/
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра школьная алгебра 9 класс
ISBN: 978-5-09-017857-0
Год: 2007
Похожие
Текст
Алгебра
Рабочая
тетрадь
___®___
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Алгебра
Рабочая
тетрадь
класса
общеобразовательных
учреждений
Допущено Министерством
образования и науки
Российской Федерации
4-е издание
Москва
•Просвещение-
2007
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
Р13
Авторы : Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева,
Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин
Рабочая тетрадь является частью учебного комплекта по алгебре, включаю-
щего учебник «Алгебра, 9» авторов Ш. А. Алимова и др.
ISBN 978-5-09-017857-0
© Издательство «Просвещение», 2002
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2002
Все права защищены
Предисловие
1....................1....................1................... I....................I....................I...................f.....................I...................I....................I....................•»...................I................ I
Данная рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Ал-
гебра, 9» авторов Ш. А. Алимова и др. Содержание тетради
организовано в соответствии с главами и параграфами этого
учебника.
Тетрадь предназначена в основном для работы учащихся с ее
помощью в классе. Следует иметь в виду, что рабочая тетрадь
не заменяет ни живого слова учителя, ни текста учебника. Она
дополняет и то и другое, расширяя арсенал учебных средств
учащихся и возможности работы учителя.
Структурно материал каждого параграфа тетради расположен
по четырем разделам. После первого раздела, который предназ-
начен для подготовки школьников к изучению нового материала
соответствующего параграфа книги, проведена черта. Эта чер-
та символически обозначает раздел, который не имеет номера,
поскольку после выполнения заданий I раздела учитель при-
ступает к объяснению нового материала так, как он считает
нужным.
Проведя объяснение, учитель работает с учащимися над уп-
ражнениями учебника, при этом ученики записывают решение
традиционно: у доски или в обычной тетради.
Следующий раздел обозначен как второй — это основной раз-
дел в рабочей тетради, он содержит упражнения, дополнитель-
ные к упражнениям учебника. Некоторые из упражнений тет-
ради являются подготовительными к выполнению упражнений
учебника, другие помогают слабым учащимся в усвоении опре-
деленных алгоритмов благодаря увеличению от задания к за-
данию доли самостоятельной работы школьников. Наиболее
трудные упражнения раздела отмечены знаком *.
В последнем разделе, обозначенном цифрой III, приведены тек-
сты упражнений, позволяющих проверить уровень усвоения
материала рассматриваемого параграфа. Учитель может выбо-
рочно использовать их для проверки качества домашней ра-
боты учащихся.
j Алгебраические уравнения.
глава СиСТвМЫ НвЛИНвЙНЫХ
уравнений
Деление многочленов
1 Выполнить деление чисел уголком, результат проверить умно-
жением:
1) 462:14; 2) 1776:37; 3) 1649:17.
► 1) 462:14 =.........
462 114
42 Гз?
2) 1776:37 =
3) 1649:17 =
Записать в виде неправильной дроби число:
1)14|; 2)15|; 3)17^.
ООО
2) 15f=
3) 17{=
О
4
3 Выполнив деление уголком, записать число в виде суммы
целого числа и правильной дроби, результат проверить сло-
жением:
1ч 223 337 п\ 223
Т’ Т’ “пГ
► 1) =.............
_223 19__ о, , 7_216+......................... _
18 [24~ 9 9 ........
43
36
7
337_
г) 8 ..........
ох 223_
16
4 Выполнить деление многочленов уголком, результат проверить
умножением:
1) (Зх3-5х2-6х +8):(Зх2 + х-4); 2) (2х4-х3-7х2+2х + 6):(х2-2).
1)_Зх3-5х2-6х + 8 |3х2 + х-4
Зх3 + х2 - 4х х-2
-6х2-2х + 8
- 6х2.....
(Зх2+х-4)(х-2)=.........
5
2) 2x'*-x3-7x2+2x + 6 x2-2
5 Найти частное и остаток при делении многочленов, результат
проверить по формуле деления:
1) (х3 + 2х2-3):(х2 + 3х); 2) (4х4-6х3 + Зх2+8х):(2х3+4).
► 1) х3 + 2х2-3 |х2 + 3х
х3 + Зх2 х....... ...........................
2) 4х4-6х3 + 3х2+8х 2х3+4
6 Выяснить, при каком значении а многочлен Р(х) делится на-
цело на многочлен Q(x), если:
1) Р(х)=6х3+Зх2+а, Q(x)=2x+1; 2)Р(х)=4х4-4х2+а-3, Q(x)=x2-1.
1) 6х3 + Зх2 + а 2х +1
2) 4х4-4х2+а-3 х2-1
Ответ, а —............... Ответ, а —........ \|
7 Найти такой многочлен Q(x), чтобы при делении многочлена
х3-2х2 + 4х на Q(x) частное было равно х-2 и остаток был ра-
вен х + 6.
По формуле деления х3-2х2 + 4х =........................
откуда ...................................................
Ответ. Q(x) =....................
6
8 Написать формулу деления многочленов:
1) (х3 - Зх2 - 5х +15): (х2 - 5); 2) (2х4 + х2 - 6): (2х2 - 3);
3) (Зх4 + 2х2 -1): (х2 + 2); 4) (2х5 - х3 - х +3): (2х3 - Зх).
1) х3-Зх2-5х+15 I х2-5
Ответ. х3-Зх2-5х +15=...............................
2) 2х4 + х2-6 |2х2-3
Ответ. 2х4 + х2-6=.............................................
3) Зх4 + 2х2-1 х2 + 2
Ответ. Зх4 + 2х2-1=............................................
4) 2х5-х3-х + 3
2х3-Зх
Ответ. 2х5-х3-х + 3 =
7
Решение алгебраических уравнений
1 Решить уравнение:
1) х1 2-4х-12 = 0....................................
2) Зх2 + 5х-2 = 0....................................
3) х4-6х2 + 8 = 0....................................
4) х4-8х2 —9 = 0.....................................
2 Разложить на множители многочлен:
1) х2 + х-12....................................
2) 2х2-7х-4.....................................................................
3) 2х3-5х2-Зх ...................................................................
4) х4+Зх2-4 .......................................
II
3
Найти целые корни многочлена Р(х), если:
1) Р (х) = х4 + х3 - х2 + х-2;
2) Р(х) = х4-2х3-2х2-2х-3;
3) Р(х)=х4 + х3-4х2-2х + 4.
1) Р(х) = х4 + х3-х2 + х-2.
Делителями числа -2 являются числа 1, -1, 2, -2, прове-
ряем: Р(1) = 0, Р(-1) = -4#=0, Р(2) = 2ОУ:О, Р(-2)=0.
Ответ. х, = 1, х2=-2.
8
2) .........................................................................
3) .................................................
Ответ...............................................
4 Используя результат упражнения 3, разложить на множители
многочлен Р(х), если:
1) Р(х) = х4 + х3-х2 + х-2;
2) Р(х) = х4-2х3-2х2-2х-3; 3) Р(х) = х4 + х3-4х2-2х + 4.
1) Многочлен Р(х) = х4 + х3-х2 + х-2 делится нацело на
многочлен (х-1)(х +2) = х2 + х-2, так как его целыми
корнями являются числа 1 и -2 (см. упражнение 3).
х4 + х3 - х2 + х - 2 х2+ х-2
х4+х3-2х2 х2 + 1
х2+х-2
х2+х-2
-О
Ответ. Р(х) = (х-1)(х + 2)(х2 + 1).
2) Разделим Р(х) на многочлен.......................
х4-2х3-2х2-2х-3|.......
Ответ. Р(х)= ...............................................
3) Разделим Р(х) на многочлен..............................
х4 + х3 - 4х2 - 2х + 41....
Находим корни уравнения ...................................
Ответ. Р(х) =..............................................
9
5 Решить уравнение Р(х) = О, если:
1) Р(х) = х3 + Зх2-6х-8; 2) Р(х) = х4+ х3 - 10х2-4х +24.
► 1) Находим целый корень: Р(1)= ........=# О, Р(-1) = 0, откуда
х1 = -1.
Разделим Р(х) на x-xt:
х3 + Зх2-6х-8 .............
Решая квадратное уравнение ...................., получим
Ответ, х,=-1, х,=......, х=......
1 Z о
2) Находим два целых корня: Р(1) =......#=0, Р(-1) =..,
Р(2) =...., Р(-2) =..., откуда хх =..., х2 =......
Сведем решение уравнения Р(х) = О к решению квадратного
уравнения делением Р(х) на многочлен (x-xj (х-х2) =.......:
х4 + х3 - 10х2 - 4х + 24 ....
Решая квадратное уравнение ..................., получим
Х3,4 =........’ Х3 = Х1 ~..9 Х4 =.....
Ответ. хх =..., х2=...., х3=.....
6 Найти действительные корни уравнения Р(х) = 0, если:
1) Р(х) = х3-х2-х-2; 2) Р(х) = х4-х3 + х2 + х-2.
1) Находим целый корень: Р(1) =......., Р(-1) =.., Р(2) =
=...., откуда хх =.... Выполняем деление Р(х) на х-хх:
10
х3 - х2 - х - 2 ........
Уравнение.................действительных корней не имеет.
Ответ. х=.....
2) Находим два целых корня: Р(1) =......., Р(-1) =......
хх =..., х2 =...... Выполняем деление Р(х) на многочлен
(х-хх)(х-х2)-.............
х4-х3 + х2 + х-2 ......
Уравнение.................действительных корней не имеет.
Ответ. хх 2 =......
Р(х}
7 Сократить дробь —— если:
<?(*)
1) P(x) = xs-x + 6, Q(x) = xs-3x2 + 5x-3;
2) Р(х) = х3-4х2 + 4х-3, Q(x) = x4-2x3 + x-2.
► 1) Находим целый корень числителя:
Р(1) =......, Р(-1) =..., Р(2) =..., Р(~2) =..., хх =...
Выполняем деление Р(х) на х-х^.
Xs-х +6 ........
Р(х) =...........................................
11
Находим целый корень знаменателя: Q(l) =...., хг =
Выполняем деление Q(x) на х-хг:
х3 - Зх2 + 5х - 31...
<?(*) =......................................
Р(Х) =_______________________________________
<?(*)
2) Находим целый корень числителя: Р(1) =......., Р(-1) =....
Р(3)=....., хх =.....
Выполняем деление Р(х) на х-хх:
х3 - 4х2 + 4х - 3 I...
Р(*) =..................................................
Находим два целых корня знаменателя: Q(l) =......, Q(-l) =
=....., Q(2) =..., Xj =.., x2 =..... Выполняем деление
Q(x) на многочлен (х-хх) (х-х2) =..................=....
х4 - 2х3 + х - 21....
12
Q(x)=..........................................
P(x) ==
Q(X)
8 Разложить на множители многочлен Р(х) и найти его дейст-
вительные корни, если:
1) Р(х) = х3-2х-4; 2) Р(х) = х4-х3 + х2-3х-6.
1) Находим целый корень: Р(1) =., Р(-1) =...,
Р(2) = , хг — ; разделим Р(х) на х-хх = :
х3-2х-4|........
Уравнение..................не имеет действительных корней.
Ответ: Р(х) =................. х =....
2) Находим два целых корня: Р(1) =........ Р(-1) =......
Р(2) =..., хх =... х2 =...; разделим Р(х) на многочлен
(х — хх)(х — х2) —...............:
х4-х3 + х2-3х-6 |......
Уравнение ................ не имеет действительных корней.
Ответ. Р(х) =......................... , хх =......
*2 =.....4
9 Решить уравнение Р(л:) = О, если:
1) Р(х) = х3-6х2+11х-6; 2) Р(х) = х4 + х3-7х2-13х-6.
13
1) Находим целый корень: Р(1) =. хх =
на х-х1 =....:
х3 - 6х2 +11х - 6 ..
; разделим Р(х)
Решая уравнение.................. получим х2 = ...
хз =....
Ответ. хх =.. х2 =.. х3 =....
2) Находим два целых корня: Р(1) =..... Р(-1)=..,
Р(2) =.... Р(-2) =.. хх =... х2 =...; разделим
Р(х) на многочлен (х-хх)(х-х2) =...................:
х4 + х3-7х2-13х-6 |............
Решая уравнение ........................... находим
X =..... или X =.....
Ответ. хх =... х2 =..., х3 =....
14
Уравнения, сводящиеся
к алгебраическим
Свести к квадратному и решить уравнение:
1) х(2х + 7) = 2(х+1)-х2; 2) х(Зх-7)+1 = 2(х2-3) + х.
► 1)
2>
Ответ.
<1
Решить уравнение:
+ - =
— О, Сл) I-----------
х + 3 х-2 х(х-1) х х-1
1 ) Умножив уравнение на общий знаменатель дробей, равный
(х + 3)(х-2), получим ....................................
При найденных значениях х знаменатели исходного уравнения
не обращаются в нуль.
Ответ. хх =...... х2 =...
2 ) Умножим уравнение на общий знаменатель дробей..........
получим ..................................................
При хх =..... знаменатели двух дробей исходного уравнения
равны нулю, при х2 =..... знаменатели дробей не равны нулю.
Ответ. х =.....
15
3 Свести к алгебраическому и найти действительные корни урав-
нения:
1) (х-1) (х2-2) = 5-х(2х-1);
2) х2(х2 + 3) = 6 + х(1-3х2).
► 1)
Разложим левую часть полученного уравнения на множители
способом группировки: ...................................
2)
Находим целые корни получен-
ного уравнения, обозначив Р(х) его левую часть, и проверяем:
Р(1) =................................, P(-D =., Р(2) =.,.Р(-2) =., х1 =.,
Х2 =......
Разделим Р(х) на многочлен (х - xj (х - х2) =..............
х4 + Зх3 +3х2 - х - 61.........
Уравнение............................. не имеет действитель-
ных корней.
Ответ. хх=....., х2 =....
4 Найти действительные корни возвратного уравнения:
1) х4-Зх3 + 2х2-Зх + 1 = 0;
2) х4 + х3-4х2-х+1 = 0.
16
1) х = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение
можно разделить на х2, получив х2-Зх + 2-^ + ^г =0.
Сделаем замену x+i=£, тогда x2+~=t2-2, (x2+p0“3(x+
+i)+2=0, f2-2-3f+2 = 0, f2-3f = 0; x+^=0 или x+^ = 3.
Уравнение x+y=0, не имеет действительных корней, урав-
1 3±V9-4
нение х+-^ = 3, х2-Зх+1 = 0 имеет корни хХ2 = 2 •
лч з±7б
Ответ, х, =—п—.
1,л
2) х = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение
можно разделить на х2, получив ...........................
Сделаем замену x--^=Z, тогда .............................
Ответ. хХ2 =................., х34=..................N
5 Решить уравнение:
п *2 I х - 2(*+1) . х3 х2 _ х2-з
2х-3 х-2 (х-2)(2х-3) 9 х-3 х-1 (х-3)(х-1) *
k 1) Умножим уравнение на общий знаменатель (х-2)(2х-3)
дробей, получим ............................................
Находим целый корень полученного уравнения, в правой части
которого записан 0, обозначив Р(х) его левую часть:
Р(1) =...., P(-D=......., Р(2) =...., Р(-2) =...., хх=.....
Разделим Р(х) на х-хх:
х3-5х-2 ..........
Решая уравнение х2-2х-1 = 0, находим х23= ........... При
найденных значениях х знаменатели исходного уравнения не
равны нулю.
Ответ. хх= ...., х2 3= ......
Т^нгщные пол^и сообщества
17
2) Умножим уравнение на общий знаменатель ...............
дробей: ..................................... Решим получен-
ное уравнение, разложив его левую часть на множители спосо-
бом группировки:
При х= ...... знаменатели двух дробей исходного уравнения
равны нулю, т. е. х = ... — посторонний корень.
Ответ. хх= .... х2 3= ....d
6 Решить уравнение:
1) х2(х + 2) + 2 = 2х(х + 1) + Зх; 2) х2(х2-3) +2х = 2х(2х +1)-12.
► 1).........................................................
Преобразовав уравнение ....................... находим целый
корень, обозначив Р(х) его левую часть (правая часть равна 0):
Р(1) = .... Р(-1)= ....... Р(2)= ...... хх= ... Разделим
Р(х) на х-хг:
х3-5х + 2 ..........
Находим корни квадратного уравнения .......................;
х2,з= ..........
Ответ. хх = ...... х23= ....
2) ..........................................................
Решим полученное уравнение разложением его левой части на
множители способом группировки: х4-3х2-....................=
Ответ. х12= ....... х3 4= .. <1
18
7 Решить рациональное уравнение:
1)^L+_A_=______________11____.
' 1-х х+2 (1-х)(х + 2) ’
х3 х2 _ х2-3
х+3 х+1 “ (х+3)(х+1) *
1) Умножим уравнение на общий знаменатель..................
дробей, получим ............................................
Находим целый корень полученного уравнения, обозначив Р(х)
его левую часть: Р(1) =...., Р(-1) =...., хх=.....
Разделим Р(х) на х-х^.
х3+2х2-5х-6 .............
Решим уравнение ..................., получим .............
................................ При найденных значениях
х знаменатели дробей исходного уравнения не равны нулю.
Ответ. хх =.... х2 =..., х3 =.....
2) Умножим уравнение на общий знаменатель дробей, ........
получим ......................................
Решим полученное уравнение, разложив его левую часть на
множители способом группировки: ..........................
При х =. знаме-
натели двух дробей исходного уравнения равны нулю, т. е.
х =....................................................... — посторонний корень.
Ответ. хх =...., х23 =.....
8 Найти действительные корни возвратного уравнения
х4 + Зх3+2х2+Зх+1 = 0.
19
Разделив уравнение на х2#=0, получим ..................
Сделаем замену x + ± = t, тогда х2+^= ...................
откуда ........, t2== ...Уравнение ..............не име-
ет действительных корней, уравнение ....................
.... имеет корни ...................
Ответ. х12 =
Системы нелинейных уравнений
с двумя неизвестными
1
Выразить у через х из равенства:
1) 2x+3i/ = 4; 2) 6x2-xi/-i/2 = 0.
2 Решить систему уравнений (х+7г/+19 = 0,
I-4х + Зг/+17=0.
(х+7г/+19 = 0, I • 4
|-4х + Зг/+17 = 0 I
......................... откуда у —.... Подставляя
это значение в первое уравнение исходной системы, получим
х+7-(.....)+19=0, откуда х =..............
Ответ. х =.... у —.....м
20
3
Решить способом подстановки систему уравнений:
1) (ху=8, 2) (х+у=0, 3) (2х2-у2=2,
\х-у=2; 12х2-3ху +у2=54; 1х+у=7.
1) Из второго уравнения системы, выразив у через х,
получим у=х-2. Далее х (х-2) = 8; х2-2х-8 = 0, хх = 4,
У1 = 2, х2 = -2, j/2 = -4.
Ответ. (4; 2), (-2; -4).
2) Из первого уравнения, выразив у через х, получим у =..
............................’ .....«! =......, Ух =...
*2 =....’ У2=.....
Ответ.........................
3) i/= ......, 2х2- ....... = 2, ...............,
....> =.....’ х2=....’ у2=...•
Ответ.........................
4
Способом сложения решить систему уравнений:
1) fx+y-3xy=7, 2) tx + 2y-4xy=5,
I2x-y+3xy=-l; 12х+у-4xy=S;
x2+z/2 = 5,
xz/ = -2;
4) (4x2 + z/2 = 8,
|xi/=2.
1) Складывая уравнения системы, находим Зх=6, откуда
х=2. При этом значении х из первого уравнения
находим у: 2+у-6у=7, 5i/=-5, у=-1.
Ответ. (2; -1).
2) Вычитая из первого уравнения второе, получим ...... ,
откуда у =....... Подставляя это выражение для у в первое
уравнение системы, получим .............................
Ответ.........................
21
3) Прибавляя к первому уравнению второе, умноженное на 2,
получим (x + i/)2=... откуда i/=.или i/=.. Подставляя
эти выражения для у во второе уравнение системы, находим
=....> ...> х2=.... У2=.....’ *з=.. г/3 =
хА =......... у А =.....
4 » г?4
Ответ..............................
4) Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 4, получим
Ответ.
5 Решить систему уравнений:
1) [ху = -2,
12х + у = 0;
3) 1х2+у2 = 10,
l*y = 3;
2) I х2-у2=5,
I х-2у=7;
4) fх - 2у + Зху = -16,
12х-у -Зху = 4.
1)
ХГ...’ У i=
«2=.....’ У 2=...
2) ....................................................................
Ответ.............................
3) Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 2,
получим ................... Если у—........ то из второго
уравнения системы ..................... хг=...... уг=...,
х2=...., у2=....; если у=....., то .....................
Ответ....................................................
22
4) В результате сложения уравнений системы получим ...,
откуда i/= ...... Подставляя во второе уравнение вместо у
его выражение через х, получим ..........................
........, откуда.........................................
Ответ.............................. \1
Различные способы решения
систем уравнений
г—J..4 4....1..4...4...1.4
1...................4
1 Выяснить, какая из пар чисел (3; 2), (3; -2), (-3; -2) являет-
ся решением системы уравнений
(x3-2i/2=19,
12x2-i/3 + 3xi/ = 8.
Ответ.......... \|
2 Разделить уравнение 8x3-i/3=6 на уравнение 2x-z/=3.
Ответ......................
3 При хФ2у упростить уравнение — --^-= 2у~х
х &у о
4 Выразить у через х из равенства 2i/2+7xi/-4x2=0.
►................................................................
Ответ. .............. или .................
и—тмив»1
23
5
Решить систему уравнений:
1) /х+у=2,
|xj/=-8;
3) 12х2+ 5ху + у2=4,
\х2+ 5ху + у2=4;
2) (х+у=6,
U+M;
\ х у 5’
4) Iу3+2ху-4х+4=0,
(х-у=1.
1) По теореме, обратной теореме Виета, искомые числа явля-
ются корнями уравнения г2-2г-8 = О,
z12=1±V1+8, ^=4, z2—2.
Ответ. (4; -2), (-2; 4).
2) Так как х#=0, уф 0, то из второго уравнения, используя
первое, получаем ................. По теореме, обратной
теореме Виета: ................... Ответ...................
3) Вычитая из первого уравнения второе, находим х= .....,
при этом значении х из первого уравнения находим i/= .....
Ответ...................
4) Из второго уравнения находим х = ........, подставляя
которое в первое уравнение получаем ......................
откуда у = ....., i/2 3= ., х = ..., х2 3==
Ответ.
6 Найти действительные решения системы уравнений:
1) (2х2+3ху-2у2=3, 2) (2х-у=2,
(х’+Зх^-^-З;
3) (х3-у3 = 7, 4) | х3-4у2+6ху+5=0,
\х2+ху + у2=7; (x-i/ = l.
1) Вычитая из первого уравнения второе, получаем у=± ....
При у=....... из первого уравнения системы находим х12=
=....., i/12=.... Если у=...., то первое уравнение системы
не имеет действительных корней.
Ответ............................
24
2) При х#0, i/#0 из второго уравнения системы получаем .
Ответ. Действительных решений ......
3)
Подставляя найденное выражение у через х во второе уравнение
системы, получаем .......................................
Ответ..............................
4) Выразим из второго уравнения у через х, получим .......
и подставим в первое уравнение ..........................
Обозначив Р(х) левую часть полученного уравнения, найдем
его целые корни: Р(1)=........, Р(-1)=....... хх=......
Разделим Р(х) на х-хх:
Уравнение ....................... не имеет действительных
корней.
Ответ...................
7 Решить систему уравнений:
1) (Vx+Vi/==5,
2x+2Vxl/+i/==34;
1) Вычтем из второ]
2) [х~2у=2,
1) Вычтем из второго уравнения первое, возведенное в квадрат
(учитывая, что х>0, i/>0):
х =
Ответ.
25
X IX
2) Из второго уравнения следует, что Обозначим =^,
тогда ............................ ......... t2= ... Если
^1=...... то х=........ и из первого уравнения системы
находим ................ уг=........ хх=..; если t2=.......
то ................................. У2=......, Х2=.....
Ответ............................d
8 Решить систему уравнений:
1)1х-2у=1,
2у х ~ 6 ’
2)
2х+у
2х-у ~а’
ху=1.
1)
2) ......................................................................
Ответ.
9 Найти действительные решения системы уравнений:
1) (х2-4у=3, 2) 1хгу-х3у—6,
(х2у=1; \у-ху=6.
Ответ.
26
| Решение задач с помощью
систем уравнений
...*..»..।...*..•»..।..*...*...।..*..*...।..*
6
1 Записать формулой предложение:
1) удвоенное произведение чисел а и b больше их суммы на
единицу ....................
2) сумма кубов чисел х и у в три раза больше их суммы .
2 Составить систему уравнений по условиям задачи:
1) Разность произведения чисел ху и числа х равна нулю,
сумма этого произведения и числа у равна 4:
2) Сумма натуральных чисел х и у равна 4, а сумма обратных
4
к ним чисел равна j:
3 Решить систему уравнений, полученную в задании 2.
....., ....., х2=....... г/2 =.....
2)
«1=........ S/1=....’ «2=.....’ У 2 =...4
4 Бассейн может наполняться водой из двух кранов. Если пер-
вый кран будет открыт в течение 10 мин, а второй — в тече-
ние 20 мин, то бассейн будет наполнен целиком. Если первый
кран будет открыт в течение 5 мин, а второй — в течение
з
15 мин, то заполнится бассейна. Сколько времени нужно для
наполнения бассейна каждым краном в отдельности?
27
Решение. Введем обозначения: v — объем................ х —
часть v, заполняемая первым краном за 1 мин, у —...........
V V
...................... тогда -=........... -=...........
Л у
По условию задачи
Из этой системы нужно найти — и — . Вычитая из первого
X у
уравнения, умноженного на 3, второе, умноженное на 4,
находим ...............................................
.......................Вычитая из первого уравнения второе,
умноженное на 2, находим ..............................
Ответ....... мин.
5 Расстояние между пристанями А и В по берегу реки равно 60 км.
Катер на один рейс от А до В и обратно тратит 5 ч. На путь
от А до В по течению реки катер тратит на 1 ч меньше, чем
от В до А. Найти собственную скорость катера и скорость тече-
ния реки.
к Решение. Пусть х км/ч — собственная...........................
у км/ч —........................ тогда время движения
катера по течению............. а против течения.........
По условию задачи составим систему
Складывая уравнения, получим..............................
а вычитая из первого уравнения второе, получим..........
Из новой системы ..............
находим ..... i/ =.......
Ответ........ км/ч, ..... км/ч.
28
6 Сумма двух чисел равна 5, а произведение этих чисел на 5
больше их разности. Найти эти числа.
Решение. Пусть х, у — ..................... По условию
задачи составим систему fx+i/=5,
(xi/ = x-i/ + 5,
решим ее способом подстановки: .............................
Ответ..................... N
7 Один катет прямоугольного треугольника на 2 см больше
другого, гипотенуза треугольника равна 10 см. Найти катеты.
Решение. Пусть х, у — катеты, х>у. По условию задачи
и теореме Пифагора составим систему ..................
которую решим способом подстановки: ...........................
.............................................. Так как i/>0, то
.....> * =.......
Ответ............................ М
II Степень с рациональным
1 глава показателем
7
Степень с целым показателем
-4..<....*..।..1...*..।...
1 Вычислить:
1) 33= .....; 2) (-7)3= .....; 3) 105 6 * *= .
«({)’-......: 6)(4У-.........; «МГ-...........
7) (-г|)4= .....; 8) (0,1)6= ....; 9) 1101= ......
10) 010= ......
2 Заполнить пропуски:
1) если х=7, то х4= ........ (-х)4 = .... -х4= ....
2) если х=5, то х3= ....., (-х)3= ....., -х3= ....
3) если х=-3, то х4 = .... (-х)4= ....... -х4= ....
4) если х=-3, то х3= ..... (-х)3= ....... -х3= ....
3 Сравнить с нулем:
1) (0,01)43 Г/: 0; 2) (-0,1)43 Г.‘: 0.
4 Сравнить с единицей:
1) (3,07)101 □ 1; 2) (0,307)101 Г: 1.
5 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенство было верным:
1) 2 =8; 2) 3 = 81; 3) (-4) =256; 4) (-5) =-125.
6 Сравнить числа, заполнив пустые клетки знаками >, < или =:
i>(4)W= 2>( :;)Ч Ц ;:у\
3) (If □ (I)2; 4) <-°’2)3 (“°»1)2-
30
7 Записать в стандартном виде числа:
1) 3451,2=3,4512 • 10 ; 2) 423,7= ...............;
3) 0,021 = 2,1 • 10 ; 4) 0,0055= ................
8 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенства были верными:
1) х5 • х = х18; 2) х17:х = х4;
3) (х5) = х35; 4) х • у =(ху)6.
9 Вписать в скобки делители так, чтобы выполнялось равенство
х14 15 16:(..................)х2:(.......)=3х12.
10 В клетки над стрелками вписать знаки арифметических
действий, которые приведут к данному результату:
a2 a3:-d> а4—а9.
11 Вписать пропущенный одночлен стандартного вида:
1) • (2х2у3) = 8х4у5;
2) (ja5m2n) .............= -авт2п3.
12 Записать в пустых клетках числа так, чтобы равенства были
верными:
.... з
1) Зх y2z • ху х5^7^1;
2) ^а6& с &с3)=-а2&3с;
3) (тп и) • (-•| тп2и)3= тп12п8.
13 Записать в виде степени с натуральным показателем:
7^_ .... 2 34»2 /И
1) 713 — , 2)* 2,бб —•
14 Записать в пустые клетки показатели степени так, чтобы
равенство было верным:
1) 2 ; 2) = 3'5; 3) ^2; 4) ^ = 3\
15 Даны числа
161; 0,Г2; 0,001~3; 1,3~2; (j)*; 2"7; l.OOOl1; 75°.
Подчеркнуть те из них, которые меньше 1.
16 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенство было верным:
1)^=3х'3У ; 2) (а+5) = =?;
3) ^+^-=:;:=-3+у-2; 4)уА=о Г: Л .
31
17 Заполнить пропуски в формулировке и доказательстве свойства
степени:
Для любого а и любых................................. пит
справедливо равенство
• Пусть п и т — целые отрицательные числа. Тогда
, где I и k ........................ числа. По определению
степени............................................ верно.
ап:ат = а ' \ а )*.
Применяя свойство степени с натуральным показателем для I
и k, получаем (—) :(^) =(~J..., что по определению степени
k-i
с ............................ равно =а т, так как т =
= -k, . Следовательно, верно равенство ап:ат = ап т. О
18 Записать в виде степени результат выполнения действий,
заполняя пропуски:
1) 59:52-5"4=59-2+(-4) =53;
2) 7-2 • 73: 7"8 = =7 ;
3) 212: 25- 2"7 = = 2 ;
4) (43) 2-43==4 .43 = 4:::::::“::- == 4 ;
5) (7 6)-3:7-7 = 7<-6) J::::::::::::::::::::::: = 7 .
19 Заполняя пропуски, выполнить действия и записать результат
в стандартном виде:
1) 4,32 • 104 • 2,1 • 10 3= ......... • 10;
2) 7,32 • 104 • 3,1 • 10"8 = . ...... 10 = ................;
3) 12,3 • 10"7:3 • 10"3= ......... • 10 ;
4) 1,05 • 10 3:3 • 10 7= ..........• 10 = ...................
20 Заполняя пропуски, выполнить действия:
1) (3<г2)3 (|4) 2=33 а -|-=33- -а =3 а =4г;
/а“3\~2 d ...
2) :(а3£“2)~3 =—qo-:(a-9-t> ) = а Ъ :(а 9-Ь ) = ае~ =
= a b ;
3) (х2</-4)-3:(^) =х у :^~=х у : (х у ) = х у =:..............
32
21 Вычислить:
1) 5 3:(1) 2- 625 = 5~3:52 • 54 = 5-3 2+4 = 51 = |;
2) ((-18)5)5: ((-18)-4)6- 3 2(-18)™j(-18) ; -(jf = (-18)-™™™™-
~й) =(-18Г -й) =-□-□= ............;
3) (83) 4 • (Й)3) 3: (64) !=8 • 8 : П »-8==-8 7 = ..
22 Упростить выражение:
1) (2х+3х~1)(3х—2х !) + 6х-2;
2) (хг-у^х '+у-'у1; 3) .
► 1) (2х + Зх1)(Зх-2х1) + 6х-2 = ...................=
2) (x-i+jri)-i-(
(Х2-У2)'(........
3) (i/-2-x-2)-1 = (
(ху) 2= .........
, (х-у)’2=
Ответ. 1)
; 2)
; з)
III
23
Вычислить:
1) 102=
3) (82)6 • (83)4 + (|) =
4) 2,75 • IO 7 • 6 • 10 3: (1,5 • 10 4) =
24
Сравнить с единицей:
2) 2,745 • 10 4
ангин
33
25 Выполнить действия:
1)(
2,5а-2\-1
Ь3с* )
2) (х2у 2-4у 2)-(|] 2=.................................................
Арифметический корень натуральной степени
..I...•».I..+.•»...I..f...I..I..+•..I.
Свойства арифметического корня
9
1 Найти длину стороны а квадрата, если дана его площадь S:
1) S = 36 см2, а=... см; 2) S=121 см2, а=.......... см;
3) S = 0,04 дм2, а=... дм; 4) 5=17 м2, а=.......... м.
2 Заполнить пропуски в определении арифметического квадратно-
го корня из числа а.
Определение. Арифметическим квадратным корнем из чис-
ла а называется .................. число, .............
которого равен .....
Краткая запись определения:
\а ...., (Va)2=.....
3 Проверить, верно ли равенство:
1) V81 = 9; 2) V144=-12; 3) V^9 = 0,3.
1) V81 = 9, 9= ...., 92= ....................
2) у[14А-—12, -12 .. ... (-12)2 = ......, ............;
3) VO/) = 0,3, 0,3 ..., (0,3)2 = ....., ............. <|
4 Вычислить:
1) V16=....; 2) \100=...; 3) Vl,21 =..; 4) VO,0004=......
5 Выяснить, при каких значениях а имеет смысл выражение:
1) V3a; 2) Va-2; 3) 'Га.
34
1) \г3а имеет смысл при За ......., т.е. при ........;
2) Va - 2 имеет смысл при ......>0, т.е. при .......;
3) \г^-а ..... при ........., т.е. при ...........
6 Проверить справедливость неравенств:
1) 5 <\/31< 6; 2) 7 <V61< 8.
► 1) S-V~ e = V~, V77< '.31< V~;
........................................................... <1
7 Вычислить:
1) (\/3+l)(l-V3)2-2\/3=(V3+l)(.......)-2V/3=..................
2) (18-3 V2)2 + 108\2 =.................................;
3) V53-2V5®+(5+V5)2 =.....................................
8 Упростить выражение (a>0, &>0):
1) V8a3&2:V2a&2=.............................................
............................................................9
2) V50a3-V2a3=...............................................
9 Сравнить числа:
1) 5V6 и 6V5; 2) V17 и 3'3.
к 1) 5V/6=V.........=.......... 6V5=V.......=...........
......... , значит, 5V6 6V5;
2) 3V3=...................., значит, V17 3V3.
10 Сократить дробь:
a-vV
7-a2
11 Упростить выражение (x - ^)^/~2_1QX_t_25 > заполняя пропуски:
1) при x>5; 2) при x<5.
► (x-S)- / 1 = (x-5)-
V(......) ...........
1
1) При x>5 имеем |.........|=......, т.е. (x-5)--------- ;
2) при x<5 имеем |.........|=........, т.е.
Ответ. 1) 1; 2) -1.
35
12 Заполнить таблицу:
1) X 0 1 8 27 64 125 216
з<— Vx 2
2) X 0 1 16 81 256 625 1296
4,— NX 4
13 Заполнить пропуски в определении арифметического корня на-
туральной степени.
Определение. Арифметическим корнем натуральной степе-
ни п ..... из ............ числа а называется неотрица-
тельное число, п-я степень которого ..........
Если а >0, то (7а)п =....... ...........
14 Доказать, что ^0,008=0,2.
Так как >0 и 3=............ то ................
15 Вычислить:
1) 2) ^5; 3) 4) V(1000).
1) \43=4\'24=2;
2) \'8=V 3 =...;
3) ............;
4) \(-1000)=\ 3 = -V :":3=....<j
16 Решить уравнение:
1) x3 = 125; 2) x4 — 10000; 3) xs=~; 4) x4 = -16.
1) x3 = 125, x=V125, x = 3V53, x = 5;
4 I----
2) x4 = 10000, x4=V......= V j;;:4, x =
5
3) x5=-^, X5 = \
4/-
4) x4 = -16, V.
-W—Ш7, x
<0, следовательно,
36
17 Закончить фразу.
1) Выражение Vx-2 имеет смысл при ....................
3---
2) Выражение У х-2 имеет смысл при ...................
3) Выражение \z3+x имеет смысл при ...................
4) Выражение Ух+5 имеет смысл при ..................
5) Выражение Vx2-6x+9 имеет смысл при ..............
6)* Выражение \4х-х2-10 ............................
18 Вычислить, используя свойства арифметического корня:
1) V25-V5=3V25 • 5=3V53 =5;
4 I---------------
2) \18-72 = V2-.....-9-.......= VLi4- :..;4=.....
Можно вычислить другим способом:
V644 (4/25)’2=\/642+ V...= : \642'2 + V25:----”j = ' \64 +
+ =..............+.......=......;
6) - vui =V.............-V........=......-.......=.......
Можно вычислить другим способом:
VV81 -VV64 = \£1- V64=V3 -V2 = 3-2 = 1.
19* Заполняя пропуски, разложить на множители по формулам со-
кращенного умножения:
1) •)•(.•);
2) а + Ь — (\^а+Уь)(.-УаЬ+ ...........);
3) Va-2Vab + v£=( ,)2.
37
20*
Сократить дробь:
1) 2) Va-2\'aF+Vfc
\u-\b
1)
2)
.....................................................................4
21
Вычислить:
1) V625=..........................
2) ^-216=
22 Решить уравнение:
1) х4 = 625, х=.............................., х=..;
2) х3 = -27, х=.................................... х=........
23 Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение:
в,--- 5,—---
1) V3-x; 2) Vx2-3.
38
о
Степень с рациональным показателем
....4..4..1..4...4.1...4..4..1..4..1.1
Возведение в степень числового неравенства
1 Вычислить:
1) 4V0,0625=fc:"j4=.....;
2) V-343—Vj””*J3=.......;
3) V3«=\/((3) )»=....=.....
2 Закончить фразу.
1) Выражение ап, где п — любое натуральное число, имеет
смысл при ...............
2) Выражение ар, где р — отрицательное число, имеет смысл
при .............
3) Выражение 0р имеет смысл при .
3 Выполнить умножение неравенств:
х 3<5
17<19
2) 7<10
Х\ —
*3<5
3<5
4) а>Ь
х
а >Ь
х
а >Ь
а>Ь , где а>0, &>0.
4
Выполнить действия:
1) 3-3 -37-(|)°+V3z=.........................................
21 Д~3Ь2 . Уа* 5 * ; Е2-. .о =
' Ь3а а..... ь - .......................
39
5 Записать в виде степени с рациональным показателем:
1) Va=......; 2)
4) \/р=.......
6 Записать в виде корня из степени с целым показателем:
1) а* =.....; 2) Ь~Л=.......;
3) (Зх)’* =.....; 4) (х-2)* =.........
7 Заполнить таблицу, используя равенство xv==Vx"*, где х>0:
т X п 3 2 Х~5 _ 1 X Ъ 1 Х8 X0’2
^Г2 Ух2
8 Закончить фразу.
1) Выражение а-", где имеет смысл при .............
2) Выражение где ^<0, имеет смысл при .............
3) Выражение аг, где г — любое рациональное число, имеет
смысл при ........
9 Вычислить:
1) 16*=V16=......; 2) 27* =V27=.....;
3)* 27’ = V :”:2= V(LJ3 *)2=..=.....;
4)* 32°-6 = 32з =VTF= V( i"’:5)3=..=....;
5)* 81-°-75 = 81’«-....=........=.......=......
10 Заполнить пропуски в записи свойств степени с любым действи-
тельным показателем.
Для любых..........и...........верны равенства:
1) ар • aq=.........; 2) ар:ад=...........
3)...........= ард; 4)...........=арЬд;
5)(f)'=.............
40
11 С помощью свойств записать в виде степени:
1) Зз -З’ =3’+з =31=3;
2) б’:5 « =.................................... ;
3) (б^)'3 = ^::;::":::::"“:= =..................;
4) ЗУ .8<».8 = ЗУ - яр * =..........;
5) 33^-272^=32^F"== =3l." _.........
12 Разложить на множители:
1) а‘-а^ = от(.......);
2) а1-&1 = (....-......)(......+.....).
13 Сравнить числа:
1) (J)3 и (|)3; 2) (7,01)4 и (7,ОН)4;
3) (|)з и (|)з; 4) fa),21 и fa),31.
► 1) Так как , то (f)’C (j)’;
2) так как 7,017,011, то......................;
3) так как g =„ , у=..... и , то (у)7;
4) так как fa),21 = (0,21)° , fa),31 =(0,31) : и 0,21:3 0,31, то
fah2iO
14 Заполнить пропуски в записи правила возведения в степень не-
равенства.
Если обе части неравенства....................., то при воз-
ведении его в положительную степень знак неравенства
................... , а при возведении в..................
степень знак неравенства меняется.........................
15 Сравнить числа:
1) (0,44)~2 и (0,45)“2; 2) (И)3 и (15)~3;
3) (2,45)’3 и (2,47)’2; 4) (|) » и (f)’fa
1) Так как 0,44 <0,45 и -2<0, то (0,44)~2>(0,45)-2;
2) так как 11;.J15 и -3:\‘:...... то (И)3;..:(15)“3;
3) так как 2,45:**: 2,47, . то..................;
4) так как у = , и -ji’.J. , то
16 Решить уравнение:
1) 4Х=64; 2) 22х=8»; 3) 32х=27<; 4) 5Х1 = 25.
1) 4Х = 64, 4Х = 4 -i, х =.;
2) 22х = 8’, 22х = (;";)’. 22х=.. 2х =.... х =..;
3) 32х=27<, 32х = (:";)<, ...............................
4) 5Х"1 = 25, 5Х1=:":2, ..... х =.....
Ответ. 1) х = 3; 2) х = 0,6; 3) х=|; 4) х = 3. 4
О
17* Упростить выражение:
2)4Л-4Л.
а п а2+Ь2 х2~у2 х2+у2
Ь 1)-*-+-#_ =----------ъ-----+-^-т- =
F а о а2 + Ь2 ( \ а2 + Ь2
(а++ЬЩ....../
2) 4=4-^
Х2~у2
х2+у2
18 Решить неравенство
(x2 + 2)i>(2x2+l)4
Так как х2 + 2;..;0, то и (х2 + 2)^
Так как 2х2 + 1 j :‘ :0, то и (2х2+1)^ j’jO-
Возведем обе части неравенства (х2 + 2)^ > (2х2+1)^ с положи-
тельной левой и правой частями в ......................степень.
По свойству 1 (§ 11)
Х2 + 2 : ‘:2х2+1, ...................... d
42
19 Вычислить:
1) 32+ =...........................;
2) 64“+=...........................;
3) 81< =...........................
20 Сравнить числа:
1) (0,48)+ и (0,048)+; 2) (2,3) + и (2,4) +.
1) Так как ........................................... то
2) Так как .............................................. то
..............................4
21 Решить уравнение:
1) 52х = 125; 2) 4х"2 = 64.
k 1) 52х=....., ..............................;
2) 4х"2 =...................................
Ответ. 1) х=........; 2) х=...........
глава Степенная функция
12
Область определения функции
..I-..I...I...I..I...4...I...I...»..1...1...4..1..4
1 Найти числовое значение каждого из алгебраических выраже-
ний при заданном значении а и заполнить таблицу:
а -2 -1 0 1 1,5 2 3
х2-1
Vx2-1
1 х2-1 00 I м не сущ. -1 не сущ. 4 5 JL 3 1 8
V'x2-!
.......................................................4
2 Функция задана формулой г/(х) = 3х +1. Найти:
1) 1/(0); 2) i/(-3); 3) значения х, при которых i/(x) = 0,5, i/(x) = -3.
► 1) у(0) =...............;
2) у(-3) =........................;
3) 0,5 =...................., -3 =.....................
3 Функция задана формулой i/ = x2-2x-3.
1) Найти значения х, при которых функция принимает положи-
тельные значения.
2) Найти наименьшее значение функции.
44
Ответ. 1) ....................; 2) ...........
Найти:
1) 1/(1), у(-1), 1/(0), у(2{);
2) наибольшее значение функции;
3) два значения х, при которых функция не определена;
4) значениях, при которых i/(x)<0.
Ответ. 1)..................; 2).....; 3)......; 4)..........
5 На каком из рисунков изображен график функции?
Ответ. На рисунке ....
45
6 Закончить фразу.
1) Выражение 0,Зх + 0,7 имеет смысл при ...........
2) Выражение Зх2-х + 1 имеет смысл при ............
3) Выражение имеет смысл при ......................
4) Выражение Vx-1 имеет смысл при .................
5) Выражение Vl-x имеет смысл при .................
6) Выражение х 2 +1 имеет смысл при ........
7 Закончить фразу.
1) График функции i/ = x2 + 2 получается из графика функции
у = х2 сдвигом вдоль ....................................
2) График функции у = 2х2-1 получается из графика функции
у = 2х2 сдвигом вдоль ...................................
3) График функции у = (х-2)2 получается из графика функции
i/ = x2 сдвигом вдоль....................................
4) График функции i/ = (x+l)2-2 получается из графика функ-
ции i/ = x2 сдвигом вдоль ................................
а затем вдоль ...........................................
8* На рисунке изображен график функции у = ах2 + Ьх + с. Задать
эту функцию формулой.
Ответ, а) ..........; б)
............; в)................
46
9
Заполняя пропуски, найти область определения функции:
1) у = Зх2 + 2х-1; 2)</=^-; 3) у = \£+3; 4) у^Хх^.
1) Выражение Зх2 + 2х-1 имеет смысл при .............
поэтому функция i/ = 3x2 + 2x-l определена при ............
2) Выражение , п
’ х2-1 ................ при ........О, т.е,
при ........ поэтому областью определения функции г/=-^у
являются .............................. кроме .........
3) Выражение Vx + 3 ............. при ...............
поэтому функция i/ = Vx+3 определена при .....
4) Выражение V'x-S ..................................
.............. поэтому .............................
10 Записать область определения функции, заданной графически.
47
Ответ, а) ..........................................;
б) ; в) ..........; г) ..........
д)............................................
11 Задать формулой функцию, график которой изображен на ри-
сунке, и найти ее область определения.
а) Так как графиком функции является прямая, проходящая
через точки (...) и (....), то формула имеет вид у =....
Подставим координаты точки А в формулу у =...., получим
........, откуда k = Функция задана формулой у =....
и определена при ......................................
б) Так как вершина параболы у = ах2 + Ъх + с лежит на оси Оуу то
....... Точки А(,...) и В( ) принадлежат графику
функции, поэтому 2 = а :..:2 + & +1 и 2 = а • 2 + & *+с.
Получим систему ..............
Решим систему ..................
и определена при ...
Таким образом, а =...., & =.....
Функция задана формулой................
48
12 Построить график функции y = f(x), если эта функция определе-
на на отрезке [-1; 2]:
1) у = 2х2;
13
Найти область определения функции:
1) —?rl--
' х2 + Зх - 4 ’
2) Н==
7 У vx+2
Ответ. 1)...................... ; 2).......................
14* Изобразить (на с. 50) эскиз графика функции y = f(x), у которой
область определения:
1) [-3; 3]; 2) х>2.
15 Построить (на с. 50) график функции:
l)i/ = |x| + 2; 2) г/ = 2-Н; 3) у = \х-2\.
* 1) Построим график функции i/ = |x|, затем осуществим его сдвиг
вдоль ..................................................
2) Построим график функции i/ = -|x| и осуществим его сдвиг
вдоль ...................................................
3) Построим график функции i/ = |x| и осуществим.........
49
i
50
@
16 Найти область определения функции:
1) ^4’ 2) У = ^2-2х-
►.................................................
Ответ. 1)............................
2)
17 Построить график функции у = \х + 3|.
18* Построить график функции
2-х2 при х <-1,
при -1<х<1,
при х>1.
Уп
51
Возрастание и убывание функции
2
В пустые клетки вписать необходимый по смыслу знак > или < :
1) 271i";2,l71, так как 0D.2:J2,l и 7177 0;
2) так как и
' 4 ' \ о/ Л О Zi
3) 72“4 5Е7 71,9 4, так как 727771,9:7=0 и -4Ё7О;
4) (0,3)’ *77(0,33) *, так как 0770,3770,33 и -|77о.
Закончить фразу.
1) Областью определения функции у = х2 является множество
2) Областью определения функции */==~2 является множество
3) Областью определения функции i/ = Vx является множество
4) Областью определения функции z/ = Vx является множество
3 Сравнить с нулем разность выражений За + 7 и ЗЬ + 7, если а<Ь.
(За + 7)-(ЗЬ + 7) =...........................................
4 Доказать, что 2х2 + 3> 2у2 + 3, если х>у>0.
► (2х2 + 3)-(2у2 + 3) =.....................................
..................., так как ............................,
следовательно, 2х2 + 3:..: 2у2 + 3.
5 С помощью графика, изображенного на рисунке, записать
промежутки, на которых функция возрастает (убывает).
52
II
Заполнить таблицу.
Функция г/=х у=х2 У=х3 1 1 У~ X2 у=^1х
Показатель степени аргумента -1
Область определения функции х=#0
Заполнить пропуски в записи определения возрастающей на
промежутке функции.
Функция у(х) называется возрастающей на промежутке, если
............. значению аргумента соответствует .............
значение функции, т. е. для любых хг и х2, принадлежащих
............................................................, из неравенства . следует неравенство
_ 1 -
8 Даны функции у = х, у = х3, у = х4, у = х~5, у = х2, у = х 3.
Подчеркнуть одной чертой те из них, которые возрастают на
промежутке х>0, и двумя чертами те, которые убывают на
промежутке х>0.
53
9 Доказать, что функция z/ = x4 убывет на промежутке х^О.
Пусть х2 : L: 0. Покажем, что i/(x2) ; J i/(x1).
Рассмотрим разность i/(x2)-r/(x1) = x4-x4 = ..............................
Так как ..................... то ....................... ,
следовательно, у(х2)-у(хг) 0 и функция является убываю-
щей.
10 На эскизе графика написать соответствующую ему формулу,
задающую функцию на промежутке х>0:
1
1) i/==x5, у = х4, у = х3;
11 Доказать, что функция i/ = x2-4x убывает на промежутке
х<2.
Пусть х2 хг •. ; 2. Покажем, что у(х2) ’ у(хг).
Рассмотрим разность..........................
54
12 Построить график функции:
1) y = Vx+2; 2) y = Vx+2; 3) y = Vx-l-2; 4) y = 2Vx.
1) Построим график функции у = Vx, предварительно заполнив
таблицу:
X 9 4 1 4 1 9 0
У=^х 1 2
Осуществим сдвиг графика вдоль ......................
2) Построим график функции i/ = Vx, затем осуществим сдвиг
его вдоль.....................................
3) Построим график функции y = Vx и осуществим сначала
его сдвиг вдоль
......................., а затем вдоль .....
55
13
4) Построим график функции у = Vx и осуществим растяжение
графика функции у = Vx от оси ...... вдоль оси ....... в
2 раза. \|
С помощью графиков, построенных в предыдущем задании,
заполнить таблицу:
Функция Область определения Область значений Промежутки возрастания (убывания)
i/=Vx~+2
i/=Vx+2 X s=“2 х>-2
j/=Vx-l-2
14*
15
Построить график и найти промежутки возрастания и убывания функции 2х2, если х=^0, у = Vx, если 0 < х < 1, 2-х2, если х^ 1. Ответ. У1
0 X
Изобразить эскиз графика некоторой функции y = f(x), которая является возраста- ющей при х^-1, х^З и убывающей при -1 х 3. У1 1
0 X
56
16 Нарисовать эскиз графика функции на промежутке
х>Ои записать, возрастает или убывает функция, если
1
Ответ.....................
17 На рисунке изображен гра-
фик функции i/ = /(x). Запи-
сать промежутки, на кото-
рых функция:
1) принимает положитель-
ные значения;
2) принимает отрицательные
значения;
3) возрастает;
4) убывает.
57
5)* Найти область определения функции. Какие значения прини-
мает функция?
Ответ.....................................................
1)
2)
3)
4)
5)
18* Доказать, что функция у = х6-1 возрастает на промежутке
х>0.
►
4
Четность и нечетность функции
14
1 Вычислить:
1) (4Г-8?+(0,75)°= ..................................
58
2 Заполнить таблицу:
X У=1х1 У=х2 У=х 2 У=х3 У=х~3 У=х4
-3 -27
-2,5 -15,625
-2 -8
-1 -1
-0,5 -0,125
0 0
0,5 0,125
1 1
2 8
2,5 15,625
3 27
3 На рисунке изображена часть графика функции y = f(x).
Изобразить другую часть графика, если известно, что она:
1) симметрична данной относительно оси ординат;
2) симметрична данной относительно начала координат.
4 Дана точка А(-3; 7). Записать координаты точек В, С и D, если:
1) точка В симметрична точке А относительно оси Ох;
2) точка С симметрична точке А относительно оси Оу;
3) точка D симметрична точке А относительно начала координат.
Ответ. 1) В(..........); 2) С(.........); 3) В(.........).
59
5 Даны функции:
1) г/ = х2-х4; 2) i/ = x + x3; 3) i/ = x + x2.
Сравнить значения каждой из этих функций при х = 2 и х = -2.
► 1) У(2)=.................., у(-2) =...................
2) у(2)=................... у(-2) =..................
3) у(2)=................... у(-2) =..................
Ответ. 1) у(2) :":у(-2); 2) у(2) ^y(-2)-, 3) у(2) ^у(~2). <]
6 Даны функции:
у(х) = х2, y(x) = x~s, у(х) = х3, у(х) = х6,
у(х) = х~6, у(х) = х5, у(х) = ]/х, y(x) — Vx.
Подчеркнуть те из них, для которых выполняется равенство
i/(-x) = i/(x).
7 Заполнить пропуски в доказательстве того, что функция
i/(x) = 2x2+^4 является четной.
Область определения функции:........... Для всех х -..-О у(~х) =
= 2 (.....)2+ ........=............ т. е. верно равенство
i/(-x)=............для любого х из ..........................
Следовательно функция является ...........
8 Заполнить пропуски в доказательстве того, что функция г/(х) =
= —+ 3х3 является нечетной.
Ь Область определения функции: .........Для всех х#0 у(~х) =
...+ 3 ........=.......................... т. е. верно равенст-
во 1/(-х)=.......для любого X
Следовательно, функция является
9 Найти область определения и выяснить, является четной или
нечетной функция:
13/—
1) i/ = 3x2; 2) i/ = x3+l; 3) i/ = 2x"4; 4)* i/ = ^Vx.
► 1) i/(x)=3x2. Область определения функции: ...............
............... i/(-x) = 3 ........ таким образом, у(х) =
60
..... для любого X из
Следо-
вательно, функция..............................................
2) г/(х) = х3 +1. Область определения функции: ..........
3) г/(х) = 2х4. Область определения функции: ............
1 з f~~
4) У(х)=2 Ух. Область определения функции: .....................
....................................................4
10 На рисунке изображены графики функций. Под каждым из
них подписать, является ли функция, заданная данным гра-
фиком, четной, нечетной или не является ни четной, ни не-
четной.
61
11 Функция у(х) является четной. Найти:
1) у(-2), 3i/(—2), если i/(2) = 7;
2) i/(7), i/(7)-1, если у(~7) = 1.
Ответ. 1) у (-2)=............, 3i/(-2) =.........;
2) i/(7) =..........; i/(7)-l =..............
12 Функция у(х) является нечетной. Найти:
1) */(-3), если 1/(3) = |;
2) i/(10), если i/(-10)=-l.
Ответ. 1) г/(-3) =..........; 2) ...................
13 На рисунке изображена часть графика четной функции у(х)
для х^О. Достроить график функции для х<0.
14 На рисунке изображена часть графика нечетной функции
у(х) для х^О. Достроить график функции для х<0.
62
15 Построить график функции:
1)у = х3 + 1; 2)у = (х-1)3; 3) у = х4-2;
4)у = (х + 1)4; 5) у = 2х3; 6) у=у.
1) Построим график функции у = х3. Функция у = х3 нечетная.
X 0 1 2 1 2
У=х?
Далее осуществим его сдвиг вдоль ......................
2) Построим график функции i/ = x3. Осуществим его сдвиг вдоль
3) Построим график функции i/ = x4. Функция у = х4 ..
X 0 _1 2 1 2
У=х4
Осуществим сдвиг ....................................
63
4) Построим график функ-
ции i/ = x4. Осуществим сдвиг
У1
5) Построим график функ-
ции г/ = х3. Осуществим рас-
тяжение ...............
6) Построим график функ-
ции i/ = x3. Осуществим сжа-
тие ...................
16
С помощью построенных в предыдущей задаче графиков функ-
ций заполнить таблицу:
Функция Область определе- ния Область значений Промежутки Четность, нечет- ность
возрастания убывания
у=х3+1
У = (х-1)3
II 1 Все действ, числа W 1 ьэ х > 0 х =s 0 четная
У=(х+1)4
II
64
17 Исследовать функцию i/ = x2 + 3|x|-4 и построить ее график.
1) Область определения......................................
2) У = (-х)=....1........... , т. е. </==(—х) =............
Следовательно, функция является...........
3) При х<0 |х|=....... , тогда при х<0 у=..................
Построим часть графика этой функции, лежащую в левой
полуплоскости.
Построим с помощью симметрии часть графика для х>0.^
18 Изобразить эскиз графика функции
1) </ = х6; 2) z/ = x7; 3)* z/ = Vx.
19 Доказать, что функция
1) i/(x) = 2x2-|x| является четной;
2) i/(x) = x3-Vx является нечетной;
3) j/ = x2 + x3 + l не является ни нечетной, ни четной.
Колягин
65
| Функция y=
4...........4...........1...........4..........4...........1..........4
1 Заполнить таблицу:
Функция у=х4+1 б У=Х y=Vx2-l
Область определения х =# 0
2 Заполнить пропуски в доказательстве того, что функция у = "
является возрастающей при х>0.
Пусть х1>х2>0. Покажем, что у(хг) . у(х2).
Рассмотрим разность...................................
3 Изобразить эскиз графика функции, у которой областью оп-
ределения являются все действительные числа, кроме 0, и при
х>0 функция возрастает.
66
4 Доказать, что функция i/ = — является нечетной.
► г/(х) = 7» у(-х)= ................. для .............. из
области определения. \|
5 Заполнить таблицу, предварительно вычислив значение k для
k
функции 1/ = -:
X 0,3 0,5 3 4 1,5 2 2— Z3 СО|’* СО 4,5
II Н 1 9 7
► 9 k
у=~т, откуда .................................
2з
6 На рисунке изображен график функции 1/ = -—при х>0.
Достроить график этой функции при х<0 и записать:
1) область определения функции:..........................
2) значения, которые может принимать функция:............
3) промежутки возрастания (убывания) функции:............
67
7 В одной системе координат построить графики функций у = х2
2 - 2 2 П
и 1/ = — и выяснить, сколько корней имеет уравнение дг-—= 0.
Ответ.............................
8
На рисунке изображены гра-
фики функций
Л 2 I L I
i/ = — и i/ = ax2 + &x + c.
Обвести красным каранда-
шом ту часть графика функ-
k
ции У==~^9 для точек которой
выполняется неравенство
k
—<ах2 + Ьх + с.
68
9
В одной системе координат построить (на с. 68) графики
3 х
функций i/ = —иг/ = ^и найти значения х, при которых выпол-
3 х
няется неравенство —>3;.
Ответ.............................
10 На рисунке изображен график функции у = —. Нарисовать
ЭСКИЗЫ графиков функций i/ = Vx, i/ = Vx, i/ = x3, i/ = x4 и выяс-
нить, сколько корней имеет уравнение:
1) |=V£; 2) 3) |=х3; 4)
69
11 Построить график функции:
1)у=|+2; 2) 3)у=|-1; 4)у = ^-.
1) Построим график функции у=^, затем осуществим его
2) Построим график функции г/ = —, затем осуществим его
сдвиг вдоль ....................................
2
3) Построим график функции i/ =—.
X 4 2 1 1 2 J. 4
II Н | to
Осуществим его сдвиг вдоль ..........................
70
4) Построим график функции г/ = —. Осуществим его сдвиг
вдоль ..............................................
12 С помощью построенных в предыдущем задании графиков
функций заполнить таблицу:
Функция Область определения Область значений Промежутки
возрастания убывания
см + II
У х+2 х * -2 у # 0 — х<-2, х>~2
II Н 1 ND 1
2
13 На эскизе графика функции написать формулу функции, кото-
рой соответствует этот график:
71
Неравенства и уравнения,
Т содержащие степень
......*...*...।..*..*...•...*
16
1 Вычислить:
1) V625“=................4
3) ^216 =...............:
5) ^3^= .................4
Даны графики функций
у = а и i/=x2n, neN.
Обвести другим цветом точки
той части графика функции
i/=x2n и той части оси Ох,
для которой выполняется не-
равенство
х2п < а.
3 Даны графики функций
у = а и y=x2k+1, keN.
Обвести другим цветом точки
той части графика функции
у = x2k +1 и той части оси Ох,
которых выполняется не-
равенство
x2k +1 > а.
2) V625 =...............
4) VT=..................
72
4 Упростить:
1) V(x-5)3 при х>5; 2) V(2-x)2 при х>2.
► l)3V(x-5)3=...............................
2) V(2-x)2 =..........................<]
5 Найти значения х, при которых выполняется равенство:
1) Vx=3; 2) Vx=8; 3) Vx=O,5.
6 Решить неравенство:
1)х7<128; 2) х3э=216.
► 1) х7<128, 128 = 27, х7<27.
Функция у = х7 определена и .............при всех ........
.............., следовательно, если х7 <..., то х<......
2) х3э=216, 216= ........
Ответ. 1) .............; 2) ............. N
7 Решить неравенство:
1) х6^64; 2) х4>10 ООО.
► 1) хв SS64, 64= :Д6, хб« .......
Функция у = х6 убывает при ............и возрастает при ..,
х6 = 2в, хг ....., х2 ....., х6<64 при .......
2) х4>10 ООО, 10 000= 4, х4..........
Функция г/ = х4 убывает при .......... и возрастает при ....
........., х4=....., хх=....., х2=........, х4>10 000 при
73
8 Проверить, является ли число х корнем уравнения:
1) Vx - 1 = 3, если х = 10; 2) Vx2-3 = 1, если х = -2;
3) Vx- l = V3x4-5, если х = -3; 4) Vx2-13 = l-x, если х = 7.
► 1).........................................................
2)........................................................
3)........................................................
4)
9 Решить уравнение:
1) V3x+1 = 4; 2) Vx+T=7;
3) Vx+5"=V3x4-15; 4) Vx2-2x4-l = 2x-4.
1) V3x + 1 = 4, (V3x+1)2 = 42, 3x+1 = 16, 3x=15, x=5.
2) Vx + 1 = 7, .........................................................
3) Vx + 5*=V3x4-15, (.......)2 = (......)2, ..............
Проверка. При x =...........
Vx4-5 =.......................................................
V3x4-15 =.....................................................
74
4) Vx2-2x + l = 2х-4, (.........)2 = (..........)2,
Проверка. Пусть х =......, тогда Vx2-2х +1 = V9-6 +1 =
= V4 = 2, 2х-4 =........
Пусть х=......., тогда Vx2- 2х +1 =....................
2х-4 =..................................................
Ответ. 1) .......; 2) ......; 3) .......; 4) ........
10
►
11*
►
С помощью эскиза графика функции i/ = (x + l)3 решить нера
венство (х+1)3>1. ।
У Л I
Построим график функции /
i/ = x3 и осуществим его сдвиг /
Построим график функции
у =.... и найдем абсциссу
точки пересечения двух гра-
фиков. Это .........
Ответ...............
Решить неравенство \х-2 < 3
рацию решения.
Функция i/ = Vx-2 определена
при .......... и принимает
неотрицательные значения,
в правой части неравенства
3^0.
Возведем обе части неравен-
ства в ........., получим ....
..............., откуда ...
Следовательно, решение нера-
венства ...................
и сделать графическую иллюст-
75
12 Решить уравнение:
1) Vx + 5"=3; 2) Vx^T^V^x; 3) <2х2+5х-3 = х+1.
Ответ. 1) ............; 2) ............; 3)
13* Решить неравенство
у!2-х<х
с помощью изображенных на
рисунке графиков.
Ответ...............
глава Элементы тригонометрии
Радианная мера угла
17
1 Заполнить пропуски в предложениях.
1) За единицу измерения углов принимают..........
2) Развернутый угол содержит............
3) Градус — это угол, равный..... части развернутого угла.
4) Прямой угол содержит..... градусов.
5) Бесконечные десятичные непериодические дроби называют
числами.
6) Число тт................. число.
7) Число 77 с точностью до 0,01 равно.....
8) Угол с вершиной в центре окружности называется ее ...
.................... углом.
9) Длина окружности радиуса R равна.......
Длина окружности единичного радиуса равна.....
Длина полуокружности единичного радиуса равна......
Длина четверти окружности единичного радиуса равна....
2 На числовой оси даны точки А и В. Записать координаты этих
точек: А (.......), В (....).
Отметить на числовой оси точки C(V2),
1 4 11
2 1 1 '1 _1_
ЧЧ
3 Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
х) 5О==з^)’5 рад=..рад; 2) 18°=.........рад=......рад;
3) 54° =................;4) 135° =.................
4 Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:
. ч 77 / 180 7Г \О 7Г ( 180 \о
1) 18 рад = (— • id =.; 2)2орад = (— •...) =...;
3) у рад =................; 4) 2,5 рад =............
5 Сравнить числа, заполняя пропуск знаком < или >:
1) f Г.7: о,в; 2) f Г: 1,1; 3) -2; 4) -^7; -0,9.
6 Радиус окружности равен 36 см. Найти периметр сектора, дуга
которого стягивает центральный угол
в -д радиана. / X
► /
Длина дуги АВ равна ............. /
О<^
Периметр сектора равен .......... \ у В
...................< V......
7 Вычислить радиус окружности, если ее дуга длиной 7,2 см
стягивает центральный угол в 3,6 радиана.
Так как l = aR, то В =...
При 1 = 7,2 см и а = 3,6 рад R =
8 Дуга кругового сектора стягивает угол в 0,64 радиана. Найти
площадь сектора, если радиус круга равен 2,5 дм.
Так как 8 = -%- а, то S =..............................\
9 Радиус круга равен 16 см, а площадь кругового сектора равна
512 см2. Найти радианную меру угла, который стягивается ду-
гой этого кругового сектора.
► ™ „К2
Так как 8 = -?--а, то а =..
При S = 512 см2 и Я=16 см а = ..........................
78
10 В равнобедренном треугольнике угол при вершине в три раза
больше угла при основании. Найти углы треугольника и
выразить их в радианной мере.
к Углы треугольника относятся как числа 3:1:1. Тогда угол при
основании равен ....:5 =...; угол при вершине равен ...
36 =...........рад =....рад; 108 =.....................
Ответ.....................\|
11* Заполнить таблицу:
Угол (в град.) 60° 45°
Угол (в рад.) 7Т 4 4
Радиус (в см) 3 4 6 8
Длина дуги (в см) 1 3 8
Площадь сектора (в см2) 2 тг 32 50 16
12* Окружность морского компаса делится на 32 равные части,
называемые румбами. Выразить румб:
1) в градусах и минутах; 2) в радианах (с точностью до 0,001).
► 1)
2) 11° 15' = 11,25°=
13 Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
1)10°=..................; 2)36°=..................;
3)80°=..................; 4)120°=...................
14 Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:
1) 0,5лрад=.............; 2) рад=.................;
7
3) 0,55 рад =............; 4) 12 РаД=..............•
15 Дуга окружности радиуса 3 см стягивает угол в 1,5 радиана.
Найти длину этой дуги и площадь сектора, ограниченного ею.
79
Ответ. Z=.......... , S=.........
Поворот точки вокруг
начала координат
В упражнениях 1—4 заполнить пропуски с помощью рисунка.
На координатной плоскости построена
окружность F, центр которой совпада-
ет с началом координат, а радиус ра-
вен 1. На окружности отмечены точки
А, В, С и D. Координаты этих точек
таковы:
A(.
), B(.
C(.
), D(.
Вся окружность F совершила полови-
ну оборота:
1) по часовой стрелке; 2) против часовой стрелки.
В первом случае координаты точек А, В, С, D стали такими:
....;......), В(.
Во втором случае:
), C(.
), D(.
A(.
), B(.
), C(.
), D(.
1
2
3
Точка А переместилась по окружности F сначала на четверть
ее оборота против часовой стрелки, а затем на половину
оборота по часовой стрелке. Ее координаты стали сначала
), а затем (.
4
Точка В переместилась по окружности F на угол тт радиан
против часовой стрелки, а затем на угол радиан по часовой
стрелке. Ее координаты стали (...;.....).
80
5
На единичной окружности отметить
точки А, В, С, D, полученные пово-
ротом точки Р(1; 0) соответственно
на угол:
1) Ь 2)
3)-^ + 2тг; 4)^-2л.
6 Точка М единичной окружности получена поворотом точки
Р(1; 0) на угол а. Заполнить таблицу:
Угол а Зтт 2 _ S'71 2 7тт 900° -450° 5тт ~2~ 45° -45°
Координаты точки М (-1;0)
7 Точка М единичной окружности получена поворотом точки
Р(1; 0) на угол а. Заполнить таблицу:
Угол а 150° 315° — 77 3 _3тт 4 420° 1&Г 6 3,5 2,9
Четверть, в которой расположена точка М I
8 Колесо автомашины делает за две секунды 6 оборотов. За одну
секунду оно повернется на угол ..................
9* За 1 ч 30 мин часовая стрелка описывает угол, равный ......
или ........ радиан, а минутная — угол, равный ......
или ....... радиан.
@
10 Записать координаты точки М, полученной поворотом точки
Р(1; 0) на угол:
1)а=180°, М(..........); 2) а = 2тт, М(.......);
3) а = 450°, М(.......); 4) а = М(..........).
81
11 Точка М единичной окружности получена поворотом точки
Р(1; 0) на угол а. Заполнить таблицу:
Угол а 182° -300° тт 9 4тт З" 480° _ 13тт 6 1,4 5,2
Четверть, в которой расположена точкаМ IV
Определение синуса,
косинуса и тангенса угла
1 Подчеркнуть числа, которые являются абсциссами точек еди-
ничной окружности:
0,7; I; -1; 1; 1,4; -2,1; 0; -1.
о О
2 Подчеркнуть числа, которые являются ординатами точек еди-
ничной окружности:
0; 0,5; -0,43; 1,001; 8; -1; 1.
3 На рисунке изображен треугольник АВС, в котором АВ = 1, zACB= 90°, АВАС = 30°. Заполнить пропуски: ВС= sin 30° = ^<зо° АС = cos 30° = А 4 Точка М получена поворотом точки у Р(1; 0) на угол 30°, а точка — на угол (-30°). Заполнить пропуски: / 1) Абсцисса точки М равна , / а ордината равна 1 2) Абсцисса точки равна , \ а ордината равна в с с <хУзо° У(1;0) /М1
82
5 Вычислить:
1) sin30°-2ctg45° =.....-2 • .......=....................
2) 2 cos 4 sin тт =......................................
3) 2cos0° + 3sin270o + 4tgl80° =.........................
4) tg2^-sin2iT + 2sin^-ctgy=.............................
6 Найти значение выражения
sin (a + 45°)+ 2 sin (a - 45°) + 4 cos 2a + 2 cos (a +135°) при:
1) a = 45°; 2) a= -45°; 3) a= -135°.
1) sin....+ 2 sin....+ 4 cos...+ 2 cos....=...............
7 Выяснить, верно ли неравенство:
1) siny + sin^-cos^-< 1; 2) 3sin90°-V3 ctg60° + cos 180° >0.
► . IT . . IT TT
1) sm g- + sin gr-cos-g =.....................................
2) ...........................................................
Ответ. 1) Неравенство ..........; 2) неравенство ..........
8* Заполнить таблицу:
A Наибольшее значение A Наименьшее значение A
3 + sina
-4 —cosa
Вычислить:
1) cos90°-sin90°=................................................
2) 4cos'7r + 3ctg^-=.............................................
. тт тт . Зтт
3) tg“3 • COS-g • sin~2~ =.......................................
4) tg 45° • sin 60° • ctg 60° =..................................
83
5) 0,7 tg'n —3 ctg+4 cos =.......................
6) sin2 45°-6 sin 360° +cos 180° =...............
10 Найти значение выражения sin a - cos 2a - cos 3a + sin 2a при:
1) a = 0; 2) a = £.
► 1)...............................................
2) ..........................................................v......... 1
Знаки синуса, косинуса
и тангенса
На единичной окружности, изображенной на рисунке, отмече-
ны точки К, L, М и N. Заполнить пропуски в предложениях.
1) Положительными являются аб-
сциссы точек .......
2) Отрицательными являются аб-
сциссы точек .......
3) Положительными являются орди-
наты точек ........
4) Отрицательными являются орди-
наты точек ........
5) Абсциссу и ординату одного знака имеют точки .......
6) Абсциссу и ординату разных знаков имеют точки ......
Дробь — >0 , если
и ......... или ........ и
— т Л
Дробь ~<0, если
или ....... и
и
84
3 Заполняя пропуски, восстановить определения:
1) Синусом угла а называется .................... полученной
поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а,
2) Косинусом угла а называется ..........................
3) Тангенсом угла а называется ..........................
4 Определить знак синуса угла:
1) sin 14° 0, так как 0°<14°<90°;
. 5тт .... 5тт
2) sm-g- -..-О, так как ....<-б” <7Г’
3) sin 192° :**: 0, так как ......<192°<...........;
4) sin(--j) 0, так как ............<...........<.....
5 Определить знак косинуса угла:
1) cosy^:’ :0, так как
2) cos 140° так как 90°<140°<................;
( Зтт\ .... Л
3) cos(—J-) : : 0, так как .........<...........<....
4) cos 315° 0, так как ...........<...........<.....
6 Определить знак тангенса угла:
ч ч х 37Т .... Л 71 37Т
1) : :0, так как 2<~4~ <тг,
2) tg280° так как ...........<..........<.......
3) ctg^ так как ................<...........<.........
4) tg330° так как ...........<..........<.......
7 Знаки чисел cos а и tga совпадают в ...............четверти.
8 Знаки чисел sin а и tga различны в .............. четверти.
9 Определить знаки произведения:
1) sin 100° • sin 25° j’j 0, так как sin 100° >0 и sin 25° >0;
2) sin 250° • tg300° 0, так как sin 250° ;**; 0 и tg300° j’j 0;
85
/57Т UTT .... ^TT .... UTT ....
3) cos -у • tg у О, так как cos -у 0 и tg у 0;
.. 4тт / тт\ ;••• 4тг ;••• _ ( тг\ :••• _
4) cosy cos vyj 0, так как cos-у :..:0 и cos^-yj
10 Определить знак синуса угла:
1) sin 192°0, так как .....................................
2) sinyy’j 0, так как .....................................
3) sin (-120°) У \ 0, так как .............................
4) sin у0, так как ........................................
11 Определить знак косинуса угла:
1) cos78°: ’:0, так как ...................................
2) cos 100°: 0, так как ...................................
3) cosy-*0, так как .......................................
4) cos(-y):..:0, так как ..................................
12 Определить знак тангенса или котангенса угла:
2тт . • • •
1) Ч? "у 0, так как .......................................
2) tg210° -..-О, так как ..................................
3) tgy :.j0, так как ......................................
4) ctg 80° так как ........................................
21
Зависимость между синусом,
косинусом и тангенсом одного
и того же угла
..1..1...4..1...*..4...1...*..4...1..4...»..1..4
1 Записать уравнение окружности радиуса г с центром в начале
координат ................
2 Записать уравнение окружности радиуса 1 с центром в начале
координат .................
86
3 Из равенства х2 + у2=1 выразить:
1) х; 2) у.
к 1) х2 =.............; х =................;
2)......................................................................<]
4 Сравнить с нулем sin a, cos а, tga, заполнив пропуски знаком
> или <:
1) если 'тт<а<Дг, то sin а 0, cos а :**: 0, tga 0;
2) если 0<а<^-, то sin а 0, cos а 0, tga 0;
3) если Дг<а<2'ТТ, то sin а 0, cos а 0, tga 0;
4) если -^-<а<'7т, то sin а 0, cos а 0, tga 0.
5 Заполнить таблицу:
Данное число 2 £ 3 0,5 4 5 1 9
Число, обратное данному V3
ояямшмнвмга1
6 Вычислить cos a, tga, ctga, если sina=-g и -2<а<тт.
► cosa = - /1 ~( |)2 =
tga=
ГТ ТЭ 4-4- • 3 ЗТГ
7 Вычислить cos a, tga, ctga, если sina = -g и ~2~ <а<2тг.
►....................................................
..............................................-....4
8 Вычислить sin a, tga, ctga, если cos а = -0,6 и 'n<a<~2~.
►....................................................
4
9 it
9 Вычислить sin a, cos a, tga, если tga= и 0<а<-2-.
87
10 С помощью основного тригонометрического тождества выяснить,
могут ли одновременно выполняться равенства:
п • 12 5 ох • 3 5
1) sin а = уд и cos а = уз ; 2) sma = -y и cos а = -^;
2 \7
3) sina = -l и cosa = 0; 4) sin а = -у и cos а = -у.
► 1).............................................................
2)............................................................
3)............................................................
4)
11 Доказать, что точка М лежит на единичной окружности, и
выписать значение синуса и косинуса угла РОМ, где Р(1; 0):
1) ; |); 2) 3) м(-$; 44 4) ).
/ Vs \2 /1\2 31 1
1) (“2~/ = 1, 4~+4~=1’ 1 = sina= ~2, cosa= ..................
2>(-4)М-Г
3)....................................................................
«....................................................
...................................................1
12 Упростить выражение:
1) (l-sina)(l + sina) =...................................
2) sin4 а + cos4 а + 2 sin2 а cos2 а =..................................
13 Вычислить sin а, tga, ctg а, если cosa = ^ и -2-<а<2'П’.
14 Вычислить cos а, tg а, ctg а, если sina=^ и -2<а<тт.
88
15 Упростить выражение:
1) (sin а - cos а)* 1 2 3 4- (sin а + cos а)2 =............
2) sin4 а-cos4 а-sin2 а =..................................
Синус, косинус и тангенс
углов а и —а
1 Закончить предложение: «Две точки М и Мг называются
симметричными относительно прямой а, если эта прямая .....
.....................................................».
2 Построить точки, симметричные данным относительно прямой а.
а
А
в
а
М
с
3 Вычислить:
1) 2 sin (-30°) —2 sin 30° —2 •....=....;
2) V3 cos (-30°) =.............................................
3) tg(-30°) =..................................................
4) ctg(-30°) =.................................................
89
5) 2 cos (- j) - tg (- 4) =........
6) 4 sin (-^) - 4 cos (-it) =......
7) cos (-{) • ctg (-j) • sin2 (~f ) =
8) 4 sin (--J) • cos (-j) - tg (-j) + ctg (-^) =..............
4 Упростить выражение:
1) (l-sin(-a))(l-sina) .......................................
sin2 (-a) - cos2 (-a)
' cos(-a)-sin(-a) ...........................................
5 Решить уравнение:
1) sin (-j) = cos tt; 2) cos (-j) = sin Др
► 1)
Ответ. 1)
<1
6 Вычислить:
1) sin (-90°)=............................................
2) cos (-180°)=...........................................
3) tg(-45°) =.............................................
4) ctg (-60°)=............................................
5) 2 sin (—y") - 6 cos (-j) =.............................
6) 4sin(-^)- tg(-£)=......................................
7 Упростить выражение:
1) sin (-a) cos (-a) • tg (-a) ...........................
2) ctg (-a) sin a + cos (-a) .............................
90
26
Формулы приведения
..I...*..4..1...4...1..1....4..4...1...4...4...1.4-
Заполнить таблицу:
а 0 (0°) тт “б (30°) тт (45°) ТТ 3 (60°) тт ~2 (90°) тт (180°)
sin а Уз 2
cos а 1 2
tga V3
2
При повороте точки Р(1; 0) на данный угол Р получается та
же самая точка, что и при повороте на угол а. Записать
значения угла а, если -360° < а < 360°.
3 390° 780° 330° 660° 840° -600°
а 30°
3 С помощью рисунка, заполняя пропуски, найти значения
синуса и косинуса 120°.
Точка Мг симметрична точке М относительно оси Оу. Ординаты
точек М и .........., а абсциссы отличаются только .....
Поэтому sin 120°=........= ........., cos 120°=.........
С помощью того же рисунка, изображая соответствующую
точку на единичной окружности, найти:
91
4 Вычислить:
1) cos (—135°) = cos 135°=cos(180°-45°):—cos........=........
2) sin 240° = sin (360° -120°) =.............................
3) sin (-570°)=..............................................
4) tg(-210°) =...............................................
K\ • 517
5) sm -g- —..................................................
2tt
6) COS -3- =.................................................
15tt
7) tg -3- =..................................................
8) sin (-^) = -sin = -sin (Зтт - ~) = -sin (it - j) =......
5 Найти числовое значение выражения:
1) 4 sin (-870°) - tg (-945°) - 3 cos 900° =.....................
. 8тт 4tt /г- Utt
2) 4 sm -з-_2 tg -3--V2 cos -j- =
6 Упростить выражение:
1) sin (тт-а) cos (-£--«)-cos (тт-а) sin
2) 1 -sin (бтт-а) sinCa-e^r); 3)1-cos (а-4тт) sin (^--a);
cos2 (^-<x) + cos2 (it-a)
4) tg (ir + a)
2) ......................................................................
3) ....................................................................
4) ...................................................................
......................................................................<
92
7* Решить уравнение:
1) sin(/rr-2x) = 1;
3) sin(j-x) = O;
2) 2 cos (/тт-Зх) = -2;
4) cos (-^-x) = 0.
>1)
8 Вычислить:
1) sin 495°= ..:..........................................
2) cos (-750°)= ..........................................
3) tg(-420°) = ...........................................
4) cos 930°= .............................................
7tt
5) cos -j- =
. 2tt
6) sm -у ==
7) tg£- ..................................................
8) cos (-f)= .............................................
9 Найти числовое значение выражения:
1) 3 tg 930° + sin 1200° - cos 390°= ...........................
v
[ глава Прогрессии
27
Числовая последовательность
..I...*..4...I...4...4...I...4..4...1..♦...4..1-----4-
1 Заполнить таблицу:
№ п/п п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2п 10
2 2п-1 9
3 п2 3 25
2 Дана последовательность четных чисел
2, 4, 6, 2п, 2(и + 1), ....
1) Записать четвертый, седьмой и п-й член этой последовательности:
......9 .......9 ........
2) Записать номера членов последовательности, равных 6, 18,
2(п + 1): ....., ......., .......
3 Вычислить первые 3 члена последовательности, которая задана
формулой га-го члена:
1) ал=2п + 1, ах=2 1 + 1 =...., а2=2 • 2 + 1 =....,
аз=..........;
%) а«=п?+з’ =.....’ а2=.........»
аз =...................
94
4 Последовательность задана формулой ал=п2Ч-1. Выяснить:
1) номер члена этой последовательности, равного 82, 170;
2) является ли членом последовательности число 24, 37.
1) 82 = и2 + 1, откуда п2 =.... п = ±....... но так как
искомый номер nGJV, то п =......;
170 =.......... откуда и2 =.......... и =......;
2) 24 = п2 + 1, откуда и2 = 23, п=±., но так как искомое п —
натуральное число, то число 24 не является членом последова-
тельности;
Ответ. 1) и =...; п =...; 2) не является; ...........\|
5 Найти первые 3 члена последовательности, заданной рекур-
рентной формулой:
1) ап + 1 = ап + 5, если ах = -3;
2) а . = 10-За , если а =4;
3) ал+х = cos • ал), если ах = 0.
1) ах=-3, а2 = -3 + 5 =., а3 =....+ 5 =..;
2) ах= 4, а2 = 10 - 3 • 4 =. а3 =.............;
3) а = 0, a2=cos(j- о) =.... а3 =................
6 Последовательность задана формулой хл = п2-п.
1) Найти одиннадцатый член последовательности.
2) Выяснить, является ли число 16 членом этой последователь-
ности.
3) Найти номер члена последовательности, равного 56.
2).......................................................................
3)....................................................................<1
3)........................................................<1
7 Найти первые 4 члена последовательности, заданной
рекуррентной формулой «n + 1="2L и условием ах = 81.
95
Арифметическая прогрессия
Заполнить таблицу:
п 1 2 3 4 5 6 7 8
а = 2 + Зи п 17
С помощью таблицы найти
а2~а1~....9 аз~а2==....9 аб~а5~....9 а8~а7^....
Высказать предположение: ап+1-ал =.................
2
Заполнить таблицу:
п 1 2 3 4 5 6 7 8
а = п* 1 2 Л 25
С помощью таблицы найти
а2~а1=......’ аз~а2~...9 аб~а5~...9 а8~а7==
Высказать предположение о разности последующего и преды-
дущего членов последовательности ап = п2:
II
3 Назвать первый член и найти разность арифметической про-
грессии:
1) 4, 7, 10, 2) -7, -4, -1, ....
► l)at =.........; d =.........;
2) ах =........; d =.........<]
4 Записать первые четыре члена арифметической прогрессии,
если:
1) «! = 12; d = -2; 2) ^ = -0,5; d=l,5.
96
►".....................................................................
2) ................................................... <1
5 Доказать, что последовательность ап =-3(5-и) является ариф-
метической прогрессией.
ап+1 = -3(5-(п + 1)) = -15 + 3(п + 1)=...............................
ап = -3(5-п)=........................................................
ап+1~ап=.............................................................
Разность ап+1-ап не зависит от и, поэтому последовательность
ап = -3(5-п) ..........................................<]
6 В арифметической прогрессии найти:
1) а21, если 0^ = 13, d = 2;
2) а15, если а1=^, d = -l.
► 1) а21 = 13 + (21-1) • 2=............................................
2) <|
7 Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии:
1) 3; 10; 17; ...; 2) -5; -8; -11; ...; 3) 1; 3,5; 6; ....
► 1) а1 = 3, а2 = 10, d = a2-a1=............
ал = 3 + (га-1)..
2) а1 =......, а2=..........., d =............................, ап =.
3)
.......................................................<
8 Число -15 является членом арифметической прогрессии 3; 1;
-1; .... Найти номер этого члена.
► ах = 3, а2=.., откуда d =.....=...... Так как по условию
ап = -15, то по формуле ап = а1 + (и-1) • d имеем
-15 = 3 + (и-1)*....
Решим относительно п полученное уравнение;
Ответ. п =
97
9 Найти разность арифметической прогрессии, если ог = -8,
а5 = 4.
По формуле общего члена для п = 5 имеем уравнение
4 = -8 + (5-1) • d.
Решим это уравнение относительно d:
Ответ. d =.....\|
10 Найти первый член арифметической прогрессии, если d = -7,
а5 = -28.
В формулу общего члена ап =............... подставим га = 5,
а5 = -28, d = -7 и получим уравнение относительно аг:
............. = ai +.............
Ответ. аг =......
11* Дана арифметическая прогрессия, в которой ^ = 25, d = -3. При
каких значениях п члены этой прогрессии отрицательны?
Для данной прогрессии ап =..................... По условию
ап<0, когда .............<0. Решим это неравенство относи-
тельно и:
Ответ. При п........\|
12* Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии, у
которой:
1) а4= -18, а6= -12; 2) а3 = 26, а8 = 48.
1) Согласно формуле ап = (п>1), = =
...... Тогда d = а5 - а4 =................. По формуле п-го
члена, например, для а4 получим -18 = а1 + 3- откуда
=....................
Ответ. ап =....+ (п-1)-......
2) С помощью формулы n-го члена для а3 и а8 составим систему
уравнений:
26 = 0!-+-2d,
48 =.......
98
Решим эту систему относительно а± и d:
Ответ, а =
п
13 Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии,
если:
1) а, =-18, d = 0,2; 2) а6 = -13, d = -2;
3) а1 = 26, а8 = 5; 4) а2= 11, а7= 49.
1)................................................................
2).......................................................................
3).......................................................................
4)
Ответ. 1) ......................; 2) ......................;
3)......................; 4).......................4
Сумма п первых членов
арифметической прогрессии
1 Найти рациональным способом сумму всех натуральных чисел
от 1 до 10.
► 1 + 2+3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (.) +
+(......) + (....) = И-.....=.......... 4
99
2 Найти S=l+2+3+4+5+6+7+8+9 рациональным способом.
F S= 1 + 2+ 3+4 + 5 + 6+ 7 + 8+ 9
+
S= 9 + 8+.+..+...+....+...+..+....
2S=10+10 +..+....+.....+....+....+...+....
2S=10 •......... 2S=........ откуда S=......:2, S=........
Ответ. S =.......
3 Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии,
если:
1) ах = 2, ал = 40, п = 30; 2) ^ = -3, ал = -23, п = 20.
1) По формуле iSn = Q1 • п находим *S30 = 2* — • 30 =.
2) S20=....................................................
4 Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии:
1) -18; -14; -10, если и = 12;
2) 1,5; 5,5; 9,5; ..., если и = 10.
► 1) d = -14-(-18) =....., а12 = -18 + 11-...=................
Q = ~18 +.. .
°12 2 ...........................................
2).........................................................
......................................................<
5 Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена
ап = 7п-2. Найти S40.
► ^ = 71-2 =....., а40 =................................
«40=..................................................
Ответ..........
6* Найти а± и d арифметической прогрессии, если а6 = 53, S6=150.
По формуле общего члена арифметической прогрессии
53 = a1 + 5d, откуда 6^ = 53-5с/. По формуле суммы п первых
членов арифметической прогрессии 150 = ----- -6.
Решим это уравнение относительно d:
100
Так как 53 = а1 + 5- ., то аг =...........
Ответ. аг=...., d =....
@
7 Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии,
если:
1) at = -4, а„ = 18, п=15; 2) а^, d = |, п = 12;
3) at = 42, d = -4, ап=10.
► 1) ...................................................
2) ...................................................
3)
8*
Найти ап и d арифметической прогрессии, если = и = 11,
5И = -33?
Ответ, а =......, d=.......
п *
Геометрическая прогрессия
1 Найти частное:
1)|:|=........................; 2)2:(-4)=.....................
3)3:|= ; 4)0,1:100=....................
5)100:0,1=....................; 6):(-|) =
О ' О' •••••••••••••••••••••••
101
2 Вычислить:
1)(D3=..............; 2)(-|Г=..........; 3)(-|У=
4) 5 • 23=......; 5)(5 -2)3=.....; 6)8-(-|)6 =
7) 210:27 =.....; 8)210:25=........
3 Вычислить:
1) V81 -....; 2) =.....; 3) V16^25=.........
4 Найти n, если:
1) 25 = 2"; 2) 37 = 3"1; 3) (-2)"= 16; 4) 2"+1 = 32.
► 1) n=.....; 2) .................;
3) .........; 4) .................<|
5 Решить уравнение:
1) x2 = 4; 2) a4=±; 3) x3 = -8.
Ответ. 1) ........; 2) ........; 3) ..........
6 Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии:
1) 9; 3; 1; 2) -10; 30; -90; ....
7 Записать первые 4 члена геометрической прогрессии, если:
1) Ь, = 8, д-|; 2) ^ = -3, q—2.
► 1) ^ = 8, Ь2=Ь1-д=...... b3 = b2-q=......
\=.........
2) Ь1 = -3, b=bcq=......, b3 =........
8 Доказать, что последовательность, заданная формулой п-го
члена bn = 6n+1, является геометрической прогрессией.
► b = = b #0,
п+1 ’ п ’
Ьп^ 6 ‘...— .....:
= 6^ = ° ...... =......— не зависит от п, значит, данная
последовательность (по определению) — геометрическая
прогрессия, d
102
9 Найти bR, если:
6 1
1) bx = 7, q = —2; 2) Ьг = -3, q=-%.
► 1) По формуле n-го члена геометрической прогрессии
Ь6=7(-2)61 =.............................................
2) .....................................................4
10 В геометрической прогрессии b1 = 5, q = 3. Найти номер члена
прогрессии, равного 405.
► bn = b1 • qn~\ Если Ьп = 405, Ьг = 5 и д = 3, то нужно решить урав-
нение 405 = 5 • 3"~1 относительно п:
405 = 5-З""1, откуда Зп-1 =........, 3П-1 = 3....., п-1 =
=........., п =.........
Ответ...........
11 Найти знаменатель геометрической прогрессии, если Ь =64,
Ь6 = -2.
► По формуле n-го члена геометрической прогрессии получим
уравнение -2 = 64 • д6-1.
Решим это уравнение относительно q:
Ответ. .........\
12* Найти первый и третий члены геометрической прогрессии с
, 2 , 1
положительными членами, если о2 = ^, ^4 = ~8-
► ..........................................................
А I. к
? = .........’ fci = b2:9 =.....•
Ответ. Ьг =....., Ь3=.........
@
13 Найти седьмой член геометрической прогрессии, если:
1) ^ = 64, 9 = |; 2) ^ = 1, Ь2 = -2.
► 1) .......................................................
2) ......................................................4
103
14 Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой Ъ=2,
6,-162.
► ..........................................................
Ответ........d
31
Сумма п первых членов
геометрической прогрессии
^•••1.<•..4...1...4.....1.1..1-..-1..1....4...1...1..4
1 Вычислить:
1) 34 =........... 2) З3 • 32=.........; 3) (33)2 =.....;
4) 1-(з) =..........; 5) 87:85 =..........
2 Решить уравнение:
1) 2"=16; 2) Зп1 = 27; 3) 2П1 = 1.
► 1).............................................................
2) ...........................................................
3) ...........................................................
Ответ. 1) .........; 2) .........; 3) .........
3 Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии, если:
1) &!=!» 9 = 3, п = 5; 2) &х = -|, q = -2, п = 6.
► 1)S8 = ^=...............................................
2)S6 =
з
-2(1-(-2)«)_
1-("2)
Ответ.
1)
2)
104
4 В геометрической прогрессии найти Ьг и Ь5, если q = -2, S5 = 44
По формуле суммы п первых членов геометрической прогрессш
о Ml “Я") л л ^(1-(-2)5)
S = -J-z---имеем 44 = \ .
п \-q 1 —(—2)
Решим это уравнение относительно Ьг:
По формуле n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn~1
найдем Ь5=......• (-2) =..........
Ответ. Ьх=........ Ь5=....
5 В геометрической прогрессии найти число ее членов п, еслг
известно, что S = -7-^, b =-4, <7 = 4-
и 2 1 4 2
► 1 (1-(
По формуле суммы п членов имеем: -7— = -^— .
1-....
Решим это уравнение относительно п:
Ответ. п =........
6 В геометрической прогрессии найти:
1) Ьп, если ^ = 5, gx = 2, Sn = 155;
2) п и q9 если b=-29 b =-486, S =-728.
*1) По формуле суммы п первых членов геометрической про-
* (1- ")
грессии 155 .
1-.......
Решим полученное уравнение относительно п:
................................................п =....
По формуле общего члена bn = b1qn~1 найдем b ...=.......
2) Воспользуемся следующей формулой суммы п первых членов
геометрической прогрессии: <Sw = —j"1.
Подставив в нее br = -29 bn = -486, Sn = -728, получим уравнение
........................... которое решим относительно q:
105
Зная, что q =........ по формуле общего члена имеем -486=
.... л-1
= -2 . Отсюда найдем п:
Ответ. 1) Ьп=..., 2) q =..... п =....
7 Геометрическая прогрессия задана формулой Ъп = -3 -2n + 1.
Найти S7.
Ьх=....... Ь2=..... отсюда q=....
По формуле суммы п первых членов геометрической прогрес-
сии S7=...................................................
Ответ. S7=.........
8 Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии
128, 64, 32, ... .
►............................................................
Ответ. ......... d
9 В геометрической прогрессии Ь =-1, Ь2 = 3, Ъп = 243.
Найти g, n, S .
Ответ, q =.... п =...... S;... =.\|
10 В геометрической прогрессии Ьх = 2, g=4, Sn = 682.
Найти п и Ь .
п
Ответ.
106
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
1 Вычислить:
i)(-)‘=........................; 2)з-з=.......................
3) =.....................; 4) (-1)5 =...............;
5) (-2Г =.......................6) (-2) (-2)3 =...........
& Наити значение выражения при:
1) и = 2; 2) п = -2.
►..........................................................4
3 Упростить:
Кп+1 Кп
1) V=......’ 2) 5^=.....•
4 Сравнить с единицей:
2)|-||гц; 3)|-||nt; 4)
5 Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно
убывающей:
1) -1, 2) 32, 8, 2, ....
k 1) Ь1 =...., Ь2 =..., откуда <?=у =.....Так как |......| < 1,
то данная геометрическая прогрессия является бесконечно
убывающей;
2).......................................................................
107
6 Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно
убывающей, если:
► 1) Ь8 = -1, Ьв= 1; 2) Ь8 = 40, Ь7 = -20; 3) Ь6 = |, Ь10=|.
1) bQ = b3 • q3, откуда g3 = ^ = , а значит, q =... Так
как |......| =.....> 1, то рассматриваемая геометрическая
прогрессия не является бесконечно убывающей;
2)9 = £ =
3) д4 = -~ = . , откуда д=±....... тогда
°б ..................
|д| =........ 1. Значит, рассматриваемая геометрическая
прогрессия ........... бесконечно убывающей.
7 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии:
1) 6, -1, 2) 100, -20, 4, ....
► 1) =........’Ь2=.................... ’5=Д’
s=................................
2) Ъ=....... Ь2-...... q-......
8* Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической
прогрессией последовательность, которая задана формулой:
1)Ьп = -5-3"1; 2)&„ = 2-(|)Л.
► 1) b = -5 • З"-1, b ,. = -5 • З^-^-б • 3., ^- =.=......
г ь n+1 Ьп
Так как — число, не зависящее от п, значит,
" ь .
последовательность — геометрическая ............ Но =
= q, q=...... |g|=|...I :...fl, значит, прогрессия ....
2) ».-2-(I)'. 6.tl-........................................
108
9* Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
\ 2 3\ 2
сии, если ?=-2", &6=~g~.
► ™ , 3V2 , / V2 V
Так как Ьп=Ь1 • qn \ то , отсюда Ьг =............
Тогда по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии S =.............................................
Ответ............
10* Найти первый член бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, в которой g=^, a S = 18.
По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической
ь
прогрессии 18 = :—2 , откуда Ъх =..........................
1 з
Ответ............ м
11 Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно
убывающей:
1) 25, -5, 1, 2) |, ....
► 1) ...............................................................
2) .............................................................
12 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии, если:
1) 9=|, ^ = -27; 2)9 = -!,^ = !.
► 1) .......................................................
2) ...................................................<1
ОГЛАВЛЕНИЕ
•I.................I-.................I..................I.................4...................4..................1..................4..................4.................1...................4.................4..................1.....................4-
Предисловие..........................................3
Глава I. Алгебраические уравнения.
Системы нелинейных уравнений
§ 1. Деление многочленов............................4
§ 2. Решение алгебраических уравнений...............8
§ 3. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим........15
§ 4. Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными 20
§ 5. Различные способы решения систем уравнений . . 23
§ 6. Решение задач с помощью систем уравнений ... 27
Глава II. Степень с рациональным показателем
§ 7. Степень с целым показателем ..................30
§ 8. Арифметический корень натуральной степени ... 34
§ 9. Свойства арифметического корня.................—
§10. Степень с рациональным показателем............39
§11. Возведение в степень числового неравенства . . . . —
Глава III. Степенная функция
§12. Область определения функции ..................44
§13. Возрастание и убывание функции................52
§14. Четность и нечетность функции.................58
§ 15. Функция У= ~ .............................66
§ 16. Неравенства и уравнения, содержащие степень ... 72
110
Глава IV. Элементы тригонометрии
§ 17. Радианная мера угла.............................77
§ 18. Поворот точки вокруг начала координат ..........80
§ 19. Определение синуса, косинуса и тангенса угла ... 82
§ 20. Знаки синуса, косинуса и тангенса...............84
§21. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом
одного и того же угла ...............................86
§ 23. Синус, косинус, тангенс углов а и -а...........89
§ 26. Формулы приведения..............................91
Глава V. Прогрессии
§27. Числовая последовательность.....................94
§ 28. Арифметическая прогрессия.......................96
§ 29. Сумма п первых членов арифметической прогрессии 99
§ 30. Геометрическая прогрессия .....................101
§31. Сумма п первых членов геометрической прогрессии 104
§ 32. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 107
Учебное издание
Колягин Юрий Михайлович
Сидоров Юрий Викторович
Ткачева Мария Владимировна
Федорова Надежда Евгеньевна
Шабунин Михаил Иванович
АЛГЕБРА
Рабочая тетрадь
для 9 класса
общеобразовательных
учреждений
Зав. редакцией Т, А Бурмистрова
Редактор Л, Н. Белоновская
Младший редактор Н.В. Ноговицина
Художник Е. В. Соганова
Художественный редактор А. Б. Крикунов
Компьютерная графика: И. А. Шалеев
Технический редактор Н. А. Киселева
Корректор О. Н. Леонова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд.
лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозитивов 20.04.07. Фор-
мат TOXlOOVie- Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,04.
Тираж 10000 экз. Заказ № 19031.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфический комбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru