 1) Синусом угла а называется .................... полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а, 2) Косинусом угла а называется .......................... 3) Тангенсом угла а называется .......................... 4 Определить знак синуса угла: 1) sin 14° 0, так как 0°<14°<90°; . 5тт .... 5тт 2) sm-g- -..-О, так как ....<-б” <7Г’ 3) sin 192° :**: 0, так как ......<192°<...........; 4) sin(--j) 0, так как ............<...........<..... 5 Определить знак косинуса угла: 1) cosy^:’ :0, так как 2) cos 140° так как 90°<140°<................; ( Зтт\ .... Л 3) cos(—J-) : : 0, так как .........<...........<.... 4) cos 315° 0, так как ...........<...........<..... 6 Определить знак тангенса угла: ч ч х 37Т .... Л 71 37Т 1) : :0, так как 2<~4~ <тг, 2) tg280° так как ...........<..........<....... 3) ctg^ так как ................<...........<......... 4) tg330° так как ...........<..........<....... 7 Знаки чисел cos а и tga совпадают в ...............четверти. 8 Знаки чисел sin а и tga различны в .............. четверти. 9 Определить знаки произведения: 1) sin 100° • sin 25° j’j 0, так как sin 100° >0 и sin 25° >0; 2) sin 250° • tg300° 0, так как sin 250° ;**; 0 и tg300° j’j 0; 85
/57Т UTT .... ^TT .... UTT .... 3) cos -у • tg у О, так как cos -у 0 и tg у 0; .. 4тт / тт\ ;••• 4тг ;••• _ ( тг\ :••• _ 4) cosy cos vyj 0, так как cos-у :..:0 и cos^-yj 10 Определить знак синуса угла: 1) sin 192°0, так как ..................................... 2) sinyy’j 0, так как ..................................... 3) sin (-120°) У \ 0, так как ............................. 4) sin у0, так как ........................................ 11 Определить знак косинуса угла: 1) cos78°: ’:0, так как ................................... 2) cos 100°: 0, так как ................................... 3) cosy-*0, так как ....................................... 4) cos(-y):..:0, так как .................................. 12 Определить знак тангенса или котангенса угла: 2тт . • • • 1) Ч? "у 0, так как ....................................... 2) tg210° -..-О, так как .................................. 3) tgy :.j0, так как ...................................... 4) ctg 80° так как ........................................ 21 Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла ..1..1...4..1...*..4...1...*..4...1..4...»..1..4 1 Записать уравнение окружности радиуса г с центром в начале координат ................ 2 Записать уравнение окружности радиуса 1 с центром в начале координат ................. 86
3 Из равенства х2 + у2=1 выразить: 1) х; 2) у. к 1) х2 =.............; х =................; 2)......................................................................<] 4 Сравнить с нулем sin a, cos а, tga, заполнив пропуски знаком > или <: 1) если 'тт<а<Дг, то sin а 0, cos а :**: 0, tga 0; 2) если 0<а<^-, то sin а 0, cos а 0, tga 0; 3) если Дг<а<2'ТТ, то sin а 0, cos а 0, tga 0; 4) если -^-<а<'7т, то sin а 0, cos а 0, tga 0. 5 Заполнить таблицу: Данное число 2 £ 3 0,5 4 5 1 9 Число, обратное данному V3 ояямшмнвмга1 6 Вычислить cos a, tga, ctga, если sina=-g и -2<а<тт. ► cosa = - /1 ~( |)2 = tga= ГТ ТЭ 4-4- • 3 ЗТГ 7 Вычислить cos a, tga, ctga, если sina = -g и ~2~ <а<2тг. ►.................................................... ..............................................-....4 8 Вычислить sin a, tga, ctga, если cos а = -0,6 и 'n<a<~2~. ►.................................................... 4 9 it 9 Вычислить sin a, cos a, tga, если tga= и 0<а<-2-. 87
10 С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства: п • 12 5 ох • 3 5 1) sin а = уд и cos а = уз ; 2) sma = -y и cos а = -^; 2 \7 3) sina = -l и cosa = 0; 4) sin а = -у и cos а = -у. ► 1)............................................................. 2)............................................................ 3)............................................................ 4) 11 Доказать, что точка М лежит на единичной окружности, и выписать значение синуса и косинуса угла РОМ, где Р(1; 0): 1) ; |); 2) 3) м(-$; 44 4) ). / Vs \2 /1\2 31 1 1) (“2~/ = 1, 4~+4~=1’ 1 = sina= ~2, cosa= .................. 2>(-4)М-Г 3).................................................................... «.................................................... ...................................................1 12 Упростить выражение: 1) (l-sina)(l + sina) =................................... 2) sin4 а + cos4 а + 2 sin2 а cos2 а =.................................. 13 Вычислить sin а, tga, ctg а, если cosa = ^ и -2-<а<2'П’. 14 Вычислить cos а, tg а, ctg а, если sina=^ и -2<а<тт. 88
15 Упростить выражение: 1) (sin а - cos а)* 1 2 3 4- (sin а + cos а)2 =............ 2) sin4 а-cos4 а-sin2 а =.................................. Синус, косинус и тангенс углов а и —а 1 Закончить предложение: «Две точки М и Мг называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая ..... .....................................................». 2 Построить точки, симметричные данным относительно прямой а. а А в а М с 3 Вычислить: 1) 2 sin (-30°) —2 sin 30° —2 •....=....; 2) V3 cos (-30°) =............................................. 3) tg(-30°) =.................................................. 4) ctg(-30°) =................................................. 89
5) 2 cos (- j) - tg (- 4) =........ 6) 4 sin (-^) - 4 cos (-it) =...... 7) cos (-{) • ctg (-j) • sin2 (~f ) = 8) 4 sin (--J) • cos (-j) - tg (-j) + ctg (-^) =.............. 4 Упростить выражение: 1) (l-sin(-a))(l-sina) ....................................... sin2 (-a) - cos2 (-a) ' cos(-a)-sin(-a) ........................................... 5 Решить уравнение: 1) sin (-j) = cos tt; 2) cos (-j) = sin Др ► 1) Ответ. 1) <1 6 Вычислить: 1) sin (-90°)=............................................ 2) cos (-180°)=........................................... 3) tg(-45°) =............................................. 4) ctg (-60°)=............................................ 5) 2 sin (—y") - 6 cos (-j) =............................. 6) 4sin(-^)- tg(-£)=...................................... 7 Упростить выражение: 1) sin (-a) cos (-a) • tg (-a) ........................... 2) ctg (-a) sin a + cos (-a) ............................. 90
26 Формулы приведения ..I...*..4..1...4...1..1....4..4...1...4...4...1.4- Заполнить таблицу: а 0 (0°) тт “б (30°) тт (45°) ТТ 3 (60°) тт ~2 (90°) тт (180°) sin а Уз 2 cos а 1 2 tga V3 2 При повороте точки Р(1; 0) на данный угол Р получается та же самая точка, что и при повороте на угол а. Записать значения угла а, если -360° < а < 360°. 3 390° 780° 330° 660° 840° -600° а 30° 3 С помощью рисунка, заполняя пропуски, найти значения синуса и косинуса 120°. Точка Мг симметрична точке М относительно оси Оу. Ординаты точек М и .........., а абсциссы отличаются только ..... Поэтому sin 120°=........= ........., cos 120°=......... С помощью того же рисунка, изображая соответствующую точку на единичной окружности, найти: 91
4 Вычислить: 1) cos (—135°) = cos 135°=cos(180°-45°):—cos........=........ 2) sin 240° = sin (360° -120°) =............................. 3) sin (-570°)=.............................................. 4) tg(-210°) =............................................... K\ • 517 5) sm -g- —.................................................. 2tt 6) COS -3- =................................................. 15tt 7) tg -3- =.................................................. 8) sin (-^) = -sin = -sin (Зтт - ~) = -sin (it - j) =...... 5 Найти числовое значение выражения: 1) 4 sin (-870°) - tg (-945°) - 3 cos 900° =..................... . 8тт 4tt /г- Utt 2) 4 sm -з-_2 tg -3--V2 cos -j- = 6 Упростить выражение: 1) sin (тт-а) cos (-£--«)-cos (тт-а) sin 2) 1 -sin (бтт-а) sinCa-e^r); 3)1-cos (а-4тт) sin (^--a); cos2 (^-<x) + cos2 (it-a) 4) tg (ir + a) 2) ...................................................................... 3) .................................................................... 4) ................................................................... ......................................................................< 92
7* Решить уравнение: 1) sin(/rr-2x) = 1; 3) sin(j-x) = O; 2) 2 cos (/тт-Зх) = -2; 4) cos (-^-x) = 0. >1) 8 Вычислить: 1) sin 495°= ..:.......................................... 2) cos (-750°)= .......................................... 3) tg(-420°) = ........................................... 4) cos 930°= ............................................. 7tt 5) cos -j- = . 2tt 6) sm -у == 7) tg£- .................................................. 8) cos (-f)= ............................................. 9 Найти числовое значение выражения: 1) 3 tg 930° + sin 1200° - cos 390°= ...........................
v [ глава Прогрессии 27 Числовая последовательность ..I...*..4...I...4...4...I...4..4...1..♦...4..1-----4- 1 Заполнить таблицу: № п/п п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2п 10 2 2п-1 9 3 п2 3 25 2 Дана последовательность четных чисел 2, 4, 6, 2п, 2(и + 1), .... 1) Записать четвертый, седьмой и п-й член этой последовательности: ......9 .......9 ........ 2) Записать номера членов последовательности, равных 6, 18, 2(п + 1): ....., ......., ....... 3 Вычислить первые 3 члена последовательности, которая задана формулой га-го члена: 1) ал=2п + 1, ах=2 1 + 1 =...., а2=2 • 2 + 1 =...., аз=..........; %) а«=п?+з’ =.....’ а2=.........» аз =................... 94
4 Последовательность задана формулой ал=п2Ч-1. Выяснить: 1) номер члена этой последовательности, равного 82, 170; 2) является ли членом последовательности число 24, 37. 1) 82 = и2 + 1, откуда п2 =.... п = ±....... но так как искомый номер nGJV, то п =......; 170 =.......... откуда и2 =.......... и =......; 2) 24 = п2 + 1, откуда и2 = 23, п=±., но так как искомое п — натуральное число, то число 24 не является членом последова- тельности; Ответ. 1) и =...; п =...; 2) не является; ...........\| 5 Найти первые 3 члена последовательности, заданной рекур- рентной формулой: 1) ап + 1 = ап + 5, если ах = -3; 2) а . = 10-За , если а =4; 3) ал+х = cos • ал), если ах = 0. 1) ах=-3, а2 = -3 + 5 =., а3 =....+ 5 =..; 2) ах= 4, а2 = 10 - 3 • 4 =. а3 =.............; 3) а = 0, a2=cos(j- о) =.... а3 =................ 6 Последовательность задана формулой хл = п2-п. 1) Найти одиннадцатый член последовательности. 2) Выяснить, является ли число 16 членом этой последователь- ности. 3) Найти номер члена последовательности, равного 56. 2)....................................................................... 3)....................................................................<1 3)........................................................<1 7 Найти первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой «n + 1="2L и условием ах = 81. 95
Арифметическая прогрессия Заполнить таблицу: п 1 2 3 4 5 6 7 8 а = 2 + Зи п 17 С помощью таблицы найти а2~а1~....9 аз~а2==....9 аб~а5~....9 а8~а7^.... Высказать предположение: ап+1-ал =................. 2 Заполнить таблицу: п 1 2 3 4 5 6 7 8 а = п* 1 2 Л 25 С помощью таблицы найти а2~а1=......’ аз~а2~...9 аб~а5~...9 а8~а7== Высказать предположение о разности последующего и преды- дущего членов последовательности ап = п2: II 3 Назвать первый член и найти разность арифметической про- грессии: 1) 4, 7, 10, 2) -7, -4, -1, .... ► l)at =.........; d =.........; 2) ах =........; d =.........<] 4 Записать первые четыре члена арифметической прогрессии, если: 1) «! = 12; d = -2; 2) ^ = -0,5; d=l,5. 96
►"..................................................................... 2) ................................................... <1 5 Доказать, что последовательность ап =-3(5-и) является ариф- метической прогрессией. ап+1 = -3(5-(п + 1)) = -15 + 3(п + 1)=............................... ап = -3(5-п)=........................................................ ап+1~ап=............................................................. Разность ап+1-ап не зависит от и, поэтому последовательность ап = -3(5-п) ..........................................<] 6 В арифметической прогрессии найти: 1) а21, если 0^ = 13, d = 2; 2) а15, если а1=^, d = -l. ► 1) а21 = 13 + (21-1) • 2=............................................ 2) <| 7 Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии: 1) 3; 10; 17; ...; 2) -5; -8; -11; ...; 3) 1; 3,5; 6; .... ► 1) а1 = 3, а2 = 10, d = a2-a1=............ ал = 3 + (га-1).. 2) а1 =......, а2=..........., d =............................, ап =. 3) .......................................................< 8 Число -15 является членом арифметической прогрессии 3; 1; -1; .... Найти номер этого члена. ► ах = 3, а2=.., откуда d =.....=...... Так как по условию ап = -15, то по формуле ап = а1 + (и-1) • d имеем -15 = 3 + (и-1)*.... Решим относительно п полученное уравнение; Ответ. п = 97
9 Найти разность арифметической прогрессии, если ог = -8, а5 = 4. По формуле общего члена для п = 5 имеем уравнение 4 = -8 + (5-1) • d. Решим это уравнение относительно d: Ответ. d =.....\| 10 Найти первый член арифметической прогрессии, если d = -7, а5 = -28. В формулу общего члена ап =............... подставим га = 5, а5 = -28, d = -7 и получим уравнение относительно аг: ............. = ai +............. Ответ. аг =...... 11* Дана арифметическая прогрессия, в которой ^ = 25, d = -3. При каких значениях п члены этой прогрессии отрицательны? Для данной прогрессии ап =..................... По условию ап<0, когда .............<0. Решим это неравенство относи- тельно и: Ответ. При п........\| 12* Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии, у которой: 1) а4= -18, а6= -12; 2) а3 = 26, а8 = 48. 1) Согласно формуле ап = (п>1), = = ...... Тогда d = а5 - а4 =................. По формуле п-го члена, например, для а4 получим -18 = а1 + 3- откуда =.................... Ответ. ап =....+ (п-1)-...... 2) С помощью формулы n-го члена для а3 и а8 составим систему уравнений: 26 = 0!-+-2d, 48 =....... 98
Решим эту систему относительно а± и d: Ответ, а = п 13 Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии, если: 1) а, =-18, d = 0,2; 2) а6 = -13, d = -2; 3) а1 = 26, а8 = 5; 4) а2= 11, а7= 49. 1)................................................................ 2)....................................................................... 3)....................................................................... 4) Ответ. 1) ......................; 2) ......................; 3)......................; 4).......................4 Сумма п первых членов арифметической прогрессии 1 Найти рациональным способом сумму всех натуральных чисел от 1 до 10. ► 1 + 2+3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (.) + +(......) + (....) = И-.....=.......... 4 99
2 Найти S=l+2+3+4+5+6+7+8+9 рациональным способом. F S= 1 + 2+ 3+4 + 5 + 6+ 7 + 8+ 9 + S= 9 + 8+.+..+...+....+...+..+.... 2S=10+10 +..+....+.....+....+....+...+.... 2S=10 •......... 2S=........ откуда S=......:2, S=........ Ответ. S =....... 3 Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если: 1) ах = 2, ал = 40, п = 30; 2) ^ = -3, ал = -23, п = 20. 1) По формуле iSn = Q1 • п находим *S30 = 2* — • 30 =. 2) S20=.................................................... 4 Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии: 1) -18; -14; -10, если и = 12; 2) 1,5; 5,5; 9,5; ..., если и = 10. ► 1) d = -14-(-18) =....., а12 = -18 + 11-...=................ Q = ~18 +.. . °12 2 ........................................... 2)......................................................... ......................................................< 5 Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена ап = 7п-2. Найти S40. ► ^ = 71-2 =....., а40 =................................ «40=.................................................. Ответ.......... 6* Найти а± и d арифметической прогрессии, если а6 = 53, S6=150. По формуле общего члена арифметической прогрессии 53 = a1 + 5d, откуда 6^ = 53-5с/. По формуле суммы п первых членов арифметической прогрессии 150 = ----- -6. Решим это уравнение относительно d: 100
Так как 53 = а1 + 5- ., то аг =........... Ответ. аг=...., d =.... @ 7 Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если: 1) at = -4, а„ = 18, п=15; 2) а^, d = |, п = 12; 3) at = 42, d = -4, ап=10. ► 1) ................................................... 2) ................................................... 3) 8* Найти ап и d арифметической прогрессии, если = и = 11, 5И = -33? Ответ, а =......, d=....... п * Геометрическая прогрессия 1 Найти частное: 1)|:|=........................; 2)2:(-4)=..................... 3)3:|= ; 4)0,1:100=.................... 5)100:0,1=....................; 6):(-|) = О ' О' ••••••••••••••••••••••• 101
2 Вычислить: 1)(D3=..............; 2)(-|Г=..........; 3)(-|У= 4) 5 • 23=......; 5)(5 -2)3=.....; 6)8-(-|)6 = 7) 210:27 =.....; 8)210:25=........ 3 Вычислить: 1) V81 -....; 2) =.....; 3) V16^25=......... 4 Найти n, если: 1) 25 = 2"; 2) 37 = 3"1; 3) (-2)"= 16; 4) 2"+1 = 32. ► 1) n=.....; 2) .................; 3) .........; 4) .................<| 5 Решить уравнение: 1) x2 = 4; 2) a4=±; 3) x3 = -8. Ответ. 1) ........; 2) ........; 3) .......... 6 Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии: 1) 9; 3; 1; 2) -10; 30; -90; .... 7 Записать первые 4 члена геометрической прогрессии, если: 1) Ь, = 8, д-|; 2) ^ = -3, q—2. ► 1) ^ = 8, Ь2=Ь1-д=...... b3 = b2-q=...... \=......... 2) Ь1 = -3, b=bcq=......, b3 =........ 8 Доказать, что последовательность, заданная формулой п-го члена bn = 6n+1, является геометрической прогрессией. ► b = = b #0, п+1 ’ п ’ Ьп^ 6 ‘...— .....: = 6^ = ° ...... =......— не зависит от п, значит, данная последовательность (по определению) — геометрическая прогрессия, d 102
9 Найти bR, если: 6 1 1) bx = 7, q = —2; 2) Ьг = -3, q=-%. ► 1) По формуле n-го члена геометрической прогрессии Ь6=7(-2)61 =............................................. 2) .....................................................4 10 В геометрической прогрессии b1 = 5, q = 3. Найти номер члена прогрессии, равного 405. ► bn = b1 • qn~\ Если Ьп = 405, Ьг = 5 и д = 3, то нужно решить урав- нение 405 = 5 • 3"~1 относительно п: 405 = 5-З""1, откуда Зп-1 =........, 3П-1 = 3....., п-1 = =........., п =......... Ответ........... 11 Найти знаменатель геометрической прогрессии, если Ь =64, Ь6 = -2. ► По формуле n-го члена геометрической прогрессии получим уравнение -2 = 64 • д6-1. Решим это уравнение относительно q: Ответ. .........\ 12* Найти первый и третий члены геометрической прогрессии с , 2 , 1 положительными членами, если о2 = ^, ^4 = ~8- ► .......................................................... А I. к ? = .........’ fci = b2:9 =.....• Ответ. Ьг =....., Ь3=......... @ 13 Найти седьмой член геометрической прогрессии, если: 1) ^ = 64, 9 = |; 2) ^ = 1, Ь2 = -2. ► 1) ....................................................... 2) ......................................................4 103
14 Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой Ъ=2, 6,-162. ► .......................................................... Ответ........d 31 Сумма п первых членов геометрической прогрессии ^•••1.<•..4...1...4.....1.1..1-..-1..1....4...1...1..4 1 Вычислить: 1) 34 =........... 2) З3 • 32=.........; 3) (33)2 =.....; 4) 1-(з) =..........; 5) 87:85 =.......... 2 Решить уравнение: 1) 2"=16; 2) Зп1 = 27; 3) 2П1 = 1. ► 1)............................................................. 2) ........................................................... 3) ........................................................... Ответ. 1) .........; 2) .........; 3) ......... 3 Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии, если: 1) &!=!» 9 = 3, п = 5; 2) &х = -|, q = -2, п = 6. ► 1)S8 = ^=............................................... 2)S6 = з -2(1-(-2)«)_ 1-("2) Ответ. 1) 2) 104
4 В геометрической прогрессии найти Ьг и Ь5, если q = -2, S5 = 44 По формуле суммы п первых членов геометрической прогрессш о Ml “Я") л л ^(1-(-2)5) S = -J-z---имеем 44 = \ . п \-q 1 —(—2) Решим это уравнение относительно Ьг: По формуле n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn~1 найдем Ь5=......• (-2) =.......... Ответ. Ьх=........ Ь5=.... 5 В геометрической прогрессии найти число ее членов п, еслг известно, что S = -7-^, b =-4, <7 = 4- и 2 1 4 2 ► 1 (1-( По формуле суммы п членов имеем: -7— = -^— . 1-.... Решим это уравнение относительно п: Ответ. п =........ 6 В геометрической прогрессии найти: 1) Ьп, если ^ = 5, gx = 2, Sn = 155; 2) п и q9 если b=-29 b =-486, S =-728. *1) По формуле суммы п первых членов геометрической про- * (1- ") грессии 155 . 1-....... Решим полученное уравнение относительно п: ................................................п =.... По формуле общего члена bn = b1qn~1 найдем b ...=....... 2) Воспользуемся следующей формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии: <Sw = —j"1. Подставив в нее br = -29 bn = -486, Sn = -728, получим уравнение ........................... которое решим относительно q: 105
Зная, что q =........ по формуле общего члена имеем -486= .... л-1 = -2 . Отсюда найдем п: Ответ. 1) Ьп=..., 2) q =..... п =.... 7 Геометрическая прогрессия задана формулой Ъп = -3 -2n + 1. Найти S7. Ьх=....... Ь2=..... отсюда q=.... По формуле суммы п первых членов геометрической прогрес- сии S7=................................................... Ответ. S7=......... 8 Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии 128, 64, 32, ... . ►............................................................ Ответ. ......... d 9 В геометрической прогрессии Ь =-1, Ь2 = 3, Ъп = 243. Найти g, n, S . Ответ, q =.... п =...... S;... =.\| 10 В геометрической прогрессии Ьх = 2, g=4, Sn = 682. Найти п и Ь . п Ответ. 106
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 1 Вычислить: i)(-)‘=........................; 2)з-з=....................... 3) =.....................; 4) (-1)5 =...............; 5) (-2Г =.......................6) (-2) (-2)3 =........... & Наити значение выражения при: 1) и = 2; 2) п = -2. ►..........................................................4 3 Упростить: Кп+1 Кп 1) V=......’ 2) 5^=.....• 4 Сравнить с единицей: 2)|-||гц; 3)|-||nt; 4) 5 Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) -1, 2) 32, 8, 2, .... k 1) Ь1 =...., Ь2 =..., откуда <?=у =.....Так как |......| < 1, то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей; 2)....................................................................... 107
6 Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: ► 1) Ь8 = -1, Ьв= 1; 2) Ь8 = 40, Ь7 = -20; 3) Ь6 = |, Ь10=|. 1) bQ = b3 • q3, откуда g3 = ^ = , а значит, q =... Так как |......| =.....> 1, то рассматриваемая геометрическая прогрессия не является бесконечно убывающей; 2)9 = £ = 3) д4 = -~ = . , откуда д=±....... тогда °б .................. |д| =........ 1. Значит, рассматриваемая геометрическая прогрессия ........... бесконечно убывающей. 7 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес- сии: 1) 6, -1, 2) 100, -20, 4, .... ► 1) =........’Ь2=.................... ’5=Д’ s=................................ 2) Ъ=....... Ь2-...... q-...... 8* Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией последовательность, которая задана формулой: 1)Ьп = -5-3"1; 2)&„ = 2-(|)Л. ► 1) b = -5 • З"-1, b ,. = -5 • З^-^-б • 3., ^- =.=...... г ь n+1 Ьп Так как — число, не зависящее от п, значит, " ь . последовательность — геометрическая ............ Но = = q, q=...... |g|=|...I :...fl, значит, прогрессия .... 2) ».-2-(I)'. 6.tl-........................................ 108
9* Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес- \ 2 3\ 2 сии, если ?=-2", &6=~g~. ► ™ , 3V2 , / V2 V Так как Ьп=Ь1 • qn \ то , отсюда Ьг =............ Тогда по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S =............................................. Ответ............ 10* Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой g=^, a S = 18. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической ь прогрессии 18 = :—2 , откуда Ъх =.......................... 1 з Ответ............ м 11 Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) 25, -5, 1, 2) |, .... ► 1) ............................................................... 2) ............................................................. 12 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес- сии, если: 1) 9=|, ^ = -27; 2)9 = -!,^ = !. ► 1) ....................................................... 2) ...................................................<1
ОГЛАВЛЕНИЕ •I.................I-.................I..................I.................4...................4..................1..................4..................4.................1...................4.................4..................1.....................4- Предисловие..........................................3 Глава I. Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений § 1. Деление многочленов............................4 § 2. Решение алгебраических уравнений...............8 § 3. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим........15 § 4. Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными 20 § 5. Различные способы решения систем уравнений . . 23 § 6. Решение задач с помощью систем уравнений ... 27 Глава II. Степень с рациональным показателем § 7. Степень с целым показателем ..................30 § 8. Арифметический корень натуральной степени ... 34 § 9. Свойства арифметического корня.................— §10. Степень с рациональным показателем............39 §11. Возведение в степень числового неравенства . . . . — Глава III. Степенная функция §12. Область определения функции ..................44 §13. Возрастание и убывание функции................52 §14. Четность и нечетность функции.................58 § 15. Функция У= ~ .............................66 § 16. Неравенства и уравнения, содержащие степень ... 72 110
Глава IV. Элементы тригонометрии § 17. Радианная мера угла.............................77 § 18. Поворот точки вокруг начала координат ..........80 § 19. Определение синуса, косинуса и тангенса угла ... 82 § 20. Знаки синуса, косинуса и тангенса...............84 §21. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла ...............................86 § 23. Синус, косинус, тангенс углов а и -а...........89 § 26. Формулы приведения..............................91 Глава V. Прогрессии §27. Числовая последовательность.....................94 § 28. Арифметическая прогрессия.......................96 § 29. Сумма п первых членов арифметической прогрессии 99 § 30. Геометрическая прогрессия .....................101 §31. Сумма п первых членов геометрической прогрессии 104 § 32. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 107
Учебное издание Колягин Юрий Михайлович Сидоров Юрий Викторович Ткачева Мария Владимировна Федорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА Рабочая тетрадь для 9 класса общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т, А Бурмистрова Редактор Л, Н. Белоновская Младший редактор Н.В. Ноговицина Художник Е. В. Соганова Художественный редактор А. Б. Крикунов Компьютерная графика: И. А. Шалеев Технический редактор Н. А. Киселева Корректор О. Н. Леонова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозитивов 20.04.07. Фор- мат TOXlOOVie- Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,04. Тираж 10000 экз. Заказ № 19031. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфический комбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru