ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ
Г. В. Сычева, Н. Б. Гусева, В. А. Гусев
АЛГЕБРА
н
iUlfli
г г
':
ЭКСПРЕСС-
РЕПЕТИТОР
ЭКЗАМЕН В НОВОЙ ФОРМЕ
А С Т Р Е Л

Государственная итоговая аттестация
экзамен в новой форме
Г.В. СЫЧЁВА, Н.Б. ГУСЕВА,
В.А. ГУСЕВ
АЛГЕБРА
НЕСТАНДАРТНЫЕ
ЗАДАЧИ
Экспресс-репетитор
для подготовки к ГИА
9
класс
АС
ACT • Астрель
Москва
Владимир

Книжные полки сообщества
EEK.DIARY
УДК 373:512
ББК22.14я721
^ С95
Серия основана в 2009 году
Сычёва, Г.В
С95 Алгебра: Нестандартные задачи:
экспресс-репетитор для подготовки к ГИА: 9-й кл. / Г.В.
Сычёва, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев. - М.: ACT: Астрель;
Владимир: ВКТ, 2011. - 126, [2] с. -
(Государственная итоговая аттестация - экзамен в новой
форме).
ISBN 978-5-17-068402-1 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 978-5-271-28975-0 (ООО «Издательство Астрель»)
ISBN 978-5-226-02869-4 (ВКТ)
Пособие рассчитано на самостоятельную или с помощью
учителя подготовку учащихся к ГИА.
В него входят задания, включающие темы «Уравнения и
неравенства с переменной под знаком модуля», «Уравнения,
неравенства, системы с параметром», «Элементы комбинаторики» и
«Элементы теории вероятностей и статистики». Каждый раздел
предваряется кратким теоретическим материалом и содержит
большое количество примеров решения задач. Количество
заданий в теме варьируется в зависимости от ее сложности, а также
количества заданий в ГИА, посвященных данной теме.
Каждая тема включает в себя упражнения, которые
позволяют учащимся самостоятельно повторить и закрепить изученное и
успешно справиться с заданиями ГИА.
Чтобы проверить, усвоен ли материал, приведено решение
всех упражнений.
УДК 373:512
ББК 22.14я721
Подписано в печать 25.10.2010. Формат 84х108Уз2-
Усл. печ. л. 6,72. Доп. тираж(2-й) 5000 экз. Заказ № 2257и.
ISBN 978-5-17-068402-1 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 978-5-271-28975-0 (ООО «Издательство Астрель»)
ISBN 978-5-226-02869-4 (ВКТ)
© Сычёва Г.В., Гусева Н.Б., Гусев В.А.
© ООО «Издательство Астрель»

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
Уравнения и неравенства с переменной
под знаком модуля 5
Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля .. 6
Методы решения неравенств, содержащих переменную
под знаком модуля 15
Графики функций, содержащих знак модуля 24
Задания для самостоятельного решения 26
Решение заданий для самостоятельного решения 27
Уравнения, неравенства, системы с параметром 38
Уравнения с параметром 39
Системы уравнений с параметром
Задачи, связанные с расположением корней
квадратного трёхчлена 51
Неравенства, содержащие параметр 57
Системы неравенств с параметром 60
Задания для самостоятельного решения 62
Решение заданий для самостоятельного решения 64
Элементы комбинаторики 90
Основные понятия и формулы комбинаторики.
Методы решения задач 90
Перестановки 93
Размещения 94
Сочетания 96
Задания для самостоятельного решения 98
Решение заданий для самостоятельного решения 100
Элементы теории вероятностей и статистики 105
Классическое определение вероятности 107
Свойства вероятности 109
Геометрическое определение вероятности 118
Элементы статистики 120
Задания для самостоятельного решения 123
Решение заданий для самостоятельного решения 124

ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие рассчитано на подготовку выпускников
основной школы к государственной (итоговой) аттестации
(ГИА) по алгебре для 9 класса.
Экзаменационная работа по алгебре состоит из двух
частей. Часть 1 включает в себя 16 заданий,
охватывающих все разделы курса. Задания предусматривают три
формы ответа: с выбором ответа их четырёх
предложенных (9—10 заданий), задания с кратким ответом (5—
6 заданий) и задания на соотнесение. Правильно
решённое задание оценивается в 0,5 балла.
Часть 2 содержит 5 заданий повышенного уровня
сложности, требующих развёрнутого ответа с записью
решения. Задания в этой части идут от простого к сложному
и оцениваются в 2, 4 и 6 баллов.
Данное пособие поможет подготовиться к сдаче ГИА
по четырём темам: уравнения и неравенства с
переменной под знаком модуля, уравнения, неравенства,
системы с параметром, элементы комбинаторики и теории
вероятностей и статистики, которые содержатся в
заданиях части 2.
Каждая тема разделена на небольшие разделы, в
которых даётся краткое изложение теоретического
материала, примеры с решениями типовых задач. Для
самопроверки в конце этих разделов приведены задания для
самостоятельного решения. Чтобы проверить, усвоен ли
материал, даны решения всех заданий.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Определение. Модулем числа называется само число,
если оно неотрицательно, и ему противоположное, если
число отрицательное, т.е.
• i (а, если а > О,
' \-а, если а < 0.
Модулем выражения fix) называется само это
выражение fix), если оно неотрицательно, и ему
противоположное, если fix) отрицательно:
1//*а| в 1Л*)> если f(x) > 0,
1/1 j| 1-Я*), если f(x) < 0.
Геометрический смысл модуля: модуль |-а| |а|
действительного числа а есть расстояние от -чГ~^(Г~"а x
начала координат до соответствующей чис- рис i
лу а точки на числовой оси (рис. 1).
Модуль разности двух чисел \а - Ъ\ есть l£z£l
расстояние между точками координатной а ь х
прямой с координатами аиЬ (рис. 2).
а х
Рис.2
Свойства модуля
1. Модуль любого числа есть число неотрицательное,
т.е. \а\ > 0.
2. Модуль числа не меньше самого числа, т.е. \а\> а.
Модуль числа равен самому числу тогда и только
тогда, когда число неотрицательно, т.е. \а\ = а <=> а > 0.
Модуль числа больше самого числа тогда и только
тогда, когда это число отрицательное, т.е. \а\ = а <=> а < 0.
Модуль числа равен числу, ему противоположному,
тогда и только тогда, когда число неположительное, т.е.
\а\ = -а <=> а < 0.
3. Модули противоположных чисел равны, т.е. \а\ =
= |-a|.
4. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного
выражения, т.е. \а\2 = а2.

5. Модуль произведения (частного) двух чисел равен
произведению (частному) модулей этих чисел, т.е. \аЪ\ =
b \b\
6. Модуль суммы двух чисел не больше суммы их
модулей, т. е. \а 4- Ь\ < \а\ 4-1&|.
Модуль суммы двух чисел равен сумме их модулей
тогда и только тогда, когда эти числа одного знака, т.е.
\а 4- Ъ\ = \а\ 4-1&| <=> аЪ > 0.
Модуль суммы двух чисел меньше суммы их модулей
тогда и только тогда, когда эти числа разных знаков, т.е.
\а Л- Ъ\ < \а\ + \Ь\ <^>ab<0.
7. Модуль суммы двух чисел равен сумме этих чисел
тогда и только тогда, когда оба числа неотрицательны,
т.е. \а + Ь\ - а + Ъ « \а, J ?•
[с? ^ U.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
1. Уравнения вида |/(jc)| = а, где а — некоторое число.
Если а < 0, то уравнение |/(jc)| = а не имеет корней.
Если а = 0, то уравнение |/(дг)| = а равносильно
уравнению fix) = 0.
Если а > 0, то уравнение |/(jc)| = а равносильно сово-
„ [ fix) = a,
купности уравнении | ^ ч =
Пример 1. Решите уравнение:
а)|Зх-7| = 5; в) |4 - х + *2| = -3;
б) |х2 + 7х - 4| = 4; г) |3 - |2х 4-1|| = 8.
Решение, а) Уравнение |3дг - 7| = 5 равносильно сово-
„ \3х - 7 = 5,
купности уравнении I о* - 7 = -5
Решая эти уравнения, находим, что
Ответ: - ; 4.
о
б) Уравнение |х2 4- 7х - 4| = 4 равносильно совокупное-
Y*<b 4" 7лг — 4 == 4
ти уравнений о '
хг 4- Чх - 4 = -4.
6

ти уравнений
Решая первое уравнение, найдём, что оно имеет
корни 1 и -8. Решая второе уравнение, найдём, что оно имеет
корни 0 и -7.
Значит, решением данного уравнения являются
числа -8; -7; О*, 1.
Ответ: -8; -7; 0; 1.
в) Уравнение |4 - х 4- х2\ = -3 не имеет корней, так как
модуль принимает только неотрицательные значения, а
правая часть отрицательна (-3 < 0).
Ответ: нет решений.
г) Уравнение |3 - \2х 4-1|| = 8 равносильно совокупнос-
~\2х 4- 1| = -5,
:3 - J2x+ lj = -8; [\2х + 1| = 11.
Первое уравнение совокупности не имеет корней, а вто-
\2х 4- 1 = 11, \х = 5,
рое равносильно совокупности о„,1__11. ^__«
L с*Х i JL — JL х, L X О.
Ответ: -6; 5.
2. Уравнения вида |/(лО| = g(x).
Способ 1. Уравнение можно решать, используя
определение модуля выражения.
Уравнение равносильно совокупности двух систем
■[/<*) > 0,
[/(*)< 0,
.1- fix) = g(x).
Пример 2. Решите уравнение 4\х - 3| = х2 - 2х - 7.
Решение. Пользуясь определением модуля, получаем,
что данное уравнение равносильно совокупности двух
систем:
\х > 3,
х= 1,
х = 5,
х < 3,
х = -1 - 275,
х = -1 4- 275.
5-2х-7,
|х > 3,
I* < 3,
Щг-х) = х2-2х-1;
х2 - 6х 4- 5 = 0,
X "^ О,
х2 4- 2х - 19 = 0;
х = 5,
х = -1 - 275.
Ответ: -1 - 275 ; 5.

Способ 2. Заметим, что корни уравнения |/(л:)| = g(x)
должны удовлетворять условию g(x) > 0. Уравнение рав-
g(x) > 0,
носильно системе
[fix) = -i
Пример 3. Решите уравнение \х2 - х + 3| = х + 2.
Решение. Данное уравнение \х2 - х + 3| = х + 2
равносильно системе
х + 2 > О,
х2 - х + 3 = х + 2,
0, х = 1.
Ответ: 1.
Выбор способа решения уравнения |/(x)| = gix)
определяется тем, какое из условий проще gix) > О или fix) > О
ifix) < 0).
Пример 4. Решите уравнение:
а) Зх2 - 5|х - 2| - 12 = 0; в) |х2 + Зх - 10| = х2 - 10.
б) |3х2 - х\ - х - 8 = 0;
Решение, а) Так как подмодульное выражение более
простое, чем двучлен 12 - 3x2, то воспользуемся для
решения уравнения определением модуля. Уравнение
равносильно совокупности двух систем:
\х -
\3х2
\х-
\\3х2
.2
-
2
+
> 0,
5(х-
< о,
5(х-
2)-
2)-
х>
х =
X <
X =
■12 =
-12 =
2,
. 1
3'
= 2,
2,
= 2,
0,
0;
Iх
\х<
Ihx2
х = 2,
л
2,
-
2,
5л:-
5*-
2 =
22
0,
= 0;
Ответ: -3-; 2.
3
б) |3jc2 — jc| — jc — 8 = 0. Перепишем уравнение в виде
|3х2 - х\ = х + 8.

Выражение, стоящее в правой части, проще, чем под-
модульное, поэтому перейдём к равносильной системе
о,
fx > -8,
х > -8,
Зх2
Зх2
- х
- х
= X +
= -х •
8,
-8; 1
Зх2
Зх2
л
-2х-
+ 8 =
л 1
100
-8 =
0;
0, .
X
X
= 2,
4.
3'
Ответ: -1-; 2.
3
в) Уравнение \х 2 + Зх - 10| = х2 - 10 равносильно
системе
х2 - 10 > 0,
2 + Зх - 10 =
- 10,
х2 + Зх - 10 = 10 - х2;
х2 - 10 > О,
Зх = О,
2х2 + Зх - 20 = 0;
х2 - 10 > О,
х-О,
х = -4,
.* = 2,5.
Непосредственной подстановкой в неравенство х2 —
- 10 > 0 убеждаемся, что условию удовлетворяет только
х = -4.
Ответ: -4.
3. Уравнения вида |/(x)| = \g(x)\.
Модули двух выражений равны тогда и только тогда,
когда эти выражения равны или противоположны.
Уравнение равносильно совокупности уравнений
Пример 5. Решите уравнение \2х 2 - Зх + 1| = |2 - х - х2\.
Решение. Уравнение |2х2 - Зх + 1\ = \2- х - х2\
равносильно совокупности уравнений
[ 2х2 - Зх + 1 = 2 - х - х2, [ Зх2 - 2х - 1 = 0,
[ 2х2 - 3 х + 1 = х2 + х - 2; U2 - 4х + 3 = 0;
Ответ: -1; 1; 3.
о
1,
х = -«»

4. Метод замены переменной.
Если уравнение содержит |/(дг)| и f2(x), то его удобно
решать, используя замену \f(x)\ = t, f2(x) = t2.
Пример 6. Решите уравнение:
а)*2 + 7|*|-8 = 0; в) х]~4^ ~ 2 1
б) (х2 - 2)2 - 4\х2 - 2| - 5 = 0; W
Решение, а) х2 + 7\х\ -8 = 0. Пусть t = |jc|, тогда х2 = t2
и уравнение примет вид t2 4- 7£ - 8 = 0, t = 1 или £ = -8.
Вернёмся к прежней переменной: |дг| = 1, х = ±1 или |дг| =
= -8 — нет корней.
Ответ: ±1.
Замечание. При введении подстановки t = \x\ можно
отметить, что t > 0, и значение t = -8 не рассматривать.
б) (х2 - 2)2 - 4\х2 - 2| - 5 = 0. Пусть * = |х2 - 2|, тогда
уравнение примет вид t2 - At - 5 = 0, t = -1 или £ = 5.
Вернёмся к прежней переменной: \х2 - 2| = -1 — нет корней;
- 2| = 5, тогда
Ответ: ± Jl.
х2-2 = -5;
в) LJ = 1. Пусть \х\ = t, тогда уравнение при-
\х\ - 2х2
мет вид ___ - 1, t_2f2 - 0,
. _ _1
t = --.
-. Вернёмся к прежней переменной:
t -2t2 * 0;
ii l р
Ответ: ±2.
5. «Раскрытие» знака модуля по определению (метод
разбиения на промежутки).
Если уравнение содержит несколько разных
выражений под знаком модуля, то можно область допустимых
значений переменной разбить на промежутки, внутри
каждого из которых все подмодульные выражения
сохраняют знак (для этого достаточно найти нули подмо-
дульных выражений), далее исходное уравнение рас-
10

х-3
Рис.3
смотреть на каждом из полученных промежутков, т.е.
заменить равносильной ему совокупностью систем.
Пример 7. Решите уравнение:
а) \х + 2| + \х - 3| = 7; в) |3 - х\ - \х - 5| + х = 1;
б) \х - 1| + \х - 5| = 4; г) \2х + 1| - |*| = 1.
Решение, а) |х + 2| 4- |х - 3| = 7.
ОДЗ уравнения (множество R)
разбивается числами -2 и 3
(нулями подмодульных выражений)
на три промежутка: (-°°; -2),
[-2; 3], (3; +оо) (рис. 3).
Исходное уравнение равносильно совокупности трёх
систем:
(1) \-х - 2 - х 4- 3 = 7; \х = -3; Х = г"3;
^ М* + 2 - х 4- 3 = 7- 15 = 7- НеТ Решении;
/оч 1^ > О, \Х > 6, = .
v°^ г j.o j.y_Q = 7' lr = 4*
[Л i^^ji^X О I, 1Л *±,
Ответ: -3; 4.
б) \х - 1| 4- |х - 5| = 4. ОДЗ
уравнения (множество R)
разбивается числами 1 и 5 (нулями
подмодульных выражений) на три про- рис 4
межутка: (-оо; 1), [1; 5], (5; +оо)
(рис. 4).
Исходное уравнение равносильно совокупности трёх
систем:
\х < 1, \х < 1,
\ , л , к л 1 ч нет решении;
1-х + 1 - х + 5 = 4; U = 1;
fl < х < 5, |1 < х < 5, ^G g
- 1 - х 4- 5 = 4; [4 = 4; L » J»
> 5, \х> 5,
(1)
(2)
(3)
4;
- 1 + х - 5
Ответ: [1; 5].
в) |3 - х| - |х - 5| + х = 1. ОДЗ
уравнения разбивается числами 3
и 5 на три промежутка: (-°°; 3),
[3; б], (5; +оо) (рис. 5).
5;
нет решений.
Рис. 5
11

Исходное уравнение равносильно совокупности трёх
систем:
/1Ч \х < 3, Гх < 3,
(l)io , к . л \ о нет решении;
v МЗ - л: + х - 5 + л: = 1; U = 3; *
(S)i _о_ 4-^4- =1-1 = _1# нет решении.
Ответ: 3.
г) |2л: + 1| - |х| = 1. ОДЗ
уравнения разбивается числами --
и 0 на три промежутка: х < --, Рис 6
-1 < х < 0, х > 0 (рис. 6).
Исходное уравнение равносильно совокупности трёх
систем:
<dJ*<-±'
\-2x- 1 + х= 1;
x<-i, ж = -2;
* = -2;
л:< 0, J-i < л: < 0, х = 0;
(2)
2х + 1 + х= 1; 1х = 0;
0, (х > 0,
19V-L.1 v-i. lv-п. нетрешении.
[ctX "г 1 — X — 1, IX — U,
Ответ: -2; 0.
6. Уравнения вида |/(х) + #(x)| = \f(x)\ + |g(x)| и |/(х) +
Уравнения решаются с использованием свойств
модуля (6 и 7):
|/(х)| + \g(x)\ <=> /(х) • g(x) > 0; |/(х) + g(x)\ =
Пример 8. Решите уравнение:
а)|7х-12| + |7х-11| = 1;
б)|15-6х|-|6х-7| = 8;
в) \х2 - 1| + |х2 - 5л: + 6| - Ъх + 7 = 0.
Решение, а) |7лг - 12| + |7jc - 11| = 1. Перепишем
уравнение в виде |12 - 7х\ + |7х - 11| = (12 - 7л:) + (7л: - 11).
12

Заметим, что сумма модулей равна сумме подмодульных
выражений, значит, уравнение равносильно системе
112 - 7х > О,
17* - 11 > 0;
Ответ: [l|; if].
Т'*6
б) |15 - 6jc| - |6jc - 7| = 8. Перепишем уравнение в виде
8 + |6х - 7| = |6х - 1б| или |-8| + |6х - 7| = |-8 + (6х - 7)|, т.е.
модуль суммы двух выражений равен сумме модулей этих
выражений. Значит, уравнение равносильно неравенству
-8(6* - 7) > О, 6х - 7 < 0, х < 1.
Ответ: (-оо; ill.
в) |jc2 - 1| + |х2 - Ъх + 6| - 5jc + 7 = 0. Перепишем
уравнение в виде \х2 - 1| + \х2 - 5х + б| = Ъх - 7, или \х2 - 1| +
+ |jc2 - 5jc + 6| = (jc2 - 1) + (-х2 + 5jc - 6), т.е. сумма модулей
равна сумме подмодульных выражений. Значит, уравне-
\х2 - 1 > 0
\
ние равносильно системе
х > -1
Ответ: [2; 3].
Приведём ещё несколько примеров уравнений.
Пример 9. Решите уравнение:
а) 8|х - 2| - х2 + 4х = 19;
в) 5|х - 2|(9 - х2)2 + (х2 - Ъх + б)2 = 0;
г) 3|5 - 2л:| = 20* - 4х2 - 25;
д)х2 - Зх + ,3~2* =0; е)х2 + 5£! - 6л: = 0.
kl5| |jc|
Решение, а) 8|лг — 2| — jc2 -К 4л: = 19. Перепишем
уравнение в виде (х - 2)2 - 8|лг - 2| + 15 = 0. Пусть t = \x- 2|, тогда
^2 = (х - 2)2 и уравнение примет вид t2 - St + 15 = 0, * = 3
или £ = 5. Вернёмся к прежней переменной:
13

I* - 2| - 3,
|лг - 2| = 5;
x - 2 = 3,
x - 2 = -3,
х- 2 = 5,
X ~~ c* — ~""«J,
*- 5,
Ответ: -3; -1; 5; 7. .
6) -^ — = 8Ы - 2л:2. Перепишем уравнение в виде
*24|*| + 1
Введём новую переменную t = х2 - 4\х\; -— + t = О,
= ft
'
t2 + At = 0, f* = О,
U + l^O; If = -4.
2-
= О,
= ±4,
Вернёмся к прежней переменной:
-4W = -4; l(W-2)2 = 0;f ^}\Z\\
Ответ: 0; ±2; ±4.
в) 5|х - 2|(9 - х2)2 + (х2 - Ъх Л- б)2 = 0. Заметим, что в
левой части уравнения сумма неотрицательных
слагаемых, а в правой части 0. Значит, уравнение равносильно
системе
\х - 2|(9 - х2)2 = 0,
Ъ\х - 2|(9 - х2)
(х2 - Ъх + б)2
О,
0;
Подстановкой убеждаемся, что числа 2 и 3
удовлетворяют первому уравнению системы, а значит, являются
корнями данного уравнения.
Ответ: 2; 3.
г) 315 — 2х\ = 20х - 4х2 - 25. Запишем уравнение в виде
3|5 - 2х\ = ~(2х - 5)2. Так как левая часть уравнения
принимает только неотрицательные значения, а правая —
только неположительные значения при всех х, то
уравнение равносильно системе
(3|5 - 2*| = О,
(-(2*-5)2-0; *~2'5'
Ответ: 2,5.
д) х2 - Зх 4- .— х = 0. Уравнение равносильно сово-
\х - 1,5|
купности двух систем:
14

(1)
(2)
х>
|*<
]Х2-
Ответ:
1,5,
Зх
1,5,
Зх
1; -
- 2
+ 2
) + J
= 0;
= 0;
Т7
1,5, 3 + -Д7
е) х2 4-
ности двух систем:
X = 1,
0. Уравнение равносильно
совокупх > 0,
х2- х = 0;
х < О,
(1)
(2)
Ответ: 1.
х > 0, = 1
х = 0, * 1;
Y* = 1 *
.•^ ■*-9
<0,
' нет решении.
= 0; \х = 09
= И;
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ
ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
1. Неравенства вида \fix)\ < а, где а — некоторое число.
Если а < 0, то неравенство \fix)\ < а не имеет решений.
Если а > 0, то неравенство |/(х)| < а равносильно
двойному неравенству -а < fix) < а, т.е. системе неравенств
fix) < a,
fix) > -a.
Пример 10. Решите неравенство:
а) \х2 - Ъх\ < 6; в) \х2 - 7х\ < 0; д)
б) \Ъх - 2| < 3; г) |5 - 7х - х2\ < -3;
Решение, а) Неравенство \х2 - Ъх\ < 6 равносильно
системе неравенств
\х2 - Ъх < 6, (х2 - Ъх - 6 < О,
U2 - Ъх > -6; \х2 - 5х 4- 6 > 0.
Решая первое неравенство х2 - Ъх - 6 < 0 найдём, что
множеством его решений является промежуток (-1; 6).
Решая второе неравенство х2 - Ъх + 6 > 0, найдём, что мно-
х-4
15

жеством его решений является объединение
промежутков (-°°; 2), (3; +оо). Значит, множеством решений
исходного неравенства является пересе- ■ ,
чение множеств (-1; 6)и(-оо; 2)^ -1 2 3 6 х
^ (3; +оо) (рис. 7). Рис. 7
Ответ: (-1; 2) ^ (3; 6).
б) \Ъх - 2| < 3. Неравенство равносильно двойному
неравенству -3 < Ъх - 2 < 3; -1 < Ъх < 5; -0,2 <х<1.
Ответ: [-0,2; 1].
в) \х2 - 7х\ < 0. Так как модуль не может принимать
отрицательных значений, то неравенство равносильно
Г х = 7
уравнению \х2 - 7х\ = 0, I ~ = л'
Ответ: 0; 7.
г) |5 - 7х - jc2| < -3. Неравенство решений не имеет, так
как левая часть принимает только неотрицательные
значения, а правая — отрицательна. Неотрицательное число
не может быть меньше отрицательного.
Ответ: нет решений.
х + 2
Д)
х-4
х + 2
2. Неравенство равносильно системе
х-4
х + 2
х-4
10-*
х-4
Злг-6
х-4
10-х
х-4
х-2
х-4
Решим каждое из неравенств методом интервалов.
10-х
(l)i^<0,ir
х-4 х-4
= (-оо; 4) w (4; +оо), у = 0 при лг= 10.
х е (-оо; 4) w (10; + оо).
10
Рис. 8, а
= (-оо; 4) ^ (4; +оо), у = 0 при х = 2.
jc€(-oo; 2)^(4; +оо).
Найдём пересечение множеств
решений неравенств (рис. 8):
хе(-оо; 2)^(10; +оо).
Ответ: х € (-оо; 2) ^ (10; +оо).
2
Рис.
2 4
Рис.
4
8,
8,
10 х
в
16

2. Неравенства вида \f(x)\ > а, где а — некоторое число.
Если а < О, то неравенство \f(x)\ > а верно при любом
допустимом значении х.
Если а = 0, то неравенство |/(jc)| > а верно при всех
допустимых значениях х, при которых f(x) & 0.
Если а > 0, то неравенство \f(x)\ > а равносильно сово-
f(x) > a,
f(x) < -a.
купности неравенств
Пример 11. Решите неравенство:
а)|2х-3|>5;
б) \х2 - 3| > 6;
в)
х2-7х + 6
г)
Д)
/х+1-2
*-4
УлГТз-1
х-7
Решение, а) Неравенство |2jc - 3| > 5 равносильно сово-
2х - 3 > 5,
купности
2х - 3 < -5;
jc < -J
Ответ: (-оо; -1) ^ (4; +оо).
б) Неравенство |л:2 - 3| > 6 равносильно совокупности
х
2 -
3 > 6,
2 - 9 > 0,
х2- 3 < -6; [х2 + 3 < 0.
Второе неравенство совокупности не имеет решений,
значит, совокупность равносильна неравенству х2 - 9 > 0,
его решением является объединение промежутков
(-°°; -3], [3; +оо).
Ответ: (-оо; -3] ^ [3; +оо).
в) Неравенство 2 "I* ^^ > -2 выполняется при
всех допустимых значениях х> т.е. при всех ху при кото-
рых х2 - 7х + 6 * 0; jc2 - 7jc + 6 = О,
Значит, решением исходного неравенства являются
все действительные значения х, кроме 1 и 6.
Ответ: (-оо; 1) ^ (1; 6) ^ (6; +оо).
г) Неравенство
Т-2
лг-4
допустимых значениях jc, т.е.
Ответ: [-1; 4) w (4; +оо).
5 0 выполняется при всех
х+ 1 > 0, (х > -1,
х - 4 * 0;
1(нгщные полку, сообществе
17

д) Неравенство
х - 3 - 1
> 0 выполняется при всех
х-7
допустимых значениях х, при которых
fv — з ^ О
неравенства задаётся системой \ _ _ ^ ' х 6 [3; 7) ^
w (7; +оо). ^ * ~—1_ = 0 при х = 4. Значит, решением ис-
#-7
ходного неравенства является объединение промежутков
[3;4)-(4;7)w(7;+oo).
Ответ: [3; 4) w (4; 7) ^ (7; +оо).
3. Неравенства вида \f(x)\ < g(x).
Неравенства вида |/(х)| < g(x) являются обобщением
неравенств вида \f(x)\ < а, где а — некоторое число.
Неравенство |/(х)| < g(x) равносильно системе \},{ _ , \
Пример 12. Решите неравенство:
а) |х2 - Зх + 4| < х + 1; б) |х2 - Зх| < 6 - 2х.
Решение, а) Неравенство |х2 - Зх 4- 4| < х 4- 1
равносильно системе
(х
2 -
+ 4 < х + 1,
2 - 4х + 3 < О,
2 - 2х + 5 > 0;
U2 - Зх + 4 > -х - 1;
Ответ: (1; 3).
б) Неравенство \х2 - Зх\ < 6 - 2х равносильно системе
2 -
2,
3.
^ 6 - 2х, (х2 - х - 6 < О,
[х* - Зх > 2х - 6; |х2 - 5х 4- 6 > 0;
Решением системы неравенств, а
значит, и решением исходного
неравенства, является пересечение
полученных множеств значений х (рис. 9).
[]{}
Ответ: [-2; 2] w {3}.
4. Неравенства вида |/(х)| > g(x).
Неравенства вида \f(x)\ > g(x) являются обобщением
неравенств вида |/(х)| > а, где а — некоторое число.
Неравенство |/(х)| > g(x) равносильно совокупности
\f(x) < ~
18

Пример 13. Решите неравенство:
а) \х2 - Ъх - 6| > х + 10; б) \х3 - 1| > 1 - х.
Решение, а) Неравенство \х2 - Ъх + 6| > х + 10
равносильно совокупности
\х<-2,
[х>8;
х = 2.
Множеством решений совокупности слулшт
объединение множеств решений неравенств, т.е. х € (-°°; -2] ^
X2
X2
- 5х-
- 5л:-
-6 ;
г ж +
% -х -
ю,
-10:
X2
- 6х
- 4х
-
+
16
4 <
>о,
0;
Ответ: (-оо; -2] w [8; +оо) ^ {2}.
б) Неравенство \х3 - 1| > 1 - х равносильно совокупности
- 1 > 1 - х,
- 1 > х - 1;
(х - 1)(х2 + х + 2) >
Решая первое не-
+ 1) < 0.
равенство, получим х е (1; +°°), а решением второго
неравенства является объединение промежутков (-°°; -1), (0; 1).
Тогда решением совокупности является (-°°; -1) ^
Ответ: (-оо; -1) w (0; 1) w (1; +оо).
5. Неравенства вида |/(дг)| > \g(x)\.
Так как обе части неравенства \f(x)\ > \g(x)\
неотрицательны при всех допустимых значениях х> то можно
возвести обе части неравенства в квадрат и получить
равносильное неравенство \f(x)\2 > \g(x)\2, т.е. ^(х) - g2(x) > 0,
(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) > 0. Полученное неравенство, не
содержащее модуля, чаще всего удобно решать методом
интервалов.
Пример 14. Решите неравенство:
а) \2х - 1| > \х + 2|; б) |3х - 2| < \х2 - Зх + 2|.
Решение, а) |2х - 1| > |jc 4- 2|. Возведём обе части
неравенства в квадрат: (2х - I)2 > (х + 2)2, (2х - I)2 - (х + 2)2 > 0,
(2х - 1 - (х + 2))(2x - 1+ (х + 2)) > 0, (х - 3)(3х + 1) > 0.
Решением неравенства является объединение
промежутков (-°°; ~-1 w (3; +оо).
^ 3 ^
Ответ: (-оо; -i) ^ (3; +«э).
б) \3х -2\> \х2 — Здс 4- 2|. Возведём обе части неравенства
в квадрат: (Зх - 2)2 > (х2 -Зх + 2)2, (х2 -Зх + 2)2 - (Зх - 2)2 <
19

Ответ: [3 - Jb ; 3 + Jb ] ^ {0}.
6. Метод замены переменной.
Пример 15. Решите неравенство:
а) х2 + 5|х| - 6 > 0; б) 4х2 - \2х - Ъ\2х - 3| + 15 < 0.
Решение, a) jc2 4- 5|jc| - 6 > 0. Пусть t = |дг|, тогда
неравенство примет вид t2 + 5t - 6 > 0; I . < _g Вернёмся к
прежней переменной: ' Решением первого
неравенства является объединение промежутков (—°°; —1),
(1; +°°), а второе не имеет решений. Значит, решением
исходного неравенства является объединение числовых
промежутков (-°°; -1) ^ (1; +°о).
Ответ: (-оо; -1) w (l; +oo).
б) 4х2 — 12л: — 5\2х - 3| ■+■ 15 < 0. Перепишем
неравенство в виде (2х - З)2 - 5\2х - 3| + 6 < 0. Пусть t = \2x- 3|,
тогда неравенство примет вид t2 - Ы + 6 < 0; 2 < t < 3.
Вернёмся к прежней переменной: 2 < \2х - 3| < 3. Полученное
неравенство равносильно совокупности
[2 < 2х - 3 < 3, [2,5 < х< 3,
[-3 < 2*-3< -2; [0< х< 0,5.
Ответ: [0; 0,5] ^ [2,5; 3].
7. «Раскрытие» знака модуля по определению (метод
разбиения на промежутки).
Пример 16. Решите неравенство:
а) Зх - 2\х + 1| + 5 > 0; в) \х + 5| - \х - 2| > 1;
б) |* - 3| + |х + 1| < 6; т)\х + 2\-\х-3\>2х-1.
Решение, а) Неравенство Зх - 2\х + 1| + 5 > 0
равносильно совокупности двух систем:
(2)
Зх + 2(х + 1) + 5 > 0;
х + 1 > 0,
Зх - 2(х + 1) 4- 5 > 0;
х
х > -3;
Ответ: [-1,4; +оо).
б) \х - 3| + \х +1| < 6. ОДЗ неравенства (множество R)
разбивается числами -1 и 3 (нулями подмодульных выраже-
20

ний) на три промежутка: (—°°; —1),
[-1;3],(3;+оо)(Рис. 10).
Исходное неравенство
равносильно совокупности трёх систем: Рис. 10
+ 3 + х'+ 1 < 6; 14 < 6; ' 1<х<3;
(3)1*>3> \Х> 3' 3<х<4.
Решением исходного неравенства является
объединение множеств решений трёх систем: х € [—2; 4].
Отв^т: [-2; 4].
в)|х + 5|-|х-2|> 1.0ДЗнера- х±Ь
венства (множество R) разбивается
числами -5 и 2 на три промежутка: ^"5N
(_оо; -5), [-5; 2], (2; +оо) (рис. Ц). Рис п
Исходное неравенство
равносильно совокупности трёх систем:
\х < -5, \х < -5,
(1) \-х -5 + х-2>1# 1-7
;5Л*Л2- 2 > 1; \7>-1 * 2> "I < * < 2;
>.,!?>;;*>»■
Объединяя множества решений систем неравенств,
получим промежуток (-1; +сю).
Ответ: (-1; +оо).
г)|х + 2|-|х-3|>2х-1.ОДЗ х + 2
неравенства разбивается числами ~ \S ^ ^>^+~х
-2 и 3 на три промежутка: (-со;-2), ~2 3 х-3
[J2; 3], (3; +оо) (рис.12). Рис. 12
Исходное неравенство равносильно совокупности
трёх систем:
\х<-2, \х<-2, х<_2.
х - 3 > 2х - 1; [х < —2;
(-2<х<3, _о^„^о.
21
/оч \Х > 3, (X > 3,
(3) \ , о , о \ о 1 1 ^ о нет решении.
v ' \х + 2 - х + 3 > 2х - 1; 1х < 3; F

Объединяя множества решений систем неравенств,
получаем промежуток (—°°; 3].
Ответ: (-оо; 3].
8. Неравенства вида \f(x) + g(x)\ > \f(x)\ + \g(x)\, \f(x) +
+ g(x)\ > \f(x)\ + \g(x)\, \f(x) + £(x)| < |/(x)| + \g(x)\, \f(x) + £(x)| <
Неравенство вида \f(x) 4- #(л:)| > |/(x)| 4- |#(jc)| не имеет
решений, так как модуль суммы двух выражений не
больше суммы модулей этих выражений.
Неравенство вида \f(x) + g(x)\ > \f(x)\ + \g(x)\
равносильно уравнению \f(x) + g(x)\ = \f(x)\ + |g(x)|.
Неравенство вида |/(х) 4- £(:r)| ^ |/(#)| + \g(x)\
выполняется при всех допустимых значениях х.
Неравенство вида \f(x) 4- g(x)\ < \f(x)\ + |^(jc)|
равносильно неравенству f(x)g(x) < 0 (свойство 6).
Пример 17. Решите неравенство:
б)
в)
3-2л:
х-1
4-
х2-2
х-1
>\х-1\;
2 -
- 4х\ + |2х - 3| > \х2 |
Решение, а) |л: - 1| > |3jc - 2| 4- |4jc - 3|. Неравенство
|2 - Злг| 4- |4х - 3| < |(2 - Зх) 4- (4х - 3)| равносильно
уравнению |2 - Злг| 4- \4х - 3| = |(2 - Зх) 4- (4х - 3)|. Сумма модулей
двух выражений равна модулю их суммы в том и только
том случае, если выражения имеют одинаковый знак,
т.е. (2 - Зх)(4х - 3) > 0; х е Г? ; ? 1.
L3 4 J
Ответ: Г|; |1.
б)
3-2л:
:2-2
лг-1
3-2*
> \х - 1|. ОДЗ неравенства: х ^ 1.
2-
Заметим, что
- 1, х ^ 1. Перепишем неравенство в виде
_(*-1)2 =„_
3-2л:
х-1
л:2-2
х-1
>
3-2* + л:2-2
х-1
х-1
Так как сумма модулей двух выражений не меньше
модуля суммы этих выражений, то данное неравенство
справедливо при всех допустимых значениях х, т.е.
решением неравенства является множество всех
действительных чисел, кроме 1.
Ответ: (-оо; 1) w (1; +оо).
22

в) \х2 - 4х| + \2х - 3| > \х2 - 6х + 3|; |х2 - 4х| + \2х - 3| >
> |(х2 - 4х) + (3 - 2дг)|. Сумма модулей двух выражений
больше модуля их суммы тогда и только тогда, когда эти
выражения разных знаков, т.е. (х2 - 4jc)(3 - 2х) < 0, х(х -
-4)(3 - 2х) < 0. Решением этого неравенства является
объединение промежутков (0; 1,5), (4; +°о).
Ответ: (0; 1,5) ^ (4; +оо).
Рассмотрим еще несколько неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Пример 18. Решите неравенство:
а) \х - 5| + Jx2 - 7х + 10 < 0; в) х2 - Ъх - ^ > 0.
Решение, a) |jc - 5| 4- V^ - 7х + 10 < 0. Так как при
всех допустимых значениях х левая часть
неотрицательна, то неравенство равносильно уравнению \х - 5| +
+ Jx2 - 7х + 10 = 0, т.е. равносильно системе
\Jx2 -7x +10 = 0;
Ответ: 5.
б) 5|1 - 2л:| < 8л:2 - 1 - 16л:4; 5|1 - 2х\ < -(4л:2 - I)2. Так
как левая часть неравенства принимает только
неотрицательные значения, а правая — неположительные, то не-
[511 - 2x1 = 0, Л к
равенство равносильно системе < ' о ' о ' л: = 0,5.
\-(4х2 - I)2 = 0;
Ответ: 0,5.
в) л:2 - 5л: - р^ > 0. Неравенство равносильно
совокупности двух систем:
(1)
>о,
- и,
- 5л: + 6 > 0;
X
X
х
X
X
х
>
<
>
<
<
>
0,
-1,
6;
0,
2,
" >
3;
х>
X <
6;
0.
Решением исходного неравенства является
объединение множеств решений систем, т.е. х £ (—°°; 0) ^ (6; +оо).
Ответ: (-оо; 0) ^ (6; +оо).
23

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ
\f(x)\, имея гра-
б) У
1. График функции у = \f(x)\.
Чтобы построить график функции у =
фик функции у = \f(x)\, нужно:
1) сохранить ту часть графика
функции у = |/(дг)|, где f(x) > О (т.е.
расположенную не ниже оси Ох);
2) отобразить симметрично
относительно оси Ох ту часть графика функции
у = f(x), где у = f(x) < О (т.е.
расположенную ниже оси Ох (рис.13)). Рис. 13
Пример 19. Постройте график функции у = \х2 - 6х +
+ 8| и укажите промежутки возрастания функции.
Решение. Графиком функции f(x) = а) у
= х2 - 6х + 8 служит парабола с
вершиной в точке (3; -1), ветви параболы
направлены вверх; (2; 0), (4; 0) — точки
пересечения параболы с осью Ox. f(x) < 0,
если х € (2; 4) (рис. 14, а).
Часть параболы, соответствующую
х € [2; 4], отображаем симметрично
относительно оси Ох (рис. 14, б).
Функция у = \х2 — 6х + 8| является
возрастающей на промежутках [2; 3], [4; +°°).
Ответ: [2; 3], [4; +оо).
2. График функции у = f(\x\).
Чтобы построить график функции у =
= f(\x\), имея график функции у = f(x),
нужно:
1) сохранить ту часть графика
функции у = f(x), где х > 0 (т.е.
расположенную не левее оси Оу). Ликвидировать
часть графика, соответствующую х < 0
(т.е. расположенную левее оси Оу);
2) отобразить сохранённую часть графика
симметрично относительно оси Оу (рис. 15).
Пример 20. Постройте график функции у = х2 - 4\х\ +
+ 3и укажите промежутки, на которых функция
положительна.
-AW)
24

Рис. 16
Решение. Графиком функции
f(x) = х2 - 4\х\ + 3 является парабола,
ветви которой направлены вверх;
(2; -1) — координаты вершины
параболы; А(0; 3) — точка пересечения
параболы с осью Оу (рис. 16, а).
Стираем часть параболы,
расположенную левее оси Оу, а оставшуюся
часть отображаем симметрично
относительно оси Оу (рис. 16, б). Функция
у = х2 - 4\х\ + 3 положительна на
промежутках (-оо; -3), (-1; 1), (3; + оо).
Ответ: (-оо; -3), (-1; 1), (3; +оо).
3. График функции у = |/(|я|)|.
Чтобы построить график функции у = |/(|дг|)|, имея
график функции у = f(x) (рис. 17, а), нужно применить
последовательно преобразования, необходимые для
построения графиков функций у = f(\x\) и у = \f(x)\:
1) сохранить ту часть графика функции у = f(\x\), где
х > О и f(x) > О (рис. 17,6);
2) отобразить симметрично относительно оси Ох ту
часть графика функции у = f(x), где х > О и f(x) < 0 (рис.
17, в);
3) выполнить симметрию относительно оси Оу
получившейся при х > 0 части графика (рис. 17, г).
в) у
г)
Рис. 17
Пример 21. Постройте график функции у = \х2 -* 4\х\\.
Укажите промежутки, на которых функция убывает.
Решение. 1) Строим график функ- а '
ции f(x) = х2-4х при х > 0 (рис. 18, а);
2) отображаем симметрично
относительно оси Ох часть графика,
расположенную ниже оси Ох (рис. 18, б);
3) отображаем получившийся
график симметрично относительно оси
Оу (рис. 18, в).
25

б) у
4
у = \х*-4х\1
012 3 4*
-4 -2 0
х2-4\:
1 2 3 4
Рис. 18 (окончание)
Функция у = \х2 - 4\х\\ убывает на промежутках
(_оо; -4], [-2; 0], [2; 4].
Ответ: (-оо; -4], [-2; 0], [2; 4].
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнение (1—16).
3. \х2 + х - 3| = х.
5.х2-4|:г+1|-41=0.
7.|х-7| + |х-5| = 2.
|5х21 =0.
4. х2 + х - 3 = \х\.
8. \х + 4| - |х - 9| = 7.
10. \х2-х-8\ = -х.
12. |2 - х\х\\ = (х- I)2.
5л:-2
11. \х2 - Зх - 5| = \х + 1|.
13. х2 - 6х - 3|х - 3| + 5 = 0.
14. \х2 - Ъх + 4| + |х2 - 5х - 6| = 10.
15. \х2 - 7х - 8| + |х3 - 5х - 4| = 0.
16. \2х2 - 7х + 5| = 20* - 25 - 4л;2.
Решите неравенство (17—30).
17. |3х2 - 1| < 5 - х. 18. х2 - |3лг - 7| - 7 > 0.
19. |2лг - 3| > лгЧ- 1.
О"| 1/у. о! _1_ I<y. Ql <* f\
^Х. |Л О| ~т~ |Х О| ^ О,
23. ||х-2|-5|>3.
25. х2 - 9|х| - 10 < 0.
27. \5х -7\>\х- 1|.
29. |3х - 6| + |4 - х\ < |2 -
20.
д:-2
|||
24. ||х + 2| + х| < 1.
26. 4х2 + 5\х\ - 9 > 0.
28. \х2 - 2| < \2х + 1|.
30.
4х- 7х + 2
+ Jl^x2 >0.
2л:-1
31. Найдите все целые значения х, удовлетворяющие
условию *2-61*1 + 5 <0.
л:2-8л:+ 16
26

32. Найдите все *, удовлетворяющие условиям:
\х2 4- 5х\ > 6 и \х + 1| < 3.
Найдите область определения функции (33-35).
1
Jx2 + |*| - 20 '
36. Постройте график функции у = х2 + 2х - \2х + 3|.
Укажите промежутки возрастания функции.
37. Постройте график функции у = х\2 - х\ — 1. Какие
значения принимает функция, если х е [-1; 2]?
38. Постройте график функции у = ||* + 2| - 1| - 3.
Укажите промежутки, на которых функция принимает
положительные значения.
39. Постройте график функции у = * ~ . Укажите
\х\ — 2
множество значений функции.
40. Постройте график функции у = \4х - х2\. Укажите
значения, которые функция принимает в четырёх
разных точках.
41. Постройте график функции у = |2|дг| — х2| — 1.
Укажите промежутки возрастания функции.
42. Постройте график функции
у = | V-1 - 1 ~ 1, если х < -1,
11 - 2|дг|, если х > -1.
Какие значения принимает функция, если х £ [-2; 1]?
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнение (1-16).
1.1|* - 2| 4- 4| = 5.
Решение. \\х - 2| + 4| = 5;
|* - 2| + 4 = 5,
\х - 2\ =
\х - 2| + 4 = -5; I*- 2| = -9;
второе уравнение совокупности не имеет решения, первое
уравнение имеет корни 1 и 3.
Ответ: 1; 3.
2.||* + 3|-7| = 2.
II oi ы о \\х + 3| - 7 = 2; г|* + 3| = 9;
Решение. \\х + 3| - 7| = 2; [|х + 8| _ 7 = _'2; [|я + 3| = 5.
27

Решая каждое из этих уравнений, найдём, что первое
из них имеет корни 6 и -12, а второе имеет корни 2 и -8.
Ответ: -12; -8; 2; 6.
3. \х2 4- х - 3| = х.
Решение, Уравнение \х2 4- х - 3| = х равносильно сие-
*>°, \х=Л;
[*2 = з, U = i.
lx2 4- 2л:- 3 = О;
теме
Гл:2 4- х - 3 = xf
lx2 4- х - 3 = -л:;
Ответ: 1; 7з.
4. л:2 4- х - 3 = |х|.
Решение, Уравнение х2 4- х - 3 = |л:| равносильно
совокупности двух систем:
•V, -8-х; ИЛИ (2) |х2<+°; - 8 - -х;
л2 + 2х - 3 = 0;
=\х=Л; (2)
Ответ: -3; 7з.
5. л:2 - 4|х 4- 1| - 41 = 0.
Решение, Уравнение л:2 - 4\х 4-1| - 41 = 0 равносильно
совокупности двух систем:
\х 4- 1 > 0,
(1М*2 -~4(* + 1) - 41 = 0 ИЛИ
[Х4-К0,
V Ч*2 + 4(л:4- 1)-41 = 0;
(1)
х 4- 1 > 0,
л:2 - 4л: - 45 = 0;
Ответ: -2 - 741; 9.
6. |2л:2 4- 5л: - 10| = 2л: - 5.
Решение, Уравнение |2х2 4- 5л: - 10| = 2л: - 5
равносильно системе
2л: - 5 > 0, |х > 2,5,
5л: - 10 = 2л: - 5, \\ 2х2 4- Зл: - 5 = 0,
5л: - 10 = 5 - 2л:; [12л:2 4- 7х - 15 = 0;
нет решений.
Ответ: нет решений.
л: > 2,5,
JC=1,
х = -2,5,
* = -5,
л:= 1,5;
28

7. \х - 7| + \x - 5| = 2.
Решение. Уравнение \х - 7\ + \х - 5| = 2 равносильно
совокупности трёх систем:
,-ч [х < 5, fjc < 5,
(1) ] „ ' _ \ _ нет решении;
[ ( X "г О X — £, [X — О,
х ^ 7, 15^x^7, рГк. 71.
х -г х о — z, iz — z,
[х > 7 fx > 7
(3) 1 ^ t'j- v * - 9. 1 v - 7' нет Решений.
IX i "г X О — с*, IX — «,
Ответ: [5; 7].
8. |х + 4| - |х - 9| = 7.
Решение. Уравнение |х + 4| - |х - 9| = 7 равносильно
совокупности трёх систем:
,1Ч|х<-4, \х<-4,
(1)< А . Л гт i 1о гг нет решении;
v ' |-х -4 + х-9 = 7; [—13 = 7; ^
4 < х < 9, (-4 < х < 9, _ Л
+ 4 + х-9 = 7; |х = 6; * ;
(3) w ^ a'- v 4- о - 7. I inT- 7. нет Решений.
[ХТ*± X Т ^ — ( , [Ю «,
Ответ: 6.
'* + Х+ 5х-2 ~ "
Решение.Уравнениех2 + 2х + 3 \*~} =
0равносильно совокупности двух систем:
(1)1* > |,
1х2 + 2х + 3 = 0;
-3 = 0;
«<!•
нет решений;
х<%- х—Ь:
X = 1,
Ответ: -3.
10. |х2 - х - 8| = -х.
Решение. Уравнение |х2 - х - 8| = -х равносильно
системе
^2 /v Q <%^
X X О — X,
х2 - х - 8 = х;
Ответ:-2^2; -2.
х2 - 2х - 8 = 0;
-2.
29

ll.|*2-3x-5| = |x + l|.
Решение. Уравнение \х2 - Зх - 5| = \х + 1| равносильно
совокупности
х2 - Зх - 5 = х + 1,
х2 - Зх - 5 = -х - 1;
Ответ: 2±УТ0; 1+75 .
2 -
6 = О,
- 2х - 4 = 0;
х = 2±Лб,
х= 1±75.
Решение. Уравнение |2 - х\х\\ = (х -I)2 равносильно со-
^j XX — IX II ,
ВОКуПНОСТИ _ / л ч2
Первое уравнение равносильно совокупности двух
систем:
mJ:r>0, \х > 0, 1 + Уз.
1 '12 - х2 = х2 - 2х 4- 1: [2х2 - 2х - 1 = 0; 2 '
Перепишем второе уравнение в виде х\х\ = 2 + (х - I)2.
Очевидно, что отрицательных корней уравнение не
имеет. Решим систему \ 2п ^ л\2 х==1»5'
[х* == А 4~ (х* ~~ 1) ;
Ответ: -0,5; 1,5; 1±_Л? .
Li
13. х2 - 6х - 3\х - 3| + 5 = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде (х - З)2 - 3\х -
- 3| - 4 = 0. Пусть t = \x- 3|, тогда t2 - 3^ - 4 = 0, t = -1 или
f = 4. Вернёмся к прежней переменной: уравнение \х - 3| =
= -1 не имеет корней, уравнение \х - 3| = 4 имеет корни
-1и7.
Ответ: -1; 7.
14. |х2 - Ъх + 4| + |х2 - 5х - б| = 10.
Решение. Перепишем уравнение в виде |6 + Ъх - х2\ 4-
4- \х2 - Ъх + 4| = 10. Так как сумма подмодульных
выражений равна правой части, то уравнение равносильно
системе неравенств J х х ^ ' Решением первого нера-
\х2 - Ъх 4- 4 > 0.
венства является промежуток [-1; 6], а второго —
объединение промежутков (-°°; 1], [4; 4-оо). Значит, решением
системы является [-1; 1] ^ [4; 6].
Ответ: [-1; 1] w [4; 6].
30

15. \х2 - 7х - 8| + \х3 - Ъх - 4| = 0.
Решение. Уравнение \х2 - 7х - 8| + \х3 - Ъх - 4| = 0 рав-
2 - 7х - 8 = 0,
носильно системе , о
Ь3 5 - 4 = 0.
Решением первого уравнения являются числа -1 и 8.
Подставив найденные значения во второе уравнение,
убедимся, что решением яцляется только -1.
Ответ: -1.
16. \2х2 - 7х + 5| = 20* - 25 - 4х2.
Решение. Перепишем уравнение в виде \2х2 - 7х + 5| =
= -(2х - 5)2. Уравнение равносильно системе
N2*2 _ 7х + 5| = о, 25
{-(2*- 5)2 = 0; * 2'5>
Ответ: 2,5.
Решите неравенство (17-30).
17. |3х - 1| < 5 - х.
Решение. Неравенство |3дг - 1| < 5 - х равносильно сис-
\3х - 1 < 5 - х, \х < 1,5, г , о 1 кч
1 Ь>-2; ^^(-2'Ь5).
Ответ: (-2; 1,5).
18. х2 - |3х - 7| - 7 > 0.
Решение. Перепишем неравенство в виде |3jc - 7| < х2 - 7.
Неравенство равносильно системе
\3х - 7 < х2 - 7, \х2 - Зх > 0,
\3х - 7 > 7 - х2; U2 + Зх - 14 > 0.
Решением первого неравенства системы является
объединение промежутков (-°°; 0], [3; +оо). Решением
второго неравенства является объединение промежутков
(-оо; ~3 "^1, Г~3 +^; +оо^. Пересечением множеств
решений неравенств является f-°°; '~^— 1 ^ [3; +оо).
Ответ: (-оо; ~3-^] w [3; +оо).
Решение. Неравенство \2х - 3| > х + 1 равносильно со-
2х - 3 > х + 1, х > 4>
вокупности 9v о < <v I. ^2
( 21
Ответ: 1-°°; ^ w[4; +oo).
31

20.
2jc-1
х-2
Решение. Неравенство
2х-1 ^ л
купности
х-2
2х-1
х-2
зо
2х-
х-
х+1
х-
-2
Зх-3
X
-2
-1
2
> 6
<
1 равносильно сово-
0.
Множеством решений первого неравенства является
объединение промежутков (-°°; -1], (2; +оо).
Множеством решений второго неравенства является промежуток
[1; 2). Объединяя решения неравенств, получим (-°°; -1] ^
Ответ: (-оо; -1] ^ [1; 2) w (2; +оо).
21.|jc-8| + |jc-3|<5.
Решение. Неравенство \х - 8| + \х - 3| < 5 равносильно
совокупности трёх систем:
(1)
(2)
х<г,
г < х < 8,
*>8,
х < 3,
х > 3;
3 < jc < 8,
5 < 5;
х > 8,
х< 8;
нет решений;
3 < х < 8;
нет решений.
(3)
Ответ: [3; 8].
22. 2х - 5 + 2\х - 3| > \х + 1|.
Решение. Неравенство 2х - 5 + 2\х - 3| > |х + 1|
равносильно совокупности трёх систем:
2х - 5 + 2(3 - х) > -(х + 1); \х > -2;
(2) |2х - 5 + 2(3 - х) > х + 1;\х < 0; '-1<*<0;
(3)I^>3, lx>3, 4
W|2x-5 + 2(х-3)> х+ 1; |х> 4; Х *в
Объединяя множества решений систем, получим
*€(-2;0)-(4;+оо).
Ответ: (-2; 0) ^ (4; +оо).
23. ||х - 2| - 5| > 3.
Решение. Неравенство \\х - 2| - 5| > 3 равносильно
совокупности
32

2| - 5 > 3,
\x - 2| - 5 < -3; \x - 2| < 2;
|jc - 2| > 8,
x - 2 > 8, .
x - 2 < -8,
-2 < x - 2 < 2;
x > 10,
x < -6,
0 < x < 4.
*e(-oo;-6)w(0;4)-(10;+oo).
Ответ: (-oo; -6) w (0; 4) ^ (10; +oo).
24. ||x + 2| + x| < 1.
Решение. Неравенство ||х + 2| -f x\ < 1 равносильно
системе
f|x + 2| + x < 1, f|x + 2| < 1 - x,
jx + 2| + x > -1; [|x + 2| > - x - 1;
x + 2 < 1 - x,
x + 2 > x - 1,
x + 2>-x-
x + 2 < x + 1;
i
Ответ: (-1,5; -0,5).
25. x2 - 9|x| - 10 < 0.
Решение, x2 - 9|x| - 10 < 0. Заменим переменную,
пусть £ = |x|, тогда t2 - 9t - 10 < 0, -1 < t < 10. Вернёмся к
прежней переменной -1 < |х| < 10, откуда х £ [-10; 10].
Ответ: [-10; 10].
26. 4х2 + 5|х| - 9 > 0.
Решение. 4х2 + 5|х| - 9 > 0. Заменим переменную,
пусть t = IxL тогда At2 + 5^ - 9 > 0, t < -- или £ > 1. Вер-
4
нёмся к прежней переменной |х| < -j или |х| > 1. Первое
неравенство не имеет решений, а множество решений
второго неравенства (-°°; -1) ^ (1; +°°).
Ответ: (-оо; -1) w (l; +oo).
27. |5х -7\>\х- 1|.
Решение. Неравенство |5х - 7| > |х - 1| равносильно
неравенству
- 7)2
- I)2;
I)2; (4х - 6)(6х - 8) > 0;
Ответ:
: ^-оо; ^ "L w Г|;
28. \x2 - 2| < |2x + 1|.
Решение. Неравенство |х2 - 2| < |2x + 1| равносильно
неравенству (x2 - 2)2 < (2x + I)2; (x2 - 2x - 3)(x2 4- 2x - 1) < 0.
2-2257и
33

Решив неравенство методом интервалов, получим х €
е(-1- 72;-1)-(-1+ V2;3).
Ответ: (-1 - J2 ; -1) w (-1 + 72 ; 3).
29. \3х - 6| + |4 - х| < |2 - 2х|.
Решение. Перепишем неравенство в виде |3jc - 6| + |4 -
-х\< \(3х - 6) + (4 - х)\. Так как \а\ + |Ь| < |а + Ь|, то
неравенство равносильно уравнению |3jc - 6| +14 - дг| = |(3х - 6) +
4- (4 - х)\9 которое, в силу свойства 6, равносильно
неравенству (Зх - 6)(4 - х) > 0, откуда получаем, что 2 < х < 4.
Ответ: [2; 4].
4х- 7х + 2
30.
Решение. Неравенство
полняется при всех допустимых значениях переменной,
т.е. при условии, что |^~ f^ ^ х е [-1; 1) ^ (|; lj .
Ответ: ['l;l)^(l;l\.
31. Найдите все целые значения х, удовлетворяющие
условию *!-6|*| + 5 < 0.
л:2-8л:+16
Решение. Перепишем неравенство в виде х "^М + 5 < о,
оно равносильно системе <x '*' ' Множеством
решений неравенства х2 - б\х\ -f 5 < О является
объединение промежутков (-5; -1), (1; 5). Тогда целыми решениями
исходного неравенства являются числа -4; -3; -2; 2; 3.
Ответ: -4; ±3; ±2.
32. Найдите все х, удовлетворяющие условиям:
\х2 + Ъх\ > 6 и \х + 1| < 3.
Решение. Первое неравенство равносильно совокуп-
х2 + Ъх > 6,
х2 + Ъх < -6;
ность, получим х € (-°°; -6) ^ (-3; -2) w (1; +оо).
Множеством решений неравенства \х + 1| < 3 является
промежуток [-4; 2]. Тогда множеством решений системы
является (-3; -2) ^ (1; 2].
Ответ: (-3; -2) ^ (1; 2].
34
ности


совокупНайдите область определения функции (33-35).
Jx2 + |х| - 20 '
Решение. Область определения функции у = V24 - х2 +
4- — задаётся системой неравенств
. Jx2 + |х| - 20
\ « ~ ,*, ' Множеством решений первого нера-
U2 + \х\ - 20 > 0.
венства является промежуток [—2 л/б ; 2 л/б ].
Множеством решений второго неравенства является
(-оо; -4) w (4; +оо). Значит, область определения
функции: D(y) = [-2 76 ; -4) - (4; 2 76 ].
Ответ: [-2 7б ; -4) ^ (4; 2 7б ].
Решение. Область определения функции г/
задаётся системой |3^2 " %~ 7
•
- х\ * 0.
х1 + |1х| 1х 1 + |1 х\ * 0.
Множеством решений неравенства Зх2 - 4х - 7 > 0 явля
ется (-ОО; -1] kj Г! ; +ooj; JC-l + |l~Jc|^O При Х> 1. Зна
Ответ: Г2|;
Решение. Область определения функции г/ =
задаётся системой
Множеством решений неравенства х2 - 2|дг| > 0 является
(-оо; -2] w {0} w [2; +оо); * - 2 +12 - х| * 0 при х > 2. Значит,
Щу) = (2; +оо).
Ответ: (2; + оо).
36. Постройте график функции у = х2 + 2х - \2х + 3|.
Укажите промежутки возрастания функции.
Решение. Зададим функцию у = х2 + 2х - \2х + 3|
кусочно:
о* 35

У
у=х2
= I -х2 + 2х - 1, если
Ix2 - 2х- 1, если х
Рис 20
+ 4x + 3, если х < -1,5,
х2 - 3, если х > -1,5.
Построим график функции (рис. 19).
Функция у = х2 + 2х - |2дг + 3|
возрастает на промежутках [-2; -1,5], [0; +оо).
Ответ: [-2; -1,5], [0; +оо).
37. Постройте график функции у =
= х\2 - jc| - 1. Какие значения
принимает функция, если х € [-1; 2]?
Решение. Зададим функцию у =
= дг|2 - х\ - 1 кусочно:
< 2,
2.
Построим график функции (рис. 20).
Если х е [-1; 2], то у е [-4; 0].
Ответ: [-4; 0].
38. Постройте график функции г/ = ||дг + 2| - 1| - 3.
Укажите промежутки, на которых функция принимает
положительные значения.
Решение. Чтобы построить график функции у = ||дг 4- 2| -
- 1| - 3, надо:
1) построить график функции у = |дг|;
2) сместить график вдоль оси Ох на 2 единицы влево,
получим график функции у = \х + 2|;
3) сместить полученный график вдоль оси Оу на 1
единицу вниз, получим график функции у = \х + 2| - 1;
4) отобразить часть
графика, расположенную ниже
оси Ох, симметрично
относительно оси Ох, получим
график функции у = \\х + 2| - 1|;
5) сместить график
функции вдоль оси Оу на 3
единицы вниз (рис. 21). Рис- 21
Функция у = ||jc + 2| - 1| - 3 принимает положительные
значения при х 6 (-°°; -6) ^ (2; +сю).
Ответ: (-оо; -6) ^ (2; +оо).
39. Постройте график функции у =
множество значений функции.
W^2
Укажите
(\х\ — 2^ + 1
Решение. Преобразуем функцию: у = bJ—J—_—L— , т.е.
\х\ — 2
36

0=1+
W-2
. Построим график функции
[/ = 1 + при х > 0 и отобразим его
симметрично относительно оси Оу (рис. 22).
У
-3;/0
:'
х\-1
х\-2
4
-^ |
4 х
Ответ: (-°о; i J ^ (1; +оо).
Рис. 22
Рис. 23
40. Постройте график функции i/ = |4jc - х2|. Укажите
значения, которые функция принимает в четырёх
разных точках.
Решение. Построим график
функции у = 4х - х2 и отобразим часть
графика, расположенную ниже оси Ох,
симметрично относительно этой оси
(рис. 23).
По графику находим, что значения
функции 0 < у < 4 принимаются в
четырёх разных точках.
Ответ: (0; 4).
41. Постройте график функции у = |2|дг| — х2| — 1.
Укажите промежутки возрастания функции.
Решение. Чтобы построить график
функции у = |2|дг| - х2\ - 1, надо:
1) построить график функции f(x) =
= 2х - х2 при х > 0;
2) построить график функции g(x) =
= f(\x\);
3) построить график функции у =
= \g(x)\;
4) построить график функции у = \g(x)\ - 1 (рис. 24).
Функция возрастает на промежутках [-2; -1], [0; 1],
[2; +оо).
Ответ: [-2; -1], [0; 1], [2; +оо).
42. Постройте график функции
= j J-х- 1 - 1, если х < -1,
У U - 2|х|, если х > -1.
Какие значения принимает
функция, если х 6 [-2; 1]?
Рис. 24
Г^о
Рис. 25
Решение. Если * <Е [-2; 1], то у е [-1; 1] (рис. 25).
Ответ: [-1; 1].
37

УРАВНЕНИЯ,НЕРАВЕНСТВА,
СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРОМ
Если в уравнение, неравенство или систему входят
коэффициенты, обозначенные буквами, то эти
коэффициенты называются параметрами. Давая параметрам
различные числовые значения, получаем разные уравнения
(неравенства, системы).
Рассматривая уравнение ах = 3, мы придаём буквам а
и х разный смысл, считая, что буквой х обозначена
переменная, а буквой а — некоторое фиксированное число,
значение которого в разных случаях различно.
Коэффициент а называют параметром, а уравнение называют
уравнением с параметром.
Решить уравнение (неравенство, систему) с
параметром — это значит для каждого допустимого значения
параметра найти множество всех решений данного
уравнения (неравенства, системы) или доказать, что их нет.
Два уравнения (неравенства, системы), содержащие
одни и те же параметры, называются равносильными, если:
1) имеют смысл при одних и тех же значениях
параметров;
2) каждое решение первого является решением
второго и наоборот.
Если данные уравнения (неравенства, системы) вовсе не
имеют решений, то они также считаются равносильными.
Приведём некоторый (не претендующий на полноту)
перечень типов заданий с параметром.
I. Решите уравнение, неравенство или систему с
параметром.
И. Определите количество корней уравнения при
различных значениях параметра.
В большинстве задач такого типа оказывается
возможным записать данное уравнение в виде f(x) = а или
f(x) = g(x, а) и решить задачу графически.
В первом случае строим график функции у = f(x) и
семейство прямых у = а, параллельных оси Ох. Находим
количество общих точек графика функции у = f(x) и
прямой у = а при разных значениях а и записываем ответ.
38

Во втором случае строим график функции у = f(x) и
семейство графиков функций у = g(x, а) при различных
значениях а. Далее поступаем, как в первом случае. Сами
корни при этом, как правило, не находятся.
III. Найдите все значения параметра, при которых
уравнение (неравенство, система) имеет единственное
решение, ровно два решения, не имеет решений,
выполняется при всех х и т.д.
IV. Найдите все значения параметра, при которых
данные уравнения или неравенства равносильны, одно
является следствием другого, имеют хотя бы один общий
корень и т.д.
V. Найдите все значения параметра, при которых
корни квадратного уравнения удовлетворяют поставленным
условиям (один корень меньше данного числа т, а другой
больше т; оба корня меньше т; оба корня больше т; один
корень является квадратом другого; сумма кубов корней
меньше числа q и т.д.).
Для решения поставленной задачи в простейших
случаях бывает достаточным воспользоваться теоремой Ви-
ета. В других случаях полезно обратиться к графику
квадратичной функции, выяснить направление ветвей и
положение вершины параболы при разных значениях
параметра.
Рассмотрим примеры решений уравнений,
неравенств и систем с параметром.
УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Пример 1. Решите уравнение ах + Зх = а2 + 4а + 3.
Решение. Преобразуем данное уравнение к виду
(а + 3)х = а2 + 4а + 3.
Мы имеем линейное уравнение, число корней
которого зависит от того, равен ли нулю коэффициент при х.
Поэтому рассмотрим два случая:
1) если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то уравнение примет вид
О • х = 0, его корнем является любое число;
2) если а + 3 ^ 0, т.е. а * - 3, то можно разделить обе
части уравнения на (а + 3); получим, что х = а + а* ,
% г а + 3
х = а + 1.
Ответ: если а = -3, то х 6 R; если а ^ - 3, то х = а + 1.
39

Пример 2. Решите уравнение ах - х + 6 = а2. .
Решение, Преобразуем уравнение к виду
(а - 1)х = а2 - 6.
Коэффициент при х зависит от параметра, поэтому
рассмотрим два случая:
1) если а - 1 = 0, т.е. а = 1, то уравнение имеет вид
О • х = - 5 — корней нет;
2) если а - 1 ** 0, т.е. а ^ 1, то можно разделить обе
части уравнения на (а - 1), получим, что х = Q .
а- 1
Ответ: если а = 1, то корней нет; если а ^ 1, то х =
= а2-6
а-1'
Пример 3. Решите уравнение Ь(Ь - 3)х = 9 - Ь2,
Решение, Коэффициент при х зависит от параметра,
поэтому рассмотрим два случая.
1. Ъ{Ъ - 3) = 0, т.е. Ъ = О или Ь = 3.
а) Если Ъ = 0, то уравнение примет вид 0 • х = 9 —
корней нет;
б) если Ъ = 3, то уравнение примет вид 0 • х = 0 —
корнем является любое число.
2. Если b(b - 3) 5й 0, т.е. & 5* 0 и & ^ 3, то можно
разделить обе части уравнения на b(b - 3); получим х = ~
- 3)
Ответ: если Ь = 0, то корней нет; если Ь = 3, то х 6 jR;
если b * 3, fc * 3, то х = -£±2 .
0
Пример 4. Решите уравнение 2х2 - Ъх - а = 0.
Решение, Уравнение 2х2 -5х-а = 0 является
квадратным при всех а, так как коэффициент при х2 не зависит
от параметра. Найдём дискриминант этого уравнения:
D= 25 + 8а. Количество корней квадратного уравнения
зависит от знака его дискриминанта. Рассмотрим три
случая: D < О, D = О, D > 0.
1. D< 0, т.е. 25 + 8а < 0, а < -3- . При а < -3- урав-
8 8
нение не имеет действительных корней.
2. D = 0, т.е. а = -3^ , тогда х = li .
40

3. D > 0, 25 + 8a > 0, т.е. a > -3 - , тогда уравнение име-
8
ет два корня х = -V + д в
4
Ответ: если а < -3- , то корней нет; если а = -3- , то
8 8
х = 1,25; если a > -з! , то х .
8 4
Пример 5. Решите уравнение (а + 1)х2 - 2х + 1 - а = 0.
Решение. Коэффициент при х2 зависит от параметра,
поэтому рассмотрим два случая:
1) если а + 1 = 0, т.е. a = -1, то уравнение примет вид
-2х + 2 = 0, х= 1;
2) если а+1^0,т.е.а^-1,то уравнение является
квадратным. Найдём его дискриминант: Dx = 1 - (1 - а)(а + 1) =
= а2. Дискриминант неотрицателен при всех а ^ -1.
Если Dx = 0, т.е. а = 0, то уравнение имеет один (два
совпадающих) корень л: = 1.
Если Dx ^ 0, т.е. а *■ 0 и a ^ -1, то уравнение имеет два
различных корня х = -^2 ; х = 1 или х = —2-.
а+1 1+а
Ответ: если а = -1, то х = 1; если а = 0, то х = 1; если
а ** 0, а ^ -1, то х = 1 или х = --^ .
Пример 6. Решите уравнение (Ь - 2)х2 - 4х + 1 = 0.
Решение. Коэффициент при х2 зависит от параметра,
поэтому рассмотрим два случая.
1. Если Ъ - 2 = 0, т.е. Ъ = 2, то уравнение примет вид
-Ах + 1 = 0, х = 0,25.
2. Если Ь - 2 ^ 0, т.е. Ъ *■ 2, то уравнение является
квадратным. Найдём дискриминант: Dx = 4 - l(b - 2) =
= 6 - Ь. Рассмотрим случаи: Dx < 0, Dx = 0, J^ > 0.
а) Dx < 0, т.е. 6 - Ъ < 0, Ъ > 6, уравнение не имеет корней.
б) !>! = 0, т.е. Ь = 6, уравнение имеет один (два
совпадающих) корень х = 0,5.
в) £>! > 0, т.е. b € (-°°; 2) ^ (2; 6), уравнение имеет два
различных корня х = ~ ^ — .
и — Z
Ответ: если b = 2, то х = 0,25; если & = 6, то х = 0,5;
если b > 6, то корней нет; если Ь 6 (-°°; 2) ^ (2; 6), то х =
Ь-2 '
41

Сформулируем алгоритм решения целого уравнения
с параметром.
1. Привести уравнение к стандартному виду и
проверить, зависит ли коэффициент при старшем члене от
параметра. Если зависит, то рассмотреть случай, когда он
равен нулю.
2. Решить уравнение при условии, что коэффициент
при старшем члене не равен нулю.
3. Объединить все полученные результаты. В ответе
для каждого возможного значения параметра должны
быть записаны формулы корней уравнения.
Пример 7. Решите уравнение:
a)*Z« =0; r)*2
х+4
х-1
б) *~4 =0;
х + 2а
0;
х + 2а 2х-а
Решение, a) °Ll2: = 0. Запишем условие равенства
дроби нулю:
\х - а = 0, \х = а,
. . _^ Л л . л Заметим, что если а = -4, то
х + 4 ^ 0; [д: ^ -4.
[jc = -4, „ . .
система примет вид \ . решении нет; если а ^ -4,
Jx = a,
то система j ' имеет решение х = a.
Ответ: если a = -4, то корней нет, если а ^ -4, то jc = a.
je — 4
б) --—— = 0. Уравнение равносильно системе
1х + 2а 5й 0; U ^ -2а.
Найдём, при каком значении а число 4 не является
решением системы: -2а = 4, а = -2. Если а = -2, то система
\ , ' не имеет решений; если а ^-2, то система \ . '
1х ^ 4 [х ^ —^а
имеет решение х = 4.
Ответ: если а = -2, то корней нет; если а ^ -2, то х = 4.
в) * ~а = 0. Уравнение равносильно системе
X СЛ
* 2
42

Рассмотрим три случая, когда хотя бы один из нулей
числителя совпадает с запрещённым значением и когда
они оба от него отличны.
1. Если а = 2, то система примет вид
х = -2, х = -2.
х*2;
2. Если -а = 2, т.е. а = -2, то система примет вид
х*2;
3. Если а 5* ±2, то система
= а,
= -а, имеет два
решения х = а, х = -а.
Ответ: если а = 2 или а = -2, тох = -2; если а ^ ±2,
то х = -а или л: = а.
х2-:
Г)
системе
= 0. Уравнение равносильно
а ' ' По теореме,
обратной теореме Виета, числа а и а 4- 1 являются корнями
уравнения х2 - (2а + 1)х + а(а + 1) = 0,
смотрим три случая.
1. Если а = 1, то система примет вид
х = а + 1, Рас-
* 1.
х = 2.
1;
2. Если а + 1 = 1, т.е. а = 0, то система примет вид
3. Если а 5* 1 и а & 0, то система <[х = а + 1, имеет
два решения х = а, х = а + 1.
Ответ: если а = 1, то х = 2; если а = 0, то л: = 0; если
а^0иа^1,тох = а или х = а + 1.
х ~(2а~ )х + а ~а
2л:-а
д)
системе
0. Уравнение равносильно
^~ ' По теореме, обрат-
43

ной теореме Виета, числа а и а - 1 являются корнями
уравнения х2 - (2а - 1)х + а(а - 1) = 0.
х = а,
х = а - 1, Рассмотрим три случая.
1. Если а = ^, т.е. а = 0, то система примет вид
= -1, х = -1.
х * 0;
2. Если а - 1 = ?, т.е. а = 2, то система примет вид
1;
= а,
3. Если а 5* 0 и а ^ 2, то система
= а - 1,
имеет два
решения х = а, х = а -1.
Ответ: если а = 0, то х = -1; если а = 2, то х = 2; если
а^0иа^2, тох = а или х = а - 1.
Пример8. Решите уравнение x2 + (l-Sa)x + 2a2-2a = Q
х2-4х + 3
Решение. Уравнение *2 + (1" За)* + 2д2~ 2а = о равно-
х2-4л: + 3
сильно системе \х] ' &а ' ^х + 2а^а " D = °' По тео-
\х2 - 4х 4- 3 * 0.
реме, обратной теореме Виета, числа 2а и а - 1 являются
корнями уравнения х2 - (За - 1)х 4- 2а(а - 1) = 0, а числа
1 и 3 — корнями уравнения х2 - 4х + 3 = 0. Тогда имеем
х = 2а,
х = а - 1, _ Л
_, 1 Рассмотрим все случаи, когда хотя бы одно
-г- ±,
х * 3.
из чисел 2а или а - 1 совпадает с числом 1 или 3, и когда
ни одно из чисел 2а и а - 1 не совпадает с числами 1 или 3.
1. Если 2а = 1, т.е. а = - , то система примет вид
Li
х= 1,
х = -0,5, _0 г
х * 3.
44

2. Если 2а = 3, т.е. а = 1,5, то система примет вид
х = 3,
* = 0,5, х = о,5.
х * 1,
х * 3.
3. Если а - 1 = 1, т.е. а = 2, то система примет вид
х = 4,
*-/• х-4.
X * 1,
х * 3.
4. Если а - 1 = 3, т.е. а = 4, то система примет вид
t* = 3' х-8.
*1
5. Если а ** 0,5, а ^ 1,5, а ^ 2, а ^ 4, то система
= 2а,
— а - , имеет два решения х = 2а, jc = а - 1.
^ 3
Ответ: если а = 0,5, то х = -0,5; если а = 1,5, то jc =
= 0,5; если а = 2, то х = 4; если а = 4, то х = 8; если а ^ 0,5,
а * 1,5, а ^ 2, а ^ 4, то jc = 2а или jc = а - 1.
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения
с параметром
1. Привести уравнение к виду 1^1 = 0.
2. Записать условие равенства дроби нулю: \К ^ q'
3. Рассмотреть все случаи, когда хотя бы один из
нулей числителя является и нулем знаменателя, и когда ни
один из нулей числителя не является нулем знаменателя.
4. Записать ответ, объединив все полученные
результаты.
Пример 9. Решите уравнение:
а) \2х - 5| = т - 3; в) \х2 - 2х - 2| = а - 1;
б) |6 - Зх| = а2 - 4; г) \х - 1| + \х - 4| = а.
Решение, а) \2х - 5| =т - 3. Количество корней
уравнения вида \f(x)\ = а зависит от знака правой части. Поэтому
рассмотрим три случая: m-3<0, m-3 = 0, т- 3> 0.
1. Если т - 3 < 0, т.е. т < 3, то корней нет.
45

2. Если тп - 3 = 0, т.е. т = 3, то уравнение примет вид
|2х-5| = 0, х = 2,5.
3. Если тп - 3 > 0, т.е. т > 3, то уравнение |2х - 5| = т -
_ т + 2
2х - 5 = т - 3, х
3 равносильно совокупности
2х - 5 = 3 - т;
2 '
8-т
2 '
Ответ: если т < 3, то корней нет; если т = 3, то х =
= 2,5, если 771 > 3, то х = т+ или х = .
б) |6 — Зх| = а2 - 4. Рассмотрим три случая: а2 - 4 < О,
а2 - 4 = 0, а2 - 4 > 0.
1. Если а2 - 4 < 0, т.е. а б (-2; 2), то уравнение не имеет
корней.
2. Если а2 - 4 = 0, т.е. а = ±2, то уравнение примет вид
|6-Зх| = 0,х = 2.
3. Если а2 - 4 > 0, т.е. а € (-<»; 2) w (2; +оо), То
уравнение |6 - Зх| = а2 - 4 равносильно совокупности
10-а2
6 - Зх = а2 - 4,
6 - Зх = 4 - а2;
3
2 + а
2
Ответ: если а £ (-°о; 2) ^ (2; +оо), то х = ——^- или х =
3
= +а ; если а = ±2, то х = 2; если а € (-2; 2), то корней нет.
3
в) |х2 - 2х - 2| = а - 1. Рассмотрим три случая: а - 1 < 0,
а-1 = 0, а-1>0.
1. Если а -1 < 0, т. е. а < 1, то уравнение не имеет корней.
2. Если а - 1 = 0, т.е. а = 1, то уравнение имеет вид
|х2 - 2х - 2| = 0, т.е. х2 - 2х - 2 = 0, х = 1±7з .
3. Если а - 1> 0, т.е. а > 1, то уравнение |х2 - 2х - 2| =
a - 1 равносильно совокупности
х2-2х-2 = 1-а
[*2 I 2х - 3 + а = 0* Решим УРавнение л:2 - 2х - 1 - a = 0.
£)! = !- (-1 -a) = 2 + а; так как a > 1, то Dx > 0. Значит,
уравнение имеет два корня х = 1 ± J2 + а .
Решим уравнение х2 - 2х - 3 + а = 0. Dx = 1 - (-3 + а) =
= 4-а.
Если а > 4, то Dj < 0, значит, при a > 4 корней нет.
Если а = 4, то Dx = 0, значит, уравнение имеет один
(два совпадающих) корень х = 1.
46

Если 1 < а < 4, то уравнение имеет два различных
корня х = 1 ± V4-a .
Ответ: если а < 1, то нет корней; если а = 1, то х =
= 1 ±л/3;если 1<а<4,тол:=1± J2 + а илих = 1 ± j4-a;
если а = 4, то jc = 1 или л: = 1 ± V2 + а , если а > 4, то jc =
г) |л: - 1| + \х - 4| = а. Корни двучленов х-1их-4
разбивают координатную прямую на три промежутка
(-оо; 1), [1; 4], (4; +°о). Данное уравнение равносильно
совокупности трёх систем:
\х<1 Iх К *'
(!) j i _ '. 4- =/,. I =5-a Найдём, при ка-
ких значениях параметра эта система имеет решение.
Очевидно, что при
5-а
> 1, т.е. при а < 3, система
решений не имеет, а при условии 5—^ < 1, т.е. а > 3, решением
системы является jc =
s - , . ^о ч ' Если а ^ 3, то сис-
}jc - 1 + 4 - jc = а; [3 = а.
тема решений не имеет, а если а = 3, то её решением
является промежуток [1; 4].
>4,
- 1 + х-4
(3)
а;
JC =
5 + а
Если
2
5 + а
< 4,
т.е. а < 3, то система не имеет решений, а если 9 _,
т.е. а > 3, то решением системы является х = + а .
с*
Ответ: при а < 3 корней нет; при а = 3х6[1;4]; при
Определите количество корней уравнения в
зависимости от параметра (10-11).
Пример 10. ||* - 3| - 2| = а.
Решение. Применим
графический способ решения.
Построим графики функций
г = ||дг - 3| - 2| и г/ = а (рис. 26). у = о _i)Pi 3 5 7 *
При а < 0 нет корней. у = а,~а<о"
При а = 0 два корня. рис 26
г/ = ||лг-3| -21
47

Рис-
При 0 < а < 2 четыре корня.
При а = 2 три корня.
При а > 2 два корня.
Ответ: нет корней при а < 0; два корня при а б
6 (2; +оо) w {0}; три корня при а = 2; четыре корня при а 6
6(0; 2).
Пример 11. 2 - |4 - \х + 1|| = а.
Решение. Применим графический способ решения.
Построим графики функций у = 2 -14 - \х +1|| и i/ = а (рис. 27).
Если а < -2, то два корня.
Если а = -2, то три корня. #J7_|»_?_>?
Если -2 < а < 2, то четы- Й"1"УК"
ре корня. .--^-'-■^
Если а = 2, то два корня. У/'у^-^'''^\^^'
Если а > 2, то нет корней. /У = а» а<~2
Ответ: нет корней при
а G (2; +°°); два корня при а е (-°°; -2) ^ {2}; три корня
при а = -2; четыре корня при а б (-2; 2).
Пример 12. При каких значениях параметра а
уравнение 4х - 8\х - 1\-\х- а\ = 0 имеет хотя бы один корень?
Решение. Перепишем уравнение в виде 4х - 8|дг - 1| =
= \х - а\. Применим графический способ решения.
Построим графики функций у = 4х - 8\х - 1| и у = \х - а\. За-
(12х - 8 при х < 1,
1-4jc + 8 при х > 1.
График функции у = \х- а\ получается из графика у =
= |дг| сдвигом вдоль оси Ох на а единиц (рис. 28).
Найдём, при каких
значениях а график функции у =
= \х - а\ пройдёт через точку
(l;4):4-|l-a|,[Jlg3f
Значит, при а б [-3; 5]
уравнение будет иметь хотя бы один
корень, а при а б (-°°; -3) ^
^ (5; Ч-оо) корней нет.
Ответ: а б [-3; 5].
Пример 13. При каких значениях параметра а
уравнение \х 4- а\ 4- 3|jc + 2| + 2х = 0 не имеет корней?
Решение. Перепишем уравнение в виде \х + а\ = - 3\х +
+ 2| - 2х. Применим графический метод решения.
Построим графики функций у = \х + а\иу = -3\х + 2| - 2х.
дадим первую функцию кусочно у =
Рис. 28
48

-|*+в|
/
-4\х +
\
^6 -
2|-2
У
/
\
х\
У =
а =
''' У =
а —
? /
02
Г6
в
\х-
6|,
2|,
График первой функции
получается из графика функции
у = \х\ сдвигом вдоль оси Ох на
-а единиц.
Вторую функцию зададим
кусочно
I* + 6 при х < -2,
У \-5х - 6 при х > -2
(рис. 29). Рис- 29
Найдём, при каких значениях а график функции у =
= \х 4- а\ пройдёт через точку (-2; 4): |-2 4- а| = 4.
I _ g ' При а € [-2; 6] графики функций имеют
общие точки, т.е. уравнение имеет хотя бы один корень;
при а е (-°°; -2) ^ (6; +оо) общих точек у графиков нет, т.е.
уравнение не имеет корней.
Ответ: а е (-°о; -2) ^ (6; +оо).
Пример 14. Найдите все значения параметра а, при
которых уравнения х2 + ах+1 = 0тл.х2 + х + а = 0 имеют
хотя бы один общий корень.
Решение. Пусть х0 — общий корень данных уравнений.
\х% +ахо4- 1 = 0,
Тогдаj g (!)
[ Xq 4- Xq 4- а == U.
Вычтем из первого уравнения второе, получим хо(а -
- 1) 4-1 - а = 0. Если а - 1 = 0, т.е. а = 1, то имеем х • 0 = 0,
любое значение х удовлетворяет уравнению. При а = 1
данные уравнения имеют один и тот же вид х2 4- х 4- 1 = 0,
но дискриминант этого уравнения отрицателен, т.е. при
а = 1 данные уравнения корней не имеют.
\хо(а - 1) 4- 1 - а = 0,
Если а ^ 1, то система 1^2, , _ п равно-
сильная системе (1), имеет решение х0 = а ~ , т.е. х0 = 1,
если I2 4- 1 4- а = 0, т.е. а = -2. Итак, данные уравнения
имеют общий корень (х = 1), если а = -2.
Ответ: а = -2.
Пример 15. Найдите все значения а, при которых
равносильны уравнения
х2 4- 2(а -1)х 4- а2 - 1а 4-12 = 0 и х2 4- (а2 - 5а 4- 6)х = 0.
Решение. Заметим, что х — 0 является корнем второго
уравнения. Так как уравнения равносильны, то х = 0
49

должно быть корнем и первого уравнения. Это возможно
лишь при условии а2 - 1а + 12 = 0, т.е. при а = 4 или а = 3.
Итак, уравнения могут быть равносильными только
при а = 3 или а = 4.
Если а = 3, то первое уравнение имеет вид х2 + 4х = О
и имеет корни х = 0 или х = -4; второе уравнение имеет
вид х2 + 0 • х = 0 и имеет единственный корень (второй
кратности) х = 0. Уравнения имеют разное множество
корней и потому не являются равносильными. Если а = 4,
то уравнения имеют вид
1) х2 + 6х = 0, х = 0 или х = -6;
2) х2 + 2х = 0, х = 0 или х = -2.
Уравнения вновь оказались неравносильными.
Ответ: ни при каких значениях а уравнения не
являются равносильными.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Пример 16. Решите систему уравнений:
\3х-6у=1, [3*-2*/ = 4,
}\Ъх-ау = 2; } \ах - (а - 1)у = 5.
Решение, а)
|3* - 6у - 1,
[5х-ау = 2;
(-5)
1(30 - За)у = 1.
Если 30 - За = 0, т.е. а = 10, то система примет вид
\3х -6у=1,
I * решении нет.
\0у=1,
Если 30 - За & 0, т.е. а ^ 10, то система
1
\3х - 6у = 1,
1(30 - За)у = 1
имеет решение
30-За'
12-а
30-За
Ответ: при а = 10 нет решений;
J3x-2i/ = 4, 1у = 1,5х-2,
; |ах - (а - 1)у = 5; (ах - (а - 1)(1,5х - 2) = 5.
Решим второе уравнение системы:
2ах - 3(а - 1)х + 4(а - 1) = 10, (3 - а)х = 14 - 4а. Если
3 - а = 0, т.е. а = 3, то уравнение 0 х = 14 корней не имеет.
Значит, при а = 3 система решений не имеет.
Если а ?* 3, то х = . Вернёмся к системе:
3 - а
50

X =
14-4а
3-а
3 12-а
у 2 30-За
14-4а
3-а
15-4а
3-а "
Ответ: если а = 3, то решений нет; если а ^ 3, то
14 -4а. 15-4
3-а ' 3-а
Пример 17. Найдите значения параметра а, при ко-
\у = ах •+■ 2
торых система «т „ , ' о имеет единственное ре-
\у = 1 - 4х - х2
шение* Найдите это решение.
Решение. Рассмотрим систему \ах ~ ^ ~ ~ х '
[у = ах + 2,
равносильную данной. Квадратное уравнение х2 + (4 +
+ а)л: +1=0 имеет единственный корень в том и только
том случае, если его дискриминант равен 0; D = (4 + а)2 -
- 4 = (6 + а)(2 4- а).
D = 0, если а = -6 или а = -2.
Если а = -6, то имеем систему № „ ' о т.е.
J [г/ == 1 - 4х - х2,
(1 - 4х - х2 = -6* + 2, f*2 - 2х + 1 = 0, 1 „ = _4_
[у = -бд: + 2; [г/ = -6л: + 2; 'у
единственное решение системы.
Если а = -2, то система имеет вид № ^ л ' о
м (г/ = 1 - 4х - х2;
(1 - 4х - х2 = -2л: + 2, Jjc2 + 2х + 1 = 0, + w = 4 —
1i/ = -2jc + 2; 1г/ = -2jc -h 2; 'у
единственное решение системы.
Ответ: если а = -6, то jc = 1, у = -4; если а = -2, то
ЗАДАЧИ,
СВЯЗАННЫЕ С РАСПОЛОЖЕНИЕМ КОРНЕЙ
КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА
Используем следующие обозначения: квадратичная
функция f(x) = ах2 + Ьх + с, а * 0; D = Ь2 - 4ас —
дискриминант квадратного трёхчлена ах2 + Ьх + с, хг и jc2 —
корни квадратного трёхчлена jcx < х2, х0 = - — —
абсцисса вершины параболы.
51

1
2
3
4
5
6
Постановка задачи
Оба корня меньше
некоторого числа А:
Хх < Х2 < А
Оба корня больше
некоторого числа Б:
Б < х1 < х2
Оба корня
принадлежат интервалу (Б; А)
Б < хг < х2 < А
Корни расположены
по разные стороны от
числа С хх< С < х2
Меньший корень
принадлежит (Б; А), а
другой нет
Б < хх < А < х2
Один корень
принадлежит (Б; А), а другой —
(С; D) В < хх < А,
С < х2< D
а > 0
Графические
иллюстрации
W/
xKl/*2 а х
U/
U /
Б *^Ч ; /Х2А х
\ /
ХЦ1/Х* х
\ /
В Х\А/Х2 х
В\АС / D
х\ */r2 х
Необходимые и
достаточные условия
D > 0,
хо<А,
КА) > 0
\D >0,
Uo>B,
1KB) > 0
D > 0,
Б<*0<А,
/(Б) > 0,
КА) > 0
КС) < о
J/(A) < 0,
1KB) > 0
/(Б) > 0,
КА) < 0,
КС) < 0,
/№) > 0
а < 0
Графические
иллюстрации
/ *0 \ А х
Х1/Т\х2
В / х0 \ х
Xl/T\x2
В/ х0 \АХ
Х1/ | \Х2
/С \ х
г Лг
xi/t V2 (
В/А \х
ш Xl/T\X2 , ,
Б /А С\ D х
Необходимые и
достаточные условия
D> 0,
/(А) < 0
D > 0,
«В) < 0
В<д:0<А,
/(В) < 0,
ЛА) < 0
ПО > о
If (А) > 0,
\f(B) < 0
/(В) < 0,
/(А) > 0,
ПО > 0,
Ш>) < 0
Обобщение
af(A) > 0
af(B) > 0
D > 0,
Б<хо<А,
' а/(Б) > 0,
af(A) > 0
af(C) < 0
fa/(A) < 0,
\af(B) > 0
a«B) > 0,
af(A) < 0,
" af(C) < 0,
аД1>) > 0

Пример 18. При каких значениях параметра а
уравнение х2 - 2(а - 1)х + 2а + 1 = 0 имеет два различных
отрицательных корня?
Решение. Заметим, что при всех
значениях а графиком функции у = ^
= х2 - 2(а - 1)х + 2а + 1 является
парабола, ветви которой направлены _
вверх. Изобразим схематично график
функции, удовлетворяющий условию
задачи (рис. 30). Для того, чтобы
корни были различны и отрицательны,
D> 0,
х0 < 0,
Рис. 30
а2 - 4а > 0,
а < 1,
необходимо и достаточно, чтобы
НО) > 0;
а < 0,
а > 4, Решением системы, а следовательно, и самой
а< 1,
задачи являются числа а из промежутка (—0,5; 0).
Заметим, что такую же систему мы получили бы, используя
теорему Виета
D> 0,
х2
хл
0;
(а - I)2 - (2а + 1) > 0,
2(а - 1) < 0,
2а + 1 > 0.
-2
Ответ: (-0,5; 0).
Пример 19. При каких значениях параметра а один из
корней уравнения 2х2 - х + а-1 = 0 меньше -2, а другой —
больше 1?
Решение. При всех значениях а
графиком функции у = 2х2 - х + а -
-1 = 0 является парабола, ветви
которой направлены вверх. Изобразим
схематично график функции, удов- рис# 31
летворяющий условию задачи (рис. 31).
Числа -2 и 1 расположены между корнями уравнения
!/<-2) < о,
1/(1) < 0;
(8 + 2 + а - 1 < 0, \а < - 9,
12 - 1 + а - 1 < 0; la < 0;
Ответ: (-°°\ -9).
тогда и только тогда, когда
а<-9.
53

Замечание. Требование D > 0 в данном случае было бы
излишним, так как наличие корней уравнения обеспечивается
тем, что на параболе есть точки, расположенные ниже оси Ох
(/(-2) < 0, /(-1) < 0) в то время как ветви параболы направлены
вверх.
Пример 20. При каких значениях параметра а
уравнение х2 - (За + 1)х + 2а2 + 4а - 6 = 0 имеет корни,
заключенные между числами -1 и 2?
Решение. Графиком функции у =
= х2 - (За + 1)х + 2а2 + 4а - 6 является
парабола, ветви которой направлены
вверх. Изобразим схематично график
функции, удовлетворяющий условию
задачи (рис. 32).
-1
V/ 2
Рис. 32
Для того, чтобы корни (не обязательно различные)
были заключены между числами -1 и 2 необходимо и
достаточно, чтобы
(За + I)2 - 4(2а2 + 4а - 6) > 0,
За + 1
D > 0,
-1 < х0 < 2,
/(-1) > 0,
Д2) > 0;
-1 <
< 2,
1 + За + 1 + 2а2 + 4а - 6 > 0,
4 - 2(3а + 1) + 2а2 + 4а - 6 > 0;
а2 - 10а + 25 > 0,
-1 < а < 1,
а < -4,
а> 0,5,
[а > 2.
Система решений не имеет. Значит, нет таких значений
а, при которых корни заключены между числами -1 и 2.
Ответ: таких значений нет.
Пример 21. При каких значениях параметра а
уравнение (а2 + За - 4)х2 - (За + 1)х +1 = 0 имеет два
различных корня одного знака.
Решение. Так как уравнение должно иметь два
различных корня, то оно является квадратным и а2 + За - 4 & 0.
Воспользуемся теоремой Виета. Чтобы квадратное
уравнение имело различные корни одного знака, необходимо и до-
<D>0 (3a+l)-4(a2 + 3a-4)>0,
статочно, чтобы
0.
1
а2 + За-4
> 0.
54

(5а2-6а + 17 > О,
\а2 + За - 4 > 0. Первое неравенство выполняется
при любом значении а, решением второго является
объединение промежутков (-о°; -4), (1; +оо). Тогда
решением системы, а, следовательно, и самой задачи является
a €(-oo;-4)w(l;+oo).
Ответ: (-оо; -4) w (l; +оо).
Пример 22. При каких значениях параметра а корни
уравнения (а2 + За - 4)х2 - (За + 1)х + 1 = 0 больше 1?
Решение. Рассмотрим два случая:
1) а2 + За - 4 = 0,
2) а2 + За - 4 * 0.
1) Если а2 + За - 4 = 0, то а = -4 или а = 1.
При а = -4 исходное уравнение имеет вид 11х + 1 = 0,
я = -— . Условие задачи не выполняется.
При а = 1 уравнение примет вид -4jc + 1 = 0, х = т .
4
Условие задачи не выполняется.
2) Если а2 4- За - 4 * 0, т.е. \ / /~\
а ** -4, а ^ 1, то уравнение явля- Т\37* Т/ \*
ется квадратным. Изобразим а) #)
схематично график функции у = рис ^
= (а2 + За - 4)х2 - (За + 1)х + 1,
удовлетворяющий условию задачи (рис. 33, а, б).
Для того, чтобы оба корня были больше 1, необходимо
и достаточно, чтобы
а2 + За - 4 > 0,
D > 0, или
хо> 1,
/(1) > 0
а2 + За - 4 < 0,
D>0,
/(1) < 0.
Заметим, что совокупность этих систем равносильна
системе
5а2 - 6а + 17 > 0,
D>0,
x
Q
За + 1
> 1,
<в» + За - 4)/(1) > 0; ^Т'^ 2 „ п
(а2 + За - 4)(а2 - 4) > 0;
-3)(2а-3) .п
а2 + За-4
(а + 4)(а + 2)(а - 1)(а - 2) > 0.
55

Решением неравенства ^_t—У_? 1 < О является
р (а1)(а + 4)
объединение промежутков (-4; -3), (1; 1,5). Решением
неравенства (а + 4)(а 4- 2)(а - 1)(а - 2) > 0 является
объединение промежутков (—°°; -4), (-2; 1) и (2; +оо). Тогда
система решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример 23. При каких значениях а неравенство ах2 -
— (2 + а2)х + 2а > 0 выполняется при всех х < -1?
Решение. По условию задачи множество решений
неравенства х < -1 должно содержаться в множестве
решений первого неравенства. Рассмотрим три случая: а = О,
а > О, а <0.
Если а = 0, то неравенство примет вид -2х >О,х<Ои
условие задачи выполняется.
Если а < 0, то графиком функции у = ах2 - (2 4- а2)х -f
+ 2а является парабола, ветви которой направлены вниз
(рис. 34). Ни при каких а < 0 данное неравенство не будет
выполняться для всех х < -1.
Рис. 34
Если а > 0, то графиком функции является парабола,
ветви которой направлены вверх (рис. 35).
£>0
£>0
-1 х -1 х
Рис. 35
Так как £> = (2 + а2) - 8а2 = а4 - 4а2 + 4 = (а2 - 2)2 > О,
то неравенство ах2 - (2 + а2)х + 2а > 0 выполняется при
2
всех л: < -1, если оба корня не меньше -1, т.е. [/(-1) > 0;
а > 0,
а < -2, а > 0.
а > -1.
{ 2а
[а + 2 + а2 + 2а > 0;
а2 + За + 2 > 0;
Значит, условие задачи выполняется при всех а > 0.
Ответ: [0; +оо).
56

НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР
Пример 24. Для каждого значения т решите
неравенство (2т - 4)х > 1т + 5.
Решение. Если 2т -4 = 0, т.е. т = 2, то неравенство
принимает вид 0 • х > 19 и решений не имеет.
Если 2т - 4 > 0, т.е. т > 2, то х > lm + 5A .
2m-4
Если 2т - 4 < 0, т.е. т < 2, то х < 1Ш±1.
Ответ: если т < 2, то х < ; если т = 2, то реше-
2т-4
ний нет; если m > 2, то л: > „т+ . .
2т-4
Пример 25. Для каждого значения Ь решите
неравенство *-± > 0.
х + 3
Решение. Применим метод интервалов. Рассмотрим
функцию f(x) = ^—■-. Требуется решить неравенство
х + 3
> 0. Область определения функции содержит все
действительные числа, кроме х = -3. Итак, х ^ -3.
Возможны три случая взаимного расположения
чисел Ъ и -3 на оси Ох.
1. Ъ < -3 (рис. 36). jc = 6 — нуль функ- -ipsf—^-\r^r .
ции. & ~3 х
Находим знак функции на каждом Рис. 36
промежутке оси Ох.
Если х > -3, то х > Ъ и f(x) > 0;
если &<jc<-3, тох-&>0, х + 3<0и f(x) < 0;
если х < Ь, то х < -3 и /(jc) > 0.
Итак, если & < -3, то х € (-оо; &] w (-3; +оо).
2. Если & = -3, то неравенство принимает вид ^£ > 0,
jc + 3
т.е. 1 > 0 и выполняется при любом значении х, не равном
-3.
Если Ъ = -3, то х € (-оо; -3) w (-3; +оо).
3. & > -3 (рис. 37). х = Ь — нуль функ- -ту^"^~л/~+~.
ции. Неравенство f(x) > 0 выполняется, -3 b *
если х е (-оо; -3) w [Ь; +оо). Рис. 37
Ответ: если Ь < -3, то jc 6 (-°°; Ь] ^ (-3; +°°); если Ъ =
= -3, то (-оо; -3) ^ (-3; + оо); если Ъ > -3, то (-оо; -3) w
w [&; +оо).
57

Пример 26. Для каждого значения а решите
неравенство (х2 - 9)(х -а)>0.
Решение. Применим для решения неравенства метод
интервалов.
1. Рассмотрим функцию f(x) = (х2 - 9)(х - а),
требуется решить неравенство f(x) > 0. Область определения
функции: х е R.
2. Находим нули функции: (х2 - 9)(х - а) = 0; хх = -3,
х2 = 3, х3 = а. Полученные нули функции следует
отметить на оси Ох. Отличительная особенность решения
неравенства с параметром состоит в том, что приходится
рассматривать разные возможные случаи расположения
числа а относительно чисел хх и х2 на оси Ох.
1. а<-3(рис. 38).
Если х > 3, то f(x) > 0; а -3
при переходе через каждый Рис. 38
нуль знак функции
изменяется, так как все нули
функции не являются кратными. ~3 3
Итак, если а < -3, то х € Рис. 39
<Е [а; -3] w [3; +оо).
2. а = -3 (рис. 39).Функ-
ция имеет нуль х = а = -3 3 а
второй кратности, при пере- Рис. 40
ходе через него знак
функции не меняется. _-ч/ + s^r-
Если а = -3, -3 3
то х е [3; +оо) ^ {-3}. Рис 41
3. -3 < а < 3 (рис. 40).
Если -3 < а < 3, ________
то х е [-3; а] ^ [3;+оо). Г^г-^ з~
4. а = 3 (рис. 41). Рис. 42
Если а = 3, то х е [-3; +оо).
5. а > 3 (рис. 42).
Если а > 3, то х <Е [-3; 3] ^ [а;+оо).
Ответ: если а < -3, тохб [а; -3] ^ [3; +°о); если а =
= -3, то х <Е [3; +оо) w {-3}; если -3 < а < 3, то х € [-3; а] ^
^ [3; +°°); если а = 3, то х е [-3; +°°); если а > 3, то х €
е [-3; 3] ^ [а; +оо).
Пример 27. При каких значениях а неравенство х2 -
- 4ах + 2а 4- 6 > 0 выполняется при всех значениях xl
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = х2 - 4ах + 2а + 6.
58

Требуется найти значения а, при которых f(x) > О при
любом х.
Графиком функции является парабола, ветви
которой направлены вверх.
Возможны три случая расположения
параболы относительно оси Ох (рис. 43).
В первом случае функция имеет два
нуля и принимает как положительные,
так и отрицательные значения и поэтому
не удовлетворяет условию задачи.
Во втором случае функция при одном
значении х обращается в нуль и поэтому
не удовлетворяет условию задачи.
В третьем случае функция не имеет
нулей и принимает только положительные
значения, что и требуется в задаче.
Квадратичная функция не имеет
нулей тогда и только тогда, когда
соответствующее квадратное уравнение имеет
отрицательный дискриминант.
Рис. 43
+\ - J+
-1Ч~—--1,5
Рис. 44
х2 - 4ах + 2а + 6 = 0, % = 4а2 - 2а - 6; 4а2 - 2а - 6 < 0;
4
2а2 - а - 3 < 0; 2а2 - а - 3 = 0, а = -1 или а = 1,5.
— < 0, если а е (-1; 1,5) (рис. 44).
4
Ответ: (-1; 1,5).
Пример 28. При каких значениях/? неравенстворх2 +
4- 2рх - 3 > 0 не выполняется ни при каких значениях х!
Решение. 1. Если/? = 0, то неравенство принимает вид
-3 > 0 и не выполняется ни при каких значениях х.
Значит, /? = 0 удовлетворяет условию задачи.
2. Если/? ^ 0, то неравенство является квадратичным.
Введем функцию f(x) =рх2 + 2рх - 3. Графиком
функции является парабола. Возможны шесть случаев
расположения параболы относительно оси Ох (рис. 45).
1) р>0, D>0 2) р>0, D = 0 3) р>0, D<0
\/
4) р<0,Л>0 5)
/V
6) p<0,D<0
Рис. 45
59

По условию неравенство f(x) > 0 не должно
выполняться ни при каких значениях х.
Значит, необходимо и достаточно рассмотреть пятый
и шестой случаи расположения графика функции
относительно оси Ох. Ветви параболы должны быть
направлены вниз (р < 0), общих точек с осью Ох либо не должно
быть (D < 0), либо может быть одна точка касания (D = 0).
рх2 + 2рх - 3 = 0; £ =р2 + Зр.
Решаем систему \Рр2\\ < 0;{?<^+'з) < 0; ~3<Р<0-
Вспомним, что р = 0 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: [-3; 0].
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ
Приведём примеры решений систем неравенств,
содержащих параметр.
Пример 29. Найдите все значения параметра т, при
[5х>15,
которых множество решении системы < п о п со-
держит четыре целых числа.
(* > 3,
Решение. Решим систему неравенств: < п 0 '
\х > 3,
\х < Ът.
Рассмотрим различные случаи расположения чисел 3
и Ът на координатной прямой (рис. 46).
>чччч 3 ч хххххххххх 7^
Ътп 3 эс Ътп, эс 3 4 5 6 5#i8 эс
Рис. 46
1. Если Ът < 3 (рис. 46, а), т. е. т < 0,6, то система
решений не имеет.
2. Если Ът = 3 (рис. 46, б), т. е. т = 0,6, то система
решений не имеет.
3. Если Ът > 3 (рис. 46, в), т. е. m > 0,6, то решением
системы служит числовой промежуток (3; Ът). На
промежутке (3; Ът) должны содержаться целые числа 4; 5; 6; 7.
Значит, 7 < Ът < 8, т. е. 1,4 < т < 1,6.
Omee/n:(l,4; 1,6].
60

Пример 30. Найдите все значения параметра Ъ, при
2х - 3 < 5,
которых система неравенств <. _ , > имеет решения
Решение. Решаем данную систему: 1 о ^ ,
[ ох ^ о\
Если - < 4, т.е. Ъ < 12, то решением системы служит
3
числовой промежуток
[И-
Если |=4, т.е. Ъ = 12, то х = 4.
о
Если - > 4, т.е. Ь > 12, то решений нет.
3
Чтобы система имела решения, необходимо и
достаточна выполнения условия - < 4, т.е. Ъ < 12.
3
Ответ: (-оо; 12].
Пример 31. При каких значениях параметра р систе-
\Х _ л > 1
ма неравенств J 2 ^ 3 ' не имеет решений?
|р - 2х > 0
Решение. Выражаем множество решений системы через
параметр/?:
х<Рг
(рис. 47). <,„„„„„„£ х
Система не будет иметь решений, ~3~ 2
р ^ 8 /16 Рис. 47
если £ < ^ , т.е. р < -^-.
2 3 3
Ответ: -°°; -^ .
Пример 32. При каких значениях параметра а систе-
\х2 - 16 < 0, «о
ма s i , ^ не имеет решении?
\\х\>а
Решение. \\ \ > ' Если а < 0, то |л:| > а при всех х € R
и система имеет решения.
Если а > 0, то |х| > а при L. < _д Если 0 < а < 4, то сис-
W < 4,
> а, имеет решение х £ (-4; —а] ^ [а; 4) (рис. 48, а).
тема
< -а
61

Если а > 4, то система
(рис. 48, б).
а) 7=)—
М<"4,
х > а, не имеет решений
х < -а
И-
б)
-4 -а 6 а 4 * -а -4 0 4 а *
Рис. 48
Ответ: [4; 4-оо).
ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения (1-20).
2. тх 4- 1 = х 4- т2.
3. 9(3* - 1)а2 - (21* - 19)а 4- 2(х - 1) = 0.
4. х2 - 2ах 4- х + а = 5.
5. х2 - (За + 6)х + 2а2 + 11а + 5 = 0.
6. х2 4- 2х - 8 - а(х - 4) = 0.
7. х2 - 2(а - 1)х + 2а + 1 = 0.
8. (а + 1)х2 4- 2(а + 1)х + а - 2 = 0.
9. (а - 1)х2 4- 2(а 4- 1)jc 4- а - 2 = 0.
10. ах2 4- (2а - 3)х 4- а 4- 1 = 0.
-g-g х2-(3-а)д:-3а _ п
jc-4
За-f 2
- 1
-2а2-2 =
jc2-3jc-4
14
3m
д:2-4
15
' л:2-2(а-1)л: + 2а-
16.|4-2x| = a + l.
17. |jc + 1| - \x + 2| = a.
18.|x2-6x| = a-2.
19. |jc - 4| + a2|x| = 0.
20. |jc - 3 + a\x\ = 0.
62

21. Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение х2 - а\х\ - а + 3 = 0 имеет решение.
22. При каких значениях параметра а уравнение
ах2 + 2(а + 3)х + За + 3 = 0 имеет единственный корень?
23. При каких значениях параметра а уравнение (а -
- 2)х2 + 2xJlO-a2 +1 = 0 имеет два различных корня?
24. Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение ах + 3 = |5 -|2 - Здг|| имеет не менее трёх
различных корней.
25. Определите количество корней уравнения ах + ± =
= ||2дг - 1| - 5| в зависимости от параметра а.
26. Прямая Зх - 4у = а, где а — некоторое число, ка-
сается гиперболы у = - в точке с положительной
абсциссой. Найдите а.
27. Прямая Ъх - 2у + а = 0, где а — некоторое число,
касается гиперболы у = — в точке с отрицательной
ординатой. Найдите а.
Решите систему уравнений (28-29).
28 J3*-2j, = 6 29.|а* + г/ = "'
[ах + у = - 3. [х + ах = 1.
При каких значениях параметра а система уравнений
имеет единственное решение? Найдите его (30-32).
Ux + Зу = 5, t jx + г/ = а,
[jc + г/ = а.
Определите количество решений системы в
зависимости от параметра (33-36).
lax + (a + 3)y = 3a - 1. ' U2 + y2 = 1.
f r2 4. ;/2 = Л ( r2 4- 7/2 =
1у - \х\ = а. " [у - \х - а\ = 0
37. При каких значениях параметра а число -1
заключено между корнями уравнения (а2 - 1)х2 + (2а + 1)х -
-3 = 0?
38. При каких значениях параметра а система
\ах2 - 2х + 5 > 0, н
63
не имеет решений?
I х -^ о

39. При каких значениях параметра а система нера-
[|х2|<3, „о
венств v о J л не имеет решении?
\х2 - Ъх + а > 0 ^
Решите неравенство при всех значениях а (40-44).
40. ах - а2 - 2а > 0. 41. (а - 1)х + а2 < За - 2.
42. (а + 2)х - а2 - 5а > 6. 43. ?—?• > 0.
л:- 1
44. (2х + а) 7^- 1 >0.
45. При каких значениях параметра Ъ система нера-
\2х - 5 < 1 - xf o
венств s , , ^ о , - имеет решения?
\х + Ь < 2х + 1 н
46. При каких значениях параметра m система нера-
4 - Зх < 12 + х,
венств
Зх не имеет решений?
-1
При каких значениях k система неравенств имеет
ровно два целых решения (47-50)?
(5 + х> 3, (10 + 2х> 1-х,
\х - 4 < k - 8. °' U + 7 > ft 4- 2х.
7-2х<4-х, (8-Зх<5-2х,
5OU
Решите систему неравенств при всех значениях
параметра а (51-53).
| 5 - 6х < Зх - 4, 52 ( 9х - 3 > Ъх + 9,
12 + Зх < а + 2х. ' 12а - х > 4 - Зх.
[ 5 - Зх > 2 - 2х,
54. При каких значениях т система неравенств
12(т - Зх) < 4 - х,
\-±_х > 2 + 3(х - т) имеет хотя бы одно решение?
12
РЕШЕНИЕ
ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решите уравнения (1-20).
1.4 + Ьх = Зх+1.
Решение. Перепишем уравнение в виде (Ь - 3)х = -3.
Рассмотрим два случая:
1) если b - 3 = 0, т.е. Ь = 3, то получим х 0 = - 3 — нет
решений;
64

2) если b - 3 * 0, т.е. Ъ * 3, то х = -J
b-3
о
Ответ: при Ъ = 3 решений нет; при Ь ^ 3, х = -—:
Ь3
2. тх + 1 = х + т2.
Решение. Перепишем уравнение в виде (т — 1)х =
= т2 - 1. Рассмотрим два случая:
1) если т - 1 = 0, т.е. т = 1, то получим х • 0 = 0, х б jR;
2) если т - 1 ^ 0, т.е. m s* 1, то х = m , х = тп + 1.
т- 1
Ответ: если тп = 1, то х е R; если т & 1, то х = т + 1.
3. 9(3х - 1)а2 - (21* - 19)а + 2(х - 1) = 0.
Решение. Преобразуем уравнение (27а2 - 21а + 2)л: =
= 9а2 -19 + 2.
(9а - 1)(3а - 2)х = (9а - 1)(а - 2). Рассмотрим 2 случая:
1) (9а - 1)(3а - 2) = 0, т.е. а = 1 или а = |;
а) при а = - уравнение имеет вид х • 0 = 0, значит, х е R;
у
б) при а = - уравнение имеет вид х • 0 = 5 • (~- ), нет
3 ^ 3 '
корней;
1 Р
2) если (9а -1)(3а - 2) ^ 0, т.е. а ^ - , а ^ - , то можно
у о
разделить обе части уравнения на (9а - 1)(3а - 2),
получим х = а ~
если
За-2
т: ес
а^тох= а~
1 2
Ответ: если а = - , то х е R; если а = - , то нет корней;
У о
9 3 За-2
4. х2 - 2ах + х 4- а = 5.
Решение. Приведём уравнение к виду х2 - (2а - 1)х 4- а -
-5 = 0. При всех значениях параметра а уравнение
является квадратным. Найдём его дискриминант: D = Ь2 - 4ас,
D = (2a- I)2 - 4(а - 5) = 4а2 - 8а + 21 = 4(а - I)2 4-17 > 0.
Значит, при любом а уравнение имеет два различных
5. х2 - (За + 6)х + 2а2 + 11а + 5 = 0.
Решение. Уравнение является квадратным при всех а.
Найдём дискриминант: D = (За + б)2 - 4(2а2 + 11а + 5) =
3-2257И 65

= а2 - 8а + 16 = (а - 4)2. D = О при а = 4, тогда х = 9.
Ответ: если a = 4, то х = 9; если а ^ 4, то х = 2а + 1,
= a + 5.
6. х2 + (2 - a)x + 4a - 8 = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде х2 + (2 -
4- 4а - 8 = 0. Уравнение является квадратным при всех а.
Найдём его дискриминант:
D = (2 - а)2 - 4(4а - 8) = а2 - 20а 4- 36 = (а - 2)(а - 18).
Рассмотрим три случая: D < 0, D = 0, D > 0.
1) D < 0, т.е. (а - 2)(а - 18) < 0, а € (2; 18). Если
а 6 (2; 18), то корней нет.
2) D = 0 при а = 2 или а = 18;
а) если a = 2, то уравнение имеет вид х2 = 0, х = 0;
б) если a = 18, то уравнение примет вид х2 - 16х + 64 =
= 0, х = 8.
3) D > 0, если a G (-°о; 2) ^ (18; +оо). Уравнение имеет
два различных корня х = ^-1—~ ~——
Ответ: если a 6 (2; 18), то нет корней; если a = 2, то
х = 0; если a = 18, то х = 8; если a G (-оо; 2) w (18; +оо), то
= a-2±Va2-20a
7. х2 - 2(a - 1)х + 2a + 1 = 0.
Решение. Уравнение является квадратным при всех
значениях а. Найдём дискриминант: D = (а -I)2 - (2а +
+ 1) = а2 - 4а = а(а - 4).
1. D < 0, если а(а - 4) < 0, т.е. а 6 (0; 4) Значит, при
a 6 (0; 4) уравнение корней не имеет.
а) если a = 0, то уравнение примет вид х2 4- 2х 4-1 = 0,
i = -l;
б) если a = 4, то уравнение примет вид х2 - 6х + 9 = 0,
3. D > 0, если a(a - 4) > 0, т.е. a e (-<»; 0) ^ (4;+оо).
Значит, при a 6 (-°°; 0) ^ (4; +°о) уравнение имеет два
различных корня х = a - 1 ± л/a2 -4а .
66

Ответ: если а = 0, то х = -1; если а = 4, то х = 3; если
а G (0; 4), то нет корней; если а € (-°°; 0) ^ (4; +°°), то х =
= а-1±7а2-4а.
8. (а + l)x2 + 2(а + 1)х + а - 2 = 0.
Решение. Коэффициент при х2 зависит от параметра.
Рассмотрим два случая:
1. Если а + 1 = 0, т.е. а = -1, то уравнение примет вид
0 • х = 3. Значит, при а = -1 нет корней.
2. Если а + 1 ^ 0, т.е. а ^ 1, то уравнение является
квадратным. Найдём его дискриминант: D = (а + I)2 -
а) D < 0 при а < -1. Значит, при а < — 1 нет корней.
б) Так как а * -1, то D * 0.
в) D > 0 при а > — 1. Значит, при а > -1 уравнение имеет
-а - 1 ± л/За + а
два различных корня х 7 „
а + 1 а + 1
Ответ: если а < - 1, то нет корней; если а > -1, то
1 . ТЗаТа
а + 1 '
9. (а - 1)х2 + 2(а + 1)х 4- а - 2 = 0.
Решение. Старший коэффициент зависит от
параметра. Рассмотрим два случая: а-1 = 0иа-1^0.
1. Если а - 1 = 0, т.е. а = 1, то уравнение примет вид
4х- 1 = 0, х = 0,25.
2. Если а - 1 5* 0, т.е. а ^ 1, то уравнение является
квадратным. Найдём его дискриминант: D = (а + I)2 -
2) = 5а-1.
а) D < 0 при а < - . Значит, при а < - уравнение не
о о
имеет корней.
б) D = 0 при а < -, тогда уравнение имеет один (два
5
совпадающих) корень х = 1,5.
в)1)>0приае (1; 1)^(1; +°°). Значит, приае (1; 1)^
^ (1; +оо) уравнение будет иметь два различных корня
^_ -а - 1 ± л/5а- 1
Х" ^1 '
Ответ: если а < 0,2, то корней нет; если а = 0,2, то
х = 1,5; если а = 1, то х = 0,25; если а G (0,2; 1) ^ (1; +°°),
а- 1
67

10. ах2 + (2а - 3)х + а + 1 = 0.
Решение. 1. Если а = 0, то уравнение примет вид
-Зх + 1 = 0, х = 1.
3
2. Если а ?* 0, то уравнение является квадратным.
D = (2а - З)2 - 4а(а + 1) = -16а + 9.
9 9
а) D < О при а > — . Значит, при а > — уравнение не
16 16
имеет корней.
о
б) D = 0 при а = —- . Уравнение имеет один (два совпа-
16
дающих) корень х=\.
3
в) D > 0 при а <Е (-оо; 0) w (Ъ; ^ 1. Значит, при а €
^ 16 ^
( Q \
G (-°°; 0) ^ I 0; -^ I уравнение имеет два различных корня
^ 16 ^
2а
Ответ: если а € (-°°; 0)^(0; -- ), то х =
v 16 /
-2а+3±79-16а
есди а = 0тох= есди а = ^ , то
2а о 1о
К Q
х = ^ ; если а > -^ , то нет корней.
3 16
г1 х2-(3-а)х-3а = 0
х-4
Решение. Уравнение х -(3-q)*~3q = о равносильно
х - 4
системе-- " (S - а)* - За - О,
= -а,
1. Если -а = 4, т.е. а = -4, то система примет вид
2. Если -а ^ 4, т.е. а ^ -4, то система
х = -а,
х = 3, имеет
* 4.
два решения х = -а, х = 3.
Ответ: если а = -4, то х = 3; если а ^ 4, то х = 3, х = -а.
12 *2-(2а + 3);г + а2 + 3а + 2 = q
л:- 1
68

Решение. Уравнение ^-(2a + 3)x+^ + 3a + 2 = Q рав.
носильно системе
1. Если a + 1 = 1, т.е. а = О, то система имеет вид
х=1,
х = 2, х = 2.
х * 1.
2. Если a + 2 = 1, т.е. a = —1, то система примет вид
х
х = 0.
3. Если а ^ 0, а ^-1, то система ^[х = а + 2, имеет два
решения x = a + l,x = a + 2.
Ответ: если а = -1, то х = 0; если а = 0, то х = 2; если
а * 0, а * -1, то х =а + 1, х = а + 2.
Решение. Уравнение *2 (За 1)* + 2а2 2 = Q paBH0.
л:2-Зл:-4
сильно системе
[х = 2а - 2,
fx2 - (3a - l)x + (2a - 2)(a + 1) = 0,
x = a + 1,
0;
4.
1. Если 2а - 2 = -1, т.е. а = 0,5, то система примет вид
У = —1
Л, JL,
г*-1,'лг- 1,5.
2. Если 2а - 2 = 4, т.е. а = 3, то система примет вид
х = 4, нет решений.
у j£ 4 •
3. Если а + 1 = -1, т.е. а = -2, то система примет вид
**-1, х = -6.
69

4. Если а +1 = 4, т.е. а = 3, то система не имеет решений.
х = 2а - 2,
5. Если а 5* 0,5, а ^ 3, а ^ -2, то система х = а + 1,
г ^ -1,
г * 4
имеет два решения х = 2а-2, х = а + 1.
Ответ: если а = 0,5, то х = 1,5; если а = -2, то х = -6;
если а = 3, то нет корней; если а ^ 0,5, а ^ 3, а ^ -2, то л: =
= 2а-2,х = а + 1.
14 х2-(2т + 3)х + т2 + 3т = q
*2-4
Решение. Уравнение —
сильно системе
л:2-4
=0равно-
\х2 - (2т + 3)х + /n(/n + 3) = 0,
х =
х = /n + 3,
U2-4*0;
1. Если ттг = 2, то система примет вид
х * 2,
х * -2.
х * 2, х = 5.
х ^ -2.
2. Если тп = -2, то система примет вид
= +1,
х * 2, х = 1.
* -2.
3. Если ттг + 3 = 2, т.е. ттг = -1, то система примет вид
х ^ 2, х = -1.
х ^ -2.
4. Если т + 3 = -2, т.е. т = -5, то система примет вид
х * 2, х = -5.
х * -2.
5. Если т & 2, m ^ -2, тп ^ -1, m 5* -5, то система
frx = m,
1[ х = т + 3, имеет два решения x = m,x = m + 3.
1**2,
Ijc ^ -2
Ответ: если m = -5, то х = -5; если тп = -2, то х = 1;
если т = -1, то х = -1; если m = 2, то х = 5; если m ^ 2,
771 ^ -2, 771 5* -1, 771 5* -5, ТО X = 771, X = 771 + 3.
70

15. *2 + (a-2)*-2a = 0>
x2-2(a- X)x + 2a-2
Решение. Уравнение x2 + (a-2)x-2a
x2-2(a-l)x + 2a-
paBH0_
сильно системе
\x2 + (a - 2)x - 2a = 0, * = -a,
U2 - (2a - l)x + 2a - 2 * 0; x * -1,
x * 2 - 2a.
1. Если 2 - 2a = 2, т.е. a = 0, то система примет вид
[* = 2,
х * -1, х = 0.
л: * -2;
2. Если -а = —1, т.е. а = 1, то система примет вид
х = —1
х * -1, х = 2.
3. Если -а = 2 - 2а, т.е. а = 2, то система примет вид
х * -1, х = 2.
х * 2;
4. Если а ^ 0, а ^ 1, а ^ 2, то система
= -а,
имеет
2 -2а
два решения х = 2, х = -а.
Ответ: если a = 0, то х = 0; если a = 1, то х = 2; если
a = 2, то jc = 2; если а ^ 0, а ^ 1, а ^ 2, то jc = 2, х = -а.
16.|4-2х| = а + 1. '
Решение. |4 - 2jc| = а + 1. Если а 4-1 < 0, т.е. а < -1, то
нет корней.
Если а + 1 = 0, т.е. а = -1, то уравнение примет вид
Если a + 1 > 0 т.е. a > -1, то уравнение |4 - 2х\ = а + 1
3-а
4 - 2* = а + 1,
равносильно совокупности
4 - 2х = -а - 1;
х =
5 + а
Ответ: если а < -1, то корней нет; если а = -1, то х =
если а > -1, то х = ^ Q , jc = —--^ .
2 2
71

17. |х + 1|-|х + 2| = а.
Решение. |х + 1| - |х + 2| = а. Корни двучленов х + 1и
х Л- 2 разбивают числовую прямую на три промежутка
(-°°; -2], (-2; -1), [-1; +оо). Данное уравнение
равносильно совокупности трёх систем.
[х < -2, [х < -2,
- , , о \л Если а ^ 1, тореше-
х - 1 + х + 2 = а; ) 1 = а. к
ний нет. Если а = 1, то решением системы является
промежуток (-°°; -2].
-2 <*<-!,
-х - 1 - х - 2 = а;
-2 < х < -1,
2
Если -2 < -<L±1 < -1, т.е. -1 < а < 1, то х = -±±Л .
(3) j 4-1- - 9 — • 1-1— ' Если а ?* —1, то
решений нет.
Если а = -1, то решением системы является
промежуток [-1; +оо).
Ответ: если а < -1, то нет корней; если а = -1, то
х б [-1; +°°); если -Г< а < 1, то х = ~^— ; если а = 1, то
х б (-°°; -2]; если а > 1, то нет корней.
18. |х2 - 6х| = а - 2.
Решение. |х2 - 6х| = а - 2. Если а - 2 < 0, т.е. а < 2, то
корней нет.
Если а - 2 = 0, т.е. а = 2, то уравнение примет вид
Если а - 2 > 0, т.е. а > 2, то уравнение |х2 - 6х| = а - 2
х2 - 6х = а - 2,
равносильно совокупности о
х^ - 6х = 2 - а.
Решим первое уравнение х2 - 6х + 2 - а = 0.
Z)1 = 9-2 + a = 7 + a; так как a > 2, то Dx > 0, значит,
Решим второе уравнение х2 - 6х + a - 2 = 0. Dx = 9 -
-a + 2 = 11 -a.
Если a > 11, то jDx < 0 и, значит, корней нет. Если а =
= 11,toD1 = 0, х = 3.
Если 2 < а < 11, то уравнение х2-6х + а-2 = 0 имеет
два корня х = 3 ± Jll- a .
72

Ответ: если а < 2, то нет корней; если а = 2, то х = О,
х = 6; если 2 < а < 11, то х = 3 ±J7 .+ a, x = 3 ±Jll-a;
если а = 11, то х = 3, х = 3 ±Vl8; если а > 11, то х =
19. \х - 4| + а2|х| = 0.
Решение. Так как |дг - 4| > 0 и а2|х| > 0, то уравнение
\х - 4| + а2\х\ = 0 равносильно системе \' 2) , _ ' «j 2) . J_
Найдём, при каких значениях а число 4 является корнем
уравнения а2\х\ = 0: а2 • 4 = 0, а = 0. Значит, если а = 0, то
решением системы является число 4, если а ^ 0, то
решений нет.
Ответ: если а = 0, то х = 4; если а ^ 0, то нет корней.
20. |х - 3| + а|х| = 0.
Решение. \х - 3| + а|дг| = 0. Перепишем уравнение в виде
|*-3| = -а|*|.
Если а > 0, то уравнение \х - 3| = —а|дг| равносильно сие-
\х - 3| = 0,
теме
-а|д:| = 0, нет решений.
а > 0.
Если a = 0, то уравнение примет вид \х - 3| = 0, х = 3.
Если a < 0, то -а > 0; запишем уравнение в виде \х - 3| =
х - 3 = ах, Г(1 - а)х = 3,
х - 3 = -ах; [(1 + а)х = 3.
= |алг|,
Так как а < 0, то 1 - а * 0, значит, корнем уравнения
о
(1 - а)х = 3 является х = .
1 - а
Решим второе уравнение: (1 + а)х = 3.
Если а + 1= 0, т.е. а = -1, то уравнение примет вид
0 • х = 3, корней нет.
Если а ?* -1, то корнем уравнения (1 4- а)х = 3 является
*- 3
+ а
Ответ: если а > 0, то нет корней; если а = 0, то х = 3;
3 3
если а б (-°°; -1) ^ (-1; 0), тох= , х = ; если а =
1 -а 1 + а
= -1, то х = 1,5.
21. Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение х2 - а\х\ - а + 3 = 0 имеет хотя бы один корень.
Решение. Пусть t = |дг|, £ > 0. Найдём, при каких
значениях параметра а уравнение t2-at-a + 3 = 0 имеет
73

хотя бы один неотрицательный корень. Решим задачу:
при каких значениях а уравнение t2 - at - а + 3 = 0 не
имеет корней или оба его корня отрицательны?
Уравнение t2 - at - а + 3 = 0 не имеет корней тогда и
только тогда, когда D < О, D = а2 + 4а - 12, а2 + 4а - 12 <
<0, а €(-6; 2).
Уравнение t2-at-a + 3 = O имеет только отрицатель-
\D>0,
ные корни тогда и только тогда, когда J tx + t2 < 0,
\t1 - t2 > 0;
2 + 4 - 12 > 0 fa < ~6'
л Л > О a < 0; a < -6.
"* + 3 > 0; a < 3;
Итак, уравнение t2 - at - а + 3 = 0 не имеет корней или
имеет только отрицательные корни при а 6 (-°°; 2), а
тогда при a 6 [2; +оо) имеет хотя бы один неотрицательный
корень, т.е. данное уравнение имеет хотя бы один корень.
Ответ: а 6 [2; +оо).
22. При каких значениях параметра а уравнение
ах2 + 2(а + 3)х + За + 3 = 0 имеет единственный корень?
Решение. Коэффициент при х2 зависит от параметра,
рассмотрим два случая: a = 0 и a * 0.
Если a = 0, то уравнение примет вид 6х + 3 = 0, х =
= -0,5 — единственный корень.
Если a 5* 0, то уравнение является квадратным и для
того, чтобы оно имело единственный корень, необходимо
и достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю. jDj =
= (a + З)2 - a(3a + 3) = 9 + 3a - 2a2; 2a2 - 3a - 9 = 0, a = 3,
a = -1,5.
Ответ: a = 0, a = 3, a = -1,5.
23. При каких значениях параметра а уравнение (a -
- 2)х2 -f 2xVlO - a2 +1 = 0 имеет два различных корня?
Решение. Область допустимых значений параметра
задается условием 10 - а2 > 0. Уравнение должно иметь
два корня, значит, а - 2 5* 0 и его дискриминант Dj = 10 -
- a2 - (a - 2) = 12 - a - a2 положителен. Уравнение (a -
74

- 2)х2 + 2xJlO- a2 +1 = 0 имеет два различных корня
тогда и только тогда, когда
10
а -
12
-а2
2*
- а -
> 0
0,
-а2
>
0;
а\
а *
-4
< 75
-2,
< а
L0
<
3.
i/45-|2-3*||
II'
Ответ: [-7Г0 ; 2) ^ (2; 3).
24. Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение ах 4- 3 = |5 -|2 - Здг|| имеет не менее трёх
различных корней.
Решение. Построим
графики функций у = |5 -|2 -
-Зд:|иу = ах + 3. Графиком
функции у = ах + 3 (при
каждом фиксированном
значении а) является
прямая, проходящая через
точку с координатами (0; 3), не
совпадающая с осью Оу.
Прямые у = ах + 3 имеют с
графиком функции не
менее трёх общих точек тогда
и только тогда, когда
прямая занимает любое положение от I до II (рис. 49), вращаясь
вокруг точки (0; 3) против часовой стрелки. Найдём, при
каких значениях а графиком функции у = ах + 3
являются прямые I и П. Определим нули функции у = |5 -|2 - Зх\\:
|5 -|2 - Зх|| = 0, |2 - Зх| = 5, \Х = "I1' Прямая (II), прохо-
1*=з-
дящая через точки (—1; 0) и (0; 3), задается уравнением
у = Зх + 3. Прямая (I), проходящая через точки (0; 3) и
(- ; 0), имеет уравнение у = -- х + 3. Значит, прямая г/ =
= ах + 3 имеет не менее трёх различных общих точек с
графиком функции у = |5 -|2 - Зх|| при а 6 Г-1 - ; 31.
Ответ: Г-1?;3"|.
25. Определите количество корней уравнения ах + 4 =
= ||2х - 1| - 5| в зависимости от параметра а.
75

Решение. Построим графики функций у = \\2х - 1| - 5|
иг/ = ах Л- 4 (рис. 50). Графиком функции у = ах + 4 (при
каждом фиксированном значении а) является прямая,
проходящая через точку с координатами (0; 4), не
совпадающая с осью Оу.
у =ах+4, а>2
|2х-1|-5
У =2х+4.
,~ <a<2
k у =a.r+4,-2<a<—^
у=ах+4,а<2
Рис. 50
Найдём, при каком значении а прямая у = ах 4- 4
проходит через точку с координатами (3; 0): 0 = За + 4, а = -1.
о
Если а = 2, то прямая у = ах + & проходит через точку
(-2; 0).
Если а > 2, то одна общая точка; если а = 2, то общих
точек бесконечно много; если -- < а < 2, то четыре общие
3
точки; если а = --, то три общие точки; если -2 < а < --,
о 3
то две общие точки; если а < -2, то одна общая точка.
Ответ: один корень при а е (-°°; -2] ^ (2; +°°); два
корня при а е (-2; -1-); три корня при а = -1«; четыре
v з^ 3
корня при а е (~1^; 2J; бесконечно много корней при a = 2.
26. Прямая Зл: - 4у = а, где а — некоторое число, ка-
сается гиперболы у = - в точке с положительной
абсциссой. Найдите а.
76

Решение. Прямая Зх - 4у = а касается гиперболы у =
Зх - 4у = а,
_ з имеет два одинако-
о
= -- , значит, система
х
х
X
вых решения. Система
'--§•
Зх + — = а
имеет два
одинаково
вых решения, если уравнение Зх + — = а имеет два
одинаковых решения .-
[ Зх^ — пх 4- 12 = О
< ' Так как запрещённое значение
х = 0 не является решением уравнения Зх2 - ах + 12 = О
ни при каком значении а, то дискриминант уравнения
должен быть равен нулю. D = а2 - 144, D = 0 при а = ±12.
Если а = 12, то уравнение примет вид Зх2 - \2х +12 = 0;
х2 - 4х + 4 = 0, х = 2, 2 — абсцисса точки касания, 2 > 0.
Если а = -12, то уравнение имеет вид Зх2 - \2х + 12 =
= 0, х = -2, -2 < 0 — условию задачи не удовлетворяет.
Ответ: а = 12.
27. Прямая Ьх - 2i/ + а = 0, где а — некоторое число,
касается гиперболы у = -— в точке с отрицательной
ординатой. Найдите а.
Решение. Прямая Ьх - 2у + а = 0 касается гиперболы
10 [5х-2г/ + а = 0,
у = -— , значит, система < ю имеет един-
* \у = ~т
ственное (два одинаковых) решение. Система
°,
-
имеет единственное решение, если
-52 - 2у + а = 0
уравнение -— - 2у + а = 0 имеет единственное решение.
1 ^ п ^ ~ ' ^ак как запРеЩённое значение у = 0
не является решением уравнения ни при каком значении
а, то D = 0. D = а2 - 400, D = 0 при а = ±20. Если а = -20,
77

то уравнение примет вид 2у2 + 20у + 50 = 0, у = -5, -5 —
ордината точки касания, -5 < 0.
Если а = 20, то уравнение примет вид 2у2 + 20у + 50 =
= 0, г/ = 5. Ордината точки касания положительна.
Ответ: а = -20.
Решите систему уравнений (28-29).
[3x-2f/ = 6,
\3x - 2у = 6,
Решение. \ . 1 о . * , о *
I ax + г/ = - 3; I Зх + 6 + 2ах = 6;
\У = -3 - ах,
1(3 + 2а)х = 0.
Если 3 + 2а = 0, т.е. а = -1,5, то корнем уравнения
0 • х = 0 является любое действительное число: x = t,t€R.
Если 3 + 2а ** 0, т.е. a ^ -1,5, то корнем уравнения
(3 + 2а)х = 0 является х = 0. Вернёмся к системе: если
\х = t \ х = 0
а = -1,5, то ^ _ V> . 1 к. £€й; если а?*-1,5, то j о
[[/ — -О + 1,ОГ, [[/ — -d.
Ответ: если а = -1,5, то (t; 1,5* - 3), ^ е R; если
а ^-1,5, то(0; -3).
29. \ах + У =
ах = 1.
Решение \ах + У = а> \х = * ~ аУ> \х=1- ау9
гешение. Ъ + ах = 1щ \а{1 - ау) + у = а; 1(1 - а2)г/ = 0.
Рассмотрим уравнение (1 - а2)у = 0. Если 1 - а2 = 0, т.е.
a = ±1, то уравнение примет вид 0 • у = 0, у 6 /2.
т^ 1 [# = 1 - г/>
Вернемся к системе: если а = 1, то < D значит,
решениями данной системы являются все пары чисел
вида (1 -у; у), г/е Д.
Если a = -1, то \ п значит, решениями систе-
[У ^ л,
мы являются все пары чисел вида (1 + у; у), у 6 R.
Если а = ±1, то корнем уравнения (1 - а2)г/ = 0
является у = 0. Вернёмся к системе: ] ^ _ -'
Ответ: если а = -1, то (1 + у; у), у 6 jR; если а = 1, то
(1 - у; у), yeR; если а * ±1, то (1; 0).
78

При каких значениях параметра а система
уравнений имеет единственное решение? Найдите это решение
(30-32).
]
\(а + 1)х - ау = 2.
n o J4* + Зг/ = 5,
Решение. Система \. , - ч о имеет единст-
\(а + 1)х - ау = 2
венное решение тогда и только тогда, когда прямые 4х +
+ 3# = 5 и (а + 1)лг - ш/ = 2 пересекаются, т.е. 5Щ-- ^ ^ ,
3 3
-- . Найдём решение при а ^ -- .
5-3i
(а + 1)(5 - Зг/) - 4ау = 8;
JC =
4
5а-3(
„ = Ъа + 6
5а-3
7а + 3
31.
х + у = а,
Лс/ — 27,
Решение. \ л ' \ , ч ' л Система имеет
[лгу = 9. 1дг(а - х) = 9.
единственное решение тогда и только тогда, когда второе
уравнение имеет единственное решение. Найдём, при
каких значениях а уравнение х2 - ах + 9 = 0 имеет
единственное решение. Так как при всех значениях а уравнение
является квадратным, то его дискриминант равен нулю.
D = а2 - 36; D = 0 при а = ±6.
Решим систему при найденных значениях а.
к2 + 6х + 9 = О,
Если а = -6, то система примет вид
У = - 6 - х;
Если а = 6, то система примет вид
U = 9,
х2 - е* + 9 = о,
г/ = 6 - х;
Ответ: если а = -6, то (-3; -3); если а = 6, то (3; 3).
79

Ix + у = a.
[x2 + z/2 = a, fy = a - x,
Решение. \ , 1o 2 о , 2 л
\x + у = a; 12x^ - 2ax + аг - a = 0.
Найдём, при каких значениях параметра а второе
уравнение имеет единственное решение. Dx = а2 - 2(а2 - а) =
= 2а - a2. Dl=Q при а = 0, а = 2. Решим систему при
найденных значениях а. Если а = 0, то система примет вид
\2х2 = 0, \Х = 0, _ о
j _ ' j = п Если a = 2, то система примет вид
(2х2 - 4х + 2 = 0, \х = 1,
[у = 2-х; \у= 1.
Ответ: если a = 0, то (0; 0); если a = 2, то (1; 1).
Определите количество решений системы в
зависимости от параметра (33-36).
41 J(a + 1)* + % = 4а,
**' 1ах + (а + 3)г/ = За-1.
г» ^. 1(я + 1)х + 8у = 4а,
Решение. Система i , t оч о - не имеет
I ax + (a + 3)i/ = За - 1
решений, если прямые, заданные уравнениями (а + 1)х +-
+ 8i/ = 4а и ах + (а + 3)# = За - 1, параллельны.
Система имеет одно решение, если эти прямые
пересекаются, и имеет бесконечно много решений, если
прямые совпадают.
Прямые параллельны, если ^— — -+ а
Прямые совпадают, если
Решим уравнение
а+3 За-1
= !L
а+3 За-1
+ 1 _ 8 (а2 - 4а -К 3 = 0,
^Г~~аТз' \а(а + 3) * 0; la = 3.
Если a = 1, то -—- = ———- ,2 = 2. Значит, при a = 1
1+3 3*1—1
прямые совпадают, и система имеет бесконечно много
решений.
8 4*3
Если а = 3, то —~ ?* —-—- , значит, при a = 3 прямые
3 • 3 3 • 1 — 1
параллельны, а система решений не имеет.
При a s* 1 и a s* 3 прямые пересекаются, значит,
система имеет единственное решение.
Ответ: при a = 1 решений бесконечно много; при а = 3
решений нет; при a s* 1 и a 5* 3 одно решение.
80

34.'- ' У = а'
Решение. Способ 1.
\х + у = а, ^
1 2 4-2 — 1 Определим количество корней
уравнения 2х2 - 2ах + а2 - 1 = 0 в зависимости от а. Уравнение
при всех значениях а является квадратным, найдём
дискриминант: Dx = а2 - 2(а2 - 1) = 2 - а2. 1^ > 0 при а £
e(-V2; V2), значит, при этих значениях параметра
уравнение, а тогда и система, имеет два решения.
Dj = 0 при а = ±V2 , значит, при а = ±J2 уравнение
(и система) имеет одно решение.
Dl <Оприа€(-°о; -J2)^>(j2\ +°°), значит, при этих
значениях параметра уравнение (и система) не имеет
решений.
Способ 2. Применим графический метод.
Графиком уравнения х2 + у2 = 1 является окружность
с центром в начале координат и радиусом 1.
у = а- х — семейство прямых,
параллельных прямой у = -х (рис. 51).
Прямая и окружность могут не
иметь общих точек, иметь одну или
две общие точки.
Найдём, при каких значениях
параметра прямая у = а - х касается
окружности. Рассмотрим АОАВ, где В — Рис. 51
точка касания. Тогда А В = 90°, Z. А =
= 45°. Значит, ОА = J2 . Тогда точка А имеет координаты
(л/2;0).
График функции у = а-х проходит через точку A (V2;
0) при а = л/2 . Аналогично получим, что точка Ах имеет
координаты (~л/2; 0). Значит, при а = ±J2 система имеет
одно решение, при -J2<a<j2 система имеет два
решения, при а < -J2 или а > J2 система не имеет решений.
Ответ: решений нет при а £(-°°; -J2)^>(j2; +°°);
одно решение при а = ± л/2 ; два решения при a€(-j2;j2).
81

у = \х\+а, а>2
УгЫ-2
\х\+а. а<-2
Рис. 52
35.
Решение. Применим графический метод.
Графиком уравнения х2 + у2 = 4
является окружность с центром в
начале координат и радиусом 2.
График функции у = \эс\ + а получается
из графика функции у = |дг| сдвигом
вдоль оси Оу на а единиц (рис. 52).
Наименьшее значение функция у =
= 1*1 + а принимает при х = 0, у(О) =
= а. Если а > 2, то решений нет.
Если а = 2, то система имеет одно решение.
Если -2 < а < 2, то система имеет два решения.
Если а = -2, то система имеет три решения.
Найдём, при каком значении а график функции у =
= \х\ + а касается окружности.
Рассмотрим ДОАБ, где В — точка касания.
А В = 90°, А А = 45°, ОБ = 2. Значит, ОА = 2 л/2 , точка
А имеет координаты (0; - 2 V2). Если -2j2 < а < -2, то
система имеет четыре решения, Если а = -2 J2 , то
система имеет два решения. Если а < -2 V2 , то решений нет.
Ответ: нет решений при а € (-°°; -2V2) w (2; +оо);
одно решение при а = 2; два решения при а € (-2; +2) ^
^ {-2V2 }; три решения при а = -2; четыре решения при
ae(-2V2;-2).
36.
Решение. Применим графический метод. Графиком
уравнения х2 + у2 = 9 является окружность с центром в
начале координат и радиусом 3. График функции у = \х-а\
получается из графика функции у = \х\ сдвигом вдоль оси
Ох на а единиц (рис. 53).
У\
Рис. 53
82

Система может иметь два, одно или ни одного решения.
Найдём, при каких значениях параметра а график
функции у = \х - а\ касается окружности.
Рассмотрим ОАВ, где В — точка касания.
Тогда АВ = 90°, /LA = 45°, ОБ = 3, значит, ОА = 3V2.
Тогда точка А имеет координаты (Зл/2; 0). В силу
симметрии относительно оси Оу точка Аг имеет координаты
(-Зл/2; 0). Значит, при а = ±Зл/2 график функции у = \х-а\
касается окружности и система имеет одно решение. При
-Зл/2 < а < Зл/2, графики имеют две общие точки, значит,
система имеет два решения. При а е (-°°; -Зл/2) ^ (Зл/2; +оо)
графики общих точек не имеют, значит, система
решения не имеет.
Ответ: решений нет при а е (-°°; -Зл/2) ^ (Зл/2; +°°);
одно решение при а = ±Зл/2; два решения при -Зл/2 < а < Зл/2.
37. При каких значениях параметра а число -1
заключено между корнями уравнения (а2 -1)х2 + (2а + 1)х - 3 =
= 0?
Решение. Так как уравнение а2-1>0 а2-1<0
(а2 -1)х2 + (2а+ 1)х-3 = 0должно \-i / /\ t
иметь два различных корня, то \*У * / -1\х
а2 - 1 ^ 0, тогда функция у = (а2 - а^ ^
- 1)х2 + (2а + 1)х - 3 — квадратич- Рис- 54
ная. Изобразим схематично график функции,
удовлетворяющий условию задачи (рис. 54).
Число -1 заключено между корнями уравнения тогда и
только тогда, когда (а2 - 1)/(-1) < 0; (а2 - 1)(а2 - 1 - (2а +
+ 1) - 3) < 0, (а2 - 1)(а2 - 2а - 5) < 0; а е (1 - 7б; -1) ^
(;)
Ответ: а б (1 - 7б ; -1) ^ (1; 1 + 7б).
38. При каких значениях параметра а система
I ах2 - 2х + 5 > 0, не имеет решений?
[ X > о
Решение. Система неравенств не будет иметь решений
тогда и только тогда, когда первое неравенство либо не
имеет решений, либо не имеет решений из промежутка (3; +°о).
Рассмотрим первое неравенство. Если а = 0, то оно примет
[ х < 2 5
вид -2х + 5 > 0, х < 2,5. Тогда система \ Q' ' решений
не имеет. Значит, а = 0 удовлетворяет условию задачи.
83

Если а > О, то графиком функции у = ах2 - 2х + 5
является парабола, ветви которой направлены вверх (рис.
55). Очевидно, что при любом а > О неравенство ах2 -2х +
+ 5 > 0 будет иметь решение из промежутка (3; +оо).
D>0
\
Рис. 55
Если а < 0, то графиком функции является парабола,
ветви которой направлены вниз (рис. 56). Неравенство
ах2 - 2х + 5 > 0 не будет иметь решений, если D < О, т.е.
1 - 5а < 0, а > - . Значит, при всех а < О неравенство имеет
5
решения.
Для того, чтобы неравенство не имело решений из
промежутка (3; +оо) (рис. 57) необходимо и достаточно, чтобы
а < О,
*о<3,
ЯЗ) < 0;
D>0
/ V
а < (
1 <
а
9а-
L
),
6
) =
0
5 ^
D
<
а
а
а
а
<0
<
<
>
<
0,
0,
1
3'
1 .
а < О,
а % -:
а<0.
Рис. 56
/*о\3*
Рис. 57
венств
не имеет решении?
Ответ: (-°о; 0].
39. При каких значениях параметра а система нера-
|x-2|<3,
- 5х + а > 0
Решение. Решением неравенства \х - 2| < 3 является
промежуток (-1; 5). Найдём, при каких значениях
параметра а неравенство х2 - Ъх + а > 0 вовсе не имеет
решений или не имеет решений из промежутка (-1; 5).
Графиком функции у = х2 - Ъх + а является парабола, ветви
которой направлены вверх (рис. 58). Очевидно, что при
всех значениях а неравенство х2 - Ъх + а > 0 имеет
решения. Для того, чтобы неравенство не имело решений из
промежутка (-1; 5) (рис. 59) необходимо и достаточно,
84

чтобы меньший корень был не больше -1, а больший не
к (Д-1) < О, (1 + 5 + а < О, . а
меньше 5, т.е. Г* ' п <ot. „ .' а < -6.
l/(o) ^ U; \ £Ъ — Zo -г а ^ U;
^Z)<0/ ; Z) = 0 # Z)>0 10 2>5 5
^7О ч
Рис. 58 Рис. 59
Ответ: (-оо; -6].
Решите неравенство при всех значениях а (40-46).
40. ах - а2 - 2а > 0.
Решение, ах - а2 - 2а > 0, ах> а2 + 2а.
Если а > 0, то х > а + а 9 х > а + 2;
а
если а = 0, то 0 • х > 0, нет решений; если а < 0, то х <
а
Ответ: если а < 0, то х € (-°°; а + 2); если а = 0, то нет
решений; если а > 0, то х £ (а + 2; -f оо).
41. (а - 1)х + а2 < За - 2.
Решение, (а - 1)х + а2 < За - 2, (а - 1)х < -а2 + За - 2.
Если а - 1 > 0, т. е. а > 1, то х < ~ а2 + За " 2 ; х < -а + 2.
а- 1
Если а - 1 = 0 , т. е. а = 1, то 0 • х < 0, х е R.
Если а - 1 < 0, т. е. а < 1, то х > 1 -Q2 + 3a"2 * > -а + 2.
а- 1
Ответ: если а > 1, то х £ (—°°; 2 - а], если а = 1, то
х е R, если а < 1, то х е [2 - а; + оо).
42.(а + 2)х-а2-5а>6.
Решение, (а + 2)х - а2 - 5а > 6, (а + 2)х > а2 + 5а + 6.
Если а + 2 > 0, т. е. а > -2, то х > а2 + 5а + 6 , х > а + 3. Если
а + 2
а + 2 = 0, т. е. а = -2, то 0 • х > 0, нет решений.
Если а + 2 < 0, т. е. а < -2, то х < а2 + 5а + 6; х < а + 3.
а + 2
Ответ: если а < -2, то л: G (-°°; а + 3), если а = -2, то
решений нет, если а > -2, то х £ (а + 3; +оо).
43. 1Z* > 0.
х- 1
Решение. ^ > 0; /(*) = ^, D(fl = (-00; l) w (1; + 00).
85

а) Если а < 1 (рис. 60, а), х = а — нуль функции.
£ [а; 1). Если а = 1, то решений нет.
б) Если а > 1 (рис. 60, б),х = а — нуль функции, х е (1; а].
а)
б)"
Рис. 60
Ответ: если а < 1, то х 6 [а; 1), если а = 1, то нет
решений, если а > 1, то х е (1; а].
44. (2х + а)7*-1 >0.
Решение. (2х + a)Jx-l > 0,
х= 1,
1^ = -|, Если-? <1,т. е. а>-2,то/(х) = 0
= 0,
\х>1.
прих= 1; хе [1; +оо).
Если -| > 1, т. е. а < -2, то /(х) = 0 при
*= 1,
2'
Ответ: если а < -2, тодсб Г-2 ; -fooj w {1}, если
а> -2, тол:€[1; +оо).
венств
45. При каких значениях параметра Ь система нера-
2х - 5 < 1 - х,
имеет решения/
Решение. Решаем каждое неравенство системы
13* < 6, \х< 2,
\х> Ь- 1;\х> Ь- 1.
Система имеет решения в том и только том случае,
если b - 1 <2,т.е. Ь<3.
Ответ: (-оо; 3).
46. При каких значениях параметра т система нера-
[4 - Зх < 12 + х,
венств \ х зх ■« не имеет решений?
- + т ^ — - 1
( 2 2
Решение. Решаем каждое неравенство системы
\4х > -8, (л: > -2,
U + 2т > Зх - 2; U < т + 1.
Случай 1. т + 1 < -2, т.е. m < -3. Решений нет.
86

Случай 2. т + 1 = -2 т.е т = -3. Решений нет.
Случай 3. т + 1 > -2 т.е. m > -3. х € (-2; m + 1].
Система не имеет решений тогда и только тогда, когда
771 <-3.
Ответ: (-<»; -3].
При каких значениях & система неравенств имеет
ровно два целых решения (47-50)?
47 (5 + *>3,
*'* U-4 <*-
8.
Решение-{1-1<1'-8; 1*<*-4.
1. Если ft - 4 < -2, т.е. ft < 2, то решений нет.
[ х > —2
2. Если ft - 4 = -2, т.е. ft = 2, то j ' решений нет.
3. Если ft - 4 > -2, т.е. ft > 2, то х <Е (-2; ft - 4) —
решение системы.
Двумя целыми решениями системы должны быть
числа -1 и 0, поэтому, чтобы система неравенств имела
ровно два целых решения необходимо и достаточно,
чтобы 0 < ft - 4 < 1, т.е. 4 < ft < 5.
Ответ: при ft € (4; 5] система неравенств имеет ровно
два целых решения.
[10 + 2х> 7-х,
7 > ft + 2х.
О + 2х > 7 - х, \х > -1,
+ 7 "> Ь 4- 9г' I v <Г 7 — h
1. Если 7 - ft < -1, т.е. ft > 8, то нет решений.
[ х ^ —1
2. Если 7 - ft =-1, т.е. ft = 8, то 1 _i! нет решений.
I X ^» А ,
3. Если 7 - ft > -1, т.е. ft < 8, то х € [-1; 7 - ft) —
решение системы.
Двумя целыми решениями системы должны быть
числа -1 и 0, поэтому, чтобы система неравенств имела
ровно два целых решения, необходимо и достаточно,
чтобы 0 < 7 - ft < 1, т.е. 6 < ft < 7.
Ответ: при ft € [6; 7) система неравенств имеет ровно
два целых решения.
— 3 < ft — 1.
n J7 - 2х < 4 - х, \х > 3,
Решение. \ о ^ , - i ^ ,
1х - 3 < ft - 1; Ix < ft -
87

1. Если k + 2 < 3, т.е. k < 1, то нет решений.
I х > 3
2. Если k + 2 = 3, т.е. /г = 1, то \ ' нет решений.
3. Если k + 2 > 3, т.е. k > 1, то х е (3; /г + 2) — решение
системы.
Чтобы система неравенств имела ровно два целых
решения, необходимо и достаточно, чтобы 5 < k + 2 < 6, так
как 3 < k < 4.
Ответ: при А? 6 (3; 4] система неравенств имеет ровно
два целых решения.
_n J8-3x< 5-2x,
5O'U-l<fe-4.
8 - Зх < 5 - 2х, \х > 3,
1. Если k - 3 < 3, т.е. k < 6, то нет решений.
(х > 3
2. Если k - 3 = 3, т.е. /г = 6, то \ ^ ' нет решений.
IX ^ о;
3. Если /г - 3 > 3, т.е. /г > 6, то х 6 (3; А? - 3] — решение
системы.
Двумя целыми решениями системы должны быть
числа 4 и 5, поэтому, чтобы система неравенств имела
ровно два целых решения, необходимо и достаточно,
чтобы 5 < k - 3 < 6, т.е. 8 < k < 9.
Ответ: при k б [8; 9) система неравенств имеет ровно
два целых решения.
Решите систему неравенств при всех значениях
параметра а (51-53).
[5 - 6х < Зх - 4,
[5 - 6х < Зх - 4, Jx > 1,
1. Если а - 2 < 1, т.е. а < 3, то нет решений.
( у > 1
2. Если а - 2 = 1, т.е. а = 3, то j ^ ' нет решений.
3. Если а - 2 > 1, т.е. а > 3, то х € [1; а -2).
Ответ: если а < 3, то решений нет; если а > 3, то х
„ 19* - 3 > Ъх 4- 9,
12а - х > 4 - Зх.
п (9* - 3 > Ъх + 9, \х > 3,
Решение, s о . . о i ^ о
12а - х > 4 - Зх; \х > 2 - а.
88

2. Если 2 - а = 3, т.е. а = -1, то
1. Если 2 - а < 3, т.е. а > -1, тохб (3; +оо).
*>3' г>ч
~ > о. X > 6.
х ^ о,
3. Если 2 - а > 3, т.е. а < -1, то х € [2 - а; +оо).
Ответ: если а < -1, то х € [2 - а; +°°); если а > -1, то
(3;+оо).
5 [ 5 - Зх > 2 - 2х,
\7 - 4х < а - Зх.
п (5 - Зх > 2 - 2х, \х < 3,
Решение. < „ л ^ « п \ гг
[7 - 4х < а - Зх; [х > 7 - а.
1. Если 7 - а < 3, т.е. а > 4, то х € [7 - а; 3].
2. Если 7 - а = 3, т.е. а = 4, то
3. Если 7 - а > 3, т.е. а < 4, то решений нет.
Ответ: если а < 4, то решений нет; если а = 4, то х =
3; если а > 4, то х € [7 - а; 3].
54. При каких значениях т система неравенств
2(т - Зх) < 4 - х,
1 _ £ > 2 + ЗГх - тп^ имеет х°тя бы одно решение?
X >
Решение.
2т-4
2(т - Зх) < 4 - х,
1 - £ > 2 + 3(х - 771);
2
5х > 2т - 4,
~ л: < Зт - 1;
<
5
6т-2
7
1. Если ?
2. Если i
решений.
3. Если i
, т.е. 771 < -- , то нет решений.
7 о
<
8
_9 то
8
нет
б ( т~ ; w~ ) — решение системы.
V 5 7 /
Q
Ответ: при т> -- система имеет решение.
8
89

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Комбинаторикой называется раздел математики, в
котором решаются задачи на составление и подсчёт числа
различных комбинаций из конечного множества элементов.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского
слова сотЫпаге, которое переводится как «соединять,
сочетать».
Простейшие комбинаторные задачи можно решать
методом перебора возможных вариантов.
Пример 1. Четыре ученика класса Миша, Саша,
Алёша, Таня углублённо изучают математику. На
математическую олимпиаду требуется послать двух учеников.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Составим схему возможных вариантов.
Миша Саша Алёша
Саша Алёша Таня Алёша Таня Таня
Получаем 6 способов выделения двух человек из
четырёх.
Ответ: 6.
Пример 2. В меню столовой три первых блюда АХА2
А3, два вторых Вг В2 и три сока Сх С2э С3. Сколько
вариантов комплексного обеда можно составить из этих блюд?
Решение. Составляем схему возможных вариантов.
A2 А3
2 j 2
/N /К /К
С2 С3 С^ С2 С3 Cj С2 С3
Получаем 18 вариантов комплексного обеда.
Ответ: 18.
90

Комбинаторные задачи можно решать и, не
выписывая все возможные комбинации элементов (не составляя
схему вариантов).
Пример 3. В посёлке имеется 5 светофоров. Каждый
может находиться в одном из трёх состояний (гореть
красным, зелёным или жёлтым светом). Сколькими
способами можно зажечь все светофоры?
Решение. Первый светофор может быть включён
тремя разными способами. Для каждого способа включения
первого светофора можно получить 3 способа включения
второго светофора, т.е. будем иметь 3 • 3 способов
включения двух светофоров. Из всякого способа включения двух
светофоров снова можно получить три способа
включения третьего светофора, изменяя его состояние, всего
получаем 3-3*3 способов включения трёх светофоров. При
включении каждого нового светофора число способов
увеличивается в три раза. Значит, пять светофоров могут
быть включены 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = З5 способами.
Ответ: 243 способа.
Задачи комбинаторики решаются проще, если
использовать комбинаторные правила сложения и умножения.
Пусть даны два непересекающихся множества
элементов: А = {av а2, ...,ат}иБ = {Ь1, Ь2, ..., Ьп).
Правило сложения.
Если элемент а(аеА) может быть выбран т
способами, а элемент Ь(ЬеВ) может быть выбран п способами, то
число способов, которыми можно выбрать один элемент
из множества А или множества Б, равно сумме т + п.
Пример 4. В одном классе 25 учеников, в другом — 27
учеников. Сколькими способами можно выбрать одного
ученика из двух классов?
Решение. 25 + 27 = 52.
Ответ: 52.
Правило умножения (основное правило
комбинаторики).
Если элемент а(аеА) может быть выбран т
способами, а элемент b (b € В) после каждого выбора элемента а
может быть выбран п способами, то число способов,
которыми можно выбрать пару элементов а и b в указанном
порядке по одному из каждого множества, равно
произведению т - п.
91

Пример 5. В одном классе 25 учеников, в другом — 27
учеников. Сколькими способами можно выбрать двух
учеников по одному из каждого класса?
Решение. Одного ученика первого класса можно
выбрать 25 способами, а второго класса — 27 способами. Двух
учеников по одному из каждого класса (по правилу
умножения) можно выбрать 25 • 27 способами; 25 • 27 = 675.
Ответ: 675.
Пример 6. На книжной полке стоит 6 исторических
романов и 4 приключенческих. Сколькими способами
можно взять с полки 2 книги разных жанров?
Решение. По правилу умножения существует 6 • 4
способов взять с полки 2 книги разных жанров.
Ответ: 24.
Сформулируем комбинаторное правило умножения в
общем виде.
Пусть имеем п элементов, из которых требуется
выбрать один за другим некоторые k элементов.
Если первый элемент можно выбрать п1 способами,
после чего второй элемент можно выбрать п2 способами,
затем третий элемент — п3 способами и т.д., то число
способов, которыми могут быть выбраны все k элементов,
равно произведению п^ п2' п3 ...nk.
Пример 7. Собрание из 30 человек должно выбрать
председателя и секретаря. Сколькими способами это
можно сделать?
Решение. Председателем собрания можно выбрать 30
способами, после чего секретаря — 29 способами (из 29
оставшихся членов собрания). По правилу умножения
существует 30 • 29 способов выбора председателя и
секретаря. 30•29 = 870.
Ответ: 870.
Пример 8. Сколькими способами можно рассадить 5
гостей за праздничным столом, если приготовлено 8 мест?
Решение. Для первого гостя имеется 8 возможностей
выбрать место. После выбора места первым, для второго
гостя остаётся 7 возможностей, аналогично для третьего
гостя — 6 возможностей (из 6 свободных мест), для
четвёртого — 5 вариантов, для пятого — 4. По правилу
умножения получаем 8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720 способов рассадить гостей.
Ответ: 6720.
92

Пример 9. Из 10 членов шахматного кружка
требуется составить команду из 3 человек для участия в
соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Первого члена команды (на первую доску)
можно выбрать 10 способами, после чего второго (на
вторую доску) — 9 способами, а третьего (на третью доску) —
8 способами.
Всего получаем 10-9*8= 720 вариантов выбора трёх
шахматистов из десяти.
Ответ: 720.
Перестановки
Перестановкой называется конечное множество, в
котором установлен порядок его элементов.
Число перестановок из п элементов обозначают
символом Рп (от французского слова permutation —
«перестановка»).
Различные перестановки из п элементов отличаются
друг от друга лишь порядком элементов. Если п = 1 (т.е.
имеем один элемент а), то очевидно, что Рг = 1т
Если п = 2 (т.е. имеем два элемента), то возможны две
перестановки: аЪ и Ьа; Р2 = 2.
Если п = 3, то возможны шесть перестановок: аЪс, асЪ,
Ъас, bca, cab, cba; Ps = 6.
Если п = 4, то из каждой предыдущей перестановки,
например, abc, можно получить 4 различных
перестановки из 4 элементов: dabc, adbc, abdc, dbcd; P4 = 4 • 6 = 24.
Таким образом, Рг = 1; Р2 = 1 • 2 = 2; Р3 = 1 • 2 • 3 = 6;
Р4 = 1 2 • 3 • 4 = 24.
Число перестановок из п элементов находится по
формуле Рп= 1-2-3- ... (п- 1)- п.
Произведение первых п натуральных чисел обозначают
п\ (читают «п факториал»). Например, 5! = 1-2-3-4-5 =
= 120. Для пустого множества принимается соглашение:
пустое множество можно упорядочить только одним
способом; поэтому принимается по определению, что 0! =1.
Число перестановок из п элементов равно
произведению всех натуральных чисел от 1 до п; Рп = п\.
Пример 10. Сколькими способами семья из 5 человек
может занять пять спальных мест в пятиместном
гостиничном номере?
Решение. Р5=1-2-3-4-5 = 120.
Ответ: 120.
93

Пример 11. Каким числом способов 8 человек могут
находиться в очереди?
Решение, Р8=1-23456-7-8 = 40 320.
Ответ: 40 320.
Пример 12. Сколько различных четырёхзначных
чисел можно составить из цифр 9, 7, 5, 0, если в каждом
числе все цифры должны быть разными?
Решение. Если бы среди данных цифр не было нуля,
то количество составленных из них четырёхзначных
чисел (без повтора цифр в каждом числе) было бы равно
количеству перестановок из 4 элементов: Р4 = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.
Целое число не может начинаться цифрой 0. Среди
найденных 24 чисел с цифры 0 будет начинаться столько
чисел, сколько существует перестановок из 3 элементов
(цифр 9, 7, 5): Р3 = 1 • 2 • 3 = 6. Значит, четырёхзначных
чисел, составленных из данных цифр, будет Р4 - Р3 = 24 -
-6 = 18.
Ответ: 18.
Пример 13. 9 мальчиков купили 9 билетов в театр.
Сколькими способами они могут занять 9 кресел в
театральном ряду, если Миша, Петя и Ваня обязательно
хотят сидеть рядом (в любом порядке).
Решение. Будем считать трёх неразлучных друзей
(Мишу, Петю и Ваню) как один элемент общей компании,
а три занятых ими кресла — как одно место. Тогда можем
считать, что размещаем 7 человек в 7 креслах. Это можно
сделать столькими способами, каково число
перестановок из 7 элементов: Р7 =123456-7 = 5040. В то же
время трое друзей (Миша, Петя и Ваня) в своих трёх
креслах могут распределиться Р3 способами Р3 = 1 • 2 • 3 = 6.
Таким образом, каждой перестановке из 7 элементов
соответствует любая перестановка из трёх элементов.
Всего перестановок по правилу умножения будет Р7Р3 =
= 5040 6 = 30 240.
Ответ: 30 240.
Размещения
Размещением из п элементов по k (k < п) называется
любое упорядоченное множество, состоящее из k
элементов, взятых из данных п элементов.
Два размещения могут отличаться самими
элементами или порядком расположения элементов
94

Символ Ап обозначает число всевозможных
размещений, которые можно составить из п элементов по к (А —
первая буква французского слова arrangement, что
означает «размещение», «приведение в порядок»).
Число размещений из п по к равно произведению к
последовательных натуральных чисел, наибольшее из
которых равно п.
k
Например, А2Ъ = 5 • 4 = 20; А^ = 6 • 5 • 4 • 3 = 360; А1п =
= п; Апп = п(п - 1)(п - 2)...2 • 1 = п\.
Значит, Апп = Рп.
Формула Акп может быть записана и так: Ап = —2— ,
(п - к)\
Ак Рп
T'G n^P~k'
Пример 14. Учащиеся класса изучают 11 различных
предметов. Сколькими способами можно составить
расписание на один день, чтобы в нём было 5 различных
предметов?
Решение. Различные варианты расписания могут
отличаться либо самими предметами, либо их порядком.
Количество вариантов равно числу размещений из 11
элементов по 5: Аъи = 11 • 10 9 8 • 7 = 55 440.
Ответ: 55 440.
Пример 15. Сколько четырёхзначных чисел можно
составить из нечётных цифр, если все цифры в числе
различны?
Решение. Нечётные цифры: 1,3,5, 7, 9. Разные числа
могут отличаться или самими цифрами, или порядком
четырёх цифр, из которых они составлены. Количество
чисел равно числу размещений из 5 элементов по 4. а\ =
= 5-4- 3-2 = 120.
Ответ: 120.
Пример 16. Сколькими способами 10 человек могут
занять четыре кресла, имеющиеся в комнате?
Решение. А410 = 10 • 9 • 8 • 7 = 5040.
Ответ: 5040.
95

Пример 17. В одиннадцатом классе 25 учащихся. На
выпускном вечере ребята обменялись друг с другом
фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
Решение. 25 человек на упорядоченные пары можно
о о
разбить А2Ь способами; А2Ь = 25 24 = 600.
Ответ: 600.
Пример 18. Студенту необходимо сдать 4 зачёта за 10
дней.
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Сколькими способами это можно сделать, если
известно, что последний зачёт будет сдаваться на 10 день?
Решение. 1. Искомое число способов равно числу
упорядоченных подмножеств из 4 элементов (дней сдачи
зачётов), которые можно получить из данных 10 элементов.
А\о = 10 -9 -8 -7 = 5040.
2. Так как известно, что последний зачёт должен быть
в последний день, число вариантов этого зачёта равно 4,
а — число размещений из 9 элементов (дней для других
зачётов) по 3 элемента (3 других зачёта) равно а\ = 9 • 8 х
х 7 = 504, то по правилу умножения общее число вариан-
о
тов сдачи зачётов равно 4 • А9 = 4 504 = 2016.
Ответ: а) 5040; б) 2016.
Сочетания
Сочетанием из п элементов по k называется любое
множество, составленное из k элементов, выбранных из
данных п элементов.
В отличие от размещений, сочетания различаются
только элементами, и не имеет значения, в каком
порядке заданы элементы.
Например, {а, Ь, с} и {Ь, с, а} — одно и то же сочетание.
Число сочетаний из п элементов по k обозначается Сп
(от французского combinaison — сочетание, комбинация).
Число сочетаний, составленных из п элементов по k,
Ak
вычисляется по формуле Сп = —- , т.е. Сп = п* .
лг fe «!( AZ ~~ К у.
Пример19. В вазе стоят 10 красных и 5 белых роз.
а) Сколькими способами можно составить букет из 3
роз?
96

б) Сколькими способами можно составить букет из 1
красной и 2 белых роз?
Решение, а) Так как порядок выбора роз не имеет зна-
о
чения, то выбрать 3 розы из 15 можно С15 способами:
гз _ 15 14 13 _
Cl5~ 1-2-3 ~
б) Одну красную розу можно выбрать 10 способами, а
2 5 • 4
2 белые из имеющихся 5 можно выбрать С5 = —- = 10
способами. Поэтому букет из 1 красной и 2 белых роз
можно составить по правилу умножения, 10 • 10 = 100
способами.
Ответ: а) 455; б) 100.
Пример 20. Из 9 мальчиков и 11 девочек спортивного
класса для участия в соревнованиях надо составить
команду, в которую должны входить 3 мальчика и 3
девочки. Сколькими способами это можно сделать?
= 13 860.
Ответ: 13 860.
Пример. 21. На витрине магазина выставлено 6
сортов сыра и 5 видов йогурта. Покупателю требуется 2
куска сыра разных сортов и 3 йогурта разного вида.
Сколькими способами покупатель может составить свою
покупку?
Решение. Выбрать 2 сорта сыра из 6 имеющихся мож-
но С6 способами. Выбрать 3 йогурта из 5 предлагаемых
о
видов можно С5 способами. По правилу умножения име-
2 3
ем С6 • С5 вариантов составления покупки.
Г2 гз _ 6 -5 5-4-3_кп
Сб * Съ - — • T7J7l - 150.
Ответ: 150.
Пример 22. Сколько существует четырёхзначных
чисел, у которых каждая следующая цифра меньше
предыдущей?
Решение. Из 10 цифр (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) можно
выбрать С10 подмножествг состоящих из 4 цифр.
Расположив в каждой выбранной группе цифры в порядке убыва-
4-2257И 97

ния, получаем искомые четырёхзначные числа. При этом
цифра 0 всегда будет стоять лишь последней, так как яв-
4 10 9 8 7
ляется наименьшей среди цифр. С10 = —- = 210.
Ответ: 210.
Пример 23. Сколько существует четырёхзначных
чисел, у которых каждая следующая цифра больше
предыдущей?
Решение. Искомые числа составляем из 9 цифр,
исключив 0 (целое число не может начинаться с нуля).
Количество искомых чисел равно Сд = '—— = 126.
Ответ: 126.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Для проезда из города М в город N можно
воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3
железнодорожными. Сколькими способами можно проехать из
города М в город N?
2. Из города А в город С можно проехать лишь с
пересадкой в городе Б. Из А в Б существуют 3 автобусных
маршрута и 2 железнодорожных. Из Б в С можно
проехать 4 поездами или 2 автобусами. Сколько существует
вариантов проезда из города А в город С?
3. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10
третьекурсников надо выбрать трёх студентов на
конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если
студенты должны быть разных курсов?
4. Сколькими способами можно расставить на полке
10 различных книг?
5. На полке стоит 8 разных книг по математике и 2
разные книги по физике. Сколькими способами можно
расставить эти книги, если книги по физике должны
стоять рядом?
6. Сколькими способами можно расставить на полке 7
различных книг так, чтобы определённые три книги
стояли рядом?
7. Сколькими способами можно расставить на полке 7
различных книг, чтобы определённые 3 книги не стояли
рядом?
8. Сколькими способами можно рассадить 4
учащихся на 20 местах?
98

9. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные
турбазы среди 9 работников. Каким количеством
способов можно это сделать?
10. Сколько трёхзначных чисел можно составить из
цифр 9, 8, 7, 6, 2, если цифры в числе не повторяются?
11. Ученики 6 класса изучают 11 различных учебных
предметов. Сколькими способами можно составить
расписание из 5 различных предметов на понедельник, если
математика должна быть вторым уроком?
12. Сколькими способами можно рассадить 6
пассажиров в разные вагоны (по одному в вагон), если в составе
поезда 11 вагонов?
13. Сколько существует пятизначных чисел с
неповторяющимися цифрами, которые делятся на 10?
14. Сколько существует двузначных чисел с
неповторяющимися цифрами, у которых обе цифры чётные?
15. Из скольких различных элементов можно
составить 20 размещений по два элемента в каждом?
16. Из 16 рабочих надо выделить 5 для выполнения
некоторой работы. Сколькими способами это можно сделать?
17. На плоскости даны 9 точек, никакие 3 из них не
лежат на одной прямой. Сколько прямых можно
провести, соединяя точки попарно?
18. Сколькими способами^можно составить букет из 5
цветков, если имеем 8 ромашек и 7 васильков?
19. Сколькими способами можно разделить группу из
15 человек на 2 группы так, чтобы в одной было 10
человек, а в другой — 5?
20. Сколькими способами читатель библиотеки
может выбрать 3 книги из 5 предложенных библиотекарем?
21. В турнире принимали участие 15 шахматистов, и
каждые 2 шахматиста встретились один раз. Сколько
партий было сыграно в турнире?
22. Сколько можно составить из простых делителей
числа 2730 составных чисел, которые содержат только
три простых делителя?
23. В коробке лежит 12 синих и 8 красных
карандашей. Сколькими способами можно выбрать 3 синих и 2
красных карандаша?
24. Сколькими способами можно отправить 15
школьников в 3 спортивных лагеря, если в один из них
4* 99

могут принять 8 школьников, во второй — 3, а в третий —
4 школьника?
25. Сколькими способами можно разделить 10
билетов в кино, 4 билета в театр и 3 билета в цирк среди 17
человек?
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Для проезда из города М в город N можно
воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3
железнодорожными. Сколькими способами можно проехать из
города М в город N?
Решение. По формуле сложения количество способов
равно сумме 5 + 3 = 8.
Ответ: 8.
2. Из города А в город С можно проехать лишь с
пересадкой в городе Б. Из А в В существуют 3 автобусных
маршрута и 2 железнодорожных. Из Б в С можно
проехать 4 поездами или 2 автобусами. Сколько существует
вариантов проезда из города А в город С?
Решение. Из А в Б можно проехать 3 + 2 = 5
способами, а из Б в С — 6 способами (4 + 2 = 6). По формуле
умножения из А в С можно проехать 5 • 6 = 30 способами.
Ответ: 30.
3. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10
третьекурсников надо выбрать трёх студентов на
конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если
студенты должны быть разных курсов?
Решение. По теореме умножения получаем 5•7•10 =
= 350 способов.
Ответ: 350.
4. Сколькими способами можно расставить на полке
10 различных книг?
Решение. Количество способов равно числу
перестановок из 10 элементов.
Р10 = 10! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 = 3 628 800.
Ответ: 3 628 800.
5. На полке стоит 8 разных книг по математике и 2
разные книги по физике. Сколькими способами можно
расставить эти книги, если книги по физике должны
стоять рядом?
100

Решение. Будем рассматривать 2 книги по физике как
одну книгу. Тогда 9 книг можно расставить Р9 способами.
Далее 2 книги по физике можно в каждом случае
поставить двумя разными способами. По правилу умножения
общее количество вариантов равно
2 • Р9 = 2 • 9! = 2 • 1 • 2 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 9 = 725 760.
Ответ: 725 760.
6. Сколькими способами можно расставить на полке 7
различных книг так, чтобы определённые три книги
стояли рядом?
Решение. Если 3 указанные книги рассматривать как
одну книгу, то 5 книг (7-3 + 1 = 5) можно расставить Р5
способами. Затем для каждого полученного способа имеем
Р3 способов расстановки 3 книг. По правилу умножения
всего будет Р5 • Р3 вариантов расстановки книг согласно
условию задачи. Р5 • Р3 = 5! 3! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 1 • 2 • 3 = 720.
Ответ: 720.
7. Сколькими способами можно расставить на полке 7
различных книг, чтобы определённые 3 книги не стояли
рядом.
Решение. 7 книг можно расставить на полке Р7
способами; Р7 = 1-2-3-45-6-7 = 5040. В 720 случаях
указанные книги будут стоять рядом (см. задачу 6). Значит,
в остальных случаях будут выполняться условия данной
задачи.
5040 - 720 = 4320.
Ответ: 4320.
8. Сколькими способами можно рассадить 4
учащихся на 20 местах?
Решение. А420 = 20 • 19 18 • 17 = 116 280.
Ответ: 116 280.
9. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные
турбазы среди 9 работников. Каким количеством
способов можно это сделать?
Решение. Ад = 9 • 8 • 7 • 6 = 3024.
Ответ: 3024.
10. Сколько трёхзначных чисел можно составить из
цифр 9, 8, 7, 6, 2, если цифры в числе не повторяются?
Решение. Даны 5 различных цифр, в каждое число
должны вхоДить 3 цифры. Числа могут отличаться самими
101

цифрами или порядком их расположения. Количество со-
о
ставленных таким образом чисел равно А5 = 5-4*3 = 60.
Ответ: 60.
11. Ученики 6 класса изучают 11 различных учебных
предметов. Сколькими способами можно составить
расписание из 5 различных предметов на понедельник, если
математика должна быть вторым уроком?
Решение. Так как место урока математики
определено, то остаётся указать в определённом порядке учебные
предметы из 10 оставшихся для 4 уроков. Это можно
сделать А10 способами; А10 = 10 • 9 • 8 • 7 = 5040.
Ответ: 5040.
12. Сколькими способами можно рассадить 6
пассажиров в разные вагоны (по одному в вагон), если в составе
поезда 11 вагонов?
Решение. А6п = 11 • 10 9 8 7 6 = 332 640.
Ответ: 332 640.
13. Сколько существует пятизначных чисел с
неповторяющимися цифрами, которые делятся на 10?
Решение. Способ 1. Число делится на 10 в том и только
том случае, если оно оканчивается на нуль. Первая цифра
числа может быть любой, кроме нуля. Значит, имеем 9
вариантов первой цифры. Тогда для второй цифры 8
вариантов, так как первая и последняя цифры уже
выбраны. Аналогично, для третьей цифры — 7 вариантов, для
четвёртой — 6 вариантов, пятая цифра равна 0. По
правилу умножения имеем 9*8*7*6 = 3024 вариантов
написания искомого числа.
Способ 2. Так как последняя цифра определена и она
равна 0, то количество вариантов для заполнения четырёх
оставшихся разрядов равно Ад ; Ад = 9*8*7*6 = 3024.
Ответ: 3024.
14. Сколько существует двузначных чисел с
неповторяющимися цифрами, у которых обе цифры чётные?
Решение. Чётные цифры: 0; 2; 4; 6; 8. Нуль не может
быть первой цифрой целого числа. Поэтому искомое чис-
2 1
ло вариантов равно А5 -А4 =5*4-4 = 16.
Ответ: 16.
102

15. Из скольких различных элементов можно
составить 20 размещений по два элемента в каждом?
п
Решение. По условию Ап = 20; п(п - 1) = 20; п2 - п -
- 20 = 0;
5.
neN;
Ответ: 5.
16. Из 16 рабочих надо выделить 5 для выполнения
некоторой работы. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. с\6 = ^ ; с\6 - 16 Д"^ ^ 12 = 4368.
Ответ: 4368.
17. На плоскости даны 9 точек, никакие 3 из них не
лежат на одной прямой. Сколько прямых можно
провести, соединяя точки попарно?
Решение. Сд = ^-| = 36.
Ответ: 36.
18. Сколькими способами можно составить букет из 5
цветков, если имеем 8 ромашек и 7 васильков?
Решение. Букет составляем, выбирая 5 цветков из 15
имеющихся. СЪ = < ; с\ъ = "^Ц = 3003.
Ответ: 3003.
19. Сколькими способами можно разделить группу из
15 человек на 2 группы так, чтобы в одной было 10
человек, а в другой — 5?
Решение. с\° = с\ь = 15 ^ » ^ » = 3003.
Ответ: 3003.
20. Сколькими способами читатель библиотеки
может выбрать 3 книги из 5 предложенных библиотекарем?
Решение, cl = 54 3 = 10.
5 1-2-3
Ответ: 10.
21. В турнире принимали участие 15 шахматистов, и
каждые 2 шахматиста встретились один раз. Сколько
партий было сыграно в турнире?
Решение. с\ь = ШЛ = 105.
Ответ: 105.
103

22. Сколько можно составить из простых делителей
числа 2730 составных чисел, которые содержат только
три простых делителя?
Решение. 2730 = 2 • 3 • 5 • 7 • 13. Требуется найти,
сколькими способами можно из пяти чисел 2; 3; 5; 7; 13
о
выбрать три числа. Количество таких способов равно С5 .
Ответ: 10.
23. В коробке лежит 12 синих и 8 красных
карандашей. Сколькими способами можно выбрать 3 синих и 2
красных карандаша?
Решение. По правилу умножения количество
способов равно С\2 • C2S; с\2 • с\ = 12± ^/^ *2 7 = 6160.
Ответ: 6160.
24. Сколькими способами можно отправить 15
школьников в 3 спортивных лагеря, если в один из них
могут принять 8 школьников, во второй — 3, а в третий —
4 школьника?
Решение. В первый лагерь школьников можно отпра-
вить С15 способами. Во второй лагерь выбираем 3
человек из 7 оставшихся, а в третий — 4 из 4 школьников.
Для определения общего числа вариантов применим
правило умножения С15- С? • с\; С15 • С7 • с\ =
_ 151413121110 98 76 5
1-2-3-4-5-6-7-8-1-2-3
Ответ: 225 225.
25. Сколькими способами можно разделить 10
билетов в кино, 4 билета в театр и 3 билета в цирк среди 17
человек?
Решение. Задача решается аналогично предыдущей
задаче.
гз м лю 17 16 15 14 13 12 11 _
Г
Чо
1 OQ1OQ
' £ * О * X * Ct ' О
10 л
Ответ: 680 680.
104

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей, зародившаяся в 17 веке из
потребностей азартных игр, в современном мире является
краеугольным камнем всех наук.
Теория вероятностей — это наука о вычислении
вероятностей случайных событий, позволяющая делать
прогнозы в области случайных явлений.
В теории вероятностей всякий результат,
полученный в процессе испытания, проведения опыта,
называется событием.
Примеры.
1. Играется шахматная партия — это испытание.
Выигрыш, ничья, проигрыш — его возможные исходы, т.е.
события.
2. Студент сдаёт экзамен — испытание. Получение
оценки «2», «3», «4», «5» —события.
3. У донора проверяют группу крови — испытание.
Первая, вторая, третья, четвёртая группы — события.
4. Производится выстрел — испытание. Поражение
мишени, промах — события.
5. Подбрасывание монеты — испытание. Выпадение
орла или решки — это события.
События можно разделить на три вида: достоверные,
невозможные и случайные.
Например, «1 января 2011 года — суббота» —
достоверное событие; «1 января 2011г. будет снегопад» —
случайное событие, «1 января 2011 года — вторник» —
невозможное событие.
Достоверным называется событие, которое
обязательно произойдёт, если будет выполнена определённая
совокупность условий. Например, если в сосуде
содержится вода при нормальном атмосферном давлении и
температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в
жидком состоянии» является достоверным.
Невозможным называется событие, которое заведомо
не произойдёт, если будет иметь место заданная
совокупность условий.
105

Событие «вода в сосуде находится в твёрдом
состоянии» является невозможным, если будет совокупность
условий предыдущего примера.
Случайным называется событие, которое при
выполнении данных условий может произойти или не произойти.
Например, выигрыш или проигрыш футбольной
команды в матче — случайное событие; пробег новой
машиной «Жигули» 100 тыс. км без капитального ремонта -
тоже случайное событие.
Пусть определённое испытание повторяется много
раз и при этом каждый раз фиксируется, произошло или
нет некоторое событие А. Если п — общее число
испытаний, am — число появлений события А в результате
проведённых п испытаний, то отношение — называется час-
п
тотой случайного события А.
Каждое случайное событие есть следствие многих
причин, законы действий которых нам неизвестны.
Поэтому предсказать, произойдёт единичное событие или
нет, принципиально невозможно. Другое дело, если
рассматриваются массовые однородные случайные события,
т.е. такие, которые могут многократно наблюдаться при
выполнении одних и тех же условий. Оказывается, что
достаточно большое число однородных случайных
событий подчиняется определённым закономерностям. При
большом числе испытаний частота случайного события А
принимает достаточно устойчивые значения.
Постоянное число, около которого группируются
наблюдаемые значения частоты события А при большом
количестве испытаний, называется статистической
вероятностью события А.
Определение статистической вероятности случайного
события возможно лишь в результате реального
проведения достаточно большого числа экспериментов.
В то же время, если шансы наступления случайного
события равновозможные, то вероятность наступления
этого события можно определить путём логических
рассуждений.
Теория вероятностей и занимается установлением
закономерностей, которым подчиняется достаточно
большое число однородных случайных событий.
Вероятность является объективной числовой
характеристикой, дающей представление о том, как часто при
большом числе наблюдений появится событие А.
106

Вероятность случайного события — это числовая
мера его правдоподобности.
Итак, предметом теории вероятностей является
изучение вероятностных закономерностей массовых
однородных случайных событий.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
События называются равновозможными, если есть
основания считать, что ни одно из этих событий не
является более возможным, чем другие, т.е. все события
имеют равные «шансы».
Например, появление определённого числа очков на
брошенном игральном кубике есть события равновоз-
можные.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6
одинаковых шаров, причём 2 — красных, 3 — синих, 1 —
белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны
цветной шар больше, чем извлечь белый шар. Можно ли
охарактеризовать эту возможность числом?
Оказывается, можно. Появление цветного шара назовём событием
А. Каждый из возможных результатов испытания
(испытание состоит в извлечении шара из урны), т.е. каждое
событие, назовём элементарным исходом и обозначим Е19
2£2,... • Возможны 6 элементарных исходов: Ех —
появится белый шар; Е2, Е3 — красный шар, Е4, Еъ, Е6 — синий
шар. Все исходы равновозможные. Исходы, при которых
событие А наступает, назовём благоприятствующими.
Таких исходов 5: Е2, Е3, Е4,2£5, Е6. Отношение числа
благоприятствующих событию А элементарных исходов к
общему числу исходов называют вероятностью события А
и обозначают Р(А) (Р — первая буква французского слова
«probabilite», что означает «вероятность»). В нашем
примере Р(А) =5 — это число и даёт количественную оценку
о
возможности появления цветного шара.
Определение. Вероятностью события А называется
отношение числа т благоприятствующих этому событию
исходов к общему числу п равновозможных
элементарных исходов испытания: Р(А) = — .
п
Примеры непосредственного вычисления
вероятностей.
107

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл
одну цифру. Найти вероятность того, что набрана нужная
цифра.
Решение. Событие А — набрана нужная цифра.
Абонент мог набрать любую из 10 цифр. Общее число
элементарных исходов равно 10. Число благоприятствующих
событию А исходов равно 1.
Ответ: —.
Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл
последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры
различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что
набраны нужные цифры.
Решение. Событие В — набраны две нужные цифры.
Всего можно набрать столько пар цифр, сколько может
быть составлено размещений из 10 цифр по две, т. е.
2
А10 = 10 • 9 = 90. Общее число исходов 90,
благоприятствует событию В лишь один исход, Р(А) = -- .
у и
Ответ: ~.
У V/
Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи:
«Брошены два игральных кубика. Найти вероятность
того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие «А»)».
Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма
выпавших очков равна 4 и не равна 4. Поскольку
событию А благоприятствует один исход, а общее число
исходов равно двум, то Р(А) = - . Ошибка этого решения
состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются рав-
новозможными.
Правильное решение.
Общее число равновозможных исходов равно 6-6 = 36
(каждое число выпавших очков на одной кости может
сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди
этих исходов благоприятствуют событию А только 3
исхода: (1, 3); (3, 1); (2, 2). Следовательно, Р(А) = А = *
оо 12
Ответ: -~ .
108

Пример 4, В партии из 10 деталей имеется 7
стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наугад
деталей будет 4 стандартных.
Решение. Общее число элементарных исходов равно
числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из
10, то есть С10; 4 детали можно взять из 7 стандартных
С7 способами; при этом остальные 2 детали должны быть
нестандартными, взять же 2 детали из 3 нестандартных
2
можно С3 способами. Следовательно, число
благоприятствующих исходов равно С7 • С3 . Тогда Р(А) = 7 3 =
= 35-3 в 1
210 2*
Ответ: 0,5.
СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ
1. Вероятность достоверного события равна 1.
Действительно, если событие достоверно, то каждый
элементарный исход благоприятствует событию, т. е. т =
п п
2. Вероятность невозможного события равна 0.
Если событие невозможно, то ни один из
элементарных исходов не благоприятствует событию А, т. е. т = 0;
Р(А) =2=0.
п
3. Вероятность случайного события есть
положительное число, заключённое между 0 и 1.
Случайному событию благоприятствует лишь часть
из общего числа элементарных исходов испытания, т.е.
0 < т < пу следовательно, 0 < — < 1, т.е. 0 < Р(А) < 1.
п
Итак, вероятность любого события удовлетворяет
неравенству 0 < Р(А) < 1.
Пример 5. На 5000 произведённых заводом
телевизоров в среднем приходится 5 бракованных. Какова
вероятность купить исправный телевизор?
Решение. По условию из 5000 телевизоров в среднем
4995 телевизоров оказываются исправными.
Вероятность купить исправный телевизор равна ^ = 0, 999.
Ответ: 0,999.
109

Пример 6. Из 30 экзаменационных вопросов студент
успел подготовить 22. Какова вероятность того, что на
экзамене ему достанется вопрос, который он не подготовил?
Решение, Из 30 вопросов студент не подготовил 8.
Вероятность получить на экзамене неподготовленный воп-
рос равна А = j|.
Ответ: —.
х о
Пример 7. Из 20 полученных магазином компьютеров
3 оказались с дефектами. Школа купила в этом магазине
2 компьютера. Какова вероятность того, что оба
компьютера не имеют дефектов?
Решение, Выбор 2 компьютеров из 20 — равновозмож-
ные события. Выбрать 2 компьютера из 20 можно
столькими способами, каково число сочетаний из 20 по 2, т.е
2
С20. Пусть А — событие, при котором 2 купленных
компьютера не имеют дефектов. Исходом, благоприятным
для события А, является выбор 2 компьютеров из
имеющихся 17 исправных. Число благоприятных исходов рав-
но С?7. Тогда Р(А)=47 = ^' ™ ' *° ™ = 17 16 = 68
С2 1-2 1-2 20 19 95
Ответ: J|.
Э
Пример 8. Бросаем 2 монеты. Какова вероятность
появления хотя бы одного орла?
Решение. Выпадение орла или решки — равновоз-
можные события. Перечислим исходы испытания,
которые могут быть: (о, р); (о, о); (р, о); (р, р). Из 4 равновоз-
можных событий благоприятными являются 3. Значит,
о
вероятность появления хотя бы одного орла равна - .
4
Ответ: 0,75.
Пример 9. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Вынимаем
сразу 2 шара. Найдите вероятность того, что вынуты 2
белых шара.
Решение. Событие А — вынуты 2 белых шара. Вынуть
о
2 шара из 7 имеющихся можно С7 способами. Вынуть 2 бе-
лых шара из 3 имеющихся можно С3 способами. Итак, име-
110

2
ем С7 исходов испытания, из них число благоприятствую-
щих событию А равно с\. Тогда Р(А) = Ч? = ^-? : — = i.
С2 1*2 1•2 7
7
Ответ: -.
Пример 10. В классе, в котором учатся 20 девочек и 5
мальчиков, распределяют по жребию 1 билет в цирк.
Какова вероятность того, что билет получит мальчик?
Решение. Событие А — билет получил мальчик. Всего
исходов испытания 25, из них благоприятствующих
событию А — 5. Тогда Р(А) = А = i .
Ответ: 0,2.
Пример 11. Подбрасывают два игральных кубика.
Какова вероятность того, что сумма выпавших очков
равна 7?
Решение. При подбрасывании двух игральных
кубиков имеем 6 • 6 = 36 равновозможных исходов. Событие
А — в сумме выпало 7 очков.
Благоприятствующие исходы: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3,
5 + 2, 6 + 1. Имеем 6 благоприятствующих исходов.
Ответ: ±.
6
Пример 12. В классе 30 учащихся, из них 4
отличника. Какова вероятность того, что среди 3 случайно
выбранных учащихся окажутся 2 отличника? Ответ
округлить до одной значащей цифры.
Решение. Событие А — среди 3 выбранных учащихся
2 отличника и 1 ученик, не являющийся отличником. 06-
Q
щее число исходов испытания равно С3о . Событию А бла-
2 1
гоприятствуют С4 • С26 исходов, так как двух отличников
2
из 4 можно выбрать С4 способами, а ещё одного ученика
1 С2-С1
(не отличника) — C2q способами. Значит, Р(А) = 4 26 ;
4 • 3 • 26 ■ 1 • 2 • 3 в 39 ^ л 04
1-2-30-29-28 1015 ~ ' '
Ответ: 0,04.
111

Пример 13. Среди 200 электрических ламп 5
бракованных. Какова вероятность того, что 2 взятые наугад
лампы окажутся обе бракованными?
Решение. Событие А — 2 взятые лампы оказались бра-
кованными. Общее число исходов испытания равно С200 .
Число благоприятствующих событию А исходов равно
С' 5 * 4 • 20° 199 - 5-4 _ 1
Р(Л\
г>ПА) — . 200199 1990
С200
Ответ:
1990
Правило сложения вероятностей несовместимых
событий. Правило умножения вероятностей независимых
событий.
Суммой А + Б двух событий называют событие,
состоящее в появлении события А или события Б, или
обоих этих событий. Например, если из орудия произведены
два выстрела и А — попадание при первом выстреле, Б —
попадание при втором выстреле, то А + В — попадание
при первом выстреле или при втором, или в обоих
выстрелах. Если событие А — последняя цифра случайно
набранного телефонного номера 5, а событие В — последняя
цифра набранного номера 7, то событие А + В —
последняя цифра набранного номера 5 или 7.
Суммой нескольких событий называют событие,
которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Два события называются несовместными, если
наступление одного из них исключает наступление другого
в одном и том же опыте, т.е. эти события не могут
произойти вместе в одном опыте.
Например, событие А — последняя цифра случайно
набранного телефонного номера равна 5 и событие В —
последняя цифра набранного номера равна 7, являются
несовместными. Если же событие А — попадание в цель
при первом выстреле, а событие В — попадание в цель
при втором выстреле, то события А и Б могут произойти
в одном и том же испытании, т.е. они являются
совместными.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А + Б) =
112

Пример 14. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и
15 белых. Найдите вероятность появления цветного шара
(т.е. красного или синего).
Решение. Пусть событие А — появление красного
шара, В — появление синего шара.
Событие А + В — появление красного или синего (т.е.
цветного) шара.
События А и В — несовместны.
+ .
О О с»
Ответ: 0,5.
Пример 15. Вероятность того, что початки кукурузы
сорта Буковинский — 3 имеют 12 рядов, равна 0,49,14
рядов — 0,27 и 15 — 0,24. Какова вероятность того, что
наудачу выбранный початок будет иметь не менее 14 рядов?
Решение. Событие А — початок кукурузы имеет 14
или 15 рядов.
Р(А) = 0,27+ 0,24 = 0,51.
Ответ: 0, 51.
Пример 16. Группа, состоящая из 5 юношей и 7
девушек, распределяет по жребию 4 билета в театр. Какова
вероятность того, что в числе получивших билеты
окажется больше девушек, чем юношей?
Решение. Испытание — распределение 4 билетов в
театр среди 12 человек. Общее число исходов испытания
равно С12 . Событие А — в числе получивших билеты
девушек больше, чем юношей. Событие А произойдет в двух
случаях:
а) билеты получили 3 девушки и один юноша
(событие Aj);
б) билеты получили 4 девушки (событие А2).
Событие А равно сумме несовместных событий Ах и
•"■2' л\. == -**-\ + -""2*
о
В первом случае 3 девушки из 7 могут быть выбраны С7
способами, а один юноша из 5 — С5 способами. По правилу
умножения число исходов, благоприятствующих событию
о 1
Av равно С7С5. Во втором случае число исходов, благо-
113

приятствующих событию А2, равно С7. Р(А) = Р(АХ) + Р(А2),
Р(А) = С^<С5 + ^1 = 175 + 35 = 210 = 42
4 4
495 495 99
Ответ: g.
Пример 17. Какова вероятность того, что последняя
цифра случайно набранного телефонного номера равна 5
или кратна 3?
Решение, Испытание — набор случайного
телефонного номера. Пусть событие А — последняя цифра
набранного номера 5. Всего исходов испытания — 10, так как
последняя цифра случайно набранного номера может
быть любой из 10 цифр; при этом порядок предыдущих
цифр не имеет значения. Число благоприятных исходов
равно 1 (последняя цифра 5); Р(А) = — .
Пусть событие В — последняя цифра набранного
номера кратна 3, т.е. равна 0, 3, 6 или 9. Благоприятных
исходов для события В — 4; Р(В) =
События А и В являются несовместными. Событие
А + В — последняя цифра набранного номера 5 или
кратна 3. Р(А + Б) = Р(А) + Р(В); Р(А + В) = 0,1 + 0,4 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Следствия из теоремы 1. Система несовместных
событий А19 А2> ..., Ап называется полной, если события,
входящие в данную систему, являются единственно
возможными.
Следствие 1. Если в результате испытания
обязательно происходит одно из возможных попарно
несовместных событий Ах, А2у ..., АпУ то сумма вероятностей этих
событий равна 1.
Иными словами, сумма вероятностей событий,
составляющих полную систему, равна 1.
Два случайных события называют
противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда,
когда не происходит другое событие. Событие,
противоположное А, обозначают А . Например, опоздание на урок и
приход на урок вовремя — противоположные события.
Очевидно, что события А и А всегда несовместны и
составляют полную систему событий.
114

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных
событий равна 1: Р(А) = Р(А) = 1.
На этом следствии основан очень распространённый в
теории вероятностей приём перехода к
противоположному событию, когда вероятность интересующего события
А вычислить трудно, а вероятность противоположного А
легко; тогда вычисляют Р(А) и вычитают её из единицы;
Пример 18. В урне находится 3 синих, 5 красных, 11
жёлтых, 7 белых, 23 зелёных и 1 чёрный шар
одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары
тщательно перемешаны. Какова вероятность появления не
чёрного шара при одном вынимании шара из урны?
Решение. Испытание — одно вынимание шара из урны.
Пусть событие А — вынимание не чёрного шара из урны.
Тогда событие Р(А) — вынимание чёрного шара из урны.
Число исходов испытания, благоприятных для А,
равно 1. Общее число исходов испытания равно числу
шаров в урне: 3 + 5 + 11 + 7 + 23 + 1 = 50.
Р(А) = -L = 0,02, тогда Р(А) = 1 - 0,02 = 0,98.
50
Ответ: 0,98.
Пример 19. В результате испытания обязательно
происходит только одно из равновозможных событий Al9 А2,
А3, А4, А5 . Если вероятности событий Aj, А2, А3
соответственно 0,2; 0,15; 0,27, то чему равна вероятность
наступления каждого из событий А4 и А5 ?
Решение. Р(А4 + Аъ) - 1 - (0,2 + 6,15 + 0, 27) = 1 - 0,62 =
= 0,38; Р(А4) = Р(А5) = 0,19.
Ответ: 0,19.
Произведением двух событий А и В называют
событие А£, состоящее в совместном появлении этих событий.
Например, если в ящике содержатся детали,
изготовленные заводами № 1 и № 2, А — появление стандартной
детали, В — появление детали, изготовленной заводом
№ 1, то АВ — появление стандартной детали завода .№ 1.
События А и Б называются независимыми, если
наступление одного из событий не зависит от наступления
другого.
115

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух
независимых событий равна произведению вероятностей
этих событий Р(АВ) = Р(А) • Р(В).
Пример 20. Найти вероятность одновременного
появления двух гербов при одном бросании двух монет.
Решение. Пусть событие А — появление герба на
первой монете, Р(А) = -. Событие В — появление герба на
второй монете, Р(В) = -. Так как А и Б — независимые со-
бытия, то Р(А • В) = i • I = \ .
Ответ: 0,25.
Пример 21. Стрелок производит 4 выстрела по цели.
Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3.
Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в цель
хотя бы один раз.
Решение. Пусть событие А — попадание в цель хотя
бы один раз. Тогда событие А — ни одного попадания при
4 выстрелах. По условию вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,3, тогда вероятность
противоположного события, т.е. промаха при одном выстреле,
равна 1 - 0,3 = 0,7. Попадание или промах при каждом
выстреле не зависит от результата других выстрелов.
Значит, вероятность промаха при 4 выстрелах равна
произведению вероятностей промаха при каждом из этих
выстрелов: Р(А) = 0,7 • 0,7 • 0,7 • 0,7 = 0,74 = 0,2401.
Попадание и промах при выстреле — несовместные события,
поэтому Р(А) + Р(А) = 1. Р(А) = 1 - 0,2401 = 0,7599.
Ответ: 0,7599.
Пример 22. Имеется 2 ящика, содержащих по 10
деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором —
7. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной
детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся
стандартными.
Решение. Пусть событие А — деталь из первого ящика
оказалась стандартной.
Событие В — деталь из второго ящика оказалась
стандартной. События А и В являются независимыми. Р(А) =
= А = 0,8; Р(Б)=-^- =0,7. Событие АВ — обе детали ока-
116

зались стандартными Р(А • Б) = Р(А) • Р(В); Р(А • В) =
= 0,8 0,7 = 0,56.
Ответ: 0,56.
Пример 23. Вероятность того, что двигатель новой
автомашины проработает безотказно при пробеге
автомобиля 100 тыс. км равна 0,9, а вероятность того, что ходовая
часть проработает без поломок такой же срок равна 0,7.
Чему равна вероятность того, что и двигатель и ходовая
часть проработают безотказно 100 тыс. км?
Решение. Р(А • Б) = 0,9 • 0,7 = 0,63.
Ответ: 0,63.
Примеры задач на совместное применение теорем о
вероятности суммы и вероятности произведения событий.
Пример 24. Два стрелка независимо друг от друга
стреляют в цель по одному разу. Вероятность попадания
в цель 1-го стрелка — 0,8, 2-го — 0,7. Какова вероятность
того, что один стрелок промахнётся, а другой попадёт в
цель?
Решение. Испытание состоит в выполнении двух
независимых выстрелов по мишени. Пусть событие А —
попадание в цель 1-го стрелка, Б — попадание в цель 2-го
стрелка. Требуется найти Р(АВ + А В). События АВ и
А В несовместны, т.е. Р(АВ + А В) = Р(АВ + А В) =
= Р(А) • Р(В) + Р(А) • Р(В) = 0,8 • 0,3 + 0,2 • 0,7 = 0,38.
Ответ: 0,38.
Пример 25. Вероятность того, что учащийся Иванов
сдаст математику — 0,9, физику — 0,8. Какова
вероятность того, что Иванов сдаст хотя бы один экзамен?
Решение. Испытание состоит в сдаче 2-х экзаменов.
Пусть событие Ах — сдача экзамена по математике, А2 —
по физике, событие А — учащийся сдаст хотя бы один
экзамен. Тогда противоположное событие А означает, что
учащийся не сдал ни одного экзамена.
Способ 1. А = Ах • А2, но Р(А) + Р(А) = 1.
Тогда Р(А) = 1 - Р(А) = 1 - Р(АХ- А2) = 1 - Р(АХ) х
х Р(А2) = 1 - 0,1 • 0,2 = 1 - 0,02 = 0,98.
Способ 2. Р(А) = Р(АХА2 + АХА2 + АгА2) = Р(АХ) • Р(А2) +
+ Р(Аг) • Р(А2) + Р(Аг) • Р(А2) = 0,9 • 0,2 + 0,1 • 0,8 + 0,9 х
х 0,8 = 0,18 + 0,08 + 0,72 = 0,98.
Ответ: 0,98.
117

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Классическое определение вероятности случайного
события (Р(А) = —) применимо лишь тогда, когда число исхо-
дов испытания конечно. При изучении же многих явлений
реального мира оказывается, что число исходов бесконечно.
Например, если испытание состоит в том, что
сигнальщик в течение часа должен принимать мгновенный
световой сигнал, то его исходами можно считать
появление или не появление сигнала в любой момент времени
этого часа. Число исходов оказывается бесконечным.
Другой пример. Вне шара находится точечный
источник света. Испытание состоит в изучении освещённости
различных точек, взятых на поверхности шара. Исходы
испытания: точка освещена или точка не освещена.
Точек на поверхности шара, а, значит, и число исходов
испытания, бесконечно.
Как определить вероятность того, что наудачу взятая
точка на поверхности шара освещена?
Ещё пример. В круг радиуса R вписан квадрат. Как
найти вероятность того, что точка, наудачу взятая в этом
круге, попадёт внутрь этого квадрата.
В приведённых примерах число возможных исходов
испытания и число исходов, благоприятствующих
рассматриваемому событию, бесконечно.
В этом случае применяется геометрический способ
вычисления вероятности случайного события.
Пусть в результате испытания наудачу выбирается
точка Е в некоторой области S, которая геометрически
изображается в виде совокупности точек отрезка прямой,
плоской фигуры или пространственного тела. Требуется
найти вероятность того, что эта точка Е окажется в
области s, являющейся частью области S.
Делается допущение, что исходы испытания
распределены равномерно. Это значит, что если разделить
область S на конечное число равновеликих частей Sk(k —
= 1,2,3,...,п), то события Sk9 означающие попадание
наудачу выбранной точки из области S в любую её часть Sk,
равновозможны. Тогда можно считать, что вероятность
попадания наудачу выбранной точки из области S в
какую-либо часть s этой области пропорциональна мере
этой части и не зависит от её расположения и формы (т.е.
считаем не количество исходов испытаний, а занимае-
118

мую ими длину отрезка, площадь или объём). Значит,
Р(Е) = т^ , где Р(Е) — вероятность того, что наудачу
m(S)
выбранная точка из области S окажется в области s, m(s)
и m(S) — меры соответствующих областей, выраженных
в единицах длины, площади или объёма.
Пример 26. Товарищ должен прийти на встречу с
другом в промежутке времени от 15 ч. до 15 ч. 30 мин.
Найдите вероятность того, что встреча произойдёт с 15 ч. 10 мин.
до 15 ч. 20 мин.
Решение. Пусть событие А — встреча произошла в
промежуток времени от 15 ч. 10 мин. до 15 ч. 20 мин., т.е.
в течение 10 мин. после 15 ч. 10 мин.
Изобразим все исходы испытания в виде от- О К N М
резка ОМ на оси Ох. Событие А произойдёт, ее- ' ' ' '
ли точка (время встречи) окажется на отрезке KN. Следо-
Ответ: \.
о
Пример 27. В круг радиуса R вписан квадрат.
Найдите вероятность того, что наудачу взятая в этом круге
точка окажется внутри квадрата. Ответ округлите до сотых.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что наудачу
взятая в круге точка оказывается внутри квадрата. Тогда
Р(Л\ — ^квадрата _ (RJ2) _ 2R _ 2 ^ л дд
Ответ: 0,64.
Замечание. В отличие от задач, решаемых на основе
классического определения вероятности, вероятность, вычисленная
на основе геометрического определения, может выражаться
иррациональным числом.
Пример 28. Внутри прямоугольного
параллелепипеда, измерения которого равны 5 см, 6 см, 10 см
расположен куб с ребром 4 см. Наудачу выбирается точка В
внутри параллелепипеда. Найдите вероятность того, что
точка В окажется внутри куба.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что точка В
оказалась внутри куба с ребром 4 см. Считаем, что
исходы испытания распределены равномерно. Тогда Р(А) =
= ^куба р(А) = 43 = J>£ _ 16
^параллепипеда ' 5 6 • 10 300 75*
Ответ: i|.
15
119

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
Математическая статистика — раздел математики, е
котором изучаются методы сбора, систематизации и
обработки результатов наблюдений массовых случайных
явлений дл# выявления существующих закономерностей.
Предметом математической статистики является
изучение случайных событий по результатам
наблюдений. Данные (как правило, числовые), которые получают
в результате экспериментов (наблюдений), называются
статистическими (от латинского status — состояние).
Статистических данных должно быть достаточно
много. Поэтому, прежде всего, полученные данные
необходимо упорядочить: расположить в порядке
возрастания (убывания), представить в виде таблицы,
диаграммы, графика и т.д.
Затем ставится задача оценить, хотя бы
приближённо, интересующие нас характеристики наблюдаемой
случайной величины.
В простейших случаях, когда данные исследования
представлены в виде ряда чисел, такими
характеристиками могут быть среднее арифметическое, мода,
медиана, размах числового ряда.
Пример 1. Для анализа результатов ГИА
(государственной итоговой аттестации) по алгебре выпускников 9
класса сельской школы выписали количество заданий,
верно выполненных каждым из 15 учеников этого
класса. Расположив полученные данные в порядке
возрастания, получили следующий ряд чисел: 6; 7; 10; 13; 13; 13;
13; 15; 15; 16; 16; 17; 18; 20; 21.
Средним арифметическим ряда чисел называется
частное от деления суммы этих чисел на число
слагаемых. Для данного ряда чисел имеем:
6 + 7 + 10 + 13 + 13 + 13 + 13 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 18 + 20 + 21 =
15
= Щ = 14,2.
Итак, в среднем учащиеся класса смогли верно
выполнить приблизительно 14 заданий экзаменационной
работы. Однако, выпускники показали очень разный
уровень математической подготовки. Чтобы
количественно охарактеризовать разброс данных в числовом ряду,
вычисляют размах ряда.
120

Размахом ряда чисел называется разность между
наибольшим и наименьшим из этих чисел.
В нашем примере учащиеся класса решили от 6 до 21
экзаменационной задачи, т.е. размах ряда равен 21 - 6 = 15.
Следующий вопрос: какое количество решённых
задач является типичным для выпускников этого класса,
т.е. какое число чаще других встречается в нашем ряду
чисел? Легко увидеть, что таким является число 13.
Число 13 называется модой данного ряда чисел.
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто
встречающееся в данном ряду.
Заметим, что ряд чисел может иметь более одной
моды или не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел
23; 23; 24; 27; 27; 27; 41; 45; 45; 45 две моды — это числа
27 и 45 (каждое из них входит в ряд три раза), а ряд чисел
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 не имеет моды.
Моду ряда полученных в ходе эксперимента данных
находят тогда, когда хотят выявить некоторый
типичный показатель. Мода, если существует, то обязательно
совпадает с двумя или более числами ряда. Понятие моды
может применяться не только к числовым данным.
Например, проведя опрос учащихся, можно выяснить
любимый учебный предмет каждого из них. Модой будут
являться те ответы, которые будут встречаться чаще других.
Пример 2. В таблице показано число посетителей
музея в разные дни недели:
День
недели
Число
посетителей

Понедельник
230

Вторник
535

Среда
350

Четверг
290

Пятница
512

Суббота
711

Воскресенье
820
Какие дни недели являются наиболее посещаемыми?
Решение, Упорядочим данный ряд чисел:
День
недели
Число
посетителей

Понедельник
230

Четверг
290
Среда
350

Пятница
512

Вторник
535

Суббота
711

Воскресенье
820
Для ответа на вопрос выделим число, расположенное
в середине данного ряда чисел — это 512, оно показывает
число посетителей музея в пятницу. Дни недели,
расположенные в таблице правее пятницы, дают ответ на пос-
121

тавленный вопрос. Итак, наиболее посещаемые дни —
вторник, суббота, воскресенье. Число 512 называется ме
дианой данного ряда чисел (от латинского слова medlana —
«среднее»).
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным
числом членов называется число, записанное посередине.
Рассмотрим упорядоченный числовой ряд,
содержащий чётное число членов:
53; 62; 67; 71; 85; 98. В середине ряда расположены
два числа: 67 и 71. Среднее арифметическое этих чисел
f\7 4- 71
равно —-—- = 69. Число 69, не являясь членом данного
ряда, разбивает ряд на две одинаковые по численности
части: слева от него находится три числа (53; 62; 67) и
справа тоже три числа (71; 85; 98). Число 69 называется
медианой данного ряда чисел.
Медианой упорядоченного ряда чисел с чётным
числом членов называется среднее арифметическое двух
чисел, записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется
медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Пример 3. При каких значениях х медиана ряда
чисел 7; 5; 4; 8; х равна 7?
Решение. Упорядочим данный ряд чисел при
различных значениях х: х; 4; 5; 7; 8, если х < 4; 4; х; 5; 7; 8,
если 4 < х < 5; 4; 5; х; 7; 8, если 5 < х < 7; 4; 5; 7; х; 8, если
7 < х < 8; 4; 5; 7; 8; х, если х > 8.
Для каждого ряда найдём медиану: 5; 5; х; 7; 7.
Значит, медиана равна 7, если х > 7.
Ответ: х > 7.
Пример 4. При каких значениях х среднее
арифметическое ряда чисел 15; 9; 7; 10; л: будет равно 11?
Решение. По условию 15 + 9 + 7 + 10 + * =11;41+* =
= 55; х =14.
Ответ: 14.
Пример 5. В школе четыре одиннадцатых класса. В
таблице приведён средний балл, полученный
выпускниками каждого класса на ЕГЭ по математике:
Класс
Количество учащихся
Средний балл
11а
26
65
116
28
59
Ив
25
61
Иг
27
55
122

Найдите средний балл ЕГЭ по математике по всей
школе. Ответ округлите до десятых.
Решение. Чтобы найти средний балл по школе, надо
сумму баллов, набранных всеми выпускниками школы,
разделить на общее количество выпускников.
Количество баллов, полученных учениками каждого
класса, равно произведению среднего балла на число
учащихся этого класса. Тогда сумма баллов, полученных
всеми выпускниками школы, равна
65 26 + 59 28 + 61 25 + 55 27 = 6352.
Общее количество выпускников школы
26 + 28 + 25 + 27=106.
Средний балл по школе равен „^ ~ 59,9.
106
Ответ: 59,9.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово
«школа». Маленький мальчик перемешал буквы, а
потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он
опять составит слово «школа»?
2. Какова вероятность того, что наугад выбранное
целое число от 16 до 50 (включительно) кратно 7?
3. На карточках написаны целые числа от 1 до 12
включительно. Наудачу выбираются две карточки.
Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на
карточках, равна 8?
4. Бросают два игральных кубика. Найдите
вероятность того, что на обоих кубиках окажется:
а) одинаковое число очков;
б) различное число очков.
5. На полке стоят учебники по географии, истории,
алгебре, геометрии, физике. Наугад с полки берутся три
книги. Найдите вероятность того, что книги взяты в
таком порядке: геометрия, алгебра, физика.
6. В праздничной лотерее участвует 1000 билетов,
среди которых 450 выигрышных. Какова вероятность того,
что купленный билет окажется не выигрышным?
7. Бросают два игральных кубика. Найдите
вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках,
равна 5.
8. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность
того, что сумма очков, выпавших на кубиках, меньше 12?
123

9. Одновременно бросают 3 монеты. Какова
вероятность того, что на них выпадут 2 орла и 1 решка?
10. Два станка работают независимо друг от друга.
Вероятность бесперебойной работы первого станка в
течение смены равна 0,8» а второго — 0,9. Найдите
вероятность бесперебойной работы:
а) обоих станков в течение рабочей смены;
б) хотя бы одного из двух станков в течение рабочей
смены.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово
«школа». Маленький мальчик перемешал буквы, а
потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он
опять составит слово «школа»?
Решение. Пусть событие А — составлено вновь слово
«школа». Событию А благоприятствует один исход.
Разных слов из 5 букв можно составить столько, сколько
существует перестановок из 5 элементов (букв), т.е. Р5.
Вероятность события А равна -L; Р(А) = А = г . 2 . 3 . 4 ■ 5 = Г£
Ответ: J
2. Какова вероятность того, что наугад выбранное
целое число от 16 до 50 (включительно) кратно 7?
Решение. Событие А - выбранное число кратно 7.
Числа данного числового промежутка, кратные 7: 21; 28; 35;
42; 49 — 5 чисел; т = 5. Всего в числовом промежутке
[16; 50] находится 35 целых чисел; п = 35; Р(А) = —;
п
Ответ: -.
3. На карточках написаны целые числа от 1 до 12
включительно. Наудачу выбираются две карточки.
Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на
карточках, равна 8?
Решение. Испытание состоит в том, что из 12 карточек
наудачу выбираются две. Число исходов испытания п =
= С12 ; п = -—■— = 66. Событие А — сумма чисел на двух
1 * СЛ
124

выбранных карточках равна 8. Благоприятствующие
событию А исходы: 1 + 7; 2 + 6; 3 + 5. Имеем 3
благоприятствующих исхода; т = 3. Значит, вероятность
наступления события А равна: Р(А) = — ; Р(А) = А = _L .
п об 22
Ответ: —.
22
4. Бросают два игральных кубика. Найдите
вероятность того, что на обоих кубиках окажется:
а) одинаковое число очков;
б) различное число очков.
Решение. Испытание — бросают два игральных
кубика и отмечают число очков, выпавших на каждом из
кубиков. При бросании одного кубика имеем 6 равновоз-
можных исходов испытания (выпало 1 очко, 2 очка, 3
очка, 4 очка, 5 очков, 6 очков). Общее число исходов
испытания при бросании двух кубиков равно 6 • 6 = 36.
а) Событие А — появление одинакового числа очков
на обоих кубиках. Число исходов испытания,
благоприятствующих событию А, равно 6 (1, 1; 2, 2; 3, 3; 4, 4; 5, 5;
б) Событие А — появление различного числа очков на
кубиках. События А и А — противоположные. Р(А) +
+ Р(А) = 1, тогда Р(А) - 1 - 1 = |.
о о
Ответ: а) - ; б) - .
о о
5. На полке стоят учебники по географии, истории,
алгебре, геометрии, физике. Наугад с полки берутся три
книги. Найдите вероятность того, что книги взяты в
таком порядке: геометрия, алгебра, физика.
Решение. Испытание — выбор трёх книг из пяти.
Событие В — книги выбраны в указанном порядке. Общее
число равновозможных, несовместных исходов испыта-
3 3
ния п — А5; А5 = 5 • 4 • 3 = 60. Исход,
благоприятствующий событию Б, один, т = 1. Вероятность наступления
события В: Р(В) = Zt; Р(В) = JL .
п 60
Ответ: i.
60
125

6. В праздничной лотерее участвует 1000 билетов,
среди которых 450 выигрышных. Какова вероятность того,
что купленный билет окажется не выигрышным?
Решение. Испытание — покупка одного билета из
1000. Событие А — билет оказался не выигрышным.
Способ 1. Если 450 билетов из 1000 выигрывают, то
550 билетов не выигрывают. Всего имеем 1000 исходов
испытания, из них 550 благоприятствуют событию А.
=055
Способ 2. Событие А, противоположное А, — билет
оказался выигрышным.
Р(А) = i^ = 0,45. Тогда Р(А) = 1 - Р(А), Р(А) = 1 -
-2,45 = 0,55.
Ответ: 0,55.
7. Бросают два игральных кубика. Найдите
вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках,
равна 5.
Решение. Испытание — бросание двух игральных
кубиков. Событие А — сумма выпавших очков равна 5.
Общее число исходов испытания равно 6 • 6 = 36; п = 36.
4 исхода благоприятствуют событию А: 1 + 4; 2 + 3;
3 + 2; 4 + 1; т = 4. Тогда Р(А) = 2 ; Р(А) = ± - J .
п 36 9
Ответ: - .
у
8. Бросают два игральных кубика. Какова
вероятность того, что сумма очков, выпавших на кубиках,
меньше 12?
Решение. Общее число равновозможных исходов
испытания равно 36. Событие А — сумма очков, выпавших
на двух кубиках, меньше 12. Так как число исходов,
благоприятствующих событию А, велико, то рассмотрим
событие А, противоположное А. Событие А — сумма
очков, выпавших на двух кубиках, равна 12. Событию А
благоприятствует лишь один исход: 6 + 6 = 12. Р(А) = -- .
36
1-L
Ответ: ^.
36
126

9. Одновременно бросают 3 монеты. Какова
вероятность того, что на них выпадут 2 орла и 1 решка?
Решение. Испытание — одновременное бросание трёх
монет. Возможны 8 несовместных исходов испытания:
ООО; OOP; OPO; OPP; PPP; PPO; POP; POO; n = 8.
Событие А — выпали 2 орла, 1 решка. Имеем 3 исхода,
благоприятствующих событию A: OOP; OPO; POO; m = 3.
Вероятность наступления события А: Р(А) = — ; Р(А) = - .
п 8
Ответ: - •
о
10. Два станка работают независимо друг от друга.
Вероятность бесперебойной работы первого станка в
течение смены равна 0,8, а второго — 0,9. Найдите
вероятность бесперебойной работы:
а) обоих станков в течение рабочей смены;
б) хотя бы одного из двух станков в течение рабочей
смены.
Решение, а) Событие А — первый станок работает
бесперебойно в течение смены.
Событие В — второй станок работает бесперебойно е
течение смены. Событие С — оба станка работают
бесперебойно в течение смены. События А и В независимы друг
от друга. С =АВ; Р(С) = Р(А) • Р(В); Р(С) = 0,8 • 0,9 = 0,72,
Ответ: 0,72.
б) событие С — хотя бы один станок работает
бесперебойно в течение смены.
Способ 1. Событие С можно представить в виде суммь
трёх несовместных событий: С=А- В +В-А+А-В. Тогдг
Р(С) = Р(А) • Р(В) + Р(В) - Р(А) + Р(А • Б). Р(А) = 0,8; (А) =
= 0,2; Р(В) = 0,9; Р(В) = 0,1. Р(С) = 0,8 • 0,1 + 0,9 • 0,2 Ч
+ 0,8 • 0,9 - 0,08 + 0,18 + 0,72 = 0,98.
Способ 2. Р(С) = 1 - Р{С). Событие С — оба станка л о
мались в течение смены. Р(С) = Р(А)- Р(В) = 0,2 • 0,1 =
- 0,02. Р(С) = 1 - 0,02 = 0,98.
Ответ: а) 0,72; б) 0,98.

Справочное издание
Сычёва Галина Владимировна
Гусева Наталья Борисовна
Гусев Владимир Алексеевич
АЛГЕБРА
НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ
Экспресс-репетитор
для подготовки к ГИА
9 класс
Редакция «Образовательные проекты»
Ответственный редактор Г.Н. Хромова
Художественный редактор Т.Н. Войткевич
Технический редактор А.Л. Шелудченко
Корректор И.Н. Мокина
Обложка — дизайн-группа «Дикобраз»
Оригинал-макет подготовлен 000 «БЕТА-Фрейм»
Общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.001683.02.10 от 05.02.2010 г.
000 «Издательство Астрель»
129085, Москва, пр-д Ольминского, д. За
000 «Издательство ACT»
141100, РФ, Московская обл., г. Щелково, ул. Заречная, д. 96
Наши электронные адреса: www.ast.ru
E-mail: astpub@aha.ru
ОАО «Владимирская книжная типография»
600000, г Владимир, Октябрьский проспект, д 7
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов
По вопросам ириобреимшя книг обращаться по адресу:
129085, Москва, Звездный бульвар, д. 21, 7-й этаж
Отдел реализации учебной литературы издательской группы «ACT»
Справки по тел.: (495)615-53-10, 232-17-04

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ
ЭКСПРЕСС-РЕПЕТИТОР
Данное пособие рассчитано на самостоятельную
или под руководством учителя
подготовку учащихся 9 классов к ГИА по алгебре.
В него входят задания, включающие темы:
«Уравнения и неравенства с переменной
под знаком модуля»,
«Системы уравнений и неравенств с параметром»,
«Элементы комбинаторики, теории вероятностей
и статистики».
Каждый раздел предваряется кратким теоретическим
материалом и содержит большое количество
примеров решения задач.
Количество заданий в каждой теме варьируется
в зависимости от ее сложности, а также
от количества заданий в ГИА, посвященных этой теме.
Каждая тема включает в себя упражнения,
которые позволят учащимся самостоятельно
повторить и закрепить изученное и успешно
справиться с заданиями ГИА.
Чтобы проверить, усвоен ли материал,
в конце книги приведены ответы
ко всем упражнениям.