ББК 32.95
С 66
УДК 621.396.6(075)
Рецензенты: кафедра радиотехнических систем ЛИАП; докт. техн, наук, проф. П. А. Бакут
Редакция литературы по радиотехнике и электросвязи
Сосулин Ю. Г.
С 66 Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учеб, пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1992. — 304 с.: ил.
ISBN 5-256-01019-0.
Приводятся общие сведения о радиолокации и радионавигации, рассматриваются методы измерения координат и определения местоположения объектов. Излагаются основы статистической теории радиолокации и радионавигации; рассматриваются вопросы обнаружения сигналов и оценивания их параметров на фоне шумов и помех различного вида, линейной и нелинейной фильтрации, совместного обнаружения и оценивания сигналов, разрешения и распознавания сигналов, преодоления априорной неопределенности в задачах обработки сигналов, обнаружения и оценивания параметров траекторий, комплексирования устройств обработки информации.
Для студентов радиотехнических специальностей вузов. Может быть полезна специалистам в области радиолокации и радионавигации.
2302920000-040 046(01)-92
10-92
ББК 32.95
ISBN 5-256-01019-0
© Сосулии Ю. Г., 1993
ПРЕДИСЛОВИЕ
Радиолокация и радионавигация впитали в себя достижения многих областей науки и техники и охватывают широкий круг проблем, нашедших отражение в учебной литературе [1 —17, 72], справочниках [18—20], а также в многочисленных монографиях и статьях. Однако учебный курс должен быть компактным. Вместе с тем он должен быть математически доказательным, чтобы действительно быть «теоретическими основами...». Кроме того, для лучшего понимания и усвоения материала теоретические результаты должны поясняться «технически» и дополняться результатами эвристического подхода, развитие которого необходимо при подготовке радиоинженера. Совместить в компактном объеме по возможности строгое изложение основных положений современной теории радиолокации и радионавигации с ясностью понимания физической сущности рассматриваемых явлений и процессов — задача, которую решал автор при написании учебного пособия. Очевидно, «оптимальное» решение этой задачи труднодостижимо. Поэтому автор будет благодарен всем, кто пожелает высказать свои замечания.
В основу книги положены конспекты лекций по курсу «Теоретические основы радиолокации и радионавигации», которые автор читал в течение ряда лет в Московском авиационном институте. Опыт чтения этих лекций свидетельствует о том, что наиболее трудным для усвоения студентами материалом является статистическая теория радиолокации и радионавигации. Однако в учебной литературе данный материал не всегда излагается достаточно корректно и полно. Поэтому автор наибольшее внимание уделил изложению основ статистической теории радиолокации и радионавигации, исключив из книги некоторые традиционные разделы, хорошо изложенные в учебной литературе.
Для понимания материала учебного пособия необходимо знание основных понятий втузовского курса по теории вероятностей и математической статистике, а также статистической радиотехники [21, 22]. В конце книги приведен список литературы, включающий в себя не только учебные пособия и справочники, но и специальные монографии и статьи. Эта литература потребуется
3
при желании студента расширить и углубить свои знания в процессе самостоятельной подготовки и особенно при проведении им научно-исследовательской работы, без которой нельэ-я подготовить высококвалифицированного, творческого специалиста.
В книге принята двойная нумерация формул: первое число — номер главы, второе —номер формулы в пределах параграфа. При ссылках внутри параграфа используется только номер формулы.
Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАДИОЛОКАЦИИ И РАДИОНАВИГАЦИИ
1.1.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Радиолокация — обнаружение, определение местоположения и выявление свойств движущихся и неподвижных объектов с использованием радиоволн, отраженных или излученных этими объектами. Радиолокацией называют также область науки и техники, охватывающую методы и средства решения указанных задач. Объекты радиолокации называются радиолокационными целями; их можно подразделить на аэродинамические (самолеты, вертолеты, крылатые ракеты); баллистические и космические (боеголовки, спутники); наземные и надводные (автомашины, корабли); природного происхождения (планеты, молнии, облака, дождь, ориентиры на местности и т. д.). Технические средства получения информации о радиолокационных целях — радиолокационной информации — называются радиолокационными станциями или радиолокаторами. Совокупность радиолокационных станций и вспомогательных технических средств, взаимосвязанных между собой и предназначенных для решения какой-либо тактической задачи радиолокации, называют радиолокационной системой (РЛС). Отметим, что этот термин неоднозначен. Так, одна радиолокационная станция является системой, состоящей из взаимосвязанных радиоустройств, способных решать радиолокационную задачу, и поэтому также обычно именуется радиолокационной системой.
Радионавигация — определение местоположения объектов и обеспечение их движения по заданным траекториям с помощью Радиосредств. Объектами радионавигации являются управляемые летательные аппараты (воздушные и космические), морские корабли и др. Совокупность взаимодействующих радиоустройств и ®спомогательных технических средств, расположенных на подвижном объекте и вне его, предназначенных для решения тактичес-
5
кой задачи радионавигации, называют радионавигационной системой (РНС).
Радиолокационные и радионавигационные системы, осуществляющие обработку радиолокационной и радионавигационной информации, относятся к широкому классу информационных радиосистем. При этом большинство РЛС и РНС составляют его важный подкласс, являясь радиосистемами извлечения информации. Эти радиосистемы из принимаемых радиосигналов извлекают полезную информацию о радиолокационных и радионавигационных объектах. Обрабатывая получаемую информацию, указанные радиосистемы решают радиолокационные и радионавигационные задачи, основными из которых являются: обнаружение объектов, измерение координат и параметров движения, разрешение объектов, распознавание объектов.
Обнаружение состоит в принятии решения о наличии или отсутствии объекта в заданной области пространства. Измерение координат и параметров движения сводится к получению оценок координат объектов и их производных (скорости, ускорения). Число и вид измеряемых координат определяются назначением РЛС и РНС и выбранной системой координат, в которой определяется местоположение объекта. Разрешение сводится к обнаружению и измерению координат и параметров движения объекта при наличии в исследуемом участке пространства других объектов. Распознавание состоит в установлении принадлежности объекта к определенному классу.
Радиосистемы извлечения информации, и прежде всего радиолокационные, в зависимости от происхождения принимаемого радиосигнала подразделяют на активные и пассивные. В активных радиосистемах информация выделяется из радиосигналов, полученных в результате облучения объекта зондирующим электромагнитным колебанием — зондирующим сигналом — и приема отраженной от объекта энергии. Поэтому активная радиосистема состоит из радиопередающего устройства РПдУ (передатчика), передающей и приемной антенн и радиоприемного устройств РПрУ (приемника) (рис. 1.1,о). Наличие двух антенн у активной радиосистемы не обязательно. Можно ограничиться и одной антенной, если обеспечить необходимую развязку приемного и передающего каналов; при импульсном зондирующем сигнале это осуществляется с помощью антенного переключателя АП (рис. 1.1,6).
В пассивной радиосистеме извлечение информации осуществляется без облучения объекта электромагнитными колебаниями. Объект сам является источником излучения. Поэтому пассивная система состоит из приемной антенны и радиоприемного устройства (рис. 1.1,в).
6
Объект ;	Объект	Объект
а)	б) б)
Рис. 1.1. Обобщенные структурные схемы РЛС и РНС:
а, б — активные системы, в — пассивная система, г — радиолиния, д — активная система с активным ответом, е — разнесенная система
По степени автономности РНС подразделяют на автономные и неавтономные. Неавтономная РНС включает в себя радиолинию, состоящую из РПдУ, передающей антенны, трассы распространения радиоволн, приемной антенны и РПрУ (рис. 1.1,г).Радиопередающее устройство РПдУ устанавливается в пункте с известными координатами — радионавигационной точке (РНТ). Таких точек обычно несколько, и они могут располагаться на Земле, либо на движущихся объектах — искусственных спутниках Земли и Других летательных аппаратах (ЛА). Радиоприемное устройство РПрУ находится на подвижном объекте, местоположение которого требуется определить. Автономная РНС не нуждается в радиоаппаратуре, устанавливаемой в РНТ; она определяет местоположение подвижного объекта с помощью только бортовых радиоустройств и представляет собой по существу активную РЛС (рис. 1-1), при этом отражающим объектом обычно является земная поверхность.
В радиолокации и радионавигации используются также активные радиосистемы с активным ответом (рис. 1.1,5). В таких системах на объекте устанавливается ответчик — приемопередающее Устройство, отвечающее на сигналы активной системы — запрос-
7
чика. Активная система с активным ответом содержит две радиолинии — запроса и ответа, при этом в системе наряду с извлечением информации может осуществляться и ее передача. Поэтому такую систему относят к классу комбинированных информационных радиосистем.
В зависимости от расположения РПдУ и РПрУ в пространстве РЛС подразделяют на однопозиционные (совмещенные), когда РПдУ и РПрУ размещены в одном пункте (рис. 1.1,о,б), разнесенные (бистатические), когда РПдУ и РПрУ расположены в двух пунктах, достаточно удаленных друг от друга, и многопозиционные. Расстояние между передающей и приемной позициями разнесенной РЛС может быть постоянным и переменным. Примером системы, иллюстрирующим второй случай, служит разнесенная РЛС, обеспечивающая самонаведение ракеты на цель (рис. 1.1,е).
Многопозиционная радиолокационная система (МПРЛС) состоит из нескольких разнесенных в пространстве передающих, приемных или приемопередающих позиций, в которых осуществляется совместная обработка радиолокационной информации. Простейшая МПРЛС включает в себя две разнесенные приемные позиции при одной передающей, которая может быть совмещена с одной из приемных. К простейшим относится также МПРЛС, включающая две разнесенные передающие позиции при одной приемной, которая может быть совмещена с одной из передающих. Многопозиционные РЛС могут быть активными, обслуживающими неизлучающие объекты и поэтому содержащими хотя бы одну передающую позицию, пассивными, состоящими только из приемных позиций, и активно-пассивными, обслуживающими как неизлучающие, так и излучающие объекты.
1.2.	ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИООБНАРУЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ. ДИАПАЗОНЫ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РАДИОВОЛН
Проблема радиообнаружения объекта сводится к обнаружению сигнала, излучаемого или переизлучаемого этим объектом на фоне различного рода помех. Активное радиообнаружение основано на явлении отражения или рассеивания радиоволн, если на пути их распространения встречается объект с электрическими параметрами, отличными от параметров среды. Такой объект, облученный электромагнитным колебанием, становится источником отраженного, т. е. вторичного, электромагнитного поля. Мощность вторичного излучения зависит от интенсивности первичного поля 8
около объекта, параметров объекта (габаритов, формы, электрических свойств), положения объекта относительно источника зондирующего сигнала, поляризации первичного поля, длины волны
Зависимость мощности вторичного излучения от л особенно важна, так как ее характер определяет диапазон радиоволн, пригодный для радиообнаружения. Если линейные размеры объекта I таковы, что
/>Л,	(1-1)
то мощность вторичного излучения от X практически не зависит. Если /<О-, то мощность вторичного излучения обратно пропорциональна X4. При этом с увеличением длины волны мощность вторичного излучения резко падает, что приводит к соответствующему уменьшению дальности обнаружения. Поэтому в радиолокации, для которой задача обнаружения объектов является важнейшей, используют в основном такие радиоволны, длина которых удовлетворяет соотношению (1). Следовательно, для радиолокационного наблюдения целей типа самолетов, автомашин и т. п. нужно использовать диапазон метровых и более коротких волн (10 ... 10-3 м).
Необходимость укорочения длины волны обусловлена также стремлением создать более узкий радиолуч, чтобы обеспечить разрешение (разделение) целей по угловым координатам, более высокую точность их измерения и более экономное расходование энергии передатчика. Дело в том, что угловая ширина луча или ширина диаграммы направленности (ДН) антенны
аа = кД/Уа,	(1.2)
где da — линейный размер апертуры антенны; к — коэффициент пропорциональности, зависящий от распределения электромагнитного поля по апертуре. Следовательно, при заданном размере антенны сужение луча достигается путем уменьшения длины волны X.
Необходимо, однако, учитывать и фактор, ограничивающий укорочение волны — затухание радиоволн в атмосфере, которое в сантиметровом и миллиметровом диапазонах может оказаться значительным.
Для обнаружения целей, лежащих далеко за линией горизонта, т. е. для загоризонтной радиолокации, диапазон 10 ... 10-3 м не пригоден, так как волны этого диапазона распространяются по законам, близким к оптическим, т. е. в пределах прямой видимости. Способностью проникать далеко за линию горизонта обладают радиоволны с большей длиной волны. В загоризонтной радиолокации используется прежде всего диапазон декаметровых
9
волн 10 ... 100 м. Эти волны способны отражаться от верхних слоев атмосферы и позволяют обнаруживать различные объекты, скрытые за линией горизонта (самолеты, стартующие баллистические ракеты и др.) [35].
Обнаружение объектов возможно при импульсном и непрерывном зондирующих сигналах. В первом случае объект облучается короткими импульсами, длительность которых обычно значительно меньше паузы между ними. При этом используется временная развязка приемного и передающего каналов, реализуемая антенным переключателем. При непрерывном сигнале влияние передающего канала на приемный ослабляется с помощью частотной, пространственной или поляризационной развязки.
Пассивное обнаружение основано на использовании собственного, в частности, теплового излучения объекта. Так как любое физическое тело, температура которого выше абсолютного нуля, излучает электромагнитные колебания, то имеется принципиальная возможность обнаруживать любые объекты без предварительного облучения. Максимум теплового излучения земной поверхности и многих других объектов лежит в области инфракрасного диапазона волн. Для обнаружения может использоваться также радиоизлучение, вызванное работой различных радиоустройств, имеющихся на объекте, запуском ракет и т. п.
Физической основой определения местоположения объектов является то, что в однородной среде радиоволны распространяются прямолинейно и с постоянной скоростью с»3-108 м/с. Это позволяет определить направление на излучатель радиоволн и пройденный ими путь (дальность) Д=ст, измерив время распространения т между излучателем и приемником. Однако реальная среда в общем случае не является однородной. Поэтому траектория распространения радиоволн, вообще говоря, отличается от прямой линии, а скорость их распространения меняется на пути распространения. Это приводит к соответствующим ошибкам в определении местоположения объекта.
В некоторых РЛС и РНС для определения местоположения объекта наряду с перечисленными свойствами радиоволн используется эффект Доплера — изменение частоты принимаемых электромагнитных колебаний при изменении расстояния Я между приемником и излучателем радиоволн. Найдем это изменение, полагая, что излучается гармоническое колебание частоты [0 с начальной фазой <ро- Тогда текущее значение фазы колебания на входе приемника (p(t)=2nf0(t—(/?/с))+<р0- При изменении расстояния Р, например из-за движения излучателя с радиальной скоростью VR=dRJdt, частота принимаемого колебания f= = (d<p/d£)/2n=fo—(foVfl/c) отличается от частоты излучаемого на значение
10
/д = — f0VR lc = -VR IK	(1.3)
где ^=clf0 — длина волны*. Величина (3) называется частотой Доплера или доплеровским смещением частоты.
Диапазон радиоволн, используемый в радионавигации, значительно шире, чем в радиолокации. Дело в том, что в неавтономных РНС отражающие свойства объекта не используются и поэтому условие (1) не ограничивает выбора диапазона радиоволн. В радионавигации он обусловлен особенностями распространения радиоволн в реальной среде, которые существенно зависят от длины волны. Кроме того, учитывается регламент радиосвязи, т. е. свод правил, которые регулируют порядок использования диапазонов радиоволн разными странами в различных радиосистемах.
В неавтономных РНС, обеспечивающих определение местоположения объекта на больших расстояниях (порядка 8... 10 тыс. км), используются мириаметровые волны (Х= 10 ... 100 км); при меньших расстояниях (3 ... 1 тыс. км) — километровые (Z=l ... ... 10 км) и гектометровые (Л=0,1 ... 1 км) волны. В автономных РНС, например в радиовысотомерах, доплеровских измерителях скорости и угла сноса (ДИСС), а также в неавтономных РНС, например в радиомаячных системах посадки, в которых требуется сформировать достаточно узкий радиолуч, нужно учитывать соотношение (2); поэтому такие системы работают на метровых и более коротких волнах.
1.3.	МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
Проблема определения местоположения объекта, или, короче, проблема местоопределения, сводится к определению (измерению) некоторых геометрических величин, однозначно характеризующих место объекта в пространстве. К ним относятся прежде всего длина траектории распространения радиоволн или дальность и направление на излучатель радиоволн. Определение этих величин, называемое радиодальнометрией и радиопеленгацией соответственно, осуществляется с помощью радиоустройств — радиодальномеров и радиопеленгаторов. Угол между начальным направлением и искомым называется пеленгом. При пеленгации в горизонтальной плоскости в качестве начального принимают северное направление географического меридиана. За положительное направление отсчета пеленга выбирают направление вращения часовой стрелки.
* Эти выкладки справедливы при условии Ув'Сс, которое выполняется на практике.
11
Рис. 1.2. Диаграммы определения геометрических величин и линий положения
При помощи радиоустройств можно определить следующие геометрические величины: 1) пеленг ам искомой точки М из фиксированной точки А (рис. 1.2,а); 2) пеленг ад фиксированной точки А из искомой точки М (рис. 1.2,6); 3) расстояние R от искомой точки М до фиксированной точки А (рис. 1.2,в); 4) разность расстояний 7?i—Т?2 от искомой точки М до двух фиксированных точек А и В (рис. 1.2,г); 5) сумму расстояний /?г-(-/?2 от искомой точки М до двух фиксированных точек А и В {рис. 1.2,6). Каждому измеренному значению какой-либо из перечисленных величин соответствует линия положения — геометрическое место точек, для которых геометрическая величина, определяющая местоположение объекта, постоянна. При постоянном пеленге искомой точки из фиксированной (рис. 1.2,а), как и при постоянном пеленге фиксированной точки из искомой (рис. 1.2,6), линии положения являются прямыми. При постоянном расстоянии от искомой точки до фиксированной линия положения представляет собой окружность с центром в точке А и проходящую через точку М (рис. 1.2,в). При постоянной разности расстояний от искомой точки до двух фиксированных линия положения является гиперболой, проходящей через точку М (рис. 1.2,г); фиксированные точки А и В — фокусы гиперболы. При постоянной сумме расстояний от искомой точки до двух фиксированных линия положения является эллипсом, проходящим через точку М (рис. 1.2,6); точки А и В — фокусы эллипса.
Различным постоянным значениям каждой из перечисленных геометрических величин соответствует семейство линий положения. 12
%г*К3= const
Рис. 1.3. Диаграммы местоопределения позиционными методами на плоскости (а, б, в, г, д) и в пространстве (е)
В первом и во втором случаях семейство линий положения представляет собой семейство радиальных прямых, в третьем — семейство концентрических окружностей, в четвертом — семейство софокусных гипербол, в пятом — семейство софокусных эллипсов.
Для определения местоположения объекта на плоскости надо найти две пересекающиеся линии положения. Точка пересечения этих линий даст искомое местоположение. Такой метод местоопределения называется позиционным. В зависимости от видов используемых линий положения различают следующие позиционные методы: пеленгационный, при котором местоположение объекта определяется как точка пересечения двух прямых (рис. 1.3,а); дальномерный, при котором местоположение объекта — точка пересечения двух окружностей (рис. 1.3,6); разностно-дальномерный, при котором местоположение объекта — точка пересечения двух гипербол (рис. 1.3,в); суммарно-дальномерный, при котором местоположение объекта — точка пересечения двух эллипсов (рис. 1.3,г); дальномерно-пеленгационный, при котором местоположение объекта — точка пересечения прямой с окружностью (рис. 1.3,д).
Пеленгационный и разностно-дальномерный метод широко применяют в радионавигации для определения собственного положения подвижного объекта относительно радиомаяков (РПдУ), устанавливаемых в РНТ. Эти методы используют также в радиолокации — в пассивных МПРЛС. Дальномерный метод применя-Ют в радионавигации. Кроме того, дальномерный, а также сум-13
марно-дальномерный методы используют в радиолокации — в активных МПРЛС. Дальномерно-пеленгационный метод — основной в однопозиционной радиолокации, так как он единственный из рассмотренных методов позволяет определить местоположение объекта из одной точки.
При местоопределении объекта в пространстве постоянному значению каждой из перечисленных геометрических величин соответствует поверхность возможных местоположений объекта, которая называется поверхностью положения. Постоянному значению расстояния от фиксированной точки до искомой соответствует поверхность положения в виде сферы. При постоянном значении суммы расстояний от искомой точки до фиксированных поверхностью положения является эллипсоид. При постоянном значении пеленга в горизонтальной плоскости искомой точки из фиксированной поверхностью положения будет вертикальная плоскость, проходящая через эти точки.
Пересечение двух поверхностей положения дает линию положения в пространстве. Точка пересечения линии положения и третьей поверхности положения определяет местоположение объекта в пространстве. Если, например, использовать дальномернопеленгационный метод, то местоположение объекта дает точка пересечения прямой со сферой. В этом случае для однозначного определения направления на объект необходимо осуществить пеленгацию в двух пересекающихся плоскостях, как правило — горизонтальной и вертикальной (рис. 1.3,е). Угол а между северным направлением географического меридиана и проекцией направления на объект на горизонтальную плоскость называется азимутом. Угол р между направлением на объект и горизонтальной плоскостью называется углом места. Расстояние R от радиолокатора до объекта называется наклонной дальностью. Как видим, задача местоопределения объекта в пространстве дальномерно-пеленгационным методом сводится к измерению трех координат: наклонной дальности, азимута и угла места.
Помимо позиционных методов, широко применяемых в радиолокации и радионавигации, в последней используют и другие методы местоопределения: счисления пути и обзорно-сравнительный. Метод счисления пути основан на измерении вектора скорости ЛА относительно поверхности Земли и интегрировании скорости по времени, в результате чего определяется пройденный путь. Измерения выполняются на борту ЛА с помощью ДИСС, который определяет путевую скорость и угол сноса. Путевой скоростью называется горизонтальная составляющая V вектора скорости движения ЛА относительно земной поверхности. Путевая скорость складывается из двух составляющих: скорости движения ЛА относительно воздушной массы — воздушной скорости VB и скоро-14
Рис. 1.4. Навигацион- Рис. 1.5. Структурная схема системы экстремальный треугольник ско- ной радионавигации ростей
сти перемещения воздушной массы относительно земной поверхности — скорости ветра U. Эти векторы образуют навигационный треугольник скоростей (рис. 1.4). Угол а между векторами ¥в и V, вызванный сносом ЛА ветром, называется углом сноса. Для определения местоположения ЛА помимо ДИСС необходима еще курсовая система, определяющая курс ЛА — угол в горизонтальной плоскости между северным направлением меридиана и проекцией продольной оси ЛА. Навигационный вычислитель, используя данные ДИСС и курсовой системы, а также координаты начального пункта маршрута ЛА, определяет его местоположение в текущий момент времени. Достоинством рассмотренной системы местоопределения является ее автономность, главный недостаток — ухудшение точности местоопределения с течением времени (происходит накопление погрешностей по мере удаления ЛА от начального пункта).
Обзорно-сравнительный метод основан на измерении параметров какого-либо физического поля, характерного для осматриваемой местности, и сравнении этих параметров с параметрами эталонного поля, полученного заранее и хранящегося в памяти системы. Радионавигационные системы, использующие этот метод, называют системами экстремальной радионавигации (рис. 1.5), так как они отыскивают экстремум некоторой меры близости измеренных и эталонных параметров. Если за меру близости указанных параметров принята их взаимная корреляционная функция, то систему называют корреляционно-экстремальной (КЭС). В этом случае блок сравнения (см. рис. 1.5) представляет собой коррелятор. Оптимизатор выдает сигнал на перемещение эталонного поля, обеспечивая поиск максимума корреляционной функции, а также формирует сигнал коррекции для системы автоматического управления, чтобы ликвидировать отклонение объекта от заданного курса.
15
Корреляционно - экстремальные системы подразделяют на два класса: КЭС-1 и КЭС-П. В КЭС-1 информация о наблюдаемой мест-каж-в од-При-
Рис. 1.6. Диаграмма формирования поля высот рельефа местности
ности «снимается» в дый момент времени ной текущей «точке», мерой служит система, использующая информацию о поле высот рельефа местности. В этом случае датчик поля состоит из радиовысотомера, измеряющего текущую высоту полета Н, определяющего высоту Не
и барометрического высотомера, объекта относительно уровня мирового океана (рис. 1.6). Разность ЬН=Н(,—Н, определяющая наблюдаемое поле высот рельефа, подается на коррелятор, на другой вход которого поступает эта-
лонное поле, характеризующее распределение высот местности в некоторой полосе вдоль маршрута полета.
В КЭС-П информация о наблюдаемой местности снимается с некоторой площади («кадра»), т. е. датчик поля в каждый момент времени должен воспроизводить двумерное (или трехмерное) изображение осматриваемого участка местности. Датчиком поля может служить, например, радиолокатор, облучающий поверхность и формирующий наблюдаемую радиолокационную карту. В блоке памяти хранится эталонная карта местности. Сравнение наблюдаемой и эталонной карт позволяет определить положение ЛА относительно заданной траектории полета.
Достоинствами экстремальных систем радионавигации является их автономность, сравнительно высокая помехозащищенность, отсутствие накапливающихся с течением времени погрешностей. Недостатки систем связаны с необходимостью предварительно получать информацию о характеристиках местности и сложностью обработки сигналов (требуется вычислительное устройство с высоким быстродействием и большой емкостью памяти).
1.4.	ОСНОВНЫЕ ТАКТИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЛС и РНС
Характеристики радиолокационных и радионавигационных систем можно разделить на тактические, определяющие назначение и возможности практического использования систем, и технические, определяющие основные устройства систем (передатчик, антенну, приемник, выходные устройства). 16
Основными тактическими характеристиками РЛС и РНС являются: место установки, число и характер измеряемых координат и параметров движения, точность действия, зона и дальность действия, время обзора, разрешающая способность, пропускная способность, помехозащищенность, электромагнитная совместимость, надежность, масса и габариты, экономическая эффективность. Рассмотрим кратко эти характеристики.
1.	По месту установки РЛС можно подразделить на наземные и бортовые; последние, в свою очередь, подразделяются на корабельные, самолетные, космические и др. Автономные РНС всегда бортовые. Место установки радиоустройств неавтономной РНС определяется ее назначением.
2.	Число и характер измеряемых координат и параметров движения определяется назначением РЛС и РНС. Системы могут быть однокоординатными (радиовысотомер), двухкоординатными (при определении местоположения наземных и надводных объектов), трехкоординатными ( при определении местоположения объектов в воздушном и космическом пространстве). Если решается, например, задача управления беспилотными объектами, то кроме их координат обычно требуется измерять скорости и ускорения объектов.
3.	Точность действия РЛС и РНС характеризуется показателями качества их работы, которые в разных режимах работы систем разные. В режиме обнаружения объекта это прежде всего вероятности ошибок обнаружения: вероятность ложной тревоги F — вероятность принятия решения о наличии объекта в исследуемом пространстве при условии, что он отсутствует, и вероятность пропуска Do — вероятность принятия решения об отсутствии объекта в исследуемом пространстве при условии, что он в нем присутствует.
При работе РЛС и РНС в режиме измерения координат и параметров движения объекта точность действия характеризуется погрешностями измерения. Если 0 — измеряемая величина, а 0 — результат измерения или оценка величины 0, то разность Д0— = 0—0 есть абсолютная погрешность измерения или ошибка оценивания. Отношение Д0/0 — относительная погрешность измерения.
Погрешности и ошибки имеют случайные и неслучайные составляющие. Случайные составляющие или просто случайные ошибки (погрешности) вызываются множеством причин, не поддающихся точному учету. Значения этих ошибок изменяются от одного измерения к другому случайным образом. Неслучайные составляющие или систематические ошибки в отличие от случайных остаются постоянными или закономерно меняются' При"проведе
17
нии серии однотипных измерений. Поэтому они могут быть исключены из окончательного результата, если их значение вычислено путем предварительного исследования методики измерений.
В качестве числовой характеристики случайных ошибок обычно используют среднеквадратическое отклонение или среднеквадратическую ошибку, равную квадратному корню из дисперсии оценки:
о=К D0=K М(ё-МО)2.	(1.4)
Более общей мерой точности измерений, охватывающей как случайную, так и неслучайную составляющую ошибок, является среднее значение квадрата ошибки:
е2 = М(Д0)2 = М(0-0)2.	(1.5)
Для выявления взаимосвязи этой меры и среднеквадратической ошибки преобразуем (5) следующим образом:
М(ё-е)2 = м(ё-мё + мё-е)2 = м(ё-мё)2 +
+ 2М[(ё-мё) (мё-е)] + м(мё-е)2.
Если измеряемая величина 6 не является случайной, то последнее слагаемое М(М0—0)2 = (М0—0)2, а
м [(ё - м ё) (м 0 - 0)] = (м 0 - 0) м (0 - мё)=(мё-0)(мё-
-М0) = О.
Поэтому
е2 = М (0 - М0)2 + (М ё- 0)2.
Неслучайная величина
Д (0) = М0 —0 = МД0,	(1.6)
называемая смещением оценки 0, по существу представляет собой систематическую ошибку. Так как М(0—МО)2 = ст2 (см. (4)), то среднее значение квадрата ошибки
е2 = о2 + Д2(0).	(1.7)
На практике точность измерений удобнее характеризовать величиной, имеющей ту же размерность, что и измеряемая величина. Такой величиной служит положительное значение квадратного корня из (7):
е = ]Лт2 + д2 (0),	(1.8)
18
которое назовем полной ошибкой. Если смещение Д(6)=0, то полная и среднеквадратическая ошибки совпадают: е=о.
В зависимости от причин возникновения погрешности измерений разделяют на методические, вызванные несовершенством метода измерений, ошибки распространения, обусловленные влиянием атмосферы и Земли на распространение радиоволн, шумовые, вызванные действием случайных шумов и помех, и аппаратурные, обусловленные свойствами измерительной аппаратуры.
4.	Зона действия или рабочая зона — область пространства, в пределах которого точность действия системы не хуже заданной. Зону действия РЛС часто определяют секторами обзора по азимуту и углу места и дальностью действия. Под дальностью действия системы понимают максимальное расстояние 7?тах, при котором обеспечивается заданная точность действия. Так как точность действия в разных режимах работы РЛС и РНС характеризуется разными показателями качества, то и дальность действия в разных режимах будет, вообще говоря, разной.
Дальность действия системы зависит от ее вида и технических характеристик, условий распространения радиоволн, наличия тех или иных помех, отражающих свойств объекта. Последние обусловлены размерами и конфигурацией объекта, материалом, из которого он выполнен, длиной волны, направлением облучения и др. Для оценки интегрального влияния этих факторов на дальность действия вводят специальную расчетную величину — эффективную площадь рассеяния (ЭПР) объекта.
Пусть РЛС создает у объекта плотность потока мощности первичного поля /71, а объект создает у приемной антенны РЛС плотность потока мощности вторичного поля П2. Реальный объект вследствие частичного поглощения переизлучает лишь часть падающей на него энергии, причем неравномерно в различных направлениях. Заменим реальный объект некоторой воображаемой поверхностью с площадью (тэ, которая изотропно переизлучает всю падающую на нее энергию и создает у приемной антенны РЛС такую же плотность потока мощности, что и объект. Площадь сэ и называется ЭПР объекта.
Объектом с ЭПР сэ переизлучается мощность P2=IliGa, которая создает у приемной антенны РЛС, расположенной на расстоянии Р от объекта, плотность потока мощности
^2 = -Р2/4 л/?2 = 771 ОдЧ л/?2.	(1.9)
Отсюда получаем формулу для расчета ЭПР
оэ = 4 л У?2 (Iljnj = 4 л Р2||2,	(1.10)
где Д и Е2 — напряженности (комплексные амплитуды) электри-
19
ческого поля вблизи объекта и приемной антенны РЛС. Отношение EzIEx рассчитывается методами электродинамики для объектов, имеющих простейшую геометрическую конфигурацию (шар, пластинка, полуволновый вибратор и т. п.) и выполненных из однородного материала [1—3, 5, 18]. Для объектов, имеющих сложную конфигурацию, ЭПР определяется экспериментально [18].
Теперь можно найти дальность действия активной системы (рис. 1.1,щб) в свободном пространстве (т. е. в предположении, что атмосфера однородна, затухание радиоволн отсутствует, влияние Земли не учитывается). Если Р( — мощность передатчика, т]1 — КПД фидерной линии передатчика, G — коэффициент усиления передающей антенны, Р — расстояние между РЛС и объектом, то плотность потока мощности первичного поля около объекта Д1 = Р1'О1Т]1/4л/?2. Подставляя это выражение в (9) и учитывая, что мощность сигнала на входе приемника Р2 = П252ц2, где S2 — эффективная площадь приемной антенны, г]2 — КПД фидерной линии приемника, находим
Р2 = Р, \ оа щ >У(4 я)2/Д.	(1.11)
Дальность действия Ртах определяется из уравнения Р2=РПор, где Рпор — пороговая мощность сигнала, т. е. минимальная мощность полезного сигнала на входе приемника, обеспечивающая заданную точность действия системы. Подставив в это уравнение выражение (11), найдем дальность действия активной системы
4 г-------------------------
^тах = У G1 *$2 Цэ П1П2/(4л)2Рпор.	(1.12)
Это соотношение, называемое уравнением радиолокации в свободном пространстве, определяет дальность действия активной системы, работающей как в режиме обнаружения объекта, так и режиме измерения его координат. В первом случае Р,,ор — пороговая мощность сигнала в режиме обнаружения, т. е. минимальная мощность сигнала на входе приемника, при которой обеспечиваются заданные вероятности пропуска Do и ложной тревоги F. Во втором случае РПор представляет собой пороговую мощность сигнала в режиме измерения, т. е. минимальную мощность сигнала на входе приемника, при которой измерение параметров сигнала, несущих информацию о координатах объекта, обеспечивается с заданной точностью.
Дальность действия радиолинии (рис. 1.1,г) определяется, как нетрудно убедиться, более простым соотношением
Яшах = У fl	Hi n2 '4 Л РПОр>	(1.13)
называемым уравнением радиосвязи в свободном пространстве. На основе этого уравнения рассчитывается дальность действия 20
неавтономной РНС. С помощью (13) можно также найти дальность действия пассивной системы (см. рис. 1.1,в), причем под АШ следует понимать мощность собственного излучения объекта, а под Gi — коэффициент направленного действия, характеризующий степень концентрации излучаемой мощности в направлении на приемную антенну. Кроме того, с помощью (13) рассчитывают дальность действия активной системы с активным ответом (см. рис. 1.1,д), поскольку последняя состоит из двух радиолиний.
Из (12) и (13) видно, что увеличение мощности передатчика и уменьшение Аор (повышение чувствительности приемника) в равной степени сказывается на увеличении дальности действия. При этом зависимость 2?тах от отношения А/Аор в радиолокации (7?max~Р^А/Аор) более слабая, чем в радиосвязи (7?тах~ - УА/Рпор).
Уравнения (12) и (13) можно непосредственно использовать для расчета дальности действия РЛС и РНС, работающих только в космическом пространстве. Для всех других систем уравнения дальности действия необходимо корректировать с учетом изменения условий распространения радиоволн из-за влияния Земли и ее атмосферы ',[1—8, 18—20]. Это влияние обусловлено следующими факторами: отражением радиоволн от Земли, кривизной ее поверхности, затуханием радиоволн в атмосфере, изменением скорости и направления распространения радиоволн в неоднородной среде. Эти факторы приводят к изменению параметров принимаемого сигнала — мощности, времени запаздывания, смещения частоты, направления прихода. В результате изменяется дальность действия систем в режиме обнаружения и в режиме местоопреде-ления объектов.
Зона действия, как и дальность действия, в разных режимах работы системы определяется по-разному. Зона действия РЛС в режиме обнаружения, называемая зоной обнаружения, представляет собой область пространства, в пределах которого дальность действия в режиме обнаружения не хуже заданной. Зона действия РЛС и РНС в режиме местоопределения, называемая зоной ме-стоопределения, ограничена кривой (при местоопределении на плоскости) или поверхностью (при местоопределении в пространстве), уравнения которых
E = *W„	(1.14)
где Едоп — допустимое (заданное) значение полной ошибки местоопределения (см. § 7.2).
5.	Временем обзора называют время, необходимое для однократного обзора заданной зоны действия системы.
21
6.	Разрешающей способностью называют способность системы раздельно обнаруживать и определять координаты и параметры движения близко расположенных объектов. Количественно разрешающая способность системы по той или иной координате (или по параметру движения) 6 характеризуется минимальной разностью Де = 01—02 значений измеряемой координаты (или параметра движения) двух близко расположенных объектов с одинаковыми значениями остальных координат и параметров движения, при которой возможно раздельное обнаружение объектов и измерение координат 01 и 02 с показателями качества не хуже заданных. Мера разрешающей способности Де определяет размер элемента разрешения по параметру 0. Число элементов разрешения в рабочей зоне зависит от ее размера, количества определяемых координат и значений Де. В общем случае при обзоре рабочей зоны по дальности и радиальной скорости в диапазонах Ртах~Kmin И Кд max—Рл min, ПО ЭЗИМуту И углу места В Пределах секторов Umax—«min и |3max—pmin число элементов разрешения
_ ^max ^min Vr шах К? min C^max amin Pmax Pmtn
Д7?	Aa	Др
(1-15)
где Дл, Дк^, Да, Др — меры разрешающей способности или просто разрешающие способности по дальности, радиальной скорости, азимуту и углу места соответственно.
7.	Пропускная способность определяется максимальным числом объектов, обслуживаемых системой в течение заданного времени с заданной точностью действия.
8.	Помехозащищенность системы характеризуется степенью ее работоспособности в условиях воздействия различного рода помех. Помехозащищенность определяется помехоустойчивостью системы и скрытностью ее работы. Под помехоустойчивостью понимают способность системы при воздействии на нее определенной совокупности помех сохранять значения показателей качества в заданных пределах. Помехоустойчивость обусловлена рациональным выбором технических характеристик системы, в частности выбором параметров радиосигнала, и способом построения системы в целом. Различают реальную и потенциальную помехоустойчивость. Потенциальной называется наивысшая помехоустойчивость системы в условиях, когда единственной помехой является собственный шум радиоприемного устройства. Потенциальная помехоустойчивость может быть достигнута лишь при оптимальном, т. е. наилучшем способе обработки радиосигнала. Сравнивая помехоустойчивость реальной системы, т. е. реальную помехоустойчивость, с потенциальной, можно выявить принципиальную воз-22
можность и целесообразность дальнейшего повышения помехоустойчивости системы. Скрытность системы характеризуется трудностью обнаружения ее работы, измерения основных характеристик излучаемого сигнала и создания эффективных помех. Чем выше скрытность системы, тем труднее создать для нее помеху и, следовательно, тем выше помехозащищенность системы.
9.	Электромагнитная совместимость (ЭМС) — способность систем одновременно работать с требуемыми значениями показателей качества в условиях непреднамеренных помех от различных радиосредств и не создавать помехи недопустимого уровня другим системам.
10.	Надежность, понимаемая в широком смысле, есть способность системы выполнять заданные функции в течение требуемого интервала времени. При таком определении понятие «надежность» включает в себя, в частности, и помехозащищенность. Часто надежность определяют при отсутствии внешних помех и характеризуют средним временем безотказной работы системы или вероятностью безотказной работы в течение заданного времени.
И. Масса и габариты, системы имеют особую важность для бортовых систем. Существенное уменьшение массы и габаритных размеров радиоаппаратуры достигается путем ее микроминиатюризации на основе применения микроэлектронных компонентов с высокой степенью интеграции.
12. Экономическая эффективность определяется соотношением между полезным экономическим эффектом и затратами на разработку, производство и эксплуатацию систем.
Основными техническими характеристиками РЛС и РНС являются: вид и параметры излучаемого сигнала — непрерывный или импульсный, вид модуляции или манипуляции (частотная, фазовая), несущая частота (длины волны) и ее стабильность, излучаемая мощность; ДН антенны (форма и ширина главного максимума, коэффициент усиления, уровень боковых лепестков); метод обзора рабочей зоны; метод обработки сигналов в РПрУ; число и типы выходных устройств; мощность, потребляемая радиоустройствами от источников питания.
Остановимся кратко на возможных методах обзора рабочей зоны. В общем случае обзор осуществляется по угловым координатам, дальности и скорости. Различают одновременный (параллельный), последовательный и смешанный обзор. Обзор по угловым координатам является одновременным, если луч (ДН антенны) или несколько лучей в статическом положении полностью перекрывают рабочую зону (заданный сектор). Достоинство этого метода — наименьшее время обзора рабочей зоны, недостаток — сложность построения системы (обусловлена сложностью антенны, формирующей требуемое число лучей, и необходимостью ис-
23
пользования многоканального приемника, число каналов которого должно равняться числу лучей). Последовательный обзор по угловым координатам осуществляется путем перемещения (сканирования) одного луча в пределах всей рабочей зоны. В зависимости от траектории движения луча возможны различные виды последовательного обзора: круговой, винтовой, строчный, спиральный и др. Достоинство последовательного метода — простота системы, недостаток — проигрыш во времени обзора (по сравнению с одновременным обзором). Смешанный или параллельнопоследовательный обзор производится с помощью нескольких лучей, перекрывающих только часть рабочей зоны и поэтому сканирующих с целью просмотра всей зоны. Например, лучи могут перекрывать весь сектор обзора по углу места и сканировать только по азимуту. Сканирование лучей может быть механическим, т. е. осуществляться механическим поворотом антенны или какой-то ее части, либо электрическим, когда изменяется распределение амплитуд и фаз поля в раскрыве антенны. Электрическое сканирование позволяет избежать перемещения громоздких механических конструкций и тем самым резко повысить скорость перемещения луча. Электрическое сканирование обычно реализуется с помощью фазированных антенных решеток (ФАР), представляющих собой системы излучателей с электрически управляемым фазовым распределением. Фазированные антенные решетки формируют одновременно несколько лучей, обеспечивают гибкое управление их перемещением и позволяют реализовать наиболее совершенные методы обработки сигналов.
Обзор рабочей зоны по дальности происходит естественным образом — в процессе распространения радиоволн и, строго говоря, является последовательным. Однако из-за высокой скорости распространения радиоволн весь заданный диапазон дальности просматривается в течение очень короткого отрезка времени — почти «одновременно». Для одновременной обработки сигналов, приходящих с различных участков диапазона дальности, требуется многоканальное (по дальности) устройство. Что касается обзора по радиальной скорости, то он может быть последовательным, реализуемым с помощью перестраиваемого по частоте фильтра, и параллельным, реализуемым многоканальной системой фильтров, перекрывающих весь диапазон изменения частоты Доплера.
Обзор рабочей зоны может быть детерминированным либо адаптивным. При детерминированном обзоре процедура осмотра рабочей зоны выбирается заранее и не меняется в процессе наблюдения, иначе говоря, обзор осуществляется по жесткой программе При адаптивном обзоре процедура осмотра элементов разрешения рабочей зоны в некоторые моменты может изменяться в за-24
висимости от результатов предшествующих осмотров (наблюдений) — обзор по гибкой программе. В процессе адаптивного обзора может меняться, например, порядок осмотра элементов разрешения, время осмотра одного элемента, мощность зондирующих сигналов.
В заключение отметим, что при проектировании РЛС и РНС стремятся выбрать технические характеристики так, чтобы тактические характеристики удовлетворяли заданным требованиям.
Глава 2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
2.1. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Статистический характер задачи обнаружения. Одной из основных задач РЛС является обнаружение объекта в заданном пространстве. Эта задача сводится, по существу, к задаче обнаружения отраженного от объекта радиолокационного сигнала, наблюдаемого на фоне шумов. Обработка сигналов в РНС также в той или иной форме включает в себя решение задачи обнаружения.
Радиолокационное и радионавигационное наблюдение всегда сопровождается целым рядом случайных помех. На полезные сигналы воздействуют шумы, которые принимаются антенной из окружающего пространства, а также образуются в приемнике. Кроме того, сами принимаемые радиолокационные и радионавигационные сигналы, как правило, флуктуируют. Так, флуктуации отраженных сигналов обусловлены флуктуациями ЭПР цели. При отражении радиоволн от суши или от моря флуктуации принимаемых сигналов вызваны изменением свойств отражающей поверхности (например, из-за волнения моря) и движением излучателя. Прохождение радиоволн через турбулентную атмосферу, коэффициенты преломления и поглощения которой неконтролируемо меняются, также приводит к флуктуациям сигнала. В силу этих причин при обработке радиолокационной и радионавигационной информации широко используют методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики, а сам прием сигналов, в том числе и их обнаружение, рассматривается как некоторая статистическая задача.
25
Статистическая задача обнаружения формулируется следующим образом. Пусть наблюдается (поступает на вход устройства обнаружения — обнаружителя) процесс y(t), который является либо шумом, либо смесью полезного сигнала и шума. Требуется по результатам наблюдения реализации этого случайного процесса в течение некоторого времени выяснить, какая из возможных ситуаций имеет место, причем сделать это желательно оптимальным (в соответствии с принятым критерием качества) способом.
Обнаружитель по истечении некоторого времени выносит одно из двух взаимоисключающих решений: есть сигнал (есть цель) или нет сигнала (нет цели). Эти решения, принимаемые в результате наблюдения случайного процесса у(/), носят статистический характер. Поэтому, чтобы создать (синтезировать) алгоритм работы оптимального обнаружителя, который решал бы задачу обнаружения наилучшим образом, необходимо воспользоваться прежде всего результатами теории статистических решений. Последняя изучает статистические решения о наблюдаемых реализациях случайного процесса и дает методы построения оптимальных решающих правил. Приведем основные сведения из теории статистических решений, которые затем будут использованы при синтезе оптимальных обнаружителей. Необходимо также отметить, что излагаемые далее положения теории решений явятся основой для оптимизации и других задач обработки сигналов, рассматриваемых в последующих главах.
Краткие сведения из теории статистических решений. Основные понятия. Задача статистического решения возникает при наблюдении реализации у некоторого случайного процесса y(t). Обозначим через Y пространство, на котором определены все возможные реализации процесса y(t). Пусть 6 — некоторый параметр, принадлежащий пространству 0. Предположим, что распределение вероятностей наблюдаемого процесса у (4) зависит от параметра 6, истинное значение которого неизвестно. Наблюдение может протекать в непрерывном времени либо в дискретном. В последнем случае имеем конечную последовательность случайных величин {y(ti)^yi, i=l, 2,..., п}, которая полностью описывается n-мерной функцией распределения вероятностей П/у{//|6), зависящей от параметра 0 (здесь у=уъ.... уп — n-мерная величина). Если наблюдаемая последовательность состоит из непрерывных случайных величин, то ее можно описать при помощи п-мерной плотности распределения вероятностей w(y(0).
Применительно к задаче обнаружения параметр 0 может принимать, например, два значения, которые соответствуют ситуациям наличия и отсутствия полезного сигнала в наблюдаемом процессе. В задаче измерения 0 может принимать непрерывное и дискретное множество значений, которые соответствуют самому сиг-26
налу (либо параметрам сигнала). При этом наблюдаемый процесс у(/) представляет собой некоторую смесь сигнала и шума.
Обозначим через d элемент множества решений D, которые можно вынести относительно параметра 0 по результатам наблюдения y(i), и пусть 6 — решающая функция (решающее правило), принадлежащая классу решающих функций Д и отображающая множество У в D. Согласно этому решающему правилу каждой возможной реализации уеУ ставится в соответствие определенное решение d=b(y), d^D.
В результате принятия тех или иных решений возможны ошибки. «Убыток», который несет при этом наблюдатель, можно охарактеризовать некоторой функцией с (6, d}, выбираемой из эвристических соображений и называемой функцией потерь. Эта функция определяет потери, возникающие вследствие принятия решения d при условии, что истинное значение параметра равно ё.
Функцию потерь можно использовать для сравнения решающих правил и выбора из них более предпочтительного. Поскольку решение d=b (у) зависит от реализации случайного процесса, то значение функции потерь при d=b(у), т. е. с(0, б(у)), которое будем называть потерями, является случайным. Поэтому решающие правила естественно выбирать на основании сравнения статистических характеристик потерь. В теории решений используется математическое ожидание потерь (однако, вообще говоря, могут учитываться и другие характеристики).
Математическое ожидание потерь
г(0, 6) = М [с (6, 6 (у)) [0],	(2.1)
называемое функцией риска, зависит от значения параметра 0 и принятого решающего правила б. Раскрывая математическое ожидание с помощью плотности вероятностей ay(z/|0), функцию риска можно представить в виде
г(0, 6)= J c(e,b(y))w(y[Q)dy.	(2.2)
у
Байесовские решения. Наиболее предпочтительным решающим правилом естественно считать то, которое минимизирует функцию риска для всех значений 0. Однако такое правило существует лишь в редких случаях. Обычно решающая функция, минимизирующая (1), зависит от 0, при этом неясно, какую же решающую функцию считать наилучшей. Указанную зависимость можно исключить, если использовать байесовский подход к задаче выбора решений. Суть этого подхода заключается в следующем.
Предполагается, что:
1) параметр 0 можно рассматривать как случайную величину, Распределение вероятностей которой И/о(0) существует;
27
2) распределение 1^о(0), называемое априорным (доопыт-ным), известно наблюдателю.
Тогда можно определить средний риск, взяв повторное математическое ожидание от функции риска (1), рассматриваемой как условное (относительно 9) математическое ожидание потерь:
F(W0, 6) = ММ [с (0, 6 (у))10] = J г (0, 6) dU70 (0)	(2.3)
е
(здесь используется интеграл Римана — Стильтьеса). Учитывая формулу полного математического ожидания
MM[£|T]] = Mg,	(2.4)
видим, что средний риск r(W0, 6) представляет собой полное математическое ожидание потерь
б) = Мс(0, fi(y)).	(2.5)
При этом он зависит от априорного распределения параметра 0 и от принятой решающей функции.
Если 0 — непрерывная случайная величина, а Що(0) — ее плотность вероятностей (априорная плотность), то согласно (3) и (2) средний риск можно записать в виде
Г (w0, 6)= J* г (0, 6) w0 (0) d0 = е
= П С(0, 6(y))w(y\6)w0(Q)dyde.	(2.6)
в ¥
Решающая функция, минимизирующая средний риск, т. е. решающая функция б*, для которой г (Wo, 6*)s^r(W0, 6) при всех 6, называется байесовским решением относительно априорного распределения 1^о(0). Величина r(IF0, б*) называется байесовским риском для Wo.
Итак, байесовское решение является наилучшим или оптимальным, если в качестве критерия оптимальности принят минимум среднего риска — критерий Байеса. Байесовские решения определяют синтез оптимальных байесовских систем обработки сигналов на фоне помех. Математический синтез байесовских систем сводится к нахождению байесовских решений в тех или иных задачах обработки сигналов (обнаружения и др.), к конкретизации получаемых решающих функций для заданных распределений сигналов и помех и представлению операций над наблюдаемым процессом в виде соответствующих алгоритмов.
Анализ байесовской системы обработки сигналов сводится к вычислению минимального значения среднего риска, т. е. байесовского риска
Г (w0, 6*) = min г (w0, б),	(2.7)
6
28
который является мерой качества работы оптимальной системы
Представим теперь средний риск (6) в иной форме записи. Используя свойство условных плотностей вероятностей — формулу Байеса, определяющую апостериорную (послеопытную) плотность вероятностей параметра 9:
/0. . =	ги(</|6) та0(6)	= та(</|6)	(6)	<2 g.
J w(t/|6) w0(6)d6	w(y)
e
перепишем (6) в виде
7(w0, g) = J га (у, 6) w (у) dy,	(2.9)
Y
где
ra(y, 6)= р(6, 6(y))^(e|f/)d9 = M[c(0, б (//))|//)	(2.10)
е
— апостериорное математическое ожидание потерь, называемое апостериорным риском. Поскольку ш(?/)^0, то из (9) следует, что минимум среднего риска r(w0, б) достигается при том же значении б*, что и минимум функции ra(y, 6) (у фиксировано). Таким образом, байесовское решение можно находить путем минимизации апостериорного риска. Отметим, что данное утверждение справедливо и тогда, когда 0 — дискретная случайная величина. В этом также нетрудно убедиться исходя из (3), при этом интеграл в (10) заменится суммой, а апостериорная плотность ш(0|у)— апостериорной вероятностью Р(0 —0г | г/) (0i, i=l,..., k,— возможные значения параметра 0).
Математическое ожидание минимального апостериорного риска га {у, б*) дает согласно (10) и (4) байесовский риск (7):
Мга(у, 6*) = ММ[с(0, б*(#))|#] = Мс(0, б*(^)	(2.11)
и поэтому определяет качество работы байесовской системы.
Таким образом, синтез и анализ байесовских систем можно проводить, оперируя апостериорным риском. Последний определяется задаваемой функцией потерь и апостериорным распределением параметра 0.
Минимаксные решения. Рассмотренный байесовский подход связан с двумя ограничительными предположениями, из которых наиболее сильным обычно является второе. Если априорное распределение параметра 0 неизвестно, то байесовский метод в том ниде, как он изложен, использовать нельзя. В этом случае прибе-гают к различным небайесовским методам выбора наиболее предпочтительной решающей функции, при которых допущения 1 и 2 Редыдущего пункта не делаются. Остановимся на одном из таких етодов — минимаксном.
29
Решающая функция 6* называется минимаксным решением, если
max г (6, б*) max г (6, б) е	е
для всех б. Величина max г (6, 6*) называется минимаксным риском. Если каждое из множеств 0эО и Аэб содержит лишь конечное число элементов, то всегда существует минимаксное решение б*, для которого
max г (0, б*) = min max г (0, б)-	(2.12)
0	6	0
Согласно определению минимаксное решение минимизирует максимальное (по всем Ое0) значение функции риска г(0, б). Можно сказать, что минимаксное решение является наилучшим в наихудшей (относительно 0) ситуации. При этом иногда оно может быть слишком «осторожным».
В общем случае отыскание минимаксного решения — довольно трудная задача. Однако несколько облегчает положение результат Вальда [43], устанавливающий соответствие между минимаксным и байесовскими решениями. Оказывается, что при некоторых слабых ограничениях минимаксное решение является байесовским относительно наименее благоприятного априорного распределения №Он, максимизирующего байесовский риск, т. е. такого IV'oh, при котором
min г (№он, б) > min г (№0, б) в	е
для всех Wo. При этом минимаксный риск равняется байесовскому для Ц70н:
min max г (0, б) = min г (1ГОн б).
ее	с
Минимаксные решения и риски определяют синтез и анализ систем обработки сигналов, оптимальных по минимаксному крите-терию.
2.2. РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
Рассмотрим основные критерии оптимальности в задаче обнаружения сигналов и соответствующие им решающие правила.
Критерий Байеса. Применительно к простейшей задаче обнаружения неизвестный параметр 0, который будем называть параметром обнаружения и обозначать •&, принимает лишь два возможных значения. Пусть это будут 0 и 1 и пусть значение 0—1 соот-80
с (&, d) =
ветствует наличию полезного сигнала в наблюдаемом процессе y(t), а &=0 — отсутствию сигнала. Множество решений d^D в данном случае состоит также из двух элементов: d{ — решение о том, что имеет место ситуация $=1 (есть сигнал); d0 — решение о том, что имеет место ситуация •6 = 0 (нет сигнала). Функция потерь с(0, d) здесь переходит в матрицу потерь:
с (0, d0) с (0, dr)
c(l,d0) c(l,dj)
Без ограничения общности можно положить
с (0, d0) — c (1, dx) = 0, с (0, dx) > 0, с(1, d0) > 0.	(2.13)
Рассматриваемая задача обнаружения эквивалентна так называемой проверке простой гипотезы Н\ (утверждение, что &=!) при простой альтернативе Но (утверждение, что 0=0). По результатам наблюдения уеУ необходимо вынести одно из двух взаимоисключающих решений: d0 или dt. В этом случае класс решающих функций Дэб состоит из всевозможных правил разбиения пространства реализаций У на две подобласти: Уо и У[, У= — Уо11У1- Отыскание байесовского решения б* сводится к выбору указанных подобластей, при которых средний риск минимален. Условимся считать, что
I di, если уеУь
В рассматриваемом случае средний риск (3)
г(Го,б)= 2 Л>м[с(е, бй/))|Я] = 0=0
= 2 J С Р, 8 (у)) w (ур) dy,	(2.15)
О=0 У
где р0 = Р(о = 1), р1=Р(о=1) — априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала, p0+pi=l-
Учитывая (13) и (14), перепишем (15) в виде
Г(№0, б) = р0 J c(Q,dx)w(y\Q)dy + Pl $c(\,d0)w(y\\)dy. (2.16)
Yi	Y„
Поскольку У1=У\ У0 И в силу условия нормировки ]*№ (y|6)dy=l, У
г (^0, б) = Ро с (0, dx) - J* Ро с (0, dx) X
У,
*w(y\W)dy+ $Plc (1, do)w(y\l)dy.	(2.17)
31
Обозначим множество всех реализаций у, для которых рос(0, di)w(y\0)>pic(\, d0)w(у| 1), через У*о. Тогда при всех y^Y*0<=Y
.f Ро с (0, dx) ш (у|0) dy> S p1c(l,d0)w(y\l)dy, *	*
уо	уо
поскольку подынтегральные функции неотрицательны. Возвращаясь к (17), видим, что средний риск г(1^0, 6) будет минимальным, если выбрать Уо = У*о- При этом У] = У\У*о. Следовательно, байесовское решение
d0, если у е У* ,
dlt если у е Y\Уо.
Обозначим через Л (у) статистику, т. е. функцию наблюдаемой реализации у, следующего вида
Л1у) = ш(у|1)/ш(у|0).	(2.18)
Эта статистика называется отношением правдоподобия. Учитывая определение множества У*о, байесовское решение можно записать в виде
g*(y) = f d°’ eC™ Л^</г’	(2.19)
I dlt если Л (у) h ,
б* (У) =
где
ft = poc(0,d1)/p1c(l,do).	(2.20)
Таким образом, оптимальное по критерию Байеса правило обнаружения сводится к формированию отношения правдоподобия К(у) и к сравнению его с константой h — порогом обнаружения. Значение порога определяется априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала и элементами задаваемой матрицы потерь.
Статистика, позволяющая найти оптимальное решающее правило, является достаточной. Отношение правдоподобия Л.(у) — пример достаточной статистики. Исходная реализация у также является достаточной статистикой (более подробно см. [52, 56]).
Критерий Неймана—Пирсона. Чтобы воспользоваться байесовским решением (19) — (20), необходимо знать априорные вероятности ро и Pi. Однако в задаче обнаружения радиолокационных сигналов они, как правило, неизвестны. В этих условиях следует использовать небайесовский критерий оптимальности — критерий Неймана — Пирсона, при котором байесовских предположений о неизвестном параметре & (см. § 2.1) не делается.
32
(2.23)
Решающее правило Неймана — Пирсона, как и байесовское, разбивает область Узу на две подобласти: Уо и Уь Однако выбор этих подобластей производится из иных соображений.
Введем вероятности ошибочных решений:
F = Р {б (У) = d> I е = 0} = Р {у е Уг|0}	(2.21)
— вероятность принять решение «есть сигнал» при условии, что •&=0, т. е. наблюдаемая реализация у содержит только шум — вероятность ложной тревоги;
Do = P{6(y) = d0\&=l} = P{y^Yo\}}	(2.22)
— вероятность принять решение «нет сигнала» при условии, что 0=1, т. е. у содержит смесь сигнала и шума — вероятность пропуска сигнала. Величина
P=l-£»0: = jP{g(y) = d1|O=l}=P{yeyi|l}
— вероятность правильного обнаружения.
Согласно критерию Неймана — Пирсона оптимальным решением считается такое, которое обеспечивает min Do (max О) при условии, что вероятность ложной тревоги не больше заданного числа F (0<F<l): P{y<=Y{ 10} ^F.
Можно показать (см., например, [53]), что решающее правило Неймана — Пирсона б*, удовлетворяющее указанному критерию, определяется формулой (19), где Л (у)—отношение правдоподобия (18), а константа h выбирается из условия
F{A(y)>/i|O = 0) = P{y е yi|0} = F.	(2.24)
Структура оптимального обнаружителя. Как следует из предыдущего, и байесовский критерий, и критерий Неймана — Пирсона приводят к решающему правилу обнаружения, основанному на сравнении отношения правдоподобия Л (у) с некоторым порогом. Отметим, что и минимаксный критерий приводит к решающему правилу такого же типа. Это непосредственно следует из взаимосвязи байесовских и минимаксных решений (см. § 2.1). Более того, показано [43], что класс решающих правил А, основанных на сравнении отношения правдоподобия с порогом, является полным. Это означает, что все оптимальные решающие правила в Рассматриваемой задаче обнаружения принадлежат именно классу Л. Различие между правилами обнаружения, оптимальными по разным критериям, состоит лишь в разном выборе значения порога h.
Таким образом, в рассматриваемой задаче обнаружения можно говорить об общем критерии оптимальности — критерии от-2—Ю°	33
Л (у)
Рис. 2.1. Структурная схема оптимального обнаружителя
ношения правдоподобия, согласно которому оптимальная процедура обнаружения имеет вид:
Л (у) h.
(2.25)
В соответствии с этим критерием оптимальный обнаружитель (рпс. 2.1) должен формировать отношение правдоподобия Л (у), (блок ОП) и подавать его на пороговое устройство ПУ, где осуществляется процедура сравнения Л (у) с порогом h, в результате которой выносится одно из двух возможных решений: d0 (нет сигнала) или di (есть сигнал). Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, Неймана — Пирсона, минимаксного) сказывается лишь на значении порога h, никак не влияя на основную часть обнаружителя — блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации у.
В радиолокации значение h порога срабатывания ПУ устанавливается исходя из критерия Неймана — Пирсона. Для этого необходимо задаться вероятностью ложной тревоги F, тогда соотношение (24) однозначно определяет h. Отметим, что при таком выборе порога априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала (р0 и pi) не требуются (в отличие от байесовского критерия, см. (20)). Однако здесь нужно априори задаваться вероятностью ложной тревоги.
Отметим также, что оптимальное правило (25), очевидно, равносильно правилу
<Р (Л(р)) % <р (h) — h
(2.26)
где ср — монотонная функция. Статистика ф(Л(у)) является достаточной. В том случае, когда отношение правдоподобия Л (у) принадлежит к экспоненциальному семейству функций, в качестве ф целесообразно взять натуральный логарифм. При этом оптимальный обнаружитель упрощается.
Сведение сложной гипотезы к простой. Рассмотрим теперь более сложную задачу обнаружения, когда пространство 0 значе ний неизвестного параметра, от которых зависит распределение вероятностей наблюдаемого процесса, содержит помимо значений 6=0 и 11 = 1 другие возможные значения. Пусть ш(у] р, 1) — ус-34
ловная плотность вероятностей наблюдаемого процесса для случая й=1 (сигнал есть), зависящая от неизвестного параметра цеМсг©, и пусть ш(у|х, 0) — условная плотность вероятностей для случая й=0 (сигнала нет), зависящая от неизвестного параметра zeKeQ. Параметры р и х могут быть векторами; они характеризуют распределения вероятностей смеси сигнала с шумом и одного шума соответственно. Рассматриваемая задача обнаружения состоит в проверке сложной гипотезы при сложной альтернативе.
Найдем байесовское (относительно у, и к) решение данной задачи. При байесовском подходе параметры р и х интерпретируются как случайные величины, априорные распределения которых, в частности плотности вероятностей w0(p), пуо(х) (если р, х — непрерывные величины), считаются известными. Зная ®о(р) и (к), можно вычислить следующие плотности вероятностей:
ш(у|1)= J ш(г/|р, 1) w0(p) dp,
(2.27а)
w (У|0) = J w (г/|х, 0) w0 (х) dx. к
После определения этих плотностей приходим к тому случаю, когда распределение вероятностей наблюдаемого процесса зависит от неизвестного параметра, принимающего лишь два значения (0=0 и 0=1), т. е. к случаю простой гипотезы при простой альтернативе. В результате рассматриваемая здесь задача сводится к уже изученной ранее, при этом оптимальная процедура обнаружения будет основана на критерии отношения правдоподобия.
Таким образом, структурная схема оптимального обнаружителя остается прежней (см. рис. 2.1). При этом блок ОП должен формировать отношение правдоподобия
J* l)w0(n)dji
А (у) =	= м------------------ .
w (У I й — 0) J* w (у । х, о) w0 (и) d и
К
спЫб°б поРога можно, как и раньше, производить различными Критерий Вальда. Ранее предполагалось, что время обнаружения заранее известно, иначе говоря, объем п наблюдаемой вы-Рки y=ylt у2,..., уп фиксирован. Однако возможен другой под-т д к озадаче обнаружения сигналов, основанный на последова-2ьн°й проверке гипотез Вальда, когда время наблюдения зара-е не фиксировано.
35
Согласно критерию Вальда процедура обнаружения определяется последовательным решающим правилом вида
( до, если
б (У1, —, Уь) = { di, если Ak^b;	k = l, 2,	(2.28)
( dn, если
где Ak=A(ylt yk)=w(yi,..., yk\F=\)lw(ylt..., рА|О=0) — отношение правдоподобия на k-м шаге наблюдения; а и b — нижний и верхний пороги (постоянные величины); d0 и di — решение «нет сигнала» и «есть сигнал» соответственно; dn — решение о продолжении наблюдения.
В отличие от однопороговых обнаружителей (см. правила (19), (25)) последовательная процедура обнаружения (28) является двухпороговой. При этом с порогами сравнивается прежняя статистика — отношение правдоподобия *. Пороги а и b определяются заданными вероятностями ложной тревоги F и пропуска сигнала Do.
Если отношение правдоподобия Ль (&=1, 2,...) попадает в область между порогами а и Ь, то принимается следующее выборочное значение ун+i, формируется Аь+i и процедура обнаружения (28) повторяется до тех пор, пока отношение правдоподобия не окажется ниже порога а или выше порога Ь. В результате длительность наблюдения т (т. е. момент времени, когда будет вынесено решение d0 или di) является случайной величиной. При этом оказывается, что последовательный двухпороговый обнаружитель выигрывает по сравнению с однопороговым обнаружителем в среднем времени наблюдения Мт. С физической точки зрения это объясняется тем, что при наличии сильного сигнала отношение правдоподобия быстро превышает верхний порог b (при достаточно большом отношении сигнал-шум указанное превышение может произойти уже после первого отсчета щ). При наличии на входе обнаружителя только одного шума отношение правдоподобия может оказаться ниже порога а также после малого числа отсчетов.
Если наблюдения yit..., рь,... статистически независимы и однородны, т. е. для всех k описываются одинаковыми плотностями вероятностей ce/(pft($=z), i=0, 1, то последовательный обнаружитель, реализующий правило (28), является оптимальным в том смысле, что он минимизирует среднее время наблюдения (обнаружения):
М [т['О = 0] = min, М [т|Ф= 1] =min
* Критерий Вальда именуется также последовательным критерием отныне ния правдоподобия.
в классе всех обнаружителей, для которых вероятности ошибочных решений F и Do ограничены заданными величинами. Для зависимых наблюдений оптимальный последовательный обнаружитель, как правило, усложняется [53, 56].
Обратим внимание на то, что последовательный обнаружитель имеет выигрыш лишь в среднем времени обнаружения. В отдельных же случаях отношение правдоподобия может долго находиться между порогами а и Ь, так что время обнаружения (в каком-то из сеансов наблюдений) может быть недопустимо большим: ^>Мт. Этот недостаток устраняется с использованием усеченной последовательной процедуры обнаружения (рис. 2.2).
Переключатель П подает на двухпороговое устройство ПУ2 последовательность Ль, k—i, 2,.... Если окажется, что в течение заданного времени обнаружения (заданного числа п выборок) не будет принято окончательного решения (d0 или di), то выход блока формирования отношения правдоподобия ОП переключается с ПУ2 на однопороговое устройство ПУь В результате сравнения Л-п с одним порогом (который выбирается, например, по критерию Неймана — Пирсона) выносится решение d0 или di, и процедура обнаружения прекращается.
Отметим, что техническая реализация РЛС с последовательным обнаружителем сложнее, чем при использовании однопорогового обнаружителя. Тем не менее с развитием радиолокационной техники, в частности ФАР, с помощью которых легко осуществляется последовательный неравномерный обзор пространства по угловым координатам, последовательные обнаружители находят все большее применение. Использование последовательных обнаружителей при поиске сигнала (объекта) в рабочей зоне — один из способов реализации адаптивного обзора, о котором шла речь в § 1-4. При этом экономится среднее время обзора рабочей зоны.
2.3.	ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ОБНАРУЖЕНИЯ
Качество однопороговой процедуры обнаружения наиболее удобно характеризовать вероятностями ошибочных решений: вероятностью ложной тревоги F (см. (21)) и вероятностью пропуска сигнала Do (см. (22)). Вместо Do можно использовать вероятность правильного обнаружения: D = 1—Do (см. (23)).
, ^ли применяемая процедура обнаружения имеет вид (25), а Пло	> Уп|1) — «-мерные
тности вероятностей наблюдений при условии 6=0 и •&=!,
37

Рис. 2.2. Структурная схема последовательного обнаружителя с усечением времени наблюдения
Рис. 2.3. Диаграмма расчета показателей качества обнаружения
иначе говоря, n-мерные плотности вероятностей шума и смеси сигнала и шума на входе обнаружителя, то
F = J ... J w [у1г ... , yn|0) dz/i - dyn,
Л .....уп)>ь
(2.29)
Do= J-J to(iZi,-,yn|l)dy1... dyn.
A(J^..yn)<h
Расчет вероятностей ошибочных решений сводится, как видим, к вычислению n-кратных интегралов по соответствующим областям. Однако во многих случаях расчет этих вероятностей упростится, если поступить по-другому, найти вначале одномерные плотности вероятностей отношения правдоподобия A(yi,..., уп) при 0=0 и •&=! (обозначим через ш(Л|0) и ш(Л| 1)), иначе говоря, найти плотности вероятностей шума и смеси сигнала и шума на входе порогового устройства (см. рис. 2.1). Тогда вероятности (29) можно представить в виде однократных интегралов:
F = J ^(A|0)dA, Do= f w(Ajl)dA, D = J u»(A|l)dA (2.30) h	0	h
(графическая иллюстрация дана на рис. 2.3).
Формулы типа (29)—(30) позволяют рассчитывать вероятности ошибочных рещений как для оптимальных, так и для неоптимальных обнаружителей. Анализ последних, безусловно, представляет интерес, поскольку на практике из-за сложности технической реализации оптимальных устройств обычно применяют ква-зиоптимальную и неоптимальную обработку. Для оптимальных обнаружителей области интегрирования в (29) задаются отношением правдоподобия Л(^ь..., уп) и соответствующим порогом h. Если же анализируется неоптимальный обнаружитель, сравнивающий с порогом hK некоторую статистику Дн(#ь..., уп), то в (29) 38
(2.31)
вместо Л(уь , уп) и h нужно подставить AH(yi,..., уп), hK. Подобное замечание относится и к (30).
Зная плотности вероятностей ш(Л|0) и w (Л|1) (или ЬУ(Лн|0) и ®(Лн|1) при неоптимальном обнаружении), можно по формулам (30) вычислить значения вероятности правильного обнаружения D для различных отношений сигнал-шум q и различных вероятностей ложной тревоги F. Зависимость D от q при фиксированном значении F называется характеристикой обнаружения. Семейство этих характеристик для различных F позволяет определить пороговое отношение сигнал-шум qnop, т. е. такое, при котором обеспечиваются заданные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги.
Через вероятности ошибочных решений можно выразить и другие показатели качества обнаружения, например байесовский риск. Из (16) с учетом (14) и (19) следует, что байесовский риск при обнаружении
r(F0, б*) = рос(О, dj) J w(p|0)dp-|-
Л(д)^Л
+ PiC(l, d0) J ш(р|1)ф = рос(О, d1)f + p1c(l, d0)£>0.
Л(4/)<Л
Байесовский риск служит мерой качества работы только оптимального байесовского обнаружителя. Однако можно получить выражение и для среднего риска г(Г0, 6,i)>r(lV/o, 6*), соответствующего некоторому неоптимально-d,
му решающему правилу обнаружения бн типа Лн((/)^/гн. Средний риск r(Wo,
Он) будет определяться формулой (31), если в ней заменить Л(р) и h на Лн(р) и hK соответственно, а под F и Do понимать вероятности ошибочных решений неоптимального обнаружителя.
Отметим, что средние риски /(^о, 6*) и f(W0, 6„) могут характеризовать качество оптимальных и неоптимальных обнаружителей только при байесовской постановке задачи, т. е. когда априорные вероятности (р0, pj существуют и известны. В то же время при описании качества обнаружения показателями (30) априорные вероятности не нужны.
Рассмотрим теперь показатели качества последовательного обнаружения: вероятности ложной тревоги F и пропуска Do и, кроме того, статистические характеристики длительности наблюдений.
Отметим, что в отличие от однопорогового обнаружения, при отором вероятности F и Do взаимосвязаны (увеличение одной лечет за собой уменьшение другой, см. рис. 2.3), при последова-ляюН°М обнаружении F и Do задаются независимо. Они опреде-og т значения порогов а и Ь. Чтобы установить эту взаимосвязь, ратимся к правилу (28). Как видим, если Aft^a, т. е. если
У*|’0’=^)^aw(yi,..., л/л|•©’=0), то выносится решение (сигнала нет). Это неравенство выполняется для всех уи ..., у^.
принадлежащих области Yo: Ah^a. Проинтегрировав обе части неравенства по всем yi,..., уь^Уо, получим D0^.a(l—F) или a^D0/(l—F). Аналогично, учитывая, что при	выносится
решение du находим	(1— D0)fF=D/F. При малом отношении
сигнал-шум (случай близких гипотез) полученные неравенства переходят в приближенные равенства:
а яв D0/(l — F), b^(l- D0)IF.	(2.32)
В ряде задач при непрерывном времени наблюдения приближенные формулы (32) становятся точными {56].
Что касается статистических характеристик длительности наблюдения т, то из них наименее сложно рассчитываются средние значения то=М[т|'&=0], п=М[т|'&= 1]. Если Т — фиксированное время наблюдения при однопороговой процедуре для заданных вероятностей F и Do, то эффективность последовательного обнаружения (при тех же F и Do) по сравнению с однопороговым характеризуется отношениями
Ц0=\1Т, рг =Ъ/Т.	(2.33)
Далее полученные общие соотношения будут применены к синтезу и анализу оптимальных обнаружителей для конкретных моделей сигналов и помех, используемых в радиолокации и радионавигации.
2.4.	ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАН-
НОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА
Детерминированный сигнал, иначе говоря, сигнал с полностью известными параметрами, представляет собой детерминированную, т. е. априори известную функцию времени s(t). Такая модель сигнала соответствует ситуации, когда дальность, скорость и ЭПР цели точно известны. Эта модель является наиболее идеализированной и используется в качестве простейшей при теоретическом исследовании задачи обнаружения.
В качестве модели шума, на фоне которого наблюдается сигнал, возьмем так называемый белый шум. Под белым шумом понимаем гауссовский случайный процесс £(/) с нулевым математическим ожиданием и дельтаобразной корреляционной функцией:
М £ (/) = О, К (т) = МI (t + т) g (/) = (Мо/2) 6 (т),	(2.34)
где Ато — константа; б(т)—дельта-функция. Спектральная плотность белого шума
G(®) = J* К (т) exp ( — jcor) dt= — .	(2.35)
—oo	2
Односторонняя (физическая) спектральная плотность G+((n), равная нулю при ы<;0, G+(co) = G(co) +G(—и) =2Gi(>(o) =Л70.
Таким образом, графически спектральная плотность белого шума (рис. 2.4) представляет собой неограниченную прямую, параллельную оси частот. Белый шум также является идеализированной математической моделью прежде всего потому, что согласно (34) его дисперсия неограниченна: ог2о=К(0) =со. На первый взгляд может показаться, что модель белого шума бесполезна для описания какого-либо реального шума, мощность которого всегда конечна. Однако это не так. Белый шум — пример удачного компромиссного решения при выборе математической модели. С одной стороны, он хорошо аппроксимирует собственные шумы радиоприемного устройства, так как для них имеет место эффект нормализации и ширина спектра шумов обычно намного больше полосы пропускания устройства. С другой стороны, белый шум удобен при теоретических исследованиях, в частности, из-за простоты вычисления интегралов с дельта-функцией. На практике белый шум, аппроксимирующий собственный шум приемника, ограничен по полосе и его дисперсия может быть вычислена по формуле
o20 = N0M = NkT0 ДД	(2.36)
где N0 = NkT0 Вт/Гц — мощность шума в единице полосы, N — коэффициент шума приемника; k = 1,38  10-23 Дж/К — постоянная Больцмана; То — температура в Кельвинах; Л/ — полоса частот приемного тракта.
Итак, рассмотрим задачу синтеза оптимального обнаружителя детерминированного сигнала на фоне белого шума. Наблюдаемый процесс i/t=Os(/) +§Д), 0=0, 1,	является либо аддитив-
иой смесью сигнала и шума (при 0=1), либо одним шумом (при Ф=0), время наблюдения Т фиксировано. Вначале рассмотрим случай, когда наблюдение ведется в дискретные моменты времени 0. ^2, ..., tn, при этом принимаются выборочные значения 2/(А)^^=О5й + ^а, 0=0, 1, k = =	2, ..., п. Оптимальный обна-
ружитель должен формировать отношение правдоподобия
еъ>)
No
е(ш)
No/г
о	5
Рис. 2.4. Спектральная плотность белого шума
41
Л (у) = An = w(ylf...,yn\^=l)/w (y1,-ryn\^ = O) (2.37) и сравнивать его с порогом (см. (25)). Чтобы определить структуру устройства, формирующего отношение правдоподобия, необходимо конкретизировать условные плотности вероятностей, входящие в (37).
Поскольку рассматриваемый белый шум описывается гауссовским распределением вероятностей, то плотность вероятностей выборок шума имеет вид
tiy(U = (l/l/r2na0)exp( —gf/2ao), &=1,2............. (2.38)
Учитывая, что выборки белого шума статистически независимы, а также то, что = при 6=0, имеем
”1	( Уъ\
w(ylt...,уп|0 = О) = П ехр -	.	(2.39)'
к= 1 у 2 л о0 \	2 Од J
Так как сигнал является детерминированным, то распределение вероятностей выборок ух, ..., уп при &=! остается гауссовским, однако средние значения отсчетов теперь не равны нулю, при этом
^(^,-,^1^=1)= п -47^- exp | - -(^72Sfe)2 1 	(2.40)
fe=1 V2 лоп (	2 о2 J
Подставив (39), (40) в (37), получим
дп = ехР Ur 2	2 sd •
I G0 k=l	Za0 fc=l J
Для упрощения обработки целесообразно вместо отношения правдоподобия А„ формировать его логарифм ги = 1пАи (см. (26)):
zn = Л 2 Уь sk - А- 2 sl •	(2-41>
а0 к=1	za0 k=l
Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Положим Л = 0, tn = T, кроме того, учтем, что плотность вероятностей независимых гауссовских величин (38) при непрерывном времени переходит в функционал плотности вероятностей шума. Если спектральная плотность последнего равна Ао/2 (см. (35)), а о20 — дисперсия гауссовских величин то при переходе к непрерывному времени (от к £(£)) можно воспользоваться зависимостью
о2 = (Ао/2)/Д t, Д t = t = th -	(2.42)
(при A/->0 cr2o~>oo). Подставляя (42) в (41) и переходя к пределу при ДА->-0, получаем
42
Рис. 2.5. Корреляционная (а) и фильтровая (б) структурные схемы оптимальных обнаружителей детерминированного сигнала
Рис. 2.6. Временные диаграммы напряжений в корреляционном обнаружителе
о т	I Т
J у (t) S (0 dt~ 4- J S2 (0 dt.	(2.43)
Л'о 0	с
Детерминированные величины у и У s^- dt можно включить в значение порога обнаружения, в результате алгоритм оптимального обнаружения приобретет вид т	<Ц
z= J y(f)s(t')dt г* h.	(2.44)
о
Интеграл, стоящий в левой части неравенства (44), является Достаточной статистикой и называется корреляционным, а сам оптимальный обнаружитель — корреляционным обнаружителем (рис. 2.5,а). Этот обнаружитель состоит из умножителя и интегратора, образующих 'коррелятор, и порогового устройства, работу которых поясняют временные диаграммы на рис. 2.6.
Техническая реализация алгоритма обнаружения (44) в виде корреляционной схемы не является единственно возможной. Кор
43
реляционный интеграл может быть сформирован также при помощи линейного фильтра. Действительно, если h(t) — импульсная характеристика * фильтра, на вход которого поступает процесс y (t), то результат z'(Т) на выходе фильтра определяется интегралом свертки:
z' (Т) = f у (0 h (Т -1) di.	(2.45)
о
Если теперь положить h(T—то величина z'(Т) совпадет с корреляционным интегралом z. Отсюда следует, что импульсная характеристика фильтра, на выходе которого формируется значение корреляционного интеграла в момент окончания наблюдения Т,
hc<b(t) = s(T-t).	(2.46) 
Такой фильтр называется согласованным, так как его импульсная характеристика согласована с обнаруживаемым сигналом, являясь в соответствии с (46) «зеркальным отражением» формы сигнала. Поскольку согласованный фильтр (СФ) — составная часть оптимального обнаружителя (см. рис. 2.5,6) и, как ясно из дальнейшего, максимизирует отношение сигнал-шум на выходе, его называют также оптимальным.
Перейдем теперь от временного описания согласованного фильтра к частотному, учитывая, что коэффициент передачи K(j<o) (комплексная частотная характеристика) фильтра есть преобразование Фурье от его импульсной характеристики:
/C(jco) = f h(t)exp( — jat)dt.	(2.47)
— co
Подставляя (46) в (47) и заменяя переменную по формуле т= = 7—t, получаем коэффициент передачи согласованного фильтра
Ясф (jco) = exp (-jcoT) F* (jco),	(2.48)
где F*(jco)= j* х(т)ехр(]сот)йт — величина, комплексно-сопря-—oo
женная спектральной плотности сигнала F(jco) = j* s (т)х
Хехр (—j(,n)dT.
Таким образом, коэффициент передачи согласованного фильтра с точностью до множителя запаздывания ехр(—jcoT) совпадает с величиной, комплексно-сопряженной спектральной плотности ожидаемого сигнала s(t). Учитывая представление спект
* Отклик фильтра на воздействие в виде дельта-функции.
44
ральной плотности через ее модуль и аргумент F(jco) = |F(jco) | X Xexp[j argF(j«))], из (48) получаем
|^сф (j«)| = IF (j(0)|(	(2.49)
arg /ССф (j со) = — arg F (j со) - со Т.	(2.50)
Равенство (49) означает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра совпадает с амплитудно-частотным спектром полезного сигнала. Физический смысл полученного результата ясен: оптимальный фильтр должен пропускать в большей степени те составляющие спектра сигнала, которые имеют большую интенсивность. Равенство (50) означает, что фазочастотная характеристика согласованного фильтра равна фазочастотному спектру сигнала, взятому с обратным знаком и сдвинутому на значение —<лТ. Благодаря такой характеристике фазовые сдвиги между гармоническими составляющими сигнала компенсируются так, что в момент отсчета Т все составляющие сигнала суммируются в фазе и выходной сигнал будет максимальным.
Определим теперь отношение сигнал-шум qc$ при выходе согласованного фильтра в момент отсчета Т. Выходной эффект фильтра определяется формулой (45). Учитывая, что h(T—t)=s(t) и подставляя	получаем величину полезного сигнала на
т
выходе согласованного фильтра: зсф= Js2(t)dt=E. о
Так как М£(/)=0 (см. (34)), то среднее значение шума на выходе фильтра также равно нулю:
Mz = M $ t>(t)s(t)dt / s(0Mg(0^ = 0.	(2.51)
о	0
в силу этого дисперсия шума на выходе согласованного фильтра определяется формулой
О2Ф = М z2 = f f 5 (/') 5 (/") М (П I (t")] dt' dt". о о
С учетом (34) и фильтрующего свойства дельта-функции получаем
9 Т Т	N
<4=1 j S(f)S(f)^e(/'-f)drr=	/осоч
oo	(z.oz)
В результате отношение сигнал-шум по мощности в момент времени Т
^Ф = 5с2ф^с2ф = 2ад
45
Таким образом, отношение сигнал-шум <?Сф на выходе согласованного фильтра определяется отношением энергии полезного сигнала Е к спектральной плотности шума и не зависит от формы сигнала.
1 Можно показать, что отношение сигнал-шум q на выходе любого линейного фильтра, на вход которого воздействуют белый шум и детерминированный сигнал, удовлетворяет неравенству *
<7^9сф = 2£/У0.	(2.53)
Отсюда следует, что согласованный фильтр является оптимальным в том смысле, что он максимизирует отношение сигнал-шум на выходе. Этот результат, вообще говоря, вытекает и из того, что согласованный фильтр есть составная часть оптимального обнаружителя (рис. 2.5,6).
Отметим, что максимальное отношение сигнал-шум на входе • порогового устройства (т. е. на выходе коррелятора или же согласованного фильтра) достигается в момент окончания наблюдения t=T, который соответствует длительности полезного сигнала. Именно в этот момент значение корреляционного интеграла z должно сравниваться с порогом обнаружения h. Технически это обеспечивается, .например, применением стробирующей схемы (которую можно включить в состав порогового устройства), селектирующей с помощью узкого импульса в момент времени t — T соответствующий участок напряжения.
Перейдем к вычислению показателей качества обнаружения (30). Для этого потребуется определить распределение вероятностей статистики, поступающей на пороговое устройство, а именно распределение вероятностей корреляционного интеграла z при отсутствии (6 = 0) и наличии (6=1) сигнала s(£) на входе обнаружителя.
Рассмотрим случай 6 = 0, т. е. когда на входе обнаружителя присутствует только шум (;(£). Тогда ^(0=1(0 и величина z (см. (44)), являясь линейным преобразованием белого гауссовского шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно, полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. Последние согласно (51), (52) равны
М [z|6 = 0] = 0, D [г|& = 0] = ос2ф = No EI2.
Таким образом, плотность вероятностей величины z при 6=0 имеет вид
w (z|O = 0) = (1//2 л осф) exp (— z2/2ос2ф).
* Это следует из более общего неравенства (см. (107)), справедливого и для «небелого» шума.
46
Перейдем к случаю Ф=1. Поскольку сигнал является детерминированным, то распределение величины z по-прежнему остается гауссовским. Дисперсия величины z, очевидно, также не меняется:
Р[г|0=1] = О[г|0 = О] = о2ф.
Изменяется лишь математическое ожидание:
М [z|O = 1] = М I [5 (I) + g (!)] S (t) di = / s2 (t) di = E.
о	0
Следовательно,
ay(z|fl= 1) = (1//2л осф) ехр{-(г-£)2/2осф}.
Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения (30):
0°	.
F= J ——---------- exp
h 1/2 Л осф
0= J —1----------ехр
h [/ 2 п <^сф
Z2
2 <4
(г-£)2
Используя интеграл вероятностей
I %	{	\
Ф W = —- J ехр ( —-) dy, Т/2л Joo V 2 /
формулы (54) можно переписать в виде
Г=1-Ф(Йн), О=1-Ф(^-/^),
(2.54)
(2.55)
(2.56)
где йн = й/оСф — нормированный порог; qc$ — 2EIN0 — отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра. С помощью (55) и (56) рассчитываются характеристики оптимального обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме (рис. 2.7, сплошные линии).
Рис. 2.7. Характеристики оптимального обнаружения Детерминированного сигнала (-------у сигнала со
случайной начальной фазой (-------) и сигнала со слу-
чайными начальной фазой и амплитудой (—• —)
Я
Проведенный анализ относился к обнаружению с фиксированным временем наблюдения Т (однопороговое обнаружение). Остановимся кратко на эффективности последовательно (двухпорогового) обнаружения, при этом будем считать, что полезный сигнал является постоянным s(t) =s=.const (шум — по-прежнему белый). Можно показать (см. [56]), что в этом случае эффективность последовательного обнаружения по сравнению с однопороговым (см. (33)) определяется формулами
= -----2f(F,D0)---- = --------,	(2.57)
[Ф-1 (£>„) + Ф-1 (£)]2	[Ф-ч^ + Ф-’ЮР
где f(x, у) = 1— xln[f(l— x)ijy] +xln[x/(l— у)], а Ф-1(х) — функция, обратная интегралу вероятностей (55). Из (57) следует, что, например, при F'-'D^O, имеем р0 ~gi->-1 /4, т. е. при малых вероятностях ошибок последовательное обнаружение эффективнее однопорогового примерно в четыре раза.
Указанная эффективность последовательного обнаружения обусловливает в режиме поиска сигнала выигрыш в среднем времени обзора рабочей зоны по сравнению со случаем, когда при обзоре (поиске) используется однопороговая процедура обнаружения. Отметим, что существует оптимальная последовательная процедура совместного поиска н обнаружения сигнала [57]; ее отличительной чертой являются два переменных порога, зависящие от результатов предыдущих наблюдений, при этом в текущий момент времени осматривается тот элемент разрешения рабочей зоны, в котором апостериорная вероятность присутствия сигнала максимальна. Проще реализуется процедура поиска по максимуму апостериорной вероятности наличия сигнала (как и в оптимальной процедуре) с последовательным обнаружением прн постоянных порогах. Эта процедура еще упростится, если поиск сигнала проводить циклически, поочередно осматривая элементы рабочей зоны, например в порядке их нумерации. И наконец, самой простой является процедура циклического поиска с фиксированной длительностью осмотра каждого элемента, при которой используется однопороговое обнаружение. «Платой» за упрощение процедур является повышение средней длительности осмотра рабочей зоны. Эта плата наиболее велика для последней из указанных процедур. Расчет для детерминированного сигнала н белого шума при £'=10-6, £>=0,99 и ста элементах разрешения показал [57], что простейшая процедура проигрывает оптимальной по средней длительности осмотра рабочей зоны в 13 раз при наличии сигнала и в 7 раз при его отсутствии.
2.5. ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИ-РОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА
Квазидетерминированным сигналом (сигналом со случайными параметрами) s(ji, t) называется детерминированная функция s вектора случайных величин ц и времени t. Пусть ®(«/ь ..., уп | ц, 48
ft— 1) — плотность вероятностей наблюдаемого вектора ух, уп при условии, что сигнал есть (6=1) и что случайные параметры ц сигнала s(p, t) фиксированы, и пусть two(g) — априорная плотность вероятностей вектора р. Считаем, что плотность вероятностей шума ®(уь ..., уп |'&=0) неизвестных параметров не содержит.
В рассматриваемой байесовской постановке задачи оптимальная процедура обнаружения, как было показано (см. § 2.2), сводится к формированию отношения правдоподобия и сравнению его с порогом. В данном случае согласно. (27) отношение правдоподобия
J O’(?/l....>'/nlP> б = 1)ш0 (ц)ф
Л в А!__________________________
> Уп1'& = 0)
(М — область определения вектора р). Эту формулу можно записать также в виде
Л = J Л (Др) (р) dp,	(2.58)
м
где Л(у|р)=оу(д, Уп|р, &=})]w(yi........ yn|'&=0)	— условное
отношение правдоподобия. Таким образом, синтез оптимальных обнаружителей квазидетерминированных сигналов по существу сводится к вычислению интеграла (58), т. е. к усреднению условного отношения правдоподобия.
Если какие-то компоненты вектора р являются дискретными случайными величинами, то тогда соответствующие компоненты кратного интеграла .в (58) переходят в суммы. Действительно, пусть р — скалярная дискретная случайная величина, принимающая конечное число, значений ргеМ, i=l, ..., m, с вероятностями Pi = P{p = p,j}. В этом случае априорную плотность вероятностей ^о(ц) можно. представить в виде суммы дельта-функций:
“’0(р) = § б (р-Hi)-
Подставив это выражение в (58), получим m	m
Л= 2 pi J Л(Др)б(р-рг)б/р = 2 Pi л (jr|pf). (2.58a) 1=1 M	i=l
Рассмотрим задачи обнаружения при наблюдении y{t)=’Qs(ia., *)+£(0> 6=0, 1;	— белый шум) для типо-
вых моделей квазидетерминированных сигналов, применяемых Для аппроксимации реальных радиолокационных и радионавигационных сигналов.
4»
Сигнал со случайной начальной фазой. Начальная фаза радиосигнала, как правило, неизвестна. В этом случае можно использовать модель сигнала
s (ф> t) = A (t) cos [®0^ + ф (t) — <p],	(2.59)-
еде законы амплитудной A{t) и фазовой ф(£) модуляции и частота ю0 известны, а начальная фаза ф неизвестна. Выражение (59) удобно представить в виде
S (ф, t) = Sj. (/) cos ф +s2 (0 sin ф,	(2.60)
где Si(/) =А (£)cos[W+i|)(£)], «г(0 =A(Z)sin[<oo^+T|)(^)] — квадратурные составляющие сигнала. В байесовской постановке задачи начальная фаза ср интерпретируется как случайная величина, при этом при отсутствии информации об априорном распределении ф естественно, считать это распределение равномерным:
ю0 (ф) = 1/2 л, 0 ф 2 л.	(2.61)
Отношение правдоподобия Л в рассматриваемой задаче обнаружения сигнала оо случайной начальной фазой получается в соответствии с (58) путем усреднения условного отношения правдоподобия Л(у|ф) по воем возможным значениям фазы:
2л
A=j Л (у|ф) w0 (ф) dtp.	(2.62)
о
Что касается условного отношения правдоподобия Л(г/[<р), то оно, очевидно, совпадает с отношением правдоподобия для детерминированного сигнала s(cp, t) (<р — фиксированная величина). Поэтому согласно (43) имеем
Г о т	1 т	)
Л(у|ф) = ехр — J У (t) s t) dt — — J s2(q,t)dt\.	(2.63)
1ло о	"о 0	J
Подставив в это выражение (60), рассмотрим получающиеся интегралы. Корреляционный интеграл
т
г= J у (t) s (ф, t) dt = zt cos ф + х2 sin ф = г0 cos (ф — v),	(2.64)
о
где
Z1 = J у (t) sx (t) dt; z2 = J у (t) s2 (t) dt	(2.65)
о	0
— его квадратурные составляющие, a
20 = 1^21+22,	(2.66)
cos v = zttz0, sin v = z2lzB.
50
Далее, при 73>2л/ы0 энергия сигнала от значения фазы <р практически не зависит:
J s2 (ф, t) dt= J А2 (/) cos2 [<о01 + ф (t) — ф] dt = Е. о	о
Таким образом,
А (У!ф) = ехр {(2/А0) z0 cos (ф — v) — Е/Ао}.
Подставляя это выражение и (61) в (62), получаем отношение правдоподобия
А = ехр (— E/No) 10 (2 z0/N0),	(2.67)
где Д(-) — модифицированная функция Бесселя нулевого' порядка. Учитывая, что функция 7О’(-) монотонная, согласно (26) приходим 'К оптимальному алгоритму обнаружения вида
di
z0 * h.	(2.68)
d0
Схема обнаружителя на рис. 2.8,а построена в соответствии с формулами (68) и (65), (66). Этот обнаружитель представляет собой корреляционную схему с двумя квадратурными каналами; физический смысл полученной обработки вполне понятен. Наличие двух каналов обусловлено незнанием начальной фазы сигнала. Если полезный сигнал оказывается сдвинутым по фазе относительно опорного' колебания в одном из каналов на 90°, то приращения напряжения на выходе интегратора в этом канале не будет. Однако в другом канале соответствующее приращение будет максимальным. При этом при двух квадратурных каналах результат обработки z0, как следует из (64) и (66), не зависит от истинного значения начальной фазы ф сигнала.
Схема оптимального обнаружителя может быть представлена также и в фильтровом варианте (рис. 2.8,6). Действительно, величина Zo, которую должен формировать обнаружитель, есть огибающая колебания г0соБ(ф—v), иначе говоря, огибающая корреляционного интеграла г. Это колебание можно сформировать в соответствии с (64), пропустив наблюдаемый процесс y(t) через фильтр, согласованный с сигналом $(ф, /), т. е. имеющий импульсную характеристику вида (46): Ь(()=5(ф, Т—t) (здесь ф — фиксированная величина). Отметим, что поскольку результат обработки Zo не зависит от значения начальной фазы ф, то ее при реализации фильтра можно, брать любой, в частности можно, положить ф = 0. Огибающая z0(t) колебания z(t) (рис. 2.9) на выходе согласованного фильтра СФ, на вход которого поступают Радиоимпульс s(t) и шум выделяется амплитудным детектором АД, при этом результат детектирования в момент времени
51
Рис. 2.8. Корреляционная (а) и фильтровая (б) структурные схемы оптимальных обнаружителей сигнала со случайной начальной фазой
Рис. 2.9. Временные диаграммы напряжений в фильтровом обнаружителе сигнала со случайной начальной фазой
t—T (т. е. Zo(T)=zD) должен подаваться на пороговое устройство.
Перейдем к расчету показателей качества обнаружения. Так как огибающая г0 шума и смеси сигнала с шумом на выходе согласованного фильтра распределена по закону Рэлея и обобщенному закону Рэлея соответственно, то вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения для обнаружителя, работающего по алгоритму (68), равны:
w 7
f= J -^-ехр А °сф

(2.69)
52
га + £2 \ т ( г Е п 2 I *0 I 2 2осф / \асф
(2.70}
где о2сф=Мо£72. Значение нормированного порога связано с вероятностью ложной тревоги зависимостью /i/осф = V 2 In (li/F).
Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (штриховые линии на рис. 2.7) построены в соответствии с (69), (70). По сравнению с характеристиками обнаружения детерминированного сигнала они сдвинуты вправо, т. е. для обнаружения сигнала со случайной начальной фазой требуется несколько большее пороговое отношение сигнал-шум.
Сигнал со случайными начальной фазой и амплитудой. На практике обычно неизвестна не только начальная фаза радиосигнала, но и его амплитуда. В этом случае используется модель сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
s (а, ф, t) = а А (0 cos <о0t + Ф (0 ~ Ф1>	(2.71)
где безразмерный параметр а, определяющий амплитуду сигнала, полагается случайной величиной, распределенной по закону Рэлея *
wQ (а) = (a/о2) ехр (— а? 12 о2),	(2.72)
а фаза <р — по равномерному закону (61).
Учитывая, что случайные величины а и ср статистически независимы. отношение правдоподобия согласно (58) можно представить в виде
оо 2Л
Л= J J Л (yja, ф) w0 (a) w0 (ф) dtp da.	(2.73)
с о
Подставляя сюда (61) и выражение для условного отношения правдоподобия Л(«/|а, ф) (которое получается из (63) путем замены з(ф, t) на s (а, ф, t)), интегрируя затем по ф, находим
Л = J exp f — а2—} /0 ( а —\ w0 (a) da,
где Е — энергия сигнала, соответствующая значению а=1. Далее, используя (72) и интеграл
Г х ехр ( — ах2) 10 (0х) dx= — ехр (— ,	(2.74)
п	2а \4а /
* Такое предположение справедливо, если радиолокационный объект можно представить в виде большого числа статистически независимых случайных отражателей.
5»
лолучаем
A = [NOI(NO + £)] exp [ 2 о2 z2Q/7V0 (No + £)],	(2.75)
/где
£ = Ma2£ = £Ma2 = £2o2.	(2.76)
-•— усредненная энергия сигнала.
Поскольку Zo^O, отношение правдоподобия А является монотонной функцией г0. Поэтому, как и в предыдущем случае, алгоритм оптимального обнаружения определяется формулой (68). Таким образом, структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой совпадает со схемой оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой (см. рис. 2.8).
Заметим, что операция извлечения квадратного корня в схеме на рис. 2.8,а не обязательна, так как алгоритм (68) эквивалентен сравнению z20 с h2. Применительно к схеме на рис. 2.8,6 это означает, что безразлично, какова характеристика амплитудного детектора — линейная или квадратичная.
Так как алгоритм обнаружения по сравнению с предыдущим случаем не изменился, и вероятность ложной тревоги, очевидно, определяется прежней формулой (69). Для расчета вероятности правильного обнаружения потребуется найти плотность вероятности величины 20 при '©=1:
w (z0|,& = 1) = J а) (г0|а, О = 1) w0 (a) da, о
где w0 (а) определяется формулой (72), а
щ(г0|а, &=!)= exp f--------го + а Е /Да
' NE	noe /	\	/
— плотность вероятностей огибающей смеси сигнала и шума при фиксированном значении а. Вычисляя этот интеграл (с учетом (74)), получаем
w (Zo I fl- = 1) = [2 ZoKNo Е + 2О2 £2)] exp [ - г2/(А0 £ + 2 о2 £2)]
и затем находим вероятность правильного обнаружения
00	Г	А2
£>= J щ (z0['&= 1) бД0 = ex -	h	.	(2.77)
h	L N0E(l + 2o*E/N0)
Эта формула вместе с (69) и определяет характеристики оптимального обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой. Сравнивать их с характеристиками обнаружения сигнала при известной амплитуде нужно при условии равенства 54
энергий различных сигналов. Поэтому согласно (76) следует положить о2 = 1/2. Учитывая это' и исключая из (69), (77) порог /г,
получаем
1
n = Fi+£/Jv0_	(2.78)
Как видно из характеристик, рассчитанных по формуле (78) (штрихпунктирные линии на рис. 2.7), для обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой требуется значительно большее пороговое отношение сигнал-шум (при 7)^0,9), чем для обнаружения сигнала с известной амплитудой.
Таким образом, семейство характеристик на рис. 2.7 хорошо иллюстрирует тот факт, что за незнание параметров принимаемого сигнала приходится «расплачиваться» пороговым отношением сигнал-шум, т. е. увеличивать энергию сигнала для обеспечения заданных показателей качества обнаружения.
Сигналы со случайными начальной фазой, амплитудой, временем запаздывания и смещением частоты. При приеме радиолокационных сигналов помимо начальной фазы ср и амплитуды а обычно неизвестны время запаздывания т сигнала и его смещение частоты ы. В этом случае может использоваться модель сигнала вида	'
s (а, ф, т, <о, t) = a A (t—т) cos [(соо + со) (t—т) + Ф (t — т) — ср], (2.79) где а, ср, т, со — случайные величины с заданными априорными распределениями вероятностей.
В соответствии с общей методикой синтез оптимального обнаружителя сигнала (79) сводится к нахождению отношения правдоподобия Л путем усреднения условного- отношения правдоподобия A(z/|a, ср, т, ы) согласно формуле (58). Эта задача существенно упрощается, если время запаздывания т и смещение частоты ы аппроксимировать независимыми дискретными случайными величинами, принимающими конечное число значений п, ...
..., Zfn и <01, ..., a>i с вероятностями
Ри = Р {T = Ti}> i= 1	=	=	/= l’,-> I-
Тогда аналогично- (58.а) получаем
771, I
Л= 2 Ри p&j Л(у|тг, со,). i,i=i
(2.80)
Входящее в эту формулу условное отношение правдоподобия Л(*/|тг, <’б) находится усреднением условного отношения А(у\а, Ч>, тг, <0j) по а и ср аналогично (73). Поэтому если ф и а распределены по законам (61) и (72), то в соответствии с (75)
Л (у|ть соу) = — " _ ехр ЛГ0 + Е
’ 2a2z$(Ti, coj) N0(N0 + E)
(2.81)
55
где
z0 (тг, coj = VZ21 (тг, co,-) + zf (тг со;)	(2.82)
— огибающая корреляционного интеграла, квадратурные составляющие которого
т
Zi Uj) = J У (t) A (t— Tf) COS [(% + Ы;) (t — Тг) -f- Ip (t — Tf)] dt, 0
T
z2 (tf, ®;) = J у (t) A (t - г) sin [(<ou + co,) (t — тг) + Ip (t — тг)] di. 0
Таким образом, синтезированный обнаружитель получился многоканальным, содержащим m каналов по времени запаздывания (дальности) и I каналов по частоте (скорости). В каждом из каналов формируется огибающая г0(тг, coj) корреляционного интеграла для фиксированных значений времени запаздывания Tj и смещения частоты со;, которая согласно (81) подвергается экспоненциальному преобразованию, после чего выходные сигналы каналов суммируются с весами в соответствии с (80). Результат суммирования подается на пороговое устройство. На практике дальность и скорость движения объектов изменяются непрерывно и, следовательно, время запаздывания т и смещение частоты со — непрерывные величины. В этом случае синтезированный многоканальный обнаружитель не будет 'строго оптимальным, однако с увеличением точности введенной аппроксимации непрерывных величин дискретными, т. е. с ростом m и I, многоканальный обнаружитель будет асимптотически приближаться к оптимальному.
Отметим, что с помощью аппарата стохастических дифференциальных уравнений [53] все же удается найти строго оптимальный алгоритм обнаружения сигнала со случайным временем запаздывания, принимающим непрерывное •множество значений, при этом оптимальный обнаружитель не является многоканальным [58].
На практике число каналов многоканальной системы обработки сигналов обычно- определяют исходя из заданных диапазонов изменения дальности и скорости и разрешающей способности РЛС (подробнее об этом будет идти речь в гл. 4). При этом в каждом канале, настроенном на фиксированные частоту и время запаздывания сигнала, производится оптимальная обработка в соответствии с изложенными методами, т. е. корреляционная в квадратурных каналах либо фильтровая с амплитудным детектированием. Экспоненциальное преобразование и весовое суммирование, о которых говорилось ранее, обычно не используются, при 56
этом каждый канал системы может оканчиваться пороговым устройством. Такая система может одновременно обнаруживать многие сигналы (соответствующие различным движущимся объектам) и, кроме того, позволяет приближенно оценивать их параметры (время запаздывания и частоту) по номерам каналов, в которых произошло срабатывание пороговых устройств *.
Отметим, что при обнаружении сигнала с неизвестным временем запаздывания многоканальная система по дальности необходима, если обработка корреляционная. Если же сигнал обрабатывается фильтровым способом, то возможно и одноканальное построение обнаружителя, поскольку фильтр, как устройство с постоянными параметрами, инвариантен относительно момента прихода сигнала. При изменении этого момента выходной сигнал фильтра лишь смещается по времени на соответствующее значение. При корреляционной же обработке опорные колебания корреляторов должны быть сдвинуты относительно друг друга по времени (в соответствии с разрешающей способностью по дальности) и перекрывать весь диапазон изменения дальности, что делает систему принципиально многоканальной.
Пачки радиоимпульсов. Для повышения эффективности обнаружения в радиолокации применяют многократное облучение объекта зондирующими импульсами, при этом обнаружение осуществляется по принимаемой последовательности (пачке) радиоимпульсов. Число импульсов N в пачке определяется ее длительностью Тп и периодом повторения радиоимпульсов Тп (рис. 2.10). Длительность пачки тп практически совпадает со временем облучения объекта тОбл, которое в режиме обзора зависит от ширины диаграммы направленности по нулевому уровню а0 и от угловой скорости вращения луча антенны Q : т0бл = ао|/П- Огибающая отраженной пачки определяется формой диаграммы направленности антенны. Для упрощения анализа реальную пачку часто заменяют прямоугольной, имеющей ту же энергию, но меньшее число, импульсов. Пачечный режим работы широко используют и в радионавигации.
Различают когерентную и некогерентную пачки радиоимпульсов. Если начальные фазы высокочастотного заполнения радиоимпульсов связаны между собой детерминированной зависимостью, то пачка называется когерентной', если же начальные фазы от импульса к импульсу меняются случайным образом — некогерентной. Когерентность излучаемых радиоимпульсов обес-
* Методы оптимального решения задач совместного обнаружения сигнало» и оценивания их параметров излагаются в гл. 5. Что касается задачи обнаружения многих сигналов, то она тесно связана с проблемой разрешения и рас-иозиавания сигналов, рассматриваемой в гл. 6.
57
6)
Рис. 2.10. Пачки принимаемых радиоимпульсов с реальной оги----бающей (й), с прямоугольной * огибающей и дружными флуктуациями амплитуд (б), с независимыми флуктуациями амплитуд (в) б)
печивается соответствующим построением передатчика, например по схеме высокостабильный генератор — импульсный модулятор — усилитель мощности. Однако когерентность излучаемых колебаний еще не является достаточным условием когерентности принимаемых радиоимпульсов. Для ее сохранения требуется, чтобы при отражении сигнала от объекта и при распространении радиоволн в среде сдвиг фаз был одинаковым для всех радиоимпульсов, при этом должно выполняться условие тКфл>Тп, где Ткфл — интервал корреляции флуктуаций принимаемых радиоимпульсов.
Если в РЛС используется передатчик на магнетроне, то каждый зондирующий радиоимпульс имеет «свою» начальную фазу, не зависящую от начальных фаз других импульсов, при этом из-58
лучаемая пачка радиоимпульсов .некогерентна. Однако и при таком передатчике, вообще говоря, можно получить в приемном; тракте когерентную пачку, если попользовать когерентный гетеродин, фазируемый радиоимпульсами магнетрона.
Когерентная пачка радиоимпульсов может относиться к классу детерминированных либо квазидетерминированных сигналов, при этом возможны модели когерентной пачки с полностью известными параметрами, со случайной начальной фазой, со случайными начальной фазой и амплитудой, а также со случайными временем запаздывания и смещения частоты.
С принципиальной точки зрения синтез оптимальных обнаружителей для указанных моделей когерентной пачки радиоимпульсов ничем не отличается от рассмотренного синтеза обнаружителей детерминированного и 'Квазидетерминированного сигналов. При этом структурные схемы оптимальных обнаружителей прежние. Следует только иметь в виду, что в корреляционных схемах (рис. 2.5,а, 2.8,а) в качестве опорных колебаний s(t), sls(t) и s2(0 нужно использовать соответствующие пачки радиоимпульсов. В фильтровых вариантах схем (рис. 2.5,6, 2.8,6) входящий в них^

Рис. 2.11. Амплитудно-частотные характеристики СФ для пачки (а) и одиночного (б) радиоимпульсов

6)
Рис. 2.12. Фильтровая (а) и фильтрацион-ио-корреляционная (б) структурные схемы оптимальных обнаружителей когерентной пачки радиоимпульсов со случайной начальной фазой
Рис. 2.13. Структурная схема синхронного накопителя
оптимальный фильтр СФ должен быть 'согласован с пачкой радиоимпульсов. Согласно (49) амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра должна совпадать с амплитудно-частотным спектром когерентной пачки радиоимпульсов.
Для прямоугольной пачки радиоимпульсов с 7V=19, Тп = 3ти (ти — длительность импульса) амплитудно-частотная характеристика фильтра, согласованного с пачкой, показана на рис. 2.11,а. При практической реализации фильтра обычно учитывают только главный лепесток характеристики.
Согласованный фильтр, как видим, имеет гребенчатую характеристику и может быть выполнен приближенно в виде выбора узкополосных фильтров с полосой на уровне 0,7 Д/ф«1/ЛТп. Число этих фильтров Пф=2/тиДп=27’11/ти = 2(3, т. е. при высокой скважности импульсов Q требуется большое число' узкополосных фильтров. Кроме того, необходима высокая добротность фильтров (пропорционально длительности пачки) и предъявляются жесткие требования к взаимной стабильности центральных частот фильтров.
Согласованный фильтр для пачки когерентных радиоимпульсов можно представить в виде последовательного соединения согласованного фильтра для одиночного радиоимпульса СФ! (его амплитудно-частотная характеристика показана на рис. 2.11,6) и синхронного накопителя СН (рис. 2.12,а). Последний выполняется в виде линии задержки с отводами (рис. 2.13). Весовые коэффициенты bi пропорциональны амплитудам импульсов пачки. Если огибающая пачки прямоугольная, то весовые коэффициенты одинаковы и их вводить не нужно. На рис. 2.14 показаны времен-60
Рис. 2.14. Временные диаграммы фильтровой обработки когерентной пачки радиоимпульсов с синхронным накоплением на радиочастоте
ные диаграммы, поясняющие процесс фильтрации («Сф1 — сигнал на выходе COJ, синхронного накопления	— сигнал
на выходе СН) и детектирования (sA(t) — сигнал на выходе амплитудного детектора АД) когерентной пачки прямоугольных радиоимпульсов с одинаковыми амплитудами (без шумов) в схеме на рис. 2.12,а.
Техническая реализация синхронного накопителя на радиочастоте довольно сложна из-за жестких требований к стабильности параметров линии задержки и точности расположения отводов.
61
Более приемлема схема обнаружителя с двумя квадратурными каналами (рис. 2.'12,6), в которой синхронное накопление осуществляется на видеочастоте благодаря синхронному детектированию радиосигнала в квадратурных каналах с помощью фазовых детекторов (ФД). При этом потери информации не происходит. Частота соо опорных колебаний совпадает с частотой заполнения радиоимпульсов на выходе СФЬ а фаза должна изменяться от одного периода следования импульсов к другому в соответствии с набегом фазы принимаемых импульсов за время Тп.
В схеме на рис. 2.12,6 осуществляется фильтровая и затем корреляционная (по начальной фазе) обработка сигнала. Возможно иное сочетание корреляционной и фильтровой обработки. Для пояснения этого представим когерентную пачку s(t), состоящую из N радиоимпульсов длительности ти с периодом повторения Тп, в виде произведения радиоимпульса Si(t) длительности T=(N—^Тп+ти и периодической последовательности видеоимпульсов sCTp(0 (рис. 2.15,а—в). В результате корреляционный интеграл
J У (t) $ (0 dt = J у (t) sCTp (/) sr (/) dt = J z/CTI1 (/) sr (?) dt. 0	0	0
Отсюда видно, что оптимальная обработка сводится к умножению принимаемого процесса y(t) на последовательность видеоимпульсов 5стр('О. иначе говоря, к стробированию процесса y(t), после чего полученное колебание £/стр(’О пропускается через фильтр с импульсной характеристикой h(t)=st(T—t), т. е. согласованный с сигналом si(t). Такую обработку называют корреляционно-фильтровой (рис. 2.Гб). Согласованный фильтр можно приближенно реализовать в виде резонансного контура с полосой пропускания, обратно пропорциональной длительности пачки: A/^l/T. Импульсы £/стр('О растягиваются узкополосным контуром и когерентно суммируются (см. рис. 2.15,г, д), при этом шумы в промежутках между импульсами не накапливаются из-за операции стробирования.
В корреляционно-фильтровой схеме в отличие от схемы на рис. 2.12,6 накопление происходит не на видеочастоте, а на радиочастоте. При этом отпадает надобность в квадратурных каналах и в довольно сложных накопителях с многоотводными линиями задержки. Выход схемы на рис. 2.16 подключается через амплитудный детектор к пороговому устройству. Однако в этой схеме без потерь обрабатываются лишь импульсы, совпадающие по времени со стробирующими 5стр('0> т- е- корреляционно-фильтровой обработке в отличие от фильтровой не свойственна инвариантность ко времени запаздывания сигнала. Поэтому при корреляционнофильтровой обработке пачки с неизвестным временем запаздыва-62
Рис. 2.15. Временные диаграммы корреляционно-фильтровой обработки
*$стр 6^1
Рис. 2.16. Структурная схема корреляционнофильтровой обработки
ния потребуется многоканальная система. В то же время в фильтровом обнаружителе (см. рис. 2.12,а), а также в фильтрационно-корреляционном (см. рис. 2.12,6) можно ограничиться одним каналом по дальности.
При анализе оптимального обнаружителя когерентной пачки радиоимпульсов можно пользоваться полученными ранее расчетными формулами и характеристиками обнаружения для квазиде-терминированных сигналов. При этом под энергией Е нужно по-
63
мимать энергию пачки, равную сумме энергий N радиоимпульсов. Отсюда и из равенства в формуле (53) следует, что на выходе синхронного сумматора (в схеме на рис. 2.12,а) отношение сигнал-шум в N раз больше (при одинаковых импульсах), чем на выходе фильтра СФЬ Иначе говоря, синхронное накопление при когерентной обработке повышает отношение сигнал-шум пропорционально числу импульсов в пачке.
Некогерентная пачка радиоимпульсов. Как уже отмечалось, в некогерентной пачке начальные фазы высокочастотного заполнения радиоимпульсов изменяются случайным образом. Синтезируем оптимальный обнаружитель некогерентной пачки радиоимпульсов, считая амплитуды импульсов известными, а случайные начальные фазы независимыми и распределенными по равномерному закону. В силу статической независимости начальных фаз и независимости шума от импульса к импульсу отношение правдоподобия
N
Л= П Лг,	(2.83)
i=i
где Л,- — отношение правдоподобия для i-ro импульса, которое в рассматриваемой задаче определяется аналогично (67). Поэтому
Л= П еХР f -Т7-) Л) (77- ZOi ) > 1=1	\ М, /	\7%	)
где Ei — энергия Нго импульса, a zoi — огибающая i-.ro радиоимпульса на выходе фильтра, согласованного с одиночным радиоимпульсом. Отсюда с учетом (26) получаем алгоритм оптимального обнаружения некогерентной пачки радиоимпульсов в виде
/о	\	N	Iе)	\^i
In п 4> (т=-гог)= 3 In Л (тгМ h-	(2-84)
«•=1	\М,	J	\N0	1 а.
Как и при когерентной обработке (см. рис. 2.12,а), оптимальный обнаружитель некогерентной пачки радиоимпульсов (рис. 2.17) включает в себя согласованный с одиночным радиоимпульсом фильтр СФ] и синхронный (вообще говоря, весовой) накопитель СН. Однако в рассматриваемом случае они согласно (84) разделены амплитудным детектором АД. Необходимость этого
Рис. 2.17. Структурная схема оптимального обнаружителя некогерентной пачки радиоимпульсов
64
физически объясняется тем, что начальные фазы каждого радиоимпульса неизвестны, поэтому когерентное накопление импульсов невозможно.
Оптимальный фильтр СФЬ согласованный с прямоугольным радиоимпульсом, имеет АЧХ, показанную на рис. 2.11,6. На практике вместо него обычно используют квазиоптимальный полосовой фильтр с полосой пропускания А/ = /г/ти. Значение коэффициента k, при котором обеспечивается максимальное отношение сигнал-шум на выходе квазиопгимального фильтра, равно 1,37 для прямоугольного импульса и прямоугольной частотной характеристики фильтра; при использовании в качестве квазиоптимального фильтра резонансного усилителя значение k изменяется от 0,4 для од-нокаскадного усилителя до 0,67 для пятикаскадного.
Оптимальная характеристика амплитудного детектора согласно (84) определяется функцией In 10 (х). В силу того, чтО'
1п/.ю- С;,/3''’,	(285)
I х2/4, >:<1, характеристика детектора при большом отношении сигнал-шум (<7i>l) является линейной, а при малом отношении сигнал-шум (pel) — квадратичной.
Последетекторный синхронный накопитель может быть выполнен в виде линии задержки с т3=(А—QTn с отводами (см. рис. 2.13). Синхронность накопления импульсов обеспечивается равенством времени задержки между отводами периоду повторения Та. Однако техническая реализация такого накопителя при длительных пачках (N, Тп .велики) затруднительна. В этом случае прибегают к использованию рециркулятора (рис. 2.18,а), в котором применяется линия задержки с т3 = 7'п. Рециркулятор представляет собой схему с положительной запаздывающей обратной связью. Широкополосный усилитель ,с коэффициентом усиления К компенсирует затухание р в линии задержки, при этом для устойчивой работы схемы должно выполняться условие m = ^p<l. Амплитудно-частотная характеристика рециркулятора имеет гребенчатый вид (рис. 2.18,6). Отметим, что при накоплении в рециркуляторе проявляется эффект насыщения, т. е. при увеличении числа накапливаемых импульсов вклад каждого последующего импульса в суммарный сигнал убывает. Этот эффект тем сильнее, чем меньше коэффициент обратной связи пг. На практике обычно берут т=0,8... 0,95.
Последетекторное накопление сигналов можно выполнять также на потенциалоскопах, магнитных барабанах, в РЛС с визуальным съемом информации — с помощью индикаторов на электронно-лучевых трубках. Синхронность накопления сигналов обеспечивается наличием развертки по дальности. В качестве после-3—1 оо	65
детекторного накопителя импульсов может использоваться также интегрирующая 7?С-цепь; в этом случае синхронность накопления обеспечивается стробированием по дальности.
Перечисленным аналоговым накопителям в той или иной степени свойствен эффект насыщения, который снижает качество обнаружения сигналов. От этого недостатка свободны цифровые накопители (ом. § 2.10).
Остановимся кратко на анализе оптимального обнаружителя некогерентной пачки радиоимпульсов, полагая детектор квадратичным *. Вычислив при 0=0 и 0'=1 плотности вероятностей статистики, поступающей на пороговое устройство, и подставив их в (30), получим
Л=-——-------- С z2N~l ехр ( - — '1 dz,	(2.86)
( \
exP I — о °°	I Z2 \	r---
D =	\___L2_ Г z"exp I - — ) IN—i	Nqz) dz,	(2.87)
где /w-i(x) — модифицированная функция Бесселя (jV—1)- го порядка; q — отношение сигнал-шум в одном импульсе.
Вычислить вероятность ложной тревоги сравнительно несложно, так как интеграл в (86) табулирован. Труднее рассчитать вероятность правильного обнаружения D. Однако при больших D можно воспользоваться асимптотической формулой /д~1(х) = = еЛ7рЛ 2лх, при этом интеграл (87) сводится к табулированному интегралу вероятностей.
Следует отметить, что трудности анализа рассматриваемого обнаружителя типичны для многих обнаружителей сигналов, причем они увеличиваются с усложнением схем обработки и моделей сигналов и помех. Их можно успешно преодолеть, воспользовавшись методом моделирования на ЭВМ.
Сравнение зависимостей, связывающих значение порогового отношения сигнал-шум qnoP в одном импульсе с числом импульсов N в некогеренггной пачке (рис. 2.19), с характеристиками обнаружения когерентной пачки радиоимпульсов показывает, что пороговое отношение сигнал-шум, естественно, возросло. Снижение qnop с ростом N при некогерентной обработке (рис. 2.19) происходит медленнее, чем при оптимальной когерентной, при которой уменьшение qnop обратно пропорционально N. Проигрыш в пороговом отношении сигнал-шум из-за некогереитности увеличивается
* Как показывают расчеты, характеристики обнаружения при линейном детекторе отличаются от характеристик при квадратичном незначительно, приблизительно на 1 дБ.
66
I «УЛ	а)
О Fn 2Fn	/
s)
Рис. 2.18. Структурная схема (а) и амплитудно-частотная характеристика (б) рециркулятора
Рис. 2.19. Пороговое отношение сигнал-шум при обнаружении нефлуктуирующих некогерентных радиоимпульсов для D=0,9 (---------) и D=
= 0,999 (------)
с ростом N, причем для слабых сигналов и больших N это увеличение пропорционально \ <N.
Рассмотренные синтез и анализ обнаружителя некогерентной пачки проведены для известных амплитуд импульсов, т. е. для нефлуктуирующей пачки. Однако на практике интересна также ситуация, когда амплитуды импульсов меняются случайным образом — пачка флуктуирует. Флуктуации принимаемого сигнала обусловлены причинами, о которых шла речь в § 2.1. Возможны следующие виды флуктуаций пекогерент.ной пачки радиоимпульсов: независимые (быстрые), при которых амплитуды импульсов статистически независимы между собой (см. рис. 2.10,в), и дружные (медленные), когда флуктуации амплитуд являются полностью коррелированными (см. рис. 2.10,6). Между этими предельными видами флуктуаций расположены частично коррелированные флуктуации, интервал корреляции которых сравним с периодом повторения импульсов Тп и длительностью пачки.
Если флуктуации независимые и описываются законом Рэлея (72), то, используя (83) и (75), получаем алгоритм оптимального обнаружения:
z2 > do
h.
(2.88)
3*
67
Это означает, что структурная схема оптимального' обнаружителя некогерентной пачки независимо флуктуирующих радиоимпульсов совпадает со схемой на рис. 2.17, при этом характеристика детектора для любых сигналов должна быть квадратичной.
При некогерентной пачке дружно флуктуирующих радиоимпульсов отношение правдоподобия имеет вид °°	/	a? N	\ N	/о„	\
Л= J ехр 3 Et ) П Io [ ^zoi ]wu(a)da, (2.89)
О	\	"о [=1	/ [=1	\Л'о	/
где распределение амплитуды w0(a) определяется (72). Интеграл (89) -вычисляется с помощью асимптотического представления (85), при этом структурная схема обнаружителя опять приводится к схеме на рис. 2.17 с тем условием, что характеристика детектора должна быть квадратичной для слабых сигналов и линей 1ОЙ — для сильных.
Более сложным оказывается синтез оптимального обнаружителя при частично коррелированных флуктуациях. Учитывая, что оптимизация обработки наиболее важна для слабых сигналов и что вид флуктуаций на практике не всегда известен, обнаружитель флуктуирующей пачки радиоимпульсов целесообразно строить по алгоритму (88) (см. рис. 2.17).
Расчет характеристик обнаружения флуктуирующих пачек импульсов довольно сложен и обычно выполняется с помощью ЭВМ. На рис. 2.20 построены характеристики обнаружения некогерентной пачки радиоимпульсов, которая подвержена экспоненциально-коррелированным флуктуациям* и обрабатывается согласно (88).
Здесь параметр q равен половине среднего отношения сигнал-шум по мощности. Из рис. 2.20 видно, что увеличение интервала корреляции флуктуаций приводит к ухудшению характеристик обнаружения, причем пороговое отношение сигнал-шум при переходе от независимых флуктуаций к дружным возрастает значительно— в рассматриваемом случае в 10 раз (при .0 = 0,95).
Поэтому при проектировании РЛС целесообразно принимать меры, обеспечивающие независимые флуктуации сигнала. Возможность этого обуслов
* Методика расчета и графики для других значений N и F приведены в [53].
Ь8
Рис. 2.20. Характеристики обнаружения флуктуирующих сигналов для
лена тем, что вид флуктуаций зависит от свойств не только облучаемого объекта, но и зондирующего радиосигнала. Изменяя несущую частоту от импульса к импульсу на kf>cld, где d — проекция максимального размера цели на направление линии визирования, можно добиться практически независимых флуктуаций сигнала.
Пороговая мощность сигнала. По характеристикам обнаружения можно определить пороговое отношение сигнал-шум <7ПОр, а затем и пороговую мощность сигнала РПор, необходимую для расчета дальности действия (§ 1.4).
Пороговая мощность сигнального импульса связана с его пороговой энергией Епор соотношением РПор=Е'пор/тэф, где тЭф = ти
= J Р (t)dt/Pn — эффективная длительность импульса; P(t) — о
форма импульса по мощности; ти — длительность импульса по-основанию; Ри — импульсная мощность. Выразим теперь Рпор через пороговое отношение сипнал-шум qnov = EnopWo, где А'о — спектральная плотность шумов приемной системы. В результате £Пор=?порЛ^о/тэф. Учитывая внутренний шум приемника, коэффициент шума которого N, а также внешние естественные помехи, которые можно учесть введением шумовой температуры антенны Та, имеем N0 = NckT0, где коэффициент шума приемной системы £с= (Та/То) +N—4; k — постоянная Больцмана; То — 290 К — стандартная температура для определения коэффициента шума; /гТ'0 = 4-10~21 Вт/Гц. В реальном приемнике возникают потери в отношении сигнал-шум в v раз по сравнению с оптимальным приемом сигнала. Поэтому для обеспечения заданных характеристик обнаружения в реальной системе пороговую мощность импульса нужно увеличить в v раз, в результате
£пор = V <7пОр	То/тэф.
Для расчета /Дор по. этой формуле нужно определить вначале пороговое отношение сигнал-шум д,10р- При расчете дальности действия РЛС в режиме обнаружения qaoj>=f\D, F), где функция f определяется характеристиками обнаружения, зависящими от вида принимаемого сигнала; D и F — вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги, которые необходимо обеспечить при обнаружении сигнала в одном элементе разрешения. Значения D и F, в свою очередь, определяются по вероятностям правильного обнаружения £>Обз и ложной тревоги ЕОбз, заданным для всей зоны обзора РЛС. Если зона обзора состоит из m элементов разрешения, то при независимом принятии решений в каждом элементе £обз=(1—(1—F)m, £)обз=1—(1—
—F)m~l. При	получаем DxDo(3, F mF0S33lm. В об-
69
щем случае при обзоре по дальности, радиальной скорости, азимуту и углу места значение т определяется формулой (1.15); входящие в эту формулу меры разрешающей способности зависят от вида зондирующего сигнала и находятся по методике, изложенной в гл. 6.
Таблица
Пачка	Флуктуации	Пороговое отношение сигнал-шум
Когерентная	Отсутствуют	[У1П (1 /Т) + V In [ 1 /(1 - £>)] - 1,4]2/W
	Дружные	[(In F/ln £>) — 1] IN
Некоге- рентная	Отсутствуют	_L_ рХг +..X2)2 — X1 —	1/ i_|_2X1_|_ 2^24.^24- /V I	Л	»	О +V«(^]/ 1+^+<г^+>П1 \	г yw	N /.
	Дружные	[1 IN (1 - £>)] [In (1 /F) 4- (VN - 1) У2 In (1 /F)J
	Независимые	(1W) (Xi + Xs) (V/V 4- (Xi + 2у2)/3]
Примечания: 1. Начальная фаза когерентной пачки радиоимпульсов случайна. 2. Вторая строка таблицы дает точное соотношение для <7,юг, остальные— приближенное. 3.	Infl/F)—2,8, у2« Д/ 2 1п[1/(1—£>)]—2,8.
В таблице приведены расчетные формулы для порогового отношения сигнал-шум «/пор (в одном импульсе) при различных моделях пачек из N импульсов, наблюдаемых на фоне белого шума.
2.6. ПОМЕХИ И МЕТОДЫ ЗАЩИТЫ ОТ НИХ
Модель белого шума, применительно к которой велось изложение в § 2.4, 2.5, как уже отмечалось, хорошо описывает собственный или внутренний шум приемной системы. Однако помимо этого шума обнаружению радиолокационных и радионавигационных сигналов мешает и ряд других помех. Дадим их классификацию и краткую характеристику.
70
Виды помех. В зависимости от способа образования помехи подразделяют на активные, создаваемые различными источниками мешающих излучений, и пассивные, образуемые в результате переотражения зондирующих сигналов от мешающих объектов. Как активные, так и пассивные помехи могут быть преднамеренными (организованными, умышленными) и непреднамеренными.
Активные непреднамеренные помехи можно разделить на естественные, т. е. имеющие природное происхождение, и искусственные, включающие в себя индустриальные и взаимные помехи. Естественные помехи вызываются радиоизлучением Земли и ее атмосферы, многочисленными грозовыми разрядами, радиоизлучением космических объектов (Солнца, Луны, звезд). Индустриальные помехи создаются работающими электрическими аппаратами, линиями электропередач, системами зажигания двигателей внутреннего сгорания и т. д. Взаимные помехи вызываются воздействием излучений различных радиосистем и радиоустройств друг на друга, при этом они могут быть межсистемными — помехи между системами одного и того же или различных классов (РЛС, РНС, системы радиосвязи и др.) и внутрисистемными — помехи между различными радиоустройствами одной и той же системы.
Пассивные непреднамеренные помехи возникают при радиолокационном наблюдении целей на фоне мешающих отражателей природного происхождения, включающих земную и водную поверхности, гидрометеоры, северные сияния и др. Переотраженный мешающими объектами сигнал образует помеховый фон, затрудняющий обнаружение полезного сигнала, отраженного от цели.
Преднамеренные помехи создаются противником с помощью средств радиопротиводействия для нарушения нормальной работы РЛС и РНС. Активные преднамеренные помехи создаются специальными радиопередающими устройствами. Пассивные преднамеренные помехи возникают в результате переотражения радиолокационных сигналов от искусственных мешающих объектов: дипольных отражателей (в виде полуволновых вибраторов из фольги, металлизированного стекловолокна и т. п.) и ложных целей.
По характеру воздействия на работу РЛС и РНС перечисленные помехи можно разделить на маскирующие, образующие помеховый фон и действующие подобно внутреннему шуму приемника, и имитирующие, вносящие ложную информацию о сигналах и их параметрах. В зависимости от характера протекания во времени помехи делят на импульсные и непрерывные. Импульсные помехи Могут быть синхронными, когда частота повторения помеховых импульсов равна или кратна частоте повторения полезных сигна-л°®, и несинхронными, когда указанные частоты находятся в произвольном соотношении друг с другом. Заметим, что поступающая на вход приемника последовательность помеховых импульсов
71
на выходе его линейной части может дать непрерывную помеху при достаточно узкой полосе пропускания приемника.
Математические модели. Для решения задач оптимальной обработки (в том числе и обнаружения) сигналов на фоне помех последние нуждаются в адекватном математическом описании. Для этого используют детерминированные и случайные функции, причем модели помех можно разделить на детерминированные, квазидетерминированные и стохастические. Модели детерминированных и квазидетерминированных помех строятся аналогично рассмотренным моделям детерминированных и квазидетерминированных сигналов. Детерминированная помеха sn(£) — детерминированная функция времени — может быть полезной при описании взаимных помех. Следует, однако, отметить, что такая модель помехи, вое параметры которой известны, является наиболее идеализированной, и она может быть полностью компенсирована. Более адекватна реальным помехам квазидетерминированная помеха 5п(1], 0 — детерминированная функция случайного вектора ц и времени t. Помимо взаимных помех, которые могут быть импульсными и непрерывными, такой моделью можно описывать и ряд других помех (пассивных и активных).
Более общей моделью является стохастическая помеха, представляющая собой некоторый случайный процесс ц (t) sip или же функцию 5п(яь t) случайного процесса -qt, вообще говоря, векторного. Заметим, что детерминированная sn('O и квазидетерминированная 5п(т], 0 помехи — предельные частные случаи стохастической модели Sn>(Tji, t) [53]. Общность стохастических моделей обусловлена также тем, что при их построении могут быть использованы случайные процессы разных видов: с дискретным и непрерывным временем, с дискретными и непрерывными значениями, с зависимыми и независимыми значениями, стационарные и нестационарные, гауссовские, марковские и др. [53]. С помощью этих процессов, охватывающих множество частных случаев, можно1 описать все перечисленные реальные помехи.
Воздействуя на полезный сигнал «(/), помеха тц может складываться с ним, т. е. быть аддитивной, при этом модель наблюдаемого процесса y(t) =s(t) +тщ Возможно и неаддитивное воздействие помехи, в частности помеха может быть мультипликативной или модулирующей, тогда наблюдается y(t) ~s(t) -тц. Модулирующая помеха возникает при отражении радиоволн от объекта, а также в результате их прохождения через турбулентную атмосферу. Отметим, что мультипликативную смесь сигнала и помехи можно1 рассматривать также как модель флуктуирующего сигнала, поступающего на вход приемника.
В зависимости от степени статистической взаимосвязи отсчетов помехи делят на коррелированные и некоррелированные. При-72
мерой некоррелированной помехи служит дельта-коррелированный гауссовский процесс — белый шум §(/) (см. (34)). Такая модель достаточно адекватна не только внутреннему шуму приемника, но и ряду внешних помех с широким спектром, как непреднамеренных (радиоизлучение Земли и космоса), так и преднамеренных (например, активная маскирующая шумовая помеха). Строго говоря, отчеты любой реальной помехи всегда взаимосвязаны. Однако в указанных случаях
А/пом» A U,	(2.90)
где А/пом — ширина спектра помехи; Д/пр — полоса пропускания приемника, при этом корреляция отсчетов настолько мала, что ею можно пренебречь и помеху можно считать некоррелированной. Если же условие (90) не выполняется, как, например, для пассивных помех, активных узкополосных помех, корреляцией отсчетов пренебречь нельзя и для описания помех следует использовать случайные процессы с зависимыми значениями: стационарные, гауссовские, марковские и др.
В зависимости от того, какой закон распределения вероятностей используется для описания помех, их можно разделить на гауссовские и негауссовские. Строго говоря, отсчеты любой реальной помехи описываются распределением вероятностей, отличным от гауссовского закона (38). Однако на практике помехи образуются под действием большого числа неконтролируемых причин, в результате чего происходит их нормализация, хорошо объясняемая центральной предельной теоремой теории вероятностей. При этом гауссовская модель вполне удовлетворительна.
В ряде же случаев эффект нормализации отсутствует, причем распределение помех существенно отличается от гауссовского; тогда необходимо- привлекать негауссовскпе модели. Такие модели нужны при описании индустриальных и атмосферных помех, взаимных помех, активных преднамеренных помех, формируемых в результате модуляции параметров высокочастного колебания шумовым напряжением, некоторых пассивных помех (например, отражений от поверхности моря) и др.
Вид закона распределения вероятностей, адекватного той или иной реальной помехе, находится в результате теоретических и экспериментальных исследований. Так, установлено, что распределение вероятностей импульсных помех в ряде случаев можно аппроксимировать плотностью
Му) = -----------ехр (------,	(2.91)
23/2оГ(1Л>)	2V/2/
гДе Г(-) — гамм а-функция, параметр v в зависимости от харак
тера помехи принимает значения от 0,5 до 2. При v=l имеем распределение Лапласа
(у) = (1/2 ]/2о) ехр (- |у|//2о).	(2.92)
Огибающую атмосферных помех, обусловленных ближними грозами, описывают логарифмически-нормалыным распределением:
wT1 (у) =	exp { -	| ,	(2.93)
у 2 по у	I 2 о2 J
где ут — медиана распределения; о2 — дисперсия величины In у. Это же распределение, а также распределение Вейбулла
, . ауа~1 Г / У \“1	m пп
(У) = а — ехр - -М ,	(2.94)
Ут I \Ут 1 J
где ут — медиана; а — параметр формы распределения, используются для описания амплитуд пассивных помех, если подстилающая поверхность облучается РЛС с высокой разрешающей способностью под малыми углами скольжения. В частном случае, когда а = 2, а у2т=2о2, распределение (94) переходит в распределение Рэлея
(У) = (У'°2) ехР (— У2/2 °2).	(2-95)
которое описывает амплитуду сигнала, отраженного от сложного объекта в виде совокупности большого числа статистически независимых случайных отражателей.
Методы защиты от помех. Задача улучшения качества обнаружения сигналов в условиях воздействия различного рода помех является составной частью более общей проблемы повышения помехозащищенности РЛС и РНС. Решение этой проблемы связано с повышением скрытности и помехоустойчивости радиосистем.
Методы повышения скрытности сводятся прежде всего к .выбору такого вида излучаемого сигнала, который затрудняет обнаружение этого сигнала и измерение его основных параметров с целью создания преднамеренных помех. Такой сигнал должен быть сложным (ом. § 6.4). Чем сложнее закон модуляции (частотной или фазовой) сигнала, тем труднее создать эффективную помеху. В этом отношении наилучшим был бы шумоподобный сигнал, параметры которого модулируются по случайному закону.
Для повышения скрытности можно использовать также частотный, временной и пространственный методы и, кроме того, контррадиопротиводействие.
Частотный метод сводится к перестройке рабочих частот: несущей, частоты повторения импульсов, частоты сканирования ДН антенны. Повышение скрытности временным методом достигается
за счет уменьшения длительности излучаемого сигнала. Этот метод особенно эффективен при комплексировании радиотехнических средств местоопределения с нерадиотехническимп (см. гл. 8), когда имеется возможность выключать радиопередатчик.
Пространственная скрытность обеспечивается сужением ДН антенн и уменьшением уровня их боковых лепестков, а также разнесением передающей и приемной позиций. Последнее особенно эффективно, так как благодаря отсутствию излучения из района приемкой позиции ее местоположение не может быть обнаружено. радиоразведкой; антенна передатчика помех будет направлена на передающую позицию, а в приемник помеха практически не попадает. Повышение скрытности достигается и амплитудным методом — снижением мощности излучаемого сигнала. Однако при этом уменьшается помехоустойчивость радиосистемы, так что такой метод практически нецелесообразен.
Контррадиопротиводействие сводится к созданию специальных помех (маскирующих, дезинформирующих) станциям радиотехнической разведки.
Повышение помехоустойчивости обеспечивается методами предотвращения перегрузки приемника, селекции, компенсации, ком-плексирования. Методы предотвращения перегрузки обеспечивают достаточно большой динамический диапазон приемника. В противном случае при воздействии мощной помехи приемник может перейти в режим насыщения и затем отсечки, при котором слабый сигнал теряется («отсекается»), после чего применение других методов повышения помехоустойчивости становится неэффективным. Для предотвращения перегрузки применяют схемы быстродействующих регулировок усиления, а также усилители с линейно-логарифмическими амплитудными характеристиками.
Методы селекции сводятся к выделению сигналов из помех путем использования возможных отличий их параметров: несущей частоты, ширины спектра, фазы, амплитуды, поляризации, времени и направления прихода и др. При этом различают частотную, фазовую, временную, амплитудную, поляризационную и пространственную селекции, а также их комбинации.
При частотной селекции используют различия амплитудно-частотных спектров сигнала и помехи. Если помеха заградительная (спектр помехи существенно шире спектра сигнала), то полосу пропускания приемника необходимо максимально сужать, согласуй ее со спектром сигнала. Если же спектр помехи уже спектра сигнала, то целесообразна режекция (удаление) спектральных составляющих помехи с помощью настраиваемого режекторного фильтра, полоса которого определяется полосой частот помехи. Весьма эффективна перестройка рабочей частоты так, чтобы помеха вообще не попадала в полосу приемника. Повышение по
75
мехозащищенности обеспечивается также применением многочастотного режима работы РЛС, когда излучение и прием ведутся одновременно на нескольких частотах.
При фазовой селекции используют различия фазочастотных спектров сигнала и помехи. Этот вид селекции реализуют с помощью схем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), которые позволяют сформировать опорное колебание, почти совпадающее по фазе с сигналом. В результате удается осуществить (приближенно) операцию синхронного детектирования, т. е. приблизить обработку сигнала к когерентной. При этом помеха, ортогональная по фазе с опорным сигналом, полностью подавляется. Далее (в § 5.2) будет синтезирован квазиоптимальный обнаружитель, использующий фавовую селекцию.
При временной селекции используют отличия сигнальных и помеховых импульсов по времени прихода, длительности и периоду повторения. Селекция по времени прихода реализуется в импульсных авто да льномер ах, выходные сигналы которых стробируют (отпирают) приемник на время действия сигнальных импульсов. Селектор по длительности пропускает лишь те импульсы, длительность которых лежит в заданных пределах. Селекция по периоду повторения, используемая для подавления несинхронных импульсных помех, реализуется с помощью линии задержки на период следования импульсов Тп и схемы совпадений И (рис. 2.21,а).
При амплитудной селекции используются отличия сигналов и помех по их интенсивности. Эта селекция реализуется, в частности, с помощью различного рода ограничителей и логических схем. Например, помехи менее интенсивные, чем сигнал, устраняются ограничителем снизу. Если же помеховые импульсы по амплитуде больше сигнальных, а последние не превосходят некоторый уровень Атах, то можно использовать схему на рис. 2.21,6. Ограничитель снизу пропускает только импульсы помехи, амплитуда которых превышает уровень ограничения wOrp=Amax. Эти импульсы поступают на логическую схему запрета, в результате входное напряжение на выход схемы не передается. Через схему запрета
О
Рис. 2.21. Структурные схемы селекторов импульсов по периоду повторения (а) и по уровню (б)
76
проходят только те импульсы, амплитуда которых меньше погр.
При пространственной селекции, реализуемой за счет направленных свойств антенны, используют отличия в направлении прихода радиоволн от источников сигнала и помех. Сужение ДН антенны и уменьшение уровня ее боковых лепестков повышают пространственную селекцию. Она применяется при защите от пространственно-разнесенных источников помех.
При поляризационной селекции используют отличия в поляризации принимаемых сигналов и помех. Любой приемный антенно-фидерный тракт по существу является поляризационным селектором, так как мощность колебаний на его выходе зависит от поляризации принимаемой электромагнитной волны. Например, вертикальный вибратор с наибольшим эффектом принимает вертикально поляризованные волны и не принимает .волны с горизонтальной поляризацией. Согласовав поляризации антенны и принимаемого сигнала, можно добиться ослабления помехи, если ее поляризация не совпадает с поляризацией сигнала. Помехи можно максимально подавить тогда, когда плоскости поляризации сигнала и помехи ортогональны или же когда векторы напряженности электрического' поля вращаются в противоположных направлениях.
Поляризационная селекция применяется для подавления как активных, так и пассивных помех, в частности отражений от гидрометеоров. В последнем случае механизм подавления следующий. Пусть антенна рассчитана на передачу и прием радиоволн круговой поляризации с одним и тем же направлением вращения вектора поля. При сферической форме капель дождя отраженные от них волны также будут иметь круговую поляризацию, но с противоположным направлением вращения вектора поля. Поэтому такие радиоволны не будут приняты антенной. В то же время при отражении радиоволн от асимметричного объекта, например самолета, круговая поляризация меняется на эллиптическую. Эллиптически поляризованные радиоволны содержат составляющие с круговой поляризацией и с различными направлениями вращения вектора поля. Такие волны будут приняты антенной, хотя и с некоторым ослаблением. Поляризационная селекция позволяет уменьшить мощность отраженных от дождя сигналов примерно' на 20 ...25 дБ, при этом мощность сигнала, отраженного от самолета, ослабевает лишь на 6... 8 дБ. В результате отношение сигнал-помеха возрастает на 12... 19 дБ.
При комбинированной селекции применяют различные сочетания рассмотренных методов селекции. Комбинированная селекция может быть частотно-временной, амплитудно-частотной, пространственно-временной, пространственно-поляривационно-времен-ной и т. д. Примером устройства, реализующего амплитудно-час-
77
a)	6)
Рис. 2.22. Структурные схемы компенсаторов помех
тотную селекцию, является ШОУ — широкополосный усилитель — ограничитель — узкополосный фильтр (используется для подавления импульсных помех).
Методы компенсации помех, реализуются либо- с использованием вспомогательных приемных каналов, на вход которых поступают только помехи, либо без таких каналов. В первом случае система компенсации помех является многоканальной, и в частности двухканальной с раздельными входами; во втором случае система компенсации имеет один вход. Двухканальная система компенсации (рис. 2.22,а) состоит из основного- канала, в антенну которого поступает смесь сигнала s(t) и помехи ц(0> и вспомогательного (компенсационного или опорного), антенна которого воспринимает только помеху цо(<)- Помехи опорного и основного каналов связаны функциональным преобразованием: Цо(О — =27|[т](/)]. На выходе РПрУ, осуществляющего линейное преобразование L смеси сигнала и помехи, имеем L[s(£)] + L[iq (/)]. Если в РПрУ0 удастся осуществить преобразование Lo помехи (с помощью регулировки амплитудно- и фазочастотных характеристик канала) так, чтобы
Lo [По (0) = Lo {Ж [ц (01} = L [7] (01,	(2.96)
.то тюсле вычитания помеха будет полностью скомпенсирована.
Для создания основного и опорного каналов обычно используют пространственную селекцию сигнала и помехи. Однако при шалом угловом расхождении между источниками сигнала и помехи такая селекция становится невозможной, при этом сигнал принимается не только основным, но и опорным каналом. В результате эффективность рассмотренного двухканального компенсатора резко снижается, так как в нем наряду с помехой компенсируется и полезный сигнал.
Тем не менее компенсация помех возможна и без привлечения пространственной селекции — с использованием схемы с одним входом типа показанной на рис. 2.22,6. В этой схеме блок оценивания помехи БОП осуществляет оптимальное выделение помехи ц(^) из наблюдаемого процесса yt='&s(^) +ц(£) +£(0 (&=
= R, 1; £,(t) — белый шум), формируя на выходе оценку помехи г] (А В результате вычитания y(t)—ц(/) помеха частично компенсируется. Рассмотренный компенсатор является составной частью оптимального обнаружителя сигнала на фоне помех а произвольным распределением вероятностей и белого шума [53]. Оптимальное правило формирования оценки ц(£) вытекает из результатов синтеза этого обнаружителя (см. § 5.2). Отметим, что-при построении БОП могут применяться и различные квазиопти-мальные 'устройства выделения помехи. Если в схеме на рис. 2.22,6 в качестве БОП использовать, например, линию задержки на период повторения импульсов, то получим схему череспериод-лой компенсации (ЧПК), широко применяемую при селекции движущихся целей (СДЦ) [38]. Эта проблема возникает в связи с необходимостью выделять сигналы движущихся целей, которые наблюдаются на фоне коррелированных пассивных помех, вызванных переотражением зондирующих сигналов от земной поверхности и других неподвижных объектов.
Повышение помехоустойчивости методом комплексирования рассматривается в гл. 8.
В заключение отметим, что рассмотренные методы борьбы с помехами проиллюстрировали лишь физические принципы защиты от помех. Задачи оптимизации обработки и, в частности, обнаружения сигналов на фоне помех, отличных от белого шума, не решались. Такого рода задачи изучаются в дальнейшем.
2.7. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ
Задачу оптимизации обработки сигналов на фоне коррелированных помех .можно решать в двух постановках: с заданием и без задания распределения вероятностей помех. Рассмотрим обе эти постановки.
Обнаружение детерминированного сигнала на фоне гауссовской помехи. Наблюдаемый процесс имеет вид
=	+ fl = 0, 1,0 < t < Т,	(2.97)
где s(t) — детерминированный сигнал; ц('/) — помеха, являющаяся гауссовским случайным процессом. Для ряда практических задач помеху можно считать экспоненциально-коррелированной, при этом коэффициент .корреляции р = ехр(—х|Д£|); 1/z — интервал корреляции помехи.
Гауссовский экспоненциально-коррелированный процесс, как известно, является марковским (см., например, [53]). Марковский процесс с дискретным временем {тДЛ) =тр-, i = l, 2, ...} опи
79
сывается условной (переходной) плотностью вероятностей w(r/+i| т]г) и начальной плотностью вероятностей да (ту). Для марковского гауссовского процесса эти плотности имеют вид
1	---(	(Пг+1 — ТУ Р)2
2^(1-р)2
w (n+ihi) =	.... L. ехр
V2 л(1 — р2)о0
—I
2ooJ
(2.98)
w Oil) = —=— ехр у 2 л а0
При непрерывном времени наблюдения марковский процесс описывается стохастическим дифференциальным уравнением, которое применительно к рассматриваемому случаю имеет вид
-Kn(t) + £(t),	(2.99)
где £(£) — дельта-коррелированный гауссовский процесс (белый шум), М£(/)=0,	=
Марковский гауссовский процесс т](£) можно рассматривать как результат прохождения белого шума £(/) через линейную динамическую систему, описываемую дифференциальным уравнением (99).
Отношение правдоподобия в задаче обнаружения детерминированного сигнала х(^)=хь (/г=1,..., п) на фоне аддитивной марковской помехи при дискретном времени имеет вид
Л =	=
п— 1
П w(yh+1 — Sh+1\yh — sh)
 fe=l W (yr — st)
л-1	w(yr)
11 MW+ll.Vfc) *=1
Эту статистику удобно вычислять последовательно с помощью рекуррентного соотношения
Лы-1 = Aft w (yk+l - sft+1|yfe - sh)/w (yk+1\yk), k = 1,2 ,..., n- 1,
(2.100)
с начальным условием Л] = да(у1—Si)/co(yi). Конкретизируя (100) с использованием (98), получаем
Aft+1 = Aftexp №+* ~ № p) (s'^ ~ s-fe fl) ~	~Sfe P>21 . (2 101)
I	2o2(i-p2)	J
Перейдем теперь к непрерывному времени наблюдения. Для этого в (101) заменим 2й=1пЛй, поделим обе части получаемого 80
равенства на Д£ = £&-н—tk и, учитывая разложение р = ехр(—х| дфу.1—х|Д£| + перейдем к пределу при Д£->0. В результате получим дифференциальное уравнение для логарифма отношения правдоподобия
2(0=4" Уо(0«о(0-Ц-[5о(0]2,	(2-102)
2 Од к	4 og х
где
Уо (0 = У (0 + 'хУ(0.	(2.103)
s0 (0 = 5 (0 + к 5 (0-	(2-104)
Решение уравнения (102) с учетом начального условия г(0) = =0:
2 (D = 4^ / (0 s0 (0 dt- -±~ f s2 (t) dt.	(2.105)
2oox о	4аон о
Рассмотрим обнаружитель, формирующий достаточную статис-т
тику z= J y0(t)s0(t)dt и сравнивающий ее с порогом (рис. 2.23). о
Напряжение на пороговое устройство ПУ поступает с выхода согласованного фильтра СФ, импульсная характеристика которого h(t)=s0(T—t). Вместо этого фильтра можно использовать также коррелятор с опорным колебанием в виде преобразованного полезного сигнала so(O (104). Перед согласованным фильтром (коррелятором) имеется устройство ОБФ, преобразующее наблюдаемый процесс (97) в процесс Уо(О (ЮЗ). Подставляя (97) в (103): Уо(О +т)(/) +x-&s(^) +хт](0 и учитывая (99), (104), получаем у0 (t) =‘&so(t) +£(0> гДе U0 — белый шум. Следовательно, устройство ОБФ осуществляет декорреляцию помехи, преобразуя коррелированный процесс ц(0 в некоррелированный £(/) (дельта-коррелированный). Иначе говоря, ОБФ является обеляющим фильтром, приводящим «небелый» шум к белому.
Отметим, что к таким же выводам можно- прийти, сравнивая (105) с (43). Из этого сравнения видно, что выражение (105) определяет логарифм отношения правдоподобия в задаче обнаружения детерминированного сигнала s0 (/) на фоне белого шума (со спектральной плотностью 2о20и) при наблюдении процесса Уо(/).
Итак, оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала s(0 на фоне экспоненциально-коррелированной гауссовской помехи включает в себя обеляющий и согласованный фильтры (рис. 2-23), при этом последний согласован с преобразованным сигналом s0(t). Можно показать [53], что построение обнаружителя
81
Рис. 2.23. Структурная схема оптимального обнаружителя детерминированного сигнала на фоне коррелированной гауссовской помехи
х
Рис. 2.24. Структурная схема обеляющего фильтра
детерминированного сигнала по схеме на рис. 2.23 оптимально при любой гауссовской коррелированной помехе (а не только при экспоненциально-коррелированной).
Корреляционная функция или же связанная с ней спектральная плотность помехи определяют структуру обеляющего фильтра. Применительно к экспоненциально-коррелированной помехе обеляющий фильтр согласно (103) реализуется схемой на рис. 2.24. Она состоит из устройства дифференцирования, усилителя с коэффициентом усиления и и сумматора.
Что же касается характеристик обнаружения детерминированного сигнала s(t) в коррелированной гауссовской помехе, то они, очевидно, совпадают с характеристиками обнаружения преобразованного детерминированного сигнала s0(/) в белом шуме; спектральная плотность последнего в случае экспоненциально-коррелированной помехи 2о2ои=т/2.
Оптимальный линейный фильтр. Рассмотрим теперь задачу оптимизации обработки сигналов на фоне коррелированных помех с иных позиций: найдем структуру линейного фильтра, максимизирующего отношение сигнал-шум на выходе, при этом ограничений на распределение вероятностей помехи накладывать не будем. Пусть поступающий на вход фильтра с коэффициентом передачи K(jco) процесс имеет вид y(t) =s(t) +т](/), где s(t) — детерминированный сигнал со спектральной плотностью
оо
^(j®) = J s(/)exp ( —
—оо
а л (0 — помеха, являющаяся стационарным случайным процессом со спектральной плотностью G(co). Так как фильтр линейный, то на его выходе имеем аддитивную смесь сигнала и шума Увых(1) -SfiblX (0+л вых (/), при ЭТОМ
1 00
«вых (0 = г- S К (j со) F (j (0) ехр (j (0t) d со,
МПв2Ых(О=	J I/C(jCD)P<?(CD)rfCD.
\	—oo
Отношение сигнал-шум по мощности на выходе фильтра в момент
времени t0
_ SBMX (*о)	__ _1_
Мг]в2ыхКо) ' 2л
оо	2
J К (j со) F (j cu) ехр (j to Q d со —оо
оо
J |/C(jco)|2G(co)dco
Это отношение, как видим, при заданных спектральных плотностях сигнала и помехи зависит только от коэффициента передачи фильтра K(jco). Для нахождения коэффициента передачи оптимального фильтра Копт(jсо), максимизирующего отношение сигнал-шум q, воспользуемся неравенством Коши — Буняковского
со	2 оо	со
J f (j®) ф (j®) do J |f (jco)]2 dco J* ]<p (jco)|2 do. (2.106)
—oo	—oo	—oo
Имеем
J* К (j co) F (jco) exp (j ot0) do —oo
X УG (co) exp (j co t0)	 do
VG(jco)
< J |K(jco)|2 G (co) cfo J
Отсюда получаем

G(co)
2
J F(j co) F(jco) exp (j co/„) d co
(j co)]2 G (co) dco
следовательно,
„	1 p IF (j CO)]2 ,
q S.C — Г — do = 9max.
G(co)
oo
J К (j O) X
|F(jco)|2 G(co)
do,
(2 107)
Максимальное значение отношения сигнал-тиум qmax достигается тогда, когда неравенство Коши — Буняковского (106) переходит в равенство, т. е. когда f (jco) =c<p*'(jco), где с — const. Это условие и дает уравнение для определения коэффициента передачи оптимального фильтра
83
Л’опт (j ю) Vg (co, exp (j (010) = c (F* (j co)//G(co)), откуда
А’опт (j co) = c (F* (j co)/G (co)) exp (- j co t0).	(2.108)
Полагая G (co) = const, находим коэффициент передачи оптимального (согласованного) фильтра при белом шуме
А’опт (j со) = const F* (j со) ехр (— j со t0).
Отметим, что аналогичный результат (при белом гауссовском шуме) был получен ранее иным методом (ом. (48)).
Согласно формуле (108) оптимальный фильтр пропускает составляющие частотного спектра тем в большей степени, чем больше амплитуда составляющих сигнала и меньше интенсивность помех. Чтобы полнее выявить физический смысл обработки, осуществляемой оптимальным фильтром, представим его в виде последовательного соединения двух линейных фильтров с коэффициентами передачи (jco) и Л2(]со) соответственно, при этом
А’опт (j со) = (j«) (j <о).	(2.109)
Положим
|/Сг (j (0)1 = const//Щй),	(2.110)
тогда из (108)—(ИО) получаем
/С2 (j ®) = const [F* (j со)//G(со)] ехр (— j со t0).	(2.111)
Фильтр с амплитудно-частотной характеристикой (ПО) является обеляющим, так как прошедший через него шум имеет постоянную спектральную плотность, а фильтр с коэффициентом передачи (1П) согласован с полезным сигналом, прошедшим через обеляющий фильтр. Обеляющий фильтр согласно (ИО) подавляет спектральные составляющие помехи и формирует на выходе белый шум, а согласованный фильтр наилучшим образом (в смысле максимума отношения сигнал-шум) выделяет сигнал на фоне белого шума.
Итак, оптимальный линейный фильтр можно представить в виде последовательно соединенных обеляющего и согласованного фильтров. Напомним, что именно такая комбинация фильтров имеется в оптимальном обнаружителе сигнала на фоне коррелированных помех (см. рис. 2.23).
Подчеркнем, что обнаружитель на рис. 2.23 является оптимальным при обнаружении детерминированного сигнала на фоне коррелированных гауссовских помех. Если же помеха негауссовская, то этот обнаружитель уже не будет «абсолютно» оптимальным. Однако, как ясно из предыдущего, он будет все же опти-84
мальным в классе обнаружителей, в которых фильтрация наблюдаемого1 процесса осуществляется линейным фильтром.
Отметим, что в обнаружителях квазидетерминированных сигналов на фоне коррелированных помех также используется оптимальный фильтр, состоящий из обеляющего и согласованного фильтров. Если обрабатывается пачка радиоимпульсов, то оптимальный фильтр можно разбить на три последовательно соединенных фильтра: согласованный с одиночным радиоимпульсом фильтр, синхронный накопитель (гребенчатый фильтр накопления), обеляющий фильтр (гребенчатый фильтр подавления). Так как эти фильтры являются линейными, то последовательность их включения может быть любой.
Обеляющие фильтры применяют, в частности, для подавления пассивных помех при решении задач СДЦ. Квазиоптимальным приближением к гребенчатому фильтру подавления, осуществляющему обеление помех, может служить упомянутая при обсуждении рис. 2.22,6 схема ЧПК-
2.8.	ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА
ФОНЕ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ
Как уже отмечалось, на практике имеется множество ситуаций, когда помехи являются существенно негауссовскими (см, § 2.6). Использование в этих ситуациях системы обработки сигналов, оптимизированной под гауссовскую помеху, приведет, очевидно, к неоптимальному результату. Поэтому интересно выяснить, какова же будет структура оптимального обнаружителя в случае негауссовских помех.
Рассмотрим вначале задачу обнаружения детерминированного сигнала s(th)=sh на фоне помехи с независимыми значениями, описываемыми плотностью вероятностей	при наблюдении
в дискретном времени процесса
=	+	-& = 0, 1 ; & = 1,2, ... ,п.
Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия
А= П / ft k=i	I й=1
Не конкретизируя пока распределение помехи w$, проведем некоторые преобразования отношения правдоподобия, которые позволят дать наглядную интерпретацию оптимальной обработки.
85-
Прежде всего перейдем к логарифму отношения правдоподобия
z = lnA= 2	s;t) — Inu^j/b)].	(2.112)
fe=i
Далее разложим In w^(yk—$ь) в степенной ряд:
°° (__l)t
hiwi(tlk~si) = hiwi(yl)+ 2 —ч	skTT lnK^ to-
i=i »l dylk
Подставляя это выражение в (112), получаем
<2ИЗ)
Обозначив
a to = 4тln	<2-114)
перепишем (113) в виде
z= §	(2.116)
i=i
где Zi= 2 А(г/ь)«г\-Й=1
Оптимальный обнаружитель должен строиться в соответствии d,
с алгоритмом z^h, где порог h определяется заданной вероятно
ностью ложной тревоги (критерий Неймана — Пирсона). Как следует из (115), оптимальный обнаружитель представляет собой многоканальное устройство (рис. 2.25). Наблюдаемая последовательность {yk, k=\, 2, ..., п} проходит через безынерционные нелинейные преобразователи БНПг, характеристики которых определяются по формуле (114), и затем обрабатывается корреляторами (или согласованными фильтрами). Согласно (115) число каналов в оптимальном обнаружителе, строго говоря, бесконечно. При практической реализации обнаружителя потребуется, разумеется, ограничить число каналов. Это приведет к некоторым потерям в пороговом отношении сигнал-помеха, однако в ряде случаев потери невелики.
Рассмотрим один из таких случаев — случай слабых сигналов. Если детерминированный сигнал {«ь, k=l......п} представляет со-
бой последовательность достаточно малых величин, то ряд по степеням sh в (113), (115) можно ограничить конечным числом чле-«6
Рис. 2.25. Структурная схема оптимального обнаружителя детерминированных сигналов на фоне негауссовских помех с независимыми значениями
Рис. 2.26. Структурная схема асимптотически оптимального обнаружителя детерминированных сигналов на фоне негауссовских помех с независимыми значениями
нов. Наиболее простая схема обнаружителя будет в том случае, если ограничиться лишь одним членом ряда, при этом
2^= £	(2.116)
fe=i
где
fdyk)=-/ 1п^(Уь).	(2.117)
dyk
При Sft->0 (k=l, n) величина zi сходится (в среднем квадратичном) к величине г, при этом обнаружитель, реализующий обработку (116) (рис. 2.26), является асимптотически оптимальным *.
Синтезированный обнаружитель представляет собой корреляционный обнаружитель, на входе которого имеется безынерционный нелинейный преобразователь БНП; характеристика последнего определяется формулой (117). Если помеха гауссовская, т. е.
и* (Ук) = —=— ехР ( - А- •	(2.118)
1/2 л о0	у 2сто /
то БНП вырождается в линейный преобразователь: fi (yh) = уь/о2о, при этом асимптотически оптимальный обнаружитель переходит в оптимальный. Если распределение негауссовских помех можно
* Существуют и другие критерии асимптотической оптимальности [50, 53], однако они также приводят к схеме типа рис. 2.26.
списать, например, функцией (91), то согласно (117) характеристика БНП
fi (У) = (l/2^/2 ov) v | у I v~1 sign у,
где
f	1, !/>0,
sign у = j	0, y = 0,
{ У <0.
(2.119)
При v=l, что соответствует распределению Лапласа (92), имеем f1(y) = (l//2o)signt/,	(2.120)
т. е. БНП является квантователем на два уровня с нулевым порогом квантования («идеальным ограничителем»).
Рассмотрим теперь обнаружение квазидетерминированного сигнала s (jit, i) на фоне негауссовской помехи с независимыми значениями. Вектор неизвестных параметров цтаМ считаем случайным, плотность вероятностей которого Wo(n) задана. Отношение правдоподобия в соответствии с (58) можно записать в виде
А = J ехр [г (р,)] w0 (р) d|n,	(2.121)
м
где z(|ii) =1пЛ(у||п)—логарифм условного отношения правдоподобия. Аналогично соотношению (ИЗ)
2 =22	Ч М~г InЩ (ук),	(2.122)
й=11=1	11	аУк
где s'\(|n) =si’(|ti, th). Асимптотически оптимальный обнаружитель слабых сигналов (sft (ц)^-0) должен формировать согласно (121), (122) статистику
Лх= Jехр м
(И) dp
(2.123)
й=1
и подавать ее на пороговое устройство.
Для сравнения асимптотически оптимального обнаружителя с оптимальным в случае гауссовских помех запишем отношение правдоподобия, подставив (118) в (122) и затем в (121):
г 1 п	j п	т
Л = JexP ~ 2^(Ю- <75- 2 М(1’л-
М L °о А=1	2°0 fe=l	J
Для практически интересных моделей сигналов (в том числе для тех, которые рассматривались в § 2.5) вторая сумма, стоящая 88
под знаком экспоненты, не влияет на структуру оптимального обнаружителя. При этом статистика обнаружения
Л' = уехр ^ykSh(n) w0(n)dii. м	L k=i
(2.124)
Сравнивая (123) с (124), видим, что структура асимптотически оптимального обнаружителя слабых квазидетерминированных сигналов на фоне негауссовских помех (рис. 2.27) отличается от структуры оптимального обнаружителя квазидетерминированных сигналов на фоне гауссовских помех наличием на входе последнего безынерционного нелинейного преобразователя с характеристикой (117). «Гауссовский приемник» ГП представляет собой устройство, реализующее алгоритм (124) (или ему эквивалентный). При детерминированном сигнале ГП — не "что иное, как коррелятор (согласованный фильтр), так что схема на рис. 2.26 является частным случаем схемы на рис. 2.27. Для различных квазидетерминированных сигналов структурные схемы ГП синтезированы в § 2.5. Например, для когерентной пачки радиоимпульсов со случайной начальной фазой ГП состоит из согласованного фильтра для одиночного радиоимпульса, синхронного накопителя и амплитудного детектора (см. рис. 2.12,а).
В более общем случае, когда на квазидетерминированный сигнал s (щ, t) наряду с помехой с независимыми значениями £ воздействует аддитивная коррелированная помеха ц (гауссовская или негауссовская), структурная схема квазиоптимального обнаружителя принимает вид, представленный на рис. 2.28 [53]. Она получается из схемы на рис. 2.27 добавлением на ее вход декоррелятора ДК, преобразующего коррелированную помеху в некоррелированную. Когда помеха g гауссовская, безынерционный нелинейный преобразователь с характеристикой (117) вырождается в линейный и блок БНП отсутствует. Если к тому же коррелированная помеха ц является гауссовской, то декоррелятор представляет собой инерционный линейный преобразователь; при негауссовской-
Рис. 2.27. Структурная схема асимптотически оптимального обнаружителя квазидетерминированных сигналов на фоне негауссовских помех с независимыми значениями
Рис. 2.28. Структурная схема квазиоптимального обнаружителя квазидетерминированных сигналов на фоне помех
8Э'
коррелированной помехе декоррелятор—'Инерционный нелинейный преобразователь. При непрерывном времени наблюдения декоррелятор переходит в обеляющий фильтр *.
2.9.	ОБНАРУЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ
СИГНАЛОВ
Векторные и пространственно-временные сигналы. При рассмотрении в § 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 задач оптимального обнаружения для различных моделей сигналов и помех изучался тот важный случай, когда наблюдаемый случайный процесс y(t) являлся скалярным, состоящшм из скалярных функций — сигнала и помехи. Однако для практики интересен также более общий случай, когда одновременно наблюдается несколько случайных процессов, иначе говоря, наблюдается векторный процесс у (t)=y1{t), y?(t),... ,yi(t) и решение об обнаружении полезного сигнала s(t) =st(t), s2(t),... .... si(t), который также является векторным, должно приниматься в результате наблюдения в течение некоторого времени Т реализаций всех компонент процесса у(/). К такой постановке задачи приходим, например, при многочастотном режиме работы РЛС. При оптимизации МПРЛС также приходится решать задачу совместной обработки векторных сигналов.
Строго говоря, необходимость описания радиосигналов (и помех) векторными функциями возникает всегда. Дело в том, что радиосигналы представляют собой электромагнитные волны — особое состояние электромагнитного поля, зависящее от времени t и от пространственных координат г точек поля. В общем случае электромагнитные поля и волны описываются векторными функциями векторного аргумента у(/, г) и являются векторными полями. Если при приеме волн не учитывать их поляризацию, то можно ограничиться описанием наблюдаемого процесса в виде скалярной функции векторного аргумента — скалярного поля y(t, г). Принципиальным, однако, является то, что наблюдаемый процесс, сигнал и помеха представляют собой пространственно-временные процессы. При этом для их адекватного математического описания в силу статистического характера решаемых задач необходимо привлекать модели в виде случайных полей (векторных или скалярных). При таких моделях оптимизация обработки сигналов приводит к оптимизации приемной системы в целом, включая обработку сигналов в антенне. В результате можно синтезировать единую оптимальную систему и выявить потенциаль
* Более подробно эти вопросы рассмотрены в [53]; там же излагаются и другие методы оптимизации обработки сигналов в условиях негауссовских помех.
60
ные возможности пространственно-поляризационно-временной обработки сигналов.
Корректное построение теории оптимальной обработки случайных полей требует привлечения довольно сложного математического аппарата. Однако эту задачу можно упростить, проведя предварительно дискретизацию поля.
Продискретизируем непрерывное поле y(t, г) по пространственным координатам г= (гь г2) с одинаковым равномерным шагом х (рис. 2.29). Обозначим отсчет поля y(t, г) в некоторой точке (i, /) с координатами r= (ix, jx) через y(t, ix, jx)=yij(t). Совокупность этих отсчетов образует векторную функцию времени, компоненты которой удобно перенумеровать одним индексом и расположить в виде вектора-столбца
У1 (О у(/)= iMO
ЦК
yi (О
(2.125)
Размерность I этого вектора зависит от значения шага х и от размера области 7? (рис. 2.29), в которой осуществляется дискретизация.
В результате проведенной дискретизации непрерывное поле y(t, г) заменяется (аппроксимируется) вектор-функцией (125), причем точность аппроксимации тем выше, чем меньше шаг х. Такая замена позволяет при синтезе оптимальных систем обработки сигналов оперировать не случайными полями, а векторными случайными процессами, что существенно облегчает задачу математического синтеза. Отметим, что указанная дискретизация хорошо согласуется с реальной пространственной дискретизацией электромагнитного поля, выполняемой многоэлементными антеннами — антенными решетками, в частности типа ФАР.
Общие вопросы синтеза оптимальных систем. Как ясно из предыдущего, описание сигналов и помех векторными функциями позволяет существенно расширить круг задач обработки сигналов, интересных для практики. Что касается синтеза оптимальных систем обработки, то он проводится на основе тех же решающих правил, что и при наблюдении скалярного процесса. Общие решающие правила (§2.1) и решающие правила оптимального обнаружения (§ 2.2) справедливы и при наблюдении векторных случайных процессов (и полей). Нужно только под реализацией у случайного процесса y(t) понимать реализацию у векторного случайного процесса у(/) (или случайного поля y(t, г)). В частности, решающее правило оптимального обнаружения по-прежне-Му состоит в формировании отношения правдоподобия Л и срав-
91
Рис. 2.29. Диаграмма, поясняющая дискретизацию поля
Рис. 2.30. Диаграмма, поясняющая прием векторного процесса многоэлементной антенной
нении его с порогом h (правило (25)), причем отношение правдоподобия
A = A(y) = tiy(y|'&= 1)/ш(у|,0' = О)	(2.126)
здесь является скалярной функцией реализации у векторного слу» чайного процесса. Порог h выбирается в соответствии с прежними критериями оптимальности; так, при критерии Неймана — Пирсона значение h определяется заданной вероятностью ложной тревоги F.
Заметим, что и в предыдущих задачах обнаружения отношение правдоподобия (18) зависело, вообще говоря, от векторной величины y=yi, уп, которая была получена в § 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 дискретизацией одного наблюдаемого процесса по времени. Здесь же вектор у определяется в результате дискретизации наблюдаемого поля по пространственным координатам. Не исключена и дискретизация наблюдаемого векторного процесса (125) по времени. Таким образом, вектор у, входящий в (126), имеет большую размерность, чем у в аналогичной статистике (18). Однако на общий вид решающих правил это не влияет. Особенности в решении задач оптимальной обработки векторных процессов возникают при конкретизации общих правил для выбранных моделей сигналов и помех. Эти особенности будут далее проиллюстрированы на конкретных примерах. Однако еще до их рассмотрения ясно, что оптимальная система обработки векторного сигнала должна быть многоканальной, причем число каналов системы не может быть меньше размерности I наблюдаемого процесса.
Если электромагнитная волна принимается /-элементной антенной системой (рис. 2.30), то наблюдается /-мерный векторный 92
процесс (125), компоненты которого в каждом из I каналов приемной системы могут быть продискретизированы по времени:
yj(tk) = yjh,	I;	п.	(2.127)
В результате переходим от наблюдения векторного случайного процесса (125) к наблюдению совокупности случайных величин (127). Компоненты такой совокупности можно перенумеровать одним индексом	при этом получаем случайный вектор-
столбец
-И-
размерность которого
L = Z-n	(2.128)
(при условии, что каждая компонента уД/), /=1, .... I, продискре-тизирована на п временных отсчетов). Заметим, что вектор-столбец можно также записать в виде у= II i/i, ..., yL\\T, где т —операция транспонирования.
Обнаружение векторного детерминированного сигнала на фоне гауссовской коррелированной помехи. Предположим, что с помощью Z-элементной антенной системы (см. рис. 2.30) наблюдается /-мерный случайный процесс
у (/) = & s (/)-}-ц (/); 0 = 0,1; О^/^Т,	(2.129)
содержащий гауссовскую помеху »](/) (0—0) либо смесь детерминированного сигнала s (/) и помехи (0=1).
Дискретное время. После временной дискретизации каждой компоненты наблюдаемого процесса переходим к случайному вектору-столбцу y=0s+i], 0=0, 1, содержащему вектор-столбец помехи т]=||т]1 ... тщНт и сигнала s = ||si ... sr|lT (при 0=1) размерностью (128). Распределение вероятностей помехи ц описывается гауссовским законом с нулевым средним М <=0 и корреляционной матрицей
Кч = М [(»] - М »]) (?] - М»])т] = М
Помеха может быть нестационарной, т. е. различные выборочные значения помехи тр могут иметь разные дисперсии ст2г = М(тр— -—Мгр)2=Мтц2, i= 1,..., L.
Степень взаимной корреляции выборок помехи характеризуется коэффициентом корреляции
Рг^Мтртр/о^, -i<PiJ<:i.
Так как Мтртр—Мтртр, то корреляционная матрица
= ||/Cij|| = Ир;, ог ОД i, / = 1, -, L,
93
является симметрической. Плотность вероятностей помехи опреде-ляется многомерным гауссовским законом
Щ (41, -, Пл) = (2n)-L/2 det-V2 ||/<о|| ехр { —£ hi} тр nJ , I z f,/=i	)
где hij — элементы матрицы	обратной корреляционной:
= [lA’ijff-В матричной форме
w (П) = (2л)-ь/2 det-1/2 Kn exp { - -i- if	.	(2.130)
Так как сигнал детерминированный, то логарифм отношения правдоподобия
1п Л (у) = In [к/п (у — s)/^ (у)].
Подставляя сюда (130), получаем
1п Л (у) = — [ (у — s)T Kf1 (у — s)/2] 4- [ут Кч1 у/2] =
= [(Ут Кч1 s + sT К?1 у)/2] - [sT Ki?1 s/2].
Покажем, что yTKT)-1s = sTKtl-Iy. Так как yTKn-1s — скаляр, то при транспонировании он не меняется: (yTKt)~1s)T=yTKr)-1s. С учетом правила транспонирования произведения матриц (АВС)Т=СТВТАТ и симметрии матрицы Kn_1= (Ktl-1)T получаем (yTK<Is)T=sTKT]-1y, что и требовалось доказать. Таким образом,
In Л (у) = z (у) — (^/2), где
z (у) = sT Kf1 у = ут Кч1 s,	(2.131)
а
9 = sTK^s.	(2.132)
Достаточная статистика z(y) может формироваться по-разному (131), поэтому и оптимальный обнаружитель, сравнивающий статистику z(y) с порогом h, может быть реализован различными способами (рис. 2.31, где двойными стрелками показана подача векторно-матричных величин, одинарными — скалярных).
По схеме на рис. 2.31,а наблюдаемый вектор у обрабатывается дважды. Сначала осуществляется линейное преобразование
х = К?1у.	(2-133)
зависящее от £2-элементной корреляционной матрицы помехи Кп-Затем образуется скалярная весовая сумма
Z(y) = sTx= 2si xi-
94
а)	ю
Рис. 2.31. Структурные схемы оптимальных обнаружителей векторного детерминированного сигнала на фоне гауссовской коррелированной помехи
Заметим, что преобразование (133) декоррелирует преобразованный помеховый вектор х=КТ)-1т] по отношению к принимаемому ц, так как
Мт]хт = Mi] (К^1 n)T = М (т]т]т) К?1 = Кт] Кв1 = I-
В ряде случаев выгоднее осуществлять обработку по схеме на рис. 2.31,6, в которой сразу образуется весовая сумма
г(У) = УТг=5>гь	(2-134)
4=1
где
r = K?’s,	(2.135)
— весовой вектор, зависящий от корреляционной матрицы помехи и от опорного сигнала, но содержащий всего L элементов.
Вычислим дисперсию помехи на входе порогового устройства or2 = D[z(y) |ф=0]. Так как Мт]=0, то и М[г(у) |Ф=0] =0. Поэтому о2 = М[г2(у) |О=0] и согласно (131)
о2 = М (sT IQ1 у ут К?1 s|O = 0) = sT К~* М (уутр = 0) Kif1 s =
= sT IQ* s = sT Ki?’ s = q.	(2.136)
Как видим, мощность помехи на входе ПУ в схемах на рис. 2.31 зависит от корреляционной матрицы помехи и от опорного сигнала. Поэтому при их изменении потребуется менять уровень порога h для обеспечения заданной вероятности ложной тревоги F. Однако можно поступить по-другому, используя в схеме на рис. 2.31,6 вместо весового вектора (135) нормированный весовой вектор
гн = г//Я = К?1 s/У s1 К^1 s.
В этом случае на пороговое устройство поступает нормированная весовая сумма zli=z(y)/'\f q, имеющая единичную дисперсию:
о2 = М (?2|О = 0) = М (z2|O = Q)/q = 1.
95
Такая нормировка соответствует используемой в радиолокационных приемниках автоматической регулировке усиления, обеспечивающей постоянную мощность помехи на входе порогового устройства. Поэтому менять уровень порога не требуется.
Параметр q (132) имеет смысл отношения сигнал-помеха по мощности на выходе линейной части приемника, т. е. в рассматриваемом случае на входе ПУ (см. рис. 2.31). Действительно, значение полезного сигнала на входе ПУ, которое обозначим sny, находится подстановкой в (131) вместо наблюдаемого вектора у вектора сигнала на входе обнаружителя s, т. е. stiy = sTKt)-Is. Отсюда и из (136) получаем, что отношение сигнал-помеха s2ny/o2 равно q. Легко убедиться, что такое же отношение сигнал-помеха будет и при формировании нормированной статистики zH.
Остановимся теперь на характеристиках обнаружения. Так как случайная величина z (131) (и zH) представляет собой линейное преобразование гауссовского случайного вектора, то она распределена по гауссовскому закону (при 0 = 0 и 0=1). Поэтому вероятности ложной тревоги F и правильного обнаружения D определяются ранее полученными формулами (56), в которых параметр <?сф нужно заменить на q (132).
Поясним особенности многоканальной обработки сигналов в синтезированном обнаружителе на простейшем примере. Пусть антенная система состоит из двух элементов, с которых снимается по одному отсчету в один и тот же момент времени: yi=yi(ti), y2=yi{ti). В данном случае корреляционная матрица помехи
о2 О1 о2 р
О1О2р о2
Мт]2 Мтц т]2
Мт]1 т]2 МП2
Обратив эту матрицу и подставив результат обращения и вектор сигнала s=||s1s2||T в (135), получим весовой вектор
1
1-Р2
1,'О2	— р/охо2
-Р/О^г I/O2
S1
S2
1	(Sl/°ti)-(PS2-4°2)
!-р2 (-ps1/o1o2) + (s2/o2)
Подставив этот вектор в (134), найдем достаточную статистику
z (У) = {Уг [(Si/o2) - (ps^ о2)1 + у2 [(s2/o2) - (р s1/o1o2)]}/(l - р2),
которую представим в виде
^(у) = [(У1н РУгн) $1н (Узя РУ1н)$2н1/(1	Р2)>	(2.137)
где
Z/1H = Узя = Уг/°2> S1H = S2H = Si/°2
96
нормированные относительно уровня помехи значения наблюдений и опорного сигнала. Отношение сигнал-помеха (132)
q = sT г = (S|H + s|H - 2 р s1H s2H)/( 1 - p2).	(2.138)
Поясним полученные результаты, рассмотрев частные случаи.
1. Коэффициент корреляции выборок помехи р=0, а дисперсии выборок о21 = (т22 = (т2. В этом случае
2 = У1Н ®1н У ill S2H> q = S1H ”1” S2h (S1	
Как видим, обработка сводится к умножению нормированных наблюдений на опорные сигналы и затем к суммированию, при этом сигнал накапливается когерентно.
2. Пусть р = 0, а о21#=о22. В этом случае наблюдения нормируются относительно различных уровней помехи, причем при накоплении с большим весом учитывается то наблюдение, которое содержит менее интенсивную помеху.
3. Пусть р=т^0 и о21=т^о22. В этом общем случае помимо когерентного накопления сигнала осуществляется и когерентная компенсация помех. Согласно (137) остатки компенсации (t/iH—pt/гн) и (г/2н—pt/iH) подвергаются корреляционной обработке. Эффективность компенсации помех возрастает с увеличением степени взаимосвязи помех, поступающих в разные каналы, т. е. с ростом коэффициента корреляции р. Если slH#=s2H, то при р->1 согласно (138) отношение сигнал-помеха q-^oo, т. е. в пределе помеха полностью компенсируется и сигнал обнаруживается безошибочно. При одинаковых сигналах в каналах (sj = s2) и р=1 помеха тоже полностью компенсируется, однако при этом полностью компенсируется и сигнал и поэтому его нельзя обнаружить.
Непрерывное время. Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Для этого вспомним, что компоненты A-мерного наблюдаемого вектора у получены в результате дискретизации по времени /-мерного процесса у(/) и гьеренумеровки компонент (127) одним индексом. Возвращаясь к двойной индексации (как и в (127)), статистику (134) можно записать в виде двойной суммы:
L	tn
2= s yifi= 3 S y}(th)r}(th).	I
i=l	/=1 fe=l
При переходе к непрерывному времени наблюдения при M=tk— —/fe-i->0 сумма по временному индексу k перейдет в интеграл, при этом
z = S J Уз гз = J 3 Уз (О О (0 di = 7 ут (/) г (/) dt,
1=1 О	О j=l	О
(2.139)
97
4—100
где у(t) = ||i/i(t)	||T — наблюдаемый вектор-столбец; r(/) =
= lln (t) ... n(t) ||T — весовой вектор-столбец. Аналогичным образом для отношения сигнал-помеха (132) получаем
q = / sT (/) г (/) dt,	(2.140)
о
где s(t) —сигнал (/-мерный вектор-столбец).
Весовой L-мерный вектор-столбец г (135) является решением матричного уравнения Knr = s, эквивалентного системе скалярных
L
уравнений S Knijr, = Si, t=l, ..., L. Использовав двойную индек-/=1
сацию, эту систему можно записать в виде
t	th) r} = st (tm), i = 1 ,..., /,	(2.141)
fe=i /=i
где Kt\ij{tm, tk)	—значение взаимной корреляцион-
ной функции помех в t-м и /-м каналах /СтрД/, т) =Мт]{(/)т], (т) (», /=1, ..., /), взятое в моменты времени /=/т, т=//г. Переходя в (141) к непрерывному времени, получаем систему интегральных уравнений
f 2- V’ T) ri	dx = st (t), t = l,..., I,
0 /=1
или в матричной форме
j* Кл (/, т) г (т) d т = s (/),	(2.142)
о
где Кч(/, т) = ll/Crpj(/, т)|| — матрица размером 1x1 взаимных корреляционных функций помех в каналах /-канальной приемной системы.
Примеры. 1. Пусть 1=1 (одноканальная приемная система), иначе говоря, рассмотрим обнаружение скалярного сигнала s(/). Предположим, что скалярная помеха т] (/) представляет собой белый шум с кореляционной функцией АД/, т) = (Ао/2)6(/—т). В этом случае матричное интегральное уравнение (142) переходит в скалярное
N т
J S(/-t) г (t)Jt = s(/) ,	(2.143)
2 о
которое с учетом фильтрующего свойства дельта-функции легко решается: г (/) =2s (/)/А0. Статистика (139) принимает вид
2 т
z= — J y(t)s(t)dt. В результате, как и следовало ожидать, при-л'о о
98
шли к рассмотренному в § 2.4 корреляционному обнаружителю (см. (43), (44)).
2. Предположим, что /-канальная система принимает векторный сигнал s(/) = ||s,(/)||, компоненты которого имеют одну и ту же форму s(t), но отличаются временем запаздывания т: si (/) = =s(t—Ti), s2 (/) =s(/—Т2), .... S((/) =s(/—T(). Считаем, что помехи в каналах — не зависимые между собой белые шумы, корреляци-
онная матрица которых
К.(/,т)= A(£_l3)
N01	0	...	О
О	N02	...	О
О	О	...	Nol
Такая постановка задачи может соответствовать, например, обнаружению детерминированного сигнала в МПРЛС, состоящей из I приемных и одной передающей позиций. При этом уравнение (142) распадается на систему независимых уравнений типа (143), решение которой дает компоненты весового вектора л(/) = =2s(t—ti)//VOi, ..., ri(t)=2s(t—xl)/N0i.
Таким образом, согласно (139)
г = 2 A- J ^(/)s(/-Tj)d/, /=1 Noi о
т. е оптимальное обнаружение сводится к когерентному суммированию результатов корреляционной обработки (или согласованной фильтрации) наблюдений, проведенной в каждой приемной позиции. Чем больше спектральная плотность помехи в /-м приемнике (N0j/2), тем с меньшим весом учитывается его выходное напряжение. Результат суммирования z подается на пороговое устройство.
Комплексная форма записи сигналов и алгоритмов. Радиосигналы представляют собой узкополосные высокочастотные колебания вида
s (/) = А (/) cos [2 л f01 + ф (/)],
(2.144)
особенностью которых является медленное изменение амплитуды ^(/) и фазы ф(/) за период 1//0 высокочастотного колебания. Операции над такими сигналами удобно проводить, исключая из рассмотрения несущую частоту /о- Для этого вводят комплексную огибающую сигнала А(/) =Л(/) ехр []’ф(/)]. Учитывая формулу Эйлера cos<р = Рее^= (е^-|-е_)'ч’)/2, можно представить действительный сигнал (144) в виде
s (/) = Ре [Л (/) ехр (j2nfot)] = [A (t) ехр (j 2nfof) +
4*
99
+ А* (т) exp (— j 2 л f0 t)]/2.
Произведение этого сигнала на другой узкополосный сигнал
sx (т) = [Xj (т) ехр (j 2 л /о т) 4- Л* (т) ехр (— j 2 л f0 т)]/2 имеет вид
s (t) s± (т) = (1/2) Re [Л (/) Л] (т) ехр (j 2 л /0 (/— т)) +
+ Л (О (?) ехр (j 2 л / о (t + т);)].
Отсюда следует, что при Т^>1Ц0
J s (/) sx (/) dt « — Re f A (/) Л; (/) dt.
0	2	0
Введем теперь у (/) = Wyi (/) || — вектор-столбец комплексных огибающих компонент наблюдаемого процесса, при этом вектор-столбец на входе приемной системы у(/) =Re[y (/)exp(j 2л/0/)]. Введем также взаимные корреляционные_функции комплексных огибающих помех в приемных каналах K^aft, т) =№[#;(/)у*Дт) |О= =0]/2, образующих комплексную корреляционную матрицу помех:
Кч (/, т) = ||	(/, т) || = М [у (/) у*т (т) р = 0J/2	(2.145)
(при отсутствии полезного сигнала, т. е. при '6=0, tji(t)—комплексная огибающая помехи в i-м канале).
Используя приведенные соотношения, запишем полученные ранее алгоритмы применительно к высокочастотным узкополосным колебаниям в комплексной форме. Достаточная статистика (139) принимает вид
z= -Г S ReJ	4 Не / ^ (/)?*(/) d/,	(2.146)
Z /=1 о	2 о
где г(/) = ||гД/) II—комплексный весовой вектор-столбец, который определяется, как следует из (142), уравнением
— J Кт] (t, т)г (т) dr = s (/).	(2.147)
2 о
Здесь s(t)—вектор-столбец комплексных огибающих полезного сигнала s(/)=Re[s(/)exp (j 2jt/W)]- Отношение сигнал-помеха (140) принимает вид
q= — Re / sT(/)r*(if)d/ = — / sT (/) г* (f) dt	(2.148)
2 t о	2 о
100
(знак Re можно опустить, так как рассматриваемый интеграл — действительное число).
Разделение обработки сигнала на пространственную и временную. Рассмотрим пример синтеза многоканальной системы обнаружения с использованием комплексной записи высокочастотных колебаний. Пусть на антенную решетку поступает узкополосный сигнал с комплексной огибающей вида
s(t, <р)= Л(/)В(<р),	(2.149)
где A(t) — скалярная комплексная функция t\ В (<р)—не зависящий от времени вектор-столбец. Предполагаем, что полоса частот сигнала Afs и максимальный размер £ антенной пешетки таковы, что
дЛ<£/о<1.	(2.150)
Это условие позволяет пренебречь запаздыванием составляющих сигнала на выходах различных элементов решетки. В результате одна и та же скалярная функция A(f) определяет закон модуляции сигнала во всех элементах решетки. Составляющие сигнала в различных элементах решетки отличаются сдвигами фаз <pi(i= = 1,..., /), зависящими от угловых координат источника сигнала, при этом вектор В(<р) = [[ехр(—j<p,)||. Помеху считаем некоррелированной по времени и по элементам решетки (т. е. по пространству), при этом
Kna,T)=2V0I6(f-T),	(2.151)
где I — единичная матрица.
Подставив (149) и (151) в уравнение (147), получим
м т	~	—
7- J ба-т)г(т)ат=л(ов(Ф),
2 о
отсюда весовой вектор r(£) = 2A(f) B(<p)/7V0 и, следовательно, согласно (146) достаточная статистика
z = — Re j у* (?) Л* (0 В* (<р) dt.
2 о
Это выражение можно переписать в виде
z = -J- Re J (?) Л* (0 di,	(2.152)
о
101
где
^(О = ?(ОВ*(<Р)= 2 ydi')^.	(1.153)
t=i
Как видим, единая пространственно-временная обработка сигнала в рассматриваемом случае разделилась на пространственную (антенную), описываемую алгоритмом (153), и временную (внутри-приемную) (152). Такое разделение явилось следствием предположений (149), 150).
Пространственная обработка согласно (153) сводится к весовому суммированию колебаний на выходах элементов решетки. Весовые коэффициенты ei<;p компенсируют взаимные сдвиги фаз составляющих принимаемого сигнала, при этом обеспечивается ориентация ДН антенны в направлении на источник сигнала. После пространственной обработки следует временная (152)—корреляционная обработка (согласованная фильтрация). Конкретизируя выражение для отношения сигнал-помеха (148), получаем
q = Вт (<р) в* (<р) J А (0 л* (0 dt. "о	0
„	-	I
Так как Вт (<р) В* (<р) = 2 е lQ>i e/Q>i = I —число элементов антен-i—i
т „	„	т
ной решетки, a J A (t) A* (t) dt = j1 [А (/)|2 dt = 2Е0, где Ео— энер-0	о
гия сигнала, принимаемого одним элементом, то q = 2lE0IN0. Таким образом, отношение сигнал-помеха на входе порогового устройства прямо пропорционально числу приемных каналов и отношению сигнал-помеха 2E0/N0 в одном канале.
Обнаружение векторных квазидетерминированных сигналов. Векторный квазидетерминированный сигнал s(p, t) представляет собой векторную детерминированную функцию s времени t и вектора случайных величин цеМ. При байесовской постановке задачи известна априорная плотность вероятностей этого вектора Wo(p). Задача оптимального обнаружения векторного квазидетер-минированного сигнала решается тем же методом, что и задача обнаружения скалярного сигнала (§ 2.5), а именно с порогом h, определяемым вероятностью ложной тревоги, нужно сравнивать отношение правдоподобия Л, получаемое аналогично (58), т. е. усреднением с весом а'о(ц) условного отношения правдоподобия -Л-(УIИ) = w(УIИ,	1)/к='(У|$—0) Последнее применительно к
задаче обнаружения сигнала s (ц, t) на фоне гауссовской коррелированной помехи имеет вид
А (У | И) = ехр [z (и) — (q (ц)/2)],	(2.154)
102
где статистика 2(р) и параметр д(ц) находят из ранее полученных формул для 2 и q заменой в них функции s(Z) на s(jli, t). Так, при непрерывном времени согласно (146) и (148)
z (р.) = J УТ ® г* dt’	(2.155)
2 о
I Т ~
sT (М) г* (р, 0 dt,	(2.156)
2 о
где вектор весовых функций r(p, t) определяется согласно (147) уравнением
1	т „
— J К-» (t, т) г (р, т) dx = s (р, t).
2	о
Отношение правдоподобия находится усреднением (154):
Л= J ехр [г (у) — (q (n)/2)]w0(ii) dp.	(2.157)
м
Пример. Рассмотрим задачу обнаружения векторного сигнала со случайной начальной фазой. Вектор р вырожден в скаляр — случайную начальную фазу <р с равномерным априорным распределением (61). Вектор комплексных огибающих сигнала s(p, ?) — = s(<p, t) = s (t) eJ<₽. В этом случае весовой вектор г(р, т)=г(т)е^, где вектор г(т) определяется из уравнения (147). Статистику (155) можно представить в виде
z Ср) = Re (z e~JT) = z0 cos (<p — arg z), где 2o = (z( —модуль комплексной статистики
?(/)>(/)&	(2.158)
2 о
Параметр (156) от фазы <р не зависит: ^(р)=<7= — J sT(/)r* (t)dt.
2 о
Отношение правдоподобия (157) в рассматриваемом случае
/	0 X 1 2л	„
Л *= ехр ( —— I — Г ехр [z0 cos (<р— arg z)J dtp = \	2 / 2л q
= eXp 'j''}	'
где Io — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, гак как функция 10 монотонная, а параметр q не зависит от на-
103
dj блюдений, то алгоритм обнаружения принимает вид z0 h (обоб-
щение (68)). Полученный алгоритм является оптимальным для обнаружения векторного сигнала со случайной начальной фазой на фоне гауссовской коррелированной помехи *. Этот алгоритм можно реализовать путем квадратурной обработки:
z0 = lzl=^ (Re z)a + (Im z)2.	(2.159)
Комплексная статистика z (158) зависит от вида весового вектора г((), определяемого из (147) и зависящего, в свою очередь, от вида комплексной корреляционной матрицы помех (145). Дополнительные сведения об обнаружении векторных сигналов (многоканальном обнаружении) содержатся в [29, 32, 59, 69].
2.10. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Рассмотренные модели сигналов имели непрерывное множество значений. При этом оптимизация обнаружения таких сигналов приводила к оптимальным обнаружителям, которые реализуются при помощи аналоговых устройств. Однако на определенном этапе обработки можно выполнять дискретизацию сигналов по времени и по амплитуде аналого-цифровым преобразователем (АЦП) и проводить дальнейшую обработку цифровыми устройствами.
Целесообразность цифровой обработки при обнаружении сигналов обусловлена прежде всего отсутствием у цифровых накопителей эффекта насыщения, который свойствен аналоговым накопителям (см. § 2.5). Кроме того, эффективность аналоговых устройств значительно снижается из-за различного рода нестабильностей элементов аппаратуры, например из-за нестабильности времени запаздывания сигнала в линии задержки. Цифровые устройства лучше аналоговых поддаются микроминиатюризации и, как следствие, имеют малые массу и габариты. Положительными качествами цифровых устройств являются также высокие надежность и точность выполнения арифметических операций, возможность гибкой и оперативной перестройки параметров устройств.
Отмеченные достоинства цифровой обработки обусловливают целесообразность ее применение не только для обнаружения сигналов, но и для решения других задач обработки радиолокационной и радионавигационной информации. При этом важно, что цифровые алгоритмы в различных задачах обработки информации могут быть реализованы на однотипной микроэлектронной эле-
* Алгоритм сохраняет оптимальность и при случайной амплитуде векторного сигнала (как и для скалярного сигнала, см. § 2.5).
104
ментной базе. Особенно широкие возможности для реализации разнообразных и сложных алгоритмов обработки сигналов предоставляет микропроцессорная техника [31]. Цифровая обработка сигналов, как и аналоговая, может быть некогерентной и когерентной. В любом случае цифровому устройству, реализующему тот или иной алгоритм обработки информации, — цифровому процессору (ЦП) предшествует АЦП, в котором непрерывный процесс дискретизируется по времени с шагом At и по уровню (амплитуде) с шагом Aw. Шаг временной дискретизации стараются выбирать в соответствии с теоремой Котельникова, т. е. A/<l/2fmax, где fmax — максимальная частота в спектре дискретизируемого процесса. Шаг дискретизации или квантования обычно выбирают равномерным, при этом пороги ело которых
Г = (Пщах ^ш1п)^Д Ч,
по уровню Дн квантования, чи-
(2.160)
где Птах и wmin— максимальная и минимальная амплитуды дискретизируемого сигнала, разбивают интервал (wmin, Птах) на (г+1) подынтервалов — уровней квантования. Отсчет непрерывного процесса в АЦП преобразуется в двоичный код из m разрядов, каждый из которых представлен нулем или единицей. Число разрядов определяется числом уровней квантования
m=]logz(r+l)[,	(2.161)
где ]х[ означает ближайшее целое число, не меньшее х.
Наименьшее число уровней квантования и соответственно наименьшее число разрядов будет при двухуровневом или бинарном квантовании. В этом случае аппаратура цифровой обработки на-наиболее проста, однако потери информации наиболее велики. Но в ряде задач, например при обнаружении некогерентных импульсов на фоне некоррелированного шума, эти потери влекут сравнительно небольшое снижение качества обработки, так что бинарное квантование оказывается вполне приемлемым.
При когерентной обработке, когда требуется осуществлять цифровую фильтрацию сигналов, когерентную компенсацию помех, число уровней квантования нужно увеличивать, чтобы уменьшить по возможности искажения (из-за квантования) сигналов и помех. На практике часто выбирают Аи—ит1птиш, где е>2ш— дисперсия собственного шума приемника, при этом согласно (160) число порогов квантования r = d—1, где d=wmax/om — динамический диапазон аналоговой части приемника. Отсюда и из (161) находим требуемое число разрядов двоичного кода и соответственно число разрядов АЦП:
m = ]log2d[.	(2.162)
105
Отношение динамического диапазона в децибелах к числу разрядов
у = 20 lg d/1 log2 d [ » 6 дБ,'разряд.
Алгоритмы цифровой обработки сигналов и, в частности, цифрового обнаружения можно синтезировать различными методами. Один из них связан с определением вероятностных характеристик случайных числовых последовательностей на выходе АЦП на основе анализа статистических свойств сигналов и помех на входе АЦП, а также с использованием различных аппроксимаций выходных данных АЦП (например дискретными цепями Маркова). Затем к наблюдаемому на выходе АЦП процессу — случайной последовательности двоичных чисел — применяют общие методы теори-и статистических решений, которые «работают» как при непрерывных, так и при дискретных (проквантованных) наблюдениях. Такой метод, называемый статистическим синтезом, при заданных вероятностных характеристиках выходных данных АЦП приводит к оптимальному цифровому алгоритму. Другой метод связан с использованием результатов синтеза оптимальных алгоритмов для непрерывного процесса с последующим переходом в них к цифровому эквиваленту — синтез по аналоговому прототипу. Чем меньше шаг временной дискретизации и чем больше число разрядов АЦП, тем ближе показатели качества оптимального аналогового алгоритма и его цифрового эквивалента, однако тем сложнее техническая реализация последнего. Проиллюстрируем оба метода синтеза цифровых устройств.
Некогерентная цифровая обработка, В этом случае АЦП стоит после амплитудного детектора (рис. 2.32,а). Напряжение с выхода детектора u(t) дискретизируется в АЦП по времени «(/)->--*-u(kAt) = uk, k=l, 2, ... и по амплитуде	Для рассматри-
ваемой задачи при статистически независимых отсчетах иь вполне достаточно бинарного квантования, когда
1, uh Дг Д.п, _ 0, uk<hKB
(2.163)
i —
— СФ АД
aft)
АЦП
ЦП
а)
Рис. 2.32. Структурные схемы устройств некогерентной (а) и когерентной (б) цифровой обработки сигналов
уЮ
ФНЧ
t
ФНЧ
----
АЦП -Д
---$
АЦП —
ЦП
£
V.zu(t)

6}
106
где hKB — значение порога амплитудного квантования. Требуется синтезировать такой ЦП, который в результате наблюдения последовательности 61, 6кг, где N— фиксированное число импульсов, оптимальным образом обнаруживает полезный сигнал.
Согласно общей теории (см. § 2.2) оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия
Л = Р (61, -, 6,v Р = 1)/Р (61, -, 6м Р = 0)	(2.164)
и сравнивать его с порогом. Обратим внимание на то, что для рассматриваемых здесь дискретных величин bk отношение правдоподобия (164)—отношение условных вероятностей, в то время как для непрерывных величин отношение правдоподобия (например, (37))—отношение условных плотностей вероятностей. Для нахождения отношения правдоподобия нужно знать условные плотности вероятностей w (нЦй) отсчетов ut, при условии, что на входе АЦП один шум (0 = 0) и смесь сигнала с шумом (0=1). Вычислим вероятность появления единицы (на выходе АЦП) на k-ii позиции, когда на входе один шум:
Pmh= 7 («Ц^ = 0) duh	(2.165)
Лнв
и когда на входе смесь сигнала с шумом:
Рсшь= J (uft[O= l)duft.
hKB
Тогда 1—=	1—Pcwh = qcwh — вероятности появления нуля
на k-й позиции при условии, что на входе АЦП один шум и смесь сигнала с шумом соответственно. (Отметим, что если задана вероятность рш ь появления единицы при квантовании шума и известна плотность вероятностей w (щ|'в=0), то формула (165) определяет значение порога квантования йкв.)
Теперь можно записать условные вероятности принятия случайной величиной bh (163) любого из двух возможных значений в виде
Для статистически независимых наблюдений
Р (61, 62,, 6лИ*> = 0) = П q1^ , h=l
107
п Г 1пл= 2
*=i L
P (6n 62,..., 6n I® = 1) = П Pc%k •
k=l
Подставив эти соотношения в (134), найдем отношение правдоподобия
N / „	\ вь / „	\ 1— 6.
д___ I ”СШ к | Я I ЧСШ h \ Я
\ Рш kJ \ k 1
и его логарифм
Реш h <?ш h । in ?сш h
Рш к ?сш к	Чш к
Отсюда следует, что алгоритм оптимального обнаружения бинарно квантованных сигналов
N	d,
2 бьХь h,	(2.166)
Л=1	d„
где %ь=1п(рсшь<7ш71/Рш71<7сшь)—весовые коэффициенты; h — порог обнаружения, выбираемый по критерию Неймана — Пирсона. Обнаружитель, функционирующий согласно (166), представляет собой бинарный весовой накопитель, сравнивающий накопленную величину с порогом. Если шум стационарный (рШй=Рш, ,N) и принимаемая пачка радиоимпульсов прямоугольная (рсшь = = Рсш, &=1, .... N), то = const (&= 1, ..., Л?) и алгоритм (166) упрощается:
N d,
z= 2	% Ло.	(2.167)
*=1 d„
В этом случае обнаружитель является бинарным накопителем, подсчитывающим число единиц и сравнивающим результат накопления z с порогом ho, определяемым по заданной вероятности ложной тревоги F. Статистика z имеет биномиальное распределение вероятностей, при этом вероятность правильного обнаружения
D= f
m=Ji„
где CmN = Nl/[m} (N—m)!]—число сочетаний из N no tn, a ho — наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
m—ha
На практике значение порога h0 часто выбирают с помощью приближенного соотношения йо«1,5]А N.
108
Заметим, что к полученным здесь методом статистического Синтеза цифровым обнаружителям можно прийти и другим пу-тем — с помощью синтеза по аналоговому прототипу. Действитель-НО*. сравнивая схему на рис. 2.32,а и оптимальный обнаружитель некогерентной пачки импульсов (см. рис. 2.17), видим, что в рассматриваемом случае ЦП должен выполнять операции последетек-торйого синхронного накопления и сравнения с порогом. Цифровой эквивалент первой из этих операций есть цифровой накопитель (весовой или невесовой — в зависимости от постановки задачи).
Сравнивая аналоговые обнаружители с цифровыми, нужно отметить следующее. Если бы элементы аналоговой аппаратуры являлись идеальными, так что отсутствовали бы аппаратурные потери, то оптимальный аналоговый обнаружитель был бы всегда эффективнее оптимального цифрового, поскольку квантование сигналов может привести только к потере информации. Однако эти потери в рассмотренной задаче невелики — примерно 1 ...2 дБ при бинарном квантовании. Если же сравнивать реальные обнаружители, то цифровой обнаружитель, как правило, будет эффективнее аналогового в силу преимуществ обработки, о которых упоминалось вначале.
Когерентная цифровая обработка. По мере совершенствования элементной базы цифровой техники появилась возможность осуществлять цифровым способом и когерентную обработку сигналов, в частности согласованную фильтрацию. При этом доля аналоговой части приемника уменьшается, что улучшает характеристики приемника в целом. Чтобы снизить требования к быстродействию АЦП и других цифровых элементов, цифровую обработку стараются проводить на пониженной частоте. Для этого используют схему с двумя квадратурными каналами (рис. 2.32,6), в которой с помощью умножителей и фильтров нижних частот (ФНЧ) (т. е. фазовых детекторов) осуществляется переход от промежуточной (или высокой) частоты f0 к видеочастоте. Квадратурные составляющие Rey(t) и Imp(<), где y(t)—комплексная огибающая наблюдаемого процесса y(t), содержат всю необходимую информацию о сигнале. Эти составляющие дискретизируются в АЦП и затем поступают в цифровой процессор. Найдем алгоритм его функционирования методом синтеза по аналоговому прототипу.
При оптимальной аналоговой обработке квадратурных составляющих находится модуль |z| (см. (159)) комплексной статистики
г = -|- f	(2.168)
z о
являющейся частным случаем (для скалярного наблюдаемого
109
процесса) статистики (158). Учитывая представление комплекс, ных функций у (/) =Rey(t) +j Imy(f), f (/) = Rer (0+j Imr (t), видим, что интеграл (168) распадается на сумму из четырех интегралов, при этом	I
Re г = — J* Re у R) Re г* R) dt---—J Im у R) Im r* (t) dt, I
2 о	2 о	j
1	r	„	i т
Im z — — J Re у R) Im r* R) dt 4-----J Im у R) Re r* R) dt.
2	о	2 о
После дискретизации по времени эти интегралы перейдут в суммы
V»*	1	_ ЧХ-.	1	_ W4
Re* = — S Rey Rer* v 3 1тУ (М1т г* &). (2 169
Imz=-^- 2 Re у (/£) 1т7* (^) 4--^- 2 Im у RR Rer*Rf)-2 i	2 i
В результате дискретизации по уровню осуществляется переход Rey(R)->6i, Imy(/i)~>6i 1. где б< и 5^— двоичные коды, число разрядов которых определяется числом разрядов АЦП по формуле (162). После этого суммы, входящие в (169), можно вычислить с помощью четырех цифровых корреляторов, реализующих операции S6iXi, ЗДтХщ, SSiXfi» StfiiX*. где у,, x«i — двоичные i	i	i	i
коды, являющиеся цифровыми значениями коэффициентов Rer*(R) и Imf*(£i). Выходы корреляторов объединяются с учетом (169), после чего формируется модуль статистики (168) (по формуле (159)). Все эти операции над цифровыми данными и составляют алгоритм функционирования ЦП.
Вычислительная процедура, реализуемая цифровым коррелятором, идентична цифровой фильтрации. Дискретным эквивалентом линейного аналогового фильтра, выходной сигнал которого определяется интегралом свертки (45), является дискретный фильтр (ДФ), формирующий весовую сумму
k
?h= 2 Vthu—t, k~0,-,N — 1.	(2.170)
1=0
Здесь yi=y(iA^), i—0, 1,..., — дискретный сигнал на входе ДФ; hk-i — весовые коэффициенты, определяющие импульсную характеристику ДФ (дискретный эквивалент импульсной характеристики аналогового фильтра h(f), см. (45)); N — объем выборки. Если алгоритм (170) реализуется цифровым устройством, при этом входной сигнал у< и коэффициенты hk-i представляют собой соответствующие двоичные коды с конечным числом разрядов, то ДФ 110
Является цифровым фильтром (ЦФ). Для реализации ЦФ, как явно из (170), необходимы устройства, выполняющие три операции над числами: сложение, умножение и задержку (запоминание).
\ Алгоритм (170) описывает фильтрацию во временной области. На можно ее проводить и в частотной области. Для этого наблюдаемые данные Уг подвергают дискретному преобразованию Фурье (ДПФ)
Fy(i) = yftexp ( — j2nfc Д-V i = 0,..., У—1.	(2.171)
a=o	\	N /
Зат^м, используя коэффициент передачи ДФ K{i)—Zi[yi при =ер) (j2jrftA/), находят спектр сигнала на выходе ДФ:
5 (0 = М)Ш 1 = 0,...,Л^-1	(2.172)
(подобно операции преобразования спектра FBX(jf) входного непрерывного сигнала в аналоговом фильтре с коэффициентом передачи A(j7) : ABbIX(j7)=ABx(j/:)A(j/:)). После этого с помощью обратного ДПФ находят выходной сигнал ДФ:
zk = ~ S’ ^(Оехр (j2n£ ДД £ = 0(V—1.	(2.173)
Соотношения (170) — (173) описывают линейную дискретную фильтрацию. Их же используют и для приближенного описания цифровой фильтрации, однако при этом необходимо учитывать погрешности, обусловленные цифровым представлением данных двоичными кодами с конечным числом разрядов *.
Фильтрация в частотной области, определяемая формулами (171) — (173), требует несколько больших вычислительных затрат, чем фильтрация во временной области (170). Действительно, при вычислении ДПФ согласно (171) требуется (Af—I)2 операций комплексного умножения и N(N—1) операций комплексного суммирования. Такое же число арифметических операций необходимо при вычислении ОДПФ (173). Кроме того, при преобразовании спектра согласно (172) требуется JV операций комплексного умножения и, следовательно, общее их число составит 2(N—1)2-(JV. При фильтрации во временной области согласно (170) необходимо выполнить 7V(A+l)/2 операций умножения и N(N—1)/2 опе-
* Строго говоря, линейные алгоритмы (170) — (173) не описывают цифровую фильтрацию, так как цифровые сигналы — числа с фиксированным числом разрядов т<оо — не образуют линейного пространства, при этом ЦФ является нелинейным устройством. Однако при достаточно большом m погрешности, вызванные округлением чисел, невелики, при этом ЦФ — хорошее приближение к линейному ДФ и для описания его работы можно использовать (170)—(173).
III
ци-(Ф)
раций сложения. Наиболее трудоемкой является операция комплексного умножения. Из приведенных соотношений следует, что цифровая фильтрация в частотной области проигрывает цифровой фильтрации во временной области по числу операций комплексного умножения в 2[2(А—1) 2-]-N]IN	1) раз, т. е. в четыре ра-
за при N^> 1.
Однако соотношение вычисленных затрат существенно и; нится, если при вычислении ДПФ воспользоваться более р; опальным алгоритмом — быстрым преобразованием Фурье (Б1 [21, 29].
Алгоритм БПФ благодаря объединению всех слагаемых, йод-лежащих умножению на одинаковые множители, требует не N2 (при А^>1) операций комплексного умножения (как при ДПФ (171)), а всего лишь 0,5MloggAf, т. е. выигрыш составляет N2/Gt5N\og2N—2N/\og2N. Например, при А=1024 этот выигрыш равен примерно 200. В результате цифровая фильтрация в частотной области с использованием БПФ оказывается менее трудоемкой, чем цифровая фильтрация во временной области.
2.11. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Виды априорной неопределенности. При решении конкретных задач оптимального обнаружения (§ 2.4—2.8) предполагалось, что распределение вероятностей шумов (помех) и параметров сигналов полностью известны наблюдателю, т. е. рассматривались задачи при полной статистической априорной информации. Однако на практике априорные сведения о статистических свойствах сигналов и помех нередко частично или даже полностью отсутствуют. В связи с этим возникает проблема оптимизации алгоритмов обнаружения (а также алгоритмов оценивания и др.) в условиях априорной неопределенности. В зависимости от степени полноты априорных сведений рассматривают различные виды (модели) априорной неопределенности: параметрические, непараметрические, и параметрико-непараметрические модели.
При параметрической априорной неопределенности предполагается, что функциональный вид распределений вероятностей сигнала и помехи и, следовательно, распределений вероятностей наблюдаемого процесса при наличии сигнала ®|l(y|'() = 1) и его отсутствии №и(«/|й'—0) известен, однако векторные параметры ц= — (pi,..., |.к)еМ и х= (xi,..., /ДеК, от которых зависят указанные распределения, неизвестны. Число неизвестных параметров предполагается конечным: /-(-«<со. На практике неизвестными 112
мо ут быть постоянная составляющая, мощность, интервал кор-аяции и другие параметры сигналов и помех. К параметричес-априорной неопределенности приходим и тогда, когда функциональный вид распределений вероятностей непосредственно не зад4н, но существует возможность аппроксимации распределений по той или иной системе базисных функций [53].
Если неопределенность не сводится к конечному числу неизвестных параметров (констант), то имеет место непараметричес-
кая априорная неопределенность. В частности, в этом случае функциональный вид распределений w (уИ= 1) и к.'(у|й=0) неизвестен, Аричем используется сравнительно небольшой объем априорной информации: симметрия распределений, независимость выборочных значений и др.
Чем меньше априорных сведений о сигнале и помехе, тем мень
ше возможностей для оптимизации процедуры обнаружения. При этом с уменьшением априорных сведений эффективность обнаружения снижается. Поэтому при постановке задач обнаружения
(а также других задач обработки сигналов) целесообразно максимально использовать всю имеющуюся априорную информацию (разумеется, достаточно достоверную). Именно с этой целью вво-
дятся параметрико-непараметрические модели априорной неопределенности, при которых для задания класса возможных распределений вероятностей используются известные и неизвестные распределения, параметрическое и непараметрическое описание. Примером такой модели может служить класс е-загрязненных распределений
(^о. е) = {вд (у) : w (у) = (1 — е) (у)4-едах (у)},	(2.174)
где w0(y)—известная, a wt(y)—неизвестная плотности распределения, е — известное число: О^е^Е Степень неопределенности повышается, если параметры распределения w0(y) неизвестны. В качестве Wo(y) обычно используется гауссовское распределение. Параметр е характеризует степень «загрязнения» гауссовского распределения, определяя вероятность аномальных выбросов в наблюдаемом процессе. При е—0 класс (174) состоит из известного распределения w0(y) — случай полной априорной информации. Если же параметры w0(y) неизвестны, то класс (174) при е=0 характеризует параметрическую априорную неопределенность. При е—1 класс (174) содержит плотности распределения, о которых какие-либо априорные сведения отсутствуют. Класс (174) можно сузить, если ограничить возможные вариации плотности Wi(y), положив, что Wi (у)^1Е1з, где 1Е13— заданный класс распределений.
113
К параметрико-непараметрическим моделям относится такке класс «/-точечных распределений:	)
{а	I
w (у) 	J	w (у) dy ^q,w (у) —	I
-а	)
симметричная и непрерывная на [—а, а] плотность, (2.175)
Параметры а и q, определяющие класс (175), известны наблюдателю. Подбором этих параметров можно почти каждую симметричную и непрерывную плотность включить в класс 1Е2(ц, <?)• Если значения параметров а и q неизвестны, то степень неопределенности, характеризуемая классом (175), возрастает.
Отметим, что модели (174) и (175) фактически характеризуют непараметрическую априорную неопределенность (так как они не сводят задачу к неопределенности относительно конечного числа параметров). Вместе с тем эти модели имеют и параметрическое описание, так как характеризуются конечным числом известных параметров (е, о20 — дисперсия гауссовского распределения Wo(y), a, q); последние в более общей постановке задачи могут быть неизвестны. Поэтому и целесообразно выделить подобные модели неопределенности в специальный класс параметрико-непара-метрических моделей. Рассмотрим теперь основные методы синтеза алгоритмов обнаружения в условиях априорной неопределенности. Отметим, что подобные методы применимы не только для обнаружения, но и для других задач обработки сигналов.
Параметрические и адаптивные методы. Параметрические методы предназначены для синтеза алгоритмов в условиях параметрической априорной неопределенности. Среди этих методов важное место занимает байесовский метод, который сводится к следующему.
Предполагается, что неизвестные параметры ц, х распределений wIL (z/|0= 1) и wK (у|0=0) можно интерпретировать как случайные векторные величины, распределения вероятностей которых существуют (подобное предположение использовалось в § 2.1). При этом Ец (у|0=1) и wK (у|0=0) рассматриваются как ус ловные распределения вероятностей w(i/|jm, 0=1), w(y|x, 0=0). Далее возможны две постановки задачи: 1) распределения вероятностей к.'0(ц), к.'0(х) случайных векторов ц, х предполагаются известными — строго байесовская постановка, 2) распределения и»о(ц), ®о(х) неизвестны — частично байесовская постановка.
При строго байесовской постановке в соответствии с правилом теории вероятностей аналогично (27а) осуществляется переход от распределений о)(у|ц, 0=1), w(y]x, 0=0) к распределениям к,(у|О=1), w (у 10=0), которые уже не зависят от неизвестных 114
пгЬаметров. В результате априорная неопределенность устраняется.', При частично байесовской постановке можно воспользоваться постулатом Байеса, согласно которому априорные распределения считаются равномерными:
&)0 (ц) = const, |.ie ц; wn (х) = const, z s К-	(2.176)
Затем можно провести интегрирование согласно (27а). Предположение (176) характеризует наибольшую априорную неопределенность относительно параметров р, х.
Особую важность для обоснования байесовского метода имеет свойство асимптотической инвариантности показателей качества байесовских алгоритмов относительно априорных распределений [50, 52, 53]. При увеличении времени наблюдения байесовский алгоритм, синтезированный в условиях параметрической априорной неопределенности, независимо от вида априорного распределения обычно сходится к алгоритму, синтезированному для полной априорной информации. Эту сходимость можно интерпретировать как адаптацию, т. е. приспособление алгоритма к неизвестным параметрам обстановки (распределений). Благодаря указанному свойству байесовских алгоритмов априорные распределения можно выбирать более или менее произвольно.
Синтез алгоритмов в условиях параметрической априорной неопределенности можно осуществлять также небайесовскими параметрическими методами, при которых не делается байесовских предположений относительно неизвестных параметров. К ним относятся, в частности, методы, основанные на подстановке в распределения w (у|р, &=!) и w(</|x, 0=0) вместо неизвестных параметров р, х их небайесовских оценок, например опенок максимального правдоподобия р,м, хм (см. гл. 4). Последние могут находиться по дополнительному наблюдению — обучающей выборке. В результате получаются распределения w (у | рм, 0 = 1), z^(y|xM, 0=0), которые не содержат неизвестных параметров и могут использоваться при синтезе алгоритмов.
Применение данного метода к задаче обнаружения приводит к обобщенному критерию отношения правдоподобия, согласно которому формируется статистика maxw(ylp, 0=1)	~
д* = _______________ = Ну1Цм. О = 1)
max к; (t/|x, О = 0)	0 = 0)
которая затем сравнивается с порогом, определяемым по заданной вероятности ложной тревоги.
Рассмотренные параметрические методы синтеза (как байесовский, так и небайесовский) приводят к алгоритмам, адаптирую-
115
(2.177)
щимся (подстраивающимся) к неизвестным параметрам, иначе говоря, к адаптивным алгоритмам. Адаптивный алгоритм сложнее неадаптивного, синтезированного при полностью известных распределениях. Но в процессе обучения по мере увеличения объема обучающей выборки адаптивный алгоритм сходится к неадаптивному.
Процедуру адаптации можно использовать и в условиях непараметрической априорной неопределенности. Поэтому методы синтеза адаптивных алгоритмов целесообразно выделить в специальный класс адаптивных методов. Характерным для этих методов является оценивание неизвестных параметров или распределений в целом по обучающей выборке. Обучающая выборка х является классифицированной, если ее распределение полностью известно наблюдателю; такая выборка служит дополнительным наблюдением по отношению к основной выборке у. В этом случае говорят об обучении с учителем. Но процесс обучения можно организовать и по основной неклассифицированной выборке у. В этом случае говорят об обучении без учителя или о самообучении.
Примером адаптивной процедуры служит автоматическая регулировка усиления, обеспечивающая изменение коэффициента усиления приемника в зависимости от уровня помех, воздействующих на РЛС. Благодаря этому при обнаружении сигналов на фоне помех с изменяющейся интенсивностью обеспечивается стабилизация вероятности ложной тревоги. Эту же цель преследует другая адаптивная процедура — автоматическая регулировка порога обнаружения, проводимая по результатам измерения уровня помех.
Рис. 2.33. Структурные схемы двухканального (а) и многоканального (6} адаптивных компенсаторов
116
Адаптивные процедуры широко используются также для компенсации помех в двух- и многоканальных компенсаторах (§ 2.6). Адаптация часто осуществляется с помощью корреляционной обратной связи (рис. 2.33,а). Поясним возможность компенсации помех в этой схеме. На компенсатор поступает помеха Tj(t) по основному и цо(^) по опорному каналам, при этом на выходе образуется разность и(/)=т](0—Кцо(О> где коэффициент К с точностью до постоянной % равен значению корреляционной функции иц0= т	--
= J ы(01]о(0^> т- е-	Нетрудно видеть, что
о
Л- = X (Т] — Кцо) По = ХПИо — АхПо, следовательно, /С=х1ТПо/(1 +%т]2о) и поэтому и—ц—[хцт1о/(1 + +Х'П2о)]'По- Отсюда видно, что при сильной взаимосвязи (корреляции) помех в основном и опорном каналах, например когда т](£) =Ст]о(О, и ПРИ Х'П2о^> 1 имеем и^т\—Сцо=О, т. е. происходит полная компенсация помехи.
В общем случае адаптивный компенсатор представляет собой многоканальное устройство — адаптивную антенную решетку (рис. 2.33,6) [39]. Сигналы и помехи с выходов элементов антенной решетки у<(0 суммируются с весами ^^(^), в результате образу-п
ется и(0= 2 Ki(t)yi(t). В соответствии с выбранным адаптивным i=l
алгоритмом коэффициенты КД/) регулируются в блоке вычисления весовых коэффициентов БВВК так, чтобы обеспечить максимальную компенсацию помех. Такая процедура эквивалентна вычитанию компенсационной диаграммы направленности, сформированной в процессе адаптации, из исходной ДН антенной решетки. Вследствие этого в результирующей ДН формируются провалы (нули) в направлении на источники помех. Для наилучшей регулировки коэффициентов используются алгоритмы, синтезируемые методами оптимального оценивания случайных процессов.
Непараметрические методы. Эти методы позволяют синтезировать алгоритмы в условиях непараметрической априорной неопределенности. Непараметрические алгоритмы чаще всего строят на основе специальных статистик — знаковых или ранговых, распределения вероятностей которых инвариантны относительно исходных распределений.
Пусть
У = (У1, У2,-< Уп)	(2.178)
— исходная последовательность наблюдаемых величин. Знаковой статистикой называется вектор
sign у = (sign г/1( signy2,-.., sign уп),	(2.179)
117
где sign у — знаковая функция (119). Обозначим через V пространство всех векторов v=(yb ..., vn), таких что Vi=l или —1. Нетрудно видеть, что V содержит 2П элементов. Если исходный процесс (pt, i=l, 2,...} случайный с независимыми значениями и описывается симметричной плотностью вероятностей
w(yi) = w(—Уд, —оо <Уг<°°, 1=1,-, п,	(2.180)
то статистика (179) имеет распределение
P{signy = v} = (l/2)n, v е V.
Таким образом, редукция наблюдаемых данных до знаков приводит к тому, что распределение вероятностей получаемой статистики оказывается инвариантным относительно распределения исходных величин, если только последние независимы и выполняется условие (180). Это обстоятельство и определяет то, что алгоритмы обработки сигналов, построенные на основе знаковой статистики, также будут обладать некоторыми инвариантными (непараметрическими) свойствами.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу обнаружения. Пусть независимые наблюдения (178) представляют собой либо шум (-0=0), о котором известно только то, что его плотность вероятностей обладает свойством (180), либо смесь сигнала и шума (•&=!). При наличии сигнала свойство симметрии (180) для наблюдаемой последовательности будет нарушено. Если ввести вероятность
Р = Р{У1>®}.	(2.181)
то, как следует из (180), при '0=0 имеем р=1/2. При &==! и положительном сигнале р>1/2.
Для решения этой задачи обнаружения воспользуемся знаковым обнаружителем, реализующим алгоритм
П	di
(2.182)
где
v(yf)=lSignyi = 1’ Уг>°’
I о, yf^0;
h — порог, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги F. Статистика z-n имеет биномиальное распределение с параметром р (181), при этом
P{zn = fclO=l} = C*p*(l-p)n-\
Р{?п = £|Ф = 0} = С*(Г2)", /г = 0,
118
где Скп—nl/[kl(n—£)!]. Вероятность правильного обнаружения п
D= S Cknpk(l—p)n~h, где h — наибольшее целое число, удов-л=Н-1 п
летворяющее неравенству X Chn(l/2)n. Отсюда видно, что fe=A+l
порог h и вероятность ложной тревоги не зависят от распределения вероятностей шума. Таким образом, при независимых наблюдениях и симметричном распределении шума знаковый обнаружитель является непараметрическим для ситуации 0=0. Этого, конечно, следовало ожидать вследствие отмеченного ранее свойства инвариантности знаковой статистики.
Непараметрические свойства обнаружителей можно также обеспечить, если синтезировать алгоритмы на основе ранговой статистики. Последняя определяется следующим образом. Расположив наблюдаемые данные (178) в порядке их возрастания Ут^у}, i> > 'р получим упорядоченную выборку — вариационный ряд
где у^ представляет собой i-ю по величине компоненту вектора (178). Элементы вариационного ряда называются порядковыми статистиками. Далее предположим, что для вектора (178) никакие две компоненты не совпадают, и обозначим через гДу) число компонент, не превосходящих уг, т. е. номер компоненты у» в вариационном ряду: Уг—у^^, l^i^n. Статистика Ri=n(y) называется рангом компоненты у-i, а вектор R= (Рь ..., Rn) — ранговым вектором или ранговой статистикой. Обозначим пространство всех перестановок г= (и,..., гп) целых чисел (1,..., п) через R. Это пространство содержит п! элементов. Если исходный процесс {yt, 1=1, 2,...} является однородным случайным с независимыми значениями, то ранговая статистика обладает распределением
P{R = г} = l/nl, PER,	(2.183)
т. е. все ранговые векторы равновероятны.
Таким образом, редукция наблюдаемых данных до рангов привела к тому, что распределение вероятностей ранговой статистики, как и знаковой, оказалось инвариантным относительно распределения исходных величин. Очевидно, в ранговых обнаружителях, построенных на основе ранговой статистики, вероятность ложной тревоги остается постоянной при любых распределениях шума, если только он является однородным процессом с независимыми значениями. При появлении сигнала однородность наблюдений нарушается, ранговые векторы перестают быть равновероятными, а это и позволяет обнаружить сигнал.
Ранговые статистики в отличие от знаковых не связаны с жестким ограничением наблюдений, и поэтому они информативнее.
119
Вследствие этого ранговые обнаружители эффективнее знаковых, т. е. обеспечивают большую вероятность правильного обнаружения при одной и той же вероятности ложной тревоги. Однако покупается это ценой усложнения обнаружителей [50, 55].
Робастные и адаптивно-робастные методы. Робастные методы позволяют синтезировать алгоритмы, близкие по эффективности к оптимальным для выбранных моделей и мало ее снижающие при отклонении распределений наблюдений от исходных моделей в заданных, как правило, небольших пределах. Если термин «робастный» * понимать буквально, то робастные методы следует отнести к непараметрическим (точнее — к «свободным от распределения»), так как последние приводят к устойчивым процедурам, не зависящим от исходных распределений. Однако обычно под робастными понимают методы синтеза, занимающие промежуточное положение между параметрическими и непераметрическими: они не требуют того сравнительно большого объема априорной информации, в котором нуждаются параметрические методы, и в то же время используют большую априорную информацию, чем непараметрические методы. В результате робастные алгоритмы оказываются эффективнее непараметрических, однако покупается это ценой сужения класса возможных распределений, в котором сохраняется устойчивость алгоритмов.
Сужение класса распределений происходит при использовании параметрико-непараметрических моделей, например (174), (175). Однако при этом удается с помощью минимаксного подхода (см. § 2.1) находить наименее благоприятные распределения (НБР) помех и синтезировать алгоритмы, для которых показатели качества оказываются не хуже фиксированных, определяемых НБР.
Существуют различные модификации постановки задачи синтеза робастных алгоритмов, и в частности робастных обнаружителей [60]. Ряд из них применительно к задаче обнаружения детерминированного сигнала в помехе с независимыми значениями приводит к структурной схеме типа показанной на рис. 2.26. Однако в отличие от асимптотически оптимального обнаружителя, в котором характеристика БНП (см. рис. 2.26) определяется по известному распределению помехи (по формуле (117)), в робастном обнаружителе характеристика БНП находится по НБР, определяемому для заданного класса распределений. В результате робастный обнаружитель может гарантировать значения вероятностей F и D не хуже тех, которые соответствуют НБР.
На рис. 2.34,а приведена характеристика БНП, построенная по НБР для класса 1Г2 (a, q) (175). Более просто реализуется харак-
* Robust — крепкий, стабильный, устойчивый. 120
Рис. 2.34. Характеристики нелинейных преобразователей для робастных обнаружителей
теристика БНП (рис. 2.34,6) для класса е-загрязненных гауссовских распределений (174); в этом случае БНП — «линейный» ограничитель.
Робастные обнаружители когерентных и некогерентных пачек импульсов [62] включают в себя два квадратурных канала, однако в отличие от рассмотренных ранее (§ 2.5) обнаружителей пачек импульсов, оптимальных для белого гауссовского шума, между фазовыми детекторами и накопителями имеются БНП с характеристиками типа показанных на рис. 2.34. Эффективность этих обнаружителей, называемых локально-робастными, можно повысить, если безынерционные преобразователи заменить инерционными , нелинейными, формирующими так называемые М-оценки (оценки типа максимального правдоподобия) неизвестных амплитуд импульсов. В простейшем случае М-оценка па-
раметра 0 является решением On уравнения типа п
i=l
где S,- — известные значения, определяющие форму сигнала; [(•) — нелинейная функция, аналогичная показанной на рис. 2.34. Робастный обнаружитель, использующий М-оценку, называется М-обнаружителем. Анализ показал, что Л'1-обнаружитель является асимптотически оптимальным в том смысле, что при неограниченном возрастании числа выборочных значений гарантируются наилучшие достижимые верхняя граница F вероятности ложной тревоги и нижняя граница D вероятности правильности обнаружения независимо от истинного распределения помехи, выбранного из заданного класса распределений. Моделирование М-обнаружителя и локально-робастного обнаружителя при различных распределениях помех (93) — (95), принадлежащих классу (175), показало, что они имеют сравнительно хорошие характеристики и высокую степень устойчивости и при конечном числе выборок. При этом при малом числе выборок степень устойчивости М-обнаружителя выше, чем локально-робастного.
Необходимо, однако, иметь в виду, что робастные обнаружители обладают хорошими характеристиками, если неизвестное распределение помехи принадлежит классу распределений, для которого синтезирован обнаружитель. Если Же распределение помехи выходит за пределы этого класса, то характеристики обнаружителя ухудшаются. Так, если на М-обнаружитель для класса 1Е2(«, q) воздействует помеха с распределением, принадлежащим классу №2(0.', q), то
121
яри а'/а=1,1 и a’la = 2 вероятность ложной тревоги возрастает в 2 раза и в 10 раз соответственно.
Таким образом, М-обнаружитель в условиях априорной неопределенности относительно параметра а класса W2(a, q) теряет устойчивость. Это, однако, можно предотвратить, воспользовавшись адаптивно-робастным методом синтеза. Согласно этому методу синтезируется робастный обнаружитель для того или иного класса распределений с известными параметрами (например, W2(a,q) или W7] (wo, е)), а при априорной неопределенности относительно параметров класса производится их оценивание по обучающей (классифицированной или неклассифицированной) выборке. Как показал анализ [70], синтезированный таким методом адаптивно-робастный обнаружитель хорошо стабилизирует вероятность ложной тревоги в условиях неопределенности относительно параметров класса распределений и незначительно проигрывает в пороговом отношении сигнал-шум неадаптивному робастному обнаружителю, на вход которого поступает помеха с распределением из «своего» класса.
Глава 3. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ КООРДИНАТ И СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
3.1.	МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАЛЬНОСТИ
И РАЗНОСТИ ДАЛЬНОСТЕЙ
В однородной среде, как уже отмечалось, радиоволны распространяются прямолинейно и с постоянной скоростью с. Поэтому время распространения радиоволн между передатчиком и приемником, расстояние между которыми Д,
т = Д/с.	(3.1)
В однопозиционной РЛС время распространения радиоволн от РЛС до отражающего объекта и обратно — время запаздывания сигнала
т = 2Д/с,	(3.2)
где R — расстояние между РЛС и объектом. При работе с ответчиком
т = 2Д/с + т0Т,	(3.3)
где Тот — время задержки сигнала в ответчике. 122
Как видим, определение дальности сводится к измерению времени запаздывания -г принимаемого сигнала относительно излученного и вычислению Л в соответствии с какой-либо из приведенных формул (в зависимости от типа радиосистемы).
Если принимаемое при определении дальности R=R(c, т) значение скорости распространения радиоволн с или измеренное время запаздывания т будут отличаться от истинных, то возникает дальномерная ошибка. Полный дифференциал дальности dR = = (dR/dc)dc-\-(dR/dT;)di;, и, как следует, например, из формулы (2), dR= (R/c)dc-\- (c/2)dt. Заменив дифференциалы конечными приращениями, получим абсолютное значение дальномерной ошибки
Д7? = (/?/с)Дс + (с/2)Дт,	(3.4)
где Лс — абсолютная ошибка определения скорости распространения радиоволн; Дт — абсолютная погрешность измерения времени запаздывания сигнала.
Рассматриваемые ошибки имеют как систематическую, так и случайную составляющую. В силу независимости ошибок из (4) следует, что среднеквадратическая ошибка дальнометрии
= /(Wo2c + (c/2)2^.	(3-5)
где сс и (Тт — среднеквадратические ошибки определения скорости распространения радиоволн и времени запаздывания соответственно.
Первая составляющая дальномерной ошибки (Ас и <тс) обусловлена прежде всего нестабильностью скорости распространения радиоволн в неоднородной атмосфере. Вторая составляющая (Ат и сгт) зависит от вида излучаемого сигнала, характера и интенсивности помех, а также от технической реализации дальномера.
В зависимости от вида сигнала и его параметра, содержащего информацию о дальности, различают три основных метода радио-дальнометрии: импульсный (или временной), фазовый и частотный. Эти методы используют как в радиолокации, так и в радионавигации. В радионавигации, кроме того, широко применяют методы разностно-дальномерных радиоизмерений, позволяющие оп ределять разность расстояний от подвижного объекта до радионавигационных точек. Разность расстояний находят либо путем измерения временного интервала между сигналами, принимаемыми от двух РНТ, либо путем измерения разности фаз принима емых когерентных колебаний. В соответствии с этим в разностнодальномерных системах для местоопределении подвижного объекта используют импульсный разностно-дальномерный, фазовый разностно-дальномерный, а также комбинированный импульснофазовый методы радиоизмерений.
1OQ
«9
Рис. 3.1. Структурная схема (а) и временные диаграммы напряжений (б) импульсного дальномера
Tn
Импульсный метод. Импульсный метод радиодальнометрии основан на непосредственном измерении времени запаздывания принимаемого радиоимпульса относительно излученного. Работа импульсного дальномера (рис. 3.1,а) поясняется эпюрами на рис. 3.1,6. Передатчик, запускаемый импульсами Si синхронизатора С, генерирует радиоимпульсы длительностью ти с периодом повторения Тп. Антенный переключатель АП подсоединяет антенну к передатчику ТПдУ на время генерации импульса и к приемнику РПрУ на время до начала генерации следующего импульса. На вход приемника поступают ослабленные зондирующие импульсы и отраженный от объекта сигнал, запаздывающий на время т относительно зондирующего импульса ($3). Если в качестве выходного устройства ВУ используется электронно-лучевая трубка, то к ее вертикально отклоняющим пластинам подводится напряжение с выхода приемника (s4), а к горизонтально отклоняющим — пилообразное напряжение развертки (s5). Передатчик и схема формирования разверток запускаются одновременно импульсами S], поэтому одновременно с излучением радиоимпульса начинается горизонтальное перемещение светящегося пятна по экрану трубки со скоростью развертки vp. Расстояние, на которое сместится пятно к моменту прихода отраженного импульса,
I = VpT = ор 27?/с = MR, где Af=2vp/c — масштаб развертки. Измерив это расстояние с помощью масштабных меток на развертке, определяют дальность R.
На точность импульсных радиодальномеров значительное влияние оказывают аппаратурные погрешности. Они вызываются: не-124
цели	ц )
Цнпульс
синхронизатора I_________________________
UtllllJMlil llllllllllllllllllllllllllll . . ! , г	t
Инлульс	п
цели ____г'—а-•—-----------------—
Цнпрльс	р — "I	‘ f
триггера _|________________I-----------
4Т
Рис. 3.2. Структурная схема (а) и диаграммы (б) цифрового съема дальности
зондирующего импуль-
совпадением начала развертки с началом
са, т. е. неточностью синхронизации; непостоянством скорости развертки и ее несоответствием шкале индикатора; неточностью масштабной шкалы; неточностью визуальной индикации; запаздыванием сигнала в цепях дальномера. Перечисленные факторы приводят к возникновению систематических погрешностей измерения дальности, которые могут быть частично скомпенсированы при калибровке дальномера. Однако из-за неконтролируемых изменений условий работы радиодальномера указанные причины вызывают появление и случайных погрешностей, которые устранить нельзя.
Для автоматизации процесса измерений и уменьшения аппаратурных погрешностей применяют цифровую индикацию (рис. 3.2). Импульс синхронизатора с помощью триггера Т открывает схему И, а принимаемый сигнал (импульс цели) закрывает ее. В течение времени т счетные импульсы, следующие с частотой Fc=l/Tc, поступают на счетчик, который отсчитывает их число пс=т/Тс= = 2RFJc. В результате получаем дальность R=cnJ2Fc. Дискретность отсчета дальности AR=c/2Fc определяет ошибку цифровой индикации. Полагая, что любые значения случайной погрешности Ат (рис. 3.2,6) на отрезке Тс равновероятны, находим ее дисперсию
,	1	г<>/2	Т2
с ~тс!2
Следовательно, среднеквадратическая ошибка цифровой индикации дальности
= (с/2) одх = (с/2) ТС/2}ГЗ = Д R/2/3 « 0,3 Д R.	(3.6)
При импульсном методе дальнометрии могут возникать значительные ошибки, если не выполняется условие однозначного измерения дальности. Это условие требует, чтобы принимаемые сиг
125
налы поступали в приемник до начала следующего зондирующего импульса, т. е. максимальное время запаздывания ттах не должно превышать периода повторения импульсов Тп:
Дпах =	<-' Л»	(3.7)
где /?тах — максимальная дальность объекта. В противном случае при R>cTrJ2 появляется дальномерная ошибка, кратная cTnf2. Условие (7) позволяет выбрать период повторения импульсов для обеспечения однозначного измерения дальности. При заданном значении Тп это условие ограничивает максимальную дальность объектов, при которой дальнометрия еще является однозначной. Отметим, что существуют и другие возможности обеспечения однозначного измерения дальности, в частности с помощью вобуля-ции (шатания) частоты повторения импульсов.
Основными достоинствами импульсной дальнометрии являются: возможность развязки передающего и приемного каналов с помощью антенного переключателя, позволяющая строить РЛС с одной антенной, простота разрешения объектов по дальности и удобство измерения дальности многих объектов. Недостатки: необходимость использования больших импульсных мощностей передатчиков, невозможность измерения малых дальностей из-за наличия «мертвой» зоны, которая определяется длительностью излучаемых импульсов и временем протекания переходных процессов в антенном переключателе.
Трудности использования импульсного метода дальнометрии в радионавигации связаны с обеспечением синхронизации между передающим и приемным устройствами РНС. Если антенна передающего устройства излучает в некоторый момент времени t0 импульсный сигнал, то он поступает в приемник, находящийся на расстоянии R, в момент времени £0+т, где задержка т вычисляется по формуле (1). Для определения дальности R по времени запаздывания импульса нужно знать начало отсчета t0, т. е. нужно обеспечить точную синхронизацию передающего и приемного устройств. Для этого используют высокостабильные генераторы (эталоны времени), один из которых запускает передатчик, а дру гой фиксирует начало отсчета в приемоиндикаторе. Возникающая из-за нестабильности генераторов ошибка синхронизации приводит к дальномерной ошибке, которая с течением времени может возрастать. Если предположить, что частоты двух одинаковых генераторов «уходят» в разные стороны, то к моменту времени Т после начала работы радионавигационной системы погрешность измерения дальности &R=2c\T, где v — относительная нестабильность частоты генератора. Например, при v=10~9 через 1 ч после включения аппаратуры дальномерная ошибка будет равна 2160 м.
1 ОА
Необходимость в высокостабильных эталонах времени отпадает, если дальность определяется активной системой с активным ответом. В такой системе работа устройств синхронизируется по сигналам ответчика. Однако при этом возникают свои трудности. Если дальность определяется на борту ЛА, то там же должен быть установлен запросчик, содержащий наряду с приемником и передатчик. Это существенно увеличивает массу и размеры бортовой аппаратуры и, кроме того, уменьшает ее помехозащищенность.
Импульсный разностно-дальномерный метод. Трудности, связанные с реализацией импульсного дальномерного метода в радионавигации, привели к широкому использованию разностно-дальномерного метода, при котором не требуются высокостабильные эталоны времени, а также передатчик на движущемся объекте. Принцип действия импульсной разностно-дальномерной системы состоит в следующем.
Ведущая радиостанция, расположенная в фиксированной точке А (см. рис. 1.2,г), в момент времени t0 излучает импульсный сигнал, который принимается ведомой радиостанцией в фиксированной точке В в момент времени Zo+4/с, где d — расстояние между точками А и В (база). Ведомая станция с некоторой заранее выбранной задержкой /3 излучает импульс, поступающий в приемоиндикатор подвижного объекта в точке М в момент /о+ -фД/сТ-А+Дг/с. Кроме того, в точку М поступает импульс ведущей станции в момент t0A~Rilc. Приемоиндикатор измеряет временной интервал между принимаемыми импульсами ведущей и ведомой станций:
т = (/?2 —/?1)/с-М/с + 4,	(3.8)
который не зависит от начала отсчета t0. Поэтому для синхронизации работы станций эталонов времени не требуется. Задержка t3 имеет постоянную /п и переменную /к (кодовую) составляющие: ^з=/п+^к. Постоянная задержка t„ зависит от размеров базы и вводится для устранения неоднозначности определения т и для различения импульсов ведущей и ведомой станций в приемоин-щикаторе. Кодовая задержка повышает помехозащищенность РНС, а также затрудняет использование радионавигационной информации абонентами, не заключившими договор с владельцами системы. Так как задержка t3 и длина базы d известны, то, измерив временной интервал (8), можно найти разность дальностей R%—Rl.
„Для определения местоположения объекта необходима по крайней мере еще одна ведомая станция, расположенная так, чтобы линии положения (гиперболы) двух пар станций пересекались (см. рис. 1.3,в). Синхронизация работы ведомых станций осуществляется по сигналам ведущей станции.
127
Фазовый метод. Фазовый метод радиодальнометрии основан на измерении разности фаз излучаемых и принимаемых колебаний. Генератор масштабной частоты ГМЧ (рис. 3.3) модулирует по амплитуде колебания генератора высокой частоты ГВЧ, которые излучаются в пространство. На фазометр Ф с ГМЧ поступают колебания s1=/l1sin((DM/+(po) и сигнал с выхода приемника, который без учета шумов можно записать в виде s2=A2sin(ci)M(/—т)+фо+ +фот+фд], где — масштабная частота; ф0—-начальная фаза; т — время запаздывания сигнала; фот — фазовый сдвиг, возникающий при отражении радиоволн от объекта; фд — фазовый сдвиг сигнала в цепях дальномера. Разность фаз сигналов Si и s2: фр—юмт—фот—фд. Поэтому время запаздывания т= (фР+фот+ +фд)/®м И, следовательно, дальность до объекта согласно (2)
R = (фр + фот + Фд) с/2юм.	(3.9) .
Таким образом, если предварительно определить сдвиг фаз фОт и фд, то, измерив разность фаз фр, можно найти дальность. Выражение (9) справедливо и при работе с ответчиком. В этом случае под фот следует понимать фазовый сдвиг сигнала в цепях ответчика. Абсолютная погрешность измерения дальности согласно (9)
АР = (Дфр + Дфот + Афд)с/2сом,	(3.10)
где ДфР, Афот, Афд — абсолютные ошибки определения разности фаз, сдвига фазы при отражении и сдвига фазы в цепях дальномера соответственно. Дальномерная ошибка в соответствии с (10) обратно пропорциональна масштабной частоте. Поэтому для уменьшения ДР нужно увеличивать <вм. Однако при этом будет уменьшаться диапазон однозначного измерения дальности. Дело в том, что однозначное измерение разности фаз двух колебаний возможно в пределах не более 2л. Следовательно, для однозначного измерения дальности необходимо, чтобы
Фр шах = Чпах = ®м 2Ртах^ 2л,
т. е. частота fM='CdM/2n масштабных колебаний и их период Ты— = \JfM должны удовлетворять условию
f„^c/2Pmax, Гм>2Рюах/с.	(3.11)
Этому условию удовлетворяют сравнительно низкие частоты. Например, при Ртах=150 км fM^l кГц. Чтобы обеспечить требуемую точность и в то же время однозначность фазовой дальнометрии, используют две масштабные частоты или более, т. е. применяют многошкальный метод измерения дальности. Вначале однозначно измеряют дальность на низкой масштабной частоте, т. е. по грубой шкале. Затем измерения производят на второй, более высокой масштабной частоте, т. е. по более точной шкале. При этом, что-128
Рис. 3.3. Структурная схема фазового дальномера
Рис. 3.4. Семейство линий положения для фазовой разностно-дальномерной системы
бы сохранялась однозначность дальнометрии, период второй масштабной частоты Т2м должен превышать погрешность измерения временного запаздывания Ап на первой масштабной частоте (т. е. по грубой шкале).
Достоинства фазовой дальнометрии: малая пиковая мощность генерируемых колебаний благодаря непрерывности излучения, возможность измерения малых дальностей, простота измерителя, сравнительно малая аппаратурная погрешность. Недостатки: отсутствие разрешения объектов по дальности, необходимость использования двух антенн для эффективной развязки передающего и приемного каналов.
Фазовый разностно-дальномерный метод. Определение разности расстояний фазовым методом сводится к измерению разности фаз двух когерентных колебаний, поступающих в точку приема из двух разнесенных РНТ. Пусть в РНТ А и В (рис. 3.4) расположены радиостанции, излучающие сигналы sa = Oacos(coa^+ +фао), sB=ObCOs(<»в^+фво) Для простоты изложения сути метода предположим, что ci)a='«>b=co, Фа=Фв=Фо- Тогда в точке М текущие значения фаз колебаний, прошедших расстояния Ra и RB:
Флм = ® t + фо — &Ra!c, Чвм = ® t + фо — <» Rb!c-
Если РПрУ в точке М принимает рассматриваемые два сигнала раздельно и подает их на фазометр, то последний измерит разность фаз
фр = флм — флв = и (Ra — Rb)IC = (2л/Х) (Ra — Rb).
Отсюда разность расстояний
AR = (А./2л) фр.	(3.12)
Множеству постоянных значений разностей расстояний {ARi= =const, i=l, 2,...} соответствует семейство линий положения в виде софокусных гипербол (рис. 3.4). Местоположение подвижно-5—100	129
го объекта определяется точкой пересечения двух гипербол (т. е. нужны две пары радиостанций).
Среднеквадратическая ошибка определения разности расстояний согласно (12)
Одд = (Л,/2л) оф,	(3.13)
где Оф — среднеквадратическая погрешность измерения разности фаз. Как видим, для повышения точности измерения разности расстояний необходимо уменьшать длину волны (повышать частоту). Однако при этом может возникнуть многозначность отсчета ДД.
Однозначное измерение разности фаз будет при cpp = 2nA/?/Z^ ^2л. Следовательно, максимальное значение разности расстояний, измеряемой однозначно, Д/?тах—При Д/?>Д/?тах показания фазометра повторяются, что и влечет многозначность отсчета разности расстояний. Линии положения, для которых разность фаз между сигналами из двух РНТ кратна 2л, разделяют рабочую зону РНС на области однозначного отсчета — фазовые дорожки (см. рис. 3.4). Ширина дорожки d0, т. е. кратчайшее расстояние ММ' между двумя линиями положения, находится с помощью результатов, изложенных в гл. 7 (см. формулу (7.8)):
d0 = A/?max/2sin (}’/2)= x/2sin(}’/2),	(3.14)
где у — угол, под которым видна база d из точки М. Если эта точка лежит на базе, то у=180° и ширина дорожки минимальна: d0 min=X/2. Следовательно, число дорожек
N^d/dOmln = 2d/k.	(3.15)
Соотношения (13) — (15) используют при расчете масштабной сетки линий положения, которые наносят на специальную навигационную карту. Неоднозначность отсчета можно устранить с помощью счетчика фазовых циклов, срабатывающего каждый раз, когда разность фаз принимаемых сигналов превышает 2лп, и = 1, 2,.... Неоднозначность измерений устраняют также применением многошкального метода: с помощью дополнительных сеток линий положения, образуемых при использовании более низких частот, на которых измеряется разность фаз.
Для реализации рассмотренного фазового разностно-дальномерного метода необходимо обеспечить раздельный прием сигналов, приходящих из двух РНТ. Однако при работе радиостанций на одной несущей частоте это практически неосуществимо, так как излучаемые сигналы будут интерферировать в пространстве и РПрУ примет суммарный сигнал, из которого нельзя извлечь информацию о разности расстояний. Для преодоления этой трудности используют частотную либо временную селекцию сигналов. Частотную селекцию обеспечивают излучением сигналов на разных 130
Рис. 3.5. Структурная схема (а) и диаграммы изменения частоты излучаемого и принимаемого сигналов (б) частотного дальномера
несущих частотах и <ов, причем удобно, чтобы (£>д1(£>в=т/п, где тип — целые числа. Такие сигналы принимаются РПрУ по разным частотным каналам; после усиления сигналы с помощью умножителей частоты приводятся к одной частоте <в=<гып=<овт, на которой изменяется разность фаз. Временную селекцию сигналов обеспечивают строгим разграничением излучения каждой радиостанции по времени.
Частотный метод. При этом методе дальнометрии излучается непрерывное частотно-модулированное колебание; время запаздывания определяется путем измерения частоты биений между излучаемым и принимаемым сигналами. Передатчик, состоящий из частотного модулятора ЧМ и генератора высокой частоты ГВЧ (рис. 3.5,а), генерирует колебания, частота которых меняется по периодическому закону — пилообразному или гармоническому. При симметричном пилообразном законе модуляции (рис. 3.5,6) частота излучаемых колебаний fi(t) =fo+2fdt/TK, 0<Zts^T\-J2, где fo — начальное значение частоты; fa — девиация частоты; Тм— = 1/Ам — период модуляции. Частота принимаемого сигнала изменяется по такому же закону (при неподвижном объекте), при этом f2(t) =fo+2f0(£—т)/Тк из-за задержки сигнала на время t=2RIc. На выходе смесителя См образуются биения разностной частоты fo=fi(O—fz{t)= 4fdFwR/c, которые после усилителя низкой частоты УНЧ поступают на частотный анализатор ЧА. В результате
R = cf6i4fdFM.	(3.16)
Частотный анализатор может быть последовательным (одноканальным) либо параллельным (многоканальным). Последовательный анализатор — перестраиваемый по частоте узкополосный фильтр. При таком построении анализатора приходится тратить время на поиск сигнала по частоте, что приводит к энергетическим потерям. Этого недостатка нет в параллельном частотном 5*	131
анализаторе, состоящем из набора узкополосных фильтров, перекрывающих диапазон возможных частот биений. В этом случае можно одновременно измерять дальность до многих целей. Недостатком параллельного спектроанализатора по сравнению с последовательным является увеличение объема аппаратуры.
Как следует из (16), относительная погрешность измерения дальности
Д/?//? = Д + Д feifd + Д FM FM + Д с/с, где Afe/fe — относительная погрешность измерения частоты биений; Д/д/(/д, ДКм/Км, Дс/с — относительные нестабильности девиации частоты, частоты модуляции и скорости распространения волн соответственно.
В рассматриваемом дальномере появляется также дополнительная методическая погрешность, обусловленная спецификой используемого метода. Из-за периодичности модуляции сигнала спектр биений близок к дискретному, причем спектральные линии расположены в точках f=kFM, k=\, 2,.... Частотный анализатор определяет частоту биений по положению спектральной линии с наибольшей амплитудой. При этом минимальное изменение частоты биений, которое можно зафиксировать, Af6=FM. Следовательно, согласно (16) фиксируемое минимальное изменение дальности &R==cAf6/4f8FK==cl4fg. Эта величина и дает методическую погрешность частотной дальнометрии. Она же определяет наименьшие измеряемое и разрешаемое расстояния. Для уменьшения А/? необходимо увеличивать девиацию частоты f8, т. е. расширять спектр зондирующего сигнала.
Основные достоинства частотной дальнометрии: малая пиковая мощность зондирующего сигнала, возможность разрешения объектов по дальности. Недостатки: трудности обеспечения эффективной развязки передающего и приемного каналов, высокие требования к линейности изменения частоты.
3.2.	МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВЫХ КООРДИНАТ
Измерение угловых координат основано на определении угла прихода радиоволн, излученных или отраженных объектом. Для этого используют радиопеленгаторы. Важной характеристикой радиопеленгатора является его пеленгационная характеристика «(а) — зависимость нормированного выходного напряжения приемника от направления прихода радиоволн. В зависимости от того, какой параметр радиосигнала оказывает основное влияние на формирование пеленгационной характеристики, методы угломет-рии (пеленгации) подразделяют на амплитудные, фазовые, час-132
6)
ЛА
Рис. 3.6. Диаграммы, иллюстрирующие пеленгацию методом максимума (а), минимума (б) и сравнения (в)
тотные и комбинированные (амплитудно-фазовые). Основными из этих методов, нашедшими распространение на практике, являются первые два; их мы и рассмотрим.
Амплитудные методы. Амплитудные методы пеленгации основаны на использовании направленных свойств антенн. Если используются направленные свойства только приемной антенны, ДН которой равна /пр(а), то пеленгационная характеристика радиопеленгатора и(а) =KfnP(a), где к — коэффициент пропорциональности. При использовании направленных свойств как приемной, так и передающей антенны и(а) = K'fnp(a)fnep(a), где /пер(а) — ДН передающей антенны. Если на передачу и прием работает одна антенна, то /пер(а)=/пр(а)=/(а), при этом и(а) =K'f2(а).
Среди амплитудных методов пеленгации различают методы максимума, минимума и сравнения. Пеленгация методом максимума (рис. 3.6,а) осуществляется путем совмещения направления максимума пеленгационной характеристики а с направлением на пеленгуемый объект а0 в результате плавного вращения ДН антенны; пеленг отсчитывается в тот момент, когда напряжение на выходе приемника становится максимальным. Достоинства метода максимума: простота технической реализации, получение наибольшего отношения сигнал-шум в момент отсчета пеленга. Недостатки метода: низкая пеленгационная чувствительность и, как бедствие, низкая точность пеленгации.
Пеленгационная чувствительность — это способность радиопеленгатора изменять напряжение на выходе приемника при изменении положения ДН антенны относительно направления на °бъект. Чем больше изменение напряжения при заданном изменении угла, тем выше пеленгационная чувствительность. Крличе-
133
ственной мерой пеленгационной чувствительности является крутизна пеленгационной характеристики
/Сп= \du(a)/da\a=ao.	(3.17)
Если Aw — минимальное изменение выходного напряжения при. емника, которое может зафиксировать измеритель, то согласно (17) абсолютная погрешность измерения угловой координаты Аал^Дм/Лп. Таким образом, чем больше крутизна пеленгационной характеристики, тем выше пеленгационная чувствительность и тем меньше погрешность измерения угла.
Так как максимум ДН антенны обычно «тупой», то пеленгационная чувствительность при пеленгации методом максимума мала и, следовательно, погрешность измерения высока.
Пеленгация методом минимума (рис. 3.6,6) осуществляется путем плавного вращения ДН с резким провалом. Угол отсчитывается в тот момент, когда направление минимума пеленгационной характеристики а совпадает с направлением на объект а0, при этом напряжение на выходе приемника минимально. Крутизна пеленгационной характеристики в этом случае выше, чем при методе максимума, поэтому выше и точность пеленгации. Однако амплитуда принимаемого сигнала вблизи направления на объект мала, что затрудняет дальнометрию и, следовательно, использование метода минимума в активной радиолокации. Этот метод применяется главным образом в радионавигации при пеленгации источников мощного собственного излучения.
При пеленгации методом сравнения (рис. 3.6,в) угол определяется по соотношению амплитуд двух принимаемых сигналов, соответствующих двум пересекающимся диаграммам направленности fi (а) и f2(a). Приемник в этом случае двухканальный, причем напряжения на выходе каналов пропорциональны значениям fi (а0) и f2 (а0):
si — Ki fi (ао), S2~
Сравнивая эти сцгналы, например путем деления, находим
s = Sj/Sg = к, f1 (о.0)'к2 f2 (<х0).	(3.18)
Измерив отношение s и решив уравнение (18) относительно с,., найдем искомый угол. Достоинством метода сравнения, является возможность быстрого определения направления на объект (в те чение одного импульса) в пределах сравнительно широкого сектора при неподвижных антеннах. Однако точность измерения может иногда оказаться низкой в зависимости от вида и взаимного положения ДН антенн и угла прихода радиоволн.
В том случае, когда отношение сигналов st/s2 стремятся сделать равным единице, приходим к равносигнальному методу пе-134
денгации. При этом методе ДН антенной системы поворачивается до тех пор, пока объект не окажется на равносигнальном направлении РСН (см. правый рис. 3.6,в), когда s=si/s2=l. Достоинство равносигнального метода — сравнительно высокая точность пеленгации, так как при измерении используется та часть ДН, которая обладает большой крутизной. Данный метод применяется при автоматическом слежении по угловым координатам за движущимся объектом. В этом случае удобнее формировать не отношение сигналов (18), а их разность s=si—s2. Система управления поворачивает антенну (или ДН при неподвижной антенне) в ту или иную сторону (в зависимости от знака величины s), стремясь свести рассогласование s к нулю. При этом равносигнальное направление будет отслеживать изменение направления на объект.
Методы сравнения, в частности равносигнальный, используют в многоканальных (моноимпульсных) радиопеленгаторах и в одноканальных. В первом случае благодаря многоканальности приемной системы сравнение сигналов происходит в один и тот же момент времени. Во втором случае нужно периодически менять положение ДН антенны в пространстве, при этом сравниваются между собой сигналы, принятые в разные моменты времени при различных положениях ДН. Одноканальные радиопеленгаторы проще многоканальных, однако менее помехозащищены и обеспечивают меньшую точность.
Фазовый метод. Фазовый метод пеленгации основан на измерении разности фаз электромагнитных колебаний, принятых на две разнесенные антенны. Пусть в точках А и В, расстояние меж-
Рис. 3.7. Диаграмма, иллюстрирующая фазовый метод пеленгации
Рис. 3.8. Пеленгационные характеристики фазовых пеленгаторов
135
ду которыми d (рис. 3.7), расположены приемные антенны. Разность фаз принимаемых колебаний <рр= (2лД) (Ка—Rb), где RA, Кв — расстояния от антенн до объекта. При RA^>d, имеем
фр — (2 л/Л) d sin а,	(3.19;
где а — угол между нормалью к базе и направлением на объект. Измерив разность фаз фР, найдем
а = arcsin [фр/(2л с?/%)].	(3.20)
При пеленгации объекта не на плоскости, а в пространстве, когда требуется определять две угловые координаты, нужна вторая пара антенн, база которых пересекается с базой первой пары.
В качестве фазочувствительного элемента можно использовать фазовый детектор. Напряжение на его выходе пропорционально косинусу разности фаз: х=ксо5фр. Согласно (19) пеленгационная характеристика u(a) = cos[(2jiA)£lsina]. При малых углах sina«.
поэтому и(а) =cos’[(2rcA)da] (1 на рис. 3.8). Так как в окрестности а=0 крутизна пеленгационной характеристики мала, то и точность пеленгации будет низкой. Кроме того, поскольку рассматриваемая пеленгационная характеристика является четной функцией угла, то его определение будет двузначным, т. е. нельзя будет определить направление смещения объекта от перпендикуляра к базе.
Эти недостатки устраняются, если ввести в один из приемных каналов после резонансного усилителя РУ фазовращатель ФВ на л/2 (рис. 3.9). Напряжение на выходе фазового детектора ФД измеряется вольтметром В. Благодаря смещению фазы сигнала в одном из каналов на л/2 пеленгационная характеристика становится нечетной функцией (2 на рис. 3.8)
и (a) = sin [(2лД) d а] « (2л/Л) d а,
при этом ее крутизна Кп=2^[к. Как видим, пеленгационная чувствительность, следовательно, точность пеленгации растет с увеличением отношения dftk. Однако при этом будет уменьшаться диапазон однозначного измерения угла Латах- Действительно, поскольку для однозначного измерения разности фаз с помощью фазового детектора необходимо, чтобы фр^л, а при малых а согласно (19) фр»2л^а/Х, то Датах=^/2Д
Для обеспечения высокой точности и в то же время однозначности измерений можно применить многошкальный метод (подобно фазовой дальнометрии). При двухшкальном методе вводят третью ан
136
Рис. 3.9. Структурная схема фазового пеленгатора
тенну и создают большую и малую базы. Пара антенн с малой базой обеспечивает грубое, но однозначное измерение угла (в диапазоне Датах). Антенны с большой базой дают более точный отсчет.
Неоднозначность пеленгации можно устранить также, применив антенны с достаточно узкими ДН: их ширина аа не должна превышать диапазон однозначной пеленгации, т. е. aa^iAcmax. Кроме того, остронаправленные антенны обеспечивают разрешение объектов по угловым координатам.
3.3.	МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ
Измерение радиальной и путевой скоростей. Измерение радиальной скорости движения объекта сводится к измерению доплеровского смещения частоты принимаемого сигнала. Пусть, например, приемник неподвижный, а излучатель радиоволн движется и R(t) — расстояние между ними в момент времени t. Радиальная скорость Кв=Л(0 есть проекция вектора скорости движения излучателя на направление «приемник — излучатель». Частота f принимаемого сигнала смещена относительно частоты /о излучаемого на величину, равную частоте Доплера Д=—foVR/c (см. (1.3)). Отсюда радиальная скорость Уя=—cfjfu. Для ее определения нужно измерить доплеровское смещение Д, а для этого в точках излучения и приема должны быть установлены высокостабильные эталоны частоты.
В однопозиционных РЛС необходимость в указанных эталонах отпадает, так как передатчик и приемник расположены в одном месте, причем в качестве опорного колебания, относительно частоты которого измеряется смещение частоты принимаемого сигнала, используется сам излучаемый сигнал. Доплеровское смещение частоты по сравнению с (1.3) удваивается (из-за удвоения пути, проходимого радиоволнами):
Д = - 2/0 VRfc = - 2КдД,	(3.21)
где VR=K(t) — радиальная скорость цели; R(t)—наклонная дальность. При уменьшении дальности ее производная VR<0 и, следовательно, доплеровское смещение Д>0. При удалении цели от РЛС Vb>0, поэтому Д<0. Радиальная скорость
16? = V„/2	(3.22)
определяется в результате измерения доплеровского смещения частоты (рис. 3.10). Генератор высокой частоты ГВЧ формирует непрерывное немодулированное колебание частоты fo- На смеситель См приемника поступают прямой сигнал и сигнал частоты <°±Д, отраженный от цели (знак Д определяется знаком VR). В
137
смесителе образуется сигнал биений частоты Ц, который через усилитель доплеровской частоты УДЧ поступает на частотомер Ч, проградуированный в значениях радиальной скорости.
В соответствии со структурной схемой на рис. 3.10 строят доплеровские РЛС с излучением. К числу досто-их простота и отсутствие ближ-
частно-
проградуиро-
непрерывным немодулированным инств таких РЛС относятся г.х	и шсултвие олиж-
ней «мертвой» зоны, благодаря чему их применяют, в частности, в радиолокационных головках наведения снарядов в радиовзрывателях. Важным достоинством доплеровских РЛС является их способность селектировать объекты по скорости путем настройки УДЧ на заданную частоту Доплера и, в частности, селектировать сигналы движущихся целей на фоне отражений от неподвижных объектов.
На основе схемы на рис. 3.10 строят и ДИСС, определяющие путевую скорость V и угол сноса а ЛА (см. § 1.3). Для одновременного определения V и а антенная система ДИСС должна формировать как минимум две узкие ДН, обеспечивающие наклонное облучение земной поверхности. При этом необходимо получить достаточно большие проекции вектора скорости ЛА на направления облучения и то же время сохранить достаточно сильное отражение в направлении на ДИСС. Отраженные сигналы, поступающие по двум лучам, раздельно обрабатываются, измеряются их доплеровские смещения Щ и Ц2, однозначно связанные с V и а {6]. Наибольшая точность определения путевой скорости и угла сноса обеспечивается в многолучевых ДИСС.
Измерение угловой скорости. Измеряя угловую координату движущегося объекта «(/), можно рассчитать его угловую скорость da(t)/dt='a(t). При неподвижных антеннах угловую скорость измеряют с помощью фазового метода пеленгации. Разность фаз сигналов, принятых в точках А и В (см. рис. 3.7), согласно (19)
<рр = (2л/A)	— Rb) ~ (2л,'A) d sin а (/).
Продифференцировав обе части приближенного равенства, получим
Vra —	= a (t) d cos а (/),
где VRA—RA(t); Инв=/?в(() — радиальные составляющие ско-138
рости движения объекта. Согласно (22) Vra=Up.aI^, Гвв= ==Цдв/2, поэтому
a (t) = А. (Цд — /дв)'2г1 cos a (t).
При малых углах (a(f)^10°)cosa(i) х 1, и тогда
а (0 ~ A (ffiA — fpB)/2d.
Таким образом, измерение угловой скорости движения объекта сводится к измерению разности доплеровских частот сигналов, принятых двумя разнесенными антеннами.
Глава 4.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
4.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
Измерение координат и параметров движения объектов в радиолокации и радионавигации, как ясно из гл. 3, сводится к измерению параметров принимаемых сигналов, отраженных или излученных объектом. Метод измерения координат определяет, какой параметр подлежит измерению: время запаздывания, амплитуда, частота, фаза. Оценив параметры сигнала, можно найти дальность, разность дальностей, угловые координаты, радиальную и угловую скорости объектов.
Для обеспечения наивысшей точности измерения координат необходимо оценивать параметры принимаемых радиосигналов оптимальным образом. Как и задача обнаружения сигналов, задача измерения их параметров является статистической, и ее оптимальное решение можно получить, использовав раздел теории статистических решений — теорию оценивания * параметров.
Статистическая задача оценивания параметров сигнала ставится следующим образом. Пусть в течение некоторого времени
* Термин «оценивание» несколько шире термина «измерение». Далее первый из них будем использовать в основном при математическом описании процесса получения результатов оценивания — оптимальных оценок параметров сигналов, второй — при технической интерпретации получаемых решений (представление алгоритмов оценивания в виде структурных схем и т. д.).
139
наблюдается случайный процесс y(t)—смесь полезного сигнала и шума. Послезный сигнал зависит от неизвестных параметров, значения которых не изменяются * на интервале наблюдения. Параметры сигнала можно разделить на информативные и неинформативные. Информативные параметры 0=(0i, 02, ..., 0t) несут полезную информацию о координатах и параметрах движения объекта и подлежат оцениванию. Примером информативного параметра является время запаздывания отраженного от объекта радиосигнала, по которому в активной радиолокации определяют наклонную дальность. Неинформативные параметры р= (,ць р2, — ..., рг) — мешающие и оцениванию обычно не подлежат. Примером неинформативного параметра может служить начальная фаза высокочастотного заполнения радиоимпульсов.
Оптимальное правило оценивания, как и оптимальное правило обнаружения, определяется наилучшей в том или ином смысле решающей функцией б, которая отыскивается методами теории статистических решений. Оцениваемый параметр 0 может принимать непрерывное или же дискретное множество значений 0. В результате наблюдения на отрезке времени [О, Г] реализации у— {y(t),	случайного процесса y(t) выносится решение
d=6(у), которое и используется в качестве неизвестного значения параметра 0. При этом решение d называется точечной оценкой или просто оценкой параметра 0.
Наблюдение протекает в непрерывном либо в дискретном времени. Непрерывные случайные величины {y(ti)s=yit 1=1,..., п} описываются //-мерной плотностью распределения вероятностей ю(у|0, р) (здесь и далее у=у\,..., Уп). зависящей от информативных и неинформативных параметров сигнала. Так как последние являются мешающими, то их влияние целесообразно исключить. Проще всего это реализовать при байесовской постановке задачи, когда реМ — вектор случайных величин, плотность распределения вероятностей которых (априорная плотность) w0(p) известна. Тогда в соответствии с правилами теории вероятностей можно вычислить
р.)(р)dpi—dpr =	О/, p|0)dp1...dpr = ie)(y|0).
м	м
(4.1)
В результате плотность вероятностей w(y|0) обусловлена только информативными параметрами; зависимость от неинформативных параметров исключается. Итак, в общей постановке статистическая задача оценивания параметров сигнала сводится к оцениванию параметров распределения вероятностей наблюдаемо
* Это ограничение снимается позднее при рассмотрении более общих задач оценивания.
140
го процесса. Далее рассмотрим основные методы оценивания скалярного параметра, затем обобщим их на векторный.
Байесовские оценки. Введем функцию потерь с (6, d), характеризующую плату за вынесение оценки d при условии, что истинное значение параметра равно 9. В байесовской постановке задачи оценивания параметр 0 интерпретируется как случайная величина, распределение вероятностей которой известно наблюдателю (см. § 2.2). Минимизируя средний риск r(wo, б) (см. (2.6)) или же апостериорный риск га(у, б) (см. (2.10)), можно найти байесовское решение d* = 6*(y) относительно априорной плотности вероятностей w0 (9):
r(w0, б*) = min г (а>0, б).	(4.2)
д
Решение d* и будет оптимальной оценкой по байесовскому критерию, иначе — байесовской оценкой параметра 0. Качество оптимальной оценки определяется минимальным значением среднего риска, т. е. байесовским риском (2).
Чтобы приступить к отысканию байесовской оценки, необходимо конкретизировать функцию потерь. Одной из наиболее употребительных функций потерь является квадратичная:
с(9, ф = (0-ф2.	(4.3)
В этом случае апостериорный риск (2.10)
гл(У, б) = М[(0-б(£/)Ш-
Так как условное математическое ожидание суммы равно сумме условных математических ожиданий и в силу свойств М [f U/)6|kI =f(#)M(9| у), М[/(1/) |к] =f(y), где /(•) — любая функция, имеем
ra (У, б) = М (02(у) - 26 (у) М (0| у) + б2 (У).
Выделив в правой части этого равенства полный квадрат
г&(у, б) = [б(У)-М(0|у)]2 + {М(021у)-[М(91г/)]2},
видим, что выражение, стоящее в фигурных скобках, не зависит от оценки. Поэтому минимизировать по б нужно первый член. Этот член неотрицателен, причем минимальное значение достигается, если он равен нулю. Следовательно
d* = 6*(^) = M(9|^/).
Таким образом, байесовская оценка при квадратичной функции потерь представляет собой апостериорное математическое ожидание оцениваемого параметра 0. В дальнейшем эту оценку будем обозначать также 0.
14
Выразив апостериорное математическое ожидание через апостериорную плотность вероятностей, имеем
ё=м(е|{/) = ра)(е|^)йе.	(4.4)
При квадратичной функции потерь байесовский риск (2)
r(w0, б*) = м(е-ё)2.
Если d — оценка параметра 0, то разность (0—d) есть ошибка оценивания. Так как для любой оценки
M(0-d)2>M(0-0)2,	(4.5)
то можно говорить, что байесовская оценка при квадратичной функции потерь оптимальна по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Оценку (4) называют байесовской среднеквадратической. Отметим также, что в соответствии с (2.4)
ме = мм(е|у) = ме.	(4.6)
Рассмотрим еще одну функцию потерь вида
с (О, ф = с1-6(0-й),	(4.7)
где константа Ci>0, а б — дельта-функция. В этом случае апостериорный риск
М{[сг —6(6 —d)l|?/}= /(О — 6(6 — d)]w(e|i/)d0 = c1 — w(d|p).
0
Отсюда видно, что оценка d*, минимизирующая апостериорный риск, должна максимизировать апостериорную плотность вероятностей w (0 |у) оцениваемого параметра 0.
Таким образом, байесовская оценка при функции потерь вида (7) — оптимальная по критерию максимума апостериорной плотности вероятностей или максимальная апостериорная. Если максимум достигается во внутренней точке области изменения параметра 0 и апостериорная плотность w(0]y) дифференцируема по 9, то максимальную апостериорную оценку можно найти, решив уравнение dw(0|y)/d0=O. Обычно удобнее решать уравнение
din w(0|y)/d0 = O	(4.8)
(In w (01 у) достигает максимума при том же значении 0, что и m(0|f/)).
Оценка максимального правдоподобия. Неравенство Крамера— Рао. Если оцениваемый параметр 0 является неслучайной величиной, то для отыскания оценки используют небайесовские методы оценивания. Наибольшее распространение из них получил метод максимального правдоподобия.
142
Плотность распределения вероятностей w(p|0) наблюдений ре)', рассматриваемая как функция неслучайного параметра 0
L(0) = ®(p|0),
называется функцией правдоподобия. Обратим внимание на то, что эта функция зависит как от параметра 0, так и от реализации y—yi,..., уп наблюдаемого случайного процесса. Оценкой максимального правдоподобия называется такая точечная оценка d*— ==б*(ц)=0м, для которой
^(6м) = тахА(0).	(4.9)
бео
Если максимум достигается во внутренней точке множества 0 и функция правдоподобия дифференцируема по 0, то оценка 0М является корнем уравнения dL(0)/<f0=O или
din L(0)/c(0 = О,	(4.10)
называемого уравнением максимального правдоподобия.
Отметим, что рассматриваемая оценка 0М введена эвристически и о ее качестве ничего определенного пока что сказать нельзя (в отличие от байесовской оценки (4), которая по сути дела получена минимизацией среднего квадрата ошибки). Чтобы внести в этот вопрос некоторую ясность, рассмотрим одно важное свойство точечных оценок.
Пусть d=6(y) — оценка неслучайного параметра 0, математическое ожидание которой может быть смещено относительно 0:
М6(р) = .[б(1/)™(4/|е)Л/ = 0 + Д(0),	(4.11)
где А(8) — смещение оценки. Если Д(0)=О, т. е. если
Мб (.У) = 9,	(4.11а)
оценка б(р) называется несмещенной. Из (11) следует, что
{У) ~ 0 - Д (0)] № (yl0) dy = 0.
У
Дифференцируя по 0, получаем *
П<5 (У) - 0 - Д (0)] dy = J(1 + Д' (8)) w (р[0) dy = 1 + Д' (0),
Y	и U	у
__________ (4-12)
* Предполагается, что функция	удовлетворяет условиям регуляр-
ности [63], позволяющим дифференцировать под знаком интеграла.
143
где Д'(0) =б/Д (O)/d0. Перепишем равенство (12) с учетом формулы
до>’( у 10)/d0 = w (у 10) д In (w 10)/дО	(4.13)
следующим образом:
j*[6(у)-е-д(0)]/М^0) -~^е) У^|0)dy = I + д'(0).
у	и и
Применим к этому соотношению неравенство Коши — Буняковско-го (см. (2.106)):
J [б(у)- е -д (0)Рw (vie) dyjj dLn^ie) -р (у[0)	+ д/(0)]2
у	у L	J
Первый интеграл в этом выражении равен дисперсии оценки б (у):
М [б (у) - 0 - Д (6)]2 = М [6 (у) - М б (У)12 = D 6 (у).
Таким обраом, получаем неравенство
D6(y)>-----u + AjeiL.	(4.14)
М [d In w (t/JO)/d 0J2	'
которое называется неравенством Крамера — Рао. Если оценка является несмещенной, неравенство Крамера — Рао принимает вид
М[д1пш(^|е)/д0]2 ’	v
Как видим, неравенства (14) и (15) определяют минимально возможные или нижние границы дисперсий любых смещенных и несмещенных оценок соответственно. Эти границы, т. е. правые части указанных неравенств, называют границами Крамера — Рао. Их значения зависят от объема выборки у=Уь ... ,уп и плотности вероятностей w (у 10).
Дисперсия оценки есть мера ее рассеяния относительно среднего значения оценки, и при измерениях желательно использовать оценки с минимальными дисперсией и смещением. Наилучшей, очевидно, будет несмещенная оценка, дисперсия которой равна границе Крамера — Рао (т. е. правой части в (15)); такую оценку назовем наиболее эффективной* и обозначим 0нэ.
Для сравнения различных оценок б(у) (в том числе и оценок максимального правдоподобия) с наиболее эффективной 0НЭ вводят отношение их дисперсий
ей [б (У)] = D 0H3/D б (у) = 1/М [б In w (у|0)/д О]2 D 6 (у),	(4.16)
* Обычно используемый в этом случае термин «эффективная оценка» менее удачен из-за его многозначности.
144
называемое эффективностью оценки 6(у). Чем больше это отношение, тем предпочтительнее оценка. Очевидно, что для любых оценок 6{у) неслучайного параметра 0 0=СеД[б(р)]^ 1, причем еЩенэ) = 1.
Обратимся к соотношению (15). Равенство в нем достигается, если неравенства Коши — Буняковского для рассматриваемого случая переходят в равенство. Последнее имеет место тогда, когда для всех y^Y и 0е©
д In w (у1б)/дв = [6 (у) — 0) ф(0), где ф(-) — функция, не зависящая от у. Это равенство должно выполняться для всех значений 0е©, в том числе и для некоторой опенки 0 параметра 0, при которой
01n№(j/|©)/50L х =[6(y)-0]ip(0) = O.	(4.17)
|U= и
Функция ф(-) не зависит от у. Поэтому если существует оценка 6(у), при которой (1’5) становится равенством, т. е. если существует 6(у)=0нэ, то, А *	У
как следует из (17), 6(г/)=0нэ = 0, где 0 — решение уравнения максимального правдоподобия, т. е. 0 = 0М.
Таким образом, если существует наиболее эффективная оценка, то она совпадает с оценкой максимального правдоподобия
0М. В данном случае 0м оптимальна в том смысле, что она не смещена и ее дисперсия имеет наименьшее возможное значение среди дисперсий любых оценок неслучайного параметра 0.
Однако если наиболее эффективной оценки не существует, то, вообще говоря, нельзя утверждать, что оценка максимального правдоподобия оптимальна. В то же время при выполнении не слишком ограничительных условий, накладываемых на плотность w(t/|0) (см., например, [63, с. 361]), оценка максимального правдоподобия б* (pi,..., уп) =0мтг асимптотически оптимальна, поскольку она состоятельна, т. е. сходится по вероятности к истинному значению параметра 0: limP{|iOMn—0|^е} = 0 для любого п->со	Л
е>>0, и асимптотически наиболее эффективна: lim eff (0мп) = I.
Л->-оо
Потенциальная точность измерения параметра. Приняв решение d=8(y) за оценку параметра 0, мы совершаем ошибку Д0=
—0. Достаточно общей и в то же время удобной мерой качества оценивания является среднее значение квадрата ошибки:
М(Д0)2 = М[6(у)-еГ-.	(4.18)
145
Эта мера используется как при байесовских, так .и при небайесовских оценках. Следует только иметь в виду, что математическое ожидание в (18) для указанных оценок вычисляется по-разному.
При байесовском подходе 0—случайная величина. Поэтому усреднение осуществляется по у и 6:
М [б (У) — 612 =	(У) — 0Г2 w (у)6) ш0 (0) dydB,
в у
где (0) — априорная плотность вероятностей параметра 0. При небайесовской оценке параметр 0 неслучайный и поэтому усреднение осуществляется только по у:
М [6 (у) — 0]2 = J[6 (у) - 0]2 w (у|0) dy. У
От меры (18) всегда можно перейти к величине
V М (Д0)2 = V М [6 If/) - 0]2,	(4.19)
имеющей ту же размерность, что и оцениваемый параметр. Если 0 — неслучайный параметр, а б (у)—его несмещенная оценка (Д(0)=О), то мера (19)—ереднеквадратическая ошибка оценивания. При Д('0)=^=О мера точности оценивания (19) представляет собой полную ошибку, учитывающую смещение оценки (см. (1.8)). Заметим, что если смещение оценки б(у) известно наблюдателю, а это может быть только тогда, когда смещение не зависит от неизвестного параметра 0, т. е. Д(0)=Д, то путем вычитания Д всегда можно перейти к несмещенной оценке б (у)—Д.
Отметим также, что для байесовских оценок понятие несмещенности, определенное формулой (На), смысла не имеет, так как 0 — случайная величина; можно говорить лишь о несмещенности в среднем, т. е. в смысле равенства (6). Тем не менее термин «среднеквадратическая ошибка» сохраняют за мерой (19) и для байесовских среднеквадратических оценок.
Если оценка б (у) оптимальна, т. е. б(р) = б* (у), то величина (19) определяет потенциальную точность измерения параметра, т. е. точность измерения, которая может быть достигнута только при оптимальном построении измерителя. Так как оценка может быть оптимальной по различным критериям, то и потенциальная точность, определяемая в среднеквадратическом смысле (19), будет, вообще говоря, разной.
В классе .байесовских оценок наивысшей потенциальной точностью, как следует из соотношения (5), обладает байесовская среднеквадратическая оценка (4). В классе небайесовских оценок наивысшей точностью, как ясно из предыдущего, будет обладать оценка максимального правдоподобия, если существует наиболее эффективная оценка. Кроме того, как следует из асимптотических 146
свойств оценки максимального правдоподобия, эта оценка почти всегда асимптотически имеет наивысшую потенциальную точность.
Возникает естественный вопрос, какую из возможных оценок нужно использовать при решении практических задач измерения параметров радиосигналов. Если неизвестный параметр сигнала можно представить в виде случайной величины с известным распределением вероятностей, то целесообразно использовать байесовские оценки, и в частности байесовскую среднеквадратическую оценку, заведомо обладающую наивысшей потенциальной точностью.
Однако неизвестный параметр не всегда можно рассматривать как случайную величину с известным распределением вероятностей. В ряде задач, особенно при отсутствии необходимой априорной информации, более адекватным является представление неизвестного параметра сигнала в виде действительной неслучайной величины. При этом целесообразно использовать небайесовские оценки, и в частности оценку максимального правдоподобия. Отметим, что в асимптотике, т. е. при увеличении объема выборки (л—>-оо), безразлично, какую из рассмотренных оценок применять, поскольку, как доказывается в математической статистике, байесовские оценки и оценка максимального Правдоподобия асимптотически эквивалентны.
Для выявления взаимосвязи байесовской оценки и оценки максимального правдоподобия при любом конечном объеме выборки воспользуемся формулой Байеса (2.8). Подставив (2.8) в уравнение (8), получим
д In w (61 у)/д 0 = д In w (у 10)/д 0 + д In гд'о (0) 'д 6 = 0.
Отсюда видно, что если <ЗьуС)(Ю)/с?0=0, то байесовская оценка по криюрию максимума апостериорной плотности вероятностей и оценка максимального правдоподобия совпадают. Последнее равенство иногда интерпретируют как условие, при котором количество априорной информации об оцениваемом параметре равно нулю.
В дальнейшем при решении задач оценивания параметров радиосигнала, постоянных на интервале наблюдения, будем применять метод максимального правдоподобия. При оценивании меняющихся со временем параметров будем использовать байесовский подход (§ 4.3).
Под потенциальной точностью измерения неслучайного параметра 0 радиосигнала в дальнейшем будем понимать наименьшее значение среднеквадратической ошибки ое, которое определяется границей Крамера — Рао (см. 15)):
о2 = 1 мГ-^-1пт'(у|0)|2, о0 = 1 j М 1пю(у|0) “.	(4.20)
147
Расчет потенциальной точности по этим формулам обычно упрощается, если воспользоваться соотношением
[я	12	а2
-^-lnw(y|6)j =	(4.21)
Для доказательства его продифференцируем обе части равенства J* a.'(z/|0)a'z/i=I по 0 и учтем формулу (13). В результате Y
J~^ад6) dy== $т(У№-^1пт(У№аУ = (>-
£ ди	f 30
Снова дифференцируя по 0:
J	lnw(y]6)dy + р(г/|0)-^—lntt>(j(I0)dj/ = 0
у (?v О и	y	Ои
и, используя (13), получаем
Г d	I2	fd2	1
f — In w (f/|0) w (y]tydy + J In w(y10) w (y|0) dy = 0,
У L d0	J	У L d02	J
что и доказывает соотношение (21).
При расчете потенциальной точности измерения необходимо знать плотность вероятностей смеси сигнала и шума w (у|0) = = w (у 10, •6'= 1). Если теперь ®(у|Д=0)—плотность вероятностей одного шума, то статистика
Л(у|0) = и>(у|0, 0'= l)/w(yj'0’= 0) = w(y|6)/w(y|'fl’= 0)	(4.22)
есть условное отношение правдоподобия. Так как плотность вероятностей шума w (у |0’=О) не зависит от параметра 0, то
-^-1пА(у|0) = ^-1пш(у|0), 50	00
при этом соотношения (20) (с учетом (21)) эквивалентны формулам
°е = -1/М-^Г1пЛ(у|0), ое=1 /]/ -М-^1пЛ(у|0).	(4.23)
В результате при расчете потенциальной точности измерения для конкретных моделей сигнала и шума можно воспользоваться соответствующими выражениями для условных отношений правдоподобия, полученными в гл. 2.
Итак, рассматриваемая среднеквадратическая ошибка ое зависит от объема (длительности) наблюдений У=У\,... , Уп и от их плотности вероятностей w(y|0). Она, вообще говоря, может зависеть и от значения оцениваемого параметра. Поэтому в общем случае при расчете потенциальной точности измерения входящие 148
a)	6)
Рис. 4.1. Структурные схемы оптимальных измерителей
в формулы (20) и (23) производные должны вычисляться в точке 0=0о, где Оо — истинное значение оцениваемого параметра:
°е = -1/М-^- 1пЛ(у|0)|е=е„, ое=1 /]Л-M-^-2ln A(j/ie)|e=e0-
(4.24)
Структурные схемы измерителей. Схема оптимального измерителя параметра 0, реализующего оценку максимального правдоподобия Ом, может быть представлена согласно (9) в виде схемы на рис. 4.1,а. Первый блок, на вход которого поступает реализация смеси сигнала >и шума, формирует функцию правдоподобия L (10), второй блок отыскивает максимум этой функции по всей области изменения параметра 0е0. На выходе измерителя имеем значение параметра, при котором функция правдоподобия максимальна.
Максимизация функции правдоподобия для отыскания оценки эквивалентна максимизации условного отношения правдоподобия (22) (или его логарифма). При этом уравнение
dlnA(y|0)/d0 = O	(4.25)
эквивалентно уравнению максимального правдоподобия (10). В результате оптимальный измеритель можно представить также в виде схемы на рис. 4.1,6. Это позволяет при синтезе оптимальных измерителей параметра сигнала опираться на результаты синтеза оптимальных обнаружителей сигналов.
Пути технической реализации оптимального измерителя, показанного на рис. 4.1, могут быть различными. Наиболее общий путь сводится к следующему. Пусть 0 (область значений параметра 0) представляет собой отрезок прямой с граничными точками 0min И Вшах- Разобьем этот отрезок на несколько отрезков точками 01, 1=1,2, ... , т, ПОЛОЖИВ Omin = 0i<?02< — <0г< ... ... <C'0m=0max.
Условное отношение правдоподобия Л(г/|0), являющееся функцией непрерывного параметра 0, аппроксимируется в этом случае совокупностью условных отношений правдоподобия {Л(у| 0г), 1=1,..., т}. В результате приходим к многоканальному измерителю (рис. 4.2). Каждый из каналов формирует условное от-
149
ношение правдоподобия для фиксированного значения параметра 6, т. е. для значений 6г (i = 1, ... , пт). Схема выбора максимума определяет номер канала с максимальным выходным эффектом.
Если окажется, что Л (у 10г) >Л (у 16;) для всех
Рис. 4.2. Структурная схема много- / = 1, ..., т, j=£i, то за оценку канального измерителя	параметра 0 принимается зна-
чение 0,.
Заметим, что в каждом из каналов вместо условного отношения правдоподобия можно формировать логарифм условного отношения правдоподобия. Отметим также, что если бы параметр 0 был дискретным, принимающим т возможных значений, схема на рис. 4.2 была бы оптимальной в смысле максимума функции правдоподобия. При непрерывном параметре эта схема является ква-зиоптимальной. Однако при увеличении числа каналов она неограниченно приближается к оптимальной, поскольку точность аппроксимации условного отношения правдоподобия Л (у 10) совокупностью {A(t/|0i), 1=1,... , т} при увеличении т растет и в пределе при т-^-оо получаем функцию непрерывного параметра.
Число каналов т многоканального измерителя можно определить, задавшись допустимым снижением точности измерения по сравнению с потенциальной точностью. В радиолокационных измерителях число каналов обычно выбирают с учетом разрешающей способности РЛС Де по измеряемому параметру 0: т = = (Отах—0min)/Ae- Это число каналов является, вообще говоря, минимальным; на практике его обычно увеличивают, чтобы обеспечить необходимое перекрытие каналов.
Рассмотрим другой путь реализации измерителя (см. рис. 4.1). Для этого разложим In А(у| 0) в ряд Тейлора в окрестности некоторой опорной точки 0ОП, лежащей вблизи истинного значения параметра 0. Если разность 6ОП—0 достаточно мала, то можно ограничиться первыми тремя членами ряда:
In Л (t/|0) = 1п Л (у 1 еоп) + (0-0он) i In Л (у|0)|е=е + О о	оп
Подставив это выражение в (25), получим уравнение максимального правдоподобия
150
+ (0-еОп)^-1пЛ(!/|е)|е=еоп = о,
из которого находим оценку л	ГЛ	1 Г Л2	1—1
ем«еоп-[— In А (у 16) | е=еоп j	1П Л (у|е)|е=ео11]	(4.26)
Согласно (26) синтезированный 'измеритель представляет собой по существу оптимальный дискриминатор (рис. 4.3,а), формирующий ошибку рассогласования АР=6оп—6м, называемую также сигналом ошибки. Для его работы необходимо иметь опорное значение параметра i6on, близкое к истинному значению параметра 6. Это опорное значение можно найти в результате параллельного поиска, который реализуется многоканальной схемой, либо последовательным во времени поиском по всей области возможных значений параметра 6е0. В последнем случае должна быть предусмотрена перестраиваемая в области 0 схема поиска, включающая в себя обнаружитель сигнала. На выходе этого устройства формируется опорное значение 0оп, лежащее в окрестности истинного значения параметра 6. Последовательный поиск проигрывает во времени параллельному, однако проще в технической реализации, так как не требует многоканальных устройств.
Когда флуктуации Л2 (рис. 4.3,6/) не слишком велики, схему оптимального дискриминатора можно упростить, заменив случайную величину ее математическим ожиданием:
Л.2 = — lnA(t/|6)|e=e «М^-1пЛ(«/|6)|е=е .	(4.27)
2	д02	1 7 оп d02	on	v '
При этом значение Л2 вычисляется заранее и вводится в схему дискриминатора ‘(рис. 4.3,6) в виде постоянного весового коэффициента*.
Если сигнал ошибки ЛР = 0Оп—6М подать на цепи сглаживания и управления и замкнуть обратную связь, подав управляющее воздействие в виде опорного значения параметра 6ОП на дискриминатор, то получим следящий измеритель (рис. 4.4). Напомним, что при отыскании оценки максимального правдоподобия 6М предполагалось, что параметр 6 не меняется на интервале наблюдения [О, 7]. Однако если это не так и оцениваемый параметр изменяется во времени, то измеритель, представленный на рис. 4.4, будет следить за изменением параметра, уменьшая ошибку рассогласования ДР. При этом соответственно изменяется опорное значение 6оп(0, которое и может служить оценкой величины 0(0-
* Существует ситуация (оценка амплитуды, § 4.2), когда приближенное равенство (27) переходит в точное.
151
а)	б)
Рис. 4.3. Структурные схемы дискриминаторов
Рис. 4.4. Структурная схема следящего измерителя
В рассматриваемом следящем измерителе синтезирован пока что дискриминатор (см. >рис. 4.3). Что же касается синтеза цепей сглаживания (фильтрации), то он может быть проведен отдельно от синтеза дискриминатора путем минимизации среднего квадрата ошибки м[б(0 —0оп(0]2. Следящую систему измерения можно синтезировать и более строгим методом, не привлекая эвристически введенную процедуру раздельной оптимизации операций дис-криминирования (выделения сигнала ошибки) и сглаживания, а оптимизируя всю систему в целом. Для этого уже на начальном этапе синтеза необходимо задать математическую модель переменного параметра (в виде некоторого случайного процесса 6(0) и затем воспользоваться теорией оценивания случайных процессов (см. §4.3).
Оценивание векторного параметра. На практике нередко возникает необходимость оценивать несколько параметров радиосигнала. Так, в радиолокации часто требуется измерять дальность до объекта и одновременно скорость его движения. В связи с этим рассмотрим кратко статистическую задачу оценивания векторного параметра и приведем результаты, непосредственно обобщающие изложенную теорию оценивания.
Пусть плотность распределения вероятностей iw(t/|0) наблюдений у (смесь сигнала и шума) зависит от векторного параметра 0=(0Ь 02, ..., 0i)e6. Необходимо по результатам наблюдения у оценить каждую компоненту вектора 0. На языке теории статистических решений это означает, что нужно с использованием векторной решающей функции 6= (6Ь ..., 6i) вынести векторное решение d=(db .... di) : d=6(t/), т. е. di=6i({/). d;=6z(t/), которое и будет
оценкой вектора 0.
В байесовской постановке задачи оценивания вектор 0 является случайным, априорная плотность вероятностей которого к-'о(б) известна наблюдате-152
лю. Введем скалярную функцию потерь с(0, d), характеризующую плату за вынесение оценки d векторного параметра 0. Аналогично (2.6) запишем средний риск
7(ш0, 6) = Мс[0, 6(£/)] = J*Jc[0, 6(t/)] w(t/|0)too(0)dt/d0. е y
Путем минимизации среднего риска или же апостериорного риска га(У, 6) = М{с[0, 6(у)]|у}= J“c[0, 6 (t/)] w (0|f/) d 0, 0
где к/(0|у) — апостериорная плотность вероятностей параметра 0, найдем байесовское решение d* = 6*(у):
r(wa, 6*) = min г (км, 6). 6
Вектор d*=(d*i, ..., d*i) — оптимальная оценка параметра 0.
Рассмотрим квадратичную функцию потерь
I
с(0, d)= 2(0г-йг)2, г=1
являющуюся суммой квадратов ошибок оценивания. Апостериорный риск
) 1
6г (у)12|у = У>{[0г-6i(f/)I2|p}.
i=l	J i=l
Минимизация этого выражения осуществляется аналогично предыдущему. В результате получаем
< =6!(j,)==0i = M(0i|j/) = j'eiw(0|j/)d0, i=l------- l. (4.28)
0
Таким образом, оптимальная векторная оценка 0 параметра 0 есть апостериорное математическое ожидание: 0=М(0|р). Каждая из компонент О, вектора 0=(Oi... Ог)	является оптимальной оценкой соответствующего скаляр-
ного параметра 0;. Эти компоненты вычисляются по формуле (28), которую после интегрирования по всем параметрам, кроме 0,, можно записать в виде
0; = J 0г-ш(0;]у)Л);, 0г
где 0f — область определения 0;, а ш(0,|р) — апостериорная плотность вероятностей скалярного параметра 0j.
Качество векторной оценки 0 характеризуется минимальным средним риском
_	I
r(w0, 6*)= Ум(0(--6;)2, i=l
153
который, как видим, равен сумме средних квадратов ошибок оценивания компонент 0, (i= 1, ..., I).
Рассмотрим теперь оценку максимального правдоподобия 0М= (0i„,	0( „)
векторного неслучайного параметра 0= (0Ь	0/)cz0. Эта оценка находится
из условия максимума функции правдоподобия £(0) = и>(</|0), т. е.
£(0Ы) = maxi (0).
0е®
Как и при скалярном параметре, для отыскания оценки максимального правдоподобия можно максимизировать логарифм функции правдоподобия. Если максимум достигается внутри множества 0 и функция правдоподобия дифференцируема по всем параметрам 0Ь .... 0;, то векторная оценка (0[м. 0; м)
находится путем решения системы уравнений максимального правдоподобия:
д1п£(0)/а0г = О, 1 = 1,. , I.	(4.29)
Потенциальные точности измерения можно определить с помощью системы неравенств, дающих нижние границы для дисперсий любых несмещенных оценок di = &i(y) неслучайных параметров 0,:
M[6i(y)-ed2 = D6;(y)> о-щ ‘ = 1........ 1-	(4-30)
Здесь о2,, (i=l, I) — диагональные элементы матрицы 1~1, обратной информационной матрице Фишера /, элементы которой
Г д	д	I Г д2	1
/‘> = М 11пы <£'1е) = — м яд. lnw(y|0) . (4.31) j ии/	J	I (/Uj vVj?	j
Система неравенств (30) обобщает неравенство Крамера — Рао (15) на векторный параметр. Для наиболее эффективных оценок неравенства (30) переходят в равенства. При этом если существуют такие оценки, то они являются оценками максимального правдоподобия 0М= (0[м.. 0;м).	Кроме того, при
довольно общих условиях оценки (0i„, ..., 0; м) асимптотически (при увеличении объема п выборки y = yt, .... уп) наиболее эффективны. Это позволяет определить потенциальные точности измерения Ор. компонент векторного параметра 0 формулой
% =	(4-32)
дающей наименьшие значения среднеквадратнческих ошибок.
4.2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА
Применим изложенные методы к задаче оценивания неслучайного параметра 0 сигнала s(0, t) (s—-детерминированная функция), наблюдаемого в течение времени Т на фоне белого га-154
уссовского шума |(Z) со спектральной плотностью No/2 Наблюдаемый процесс
y(0 = s(6, +	(4.33)
В дальнейшем будут рассмотрены также задачи, когда сигнал зависит от случайных неинформативных параметров.
Оценки параметров сигнала будем искать методом максимального правдоподобия. Для этого нам потребуется условное отношение правдоподобия Л(у|0). Как следует из гл. 2, применительно к рассматриваемой задаче условное отношение правдоподобия
Л (р|6) = ехр J у (t)s(Q, t) dt--— J s2(0, t) dt\.	(4.34)
I A\> о	Л^о о	J
Параметры сигнала можно разделить на энергетические, для которых равенства s(0, /)=0 следует 6=0 и наоборот, и неэнергетические, для которых указанное условие не выполняется. Энергети-т
ческий параметр определяет энергию радиосигнала £(0)=J’ s2(0, о
t)dt. От неэнергетического параметра энергия сигнала, как правило, не зависит, и поэтому в формуле (34) второе слагаемое под знаком экспоненты при фиксированном Т является константой. Амплитуда и длительность радиосигнала являются энергетическими параметрами, а фаза, частота и время запаздывания — неэнергетическими.
Оценка амплитуды. Рассмотрим сигнал
s(a, t) = asl(t), O^t^T,	(4.35)
где Si(£)—детерминированная функция времени, а неизвестным параметром является амплитуда: 0=о. Условное отношение правдоподобия (34) в этом случае
{9/7	/12 Т	1
J у (t) s± (t) dt —~ J s2 (0 dt ,	(4.36)
A'o о	M) 0 J
а уравнение максимального правдоподобия (25)
л	о Т	2а т
1п Л (у\а) = -±-^y(t)S1 (t) dt - ~fs?(t) dt = O.
Sa	No	No о
Решением этого уравнения является оценка максимального правдоподобия
aM = $y(t)S1(t)dtlfsl(t)dt.	(4.37)
о	/о
Отсюда видно, что оптимальный измеритель амплитуды сигнала (35) может быть реализован с помощью коррелятора или же линейного фильтра.
155
Вычислив математическое ожидание оценки с учетом (2.34)
Мам = Mf [flsx (0 + g (ЭД s£(t) di 11 si (t) di = a, 0	I 0
видим, что оценка амплитуды является несмещенной. Дисперсия оценки
DaM = М (ам - Мщ,)2 = М (ам - о)2 = М (ам)2 - а2 =
= Гр2 (0 di ”2 М J f у (f) у (/") Sj (f)sx (/") dt' di" - a2.
Lo J oo
Подставляя сюда выражение (33) с учетом (35), используя соотношение (2.34) и фильтрующее 'свойство дельта-функции, находим
оам=^/2р2(/)^. о
Вычислим теперь границу Крамера — Рао. Подставляя (36) в (23), получаем (	Г On Т	/72 Т
о2=- М— — ?y(t)s1{t)dt——?sl(i)dt а I L о	о
т = N.i2^sl(t)dt. о
В результате оказалось, что DczM=o2a, т. е. оценка амплитуды (37) является наиболее эффективной.
Потенциальная точность измерения амплитуды
оо=|/мИ(М-’ о
____	т
при этом аа/а=1/]Л2Е/?7о, где Е=а2 J* s2i(£)d/— энергия сигна-о
ла. Таким образом, относительная погрешность измерения амплитуды сигнала обратно пропорциональна отношению сигнал-шум по напряжению.
Оценка неэнергетического параметра. Условное отношение правдоподобия (34) при неэнергетическом параметре
/	р \	Г о Т	“I
Л(у]6) = ехр ( —) ехр I —- f у (/) s(0, f)<ff ,	(4.38)
\	Na /	L М, о	J
т
где Е= J s2(0, t)dt — энергия сигнала. Первый блок оптимально-о
156
го измерителя (см. рис. 4.1,6) формирует корреляционный интеграл
т
z (6) = J у (i) s (6, i) di,	(4.39)
о
а второй блок отыскивает в области 0 его максимальное значение z(6M), тем самым определяя оценку максимального правдоподобия 6М. Уравнение (25) в рассматриваемом случае имеет вид dz(0)/d6=0.
На вход измерителя поступает процесс
y(i) = s(60, i) + £(i),	(4.40)
где 0О— истинное значение оцениваемого параметра. На выходе коррелятора согласно (39) и (40) имеем
z(0) = J s(0n, i)s(0, i)di + j4(i)s(0, t)dt. о	0
Первое слагаемое зависит от рассогласования по измеряемому параметру опорного сигнала s(0, i) коррелятора и принимаемого сигнала s(60, i). Поэтому интеграл
v(60, 0) = Js(0o, i)s(0, t) di	(4.41)
о
называют функцией рассогласования сигнала по параметру 0. Если оценивается время запаздывания сигнала т (т. е. 0=т), то (41) переходит в автокорреляционную функцию сигнала. 'Введем также нормированную функцию рассогласования:
т
р(0о, е) = р(60, i) s (0, i)di/E.	(4.42)
о
Сигнал на выходе коррелятора и функция (42) будут максимальными при отсутствии рассогласования, т. е. при 6=\0о, при этом р(0о, 60) == 1-
Построить одноканальный корреляционный измеритель в принципе возможно, но практически неудобно, так как требуются запоминание (запись) принимаемой реализации {y(t), O^t^T} и ее перемножение на опорное колебание s(0, i) последовательно для разных значений 6, перекрывающих область 0; результаты перемножений интегрируются в течение времени Т, и затем отыскива-
ется максимальное значение z(0M). Такая процедура требует больших затрат времени. От этого недостатка свободен многоканальный измеритель (см. рис. 4.2), схема которого для рассматривае-
157
Рис. 4.5. Структурные схемы корреляционного (а) и фильтрового (б) многоканальных измерителей
мото случая показана на рис. 4.5,а. Каждый канал формирует соответствующее значение корреляционного интеграла
т
z(0i) = J’	t), i=l,..., m.	(4.43)
о
Опорные сигналы s(6,, t) (i=l,... , m), подаваемые на умножители, должны перекрывать весь диапазон возможных значений параметра 0. Число каналов m выбирают из тех же соображений, что и в общей схеме на рис. 4.2.
Многоканальный измеритель можно реализовать и в фильтровом варианте (рис. 4.5,6). В этом случае корреляторы заменяются согласованными фильтрами. Импульсная характеристика согласованного фильтра в i-м канале, как следует из (43), согласована с формой сигнала, являясь ее зеркальным отображением йг(0=8(ег, T—t).
Конкретизируем теперь общую схему дискриминатора (рис. 4.3,6) для рассматриваемой задачи. Заменив производную
д	2 д т
-Д- In Л (91е»|р W че. о
конечной разностью
и опустив весовой коэффициент, представим дискриминатор в виде двухканального коррелятора с расстроенными на Л6 каналами, выходы которых присоединены к схеме вычитания (рис. 4.6). Подав выходной сигнал дискриминатора на цепи сглаживания и управления и замкнув обратную связь, получим следящий измеритель.
Например, следящий измеритель времени запаздывания сигнала (6=т) можно представить в виде схемы на рис. 4.7. Оценка 158
Рис. 4.6. Структурная схема дискриминатора
Рис. 4.7. Структурная схема следящего измерителя времени запаздывания сигнала
времени задержки 'снимается в виде напряжения с выхода цепи сглаживания, в качестве которой может быть использована, например, интегрирующая цепь. На схему регулируемой задержки поступает опорный импульс, который запускает генератор селекторного (следящего) импульса. На умножители подаются два селекторных импульса, задержанных относительно друг друга на Дт. Напряжение на выходе схемы вычитания пропорционально временному рассогласованию (т0—Топ) принимаемого сигнала s(t—т0) и селекторных импульсов. Управляющее напряжение, снимаемое с цепи сглаживания, изменяет положение селекторных импульсов так, что временное рассогласование уменьшается. При изменении задержки сигнала то, т. е. при изменении дальности до цели, временное положение селекторных импульсов соответственно меняется, в результате происходит автоматическое сопровождение цели по дальности.
Определим теперь потенциальную точность измерения параметра. Согласно (24), (38) имеем
/	9	д2 т
°е = - 1 /-in Мf у (0s(6, 0Л|е=е0.
/	Л'о	ое2 $
Подставляя в это соотношение наблюдаемую величину (40), учитывая равенство М|(7)=0 и (41), получаем о2е= /	2 д2
= — 1 / --- ---- т(Оо, О)[е=е0. Заменив т(0о, 0) нормированной
I No dQ2
функцией рассогласования (42), имеем
9	, / 2Е д2
Oe=_1/W^p( °’ )|е=е°-
Таким образом, потенциальная точность измерения параметра
е)1е=во-	<4’44)
159
Рис. 4.8. Структурная схема многоканального корреляционного измерителя фазы радиосигнала
Как видим, среднеквадратическая ошибка обратно пропорциональна отношению сигнал-шум и зависит от кривизны нормированной функции рассогласования в ее максимуме.
В качестве примера рассмотрим радиоимпульс s(cp, t) = =А (/) cosfcoo^+il’ (0—ф]>	с неизвестной начальной фазой
Ф, где A(t), ф(/) —законы амплитудной и фазовой модуляции соответственно, являющиеся детерминированными функциями; соо — известная частота.
Конкретизация общей схемы многоканального корреляционного измерителя (см. рис. 4.5,а) приводит к схеме на рис. 4.8. Штриховой линией обведена фазосдвигающая цепочка, каждое звено которой осуществляет сдвиг фазы на Дер. Если фаза измеряется в диапазоне 0... 2л, то число каналов т=2л/Дф. Величина Дф и, следовательно, число каналов могут определяться допустимой потерей точности измерения по сравнению с потенциальной точностью или допустимой потерей в отношении сигнал-шум. Если, например, использовать всего шесть каналов, то, как показывает расчет, потери в отношении сигнал-шум составят 8 %.
Вычислим потенциальную точность измерения фазы. В этом случае нормированная функция рассогласования (42)
1 т
Р(фо. ф) = -£-]* Л1 2(0сО5[®0/ + ф(/)-ф1)]СО8[С00/ + ф(0-ф]Л = ь о
1 т 42 О)
= — /—[cos (<р0 — Ф) ч- cos [2со01 -ь 2-ф (i) — ф0 — ф] dt ж
L 0
1 т А2 (А
9 COS(<Pj — ф)^ = соз(ф0— ф).
Л 0
Так как д2соз(ф0—ф)/дф2 =—1, то согласно (44)
о<р= 1/[/'2Е/Аг(|.	(4.45)
Таким образом, среднеквадратическая ошибка сд>, характеризующая потенциальную точность измерения фазы частотного заполнения радиоимпульса, обратно пропорциональна отношению сигнал-шум по напряжению и не зависит от вида амплитудной и фазовой модуляции.
160
Оценка времени запаздывания сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой. Радиолокационные и радионавигационные сигналы кроме информативных параметров содержат и неинформативные. К последним обычно относятся начальная фаза высокочастотного заполнения радиосигнала и его амплитуда. Поэтому практически важную задачу оценивания времени запаздывания радиосигнала рассмотрим, использовав модель сигнала со случайными начальной фазой ф и «амплитудой» а:
s(t, а, ф, t) = ]/2 a A (t — т) cos [о>0 (/— т) + ф(/ — т) — ф],
0</-т^Т	(4.46)
(нормировочный коэффициент V2 введен для удобства записи дальнейших соотношений).
Законы амплитудной A(i—т) и фазовой ф(/—т) модуляции зависят от информативного параметра т— времени запаздывания сигнала, по которому определяется дальность R (см. (3.1), (3.2)). Обратим внимание на то, что в рассматриваемой постановке задачи информативный параметр т является неизвестной неслучайной величиной (в отличие от модели (2.79)), а неинформативные параметры а и ф — случайными величинами. При этом, как и в задаче обнаружения, считаем, что амплитуда сигнала распределена по закону Рэлея (2.72), а начальная фаза — по равномерному закону (2.61). При такой постановке задачи для отыскания функции правдоподобия w(t/|x) нужно воспользоваться соотношением типа (1), что эквивалентно отысканию условного отношения правдоподобия Л(у|т) путем усреднения условного отношения правдоподобия Л(г/|т, а, ф) при фиксированных значениях а и ф по формуле
Л(у|т) = J /Л(у|т, a, y)u>0(a)w0(q>)d<pda о о
(ср. с (2.73)). Воспользовавшись выражением для отношения правдоподобия (2.75), получим
Л(«/|т)
No Г 2ста^(Т) =----5-^- ехр ------=— •
Na+E Klw0(^+£)
где
г0(т) = К4(т) + 22(т)
(4-47)
(4.48)
— огибающая корреляционного интеграла, квадратурные составляющие которого
6—ЮО	161
(?) = 1/2 J у (t) A(t — x) cos [<oo (t — t) + ip (t — t)] dt,
(4.48a)
z2 (Т) = )/Г 2 J y(t)A (t — t) sin [<oo(Z — T) + ip(Z — о
Ё — усредненная энергия сигнала (см. (2.76)). Максимально правдоподобная оценка тм времени запаздывания т, как следует из (25) и (47), является решением уравнения dz2o(-t)/dx=O.
'Схема многоканального измерителя применительно к рассматриваемой задаче показана в корреляционном варианте на рис. 4.9,а. Каждый из т каналов этого измерителя в свою очередь, состоит из двух квадратурных каналов, на которые подаются опор-

162
ные колебания, сдвинутые по фазе на л/2. Запаздывание Ат между отводами линии задержки выбирается в соответствии с разрешающей способностью РЛС по времени запаздывания Ат, которая, в свою очередь, определяет разрешающую способность по дальности Ад (см. § 6.3). При этом минимальное число каналов т определяется заданным диапазоном изменения дальности Дтах Rmin'. т== (Rmax—^?min)/Ад.
'Отметим, что каждую пару квадратурных каналов можно заменить согласованным фильтром с последующим амплитудным детектором. В результате такой замены придем к многоканальному фильтровому измерителю. Однако специфика оцениваемой величины т, являющейся временным параметром, позволяет в фильтровом варианте схемы ограничиться лишь одним каналом (рис. 4.9,6) (как и в задаче обнаружения, см. § 2.5), на выходе которого с течением времени последовательно формируется Zq(t) для всех возможных значений задержки сигнала т. Необходимость амплитудного детектора, выделяющего огибающую корреляционного интеграла Zq(t), обусловлена незнанием начальной фазы сигнала. Так как величина г0(т) максимальна при том же значении тм, что и монотонная функция /(z0(t)), то детектор может иметь любую монотонную на интервале z0>0 амплитудную характеристику, т. е. быть линейным, квадратичным, логарифмическим и т. д. Максимум отыскивается например, следующим образом. Сигнал с выхода детектора ограничивается снизу на уровне h0, чтобы отсечь шумовые выбросы (рис. 4.10,а). Затем он дифференцируется (рис. 4.10,6), усиливается и ограничивается (рис. 4.10,в) и запускает генератор, формирующий импульс, фронт которого совпадает с положением максимума сигнала то (рис. 4.10,г).
Момент, при котором огибающая корреляционного интеграла максимальна, можно определять также 'путем фиксации моментов пересечения сигналом порогового уровня (рис. 4.10,а). При симметричном сигнале т0= (ti+t2)/2. Более простой способ связан с фиксацией только момента тщ Получаемую при этом систематическую ошибку (то—Т1) можно исключить, если поддерживать амплитуду сигнала постоянной (с помощью АРУ).
Для обеспечения автоматического слежения за положением максимума сигнала необходимо выход детектора в схеме на рис. 4.9,6 подсоединить ко входу схемы на рис. 4.7, иначе говоря, заменить схему выбора максимума следящим измерителехм времени запаздывания видеосигнала.
Вычислим теперь потенциальную точность измерения времени запаздывания сигнала. Для дальнейших расчетов удобно перейти к комплексному представлению рассматриваемых процессов и 6*	163
величин. Прежде всего запишем сигнал (46) в виде действительной части комплексного сигнала:
s(t, а, <р, /) = ]/Л2 'R.eaAtt—т) ехр (j соо/), где а—а ехр[—j (соот+ф)] — комплексная случайная величина (соо ит— неслучайные величины), для которой
М а = 0, tAaa* = М | а |2 = Ма2 = 2о2,	(4.49)
a A(t—x)=A(t—т)ехр[]ф(/—т)]—комплексная огибающая сигнала.
Рассмотрим комплексную огибающую наблюдаемого процесса г/(/)=йА(/—т)+£(/), где g(£)— комплексный белый шум [51]:
Mg(0 = 0, Mg(f)g*(n = ^06(f-n-	(4.50)
Далее введем комплексный корреляционный интеграл*
z(t)= §y(t)A*(t — x)dt.	(4.51)
—oo
Тогда огибающую корреляционную интеграла (48) можно представить в виде модуля комплексного корреляционного интеграла
z0 (т) = | z (т) | =
Jy(t)A*(t—x)dt
—оо
(4.52)
При этом условное отношение правдоподобия (47) приобретает вид
Л(!/|т) =
Л'о Г 2о2 | z (т) |2 I
—!*-=- ехр ----- ' —
No + E Е|Ло(М> + £) J
(4.53)
Для расчета потенциальной точности измерения в соответствии с (23) необходимо вычислить величину
7 = М S2 1п Л(у|т)/дт2.	(4.54)
Дифференцируя 1пЛ(у|т), имем д	5 ~	д -	-
—— 1пЛ(1/|т) = к—— |z(t)|2 = k —— [г(т) г*(т)] = дт	8т	дт
гаГ(т) -	- аГ*(т)1	„ „ Г- аг*(т)1
к  Z* (т) + z (т) —- = 2кДе г(т)—----- ,
Lot	от J	[ о т J
где константа
к = 2о2ДУ0 (7У0 + £),
(4.55)
* Так как сигнал вне отрезка наблюдения [0, 7] полагается равным нулю, то пределы интегрирования можно расширить до (—со, -f-oo).
164
Повторное дифференцирование дает
S2	Г Sz(t) 3z*(t) - д2 z* (т)
—- In Л (у Iт) = 2к Re —-------------—f + 2 (т)--——
дт2	I дт дт	дт2
Подставив в эту формулу выражение (51) и взяв математическое ожидание, получим
Г “ “ЭД*(Г—т) dAtt” — т)
1 = 2к Re { Г Г-----Ц---------Ч-------М [у (Г ) у* ((")] dt’ dt" +
Зт	St
00 00	d2'A(t"_т)	1
+ J J Л* G' - т)-------4-------- М [у (f)у» (Г)] di’ dt" .
—oo — oo	J
Корреляционная функция процесса y(t) согласно (49), (50)
M [y (f) y* (/")] = 2o2 A (t’ — T) A* (t" — t) + No б (Г — t"). Подставляя это
I = 2к{2с2
соотношение в предыдущую формулу, находим
2	со
A*(t — t)dt +Na J
SAG —t) St
S A'Jjt — t)
St
dt +
+ Re 2g2
“ -	„ r d2A(J — т) -	1
JW-T)|2<tt J---------’-A*(t-T)dt +
OO	-oo	gj
+ R.k
St2
(4.56)
OO
Упростим полученное выражение. Прежде всего учтем, что S A(t—t)A*G— —oo
—r)dt=E при любых т, т. е. энергия сигнала от времени запаздывания не зависит. Дифференцируя обе части этого равенства по т, получаем
“ SAG — т) ~
Re J4~ A*(t — t)dt = d.
В результате повторного дифференцирования имеем
„ “Г d2A(t — т) _ ,	SAG —т)1 SA*G —т) 1 ,
Re Л ------Ь----- 4* G - т) +------------- Л = 0.
L 9x2	Эт	Эт J
Следовательно,
“Э2Д(/ —т) -	,	“ SAG —т) \
Re J ----71-2-^*G-t)^+ J ----------------- <« = 0
St2	St
и поэтому сумма второго и четвертого слагаемых в формуле (56) равна нулю.
Для дальнейшего упрощения выражения (56) введем спектральную плотность комплексной огибающей сигнала
165
ОО р (j со) =	(0 ехр ( — j со 1) dt —оо	(4.58)
и учтем, что
„ 1 °°„ Aft — т) —	(jco)ехр [jco(Z — т)]Ао. —оо Дифференцирование обеих частей этого равенства дает	(4.59)
ЯД (f г\	j	00 			— — —	 [со F (j со) ехр [j со (t — т)] dco. St	2л	(4.60)
Используя выражения (59), (60), представим интеграл в первом слагаемом формулы (56) в виде
°° ЯД //_т\ _	j оо оо оо
J—-Г
—оо	-ОО —оо —оо
Хехр [j (со' — со") (t — т)] dtd to' da".
Далее, используя интегральное представление дельта-функции
1 °0
6(“) = -^7 j’exp( —)со/)Л.
(4.61)
получаем
J 5Д^—т)_т)л = __J_ J J И'(О')F* (j со")х -то дт	2л _<»
j	W4
Хб (со' — со") ехр [ — j (со' — со") т] da' da" = — —— J со|Г (j co)|2dco.
•^т ___„
Поэтому
5Д(< —т)
Л* (t— т) dt
2 1
4л2
СО
У со |F (j со)|2 da
--ОО
Определим среднее значение частоты:
со = Jco |Г(]’со)|2^со / J |f (jco)|2rfco.
--OO	I —co
Учитывая равенство Парсеваля
I CO	со
— J |r(jco)|2dco= /|Л(0|2сй=£
--OO	--OO
(4.62)
(4.63)
(оно вытекает из (58) и интегрального представления дельта-функции), имеем
J	пт
(4.64)
166
Аналогичным образом представим интеграл в третьем слагаемом формулы (56). Для этого продифференцируем обе части равенства (60) по т:
d2A(t — т)	1	“ -
----71-----= — — fro2 (j w) ехр [ j со (/ — т)] dco. от2---------2л
Используя это выражение и формулу (59), получаем
~	02 2 (t — т) - * 1
= —Т7 J J (co')2F (jco')F* (j со') ехр [j со' (t — т)]Х
X ехр [ — j со" (t — т)] dt d to' dto".
Воспользовавшись представлением дельта-функции (61), найдем
~ о2 а а — т) -	1	“ „
J--------1 2	A*(t — n)dt =	Jco2 |F (j co)|2dco.
-OO	-OO
Определив средний квадрат частоты
со2 = Jco2 |F(j со)|2 dto I J |F (j co)|2dco	(4.65)
— OO	I  OO
и учтя (63), будем иметь
J - 52	—т)----- д, _ т) dt = _	(4.66)
Итак, подставляя выражения (64), (66) в формулу (56) и учитывая (57), (63), получаем
/ = — 4ко2£2[со2 —(й)2].
И наконец, выразив константу к согласно (55) и перейдя к усредненной энергии Ё=2о2£, найдем
1 = - [2 (£)2/Л1 (No + £)] [со2 - (со)2].
Таким образом, согласно (23), (54) потенциальная точность
измерения времени запаздывания сигнала
Величина [со2—(со)2], описываемая формулами (62) и (65), есть средний квадрат ширины спектра огибающей сигнала, а
Дсоэ = |/ со2 — (со)2	(4.68)
167
— эффективная ширина спектра огибающей сигнала. Определив усредненное отношение сигнал-шум* q=E/N0, формулу (67) перепишем в виде
°т = К1 +	2 q Д(о0.
При </>> 1 имеем
ат= 1 /И2?АЧ-
(4.69)
(4.70)
Таким образом, среднеквадратическая ошибка от, характеризующая потенциальную точность измерения времени запаздывания радиосигнала, обратно пропорциональна эффективной ширине спектра огибающей радиосигнала До>э и усредненному отношению сигнал-шум по напряжению q. Эффективная ширина спектра (68) рассчитывается по формулам (62), (65), которые, как нетрудно убедиться с помощью (59) и (61), эквивалентны соотношениям
. ~ dA(t) ~	“ -J J" м A^dt	_ J (0 =	. со2 = —	dA(f) dt	2 dt
СО	со
—00	—оо
(4.71)
Выбрав начало отсчета частоты так, чтобы со=О, имеем
Д«э = 1/Г«2-
(4.72)
Потенциальная точность измерения дальности Or связана с потенциальной точностью измерения времени запаздывания радиосигнала ot, как следует из (3.2), соотношением
or = cox/2.	(4.73)
В качестве примера рассмотрим колоколообразный радиоимпульс, огибающая которого имеет вид
A (t) = ехр (— п	(4.74)
где ти — длительность импульса, отсчитываемая на уровне ехр(—л/4)—0,46 от максимума. Эффективная ширина спектра огибающей такого сигнала, рассчитываемая по формулам (72), (71), (74), Дсоэ= Ул/ти. Следовательно, согласно (69), (70) по-
* Это отношение q = Mz2Oc/Mz2Om, где случайные величины zoc и гош получаются из (48) подстановкой в (48а) вместо y(t) сигнала (46) и шума g(<) соответственно.
168
тенциальная точность измерения времени запаздывания сигнала
ах = ]/Г1+9Ти//2я<7; ат = ти/рЛ2я'7>	(4.75)
Как видим, для повышения потенциальной точности измерения времени запаздывания импульс надо укорачивать, а отношение сигнал-шум — повышать. Отметим, что при заданной длительности импульса ти увеличение Д<оэ и, следовательно, повышение потенциальной точности измерения времени запаздывания сигнала и соответственно потенциальной точности дальнометрии достигается путем применения широкополосных (сложных) сигналов*.
Оценка смещения частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой. Рассмотрим модель принимаемого радиосигнала
s(co, а, <р, £) = ]/2 а Д (f)cos[(<й0 + <о) / + ф(0 — <р], 0 <7=^ Л (4-76)
где информативный неслучайный параметр со представляет собой смещение несущей частоты из-за эффекта Доплера, а неинформативные случайные параметры а и ц> распределены так же, как и в предыдущем случае. Условное отношение правдоподобия записывается аналогично (53):
Д(//|®)
Уо
ехр
2р22%(со) 1
_ЛГ0(^+Ё) ]’
(4.76а)
где
г0 И =
J*у (I) Д* (t) ехр (— j со t) dt —осз
— модуль комплексного корреляционного интеграла; R(t) — =Д (i)exp[jip(i)] —комплексная огибающая радиосигнала; y(t) — комплексная огибающая наблюдаемого процесса.
Уравнение максимального правдоподобия cte2o(co)/да=0.
Конкретизируя общую схему многоканального измерителя (см. рис. 4.2), приходим либо к фильтровому, либо к корреляционному многоканальному устройству. В фильтровом варианте (рис. 4.11,а) каждый из каналов измерителя состоит из согласованного фильтра, настроенного на фиксированную частоту Д-, и амплитудного детектора. Число каналов определяется полосой пропускания фильтра и диапазоном возможных доплеровских частот, который, в свою очередь обусловлен диапазоном изменения скорости объекта. Амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра повторяет амплитудно-частотный спектр сигнала. При этом полоса пропускания фильтра должна быть согласована с шириной спектра доплеровского сигнала.
* Такие сигналы рассматриваются в § 6.4.
169
а)	б)
Рис. 4.11. Структурные схемы многоканального (а) и следящего (б) измерителей частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
Конкретизируем теперь следящий измеритель (см. рис. 4.4) с дискриминатором по схеме на рис. '4.3,6 применительно к рассматриваемой задаче. Заменив производную дго((п)/д(л конечной разностью, получим дискриминатор, который в фильтровом варианте состоит из согласованных фильтров СФ! и СФ2, расстроенных по частоте на Af, амплитудных детекторов АД и схемы вычитания. В следящем измерителе (рис. 4.11,6) напряжение с выхода цепи сглаживания ЦС воздействует на реактивный элемент РЭ, управляющий частотой /г перестраиваемого генератора ПГ, для уменьшения рассогласования между fr и частотой fo + f сигнала, поступающего на смеситель См.
В режиме поиска сигнала по частоте необходимо плавно менять частоту перестраиваемого генератора fr до тех пор, пока частота fo+f—fr не попадет в полосы фильтров СФ1 и СФ2 и не произойдет захват (обнаружение) сигнала. После этого измеритель переходит в режим слежения.
Поступая аналогично тому, как это делалось при выводе формулы (69), находим, что потенциальная точность измерения смещения частоты f—(a/2n сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
о/ = ’|/Г+7/1/2Та4,	(4.77)
а при Qi>l о/=1//2^э, где Д/э= —(?)2 — эффективная длительность сигнала, рассчитываемая по формулам
2л р|Д(1)|2Л	(2л)2 р2|Др)12^
Г=-----, F =-----------------,	(4.78)
/|4(012Л	JMCOIMZ
Выбрав начало отсчета времени так, чтобы 7=0, имеем
Д4 = ]/Т.	(4.79)
170
Учитывая взаимосвязь частоты Доплера и радиальной составляющей скорости движения объекта (3.22), находим потенциальную точность измерения радиальной скорости-. ovR
Если, например, радиоимпульс имеет колоколообразную_форму (74), то эффективная длительность сигнала (79) А/э= У'лти, где ти — длительность импульса, отсчитываемая на уровне 0,46. Поэтому
Of = ]/" 1 + q !	(4/80)
а при q~^>\ имеем о/=1/ V2nqiK.
Таким образом, для повышения потенциальной точности измерения частоты и соответственно радиальной скорости объекта длительность импульса нужно увеличивать. Однако при этом, как следует из (75) и (73), будет уменьшаться потенциальная точность измерения дальности.
Совместные оценки времени запаздывания и смещения частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой. В связи с необходимостью в радиолокации измерять дальность и одновременно скорость движения объекта возникает задача совместного оценивания времени запаздывания т и доплеровского смешения частоты (о принимаемого радиосигнала. Рассмотрим эту задачу на примере сигнала со случайными начальной фазой ср и амплитудой «:
s(t, (о, а, ср, 0 = ]/2аА(t — т)cos[(<o0 + <о)(/ — т) + ф(/ — т) — ф],
(4.81)
O^t—Данный сигнал при <о=О переходит в (46), а при т= = 0 — в (76). Условное отношение правдоподобия имеет вид
./1Ч А^о	Г 2о2 г2 (а, о) |
Л (у т, ®) =--5-^- ехр |----*—,
1	Л\, + £ Ч N0(N0 + E} J’
где
г0(т, со) =
$у (О Л* (t — т) ехр (— j to t) dt —oo
(4.82)
— модуль комплексного корреляционного интеграла. Система уравнений максимального правдоподобия (29) в рассматриваемом случае состоит из двух уравнений:
д^(т, <о)  dzg(t, ю) _ дх	’ до
Решениями этой системы являются совместные оценки времени запаздывания тм и доплеровского смещения частоты ®м.
171
Рис. 4.12. Структурная схема многоканального фильтрового измерителя времени запаздывания и смещения частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
Схема устройства совместного измерения времени запаздывания т и доплеровского смещения частоты /=со/2л, формирующая оценки максимального правдоподобия тм и fM, является многоканальной. При этом в корреляционном варианте измеритель должен быть многоканальным как по частоте, так и по времени запаздывания. Если число каналов, необходимое для перекрытия заданного диапазона изменения скорости объекта, равно т, а число каналов по дальности и, то общее число каналов рассматриваемого измерителя тп.
При фильтровом построении измерителя число каналов можно сократить в п раз, ограничившись многоканальным построением схемы только по частоте (рис. 4.12). Согласованные фильтРы СФг- (i=l...т) перекрывают весь диапазон доплеровских частот.
В каждом из каналов после АД имеется схема выбора максимума СВМ, в которой на заданном отрезке времени [О, Т], определяемом диапазоном просматриваемой дальности, отыскивается максимальное значение сигнала	max 2?(т, /у), / = 1. т.
teio.n
При этом фиксируются значения времени запаздывания ту, у = 1,... ..., т, при которых выходные сигналы детекторов максимальны. Из совокупности получаемых сигналов г20(ту, /у), /=1,... ,т, в оконечной схеме выбора максимума ОСВМ выбирается наибольший; пусть это будет, например, сигнал на выходе i-го канала:
max zo&’ fti-/е[1.т]
С выхода измерителя поступают значения ту и ft, приближенно равные совместным оценкам максимального правдоподобия времени запаздывания и доплеровского .смещения частоты: ту=«тм, «fM. Степень приближения зависит от выбранного числа каналов т.
Найдем теперь потенциальные точности совместного измерения параметров т и f. Для этого потребуется информационная матрица 172
7=||Л3Ц, являющаяся в рассматриваемом случае двумерной, i, j= = 1,2. Ее элементы, как следует из (31), имеют вид
/)], 722=-м[-^-1пЛ(//|т, /)!, [ОТ2	J	I Pf	j
Л,щ л №, fl],
где условное отношение правдоподобия Л(//[т, f) определяется прежней формулой с учетом замены в (82) параметра со на 2лД
Раскрывая эти выражения аналогично предыдущему, получаем
/и = cq [со2 — (а>)2], /J2 — Kj [со/ ~ со/],
/!2 = щР-(021,
где
Щ = 2(7)а/(1+^).	(4.83)
величины со, со2, /, /2 определяются прежними формулами (71) и (78), а
«> dA* (fl ~ I °°
со/ = 2л Im р——~-A(t)dtl §[A(t)l2dt.	(4.84)
Выбрав начало отсчета времени и частоты так, чтобы со=О, 1—0, имеем со2 со/ со/
при этом обратная матрица 1
/ = щ
/2
/2 —СО/
— со/ со2
«1 [со2 /2 — (со/)2]
Отсюда и из (32) следует, что потенциальные точности совместного измерения времени запаздывания ах и доплеровского смещения частоты Of
Kj[co2/2 — (со/)2] ’	Kx[v)2t2 — (со/)2]
После конкретизации значения Ki (83) и простого преобразования эти формулы можно записать в виде
= ч + _____________1	1 / 1 +<Г	1
V 2(g)2 У^(1—>)	V 2(g)2 У12(1—Гг)
(4.85) где
г — а> ti^ со212	(4.86)
— коэффициент корреляции, характеризующий взаимосвязь погрешностей измерения.
173
Если комплексная огибающая А(/) является действительной величиной А(/)—А(/)), т. е. в сигнале отсутствует фазовая модуляция, то, как следует из (84), имеем <£>t=0 и, следовательно, коэффициент корреляции г=0. В данном случае среднеквадратические ошибки Or и о/ не связаны между 'собой, при этом выражения (85) при г=0 совпадают с формулами (69) и (77) (с учетом (72), (79)), полученными при условии, что оценивается лишь один параметр (время запаздывания или частота).
Выявим теперь зависимость потенциальных точностей совместного измерения времени запаздывания и частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой от соответствующей функции рассогласования и связанной с ней функции неопределенности*. Для этого введем нормированную функцию рассогласования комплексной огибающей сигнала:
р(т,()= J Д(0 A*(t-T)exp(j23xf0^ / J (Л (£)Г	(4.87)
Ее называют также времячастотной функцией рассогласования, а квадрат модуля этой функции 7,(1, f) = |р(т;, f)]2 — функцией неопределенности.
Дважды дифференцируя функцию неопределенности по т, полагая затем т—0, f=0 и используя формулы (71), получаем
^э£(0, 0)= = -2 К- (ш)2]_
т./=0
Аналогичным образом, с учетом (71), (78) и (84), находим
Xtf (0, 0) = - 2 (Ы — о 7), /и (0, 0) = - 2 [72 — (Г)2].
Как видим, вторые производные функции неопределенности в начале координат (в точке максимума) позволяют определить элементы информационной матрицы I и, следовательно, потенциальные точности совместного измерения времени запаздывания и доплеровского смещения частоты. При этом среднеквадратические ошибки (85) выражаются через указанные производные (с учетом <о=?=0) следующим образом:
________1__________
К-х'„(0,0)(1-^) ’	(4.88)
________1_______
Хн(0, 0) (1—г2) ’
82%(т. /) дт?
* Ранее была найдена зависимость потенциальной точности измерения не-энергетического параметра от кривизны функции рассогласования сигнала, не содержащего неинформативных случайных параметров (см. формулу (44)). 174
r|e r=x"rf(O, 0)/ V%"Xt (0, 0)x"//(0, 0). При отсутствии корреляции между ошибками (г=0) имеем
°т=	of= l/—-4-	.
V (i)2 /-Х>.0) V (q)2 V-X^O.O)
Таким образом, потенциальные точности измерения времени запаздывания и доплеровского смещения частоты радиосигнала определяются отношением сигнал-шум q, а также остротой функции неопределенности, характеризуемой вторыми производными функции неопределенности в точке максимума.
Оценка угловой координаты. Измерение угловых координат объектов в зависимости от используемого метода пеленгации сводится к оцениванию тех или иных параметров принимаемых радиосигналов (см. § 3.2). Поэтому при оптимизации измерения угловых координат и расчете потенциальных точностей измерения можно применить предыдущие результаты оценивания параметров сигналов.
Рассмотрим задачу оценивания угловой координаты на примере амплитудного метода пеленгации, использующего зависимость амплитуды принятого сигнала от разности углов «max—а между направлением максимума результирующей ДН антенной системы 'и направлением прихода радиоволн, отраженных или излученных пеленгуемым объектом. Результирующая ДН fP (а) определяется произведением диаграмм направленности передающей и приемной антенн.
Если обзор по угловой координате а осуществляется с угловой скоростью Q, то положение максимума ДН будет меняться со временем согласно атах=Н/, а амплитуда принимаемого сигнала
А (а, П = Д0^[£2(^-т)],	(4.89)
где т=п/И— момент совпадения направления максимума диаграммы направленности с направлением на пеленгуемый объект (рис. 4.13). Измерив время т, можно при известной угловой скорости вращения антенны Q определить угловую координату объекта а.
Таким образом, в данной постановке задачи углометрии оценка максимального правдоподобия ам угловой координаты объекта а определяется через оценку макси
1 S?
Рис. 4.13. Диаграмма, поясняющая оценивание угловой координаты
175
мального правдоподобия тм момента времени т: ам=&гм. П}ш этом можно воспользоваться предыдущим результатом анализа оценивания времени запаздывания радиосигнала. Так, потенциальная точность измерения угловой координаты.
оа = Qot,	(4.90)
где Ог — потенциальная точность измерения времени запаздывания радиосигнала.
Пусть, например, главный лепесток результирующей ДН имеет колоколообразную форму
(а) = ехр [ — л (сс/сса)2 ,
где аа — ширина ДН антенны на уровне 0,46.
Тогда при равномерном обзоре огибающая принимаемого сигнала согласно (89) имеет вид
A (a, t) = Ао ехр [ — п (t — т)2/^] ,	(4.91)
где Тог—аа/й — длительность огибающей сигнала на уровне 0,46.
Потенциальная точность измерения времени запаздывания сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой, огибающая которого имеет вид (91), определяется аналогично (75): ot= = }/Л(1 Тд)/2л(д)2тог. Следовательно, потенциальная точность измерения угловой координаты согласно (90)
К(1 + q)/2« Q2 аа.	(4.92)
Таким образом, среднеквадратическая ошибка оа, характеризующая потенциальную точность углометрии, прямо пропорциональна ширине ДН антенны аа. Подставив соотношение (1.2) в (92), видим, что погрешность измерения ott=	— ~К-д~
уменьшается с увеличением относительного размера апертуры антенны dal'K.
4.3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В § 4.1, 4.2, как правило, предполагалось, что параметры принимаемых сигналов не изменяются в течение времени наблюдения. Однако в радиолокации и радионавигации это предположение не всегда выполняется. В общем случае параметры принимаемых сигналов меняются во времени, причем нередко случайным образом. При этом наиболее общей ив то же время удобной математической моделью изменяющегося параметра сигнала является случайный процесс 0(/)=0f.
176
Сигналы, для которых моделями параметров .служат те или иные случайные процессы, называются стохастическими. При этом задача оценивания стохастического сигнала и его параметров сводится к задаче оценивания некоторых случайных процессов. Отметим, что детерминированный .сигнал s(t) и квазидетерминирован-ный сигнал s(0, /), где 0 — случайная величина,— предельные частные случаи стохастического сигнала s(0t, t) [53].
Итак, пусть оцениваемый параметр 0t —- случайный процесс, вид которого пока не конкретизируем. В течение времени [0, наблюдается реализация уго={Уг,	случайного процесса
yt, являющегося смесью шума и стохастического сигнала, зависящего от параметра Оь В результате наблюдения этой реализации и применения решающей функции бх выносится решение которое представляет собой оценку параметра 0Х в момент времени т.
Обратим внимание на то, что оценка dtx зависит от двух моментов времени: от момента окончания наблюдения t и от момента т, для которого отыскивается оценка параметра 0Х. Если эти моменты времени совпадают: t=i, то оценивание называется фильтрацией. При т>/ оценивание называется экстраполяцией или предсказанием, а при i<Ct — интерполяцией или сглаживанием.
Задав функцию потерь с('0, d), можно определить байесовское решение d*fT=6*T(tdo) путем минимизации среднего риска или же апостериорного риска:
min М >с [0Т, бх ( «/') | у{\ = М {с [0Т, б^ ( у')] | У*о} 
Это решение и будет оптимальной в байесовском смысле оценкой параметра 0Т. Причем при x=t имеем оптимальную фильтрационную оценку d*tt, а при т>/ и i<it—оптимальные экстраполяционную и интерполяционную оценки соответственно.
При квадратичной функции потерь (3) оптимальные оценки параметра сигнала определяются выражением
^ = M(0x|y*),	(4.93)
(в этом нетрудно убедиться, поступая так же, как и при выводе оценки (4)). Если функция потерь квадратична относительно сигнала s(0/t t), т. е. с(0, d)=[s(0, t)—d]2, t^O, то оптимальные оценки сигнала
C = M[s(et,T)|y‘], v< t.	(4.94)
Качество оптимального оценивания определяется значением байесовского риска r*tT=Mc[0r, б*т((/го)], который при квадратичной функции потерь (3)
177
Ги = М [ех-М(ех|уо)12,	(4.95)
т. e. совпадает co средним значением квадрата ошибки оценивания. Квадратный корень этой величины есть среднеквадр.атиче-ская* ошибка оптимального оценивания:	Vr*tx.
Отметим, что среднеквадратические ошибки оптимальной интерполяции и оптимальной фильтрации удовлетворяют неравенству	т<7. Это объясняется тем, что дополнительное наблюдение реализации у*х={уи,	не может ухудшить ка-
чества оптимального оценивания. Оно может быть либо улучшено, либо, по крайней мере, остаться прежним. Последнее, как следует из (95), будет в том случае, если M(0T|yfo) =М(0т|уго), т. е. когда параметр '0Т статистически не зависит от дополнительного наблюдения реализации
Таким образом, интерполяция позволяет повысить качество оценивания по сравнению с фильтрацией. Покупается это ценой увеличения .времени наблюдения и усложнения алгоритма обработки наблюдаемого процесса [53]. Что касается экстраполяции, то она применяется тогда, когда наблюдение окончено, однако необходимо продолжать оценивание параметра 0Т. Такая задача возникает, например, во вторичной обработке радиолокационной информации при определении траектории движущегося объекта (гл. 7). Центральное место в теории оценивания случайных процессов занимает задача фильтрации; на ее основе решаются также задачи ‘интерполяции и экстраполяции. В дальнейшем рассматривается только задача фильтрации.
Для получения конкретных результатов необходимо задать вид случайного процесса 10/, который может служить математической моделью изменяющегося параметра радиосигнала. Наиболее широкий и в то же время гибкий (в смысле возможности математического исследования) класс случайных процессов составляют марковские случайные процессы [22, 50, 53]. Этими процессами можно с необходимой степенью точности аппроксимировать параметры реальных сигналов, используемых в радиолокации и радионавигации. Поэтому в дальнейшем предполагается, что оцениваемый параметр 0* является марковским случайным процессом.
Общие уравнения оптимальной фильтрации. Вначале рассмотрим случай, когда в дискретные моменты времени Ч наблюдается аддитивная смесь
z/i = s(6;, M + U i= 1,2,-.,	(4.96)
сигнала s(0,, ti) и шума Параметр 0<^0(^-) представляет собой марковский процесс с дискретным временем и непрерывным
См. комментарии к формуле (4.19).
178
фазовым пространством. Такой процесс описывается переходной (условной) плотностью вероятностей we (6ж 16i) и начальной плотностью вероятностей We (0i). Считаем, что шум & является случайным процессом с независимыми значениями, описываемыми плотностью вероятностей wg(£i).
Так как оптимальная оценка сигнала и его параметра находится путем минимизации апостериорного риска, то для отыскания таких оценок необходимо определить прежде всего апостериорную плотность вероятностей параметра, которую обозначим
w (6г|У!уг) S Pi (0г\ i= 1,2, ... .	(4.97)
При квадратичной функции потерь оптимальные оценки параметра и сигнала, как следует из (93) и (94), соответственно будут
^=м(вг|^)= ] ег Pi (ег) d Qi = ог,
-оо	<5-уб)
d;. = M [5(егЛ)|у‘]= J s (0г, ti) Pi (Qi) d Qi Si, ----------------------OO
где y\= (yi,..., yi).
Зная апостериорную плотность pt(Qi), можно определять также качество получаемых оценок, в частности среднеквадратическую ошибку фильтрации. Действительно, качество оптимальной фильтрации можно характеризовать «шириной» апостериорной плотности вероятностей, мерой которой служит апостериорная дисперсия
оо	Л
/<; = М {[0г-М (0г|г/')]2| у{} = J (Qi-Qi)2 Pi (Qi)dQi. (4.99) -------------------------------OO
Усредняя апостериорную дисперсию, получаем (с учетом (2.4)) среднее значение квадрата ошибки оптимальной фильтрации:
м Ki = М {М [(Qi - 0iY I у\\} = М (Qi - Qi)2.
Следовательно, среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации
огг^ог= VMKi.	(4 100)
Таким образом, апостериорная плотность вероятностей параметра играет важную роль в теории оптимальной фильтрации. К ее отысканию мы и перейдем. Для этого воспользуемся формулой Байеса (см. (2.8)):
170
где 0ii+1== (0i.....0i+i); yii+1= (yi......z/i+i).
Выразим совместную плотность вероятностей sy(Oi<+1,	случайного
вектора (0ii+I, yii+l) через заданные распределения вероятностей параметра сигнала и шума. Учитывая (96) н то, что значения шума статистически независимы, имеем
1-4-1
( £/{+’ | 6J+1) = П [yh — S (0ft, Zft)].
k=l
Так как случайный процесс 0,-(i=l, 2, ...) марковский, то априорная плотность вероятностей вектора 0
^о(0{+1)= ri^e(0*+i|0fe)^e(0i)-k=l
Поэтому совместная плотность вероятностей
w (0fi+1> И+1) = w 10i+1) (0J+1) = f+l	i
= П [yk — S (0fc, /fc)l П w (0M4 [ 0h) w (OJ . k=l	k=l
Перепишем эту формулу в виде
ш ( 0J+1, «/{+*) =	[ у[+1 - s ( 0£+1, /{+1)]	(0.+11 ег)Х
X I П>5 [уь — S(0h, /fe)] П ( 0ft+i I 0ft) % (01)I -	(4.102)
lft=l	k=l	J
Выражение, стоящее в фигурных скобках, есть совместная плотность вероятностей w(0’i, у*>). Подставляя с учетом этого формулу (102) в (101), получаем
^(6f+11Л+1) =
=_____________Ш+i- S(0f+1’ WQl (еж I °»)m eD______________________________
oo oo
Г-- Ш[y.+i-s(0i+p zi+i)JM^+il0*)0^’ 0£i)rf°i---<+i
—oo —oo
(4.103)
oo oo
Учитывая, что J... J ^(0;i, {/!'i)d0i.. .<10;-1=ьа(0г, !/г|), интегрируя обе
180
части равенства (103) по 0Ь Oi-i, находим
w (0i> еж IИ+1) =
=_________^[»Ж~ЧеЖ’ /£+i)] (Of+i j Qi) И)______________
J... >5[«/i+i-s(6f+i" *1+01 w6 (6Ж I °г) W (0i ’ 01) d °* d 0i+l —oo —oo
Интегрируя теперь обе части равенства по 6<, учитывая соотношение w(0i, y’i) = w (6г|у’1)® (УЧ) и используя обозначение (97), получаем
Pi+1 (6г+1) =
a’gl0f+i“s(ei+i’zf+i)l J MW0*)^0*)^
-------------------------—--------------------------- . (4.104) ОО
... S Wl [01+1 — s (°*+1 • *1+1)1 “'б (0i+l 10i) Pi (0i) <®i rf0i+l
Найденное соотношение является рекуррентным, определяющим апостериорную плотность рг-н (!бг+1) через апостериорную плотность Рг(6г) для i=l,2.......При этом начальное условие имеет вид
s(0i. i'i)] ^’о (Oj)
Pi (6i) =	-----------------------
J —s(01,/1)]^e(01)rf01
Рекуррентное соотношение (104) позволяет последовательно находить апостериорную плотность вероятностей рг(вг) оцениваемого параметра 6г для любых моментов времени. Оно служит основой для синтеза и анализа устройств оптимальной .фильтрации стохастических сигналов и 'их параметров и называется рекуррентным соотношением оптимальной фильтрации.
Перейдем к случаю непрерывного времени. Наблюдаемый процесс
z/f = s(6t,0 + ^. *>0,	(4.106)
где параметр 6t сигнала s(0t, t) — непрерывный марковский процесс, имеющий непрерывные с вероятностью 1 траектории.
Такой случайный процесс называется диффузионным марковским. Его статистические свойства определяются коэффициентом переноса а(х, t) и коэффициентом диффузии b(x, t):
"0	—
а (х, t) = lim М t+At At-»O	Al
6t = x
(4.107).
Ь(х,0-итм[1е^~е,)'
At->0	Al
Шум gt — белый гауссовский со спектральной плотностью N0/2. Уравнение для апостериорной плотности вероятностей w (St [у %) = =Р/(6) параметра St получим путем предельного перехода к непрерывному времени в рекуррентном соотношении (104). Для этого учтем, что белому гауссовскому шуму £t в дискретном времени соответствует гауссовский процесс с независимыми значениями £(/г)^£г, i=l,2,..., с нулевым средним и дисперсией (2.42), т. е.
Ш£(Ь>- “Р {- О'}'	(4.108)
Подставим (118) в (104) и разложим экспоненту в ряд по степеням АЛ Переходя затем к пределу при Л/->0, получаем стохастическое дифференциальное уравнение для апостериорной плотности вероятностей:
Pt (6) = {£-X [pt (6)]} pt (6),	(4.109)
где оператор Z имеет вид
Ж= - £ a (S, t) + -2- b (S, 0+ 7^ s (6, 0 s(6. 0|.
(7 0	Лоо	Я о	I х	j
(4.110) а
—	00	9	00	Г 1	1
ВД)1= J ^pt(0)d0=J* s(6,oh/t-vs(6,o X
xpt(Q)de.	(4.111)
Стохастическое уравнение (109) нелинейное интегро-дифференциальное с частными производными. Определяя апостериорную плотность вероятностей pt ('6), оно тем самым позволяет находить оптимальные (линейные и нелинейные) оценки сигнала s(St, t) и его параметра и называется уравнением оптимальной фильтрации*.
Линейная фильтрация. Рекуррентное соотношение (104) и интегро-дифференциальное уравнение (109) определяют оптимальную, в общем случае нелинейную фильтрацию. Рассмотрим важный частный случай, когда оптимальная фильтрация является линейной. Пусть протекающий в дискретном времени наблюдаемый процесс имеет .вид
уг = ег-нг.	(4.112)
* Уравнение (109) приведено в так называемой симметризованной форме или в форме Стратоновича [53]. Существует также иная запись этого уравнения — форма Ито [53]. Некоторые пояснения к этим формам записи стохастических дифференциальных уравнений будут даны позднее (см. § 5.2) на примере более простого уравнения.
182
При этом полезный сигнал '0г является марковским гауссовским процессом, для которого переходная плотность вероятностей
„ /О 10 \1	f (0i+l	Р)2 1	/г ио\
ше (oi+iPi) —  . ~ ~ ~ ехр 1 — ~----------------1 ,	(4.113)
о± "|/2 л(1 —р2)	(	2о2(1 — р2) J
где р=ехр(—у|А/|); At=ti+l—tit i—1,2,.... Здесь р — коэффициент корреляции; 1/у— интервал корреляции сигнала 0;. Начальная плотность вероятностей
1	(	0? \
(61) =------— ехр I------.	(4.114)
Д/2я	'	-°i J
Предполагается также, что шум g, гауссовский:
1	(	ё \
^(U =-------— ехр-------], 1= 1,2,... .	(4.115)
о0 1/2 л	У	2 °о /
Так как сигнал и шум гауссовские и аддитивные, то наблюдаемый процесс (112) тоже гауссовский. Кроме того, с помощью формулы Байеса можно убедиться, что апостериорная плотность вероятностей pi (0i) также является гауссовской. Поэтому ее можно записать в виде
Pi (0t) = ехР [ - 4г (6г - т;)2] 	(4.116)
Апостериорное среднее и апостериорная дисперсия l//ij полностью определяют апостериорную плотность вероятностей pi (0г). Параметры тг и / определим 'исходя из рекуррентного соотношения оптимальной фильтрации (104). Для этого согласно (96) и (112) нужно в нем положить s (О,,	= и затем подставить
(113), (115), а также pi+1(0i+1) и рг('0г) в форме (116). Конкретизировав таким образом рекуррентное соотношение (104), проинтегрируем по 0г, пспользуя для этого интеграл
°°	/'-л~	/ Ь2 \
( ехр (— ах2 + bx) dx = 1/ — ехр j .
Затем, приравняв соответствующие члены, стоящие в разных частях полученного равенства, найдем рекуррентные алгоритмы для параметров апостериорной плотности вероятностей:
mi+i = Pi+i + c2i ™i.	(4.117)
hi+x =------------------ + -L, i= 1,2, ... ,	(4.118)
hi o2 (1 — p2) + p2 o2
183
где
— р2) + р2	ftfO^p
'	, c^i — --------------------------- .
ht^l (1 — p2) +p2 + ftjOo ftfofO — P2)+p2 + /iiOo
(4.120)
Начальное условие получаем из (105) и (114) °? «/1	, 1.1
m, =--------, h± = — -f---.
°o+°i	°o
Апостериорное среднее init как следует из (116) и (98), совпадает с оптимальной оценкой сигнала: шг=6г. Таким образом, рекуррентные соотношения (117), (118) вместе с формулами (119), (120) позволяют последовательно находить оптимальную оценку сигнала. Весовые коэффициенты Сц и сц, вычисляемые по формулам (119) и (118), от наблюдаемого процесса у г не зависят. Рекуррентные соотношения (117) и (118) определяют оптимальный линейный фильтр с переменными параметрами (рис. 4.14,а), который является одномерным вариантом дискретного фильтра Колмана.
Рекуррентное соотношение (118), определяющее весовые коэффициенты фильтра Калмана, позволяет также рассчитать качест-
6)
Рис. 4.14. Структурные схемы дискретного (а) и непрерывного (б—г) фильтров Калмана
184
во его работы. Действительно, так как апостериорная дисперсия Ki—l/ht от наблюдаемого процесса yi не зависит (см. (118)), то MKi—Ki= 1/hi и в силу соотношения (100) среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации
аг=1/УЛ7.	(4.121)
Рассмотрим теперь случай, когда наблюдаемый процесс протекает в непрерывном времени: f/t='6t + £t, где —белый гауссовский шум со спектральной плотностью А/0/2, а сигнал 0t является непрерывным марковским гауссовским процессом, определяемым стохастическим дифференциальным уравнением
0f=-y0t + ^,	(4.122)
где Zt — дельта-коррелированный гауссовский процесс:
М Cf = 0, М ?f+T = (х/2) 6 (т).	(4.123)
Процесс 0t принадлежит к классу диффузионных марковских процессов. При этом, как 'следует из (107) и (122), (123), его коэффициенты переноса и диффузии
а (0, t) = - у0, b (0, 0 = и/2.	(4.124)
Используя эти коэффициенты и учитывая, что s(0t, i)=Qt, конкретизируем оператор (ПО):
Ж = Т — 0 + — — + — 0 \yt~ б!	(4.125)
1 50	4 502 ЛГ0 Р	2 J
Апостериорная плотность вероятностей р((0) по тем же причинам, что и в случае дискретного времени, является гауссовской:
Pt (е> = ехр	(e~mt)2] 	(4.126)
Подставив (125) и (126) в уравнение оптимальной фильтрации (109), выполним в нем операции дифференцирования. Приравнивая затем члены при одинаковых степенях 0 и 02, получаем дифференциальные уравнения для параметров апостериорной плотности вероятностей:
mt = — ( у 4-—1 mt +	,	(4.127)
‘ V М>/и ] Noht
ht=-2w\h* + 2yht+ ,	(4.128)
где о21=х/4у — дисперсия сигнала 0/. Апостериорное среднее mt совпадает с оптимальной оценкой 0t (как и при дискретном времени). При этом линейное дифференциальное уравнение (127)
185
вместе с уравнением (<128) определяет структурную схему (рис. 4.14,6) оптимального линейного фильтра, являющегося одномерным вариантом непрерывного фильтра Колмана. В полученной схеме имеются усилители с переменными коэффициентами усиления
Сц = c2t= - (Т+	,	(4.129)
Nq ht	\ N^ht /
причем функция ht является решением обыкновенного дифференциального уравнения (128):
h. = Г1 U—'о ехР ( — 2 М)] J_
£ 2уо? В + го£хр( — 2^01	2о? ’
где
[
4то? .	__ /~1 + т —2 то?/го
Л!о ’ ° 'I — Т + 2 то? h0
a h0— начальное условие для уравнения (128). режиме, когда = функция ht обращается в
/г= -Ц-
2 о?
В стационарном постоянную:
(4.130)
При этом коэффициенты усиления (129) также становятся постоянными. Техническая реализация фильтра Калмана в этом случае существенно упрощается.
Структурную схему 'фильтра Калмана можно представить и по-иному (рис. 4.14,в). Чтобы убедиться в этом, достаточно переписать уравнение (127) в виде
2	,
mt= -ymt + —— (yt-mt).
No ht
При таком представлении непосредственно видно, что фильтр Калмана включает в себя формирующий фильтр (на рис. 4.14,е обведен штриховой линией), структурная схема которого описывается уравнением (122), т. е. определяется априорными сведениями о фильтруемом процессе 6t.
Отметим, что 'фильтр Калмана можно также представить в виде схемы разомкнутого типа, использовав 7?С-цепь. Действительно, напряжение mt, снимаемое с емкости при подаче на КС-цепь напряжения yt, определяется уравнением1
mt = —amt + ayt, а = IIRC.
Сравнивая это уравнение с уравнением фильтра Калмана (127), видим, что его структурную схему можно представить в виде 186
рис. 4.14,г. В стационарном режиме коэффициент усиления =2f(2 + yN0h) и параметр ДС-цепи a—y+(2[N0h) являются постоянными величинами.
Среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации определяется аналогично (121): щ=1/ V ht- В стационарном режиме эта ошибка равна постоянной величине
0= 1//А = 1/20! IV1 + /1 4-4<Ь	(4.131)
где параметр q=o2i/Noy имеет смысл отношения сигнал-шум по мощности. Как видим, среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации стохастического сигнала 6t растет с увеличением его дисперсии o2i и уменьшается с ростом отношения сигнал-шум q.
Нелинейная фильтрация. Как уже отмечалось, в общем случае оптимальная фильтрация является нелинейной. При этом для получения технически реализуемых алгоритмов приходится прибегать к приближенным методам конкретизации общих уравнений оптимальной фильтрации. Рассмотрим один из них — метод гауссовского приближения.
Пусть наблюдаемый процесс имеет вид (106), где диффузионный марковский параметр 0( сигнала s(0t, t) может иметь как гауссовское, так и негауссовское распределение вероятностей. Показано, что при условии большой апостериорной точности [48, 53], которое выполняется, в частности, при достаточно большом отношении сигнал-шум, апостериорная плотность вероятностей pt (6) не сильно отличается от гауссовской. Поэтому при выполнении условия большой апостериорной точности согласно методу гауссовского приближения используют гауссовскую аппроксимацию
Pt <е) ~ У Аг ехр [ - 4 (6 - ш()2| 	(4-132)
Уравнения для параметров mt и ht получим с помощью уравнения оптимальной фильтрации (109). Для этого подставим (132) в (109), причем функции s(0, t), а (0, t), 6(0, t) разложим в ряды Тейлора в окрестности mt. В соответствии с гауссовским приближением в разложении функции s(0, t) ограничимся членами, степень которых не выше (0—mt)2, в разложении о(0, t) —не выше (0—mt), а в разложении 6(0, t)—первым членом, не содержащим 0. Приравнивая затем члены при одинаковых степенях (0— —mt), получаем
—	/) + -A- [yt — s (mt, t)] s' (mt, t),	(4.133)
Noht
187
ht= —b (mt, f)tu — 2ht a’ [mt, t)~^-[yt~s (mt, t)] s"(mt, t) +
A'o
+ 2-[s'(m(, OF,	(4.134)
где
, ,	0s(0, t)
s (mt, t) = —*—-
* ’	0 0
, ,	..	8 a (0, t)
a (mt, t) = —-—
V ‘	00
ь.„,	nw
0=m.
e=mt
Если сделать замену переменных, перейдя к апостериорной дисперсии Kt=llht, то вместо (133) и (134) будем иметь
= a (mtf t) + [yt — s (mt, /)] s' (mt, t),	(4.135)
No
2Л?
Kt = b (mt, 0+2 Kt a' (mt, t) +	{[yt - s (mt, 0] s" (mt, t) —
-[s'(mf, OF}-	(4.136)
При выполнении условия большой апостериорной точности апостериорное среднее приближенно равняется оптимальной оценке параметра: mt~Qt.
Таким образом, уравнения '(133), (134) или эквивалентные им (135), (136) определяют квазиоптимальные алгоритмы нелинейной фильтрации параметра St сигнала s(6t, t), наблюдаемого на фоне белого шума. Отметим, что при увеличении отношения сигнал-шум (^->оо) эти алгоритмы являются асимптотически оптимальными [53]. Конкретизируя форму сигнала s и вид параметра St, можно с помощью уравнений (133) — (136) синтезировать устройства квазиоптимальной фильтрации стохастических сигналов и их параметров.
Уравнение (136), необходимое для синтеза алгоритмов фильтрации, определяет также и их анализ. Действительно, качество фильтрации, как уже отмечалось, характеризуется апостериорной дисперсией Kt', последняя же в гауссовском приближении определяется уравнением (136). При этом среднеквадратическая ошибка фильтрации
ot&VjAKt.	(4.137)
В отличие от подобной формулы (100), равенство в (137) приближенное вследствие того, что рассматриваемая задача фильтрации решалась в гауссовском приближении.
188
В качестве примера рассмотрим случай, когда стохастический радиосигнал является фазомодулированным:
s(0t, 0 =А0sin (<BoH-6t)>	(4.138)
где Ло и Шо — известные константы, а флуктуации фазы 6t определяются уравнением (122) при у=0, т. е. Qt—'Qt- Это означает, что фаза 6t является гауссовским процессом с независимыми приращениями, т. е. испытывает нестационарные блуждания. Коэффициенты переноса и диффузии рассматриваемого процесса:
а (6, 0 = 0, b (6, 0 = х/2.	(4.139)
Используя (138), (139), конкретизируем уравнения (135), ^136). При этом пренебрежем колебательными членами с удвоенной частотой 2шо, дающими малый 'вклад. В результате получим
mt = yt (2 KtINB) Ао cos (соо t + mt),	(4.140)
Kt = — yt (2 K2t/K0) Ao sin (coo t + mt) + x'2.	(4.141)
Уравнение (140) описывает следящий измеритель типа фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с переменным коэффициентом усиления Kt в цепи обратной связи. Этот коэффициент усиления, определяемый уравнением (141), зависит от наблюдаемого процесса и, следовательно, является случайным.
Для упрощения технической реализации измерителя в стационарном режиме (при Xt=O) можно пренебречь флуктуациями коэффициента Kt и взять в качестве его константу K=;MKt, которая, как следует из (141), имеет вид
ГЛ Kt « VkN0I2AI .	(4.142)
В результате приходим к типовой схеме ФАПЧ (рис. 4.15).
Таким образом, ФАПЧ является квазиоптимальным измерителем фазы рассмотренного стохастического сигнала, наблюдаемого на фоне белого шума. Среднеквадратическая ошибка фильт-4 --------------------------------------------------------
рации фазы, как следует из (137) и (142), ut~ у/ xAq/2A20. Используя уравнения (133) — (136), можно аналогичным образом синтезировать и анализировать квазиоптимальные следящие измерители для других моделей сигнала и его параметра.
С методической точки зрения полезно рассмотреть пример оценивания параметра квазидетерминированного сигнала. Как уже отмечалось, последний есть частный случай стохастического сигнала. Поэтому при синтезе и анализе измерителей параметров квазидетерминированного сигнала можно воспользоваться полученными уравнениями нелинейной фильтрации. Проиллюстрируем это на примере оценивания времени запаздывания 0<=т сигнала s(t—т), где г — случайная величина.
189
Рис. 4.16. Структурная схема следящего измерителя времени
Рис. 4.15. Структурная схема ФАПЧ
запаздывания сигнала
Наблюдаемый процесс в данном случае имеет вид (106), где нужно положить s(0(, t)=s(t—т). При такой постановке задачи задержка т со временем не меняется и, следовательно, описывается уравнением т=0. Поэтому коэффициенты (107) равны нулю. В результате уравнение для оценки mt задержки т согласно (133) имеет вид
2
= t, —	(4.143)
Noht
При записи этого уравнения опущен член вида s(t——mt)=—[s2(/— —m()] 72, определяющий энергию сигнала (этот член неинформативен, так как оцениваемый параметр неэнергетический). Поступая аналогично при конкретизации уравнения (134), получаем
2
ht= —T—yts"(t — mt).	(4.144)
No
Следящий измеритель (рис. 4.16), построенный в соответствии с уравнением (143), строго говоря, должен быть дополнен устройством, определяющим в соответствии с (144) переменный коэффициент усиления Ct^ilNoht. Решение уравнения (144)
2 т
hy = h0 — —— j" yt s'(t nif) dt, Ло о
где /г0= 1/cj2 — начальное условие (о2 — априорная дисперсия случайной величины т). Конкретизируя в этом решении наблюдаемый процесс yt, можно убедиться, что функция ht с ростом времени t неограниченно возрастает. Поэтому коэффициент усиления Ct->0 и, следовательно, в пределе (при t—roo) обратная связь в следящем измерителе разрывается. Это будет соответствовать точному измерению параметра, когда апостериорная дисперсия = 1/Лм=0. Отметим, что при более сложной постановке задачи, когда задержка меняется со временем, являясь некоторым случайным процессом т<, определяемым, например, уравнением типа (122), коэффициент с( не стремится к 0 при t-r-oo, при этом рассматриваемый измеритель (рис. 4.16) следит за изменением задержки сигнала.
190
Обработку сигнала, связанную с вычислением производной s'(t—mt) в схеме на рис. 4.16, можно упростить, если эту производную заменить конечной разностью
s'(t — mt)^ [s(/ — mt + Д t/2) — s(t — mt — Дт/2)]/Дт.
Если, кроме того, переменный случайный коэффициент усиления ct заменить постоянным (подобно предыдущему примеру), то рассматриваемый измеритель (рис. 4.16) будет по существу аналогичен следящему измерителю на рис. 4.7, полученному методом разделения обработки на операции дискриминирования и сглаживания.
В заключение отметим, что рассмотренные уравнения оптимальной фильтрации допускают непосредственное обобщение на задачи, когда полезный сигнал зависит от многих параметров [14, 36, 48, 53].
Глава 5. СОВМЕСТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СИГНАЛОВ
5.1. ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАН-НЫХ СИГНАЛОВ
Задачи оптимального обнаружения радиосигналов и оценивания их параметров рассматривались раздельно в гл. 2 и 4. Такое расчленение задач широко используется в теории радиолокации, так как при этом оптимизация упрощается. Однако радиолокационное наблюдение представляет собой единый процесс приема сигналов, при этом оптимизация многофункциональной РЛС должна включать в себя, в частности, оптимизацию системы обнаружения и оценивания сигналов как единого целого. Поэтому синтез и анализ эффективности оптимальной системы совместного обнаружения и оценивания сигналов актуальны.
Представляет также интерес исследование возможных вариантов совмещения оптимального обнаружителя и оптимального измерителя в единую систему, хотя и не являющуюся оптимальной в смысле выполнения совместной операции обнаружения и оценивания. Для практики особую ценность имеют различного рода ква-зиоптимальные системы, решающие задачи совместного обнаружения и оценивания и обладающие простотой технической реализации. В главе изучаются основные подходы к обсуждаемой проб-
191
леме, при этом рассматриваются различные типы систем совместного обнаружения и оценивания радиосигналов [15].
Вначале остановимся на методике, позволяющей синтезировать сравнительно простые системы совместного обнаружения и оценивания.
Предположим, что в течение заданного отрезка времени наблюдается реализация у некоторого случайного процесса, являющегося шумом (ситуация 0=0) либо смесью сигнала и шума (ситуация 0=1). Полагаем, что полезный сигнал зависит от информативного 0е© и неинформативного цеМ параметров; плотность распределения вероятностей смеси сигнала и шума w(у 10, р, 0=1) будет также зависеть от этих параметров. Считаем, что плотность распределения вероятностей одного шума w(p|O=0) неизвестных параметров не содержит.
По результатам наблюдения у требуется выяснить, какая ситуация имеет место: 0=0 или 0=1. т. е. необходимо решить задачу обнаружения, и, кроме того, требуется оценить информативный параметр сигнала 0. Относительно этого параметра возможны две постановки задачи: байесовская и небайесовская.
Байесовская задача. Рассматривая байесовскую постановку задачи, предполагаем, что параметры 0 и ц— случайные величины, априорные плотности вероятностей которых wo(0) и ®0(ц) известны. Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение правдоподобия A=w(t/|’0=l)/w(y|’0=0), которое в данной задаче имеет вид
J J ^(</10.	= 1) w0 (6) се>0(ц) d
A= _ем____________________________________________
to(i/|0 = 0)
(5-1)
Конкретизируя входящие в эту формулу плотности вероятностей (с помощью распределений шума и параметров сигнала) и вычисляя двойной интеграл, получаем отношение правдоподобия, определяющее структуру оптимального обнаружителя. Однако, принимая во внимание, что информативный параметр 0е© подлежит оцениванию, обработку реализации у целесообразно представить по-другому, вычислив интеграл в формуле (1) только по области М. При этом (1) перепишем в виде
A= J* A (р|0) w0 (0) d0,	(5.2)
©
где
J к>0/|6, ц, •& = l)te>0(p.)dp
А (Ц|0)= ™О ьи(у|Ц = О)	w (_у (& = 0)
— условное отношение правдоподобия. 192
Пусть множество 0- представляет собой отрезок прямой [0min, Отах]. Разобьем его на т отрезков точками 03,	т-Н-
+ 1, 0mln = 01<02< ... <fif< ... < 0m+l = 0max. ' ТОГДЭ ОТЛОШеНИе правдоподобия (2) можно представить в виде
т е/+1	‘ ‘
д= 2 S AMK’o^dO-
/=1 6j
Предположим, что условное отношение правдоподобия Л(р|,0) непрерывно по0. Так как плотность вероятностей Wo(.0)^Q, то согласно теореме о среднем существуют . 'такие .точки 0°3-^[03, 03+1]=Д03, при которых
г т
Л = 2 Л (!/|6?) Рь	<5-3)
7=1
.где
eJ+i
pj= J w0 (Q) dQ = P{Q е Д0Д, j— 1 ........ tn,	(5.4)
•
— априорная вероятность того, что параметр 0 принадлежит отрезку Д03.
' Обработку наблюдаемой реализации у в соответствии с формулой (3) можно осуществлять m-канальным устройством (рис. 5.1,а), /-й канал которого формирует условное отношение правдоподобия Л(т/|0°3), /=1, ..., tn. Схема весового суммирования складывает выходные сигналы с весами р3, при этом получаемое отношение правдоподобия Л подается на пороговое устройство ПУ, которое выносит решение di и d0 согласно алгоритму (2.25). Значение порога h определяется.используемым критерием оптимальности обнаружения (см. § 2.2).
Рис. 5.1. Структурные схемы многоканальных систем обнаружения сигнала и оценивания его параметра при байесовской (а) и небайесовской (б) постановках задачи	. .
7—100	193
Если полезный сигнал присутствует в наблюдаемой реализации у, то, отыскав канал, для которого выходной эффект максимален (пусть это будет, например, i-й канал), тем самым определим отрезок Л0г-, с наибольшей вероятностью содержащий неизвестный параметр, т. е. осуществим оценивание параметра сигнала. Вынесение оценки параметра естественно связать с вынесением решения di о наличии сигнала. Не рассматривая пока вопрос об оптимальной взаимосвязи операций обнаружения и оценивания*, будем считать, что в случае принятия решения di ключ Кл замыкается и выдает оценку параметра, формируемую на выходе схемы выбора максимума СВМ.
Таким образом, схема на рис. 5.1,а представляет собой систему совместного обнаружения сигнала и оценивания его параметра. Остановимся на вопросе об оптимальности обнаружителя и измерителя, входящих в эту систему.
Если бы случайный параметр 0 мог принимать лишь конечное число дискретных значений с вероятностями р, (/= 1, ..., tn), то вместо интеграла в (2) сразу бы имели сумму, т. е. отношение правдоподобия имело бы вид (3), причем 0°jS0j. В этом случае каждый канал схемы на рис. 5.1,а был бы точно «настроен» на соответствующее значение параметра 0, так как условное отношение правдоподобия A(t/|0j) зависело бы от известной величины 03-. При этом обнаружитель был бы оптимальным по критерию отношения правдоподобия, и в частности по критерию Неймана — Пирсона (если порог выбран по заданной вероятности ложной тревоги), а измеритель был бы оптимальным по критерию максимума апостериорной вероятности. В последнем нетрудно убедиться, принимая во внимание, что согласно формуле Байеса
л Ci/iе,) Р}	-(у'е7^=п1.)ру = к (у) р (е,| у,ъ= 1),
w (y\Q = 0) где величина
2	0 = О Pi
К (ц)= '=1_______________ = ^(1/10= 0
о>(у|0 = 0)	te> (у | в — 0)
не зависит от значения параметра 0. Поэтому на выходе СВМ (рис. 5.1,а) имеем максимальную апостериорную оценку, максимизирующую апостериорную вероятность Р(03|у, 0=1), /=1, .... tn, оцениваемого параметра. Отметим, что на выходе СВМ получаем оценку параметра сигнала лишь при 0=1, т. е. при наличии полезного сигнала в наблюдаемом процессе у.
Этот вопрос рассматривается в § 5.3.
194
Рассмотрим теперь более общий случай, когда оцениваемый случайный параметр 0 является непрерывным. При этом обнаружитель и измеритель, показанные на рис. 5.1,а, будут, вообще говоря, квазиоптимальными. Отход от оптимальности вызван тем, что точки 0°3еД83 в общем случае неизвестны * и их придется выбирать внутри отрезков Д83(/=1, ..., т) более или менее произвольным образом. При достаточно малых отрезках Д03 (число каналов т велико) проигрыш квазиоптимальных схем по сравнению с оптимальными будет невелик, причем при т-^-оо этот проигрыш стремится к нулю.
Рассмотренное байесовское решение задачи обнаружения сигнала и оценивания его параметра требует знания априорной плотности вероятностей параметра шо(0), по которой определяются априорные вероятности (4), используемые при весовом суммировании в многоканальном устройстве (рис. 5.1,а). Если эти априорные сведения неизвестны, то суммирование сигналов с выходов каналов может оказаться неэффективным. В этом случае следует использовать небайесовский подход.
Небайесовская задача. Считаем, что оцениваемый параметр 0 является неслучайным, принадлежащим множеству 0. В данном случае для синтеза оптимального обнаружителя целесообразно воспользоваться критерием максимального отношения правдоподобия **. Согласно этому критерию оптимальное правило обнаружения подобно правилу (2.25) и имеет вид
AM h,	(5.5)
г, где статистика
max w (z/|0, О = 1)
А =^-________________ ,	(5.6)
to(i/|0 = O)	4	7
а значение порога h выбирается по заданной вероятности ложной тревоги:	J w(y\$=tydy=F. Отметим, что рассматриваемое
правило обнаружения сохраняет прежний вид и при векторном параметре 0.
Статистика (6) представляет собой максимальное значение условного отношения правдоподобия:
Лм = ?ах	= max Л (у10) = Л (у|0м).	(5.7)
бее ш(«/|0 = 0) еее
* Теорема о среднем, которая использовалась при получении формулы (3), гарантирует лишь существование указанных точек, одиако она не дает способа их отыскания.
** Этот критерий является частным случаем обобщенного критерия отношения правдоподобия (см. § 2.11).
7*	195
Рис. 5.2. Структурная схема системы обнаружения сигнала и оценивания его параметра
Максимум достигается в точке 0М, являющейся оценкой максимального правдоподобия параметра 0. В результате приходим к схеме на рис. 5.2. Первый блок формирует условное отношение правдоподобия Л(р|0), которое поступает на схему выбора максимума, отыскивающую максимальное значение Лм=Л(р|0м) во всей области изменения параметра 0е©. Это значение поступает на пороговое устройство, а зафиксированное значение параметра 0м, при котором условное отношение правдоподобия максимально, подается на ключ. Если величина Лм превышает порог, то выносится решение d, (есть сигнал), при этом подается команда на ключ и на его выходе имеем оценку параметра 0„.
Обнаружитель рассматриваемой системы совместного обнаружения и оценивания (рис. 5.2) оптимален по критерию максимального отношения правдоподобия, а измеритель оптимален в том смысле, что он формирует оценку максимального правдоподобия.
Отметим, что решающее правило (5) эквивалентно правилу rf,
ф (Лм) Ф (Л) Ль	(5.8)
где ф-монотонная функция (например, логарифм), причем
Ф (Лм) = ф (max Л (у]0^ =₽ max <р (Л (#|0)). е	е
При конкретизации блока формирования условного отношения правдоподобия (рис. 5.2) или блока формирования логарифма условного отношения правдоподобия можно непосредственно воспользоваться результатами синтеза оптимальных измерителей
4.1 и 4.2).
_ В общем случае при многоканальном варианте измерителя имеем систему совместного обнаружения и оценивания, показанную на рис. 5.1,6. Каждый из каналов формирует условное отношение правдоподобия А(у|03) (или его логарифм) для фиксированного значения параметра 03(/ = 1, 2, ..., т), взятого из множества; возможных .значений параметра©^©. Схема выбора максимума определяет канал с максимальным выходным эффектом. Если 186
Л(//|0г)>Л (t/|0j) для всех /=1> т> то величина А (у 16;) подается на пороговое устройство. При превышении порога на выходе ключа получаем значение 0;, являющееся оценкой параметра 6.
Если бы оцениваемый параметр 6 был дискретным, принимающим т возможных значений, то оценка 0г являлась бы оценкой максимального правдоподобия: 0i = 0M. В общем случае, когда параметр 6 непрерывный, значение 6, приближенно совпадает с оценкой максимального правдоподобия: 0;«0М. Степень приближения увеличивается с увеличением числа каналов т. Требуемое число каналов определяется так же, как и в § 4.1, 4.2.
Сравнивая многоканальные системы совместного обнаружения и оценивания (см. рис. 5.1), видим, что в отличие от байесовского варианта структурной схемы (рис. 5.1,а) в схеме на рис. 5.1,6 весовое суммирование сигналов перед пороговым устройством отсутствует, что обычно более приемлемо для практики. Таким образом, небайесовское решение поставленной задачи привело к технически более приемлемой схеме совместного обнаружения и оценивания.
Перейдем к рассмотрению задачи совместного обнаружения и оценивания для конкретных моделей сигнала, используя при этом результаты § 4.2. Вначале остановимся на сигнале вида д(0, t), где форма сигнала s— детерминированная функция. Наблюдаемый процесс
pf = Os(0, 0+gf; 0 = 0,1;
где gt — белый гауссовский шум со спектральной плотностью Уо/2. Условное отношение правдоподобия в этом случае определяется формулой (4.34). Следовательно, статистика (7)
f о Т -	1 Г	1
Ам —ехр — J* yt s(0M, t) dt- J* s2 (0M, 0 dt\ , vvo о	zVq о	J
а ее логарифм
zM = lnAM= £- J ^s(0M,/)d/_2_ f S2(0M> t)di.	(5.9)
,v0 о	"о о
Решающее правило (5) с учетом (8) принимает вид z„ hi. При ^0 неэнергетическом параметре вторым слагаемым в (9) можно пре-небречь. При этом структурную схему системы совместного обнаружения й оценивания (рис. 5.1,6) можно непосредственно конкретизировать, использовав либо многоканальный коррелятор (см. рис. 4.5,а), либо многофильтровую схему (см. рис. 4.5,6).
197
Рис. 5.3. Структурная схема многоканальной системы обнаружения сигнала и оценивания смещения частоты
Рассмотрим теперь сигнал с неизвестным смещением частоты f и со случайными начальной фазой и амплитудой а:
s (/, а, <р, t) = aA (0 cos [2 л (f0 + f) £4-ф (0 — <р].
Неинформативные параметры а и <р распределены по рэлеевскому и равномерному законам соответственно, A (t) и ф(?)—детерминированные законы амплитудной и фазовой модуляции. Применительно к такому сигналу, принимаемому на фоне белого шума, структурная схема многоканального измерителя частоты в фильтровом варианте приведена на рис. 4.11,а. Используя эту схему при конкретизации схемы на рис. 5.1,6, получаем систему совместного обнаружения и оценивания доплеровской частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой (рис. 5.3).
Согласованные фильтры СФ3, /=1, ..., т, настроенные на частоты fi, ..., fm, перекрывают весь диапазон доплеровских частот. На выходе амплитудного детектора АД образуется огибающая корреляционного интеграла zo(f3). Схема выбора максимума отыскивает максимальное значение zo(fi) и подает его на пороговое устройство. При превышении порога на выходе ключа Кл имеем оценку смещения частоты fit приближенно равную оценке максимального правдоподобия fM.
Рассмотрим сигнал со случайными начальной фазой и амплитудой и неизвестным временем запаздывания т:
s (т, а, <р, t) = a A (t — т) cos [2 л f0 (t— т) 4- ф (t— т) — <р].
Используя схему корреляционного измерителя времени запаздывания сигнала (см. рис. 4.9,а), нетрудно аналогично предыдущему получить структурную схему многоканальной системы совместного обнаружения и оценивания. Если же использовать филь-198
Рис. 5.4. Структурные схемы систем обнаружения сигнала и оценивания времени запаздывания
тровой вариант измерителя (см. рис. 4.9,6), то приходим к одноканальной системе совместного обнаружения и оценивания (рис. 5.4,а).
После согласованного фильтра СФ и амплитудного детектора АД образуется огибающая корреляционного интеграла z0(x). В схеме выбора максимума на заданном отрезке времени, определяемом диапазоном просматриваемой дальности, отыскивается максимальное значение
max z0 (т)= z0 (tJ.	(5.10)
т
при этом фиксируется момент времени тм- В случае превышения 2о(тм) порога на выходе ключа Кл имеем оценку времени запаздывания сигнала тм.	।
Эти операции просто реализуются при визуальном съеме информации. Оператор, наблюдая за отметками на экране индикатора с разверткой по дальности, сравнивает наибольший выброс с мысленным порогом и принимает решение о наличии или об отсутствии цели (сигнала). При вынесении решения о наличии цели оператор отсчитывает по шкале индикатора дальность, соответствующую моменту времени, при котором выброс на развертке имеет наибольшую амплитуду. Таким образом, в данном случае оператор по существу решает задачу совместного обнаружения и оценивания дальности цели методом максимального правдоподобия.
199
Для автоматизации рассматриваемой обработки в схеме на рис. 5.4,а после АД можно поставить АЦП и дальнейшую обработку— выбор максимума (10), фиксацию момента тм и сравнение £о(тм)с порогом — проводить в цифровом процессоре.
Возможна и аналоговая реализация автоматической системы совместного обнаружения сигнала и оценивания времени запаздывания (рис. 5.4,6, где УД — устройство дифференцирования, ФИ — формирователь импульсов). Работа системы поясняется временными диаграммами рис. 5.5. Отметим, что в данной системе обнаружение осуществляется не путем отыскания максимума (10) и сравнения его с порогом (как в схеме на рис. 5.4,а), а по-другому— при первом же превышении видеонапряжением z0 заданного порога. Поэтому обнаружитель в схеме на рис. 5.4,6 не является строго оптимальным в смысле критерия (5). Но зато он просто реализуется. Важным достоинством системы на рис. 5.4,6 явля
Рис. 5.5. Временные диаграммы, поясняющие работу схемы на рис. 5.4,6
ется также то, что она позволяет осуществлять совместное обнаружение и оценивание дальности многих целей: ПУ может срабатывать многократно в различных точках временного интервала (дальности).
Аналогично предыдущему, использовав схему на рис! 4.12, нетрудно получить структурную схему системы совместного обнаружения и оценивания времени запаздывания и доплеровского смещения частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой.
В заключение отметим следующее. В рассмотренных системах совместного обнаружения и оценивания на выходе ключа Кд получаем оценку параметра сигнала при условии &=!, т. е. при наличии полезного сигнала на входе системы. Однако это необходимое условие не является достаточным. Дело в том, что ключ
ООО
Кл замыкается всегда, когда ,в пороговом устройстве ПУ принимав ется решение di (есть сигнал). Но решениеd\ может быТь ложй'йм? В этом случае на выходе ключа имеем ложную оценку,'называемую' также псевдооценкой. Вероятность получения-. псевдооце,нк.и«: очевидно* равна вероятности лажной тревоги /..Возможна и обратная ситуация; в ПУ принимается решение d0 (нет сй'гн'ала'), хотя ца самом деле он есть. При этом оценка параметра, получаемая на выходе схемы выбора максимума,'.-будет отвергнута, так<? «как ключ Кд сбудет разомкнут. Иначе говоря, истинная оценка параметра будет ошибочно,принята за ложную. Вероятность этбгб‘события равна вероятности пропуска сигнала Do. Таким образом; вё--роятносди приняти.я, ложной и отклонения "истинной оценок совпадают с соответствующими вероятностями ошибочных решений при обнаружении сигнала.
5.2. ОЦЕЦаЧНО-КОРРЕЛЯЦИОННО-КОМПЕНСАЦЙОННОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ '
. .СТОХАСТИЧЕСКИХ; СИ СПАЛО В  . .,
Оценочно-корреЛяциойные s -алгоритмы. ^Рассмотрим теперь бодее общую задачу совместного обнаружения «. оценивания, "когда полезный сигнал'“йвляется стохастическим. Вначале' остановимся на случае дискретного времени наблюдения, когда в моменты А* А, tn наблюдается случайная последовательность.,	*
й = (бг,А)+^; = U	(5.11)
Параметр 0;, i=l, 2, ..., стохастического сигнала з(-0г, А)представ-ляет собор случайней' процесс >с дискретнымвременем, на который'практически никаких- ограничений не накладывается.. Шум i=K 2, ..., является случайным й^ойбссом с независимыми значениями, описываемыми плотностью вероятностей (§;). Предполагается, что параметр сигнала и шум статистически незави? СИМЫ*.
Найдем отношение, ..правдоподобия An=w(</i,..., pn|a=l)/w(pi,..., pn|O= =0). Для этого введём условные плотности1 вёрояйюстей, to(to. yt-i, й= =	0=1); 1=1, п,. Тогда отношение правдоподобия «Можно
записать в виде
• Ап = ПаЦу^у^1, .0=1) w(ytl&.= 1)/П^W-	(5-12)
.1=2	1 1=1.
* В более общей постановке задачи это-ограничение может б-ыть--ослаблё-®о [53].,
2Q1
Так как — процесс е независимыми значениями и, кроме того, статистически не зависит от процесса О,, то при фиксированном значении 0; имеем
pj-1. 0= 1) = whiles, 0=1).	(5.13)
Учитывая (11) и то, что плотность вероятностей шума описывается функцией получаем
0= l) = tt^[«/i— s(0i, /,)].	(5.14)
Введем апостернорную плотность вероятностей параметра сигнала ш(0,-| 0=1). В силу свойств условных плотностей вероятностей
ш (У1 I у{~1. 0=1)=	0= l)au(0,|^i~l, O=l)d0j.
С учетом соотношений (13), (14) нмеем
0=1)= j’tt'jlyi —s(0it /{)]ш(0{|у{-1, O=l)d0i. -—00
В результате отношение правдоподобия (12) принимает вид t
„ J — «(WiMa^ilH-1 ’° = *)^01 t л „
Дп = JJ —________________________________________ И,(У1)О= 1)
i=2	tt’g(M)	tt^(^)
(5.15)
Отношение правдоподобия удобно формировать последовательным образом с помощью рекуррентного алгоритма, который в соответствии с (15) можно представить в виде ,
J — s(0«.^)l«’(0j|H-1® = О<«0<
Aj =	, i = 2, 3,..., л.
^(Л)
(5.16)
Начальное условие
,	„ J «111/1 —s(ei.<i)lWo(0i)d0i
Лх = «'foi|0= 1)	t
ш(г/1|0 = 0)	«1(1/1)
где Wo(6i) — априорная плотность вероятностей параметра 6ь , Обратим внимание на то, что формулы (15), (16) устанавливают функциональную взаимосвязь отношения правдоподобия, определяющего структуру оптимального обнаружителя, и апостериорной плотности вероятностей параметра сигнала, определяющей структуру оптимального измерителя. Поэтому система обработки 202
сигналов, построенная на основе указанных формул, будет являться системой совместного обнаружения и оценивания параметра стохастического сигнала. Конкретные структуры таких систем, обрабатывающих наблюдаемый процесс в дискретные моменты времени, можно получить, если конкретизировать распределения вероятностей шума и параметра сигнала [53].
Перейдем к непрерывному времени наблюдения, когда наблюдаемый процесс имеет вид
^t = Os(0t, 0 + g4; 0 = 0, 1; 0 Т.	(5.17)
При этом будем считать, что шум gt — белый гауссовский с параметрами (2.34). На случайный процесс >0t, являющийся параметром сигнала s(f)t, t), практически никаких ограничений не накладываем (как и при дискретном времени).
Отношение правдоподобия для непрерывного времени найдем путем предельного перехода в рекуррентном соотношении (16). Для этого воспользуемся тем, что белому гауссовскому шуму 1ц со спектральной плотностью No/2 соответствует при дискретном времени гауссовский процесс с независимыми значениями gt, плотность вероятностей которого определяется формулой (4.108). Подставив эту формулу в соотношение (16), получим
Л,- = Л,_1 J'exp {2уг в(04, tt) — s2(0i. *i)]} ^(Sill/'i-1. 0=1)404.
(5.18) Разлагая экспоненту в ряд по степеням Д/ и используя условие нормировки ОО
J* w(0,-1pf-’, О=1)40.= 1, соотношение (18) приведем к виду —-оо
Л| = Л._1 + Az_, J* { [2yi s (0г, ti) - s2 (0i, 11)] +
—оо 1 Ло
+ 	- s2(0i. MH(0ilH~’> &=-l)dOi + 0[(Af)2].	Г(5.19>
"0
где О[(Д02] — члены порядка малости (Д1)2 и выше.
Перейдем в рекуррентном соотношении (19) к пределу, устремляя Д/->0. При этом выборочные значения У1'=(У\, .... */) наблюдаемого процесса, взятые на отрезке времени [0, /], в пределе при Д1=<4—дадут непрерывную реализацию Уо,=={Ух,	Отношение правдоподобия при дискрет-
ном времени Л,-=ш(р41|О=1)/а>(у’1|О=0) перейдет в отношение правдоподобия At = oi(y0'|0= 1 )!»>(Уо‘ 10=0), являющееся функционалом реализации уо* наблюдаемого процесса (17). Входящие в формулу (19) интегралы
/а(0о tt) u)(0/|z/{—\ 0=1)404,
—DO
203
co
рчб,-,/iWSiiH-1- ®=i)rf6i
—oo
в пределе дадут апостериорные математические ожидания сигнала s(0t, /) и его квадрата s2(0i, t):
СО
M[s(0t, t)\y‘o, 0=1] = fs(0, t)Pi(e)de=2t,	(5.20)
m»CO
co
M[s2(6t. 01^. 0=1] = p(0, <)Pt(0)d0^^.	(5.21)
•—OO
Здесь pt(6) =te>(0i|«/o', 0=1) — апостериорная плотность вероятностей параметра сигнала. Апостериорные математические ожидания (20), (21), обозначенные через st и s2t, являются оптимальными (байесовскими среднеквадратическими) оценками сигнала s(0i, t) и его квадрата s2(0i, t) соответственно.
Рекуррентное соотношение (19) в пределе при Д/->0 перейдет в стохастическое дифференциальное уравнение. При этом возможны две формы записи стохастического дифференциального уравнения — форма Ито и симметризо-ванная форма (форма Стратоновича). Форма записи уравнения будет зависеть от того, учитывается или отбрасывается в соотношении (1'9) член, содержащий коэффициент
K = (Myt)2.	(5.22)
Если под шумом понимать строго дельта-коррелированный процесс (см. (2.34)), то указанный член необходимо учитывать, так как коэффициент (22) при Д/—>0 дает вклад порядка (А0/2)Л/ [53], т. е. имеет порядок малости O(At). Это является следствием изломанности реализации белого шума 5* и наблюдаемого процесса yt. Такие реализации недифференцируемы в обычном смысле, однако их можно дифференцировать, пользуясь специальным правилом — формулой дифференцирования Ито [53, с. 30].
Таким образом,переходя в соотношении (19) к пределу с учетом коэффициента (22), получаем “стохастическое дифференциальное уравненце для отношения правдоподобия в форме Ито:
.	~	(5.23)
(чтобы отличить стохастический дифференциал Ито от обычного дифференциала используем знак ?-). -Однако на практике шум;радиотехнических устройств является, «сглаженным» (не дельта-коррелированным) процессом. В' этом случае коэффициент (22) имеет порядок малости О[(Д/)2] и в пределе дает ну-1 левой вклад. Поэтому, отбрасывая в формуле .(19)' член, содержащий указанный коэффициент, 'переходя к пределу при Д/—>-0, получаем -симметризованное стохастическое дифференциальное уравнение для отношения правдоподобия
d At = (2/А0) At £ уi dt - (1 /No) At^ dt,
204
которое эквивалентно уравнению
Ai = (2/ЛГ0) At st yt - (1 /No) At 4.	(5.24)
Найдем решение полученного уравнения. При этом учтем, что при симметрированной записи Стохастических выражений с ними можно обращаться, используя обычные правила дифференцирования и интегрирования, как если бы белый шум и наблюдаемый процесс yt имели гладкие реализации. Поэтому, заменяя переменные zi = lnAt и дифференцируя по'обычному правилу it = AtlAt, из уравнения (24) получаем it = (2/Лг0)styt—(l/JV0)s2t. Используя начальное условие z0= О (Ло=1), находим логарифм отношения правдоподобия в момент окончания наблюдения Т:
*т <5-2Б> “о О	"О О
Таким образом, отношение правдоподобия
/ о т „	. т \
Ат = ехр ( — J st yt dt- — j sfdq	(5.26)
\^o о	“0 0/
Рассмотрим теперь уравнение в форме Ито (23). Заменяя переменные zt = lnAf и применяя формулу дифференцирования Ито, получаем [53]
о' т -	1 т -
2т = J st yt d* t- -A- j (st)a dt.	(5.27)
Vo	No 0
Первый интеграл в этой формуле является стохастическим интегралом Ито, который подчиняется особым Правилам интегрирования, не совпадающим с обычными правилами интегрирования гладких функций.
Как следует из (27), отношение правдоподобия
Ат =ехр М- J stytd*t--±- J (s^dt .	(5.28)
(Ло о	А'о 0	J
Формулы (26.) и (28) определяют отношение правдоподобия в задаче обнаружения произвольного стохастического сигнала в в белом шуме. Они отличаются друг от друга вследствие использования различных форм записи' стохастических интегралов: первые интегралы в формулах (26) -и (28), есть симметризованный стохастический интеграл Стратоновича и стохастический интеграл Ито соответственно.	' .
Подчеркнем, что полученные1 формулы определяют отношение правдоподобия (и^его логарифм) для любых'1 моделей стохастического сигнала. При этом они устанавливают,, .функциональную взаимосвязь отношения правдоподобия >.с ..оптимальными оценками
205
сигнала, определяя так называемую оценочно-корреляционную обработку сигналов.
При детерминированном полезном сигнале s(6t, t)=s(t) оценка сигнала равна самому сигналу: st = s(Z). При этом стохастические интегралы Ито и Стратоновича совпадают, что следует из формулы их взаимосвязи [53]. Поэтому в данном частном случае должны совпадать и полученные формулы, записанные в симмет-ризованной форме и в форме Ито. Действительно, для детерминированного сигнала (st)2 = s2t = s2 (t) и выражения (25), (27) одинаковы:
9 т	1 т
?т = s(t)ytdt-^~ f	(0 dt.	(5.29)
No о	No о
Эта формула совпадает с (2.43) и определяет логарифм отношения правдоподобия в задаче обнаружения детерминированного сигнала в белом шуме.
На практике полезные сигналы недетерминированные и корреляционный обнаружитель, формирующий статистику (29), не оптимален. Для различных квазидетерминированных сигналов оптимальные обнаружители синтезированы в § 2.5. В общем же случае, когда сигнал стохастический, оптимальным будет являться оценочно-корреляционный обнаружитель, определяемый полученными формулами.
Сравнивая найденные выражения, видим, что логарифм отношения правдоподобия для общей задачи в форме Ито (27) можно получить путем формальной замены детерминированного сигнала s(t) в формуле (29) оценкой st стохастического сигнала. При этом оценочно-корреляционный обнаружитель можно представить в виде схемы на рис. 5.6,а, где блок обнаружения формирует статистику вида (29) (с учетом замены s (t) на st) и сравнивает ее с порогом.
Рис. 5.6. Структурные схемы оптимального (а) и квазиоптимально-го (6) оценочно-корреляционных обнаружителей
206
Рассматриваемый оценочно-корреляционный обнаружитель представляет собой систему совместного обнаружения и оценивания стохастического сигнала. Обнаружитель оптимален по критерию отношения правдоподобия (§ 2.2), а блок оценивания оптимален по критерию минимума среднего квадрата ошибки (§ 4.1). Если 0=1 и обнаружитель вынес решение db то на выходе ключа Кл имеем оптимальную оценку сигнала st.
Оценочно-корреляционный обнаружитель можно упростить. Для этого учтем, что в большинстве радиолокационных и радионавигационных задач оцениваемый параметр 0( сигнала s(0(, t) неэнергетический. В этих случаях члены s2t и (&)2, входящие в (25), (27), могут быть представлены в виде суммы неинформативной константы и колебательных членов удвоенной частоты, дающих малый вклад. Пренебрегая указанными членами, получаем
2т « J styt dt.	(5.30)
о
Отметим, что к такому же алгоритму можно прийти, если предположить, что сигнал достаточно слабый [53}.
Таким образом, схема квазиоптимального оценочно-корреляционного обнаружителя может быть представлена согласно формуле (30) в виде рис. 5.6,6. Если сигнал детерминированный, то задача его измерения отпадает — и схема на рис. 5.6,6 переходит в корреляционный обнаружитель (см. рис. 2.5,а). В таком обнаружителе в качестве опорного колебания используется сам обнаруживаемый сигнал, который заранее известен. В общем случае при обработке стохастического сигнала, не известного наблюдателю, опорным колебанием служит оценка st — отфильтрованное от шумов значение полезного сигнала. Отметим, что опорное колебание представляет собой оценку сигнала (20) лишь при 0=1, т. е. когда на входе обнаружителя есть полезный сигнал. Если же такого сигнала нет (0=0), то опорное колебание является псевдооценкой, представляющей собой шум, прошедший через блок оценивания.
Квазиоптимальный оценочно-корреляционный обнаружитель, как и оптимальный, — система совместного обнаружения и оценивания. При превышении выходным напряжением интегратора значения порога обнаружения, устанавливаемого в ПУ, на выходе ключа Кл имеем оценку полезного сигнала (если 0=1). При этом экономится общее время обработки (обнаружения — измерения). В обычных же системах лишь после окончания обнаружения система переходит в режим измерения и формирует оценку.
В оценочно-корреляционном обнаружителе удачно реализуется и режим подтверждения, когда обнаружитель не прекращает
207
работы прсиё-установления )1фак’?а каЛйЧйЯ' сигнала. При этом Обнаружитель работает совместно е’блоком оценивания и является индикатором срыва слежения/:- J • >	.. ;	’
Примеры. Полученные ч алгоритмы .оценочно-корреляционного; обнаружения являются общими: Однако- для реализации оценочно-корреляционных обнаружителей необходимо, раскрыть блок фор, мирования оптимальной оценки г/. Для этого потребуется-конкретизировать модельсполезного ’Сигнала и синтезировать блок оценивания. При этом можно .воспользоваться результатами по фильтрации стохастических'сигналов § 4.3).	{   и	< ‘
Предположим,„что, полезный сигнал s(0i, l)=0t — марковский гауссовский процесс,.’определяемый стохастическим дифференциальным уравнением^ ,(41,22). Апостериорная плотность вероятностей Сигнала н рассматриваемом случае яв-:г	' •:и,		'	-	.	' л 1
льется- гауссовской -(4426), ад б^рю^ррмироваадя .оптимальней оценки представляет собой линейный фильтр (фильтр Калмана), описываемый уравнениями (4.127), (4.128). Конкретизируя выражение для логарифма'-отношения правдоподобия в симметризованной форме (25) с учетом st=6i,'' з2;=02; и того,” что; айбсТёрибрийя дисне^йЙ	поручаем	" '
‘У Т	1	7	1 Т
Т № 0J И1 ...А'й jy ‘ A'o'oJ’t	
Тад ’Кай 'апостериорная дисрерсйя l//i; от'случайного процесса yt не зависит' (с'м.-'(4.128))., то последний’интеграл'в (31).^является детерминированной ве-Личнной и ее, а также('МноЖит'еЯ'ь7'’!/^ из статистики ’zT можно исключить. В результате достаточнаяТЗга^йстЙйа	'	’	4
" ’ . . Г	г.
’ гт •= 2 dt — ^m^t.	(5.32 у
е’ ’ • ’ 0 ‘	’
Айадогинный .вид имеет, стдтистика ,оптимального обнаружения, в форме Ито-(2^). -Отметцм, уто,.в рассматриваемом случае уравнения оптимальной фильтр радии в. симметрированной форме (4.127), (4.128) и в форме Ито совпадают.
, Структурная схема .оптимального обнаружителя, формирующего статистику
Рис. - 5<7. Структурная схема оценочно-корреля-ционного обнаружителя гауссовского сигнала
208 ’
(32), • показана.. ий^рцс.’5.7-, где Кв — квадратор (структурная .сдема фильтра Калмана приведецаера ри<}._ 4.14,6, в), Ца выходе ключа _Кл имеем оптимальную оценку '"полезного сигнала mt=Qt (при1 вынесении решения >rfi и- при’-&= 1).
Рассмотрим второй, пример,- когда полезный сигнал — фазомодулированное колебание s(0<, t) =А0 sii<(((06?+6i) (таг’же модель, что й в , (4.138)9; В данном Примере' блбк оцейиванияХ— нелинейный: Синтез-этого блока.-методом гауссовского' приближения” с последующим ‘ переходом' к стационарному режиму приводит К типовой схеме ФАП\1 (см. рйЙ-4.15).
' ^.Статистика (30) при большой апостериорной- точности может быть пред-' Ставлена в виде	-	' Ч
A	t)ytdt-	(5-.-33)
о 
Для‘ Доказательства 'этог;о 'рЙйДсойим сигнал s(0t, fj в ряд в дКр;естности’-0|:
AW,, i) s (0«,- 0;+ (6 ~М . t) + (1/2) (0 - %)2 а" &, .:/).-|- -... - .у
Взяв апостериорное математическое ожидание от . обеих частей: этого..ра-версдрас получим
м is со,,. пМ,	= s(0t? о + (i/Wt(j 4-...
Отсюда видней .что при большой апостериорной точности, когда: апостериорная дисперсия Kt достаточно мала, si~s(0(, t) и, следовательно, статистика (30) переходит в (33). Для рассматриваемого примера Qt~mt; s.(0f)7)1^4ofsin[G>o<+ +m(], поэтому	j _я -в
' Т
zr«; J 4asin(<00 t 4- tntlyt di- ’	(5-34)
O' '	•' s ’	4	,
На рис. 5.8 приведена структурная схема системы, определяемая формулой (34) и уравнениями (4.140), (4.141) с учетом за-' мень! Kt на К; обозначения те же, что и на, рис. 4-1.5. Синтезиро-
Рис. 5,8. Структурная, схема оценочно-корреляционного обнаружителя фазомодулцрованиогс , сигнала
209
ванная схема представляет собой квазиоптимальный оценочнокорреляционный обнаружитель, блоком оценивания которого является типовая схема ФАПЧ. Как видим, для получения обнаружителя схему ФАПЧ нужно дополнить фазовращателем, умножителем, интегратором и пороговым устройством.
Рассматриваемый обнаружитель включает в себя следящий измеритель (ФАПЧ), образуя с ним единое целое — систему совместного обнаружения и оценивания. Формирование опорного сигнала с помощью ФАПЧ позволяет выполнить квазикогерентную обработку сигнала (близкую к когерентной) и реализовать метод фазовой селекции (см. § 2.6). Схема на рис. 5.8 осуществляет обнаружение, оценивание фазомодулированного сигнала него параметра. На выходе ключа Кл при 0=1 и вынесении решения di формируется оценка сигнала Aosin((oo^+n4) и оценка его фазы
Аналогично можно решить задачи синтеза оценочно-корреляционных обнаружителей и для других моделей сигнала.
Оценочно-корреляционно-компенсационные алгоритмы. Приведенные результаты допускают ряд обобщений. Рассмотрим задачу, когда на произвольный стохастический сигнал st помимо белого гауссовского шума воздействует произвольная * стохастическая помеха тр:
й=«Нч»Н;*=о,1;о<<<т.	,
Логарифм отношения правдоподобия для этой задачи [53]
2 г -	-	1 т .
Zr = Г" J <s« + Чн ~ Чо») Уо{ d* t- — J (st +- ^t)2 dt, (5.35) 0	”o о
где
s< = M (Sjf/10 = 1), 4it = м	О = 0, * = o, 1,	(5.36)
= —Hot-	(5.37)
Апостериорные математические ожидания (36) представляют собой оптимальные (байесовские прн квадратичной функции потерь) оценки сигнала и помехи (при 0=1 и 0=0) соответственно. При гр=О имеем r]it=O, и формула ‘(35) переходит в (27).
Согласно (35) в оптимальном обнаружителе должны формироваться оценки т]н и T]ot помехи тр, которая затем компенсирует
• Термин «произвольный» употребляется в том смысле, что иа случайные процессы st и накладываются ограничения [53], которым удовлетворяют любые сигналы н помехи, встречающиеся иа практике.
210
сЯ (частично) в результате вычитания г]ц—not- Компенсация помехи происходит и при формировании статистики (37). Можно показать [53], что процесс yOt при 0=0 является дельта-коррелированным гауссовским. Это означает, что компенсатор, работающий по алгоритму (37), осуществляет обеление произвольной помехи, т. е. является обеляющим фильтром. Структурная схема подобного компенсатора уже обсуждалась (см. рис. 2.22,6) при рассмотрении физических принципов защиты от помех.
Синтезированная система допускает различные модификации, упрощающие ее реализацию. Так, при достаточно слабом сигнале, когда его влиянием на оценки помех можно пренебречь, rjot«, при этом оптимальный алгоритм (35) переходит в квази-оптимальный
о т „	> Г .
zT « -±- J s£ yotd* t - J- J (s£)2 dt.	(5.38)
**оо	“о о
Сравнивая этот алгоритм с (27) и учитывая соотношение [64] £( = М(з(|у‘о, &= 1) «М(st|у'оо, &=!), где ylWi— реализация процесса yot на отрезке [0, f], видим, что устройство, реализующее алгоритм (38), можно построить по схеме на рис. 5.9. В этой схеме структура компенсатора помех определяется формулой (37). «Гауссовский приемник» представляет собой устройство формирования логарифма отношения правдоподобия в задаче обнаружения сигнала на фоне белого гауссовского шума (27). При детерминированном сигнале этот приемник — согласованный фильтр (§ 2.4), для квазидетерминированных сигналов структурные схемы приведены в § 2.5, в общем случае при стохастическом сигнале гауссовский приемник строится в соответствии с оценочно-корреляционным алгоритмом. Отметим, что в некоторых случаях, например при обнаружении детерминированного сигнала на фоне гауссовской коррелированной помехи, структурная схема на рис. 5.9 определяет строго оптимальную обработку (см. § 2.7).
Рис. 5.9. Структурная схема квазиоптимального устройства обработки сигналов на фоне помех и белого шума
311
Оптимальный алгоритм (35), а также квазиоптимальный (38) определяют оценочно-корреляционно-компенсационную обработку сигналов на фоне произвольных помех.
Обобщение этой обработки на векторные процессы, которое позволяет оптимизировать пространственно-временную обработку стохастических сигналов с компенсацией помех, имеется в [59, 69]. В [64] дается обобщение на более сложную ситуацию, когда на сигнал могут воздействовать несколько различных помех — комплекс помех, причем недостоверно присутствующих в наблюдаемом процессе.
В заключение отметим, что рассмотренные общие формулы для отношения правдоподобия и его логарифма целесообразно применять при проведении так называемого математико-эвристического синтеза радиосистем. Сущность такого подхода заключается в следующем. За основу построения системы берется математически синтезированный алгоритм, структура которого обладает определенной степенью инвариантности относительно статистических свойств наблюдаемых процессов. При синтезе яге блоков, не обладающих свойством инвариантности, используются как математические методы, так и эвристические соображения; последние обычно носят характер ограничений на сложность блоков.
Применительно к рассмотренным задачам алгоритмами с инвариантной структурой являются оценочно-корреляционный п оценочно-корреляционно-компенсационный алгоритмы обнаружения. Блоки оценивания свойством инвариантности не обладают. При их синтезе целесообразно ввести ограничения на слоягность, например задав заранее их структуру. При этом можно взять за основу структуры соответствующих апробированных на практике измерителей. Математические методы здесь используются при выборе типа измерителя и при оптимизации его составных частей. Как показывает анализ, подобный математико-эвристический синтез приводит к системам, обладающим простотой технической реализации и сравнительно высоким качеством работы.
5.3. БАЙЕСОВСКОЕ СОВМЕСТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СИГНАЛОВ
В § 5.1, 5.2 были синтезированы различные системы -совместного обнаружения и оценивания, состоящие, в частности, из оптимальных обнаружителей и оптимальных измерителей. Последние являются оптимальными при условии, что оцениваемый сигнал присутствует в наблюдаемом процессе. Результат оценивания (оценки, сигнала или его параметра,, либо то и другое) использовался совместно, с результатом обнаружения (при вынесении решения tZi).
212
Однако задача синтеза байесовской системы, оптимизирующей совместное выполнение операций обнаружения и оценивания, ранее не ставилась. Рассмотрим такую постановку здесь и кратко остановимся на основных результатах (подробнее см. [15, 53, 68]).
Обозначим через yt наблюдаемый на заданном отрезке времени [О, Т] случайный процесс, который при 0=0 является шумом, а при &=! —смесью сигнала и шума. Сигнал зависит от параметра О^еЕ0, являющегося случайным процессом. Обозначим через fo. и бе решающие правила обнаружения и оценивания соответственно. В соответствии с этими решающими правилами в момент окончания наблюдения Т выносятся, вообще говоря, функционально взаимосвязанные решения d# и de: бе (yTo)=de —решение о наличии ch или об отсутствии d0 сигнала в наблюдаемой реализации ут0 и 8е(уто) =de — решение о значении процесса 6t в момент времени Т, иначе говоря, оценка неизвестного параметра сигнала.
Введем функцию потерь общего вида
с = с (&, 6, d&, de),	(5.39)
характеризующую совместную плату за вынесение решений об обнаружении и оценивании. Используя априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала ₽{<)’=0} =ро, />{'fl’=l}=Pi, Po + Pi = l> а также априорные распределения шума и параметра сигнала, можно определить полное математическое ожидание потерь, т. е. средний риск:
г (бе, бе) = Me [Ф, 6т , бе (Уа), бе (Уо )1-
Оптимальное (в байесовском смысле) правило совместного обнаружения и оценивания представляет собой пару взаимосвязанных решающих правил 6*e, б*е, для которых
Г ( бк 6g) = min 7 (бе, бе).
>йе
Таким образом, рассматриваемая байесовская задача совместного обнаружения и оценивания сводится к заданию общей функции потерь (39), штрафующей одновременно решения об обнаружении сигнала и об оценивании его параметра, и к отысканию пары решающих правил, минимизирующих средний риск. ’ Отметим, что при раздельном рассмотрении байесовских задач-обнаружения (гл. 2) и оценивания (гл. .4) вместо, функции потерь (39) вводились потери на обнаружение с (й, d$) и отдельно потери на оценивание с(0, de); затем путем минимизации средних рисков Мс(^, б.е), Мс (в, бе) отыскивались-решающие правила обнаружения и оценивания, не связанные между собой.
its-
Вид взаимосвязи между обнаружением и оцениванием зависит от выбора функции потерь. В [15, 53] приведены функции потерь разной степени общности и соответствующие им оптимальные правила, отражающие различную взаимосвязь между обнаружением и оцениванием.
Остановимся на одном частном случае, когда составляющие функции потерь (39) имеют вид: с(&=0, d0) —с00 — плата за правильное необнаружение; С(0=О, di, de)=c01+de — плата за ложное обнаружение и ложную оценку d6; с(0=1, do, 0)=сю+62 — плата за ложное необнаружение сигнала с параметром 6; с(0=1, dj, 0, de)=Cn-|-(0—de)2 — плата за правильное обнаружение и оценку d0 параметра * 0. В этом случае минимизация среднего риска приводит к сравнительно несложному оптимальному правилу совместного обнаружения и оценивания:
. . (di. еслиЛг>1,
fio(% )=fd если Л ^1	(5>40)
Uq у если /kgj’ 1 у
Л 0
6g ( ут ) = ————-----, если Л„г 1,	(5-41)
> Л-г + Рь/Р!	еТ
где Л8т — модифицированное отношение правдоподобия [15, 53]; Лг = Щ(1/от| 0=1)/щ(рот|0=О) — отношение правдоподобия;
§т = М(0Г [ у?, 0=1)	(5.42)
— байесовская оценка параметра сигнала для квадратичной функции потерь при условии, что сигнал присутствует в наблюдаемой реализации уот.
Если в правиле (40), (41) модифицированное отношение правдоподобия Лвт заменить обычным Ат, а значение порога h—1 на h~p0(cl0—Сц)/Р|(е0|— —Соо), то, как показал анализ, значение среднего риска, характеризующее качество работы системы совместного обнаружения и оценивания, увеличится ие-аначительио, однако техническая реализация системы существенно упростится. Отметим, что при указанных заменах правило (40) переходит в байесовское правило обнаружения (см. § 2.2), ие связанное с правилом оценивания.
Особый интерес представляет оптимальная оценка 6*е(«/от) параметра сигнала. Так как
_________________w (1/(Г|0= l)Pi___________
Ay + Po/Pi w (1/ор= l)Pi + «'(^c|0?=O)po
«'(*0. 0=1)
= —- -~т--------= Р 0 = 11.	(5.43)
* Такая функция потерь физически оправдана, если параметр 0 энергетический.
214
то, как следует из (41),
Таким образом, в рассматриваемом случае оптимальная оценка 6*e(t/or) параметра сигнала при недостоверном его присутствии (pj<I) в наблюдаемой реализации рог равна оптимальной оценке 6т при достоверном присутствии сигнала (6=1), умноженной на апостериорную вероятность наличия сигнала.
На рис. 5.10 представлена система, реализующая правило (40), (41) с учетом замены статистики Лвт на Лт. Формирователь отношения правдоподобия подает Лт на пороговое устройство и на блок формирования апостериорной вероятности наличия сигнала (43). Оцеииватель формирует оптимальную оценку параметра при условии 6=1, т. е. оценку (42). При превышении порога обнаружения на выходе ключа Кл получаем оценку параметра сигнала при недостоверном его присутствии, т. е. при pi<I. Отметим, что формирователь отношения правдоподобия и оцеииватель при 6=1 удобно реализовывать в едином блоке, используя оценочно-корреляционный метод построения обнаружителей (см. § 5.2).
Качество работы рассматриваемых систем совместного обнаружения и оценивания характеризуется средним риском. Для оптимальной системы средний риск минимален. При этом он оказывается существенно меньше среднего риска систем совместного обнаружения и оценивания, рассмотренных в § 5.1, 5.2. Уменьшение значения среднего риска достигается за счет уменьшения составляющей среднего риска, относящейся к оцениванию. Что касается составляющей среднего риска, относящейся к обнаружению, то ее значение остается тем же, что и при обычной процедуре обнаружения, когда с порогом сравнивается отношение правдоподобия Лт. Иначе говоря, выигрыш оптимальной системы совместного обнаружения и оценивания по сравнению с системой, составленной из ие связанных между собой обнаружителя и оцеиивателя (оптимизированного при 6=1), достигается за счет улучшения качества работы оцеиивателя, оптимизированного при недостоверном присутствии сигнала
Рис. 5.10. Структурная схема системы совместного обнаружения и оценивания
215
Глава 6. РАЗРЕШЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ СИГНАЛОВ

6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗРЕШЕНИИ И РАСПОЗНАВАНИИ ОБЪЕКТОВ И СИГ- ‘
НАЛОВ с	"	‘
Разрешение и- распознавание радиолокационных объектов относятся к числу * основных задач радиолокации. Разреше-ние?-как^уже отмечалось, сводится к обнаружению и измерению координат и параметров; движения объекта при наличии в -исследуемом пространстве- других- объектов. Последние - могут быть близко* располо'женными.-радиолокационными"объектами (самолеты, корабли и. т, п.)-, для*которых/ также требуется "выполнение операций обнаружения и измерения координат, -и'ли могут быть маскирующими - объектами - естественного.. (дождь, земная поверхность);, либо искусственного (ложные цели,, дипольные отражатели) -происхождения, .затрудняющими выполнение задач, стоящих перед радиолокационной системой.
-^Рдной из важнейших тактических характеристик радиолокации онной системы являетод:,ее разрешающая, способность (см. §1.4), Разрешение объектов .сводится в конечном снетег к разрешению принимаемых- радиолокационных сигналов, .а разрешающая спо* собность. по теш или иной экоорди* нате будет определяться разрешающей.-способностью-по соответствуй тощему параметру сигнала (време* НИ запаздывания, частоте,- .наврав* лению прихода радиоволн) — параметру разрешения. Разрешающая способность зависит от формы принимаемых сигналов, ширины спектра, протяженности сигналов по параметр); разрешения на выходе приемника. Как ясно из рис. 6.1, на котором изображены огибающие сигналов ..S (в) на выходе приемника, имеющие различную протяженность по параметру разрешения 6, при одинаковом значении А6 «узкие» сигналы (рис. 6.1,6) разделя
ло
ются лучше. При этом разрешающая способность при таких сигналах'будет выше.
Разрешающая способность зависит и от отношения энергии принимаемых сигналов к спектральной плотности шума; она, очевидно, возрастает при увеличении отношения сигнал-шум.
Различают потенциальную и реальную разрешающую способность. Потенциальной называется наивйсшая разрешающая способность, которая может быть достигнута -лишь при оптимальной обработке сигналов. В реальных условиях разрешающая способность радиолокационных систем всегда ниже потенциальной.
Распознавание ‘радиолокационных объектов состоит в установлении принадлежности объектов к определенным классам. Оно сводится к распознаванию радиолокационных сигналов, несущих информацию об объектах и принимаемых на фоне шумов.
Процесс распознавания объектов включает в себя следующие этапы: 1) получение данных радиолокационного наблюдения; 2) анализ этих данных и извлечение из них характерных черт или признаков, отличающих объекты и соответственно радиолокационные сигналы друг от друга; 3) классификация наблюдаемых сигналов в соответствии с тем или иным алгоритмом, определяемым принятой мерой близости полученных (в результате обработки сигналов) признаков и исходных признаков объектов.
Надежность распознавания в значительной мере зависит от выбора системы признаков, по которым классифицируются объекты. Этот выбор определяется как характеристиками самих объектов, так и характеристиками зондирующих сигналов.
Для классификации могут быть использованы кинематические признаки, а также признаки, определяемые размером, формой и материалом отражающей поверхности.
К кинематическим признакам относятся параметры поступательного движения объекта (скорость, ускорение), параметры вращательного движения объекта или его отдельных частей, а также признаки, связанные с особенностями траекторий объектов,— траекторные признаки. Эти признаки проявляются в виде соответствующих характеристик эхосигналов (при активной радиолокации), по которым и осуществляется классификация. Например, объекты, движущиеся с различными скоростями, можно распознать по доплеровскому смещению частоты принимаемых сигналов. Вращающиеся части объектов (лопасти реактивных турбин, винты) создают модуляцию (амплитудную и частотную) эхосигналов, которую можно использовать для классификации объектов. Траекторные признаки (баллистическая траектория, траектория маневрирующего объекта и др.) проявляются при многократных наблюдениях в результате вторичной обработки радиолокационной информации (гл. 7).
217
Признаки, связанные с размером, формой и материалом отражающей поверхности, определяют интенсивность, форму, вид флуктуаций и поляризационные характеристики эхосигнала. Так, сферический объект, являясь симметричным отражателем, создает нефлуктуирующий эхосигнал, не обладающий четко выраженными поляризационными свойствами.
При выборе признаков классификации следует учитывать н характеристики зондирующих сигналов, в частности разрешающую способность при тех или иных сигналах. Так, скорость движения объектов можно выбирать в качестве признака классификации только тогда, когда разрешающая способность по частоте достаточна для разрешения эхосигналов. Если, например, объекты различной конфигурации классифицируются по числу и расположению блестящих точек, * то необходимо использовать зондирующие сигналы, при которых разрешающая способность по времени запаздывания достаточна для разрешения этих точек. В этом случае принимаемые сигналы состоят из ряда дискретных радиоимпульсов, отраженных блестящими точками. Расположение импульсов на оси времени соответствует распределению блестящих точек на объекте. В результате указанные радиоимпульсы создают радиолокационный портрет объекта. Сравнивая этот портрет с заранее полученными радиолокационными портретами известных (эталонных) объектов, можно решить задачу распознавания.
В силу зависимости признаков классификации от характеристик зондирующего сигнала последние нужно выбирать так, чтобы признаки были наиболее информативными и устойчивыми, позволяющими достаточно надежно решать задачу распознавания.
Объекты можно классифицировать как по одиночным признакам, так и по их совокупности. В последнем случае увеличивается надежность распознавания, однако усложняется распознающее устройство.
В качестве упомянутой меры близости полученных признаков, которые обозначим через х= (xi..хп), и признаков г{=2^ь ...,
эталонного объекта, принадлежащего классу Ai, i=l, ..., tn, возьмем некоторое действительное неотрицательное число р(х, z1') — «расстояние» между векторами х и z\ Это число можно задавать по-разному. Например, в евклидовом пространстве расстояние между двумя векторами есть норма (длина) вектора х—z1, определяемая формулой
р (х, Zf) = [| X — Z‘|| == 1/ 2 (х/-4)2.	(61)
F z=i
• Иод блестящей понимается такая точка на поверхности объекта, для которой нормаль к поверхности совпадает с направлением на РЛС.
218
Очевидно, целесообразно найти наименьшее расстояние и проводить классификацию объектов по правилу: если
р (х, zft) = min р (х, z1), то х е Ak,	(6.2)
I
где xeAft означает, что объект с вектором (Признаков х принадлежит классу Ль(&=1, ..., т). Согласно этому правилу, называемому правилом «ближайшего соседа», объект относят к тому классу, расстояние от которого (например, в смысле (1)) минимально.
Решение задачи распознавания существенно упрощается, если требуется классифицировать объекты лишь на «свои» и «чужие». В этом случае применяют радиолокационные системы с активным ответом, использующие запросно-ответные устройства. Сигналы этих устройств кодируются соответствующим образом, что позволяет не только разделить наблюдаемые объекты на «свои» и «чужие», но и провести более подробную классификацию своих объектов (определить тип самолета, корабля и т. д.). Кодирование сигналов может осуществляться путем изменения по тому или иному закону несущей частоты, амплитуды импульсов, длительности импульсов, числа импульсов в пачке, временных интервалов между импульсами. Наилучшие технические характеристики аппаратуры распознавания достигаются при использовании комбинированных кодов, когда одновременно кодируются несколько из указанных параметров.
Как ясно из сказанного, задачи разрешения и распознавания объектов (сигналов) связаны между собой. Так, разрешающая способность влияет на выбор признаков классификации и в конечном счете сказывается на надежности распознавания. При распознавании близко расположенных объектов вначале решается задача их разрешения. Особенно тесная взаимосвязь разрешения и распознавания сигналов проявляется при статистической оптимизации этих процедур.
В заключение отметим, что задачи разрешения и распознавания сигналов в той или иной степени приходится решать и в радионавигации при обработке радионавигационных сигналов. Например, некоторые задачи поиска импульсных сигналов в радионавигационных системах сводятся к распознаванию сигналов.
6.2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗРЕШЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ СИГНАЛОВ
Общие решающие правила. Так как прием сигналов осуществляется на фоне случайных помех и, кроме того, сами сигналы, как правило, флуктуируют, то задачи разрешения
219
и распознавания сигналов статистические. Поэтому оптимальное решение этих задач может быть получено на основе теории статистических решений. Одним из разделов данной теории, непосредственно применимым к задачам разрешения и распознавания сигналов, является проверка многих статистических гипотез, адекватная многоальтернативному обнаружению сигналов.
Рассмотрим многоальтернативное обнаружение сигналов в байесовской постановке. Предположим, что в течение фиксированного времени наблюдается реализация y^Y случайного процесса yt, протекающего в дискретном или непрерывном времени. Процесс i/t принадлежит одному из (ш+1) непересекающихся классов. Соответствующие состояния реализации у будем ассоциировать со значением параметра 6=0, 1,..., т. Пусть 0=0 означает, что у содержит один шум, а &=1 означает, что у является смесью сигнала и шума, причем сигнал принадлежит i-му классу, i=l, ..., т.
Б байесовской постановке задачи параметр й интерпретируется как дискретная случайная величина, априорные вероятности которой известны:
т
Рг=рр=1}, 2 рг = 1.
i=0
В результате наблюдения реализации у и применения решающего правила б требуется принять одно из (т+1) решений 6 (у) = =dj, j=Q, ..., т, где d, — решение, согласно которому считается, что у принадлежит /-у классу, т. е. &=/. Задается матрица потерь ||c(i, di) ||, i, i = 0. 1, .... m, где c(i, dj) —потери, возникающие в результате принятия решения dj при условии, что имеет место состояние '&=/.
Оптимальное (байесовское) решающее правило 6 * отыскивается путем минимизации среднего или же апостериорного риска (см. § 2.1). Последний в случае принятия решения 8(y)=dj равен
т
га (У, dj) = 2 с (г, dj) Р{& = 1\у},
1=0
где P{'&=i\y} — апостериорная вероятность состояния Ф=Л Оптимальное правило многоальтернативного обнаружения состоит в принятии решения 6*(y)=dfc, если осуществляется неравенство
т	т
3 с (i, dk) Р (Ь = у} 2 С (i, dj) Р р = i|у}	(6.3)
Ь=0	f=0
для всех /=0, ..., т, j^=k. Это решающее правило можно записать по-другому, если ввести отношения правдоподобия
Лг = w (ур = i)lw (ур = 0), i = 0].т.	(6.4)
220
Заметим, что Ло==1. Поделив обе части неравенства на апостериорную вероятность Р{0’=0|^} и учтя, что P{&=i\y}IP{$=0\y} = = (Р</Ро)Лг, получим оптимальное правило многоальтернативного обнаружения вида
б* (У) = если 5 с V’ Pt Лг 7=0
с (i, dj) Pi A^t, j =	j=£k.	(65)
i=0
В частном случае, когда т = 1 и с (О, d0)=c(l, di)=0, из (5) следует оптимальное правило двух альтернативного обнаружения:
at
A1 = w(yl^ = l)/w (г/]6' = 0) % poc(Q, dJ)/p1 с(1, d0), do
совпадающее, конечно, с ранее найденным правилом (2.19).
Рассмотрим важный частный случай многоальтернативного обнаружения, когда составляющие матрицы потерь имеют вид
с (i, dj) = ( 0’1 i,j = 0,...,m.	(6.6)
I 1, i¥=i,
При таких потерях правило (5) упрощается:
б* (y) = dh, если ph > pj j = 0 т, j =£ k.	(6.7)
Если все априорные вероятности одинаковы:
Pi = Р, i = 0 >•••, т,	(6.8)
то решающее правило (7) сводится к выбору наибольшего отношения правдоподобия
6*(t/) = dA, если Ль > Л>, / = 0	т, j=£ k.	(6.9)
Вместо -отношений правдоподобия (4) можно формировать монотонные функции от них, в частности логарифмы Zj=lnAi, i=0, ... ..., th, zo=O; при этом правило (9) эквивалентно
6*(y) = db, если zh^zjt j =	(6.10)
Согласно (10) принимается решение &*(y)=da — «нет сигнала» если
о,/= 1 т.	(6.Ц)
Если же
*ь>0, >?,,/= l,...,m,	(6.12)
то принимается пешение б* (у) =dk — «есть сигнал k-vo класса» = 1,...., т).
221
Отметим, что к решающим правилам (9), (10) можно прийти и по-иному — с небайесовских позиций, оценивая неслучайный дискретный параметр Ф, принимающий т + 1 значение (0=0........ т).
Для пояснения этого введем условное отношение правдоподобия Л(у|0,) = щ(*/|'0)/до(у|'&=0), 0=0... т-	при O=i эта статистика
совпадает с (4). Используя метод максимального правдоподобия
Л (1/1 £м) = max Л (у|О),	(6.13)
о
находим оценку 0м, которая равносильна решению о значении дискретного параметра О, выносимому в соответствии с правилом (9). Таким образом, в том частном случае, когда справедливы условия (6) и (8), байесовское правило многоальтернативного обнаружения и правило оценивания дискретного параметра методом максимального правдоподобия приводят к одному и тому же результату.
Мерой качества многоальтернативного обнаружения сигналов может служить средний риск, однако более наглядную меру качества составляют вероятности ошибочных решений
₽ii = Р {6 (У) = d{ |О = /}, i, / = 0 ,..., т, i j.	(6.14)
Эти вероятности вычисляются по формулам
₽»= J’u»(y|« = /)dy,	(6.15)
где область УДу)с:У включает те реализации у=(у,, уп), для которых 6(//)=d<. В общем случае оптимального многоальтернативного обнаружения области интегрирования У*»(!/)(1=0, ..., т) определяются решающим правилом (5). При потерях (6) области y*i(y) описываются правилами типа (7), (9). При двухальтернативном обнаружении вероятности (14), (15) совпадают с вероятностями ложной твероги F и пропуска сигнала Do: Рю=Л Ро1 = До-
Решающие правила (5), (7), вместе с формулами (15) позволяют проводить синтез и анализ оптимальных систем многоальтернативного обнаружения, и в частности оптимальных систем разрешения и распознавания сигналов. Для иллюстрации полученных общих результатов рассмотрим несколько конкретных задач.
Детерминированные сигналы. Рассмотрим случай, когда в качестве модели сигнала используется наиболее простая модель — детерминированная функция. Предположим, что наблюдаемый процесс имеет вид
й_ (Ь.
Is, (1) 4- О = i, i = 1 ,..., т,
(6.16)
где Si(t)—детерминированные сигналы; — белый гауссовский шум со спектральной плотностью N0/2. Требуется по результатам 222
наблюдения yt в течение времени [О, Г] выяснить, какое из т+1 возможных состояний 6=0, .... т имеет место, т. е. необходимо решить задачу обнаружения и различения т детерминированных сигналов. Данная задача, по существу, и есть простейшая статистическая задача распознавания сигналов.
Для синтеза оптимального устройства распознавания воспользуемся решающим правилом (10). Логарифмы отношений правдоподобия в рассматриваемом случае определяются аналогично (2.43):
о 7	F-
No n	Na
(6J7)
Где Ei = S s2i(t)dt — энергия i-го сигнала. В этом случае устройст
во распознавания (рис. 6.2,а) представляет собой многоканальную схему из пг корреляторов, на выходах которых формируются т
корреляционные интегралы z't = J ytSi(t}di, i = l, ..., пг. Значения
последних в момент окончания наблюдения Т поступают в решающее устройство РУ, работающее по алгоритму (11), (12) с учетом (17). Согласно этому алгоритму РУ принимает решение do (нет сигнала), если z'jsgEj/2, j=l, ..., пг, и решение dk (есть сигнал k-ro класса), если z'k^-Ekt^, z'k—Ekl2^z'j—Ejl2, /=1. m,
j^=k.
В рассмотренной задаче наблюдаемый процесс при 6=1....пг
содержал лишь один из пг возможных сигналов (см. 16). Если же наблюдаемая реализация может содержать одновременно несколько сигналов, то возникает задача их разрешения. Положим для простоты, что одновременно могут наблюдаться не более друх сигналов, при этом наблюдаемый процесс зададим в виде
yt =
lt,	0 = 0,
si (О +	о = 1,
МО + Ег.	6 = 2,
Si(O+s2(O+?t. о=з,
(6.18)
Детерминированные сигналы Si(t) и s2(t), принимаемые на фоне белого шума gt, могут иметь, в частности, одинаковую форму и отличаться друг от друга значением какого-либо параметра, например s2(t) = Si(t—т), где время запаздывания т считается известным.
Необходимо по результатам наблюдения процесса (18) выяснить, какое из возможных состояний 6=0, .... 3 имеет место. Ииа-
223
Рис. 6.2. Структурные схемы оптимальных устройств распознавания детерминированных (а) и квазидетерминироранных (б).'хигналов
че говоря, необходимо решить, присутствуют в yt полезные сигналы или нет.; если присутствуют, — то два сигнала или один; если один,—то какой из двух. Данная четырехальтернативная задача обнаружений адекватна статистической задаче разрешения двух детерминированных сигналов. С другой стороны, эту же задачу можно интерпретировать как статистическую задачу распознавания четырех возможных ситуаций (18). Таким образом, в рассматриваемой постановке статистическая задача разрешения адекватна задаче распознавания, при этом они могут быть решены в рамках общей задачи многоальтернативного обнаружения.
Воспользовавшись алгоритмом (10) и учитывая, что Z\ и г2 определяются формулой (17), а
•> т	] т
S yt (0 +s2 (01 dt~ тг J* [Si (0 +s8 (012 dt, "0 0	"0 0
приходим к тому, что структурную схему оптимального устройства разрешения и распознавания двух детерминированных сигналов можно представить в виде схемы на рис. 6.2,а, с той только разницей, что число каналов т = 3, причем опорное колебание' в третьем канале s3 (t) =si (/) +s2 (/).
Синтезированная схема оптимального распознавания представлена на рис. 6.2,а в корреляционном варианте. Однако ее можно представить и в фильтровом варианте, заменив корреляторы согласованными фильтрами с импульсными характеристиками hi(t)=Si(T—t), 1=1, ..., m. Применительно к рассмотренной задаче разрешения
h3 (0 = Si (Т - 0 + s2 (Т - 0 = fti (0 + h2 (t).	(6.19)
Квазидетерминированные сигналы. Рассмотрим задачи разрешения и распознавания применительно к сигналам со случайными амплитудами а, и начальными фазами
s(fi,ait <рь 0= /2^Лг(0со8[2л(/о + А)^ + ^(0-фг]- (6.20> 224
Полагаем, что амплитуды и фазы распределены по рэлеевскому й равномерному законам соответственно:
w0 («г) = (at/oD ехР ( “ а?/2 °г) ’	(6‘2
w0 (ф.) = 1/2 л, 0^<р;^2 л, i=l ,-, пг;
законы амплитудной Л,(/) и фазовой ф»(/) модуляции, а также несущая частота /о известны: ft, 7=1, ..., m— возможные значения доплеровского смещения частоты. Модели сигналов (20) адекватны радиолокационным эхосигналам, создаваемым объектами, движущимися с радиальными скоростями
VR[ = (c/2f0)ft, i=l, — ,m.	(622)
Если наблюдаемый процесс определяется соотношением типа (16), в котором под st(t) понимается сигнал (20), а шум по-прежнему белый гауссовский, то отношения правдоподобия (4) находятся аналогично формуле (4.76а):
2 4' (fil I
М ---щ- ехР
М +
i = 1,..., tn,
(6.23)
где Ei = 2o2,E’i;	— энергия i-го сигнала при at=l;
— модули комплексных корреляционных интегралов; (/) = =Xiexp []'ф<(П]—комплексная огибающая i-ro сигнала; у(1) — комплексная огибающая наблюдаемого процесса. Статистики zt = In А, равны
Zt = —	+ h2i z2ci {ft), i=l,-, m,
(6.25)
где Ьи = 1п[(Ме + Е^/М0]-, h2i = 2^/N0(N0 + Et)	(6.26)
не зависят от наблюдений. В -соответствии с решающим правилом (10) ис учетом формул (25) и (24) на рис 6.2,6 построена структурная схема оптимального устройства распознавания сигналов (20), отличающихся доплеровским смещением частоты. Данная схема изображена в фильтровом варианте. Согласованные фильтры СФ$ (7=1, ..., т) настроены на возможные доплеровские частоты ft. На выходах амплитудных детекторов образуются квадраты огибающих корреляционных интегралов г20г(Д), которые поступают в решающее устройство РУ, работающее по алгоритму (11), (12). Согласно этому алгоритму и формуле (25) принимается решение d0 — «нет сигнала», если
z%j (fi)	huihu, 7=1,-, т.	(6.27)
8—100	225
В случае
^ok^2k 2^ (ffc)  7jft ^5s h2j Zy (fj) hijt j1 > ••« i m, &k,
(6.28) принимается решение, что dk есть сигнал k-ro класса, т. е. сигнале доплеровским смещением частоты fk-
Если предположить, что
oi = o, Ei = E,	(6.29)
то
hu = К = In [(ЛГ0 + Д)/ЛГ0], h2i = h2 = 2а2/ЛГ0 (No + Е), i = 1..., т,
при этом алгоритм (27), (28) упрощается:
(6.30)
ЗЧУ) =
dn, если z>. (fj) h-Jh2,	т,
dh, если z^f^h-Jh^
j = 1,..., m, j^=k.
При радиолокационном наблюдении объектов, движущихся с радиальными скоростями (22), синтезированное устройство (рис. 6.2,6) позволяет осуществлять их оптимальное распознавание по доплеровскому смещению частоты принимаемых эхосигналов. В реальных условиях радиальные скорости распознаваемых объектов будут отличаться от фиксированных значений (22) и лежать в некоторых диапазонах AVr;= Vri max—Едгтш, i=l....... т. В
этом случае схема на рис. 6.2,6 перестает быть оптимальной, причем с ростом ДЁЛг- отход от оптимальности увеличивается. Для предотвращения этого каждый из диапазонов ДЕЛ, можно разбить на li = AVRildVRi более мелких поддиапазонов CVpi и свести рассматриваемую задачу проверки (т+1) гипотез т
к проверке S 7+1 гипотез. Затем можно воспользоваться полу-£—1
ценными общими алгоритмами. Применительно к схеме на рис. 6.2,6 это приведет к соответствующему увеличению числа доплеровских каналов.
Рассмотрим теперь задачу статистического разрешения и распознавания двух сигналов типа (20), принимаемых на фоне белого шума Наблюдаемый процесс
yt =
s(/i. Ci. «Pi. O+Et, s(f2, «+ <P2, 0+?t.
s(/i. «i. «Pi, 0+s (/2, a2, <p2, O + Bt.
0 = 0,
0=1
a = 2,	(6.31)
0 = 3*
226
Отношения правдоподобия Ai и Л2 определяются прежней ^формулой (23), а отношение правдоподобия Аз найдем по общей методике (см. (2.58), (2.73)). Имеем
2л 2п ОО ОО
Л3 = J J j* j*A(i/|alt а2,	ф2)^о(«1) X
0 0 0 0
X w0 (а2) w0 (<P1) wu (<р2) da-i da2 dq>j dq2,	(6.32)
где
f 2 т л(«/]«!, а2, <Pi, <р2) = ехр 1—— $ytX ( /v0 о
X[s(fi, alt (pn f) + s(f2, a2, q>2, t)]dt —
---— Г [s(fi, alt <ръ t) + s(f2, a2, <p2, 012dJ	(6.33) No Й	J
— условное отношение правдоподобия. Поставив (21) и (33) ff (32), вычислим интеграл при условии, что разности доплеровских частот и время наблюдения таковы, что
l/|fi-M<CT.	(6.34)
В этом случае «перекрестным» членом во втором интеграле в (33) можно пренебречь, в результате получим As=AiA2, а для логарифмов отношений правдоподобия будем иметь z3 = zI+z2. Если к тому же допустить, что выполняется условие (29), то
Z, = — Zii + Zi2 A (ft), i=l,2, 01	(6.35)
z3=-2Zi1 + Zi2[z21(fi) + z22(f2)],
где постоянные hi и ft2 определяются формулами (30).
Конкретизируя (11), (12) применительно к (35), получаем оптимальное правило разрешения и распознавания двух рассматриваемых сигналов:
р0, если z*. (f}) Zii/Zi2, /=1,2,
б* (v) = 1 d1' если > hl/h2’ г°2 hllh2'	16 36)
|’d2, если z22(f2)>li1//i2, (fl) sC Mi2, (d3, если 4 (fi) > hjh2, z^(f2)^ h^h2.
Принимая решение di, считаем, что имеет место состояние i\=i, i=0, ..., 3 (см. (31)). Как видим, для построения оптимального алгоритма (36) достаточно сформировать статистики Zoi(fi) и Zozffz)—огибающие корреляционных интегралов (см. (24)). Таким образом, при выполнении условий (34) и (29) схема опти-8*	227
РУ
Рис. 6.3. Структурная схема устройства разрешения и распознавания двух квазидетерминированных сигналов
мального устройства разрешения и распознавания двух сигналов со случайными амплитудами и начальными фазами и различными доплеровскими частотами может быть представлена в виде рис. 6 3, где СФ] и СФ2 — согласованные фильтры, настроенные на доплеровские частоты принимаемых сигналов, АД — квадратичные детекторы. Штриховой линией обведено решающее устройство РУ, состоящее из двух пороговых устройств ПУ и логической схемы ЛС.
В пороговых устройствах квадраты огибающих корреляционных интегралов сравниваются с одинаковыми порогами * htlh2. Информация о превышении или непревышении порогов поступает в логическую схему ЛС, которая в соответствии с алгоритмом (36) выносит то или иное решение. Если оба порога не превышены или оба превышены, то выносится решение d0 или ds соответственно; если один порог превышен, а другой нет, то принимается решение dt или d2, в зависимости от того, в каком из каналов произошло срабатывание устройства.
Когда возможные значения доплеровского смещения частоты fi и /2 неизвестны, а известно лишь, что они лежат в непересека-ющихся диапазонах fimax—fi min, i=l, 2, можно поступить так же, как и в предыдущей задаче, т. е. каждый из диапазонов разбить на h и 12 достаточно мелких поддиапазонов. В результате число каналов в схеме на рис. 6.3 возрастет до (Л + /2) каналов, причем каждый из них будет содержать пороговое устройство.
Разрешение и распознавание сигналов как задача оценивания параметров. Ранее уже отмечалось, что процедура многоальтернативного обнаружения (9) равносильна оцениванию дискретного параметра •& (принимающему т+1 значение) по правилу (13). Рассмотрим с позиций оценивания параметров задачу разрешения и распознавания сигналов Si(0b t) и s2 (62, t), где S! и s2 —
* В рассматриваемой схеме вместо квадратичных могут использоваться также линейные детекторы, тогда пороги должны равняться "|/hjh2.
228
известные функции; 6iE0i и 02<ш©2— неизвестные неслучайные параметры. Наблюдаемый процесс можно записать в виде
0 + ^252(е2> +	(6.37)
где *i и *2— параметры обнаружения, принимающие значения О или 1. Разрешение и распознавание указанных сигналов сводится к оцениванию дискретных (*t и *2) и, вообще говоря, непрерывных (61 и 02) параметров.
Определив условное отношение правдоподобия
0Ъ *2, 6а) = ™(у! ^i. 9ь ^2> 62)/ш {У | = 0, *2 = 0),
(6.38)
где w(у|*i, 01, *2, 02)—функция правдоподобия; w(z/|*i = 0, *2 = 0)—значение этой функции при *1 = 0 и *2 = 0 (иначе говоря, плотность вероятностей шума £<), можно аналогично (13) найти оценки максимального правдоподобия 9im, 0im, *2М и 02м, для которых
A(y|*iM, 61м» б’гм» 62м) = max AQ/|*i, 0lf *2, 62)-J (6.39) #1, 61, Ъг.
Отметим, что если параметры 01 и 02 известны, то соотношение (39) переходит в (13) (нужно только четырем возможным ситуациям 9г=0, 1, 1=1, 2 поставить в однозначное соответствие значения параметра 9=0, ..., 3).
Согласно (39) схему оптимального (в смысле максимального правдоподобия) разрешения и распознавания двух сигналов можно представить в виде трехканального устройства (рис. 6.4). В каналах формируются соответствующие условные отношения правдоподобия и находятся их максимальные (в области 0i и 02) значения, которые подаются на оконечную схему выбора максимума ОСВМ. В последней из трех максимальных значений выбирается наибольшее, которое затем сравнивается с величиной
Рис. 6.4. Структурная схема оптимального устройства разрешения и распознавания сигналов
229
Л(г/|Л = О, ф2=<0) = ], иначе говоря, с единичным порогом. Если порог превышен, то выносится решение о наличии обоих сигналов (т. е. (Им=1, 4=1, 2) или о наличии одного из сигналов (т. е.
=	&3м = 0, i^=j) в зависимости от того, какой из каналов дал
максимальный эффект; кроме того, формируются соответствующие оценки параметров сигналов (61м). Если же порог не будет превышен, то оценки <hM=0, i=l, 2, т. е. принимается решение об отсутствии обоих сигналов.
Заметим, что в том частном случае, когда параметры 01 и 02 известны, а шум St— белый гауссовский, конкретизация схемы на рис. 6.4 приведет к трехканальному корреляционному устройству, о котором уже шла речь (применительно к наблюдению (18)).
Отметим также, что если сигналы S! и s2, входящие в (37), имеют не только информативные .параметры 61 и 02, но и случайные неинформативные параметры, например амплитуду и начальную фазу, т. е.
s1 = s1(eb аь ф1, t), s2 = s2(02, «2, <p2, f),	(6.40)
то синтезированная оптимальная процедура и соответствующая ей общая схема на рис. 6.4 сохраняют прежний вид. Однако в этом случае под статистикой (38) нужно понимать усредненное по неинформативным параметрам ait <pi, az, <р2 (аналогично (32)) условное отношение правдоподобия.
Один из общих способов реализации схемы на рис. 6.4 связан с разбиением множеств значений информативных параметров (01 и 02) на несколько подмножеств; в результате каждый из трех каналов будет разбит на соответствующие подканалы, число которых можно определять из тех же соображений, что и в задаче оценивания (см. гл. 4). Таким образом, схема разрешения и распознавания опять становится многоканальной. Однако существует важный случай, рассматриваемый ниже, когда ее можно свести к простой одноканальной схеме.
Пусть информативные параметры сигналов (40) являются временами запаздывания, т. е. 0i=-ri, 02=т2 (несущие частоты и их смещения полагаем известными). В этом случае каждый из трех каналов схемы на рис. 6.4 при реализации его в фильтровом варианте состоит из последовательно соединенных согласованного фильтра, амплитудного детектора и схемы выбора максимума. Фильтры в первом и втором каналах согласованы с сигналами Si и Sz соответственно, а в третьем канале — с их суммой (импульсная характеристика фильтра в третьем канале определяется аналогично (19)). Если форма и частота сигналов одинаковы, то одинаковыми будут и согласованные фильтры во всех трех кана-230
лах, при этом рассмотренную трехканальную схему можно заменить одноканальной. В результате задача разрешения и распознавания сигналов с неизвестными задержками фактически свелась к их разделению на выходе системы согласованный фильтр — амплитудный детектор и принятию решений о наличии или отсутствии сигналов на всем интервале наблюдения [0, 7].
Итак, обсуждаемая одноканальная схема достаточна для оптимального разрешения и распознавания рассматриваемых сигналов, причем этот вывод справедлив для любого числа сигналов одинаковой формы со случайными начальными фазами и амплитудами, известными и одинаковыми частотами и неизвестными временами запаздывания. Эту схему можно реализовать так же, как и рассмотрению ранее схему совместного обнаружения сигналов и оценивания их времени запаздывания (см. рис. 5.4,6).
Если принимаемые сигналы (40) имеют неизвестные задержки и различные (но известные) частоты, то схема разрешения и распознавания остается трехканальной, так как согласованные фильтры в каналах разные. Если к тому же смещения частот сигналов неизвестны, то в результате применения описанной методики каждый из указанных каналов становится многоканальным по частоте (подобно схеме на рис. 4.12).
6.3. СВЯЗЬ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ С ФУНКЦИЕЙ РАССОГЛАСОВАНИЯ
Меры разрешающей способности. Рассмотренные в § 6.2 методы синтеза оптимальных устройств разрешения сигналов в общем случае приводят к многоканальным устройствам. Однако в важном частном случае, когда принимаемые сигналы со случайными начальными фазами и амплитудами имели одинаковые известные частоту и форму и неизвестные задержки, задача оптимального разрешения сигналов свелась к задаче их разделения на выходе одноканального устройства, содержащего согласованный фильтр и амплитудный детектор. Такое устройство входит в качестве составной части и в многоканальные системы разрешения. Поэтому количественную меру разрешающей способности целесообразно связать с возможностью разделения сигналов на выходе оптимального приемника, состоящего из согласованного фильтра (коррелятора) и амплитудного детектора. Очевидно, чем меньше протяженность выходного сигнала приемника по параметру разрешения 6 (см. рис. 6.1), тем выше разрешающая способность РЛС. За меру разрешающей способности обычно принимают величину Де, при которой огибающие выходных сигналов приемника пересекаются на уровне 0,5 (рис. 6.5). Для сигналов,
231

Рис. 6.5. Диаграмма определения меры разрешающей способности
Рис. 6.6. Тело неопределенности для сигнала с колоколообразной огибающей
отличающихся только значением параметра 0, величина Де, совпадает с шириной огибающей выходного сигнала на уровне 0,5.
При определении меры разрешающей способности или просто разрешающей способности важнейшую роль играет автокорреляционная функция сигнала, а в общем случае—функция рассогласования. Причем при определении разрешающей способности по двум параметрам — времени запаздывания и частоте — потребуется времячастотная функция рассогласования р(т, /) (4.87). Действительно, если на вход оптимального приемника, состоящего из коррелятора (согласованного фильтра) и амплитудного детектора, подать сигнал А(/), отличающийся от опорного колебания временем запаздывания т и смещением частоты f, то при отсутствии шума сигнал на выходе детектора будет прямо пропорциональным значениям модуля функции рассогласования* р(т, f). Причем при линейном детекторе на его выходе сигнал прямо пропорционален |р(т, /)[, а при квадратичном детекторе—|р(т, /) |2.
Таким образом, при достаточно большом отношении сигнал-шум, когда влиянием шума можно пренебречь, огибающая сигнала на выходе оптимального приемника прямо пропорциональна модулю или квадрату модуля времячастотной функции рассогласования сигнала. Поэтому согласно приведенному определению разрешающей способности Де (см. рис. 6.5) разрешающая способность по времени запаздывания Дт и частоте А/ при достаточно большом отношении сигнал-шум будет определяться «шириной» функции рассогласования на уровне 0,5 по осям т и f соответст
* Коэффициент пропорциональности определяется нормирующим множителем в формуле (4.87).
232
венно. Разрешающая способность тем выше, чем уже функция -рассогласования по соответствующей оси.
Ранее было выяснено (см. § 4.2), что потенциальная точность измерения параметров сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой зависит от кривизны функции неопределенности:
Х(т, /) = |Р(Ъ /)|2.	(6.41)
в точке ее максимума х (0, 0). Теперь мы видим, что функция неопределенности, а именно ее ширина, определяет также и разрешающую способность.
Функция неопределенности |р(т, ))|2, а также функция |р(т, /) | описывают некоторые поверхности, которые над плоскостью осей т и f образуют пространственные фигуры, называемые телами неопределенности (см. пример на рис. 6.6). Тело неопределенности и его сечения вертикальными и горизонтальными плоскостями удобно использовать для анализа разрешающей способности.	।	-4
Проекции сечения тел неопределенности горизонтальными плоскостями на плоскость т, f называют диаграммами неопределенности. Если сечение тела неопределенности проведено на уровне 0,5, то ширина диаграммы неопределенности по оси т и по оси f дает введенные ранее количественные меры разрешающей способности по временив запаздывания Дт и по частоте Д/ соответственно. Разрешающую способность можно определить также по ширине вертикальных сечений тела неопределенности.
Определив величины Дт и Д/, можно вычислить разрешающую способность по дальности Дя и по радиальной скорости Дк„ :
Дл = (с/2) Дт» Ду^ “ (с/2/о) Л/= (^/2) Д/.	(6-42)
Прямоугольный радиоимпульс. В качестве примера рассмотрим прямоугольный радиоимпульс с постоянной частотой заполнения
Л(О = Л(0=Р’1 /(6.43) (0, {Ц>гк/2,
где ти — длительность импульса. Подставив (43) в (4.87), получим
|р	||Isinnf(ти —]T])]/jrfTH[, [т|^ти,	(6 44)
<0,	|т|>ти.
Сечения тела неопределенности вертикальными плоскостями, для которых /=0 или т=0, определяются согласно (44) формулами
233

|p(0, Z)| = |(sinnfTH)/nfTH|.
На рис. 6.7 эти сечения показаны сплошными линиями, а сечения другими вертикальными плоскостями f=const и T=const — штриховыми. На рис. 6.7,а изображены огибающие радиоимпульса на выходе согласованного фильтра в отсутствии (/=0) и при наличии (f¥=0) расстройки по частоте. Как видим, расстройка по частоте приводит к уменьшению пикового значения и к искажению формы огибающей сигнала. Сечения тела неопределенности плоскостями т=0 и т= |т11 >0 (рис. 6.7,6) соответствуют модульным значениям спектров прямоугольных импульсов длительности ти и ти—|ti|.
Разрешающие способности по времени запаздывания и по частоте (см. рис. 6.7)
Дг = ти, А/=1,2/ти,
(6.45)
а разрешающие способности по дальности и по радиальной скорости согласно (42)
Д« = с-ги/2, А =0,6Х/ти. * ц
(6.46)
Таким образом, укорочение импульса увеличивает разрешающую способность по дальности, однако при этом уменьшается разрешающая способность по скорости. Это можно дополнительно проиллюстрировать с помощью диаграмм неопределенности, описываемых уравнением
I р(т, /) I = Ро = const.
(6-47)
Рис. 6.7. Вертикальные сечения тела неопределенности прямоугольного импульса
234
а)	б)
Рис. 6.8. Диаграммы неопределенности «длинного» (а) и «короткого» (б) прямоугольных импульсов
Подставив (44) в (47), получим уравнение диаграмм неопределенности, которые изображены на рис. 6.8 для двух импульсов различной длительности *. Сужение диаграммы неопределенности по оси т привело к ее расширению по оси f. Отметим, что два сигнала не могут быть разрешены, если их времена запаздывания и доплеровские смещения частоты лежат внутри диаграммы неопределенности, т. е. в заштрихованной области (рис. 6.8).
Принцип неопределенности. Из рассмотренных сечений тела неопределенности ясно, что сужение тела по оси т приводит к его расширению по оси f и наоборот. Это — проявление общей закономерности, называемой принципом неопределенности в радиолокации. Суть данного принципа определяется свойствами функции неопределенности (41), согласно которому
J Jx(r, f)drdf=L	(6.48)
—- оо —оо Для доказательства этого равенства представим его левую часть согласно (4.87) в виде
V = J Jlp(T, f)\Idtdf =
оо	|2
(О A* (t — т) ехр (j 2л ft) dt I dt df =
J p (t') A * (Г — t) exp (j 2n ft ’) Л * it") A <t" —
-CO —oo
— т) екр (— j 2л ft”) dt' di” dx df.
* Здесь н в дальнейшем диаграммы неопределенности построены для р0= =6,5.
235
Воспользовавшись интегральным представлением дельта-функции
Jexp [j 2л f (/' - Г)] df = b(t' - П.
—оо
получаем
V =	1 7	-т)Я*(ПЯ(/"-т)б(Гdfdv.
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, находим
। оо оо
v=— J	-т)>(/')Л(г-x)-dt'dx.
—оо —оо
Следовательно,
v = -^- J У |Д(/')1МЛ(^-1)|2Л'Л = /-< Z v v
—оо —оо
= —	jM(0l2d/=l,
£ —со	—оо
что н требовалось доказать.
Как видим, значение вычисленного интеграла V, равное объему тела неопределенонсти, не зависит от конкретного вида комплексной огибающей сигнала A(t) = A(t) ехр []'ф(0]- Таким образом, согласно принципу неопределенности (48) объем тела неопределенности постоянен (равен единице). Иначе говоря, никакая модуляция сигнала — ни амплитудная A(t), ни фазовая ф(2)—не может изменить объем тела неопределенности. Сжатие тела неопределенности по одной из осей? или f может сопровождаться расширением по другой так, чтобы объем тела оставался неизменным.
Принцип неопределенности в радиолокации накладывает жесткое ограничение на возможность совместного разрешения объектов по дальности и по скорости. С проявлением этого мы столкнулись на примере прямоугольного радиоимпульса: при укорочении импульса увеличивается разрешающая способность по дальности и одновременно ухудшается разрешающая способность по скорости.
Принцип неопределенности, однако, не означает, что вообще нельзя выбрать сигнал, при котором совместное разрешение по дальности и по скорости, хотя бы в некотором диапазоне их изменения, было бы достаточно высоким. Подобрав модуляцию сигнала, т. е. функции A(t) и ф(^), можно перераспределить тело неопределенности на плоскости т, Д например так, чтобы в некотором диапазоне изменения времени запаздывания и частоты разрешающие способности по дальности и по скорости удовлетворяли задан-236
ним требованиям. Один из таких сигналов рассматривается далее.
Когерентная пачка радиоимпульсов. Рассмотрим когерентную пачку прямоугольных радиоимпульсов с постоянной частотой заполнения; огибающую пачку также полагаем прямоугольной:
A(t) = A (t)= Р’	i=l,...,7V,	(6.49)
(О, |/-/Тп|>ти/2,
где Тп— период повторения импульсов длительности ти; У —число импульсов в пачке.
Функцию рассогласования р(т, f) пачки радиоимпульсов можно получить, подставив (49) в формулу (4.87). На рис. 6.9,а,б показаны сечения тела неопределенности (р(т, f)| когерентной пачки радиоимпульсов вертикальными плоскостями (f=0 и т = 0), а на рис. 6.9.6 — диаграмма неопределенности. Из этих рисунков видно, что тело неопределенности пачки радиоимпульсов состоит из множества повторяющихся пиков, высота которых убывает от начала координат. Разрешающие способности по дальности Ад и по радиальной скорости Avr, определяемые параметрами наибольшего пика и соотношениями (42),
Ar = сти/2, Av ж 0,6 ШТП.	(6.50)
Из сопоставления этих выражений с формулами (46) видно, что по сравнению с одиночным импульсом разрешающая способ
237
ность по дальности осталась прежней, а разрешающая способность по радиальной скорости увеличилась. Последняя определяется не длительностью одиночного импульса ти (см. (46)), а длительностью пачки Тп^/УГп. Это позволяет при достаточно коротких импульсах и длинной пачке обеспечить высокую разрешающую способность как по дальности, так и по скорости.
Следует, однако, иметь в виду, что многопиковый характер тела неопределенности приводит, вообще говоря, к неоднозначности измерения дальности и радиальной скорости. Но если период Тп и частоту 7?п=1/7'п повторения импульсов можно выбрать так, чтобы
^'п>ттах,	> 2/д тах>	(6.51)
где Ттах и /дтах — максимальные значения времени запаздывания и доплеровского смещения частоты, определяемые максимальными дальностью и радиальной скоростью объекта, то дальность и скорость измеряются однозначно.
6.4. ОБРАБОТКА СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
Простые и сложные сигналы. Как было показано в § 4.2, для увеличения потенциальной точности измерения дальности нужно использовать сигналы с широким спектром. Напомним, что ширина спектра радиоимпульса с постоянной частотой- заполнения обратно пропорциональна его длительности. Аналогично для повышения разрешающей способности по дальности необходимо укорачивать зондирующий импульс (см. (46)), иначе говоря, расширять его спектр. Однако при ограничении пиковой мощности импульса уменьшение его длительности ведет к уменьшению излучаемой энергии и, следовательно, к снижению дальности действия РЛС. Это противоречие можно устранить, если расширять спектр зондирующего сигнала не за счет его укорочения, а за счет введения внутриимпульсной фазовой или частотной модуляции, т. е. если перейти к сложным сигналам.
Для сложных сигналов произведение ширины спектра Af на длительность Д£, т. е. база сигнала В, значительно больше единицы:
B = AfAt^>\.	(6.52)
Для простых сигналов	,
A/Ai«l.	(6.53)
В частности, прямоугольный радиоимпульс с постоянной частотой заполнения относится к классу простых сигналов, так как для него А/«?1/ти, Д£=ти и, следовательно, выполняется условие (53).
Рассмотрим основные виды сложных сигналов, их обработку и достигаемую при этом разрешающую способность.
238
Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией. В радиолокации часто применяют линейно-частотно-модулированные (ЛЧМ) импульсные сигналы, несущая частота которых
7 (0 = 7о + (Д W t, 0 < t < ти,	(6.54}
где fo — начальное значение частоты; Afa— девиация частоты; Ти — длительность импульса. Линейному закону изменения частоты (54) соответствует квадратичный закон изменения фазы ЛЧМ. сигнала:
Ф (t) = 2л Jf (т) dx = 2л 1 +	/2.
о	ти
Для прямоугольного ЛЧМ. импульса (рис. 6.10,а) комплексная огибающая
2 _ (ехР в п Д fo U К ^и/2, (О,	И>ти/2.
(6.55)
Подставляя (55) в соотношение (4.87), получаем
( sin [л (f +Л fd (т/ти)) (тя — | т | ] |р(ч 7)| = {
1Г(/ + д/а<т/ти))ти
(6.56)
Рис. 6.10. Линейно-частотно-модули-рованный импульс (а) и импульсная характеристика согласованного фильтра (6)
Рис. 6.11. Вертикальное (а) и горизонтальное (б) сечения тела неопределенности ЛЧМ импульса

2,39
Эта функция описывает рельеф тела неопределенности прямоугольного ЛЧМ импульса, сечение которого вертикальной плоскостью [=0 (рис. 6.11,а, сплошная линия) представляет собой огибающую ЛЧМ импульса на выходе согласованного фильтра при отсутствии расстройки по частоте. На рис. 6.11,0 для сравнения штриховой линией показана огибающая прямоугольного радиоимпульса с постоянной частотой заполнения и длительностью ти на выходе своего согласованного фильтра (см. рис. 6.7,а при f=0).
Как ясно из рис. 6.1,а, при прохождении ЛЧМ импульса через согласованный фильтр происходит его сжатие во времени. Если на входе фильтра импульс имел длительность тВх=ти, то на выходе Твых=1,2/Д^0 (отсчет по уровню 0,5). Следовательно, коэффициент сжатия
Ксж == ТИ Д/й/1 ,2.	(6.57)
Заметим, что при отсчете длительности импульса на уровне 0,64 Твых=1/Д/а и коэффициент сжатия по этому уровню
Ксж^иД/а-	(6.58)
Коэффициент сжатия, как видим, прямо пропорционален девиации частоты. Длительность импульса и девиацию частоты можно задавать независимо друг от друга, при этом коэффициент сжатия может быть довольно значительным.
Так как Д^0яаД|, где Nf—ширина спектра ЛЧМ импульса, то коэффициент сжатия (58) определяется базой сигнала*: Таким образом, сложный сигнал с помощью согласованного фильтра может быть сжат по длительности на значение, равное базе сигнала.
Сжатие ЛЧМ сигнала, происходящее в согласованном фильтре, можно пояснить физически следующим образом. Для ЛЧМ сигнала, показанного на рис. 6.10,а, импульсная характеристика согласованного фильтра изображена на рис. 6.10,6. Напомним, что импульсная характеристика — отклик фильтра на воздействие в виде дельта-функции. И, как ясно из рис. 6.10,6, на выходе согласованного фильтра вначале появляются составляющие более высокой частоты, а затем более низкой, т. е. первые задерживаются в фильтре в меньшей степени, чем вторые. Нижние частоты ЛЧМ импульса поступают на вход согласованного фильтра раньше (см. рис. 6.10,а), но задерживаются они в большей степени; высшие частоты действуют позже, но задерживаются меньше. В результате группы различных частот совмещаются и происходит укорочение импульса.
* Это оказывается справедливым и для других сложных сигналов
240
Рис. 6.12. Структурная схема фильтра сжатия ЛЧМ импульса
Согласованный фильтр может быть реализован с помощью дисперсионной линии задержки, у которой время запаздывания для различных спектральных составляющих сигнала различно (задержка зависит от частоты). На практике широко применяют дисперсионную ультразвуковую линию задержки (УЛЗ), выполненную в виде ленты или цилиндрического провода из материала, проводящего ультразвук, с пьезопреобразователями на концах.
Согласованный фильтр для ЛЧМ. импульса можно также построить и на недисперсионной линии задержки с неравномерно распределенными отводами (рис. 6.12). Общее время задержки определяется длительностью импульса, а отводы располагаются так, чтобы обеспечить требуемую импульсную характеристику фильтра (рис. 6.10,6). Полоса пропускания полосового фильтра Ф определяется девиацией частоты Afs-
Широкое использование УЛЗ (как дисперсионных, так и недисперсионных) при реализации фильтров сжатия ЛЧМ сигналов обусловлено тем, что они обеспечивают большую задержку на единицу длины звукопровода из-за относительно малой скорости распространения акустических волн (составляет примерно 10-5 от скорости распространения электромагнитных волн). Существуют различные типы УЛЗ, в частности на объемных акустических волнах, распространяющихся по всему сечению звукопровода, и на поверхностных акустических волнах, распространяющихся только в поверхностном слое (глубиной порядка длины волны) [10].
Как ясно из рис. 6.11,а и формулы (57), при f=0 разрешающая способность по времени запаздывания
Ат=1,2/д/а = ти/Ксж.	(6.59)
По сравнению с простым радиоимпульсом (ср. с (45)) разрешающая способность возросла в Ксж раз. Что касается разрешающей способности по частоте, то она, как следует из (56), при т=0 осталась прежней (как у простого импульса)
Ду=1,2/ти.	(6.60)
Нужно, однако, иметь в виду, что формулы (59) и (60) определяют разрешающие способности по соответствующему параметру при нулевой расстройке (относительно опорного сигнала) по другому параметру. Иначе говоря, формула (59) дает разрешающую
241
способность по времени запаздывания (дальности) при известном значении частоты (скорости), а формула (60) — разрешающую способность по частоте при известном значении времени запаздывания.
Если же дальность и радиальная скорость объектов неизвестны и требуется разрешать их одновременно по обеим координатам, то ситуация усложняется. Обратимся к диаграмме неопределенности ЛЧМ импульса (рис. 6.11,6). Совместное разрешение сигналов по времени запаздывания и частоте возможно, если их параметры лежат вне заштрихованной области. При этом разрешающие способности по т и f в наихудшем случае будут обусловлены длиной отрезков между проекциями экстремальных точек диаграммы неопределенности на соответствующие оси:
Дт = 'Ги, Д/ = ДГй = (1,2/т„)/<сж.	(6.61)
Таким образом, совместное разрешение ЛЧМ импульсов по времени запаздывания и частоте осуществить значительно сложнее, чем разрешение тех же импульсов по одному из параметров (при известном значении другого параметра), так как разрешающие способности в рассматриваемом случае ухудшились в /Сеж раз (ср. (61) с (59) и (60)). Заметим, однако, что разрешающая способность по времени запаздывания может и не ухудшиться, если в процессе приема сигналов измерить с достаточной точностью радиальную скорость объекта, например по приращению запаздывания между отраженными импульсами.
Рассматриваемые количественные меры разрешающей способности, определяемые шириной главного пика тела неопределенности, характеризуют разрешающую способность при согласованной фильтрации сигналов, имеющих приблизительно одинаковую интенсивность. Если же принимаемые сигналы существенно различаются по интенсивности, то слабый сигнал может быть замаскирован боковыми лепестками («остатками») тела неопределенности сильного сигнала. Чтобы повысить разрешающую способность в данном случае, нужно снижать уровень боковых лепестков. Для этого применяют корректирующие (не согласованные) фильтры, характеристики которых подбирают таким образом, чтобы выходной сигнал имел требуемые боковые лепестки.
Согласованный с прямоугольным ЛЧМ импульсом фильтр должен иметь АЧХ, близкую к прямоугольной. Если же «сгладить» эту характеристику с помощью корректирующего фильтра, форма АЧХ которого близка к колоколообразной, то боковые лепестки сжатого импульса существенно уменьшаются.
Применение несогласованной фильтрации приводит, очевидно, к потерям в отношении сигнал-шум по сравнению со значением 2Е/Мо — максимальным отношением сигнал-шум на выходе согла-242
сованного фильтра. Кроме того, на выходе корректирующего фильтра расширяется главный пик ЛЧМ сигнала. Однако эти недостатки окупаются положительным фактором — снижением уровня боковых лепестков выходного сигнала на оси времени (дальности).
В качестве корректирующих могут быть использованы фильтры, АЧХ которых описываются функциями | K(ja>) | =р+ (1— —р)cos^(тссо/Дсо), р^1, где р и q имеют различные значения. Наименьший уровень боковых лепестков для этого класса функций при q=2 обеспечивается при р = 0,88 (фильтр Хэмминга).
Если при согласованной фильтрации ЛЧМ импульса уровень максимального бокового лепестка относительно главного составляет —13,2 дБ, то при использовании фильтра Хэмминга данный уровень равен —42,8 дБ. При этом главный максимум расширяется примерно в 1,5 раза, а потери в отношении сигнал-шум составляют 1,34 дБ.
Существуют и другие способы подавления боковых лепестков выходного сигнала. Они сводятся к специальному подбору закона частотной модуляции, отличного от линейного, или же формы огибающей зондирующего импульса.
Фазоманипулированные сигналы. Помимо частотной модуляции для расширения спектра сигналов с целью повышения разрешающей способности по дальности можно использовать фазовую (фазокодовую) манипуляцию. Фазоманипулированный (ФМ) сигнал представляет собой последовательность примыкающих друг к другу простых импульсов одинаковой формы длительностью т0 (дискретов), начальные фазы высокочастотного заполнения которых могут принимать заданные дискретные значения. Если число возможных значений начальной фазы р>2, то манипуляция является многофазной; при р = 2 имеем бинарную фазовую манипуляцию. Фазоманипулированный сигнал может быть импульсным и непрерывным. Если ти — длительность ФМ сигнала, то число дискретов Л/’ = Ти/т0.
Обычно дискреты ФМ сигнала имеют близкую к прямоугольной форму и одинаковую амплитуду и чаще всего используется бинарная фазовая манипуляция со значениями начальной фазы О и л. В этом случае последовательность значений начальной фазы высокочастотного заполнения дискретов {<р,, i=l, ..., N} можно определить последовательностью чисел {a,, i=l, ..., М}, принимающих значения 0 или 1. Если фг = 0, то с, = 0; при <р,=л а<=4. Положив амплитуду ФМ сигнала равной единице, его комплексную огибающую представим в виде
~ N
A(t)= '£u[t — (i—l)i:0]exp(jnai),
i=i
243
где
«(0=1
1, 0</<то,
О в остальных случаях
— единичный импульс. Так как
/	\ ( 1» «£ = 0,
exp(jna;)= ,
1—1, аг = 1,
то
„ N	N
1)°* и [t-(i - 1) т0] = 2 qt«{t - (i - 1) т0],	(6.62)
i=l	i=l
где qi= (—l)“i=±l. Из представления ФМ сигнала в виде (62) ясно, что его свойства определяются свойствами последовательности {qi}. В частности, автокорреляционная функция ФМ сигнала (функция рассогласования по времени запаздывания) определяется автокорреляционной функцией данной последовательности. При этом синтез ФМ сигнала сводится к выбору такой последовательности {gj (кода), автокорреляционная функция которой обладает нужными свойствами, в частности наименьшим уровнем боковых лепестков.
К настоящему времени найден ряд кодов, которые можно использовать при манипуляции фазы импульсных и непрерывных радиолокационных сигналов. Особое место среди них занимают коды Баркера. Построенные на их основе импульсные ФМ сигналы имеют при заданном числе дискретов N минимально возможный уровень боковых лепестков, не превышающий 1/N. Коды Баркера получены для М=3, 4, 5, 7, 11, 13. На рис. 6.13,а в качестве примера показан ФМ импульс, а на рис. 6.13,6 — его условное изображение; манипуляция фазы осуществлена в соответствии с семипозиционным (N=7) кодом Баркера ( + 1 +1 +1 —1 —1 + 1 -1).
Как и ЛЧМ импульс, ФМ сигнал сжимается с помощью согласованного фильтра (рис. 6.13,г). Он состоит из линии задержки с отводами, фазоинверторов, сумматора и фильтра Ф, согласованного с высокочастотным дискретом длительностью т0. Заметим, что фазоинверторы, сдвигающие фазу колебаний на л, можно и не вводить, но тогда соответствующие отводы линии задержки нужно сместить на половину длины волны высокочастотного колебания.
Процесс оптимальной фильтрации ФМ сигнала, в результате которой сигнал сжимается, поясняется рис. 6.14,а и б. На рис. 6.14,с условно изображены импульсы, поступающие с отводов ли-244
6)
Рис. 6.14. Диаграммы, поясняющие* сжатие ФМ импульса
нии задержки на сумматор (см. рис. 6.13,г); некоторые из них (1,3,4) прошли через фазоинверторы и поэтому изменили знаки своих дискретов на противоположные. Результат суммирования показан на рис. 6.14,6, а на рис. 6.14,в приведено сечение тела неопределенности ФМ импульса плоскостью f=0, иначе говоря, огибающая сигнала на выходе фильтра Ф при отсутствии расстройки по частоте.
Коэффициент сжатия ФМ импульса /Ссж=твх/твых=ти/то равен числу дискретов М; в рассматриваемом примере /Ссж = 7. Разрешающая способность по времени запаздывания при нулевой расстройке по частоте определяется длительностью дискрета
Д.с = т0,	(6.63^
т. е. по сравнению с простым импульсом длительностью ти возросла в N раз. Разрешающая способность по частоте по-прежнему обусловлена длительностью импульса (см. (60), т=0).
245-
Периодически повторяющийся код Баркера можно использовать для фазовой манипуляции непрерывного сигнала. В этом случае тело неопределенности имеет многопиковый характер. Период повторения пиков по оси т равен Хто, а диапазон однозначного измерения дальности определяется величиной сМсо/2.
Как ясно из предыдущего, для получения больших коэффициентов сжатия, а также для увеличения диапазона однозначного измерения дальности (при непрерывном сигнале) необходимо использовать ФМ сигналы с большим числом дискретов N. Однако кодов Баркера при Af>13 не существует. Это ограничение отсутствует для кодов типа ^-последовательностей, строящихся на основе линейных рекуррентных двоичных последовательностей и получивших широкое распространение на практике.
Линейная рекуррентная двоичная последовательность {«<} задается совокупностью at, ..., ап одноразрядных двоичных чисел (О или 1) с помощью рекуррентного соотношения
аг = &!щ_1 + &2щ-_2 + ... + Ьпсг_п, i = n+1, п + 2,...,	(6.64)
где bi, ..., Ьп — одноразрядные двоичные числа.
Соотношение (64) определяет бесконечную последовательность нулей и единиц {а,, 1=1, 2, ...}, которая после некоторого i начинает повторяться, так как число п, называемое «памятью» последовательности, конечно. Максимальный период повторения N двоичной последовательности {о,} обусловлен числом возможных различных состояний начальной последовательности ..., ап, равным 2п, из которого должно быть исключено одно (нулевое) состояние*. Таким образом, максимальный период повторения N=2n— 1.
Линейные рекуррентные двоичные последовательности максимального периода называют М-последовательностями. Максимальный период последовательности обеспечивается при заданном п определенным набором коэффициентов ..., Ьп в формуле (64). Например, при п=5 максимальный период будет при bi = b%= = &3=1, &4=0, Ьй=1.
М-последовательности обладают рядом важных свойств, в частности свойством «случайности», которое проявляется в следующем. Если из одного периода ^-последовательности выбрать все возможные отрезки по п членов в каждом, то среди них не окажется одинаковых. Кроме того, в каждом периоде последовательности число единиц отличается от числа нулей не более чем на 1, что свидетельствует о «равновероятности» их появления. Поэтому .^-последовательность называют также псевдослучайной.
* Начальная последовательность не может быть нулевой; в противном случае вся последовательность {а,} будет также состоять из одних нулей.
246
В результате манипулированные по фазе с помощью Al-последовательности сигналы по своим свойствам приближаются к шумоподобным, параметры которых модулируются по случайному закону. Последние, в свою очередь, оказываются близкими к идеальному сигналу, имеющему единственный узкий пик и равномерные остатки на остальной части плоскости т, f, что обеспечивает высокую разрешающую способность по дальности и по скорости.
^-последовательность может применяться для фазовой манипуляции как непрерывных, так и импульсных сигналов. При этом в случае непрерывного сигнала уровень боковых лепестков автокорреляционной функции равен 1/N. Если же используется один период ^-последовательности, т. е. усеченная М-последователь-ность, для фазовой манипуляции импульсного сигнала длительностью TVto, то уровень боковых лепестков возрастает, становясь-равным приблизительно 1/V N. Однако при достаточно большом N уровень боковых остатков относительно главного пика автокорреляционной функции ФМ сигнала можно сделать меньше-требуемого значения.
Согласованный фильтр, сжимающий ФМ сигнал, манипулированный ^-последовательностью, аналогичен фильтру, показанному на рис. 6.13,2. Следует иметь в виду, что при больших значениях N реализовать такой фильтр трудно.
При ФМ сигналах, манипулированных М-последовательностями, разрешающая способность по времени запаздывания определяется, как и прежде, длительностью дискрета то (см. (63)), я разрешающая способность по частоте — длительностью всего сигнала.
Обработку ФМ сигналов можно осуществлять не только фильтровыми, но и корреляционными схемами. Последние наиболее целесообразны тогда, когда число корреляционных каналов приемника невелико. Корреляционная схема производит демодуляцию ФМ сигнала с последующим когерентным накоплением демоду-лированных импульсов.
Уменьшение уровня боковых лепестков на оси времени для ФМ сигнала, как и для ЛЧМ сигнала, достигается применением специальных несогласованных фильтров. Общая структурная схема фильтра, сжимающего ФМ сигнал, а также подавляющего* боковые лепестки (рис. 6.15), включает в себя линию задержки с максимальной задержкой т3, большей длительности импульса ти. Как и в согласованном фильтре, отводы линии задержки расположены так, чтобы сигнал между ними задерживался на время, равное длительности дискрета то; однако число отводов k больше, чем у согласованного фильтра. На выходе отводов имеются1
247
Рис. 6.15. Структурная схема фильтра сжатия и подавления боковых лепестков ФМ сигнала
фазовращатели q>i и аттенюаторы аг-, i=l, .... k. После суммирования выходных сигналов аттенюаторов осуществляется фильтрация фильтром Ф в полосе 1/то.
Применение фильтра (рис. 6.15) приводит к проигрышу в отношении сигнал-шум по сравнению с согласованным фильтром. В отличие от ЛЧМ импульса подавление боковых лепестков в случае ФМ сигнала не сопровождается расширением главного максимума; вместо этого расширяется вся область боко-
вых лепестков выходного сигнала. Рассматриваемый фильтр при соответствующей 'настройке фазовращателей и аттенюаторов позволяет значительно уменьшить уровень боковых лепестков, (причем степень их подавления возрастает с ростом числа отводов &=(тз/то)+1 линии задержки и, следовательно, с увеличением максимальной задержки т3. Если, •например, используется фильтр с 33 отводами для обработки ФМ сигнала, манипулированного тринадцатипозиционным кодом Баркера, то удается уменьшить уровень боковых лепестков с 22 до 40 дБ при энергетических потерях менее 0,4 дБ [45].
Потенциальная и реальная разрешающая способность. Потенциальная разрешающая способность, как уже отмечалось, есть наивысшая разрешающая способность, достигаемая лишь в пределе при оптимальной обработке сигналов, причем под оптимальной следует понимать такую обработку, которая оптимальна в смысле статистического разрешения многих сигналов. Качество оптимального (в байесовском смысле) статистического разрешения определяется минимальным значением среднего риска. Ка
чество статистического разрешения можно также определить вероятностями ошибок многоальтернативного обнаружения (см. (14), (15)), которые будут зависеть от отношений сигнал-шум и от взаимокорреляционных функций разрешаемых сигналов. От них же будет зависеть и значение меры разрешающей способности, о которой шла речь в § 1.4. Однако эту меру рассчитать весьма сложно.
Что касается изученной в § 6.3 и 6.4 меры разрешающей способности Де, то она находится просто — по ширине тела неопределенности по соответствующей оси (0=т или 0=f). Эта мера не связана ни с отношением сигнал-шум, ни с вероятностями оши--бок обнаружения, и она не есть «потенциальная разрешающая способность», как ее иногда именуют. Однако в важном случае,
248
когда оптимальное разрешение сигналов сводится к их разделению на выходе системы согласованный фильтр — амплитудный детектор (см. § 6.2) и, кроме того, когда отношение сигнал-шум достаточно велико (так что шумом можно пренебречь), рассмотренная мера Де хорошо характеризует потенциальную разрешающую способность.
В реальных условиях обработка сигналов отличается от оптимальной, при этом реальная разрешающая способность всегда хуже потенциальной. Ухудшение разрешающей способности может быть следствием несогласованности частотных характеристик усилителей приемника с характеристиками сигнала, конечности размеров рисующего пятна на экране электронно-лучевой трубки индикаторного устройства, дискретности съема информации при сопряжении РЛС с ЭВМ, а также других факторов, обусловленных неидеальностью радиоаппаратуры.
6.5. РАЗРЕШЕНИЕ ОБЪЕКТОВ ПО УГЛОВЫМ КООРДИНАТАМ
Разрешающая способность по углу. В соответствии с общим определением (§ 1.4) мера разрешающей способности РЛС по угловой координате а есть минимальная разность угловых координат двух близко расположенных объектов Aa=ai—аг (с одинаковыми значениями остальных координат), при которой возможно раздельное обнаружение объектов и измерение координат И1 и аг с показателями качества не хуже заданных. Эту меру найти трудно. Однако легко рассчитать меру разрешающей способности по углу, подобную мере Де, рассмотренной в § 6.3, 6.4. Сделаем это применительно к обзорной РЛС с амлитудным методом пеленгации. В данном случае оценивание угловой координаты сводится к оцениванию времени запаздывания сигнала, при этом соответствующие потенциальные точности измерения связаны между собой соотношением (4.90). Аналогично связаны и разрешающие способности по углу Да и по времени запаздывания Дт:
Да = Ндт,	(6.65)
где Q — угловая скорость обзора. Если в эту формулу подставить значения меры Дт (§ 6.3 и 6.4), то получим соответствующие этой мере разрешающие способности по углу Да для различных (простых и сложных) зондирующих сигналов.
Предположим для простоты, что принимаемый сигнал с постоянной частотой заполнения имеет прямоугольную форму и его длительность ти. Тогда согласно (45) Дх=ти и Да=Пти=аа, где аа — ширина ДН прямоугольной формы. Если же ДН антенны имеет колоколообразную форму и огибающая принимаемого сиг-249
нала описывается соотношением (4.91), где тог = аа/И — длительность огибающей сигнала на уровне 0,46, а аа — ширина ДН на том же уровне, то Дх=1,3тог и поэтому согласно (65) Да=1,3аа.
Таким образом, можно считать, что мера разрешающей способности по азимуту (и по углу места) прямо пропорциональна ширине ДН антенны аа на уровне 0,5 в горизонтальной плоскости (или в вертикальной плоскости), т. е.
Да = к1аа,	(6.66)
где коэффициент пропорциональности щ определяется формой ДН.
Если сигнал сложный и его можно сжать по времени, то Дх уменьшается и соответственно уменьшается значение Да (65), т. е. разрешающая способность по углу повышается.
Подставив (1.2) в (66), получим
Дв=к'Ша,	(6.67)
где константа /с' = к-К1. Как видим, для повышения разрешающей способности по углу нужно увеличивать относительный размер апертуры антенны da/X.
Разрешающая способность РЛС бокового обзора. РЛС бокового обзора устанавливается на борту ЛА; антенна РЛС, расположенная вдоль оси ЛА, образует ДН, широкую в вертикальной и узкую в горизонтальной плоскостях. Обзор земной поверхности производится за счет перемещения ЛА (а не за счет вращения ДН антенны, как в РЛС кругового обзора). При обеспечении необходимой разрешающей способности РЛС бокового обзора можно использовать для картографирования местности. Качество радиолокационного изображения местности определяется минимальным расстоянием между двумя ее точками, разрешаемыми по углу, т. е. линейной разрешающей способностью Дх. Если Да — разрешающая способность по углу, то на дальности R линейная разрешающая способность Дд = Да7?.
Разрешающая способность РЛС бокового обзора существенно зависит от того, какая обработка сигналов в РЛС используется: некогерентная или когерентная. При некогерентной обработке разрешающая способность Да определяется согласно (66), (67): Aa~aa~7/da- Поэтому
Дж = аа/? = (А/^а)/?,	(6.68)
т. е. линейная разрешающая способность ухудшается прямо пропорционально увеличению дальности. Уменьшение Дх достигается уменьшением длины волны % (но при этом возрастают потери в атмосфере) и увеличением размера антенны da (что ограничено размерами самого ЛА).
250
Метод синтезирования апертуры. Кардинальное решение задачи "повышения разрешающей способности РЛС бокового обзора состоит в переходе к когерентной обработке сигналов, позволяющей создавать искусственный раскрыв антенны — синтезированный, 'значительно (превышающий физический раскрыв антенны da. Такая возможность появляется в связи с тем, что при облучении подстилающей (поверхности колебанием постоянной частоты принимаемый антенной отраженный сигнал из-за движения
Рис. 6.16. Диаграмма, поясняющая метод синтезирования апертуры
ЛА является частотно-
модулированным. Этот сигнал при когерентной обработке (согласованной (фильтрации) может быть сжат (см. § 6.4), что и повышает разрешающую способность РЛС.
Поясним сказанное с помощью рис. 6.16 и несложных выкладок. Пусть ЛА движется параллельно прямой х со скоростью V, ДН антенны является сектором шириной аа. Расстояние ЛА до точки хо меняется со временем по закону 7? = V R20+V2(t0-t)2, где t0 — момент расположения ЛА на кратчайшем расстоянии До от точки х0. Разлагая в ряд с учетом | V (to—t) | <СДо. получаем
Д«Д0 + (1/72Д0)(/0-/)2.
(6.69)
Если отражающий точечный объект находится в точке Хо и облучается электромагнитным колебанием частоты f0, то фаза принимаемого антенной сигнала меняется по закону (p=2nfd[t—(2R/c)], а мгновенная частота f=<p/2n=f0—(2f0R/c). Подставляя сюда (69), получаем f=fo+ (2foV2/cRo) (4—0- Как видим, принимаемый сигнал — линейно-частотно-модулированный. Скорость изменения частоты df/dt=—2V2jkRo, а девиация частоты Д/д = \df/dt\At, где А/ — длительность сигнала. Последняя определяется временем облучения объекта aaRo/V. Поэтому Д/д= (2V2/?J?o) («аКо/Ю = =2Vaa/K, а с учетом aa~7./da bfd^2VJda. Так как при оптимальной обработке ЛЧМ сигнала обеспечивается разрешающая способность по времени Дт^1/Д)д (см. (59)), то применительно к рассматриваемой задаче Ат~гД/21/. За это время антенна РЛС вместе с ЛА пройдут путь VAT=da/2. Объекты, расположенные на оси х на расстоянии, не меньшем da/2, очевидно, будут разрешены по координате х (отраженные от этих объектов сигналы будут восприниматься раздельно). Таким образом, линейная разрешающая способность РЛС бокового обзора при когерентной обработке в рассматриваемом случае
&x&da/2.	(6.70)
254
В отличие от линейной разрешающей способности при некогерентной обработке (68) величина (70) не зависит ни от длины волны X, ни от дальности 7? и определяется только линейным размером апертуры антенны dz. Чем меньше da, тем выше разрешающая способность. Этот на первый взгляд парадоксальный результат обусловлен сжатием ЛЧМ сигналов, и его можно пояснить также следующим образом. При движении РЛС и оптимальной обработке отраженных сигналов, которые запоминаются и суммируются с учетом фазовых соотношений, синтезируется искусственный раскрыв антенны, размер которого равен пути, пройденному РЛС за время облучения. Чем меньше физический раскрыв da, тем шире ДН aa~X/da и, следовательно, дольше облучение и поэтому больше раскрыв синтезированной антенны dc. Но чем больше dc, тем уже ДН синтезированной антенны и поэтому выше разрешающая способность.
РЛС бокового обзора с когерентной обработкой сигналов называются РЛС с синтезированной апертурой. Потенциальные возможности таких РЛС, как показано, велики. Однако на практике из-за нестабильности курса, высоты и скорости полета ЛА, а также нестабильности элементов системы обработки сигналов происходит отход от оптимальной обработки, в результате разрешающая способность ухудшается. Тем не менее подобные РЛС широко применяют при картографировании Земли, а также используют при исследовании других планет.
Глава 7. ВТОРИЧНАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
7.1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ВТОРИЧНОЙ ОБРАБОТКИ
Обработку радиолокационной и радионавигационной информации условно можно разделить на первичную и вторичную. Устройства первичной обработки решают рассмотренные задачи обнаружения сигналов и измерения координат мгновенного положения радиолокационных или радионавигационных объектов. Значения измеренных координат поступают в вычислительное устройство — уст-252
ройство вторичной обработки, в котором прежде всего определяется местоположение объекта в момент t в избранной системе координат, в результате формируется отметка объекта. Отметки могут быть истинными и ложными. Ложная отметка образуется тогда, когда обнаружитель устройства первичной обработки принял ошибочное решение о наличии полезного сигнала, т. е. в случае ложной тревоги.
Одна отметка не позволяет с высокой достоверностью принимать решение о наличии объекта в осматриваемом пространстве. Кроме того, по ней нельзя определять направление движения объекта и параметры его траектории. Для выяснения этих вопросов нужно располагать совокупностью отметок, полученных в разные моменты времени, например за несколько обзоров пространства. К формированию и обработке таких отметок и сводится вторичная обработка информации. Ее основными задачами являются: формирование отметок (т. е. расчет мгновенного местоположения объектов) обнаружение траекторий объектов, сопровождение траекторий объектов, включающее в себя оценивание параметров траекторий. Вторичная обработка информации обычно выполняется автоматически с помощью ЭВМ.
Траектория движения объекта описывается векторной функцией R(0, которая зависит от ряда факторов: типа объекта, его маневренных возможностей, скорости и т. д. На траекторию объекта также влияют случайные факторы: неконтролируемые изменения характеристик среды, в которой происходит движение, различного рода ошибки, возникающие в процессе управления движением объекта, и др. По этим причинам множество возможных траекторий объекта в общем случае можно рассматривать как множество реализаций некоторого случайного процесса. Однако из-за недостатка априорных сведений о таком случайном процессе часто используют более простые модели для описания траекторий, как, например, детерминированные функции R с неизвестными параметрами 0, т. е. квазидетерминированные модели R(e, /). Но и в этом случае из-за погрешностей измерения координат объекта, ложных отметок и других случайных мешающих факторов, искажающих траекторию, наблюдаемый процесс y(t) на входе устройства вторичной обработки является случайным. Поэтому вторичная обработка носит статистический характер, и оптимальное решение задач обнаружения траекторий и оценивания их параметров следует искать с помощью теории статистических решений (§ 2.1). Но прежде чем переходить к этим задачам, связанным с обработкой нескольких отметок (§ 7.3, 7.4), нужно выяснить, как рассчитывается точность местооопределения объекта по одной отметке (§ 7.2).
253
Рис. 7.1. Диаграммы определения линейных ошибок
7.2. ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ
Ошибка определения линий и поверхностей положения. Определение местоположения объекта с использованием позиционных методов (см. § 1.3) сводится к нахождению точки пересечения линий положения (на плоскости) или поверхностей положения (в пространстве). При измерении РЛС и РНС какой-либо геометрической величины U (дальности, разности или суммы дальностей, угловых координат) возникают ошибки ДС, которые приводят к смещению найденных линий и поверхностей положения относительно истинных. Расстояние по нормали Дп между истинной и найденной линиями (поверхностями) положения (рис. 7.1,о) называют ошибкой определения линии (поверхности) положения или линейной ошибкой.
Для выявления взаимосвязи между ошибками Ди и ДН воспользуемся элементами теории скалярного поля. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие скалярная величина U, то говорят, что порождается скалярное поле U=U(M). Если положение точки М описывается декартовыми координатами (х, у, z), то U—U(x, у, г). При отсутствии зависимости от г скалярное поле является плоским: (7=Й(х, у). Совокупность точек пространства, в которых величина U имеет постоянное значение, образует поверхность уровня скалярного поля. Применительно к задаче местоопределения — это поверхность положения.' 254
Семейство линий положения на плоскости можно рассматривать как линии уровня плоского скалярного поля. Изменение скалярного поля характеризуется вектором grad U — градиентом поля. Если п — единичный вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) положения в сторону возрастания величины U, то grad U= (dUldn)n, где dU/dn — производная поля в направлении нормали. Модуль градиента | grad L7| —dUldn. Заменив дифференциалы конечными приращениями, получим линейную ошибку
А« = Д £7/| grad C7J.	(7.1)
Таким образом, ошибка в определении линии (поверхности) положения Ал прямо пропорциональна погрешности измерения геометрической величины l\U и обратно пропорциональна модулю градиента поля этой величины. Последний в декартовой трехмерной системе координат
| grad <7| = У(ди1дхУ+(ди/ду)г+(ди1дг)2,	(7.2)
а для плоского поля
[ grad V | = /(dUldxY^(dUldy)\	(7.3)
Так как погрешность измерения геометрической величины является, вообще говоря, случайной, то и ошибка определения линии (поверхности) положения также будет случайной. Возведя обе части равенства (1) в квадрат, усредняя с учетом того, что МАП=0, и извлекая затем квадратный корень, находим среднеквадратическую ошибку определения линии (поверхности) положения:
оп = Оц/| grad U |,	(7.4)
где оц — среднеквадратическая погрешность измерения величины U. Последняя включает в себя погрешности разных видов:
/°Ц ш + мет + °U ап + рас,	(7.5)
где виш — шумовая ошибка, включающая в себя потенциальную точность измерения величины U-, вимет и виал — методическая и аппаратурная ошибки; Gupac — ошибка распространения.
Рассчитаем с помощью полученных формул линейные ошибки применительно к конкретным методам местоопределения (см. § 1-3).
Пеленгационный метод. При постоянном пеленге a линия положения является прямой (рис. 7.1,5), описываемой уравнением a=arctg(x/t/). Согласно (3)
|grada| = 1/]/х2 + у2= 1//?,
где R — расстояние искомой точки М от начала координат. Сле-
255
довательно, ошибки определения линии положения (1), (4) при пеленгации
Д/г = 7?Да, on = Rcai	(7.6)
где ошибки Да и оа выражены в радианах. В градусном измерении последних оп = 0,0177?оа. Как видим, линейные ошибки (6) прямо пропорциональны расстоянию до объекта (при Aa = const, = const).
Дальномерный метод. При постоянной дальности R линия положения — окружность (рис. 7.1,в), описываемая уравнением R= Ух2+у2. Согласно (3) |gradR| = 1, поэтому
bn = kR, оп = од.	(7.7)
Таким образом, ошибка определения линии положения при дальнометрии совпадает с дальномерной ошибкой.
Разностно-дальномерный метод. При постоянной разности расстояний линия положения — гипербола (рис. 7.1,а), описываемая уравнением
U = Ra -RB = У(х + 0,5О)2 + у2 - У(х-0,5с1)2 + у2.
Вычислив (3), найдем | grad U\ =2 sin(<p/2). Таким образом,
Дп = A(Ra — Rb)I2 sin ((р'2), on = Одя/2 sin (ср/2),	(7.8)
т. е. линейная ошибка зависит от погрешности измерения разности расстояний (Д(7?а—Rb), Одн) и от угла <р, под которым видна база АВ из точки М. Минимальная ошибка оп = Одк/2 будет при <р=зт, т. е. когда объект находится на линии базы. Зависимость ошибки (8) от угла <р — отличительная особенность разностнодальномерного метода по сравнению с пеленгационным и дальномерным методами, при которых ошибки определения линий положения от направления не зависят (см. (6), (7)).
Точность местоопределении на плоскости. Если линии положения определены не точно, то местоположение объекта как точка их пересечения также находится с ошибкой. Предположим, что линии положения определены с ошибками АП] и Дп2 и пересекаются под произвольным углом у. Тогда найденное местоположение (точка ЛГ) будет отличаться от истинного (точка Л4) на величину Аг, т. е. при известных A«i и Дп2 ошибка местоопределе-ния Аг есть диагональ параллелограмма ошибок* (рис. 7.2), при этом (Ar)2=a2+&2+2c&cosy, где a = Ani/siny, b=Bn2/siny. Отсюда
(А г)2 = [(A«i)2 + (Дп2)2 + 2ДП! Дп2 cos ?]/sin2 у,	(7.9)
* Такое построение справедливо при небольших ошибках, когда линии положения можно считать (приближенно) параллельными прямыми.
256
а ошибка местоопределении
Д г = )/(Д «i)1 24-(A»2)2+24«i Д«г c°s у/ sin у.	(7.Ю)
Она зависит от ошибок определения линий положения и от угла у, т. е. от «геометрии» системы местоопределе-ния. Величину Дг можно интерпретировать как ошибку местоопределении при единичном отсчете, когда известны значения ошибок Дщ и Дпг. При многократных измерениях (отсчетах)
эти ошибки меняются слу-
чайным образом, поэтому задача описания точности местоопреде-
ления усложняется.
Часто распределение вероятностей погрешностей измерения геометрической величины можно описать (с достаточной точностью) гауссовским законом с нулевым средним. Тогда ошибки определения линий положения в силу зависимости (1) также будут распределены по гауссовскому закону с нулевым средним. Поэтому совместную плотность вероятностей ошибок определения двух линий положения можно записатыв виде
п2) =
__________1__________
2зтап1 onaV 1 — ра
	1	/ П1 _ 2р»д п3 ”2 \ 2(1___________________р2) у_°niOna
(7.Н)
где Oni и оп2 — среднеквадратические ошибки определения линий положения; р — коэффициент корреляции, характеризующий степень взаимосвязи между ошибками:
р =-------- j*	n^dn^dn^.
°ni°na ^оо—оо
При независимых ошибках р=0.
Приравняв выражение в квадратных скобках в формуле (11) некоторой фиксированной величине, получим уравнение кривой, на которой плотность вероятностей ошибок постоянна:
1	/ Я1 2pnt Я2 Я2 _ ^2
2 ( 1 — р2) J ОП1 ОП2 о2 2 j
Эта кривая представляет собой так называемый эллипс ошибок. Значение параметра X определяет размеры эллипса. Вероятность 9-юо	w
нахождения точки местоположения внутри области S(X), ограни, ченной эллипсом ошибок с параметром Л,
Р(Х) = JJ w(nlt n2)dn1dn2=\ — ex,p( — X‘i-),	(7.12)
S(X)
а размер эллипса ошибок (т. е. значение X), в котором искомая точка находится с заданной вероятностью Р,
Х = /-1п(1-Р)'.	(7.13)
Заметим, что при равноточных измерениях, когда o2ni = o2n2, эллипс ошибок переходит в окружность.
Итак, точность местоопределения на плоскости при гауссовском распределении ошибок полностью характеризуется эллипсом ошибок. Однако на практике часто ограничиваются более простой характеристикой точности, определяемой на основе среднего значения квадрата ошибки. Полагая входящие в равенство (9) ошибки случайными величинами, возьмем математическое ожидание от обеих частей равенства, учитывая при этом МДп1 = МДп2=0, МДп]Дп2=сгп1ОП2Р. где ощ и опг — среднеквадратические ошибки определения линий положения; р — коэффициент корреляции ошибок. В результате находим среднее значение квадрата ошибки местоопределения:
М (Д г)2 Bs е2 = (o2j + о2" 4- 2onl on2 р cos y)/sin2 у,	(7.14)
откуда
«= й + О^ + гОщОпаРСОБ^^Пу.	(7.15)
Так как МДг#=0, то величина е есть полная ошибка местоопределения (а не среднеквадратическая ошибка, как ее иногда именуют), включающая в себя ошибку смещения (см. (1.6), (1.8)). Отметим также, что формулы (14) и (15) определяют среднее значение квадрата ошибки и полную ошибку местоопределения при любом законе распределения вероятностей случайных ошибок Д«1 и Дп2 (а не только гауссовском).
Используя (4), перепишем (15) в следующем виде:
с 1 т/~ °от ,	.	°с/2. 2tTt7ipt72 Pcost
sin-у V Igradt/tl2 Igrad |2 Igrad <7Т| |grad<72|
Таким образом, точность местоопределения на плоскости можно характеризовать полной ошибкой местоопределения (16), зависящей от среднеквадратических погрешностей Ош и сг^г измерения величин Ui и 1?2 и от «геометрии» системы местоопределения, определяемой значениями модулей градиентов скалярных полей и, следовательно, видом линий положения и углом у между 258
ними. При независимых погрешностях измерения геометрических величин Ui и Uq, коэффициент корреляции р=0 и формула (16) упрощается.
Конкретизируя (15) с учетом (6)—(8) и полагая р=0, находим формулы для расчета точности местоопределения применительно к угломерной
8 = V^<£i + ^<£2/sin V.
дальномерной-
8==1^ori+°R2'sinV	(7.17)
и разностно-дальномерной
е = V (OARi/sin О.Бф^2 + (oAR2/sin 0,5<p2)2/ 2sin у	(7.18)
системам местоопределения. В этих формулах R\ и R?— расстояния до искомой точки (объекта) из двух точек; оИ1, оа2. Онь Онг— среднеквадратические погрешности измерения пеленгов и дальностей соответственно; <тдК1 и сгддг — среднеквадратические погрешности измерения разностей расстояний до объекта, определяемых из трех точек на плоскости; q>i и <р2 — углы, под которыми из искомой точки видны две базы, образуемые гремя точками. 5
Для угломерно-дальномерной системы, в которой местоположение объекта находится в результат^ измерения его пеленга и дальности из одной точки, полная ошибка местоопределения
8 =	+	.	(7-19)
Эта формула получена из (15) с учетом (6), (7) и того, что линии положения в рассматриваемом случае пересекаются всегда под углом 90°.
Точность местоопределения в пространстве. Точность определения местоположения объекта в пространстве можно оценить, зная ошибки трех поверхностей положения, точка пересечения которых дает искомое местоположение. Если случайные ошибки определения трех поверхностей положения независимы между собой и распределены по гауссовскому закону с дисперсиями o2ni, о2п2, о2пз и нулевыми средними, то совместная плотность вероятностей этих ошибок
.	, / „2	„2	„2 \'
.	.	1	1/^1	^9	I
и» (пх, п2, п3) = —------------ехр------—~ ч—— -I—— I .
Д/(2зт)8 оп1 аП2 опз	2 у р^	°пз/_
Отсюда находим уравнение поверхности
(«г/Ощ)2 + («2/Оп2)2 + («8(°пз)2 = 2Л2,
на которой плотность вероятностей ошибок постоянна (Х=const).
9*	25&
Эта оверхность представляет собой так называемый эллипсоид ошибок. Полуоси эллипсоида ошибок: а=У2Коп\, b = ]/r2Konij с= V 2/.оп3.
При равноточных измерениях, когда <r„i = crn2=crn3, эллипсоид ошибок превращается в сферу ошибок. Постоянная величина X определяет размеры эллипсоида ошибок <S(X) и вероятность Р(%) нахождения в нем искомой точки:
Р(К\ = j*п2, n3)dn1dn2dn3 =
S (А)
= 2Ф (]<2Х) - 1 —ехр (- X2), у л
где Ф(х) — интеграл вероятностей (2.55).
Эллипсоид ошибок наиболее полно характеризует точность местоопределения в пространстве (при гауссовском распределении ошибок). Проще рассчитывается полная ошибка местоопределе-иия е. Найдем ее применительно к угломерно-дальномерной системе местоопределения. Если дальность R, азимут а и угол мес-та р измерены из одной точки пространства с погрешностями А/?, Аа, Др, то ошибки определения поверхностей положения (см. рис. 7.3, а также формулы (6), (7)) Ап1 = /?Др, Аи2=А/?, Ди3= =R cjs рДа.
Рмв. 7.3. Параллелеиипвд опябок
Эво
Ошибка местоопределения Дг есть диагональ прямоугольного* параллелепипеда ошибок и поэтому
(Дг)2 = Д2 (Д₽)2 + (ДД)2 + Д2 cos2 Р (Да)2.	(7.20)
При многократных измерениях эти ошибки меняются случайным образом. Усреднив обе части равенства (20) с учетом МДД = = МДа=МДр = 0, получим среднее значение квадрата ошибки местоопределения:
е2 = /?2О2 + 02 +/?2(T2cos2p
где стр, or, Оа — среднеквадратические погрешности измерения угла места, дальности и азимута соответственно. Следовательно,
е== VaR + ^2(°p + o2cos2P)
— полная ошибка местоопределения для угломерно-дальномерной системы.
Зоны местоопределения. Полученные формулы для полной ошибки местоопределения позволяют построить зоны местоопределения различных систем. Проиллюстрируем методику построения таких зон для местоопределения на плоскости.
Для системы, состоящей из двух радиодальномеров, расположенных в точках А и В (рис. 7.4,0), уравнение (1.14) после подстановки (17) принимает вид У o2Ri + a2R2/siny=eAon. Если радиодальномеры обеспечивают одинаковую точность измерения, т. е. Од1 = (Тд2=Ол, то '|/г2сгд/81п'у=едоп- Отсюда видно, что в каждой точке кривой, ограничивающей зону местоопределения, угол у между линиями положения должен быть таким, чтобы sin-y= = У2од/еДоп = const. Кривая, удовлетворяющая этому условию, представляет собой окружность, хорда которой совпадает с базой d (рис. 7.4,с). Значение ошибки местоопределения е (при заданном значении од) будет минимальным при siny=l, т. е. на окружности /, диаметр которой равен базе. При отходе обьекта от этой окружности как в сторону удаления от базы, так и в сторону приближения к ней, ошибка е уменьшается и достигает на окружностях 2 и 3 допустимого значения едоп. Таким образом, зона местоопределения дальномерной системы представляет собой ограниченную окружностями 2 и 3 заштрихованную область (рис. 7.4,а).
Для разностно-дальномерной системы, состоящей из трех станций, расположенных в точках А, В и С (рис. 7.4,6), уравнение (1.14) с учетом (18) при одинаковых среднеквадратических ошиб-
* Поверхности положения в рассматриваемой системе пересекаются под прямыми углами.
261
Рис. 7.4. Зоны местоопределении дальномерной (а) и раз- Рис. 7.5. Зоны ностио-дальномерной (б) систем	обнаружения и
местоопределе-ния угломернодальномерной системы
ках определения разности расстояний (одп1 = одя2=одп) принимает вид
0,5одл cosec 0,5 (фг 4- ф2) У cosec2 0,5фх + cosec2 0,5 ф2 = едоц,
зона местоопределения показана на рис. 7.4,б.
Зона местоопределения угломерно-дальномерной системы, как следует из (1.14) и (19), ограничена окружностью (рис. 7.5) радиусом
= (7-20Э)
где or, оа — среднеквадратические погрешности измерения дальности и пеленга соответственно. Примером подобной системы служит наземная РЛС кругового обзора. Отметим, что для такой РЛС зона обнаружения в горизонтальной плоскости при отсутствии влияния местных предметов также является кругом. Однако вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги F обычно задаются так, что радиус этого круга Ртах — дальность действия в режиме обнаружения — оказывается больше радиуса (20а) — дальности действия в режиме местоопределения, т. е. зона обнаружения включает в себя зону местоопределения (заштрихована на рис. 7.5). Заметим, что вертикальные сечения пространственных зон обнаружения и местоопределения наземной РЛС носят лепестковый характер (из-за интерференции радиоволн вследствие отражений от Земли, см. [1,5]).
262
Зоны местоопределения можно расширить за счет повышения точности отдельных измерителей, входящих в РЛС и РНС, а также их комплексирования с дополнительными измерителями (см. гл. 8).
7.3. обнаружение траектории
«Показатели качества обнаружения и характеристика основных операций. Так как задача обнаружения траекторий объектов является статистической, то оптимизация решения этой задачи возможна на основе изученных ранее критериев оптимальности обнаружения сигналов (§ 2.2). Как отдельные отметки объектов, так и прокладываемые по ним траектории могут быть истинными и ложными. Качество обнаружения траекторий характеризуется следующими показателями: вероятностью обнаружения истинной траектории £); вероятностью обнаружения ложной траектории F', средним временем обнаружения истинной траектории, тр, средним временем обнаружения ложной траектории т0; средним числом ложных траекторий, передаваемых на сопровождение в единицу времени jV0. Значение указанных показателей зависит от ряда факторов, в частности от операции стробирования, т. е. выделения областей, содержащих отметки обнаруживаемой траектории. Рассмотрим эту и другие операции, которые необходимо выполнить при автоматическом обнаружении траекторий, на примере двухкоординатной обзорной РЛС.
Пусть устройство первичной обработки приняло решение о наличии объекта и измерило его координаты: дальность Я и азимут а в некоторый момент времени t. В устройстве вторичной обработки формируется отметка y(R, a, t), которая принимается за начало траектории. Так как РЛС предназначена для наблюдения на объектами определенного класса, то обычно известны максимальная Vmax и минимальная Vmin скорости объекта. Тогда если То — период наблюдения (обзора) РЛС, то можно выделить область Si в виде кольца с центром, совпадающим с первой отметкой, и радиусами rmln= Ет111Т0, гтах = Етах7'0 (рис. 7.6); в этом кольце и может находиться отметка в следующем обзоре. Операция формирования подобной области называется стробированием, а сама область — стробом.
Если в следующем обзоре в начальный строб Si попадает отметка, то происходит завязка траектории. При попадании в строб S! нескольких отметок происходит завязка соответственно нескольких траекторий. Если в начальном стробе не оказывается ни одной отметки, то первая отметка либо считается ложной и сти-
263
Рис. 7.6. Диаграмма, поясняющая процедуру обнаружения траекторий
рается из памяти ЭВМ — критерий завязки «2 из 2» («2/2») „ либо остается в памяти для подтверждения на следующем обзоре — критерий завязки «2 из т» (т>2 — целое число), при этом размеры- начального строба увеличиваются.
По двум отметкам можно определить направление и среднюю скорость движения объекта Vcv=ri2IT0, где ri2 —
расстояние между 1-й и 2-й отметками. Зная направление движения и среднюю скорость, можно рассчитать предполагаемое положение отметки в следующем обзоре, т. е. провести экстраполяцию (предсказание). Отметки, полученные в результате экстраполяции, обозначены на рис. 7.6 треугольниками. Вокруг этих отметок образуются стробы, например круговые, размеры которых определяются погрешностями измерения координат объекта, а также ошибками расчета положения экстраполированных отметок. При обнаружении траектории маневрирующего объекта размеры стробов должны рассчитываться с учетом возможного маневра. Размер строба непосредственно влияет на показатели качества обнаружения траектории. Его увеличение приводит к увеличению числа ложных отметок в стробе, в результате возрастает вероятность ложного обнаружения F. Уменьшение размера строба может привести к непопаданию истинной отметки в строб, при этом снижается вероятность правильного обнаружения D.
При гауссовском распределении погрешностей измерения координат и ошибок экстраполяции для обеспечения заданной вероятности попадания отметки в строб его форма должна совпадать с эллипсом ошибок, который можно построить по методике, изложенной в § 7.2; при обнаружении траектории в пространстве строб — эллипсоид ошибок. Однако формирование таких стробов сопряжено с большими вычислительными затратами, и на практике ограничиваются формированием стробов такой формы, которая удобна для вычислений в принятой системе координат. При этом образуемый строб должен охватывать эллипс (эллипсоид) ошибок.
Если в строб 32 попала отметка, то она считается принадлежащей обнаруживаемой траектории. Процесс обнаружения продолжается, и, когда в соответствии с принятым критерием будет вынесено решение о подтверждении траектории, т. е. об окончательном обнаружении, она передается на сопровождение. Если 264
же в строб S2 не попадет ни одной отметки, то траектория продолжается по экстраполированной отметке, при этом размеры строба увеличиваются. При невыполнении критерия подтверждения траектория сбрасывается. При попадании в стробы S2, S3,... нескольких отметок можно либо продолжать траекторию по каждой из них, при этом ложные траектории через несколько обзоров из-за отсутствия подтверждения будут отброшены, либо выбрать в стробе одну отметку, наиболее близкую к обнаруживаемой траектории, а остальные отбросить как ложные.
Алгоритмы обнаружения. Как следует из сказанного, процесс обнаружения траектории можно разбить на два этапа: на первом осуществляется завязка траектории, на втором — ее подтверждение. Критерии, согласно которым выносятся соответствующие решения на первом и втором этапах, вообще говоря, различны. От них непосредственно зависят показатели качества обнаружения траектории.
Оптимальные критерии завязки и подтверждения траектории можно строить на основе отношения правдоподобия (§ 2.2), которое определяет оптимальный алгоритм обнаружения как пр» фиксированном (критерий Неймана — Пирсона), так и при случайном (критерий Вальда) времени наблюдения. Поэтому прежде всего найдем отношение правдоподобия для рассматриваемой задачи обнаружения. Обозначим через {бг, i=l, 2, ...} последовательность нулей и единиц, соответствующих отсутствию или наличию отметок в стробах, формируемых в процессе обнаружения траектории:
{1 при наличии отметки в стробе на i-м шаге;
(/.21^ О в противном случае.
Возможны две ситуации &=(), 1, когда наблюдаемая последовательность {б,} соответствует истинной (&=!) и ложной (&=())' траекториям. Отношение правдоподобия на й-м шаге (обзоре) есть отношение условных вероятностей
ЛА=Р(б1,..., 6ft|e=l)/P(6i,..., 6ft|e=0).
Обозначим условные вероятности событий (21) следующим образом:
P(6i= 1 |«' = O) = poi, Р(51- = 0|'& = 0) = ?Ог-, poi + qOi = ^,
P(6i=ip=l) = plb P(6i = Op« l) = qllt pu + qu = \
(i—1, 2, ...). Эти вероятности зависят, в частности, от отношения сигнал-шум на входе устройства первичной обработки и от размеров строба при вторичной обработке в i-м обзоре простран-
26S
ства. Полагая, что события (21) от обзора к обзору статистически независимы, аналогично § 2.10 находим отношение правдоподобия
Ль= П	&i и его логарифм
t=l X Pot ) X Qot /
zft=3	+	И *=1,2,....	(7.22)
X Pot J	X ян Jl
Если обнаружение траектории осуществляется по критерию Неймана — Пирсона, то статистику (22) на фиксированном л-м шдге следует сравнивать с некоторым порогом, выбираемым по заданной вероятности обнаружения ложной траектории F. В данном случае алгоритм обнаружения
y6fln(^i^yih,	(7.23)
X Pot
где h — порог; di и d0 — решения об обнаружении и необнару-жении (сбросе) траектории соответственно. Левая часть алгоритма (23) реализуется весовым накопителем, суммирующим «единицы» с весовыми коэффициентами 1п(рндОг/рОг<7н), зависящими в общем случае от номера обзора I. При обнаружении траектории по алгоритму (23) решения d\ или do выносятся по истечении заданного отрезка времени — после п-го обзора пространства. Однако время обнаружения можно сократить, если воспользоваться критерием Вальда, согласно которому последовательно на каждом шаге статистика (22) сравнивается с двумя порогами:
Лн?Зк1п^-Нб!-1)1п-^Шв, Л=1,2,...	(7.24)
dn Z=1 L Ро!	Pit J <fn
При превышении значением Zk верхнего пордга /гв = 1п(7)/Е) выносится решение di — траектория обнаружена; если zk меньше нижнего порога AH = ln[(I—D)/(l—F)], то выносится решение d0 — траектория не обнаружена, при этом осуществляется сброе отметок, находящихся в памяти ЭВМ. Если же
Лн<гй<Лв,	(7.25)
то принимается решение dn о продолжении испытаний: производится (&+1)-й обзор и описанная процедура повторяется. Согласно алгоритму (24) при попадании отметки объекта в строб на k-м шаге (6ь=1) к накопленному значению Zk-\ прибавляется единица с «весом» ln(pife/poft); при отсутствии отметки в k-м стробе из Zk-i вычитается единица с «весом» Ui(qoklqik)-
Алгоритм последовательного обнаружения (24) при статистически независимых однородных наблюдениях {Si, £=1, 2, ...} и 266
заданных вероятностях D и F обеспечивает минимум среднего времени анализа истинных и ложных траекторий: Ti=mm, To=min. Недостатком этого алгоритма является то, что в отдельных испытаниях длительное время выполняется неравенство (25) и процедура обнаружения недопустимо затягивается. Для устранения данного недостатка алгоритм последовательного обнаружения >(24) «усекается» на некотором л-м шаге, т. е. статистика zn сравнивается с одним порогом, выбираемым, например, по критерию Неймана — Пирсона. При такой усеченной последовательной процедуре несколько ухудшаются показатели D и F по сравнению с неусеченной процедурой Вальда (24), но зато исключается возможность превышения временем анализа заранее заданного значения.
Реализация оптимального неусеченного и усеченного последовательных алгоритмов обнаружения требует значительных затрат вычислительных средств. Для их уменьшения на практике часто используют более простые алгоритмы, основанные на критериях серийных испытаний. Эти критерии связаны с наблюдением заранее определенных серий нулей и единиц. Примером таковых служит критерий «й/л—/», где	1<п. Согласно этому критерию
траектория считается обнаруженной и передается на сопровождение, если в течение смежных периодов обзора, максимальное число которых равно и, появляется не менее k отметок (k единиц); в противном случае, а также при отсутствии отметок в I смежных обзорах (I нулей подряд) принимается решение о сбросе траектории. Данный критерий определяет усеченную процедуру обнаружения последовательного типа: имеется два порога — верхний k и нижний I, шаг усечения л. Основное преимущество алгоритмов последовательного типа по сравнению с «непоследовательными» алгоритмами (типа (23)) заключается в том, что они позволяют существенно сократить время анализа ложных траекторий, уменьшая тем самым общее время обнаружения, а также освобождая память и процессор ЭВМ от непроизводительной работы. Для сокращения времени обнаружения траектории и уменьшения вычислительных затрат при использовании критерия «k/n—I» целесообразно выбирать малые значения k, I и и. Однако'при этом будет возрастать число ложных траекторий, передаваемых на сопровождение.
На практике используют также серийные процедуры типа «й/л», k^tv. принимается решение об обнаружении траектории при появлении k отметок в и смежных обзорах, в противном случае траектория сбрасывается как ложная. Данный критерий в отличие от двухпорогового критерия «k/п—I» является однопороговым. Однако и он позволяет вынести решение об обнаружении 267
траектории быстрее, чем за п шагов (при k<_ri), — в этом его отличие от критерия Неймана —Пирсона. Что касается решения о сбросе траектории, то оно при критерии «й/n» не может быть принято раньше, чем за п шагов; однако это возможно при критерии «k/n—Ь>, так как 1<п.
Рассмотренные критерии и алгоритмы обнаружения используются в основном на этапе подтверждения траектории. Однако они могут применяться и для оптимизации завязки траектории. На практике в качестве критерия завязки обычно используется критерий «2/т», и задача оптимизации сводится к выбору оптимального значения т. Часто завязка осуществляется по критерию «2/2» — траектория считается завязанной при появлении двух отметок подряд.
7.4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ
Основные операции при сопровождении траектории. После того как траектория обнаружена, она передается на сопровождение. Сопровождение траектории состоит в непрерывной привязке к ней получаемых в очередных обзорах отметок и определении
Рис. 7.7. Структурная схема алгоритма сопровождения траектории 268
параметров траектории. Рисунок 7.7 иллюстрирует взаимосвязь. и последовательность выполнения основных операций при сопровождении траекторий. Блок 1 выполняет стробирование и селекцию „тметок: выбирается одна из отметок, наиболее близкая к сопровождаемой траектории (в соответствии с принятой мерой близс гп), остальные отметки сбрасываются, а в условиях возможен го возникновения новых траектории передаются в обнаружитель. Отселектированная отметка поступает в блок 7, где осуществляются траекторные расчеты, в частности оцениваются параметры траекторий с учетом всей имеющейся к этому времени информации. Кроме того, данная отметка передается в блок 2, в котором оцениваются (сглаживаютбя) параметры траекторий по сравнительно несложным алгоритмам при упрощенных предположениях относительно закона движения объекта. Оценка параметров траектории в блоке 2 необходима для обеспечения непрерывности сопровождения, и от нее не требуется высокой точности оцет гьания, которая должна обеспечиваться в блоке 7 перед непосредственной передачей результатов вторичной обработки информации их потребителю. Блоки 3 и 4 вычисляют экстраполированные значения координат и размеры стробов на очередной обзор.
Если обнаружен маневр объекта (блок 5), то процедуры оценивания параметров, экстраполяции координат и вычисления размеров строба должны быть скорректированы. В частности, должны быть изменены гипотезы о законе движения объекта, а соответственно и алгоритмы оценивания и экстраполяции. Задача оптимизации обнаружения маневра может решаться с помощью рассмотренных статистических методов. Обычно под маневром понимают возникновение изменения (скачка) скорости движения объекта. Этот скачок можно обнаружить с помощью алгоритма, вычисляющего оценку ускорения объекта и сравнивающего полученное значение с порогом, выбираемым по заданной вероятности ложного решения о наличии маневра.
При непоступлении новой отметки проверяется критерий сброса траектории (блок 6). Простейший критерий сброса — k пропусков отметок подряд. При выборе значения k необходимо учитывать, что при увеличении k уменьшается вероятность вынесения неправильного решения о сбросе траектории с сопровождения, однако при этом возрастают число сопровождаемых ложных траекторий и их средняя длительность.
Нетрудно видеть, что операции, выполняемые при сопровождении траекторий, в значительной мере аналогичны тем, которые должны выполняться и при обнаружении траектории (§ 7.3). Однако в силу большего объема информации на этапе сопровождения эти операции будут точнее, чем на этапе обнаружения.
?S9
Фактически обнаружение и сопровождение траекторий могут быть проведены с помощью общего алгоритма одним вычислительным устройством.
Важнейшую роль при вторичной обработке сигналов играет оценивание параметров траектории. Эта операция выполняется уже на этапе обнаружения, когда требуется определить параметры траектории (среднюю скорость и направление движения) по начальным данным. На этапе сопровождения траектории оценивание можно осуществить более точно. Результаты вторичной обработки передаются потребителю информации, например в виде сглаженных траекторий объектов, при этом в блоке 7 (рис. 7.7) желательно обеспечить максимальную точность оценивания параметров траекторий, для чего следует использовать оптимальные (или близкие к ним) алгоритмы.
Метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов. Для описания траекторий движения объектов будем использовать квазидетерминированную модель траектории * /?(0, t), представляющую собой детерминированную функцию R неизвестных и неслучайных параметров в= (60, ..., 6V) и времени t. Функцию R полагаем дифференцируемой по всем 6*, А = 0, ..., v. В важном частном случае траектория /?(0, t) задается в виде полинома v-й степени:
Же, о = е0+е1/+е2/2 + ...+evzv=26ft^-	(7.26)
fe=0
Коэффициенты е0, 6ь 62,... полинома имеют смысл координаты, скорости изменения координаты, ускорения и т. д.; степень полинома v зависит от маневренности объекта.
Вектор неизвестных параметров 6 траектории Д(0, t) подлежит оцениванию по результатам наблюдения процесса y(t) = =<R(Q, £)+£(/), где в качестве шума g(f) выступают погрешности измерения координат объекта при первичной обработке. Решим задачу оценивания методом максимального правдоподобия, а затем методом наименьших квадратов. При использовании первого из этих методов необходимо знать распределение вероятностей ошибок g(f). Во многих случаях можно считать, что они распределены по гауссовскому закону с нулевым средним и корреляционной матрицей погрешностей измерений Kg =11 Дг, у||, i, j= = 1, ..., п. Диагональные члены Ка представляют собой дисперсии погрешностей измерений в моменты времени tit а члены Kij(i#=j)
* Здесь и далее, говоря о модели траектории, будем подразумевать модель одной ее компоненты, описывающей изменение во времени какой-либо одной координаты объекта. Методика оценивания параметров других компонент траектории R(0, /) аналогична излагаемой далее.
270
характеризуют попарную корреляцию погрешностей в моменты ti И tj.
При решении задачи оценивания методом максимального правдоподобия необходимо вначале определить функцию правдоподобия (см. § 4.1). Так как полагаем, что шум g(f) гауссовский, функция правдоподобия для выборки у(Л)==1ц, ..., y(tn)ssyn определяется n-мерной гауссовской плотностью вероятностей
Л(е) = ш(^,..., у„|6) =
= (2n)-n/2det-,/2j|7<iJ||exp S Лгу]£Ц-Ж0, Ml X
же. у]},	(7 27)
где Ц/iijll = IIKijII-’• Оценка максимального правдоподобия 0М = = (бом, .... 6vm) векторного параметра 0 находится путем максимизации функции правдоподобия L(0) или монотонной функции L(6). В данном случае удобно взять натуральный логарифм
,п L (6) = con st--1 2 hulyt-R^, ti)][yj-R(O, (7-28)
2 i./=i
Оценка 0M является решением системы уравнений максимального правдоподобия:
— lnL(0) = 0, fe = 0, 1,..., v.	(7.29)
<50д
Дифференцируя (28), находим
4-1пВ(б) = 4- S bii[yi-R<G, t})]~ Rte, tt)+
deh	2 f	deh
i n	a
+ 4-2 hijiyt-Rte, ti)]-£~Rte, ti).
Подставляя это выражение в (29) и учитывая, что матрица ||ftt-3|| симметрическая, получаем систему уравнений
2 Ли [У1 - R (е, w R (6, ti) - о, fe=о,..., V,	(7.30)
определяющую оценку максимального правдоподобия 0М параметров траектории /?(0, t).
271
Рассмотрим важный частный случай, когда погрешности измерения координат от обзора к обзору не коррелированы. При этом' корреляционная матрица К; является диагональной:
О
6
К6 =
о... о
о2... О
О ... о2
(7 31)
где o2i(i=l, п) — дисперсия погрешностей измерений в момент времени т. е. в i-м обзоре. Элементы обратной матрицы h{j= = l/o2f, i=/ и hij = Q, в результате система уравнений (30)
упрощается:
2 4- Wi - r (е> mi 4-R =°- k=°* - •v- (7 - 32> i=\	«Oft
Если, кроме того, дисперсии погрешностей измерений одинаковы;
о2 = о2, i	п,	(7.33)
— случай равноточных измерений, то из (32) получаем п	д
^) = 0, k = o,..., v.	(7.34)
i=;l
Найденные уравнения совпадают с системой уравнений, определяющих оценки параметров методом наименьших квадратов (МНК-оценки). Действительно, согласно методу наименьших квадратов при оценивании векторного параметра 0=(6О, .... 6v) функции 7?(0, t) по результатам наблюдения ..., уп ищется такая оценка 0, для которой сумма квадратов отклонений наблюденных значений tjt от R (0, ft) минимальна:
2	—Я(0, Zj)]2 = min.
4=1
Если функция 7?(0, t) дифференцируема по 0о, , 6v, то указанная сумма минимальна при значениях 6о> —» 6v, являющихся решением системы уравнений (34). В более общем случае МНК-оценки ищутся путем минимизации суммы квадратов взвешенных отклонений:
/г)]г = ппп.
f=l
Получаемые при этом оценки при выборе весовых коэффициентов по формуле hi—l/uZi совпадают с оценками максимального правдоподобия, определяемыми системой уравнений (32).
ЯМ
Таким образом, метод максимального правдоподобия при гауссовском распределении погрешностей измерений приводит к МНК-оценкам. Отсюда следует, что МНК-оценки при гауссовском распределении погрешностей измерений являются асимптотически оптимальными (§ 4.1). Однако необходимо иметь в виду, что применение метода наименьших квадратов не требует знания закона распределения погрешностей измерений (в отличие от метода максимального правдоподобия). В важном частном случае МНК-оценки обладают «своими» оптимальными свойствами: при линейной зависимости наблюдений от оцениваемых параметров эти оценки имеют наименьшие дисперсии в классе линейных несмещенных оценок.
Перейдем теперь к конкретизации полученных общих уравнений применительно к полиномиальной модели движения. Согласно (26)
дЯ(0. tj) dQk
д dQk
(V	\
2М .
1=0	/
k = 0, v.
Подставляя это выражение, а также (26) в (30), (32), (34), получаем системы уравнений, которые, как нетрудно видеть, являются линейными. В частности, система уравнений (32) дает
S	*=°> •••’v-	(7.35)
i=i у 07 у L *=о J
Найденная система линейных уравнений, определяющая оценки Оо, Ov параметров полиномиальной траектории, называется системой нормальных уравнений. Для их решения и изучения свойств получаемых решений представим (35) в матричной форме. Обозначим
(7.36)
— векторы-столбцы размерностью (v+1) и п,
Ц 1? . . Ji
I U .. Л
1 Мп . . У
1/01 о ... О о 1/о2г ... О
О 0 . . . Поп
(7.37)
— матрицы размером ((v+l)Xn) и (пХн) соответственно. Тогда систему нормальных уравнений (35) можно записать в виде
С’НС0 = СтНу
10—100
273.
(т — операция транспонирования). Умножив обе части этого матричного уравнения слева на матрицу (СТНС)-1, обратную матрице СТНС, получаем его решение:
е = (Ст НС)'1 Ст Ну.	(7.38)
Найденная формула определяет МНК-оценки 0=(0О, ..., 0V)T параметров полиномиальной траектории (при любом распределении случайных погрешностей измерений). При гауссовском распределении оценка (38) является к тому же оценкой максимального правдоподобия: 0=0М. Как видим, оценка (38) находится путем линейного преобразования наблюдаемых величин у=(г/ь .... г/п)т. Покажем, что данная оценка является несмещенной. Для этого вычислим математические ожидания от обеих частей равенства (38). С учетом того, что матрицы С и Н детерминированные, имеем
М0 = (Ст НС)-1 СтНМу.
Так как
у = С0 + |,	(7.39)
где компоненты вектора погрешностей измерений £ имеют нулевые математические ожидания, то Му=С0. Поэтому
М0 = (СтНС)_1СтНС0 = 0,	(7.40)
что и требовалось показать.
Точность оценивания параметров траектории характеризуется корреляционной матрицей случайного вектора 0
к0 = м [(0 - мё) (0 - мё] ч,
которая в силу (40) есть корреляционная матрица погрешностей измерений
К0-=М[(ё-в) (0-0)4-	(7.41)
Вектор погрешностей измерений (0—0), как следует из (38) и (39), 0—0 = В£, где
В = (СТНС)~' СТН.	(7.42)
Поэтому согласно (41)
к0- = м [В| (в |)т] = м [в вт] = вм Ш вт = вк6 в\
где К& — корреляционная матрица погрешностей измерений коор-274
динат при первичной обработке (31). Используя (42), а также то, что Kg=H-1, находим
Kg = (Ст НС)-1 Ст [(Ст НС)-1 Ст Н]т =
= (ст нс)' ст нт с [ (ст НС)_Т=
= (ст нс)-1 (ст н с)т [ (Ст НС)“‘]Т.
Так как матрица Н симметрическая, то матрица СТНС также симметрическая и поэтому получаем окончательно
Kg = (CTHC)~’ .	(7.43)
Формулы (38) и (43) позволяют вычислить оценки и точность оценивания параметров траекторий полиномиального вида (26). Аналогичные формулы справедливы и для других моделей траекторий R (0, t), представимых в виде линейной комбинации детерминированных функций *:
Я(е, 0=2ейФй(0.
Л=0
Подставляя в (26) вместо неизвестных параметров их оценки, А	V А
получаем оценку траектории /?(0, t) = S fWft, иначе говоря, сгла-k=o
женную траекторию. Устройство оценивания параметров траек-
Рис. 7.8. Структурная схема дискретного сглаживающего фильтра
Рис. 7.9. Зависимость точности оценивания параметров линейной траектории от числа измерений
частности, ортогональные полиномы
* В качестве таковых используются, в Чебышева.
10*
275
тории представляет собой линейный дискретный сглаживающий фильтр. Согласно (38)
6. = "£ЬцУ1, i = v, /=1
где (bn, ..., bin) — i-я строка матрицы (42) — импульсная характеристика дискретного сглаживающего фильтра (рис. 7.8), формирующего оценку i-ro параметра траектории. При реализации фильтра на ЭВМ значения весовых коэффициентов Ьг-3-, а также наблюдаемые величины у\, у%,... хранятся в запоминающем устройстве, операции умножения и суммирования производит арифметико-логическое устройство ЭВМ.
Рассмотрим частный случай, когда траектория описывается полиномом 1-й степени (v=l), т. е. является линейной. Этот случай важен для практики, так как почти любая траектория на ограниченном участке может быть аппроксимирована прямой линией. Положим
/?(0, f) = Rn + Rn<t-tn),
(7-44)
где вектор оцениваемых параметров 0(7?п, Ли) состоит из координаты дальности Rn в момент времени tn последнего измерения и скорости изменения дальности Rn- В рассматриваемом случае вектор оценок
(7-45)
а матрица С (см. (37))
1 tl-tn
I h-tn
(7.46)
1	in—i	in
1 О
Предположим, что измерения дальности равноточны (т. е. выполняется условие (33); тогда
Н = (1/о2)1,
(7.47)
где I — единичная матрица размером (яХл). Находим
1 h-in
стнс
1 1 1 °2 ti~tn - tn-\ — in
1
О
1 tn-л-tn
1	0
276
«	2(^-м
=4-	£='	•	(7-48)
q2	n	n
2&-U 2(^-m2 i=l	i=l
Обращая эту матрицу, можно определить точность оценивания (43) и сами оценки (38). Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что измерения производятся через одинаковые промежутки времени:
=	i=l,...,n—1,	(7.49)
что соответствует случаю, когда параметры траектории оцениваются по данным РЛС с равномерным периодическим обзором пространства. При этом
2&-tn)=-т0 2» = -т0
i=--i	i=i	z
2& -*n)2=2’/2=т*	.
Подставляя эти выражения в матрицу (48) и обращая ее, находим корреляционную матрицу ошибок:
2(2n — 1)
Ke-=(CTHC)-’ = o2
n(n-f-l) 70n(n+l)
6	12
(7.50)
То п (п 4-1) Т^п(п2—1)
Далее, подставляя матрицы (46), (47) и (50) в формулу (38) и учитывая (49), определяем вектор оценок (45):
2 (2га — 1)6
л(п4-1) Ton(n+i)
6 12
То «(п 4-1) Tgn(n« —1)
2 n(n4-1)
п
2 (Зг-«-1)у4
6
70n(n2 —1)
2 (2i-«-l)^ i=i
Таким образом, оценки дальности Rn и скорости в случае линейной траектории при п равно дискретных и равноточных измерениях
277
Rn= S bKiyi’Rn= S bklyt ,	(7.51)
i=l	/=1
где весовые коэффициенты
= 2(3i-n-l)	. = 6£2f-»-!)_ i = i ...	(7.52)
K n(n+l) liL Ton(n*—\)
Эти коэффициенты представляют собой импульсные характеристики дискретных сглаживающих фильтров, на выходах которых после n-го обзора имеем оценку дальности и скорости. Структурные схемы фильтров строятся по типу схемы на рис. 7.8. В частности, при двух измерениях (л = 2) £2=1/2, £2= (У2—yi)/To, а при л=3
£з — Уз 4" 2 у2 — У1№, £3 — (Уз У№ Т0. Среднеквадратические ошибки оценивания дальности сь и
скорости Ол при п измерениях, как следует из (50)
«п _________
Vf2(2n — 1)	%
—------' , О. =
n(«+l) Йп Тв
/	[2
1/ ТУ-n ’	(7-53>
у п (п2— 1)
где о a =(j — среднеквадратическая ошибка оценивания дальности при одном измерении. Из графиков на рис. 7.9, построенных по формулам (53), следует, что для получения приемлемой точности оценивания параметров линейной траектории необходимо обработать не менее пяти—шести измерений дальности.
Рекуррентное оценивание. Линейные алгоритмы оценивания параметров траекторий сравнительно просты и широко распространены на практике. Однако рассмотренные алгоритмы оценивания имеют недостатки, связанные с тем, что обработка поступающих отметок осуществляется после проведения всех п измерений (обработка по полной выборке). При больших п требуется соответственно большая емкость памяти устройства обработки и, кроме того, имеется задержка выдачи оценок параметров траектории, которая не всегда допустима. От этих недостатков свободны рекуррентные алгоритмы оценивания, при которых вновь поступающая отметка сразу используется для уточнения ранее полученных оценок. Рекуррентный алгоритм определяет оценки 0^+! параметров траектории на (& + 1)-м шаге (т. е. в момент tk+i) через оценки на &-м шаге и очередное наблюдение ук+Г-
0fe+l = f (Ук+1, 6fe)> k = 1,2, ....
Согласно такому алгоритму обработка наблюдений происходит последовательно в реальном масштабе времени. По сравне-278
нию с нерекуррентной обработкой емкость памяти существенно сокращается, так как необходимость в запоминании предыдущих отсчетов z/1; yk отпадает.
Известен ряд способов синтеза рекуррентных алгоритмов оценивания параметров. Некоторые из таких алгоритмов получаются соответствующей модификацией нерекуррентных алгоритмов. Рассмотрим это на простом примере. Положим v=0 (полином нулевой степени), тогда согласно (36) и (37)
т. е. наблюдаемые величины (39) имеют вид У1=|8о+€г> i=l. —, п. В качестве матрицы весовых коэффициентов Н возьмем единичную матрицу I. В соответствии с (38) М НК-оценка 6о« параметра ©о
*г. е. совпадает с выборочным средним. Эту же оценку, как нетрудно убедиться, можно представить в рекуррентной форме:
ёож+1= 60h+ [!/(£+ 1)1 (yh+1- 0oJ, k= 1,2...n- 1	(7.54)
с начальным условием ©oi=£/i. Согласно алгоритму (54) оценка параметра формируется последовательно путем добавления корректирующей поправки [Ук+\—боь) к предыдущей оценке. Вес этой поправки 1/(й+1) с увеличением k уменьшается. Рекуррентный алгоритм (54) реализуется дискретным следящим фильтром с переменной полосой пропускания, стремящейся к нулю при k—*-oo.
Общий метод синтеза рекуррентных алгоритмов оценивания, которые могут быть как линейными, так и нелинейными, основывается на теории нелинейной фильтрации стохастических сигналов [48, 53], элементы которой рассмотрены в § 4.3. На практике широко распространены линейные рекуррентные алгоритмы, определяющие дискретные фильтры Калмана. Одномерный дискретный фильтр Калмана синтезирован ранее (см. (4.117) — (4.119)). Перепишем алгоритм (4.117) в виде
®ь+1= 0ь + с1й [Уй+i — c\k (1 — c2h) 0fel> = 1 > 2, —,	(7.55)
27»
где коэффициенты с1й и c2k вычисляются по формулам (4.119) (с учетом замены индекса i на k). В частном случае, когда оцениваемый случайный процесс является полностью коррелированным, т. е. когда р—1, из этих формул следует
с1й = 1/(1 +hh о2), C2ft = hk о2/(1 ±hh 02), hh+1 = hK + 1/о2,
1, 2, ... .
Если в начальном условии h\ (см. (4.120)) положить o2i = oo, то /и=1/ц2о и, следовательно, йй=Л/о20, а С1й=1/(1+Л), С2ь= =k!в результате алгоритм (55) совпадает с (54).
Таким образом, алгоритм Калмана (55), оптимизированный для решения байесовской задачи оценивания марковской гауссовской последовательности {6,, 1=1, 2, ...} в гауссовском шуме с независимыми значениями (см. § 4.3), в рассмотренном частном случае совпадает с рекуррентным алгоритмом метода наименьших квадратов в небайесовской задаче (т. е. когда оцениваемый параметр 6г=,6о — неслучайная неизвестная величина).
На практике приходится оценивать одновременно несколько параметров траектории, для чего требуется многомерный дискретный фильтр Калмана. Этот фильтр, как и одномерный, синтезируется методом, изложенным в § 4.3, путем конкретизации рекуррентного соотношения оптимальной фильтрации, а также рядом других методов в рамках линейного оценивания [49]. Не приводя выкладок, остановимся только на моделях наблюдаемого и оцениваемого процессов и конечном результате — многомерном дискретном фильтре Калмана.
Оцениваемые параметры 0м-1= (бцл-н, ..., 6V, ь+1)т — v-мерный вектор состояния — задаются линейным векторным разностным уравнением
®л+1=	Sa, k = 0, 1, ••• ,	(7.56)
где Fk+i;fe — переходная матрица состояния размером (vXv); Gh— матрица размером (vXp); Sa — р-мерный вектор гауссовских величин, для которого М£й=0, M(S,Sat) =СЬД-л; Qa — матрица размером (рХр); б,* — символ Кронекера. Начальное состояние 0О — случайный вектор с известным средним значением и корреляционной матрицей:
м е0 = ё0, м [(е0- ё0) (е0 - е0 )т]=ке„.	(7.57)
Уравнение (56) определяет характер движения объекта, причем матрица F*+i, а задает динамику движения, а матрица Ga — преобразование случайных возмущений, действующих на объект. В том частном случае, когда G*=0, k=f), 1, ..., движение будет определяться переходной матрицей Fs+i, а и начальным состоянием
®0, и если последнее заранее известно, то траектория движения — детерминированная функция времени. Если же % — случайный вектор или же вектор неизвестных неслучайных параметров, то траектория является квазидетерминированной.
Наблюдаемый ///-мерный векторный процесс имеет вид
Ул+1 = Сй+1еА+1 + ^+1Л = 0, 1,...,	(7.58)
где Cfc+i — матрица размером (mXv); — случайный m-мерный вектор погрешностей измерения (шум), для которого M^A+i = =0, M^+1V/i+i = Kgfe+i6jfi, /, k~0, 1, ....	— матрица размером
(mXm). Предполагается, что случайные последовательности и не коррелированы: М§^Д=0 для всех /, k.
Для рассмотренной постановки задачи фильтр Калмана (рис. 7.10), последовательно формирующий оценку вектора состояния
описывается рекуррентным соотношением
®fe+i = Fh+i.h + Вы-i (Уй+i — Cfc+i F/i+i.ft ^ft), k = 0,1, ..., (7.59) где Bfe+i — матрица коэффициентов усиления фильтра размером (vXm), определяемая соотношениями
Вй+1 = кА+1 ,k q+1 (СА+1 Kfe+i ,k q+1 + k^+i )-1,	(7.60)
Kfe+i,fe = Ffc+i.ft Kfe.fe q+i>ft + Gfe Qft G* ,	(7.61)
Kfe-i-1 .fe-H = (I — Bft+1 Ch-1) Кй+i ,k ;	(7.62)
I — единичная матрица размером (vXv). Начальные условия задаются в соответствии с (57):
ё0=ё0, к00 = ке„.	(7.63)
В частном случае, когда оцениваемый параметр — скалярный марковский гауссовский процесс, описываемый уравнением
eh+1=реА + /i-р2 u+i. k = о, 1,...,
где р=ехр(—у|Д/|), {(а-н) — последовательность независимых гауссовских величин с нулевыми средними и дисперсиями o2i, имеем Рй+1>А = р, Ga= ]/" 1—р2, Qfe=o2i, и если, кроме того, Cft=l, K|fe=cr2o для всех k, то из формул (59) —(62) вытекают соотношения (4.117)—(4.119) и, следовательно, (55), а при дополнительном условии (р = 1, o2i = oo) — алгоритм (54).
Как видим, структура фильтра Калмана (59) является обобщением структуры простейшего рекуррентного алгоритма (54), для которого матрицы FA+i,fe, Cfe+ь Bk+i вырождены в скаляры, причем Fft+i,h=Cft+i = l, а коэффициент усиления Вд+i = 1/(1 +i£). В общем случае матрица коэффициентов усиления ВА-н определяется формулами (60) — (62), причем вычисления происходят
281
следующим образом. По заданным матрицам Fb+i.fe. G/;, Qfe в вычисленной матрице Кд, k находится с помощью соотношения (61) матрица Км-1Л- Эта матрица, а также известные матрицы Cft-H и Kgfe+i подставляются в (60) для получения матрицы Bft+b Затем матрицы Вй+1, Cft+i и Кь+i, h подставляются в формулу (62) и определяется матрица Кл+i. м-i- После этого вычислительный цикл повторяется. В начале вычислений (6=0) используется условие Коо=Кео (см. (63)).
Описанная вычислительная процедура вместе с матрицей коэффициентов усиления фильтра определяет точность фильтрации, так как матрица Кд, k представляет собой корреляционную матрицу ошибок: Kt,fe = M{(0^—0fe) (0fe—0ft)T]. Диагональные элементы этой матрицы дают среднеквадратические ошибки оценивания параметров на Л-м шаге:
aift=VrM(6ift-*elft)2, i=l,...,v.
Данные ошибки принимают минимальные значения, поскольку фильтр Калмана является оптимальным.
По поводу оптимальности рассматриваемого фильтра отметим следующее. Независимо от вида распределений случайных векторных последовательностей и "5^, входящих в (56) и (58),. фильтр Калмана является оптимальным (в смысле минимума среднеквадратических ошибок оценивания) в классе линейных фильтров. Если же потребовать, чтобы случайные последовательности и |ft были гауссовскими, то фильтр Калмана станет «абсолютно» оптимальным, т. е. оптимальным в любом классе фильтров (линейных и нелинейных). Именно с таких позиций и рассматривался в § 4.3 фильтр Калмана как оптимальный фильтр марковского гауссовского процесса в аддитивном гауссовском шуме с независимыми значениями.
Многомерный дискретный фильтр (59) — (62) является достаточно общим. Задавая конкретный вид матриц F, G, Q, С, Kg, можно непосредственно получать решения различных задач линейного оценивания параметров траекторий.
Рассмотрим пример, когда необходимо оценить параметры линейной траектории (44) при равноточных и равнодискретных измерениях* с периодом То- В этом простом случае вектор состояния является двумерным:
fyt+i =
^fe+i
* Аналогичный пример рассмотрен ранее в рамках нерекуррентного оценивания.
282
Рис. 7.10. Структурная схема многомерного дискретного фильтра Калмана
Рис. 7.11. Структурная схема фильтра Калмана (случай линейной траектории)

траектория неслучайной, а матрицы
Gft = 0, Ffe+i,k
1 TQ
0 1
, cft+1 = || 1 Oil, K£fe+1
(7-64)
для всех k. Конкретизируя с помощью этих соотношений алгоритм (59), получаем
Яд-И
+ T’o
Rk
+ Bfc-j-i ((/h+1 Rk Ra Rk)-
(7.65)
Матрица коэффициентов усиления Bft+i определяется формулами (60) — (62) после подстановки в них (64). В рассматриваемом случае эту матрицу удается выразить в явном виде. Используя в качестве начального условия Кп корреляционную матрицу ошибок (50) при п—1
Кп = о2
1 з/т0
3/TQ оо
в результате вычислений находим
в = 2(2k+l)/(k+l)(k + 2)
h+1	B/(k+l)(k + 2)T0
Таким образом, оценки дальности /?* и скорости Rk, как следует из (65) и (66), определяются последовательно для k=l, 2,... с помощью рекуррентных соотношений
Rh+i ~ Rh + 'Ro Rk~R,k+i (Ук+i — Rk Ro Rk) •
Rk+i = Rk+^s.,k+i (yh+i — Rk—ToRk),	ft-67)
где
bi,k+i ==2 (2^4-1)/(й+l)(A-|-2), Z?2,fe+i = 6/(fe4-1) (k4-2) To.
(7.68)
283
На рис. 7.11 показана схема фильтра, реализующего алгоритм (67). Коэффициенты усиления bi,k+i и &2, ь+ь как следует из (68), с увеличением k уменьшаются и при А?—>-оо асимптотически стремятся к нулю. Иначе говоря, с ростом времени наблюдения полоса пропускания фильтра сужается, и он все меньше реагирует на изменение входных данных. Нетрудно убедиться, что алгоритм (67) приводит на л-м шаге к тем же оценкам Rn и Rn, что и алгоритмы (51). Однако в отличие от них алгоритм (67) является рекуррентным и при реализации требуемых меньших вычислительных затрат, а также не дает задержки в выдаче данных.
Итак, общий фильтр Калмана (59) и вытекающие из него частные рекуррентные фильтры являются оптимальными линейными, позволяющими осуществлять последовательное сглаживание параметров траекторий и обладающими существенным преимуществом по сравнению с нерекуррентными фильтрами. Вместе с тем необходимо иметь в виду, что при практической реализации фильтров Калмана возникают «свои» трудности. Эти трудности связаны с довольно быстрым уменьшением элементов матрицы коэффициентов усиления Вд+1, стремящихся в пределе (при k-+<x) к нулю, в результате оценки параметров практически перестают зависеть от наблюдаемых данных. Следствием этого является то, что возможные маневры объекта, даже небольшой интенсивности, никак не будут учтены.
Кроме того, при некотором k элементы матрицы В^+1 становятся соизмеримыми с ошибками счета, неизбежно возникающими при реализации фильтра на ЭВМ. На рост этих ошибок существенно влияет необходимость многократного обращения матриц в фильтре Калмана. В результате машинное решение может сильно отличаться от математического, элементы корреляционной матрицы ошибок вместо уменьшения возрастают — фильтр расходится, становится неустойчивым.
Эта трудность преодолевается рядом способов. Один из них заключается в ограничении снизу элементов матрицы В/1+1 заданными постоянными значениями. Можно, в частности, задать некоторый шаг k, после которого указанные элементы фиксируются на постоянном уровне, вследствие чего поступающие результаты измерений учитываются с постоянным (ненулевым) весом. В крайнем случае, когда &=0, коэффициенты усиления фильтра вообще не зависят от времени.
Другой способ заключается в искусственном введении в исходную модель траектории дополнительных шумов. Это приводит к более медленному уменьшению элементов матрицы В&+1. Соответствующим выбором интенсивностей вводимых шумов можно устранить расходимость рекуррентного фильтра.
284
Г^тава 8. КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
8.1. ПРИНЦИПЫ КОМПЛЕКСИРОВАНИЯ
В РНС и РЛС могут входить несколько устройств обработки информации, решающих одну и ту же задачу. При этом возникает проблема их наилучшего объединения в единый комплекс —• комплексную систему обработки информации (КСОИ). Более того, РНС, включающая в себя радиотехнические измерители — радиовысотомер, измерители разности дальностей, ДИСС и др., обычно объединяется с нерадиотехническими системами, в которые входят гироскопические измерители, акселерометры, измерители воздушной скорости и др. В результате такого объединения образуется комплексная навигационная система (КНС), или навигационный комплекс. Ранее было выяснено, что местоопре-деление на плоскости, например разностно-дальномерным методом, можно осуществить с помощью двух однотипных измерителей разностей расстояний, определяющих две пересекающиеся линии положения (гиперболы). Для местоопределения в пространстве необходим еще третий измеритель, определяющий третью линию положения. Это может быть измеритель и другого типа, измеряющий другую геометрическую величину, например высоту, если определяется пространственное местоположение ЛА. Таким образом, для местоопределения ЛА в пространстве достаточно трех измерителей. Однако измерителей, входящих в РНС и тем более в КНС, может быть и больше. Увеличение числа измерителей как однотипных, так и особенно разнотипных, основанных на различных физических принципах, улучшает тактические характеристики системы. Действительно, дублирование измерителей, определяющих одни и те же координаты, иначе говоря, структурная избыточность, повышает надежность системы, так как выход из строя отдельных измерителей не приводит к отказу в работе системы в целом. Объединение радиотехнических измерителей с нерадиотехническими повышает помехозащищенность системы, так как последние не подвержены действию радиопомех. Далее, структурная избыточность, при которой одна и та же координата измеряется несколькими устройствами, приводит к информационной избыточности, что позволяет получить больше полезной информации и путем статистической обработки данных уменьшить погрешности измерений и тем самым повысить точность действия.
285
Рнс. 8.1. Схема комплекснрования измерителей способом компенсации
Таким образом, под комплексированием устройств обработки информации понимается их объединение в комплексную систему, осуществляющую совместную обработку информации и обеспечивающую повышение точности действия, помехозащищенности, надежности.
Поясним возможность повышения точности измерения на примере одной из распространенных схем комплекснрования измерителей, реализующей так называемый способ компенсации погрешностей (рис. 8.1). Измерители И1 и Иг оценивают один и тот же параметр (координату) 6 с ошибками gi и g2 соответственно. После первого вычитающего устройства стоит фильтр Ф, который, используя априорные сведения о статических характеристиках ошибок, формирует оценку одной из них — Во втором вычитающем устройстве происходит компенсация ошибок, в результате окончательная погрешность оказывается меньше исходной погрешности gi измерителя Ир В качестве Ф может быть использован, в частности, режекторный фильтр, подавляющий помеху (погрешность) g2. Чем меньше перекрываются спектры погрешностей gi и g2, тем, очевидно, выше эффективность такого способа комплекснрования.
Обычно, когда говорят о комплексировании информационных устройств, подразумевают комплексирование измерителей [36, 54, 65, 66]. Однако и другие устройства извлечения информации могут объединяться в комплексные системы для улучшения их тактических характеристик. В частности, такими устройствами могут быть обнаружители. Примером системы, в которой реализуется совместная обработка информации от нескольких обнаружителей и измерителей, служит МПРЛС. По сути дела, в МПРЛС осуществляется комплексирование обнаружителей, измерителей и других устройств в комплексную систему обработки радиолокационной информации.
К задаче комплекснрования устройств обработки информации возможны два основных подхода. Согласно первому из них комплексирование выполняется на этапе первичной обработки информации, согласно второму — на этапе вторичной обработки инфор-286
ации. При первом подходе на основе наблюдения векторного роцесса, компоненты которого представляют собой входные даН-H. ie устройств первичной обработки сигналов, синтезируется не т»лько система объединения отдельных устройств, но и сами уст-р«“ства первичной обработки информации. Такой подход позволят извлекать максимальное количество информации из наблю-дамого векторного процесса и синтезировать оптимальную кфи.
При втором подходе компоненты наблюдаемого векторного процесса представляют собой выходные данные устройств первичной обработки сигналов. При этом синтезируется комплексная система вторичной обработки информации (КСВОИ). Так как эта система синтезируется при ограничении на структуру устройств первичной обработки (ибо последние заданы), то качество обработки может оказаться сниженным по сравнению с качеством обработки оптимальной КСОИ, при синтезе которой указанные ограничения не вводятся. Тем не менее комплексирование на этапе вторичной обработки с практической точки зрения целесообразно, так как при этом можно синтезировать оптимальную КСВОИ с учетом тех устройств первичной обработки информации, которые уже имеются в распоряжении разработчика аппаратуры.
В силу статистического характера возмущающих воздействий, погрешностей измерений и ошибочных решений в РЛС и РНС при оптимизации комплекснрования устройств обработки информации используют методы, основанные на теории статистических решений. Эти методы излагаются далее применительно к комп-лексированию измерителей [65] (§ 8.2) и обнаружителей [71] (§ 8.3).
8.2. ОПТИМАЛЬНОЕ КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЕН
Пусть имеется I измерителей. Будем считать, что i-й измеритель оценивает информативный параметр 6п, i=l, ..., I, или некоторую функцию от него. Предположим, что эти параметры образуют /-мерный случайный процесс 0t=(0it. Qu), такая модель охватывает, в частности, квазидетерминированные процессы и является достаточно общей. Выходные данные измерителей, содержащие информативные параметры и погрешности измерений, можно рассматривать как реализации некоторого /-мерного случайного процесса у<=(уп, .... уи)-
Рассмотрим задачу определения оптимальной (в байесовском смысле) оценки d*fT= (d*i(T,... ,d*ux) векторного параметра в некоторый момент времени т>0 по результатам наблюдения выходных данных измерителей у г в течение отрезка времени [0, /].
287
Между моментом т и временем наблюдения t возможны различ/ ные соотношения: x<t, x=t, x>t. К этой задаче оценивания пб существу и сводится общая задача оптимального комплексиро-вания I измерителей.	/
Отметим, что при решении общей задачи безразлично, как комплексируются измерители: на этапе первичной обработки рли вторичной. В первом случае под yt следует понимать наблюдаемый векторный процесс на входах измерителей, во втором —( на выходах измерителей. Специфика в решении задач будет проявляться при задании конкретных моделей процесса yt- При крмп-лексировании на этапе первичной обработки процесс у/ помимо информативных параметров Of должен содержать случайные помехи и шумы; на этапе вторичной обработки в качестве пЬмех выступают погрешности измерений. Эффективность комплексиро-вания в значительной степени будет зависеть от того, насколько адекватна заданная модель yt реальному наблюдаемому процессу.
Обозначим через 6Т = (бк, .... б;т) решающую вектор-функцию, с помощью которой по реализациям у*0= {yiv, .... yiv, 0^ наблюдаемого на отрезке [0, Z] процесса уг выносится решение	(у‘о), т. е. dttT=6iT(yzo), t=l, ..., I, являющееся
оценкой параметра 0^ в момент времени т;>0. Задав функцию потерь с(0, d), где 0 и d — Z-мерные векторы, путем минимизации апостериорного риска
min М М у‘)] | у*} = М {с [6Т, в; ( у<)] [ у
можно определить байесовское решение d*(t=6*4:(yf0) — оптимальную оценку параметра 0Т. Эта оценка и дает общие алгоритмы оптимального комплексирования измерителей. Причем в случае r=t фильтрационная оценка &*tt определяет структуру оптимальной комплексной фильтрационной системы измерителей (КФСИ), а при %=^=t оценка d*tT определяет структуры оптимальных комплексных интерполяционной (т<1) и экстраполяционной (т>0 систем измерителей. Качество работы оптимальной комплексной системы описывается байесовским риском
= мм {с [ех, (у*)] । у*} = Мс [ет, в; (у*)].
При квадратичной функции потерь
с(6, d)= 2 (6г-^)2	(8.1)
4=1
оптимальные оценки определяются выражением
dt; = M(eT|y'), т	(8.2)
'288
которое обобщает соотношение (4.93) на случай оценивания век-
торного параметра. Если существуют апостериорные плотности вероятностей параметров 0jX, i=l, ..., I,
У (6iт1Уо) Ptt (ег). т S t, i = I ,..., l,	(8.3)
то в соответствии с (2)
4ш = ^(Уо)= J егР/т(егНег> i=i(8.4)
Для^функций потерь (1) байесовский риск
представляет собой сумму средних квадратов ошибок оценивания параметров 0гг. При этом среднеквадратические ошибки
ог/х = /м [еа-б;т(уо )]2,	1=1,. ..,1,	(8.5)
характеризуют наивысшие точности оценивания параметров, которые могут быть достигнуты при оптимальном комплексировании измерителей. Сравнивая величины (5) при x=t (т. е. а,(() со среднеквадратическими ошибками для первоначальных оценок* Уи
oit=V ГЛ(8н-унУ,	(8.6)
можно определить эффективность оптимальной КФСИ. Эффективность комплексировании можно повысить, если комплексную систему строить на основе интерполяционной оценки d*tx, т<1. Это объясняется тем, что для среднеквадратических ошибок интерполяции Gitx, t<.t, и фильтрации оггх справедливы неравенства опг^Оггт, т</, 1 = 1, ..., I, являющиеся следствием тех же причин, что и в одномерном варианте (см. § 4.3).
Остановимся на двух крайних случаях. Предположим вначале, что измеряемые параметры 0iT, i=l, .... I, статистически независимы и, кроме того, искажающие их помехи, содержащиеся в реализациях yfio= {yiv, Oca’sC/}, 1=1, ..., I, также no i статистически независимы. Тогда можно показать (с помощью формулы Байеса), что для апостериорных плотностей вероятностей (3) справедливы равенства
W (0<г1Уо) =	= Pitt (6г), т й /, i = I ,..., Z.
* Имеется в виду комплексирование на этапе вторичной обработки, когда наблюдаемая компонента yit — выход i-ro измерителя, т. е. оценка параметра 0,(.
289
Вследствие этого для оценок (4) имеем
^itx ~~ ^ix ( У/о) ~ S PitT (6i) т i — 1
В результате оптимальная комплексная	система	распадается на I
не связанных между собой измерителей.	I
Рассмотрим другой случай, когда	/
Qit==Qti=\,...,1,	[(8.7)
т. е. когда все измерители оценивают один	и	тот	же	скалярный
параметр 0t. В силу избыточности измерений среднеквадратическая ошибка otf оценивания параметра Qt с помощью оптимальной комплексной фильтрационной системы удовлетворяет соотношению
оп=Са?( = ™п {би}, />0,	(8.8)
где первоначальные среднеквадратические ошибки измерителей Ои определяются формулой (6) с учетом (7). Знак равенства в (8) будет в том вырожденном случае, когда шумы измерения для всех каналов системы тождественно одинаковы, а /-й измеритель осуществляет оптимальную фильтрацию параметра 0t.
Модели наблюдений. Чтобы конкретизировать рассмотренные общие алгоритмы оптимального комплекснрования измерителей, необходимо прежде всего определить модели выходных (или входных) данных измерителей ylt, Уи, информативных параметров 0п, .... 6ц и погрешностей измерений, играющих роль случайных помех.
Рассмотрим достаточно общее представление
Уи = Ф» (би, Пи, t) + git, i = 1,... J,	(8.9)
где гщ, — помехи, искажающие информативный параметр 0^. Функции Ф,([=1, ..., I), определяемые характером воздействия помехи r]it на параметр 0it (которое может быть аддитивным и неаддитивным), считаются известными. Аддитивная помеха glt имеет статистические характеристики, вообще говоря, отличные от характеристик помехи г],/. Если помеха гщ аддитивна, то функции Ф{ могут иметь, например, вид
&i (6ft, Hit, 0 = sf (6ft, 0 + Hit, i = 1 I,
где St(i=l, ..., I) — детерминированные функции. В том частном случае, когда Si(04(,	= i=l, .... I, получаем наиболее
простую модель ^it=0it + git, i=l, ..., I, которая часто используется на практике. Представляет интерес и модель вида
| s (0t, + i = 1,..., т, I 0i + gtt, i = tn -J- 1 , —, I
(8.10)
290
(A—детерминированная функция), также являющаяся час'1'аы случаем модели (9). Представление (10) потребуется тогда, ког„' да10f — одномерный параметр, причем одна группа измери'1’еЛеи фиДьтрует сигнал s(0t, t), а другая оценивает его параметр. ,
V зависимости от типов измерителей (аналоговые, цифр0₽Ь1 ' их выходные данные поступают непрерывно или дискретно, ’ ним^ют непрерывное или дискретное множество значений. Б сВ " зи с этим в качестве моделей информативных параметров и 0° целесообразно использовать марковские случайные процесс^1’ торые достаточно хорошо описывают широкий класс реа^ьВЬ^ процессов (позволяя, в частности, охватить указанные случай ’ кроме того, удобны для математических исследований. При эТ0М для получения оценок d*tT, определяющих синтез оптима^ьНЬ’х комплексных фильтрационных, интерполяционных и экстра110,11 ‘ ционных систем измерителей, можно воспользоваться метО^ теории оценивания марковских процессов [48, 53], элемент^1 торой применительно к скалярному процессу были изложни1,1 в § 4.3.
Уравнения, определяющие синтез и анализ КФСИ. РаСсМ0^‘ рим случай, когда компоненты наблюдаемого процесса прот^ непрерывно во времени и определяются формулой (9) при При этом положим, что информативные параметры 6п, ..., помехи rjit, ..., г]» (последние для упрощения записи обоз0аЧИМ r\it = Qi+i,t, t=l, ..., 0 образуют 2/-мерный непрерывный маРк0В" ский процесс (0п, .... 02»), /^0, характеризуемый коэффицй^нт_2 ми переноса аг(0, t) и диффузии ЬгД0, 0» О /=1,	2Z;
2/-мерный вектор. Аддитивные помехи g,-t будем считать б^лЫМ
гауссовскими, для которых
(<ад 6 <т)’ (8П)
I 0	, t=£j.
Достаточной статистикой в рассматриваемой задаче фи-аьТ^’ ции является апостериорное распределение вероятностей п0" руемого процесса. Используя [53], найдем уравнение дл# стериорной плотности вероятностей:
Pt (0) = & (6и. -, егц Iу{0У^, которое в симметризованной форме записи представим #яал0 гично (4.109):
Р, (6) = [Ж- J(pt (6))] pt (6),	(8,12
где
2Z Я	1	21 Э2
+ 2 тг ф*(е- ew- О &t (6i. 0ж. о]
/=1 Noi	J
«(Pt (0))= 2 тг Г - 1 ф1 (0ь е'+ь *) [ У^~
/==1 jVDi —со —oo	L
- ~ Фг (6i, еж> о] Pt (в) 61 - de2Z.
Оптимальные оценки d*m информативных параметров 0;/, i= = 1, ..., I, а также помех 6${, i=Z-f-l, -•> 2Z, при квадратичной функ-ции потерь имеют вид
ргрде)йе, 1 =	(8.13>
е
Алгоритм формирования этих оценок дает структуру оптимальной КФСИ.
Воспользуемся одним из возможных методов конкретизации уравнения (12) — методом гауссовского приближения, сс. ^асно которому апостериорная плотность вероятностей аппроксимируется многомерным гауссовским законом
[	1	2/	Т
Я (0) = (2л)“2 det~1/2 HKijtll ехр 1 — — У htjt (0г — mit) (0> — m3t) |,
I	2 l. 7=1	J
(8.14)
где ПГцИМГГГ1-
Подставив (14) в (12), найдем уравнения многомерной нелинейной фильтрации в гауссовском приближении:
где
mit — ait + 2 Л7 ^nt —	2 ^Pl л ft >
л=1/v on	p=i О Up
rt=l	°^n
d*&qf d dOp
,>	,	। xa j, dait
Kilt = but + ^jKnjt n=t °
l о	2t
*2
+ 2 Г ~ S ^п}1 Kpit q=i 'vog	n, p=i
-2тг 2 t^KPit^ g=l bloq n.p*=l	°
ЭФ?!
56p ’
(8.15)
(8.16)
aii = «i(0> O|o=n,t, tnt = fn1{>..., m2U;
bijt~bij(O< 0 |о==ггф ^nt — Фп (mnt > mP(-rt, t< ty’
d^qt а2Фд(е9, e/+?, t)
<10n tl0p
двпдвр
6g-mgt til+V=ml+Q, i
292
.Апостерноные средние Ши, получаемые из уравнений (15), (16), при выполнении условия большой апостериорной точности приближенно равны оптимальным оценкам (13) фильтруемых процессов:	t=l, ..., 21.
Уравнения (15), (16) определяют структуру нелинейной КФСИ, являющейся, вообще говоря, квазиоптимальной. В частном случае, когда функции Ф* в (9) — линейные функции марковских гауссовских процессов Ои, Щч, i= = 1, ..., I, уравнения (15), (16) дают точное решение задачи и описывают оптимальную КФСИ, строющуюся на основе многомерного линейного фильтра (фильтра Калмана).
Качество работы синтезированной комплексной системы измерителей характеризуется апостериорными дисперсиями Кт, которые в гауссовском приближении определяются уравнениями (16), (15). При этом среднеквадратические ошибки фильтрации информативных параметров
oitt =	[0„-(у')]2 «УЖП;, »=1,...,/.	(8.17)
В том случае, когда комплексная система строится на основе фильтра Калмана, апостериорные дисперсии Кт являются неслучайными, при этом
Oitt = VKut, i=l, ,/•	(8.18)
Комплексная система измерителей существенно упрощается, если не учитывать помеховые составляющие i]<(, г=1, А а информативный параметр 0г считать скалярным, положив в (9)
^(ег<>пг<,0 = «Лбг, t), i =	(8.19)
В этом частном случае из (15), (16) следует
Kt = 6f4-2Kt^-+	(8.20)
О и
। IZ9 2 [ f	ч д2 Sft (д sit \ ]
где
= о (0,	= (6> 01®=^/ >
дзц   3si(0,/)|	. dai   6«(0,/)l
Тб 60	|e=m/ ’ "й(Г 60 I e==mt ’
Примеры. Рассмотрим два простых примера применительно к случаю (19).
1. Положим sf(0f, /)=6ь i=L —, т. е. рассмотрим модель yit = 6t + git, i=l, ..., I. Предположим, что параметр 0г описывается уравнением (4.122), т. е. коэффициенты переноса и диффузии оп-
295
Рнс. 8.2. Структурные схемы оптимальной (а) н квазноптн-мальной (б) комплексных систем измерителей
ределяются (4.124). Конкретизируя уравнения (20) для рассматриваемого случая, получаем
mt= - b + 27q 2 Tri +	’
i=l /voiJ	£—1 ^oi
Z	£=I /vOl
(8.21)
(8.22
В соответствии с (21) на рис. 8.2,а представлена структурная схема оптимальной КФСИ, где Иь ..., Иг — комплексируемые изме-
рители; Ki=2/Noi; ct = — Гу4-2/ft 2
L
Not
— коэффициенты
усиления усилителей. Как видим, выходные сигналы измерителей i)u суммируются с весами 2/~NOi, после чего пропускаются через одномерный нестационарный фильтр Калмана. На выходе фильтра имеем оптимальную фильтрационную оценку mt = d*tt параметра 6<. В стационарном режиме апостериорная дисперсия Kt, •описываемая уравнением (22), обращается в постоянную
/С=2о2
Т f=i Mot
(8.23)
294
где o2i = x/4y — дисперсия параметра 0t. При этом коэффициенты усиления усилителей в фильтре Калмана (см. рис. 8.2,а) также будут постоянными и его техническая реализация существенно упрощается.
Точность оценивания параметра 0t оптимальной комплексной фильтрационной системой определяется среднеквадратической ошибкой: Gt = V Kt- В стационарном режиме она равна постоянному значению а=УК, где К находится по формуле (23). Если шумы (ошибки) комплексируемых измерителей имеют одинаковые спектральные плотности Noi=No, i=/l, ..., I, то
о= /20^	+ j/"1 + ^-Z) •	(8.24)
Сравнивая этот результат со среднеквадратической ошибкой фильтрации параметра 0f без учета комплексирования (см. (4.131)), видим, что полезный эффект комплексирования I измерителей в рассматриваемом случае сводится к уменьшению спектральной плотности результирующего шума комплексной системы в I раз по сравнению со спектральной плотностью NqI2 шума одного измерителя. Это приводит к соответствующему уменьшению среднеквадратической ошибки фильтрации искомого параметра (24).
2. Рассмотрим задачу комплексирования двух измерителей, предполагая,, что один из них выделяет фазомодулированный сигнал A sin(cof+0t), а другой — процесс, пропорциональный фазе Ос этого сигнала:
si(Ot> 0 = A sin (о t -f- 0f), Sg (0t. i) = B6t.
Предположим также, что параметры А, со и В известны, а параметр 0( является гауссовским процессом с независимыми приращениями, т. е. выполняются соотношения (4.139). Конкретизируя уравнения (20) н пренебрегая колебательными членами с частотой 2со, получаем
mt = (2Kt/N01) ylt A cos (со t -р mt) -р (2Kt B/Nls) {yit — Bmt),	(8.25)
Kt = — (2К/Ч) Уп A sin (co 14- mt) — (2 K2 B2/cV02) 4- (x/2).	(8.26)
Уравнения (25), (26) описывают КФСИ, включающую в себя следящее устройство типа ФАПЧ с переменным коэффициентом усиления 2Kt/NB1 в цепи обратной связи. Согласно (25) в кольцо слежения вводится выходной сигнал второго измерителя y2t, скомпенсированный величиной Bmt, где mt — оценка фазы 0(.
Для упрощения системы в стационарном режиме целесообразно пренебречь флуктуациями коэффициента усиления 2Kt/Kot, заменив процесс Kt его средним значением, определяемым из (26):
MKt « Ух/2 [(А2/Л^о1) + (2B4Nm)}.	(8.27)
295
В результате получаем квазиоптималъную КФСИ (рис. 8.2,6, где ПГ — перестраиваемый генератор; РЭ — реактивный элемент; Ki=2MK(/Ar0i; A2=2BlVlKt/ Aos), содержащую, в частности, типовую схему ФАПЧ. Качество работы комплексной системы определяется значением среднеквадратической ошибки оценивания фазы, которая, как следует из (17) и (27), в стационарном режиме о~ « V z/2[(A7Aoi) + (2BW)].
8.3. ОПТИМАЛЬНОЕ КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ
Как было показано, информационная избыточность позволяет с помощью комплекснрования измерителей повысить точность измерений. Очевидно, комплексирование других устройств обработки сигналов, в частности обнаружителей, также будет приводить к улучшению показателей их работы. Далее убедимся в этом на конкретном примере. Но вначале остановимся на общей задаче оптимального комплекснрования обнаружителей.
Пусть имеется I обнаружителей; рассмотрим задачу их оптимального комплекснрования при первичной и при вторичной обработке информации.
При комплексировании обнаружителей на этапе первичной обработки необходимо задать наблюдаемый процесс yit на входе каждого из них (£=1, ..., I). В общем случае
= + + ^ = 0,1;	£= 1	(8.28)
где Sif, т)1ь — полезный сигнал, внешняя помеха и собственный шум i-ro обнаружителя соответственно. Входные сигналы могут быть одинаковыми: Sit = st, i=l, ..., I, и разными. Даже если сигналы поступают от одного источника, то на входе обнаружителей они могут иметь разные параметры, в частности время запаздывания, как это имеет место в МПРЛС. Более того, некоторые сигналы могут отсутствовать: sJf=0,	т. е. некоторые кана-
лы будут «помеховыми». Такие каналы могут специально создаваться для компенсации помех (см. рис. 2.22,а).
Если распределения вероятностей сигналов, помех и шумов, входящих в (28), известны, то тогда задача обнаружения сводится к проверке простой гипотезы (Ф=1) при простой альтернативе (0 = 0) и ее оптимальное решение дается критерием отношения правдоподобия (см. (2.25), записанным применительно к наблюдению векторного процесса (см. (2.126)). Для детерминированных и квазидетерминированных сигналов и гауссовских помех формулы для логарифма отношения правдоподобия были рассмотрены в § 2.9. В общем случае, когда сигналы s,t и помехи к]ц стохастические с любыми (но известными) распределениями вероятностей, а шумы git — белые гауссовские с параметрами (11), 296
формула для логарифма отношения правдоподобия обобщает (5.35) и имеет вид [59]
z= 2 2J (si/ + 7]i/l— Лг/о) (Uit~ Mito) t
i=l Noi [	0
T „
-J (sit + i]itl-f}it0)2 dt 0
(8.28)
Первый интеграл в этой формуле — стохастический интеграл Ито, а
8^ = М[8г,|уо, &=!]; Mit^MlMitlyo, 0], 0 = 0,1,
— апостериорные математические ожидания, являющиеся байесовскими оценками сигналов и помех соответственно.
Приведенные соотношения дают решение общей задачи синтеза оптимальной комплексной системы обнаружителей (КСО) на этапе первичной обработки информации. Анализ оптимальной КСО сводится к расчету вероятностей правильного обнаружения D и ложной тревоги F и проводится методами, изложенными в гл. 2, а также в [53].
Синтезированная таким образом оптимальная КСО может оказаться сложной, особенно тогда, когда комплексируются обнаружители МПРЛС. При этом для реализации КСО требуются широкополосные линии связи с высокой пропускной способностью. Гораздо проще реализуется система, полученная в результате комплекснрования обнаружителей на этапе вторичной обработки. В этом случае каждый из обнаружителей решает задачу обнаружения объекта (сигнала) независимо друг от друга, а комплексирование осуществляется путем совместной обработки выходных данных обнаружителей, т. е. результатов их решений о наличии или об отсутствии объекта. Оптимизация комплекснрования на этапе вторичной обработки по-прежнему основана на критерии отношения правдоподобия, с той только разницей, что наблюдения представляют собой не радиосигналы (как при первичной обработке), а решения обнаружителей.
Итак, пусть i-й обнаружитель (i=l, ..., I), реализующий некоторую решающую функцию 6,(-), в результате наблюдения на отрезке [0, 7] процесса уи принимает решение 6г(#тг-о) = 1 о наличии сигнала и решение 6i(t/Tio)=O об его отсутствии с вероятностями правильного обнаружения и ложной тревоги /ч- На выходах обнаружителей имеем случайный вектор ..., 8i, компоненты которого принимают значения 0 или 1 с вероятностями
P(St = l|0 = O) = F,,P(6i = O|0 = O)=l-Ff,	(8
JP(6i = l|0=l) = Pi,P(6i = Op=l) = l-Di.	’ 7
297
Рис. 8.3. Структурная схема комплексной системы обнаружителей, оптимизированной на этапе вторичной обработки
Согласно критерию отношения правдоподобия по наблюдениям Cj... 6; выносится решение dt о наличии сигнала или d0 об его
отсутствии в соответствии с правилом
Л s	П % hl.
F(6i...6^=0) d,
Конкретизируя отношение правдоподобия Л; с учетом (29) и статистической независимости по i (аналогично (§ 2.10, 7.3)), получаем
S	1 ih.	(8.30)
f=i	b>i)Jd0
Этот алгоритм дает решение задачи оптимального комплексирования обнаружителей на этапе вторичной обработки. Согласно (30) решения 6j = l, выносимые обнаружителями, суммируются с весами jiji= ln)[Dj(1—Л)/Л(1—£>»)] (рис. 8.3). Если вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги обнаружителей одинаковы, т. е. Di=D, Fi=F, i=l, ..., I, то весовые коэффициенты становятся одинаковыми: р»=р и их можно опустить без потери оптимальности. Порог h выбирается по вероятности ложной тревоги FKCO, заданной для КСО (критерий Неймана — Пирсона). Характеристики обнаружения КСО (DKCO и FKC0) рассчитываются так же, как и характеристики рассмотренного ранее цифрового обнаружителя (§ 2.10):
Лхо =3 Су1 (1 — D)l~m, FKC0 <2 СТ Fm (1 - F)'-m • <8-31) m=ft	m—h
Пример. Расмотрим простейший случай, когда каждая компонента процесса (28) при •&= 1 содержит один и тот же детерминированный сигнал Sit = s(t), а внешние помехи гщ отсутствуют. При этом, как следует из (28а), оптимальная КСО (рис. 8.4) формирует достаточную статистику
I , т
z=^~\ yus(t)dt	(8.32)
1=1 'voi о
298
Рис. 8.4. Структурная схема комплексной системы обнаружителей детерминированного сигнала, оптимизированной на этапе первичной обработки
и сравнивает ее с порогом. Выходные данные согласованных фильтров в момент окончания наблюдения t — T умножаются на весовые коэффициенты 1/Л/о{ и затем суммируются. С большим весом учитываются напряжения тех каналов, в которых спектральная плотность шумов меньше.
Статистика (32) имеет гауссовское распределение при Ф=0, 1, причем
1 1
M(zp = 0) = 0, М (z|O = 1) = Е 2 — .
£=1 Noi
Т
где £ = / s2(l)dt — энергия сигнала. Дисперсия статистики z на-о
ходится аналогично (2.52) с учетом (И), при этом
F I 1
D(z|tf = 0) = D(zp=l)=4 2	.
* [=1 ™ ое
Характеристики обнаружения оптимальной КСО определяются i j
формулами (2.56), в которых параметр qc$=2E 2 ------ имеет
1=1 Noi
смысл отношения сигнал-шум на выходе линейной части КСО (т. е. на выходе сумматора в схеме на рис. 8.4). При Koi=Xo, i=l, I,
qc<t = 2El/N0.	(8.33)
Как видим, в результате комплексирования отношение сигнал-шум возросло по сравнению с отношением сигнал-шум на выходе согласованного фильтра (см. (2.53)) в I раз. Иными словами, полезный эффект комплексирования I обнаружителей в данном случае, как и в рассмотренном примере комплексирования измерителей, сводится к уменьшению спектральной плотности результирующего шума КСО по сравнению со спектральной плотностью шума одного обнаружителя в I раз.
Структурная схема КСО детерминированного сигнала, оптимизированная на этапе вторичной обработки, получается конкре-
.299
тизацией общей схемы на рис. 8.3: каждый из I обнаружителей представляет собой согласованный фильтр (коррелятор) и пороговое устройство (см. рис. 2.5). Эта система, конечно, проигрывает в отношении сигнал-шум оптимальной КСО, показанной на рис. 8.4 (расчет проводится с помощью формул (2.56), (33) и (31)). Например, при £=10-4, £>=0,9 и / = 2 проигрыш составляет 1,6 дБ; с ростом I проигрыш увеличивается.
Аналогично с помощью изложенной методики и результатов гл. 2 можно решить задачи оптимального комплексирования обнаружителей и для других моделей сигналов и помех. При этом наиболее просто решается задача комплексирования на этапе вторичной обработки, так как общая схема (рис. 8.3) остается одной и той же для любых моделей сигналов и помех, если только решения, которые выносят комплексируемые обнаружители, статистически независимы друг от друга.
Применяя методы, изложенные в § 2.11, к задаче комплексирования, можно синтезировать комплексные системы обнаружителей и измерителей [65] в условиях априорной неопределенности относительно статистических свойств сигналов и помех.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Теоретические основы радиолокации/Я. Д. Ширман, В. Н. Голиков, И. Н. Бусыгин и др.; Под ред. Я. Л- Ширмана. — М.: Сов. радио, 1970. — 560 с.
2.	Радиолокационные устройства (теория и принципы построения)/В. В. Васин, О. В. Власов, В. В. Григории-Рябов и др.; Под ред. В. В. Григорина-Рябо-ва. — М.; Сов. радио, 1970. — 680 с.
3.	Дымова А. А., Альбац М. Е., Бонч-Бруевич А. М. Радиотехнические снс-темы/Под ред. А. И. Дымовой. — М.: Сов. радио, 1975. — 439 с.
4.	Белавин О. В. Основы радионавигации. — М.: Сов. радио, 1977. — 320 с.
5.	Теоретические основы радиолокации/А. А. Коростелев, Н. Ф. Клюев, Ю. А. Мельник и др.; Под ред. В. Е. Дулевича. — М.; Сов. радио, ,1978.— 608 с.
6.	Радионавигационные системы летательных аппаратов/П. С. Давыдов, В. В. Криницын, И. Н. Xресин и др.; Под ред. П. С. Давыдова. — М..: Транспорт, 1980. — 448 с.
7.	Беляевский Л. С., Новиков В. С., Олянюк П. В. Основы радионавигации.— М.: Транспорт, 1982. — 288 с.
8.	Финкельштейн М. И. Основы радиолокации.—М.: Радио и связь, 1983.— 536 с.
9.	Проектирование радиолокационных приемных устройств/А. П. Голубков, А. Д. Далматов, А. П. Лукошкин и др.; Под ред. М. А. Соколова. — М.: Высшая школа, 1984. — 336 с.
10.	Лезин Ю. С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем. — М.: Радио и связь, 1986. — 280 с.
11.	Внницкий А. С. Автономные радиосистемы. — М.: Радио и связь, 1986.— 336 с.
12.	Коростелев А. А. Пространственно-временная теория радносистем. — М.: Радио и связь, 1987. — 320 с.
13.	Сосулин Ю. Г. Оптимальное обнаружение радиосигналов.— М.: МАИ, 1978.— 59 с.
300
14.	Сосулнн Ю. Г. Оптимальное оценивание параметров радиосигналов.—М.: МАИ, 1981. —70 с.
15.	Сосулнн Ю. Г. Совместное обнаружение и оценивание радиосигналов. — М.: МАИ, 1980. — 34 с.
16.	Сосулнн Ю. Г. Разрешение и распознавание радиосигналов. — М.: МАИ, 1981,—42 с.
17.	Сосулин Ю. Г. Обнаружение и оценивание параметров траекторий объектов.— М.: МАИ, 1982. — 28 с.
18.	Скольннк Р. Справочник по радиолокации: Пер. с англ. В 4 т./Под общей ред. К. Н. Трофимова. — М.: Сов, радио, 1976.— 1979. — Т. 1: Основы ра-диолокации/Под ред. Я. С. Ицхоки. — 455 с.
19.	Васин В. В., Степанов Б. М. Справочник-задачник по радиолокации. — М.: Сов. радио. 1977. — 319 с.
20.	Сосновский А. А., Хаймович И. А. Авиационная радионавигация: Справочник.— М.: Транспорт, 1980. — 256 с.
21.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы.—М.: Радио и связь, 1986, —512 с.
22.	Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982.— 624 с.
23.	Вопросы статистической теории радиолокации: В 2 т./П. А. Бакут, И. А. Большаков, Б. М. Герасимов и др.; Под ред. Г. П. Тартаковского.— М.: Сов. радио, 1963. — Т. 1. — 424 с.
24.	Космические траекторные измерения/П. А. Агаджанов, Н. М. Барабанов, Н. И. Буренин и др.; Под ред. П. А. Агаджанова, В. Е. Дулевича, В. Е. Коростелева.— М.: Сов. радио, 1969. — 504 с.
25.	Слока В. К. Вопросы обработки радиолокационных сигналов. — М.: Сов. радио, 1970. — 256 с.
26.	Защита от радиопомех/М. В. Максимов, М. П. Бобнев, Б. X. Кривицкий и др.; Под ред. М. В. Максимова. — М.: Сов. радио, 1976. — 496 с.
27.	Экстремальная радионавигация/В. И. Алексеев, А. М. Кориков, Р. И. Подойников и др.; Под ред. Р. И. Полонникова и В. П. Тарасенко. — Наука, 1978. — 280 с.
28.	Кинкулькин И. Е., Рубцов В. Д., Фабрик М. А. Фазовый метод определения координат/Под ред. И. Е. Кинкулькина. — М.: Сов. радио, 1979.— 280 с.
29.	Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. — М.: Радио и связь, 1981. — 416 с.
30.	Баклицкий В. К., Юрьев А. Н. Корреляционно-экстремальные методы навигации.— М.: Радио и связь, 1982. — 256 с.
31.	Гришин Ю. П., Казаринов Ю. М., Катиков В. М. Микропроцессоры в радиотехнических системах/Под ред. Ю. М. Казаринова. — М.: Радио и связь, 1982.— 280 с.
32.	Обработка сигналов в многоканальных РЛС/А. П. Лукошкин, С. С. Карин-ский, А. А. Шаталов и др.; Под ред. А. П. Лукошкина.—М.: Радио и связь, 1983. — 328 с.
33.	Журавлев А. К., Лукошкин А. П., Поддубный С. С. Обработка сигналов в адаптивных решетках. — Л.: ЛГУ, 1983. — 239 с.
34.	Пространственно-временная обработка сигиалов/И. Я. Кремер, А. И. Кремер, В. М. Петров н др.; Под ред. И. Я. Кремера. — М.: Радио и связь, 1984.—224 с.
35.	Основы загоризонтной радиолокации/В. А. Алебастров, Э. И. Гойхман, И. М. Заморин и др.; Под ред. А. А. Колосова. — М.: Радио и связь, 1984. — 256 с.
36.	Ярлыков М. С. Статистическая теория радионавигации. — М.: Радио и евязь, 1985. — 344 с.
391
37.	Кузьмин С. 3. Основы проектирования систем цифровой обработки радио» локационной информации.—М.: Радио и связь, 1986. — 392 с.
38.	Бакулев П. А., Степин В. М. Методы и устройства селекции движущихся целей. — М.: Радио и связь, 1986. — 288 с.
39.	Монзииго Р. А., Миллер Т. У. Адаптивные антенные решетки: введение в теорию: Пер. с англ./Под ред. В. А. Лексаченко. — М.: Радио и связь, 1986. — 448 с.
40.	Кондратьев В. М., Котов А. Ф., Марков Л. Н. Многопозицнонные радиотехнические системы/Под ред. В. В. Цветнова.— М.: Радио и связь, 1986.— 264 с.
41.	Черняк В. С., Заславский А. П., Осипов Л. В. Многопозиционные радиолокационные станции и системы//3арубежная радиоэлектроника.— 1987.— № 1, —С. 9—69.
42.	Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн.—М.: Наука, 1978. — 544 с.
43.	Вальд А. Статистические решающие функции//Позиционные игры: Пер. с англ./Под ред. Н. Н. Воробьева. — М.: Наука, 1967. — С. 300—522.
44.	Варакии Л. Е. Теория сложных сигналов. — М.: Сов. радио, 1970. — 375 с.
45.	Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.: Сов. радио, 1971. — 416 с.
46.	Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуационных помехах. — М.: Сов. радио, 1972.—448 с.
47.	Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. — М.: Сов. радио, 1973.— 144 с.
48.	Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентныв прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975. — 704 с.
49.	Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина.—М.: Связь, 1976. — 496 с.
50.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.; Радио и связь, 1989. — 656 с.
51.	Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции: В 3 т.: Пер. с англ./Под ред. В. Т. Горяйнова. — М.: Сов. радио, 1977. — Т. 3. — 664 с.
52.	Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем.—М.: Сов. радио, 1977.—432 с.
53.	Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. — М.: Сов. радио, 1978. — 320 с.
54.	Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов.—М.: Радио и связь, 1983.— 320 с.
55.	Теория обнаружения сигналов/П. С. Акимов, П. А. Бакут, В. А. Богданович и др.: Под ред. П. А. Бакута. — М.: Радио и связь, 1984. — 440 с.
56.	Сосулин Ю. Г., Фишман М. М. Теория последовательных решений и ее применения. — М.: Радио и связь, 1985. — 272 с.
57.	Сосулин Ю. Г., Гаврилов К. Ю. Синтез и анализ оптимальной последовательной процедуры совместного поиска и обнаружения сигнала//Радиотехни-ка и электроника.— 1987. — Т. 32, № 11.— С. 2319—2332.
58.	Сосулин Ю. Г., Фишман М. М. Оптимальное обнаружение сигналов со случайным моментом появления//Изв. АН СССР. Сер. Техн, кибернетика. — 1977. — № 3. — С. 149—155.
59.	Сосулин Ю. Г., Паршин Ю. Н. Оценочно-корреляционно-компенсационные алгоритмы обнаружения многомерных сигналов//Радиотехника и электроника.— 1981, —Т. 26, № 8,—С. 1635—1643.
60.	Краснекер В. М. Стабильные методы обнаружения сигналов на фоне помех (обзор)//Автоматика и телемеханика. — 1980. — № 5. — С. 65—88.
61.	Басистов Ю. А., Тугуши В. Г. Регуляризованные алгоритмы обнаружения
302
радиолокационных сигналов//Изв. вузов СССР. Сер, Радиоэлектроника. — 1987. — Т. 30, Ns 4. — С. 8—16.
62	Сосулин Ю. Г., Саликов С. Л. Робастное обнаружение когерентных и некогерентных сигналов//Радиотехника н электроника.— 1988.— Т. 33, № 3. — С. 499—512.
€3. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядреико М. И. Теория вероятностей и математическая статистика.— Киев: Вища школа, 1979. — 480 с.
€4. Сосулин Ю. Г. Методы оптимальной обработки сигналов на фоне комплекса помех//Радиотехника и электроника.— 1982. — Т. 27, № 6.— С. 1171—1181.
€5. Сосулин Ю. Г. Оптимальное комплексирование измерителей//Эффективность применения цифровых устройств в радиолокации. — М.: МАИ, 1982. — С. 4—17.
66. Иванов Ю. П., Синяков А. Н., Филатов И. В. Комплексирование информационно-измерительных устройств летательных аппаратов/Под ред. В. А. Боднера. — Л.: Машиностроение, 1984. — 207 с.
67. Лихарев В. А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. — М.: Сов. радио, 1973. — 456 с.
68. Трифонов А. П., Шинаков Ю. С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров иа фоне помех. — М.: Радио и связь, 1986. — 264 с.
69.	Сосулин Ю. Г., Шилин В. И. Многоканальное обнаружение сигналов на фоне коррелированных помех и белых щумов//Изв. вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника. — 1989. — Т. 32, Ns 4. — С. 15—'21.
70.	Сосулин Ю. Г., Саликов С. Л. Адаптивно-робастное обиаружеиие сигналов// Радиотехника и электроника.— 1990. — Т. 35, № 2. — С. 363—371.
71.	Сосулин Ю. Г. Оптимальное комплексирование обнаружителей/Прием и обработка сигналов в многоканальных и комплексированных системах.—М.: МАИ, 1992.— С. 5—12.
72.	Радиотехнические системы/Ю. П. Гришин, В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов и др.; Под ред. Ю. М. Казаринова. — М.: Высшая школа, 1990. — 496 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................   .	.	3
Глава 1. общие сведения о радиолокации и радионавигации 5
1.1.	Основные определения............................................ 5
1.2.	Физические основы радиообнаружения и определения местоположе-
ния объектов. Диапазоны используемых радиоволн	8
1.3.	Методы определения местоположения объектов ....	11
1.4.	Основные тактико-технические характеристики РЛС и РНС .	16
Глава 2. обнаружение сигналов	....	.	25
2.1.	Обнаружение сигналов как статистическая задача. Статистические
решения........................................................ 25
2.2.	Решающие правила оптимального обнаружения .	.	30
2.3.	Показатели качества обнаружения..............................37
2.4.	Обнаружение детерминированного сигнала на фоне белого	шума	.	40
2.5.	Обнаружение квазидетерминированных сигналов иа фоне	белого	шума	48
2.6.	Помехи и методы защиты от них................................. .70
2.7.	Обнаружение сигналов на фоне коррелированных помех	.	79
2.8.	Обнаружение сигналов на фоне негауссовских помех	85
2.9.	Обнаружение векторных сигналов.............................. .	90
2.10.	Цифровая обработка сигналов................................ .	104
2.11.	Методы оптимизации в условиях априорной неопределенности 112
303
Глава 3. МЕТОДЫ измерения координат и СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ объектов..................................................... ...	122
3.1.	Методы измерения дальности и разности дальностей ...	122
3.2.	Методы измерения угловых координат .	.	.132
3.3.	Методы измерения скорости.............................. ....	137
Глава 4. оценивание параметров сигналов ...........................139
4.1.	Общие вопросы оценивания параметров ....	.	.	139
4.2.	Оценивание параметров сигнала на фоне белого шума	.	.	154
4.3.	Оценивание параметров стохастических сигналов .	.	176
Глава 5. совместное обнаружение и оценивание сигналов	191
5.1.	Обнаружение и оценивание параметров квазидетерминированных сигналов ...........................................................  191
5.2.	Оценочно-корреляционно-компенсационное обнаружение стохастических сигналов...................................................... 201
5.3.	Байесовское совместное обнаружение	и оценивание сигналов	212
Глава 6. разрешение и распознавание сигналов	. .	216
6.1.	Общие сведения о разрешении и распознавании объектов и сигналов 216 6.2. Статистическая оптимизация разрешения и распознавания сигналов 219
6.3.	Связь разрешающей способности с функцией рассогласования	231
6.4.	Обработка сложных сигналов ...	.	238
6.5.	Разрешение объектов по угловым координатам	249
Глава 7. вторичная обработка информации	.	.	252
7.1.	Основные задачи вторичной обработки .	252
7.2.	Точность определения местоположения	.	254
7.3.	Обнаружение траекторий....................................... 263
7.4.	Оценивание параметров траекторий ...	....	268
Глава 8. комплексирование устройств обработки информации 285 8.1. Принципы комплексирования.....................................285
8.2. Оптимальное комплексирование измерителей .	.	.	.	287
8.3. Оптимальное комплексирование обнаружителей	.	296
Список литературы .	.	.	.	......................300
Учебное издание
Сосулии Юрий Георгиевич
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОЛОКАЦИИ И РАДИОНАВИГАЦИИ
Учебное пособие
Заведующий редакцией В. Н. Вяльцев. Редактор Э. М. Горелик. Переплет художника В. Я- В и г а н т а. Художественный редактор Н. С. Шеин. Технический редактор Т. Г. Родина. Корректор Н. В. Козлова
ИБ № 1925
Сдано в набор. 1.10.91	Подписано в печать 27.01.92
Формат 60X84716	Бумага типографская № 2	Гарнитура литературная
Печать высокая	Усл. леч. л. 17,67	Усл. кр.-отт. 17,67
Уч. изд.-л. 18,65	Тираж 6000 экз.	Изд. № 22567
Зак. Хэ 100	С-096
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва» Почтамт, а/я 693 Типография издательства «Радио и связь» 101000 Москва, ул. Мясницкая, д. 40