/
Текст
/О. Г. Сосулин
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
РАДИОЛОКАЦИИ
И РАДИОНАВИГАЦИИ
ББК 32.95
С 66
УДК 621.396.6@75)
Рецензенты: кафедра радиотехнических систем ЛИАП; докт. техн, наук,
проф. fj. А. Бакут
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве
учебного пособия для студентов
радиотехнических специальностей вузов
Редакция литературы по радиотехнике и электросвязи
Москва
«Радиоисвязь»
1992
Сосулин Ю. Г.
66 Теоретические основы радиолокации и радионавига-
ции: Учеб. ло'ссйбие для вузов. — М.: Радио и связь,
1992. —304 с: ил.
ISBN 5-256-01019-0.
Приводятся общие сведения о радиолокации и радионавига-
ции, рассматриваются методы измерения координат и определения
местоположения объектов. Излагаются основы статистической тео-
рии радиолокации и радионавигации; рассматриваются вопросы
обнаружения сигналов и оценивания их параметров на фоне шумов
и помех различного вида, линейной и нелинейной фильтрации, сов-
местного обнаружения и оценивания сигналов, разрешения и рас-
познавания сигналов, преодоления априорной неопределенности в
задачах обработки сигналов, обнаружения и оценивания парамет-
ров траекторий, комплексирования устройств обработки информа-
ции.
Для студентов радиотехнических специальностей вузов. Мо-
жет быть полезна специалистам в области радиолокации и радио-
навигации.
2302620000-040
С 0-92
046@1)-92
ISBN 5-256-01019-0
ББК 32.95
© Сосулин Ю. Г., 1992
ПРЕДИСЛОВИЕ
Радиолокация и радионавигация впитали в себя достижения мно-
гих областей науки и техники и охватывают широкий круг проб-
лем, нашедших отражение в учебной литературе [1—17, 72], спра-
вочниках [18—20], а также в многочисленных монографиях и
статьях. Однако учебный курс должен быть компактным. Вместе
с тем он должен быть математически доказательным, чтобы дей-
ствительно быть «теоретическими основами...». Кроме того, для
лучшего понимания и усвоения материала теоретические резуль-
таты должны поясняться «технически» и дополняться результа-
тами эвристического подхода, развитие которого необходимо при
подготовке радиоинженера. Совместить в компактном объеме по
возможности строгое изложение основных положений современ-
ной теории радиолокации и радионавигации с ясностью пон^м?а-
ния физической сущности рассматриваемых явлений и процеесов —
задача, которую решал автор при написании учебного пособия.
Очевидно, «оптимальное» решение этой задачи труднодостижимо.
Поэтому автор будет благодарен всем, кто пожелает высказать
свои замечания.
В основу книги положены конспекты лекций по курсу «Теоре-
тические основы радиолокации и радионавигации», которые ав-
тор читал в течение ряда лет в Московском авиационном инсти-
туте. Опыт чтения этих лекций свидетельствует о том, что наи-
более трудным для усвоения студентами материалом является
статистическая теория радиолокации и радионавигации. Однако в
учебной литературе данный материал не всегда излагается доста-
точно корректно и полно. Поэтому автор наибольшее внимание
уделил изложению основ статистической теории радиолокации и
радионавигации, исключив из книги некоторые традиционные раз-
делы, хорошо изложенные в учебной литературе.
Для понимания материала учебного пособия необходимо зна-
ние основных понятий втузовского курса по теории вероятностей
и математической статистике, а также статистической радиотех-
ники [21, 22]. В конце книги приведен список литературы, вклю-
чающий в себя не только учебные пособия и справочники, но и
специальные монографии и статьи. Эта литература потребуется
Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О РАДИОЛОКАЦИИ
И РАДИОНАВИГАЦИИ
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Радиолокация — обнаружение, определение местоположения и
выявление свойств движущихся и неподвижных объектов с ис-
пользованием радиоволн, отраженных или излученных этими объ-
ектами. Радиолокацией называют также область науки и техни-
ки, охватывающую методы и средства решения указанных задач.
Объекты радиолокации называются радиолокационными целями;
их можно подразделить на аэродинамические (самолеты, верто-
леты, крылатые ракеты); баллистические и космические (боего-
ловки, спутники); наземные и надводные (автомашины, кораб-
ли); природного происхождения (планеты, молнии, облака, дождь,
ориентиры на местности и т. д.). Технические средства получения
информации о радиолокационных целях — радиолокационной ин-
формации— называются радиолокационными станциями или ра-
диолокаторами. Совокупность радиолокационных станций и вспо-
могательных технических средств, взаимосвязанных между собой
и предназначенных для решения какой-либо тактической задачи
радиолокации, называют радиолокационной системой (РЛС). От-
метим, что этот термин неоднозначен. Так, одна радиолокацион-
ная станция является системой, состоящей из взаимосвязанных
радиоустройств, способных решать радиолокационную задачу, и
поэтому также обычно именуется радиолокационной системой.
Радионавигация — определение местоположения объектов и
обеспечение их движения по заданным траекториям с помощью
радиосредств. Объектами радионавигации являются управляемые
летательные аппараты (воздушные и космические), морские ко-
рабли и др. Совокупность взаимодействующих радиоустройств ¦
вспомогательных технических средств, расположенных на подвиж-
ном объекте и вне его, предназначенных для решения тактичес-
кой задачи радионавигации, называют радионавигационной сис-
темой (РНС).
Радиолокационные и радионавигационные системы, осуществ-
ляющие обработку радиолокационной и радионавигационной ин-
формации, относятся к широкому классу информационных радио-
систем. При этом большинство РЛС и РНС составляют его важ-
ный подкласс, являясь радиосистемами извлечения информации.
Эти радиосистемы из принимаемых радиосигналов извлекают по-
лезную информацию о радиолокационных и радионавигационных
объектах. Обрабатывая получаемую информацию, указанные ра-
диосистемы решают радиолокационные и радионавигационные за-
дачи, основными из которых являются: обнаружение объектов,
измерение координат и параметров движения, разрешение объек-
тов, распознавание объектов.
Обнаружение состоит в принятии решения о наличии или от-
сутствии объекта в заданной области пространства. Измерение
координат и параметров движения сводится к получению оценок
координат объектов я их производных (скорости, ускорения).
Число и вид измеряемых координат определяются назначением
РЛС и РНС и выбранной системой координат, в которой опреде-
ляется местоположение объекта. Разрешение сводится к обнару-
жению и измерению координат и параметров движения объекта
при наличии в исследуемом участке пространства других объек-
тов. Распознавание состоит в установлении принадлежности объ-
екта к определенному классу.
Радиосистемы извлечения информации, и прежде всего радио-
локационные, в зависимости от происхождения принимаемого ра-
диосигнала подразделяют на активные и пассивные. В активных
радиосистемах информация выделяется из радиосигналов, полу-
ченных в результате облучения объекта зондирующим электро-
магнитным колебанием — зондирующим сигналом — и приема
отраженной от объекта энергии. Поэтому активная радиосистема
состоит из радиопередающего устройства РПдУ (передатчика),
передающей и приемной антенн и радиоцриемного устройств РПрУ
(приемника) (рис. 1.1,а). Наличие двух антенн у активной радио-
системы не обязательно. Можно ограничиться и одной антенной,
если обеспечить необходимую развязку приемного и передающе-
го каналов; при импульсном зондирующем сигнале это осуществ-
ляется с помощью антенного переключателя АП (рис. 1.1,6).
В пассивной радиосистеме извлечение информации осуществ-
ляется без облучения объекта электромагнитными колебаниями.
Объект сам является источником излучения. Поэтому пассивная
система состоит из приемной антенны и радиоприемного устрой-
ства (рис. 1.1,0).
Объект
Объект
Объект
Рис. 1.1. Обобщенные структурные схемы РЛС и
РНС:
а, б — активные системы, в — пассивная система, г — радио-
линия, д — активная система с активным ответом, е — разне-
сенная система
По степени автономности РНС подразделяют на автономные
и неавтономные. Неавтономная РНС включает в себя радиолинию,
состоящую из РПдУ, передающей антенны, трассы распростране-
ния радиоволн, приемной антенны и РПрУ (рис. 1.1,г) .Радиопе-
редающее устройство РПдУ устанавливается в пункте с извест-
ными координатами — радионавигационной точке (РНТ). Таких
точек обычно несколько, и они могут располагаться на Земле, ли-
бо на движущихся объектах — искусственных спутниках Земли и
других летательных аппаратах (ЛА). Радиоприемное устройство
РПрУ находится на подвижном объекте, местоположение кото-
рого требуется определить. Автономная РНС не нуждается в ра-
диоаппаратуре, устанавливаемой в РНТ; она определяет местопо-
ложение подвижного объекта с помощью только бортовых радио-
устройств и представляет собой по существу активную РЛС (рис.
1.1), при этом отражающим объектом обычно является земная
поверхность.
В радиолокации и радионавигации используются также актив-
ные радиосистемы, с активным ответом (рис. l.l.d). В таких сис-
темах на объекте устанавливается ответчик — приемопередающее
устройство, отвечающее на сигналы активной системы — запрос-
чика. Активная система с активным ответом содержит две радио-
линии — запроса и ответа, при этом в системе наряду с извле-
чением информации может осуществляться и ее передача. Поэто-
му такую систему относят к классу комбинированных информа-
ционных радиосистем.
В зависимости от расположения РПдУ и РПрУ в пространст-
ве РЛС подразделяют на однопозиционные (совмещенные), когда
РПдУ и РПрУ размещены в одном пункте (рис. 1Л,а,б), разне-
сенные (бистатические), когда РПдУ и РПрУ расположены в двух
пунктах, достаточно удаленных друг от друга, и многопозицион-
ные. Расстояние между передающей и приемной позициями раз-
несенной РЛС может быть постоянным и переменным. Приме-
ром системы, иллюстрирующим второй случай, служит разнесен-
ная РЛС, обеспечивающая самонаведение ракеты на цель (рис.
\Л,е).
Многопозиционная радиолокационная система (МПРЛС) сос-
тоит из нескольких разнесенных в пространстве передающих, при-
емных или приемопередающих позиций, в которых осуществля-
ется совместная обработка радиолокационной информации. Про-
стейшая МПРЛС включает в себя две разнесенные приемные по-
зиции при одной передающей, которая может быть совмещена с
одной из приемных. К простейшим относится также МПРЛС, вклю-
чающая две разнесенные передающие позиции при одной прием-
ной, которая может быть совмещена с одной из передающих. Мно-
гопозиционные РЛС могут быть активными, обслуживающими не-
излучающие объекты и поэтому содержащими хотя бы одну пе-
редающую позицию, пассивными, состоящими только из приемных
позиций, и активно-пассивными, обслуживающими как неизлуча-
ющие, так и излучающие объекты.
1.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИООБ-
НАРУЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТО-
ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ. ДИАПАЗОНЫ
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РАДИОВОЛН
Проблема радиообнаружения объекта сводится к обнаружению
сигнала, излучаемого или переизлучаемого этим объектом на фо-
не различного рода помех. Активное радиообнаружение основа-
но на явлении отражения или рассеивания радиоволн, если на пу-
ти их распространения встречается объект с электрическими па-
раметрами, отличными от параметров среды. Такой объект, облу-,
ченный электромагнитным колебанием, становится источником от-
раженного, т. е. вторичного, электромагнитного поля. Мощность
вторичного излучения зависит от интенсивности первичного поля
S
около объекта, параметров объекта (габаритов, формы, электри-
ческих свойств), положения объекта относительно источника зон-
дирующего сигнала, поляризации первичного поля, длины вол-
ны Я.
Зависимость мощности вторичного излучения от X особенно
важна, так как ее характер определяет диапазон радиоволн, при-
годный для радиообнаружения. Если линейные размеры объекта
/ таковы, что
1>К A.1)
то мощность вторичного излучения от к практически не зависит.
Если /<СЯ, то мощность вторичного излучения обратно пропорци-
ональна АЛ При этом с увеличением длины волны мощность вто-
ричного излучения резко падает, что приводит к соответствующе-
му уменьшению дальности обнаружения. Поэтому в радиолока-
ции, для которой задача обнаружения объектов является важней-
шей, используют в основном такие радиоволны, длина которых
удовлетворяет соотношению A). Следовательно, для радиолока-
ционного наблюдения целей типа самолетов, автомашин и т. п.
нужно использовать диапазон метровых и более коротких волн
A0... Ю-3 м).
Необходимость укорочения длины волны обусловлена также
стремлением создать более узкий радиолуч, чтобы обеспечить
разрешение (разделение) целей по угловым координатам, более
высокую точность их измерения и более экономное расходова-
ние энергии передатчика. Дело в том, что угловая ширина луча
или ширина диаграммы направленности (ДН) антенны
A.2)
где da — линейный размер апертуры антенны; к — коэффициент
пропорциональности, зависящий от распределения электромагнит-
ного поля по апертуре. Следовательно, при заданном размере ан-
тенны сужение луча достигается путем уменьшения длины вол-
ны Я.
Необходимо, однако, учитывать и фактор, ограничивающий уко-
рочение волны — затухание радиоволн в атмосфере, которое в
сантиметровом и миллиметровом диапазонах может оказаться
значительным.
Для обнаружения целей, лежащих далеко за линией горизон-
та, т. е. для загоризонтной радиолокации, диапазон 10... 10~3 мне
пригоден, так как волны этого диапазона распространяются по
законам, близким к оптическим, т. е. в пределах прямой видимо-
сти. Способностью проникать далеко за линию горизонта обла-
дают радиоволны с большей длиной волны. В загоризонтной ра-
диолокации используется прежде всего диапазон декаметровых
9
волн 10... 100 м. Эти волны способны отражаться от верхних сло-
ев атмосферы и позволяют обнаруживать различные объекты,
скрытые за линией горизонта (самолеты, стартующие баллисти-
ческие ракеты и др.) [35].
Обнаружение объектов возможно при импульсном и непрерыв-
ном зондирующих сигналах. В первом случае объект облучается
короткими импульсами, длительность которых обычно значитель-
но меньше паузы между ними. При этом используется временная
развязка приемного и передающего каналов, реализуемая антен-
ным переключателем. При непрерывном сигнале влияние переда-
ющего канала на приемный ослабляется с помощью частотной,
пространственной или поляризационной развязки.
Пассивное обнаружение основано на использовании собствен-
ного, в частности, теплового излучения объекта. Так как любое
физическое тело, температура которого выше абсолютного нуля,
излучает электромагнитные колебания, то имеется принципиаль-
ная возможность обнаруживать любые объекты без предваритель-
ного облучения. Максимум теплового излучения земной поверх-
ности и многих других объектов лежит в области инфракрасного
диапазона волн. Для обнаружения может использоваться также
радиоизлучение, вызванное работой различных радиоустройств,
имеющихся на объекте, запуском ракет и т. п.
Физической основой определения местоположения объектов яв-
ляется то, что в однородной среде радиоволны распространяются
прямолинейно и с постоянной скоростью с^З-Ш8 м/с. Это позво-
ляет определить направление на излучатель радиоволн и прой-
денный ими путь (дальность) R — cx, измерив время распростра-
нения т между излучателем и приемником. Однако реальная сре-
да в общем случае не является однородной. Поэтому траектория
распространения радиоволн, вообще говоря, отличается от пря-
мой линии, а скорость их распространения меняется на пути рас-
пространения. Это приводит к соответствующим ошибкам в опре-
делении местоположения объекта.
В некоторых РЛС и РНС для определения местоположения
объекта наряду с перечисленными свойствами радиоволн исполь-
зуется эффект Доплера — изменение частоты принимаемых элек-
тромагнитных колебаний при изменении расстояния R между при-
емником и излучателем радиоволн. Найдем это изменение, пола-
гая, что излучается гармоническое колебание частоты /о с на-
чальной фазой <ро- Тогда текущее значение фазы колебания на
входе приемника <p(t) =2nfo(t— (R!c))+*p0. При изменении рас-
стояния R, например из-за движения излучателя с радиальной
скоростью VR=dR/dt, частота принимаемого колебания /=
= (dq>/dt)/2n=fo—QoVrIc) отличается от частоты излучаемого
на значение
10
h~-hVRlc=-VRl%, A.3)
где X=c/\fo — длина волны*. Величина C) называется частотой
Доплера или доплеровским смещением частоты.
Диапазон радиоволн, используемый в радионавигации, значи-
тельно шире, чем в радиолокации. Дело в том, что в неавтоном-
ных РНС отражающие свойства объекта не используются и по-
этому условие A) не ограничивает выбора диапазона радиоволн.
В радионавигации он обусловлен особенностями распространения
радиоволн в реальной среде, которые существенно зависят от дли-
ны волны. Кроме того, учитывается регламент радиосвязи, т. е.
свод правил, которые регулируют порядок использования диапа-
зонов радиоволн разными странами в различных радиосистемах.
В неавтономных РНС, обеспечивающих определение местопо-
ложения объекта на больших расстояниях (порядка 8... 10 тыс.
км), используются мириаметровые волны (Я= 10... 100 км); при
меньших расстояниях C ... 1 тыс. км) — километровые (А,= 1 ...
... 10 км) и гектометровые (Х=0,1 .;: 1 км) волны. В автономных
РНС, например в радиовысотомерах, доплеровских измерителях
скорости и угла сноса (ДИСС), а также в неавтономных РНС,
например в радиомаячных системах посадки, в которых требу-
ется сформировать достаточно узкий радиолуч, нужно учитывать
соотношение B); поэтому такие системы работают на метровых и
более коротких волнах.
1.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПО-
ЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
Проблема определения местоположения объекта, или, короче,
проблема местоопределения, сводится к определению (измере-
нию) некоторых геометрических величин, однозначно характери-
зующих место объекта в пространстве. К ним относятся прежде
всего длина траектории распространения радиоволн или дальность
и направление на излучатель радиоволн. Определение этих вели-
чин, называемое радиодальнометрией и радиопеленгацией соот-
ветственно, осуществляется с помощью радиоустройств — радио-
дальномеров и радиопеленгаторов. Угол между начальным нап-
равлением и искомым называется пеленгом. При пеленгации в го-
ризонтальной плоскости в качестве начального принимают север-
ное направление географического меридиана. За положительное
направление отсчета пеленга выбирают направление вращения
часовой стрелки.
* Эти выкладки справедливы при условии Ув<с, которое выполняется на
практике.
11
6) в)
RfR2- const Лу*г= const
M
V У
Рис. 1.2. Диаграммы определения геометрических ве-
личин и линий положения
При помощи радиоустройств можно определить следующие ге-
ометрические величины: 1) пеленг ам искомой точки М из фикси-
рованной точки А (рис. 1.2,а); 2) пеленг а а фиксированной точ-
ки А из искомой точки М (рис. 1.2,6); 3) расстояние R от иско-
мой точки М до фиксированной точки Л (рис. 1.2,в); 4) разность рас-
стояний R\—R2 от искомой точки М до двух фиксированных то-
чек А я В (рис. 1.2,г); 5) сумму расстояний Ri-\-R2 от искомой
точки М до двух фиксированных точек А и В (рис. 1.2,<3). Каж-
дому измеренному значению какой-либо из перечисленных вели-
чин соответствует линия положения — геометрическое место то-
чек, для которых геометрическая величина, определяющая место-
положение объекта, постоянна. При постоянном пеленге искомой
точки из фиксированной (рис. 1.2,а), как и при постоянном пелен-
ге фиксированной точки из искомой (рис. 1.2,6), линии положения
являются прямыми. При постоянном расстоянии от искомой точ-
ки до фиксированной линия положения представляет собой окруж-
ность с центром в точке А и проходящую через точку М (рис.
1.2,в). При постоянной разности расстояний от искомой точки до-
двух фиксированных линия положения является гиперболой, про-
ходящей через точку М (рис. 1.2,г); фиксированные точки А и В —
фокусы гиперболы. При постоянной сумме расстояний от иско-
мой точки до двух фиксированных линия положения является эл-
липсом, проходящим через точку М (рис. 1.2,д); точки А я В —
фокусы эллипса.
Различным постоянным значениям каждой из перечисленных,
геометрических величин соответствует семейство линий положения.
12
,=const
= COnst
Рис. 1.3. Диаграммы местоопределения позиционными мето-
дами на плоскости (а, б, в, г, д) и в пространстве (е)
В первом и во втором случаях семейство линий положения пред-
ставляет собой семейство радиальных прямых, в третьем — се-
мейство концентрических окружностей, в четвертом — семейство
софокусных гипербол, в пятом — семейство сбфокусных эллип-
сов.
Для определения местоположения объекта на плоскости надо
найти две пересекающиеся линии положения. Точка пересечения
этих линий даст искомое местоположение. Такой метод местооп-
ределения называется позиционным. В зависимости от видов ис-
пользуемых линий положения различают следующие позиционные
методы: пеленгационный, при котором местоположение объекта
определяется как точка пересечения двух прямых (рис. 1.3,а);
дальномерный, при котором местоположение объекта — точка пе-
ресечения двух окружностей (рис. 1.3,6); разностно-дальномер-
ный, при котором местоположение объекта — точка пересечения
двух гипербол (рис. 1.3,в); су ммарно-дально мерный, при кото-
ром местоположение объекта -*- точка пересечения двух эллип-
сов (рис. 1.3,г); дальномерно-пеленгационный, при котором место-
положение объекта — точка пересечения прямой с окружностью
(рис. 1.3,д).
Пеленгационный и разностно-дальномерный метод широко
применяют в радионавигации для определения собственного поло-
жения подвижного объекта относительно радиомаяков (РПдУ),
устанавливаемых в РНТ. Эти методы используют также в радио-
локации — в пассивных МПРЛС. Дальномерный метод применя-
ют в радионавигации. Кроме того, дальномерный, а также сум-
13
марно-дальномерный методы используют в радиолокации — J& ак-
тивных МПРЛС. Дальномерно-пеленгационный метод — основной
в однопозиционной радиолокации, так как он единственный из рас-
смотренных методов позволяет определить местоположение объ-
екта из одной точки. .
При местоопределении объекта в пространстве постоянному
значению каждой из перечисленных геометрических величин со-
ответствует поверхность возможных местоположений объекта, ко-
торая называется поверхностью положения. Постоянному значе-
нию расстояния от фиксированной точки до искомой соответству-
ет поверхность положения в виде сферы. При постоянном значе-
нии суммы расстояний от искомой точки до фиксированных по-
верхностью положения является эллипсоид. При постоянном зна-
чении пеленга в горизонтальной плоскости искомой точки из фик-
сированной поверхностью положения будет вертикальная плос-
кость, проходящая через эти точки.
Пересечение двух поверхностей положения дает линию поло-
жения в пространстве. Точка пересечения линии положения и
третьей поверхности положения определяет местоположение объ-
екта в пространстве. Если, например, использовать дальномерно-
пеленгационный метод, то местоположение объекта дает точка пе-
ресечения прямой со сферой. В этом случае для однозначного оп-
ределения направления на объект необходимо осуществить пелен-
гацию в двух пересекающихся плоскостях, как правило — гори-
зонтальной и вертикальной (рис. 1.3,е). Угол а между северным
направлением географического меридиана и проекцией направле-
ния на объект на горизонтальную плоскость называется азимутом.
Угол |3 между направлением на объект и горизонтальной плоско-
стью называется углом места. Расстояние R от радиолокатора до
объекта называется наклонной дальностью. Как видим, задача
местоопределения объекта в пространстве дальномерно-пеленга-
ционным методом сводится к измерению трех координат: наклон-
ной дальности, азимута и угла места.
Помимо позиционных методов, широко применяемых в радио-
локации и радионавигации, в последней используют и другие ме-
тоды местоопределения: счисления пути и обзорно-сравнительный.
Метод счисления пути основан на измерении вектора скорости ЛА
относительно поверхности Земли и интегрировании скорости по
времени, в результате чего определяется пройденный путь. Изме-
рения выполняются на борту ЛА с помощью ДИСС, который оп-
ределяет путевую скорость и угол сноса. Путевой скоростью на-
зывается горизонтальная составляющая V вектора скорости дви-
жения ЛА относительно земной поверхности. Путевая скорость
складывается из двух составляющих: скорости движения ЛА от-
носительно воздушной массы — воздушной скорости VB и скоро-
14
Датчик
поля
Блок
памяти
&Л0/(
срабне/шя
Оптимиза-
тор
Сигнал
коррекции
Рис. ыЛНавигащион- Рис. 1.5. Структурная схема системы экстремаль-
ный треугольник ско- ной радионавигации
ростей
I
сти перемещения воздушной массы относительно земной поверх-
ности — скорости ветра U. Эти векторы образуют навигационный
треугольник скоростей (рис. 1.4). Угол а между векторами VB и
V, вызванный сносом ЛА ветром, называется углом сноса. Для оп-
ределения местоположения ЛА помимо ДИСС необходима еще
курсовая система, определяющая курс ЛА — угол в горизонталь-
ной плоскости между северным направлением меридиана и про-
екцией продольной оси ЛА. Навигационный вычислитель, 'ис-
пользуя данные ДИСС и курсовой системы, а также координаты
начального пункта маршрута ЛА, определяет его местоположение
в текущий момент времени. Достоинством рассмотренной систе-
мы местоопределения является ее автономность, главный недос-
таток — ухудшение точности местоопределения с течением време-
ни (происходит накопление погрешностей по мере удаления ЛА
от начального пункта).
V Обзорно-сравнительный метод основан на измерении парамет-
ров какого-либо физического поля, характерного для осматрива-
емой местности, и сравнении этих параметров с параметрами эта-
лонного поля, полученного заранее и хранящегося в памяти сис-
темы. Радионавигационные системы, использующие этот метод,
называют системами экстремальной радионавигации (рис. 1.5),
так как они отыскивают экстремум некоторой меры близости из-
меренных и эталонных параметров. Если за меру близости ука-
занных параметров принята их взаимная корреляционная функ-
ция, то систему называют корреляционно-экстремальной (К.ЭС).
В этом случае блок сравнения (см. рис. 1.5) представляет собой
коррелятор. Оптимизатор выдает сигнал на перемещение эталон-
ного поля, обеспечивая поиск максимума корреляционной функ-
ции, а также формирует сигнал коррекции для системы автома-
тического управления, чтобы ликвидировать отклонение объекта
от заданного курса.
13
Заданная бь/сота лоле/ла
Профиль
vec/пности
АН
Уровень миробого океана
Рис. 1.6 Диаграмма формирования
поля высот рельефа местности
Корреляционно - экстре-
мальные системы подразде-
ляют на два класса:/КЭС-1
и КЭС-П. В КЭС-1/инфор-
мация о наблюдаемой мест-
ности «-снимается»/ в каж-
дый момент времени в од~
ной текущей «точке». При-
мером служит сиатема, ис-
пользующая информацию о
поле высот рельеюа мест-
ности. В этом случае дат-
чик поля состоит!из радио-
высотомера, измеряющего
текущую высоту г|олета Я,
и барометрического высотомера, определяющего высоту Нь
объекта относительно уровня мирового океана (рис. 1.6)(. Разность
ДЯ=Яб—Я, определяющая наблюдаемое поле высот рельефа,
подается на коррелятор, на другой вход которого поступает эта-
лонное поле, характеризующее распределение высот местности в
некоторой полосе вдоль маршрута полета.
В КЭС-П информация о наблюдаемой местности снимается с
некоторой площади («кадра»), т. е. датчик поля в каждый момент
времени должен воспроизводить двумерное (или трехмерное) изо-
бражение осматриваемого участка местности. Датчиком поля мо-
жет служить, например, радиолокатор, облучающий поверхность и
формирующий наблюдаемую радиолокационную карту. В блоке
памяти хранится эталонная карта местности. Сравнение наблюда-
емой и эталонной карт позволяет определить положение ЛА от-
носительно заданной траектории полета.
Достоинствами экстремальных систем радионавигации явля-
ется их автономность, сравнительно высокая помехозащищенность,
отсутствие накапливающихся с течением времени погрешностей.
Недостатки систем связаны с необходимостью предварительно по-
лучать информацию о характеристиках местности и сложностью
обработки сигналов (требуется вычислительное устройство с вы-
соким быстродействием и большой емкостью памяти).
1.4. ОСНОВНЫЕ ТАКТИКО-ТЕХНИЧЕ-
СКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЛС и РНС
Характеристики радиолокационных и радионавигационных си-
стем можно разделить на тактические, определяющие назначение
и возможности практического использования систем, и техничес-
кие, определяющие основные устройства систем (передатчик, ан-
тенну, приемник, выходные устройства).
16
Основными тактическими характеристиками РЛС и РНС яв-
ляются: место установки, число и характер измеряемых коорди-
нат и параметров движения, точность действия, зона и дальность
действик, время обзора, разрешающая способность, пропускная
способность, помехозащищенность, электромагнитная совмести-
мость, надежность, масса и габариты, экономическая эффектив-
ность. Рассмотрим кратко эти характеристики.
1. По \месту установки РЛС можно подразделить на наземные
и бортовые; последние, в свою очередь, подразделяются на кора-
бельные, самолетные, космические и др. Автономные РНС всегда
бортовые. 1Место установки радиоустройств неавтономной РНС
определяется ее назначением.
2. Число и характер измеряемых координат и параметров дви-
жения определяется назначением РЛС и РНС. Системы могут быть
однокоординатными (радиовысотомер), двухкоординатными (при
определении местоположения наземных и надводных объектов),
трехкоординатными( при определении местоположения объектов
в воздушном и космическом пространстве). Если решается, на-
пример, задача управления беспилотными объектами, то кроме
их координат обычно требуется измерять скорости и ускорения
объектов.
3. Точность действия РЛС и РНС характеризуется показате-
лями качества их работы, которые в разных режимах работы сис-
тем разные. В режиме обнаружения объекта это прежде всего
вероятности ошибок обнаружения: вероятность ложной тревоги
F — вероятность принятия решения о наличии объекта в иссле-
дуемом пространстве при условии, что он отсутствует, и вероят-
ность пропуска Do — вероятность принятия решения об отсутст-
вии объекта в исследуемом пространстве при условии, что он в
нем присутствует.
При работе РЛС и РНС в режиме измерения координат и па-
раметров движения объекта точность действия характеризуется
А
погрешностями измерения. Если 0 — измеряемая величина, а Э-—
результат измерения или оценка величины Э, то разность А9 =
= 8—9 есть^абсолнхт-ная погрешность измерения или ошибка оце-
нивания.~Отношепт А9/9 — относительная погрешность измере-
ния.
Погрешности и ошибки имеют случайные и неслучайные сос-
тавляющие: ' Случайные составляющие или просто случайные
ошибки (погрешности) вызываются множеством причин, не под-
дающихся точному учету. Значения этих ошибок изменяются от
одного измерения к другому случайным образом. Неслучайные со-
ставляющие или систематические ошибки в отличие от случайных
остаются постоянными или закономерно меняются при проведе- \
17 *
нии серии однотипных измерений. Поэтому они могут бьггь ис-
ключены из окончательного результата, если их значение/вычис-
лено путем предварительного исследования методики измерений.
В качестве числовой характеристики случайных ошибок обыч-
но используют среднеквадратическое отклонение или срфнеквад-
ратическую ошибку, равную квадратному корню из Дисперсии
оценки:
A.4)
Более общей мерой точности измерений, охватывающей как слу-
чайную, так и неслучайную составляющую ошибок, является
среднее значение квадрата ошибки: '
е2 = М(Д0J = М@-0J. A.5)
Для выявления взаимосвязи этой меры и среднеквадратической
ошибки преобразуем E) следующим образом:
Если измеряемая величина 0 не является случайной, то послед-
нее слагаемое М(М0—0J = (М0А—0J, а
М [(в-Мб) (М0-0)] = (М0- 0) М @- М0) = (М0 -0) (М0-
-Мв) = 0.
Поэтому
Неслучайная величина
Д@) = М0-0 = МД0, A.6)
называемая смещением оценки 0, по существу представляет собой
А Л
систематическую ошибку. Так как М@—М0J = о2 (см. D)), то
среднее значение квадрата ошибки
82 = о2 + А2(в). A.7)
На практике точность измерений удобнее характеризовать ве-
личиной, имеющей ту же размерность, что и измеряемая величи-
на. Такой величиной служит положительное значение квадратно-
го корня из G):
е = Уо2 + Л2F), A.8)
18
которое назовем полной ошибкой. Если смещение А F) =0, то пол-
ная и ореднеквадратическая ошибки совпадают: е=о.
В зависимости от причин возникновения погрешности измере-
ний разделяют на методические, вызванные несовершенством ме-
тода измерений, ошибки распространения, обусловленные влия-
нием атмосферы и Земли на распространение радиоволн, шумо-
вые, вызванные действием случайных шумов и помех, и аппара-
турные, обусловленные свойствами измерительной аппаратуры.
4. Зона действия или рабочая зона — область пространства, в
пределах которого точность действия системы не хуже заданной.
Зону действия РЛС часто определяют секторами обзора по ази-
муту и углу места и дальностью действия. Под дальностью дей-
ствия системы понимают максимальное расстояние jRmax, при ко-
тором обеспечивается заданная точность действия. Так как точ-
ность действия в разных режимах работы РЛС и РНС характе-
ризуется разными показателями качества, то и дальность дейст-
вия в разных режимах будет, вообще говоря, разной.
Дальность действия системы зависит от ее вида и технических
характеристик, условий распространения радиоволн, наличия
тех или иных помех, отражающих свойств объекта. Последние
обусловлены размерами и конфигурацией объекта, материалом,
из которого он выполнен, длиной волны, направлением облуче-
ния и др. Для оценки интегрального влияния этих факторов на
дальность действия вводят специальную расчетную величину —
эффективную площадь рассеяния (ЭПР) объекта.
Пусть РЛС создает у объекта плотность потока мощности пер-
вичного поля Пи а объект создает у приемной антенны РЛС плот-
ность потока мощности вторичного поля П2. Реальный объект
вследствие частичного поглощения переизлучает лишь часть пада-
ющей на него энергии, причем неравномерно в различных направ-
лениях. Заменим реальный объект некоторой воображаемой по-
верхностью с площадью сгэ, которая изотропно переизлучает всю
падающую на нее энергию и создает у приемной антенны РЛС та-
кую же плотность потока мощности, что и объект. Площадь 6Э и
называется ЭПР объекта.
Объектом с ЭПР аэ переизлучается мощность Р2-=П\оэ, ко-
торая создает у приемной антенны РЛС, расположенной на рас-
стоянии R от объекта, плотность потока мощности
Я 2 = Р2/4 л; #2 = Ях оэ/4 nR\ A.9)
Отсюда получаем формулу для расчета ЭПР
оэ = 4 я R* (Jljnj = 4 л R^IEJE^W A.10)
где Ei к Е2 — напряженности (комплексные амплитуды) электри-
19
ческого поля вблизи объекта и приемной антенны РЛС. Отноше-
ние Ё%1Ё\ рассчитывается методами электродинамики для/объек-
тов, имеющих простейшую геометрическую конфигурацию (шар,
пластинка, полуволновый вибратор и т. п.) и выполненный из од-
нородного материала [1—3, 5, 18]. Для объектов, имеющих слож-
ную конфигурацию, ЭПР определяется экспериментальна [18].
Теперь можно найти дальность действия активной^ системы
(рис. 1.1,а,б) в свободном пространстве (т. е. в предположении,
что атмосфера однородна, затухание радиоволн отсутствует, вли-
яние Земли не учитывается). Если Pi — мощность передатчика,
¦Hi — КПД фидерной линии передатчика, G — коэффициент уси-
ления передающей антенны, R — расстояние между РЛС и объ-
ектом, то плотность потока мощности первичного поля около объ-
екта /71 = /?iGiini/43x/?2. Подставляя это выражение в (9) и учи-
тывая, что мощность сигнала на входе приемника Р2 = Я252т12, где
S2 — эффективная площадь приемной антенны, г\2 — КПД фи-
дерной линии приемника, находим
Р2 = ^5,G3^/D лJ Я4. A.11)
Дальность действия Rmax определяется из уравнения Р2 = Рпор>
где РПОр — пороговая мощность сигнала, т. е. минимальная мощ-
ность полезного сигнала на входе приемника, обеспечивающая
заданную точность действия системы. Подставив в это уравнение
выражение A1), найдем дальность действия активной системы
Gx S2 оэ ть Ла/D яJ />пор. A.12)
Это соотношение, называемое уравнением радиолокации в сво-
бодном пространстве, определяет дальность действия активной
системы, работающей как в режиме обнаружения объекта, так и
режиме измерения его координат. В первом случае РПор — поро-
говая мощность сигнала в режиме обнаружения, т. е. минималь-
ная мощность сигнала на входе приемника, при которой обеспе-
чиваются заданные вероятности пропуска Do и ложной тревоги
F. Во втором случае РПОр представляет собой пороговую мощность
сигнала в режиме измерения, т. е. минимальную мощность сигна-
ла на входе приемника, при которой измерение параметров сиг-
нала, несущих информацию о координатах объекта, обеспечива-
ется с заданной точностью.
Дальность действия радиолинии (рис. 1.1,г) определяется, как
нетрудно убедиться, более простым соотношением
Я Рпор, A.13)
называемым уравнением радиосвязи в свободном пространстве.
На основе этого уравнения рассчитывается дальность действия
20
неавтономной РНС. С помощью A3) можно также найти даль-
ность действия пассивной системы (см. рис. 1.1,в), причем под
Pir\i следует понимать мощность собственного излучения объекта»
а под G\ — коэффициент направленного действия, характеризу-
ющий степень концентрации излучаемой мощности в направле-
нии на приемную антенну. Кроме того, с помощью A3) рассчи-
тывают дальность действия активной системы с активным отве-
том (см. рис. \Л,д), поскольку последняя состоит из двух радио-
линий.
Из A2) и A3) видно, что увеличение мощности передатчика
и уменьшение РПор (повышение чувствительности приемника) в
равной степени сказывается на увеличении дальности действия.
При этом зависимость i?max от отношения PJPnop в радиолокации
(Rmax~VrPi/Pnop) более слабая, чем в радиосвязи (Rmax~
Уравнения A2) и A3) можно непосредственно использовать
для расчета дальности действия РЛС и РНС, работающих только
в космическом пространстве. Для всех других систем уравнения
дальности действия необходимо корректировать с учетом изме-
нения условий распространения радиоволн из-за влияния Земли и
ее атмосферы [1—8, 18—20]. Это влияние обусловлено следующи-
ми факторами: отражением радиоволн от Земли, кривизной ее по-
верхности, затуханием радиоволн в атмосфере, изменением скоро-
сти и направления распространения радиоволн в неоднородной
среде. Эти факторы приводят к изменению параметров принима-
емого сигнала — мощности, времени запаздывания, смещения ча-
стоты, направления прихода. В результате изменяется дальность
действия систем в режиме обнаружения и в режиме местоопреде-
ления объектов.
Зона действия, как и дальность действия, в разных режимах
работы системы определяется по-разному. Зона действия РЛС в
режиме обнаружения, называемая зоной обнаружения, представ-
ляет собой область пространства, в пределах которого дальность
действия в режиме обнаружения не хуже заданной. Зона дейст-
вия РЛС и РНС в режиме местоопределения, называемая зоной ме-
стоопределения, ограничена кривой (при местоопределении на
плоскости) или поверхностью (при местоопределении в простран-
стве), уравнения которых
гДе 8Доп — допустимое (заданное) значение полной ошибки ме-
стоопределения (см. § 7.2).
5. Временем обзора называют время, необходимое для одно-
кратного обзора заданной зоны действия системы.
2!
6. Разрешающей способностью называют способность системы
раздельно обнаруживать и определять координаты и параметры
движения близко расположенных объектов. Количественно раз-
решающая способность системы по той или иной координате (или
по параметру движения) 0 характеризуется минимальной разно-
стью Ae = 6i—62 значений измеряемой координаты (или парамет-
ра движения) двух близко расположенных объектов с одинако-
выми значениями остальных координат и параметров движения,
при которой возможно раздельное обнаружение объектов и из-
мерение координат 0i и 02 с показателями качества не хуже за-
данных. Мера разрешающей способности Де определяет размер
элемента разрешения по параметру 0. Число элементов разреше-
ния в рабочей зоне зависит от ее размера, количества определя-
емых координат и значений Де. В общем случае при обзоре ра-
бочей зоны по дальности и радиальной скорости в диапазонах
Rmax—JRmin и Ул max— VRmmt по азимуту и углу места в пределах
секторов (Zmax—cimin и pmax—'Pmin число элементов разрешения
ffmin R max *R min amax — amln Ртах — Pmln
_
A.15)
где Ад, AvR, Да, Др — меры разрешающей способности или просто
разрешающие способности по дальности, радиальной скорости,
азимуту и углу места соответственно.
7. Пропускная способность определяется максимальным чис-
лом объектов, обслуживаемых системой в течение заданного вре-
мени с заданной точностью действия.
8. Помехозащищенность системы характеризуется степенью ее
работоспособности в условиях воздействия различного рода по-
мех. Помехозащищенность определяется помехоустойчивостью
системы и скрытностью ее работы. Под помехоустойчивостью по-
нимают способность системы при воздействии на нее определен-
ной совокупности помех сохранять значения показателей качества
в заданных пределах. Помехоустойчивость обусловлена рациональ-
ным выбором технических характеристик системы, в частности вы-
бором параметров радиосигнала, и способом построения системы
в целом. Различают реальную и потенциальную помехоустойчи-
вость. Потенциальной называется наивысшая помехоустойчи-
вость системы в условиях, когда единственной помехой является
собственный шум радиоприемного устройства. Потенциальная по-
мехоустойчивость может быть достигнута лишь при оптимальном,
т. е. наилучшем способе обработки радиосигнала. Сравнивая по-
мехоустойчивость реальной системы, т. е. реальную помехоустой-
чивость, с потенциальной, можно выявить принципиальную воз-
22
можность и целесообразность дальнейшего повышения помехо-
устойчивости системы. Скрытность системы характеризуется труд-
ностью обнаружения ее работы, измерения основных характери-
стик излучаемого сигнала и создания эффективных помех. Чем
выше скрытность системы, тем труднее создать для нее помеху и,,
следовательно, тем выше помехозащищенность системы.
9. Электромагнитная совместимость (ЭМС) — способность си-
стем одновременно работать с требуемыми значениями показате-
лей качества в условиях непреднамеренных помех от различных
радиосредств и не создавать помехи недопустимого уровня дру-
гим системам.
10. Надежность, понимаемая в широком смысле, есть способ-
ность системы выполнять заданные функции в течение требуемо-
го интервала времени. При таком определении понятие «надеж-
ность» включает в себя, в частности, и помехозащищенность. Ча-
сто надежность определяют при отсутствии внешних помех и ха-
рактеризуют средним временем безотказной работы системы или
вероятностью безотказной работы в течение заданного времени.
11. Масса и габариты системы имеют особую важность для
бортовых систем. Существенное уменьшение массы и габаритных
размеров радиоаппаратуры достигается путем ее микроминиатю-
ризации на основе применения микроэлектронных компонентов с
высокой степенью интеграции.
12. Экономическая эффективность определяется соотношением
между полезным экономическим эффектом и затратами на раз-
оаботку, производство и эксплуатацию систем.
Основными техническими характеристиками РЛС и РНС яв-
ляются: вид и параметры излучаемого сигнала — непрерывный
или импульсный, вид модуляции или манипуляции (частотная,
фазовая), несущая частота (длины волны) и ее стабильность, из-
лучаемая мощность; ДН антенны (форма и ширина главного мак-
симума, коэффициент усиления, уровень боковых лепестков); ме-
тод обзора рабочей зоны; метод обработки сигналов в РПрУ; чи-
сло и типы выходных устройств; мощность, потребляемая радио-
устройствами от источников питания.
Остановимся кратко на возможных методах обзора рабочей
зоны. В общем случае обзор осуществляется по угловым коорди-
натам, дальности и скорости. Различают одновременный (парал-
лельный), последовательный и смешанный обзор. Обзор по угло-
вым координатам является одновременным, если луч (ДН антен-
ны) или несколько лучей в статическом положении полностью
перекрывают рабочую зону (заданный сектор). Достоинство это-
го метода — наименьшее время обзора рабочей зоны, недостаток —
сложность построения- системы (обусловлена сложностью антен-
ны, формирующей требуемое число лучей, и необходимостью ис-
23
пользования многоканального приемника, число каналов которо-
го должно равняться числу лучей). Последовательный обзор по
угловым координатам осуществляется путем перемещения (ска-
нирования) одного луча в пределах всей рабочей зоны. В зави-
симости от траектории движения луча возможны различные ви-
ды последовательного обзора: круговой, винтовой, строчный, спи-
ральный и др. Достоинство последовательного метода — просто-
та системы, недостаток — проигрыш во времени обзора (по сравне-
нию с одновременным обзором). Смешанный или параллельно-
последовательный обзор производится с помощью нескольких лу-
чей, перекрывающих только часть рабочей зоны и поэтому скани-
рующих с целью просмотра всей зоны. Например, лучи могут пе-
рекрывать весь сектор обзора по углу места и сканировать толь-
ко по азимуту. Сканирование лучей может быть механическим,
т. е. осуществляться механическим поворотом антенны или ка-
кой-то ее части, либо электрическим, когда изменяется распреде-
ление амплитуд и фаз поля в раскрыве антенны. Электрическое
сканирование позволяет избежать перемещения громоздких ме-
ханических конструкций и тем самым резко повысить скорость
перемещения луча. Электрическое сканирование обычно реализу-
ется с помощью фазированных антенных решеток (ФАР), пред-
ставляющих собой системы излучателей с электрически управля-
емым фазовым распределением. Фазированные антенные решетки
формируют одновременно несколько лучей, обеспечивают гибкое
управление их перемещением и позволяют реализовать наиболее
совершенные методы обработки сигналов.
Обзор рабочей зоны по дальности происходит естественным
образом — в процессе распространения радиоволн и, строго го-
воря, является последовательным. Однако из-за высокой скорос-
ти распространения радиоволн весь заданный диапазон дальности
просматривается в течение очень короткого отрезка времени —
почти «одновременно». Для одновременной обработки сигналов,
приходящих с различных участков диапазона дальности, требу-
ется многоканальное (по дальности) устройство. Что касается об-
зора по радиальной скорости, то он может быть последователь-
ным, реализуемым с помощью перестраиваемого по частоте филь-
тра, и параллельным, реализуемым многоканальной системой
фильтров, перекрывающих весь диапазон изменения частоты Доп-
лера.
Обзор рабочей зоны может быть детерминированным либо
адаптивным. При детерминированном обзоре процедура осмотра
рабочей зоны выбирается заранее и не меняется в процессе наблю-
дения, иначе говоря, обзор осуществляется по жесткой програм-
ме. При адаптивном обзоре процедура осмотра элементов разре-
шения рабочей зоны в некоторые моменты может изменяться в за-
24
висимости от результатов предшествующих осмотров (наблюде-
ний) — обзор по гибкой программе. В процессе адаптивного об-
зора может меняться, например, порядок осмотра элементов раз-
решения, время осмотра одного элемента, мощность зондирующих
сигналов.
В заключение отметим,- что при проектировании РЛС и РНС
стремятся выбрать технические характеристики так, чтобы так-
тические характеристики удовлетворяли заданным требованиям.
Глава 2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
2.1. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ КАК
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА. СТАТИСТИ-
ЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Статистический характер задачи обнаружения. Одной из основ-
ных задач РЛС является обнаружение объекта в заданном про-
странстве. Эта задача сводится, по существу, к задаче обнаруже-
ния отраженного от объекта радиолокационного сигнала, наблю-
даемого на фоне шумов. Обработка сигналов в РНС также в той
или иной форме включает в себя решение задачи обнаружения.
Радиолокационное и радионавигационное наблюдение всегда
сопровождается целым рядом случайных помех. На полезные сиг-
налы воздействуют шумы, которые принимаются антенной из ок-
ружающего пространства, а также образуются в приемнике. Кро-
ме того, сами принимаемые радиолокационные и радионавигаци-
онные сигналы, как правило, флуктуируют. Так, флуктуации от-
раженных сигналов обусловлены флуктуациями ЭПР цели. При
отражении радиоволн от суши или от моря флуктуации принима-
емых сигналов вызваны изменением свойств отражающей поверх-
ности (например, из-за волнения моря) и движением излучателя.
Прохождение радиоволн через турбулентную атмосферу, коэффи-
циенты преломления и поглощения которой неконтролируемо ме-
няются, также приводит к флуктуациям сигнала. В силу этих при-
чин при обработке радиолокационной и радионавигационной ин-
формации широко используют методы теории вероятностей, тео-
рии случайных процессов и математической статистики, а сам при-
ем сигналов, в том числе и их обнаружение» рассматривается как
некоторая статистическая задача.
25
Статистическая задача обнаружения формулируется следую-
щим образом. Пусть наблюдается (поступает на вход устройства
обнаружения — обнаружителя) процесс y(t), который является
либо шумом, либо смесью полезного сигнала и шума. Требуется
по результатам наблюдения реализации этого случайного процес-
са в течение некоторого времени выяснить, какая из возможных
ситуаций имеет место, причем сделать это желательно оптималь-
ным (в соответствии с принятым критерием качества) способом.
Обнаружитель по истечении некоторого времени выносит одно
из двух взаимоисключающих решений: есть сигнал (есть цель)
или нет сигнала (нет цели). Эти решения, принимаемые в резуль-
тате наблюдения случайного процесса y(t), носят статистический
характер. Поэтому, чтобы создать (синтезировать) алгоритм ра-
боты оптимального обнаружителя, который решал бы задачу об-
наружения наилучшим образом, необходимо воспользоваться пре-
жде всего результатами теории статистических решений. Послед-
няя изучает статистические решения о наблюдаемых реализаци-
ях случайного процесса и дает методы построения оптимальных
решающих правил. Приведем основные сведения из теории ста-
тистических решений, которые затем будут использованы при син-
тезе оптимальных обнаружителей. Необходимо также отметить,
что излагаемые далее положения теории решений явятся основой
для оптимизации и других задач обработки сигналов, рассматри-
ваемых в последующих главах.
Краткие сведения из теории статистических решений. Основные
понятия. Задача статистического решения возникает при наблю-
дении реализации у некоторого случайного процесса y(t). Обоз-
начим через У пространство, на котором определены все возмож-
ные реализации процесса y\t). Пусть в — некоторый параметр,
принадлежащий пространству в. Предположим, что распределе-
ние вероятностей наблюдаемого процесса y(i) зависит от пара-
метра 8, истинное значение которого неизвестно. Наблюдение мо-
жет протекать в непрерывном времени либо в дискретном. В пос-
леднем случае имеем конечную последовательность случайных ве-
личин {y(U)^yi, i=l, 2,..., п}, которая полностью описывается
/г-мерной функцией распределения вероятностей W(y\Q), завися-
щей от параметра 8 (здесь y=yi,..., yn — я-мерная величина).
Если наблюдаемая последовательность состоит из непрерывных
•случайных величин, то ее можно описать при помощи /г-мерной
плотности распределения вероятностей w(y\Q).
Применительно к задаче обнаружения параметр 8 может при-
нимать, например, два значения, которые соответствуют ситуаци-
ям наличия и отсутствия полезного сигнала в наблюдаемом про-
цессе. В задаче измерения 8 может принимать непрерывное и ди-
скретное множество значений, которые соответствуют самому сиг-
2$
налу (либо параметрам сигнала). При этом наблюдаемый про-
цесс y{\t) представляет собой некоторую смесь сигнала и шума.
Обозначим через d элемент множества решений D, которые
можно вынести относительно параметра 6 по результатам наблю-
дения y(t), и пусть 6 — решающая функция (решающее прави-
ло), принадлежащая классу решающих функций А и отображаю-
щая множество Y в D. Согласно этому решающему правилу каж-
дой возможной реализации г/ЕУ ставится в соответствие опреде-
ленное решение d=8(y), d^D.
В результате принятия тех или иных решений возможны ошиб-
ки. «Убыток», который несет при этом наблюдатель, можно оха-
рактеризовать некоторой функцией с @, d), выбираемой из эври-
стических соображений и называемой функцией потерь. Эта функ-
ция определяет потери, возникающие вследствие принятия реше-
ния d при условии, что истинное значение параметра равно 6.
Функцию потерь можно использовать для сравнения решаю-
щих правил и выбора из них более предпочтительного. Посколь-
ку решение d=6(y) зависит от реализации случайного процесса,
то значение функции потерь при d=b{y), т. е. сF, 6{у)), которое
будем называть потерями, является случайным. Поэтому решаю-
щие правила естественно выбирать на основании сравнения ста-
тистических характеристик потерь. В теории решений использу-
ется математическое ожидание потерь (однако, вообще говоря, мо-
гут учитываться и другие характеристики).
Математическое ожидание потерь
г (в, б) = М[с(в,б(У))|в], B.1)
называемое функцией риска, зависит от значения параметра 8 и
принятого решающего правила б. Раскрывая математическое ожи-
дание с помощью плотности вероятностей w(y\Q), функцию рис-
ка можно представить в виде
г @,6) = Sc(Bt6(y))w(y\B)dy- B-2)
у
Байесовские решения. Наиболее предпочтительным решающим
правилом естественно считать то, которое минимизирует функ-
цию риска для всех значений 0. Однако такое правило существу-
ет лишь в редких случаях. Обычно решающая функция, мини-
мизирующая A), зависит от 0, при этом неясно, какую же реша-
ющую функцию считать наилучшей. Указанную зависимость мо-
жно исключить, если использовать байесовский подход к задаче
выбора решений. Суть этого подхода заключается в следующем.
Предполагается, что:
1) параметр 0 можно рассматривать кагк случайную величину,
распределение вероятностей которой W0{Q) существует;
27
2) распределение Wo(Q), называемое априорным (доопыт-
ным), известно наблюдателю.
Тогда можно определить средний риск, взяв повторное мате-
матическое ожидание от функции риска A), рассматриваемой как
условное (относительно 8) математическое ожидание потерь:
F(W0, б) = ММ [с @, б (У))№ = J* г @, б) dWo F) B.3)
в
(здесь используется интеграл Римана — Стильтьеса). Учитывая
формулу полного математического ожидания
MM [ЗД = ME, B.4)
видим, что средний риск г (Wo, б) представляет собой полное ма-
тематическое ожидание потерь
Г(Г0, б) ==Мс @,6 (</))• B.5)
При этом он зависит от априорного распределения параметра 0 и
от принятой решающей функции.
Если 0 — непрерывная случайная величина, а Доо@) — ее
плотность вероятностей (априорная плотность), то согласно C) и
B) средний риск можно записать в виде
7(wo,8)= S г(в,8)и>0(е)йв =
в
= J J с @, б (У)) w (y\Q) w0 @) dydQ. B.6)
в У
Решающая функция, минимизирующая средний риск, т. е. ре-
шающая функция 6*, для которой г (Wo, &*)^r(W0, 6) при всех
6, называется байесовским решением относительно априорного рас-
пределения 1FO@). Величина f(W0, б*) называется байесовским
риском для Wo.
Итак, байесовское решение является наилучшим или оптималь-
ным, если в качестве критерия оптимальности принят минимум
среднего риска — критерий Байеса. Байесовские решения опре-
деляют синтез оптимальных байесовских систем обработки сигна-
лов на фоне помех. Математический синтез байесовских систем
сводится к нахождению байесовских решений в тех или иных за-
дачах обработки сигналов (обнаружения и др.), к конкретизации
получаемых решающих функций для заданных распределений
сигналов и помех и представлению операций над наблюдаемым
процессом в виде соответствующих алгоритмов.
Анализ байесовской системы обработки сигналов сводится к
вычислению минимального значения среднего риска, т. е. байесов-
ского риска
^{Щ, 6*) = min 7 (w0, б), B.7)
28
который является мерой качества работы оптимальной системы.
Представим теперь средний риск F) в иной форме записи. Ис-
пользуя свойство условных плотностей вероятностей — формулу
Байеса, определяющую апостериорную (послеопытную) плотность
вероятностей параметра 0:
w(y\Q)wo(Q) = w(y\Q)wo(Q) „ g)
w(y)
перепишем F) в виде
7(w<» 6) = J ra (y, 6) w (y) dy, B.9)
где
'a (#> 6) = J с (9, б (У)) w (Щу) dQ = M [с @, б (У))Ш B.10)
в
— апостериорное математическое ожидание потерь, называемое
апостериорным риском. Поскольку w(y)^0, то из (9) следует,
что минимум среднего риска г(шо, 6) достигается при том же зна-
чении 6*, что и минимум функции ra(y, б) (у фиксировано). Таким
образом, байесовское решение можно находить путем минимиза-
ции апостериорного риска. Отметим, что данное утверждение спра-
ведливо и тогда, когда 0 — дискретная случайная величина. В
этом также нетрудно убедиться исходя из C), при этом интеграл
в A0) заменится суммой, а апостериорная плотность ш(8|г/) —
апостериорной вероятностью Р(В=дг\у) @г> i=l,..., k,— воз-
можные значения параметра 0).
Математическое ожидание минимального апостериорного рис-
ка га (у, 6*) дает согласно A0) и D) байесовский риск G):
(у, б*) = ММ [с @, б* (У))\У] = Мс @, б* (У)) B.11)
и поэтому определяет качество работы байесовской системы.
Таким образом, синтез и анализ байесовских систем можно
проводить, оперируя апостериорным риском. Последний опреде-
ляется задаваемой функцией потерь и апостериорным распределе-
нием параметра 0.
Минимаксные решения. Рассмотренный байесовский подход
связан с двумя ограничительными предположениями, из которых
наиболее сильным обычно является второе. Если априорное рас-
пределение параметра 0 неизвестно, то байесовский метод в том
виде, как он изложен, использовать нельзя. В этом случае прибе-
гают к различным небайесовским методам выбора наиболее пред-
почтительной решающей функции, при которых допущения 1 и 2
предыдущего пункта не делаются. Остановимся на одном из таких
методов — минимакеном.
29
Решающая функция б* называется минимаксным решением,
если
max г (9, б*) < max г @, 6)
е е
для всех 6. Величина maxr@, б*) называется минимаксным рис-
ком. Если каждое из множеств 6э0 и Дзб содержит лишь конеч-
ное число элементов, то всегда существует минимаксное решение
б*, для которого
max г @, б*) = min max г @, б). B.12)
е бе
Согласно определению минимаксное решение минимизирует мак-
симальное (по всем 0е6) значение функции риска г@, б). Мож-
но сказать, что минимаксное решение является наилучшим в на-
ихудшей (относительно 0) ситуации. При этом иногда оно может
быть слишком «осторожным».
В общем случае отыскание минимаксного решения — доволь-
но трудная задача. Однако несколько облегчает положение ре-
зультат Вальда [43], устанавливающий соответствие между мини-
максным и байесовскими решениями. Оказывается, что при неко-
торых слабых ограничениях минимаксное решение является бай-
есовским относительно наименее благоприятного априорного рас-
пределения Wqh, максимизирующего байесовский риск, т. е. тако-
го WOli, при котором
mm7(W0a, б) >min 7(W0, б)
б б
для всех Wo. При этом минимаксный риск равняется байесовско-
му для WOa:
min max r @, б) = min r (Wm б),
бе б
Минимаксные решения и риски определяют синтез и анализ сис-
тем обработки сигналов, оптимальных по минимаксному крите-
терию.
2.2. РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА ОПТИМАЛЬ-
НОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
Рассмотрим основные критерии оптимальности в задаче обна-
ружения сигналов и соответствующие им решающие правила.
Критерий Байеса. Применительно к простейшей задаче обна-
ружения неизвестный параметр 0, который будем называть пара-
метром обнаружения и обозначать О,-принимает лишь два возмож-
ных значения. Пусть это будут 0 и 1 и пусть значение Ф=1 соот-
30
ветствует наличию полезного сигнала в наблюдаемом процессе
y(t)y а $=0 — отсутствию сигнала. Множество решений d^D в
данном случае состоит также из двух элементов: d\ — решение о
том, что имеет место ситуация Ь=\ (есть сигнал); dQ — реше-
ние о том, что имеет место ситуация 1б- = 0 (нет сигнала). Функция
потерь с(Э, d) здесь переходит в матрицу потерь:
|| с A, d0) c(l,dj
Без ограничения общности можно положить
с @, d0) ~-=с A, dx) = О, с (О, dx) > 0, с A, d0) > 0. B.13)
Рассматриваемая задача обнаружения эквивалентна так на-
зываемой проверке простой гипотезы Н\ (утверждение, что 0=1)
при простой альтернативе Яо (утверждение, что /б'=0). По ре-
зультатам наблюдения y^Y необходимо вынести одно из двух
взаимоисключающих решений: d0 или d\. В этом случае класс ре-
шающих функций Лзб состоит из всевозможных правил разби-
ения пространства реализаций У на две подобласти: Yo и Уь У=
= Yo\JYi. Отыскание байесовского решения 6* сводится к выбору
указанных подобластей, при которых средний риск минимален.
Условимся считать, что
ш== f 4>, если уе=Уо, B 14)
I dit если y^Yi.
В рассматриваемом случае средний риск C)
= 2 Р*$ c($,b(y))w(y№dy, B.15)
¦а=о y
где ро=^@=1), /7i=P(#=l) — априорные вероятности отсут-
ствия и наличия сигнала, po-|-/?i=l.
Учитывая A3) и A4), перепишем A5) в виде
J Sc(l,do)w(y\l)dy.B.\6)
Yt Yo
Поскольку У1=У\ y0 и в силу условия нормировки Jw(y\Q)dy=l,
Y
^"flPo. 6) = Ро с @, dx)- S Рос @, dj) X
У»
Xw(y\0)dy+ Ipi0(l,d0)w(y\\)dy. B.17)
У.
31
Обозначим множество всех реализаций у, для которых
рос(О, di)w(y\O)>pic{l, do)w(y\\), через У*о. Тогда при всех
y<=Y*oczY
S рос @, dx) w (*/|0) dy > J л с A, d0) и» (г/| 1) dy,
У* У*
уо уо
поскольку подынтегральные функции неотрицательны. Возвраща-
ясь к A7), видим, что средний риск r(W0, 6) будет минимальным,
если выбрать Y0=Y*0. При этом У1 = У\У*0. Следовательно, бай-
есовское решение
I dlf если г/ е У\У0.
Обозначим через Л (г/) статистику, т. е. функцию наблюдаемой ре-
ализации г/, следующего вида
A(y)=*w(y\\)/w(y\0). B.18)
Эта статистика называется отношением правдоподобия. Учитывая
определение множества У*0) байесовское решение можно записать
в виде
6*(У)= (^еслиЛ(^<Д, B19)
I dx, если А(у)^ h ,
где
, ^//Ч с A,4,). B.20)
Таким образом, оптимальное по критерию Байеса правило обна-
ружения сводится к формированию отношения правдоподобия
Л (у) и к сравнению его с константой h — порогом обнаружения.
Значение порога определяется априорными вероятностями наличия
и отсутствия сигнала и элементами задаваемой матрицы потерь.
Статистика, позволяющая найти оптимальное решающее пра-
вило, является достаточной. Отношение правдоподобия Л (у) —
пример достаточной статистики. Исходная реализация у также яв-
ляется достаточной статистикой (более подробно см. [52, 56]).
Критерий Неймана — Пирсона. Чтобы воспользоваться бай-
есовским решением A9) — B0), необходимо знать априорные ве-
роятности ро и р\. Однако в задаче обнаружения радиолокацион-
ных сигналов они, как правило, неизвестны. В этих условиях сле-
дует использовать небайесовский критерий оптимальности — кри-
терий Неймана — Пирсона, при котором байесовских предположе-
ний о неизвестном параметре О (см. § 2.1) не делается.
32
Решающее правило Неймана — Пирсона, как и байесовское,
разбивает область Y^y на две подобласти: Уо и Уь Однако выбор
этих подобластей производится из иных соображений.
Введем вероятности ошибочных решений:
F = P{6{y) = d1\^ = 0} = P{y^Y1\0) B.21)
— вероятность принять решение «есть сигнал» при условии, что
О=0, т. е. наблюдаемая реализация у содержит только шум —
вероятность ложной тревоги;
с10\Ъ=1} = Р{у^У0\1} B.22)
— вероятность принять решение «нет сигнала» при условии, что
0=1, т. е. у содержит смесь сигнала и шума — вероятность про-
пуска сигнала. Величина
D=\-D0 = P{8(y) = d1\$=:l}=P{y^Y1\\} B.23)
— вероятность правильного обнаружения.
Согласно критерию Неймана — Пирсона оптимальным реше-
нием считается такое, которое обеспечивает min Do (max D) при
условии, что вероятность ложной тревоги не больше заданного
числа F (O<F<1): Pfc/eY^OJ^F.
Можно показать (см., например, [53]), что решающее прави-
ло Неймана — Пирсона 6*, удовлетворяющее указанному крите-
рию, определяется формулой A9), где А(у)—отношение прав-
доподобия A8), а константа h выбирается из условия
Р {А (у) > Л|д = 0} = Р {у е rjO} = F. B.24)
Структура оптимального обнаружителя. Как следует из пре-
дыдущего, и байесовский критерий, и критерий Неймана — Пир-
сона приводят к решающему правилу обнаружения, основанному
на сравнении отношения правдоподобия А (у) с некоторым поро-
гом. Отметим, что и минимаксный критерий приводит к решаю-
щему правилу такого же типа. Это непосредственно следует из
взаимосвязи байесовских и минимаксных решений (см. § 2.1). Бо-
лее того, показано [43], что класс решающих правил А, основан-
ных на сравнении отношения правдоподобия с порогом, является
полным. Это означает, что все оптимальные решающие правила в
рассматриваемой задаче обнаружения принадлежат именно клас-
су А. Различие между правилами обнаружения, оптимальными
по разным критериям, состоит лишь в разном выборе значения
порога h.
Таким образом, в рассматриваемой задаче обнаружения мож-
но говорить об общем критерии оптимальности — критерии от-
2-ЮО 33
У
ОП
А(у)
ПУ
к
Рис. 2.1. Структурная схема опти-
мального обнаружителя
ношения правдоподобия, согласно которому оптимальная проце-
дура обнаружения имеет вид:
Л {у) % h. B.25)
do
В соответствии с этим критерием оптимальный обнаружитель
(рис. 2.1) должен формировать отношение правдоподобия А{у)
(блок ОП) и подавать его на пороговое устройство ПУ, где осу-
ществляется процедура сравнения Л (у) с порогом h, в результа-
те которой выносится одно из двух возможных решений: d0 (нет
сигнала) или d\ (есть сигнал). Выбор какого-то частного крите-
рия оптимальности (байесовского, Неймана — Пирсона, минимак-
сного) сказывается лишь на значении порога h, никак не влияя
на основную часть обнаружителя — блок ОП, где происходит оп-
тимальная обработка реализации у.
В радиолокации значение h порога срабатывания ПУ устанав-
ливается исходя из критерия Неймана — Пирсона. Для этого не-
обходимо задаться вероятностью ложной тревоги F, тогда соотно-
шение B4) однозначно определяет h. Отметим, что при таком
выборе порога априорные вероятности отсутствия и наличия сиг-
нала (ро и р\) не требуются (в отличие от байесовского критерия,
см. B0)). Однако здесь нужно априори задаваться вероятностью
ложной тревоги.
Отметим также, что оптимальное правило B5), очевидно, рав-
носильно правилу
Ф (А(у)) % Ф (ft) a К, B.26)
d0
где ф — монотонная функция. Статистика ф(Л(г/)) является до-
статочной. В том случае, когда отношение правдоподобия Л (у)
принадлежит к экспоненциальному семейству функций, в качест-
ве ф целесообразно взять натуральный логарифм. При этом оп-
тимальный обнаружитель упрощается.
Сведение сложной гипотезы к простой. Рассмотрим теперь бо-
лее сложную задачу обнаружения, когда пространство в значе-
ний неизвестного параметра, от которых зависит распределение
вероятностей наблюдаемого процесса, содержит помимо значений
-&=() и /в' = 1 другие возможные значения. Пусть ш(у\ц, 1) — ус-
34
ловная плотность вероятностей наблюдаемого процесса для слу-
чая Ф=1 (сигнал есть), зависящая от неизвестного параметра
fxsMcze, и пусть w{y\x, 0) — условная плотность вероятностей
для случая О=0 (сигнала нет), зависящая от неизвестного пара-
метра %еКе0. Параметры \i и % могут быть векторами;1 они ха-
рактеризуют распределения вероятностей смеси сигнала с шумом
и одного шума соответственно. Рассматриваемая задача обнару-
жения состоит в проверке сложной гипотезы при сложной аль-
тернативе.
Найдем байесовское (относительно ц и к) решение данной за-
дачи. При байесовском подходе параметры \i и % интерпретиру-
ются как случайные величины, априорные распределения которых,
в частности плотности вероятностей Wq(\\i), Wq(%) (если \i, x -—
непрерывные величины), считаются известными. Зная оуо(ц) и
йуо(х), можно вычислить следующие плотности вероятностей:
w{y\l) = J w{y\\i, \)wQ(\i)diit
11 B.27а)
w(y\0) = J *И#|и, 0)wo(x)dn.
к
После определения этих плотностей приходим к тому случаю,
когда распределение вероятностей наблюдаемого процесса зави-
сит от неизвестного параметра, принимающего лишь два значения
(¦0=0 и ¦0=1), т. е. к случаю простой гипотезы при простой аль-
тернативе. В результате рассматриваемая здесь задача сводится
к уже изученной ранее, при этом оптимальная процедура обна-
ружения будет основана на критерии отношения правдоподобия.
Таким образом, структурная схема оптимального обнаружите-
ля остается прежней (см. рис. 2.1). При этом блок ОП должен
формировать отношение правдоподобия
J w{y\\K, l)a;0(fi)d|i
А(у)= »W>=1) = м . B 2?)
w(y\b = 0) j w(y\K,O)wo(>i)dK
К
Выбор порога h можно, как и раньше, производить различными
способами.
Критерий Вальда. Ранее предполагалось, что время обнаруже-
ния заранее известно, иначе говоря, объем п наблюдаемой вы-
борки у=уи у2,..., уп фиксирован. Однако возможен другой под-
ход к задаче обнаружения сигналов, основанный на последова-
тельной проверке гипотез Вальда, когда время наблюдения зара-
нее не фиксировано.
2* 35
Согласно критерию Вальда процедура обнаружения определя-
ется последовательным решающим правилом вида
С do, если Ah^a,
Ъ(У1,-,Ук)= \ di, если Ak^b; k=\, 2, ..., B.28)
( dn, если a<.Ak<Cb,
где ЛА \)(yy\
отношение правдоподобия на k-м шаге наблюдения; аи 6 — ниж-
ний и верхний пороги (постоянные величины); d0 и dx — решение
«нет сигнала» и «есть сигнал» соответственно; dn — решение о
продолжении наблюдения.
В отличие от однопороговых обнаружителей (см. правила A9),
B5)) последовательная процедура обнаружения B8) является
дв) хпороговой. При этом с порогами сравнивается прежняя ста-
тистика — отношение правдоподобия *. Пороги а и Ъ определя-
ются заданными вероятностями ложной тревоги F и пропуска
сигнала Do.
Если отношение правдоподобия Ль (? = 1,2,...) попадает в об-
ласть между порогами а и 6, то принимается следующее выбороч-
ное значение yh+u формируется Аи+\ и процедура обнаружения
B8) повторяется до тех пор, пока отношение правдоподобия не
окажется ниже порога а или выше порога Ь. В результате дли-
тельность наблюдения т (т. е. момент времени, когда будет вы-
несено решение do или d\) является случайной величиной. При
этом оказывается, что последовательный двухпороговый обнару-
житель выигрывает по сравнению с однопороговым обнаружите-
лем в среднем времени наблюдения Мт. С физической точки зре-
ния это объясняется тем, что при наличии сильного сигнала от-
ношение правдоподобия быстро превышает верхний порог Ъ (при
достаточно большом отношении сигнал-шум указанное превышение
может произойти уже после первого отсчета ух). При наличии на
входе обнаружителя только одного шума отношение правдоподо-
бия может оказаться ниже порога а также после малого числа
отсчетов.
Если наблюдения г/ь ..., yk, ••• статистически независимы и од-
нородны, т. е. для всех k описываются одинаковыми плотностями
вероятностей w(yh\^ = i), i=0, 1, то последовательный обнару-
житель, реализующий правило B8), является оптимальным в том
смысле, что он минимизирует среднее время наблюдения (обна-
ружения):
М [ т|Ф = 0] = min, М [т|# = 1] = min
* Критерий Вальда именуется также последовательным критерием отноше-
ния правдоподобия.
36
в классе всех обнаружителей, для которых вероятности ошибочных
решений F и Do ограничены заданными величинами. Для зависи-
мых наблюдений оптимальный последовательный обнаружитель,
как правило, усложняется [53, 56].
Обратим внимание на то, что последовательный обнаружитель
имеет выигрыш лишь в среднем времени обнаружения. В отдель-
ных же случаях отношение правдоподобия может долго находить-
ся между порогами а и Ь, так что время обнаружения (в каком-то
из сеансов наблюдений) может быть недопустимо большим: %3~^>
^>Мт. Этот недостаток устраняется с использованием усеченной
последовательной процедуры обнаружения (рис. 2.2).
Переключатель П подает на двухпороговое устройство ПУ2 по-
следовательность Ah, k—\, 2,.... Если окажется, что в течение за-
данного времени обнаружения (заданного числа п выборок) не
будет принято окончательного решения (d0 или di), то выход бло-
ка формирования отношения правдоподобия ОП переключается с
ПУг на однопороговое устройство ПУь В результате сравнения
Лп с одним порогом (который выбирается, например, по критерию
Неймана — Пирсона) выносится решение d0 или d\, и процедура
обнаружения прекращается.
Отметим, что техническая реализация РЛС с последователь-
ным обнаружителем сложнее, чем при использовании однопорого-
вого обнаружителя. Тем не менее с развитием радиолокационной
техники, в частности ФАР, с помощью которых легко осуществля-
ется последовательный неравномерный обзор пространства по уг-
ловым координатам, последовательные обнаружители находят все
большее применение. Использование последовательных обнару-
жителей при поиске сигнала (объекта) в рабочей зоне — один из
способов реализации адаптивного обзора, о котором шла речь в
§ 1.4. При этом экономится среднее время обзора рабочей зоны.
2.3. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ОБНАРУ-
ЖЕНИЯ
Качество однопороговой процедуры обнаружения наиболее удоб-
но характеризовать вероятностями ошибочных решений: вероят-
ностью ложной тревоги F (см. B1)) и вероятностью пропуска сиг-
нала Do (см. B2)). Вместо Do можно использовать вероятность
правильного обнаружения: D = \—Do (см. B3)).
Если применяемая процедура обнаружения имеет вид B5), а
w(y\0)==w(yu_t yn\0), w(y\l)ssw(yu..., уп\1) — я-мерные
плотности вероятностей наблюдений при условии Ф=0 и Ф=1,
37
w(A\u)
w(A\1)
Рис. 2.2. Структурная схема после-
довательного обнаружителя с усече-
нием времени наблюдения
Рис. 2.3. Диаграмма расчета показа-
телей качества обнаружения
иначе говоря, л-мерные плотности вероятностей шума и смеси сиг-
нала и шума на входе обнаружителя, то
F= f-J w {ylt ... , уп\0) dy±... dynt
yn)>h
B.29)
Do=
Уп)<1г
w(y1,...,yn\l)dy1...dyn.
Расчет вероятностей ошибочных решений сводится, как видим,
к вычислению /г-кратных интегралов по соответствующим обла-
стям. Однако во многих случаях расчет этих вероятностей упрос-
тится, если поступить по-другому: найти вначале одномерные
плотности вероятностей отношения правдоподобия Л(#ь..., уп)
при #=0 и #=1 (обозначим через о>(Л|0) и ш(Л|1)), иначе го-
воря, найти плотности вероятностей шума и смеси сигнала и шу-
ма на входе порогового устройства (см. рис. 2.1). Тогда вероятно-
сти B9) можно представить в виде однократных интегралов:
F- J w(A\0)dA, Д>= J w(A\l)dA, D = J w(A\\)dA B.30)
h 0 Л
(графическая иллюстрация дана на рис. 2.3).
Формулы типа B9) — C0) позволяют рассчитывать вероятно-
сти ошибочных решений как для оптимальных, так и для неопти-
мальных обнаружителей. Анализ последних, безусловно, пред-
ставляет интерес, поскольку на практике из-за сложности техниче-
ской реализации оптимальных устройств обычно применяют ква-
зиоптимальную и неоптимальную обработку. Для оптимальных
обнаружителей области интегрирования в B9) задаются отноше-
нием правдоподобия Л(г/Ь..., уп) и соответствующим порогом h.
Если же анализируется неоптимальный обнаружитель, сравнива-
ющий с порогом /гн некоторую статистику AH(yi,..., Уп), то в B9)
38
вместо А(уи..., Уп) и h нужно подставить Лн(уь..., Уп), hB. По-
добное замечание относится и к C0).
Зная плотности вероятностей w(A\0) и до(Л|1) (или w(AH\0)
и йу(Лн|1) при неоптимальном обнаружении), можно по форму-
лам C0) вычислить значения вероятности правильного обнару-
жения D для различных отношений сигнал-шум q и различных ве-
роятностей ложной тревоги F. Зависимость D от q при фиксиро-
ванном значении F называется характеристикой обнаружения.
Семейство этих характеристик для различных F позволяет опре-
делить пороговое отношение сигнал-шум qnop, т. е. такое, при ко-
тором обеспечиваются заданные вероятности правильного обнару-
жения и ложной тревоги.
Через вероятности ошибочных решений можно выразить и другие показа-
тели качества обнаружения, например байесовский риск. Из A6) с учетом A4)
и A9) следует, что байесовский риск при обнаружении
7{W0, б*) = /70с@, dx) J w{y\0)dy +
+ Pic(\,d0) J w(y\\)dy = p0c@, dt)F + Plc{\, do)Do. B.31)
A(y)<h
Байесовский риск служит мерой качества работы только оптимального
байесовского обнаружителя. Однако можно получить выражение и для сред-
него риска r(W0, 6н)>г(№0, б*), соответствующего некоторому неоптимально-
dt
му решающему правилу обнаружения бн типа AH(y)^hH. Средний риск r{W0,
do
Он) будет определяться формулой C1), если в ней заменить Л (у) и h на Лн(у)
и й„ соответственно, а под F и Do понимать вероятности ошибочных решений
неоптимального обнаружителя.
Отметим, что средние риски r(W0, б*) и r(W0, бн) могут характеризовать
качество оптимальных и неоптимальных обнаружителей только при байесовс-
кой постановке задачи, т. е. когда априорные вероятности (р0, Р\) существуют
и известны. В то же время при описании качества обнаружения показателями
C0) априорные вероятности не нужны.
Рассмотрим теперь показатели качества последовательного об-
наружения: вероятности ложной тревоги F и пропуска Do и, кро-
ме того, статистические характеристики длительности наблюдений.
Отметим, что в отличие от однопорогового обнаружения, при
котором вероятности F и Do взаимосвязаны (увеличение одной
влечет за собой уменьшение другой, см. рис. 2.3), при последова-
тельном обнаружении F и DQ задаются независимо. Они опреде-
ляют значения порогов а и Ъ. Чтобы установить эту взаимосвязь,
обратимся к правилу B8). Как видим, если Л&^а, т. е. если
w(Uu---, Ук\® — 1)^ат{уи..., yh\®=0), то выносится решение
^о (сигнала нет). Это неравенство выполняется для всех уи —, Ук,
39
принадлежащих области Yq : Ak^a. Проинтегрировав обе части
неравенства по всем */ь..., t/h^Y0, получим D0^.a(\—F) или
a^D0/(l—F). Аналогично, учитывая, что при Аь^Ь выносится
решение dh находим b^.(\—D0)fF=DJF. При малом отношении
сигнал-шум (случай близких гипотез) полученные неравенства
переходят в приближенные равенства:
а » D0/(l -F), Ъ « A -D0)IF. B.32)
В ряде задач при непрерывном времени наблюдения прибли-
женные формулы C2) становятся точными [56].
Что касается статистических характеристик длительности на-
блюдения т., то из них наименее сложно рассчитываются средние
значения то = М[т|'О'=О], т1 = М[т|'в>= 1]. Если Т — фиксирован-
ное время наблюдения при однопороговой процедуре для задан-
ных вероятностей F и Do, то эффективность последовательного об-
наружения (при тех же F и Dq) по сравнению с однопороговым
характеризуется отношениями
цо = то/Г,^1=т1/Г. B.33)
Далее полученные общие соотношения будут применены к син-
тезу и анализу оптимальных обнаружителей для конкретных мо-
делей сигналов и помех, используемых в радиолокации и радио-
навигации.
2.4. ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАН-
НОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО
ШУМА
Детерминированный сигнал, иначе говоря, сигнал с полностью
известными параметрами, представляет собой детерминирован-
ную, т. е. априори известную функцию времени s(t). Такая мо-
дель сигнала соответствует ситуации, когда дальность, скорость
и ЭПР цели точно известны. Эта модель является наиболее иде-
ализированной и используется в качестве простейшей при теоре-
тическом исследовании задачи обнаружения.
В качестве модели шума, на фоне которого наблюдается сиг-
нал, возьмем так называемый белый шум. Под белым шумом по-
нимаем гауссовский случайный процесс l(t) с нулевым матема-
тическим ожиданием и дельтаобразной корреляционной функ-
цией:
МI (t) = О, К (т) = М5 (* + т) I (t) = {N,12) б (т), B.34)
где No — константа; б(т)—дельта-функция. Спектральная плот-
ность белого шума
40
= J
B.35)
Односторонняя (физическая) спектральная плотность
равная нулю при о><0, G+(co) = G(co) 4-G(—ю) = 2G(ko) =iiV0.
Таким образом, графически спектральная плотность белого
шума (рис. 2.4) представляет собой неограниченную прямую, па-
раллельную оси частот. Белый шум также является идеализиро-
ванной математической моделью прежде всего потому, что сог-
ласно C4) его дисперсия неограниченна: сг20 = /С@) =оо. На пер-
вый взгляд может показаться, что модель белого шума беспо-
лезна для описания какого-либо реального шума, мощность ко-
торого всегда конечна. Однако это не так. Белый шум — пример
удачного компромиссного решения при выборе математической
модели. С одной стороны, он хорошо аппроксимирует собствен-
ные шумы радиоприемного устройства, так как для них имеет
место эффект нормализации и ширина спектра шумов о»бычно
намного 'больше полосы пропускания устройства. С другой сто-
роны, белый шум удобен при теоретических исследованиях, в
частности, из-за простоты вычисления интегралов с дельта-функ-
цией. На практике белый шум, аппроксимирующий собственный
шум приемника, ограничен по полосе и его дисперсия может быть
вычислена по формуле
о о = N0 Д / = Nk TQ Д/, B.36)
где N0 = NkT0 Вт/Гц — мощность шума в единице полосы, N —
коэффициент шума приемника; &=1,38-10~23 Дж/К — постоян-
ная Больцмана; То — температура в Кельвинах; А/ — полоса
частот приемного тракта.
Итак, рассмотрим задачу синтеза оптимального обнаружителя
детерминированного сигнала на фоне белого шума. Наблюдаемый
процесс yt = Qs(t)+l(t), О = 0, 1, 0^/^Г, является либо аддитив-
ной смесью сигнала и шума (при 0=1), либо одним шумом (тари
0=0), время наблюдения Т фиксировано. Вначале рассмотрим
случай, когда наблюдение ведет-
ся в дискретные моменты време- I 1 &*(•>)
тш ti, t2, ..., tn, при этом прини-
маются выборочные значения
и 0 = 0, 1, к =
= 1, 2, ..., п. Оптимальный обна-
ружитель должен формировать
отношение правдоподобия
о
Рис 2 4 Спектральная плот-
ность белого шума
41
A(y) = An-w(y1,...,yn\$=l)/w(yly...fyn\& = 0) B.37)
и сравнивать его с порогом (см. B5)). Чтобы определить струк-
туру устройства, формирующего отношение правдоподобия, не-
обходимо конкретизировать условные плотности вероятностей,
входящие в C7).
Поскольку рассматриваемый белый шум описывается гауссов-
ским распределением вероятностей, то плотность вероятностей
выборок шума имеет вид
а»(|Л) = A/уг2^о0)ехр(-Й/2о5)> ?=1,2 B.38)
Учитывая, что выборки белого шума статистически независимы,
а также то, что г/&=||ь при # = 0, имеем
м(У1,-,Уп\* = 0)= П -^—ехр(-^-) . B.39)
k^i У 2 л а0 \ 2о\)
Так как сигнал является детерминированным, то распределение
вероятностей выборок у\, ..., уп при ф = 1 остается гаусоовским,
однако средние значения отсчетов теперь не равны нулю, при
этом
f^ I {У1)* ) B.40)
Подставив C9), D0) в C7), получим
Для упрощения обработки целесообразно вместо отношения
правдоподобия Лп формировать его логарифм zn = \nAn (см.
B6)):
*»= Л S ^sfe-i^ S sj. B.41)
а0 A=l za0 k=l
Перейдем к непрерывному времени наблюдения. Положим
^1 = 0, tn = T, кроме того, учтем, что плотность вероятностей неза-
висимых гауссовских величин C8) ,при непрерывном времени
переходит в функционал плотности вероятностей шума. Если
спектральная плотность (последнего равна No/2 (см. C5)), а о20 —
дисперсия гауссовских величин ?&, то при переходе к непрерывно-
му времени (от ?ft к ?@) можно воспользоваться зависимостью
t = t--=th- th^ B.42)
(при Д?-М) а2о-^оо). Подставляя D2) в D1) и переходя к преде-
лу при Atf-Я), получаем
X
и
0)
—•"
—•"
V
СФ
/
')
Z
Z
—••
ПУ
ПУ
Рис. 2.5. Корреляционная (а) и
фильтровая (б) структурные схемы
оптимальных обнаружителей детер-
минированного сигнала
Рис. 2.6. Временные диаграммы на-
пряжений в корреляционном обнару-
жителе
N,
s*(t)dt.
о о
тт 2 T
Детерминированные величины — и Г
^Vo о
B.43)
dt можно вклю-
чить в значение порога обнаружения, в результате алгоритм оп-
тимального обнаружения приобретет вид
гр л
z= I y(t)s(t)dt i h. B.44)
О d0
Интеграл, стоящий в левой части неравенства D4), является
достаточной статистикой и называется корреляционным, а сам оп-
тимальный обнаружитель — корреляционным обнаружителем
(рис. 2.5,а). Этот обнаружитель состоит из умножителя и интег-
ратора, образующих коррелятор, и порогового устройства, работу
которых поясняют временные диаграммы на рис. 2.6.
Техническая реализация алгоритма обнаружения D4) в виде
корреляционной схемы не является единственно возможной. Кор-
реляционный интеграл может быть сформирован также при по-
мощи линейного фильтра. Действительно, если h(t) — импульс-
ная характеристика * фильтра, на вход которого поступает про-
цесс у(t), то результат z' (T) на выходе фильтра определяется
интегралом свертки:
г'(Т)= / y(t)h(T-t)dt. B.45)
о
Если теперь положить h(T—t)=s(t), то величина z'(T) сов-
падет с корреляционным интегралом z. Отсюда следует, что им-
пульсная характеристика фильтра, на выходе которого формиру-
ется значение корреляционного интеграла в момент окончания на-
блюдения Т,
hC(t)(t) = s(T-t). B.46)
Такой фильтр называется согласованным, так как его импульсная
характеристика согласована с обнаруживаемым сигналом, явля-
ясь в соответствии с D6) «зеркальным отражением» формы сиг-
«ала Поскольку согласованный фильтр (СФ) — составная часть
оптимального обнаружителя (см. рис 2 5,6) и, как ясно из даль-
нейшего, максимизирует отношение сигнал-шум на выходе, его
называют также оптимальным
Перейдем теперь от временного описания согласованного
фильтра к частотному, учитывая, что коэффициент передачи
/C(jco) (комплексная частотная характеристика) фильтра есть
преобразование Фурье от его импульсной характеристики:
/C(jco)= J h(t)exv(-]®t)dt. B 47)
—оо
Подставляя D6) в D7) и заменяя переменную по формуле т =
— Т—t, получаем коэффициент передачи согласованного фильтра
Ксф (j со) = ехр (- j со Т) F* (j со), B.48)
оо
где F* ('}(&) = J s(t)exp(jcoT)c?T — величина, комплексно-сопря-
—оо
оо
женная спектральной тлотно'сти сигнала Г(](й)=§ s (т)Х
—оо
Хехр(— j сот) dr.
Таким образом, коэффициент передачи согласованного фильт-
ра с точностью до множителя запаздывания ехр(—jcoT) совпа-
дает с величиной, комплексно-сопряженной спектральной плот-
ности ожидаемого сигнала s(t). Учитывая представление спект-
* Отклик фильтра на воздействие в виде дельта-функции
44
ральной плотности через ее модуль и аргумент F(jco) = |^(jo)) | X
Xexp[j argF(j(o)], из D8) получаем
!#сф(Но)!Н/Ч]-со)|, ^ B.49)
arg Ксф (j о) = - arg F (j со) - со Т. B.50)
Равенство D9) означает, что амплитудно-частотная характе-
ристика согласованного фильтра совпадает с амплитудно-частот-
ным спектром полезного сигнала. Физический смысл полученного-
результата ясен: оптимальный фильтр должен пропускать в боль-
шей степени те составляющие спектра сигнала, которые имеют
большую интенсивность. Равенство E0) означает, что фазочас-
тотная характеристика согласованного фильтра равна фазочас-
тотному спектру сигнала, взятому с обратным знаком и сдвину-
тому на значение —соТ. Благодаря такой характеристике фазовые
сдвиги между гармоническими составляющими сигнала компенси-
руются так, что в момент отсчета Т все составляющие сигнала
суммируются в фазе и выходной сигнал будет максимальным.
Определим теперь отношение сигнал-шум <7сф при выходе сог-
ласованного фильтра в момент отсчета Т. Выходной эффект филь-
тра определяется формулой D5). Учитывая, что h(T—t)=s(t) и
подставляя y(t)=s(t), получаем величину полезного сигнала на
т
выходе согласованного фильтра: sc^ = §s2{t)dt=E.
о
Так как М?(?)=0 (см. C4)), то среднее значение шума на
выходе фильтра также равно нулю:
Mz = M J l(t)s (t) dt J s (t) Mi (t) dt = O. B.51)
о о
В силу этого дисперсия шума на выходе согласованного фильтра
определяется формулой
a* =Mz»=//s (О s (Г) М [I (Г) I @1 dt'dt".
о о
С учетом C4) и фильтрующего свойства дельта-функции полу-
чаем
Т Т
2 ^
Ос2Ф = I J s (О s if) ^ б (Г - О dt' dt" =
о о
2
B.52)
- ^- Г s4t')dt'= ^o- E.
Z 0 /
В результате отношен«« сигнал-шум по мощности в момент вре-
мени Т
45
Таким образом, отношение сигнал-шум дСф на выходе согласо-
ванного фильтра определяется отношением энергии полезного
сигнала Е к спектральной плотности шума и не зависит от фор-
мы сигнала.
Можно показать, что отношение сигнал-шум q на выходе лю-
бого линейного фильтра, на вход которого воздействуют белый
шум и детерминированный сигнал, удовлетворяет неравенству *
B.53)
Отсюда следует, что согласованный фильтр является оптималь-
ным в том смысле, что он максимизирует отношение сигнал-шум
на выходе. Этот результат, вообще говоря, вытекает и из того,
что согласованный фильтр есть составная часть оптимального об-
наружителя (рис. 2.5,6).
Отметим, что максимальное отношение сигнал-шум на входе
порогового устройства (т. е. на выходе коррелятора или же сог-
ласованного фильтра) достигается в момент окончания наблюде-
ния t=T, который соответствует длительности полезного сигнала.
Именно в этот момент значение корреляционного интеграла z
должно сравниваться с порогом обнаружения h. Технически это
обеспечивается, например, применением стробирующей схемы (ко-
торую можно включить в состав порогового устройства), селекти-
рующей с помощью узкого импульса в момент времени t = T со-
ответствующий участок напряжения.
Перейдем к вычислению показателей качества обнаружения
C0). Для этого потребуется определить распределение вероятнос-
тей статистики, поступающей на пороговое устройство, а именно
распределение вероятностей корреляционного интеграла z при от-
сутствии (О = 0) и наличии (тЭ1= 1) сигнала s(t) на входе обнару-
жителя.
Рассмотрим случай О = 0, т. е. когда на входе обнаружителя
присутствует только шум %(t). Тогда y(t)='E,(t) и величина z (см.
D4)), являясь линейным преобразованием белого гауссовского
шума, также имеет гауссовское распределение и, следовательно,
полностью определяется математическим ожиданием и диспер-
сией. Последние согласно E1), E2) равны
= 0] = 0,
Таким образом, плотность вероятностей величины z при 0 = 0 име-
ет вид
w
* Это следует из более общего неравенства (см A07)), справедливого и
«небелого» шума
для «небелого» шума.
46
Перейдем к случаю 0=1. Поскольку сигнал Я1вляется детерми-
нированным, то распределение величины z по-прежнему остается
гауссовским. Дисперсия величины z, очевидно, также не меняется:
Изменяется лишь математическое ожидание:
М[*|0=1] = м; [s(t) + l(t)]s(t)dt= \ &{t)dt = E.
о о
Следовательно,
w (z|0 = 1) = A//2Н осф) ехр { - (z- Ef/2 ос2ф}.
Таким образом, вероятности ложной тревоги и правильного
обнаружения C0) :
ОО j
— J —zz—
л 1/2 я асф
dz,
dz.
Используя интеграл вероятностей
формулы E4) можно переписать в виде
B.54)
B.55)
B.56)
где кн — к/оСф — нормированный порог; qc$ = 2E/N0 — отношение
сигнал-шум на выходе согласованного фильтра. С помощью E5)
и E6) рассчитываются характеристики оптимального обнаруже-
ния детерминированного сигнала в белом шуме (рис. 2.7, оплош-
ные линии).
Рис. 2.7. Характеристики
оптимального обнаружения
детерминированного сигна-
ла ( ), сигнала со
случайной начальной фазой
( ) и сигнала со слу-
чайными начальной фазой
и амплитудой (—• —)
47
Проведенный анализ относился к обнаружению с фиксиро-
ванным временем наблюдения Т (однолоро<говое обнаружение).
Остановимся кратко на эффективности последовательно (двухшо-
рогового) обнаружения, при этом будем считать, что полезный
сигнал является постоянным s(t) =s=,const (шум — по-прежнему
белый). Можно показать (см. [56]), что в этом случае эффектив-
ность последовательного обнаружения по сравнению с одношро-
говым (см. C3)) определяется формулами
2/(iM»0) = 2/(?>0,F) B 5?)
где f(x, y) = l--x\n\l(l—x)\/y]+xln[x/(l—y)]t а Ф~1{х) —
ция, обратная интегралу вероятностей E5). Из E7) следует, что,
например, при F~D0-+-0, имеем \io~\x\-*-l№, т. е. при малых ве-
роятностях ошибок последовательное обнаружение эффективнее
однопорогового примерно в четыре раза.
Указанная эффективность последовательного обнаружения обусловливает
в режиме поиска сигнала выигрыш в среднем времени обзора рабочей зоны
по сравнению со случаем, когда при обзоре (поиске) используется однопоро*
говая процедура обнаружения Отметим, что существует оптимальная последо-
вательная процедура совместного поиска и обнаружения сигнала [57]; ее от-
личительной чертой являются два переменных порога, зависящие от результа-
тов предыдущих наблюдений, при этом в текущий момент времени осматрива-
ется тот элемент разрешения рабочей зоны, в котором апостериорная вероят-
ность присутствия сигнала максимальна Проще реализуется процедура поиска
по максимуму апостериорной вероятности наличия сигнала (как и в оптималь-
ной процедуре) с последовательным обнаружением при постоянных порогах.
Эта процедура еще упростится, если поиск сигнала проводить циклически, по-
очередно осматривая элементы рабочей зоны, например в порядке их нумера-
ции И наконец, самой простой является процедура циклического поиска с фик-
сированной длительностью осмотра каждого элемента, при которой использу-
ется однопороговое обнаружение. «Платой» за упрощение процедур является
повышение средней длительности осмотра рабочей зоны Эта плата наиболее
велика для последней из указанных процедур Расчет для детерминированного
сигнала и белого шума при /7=10~6, D = 0,99 и ста элементах разрешения по-
казал [57], что простейшая процедура проигрывает оптимальной по средней
длительности осмотра рабочей зоны в 13 раз при наличии сигнала и в 7 раз
при его отсутствии.
2.5. ОБНАРУЖЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИ-
РОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ БЕ-
ЛОГО ШУМА
Квазидетерминированным сигналом (сигналом со случайными
параметрами) s{\i, t) называется детерминированная функция s
вектора случайных величин \х и времени /. Пусть w(yu ..., уп\\а,
48
Ф=1) — плотность вероятностей наблюдаемого вектора уи ...» Уп
при условии, что сигнал есть (Ф=1) и что случайные параметры р,
сигнала s(ji, t) фиксированы, и пусть Wo(p) — априорная плот-
ность вероятностей вектора ц. Считаем, что плотность вероятнос-
тей шума w(yu •••> Уп\'$=0) неизвестных параметров не содер-
жит.
В рассматриваемой байесовской постановке задачи оптималь-
ная процедура обнаружения, как было показано (см. § 2.2), сво-
дится к формированию отношения правдоподобия и сравнению
его с порогом. В данном случае согласно B7) отношение прав-
доподобия
л =—й^т:
(М — область определения вектора jm). Эту формулу можно за-
писать также в виде
Л = J* Л (i/|fi) w0 (jli) d\i, B.58)
м
где A(y\ii)=w(yu ..., уп\р, ®=l)Jw{yu ..., t/n|G=O) — условное
отношение правдоподобия. Таким образом, синтез оптимальных
обнаружителей квазидетерминированных сигналов по существу
сводится к вычислению интеграла E8), т. е. к усреднению услов-
ного отношения правдоподобия.
Если какие-то компоненты вектора (ш являются дискретными
случайными величинами, то тогда соответствующие компоненты
кратного интеграла в E8) переходят в суммы. Действительно,
пусть |i — скалярная дискретная случайная величина, принимаю-
щая конечное число значений уц^М, i=l, ..., m, с вероятностями
Pi = P{\i = \ii}. В этом случае априорную плотность вероятностей
Wq(ix) можно представить в виде суммы дельта-функций:
Подставив это выражение в E8), получим
m m
Л= S Pi J A@||iN(|i-|*i)d|*= S PiA(y|fi,). B.58a)
i'=l M i=\
Рассмотрим задачи обнаружения при наблюдении y(t) — Os(jm,
0+Е@» ^=0, 1; О^^Г (|(/) — белый шум) для типо-
вых моделей квазидетерминированных сигналов, применяемых
для аппроксимации реальных радиолокационных и радионавига-
ционных сигналов.
49
Сигнал со случайной начальной фазой. Начальная фаза ра-
диосигнала, как травило, неизвестна. В этом случае мож«о ис-
пользовать модель сигнала
s (ф, t) = A (t) cos К t + я|) (t) - ф], B 59)
где законы амплитудной А (/) и фазовой -ф (t) модуляции и час-
тота wo известны, а начальная фаза ф неизвестна. Выражение
E9) удобно представить в виде
s (ф, t) = s-l (t) cos ф + s2 (t) sin ф, B.60)
где si{t)=A(t)cos[(udt+ty(t)], s2(t)=A(t)sin[(dot+ty(t)] — квад-
ратурные составляющие сигнала. В байесовской постановке за-
дачи начальная фаза ф интерпретируется как случайная величи-
на, при этом при отсутствии информации об априорном распреде-
лении ф естественно считать это распределение равномерным:
w0 (ф) = 1/2 я, 0 < ф < 2 я. B.61)
Отношение правдоподобия Л в рассматриваемой задаче обна-
ружения сигнала со случайной начальной фазой получается в со-
отвеггствии с E8) путем усреднения условного отношения правдо-
подобия Л(г/|ф) по всем возможным значениям фазы:
2я
Л= J Л@|ф)в»о(ф)<*Ф • B.62)
о
Что касается условного отношения правдоподобия А(у\ц>), то оно,
очевидно, совладает с отношением правдоподобия для детерми-
нированного сигнала s(q>, t) (ф — фиксированная величина). По-
этому согласно D3) имеем
Л (г/|ф) = ехр {-?- / у (t) s (Ф, t) dt~ J- / s2 (Ф, t) dt\ . B.63)
Подставив в это выражение F0), рассмотрим получающиеся ин-
тегралы. Корреляционный интеграл
т
z = J У @ s (ф. t) dt = zt cos ф + 4 sin ф = z0 cos (ф — v), B 64)
о
где
zi = / У it) h @ dt; гл= f у (t) s2 (t) dt B 65)
о о
— его квадратурные составляющие, а
B.66)
cos v = zJzq, sin v = z2lzQ.
50
Далее, при Т^>2к/@о энергия сигнала от значения фазы ф
практически не зависит:
J s2(<v,t)dt=$ Л2 (t) cos2 [(uot + y(t)-q>]dt = E.
о о
Таким образом,
Л (г/|ф) = ехр {B1 No) z0 cos (q>- v) - EINQ).
Подставляя это выражение и F1) в F2), получаем отношение
правдоподобия
Л = ехр (- EIN0) /0 B zo/No), B.67)
где /о(-) — модифицированная функция Бесселя нулевого по-
рядка. Учитывая, что функция /о(-) монотонная, согласно B6)
приходим к оптимальному алгоритму обнаружения вида
z0 з*/г. B.68)
Схема обнаружителя на рис. 2.8,а построена в соответствии с
формулами F8) и F5), F6). Этот обна1ружитель представляет
собой корреляционную схему с двумя квадратурными каналами;
физический смысл полученной обработки вполне понятен. Нали-
чие двух каналов обусловлено незнанием начальной фазы сигна-
ла. Если полезный сигнал оказывается сдвинутым по фазе отно-
сительно опорного колебания в одном из каналов на 90°, то при-
ращения напряжения на выходе интегратора в этом канале не
будет. Однако в другом канале соответствующее приращение бу-
дет максимальным. При этом при двух квадратурных каналах ре-
зультат обработки 2о, как следует из F4) и F6), не зависит от
истинного значения начальной фазы ф сигнала.
Схема оптимального обнаружителя может быть представлена
также и в фильтровом варианте (рис. 2.8,6). Действительно, ве-
личина Zo, которую должен формировать обнаружитель, есть оги-
бающая колебания 2оСОб(ф—v), иначе говоря, огибающая кор-
реляционного интеграла z. Это колебание можно сформировать
в соответствии с F4), пропустив наблюдаемый процесс y{t) через
фильтр, согласованный с сигналом s(q>, t), т. е. имеющий им-
пульсную характеристику вида D6): h(t)=s(q>, T—t) (здесь ф —
фиксированная величина). Отметим, что поскольку результат об-
работки Zo не зависит от значения начальной фазы ф, то ее при
реализации фильтра можно брать любой, в частности можно по-
ложить ф = 0. Огибающая zo{t) колебания z{t) (рис. 2.9) на
выходе согласованного фильтра СФ, на вход которого поступают
радиоимпульс s(t) и шум ?(^), выделяется амплитудным детек-
тором АД, при этом результат детектирования в момент времени
51
u(t)
X
т
105
in
1
¦щщ
X
yd)
СФ
h
АД
a)
zo(t)
ПУ
Рис. 2 8. Корреляционная (а) и фи-
льтровая (б) структурные схемы оп-
тимальных обнаружителей сигнала
со случайной начальной фазой
Z ,
Рис 2.9. Временные диаграммы на-
пряжений в фильтровом обнаружи-
геле сигнала со случайной началь-
ной фазой
t=T (т. е. zo(T)=zo) должен подаваться на пороговое устрой-
ство.
Перейдем к расчету показателей качества обнаружения. Так
как огибающая z0 шума и смеси сигнала с шумом на выходе со-
гласованного фильтра распределена по закону Рэлея и обобщен-
ному закону Рэлея соответственно, то вероятности ложной трево-
ги и правильного обнаружения для обнаружителя, работающего
по алгоритму F8), равны:
B.69)
52
€(f B.70)
где g2c^ — NqEJ2. Значение нормированного порога связано с ве-
роятностью ложной тревоги зависимостью Ь,1оСф = У2\n{\\jF).
Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной
фазой (штриховые линии на рис. 2.7) построены в соответствии
с F9), G0). По сравнению с характеристиками обнаружения де-
терминировашюго сигнала они сдвинуты вправо, т. е. для обна-
ружения сигнала со случайной начальной фазой требуется нес-
колько большее пороговое отношение сигнал-шум.
Сигнал со случайными начальной фазой и амплитудой. На
практике обычно неизвестна не только начальная фаза радиосиг-
нала, но и его амплитуда. В этом случае используется модель
сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
B.71)
где безразмерный параметр а, определяющий амшлитуду сигнала,
полагается случайной величиной, распределенной по закону Рэ-
лея *
ш0 (а) = (а/о2) ехр (- а2/2 о2), B.72)
а фаза <р — по равномерному закону F1).
Учитывая, что случайные величины а и ср статистически неза-
висимы, отношение правдоподобия согласно E8) можно пред-
ставить в виде
Л = J J А {у\а, ф) w0 (a) w0 (ф) dyda. B.73)
о о
Подставляя сюда F1) и выражение для условного отношения
правдоподобия А(у\а, ф) (которое получается из F3) путем за-
мены 5(ф, t) на s(a, ф, t)), интегрируя затем по ф, находим
А= J ехр ( -а*^-\ /0 (а2-*) ш0 (a) da,
где Е — энергия сигнала, соответствующая значению а=1. Да-
лее, используя G2) и интеграл
1 хехр(-ах2) 10фх) dx= — ехр f-^-) , B.74)
5 2а \4аУ
* Такое предположение справедливо, если радиолокационный объект можно
представить в виде большого числа статистически независимых случайных от--
ражателей.
53*
получаем
Л = [N0/(N0 + Е)] ехр [ 2 o*zl/NQ (No + ?)], B.75)
где
Ё B.76)
^— усредненная энергия сигнала.
Поскольку zo^O, отношение правдоподобия Л является моно-
тонной функцией zq. Поэтому, как и в предыдущем случае, алго-
ритм оптимального обнаружения определяется формулой F8).
Таким образом, структурная схема оптимального обнаружителя
сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой совпа-
дает со схемой оптимального обнаружителя сигнала со случайной
начальной фазой (см. рис 2.8).
Заметим, что операция извлечения квадратного корня в схеме
(на рис. 2.8,а не обязательна, так как алгоритм F8) эквивален-
тен сравнению г2 о с /i2. Применительно к схеме на рис. 2 8,6 это
.означает, что безразлично, какова характеристика амплитудного
детектора — линейная или квадратичная.
Так как алгоритм обнаружения по сравнению с предыдущим
случаем не изменился, то и вероятность ложной тревоги, очевид-
но, определяется прежней формулой F9). Для расчета вероят-
ности правильного обнаружения потребуется найти плотность ве-
роятности величины z0 при 0=1:
w (го|Ф = 1) = J w (zo\a, d = 1) w0 (a) da,
о
где Wo (а) определяется формулой G2), a
¦— плотность вероятностей огибающей смеси сигнала и шума при
фиксированном значении а Вычисляя этот интеграл (с учетом
G4)), получаем
w Bь|Ф = 1) = [2 zo/(No Е + 2 о2 Е*)\ ехр | - z20/(N0 E + 2 о2 ?2)]
и затем находим вероятность правильного обнаружения
D= f w(zQ\f>=l)dz0 = ex \ 1. B77)
Эта формула вместе с F9) и определяет характеристики опти-
мального обнаружения сигнала со случайными амплитудой и на-
чальной фазой. Сравнивать их с характеристиками обнаружения
сигнала при известной амплитуде нужно при условии равенства
J54
энергий различных сигналов. Поэтому .согласно G6) следует икк
ложить а2 = 1/2. Учитывая это и исключая из F9), G7) порог hr
получаем
1
Как видно из характеристик, рассчитанных по формуле G8)
(штрихпунктирные линии на рис. 2.7), для обнаружения сигнала
со случайными амплитудой и начальной фазой требуется значи-
тельно большее пороговое отношение сигнал-шум (при D^0,9),
чем для обнаружения сигнала с известной амплитудой.
Таким образом, семейство характеристик на рис. 2.7 хорошо
иллюстрирует тот факт, что за незнание параметров принимаемо-
го сигнала приходится «.расплачиваться» пороговым отношением
сигнал-шум, т. е. увеличивать энергию сигнала для обеспечения
заданных показателей качества обнаружения.
Сигналы со случайными начальной фазой, амплитудой, вре-
менем запаздывания и смещением частоты. При приеме радиоло-
кационных сигналов томимо начальной фазы ф и амплитуды а
обычно неизвестны время запаздывания т сигнала и его смещение
частоты со. В этом случае может использоваться модель сигнала
вида !
s(a, ф, т, со, t) = aA (t — т) cos [(co0 + со) (t — т) + ^ (t—t) — q>], B.79I
где а, ф, т, со — случайные величины с заданными априорными
распределениями вероятностей.
В соответствии с общей методикой синтез оптимального об-
наружителя сигнала G9) 'сводится к нахождению отношения
правдоподобия Л путем усреднения условного' отношения правдо-
подобия А(у\а, ф, т, со) согласно формуле E8). Эта задача су-
щественно упрощается, если время запаздывания % и смещение
частоты со аппроксимировать независимыми дискретными случай-
ными величинами, принимающими конечное число значений ть ..,
..., %рг и соь ..., сог с вероятностями
Тогда аналогично E8.а) получаем
т,1
Л= 2 pxi ра} Л (y\rit со,-). B.80>
f./=I
Входящее в эту формулу условное отношение правдоподобия
A(y\ii, coj) находится усреднением условного отношения А{у\а,
Ф, тг-, coj) по а и ф аналогично G3). Поэтому если ф и а распре-
делены по законам ,F1) и G2), то в соответствии с G5)
Л №ь со,) = ^Чт ехр [ *«**«> ]
] , <
N0(N0+E) J
55-
где
z0 (т„ со,) = V z\ (т,, (о;) + z\ (т? ©,) B.82)
*— огибающая корреляционного интеграла, квадратурные состав-
ляющие которого
*1 (*»<»/) = J У(/)Л(/-Т1)сО8[(©0 +
z2 (*<, «,) = J г/ (t) A(t-x) sin [(co0 + соу) (* - тг) + Мр (t - xt)] dt.
о
Таким образом, синтезированный обнаружитель получился
-многоканальным, содержащим т каналов по времени запаздыва-
ния (дальности) и / каналов по частоте (скорости). В каждом
да каналов формируется огибающая 2о{хг, со^) корреляционного
интеграла для фиксированных значений времени запаздывания
Tj и смещения частоты о^, которая согласно (81) подвергается
экспоненциальному преобразованию, после чего выходные сигна-
лы каналов суммируются с весами в соответствии с (80). Ре-
зультат суммирования подается на пороговое устройство. На прак-
тике дальность и скорость движения объектов изменяются непре-
рывно и, следовательно, время запаздывания т и смещение час-
тоты со — непрерывные величины. В этом случае синтезирован-
ный многоканальный обнаружитель не будет 'строго оптималь-
ным, однако с увеличением точности введенной аппроксимации
непрерывных величин дискретными, т. е. с ростом т и /, много-
канальный обнаружитель будет асимптотически приближаться к
оптимальному.
Отметим, что с помощью аппарата стохастических дифференциальных урав-
нений [53] все же удается найти строго оптимальный алгоритм обнаружения
сигнала со случайным временем запаздывания, принимающим непрерывное
-множество значений, при этом оптимальный обнаружитель не является мно-
гоканальным [58]
На практике число каналов многоканальной системы обработ-
ки сигналов обычно определяют исходя из заданных диапазонов
изменения дальности и скорости и разрешающей способности РЛС
(подробнее об этом будет идти речь в гл. 4). При этом в каж-
дом канале, настроенном на фиксированные частоту и время за-
паздывания сигнала, производится оптимальная обработка в со-
ответствии с изложенными методами, т. е. корреляционная в
квадратурных каналах либо фильтровая с амплитудным детекти-
рованием. Экспоненциальное преобразование и весовое суммиро
вание, о которых говорилось ранее, обычно не используются, при
56
этом каждый канал системы может оканчиваться пороговым уст-
ройством. Такая система может одновременно обнаруживать мно-
гие сигналы (соответствующие различным движущимся объек-
там) и, кроме того, позволяет приближенно оценивать их пара-
метры (время запаздывания и частоту) по номерам каналов, в
которых произошло срабатывание пороговых устройств *.
Отметим, что яри обнаружении сигнала с неизвестным време-
нем запаздывания многоканальная система по дальности необхо-
дима, если обработка корреляционная. Если же сигнал обрабаты-
вается фильтровым способом, то возможно и одноканальное по-
строение обнаружителя, поскольку фильтр, как устройство с пос-
тоянными параметрами, инвариантен относительно момента при-
хода сигнала. При изменении этого момента выходной сигнал
фильтра лишь смещается по времени на соответствующее значе-
ние. При корреляционной же обработке опорные колебания кор-
реляторов должны быть сдвинуты относительно друг друга лег
времени (в соответствии с разрешающей способностью по даль-
ности) и перекрывать весь диапазон изменения дальности, что
делает систему принципиально многоканальной.
Пачки радиоимпульсов. Для повышения эффективности обна-
ружения в радиолокации применяют многократное облучение'
объекта зондирующими импульсами, при этом обнаружение осу-
ществляется по принимаемой последовательности (пачке) радио-
импульсов. Число импульсов N в пачке определяется ее длитель-
ностью тп и периодом повторения радиоимпульсов Т„ (рис. 2.10).
Длительность пачки тп практически совпадает со временем облу-
чения объекта тОбл, которое в режиме обзора зависит от ширины
диаграммы направленности по нулевому уровню ао и от угловой
скорости вращения луча антенны Q :тобл = ао/й. Огибающая отра-
женной пачки определяется формой диаграммы направленности
антенны. Для упрощения анализа реальную пачку часто заменя-
ют прямоугольной, имеющей ту же энергию, но меньшее число
импульсов. Пачечный режим работы широко используют и в ра-
дионавигации.
Различают когерентную и некогерентную пачки радиоимпуль-
сов. Если начальные фазы высокочастотного заполнения радио-
импульсов связаны между собой детерминированной зависи-
мостью, то пачка называется когерентной; если же начальные
фазы от импульса к импульсу меняются случайным образом —
некогерентной. Когерентность излучаемых радиоимпульсов обес-
* Методы оптимального решения задач совместного обнаружения сигналов
и оценивания их параметров излагаются в гл 5 Что касается задачи обнару-
жения многих сигналов, то она тесно связана с проблемой разрешения и рас-
познавания сигналов, рассматриваемой в гл 6
ЪТ
Зондирующие импульсы
Рис. 2.10. Пачки принимаемых
радиоимпульсов с реальной оги-
бающей (а), с прямоугольной
* огибающей и дружными флукту-
ациями амплитуд (б), с независи-
мыми флуктуациями амплитуд (в)
цечивается соответствующим построением передатчика, например
ио схеме выоокостабильный генератор — импульсный модуля-
тор — усилитель мощности. Однако когерентность излучаемых ко-
лебаний еще де является достаточным условием когерентности
•принимаемых радиоимпульсов. Для ее сохранения требуется, что-
бы при отражении сигнала от объекта и при распространении ра-
диоволн в среде сдвиг фаз был одинаковым для всех радиоим-
пульсов, при этом должно выполняться условие Ткфл>*Тп, где
ТкФл — интервал корреляции флуктуации принимаемых радио-
импульсов.
Если в РЛС используется передатчик на магнетроне, то каж-
дый зондирующий радиоимпульс имеет «свою» начальную фазу,
не зависящую от начальных фаз других имшульоов, при этом из-
58
лучаемая пачка радиоимпульсов некогерентна. Однако и при та-
ком передатчике, вообще говоря, можно получить в приемном
тракте когерентную пачку, если использовать когерентный гете-
родин, фазируемый радиоимпульсами магнетрона.
Когерентная пачка радиоимпульсов может относиться к клас-
су детерминированных либо квазидетерминированных сигналов,
при этом возможны модели когерентной пачки с полностью из-
вестными параметрами, со случайной начальной фазой, со слу-
чайными начальной фазой и амплитудой, а также со случайными
временем запаздывания и смещения частоты.
С принципиальной точки зрения синтез оптимальных обнару-
жителей для указанных моделей когерентной пачки радиоимпуль-
сов ничем не отличается от рассмотренного синтеза обнаружите-
лей детерминированного и квазидетерминированнош сигналов.
При этом структурные схемы оптимальных обнаружителей преж-
ние Следует только иметь в виду, что в корреляционных схемах
(рис. 2.5,а, 2.8,а) в качестве опорных колебаний s(t), sii(t) и s2{t)
нужно использовать соответствующие пачки радиоимпульсов. В
фильтровых вариантах схем (рис. 2 5,6, 2.8,6) входящий в них.
Рис 2 11. Амплитудно частотные характеристики СФ
для пачки (а) и одиночного (б) радиоимпульсов
СФ,
СФ
сн
1
1
1
1
АД
ПУ
СФ,
<РД
а)
A sin ((o0t+ус)
L
ФД
СН
J
ПУ
Tn (N'1)Tn
¦ • 4
+
Рис 2 12 Фильтровая (а) и фильтрацион-
но-корреляционная (б) структурные схемы
оптимальных обнаружителей когерентной
пачки радиоимпульсов со случайной на-
чальной фазой
Рис 213 Структурная схема
синхронного накопителя
оптимальный фильтр СФ должен быть согласован с пачкой ра-
диоимпульсов. Согласно D9) амплитудно-частотная характерис-
тика согласованного фильтра должна совпадать с амплитудно-
частотным спектром когерентной пачки радиоимпульсов.
Для прямоугольной пачки радиоимпульсов с N=19, Гп = 3ти
(ти — длительность импульса) амплитудно-частотная характерис-
тика фильтра, согласованного с пачкой, показана на рис. 2.11,а.
При практической реализации фильтра обычно учитывают только
главяый лепесток характеристики.
Согласованный фильтр, как видим, имеет гребенчатую харак-
теристику и может быть выполнен приближенно в виде выбора
узкополосных фильтров с полосой на ) ровне 0,7 А/ф^;1/Л^7п. Чис-
ло этих фильтров /гф = 2/ти^п = 2Гц/ти = 2C, т. е. при высокой
скважности импульсов Q требуется большое число узкополосных
фильтров. Кроме того, необходима высокая добротность фильтров
(пропорционально длительности пачки) и предъявляются жесткие
требования к взаимной стабильности центральных частот фильт-
ров.
Согласованный фильтр для пачки когерентных радиоимпуль-
сов можно представить в виде последовательного соединения со-
гласованного фильтра для одиночного радиоимпульса COi (его
амплитудно-частотная характеристика показана на рис. 2.11,6) и
синхронного накопителя СН (рис. 2.12,а). Последний выполняет-
ся в виде линии задержки с отводами (рис. 2.13). Весовые коэф-
фициенты Ьг пропорциональны амплитудам импульсов пачжи. Ес-
ли огибающая пачки прямоугольная, то весовые коэффициенты
одинаковы и их вводить не нужно. На рис. 2.14 показаны времен-
€0
№
sMh
0
Рис. 2 14 Временные диаграммы фильтровой обработки ко-
герентной пачки радиоимпульсов с синхронным накоплением
на радиочастоте
ные диаграммы, поясняющие процесс фильтрации (sc<t>i — сиг-
нал на выходе COi), синхронного накопления (sx{t) — сигнал
на выходе СН) и детектирования (sa(t) — сигнал на выходе амп-
литудного детектора АД) когерентной пачки прямоугольных ра-
диоимпульсов с одинаковыми амплитудами (без шумов) в схеме
на рис. 2Л2,а.
Техническая реализация синхроиного накопителя на радиочас-
тоте довольно сложна из-за жестких требований к стабильности
параметров линии задержки и точности расположения отводов.
61
Более приемлема схема обнаружителя с двумя квадратурными
каналами (рис. 2Л2,б), в которой синхронное накопление осуще-
ствляется на видеочастоте благодаря синхронному детектирова-
нию радиосигнала в квадратурных каналах с помощью фазовых
детекторов (ФД). При этом потери информации не происходит.
Частота ооо опорных колебаний совпадает с частотой заполнения
радиоимпульсов на выходе СФЬ а фаза ц>г должна изменяться от
одного периода следования импульсов к другому в соответствии
с набегом фазы принимаемых импульсов за время Тп
В схеме на рис. 2.12,6 осуществляется фильтровая и затем
корреляционная (по начальной фазе) обработка сигнала. Воз-
можно иное сочетание корреляционной и фильтровой обработки.
Для пояснения этого представим когерентную пачку s(t), состоя-
щую из N радиоимпульсов длительности ти с периодом повторе-
ния Тп, в виде произведения радиоимпульса Si(t) длительности
T=(N—1)ГП+Ти и периодической последовательности видеоим-
пульсов Scrp(t) (рис. 2.15,а—в). В результате корреляционный ин-
теграл
/ у (t) s (t) dt = / у (t) sCTp (t) Sl (*) dt = / z/CTP (t) Sl (t) dt.
0 0 0
Отсюда видно, что оптимальная обработка сводится к умно-
жению принимаемого процесса y(t) на последовательность видео-
импульсов ScTp(t), иначе говоря, к стробированию процесса y{t),
после чего полученное колебание г/СТр(О пропускается через
фильтр с импульсной характеристикой h(t)=Si(T—t), т. е. сог-
ласованный с сигналом Si(t). Такую обработку называют корре-
ляционно-фильтровой (рис. 2.16). Согласованный фильтр можно
приближенно реализовать в виде резонансного контура с полосой
пропускания, обратно пропорциональной длительности пачки:
Л/»1/7\ Импульсы г/Стр(О растягиваются узкополосным контуром
и когерентно суммируются (см. рис. 2.15,г, д), при этом шумы в
промежутках между импульсами не накапливаются из-за опера-
ции стробирования.
В корреляционно-фильтровой схеме в отличие от схемы на рис.
2.12,6 накопление происходит не на видеочастоте, а на радиочас-
тоте. При этом отпадает надобность в квадратурных каналах и в
довольно сложных накопителях с многоотводными линиями за-
держки. Выход схемы на рис. 2 16 подключается через амплитуд-
ный детектор к пороговому устройству. Однако в этой схеме без
потерь обрабатываются лишь импульсы, совпадающие по време-
ни со стробирующими sCTP(t), т. е. корреляционно-фильтровой об-
работке в отличие от фильтровой не свойственна инвариантность
ко времени запаздывания сигнала. Поэтому при корреляционно-
фильтровой обработке пачки с неизвестным временем запаздыва-
62
нимать энергию пачки, равную сумме энергий ./V радиоимпульсов.
Отсюда и из равенства в формуле E3) следует, что на выходе
синхронного сумматора (в схеме на рис. 2.12,а) отношение сиг-
нал-шум в N раз больше (при одинаковых импульсах), чем на
выходе фильтра СФЬ Иначе говоря, синхронное накопление при
когерентной обработке повышает отношение сигнал-шум пропор-
ционально числу импульсов в пачке.
Некогерентная пачка радиоимпульсов. Как уже отмечалось, в
некогерентной пачке начальные фазы высокочастотного заполне-
ния радиоимпульсов изменяются случайным образом. Синтезиру-
ем оптимальный обнаружитель некогерентаюй пачки радиоимпуль-
сов, считая амплитуды импульсов известными, а случайные на-
чальные фазы независимыми и распределенными по равномерно-
му закону. В силу статической 'независимости начальных фаз и
независимости шума от импульса к импульсу отношение правдо-
подобия
N
А= П
B.83)
где Лг — отношение правдоподобия для i-ro импуль'са, которое в
рассматриваемой задаче определяется аналогично F7). Поэтому
А= П
/=1
где Ei — энергия нго импульса, a Zoi — огибающая i-ro радио-
импульса на выходе фильтра, согласованного с одиночным радио-
импульсом. Отсюда с учетом B6) получаем алгоритм оптималь-
ного обнаружения некогерентной пачки радиоимпульсов в виде
In П h (~ zoi)= 2 In /0 (-f zoi) % h. B.84)
Как и при когерентной обработке (см. рис. 2.12,а), оптималь-
ный обнаружитель некогерентной пачки радиоимпульсов (рис.
2.17) включает в себя согласованный с одиночным радиоимпуль-
сом фильтр COi и синхронный (вообще говоря, весовой) накопи-
тель СН. Однако в рассматриваемом случае они согласно (84)
разделены амплитудным детектором АД. Необходимость этого
СФ,
АД
СН
-
ПУ
Рис. 2.17. Структурная схема оптимального обна-
ружителя некогерентной пачки радиоимпульсов
64
физически объясняется тем, что начальные фазы каждого радио-
импульса неизвестны, поэтому когерентное накопление импульсов
невозможно.
Оптимальный фильтр СФь согласованный с прямоугольным
радиоимпульсом, имеет АЧХ, показанную на рис. 2.11,6. На прак-
тике вместо него обычно используют квазиоптимальный полосовой
фильтр с полосой пропускания Л/ = &/ти. Значение коэффициента
к, при котором обеспечивается максимальное отношение сигнал-
шум на выходе квазиоптимального фильтра, равно 1,37 для пря-
моугольного импульса и прямоугольной частотной характеристики
фильтра; при использовании в качестве квазиоптимального фильт-
ра резонансного усилителя значение k изменяется от 0,4 для од-
нокаскадного усилителя до 0,67 для пятикаскадного.
Оптимальная характеристика амплитудного детектора соглас-
но (84) определяется функцией 1п/о(х). В силу того, что
In/„(*)= {*' %> lf B85)
°W Ь2/4, *<1,
характеристика детектора при большом отношении сигнал-шум
является линейной, а при малом отношении сигнал-шум
— квадратичной.
Последетекторный синхронный накопитель может быть выпол-
нен в виде линии задержки с x3=(Af—1)ГП с отводами (см. рис.
2.13). Синхронность накопления импульсов обеспечивается равен-
ством времени задержки между отводами периоду повторения Тп.
Однако техническая реализация такого накопителя при длитель-
ных пачках (N, Тп велики) затруднительна. В этом случае прибе-
гают к использованию рециркулятора (рис. 2.18,а), в котором
применяется линия задержки с т3 = Гп. Рециркулятор представля-
ет собой схему с положительной запаздывающей обратной связью.
Широкополосный усилитель с коэффициентом усиления К компен-
сирует затухание р в линии задержки, при атом для устойчивой
работы схемы должно выполняться условие m = Kfi<.l. Ампли-
тудно-часготная характеристика рециркулятора имеет гребенча-
тый вид (рис. 2.18,6). Отметим, что при накоплении в рециркуля-
торе проявляется эффект насыщения, т. е. при увеличении числа
накапливаемых импульсов вклад каждого последующего импуль-
са в суммарный сигнал убывает. Этот эффект тем сильнее, чем
меньше коэффициент обратной связи т. На практике обычно бе-
рут т=0,8 ...0,95.
Последетекторное накопление сигналов можно выполнять так-
же на потенциалоскопах, магнитных барабанах, в РЛС с визу-
альным съемом информации — с помощью индикаторов на элект-
ронно-лучевых трубках. Синхронность накопления сигналов обес-
печивается наличием развертки по дальности. В качестве после-
65
детекторного накопителя импульсов может использоваться также
интегрирующая i^C-цепь; в этом случае синхронность накопления
обеспечивается стро)бированием по дальности.
Перечисленным аналоговым /накопителям в той или иной сте-
пени свойствен эффект насыщения, который снижает качество об-
наружения сигналов. От этого недостатка свободны цифровые на-
копители (ом. § 2.10).
Остановимся кратко на анализе оптимального обнаружителя
некогерентной пачки радиоимпульсов, полагая детектор квадра-
тичным *. Вычислив при # = 0 и #=1 плотности вероятностей ста-
тистики, поступающей на пороговое устройство, и подставив их в
C0), получим
F 7 z2N~l exp ( - — ) dz, B 86)
2N(N-l)i
_
(vtfsU J zNex? ( "T) h-1 {VNqz) dz> B'87)
Где 1n-\{x) — модифицированная функция Бесселя (N—1)- го по-
рядка; q — отношение сигнал-шум в одном импульсе.
Вычислить вероятность ложной тревоги сравнительно неслож-
но, так как интеграл в (86) табулирован Труднее рассчитать ве-
роятность правильного обнаружения D. Однако при больших D
можно воспользоваться асимптотической формулой /jv-i (x) =
_qxjу 2%х, при этом интеграл (87) сводится к табулированному
интегралу вероятностей.
Следует отметить, что трудности анализа рассматриваемого
обнаружителя типичны для многих обнаружителей ,сипналов, при-
нем они увеличиваются с усложнением схем обработки и моделей
сигналов и помех. Их можно успешно преодолеть, воспользовав-
шись методом моделирования на ЭВМ.
Сравнение зависимостей, связывающих значение порогового
отношения сигнал-шум дПоР в одном импульсе с числом импульсов
N в некогерентной пачке (рис. 2.19), с характеристиками обнару-
жения когерентной пачки радиоимпульсов показывает, что поро-
говое отношение сигнал-шум, естественно, возросло. Снижение
Qnop с ростом N при некогерентной обработке (рис. 2.19) происхо-
дит медленнее, чем при оптимальной когерентной, при которой
уменьшение qnOp обратно пропорционально N. Проигрыш в поро-
говом отношении сигнал-шум из-за некогерентности увеличивается
* Как показывают расчеты, характеристики обнаружения при линейном де-
текторе отличаются от характеристик при квадратичном незначительно, при-
близительно на 1 дБ.
66 — -
»
+
к
<
1 J '
л?
10
5
1
0,5
0,1
0,05
0.01
10
WO 1OOO 1ОООО N
Рис. 2 18. Структурная схема (а) и
амплитудно-частотная характеристи-
ка (б) рециркулятора
Рис. 2 19. Пороговое отношение сиг-
нал-шум при обнаружении нефлук-
туирующих некогерентных радиоим-
пульсов для D=0,9 ( ) и ?>=
= 0,999 ( )
с ростом N, причем для слабых сигналов и больших N это уве-
личение пропорционально ]/ N.
Рассмотренные синтез и анализ обнаружителя некогерентной
пачки проведены для известных амплитуд импульсов, т. е. для
нефлуктуирующеи пачки. Однако на практике интересна также
ситуация, когда амплитуды импульсов меняются случайным об-
разом — пачка флуктуирует. Флуктуации принимаемого сигнала
обусловлены причинами, о которых шла речь в § 2.1. Возможны
следующие виды флуктуации иекогерентной пачки радиоимпуль-
сов: независимые (быстрые), при которых амплитуды импульсов
статистически независимы между собой (см. рис. 2.10,в), и друж-
ные (медленные), когда флуктуации амплитуд являются пол-
ностью коррелированными (см. рис. 2.10,6). Между этими пре-
дельными видами флуктуации расположены частично коррелиро-
ванные флуктуации, интервал корреляции которых сравним с пе-
риодом повторения импульсов Ти и длительностью пачки.
Если флуктуации независимые и описываются законом Рэлея
G2), то, используя (83) и G5), получаем алгоритм оптимального
обнаружения:
2 4 i л.
?=1 <f0
3*
B.88)
67
Это означает, что структурная схема оптимального обнаружителя
некогерентной пачки независимо флуктуирующих радиоимпульсов
совпадает ico схемой на рис. 2.17, при этом характеристика детек-
тора для любых сигналов должна быть квадратичной.
При н-екогерентной пачке дружно флуктуирующих радиоим-
пульсов отношение правдоподобия имеет вид
Л =
J ехр - ?- S Et ) П h 1~
w0 (a) da,
B.89)
где распределение амплитуды wo{a) определяется G2). Интеграл
(89) вычисляется с помощью асимптотического представления
(85), при этом структурная (схема обнаружителя опять приводит-
ся к схеме на рис. 2.17 с тем условием, что характеристика де-
тектора должна быть квадратичной для слабых сигналов и ли-
ней юй — для сильных.
Более сложным оказывается синтез оптимального обнаружите-
ля при частично коррелированных флуктуациях. Учитывая, что
оптимизация обработки наиболее важна для слабых сигналов и
что вид флуктуации на практике не всегда известен, обнаружи-
тель флуктуирующей пачки радиоимпульсов целесообразно стро-
ить по алгоритму (88) (см. рис. 2.17).
Расчет характеристик обнаружения флуктуирующих пачек им-
пульсов довольно сложен и обычно выполняется с помощью ЭВМ.
На рис. 2.20 построены характеристики обнаружения некогерент-
ной пачжи радиоимпульсов, которая подвержена экспоненциально-
коррелированным флуктуациям * и обрабатывается согласно (88).
Здесь параметр q равен полови-
не среднего отношения сигнал-
шум по мощности. Из рис. 2.20
видно, что увеличение интервала
корреляции флуктуации приво-
дит к ухудшению характеристик
обнаружения, причем пороговое
отношение сигнал-шум при пере-
ходе от независимых флуктуации
к дружным возрастает значи-
тельно— в рассматриваемом слу-
чае в 10 раз (при Z) = 0,95).
Поэтому при проектирова-
нии РЛС целесообразно при-
нимать меры, обеспечивающие
независимые флуктуации сигна-
ла. Возможность этого обуслов-
Методнка расчета и графики для других значений N и F
в, %
99,99
99,9
99
98
95
90
80
70
ВО
50
1
ll
III
Ш
1
1
1 1
/I
II/
II/
///
///
у
/
И
/ /
у
/
У
/
t ^
/^
/
У
16Тп
32 Т„
'КфЛ
-2 -1
0
з Щгу
Рис. 2.20. Характеристики обнаруже-
ния флуктуирующих сигналов для
JV=64 и ^=10-в
[53].
68
приведены в
лена тем, что вид флуктуации зависит от свойств не только об-
лучаемого объекта, но и зондирующего радиосигнала. Изменяя
несущую частоту от импульса к импульсу на Af>c/\d, где d — про-
екция максимального размера цели на направление линии визиро-
вания, можно добиться практически независимых флуктуации сиг-
нала.
Пороговая мощность сигнала. По характеристикам обнаруже-
ния можно определить пороговое отношение сигнал-шум дПор, а
затем и пороговую мощность сигнала РПОр, необходимую для рас-
чета дальности действия (§ 1.4).
Порогсшая мощность сигнального импульса связана с его по-
роговой энергией Епор соотношением РПор=?пор/тэф, где тЭф =
= J P(t)dtJPa — эффективная длительность импульса; P(t) —
о
форма импульса по мощности; ти — длительность импульса по
основанию; Ри — импульсная мощность. Выразим теперь РПор че-
рез порюшвое отношение сигнал-шум qnop=Enop/No, где No —
спектральная плотность шумов приемной системы. В результате
Рпор=<7порМо/тЭф. Учитывая внутренний шум приемника, коэффи-
циент шума которого N, а также внешние естественные помехи,
которые можно учесть введением шумовой температуры антенны
Га, имеем N0==NckT0, где коэффициент шума приемной системы
Nc= (TJTo) -\-N—'1; к — постоянная Больцмана; То — 290 К —
стандартная температура для определения коэффициента шума;
kT0 = 4-i\0~21 Вт/Гц. В реальном приемнике возникают потери в
отношении сигнал-шум в v раз по сравнению с оптимальным прие-
мом сигнала. Поэтому для обеспечения заданных характеристик
обнаружения в реальной системе пороговую мощность импульса
нужно увеличить в v раз, в результате
Для расчета Рпор по этой формуле нужно определить вначале
пороговое отношение сигнал-шум qnop. При расчете дальности
действия РЛС в режиме обнаружения qnop=fi(D, F), где функция
f определяется характеристиками обнаружения, зависящими от
вида принимаемого сигнала; D и F — вероятности правильного
обнаружения и ложной тревоги, которые необходимо обеспечить
при обнаружении сигнала в одном элементе разрешения. Зна-
чения D и F, в свою очередь, определяются по вероятнос-
тям правильного обнаружения Do63 и ложной тревоги F063f
заданным для всей зоны обзора РЛС. Если зона обзора со-
стоит из m элементов разрешения, то при независимом приня-
тии решений в каждом элементе /7Обз=A—A— F)m, ?)обз = 1—A—
—D)(\— F)m~l. При т/7<1 получаем D^Do63, F&Fo63/m. В об-
69
щем случае при обзоре по дальности, радиальной скорости, ази-
муту и углу места значение т определяется формулой A.15);
входящие в эту формулу меры разрешающей способности зависят
от вида зондирующего сигнала и находятся по методике, изло-
женной © гл. 6.
Таблица
Пачка
Коге-
рентная
Некоге-
рентная
Флуктуации
Отсутству-
ют
Дружные
Отсутству-
ют
Дружные
Независи-
мые
Пороговое отношение сигнал-шум
ПЛп (\/F) + У In [1/A -?>)]- 1,
[(inF/lnD)— \]/N
г
1 I (у, 4- у„\2 t / , . ^ 2
1 1 VA1 Т^ Л2/ л, v 1/ 1-1-9ла Л-
/VI 2 г 3
+ i/n( х+ l/ i+ 2xi ,B/3>к
\Xl 5L 1^ l/yv i
[l//V(l-D)][ln(l//=') + ("l/A?-l)y2
V
In
/3]
IN
_i_ 2_t_
(I//7)]
Примечания: 1. Начальная фаза когерентной пачки радиоимпульсов слу-
чайна. 2. Вторая строка таблицы дает точное соотношение для дпор, осталь-
ные—приближенное. 3. Xi»T/21n(l/F)—2,8, Х2« У 2 In [1/A— ?>)]— 2,8.
В таблице приведены расчетные формулы для порогового от-
ношения сигнал-шум <7пор (в одном импульсе) при различных мо-
делях пачек из N импульсов, (Наблюдаемых на фоне белого шума.
2.6. ПОМЕХИ И МЕТОДЫ ЗАЩИТЫ ОТ
НИХ
Модель белого шума, применительно <к которой велось изло-
жение в § 2.4, 2.5, ка'к уже отмечалось, хорошо описывает собст-
венный или внутренний шум приемной системы. Однако помимо
этого шума обнаружению радиолокационных и радионавигацион-
ных сигналов мешает и ряд других помех. Дадим их классифика-
цию и краткую характеристику,
70
Виды помех. В зависимости от способа образования помехи
подразделяют на активные, создаваемые различными источника-
ми мешающих излучений, и пассивные, образуемые ib результате
переотражения зондирующих сигналов от мешающих объектов.
Как активные, та<к и пассивные помехи могут быть преднамерен-
ными (организованными, умышленными) и непреднамеренными.
Активные непреднамеренные помехи можно разделить на есте-
ственные, т. е. имеющие природное происхождение, и искусствен-
ные, включающие в себя индустриальные и взаимные помехи. Ес-
тественные помехи вызываются радиоизлучением Земли и ее ат-
мосферы, многочисленными грозовыми разрядами, радиоизлучени-
ем космических объектов (Солнца, Луны, звезд). Индустриаль-
ные помехи создаются работающими электрическими аппаратами,
линиями электропередач, системами зажигания двигателей внут-
реннего сгорания и т. д. Взаимные помехи вызываются воздейст-
вием излучений различных радиосистем и радиоустройств друг на
друга, при этом они могут быть межсистемными — помехи между
системами одного и того же или различных классов (РЛС, РНС,
системы радиосвязи и др.) и внутрисистемными — помехи между
различными радиоустройствами одной и той же системы.
Пассивные непреднамеренные помехи возникают при радиоло-
кационном наблюдении целей на фоне мешающих отражателей
природного происхождения, включающих земную и водную по-
верхности, гидрометеоры, северные сияния и др. Переотраженяый
мешающими объектами сигнал образует помеховый фон, затруд-
няющий обнаружение полезного сигнала, отраженного от цели.
Преднамеренные помехи создаются противником с помощью
средств радиопротиводействия для нарушения нормальной работы
РЛС и РНС. Активные преднамеренные помехи создаются специ-
альными радиопередающими устройствами. Пассивные преднаме-
ренные помехи возникают в результате переотражения радиолока-
ционных сигналов от искусственных мешающих объектов: ди-
полыных отражателей (в виде полуволновых вибраторов из фоль-
ги, металлизированного стекловолокна и т. п.) и ложных целей.
По характеру воздействия на работу РЛС и РНС перечислен-
ные помехи можно разделить на маскирующие, образующие поме-
ховый фон и действующие подобно внутреннему шуму приемника,
и имитирующие, вносящие ложную информацию о сигналах и их
параметрах. В зависимости от характера протекания во времени
помехи делят на импульсные и непрерывные. Импульсные помехи
могут быть синхронными, когда частота повторения помехой их
импульсов равна или кратна частоте повторения полезных сигна-
лов, и несинхронными, когда указанные частоты находятся в про-
извольном соотношении друг с другом. Заметим, что поступаю-
щая на вход приемника последовательность п«меховых импульсов
71
на выходе его линейной части может дать непрерывную помеху
при достаточно узкой полосе пропускания лриемника.
Математические модели. Для решения задач оптимальной об-
работки (в том числе и обнаружения) сигналов на фоне помех
последние нуждаются в адекватном математическом описании.
Для этого используют детерминированные и случайные функции»
причем модели помех можно разделить на детерминированные,
квазидетерминированные и стохастические. Модели детерминиро-
ванных и квазидетерминированных помех строятся аналогично»
рассмотренным моделям детерминированных и квазидетерминиро-
ванных сигналов Детерминированная помеха sn{t) — детермини-
рованная функция времени — может быть полезной при описании
взаимных помех. Следует, однако, отметить, что такая модель по-
мехи, все параметры которой известны, является наиболее идеа-
лизированной, и она может быть полностью компенсирована. Бо-
лее адекватна реальным помехам квазидетер минированная поме-
ха sn(r], t) — детерминированная функция случайного вектора ц
и времени /. Помимо взаимных помех, которые могут быть им-
пульсными и непрерывными, такой моделью можно описывать и
ряд других помех ((пассивных и активных).
Более общей моделью является стохастическая помеха, пред-
ставляющая собой некоторый случайный процесс ц {t) ?=1^ или же
функцию sn{i\t, t) случайного процесса щ, вообще говоря, век-
торного. Заметим, что детерминированная sn(t) и квазидетерми-
нированяая sn(iri, t) помехи — предельные частные случаи стохас-
тической модели Sn)(ri*, t) [53]. Общность стохастических моделей
обусловлена также тем, что при их построении могут быть ис-
пользованы случайные процессы разных видов: с дискретным и
непрерывным временем, с дискретными и непрерывными значе-
ниями, с зависимыми и независимыми значениями, стационарные
и нестационарные, гауюсовокие, марковские и др. [53]. С по-
мощью этих процессов, охватывающих множество частных слу-
чаев, можно описать все перечисленные реальные помехи.
Воздействуя на полезный сигнал s{t), помеха r\t может скла-
дываться с ним, т. е. быть аддитивной, при этом модель наблю-
даемого процесса y(t)=s(t)+i\t. Возможно и неаддитивное воз-
действие помехи, в частности помеха может быть мультиплика-
тивной или модулирующей, тогда наблюдается y(t) =s(t) -r\t. Мо-
дулирующая помеха возникает при отражении радиоволн от объ-
екта, а также в результате их прохождения через турбулентную
атмосферу. Отметим, что мультипликативную смесь сигнала и.
помехи можно рассматривать также как модель флуктуирующего
сигнала, поступающего на вход приемника.
В зависимости от степени статистической взаимосвязи отсче-
тов помехи делят на коррелированные и некоррелированные При.-
72
мером некоррелированной помехи служит дельта-коррелирован-
ный гауюоовский процесс — белый шум 1z,{t) (см. C4)). Такая
модель достаточно адекватна не только внутреннему шуму при-
емника, но и ряду внешних помех с широким спектром, как не-
преднамеренных (радиоизлучение Земли и космоса), так и пред-
намеренных (например, активная маскирующая шумовая поме-
ха). Строго говоря, отчеты любой реальной помехи всегда взаи-
мосвязаны. Однако в указанных случаях
Д/пом>Д/пр, B.90)
где А/пом — ширина спектра помехи; А/пр — полоса пропускания
приемника, при этом корреляция отсчетов настолько мала, что
ею можно пренебречь и помеху можно считать некоррелирован-
ной. Если же условие (90) не выполняется, как, например, для
пассивных помех, активных узкополосных помех, корреляцией от-
счетов пренебречь 'нельзя и для описания помех следует исполь-
зовать случайные процессы с зависимыми значениями: стацио-
нарные, гауссовские, марковские и др.
В зависимости от того, какой закон распределения вероятнос-
тей используется для описания помех, их можно разделить на га-
уссовские и негауссовские. Строго говоря, отсчеты любой реаль-
ной помехи описываются распределением вероятностей, отличным
от гауссовского закона C8). Однако на практике помехи образу-
ются под действием большого числа (неконтролируемых причин,
в результате чего происходит их нормализация, хорошо о1бъясняе;
мая центральной предельной теоремой теории вероятностей. При
этом гауссшская модель вполне удовлетворительна.
В ряде же случаев эффект нормализации отсутствует, причем
распределение помех существенно отличается от гауссовского;
тогда необходимо привлекать негауссовские модели. Такие моде-
ли нужны при описании индустриальных и атмосферных помех,
взаимных помех, активных преднамеренных помех, формируемых
в результате модуляции параметров высокочастного колебания
шумовым напряжением, некоторых пассивных помех (например,
отражений от поверхности моря) и др.
Вид закона распределения вероятностей, адекватного той или
яной реальной помехе, находится в результате теоретических и
экспериментальных исследований. Так, установлено, что распре-
деление вероятностей импульсных помех в ряде случаев можно
аппроксимировать плотностью
ехр ( \а?—\ , B.91)
где Г(-) — гамма-функция, параметр v в зависимости от харак-
73
тера помехи принимает значения от 0,5 до 2. При v = l имеем
распределение Лапласа
щ (У) - A/2 V26) ехр (- |г/|/1/2о). B.92)
Огибающую атмосферных помех, обусловленных ближними гро-
зами, описывают логарифмически-нормальным распределением:
где ут — медиана распределения; а2 — дисперсия величины In у.
Это же распределение, а также распределение Вейбулла
B-94)
где t/m — медиана; а — параметр формы распределения, исполь-
зуются для описания амплитуд пассивных помех, если подстилаю-
щая поверхность облучается РЛС с высокой разрешающей спо-
собностью под малыми углами скольжения. В частном случае,
когда а = 2, a y2m = 2o2, распределение (94) переходит в распре-
деление Рэлея
Щ (У) = (У№) ехр (- г/2/2 о2), B.95)
которое описывает амплитуду сигнала, отраженного от сложного
объекта в виде совокупности большого числа статистически 'не-
зависимых случайных отражателей.
Методы защиты от помех. Задача улучшения качества обна-
ружения сигналов в условиях воздействия различного рода помех
является составной частью более общей проблемы повышения по-
мехозащищенности РЛС и РНС. Решение этой проблемы связано
с повышением скрытности и помехоустойчивости радиосистем.
Методы повышения скрытности сводятся прежде всего к вы-
бору такого вида излучаемого сигнала, который затрудняет обна-
ружение этого сигнала и измерение его основных параметров с
целью создания преднамеренных помех. Такой сигнал должен
быть сложным (ом § 6.4). Чем сложнее закон модуляции (час-
тотной или фазовой) сигнала, тем труднее создать эффективную
помеху. В этом отношении наилучшим был бы шумоподобный
сигнал, параметры которого модулируются по случайному за-
кону.
Для повышения скрытности можно использовать также час-
тотный, временной и пространственный методы и, кроме того,.
контррадиопротиводействие
Частотный метод сводится к перестройке рабочих частот: не-
сущей, частоты повторения импульсов, частоты сканирования ДН
антенны. Повышение скрыггности временным методом достигается
74
за счет уменьшения длительности излучаемого сигнала. Этот ме-
тод особенно эффективен при комплексировании радиотехнических
средств местоопределения с нерадиотехническими (см. гл. 8), ког-
да имеется возможность выключать радиопередатчик.
Пространственная скрытность обеспечивается сужением ДН
антенн и уменьшением уровня их боковых лепестков, а также раз-
несением передающей и приемной позиций. Последнее особенно
эффективно, так как благодаря отсутствию излучения из района
приемной позиции ее местоположение не может быть обнаруже-
но радиоразведкой; антенна передатчика помех будет направлена
на передающую позицию, а в приемник помеха практически не
попадает. Повышение скрыггности достигается и амплитудным ме-
тодом — снижением мощности излучаемого сигнала. Однако при
этом уменьшается помехоустойчивость радиосистемы, так что та-
кой метод практически нецелесообразен.
Контррадиопротиводействие сводится к созданию специальных
помех (маскирующих, дезинформирующих) станциям радиотехни-
ческой разведки.
Повышение помехоустойчивости обеспечивается методами пре-
дотвращения перегрузки приемника, селекции, компенсации, ком-
плексирования. Методы предотвращения перегрузки обеспечивают
достаточно большой динамический диапазон приемника. В против-
ном случае при воздействии мощной помехи приемник может пе-
рейти в режим насыщения и затем отсечки, при KOTqpOM слабый
сигнал теряется («отсекается»), после чего применение других
методов повышения помехоустойчивости становится неэффектив-
ным. Для предотвращения перегрузки применяют схемы быстро-
действующих регулировок усиления, а также усилители с линей-
но-логарифмическими амплитудными характеристиками.
Методы селекции сводятся к выделению сигналов из помех
путем использования возможных отличий их параметров: несу-
щей частоты, ширины спектра, фазы, амплитуды, поляризации,
времени и направления прихода и др. При этом различают час-
тотную, фазовую, временную, амплитудную, поляризационную и
пространственную селекции, а также их комбинации.
При частотной селекции используют различия амплитудно-час-
тотных спектров сигнала и помехи. Если помеха заградительная
(спектр помехи существенно шире спектра сигнала), то полосу
пропускания приемника необходимо максимально сужать, согла-
суя ее со спектром сигнала. Если же спектр помехи уже спектра
сигнала, то целесообразна режекция (удаление) спектральных со-
ставляющих помехи с помощью настраиваемого режекторного
фильтра, полоса которого определяется полосой частот помехи.
Весьма эффективна перестройка рабочей частоты так, чтобы по-
меха вообще не попадала в полосу приемника. Повышение по-
75
мехозащищенносги обеспечивается также применением многочас-
тотного режима работы РЛС, когда излучение и прием ведутся
одновременно на (нескольких частотах.
При фазовой селекции используют различия фазочастотных
спектров сигнала и помехи. Этот вид селекции реализуют с по-
мощью схем фазовой автшодстройки частоты (ФАПЧ), которые
позволяют сформировать опорное колебание, почти совпадающее
по фазе с сигналом. В результате удается осуществить (прибли-
женно) операцию синхронного детектирования, т. е. приблизить
обработку сигнала к когерентной. При этом помеха, ортогональ-
ная по фазе с опорным сигналом, полностью подавляется. Далее
(в § 5 2) будет синтезирован квазиоптимальный обнаружитель,
использующий фазовую селекцию.
При временной селекции иапользуют отличия сигнальных и по-
меховых импульсов по времени прихода, длительности и периоду
повторения. Селекция по времени прихода реализуется в импуль-
сных автодальномерах, выходные сигналы которых стробируют
(отпирают) приемник на время действия сигнальных импульсов.
Селектор по длительности пропускает лишь те импульсы, дли-
тельность которых лежит в заданных пределах. Селекция по пе-
риоду повторения, используемая для подавления несинхронных
импульсных помех, реализуется с помощью линии задержки на
период следования импульсов Тп и схемы совпадений И (рис.
2.21,а).
При амплитудной селекции используются отличия сигналов в
помех по их интенсивности. Эта селекция реализуется, в частнос-
ти, с помощью различною рода ограничителей и логических схем.
Например, помехи менее интенсивные, чем сигнал, устраняются
ограничителем снизу. Если же помеховые импульсы по амплитуде
больше сигнальных, а последние не превосходят некоторый уро-
вень Лтах, то можно использовать схему на рис. 2.21,6. Ограни-
читель снизу пропускает только импулысы помехи, амплитуда ко-
торых превышает уровень ограничения uOrp=Amax. Эти импульсы
поступают на логическую схему запрета, в результате входное
напряжение на выход схемы не передается. Через схему запрета
1—1
1
&
Запрет
Ограничитель
снизу
Рис 2 21 Структурные схемы селекторов импульсов по
периоду повторения (а) и по уровню (б)
76
проходят только те импульсы, амплитуда которых меньше и0Гр.
При пространственной селекции, реализуемой за счет направ-
ленных свойств антенны, используют отличия в направлении при-
хода радиоволн от источников силнала и помех. Сужение ДН ан-
тенны и уменьшение уровня ее боковых лепестков повышают про-
странственную селекцию. Она применяется при защите от прост-
ранственно-разнесенных источников помех.
При поляризационной селекции используют отличия в поляри-
зации принимаемых сигналов и помех. Любой приемный антенно-
фищерный тракт по существу является поляризационным селекто-
ром, так как мощность колебаний на ©го выходе зависит от по-
ляризации принимаемой электромагнитной волны. Например, вер-
тикальный вибратор с наибольшим эффектом принимает верти-
кально поляризованные волны и не принимает волны с горизон-
тальной поляризацией. Согласовав поляризации антенны и прини-
маемого сигнала, можно добиться ослабления помехи, если ее по-
ляризация не совпадает с поляризацией силнала. Помехи можно
максимально подавить тогда, когда плоскости поляризации сиг-
нала и помехи ортогональны или же когда векторы напряжен-
ности электрического поля вращаются в противоположных на-
правлениях.
Поляризационная селекция применяется для подавления как
активных, так и пассивных помех, в частности отражений от гид-
рометеоров. В последнем случае механизм подавления следую-
щий. Пусть антенна рассчитана на передачу и прием радиоволн
круговой поляризации с одним и тем же направлением вращения
вектора поля. При сферической форме капель дождя отраженные
от них волны также будут иметь круговую поляризацию, но с
противоположным направлением вращения вектора поля. Поэто-
му такие радиоволны не будут приняты антенной. В то же время
при отражении радиоволн от асимметричного объекта, например
самолета, круговая поляризация меняется на эллиптическую. Эл-
липтически поляризованные радиоволны содержат составляющие
с круговой поляризацией и с различными направлениями враще-
ния вектора поля. Такие волны будут приняты антенной, хотя и с
некоторым ослаблением. Поляризационная селекция позволяет
уменьшить мощность отраженных от дождя сигналов примерно на
20... 25 дБ, при этом мощность сигнала, отраженного от самоле-
та, ослабевает лишь на 6...8 дБ. В результате отношение сигнал-
помеха возрастает на 12 ... 19 дБ.
При комбинированной селекции применяют различные сочета-
ния рассмотренных методов селекции. Комбинированная селек-
ция может быть частотно-временной, амплитудно-частотной, про-
странственно-временной, пространственно-поляризационно-времен-
ной и т. д. Примером устройства, реализующего амплитудно-час-
77
y(t)
БОН
v(t)
а) б)
Рис 2 22 Структурные схемы компенсаторов помех
тотную селекцию, является ШОУ — широкополосный усилитель —
ограничитель — узкополосный фильтр (используется для подав-
ления импульсных помех)
Методы компенсации помех реализуются либо с использова-
нием вспомогательных приемных каналов, на вход которых посту-
пают только помехи, либо без таких каналов В первом случае
система компенсации помех является многоканальной, и в част-
ности двухканальной с раздельными входами, во втором случае
система компенсации имеет один вход Двухканальная система
компенсации (рис 2 22,а) состоит из основного канала, в антенну
которого поступает смесь сигнала s(t) и помехи r[(t), и вопомо
гательного (компенсационного или опорного), антенна которого
воспринимает только помеху щ (t) Помехи опорного и основного
каналов связаны функциональным преобразованием Ло @ =
= i?l[ri(/)] На выходе РПрУ, осуществляющего линейное преоб
разование L смеси сигнала и помехи, имеем L[s(t)] + L[^r\(t)] Ес-
ли в РПрУ0 удастся осуществить преобразование Lo помехи (с по-
мощью регулировки амплитудно и фазочастотных характеристик
канала) так, чтобы
Lo foo @3 = U {% h (t)]} = L[i\ (*)], B 96)
то после вычитания помеха будет полностью скомпенсирована
Для создания основного и опорного каналов обычно исполь-
зуют пространственную селекцию сигнала и помехи Однако при
малом угловом расхождении между источниками сигнала и поме-
ли такая селекция становится невозможной, при этом сигнал при-
нимается не только основным, но и опорным каналом В резуль-
тате эффективность рассмотренного двухканального компенсато-
ра резко снижается, так как в нем наряду с помехой компенси-
руется и полезный сигнал
Тем не менее компенсация помех возможна и без привлече-
ния пространственной селекции — с использованием схемы с од-
ним входом типа показанной на рис 2 22,6 В этой схеме блок
оценивания помехи БОП осуществляет оптимальное выделение
помехи r\(t) из наблюдаемого процесса yt = Qs(t) +t\{t) +%{t) (Ф =
78
= 0, 1; ?,(t) — белый шум), формируя на выходе оценку помехи
А А
i}{t). В результате вычитания y(t)—^{t) помеха частично ком-
пенсируется. Рассмотренный компенсатор является составной
частью оптимального обнаружителя сигнала на фоне помех а
произвольным распределением вероятностей и белого шума [53],
Оптимальное правило формирования оценки r\{t) вытекает из ре-
зультатов синтеза этого обнаружителя (см. § 5.2). Отметим, что
при построении Б#П могут применяться и различные квазиопти-
мальные устройства выделения помехи. Если .в схеме на рис.
2.22,6 в качестве БфП использовать, например, линию задержки
на период повторения импульсов, то получим схему череспериод-
ной компенсации (ЧПК), широко применяемую при селекции дви-
жущихся целей (СДЦ) [38]. Эта проблема возникает в связи с
необходимостью выделять сигналы движущихся целей, которые
наблюдаются на фоне коррелированных пассивных помех, выз-
ванных переоггражением зондирующих сигналов от земной поверх-
ности и других неподвижных объектов.
Повышение помехоустойчивости методом комплексирования
рассматривается в гл. 8.
В заключение отметим, что рассмотренные методы борьбы с
помехами проиллюстрировали лишь физические принципы защи-
ты от помех. Задачи оптимизации обработки и, в частности, об-
наружения сигналов на фоне помех, отличных от белого шума,
не решались. Такого рода задачи изучаются в дальнейшем.
2.7. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА
ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ
Задачу оптимизации обработки сигналов на фоне коррелиро-
ванных помех можно решать в двух постановках: с заданием и
без задания распределения вероятностей помех. Рассмотрим обе
эти постановки.
Обнаружение детерминированного сигнала на фоне гауссовс-
кой помехи. Наблюдаемый процесс имеет вид
у (t) = ®s (t) + ti (t), fl = 0, 1, 0 < t < T, B.97)
где s(t) — детерминированный сигнал; r\{t) — помеха, являю-
щаяся гауссовским случайным процессом. Для ряда практических
задач помеху можно считать экспоненциально-коррелированной,
при этом коэффициент корреляции р = ехр(—х|)А/|); 1/и — интер-
вал корреляции помехи.
Гауссовский экспоненциально-коррелированный процесс, как
известно, является марковским (см., например, [53]). Марковс-
кий процесс с дискретным временем {г](/г)=т]г, i— 1, 2, ...} опи-
79
сывается условной (переходной) плотностью вероятностей йу(т1ж|
г[г) и начальной плотностью вероятностей w{r\i). Для марковско-
го гауссовского процесса эти плотности имеют вид
p^a0 M 2ОЦ1-РГ J ' B.98)
, nil
1/2я a0 |
При (Непрерывном времени наблюдения марковский процесс опи-
сывается стохастическим дифференциальным уравнением, которое
применительно к рассматриваемому случаю имеет вид
где ?(*) — дельта-коррелированный гауссовский процесс (белый
шум), MS@=0, M?(/)Q(f+rO = (v/2N(T).
Марковский гауссовский процесс r\{t) можно рассматривать
как результат прохождения белого шума ?(/) через линейную ди-
намическую систему, описываемую дифференциальным уравнени-
ем (99).
Отношение правдоподобия в задаче обнаружения детермини-
рованного сигнала s(th) = sfe (&=1,..., л) на фоне аддитивной
марковской помехи при дискретном времени имеет вид
п—\
П w (yh+i —
П w(yk+i\yh)
Эту статистику удобно вычислять последовательно с помощью ре-
куррентного соотношения
Aft+i = Akw (yk+1~sk+1\yh~sh)/w (yk+1\yk),k= 1,2 ,..., л- 1,
B.100)
с начальным условием Ai = w(yl—Si)fw(yi). Конкретизируя A00)
с использованием (98), получаем
А A ovr. [ \Vh-\-X Ук Р) (Sfc+1 &k Р) (%+1 Sk Р) 1 /Л inu
¦L»-fe-J-l — ^ ».Д wtJJ J I * \A. IU 1 /
Перейдем теперь к непрерывному времени наблюдения. Для
этого в A01) заменим Zk = \nAh, поделим обе части получаемого
S0
равенства на Af = /ft+1—tk и, учитывая разложение р = ех|р(—и|
А^|) = 1—x|iA?| + ..., перейдем к пределу при Д/-Н). В результате
получим дифференциальное уравнение для логарифма отношения
правдоподобия
г @ = -\- у0 @ s0 (t) - -\- [So (t)}\ B.102)
2OqX AOqK
где
B.103)
B.104)
Решение уравнения A02) с учетом начального условия z@) =
= 0:
2 V) = Л- / Уо «) so (t) dt- -4- / si (t) dt. B.105)
zo0k 0 4aox 0
Рассмотрим обнаружитель, формирующий достаточную статис-
т
тику z= J yo(t)so(t)dt и сравнивающий ее с порогом (рис. 2.23).
о
Напряжение на пороговое устройство ПУ поступает с выхода со-
гласованного фильтра СФ, импульсная характеристика которого
h(t)=So(T—i). Вместо этого фильтра можно использовать также
коррелятор с опорным колебанием в виде преобразованного по-
лезного сигнала sd{t) A04). Перед согласованным фильтром (кор-
релятором) имеется устройство ОБФ, преобразующее наблюдае-
мый процесс (97) в процесс yo{t) A03). Подставляя (97) в A03):
yo{t) =®s(t) +r\(t) +%®s(t) +xr\(t) и учитывая (99), A04), полу-
чаем yo(t) ='frso(i/) -\-?,(t), где i(t) — белый шум. Следовательно,
устройство ОБФ осуществляет декорреляцию помехи, преобразуя
коррелированный процесс v\(t) в некоррелированный t,(t) (дельта-
коррелированный). Иначе говсхря, ОБФ является обеляющим
фильтром, приводящим «небелый» шум к белому.
Отметим, что к таким же выводам можно лрийти, сравнивая
A05) с D3). Из этого сравнения видно, что выражение A05) оп-
ределяет логарифм отношения правдолодобия в задаче обнару-
жения детерминированного сигнала So(t) на фоне белого шума
(со спектральной шютностью 2а20х) при наблюдении процесса
yo(t).
Итак, оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала
s{t) ,на фоне экспоненциально-коррелированной гауссовской по-
мехи включает в себя обеляющий и согласованный фильтры (рис.
2.23), при этом последний согласован с преобразованным сигна-
лом so(t). Можно показать [53], что построение обнаружителя
81
уШ
ОБФ
УоШ
СФ
z
ПУ
Рис. 2.23. Структурная схема опти-
мального обнаружителя детермини-
рованного сигнала на фоне коррели-
рованной гауссовской помехи
Рис. 2.24. Структурная
схема обеляющего филь-
тра
детерминированного сигнала по схеме на рис. 2.23 оптимально
при любой гауосовской коррелированной помехе (а не только при
экспоненциально-коррелированной).
Корреляционная функция или же связанная с ней спектраль-
ная плотность помехи определяют структуру обеляющего фильт-
ра. Применительно к экспоненциально-коррелированной помехе
обеляющий фильтр согласно A03) реализуется схемой на рис.
2.24. Она состоит из устройства дифференцирования, усилителя с
коэффициентом усиления % и сумматора.
Что же касается характеристик о!бна|ружения детерминирован-
ного сигнала s(t) в коррелированной гауссовской помехе, то они,
очевидно, совпадают с характеристиками обнаружения преобра-
зованного детерминированного сигнала so (t) в белом шуме; спект-
ральная плотность последнего в случае экспоненциально-коррели-
рованной помехи 2g2o%=v/2.
Оптимальный линейный фильтр. Рассмотрим теперь задачу оп-
тимизации обработки сигналов на фоне коррелированных помех
с иных позиций: найдем структуру линейного фильтра, максими-
зирующего отношение сишал-шум на выходе, при этом ограниче-
ний на распределение вероятностей помехи накладывать не бу-
дем. Пусть поступающий на вход фильтра с коэффициентом пере-
дачи /C(jco) процесс имеет вид y(t)=s{t)+t\(t), где s(t) — де-
терминированный сигнал со спектральной плотностью
F(j©)= J s(*)exp (-]•©/)<#,
—оо
a r\(t) — помеха, являющаяся стационарным случайным процес-
сом со спектральной плотностью G(ico). Так как фильтр линейный,
то на его выходе имеем аддитивную смесь сигнала и шума
Увых^) =SBUX(t) -\-Y]Bblx(t) , ПрИ ЭТОМ
1
—
°°
J # (jю) Р (j ю) exp (j (at) dm,
82
Отношение сигнал-шум по мощности на выходе фильтра в момент
времени t0
q =
Co)
1
2л
J /C(jco)/7(j(o)exp(j
J I /C (j со) 12 G (со) rf со
Это отношение, как видим, при заданных спектральных плотнос-
тях сигнала и помехи зависит только от коэффициента передачи
фильтра К(}ы). Для нахождения коэффициента передачи опти-
мального фильтра Копт('](й), максимизирующего отношение сиг-
нал-шум q, воспользуемся неравенством Коши— Буняковского
J* /(jco)cp(jco)dco
] I/ (j co)J2 dco J Mjco)|2dco. B.106)
Имеем
J К (i<o)F (](*>) ехр (](i>to)d(i>
/С (j со) х
X
ехр (j со Q
F(jt0)
rfco
J
J
Отсюда получаем
оо
J К (j со) F (j со) ехр (j со *0) d со
J (}(u)\*G(@)dG>
следовательно,
2-J
2я ^
B.107)
Максимальное значение отношения сигнал-шум qmax достигается
тогда, когда неравенство Коши — Буняковского A06) переходит
в равенство, т. е. когда / (j со) =ccp*(jco), где с — const. Это условие
и дает уравнение для определения коэффициента передачи опти-
мального фильтра
83
(j ffl /0) = С (F* (j 0))/l
откуда
^Сопт (j ®) = с (F* (j co)/G (со)) exp (- j со t0). B.108>
Полагая G (со) = const, находим коэффициент передачи оптималь-
ного (согласованного) фильтра при белом шуме
#опт (J Ч> = const F* (j со) exp (— j со t0).
Отметим, что аналогичный результат (при белом гауссовском
шуме) был получен ранее иным методом (см. D8)).
Согласно формуле A08) оптимальный фильтр пропускает со-
ставляющие частотного спектра тем в большей степени, чем
больше амплитуда составляющих сигнала и меньше интенсив-
ноать помех. Чтобы полнее выявить физический смысл обработки,
осуществляемой оптимальным фильтром, представим его в виде
последовательного соединения двух линейных фильтров с коэф-
фициентами передачи K"i(jco) и /СгО'ю) соответственно, при этом
/ConT(jco) = iC1(jco)/C20'^. BЛО9>
Положим
\Kt (jco)| =const//GH, B.110>
тогда из A08)—'A10) получаем
К2 (jсо) = const [F* (j ca)//G(®)] exp (- j со t0). B.111)
Фильтр с амплитудно-частотной характеристикой (ПО) явля-
ется обеляющим, так как прошедший через него шум имеет пос-
тоянную спектральную плотность, а фильтр с коэффициентом пе-
редачи A11) согласован с полезным сигналом, прошедшим через
обеляющий фильтр. Обеляющий фильтр согласно (ПО) подавля-
ет спектральные составляющие помехи и формирует на выходе
белый шум, а согласованный фильтр наилучшим образом (ib смыс-
ле максимума отношения сигнал-шум) выделяет сигнал на фоне
белого шума.
Итак, оптимальный линейный фильтр можно представить в ви-
де последовательно соединенных обеляющего и согласованного
фильтров. Напомним, что именно такая комбинация фильтров
имеется в оптимальном обнаружителе сигнала на фоне коррели-
рованных помех ('см. рис. 2.23).
Подчеркнем, что обнаружитель на рис. 2.23 является опти-
мальным при обнаружении детерминированного сигнала >на фоне
коррелированных гауссовских помех. Если же помеха негауссовс-
кая, то этот обнаружитель уже не будет «абсолютно» оптималь-
ным. Однако, как ясно из предыдущего, он будет все же опти-
84
мальным в классе обнаружителей, в которых фильтрация наблю*
даемого процесса осуществляется линейным фильтром.
Отметим, что в обнаружителях квазидетерминированных сиг~
налов на фоне коррелированных помех также используется опти-
мальный фильтр, состоящий из обеляющего и согласованного
фильтров. Если обрабатывается пачка радиоимпульсов, то опти-
мальный фильтр можно разбить на три последовательно соеди-
ненных фильтра: согласованный с одиночным радиоимпульсом
фильтр, синхронный накопитель (гребенчатый фильтр накопле-
ния), обеляющий фильтр (гребенчатый фильтр подавления). Так
как эти фильтры являются линейными, то последовательность их
включения может быть любой.
Обеляющие фильтры применяют, в частности, для подавления
пассивных помех при решении задач СДЦ. Квазиоптимальным
приближением к гребенчатому фильтру подавления, осуществляю-
щему обеление помех, может служить упомянутая при обсужде-
нии рис. 2.22,6 схема ЧПК-
2.8. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА
ФОНЕ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ
Как уже отмечалось, на практике имеется множество ситуа-
ций, когда помехи являются существенно негауосовскими (см.
§ 2.6). Использование в этих ситуациях системы обработки сиг-
налов, оптимизированной под гауссовскую помеху, приведет, оче-
видно, к неоптимальному результату. Поэтому интересно выяс-
нить, какова же будет структура оптимального обнаружителя в
случае негауссовских помех.
Рассмотрим вначале задачу обнаружения детерминированного
сигнала s(tk)^=Sk на фоне помехи |ft с независимыми значениями,
описываемыми плотностью вероятностей wi(lk), при наблюдении
в дискретном времени процесса
йк = <Ч + Ь.<> = 0,1; ?=1,2,...,л
Оптимальный обнаружитель должен формировать отношение
правдоподобия
п
л= п щ{Ук-ч) / П щ(Ун)-
л=1 / k=\
Не конкретизируя пока распределение помехи w\t проведем не^
которые преобразования отношения правдоподобия, которые поз-
волят дать наглядную интерпретацию оптимальной обработки.
85»
Прежде всего перейдем к логарифму отношения правдоподобия ,
z = lnA= 2 [ln^i(t/ft-sft)-lnt^(^)]. B.112)
Далее разложим \nwi(yh—Sk) в степенной ряд:
In щ {yk - sh) = In щ (yk) + 2 ^~^- s| /г ln wi to-
i=l t» " У/г
"Подставляя это выражение в A12), получаем
^ Bл13)
Обозначив
B.П4)
перепишем A13) в виде
z= S *'» BЛ15)
?=1
п
где z»= 2 /t(«/ft)s*ft.
Оптимальный обнаружитель должен строиться в соответствии
с алгоритмом z^/г, где порог /г определяется заданной вероят-
но
ностью ложной тревоги (критерий Неймана — Пирсона). Как сле-
дует из A15), оптимальный обнаружитель представляет собой
многоканальное устройство (рис. 2.25). Наблюдаемая последова-
тельность {уи, k — \, 2, ..., п} проходит через безынерционные нели-
нейные преобразователи БНПг-, характеристики которых опреде-
ляются по формуле A14), и затем обрабатывается корреляторами
(или согласованными фильтрами). Согласно A15) число каналов
в оптимальном обнаружителе, строго говоря, бесконечно. При
практической реализации обнаружителя потребуется, разумеется,
ограничить число каналов. Это приведет к некоторым потерям в
пороговом отношении сигнал-помеха, однако в ряде случаев поте-
ри невелики.
Рассмотрим один из таких случаев — случай слабых сигналов.
Если детерминированный сигнал {su, k — \, ..., п} представляет со-
бой последовательность достаточно малых величин, то ряд по сте-
дгеням sk в A13), A15) можно ограничить конечным числом чле-
86
БНП,
\*
X
п
г
к=1
БНПг
X
п
Е
БНП,
X
л
ПУ
БНП
X
п
Е
к=1
-*»
Рис. 2.25. Структурная схема оптимально- Рис. 2.26. Структурная схема
б
руур
го обнаружителя детерминированных сиг-
налов на фоне негауссовских помех с не-
зависимыми значениями
асимптотически оптимального
обнаружителя детерминиро-
ванных сигналов на фоне не-
гауссовских помех с незави-
симыми значениями
нов. Наиболее простая схема обнаружителя будет в том случае,
если ограничиться лишь одним членом ряда, при этом
г ъ гх = 2 fx (yh) sk,
где
B.116)
B.117)
При Sfe—Ю (^=1, ..., ri) величина Zi сходится (в среднем квадра-
тичном) к величине z, при этом обнаружитель, реализующий об-
работку A16) (рис. 2.26), является асимптотически оптималь-
ным *.
Синтезированный обнаружитель представляет собой корреля-
ционный обнаружитель, на входе которого имеется безынерцион'
ный нелинейный преобразователь БНП; характеристика последне-
го определяется формулой A17). Если помеха гауссовская, т. е.
Щ(Ун)= ,— ехр *-
у 2 л а0 V 2 а
B.118)
то БНП вырождается в линейный преобразователь: fi(t/h) =Ук/о20,
при этом асимптотически оптимальный обнаружитель переходит в
оптимальный. Если распределение негауссовских помех можно
* Существуют и другие критерии асимптотической оптимальности [50, 53],
однако они также приводят к схеме типа рис. 2.26.
8Г
описать, например, функцией (91), то согласно A17) характерис-
тика БНП
/i (У) = A/2V/2 ov) v|y|v-i sign у,
где
f 1,У>0,
sign г/ = | 0, у = 0, B.119)
I -1, У<0.
При v=l, что соответствует распределению Лапласа (92), имеем
s]&iy9 B.120)
т. е. БНП является квантователем на два уровня с нулевым поро-
гом квантования («идеальным ограничителем»).
Рассмотрим теперь обнаружение квазидетерминированного
сигнала s(ii, t) на фоне негауссовской помехи с независимыми зна-
чениями. Вектор неизвестных параметров цеМ считаем случай-
ным, плотность вероятностей которого шо(ул) задана. Отношение
правдоподобия в соответствии с E8) можно записать в виде
A = Jexp[z((*)lr»o(|*)d|i, B.121)
м
тде z(ii) =\nA(y\\i)—логарифм условного отношения правдопо-
добия. Аналогично соотношению (ИЗ)
* М = 2 2 -Ц2^- si 0*) тг1п *ь Ш> B-122)
ft=l i=l " аУк
где 5г'А(щ,)^5г(|щ, 4). Асимптотически оптимальный обнаружитель
слабых сигналов (sft(jm)->0) должен формировать согласно A21),
A22) статистику
Лх = J ехр Г 2/i^Ml*)"UofoLi B-123)
м lk=\ J
и подавать ее на пороговое устройство.
Для сравнения асимптотически оптимального обнаружителя с
оптимальным в случае гауссовских помех запишем отношение
правдоподобия, подставив A18) в A22) и затем в A21):
Л = /ехр Г-L SУкSk щ)- 94- 2 sf
Для практически интересных моделей сигналов (в том числе
для тех, которые рассматривались в § 2.5) вторая сумма, стоящая
?8
под знаком экспоненты, не влияет на структуру оптимального об*
наружителя. При этом статистика обнаружения ,
Л' = Jexp
м
[ 2 *yhSk (ji) 1 w0
0*) d ii.
B.124>
Сравнивая A23) с A24), видим, что структура асимптотичес-
ки оптимального обнаружителя слабых квазидетерминированных
сигналов на фоне негауссовских помех (рис. 2.27) отличается от
структуры оптимального обнаружителя квазидетерминированных
сигналов на фоне гауссовских помех наличием на входе последне-
го безынерционного нелинейного преобразователя с характеристик
кой A17). «Гауссовский приемник» ГП представляет собой уст-
ройство, реализующее алгоритм A24) (или ему эквивалентный).
При детерминированном сигнале ГП — не что иное, как корреля-
тор (согласованный фильтр), так что схема на рис. 2.26 является
частным случаем схемы на рис. 2.27. Для различных квазидетер-
минированных сигналов структурные схемы ГП синтезированы в-
§ 2.5. Например, для когерентной пачки радиоимпульсов со слу-
чайной начальной фазой ГП состоит из согласованного фильтра
для одиночного радиоимпульса, синхронного накопителя и ампли-
тудного детектора (см. рис. 2.12,а).
В более общем случае, когда на квазидетерминированный сиг-
нал s(ji, /) наряду с помехой с независимыми значениями | воз-
действует аддитивная коррелированная помеха ц (гауссовская или*
негауссовская), структурная схема квазиоптимального обнаружи--
теля принимает вид, представленный на рис. 2.28 [53]. Она полу-
чается из схемы на рис. 2.27 добавлением на ее вход декоррелято^
ра ДК, преобразующего коррелированную помеху в некоррелиро-
ванную. Когда помеха g гауссовская, безынерционный нелинейный
преобразователь с характеристикой A17) вырождается в линей-
ный и блок БНП отсутствует. Если к тому же коррелированная
помеха ц является гауссовской, то декоррелятор представляет со-
бой инерционный линейный преобразователь; при негауссовской-
БНП
ГП
ПУ
Ун
ПК
-*
БНП
ГП
-*>
ПУ
Рис. 2.27. Структурная схема асимп- Рис. 2.28. Структурная схема квази-
тотически оптимального обнаружите- оптимального обнаружителя квази-
ля квазидетерминированных сигналов детерминированных сигналов на фо«
на фоне негауссовских помех с не- не помех
зависимыми значениями
коррелированной помехе декоррелятор — инерционный нелиней-
ный преобразователь. При непрерывном времени наблюдения де-
коррелятор переходит в обеляющий фильтр
*
2.9. ОБНАРУЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ
СИГНАЛОВ
Векторные и пространственно-временные сигналы. При рас-
смотрении в § 2.4, 2.5, 2.7, 2.8 задач оптимального обнаружения
для различных моделей сигналов и помех изучался тот важный
случай, когда наблюдаемый случайный процесс у (I) являлся ска-
лярным, состоящим из скалярных функций — сигнала и помехи.
Однако для практики интересен также более общий случай, когда
одновременно наблюдается несколько случайных процессов, иначе
говоря, наблюдается векторный процесс y(t)=yi(t), y2(t),... ,t/i{t)
и решение об обнаружении полезного сигнала s(t) =Si(t), S2(t),...
..., si(t), который также является векторным, должно приниматься
в результате наблюдения в течение некоторого времени Т реали-
заций всех компонент процесса у(t). К такой постановке задачи
приходим, например, при многочастотном режиме работы РЛС.
При оптимизации МПРЛС также приходится решать задачу сов-
местной обработки векторных сигналов.
Строго говоря, необходимость описания радиосигналов (и по-
мех) векторными функциями возникает всегда. Дело в том, что
радиосигналы представляют собой электромагнитные волны — осо-
бое состояние электромагнитного поля, зависящее от времени t и
от пространственных координат г точек поля. В общем случае
электромагнитные поля и волны описываются векторными функ-
циями векторного аргумента y(t, r) и являются векторными по-
лями. Если при приеме волн не учитывать их поляризацию, то
можно ограничиться описанием наблюдаемого процесса в виде
скалярной функции векторного аргумента — скалярного поля
y(t, г). Принципиальным, однако, является то, что наблюдаемый
процесс, сигнал и помеха представляют собой пространственно-
временные процессы. При этом для их адекватного математичес-
кого описания в силу статистического характера решаемых задач
необходимо привлекать модели в виде случайных полей (вектор-
ных или скалярных). При таких моделях оптимизация обработки
сигналов приводит к оптимизации приемной системы в целом,
включая обработку сигналов в антенне. В результате можно син-
тезировать единую оптимальную систему и выявить потенциаль-
* Более подробно эти вопросы рассмотрены в [53]; там же излагаются и
другие методы оптимизации обработки сигналов в условиях негауссовских
помех.
ные возможности пространственно-поляризационно-временной об-
работки сигналов.
Корректное построение теории оптимальной обработки случай-
ных полей требует привлечения довольно сложного математичес-
кого аппарата. Однако эту задачу можно упростить, проведя
предварительно дискретизацию поля.
Продискретизируем непрерывное поле y(t, r) по пространствен-
ным координатам г= (гь г2) с одинаковым равномерным шагом х
(рис. 2.29). Обозначим отсчет поля y(t, r) в некоторой точке
(i, /) с координатами r= (ix, jx) через y(t, ix, jx)=yld(t)- Сово-
купность этих отсчетов образует векторную функцию времени,
компоненты которой удобно перенумеровать одним индексом и
расположить в виде вектора-столбца
у At)
у (9 =
у At)
yi(t)
B.125)
Размерность / этого вектора зависит от значения шага х и от
размера области R (рис. 2.29), в которой осуществляется дискре-
тизация.
В результате проведенной дискретизации непрерывное поле
y(t, г) заменяется (аппроксимируется) вектор-функцией A25),
причем точность аппроксимации тем выше, чем меньше шаг х.
Такая замена позволяет при синтезе оптимальных систем обработ-
ки сигналов оперировать не случайными полями, а векторными
случайными процессами, что существенно облегчает задачу ма-
тематического синтеза. Отметим, что указанная дискретизация
хорошо согласуется с реальной пространственной дискретизацией
электромагнитного поля, выполняемой многоэлементными антен-
нами — антенными решетками, в частности типа ФАР.
Общие вопросы синтеза оптимальных систем. Как ясно из пре-
дыдущего, описание сигналов и помех векторными функциями
позволяет существенно расширить круг задач обработки сигна-
лов, интересных для практики. Что касается синтеза оптимальных
систем обработки, то он проводится на основе тех же решающих
правил, что и при наблюдении скалярного процесса. Общие реша-
ющие правила (§2.1) и решающие правила оптимального обна-
ружения (§ 2.2) справедливы и при наблюдении векторных слу-
чайных процессов (и полей). Нужно только под реализацией у
случайного процесса y(t) понимать реализацию у векторного
случайного процесса у(/) (или случайного поля y(t, г)). В част-
ности, решающее правило оптимального обнаружения по-прежне-
му состоит в формировании отношения правдоподобия Л и срав-
91
У»
Уоз
Уог
Ум
Уоо
&>
Угз
а-
У»
Уго
\
У^\
Угг
Уг,
Уго
Л
Ум
Узо
Ч
у\
У*о \
'г\
Зх
2х
и X 2х Зх Ьх
Рис. 2 29. Диаграмма, пояс-
няющая дискретизацию поля
Рис. 2.30. Диаграмма,
поясняющая прием век-
торного процесса много-
элементной антенной
нении его с порогом h (правило B5)), причем отношение правдо-
подобия
= 0) B.126)
здесь является скалярной функцией реализации у векторного слу-
чайного процесса. Порог h выбирается в соответствии с прежни-
ми критериями оптимальности; так, при критерии Неймана — Пир-
сона значение h определяется заданной вероятностью ложной
тревоги F.
Заметим, что и в предыдущих задачах обнаружения отноше-
ние правдоподобия A8) зависело, вообще говоря, от векторной
величины у=у\, ..., уп, которая была получена в § 2.4, 2.5, 2.7, 2.8
дискретизацией одного наблюдаемого процесса по времени. Здесь
же вектор у определяется в результате дискретизации наблюдае-
мого поля по пространственным координатам. Не исключена и ди-
скретизация наблюдаемого векторного процесса A25) по време-
ни. Таким образом, вектор у, входящий в A26), имеет большую
размерность, чем у в аналогичной статистике A8). Однако на об-
щий вид решающих правил это не влияет. Особенности в реше-
нии задач оптимальной обработки векторных процессов возника-
ют при конкретизации общих правил для выбранных моделей
сигналов и помех. Эти особенности будут далее проиллюстрирова-
ны на конкретных примерах. Однако еще до их рассмотрения яс-
но, что оптимальная система обработки векторного сигнала долж-
на быть многоканальной, причем число каналов системы не может
быть меньше размерности / наблюдаемого процесса.
Если электромагнитная волна принимается /-элементной ан-
тенной системой (рис. 2.30), то наблюдается /-мерный векторный
<92
процесс A25), компоненты которого в каждом из / каналов при-
емной системы могут быть продискретизированы по времени:
В результате переходим от наблюдения векторного случайного
процесса A25) к наблюдению совокупности случайных величин
A27). Компоненты такой совокупности можно перенумеровать од-
ним индексом (yjk==yi); при этом получаем случайный вектор-
столбец
У =
Уь
размерность которого
L = hn B.128)
(при условии, что каждая компонента yj{t), /=1, ..., /, продискре-
тизирована на п временных отсчетов). Заметим, что вектор-столбец
можно также записать в виде у= \\yi, ..., Уь\\т, где т — операция
транспонирования.
Обнаружение векторного детерминированного сигнала на фоне
гауссовской коррелированной помехи. Предположим, что с помо-
щью /-элементной антенной системы (см. рис. 2.30) наблюдается
/-мерный случайный процесс
содержащий гауссовскую помеху tj(/) (i6i = 0) либо смесь детерми-
нированного сигнала s(?) и помехи ("&=!).
Дискретное время. После временной дискретизации каж-
дой компоненты наблюдаемого процесса переходим к случайному
вектору-столбцу y=Os + T], #=0, 1, содержащему вектор-столбец
помехи t] = ||t]i ... г]1/||т и сигнала s = ||si ... sL\\T (при 0=1) размер-
ностью A28). Распределение вероятностей помехи tj описывается
гауссовским законом с нулевым средним М «=0 и корреляционной
матрицей
Кл = М [(ц — М т\) (ц — Мт])т] = М ццт.
Помеха может быть нестационарной, т. е. различные выборочные
значения помехи rii могут иметь разные дисперсии
Степень взаимной корреляции выборок помехи характеризует-
ся коэффициентом корреляции
Так как Mr\ir\j = fAr\j7\i, то корреляционная матрица ,
1^0,^1, i, /=1,..., L,
93
является симметрической. Плотность вероятностей помехи опреде-
ляется многомерным гауссовским законом
где hij — элементы матрицы \\1гц\\, обратной корреляционной:
||/iij|| = ||/Cij||~1. В матричной форме
(Ц) = Bя)-ь/2det-1/2 Клехр { - i- rf К^1 л}. B.130)
w
Так как сигнал детерминированный, то логарифм отношения прав-
доподобия
In Л (у) = In [Wn (у — s)/wn (у)].
Подставляя сюда A30), получаем
In Л (у) = - [(у - s)T К^1 (у - s)/2] -f [ут К^ у/2] =
= 1(УТ Клl s + sT К^1 у)/2] - [sT К^1 s/2].
Покажем, что yTKT)"s = sTKr)~1y. Так как yTKrrls — скаляр, то при
транспонировании он не меняется: (yTKn~1s)T=yTKTi~1s. С учетом
правила транспонирования произведения матриц (АВС)Т = СТВТАТ
и симметрии матрицы КтГ1 = (КтГ1)* получаем (yTKTf1s)T = sTKtr1y»
что и требовалось доказать. Таким образом,
In Л (у) = z(y)-(q/2),
где
z(y) = sTK^y = yTK^ls, B.131)
а
п ст Л/—\ о /О 1 QO\
Ц — S 1\т] ». \L.\.OLf
Достаточная статистика z(y) может формироваться по-разному
A31), поэтому и оптимальный обнаружитель, сравнивающий ста-
тистику z (у) с порогом h, может быть реализован различными
способами (рис. 2.31, где двойными стрелками показана подача
векторно-матричных величин, одинарными — скалярных).
По схеме на рис. 2.31,а наблюдаемый вектор у обрабатывает-
ся дважды. Сначала осуществляется линейное преобразование
х = К^у, B.133)
зависящее от /^элементной корреляционной матрицы помехи Кп.
Затем образуется скалярная весовая сумма
94
X
к?»
X
TiV' т,
и
X
тк-;5
ПК
Рис. 2 31. Структурные схемы оптимальных обнаружителей век-
торного детерминированного сигнала на фоне гауссовской коррели-
рованной помехи
Заметим, что преобразование A33) декоррелирует преобразованный
помеховый вектор х=КтГ1т1 по отношению к принимаемому ц, так
как
В ряде случаев выгоднее осуществлять обработку по схеме на
рис. 2.31,6, в которой сразу образуется весовая сумма
t=i
где
r^Kr,1
B.135)
— весовой вектор, зависящий от корреляционной матрицы помехи
и от опорного сигнала, но содержащий всего L элементов.
Вычислим дисперсию помехи на входе порогового устройства
о2 = D[г(у) Id=0]. Так как Мт| = 0, то и M[z(y) |Ф = 0] =0. Поэто-
му (j2 = M[z2 (у) |0 = О] и согласно A31)
СТ == lYl (S *Vti У У *Vti SI XT — U) — S 1\т1 1тж (УУ I v ^~~ vJ) *\ti ^ ^~
= sT К^Г1 Кл K^1 s = sT K^ s = q. B.136)
Как видим, мощность помехи на входе ПУ в схемах на
рис. 2.31 зависит от корреляционной матрицы помехи и от опор-
ного сигнала. Поэтому при их изменении потребуется менять уро-
вень порога h для обеспечения заданной вероятности ложной тре-
воги F. Однако можно поступить по-другому, используя в схеме
на рис. 2.31,6 вместо весового вектора A35) нормированный ве-
совой вектор
В этом случае на пороговое устройство поступает нормированная
весовая сумма zH=z(y)/Yq, имеющая единичную дисперсию:
ol = M(zl\$ = 0) = M(z2\ft = 0)/q= I.
95
Такая нормировка соответствует используемой в радиолокацион-
ных приемниках автоматической регулировке усиления, обеспечи-
вающей постоянную мощность помехи на входе порогового уст-
ройства. Поэтому менять уровень порога не требуется.
Параметр q A32) имеет смысл отношения сигнал-помеха по
мощности на выходе линейной части приемника, т. е. в рассматри-
ваемом случае на входе ПУ (см. рис. 2.31). Действительно, значе-
ние полезного сигнала на входе ПУ, которое обозначим sny, нахо-
дится подстановкой в A31) вместо наблюдаемого вектора у век-
тора сигнала на входе обнаружителя s, т. е. sny = sTKn~1s. Отсюда
и из A36) получаем, что отношение сигнал-помеха s2ny/cr2 равно q.
Легко убедиться, что такое же отношение сигнал-помеха будет
и при формировании нормированной статистики zH.
Остановимся теперь на характеристиках обнаружения. Так как
случайная величина z A31) (и zH) представляет собой линейное
преобразование гауссовского случайного вектора, то она распре-
делена по гауссовскому закону (при О = 0 и O^l). Поэтому веро-
ятности ложной тревоги F и правильного обнаружения D опреде-
ляются ранее полученными формулами E6), в которых параметр
<7сф нужно заменить на q A32).
Поясним особенности многоканальной обработки сигналов в
синтезированном обнаружителе на простейшем примере. Пусть
антенная система состоит из двух элементов, с которых снимает-
ся по одному отсчету в один и тот же момент времени: yi = t/i(ti),
#2 = */2(^i). В данном случае корреляционная матрица помехи
of
о1о2р
Обратив эту матрицу и подставив результат обращения и вектор
сигнала s = ||s1s2||T в A35), получим весовой вектор
1/о2 -р/охо2
1/о2
1-Р2
Подставив этот вектор в A34), найдем достаточную статистику
2 (У) = {#/[(Si/o2) — (pSjj/Oi o2)I + у2 [(s2/ol) - (р S1/o1o2)]}/(l — р2),
которую представим в виде
z (У) = 1(Ут - РУ2я) Si. + (У2н - РУт) s2HI/( 1 ~ Р2), B.137)
где
96
нормированные относительно уровня помехи значения наблюдений
и опорного сигнала. Отношение сигнал-помеха A32)
<7 = s*r = (s2H + s22H-2ps1Hs2H)/(l-p2). B.138)
Поясним полученные результаты, рассмотрев частные случаи.
1. Коэффициент корреляции выборок помехи р=0, а диспер-
сии выборок G2i = a22 = G2. В этом случае
z = у г* *1н + Уы «аи, Ч = s5h + SL = (s? + SIV°2-
Как видим, обработка сводится к умножению нормированных на-
блюдений на опорные сигналы и затем к суммированию, при этом
сигнал накапливается когерентно.
2. Пусть р = 0, а (Т21=т^а22. В этом случае наблюдения нормиру-
ются относительно различных уровней помехи, причем при нако-
плении с большим весом учитывается то наблюдение, которое со-
держит менее интенсивную помеху.
3. Пусть р=т^0 и о2\фо22. В этом общем случае помимо коге-
рентного накопления сигнала осуществляется и когерентная ком-
пенсация помех. Согласно A37) остатки компенсации (у\н—pt/гн)
и (у2н—рУт) подвергаются корреляционной обработке. Эффек-
тивность компенсации помех возрастает с увеличением степени
взаимосвязи помех, поступающих в разные каналы, т. е. с ростом
коэффициента корреляции р. Если Sih=^=s2h, то при р-И согласно
A38) отношение сигнал-помеха q-+oo, т. е. в пределе помеха пол-
ностью компенсируется и сигнал обнаруживается безошибочно.
При одинаковых сигналах в каналах (si = s2) и р=1 помеха тоже
полностью компенсируется, однако при этом полностью компен-
сируется и сигнал и поэтому его нельзя обнаружить.
Непрерывное время. Перейдем к непрерывному времени
наблюдения. Для этого вспомним, что компоненты L-мерного на-
блюдаемого вектора у получены в результате дискретизации по
времени /-мерного процесса y(t) и веренумеровки компонент A27)
одним индексом. Возвращаясь к двойной индексации (как и в
A27)), статистику A34) можно записать в виде двойной суммы:
*= 2 у*г^ 2 2 yj(tk)rj(*k)-
При переходе к непрерывному времени наблюдения при At=tk—
—th-i-*-0 сумма по временному индексу k перейдет в интеграл,
при этом
z = 2 / у* @ о @ dt = / s yj {t) о (о at = / ут (о г (о ш,
/=10 0 /=1 0
B.139)
97
где у \t) = \\yi (t) ... t/i @11T — наблюдаемый вектор-столбец; г @ =
= Ил (t) ...ri(t) ||T — весовой вектор-столбец. Аналогичным образом
для отношения сигнал-помеха A32) получаем
q= f&(f)r(f)dt, B.140)
о
где s(/) —сигнал (/-мерный вектор-столбец).
Весовой L-мерный вектор-столбец г A35) является решением
матричного уравнения Kr)r = s, эквивалентного системе скалярных
уравнений 2 Kr\ifj = Si, i=\, ..., L. Использовав двойную индек-
сацию, эту систему можно записать в виде
2 2 W4», ^ О &) = 5*('тМ=1.•••,*, B-141)
Jfe=l /=1 .
где Kr\ij{tm, th) ='Мг|г(tm)m(th)—значение взаимной корреляцион-
ной функции помех в i-м и /-м каналах Kr\a(t, x) =M.r]i(t)r\j(x) (i,
/=1, ..., /), взятое в моменты времени t = tm, % = tn. Переходя в
A41) к непрерывному времени, получаем систему интегральных
уравнений
/ 2 Къи (t, т) о (т) dx = st (t), ? = 1 ..... /,
0 /=i
или в матричной форме
1 Кч(^т)г(т)^т = 8@, B.142)
о
где Кг)(^, x) — \\Kj)ij(<t, т)|| — матрица размером 1x1 взаимных кор-
реляционных функций помех в каналах /-канальной приемной си-
стемы.
Примеры. 1. Пусть 1—1 (одноканальная приемная система),
иначе говоря, рассмотрим обнаружение скалярного сигнала s(t).
Предположим, что скалярная помеха r\{t) представляет собой бе-
лый шум с кореляционной функцией Kv,{t, х) = (iV0/2N(?—т). В
этом случае матричное интегральное уравнение A42) переходит
в скалярное
У*-! 6(t-x)r(x)dT = s(t) , B.143)
* о
которое с учетом фильтрующего свойства дельта-функции легко
решается: r(t)=2s(t)fN0. Статистика A39) принимает вид
2 т
z= -—• J y(t)s(t)dt. В результате, как и следовало ожидать, при-
"о о
98
шли к рассмотренному в § 2.4 корреляционному обнаружителю
(см. D3), D4)).
2. Предположим, что /-канальная система принимает векторный
сигнал s(f) =||Si(/)||, компоненты которого имеют одну и ту же
форму s(t), но отличаются временем запаздывания т: S\(t) =
= s(t—xi), s2(t)=s(t—T2), ..., si(t)=s(t—xi). Считаем, что помехи
в каналах — не зависимые между собой белые шумы, корреляци-
онная матрица которых
1М О ... О
Кл (/, т) =
О
'02
0
0 0 ... NQl
Такая постановка задачи может соответствовать, например, обна-
ружению детерминированного сигнала в МПРЛС, состоящей из /
приемных и одной передающей позиций. При этом уравнение
A42) распадается на систему независимых уравнений типа A43),
решение которой дает компоненты весового вектора r\(i) =
Таким образом, согласно A39)
2 = 2 2 ~-/уИ0*(*-т,)Я,
/=1 Л'о/ о
т. е. оптимальное обнаружение сводится к когерентному суммиро-
ванию результатов корреляционной обработки (или согласованной
фильтрации) наблюдений, проведенной в каждой приемной пози-
ции. Чем больше спектральная плотность помехи в /-м приемнике
(Noj/2), тем с меньшим весом учитывается его выходное напря*
жение. Результат суммирования z подается на пороговое устрой-
ство.
Комплексная форма записи сигналов и алгоритмов. Радиосиг-
налы представляют собой узкополосные высокочастотные колеба-
ния вида
s(t) = A (t) cos [2 я /о / + яр (*)], B.144)
особенностью которых является медленное изменение амплитуды
A(t) и фазы ty(t) за период 1//0 высокочастотного колебания.
Операции над такими сигналами удобно проводить, исключая из
рассмотрения несущую частоту f0. Для этого вводят комплексную
огибающую сигнала A(t) =A(t) exp [ji|)@]- Учитывая формулу
Эйлера cos<p = Reej(P= (ejtP-f-e~j<p)/2, можно представить действи-
тельный сигнал A44) в виде
s @ = Re [А @ exp (Jnfot))^[A (f) exp (}2nf0i) +
-M*(T)exp(-j2jt/0T)]/2.
Произведение этого сигнала на другой узкополосный сигнал
h (*) = А (т) exp (j 2 я /0 т) + А* (т) ехр (- j 2 я /0 т)]/2
имеет вид
s (/j sx (т) = A/2) Re [A (t) А\ (т) ехр (j 2 п /0 (/- т)) +
Отсюда следует, что при
/ s (/) sx (t) dt ж — Re / A {t) A\ (t) dt,
0 ^ о
Введем теперь у(/) = ||г/г(О II—вектор-столбец комплексных оги-
бающих компонент наблюдаемого процесса, при этом вектор-стол-
бец на входе приемной системы у(/) =Re[y (^)exp(j 2jifoOl- вве-
дем также взаимные корреляционные функции комплексных оги-
бающих помех в приемных каналах Rnij(t, т) =М[г/г {t)y*j{%) \® =
= 0]/2, образующих комплексную корреляционную матрицу помех:
Кп (/, т) = || Кци (/, т) || = М [у @ у*т (т)|* = 0]/2 B.145)
(при отсутствии полезного сигнала, т. е. при О = 0, y%{t)—комплек-
сная огибающая помехи в i-u канале).
Используя приведенные соотношения, запишем полученные ра-
нее алгоритмы применительно к высокочастотным узкополосным
колебаниям в комплексной форме. Достаточная статистика A39)
принимает вид
z= 4- 2 Re/ у*{tO*{t)dt = 4-Re/ утоf*(odt> B-146)
z /=i о z о
где г(/) = l|rj(^)||—комплексный весовой вектор-столбец, который
определяется, как следует из A42), уравнением
4-/кл(*,т)?(т)<*т = 8(*). B.147)
^ о
Здесь s(^)—вектор-столбец комплексных огибающих полезного
сигнала s(^)=Re[s(^)exp (j 2nfot)]. Отношение сигнал-помеха
A40) принимает вид
± f ? = ±- ? ? (tO* (t) dt B.148)
2
2 0
100
(знак Re можно опустить, так как рассматриваемый интеграл —
действительное число).
Разделение обработки сигнала на пространственную и времен-
ную. Рассмотрим пример синтеза многоканальной системы обнару-
жения с использованием комплексной записи высокочастотных ко-
лебаний. Пусть на антенную решетку поступает узкоцолосный
сигнал с комплексной огибающей вида
8(*,<p)=3WB(<p)f B.149)
где Л (t) — скалярная комплексная функция t; В(ф)—не завися-
щий от времени вектор-столбец. Предполагаем, что полоса частот
сигнала Afs и максимальный размер 3? антенной ^ешетки таковы,
что
Д/.Я/с<1. B.150)
Это условие позволяет пренебречь запаздыванием составляющих
сигнала на выходах различных элементов решетки. В результате
одна и та же скалярная функция A(t) определяет закон модуля-
ции сигнала во всех элементах решетки. Составляющие сигнала в
различных элементах решетки отличаются сдвигами фаз q>i(i=
= 1,..., /), зависящими от угловых координат источника сигнала,
при этом вектор В(ф) = ||ехр(—j ф») Ц. Помеху считаем некорре-
лированной по времени и по элементам решетки (т. е. по прост-
ранству), при этом
К„(*,т) = Лв1в(*-т), B.151)
где I — единичная матрица.
Подставив A49) и A51) в уравнение A47), получим
Т
?j-J a(*-T)F(T)dT«a(/)ff(ep),
1 о
отсюда весовой вектор r(t)=2A(t)b(q>)/NQ и, следовательно, со-
гласно A46) достаточная статистика
*--1 Kejy(t)A*(t)B*(<p)dt.
z о
Это выражение можно переписать в виде
2 = -pRe/ yz(t)A*(t)dt, B.152)
101
где
- У* (t) = Г V) В* (Ф) = 2 Ht (t) е/ф«. A-153)
Как видим, единая пространственно-временная обработка сигнала
в рассматриваемом случае разделилась на пространственную (ан-
тенную), описываемую алгоритмом A53), и временную (внутри-
приемную) A52). Такое разделение явилось следствием предполо-
жений A49), 150).
Пространственная обработка согласно A53) сводится к весо-
вому суммированию колебаний на выходах элементов решетки.
Весовые коэффициенты е]'ф компенсируют взаимные сдвиги фаз
составляющих принимаемого сигнала, при этом обеспечивается
ориентация ДН антенны в направлении на источник сигнала. Пос-
ле пространственной обработки следует временная A52)—кор-
реляционная обработка (согласованная фильтрация). Конкретизи-
руя выражение для отношения сигнал-помеха A48), получаем
?= J- В*(Ф) В* (Ф) / A (t) A* (t) dt.
^о 0
Так как Вт (ф) В* (ф) = jy] е~1ф* е/ф* = / — число элементов антен-
т ^ ^ т ^
ной решетки, a J A (t) A* (t) dt= j* \А {t)\2 dt = 2E0, где Яо —энер-
0 0
гия сигнала, принимаемого одним элементом, то q=2lEoJNo. Та-
ким образом, отношение сигнал-помеха на входе порогового уст-
ройства прямо пропорционально числу приемных каналов и отно-
шению сигнал-помеха 2E0/N0 в одном канале.
Обнаружение векторных квазидетерминированных сигналов.
Векторный квазидетерминированный сигнал s(jm, t) представляет
собой векторную детерминированную функцию s времени t и век-
тора случайных величин jneM. При байесовской постановке за-
дачи известна априорная плотность вероятностей этого вектора
Wo(\x). Задача оптимального обнаружения векторного квазидетер-
минированного сигнала решается тем же методом, что и задача
обнаружения скалярного сигнала (§ 2.5), а именно с порогом h,
определяемым вероятностью ложной тревоги, нужно сравнивать
отношение правдоподобия Л, получаемое аналогично E8), т. е. ус-
реднением с весом шо(ц) условного отношения правдоподобия
A(y\ii) = w(y\n, •& = \)/w(y\'&=0). Последнее применительно к
задаче обнаружения сигнала s (ц, t) на фоне гауссовской коррели-
рованной помехи имеет вид
Л (y|ju) = exp [z (jli)-(v (ц)/2)], B.154)
102
где статистика z(\x) и параметр q(\x) находят из ранее получен-
ных формул для z и q заменой в них функции s(/) на s(jn, t). Так,
при непрерывном времени согласно A46) и A48)
z (ix) = -L Re / у (t) т* (ix, t) dt, B.155)
1 о
1 Т ^ ^
q (|i) = _ J sT (|i, /) r* (fi, /) Л, B.156)
2 о
где вектор весовых функций г (jl*, t) определяется согласно A47)
уравнением
z о
Отношение правдоподобия находится усреднением A54):
Л = J ехр [г (\х) — (q (jli.)/2)] w0 (jh) d j*. B.157)
м
Пример. Рассмотрим задачу обнаружения векторного сигнала
со случайной начальной фазой. Вектор jn вырожден в скаляр —
случайную начальную фазу ф с равномерным априорным распре-
делением F1). Вектор комплексных огибающих сигнала s(jm, /) =
= s(y, t)=s(t)e№. В этом случае весовой вектор г (цл, t)=r(t)ej(P,
где вектор г(т) определяется из уравнения A47). Статистику
A55) можно представить в виде
z (ц) = Re (z e~i<p) = z0 cos (ф — arg г),
где го=|г| —модуль комплексной статистики
2 = -i- J у» (t) r* (t) dt. B.158)
2 о
Параметр A56) от фазы ф не зависит: q(\x)=q= —J sr(t)r* (t)dt.
Отношение правдоподобия A57) в рассматриваемом случае
/ q \ 1 2я ^
V 2 } 2п { °
= exp(--|-)/o(zo) ,
где /о — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Так как функция /0 монотонная, а параметр q не зависит от на-
103
блюдений, то алгоритм обнаружения принимает вид z0 ^ h (обоб-
da
щение F8)). Полученный алгоритм является оптимальным для об-
наружения векторного сигнала со случайной начальной фазой на
фоне гауссовской коррелированной помехи *. Этот алгоритм мож-
но реализовать путем квадратурной обработки:
B.159)
Комплексная статистика z A58) зависит от вида весового вектора
r(t), определяемого из A47) и зависящего, в свою очередь, от ви-
да комплексной корреляционной матрицы помех A45). Дополни-
тельные сведения об обнаружении векторных сигналов (много-
канальном обнаружении) содержатся в [29, 32, 59, 69].
2.10. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Рассмотренные модели сигналов имели непрерывное множество
значений. При этом оптимизация обнаружения таких сигналов
приводила к оптимальным обнаружителям, которые реализуются
при помощи аналоговых устройств. Однако на определенном этапе
обработки можно выполнять дискретизацию сигналов по времени
и по амплитуде аналого-цифровым преобразователем (АЦП) и
проводить дальнейшую обработку цифровыми устройствами.
Целесообразность цифровой обработки при обнаружении сиг-
налов обусловлена прежде всего отсутствием у цифровых накопи-
телей эффекта насыщения, который свойствен аналоговым нако-
пителям (см. § 2.5). Кроме того, эффективность аналоговых уст-
ройств значительно снижается из-за различного рода нестабиль-
ностей элементов аппаратуры, например из-за нестабильности
¦ времени запаздывания сигнала в линии задержки. Цифровые ус-
тройства лучше аналоговых поддаются микроминиатюризации и,
как следствие, имеют малые массу и габариты. Положительными
качествами цифровых устройств являются также высокие надеж-
ность и точность выполнения арифметических операций, возмож-
ность гибкой и оперативной перестройки параметров устройств.
Отмеченные достоинства цифровой обработки обусловливают
целесообразность ее применение не только для обнаружения сиг-
налов, но и для решения других задач обработки радиолокацион-
ной и радионавигационной информации. При этом важно, что ци-
фровые алгоритмы в различных задачах обработки информации
могут быть реализованы на однотипной микроэлектронной эле-
* Алгоритм сохраняет оптимальность и при случайной амплитуде вектор-
ного сигнала (как и для скалярного сигнала, см. § 2.5).
104
ментной базе. Особенно широкие возможности для реализации
разнообразных и сложных алгоритмов обработки сигналов пре-
доставляет микропроцессорная техника [31]. Цифровая обработка
сигналов, как и аналоговая, может быть некогерентной и коге-
рентной. В любом случае цифровому устройству, реализующему
тот или иной алгоритм обработки информации, — цифровому про-
цессору (ЦП) предшествует АЦП, в котором непрерывный процесс
дискретизируется по времени с шагом At и по уровню (амплиту-
де) с шагом Аи. Шаг временной дискретизации стараются выби-
рать в соответствии с теоремой Котельникова, т. е. A?<Cl/2fmax,
где /max — максимальная частота в спектре дискретизируемого
процесса. Шаг дискретизации или квантования по уровню Аи
обычно выбирают равномерным, при этом пороги квантования, чи-
сло которых
«min)/AU, . B.160)
где «max и ит-ш— максимальная и минимальная амплитуды дис-
кретизируемого сигнала, разбивают интервал {umin, Umax) на
(г+1) подынтервалов — уровней квантования. Отсчет непрерывного
процесса в АЦП преобразуется в двоичный код из m разрядов,
каждый из которых представлен нулем или единицей. Число раз-
рядов определяется числом уровней квантования
r+l)[, B.161)
где ]х[ означает ближайшее целое число, не меньшее х.
Наименьшее число уровней квантования и соответственно наи-
меньшее число разрядов будет при двухуровневом или бинарном
квантовании. В этом случае аппаратура цифровой обработки на-
наиболее проста, однако потери информации наиболее велики. Но в
ряде задач, например при обнаружении некогерентных импульсов
на фоне некоррелированного шума, эти потери влекут сравнитель-
но небольшое снижение качества обработки, так что бинарное
квантование оказывается вполне приемлемым.
При когерентной обработке, когда требуется осуществлять
цифровую фильтрацию сигналов, когерентную компенсацию помех,
число уровней квантования нужно увеличивать, чтобы уменьшить
по возможности искажения (из-за квантования) сигналов и по-
мех. На практике часто выбирают Аи=итт~вш, где а2ш —дис-
персия собственного шума приемника, при этом согласно A60)
число порогов квантования r=d~ 1, где а*=итах/ош — динамичес-
кий диапазон аналоговой части приемника. Отсюда и из A61)
находим требуемое число разрядов двоичного кода и соответст-
венно число разрядов АЦП:
[. B.162)
105
Отношение динамического диапазона в децибелах к числу раз-
рядов
у = 20 lg dj] log2 d | « 6 дБ/разряд.
Алгоритмы цифровой обработки сигналов и, в частности, циф-
рового обнаружения можно синтезировать различными методами.
Один из них связан с определением вероятностных характеристик
случайных числовых последовательностей на выходе АЦП на осно-
ве анализа статистических свойств сигналов и помех на входе АЦП,
а также с использованием различных аппроксимаций выходных
данных АЦП (например дискретными цепями Маркова). Затем к
наблюдаемому на выходе АЦП процессу — случайной последова-
тельности двоичных чисел — применяют общие методы теори-и
статистических решений, которые «работают» как при непрерыв-
ных, так и при дискретных (проквантованных) наблюдениях. Та-
кой метод, называемый статистическим синтезом, при заданных
вероятностных характеристиках выходных данных АЦП приво-
дит к оптимальному цифровому алгоритму. Другой метод связан
с использованием результатов синтеза оптимальных алгоритмов
для непрерывного процесса с последующим переходом в них к
цифровому эквиваленту — синтез по аналоговому прототипу. Чем
меньше шаг временной дискретизации и чем больше число раз-
рядов АЦП, тем ближе показатели чкачества оптимального анало-
гового алгоритма и его цифрового эквивалента, однако тем слож-
нее техническая реализация последнего^ Проиллюстрируем оба
метода синтеза цифровых устройств.
Некогерентная цифровая обработка. В этом случае АЦП сто-
ит после амплитудного детектора (рис. 2.32,а). Напряжение с вы-
хода детектора u(t) дискретизируется в АЦП по времени u(t)-+
-*-и(kAt) == uh, k=l, 2, ... и по амплитуде иы+Ьи- Для рассматри-
ваемой задачи при статистически независимых отсчетах ик вполне
достаточно бинарного квантования, когда
-{
0, щ
B.163)
СФ
АД
aft)
АЦП
ЦП
п)
Рис. 2.32. Структурные схемы уст-
ройств некогерентной (а) и коге-
рентной (б) цифровой обработки
сигналов
106
yd)
X
-
Фнч
1 cos Zjt/0 z^
X
Рнч
lmy(t)
АЦП
АЦП
4
г
г*
f
ЦП
где hKB — значение порога амплитудного квантования. Требуется
синтезировать такой ЦП, который в результате наблюдения по-
следовательности бь ..., 6jv, где N — фиксированное число импуль-
сов, оптимальным образом обнаруживает полезный сигнал.
Согласно общей теории (см. § 2.2) оптимальный обнаружитель
должен формировать отношение правдоподобия
-.,Ы* = О) B-164)
и сравнивать его с порогом. Обратим внимание на то, что для рас-
сматриваемых здесь дискретных величин 6& отношение правдопо-
добия A64)—отношение условных вероятностей, в то время как
для непрерывных величин отношение правдоподобия (например,
C7))—отношение условных плотностей вероятностей. Для нахо-
ждения отношения правдоподобия нужно знать условные плотно-
сти вероятностей ш(«^|'б1) отсчетов Uh при условии, что на входе
АЦП один шум ('# = 0) и смесь сигнала с шумом (/б1=1). Вычис-
лим вероятность появления единицы (на выходе АЦП) на k-n по-
зиции, когда на входе один шум:
Pmk= ] w(uh\$ = 0)duk B.165)
и когда на входе смесь сигнала с шумом:
со
= $
Тогда 1—pmh = qmh, I—Pcuik = qCuik — вероятности появления нуля
на k-ft позиции при условии, что на входе АЦП один шум и смесь
сигнала с шумом соответственно. (Отметим, что если задана ве-
роятность puik появления единицы при квантовании шума и из-
вестна плотность вероятностей ш(ил|0=О), то формула A65) оп-
ределяет значение порога квантования hKB.)
Теперь можно записать условные вероятности принятия слу-
чайной величиной 6k A63) любого из двух возможных значений
в виде
Для статистически независимых наблюдений
N А 1 Л
Р (бь б2, -, 6n \® = 0) = П Р ь Як '
107
N . .
P (f\ Л R\r I ft = П = TT D л a ft •
* \0i> Oa > "•» OJV | v = i; 11 усшь Чсшк
Подставив эти соотношения в A34), найдем отношение правдопо-
добия
Л== тт (Pcmh\e* fqcmhV~6b
k=i \ Pmh ) \ Чш ft /
и его логарифм
1пЛ= 2 |^1п
k=\ L ^ш ft ^сш ft <7ш ft J
Отсюда следует, что алгоритм оптимального обнаружения би-
нарно квантованных сигналов
N dt
2 6ftXft ^ К B.166)
где %k — In (рсш kQm ft/Рш а<7сш ft) — весовые коэффициенты; h — порог
обнаружения, выбираемый по критерию Неймана — Пирсона. Об-
наружитель, функционирующий согласно A66), представляет со-
бой бинарный весовой накопитель, сравнивающий накопленную
величину с порогом. Если шум стационарный {рШк=Рш, k=\,...,N)
и принимаемая пачка радиоимпульсов прямоугольная (рСшл =
= рсш, k—\, ..., N), то %и = const(k = 1, ..., N) и алгоритм A66) уп-
рощается:
^= 2 6ft 1 К B.167)
k=\ d0
В этом случае обнаружитель является бинарным накопителем,
подсчитывающим число единиц и сравнивающим результат на-
копления z с порогом h0, определяемым по заданной вероятности
ложной тревоги F. Статистика z имеет биномиальное распределе-
ние вероятностей, при этом вероятность правильного обнаруже-
ния
N
где CmN=N\l[m\(N—m)\] —число сочетаний из N по т, a h0 —
наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
m=h0
На практике значение порога h0 часто выбирают с помощью при-
ближенного соотношения ho&'
108
Заметим, что к полученным здесь методом статистического
синтеза цифровым обнаружителям можно прийти и другим пу-
тем — с помощью синтеза по аналоговому прототипу. Действитель-
но, сравнивая схему на рис. 2.32,а и оптимальный обнаружитель
некогерентной пачки импульсов (см. рис. 2.17), видим, что в рас-
сматриваемом случае ЦП должен выполнять операции последетек-
торного синхронного накопления и сравнения с порогом. Цифро-
вой эквивалент первой из этих операций есть цифровой накопи-
тель (весовой или невесовой — в зависимости от постановки за-
дачи).
Сравнивая аналоговые обнаружители с цифровыми, нужно от-
метить следующее. Если бы элементы аналоговой аппаратуры яв-
лялись идеальными, так что отсутствовали бы аппаратурные по-
тери, то оптимальный аналоговый обнаружитель был бы всегда
эффективнее оптимального цифрового, поскольку квантование сиг-
налов может привести только к потере информации. Однако эти
потери в рассмотренной задаче невелики — примерно 1 ... 2 дБ при
бинарном квантовании. Если же сравнивать реальные обнаружи-
тели, то цифровой обнаружитель, как правило, будет эффективнее
аналогового в силу преимуществ обработки, о которых упомина-
лось вначале.
Когерентная цифровая обработка. По мере совершенствования
элементной базы цифровой техники появилась возможность осуще-
ствлять цифровым способом и когерентную обработку сигналов,
в частности согласованную фильтрацию. При этом доля аналого-
вой части приемника уменьшается, что улучшает характеристики
приемника в целом. Чтобы снизить требования к быстродействию
АЦП и других цифровых элементов, цифровую обработку стара-
ются проводить на пониженной частоте. Для этого используют схе-
му с двумя квадратурными каналами (рис. 2.32,6), в которой с
помощью умножителей и фильтров нижних частот (ФНЧ) (т. е.
фазовых детекторов) осуществляется переход от промежуточной
(или высокой) частоты /0 к видеочастоте. Квадратурные состав-
ляющие Rey(t) и Imу(t), где y(t) —комплексная огибающая на-
блюдаемого процесса y(t), содержат всю необходимую информа-
цию о сигнале. Эти составляющие дискретизируются в АЦП и
затем поступают в цифровой процессор. Найдем алгоритм его
функционирования методом синтеза по аналоговому прототипу.
При оптимальной аналоговой обработке квадратурных состав-
ляющих находится модуль \z\ (см. A59)) комплексной статис-
тики
?=4-/ y(tfr4t)dt, B.168)
z о
являющейся частным случаем (для скалярного наблюдаемого
109
процесса) статистики A58). Учитывая представление комплекс-
ных функций y{t)=Rey{t)+)lmg{t), r(O=Rer(O+j Imr(f), ви-
дим, что интеграл A68) распадается на сумму из четырех ин-
тегралов, при этом
Re ?= -L / Re у (t) Re 7* (t) dt - -L / Imp (*) Im 7* (t) dt,
2 о г о
о г о
T1 7*
Im2 = — J Re# (t) Im r* (/) Л + — J Imp @ Re 7* (t) dt.
2 0 2 0
После дискретизации по времени эти интегралы перейдут в суммы
2 2j еУ@ ег (О 2 2j тУ( v mr "> B.169)
В результате дискретизации по уровню осуществляется переход
Rey{ti)-^6i, Im у (ti)~^6i ±, где 6* и $iL — двоичные коды, число
разрядов которых определяется числом разрядов АЦП по фор-
муле A62). После этого суммы, входящие в A69), можно вычис-
лить с помощью четырех цифровых корреляторов, реализующих
операции 2бш> 2б<±х*1» %8г%ц, ЯЬцуц, где уц, %iL — двоичные
i i i i
коды, являющиеся цифровыми значениями коэффициентов Ref*(/j)
и lmr*(t{). Выходы корреляторов объединяются с учетом A69),
после чего формируется модуль статистики A68) (по формуле
A59)). Все эти операции над цифровыми данными и составляют
алгоритм функционирования ЦП.
Вычислительная процедура, реализуемая цифровым корреля-
тором, идентична цифровой фильтрации. Дискретным эквивален-
том линейного аналогового фильтра, выходной сигнал которого
определяется интегралом свертки D5), является дискретный
фильтр (ДФ), формирующий весовую сумму
k
7, = "V и- Кл. • k = 0 N 1 /2 1701
1=0
Здесь уг=у{Ш), i=0, 1,..., — дискретный сигнал на входе ДФ;
hk-г — весовые коэффициенты, определяющие импульсную харак-
теристику ДФ (дискретный эквивалент импульсной характеристи-
ки аналогового фильтра h(t), см. D5)); N — объем выборки. Ес-
ли алгоритм A70) реализуется цифровым устройством, при этом
входной сигнал yi и коэффициенты hk-i представляют собой соот-
ветствующие двоичные коды с конечным числом разрядов, то ДФ
ПО
является цифровым фильтром (ЦФ). Для реализации ЦФ, как
ясно из A70), необходимы устройства, выполняющие три опера-
ции над числами: сложение, умножение и задержку (запоминание).
Алгоритм A70) описывает фильтрацию во временной области.
Но можно \е проводить и в частотной области. Для этого наблю-
даемые данные у\ подвергают дискретному преобразованию Фурье
(ДПФ)
^\Ц i = 0,...,N-1. B.171)
Затем, использ)ая коэффициент передачи ДФ K(i) =Zi/yi при #г=
=exp(j2jt/iiAtf), находят спектр сигнала на выходе ДФ:
Fz W=F9 (i) А @, i = 0 ,..., N- 1 B.172)
(подобно операции преобразования спектра FBX(lf) входного не-
прерывного сигнала в аналоговом фильтре с коэффициентом пе-
редачи K{)f) : FBX{]f)===FBX{if)K(}f)). После этого с помощью
обратного ДПФ наводят выходной сигнал ДФ:
% ^^ B.173)
Соотношения A70) — A73) описывают линейную дискретную филь-
трацию. Их же используют и для приближенного описания циф-
ровой фильтрации, однако при этом необходимо учитывать пог-
решности, обусловленные цифровым представлением данных дво-
ичными кодами с конечным числом разрядов *.
Фильтрация в частотной области, определяемая формулами
A71) — A73), требует несколько больших вычислительных затрат,
чем фильтрация во временной области A70). Действительно, при
вычислении ДПФ согласно A71) требуется (N—IJ операций ком-
плексного умножения и N(iN—1) операций комплексного сумми-
рования. Такое же число арифметических операций необходимо
при вычислении ОДПФ A73). Кроме того, при преобразовании
спектра согласно A72) требуется N операций комплексного ум-
ножения и, следовательно, общее их число составит 2{N—1J-|-W.
При фильтрации во временной области согласно A70) необходи*
мо выполнить N(N-{-l)/2 операций умножения и 'N(N—1)/2 опе-
* Строго говоря, линейные алгоритмы A70) —A73) не описывают цифро-
вую фильтрацию, так как цифровые сигналы — числа с фиксированным чис-
лом разрядов т<оо — не образуют линейного пространства, при этом ЦФ яв-
ляется нелинейным устройством. Однако при достаточно большом m погреш-
ности, вызванные округлением чисел, невелики, при этом ЦФ — хорошее при-1
ближение к линейному ДФ и для описания его работы можно использовать
A70) —A73).
111
раций сложения. Наиболее трудоемкой является операция комп-
лексного умножения. Из приведенных соотношений следует, что
цифровая фильтрация в частотной области проигрывает Цифровой
фильтрации во временной области по числу операций ^комплекс-
ного умножения в 2[2(N— \J-\-N]/N{N-\-\) раз, т. е. в/четыре ра-
за при ЛГ»1.
Однако соотношение вычисленных затрат существенно изме-
нится, если при вычислении ДПФ воспользоваться/ более раци-
ональным алгоритмом — быстрым преобразованием/Фурье (БПФ)
[21,29].
Алгоритм БПФ благодаря объединению всех слагаемых, под-
лежащих умножению на одинаковые множители/ требует не N2
(при N^$>\) операций комплексного умножения /(как при ДПФ
A71)), а всего лишь 0,5Nlog$N, т. е. выигрыш составляет
A^2/0,5iVlog2A/"— 2A71og2Ar. Например, при N=1024 этот выигрыш
равен примерно 200. В результате цифровая фильтрация в час-
тотной области с использованием БПФ оказывается менее трудо-
емкой, чем цифровая фильтрация во временной области.
2.11. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В УСЛО-
ВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННО-
СТИ
Виды априорной неопределенности. При решении конкретных
задач оптимального обнаружения (§ 2.4—2.8) предполагалось,
что распределение вероятностей шумов (помех) и параметров сиг-
налов полностью известны наблюдателю, т. е. рассматривались
задачи при полной статистической априорной информации. Одна-
ко на практике априорные сведения о статистических свойствах
сигналов и помех нередко частично или даже полностью отсутст-
вуют. В связи с этим возникает проблема оптимизации алгорит-
мов обнаружения (а также алгоритмов оценивания и др.) в ус-
ловиях априорной неопределенности. В зависимости от степени
полноты априорных сведений рассматривают различные виды (мо-
дели) априорной неопределенности: параметрические, непарамет-
рические, и параметрико-непараметрические модели.
При параметрической априорной неопределенности предпола-
гается, что функциональный вид распределений вероятностей сиг-
нала и помехи и, следовательно, распределений вероятностей на-
блюдаемого процесса при наличии сигнала Дод(г/|О= 1) и его от-
сутствии шя(у\'&=0) известен, однако векторные параметры ц,=
= (\хи ..., \ц) еМ и х= (xi,..., yen) gK, от которых зависят указан-
ные распределения, неизвестны. Число неизвестных параметров
предполагается конечным: /+п<оо. На практике неизвестными
112
могут быть постоянная составляющая, мощность, интервал кор-
реляции и, другие параметры сигналов и помех. К параметричес-
кой априоЬной неопределенности приходим и тогда, когда функ-
циональный\ вид распределений вероятностей непосредственно не
задан, но существует возможность аппроксимации распределений
по той или иной системе базисных функций [53].
Если неопределенность не сводится к конечному числу неиз-
вестных параметров (констант), то имеет место непараметричес-
кая априорная неопределенность. В частности, в этом случае функ-
циональный вид\распределений w(y\®=l) и w {у\$=0) неизвес-
тен, причем используется сравнительно небольшой объем априор-
ной информации: ^симметрия распределений, независимость выбо-
рочных значений и\др.
Чем меньше аппиорных сведений о сигнале и помехе, тем мень-
ше возможностей дшя оптимизации процедуры обнаружения. При
этом с уменьшением априорных сведений эффективность обнару-
жения снижается. Поэтому при постановке задач обнаружения
(а также других задач обработки сигналов) целесообразно мак-
симально использовать всю имеющуюся априорную информацию
(разумеется, достаточно достоверную). Именно с этой целью вво-
дятся параметрико-непараметрические модели априорной неопре-
деленности, при которых для задания класса возможных распре-
делений вероятностей используются известные и неизвестные рас-
пределения, параметрическое и непараметрическое описание. При-
мером такой модели может служить класс е-загрязненных рас-
пределений
Wx (w0, е) = {w(y):w(y) = (\-е) w0 (у) + 8Wl (у)}, B.174)
где Wo (у)—известная, a W\(y)—неизвестная плотности распре-
деления, е — известное число: O^es^l. Степень неопределенно-
сти повышается, если параметры распределения wo(y) неизвест-
ны. В качестве w0 (у) обычно используется гауссовское распреде-
ление. Параметр е характеризует степень «загрязнения» гауссов-
ского распределения, определяя вероятность аномальных выбро-
сов в наблюдаемом процессе. При е=0 класс A74) состоит из из-
вестного распределения wo(y) — случай полной априорной ин-
формации. Если же параметры wo(y) неизвестны, то класс A74)
при 8=0 характеризует параметрическую априорную неопреде-
ленность. При е==1 класс A74) содержит плотности распределе-
ния, о которых какие-либо априорные сведения отсутствуют. Класс
A74) можно сузить, если ограничить возможные вариации плот-
ности Wi(y), положив, что Wi(y)^Wia, где W\3 — заданный класс
распределений.
113
К параметрико-непараметрическим моделям относится также
класс ^-точечных распределений:
W*(a, Я)= \w(y): J w(y)dy=q,w(y)-
l —а
симметричная и непрерывная на [—а, а] плотность/
B.175)
Параметры а и q, определяющие класс A75), i/звестны наблю-
дателю. Подбором этих параметров можно почтижаждую симмет-
ричную и непрерывную плотность включить в /класс W2 (a, q).
Если значения параметров а и q неизвестны, то/степень неопреде-
ленности, характеризуемая классом A75), возрастает.
Отметим, что модели A74) и A75) фактически характеризуют
непараметрическую априорную неопределенность (так как они не
сводят задачу к неопределенности относительно конечного числа
параметров). Вместе с тем эти модели имеют и параметрическое
описание, так как характеризуются конечным числом известных
параметров (е, а20 — дисперсия гауссовского распределения wo{y),
a, q); последние в более общей постановке задачи могут быть
неизвестны. Поэтому и целесообразно выделить подобные моде-
ли неопределенности в специальный класс параметрико-непара-
метрических моделей. Рассмотрим теперь основные методы син-
теза алгоритмов обнаружения в условиях априорной неопределен-
ности. Отметим, что подобные методы применимы не только для
обнаружения, но и для других задач обработки сигналов.
Параметрические и адаптивные методы. Параметрические ме-
тоды предназначены для синтеза алгоритмов в условиях парамет-
рической априорной неопределенности. Среди этих методов важ-
ное место занимает байесовский метод, который сводится к сле-
дующему.
Предполагается, что неизвестные параметры ц, х распределе-
ний Wn (#|O= 1) и Wy, (#|O=0) можно интерпретировать как слу-
чайные векторные величины, распределения вероятностей которых
существуют (подобное предположение использовалось в § 2.1).
При этом йУц (г/|0 = 1) и Шц (i/|O=0) рассматриваются как ус-
ловные распределения вероятностей ш(у\ц, 0=1), ш(г/|х, 0=0).
Далее возможны две постановки задачи: 1) распределения веро-
ятностей Wq(ii), Wo{y) случайных векторов \i, х предполагаются
известными — строго байесовская постановка, 2) распределения
Wq(\i), шо(х) неизвестны — частично байесовская постановка.
При строго байесовской постановке в соответствии с правилом
теории вероятностей аналогично B7а) осуществляется переход от
распределений w(y\\x, 0=1), w(y\xy 0=0) к распределениям
до(г/|О=1), до(#|0=0), которые уже не зависят от неизвестных
114
параметров. В результате априорная неопределенность устраняет-
ся. При частично байесовской постановке можно воспользоваться
постулатом Байеса, согласно которому априорные распределения
считаются равномерными:
Щ (М-) = const, jn s jn ; wo(n) = const, x se K. B.176)
Затем можно Провести интегрирование согласно B7а). Предполо-
жение A76) характеризует наибольшую априорную неопределен-
ность относительно параметров |ы, х.
Особую важность для обоснования байесовского метода имеет
свойство асимптотической инвариантности показателей качества
байесовских алгоритмов относительно априорных распределений
[50, 52, 53]. При увеличении времени наблюдения байесовский ал-
горитм, синтезированный в условиях параметрической априорной
неопределенности, независимо от вида априорного распределения
обычно сходится к алгоритму, синтезированному для полной ап-
риорной информации. Эту сходимость можно интерпретировать
как адаптацию, т. е. приспособление алгоритма к неизвестным па-
раметрам обстановки (распределений). Благодаря указанному
свойству байесовских алгоритмов априорные распределения мож-
но выбирать более или менее произвольно.
Синтез алгоритмов в условиях параметрической априорной не-
определенности можно осуществлять также небайесовскими пара-
метрическими методами, при которых не делается байесовских
предположений относительно неизвестных параметров. К ним от-
носятся, в частности, методы, основанные на подстановке в рас-
пределения w(y\n, д=1) и w(y\n, ¦&=0) вместо неизвестных па-
раметров \х, х их небайесовских оценок, например оценок макси-
мального правдоподобия цм, хм (см. гл. 4). Последние могут на-
ходиться по дополнительному наблюдению — обучающей выбор-
Л
ке. В результате получаются распределения w(y\\x,u, '0 = 1),
w(y\y,M, #=0), которые не содержат неизвестных параметров и
могут использоваться при синтезе алгоритмов.
Применение данного метода к задаче обнаружения приводит
к обобщенному критерию отношения правдоподобия, согласно ко-
торому формируется статистика
max w(y\ii, 0=
а>(у1м Ф=1) 177)
которая затем сравнивается с порогом, определяемым по заданной
вероятности ложной тревоги.
Рассмотренные параметрические методы синтеза (как байесов-
ский, так и небайесовский) приводят к алгоритмам, адаптирую-
115
щимся (подстраивающимся) к неизвестным параметрам, иначе
говоря, к адаптивным алгоритмам. Адаптивный алгоритм слож-
нее неадаптивного, синтезированного при полностью известных
распределениях. Но в процессе обучения по мере увеличения объ-
ема обучающей выборки адаптивный алгоритм сходиться к неадап-
тивному. /
Процедуру адаптации можно использовать и в условиях непа-
раметрической априорной неопределенности. Поэтому методы син-
теза адаптивных алгоритмов целесообразно выделить в специаль-
ный класс адаптивных методов. Характерным д^я этих методов
является оценивание неизвестных параметров или распределений
в целом по обучающей выборке. Обучающая выборка х является
классифицированной, если ее распределение полностью известно
наблюдателю; такая выборка служит дополнительным наблюде-
нием по отношению к основной выборке у. В этом случае говорят
об обучении с учителем. Но процесс обучения можно организовать
и по основной неклассифицированной выборке у. В этом случае
говорят об обучении без учителя или о самообучении.
Примером адаптивной процедуры служит автоматическая ре-
гулировка усиления, обеспечивающая изменение коэффициента уси-
ления приемника в зависимости от уровня помех, воздействую-
щих на РЛС. Благодаря этому при обнаружении сигналов на фо-
не помех с изменяющейся интенсивностью обеспечивается стаби-
лизация вероятности ложной тревоги. Эту же цель преследует
другая адаптивная процедура — автоматическая регулировка по-
рога обнаружения, проводимая по результатам измерения уровня
помех.
X
X
u(t)
ю
Рис. 2.33. Структурные схемы двухканального (а) и многоканаль-
ного (б) адаптивных компенсаторов
116
Адаптивные процедуры широко используются также для ком-
пенсации помех в двух- и многоканальных компенсаторах (§ 2.6).
Адаптация часто осуществляется с помощью корреляционной об-
ратной связи (рис. 2.33,а). Поясним возможность компенсации по-
мех в этой схеме. На компенсатор поступает помеха т^ (^) по ос-
новному и т]о(О по опорному каналам, при этом на выходе образу-
ется разность u(t)=r\(i)—Ki\o(t), где коэффициент К с точностью
до постоянной 5с равен значению корреляционной функции ицо=*
т
= j u(t)r\o(t)idt, т. е. К=%ицо. Нетрудно видеть, что
следовательно, K=xn\r\of(l-\-%r\2o) и поэтому и=ц—
+xn2o)]frlo- Отсюда видно, что при сильной взаимосвязи (корре-
ляции) помех в основном и опорном каналах, например когда
i\{t) = Ci\o{t), и при хп2о>1 имеем ижц—Ст}0=0, т. е. происхо-
дит полная компенсация помехи.
В общем случае адаптивный компенсатор представляет собой
многоканальное устройство — адаптивную антенную решетку (рис.
2.33,6) [39]. Сигналы и помехи с выходов элементов антенной
решетки yi{t) суммируются с весами Ki{t), в результате образу-
га
ется u(t) = S Ki(t)yAt). В соответствии с выбранным адаптивным
алгоритмом коэффициенты Ki{i) регулируются в блоке вычисле-
ния весовых коэффициентов БВВК так, чтобы обеспечить макси-
мальную компенсацию помех. Такая процедура эквивалентна вы-
читанию компенсационной диаграммы направленности, сформиро-
ванной в процессе адаптации, из исходной ДН антенной решетки.
Вследствие этого в результирующей ДН формируются провалы
(нули) в направлении на источники помех. Для наилучшей регу-
лировки коэффициентов Ki(t) используются алгоритмы, синтези-
руемые методами оптимального оценивания случайных процессов.
Непараметрические методы. Эти методы позволяют синтезиро-
вать алгоритмы в условиях непараметрической априорной неопре-
деленности. Непараметрические алгоритмы чаще всего строят на
основе специальных статистик — знаковых или ранговых, распре-
деления вероятностей которых инвариантны относительно исход-
ных распределений.
Пусть
У = (</ъ У*~, Уп) B.178)
— исходная последовательность наблюдаемых величин. Знаковой
статистикой называется вектор
sign у s (sign #ь sign f/2,..., sign yn), B.179)
117
где sign у — знаковая функция A19). Обозначим через V про-
странство всех векторов v=(ui,..., vn), таких что vt=l или —1.
Нетрудно видеть, что V содержит 2П элементов. Если исходный
процесс {уг, 1=1, 2,...} случайный с независимыми значениями и
описывается симметричной плотностью вероятностей
w{yi) = w{-yi), -oo<^<oo, i= 1,..., п, B.180)
то статистика A79) имеет распределение
Таким образом, редукция наблюдаемых данных до знаков приво-
дит к тому, что распределение вероятностей получаемой статисти-
ки оказывается инвариантным относительно распределения исход-
ных величин, если только последние независимы и выполняется
условие A80). Это обстоятельство и определяет то, что алгорит-
мы обработки сигналов, построенные на основе знаковой статис-
тики, также будут обладать некоторыми инвариантными (непа-
раметрическими) свойствами.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу обнаруже-
ния. Пусть независимые наблюдения A78) представляют собой
либо шум (Ф=0), о котором известно только то, что его плотность
вероятностей обладает свойством A80), либо смесь сигнала и шу-
ма @=1). При наличии сигнала свойство симметрии A80) для
наблюдаемой последовательности будет нарушено. Если ввести
вероятность
>0}, i=l,..., я, B.181)
то, как следует из A80), при #=0 имеем р=1/2. При 0=1 и по-
ложительном сигнале р>>1/2.
Для решения этой задачи обнаружения воспользуемся знако-
вым обнаружителем, реализующим алгоритм
zn=j}v(yi)%h, B.182)
где
-lsignyi==l> yi>0>
~\ 0,
h — порог, определяемый заданной вероятностью ложной трево-
ги F. Статистика zn имеет биномиальное распределение с пара-
метром р A81), при этом
318
где Chn=n\/[k\(n—k)\]. Вероятность правильного обнаружения
п
D= S Chnph(l—p)n~k, где h — наибольшее целое число, удов-
AAfl
летворяющее неравенству Z7^ 21 Cftn(l/2)n. Отсюда видно, что
порог h и вероятность ложной тревоги не зависят от распределения
вероятностей шума. Таким образом, при независимых наблюдени-
ях и симметричном распределении шума знаковый обнаружитель
является непараметрическим для ситуации '0=0. Этого, конечно,,
следовало ожидать вследствие отмеченного ранее свойства инва-
риантности знаковой статистики.
Непараметрические свойства обнаружителей можно также обес-
печить, если синтезировать алгоритмы на основе ранговой стати-
стики. Последняя определяется следующим образом. Расположив
наблюдаемые данные A78) в порядке их возрастания у{^у^, ?>
>/, получим упорядоченную выборку — вариационный ряд г/A)^
s^t/B)^ ... ^i/(i)^ ... г^#(п), где у<-{) представляет собой ?-ю по
величине компоненту вектора A78). Элементы вариационного ря-
да называются порядковыми статистиками. Далее предположим,,
что для вектора A78) никакие две компоненты не совпадают, и
обозначим через г* (у) число компонент, не превосходящих у г, т. е.
номер компоненты у\ в вариационном ряду: yi==y(ri\ l^Zit^n,
Статистика Ri = ri(y) называется рангом компоненты у и а вектор
R=(i?i,..., Rn)—ранговым вектором или ранговой статистикой.
Обозначим пространство_всех перестановок г=(гь..., гп) це-
лых чисел A,..., п) через R. Это пространство содержит п\ эле-
ментов. Если исходный процесс {уг, 1=1, 2,...} является однород-
ным случайным с независимыми значениями, то ранговая стати-
стика обладает распределением
P{R = r}=l/n!, re"R, B.183)
т. е. все ранговые векторы равновероятны.
Таким образом, редукция наблюдаемых данных до рангов при-
вела к тому, что распределение вероятностей ранговой статисти-
ки, как и знаковой, оказалось инвариантным относительно рас-
пределения исходных величин. Очевидно, в ранговых обнаружи-
телях, построенных на основе ранговой статистики, вероятность
ложной тревоги остается постоянной при любых распределениях
шума, если только он является однородным процессом с незави-
симыми значениями. При появлении сигнала однородность наблю-
дений нарушается, ранговые векторы перестают быть равноверо-
ятными, а это и позволяет обнаружить сигнал.
Ранговые статистики в отличие от знаковых не связаны с жест-
ким ограничением наблюдений, и поэтому они информативнее.
Вследствие этого ранговые обнаружители эффективнее знаковых,
т. е. обеспечивают большую вероятность правильного обнаруже-
ния при одной и той же вероятности ложной тревоги. Однако по-
купается это ценой усложнения обнаружителей [50, 55].
Робастные и адаптивно-робастные методы. Робастные методы
позволяют синтезировать алгоритмы, близкие по эффективности
к оптимальным для выбранных моделей и мало ее снижающие
лри отклонении распределений наблюдений от исходных моделей
в заданных, как правило, небольших пределах. Если термин «ро-
бастный» * понимать буквально, то робастные методы следует от-
нести к непараметрическим (точнее — к «свободным от распре-
деления»), так как последние приводят к устойчивым процедурам,
не зависящим от исходных распределений. Однако обычно под ро-
бастными понимают методы синтеза, занимающие промежуточное
положение между параметрическими и непераметрическими: они не
требуют того сравнительно большого объема априорной информа-
ции, в котором нуждаются параметрические методы, и в то же
время используют большую априорную информацию, чем непа-
раметрические методы. В результате робастные алгоритмы оказы-
ваются эффективнее непараметрических, однако покупается это
ценой сужения класса возможных распределений, в котором сох-
раняется устойчивость алгоритмов.
Сужение класса распределений происходит при использовании
параметрико-непараметрических моделей, например A74), A75).
Однако при этом удается с помощью минимаксного подхода (см.
§ 2.1) находить наименее благоприятные распределения (НБР)
помех и синтезировать алгоритмы, для которых показатели каче-
ства оказываются не хуже фиксированных, определяемых НБР.
Существуют различные модификации постановки задачи синте-
за робастных алгоритмов, и в частности робастных обнаружителей
[60]. Ряд из них применительно к задаче обнаружения детерми-
нированного сигнала в помехе с независимыми значениями при-
водит к структурной схеме типа показанной на рис. 2.26. Однако
в отличие от асимптотически оптимального обнаружителя, в ко-
тором характеристика БНП (см. рис. 2.26) определяется по из-
вестному распределению помехи (по формуле A17)), в робастном
обнаружителе характеристика БНП находится по НБР, определя-
емому для заданного класса распределений. В результате робаст-
ный обнаружитель может гарантировать значения вероятностей
F и D не хуже тех, которые соответствуют НБР.
На рис. 2.34,а приведена характеристика БНП, построенная по
НБР для класса W2(a, q) A75). Более просто реализуется харак-
* Robust — крепкий, стабильный, устойчивый.
120
Рис. 2.34. Характеристи-
ки нелинейных преобра-
зователей для робастных
обнаружителей
теристика БНП (рис. 2.34,6) для класса е-загрязненных гауссов-
ских распределений A74); в этом случае БНП — «линейный» ог-
раничитель.
Робастные обнаружители когерентных и некогерентных пачек импульсов
[62] включают в себя два квадратурных канала, однако в отличие от рас-
смотренных ранее (§ 2.5) обнаружителей пачек импульсов, оптимальных для
белого гауссовского шума, между фазовыми детекторами и накопителями име-
ются БНП с характеристиками типа показанных на рис. 2.34. Эффективность
этих обнаружителей, называемых локально-робастными, можно повысить, если
безынерционные преобразователи заменить инерционными нелинейными, фор-
мирующими так называемые М-оценки (оценки типа максимального правдопо-
добия) неизвестных амплитуд импульсов. В простейшем случае М-оценка па-
раметра 0 является решением 6П уравнения типа
где 5г — известные значения, определяющие форму сигнала; /(•) — нелиней-
ная функция, аналогичная показанной на рис. 2.34. Робастный обнаружитель,
использующий М-оценку, называется М-обнаружителем. Анализ показал, что-
М-обнаружитель является асимптотически оптимальным в том смысле, что при
неограниченном возрастании числа выборочных значений гарантируются наи-
лучшие достижимые верхняя граница F вероятности ложной тревоги и нижняя
граница D вероятности правильности обнаружения независимо от истинного
распределения помехи, выбранного из заданного класса распределений. Моде-
лирование М-обнаружителя и локально-робастного обнаружителя при раз-
личных распределениях помех (93)—(95), принадлежащих классу A75), по-
казало, что они имеют сравнительно хорошие характеристики и высокую сте-
пень устойчивости и при конечном числе выборок. При этом при малом числе
выборок степень устойчивости М-обнаружителя выше, чем локально-робастного.
Необходимо, однако, иметь в виду, что робастные обнаружители обладают
хорошими характеристиками, если неизвестное распределение помехи принад-
лежит классу распределений, для которого синтезирован обнаружитель. Если
же распределение помехи выходит за пределы этого класса, то характеристики
обнаружителя ухудшаются. Так, если на М-обнаружитель для класса W2(a, q)
воздействует помеха с распределением, принадлежащим классу W2(a', q), то
121
при о7о=1,1 и а'/а=2 вероятность ложной тревоги возрастает в 2 раза и в 10
раз соответственно.
Таким образом, М-обнаружитель в условиях априорной неопределенности
относительно параметра а класса W^a, q) теряет устойчивость. Это, однако,
можно предотвратить, воспользовавшись адаптивно-робастным методом син-
теза. Согласно этому методу синтезируется робастный обнаружитель для того
или иного класса распределений с известными параметрами (например, W2(a,q)
или Wi(wq, e)), а при априорной неопределенности относительно параметров
класса производится их оценивание по обучающей (классифицированной или
неклассифицированной) выборке. Как показал анализ [70], синтезированный
таким методом адаптивно-робастный обнаружитель хорошо стабилизирует ве-
роятность ложной тревоги в условиях неопределенности относительно парамет-
ров класса распределений и незначительно проигрывает в пороговом отноше-
нии сигнал-шум неадаптивному робастному обнаружителю, на вход которого
поступает помеха с распределением из «своего» класса.
Глава 3. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
КООРДИНАТ И СКОРОСТИ
ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
3.1. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАЛЬНОСТИ
И РАЗНОСТИ ДАЛЬНОСТЕЙ
В однородной среде, как уже отмечалось, радиоволны распрост-
раняются прямолинейно и с постоянной скоростью с. Поэтому вре-
мя распространения радиоволн между передатчиком и приемни-
ком, расстояние между которыми R,
г = Я/с. C.1)
В однопозиционной РЛС время распространения радиоволн от
РЛС до отражающего объекта и обратно — время запаздывания
сигнала
C.2)
где R — расстояние между РЛС и объектом. При работе с от-
ветчиком
т = 2/?/с + тот, C.3)
где Тот — время задержки сигнала в ответчике.
122
Как видим, определение дальности сводится к измерению вре-
мени запаздывания т принимаемого сигнала относительно излу-
ченного и вычислению R в соответствии с какой-либо из приве-
денных формул (в зависимости от типа радиосистемы).
Если принимаемое при определении дальности R=R(c, т)
значение скорости распространения радиоволн с или измеренное
время запаздывания т будут отличаться от истинных, то возника-
ет дальномерная ошибка. Полный дифференциал дальности dR =
= (dRfdc)dc-\-(dRfdx)dx, и, как следует, например, из формулы
B), dR=(R/c)dc-\-{cf2)dx. Заменив дифференциалы конечными
приращениями, получим абсолютное значение дальномерной
ошибки
2)&Tt C.4)
где Ас — абсолютная ошибка определения скорости распростра-
нения радиоволн; Дт — абсолютная погрешность измерения време-
ни запаздывания сигнала.
Рассматриваемые ошибки имеют как систематическую, так и
случайную составляющую. В силу независимости ошибок из D)
следует, что среднеквадратическая ошибка дальнометрии
c/2Jo2, C.5)
где <тс и сгт — среднеквадратические ошибки определения скорос-
ти распространения радиоволн и времени запаздывания соответ-
ственно.
Первая составляющая дальномерной ошибки (Ас и ас) обус-
ловлена прежде всего нестабильностью скорости распространения
радиоволн в неоднородной атмосфере. Вторая составляющая (Дт
и ох) зависит от вида излучаемого сигнала, характера и интенсив-
ности помех, а также от технической реализации дальномера.
В зависимости от вида сигнала и его параметра, содержащего
информацию о дальности, различают три основных метода радио-
дальнометрии: импульсный (или временной), фазовый и частот-
ный. Эти методы используют как в радиолокации, так и в радио-
навигации. В радионавигации, кроме того, широко применяют ме-
тоды разностно-дальномерных радиоизмерений, позволяющие оп-
ределять разность расстояний от подвижного объекта до радио-
навигационных точек. Разность расстояний находят либо путем
измерения временного интервала между сигналами, принимаемы-
ми от двух РНТ, либо путем измерения разности фаз принима-
емых когерентных колебаний. В соответствии с этим в разностно-
дальномерных системах для местоопределения подвижного объ-
екта используют импульсный разностно-дальномерный, фазовый
разностно-дальномерный, а также комбинированный импульсно-
фазовый методы радиоизмерений.
123
РПдУ
АП
ВУ
H'U
РПрУ
Рис. 3.1. Структурная схема (а) и
временные диаграммы напряжений
(б) импульсного дальномера
Импульсный метод. Импульсный метод радиодальнометрии ос-
нован на непосредственном измерении времени запаздывания при-
нимаемого радиоимпульса относительно излученного. Работа им-
пульсного дальномера (рис. 3.1,а) поясняется эпюрами на рис.
3.1,6. Передатчик, запускаемый импульсами Si синхронизатора С,
генерирует радиоимпульсы длительностью ти с периодом повто-
рения Гп. Антенный переключатель АП подсоединяет антенну к
передатчику ТПдУ на время генерации импульса и к приемнику
РПрУ на время до начала генерации следующего импульса. На
вход приемника поступают ослабленные зондирующие импульсы
и отраженный от объекта сигнал, запаздывающий на время т от-
носительно зондирующего импульса (s3). Если в качестве выход-
ного устройства ВУ используется электронно-лучевая трубка, то
к ее вертикально отклоняющим пластинам подводится напряже-
ние с выхода приемника (s4), а к горизонтально отклоняющим —
пилообразное напряжение развертки (s5). Передатчик и схема
формирования разверток запускаются одновременно импульсами
si, поэтому одновременно с излучением радиоимпульса начинается
горизонтальное перемещение светящегося пятна по экрану труб-
ки со скоростью развертки ор. Расстояние, на которое сместится
пятно к моменту прихода отраженного импульса,
где M—2vpfc — масштаб развертки. Измерив это расстояние с
помощью масштабных меток на развертке, определяют даль-
ность R.
На точность импульсных радиодальномеров значительное вли-
яние оказывают аппаратурные погрешности. Они вызываются: не-
124
Генератор
счетных
синхронизатора
Импульс
цели
Счетчик
Иппульс
синхронизатора
Счетные
импульсь/
Цплульс
цели
Ммлульс
триггера
СчитыЗаенш
иплульсы
Рис. 3.2. Структурная схема (а) и диаграммы (б) цифрового съема дальности
совпадением начала развертки с началом зондирующего импуль-
са, т. е. неточностью синхронизации; непостоянством скорости раз-
вертки и ее несоответствием шкале индикатора; неточностью
масштабной шкалы; неточностью визуальной индикации; запаз-
дыванием сигнала в цепях дальномера. Перечисленные факторы
приводят к возникновению систематических погрешностей изме-
рения дальности, которые могут быть частично скомпенсированы
при калибровке дальномера. Однако из-за неконтролируемых из-
менений условий работы радиодальномера указанные причины
вызывают появление и случайных погрешностей, которые устра-
нить нельзя.
Для автоматизации процесса измерений и уменьшения аппара-
турных погрешностей применяют цифровую индикацию (рис. 3.2).
Импульс синхронизатора с помощью триггера Т открывает схему
И, а принимаемый сигнал (импульс цели); закрывает ее. В тече-
ние времени т счетные импульсы, следующие с частотой Fc = l/Tc,
поступают на счетчик, который отсчитывает их число пс—т/Тс=
=2sRFJc. В результате получаем дальность R—cnJ2Fc. Дискрет-
ность отсчета дальности AR=c/2Fc определяет ошибку цифровой
индикации. Полагая, что любые значения случайной погрешности
Дт (рис. 3.2,6) на отрезке Тс равновероятны, находим ее дисперсию
Гс/2 Г2
J х2 dx =
1
ДТ
с -Тс/2
12
Следовательно, среднеквадратическая ошибка цифровой индика-
ции дальности
oR = (с/2) оДт - (с/2) Гс/2/3 - Д R/2V3 » 0,3 Д R. C.6)
При импульсном методе дальнометрии могут возникать значи-
тельные ошибки, если не выполняется условие однозначного из-
мерения дальности. Это условие требует, чтобы принимаемые сиг-
125
налы поступали в приемник до начала следующего зондирующе-
го импульса, т. е. максимальное время запаздывания ттаХ не дол-
жно превышать периода повторения импульсов Тп:
<7n, C.7)
где Rmax — максимальная дальность объекта. В противном слу-
чае при R>cTJ2 появляется дальномерная ошибка, кратная сТп/2.
Условие G) позволяет выбрать период повторения импульсов для
обеспечения однозначного измерения дальности. При заданном
значении Тп это условие ограничивает максимальную дальность
объектов, при которой дальнометрия еще является однозначной.
Отметим, что существуют и другие возможности обеспечения од-
нозначного измерения дальности, в частности с помощью вобуля-
ции (шатания) частоты повторения импульсов.
Основными достоинствами импульсной дальнометрии являют-
ся: возможность развязки передающего и приемного каналов с по-
мощью антенного переключателя, позволяющая строить РЛС с
одной антенной, простота разрешения объектов по дальности и
удобство измерения дальности многих объектов. Недостатки: не-
обходимость использования больших импульсных мощностей пе-
редатчиков, невозможность измерения малых дальностей из-за
наличия «мертвой» зоны, которая определяется длительностью из-
лучаемых импульсов и временем протекания переходных процес-
сов в антенном переключателе.
Трудности использования импульсного метода дальнометрии в
радионавигации связаны с обеспечением синхронизации между
передающим и приемным устройствами РНС. Если антенна пере-
дающего устройства излучает в некоторый момент времени t0 им-
пульсный сигнал, то он поступает в приемник, находящийся на
расстоянии R, в момент времени to-\-x, где задержка т вычисля-
ется по формуле A). Для определения дальности R по времени
запаздывания импульса нужно знать начало отсчета to, т. е. ну-
жно обеспечить точную синхронизацию передающего и приемного
устройств. Для этого используют высокостабильные генераторы
(эталоны времени), один из которых запускает передатчик, а дру-
гой фиксирует начало отсчета в приемоиндикаторе. Возникающая
из-за нестабильности генераторов ошибка синхронизации приво-
дит к дальномерной ошибке, которая с течением времени может
возрастать. Если предположить, что частоты двух одинаковых ге-
нераторов «уходят» в разные стороны, то к моменту времени Т
после начала работы радионавигационной системы погрешность
измерения дальности AR=2cvT, где v — относительная неста-
бильность частоты генератора. Например, при v=10~9 через 1 ч
после включения аппаратуры дальномерная ошибка будет равна
2160 м.
126
Необходимость в высокостабильных эталонах времени отпа-
дает, если дальность определяется активной системой с активным
ответом. В такой системе работа устройств синхронизируется по
сигналам ответчика. Однако при этом возникают свои трудности.
Если дальность определяется на борту ЛА, то там же должен быть
установлен запросчик, содержащий наряду с приемником и пере-
датчик. Это существенно увеличивает массу и размеры бортовой
аппаратуры и, кроме того, уменьшает ее помехозащищенность.
Импульсный разностно-дальномерный метод. Трудности, свя-
занные с реализацией импульсного дальномерного метода в радио-
навигации, привели к широкому использованию разностно-дально-
мерного метода, при котором не требуются высокостабильные эта-
лоны времени, а также передатчик на движущемся объекте. Прин-
цип действия импульсной разностно-дальномерной системы состо-
ит в следующем.
Ведущая радиостанция, расположенная в фиксированной точ-
ке А (см. рис. 1.2,г), в момент времени t0 излучает импульсный
сигнал, который принимается ведомой радиостанцией в фиксиро-
ванной точке В в момент времени to-\-dJc, где d — расстояние ме-
жду точками А и В (база). Ведомая станция с некоторой зара-
нее выбранной задержкой t3 излучает импульс, поступающий в
приемоиндикатор подвижного объекта в точке М в момент ?о+
-\-d/c-\-t3-\-\R2/c Кроме того, в точку М поступает импульс веду-
щей станции в момент to-\-Rifc. Приемоиндикатор измеряет вре-
менной интервал между принимаемыми импульсами ведущей и
ведомой станций:
% = (R2-R1)lc + d/c + ta, C.8)
который не зависит от начала отсчета to. Поэтому для синхрони-
зации работы станций эталонов времени не требуется. Задержка
t3 имеет постоянную tn и переменную tK (кодовую) составляющие:
?з=4+^к. Постоянная задержка tn зависит от размеров базы и
вводится для устранения неоднозначности определения т и для
различения импульсов ведущей и ведомой станций в приемоин-
дикаторе. Кодовая задержка повышает помехозащищенность
РНС, а также затрудняет использование радионавигационной ин-
формации абонентами, не заключившими договор с владельцами
системы. Так как задержка t3 и длина базы d известны, то, изме-
рив временной интервал (8), можно найти разность дальностей
Для определения местоположения объекта необходима по край-
ней мере еще одна ведомая станция, расположенная так, чтобы
линии положения (гиперболы) двух пар станций пересекались
(см. рис. 1.3,в). Синхронизация работы ведомых станций осуще-
ствляется по сигналам ведущей станции.
127
Фазовый метод. Фазовый метод радиодальнометрии основан на
измерении разности фаз излучаемых и принимаемых колебаний.
Генератор масштабной частоты ГМЧ (рис. 3.3) модулирует по
амплитуде колебания генератора высокой частоты ГВЧ, которые
излучаются в пространство. На фазометр Ф с ГМЧ поступают ко-
лебания Si=^isin(fG)M^+<Po) и сигнал с выхода приемника, который
без учета шумов можно записать в виде S2=^2sin|coM(^—т)+Фо+
4-фот+Фд], где (ом — масштабная частота; ф0 — начальная фаза;
т — время запаздывания сигнала; фот — фазовый сдвиг, возни-
кающий при отражении радиоволн от объекта; фд — фазовый
сдвиг сигнала в цепях дальномера. Разность фаз сигналов Si и
s2: фр = (омт—фот—Фд- Поэтому время запаздывания т= (фР+фот+
+фд)/о)м и, следовательно, дальность до объекта согласно B)
# = (фР + Фот + Фд) с/2сом. C.9)
Таким образом, если предварительно определить сдвиг фаз фот и
фд, то, измерив разность фаз фр, можно найти дальность. Выраже-
ние (9) справедливо и при работе с ответчиком. В этом случае под
Фот следует понимать фазовый сдвиг сигнала в цепях ответчика.
Абсолютная погрешность измерения дальности согласно (9)
ДЯ = (ДФР + Дфот + Дфд) о/2(дм, C.10)
где Дфр, Дфот, Дфд — абсолютные ошибки определения разности
фаз, сдвига фазы при отражении и сдвига фазы в цепях дально-
мера соответственно. Дальномерная ошибка в соответствии с A0)
обратно пропорциональна масштабной частоте. Поэтому для
уменьшения AR нужно увеличивать сом. Однако при этом будет
уменьшаться диапазон однозначного измерения дальности. Дело
в том, что однозначное измерение разности фаз двух колебаний
возможно в пределах не более 2я. Следовательно, для однознач-
ного измерения дальности необходимо, чтобы
Фр max = «м ттах = <°м 2RmaJc < 2я,
т. е. частота /м = й)м/2я масштабных колебаний и их период 7\,=
= 1|//м должны удовлетворять условию
TM>2Rmax/c. C.11)
Этому условию удовлетворяют сравнительно низкие частоты. На-
пример, при Ятах=150 км /м=^1 кГц. Чтобы обеспечить требуемую
точность и в то же время однозначность фазовой дальнометрии,
используют две масштабные частоты или более, т. е. применяют
многошкальный метод измерения дальности. Вначале однозначно
измеряют дальность на низкой масштабной частоте, т. е. по гру-
бой шкале. Затем измерения производят на второй, более высокой
масштабной частоте, т. е. по более точной шкале. При этом, что-
128
/JT
гнч
\
ф
—•
ГВЧ
РПрУ
Рис. 3.3. Структурная схема
фазового дальномера
Рис. 3.4. Семейство линий положе-
ния для фазовой разностно-дально-
мерной системы
бы сохранялась однозначность дальнометрии, период второй мас-
штабной частоты Т2ы должен превышать погрешность измерения
временного запаздывания Ati на первой масштабной частоте (т. е.
по грубой шкале).
Достоинства фазовой дальнометрии: малая пиковая мощность
генерируемых колебаний благодаря непрерывности излучения, воз-
можность изменения малых дальностей, простота измерителя,
сравнительно малая аппаратурная погрешность. Недостатки: от-
сутствие разрешения объектов по дальности, необходимость ис-
пользования двух антенн для эффективной развязки передающе-
го и приемного каналов.
Фазовый разностно-дальномерный метод. Определение разно-
сти расстояний фазовым методом сводится к измерению разно-
сти фаз двух когерентных колебаний, поступающих в точку при-
ема из двух разнесенных РНТ. Пусть в РНТ А и В (рис. 3.4)
расположены радиостанции, излучающие сигналы sa=aaCos(cdAt-f-
+Фао), sb=#bCos(u>bH^bo). Для простоты изложения сути мето-
да предположим, что №a=i®b=<u, фа=Фв=Фо- Тогда в точке М
текущие значения фаз колебаний, прошедших расстояния Ra
и RB:
Щм = © t + ф0 — ®RA/c, ц>вм = © t + Фо — © RbIc
Если РПрУ в точке М принимает рассматриваемые два сигнала
раздельно и подает их на фазометр, то последний измерит раз-
ность фаз
ФР = флм - флв = ю (Ra — Rb)Ic = Bя/Л) (RA — Rb).
Отсюда разность расстояний
C.12)
Множеству постоянных значений разностей расстояний {Ri
— const, i=l, 2,...} соответствует семейство линий положения в
виде софокусных гипербол (рис. 3.4). Местоположение подвижно-
129
го объекта определяется точкой пересечения двух гипербол (т. е.
нужны две пары радиостанций).
Среднеквадратическая ошибка определения разности расстоя-
ний согласно A2)
оф, C.13)
где аф — среднеквадратическая погрешность измерения разности
фаз. Как видим, для повышения точности измерения разности рас-
стояний необходимо уменьшать длину волны (повышать частоту).
Однако при этом может возникнуть многозначность отсчета AR.
Однозначное измерение разности фаз будет при фр = 2яА^/А,^
^2я. Следовательно, максимальное значение разности расстоя-
ний, измеряемой однозначно, ARmax=X. При AR>ARmax пока-
зания фазометра повторяются, что и влечет многозначность от-
счета разности расстояний. Линии положения, для которых раз-
ность фаз между сигналами из двух РНТ кратна 2jt, разделяют
рабочую зону РНС на области однозначного отсчета — фазовые
дорожки (см. рис. 3.4). Ширина дорожки do, т. е. кратчайшее рас-
стояние ММ7 между двумя линиями положения, находится с по-
мощью результатов, изложенных в гл. 7 (см. формулу G.8)):
do = A#maX/2sin (Y/2) = Я/2 sin (Y/2), C.14)
где у — угол, под которым видна база d из точки М. Если эта
точка лежит на базе, то 7=180° и ширина дорожки минимальна:
do min=A,/2. Следовательно, число дорожек
N = d/domia = 2d/X. C.15)
Соотношения A3) — A5) используют при расчете масштабной сет-
ки линий положения, которые наносят на специальную навигаци-
онную карту. Неоднозначность отсчета можно устранить с помо-
щью счетчика фазовых циклов, срабатывающего каждый раз, ког-
да разность фаз принимаемых сигналов превышает 2пп, п=\, 2,....
Неоднозначность измерений устраняют также применением мно-
гошкального метода: с помощью дополнительных сеток линий по-
ложения, образуемых при использовании более низких частот, на
которых измеряется разность фаз.
Для реализации рассмотренного фазового разностно-дально-
мерного метода необходимо обеспечить раздельный прием сигна-
лов, приходящих из двух РНТ. Однако при работе радиостанций
на одной несущей частоте это практически неосуществимо, так как
излучаемые сигналы будут интерферировать в пространстве и
РПрУ примет суммарный сигнал, из которого нельзя извлечь ин-
формацию о разности расстояний. Для преодоления этой трудно-
сти используют частотную либо временную селекцию сигналов. Час-
тотную селекцию обеспечивают излучением сигналов на разных
130
чн
• гвч
УНЧ
См
О Тп/2 Тп JTJ2
- а) б)
Рис. 3 5 Структурная схема (а) и диаграммы изменения частоты излучаемого
и принимаемого сигналов (б) частотного дальномера
несущих частотах ша и <ов, причем удобно, чтобы
где тип — целые числа. Такие сигналы принимаются РПрУ по
разным частотным каналам; после усиления сигналы с помощью
умножителей частоты приводятся к одной частоте © = ©a«=«b^,
на которой изменяется разность фаз. Временную селекцию сигна-
лов обеспечивают строгим разграничением излучения каждой ра-
диостанции по времени.
Частотный метод. При этом методе дальнометрии излучается
непрерывное частотно-модулированное колебание; время запазды-
вания определяется путем измерения частоты биений между из-
лучаемым и принимаемым сигналами. Передатчик, состоящий из
частотного модулятора ЧМ и генератора высокой частоты ГВЧ
(рис. 3.5,а), генерирует колебания, частота которых меняется по
периодическому закону — пилообразному или гармоническому.
При симметричном пилообразном законе модуляции (рис. 3.5,6)
частота излучаемых колебаний /i (/) =/o+2jWrM, 0^.t^TJ2, где
fo — начальное значение частоты; /а — девиация частоты; 7М=
= \/FM — период модуляции. Частота принимаемого сигнала /г@
изменяется по такому же закону (при неподвижном объекте), при
этом /г {t) =fo+2/a{t—т)/Гм из-за задержки сигнала на время
t=2R/c. На выходе смесителя См образуются биения разностной
частоты f6=f1(t)—f2{t)=4fdFMRfc, которые после усилителя низ-
кой частоты УНЧ поступают на частотный анализатор ЧА. В ре-
зультате
i? = c/6/4/5FM. C.16)
Частотный анализатор может быть последовательным (однока-
нальным) либо параллельным (многоканальным). Последова-
тельный анализатор — перестраиваемый по частоте узкополосный
фильтр. При таком построении анализатора приходится тратить
время на поиск сигнала по частоте, что приводит к энергетичес-
ким потерям. Этого недостатка нет в параллельном частотном
131
анализаторе, состоящем из набора узкополосных фильтров, пере-
крывающих диапазон возможных частот биений. В этом случае
можно одновременно измерять дальность до многих целей. Недос-
татком параллельного спектроанализатора по сравнению с после-
довательным является увеличение объема аппаратуры.
Как следует из A6), относительная погрешность измерения
дальности
AR/R = А У/с + A fa/fa + A FJFU + А с/с,
где А/б//б — относительная погрешность измерения частоты бие-
ний; kfoffd, AFM/FM, Ас/с — относительные нестабильности девиа-
ции частоты, частоты модуляции и скорости распространения волн
соответственно.
В рассматриваемом дальномере появляется также дополни-
тельная методическая погрешность, обусловленная спецификой ис-
пользуемого метода. Из-за периодичности модуляции сигнала
спектр биений близок к дискретному, причем спектральные ли-
нии расположены в точках f=kFM, k=\, 2,.... Частотный анали-
затор определяет частоту биений по положению спектральной ли-
нии с наибольшей амплитудой. При этом минимальное изменение
частоты биений, которое можно зафиксировать, А/б=/гм- Следо-
вательно, согласно A6) фиксируемое минимальное изменение
дальности AR — cAf6lAfdFu=c/Ald. Эта величина и дает методичес-
кую погрешность частотной дальнометрии. Она же определяет на-
именьшие измеряемое и разрешаемое расстояния. Для уменьше-
ния AR необходимо увеличивать девиацию частоты /а, т. е. рас-
ширять спектр зондирующего сигнала.
Основные достоинства частотной дальнометрии: малая пиковая
мощность зондирующего сигнала, возможность разрешения объ-
ектов по дальности. Недостатки: трудности обеспечения эффек-
тивной развязки передающего и приемного каналов, высокие тре-
бования к линейности изменения частоты.
3.2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВЫХ
КООРДИНАТ
Измерение угловых координат основано на определении угла
прихода радиоволн, излученных или отраженных объектом. Для
этого используют радиопеленгаторы. Важной характеристикой ра-
диопеленгатора является его пеленгационная характеристика
и(а) — зависимость нормированного выходного напряжения при-
емника от направления прихода радиоволн. В зависимости от то-
го, какой параметр радиосигнала оказывает основное влияние на
формирование пеленгационной характеристики, методы угломет-
рии (пеленгации) подразделяют на амплитудные, фазовые, час-
132
Рис. 3.6. Диаграммы, иллюстрирующие пеленга-
цию методом максимума (а), минимума (б) и
сравнения (в)
тотные и комбинированные (амплитудно-фазовые). Основными из
этих методов, нашедшими распространение на практике, являют-
ся первые два; их мы и рассмотрим.
Амплитудные методы. Амплитудные методы пеленгации осно-
ваны на использовании направленных свойств антенн. Если ис-
пользуются направленные свойства только приемной антенны, ДН
которой равна fnp(a), то пеленгационная характеристика радио-
пеленгатора и(а) =rcfпР(а), где к — коэффициент пропорциональ-
ности. При использовании направленных свойств как приемной,
так и передающей антенны w(a)=/c7np(a)fneP(a), где fnep (a) —
ДН передающей антенны. Если на передачу и прием работает
одна антенна, то /пер(а)=/пр(а)=/(а), при этом и{а) =к'р{а).
Среди амплитудных методов пеленгации различают методы
максимума, минимума и сравнения. Пеленгация методом макси-
мума (рис. З.б,а) осуществляется путем совмещения направления
максимума пеленгационной характеристики а с направлением на
пеленгуемый объект cto в результате плавного вращения ДН ан-
тенны; пеленг отсчитывается в тот момент, когда напряжение на
выходе приемника становится максимальным. Достоинства мето-
да максимума: простота технической реализации, получение на-
ибольшего отношения сигнал-шум в момент отсчета пеленга. Не-
достатки метода: низкая пеленгационная чувствительность и, как
следствие, низкая точность пеленгации.
Пеленгационная чувствительность — это способность радио-
пеленгатора изменять напряжение на выходе приемника при из-
менении положения ДН антенны относительно направления на
объект. Чем больше изменение напряжения при заданном изме-
нении угла, тем выше пеленгационная чувствительность. Количе-
133
ственной мерой пеленгационнои чувствительности является кру-
тизна пеленгационнои характеристики
Kn=\du(a)/da\a=a.. (ЗЛ7>
Если Да — минимальное изменение выходного напряжения при-
емника, которое может зафиксировать измеритель, то согласно
A7) абсолютная погрешность измерения угловой координаты
Ааж\Аи]Кп- Таким образом, чем больше крутизна пеленгационнои
характеристики, тем выше пеленгационная чувствительность и тем
меньше погрешность измерения угла.
Так как максимум ДН антенны обычно «тупой», то пеленгаци-
онная чувствительность при пеленгации методом максимума мала
и, следовательно, погрешность измерения высока.
Пеленгация методом минимума (рис. 3.6,6) осуществляется
путем плавного вращения ДН с резким провалом. Угол отсчиты-
вается в тот момент, когда направление минимума пеленгацион-
нои характеристики а совпадает с направлением на объект ао,
при этом напряжение на выходе приемника минимально. Крутиз-
на пеленгационнои характеристики в этом случае выше, чем при
методе максимума, поэтому выше и точность пеленгации. Однако
амплитуда принимаемого сигнала вблизи направления на объект
мала, что затрудняет дальнометрию и, следовательно, использо-
вание метода минимума в активной радиолокации. Этот метод
применяется главным образом в радионавигации при пеленгации
источников мощного собственного излучения.
При пеленгации методом сравнения (рис. 3.6,в) угол опреде-
ляется по соотношению амплитуд двух принимаемых сигналов,
соответствующих двум пересекающимся диаграммам направлен-
ности fi(a) и /2(a). Приемник в этом случае двухканальный, при-
чем напряжения на выходе каналов пропорциональны значениям
/i(a0) и /2 (ао):
Si == «1/1 («о), s2 = k2f2(a0).
Сравнивая эти сигналы, например путем деления, находим
s = sjs2 = к, /х (ао)//с2 /2 (а0). C.18)
Измерив отношение 5 и решив уравнение A8) относительно ао,
найдем искомый угол. Достоинством метода сравнения является
возможность быстрого определения направления на объект (в те-
чение одного импульса) в пределах сравнительно широкого сек-
тора при неподвижных антеннах. Однако точность измерения мо-
жет иногда оказаться низкой в зависимости от вида и взаимно-
го положения ДН антенн и угла прихода радиоволн.
В том случае, когда отношение сигналов sjs2 стремятся сде-
лать равным единице, приходим к равносигнальному методу пе-
134
ленгации. При этом методе ДН антенной системы поворачивает-
ся до тех пор, пока объект не окажется на равносигнальном на-
правлении РСН (см. правый рис. 3.6,в), когда s = Si/s2=l. Дос-
тоинство равносигнального метода — сравнительно высокая точ-
ность пеленгации, так как при измерении используется та часть
ДН, которая обладает большой крутизной. Данный метод приме-
няется при автоматическом слежении по угловым координатам за
движущимся объектом. В этом случае удобнее формировать не
отношение сигналов A8), а их разность s=Si—s2. Система управ-
ления поворачивает антенну (или ДН при неподвижной антен-
не) в ту или иную сторону (в зависимости от знака величины s),
стремясь свести рассогласование s к нулю. При этом равносиг-
нальное направление будет отслеживать изменение направления
на объект.
Методы сравнения, в частности равносигнальный, используют в
многоканальных (моноимпульсных) радиопеленгаторах и в одно-
канальных. В первом случае благодаря многоканальности прием-
ной системы сравнение сигналов происходит в один и тот же мо-
мент времени. Во втором случае нужно периодически менять по-
ложение ДН антенны в пространстве, при этом сравниваются ме-
жду собой сигналы, принятые в разные моменты времени при
различных положениях ДН. Одноканальные радиопеленгаторы
проще многоканальных, однако менее помехозащищены и обес-
печивают меньшую точность.
Фазовый метод. Фазовый метод пеленгации основан на изме-
рении разности фаз электромагнитных колебаний, принятых на
две разнесенные антенны. Пусть в точках Л и В, расстояние меж-
Рис. 3.7. Диаграмма, иллюст-
рирующая фазовый метод пе-
ленгации
Рис. 3.8. Пеленгационные ха-
рактеристики фазовых пеленга-
торов
135
ду которыми d (рис. 3.7), расположены приемные антенны. Раз-
ность фаз принимаемых колебаний фР= BяД) (Ra—Rb), где Ra,
Rb — расстояния от антенн до объекта. При RA~>d, RB>-\d имеем
cpp = Brt/h)dsina, C.19)
где a — угол между нормалью к базе и направлением на объект.
Измерив разность фаз фр, найдем
a = arcsin [фр/Bя d/X)]. C.20)
При пеленгации объекта не на плоскости, а в пространстве, когда
требуется определять две угловые координаты, нужна вторая па-
ра антенн, база которых пересекается с базой первой пары.
В качестве фазочувствительного элемента можно использовать
фазовый детектор. Напряжение на его выходе пропорционально
косинусу разности фаз: s=/ccos<pp. Согласно A9) пеленгационная
характеристика u(a)=cos[Bn/!K)ds'ma]. При малых углах sina^
«<a, поэтому и(а)—со$[Bтс!Х)ёа] {1 на рис. 3.8). Так как в ок-
рестности а=0 крутизна пеленгационной характеристики мала,
то и точность пеленгации будет низкой. Кроме того, поскольку
рассматриваемая пеленгационная характеристика является чет-
ной функцией угла, то его определение будет двузначным, т. е.
нельзя будет определить направление смещения объекта от пер-
пендикуляра к базе.
Эти недостатки устраняются, если ввести в один из приемных
каналов после резонансного усилителя РУ фазовращатель ФВ на
л/2 (рис. 3.9). Напряжение на выходе фазового детектора ФД из-
меряется вольтметром В. Благодаря смещению фазы сигнала в
одном из каналов на л/2 пеленгационная характеристика стано-
вится нечетной функцией B на рис. 3.8)
и (a) = sin [Bя/А) d a] ж Bя/А) d a,
при этом ее крутизна Kn=2nd/\k. Как видим, пеленгационная чув-
ствительность, следовательно, точность пеленгации растет с уве-
личением отношения dfk. Однако при этом будет уменьшаться ди-
апазон однозначного измерения угла
Датах- Действительно, поскольку для од-
нозначного измерения разности фаз с
помощью фазового детектора необходи-
мо, чтобы фр^я, а при малых а соглас-
но A9) фР^2лй?аД, то Aamax = X/2d.
Для обеспечения высокой точности и
в то же время однозначности измерений
можно применить многошкальный метод
Рис. 3.9. Структурная (подобно фазовой дальнометрии). При
схема фазового пеленга- ч ^ г / г
тора двухшкальном методе вводят третью ан-
136
т
РУ
ФВ
ФД
т
РУ
1
в
тенну и создают большую и малую базы. Пара антенн с ма-
лой базой обеспечивает грубое, но однозначное измерение уг-
ла (в диапазоне Аатах). Антенны с большой базой дают более точ-
ный отсчет.
Неоднозначность пеленгации можно устранить также, приме-
нив антенны с достаточно узкими ДН: их ширина аа не должна
превышать диапазон однозначной пеленгации, т. е. аа^1Аатах.
Кроме того, остронаправленные антенны обеспечивают разреше-
ние объектов по угловым координатам.
3.3. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ
Измерение радиальной и путевой скоростей. Измерение ради-
альной скорости движения объекта сводится к измерению допле-
ровского смещения частоты принимаемого сигнала. Пусть, напри-
мер, приемник неподвижный, а излучатель радиоволн движется и
R(t) — расстояние между ними в момент времени t. Радиальная
скорость VR=R(t) есть проекция вектора скорости движения из-
лучателя на направление «приемник — излучатель». Частота /
принимаемого сигнала смещена относительно частоты /о излуча-
емого на величину, равную частоте Доплера /д=—foVR/c (см.
A.3)). Отсюда радиальная скорость VR =—с/д//0. Для ее опреде-
ления нужно измерить доплеровское смещение /д, а для этого в
точках излучения и приема должны быть установлены высокоста-
бильные эталоны частоты.
В однопозиционных РЛС необходимость в указанных этало-
нах отпадает, так как передатчик и приемник расположены в
одном месте, причем в качестве опорного колебания, относитель-
но частоты которого измеряется смещение частоты принимаемого
сигнала, используется сам излучаемый сигнал. Доплеровское сме-
щение частоты по сравнению с A.3) удваивается (из-за удвоения
пути, проходимого радиоволнами):
-21/А C.21)
где VR=R(t) — радиальная скорость цели; R(t)—наклонная
дальность. При уменьшении дальности ее производная VR<C0 иг
следовательно, доплеровское смещение /д>0. При удалении це-
ли от РЛС VB>0, поэтому /д<0. Радиальная скорость
VR = XfJ2 C.22)
определяется в результате измерения доплеровского смещения
частоты (рис. ЗЛО). Генератор высокой частоты ГВЧ формирует
непрерывное немодулированное колебание частоты f0. На смеси-
тель См приемника поступают прямой сигнал и сигнал частоты
Ь±/д, отраженный от цели (знак /д определяется знаком VR). В
1Я7
УДЧ
fe смесителе образуется сигнал
биений частоты /д, которыйче-
См
|ч\ рез усилитель доплеровской
частоты УДЧ поступает на
частотомер Ч, проградуиро-
ванный в значениях радиаль-
•^/д ной скорости.
Рис. 3.10. Структурная схема В соответствии СО струк-
доплеровской РЛС турной схемой на рис. 3.10
строят доплеровские РЛС с
непрерывным немодулированным излучением. К числу досто-
инств таких РЛС относятся их простота и отсутствие ближ-
ней «мертвой» зоны, благодаря чему их применяют, в частно-
сти, в радиолокационных головках наведения снарядов в радио-
взрывателях. Важным достоинством доплеровских РЛС яв-
ляется их способность селектировать объекты по скорости путем
настройки УДЧ на заданную частоту Доплера и, в частности, се-
лектировать сигналы движущихся целей на фоне отражений от
неподвижных объектов. ч
На основе схемы на рис. ЗЛО строят и ДИСС, определяющие
путевую скорость V и угол сноса а Л А (см. § 1.3). Для одновре-
менного определения V и а антенная система ДИСС должна фор-
мировать как минимум две узкие ДН, обеспечивающие наклон-
ное облучение земной поверхности. При этом необходимо полу-
чить достаточно большие проекции вектора скорости ЛА на нап-
равления облучения и то же время сохранить достаточно сильное
отражение в направлении на ДИСС. Отраженные сигналы, пос-
тупающие по двум лучам, раздельно обрабатываются, измеряются
их доплеровские смещения /Д1 и (л2, однозначно связанные с У и
а [6]. Наибольшая точность определения путевой скорости и угла
сноса обеспечивается в многолучевых ДИСС.
Измерение угловой скорости. Измеряя угловую координату
движущегося объекта a(t), можно рассчитать его угловую ско-
рость da{t)fdtz==\a(t). При неподвижных антеннах угловую ско-
рость измеряют с помощью фазового метода пеленгации. Разность
фаз сигналов, принятых в точках А и В (см. рис. 3.7), согласно
<19)
ФР = BяА) (RA - RB) »Bя/Я) d sin a (/).
Продифференцировав обе части приближенного равенства, полу-
чим
где 1/дА=?А(/); VRB—RB(t) — радиальные составляющие ско-
1QQ
рости движения объекта. Согласно B2) Кда=Х/да/2, Vrb
= Я/дв/2, поэтому
a (t) = Я (/дЛ - [дв)Ш cos a (/).
При малых углах (a{t) ^10°) cos а(/) « 1, и тогда
Таким образом, измерение угловой скорости движения объекта
сводится к измерению разности доплеровских частот сигналов, при-
нятых двумя разнесенными антеннами.
Г л а в а 4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
СИГНАЛОВ
4.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ОЦЕНИВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ
Измерение координат и параметров движения объектов в радио-
локации и радионавигации, как ясно из гл. 3, сводится к измере-
нию параметров принимаемых сигналов, отраженных или излу-
ченных объектом. Метод измерения координат определяет, какой
параметр подлежит измерению: время запаздывания, амплитуда,
частота, фаза. Оценив параметры сигнала, можно найти даль-
ность, разность дальностей, угловые координаты, радиальную и уг-
ловую скорости объектов.
Для обеспечения наивысшей точности измерения координат не-
обходимо оценивать параметры принимаемых радиосигналов оп-
тимальным образом. Как и задача обнаружения сигналов, зада-
ча измерения их параметров является статистической, и ее опти-
мальное решение можно получить, использовав раздел теории ста-
тистических решений — теорию оценивания * параметров.
Статистическая задача оценивания параметров сигнала ста-
вится следующим образом. Пусть в течение некоторого времени
* Термин «оценивание» несколько шире термина «измерение». Далее пер-
вый из них будем использовать в основном при математическом описании про-
цесса получения результатов оценивания — оптимальных оценок параметров
сигналов, второй — при технической интерпретации получаемых решений (пред-
ставление алгоритмов оценивания в виде структурных схем и т. д.).
139
наблюдается случайный процесс y(t)—смесь полезного сигнала
и шума. Послезный сигнал зависит от неизвестных параметров, зна-
чения которых не изменяются * на интервале наблюдения. Пара-
метры сигнала можно разделить на информативные и неинформа-
тивные. Информативные параметры 9=Fь 02, ..., Qi) несут по-
лезную информацию о координатах и параметрах движения объ-
екта и подлежат оцениванию. Примером информативного пара-
метра является время запаздывания отраженного от объекта ра-
диосигнала, по которому в активной радиолокации определяют на-
клонную дальность. Неинформативные параметры ji= (щ, (Лг, •••
..., \ir) — мешающие и оцениванию обычно не подлежат. Приме-
ром неинформативного параметра может служить начальная фаза
высокочастотного заполнения радиоимпульсов.
Оптимальное правило оценивания, как и оптимальное правило
обнаружения, определяется наилучшей в том или ином смысле
решающей функцией б, которая отыскивается методами теории
статистических решений. Оцениваемый параметр 0 может прини-
мать непрерывное или же дискретное множество значений в. В
результате наблюдения на отрезке времени [О, Т] реализации
y={y(t), O^t^T} случайного процесса y(t) выносится решение
d=h{y), которое и используется в качестве неизвестного значе-
ния параметра 0. При этом решение d называется точечной оцен-
кой или просто оценкой параметра 0.
Наблюдение протекает в непрерывном либо в дискретном вре-
мени. Непрерывные случайные величины {y(ti)=yi, 1=1,..., п}
описываются я-мерной плотностью распределения вероятностей
w(y\Q, ц) (здесь и далее у=у\,..., уп)- зависящей от информа-
тивных и неинформативных параметров сигнала. Так как послед-
ние являются мешающими, то их влияние целесообразно исклю-
чить. Проще всего это реализовать при байесовской постановке
задачи, когда |л^М — вектор случайных величин, плотность рас-
пределения вероятностей которых (априорная плотность) Wq{\x)
известна. Тогда в соответствии с правилами теории вероятностей
можно вычислить
м м
D.1)
В результате плотность вероятностей w(y\Q) обусловлена толь-
ко информативными параметрами; зависимость от неинформа-
тивных параметров исключается. Итак, в общей постановке ста-
тистическая задача оценивания параметров сигнала сводится к
оцениванию параметров распределения вероятностей наблюдаемо-
* Это ограничение снимается позднее при рассмотрении более общих задач
оценивания.
140
го процесса. Далее рассмотрим основные методы оценивания ска-
лярного параметра, затем обобщим их на векторный.
Байесовские оценки. Введем функцию потерь с @, d), характе-
ризующую плату за вынесение оценки d при условии, что истин-
ное значение параметра равно 0. В байесовской постановке задачи
оценивания параметр 9 интерпретируется как случайная величи-
на, распределение вероятностей которой известно наблюдателю
(см. § 2.2). Минимизируя средний риск f(w0, 6) (см. B.6)) или
же апостериорный риск гг(у, б) (см. B.10)), можно найти бай-
есовское решение d* = 6*(y) относительно априорной плотности
вероятностей wo(Q):
7(w0, 6*) = minr"(ro0> б). D.2)
d
Решение d* и будет оптимальной оценкой по байесовскому кри-
терию, иначе — байесовской оценкой параметра 0. Качество опти-
мальной оценки определяется минимальным значением среднего
риска, т. е. байесовским риском B).
Чтобы приступить к отысканию байесовской оценки, необходи-
мо конкретизировать функцию потерь. Одной из наиболее употре-
бительных функций потерь является квадратичная:
с (9, d) = (Q~d)\ D.3)
В этом случае апостериорный риск B.10)
га(У, 8) = Щ(в
Так как условное математическое ожидание суммы равно сум-
ме условных математических ожиданий и в силу свойств
M[fW\y]=f(y)NL(Q\y), М[ПУ)\У]=!(У), где f(-) - любая
функция, имеем
т,А (у, б) = М @2|у) - 2б (у) М @| у) + б2 (у).
Выделив в правой части этого равенства полный квадрат
гй(У, 6) =
видим, что выражение, стоящее в фигурных скобках, не зависит
от оценки. Поэтому минимизировать по б нужно первый член.
Этот член неотрицателен, причем минимальное значение достига-
ется, если он равен нулю. Следовательно
Таким образом, байесовская оценка при квадратичной функции
потерь представляет собой апостериорное математическое ожидаг
ние оцениваемого параметра 0. В дальнейшем эту оценку будем
обозначать также 0.
141
Выразив апостериорное математическое ожидание через апос-
териорную плотность вероятностей, имеем
p D.4)
0
При квадратичной функции потерь байесовский риск B)
7(ю0, 6*) = M@-0J.
Если d — оценка параметра 9, то разность @—d) есть ошибка
оценивания. Так как для любой оценки
M@-dJ>M@-0J, D.5)
то можно говорить, что байесовская оценка при квадратичной
функции потерь оптимальна по критерию минимума среднего
квадрата ошибки. Оценку D) называют байесовской среднеквад-
ратической. Отметим также, что в соответствии с B.4)
D.6)
Рассмотрим еще одну функцию потерь вида
с@, d) = Cl-8(Q-d), D.7)
где константа Ci>>0, a 6 — дельта-функция. В этом случае апос-
териорный риск
в
Отсюда видно, что оценка d*, минимизирующая апостериорный
риск, должна максимизировать апостериорную плотность веро-
ятностей w(Q\y) оцениваемого параметра 0.
Таким образом, байесовская оценка при функции потерь вида
G) — оптимальная по критерию максимума апостериорной плот-
ности вероятностей или максимальная апостериорная. Если мак-
симум достигается во внутренней точке области изменения пара-
метра 0 и апостериорная плотность w(Q\y) дифференцируема по
0, то максимальную апостериорную оценку можно найти, решив
уравнение dw(Q\y)fdQ=0. Обычно удобнее решать уравнение
d\nw(Q\y)/dQ=-0 D.8)
(Inw{Q\y) достигает максимума при том же значении 0, что и
w(Q\y)).
Оценка максимального правдоподобия. Неравенство Краме-
ра — Рао. Если оцениваемый параметр 0 является неслучайной
величиной, то для отыскания оценки используют небайесовские
методы оценивания. Наибольшее распространение из них получил
метод максимального правдоподобия.
142
Плотность распределения вероятностей w{y\Q) наблюдений
1/е7, рассматриваемая как функция неслучайного параметра 9
называется функцией правдоподобия. Обратим внимание на то,
что эта функция зависит как от параметра 0, так и от реализации
у=уи..., уп наблюдаемого случайного процесса. Оценкой макси-
мального правдоподобия называется такая точечная оценка d*=
А
=6*(г/)г=0м, для которой
() D.9)
бее
Если максимум достигается во внутренней точке множества в
и функция правдоподобия дифференцируема по 6, то оценка 9М
является корнем уравнения dL(Q)/dQ = 0 или
d\nL(Q)/dQ = 0, D.10)
называемого уравнением максимального правдоподобия.
Отметим, что рассматриваемая оценка 0М введена эвристичес-
ки и о ее качестве ничего определенного пока что сказать нельзя
(в отличие от байесовской оценки D), которая по сути дела полу-
чена минимизацией среднего квадрата ошибки). Чтобы внести в
этот вопрос некоторую ясность, рассмотрим одно важное свойст-
во точечных оценок.
Пусть d=6(y) — оценка неслучайного параметра G, матема-
тическое ожидание которой может быть смещено относительно 6:
D.11)
где Л@) — смещение оценки. Если Д@)=О, т. е. если
M8(y) = Q, D.11а)
оценка б (у) называется несмещенной. Из A1) следует, что
у
Дифференцируя по 0, получаем *
D.12)
* Предполагается, что функция w(y\Q) удовлетворяет условиям регуляр-
ности [63], позволяющим дифференцировать под знаком интеграла.
ИЗ
где Д'@) —d\A(Q)/dQ. Перепишем равенство A2) с учетом фор-
мулы v
dw'Ay\B)idB = w (у\В) д In (w\Q)№ D.13)
следующим образом:
О \3
Применим к этому соотношению неравенство Коши)—Буняковско-
го (см. B.106)):
Первый интеграл в этом выражении равен дисперсии оцен-
ки б {у):
Таким обраом, получаем неравенство
1' + А'(е)Р DЛ4)
которое называется неравенством Крамера — Рао. Если оценка яв-
ляется несмещенной, неравенство Крамера — Рао принимает вид
D б (У) > . D 15)
Как видим, неравенства A4) и A5) определяют минимально
возможные или нижние границы дисперсий любых смещенных и
несмещенных оценок соответственно. Эти границы, т. е. правые
части указанных неравенств, называют границами Крамера —
Рао. Их значения зависят от объема выборки у=Уи ...,Уп и плот-
ности вероятностей w(y\Q).
Дисперсия оценки есть мера ее рассеяния относительно сред-
него значения оценки, и при измерениях желательно использовать
оценки с минимальными дисперсией и смещением. Наилучшей,
очевидно, будет несмещенная оценка, дисперсия которой равна
границе Крамера — Рао (т. е. правой части в A5)); такую оцен-
ку назовем наиболее эффективной* и обозначим 6Ш.
Для сравнения различных оценок б (у) (в том числе и оценок
максимального правдоподобия) с наиболее эффективной вИэ вво-
дят отношение их дисперсий
D.16)
* Обычно используемый в этом случае термин «эффективная оценка» ме-
нее удачен из-за его многозначности.
144
называемое эффективностью оценки Ь{у). Чем больше это отно-
шение, тем предпочтительнее оценка. Очевидно, что для любых
оценок б (у) неслучайного параметра 6 0=^еЩб(г/)]^1, причем
eff(eH9) = l. "
Обратимся к соотношению A5). Равенство в нем достигается, если нера-
венства Коши — Буняковского для рассматриваемого случая переходят в ра-
венство. Последнее имеет место тогда, когда для всех уеУ и
д In w (у\В)/д 0 = [б (у) — 0] у @),
где i|)(-) — функция, не зависящая от у. Это равенство должно выполняться
для всех значений 0е6, в том числе и для некоторой оценки 8 параметра 8,
при которой
|e==§ 0. D.17)
Функция i|)(-) не зависит от у. Поэтому если существует оценка б (у),
Л
при которой A5) становится равенством, т. е. если существует б(г/)=6нэ, то,
как следует из A7), 6(г/)=0нэ=0, где 0 — решение уравнения максимального
V А
правдоподобия, т. е. 0 = 0М-
Таким образом, если существует наиболее эффективная оцен-
ка, то она совпадает с оценкой максимального правдоподобия
8м. В данном случае 9М оптимальна в том смысле, что она не сме-
щена и ее дисперсия имеет наименьшее возможное значение сре-
ди дисперсий любых оценок неслучайного параметра 8.
Однако если наиболее эффективной оценки не существует, то,
вообще говоря, нельзя утверждать, что оценка максимального
правдоподобия оптимальна. В то же время при выполнении не
слишком ограничительных условий, накладываемых на плотность
w(y\Q) (см., например, [63, с. 361]), оценка максимального прав-
доподобия б* (уи ..., уп) =8мп асимптотически оптимальна, по-
скольку она состоятельна, т. е. сходится по вероятности к истин-
ному значению параметра 8: limP{|'8Mn—6|^е} = 0 для любого
ГСOO А
еХ), и асимптотически наиболее эффективна: lim effFMn)==l.
П-+0О
Потенциальная точность измерения параметра. Приняв реше-
ние d=6{y) за оценку параметра 8, мы совершаем ошибку Д8==
~&(у)—9- Достаточно общей и в то же время удобной мерой ка-
чества оценивания является среднее значение квадрата ошибки:
8]2. D.18)
145
Эта мера используется как при байесовских, так и при небайесов-
ских оценках. Следует только иметь в виду, что математическое
ожидание в A8) для указанных оценок вычисляется по-разному.
При байесовском подходе 6—случайная величина. Поэтому
усреднение осуществляется по у и 9:
М [б (у) ~б]2 - $$[8 (У) ~ OP w(y\Q) w0 (9) dydQ,
• У
где шо(|9) —априорная плотность вероятностей параметра 9. При
небайесовской оценке параметр 6 неслучайный и поэтому усредне-
ние осуществляется только по у:
М [б (У) - 9]2 = J[6 (у) - 9Р w (y\Q) dy.
У
От меры A8) всегда можно перейти к величине
е]2, D.19)
имеющей ту же размерность, что и оцениваемый параметр. Если
9 — неслучайный параметр, а 6 (у)—его несмещенная оценка
(Л (9) =0), то мера A9)—ореднеквадратическая ошибка оцени-
вания. При А (Ю) =й=0 мера точности оценивания A9) представляет
со'бой полную ошибку, учитывающую смещение оценки (см.
A.8)). Заметим, что если смещение оценки 6 {у) известно наблю-
дателю, а это может быть только тогда, когда смещение не за-
висит от неизвестного параметра в, т. е. Д(9)=Л, то путем вычи-
тания А всегда можно перейти к несмещенной оценке б (у)—Д.
Отметим также, что для байесовских оценок понятие несме-
щенности, определенное формулой (На), смысла не имеет, так
как 9 — случайная величина; можно говорить лишь о несмещен-
ности в среднем, т. е. в смысле равенства F). Тем не менее тер-
мин «среднеквадратическая ошибка» сохраняют за мерой A9) и
для байесовских среднеквадратических оценок.
Если оценка б (у) оптимальна, т. е. б (у) =6* (у), то величина
A9) определяет потенциальную точность измерения параметра,
т. е. точность измерения, которая может быть достигнута только
при оптимальном построении измерителя. Так как оценка может
быть оптимальной по различным критериям, то и потенциальная
точность, определяемая в среднеквадратическом смысле A9), бу-
дет, воо'бще говоря, разной.
В классе .байесовских оценок наивысшей потенциальной точ-
ностью, как следует из соотношения E), обладает байесовская
среднеквадратическая оценка D). В классе небайесовских оценок
наивысшей точностью, как ясно из предыдущего, будет обладать
оценка максимального правдоподобия, если существует наиболее
эффективная оценка. Кроме того, как следует из асимптотических
146
свойств оценки максимального правдоподобия, эта оценка почти
всегда асимптотически имеет наивысшую потенциальную точность.
Возникает естественный вопрос, какую из возможных оценок
нужно использовать при решении практических задач измерения
параметров радиосигналов. Если неизвестный параметр сигнала
можно представить в виде случайной величины с известным рас-
пределением вероятностей, то целесообразно использовать байе-
совские оценки, и в частности байесовскую среднеквадратическую
оценку, заведомо обладающую наивысшей потенциальной точ- р
ностью.
Однако неизвестный параметр не всегда можно рассматривать
как случайную величину с известным распределением вероятно-
стей. В ряде задач, особенно при отсутствии необходимой апри-
орной информации, более адекватным является представление не-
известного параметра сигнала в виде действительной неслучай-
ной величины При этом целесообразно использовать небайесов-
ские оценки, и в частности оценку максимального правдоподобия.
Отметим, что в асимптотике, т. е. при увеличении объема выборки
(п-^оо), безразлично, какую из рассмотренных оценок применять,
поскольку, как доказывается в математической статистике, бай-
есовские оценки и оценка максимального "правдоподобия асимпто-
тически эквивалентны.
Для выявления взаимосвязи байесовской оценки и оценки
максимального правдоподобия при любом конечном объеме вы-
борки воспользуемся формулой Байеса B.8). Подставив B 8) в
уравнение (8), получим
Отсюда видно, что если dwo(\Q)/dQ—O, то байесовская оценка по
критерию максимума апостериорной плотности вероятностей и
оценка максимального правдоподобия совпадают. Последнее ра-
венство иногда интерпретируют как условие, при котором количе-
ство априорной информации об оцениваемом параметре равно
нулю.
В дальнейшем при решении задач оценивания параметров ра-
диосигнала, постоянных на интервале наблюдения, будем приме-
нять метод максимального правдоподобия. При оценивании ме-
няющихся со временем параметров будем использовать байесов-
ский подход (§ 4.3).
Под потенциальной точностью измерения неслучайного пара-
метра 9 радиосигнала в дальнейшем будем понимать наименьшее
значение среднеквадратической ошибки сге, которое определяется
границей Крамера — Рао (см. 15)):
/[^J2 D.20)
147
Расчет потенциальной точности по этим формулам обычно упро-
щается, если воспользоваться соотношением
= - М-~-\п w(y\d). D.21)
Для доказательства его продифференцируем обе части равенства
J* w(y\Q)dtyi—l по 9 и учтем формулу A3). В результате
у
J ^|9) d ^{Q)
Снова дифференцируя по 8:
J ^.
У Си Со
и, используя A3), получаем
[^J w(y\Q)dy+ $
что и доказывает соотношение B1).
При расчете потенциальной точности измерения необходимо
знать плотность вероятностей смеси сигнала и шума ау(г/|9)==
==ау(#|8, 1б-=1). Если теперь w(y\®=0)—плотность вероятно-
стей одного шума, то статистика
A(y\Q) = w(y\Q,$= \)lw (у\Ъ = 0) = w (y\Q)/w (у\Ъ = 0) D.22)
есть условное отношение правдоподобия. Так как плотность веро-
ятностей шума w(y\'&=0) не зависит от параметра 0, то
JL
О v
при этом соотношения B0) (с учетом B1)) эквивалентны форму-
лам
D.23)
В результате при расчете потенциальной точности измерения
для конкретных моделей сигнала и шума можно воспользоваться
соответствующими выражениями для условных отношений прав-
доподобия, полученными в гл. 2.
Итак, рассматриваемая среднеквадратическая ошибка ае за-
висит от объема (длительности) наблюдений у—У\,... ,уп и от их
плотности вероятностей w(y\Q). Она, вообще говоря, может за-
висеть и от значения оцениваемого параметра. Поэтому в общем
случае при расчете потенциальной точности измерения входящие
148
Формиройа/пель L(8)
функции
Cxe/ia
foifopa
намси/гуг/а
see
а) 6)
Рис. 4.1. Структурные схемы оптимальных измерителей
в формулы B0) *и B3) производные должны вычисляться в точке
9='9о, где 9о — истинное значение оцениваемого параметра:
о2= -i/M-ggs- 1пЛ(*/|9)|е=е0, ое =
D.24)
Структурные схемы измерителей. Схема оптимального измери-
теля параметра 9, реализующего оценку максимального правдопо-
добия 6м, может быть представлена согласно (9) в виде схемы
на рис. 4.1,а. Первый блок, на вход которого поступает реализа-
ция смеси сигнала <и шума, формирует функцию правдоподобия
L(j9), второй блок отыскивает максимум этой функции по всей об-
ласти изменения параметра 9^6. На выходе измерителя имеем
значение параметра, при котором функция правдоподобия макси-
мальна.
Максимизация функции правдоподобия для отыскания оценки
эквивалентна максимизации условного отношения правдоподобия
B2) (или его логарифма). При этом уравнение
= 0 D.25)
эквивалентно уравнению максимального правдоподобия A0). В
результате оптимальный измеритель можно представить также в
виде схемы на рис. 4.1,6. Это позволяет при синтезе оптимальных
измерителей параметра сигнала опираться на результаты синтеза
оптимальных обнаружителей сигналов.
Пути технической реализации оптимального измерителя, пока-
занного на рис. 4.1, могут -быть различными. Наиболее общий
путь сводится к следующему. Пусть @ (область значений пара-
метра '9) представляет собой отрезок прямой с граничными точ-
ками 0min и 9max. Разобьем этот отрезок на несколько отрезков
ТОЧКами 9г, 1=1,2, ... , ГП, ПОЛОЖИВ 9min = 9i<©2< ... <9г< ...
Условное отношение правдоподобия Л(г/|9), являющееся
функцией непрерывного параметра 9, аппроксимируется в этом
случае совокупностью условных отношений правдоподобия {А{у\
Q{)t i=l,... ,m}. В результате приходим к многоканальному из-
мерителю (рис. 4.2). Каждый из каналов формирует условное от-
149
—*
Л (у\0,)
AMI
л()Ю
i—
1—•>
Схема
накеипуна
Рис 4 2. Структурная схема много-
канального измерителя
ношение правдоподобия для
фиксированного значения па-
раметра 0, т. е. для значений
9г(* = 1, ... , т). Схема выбора
максимума определяет номер
канала с максимальным вы-
ходным эффектом.
Если окажется, что
Л(*/|6г)>Л(#|(Ь) для всех
/=1, ..., т, \ф1, то за оценку
параметра 6 принимается зна-
чение 0г.
Заметим, что в каждом из каналов вместо условного отноше-
ния правдоподобия можно формировать логарифм условного от-
ношения правдоподобия. Отметим также, что если (бы параметр 0
был дискретным, принимающим т возможных значений, схема на
рис. 4.2 была бы оптимальной в смысле максимума функции прав-
доподобия. При непрерывном параметре эта схема является ква-
зиоптимальной Однако при увеличении числа каналов она не-
ограниченно приближается к оптимальной, поскольку точность
аппроксимации условного отношения правдоподобия Л(#|0) со-
вокупностью {Л(г/||0г), i=\,... ,т} при увеличении т растет и в
пределе при т-+оо получаем функцию непрерывного параметра.
Число каналов т многоканального измерителя можно опреде-
лить, задавшись допустимым снижением точности измерения по
сравнению с потенциальной точностью. В радиолокационных из-
мерителях число каналов обычно выбирают с учетом разрешаю-
щей способности РЛС Де по измеряемому параметру 0: т —
= (вшах—'0min)/Ae. Это число каналов является, вообще говоря,
минимальным; на практике его обычно увеличивают, чтобы обес-
печить необходимое перекрытие каналов.
Рассмотрим другой путь реализации измерителя (см. рис. 4.1).
Для этого разложим 1пЛ(г/|0) в ряд Тейлора в окрестности неко-
торой опорной точки 0оп, лежащей вблизи истинного значения па-
раметра 0. Если разность 0оп—0 достаточно мала, то можно огра-
ничиться первыми тремя членами ряда:
ае
1пЛ(*/|0)|е=ег
Подставив это выражение в B5), получим уравнение максималь-
ного правдоподобия
150
из которого находим оценку
вм « еоп - [-^- 1п Л (у |в)|е=еоп] [^- In Л (у | в)|в=воа]~' . D.26)
Согласно B6) синтезированный 'измеритель представляет со-
бой по существу оптимальный дискриминатор (рис. 4.3,а), формя-
А
рующий ошибку рассогласования ДР=0Оп—им, называемую также
сигналом ошибки. Для его работы необходимо иметь опорное
значение параметра |8Оп, близкое к истинному значению параметра
0. Это опорное значение можно найти в результате параллельно-
го поиска, который реализуется многоканальной схемой, либо по-
следовательным во времени поиском по всей области возможных
значений параметра 0ев. В последнем случае должна быть пре-
дусмотрена перестраиваемая в области 0 схема поиска, вклю-
чающая в себя обнаружитель сигнала. На выходе этого устрой-
ства формируется опорное значение 6Оп, лежащее в окрестности
истинного значения параметра 0. Последовательный поиск проиг-
рывает во времени параллельному, однако проще в технической
реализации, так как не требует многоканальных устройств.
Когда флуктуации Лг (рис. 4.3,а) не слишком велики, схему
оптимального дискриминатора можно упростить, заменив случай-
ную величину ее математическим ожиданием:
Л2 = -^-1пЛ(г/!0)|в=еоп«М^1пЛ(^/|0)|е=еоп. D.27)
При этом значение Лг вычисляется заранее и вводится в схему
дискриминатора |(рис. 4.3,6) в виде постоянного весового коэффи-
циента*.
А
Если сигнал ошибки Др = 9Оп—0М подать на цепи сглаживания
и управления и замкнуть обратную связь, подав управляющее
воздействие в виде опорного значения параметра 0оп на дискри-
минатор, то получим следящий измеритель (^ес. 4.4). Напомним,
что при отыскании оценки максимального правдоподобия 8М пред-
полагалось, что параметр © не меняется на интервале наблюдения
[О, Т] Однако если это не так и оцениваемый параметр изменя-
ется во времени, то измеритель, представленный на рис. 4.4, бу-
дет следить за изменением параметра, уменьшая ошибку рассо-
гласования Др. Пр'И этом соответственно изменяется опорное зна-
чение 0оп(О» которое и может служить оценкой величины )
* Существует ситуация (оценка амплитуды, § 4 2), когда приближенное
равенство B7) переходит в то"чное
151
?ш(у\1)\в
д2 ,. л
дВг п У lffon
л,
Л2
Л,
а) в)
Рис. 4.3. Структурные схемы дискриминаторов
Дискрими-
натор
\
Цели
сглами8аш
и управления
#ол
Рис. 4.4. Структурная схема
следящего измерителя
В рассматриваемом следящем измерителе синтезирован пока
что дискриминатор (см. рис. 4.3). Что же касается синтеза цепей
сглаживания (фильтрации), то он может быть проведен отдельно
от синтеза дискриминатора путем минимизации среднего квадрата
ошибки М[Э(^)—9оп@]2- Оледящую систему измерения можно
синтезировать и более строгим методом, не привлекая эвристиче-
ски введенную процедуру раздельной оптимизации операций дис-
криминирования (выделения сигнала ошибки) и сглаживания, а
оптимизируя всю систему в целом. Для этого уже на начальном
этапе синтеза необходимо задать математическую модель пере-
менного параметра (в виде некоторого случайного процесса ®(t))
и затем воспользоваться теорией оценивания случайных процессов
{см. § 4.3).
Оценивание векторного параметра. На практике нередко возникает необ-
ходимость оценивать несколько параметров радиосигнала. Так, в радиолока-
ции часто требуется измерять дальность до объекта и одновременно скорость
¦его движения. В связи с этим рассмотрим кратко статистическую задачу оце-
нивания векторного параметра и приведем результаты, непосредственно обоб-
щающие изложенную теорию оценивания.
Пусть плотность распределения вероятностей w(y\Q) наблюдений у (смесь
сигнала и шума) зависит от векторного параметра 8=(Эь 02, ..., Qi)^.B. Не-
обходимо по результатам наблюдения у оценить каждую компоненту вектора
в. На языке теории статистических решений это означает, что нужно с ис-
пользованием векторной решающей функции 6= (бь ..., бг) вынести векторное
решение d= (du ..., di) :d=S(y), т. е. dx==8i(y), ..., di=$i{y), которое и будет
оценкой вектора 6.
В байесовской постановке задачи оценивания вектор в является случай-
ным, априорная плотность вероятностей которого ДооF) известна наблюдате-
152
лю. Введем скалярную функцию потерь с (8, d), характеризующую плату за
вынесение оценки d векторного параметра 6. Аналогично B.6) запишем сред-
ой риск
Г(ш0, 8) = Мс[8, 8(?)] = J7c[0, b(y)]w(y\B)wo(e)dydQ.
в Y
Путем минимизации среднего риска или же апостериорного риска
ra(y, 6) = M{c[6, $
е
где w(Q\y) — апостериорная плотность вероятностей параметра 8, найдем
байесовское решение d* = 6*(z/):
Г(оу0, 6*) = Ш1пГ(а»0, 6).
6
Вектор d*=(d*i, ..., d*i) — оптимальная оценка параметра 9.
Рассмотрим квадратичную функцию потерь
I
с@, d)=
являющуюся суммой квадратов ошибок оценивания. Апостериорный риск
I
2щ
=l i t=l
Минимизация этого выражения осуществляется аналогично предыдущему.
В результате получаем
] i $ i = l I. D.28)
0
Таким образом, оптимальная векторная оценка 6 параметра В есть апос-
териорное математическое ожидание: 8=МF]г/). Каждая из компонент 6i
А А А
вектора 6=Fi, ..., 9г) является оптимальной оценкой соответствующего скаляр-
ного параметра 8,-. Эти компоненты вычисляются по формуле B8), которую
после интегрирования по всем параметрам, кроме 9г, можно записать в виде
где &i — область определения 9г, a w(Qi\y) — апостериорная плотность ве-
роятностей скалярного параметра 9i.
А
Качество векторной оценки 8 характеризуется минимальным средним рис-
ком
153
который, как видим, равен сумме средних квадратов ошибок оценивания ком-
понент 0j (i= I, ..., /).
Л А А
Рассмотрим теперь оценку максимального правдоподобия 0m=@im, .... 6/М)
векторного неслучайного параметра 8= @Ь ..., 0г)е8. Эта оценка находится
из условия максимума функции правдоподобия L(B)=wi(y\Q), т. е.
0е=е
Как и при скалярном параметре, для отыскания оценки максимального
правдоподобия можно максимизировать логарифм функции правдоподобия. Ес-
ли максимум достигается внутри множества 0 и функция правдоподобия диф-
А А
ференцируема по всем параметрам 0Ь ..., Qi, то векторная оценка (вш, ..., 0z м)
находится путем решения системы уравнений максимального правдоподобия:
д In L(d)/dQi = 0, i = l,...,/. D.29)
Потенциальные точности измерения можно определить с помощью системы
неравенств, дающих нижние границы для дисперсий любых несмещенных оце-
нок di-bi(y) неслучайных параметров 9*:
y)-Qi]* = Dbi(y)> off, t=l,..., /. D.30)
Здесь а2ц (t=l, ..., /) — диагональные элементы матрицы 7, обратной ин-
формационной матрице Фишера /, элементы которой
Система неравенств C0) обобщает неравенство Крамера — Рао A5) на век-
торный параметр. Для наиболее эффективных оценок неравенства C0) перехо-
дят в равенства. При этом если существуют такие оценки, то они являются
А А А
оценками максимального правдоподобия 0м=F1м, —» Вгм). Кроме того, при
А А
довольно общих условиях оценки @1м, ..., 0z м) асимптотически (при увеличе-
нии объема п выборки у—Уи ..., уп) наиболее эффективны. Это позволяет оп-
ределить потенциальные точности измерения а д. компонент векторного пара-
метра в формулой
I
D.32)
дающей наименьшие значения среднеквадратических ошибок.
4.2. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНА-
ЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА
'Применим изложенные методы к задаче оценивания не-
случайного параметра Э сигнала s(@, t) (s — детерминированная
функция), наблюдаемого в течение времени Т на фоне белого га-
154
уосовского шума %(t) со спектральной плотностью N0/2. Наблюда-
емый процесс
y(t) = s(Q, t) + l(t), 0<*<7\ D.33)
В дальнейшем будут рассмотрены также задачи, когда сигнал 'за-
висит от случайных неинформативных параметров.
Оценки параметров сигнала будем искать методом максималь-
ного правдоподобия. Для этого нам потребуется условное отноше-
ние правдоподобия Л(г/|О). Как следует из гл. 2, применительно к
рассматриваемой задаче условное отношение правдоподобия
t)dt—±- Js2(9, t)dt\. D.34)
Параметры сигнала можно разделить на энергетические, для кото-
рых равенства s(Q, t)=0 следует 6=0 .и наоборот, и неэнергети-
ческие, для которых указанное условие не выполняется. Энергети-
т
ческий параметр определяет энергию радиосигнала ?@) = Js2@,
о
t)dt. От неэнергетического параметра энергия сигнала, как пра-
вило, не зависит, и поэтому в формуле C4) второе слагаемое под
знаком экспоненты при фиксированном Т является константой.
Амплитуда 'И длительность радиосигнала являются энергетически-
ми параметрами, а фаза, частота и время запаздывания — неэнер-
гетическими.
Оценка амплитуды. Рассмотрим сигнал
s(a, q^as^t), 0<*<7\ D.35)
где Si(t)—детерминированная функция времени, а неизвестным
параметром является амплитуда: '9=а. Условное отношение прав-
доподобия C4) в этом случае
^ fe\ D.36)
о о "оо
а уравнение максимального правдоподобия B5)
JL\nA(y\a) = -^-Sy(t)
да No $ Q ^
Решением этого уравнения является оценка максимального правдо-
подобия
1\% D-37)
о / о
Отсюда видно, что оптимальный измеритель амплитуды сигнала
C5) может быть «реализован с помощью коррелятора или же ли-
нейного фильтра.
155
Вычислив математическое ожидание оценки с учетом B.34)
Мам = м/[а8х (t) +1 (t)} s&t) dt / /s* (t) dt = a,
О / 0
видим, что оценка амплитуды является несмещенной. Дисперсия
оценки
DaM = М (aM - MaMJ = М (aM - aJ = М (aMf - а* =
= Г/sf (^) dt] M J/у (О ^(О h (Пз, (Г) dt'dt" - а\
Lu J о о
Подставляя сюда выражение C3) с учетом C5), используя соот*
ношение B.34) и фильтрующее свойство дельта-функции, нахо-
дим
Вычислим теперь границу Крамера — Рао. Подставляя C6) в
B3), получаем
В результате оказалось, что DdM=(j2a, т. е. оценка амплитуды
C7) является наиболее эффективной.
Потенциальная точность измерения амплитуды
т
при этом Оа/а= l/]/~2E/No, где Е=а2 J s2i(t)dt — энергия сигна-
о
ла. Таким образом, относительная погрешность измерения ампли-
туды сигнала обратно пропорциональна отношению сигнал-шум
по напряжению.
Оценка неэнергетического параметра. Условное отношение
правдоподобия C4) при неэнергетическом параметре
-^/^(Os(e, f)dt\ D.38)
t\
т
где Е= J s2@, t)dt — энергия сигнала. Первый блок оптимально-
о
156
го измерителя (см. рис. 4.1,6) формирует корреляционный инте-
грал
z(B) = fy(f)s(Q, f)dt, D.39)
о
а второй блок отыскивает в области в его максимальное значе-
ние z(Qu), тем самым определяя оценку максимального правдопо-
добия 6М. Уравнение B5) в рассматриваемом случае имеет вид
()/д0
)
На вход измерителя поступает процесс
(Q0, t) + t(t), D.40)
где 0о — истинное значение оцениваемого параметра. На выходе
коррелятора согласно C9) и D0) имеем
Z(9) = J s(90, t)s(Q, t)dt + fl(t)s(Q, t)dt.
Первое слагаемое зависит от рассогласования по измеряемому
параметру опорного сигнала s@, t) коррелятора и принимаемого
сигнала s(Q0, t). Поэтому интеграл
v@Of e)=/s@o, t)s(Q, t)dt D.41)
о
называют функцией рассогласования сигнала по параметру 9. Ес-
ли оценивается время запаздывания сигнала т (т. е. 0=т), то
D1) переходит в автокорреляционную функцию сигнала. Введем
также нормированную функцию рассогласования:
р@о, e) = /s(90> t)s(Q, t)dtjE. D.42)
о
Сигнал на выходе коррелятора и функция D2) будут макси-
мальными при отсутствии рассогласования, т. е. при 9=i8o, при
этом р(©о, во) = 1 -
'Построить одноканальный корреляционный измеритель в прин-
ципе возможно, но практически неудобно, так как требуются за-
поминание (запись) принимаемой реализации {y{t), O^t^.T} и
ее перемножение на опорное колебание s@, t) последовательно для
разных значений 0, перекрывающих область в; результаты пере-
множений интегрируются в течение времени Т, и затем отыскива-
л
ется максимальное значение г(9м). Такая процедура требует боль-
ших затрат времени. От этого недостатка свободен многоканаль-
ный измеритель (см. рис. 4.2), схема которого для рассматривае-
157
• х —*¦
\s(Si,f)
¦¦ Л " *
» свн —*> — -
I 1 ?(к
* СФ, —
SciY^.
m
п
--*- свм
п)
Рис. 4.5. Структурные схемы корреляционного (а) и фильтрового
(б) многоканальных измерителей
мого случая показана на рис. 4.5,а. Каждый канал формирует со-
ответствующее значение корреляционного интеграла
00 = / y(t)s(Qif t), t=l,...f m.
о
D.43)
Опорные сигналы s(9i, t) (i=l,..., m), подаваемые на умножи-
тели, должны перекрывать весь диапазон возможных значений
параметра 0. Число каналов т выбирают из тех же соображений,
что и в общей схеме на рис. 4.2.
Многоканальный измеритель можно реализовать и в фильтро-
вом варианте (р'Ис. 4.5,6). В этом случае корреляторы заменяют-
ся согласованными фильтрами. Импульсная характеристика со-
гласованного фильтра в i-м канале, как следует из D3), согласо-
вана с формой сигнала, являясь ее зеркальным отображением
M0=sF<f г-о.
Конкретизируем теперь общую схему дискриминатора (рис.
4.3,6) для рассматриваемой задачи. Заменив производную
конечной разностью
и опустив весовой коэффициент, представим дискриминатор в виде
двухканального коррелятора с расстроенными на А9 каналами,
выходы которых присоединены к схеме вычитания (рис. 4.6). По-
дав выходной сигнал дискриминатора на цепи сглаживания и уп-
равления и замкнув обратную связь, получим следящий измери-
тель.
Например, следящий измеритель времени запаздывания сигна-
ла (9=т) можно представить в виде схемы на рис. 4.7. Оценка
158
X
X
X
X
;г
II ел б сгла-
Оценка
Генератор
селехторно
го
импульса
Схема рееу
лируемои
задержки
Опорный
импульс
Рис. 4 6. Структурная Рис. 4.7. Структурная схема следящего измери-
схема дискриминатора теля времени запаздывания сигнала
времени задержки снимается в виде напряжения с выхода цепи
сглаживания, в качестве которой может быть использована, напри-
мер, интегрирующая цепь. На схему регулируемой задержки посту-
пает опорный импульс, который запускает генератор селекторного
(следящего) импульса. На умножители подаются два селекторных
импульса, задержанных относительно друг друга на Ат. Напряже-
ние на выходе схемы вычитания пропорционально временному рас-
согласованию (т0—Топ) принимаемого сигнала s(t—то) и селектор-
ных импульсов. Управляющее напряжение, снимаемое с цепи сгла-
живания, изменяет положение селекторных импульсов так, что вре-
менное рассогласование уменьшается. При изменении задержки
сигнала то, т. е. при изменении дальности до цели, временное по-
ложение селекторных импульсов соответственно меняется, в ре-
зультате происходит автоматическое сопровождение цели по даль-
ности.
Определим теперь потенциальную точность 'измерения парамет-
ра. Согласно B4), 1C8) имеем
О Я2 Т
О2 =
М
ае2
Подставляя в зто соотношение наблюдаемую
учитывая равенство M?(tf)=0 и D1),
величину D0),
2
)
р ?() () получаем <т2е=
= — 1 / —— —— v@o, 6)Ie=ee. Заменив v(8o, G) нормированной
функцией рассогласования D2), имеем
Таким образом, потенциальная точность измерения параметра
159
y(t)
X
Рис. 4.8. Структурная схема много*
канального корреляционного измери-
теля фазы радиосигнала
свм
Ы
U
В качестве
Как видим, среднеквадра-
тическая ошибка обратно про-
порциональна отношению сиг-
нал-шум и зависит от кривиз-
ны нормированной функции
рассогласования в ее максиму-
ме.
рассмотрим радиоимпульс s(y, t)=i
, с неизвестной начальной фазой
примера
0—ф],
Ф, где A(t), ty(t) —законы амплитудной и фазовой модуляции со-
ответственно, являющиеся детерминированными функциями; щ —
известная частота.
Конкретизация общей схемы многоканального корреляционного
измерителя (см. рис. 4.5,а) приводит к схеме на рис. 4.8. Штрихо-
вой линией обведена фазосдвигающая цепочка, каждое звено кото-
рой осуществляет сдвиг фазы на Аф. Если фаза измеряется в диа-
пазоне 0... 2я, то число каналов т=2я/Аф. Величина Аф и, следо-
вательно, число каналов могут определяться допустимой потерей
точности измерения по сравнению с потенциальной точностью или
допустимой потерей в отношении сигнал-шум. Если, например, ис-
пользовать всего шесть каналов, то, как показывает расчет, по-
тери в отношении сигнал-шум составят 8 %.
Вычислим потенциальную точность измерения фазы. В этом
случае нормированная функция рассогласования D2)
Р(фо, Ф) = 4 A4t)
— ф).
Так как д2соз(фо—ф)/дф2 =— 1, то согласно D4)
оф=1//2?/#0. D.45)
Таким образом, среднеквадратическая ошибка сгф, характеризую-
щая потенциальную точность измерения фазы частотного заполне-
ния радиоимпульса, обратно пропорциональна отношению сигнал-
шум по напряжению и не зависит от вида амплитудной и фазовой
модуляции.
160
Оценка времени запаздывания сигнала со случайными началь-
ной фазой и амплитудой. Радиолокационные и радионавигацион-
ные сигналы кроме информативных параметров содержат и неин-
формативные. К последним обычно относятся начальная фаза вы-
сокочастотного заполнения радиосигнала и его амплитуда. Поэто-
му практически важную задачу оценивания времени запаздыва-
ния радиосигнала рассмотрим, использовав модель сигнала со
случайными начальной фазой ф и «амплитудой» а:
s(t, а, ф, t) = Y2aA (t — t)cos[co0(Z — t) + i|>(/ — t) — <p],
0<*-t<T D.46)
(нормировочный коэффициент ]/2 введен для удобства записи
дальнейших соотношений).
Законы амплитудной A(t—т) и фазовой i|)(i—т) модуляции
зависят от информативного параметра т — времени запаздывания
сигнала, по которому определяется дальность R (см. C.1), C.2)).
Обратим внимание на то, что в рассматриваемой постановке зада-
чи информативный параметр т является неизвестной неслучай-
ной величиной (в отличие от модели B.79)), а неинформативные
параметры а и ф — случайными величинами. При этом, как и в
задаче обнаружения, считаем, что амплитуда сигнала распределе-
на по закону Рэлея B.72), а начальная фаза — по равномерному
закону B.61). При такой постановке задачи для отыскания функ-
ции правдоподобия w{y\%) нужно воспользоваться соотношением
типа A), что эквивалентно отысканию условного отношения прав-
доподобия К(у\%) путем усреднения условного отношения правдо-
подобия Л(г/|т, а, ф) при фиксированных значениях а и ф по фор-
муле
оо2Л
А(у\1:) = Ц А(у\т, а, <р) w0(a)wQ(q>)d<pda
о о
(ср. с B.73)). Воспользовавшись выражением для отношения прав-
доподобия B.75), получим
^^^] D.47)
где
D.48)
— огибающая корреляционного интеграла, квадратурные состав-
ляющие которого
6—100 161
D.48а)
? —усредненная энергия -сигнала (см. B.76)). Максимально
правдоподобная оценка тм времени запаздывания т, как следует
из B5) и D7), является решением уравнения dz20(i)/&z=Q.
Схема многоканального измерителя применительно к рассмат-
риваемой задаче показана в корреляционном варианте на рис.
4.9,а. Каждый из т каналов этого измерителя в свою очередь, со-
стоит из двух квадратурных каналов, на которые подаются опор-
A(t-rf)cos[&e(t~r,)+
ffi)
At
ж/г
n
X
lilt)
СФ
АД
CBtt
я/2
X
г,(гт)
CBN
a)
Рис. 4.9. Структурные схемы корреляционного
(а) и фильтрового (б) измерителей времени за-
паздывания сигнала со случайными начальной фа-
зой и амплитудой
Рис. 4.10. Диаграмма выбора максимума видео-
сигнала в фильтровом измерителе
162
ные колебания, сдвинутые по фазе на я/2. Запаздывание Дт меж-
ду отводами линии задержки выбирается iB соответствии с разре-
шающей способностью РЛС по времени запаздывания Дт, кото-
рая, в свою очередь, определяет разрешающую способность по
дальности Ад (см. § 6.3). При этом минимальное число каналов
т определяется заданным диапазоном изменения дальности
Л max—Rmlnl ffl= (лтах—|Дт1п)/Дд.
Отметим, что каждую пару квадратурных каналов можно за-
менить согласованным фильтром с последующим амплитудным
детектором. В результате такой замены придем к многоканально-
му фильтровому измерителю. Однако специфика оцениваемой ве-
личины т, являющейся временным параметром, позволяет в
фильтровом варианте схемы ограничиться лишь одним каналом
'(рис. 4.9,6) (как и в задаче обнаружения, см. § 2.5), на выходе
которого с течением времени последовательно формируется zq(t)
для всех возможных значений задержки сигналах. Необходимость
амплитудного детектора, выделяющего огибающую корреляционно-
го интеграла zo(x), обусловлена незнанием начальной фазы сиг-
нала. Так как величина zo(x) максимальна при том же значении
А
тм, что и монотонная функция f{zo(x)}, то детектор может
иметь любую монотонную на интервале z0>O амплитудную
характеристику, т. е. быть линейным, квадратичным, лога-
рифмическим и т. д. Максимум отыскивается например, сле-
дующим образом. Сигнал с выхода детектора ограничива-
ется снизу на уровне ho, чтобы отсечь шумовые выбросы
((рис. 4.10,а). Затем он дифференцируется (рис. 4.10,6), уси-
ливается и ограничивается (рис. 4.10,в) и запускает генератор,
формирующий импульс, фронт которого совпадает с положением
максимума сигнала то (рис. 4.10,г).
Момент, при котором огибающая корреляционного интеграла
максимальна, можно определять также 'путем фиксации моментов
пересечения сигналом порогового уровня (рис. 4.10,а). При сим-
метричном сигнале to=(ti+T2)/2. Более простой способ связан с
фиксацией только момента ть Получаемую при этом систематиче-
скую ошибку (т0—Ti) .можно исключить, если поддерживать амп-
литуду сигнала постоянной (с помощью АРУ).
Для обеспечения автоматического слежения за положением
максимума сигнала необходимо выход детектора в схеме на рис.
4.9,6 подсоединить ко входу схемы на рис. 4.7, иначе говоря, за-
менить схему выбора максимума следящим измерителем времени
запаздывания видеосигнала.
Вычислим теперь потенциальную точность измерения времен-»
запаздывания сигнала. Для дальнейших расчетов удобно перей-
ти к комплексному представлению рассматриваемых процессов а
163
величин. Прежде всего запишем сигнал D6) в виде действитель-
ной части комплексного сигнала:
s(x, а, <р, t) = Y2Re2A(t—т)exp(joo0/),
где а=аехр[—J(u>ot+<p)] — комплексная случайная величина (щ
ит — неслучайные величины), для которой
= 2о2, D.49)
a K(t—x)=A{t—T)exp[jif>(/—т)] — комплексная огибающая сигна-
ла.
Рассмотрим комплексную огибающую наблюдаемого процесса
y(t)=aA(t—т)+?(?), где ?(/)—комплексный белый шум [51]:
Далее введем комплексный корреляционный интеграл*
2(х)= ]y(t)A*(t-x)dt. D.51)
—оо
Тогда огибающую корреляционную интеграла D8) можно пред-
ставить в виде модуля комплексного корреляционного интеграла
fi(t)A*(t-x)dt
D.52)
При этом условное отношение правдоподобия D7) приобретает
вид
т)- *°-ехрГ2о2|*(тI21. D.53)
Для расчета потенциальной точности измерения в соответствии с B3) необ-
ходимо вычислить величину
/*=Мд21пЛ(у|т)/дт2. D.54)
Дифференцируя 1пА{у\х), имем
= К —Т-^ Z* (X) + 2 I
где константа
D.55)
* Так как сигнал вне отрезка наблюдения [О, Т] полагается равным ну-
лю, то пределы интегрирования можно расширить до (—оо, +оо).
104
Повторное дифференцирование дает
—-1пА(у x) =
5 т2
от
z(t)
ат2
1
J
Подставив в эту формулу выражение E1) и взяв математическое ожидание,
получим
/ = 2*Re J J
dA*(t'~ x)
— т)
—оо—оо
дх
М [?(*') «Г (Щ #'
ОО 00
Корреляционная функция процесса y(t) согласно D9), E0)
М [У (Г) У* (Г)] = 2о2 А (Г — т) А* (Г — x) + N08 (У — V).
Подставляя это соотношение в предыдущую формулу, находим
_\ 2
/ = 2к{2о3
о J
ат
Г оо
2о2 Jift—
I —оо
J
Т) w^
дт2
U
L —
D.56)
Упростим полученное выражение. Прежде всего учтем, что j* A(t—x)A*(t—
—оо
—x)dt=E при любых т, т. е. энергия сигнала от времени запаздывания не зави-
сит. Дифференцируя обе части этого равенства по т, получаем
Re J ^ A*(t-x)dt = O.
—оо L
AV-x) ~
дта
от
В результате повторного дифференцирования имеем
Re
Следовательно,
Re
- Л = 0.
D.57)
и поэтому сумма второго и четвертого слагаемых в формуле E6) равна нулю.
Для дальнейшего упрощения выражения E6) введем спектральную плот-
ность комплексной огибающей сигнала
= p(/)exp( — ](ui)dt D.58)
—00
и учтем, что
A(t —1)=-^~ jF(j(o)exp[j(o(^ — x)]?fo. D.59)
—oo
Дифференцирование обеих частей этого равенства дает
ЯЛ ft <r\ i °° ^
— !h~ = ~ "ЙГ «f® F (i ю) ехр lj ю ('"TI dt0> D'60>
Используя выражения E9), F0), представим интеграл в первом слагаемом
формулы E6) в виде
оо оо оо
J М( Т) Л'О-ЦД--^- J J
•— ОО 00 00—ОО
Хехр [j (со' — со") (t — т)] did ©' da".
Далее, используя интегральное представление дельта-функции
получаем ,
' ~ 2л
;
Хб(©'— со")ехр[ —j (©'—©")x\d(u*й(йн— •—-*—¦ § <o\F(i<o)\2d(o.
Поэтому
«Л»Г
Определим среднее значение частоты:
ico. D.62)
Учитывая равенство Парсеваля
U = E D.63)
-•• —со ¦—оо
(оно вытекает из E8) и интегрального представления дельта-функции), имеем
J* .,„,> ,., L д»у-~x)dt « Е2(©J. D.64)
166
Аналогичным образом представим интеграл в третьем слагаемом формулы
E6). Для этого продифференцируем обе части равенства F0) по т:
d*A(t — т) 1
?
д?1^
Используя это выражение и формулу E9), получаем
X ехр [ — j ©" (* — t)J dt d at' dv$".
Воспользовавшись нредставлением дельта-функции F1), найдем
J аМ^|7Т) A*(t-<*)dt=—±
Определив средний квадрат частоты
(j<a)|2<to D.65)
/ —оо
¦ учтя F3), будем иметь
= J©4iF(j<fl)|*<fo>/
—ОО / 1
Итак, подставляя выражения F4), F6) в формулу E6) и учитывая E7), F3),
получаем
И наконец, выразив константу к согласно E5) и перейдя к усредненной энер-
гии Е=2о2Е, найдем
/ = - [2 (E)VN0 (No + Ё)\ [&- (©)*].
Таким образом, согласно B3), E4) потенциальная точность
измерения времени запаздывания сигнала
I D.67)
Величина [со2—(юJ], описываемая формулами F2) и F5), есть
средний квадрат ширины спектра огибающей сигнала, а
А©, = V^-H3 D.68)
167-
ах = -7^= = | 1/ ^Щ=— [^2 - (WJ] I .
т V-I [V N0{N0 + E) WJJ
— эффективная ширина спектра огибающей сигнала. Определив
усредненное отношение сигнал-шум* q^=EfN0, формулу F7) пере-
пишем в виде
№e. D.69)
При </>1 имеем
Таким образом, среднеквадратическая ошибка сгт, характери-
зующая потенциальную точность измерения времени запаздыва-
ния радиосигнала, обратно пропорциональна эффективной ширине
спектра огибающей радиосигналу Ао)э и усредненному отношению
сигнал-шум по напряжению Yq. Эффективная ширина спектра
F8) рассчитывается по формулам F2), F5), которые, как не-
трудно убедиться с помощью E9) и F1), эквивалентны соотно-
шениям
dA(t)
dt
dt
]\A(t)\*dt ]\A(t)\*dt
—00 OO
Ёыбрав начало отсчета частоты так, чтобы ю=0, имеем
D.72)
Потенциальная точность измерения дальности сгя связана с
потенциальной точностью измерения времени запаздывания ра-
диосигнала <Тт, как .следует из C.2), соотношением
Оя = сот/2. D.73)
В качестве примера рассмотрим колоколообразный радиоим-
пульс, огибающая которого имеет вид
-л/2/т2), D.74)
где ти — длительность импульса, отсчитываемая на уровне
ехр(—л/4) «0,46 от максимума. Эффективная ширина спектра
огибающей такого сигнала, рассчитываемая по формулам G2),
G1), G4), Аюэ— ^я/ти. Следовательно, согласно F9), G0) по-
* Это отношение q = tAz2Oc№z2Om, где случайные величины zoc и гош полу-
чаются из D8) подстановкой в D8а) вместо y(t) сигнала D6) и шума g(/)
РПОТНЙТГТИРННП
соответственно.
168
тенциальная точность измерения времени запаздывания сигнала
. D.75)
Как видим, для повышения потенциальной точности измерения
времени запаздывания импульс надо укорачивать, а отношение
сигнал-шум — повышать. Отметим, что при заданной длительно-
сти импульса ти увеличение А(оэ и, следовательно, повышение по-
тенциальной точности измерения времени запаздывания сигнала и
соответственно потенциальной точности дальнометрии достигает-
ся путем применения широкополосных (сложных) сигналов*.
Оценка смещения частоты сигнала со случайными начальной
фазой и амплитудой. Рассмотрим модель принимаемого радио-
сигнала
s(g>, а, ф, t) = V2aA(t)cos[((>>0 + (?>)t-\-y(t)-q>], 0<*<7\ D.76)
где информативный неслучайный параметр со представляет собой
смещение несущей частоты <из-за эффекта Доплера, а неинформа-
тивные случайные параметры а и ф распределены так же, как и
в предыдущем случае. Условное отношение правдоподобия запи-
сывается аналогично E3):
Г 2а2 z2 (со) 1
_ ехр °-±-L- , D.76a)
где
*o(co) =
— модуль комплексного корреляционного интеграла; K(t) =
=А (t)exp[l^(\t)] —комплексная огибающая радиосигнала; y(t) —
комплексная огибающая наблюдаемого процесса.
Уравнение максимального правдоподобия дг2о{<д)/д(а=0.
Конкретизируя общую схему многоканального измерителя (см.
рис. 4.2), приходим либо к фильтровому, либо к корреляционному
многоканальному устройству. В фильтровом варианте (рис. 4.11,а)
каждый из каналов измерителя состоит из согласованного фильт-
ра, настроенного на фиксированную частоту /г-, и амплитудного де-
тектора. Число каналов определяется полосой пропускания фильт-
ра и диапазоном возможных доплеровских частот, который, в свою
очередь обусловлен диапазоном 'изменения скорости объекта. Амп-
литудно-частотная характеристика согласованного фильтра повто-
ряет амплитудно-частотный спектр сигнала. При этом полоса про-
пускания фильтра должна быть согласована с шириной спектра
доплеровского сигнала.
* Такие сигналы рассматриваются в § 6.4.
169
г* СФ, -» АД
АД
CBfi
Cti -
г*
СФ,
АД
СФг
АД
-
ПГ
ЦС
p.?
Оценка
частоты
Рис. 4.11. Структурные схемы многоканального (а) и следящего (б) измери-
телей частоты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой
Конкретизируем теперь следящий измеритель (см. рис. 4.4) с
дискриминатором по схеме на рис. 4.3,6 применительно к рассмат-
риваемой задаче. Заменив производную dzo(<u)/da) конечной раз-
ностью, получим дискриминатор, который в фильтровом варианте
состоит из согласованных фильтров СФ] и СФг, расстроенных по
частоте на Af, амплитудных детекторов АД и схемы вычитания. В
следящем измерителе (рис. 4.11,6) напряжение с выхода цепи
сглаживания ЦС воздействует на реактивный элемент РЭ, управ-
ляющий частотой fr перестраиваемого генератора ПГ, для умень-
шения рассогласования между /г и частотой fo+f сигнала, посту-
пающего на смеситель См.
В режиме поиска сигнала по частоте необходимо плавно менять
частоту перестраиваемого генератора /г до тех пор, пока частота
fo+f—fr не попадет в полосы фильтров COi и СФг и не произойдет
захват (обнаружение) сигнала. После этого измеритель переходит
в режим слежения.
Поступая аналогично тому, как это делалось при выводе фор-
мулы F9), находим, что потенциальная точность измерения сме-
щения частоты f=кй/2я сигнала со случайными начальной фазой и
амплитудой
о, = VT+^/V2 ^Д/„ D.77)
а при <7>1 а/=1/У^2^Д4, где Л/э= Vt2—(IJ — эффективная
длительность сигнала, рассчитываемая по формулам
$t\A(t)\*dt
t =
Bя)в р
f2 _ —°°
S\A{t)\*dt
00 OO
Выбрав начало отсчета времени так, чтобы ?=0, имеем
D.78)
D.79)
170
Учитывая взаимосвязь частоты Доплера и радиальной состав-
ляющей скорости движения объекта C.22), находим потенциаль-
ную точность измерения радиальной скорости: ovR =^а//2.
Если, например, радиоимпульс имеет колоколообразную_форму
G4), то эффективная длительность сигнала G9) Д?э= Уяти, где
ти — длительность импульса, отсчитываемая на уровне 0,46. По-
этому
Of = j/l +q 1У^я^Ч» D.80)
а при q^$>l имеем <т/=1/ У2ш7ти.
Таким образом, для повышения потенциальной точности изме-
рения частоты и соответственно радиальной скорости объекта дли-
тельность импульса нужно увеличивать. Однако при этом, как сле-
дует из G5) и G3), будет уменьшаться потенциальная точность
измерения дальности.
Совместные оценки времени запаздывания и смещения часто-
ты сигнала со случайными начальной фазой и амплитудой. В свя-
зи с необходимостью в радиолокации измерять дальность и одно-
временно скорость движения объекта возникает задача совместно-
го оценивания времени запаздывания т и доплеровского смещения
частоты со принимаемого радиосигнала. Рассмотрим эту задачу
на примере сигнала со случайными начальной фазой ф и ампли-
тудой а\
s(x, со, а, ф, ?) = У2аЛ(? —т) cos 1(соо + со) (*--т)-f ty (* — т)—ф],
D.81)
O^t—т^Г. Данный сигнал при со=0 переходит в D6), а при t=
=0 — в G6). Условное отношение правдоподобия имеет вид
\( | v _ No f 2o*z*(o, a)
*' / \т | ' г* * I AT / AT l *П*\
D.82)
где
оо
го(т, ©) =
J г/ @ Л* (^ — т) ехр (— j со
— модуль комплексного корреляционного интеграла. Система
уравнений максимального правдоподобия B9) в рассматривае-
мом случае состоит из двух уравнений:
(о) д0(т, ю)
дх да
Решениями этой системы являются совместные оценки времени за-
А А
паздывания тм и доплеровского смещения частоты <ом.
171
y(t)
СФ,
СФ2
СФт
*
*
АД
АД
АД
о ' ''
г.
Zq [ Lf *2 )
СВ/1
свп
свм
0 '''
- *
zo(lm/m)
ОСВМ
Рис. 4.12. Структурная схема
многоканального фильтрового
измерителя времени запазды-
вания и смещения частоты сиг-
нала со случайными начальной
фазой и амплитудой
Схема устройства совместного измерения времени запаздыва-
ния т и доплеровского смещения частоты /=а>/2зт, формирующая
А
оценки максимального правдоподобия тм и fM, является многока-
нальной. При этом в корреляционном варианте измеритель должен
быть многоканальным как по частоте, так и по времени запазды-
вания. Если число каналов, необходимое для перекрытия задан-
ного диапазона изменения скорости объекта, равно т, а число ка-
налов по дальности п, то общее число каналов рассматриваемого
измерителя тп.
При фильтровом построении «измерителя число каналов можно
сократить в п раз, ограничившись многоканальным построением
схемы только по частоте (рис. 4.12). Согласованные фильтры
СФг- (t=l,..., т) перекрывают весь диапазон доплеровских частот.
В каждом из каналов после АД имеется схема выбора максимума
СВМ, в которой на заданном отрезке времени [О, Г], определяемом
диапазоном просматриваемой дальности, отыскивается максималь-
ное значение сигнала 2jj(T*/*)= max zUt, fj), /=1,..., т.
те[0.Г] u
При этом фиксируются значения времени запаздывания т,-, /=1,...
..., т, при которых выходные сигналы детекторов максимальны. Из
совокупности получаемых сигналов z20(tj, fj), /=1,... ,m, в око-
нечной схеме <выбора максимума ОСВМ выбирается наибольший;
пусть это будет, например, сигнал на выходе i-ro канала:
max
;, fj).
А
С выхода 'измерителя поступают значения тг и fi, приближенно-
равные совместным оценкам максимального правдоподобия време-
А А
ни запаздывания и доплеровского смещения частоты: Тг^Тм, fi^
«fM. Степень приближения зависит от выбранного числа кана-
лов т.
Найдем теперь потенциальные точности совместного измерения
параметров т и /. Для этого потребуется информационная матрица
172
/=|]/г-Д являющаяся в рассматриваемом случае двумерной, i, у-
= 1,2. Ее элементы, как следует из C1), имеют вид
/,,-мГ
где условное отношение правдоподобия Л(г/|т, f) определяется
прежней формулой с учетом замены в (82) параметра а> на 2nf.
Раскрывая эти выражения аналогично предыдущему, получаем
hi — «11®5 — (ю)» h% = «1 [ST— ®f],
где
D.83)
величины со, <в2, /, t2 определяются прежними формулами G1) и G8), а
(t\ ^
l ; A(t)dt
D.84)
Выбрав начало отсчета времени и частоты так, чтобы ш=0, F=0, имеем
Щ
при этом обратная матрица
[a* t*
—<о?
— at
Отсюда и из C2) следует, что потенциальные точности совместного измерения
времени запаздывания о% и доплеровского смещения частоты Of
Kl[551*-(S7J] '
После конкретизации значения к\ (83) и простого преобразо-
вания эти формулы можно записать в ваде
Ог =
Уй>2A
о,-
D.85)
где
^ D.86)
>— коэффициент корреляции, характеризующий взаимосвязь по-
грешностей измерения.
173
Если комплексная огибающая A(t) является действительной
величиной A(t)=A(t))t т. е. в сигнале отсутствует фазовая мо-
дуляция, то, как следует из (84), имеем ayt=Q и, следовательно,
коэффициент корреляции г=0. В данном случае среднеквадрати-
ческое ошибки ат и а/ не связаны между -собой, при этим выра-
жения (85) при г=0 совпадают с формулами F9) и G7) (с уче-
том G2), G9)), полученными при условии, что оценивается лишь
один параметр (время запаздывания или частота).
Выявим теперь зависимость потенциальных точностей совмест-
ного измерения времени запаздывания и частоты сигнала со слу-
чайными начальной фазой и амплитудой от соответствующей
функции рассогласования и связанной с ней функции неопреде-
ленности*. Для этого введем нормированную функцию рассогласо-
вания комплексной огибающей сигнала:
р(т,/) = J A(t)A*(t-x)expQ2nft)dt I ] \A(t)\*dt. D.87)
—ОО / 00
Ее называют также времячастотной функцией рассогласования, а
квадрат модуля этой функции %(т, f) = |p(t, f)|2— функцией не-
определенности.
Дважды дифференцируя функцию неопределенности по т, по-
лагая затем тг=О, /=0 и используя формулы G1), 'получаем
e ?с @, 0)" -2 К-(©)«!.
f=o
Аналогичным образом, с учетом G1), G8) и (84), находим
Xxf @, 0)= -2 (Ы -©7), xft @, 0)= -2 [F-(FJ].
Как видим, вторые производные функции неопределенности в на-
чале координат (в точке максимума) позволяют определить эле-
менты информационной матрицы / и, следовательно, потенциаль-
ные точности совместного измерения времени запаздывания и до-
плеровского смещения частоты. При этом среднеквадратические
ошибки (85) выражаются через указанные производные (с уче-
том со=?=0) следующим образом:
D.88)
* Ранее была найдена зависимость потенциальной точности измерения не-
энергетического параметра от кривизны функции рассогласования сигнала, не
содержащего неинформативных случайных параметров (см. формулу D4)).
174
где г=*г)с"т/(О, 0)/ V%"xx @, 0)х"//@, 0). При отсутствии корреля-
ции между ошибками (г=0) имеем
1
1
о,=
ТакиЦобразом, потенциальные точности измерения времени за-
паздывания и доплеровского смещения частоты радиосигнала опре-
деляются отношением сигнал-шум q, а также остротой функции не-
определенности, характеризуемой вторыми производными функ-
ции неопределенности в точке максимума.
Оценка угловой координаты. Измерение угловых координат
объектов в зависимости от используемого метода пеленгации сво-
дится к оцениванию тех или иных параметров принимаемых ра-
диосигналов (см. § 3.2). Поэтому при оптимизации измерения уг-
ловых координат и расчете потенциальных точностей измерения
можно применить предыдущие результаты оценивания параметров
сигналов.
Рассмотрим задачу оценивания угловой координаты на при-
мере амплитудного метода пеленгации, использующего зависи-
мость аМПЛИТуДЫ ПРИНЯТОГО СИГНала ОТ раЗНОСТИ УГЛОВ «max—<Х
между направлением максимума результирующей ДН антенной
системы in направлением прихода радиоволн, отраженных или из-
лученных пеленгуемым объектом. Результирующая ДН /Р (а) оп-
ределяется произведением диаграмм направленности передающей
и приемной антенн.
Бели обзор по угловой координате а осуществляется с угло-
вой скоростью Q, то положение максимума ДН будет меняться
со временем согласно атах=Ш, а амплитуда принимаемого сиг-
нала
D.89)
где t = a/Q — момент совпадения направле-
ния максимума диаграммы направленности
с направлением на пеленгуемый объект
(рис. 4.13). Измерив время т, можно при
известной угловой скорости вращения ан-
тенны Q определить угловую координату
объекта а.
Таким образом, в данной постановке за-
дачи углометрии оценка максимального
А
правдоподобия ам угловой координаты объ-
екта а определяется через оценку макси-
*(«,*)
1~ я
Рис. 4.13. Диаграмма,
поясняющая оценива-
ние угловой коорди-
наты
175
мального правдоподобия тм момента времени т: aM = QxJ. При
этом можно воспользоваться предыдущим результатом анализа
оценивания времени запаздывания радиосигнала. Так, потенциаль-
ная точность измерения угловой координаты. J
oa = Qox, / D.90)
где От — потенциальная точность измерения времени запаздыва-
ния радиосигнала.
Пусть, например, главный лепесток результирующей
колоколообразную форму
ДН имеет
где аа — ширина ДН антенны на уровне 0,46.
Тогда при равномерном обзоре огибающая принимаемого сиг-
нала согласно (89) имеет вид t
A (a, t) = Ло ехр [ - л (*- тJ/т2г] , I D.91)
где тог=аа/й — длительность огибающей сигнала на уровне 0,46.
Потенциальная точность измерения времени запаздывания сиг-
нала со случайными амплитудой и начальной фазой, огибающая
которого имеет вид (91), определяется аналогично G5): <Тт=
= У"A+<7)/2я(<7JТоГ. Следовательно, потенциальная точность
измерения угловой координаты согласно (90)
(?)"аа. D.92)
Таким образом, среднеквадратическая ошибка оа, характери-
зующая потенциальную точность углометрии, прямо пропорцио-
нальна ширине ДН антенны аа. Подставив соотношение A.2) в
(92), видим, что погрешность измерения аа= 1/ — — 2 ~~—
уменьшается с увеличением относительного размера апертуры ан-
тенны da/X.
4.3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В § 4.1, 4.2, как правило, предполагалось, что параметры
принимаемых сигналов не изменяются в течение времени на-
блюдения. Однако в радиолокации и радионавигации это пред-
положение не всегда выполняется. В общем случае параметры
принимаемых сигналов меняются во времени, причем нередко слу-
чайным образом. При этом наиболее общей ив то же время
удобной математической моделью изменяющегося параметра сиг-
нала является случайный процесс 9@=9*-
176
Сигналы, для которых моделями параметров служат те >или
иные случайные процессы, называются стохастическими. При этом
задача оценивания стохастического сигнала и его параметров сво-
дится к задаче оценивания некоторых случайных процессов. Отме-
тим, что детерминированный сигнал s(t) и квазидетерминирован-
ный сигнал s(Q, i), где 9 — случайная величина,— предельные
частные случаи стохастического сигнала s(Qt, t) [53].
Итак, пусть оцениваемый параметр 9* — случайный процесс,
вид которого пока не конкретизируем. В течение времени [0, /]
наблюдается реализация у*о={Ут, O^x^t} случайного процесса
yt, являющегося смесью шума и стохастического сигнала, зави-
сящего от параметра 9*. В результате наблюдения этой реализа-
ции и применения решающей функции 6t выносится решение
которое представляет собой оценку параметра 9Т в
момент времени т.
Обрати
1 внимание на то, что оценка dtx зависит от двух мо-
ментов времени: от момента окончания наблюдения t и от момен-
та т, для юторого отыскивается оценка параметра 9Т. Если эти
моменты вэемени совпадают: т=? то оценивание называется
фильтрацией. При x~>t оценивание называется экстраполяцией
или предсказанием, а при t<Zt — интерполяцией или сглажива-
нием.
Задав функцию потерь с (9, d), можно определить байесовское
решение d*tt%—S*x(yto) путем минимизации среднего риска или
же апостериорного риска:
min М {с [9t, бх(У1) \ У1} = М {с [9Т, б; (у*0)] \ у{) .
Это решение и будет оптимальной в байесовском смысле оценкой
параметра 9Т. Причем при x=t имеем оптимальную фильтрацион-
ную оценку d*u, а при т>/ и i<Ct—оптимальные экстраполяци-
онную и интерполяционную оценки соответственно.
При квадратичной функции потерь C) оптимальные оценки
параметра сигнала определяются выражением
<т = М(9тад, x^t D.93)
(в этом нетрудно убедиться, поступая так же, как и при выводе
оценки D)). Если функция потерь квадратична относительно
сигнала s(Qt, t), т. -е. с(9, d)=[s(Q, t)—d]2, t^O, то оптимальные
оценки сигнала
d;t = M[s(9tfT)|yS], **t. D.94)
Качество оптимального оценивания определяется значением бай-
есовского риска г**х=Мс[9т, б*т (у'о)]» который при квадратичной
функции потерь C)
177
f D.95>
т. е. совпадает со средним значением квадрата ошибки /оценива-
ния. Квадратный корень этой величины есть среднекв^дратиче-
ская* ошибка оптимального оценивания: otx— Vf*u.
Отметим, что среднеквадратические ошибки оптимальной ин-
терполяции и оптимальной фильтрации удовлетворяют /неравенст-
ву Gtx^oxx, %<.t. Это объясняется тем, что дополнительное на»
блюдение реализации у*т={Уи, т<Са=^} не может ухудшить ка-
чества оптимального оценивания. Оно может быть либо улучшено»
либо, по крайней мере, остаться прежним. Последнее, как следу-
ет из (95), будет в том случае, если MFt|j/to)=M(eT|*/'to), т. е.
когда параметр !9Т статистически не зависит от дополнительного
наблюдения реализации у\.
Таким образом, интерполяция позволяет повысит! качество
оценивания по сравнению с фильтрацией. Покупаете^ это ценой
увеличения времени наблюдения и усложнения алгоритма обра-
ботки наблюдаемого процесса [53]. Что касается экстраполяции,
то она применяется тогда, когда наблюдение окончено, однако
необходимо продолжать оценивание параметра 8*. Та|кая задача
возникает, например, во вторичной обработке радиолокационной
информации при определении траектории движущегося объекта
(гл. 7). Центральное место в теории оценивания случайных про-
цессов занимает задача фильтрации; на ее основе решаются так-
же задачи 'интерполяции и экстраполяции. В дальнейшем рас-
сматривается только задача фильтрации.
Для получения конкретных результатов необходимо задать вид
случайного процесса |9t, который может служить математической
моделью изменяющегося параметра радиосигнала. Наиболее ши-
рокий и в то же время гибкий (в смысле возможности математи-
ческого исследования) класс случайных процессов составляют
марковские случайные процессы [22, 50, 53]. Этими процессами
можно с необходимой степенью точности аппроксимировать пара-
метры реальных сигналов, используемых <в радиолокации я радио-
навигации. Поэтому в дальнейшем предполагается, что оценивае-
мый параметр Qt является марковским случайным процессом.
Общие уравнения оптимальной фильтрации. Вначале рассмот-
рим случай, когда в дискретные моменты времени U наблюдает-
ся аддитивная смесь
У* = «(вь *!) + &ь t= 1,2,..., D.96)
сигнала s@t, tt) и шума е». Параметр 6г=6(/г) представляет со-
бой марковский процесс с дискретным временем и непрерывным
* См. комментарии к формуле D 19).
178
фазовым пространством. Такой процесс описывается переходной
(условной) плотностью вероятностей w& (бгч-i | ©г) и начальной
плотностью вероятностей wq(Q\). Считаем, что шум ^ является
случайным процессом с независимыми значениями, описываемы-
ми плотностью вероятностей г^(|г).
Так щк оптимальная оценка сигнала и его параметра нахо-
дится путем минимизации апостериорного риска, то для отыс-
кания таких оценок необходимо определить прежде всего апос-
териорнук^ плотность вероятностей параметра, которую обозначим
w(e*|0i,-. Уд ^ Pi (Qt), i= 1,2, ... . D.97)
При квадратичной функции потерь оптимальные оценки пара-
метра и сигнала, как следует из (93) и (94), соответственно бу-
дут
4 = м№')= У e,ft(e,)defSSe,,
—00 \Ъ.УО)
^=м[5(еь^)вд= У s (в,,/,) Л (в,) d в, а;,,
—оо
где у\={уи...,Уг).
Зная апостериорную плотность pi(>Qi), можно определять так-
же качество получаемых оценок, в частности среднеквадратиче-
скую ошибку фильтрации. Действительно, качество оптимальной
фильтрации можно характеризовать «шириной» апостериорной
плотности вероятностей, мерой которой служит апостериорная
дисперсия
Ki = m{[Qi-m(Qi\y\)]2\y[} = ] F,-e,)fA(ei)de,. D.99)
—00
Усредняя апостериорную дисперсию, получаем (с учетом B.4))
среднее значение квадрата ошибки оптимальной фильтрации:
Следовательно, среднеквадратическая ошибка оптимальной фильт-
рации
D 100)
Таким образом, апостериорная плотность вероятностей пара-
метра играет важную роль в теории оптимальной фильтрации. К
ее отысканию мы и перейдем. Для этого воспользуемся формулой
Байеса (см. B.8)):
179
D
—оо —оо
где 6ii+1= (9Ь ..., вг+i); ухш= (у и ..., Уг+\) .
Выразим совместную плотность вероятностей tw(8ii+1, #ii+1) ( случайного
вектора @il+1, #ii+1) через заданные распределения вероятностей параметра
сигнала и шума. Учитывая (96) и то, что значения шума статистически неза-
висимы, имеем
1+1
w ( у[+116J+1) = П »fe \Ук - s (dh, tk)].
k=\
Так как случайный процесс 8гA=1, 2, ...) марковский, то априорная плотность
вероятностей вектора б[~*~1
i
Поэтому совместная плотность вероятностей
+
= n^ll/ft-s(9b th)} П u>e (Qk
Перепишем эту формулу в виде
w ( 6J+1, у[+1) = Wl [ у[+1 - s (вж, /,+1)] w
I i i-\ Л
n^teft-sOft, th)]UwQ{Qk+l\Qh)w (Gi) .
U=i k=i i
X n^teft-sOft, th)]UwQ{Qk+l\Qh)w (Gi) . D.102)
U=i k=i i
Выражение, стоящее в фигурных скобках, есть совместная плотность вероятно-
стей w(Q\, yli). Подставляя с учетом этого формулу A02) в A01), получаем
e(ei+ile'''°(i'b е0
оо оо
J J ?
—oo
D.103)
—оо —оо
оо оо
Учитывая, что J... J ш(8г'ь t/l'i)d0i.. .^01_1=ш(вь t/ч), интегрируя обе
—оо —оо
180
части равенства A03) по 0i, ..., вг—1, находим
- s
4 [ У1+1 -s
oo oo
J • • • J Q + +
OO 00
Интегрируя теперь обе части равенства по 6г-, учитывая соот-
ношение w(Qu y\) =w(Qily^yw{yli) и используя обозначение (97),
получаем
. D.104)
Pi+i
«'U^+i-MWh-i)] J
oo о»
S ^ S vtlyi+i-s(Qi+1,ti+i))wQ(ei-H\Oi)pi(ei)dQidQi+1
Найденное соотношение является рекуррентным, определяющим
апостериорную плотность pi+i('Oi+i) через апостериорную плотность
pi{Qi) для t=l,2,.... При этом начальное условие имеет вид
¦ D.Ю5)
Рекуррентное соотношение A04) позволяет последовательно на-
ходить апостериорную плотность вероятностей Pi{Qi) оцениваемо-
го параметра 6< для любых моментов времени. Оно служит осно-
вой для синтеза и анализа устройств оптимальной фильтрации сто-
хастических сигналов и 'Их параметров и называется рекуррент-
ным соотношением оптимальной фильтрации.
Перейдем к случаю непрерывного времени. Наблюдаемый про-
цесс
yt = s(Qt, f) + lt, *>0, D.106)
где параметр '9* сигнала s(Qt, t) — непрерывный марковский про-
цесс, имеющий непрерывные с вероятностью 1 траектории.
Такой случайный процесс называется диффузионным марков-
ским. Его статистические свойства определяются коэффициентом
переноса а(х, t) и коэффициентом диффузии b(x, t):
.-ft
а (х, t) = lim IVt
Ь (х, t) = lim M
Д*-И) {_
в,
= х] ,
J
.-.]¦
D.107)
181
Шум |t — 'белый гауссовский со спектральной плотностью No/2.
Уравнение для апостериорной плотности вероятностей ш@*|г/*о)==
==/?г(|0) параметра 9* получим путем предельного перехода к не-
прерывному времени -в рекуррентном соотношении A04). Для этого
учтем, что белому гаусоовскому шуму |* в дискретном времени со-
ответствует гауссовский процесс с независимыми значениями
?(|^)==?г-, i=lf2,..., с нулевым средним и дисперсией (<2.42), т. е.
= w<ехр (- &>} • д<=<<-^- <4Л08>
Подставим A18) в A04) и разложим экспоненту в ряд по степе-
ням At. Переходя затем к пределу при Д*->0, получаем стохасти-
ческое дифференциальное уравнение для апостериорной плотно-
сти вероятностей:
(в). D.Ю9)
где оператор 3? имеет вид
%= -— а (в, 0+ — — b(Q, t)+ — sF, t) \yt—-s(9,*)l,
ae ; 2 ae2 ' n0 k ' ; I * 2 v 7J
D.110)
5[Л(в)]-= J ?pt(Q)dQ=-^- J s(9, 0 [^ —4" sF, 0l X
—00 —oo L ^ J
Xpt(Q)dQ. D.111)
Стохастическое уравнение A09) нелинейное интегро-дифференци-
альное с частными производными. Определяя апостериорную плот-
ность вероятностей pt(!B), оно тем самым позволяет находить опти-
мальные (линейные и нелинейные) оценки сигнала s(Qt, t) и его
параметра и называется уравнением оптимальной фильтрации*.
Линейная фильтрация. Рекуррентное соотношение A04) и интег-
ро-дифференциальное уравнение A09) определяют оптимальную, в
общем случае нелинейную фильтрацию. Рассмотрим важный част-
ный случай, когда оптимальная фильтрация является линейной.
Пусть протекающий в дискретном времени наблюдаемый 'процесс
имеет вид
И-^ + Ь. D.112)
* Уравнение A09) приведено в так называемой симметризованной форме
или в форме Стратоновича [53]. Существует также иная запись этого уравне-
ния — форма Ито [53]. Некоторые пояснения к этим формам записи стохасти-
ческих дифференциальных уравнений будут даны позднее (см. § 5.2) на при-
мере более простого уравнения.
182
При этом полезный сигнал '9г является марковским гауссовским
процессом, для которого переходная плотность вероятностей
где р=ехр(—y|А^|); At=ti+l—\t{, i=l,2,.... Здесь р —коэффици-
ент корреляции; 1/у — интервал корреляции сигнала '9г. Начальная
плотность вероятностей
— exp (--%). <4'114>
2 \ 2f у
2of
Предполагается также, что шум & гауссовских
^(iU j=:lf2f.... D.115)
^ 2а20)
Так как сигнал и шум гауссовские и аддитивные, то наблюдаемый
процесс A12) тоже гауссовский. Кроме того, с помощью форму-
лы Байеса можно убедиться, что апостериорная плотность вероят-
ностей Pi{Qi) также является гауссовской. Поэтому ее можно за-
писать в виде
[ тг ^ - т
Апостериорное среднее Шг и апостериорная дисперсия I/hi пол-
ностью определяют апостериорную плотность вероятностей рг-(вг)-
Параметры т\ и h\ определим «сходя из рекуррентного соотноше-
ния оптимальной фильтрации A04). Для этого согласно (96) и
A12) нужно в нем положить s(i9i, ^)=9г- и затем подставить
('113), A15), а также pi+i(Qi+i) и pi(}Qi) в форме A16). Конкрети-
зировав таким образом рекуррентное соотношение A04), проинтег-
рируем по 9г, 'используя для этого интеграл
J ехр (— ах2 + Ьх) dx = 1 / — exp I — ) .
Затем, приравняв соответствующие члены, стоящие в разных час-
тях полученного равенства, найдем рекуррентные алгоритмы для
параметров апостериорной плотности вероятностей:
+ C2i mi- D-117)
hj + -7, '=1.2,..., D.118)
183
где
ht
Начальное условие получаем из A05) и A14)
ч =
D.119)
D.120)
Апостериорное среднее ти как следует из A16) и (98), совпадает
с оптимальной оценкой сигнала: rrii=\Qi. Таким образом, рекур-
рентные соотношения A17), A18) вместе с формулами A19),
A20) позволяют последовательно находить оптимальную оценку
сигнала. Весовые коэффициенты сн и c2i, вычисляемые по форму-
лам A19) и A18), от наблюдаемого процесса yi не зависят. Ре-
куррентные соотношения A17) и A18) определяют оптимальный
линейный фильтр с переменными параметрами (рис. 4.14,а), кото-
рый является одномерным вариантом дискретного фильтра Кал-
мана.
Рекуррентное соотношение A18), определяющее весовые коэф-
фициенты фильтра Калмана, позволяет также рассчитать качест-
iff!
X
f
X
л
&
0
+
czt
<
в,
i
D>
1 Формирующий
1
1 ^
1 1
+
1
L
фильтр
1
fft
Рис 4.14. Структурные схемы дискретного (а) и непрерывного (б—г) фильт-
ров Калмана ' *
184
во его работы. Действительно, так как апостериорная дисперсия
Ki=l/hi от наблюдаемого процесса yi не зависит (см. A18)), то
fAKi==Ki=l/hi и в силу соотношения A00) среднеквадратическая
ошибка оптимальной фильтрации
D.121)
Рассмотрим теперь случай, когда наблюдаемый процесс про-
текает в непрерывном времени: t/t=^t + ^u где h — белый гаус-
совский шум со спектральной плотностью ЛГ0/2, а сигнал 9* явля-
ется непрерывным марковским гауссо<вским процессом, определяе-
мым стохастическим дифференциальным уравнением
6«=-те« + Ь, D.122)
где t>t — дельта-коррелированный гауссовский процесс:
М& = 0, M&Ch-, = (k>2N(iO. D.123)
Процесс 0* принадлежит к классу диффузионных марковских про-
цессов. При этом, как следует из A07) и A22), A23), его коэф-
фициенты переноса и диффузии
a{Q,t)=-yQ, b(d,t) = Kf2. D.124)
Используя эти коэффициенты и учитывая, что s(®t, t)=®t*
конкретизируем оператор (ПО):
JL jlJL — е L_ Л-е]. D.125)
n [yt 2 J '
+
4 ае2 n
Апостериорная плотность вероятностей р*(|8) по тем же причи-
нам, что и в случае дискретного времени, является гауссовской:
Pt @)e V?k ехР [ ~ "Г F ~ т^ ] * D'126)
Подставив A25) и A26) в уравнение оптимальной фильтрации
A09), выполним в нем операции дифференцирования. Приравни-
вая затем члены при одинаковых степенях в и в2, получаем диф-
ференциальные уравнения для параметров апостериорной плот-
ности вероятностей:
mf=-(Y+7^-Wt+-^r-, DЛ27)
D.128)
¦<*о
где cj2i=»</4y — дисперсия сигнала 9*. Апостериорное среднее mt
А
совпадает с оптимальной оценкой '9* (как и при дискретном вре-
мени). При этом линейное дифференциальное уравнение A27)
185
вместе с уравнением A28) определяет структурную схему (рис.
4.14,6) оптимального линейного фильтра, являющегося одномер-
ным вариантом непрерывного фильтра Калмана. В полученной
схеме имеются усилител-и с переменными коэффициентами усиле-
ния
V( V <4Л29>
причем функция ht является решением обыкновенного дифферен-
циального уравнения A28):
7? [1+г0ехр(-2г10]
где
,= /:
г+ -тг~'. ro=
a h0 — начальное условие для уравнения A28). В стационарном
режиме, когда /i*=0, функция ht обращается в постоянную:
При этом коэффициенты усиления A29) также становятся по-
стоянными. Техническая реализация фильтра Калмана в этом
случае существенно упрощается.
Структурную схему фильтра Калмана можно представить и
по-иному (рис. 4.14,в). Чтобы убедиться в этом, достаточно пе-
реписать уравнение A27) в виде
Щ= ~-ymt+ -Z— (yt-mt).
Noht
При таком представлении непосредственно видно, что фильтр
Калмана включает в себя формирующий фильтр (на рис. 4.14,в
обведен штриховой линией), структурная схема которого описыва-
ется уравнением A22), т. е. определяется априорными сведения-
ми о фильтруемом процессе (9*.
Отметим, что (фильтр Калмана можно также представить в
виде схемы разомкнутого типа, использовав i^C-цепь. Действи-
тельно, напряжение mt, снимаемое с емкости при подаче на RC-
цепь напряжения ,yt, определяется уравнением
mt= — amt + ayt, a= IIRC.
Сравнивая это уравнение с уравнением фильтра Калмана A27),
видим, что его структурную схему можно представить в виде
186
рис. 4.14,г. В стационарном режиме коэффициент усиления К=
=Q/{2+yN0h) и параметр #С-цепи а=7+'B/^оЛ) являются по-
стоянными величинами.
Среднеквадратическая ошибка оптимальной фильтрации опре-
деляется аналогично A21): ot—i/ Y^t. В стационарном режиме
эта ошибка равна постоянной величине
*q, D.131)
где параметр q=<j2\/N0y имеет смысл отношения сигнал-шум по
мощности. Как видим, среднеквадрэтическая ошибка оптимальной
фильтрации стохастического сигнала 9* растет с увеличением его
дисперсии о*21 и уменьшается с ростом отношения сигнал-шум д.
Нелинейная фильтрация. Как уже отмечалось, в общем случае
оптимальная фильтрация является нелинейной. При этом для по-
лучения технически реализуемых алгоритмов приходится прибе-
гать к приближенным методам конкретизации общих уравнений
оптимальной фильтрации. Рассмотрим один из них — метод га-
уссовского приближения.
Пусть наблюдаемый процесс имеет вид A06), где диффузион-
ный марковский параметр 9* сигнала s@*, t) может иметь как га-
уссовское, так и негауссовское распределение вероятностей. По-
казано, что при условии большой апостериорной точности [48, 53],
которое выполняется, в частности, при достаточно большом отно-
шении сигнал-шум, апостериорная плотность вероятностей pt(Q)
не сильно отличается от rajccoBCKofl. Поэтому при выполнении
условия большой апостериорной точности согласно методу гаус-
совского приближения используют гауссовскую аппроксимацию
У
ш ехР [~ т" (е-т<J] • <4-132>
Уравнения для параметров т* и А« получим с помощью урав-
нения оптимальной фильтрации A09). Для этого подставим A32)
в A09), причем функции s@, t), a(©, /), b\(\B, t) разложим в ряды
Тейлора в окрестности mt. В соответствии с гауссовским прибли-
жением в разложении функции s('0, t) ограничимся членами, сте-
пень которых не выше (9—mtJ, в разложении а(9, t) —не выше
(9—mt), а в разложении Ъф, t)—первым членом, не содержа-
щим 9. Приравнивая затем члены при одинаковых, степенях (в—
) получаем
щ = а (щ, t)+-^-[yt^5 (m,,$l я' (щ, t). D.133)
187
• 2 /
ht— —b (mt, t)ht — 2ht a* (mt, t) [Ut — S (mt> t)] s"(mt, t) +
Л [s (tnt, t)]2, D.134)
где
da(Q,t)
Если сделать замену переменных, перейдя к апостериорной дис-
персии Кг=1/Ы, то вместо A33) и A34) будем иметь
mt« a (mt, 0 + ^ [у, - s (mf, 01 sr (mt, f), D.135)
"О
Kt = 6 (mf, 0+2/C* a' (mt, t) + ^- {[yt - s (mt, t)} s" (mt, t) -
-\s'{mtJW}. D.136)
При выполнении условия большой апостериорной точности апос-
териорное среднее приближенно равняется оптимальной оценке
А
параметра: mt^Qt.
Таким образом, уравнения 'A33), A34) или эквивалентные им
A35), A36) определяют квазиоптимальные алгоритмы нелиней-
ной фильтрации параметра '0* сигнала s(iQt, t), наблюдаемого на
фоне белого шума. Отметим, что при увеличении отношения сиг-
нал-шум (<7-»-оо) эти алгоритмы являются асимптотически опти-
мальными [53]. Конкретизируя форму сигнала s и вид параметра
6*, можно с помощью уравнений A33) — A36) синтезировать уст-
ройства квазиоптимальной фильтрации стохастических сигналов
и их параметров.
Уравнение A36), необходимое для синтеза алгоритмов фильт-
рации, определяет также и их анализ. Действительно, качество
фильтрации, как уже отмечалось, характеризуется апостериорной
дисперсией Kt; последняя же в гауссовском приближении опреде-
ляется уравнением 'A36). При этом среднеквадратическая ошиб-
ка фильтрации
OtttVmK'u D.137)
В отличие от подобной формулы A00), равенство в A37) прибли-
женное вследствие того, что рассматриваемая задача фильтрации
решалась в гауссовском приближении.
188
В качестве примера рассмотрим случай, когда стохастический
радиосигнал является фазомодулированным:
s(Bt, t)=AQsin (юоЧ-8*), D.138)
где Aq и ©о — известные константы, а флуктуации фазы Qt опре-
деляются уравнением A22) при 7=0» т. е. 0*=?*. Это означает,
что фаза 0* является гауссовским процессом с независимыми при-
ращениями, т. е. испытывает нестационарные блуждания. Ко-
эффициенты переноса и диффузии рассматриваемого процесса:
a(Q,t)=.O, 6 @,0 = и/2. D.139)
Используя A38), A39), конкретизируем уравнения A35),
X136). При этом пренебрежем колебательными членами с удвоен-
ной частотой 2©о, дающими малый ©клад. В результате получим
щ = yt B KtIN0) Ao cos (©о t + mt), D.140)
Kt=-yt B K2t/N0) Ao sin К t + mt) + x/2. D.141)
Уравнение A40) описывает следящий измеритель типа фазо-
вой автоподстройки частоты (ФАПЧ) с переменным коэффициен-
том усиления Kt в цепи обратной связи. Этот коэффициент уси-
ления, определяемый уравнением A41), зависит от наблюдаемого
процесса и, следовательно, является случайным.
Для упрощения технической реализации измерителя в стацио-
нарном режиме (при Kt = 0) можно пренебречь флуктуациями
коэффициента Kt и взять в качестве его константу K=MKt, ко-
торая, как следует из A41), имеет вид
М/С, « V kN0I2AI. D.142)
В .результате приходим к типовой схеме ФАПЧ (рис. 4.15).
Таким образом, ФАПЧ является квазиоптимальным измери-
телем фазы рассмотренного стохастического сигнала, наблюдае-
мого на фоне белого шума. Среднеквадратическая ошибка фильт-
рации фазы, как следует из A37) и A42), а*«* i/ kN0/2A20. Ис-
пользуя уравнения A33) — A36), можно аналогичным образом
синтезировать и анализировать квазиоптимальные следящие из-
мерители для других моделей сигнала и его параметра.
С методической точки зрения полезно рассмотреть пример оценивания па-
раметра квазидетерминированного сигнала. Как уже отмечалось, последний
есть частный случай стохастического сигнала. Поэтому при синтезе и анализе
измерителей параметров квазидетерминированного сигнала можно воспользо-
ваться полученными уравнениями нелинейной фильтрации. Проиллюстрируем
это на примере оценивания времени запаздывания 6*=т сигнала s(t—т), где
х — случайная величина.
2K/N0
X
i
r>
A0№(ajut+mtJ
nr
S
i
PS
mt~8t
Рис. 4.15. Структурная схема
ФАПЧ
X
\
f>
S'(t-mt)
I
Рис. 4.16. Структурная схема
следящего измерителя времени
запаздывания сигнала
Наблюдаемый процесс в данном случае имеет вид A06), где нужно поло-
жить s(Qt, t)=sss(t—т). При такой постановке задачи задержка т со временем
не меняется и, следовательно, описывается уравнением т=О. Поэтому коэффи-
циенты A07) равны нулю. В результате уравнение для оценки т< задержки
т согласно A33) имеет вид
D.143)
При записи этого уравнения опущен член вида s(t—nit)s'(t—m<)= — [s2(/—
—mt}]'/2, определяющий энергию сигнала (этот член неинформативен, так как
оцениваемый параметр неэнергетический). Поступая аналогично при конкрети-
зации уравнения A34), получаем
D.144)
Следящий измеритель (рис. 4.16), построенный в соответствии с уравне-
нием A43), строго говоря, должен быть дополнен устройством, определяющим
в соответствии с A44) переменный коэффициент усиления Ct=20oht. Решение
уравнения A44)
2 т
hT =ho —
о о
где ho=l/a2 — начальное условие (о2 — априорная дисперсия случайной вели-
чины т). Конкретизируя в этом решении наблюдаемый процесс yt, можно убе-
диться, что функция fit с ростом времени t неограниченно возрастает. Поэтому
коэффициент усиления с*->0 и, следовательно, в пределе (при rf->-oo) обратная
связь в следящем измерителе разрывается. Это будет соответствовать точному
измерению параметра, когда апостериорная дисперсия K<x> = \lhoa=Q. Отметим,
что при более сложной постановке задачи, когда задержка меняется со време-
нем, являясь некоторым случайным процессом т«, определяемым, например,
уравнением типа A22), коэффициент ct не стремится к 0 при *->-оо, при этом
рассматриваемый измеритель (рис. 4.16) следит аа изменением задержки сиг-
жала.
190
Обработку сигнала, связанную с вычислением производной s'(f—mt) в
схеме на рис. 4.16, можно упростить, если эту производную заменить конечной
разностью
$' (/ — mt)« [s (t — mt ¦+- А т/2) — s (t — mt — Лт/2)]/Ат.
Если, кроме того, переменный случайный коэффициент усиления ct заменить
постоянным (подобно предыдущему примеру^, то рассматриваемый измеритель
(рис. 4.16) будет по существу аналогичен следящему измерителю на рис. 4.7,
полученному методом разделения обработки на операции дискриминирования
и сглаживания.
В заключение отметим, что рассмотренные уравнения оптимальной фильт-
рации допускают непосредственное обобщение на задачи, когда полезный сиг-
нал зависит от многих параметров [14, 36, 48, 53].
Глава 5. СОВМЕСТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
И ОЦЕНИВАНИЕ СИГНАЛОВ
5.1. ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ПА-
РАМЕТРОВ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАН-
НЫХ СИГНАЛОВ
Задачи оптимального обнаружения радиосигналов и оцени-
вания их параметров рассматривались раздельно в гл. 2 и 4.
Такое расчленение задач широко используется в теории радиоло-
кации, так как при этом оптимизация упрощается. Однако радио-
локационное наблюдение представляет собой единый процесс при-
ема сигналов, при этом оптимизация многофункциональной РЛС
должна включать в себя, в частности, оптимизацию системы обна-
ружения и оценивания сигналов как единого целого. Поэтому син-
тез и анализ эффективности оптимальной системы совместного об-
наружения и оценивания сигналов актуальны.
Представляет также интерес исследование возможных вариан-
тов совмещения оптимального обнаружителя и оптимального из-
мерителя в единую систему, хотя и не являющуюся оптимальной
в смысле выполнения совместной операции обнаружения и оцени-
вания. Для практики особую ценность имеют различного рода ква-
зиоптимальные системы, решающие задачи совместного обнаруже-
ния и оценивания и обладающие простотой технической реализа-
ции. В главе изучаются основные подходы к обсуждаемой проб-
191
леме, при этом рассматриваются различные типы систем совмест-
ного обнаружения и оценивания радиосигналов [15].
Вначале остановимся на методике, позволяющей синтезиро-
вать сравнительно простые системы совместного обнаружения и
оценивания.
Предположим, что в течение заданного отрезка времени наблю-
дается реализация у некоторого случайного процесса, являющего-
ся шумом (ситуация Ф=0) либо смесью сигнала и шума (ситуа-
ция #=1). Полагаем, что полезный сигнал зависит от информа-
тивного 0ев и неинформативного ^хеМ параметров; плотность
распределения вероятностей смеси сигнала и шума w(y\B, \i, #=1)
будет также зависеть от этих параметров. Считаем, что плотность
распределения вероятностей одного шума w(y\'&=0) неизвестных
параметров не содержит.
По результатам наблюдения у требуется выяснить, какая си-
туация имеет место: ¦&==0 или i6i=l. т. е. необходимо решить зада-
чу обнаружения, и, кроме того, требуется оценить информативный
параметр сигнала 0. Относительно этого параметра возможны две
постановки задачи: байесовская и небайесовская.
Байесовская задача. Рассматривая байесовскую постановку
задачи, предполагаем, что параметры 9 и \i — случайные величи-
ны, априорные плотности вероятностей которых о>о@) и wo{\i)
известны. Оптимальный обнаружитель должен формировать от-
ношение правдоподобия A=w ~(у\®=1)/w(у\/&=0), которое в дан-
ной задаче имеет вид
. E.1)
Конкретизируя входящие в эту формулу плотности вероятностей
(с помощью распределений шума и параметров сигнала) и вы-
числяя двойной интеграл, получаем отношение правдоподобия,
определяющее структуру оптимального обнаружителя. Однако, при-
нимая во внимание, что информативный параметр 0ев подлежит
оцениванию, обработку реализации у целесообразно представить
по-другому, вычислив интеграл в формуле A) только по области
М. При этом A) перепишем в виде
o(Q)dO, E.2)
где
A (y\Q) = м
— условное отношение правдоподобия.
192
Пусть множество 0 представляет собой отрезок прямой
[0min, 9max]. Разобьем его на т отрезков точками QJt /=1,..., /п+
+ 1, 6min = 01<J02< ... <6г< ... <0т+1 = 6тах. Тогда ОТНОШеНИв
правдоподобия B) можно представить в виде
Л=
A(y\Q)wo(Q)dQ.
Предположим, что условное отношение правдоподобия
A(y\Q) непрерывно по0. Таккак плотность вероятностей Wq(Q)^Q,
то согласцо теореме о среднем существуют такие точки 0°je[0j,
=A0j, при которых
Pi, E-3)
где
Pi-
E.4)
— априорная вероятность того, что параметр 0 принадлежит от-
резку A0j.
Обработку наблюдаемой реализации у в соответствии с фор-
мулой C) можно осуществлять m-канальным устройством (рис.
5.1,а), /-й канал которого формирует условное отношение правдо-
подобия A(y\Q°j), /=1, ..., т. Схема весового суммирования скла-
дывает выходные сигналы с весами pj, при этом получаемое отно-
шение правдоподобия Л подается на .пороговое устройство ПУ,
которое выносит решение d\ и do согласно алгоритму B.25). Зна-
чение порога h определяется используемым критерием оптималь-
ности обнаружения (см. § 2.2).
-
Л(у\ф
Л(у\9°)
л(у\в°т)
X
\Pi
X
¦а
X
1 1
1 !
. L
т
Г
свн
л
Ил
Оценка
Л(у\9т)
'1
tt/W
/7
\
Нл
Рис. 5.1. Структурные схемы многоканальных систем обнаружения сигнала и
оценивания его параметра при байесовской (а) и небайесовской (б) постанов-
ках задачи
193
Если полезный сигнал присутствует в наблюдаемой реализа-
ции у, то, отыскав канал, для которого выходной эффект макси^з-
лен (пусть это будет, например, i-й канал), тем самым определим
отрезок А0г, с наибольшей вероятностью содержащий неизвестный
параметр, т. е. осуществим оценивание параметра сигнала. Выне-
сение оценки параметра естественно связать с вынесением реше-
ния di о наличии сигнала. Не рассматривая пока вопрос об
оптимальной взаимосвязи операций обнаружения и оценивания *
будем считать, что в случае принятия решения d\ ключ Кл замы-
кается и выдает оценку параметра, формируемую на выходе схе-
мы выбора максимума СВМ.
Таким образом, схема на рис. 5.1,а представляет собой систему
совместного обнаружения сигнала и оценивания его параметра.
Остановимся на вопросе об оптимальности обнаружителя и изме-
рителя, входящих в эту систему.
Если бы случайный параметр 0 мог принимать лишь конечное
число дискретных значений 0^6 с вероятностями p3{j = \, ••, гп),
то вместо интеграла в B) сразу бы имели сумму, т. е. отношение
правдоподобия имело бы вид C), причем 6°j = 0j. В этом случае
каждый канал схемы на рис. 5.1,а был бы точно «настроен» на
соответствующее значение параметра 0, так как условное отноше-
ние правдоподобия A(y\Qj) зависело бы от известной величины
Q3. При этом обнаружитель был бы оптимальным по критерию от-
ношения правдоподобия, и в частности по критерию Неймана —
Пирсона (если порог выбран по заданной вероятности ложной
тревоги), а измеритель был бы оптимальным по критерию макси-
мума апостериорной вероятности. В последнем нетрудно убедить-
ся, принимая во внимание, что согласно формуле Байеса
л {т'] р>^ "(Г(УГщ" -к {у) р
где величина
не зависит от значения параметра 0 Поэтому на выходе СВМ
(рис. 5 \,а) имеем максимальную апостериорную оценку, макси-
мизирующую апостериорную вероятность P(Q3\y, $=1), /=1, ..., т,
оцениваемого параметра. Отметим, что на выходе СВМ получаем
оценку параметра сигнала лишь при 0=1, т. е. при наличии по-
лезного сигнала в наблюдаемом процессе у.
* Этот вопрос рассматривается в § 5 3
194
Рассмотрим теперь более общий случай, когда оцениваемый
случайный параметр 8 является непрерывным. При этом обнару-
житель и измеритель, показанные на рис. 5.1,а, будут, вообще го-
воря, квазиоптимальными. Отход от оптимальности вызван тем,
что точки 0°^еА6_, в общем случае неизвестны * и их придется вы-
бирать внутри отрезков A0j(/=1, ..., т) более или менее произ-
вольным образом. При достаточно малых отрезках Д0_, (число ка-
налов т велико) проигрыш квазиоптимальных схем по сравне-
нию с оптимальными будет невелик, причем при т->оо этот про-
игрыш стремится к нулю.
Рассмотренное байесовское решение задачи обнаружения сиг-
нала и оценивания его параметра требует знания априорной плот-
ности вероятностей параметра wo(Q), по которой определяются
априорные вероятности D), используемые при весовом суммиро-
вании в многоканальном устройстве (рис. 5.1,а). Если эти априор-
ные сведения неизвестны, то суммирование сигналов с выходов
каналов может оказаться неэффективным. В этом случае следует
использовать небайесовский подход.
Небайесовская задача. Считаем, что оцениваемый параметр 0
является неслучайным, принадлежащим множеству в. В данном
случае для синтеза оптимального обнаружителя целесообразно
воспользоваться критерием максимального отношения правдоподо-
бия **. Согласно этому критерию оптимальное правило обнаружен
ния подобно правилу B.25) и имеет вид
Лм ^ h, E.5)
где статистика
max w(y\Q, Ф = 1 )
а значение порога h выбирается по заданной вероятности ложной
тревоги: f w(y\ft = 0)dy = F. Отметим, что рассматриваемое
правило обнаружения сохраняет прежний вид и при векторном
параметре 9.
Статистика F) представляет собой максимальное значение ус-
ловного отношения правдоподобия:
лm=л(!/|§м)- E-7)
* Теорема о среднем, которая использовалась при получении формулы C),
гарантирует лишь существование указанных точек, однако она не дает способа
их отыскания.
** Этот критерий является частным случаем обобщенного критерия отно-
шения правдоподобия (см. § 2.11).
195
Форниродатело
условного отноше-
ния вддб
AtffW
CBtt
Лп
14
ПУ
\
Кл
Рис. 5 2 Структурная схема системы обнаруже-
ния сигнала и оценивания его параметра
Максимум достигается в точке 6М, являющейся оценкой макси-
мального правдоподобия параметра Э. В результате приходим к
схеме на рис. 5.2. Первый блок формирует условное отношение
правдоподобия A(y\Q), которое поступает на схему выбора мак-
симума, отыскивающую максимальное значение Лм = Л(г/|0м) во
всей области изменения параметра 0ев. Это значение поступает
на пороговое устройство, а зафиксированное значение параметра
0м, при котором условное отношение правдоподобия максимально,
подается на ключ. Если величина Лм превышает порог, то выно-
сится решение d\ (есть сигнал), при этом подается команда на
ключ и на его выходе имеем оценку параметра 0М.
Обнаружитель рассматриваемой системы совместного обнару-
жения и оценивания (рис. 5.2) оптимален по критерию максималь-
ного отношения правдоподобия, а измеритель оптимален в том
смысле, что он формирует оценку максимального правдоподобия.
Отметим, что решающее правило E) эквивалентно правилу
Ф (Лм) 3ft Ф (Л) =в hlf E.8)
где ф-монотонная функция (например, логарифм), причем
Ф (Лм) = ф (max Л (y\Q)) = max ф (Л (г/10)).
0 8
При конкретизации блока формирования условного отношения
правдоподобия (рис. 5.2) или блока формирования логарифма ус-
ловного отношения правдоподобия можно непосредственно вос-
пользоваться результатами синтеза оптимальных измерителей
(i§ 4.1 и 4.2).
В общем случае при многоканальном варианте измерителя
имеем систему совместного обнаружения и оценивания, показан-
ную на рис. 5.1,6. Каждый из каналов формирует условное отно-
шение правдоподобия A(y\Qj) (или его логарифм) для фиксиро-
ванного значения параметра 0;(/=1, 2, ..., т), взятого из множест-
ва возможных значений параметра 0ев. Схема выбора максиму-
ма определяет канал с максимальным выходным эффектом. Если
196
A{y\Qi)>A{y\Qj) для всех /=1, ..., т, \ф1, то величина A{y\Qi)
подается на пороговое устройство. При превышении порога на вы-
ходе ключа получаем значение 9*, являющееся оценкой парамет-
ра 0.
Если бы оцениваемый параметр в был дискретным, принимаю-
щим т возможных значений, то оценка 0* являлась бы оценкой
л
максимального правдоподобия: 0г = 0м. В общем случае, когда па-
раметр 6 непрерывный, значение 0{ приближенно совпадает с
оценкой максимального правдоподобия: ©г«0м. Степень прибли-
жения увеличивается с увеличением числа каналов т. Требуемое
число каналов определяется так же, как и в, § 4.1, 4.2.
Сравнивая многоканальные системы совместного обнаружения
и оценивания (см. рис. 5.1), видим, что в отличие от байесовского
варианта структурной схемы (рис. 5.1,а) в схеме на рис. 5.1,6 ве-
совое суммирование сигналов перед пороговым устройством от-
сутствует, что обычно более приемлемо для практики. Таким об-
разом, небайесовское решение поставленной задачи привело к
технически более приемлемой схеме совместного обнаружения и
оценивания.
Перейдем к рассмотрению задачи совместного обнаружения и
оценивания для конкретных моделей сигнала, используя при этом
результаты § 4.2. Вначале остановимся на сигнале вида 5@, t),
где форма сигнала 5 — детерминированная функция. Наблюдаемый
процесс
yt = $s(Q, f) + tt; О = 0, 1; 0<*<7\
где |t — белый гауссовский шум со спектральной плотностью No/2.
Условное отношение правдоподобия в этом случае определяется
формулой D.34). Следовательно, статистика G)
А / yt s @М, t) dt- -L / s2 (9M, t)dt) ,
а ее логарифм
*м = In Лм = — J yts (ём, 0 dt - J- J s2 (9M, t) dt E.9)
iv0 0 0
Решающее правило E) с учетом (8) принимает вид zM ^ Ы. При
неэнергетическом параметре вторым слагаемым в (9) можно пре-
небречь. При этом структурную схему системы совместного обнару-
жения и оценивания (рис. 5.1,6) можно непосредственно конкре-
тизировать, использовав либо многоканальный коррелятор (см.
рис. 4.5,а), либо многофильтровую схему (см. рис. 4.5,6).
197
СФ,
СФ,
АД
АД
Z0(Sf)
ц
СФ*
АД
ПУ
Кл
Рис 5 3 Структурная схема многоканальной сис-
темы обнаружения сигнала и оценивания сме-
щения частоты
Рассмотрим теперь сигнал с неизвестным смещением частоты
f и со случайными начальной фазой ф и амплитудой а:
s (/, а, ф, t) = aA (t) cos [2я (fo + f) t + q (t)-q>)
Неинформативные параметры а и ф распределены по рэлеевскому
и равномерному законам соответственно, А (/) и ^(t)—детерми-
нированные законы амплитудной и фазовой модуляции. Примени-
тельно к такому сигналу, принимаемому на фоне белого шума,
структурная схема многоканального измерителя частоты в фильт-
ровом варианте приведена на рис. 4.11,а. Используя эту схему
при конкретизации схемы на рис. 5.1,6, получаем систему совмест-
ного обнаружения и оценивания доплеровскои частоты сигнала со
случайными начальной фазой и амплитудой (рис. 5.3).
Согласованные фильтры СФ^, /=1, ..., т, настроенные на час-
тоты /ь ..., fm, перекрывают весь диапазон доплеровских частот.
На выходе амплитудного детектора АД образуется огибающая
корреляционного интеграла zo(fj). Схема выбора максимума оты-
скивает максимальное значение zo (ft) и подает его на пороговое
устройство. При превышении порога на выходе ключа Кл имеем
оценку смещения частоты ft, приближенно равную оценке макси-
мального правдоподобия fM.
Рассмотрим сигнал со случайными начальной фазой и ампли-
тудой и неизвестным временем запаздывания т:
s (т, а, ф, t) = aA (t — т) cos [2я/0 (t —
(t — x) — ф].
Используя схему корреляционного измерителя времени запаз-
дывания сигнала (см. рис. 4.9,а), нетрудно аналогично предыду-
щему получить структурную схему многоканальной системы сов-
местного обнаружения и оценивания. Если же использовать филь-
198
СФ
АД
свм\
I'о Chi)
ПУ
к
* Кл
Ь ^~СФ\ААД Z°
УД
Фи
» ПУ
«9
Рис. 5.4. Структурные схемы систем обнаружения сиг-
нала и оценивания времени запаздывания
тровой вариант измерителя (см. рис. 4.9,6), то приходим к одно-
канальной системе, совместного обнаружения и оценивания
(рис. 5.4,а).
После согласованного фильтра СФ и амплитудного детектора
АД образуется огибающая корреляционного интеграла го(т). В
схеме выбора максимума на заданном отрезке времени, определя-
емом диапазоном просматриваемой дальности, отыскивается
максимальное значение
max
г
E.10)
при этом фиксируется момент времени хм. В случае превышения
А
2о(тм) порога на выходе ключа Кл имеем оценку времени запаз-
л
дывания сигнала тм. i
Эти операции просто реализуются при визуальном съеме ин-
формации. Оператор, наблюдая за отметками на экране индика-
тора с разверткой по дальности, сравнивает наибольший выброс
с мысленным порогом и принимает решение о наличии или об от-
сутствии цели (сигнала). При вынесении решения о наличии цели
оператор отсчитывает по шкале индикатора дальность, соответст-
вующую моменту времени, при котором выброс на развертке имеет
наибольшую амплитуду. Таким образом, в данном случае опера-
тор по существу решает задачу совместного обнаружения и оцени-
вания дальности цели методом максимального правдоподобия.
199
Для автоматизации рассматриваемой обработки в схеме на
рис. 5.4,а после АД можно поставить АЦП и дальнейшую обра-
Л
ботку — выбор максимума A0), фиксацию момента тм и сравне-
ние 2о(тм)с порогом — проводить в цифровом процессоре.
Возможна и аналоговая реализация автоматической системы
совместного обнаружения сигнала и оценивания времени запазды-
вания (рис. 5.4,6, где УД — устройство дифференцирования, ФИ —
формирователь импульсов). Работа системы поясняется времен-
ными диаграммами рис. 5.5. Отметим, что в данной системе обна-
ружение осуществляется не путем отыскания максимума A0) и
сравнения его с порогом (как в схеме на рис. 5.4,а), а по-друго-
му— при первом же превышении видеонапряжением z0 заданного
порога. Поэтому обнаружитель в схеме на рис. 5.4,6 не является
строго оптимальным в смысле критерия E). Но зато он просто
реализуется. Важным достоинством системы на рис. 5.4,6 явля-
ется также то, что она позво-
ляет осуществлять совместное
обнаружение и оценивание
дальности многих целей: ПУ
может срабатывать много-
кратно в различных точках
временного интервала (даль-
ности).
Аналогично предыдущему»
использовав схему на рис.
4.12, нетрудно получить струк-
турную схему системы совме-
стного обнаружения и оцени-
вания времени запаздывания
и доплеровского смещения ча-
стоты сигнала со случайными
начальной фазой и амплиту-
дой.
В заключение отметим
следующее. В рассмотренных
системах совместного обнару-
жения и оценивания на выхо-
де ключа Кл получаем оценку
параметра сигнала при усло-
вии ¦&=!, т. е. при наличии по-
лезного сигнала на входе си-
стемы. Однако это необходи-
мое условие не является доста-
точным. Дело в том, что ключ
Рис. 5 5. Временные диаграммы, по-
ясняющие работу схемы на рис.
5.4,6
200
Кл замыкается всегда, когда в пороговом устройстве ПУ принима-
ется решение d\ (есть сигнал). Но решение^ может быть ложным. В
этом случае на выходе ключа имеем ложную оценку, называемую
также псевдооценкой. Вероятность получения псевдооценки, оче-
видно, равна вероятности ложной тревоги F. Возможна и обрат-
ная ситуация: в ПУ принимается решение d0 (нет сигнала), хотя
на самом деле он есть. При этом оценка параметра, получаемая
на выходе схемы выбора максимума, будет отвергнута, так как
ключ Кл будет разомкнут. Иначе говоря, истинная оценка пара-
метра будет ошибочно принята за ложную. Вероятность этого со-
бытия равна вероятности пропуска сигнала Do. Таким образом, ве-
роятности принятия ложной и отклонения истинной оценок сов-
падают с соответствующими вероятностями ошибочных решений
при обнаружении сигнала.
5.2. ОЦЕНОЧНО-КОРРЕЛЯЦИОННО-
КОМПЕНСАЦИОННОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Оценочно-корреляционные алгоритмы. Рассмотрим те-
перь более общую задачу совместного обнаружения и оце-
нивания, когда полезный сигнал является стохастическим. Внача-
ле остановимся на случае дискретного времени наблюдения, ког-
да в моменты tu t2, .-, tn наблюдается случайная последователь-
ность
Уг = Ъ* (9ь*1) + Ь; Ф|-о, 1; *=1,...,я. E.11)
Параметр 8г, t=l, 2, ..., стохастического сигнала s@*, ^представ-
ляет собой случайный процесс с дискретным временем, на кото-
рый практически никаких ограничений не накладывается. Шум ?г,
i=l, 2, ..., является случайным процессом с независимыми значе-
ниями, описываемыми плотностью вероятностей w% (?г)- Предпо-
лагается, что параметр сигнала и шум статистически незави-
симы*.
Найдем отношение правдоподобия An = w(yi,... , tjn\'&=l)!w(yi,..., уп]®^
=0). Для этого введем условные плотности вероятностей w(yi\yu ..., Уг-и 0=
= 1)^а)(г/г|г/1»~1, Ф=1); t=l, ..., п. Тогда отношение правдоподобия можно
записать в виде
{ E.12)
1=2 *
* В более общей постановке задачи это ограничение может быть ослабле-
но [53].
201
Так как |, — процесс о независимыми значениями и, кроме того, статистически
не зависит от процесса di, то при фиксированном значении 6; имеем
Учитывая A1) и то, что плотность вероятностей шума %i описывается
функцией w*, получаем
w(yi\Qi> ^=l) = wl[yi-s(elt ti)]. E.14)
Введем апостериорную плотность вероятностей параметра сигнала w(Qi\
i/!*-!, 0=1). В силу свойств условных плотностей вероятностей
и>Шу[~1. 0=1)= ]w(yi\Qi, y[~l, **=l)w
—с»
С учетом соотношений A3), A4) имеем
и>Шу{~1* 0=1)= ]^[уг-8(вг, /f)] в»(Gilу}
—оо
В результате отношение правдоподобия [12) принимает вид
оо
„ J w-lyi-sieitiMwiQilyif1 tb
E.15)
Отношение правдоподобия удобно формировать последовательным
образом с помощью рекуррентного алгоритма, который в соответ-
ствии с A5) можно представить в виде
j w* [yi — S Fj , /j)] W (l
л —oo i О Q ti
E.16)
Начальное условие
оо
Г Ш| [t/x — S
Д — ffi>(Wi|d = 1) _ _оо
где шо@1)—априорная плотность вероятностей параметра 6i.
Обратим внимание на то, что формулы A5), A6) устанавлива-
ют функциональную взаимосвязь отношения правдоподобия, оп-
ределяющего структуру оптимального обнаружителя, и апостери-
орной плотности вероятностей параметра сигнала, определяющей
структуру оптимального измерителя. Поэтому система обработки
202
сигналов, построенная на основе указанных формул, будет явля-
ться системой совместного обнаружения и оценивания параметра
стохастического сигнала. Конкретные структуры таких систем, об-
рабатывающих наблюдаемый процесс в дискретные моменты вре-
мени, можно получить, если конкретизировать распределения ве-
роятностей шума и параметра сигнала [53].
Перейдем к непрерывному времени наблюдения, когда наблю-
даемый процесс имеет вид
yt = bs{Qttt) + lt; * = 0, 1; 0<*<7\ E.17)
При этом будем считать, что шум It — белый гауссовский с пара-
метрами B.34). На случайный процесс 6г, являющийся парамет-
ром сигнала s{Qt, /), практически никаких ограничений не накла-
дываем (как и при дискретном времени).
Отношение правдоподобия для непрерывного времени найдем путем пре-
дельного перехода в рекуррентном соотношении A6). Для этого воспользу-
емся тем, что белому гауссовскому шуму |* со спектральной плотностью N0/2
соответствует при дискретном времени гауссовский процесс с независимыми
значениями |f, плотность вероятностей которого определяется формулой
D.108). Подставив эту формулу в соотношение A6), получим
Ai = Af_, Jexp/-^-[2^sF,, ti)-s*(Qi, U)]} хюШу^1, 0=1) dfy.
E.18)
Разлагая экспоненту в ряд по степеням At и используя условие нормировки
оо
J ауFг|г/1'-1, d=l)d9i = l, соотношение A8) приведем к виду
tt)] +
sHBt, ti)}w(Qi\y[~l, 0=l)d9f + O[(A/)»]. [E.19)
где О [(АО2] — члены порядка малости (AtJ и выше.
Перейдем в рекуррентном соотношении A9) к пределу, устремляя At-+-O.
При этом выборочные значения У\* = (У\, •-. У г) наблюдаемого процесса, взятые
на отрезке времени [0, /], в пределе при At=ti—ti-i-^0, i->-oo, дадут непре-
рывную реализацию Уо1 = {ух, 0<x<t}. Отношение правдоподобия при дискрет-
ном времени Ai = w(yii\i&=l)/w(yii\'&=Q) перейдет в отношение правдоподо-
бия Л.* = ьу(г/о*116ч= 1 )/оу(г/о*|e-=0), являющееся функционалом реализации у0*
наблюдаемого процесса A7). Входящие в формулу A9) интегралы
]s(Qit tt)
ОО
203
в пределе дадут апостериорные математические ожидания сигнала s(Qt, t) и
его квадрата s2(Qt, t):
M[s(9f) Olrf, 0=1]= Js(9, 0^(9)^9 = ^. E.20)
Al[s»(9t, 01Й- 0=1]= ]&&. t)Pt(B)dQ=% E.21)
Здесь p«(8) s=Z2>(8i| г/о', 0=1) — апостериорная плотность вероятностей
параметра сигнала. Апостериорные математические ожидания B0), B1), обоз-
наченные через §t и s2t, являются оптимальными (байесовскими среднеквадра-
тическими) оценками сигнала s(Qt, t) и его квадрата s2(Bt, t) соответственно.
Рекуррентное соотношение A9) в пределе при Л?->0 перейдет в стохасти-
ческое дифференциальное уравнение. При этом возможны две формы записи
стохастического дифференциального уравнения — форма Ито и сАмметризо-
ванная форма (форма Стратоновича). Форма записи уравнения будет зависеть
от того, учитывается или отбрасывается в соотношении A9) член, содержащий
коэффициент
K = (Atyi)K E.22)
Если под шумом |< понимать строго дельта-коррелированный процесс (см.
B 34)), то указанный член необходимо учитывать, так как коэффициент B2)
при Д/-Ю дает вклад порядка (N0/2)M [53], т. е. имеет порядок малости
О(Д^). Это является следствием изломанности реализации белого шума |t
и наблюдаемого процесса yt. Такие реализации недифференцируемы в обыч-
ном смысле, однако их можно дифференцировать, пользуясь специальным пра-
вилом — формулой дифференцирования Ито [53, с. 30].
Таким образом, переходя в соотношении A9) к пределу с учетом коэф-
фициента B2), получаем стохастическое дифференциальное уравнение для от-
ношения правдоподобия в форме Ито:
E.23)
(чтобы отличить стохастический дифференциал Ито от обычного дифференциа-
ла используем знак *). Однако на практике шум радиотехнических устройств
является «сглаженным» (не дельта-коррелированным) процессом. В этом слу-
чае коэффициент B2) имеет порядок малости О [(AtJ] и в пределе дает ну-
левой вклад. Поэтому, отбрасывая в формуле A9) член, содержащий указан-
ный коэффициент, переходя к пределу при Д/->0, получаем симметризованное
стохастическое дифференциальное уравнение для отношения правдоподобия
= B/N0)Atstytdt-(\/N0)At7tdt,
204
которое эквивалентно уравнению
А* = B/ЛГ0) At styt-(\/NQ) At7t. E.24)
Найдем решение полученного уравнения При этом учтем, что при симмет-
рированной записи стохастических выражений с ними можно обращаться, ис-
пользуя обычные правила дифференцирования и интегрирования, как если бы
белый шум |t и наблюдаемый процесс yt имели гладкие реализации По-
этому, заменяя переменные zt = lnAt и дифференцируя по обычному правилу
zt=AtlAt, из уравнения B4) получаем zt= B/N0)styt—(l/N0)s2t. Используя
начальное условие zo=O (Ло=1), находим логарифм отношения правдоподобия
в момент окончания наблюдения Т:
yvo о yvo о
Таким образом, отношение правдоподобия
Лг = exp (-L / st yt dt- -1- f Ц<и\ . E.26)
Рассмотрим теперь уравнение в форме Ито B3). Заменяя пере-
менные zt — \nAt и применяя формулу дифференцирования Ито,
получаем [53]
гт = -f / st ytd*t-±-\ (stf dt. E.27)
^oo ^oo
Первый интеграл в этой формуле является стохастическим интег-
ралом Ито, который подчиняется особым правилам интегрирова-
ния, не совпадающим с обычными правилами интегрирования
гладких функций.
Как следует из B7), отношение правдоподобия
Л т = exp i-L / sf ytd*t-± / (stf dt 1 . E.28)
1^0 0 ^0 0 J
Формулы B6) и B8) определяют отношение правдоподобия в
задаче обнаружения произвольного стохастического сигнала в
в белом шуме. Они отличаются друг от друга вследствие исполь-
зования различных форм записи стохастических интегралов: пер-
вые интегралы в формулах B6) и B8) есть симметризованный
стохастический интеграл Стратоновича и стохастический интеграл
Ито соответственно.
Подчеркнем, что полученные формулы определяют отношение
правдоподобия (и его логарифм) для любых моделей стохастиче-
ского сигнала. При этом они устанавливают функциональную
взаимосвязь отношения правдоподобия с оптимальными оценками
205
сигнала, определяя так называемую оценочно-корреляционную
обработку сигналов.
При детерминированном полезном сигнале s(Qt, t)sss(t) оцен-
ка сигнала равна самому сигналу: st = s(t). При этом стохастиче-
ские интегралы Ито и Стратоновича совпадают, что следует из
формулы их взаимосвязи [53]. Поэтому в данном частном случае
должны совпадать и полученные формулы, записанные в симмет-
ризованной форме и в форме Ито. Действительно, для детерми-
•>»
нированного сигнала (stJ = s2t = s2(t) и выражения B5), B7)
одинаковы:
=-fs (t)
л/J w
dt-— { s2 (t) dt.
E.29)
Эта формула совпадает с B.43) и определяет логарифм отноше-
ния правдоподобия в задаче обнаружения детерминированного
сигнала в белом шуме.
На практике полезные сигналы недетерминированные и корре-
ляционный обнаружитель, формирующий статистику B9), не
оптимален. Для различных квазидетерминированных сигналов оп-
тимальные обнаружители синтезированы в § 2.5. В общем же
случае, когда сигнал стохастический, оптимальным будет являть-
ся оценочно-корреляционный обнаружитель, определяемый полу-
ченными формулами.
Сравнивая найденные выражения, видим, что логарифм отно-
шения правдоподобия для общей задачи в форме Ито B7) можно
получить путем формальной замены детерминированного сигнала
s(t) в формуле B9) оценкой st стохастического сигнала. При
этом оценочно-корреляционный обнаружитель можно представить
в виде схемы на рис. 5.6,а, где блок обнаружения формирует ста-
тистику вида B9) (с учетом замены s(t) на st) и сравнивает ее с
порогом.
Блок обна-
ружения
Кл
Оценка
сигнала
!/t
Блок оцени-
банап
X
1»
Блок
оценивания
0
ПУ
*
Кл
б)
Оценку
сигнала
Рис. 5.6. Структурные схемы оптимального (а) и квазиоптимально-
го (б) оценочно-корреляционных обнаружителей
206
Рассматриваемый оценочно-корреляционный обнаружитель
представляет собой систему совместного обнаружения и оценива-
ния стохастического сигнала. Обнаружитель оптимален по крите-
рию отношения правдоподобия (§ 2.2), а блок оценивания оптима-
лен по критерию минимума среднего квадрата ошибки (§ 4.1). Ес-
ли 0=1 и обнаружитель вынес решение du го на выходе ключа
Кл имеем оптимальную оценку сигнала st.
Оценочно-корреляционный обнаружитель можно упростить.
Для этого учтем, что в большинстве радиолокационных и радиона-
вигационных задач оцениваемый параметр Qt сигнала s(Qt, t) не-
энергетический. В этих случаях члены s2t и {stJ, входящие в
B5), B7), могут быть представлены в виде суммы неинформа-
тивной константы и колебательных членов удвоенной частоты, да-
ющих малый вклад. Пренебрегая указанными членами, получаем
zT « J st yt dt. E.30)
о
Отметим, что к такому же алгоритму можно прийти, если предпо-
ложить, что сигнал достаточно слабый [53].
Таким образом, схема квазиоптимального оценочно-корреля-
ционного обнаружителя может быть представлена согласно фор-
муле C0) в виде рис. 5.6,6. Если сигнал детерминированный, то
задача его измерения отпадает (st = s(t)) и схема на рис. 5.6,6
переходит в корреляционный обнаружитель (см. рис. 2.5,а). В та-
ком обнаружителе в качестве опорного колебания используется
сам обнаруживаемый сигнал, который заранее известен. В общем
случае при обработке стохастического сигнала, не известного на-
блюдателю, опорным колебанием служит оценка st — отфильтро-
ванное от шумов значение полезного сигнала. Отметим, что опор-
ное колебание представляет собой оценку сигнала B0) лишь при
0=1, т. е. когда на входе обнаружителя есть полезный сигнал.t
Если же такого сигнала нет (О = 0), то опорное колебание являет-
ся псевдооценкой, представляющей собой шум, прошедший через
блок оценивания.
Квазиоптимальный оценочно-корреляционный обнаружитель,
как и оптимальный, — система совместного обнаружения и оцени-
вания. При превышении выходным напряжением интегратора зна-
чения порога обнаружения, устанавливаемого в ПУ, на выходе
ключа Кл имеем оценку полезного сигнала (если 0=1). При этом
экономится общее время обработки (обнаружения — измерения).
В обычных же системах лишь после окончания обнаружения си-
стема переходит в режим измерения и формирует оценку.
В оценочно-корреляционном обнаружителе удачно реализует-
ся и режим подтверждения, когда обнаружитель не прекращает
207
работы после установления факта наличия сигнала. При этом об-
наружитель работает совместно с блоком оценивания и является
индикатором срыва слежения.
Примеры. Полученные алгоритмы оценочно-корреляционного
обнаружения являются общими. Однако для реализации оценочно-
корреляционных обнаружителей необходимо раскрыть блок фор-
мирования оптимальной оценки §t. Для этого потребуется конкре-
тизировать модель полезного сигнала и синтезировать блок оцени-
вания. При этом можно воспользоваться результатами по филь-
трации стохастических сигналов § 4.3).
Предположим, что полезный сигнал s(Qt, t)=Qt — марковский гауссовский
процесс, определяемый стохастическим дифференциальным уравнением D.122).
Апостериорная плотность вероятностей сигнала в рассматриваемом случае яв-
л
ляется гауссовской D.126), а блок формирования оптимальной оценки Qt=mt
представляет собой линейный фильтр (фильтр Калмана), описываемый урав-
нениями D.127), D.128). Конкретизируя выражение для логарифма отношения
правдоподобия в симметризованной форме B5) с учетом st=Qt, s2t = Q2t и
того, что апостериорная дисперсия (lfht)=Q2t—m2t, получаем
"о о "о о 0*
Так как апостериорная дисперсия l/ht от случайного процесса г/< не зависит
(см. D.128)), то последний интеграл в C1) является детерминированной ве-
личиной и ее, а также множитель I/No из статистики Zt можно исключить. В
результате достаточная статистика
т т
E.32)
в
Аналогичный вид имеет статистика оптимального обнаружения в форме Ито
{27). Отметим, что в рассматриваемом случае уравнения оптимальной фильт-
рации в симметризованной форме D.127), D.128) и в форме Ито совпадают.
Структурная схема оптимального обнаружителя, формирующего статистику
Филь/пр
Калнана
X
щ
1
f
0
_Г
ПУ
Ил
Рис. 5.7. Структурная схема оценочно-корреля-
ционного обнаружителя гауссовского сигнала
208
{32), показана на рис. 5.7, где Кв — квадратор (структурная схема фильтра
Калмана приведена на рис. 4.14,6, в). На выходе ключа Кл имеем оптимальную
А
оценку полезного сигнала nit=Qt (при вынесении решения й\ и при Ф=1).
Рассмотрим второй пример, когда полезный сигнал — фазомодулированное
колебание s(8t, t)=Aosm(®<it-\-bt) (та же модель, что и в D.138)). В данном
примере блок оценивания — нелинейный. Синтез этого блока методом гауссов-
ского приближения с последующим переходом к стационарному режиму при-
водит к типовой схеме ФАПЧ (см. рис. 4.15).
Статистика C0) при большой апостериорной точности может быть пред-
ставлена в виде
, t)ytdt.
E.33)
Для доказательства этого разложим сигнал s(9«, t) в ряд в окрестности
Взяв апостериорное математическое ожидание от обеих частей этого ра-
венства, получим
Отсюда видно, что при большой апостериорной точности, когда апостериорная
дисперсия Kt достаточно мала, st^s(Qt, t) и, следовательно, статистика C0)
А А
переходит в C3). Для рассматриваемого примера Qt^mt, s(9t, t) =A0sin[a)Ot-\-
-\-rrit], поэтому
zT « J Ao sin (coo t + mf) t/f dt.
E.34)
На рис. 5.8 приведена структурная схема системы, определяе-
мая формулой C4) и уравнениями D.140), D.141) с учетом за-
мены Kt на Я; обозначения те же, что и на рис. 4.15. Синтезиро-
X
*/2
X
I
ПГ
>
/
-.
lib
1-
m
t
Кл
in (u>ot*mt)
Рис. 5.8. Структурная схема оценочно-корреля-
ционного обнаружителя фазомодулированногс
сигнала
209
ванная схема представляет собой квазиоптимальный оценочно-
корреляционный обнаружитель, блоком оценивания которого яв-
ляется типовая схема ФАПЧ. Как видим, для получения обнару-
жителя схему ФАПЧ нужно дополнить фазовращателем, умножи-
телем, интегратором и пороговым устройством.
Рассматриваемый обнаружитель включает в себя следящий
измеритель (ФАПЧ), образуя с ним единое целое — систему сов-
местного обнаружения и оценивания. Формирование опорного сиг-
нала с помощью ФАПЧ позволяет выполнить квазикогерентную
обработку сигнала (близкую к когерентной) и реализовать метод
фазовой селекции (см.§ 2.6). Схема на рис. 5.8 осуществляет обна-
ружение, оценивание фазомодулированного сигнала и его парамет-
ра. На выходе ключа Кл при %=\ и вынесении решения d\ фор-
мируется оценка сигнала Ло sin((o0t + mt) и оценка его фазы
mtttdt.
Аналогично можно решить задачи синтеза оценочно-корреля-
ционных обнаружителей и для других моделей сигнала.
Оценочно-корреляционно-компенсационные алгоритмы. Приве-
денные результаты допускают ряд обобщений. Рассмотрим зада-
чу, когда на произвольный стохастический сигнал st помимо бело-
го гауссовского шума It воздействует произвольная * стохасти-
ческая помеха r\t-
Логарифм отношения правдоподобия для этой задачи [53]
yvo о ^оо
где
Sf = M(st|y!*=l), Л» = М(ть|Уо,0 = 0, i = 0, 1, E.36)
У<н = Уг- 4ot- E.37)
Апостериорные математические ожидания C6) представляют со-
бой оптимальные (байесовские при квадратичной функции потерь)
оценки сигнала и помехи (при Ф=1 и ¦0 = 0) соответственно. При
r]t==O имеем %t = 0, и формула iC5) переходит в B7).
Согласно C5) в оптимальном обнаружителе должны форми-
роваться оценки Tin и rjot помехи r\t, которая затем компенсирует-
* Термин «произвольный» употребляется в том смысле, что на случайные
процессы st и Т1< накладываются ограничения [53], которым удовлетворяют
любые сигналы и помехи, встречающиеся на практике.
210
ся (частично) в результате вычитания "Пи—riot. Компенсация по-
мехи происходит и при формировании статистики C7). Можно
показать [53], что процесс yot при Ф = 0 является дельта-коррели-
рованным гауссовским. Это означает, что компенсатор, работаю-
щий по алгоритму C7), осуществляет обеление произвольной по-
мехи, т. е. является обеляющим фильтром. Структурная схема по-
добного компенсатора уже обсуждалась (см. рис. 2.22,6) при рас-
смотрении физических принципов защиты от помех.
Синтезированная система допускает различные модификации,
упрощающие ее реализацию. Так, при достаточно слабом сигна-
ле, когда его влиянием на оценки помех можно пренебречь,
т)ог~цп, при этом оптимальный алгоритм C5) переходит в квази-
оптимальный
т л
zT
(stfdt.
E.38)
Сравнивая этот алгоритм с B7) и учитывая соотношение [64]
st = №(st\yto, 0=1) »M(sf\yloo, Ф=1), где yfoo — реализация прв-
цесса yot на отрезке [0, /], видим, что устройство, реализующее
алгоритм C8), можно построить по схеме на рис. 5.9. В этой схе-
ме структура компенсатора помех определяется формулой C7).
«Гауссовский приемник» представляет собой устройство формиро-
вания логарифма отношения правдоподобия в задаче обнаруже-
ния сигнала на фоне белого гауссовского шума B7). При детер-
минированном сигнале этот приемник — согласованный фильтр
(§ 2.4), для квазидетерминированных сигналов структурные схе-
мы приведены в § 2.5, в общем случае при стохастическом сигна-
ле гауссовский приемник строится в соответствии с оценочно-кор-
реляционным алгоритмом. Отметим, что в некоторых случаях, на-
пример при обнаружении детерминированного сигнала на фоне
гауссовской коррелированной помехи, структурная схема на рис.
5.9 определяет строго оптимальную обработку (см. § 2.7).
Компенсатор помехи
Оценка
помехи
Гауссобский
приемник
Рис. 5 9. Структурная схема квазиоптимального
устройства обработки сигналов на фоне помех и
белого шума
211
Оптимальный алгоритм C5), а также квазиоптимальный C8)
определяют оценочно-корреляционно-компенсационную обработку
сигналов на фоне произвольных помех.
Обобщение этой обработки на векторные процессы, которое позволяет оп-
тимизировать пространственно-временную обработку стохастических сигналов с
компенсацией помех, имеется в [59, 69]. В [64] дается обобщение на более
сложную ситуацию, когда на сигнал могут воздействовать несколько различ-
ных помех — комплекс помех, причем недостоверно присутствующих в наблю-
даемом процессе
В заключение отметим, что рассмотренные общие формулы
для отношения правдоподобия и его логарифма целесообразно
применять при проведении так называемого математико-эвристи-
ческого синтеза радиосистем. Сущность такого подхода заключа-
ется в следующем. За основу построения системы берется матема-
тически синтезированный алгоритм, структура которого обладает
определенной степенью инвариантности относительно статистиче-
ских свойств наблюдаемых процессов. При синтезе же блоков, не
обладающих свойством инвариантности, используются как мате-
матические методы, так и эвристические соображения; последние
обычно носят характер ограничений на сложность блоков.
Применительно к рассмотренным задачам алгоритмами с ин-
вариантной структурой являются оценочно-корреляционный и оце-
ночно-корреляционно-компенсационный алгоритмы обнаружения.
Блоки оценивания свойством инвариантности не обладают. При
их синтезе целесообразно ввести ограничения на сложность, на-
пример задав заранее их структуру. При этом можно взять за ос-
нову структуры соответствующих апробированных на практике
измерителей. Математические методы здесь используются при вы-
боре типа измерителя и при оптимизации его составных частей.
Как показывает анализ, подобный математико-эвристический син-
тез приводит к системам, обладающим простотой технической ре-
ализации и сравнительно высоким качеством работы.
5.3. БАЙЕСОВСКОЕ СОВМЕСТНОЕ ОБНА-
РУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СИГНАЛОВ
В § 5.1, 5.2 были синтезированы различные системы сов-
местного обнаружения и оценивания. состоящие, в част-
ности, из оптимальных обнаружителей и оптимальных измерите-
лей. Последние являются оптимальными при условии, что оцени-
ваемый сигнал присутствует в наблюдаемом процессе. Результат
оценивания (оценки сигнала или его параметра, либо то и другое)
использовался совместно с результатом обнаружения (при выне-
сении решения d\).
212
Однако задача синтеза байесовской системы, оптимизирующей
совместное выполнение операций обнаружения и оценивания, ра-
нее не ставилась. Рассмотрим такую постановку здесь и кратко
остановимся на основных результатах (подробнее см. [15, 53, 68]).
Обозначим через у% наблюдаемый на заданном отрезке време-
ни [О, Т] случайный процесс, который при #=0 является шумом,
а при ф=1—смесью сигнала и шума. Сигнал зависит от парамет-
ра 0*e®, являющегося случайным процессом. Обозначим через
б# и бе решающие правила обнаружения и оценивания соответст-
венно. В соответствии с этими решающими правилами в момент
окончания наблюдения Т выносятся, вообще говоря, функциональ-
но взаимосвязанные решения d® и d%: б# {yTo)—d^ —решение о
наличии d\ или об отсутствии d0 сигнала в наблюдаемой реали-
зации ут0 и бе(г/го)=^е — решение о значении процесса 8*
в момент времени Т, иначе говоря, оценка неизвестного парамет-
ра сигнала.
Введем функцию потерь общего вида
с = с(д,в,^,Л), E.39)
характеризующую совместную плату за вынесение решений об
обнаружении и оценивании. Используя априорные вероятности на-
личия и отсутствия сигнала P{&=Q}=po, P{&=l}=Pu Po+Pi = l»
а также априорные распределения шума и параметра сигнала,
можно определить полное математическое ожидание потерь, т. е,
средний риск: ,
' F*. бе) = Мс [Ъ, 9г , ба {yl), б0 (УоI
Оптимальное (в байесовском смысле) правило совместного обна-
ружения и оценивания представляет собой пару взаимосвязанных
решающих правил б*<ь 6*е, для которых
^(б1, fij) = min7Fo, бе).
6<* »бе
Таким образом, рассматриваемая байесовская задача совмест-
ного обнаружения и оценивания сводится к заданию общей функ-
ции потерь C9), штрафующей одновременно решения об обнару-
жении сигнала и об оценивании его параметра, и к отысканию
пары решающих правил, минимизирующих средний риск. Отме-
тим, что при раздельном рассмотрении байесовских задач обнару-
жения (гл. 2) и оценивания (гл. 4) вместо функции потерь C9)
вводились потери на обнаружение с(#, d^) и отдельно потери на
оценивание сF, dQ); затем путем минимизации средних рисков-
Мс($, бф), Же (в, бе) отыскивались решающие правила обнаруже-
ния и оценивания, не связанные между собой.
21»
Вид взаимосвязи между обнаружением и оцениванием зависит
от выбора функции потерь. В [15, 53] приведены функции потерь
разной степени общности и соответствующие им оптимальные пра-
вила, отражающие различную взаимосвязь между обнаружением и
оцениванием.
Остановимся на одном частном случае, когда составляющие функции по-
терь C9) имеют вид: с(О=0, do)=coo — плата за правильное необнаружение;
с(# = 0, di, do)=col-\-dQ — плата за ложное обнаружение и ложную оценку
dQ; c(#=l, d0, 8)=Сю+92 — плата за ложное необнаружение сигнала с пара-
метром 9; c(fr=l, du Э, d0)=cu-{-(9—dQJ — плата за правильное обнаруже-
ние и оценку dQ параметра * 9. В этом случае минимизация среднего риска
приводит к сравнительно несложному оптимальному правилу совместного об-
наружения и оценивания:
, если Л г> 1,
, если АаТ < 1,
где AgT — модифицированное отношение правдоподобия [15, 53]; Лт = о'(г/о:г|
$=l)/w(yQT\'&=Q) — отношение правдоподобия;
ег = МFг|г/ог, 0=1) E.42)
— байесовская оценка параметра сигнала для квадратичной функции потерь
при условии, что сигнал присутствует в наблюдаемой реализации уот.
Если в правиле D0), D1) модифицированное отношение правдоподобия
Agr заменить обычным Лг, а значение порога h—\ на А=Ро(сю—Cu)/Pi{co\—
—Coo), то, как показал анализ, значение среднего риска, характеризующее ка-
чество работы системы совместного обнаружения и оценивания, увеличится не-
значительно, однако техническая реализация системы существенно упростится.
Отметим, что при указанных заменах правило D0) переходит в байесовское
правило обнаружения (см. § 2.2), не связанное с правилом оценивания.
Особый интерес представляет оптимальная оценка б*е (?/ог) параметра
сигнала. Так как
Т + Po/Pi a
Ш ( У1)
E.43)
* Такая функция потерь физически оправдана, если параметр 8 энергети-
ческий.
214
то, как следует из D1),
Таким образом, в рассматриваемом случае оптимальная оценка 8*q(i/ot) пара-
метра сигнала при недостоверном его присутствии (pi<l) в наблюдаемой реа-
лизации уот равна оптимальной оценке 8т при достоверном присутствии сиг-
нала (fr=l), умноженной на апостериорную вероятность наличия сигнала.
На рис. 5.10 представлена система, реализующая правило D0), D1) с
учетом замены статистики Ает на Лг- Формирователь отношения правдоподо-
бия подает Лг на пороговое устройство и на блок формирования апостериор-
ной вероятности наличия сигнала D3). Оцениватель формирует оптимальную
оценку параметра при условии §=1, т. е. оценку D2). При превышении поро-
га обнаружения на выходе ключа Кл получаем оценку параметра сигнала
при недостоверном его присутствии, т. е. при pi<l. Отметим, что формирова-
тель отношения правдоподобия и оцениватель при Ф=1 удобно реализовывать-
в едином блоке, используя оценочно-корреляционный метод построения обна-
ружителей (см. § 5.2).
Качество работы рассматриваемых систем совместного обнаружения и оце-
нивания характеризуется средним риском. Для оптимальной системы средний
риск минимален. При этом он оказывается существенно меньше среднего риска
систем совместного обнаружения и оценивания, рассмотренных в § 5.1, 5.2,
Уменьшение значения среднего риска достигается за счет уменьшения состав-
ляющей среднего риска, относящейся к оцениванию. Что касается составляю-
щей среднего риска, относящейся к обнаружению, то ее значение остается тем
же, что и при обычной процедуре обнаружения, когда с порогом сравнивается
отношение правдоподобия Лг. Иначе говоря, выигрыш оптимальной системы
совместного обнаружения и оценивания по сравнению с системой, составленной-
ив не связанных между собой обнаружителя и оценивателя (оптимизирован-
ного при 0=1), достигается за счет улучшения качества работы оценивателя,
оптимизированного при недостоверном присутствии сигнала
Ift
ФорпироЗатель
отношения
праЗ&о/годоо~ия
Ро
ОцениЗа/пель
Вт
X
ПУ
Кл
Оценка
параметра
Рис. 5.10. Структурная схема систе-
мы совместного обнаружения и оце-
нивания
215-
Глава 6. РАЗРЕШЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ
СИГНАЛОВ
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗРЕШЕНИИ
И РАСПОЗНАВАНИИ ОБЪЕКТОВ И СИГ-
НАЛОВ
Разрешение и распознавание радиолокационных объектов от-
носятся к числу основных задач радиолокации. Разреше-
ние, как уже отмечалось, сводится к обнаружению и измерению
координат и параметров движения объекта при наличии в иссле-
дуемом пространстве других объектов. Последние могут быть
близко расположенными радиолокационными объектами (самоле-
ты, корабли и т. п.), для которых также требуется выполнение
операций обнаружения и измерения координат, или могут быть
маскирующими объектами естественного (дождь, земная поверх-
ность) либо искусственного (ложные цели, дипольные отражате-
ли) происхождения, затрудняющими выполнение задач, стоящих
перед радиолокационной системой.
Одной из важнейших тактических характеристик радиолокаци-
онной системы является ее разрешающая способность (см. § 1.4).
Разрешение объектов сводится в конечном счете к разрешению
принимаемых радиолокационных сигналов, а разрешающая спо-
собность по той или иной коорди-
нате будет определяться разреша-
ющей способностью по соответству-
ющему параметру сигнала (време-
ни запаздывания, частоте, направ-
лению прихода радиоволн)—пара-
метру разрешения. Разрешающая
способность зависит от формы при-
нимаемых сигналов, ширины спект-
ра, протяженности сигналов по па-
раметру разрешения на выходе
приемника. Ка-к ясно из рис. 6.1, на
котором изображены огибающие
сигналов sF) на выходе приемни-
ка, имеющие различную протяжен-
ность по параметру разрешения 8,
при одинаковом значении А0 «уз-
Рис. 6.1. Огибающие сигналов кие» сигналы (рис. 6.1,6) разделя-
216
ются лучше. При этом разрешающая способность при таких сиг-
налах будет выше.
Разрешающая способность зависит и от отношения энергии
принимаемых сигналов к спектральной плотности шума; она, оче-
видно, возрастает при увеличении отношения сигнал-шум.
Различают потенциальную и реальную разрешающую способ-
ность. Потенциальной называется наивысшая разрешающая спо-
собность, которая может быть достигнута лишь при оптимальной
обработке сигналов. В реальных условиях разрешающая способ-
ность радиолокационных систем всегда ниже потенциальной.
Распознавание радиолокационных объектов состоит в установ-
лении принадлежности объектов к определенным классам. Оно
сводится к распознаванию радиолокационных сигналов, несущих
информацию об объектах и принимаемых на фоне шумов.
Процесс распознавания объектов включает в себя следующие
этапы: 1) получение данных радиолокационного наблюдения;
2) анализ этих данных и извлечение из них характерных черт или
признаков, отличающих объекты и соответственно радиолокацион-
ные сигналы друг от друга; 3) классификация наблюдаемых сиг-
налов в соответствии с тем или иным алгоритмом, определяемым
принятой мерой близости полученных (в результате обработки
сигналов) признаков и исходных признаков объектов.
Надежность распознавания в значительной мере зависит от вьь
бора системы признаков, по которым классифицируются объекты.
Этот выбор определяется как характеристиками самих объектов,
так и характеристиками зондирующих сигналов.
Для классификации могут быть использованы кинематические
признаки, а также признаки, определяемые размером, формой и
материалом отражающей поверхности.
К кинематическим признакам относятся параметры поступа-
тельного движения объекта (скорость, ускорение), параметры
вращательного движения объекта или его отдельных частей, а
также признаки, связанные с особенностями траекторий объек-
тов,— траекторные признаки. Эти признаки проявляются в виде
соответствующих характеристик эхосигналов (при активной ра-
диолокации), по которым и осуществляется классификация. На-
пример, объекты, движущиеся с различными скоростями, можно
распознать по доплеровскому смещению частоты принимаемых
сигналов. Вращающиеся части объектов (лопасти реактивных
турбин, винты) создают модуляцию (амплитудную и частотную)
эхосигналов, которую можно использовать для классификации
объектов. Траекторные признаки (баллистическая траектория,
траектория маневрирующего объекта и др.) проявляются при мно-
гократных наблюдениях в результате вторичной обработки радио-
локационной информации (гл. 7).
Признаки, связанные с размером, формой и материалом отра-
жающей поверхности, определяют интенсивность, форму, вид
флуктуации и поляризационные характеристики эхосигнала. Так,
сферический объект, являясь симметричным отражателем, создает
нефлуктуирующий эхосигнал, не обладающий четко выраженны-
ми поляризационными свойствами.
При выборе признаков классификации следует учитывать и
характеристики зондирующих сигналов, в частности разрешаю-
щую способность при тех или иных сигналах. Так, скорость движе-
ния объектов можно выбирать в качестве признака классифика-
ции только тогда, когда разрешающая способность по частоте до-
статочна для разрешения эхосигналов. Если, например, объекты
различной конфигурации классифицируются по числу и располо-
жению блестящих точек, * то необходимо использовать зондиру-
ющие сигналы, при которых разрешающая способность по време-
ни запаздывания достаточна для разрешения этих точек. В этом
случае принимаемые сигналы состоят из ряда дискретных радио-
импульсов, отраженных блестящими точками. Расположение им-
пульсов на оси времени соответствует распределению блестящих
точек на объекте. В результате указанные радиоимпульсы созда-
ют радиолокационный портрет объекта. Сравнивая этот портрет
с заранее полученными радиолокационными портретами извест-
ных (эталонных) объектов, можно решить задачу распознавания.
В силу зависимости признаков классификации от характерис-
тик зондирующего сигнала последние нужю выбирать так, чтобы
признаки были наиболее информативными и устойчивыми, позво-
ляющими достаточно надежно решать задачу распознавания.
Объекты можно классифицировать как по одиночным призна-
кам, так и по их совокупности. В последнем случае увеличива-
ется надежность распознавания, однако усложняется распознаю-
щее устройство.
В качестве упомянутой меры близости полученных признаков,
которые обозначим через х= (xi, ..., хп), и признаков zi = ziu .... z\
эталонного объекта, принадлежащего классу Л\ i=\, ..., m, возь-
мем некоторое действительное неотрицательное число р(х, z*) —
«расстояние» между векторами х и z\ Это число можно задавать
до-разному. Например, в евклидовом пространстве расстояние ме-
жду двумя векторами есть норма (длина) вектора х—zf, опреде-
ляемая формулой ,
2 (*>- 4J- <6Л>
* Иод блестящей понимается такая точка на поверхности объекта, для ко-
торой нормаль к поверхности совпадает с направлением на РЛС.
218
Очевидно, целесообразно найти наименьшее расстояние и прово-
дить классификацию объектов по правилу:
если
р (х, гк) = min р (х, zf), то х е Л\ F.2)
где x^Ak означает, что объект с вектором признаков х принадле-
жит классу Ah(k=\, ..., т). Согласно этому правилу, называемо-
му правилом «ближайшего соседа», объект относят к тому клас-
су, расстояние от которого (например, в смысле A)) минимально.
Решение задачи распознавания существенно упрощается, если
требуется классифицировать объекты лишь на «свои» и «чужие».
В этом случае применяют радиолокационные системы с активным
ответом, использующие запросно-ответные устройства. Сигналы
этих устройств кодируются соответствующим образом, что позво-
ляет не только разделить наблюдаемые объекты на «свои» и «чу-
жие», но и провести более подробную классификацию своих объ-
ектов (определить тип самолета, корабля и т. д.). Кодирование
сигналов может осуществляться путем изменения по тому или
иному закону несущей частоты, амплитуды импульсов, длитель-
ности импульсов, числа импульсов в пачке, временных интерва-
лов между имлульсахми. Наилучшие технические характеристики
аппаратуры распознавания достигаются при использовании ком-
бинированных кодов, когда одновременно кодируются несколько
из указанных параметров.
Как ясно из сказанного, задачи разрешения и распознавания
объектов (сигналов) связаны между собой. Так, разрешающая
способность влияет на выбор признаков классификации и в конеч-
ном счете сказывается на надежности распознавания. При распо-
знавании близко расположенных объектов вначале решается зада-
ча их разрешения. Особенно тесная взаимосвязь разрешения и
распознавания сигналов проявляется при статистической оптими-
зации этих процедур.
В заключение отметим, что задачи разрешения и распознава-
ния сигналов в той или иной степени приходится решать и в ра-
дионавигации при обработке радионавигационных сигналов. На-
пример, некоторые задачи поиска импульсных сигналов в радио-
навигационных системах сводятся к распознаванию сигналов.
6.2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
РАЗРЕШЕНИЯ И РАСПОЗНАВАНИЯ СИГ-
НАЛОВ
Общие решающие правила. Так как прием сигналов осу-
ществляется на фоне случайных помех и, кроме того, сами
сигналы, как правило, флуктуируют, то задачи разрешения
219
и распознавания сигналов статистические. Поэтому оптимальное
решение этих задач может быть получено на основе теории ста-
тистических решений. Одним из разделов данной теории, непо-
средственно применимым к задачам разрешения и распознавания
сигналов, является проверка многих статистических гипотез, адек-
ватная многоальтернативному обнаружению сигналов.
Рассмотрим многоальтернативное обнаружение сигналов в бай-
есовской постановке. Предположим, что в течение фиксированно-
го времени наблюдается реализация г/еУ случайного процесса yt,
протекающего в дискретном или непрерывном времени. Процесс
yt принадлежит одному из (w+1) непересекающихся классов.
Соответствующие состояния реализации у будем ассоциировать со
значением параметра Ф=0, 1,..., т. Пусть Ф=0 означает, что у
содержит один шум, а $ = ? означает, что у является смесью сиг-
нала и шума, причем сигнал принадлежит i-му классу, ?=1, ..., т.
В байесовской постановке задачи параметр О интеррретирует-
ся как дискретная случайная величина, априорные вероятности ко-
торой известны: !'
2
?=0
В результате наблюдения реализации у и применения решаю-
щего правила б требуется принять одно из (т+1) решений 6(у) =
—&ъ /=0, ..., т, где dj — решение, согласно которому считается,
что у принадлежит /-у классу, т. е. ¦&=/. Задается матрица по-
терь \\c(i, dj)\\, i, / = 0, 1, ..., т, где c(i, dj) —потери, возникающие
в результате принятия решения dj при условии, что имеет место
состояние '&=L
Оптимальное (байесовское) решающее правило б * отыскива-
ется путем минимизации среднего или же апостериорного риска
(см. § 2.1). Последний в случае принятия решения 6(y)=dj равен
где P{'&=i|</}—апостериорная вероятность состояния O=i. Оп-
тимальное правило многоальтернативного обнаружения состоит в
принятии решения 8*(y)=dk, если осуществляется неравенство
т
с (/, dh) Р (О = ад < 2 с (/, dj) P{$ = i\y} F.3)
2
/=0
для всех / = 0, ..., т, ]Фк. Это решающее правило можно записать
по-другому, если ввести отношения правдоподобия
Л| - « (yJO - i)fw (у\Ъ = 0), i = 0] т. F.4)
220
Заметим, что Ло=1. Поделив обе части неравенства на апостери-
орную вероятность Р{®=0\у} и учтя, что P{ft=i\y}/P{®=0\y} =
= (Рг(ро)Аг, получим оптимальное правило многоальтернативного
обнаружения вида
т
б* (У) = 4. если 2 с (/, 4) Pi Af <
1=0
m
*? % с (i, d,) pt At, / = 0 /n, /^Л. F.5)
t=0
В частном случае, когда т=\ и с@, do)=c(l, di)=0, из E) сле-
дует оптимальное правило двухальтернативного обнаружения:
= 0) sg p0c{0, d1)lp1 с A,4),
d,
совпадающее, конечно, с ранее найденным правилом B.19).
Рассмотрим важный частный случай многоальтернативного об-
наружения, когда составляющие матрицы потерь имеют вид
' = 0,...,«. F.6)
При таких потерях правило E) упрощается:
б* (У) = 4. если pk Aft > pi AJf / = 0 ,..., т, j ф k. F.7)
Если все априорные вероятности одинаковы:
p. =pt i = 0,..., m, F.8)
то решающее правило G) сводится к выбору наибольшего отно-
шения правдоподобия
б* (У) = 4. если ЛА > Л/, / = 0,... ,т,1Ф k. F.9)
Вместо отношений правдоподобия D) можно формировать моно-
тонные функции от них, в частности логарифмы 2i = lnAf, ?=0, ...
..., т, zo = 0; при этом правило (9) эквивалентно
б* (у) = 4. если 2Й > zJt I = 0 ,... ,т>)Ф k. F.10)
Согласно A0) принимается решение б*(#) =d0 — «нет сигнала»
если
*,< 0,/«1 ,.„,«. F.11)
Если же
2а!> 0, zh^zj, /= 1,..., m, /=^=A:, F.12)
то принимается пушение б* (у) =dh — «есть сигнал &-го класса»
221
Отметим, что к решающим правилам (9), A0) можно прийти и
по-иному — с небайесовских позиций, оценивая неслучайный дис-
кретный параметр Ф, принимающий т+1 значение (О = 0, ..., т).
Для пояснения этого введем условное отношение правдоподобия
Л(#|О) =w(y\$)/w(#|O = 0), О = 0, ..., т; при O = i эта статистика
совпадает с D). Используя метод максимального правдоподобия
Л(г/|Ом) = тахЛ(*/|О), F.13)
находим оценку 'Ом, которая равносильна решению о значении дис-
кретного параметра О, выносимому в соответствии с правилом (9).
Таким образом, в том частном случае, когда справедливы условия
F) и (8), байесовское правило многоальтернативного обнаружения
и правило оценивания дискретного параметра методом максималь-
ного правдоподобия приводят к одному и тому же результату.
Мерой качества многоальтернативного обнаружения сигналов
может служить средний риск, однако более наглядную меру ка-
чества составляют вероятности ошибочных решений
hj = P{6(y) = dt\* = i}, 1,1--=0,...,т,1ф]. F.14)
Эти вероятности вычисляются по формулам
l)dy, F.15)
где область Yi(y)aY включает те реализации у={У\, ..., уп), для
которых 6(y)=di. В общем случае оптимального многоальтерна-
тивного обнаружения области интегрирования Y*i(y) (i = 0, ..., т)
определяются решающим правилом E). При потерях F) области
Y*i(y) описываются правилами типа G), (9). При двухальтерна-
тивном обнаружении вероятности A4), A5) совпадают с вероят-
ностями ложной твероги F и пропуска сигнала Do: $m = F, $oi = Do.
Решающие правила E), G), вместе с формулами A5) позво-
ляют проводить синтез и анализ оптимальных систем многоальтер-
нативного обнаружения, и в частности оптимальных систем раз-
решения и распознавания сигналов. Для иллюстрации полученных
общих результатов рассмотрим несколько конкретных задач.
Детерминированные сигналы. Рассмотрим случай, когда в ка-
честве модели сигнала используется наиболее простая модель —
детерминированная функция. Предположим, что наблюдаемый
процесс имеет вид
m_jt t = °'- i 0<*<7\ F.16)
где si(t) —детерминированные сигналы; ?* — белый гауссовский
шум со спектральной плотностью No/2. Требуется по результатам
222
наблюдения yt в течение времени [О, Т] выяснить, какое из т+1
возможных состояний #=0, ..., т имеет место, т. е. необходимо
решить задачу обнаружения и различения m детерминированных
сигналов. Данная задача, по существу, и есть простейшая стати-
стическая задача распознавания сигналов.
Для синтеза оптимального устройства распознавания восполь-
зуемся решающим правилом A0). Логарифмы отношений правдо-
подобия в рассматриваемом случае определяются аналогично
B.43):
zi = -р / yt st (t)dt- ?L , i = 1 ,..., m, F.17)
No о ^o
т
где Ei = js2i(t)dt — энергия i-го сигнала. В этом случае устройст-
о
во распознавания (рис. 6.2,а) представляет собой многоканаль-
ную схему из m корреляторов, на выходах которых формируются
г
корреляционные интегралы z'i = J ytSi(t)dt, i=\, ..., тп. Значения
о
последних в момент окончания наблюдения Т поступают в реша-
ющее устройство РУ, работающее по алгоритму A1), A2) с уче-
том A7). Согласно этому алгоритму РУ принимает решение d0
(нет сигнала), если z'j^.Ej/2, /=1, ..., т, и решение du (есть сиг-
нал &-го класса), если z\^Eh/2, z\—Ek/2^z'j—Ej/2, /=1, ..., m,
к
В рассмотренной задаче наблюдаемый процесс при Ф=1, ..., m
содержал лишь один из m возможных сигналов (см. 16). Если же
наблюдаемая реализация может содержать одновременно несколь-
ко сигналов, то возникает задача их разрешения. Положим для про-
стоты, что одновременно могут наблюдаться не более двух сиг-
налов, при этом наблюдаемый процесс зададим в виде
Детерминированные сигналы sx (t) и s2 (t), принимаемые на фоне
белого шума ?*, могут иметь, в частности, одинаковую форму и от-
личаться друг от друга значением какого-либо параметра, напри-
мер S2(t)—Si(t—т), где время запаздывания т считается извест-
ным.
Необходимо по результатам наблюдения процесса (\8) выяс-
нить, какое из возможных состояний #=0, ..., 3 имеет место. Ина-
'223
X
\s,(t)
X
0
/
0
h
Zm
РУ
\Smft)
СФ, —* АД —*
СФт —* АД -Л,
РУ
A4),.
Рйс. 6.2. Структурные схемы оптимальных устройств распознавания де-
терминированных (а) и квазидетерминированных (б) сигналов
че говоря, необходимо решить, присутствуют в tjt полезные сигна-
лы или нет; если присутствуют, — то два сигнала или один; если
один, — то какой из двух. Данная четырехальтернативная задача
обнаружения адекватна статистической задаче разрешения двух
детерминированных сигналов. С другой стороны, эту же задачу
можно интерпретировать как статистическую задачу распознава-
ния четырех возможных ситуаций A8). Таким образом, в рассма-
триваемой постановке статистическая задача разрешения адек-
ватна задаче распознавания, при этом они могут быть решены в
рамках общей задачи многоальтернативного обнаружения.
Воспдльзовавшись алгоритмом A0) и учитывая, что z\ и z2
определяются формулой A7), а
dt~ IT
dt>
приходим к тому, что структурную схему оптимального устройст-
ва разрешения и распознавания двух детерминированных сигна-
лов можно представить в виде схемы на рис. 6.2,а, с той только
разницей, что число каналов т = 3, причем опорное колебание в
третьем канале ss(t) =Si(^)-f s2@-
Синтезированная схема оптимального распознавания представ-
лена на рис. 6.2,а в корреляционном варианте. Однако ее можно
представить и в фильтровом варианте, заменив корреляторы со-
гласованными фильтрами с импульсными характеристиками
hi(t) =Si(T—t), i—\, ..., т. Применительно к рассмотренной зада-
че разрешения
К @ =*1 (Т- () + st (T-t) = hx @ +Аа (t). F.19)
Квазидетерминированные сигналы. Рассмотрим задачи разре-
шения и распознавания применительно к сигналам со случайными
амплитудами а* и начальными фазами ф*
t (t) cos[2n (fo
-^). F.20)
224
Полагаем, что амплитуды и фазы распределены по рэлеевскому
и равномерному законам соответственно:
), F.21)
законы амплитудной Л» (О и фазовой tyi(t) модуляции, а также не-
сущая частота /0 известны: fi, i=l, ..., m —возможные значения
доплеровского смещения частоты. Модели сигналов B0) адекват-
ны радиолокационным эхосигналам, создаваемым объектами, дви-
жущимися с радиальными скоростями
i=\,...,m. F.22)
Если наблюдаемый процесс определяется соотношением типа
A6), в котором под Si(t) понимается сигнал B0), а шум по-преж-
нему белый гауссовский, то отношения правдоподобия D) нахо-
дятся аналогично формуле D.76а):
*-1....,т, F.23)
где Ei=2a2iEi\ Ei — энергия f-го сигнала при ai==l; ,
/ y(t)AUt)exp(-]2jifit)dt ,i=l,...,m F.24)
о
— модули комплексных корреляционных интегралов; лг(/) =
=Лг-ехр [jit>,i(O]—комплексная огибающая j-го сигнала; y(t) —
комплексная огибающая наблюдаемого процесса. Статистики
равны
— h _j_ fa . ?2, (f.) i=\ ... m, F 25)
где hlt = In [(NQ + Et)/N0]; /г2? = 2a?/7V0 (Л^о + ^) F.26)
не зависят от наблюдений. В соответствии с решающим правилом
A0) и с учетом формул B5) и B4) на рис 6.2,6 построена струк-
турная схема оптимального устройства распознавания сигналов
B0), отличающихся доплеровским смещением частоты. Данная
схема изображена в фильтровом варианте. Согласованные фильт-
ры СФ* (j=1, ..., m) настроены на возможные доплеровские час-
тоты fi. На выходах амплитудных детекторов образуются квадра-
ты огибающих корреляционных интегралов 22ог(/г), которые по-
ступают в решающее устройство РУ, работающее по алгоритму
A1), A2). Согласно этому алгоритму и формуле B5) принимает-
ся решение do — «нет сигнала», если
4,- (W < hilKj, / = 1, ..., m. F.27)
8-100 225
В случае
zlk{fk)>hlhjh2kt fiMzlbifJ-hu^huZljifA—hti, /=*1,..-., т
F.28)
принимается решение, что dk есть сигнал &-го класса, т. е. сигнал с
доплеровским смещением частоты /&.
Если предположить, что
ог = а, Et = E, i=l,...f m, F.29)
то
ha = К = In [(No + E)/No], h2i = h2 = 2a'i/N0 (No -f E), i = 1..., m,
F.30)
при этом алгоритм B7), B8) упрощается:
d0, если zljifjj^hjhz, /=1,..., /n,
.$*(#) = j 4, если г^дЖИг» г^Ук»^^),
j = I, — , m, \фк.
При радиолокационном наблюдении объектов, движущихся с
радиальными скоростями B2), синтезированное устройство (рис.
6.2,6) позволяет осуществлять их оптимальное распознавание по
доплеровскому смещению частоты принимаемых эхосигналов. В
реальных условиях радиальные скорости распознаваемых объек-
тов будут отличаться от фиксированных значений B2) и лежать
в некоторых диапазонах AVm^Vmm^x—V^min, i=\, ..., т. В
этом случае схема на рис. 6.2,6 перестает быть оптималь-
ной, причем с ростом AVm отход от оптимальности увели-
чивается. Для предотвращения этого каждый из диапазонов AVRi
можно разбить на li — AVRi/8VRi более мелких поддиапазонов
6VRi и свести рассматриваемую задачу проверки (ш+1) гипотез
т
к проверке 2 /г+1 гипотез. Затем можно воспользоваться полу-
ченными общими алгоритмами. Применительно к схеме на рис.
6.2,6 это приведет к соответствующему увеличению числа допле-
ровских каналов.
Рассмотрим теперь задачу статистического разрешения и рас-
познавания двух сигналов типа B0), принимаемых на фоне бело-
го шума It. Наблюдаемый процесс
(It, О «0,
226
a2, ф2,
0+ (/a, a2, ф2
Отношения правдоподобия Ai и Л2 определяются прежней фор-
мулой B3), а отношение правдоподобия Лз найдем по общей ме-
тодике (см. B.58), B.73)). Имеем
2я 2я оо оо
0 0 0 0
X w0 (а2) w0 (фх) w0 (ф2) dax da2 dqx Лр2, F.32)
где
f 2
A(y\alt а2, фх, ф2) = ехр — J
I ^о о
X[s(/b а1э фх, 0 + s(/2> «2» ф2
fli, Фь 0 + s(^,
— условное отношение правдоподобия. Поставив B1) и C3) в
C2), вычислим интеграл при условии, что разности доплеровских-
частот и время наблюдения таковы, что
V\h-h\<T. F.34)
В этом случае «перекрестным» членом во втором интеграле в C3)
можно пренебречь, в результате получим Лз=Л1Лг, а для лога-
рифмов отношений правдоподобия будем иметь 23 = ^1+^2. Если к
тому же допустить, что выполняется условие B9), то
(ft), г"=Ь2,
(f)l • '
где постоянные hi и h2 определяются формулами C0).
Конкретизируя A1), A2) применительно к C5), получаем оп-
тимальное правило разрешения и распознавания двух рассматри-
ваемых сигналов:
С do, если г^.^Х^/Лз, /=1,2,
б* (у) = ) dl* 6СЛИ * (/l) > KlK ^{^ < hi/h*> /6 зб>
|*d2, если zl2{f2)>hxlh2, z^ifj^hjh,,
[d3, если 2jl(/1)>Vu2, zl2(h)>hlh2.
Принимая решение ^г-, считаем, что имеет место состояние O = t,
i = 0, ..., 3 (см. C1)). Как видим, для построения оптимального
алгоритма C6) достаточно сформировать статистики 2oi(/i) и
2о2(/2) —огибающие корреляционных интегралов (см. B4)). Та-
ким образом, при выполнении условий C4) и B9) схема опти-
8* 227
py
СФ,
СРг
АД
АД
г
i
| -.
1
1
1
1
|
L
ПУ
ПУ
—
ЛС
1
U
A=0,..,3)
1
1
J'
Рис. 6.3. Структурная схема
устройства разрешения и рас-
познавания двух квазидетер-
минированных сигналов
мального устройства разрешения и распознавания двух сигналов
со случайными амплитудами и начальными фазами и различными
доплеровскими частотами может быть представлена в виде рис.
.6 3. где COi и С<Х>2 — согласованные фильтры, настроенные на до-
ттлеровские частоты принимаемых сигналов, АД — квадратичные
детекторы. Штриховой линией обведено решающее устройство РУ,
состоящее из двух пороговых устройств ПУ и логической схемы
ЛС.
JB пороговых устройствах квадраты огибающих корреляцион-
ных интегралов сравниваются с одинаковыми порогами * hjh2.
Информация о превышении или непревышении порогов поступает
в логическую схему ЛС, которая в соответствии с алгоритмом C6)
выносит то или иное решение. Если оба порога не превышены или
оба превышены, то выносится решение do или йъ соответственно;
если один порог превышен, а другой нет, то принимается решение
d{ или d2, в зависимости от того, в каком из каналов произошло
срабатывание устройства.
Когда возможные значения доплеровского смещения частоты
fi и /2 неизвестны, а известно лишь, что они лежат в непересека-
ющихся диапазонах fi max—hmm, i=l, 2, можно поступить так же,
как и в предыдущей задаче, т. е. каждый из диапазонов разбить
на U и h достаточно мелких поддиапазонов. В результате число
каналов в схеме на рис. 6.3 возрастет до (/i + /2) каналов, причем
каждый из них будет содержать пороговое устройство.
Разрешение и распознавание сигналов как задача оценивания
параметров. Ранее уже отмечалось, что процедура многоальтер-
нативного обнаружения (9) равносильна оцениванию дискретного
параметра ¦& (принимающему т + \ значение) по правилу A3).
Рассмотрим с позиций оценивания параметров задачу разреше-
ния и распознавания сигналов Si@b t) и s2@2, t), где Si и s2 —
• В рассматриваемой схеме вместо квадратичных могут использоваться
также линейные детекторы, тогда пороги должны равняться ~\/hxlh2.
228
известные функции; 6ie6i и 02ев2 — неизвестные неслучайные
параметры. Наблюдаемый процесс можно записать в виде
у% = *i h (еь о+#2 s2 (e2, t)+lt, о < * < т, F.37)
где Oi и О2 — параметры обнаружения, принимающие значения
О или 1. Разрешение и распознавание указанных сигналов сводит-
ся к оцениванию дискретных (Oi и Ог) и, вообще говоря, непрерыв-
ных (8i и 6г) параметров.
Определив условное отношение правдоподобия
F.38)
где w(y\$u 0i, O2, 0г)—функция правдоподобия; &y(z/|Oi=0,
Ог = 0) —значение этой функции при Oi = 0 и Ог = 0 (иначе говоря,
плотность вероятностей шума It), можно аналогично A3) найти
А А А А
оценки максимального правдоподобия От, 0т, Огм и 02м, для ко-
торых
Л(«/|#1м, 0А1М, 4м, 92М)= ma* QA(y\Qlt 0ь К 02).[ F.39)
Отметим, что если параметры 0i и 02 известны, то соотношение
C9) переходит в A3) (нужно только четырем возможным ситуа-
циям Ог=0, 1, i=l, 2 поставить в однозначное соответствие зна-
чения параметра О = 0, ..., 3).
Согласно C9) схему оптимального (в смысле максимального
правдоподобия) разрешения и распознавания двух сигналов мож-
но представить в виде трехканального устройства (рис. 6.4). В ка-
налах формируются соответствующие условные отношения прав-
доподобия и находятся их максимальные (в области 6i и Эг)
значения, которые подаются на оконечную схему выбора макси-
мума ОСВМ. В последней из трех максимальных значений выби-
рается наибольшее, которое затем сравнивается с величиной
СВМ
СВМ
ОСВМ
Оценки
лараяе/проЗ
СВМ
Рис. 6.4. Структурная схема оптимального устройства
разрешения и распознавания сигналов
22§
(#| = 0, 02=0) = 1, иначе говоря, с единичным порогом. Если
порог превышен, то выносится решение о наличии обоих сигналов
(т. е. Ьгм=1, i=l, 2) или о наличии одного из сигналов (т. е.
А А
Фгм=1, <6iJM=0, i?=j) в зависимости от того, какой из каналов дал
максимальный эффект; кроме того, формируются соответствую-
щие оценки параметров сигналов (9гм)- Если же порог не будет
А
превышен, то оценки 10>гм=О» i = l> 2, т. е. принимается решение об
отсутствии обоих сигналов.
Заметим, что в том частном случае, когда параметры 6i и 02
известны, а шум |* — белый гауссовский, конкретизация схемы на
рис. 6.4 приведет к трехканальному корреляционному устройству,
о котором уже шла речь (применительно к наблюдению A8)).
Отметим также, что если сигналы Si и s2, входящие в C7),
имеют не только информативные параметры 9i и Q2, но и случай'
ные неинформативные параметры, например амплитуду и началь-
ную фазу, т. е.
si = Si(9i, въ <Pi, *), s3 = s2(82, c2, q>2, /), F.40)
то синтезированная оптимальная процедура и соответствующая
ей общая схема на рис. 6.4 сохраняют прежний вид. Однако в
этом случае под статистикой C8) нужно понимать усредненное по
неинформативным параметрам аи <рь а2, фг (аналогично C2)) ус-
ловное отношение правдоподобия.
Один из общих способов реализации схемы на рис. 6.4 связан
с разбиением множеств значений информативных параметров Fi
и вг) на несколько подмножеств; в результате каждый из трех
каналов будет разбит на соответствующие подканалы, число ко-
торых можно определять из тех же соображений, что и в задаче
оценивания (см. гл. 4). Таким образом, схема разрешения и рас-
познавания опять становится многоканальной. Однако существует
важный случай, рассматриваемый ниже, когда ее можно свести к
простой одноканальной схеме.
Пусть информативные параметры сигналов D0) являются вре-
менами запаздывания, т. е. 0i=ti, 6г=Т2 (несущие частоты и их
смещения полагаем известными). В этом случае каждый из трех
каналов схемы на рис. 6.4 при реализации его в фильтровом вари-
анте состоит из последовательно соединенных согласованного
фильтра, амплитудного детектора и схемы выбора макбимума.
Фильтры в первом и втором каналах согласованы с сигналами
Si и s2 соответственно, а в третьем канале — с их суммой (им*
пульсная характеристика фильтра в третьем канале определяется
аналогично A9)). Если форма и частота сигналов одинаковы, то
одинаковыми будут и согласованные фильтры во всех трех кана-
230
лах, при этом рассмотренную трехканальную схему можно заме-
нить одноканальной. В результате задача разрешения и распоз-
навания сигналов с неизвестными задержками фактически све-
лась к их разделению на выходе системы согласованный фильтр —
амплитудный детектор и принятию решений о наличии или отсут-
ствии сигналов на всем интервале наблюдения [О, Т].
Итак, обсуждаемая одноканальная схема достаточна для опти-
мального разрешения и распознавания рассматриваемых сигналов,
причем этот вывод справедлив для любого числа сигналов одина-
ковой формы со случайными начальными фазами и амплитудами,
известными и одинаковыми частотами и неизвестными временами
запаздывания. Эту схему можно реализовать так же, как и рас-
смотрению ранее схему совместного обнаружения сигналов и оце-
нивания их времени запаздывания (см. рис. 5.4,6).
Если принимаемые сигналы D0) имеют неизвестные задержки
и различные (но известные) частоты, то схема разрешения и рас-
познавания остается трехканальной, так как согласованные филь-
тры в каналах разные. Если к тому же смещения частот сигналов
неизвестны, то в результате применения описанной методики
каждый из указанных каналов становится многоканальным по
частоте (подобно схеме на рис. 4.12).
6.3. СВЯЗЬ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНО-
СТИ С ФУНКЦИЕЙ РАССОГЛАСОВАНИЯ
Меры разрешающей способности. Рассмотренные в § 6.2
методы синтеза оптимальных устройств разрешения сиг-
налов в общем случае приводят к многоканальным уст-
ройствам. Однако в важном частном случае, когда принимаемые
сигналы со случайными начальными фазами и амплитудами име-
ли одинаковые известные частоту и фо^му и неизвестные задерж-
ки, задача оптимального разрешения сигналов свелась к задаче
их разделения на выходе одноканального устройства, содержаще-
го согласованный фильтр и амплитудный детектор. Такое устройст-
во входит в качестве составной части и в многоканальные систе*
мы разрешения. Поэтому количественную меру разрешающей спо-
собности целесообразно связать с возможностью разделения сиг-
налов на выходе оптимального приемника, состоящего из согласо-
ванного фильтра (коррелятора) и амплитудного детектора. Оче-
видно, чем меньше протяженность выходного сигнала приемника
па параметру разрешения в (см. рис. 6.1), тем выше разрешающая
способность РЛС. За меру разрешающей способности обычно при-
нимают величину Ав, при которой огибающие выходных сигналов-
приемника пересекаются на уровне 0,5 (рис. 6.5). Для сигналов,
231
o,sso
в :
Рис. 6.5. Диаграмма определе-
ния меры разрешающей спо-
собности
Рис. 6.6. Тело неопределенное™
для сигнала с колоколообразно»
огибающей
отличающихся только значением параметра 9, величина Де, совпа-
дает с шириной огибающей выходного сигнала на уровне 0,5.
При определении меры разрешающей способности или просто-
разрешающей способности важнейшую роль играет автокорреля-
ционная функция сигнала, а в общем случае — функция рассогла-
сования. Причем при определении разрешающей способности по*
двум параметрам — времени запаздывания и частоте — потребует-
ся времячастотная функция рассогласования р(т, /) D.87). Дей-
ствительно, если на вход оптимального приемника, состоящего из.
коррелятора (согласованного фильтра) и амплитудного детекто-
ра, подать сигнал A(t), отличающийся от опорного колебания вре-
менем запаздывания т и смещением частоты /, то при отсутствии-
шума сигнал на выходе детектора будет прямо пропорциональ-
ным значениям модуля функции рассогласования* р(т, /). При-
чем при линейном детекторе на его выходе сигнал прямо пропор-
ционален |р(т, /)|, а при квадратичном детекторе—|р(т, /)|2-
Таким образом, при достаточно большом отношении сигнал-
шум, когда влиянием шума можно пренебречь, огибающая сигна-
ла на выходе оптимального приемника прямо пропорциональна
модулю или квадрату модуля времячастотной функции рассогла-
сования сигнала. Поэтому согласно приведенному определению
разрешающей способности Де (см. рис. 6.5) разрешающая способ-
ность по времени запаздывания Дт и частоте А/ при достаточно-
большом отношении сигнал-шум будет определяться «шириной>
функции рассогласования на уровне 0,5 по осям т и / соответст-
* Коэффициент пропорциональности определяется нормирующим множите*
лем в формуле D.87).
232
венно. Разрешающая способность тем выше, чем уже функция
рассогласования по соответствующей оси.
Ранее было выяснено (см. § 4.2), что потенциальная точность
измерения параметров сигнала со случайными амплитудой и на-
чальной фазой зависит от кривизны функции неопределенности:
в точке ее максимума % @, 0). Теперь мы видим, что функция не-
определенности, а именно ее ширина, определяет также и разре-
шающую способность.
Функция неопределенности |р(т, f)|2, а также функция
1р(т, /) | описывают некоторые поверхности, которые над плоскос-
тью осей т и / образуют пространственные фигуры, называемые
телами неопределенности (см. пример на рис. 6.6). Тело неопреде-
ленности и его сечения вертикальными и горизонтальными плос-
костями удобно использовать для анализа разрешающей способ-
ности.
Проекции сечения тел неопределенности горизонтальными пло-
скостями на плоскость т, / называют диаграммами неопределен-
ности. Если сечение тела неопределенности проведено на уровне
0,5, то ширина диаграммы неопределенности по оси т и по оси f
дает введенные ранее количественные меры разрешающей способ-
ности по времени s запаздывания Ат и по частоте А/ соответствен-
но. Разрешающую способность можно определить также по шири-
не вертикальных сечений тела неопределенности.
Определив величины Дт и А/, можно вычислить разрешающую
способность по дальности Лн и по радиальной скорости AvR :
AR = (cj2)Ax, &vR =(с/2/0)Д/ = (Х/2)А/. F.42)
Прямоугольный радиоимпульс. В качестве примера рассмот-
рим прямоугольный радиоимпульс с постоянной частотой запол-
нения
2, F.43)
0. |*|>V2,
где Ти — длительность импульса. Подставив D3) в D.87), полу-
чим
to, М>ти.
Сечения тела неопределенности вертикальными плоскостями,
для которых /=0 или т=0, определяются согласно D4) форму-
лами
233
|р(т, 0I =
|p@, f)\ =
На рис. 6.7 эти сечения показаны сплошными линиями, а сечения
другими вертикальными плоскостями f=const и т=const — штрихо-
выми. На рис. 6.7,а изображены огибающие радиоимпульса на вы-
ходе согласованного фильтра в отсутствии (/=0) и при наличия
(f?=0) расстройки по частоте. Как видим, расстройка по частоте
приводит к уменьшению пикового значения и к искажению формы
огибающей сигнала. Сечения тела неопределенности плоскостями
т=0 и т= |ti| >0 (рис. 6.7,6) соответствуют модульным значениям
спектров прямоугольных импульсов длительности ти и ти—|ti|.
Разрешающие способности по времени запаздывания и по час-
тоте (см. рис. 6.7) i
Лт = *и> Д/=1,2/тн> F.45)
а разрешающие способности по дальности и по радиальной ско-
рости согласно D2)
F.46)
Таким образом, укорочение импульса увеличивает разрешаю-
щую способность по дальности, однако при этом уменьшается раз*
решающая способность по скорости. Это можно дополнительно
проиллюстрировать с помощью диаграмм неопределенности, опи-
сываемых уравнением
/)| = ро = const. F.47)
Рис. 6.7. Вертикальные сечения тела неопределенности прямоугольного
импульса
234
Рис. 6.8. Диаграммы неопределенности «длинного» (а)
и «короткого» (б) прямоугольных импульсов
Подставив D4) в D7), получим уравнение диаграмм неопреде-
ленности, которые изображены на рис. 6.8 для двух импульсов
различной длительности *. Сужение диаграммы неопределенности
по оси т привело к ее расширению по оси f. Отметим, что два сиг-
нала не могут быть разрешены, если их времена запаздывания и
доплеровские смещения частоты лежат внутри диаграммы неопре-
деленности, т. е. в заштрихованной области (рис. 6.8).
Принцип неопределенности. Из рассмотренных сечений тела
неопределенности ясно, что сужение тела по оси х приводит к его
расширению по оси f и наоборот. Это — проявление общей зако-
номерности, называемой принципом неопределенности в радиоло-
кации. Суть данного принципа определяется свойствами функции
неопределенности D1), согласно которому
] Jx(t, f)dxdf=\. F.48)
— 00 ОО
Для доказательства этого равенства представим его левую часть согласно
D.87) в виде
- J*
00 ОО
S S
p (t) A* (t — t) exp (j 2я / 0 dt
00 СО во ОО
-^ III ^A{t')A*{t'-x)^{\2nft')A*{t")A{t"
*-• —oo —»o —oo —oo
¦ т) екр (— j 2я ft") dt' dt" dt df.
* Здесь и в дальнейшем диаграммы неопределенности построены для ро=
=0,5.
235
Воспользовавшись интегральным представлением дельта-функции
—оо
получаем
1 ОП ОО 00
V = Г Г Г А (Р) A* (f — т) A* {t") A (t" — т) б (/' — t") di' dt" dx.
ОО —ОО 00
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, находим
1 ОО ОО
V=— Г
/72 J
¦*-" —оо —оо
Следовательно,
1 °° ^
*^ ¦—оо —оо
= -Т 1 &(*'№*' }\A(t)\*dt=\,
—оо —оо
что и требовалось доказать.
Как видим, значение вычисленного интеграла V, равное объе-
му тела неопределенонсти, не зависит от конкретного вида ком-
плексной огибающей сигнала A(t)=A(t) exp[]ty(t)]. Таким обра-
зом, согласно принципу неопределенности D8) объем тела неоп-
ределенности постоянен (равен единице). Иначе говоря, никакая
модуляция сигнала — ни амплитудная A(t), ни фазовая г|)(/) —не
может изменить объем тела неопределенности. Сжатие тела неоп-
ределенности по одной из осейт или / может сопровождаться расши-
рением по другой так, чтобы объем тела оставался неизменным.
Принцип неопределенности в радиолокации накладывает жест-
кое ограничение на возможность совместного разрешения объек-
тов по дальности и по скорости. С проявлением этого мы столк-
нулись на примере прямоугольного радиоимпульса: при укороче-
нии импульса увеличивается разрешающая способность по даль-
ности и одновременно ухудшается разрешающая способность по
скорости.
Принцип неопределенности, однако, не означает, что вообще
нельзя выбрать сигнал, при котором совместное разрешение по
дальности и по скорости, хотя бы в некотором диапазоне их изме-
нения, было бы достаточно высоким. Подобрав модуляцию сигна-
ла, т. е. функции A(t) и ty(t), можно перераспределить тело неоп-
ределенности на плоскости т, /, например так, чтобы в некотором
диапазоне изменения времени запаздывания и частоты разрешаю-
щие способности по дальности и по скорости удовлетворяли задан*
236
Лч „ *?л
\p(o,f)\
Рис. 6.9. Вертикальные (а, б) и го-
ризонтальное (в) сечения тела неоп-
ределенности когерентной пачки ра-
диоимпульсов
ным требованиям. Один из таких сигналов рассматривается да-
лее.
Когерентная пачка радиоимпульсов. Рассмотрим когерентную
пачку прямоугольных радиоимпульсов с постоянной частотой за-
полнения; огибающую пачку также полагаем прямоугольной:
w w Ю, \t~iTu\>Tj2, l h'"'N' F>49)
где Tn — период повторения импульсов длительности ти; N — чи-
сло импульсов в пачке.
Функцию рассогласования р(т, /) пачки радиоимпульсов мож-
но получить, подставив D9) в формулу D.87). На рис. 6.9,а,б по-
казаны сечения тела неопределенности |р(т, /) I когерентной пач-
ки радиоимпульсов вертикальными плоскостями (f = 0 и т = 0), а
на рис. 6.9,0 — диаграмма неопределенности. Из этих рисунков
видно, что тело неопределенности пачки радиоимпульсов состоит
из множества повторяющихся пиков, высота которых убывает от
начала координат. Разрешающие способности по дальности Ал и
по радиальной скорости AvR, определяемые параметрами наиболь-
шего пика и соотношениями D2),
Дя = сти/2, AVr « 0,6 VNTn. F.50)
Из сопоставления этих выражений с формулами D6) видно,
что по сравнению с одиночным импульсом разрешающая способ-
237
ность по дальности осталась прежней, а разрешающая способ-
ность по радиальной скорости увеличилась. Последняя определя-
ется не длительностью одиночного импульса ти (см. D6)), а дли-
тельностью пачки %attNTn. Это позволяет при достаточно корот-
ких импульсах и длинной пачке обеспечить высокую разрешаю-
щую способность как по дальности, так и по скорости.
Следует, однако, иметь в виду, что многопиковый характер те-
ла неопределенности приводит, вообще говоря, к неоднозначности
измерения дальности и радиальной скорости. Но если период Т„ и
частоту Fn=lJTn повторения импульсов можно выбрать так, чтобы
Тп>Ттм ^п>2/дтах, F.51)
где Ттах и /д max — максимальные значения времени запаздывания
и доплеровского смещения частоты, определяемые максимальны-
ми дальностью и радиальной скоростью объекта, то дальность и
скорость измеряются однозначно.
6.4. ОБРАБОТКА СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
Простые и сложные сигналы. Как было показано в § 4.2, для
увеличения потенциальной точности измерения дальности нужно
использовать сигналы с широким спектром. Напомним, что шири-
на спектра радиоимпульса с постоянной частотой_ заполнения об-
ратно пропорциональна его длительности. Аналогично для повыше-
ния разрешающей способности по дальности необходимо укорачи-
вать зондирующий импульс (см. D6)), иначе говоря, расширять
его спектр. Однако при ограничении пиковой мощности импульса
уменьшение его длительности ведет к уменьшению излучаемой
энергии и, следовательно, к снижению дальности действия РЛС.
Это противоречие можно устранить, если расширять спектр зонди-
рующего сигнала не за счет его укорочения, а за счет введения
внутриимпульсной фазовой или частотной модуляции, т. е. если
перейти к сложным сигналам.
Для сложных сигналов произведение ширины спектра Af на
длительность At, т. е. база сигнала В, значительно больше еди-
ницы:
. F.52)
Для простых сигналов ,
Д/Д*«1. F.53)
В частности, прямоугольный радиоимпульс с постоянной частотой
заполнения относится к классу простых сигналов, так как для не-
го А/«1/ти, At=ta и, следовательно, выполняется условие E3).
Рассмотрим основные виды сложных сигналов, их обработку и
достигаемую при этом разрешающую способность.
238
Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией. В радиолока-
ции часто применяют линейно-частотно-модулированные (ЛЧМ)
импульсные сигналы, несущая частота которых
F.54}
где /о — начальное значение частоты; Д/а — девиация частоты;,
ти — длительность импульса. Линейному закону изменения часто-
ты E4) соответствует квадратичный закон изменения фазы ЛЧМ.
сигнала:
Для прямоугольного ЛЧМ импульса (рис. 6.10,#) комплексная
огибающая
F.55)
F.56)
Подставляя E5) в соотношение D.87), получаем
. .. г
Рис. 6.10. Линейно-частотно-модули- Рис. 6.11. Вертикальное (а) и гори-
рованный импульс (а) и импульсная зонтальное (б) сечения тела неопре-
характеристика согласованного филь- деленности ЛЧМ импульса
тра (б)
239
Эта функция описывает рельеф тела неопределенности прямо-
угольного ЛЧМ импульса, сечение которого вертикальной плоско-
стью f=0 (рис. 6.11,а, сплошная линия) представляет собой оги-
бающую ЛЧМ импульса на выходе согласованного фильтра при
отсутствии расстройки по частоте. На рис. 6.11,а для сравнения
штриховой линией показана огибающая прямоугольного радиоим-
пульса с постоянной частотой заполнения и длительностью ти на
выходе своего согласованного фильтра (см. рис. 6.7,а при f=0).
Как ясно из рис. 6.1,а, при прохождении ЛЧМ импульса через
согласованный фильтр происходит его сжатие во времени. Если
на входе фильтра импульс имел длительность Твх=ти, то на вы-
ходе тВых=1,2/А/э (отсчет по уровню 0,5). Следовательно, коэффи-
циент сжатия
. F.57)
Заметим, что при отсчете длительности импульса на уровне 0,64
Твых=Щ/д и коэффициент сжатия по этому уровню
^сш^иД/а. F-58)
Коэффициент сжатия, как видим, прямо пропорционален девиа-
ции частоты. Длительность импульса и девиацию частоты можно
задавать независимо друг от друга, при этом коэффициент сжатия
может быть довольно значительным.
Так как Afe~Af, где А/ — ширина спектра ЛЧМ импульса, то
коэффициент сжатия E8) определяется базой сигнала*: Ксж^В.
Таким образом, сложный сигнал с помощью согласованного филь-
тра может быть сжат по длительности на значение, равное базе
сигнала.
Сжатие ЛЧМ сигнала, происходящее в согласованном фильт-
ре, можно пояснить физически следующим образом. Для ЛЧМ
сигнала, показанного на рис. 6.10,а, импульсная характеристика
согласованного фильтра изображена на рис. 6.10,6. Напомним,
что импульсная характеристика — отклик фильтра на воздейст-
вие в виде дельта-функции. И, как ясно из рис. 6.10,6, на выходе
согласованного фильтра вначале появляются составляющие бо-
лее высокой частоты, а затем более низкой, т. е. первые задержи-
ваются в фильтре в меньшей степени, чем вторые. Нижние часто-
ты ЛЧМ импульса поступают на вход согласованного фильтра
раньше (см. рис. 6.10,а), но задерживаются они в большей степе-
ни; высшие частоты действуют позже, но задерживаются меньше.
В результате группы различных частот совмещаются и происхо-
дит укорочение импульса.
* Это оказывается справедливым и для других сложных сигналов.
240
ф
г
Рис. 6.12. Структурная схема фильт-
ра сжатия ЛЧМ импульса
Согласованный фильтр может быть реализован с помощью
дисперсионной линии задержки, у которой время запаздывания
для различных спектральных составляющих сигнала различно
(задержка зависит от частоты). На практике широко применяют
дисперсионную ультразвуковую линию задержки (УЛЗ), выпол-
ненную в виде ленты или цилиндрического провода из материала,
проводящего ультразвук, с пьезопреобразователями на концах.
Согласованный фильтр для ЛЧМ импульса можно также по-
строить и на недисперсионной линии задержки с неравномерно
распределенными отводами (рис. 6.12). Общее время задержки
определяется длительностью импульса, а отводы располагаются
так, чтобы обеспечить требуемую импульсную характеристику
фильтра (рис. 6.10,6). Полоса пропускания полосового фильтра Ф
определяется девиацией частоты Alfa.
Широкое использование УЛЗ (как дисперсионных, так и неди-
сперсионных) при реализации фильтров сжатия ЛЧМ сигналов
обусловлено тем, что они обеспечивают большую задержку на
единицу длины звукопровода из-за относительно малой скорости
распространения акустических волн (составляет примерно 10~~5 от
скорости распространения электромагнитных волн). Существуют
различные типы УЛЗ, в частности на объемных акустических вол-
нах, распространяющихся по всему сечению звукопровода, и на
поверхностных акустических волнах, распространяющихся только
в поверхностном слое (глубиной порядка длины волны) [10].
Как ясно из рис. 6.1 \,а и формулы E7), при f=0 разрешаю-
щая способность по времени запаздывания
А,= 1,2/Д/в = ти//Гвя. F.59)
По сравнению с простым радиоимпульсом (ср. с D5)) разрешаю-
щая способность возросла в /Сеж раз. Что касается разрешающей
способности по частоте, то она, как следует из E6), при т=0 оста-
лась прежней (как у простого импульса)
А/=1,2/тй. F.60)
Нужно, однако, иметь в виду, что формулы E9) и F0) определя-
ют разрешающие способности по соответствующему параметру
при нулевой расстройке (относительно опорного сигнала) по дру-
гому параметру. Иначе говоря, формула E9) дает разрешающую
241
способность по времени запаздывания (дальности) при известном
значении частоты (скорости), а формула F0)—разрешающую
способность по частоте при известном значении времени запазды-
вания.
Если же дальность и радиальная скорость объектов неизвестны
и требуется разрешать их одновременно по обеим координатам, то
ситуация усложняется. Обратимся к диаграмме неопределенности
ЛЧМ импульса (рис. 6.11,6). Совместное разрешение сигналов по
времени запаздывания и частоте возможно, если их параметры
лежат вне заштрихованной области. При этом разрешающие спо-
собности по т и / в наихудшем случае будут обусловлены длиной
отрезков между проекциями экстремальных точек диаграммы не-
определенности на соответствующие оси:
/Ссж. F.61)
Таким образом, совместное разрешение ЛЧМ импульсов по
времени запаздывания и частоте осуществить значительно слож-
нее, чем разрешение тех же импульсов по одному из параметров
(при известном значении другого параметра), так как разрешаю-
щие способности в рассматриваемом случае ухудшились в Ксж
раз (ср. F1) с E9) и F0)). Заметим, однако, что разрешающая
способность по времени запаздывания может и не ухудшиться,
если в процессе приема сигналов измерить с достаточной точнос-
тью радиальную скорость объекта, например по приращению за-
паздывания между отраженными импульсами.
Рассматриваемые количественные меры разрешающей способ-
ности, определяемые шириной главного пика тела неопределенно-
сти, характеризуют разрешающую способность при согласованной
фильтрации сигналов, имеющих приблизительно одинаковую ин-
тенсивность. Если же принимаемые сигналы существенно разли-
чаются по интенсивности, то слабый сигнал может быть замаски-
рован боковыми лепестками («остатками») тела неопределенности
сильного сигнала. Чтобы повысить разрешающую способность в
данном случае, нужно снижать уровень боковых лепестков. Для
этого применяют корректирующие (не согласованные) фильтры,
характеристики которых подбирают таким образом, чтобы вы-
ходной сигнал имел требуемые боковые лепестки.
Согласованный с прямоугольным ЛЧМ импульсом фильтр дол-
жен иметь АЧХ, близкую к прямоугольной. Если же «сгладить»
эту характеристику с помощью корректирующего фильтра, форма
АЧХ которого близка к колоколообразной, то боковые лепестки
сжатого импульса существенно уменьшаются.
Применение несогласованной фильтрации приводит, очевидно,
к потерям в отношении сигнал-шум по сравнению со значением
2E/N0— максимальным отношением сигнал-шум на выходе согла-
242
сованного фильтра. Кроме того, на выходе корректирующего
фильтра расширяется главный пик ЛЧМ сигнала. Однако эти не-
достатки окупаются положительным фактором — снижением уров-
ня боковых лепестков выходного сигнала на оси времени (даль-
ности).
В качестве корректирующих могут быть использованы фильт-
ры, АЧХ которых описываются функциями |/C(jco) | =р+ A—
—/?)cos«(rtG)/Aw), P^l, где р я q имеют различные значения. На-
именьший уровень боковых лепестков для этого класса функций
при q=2 обеспечивается при /?=0,88 (фильтр Хэмминга).
Если при согласованной фильтрации ЛЧМ импульса уровень
максимального бокового лепестка относительно главного составля-
ет —13,2 дБ, то при использовании фильтра Хэмминга данный
уровень равен —42,8 дБ. При этом главный максимум расширя-
ется примерно в 1,5 раза, а потери в отношении сигнал-шум со-
ставляют 1,34 дБ.
Существуют и другие способы подавления боковых лепестков
выходного сигнала. Они сводятся к специальному подбору закона
частотной модуляции, отличного от линейного, или же формы оги-
бающей зондирующего импульса.
Фазоманипулированные сигналы. Помимо частотной модуляции
для расширения спектра сигналов с целью повышения разрешаю-
щей способности по дальности можно использовать фазовую (фа-
зокодовую) манипуляцию. Фазоманипулированный (ФМ) сигнал
представляет собой последовательность примыкающих друг к дру-
гу простых импульсов одинаковой формы длительностью то (дис-
кретов), начальные фазы высокочастотного заполнения которых
могут принимать заданные дискретные значения. Если число воз-
можных значений начальной фазы р>2, то манипуляция являет-
ся многофазной; при р=2 имеем бинарную фазовую манипуля-
цию. Фазоманипулированный сигнал может быть импульсным и
непрерывным. Если ти — длительность ФМ сигнала, то число дис-
кретов N=xJ%q.
Обычно дискреты ФМ сигнала имеют близкую к прямоуголь-
ной форму и одинаковую амплитуду и чаще всего используется
бинарная фазовая манипуляция со значениями начальной фазы
О и я. В этом случае последовательность значений начальной фа-
зы высокочастотного заполнения дискретов {фг-, t=l, ..., Щ мож-
но определить последовательностью чисел {аи i=\, ..., N}, прини-
мающих значения 0 или 1. Если фг=0, то ai=0; при ф*=я п{=\\.
Положив амплитуду ФМ сигнала равной единице, его комплекс-
ную огибающую представим в виде
2
1=Л
243
где
[О в остальных случаях
— единичный импульс. Так как
то
N N
l[t-(i- 1I0], F.62)
где Qi—{—l)at=±l. Из представления ФМ сигнала в виде F2)
ясно, что его свойства определяются свойствами последователь-
ности {qi}. В частности, автокорреляционная функция ФМ сигна-
ла (функция рассогласования по времени запаздывания) опреде-
ляется автокорреляционной функцией данной последовательности.
При этом синтез ФМ сигнала сводится к выбору такой последо-
вательности {дч} (кода), автокорреляционная функция которой
обладает нужными свойствами, в частности наименьшим уровнем
боковых лепестков.
К настоящему времени найден ряд кодов, которые можно ис-
пользовать при манипуляции фазы импульсных и непрерывных
радиолокационных сигналов. Особое место среди них занимают
коды Баркера. Построенные на их основе импульсные ФМ сиг-
налы имеют при заданном числе дискретов N минимально воз-
можный уровень боковых лепестков, не превышающий 1/iV. Коды
Баркера получены для N=3, 4, 5, 7, 11, 13. На рис. 6.13,а в качест-
ве примера показан ФМ импульс, а на рис. 6.13,6 — его условное
изображение; манипуляция фазы осуществлена в соответствии с
семипозиционным (N=7) кодом Баркера (+1 +1 +1 —1 —1
+ 1 -1).
Как и ЛЧМ импульс, ФМ сигнал сжимается с помощью согла-
сованного фильтра (рис. 6.13,г). Он состоит из линии задержки
с отводами, фазоинверторов, сумматора и фильтра Ф, согласован-
ного с высокочастотным дискретом длительностью т0. Заметим,
что фазоинверторы, сдвигающие фазу колебаний на я, можно и
не вводить, но тогда соответствующие отводы линии задержки
нужно сместить на половину длины волны высокочастотного ко-
лебания.
Процесс оптимальной фильтрации ФМ сигнала, в результате
которой сигнал сжимается, поясняется рис. 6.14,а и б. На рис.
6.14,а условно изображены импульсы, поступающие с отводов ли-
244
[Г + + -
+ + +
(.
+ +
+
RRR
+
+
+
+
+
+
+
t: г
-+ 3
л— + *
у - 5
+ — + - е
+ + *" 3 ^
R R R .
Рис. 6.13. Фазоманипулированныи
импульс (а, б), условное изображе- I1/N
ние импульсной характеристики со -j—~У\~/^~>
гласованного фильтра (в) и его
структурная схема (г)
Рис. 614. Диаграммы, поясняющие
сжатие ФМ импульса
нии задержки на сумматор (см. рис. 6.13,г); некоторые из них
A,3,4) прошли через фазоинверторы и поэтому изменили знаки
своих дискретов на противоположные. Результат суммирования
показан на рис. 6.14,6, а на рис. 6.14,<з приведено сечение тела
неопределенности ФМ импульса плоскостью f = 0, иначе говоря,
огибающая сигнала на выходе фильтра Ф при отсутствии рас-
стройки по частоте.
Коэффициент сжатия ФМ импульса /Ссж = Твх/т.вых=ти/'То равен
числу дискретов iV; в рассматриваемом примере /ССж = 7. Разре-
шающая способность по времени запаздывания при нулевой рас-
стройке по частоте определяется длительностью дискрета
Дт = то. F.63>
т. е. по сравнению с простым импульсом длительностью ти воз-
росла в N раз. Разрешающая способность по частоте по-прежне-
му обусловлена длительностью импульса (см. F0), т=0).
245*
Периодически повторяющийся код Баркера можно использо-
вать для фазовой манипуляции непрерывного сигнала. В этом
случае тело неопределенности имеет многопиковый характер. Пе-
риод повторения пиков по оси т равен Nto, а диапазон однознач-
ного измерения дальности определяется величиной cN%0/2.
Как ясно из предыдущего, для получения больших коэффи-
циентов сжатия, а также для увеличения диапазона однозначного
измерения дальности (при непрерывном сигнале) необходимо ис-
пользовать ФМ сигналы с большим числом дискретов N. Однако
кодов Баркера при JV>13 не существует. Это ограничение отсут-
ствует для кодов типа ^-последовательностей, строящихся на
основе линейных рекуррентных двоичных последовательностей и
получивших широкое распространение на практике.
Линейная рекуррентная двоичная последовательность {аг} за-
дается совокупностью аь ..., ап одноразрядных двоичных чисел
ч{0 или 1) с помощью рекуррентного соотношения
ai^b1ai-i + b2ai-2-\- - +bnat-n, * = л-М, л + 2,..., F.64)
еде Ьи ..., Ьп — одноразрядные двоичные числа.
Соотношение F4) определяет бесконечную последовательность
нулей и единиц {ait i=\, 2, ...}, которая после некоторого i на-
чинает повторяться, так как число п, называемое «памятью» по-
следовательности, конечно. Максимальный период повторения N
двоичной последовательности {а*} обусловлен числом возможных
различных состояний начальной последовательности а.\, ..., ап,
равным 2П, из которого должно быть исключено одно (нулевое)
состояние*. Таким образом, максимальный период повторения
N=2n— 1
Линейные рекуррентные двоичные последовательности макси-
мального периода называют М-последовательностями. Максималь-
ный период последовательности обеспечивается при заданном п
определенным набором коэффициентов Ь\, ..., Ьп в формуле F4).
Например, при п — Ъ максимальный период будет при Ъ\ = Ъъ=-
= Ьз=1, &4=0, Ьь=\.
^-последовательности обладают рядом важных свойств, в част-
ности свойством «случайности», которое проявляется в следую-
щем. Если из одного периода ^-последовательности выбрать все
возможные отрезки по п членов в каждом, то среди них не ока-
жется одинаковых. Кроме того, в каждом периоде последователь-
ности число единиц отличается от числа нулей не более чем на 1,
что свидетельствует о «равновероятности» их появления. Поэтому
^^-последовательность называют также псевдослучайной.
* Начальная последовательность не может быть нулевой; в противном слу-
чае вся последовательность {аг} будет также состоять из одних нулей.
546
В результате манипулированные по фазе с помощью Af-после-
довательности сигналы по своим свойствам приближаются к шу--
моподобным, параметры которых модулируются по случайному
закону. Последние, в свою очередь, оказываются близкими к-
идеальному сигналу, имеющему единственный узкий пик и равно-
мерные остатки на остальной части плоскости т, /, что обеспечи-
вает высокую разрешающую способность по дальности и по ско-
рости.
^-последовательность может применяться для фазовой мани*
пуляции как непрерывных, так и импульсных сигналов. При этом
в случае непрерывного сигнала уровень боковых лепестков авто-
корреляционной функции равен 1/N. Если же используется один
период М-последовательности, т. е. усеченная М-последователь-
ность, для фазовой манипуляции импульсного сигнала длительно-
стью Nt0, то уровень боковых лепестков возрастает, становясь
равным приблизительно \/У N. Однако при достаточно большом
N уровень боковых остатков относительно главного пика авто-
корреляционной функции ФМ сигнала можно сделать меньше
требуемого значения.
Согласованный фильтр, сжимающий ФМ сигнал, манипулиро-
ванный ^-последовательностью, аналогичен фильтру, показанно-
му на рис. 6.13,г. Следует иметь в виду, что при больших значе-
ниях N реализовать такой фильтр трудно.
При ФМ сигналах, манипулированных М-последовательностя-
ми, разрешающая способность по времени запаздывания опреде-
ляется, как и прежде, длительностью дискрета то (см. F3)), а
разрешающая способность по частоте — длительностью всего сиг-
нала.
Обработку ФМ сигналов можно осуществлять не только фильт-
ровыми, но и корреляционными схемами. Последние наиболее
целесообразны тогда, когда число корреляционных каналов прием-
ника невелико. Корреляционная схема производит демодуляцию
ФМ сигнала с последующим когерентным накоплением демоду-
лированных импульсов.
Уменьшение уровня боковых лепестков на оси времени для
ФМ сигнала, как и для ЛЧМ сигнала, достигается применением
специальных несогласованных фильтров. Общая структурная схе-
ма фильтра, сжимающего ФМ сигнал, а также подавляющего*
боковые лепестки (рис. 6.15), включает в себя линию задержки
с максимальной задержкой т3, большей длительности импульса ти.
Как и в согласованном фильтре, отводы линии задержки распо-
ложены так, чтобы сигнал между ними задерживался на время,
равное длительности дискрета то; однако число отводов k боль-
ше, чем у согласованного фильтра. На выходе отводов имеются5
24Г
ф
Рис 615 Структурная схема
фильтра сжатия и подавления
боковых лепестков ФМ сигна-
ла
фазовращатели «р* и аттенюаторы
аг, /=il, ..., k. После суммирования
выходных сигналов аттенюаторов
осуществляется фильтрация фильт-
ром Ф в лолосе 1/гго-
Применение фильтра (рис. 6.15)
приводит к проигрышу в отношении
сигнал-шум по сравнению с согла-
сованным фильтром. В отличие от
ЛЧМ импульса подавление 'боко-
'вых лепестков в случае ФМ сигна-
ла не сопровождается расширени-
ем главного максимума; вместо это-
го расширяется вся область боко-
вых лепестков выходного сигнала.
"Рассматриваемый фильтр при соответствующей настройке фазо-
вращателей и аттенюаторов позволяет значительно уменьшить
уровень боковых лепестков, шричем степень их подавления воз-
растает с ростом числа отводов &=(т3/то) + 1 линии задержки и,
следовательно, с увеличением максимальной задержки т3. Если,
например, используется фильтр с 33 отводами для обработки ФМ
сигнала, манипулированного тринадцатипозищионным кодом Бар-
тера, то удается уменьшить уровень боковых лепестков с 22 до
40 дБ при энергетических потерях менее 0,4 дБ [45].
Потенциальная и реальная разрешающая способность. Потен-
циальная разрешающая способность, как уже отмечалось, есть
наивысшая разрешающая способность, достигаемая лишь в пре-
деле при оптимальной обработке сигналов, причем под оптималь-
ной следует понимать такую обработку, которая оптимальна в
смысле статистического разрешения многих сигналов. Качество
¦оптимального (в байесовском смысле) статистического разреше-
ния определяется минимальным значением среднего риска. Ка-
чество статистического разрешения можно также определить ве-
роятностями ошибок многоальтернативного обнаружения (см.
A4), A5)), которые будут зависеть от отношений сигнал-шум и
ют взаимокорреляционных функций разрешаемых сигналов. От
них же будет зависеть и значение меры разрешающей способнос-
ти, о которой шла речь в § 1.4. Однако эту меру рассчитать весь-
ма сложно.
Что касается изученной в § 6.3 и 6.4 меры разрешающей спо-
собности Де, то она находится просто — по ширине тела неопре-
деленности по соответствующей оси (9=т или 0 = f). Эта мера
не связана ни с отношением сигнал-шум, ни с вероятностями оши-
бок обнаружения, и она не есть «потенциальная разрешающая
«способность», как ее иногда именуют. Однако в важном случае,
•248
когда оптимальное разрешение сигналов сводится к их разделе-*"
нию на выходе системы согласованный фильтр — амплитудный?
детектор (см. § 6.2) и, кроме того, когда отношение сигнал-шум*
достаточно велико (так что шумом можно пренебречь), рассмот-
ренная мера Дв хорошо характеризует потенциальную разрешаю*
щую способность.
В реальных условиях обработка сигналов отличается от опти-
мальной, при этом реальная разрешающая способность всегда
хуже потенциальной. Ухудшение разрешающей способности мо-
жет быть следствием несогласованности частотных характеристик
усилителей приемника с характеристиками сигнала, конечности
размеров рисующего пятна на экране электронно-лучевой трубки
индикаторного устройства, дискретности съема информации при
сопряжении РЛС с ЭВМ, а также других факторов, обусловлен-
ных неидеальностью радиоаппаратуры.
6.5. РАЗРЕШЕНИЕ ОБЪЕКТОВ ПО УГЛО-
ВЫМ КООРДИНАТАМ
Разрешающая способность по углу. В соответствии с общим
определением (§ 1.4) мера разрешающей способности РЛС по
угловой координате а есть минимальная разность угловых коор-
динат двух близко расположенных объектов Aa=ai—аг (с оди-
наковыми значениями остальных координат), при которой воз-
можно раздельное обнаружение объектов и измерение координат
си и (Х2 с показателями качества не хуже заданных. Эту меру
найти трудно. Однако легко рассчитать меру разрешающей спо-
собности по углу, подобную мере Ае, рассмотренной в § 6.3, 6.4.
Сделаем это применительно к обзорной РЛС с амлитудным ме-
тодом пеленгации. В данном случае оценивание угловой коорди-
наты сводится к оцениванию времени запаздывания сигнала, при
этом соответствующие потенциальные точности измерения связа-
ны между собой соотношением D.90). Аналогично связаны и раз-
решающие способности по углу Аа и по времени запаздывания Ат:
Да = ЙДх, F.65)
где Q — угловая скорость обзора. Если в эту формулу подста-
вить значения меры Ат (§ 6.3 и 6.4), то получим соответствующие
этой мере разрешающие способности по углу Аа для различных
(простых и сложных) зондирующих сигналов.
Предположим для простоты, что принимаемый сигнал с пос-
тоянной частотой заполнения имеет прямбугольную форму и его
длительность ти. Тогда согласно D5) Лт=Ти и Аа=^Ти = аа, где
аа — ширина ДН прямоугольной формы. Если же ДН антенны
имеет колоколообразную форму и огибающая принимаемого сиг-
249=
аала описывается соотношением D.91), где тог=аа/й — длитель-
ность огибающей сигнала на уровне 0,46, а аа — ширина ДН на
том же уровне, то Лг=1,ЗтОг и поэтому согласно F5) Да=1,3аа.
Таким образом, можно считать, что мера разрешающей спо-
собности по азимуту (и по углу места) прямо пропорциональна
ширине ДН антенны аа на уровне 0,5 в горизонтальной плоскости
(или в вертикальной плоскости), т. е.
Аа = %аа, F.66)
где коэффициент пропорциональности К\ определяется формой
ДН.
Если сигнал сложный и его можно сжать по времени, то Ах
уменьшается и соответственно уменьшается значение Аа F5), т. е.
разрешающая способность по углу повышается.
Подставив A.2) в F6), получим
F.67)
где константа к'=к-К\. Как видим, для повышения разрешающей
способности по углу нужно увеличивать относительный размер
апертуры антенны dajX.
Разрешающая способность РЛС бокового обзора. РЛС боко-
вого обзора устанавливается на борту ЛА; антенна РЛС, распо-
ложенная вдоль оси ЛА, образует ДН, широкую в вертикальной
и узкую в горизонтальной плоскостях. Обзор земной поверхности
производится за счет перемещения ЛА (а не за счет вращения
ДН антенны, как в РЛС кругового обзора). При обеспечении
необходимой разрешающей способности РЛС бокового обзора
можно использовать для картографирования местности. Качест-
во радиолокационного изображения местности определяется ми-
нимальным расстоянием между двумя ее точками, разрешаемы-
ми по углу, т. е. линейной разрешающей способностью Ах. Если
Да — разрешающая способность по углу, то на дальности R
линейная разрешающая способность Ах=АаД.
Разрешающая способность РЛС бокового обзора существенно
зависит от того, какая обработка сигналов в РЛС используется:
некогерентная или когерентная. При некогерентной обработке раз-
решающая способность Да определяется согласно F6), F7):
Да~аа~У^а. Поэтому
Ах = аа R = (Л/4) R, F.68)
"г. е. линейная разрешающая способность ухудшается прямо про-
порционально увеличению дальности. Уменьшение Ах достигает-
ся уменьшением длины волны % (но при этом возрастают потери
в атмосфере) и увеличением размера антенны rf, (что ограничено
размерами самого ЛА).
550
Метод синтезирования апертуры. Кар-
динальное решение задачи 'повышения
разрешающей способности РЛС боково-
го обзора состоит в переходе к когерент-
ной обработке сигналов, позволяющей
создавать искусственный раскрыв антен-
ны — синтезированный, значительно (пре-
вышающий физический раскрыв аитен-
НЫ da. Такая ВОЗМОЖНОСТЬ появляется в Рис б 16. Диаграмма,
СВЯЗИ С тем, ЧТО ПрИ Облучении 1П0ДСТИ- поясняющая метод син-
лающей, 1поверх(ности колебанием пос- тезирования апертуры
тоянной частоты принимаемый антен-
ной отраженный сигнал из-за движения ЛА является частотно-
модулированным. Этот сигнал 'при когерентной обработке (согла-
сованной фильтрации) может быть сжат (см. § 6.4), что и повы-
шает разрешающую способность РЛС.
Поясним сказанное с помощью рис. 6.16 и несложных выкла-
док. Пусть ЛА движется параллельно прямой х со скоростью V,
ДН антенны является сектором шириной аа. Расстояние ЛА да
точки х0 меняется со временем по закону R = VR2o+V2(to—tJr
где t0 — момент расположения ЛА на кратчайшем расстоянии R&
от точки Xq. Разлагая в ряд с учетом |У(/о—t) | <Ci?o> получаем
R « Ro + (V*/2R0) (t0 -1)\ F.69>
Если отражающий точечный объект находится в точке д:0 и облу-
чается электромагнитным колебанием частоты /о, то фаза прини-
маемого антенной сигнала меняется по закону ф=2я/о<[/—BR/c)]r
а мгновенная частота /=<р/2л=/о—BfoR/c). Подставляя сюда F9),
получаем f=fo+{2foV2/cRo)(to—/). Как видим, принимаемый сиг-
нал — линейно-частотно-модулированный. Скорость изменения
частоты df/dt=—2У2Д#о> а девиация частоты Afd=\dfjdt\At, где
А^ — длительность сигнала. Последняя определяется временем
облучения объекта aaRo/V. Поэтому А/э= BV2/hRo) {aaRo/V) =
= 2FaaA, а с учетом аа~Я/^а A|f9~2V|/i. Так как при оптимальной
обработке ЛЧМ сигнала обеспечивается разрешающая способ-
ность по времени At^l/A/э (см. E9)), то применительно к рас-
сматриваемой задаче Ax^da/2V. За это время антенна РЛС вместе
с ЛА пройдут путь VAT=da/2. Объекты, расположенные на оси х
на расстоянии, не меньшем d&j2, очевидно, будут разрешены по
координате х (отраженные от этих объектов сигналы будут вос-
приниматься раздельно). Таким образом, линейная разрешающая
способность РЛС бокового обзора при когерентной обработке в
рассматриваемом случае
[А* «4/2. F.70)
В отличие от линейной разрешающей способности при некоге-
рентной обработке F8) величина G0) не зависит ни от длины
волны К, ни от дальности R и определяется только линейным
размером апертуры антенны da. Чем меньше da, тем выше раз-
решающая способность. Этот на первый взгляд парадоксальный
результат обусловлен сжатием ЛЧМ сигналов, и его можно пояс-
нить также следующим образом. При движении РЛС и оптималь-
ной обработке отраженных сигналов, которые запоминаются и
суммируются с учетом фазовых соотношений, синтезируется ис-
кусственный раскрыв антенны, размер которого равен пути, прой-
денному РЛС за время облучения. Чем меньше физический рас-
крыв da, тем шире ДН аа~Х/^а и, следовательно, дольше облуче-
ние и поэтому больше раскрыв синтезированной антенны dc. Но
чем больше dc, тем уже ДН синтезированной антенны и поэтому
выше разрешающая способность.
РЛС бокового обзора с когерентной обработкой сигналов на-
зываются РЛС с синтезированной апертурой. Потенциальные воз-
можности таких РЛС, как показано, велики. Однако на практике
из-за нестабильности курса, высоты и скорости полета ЛА, а так-
же нестабильности элементов системы обработки сигналов проис-
ходит отход от оптимальной обработки, в результате разрешаю-
щая способность ухудшается. Тем не менее подобные РЛС широко
применяют при картографировании Земли, а также используют
лри исследовании других планет.
Глава 7. ВТОРИЧНАЯ ОБРАБОТКА
ИНФОРМАЦИИ
7.1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ВТОРИЧНОЙ
ОБРАБОТКИ
Обработку радиолокационной и радионавигационной информации
условно можно разделить на первичную и вторичную. Устройства
первичной обработки решают рассмотренные задачи обнаружения
сигналов и измерения координат мгновенного положения радио-
локационных или радионавигационных объектов. Значения изме-
ренных координат поступают в вычислительное устройство — уст-
252
ройство вторичной обработки, в котором прежде всего определяет-
ся местоположение объекта в момент i в избранной системе коор-
динат, в результате формируется отметка объекта. Отметки мо-
гут быть истинными и ложными. Ложная отметка образуется
тогда, когда обнаружитель устройства первичной обработки при-
нял ошибочное решение о наличии полезного сигнала, т. е. в
случае ложной тревоги.
Одна отметка не позволяет с высокой достоверностью прини-
мать решение о наличии объекта в осматриваемом пространстве.
Кроме того, по ней нельзя определять направление движения
объекта и параметры его траектории. Для выяснения этих вопро-
сов нужно располагать совокупностью отметок, полученных в раз-
ные моменты времени, например за несколько обзоров простран-
ства. К формированию и обработке таких отметок и сводится вто*
ричная обработка информации. Ее основными задачами являются:
формирование отметок (т. е. расчет мгновенного местоположения
объектов) обнаружение траекторий объектов, сопровождение
траекторий объектов, включающее в себя оценивание параметров
траекторий. Вторичная обработка информации обычно выполняет-
ся автоматически с помощью ЭВМ.
Траектория движения объекта описывается векторной функ-
цией R(t), которая зависит от ряда факторов: типа объекта, его
маневренных возможностей, скорости и т. д. На траекторию
объекта также влияют случайные факторы: неконтролируемые
изменения характеристик среды, в которой происходит движение,
различного рода ошибки, возникающие в процессе управления
движением объекта, и др. По этим причинам множество возмож-
ных траекторий объекта в общем случае можно рассматривать
как множество реализаций некоторого случайного процесса. Од-
нако из-за недостатка априорных сведений о таком случайном
процессе часто используют более простые модели для описания
траекторий, как, например, детерминированные функции R с неиз-
вестными параметрами в, т. е. квазидетерминированные модели
R@, t). Но и в этом случае из-за погрешностей измерения коор-
динат объекта, ложных отметок и других случайных мешающих
факторов, искажающих траекторию, наблюдаемый процесс y(t)
на входе устройства вторичной обработки является случайным.
Поэтому вторичная обработка носит статистический характер, и
оптимальное решение задач обнаружения траекторий и оценива-
ния их параметров следует искать с помощью теории статисти-
ческих решений (§ 2.1). Но прежде чем переходить к этим за-
дачам, связанным с обработкой нескольких отметок (§ 7.3, 7.4),
нужно выяснить, как рассчитывается точность местооопределения
объекта по одной отметке (§ 7.2).
25а
U+Al/= const
\
(/= const
Рис. 7.1. Диаграммы определения линейных ошибок
7.2. ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОЛОЖЕНИЯ
(МЕСТО-
Ошибка определения линий и поверхностей положения. Опре-
деление местоположения объекта с использованием позиционных
методов (см. § 1.3) сводится к нахождению точки пересечения
линий положения (на плоскости) или поверхностей положения (в
пространстве). При измерении РЛС и РНС какой-либо геометри-
ческой величины U (дальности, разности или суммы дальностей,
угловых координат) возникают ошибки AU, которые приводят к
смещению найденных линий и поверхностей положения относи-
тельно истинных. Расстояние по нормали An между истинной и
найденной линиями (поверхностями) положения (рис. 7Л,а) на-
зывают ошибкой определения линии (поверхности) положения
или линейной ошибкой.
Для выявления взаимосвязи между ошибками А/г и At/ вос-
пользуемся элементами теории скалярного поля. Если каждой
точке пространства М ставится в соответствие скалярная вели-
чина U, то говорят, что порождается скалярное поле U = U(M).
Если положение точки М описывается декартовыми координата-
ми (х, у, z), то U=U(x, у, z). При отсутствии зависимости от z
скалярное поле является плоским: U=U(x, у). Совокупность то-
чек пространства, в которых величина U имеет постоянное зна-
чение, образует поверхность уровня скалярного поля. Примени-
тельно к задаче местоопределения — это поверхность положения,
254
Семейство линий положения на плоскости можно рассматривать
как линии уровня плоского скалярного поля. Изменение скаляр-
ного поля характеризуется вектором grad U — градиентом поля.
Если п — единичный вектор, направленный по нормали к поверх-
ности (линии) положения в сторону возрастания величины U, то
grad?/ = (dUjdn)n, где dUJdn — производная поля в направлении
нормали. Модуль градиента [grad U\ =dUtdn. Заменив дифферен-
циалы конечными приращениями, получим линейную ошибку
Ai = A?//|grad?/|. G.1)
Таким образом, ошибка в определении линии (поверхности)
положения An прямо пропорциональна погрешности измерения
геометрической величины Л?/ и обратно пропорциональна модулю
градиента поля этой величины. Последний в декартовой трехмер-
ной системе координат
] grad U\ = V(~dU/dx)z+(dUjdy)*+(dUldz)\ G.2)
а для плоского поля
| grad U | = YidVldxf + idUldyf. G.3)
Так как погрешность измерения геометрической величины яв-
ляется, вообще говоря, случайной, то и ошибка определения ли-
нии (поверхности) положения также будет случайной. Возведя
обе части равенства A) в квадрат, усредняя с учетом того, что
МД?/ = 0, и извлекая затем квадратный корень, находим средне-
квадратическую ошибку определения линии (поверхности) поло-
жения:
on-ou/|gradtf|f G.4)
где Ои — среднеквадратическая погрешность измерения величи-
ны U. Последняя включает в себя погрешности разных видов:
где Оиш — шумовая ошибка, включающая в себя потенциальную
точность измерения величины U; (Тц-мет и GUzn — методическая и
аппаратурная ошибки; Gupac — ошибка распространения.
Рассчитаем с помощью полученных формул линейные ошибки
применительно к конкретным методам местоопределения (см.
§ 1-3).
Пеленгационный метод. При постоянном пеленге а
линия положения является прямой (рис. 7.1,6), описываемой урав-
нением a = arctg(x/V). Согласно C)
где R — расстояние искомой точки М от начала координат. Сле-
256
довательно, ошибки определения линии положения A), D) при
пеленгации
on = Roa, G.6)
где ошибки Да и аа выражены в радианах. В градусном измере-
нии последних on = 0,017Roa. Как видим, линейные ошибки F)
прямо пропорциональны расстоянию до объекта (при Да = const,
аа = const).
Дальномерыый метод. При постоянной дальности R ли-
ния положения — окружность (рис. 7.1,в), описываемая уравне-
нием R = У х2 + у2. Согласно C) |gradi?| = l, поэтому
on = aR. G.7)
Таким образом, ошибка определения линии положения при даль-
нометрии совпадает с дальномерной ошибкой.
Разностно-дальномерный метод. При постоянной
разности расстояний линия положения — гипербола (рис. 7.1,г),
описываемая уравнением
U = RA - RB = V(x + O,bd? + У2~ V(x - 0,5dJ + y
\
Вычислив (З), найдем |grad U\ =2sin(q>/2). Таким образом,
Д п = Д (RA - RB)/2 sin (ф/2), on = aAR/2 sin (ф/2), G.8)
т. е. линейная ошибка зависит от погрешности измерения разнос-
ти расстояний (A(Ra—Rb), сгдд) и от угла ф, под которым видна
база А В из точки М. Минимальная ошибка ап = сгдд/2 будет при
Ф = я, т. е. когда объект находится на линии базы. Зависимость
ошибки (8) от угла ф — отличительная особенность разностно-
дальномерного метода по сравнению с пеленгационным и дально-
мерным методами, при которых ошибки определения линий по-
ложения от направления не зависят (см. F), G)).
Точность местоопределения на плоскости. Если линии положе-
ния определены не точно, то местоположение объекта как точка
их пересечения также находится с ошибкой. Предположим, что
линии положения определены с ошибками Ащ и Дя2 и пересека-
ются под произвольным углом 7- Тогда найденное местоположе-
ние (точка М') будет отличаться от истинного (точка М) на ве-
личину Аг, т. е. при известных Ащ и Ап% ошибка местоопределе-
ния Аг есть диагональ параллелограмма ошибок* (рис. 7.2), при
этом (ArJ=a2 + b2jr2ab cos7, где а = Ащ1$>ту, b = Ati2/siny. От-
сюда
(Д rf = [(AnyJ + (Дл2J + 2Д/гх Дп2 cos vl/sin2 у, G.9)
* Такое построение справедливо при небольших ошибках, когда линии
положения можно считать (приближенно) параллельными прямыми.
256
а ошибка местоопределения
А г = Y{A n1)
Рис. 7.2.
ошибок
Параллелограмм
1 An2 cos у/
sin 7. G.10)
Она зависит от ошибок определения
линий положения и от угла у, т. е. от
«геометрии» системы местоопределе-
ния. Величину Лг можно интерпрети-
ровать как ошибку местоопределения
при единичном отсчете, когда извест-
ны значения ошибок Ащ и Ап2. При
многократных измерениях (отсчетах) эти ошибки меняются слу-
чайным образом, поэтому задача описания точности местоопреде-
ления усложняется.
Часто распределение вероятностей погрешностей измерения
геометрической величины можно описать (с достаточной точно-
стью) гауссовским законом с нулевым средним. Тогда ошибки
определения линий положения в силу зависимости A) также бу-
дут распределены по гауссовскому закону с нулевым средним.
Поэтому совместную плотность вероятностей ошибок определения
двух линий положения можно записать в виде
w(nlt л2) =
1
2яап1оП2у1 — р2
X
X ехр
G.11)
где Gni и аП2 — среднеквадратические ошибки определения линий
положения; р — коэффициент корреляции, характеризующий сте-
пень взаимосвязи между ошибками:
Р =
1
I
При независимых ошибках р = 0.
Приравняв выражение в квадратных скобках в формуле (И)
некоторой фиксированной величине, получим уравнение кривой,
на которой плотность вероятностей ошибок постоянна:
1
2A-р2)
Jnl
Эта кривая представляет собой так называемый эллипс ошибок.
Значение параметра X определяет размеры эллипса. Вероятность
257
нахождения точки местоположения внутри области S{1), ограни-
ченной эллипсом ошибок с параметром К,
P{X) = ^W(nlf щ)йпгйщ=\-ехр(-X2), G.12)
а размер эллипса ошибок (т. е. значение X), в котором искомая
точка находится с заданной вероятностью Р,
Ж G.13)
Заметим, что при равноточных измерениях, когда о2п\ = о2П2, эл-
липс ошибок переходит в окружность.
Итак, точность местоопределения на плоскости при гауссов-
ском распределении ошибок полностью характеризуется эллипсом
ошибок. Однако на практике часто ограничиваются более простой
характеристикой точности, определяемой на основе среднего зна-
чения квадрата ошибки. Полагая входящие в равенство (9) ошиб-
ки случайными величинами, возьмем математическое ожидание
от обеих частей равенства, учитывая при этом MA/Zi = MAn2 = 0,
MA/ziArt2 = <J7iicrr?2P> гДе аш и Gn2 — среднеквадратические ошибки
определения линий положения; р — коэффициент корреляции
ошибок. В результате находим среднее значение квадрата ошиб-
ки местоопределения:
М (д гJ == 82 = (о2п1 + о2п2 + 2оп1 оп2 р cos Y)/sin2 у, G.14>
откуда
8 *= V^ni + °2п2 + 2от °п2 Рcos v)/sin у. GЛЬ}
Так как МАг^О, то величина е есть полная ошибка местоопреде-
ления (а не среднеквадратическая ошибка, как ее иногда име-
нуют), включающая в себя ошибку смещения (см. A.6), A.8)).
Отметим также, что формулы A4) и A5) определяют среднее
значение квадрата ошибки и полную ошибку местоопределения
при любом законе распределения вероятностей случайных ошибок
Ащ и А«2 (а не только гауссовском).
Используя D), перепишем A5) в следующем виде:
¦ GU2 2amoU2pcosy
|grad(/|2 Iadt/l |rad?/|
sin у V | grad U\ |2 | grad U2 \2 I grad Ux | | grad U91
Таким образом, точность местоопределения на плоскости мож-
но характеризовать полной ошибкой местоопределения A6), за-
висящей от среднеквадратических погрешностей от и Ои2 изме-
рения величин U\ и ?/г и от «геометрии» системы местоопределе-
ния, определяемой значениями модулей градиентов скалярных по-
лей и, следовательно, видом линий положения и углом у между
258
никш> При независимых погрешностях измерения геометрических
величин U\ и U2 коэффициент корреляции р = 0 и формула A6)
упрощается.
Конкретизируя A5) с учетом F) — (8) и полагая р = 0, нахо-
дим формулы для расчета точности местоопределения примени-
тельно к угломерной
дальномерной
/5|~^ G.17)
и разностно-дальномерной'
8 = Vi^ARilsm 0,5ф!J + (oAR2/sin 0,5<p2J/2sin у G.18)
системам местоопределения. В этих формулах Ri и R2 — расстоя-
ния до искомой точки (объекта) из двух точек; оа\, аа2, аяь <?R2 —
среднеквадратические погрешности измерения пеленгов и дально-
стей соответственно; 0дД1 и gar2 — среднеквадратические погреш-
ности измерения разностей расстояний до объекта, определяемых
из трех точек на плоскости; ф1 и фг — углы, под которыми из ис-
комой точки видны две базы, образуемые тремя точками.
Для угломерно-дальномерной системы, в которой местополо-
жение объекта находится в результате измерения его пеленга
и дальности из одной точки, полная ошибка местоопределения
2+оаш G.19)
Эта формула получена из A5) с учетом F), G) и того, что ли-
нии положения в рассматриваемом случае пересекаются всегда
под углом 90°. I
Точность местоопределения в пространстве. Точность опреде-
ления местоположения объекта в пространстве можно оценить,
зная ошибки трех поверхностей положения, точка пересечения
которых дает искомое местоположение. Если случайные ошибки
определения трех поверхностей положения независимы между со-
бой и распределены по гауссовскому закону с дисперсиями сг2пЬ
с2п2, о2пз и нулевыми средними, то совместная плотность вероят-
ностей этих ошибок
w(nlt п2, пя)= — ехр
УB)
з ап1 оП2 опз
Отсюда находим уравнение поверхности
(«i/<xnlJ + Wan2J + («зЧзJ = 2Ь2,
на которой плотность вероятностей ошибок постоянна (%=const).
259
Эта поверхность представляет собой так называемый эллипсоид
ошибок. Полуоси эллипсоида ошибок: а= У2)мП], Ь = \ 2А,ап2,
При равноточных измерениях, когда оп\ = (зП2 = опЪ, эллипсоид
ошибок превращается в сферу ошибок. Постоянная величина л
определяет размеры эллипсоида сшибок S{K) и вероятность Р(Х)
нахождения в нем искомой течки:
Р (к) =
(п^ п2, n3)dn1dnzdn3 =
У л
где Ф(л') — интеграл вероятностей B.55).
Эллипсоид ошибок наиболее полно характеризует точность
местоопределения в пространстве (при гауссовском распределении
ошибок). Проще рассчитывается полная ошибка местоопределе-
ния s. Найдем ее применительно к угломерно-дальномернои си-
стеме местоопределения. Если дальность R, азимут а и угол мес-
та C измерены из одной точки пространства с погрешностями AR,
Да, Др, ю ошибки определения поверхностей положения (см. рис.
7.3, а также формулы F), G)) Ati\ = RA$, An2 = AR, Д/?з =
= Rcos |ЗДа.
Рис. 7.3. Параллелепипед ошибок
•260
Ошибка местоопределения Аг есть диагональ прямоугольного*
параллелепипеда ошибок и поэтому
(дгJ = R* (ДРJ + (&RJ + R2 cos2 p (ДаJ. G.20)
При многократных измерениях эти ошибки меняются случайным
образом. Усреднив обе части равенства B0) с учетом MAi? =
= МДа = МДC = 0, получим среднее значение квадрата ошибки мес-
тоопределения:
82 = R2 О2 + G2R + #2 CjJ COS2 р,
где сгр, ад, аа — среднеквадратические погрешности измерения
угла места, дальности и азимута соответственно. Следовательно,
— полная ошибка местоопределения для угломерно-дальномерной
системы.
Зоны местоопределения. Полученные формулы для полной
ошибки местоопределения позволяют построить зоны местоопре-
деления различных систем. Проиллюстрируем методику построе-
ния таких зон для местоопределения на плоскости.
Для системы, состоящей из двух радиодальномеров, располо-
женных в точках А и В (рис. 7А,а), уравнение A.14) после под-
становки A7) принимает вид ]/ o'2m-)-o2R2/smy = EAon. Если радио-
дальномеры обеспечивают одинаковую точность измерения, т. е.
Om = GR2=:zoR, to ]/r2crjR/sin7 = 8AOn. Отсюда видно, что в каждой
точке кривой, ограничивающей зону местоопределения, угол 7
между линиями положения должен быть таким, чтобы sin y =
= ]/г2ан/8Дсп = const. Кривая, удовлетворяющая этому условию,
представляет собой окружность, хорда которой совпадает с ба-
зой d (рис. 7А,а). Значение ошибки местоопределения е (при за-
данном значении ад) будет минимальным при sinY=l, т. е. на
окружности 1, диаметр которой равен базе. При отходе объекта
от этой окружности как в сторону удаления от базы, так и в
сторону приближения к ней, ошибка е уменьшается и достигает
на окружностях 2 и 3 допустимого значения 8ДОп- Таким образом,
зона местоопределения дальномерной системы представляет со-
бой ограниченную окружностями 2 и 3 заштрихованную область
(рис. 7.4,а).
Для разностно-дальномерной системы, состоящей из трех стан-
ций, расположенных в точках А, В и С (рис. 7.4,6), уравнение
A.14) с учетом A8) при одинаковых среднеквадратических ошиб-
* Поверхности положения в рассматриваемой системе пересекаются пот
прямыми углами.
26!
Рис. 7.4. Зоны местоопределения дальномерной (а) и раз-
ностно-дальномерной {б) систем
Рис. 7.5. Зоны
обнаружения и
местоопределе-
ния угломерно-
дальномерной
системы
ках определения разности расстояний
мает вид
прини-
,5одя cosec 0,5 (фх + ф
х + cosec2 0,5 ф2 = 8д0ц,
зона местоопределения показана на рис. 7.4,6.
Зона местоопределения угломерно-дальномерной системы, как
следует из A.14) и A9), ограничена окружностью (рис. 7.5) ра-
диусом
* = V5F^/°«. G-20a)
где ад, оа — среднеквадратические погрешности измерения даль-
ности и пеленга соответственно. Примером подобной системы слу-
жит наземная РЛС кругового обзора. Отметим, что для такой
РЛС зона обнаружения в горизонтальной плоскости при отсут-
ствии влияния местных предметов также является кругом. Од-
нако вероятности правильного обнаружения D и ложной тревоги
F обычно задаются так, что радиус этого круга RmBx — дальность
действия в режиме обнаружения — оказывается больше радиуса
B0а) — дальности действия в режиме местоопределения, т. е.
зона обнаружения включает в себя зону местоопределения (за-
штрихована на рис. 7.5). Заметим, что вертикальные сечения
пространственных зон обнаружения и местоопределения наземной
РЛС носят лепестковый характер (из-за интерференции радио-
волн вследствие отражений от Земли, см. [1, 5]).
262
Зоны местоопределения можно расширить за счет повышения
точности отдельных измерителей, входящих в РЛС и РНС, а так-
же их комплексирования с дополнительными измерителями (см.
гл. 8).
7.3. ОБНАРУЖЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ
•Показатели качества обнаружения и характеристика основных
операций. Так как задача обнаружения траекторий объектов яв-
ляется статистической, то оптимизация решения этой задачи воз-
можна на основе изученных ранее критериев оптимальности об-
наружения сигналов (§ 2.2). Как отдельные отметки объектов,
так и прокладываемые по ним траектории могут быть истинными
и ложными. Качество обнаружения траекторий характеризуется
следующими показателями: вероятностью обнаружения истинной
траектории D; вероятностью обнаружения ложной траектории F;
средним временем обнаружения истинной траектории ть средним
временем обнаружения ложной траектории то", средним
числом ложных траекторий, передаваемых на сопровождение в
единицу времени No. Значение указанных показателей зависит
от ряда факторов, в частности от операции стробирования, т. е.
выделения областей, содержащих отметки обнаруживаемой траек-
тории. Рассмотрим эту и другие операции, которые необходимо
выполнить при автоматическом обнаружении траекторий, на при-
мере двухкоординатиой обзорной РЛС.
Пусть устройство первичной обработки приняло решение о
наличии объекта и измерило его координаты: дальность $ и ази-
А
мут а в некоторый момент времени t. В устройстве вторичной
обработки формируется отметка у (Я, a, t), которая принимается
за начало траектории. Так как РЛС предназначена для наблю-
дения на объектами определенного класса, то обычно известны
максимальная Утах и минимальная Vmin скорости объекта. Тогда
если Го — период наблюдения (обзора) РЛС, то можно выделить
область Si в виде кольца с центром, совпадающим с первой от-
меткой, и радиусами rmin=VminT0, rmax = VmaxT0 (рис. 7.6);
в этом кольце и может находиться отметка в следующем обзоре.
Операция формирования подобной области называется стробиро-
ванием, а сама область — стробом.
Если в следующем обзоре в начальный строб Si попадает от-
метка, то происходит завязка траектории. При попадании в строб
Si нескольких отметок происходит завязка соответственно нес-
кольких траекторий. Если в начальном стробе не оказывается ни
одной отметки, то первая отметка либо считается ложной и сти-
263
Рис. 7.6. Диаграмма, поясняющая
процедуру обнаружения траекторий
рается из памяти ЭВМ — кри-
терий завязки «2 из 2» («2/2.>)>
либо остается в памяти для
подтверждения на следующем
обзоре — критерий завязки
«2 из т» (т>>2 — целое чис-
ло), при этом размеры на-
чального строба увеличивают-
ся.
По двум отметкам можно
определить направление и
среднюю скорость движения
объекта УСр = Н2/^о, где ri2 —
расстоянье между 1-й и 2-й отметками. Зная направление дзи-
жения и среднюю скорость, можно рассчитать предполагаемое по-
ложслие отметки в следующем обзоре, т. е. провести экстраполя-
цию (предсказание). Отметки, полученные в результате экстра-
поляцчи, обозначены на рис. 7.6 треугольниками. Вокруг этих от-
меток образуются стробы, например круговые, размеры которых
определяются погрешностями измерения координат объекта, а так-
же ошиб сами расчета положения экстраполированных отметок.
При обнаружении траектории маневрирующего объекта размеры
стробов должны рассчитываться с учетом возможного маневра.
Размер строба непосредственно влияет на показатели качества
обнаружения траектории. Его увеличение приводит к увеличению
чиста ложйых отметок в стробе, в результате возрастает вероят-
ность ложного обнаружения F. Уменьшение размера строба мо^.ет
привести к непопаданию истинной отметки в строб, при этом снп-
жаетст вероятность правильного обнаружения D.
При п уссовском распределении погрешностей измерения коор-
динат и ошибок экстраполяции для обеспечения заданной вероят-
ности попадания отметки в строб его форма должна совпадать
с эллипс ж ошибок, который можно построить по методике, изло-
женной в § 7.2; при обнаружении траектории в пространстве
строб — эллипсоид ошибок. Однако формирование таких стробов
сопряжено с большими вычислительными затратами, и на прак-
тике ограничиваются формированием стробов такой формы, ко-
торая удобна для вычислений в принятой системе координат. При
этом образуемый строб должен охватывать эллипс (эллипсоид)
ошибок.
Если в строб 5г попала отметка, то она считается принадле-
жащей обнаруживаемой траектории. Процесс обнаружения про-
должяется, и, когда в соответствии с принятым критерием будет
вынесено решение о подтверждении траектории, т. е. об оконча-
тельном обнаружении, она передается на сопровождение. Если
264
же в строб 52 не попадет ни одной отметки, то траектория про-
должаете» по экстраполированной отметке, при этом размеры
строба увеличиваются. При невыполнении критерия подтвержде-
ния траектория сбрасывается. При попадании в стробы 5г, 53,...
нескольких отметок можно либо продолжать траекторию по каж-
дой из них, при этом ложные траектории через несколько обзоров
из-за отсутствия подтверждения будут отброшены, либо выбрать
в стробе одну отметку, наиболее близкую к обнаруживаемой
траектории, а остальные отбросить как ложные.
Алгоритмы обнаружения. Как следует из сказанного, процесс
обнаружения траектории можно разбить на два этапа: на первом
осуществляется завязка траектории, на втором — ее подтвержде-
ние. Критерии, согласно которым выносятся соответствующие ре-
шения на первом и втором этапах, вообще говоря, различны. От
них непосредственно зависят показатели качества обнаружения
траектории.
Оптимальные критерии завязки и подтверждения траектории
можно строить на основе отношения правдоподобия (§ 2.2), ко-
торое определяет оптимальный алгоритм обнаружения как при
фиксированном (критерий Неймана — Пирсона), так и при слу-
чайном (критерий Вальда) времени наблюдения. Поэтому преж-
де всего найдем отношение правдоподобия для рассматриваемой
задачи обнаружения. Обозначим через {6-;, 1=1, 2, ...} последо-
вательность нулей и единиц, соответствующих отсутствию или на-
личию отметок в стробах, формируемых в процессе обнаружения
траектории:
1 при наличии отметки в стробе на /-м шаге;
0 в противном случае.
Возможны две ситуации ф = 0, 1, когда наблюдаемая последо-
вательность {6t} соответствует истинной (#=1) и ложной Aв1=0)
траекториям. Отношение правдоподобия на k-м шаге (обзоре)
есть отношение условных вероятностей
ЛР( \)I{ |
Обозначим условные вероятности событий B1) следующим об-
разом:
(/=1, 2, ...). Эти вероятности зависят, в частности, от отношения
сигнал-шум на входе устройства первичной обработки и от раз-
меров строба при вторичной обработке в ?-м обзоре простран-
265
*ства. Полагая, что события B1) от обзора к обзору статистически
независимы, аналогично § 2.10 находим отношение правдоподобия
.ЛЛ=п(—УЧ-^Ч1' и его логарифм
1=1 \ Рог У \ Яог I
) (^] Л=1, 2,.... G.22)
h^\8i) + Fi)(
1=1 L V Poi I \ ЯП
Если обнаружение траектории осуществляется по критерию
Неймана — Пирсона, то статистику B2) на фиксированном л-м
шаге следует сравнивать с некоторым порогом, выбираемым по
заданной вероятности обнаружения ложной траектории F. В дан-
ном случае алгоритм обнаружения
h, G.23)
где h — порог; d\ и d0 — решения об обнаружении и необнару-
жении (сбросе) траектории соответственно. Левая часть алгорит-
ма B3) реализуется весовым накопителем, суммирующим «еди-
ницы» с весовыми коэффициентами \n(puqoi/Poiqu), зависящими
в общем случае от номера обзора L При обнаружении траекто-
рии по алгоритму B3) решения d\ или do выносятся по истечении
заданного отрезка времени — после /г-го обзора пространства.
Однако время обнаружения можно сократить, если воспользовать-
ся критерием Вальда, согласно которому последовательно на
каждом шаге статистика B2) сравнивается с двумя порогами:
Kf Sfuto —+ fo'-1)ta—I'Ub' Л-1,2,... G.24)
dn (Z\ L Рог qii J dn
При превышении значением Zh верхнего порога hB = \n(D/F) вы-
носится решение d\ — траектория обнаружена; если Zh меньше
нижнего порога hH=\n[(\—D)/(l—F)], то выносится решение
do — траектория не обнаружена, при этом осуществляется сброс
отметок, находящихся в памяти ЭВМ. Если же
hH<zk<hBt G.25)
то принимается решение dn о продолжении испытаний: произво-
дится (&+1)-й обзор и описанная процедура повторяется. Сог-
ласно алгоритму B4) при попадании отметки объекта в строб
на k-м шаге (8^=1) к накопленному значению Zk-i прибавляется
единица с «весом» \n(p\kfpm)', при отсутствии отметки в &-м стро-
бе из Zh~\ вычитается единица с «весом» \n(qoh!q\h)-
Алгоритм последовательного обнаружения B4) при статисти-
чески независимых однородных наблюдениях {8*, t=l, 2, ...} и
¦266
заданных вероятностях D и F обеспечивает минимум среднего
времени анализа истинных и ложных траекторий: Ti = min, To = min.
Недостатком этого алгоритма является то, что в отдельных испы-
таниях длительное время выполняется неравенство B5) и про-
цедура обнаружения недопустимо затягивается. Для устранения
данного недостатка алгоритм последовательного обнаружения
B4) «усекается» на некотором п-м шаге, т. е. статистика zn срав-
нивается с одним порогом, выбираемым, например, по критерию
Неймана — Пирсона. При такой усеченной последовательной про-
цедуре несколько ухудшаются показатели D и F по сравнению
с неусеченной процедурой Вальда B4), но зато исключается воз-
можность превышения временем анализа заранее заданного зна-
чения.
Реализация оптимального неусеченного и усеченного последо-
вательных алгоритмов обнаружения требует значительных затрат
вычислительных средств. Для их уменьшения на практике часто
используют более простые алгоритмы, основанные на критериях
серийных испытаний. Эти критерии связаны с наблюдением за-
ранее определенных серий нулей и единиц. Примером таковых
служит критерий «k/n—I», где &^я,/<Х Согласно этому критерию
траектория считается обнаруженной и передается на сопровож-
дение, если в течение смежных периодов обзора, максимальное
число которых равно п, появляется не менее & отметок (к единиц);
в противном случае, а также при отсутствии отметок в / смежных
обзорах (/ нулей подряд) принимается решение о сбросе траек-
тории. Данный критерий определяет усеченную процедуру обна-
ружения последовательного типа: имеется два порога — верхний
k и нижний /, шаг усечения п. Основное преимущество алгоритмов
последовательного типа по сравнению с «непоследовательными»
алгоритмами (типа B3)) заключается в том, что они позволяют
существенно сократить время анализа ложных траекторий, умень-
шая тем самым общее время обнаружения, а также освобождая
память и процессор ЭВМ от непроизводительной работы. Для сок-
ращения времени обнаружения траектории и уменьшения вычис-
лительных затрат при использовании критерия «k/n—/» целесо-
образно выбирать малые значения k, l и п. Однако при этом бу-
дет возрастать число ложных траекторий, передаваемых на соп-
ровождение.
На практике используют также серийные процедуры типа
«kin», k^.n: принимается решение об обнаружении траектории
при появлении k отметок в п смежных обзорах, в противном слу-
чае траектория сбрасывается как ложная. Данный критерий в
отличие от двухпорогового критерия «k/n—/» является однопоро-
говым. Однако и он позволяет вынести решение об обнаружении
267
траектории быстрее, чем за п шагов (при k<ri), — в этом era
отлитие от критерия НеГмана— Пирсона. Что касается решения
о сбросе траектории, то оно при критерии «k/n» не может быть
принято раньше, чем за п шагов; однако это возможно при кри-
терии «k/n—Ь, так пак 1<п.
Рассмотренные критерии и алгоритмы обнаружения использу-
ются в основном на этапе подтверждения траектории. Однако
они могут применяться и для оптимизации завязки траектории.
На практике в качестве критерия завязки обычно используется
критерий «2/т», н задача оптимизации сводится к выбору опти-
мального значения т. Часто завязка осуществляется по критерию
«2/2» — траектория считается завязанной при появлении двух
отметок подряд.
7.4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕК-
ТОРИЙ
Основные операции при сопровождении траектории. После то-
го как траектория обнаружена, она передается на сопровожде-
ние. Сопровождение граекирии состоит в непрерывной привязке
к ней получаемых в очередных обзорах отметок и определении
Отметки
lAcmpoCupo-
бание и селек-
ция отметен
Да
ИГ
Траекторные
расчеты
К потребителю
-?J Оценивание
траектории
Обнаружение
манеёра
координат
-А Вычисление
paj/iepod"
с/лроо~ов
Нет Ссорос)
Рис. 7.7. Структурная схема алгоритма сопровождения траектория
268
параметров траектории. Рисунок 7.7 иллюстрирует взаимосвязь,
и последовательность выполнения основных операций при сопро-
вождении траекторий. Блок 1 выполняет стробирование и селек-
цию отметок: выбирается одна нз отметок, наиболее близкая к
сопровождаемой траектории (в соответствии с принятой мерой
близости), остальные отметки сбрасываются, а в условиях воз-
можного возникновения новых траекторий передаются в обнару-
житель. Отселектпрованная отметка поступает в блок 7, где осу-
ществляются траекторные расчеты, в частности оцениваются пара-
метры траекторий с учетом всей имеющейся к этому времени
информации. Кроме того, данная отметка передается в блок 2, в
котором оцениваются (сглаживаются) параметры траекторий по
сравнительно несложным алгоритмам при упрощенных предпо-
ложениях относительно закона движения объекта. Оценка пара-
метров траектории в блоке 2 необходима для обеспечения непре-
рывности сопровождения, и от нее не требуется высокой точности
оценивания, которая должка обеспечиваться в блоке 7 перед не-
посредственной передачей результатов вторичной обработки ин-
формации их потребителю. Блоки 3 и 4 вычисляют экстраполиро-
ванные значения координат и размеры стробов на очередной
обзор.
Если обнаружен маневр объекта (блок 5), то процедуры оце-
нивания параметров, экстраполяции координат и вычисления раз-
мероз строба должны быть скорректированы. В частности, дблж-
ны быть изменены гипотезы о законе движения объекта, а соот-
ветственно и алгоритмы оценирания и экстраполяции. Задача оп-
тимизации обнаружения маневра может решаться с помощью рас-
смотренных статистических методов. Обычно под маневром по-
нимают возникновение изменения (скачка) скорости движения
объекта. Этот скачок можно обнаружить с помощью алгоритма,
вычисляющего оценку ускорения объекта и сравнивающего полу-
ченное значение с порогом, выбираемым по заданной вероятности
ложного решения о наличии маневра.
При непоступлении новой отметки проверяется критерий сбро-
са траектории (блок 6). Простейший критерий сброса — k про-
пусков отметок подряд. При выборе значения k необходимо учи-
тывать, что при увеличении k уменьшается вероятность вынесе-
ния неправильного решения о сбросе траектории с сопровожде-
ния, однако при этом возрастают число сопровождаемых ложных
траекторий и их средняя длительность.
Нетрудно видеть, что операции, выполняемые при сопровож-
дении траекторий, в значительной мере аналогичны тем, которые
должны выполняться и при обнаружении траектории (§ 7.3).
Однако в силу большего объема информации на этапе сопровож-
дения эти операции будут точнее, чем на этапе обнаружения.
269
Фактически обнаружени§ И сопровождение траекторий могут быть
проведены с помощШ общего алгоритма одним вычислительным
устройством.
Важнейшую роль при вторичной обработке сигналов играет
оценивание параметров траектории. Эта операция выполняется
уже на этапе обнаружения, когда требуется определить парамет-
ры траектории (среднюю скорость и направление движения) по<
начальным данным. На этапе сопровождения траектории оцени-
вание можно осуществить более точно. Результаты вторичной об-
работки передаются потребителю информации, например в виде
сглаженных траекторий объектов, при этом в блоке 7 (рис. 7.7)
желательно обеспечить максимальную точность оценивания па-
раметров траекторий, для чего следует использовать оптимальные
(или близкие к ним) алгоритмы.
Метод максимального правдоподобия и метод наименьших
квадратов. Для описания траекторий движения объектов будем
использовать квазидетерминированную модель траектории *
R(Q, t), представляющую собой детерминированную функцию R
неизвестных и неслучайных параметров 9= (во, ..., 6V) и времени L
Функцию R полагаем дифференцируемой по всем 9&, k~Q, ..., v.
В важном частном случае траектория R F, t) задается в виде по-
линома v-й степени:
т?(в, /) = e0 + e1/+e1fs + o.+ev/v=2eft^. G.26)
fe=0
Коэффициенты 0О, 8ь Эг, ••• полинома имеют смысл координаты,
скорости изменения координаты, ускорения и т. д.; степень поли-
нома v зависит от маневренности объекта.
Вектор неизвестных параметров в траектории R(Q, t) подле-
жит оцениванию по результатам наблюдения процесса y{t) —
=i/?F, t)+l(t), где в качестве шума ?(/) выступают погрешности
измерения координат объекта при первичной обработке. Решим
задачу оценивания методом максимального правдоподобия, а за-
тем методом наименьших квадратов. При использовании первого
из этих методов необходимо знать распределение вероятностей
ошибок l(t). Во многих случаях можно считать, что они распре-
делены по гауссовскому закону с нулевым средним и корреля-
ционной матрицей погрешностей измерений Kg=||/Cz,3\\, i, j —
= 1, ..., п. Диагональные члены Ки представляют собой дисперсии
погрешностей измерений в моменты времени tif а члены Kij{i?=j)
* Здесь и далее, говоря о модели траектории, будем подразумевать модель
одной ее компоненты, описывающей изменение во времени какой-либо одной
координаты объекта. Методика оценивания параметр-ов других компонент тра-
ектории R@, t) аналогична излагаемой далее.
270
характеризуют попарную корреляцию погрешностей в моменты
U и tj.
При решении задачи оценивания методом максимального прав-
доподобия необходимо вначале определить функцию правдоподо-
бия (см. § 4.1). Так как полагаем, что шум g(f) гауссовский,
функция правдоподобия для выборки z/(/i)==z/b ..., у{гп)=Уп
определяется я-мерной гауссовской плотностью вероятностей
= Bл;)-"/2det-1/2Ц/С^Цехр { —i- J hu)yt-R(dt h)]X
I l i, /=i
X[y}-R(B, t,)]\, G.27)
A
где H/iijIWl/CzjII. Оценка максимального правдоподобия 6М =
= (бом, -., 8vm) векторного параметра 9 находится путем макси-
мизации функции правдоподобия L(Q) или монотонной функции
L@). В данном случае удобно взять натуральный логарифм
2 ,-Я{1>, Щ. G.28)
Оценка 9М является решением системы уравнений максималь-
ного правдоподобия:
^ 0, fc = 0, I,..., v. G.29)
Дифференцируя B8), находим
Подставляя это выражение в B9) и учитывая, что матрица ||Аг-,-|[
симметрическая, получаем систему уравнений
S htjlyj-RiQ, tj)]^-R(Q, ^) = 0, k = 0,..., v, G.30)
определяющую оценку максимального правдоподобия 9М парамет-
ров траектории /?F, t).
271
Рассмотрим важный частный случай, когда погрешности изме-
рения координат от обзора к обзору не коррелированы. При этом
корреляционная матрица К* является диагональной:
•? О ... О
|... О
О 0
а?.
G.31)
где a2i(i=l, ..., п) — дисперсия погрешностей измерений в момент
времени ti, т. е. в i-м обзоре. Элементы обратной матрицы /гг-,- =
= 1/<72г, i~j и hij — Q, 1Ф\\ в результате система уравнений C0)
упрощается:
2 -V
l Of
я (в«
v-
Если, кроме того, дисперсии погрешностей измерений одинаковы:
G.33)
Ч-гт2
о* = о\ 1=1,..., п,
случай равноточных измерений, то из C2) получаем
G.34)
2
Найденные уравнения совпадают с системой уравнений, опре-
деляющих оценки параметров методом наименьших квадратов
(МНК-оценки). Действительно, согласно методу наименьших
квадратов при оценивании векторного параметра 0=(8о, ..., 6V)
функции jR(9, t) по результатам наблюдения у\, ..., уп ищется та-
А
кая оценка 0, для которой сумма квадратов отклонений наблю-
денных значений г/г от Я. (в, ti) минимальна:
2
1=1
Если функция R(&, t) дифференцируема по Во, .... 6V, то указан-
А А
ная сумма минимальна при значениях Во, ..., 6V, являющихся
решением системы уравнений C4). В более общем случае МНК-
оценки ищутся путем минимизации суммы квадратов взвешенных
отклонений:
2МИ-Я (8, ^)]2 = min.
/==i
Получаемые при этом оценки при выборе весовых коэффициентов
по формуле hi = \/o2i совпадают с оценками максимального прав-
доподобия, определяемыми системой уравнений C2).
272
Таким образом, метод максимального правдоподобия при гаус-
совском распределении погрешностей измерений приводит к МНК-
оценкам. Отсюда следует, что МНК-оценки при гауссовском рас-
пределении погрешностей измерений являются асимптотически
оптимальными (§ 4.1). Однако необходимо иметь в виду, что при-
менение метода наименьших квадратов не требует знания закона
распределения погрешностей измерений (в отличие от метода мак-
симального правдоподобия). В важном частном случае МНК-
оценки обладают «своими» оптимальными свойствами: при линей-
ной зависимости наблюдений от оцениваемых параметров эти
оценки имеют наименьшие дисперсии в классе линейных несме-
щенных оценок.
Перейдем теперь к конкретизации полученных общих уравне-
ний применительно к полиномиальной модели движения. Соглас-
но B6)
Подставляя это выражение, а также B6) в C0), C2), C4), по-
лучаем системы уравнений, которые, как нетрудно видеть, явля-
ются линейными. В частности, система уравнений C2) дает
- U, «-U, ..., V. A.60)
Найденная система линейных уравнений, определяющая оценки
А
0о, ..., 6V параметров полиномиальной траектории, называется си-
стемой нормальных уравнений. Для их решения и изучения свойств
получаемых решений представим C5) в матричной форме. Обоз-
начим
е=
0„
Ух
Уп
G.36)
— векторы-столбцы размерностью (v+1) и п,
1
t\
I/of 0
0 1/af
G.37)
1 *»й . . .'? Р о . . .1/<#
— матрицы размером ((v+l)X«) и (пХп) соответственно. Тогда
систему нормальных уравнений C5) можно записать в виде
стнсе=с*ну
273
(т — операция транспонирования). Умножив обе части этого мат-
ричного уравнения слева на матрицу (СТНС)~1, обратную матрице
СТНС, получаем его решение:
в = (СтНС)~1СтНу. G.38)
Л А А
Найденная формула определяет МНК-оценки в=@о, ..., ev)T пара-
метров полиномиальной траектории (при любом распределении
случайных погрешностей измерений). При гауссовском распреде-
лении оценка C8) является к тому же оценкой максимального
А А
правдоподобия: 0 = ЭМ. Как видим, оценка C8) находится путем
линейного преобразования наблюдаемых величин у={у\, ..., уп)т-
Покажем, что данная оценка является несмещенной. Для этого
вычислим математические ожидания от обеих частей равенства
C8). С учетом того, что матрицы С и Н детерминированные,
имеем
Так как
У = Се-Ы, G.39)
где компоненты вектора погрешностей измерений | имеют нуле-
вые математические ожидания, то Му=С9. Поэтому
Мв = (Ст НС) Ст НСв = 6, G.40)
что и требовалось показать.
Точность оценивания параметров траектории характеризуется
корреляционной матрицей случайного вектора в
ке-=м[(е-мв)(е-мвп,
которая в силу D0) есть корреляционная матрица погрешностей
измерений
е)Ч. G.41)
А
Вектор погрешностей измерений (в—6), как следует из C8) и
C9), в_в = В& где
В = (tfHC)" CTH. G.42)
Поэтому согласно D1)
ке* = м [ве (в 1)т] = м [в ggT вт] = вм (ggT) вт = вк6 вт,
где Kg — корреляционная матрица погрешностей измерений коор-
274
динат при первичной обработке C1). Используя D2), а также то
что Kg =Н~1, находим
Ке- = (Ст НС) Ст [(Ст НС) Ст Н]т =
= (стнс)-1стнтс[(стнс)-1]т=
= (ст не)-1 (ст н с)т [(ст не)-1]7.
Так как матрица Н симметрическая, то матрица СТНС также сим-
метрическая и поэтому получаем окончательно
К^^НС)-1 . G 43)
Формулы C8) и D3) позволяют вычислить оценки и точность
оценивания параметров траекторий полиномиального вида B6).
Аналогичные формулы справедливы и для других моделей траек-
торий #(в, /), представимых в виде линейной комбинации детер-
минированных функций *:
Подставляя в B6) вместо неизвестных параметров их оценки,
получаем оценку траектории #(в, /)= 2 6ft*\ иначе говоря, сгла-
женную траекторию. Устройство оценивания параметров траек-
Уп
\
X
1 1
—•
Уп-1
I
X
I 1
—»
Уп-г
¦ X
1 1
У,
1
X
г
Рис. 7.8. Структурная схема дискретного
сглаживающего фильтра
Рис. 7.9. Зависимость точности оценивания
параметров линейной траектории от числа из-
мерений
8 ft n
* В качестве таковых используются, в частности, ортогональные полиномы
Чебышева.
27а
тории представляет собой линейный дискретный сглаживающий
фильтр. Согласно C8)
= 0,..., v,
где (bu, bi2,..., bm) — i-я строка матрицы D2) — импульсная ха-
рактеристика дискретного сглаживающего фильтра (рис. 7.8),
формирующего оценку i-ro параметра траектории. При реализа-
ции фильтра на ЭВМ значения весовых коэффициентов Ьц, а так-
же наблюдаемые величины ylt у2,... хранятся в запоминающем
устройстве, операции умножения и суммирования производит
арифметико-логическое устройство ЭВМ.
Рассмотрим частный случай, когда траектория описывается
полиномом 1-й степени (v=l), т. е. является линейной. Этот слу-
чай важен для практики, так как почти любая траектория на
ограниченном участке может быть аппроксимирована прямой ли-
нией. Положим
#(в, t) = Rn + Rn(t-tn), G.44)
где вектор оцениваемых параметров 6(i?n, Rn) состоит из коор-
динаты дальности Rn в момент времени tn последнего измерения
и скорости изменения дальности Rn. В рассматриваемом случае
вектор оценок
G.45)
а матрица С (см. C7))
1 h-tn
1 / /
1 tn-X-tn
1 О
G.46)
Предположим, что измерения дальности равноточны (т. е. выпол-
няется условие C3); тогда
Н = A/а2I, G.47)
где I — единичная матрица размером (тгХп). Находим
стнс =
1
1
1
/I-**»-*»-!-/» О
276
п
1=1
п п
i=i i=i
G.48)
Обращая эту матрицу, можно определить точность оценивания
D3) и сами оценки C8). Для упрощения дальнейших выкладок
предположим, что измерения производятся через одинаковые про-
межутки времени:
U+i-tt = T0, *=1,..., л-1, G.49)
что соответствует случаю, когда параметры траектории оцени-
ваются по данным РЛС с равномерным периодическим обзором
пространства. При этом
га я—1 „'/„ 1 \
t('<-'»)а = П
1=1
в(п-"B"-"
Подставляя эти выражения в матрицу D8) и обращая ее, нахо-
дим корреляционную матрицу ошибок:
2Bп —1) 6
Топ(п
12
Топ(п+\) Т2оп(п*-\)
G.50)
Далее, подставляя матрицы D6), D7) и E0) в формулу C8) и
учитывая D9), определяем вектор оценок D5):
2Bл—1)
п(п+\) Гол(л+1)
6 12
Топ(п+\) Т2оп(п*-\)
2
1 ...11
*1 *п "• *п—1 *п О
Ух
Уп-1
Уп
2 (з*-й-1)
А
Таким образом, оценки дальности /^п и скорости /^п в случае
линейной траектории при п равнодискретных и равноточных из-
мерениях
277
2 bRlyukn= JJ 6A,y, . G.51)
:=i ?=i
где весовые коэффициенты
2<3f-n-l) 6B*-,-l) j (?5
Эти коэффициенты представляют собой импульсные характеристи-
ки дискретных сглаживающих фильтров, на выходах которых пос-
ле я-го обзора имеем оценку дальности и скорости. Структурные
схемы фильтров строятся по типу схемы на рис. 7.8. В частности,
Л
при двух измерениях (п=2) Й2—У2, R2= (#2—yi)/To, а при п=5
кш = (у3-ухI2То.
Среднеквадратические ошибки оценивания дальности а а и
Rn
скорости а* при п измерениях, как следует из E0)
12 G 53>
n(n»-l)f
где а * =ст — среднеквадрэтическая ошибка оценивания дальнос-
ти при одном измерении. Из графиков на рис. 7.9, построенных
по формулам E3), следует, что для получения приемлемой точ-
ности оценивания параметров линейной траектории необходимо»
обработать не менее пяти—шести измерений дальности.
Рекуррентное оценивание. Линейные алгоритмы оценивания
параметров траекторий сравнительно просты и широко распро-
странены на практике. Однако рассмотренные алгоритмы оцени-
вания имеют недостатки, связанные с тем, что обработка посту-
пающих отметок осуществляется после проведения всех п изме-
рений (обработка по полной выборке). При больших п требуется
соответственно большая емкость памяти устройства обработки и,
кроме того, имеется задержка выдачи оценок параметров траек-
тории, которая не всегда допустима. От этих недостатков сво-
бодны рекуррентные алгоритмы оценивания, при которых вновь
поступающая отметка сразу используется для уточнения ранее
полученных оценок. Рекуррентный алгоритм определяет оценки
efe+1 параметров траектории на (&-М)-м шаге (т. е. в момент
4) через оценки на &-м шаге и очередное наблюдение
Согласно такому алгоритму обработка наблюдений происхо-
дит последовательно в реальном масштабе времени. По сравне»
278
яию с нерекуррентной обработкой емкость памяти существенно
сокращается, так как необходимость в запоминании предыдущих
отсчетов у\, ..., tjk отпадает.
Известен ряд способов синтеза рекуррентных алгоритмов оце-
нивания параметров. Некоторые из таких алгоритмов получаются
соответствующей модификацией нерекуррентных алгоритмов. Рас-
смотрим это на простом примере. Положим v = 0 (полином нуле-
вой степени), тогда согласно C6) и C7)
6 =
j
во
:
О
О
1
1
•
1
т. е. наблюдаемые величины C9) имеют бид г/г=©о+^г. *=1, ..., п.
В качестве матрицы весовых коэффициентов Н возьмем единич-
Л
ную матрицу I. В соответствии с C8) МНК-оценка боп парамет-
ра ©о
1
е„п=
„п
1
1
—1
и... пи
Уг
Уп
1 п
= — S Уи
п /=1
т. е. совпадает с выборочным средним. Эту же оценку, как нетруд-
но убедиться, можно представить в рекуррентной форме:
с начальным условием %\=У\. Согласно алгоритму E4) оценка
параметра формируется последовательно путем добавления кор-
Л
ректирующей поправки (t/h+i—0оь) к предыдущей оценке. Вес
этой поправки 1/(^+1) с увеличением k уменьшается. Рекуррент-
ный алгоритм E4) реализуется дискретным следящим фильтром
с переменной полосой пропускания, стремящейся к нулю при
Общий метод синтеза рекуррентных алгоритмов оценивания,
которые могут быть как линейными, так и нелинейными, основы-
вается на теории нелинейной фильтрации стохастических сигналов
,{48, 53], элементы которой рассмотрены в § 4.3. На практике
широко распространены линейные рекуррентные алгоритмы, опре-
деляющие дискретные фильтры Калмана. Одномерный дискрет-
ный фильтр Калмана синтезирован ранее (см. D.117) — D.119)).
Перепишем алгоритм D.117) в виде
- % +c
lh
cT
A - c2k) в J, к - 1 ,2,
G.55)
где коэффициенты Сщ и c2h вычисляются по формулам D.119) (с
учетом замены индекса i на k). В частном случае, когда оцени-
ваемый случайный процесс является полностью коррелированным,,
т. е. когда р=1, из этих формул следует
clh = 1/A +hk ojj), c2h = hk oj/(l +Л* oj)f hk+1 = hk
Если в начальном условии hi (см. D.120)) положить a2i = oo>.
то /ii = l/(j2o и, следовательно, hh=ik/o20, а Cifc=l/(l+&), с2ь =
=&/A+&); в результате алгоритм E5) совпадает с E4).
Таким образом, алгоритм Калмана E5), оптимизированный
для решения байесовской задачи оценивания марковской гауссов-
ской последовательности {0г, t=l, 2, ...} в гауссовском шуме с
независимыми значениями (см. § 4.3), в рассмотренном частном
случае совпадает с рекуррентным алгоритмом метода наимень-
ших квадратов в небайесовской задаче (т. е. когда оцениваемый
параметр 9г=|9о — неслучайная неизвестная величина).
На практике приходится оценивать одновременно несколько
параметров траектории, для чего требуется многомерный дискрет-
ный фильтр Калмана. Этот фильтр, как и одномерный, синтези-
руется методом, изложенным в § 4.3, путем конкретизации рекур-
рентного соотношения оптимальной фильтрации, а также рядом
других методов в рамках линейного оценивания [49]. Не приводя
выкладок, остановимся только на моделях наблюдаемого и оце-
ниваемого процессов и конечном результате — многомерном дис-
кретном фильтре Калмана.
Оцениваемые параметры ®h+i= (&i,h+u — > 6v,fc+i)T — v-мерный
вектор состояния — задаются линейным векторным разностным
уравнением
efe+i = Fft+ltfe 9ft + Gft gfc, k = 0, 1, ... , G.56)
где Fft+i,fc — переходная матрица состояния размером (vXv); G& —
матрица размером (vXp); t,h — р-мерный вектор гауссовских ве-
личин, для которого М?ь=0, M(^feT) =Q.kb3k\ Qa — матрица разме-
ром (рХр); 83h — символ Кронекера. Начальное состояние в0 —
случайный вектор с известным средним значением и корреляцион-
ной матрицей:
М 60 = в0, М [(во - в0 ) (в0 -"в0 )т] = Квв. G.57)
Уравнение E6) определяет характер движения объекта, при-
чем матрица Fk+i,h задает динамику движения, а матрица G^ —
преобразование случайных возмущений, действующих на объект.
В том частном случае, когда Gft=0, &=0, 1, ..., движение будет
определяться переходной матрицей Fft+i, k и начальным состоянием
280
0О» и если последнее заранее известно, то траектория движения —
детерминированная функция времени. Если же в0 — случайный
вектор или же вектор неизвестных неслучайных параметров, то
траектория является квазидетерминированной.
Наблюдаемый m-мерный векторный процесс имеет вид
Уи-1 = Ck+i %+г + 1н+ъ 6 = 0,1,.-., G.58)
где Cfc-н — матрица размером (mXv); %k+i — случайный m-мер-
ный вектор погрешностей измерения (шум), для которого М|ь+1 =
= 0, MIj+iIvh = K|ft+i6jft, /, k=0, 1, ..., Kgfe+ь — матрица размером
{тхт). Предполагается, что случайные последовательности ?&
и |й не коррелированы: М|^та=0 для всех /, k.
Для рассмотренной постановки задачи фильтр Калмана (рис.
7.10), последовательно формирующий оценку вектора состояния
0/г, описывается рекуррентным соотношением
0fe), k = 0,1, ... , G.59)
где В&+! — матрица коэффициентов усиления фильтра размером
(vXm), определяемая соотношениями
Kft+i ,k Cl+l (Cft+1 Kfe+i ,k CJ+1 + K|fr+i )-I , G.60)
«F*+i.*K*.ftFS+i,*+GAQ*Gj, G.61)
i = (I •— Bft+i Са+i) K&+1 ,k ; G.62)
I — единичная матрица размером (vXv). Начальные условия
задаются в соответствии с E7):
бо = 90, Коо = Ке0. G.63)
В частном случае, когда оцениваемый параметр — скалярный
марковский гауссовский процесс, описываемый уравнением
где р=ехр(—¦yjA/j), {^+1} — последовательность независимых
гауссовских величин с нулевыми средними и дисперсиями сг2ь
имеем Fft+i,ft = p, Gft= "j^l—р2, Qft=ia21( и если, кроме того, С*=1,
Kgft=a2o Для всех к, то из формул E9)—F2) вытекают соотно-
шения D.117) — D.119) и, следовательно, E5), а при дополнитель-
ном условии (р=1, g2i = oo) — алгоритм E4).
Как видим, структура фильтра Калмана E9) является обоб-
щением структуры простейшего рекуррентного алгоритма E4),
для которого матрицы Fft+i,fc, Сь+ь Bfc+i вырождены в скаляры,
причем Fft+!,ft=Cft+i = l, а коэффициент усиления B&+i = 1/A+1^).
В общем случае матрица коэффициентов усиления B^+i опреде-
ляется формулами F0) — F2), причем вычисления происходят
281
следующим образом. По заданным матрицам Fh+i,h, G&, Q& и
вычисленной матрице Kk,k находится с помощью соотношения
F1) матрица Kh+i,k- Эта матрица, а также известные матрицы
Сь+1 и IQft+i подставляются в F0) для получения матрицы Ък+и
Затем матрицы Bft+i, Cft+i и Kk+i,h подставляются в формулу F2)
и определяется матрица Кгн-ьь+ь После этого вычислительный
цикл повторяется. В начале вычислений (fc=0) используется ус-
ловие Коо=Кео (см. F3)).
Описанная вычислительная процедура вместе с матрицей ко-
эффициентов усиления фильтра определяет точность фильтрации,
так как матрица Кь.,и представляет собой корреляционную мат-
Л А
рицу ошибок: Ка, ft=Mi[(9fe—0ь)(еь—еь)т]- Диагональные элемен-
ты этой матрицы дают среднеквадратические ошибки оценивания
параметров на k-м шаге:
Данные ошибки принимают минимальные значения, поскольку
фильтр Калмана является оптимальным.
По поводу оптимальности рассматриваемого фильтра отметим
следующее. Независимо от вида распределений случайных век-
торных последовательностей ?ь и |ь входящих в E6) и E8) >
фильтр Калмана является оптимальным (в смысле минимума
среднеквадратических ошибок оценивания) в классе линейных
фильтров. Если же потребовать, чтобы случайные последователь-
ности ?&. и |fe были гауссовскими, то фильтр Калмана станет «аб-
солютно» оптимальным, т. е. оптимальным в любом классе фильт-
ров (линейных и нелинейных). Именно с таких позиций и рас-
сматривался в § 4.3 фильтр Калмана как оптимальный фильтр
марковского гауссовского процесса в аддитивном гауссовском
шуме с независимыми значениями.
Многомерный дискретный фильтр E9) — F2) является доста-
точно общим. Задавая конкретный вид матриц F, G, Q, С, К|>
можно непосредственно получать решения различных задач ли-
нейного оценивания параметров траекторий.
Рассмотрим пример, когда необходимо оценить параметры ли-
нейной траектории D4) при равноточных и равнодискретных из-
мерениях * с периодом Го. В этом простом случае вектор состоя-
ния является двумерным:
II *<k+i
* Аналогичный пример рассмотрен ранее в рамках нерекуррентного оце-
нивания.
282
v
j
|г~
Ви
k*l,k
+
1 '
Укн
+/ г
AV,+/
Rk+1
Рис. 7.10. Структурная схема Рис. 7.11. Структурная схема фильтра
многомерного дискретного Калмана (случай линейной траектории)
фильтра Калмана
траектория неслучайной, а матрицы
GA = 0,
,k =
1 То
0 1
, СЛ+1Ч|Ю||,
G.64)
для всех k. Конкретизируя с помощью этих соотношений алгоритм
E9), получаем
R
к
Bh+1(yk+1~Rk-T0Rh).
G.65)
Матрица коэффициентов усиления B^+i определяется формулами
F0) — F2) после подстановки в них F4). В рассматриваемом
случае эту матрицу удается выразить в явном виде. Используя
в качестве начального условия Кн корреляционную матрицу оши-
бок E0) при п=\
3/TQ CO
в результате вычислений находим
2Bk+\)l(k+l)(k + 2)
G.66)
А
Таким образом, оценки дальности Йк и скорости Rk, как сле-
дует из F5) и F6), определяются последовательно для k=l, 2, ...
с помощью рекуррентных соотношений
+ blth+1 (yh+1 -Rh-T0 kh),
(yk+1-Rh-Tokk),
где
G.67)
G.68)
283
На рис. 7.11 показана схема фильтра, реализующего алгоритм
F7). Коэффициенты усиления bhh+i и b2,h+i, как следует из F8),
с увеличением k уменьшаются и при &->~оо асимптотически стре-
мятся к нулю. Иначе говоря, с ростом времени наблюдения по-
лоса пропускания фильтра сужается, и он все меньше реагирует
на изменение входных данных. Нетрудно убедиться, что алгоритм
А
F7) приводит на я-м шаге к тем же оценкам Йп и Rn, что и
алгоритмы E1). Однако в отличие от них алгоритм F7) являет-
ся рекуррентным и при реализации требуемых меньших вычис-
лительных затрат, а также не дает задержки в выдаче данных.
Итак, общий фильтр Калмана E9) и вытекающие из него
частные рекуррентные фильтры являются оптимальными линей-
ными, позволяющими осуществлять последовательное сглажива-
ние параметров траекторий и обладающими существенным преи-
муществом по сравнению с нерекуррентными фильтрами. Вместе
с тем необходимо иметь в виду, что при практической реализа-
ции фильтров Калмана возникают «свои» трудности. Эти труд-
ности связаны с довольно быстрым уменьшением элементов мат-
рицы коэффициентов усиления В/н-ь стремящихся в пределе (при
/г->оо) к нулю, в результате оценки параметров практически пе-
рестают зависеть от наблюдаемых данных. Следствием этого
является то, что возможные маневры объекта, даже небольшой
интенсивности, никак не будут учтены.
Кроме того, при некотором k элементы матрицы Bfe+i стано-
вятся соизмеримыми с ошибками счета, неизбежно возникающи-
ми при реализации фильтра на ЭВМ. На рост этих ошибок суще-
ственно влияет необходимость многократного обращения матриц
в фильтре Калмана. В результате машинное решение может силь-
но отличаться от математического, элементы корреляционной
матрицы ошибок вместо уменьшения возрастают — фильтр рас-
ходится, становится неустойчивым.
Эта трудность преодолевается рядом способов. Один из них
заключается в ограничении снизу элементов матрицы Bfe+i задан-
ными постоянными значениями. Можно, в частности, задать неко-
торый шаг k, после которого указанные элементы фиксируются
на постоянном уровне, вследствие чего поступающие результаты
измерений учитываются с постоянным (ненулевым) весом. В край-
нем случае, когда k = 0, коэффициенты усиления фильтра вообще
не зависят от времени.
Другой способ заключается в искусственном введении в ис-
ходную модель траектории дополнительных шумов. Это приводит
к более медленному уменьшению элементов матрицы Bft+i- Соот-
ветствующим выбором интенсивностей вводимых шумов можно
устранить расходимость рекуррентного фильтра.
284
Глава 8. КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
8.1. ПРИНЦИПЫ КОМПЛЕКСИРОВАНИЯ
В РНС и РЛС могут входить несколько устройств обработки ин-
формации, решающих одну и ту же задачу. При этом возникает
проблема их наилучшего объединения в единый комплекс —
комплексную систему обработки информации (КСОИ). Более то-
го, РНС, включающая в себя радиотехнические измерители — ра-
диовысотомер, измерители разности дальностей, ДИСС и др.,
обычно объединяется с нерадиотехническими системами, в ко-
торые входят гироскопические измерители, акселерометры, изме-
рители воздушной скорости и др. В результате такого объедине-
ния образуется комплексная навигационная система (КНС), или
навигационный комплекс. Ранее было выяснено, что местоопре-
деление на плоскости, например разностно-дальномерным мето-
дом, можно осуществить с помощью двух однотипных измерите-
лей разностей расстояний, определяющих две пересекающиеся ли-
нии положения (гиперболы). Для местоопределения в простран-
стве необходим еще третий измеритель, определяющий третью
линию положения. Это может быть измеритель и другого типа,
измеряющий другую геометрическую величину, например высоту,
если определяется пространственное местоположение Л А. Таким
образом, для местоопределения ЛА в пространстве достаточно
трех измерителей. Однако измерителей, входящих в РНС и тем
более в КНС, может быть и больше. Увеличение числа измери-
телей как однотипных, так и особенно разнотипных, основанных
на различных физических принципах, улучшает тактические ха-
рактеристики системы. Действительно, дублирование измерителей,
определяющих одни и те же координаты, иначе говоря, структур-
ная избыточность, повышает надежность системы, так как выход
из строя отдельных измерителей не приводит к отказу в работе
системы в целом. Объединение радиотехнических измерителей с
нерадиотехническими повышает помехозащищенность системы, так
как последние не подвержены действию радиопомех. Далее, струк-
турная избыточность, при которой одна и та же координата изме-
ряется несколькими устройствами, приводит к информационной
избыточности, что позволяет получить больше полезной инфор-
мации и путем статистической обработки данных уменьшить пог-
решности измерений и тем самым повысить точность действия.
285
Hi
ff+ff
Hz
fl+fn
J
Ф
л
Рис. 8.1. Схема комплексирования измерителей
способом компенсации
Таким образом, под комплексированием устройств обработки
информации понимается их объединение в комплексную систему,
осуществляющую совместную обработку информации и обеспе-
чивающую повышение точности действия, помехозащищенности,
надежности.
Поясним возможность повышения точности измерения на при-
мере одной из распространенных схем комплексирования измери-
телей, реализующей так называемый способ компенсации погреш-
ностей (рис. 8.1). Измерители Ht и И2 оценивают один и тот же
параметр (координату) в с ошибками |i и |г соответственно. Пос-
ле первого вычитающего устройства стоит фильтр Ф, который,
используя априорные сведения о статических характеристиках
ошибок, формирует оценку одной из них — i\. Во втором вычи-
тающем устройстве происходит компенсация ошибок, в резуль-
А
тате окончательная погрешность |i—?1 оказывается меньше ис-
ходной погрешности |i измерителя И^ В качестве Ф может быть
использован, в частности, режекторный фильтр, подавляющий
помеху (погрешность) ?2- Чем меньше перекрываются спектры
погрешностей ?i и |2, тем, очевидно, выше эффективность такого
способа комплексирования.
Обычно, когда говорят о комплексировании информационных
устройств, подразумевают комплексирование измерителей [36, 54,
65, 66]. Однако и другие устройства извлечения информации мо-
гут объединяться в комплексные системы для улучшения их так-
тических характеристик. В частности, такими устройствами могут
быть обнаружители. Примером системы, в которой реализуется
совместная обработка информации от нескольких обнаружителей
и измерителей, служит МПРЛС. По сути дела, в МПРЛС осу-
ществляется комплексирование обнаружителей, измерителей и
других устройств в комплексную систему обработки радиолока-
ционной информации.
К задаче комплексирования устройств обработки информации
возможны два основных подхода. Согласно первому из них комп-
лексирование выполняется на этапе первичной обработки инфор-
мации, согласно второму — на этапе вторичной обработки инфор-
286
мации. При первом подходе на основе наблюдения вект
процесса, компоненты которого представляют собой входные! jl
ные устройств первичной обработки сигналов, синтезируется ,
только система объединения отдельных устройств, но и сами уезч
ройства первичной обработки информации. Такой подход позво-
ляет извлекать максимальное количество информации из наблю-
даемого векторного процесса и синтезировать оптимальную
ксои.
При втором подходе компоненты наблюдаемого векторного
процесса представляют собой выходные данные устройств пер-
вичной обработки сигналов. При этом синтезируется комплексная
система вторичной обработки информации (КСВОИ). Так как эта
система синтезируется при ограничении на структуру устройств
первичной обработки (ибо последние заданы), то качество обра-
ботки может оказаться сниженным по сравнению с качеством
обработки оптимальной КСОИ, при синтезе которой указанные
ограничения не вводятся. Тем не менее комплексирование на эта*
пе вторичной обработки с практической точки зрения целесооб-
разно, так как при этом можно синтезировать оптимальную
КСВОИ с учетом тех устройств первичной обработки информации,
которые уже имеются в распоряжении разработчика аппаратуры.
В силу статистического характера возмущающих воздействий,
погрешностей измерений и ошибочных решений в РЛС и РНС
при оптимизации комплексирования устройств обработки инфор-
мации используют методы, основанные на теории статистических
решений. Эти методы излагаются далее применительно к комп-
лексированию измерителей [65] (§ 8.2) и обнаружителей [71]
(§ 8.3).
8.2. ОПТИМАЛЬНОЕ КОМПЛЕКСИРОВА-
НИЕ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ
Пусть имеется / измерителей. Будем считать, что t-й измери-
тель оценивает информативный параметр дц, /=1, ..., /, или неко-
торую функцию от него. Предположим, что эти параметры обра-
зуют /-мерный случайный процесс в*= Fн, ..., 6»), t^0\ такая мо-
дель охватывает, в частности, квазидетерминированные процессы
и является достаточно общей. Выходные данные измерителей, со-
держащие информативные параметры и погрешности измерений,
можно рассматривать как реализации некоторого /-мерного слу-
чайного процесса у*=(*/н, ..., Уи)-
Рассмотрим задачу определения оптимальной (в байесовском
смысле) оценки d*tx= (d*Ux,... 4*iti) векторного параметра 6Т в
некоторый момент времени т>0 по результатам наблюдения выход-
ных данных измерителей у* в течение отрезка времени [0, t].
287
Между моментом т и временем наблюдения t возможны различ-
ные соотношения: i<t, x=t, %>t. К этой задаче оценивания по
существу и сводится общая задача оптимального комплексиро-
вания / измерителей.
Отметим, что при решении общей задачи безразлично, как
комплексируются измерители: на этапе первичной обработки или
вторичной. В первом случае под у* следует понимать наблюдае-
мый векторный процесс на входах измерителей, во втором — на
выходах измерителей. Специфика в решении задач будет прояв-
ляться при задании конкретных моделей процесса у*. При комп-
лексировании на этапе первичной обработки процесс у* помимо
информативных параметров 9*,должен содержать случайные по-
мехи и шумы; на этапе вторичной обработки в качестве помех
выступают погрешности измерений. Эффективность комплексиро-
вания в значительной степени будет зависеть от того, насколько
адекватна заданная модель у* реальному наблюдаемому про-
цессу.
Обозначим через 8t = (би, ..., б/т) решающую вектор-функ-
цию, с помощью которой по реализациям у*о— {Vw, —, yiv, 0^
^v^/} наблюдаемого на отрезке [0, t] процесса у* выносится
решение diT=8x (у*о). т. е. ^*т=бгТ(у*о), i=l, ..., I, являющееся
оценкой параметра вт в момент времени т>0. Задав функцию по-
терь с (в, d), где end — /-мерные векторы, путем минимизации
апостериорного риска
min М {с [0Т, 6Т (у*)] | у$} =М {с [0Т, б; (у})] | у}}
бх
можно определить байесовское решение d*tT=^*T(y*0) — опти-
мальную оценку параметра 9t. Эта оценка и дает общие алгорит-
мы оптимального комплексирования измерителей. Причем в слу-
чае %=t фильтрационная оценка d*u определяет структуру опти-
мальной комплексной фильтрационной системы измерителей
(КФСИ), а при -z=^=t оценка d*fT определяет структуры оптималь-
ных комплексных интерполяционной (т</) и экстраполяционной
(т>0 систем измерителей. Качество работы оптимальной комп-
лексной системы описывается байесовским риском
При квадратичной функции потерь
c(9,d)= 2 (9,-dO2 (8.1)
оптимальные оценки определяются выражением
d;x = M(eT|y?), x*t, (8.2)
288
которое обобщает соотношение D.93) на случай оценивания век-
торного параметра. Если существуют апостериорные плотности
вероятностей параметров 0гт, ?=1, ..., /,
» (Oi,|yJ) = Ptx @i), т * *, * = 1,..., /, (8.3)
то в соответствии с B)
^х = ^т(Уо)= ] QiPtx(Qi)dQitx*t, i=l,...,/. (8.4)
—оо
Для функций потерь A) байесовский риск
представляет собой сумму средних квадратов ошибок оценивания
параметров Эгт- При этом среднеквадратические ошибки
Ош = Ум1Ьх-б1т№)]\ i*t, i=h-J, (8.5)
характеризуют наивысшие точности оценивания параметров, ко-
торые могут быть достигнуты при оптимальном комплексировании
измерителей. Сравнивая величины E) при %—t (т. е. <ущ) со
среднеквадратическими ошибками для первоначальных оценок*
Уи
ait=V M(Qit-yit)\ /=1,...,/, (8.6)
можно определить эффективность оптимальной КФСИ. Эффектив-
ность комплексирования можно повысить, если комплексную си-
стему строить на основе интерполяционной оценки d**T, %<t. Это
объясняется тем, что для среднеквадратических ошибок интер-
поляции oux> т</, и фильтрации О{ХХ справедливы неравенства
Gitx^Oixx, i<t, i=l, ..., /, являющиеся следствием тех же причин,
что и в одномерном варианте (см. § 4.3).
Остановимся на двух крайних случаях. Предположим вначале,
что измеряемые параметры 9гт, *=1, ..., /, статистически незави-
симы и, кроме того, искажающие их помехи, содержащиеся в реа-
лизациях уг{о={ую, O^v^/}, i=l, ..., /, также по i статистически
независимы. Тогда можно показать (с помощью формулы Байеса),
что для апостериорных плотностей вероятностей C) справедли-
вы равенства
* Имеется в виду комплексирование на этапе вторичной обработки, когда
наблюдаемая компонента ytt — выход i-ro измерителя, т. е. оценка парамет-
ра Qit.
289
Вследствие этого для оценок D) имеем
В результате оптимальная комплексная система распадается на t
не связанных между собой измерителей.
Рассмотрим другой случай, когда
Bit = Bti=\,...,i, (8.7)
т. е. когда все измерители оценивают один и тот же скалярный
параметр 9*. В силу избыточности измерений среднеквадратичес-
кая ошибка оц оценивания параметра 0* с помощью оптималь-
ной комплексной фильтрационной системы удовлетворяет соотно-
шению
°tt<Cjt= mm{oit}, ?>0, (8.8)
где первоначальные среднеквадратические ошибки измерителей
Gu определяются формулой F) с учетом G). Знак равенства в
(8) будет в том вырожденном случае, когда шумы измерения
для всех каналов системы тождественно одинаковы, а /-й изме-
ритель осуществляет оптимальную фильтрацию параметра 0*.
Модели наблюдений. Чтобы конкретизировать рассмотренные
общие алгоритмы оптимального комплексирования измерителей,
необходимо прежде всего определить модели выходных (или
входных) данных измерителей уи, —, Уи, информативных пара-
метров Ви, ..., Bit и погрешностей измерений, играющих роль слу-
чайных помех.
Рассмотрим достаточно общее представление
Уц = *1 Фн> Л», t) + lH, i = l,..., /, (8.9)
где ци, 1и — помехи, искажающие информативный параметр Вц.
Функции <Pi(i=lt ..., /), определяемые характером воздействия по-
мехи г\и на параметр Git (которое может быть аддитивным и не-
аддитивным), считаются известными. Аддитивная помеха |« имеет
статистические характеристики, вообще говоря, отличные от ха-
рактеристик помехи к)ц. Если помеха ци аддитивна, то функции
Ф{ могут иметь, например, вид
Ф* @«, Чп, *) = st (Bit, f) + 4tt,i*=l, -, /,
где $i(t=l, ..., /) — детерминированные функции. В том частном
случае, когда Si(Bu, t)=Qit, r]lf=0, i—\, ..., /, получаем наиболее
простую модель Уи=$и+Ъи i == 1, ..., /, которая часто использует-
ся на практике. Представляет интерес и модель вида
290
(s — детерминированная функция), также являющаяся частным
случаем модели (9). Представление A0) потребуется тогда* ког-
да Qt — одномерный параметр, причем одна группа измерителей
фильтрует сигнал s(9*, t), а другая оценивает его параметр.
В зависимости от типов измерителей (аналоговые, цифровые)
их выходные данные поступают непрерывно или дискретно, при-
нимают непрерывное или дискретное множество значений. В свя-
зи с этим в качестве моделей информативных параметров и помех
целесообразно использовать марковские случайные процессы, ко-
торые достаточно хорошо описывают широкий класс реальных
процессов (позволяя, в частности, охватить указанные случаи) и,
кроме того, удобны для математических исследований. При этом
для получения оценок d*iT, определяющих синтез оптимальных
комплексных фильтрационных, интерполяционных и экстраполя-
ционных систем измерителей, можно воспользоваться методами
теории оценивания марковских процессов [48, 53], элементы ко-
торой применительно к скалярному процессу были изложены в
§ 4.3.
Уравнения, определякнцнг синтез и анализ КФСИ. Рассмот-
рим случай, когда компоненты наблюдаемого процесса протекают
непрерывно во времени и определяются формулой (9) при t^O.
При этом положим, что информативные параметры 0н, ..., 6« и
помехи ци, •••, г)и (последние для упрощения записи обозначим
т)г-г==:6ш,и i=l, ¦•-, 0 образуют 2/-мерный непрерывный марков-
ский процесс @if, ..., 02zf), t^O, характеризуемый коэффициента-
ми переноса аг@, t) и диффузии bij(&, t), i, /=1, ..., 21; в —
2/-мерный вектор. Аддитивные помехи %it будем считать белыми
гауссовскими, для которых
_ . , . (о-11)
0 , ьф].
Достаточной статистикой в рассматриваемой задаче фильтра-
ции является апостериорное распределение вероятностей фильт-
руемого процесса. Используя [53], найдем уравнение для апо-
й плотности вероятностей:
которое в симметризованной форме записи представим анало-
гично D.109):
Ме) = [3-г(л(е)Iл(в), <8Л2>
где
291
2 ~ &г (в|, еж, 0 \уч~ 0t @ь вж, t)] ;
=. 2 7Г J - J
оо —оо
Оптимальные оценки с?*ш информативных параметров 9», /=
= 1, ..., I, а также помех 8tt, i = l-\-\, ..., 2/, при квадратичной функ-
ции потерь имеют вид
<*ш= SbPtWd*, i=l,-,2/. (8.13)
в
Алгоритм формирования этих оценок дает структуру оптимальной
КФСИ.
Воспользуемся одним из возможных методо° конкретизации уравнения
A2) — методом гауссовского приближения, c^i сасно которому апостериорная
плотность вероятностей аппроксимируется многомерным гауссовским законом
г i 2/ ^
Pt (в) = Bn)-' det-1/2 \\KtjtW exp j - — 2 hm (в, - mit) (в; - тЛ) ,
(8.14)
где ||/ггз<||==||/(гзг||->.
Подставив A4) в A2), найдем уравнения многомерной нелинейной фильт-
рации в гауссовском приближении:
2 ТГ- <*ш - *ш) 2 ^р« ^ ; (8.15)
2'
2ТГ-^*~Ф^) 2 KnnKvu-jr
- S ^ X ^ ^"авГ'лГ' (8Л6)
где
/f = btj (в, 0 |e=n,t; Фп< = Фп (mnf, m/+n> f, 0;
ае„ аер
292
, t
Апостерионые средние та, получаемые из уравнений A5), A6), при вы-
полнении условия большой апостериорной точности приближенно равны опти-
мальным оценкам A3) фильтруемых процессов: m««d*m, i=l, ..., 21.
Уравнения A5), A6) определяют структуру нелинейной КФСИ, являющей-
ся, вообще говоря, квазиоптимальной. В частном случае, когда функции Ф*
в (9) — линейные функции марковских гауссовских процессов 9tt, v\it, i—
= 1, ..., /, уравнения A5), A6) дают точное решение задачи и описывают оп-
тимальную КФСИ, строющуюся на основе многомерного линейного фильтра
(фильтра Калмана).
Качество работы синтезированной комплексной системы измерителей ха-
рактеризуется апостериорными дисперсиями Кии которые в гауссовском при-
ближении определяются уравнениями A6), A5). При этом среднеквадратичес-
кие ошибки фильтрации информативных параметров
, t=l,...,/. (8.17)
В том случае, когда комплексная система строится на основе фильтра Калма-
на, апостериорные дисперсии Кш являются неслучайными, при этом
= 1, ...,/. (8.18)
Комплексная система измерителей существенно упрощается,
если не учитывать помеховые составляющие г\ц, i=l, ..., /, а ин-
формативный параметр 0* считать скалярным, положив в (9)
ф|(в«, WHMe*, t), ;=i,.,.,z. (8.19)
В этом частном случае из A5), A6) следует
t V. — (yit-sit) ^- ,
/й Not 9Q '
?-+ (8.20)
do
где
at = a @, 0le=mf; bt = b @,
dQ
_ dst(Q,t)
da(Q,t)
ae ae
Примеры. Рассмотрим два простых примера применительно к
случаю A9).
1. Положим Si(Qt, t)=Bt, i=l, -. U т. е. рассмотрим модель
#«=е# + |« t=l, ..-, /• Предположим, что параметр Bt описывается
уравнением D.122), т. е. коэффициенты переноса и диффузии оп-
29$
Ун
К,
>
Г и Фильтр Калпана
1 Kt
Ун
Kl
>
+
t>
Г*"
+
ih
»>
°t
Г
•*
Hi
Ун
к,
X
14 J
Рис. 8.2. Структурные схемы оптимальной (а) и квазиопти-
мальной (б) комплексных систем измерителей
ределяются D.124). Конкретизируя уравнения B0) для рассмат-
риваемого случая, получаем
? ТГ- . (8-21)
(8.22
i
В соответствии с B1) на рис. 8.2,а представлена структурная схе-
ма оптимальной КФСИ, где Иь ..., Иг — комплексируемые изме-
рители; /Ci=2/Mh-; ct= ~- Y + 2/C*
—
Noi J
коэффициенты
усиления усилителей. Как видим, выходные сигналы измерителей
Ни суммируются с весами 2/Л/ог, после чего пропускаются через
одномерный нестационарный фильтр Калмана. На выходе фильт-
ра имеем оптимальную фильтрационную оценку mt—d*tt пара-
метра 8*. В стационарном режиме апостериорная дисперсия Kt,
описываемая уравнением B2), обращается в постоянную
(8.23)
294
где g2i=x/4y — дисперсия параметра 6*. При этом коэффициент
ты усиления усилителей в фильтре Калмана (см. рис. 8.2,а) так-
же будут постоянными и его техническая реализация существенно-
упрощается.
Точность оценивания параметра 0* оптимальной комплексной
фильтрационной системой определяется среднеквадратической
ошибкой: Gt=YKt- В стационарном режиме она равна постоян-
ному значению а= "[/Д, где К находится по формуле B3). Если
шумы (ошибки) комплексируемых измерителей имеют одинако-
вые спектральные плотности NOi = No, i—il, ..., /, то
(8.24>
Сравнивая этот результат со среднеквадратической ошибкой
фильтрации параметра 0* без учета комплексирования (см.
D.131)), видим, что полезный эффект комплексирования / изме-
рителей в рассматриваемом случае сводится к уменьшению спек-
тральной плотности результирующего шума комплексной систе-
мы в / раз по сравнению со спектральной плотностью No/2 шума
одного измерителя. Это приводит к соответствующему уменьше-
нию среднеквадратической ошибки фильтрации искомого пара-
метра B4).
2. Рассмотрим задачу комплексирования двух измерителей, предполагая,,
что один из них выделяет фазомодулированный сигнал A sin((o/+9i), а дру-
гой — процесс, пропорциональный фазе 9* этого сигнала:
Sj (9$, t) = A sin (со t -f- 9$), s2 (9^, t) = В 9f.
Предположим также, что параметры A, at и В известны, а параметр 9* явля-
ется гауссовским процессом с независимыми приращениями, т. е. выполняются
соотношения D.139). Конкретизируя уравнения B0) и пренебрегая колеба-
тельными членами с частотой 2<о, получаем
щ = BKt/N01) ylt A cos (со t + mt) -f BKt B/NM) (yit — Bmt), (8.25>
Kt = — BKj/tfoi) ylt A sin (о t + mt) — B K* B*/N02) + (x/2). (8.26>
Уравнения B5), B6) описывают КФСИ, включающую в себя следящее устрой-
ство типа ФАПЧ с переменным коэффициентом усиления 2KtlN0x в цепи об-
ратной связи. Согласно B5) в кольцо слежения вводится выходной сигнал
второго измерителя y2t, скомпенсированный величиной Bmt, где mt — оценка
фазы 9f.
Для упрощения системы в стационарном режиме целесообразно пренеб-
речь флуктуациями коэффициента усиления 2K.t/N<n, заменив процесс Kt era
средним значением, определяемым из B6):
№t« У я/2 l(A2/N01) + BB*/NM)). (8.27>
29$
В результате получаем квазиоптимальную КФСИ (рис. 8.2,6, где ПГ — пере-
страиваемый генератор; РЭ — реактивный элемент; Ki—2M.KtlN0u /C2=2BM/Ct/
N02), содержащую, в частности, типовую схему ФАПЧ. Качество работы комп-
лексной системы определяется значением среднеквадратической ошибки оцени-
вания фазы, которая, как следует из A7) и B7), в стационарном режиме 0»
8.3. ОПТИМАЛЬНОЕ ДОМ'ПЛЕКСИРОВА-
НИЕ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ
Как было показано, информационная избыточность позволяет
с помощью комплексирования измерителей повысить точность из-
мерений. Очевидно, комплексирование других устройств обработ-
ки сигналов, в частности обнаружителей, также будет приводить
к улучшению показателей их работы. Далее убедимся в этом на
конкретном примере. Но вначале остановимся на общей задаче
оптимального комплексирования обнаружителей.
Пусть имеется / обнаружителей; рассмотрим задачу их опти-
мального комплексирования при первичной и при вторичной об-
работке информации.
При комплексировании обнаружителей на этапе первичной об-
работки необходимо задать наблюдаемый процесс уи на входе
каждого из них (i=l, ..., /). В общем случае
ytt = *stt + i\tt + ht'' 0 = 0,1; 0</<Г; i=\,...,l, (8.28)
где su, Ци, 1и — полезный сигнал, внешняя помеха и собственный
шум 1-го обнаружителя соответственно. Входные сигналы могут
«быть одинаковыми: Sit = st, i=l, .... /, и разными. Даже если сиг-
налы поступают от одного источника, то на входе обнаружителей
они могут иметь разные параметры, в частности время запазды-
вания, как это имеет место в МПРЛС. Более того, некоторые сиг-
налы могут отсутствовать: Sjt=O, O^tf^T1, т. е. некоторые кана-
лы будут «помеховыми». Такие каналы могут специально созда-
ваться для компенсации помех (см. рис. 2.22,а).
Если распределения вероятностей сигналов, помех и шумов,
входящих в B8), известны, то тогда задача обнаружения сводит-
ся к проверке простой гипотезы @=1) при простой альтернативе
(д=0) и ее оптимальное решение дается критерием отношения
правдоподобия (см. B.25), записанным применительно к наблю-
дению векторного процесса (см. B.126)). Для детерминирован-
«ых и квазидетерминированных сигналов и гауссовских помех
•формулы для логарифма отношения правдоподобия были рассмот-
рены в § 2.9. В общем случае, когда сигналы s« и помехи г\ц
стохастические с любыми (но известными) распределениями ве-
роятностей, а шумы 1и — белые гауссовские с параметрами A1),
296
формула для логарифма отношения правдоподобия
E.35) и имеет вид [59]
I j Г Т .
== 2 TS (
11 Noi
2 T
1 (8.28)
о
Первый интеграл в этой формуле — стохастический интеграл
Ито, а
tlyS, О], 0 = 0,1,
— апостериорные математические ожидания, являющиеся байе-
совскими оценками сигналов и помех соответственно.
Приведенные соотношения дают решение общей задачи синте-
за оптимальной комплексной системы обнаружителей (КСО) на
этапе первичной обработки информации. Анализ оптимальной
КСО сводится к расчету вероятностей правильного обнаружения
D и ложной тревоги F и проводится методами, изложенными в
гл. 2, а также в [53].
Синтезированная таким образом оптимальная КСО может ока-
заться сложной, особенно тогда, когда комплексируются обнару-
жители МПРЛС. При этом для реализации КСО требуются ши-
рокополосные линии связи с высокой пропускной способностью.
Гораздо проще реализуется система, полученная в результате
комплексирования обнаружителей на этапе вторичной обработки.
В этом случае каждый из обнаружителей решает задачу обнару-
жения объекта (сигнала) независимо друг от друга, а комплекси-
рование осуществляется путем совместной обработки выходных
данных обнаружителей, т. е. результатов их решений о наличии
или об отсутствии объекта. Оптимизация комплексирования на
этапе вторичной обработки по-йрежнему основана на критерии
отношения правдоподобия, с той только разницей, что наблюде-
ния представляют собой не радиосигналы (как при первичной
обработке), а решения обнаружителей.
Итак, пусть t-й обнаружитель (i=l, ..., /), реализующий не-
которую решающую функцию б<(-)» в результате наблюдения на
отрезке [О, Т] процесса у и принимает решение 6г(г/т*о) = 1 о на-
личии сигнала и решение 6г(#тго)=О об его отсутствии с вероят-
ностями правильного обнаружения D{ и ложной тревоги /ч- На
выходах обнаружителей имеем случайный вектор бь —, б/, ком-
поненты которого принимают значения 0 или 1 с вероятностями
O)-l-.F,f (g29)
1)=1-А.
297
Ун
ОРнаружи-
1
Обнаружи-
тель I
X
X
I
V
Рис. 8.З. Структурная схема
комплексной системы обнару-
жителей, оптимизированной на
этапе вторичной обработки
Согласно критерию отношения правдоподобия по наблюдениям
6Ь •••, бг выносится решение d\ о наличии сигнала или do об его
отсутствии в соответствии с правилом
Конкретизируя отношение правдоподобия Лг с учетом B9) и ста-
тистической независимости 6* по i (аналогично (§ 2.10, 7.3)),
получаем
I Г П(\ —FA I d»
ij fi.l п Vt{l tl) 2* h. (8.30)
(Z\ I Fi(i-Di) J do
Этот алгоритм дает решение задачи оптимального комплексиро-
вания обнаружителей на этапе вторичной обработки. Сог-
ласно C0) решения бг = 1, выносимые обнаружителями, сумми-
руются с весами \х$= lni[DiA—Fi)JFi(\—D*)] (рис. 8.3). Если ве-
роятности правильного обнаружения и ложной тревоги обнару-
жителей одинаковы, т. е. Di=D, Fi=F, i=\, ..., /, то весовые коэф-
фициенты становятся одинаковыми: \ii=\i и их можно опустить
без потери оптимальности. Порог h выбирается по вероятности
ложной тревоги FKCO, заданной для КСО (критерий Неймана —
Пирсона). Характеристики обнаружения КСО (Z)Kco и Fkco) рас-
считываются так же, как и характеристики рассмотренного ра-
нее цифрового обнаружителя (§ 2.10):
/ *
/?Js=rt /7JSB/I
Пример. Расмотрим простейший случай, когда каждая ком-
понента процесса B8) при -6'= 1 содержит один и тот же детер-
минированный сигнал Sit=s(t), а внешние помехи r^t отсутствуют.
При этом, как следует из B8а), оптимальная КСО (рис. 8.4)
формирует достаточную статистику
2— \Ч С 1, с (+\ At /fl QQ\
— 2л 7Г J "a s w "* (o.oZ)
298
Рис. 8.4. Структурная схема
комплексной системы обнару-
жителей детерминированного
сигнала, оптимизированной на
этапе первичной обработки
Ун
СФ
СФ
X
X
-|
I ±
* ПУ
и сравнивает ее с порогом. Выходные данные согласованных
фильтров в момент окончания наблюдения t = T умножаются на
весовые коэффициенты 1/Л^ог и затем суммируются. С большим ве-
сом учитываются напряжения тех каналов, в которых спектраль-
ная плотность шумов меньше.
Статистика C2) имеет гауссовское распределение при Ф=0, 1,
причем
M(|O 0) 0 M(|*l) ? 2
где ? = / s2{t)dt — энергия сигнала. Дисперсия статистики z на-
о
ходится аналогично B.52) с учетом A1), при этом
D(z|d = 0) = D (z|#= 1)= у. .
2 ^ NQi
Характеристики обнаружения оптимальной КСО определяются
i |
формулами B.56), в которых параметр qc$=2E 5/-rr-*' имеет
смысл отношения сигнал-шум на выходе линейной !чШ*и КСО
(т. е. на выходе сумматора в схеме на рис. 8.4).. При Afei—A'o,
1 /
Как видим, в результате комплексирования отношение, сигнал-шум
возросло по сравнению с отношением сигнал-шум на выходе сог-
ласованного фильтра (см. B.53)) в / раз. Иными словами, 'полез-
ный эффект комплексирования / обнаружителей в данном случае,
как и в рассмотренном примере комплексирования, измерителей,
сводится к уменьшению спектральной плотности результирующе-
го шума КСО по сравнению со спектральной плотностыд шума
одного обнаружителя в / раз.
Структурная схема КСО детерминированного сигнала, опти-
мизированная на этапе вторичной обработки,- получается конкре-
299
тизацией общей схемы на рис. 8.3: каждый из / обнаружителей
представляет собой согласованный фильтр (коррелятор) и поро-
говое устройство (см. рис. 2.5). Эта система, конечно, проигры-
вает в отношении сигнал-шум оптимальной КСО, показанной на
рис. 8.4 (расчет проводится с помощью формул B.56), C3) и
C1)). Например, при F=\0~\ D=0,9 и 1=2 проигрыш составляет
1,6 дБ; с ростом / проигрыш увеличивается.
Аналогично с помощью изложенной методики и результатов
гл. 2 можно решить задачи оптимального комплексирования об-
наружителей и для других моделей сигналов и помех. При этом
наиболее просто решается задача комплексирования на этапе вто-
ричной обработки, так как общая схема (рис. 8.3) остается одной
и той же для любых моделей сигналов и помех, если только реше-
ния, которые выносят комплексируемые обнаружители, статисти-
чески независимы друг от друга.
Применяя методы, изложенные в § 2.11, к задаче комплекси-
рования, можно синтезировать комплексные системы обнаружи-
телей и измерителей [65] в условиях априорной неопределеннос-
ти относительно статистических свойств сигналов и помех.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Теоретические основы радиолокации/Я. Д. Ширман, В. Н. Голиков, И.Н.Бу-
сыгин и др.; Под ред. Я. Д. Ширмана. — М.: Сов. радио, 1970.— 560 с.
2. Радиолокационные устройства (теория и принципы построения)/В. В. Васин,
О. В. Власов, В. В. Григорин-Рябов и др.; Под ред. В. В. Григорина-Рябо-
ва. — М.: Сов. радио, 1970 —680 с.
3. Дымова А. А., Альбац М. Е., Бонч-Бруевич А. М. Радиотехнические сис-
темы/Под ред. А. И. Дымовой. — М: Сов. радио, 1975.—439 с.
4. Белавин О. В. Основы радионавигации. — М.: Сов. радио, 1977. — 320 с.
5. Теоретические основы радиолокации/А. А. Коростелев, Н. Ф. Клюев,
Ю. А. Мельник и др.; Под ред. В. Е. Дулевича. — М.: Сов. радио, 1978.—
608 с.
6. Радионавигационные системы летательных аппаратов/П. С. Давыдов,
В. В. Криницын, И. Н. Хресин и др.; Под ред. П. С. Давыдова. — М.:
Транспорт, ,1980.-448 с.
7. Беляевский Л. С, Новиков В. С, Олянюк П. В. Основы радионавигации.—
М.- Транспорт, 1982.— 288 с.
8. Финкельштейн М. И. Основы радиолокации. — М.: Радио и связь, 1983.—
536 с.
9. Проектирование радиолокационных приемных устройств/А. П. Голубков,
А. Д. Далматов, А. П. Лукошкин и др.; Под ред. М. А. Соколова. — М.:
Высшая школа, 1984. — 336 с.
10. Лезин Ю. С Введение в теорию и технику радиотехнических систем. —
М.: Радио и связь, 1986. —280 с.
П. Виницкий А. С. Автономные радиосистемы. — М.: Радио и связь, 1986.—
336 с.
12. Коростелев А. А. Пространственно-временная теория радиосистем. — М.: Ра-
дио и связь, 1987. — 320 с.
13. Сосулин Ю. Г. Оптимальное обнаружение радиоммалов.— М.: МАИ,
1978, —59 в.
$00
14. Сосулин Ю. Г. Оптимальное оценивание параметров радиосигналов. — М •
МАИ, 1981. —70 с.
15. Сосулин Ю. Г. Совместное обнаружение и оценивание радиосигналов. — М*
МАИ, 1980. —34 с.
16. Сосулин Ю. Г. Разрешение и распознавание радиосигналов. — М.: МАИ
1981.—42 с.
17. Сосулин Ю. Г. Обнаружение и оценивание параметров траекторий объек-
тов. — М.: МАИ, 1982. — 28 с.
18. Скольник Р. Оправочник по радиолокации: Пер. с англ. В 4 т./Под общей
ред. К. Н. Трофимова. — М.: Сов. радио, 1976. — 1979.— Т. 1: Основы ра-
диолокации/Под ред. Я. С Ицхоки. — 455 с.
19. Васин В. В., Степанов Б. <М. Справочник-задачник по радиолокации.—М.:
Сов. радио. 1977. — 319 с.
20. Сосновский А. А., Хаймович И. А. Авиационная радионавигация: Справоч-
ник.—М.: Транспорт, 1980. —256 с.
21. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Радио и связь,
1986. —512 с.
22. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982.—
624 с.
23. Вопросы статистической теории радиолокации: В 2 т./П. А. Бакут,
И. А. Большаков, Б. М. Герасимов и др.; Под ред. Г. П. Тартаковского.—
М.: Сов. радио, 1963. —Т. 1. — 424 с.
24. Космические траекторные измерения/П. А. Агаджанов, Н. М. Барабанов,
Н. И. Буренин и др.; Под ред. П. А. Агаджанова, В. Е. Дулевича, В. Е. Ко-
ростелева. — М.: Сов. радио, 1969. — 504 с.
25. Слока В. К. Вопросы обработки радиолокационных сигналов. — М.: Сов.
радио, 1970. — 256 с.
26. Защита от радиопомех/М. 3. Максимов, М. П. Бобнев, Б. X. Кривицкий
и др.; Под ред. М. В. Максимова.—М.: Сов. радио, 1976.— 496 с.
27. Экстремальная радионавигация/В. И. Алексеев, А. М. Кориков, Р. И. По-
лонников и др.; Под ред. Р. И. Полонникова и В. П. Тарасенко. — Наука,
1978. — 280 с.
28. Кинкулькин И. Е., Рубцов В. Д., Фабрик М. А. Фазовый метод определе-
ния координат/Под ред. И. Е. Кинкулькина. — М.: Сов. радио, 1979.—
280 с.
29. Ширман Я. Д., Манжос В. И. Теория и техника обработки радиолокаци-
онной информации на фоне помех. — М.: Радио и связь, 198'1. — 416 с.
30. Баклицкий В. К., Юрьев А. Н. Корреляционно-экстремальные методы на-
вигации.— М.: Радио и связь, 1982. — 256 с. ^
31. Гришин Ю. П., Казаринов Ю. М., Катиков В. М. Микропроцессоры в ра-
диотехнических системах/Под ред. Ю. М. Казаринова. — М.: Радио и
связь, 1982.— 280 с.
32. Обработка сигналов в многоканальных РЛС/А. П. Лукошкин, С. С. Карин-
ский, А. А. Шаталов и др.; Под ред. А. П. Лукошкина. — М.: Радио и
связь, 1983. — 328 с.
33. Журавлев А. К.. Лукошкин А. П., Поддубный С. С. Обработка сигналов в
адаптивных решетках. — Л.: ЛГУ, 1983. — 239 с.
34 Пространственно-временная обработка сигналов/И. Я. Кремер, А. И. Кре-
мер, В. М. Петров и др.; Под ред. И. Я. Кремера. —М.: Радио и связь,
1984.— 224 с. и Гпйтаям
35. Основы загоризонтной радиолокации/В. А. Алебастров, * и- 1ОИ*1"*»'
И. М. Заморин и др.; Под ред. А. А. Колосов*. — &•'¦ надио и связь'
36. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации.— М.: Радио и
•вязь, 1985. — 344 с
311
37. Кузьмин С. 3. Основы проектирования систем цифровой обработки радио-
локационной информации. — М.: Радио и связь, 1986.—352 с.
38. Бакулев П. А., Степин В. М. Методы и устройства селекции движущихся
целей. — М.: Радио и связь, 1986. — 288 с.
39. Монзинго Р. А., Миллер Т. У. Адаптивные антенные решетки: введение в
теорию: Пер. с англ./Под ред. В. А. Лексаченко. — М.: Радио и связь,
1986. —448 с.
40. Кондратьев В. М., Котов А. Ф., Марков Л. Н. Многопозиционные радио*
технические системы/Под ред. В. В. Цветнова.— М.: Радио и связь, 1986.—-
264 с.
41. Черняк В. С, Заславский А. П., Осипов Л. В. Многопозиционные радио-
локационные станции и системы//3арубежная радиоэлектроника.— 1987.—
№ 1. —С. 9—69.
42. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. — М.:
Наука, 1978. —544 с.
43. Вальд А. Статистические решающие функции/Позиционные игры: Пер. с
англ./Под ред. Н. Н. Воробьева. —М.: Наука, 1967.— С. 300—522.
44. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. — М.: Сов. радио, 1970. — 375 с.
45. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.:
Сов. радио, 1971. —416 с.
46. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуацион-
ных помехах. — М.: Сов. радио, 1972.—448 с.
47. Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. — М.: Сов. радио, 1973.—
144 с.
48. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный
прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975. — 704 с.
49. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управ-
лении: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина.—М.: Связь, 1976. — 496 с.
50. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Ра-
дио и связь, 1989. — 656 с.
51. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции: В 3 т.: Пер. с
англ./Под ред. В. Т. Горяинова. — М.: Сов. радио, 1977. — Т. 3. — 664 с.
52. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной
неопределенности и адаптация информационных систем. —М.: Сов. радио»
1977. —432 с.
53. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигна-
лов. — М.: Сов. радио, 1978. — 320 с.
54. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. — М.: Радио и связь, 1983.—
320 с.
55. Теория обнаружения сигналов/П. С. Акимов, П. А. Бакут, В. А. Богданович
и др.: Под ред. П. А. Бакута. — М.: Радио и связь, !1984. — 440 с.
56. Сосулин Ю. Г., Фишман М. М. Теория последовательных решений и ее при-
менения.— М.: Радио и связь, 1985. — 272 с.
57. Сосулин Ю. Г., Гаврилов К. Ю. Синтез и анализ оптимальной последова-
тельной процедуры совместного поиска и обнаружения сигнала//Радиотехни-
ка и электроника.— 1987.— Т. 32, № 11. — С. 2319—2332.
58. Сосулин Ю. Г., Фишман М. М. Оптимальное обнаружение сигналов со слу-
чайным моментом появления//Изв. АН СССР. Сер. Техн, кибернетика. —
1977. — № 3. — С. 149—155.
59. Сосулин Ю. Г., Паршин Ю. Н. Оценочно-корреляционно-компенсационные
алгоритмы обнаружения многомерных сигналов//Радиотехника и электрони-
ка. — 1981. — Т. 26, № 8. — С. 1635—1643.
60. Краснекер BL M. Стабильные методы обнаружения сигналов на фоне помех
(обзор)//Автоматика и телемеханика.— 1980. — № 5. — С. 65—88.
61. Басистое Ю. А., Тугуши В. Г. Регуляризованные алгоритмы обнаружения
302
радиолокационных сигналов//Изв. вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника.—
1987. — Т. 30, № 4. — С. 8—16.
€2. Сосулин Ю. Г., Саликов С. Л. Робастное обнаружение когерентных и неко-
герентных сигналов//Радиотехника и электроника. — 1988. — Т. 33, № 3. — С.
499-^512.
<53. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и ма-
тематическая статистика. — Киев: Вища школа, 1979. — 480 с.
€4. Сосулин Ю. Г. Методы оптимальной обработки сигналов на фоне комплекса
помех//Радиотехника и электроника. — 1982.— Т. 27, № 6.— С. 1171—1181.
€5. Сосулин Ю. Г. Оптимальное комплексирование измерителей//Эффективность
применения цифровых устройств в радиолокации.—М.: МАИ, 1982. — С.
4—17.
66. Иванов Ю. П., Синяков А. Н., Филатов И. В. Комплексирование информа-
ционно-измерительных устройств летательных аппаратов/Под ред. В. А. Бод-
нера. — Л.: Машиностроение, 1984. — 207 с.
€7. Лихарев В. А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. — М.: Сов.
радио, 1973. —456 с.
¦68. Трифонов А. П., Шинаков Ю. С. Совместное различение сигналов и оценка
их параметров на фоне помех. — М.: Радио и связь, 1986. — 264 с.
€9. Сосулин Ю. Г., Шилин В. И. Многоканальное обнаружение сигналов на фо-
не коррелированных помех и белых шумов//Изв. вузов СССР. Сер. Радио-
электроника. — 1989.— Т. 32, № 4.—С. 15—<21.
70. Сосулин Ю. Г., Саликов С. Л. Адаптивно-робастное обнаружение сигналов//
Радиотехника и электроника. — 1990. — Т. 35, № 2. —С. 363—371.
71. Сосулин Ю. Г. Оптимальное комплексирование обнаружителей/Прием и об-
работка сигналов в многоканальных и комплексированных системах. — М.:
МАИ, 1992.— С. 5—12.
72. Радиотехнические системы/Ю. П. Гришин, В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов
и др.; Под ред. Ю. М. Казаринова. — М.: Высшая школа, 1990. — 496 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. общие сведения о радиолокации и радионавигации 5
1.1. Основные определения 5
1.2. Физические основы радиообнаружения и определения местоположе-
ния объектов. Диапазоны используемых радиоволн 8
1.3. Методы определения местоположения объектов И
1.4. Основные тактико-технические характеристики РЛС и РНС . . 16
Глава 2. обнаружение сигналов 25
2.1. Обнаружение сигналов как статистическая задача. Статистические
решения 25
2.2. Решающие правила оптимального обнаружения 30
2.3. Показатели качества обнаружения 37
2.4. Обнаружение детерминированного сигнала на фоне белого шума . 40
2.5. Обнаружение квазидетерминированных сигналов на фоне белого шума 48
2.6. Помехи и методы защиты от них J0
2.7. Обнаружение сигналов на фоне коррелированных помех .... 79
2.8. Обнаружение сигналов на фоне негауссовских помех .... 85
2.9. Обнаружение векторных сигналов ?•
2.10. Цифровая обработка сигналов JYo
2.11. Методы оптимизации в условиях априорной неопределенности . lli
ЭОЗ
Глава 3. методы измерения координат и скорости движения
ОБЪЕКТОВ , 122
3.1. Методы измерения дальности и разности дальностей . . . . 122
3.2. Методы измерения угловых координат 132
3.3. Методы измерения скорости 137
Глава 4. оценивание параметров сигналов 139
4.1. Общие вопросы оценивания параметров 139
4.2. Оценивание параметров сигнала на фоне белого шума . . . . 154
4.3. Оценивание параметров стохастических сигналов 176
Глава 5. совместное обнаружение и оценивание сигналов . 191
5.1. Обнаружение и оценивание параметров квазидетерминированных сиг-
налов 191
5.2. Оценочно-корреляционно-компенсационное обнаружение стохастичес-
ких сигналов 201
5.3. Байесовское совместное обнаружение и оценивание сигналов . . 212
Глава 6. разрешение и распознавание сигналов 216
6.1. Общие сведения о разрешении и распознавании объектов и сигналов 216
6.2. Статистическая оптимизация разрешения и распознавания сигналов 219
6.3. Связь разрешающей способности с функцией рассогласования . 231
6.4. Обработка сложных сигналов 238
6.5. Разрешение объектов по угловым координатам 249
Глава 7. вторичная обработка информации 252
7.1. Основные задачи вторичной обработки 252
7.2. Точность определения местоположения 254
7.3. Обнаружение траекторий 263
7.4. Оценивание параметров траекторий 268
Глава 8. комплексирование устройств обработки информации 285
8.1. Принципы комплексирования 285
8.2. Оптимальное комплексирование измерителей 287
8.3. Оптимальное комплексирование обнаружителей 296
Список литературы 300
Учебное издание
Сосулин Юрий Георгиевич
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОЛОКАЦИИ И РАДИОНАВИГАЦИИ
Учебное пособие
Заведующий редакцией В. Н. Вяльцев. Редактор Э. М. Горелик. Переплет
художника В. Я. В и г а н т а. Художественный редактор Н. С. Ш е и н. Технический
редактор Т. Г. Родина. Корректор Н. В. Козлова
ИБ № 1925
Сдано в набор. 1.10.91 Подписано в печать 27.01.92
Формат 60X84l/ie Бумага типографская № 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 17,67 Усл. кр.-отт. 17,67
Уч. изд.-л. 18,65 Тираж 6000 экз. Изд. № 22567
Зак. № 100 С-096
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь> 101000 Москва, ул. Мясницкая, д. 40