Топология транзитивных групп преобразований - Онищик А.Л.

Автор: Онищик А.Л.
Теги: алгебра топология физико-математическая литература геодезия геодезические науки
ISBN: 5-02-014724-9
Год: 1995
Похожие
Алгебра. Топология. 1962
Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений
Топология
Основы дифференциальной геометрии. Том 2
Текст
                    А.Л. Онищик
топология
ТРАНЗИТИВНЫХ
ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Ш
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
1995

ББК 22.14 Издание осуществлено при финансовой под-
0-58 держке Российского фонда фундаментальных
УДК 512.54 исследований согласно проекту 94-01-01578
О н и щ и к А.Л. Топология транзитивных групп преобразований.-
М.: Физматлнт. I995.-.-384 c. '
ISBN 5-02-014724-9
Рассматриваются задачи топологической классификации транзитив-
ных действий компактных групп Ли; в частности, подробно излагаются ре-
зультаты Монтгомери, Самельсона и Бореля о транзитивных действиях на
сферах. Изучение включений между транзитивными действиями, рав-
носильное изучению факторизаций компактных групп Ли, применяется к
нахождению полных групп автоморфизмов флаговых комплексных однород—
ных пространств и групп изометрий компактных римановых однородных
пространств. В качестве основною аппарата используется теория Bemecrneu-.
ных когомолопяй и минимальных моделей (в смысле Сулливана) групп Ли и
однородных пространств, систематически излагаемая в книге.
Для математиков-алгебраистов, топологов и геометров. может быть
использована аспирантами и студентами старших курсов университетов.
Табл. 12. Библиогр. 166 назв.
1602040000-002 ‘ ©
c 053(02)_95 25.92 . AJI. Опциях, 1995
ISBN 5-02—014724-9

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................................................... ..
Список основных обозначений ..................................................... ..
Глава 1. Группы Ли и однородные пространства .................... ..
§1.
§2.
§3.
§4.
Грушты Ли и их действия на многообразиях ................ ..
1. Основные соглашения о многообразиях (14). 2. Группы
Ли и их гомоморфизмы (18). 3. Действия групп Ли (20).
4. Подгруппы Ли и многообразия смежных классов (24).
5. Строение орбиты (28). 6. Обобщенные морфизмы дейст-
вий (29). 7. Накрытия действий (31).
Инфинитезимальное изучение групп Ли и их действий ....... ..
1. Потоки и однопараметрические подгруппы (34). 2. Каса-
тельная алгебра группы Ли (36). 3. Подгруппы Ли и подал- .
гебры Ли (39). 4. Инфинитезимальное изучение действий
(42). 5. Группы Ли преобразований (45). 6. Компактные
группы Ли и алгебры Ли (46). 7. Комплексификация (50).
8. Примеры компактных и редуктивных комплексных
групп Ли .(51).
Компактные грушты Ли, их подгруппы и гомоморфизмы
1. Максимальные торы (58). 2. Характеры, веса и корни
(61). 3. Камеры Вейля, простые корни, группа Вейля
(63). 4. Схемы Дынкина и классификация компактных
алгебр Ли (65). 5. Классификатшя связных компактных
групп Ли (67). 6. Автоморфизмы (69). 7. Линейные пред-
ставления (70). 8. Характеры и размерности представлений
(73). 9. О‘ классификации связных подгрушг в простых
компактных группах Ли (76). 10. Индексы гомоморфизмов
и подгрупп (80). 11. Подгруппы максимального ранга
(83). 12. Централизаторы торов (86). 13. Параболические
подгруппы (87). .
Однородные пространства ..................................................... ..
1. Групповая модель (89). 2. Основные задачи (94).
3. Представление изотропии (96). 4. Группа автоморфиз—
мов (97). 5. Группа автоподобий (98). 6. Инвариантные
тензорные поля (101). 7. Операторы усреднения (104).
8. Инвариантные римановы структуры (106). 9. Симмет-
рические однородные пространства (108). 10. Некоторые
гомотопические свойства однородных пространств (110).
13
14
34
58
89

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Разложения групп Ли ............................................................ ..
1. Расширения транзитивных действий и разложения групп
(112). 2. Разложения групп Ли и алгебр Ли (115). 3. Приме-
ры включений между транзитивными действиями (119).
4. Разложения компактных групп И алгебр Ли (124).
Замечания ......................................................................................... ..
Глава 2. Градуированные алгебры и когомологии ................... ..
§ 6. Градуированные алгебры ...................................................... ..
1. Предварительные сведения о градуированных векторных
пространствах (128). 2. Предварительные сведения о гра-
дуированных алгебрах (132). 3. Образующие канонической
градуированной алгебры (136). 4. Дифференцирования
(139). 5. Теорема единственности для разложения в тен-
зорное произведение (141). 6. Градуированные коалгебры
(144). 7. Г радуированные биалгебры (148). 8. Примитивные
элементы (150). 9. Теоремы Хопфа и Самельсона
(153). 10. Фильтрованные векторные пространства И an-
гебры (156).
§ 7. Комплексы И дифференциальные градуированные алгебры
1. Комплексы (157). 2. Дифференциальные градуированные
алгебры (159). 3. Бикомплексы (162). 4. Действия граду-
ированных алгебр Ли (164). 5. Гомотопии (167). 6. Ацик-
лические И стягиваемые дифференциальные градуированные
алгебры (168). 7. Минимальные дифференциальные граду-
ированные алгебры (171).
§ 8. Алгебры Картана ................................................................... ..
l. Алгебры Козюля и Картана (174). 2. Регулярные пос-
ледовательности (175). 3. Формула альтернированной сум-
мы (178). 4. Минимальная модель алгебры Картана (179).
5. Классификация алгебр Картана (182). 6. Дефекты поли-
номиального идеала (185). 7. Формальные алгебры Кар-
тана (186).
Замечания ............................... ..\ ........................................................ ..
Глава 3. вещественная топология компактных групп Ли и их
однородных пространств ......................................................... ..
§ 9. Инвариантные внешние дифференциальные формы ........ ..
1.. Предварительные сведения (191). 2. Основная теорема
(193). 3. Правоинвариантные внешние формы на группе Ли
(194). 4. Цепной комплекс алгебры Ли (197). 5. Двусторон-
He инвариантные формы (199). 6. Инвариантные формы на
локально прямом произведении (202). 7. Биалгебра кого-
мологий компактной группы Ли (204). 8. Интерпретация
в терминах касательной алгебры (207). 9. Описание прими-
тивных элементов (209). 10. Инвариантные формы на
однородных пространствах (210). 11. Когомологии симмет-
рических однородных пространств (211).
§ 10. Алгебра Вейля ....................................................................... ..
1. Конструкция алгебры Вейля (213). 2. Инвариантные
элементы (216). 3. Тривиальность когомологий (216).
4. Трансгрессия (217). 5. Примитивные элементы и транс-
грессия (218). 6. Строение алгебры симметрических инвари-
112
125
127
128
157
174
188
190
191
213

ОГЛАВЛЕНИЕ
антов (221). 7. Отображение, обратное к трансгрессии (222).
8. Действие гомоморфизма (224). 9. Алгебра Вейля прямо-
го произведения (225). 10. Явная запись трансгрессии (226).
ё 11. Симметрические инварианты
1. Сведение к инвариантам группы Вейля (229). 2. Вычис-
ления для классических групп (233). 3. Обзор основных
свойств инвариантов группы Вейля (236). 4. Некоторые
полиномиальные идеалы, порожденные инвариантами
(238). 5. Простые подгруппы с большим числом Кокстера
(241). 6. Вычисления для особых групп (243). 7. Г омомор-
физм, порожденный линейным представлением (244).
ё 12. Теорема Картана .................................................................. ..
1. Обобщение алгебры Вейля (246). 2. Алгебра Картана
(250). 3. Теорема Картана (252). 4. Минимальная модель
и ранги гомотопических групп (256). 5. Градуировка по
внешней степени (259). б. Дефекты И подалгебра Самель-
сона (261). 7. Гомоморфизм, связанный с орбитным отоб-
ражением (263). 8. Случай не обязательно связного стаби-
лизатора точки (266).
ё 13. Некоторые частные случаи и примеры ........................... ..
1. Некоторые достаточные условия формальности (268).
2. Хопфовы однородные многообразия (269). 3. Эйлерова
характеристика (271). 4. Однородные пространства, опреде-
ляемые характерами максимального тора (272).
Замечания ......................................................................................... ..
р Глава 4. Включения между транзитивными грушами преобразова-
IIIIII .............................................................................................. ..
§ 14. Разложения компактных гругш Ли ................................... ..
1. Топологические свойства разложений (279). 2. Разложе-
ния простых компактных групп Ли (282). 3. Разложения
произвольных компактных групп Ли (284). 4. Компактные
расширения транзитивных действий простых групп (287).
5. Упорядоченное множество транзитивных действий (291).
6. Разложения с дискретным пересечением (293).
ё 15. Компактные комплексные однородные пространства
1. Флаговые многообразия (296). 2. Проективные однород-
ные пространства (299). 3. Расслоение Титса (302). 4. Связ-
ная группа автоморфизмов флагового многообразия (304).
5. Полная группа биголоморфных преобразований флаго-
вого многообразия (306).
ё 16. Группы изометрий римановых однородных пространств
1. Простейшие следствия из классификации расширений
(307). 2. Группа изометрий естественной римановой струк-
туры (309). 3. Вспомогательные леммы (310). 4. Доказатель-
ство теоремы 3 (312).
Замечания ............ .; ........................................................................... ..
Глава 5. О классификации транзитивных действий ................. ..
§ 17. Некоторые общие свойства транзитивных действий .... ..
1. Оценка длины транзитивной группы (318). 2. Топологи-
ческий смысл индекса Дынкина (319). 3. Однородные
229
246
268
276
279
279
296
307
315
312
318

___,. _?__ —.. ‘тычу
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
пространства простых компактных групп Ли (321).
4. Расщепление транзитивных действий на некоторых
многообразиях (323). 5. Минимальная модель тензорного
произведения и критерии неразложимости (326). 6. Не-
которые результаты и гипотезы, связанные с разло-
жимостью (328).
§ 18. Однородные пространства рангов 1 и 2 ........................ ..
1. Однородные пространства ранга 1 (331). 2. Перечисле-
ние однородных пространств ранга 1 (332). 3; Клас-
сификация однородных пространств ранга 1 (333). 4. Пере-
числение однородных пространств ранга 2: случай простой
группы (335). 5. Перечисление однородных пространств
ранга 2: случай группы длины 2 (338). 6. Транзитивные
действия на произведении двух сфер (341). 7. Некоторые
примеры (342). ‚
§ 19. Однородные пространства положительной эйлеровой ха-
рактеристики ............................................................................ ..
1. Дифференцирования алгебры когомологий (343). 2. Ка-
ноническое разложение (347). 3. Транзитивные действия
на комплексных И кватернионных многообразиях флагов
(348). 4. Транзитивные действия на факторпространствах
по максимальным торам (350). 5. Классификация од-
нородных пространств положительной эйлеровой хара-
ктеристики (351).
Замечания ......................................................................................... ..
Таблицы ............................................................................................ ..
Список литературы ......................................................................... ..
Предметный указатель ................................................................... ..
331
343
352
355
370
378

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена однородным пространствам компактных
групп Ли, или, что то же, транзитивным действиям компакт-
ных групп Ли на гладких многообразиях. Как хорошо
известно, любое однородное пространство М группы Ли
G изоморфно многообразию смежных классов G/G.,., где
G,.={geG|gx=x}—c'ra6mm3aTop ТОЧКИ хеМ. Таким обра-
зом, описав (с точностью до сопряженности относительно
автоморфизмов группы G) все подгруппы Ли в G, мы получим
все однородные пространства этой группы. Проблема клас-
сификации подгрупп Ли решена во многих важных случаях.
Например, в принципе известны все связные подгруппы Ли
простых компактных групп Ли (обзор некоторых клас-
сификационных результатов, принадлежащих Э. Картану,
А. И. Мальцеву, А. Борелю, Ж. де Зибенталю И Е. Б. Дьш-
кину, см. в § 3 настоящей книги). После этого мы приходим
к следующей задаче: для двух заданных однородных про-
странств М =G/H И M '=G’/H’ компактных групп Ли G И G’
выяснить, будут ли М и М’ диффеоморфны. Этот вопрос
равносилен проблеме классификации всех транзитивных дейст-
вий компактных групп Ли на заданном однородном простран-
стве G/H. Мы рассматриваем также частный случай этой
проблемы, а именно задачу нахождения всевозможных вклю-
чений между компактными связными транзитивными груп-
пами Ли преобразований. Последняя задача равносильна
описанию всех разложений (факторизаций) G=AH произволь-
ной связной компактной группы Ли G B произведение двух
подгрупп Ли А, Н.
Для решения вышеупомянутых задач классификации есте-
ственно применить следующий подход: чтобы решить, яв-
ляются ли данные многообразия М и М’ диффеоморфными
(или гомеоморфными, или гомотопически эквивалентными),
нужно сравнить между собой топологические инварианты
_ '

8 . пгвдисловив
многообразий М и М’. Этот метод использовадш Монтгомери
и Самельсон [135 ], которые впервые классифицировали
(хотя И не до конца) транзитивные действия компактных
групп Ли на сферах. Таким образом, мы приходим к изучению
топологии компактных групп Ли и их однородных про-
странств.
В этой кнше мы в основном ограничиваемся веществен-
ными когомологиями и вещественными гомотопиями и ис-
пользуем классическую теорию А. Картана——-Шевалле—-—Ко-
зюля—Лере, первоначально изложенную в известном сбор-
нике докладов Colloque de Topologie (espaces ﬁbrés), Bruxelles,
1950. Эта красивая теория, основным достижением которой
является теорема А. Картана об ашебре вещественных кого-
мологий однородного пространства, была позднее детально
изложена в книге Г ройба, Гальперина и Ванстоуна [106].
Приблизительно в то время, когда появилась эта книга, стало
ясно (см., например, [162], [42])› что алгебра Картана
однородного пространства М содержит полную информацию
о вещественном гомотопическом типе многообразия М;
точнее, минимальная модель (в смысле Сушшванау этой
дифференциальной градуированной алгебры является мини-
мальной моделью для М. Используя минимальную модель,
можно построить различные гомотопические инварианты
многообразия М =G/H, которые непосредственно выражаются
в терминах гомоморфизма вложения Н ——› G И потому особенно
удобны для изучения вышеуказанных классификационных
задач. Некоторые из этих инвариантов были построены еще
раньше (см., например, [56], [59]), без использования мини-
мальных моделей.
Вещественные гомотопические инварианты являются мощ-
ным средством классификации однородных пространств; они
позволяют, например, описать все разложения связных ком-
пактных групп Ли (см. [55 ]). Но они недостаточны для
классификации всех транзитивных действий (например, уже на
сферах нечетных размерностей). Для этого требуются более
тонкие гомотопические инварианты, такие, как кольца целочи-
сленных когомологий, гомотопические группы И операшш
Стштрода. Недавно Крек И Штольц (см. [127], [128])
обнаружили, что существуют компактные однородные про-
странства размерности 7, которые гомеоморфны, но не
диффеоморфньг; они раздшчаются некоторыми специальными
инвариантами гладкой структуры. Несколько ранее Камерих
[121] построил примеры гомотопически эквивалентных, но не
гомеоморфных компактных однородных пространств, раз-

пгвдисловив 9
личающихся рациональными классами Понтрягина. Из упомя-
нутых выше инвариантов мы используем лишь гомотопичес-
кие группы, простейшие факты о которых предполагаются
известными читателю (см. [70] или [71]). Это He дало нам
возможности изложить с полными доказательствами как
вышеуказанные примеры, так И ряд других глубоких клас-
сификационных результатов. _Объем книги не позволил нам
также коснуться теории эквивариантных когомологий и геоме-
трических систем весов, изложенной в [72] и дающей
эффективное средство исследования действий компактных
групп Ли, не обязательно транзитивных (приложения этой
теории к однородным пространствам см, например, в [107 ]‚
[109], [116]).
Ограничиваясь по необходимости наиболее элементарными
и технически несложными приложениями, мы в то же время
старались сделать книгу по возможности замкнутой в себе,
включив в нее вводные параграфы о группах Ли, однородных
пространствах, градуированных алгебрах и коцепных комплек-
сах, а также подробное доказательство основной теоремы об
алгебре Картана однородного пространства (см. § 12). Чтобы
придать изложению более. элементарный вид, мы избегаем
использования спектральных последовательностей, применяя
в необходимых случаях индукцию по фильтрации.
Книга построена следующим образом. Глава 1 носит
вводный характер и содержит весь необходимый материал
о группах Ли и однородных пространствах. Некоторые факты,
которых мы не нашли в литературе в нужном для нас виде,
даются здесь c подробными доказательствами. Глава 2 также
является вводной и содержит основные понятия, связанные
с градуированными алгебрами и дифференциальными граду-
ированными алгебрами. Здесь мы даем доказательства алгеб-
раических вариантов теорем Хопфа и Самельсона о строении
алгебр вещественных когомологий И гомологий группы Ли.
Вводятся также (без доказательств) минимальные модели
в смысле Сулливана. Глава 3 посвящена вещественным
когомологиям компактных . групп Ли и их однородных
пространств, конструкции минимальной модели и других
вещественных гомотопических инвариантов однородного про-
странства. Глава 4 содержит классификацию (в наиболее
важных случаях) разложений связных компактных групп Ли
И ее приложения к вычислению полных групп биголоморфных
преобразований коштлексньтх флаговых многообразий и групп
изометрий римановых однородных пространств. В главе 5 мы
даем некоторые классификационные теоремы для компактных
т. .331 ,{-I-«.'3'<

10 пввдисловив
- однородных пространств, включающие классические резуль-
таты о транзитивных действиях на сферах и описание
транзитивных действий на многообразиях флагов. `
Мой интерес к вопросам, изложенным в этой книге, связан
c именем моего учителя Е. Б. Дынкина, по инициативе
которого в начале 50-х годов работа по топологии однород-
ных пространств была начата в Московском университете.
В частности, он предложил мне задачу описания включений
между транзитивными действиями в качестве темы диссер-
тации. Очень ценными для моей работы были контакты
c M. M. Постниковым, Ф. А. Березиным, П. К. Рашевским,
Ф. И. Карпелевичем и И. 3. Розенкнопом. Я благодарен
Р. Зуланке (Берлинский университет), который подсказал мне
идею написания этой книги и обсуждал со мной ее содержа-
ние, а также моим коллегам Д. Н. Ахиезеру, Э. Б. Винбергу,
В. В. Горбацевичу, А. А. Кириллову, О. В. Мантурову,
А. Н. Щетинину и др. за полезные обсуждения в течение
довольно дошого периода написания книги. Благодарю также
Шерера, Камериха, Сигу, Тедзуку и ДРУГИХ математиков,
приславших мне оттиски ` и препринты своих работ по
топологии и геометрии однородных пространств.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
2: кольцо целых чисел;
N (No): множествоположительных (неотрицательных) целых чисел;
О, R, C: ПОЛЯ рациональных, действительных и комплексных чисел;
Н: тело кватернионов;
Ca: алгебра октав;
Т: мультипликативная группа комплексных чисел, по модулю
равных 1;
M, (K): ассоциативная ашебра квадратных матриц порядка п над
полем K;
GL,,(K): rpynna невырожденных матриц порядка п над K;
A ": мультипликативная грутша ассоциативного кольца А;
1‚,: единичная матрица порядка п;
diag (x д, ...‚ х,‚): диагональная матрица с диагональными элемен-
Tam»: xi, ..., x,,; f _
Ед: матрица, (г, ])-й элемент которой равен 1, а все остальные
элементы равны 0;
X T: транспонированная матрица к матрице Х;
Ь(У‚ W): пространство всех линейных отображений векторных
пространств У—› W;
V* =L(V, K): сопряженное векторное пространство к пространству
V; ‘ х '
f *: отображение сопряженных пространств, сопряженное к линей-
ному отображению f;
f Т: отображение евклидовых векторных пространств, сопряженное
‘к линейному отображению f;
GL(V): rpynna всех обратимых линейных преобразований вектор-
ного пространства V;
Т (У): тензорная алгебра над. векторным пространством V;
S( V), A V: симметрическая алгебра и алгебра Г рассмана над V;
L(V): алгебра всех полилинейных форм на V;
L‘(V), L“ (V): алгебры симметрических и альтернированных
полилинейных форм на V;

12 СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
id: тождественное отображение;
(S): линейная оболочка подмножества S векторного пространства
или модуля;
(S): идеал, порожденный множеством S;
((S)): пода.т1гебра, порожденная множеством S;
81‘‚,( V): многообразие Штифеля ортонормированных Ач-реперов
евклидова векторного пространства V над K = R, C, H;
S’:-(.k=Stk(K")3
S"=St,','+1,1: п-мерная сфера;
Grk(V): многообразие Грассмана Ат-мерных подпространств век-
торного пространства V над К: R, С, Н;
P(V)=Gr1(V): проективное пространство, связанное с V;
c:r,',<...=ar.<1<'=>;
K P"=Gr,‘,‘+ 1,1: п-мерное проективное пространство над K;
A (M): дифференциальная градуированная алгебра внешних форм
на многообразии М; /
Min C: минимальная модель дифференциальной градуированной
алгебры С;
Min M =MinA(M): минимальная модель многообразия М;
f *: гомоморфизм алгебр когомологий, связанный с отображением
f;
PG: пространство примитивных классов когомологий группы
Ли G; `
G °: связная компонента единицы группы Ли G.
Группы Ли, как правило, обозначаются заглавными латинскими
буквами, а соответствующие им алгебры -`Ли—-соответствующими
строчными ГОТИЧССКИМИ буквами.
Нумерация пунктов, теорем, предложений, лемм и примеров
производится в пределах каждого параграфа, а для параграфов
принята сплошная нумерация. ссылках ИСПОЛЬЗУСТСЯ ДВОЙНЗЯ
нумерация, с указанием номера параграфа и номера утверждения, но
при ссылке в пределах данного параграфа его номер опускается.

EIEK-Z 7
Глава 1
ГРУППЬП ЛИ И ОДНОРОДНЫЁ ПРОСТРАНСТВА
Настоящая глава является вводной И посвящена теории
групп Ли преобразований. Содержащиеся в ней утверждения
по большей части являются классическими и потому приво-
дятся без доказательств. В то же время некоторые специаль-
ные вопросы, не освещенные в имеющейся литературе,
излагаются подробно.
В § 1 мы начинаем с обзора основных понятий, относящих-
ся к гладким многообразиям, группам Ли, их линейным
представлениям и действиям на многообразиях. Затем обсуж-
дается важное для нас понятие морфизма действий. В этой
книге различаются две категории, объектами которых являют-
ся действия групп Ли. Первая из них состоит из действий
фиксированной группы Ли, причем морфизмы-это эквивари-
антные отображения. Вторая категория включает действия
произвольных групп Ли: морфизмами в ней являются отоб-
ражения, согласованные c некоторым гомоморфизмом групп.
Изоморфизмы этой второй категории мы называем подоби-
ями действий. Важными классами морфизмов второй катего-
рии являются также расширения PI накрытия действий.
В §2 дается обзор теории Ли, сопоставляющей каждой
группе Ли G ee касательную алгебру Ли g, а каждому
действию группы Ли G Ha многообразии М —гомоморфизм
алгебры 9 в алгебру Ли V(M) векторных полей на М.
Приводится большое число примеров подгрупп Ли и соответ-
ствующих подалгебр Ли. Дается характеризация касательных
алгебр компактных и редуктивных комплексных групп Ли.
§3 посвящен структурной теории’ компактных групп Ли
и их линейных представлений, включая их классификацию,
основанную на аппарате корней и весов. Эта теория применя-
ется к проблеме классификации связных подгрупп Ли компакт-
ных групп Ли.‘ .
В § 4 изучаются однородные пространства, т. е. транзитив-
ные действия групп Ли. Мы используем классический изомор-
физм однородного пространства М группы Ли G И многооб-
разия смежных классов G/H, где H = Ох-стабилизатор неко-

14 _ гл. 1. группы ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
торой точки хеМ; многообразие G/H называется групповой
моделью однородного пространства М. Формулируются oc-
НОВНЫС задачи классификации однородных пространств, рас-
сматриваемые в настоящей книге. Подробно изучаются пред-
ставление изотропии, группа автоморфизмов и группа автопо-
добий однородного пространства. Дается классическое
описание инвариантных тензорных полей на однородном
пространстве. В конце параграфа рассматриваются простей-
шие гомотопические свойства однородных пространств.
В § 5 мы начинаем изучение включений между транзитив-
ными действиями гругш Ли, сводя его к изучению разложений
групп Ли в произведение двух подгрупп Ли. Даются примеры
включений между транзитивными компактными группами Ли,
которые, как выясъштся _в гл. 4, играют основную роль при
описании произвольных включений между такими группами.
Основными источниками для ссылок в этой главе являют-
CH КНИГИ [11‚ [17], [20], [24], [35], [44], [65], [66], [73], [74]-
§ 1. Грутшы Ли и их действия на многообразиях
1. Основные соглашения о многообразиях. Слово «многооб-
разие» всегда будет обозначать дифференцируемое многооб-
разие класса С °°‚ хаусдорфово и имеющее счетную базу
открытых множеств. Иногда будут рассматриваться комплекс-
ные (т. е. комплексные аналитические) многообразия. Ниже
мы сформулируем некоторые понятия и факты, связанные
с многообразиями; подробности см. в [35], [73], [74]‚ [67].
Гладкие отображения многообразий (в частности, гладкие
функции на них)—это отображештя (функции) класса С °°.
Множество всех гладких отображений М —-› N обозначается
через F (M, N). B частности, F (M )=F (M, R)—3'ro множество
всех гладких функций на М; оно обладает естественной
структурой ассоциативной коммутативной алгебры с едиъшцей
над полем R. Гладкое и гладко обратимое отображеште
называется диффеоморфизмом. Диффеоморфизмы многообра-
зия М Ha себя составляют группу, обозначаемую через Diff M.
Гладкой кривой (или путем) на М называется, как обычно,
гладкое отображение некоторого интервала (а, b)cR B M.
Подмногообразием размерности р в п-мерном многооб-
разии М называется подмножество N c: M, обладающее следу-
ющим свойством: в некоторой окрестности U cM любой
точки х е N существует такая локальная система координат
(карта) (хд, ...‚ 'х„)‚ что N П U задается уравнениями
x,,+1 = =х‚‚ =0. В этом случае на А? определяется естествен-

§1. ГРУППЫ ли и их двиствия НА МНОГООБРАЗИЯХ 15
ная структура р-мерного многообразия (координатами вблизи
точки х служат ограничения функций x1, ..., xp).
Если M1, ..., М‚—многообразия‚ то их прямое произведение
M =M 1 х х M, снабжается естественной структурой многооб-
разия, причем проекции рд: M —› М, являются гладкими
отображениями.
Касательное пространство к многообразию М в точке
х обозначается через Т, (М). Его элементы, т. е. касательные
векторы в точке х, мы будем представлять себе как 1-струи
гладких путей Ж: (——е, е) —›М, где е>0 и 7ь(О)=х. Это значит,
что два таких пути X И р, выраженные в локальных
координатах формулами 7„(з)=(7ь1(3), ...‚ 1„ (s)), u(s)=
=(p1(s), ..., |‚ъ„ (s)), определяют один и тот же касательный
вектор в точке х тогда и только тогда, когда М (0)= р}(0) для
всех i= 1, ...‚ п. касательный вектор кривой 7» обозначается
через 7ь’(О). Числа МЮ) (i = 1, ...‚ п) называются координатами
вектора 7J(0) B ДЗННОЙ системе координат. Если f E M -—› N -
гладкое отображение, то через а, f обозначается его дифферен-
циал в точке хеМ; это ' линейное отображение
Тх (М) -› Тд,„(М)‚ переводящее вектор N (0) в р’(0)‚ где
р: f o ж. Panr отображения d, f называется рангом отображения
f B точке х и обозначается через rk, f.
Гладкое отображение f : N -› М называется погружением,
если отображение а’, f ИНЪСКТИВНО для всех хе N. B ЧЗСТНОСТИ,
тождественное вложение N —› М некоторого подмногообразия
N в многообразие М является погружением. Можно следу-
ющим образом обобцшть понятие подмногообразия: погру-
женным подмногообразием многообразия М называется под-
множество N c M, снабженное такой структурой многооб-
разия, что тождественное вложение N —› М есть погружение.
Сюръективное гладкое отображение f : M -› N называется
факторным, если выполнены следующие два условия:
1) подмножество U cN открыто тогда И только тогда,
‘Roma f’1(U) открыто в М;
2) для любого открытого U cN И_ вещественной функции
(р на U имеем (peF (U) тогда И только тогда, когда
<P°f€F(f"(U))-
ПУСТЬ даны факторное отображение f: M -› N И такое
гладкое отображение g: M —-› Р, что g=ho f для некоторого
отображения h: N -› Р. Легко доказать, что h также. гладко.
Расслоением (или расслоенным пространством) называется
набор (E, B, F, p), где Е, В, Р—многообразия‚ р: E —›В—
гладкое отображение и выполнено следующее условие локаль-
ной тривиальности: каждая точка многообразия В обладает
_» ..: ' /'1”‘£F‘

16 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
/
такой окрестностью U, что существует коммутативная ma-
грамма
п
p“(U) " > U><F
р 12„
U
где нд-диффеоморфизм и рд-проекция на первый co-
МНОЖИТСЛЬ.
Многообразие Е называется пространством расслоения,
В—его базой, F — типичным слоем, р-проекиией расслоения.
Иногда для краткости мы будем обозначать расслоение
одной буквой Е. Расслоение (В х F, B, F, PB) называется
тривиальным. Отображение ha называется тривиализацией
расслоения (Е, В, F, p) над Л. Для любой точки хеВ
множество Fx =p‘1 (x) есть подмногообразие в Е, называемое
слоем расслоения над точкой х. Любая тривиазшзация
расслоения над окрестностью точки х порождает диф-
феоморфизм F —› 17,. Проекция любого расслоения является
факторным отображением. _
Векторным полем на ьшогообразии М называется соответ-
ствие xl-> их, сопоставляющее каждой точке хеМ вектор
vxe Т, (M), причем предполагается, что координаты вектора
их в некоторой карте являются (локально) гладкими функци-
ями. Векторные поля составляют векторное пространство над
полем R, обозначаемое через V(M ) (оно также является
F (M )-модулем). Каждое векторное поле v e V(M) определяет
линейный оператор. в пространстве F (M )——— оператор диф-
ференцирования по направлению поля v. OH обозначается
также через v И в локальных координатах записывается
формулой
Р! д I
v<p= Z vi Ё (<peF<M»,
i=1 I _
где ид-координаты векторного поля v B системе коордгшат
(х1, ..., х‚‚). Каждой паре векторных полей и, ve V(M) сопоста-
вляется векторное поле [и‚ v ]e V(M) (их коммутатор или
скобка Ли), соответствуюцшй которому оператор имеет вид
[и‚ и1Ф=—и(иФ)+0(иФ) (ФеР(М)). (1)
Операция [ ‚] превращает V(M ) B аднебру Ли над R.

ё]: ГРУППЫ ЛИ И ИХ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 17
Аналогично векторным полям определяются тензорные
поля на многообразии. Обозначим через Т 5,’ (М ),„ пространство
тензоров типа (р, q) (Т. е. q раз ковариантных И р раз
контравариантных) на векторном пространстве Т, (М). Тензор-
ное поле и типа (р, q) Ha М —это соответствие x+-rux, где
xeM, uxe Т}; (M ),,, с очевидным условием гладкости. Тензор-
ные поля типа (р, q) составляют F (M )-модуль О: (M).
B частности, (98(М)=Г(М)‚ ®Ь(М)=У(М), (92(М)—про-
странство дифференциальных форм степени q, T. e. гладких
полей с1-линейных форм на касательных пространствах к мно-
гообразию М. В 02 (М) выделяются подпространства внеш-
них (кососимметрических) дифференциальных форм степе-
ни q (ИЛИ просто с1-форм) Ад (M) И симметрических форм
5‚‚(М). Пространства ®(М)= G3 ®,f,’(M), A(M)= @A,,(M)
живо «I20
и S(M ) = Ф Sq (M) являются алгебрами над R относительно
(1)0
операций тензорного, внешнего и симметрического умножеъшй
соответственно, которые мы будем обозначать символами ®‚
/\ и - соответственно. Отметим также подалгебру
®..(M)= Ф (*)2(M) aJIre6pL1 ®(M).
>0
Пуст; f : M —› N — гладкое отображеъше. Тогда определен
гомоморфизм алгебр f *: F (N ) -› F (M )‚_ действующий по
формуле .
f*<p=<I>°f (<P€F(N))-
Далее, при q> О определено линейное отображение f *:
(93 (N) —-› (~)f,’ (M )‚ действующее по формуле
‹/*о‹›‚‚‹и1‚ и.‚›=о‹„‚„‚«‹1‚„/›и„ (амид
(oce(~)f,’ (N), xeM, аде Т„(М)).
Переходя к прямой сумме, получаем отображение f *2
(H). (N) —› О... (M), которое оказывается гомоморфизмом алгебр.
Ограничивая f * на внешние и симметрические формы,
получаем гомоморфизмы алгебр
f*: A(N)‘—>A(M) И f*: S(N)—-5S(M).
Для двух гладких отображений f: M —› N И g: P —› М имеем
( f o g)* =g* of *. Таким образом, соответствие f ъ-› f * есть
контравариантный функтор из категории многообразий в кате-
горию вещественных алгебр. Чтобы получить ковариантный
функтор, приходится ограничиться диффеоморфизмами. Для

18 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
любого диффеоморфизма f: M —› N определены изоморфизмы
ﬂ=(f*)"=(f")* алгебр ®..(М) -> ®...(1\’)‚ А(М) -> A(N),
S(M)->S(N)- ПРИ ЭТОМ (f°g)...=ﬂ°g....
C ‚сшффеоморфизмом (но не с произвольным гладким
отображением) f: M —-› N естественно связывается также
линейное отображение f..: ®{;(M) —› ®5(N) для любых р, 420,
причем ( f og). = ﬂog... Укажем явный вид этого отображения
в случае векторных полей (р= 1, q=0). Имеем
(ﬁU)y=(dr*<y)f) дгчу) '(U€ V(M), y€N)- (2)
Если интерпретировать векторные поля как дифференциаль-
ные операторы B пространствах функций, то
f.v=ﬁ°v°fI‘=j.1°v°f*-
Если М =N И f e Diff M, то можно рассматривать тензорные
поля и на М, инвариантные относительно f, T. e. удовлет-
воряющие условию ﬁu=u. B частности, векторное поле
ve V(M ) инвариантно относительно f тогда и только тогда,
когда ид‚,‚=(с1„/)и„ (хеМ) или когда vof*=f*'ov.
2. Группы Ли и их гомоморфизмы. Напомним, что вещест-
венной группой Ли называется группа G, снабженная струк-
турой многообразия таким образом, что отображения т:
G x G —› G И s: G —› G, определенные формулами
т(х‚у)=ху‚ s(x)=x“,
являются гладкими. Аналогично определяются комплексные
группы Ли. Основную роль в дальнейшем будут играть
компактные вещественные группы Ли, т. е. группы Ли,
компактные как топологические пространства.
П р им е р 1. Аддитивные группы R и С являются соответст-
венно вещественной и комплексной группами Ли размерности 1.
Пример 2. Окружность T={zeC I |z|=1} является (ком-
пактной) одномерной группой Ли относительно операции
умножения комплексных чисел. Всякая связная Одномерная
группа Ли изоморфна R или Т.
Пример 3. Группы GL,, (R). И GL,, (С) невырожденных
вещественных (комплексных) матриц порядка п-это соответ-
ственно вещественная PI комплексная группы Ли. Коор-
динатами в них служат матричные элементы, поскольку
GL,, (K)-—o'r1<pL1'roe множество в пространстве М„ (K) всех
квадратных матриц порядка п над К =R или С. В частности,
GL1 (K )=K " —мультипликативная группа поля K.
Если V— п-мерное векторное пространство над полем
K =R ИЛИ С, то группу GL (V) всех его невырожденных

§1. ГРУППЫ ли и их двиствия НА МНОГООБРАЗИЯХ 19
линейных преобразований можно сделать вещественной или
комплексной группой ‘ ЛИ, используя изоморфизм
GL (V) —+ GL,, (K), сопоставляющий каждому линейному преоб- -
разованию его матрицу в некотором фиксированном базисе
пространства V. B дальнейшем мы обычно будем отождеств-
лять матрицы СеМ„ (K) c линейными преобразованиями
хъ-› Сх пространства К” п-мерных столбцов, рассматривая, как
обычно, умножение матриц слева на столбцы. Таким образом,
GL (K") = Од, (K).
Пример 4. Если G1, ..., G,——rpyImL1 Ли, то множество
6:01 х х G,, рассматриваемое как прямое произведение
групп И прямое произведеъше многообразий, является группой
ЛИ. Таким способом, в частности, строятся группы ЛИ
R"= R xx R , C", Т” (последняя группа ЛИ компактна
L_f/___-_J
n раз
И наёывается стандартным п-мерным тором).
Г омоморфизмы групп Ли всегда предполагаются гладкими
(в комплексном случае—-голоморфными, т. е. аналитически-
ми). Гомоморфизм р группы ЛИ G B группу ЛИ GL(V), me’
V— конечномерное векторное пространство над полем К = R
ИЛИ С, называется (вещественным или комплексным) линейным
представлением группы G B пространстве V. Число dim K V
называется размерностью представления р И обозначается
также через dim p. Иногда в дальнейшем будут рассматривать-
ся И бесконечномерные представления, которые с нашей точки
зрения не являются гомоморфизмами групп ЛИ. Понятия
сплетающего оператора (гомоморфизма) И эквивалентности
(изоморфизма) двух представлений определяются так же, как
для представлений абстрактных групп.
Пример 5. Пусть р: G —› б1‚(У)-—линейное представле-
ние группы ЛИ G. Тогда в сопряженном пространстве V*
определено сопряженное представление р группы G, дейст-
вующее по формуле
‘Ъ5(8)=(|5(8)*)_1 (g€G)-
Пример 6. Если p,-: G—>GL(V;) (i=1, ..., г)—линейные
представления группы ЛИ G над одним И тем же полем K = R
ИЛИ С, то определены представления р= pl + + p,
И о'= pl р‚, называемые Их суммой И произведением И дейст-
вующие соответственно в пространствах V163 (В V,
И V1® ®У‚ по формулам
(х1э ---9 xr)=(P1(g)x1, ..., pr(g)xr)9
O-(g)(x1®-o-®xr)=(p1

20 гл. 1. группы ли и однородные ПРОСТРАНСТВА
Пример 7. Пусть р: G -› GL(V)—JmHeﬁHoe представле-
ние. Тогда для любых целых р, q 2 0 определено представление
Té’(o)=p"(p*)" в пространстве Т8(У)=(ё V>®(é т) тен-
зоров типа (р, q) Ha V. Рассмотрим два частных случая.
’1)Тензоры типа (0, q) можно рассматривать как q-
‚линейные формы на V. При такой интерпретации представле-
ние Т Е,’ (р) действует по формуле
‹т2‹р›‹:›о‹›‹х„ х.‚)=о«р‹з›'1х„ p(g>"1x.> (з)
(осеТ2(У)‚ geG, x,-e V).
2) Тензоры типа ( 1, q) можно рассматривать как
с1-линейные формы на V со значениями в V. Представление
Т д} (р) действует по формуле
(T 3 (P)(g)°t)(x1» ха) =P(g)°t(P(g) “хм 9(8) то. (4)
B частности, T i ( V) есть векторное пространство L ( V, V) всех
линейных преобразований пространства V и представление
T Ё ( р) действует по формуле
Т%(р)(г)т=р(г)тр(г)°‘ («ЕТНУЪ 8'EG)- (5)
Пример 8. Пусть G—rpymIa Ли. Для любого geG будем
обозначать через ад внутренний автоморфизм группы G,
определяемый элементом g:
ад (х) =gicg” 1 (хе G).
Отображешите Ad: G-+GL(Te(G)), заданное формулой
Ас13=с1‚а„‚
есть линейное представление группы G—--—'raI< называемое
присоединенное представление. Его образ Ad G называется
присоединенной (линейной) группой группы G.
3. Действия груш Ли. Действием группы Ли G Ha
многообразии М называется гомоморфизм г: дн 19 группы
G B группу Diff M, такой, что отображение О: (g, x)+->tg(x)
многообразия G xM B М гладко. Если это не приводит
к путанице, то действие группы G Ha М обозначают как
умножение элементов группы G на элементы многообразия М,
T. e. пишут gx=tg(x) (geG, xeM). Тогда
exéx (хеМ), (6)
(gh)x=g(hx) (g, heG, xeM). (7)

§1. группы ли и их двиствия НА МНОГООБРАЗИЯХ 21
Обратно, любое гладкое отображение (g, х) r—>gx многооб-
разия G х M B М, обладающее ‘свойствами (6) И (7), определя-
ется некоторым действием. Многообразие М вместе с задан-
ным на нем действием группы Ли G называется О-многооб-
разием. _
Определенные вьппе действия групп Ли называют также
левыми действиями. Наряду c НИМИ иногда рассматриваются
правые действия, т. е. антигомоморфизмы г: gr-> ‘а группы
G B Diff M. Это означает, что
(g, heG).
Используется обозначение г„(х) =xg; при этом свойство (7)
заменяется свойством
19„ = 2„ 01„
о
x(gh) = (хай
(g, heG, xeM).
Очевидно, всякое левое действие (х, g) I--> gx определяет
правое действие (х, 3)›—-›х3=3"х и, наоборот, всякое правое
действие группы Ли G Ha M определяет ее левое дейст-
вие на М.
Пример 9. Действие аддитивной группы R Ha MHoroo6-
разии М называется потоком Ha‘ M. Таким образом, поток-т
это семейство диффеоморфизмов ts: M -› М (seﬂ , такое, что
г,‚‚‚‚=г,ог,‚ И что отображение (s, x)v—->ts(x) sen, xeM)
является гладким.
Для любого действия группы Ли G Ha М обозначим через
M G множество {хеМ | gx=x для всех ge G} всех неподвижных
точек (инвариантных элементов) этого действия. Действие t
называется тривиальным, если М G=M, T. е. если tg=id для
любого ge G. Действие t называется эффективным, если
Ker t= {e}, T. е. если :—инъективньп`& гомоморфизм. Действие t
называется локально эффективным, если подгруппа Kert
‚сшскретна в G. _
Пример 10. Любое линейное представление группы Ли
G B конечномерном векторном пространстве V можно
рассматривать как действие группы G Ha V. Такие действия
(и соответствующие С-многообразия) называются линейными.
Множество VG штвариантных элементов линейного действия
является, очевидно, линейным подпространством в V.
Пусть G, H —две группы Ли, р: G —› GL ( V)
И о: Н -› GL ( W) —PIX линейные представления над K = R
mm C. Тогда в векторном пространстве V® W определено
представление р®о группы G х Н, действующее по формуле ~
((P®°) (8: И) (v®W) = (P(8)v)® (°(h)W)a

22 гл. 1. группы ли и однородныв ПРОСТРАНСТВА
где geG, heH, пе V, we W. Имеем
(V® W) “Н: VG® W”.
Действительно, VG® W" c: (V® W) G ‘H. Обратно, возьмем лю-
бой ие ( V® W) “X” и запишем его в виде и= Ё ид®и›‚, где
vie V, w,-e W_n и; линейно Ётезависимы. Для любоггйеН имеем
и= ((р®о) (е, 11)) (и) = Z v,-®o'(h) (w,-), ‘откуда w,~e W” для
i= 1
всех i=1, ..., s. Переписывая выражение вектора и так, чтобы
w,~e W" стали линейно независимыми, и применяя
(p®o') (g, e) (ge G), мы получим, что 05676. Значит, ие
е VG® W". _
Пример 11. Пусть V— n-MepHoe векторное пространство
над полем K =R ИЛИ С. Обозначим через Gr,,( V) многообразие
Грассмана К-мерных подпространств в V, 0<k<n. Группа
GL( V) естественным образом действует на Gr,,( V). Если
K = C, то многообразие Сг‚„( V) является комплексным И дей-
ствие голоморфно. Многообразие Gr,,( V) диффеоморфно
многообразию Gr,,(K"), которое мы обозначим также через
Gr,',fk. B случае k=l многообразие Грассмана—это (п— 1)-
мерное проективное пространство Р( V) =Gt;1 ( V) ИЛИ
K P"’ 1 =Gr§ 1. Рассматриваемое действие группы GL ( V) He-
эффективно; его ядром является подгруппа скалярных опе-
раторов {c°id|ceK*}.
Пример 12. Пусть G——rpy1IIIa Ли. Фиксируем geG
И определим следующие диффеоморфизмы многообразия G:
lg: хъ—› gx (левый сдвиг на g),
rg:x+—>xg (правый сдвиг на g),
rgzxr->xg‘1.
Рассмотрим следуюцше действия группы Ли G Ha себе:
l:ga——+lg (действие левыми сдвигами), ‚
r: g:—+rg (действие правыми сдвигами),
а: gr-my (действие внутренними автоморфизмами).
Вместо действия г часто рассматривают правое действие
г’: gr-> r;,.
Очевидно, lg or,,=r,,olg для любых g, heH. Поэтому определено
следующее действие b группы G x G Ha G:
b: (g, h)+-—+lgor,, (действие двусторонними сдвигами).

§l. ГРУППЫ ЛИ И ИХ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 23
Пример 13. Пусть Мд-Сд-многообразие (i=1, 2). Тогда
можно определить следующее действие группы 61 х G2 Ha
многообразии M1 XM22
(81, г2)(х1‚ х2)=(81х1‚ 82352)-
Это действие называется прямым произведением заданных
действий I1 и t2 И обозначается t1 >< t2. (G1 x G2)- MHoroo_6pa-
зие M1 x M 2 называется прямым произведением Сд-много-
образий М ,-. '
Пусть заданы действия одной И той же грутшы Ли G Ha
многообразиях М и N. Морфизмом первого С-многообразия
(или действия) во второе называется гладкое отображение
f:M——>N, такое, что f(gx)=gf(x) (geG, xeM). Морфизмы
называют также эквивариантными (или С-эквивариантными)
отображениями. Изоморфизмом б-многообразий (или дейст-
вий) называется морфизм, являющийся диффеоморфизмом
многообразий. Два С-многообразия М и N (или два действия
группы G Ha M И N называются изоморфными, если между
шитми можно определить изоморфизм. В этом случае мы будем
писать М ш GN. Автоморфизмом О-мттогообразия М (или
действия группы G Ha M) называется любой изоморфизм
этого б-многообразия на себя. Обозначим через AutGM rpynny
всех автоморфизмов б-многообразия М (относительно ком-
позиции преобразований). Если фиксировать группу Ли G, то
С-многообразия И их Морфизмы естественным образом со-
ставляют категорию.
Пример 14. Пусть г—действие группы Ли G Ha
M и f: M —->N — факторное отображение. Предположим, что
из f(x)=f(y), где х, yeM, следует, что [(3х)=[(3у)‚
для любого ge G. Тогда существует такое действие t
группы G Ha N, что‘ отображение f эквивариантно. Для
доказательства заметим, что существует такое отображение
0': G xN —› N, что диаграмма
ехм " >м
шт т
GXN Ы =Л‘
коммутативна. Поскольку id xf—<1)aI<'ropHoe отображение, 6
гладко. Легко проверяется, что 0 ' определяет искомое

24 гл. 1. группы ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
действие t’. Это действие называется фактордействием для
t относительно f.
Пусть :——действие группы Ли G Ha M. Полагая г... (g) =
= (го) ‚..‚ мы получаем линейное представление г, (как ‘правило,
бесконечномерное) группы G B пространстве тензорных полей
®{‚’(М) (см. п. 1). В частности, представление в пространстве
функций F(M)=®8(M) HMCCT ВИД
'(t...(g)(p)(x)=(p(g’1x) (ge_=G, xeM, (peF(M)).
Слегка обобщая эту _конструкцию‚ рассматривают также
представление г... группы G B пространстве F (M, W) гладких
функций со значениями в конечномерном векторном простран-
стве W над R или в пространстве ‚гшфференциальных форм
‘некоторой степени со значениями в W.
4. Подгруппы Ли и многообразия смежных классов. Под-
гругша Н группы Ли С, называется подгруппой Ли, если
H — подмногообразие в G. B этом случае Н сама является
группой Ли. Более обцшм является понятие виртуальной (или
погруженной) подгруппы Ли. Так называется подгруппа Нс G,
обладающая структурой погруженного подмногообразия в G,
относительно которой она является группой ЛИ.
Подгруппы Ли гругшы G естественно возникают при
рассмотрении действий этой грутшы. Пусть задано действие
t группы G Ha многообразии М И пусть хеМ. Множество
Ох={8Е6|8х=х} `
есть подгруппа в G, которая называется стабилизатором (или
стационарной подгруппой) точки х. Определим гладкое отоб-
ражение t": G—>M формулой
t"(g)=gx. (8)
Оно называется орбитным отображением; его образ есть
орбита
G(x)={gx|g6G}
ТОЧКИ х. Мы имеем G,,=(t")‘1(x)._ Очевидно,
t"(ag)=at"(g) (а, geG). (9)
Отсюда следует
Предложение 1 (см. [20], §1.1). Ранг rkg t"=k постоя-
нен на G, u Схч-подгруппа Ли размерности dim G—k. При
этом Те(6„)= Ker(det"). ‹
Следст в ие. Любой гомоморфизм f 2 G—+H групп Ли
имеет постоянный ранг 1с=г1‹„[ При этом N = Ker f -— нор-

§l. ГРУППЫ ЛИ И ИХ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 25
мальная подгруппа Ли в G размерности dimG—k u T e (N):
=Ker(def
Оказывается, что любая подгруппа Ли Н группы Ли
G является стабилизатором точки при некотором действии
группы G. Доказательство основано на конструкшш мно-
гообразия смежных классов. Обозначим через G / H МНОЖЕСТВО
всех левых смежных классов gH (ge G) rpynI1LI G no
подгруппе Н И через р: gI—>gH естественное отображение
группы G Ha G/H. .
Теорема 1 (см.‚ например, [20], §l.l; [35], §I.11; [74],
гл. П). Пусть H —подгруппа Ли группы Ли G. Ha множестве
G / Н существует единственная структура многообразия, та-
кая, что р: G—+G/ H — факторное отображение. „
Действие 1 гру1шы G Ha себе левыми сдвигами порождает
фактордействие 1 ’ группы G Ha G /H относительно р (см.
пример 14). Действие 1 ’ выражается формулой
g(x )=(gx)H (g, xeG>. (ю)
Стабилизатор точки s=HeG/H совпадает с Н, а орбитное
отображение (l T = p. '
Если H — нормальная подГРУППа Ли, то факторгруппа
G / Н является группой Ли относительно структуры многооб-
разия, определенной в теореме 1. '
Действие группы Ли G Ha многоо_бразии М называется
транзитивным, если для любых х, уеМ найдется такой geG,
что y=gx. B этом случае говорят также, что M —-—однородное
пространство группы Ли G. Легко видеть, что действие 1’
группы G Ha многообразии G / Н транзитивно. Оказывается
(см. п. 5), что всякое однородное пространство группы
G изоморфно некоторому многообразию смежных классов.
Заметим, что набор (G, G/ H, H, р) является расслоением
(см. п. 1). Соответствующие тривиализашш строятся следу-
ющим образом. Пусть X — такое подмногообразие в G, что
ееХ и Te(G)=Te(X)(BTe(H); обозначим U=p(X)cG/H. Если
Х достаточно мало, то ‘О’ открыто в G/ H, р: X —› U ——-
диффеоморфизм и отображение ha: U x H -›р ‘l (U), определен-
ное формулой ' -
hu(«:,h)=g(<:)h (дед, лен),
Где q= p *1: U —›Х ‚ есть тривиализация. над окрестностью
U точки ее G / Н. Используя преобразование lg, можно
построить тривиализацию над окрестностью gU ТОЧКИ gHe
е G /H. Слоями этого расслоения являются смежные клас-
сы gH. '

26 гл. 1. группы ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
Эту конструкцию можно обобщить следующим образом.
Предложение 2. Пусть Kc Н—две подгруппы Ли
группы Ли G. Тогда имеем расслоение (G / K, G / H, H / K, p’), где
p’: G/K—+G /H определяется формулой p'(gK)=gH (ge G).
Д о к а з а т е л Ь с т в о. В обозначениях, введенных выше,
тривиадшзация ﬁg: U x H / K—>G / K над окрестностью U = p(X )
точки е е G / H задается формулой
ди(ё‚ n)=g(§)n- (ﬁe U, neH/K)-
Тривиализация над gU (geG) получается с помощью 1;. I
Теперь мы сделаем несколько замечаний о стабилизаторах
и подгруппах Ли.
Для произвольного действия группы Ли G Ha MHoroo6-
разии М имеем `
0ах=86х8_1 (geG9 xEM)°
B частности, если действие транзитивно, то стабилизаторы
всех точек многообразия М сопряжены между собой. Если f:
M->N—Mop<b1«I3M бдмногообразий, то 6„ с G „х, для всех
хеМ. Если f ИНЪСКТИВНО, то 6‚‚=6д‚„.
Пересечение любого семейства подгрупп Ли в G~ есть
подгруппа Ли (см. [20], теорема 1.4.2). Пусть г-действие
группы Ли G Ha M И S с М. Положим
G[s]={geG|gx=x для всех хе$}=П Ох.
хе$
Тогда (дм-подгруппа Ли в G. B ЧЗСТНОСТИ, Кег1=Сш1 есть
нормальная подгруппа Ли в G. Существует единственное
действие to группы Ли Go=G/Kert Ha M, такое, что t=t0o1t,
где п: G —>Go—ecTec'rBeHHLn‘«'1 гомоморфизм, причем
to эффективно. Действие t определяет также действие на
М любой факторгруппы G / N, где N —нормальная подгруппа
Ли в G, лежащая в Ker t.
Пример 15. Рассматривая действие а группы Ли G Ha
себе внутренними автоморфизмами (см. пример 12), получаем
следующие подгруппы Ли в G:
Z (g)=ZG( g)=Gg (централизатор элемента geG B G),
Z (X )=ZG (X )=Gm (централизатор подмножества Х с G B G),
Z (G)=Kera (центр группы G).
Если (Ё-произвольная группа Ли, то через G° будет
обозначаться ее связная компонента единицы. Подмножество
G° есть нормальная подгруппа Ли в G, а смежные классы по
G° ——это различные связные компоненты группы G.

§1. ГРУППЫ ли и их двиствия НА МНОГООБРАЗИЯХ 27
Пусть f: СЧС-гомоморфизм групп Ли И Н —— подгруппа
Ли в G. Тогда f‘1(H)—no,z1rpynna Ли в G’ (как стабилизатор
точки aeG/H при действии l’c>f группы G’ Ha G/H).
B пп. 3 и 4 мы рассматривали вещественную ситуацию.
Однако все сказанное там переносится с соответствующими
изменениями на комплексно-аналитический случай. При этом
следует рассматривать голоморфные действия- комплексных
групп Ли на комплексных многообразиях. В определении
подгруппы Ли надо потребовать, чтобы она была комплексно-
аналитическим подмногообразием.
Пусть V— n-MepHoe векторное пространство над полем
K = R или С. Подгруппа G с GL (V) называется алгебраической
линейной группой над K, если в пространстве L (V, V) всех
линейных преобразований пространства V существует такое
аффинное алгебраическое многообразие А, что С=АПСЬ(У).
Иначе говоря, ‘должны существовать такие полиномиальные
функции pl, ...,ps Ha’L(V, V), что _
' G={geGL(V)|p1(g)=...=p,(g)=0}.
Любая алгебраическая линейная группа является подгруп-
пой Ли в GL(V) (комплексно-аналитической, если K = C) (CM.
[20], §3.l). Мы не будем входить в подробности теории
алгебраических групп (см.‚ например, [20], гл. 3) и ограничим-
ся некоторыми примерами и конструкциями. `
Пусть G c GL ( У)——алгебраическая линейная гругша над
К =R ИЛИ С. Линейное представление р: G->GL(W) над
K называется полиномиальным, если его можно записать
с помощью полиномиальных функций на- L(V, V). Легко
доказать, что если р полиномиальнод то для любой алгебра-
ической линейной группы Н с GL(W) подгруппа f‘1(H)c: G
также алгебраична.
Пример 16. Пусть W— конечномерное векторное про-
странство над K =R или С. Тогда для любого we W И любого
линейного подпространства S с W подгруппы
GL(W),,,={heGL(W)|h(w)=w},
GL(W)_g={hEGL(W)Ih(S)=S}
ашебраичны. ’
Пусть р: 6—›6'1‚(И/)—лгшейное представление группы Ли
G (соответственно вещественной или комплексной). Тогда
П0дГругШы .
Gw={geG| o(g)(W)=w},
.Gs={geG|p(g)(S)=S}

11'?’
28 ` ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
суть подгруппы Ли в G. Если С-алгебраическая линейная
группа Ли и р полиномиально, то С„, И СЗ-алгебраические
подгруппы.
5. Строение орбиты. Пусть задано действие t группы Ли
G Ha многообразии М, И пусть хе М. В обозначениях п. 4 имеем
t"(gh)=t"(g) (geG, he_=H).
Используя теорему 1 и (9), видим, что t" определяет G-
эквивариантное инъективное гладкое отображение (t")':
G/Gx——>M, o6pa3oM которого является орбита С(х). Исполь-
зуя предложение 1, получаем следующий результат.
Теорема 2 (см. [20], § 1.1; [74], гл. П). Пусть t——
действие группы Ли G на многообразии М. Тогда для любой
точки хеМ отображение (t")’: G /Gx—>M является иньектив-
ным погружением и морфизмом С-многообразий. Орбита G (x),
совпадающая с образом (:")', есть погруженное подмногооб-
разие в М размерности dim G—dim Сх. Касательное простран-
ство Т„(С совпадает с Im(d,_,t"). Если G компактна, то
G (х)—подмногообразие в М.
Используя теорему Бэра о категории, получаем отсюда
Следствие 1. Если действие t транзитивно, то для любой
точки хеМ ранг отображения t" равен dimM u отображение
(их)? G-/Gx—>M является изоморфизмом С-многообразий. Набор
(С, M, Сх, t") является расслоением.
Таким образом, всякое однородное пространство М груп-
пы Ли G изоморфно С-многообразию G/ H, где
Н=1С„——стабилизатор произвольной точки хеМ.
Действие группы Ли G Ha многообразии М называется
свободным, если С„={е} для любой точки хеМ. Действие,
одновременно транзитивное и свободное, называется просто
транзитивным.
Следствие 2. Любое просто транзитивное действие
группы Ли G изоморфно действию 1 группы С- на себе (см.
пример 12).
Следствие 3. Орбита С(х) открыта в М тогда и только
тогда, когда отображение def‘: T e (G)-——> T e (M ) сюръективно,
m. e. когда rkgt"=dimM (geG).
Следствие 4. Пусть fr С—›Н——гомоморфизм групп Ли.
Тогда Im f ——— виртуальная подгруппа Ли в Н, причем существу-
ет такой изоморфизм групп Ли f’: G/ Ker f-——>Im f, что f = f ‘ор,
где р: G—->G/ Ker f—ecmecmeeHHbn2 гомоморфизм. Если С ком-
пактна, то 1ш f—n0c)2pynna Ли в Н. Если гомоморфизм
f сюръективен, то f’ является изоморфизмом группы Ли
G/ Ker f на Н.
.. ьдььдцдд.

§i. группы ли и их двйствия НА МНОГООБРАЗИЯХ 29
6. Обобщенные морфизмы действий. В п. 3. была определена
категория действий фиксированной группы Ли, морфизмы
которой суть эквивариантные отображения. Теперь мы рас-
смотрим более широкую категорию, объектами которой
являются действия различных групп Ли. Морфизмы в этой
категории определяются следующим образом.
Пусть G, G’—rpynIIL1 Ли, М — О-многообразие, а М ‘-
Сдмногообразие. Морфизмом б-многообразия М в G’-MHoro-
образие М’ (или морфизмом соответствующих действий)
назовем пару (f, (р), где f : M-+M’—rJ1a,u;I<oe отображение, а (р:
G—>G’— гомоморфизм групп Ли, такие, что
/(8х)=Ф(г)/(х) (gea, хам‘). (11)
B случае, когда 6:6; а <p=id, это понятие совпадает
с понятием морфизма, введенным в п. 3. Композиция двух
морфизмов определяется покомпонентно:
(Л, Ф1)°(/2› (P2)=(f1°f2s (P.1°<P2)-
Пусть (f, (р)—морфизм С-многообразия М в G'-MHoroo6-
разие M С Тогда (р(б‚,)с G ,’(,,, для всех хеМ. Если f ИНЪСКТИВ-
но, то G,=<p‘1(G,’~(,,,).
B некоторых важных случаях морфизм (f, (р) полностью
определяется своей первой компонентой f.
Предложение 3. Пусть (f, (р)——-морфизм действия
t группы G на М в действие г’ группы G’ на M Q причем
f сюръективно. Предположим, что г’ эффективно или что
G c6,<z3na' u t’ локально эффективно. Тогда (р однозначно
определяетея отображением f.
Доказательство. Пусть (f, (И-другой морфизм дей-
ствия t B ti Тогда <p(g)y=\]1(g)y для всех geG, yeM§ так что
\|/(g)" 1 <p(g)eKer t’ для всех ge G. Отсюда легко следует наше
утверждение. I `
В предположениях’ предложения 3 мы можем рассматри-
вать морфизм (f, (р) как отображение f: M —›М Q удовлет-
воряющее (11) для некоторого гомоморфизма (р: G—>GC
Морфизм (f, (р) называется подобием, если f: M —+M ’—
диффеоморфизм многообразий, а (р: 6—›6’—изоморфизм
групп Ли. В случае G=G§ (p=id это понятие совпадает
_ с понятием изоморфизма действий. б-многообразие М И G’-
многообразие M’ (или соответствующие действия) называются
подобными, если между ними можно определить подобие.
З а м е ч а н И е. Любые изоморфные действия некоторой груп-
пы Ли подобны. В то же время два подобных действия одной и
той же грушты Ли могут не быть изоморфнымха (см. пример 4.1

30 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
шоке). Легко доказать, тем не менее, что если (f, ф)—подобие
О-многообразий М И М Q причем (р-внугренний автоморфизм
группы G, то О-многообразия М и M’ изоморфны.
Автоподобия некоторого О-многообразия М (т. е. подобия
многообразия М на себя) составляют группу относительно
композиции морфизмов. Обозначим ее через Sima M.
Очевидно, группа AutGM вложена в SimGM B качестве '
подгруппы при помощи инъективного гомоморфизма
[н (f, id). Еще одну подгруппу в SimGM можно определить
следующим образом. Для любого geG имеем
3(/2х)=(3113"1)3х=а„(/1)3х (heG, хе1И),
откуда видно, что (1,, а„)е$1шд М. Отображение. г: gs—+(tg, ад)
есть гомоморфизм группы G B SimG M. Его образ t(G)
является нормальной подгруппой в Simg M, так как
fot,of“=tm, для всех geG И (f, <p)eSimGM. '
Сопоставляя каждому (f, (p)e SimGM диффеоморфизм f,
получаем действие группы Зппд М (как абстрактной группы)
на М. Если t эффективно или если G связна и t локально
эффективно, то по предложению 3 это действие группы
SimGM эффективно, и мы можем рассматривать SimGM как
подгруппу в Diff M. При этом диффеоморфизм f принадлежит
Зйшд М тогда И только тогда, когда f И f ‘ являются
(обобщенными) морфизмами б-многообразия М на себя.
Действительно, допустим, что существуют такие эндоморфиз-
мы (р, \|I гругшы Ли G, что
f (в )=<P(g)f(x)»
f”‘(gx)=\|I(g)f”"(x)
для всех ge G, xeM. Тогда (id, (pow) и (id, \|;o<p)—-—Mopq>1r13MI.1,
и в силу предложения 3 <po\l1=\]1o(p=id, так что (peAut G. Если
t эффективно, то G можно отождествить с нормальной
I подгруппой t(G) B Simg M.
Отметим следующее свойство морфизмов действий, кото-
рое будет полезно при изучении инвариантов:
Предложение 4. Пусть (f, ‹р)—морфизм б-многооб-
разил М в дмногообразие М Ё Тогда f "' (®° (М ')G') с
с ®° (М) G. B частности, для любого С-многообразия М
подпространство ®° (М) G инвариантно относительно группы
Simg M.
Доказательство. Поскольку [о1„=1‘.,(„,о/ (geG), имеем
1;о[‘=[*о(1‘‚„„,)* для всех ge G. Отсюда легко следует наше
утверждение. I
M-'~‘ «м» ‘-I-L" мы к - . - - - -. . .
т -‘- wt м ‚ \mv.¢_.;..«.u, ъ. ...z.u._.¢-5.13:»-act;-rxss«A~Mm..zL\......ag.;v.;;a,«...i

§l. ГРУППЫ ЛИ И ИХ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 31
ПУСТЬ Ь-действие группы Ли G Ha M, (р: G '——>G--
гомоморфизм групп Ли. Тогда на М естественно возшигкает
действие t’= tocp группы Ли О; причем пара (id, (p) является
морфизмом действия t’ И ti Если G ’— виртуальная подгруппа
Ли в G И (р-вложение, то мы говорим, что t есть расширение
действия t’ или что г’ есть сужение действия г. Морфизм
(id, (p) называется в этом случае расширением действий.
Расширешите (или сужение) действий называется собственным,
если G '76 G.
7. Накрытпя действий. Напомним, что гладкое отображе-
ние многообразий р: N ——›М называется накрытием, если
М и N связны и любая точка многообразия М обладает такой
окрестностью U, что р определяет диффеоморфизм любой
связной „компоненты множества р " 1 (U) на U. Многообразие
N называется при этом накрывающим для М. Можно также
сказать, ‘что накрытие есть проекшая расслоения c простран-
ством расслоения N, базой М И дискретным типичным слоем.
В частности, любое накрытие есть факторное отображешиге
в смысле п. 1.
Пусть, в частности, M = G и N =H -—— связные группы Ли.
Сюръективный гомоморфизм р: H —->G является накрытием
тогда и только тогда, когда ядро Ker p ‚гшскретно. В этом
случае Н называется накрывающей группой для G. Полезно
отметить, что любая дискретная нормальная подгруппа
связной группы Ли G ЛСЖИТ в Z (G).
Пусть р: 1\’—-›М и q: Q—>P—m3a накрытия, и_ пусть f:
М —›Р—гладкое отображение. Гладкое отображение g: N ->Q
называется накрывающим для отображения f (ОТНОСИТСЛЬНО
р и q), если следующая диаграмма коммутативна: :
N g :0
P ' 9 /
M , =Р
Отображение g (если оно существует) полностью определя-
ется заданием двух точек yoeN, zoeQ, таких, что g(yo)=z0
(ЭТИ точки необходимо обладают свойством f ( p( yo))=q(zo)).
Для любого связного многообразия М существует такое
накрытие рм: M -›М , что М односвязно. Накрытие
р м называется односвязным и обладает следующим основным
свойством:

32 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Для любого накрытия р:__9—›Р‚ любого гладкого отображения
f: М—›Р и любых точек уоеМ, zoeQ, таких, что/(рм(у9))=р(2о),
существует единственное гладкое отображение f: М —› Q,
накрывающее f относительно р м и р и такое, что f ( yo) = 20.
В__частности, для любого накрытия р: N —›М И любых точек
yo e M, 20 e N, таких, что рм ( yo) ——_-‘p (го), существует единствен-
ное гладкое отображение рд: М—›А’‚ такое, что р„(уо)=2о
и что рм =рор„. На самом деле рд является односвязным
накрытием многообразия N. __
Пусть теперь б-связная _ группа Ли и pg: G—+G—
односвязное накрытие многообразия G. Из основного свойства
вытекает, что G допускает такую структуру группы Ли, что
рдтгомоморфизм (см. [20], п. 1.3.3).
Пусть 2—действие связной группы Ли G на_ связном
многообразии М, и пусть п: Н чб-накрывающий гомомор-
физм, а р: N —›М —-——некоторое накрытие. Действие ‘i группы
Н на N называется накрывающим для действия t (ОТНОСИТСЛЬНО
л И р), если (р, эту-Морфизм действия f B действие t.
Морфизм (р, п) называется накрытием действия.
Обозначим через 9: G x M —›М ртображение, определенное
формулой 0(g, x)=gx, И через 9: Н x N —>N —— аналогичное
отображение, определенное действием Ё. Очевидно, 3 накрыва-
ет действие t тогда И толЬко- тогда, когда 6 накрывает
6 (относительно п х р и р).
Предложение 5. Для заданных накрытий 1:: H-+G u p:
N -+M накрывающее действие 3 для действия t: G-+Diff M
единственно (если оно существует). Любая орбита Н ( у) (yeN)
действия f отображается с помощью р на орбиту G(p(y))
действия t, а подгруппа Н, открыта в подгруппе ‘It " 1(G,,(,.,)<:H.
Если t транзитивно, то и f транзитивно.
Доказательство. Единственность действия i следует из
единственности накрывающего отображения и свойства 0 (е, у) = у
(yeN). Ясно также, что p(H(y))=G(p(y)) (yeN). Отсюда
следует, что dim H ( y)=dim G(p(y)), И потому dim Н„=
=dim G,,(,,=dim1t“ (G,,(,,,) для любого yeN. Значит, под-
группа Ну, содержащаяся в подгруппе т: ‘1 (Отд), открыта
в последней. Если t транзитивно, то любая орбита Н (y) (yeN)
имеет размерность, равную dim M = dim N, И потому открыта в N.
Поскольку N -CB5I3H0, все эти орбиты совпадают между собой. I
Предложение 6. Пусть яд: ЁчС-накрывающий гомо-
морфизм групп Ли, причем G односвязна, и р: N --›М —
накрытие связного многообразия М. Тогда для любого дейст-
_ вия t группы G на М существует накрывающее его (относи-
тельно р и же) действие группы G на N.
д д „д. мд...ъ.д.ь._

§1. группы ли и их двиствия НА МНОГООБРАЗИЯХ 33
Доказательство. Пусть рм: 1Й—›М—-односвязное на-
крытие И пусть гладкое отображение pN: 1l7—>N таково, что
рм =рор„. Рассмотрим соответствующее t отображение 93
G x М —-› М. B силу основного свойства односвяз31ых_ накрытий
существует такое гладкое отображение 9: G x М -› N, что
диаграмма
Ф!
Ёхй N
“G"PM р
охм в м
коммутативна и что ё(ё, y0)=pN(yo), пр ё —единица группы
G, a уо-фиксированный элемент из М. Из единственности
накрывающего отображения без труда выводится, что
0(ё, у) = р„( у) (уеМ). Пусть теперь у, и у2—такие элементы
из Й, что PN(J’1)=PN(.V2)- Тогда 509, y1)=5(g, Уз) для Шобого
ge G. Действительно, отображения g+—->5 (g, y,-) (i=1, 2) много-
образия G B N оба накрывают отображешиге г“: G—>M, где
25=pM(y1)=pM(y2), И переводят ё в одну и ту же точку
9(ё, y,-) =pN(y,-). Поскольку рд-факторное отображение, от-
сдода следует, что 0 определяет гладкое отображение О:
G x N —› МА накрывающее отображение О и удовлетворяющее
условию 9(ё, 2)=2 для любого zeN. Снова используя един-
ственность A накрывающего отображения, легко убедиться
в том, что 0(g, 0(h, z))=9(gl}_, z) для всех g, heG, zeN. Значит,
9 определяет действие t: G—>Diff N. Очевидно, 3 накрывает
t при помощи пары (р, на). I
Следствие. Пусть 6—связная группа Ли и р: H—-+G—-
некоторое накрытие многообразия G. Тогда на Н существует
такая структура группы Ли, что р-гомоморфизмц
Доказательство. В обозначениях предложенияб суще-
ствует действие t грушты G Ha Н, накрывающее действие I
грутшы G Ha себе относительно па и р. Выберем такой элемент
eoe'H, что р(ео)=е‚ и обозначим N --= Geo. Тогда, очевидно,
N c Ker па, так что N ——-центральная подгруппа Ли в G. OT-
сюда следует (см. п. 4), что на Н существует такая структура
Грушты Ли, что орбитное отображение ро = 2"°: G—>H является
гомоморфизмом. Имеем p(geo)=1tG (g) p(eo)=1tG (g) (ge G), так
Что P°Po‘-‘-'7'3G- Значит, p(po (a) Po (b))=p(po (вы) =‘:_75G (ab)=
="G(a)7FG(b)=P(Po (0)) P(Po(b)) для Любых as b€G- I
2 A. Л. Онишик

I
п"
34 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
§ 2. Инфинитезимальное изучение груш _Ли и их действий
1. Потоки и одиопараметрические подгруппы. Пусть г:
R—>Diff M —1'IOTOI( Ha многообразии М (см. пример 1.9). Тогда
определено векторное поле скоростей ое V(M) потока t,
значение которого vx B точке хеМ есть касательный вектор
ь
к пути „гни, (х) при s=0. Если рассматривать и как оператор
на F (M), то
‹и‹р›‹х›=;{‹р‹ь‹х»ь=о.
Поле скоростей однозначно определяет поток. Любое вектор-
ное поле на М служит полем скоростей некоторого локаль-
‘юго (т. е. определенного лишь для достаточно малых
s B окрестности любой заданной точки хеМ) потока.
Векторное поле называется полным, если оно является полем
скоростей (глобального) потока. Любое векторное поле на
компактном многообразии полно (см. [35], § 1.9; [73], гл. 1).
Если г-поток на М и f e Diff M, то формула
is =.f° ts Ч’ _ 1
определяет поток Ё на М. Соответствующее поле скоростей
имеет вид i2'=f.. (v). B частности, поле и инвариантно относи-
тельно f тогда и только тогда, когда /ог‚=г‚о/ для всех seR.
Пусть теперь о-векторное поле на М, являющееся полем
скоростей потока t. Определим линейный оператор
L,, B пространстве (95 (.М) формулой
(Ь„о‹›‚.=%(‹:‚д..о‹)‚ь=„. (1)
Оператор L,, называется производной Ли по направлению поля
и. Он обладает следующими свойствами:
ю %«г„›..о«›х=.«гз›ш„а›х «хееимъ
2) Ь[и.о] = [Lug Lu] =Lu Lv _ LvLu9
3) L,,oc=0<->(ts),..oz=oc для всех seR (осе (-Df,’(M)).
ВЫПИШСМ явный вид производной Ли в наиболее интересу-
ющих нас случаях:
а) p=q=0: L.,<p=-v<P (<P6F(M)),
b) p=1, q=0: L.,u=[u,v] (и: V(M)),
с) р=0: '(L,,ot) (щ, ...‚ и‚‚)=; ос(и1‚ ...‚ [v,u,-], ..., uq)-—
——v(cx(u1, ..., uq)) (oce®f,’(Al), u,-E
_ › _ _ __ __ __ _\ _ _ .:,_ _. .g_.'_«_._ .__„'. ‘_ . .‚ ‘.‚.... › _-_.._:'__" .,.. . ‹ ‚...-‚—„
.` `мшш.ь- ' ' =„щ„477755’\' Ё` ¥"”V'*§.3'§¥°’§'-53i‘::3'*- т‘ 1 „.-Д.;.‹;.„„„„„..„„„. а “ И д‘ "*'“щ‘5"‘" " " .‚ ..

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРУПП ЛИ 35
Пусть G —некоторая группа Ли. Однопараметрической
подгруппой в G называется гладкий путь у: R—>G, удовлет-
воряющий условию
y(s+s’)=y(s)y(s’) (s, Жен),
т. е. являющийся гомоморфизмом аддитивной группы R B G.
Вектор у’ (0) называется направляющим вектором однопараме-
трической подгруппы у.
' Пример 1. Пусть Х е М„ (R). Тогда формула
' 'y(s)=exp (зев)
определяет однопараметрическую подгруппу у в группе
GL,, (R) с направляющим вектором Х. Здесь через ехр
обозначено отображение М„ (R) —› GL,, (R), заданное формулой
ехр X = —-. (2)
Векторное поле на группе Ли G называется правоинвари-
антным, если оно инвариантно относительно всех правых
сдвигов rg (ge G) (CM. пример 1.12). Аналогично определяются
левоинвариантные векторные поля. Всякое правоинвариантное
поле v имеет вид
ид=(с1ег;‚) ve (ge G),
причем в качестве ve может выступать любой вектор из T e (G).
Таким образом, соответствие v+——>ve является изоморфизмом
пространства V(G)'° правоинвариантных векторных полей на
G Ha пространство Те (G).
Пусть теперь у—— однопараметрическая подгрутша группы Ли
G с направляющим вектором и. Тогда 2,: 17(5) (se R)—1IoTo1< Ha
многообразии G. Поскольку г, перестановочны со всеми rg (ge G),
после скоростей v потока I правоинвариантно. Ясно, что ve= u,
ЧСМ поле и однознагшо определяется. Отсюда следует, что
соответствие у п—› и является биекшаей между множеством всех
однопараметрических подгругш в G и пространством T e (G).
Этот факт позволяет обобщить на любые группы Ли
экспоненциальную функцию от матрицы, определенную фор-
мулой (2). А именно, для произвольной группы Ли G опреде-
лим экспоненциальное отображение ехр: T e (G) —› G формулой
ехри=у(1)‚
Где у-однопараметрическая подгруппа в_ G с направляюцшм
вектором и. Имеем при этом у (s) = exp (su) (s e R).
‘7 *

36 гл. 1. группы ли и однородные ПРОСТРАНСТВА
Легко видеть, что ехр0=е и что do exp-—=id. Поэтому ехр
является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля
в Те (G) на окрестность точки e B G. Известно, что любая
связная группа Ли порождается тобой своей окрестностью
единицы (см. [20], § 1.3). Поэтому если группа Ли G связна,
то любой gs G представляется в виде g=(exp ul) (exp u,), где
u; e T, (G). Отметим также следующее
Предложение 1. Пусть f: 6—›Н—гомоморфизм групп
Ли. Тогда диаграмма
def
TQM?) ил)
exp exp
G f +Н
коммутативна.
2. Касательная алгебра грушш Ли. Одним из важнейших
фактов теории грутш Ли является наличие соответствия между’
группами Ли и ашебрами Ли. .Если G ——группа Ли, то
соответствующую ей алгебру Ли -—-так называемую касатель-
ную алгебру—можно построить следующим образом. Рас-
смотрим алгебру Ли V(G ) векторных полей на G c операцией
[ , ]‚ определенной формулой (1.1). Легко проверить, что
подпространство V(G) '0 правоинвариантных векторных полей
есть подалгебра в V(G ). Перенеся операцию [ ‚ ] из V(G)“
в пространство Те (G) c помощью изоморфизма и ъ—+ 1)., ИЗ II. 1,.
мы получим структуру вещественной алгебры Ли в простран-
стве Те (G). Это И есть касательная алгебра грутшы G. Если
СЪ-комплексная группа Ли, то ее касательная алгебра будет
алгеброй Ли над полем С. .
Коммутатор {и‚ v] векторов и, ve Te (G) можно непосред-
ственно описать следующим образом. Пусть ос (s), B (s)
(lSI<8)—-TaKHe гладкие пути в G, что oc(0)=[3(0)=e, oz’(0)=u,
B'(0)=v. Тогда [u, v]=Y'(0), где
т): { WE), вид» при o<s<s,
(инд), B(/-—-3))“ при —-e<s<o.
Через (g, /2) здесь обозначается’ групповой коммутатор:
(8‚/1)=8/18”д`1-

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ изучвнив групп ли 37
касательную алгебру группы G обозначим через g. Вообще
в дальнейшем группы Ли будут, как правило, обозначаться
заглавными латинскими, а их касательные алгебры-соответ-
ствующими строчными готическими буквами.
Напомним основные свойства описанного выше соответст-
вия (см. [20], гл. 1 или [73], гл. 3). Если f: G—>H—
гомоморфизм групп Ли, то отображение de f : T,_,(G)—->Te(H),
которое для краткости часто обозначается через df, является
гомоморфизмом алгебры Ли g B алгебру Ли I). Из предложе-
ния 1 и предшествующего ему замечания следует, что df
полностью определяет- гомоморфизм f, если G связна. Очевид-
но, отсутствие 6н9, f I-> df есть ковариантный функтор из
категории грушт Ли в категорию алгебр Ли над R. Если
грутшы G и Н связны, то df—I»I3oMop¢>1»I3M тогда и только
тогда, когда f является накрытием (см. п. 1.7) (такой
гомоморфизм f называют также локальным изоморфизмом).
Имеет место следующая важная
Теорема 1. Пусть G, H—-epynnbz Ли и (р: g—>I)-—'
гомоморфизм их касательных алгебр. Если G односвязна, то
существует такой гомоморфизм f : G—>H, что (p=df.
П рим е р 2. Пусть А шконечномерная ассоциативная ал-
гебра с едингщей над полем K =R или С. Тогда множество А "
ее обратимых элементов является грутшой по умножению.
Множество А " открыто в А и тем самым является многооб-
разием. Легко проверить, что А" —грутша Ли (комплексная,
если K = С). Ее касательная алгебрам-это алгебра А, в кото-
рой умножение заменено операцией коммутирования:
[u, U] = uv—- vu. (3)
Пример 3. Если в качестве алгебры А в предыдущем
примере взять алгебру L (V, V) всех линейных преобразований
п-мерного пространства V над K или изоморфную ей алгебру
матриц M, (K), то получим’ группу Ли GL(V) mm’ GL,,(K) (см.
пример 1.3). В соответствии с общим соглашением касатель-
ная алгебра этой группы обозначается через gI(V) (соответст-
венно 91„ (K )). Эта алгебра как векторное пространство
совпадает c L (V, V) (COOTBCTCTBCHHO M,, (K )), a умножение.
(называемое коммутированием) задается формулой (3).
Всякому линейному представлению р: G->GL( V) некото-
рой гругшы Ли G соответствует гомоморфизм dp: g—+gI( V),
T. е. линейное представление алгебры Ли g B том же_
пространстве V. Отметим следуюцше свойства, которые
вытекают из предложения 1 и предшествующих ему замеча-
ний. Если подпространство Wc V инвариантно относительно

38 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
представления р, то W инвариантно и относительно d p, a если
G CB$I3Ha, то верно и обратное. Подпространство инвариантов
VG представления р содержится в подпространстве
V9={x'eV|dp(u)x=0 для всех ueg}, (4)
a если G связна, то VG: V9. _
П ример 4. Присоединенным представлением алгебры Ли
9 называется гомоморфизм ad: 9 —›91 (9), заданный формулой
(adx)y= [x, y] (x, ye g).
Если 9—касательная алгебра группы Ли G, то ad=dAd, где
Ас1——присоединенное представление группы G (CM. при-
мер 1.8). _
Прим ер 5. Пусть р и о-линейные представления
группы Ли G" B пространствах V И W COOTBCTCTBCHHO. Тогда
для любых ueg, хе V, yeW имеем
dI3(u)=-(dP(u))T»
d(P+°)(u)(x» y)=(dP(u)xa dP(u)y),
d(pcs)(u)(x®y)=dp(u)x®y+x®do'(u)y. ’
Эти формулы позволяют вычислить представление с1Т5 (р) для
любых р, q (CM. пример 1.7). В частности, получаем (ср. (1.3)‚
(1.4) и (1.5)): °
(с1Т2(р)(и)ос)(х1, д): „д: ос(х1, а'р(и)х„ xq); (5)
<dr;(o)<u)a>(x1, х„›= о _
=dp(u)oc(x1, ..., xq)—§:1a(x1, ..., dp(u)x,., ..., ха); (6)
ш‹р›‹а›о‹=ар‹и›оо‹-аоар‹и›=[ёыиъее]. ‹7›
Для любой конечномерной алгебры Ли 9 над R (или С)
существует связная группа Ли (соответственно комплексная
группа Ли), касательная алгебра которой изоморфна 9 (см.‚
‘например, [20], гл. 6, теорема 2). Среди всех связных групп Ли
с данной касательной алгеброй существует единственная (с
точностью до изоморфизма) односвязная группа Ли G. Любая
другая связная группа Ли из этого класса изоморфна д / N, где
N —дискретная нормальная подгруппа в G (CM. [20], теорема
1.3.3).
Пример 6. Пусть 9——-п-мерная коммутативная алгебра
Ли над R, T. е. 9:5!” и [и‚ v ]=0 для любых и, veg. Тогда мы
..-.,—;:.-'o<\sosn.un\<u.;...s.:4.¢».':»;>u.»uniﬁu¢'u4-a с... _. .. ` . .
...-.„-3 щвётрфём- .»ё„«=вБ-‚ё-а.хънрВ-‹ацоъаьы&1д ._ т, ‚5 „гм - - ~. "п, . . . .- 3,: - ‘—
av ia&3bzA „дн - .'4;-*\J-4<.~AI«-act)»->.~ „им

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ групп ли 39
можем взять в качестве G аддитивную группу R". Любая
группа Ли с касательной алгеброй 9 изоморфна одной из
групп 0=Н"/Г‚ где Г —дискретная подгруппа в R". Известно
(см. [15], гл. VII), что любая дискретная подгруппа ГсН” есть
решетка, т. е. свободная абелева группа, порожденная некото-
рой линейно независимой системой векторов из R". Отсюда
выводится, что G 2T'xR"", где г-ранг грушты Г. Любая
связная абелева группа Ли имеет коммутативную касательную
алгебру и, следовательно, изоморфна одной из указанных
групп G. - _
3. Подгруппы Ли и подалгебры Ли. Пусть H —виртуальная
подгрутша Ли группы Ли G. Тогда касательная алгебра
I)= Te (H) является подашеброй алгебры 9. Если подгруппа
Н связна, то она полностью определяется подалгеброй I). Для
любой подалгебры I)cg существует виртуальная подгруппа Ли
Hc:G, такая, что Te(H)=I).
Если (Нд-некоторое семейство виртуальных подгрупп
Ли в G И H -=ﬂH;, то аналогичное равенство I)=ﬂI),- верно
I l
И для касательных алгебр (см. [20], § 1.4). B этом пункте мы
укажем несколько важных примеров и конструкций подгрупп
Ли (в дополнение к примерам из п. 1.4) и опишем соответст-
вующие подалгебры Ли.
Пример 7. Пусть t: G —>DiffM—-—,z:e1‘»icTBne грутшы Ли G.
Согласно предложению 1.1, касательная алгебра 9, подгруппы
Ли 6„ хеМ, совпадает с Ker (а; t"). B частности, если
t= р—линейное действие в пространстве V, то
9„={ие9|с1р(и)х=О} (хе V).
Если S ——подпространство в V, то касательная алгебра
подгруппы Ли GS cG (см. пример 1.16) есть
gs={ueg|dp(u)(S) ‹: S}.
Пример 8. Пусть f: (?—›Н—гомоморфизм групп Ли.
Тогда касательная алгебра подгруппы Ли Кег f совпадает
с Ker df. Рассмотрим два частных случая:
а) Пусть f = Ad—npncoe1mHeHHoe представление группы
Ли G. Если G связна, то Ker Ad совпадает c центром
Z (G_) группы G. Соответствующая касательная алгебра
есть Ker ad={ueg| [u, v ]=О для всех veg}, T. e. центр
3(9) алгебры Ли 9.
Ь) Пусть f=det: GL,,(K)—+K", K=R или С. Тогда
d f = tr: 91„ (K )—-+K (след матрицы). Следовательно, $Ь„ (K)=
=Kerf= {Xe М„ (К) | detX= 1} есть нормальная подгруппа Ли

40 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(над K) B GL,, (K) с касательной алгеброй 51,, (K) = {Xe
` е 9!„(К)| trX=0}.
Заметим также, что для любой подгруппы Ли K cH
касательная алгебра подгруппы f ‘1 (K) есть (df)'1 (f).
П р и м е р 9. Пусть G —-—' группа Ли, s — ее эндоморфизм. Из_
предложения 1 следует, что
G‘= {geGIs(g)=g}
— подгруппа Ли в G, причем ее касательная алпебра
совпадает с
9"‘= {ueg | (ds)u=u}.
Пр имер 10. Пусть G —группа Для действия а группы
G Ha себе имеем _
dea9=d,_,r;—delg=d,_,r;(id—Adg) (geG). (8)
Отсюда следует (см. пример 7), что для любого ge G И любого
S -:6 касательные алгебры централизаторов ZG (g) И ZG (S)
(CM. пример 1.15) .суть соответственно
a(g)=3g(g)={ue9l(Adg)u=u}
3(S)=3g(S)={ueg|(Adg)u=u для всех geS}.
B частности, касательная алгебра центра Z (G) есть
3(g)={ueg I (adx)u=0 для всех xeg}.
Аналогично, если I) 4- подпространство в g, то
Z(E))=ZG(I))= {geG I (Adg)u=u для всех ueb}
есть подгруппа Ли в G c касательной алгеброй
3(I))=39(I))= {xegl [x, u] $0 для всех ueb}.
Если [ъ-касательная алгебра связной виртуальной подгруппы
ЛИ H, то Z(H)=Z(b) И 3(H)=3(b).
Пример 11. Пусть Ь-подпространство касательной ал-
гебры 9 группы Ли G. Рассмотрим подгруппу Ли
N([7)=NG(I))=~{8EG|(Adg)[)=I)}-
B силу примера 7 ее касательной ашеброй является нор-
мализатор подпространства Е) в g:
"(b)=ng(b)={u€9|[u» 1)] Cb}-
Если Ь-касательная алгебра связной виртуальной под-
группы Ли -Н в G, то подгруппа N (1)) совпадает с нор-
' nun! Ь
‘д; 19'* "&‘{\„-.‘5){.: ‚ ,3vgg‘..vj_"g,1,3_3k_,_t,. гдддуйд'..„к_гдд‘ д ._ ._ .- . . .‚ ,:_ :____,_ o_ ..._:___»__.,... ‚о, _‚«Э«‹._ЁЁ„П__.__ . . а: -.__ ._ ___. - . . _ ‚-„. _._ _ _ „ д ‚
9 ‹ V ‹ '.Ш1Б‹'›и.я^.ь.-ь-ч\4он«-Ь -.4»-sax‘ ' ‘лишив-ка. _\.»«<t)ﬁiL}E-0(q~9’l\hB>«~4.\.‘m.y{x(aJ>dae~$cA.p" ‘ч '~ а I

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРУПП ЛИ 41
мадшзатором N (H )=NG (H ) подгруппы Н в G. Если G связна,
то N (H )=G тогда ‘и только тогда, когда касательная алгебра
n(E)) совпадает с g. Таким образом, связная виртуальная
подгруппа Ли Н связной группы Ли G нормальна тогда
и только тогда, когда подашебра I) есть идеал в g. Разумеется,
И без предположеъшй о связности из нормальности подтрутшы
Н следует, что Ь-идеал в g.
Любая подгруппа Ли группы Ли G замкнута в G (ЭТО
утверждение содержится в формулировке теоремы 1.1). В ве-
щественном случае верно и обратное. А именно, справедлива
следующая .
Теорема 2 (см. [1], 2.27; [74], гл. 2). Подгруппа
Н вещественной группы Ли G является подгруппой Ли тогда
и только тогда, когда Н замкнута в G. Ee касательная алгебра
I) задается формулой
Ь={ие9|ехр(‚$*й)еН для всех seﬁ}.
B силу этой теоремы замкнутая подгруппа комплексной
грушты Ли G является ее вещественной подгруппой Ли. Если‘
мы хотим доказать, что такая подгруппа является комплекс-
ной подгруппой Ли, то нужны некоторые дополнительные
аргументы. Например, достаточно доказать, что ее касатель-
ная алгебра есть комплексная подашебра в g.
Пример 12. Пусть г: (?—›В1ГГМ—действие группы ЛИ G.
Для любого подмножества S r: M обозначим
Gs"';{gEG|g(S)CS}-
Если S замкнуто в М, то Gs замкнута в G И, значит, является
(вещественной) подгруппой Ли в G.
Пример 13. Пусть А-некоторая алгебра над полем
K и V-— векторное пространство, на котором она определена.
Обозначим через Der A пространство всех дифференцирований
алгебры А, т. е. линейных преобразований’ X: V--> V, yJ1OBJI6T-
воряющих условию '"
X(uv)=(Xu)v+u(Xv) (u, ve_=A).
Как известно, berA является подалгеброй ашебры Ли gI(V)
Bcex линейных преобразований пространства V. Предположим,
что dimA<oo, K =R или С. Структура алгебры А в простран-
стве V-— это билинейная операция на V, T. e. тензор осе Т; (V
Из (1.4) следует, что GL(V),, совпадает с группой Aut A Bcex
автоморфизмов алгебры А. Касательная алгебра этой (ашеб-
раической) подгруппы Ли в GL(V) есть bet A (CM. пример 7
И формулу (6))-

42 гл. 1. группы ли и однородныв ПРОСТРАНСТВА
Предположим, что А =9—конечномерная алгебра Ли над
полем К: R ИЛИ С. Пусть 6—-связная группа Ли с касатель-
ной алгеброй 9. Тогда присоединенное представление Ad есть
гомоморфизм 6-›А1п 9. Его образ AdG есть_связная нормаль-
ная виртуальная подгругша Ли в Aut g. Эта подгругша
порождается автоморфизмами вида exp (ad и) (ие9) и потому
не зависит от выбора грутшы G. OHa обозначается через Int 9 .
и называется группой внутренних автоморфизмов алгебры 9.
Касательная ашебра подгруппы Int g совпадает с идеалом
ad 9 с bet 9.
Пример 14. Пусть G—rpy1ma Ли. Обозначим через
(G, G) коммутант группы G, T. е. ее подгруппу, порожденную
всевозможными коммутаторами (g, h), где g, he_=G. Если
G связна, то (G, 0)—свя3ная виртуальная нормальная под-
группа Ли в G, причем ее касательная алгебра совпадает
с коммутантом [9‚ 9] алгебры Ли 9 (т. е. c линейной
оболочкой всевозможных коммутаторов [и, и], и, veg).
4. Инфинитезимальное изучение действий. С каждым дейст-
вием 1:: G—>Diff M можно связать гомоморфизм алгебры Ли
9 в алгебру Ли V(M) векторных полей на М. Ввиду аналогии
с дифференциалом гомоморфизма групп Ли мы будем
обозначать этот гомоморфизм алгебр Ли через’ dt. OH
строится следующим образом. Пусть ие 9. В силу предложе-
ния 4 в G существует однопараметрическая подгруппа
у с направляющим вектором и. Тогда s+-»t,(,,'-noToI< Ha M.
Его поле скоростей мы и обозначим через (dt)u. Имеем,
очевидно, .
((л‚:)и)„=(л,:*)и (хёМ).
Предложение 2 (см. [74], гл. П, теорема 3.4; [44],
гл. 1). Для любого действия t: G—>Diff M отображение dt:
9—› V(M) является гомоморфизмом алгебр Ли. Идеал Ker а’:
есть касательная алгебра подгруппы Ker t. Если G связна, то
гомоморфизм dt полностью определяет действие t. ‚
Из предложения 2 следует, что Im dt—no11aJIre6pa B V(M );
ее элементы называются фундаментальными векторными
полями действия t. Другое очевидное следствие состоит в том,
что если t эффективно, то аг—инъективный гомоморфизм.
Если, обратно, dt инъективен, то Ker г-дискретная подгруппа
в G, T. е. t локально эффективно.
При мер 15. Рассмотрим действие 1: 6—›1)1Г1` G левыми
сдвигами. Тогда для любого ие9 поле v=(dl u npanonmaapn-'
антно и v,,=u (см. п. 1). Значит, а'1: g->V(G)°—1»13oMopq)1»13M
алгебр ввиду определения коммутатора в 9, данного в п. 2.
щ ~: .2 . 3 -.-. .. . .
3„ ,gg..,_. ‚‚ _. ‚_..-д - . к . .
же‘. ‘х "' ' .¢.:,'«Jav‘u.«;p'1w-|v~J('.&J.a.~>;—£u:...L.'...vu..L.*- ...
-;.„„Д›„.‚ц-.4ЬЦ Ё " т’: ‘Ё ': :1 .'.~i-V"_"-/.r{¢.- ,. :7. .-I т _ ‘.‚"_':_-’ ~. r _ - ;.‘: Ё‘ _*-j ‘з, '_A-V'_7_-'v- . -' ' _ ‚ ,,_;,‘,,.‘r_ д‘ „

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРУПП ЛИ 43
Аналогично, для действия r: G—>Diff G правыми сдвигами
мы имеем (dr)u= —w, где ин-левоинвариантное векторное
поле на G, ДЛЯ которого we=u. Пусть и›’—другое левоинвари-
антное векторное поле и u’=w;. B силу предложения 2
[щ w’]=[(dr)u, (dr)u’]=(dr)[u, u’], откуда [w, w’]e= —[u, u’].
Таким образом, отображение ш—›и› есть антиизоморфизм
алгебры g Ha алгебру Ли V(G)l" левоинвариантных векторных
полей на G.
Далее нам будет полезно следующее утверждение.
Предложение 3. Пусть Ьтдействие группы Ли G на
М и М-замкнутое подмногообразие в -M. Тогда подгруппа
GN (CM. пример 12) является подгруппой Ли в G (комплексной
в комплексно-аналитической ситуации), и ее касательная
алгебра QN совпадает с подалгеброй {ие9|((с1г)и)хеТх(1\/) для
всех xeN
Доказательство. Как мы видели в примере 12,
GN есть вещественная подгруппа Ли в G. Пусть у-
однопараметрическая подгруппа группы G c направляющим
вектором и. Если uegN, то все орбиты потока rm, лежат в N,
так что поле (dt)u касается подмногообразия N во всех его
точках. Обратно, если векторное поле (dt)u касается N, то
любая его интегральная кривая, начинающаяся в точке из N,
лежит в N. Поскольку эти кривые-это как раз орбиты
потока t-Y(s), мы имеем у(5)е6„ для всех seR. Значит, ueg~.
B комплексно-аналитической ситуации подалгебра QN, оче-
видно, комплексна, и поэтому бд-комплексная подгруппа
Ли]
Теперь мы дадим некоторые приложения этого ут-
верждения.
Пример 16. Пусть H —подгруппа Ли группы Ли G.
Докажем, что ее нормализатор N (H )=NG (H ) является под-
группой Ли в G И имеет касательную алгебру
n(H)=ng(H)=-{ueg|(Adh)u——ueI) для всех heH} (9)
(в случае, когда Н связна, это утверждение содержится
в примере 11). Если рассмотреть действие а группы G Ha себе,
то N (H )=GH является подгруппой Ли в силу предложения 3.
Ее касательная алгебра состоит из таких ueg, что (аежгие
eT,,(H)=(der;,)I). Из (8) следует, что она совпадает с п Н
Пример 17. Пусть (Ё-связная группа Ли. Мы хотим
снабдить группу AutG ее автоморфизмов «естественной»
структурой группы Ли. Сопоставляя каждому автоморфизму
его дифференциал, мы получим инъективный гомоморфизм dz

44 гл. 1. группы ли и одногодньпв ПРОСТРАНСТВА
Aut_G—+Aut g. Если G односвязна, то d сюръективен по
теореме 1. Поэтому мы можем перенести структуру группы
Ли с Aut g (см. пример 13) на Aut G, причем d будет
изоморфизмом гругш Ли. Используя предложение 1, доказыва-
ется, что естественное действие группы Aut G Ha G гладко.
Пусть теперь H — подгругша Ли в G. Используя предложе-
ние 3, видим‚ что -
(AutG)H={ozeAut GI oc(H)<:H}
есть ПОДГРУППа Ли в Aut G. Если Н связна, то (Aut G)H=
= {oceAut G|(da)I) c: Ь}, и поэтому касательная алгебра этой
подгруппы есть (Ьег9);,={ХеЬег9|Х([))с:Ь}.
Если (Э-произвольная связная грушта Дн, то рассмотрим
накрываюцшй гомоморфизм р: G—+G, где G односвязна. Мы
можем считать, что ар-тождественное преобразовашите каса-
тельной алгебры 9 групп G И G. Если отождествить Aut g
c Aut G, как это было сделано вьпне, то d (Aut g) будет
совпадать с подГРУПпой (Aut G)N c Aut G, где N =Ker p. Таким
образом, на Aut G будет определена структура гругшы Ли, ~
Естественное действие группы Aut G на G является фактордей-
ствием естественного действия гругшы (Aut G )„ на G И потому
гладко (см. пример 1.14). Для любой подгруппы Ли Н с G
поДГРУппа (Aut G)” является подГрУПпой Ли в Aut G B силу `
предложения 3. Кроме того, гомоморфизм а: дг-эад группы
G B Aut G является гладким. Положим Int G=a(G
Как мы видели в п. 1.3, с произвольньпи действием г:
G —>Diff M связан набор линейных представлений г. группы
G B пространствах тензорных полей (-35; (M Теперь мы можем
опредешиггь лшнейшое представление алпебры Ли 9 в пространстве
(9 5 (M), являющееся в естественном смысле дифференциалом
представления t,..; мы обозначим его через dt,.,. Для этого положим
dt*u=L(dt)u:
где [т-производная Ли, определенная в п. 1. Положим
®§,’(M)9={oce(~)§,’(M)|dt,..(v)(oc)é0 для всех veg}.
I/I3 свойства 3) производной Ли следует
Предложение 4. Для любого действия t: G-+DiffM
имеем (95‚’(М)°с®5(М)9. Если G связно, то (-)f,’(M)G=
=®5(M)“- ‘
CJICJICTBHC. Векторное поле ие V(M) инвариантно от-
носительно действия t связной группы Ли G на М тогда
и только. тогда, когда [u, v] =0 для любого фундаментального
векторного поля и действия t.
\
.,.
. . . . ь .. - . 4 ч’ ,,
- -. :. '-‘ -'. . › _ .,v "I ‘ч -. -_. - т’. - . .. ^_'=_
* .\.'..'..2,.‘.~.~,~a;n.~..s..:..:.u.«;;;u~.....-79.-0:.~,-;.../¢.,seu:;..:.z.‘sAsilk;..¢.&;3.s:..a\l.<;;.a;..x.$..-;.;(:\ ›‹- . . .. . '-. ж =,:.~.,:
ж —- . х . ‚ь .. ' " .
д. „ `__ - .‚- -.' ._._. \_ . . . .. .. .. . .._.h.
' ‘ -.'.An4ml».,. „днищами. мыт ›$ »Аць2*` \..a.,...u-..-"
ﬂcﬁ’-_.-_ __ .-_- ,~.J_._._._-.33‘-, 3‘ _ д, ._5,^_..: _ -: lg:--”.,

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРУПП ЛИ 45
Отметим также следующую характеризацию автоморфиз-
мов И автоподобий действия грутшы Ли.
Предложение 5. Пусть 1—действие группы Ли G на
многообразии М, f e Diff M. Если f -— автоморфизм действия г,
то ﬁv--= v для любого фундаментального поля v действия t. Для
связной группы Ли G верно и обратное, т. е. Ашд М ={ f e
eDiffM|f..v=-v для всех velmdt}. Если feSimGM, то Imdt
инвариантно относительно f,, a для связной группы G имеем
311116М={[е1Э1ГГМ|/;(1шс1г)=1ща71}.
5. Группы Ли npeoﬁpaaonamﬁ. Пусть M —многообразие.
Подгруппа G с: Diff M будет называться группой Ли преоб-
разований многообразия М, если G допускает такую структуру
грушты Ли, что естественное действие t группы G на М гладко
и что каждый поток на М, содержащийся в G, имеет вид
5э—-› t-7(8), где ън-однопараметрическая подгрутша грушты G.
Доказывается (см. [140])‚ что структура группы Ли на G,
обладающая этими свойствами, единственна. Кроме того,
алгебра Ли фундаментальных векторных полей естественного
действия группы Ли преобразований G совпадает с множе-
ством полей скоростей потоков, содержащихся B G.»
Предложение 6 (см. [140]). Для любого действия t:
G—>Diff M группы Ли G подгруппа t(G) с Diff M является
группой Ли преобразований.
Рассмотрим теперь гругшу диффеоморфизмов, оставля-
ющих инвариантными заданное тензорное поле на М, И сфор- '
мулируем достаточное условие того, что она ‘является группой
Ли преобразований.
Пусть о-тензорное поле на М. Положим
С(М, o')={feDiffM|f..cs=o'},
g(M, o')={ve V(M)|L,,o‘=0}.
TeopeMa 3 (см. [140]; [44], гл. 1). Предположим, что
алгебра g (M, о) конечномерна и состоит из полных векторных
полей. Тогда С(М, о)--группа Ли преобразований, а g(M, о)
— соответствующая алгебра Ли фундаментальных векторных
полей.
Эта теорема имеет два важных применения. В первом из
них о- риманова структура, т. е. положительно определенная
симметрическая дифференциальная форма степени 2. Много-
образие М, снабженное римановой структурой о, называется
римановым многообразием, элементы гругшы С(М, о) называ-
ются изометриями, а векторные поля из g(M, о)——киллин-
говыми векторными полями. Оказывается, что dim g(M, o')< оо

46 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И что любое киллингово векторное поле на ‘полном римано-
вом многообразии "полно (см. гл. 1). Отсюда вытекает .›
Следствие 1. Группа ‘ изометрий полного риманова д
многообразия является группой Ли преобразований, причем „
соответствующие фундаментальные векторные поля—это д
киллинговы векторные поля. ' С
Второе применение относится к случаю, когда о-почти
комплексная структура на М, т. е. ое®}(М)—поле линейных
операторов o',,eL(T,, (M), Тх (М ))‚ причем o';°;= —id для всех
хеМ. В этом случае оказывается, что dim g(M, o')<oo
в предположении, что М компактно (см. [39], гл. 1). Отсюда
вытекает
С л е д с т в И е 2. Если о'—почти комплексная структура на
компактном многообразии М, то G (AI, o')—2pynna Ли преобразо-
ваний, а ее касательная алгебра естественно изоморфна g (M, о).
Особенно важным является случай, когда о-комплексная .
структура, т. е. М —компактное комплексное многообразие.
В этом случае G(M, о)——-это группа всех биголоморфных
преобразований многообразия М, а g(M, o')——aJ1re6pa Ли всех
голоморфных векторных полей на М.
Следствие 3 (см. [39], гл. 3). Если о'—комплексная
структура на компактном многообразии М, то G(M, 0')
—комплексная группа Ли преобразований, а соответствующие
фундаментальные векторные поля—это голоморфные вектор-
ные поля на М. '
6. Компактные грушпы Ли и алгебры Ли. В этом пункте мы
напомним некоторые первоначальные факты структурной
теории компактных групп Ли (обзор этой теории будет дан
в § 3). Подробности можно найти в [1], [17], [20], [65], [74].
Мы основываемся на следующей классической теореме,
которая является простым следствием свойств усредняющего
оператора, связанного c представлением компактной группы
Ли (см. ниже, п. 4.8). ‚
Те орема 4. Для любого конечномерного линейного
представления р: G—>GL('V) компактной группы Ли G над К = R
или С существует скалярное умножение в пространстве V,
инвариантное относительно р. °
Под скалярным умножением здесь И ниже понимается
симметрическая билинейная (для К = R) или эрмитова (для
К=С) форма (,) в пространстве V такая, что (v, v)>0 для
любого ненулевого ve V.
C Л еде тв и е. Любое конечномерное вещественное или
комплексное линейное представление компактной группы Ли
вполне приводимо.
-. к _.._›'-_ -‘____г_. ‘_, о '.. "_ ,..,._,._«
‘“"“”"‘*"" " ' ' ' :u‘i‘ll§iI6£’nkam.;pI.Ab'Ki;&u«»aniii:iabib.-u<».n..~.-, .
.- ,_ д:
.
.
$.‚а-.„21»ЬЬ-.‚ и

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРУПП ЛИ 47
[Геперь мы хотим охарактеризовать касательные алгебры
Ли компактных групп Ли, опираясь на теорему 4. Сначала
дадим некоторые определения. Все рассматриваемые алгебры
Ли предполагаются конечномерными.
Пусть б—(вещественная или комплексная) группа Ли.
Билинейная форма [3 Ha ее касательной алгебре 9 называется
инвариантной, если [3 инвариантна относительно представле-
ния Т ‘2’(Ad), T. е. если (см. (1.3))
В(А<13)х‚(А<18)у)=В(х‚у) (g6G, x,y€9)- (11)
Инвариантная форма [3 удовлетворяет условию
Щхэ Y]: Z)+l3(y, [ж Z])=0 (X, y, 269)» (12)
а если G CBSI3Ha, то (1 1) и (12) равносильны. A
Пусть теперь 9—произвольная алгебра Ли над K =R или
С. Назовем билинейную форму [3 на 9 инвариантной, если
[3 удовлетворяет условию (12). Очевидно, [3 инвариантна тогда
и только тогда, когда она инвариантна относительно всех
внутренних автоморфизмов алгебры 9 (см. пример 13).
конечномерная алгебра Ли 9 над R называется компакт-
ной, если в 9 существует инвариантное скалярное умножение.
Разумность этого термина видна из следующего утверждения,
которое вытекает из теоремы 4.
П редл о жени е 7. Касательная алгебра 9 компактной
группы Ли G компактна.
Пример 18. Из примера 6 видно, что любая связная
компактная абелева группа Ли размерности п изоморфна
стандартному п-мерному тору Т”. В дальнейшем мы будем
называть тором любую связную компактную коммутативную
группу Ли G. Ee касательная алгебра 9 коммутативна. Таким
образом, коммутативная алгебра компактна (что, впрочем,
совершенно тривиально).
Пример 19. Функция
[3(X, Y)=trXY (X, YegI(V))
является инвариантной билинейной формой" на алгебре Ли
gI(V) или 91„(К), K=R или С.
Пример 20. Пусть 9—произвольная алгебра Ли над
К =R или С. Тогда ` функция
k(x, y)=k9(x, y)=tr(ad x)(ady) (x, yeg)
. есть инвариантная билинейная форма на 9. Она называется
формой Киллинга ашебры 9 и инвариантна относительно всех
(а не только внутренних) автоморфизмов этой алгебры.

‘которой
48 гл. 1. ГРУППЫ ли и однородны}: ПРОСТРАНСТВА
Если алгебра Ли 9 компактна, то ее можно рассматривать
как евклидово пространство с инвариантным скалярным
умножением ( ‚ ). Все операторы ad x (xeg) no определению
кососимтиетритптьх. Поэтому k(x, x)<0 для всех хе9 и k(x, х)=
=0 тогда и только тогда, когда ad х=О‚ T. e. xe3(g). Таким
образом, форма Киллштга компактной ашебры Ли 9 отрица-
тельно полуопределена, причем она отрицательно определена
тогда и только тогда, ‚когда 3(g)=0.
Легко видеть, что подалгебра компактной ашебры Ли
и прямая сумма двух компактных алгебр Ли также ком-
пактны.
Алгебра Ли называется полупростой‚ если она не содержит
ненулевых коммутативных идеалов.
П р е д л о ж е н И е 8. Пусть 9—компактная алгебра Ли.
Тогда для любого идеала а с: 9 его ортогональное дополнение a*
также является идеалом и 9 = а Ф ai. Далее,
9= 69 9.-, (13)
i=1
где 9д—простые идеалы. Сумма всех коммутативных идеалов
g д совпадает с центром 3(9), а сумма всех некоммутативных
идеалов 9д-—с коммутантом [9‚ g]. Таким образом,
_9=з(9)® [9‚ 9]-
Любой некоммутативный простой идеал алгебры 9 совпадает
с одним из 9;. Коммутант [9, 9] есть ‘полупростая алгебра Ли.
Используя пример 20, получаем
С л е д с т в и е 1. Следующие свойства компактной алгебры
Ли равносильны: -
1) 9 полупроста;
2) ЮГ 0;
3) 9= 3;, 9];
4) 9= €—) 9;, где 9д—некоммутативные простые идеалы;
i= 1
5) форма Киллинга kg отрицательно определена.
Отметим также
Следс тв И е 2. Если а—идеал компактной алгебры Ли 9,
то любой идеал в а является идеалом в 9.
Предложение 9. Для любой компактной алгебры Ли
9 существует компактная группа Ли G, касательная алгебра
изоморфна 9. В качестве G можно взять
G=T'"xInt[g,g], где m=dim3(g).
› ._ . "_A . \ о „ч. . ‚ '_....., .._ v_,« ‘- . - ‚д.
' . . _;_. ~ l» - г - .› .-_ . ч .~_'_-.. _. .' .._ L -,,:,.._«. ‘__.4.«_'_ _' V - су, " ',_-«,__ I «r . ,-._.- - д". ' V ' - -
lx'...>-’ ':;u'sa.sq\-;u.4a£.L-4* '- ~.:....\.4,..A-'-' '- 'J.->».-¢N»~’sxn-air’fu«La—KdIﬁlI!5.xu.' '...« ' ‘ " " awn-Hr‘ ' “ дикости; ' ~ м!‘ " " "‘ " ' -

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ групп ли * 49
З а м е ч а н и е. Для полупростой компактной алгебры Ли
g любая связная группа Ли, имеющая g B качестве касательной
алгебры, компактна. Это следует, напршиер, из конечности
группы тсд(1ш g) (CM. П. 3.5 ниже).
Используя предложение 7, можно глобализовать предложе-
ние 8 и получить структурную теорему о связных компактных
группах Ли. Напомним сначала необходимые определения.
Пусть (Ё-связная гругша Ли, 61, ..., G,—ee связные
виртуальные нормальные подгруппы Ли. Говорят, что G pa3-
лагается в локально прямое произведение подгрупп Од, если
G=G1...Gs И Gin(G1...Gi-1Gf+1 ...Gs)=0 1, ..., S). ЛСГКО
доказать, что эти условия выполнены тогда и только тогда,
S
когда g = Ф 9,.
г= 1
Группа Ли G называется полупростой, если {е} является
единственной нормальной абелевой подгруппой Ли группы G.
Это свойство выполнено тогда и только тогда, когда
касательная алгебра g полупроста. Группа Ли G называется
простой, если G ° He содержит связных виртуальных нормаль-
ных подГРУПп Ли, отличных от {е} и G °, или, что равносильно,
если ее касательная алгебра проста. Связная простая группа
Ли либо неабелева (и тогда полупроста), либо одномерна (и
тогда изоморфна R или Т). Из предложений 7 и 8 выводится
Те о р е м а 5. Любая связная компактная группа Ли
G разлагается в локально прямое произведение
G=G1 Gs,
где бд-связные простые нормальные подгруппы Ли. Произведе-
ние всех абелевых подгрупп G,- есть тор, совпадающий с Z (G " ,
а произведение всех неабелевых G,- есть коммутант (G, G
Любая неабелева простая нормальная виртуальная подгруппа
Ли в G совпадает с одной из подгрупп G,-. Коммутант (G, G)
является полупростой компактной группой Ли.
В заключение этого пункта мы опишем связные компакт-
ные комплексные группы Ли. Примеры таких групп легко
построить следующим образом. Пусть Г——решетка вещест-
«венного ранга 2п в пространстве С”. Тогда 0=С”/Г—связная
абелева компактная комплексная группа Ли. Группа G,
a также любая изоморфная ей комплексная группа Ли,
называемая п-мерным комплексным тором (очевидно, как
вещественная грутша Ли, ‘она является 2п-мерным тором).
Следующее предложение показывает, что эти примеры явля-
ются единственными возможными.

50 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Предложение 10 (см.‚ например, [19]). Любая связная
компактная комплексная группа Ли является комплексным тором.
7. Комплексифшсашш. Для любой вещественной алгебры
А обозначим через А (С) ее комплексификаиию, т. е. комплекс-
ное векторное пространство А®дС=А G-)z'A с умножением,
продолженным с ‚А по линейности. Любой гомоморфизм (р:
А—-+В вещественных алгебр единственным образом продолжа-
ется до гомоморфизма ‹р(С): A(C)—+B(C) комплексных алгебр.
Аналогично, любой вещественный гомоморфизм (р веществен-
ной алгебры А в комплексную алгебру В однозначно
продолжается до комплексного гомоморфизма А (С)—›В‚ кото-
рый мы снова обозначаем через (р. Вещественная подалгебра
А комплексной алгебры В называется вещественной формой
алгебры В, если продолжение вложения A—+B есть изомор-
физм А (С)—-›В; в этом случае мы отождествляем В c A (C) при
помощи этого изоморфизма.
В этом пункте мы рассматриваем комплексификации алгебр
Ли. Наша первая цель состоит в том, чтобы охарактеризовать
комплексификации компактных алгебр Ли. Напомним, что
радикалом алгебры Ли 9 называется ее наибольший разреши-
мый идеал tab g. Алгебра Ли 9 / tab g полупроста. Алгебра Ли
9 называется редуктивной‚ если rub g=3(g).
Те орема 6 (см.‚ например, [20], гл. 5). Компактные
алгебры Ли и их комплексификации редуктивны. Любая
редуктивная комплексная алгебра Ли обладает единственной,
с точностью до изоморфизма, компактной вещественной формой. .
Важно отметить, что теорему 6 можно глобализовать.
дадим необходимые для этого определения.
Пусть H —комплексная группа Ли. Вещественная подгруп-
па Ли G c H называется вещественной формой группы Н, если
выполнены следующие условия:
1) 9——вещественная форма алгебры I);
2) Н = GH ° (T. е. G пересекает каждую связную компоненту
группы H). _ -
В этой ситуации мы будем писать H = G (C).
Обозначим через RadH радикал (т. е. наибольшую раз-
решимую связную нормальную подгруппу Ли) произвольной
группы Ли Н. Комплексная группа Ли Н называется
редуктивной, если она обладает следующими свойствами:
1) КадН:(С")'"‚ где т>О; .
2) Н имеет конечное число связных .компонент.
Доказывается, что любая редуктивная комплексная группа
Ли изоморфна некоторой комплексной линейной алгебраиче-
ской группе, которая определена однозначно с точностью до
Ё?“ ч‚*3 “а ~.: e ваза; дд-„ддд д„‚дгд„›джм$‚„;„ „д: -,—,.; .~ ‚. ~
V‘ M5¥€§ '%kuwM§aﬁsmM%.¢ на. ._
v т" *‘*#\5Ё35'$'›‚=>‘г1:г\- т *-3 этажам:

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЁ ГРУПП ЛИ 51
полиномиального изоморфизма (см. [20], гл. 4 и 5). Имеет
место следующий глобальньпй аналог теоремы 6:
Теорема 7 (см. [20], гл. 5). Любая компактная группа
Ли G является вещественной формой некоторой редуктивной
комплексной группы Ли G(C). Любой гомоморфизм G-+G’
компактных групп Ли однозначно продолжается до гомомор-
физма G(C)—> G’ (C) комплексных групп Ли. _
‚Любая редуктивная комплексная группа Ли Н обладает
компактной вещественной формой G, причем Н °ПС=6°.
Любые две компактные вещественные формы группы Н пере-
водятся друг в друга автоморфизмом вида ah, где heH°. Если
Н связна И полупроста, то Z(H)=Z(G).
8. Примеры компактных и редуктивных комплексных групп
Ли. Группы, которые описываются в этом пункте, будут для
нас очень важны на протяжении всей книги. Через K обознача-
ется основное поле‚ совпадающее с С или R, через V--
n-MepHoe векторное пространство над K. ТОЖДЗСТВСННОС
представление группы GL (V) И любой ее подгруппы обознача-
ется через Id; группа GL (K") отождествляется с группой
матриц GL,, (K). Поскольку тензорное представление T5 (Id)
полиномиально, для любого осе T5’ (V) подгругша
сЬ‹И„={ге6Ь(!/)|т5(1а)о‹=о‹}
является алгебраической линейной группой. над K, а ее
касательная ашебра имеет вид
91(У)„= {Хе gI(V)| Т: (id)oc=0},
где ш = d (Id) — тождественное представление алгебры Ли g I ( V)
(CM. пример 7). _
П р и м е р 21. Пусть осе T2 (У)——билинейная форма. Как
следует из (1.3),
СЬ(У),={3еСЬ(У/)|`ос(3и, év)=oz(u, v) (u, ve
Если ос невырожденна и симметрична (соответственно косо-
симметрична), то GL (V),, называется ортогональной (соответ-
ственно симплектической) группой и обозначается через
0(V, ос) (соответственно Sp (V, ос); в этом случае п четно).
В случае, когда V= K" И ос (в стандартном базисе) шиеет
единичную матрицу 1„, ортогональная группа обозначается
через 0,, (K) И в матричных терминах описывается формулой
0„(К)= {Хе Mn |XTX=l,,}.
Положим также S0( V, ос) = 0( V, - ос) П SL( V), S0,, (K) = 0,, (K) П
П SL,, (K); группа S0,, (K) является связной компонентой

И
52 ' ГЛ. 1. ГРУППЫ. ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
единшты в 0‚‚(К). Вместо 0,,(R) и $0‚‚(П) мы пшцем
соответственно 0„ и S0,,; эти группы являются компактными.
Касательные алгебры so,,(C) групп 50„(С)‚_ 0„(С) и 50,,
rpyrm S0,,, 0„ состоят из всех комплексных или вещественных
кососимметрических матриц:
5о„(С)={Х691„(С)|ХТ= -Х}‚
so,,={XegI,,(R)|XT= -—X}.
Очевидно, вид-вещественная форма в so ,,(C), a компактные
грушты Ли $0„‚ 0,, суть вещественные формы групп 50„ (С),
0,, (C) COOTBCTCTBCHHO. B качестве инвариантного скалярного
умножения на 50,, можно взять ограничение формы — В, где
В-мбилинейная форма, определенная в примере 19.
В случае когда V=K", п=21, и форма ос (в стандартном
базисе) имеет матрицу
О — 1, _ I
S I '- (ll О )>
симплектическая группа обозначается через Sp" (K) И в мат-
ричных терминах описывается формулой
‚ Sp..(K)={X€GL..(K)lX'SzX=Sz}-
Ее касательная алгебра имеет вид
_5р„(К)={Хе91„(К)|ХТ$‚+$‚Х=0}.
П р и ме р 22. Здесь мы хотим построить каноническое
вложение группы GL,, (C) B GL 2,, (R). Будем интерпретировать
тензор осе T 1 (V) как линейное преобразование пространства V.
Из (1.5) следует, что
GL(V).={g6GL(V)lg°t=°tg}-
Пусть V-— п-мерное векторное пространство над С, И пусть
У“—то же пространство, рассматриваемое как векторное
пространство над Fl. Очевидно, GL(V) ‹: GL(V“). Чтобы
описать эту подгруппу явно, рассмотрим в У“ оператор
умножения на 2':
Ix= ix (хе V");
он является линейным преобразованием пространства V“
И удовлетворяет условию
12 = —id. (15)
Очевидно, GL(V) = GL(V"),.
xii: <2?Iil~e -o’.-.‘.:'—.~'+t‘<x
~'*:“'€'% §uvfDﬂ§W ~a‘.%"'.':_."'.' - .. '- «,r-‘- -'j‘:,.'_~ .. „а .. 4- , . ‘д, _.. _ '
. . „ _ ‚ . _ ._ I д- . „м! <‹е*ё?„„‚:гёч-га›=зь&*-тгжч.г.г .-. v4¢ ,.m§g;zQ§~».w.g§gn},g};;;«.; ,;-..._«:“:u_;..w_..».._.wk»:/2::_ ,., „ Va
-wé£@W&wxw %%<¢.$m,.xw.2w „ „ „ ~

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ изунвнив групп ли 53
Вообще, еслш задано вещественное векторное пространство
W, то комплексной структурой в W называется любое его
линейное преобразование 1, удовлетворяющее условию (15).
Если 1—комплексная структура, то формула (a+bz)x=
=ax+bIx (a, beR, xe W) определяет на W структуру
векторного пространства V над С, причем W= V“.
Пусть e1, ..., е„—базис пространства V. Тогда векторы
е1, ..., е„, e,,+1 =ie1, ..., e2,,=ie,, составляют базис пространства
У“, в котором оператор 1 задается матрицей S,, (см. (14)).
Переходя к матричным гругшам, получаем отсюда вложение
группы GL,, (C) B GL 2,, (R), задающееся формулой
Х+ газе‘: "Э (_X, темпа».
Используя вложение GL(V) с: GL(V"), можно ввести поня-
тие вещественной алгебраической подгруппы в GL (V) (где
У— комплексное векторное пространство) как подгруппы,
являющейся алгебраической в GL (V“). `
Совершенно аналогично можно поступить с кватернион-
ной линейной группой. Рассмотрим правое векторное про-
странство V размерности п над телом кватернионов Н. Груп-
пу его обратимых линейных преобразований обозначим через
GL (У); B случае У= Н” группа GL(V) отождествляет-
ся с груштой GL,,(H) обратимых кватернионных матриц
порядка п.
Пусть 1, 1', j, k---CTaHJ1apTHI>Iﬁ базис алгебры Н над R.
Рассмотрим подполе С= (1, г) тела Н. Аналогично примеру
17, обозначим через У° пространство V, рассматриваемое как
векторное пространство над С. В пространстве У° действует
преобразование J no формуле
Jv=vj (veV°).
Очевидно, J-'—noJ1yJmHei«‘IHLn‘»‘1 оператор и J 2: —id. Группа
GL(V) вкладывается в GL(V°) как вещественная алгебраичес-
кая подгругша
GL(V)={g€GI-(V°)|gJ=Jg}-
Пусть е1, .._., е„—базис’пространства V над Н. Тогда е‚‚
e,+,,=e, j (г=1_‚ ...‚ п) составляют базис пространства У°‚
В котором J записывается формулой
Jz=S,,§, (16)

54 гл. 1. группы ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
где 2еС2” И S,, задано формулой (14). Переходя к соответст-
вующим матричным группам, мы видим, что вложение
GL,, (H) —› GL 2„ (С) задается формулой
Х+ YJHG "Э (к, YeM,,(C)).
Вообще, кватернионной структурой в комплексном вектор-
ном пространстве W называется полулинейный оператор
J B W, удовлетворяющий условию 12: —id. Если J — кватерд
нионная структура, то формула
u(z+jw)=zu+wJ(u) (ue W, 2, WEC)
определяет на W структуру правого векторного пространства
V над телом Н, причем W= .
Пример 23. Эрмитовой формой на векторном простран-
стве V над K =С или Н мы называем функцию у: Vx У—› К,
линейную по второму аргументу-и удовлетворяющую условию
у(и, и)=у(о‚ и) (и, ve
Тогда у, очевидно, антилинейна по первому аргументу. Форма у
называется положительно определенной, если у (и, и) >0 для всех
ие V, u;é0. Эрмитовы формы на` V составляют векторное
пространство Herm (V) над R. Рассмотрим линейное представле-
ние т] группы GL (V) B этом пространстве, заданное формулой
(П(г)у)(и› v)=’v(g“u» г" v)-
Стабилизатор GL (V), любой эрмитовой формы у для этого ли-
нейного действия является веществеъшой алпебраической под-
группой в GL (V). B случае, когда у положительно определена,
_ эта подгругша называется унитарной группой (для К: C) или ква-
тернионной унитарной группой (для К: H). Эти грушты комшак-
тны. Если V= K" И у (в стандартном базисе) задается формулой
у (х, х’)= Z 2?.-xé,
i= 1
то унитарная группа U ‚, имеет вид
U,,= {Xe GL,,(C)|)?TX= l,,},
а кватернионная унитарная группа, обычно обозначаемая
Sp,,,— ВИД
Sp,,= {Xe GL,,(H)|)?T Х= 1„}.
Рассматриваются также группы
SU,, = U,, ﬂSL,, (С).
« **s%?3’¢1r»?»‘<'"x-s- w.~a-‘am.a¢ramséwsaai6!a:m%>xéa~n»mmr¢zx$§%aw*a¢«»§nwdﬂs:a%m«avé*;vsmis<mauaa9a§yﬁ§¥¢a,yas ¢- ,,~,.;,.y,—.,¢,..,,;,,~ - шт.

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГРУПП ЛИ 55
Касательная алгебра и„ гругшы U,, состоит из всех
косоэрмитовых матриц:
и„={ХЕ 91„(С)|Й'= -Х}‚
а касательная алгебра группы SU,, есть
5u,,= {Xeu,,|trX=0}.
Легко проверить, что '
щ. (C) = 91.. (C), sun (C) =51» (C),
U „ (C) = ОД, (С), SU,, (C) = SL,, (C).
Если вложить GL,, (C) B GL 2„ (R), как в примере 22, то
П„=СЬ„ (СЮ 02„ (C)-
Аналогично‚ вкладывая ,GL,,(H) B ’GL 2,, (C), как в примере
22, мы получим -
U2".
При такой интерпретации касательная алгебра группы Sp,,
ИМССТ вид
5р,‚={Хеи2„|й7$„=5„Х}.
Легко проверяется, что эр „.—— вещественная форма алгебры
5132,, (C), a $р„—вещественная форма группы 8112„ (C) (см.
пример 21). Известно также, что группы П,‚, SU,,, Sp,, связны.
Пример 24. Обозначим G2=AutCa, где Са——алгебра
октав (чисел Кэли). В силу примера 13 это вещественная
алгебраическая линейная группа с касательной алгеброй
g2=ber Ca. Напомним (см. [66], лекция 14), что Са—двумер-
ное левое векторное пространство над Н с базисом 1, е,
умножение в котором определяется формулами
а (be) = (ba) e, (ae) b = (a5) e, '
(ae) (be) = —- Ёа (а, b e H).
Следовательно, Са есть 8-мерная алгебра над полем R c бази-
сом 1, i, j, k, e, f = ie, g=je, h=ke. Этот базис ортонормирован
относительно скалярного умножения '
(x, y)=§—(xy+yi> (x, yeca), <17) °
Где a+be=ﬁ—bé (a, beH). Имеем
|х|’=хй=(х‚ х)=|а|2+|1>|2‚

С
56 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
если х=а+Ье, а, beH. _При этом
|ху|=|х||у! (X, y6Ca)- (18)
Если ge G2, то g сохраняет скалярное умножение (17), так
что мы можем считать, что G2 c 08. B частности,
G2 компактна. На самом деле G2 связна (см. [66], лекция 15;
это следует также из примера 5.3), так что G2 c S03. Далее,
G2 nepenomn B себя единицу 1eCa И, следовательно,
ортогональное к ней пространство чисто мнимых октав V=
=(i, j, k, e, f, g, h). Поэтому можно считать, что G2c:S07.
H р и м е р 25. Здесь мы напомним определение спинорной
группы (подробности см. в [66], лекция 13, а также в [76],
гл. 11, § XI). ПУСТЬ V—— п-мерное вещественное векторное
пространство, в котором задана симметрическая билинейная
форма В. Алгебра Клиффорда C (B) определяется как факторал-
гебра T (V)/I, где Т(У)—тензорная алгебра пространства V,
а 1— идеал, порожденный элементами вида х®х— В (х, х) -1
(хе V). B терминах базиса е„ ..., е„ пространства V алгебру
С (В) можно определить как ассоциативную ашебру с единицей
1, образующими е1, ..., е„ И определяющими соотношениями
e,-e,-+e,-e,-=2B(e,-, €j)'1 ..., п).
В качестве базиса алгебры C (B) можно взять набор элементов
вида eile,-2...e;s, где 21<22<...<1„ включая 1, так что
dim C (B)-—-=2". Алгебра C (B) допускает 22-градуировку
C (B) =05 (B)€rDC1-(B),
где Сд-(В) (соответственно Ci—(B)) натянуто на одночлены
„ e д e,-2 ед с четными (соответственно нечетными) s (по поводу
определения 22-градуированной алгебры см. п. 6.2).
В алгебре С (В) определяется антиавтоморфизм и|--›й,
сохраняющий Z2-rpazxyupomcy, формулой
_ x1x2...x,=xs...x2x1- (x,-E V).
Положим
N (u)=iiu (не С
Чтобы определить спинорную группу, предположим допо-
лнительно, что форма В отрицательно определена. Тогда
(х, у)= — В(х‚ у)—положительно определенное скалярное ум-
ножение в V, так что V становится евклидовым простран-
ством. Соответствующую алгебру Клиффорда C (В) будем
обозначать через С”. Группа обратимых элементов (С ")"

§2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОЕ изучвнив групп ли 57
алгебры С” естественньпи образом является гру1шой Ли (см.
пршиер 2). Ее присоединенное представление имеет вид
(Adu)x=uxu"1 (ue(C")", xeC").
Группа (С З)" есть подгруппа Ли в (C ")". Рассмотрим
подгругпту GC_,:' = {u e (C З) " I uVu' 1 = V}. Она является пошруп-
пой ЛИ в (C З) " , будучи стабилизатором подпространства V при
действии Ad (CM. пример 7). Оказывается, что отображение
N является гомоморфизмом этой грушты в R”. Подгруппа Ли
Spin,,=KerN={ueQC,:' |N(u)=1}
' и называется спинорной группой.
Отображение (о: u+—+ (Ad и): V есть линейное представление
гругшы Spin,, B пространстве V, называемое векторным
представлением. Оно является гомоморфизмом группы Ли
Spin" Ha S0(V, -— B), причем Kerco= {l, -1}. Отсюда следует,
что Spin, компактна. Кроме того, группа Spin,, связна. Таким
образом, гомоморфизм (о есть двулистное накрытие. Если
уе$"Ё1={уеУ|(у, у)=1}, то ye(C")". Оказывается, что ‹о(у)
переводит V B себя и индуцирует в V преобразование —-r,, где
гу-симметрия в гиперплоскости, ортогональной к у. Отсюда
выводится, что гругша Spin" состоит из всевозможных
произведений четного числа элементов сферы S"’ 1. _
Отметим также, что для любого n20 имеется изоморфизм
алгебр 1: C"‘1 -+ C3. Пусть e1, ..., e,,——opToHopM1«1poBaHHL1I‘»’I
базис евклидова пространства V и пусть V’=(e 1, ..., en--1)
И В’=В | У’. Тогда 1: C (B’) —› C (В) определяется формулой
I
ед „е, ‚ если k ЧСТНО;
1 e- - = I * 19
(‘I е“) {ед...едде„, если k HeqeTHo.- .( )
Здесь 1<11<.„<1‚‚<п—1.
Если п=21 +1 нечетно, то алгебра С 3 проста И, следова-
тельно, допускает единственное (с точностью до эквивалент-
ности неприводимое линейное представление о, которое
действует в ее простом левом идеале и индуцирует линейное
представление размерности 2’ грушты Spin 2” 1. Это представ-
ление называется спинорным. Если п=21 четно, то алгебра С”
проста и обладает единственным неприводшиым представле-
нием о, действующим в ее простом левом идеале L И ин-
дуцируъопшм представление о грушгы Spin 2,. Это представле-
ние также называется спинорным и имеет размерность 2’.
Псёркольку L=L5®L1, где Lk=LﬂC,f’, то ограничение о на
Сд И на Spinz, распадается в сумму o'=o'5+o'1, где

58 гл. 1. группы ли и одноводньтв ПРОСТРАНСТВА
о ‚,—подпредставлеши1е, индуцированное в инвариантном под-
пространстве L ,, (k=0, 1) размерности 2" 1. Представления
о, называются полуспинорными. В обоих случаях представле-
ние с точно, т. е. Kero'={1}.
Omm1eM теперь касательную алгебру врёт, группы S1:in,,. Она
является подашеброи касательной алгебры группы (Сд)" , т. е.
пространства C з, B котором вместо умножетшя рассматривается
коммутирование (см. пример 2). Мы хотши доказать, что она на-
тянута на элементы еде, (i <1), где e1, ..., е„—ортонормирован-
ный базис евшшдова пространства V. Используя пршиерьт 7 и 8,
мы видиъа, что spin,,={ueC'{5| [u, V] <: V, (dN)u=0}=
_ ={ueC'{;| [u, V] с V, й= —и}. Непосредствешю проверяется, что
О, если kaéi, j,
[e;e,-,e,,]= 2е„ если k=i, (20)
—2ед, если k=j.
Ясно также, что е,е,=е,е,= —е,е,. Таким образом, линейная
оболочка 5 элементов еде, (i < j) содержится в spin". Из (20)
следует также, что
(d(o)(eie,-)=2(-EU-'+E,-i). ‘ (21)
Следовательно, (dm)s=so,,. Поскольку do): spin" —› 50,, являет-
ся изоморфизмом, 5 совпадает со spin".
3aM е ч ание. Алгебра Ли spin” порождается элементами
е, е, (2 <j<n). Это следует из очевидного равенства
1 . .
eie,-=§[e1e,-, elej] (1<z<]).
§ 3. Компактные группы Ли,
их подгруппы и гомоморфпзмы
1. Макспмальпьпе торы. Напомним, что мы называем
тором любую связную компактную абелеву группу Ли (см.
пример 2.18). В этом пункте мы рассматриваем максимальные
связные абелевы подгруппы Ли компактной группы Ли;
очевидно, эти подгруппы являются торами. Наиболее важны
максимальные торы связной компактной группы Ли G. Легко
доказать, что подалгебры касательной алгебры g группы G,
соответствующие максимальным торам группы G,— это в точ-
ности максимальные коммутативные подалгебры.
Теорема 2 (см. [1], гл. 4; [17], § 2; [65], § 64). Пусть
СЪ-связная компактная группа Ли, Т—ее максимальный тор.
Тогда любой элемент geG сопряжен элементу из Т. В частно-

§3. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 59
сти, g лежит в некотором максимальном торе группы G.
Любые два максимальных тора группы G сопряжены.
Теорема 2 (см. [1], гл. 4; [17], § 2; [44], гл. 5). Пусть
6—связная компактная группа Ли. Тогда иентрализатор
ZG (S) любого тора S c: G связен. Максимальный тор Т группы
G совпадает с Z G (T) u является максимальным среди всех
абелевых подгрупп в. G.
C Л е д с т в И е. Центр Z (G) совпадает с пересечением всех
максимальных торов группы G.
B СИЛУ теоремы 1 размерность dim T максимального тора
Т компактной грутшы Ли G He зависит от выбора тора T. Она
называется рангом группы G И обозначается через rk G.
ПУСТЬ G= G1 G2—pa3JIo>1ceH1»1e компактной грушты Ли
G B локально прямое произведение связных нормальных
подгрупп Ли G,-, И пусть ЗЪ-максимальный тор в G,-. Тогда
Т= T1 T 2-——MaKc1«1MaJILHL1ii тор группы G. Обратно, любой
максимальный тор группы G есть произведение максимальных
торов групп G,-. Следовательно, описание максимальных торов
произвольных связных компактных гругш Ли сводится к слу-
чаю простых групп. Теперь мы укажем максимальные торы
классических компактных линейных групп и грутшы G 2.
Пример 1. Пусгь G=U,,, п>О. Подгругша Тс: П‚„ состоя-
щая из унитарных диагональных матрщ есть максшиальньй тор
в П„. Соответствующая подалтебра t алгебры Ли 11„ есть алтгебра
всех чисто шлимых диагональных матриц. Имеем rk U,, =n.
Аналогично, максимальным тором группы SU,, является
подгруппа всех диагональных матриц, входящих в эту группу.
Аналогичный факт имеет место для касательных ашебр.
Отсюда rkSU,,=n-1.
Пример 2. Пусть G=S0,, или 0‚‚‚ п>1. В случае п=21
рассмотрим вложение Н, с $02, (см. пример 2.23). При этом
вложении максимальный тор Т группы U, из хпримера
1 записывается матрицами вида
.——__¢_———:.——-:¢.-—¢.—.——-_.———--

60 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где 0:1 ‚ ...‚ сцен. Оказывается, что Т-максимальный тор
в 502.. Если п=21+ 1, то рассмотрим вложение ‘
С н diag (C, 1)
грушты 02, B Ош, 1. Тогда Т оказывается максимальным
ТОРОМ И В S021+1 (И В 021+1)-
Касательная алгебра t тора Т состоит из всевозможных
матриц вида
х ‚ если п=21‚ (1)
1 _ . О О
0 ' х,
ИЛИ
О -x1 ‘L О 0
О 0-х, 0
х Ф} ‚если п=21+1‚ (2)
о ‘х, Ь
0'...0 О...0 0
где x1,...,x,eR. Имеем rkS0,,=rk0,,=l=[n/2].
Пример 3. Пусть 6=$р‚‚ 1>0. Диагональные матрицы,
лежащие в G,— это матрицы вида
- -1 -1
d1ag(a1, ..., ад, a1 , ..., a, ),
где a,-ec, |ад|=1 (i=1, ..., I). Ош: составляют максимальный
тор Т группы Sp ‚. Соответствующая подалгебра tc: эр,
‚СОСТОИТ ИЗ всех матриц вида
diag(ix1, ..., ixl, —ix1, ..., —Ёх;)‚ ‘
‘me x,-eR. Значит, г1($р‚=1.
Пример 4. Пусть G=G2. Как хорошо Известно (см. ниже
пример 5.4), G2 содержит SU3 B качестве подгрутшы. Явное
вычисление касательной атнебры 92 rpylmm G2 (см. [66],
лекция 14) показывает, что максимальная коммутативная
м, ' ’ ‘-
'—*дё:ёёгк'фйз::ёъйгё‘‚ёр.ёгёг`йёд:.ъг.‚ z
-

§3. КОМПАКТНЫЕ гвуппы ли ' 6!
подалгебра t алгебры 5113 совпадает со своим централизатором
в g2. Значит, максимальный тор Т группы SU3 есть
максимальный тор в G2, и rk G2 =2. Рассматривая G2 как
подгруппу в S0-, (см. пример 2.26), находим, что t состоит из
всевозможных матриц вида
<0» на па с: <2 22>)»
где x2, x2, x3eR, x1 +x2+x3=0.
2. Характеры, веса и корни. Характер группы Ли G—3'ro
ee одномерное представление, т. е. гомоморфизм G --› С". Если
G KOM1'IaI(THa, то образ любого характера содержится в Т= U1.
Множество X(G) всех характеров группы G является грутшой
относительно умножения представлений, определенного в при-
мере 1.6. Для этой группы используется аддитивная запись.
Таким 2 o6pa3oM,
(M+7~2)(g)=7~1(g)?\z(g) (860),
где М, 7ь2еХ(О).
Рассмотрим теперь группу Х (Т), где Т-—— некоторый тор.
Любой характер 7\.eX (T) определяет линейное отображение
аж: t—+ и, =1‘ R. Значит, dk можно продолжить до комплексной
линейной формы на t(C), чисто мнимой на t и вещественной
на it. Таким образом, d7»eit*=(it)*. Из предложения 2.1
следует, что
2. (exp x) = e‘”""’ (x e t). (5)
Соответствие Анд?» есть гомоморфизм грушты Х(Т) в it*,
HHLeKTm3HL1I7I B силу (5). В дальнейтпем мы обычно будем
отождествлять 7» с аж, рассматривая Х (Т) как аддитивную
подгрушту в z't*. Известно, что Х(Т)-—решетка ранга dim T.
B теории компактных гругш Ли характеры торов применя-
ются‘ для описания гомоморфизмов. Пусть р: G —-› G’ —
гомоморфизм компактных групп Ли, T -—— максимальный тор
группы G. Тогда существует максимальный тор Т’ группы G’ ,
такой, что р(Т) с: Т’. Г омоморфизм р: Т-› Т’ определяет
гомоморфизм жнжо р группы Х(Т’ ) в Х(Т), который при
наших отождествлениях является ограничением отображения
(dp)*: t’ (c>*-—»t(c)*. ~
Пусть р—линейное представление компактной группы Ли
G, действующее в конечномерном комплексном векторном
пространстве V. Фиксируем максимальный тор Т в G. По
теореме 2.4 в V существует эрмитово скалярное умножение,

62 ГЛ. Г. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
инвариантное относительно p(G). Поэтому р можно рассмат-
ривать как гомоморфизм группы G B U,,, n=dim V. Соответст-
вующий гомоморфизм гругш характеров описывается, в клас-
сических терминах, следующши образом.
Для любого ХеХ(Т) положим
У‚„={ие У|р(г)и=?„(1)и для-всех te T}.
Характер Ж называется весом представления р (относительно
тора Т), если УнЕО. Пусть Фд-(конечная) система всех весов
представления р. Тогда имеем весовое разложение
V: G3 V» (6)
шеф,
Очевидно, индуцированный гомоморфизм гругш характеров
однозначно определяется системой весов и кратностями dim V,
всех весов Жефр.
В частности, рассмотрим присоедштенное представление
Ad группы G, продолженное по линейности на комплексное
векторное пространство g(C). Очевидно, ОеФАд и g(C)0=t(C).
Ненулевые веса представления Ad называются корнями группы
G (OTHOCPITCJILHO T). Обозначим через AG=<DAd\ {О} множество
всех корней. Из (6) следует разложение
9(C)=f(C) €r)( 9(C)a), (7)
которое называется корневым разложением. На самом деле
корни (рассматриваемые как линейные формы на t) полностью
определяются алгеброй Ли g. Иногда мы будем называть
AG системой корней алгебры g И обозначать через Ад.
B силу предложения 2.7 g допускает отрицательно опре-
деленную инвариантную симметрическую билинейную форму,
которую мы‘ продолжим на g(C) и будем обозначать через
( , ). Ограничивая ее на F = it, мы получим (положительно
определенное) скалярное умножение в F. B дальнейшем
F будет рассматриваться как евклидово пространство относи-
тельно этого скалярного умножения. Пространство E = it*
естественно отождествляется с F *. Скалярное умножение
определяет канонический изоморфизм уже? векторного про-
странства Е на F, 3al[aHHI-.»II7I формулой
(т, x)=v(x) (xeF)-
Используя этот изоморфизм, мы можем перенести скалярное
умножение на Е, полагая
(ь °t)=(?, 5t)=v(5=)=°t("v)
(у, оъеЕ).
„худ; „да. „фут ‚д_‚’;а.ч„_.а:—д‚_
“ *3 ‘д’ '*3"'<“~r*£5'L°I$f$<§;t’?c'*.‘=33§i¢¥-='.3~’:3'x‘*‘P¢19!5:{’}é<.¢»\?‘sﬁ§3:ir;-‘ щи’ "3 ~ ~ та; «м: ~. 3.1 ада,

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 63
Предложение 1 (см. [118], 8; [20], § 4.2). Если ос,
ВеФАд и ‘ос+ B=,=é0, то (9 (0)„ 9(С)‚,)=О. Для любого ореАд
имеем —— ос е AG u на подпространстве 9 (С), G) 9 (С) _„ форма
( ‚ ) невьёпождена. Если х е 9 (0)„ y е 9 (С) _„, то
Lxs )’]=(x» y)‘-Ix‘
ПУСТЬ e,,—— ненулевой вектор из 9 (0)„ ос е AG. Тогда
е _„ = до. е 9 (С) -,‚. Умножая е, на ненулевое действительное
число, мы можем добиться того, что
[ем е-„]=/т„‚
Где
2 -
“(св odd’ (8)
Теорема 3 (см. [118], 8; [20], §4.2). Для любого осеАд
имеем ‹11ш9(С)„=1 и koc¢AG для всех вещественных Кале 1-1.
Если ос, В, oc+BeAG, то [g (C),, 9(С)‚,]=9(С)„+д.
Системы корней классических компактных групп Ли
и группы G2 (OTHOCPITCJIBHO максимальных торов Т из
примеров 1)—4) указаны в таблице 1. Характеры максималь-
ного тора Т рассматриваются как комплексные линейные
формы на t(C).
Легко видеть, что AG: Q тогда и только тогда, когда G °
абелева, И что AG порождает пространство Е тогда и только
тогда, когда G полупроста.
Пусть теперь связная компактная группа Ли G разложена
в локально прямое произведение G=G1G2, me G,-——cBs13HLIe
нормальные подГРУПпы Ли.„ Тогда 9=91Еэ92 и g(C)=g1(C)€l)
(1992 Пусть Т г-максимальный тор в G,-. Тогда
Т= Т1Т2——максимальный тор в G И F=it=F1®F2, me F,-=itj
( j = 1, 2). Это разложение порождает разложение F *=E =
=E1G)E2, me E д естественно изоморфно пространству
F} (j=1, 2)-
B этой ситуации
AG =' AG1 “АС?
причем (oz, |3)=0 ДЛЯ любых ozeAG1, |3eAG2 (см. [20], §4.2). -
Применяя это предложение к разложению из теоремы 2.5,
Получаем, что Ад=А‹д‚д, для любой связной компактной
Группы Ли G. .
3. Камеры Вейля, простые корни, группа Вейля. Пусть
T -— максимальный тор компактной группы Ли G. Используя
Обозначения п. 2, рассмотрим евклидовы пространства F = it
И E =F * и систему корней AG CE. Любой осеАд определяет
В F гиперплоскость Р„=Кег ос. Связные компоненты множества

64 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
'F\ U P, называются (открытыми) камерами Вейля; они
aeAG
являются открытыми выпуклыми полиэдральньтми конусами.
Фиксируем камеру Вейля С с F. Корень оъеАд называется
положительным (относительно С), если оъ(х)>0 для всех хе С,
И отрицательным, если oc(x)<0 для всех хе С. Тогда
где A5 И A5 —множества положительных и отрицательных
корней. Корень осеАё называется простым, если 0:75 В+у, где
В, уеАё . Пусть П—система всех простых корней. .
Оказывается (см. [118], 10.1; [20], §4.2), что для любой
камеры Вейля С соответствующая система П обладает
следующими свойствами: П линейно независима; любой осе AG
представляется в виде
ос: Z ад, (10)
уеП
где а„е2, причем либо все а,>0, либо все а,<0. При этом
первый случай имеет место, когда осеАё , а второй—когда
оъеАд . Далее, любая подсистема П c:.AG, обладающая этими
двумя свойствами (такую подсистему часто называют базисом
системы корней AG), определяется описанным вьпце способом
по некоторой (однозначно определенной) камере Вейля.
Для каждого осеАд обозначим через г, ортогональное
отражение в гиперплоскости Р, пространства F; оно выражает-
ся формулой
г„(х)=х—ос(х)1г,‚ (xeF).
Группа ортогональных преобразований пространства F, поро-
жденная всеми r,,, oceAG, называется группой Вейля группы
G И обозначается WG. Аналогичная группа действует в со-
пряженном пространстве Е. Чтобы определить ее, рассмотрим
естественный изоморфизм X ъ-› (Х *)"‘ группы GL (F) Ha GL
очевидно, он отображает 0(F) Ha 0(Е . Группа Вейля
WG отображается на подгруппу И/ё с О Е), порожденную
‘преобразованиями (r;)‘1 =r;. Последнее преобразование (кото-
рое мы также будем обозначать через rm) есть ортогональное
отражение в гиперплоскости
Ь‚,= {ЖеЕ |(?», oc)=0}
PI’ выражается формулой
20., ос) `
а А =?„———--——ос (хеЕ).
3

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 65
Группу Вейля можно определить И из других соображений.
любой элемент ge С определяет автоморфизм A_dg алгебры
ли g, который можно продолжить (сохраняя его обозначение)
до автоморфизма алгебры Ли g(C). Если geNG(T), то ясно,
что Adg переводит F B себя И индуцирует в F ортогональное
преобразование. Получаем гомоморфизм v: NG(T)—>0(F).
TeopeMa 4 (CM. [1], гл. 5; [17], §2; [20], §4.2).
Пусть Т — максимальный тор связной компактной группы
Ли G. Тогда
1) Kerv=T, Imv=WG, так что WGzN(T)/T.
2) Система весов Фр любого линейного представления р:
G——>GL(V) инвариантна относительно РУд’ ‚ причем
Щ(Адду)д1;„=р(3)!/‚„ денди), xe’<1>,,).
3) Группа WG представляет гиперплоскости Pa u камеры
Вейля. Ее действие на множестве камер Вейля просто
транзитивно. _
4) Если фиксировать систему простых корней П с Ад, то
группы WG u W3,’ порождаются отражениями п, (осе П),
причем для любого BEAG существует такой we W5 , что
w(B)e П.
Определим элемент
у=- Z ос. ‘ (11)
aeAE
Предложение 2 (см. [118]‚ 10.2). Для любого
ВеП имеем ‘
1) rp(l3)= — В, гр(Аё\{В})=Аё\{В};
2 ‚
2) y(ha)=—g—}—§=1.
4. Схемы Дынкина и классификация компактных алгебр Ли.
Пусть Е—— евклидово пространство со скалярным умножением
(а, В). Введем обозначение `
2(oc, B)
I <06H3>= (от, I365. B750)-
(B, В)
Систему ненулевых векторов Г= {y1, ..., ж} в Е будем назь1-
вать допустимой, если адд=<уд|уд-неположительное Целое
ЧИСЛО для любых i ф]. Положим mi,-=a,-ja,-;=.4 cosz 95„ где
9:,-~yroJI между у; и у]. Легко вывохштся, что для допустимой
системы Г числа 0,-J-, ад], ад, mi; И |у,|2/|уд|2 для iaéj могут
Принимать лишь следующие значения (мы считаем, что
W1-|>!'Y.-I):
3 А. Л. Оъшщик

66 - гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
65,- ад; а]: та; ‘ЪРЛЪР
1:72 о о о
211:/3 -1 -1 1 1
311:/4 -1 -2 2 2
51г/6 -1 -3 3 3 _
п -1 -4 4 4
1t -2 -2 4 I
допустимую систему векторов Г можно изобразить
c помощью графа,‘ который называется схемой Дынкина
системы Г. Эта схема строится следующим образом:
1) каждому вектору у; сопоставляется вершина схемы;
2) 1-я вершина соединяется c j-171 (i 75 j) ребром кратности
mg, (B частности, при тд,=0 вообще не соединяется);
3) если I7,-|>|y.-I (или, что равносильно, |a.~,-|<|a,-.-|), то
соответствующее ребро ориентируется стрелкой, направленной
от j-I71 Bepnmnm к 2-й. .
Предположим теперь, что Е = it*, где Т— максимальный
тор компактной группы Ли G. Система простых корней П с AG
допустима (см. [1], гл. 5; [20], §4.2). Схема Дынкина системы
П называется схемой Дынкина группы G. Теоремы 1 И 4 пока-
зывают, что эта схема не зависит от выбора максимального
тора и системы простых корней П. На самом деле числа (ocl B)
(ос, ВеАо) не зависят от выбора инвариантной формы (‚)
и полностью определяются алгеброй Ли g (CM. [20], § 4.2). Это
позволяет говорить о схеме Дынкина компактной алгебры Ли.
Тео р е ма 5 (см. [20], § 4.2). Число вершин схемы Дынкина
полупростой компактной группы Ли G равно rk G. Полупростая
группа G проста. тогда и только тогда, когда ее схема
Дынкина связно. В общем случае связные компоненты схемы
Дынкина группы G суть схемы Дынкина простых сомножи-
телей, на которые разлагается группа G.
Пусть Q с Е, Q’ C E ’——две системы ненулевых векторов
в евклидовых пространствах Е, Е ’. Изоморфизмом системы
Q Ha Q’ называется такой изоморфизм векторных пространств
f: Е-—›Е', что f(Q)=Q’ И что (f(oc)|f([3))=(oc|B) для любых
oz, ВЕН. B случае существования такого изоморфизма мы
говорим, что системы Q И Q’ изоморфны. Заметим, что две
допустимые системы векторов в пространствах одной и той же
размерности изоморфны тогда и только тогда, когда их схемы
Дынкина изоморфны, т. е. биективно отображаются друг на
друга с сохранением кратностей и ориентаций ребер.

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 67
Теорема 6 (см. [118], 14; [20], §4.3). Две компактные
алгебры Ли g u g’ изоморфны тогда и только тогда, когда их
системы простых корней П и П’ изоморфны. Точнее, если
G, 6’—компактные группы Ли с касательными алгебрами g,
g’, T, T'—ux максимальные-торы и П cE=z't*, П’ cE’=it’*—
ux системы простых корней, то для любого изоморфизма f:
п—›П’ существует такой изоморфизм алгебр Ли (р: g—>g’, что
t =t’ -и что ‹р(С): 9(С)—›9’(С) удовлетворяет условию
(<p(°)"‘)"|E=f-
Следствие. Две полупростые компактные алгебры Ли
изоморфны тогда и только тогда, когда их схемы Дынкина
изоморфны.
Таким образом, классификация простых компактных алгебр
Ли сводится к классификации соответствующих схем Дынкина,
которую можно провести средствами евклидовой геометрии.
Окончательная теорема классификации имеет следующий вид:
Теорема 7 (см. [20], §4.3). Любая простая компактная
некоммутативная алгебра Ли изоморфна в точности одной из
следующих алгебр: 511„ (п>1), 5о2д+1 (1 > 1), 513; (1 > 2), 502; (1 > 3),
е; (l =6, 7, 8), f4, g2. Системы корней, системы простых корней
и схемы Дынкина этих алгебр Ли указаны в таблице 1.
Замечание. АлгебрьгЛи sun, 5021+1, 543;, 502; принято
называть компактными алгебрами Ли типов A,,-1, B;, Сд,
D; COOTBCTCTBCHHO. К тем же типам относятся по определению
соответствующие компактные группы Ли, системы корней-
И схемы Дынкина, а также комплексификации этих алгебр Ли
и групп Ли (см. п. 2.7). Это так называемые классические типы.
Алгебры Ли ед, f4, gz называются особыми компактными
алгебрами Ли типов Ед, F4, G2 COOTBCTCTBCHHO. К тем же
типам относятся, по определению, соответствуюцше особые
компактные группы Ли (обозначаемые Ед, F4, С; ), их системы
корней и схемы Дынкина.
5. Классификация связных компактных групп Ли. Для
глобальной классификации связных компактных групп Ли нам
потребуется некоторая дополнительная информация. Чтобы
получить ее, рассмотрим некоторые решетки, связанные
с системами корней.
Пусть V— конечномерное вещественное векторное про-
странство. Любая пошруппа Ли А с V имеет вид A=A°€—) L,
Где А°——подпространство в V и Ь-решетка (см. [15],
гл. VII). C подгруппой Ли А с V связана двойственная
Подгруппа Ли А* с У‘, определенная формулой
А*={иеУ*|и(у)е2 для всех уеА}.
3*

68 гл. 1. группы ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
Если отождествить (V*)* c V, то (A*)*=A (см. [15], гл. VII).
Если А -—-решетка ранга n=dim V, то А"—также решетка
ранга п. Любой базис 0:1, ...‚ an решетки А определяет
двойственный базис cc}, ..., cc; решетки А‘, заданный формулой
0!.}'(0(.j)=5.'j (i,j= 1, ...‚ п).
Пусть теперь (7—компактная группа Ли, Т— ее мак-
симальный тор, E =it*. Адцитивная подгруппа Q CE, порож-
денная системой корней AG, есть решетка ранга l=rk G,
называемая решеткой корней. Любая система простых корней
П с AG является базисом решетки Q. Определим также
подгруппу весов Р с: Е формулой
P={7LeE|(Moz)eZ для всех oceAG}.
По определению Q с P. B пространстве F = it определяются
двойственные подгруппы Р* с Q‘. Легко видеть, что P =-(Q ")*,
где Q " —решетка в F, порожденная векторами h. (one/la) (CM.
(8)). Поэтому P*=Q". Обозначим Р" =9"‘. `
Как мы видели в п. 2, группа X(T)--— Щетка в Е ранга
1 = dim T = rk G. Опишем теперь двойственную решетку. Для
этого рассмотрим гомоморфизм в’ : F -› T, заданный формулой
<5’ (ix) = exp (21tz’x) (x e t ).
Подгруппа 1= Keré’ является решеткой в F ранга 1.
Теорема 8 (см. [1], гл. 5; [17], §4; [20], §§4.2 И 4.3).
Имеем I=X(T)*, причем Q с: Х(Т) с Р, 9" с [с Р". Кроме
того, если G связна, то
Z (G)'.v.P" / I, _
151 1/ QV . I
_Пусть группа G полупроста. Тогда Р, 9, PV , 9" —-решетки
ранга l=rk G. Пусть П={оъ1, ...‚ он}. Тогда векторы h,-=h,i
(i = 1, ...‚ 1) составляют базис решетки 9". Обозначим через
1:1, ...‚ п, ‘двойственный ему базис решетки Р. Элементы
1:; определяются формулами
<дг|0ч>=5г1 (i,f=1, ---,1)
и называются фундаментальными весами. Поскольку группа
характеров конечной абелевой гругшы изоморфна ей самой,
получаем в этом случае
2(6)=Х(Т)/9,
(G предполагается связной и полупростой).

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 69
Для произвольной связной компактной грушты Ли G под-
группы Р, Q B Е и Р”, Q” B F полностью определяются ее
касательной алгеброй g. B ТО же время решетки Х(Т)
и 1 зависят от глобального строения группы G. Как
показывает следующая теорема, решетка Х(Т) (или 1), вместе
со схемой Дынкина, определяет группу Ли G с точностью до
изоморфизма. Кроме того, в качестве Х(Т) можно взять
любую решетку, лежащую между’ Р И .
Теорема 9 (см. [17], §4; [20], §4.3). Пусть G u G’——
связные компактные группы Ли, Т и T ’— их максимальные
торы, E =it"', ’=it“, IIcE u П’: Е’—-—некоторые системы
простых корней групп G u G! Любой изоморфизм (р: Е—›Е’
системы П на П; отображающий Х(Т) на Х(Т), ин-
дуиируется естественным образом некоторым изоморфизмом
f: G—->G§ переводящим Т в Т; причем (с1[)[Е=(‹р*)"1. Далее,
для любой решетки L c: E ранга 1 =rk G, удовлетворяющей
условию A '
QCLCP,
где Q u P-epynnbz корней и весов, связанные с G, существует
связная компактная группа Ли с касательной алгеброй g,
группа характеров некоторого максимального тора которой
совпадает с L.
Пусть 9—полупростая компактная алгебра Ли, t—ee
максимальная коммутативная подалгебра, A9 c z't*—ee систе-
ма корней, Q И Р-соответствующие решетки корней и весов.
По теореме 8 конечная группа P/Q изоморфна центру Z(G)
односвязной компактной группы Ли с касательной алгеброй
g ИЛИ фундаментальной группе группы AdG= Int g. Для
простых алгебр Ли g группа P/Q указана в следующей
таблице:
9 п 5”»: 5921+: 591 5°45 5°4.s+2 ' ее 97 es f4 92
P/Q 2,, 22 22 225922 24 22, 22 0 0 0
Пример 5. Используя таблицу 1, легко видеть, что
Х(Т)=Р для G=SU,,, Sp, И что Х(Т) имеет индекс 2 в Р для
G=S0,, (n23). Следовательно, SU,, И Sp, ОДНОСВЯЗНЫ
И 1:1($О„)=22 (п>3). Заметим также, что все связные
Компактные группы Ли типов E3, F4, С; односвязны.
6. Автоморфизмы. В этом пункте будет дано описание
Грушты автоморфизмов связной полупростой компактной

\
70 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
группы Ли G. Пусть Т —— максимальный тор группы G,
l'IcE=it*——HeI<o'ropas1 система простых корней. Обозначим
через Aut (G, T, H) группу всех автоморфизмов 9eAut G,
таких, что 9(Т)=Т и что (с1Э)‘(П)=П. Сопоставляя каждому
автоморфизму 0eAut (G, T, П) преобразование ((d(9)*)“:
E—>E, получим гомоморфизм п: Aut (G, T, l‘I)—+Aut H, где
АитП-группа автоморфизмов (т. е. изоморфизмов на себя)
системы П в смысле п. 4. Как видно из теоремы 9, Imn
совпадает c подгруппой (Aut I'I)x(T,, состоящей из автоморфиз-
мов системы П, переводящих в себя решетку Х (Т Оказывает-
ся, что Kern =a(T), где а-действие группы G Ha себе
внутренними автоморфизмами. Более того, справедлива
Те орема 10 (см. [17], § 4). Пусть G связно и полупроста.
Имеем полупрямое разложение Aut(G, T, l'I)=a(T)-1“, где
Г—такая подгруппа, что т]: Г—›(Аш Пъдш-изоморфизм.
"Далее, имеем полупрямое разложение AutG=IntG-I“. B част-
ности, AutG компактна, (Aut G)°=IntG u OutG=Aut G/IntG2
Z H)x(T) . _
СЛСДСТВИС. Если 9—-—полупростая компактная алгебра
Ли, то berg=adg.
Аналогичным образом описывается группа автоморфиз-
мов связной полупростой комплексной группы Ли (см. [20],
§ 4.4). Заметим, что если G односвязна или имеет тривиальный
центр, то (Aut H)xm = Aut H.
Группа Aut П, очевидно, совпадает с группой симметрий
схемы Дынкина группы G. Для g=su,, (n>2), 502, (1 > 4)
и ед она изоморфна 22, для 9=5о8—симметрической группе
S3, для остальных неабелевых простых групп она тривиальна.
Пример 5. Автоморфизм Х Н)? группы SU,, при
п> 2 не сохраняет систему собственных значений оператора
Х и поэтому является внешшитм. Отсюда следует, что
OutSU,,z 22 при п>2.
Примером внешнего автоморфизма группы 802„ 1 > О,
является автоморфизм ас: ‘X+—+CXC‘1, где Се 02, и det C = -1,
определяющий элемент порядка 2 в Out S021. Ha самом деле
Out S02,:Z2 для всех 1>0. При I =1 это проверяется
непосредственно, при 1> 1, I754 следует из сказанного выше.
При I =4 нетрудно проверить, что единственный нетривиаль-
ный автоморфизм системы П, переводящий в себя решетку
Х(Т), есть перестановка простых I<opHei«’1~a3 И 0:4, которая
индуцируется автоморфизмом ас, C=diag (13, -1, 14).
7. Линейные представления. Пусть 6—компактная группа
Ли. В силу следствия 2 теоремы 2.4 всякое конечномерное
линейное представление группы G однозначно разлагается

I-V‘-1.1,-,-V-I тати! -w-as
§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 71
в прямую сумму неприводимых представлений. В этом пункте
мы приведем классификацию неприводимых линейных пред-
ставлений связной компактной группы Ли G. Все представле-
ния предполагаются комплексными и конечномерными.
Выберем максимальный тор Т с: G и систему простых
корней II={oc1,..., 01,} в соответствующей системе корней AG.
Рассмотрим группу весов Р‹:Е (см. п. 5). Каждому весу ЖеР
соответствует набор целых чисел
Хд=?„(/2д)=(?„|осд> (i=1,..., I),
которые называются числовыми отметками веса 7». Если
G полупроста, то жд-координаты веса Ж в базисе фундамен-
тальных весов 1:1, ...‚ 1:, и поэтому определяют K однозначно.
Вес A называется доминантным, если мэО для всех i=1, ...‚ 1.
Пусть р: G—>GL (V)—JI1»1Hei»’1Hoe представление группы
G. Продолжим представление dp: g-+gI(V) Ha алгебру
Ли g(C). Весовой вектор ve VA, v;é0, называется старшим
вектором, если -
с1р(е„)и=О (ozeA{;').
Соответствующий вес А е Ф, называется старшим весом
представления р. Доказывается (см. [17], § 7), что старший вес
всегда существует и что любой старший вес является
доминантным. Всякий вес led)‘, имеет вид ?„=А—осд——...
...—осд, где А——старший вес. Если р неприводимо, то старший
вес А единственен и dim VA: 1.
Теорема 11 (см. [17], §7). Неприводимое линейное
представление связной компактной группы Ли G однозначно,
с точностью до эквивалентности, определяется своим стар-
шим весом. Для любого доминантного характера AeX(T)
существует неприводимое линейное представление группы G со
старшим весом А.
В дальнейшем мы будем обозначать через р (А) неприводи-
мое представление группы G со старшим весом А. Представле-
ния p,-=p(1t,-) (i = 1, ...‚ 1) называются базисными (р, существу-
ет, если 1:,-eX(T)). Тривиальное представление размерности
1 будет обозначаться через N.
Пример 6. ‘Пусть G=SU2. B этом случае существует
единственный положительный (и простой) корень ос=оъ1 =2а1
(в обозначениях таблицы 1). Решетка Р=Х(Т) порождается
элементом 1:1 =31, И Q=2P. Любой доминантный вес
A=k1t1 (keZ, k>0) является старшим весом представления
p(k1t1). Заметим, что p(k1t 1) реализуется как k-51 симметричес-
Кая степень стандартного представления Id группы SU2, T. е.

72 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
как представлешиге, индуцированное представлением Id B про-
странстве всех бинарных форм степени k. Для грушгы
802/2 (SU2):S03 неприводимые представления имеют вид
р(21‹1г1) (kez, k>0). B ЧЗСТНОСТИ, р(2п1)—стандартное пред-
ставление группы S03.
П р и м е р 7. Для любой простой классической компактной
группы Ли G, отлшчной от $03, а также для G=G2,
стандартное представление Id есть р 1 (в обозначениях таблицы
1). В тех же обозначениях для G=Spin2,+1 (1> О) имеем
1 .
cr=p,=p(-2—(e1+...+a,)), a для G=Spm2, (l>2) имеем
1 1
О`о=р1_1 '-'-"P(§(81'+’...'+'81—1 -80), 0'1 =p1=p(§(81+...+81—1+
+s,)) (см. таблицу 2).
Из таблицы 1 видно, что Х(Т)=Р для G=Spin,,, n23. По
теореме 8 группа Spin, (n 2 3) односвязна.
Линейное представление р связной компактной грутшы Ли
G называется самосопряженным, если д 2 р. Очевидно, Фд=
= —Ф‚„ так что самосопряженность равносильна условию
Фр: -Ф‚‚. Чтобы сформулировать критерий самосопряжен-
ности неприводимого представления в термштах старшего
веса, фиксируем некоторую камеру Вейля и соответствующие
системы положительных и простых корней A2; И П. В силу
п. 3) теоремы 4 существует единственный wo e WG, такой, что
wo (C)= — C. Тогда преобразовашге у= — wt, пространства
Е является автоморфизмом системы П. Ясно, что представле-
ние р= р (А) самосопряжено тогда и только тогда, когда
у (А) = А. ' ,
Если G проста и ее касательная алгебра отлшчна от
sun (2223), 5о4„+2 (п>1), ед, то v=id, так что всякое
неприводимое линейное представление группы G caMoco-
пряжено. Для остальных неабелевых простых групш у определя-
ется единственной нетривиальной симметрией схемы Дынкина.
В этом случае условие самосопряженности неприводимого
представления состоит в том, чтобы числовые отметки его
старшего веса обладали соответствующим свойством симмет-
ричности. Если G=T, то у= —id, так что самосопряженное
неприводимое представление тривиально. Если G не просто,
то отображение у действует покомпонентно.
Поскольку любое линейное отображение V—+ V* можно
рассматривать как билинейную форму на пространстве V,
самосопряженность линейного представления р: G—+GL (V)

§3. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 73
равносильна существованию невырожденной билинейной
формы на V, инвариантной относительно р. Из леммы Шура
следует, что для неприводимого самосопряженного представ-
лешш р пространство инвариантных билинейных форм одно-
мерно, причем все ненулевые инвариантные формы невырож-
дены И либо симметричны, либо кососимметричны. Линейное
представлеъше, допускающее симметрическую (кососиммет-
рическую) невырожденную инвариантную билинейную форму,
называется ортогональным (соответственно симплектическим).
Теорема 12 (см. [15], §7; [32]). Если G npocma, то
самосопряженное неприводимое представление р (А) ортогональ-
но (симплектично) тогда и только тогда, когда четно
(соответственно нечетно) число R, определяемое с помощью
следующей ‘таблицы:
ТИП G A4q+1 B; С; D4q+2 E7
4q+2) я
R A4-q+1 А: ^1+^з+ ^4 +1+ A4+A6+A7
+A5+... + 4.4+;
Для групп, тип которых не указан в таблице, самосопряженное
представление всегда ортогонально. В общем случае ортогональ-
ность или симплектичность самосопряженного представления
определяется четностью суммы чисел R, соответствующих
различным связным компонентам схемы Дынкина группы G.
Укажем теперь критерии самосопряженности И ортого-
нальности приводимого представления.
Предложение 3. Представление р связной компактной
группы Ли G самосопряжено тогда и только тогда, когда его
разложение на неприводимые компоненты имеет вид
Р=Р1+д1+---+Рв+!5в+Рв+1+---+Р:‚
где р ,- (s+ 1 < j < t) самосопряжены. Если все компоненты
р, (s+ 1 < j <1‘) попарно не эквивалентны, то р ортогонально
(симплектично) тогда и только тогда, когда все они ор-
тогональны (соответственно симплектичны).
8. Характеры и размерности представлений. С каждым
конечномерным линейным представлением р грутшы Ли
G связана функция '
x.}(g)=tro(g) (вед)
-—характер представления р. Мы хотим напомнить классичес-
кую формулу Г. Вейля‚ позволяющую вычислить характер

——— т- ..-..-—_.__..__ .. _A,_.’V
74 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
неприводимого представления компактной группы Ли по его
старшему весу. „ .
Пусть С—связная компактная группа Ли, Т — ее мак-
симальный тор, причем фиксирована система положительных
корней Ад’ относительно Т. Для любых 7»et* (С), xet положим
Q (ж, х): Z (detw) e“”""”. (12)
WEIVG
` В частности, имеем (см. [16], гл. VI, §3):
ОН, х): П (е%°‘("’—е`%°'"’). (13)
аеА5
Теорема 13 (см. [17], § 7). Пусть АеХ (Т) доминантен.
Тогда для‘ любого xet имеем
хм) (exp х) Q (ъ х)= Q (/\+v, x).
Используя очевидное соотношение dim p = хр (е), можно
вывести из теоремы 13
Следствие (см. [17], § 7)
dimp(-A)= П +1). (14)
aeAg
Рассмотрим одно применение формулы (14). Для двух
элементов ж, р е Е будем писать 7ь> р, если 7», > р; для всех
i = 1-, ..., l И Ж,> р, для некоторого j (в обозначешигях п. 7).
П р е дл о ж ение 4. Если ' А, MeX (T) доминантны
и А>М, то dim p (A)>dim p (M).
Д о к а з а т е л Ь c т в о. 1-1етрудно проверить, что каждый
ha (oceA$ ) имеет вид h,,= 2 Кд/гд, где 1сд>0. Поэтому
z=1
1 г
<^|Ш>=^(/1„)= Z Кия? Z k.-M.-=<M|0t>-
' i==1
t=1
Далее, в силу предложения 2
l
(Нов): Z k,->0.
i=1
Учитывая, что (А|ос,>>(М|ос,> для некоторого j, получаем
отсюда требуемое неравенство. I
Используя предложение 4,. мы перечислим теперь все
неприводимые представления простых компактных групп Ли,
размерности которых «не слишком велики» по сравнению
с рангом группы.

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 75
П р e д л о ж е н и е 5. Пусть 6—связная простая компакт-
ная группа Ли. В таблице 3 приведен список всех доминантных
весов А группы G, удовлетворяющих следующим условиям:
dimp(A)<2n для g=su,,, п>1;
dimp(A)<4l для 9=5о2‚+„ 1>1;
dimp(A)<4l для 9=5р‚, 1>1;
dimp(A)<4l—2 для g=so2,, l>3;
dimp(A)<l4 для 9:92.
Д о к а з а т е л Ь с T B o. Пусть g = sun. Размерности базисных
представлений удовлетворяют неравенствам
dim pl <dim p2 < <dim p[,,,2],
dim p,,_ 1 <dim p,,_2 < <dim p[,,_ 1,234, 1 =dim ршд.
Имеем
‚1 >О‚ если п> 5,
dimp2—2n=§ п(п—5) {=0, если п=5‚
= <0‚ если п<5.
Отсюда видно, что из базифых представлений нашему условию
при п> 5 удовлетворяют только pl И р„_ 1, а при п = 5 И п =4 ему
удовлетворяют все базисные представления. В силу предложе-
ъшя 4 при п 2 5 достаточно проверить, что р (2п1) И р (щ +п„_ 1)
не удовлетворяют нашему условию. Легко видеть, что
dim p (21t1)—2n=% n (n——3)>0, если n>3,“
dim p (1t1+1:,,_1)——2n=(n-- l)2—2>O, если п>3.
Тем самым при п) 5 утверждение доказано. При п=4, 3, 2 оно
следует из предыдущих и аналогичных им вычислений.
Для остальных типов простых групп доказательство
проводится аналогичным образом. Мы остановимся только на
случае g = ярд, так как в этом случае требуются несколько
более сложные оценки.
k k—2
. 21 21
Оценим снизу число d1m pk =( )—-( ), считая, что
21 21 1
l>k>3. Очевидно, ( )>( )=§l(2l—1) (21-2). Поэтому
k 3
. 21 Ё
_ 21 (2l+1)(2l—2k+2) 1 __ _ 2I—2k+2
-(k) (2l—k+1)(2l—k+2)>3l(2l W а

76 гл. 1. ГРУППЫ ли и ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
21-2k+2__ k
-2-l:—k—_T_—2-— ——2—l—:]—C——:§ убывает с ростом k и поэтому не
Дробь
2
меньше, чем ———. Итак,
. 1+2
Отсюда
. 41
Если же 1:3,’ то dimp3=l4>4l. Стало быть, при 123
представление p3 He удовлетворяет нашему условию.
Далее, имеем
dim p2—4l=2l2——5l—l>0 при 1>2.
(212-61- 5)>О, если 1>3.
Таким образом, из базисных представлений нашему условию
' удовлетворяет только pl. Далее,
атшр(2ц,)-41=(2’:1)—41=`1(21-з)>о при 122.
Применяя предложение 4, получим наше утверждение. I
9. O классифшсации связных подгрупп в простых компакт-
"пых группах Ли. В этом пункте мы кратко остановимся на
применении теории представлений к задаче классификашш
связных подгрупп Ли в простых компактных группах Ли.
Метод, о котором пойдет речь, был сначала использован
А. И. Мальцевым [46], а затем развит Е. Б. Дынкиным [29].
Мы говорим, что две подгруппы А, В некоторой группы
G сопряжены при помощи Aut G, если B=oc (A) для некоторого
oceAut G. Если автоморфизм ос можно выбрать внутренним, то
мы говорим, как обычно, что А и В сопряжены (в G).
Пусть 6—связная простая неабелева компактная группа.
Ли. Используя некоторое точное линейное представление этой
группы, отождествим G-c подгруппой Ли в GL (V):GL,, (C) (B
случае, когда (}—классическая группа, обычно рассматривают
ее тождественное представление Id, a B случае, когда
(Ё-особая группа—ее представление наименьшей размер-
ности). Пусть H — односвязная компактная группа Ли. Тогда
связные подгруппы Ли в G, локально изоморфные Н,— это
образы всевозможных гомоморфизмов Н —-› G c дискретным
ядром, которые можно рассматривать как локально точные
комплексные линейные представления группы Н размерности

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 77
п, Такие линейные представления полностью описываются
в терминах их старших весов (см. п. 7 И следствие из теоремы
13). При этом, однако, возникают два вопроса:
1) В каком случае образ линейного представления
р: Н —-+GL (V) содержится в G? _
2) В каком случае два линейных представления р,
о: Н -—› G определяют подгруппы грушты G, сопряженные
в G или сопряженные при помощи Aut G?
Ответ на первый вопрос легко’ дать в случае, когда
6——классическая группа. Действительно, по теореме 2.4 мы
можем считать, что р (Н) с П„. Поскольку Н полупроста,
H = (Н, Н), и потому р (Н) с SU,,. Чтобы выяснить, содержит-
ся ли р (Н) в S0,, или Sp,,,2, можно воспользоваться
результатами из п. 7.
Для изучеъшя второго вопроса полезно следующее простое
утверждение.
П р е дл о же ни е 6. Пусть р, о‘: Н—› 6-—два гомомор-
физма с дискретными ядрами и on e Aut G. _ Тогда
о‘ (H )=O!. (p (H )) в том и только том случае, когда o=oco ро B,
где В-тскоторый автоморфизм группы Н.
Д о к а 3 а т е л Ь c т в о. Достаточность условия очевидна.
Докажем, что оно необходимо. Если о (Н )=ос (р (Н ))‚ то
о И осо р являются накрытиями Н —+ H ’=o' (H ). Поскольку
Н односвязна, существует такой BeAut H, ЧТО o'=oc o p о B. I
Будем говорить, что гомоморфизмы р, о‘: Н -—› G сопряжены
при помощи Aut G, если ст=осо р, где aeAut G. Если ос——
внутренний автоморфизм, тотр и о называются сопряэктенными.
П р е д л о ж е н И е 7. Пусть, в обозначениях предложения 6,
все автоморфизмы группы Н являются внутренними. Подгруп-
пы р (Н) И о (Н) сопряжены с помощью Aut G или сопряжены
в G тогда и только тогда, когда соответствующим свойством
обладают гомоморфизмы р и о‘.
Доказательство. Если o'(H)==oc(p(H))m1s1 некоторо-
го oceAut G, то в силу предложения 6 сг=оъо р о B, где
BeAutH. По условию [3=а„‚ где иеН. Тогда cs=(ocoa,,(,,,)<>p,
причем автоморфизм ос о ар(и) является внутренним тогда
и только тогда, когда сям-внутренний автоморфизм. I
Если Н содержит внешние автоморфизмы, то для клас-
Сификации подгрутш в G, локально изоморфных Н, нужно
сначала классифшшровать все гомоморфизмы Н -›6 с точ-
ностью до сопряженности. (или до сопряженности при помощи
Aut G), a затем объединить классы, которые получаются
с помощью умножения справа на внешние автоморфизмы
Группы Н.

78 гл. 1. группы ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
Теперь мы хотим выяснить, когда два гомоморфизма
H —>G сопряжены или сопряжены при помощи Aut G. Как
мы знаем (см. пример 5), группа Out SU,, (п>2) порождается
автоморфизмом X1—>X’, любой автоморфизм группы $0д+1
или Sp, является внутренним и любой автоморфизм группы
S02, (I > 2) индуцируется внутренним автоморфизмом гругшы
02,. Отсюда следует, что если два гомоморфизма р,
о: H -+G, me (Ё-классическая группа, сопряжены, то
р г: о (как линейные представления). Если р и о сопряжены
при помощи AutG, то имеем ршо‘ или раб‘ для G=SU,,
И ршо‘ для G=S0,,, SpP,2. Оказывается, что верно и обратное
утверждеъше.
П редло жени е 8. Пусть О-классическая группа и р, о:
Н —›6'—два гомоморфизма с дискретными ядрами. Если pro’
u G=SU,,, S02,“ или SP1, то р и о сопряжены. Если рано‘
и G=S02, или если p26‘ u G=SU,,, то р и о‘ сопряжены при
помощи Aut G.
Доказательство. Если раб, то существует такая
матрица Се GL,, (С), что Cp(h)=o(h)C для всех he_=H. Запишем
С= UP, me U e U,,, а Р—положителЬно определенная эр-
митова матрица. Тогда
(UP(h))(P(h)“PP(h))=(°(h)U)P (‘тет
Поскольку ‘матрица р (h) ` 1 Рр (h) эрмитова, из единственности
полярного разложения матрицы следует, что U p (п): o’ (h) U
для всех heH. Тогда П1= Пе50`„ и Щр(12)[];1„о(/2)
(heH). Если же раб‘, то мы получаем, что U1p(h)=o'(h)U1\I.11151
некоторого U1 eSU,,. Таким образом, наше утверждение
доказано, если G=SU,,.
Пусть теперь G=S0,, 111111 Sp,,,2. Тогда p(h) 11 o'(h) (heH)
перестановочны с полулинейным оператором J пространства
V= C ”, совпадаюпшм с комплексным сопряжением. в первом
случае и с кватернионной структурой, заданной формулой
(2.16), во втором случае. Если рас‘, то, как показано выше,
существует такой U e U,,, что Up (I2).-—-o'(h) U (heH). Очевидно,
линейный оператор B=J U ’ 1J’1Ue U,, обладает следуюцшми
свойствами: Bp(h)=p(h)B (heH), JBJ ‘1=B"1. O6o311aI111M
через А оператор- из Н„, имеющий те же собственные
подпространства, что В, и удовлетворяющий условию А 2=B.
Тогда А также обладает указашчыми вьпце свойствами.
Полагая U1=UA '1, мы будем иметь U1e0,, 111111 Sp,,,2
соответственно и U1p(h)=o'(h)U1 (heH). I

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 79
Замечание. Если р: Н—›$02‚—абсолютно неприводи-
мое представление (т. е. неприводимо соответствующее пред-
ставление в пространстве С 2’) и Ce Од-такая матрица, что
det С = -1, то представления р и o'=acop He сопряжены как
гомоморфизмы в $021. Действительно, если p=aDoo' для
некоторой Ве$02‚, то p=aDCop, И по лемме Шура ВС=с12‚,
где ceR". Следовательно, det (DC)=c2'>0, что противоречит
предположению.
Пример 8. Опишем поДГРУПпы группы 502„ 124,
локально изоморфные S02,_1. Поскольку спинорная группа
односвязна (см. пример 7), мы можем взять H = Spiny- 1.
Согласно предложению 5, единственными с точностью до
эквивалентности ортогональными представлениями группы
Брёпд- 1 , 124, размерности 21 являются представления
ъ=р1+1\1 и р3 (для 1=4).
В _ силу предложения 8 всякий гомоморфизм р;
$р$п2‚_ 1—›$02‚ сопряжен одному из этих двух представлений
при помощи Aut 502,. В случае представления 1 JICFKO
показать, что р на самом деле сопряжен ъ. Таким образом,
1 определяет один класс сопряженных подгрупп, содержащий
стандартно вложенную подгруппу $02‚_ 1 c: S02, (стабилизатор
вектора е1еНЁ').
Пусть 1=4. Рассмотрим гомоморфизм о’: Spin7—>S08,
заданный формулой о’=асоо', где о: р3—спинорное пред-
ставление, и C=diag(1, -17). Поскольку detC= -1, о‘ и о’ не
сопряжены. Из предложения 7 следует, что подгруппы o'(Spin7)
И о’($р1п7) не сопряжены в S08. Таким образом, S08
содержит ровно три класса сопряженных подгрупп, локально
изоморфных $07; их представителями являются $07, o'(Spin7)
И cr’(Spin7). Если же рассматривать подгруппы с точностью до
сопряженности при помощи Aut S08, то имеются только два
класса подгрупп с представителями $07 и o'(Spin-,).
H p и M е р 9. Решим теперь задачу классификации под-
групп группы $рйг8, локально изоморфных $07 (или Spin7).
Рассмотрим векторное представление о): Spin8—>S08 (см.
пример 2.25). Очевидно, трем классам сопряженных подгрупп
В S08, описанным в примере 8, отвечают три класса
сопряженных подгрупп в Spin8, накрывающих их при помощи
со, причем этим исчерпываются все пошруппы рассматрива-
емого типа. Представители этих классов суть образы гомомо-
рфизмов 1', б, б": Spin7—>Spin8, где для любого гомоморфизма
Ф: Spin7—>S08 мы обозначаем через Ф единственный гомомор-
физм Spin7—>Spin8, такой, что ‹р=о›оФ. Докажем, что все эти
подгруппы сопряжены ' при’ помощи Aut(Spin8). Это очевидно

80 гл. 1. группы ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
для подгрупп б’ (Spin-,) И 6" (Зрим), поскольку б‘ И б“ сопряжены
при помощи Aut (Spins). Рассмотрим полуспинорное представ-
ление од: Spins —>S0s. Легко проверяется, что о'—оТ=о'.
Поскольку Spins односвязна, существует такой уешдгьрёпв),
что 0'0-=o)oy. Значит, (ooyoI=o=o)o6'. Отсюда следует, что
yoi=6', так что I И б‘ сопряжены при помощи Aut (Spins).
10. Индексы гомоморфзмов и подгрупп. Пусть (?——связная
простая неабелева компактная группа Ли. Как и в п. 2, мы
рассматриваем на g инвариантную отрицательно определен-
ную билинейную форму ( , ). Поскольку присоединенная
группа AdG действует на g неприводимо, форма ( , )
определена однозначно с точностью до положительного
множителя В частности, форма ( ‚ ) пропорциональна форме
Киллинга И, значит, инвариантна относительно Aut g.
Как известно, в системе корней AG имеются элементы не
болеет двух различных длшт (это следует, например, из
теоремы 7 И теоремы 4, п. 4)). Нормируем форму ( , ) таким
образом, чтобы (ос, оъ)=2 для корня ос наибольшей длины.
Пусть H — другая связная простая компактная неабелева
группа Ли. Снабдим ее касательную алгебру I) инвариантной
билинейной формой ( , ), удовлетворяющей указанным выше
условиям. Пусть р: Н чб-гомоморфизм групп Ли, (p=dp. Из
сказанного выше следует существование такого числа 1„ 2 0, что
(Ф(х)› Ф(у))=1р(х›у) (хэ yeb)-
Число jp называется индексом (mm индексом Дынкина) гомомо-
рфизма р. Если Н — простая подгруппа в G, то индекс
вложения Н —>G называется индексом (или индексом Дынкина)
подгруппы Н и обозначается j (H, G). Ясно, что для любых
оъеАщ G, BeAutH имеем
Jmoa=J}» J'(°¢(H)» G)=J'(H» G)-
Легко доказывается
Предложение). Пусть G, H, К-связные простые
некоммутативные компактные группы Ли. Если заданы гомо-
морфизмы .
K—“>H—">G,
mo ДМ, =j,,js. Если КсНс G, то j(K, G)=j (K, H)j G).
H p И M е р 10. Пусть G —связная простая некоммутатив-
ная компактная группа Ли, Ас-система ее корней относи- -
тельно некоторого максимального тора Т. С каждым корнем
oceAG можно связать простую подалгебру ранга 1 алгебры g.

§3. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 81
Для этого рассмотрим, как в п. 2, корневые векторы ’e,eg(C),,, _
е_„=ё„е9(С)_„ и вектор /2„е1(С), заданный формулой (8).
Подпространство g‘°"=(e,,, e-,, т) есть подалгебра в 9(С),
изоморфная 512 (С), причем изоморфизм определяетсяюоответ-
ствием е„ъ—›Е12, e_,,I——>E21, ha:-—>E11—E22. При этом подалгебре
9‘°°П9=(е„+е-„, i(e,,—e..,), z'h,,),, соответствует подалгебра
5и2с512 Поскольку ‘гругша SU2 односвязна, указанный
изоморфизм определяет гомоморфизм (pa: SU2—>G. Ясно, что
если ос-корень наибольшей длины, то j,,a= 1. Таким образом,
любая простая некоммутативная компактная группа Ли
содержит простую пошругшу Ли ранга 1, имеющую индекс 1.
Мы хотим теперь доказать, что индекс Дынкина всегда
является целым числом. Нам понадобятся следующие два
утверждешигя.
П р е Д л о ж е н И е 10. Пусть р: H ->G—-—2oMoMop¢u3M связ-
ных компактных групп Ли, S с:Н u T с G —такие максималь-
ные торы этих групп, что p(S)<: T, PG u РН-соответст-
вующие решетки весов, Q5’ =P2; u Q2,’ =P';,. Тогда
(dp)*(Po)~=Pa и (dP)(QzY)CQc¥~ „ ..
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Н, Сё-односвязные накры-
вающие группы для Н и G. Тогда существует гомоморфизм Ё:
Ёчд, накрывающий р И такой, что с1б=а7р. Пусть S,
T"—— максимальные торы гругш Н, G, накрывающие S, T. Тогда
5($‘)c: Т, Х(5')=Рд, X(T")=PG. Значит, (dp)"(PG)cPH, откуда
(dp)(Q§)cQc¥.
Л е M M a 1. Если (ос, ос)‚=2 для корня максимальной длины из
AG, mo (х, x)e2Z для любого xeQ ".
Д о к а з а т е л ь c т в о. Поскольку Q " порождается век-
торами ь, (BEAG), ДОСТЗТОЧНО проверить, что скалярное
произведение любых двух 12„ является целым числом, а скаляр-
ный квадрат 12„ четен. Имеем
\
(ha, h,,)=af‘B—)e2z,
поскольку отношение квадратов длин двух корней—целое
mono (CM. п. 4). По той же причине для любых [3, yeAG имеем
4(В‚ т) 2 203, т)
h , h = = - eZ. .
( В у) (B, B)( ‚ 7) (В, I3) (у, 7)
Предложение 11. Индекс 1„ любого нетривиального
гомоморфизма р: H —>G u, в частности, индекс j(H, G) любой
простой неабелевой подгруппы H с: G является натуральным
числом.

82 ГЛ. I. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Д о к а з а т е л Ь c T B о. Выберем максимальные торы S c H,
Tc G, как в предложении 10, И рассмотрим соответствующие
системы корней АН, AG И решетки Q д}, Q д’ . Фиксируем корень
оъеАН максимальной длины. Тогда (м, /2„)=2‚ И
J'p=-12—(dP(h«)» do (1%))-
B силу предложешая 10 (с1р)/2„е9ё, так что jpez no лемме 1.I
Пусть теперь р—комплексное линейное представление
связной простой неабелевой компактной группы .Ли G. МЫ
можем считать, что р—гомоморфИзм группы G B простую
группу ЛИ 8П„, где n=dim p. Поэтому можно говорить об
индексе 1„ представления р, Заметим, что нужная нам
инвариантная билинейная форма на алгебре ЛИ 511,, имеет вид
(Х, Y)=tr(XY).
Таким образом, для любых х, yeg ИМССМ
tr(dP(x)dP(y))=J'p'(x» у). (15)
Легко доказывается
П р е д л о ж е н И е 13. Для любых двух линейных представ-
лений р, о‘ простой неабелевой компактной группы Ли G имеем
jp+a =jp +.jo':
jpc = (dim РПо +(dim “Ист
Найдем теперь явную формулу для вычисления индекса
неприводимого представления в терминах его старшего веса.
Для этого мы воспользуемся оператором Казимира линейного
представления. Пусть р: G—>GL (V)—J11»1Hei«iHoe представлешиге
простой компактной группы Ли G. ПУСТЬ v1, ..., и„—базис
алгебры ЛИ g(C) И v1,..., и”—базис той же алгебры,
сопряженный первому базису относительно билинейной
формы ( , ), выбранной выше И продолженной на g(C).
Определим оператор Казимира в пространстве V формулой
С=Ё1(с1р)(ид)(с1р)(о‘). (16)
Хорошо известно (см. [24], гл. 3), что С не зависит от выбора
базиса (од) И перестановочен „со всеми (dp) х, xeg(C). Если
р неприводимо, то по лемме Шура C —скалярный оператор.
На самом деле
C=((I\+7, A+Y)-(Y, 7))id» (1.7)

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 83
где А—старший вес представления р, а у определяется
формулой (11) (см. [17], § 7).
Те о р е M a 14. Пусть G —связная простая неабелева ком-
пактная группа Ли и р(А)—ее неприводимое линейное пред-
ставление. Тогда
. ‹1` A
Jp<A)= ((A+Y» A+v>-(v, 7))-
Доказательство. Из (15) и (16) следует, что
ПС=]„ Ё (од, и‘)=]„-с11шб.
i=1 , .
С другой стороны, tr C=((A+y, A+y)—-(7, 7))-dimp(A) B силу
(17)G'JIencTBne. Пусть G=SU2. Тогда
_ 1
ы„‚›=д1«/‹+1›‹к+2›.
11. Подгрушты максимального ранга. Пусть 6—связная
компактная группа Ли. Подгруппа Ли Нс G называется
подгруппой максимального ранга, если rk H = rkG или, что
равносильно, если максимальный тор группы Н является
максимальным тором и в G. B этом пункте мы дадим
описание связных подгрупп максимального ранга данной
компактной группы Ли. Начнем со следующего простого
свойства подгрупп максимального ранга.
Предложение 14. Пусть С-связная компактная
группа Ли, H — ее подгруппа максимального ранга. Тогда
Z (G)c:H. Если 6=260—локально прямое разложение, где
Z —mop, а Go полупроста (см. теорему 2.5), то H =ZH0, где
Ист-подгруппа максимального ранга в Go.
Доказательств о. Использовать следствие теоремы
2. I
Теперь мы переходим к классификации связных подгрупп
максимального ранга в связной компактной группе Ли
G c точностью до сопряженности или до сопряженности при
помощи Aut G. B силу теоремы 1 достаточно рассматривать
связные подгруппы Ли, содержащие фиксированный мак-
СИмальный тор Т группы G. Переходя к касательным
алгебрам, мы сведем задачу к описанию подадпебр в g,
C0lIep>Kanmx t. Если Ь-такая подашебра, то и=[)(С)—под-
алгебра в 9(0), содержащая t(C), причем ﬁ=u И I)=uﬂg. Имея
В виду другие возможные приложения, мы опишем сейчас

84 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
в терминах корней всевозможные подалгебры в 9 (C), содер-
жащие ‘t(c).
Пусть Ад-система корней группы G относительно Т.
Подсистема Г cAG называется замкнутой, если для любых а,
Bel“, таких, что oc+BeAG, имеем оъ+ВеГ. Подсистема
Г называется симметрической, если для любого осеГ также
и -аеГ.
Пусть Г—произволЬная подсистема в AG. Положим
u(1")=*(°)®(f9r9(C)«)a
b(1")=u(I“)ﬂ9-
B ЧЗСТНОСТИ, u(Q)=t(C), u(AG)=g(C), I)(Q)=t, I)(AG)=g.
П р е д л о ж е н и е 15. 1) Для любой замкнутой подсистемы
Г с AG подпространство и (Г) является подалгеброй в 9 (C).
Обратно, любая подалгебра в 9 (C), содержащая t(C), имеет
вид ц (Г) для некоторой, однозначно определенной, замкнутой
подсистемы Г с: AG. Если Г 1, Г2——две замкнутые подсистемы
в AG, mo u(1“1) с u(I‘2) тогда и только тогда, когда Г, с Г,
2) Для любой Г с AG имеем и(Г)=и(—Г). В частности,
и(Г)=и (Г) тогда и только тогда, когда Г-симметрическая
подсистема. Для замкнутой симметрической подсистемы
Г пространство I) (Г) есть подалгебра в 9, содержащая
t и удовлетворяющая условиям I) (Г) (C)=u (Г), А‚,(с,=Г. Обра-
тно, любая подалгебра I) с g, содержащая t, имеет вид I)=I) (Г)
для некоторой замкнутой симметрической подсистемы Г с AG,
однозначно определяемой подалгеброй I).
3) Подалгебры и (Г) и [)(Г) совпадают со своими нор-
мализаторами в 9 (С) и 9 соответственно.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Утверждения 1) и 2) легко следуют
из свойств корневого разложения, указанных в п. 2. Для
доказательства свойства 3) заметим, что um) (и (Г))=и(Г’)
для некоторой Г‘: Г. Если осе Г Q то [t(C), g(C)a ] c: и(Г),
откуда 9(С)„си(Г) и oLeI‘.I _
Пусть а-алгебра Ли. Мы будем говорить, что подашеб-
ры Ь, с с а сопряжены (в а), если с=‹р (b) для некоторого
(18)
фе1ш а. Если это верно для некоторого <peAut а, то мы‘
говорим, что Ь и с сопряжены при помощи Aut а. Обозначим
через AutAG rpynny автоморфизмов системы AG B смысле п. 4.
Предложение 16 (см. [24], 8.2). Пусть Г, Г’—две
замкнутые подсистемы в AG. Подалгебры и(Г) и и(Г)
сопряжены в 9 (С) (сопряжены при помощи Autg (C)) тогда
и только тогда, когда существует такой we WG (CO0TBeTC’I‘BCH-

§3. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 85
но weAutAG), что l"’=w(l"). Если, кроме того, Г и Г’
симметричны, то же можно сказать о сопряженности под-
алгебр МГ) И Ь(Г’) в 9: `
Пусть теперь Г — замкнутая симметрическая подсистема
в AG. Из предложения 15, п. 3), и примера 2.11 вытекает, что
в G существует связная подГрУПпа Ли Н (Г), касательная
алгебра которой совпадает с I)(I‘). Очевидно, Н (Г) э Т.
Используя предложения 15 И 16, получаем следующее утверж-
дение. '
Т е о р е M a 15. Сопоставляя любой замкнутой симмет— -
рической подсистеме Г с AG подгруппу Н (Г )‹: G, мы определя-
ем биективное соответствие между орбитами группы WG на
множестве всех замкнутых симметрических подсистем в AG
u классами сопряженности связных подгрупп максимального
ранга в G. Если G односвязна, то справедливо аналогичное
утверждение с заменой группы WG на Aut AG u сопряженности
на сопряженность при помощи Aut G.
Предположим, что задано разложение G=G, G2 группы
G B локально прямое произведение двух связных нормальных
подгрупп Ли 61, 62. Тогда Т= Т1 Т2, где T д—-максимальный
тор, в G,.. Из предложения 15 следует, что любая связная
подгруппа Ли Н с: G, содержащая Т, имеет вид H:-—H1 H 2, где
Н‚—связная подгруппа Ли в G,., содержащая Т д. Таким
образом, классификация связных подгрупп максимального
раша в G сводится к случаю, когда G проста (и неабелева).
Кроме того, достаточно описать максимальные связные
подгруппы максимального ранга в G. По теореме 15
последняя задача сводится к классификации максимальных
замкнутых симметрических подсистем в AG, которую, как
оказывается, можно провести при помощи так называемых
расширенных схем Дынкина.
Если G проста, то комплексная алгебра Ли g (C) также
проста (см. п. 2.7) и, следовательно, Присоединенное представле-
ние Ad группы G B g (С) неприводимо. Выберем систему простых
корней П с AG. Единственный старший вес б е AG называется
старшим (или максимальным) корнем группы G. B- выражении
1
5= Z пдосд, (19)
i=1
Где I'I={oc1, ..., он}, все числа п, положительны. Обозначая
0to= —-5, мы можем записать (19) в виде
I
. 2 п, G120,
i=0

86 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где'п0=1. Множество fI=1'IU{—5}={oLG, ocl, ..., ад} называет-
ся раёширенной системой простых корней. Оно допустимо
в смысле п. 4 и поэтому изображается схемой Дышсина,
которая называется расширенной схемой Дынкина группы G.
Расширенные схемы Дынкина всех простых гругш приведены
в таблице 4, где указаны также числа пд из формулы (20).
Для любой подсистемы 2 c AG обозначим через [Е]
штожество всех целочисленных линейных комбинаций корней
из 2, принадлежащих AG. Легко видеть, что [2] есть
замкнутая симметрическая подсистема‘ в AG. Рассмотрим
следующие два типа подсистем Е: '
1. 2=I]\{oL,.}, где i>0 И пд-простое число,
II.2=II\{ocG, oc,}=II\{oz,.}, где z'>0 и п‚=1.
Теорема 16 (см. [24], 8.3). Пусть G npocma. Для любой
собственной подсистемы 2 c Й типа 1 или II подсистема [Е]
максимальна среди всех собственных замкнутых симметричес-
ких подсистем системы AG, причем 2‘. является системой
простых корней подгруппы Н ( [2]). Подгруппа H ( [2]) полупро-
ста, если 2—система типа 1, и ‘имеет одномерный центр, если
2—muna II. Любая максимальная связная подгруппа мак-
симального ранга в G сопряжена одной из подгрупп Н ( [Е ]).
Заметим, что для двух различных подсистем типа 1 или II
соответствующие подгруппы Н ( [23 ]) могут быть сопряжен-
ными. В таблгще 5 приведен список всех максимальных
связных подгрупп максимального ранга односвязных простых
компактных групп Ли G с точностью до сопряженности при
помощи AutG (CM. [24], 8.4).
12. Централизаторы торов. Пусть О-связная компактная
группа Ли. В этом пункте мы рассмотрим один специальный
класс подгрупп в G. Пусть S —тор (т. е. связная абелева
подгруппа Ли) в G. B силу теоремы 2 Н =ZG(S ) есть связная
подгруппа Ли в G. Поскольку подгруппа Н содержит любой
максимальный тор группы G, содержащий S, она является
подгруппой максимального ранга. Мы Даш/гм классификацию
централизаторов торов в терминах систем корней.
Пусть AG——cncTeMa корней группы G относительно мак-
симального тора Т с G И П—система простых корней в AG.
Для любой подсистемы Z с П мы можем построить замкну-
тую симметрическую подсистему [Е] с AG, которая является
системой корней связной подгруппы Ли НЕ=Н([Е]) с G,
содержащей Т (см. теорему 16). При этом 2 есть система
простых корней в [2].
Предложение 17. Для любой подсистемы ЕсП под-
группа Н: является централизатором некоторого тора,

§3. КОМПАКТНЫЕ группы ли 87
лежащего в Т. Если 23’=<p (Е), где ‹реАщП, то подалгебры I),-_
u Е)? сопряжены при помощи Aut g. Любой иентрализатор тора
в G сопряжен одной из подгрупп H2.
Доказательство. Для любой 2 с:П выберем такой
элемент хо ет, что -
их )= 0, если oce2,
° 1', если ocel'I\2.
Легко видеть, что касательная алгебра [)2 пошругшы Н:
совпадает с до (хо). Пусть S ——замыкание подГРУппы
{ехргхопе R}. Тогда S —тор, и касательная ашебра подгруп-
пы 2о( S ) совпадает ‚с до (хо ). Поскольку подгругшы Н,
и 2о($) связны, они совпадают.
Предположим, что Z'=(p(Z) для некоторого <peAutl'I.
Тогда среАитАо см. теорему 6). Очевидно, <p([E])= [Е],
и можно применить предложение 16.
Пусть теперь S——He'1<o1'opLIﬁ тор в G. Можно считать, что
S с Т. Как известно, существует такой 2о ее, что S совпадает
с замыканием подгруппы {ехр 12о|1е R} (CM. [15], гл. VII, § 1).
Тогда 2о(.$')=2о (го ). Пусть Со—камера Вейля в F =it,
соответствующая выбранной, системе П. В силу теоремы 4,
п. 3), существует такой we то, что и›(12о)еЁ'о. Заменяя 2о на
хо=1и2(22о)› МЫ видим, что подгруппа 2о(.$`) сопряжена
2о (хо ). Пусть 2= {осеП-|ос(ш(12о))=О}. Используя неравенство
ос(и›(22о )) > О, справедливое для всех осе l'I\2, легко проверить,
что до (хо)=[)д. Значит, пошруппы 2о($) и Н: сопряжены. I
13. параболические подгруппы. Пусть Ь—комплексная
группа Ли. Борелевской подгруппой группы L называется
любая . ее максимальная связная разрешимая комплексная
подгруппа Ли. Связная комплексная подгруппа Ли в L называ-
ется параболической, если она содержит борелевскую подгруп-
пу группы L. Легко видеть, что любая борелевская подгругша
(и, значит, любая параболическая подгруппа) в L содержит
Rad L. Поэтому изучение параболических подгру1ш сводится
‚ K случаю, когда Ь полупроста. Заметим, что условие связности
В определении парабошигческой подгругшы излишне (см. § 14).
Аналогичным образом определяются борелевские подалгебры
И параболические подалгебры комплексной ашебры Ли.
Отметим следующий важный факт: любые две борелевские
подгруппы комплексной группы Ли сопряжены (см., например,
[20], §3.2).
ПУСТЬ теперь 6—связная компактная гругша Ли, T-- ее
Максшиальный тор. Предположим, что выбрана система

88 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
простых корней П в системе корней AG относительно Т. Пусть
Г —замкнутая подсистема в AG. Из предложения 15 и примера
2.11 следует, что существует связная комплексная подгруппа
Ли U (Г) с G(C), касательная алгебра которой есть и (Г) с g (C).
B частности, В= U (АД; )——это борелевская подгруппа в G(C)
(см. §4.2). Значит, ‘шобая параболическая подгруппа в G(C)
сопряжена подгруппе, содержащей В. С другой стороны, в силу
предложения 15 любая связная (комплексная) подгруппа Ли
в G(C), содержащая В, имеет вид U (Г), где Г-замкнутая
подсистема в AG, содержащая Ад“ . Такая подсистема Г будет
называться параболической. Очевидно, для любой параболиче-
ской подсистемы Г с AG подгруппа U (Г) с G(C) параболична.
Таким образом, классификация параболических подгрупп
в G(C) сводится к классификации параболических подсистем
в AG. Используя свойства корней (см., например, [20], §4.2),
нетрудно доказать следующее утверждение.
Предложение 18. 1) Для любой 2cI'I система
Г= [2]UAZ;' является параболической подсистемой в AG,
причем 2 однозначно определяется системой Г.
2) Любая параболическая подсистема в AG имеет вид
1"=[2]UAZ;’, где 2 c П.
3) Если две параболические подсистемы Гд= [Ед ]ЫА3' , где
Е, с П (i= 1, 2), отображаются друг на друга элементом
группы W2’;, то Г1=Г2 и 21=22.
Используя предложение 18, мы можем связать с каждой
подсистемой 2 с П параболическую подгруппу P2 =
=U([2])c G(C). B частности, P2, =B И РП=Б(С).
Теорема 17. Пусть б-связная компактная группа Ли,
T — ее максимальный тор, П-система простых корней группы
G относительно Т.
1) Сопоставляя подсистеме 2 с П подгруппу P2, мы
получаем биективное соответствие между подсистемами
системы П и классами сопряженных параболических подгрупп
группы G (C). -
2) Если 22, 22 C H u 22=a(21), где aeAutII, mo подалгеб-
ры pg‘, pzz в g(C) сопряжены при помощи Autg(C).
3) Если G разлагается в локально прямое произведение
G=G1 G2 двух связных нормальных подгрупп Ли, то параболи-
ческие подгруппы в G(C)=G1 (C) G2 (C) суть локально прямые
произведения P=P1 P2, где Рд-параболическая подгруппа
в 6д(С) (i=1, 2). Имеем P2=P;1P;2, где 2=21U22 u 2,-—
подсистема системы простых корней 6,.
Доказательство. 1) следует из предложений 16 и 18,
2)“—-H3 теоремы 6 и предложения 16, 3)——из предложения 18. I

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ‘ 89
Из предложения 17 и теоремы 17 видно, что должна
существовать связь между парабошаческими подгруппами
группы G(C) и централизаторами торов в G. Явное описание
этой связи имеет следующий вид.
Предложение 19. Пусть, ›в обозначениях теоремы 18,
2—некоторая подсистема в П. Тогда
9(C)=9+pz, QﬂP2=b2:-
Доказате_лЬство. Из .(7) следует, что 9(С)=Ь+Ё, где
b=u(Ag§ ). Но Ь c:g+b, поскольку х= (x+)E)-J? для любого
хеЁ. Поэтому 9(С)=9+Ь=9+рд. Обозначим Ь=9Пр,д. B силу
предложения 15, п. 1), 2), b(C)=u(l"),‘ где Г’—замкнутая
симметрическая подсистема в AG. Очевидно, Г’с: Г= [2'.]U_A£§ ,
откуда Г ’с ГП(—Г)= [Е]. Обратно, если осе [Е] и хе9(С)„, то
х+зЕеЬ и z'x—iJEeI), так что xeb(C) И осеГС Таким образом,
Г’: [2] И b=bz- I
§ 4. Однородные пространства
1. Групповая модель. Напомним (см. следствие 1 теоремы
1.2), что любое транзитивное действие гругшы Ли G Ha
многообразии М изоморфно действию 1’ группы G Ha
многообразии G / H, где H = Ох-стабилизатор произвольной
точки хе М. б-многообразие G / H называется групповой моделью
однородного пространства М. Групповая модель зависит от
выбора точки х, так что подгруппа Н определена с точностью
до сопряженности в группе G (CM. П. 1.4). С помощью гругшовой
моделш любое свойство однородного пространства М интерпре-
тируется B терминах группы G И ее подгруппы Н. Мы
Проиллюстрируем сейчас этот принцип на простейпшх приме-
рах, начав с описания ядра транзитивного действия.
П р е д л о ж e H И е 1. Пусть M —- однородное пространство
c групповой моделью G / H. Ядро N действия группы G на
М совпадает c наибольшей нормальной подгруппой группы G,
содержащейся в Н. Если В——нормальная подгруппа Ли группы
G, содержащаяся в N, mo индуцированному действию группы
G/ D на М отвечает групповая модель (G/D)/ (N /D).
Доказательство. Очевидно, Nc:H. Пусть Мг-любая
Нормальная подгруппа группы G, лежащая в Н. Поскольку
Стабилизаторы всех точек сопряжены, N0 содержится в стаби-
лизаторе любой точки. Следовательно, No<:N. Второе утверж-
дение очевидно. I
CJI едст в ие. T ранзитивное действие c групповой моделью
G/H эффективно (локально эффективно) тогда и только

90 гл. 1. группы ли и однородные ПРОСТРАНСТВА
тогда, когда Н не содержит нетривиальных (соответственно
нетривиальных связных) нормальных подгрупп группы G.
Теперь мы дадим описание морфизмов И подобий тран-
зитивных действий.
Предложение 2. Пусть f: М1—+М2——морфизм тран-
зитивных действий группы Ли G. Тогда групповые модели
однородных пространств M1 u M 2 можно выбрать в виде G / H 1
u G/H2, где H1cH2, a морфизм f интерпретируется как
отображение f’: gH1s—>gH2 (geG). Обратно, если Н1СН2—
вложенные друг в друга подгруппы Ли группы G, то
естественное отображение f : gH1I—>gH2 является морфизмом
однородного пространства G/ H 1 в G/H2.
Доказательство Пусть x1eM1 и x2=f(x1)e_=M2. По-
ложим H,-=G,i (i = 1, 2). Тогда H1-:H2 И следующая диаграм-
ма коммутативна:
<tx=>’
G/H1 т M1
f’ f
(txz у ЁМ?‘
Тем самым первое утверждение доказано. Второе утверждение
очевидно. I
C Л е д с т в И е 1. Однородные пространства с групповыми
моделями G / H 1 u G / Н; изоморфны тогда и только тогда,
когда подгруппы H 1 и Н 2 сопряжены в G.
Совершенно аналогично доказывается
П р е д л о ж е н и е 3. Пусть (f, ‹р)—-морфизм однородного
бг-многообразия М 1 в однородное Бгмногообразие М 2. Тогда
групповые модели однородных пространств M 1 и М 2 можно
выбрать в виде G1/H1 u G2/H2, где (p(H1)cH2, a отображение
f интерпретируется как отображение f’: gH 1 ъ-›‹р (g) Н 2
(geG1). Обратно, если (р: 61 -—›С2—гомоморфизм „групп Ли
и если Ндсбд (i=1, 2)—такие подгруппы Ли, что (p(H1)cH2,
то пара (f, (p), где f (gH1)=(p(g) Н; (geG), является морфиз-
мом однородных пространств G1/H1 —+G2/H2.
Будем называть два действия локально подобными, если
они допускают подобные накрытия. Будем говорить, что пары
(Од, Hi) (i=1, 2), где Нд-подгругша группы Ли G,-, изоморфны,
если существует такой изоморфизм (р: 61 -+G2, что <p(H1)=
= H 2. Аналогично определяются изоморфные пары (g, Ь), где
.
г
..

§ 4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 91
9—-алгебра Ли, I)—ee подалгебра. Две пары (G,-, Нд) (i = 1, 2),
где Н;—ПОДГРУППЗ Ли в группе Ли G,-, называются локально
изоморфными, если им соответствуют изоморфные пары
касательных алгебр Ли.
Следствие. Транзитивные действия c групповыми моде-
лями G1/ H 1 и 62/Н2 подобны (локально подобны) тогда
и только тогда, когда пары (61, Н 1) и (G2, H2) изоморфны
(соответственно локально изоморфны).
П р и M е р 1. Рассмотрим естественное действие группы
GL( V) Ha многообразии Г рассмана Grk(V) (O<k<n=dim V)
(CM. пример 1.11). Поскольку любые два базиса пространства
V переводятся друг в друга невырожденным линейным
преобразованием этого пространства, это действие транзитив-
но. Выбор базиса в пространстве V определяет изоморфизмы
(р: GL(V)—->GL,,(K) (K=R ИЛИ С) и У—›К". Последний
индуцирует диффеоморфизм f : Gr,,(V)-+Gr,’f,k, причем пара
(f, (р) есть подобие (ДОП-многообразия Gr,,(V) Ha GL,,(K)-
многообразие Grfﬁk. Укажем групповую модель однородного
пространства Grffk. Если обозначить через ё подпространство
(e1, ..., ед), где е1, ..., е‚,—стандартный базис в К”, то стабили-
затор H = GL,, (K); будет состоять из матриц вида
k n—k
A B
nfk(0 С), detA;é0, detC;é0. (1)
Рассмотрим в пространстве К” стандартное скалярное
умножение
хдуд, если K= R,
(x,y)= ‘T3 (2)
Z22.-y.-, если К=С.
i=1
Сопоставляя каждому k-MepHoMy подпространству его
ортогональное дополнение относительно скалярного‘ умно-
Жения (2), получим диффеоморфизм SI Gr,’,‘,k—>Gr{,‘,,,-k. Hapa
(S, о), где о-автоморфизм группы СЬ„(К), заданный фор-
мулой
_ (g’)‘1, если K=R,
6(g)“{(gr)—1’ если К=с‚
Является, как легко проверить, подобием Од, (К )-многооб-
Разий. В то же время подгруппы H с: GL,, (K ), состоящие из

92 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
матриц вида (1), не сопряжены друг другу при различных k.
Следовательно, однородные пространства Gr{,‘,k ‚И Gr£,._;.
грушты GL,, (K) подобны, но не изоморфны при k;én—k.
Пример 2. Аналогичным образом можно определить
кватернионные многообразия Грассмана, рассматривая в каче-
стве V п-мерное правое векторное пространство над телом Н.
Они обозначаются через Стд (V) или (в случае V= Н”) через
Ст‚';'‚‚,. Эти шюгообразия являются однородными простран-
ствами кватернионной полной линейной грушты GL(V или
соответственно гругшы GL,, Обозначим HP"‘1 =Gr,,-1.
Пример 3. Если К=П,` k>O, то каждое k-Mepnoe
подпространство в V можно снабдить одной из двух
возможных ориентаций. Ориентированные К-мерные подпрост-
ранства в V составляют многообразие, которое мы обозначим
через Gr§.’(V) или (в случае V= R") через Стад. Это также
однородное пространство группы GL(V) или GL,, (R) соответ-
ственно. Стабилизатор СЬ„(В)д, где §= (ед, ...‚ ед) c ориентаци-
ей, определенной упорядоченным базисом (e 1, ...‚ ед), состоит
из матриц вида (1) с условиями detA>0, det C;é0., Заметим,
что многообразие Gr3,1 диффеоморфно сфере S"’1; диффео-
морфизм сопоставляет каждому лучу в Н", проходящему через
0, единственный лежащий на нем вектор длины 1.
П р и м е р 4. В дальнейшем нас будут интересовать
транзитивные действия компактных групп Ли на многообрази-
ях Грассмана. Такие действия можно получить, ограничивая
действия группы GL,. (K) на некоторые ее компактные подгруп-
пы. Приведем примеры таких ситуаций. *
Очевидно, пошругшы 0„с:СЬ„ (R), U,,eGL,, (C), Sp,,cGL,, (H)
транзитивно действуют на Grﬁk (K = R, С, Н соответствен-
но). Стабилизатор точки (e1, ..., e;.)eGr{k состоит из мат-
риц вида
k n-k
k A 0 '
C) о
и обозначается через Okx 0,,..k, Ukx U,,_k, Spk><Sp,,_;. соответ-
ственно. Подгруппа 0,, c GL,, (R) транзитивно действует также
на Стад (1<k<n), причем стабилизатор точки (e1, ..., ед)
состоит из матриц вида (3), где А е$0‚,‚ Ce Од. Наконец,
подгруппы S0,, и SU,, также транзитивно действуют на Ст 2;,
и Grﬁk соответственно, а S0,, транзитивно действует на Gr‘,3,;.
‘при 1 < k <n— 1, причем соответствующие стабилизаторы суть
S(0kX 0n—k)=(01¢ X 0n—k)nS0n, X Un—k)=(Uk X Un—k)nSUn,
- где

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 93
S0,. x S0,.-;. соответственно. Отсюда получаем изомор-
физмы:
Gr,',‘,k за 0„/0‚, x 0,...;. =50 S0,./S(0k х 0,.-k) (0<k<n),
Gr,‘:‘,;. 2,,” U./Uk х и„-‚. =‚„_$и‚‚/5(11‚. х и”) (0<k<n),
Gl‘p'§',k -"—“Spu Spa/3171: >< Зри; (0~<J€<n),
Стад. го” 0,,/S01. x 0,._;. (1 <1с<п)‚
Gr:,,. .~.:S0nS0,./S0;,xS0,,_;. (l<k<n-1).
B ЧЗСТНОСТИ,
ВР”'1 9:0" 0,,/01.x 0 -1 :S0nS0,./S(01 x 0,,..1) (n22),
CP""1 Ед” Un/U1 X Un-1 =’SUuSUn/S(U1 >< Un-1) (n>2),
HP"" =SpuSp,./Sp1‘xSp,.-1 (n22).
П р и M е р 5. Пусть V-— п-мерное векторное пространство над
K = R, C или Н, снабженное скалярным умножением, т. е.
положительно определенной формой, симметрической билиней-
ной в случае K == R И эрмитовой в случаях K =C и Н. Тогда можно
определшть многообразие Штифеля Stk (V) (1 <k<n), состоящее из
ортонормированных k-penepoe (T. е. упорядоченных ортонормиро-
ваъшых систем векторов длины k) B пространстве V. ‘B случае,
когда V= K ", a скалярное умножение задается формулой (2) (для
К: H используется та же формула, что и для K == C), это
многообразие будет обозначаться через St,’.‘,;.. Заметим, что
S151 = 3"_1‚ 5151 =32”—1‚ 53:91 =s4n_1!
ASt§,n—]_ = Зон, Ё П”, Stp|;|,n Ё Зри.
Многообразия Штифеля снабжены естествеъпгыми тран-
зитивными действиями групп линейных преобразований, со-
храняющих заданное скалярное умножение. Так, на St,'.‘,;., где
K = R, C, H, транзитивно действуют, соответственно, группы
О„‚ U,,, Sp,.. Стабилизатор точки (e1, ..., e;.)eSt,',‘,;. состоит из
матриц вида (3), где А=1;‚. При l<k<n—l подгруппы S0,,
И SU,, также транзитнвно действуют на St,',‘,;. (K =R или
С соответственно). Таким образом, имеем
St»'?,k 2030../0..—.. - (1<k<n),
Stﬁk :S0uS0,./S0,,..k (1<k<n—l),
Stak 2,," Un/Un-k (1<k<n),
Sta‘-,,. :~.«_S.UuSU,./SU,,-k (1<k<n—1),
‘St,’,'_;. =SpuSp,,/Sp,._;¢ (1 <k<n),

94 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где подгруппы вложены в группы очевидным способом.
В частности, _
. Sn-1 5on0"/0,,_1 (7121),
S""1 2 S0 S0,./S0,,-1 (I121),
s2n—1 ф и" —1 (7221),
52"” э: 5дп5Н„/БП„_1 (п>2),
S4"'1 э: 5рп$р„/.$`р„_1 (2221). (6)
П р И M е р 6. Групповая модель действия 1 группы Ли G Ha
себе (см. пример 1.12) имеет вид G / {e}. Для действия b группы
G x G Ha G стабилизатор точки е есть диагональ
Gd={(g, g)|geG}cGxG.
Значит, групповая модель есть (Gx G)/Gd.
П ример 7. Прямое произведение (см. пример 1.13) двух
транзитивных действий транзитивно. Если M1 2 5161 /Н1
И М2 2.’ GZGZ/H2, ТО M1 XM2 ‘Д’ G1XG2(G1 X XH2).
2. Основные задачи. В этом разделе мы сформулируем
основные задачи теории однородных пространств, изучаемые
в этой книге, причем будет дана их интерпретация в терминах
групповых моделей.
3 а д а ч а 1. Классифицировать (с точностью до изоморфиз-
ма или подобия) все транзитивные действия заданной связной
компактной группы Ли G.
B силу следствия 1 теоремы 1.3 .и следствий предложений
2 и 3 эта задача сводится к задаче классификации всех
подгрупп Ли группы G с точностью до сопряженности или
сопряженности при помощи Aut G. Имеется огромное число
результатов, относящихся к этой последней задаче. Например,
классификация связных подгрупп Ли простой компактной
группы Ли G была в принципе проведена Э. Картаном,
Г. Вейлем, А. И. Мальцевым и Е. Б. Дынкиным (см. § 3).
Многообразие М называется однородным, если М допуска-
ет транзитивное действие некоторой группы Ли. Таким
образом, в отличие от понятия однородного пространства,
здесь не фиксируется никакое. транзитивное действие на М. На
заданном однородном многообразии могут существовать
эффективные транзитивные действия различных связных групп
Ли. Например, имеются транзитивные действия групп S02”,
U,, И SU,, Ha 52"" 1 (п22) и транзитивные действия групп 504„,
U2,,, SU2,, IrI'Sp,, Ha S ”’1 (n21) (см. пример 5). С другой
стороны, любое компактное связное однородное многообразие

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 95
c конечной фундаментальной гругшой допускает транзитивное
действие связной компактной грушты Ли (теорема Монт-
гомери, см. [134]).
3 а д ач а II. Hycmb М —компактное связное однородное
многообразие с конечной фундаментальной группой. Клас-
сифицировать (с точностью до подобия) все эффективные
транзитивные действия связных компактных‘ групп Ли на М.
С помощью групповых моделей задача 11 сводится
к следующей задаче. Пусть М =G / H, где H — подгругша Ли
в связной компактной гругше Ли G. Найти все, с точностью до
изоморфизма, пары (А, В), где А—связная компактная группа
Ли, В—ее подгруппа Ли, содержащая только тривиальную
нормальную подгруппу группы А, такие, что М -и А/ В
диффеоморфны. Если мы хотим рассматривать также и не
обязательно гладкие непрерывные действия на М, то возникает
вопрос, в каких случаях М и А/ В гомеоморфны. При изучении
этого вопроса при помощи гомотопических инвариантов
/
приходят к задачам классификации однородных пространств -
связных компактных груш: Ли с точностью до гомотопической
эквивалентности или Н-эквивалентности (см. § 7).
B главе 5 мы дадим решение задачи П для некоторых
классов компактных однородных многообразий (включая
сферы, вещественные, комплексные и кватернионные проектив-
ные пространства, комплексные многообразия Грассмана
и др.).
Теперь мы рассмотрим задачу классификации всех рас-
Цшрений заданного транзитивного действия, которая является
частью сформулированной выше общей проблемы классифика-
ции. Пусть ti G'—>Diff M И t.” 6’1-›1)1ГГМ—два расширения
действия г: A -›1)1Н` М. Подобие (f, (p) действия г‘ на г"
называется подобием расширений, если (р (А ) =А. Отсюда
получается понятие подобных расширений заданного действия.
Рассматривая только действия компактных групп Ли, прихо-
дИМ к следующей задаче:
Задач а 111. Пусть М —однородное пространство связной
компактной группы Ли А, действующей на М эффективно.
Классифицировать (с точностью до подобия) все эффективные
связные компактные расширения заданного действия группы А. '
В действительности мы сначала решим «обратную» задачу
классификации сужений заданного транзитивного действия
связной компактной группы Ли G, которые также транзитивны.
Это равносильно нахождению всех разложений группы G B про-
Изведение двух подгрупп (см. ниже, § 5). Подшое решение
Задачи 111 для простых компактных гругш Ли будет дано в § 13.

96 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
3. Представление изотропии. Пусть задано действие группы
Ли G Ha многообразии М. Для любой точки хеМ рассмотрим
линейное представление 130„ группы Ли Gx B пространстве
T,‘ (M), действующее по формуле
Isox (h ) = dxth (h e Ох).
Оно называется представлением изотропии, а его образ
150, (О‚)ССЬ(Т„ (М ))—линейной группой изотропии в точке х.
Нас будет интересовать случай, когда действие транзитивно.
Опишем представление изотрошш в терминах групповой модевш.
П р и м е р 8. Рассмотрим действие b грушты G х G Ha
группе Ли G. Группу (Gx G)e=Gd (CM. пример 6) часто
отождествляют c G с помощью проекции на первый или
второй сомножитель. Очевидно, 1зо„( ‚ п)=а7еа„=А‹1 g (geG).
Таким образом, представление изотропии отождествляется
с присоединенными представлением группы G, a линейная
группа изотропии совпадает с присоединенной группой.
Рассмотрим теперь произвольное однородное простран-
ство М группы Ли G. Пусть H = G,,, где хеМ. В силу теоремы
1.3 линейное отображешите лен: 9 —-› T,‘ (M) определяет изомор-
физм т: g / I) ——› Т„(М Присоедгшенное представление Ad},
подгрушты Н в пространстве 9 переводит I) B осёл и определя-
ет B пространстве 9/ I)~ факторпредставление Ad.
П р е д л о ж е н и е 4. Отображение т является изоморфиз-
мом представления Ad на представление изотропии 130„ т. е.
r((A'71h):)=Isox(h)(r(§)) (hell, aeg/Ia). (7)
Кроме того,
т ([2‚ и] + Ь) = (d Isox) (z) (u + b) (z e E), u e g). (8)
Доказательство. Очевидно, t"(a,,(g))=hg(x)-—-_t,.t"(g)
(ИЕН, ge G Дифференцируя эту формулу по g, получаем
(det")o(Adh)=(d,,t;,)o(det") (heH).
Отсюда легко следует (7). Формула (8) следует из (7) путем
перехода к дифференциалам представлений. I
B некоторых случаях утверждение предложения 4 можно
упростить. Однородное пространство М а‘; G / H называется
редуктивным, если существует такое подпространство т с 9,
что g=m€—)I) и (Adh)m=m для всех heH. B силу следствия
теоремы 2.4 однородное пространство М редуктивно, напри-
мер, в случае, когда Н компактна.
Сл едс тв и е. Для редуктивного однородного простран-
ства М 25G / H отображение т: m—+ T, (M является изомор-

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 97
физмом подпредставления присоединенного представления Ad н
на представление изотропии.
4. Группа автоморфизмов. Применим групповую модель
к списанию группы автоморфизмов AutGM транзитивного
действия группы Ли G Ha многообразии A/I. Пусть хеМ
и Н = 6,. Рассмотрим подгруппу Ли N (H =NG (H) (см. пример
2.15) в G. Очевидно, правый сдвиг rg, neN(H отображает
любой смежный класс gH Ha смежный класс gnH. Поскольку
отображение t" является факторным (см. п. 1.5), мы получаем,
в силу примера 1.14, правое действие группы N (H) Ha М,
являющееся фактордействием действия г’ группы N (H) Ha G.
Очевидно, (gn)H==gH тогда и только тогда, когда пеН.
Следовательно, ядро фактордействия совпадает с Н, и опреде-
лено следующее эффективное правое действие группы Ли
N (Н) / Н на AI:
(gx)(n )=(gr:)x (geG, neN(H)). ` (Q)
Ha самом деле это действие свободно.
П р едл о ж е ни е 5. Пусть M —«— однородное пространство
группы Ли G, Н =6,„, где xeM. Тогда группа AutGM совпадает
с образом свободного правого действия группы N (Н ) / Н,
заданного формулой (9). Группа AutGM 2 N (H) / H действует на
М свободно. Для любой `точки уеМ орбита (AutG11/I)( y)
совпадает с M Gr={zeM I G,=G,,}.
Д о к а з а т е л Ь с T B о. Легко видеть, что образ действия
(9) содержится в AutGM. Обратно, пусть f e AutGM . Тогда
f (x) = ax, где а е G. Поскольку f — автоморфизм,
Н=Бд,„,=аНа`1, т. е. aeN(H). Далее, для любого gs_=G
f ( gx)= gf (x) = (ga) x. Последнее утверждение легко следует из
определения автоморфизма. I '
B дальнейшем мы будем часто отождествлять группу
AutGM с N (H )/ H при помощи левого действия группы
N (H) / H, соответствующего действию (9). Очевидно, AutGM—
Группа Ли преобразований многообразия М в смысле п. 2.5; ее
касательная алгебра есть п (H )/ I), где п (Н) определена
в пршиере 2.15. Если, G компактна, то AutGM также
компактна.
С ДРУГОЙ стороны, как следует из п. 2.1, касательная
алгебра группы AutGM отождествляется с V(M)G. Получа-
ЮЩИйся отсюда Изоморфизм между V(M)G И n(H ) / I) явно .
Описывается в п. 8 (см. следствие 5 теоремы 2).
П р и M е р 9. Рассмотрим действие 1 группы Ли G Ha ce6e.
ИЗ примера 6 и предложения 5 следует, что группа AutGG
изоморфна G И состоит из всех правых сдвигов. См. также
4 А. Л. Онищик

98 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
пример 2.15, где описаны фундаментальные векторные поля
действий 1 и r.
Транзитивное действие группы Ли G И М называется
асистатическим, если группа AutGM дискретна или, что
равносильно, если произвольная точка хеМ изодшрована
в множестве М G». Асистатичность равносильна также равенст- '
ву n(H)=I), a B случае, когда Н связна‚—равенству n(I))=I)
(см. пример 2.11). Если dim AutGM >0, то действие называется
систатическим. 1
П ри мер 10. Используя предложение 5 И групповые
модели многообразий Штифеля из примера 5, нетрудно
показать, что
Autoust ‚е, k = Аитддпб? ‚В, k '2.‘ 0;‘,
AutU"S't а k = Autsynst г, д ’—‘-’ Uk,
AutSpﬂSt Q k ш Spk.
При этом правое действие группы 0k, П,‘ или Spk Ha
ортонормированных k-penepax осуществляется путем умноже-
ния строки из векторов репера на матрицу из соответст-
вующей группы. .
Далее, из примера 4 следует, что действия групп 0„, S0,,,
U,,, SU,,, Sp,, Ha многообразиях Грассмана асистатичны.
5. Группа автоподобий. В этом пункте мы опишем группу
SimGM автоподобий однородного пространства М в терминах
его групповой модели G / H. МЫ сохраняем обозначения п. 4
и предполагаем, что группа G связна. Рассмотрим группу
(Aut G)”, которая, согласно примеру 2.16, является подгруппой
Ли в Aut G И гладко действует на G. Очевидно, любой
oce(Aut G)H переводит любой смежный класс gH, дед,
в смежный класс oL(g) H. Аналогично‘ п. 4 возникает действие
s группы (Aut G)H Ha M, являющееся фактордействием ее
действия на G и заданное формулой
$„(3х)=ос(3)х (оъе(Аит6)„‚ geG). I (10)
Очевидно, (sa, o:)eSimGM И $„(х)=х для всех oce(Aut G)H.
Обозначим через А подгруппу в SimGM, состоящую из
всех пар (за, ос), oze(Aut G)H. Пусть t———3a11aHHoe действие
группы G Ha M.
П р е д л о ж е н И е 6. Подгруппа А совпадает со стабилиза-
тором (SimGM)x. Имеем SimGM=t(G)A u t(G)ﬂA=t(H).
Доказательство. Для любого (f, (p)e(SimGM)x име-
ем, по определению, f (gx)=(p(g) f (x)=(p(g)x (geG). Отсюда
следует, что (p(g)x=x для geG, T. е. <pe(Aut Н и [=$„,.
/
с M-:‘*'¢~'~'“~:‘~o.=. 3*?-’-!*"-*“«’:«=2'».= .?*.:%w.>«.,«';-.>33;:‘@?£3x:-:: та” ‘Ёгёдшётя-аь-‚паёк-я.5*?`=жгёвгъаёй*я-ди:л‚д.ш‚ач-зч:з е:

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 99
второе утверждение следует из транзитивности действия t (CM.
ниже, п. 5.1). I
B дальнейшем действие t будет предполагаться локально
эффективным. Тогда SimGM эффективно действует на М И по-
тому отождествляется с подгруппой в Diff M (CM. II. 1(6).
B частности, в этом случае действие gs группы (Aut G)H Ha
М эффективно.
Пример 11. Для действия 1 группы G Ha себе группа
Зйшдбеотождсствляется с 1 (G)Aut G. Последняя группа назы-
вается голоморфом группы G И обозначается H01 G. Очевидно,
она содержит все правые сдвиги. `
П ример 12. Пусть С?——связная неабелева простая группа
Ли. Рассмотрим действие b группы G >< G Ha G. Очевидно,
действие b локально эффективно. Оказывается, имеет место
полупрямое разложение SimGxGG=Ho1G - (з) (подгруппа
HolG нормальна), где s: g::—~>g‘1———npeo6pa3oBaHHe, переводя-
шее каждый элемент группы G B обратный элемент. Заметим,
что s=s(,, где o'eAut (G >< G) задается формулой о(а, Ь)=(Ь, а).
Для доказательства сопоставим каждому автоморфизму
'oc e Aut G автоморфизм ос x ос e Aut (G х G) И вложим тем самым
AutG B Aut(G><G). Тогда (Aut(G><G))Gd=AutG><<c>. Дейст-
вительно, ясно, что правая часть содержится в левой, а об-
ратное включение легко следует из единственности разло-
жения группы G >< G Ha простые сомножители. Далее, ясно,
что oczsaxa для любого oceAut G. B силу предложения 6
(51шдхд6)е=(Аит6)х(5> и SimGxGG=l(G)r(G)(AutG)<s)=
=HolG - (S).
Предложение 7. Если связная группа Ли G действует
на М транзитивно и локально эффективно, то Sim GM —группа
Ли преобразований многообразия „М в смысле п. 2.5. '
Док аз ательств о. Естественное действие группы Ли
(Aut G) Н Ha G позволяет построить полупрямое произведение
F =G-(Aut G)H (CM. [20], п. 1.1.11). Очевидно, соответствие
g, CX)|—+lgoSa есть гладкое действие группы Ли F Ha M, o6pa3
которого в силу предложения 6 совпадает с SimGM. Наше
утверждение следует теперь из предложения 2.6. I
Теперь нам потребуется описание линейного представления
1: ou——>dxsa группы (Aut G)H B пространстве Т В силу
Предложения 6 его образ есть линейная группа изотропии
В. точке х, соответствующая группе Ли преобразований
SimGM. ‘Как И в п. 3, мы используем изоморфизм т:
9/ I)->Tx(M Очевидно, представление ou—>doc группы (Aut G) д
B g переводитЬ в себя и индуцирует факторпредставление а’:
(Aut G)H—+GL(g/1)).
4* '

100 гл. 1. группы ли и однородные ПРОСТРАНСТВА
П р е д л о ж е н и е 8. Отображение т: g / 1)—›'Т,„ (М) является
изоморфизмом представления на 1.
Доказательство. По определению имеем t"‘ooc--=s,,ot"
для всех о: Ё (Aut G) д. Следовательно, (detx) о (doc) == (ада) о (dezx),
откуда т о d(oc)==I(ot) o 1.’.-
Теперь мы остановимся на
тна и полупроста.
Т е о р е M а 1. Пусть G—— связная компактная полупростая
случае, когда группа G компак-
группа Ли, t—-ee локально эффективное транзитивное действие `
на ‚многообразие М. Тогда
1) Группа 511116111 колтакптна.
2) (SimGM)° = t(G)(AutGM)° (локально прямое произведение).
„ Доказательство. 1) Из теоремы 3.10 следует, что
группа (Aut G)H компактна. В силу предложения 6 тем же
свойством обладает SimGM. '
2) B обозначениях предложения 6 имеем (Si_mGM)°==
=t(G)A°. Поскольку G полупроста, (Aut G)?,c:_IntG (см.
теорему 3.10). Значит, любой аде/Р имеету вид 3„(3х)=
=-—(ngn"’)x (ge G), где пеА/АН), Поэтому A°c:t(G)AutGM.
Отсюда следует, что (SimGM)°=t(G)(AutGM)°. Очевидно, t(G)
И AutGM поэлементно перестановочньт, причем t(G) П
П Аи:д1\и1=2(г(6))——конечная группа. Поэтому разложение
гругшы (SimGM)° является локально прямым. I
Применим эти результаты к изучению расширений тран-
зитивных действий. Пусть г—транзитивное действие связной
группы Ли G Ha M. Обозначим через N (I) естественное
действие группы Ли SimGM Ha M. Есдш предположить, что
t эффективно, и отождествить G с t(G), a SimGM-—c
соответствующей подгрутшой в Diff M (совпадающей, очевид-
но, с нормализатором ‘подгруппы G B Diff M), то N (t) будет
расширением действия t. Будем называть это расширение
естественным.
Предло жени е 9. Пусть С—-—связная нормальная вирту-
альная подгруппа Ли группы Ли G’, I’: G"—~+Diff M ——эффектив-
ное действие, сужение которого t== t’ I G транзитивно. Тогда G’
отождествляется с виртуальной подгруппой Ли в Simc,-M,
а t’————c сужением действия N на G’. Имеем G’=GB, где
В-—виртуальная подгруппа Ли в A=(SimGM)x. Если G полупро-
ста и компактна, то G’°=GC (локально прямое произведение),
где С-—связная виртуальная подгруппа Ли в (AutGM)°.
Доказательство. Поскольку G нормальна в G’,
имеем t’(G’)cSin’1GM. Отсюда следует первое утверждение.
В силу предложения 6 имеем G’=GB, где В=Б’ПА. Последнее
утверждение следует из теоремы 1, п. 2). I
5Ёдъмд-ёгё1фёёюйдёат‘: ё u, да. '. ‹ -‚ „. o-,, ‚
-%’f»“~;e?-‘-:4.

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 101
Транзитивное действие связной группы Ли G Ha M называ-
ется приводимым, если в G существует связная виртуальная
Пддгрутша Ли Go, транзитивная на М и такая, что
dim G0 <dim G. B противном случае действие называется
неприводимым. `
Пусть задано произвольное транзитивное действие t связ-
ной компактной группы Ли G Ha M И бо-связная нормаль-
Has: виртуальная подгруппа Ли в G, минимальная среди всех
подгрупп такого рода, действие которых на М транзитивно.
Тогда сужение t| Go неприводимо. Действительно, любая
связная нормальная виртуальная подгруппа Ли
в G0 нормальна и в G (см. следствие 2 предложения 2.8)
и потому транзитивна только в том случае, когда она
совпадает с G0. Очевидно, G разлагается в локально прямое
произведение G:-GOG, , где G1 —связная нормальная вирту-
альная подгрутша Ли (см. предложение 2.8), причем 1‘(Б1)с:
c:AutG0 M. Таким образом, изучение транзитивных действий
связных компактных групп Ли по существу сводится к изуче-
нию неприводимых транзитивных действий и их естественных
расширений. Из приведенного выше рассуждения следует,
в частности, .
Предложение 10. Локально эффективное асистатичес-
кое действие связной компактной группы. Ли неприводимо,
а неприводимое действие локально эффективно.
6. Инвариантные тензорные поля. Пусть М —- однородное
пространство группы Ли G. B этом пункте мы опишем
пространство О (M) G тензорных полей на М, инвариантных
относительно действия г, группы G, определенного в п. 1.3.
Фиксируем хеМ и обозначим H = Gx. Оказывается, что
существует естественная биекция между инвариантными тен-
зорными полями на М и тензорами в касательном пространстве
Тх (М), инвариантными относительно представления изотропии
Грушты H , Чтобы установить это соответствие, определим
Линейное отображение сух: ®{‚’(М)—›Т5(М)х формулой
еу,„(ос)=ос‚„.
Т е о р е M a 2. Отображение evx: ®§(M)G—->(Tf,’(M)x)”
является изоморфизмом векторных пространств.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Очевидно, отображешите ev, является
Н-эквивариантньтм, откуда еу„(® {j(M)G) c: ( Т: (М ),„)Н .
Возьмем О е (T5 (M ),)H И рассмотрим поле ос на М, определен-
НОС формулой *
°‹„х=(дхг„)-(9) (36 G),

102 гл. 1. группы ли и однородны}; ПРОСТРАНСТВА
где (а‚„:„)‚‚: Т}; (М)‚„—› Т {‚’(М)„„——изоморфизм, индуцированный
отображением аду. Из инвариантности тензора 9 следует, что
это определение корректно. Из факторности отображения t"
(CM. п. 1.5) выводится, что ос-глашсое тензорное поле. Таким
образом, oze®,‘,’(M) И еу‚‚(ос)=6. Поле а инвариантно относи-
тельно G. Действительно, для любых g, he G имеем
((th)=ra)gx=’(dh"gx th)=u=ah“‘gx=(dh“gx tin): (ах th”‘g)a=9 =(dxtg)*9 = (хах-
Мы доказали, что evx сюръективно. Для доказательства
инъективности заметим, что любое поле oce®f,’(M)G удовлет-
воряет условию ос„,„=(с1,„1„)‚‚ос‚ для всех geG И потому
полностью определяется своим значением их. I
Очевидно, из теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Отображение сух определяет следующие
изоморфизмы векторных пространств: —
@5(M)G=(T5(M)x)H»
V(M)G:«_ Tx(M)H,
Aq(M)G=(/\"(Tx(M))*)"»
5q(M)G‘-"—’(S“(Tx(M))*)”»
ГДС справа СТОЯТ инварианты представления ИЗОТРОПИИ ISOx,
lIpO,ZIOJI)K€HHOI‘O на TeH30pLI.
ПОСКОЛЬКУ TCH30pHOC, BHCIIIHCB И симметрическое УМНОЖС-
ния тензоров И дифференциальных форм определяются пото-
чечно, получаем
С л е д с т в и е’ 2. Отображение ev ,; индуцирует следующие
изоморфизмы алгебр:
(-9,, (M) G е:
А (M )6 2
S(M)G g L S (т, (M))".
Здесь через 1‚(Т„(М)), Ь"(Т„ и Ь‘(Т„ обозначены
соответственно алгебры всех полилинейных форм, всех косо-
симметрических и всех симметрических полилинейных форм
на T x (M) относительно тензорного, внешнего И симметриче-
ского умножения соответственно.
В частности, получаем
Следствие 3. Пусть G—2pynna Ли, действующая на
себя левыми или правыми сдвигами. Тогда отображение eve
определяет изоморфизмы векторных пространств.
®$(0)°=Тё’(9>
(11)
L
L (12)
„год: - ~
и =’e.;ia‘r=- =s‘~‘°??:"'* .

§ 4. однородные ПРОСТРАНСТВА * 103
и изоморфизмы алгебр `
Используя пример 8, получаем
Сл едств И е 4. Для любой группы Ли G отображение eve
определяет изоморфизмы векторных пространств
®5(G)“"°'==Tz(s)“
u изоморфизмы алгебр д
A(G)G><G=(/\ Q*)G’
S(Gv)G><G,:_,_(Sg:|:)G’
где слева стоят пространства двусторонне инвариантных
тензорных полей на G, a справа——пространства тензоров на g,
инвариантных относительно присоединенного представления.
Возвращаясь K случаю произвольного однородного про-
странства; заметим, что с помощью предложения 4 мы можем
описать’ пространства инвариантных тензорных полей ис-
ключительно B терминах групповой модели. Сформулируем
результат следующим образом.
Следствие 5. Пусть M —однородное пространство
с групповой моделью G/H. Тогда пространство ®f,’(M)G ('-
инвариантных тензорных полей типа (р, q) на М изоморфно
пространству Tf;(g / b)" тензоров типа (р, q) на пространстве
g / I), инвариантных относительно представления Xd группы
Н в g/'1). B частности, V(M)G:(g/b)”. Имеют место
изоморфизмы алгебр:
(~),,(M)G:L(g/1))”,
A(M)G=L"(9/b)”»
д $(М)“._^:Ь‘(9/Ь)Н.
Предложение 11. Пусть, в условиях теоремы 2, задано
расширение действия группы G на М до действия группы Ли G’,
причем G;-=H’. Тогда
д ®5(M)"'={<I€®5(M)Gl°tx6(T5(M)x)”'}-
Доказательство. Если oce®f,’(M)G И og,e(Tf,’(M)x)”',
ТО по теореме 2 существует такое oc’e®f,’(M)G, что ос;=ос„.
Поскольку ос’ С-инвариантно, имеем оъ=ос’. I
/

104 гл. 1. группы ли и однородные ПРОСТРАНСТВА
7. Операторы усреднения. Простейппий подход к теории
интегрирования на многообразии основан на понятии плот-
ности (см. [35], гл. 111), которое в случае ориентируемого
многообразия М по существу совпадает с понятием внешней
формы степени dim M. B частности, для компактной группы
Ли G доказывается существование положительной двусторон-
не штвариантной плотности (о на G (cp. следствие 4 теоремы
2). Эта плотность единственна с точностью до положитель-
ного числового множителя И инвариантна при отображении s:
g+——>g‘1 гругшы G Ha себя. Умножая ее на подходящий
множитель, мы можем добиться того, чтобы
fa): 1. (13)
G
Свойство (13) полностью определяет двусторонне инвариант-
ную плотность co. Любой функции <peF (G) соответствует
число jqm), которое называется интегралом функции (р по
G
(о И обычно обозначается через jcp (g)dg. Вместо числовой
G
функции’ (р можно рассматривать гладкое отображение (р:
М -+ V, где V——- конечномерное вещественное векторное про-
странство; интеграл такой функции (р принадлежит V. Имеем
следующие правила интегрирования:
(S; <p(hg)dg= (I? <o(gh)dg=£ <o(g)dg, (14)
£¢(g")dg=£¢(g)dg, (15)
I <p(g, h)dgdh=IfI(£<p(g, h)dg)dh. (16)_
GXH
Здесь (р-—-любая гладкая функция на G или G x H,
числовая или со значениями в конечномерном векторном
пространстве над R.
C помощью инвариантного интегрирования по компактной
группе Ли G ВВОДИТСЯ оператор усреднения, который является
мощным средством для построения инвариантов дшнейньтх
представлений этой группы. Мы определим его сначала для
конечномерных представлений, а затем для представления
в пространстве тензоров на С-многообразии.
Пусть рч-линейное представление группы Ли G B конеч-
номерном векторном пространстве V над полем K =R или С.
Соответствующий оператор усреднения ре L (V, V) определя—
ется формулой
' (17)
~'. ~.".:‘..~.: ' .' . "..~.-' . -—”‘.‘ Н‘ '..‘. _ ‘. v . ‘Ё:
_.Ё:.’Ё;.:—д&г.;.;3ч.5. .~,;-‘.1-5..., _,_,‘.3‘ . ~. “д ‘-.....:...: ‚ ‚д

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 105
П р е д л о ж е н И е 12. Оператор и обладает следующими
свойствами:
1) р — оператор проектирования на подпространство VG,
m. e. #2=ﬂ» 111111: VG и
_ V= VGe9Kei~ д. (18)
2) Для любых heG u xeg имеем
р(1т)°и=д°р(1г)=и‚ (19)
((dp)x) o р: и о ((dp)x) = 0. (20)
3) Если в пространстве V задано умножение, превращающее
его в алгебру над K u инвариантное относительно представле-
ния р, ТО
р(ии)=щ1(и),’ р(ои)=р(о)и (ueVG, veV). ` (21)
4) Если в пространстве V задано (билинейное или эр-
митово) скалярное умножение, инвариантное относительно р,
то оператор и самосопряжен и разложение (18) является
ортогональным. а
Д о к а з а т ел Ь с т в о. Равенство (19) непосредственно слег
дует из (17) И (14), а (2О)—Из (19). Очевидно, u’(u)=-u, если
ие VG, а из (19) следует, что Imp: VG. Таким образом,
1шр= VG и р2=р.. Отсюда легко выводится (18).
Для доказательства свойства 3) заметим, что
u<uv>--gp<g><uv>dg=;u(p(g)v>dg=ug<p(g>v>dg=u<uv>,
если ие VG.
Аналогично доказывается второе из равенств (21).
Если все операторы p(g) (де G) сохраняют скалярное
умножение ( ‚ ), то в силу свойства (15) для всех
и, ve V имеем
(щ 0)=1(Р(г)и› v)dg=£(u» P(g")v)dg=(ua~uv)-
G
"Тем самым доказано (4).
Предложение 13. Пусть G, Н—две компактные
группы Ли и р, o'——ux линейные представления в простран-
ствах У, W соответственно. Если р, хн-операторы усредне-
ния, связанные соответственно с р, о‘, то p®v—-onepamop
усреднения для p®o'.

..__„ __.:._
L._..,,..
.;'K -
106 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
Д ок аз ат ель ств о. Пусть ve V, we W. Используя (16),
видим, что
5 ((P®°)( › h)(v®W))d8dh=£((P(g)v)®(I(°(h)W)dh)dg=
GXH H
=(uv)®(VW)=(u®V)(v®W)- I
Пусть теперь д(?——компактная группа Ли И M -—некоторое
О-многообразие. Определим оператор усреднения и в про-
странстве ® ДМ) формулой `
р (офх = j (д. (g) oL)x dg (x e M). _ (22)
СЛСДУЮЩСС предложение ДОКЗЗЫВЗСТСЯ так же, как пред-
. ложение 12.
П р е д л о ж е н и е 14. Оператор р, определенный формулои
(22), обладает следующими свойствами:
1) ц-опёратор проектирования на (~35 m. e. p2 = д,
Im u = (9 5,’ и
®З(М)= ®з(ш°е1<ег и.
2) Для любых heG u veg
[*(h)o uzuo
«am v) о и = и о «док» = о.
3) ц отображает А (М) и S(M) на А (M)G u S(M)
соответственно.
и(ос®в)=ое®и(|3)‚ н(В®ос)=д(В)®о‹‚
где oce®(M)G, B€®(M), u аналогичные соотношения справед-
ливы для внешнего и симметрического умножений в А(М
и S соответственно. ’
у 8. Инвариантные римановы структуры. Пусть М — однород-
ное пространство группы Ли G, Н =(}„‚ где хеМ. Согласно
(11) И следствию 4 теоремы 2, имеют место изоморфизмы
векторных пространств
S2 (M)G2L‘2 (Tx(M))H 2L3 (g/b)”. (23)
Легко видеть, что С-инвариантные римановы структуры на
М соответствуют при этих изоморфизмах Н-инвариантным
скалярным умножениям в пространствах T х (М) и 9/Ь. Следу-
тощая теорема указывает условия существования и единствен-
ности инвариантной римановой структуры.
Однородное пространство называется изотропна неприводи-
мым, если его представление изотропии неприводимо (над R).
G
. ‘А ц
.
at
‚ .
; ‘.2
р‘?
‘:33’
‘Ь
„л

§4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 107
Теорема 3. 1) Однородное пространство М шдб/Н
обладает инвариантной римановой структурой тогда и только
тогда, когда его линейная группа изотропии относительно
компактна в пространстве 1.(Т‚„ (М), Т, В частности, если
Н компактна, то на М существует инвариантная риманова
структура. -
2) В условиях пункта 1) инвариантная риманова структура
единственно с точностью до положительно постоянного
множителя тогда и только тогда, когда М изотропна
неприводимо. _ '
Доказательство. Если на М существует Б-инва-
риантная риманова структура, то линейная группа изотропии
Isox содержится в компактной группе 0(Тх и, сле-
довательно, относительно компактна. Обратно, если группа
Isox (H) относительно ‘компактна, то ldet C[=1 для всех
Се1зох Действительно, в противном случае ldet C|>l
для некоторого Се1зох (Н), И последовательность С” (т= 1,
2, не ограничена. Отсюда следует, что замыкание
группы 150„ в 1.(Тх (М), Т, состоит из обратимых
операторов и поэтому является компактнои линеинои группои.
По теореме 2.4 в Тх (М) существует Н-инвариантное скалярное
умножение. Как мы видели, оно определяет инвариантную
риманову структуру на М.
Если представление 130„ неприводимо, то (ЙШЬЁ (Т, <
<1 (cM., например, [1], гл. 3). В силу изоморфизмов (23) все
С-инвариантные симметрические штфференциальные формы
степени 2 на М пропорштональны.
Пусть теперь 130, приводимо и группа Iso,,( относительно
компактна. Из существования в Т, скалярного умножения,
‘инвариантного относительно 130, (Н), следует, что Т‚(М)=
= VG) W, где V И W—-- ортогональные друг другу Н-инвариант-
ные ненулевые подпространства. Беря‘ различные линейные
комбинации Н-инвариантных скалярных умножении, индуци-
рованных в V ‘H W, можно, очевидно, построить бесконечно
много попарно не пропорциональных Н-инвариантных скаляр-
ных умножений в Т, (М), соответствующие которым С-инва-
риантные римановы структуры на M также попарно не про-
П0рЦИоналЬны. I
СЛСДСТВИС. На любой группе Ли G существуют как
левоинвариантные, так и правоинвариантные римановы струк-
туры. Если G компактна, то она допускает двусторонне
инвариантную риманову структуру.
Пример 14. Рассмотрим сферу $""1 (п>2) как одно-
Р0дное пространство группы S0,, (см. (4)). Поскольку линей-

108 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
ная группа изотропии есть $0‚‚„ 1, это однородное простран-
ство изотропно неприводимо. Таким образом, любая 50„-ин-
вариантная риманова структура на $"' 1 пропорциональна
стандартной римановой структуре, которая индуцируется
евклидовой структурой пространства R". Рассматривая 82"”
(п> 1) как однородное пространство грушгы U,, или SU,, (CM.
(5)), мы получим два семейства изотропно приводимых
римановых однородных пространств.
Пусть М ——однородное пространство связной компактной
группы Ли G. Из теоремы 3 следует, что на М существуют
римановы структуры, инвариантные относительно G. Такую
структуру на М можно построить, в частности, следующим
способом. Пусть Н = G_,,., где х—фиксированная точка из М.
Рассмотрим в 9 инвариантное скалярное умножение ( , ).
Тогда 9 = {)6-)m, где т= Ь ‘L. Очевидно, ограничение скалярного
умножения на т инвариантно относительно операторов Ad h
(heH), которые переводят I) И т в себя. В силу (23) это
скалярное умножение в т определяет на М инвариантную
риманову структуру. Таким образом, каждому инвариантному
скалярному умножеъшю в 9 отвечает инвариантная риманова
структура на М. Есдш G полупроста‚ то в качестве скалярного
умножения в 9 можно взять форму —kg (см. пример 2.20).
Соответствующая инвариантная риманова структура на М на-
зывается естественной.
П редл о же ни е 15. Пусть M —однородное пространство
связной полупростой компактной группы Ли G. Естественная
риманова структура на М инвариантна относительно группы
Sim G M.
Доказательство. Пусть у-естественная риманова
структура. В силу предложения 11 достаточно доказать, что
ух инвариантна относительно линейной группы изотропии
в точке х, соответствующей группе преобразований Simg M.
Описание этой труппы следует из предложений 6 и 8.
А именно, поскольку форма kg‘ инвариантна относительно
Aut Q, для любого 9e(Aut G)H оператор d 9 переводит
I) И т в себя. Группа операторов
И соответствует при изоморфизме det”: m-—+ T х (М нужной нам
линейной гругше изотропии. Инвариантность формы у, также
следует из инвариантности формы Кв относительно d 0
(9€(Aut I
9. Симметрические однородные пространства. Пусть G——
группа Ли, 6eAut G. Как мы видели в примере 2.9,
G°——11ozzrpy11I1a Ли в G c касательной алгеброй 9“. Подгруппа
Ли Н группы G называется симметрической, если существует
(d9) |m (9e(Aut G)H)
т. ’ .. . ..«- а
$45’ ‚- .5.“ ;‘_-... ‚д х _ ...'~ t ...',~ ‚
- ,. д. .

§ 4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 109
такой инволютивный (т. е. удовлетворяющий успешно 62:14)
автоморфизм 6‘ группы G, что Н с G” и I)=g"°. Эти два
условия равносильны включениям
(С°)° c:HcG°. (24)
Соответствующая подалгебра I)= g"° называется симметриче-
ской подалгеброй алиебры Ли g.
Однородное пространство М группы Ли G называется
симметрическим, если стабилизатор Gx некоторой точки хеМ
есть симметрическая подгрутша в G (тогда это верно для
стабилизатора любой точки многообразия М).
Предложение 16. Если однородное пространство М
группы Ли G является симметрическим, то для каждой точки
хеМ существует автоподобие (s, 0)eSimG M, обладающее
следующими свойствами:
1) s2=-id,
2) s(x)=--x,
3) dxs=~—id.
Доказательство. Предположим, ято H=Gx ylIOBJI6T-
B0p5I€'l‘ условию (24) для некоторого инволютивного 8e_Aut G.
Рассмотрим автоподобие (5, 9), где s=s9 (CM. II, 5). Очевидно,
s удовлетворяет условиям 1) и 2). Поскольку gd9)3 =id
и I)=g"°, ИМЕЕМ 9=Ь@9-1, где 9._1={ие9|(с10)и=—-и . Свой-
ство 3) следует теперь из предложения 8. I
H р и M е р 15. Пусть G —-rpylma Ли с действием b группы
G >< G. Тогда 6'—симметрическое однородное пространство,
причем 9eAut (G x G) действует по формуле 0(g, h)=(Iz, g).
Соответствующее автоподобие s=s9 действует по формуле
s(g)=g"1 (CM. пример 12).
П риме р 16. Пусть -M—--pmv1aHoBo многообразие и I( --—
группа всех его изометрий, т. е. автоморфизмов заданной на
М римановой структуры. _Риманово многообразие M называ-
ется (глобально) симметрическим, если для любой точки xeM
существует инволютивная Изометрия seI(M), для которой
х есть изолированная неподвижная точка. Хорошо известно
(см. [74 }, гл. IV, § 3), что всякое симметрическое риманово
многообразие М является симметрическим однородным про-
странством группы Ли I(M)_. а если М связно, то и группы
1(М)°. Далее, любое симметрическое однородное пространство
М связной компактной группы Ли G является симметрическим
Римановым многообразием, причем G=I(1|/f)°.
Классификация сшиметрических подгрупп Н связных ком-
пактных групп Ли G сводится к случаю, когда соответст-
ВУЮЩее однородное пространство изотропно неприводимо.

/
110 гл. 1. ГРУППЫ ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА ,"
Точнее, в [74], гл. VIII § 5, доказано, что соответствующая
пара (g, 1)) изоморфна прямой сумме пар, отвечающих
изотропно неприводимым симметрическим однородным про-
странствам. Далее, G/H изотропно неприводшио тогда‘ и толь-
ко тогда, когда либо G проста, 311460 G/H— простая неабелева
компактная группа Ли, рассматриваемая как однородное
пространство относительно двусторонних сдвигов (пример 15).
В [74], гл. Х, приводится список всех симметрических
подалгебр простых компактных алгебр Ли. В частности, все
многообразия Грассмана являются симметрическими однород-_
ными пространствами соответствующих компактных клас-
сических групп.
10. Некоторые гомотопические свойства однородных про-
странств. Пусть X —— топологическое пространство, хе Х. Как
обычно, через 1:, (Х, х) обозначается r-51 ГОМОТОПИЧССКЗЯ группа
пространства Х относительно точки х (721), которая при r22
является абелевой группой (см. [71], § 15; [70], гл. 3). Если
Х линейно связно, то та, (Х, х):1:‚ (Х, y) для любых двух точек
х, уеХ, и гомотопическую группу часто обозначают просто
1:, Через по (Х, x) обозначим множество всех связных.
компонент пространства Х, в котором отмечен элемент
[х]-4связная компонента точки х. Если Х — Топологическая
группа и
c единицей [е]=Х°. Любое непрерывное отображение f: Х —>Y
индуцирует гомоморфизм ﬁt п, (Х, x)—>1t,(Y, f (r= 1, 2,
и отображение множеств c отмеченными точками ﬁt по Х, х -›.
—>n0 (Y, f (x)).
Нам ПрИДСТСЯ ИСПОЛЬЗОВЗТЬ ТОЧНУЮ ГОМОТОПИЧССКУЮ ПОС’ ° 7
ледовательность, связанную с расслоением (см. [71], § 17; [70],
гл. 4). В частности, рассмотрим расслоение (G, M, H, I"),
связанное c транзитивным действием t группы Ли G Ha
многообразии М (см. следствие 1 теоремы 1.2). Воспользуемся -
следующим фактом: для любой группы Ли G имеем 112 (G, e)=
=0 (CM. [97], a также [17], упражнение 2 к §, 5). Конец точной
гомотопической последовательности упомянутого выше рас-
слоения можно записать в следующем виде:
0—-›1т2(М, х)Ё5+1с1(Н, е)5›тс1(6, е)@$п1(М,
i;no(H, e)-i1>1t0(G, e)(:>)'1to(M, x)—>0. (25)
B ней все отображения, кроме правого (t")., являются
гомоморфизмами грухш, а точность в последних членах
означает, что t определяет транзитивное действие группы
1co(G, e) Ha множестве no (M, x), причем 1:0 (Н, е)=1:о(0, e)[,].
e—-—ee единица, то по (Х, е)=Х/Х° есть группа,
" м. : 4-’; ~.,.:'.‘»_.;- . ' . м, . „
`:ЁЁ%Ё*Ё5ЁЕЁ*=Ёт.; .’:::s:~*;2~,., -5...~..:.;;.~=.-5. --"

\\ §4. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА _ 111
Из последовательности (25) следует, в частности, что если
G связна ‘и M ОДНОСВЯЗН0‚ то Н связна, а если G односвязна,
то 1:1(М‚ x)21:o(H, e).
Из ‘ тривиальности группы 1:2 вытекает следующая
точная последовательность:
t").
...—>TC3 (Н, е) T53 (G, е) (—> T53 (M, I
Из нее следует, что для связных G и Н имеем
1:3 в 1:3 (G)/1'... (из (27) '
Пусть X — топологическое пространство. Тогда для любой
точки хеХ группа 1:1 (Х, х) естественным образом действует
автоморфизмами на группах 1:, (Х, х) (г) 1) (см. [71], § 15; [70],
гл. 3). (При г=1 это действие совпадает с действием группы
1:1 (Х, х) на себе внутренними автоморфизмами.) Пространство
Х называется гомотопически простым, если это действие
тривиально для всех r и любой точки хеХ (в частности,
группы 1:1 (X, x) абелевы). Если Х линейно ‘связно, то это
условие достаточно проверить для одной точки хе Х. Отметим
без доказательства следующее утверждение:
Предложение 17 (см. [71], § 16). Любое однородное
пространство связной группы Ли, стабилизатор точки которо-
го связен, гомотопически просто.
Пусть M — однородное пространство связной группы Ли
G. Как следует из предложений 1.5 И 1.6. любое многообразие
N, накрывающее М, является однородным пространством
односвязной группы Ли G, накрывающей G. дадим описание
этого однородного пространства на языке гругшовых моделей.
Предложение 18. Пусть связная группа Ли G тран-
зитивно действует на М, Н = Gx, где . хеМ, и пусть
‘ка: СчМ——гомоморфизм, дающий односвязное накрытие,
а р: 1\’—›М—некоторое накрытие. Тогда групповая модель
накрывадоъаего действия группы G на N может быть выбрана
в виде G/H, где Н —произвольная подгруппа Ли в G, удовлет-
воряющая условию
Й°сЁсЙ=пд1(Н).- (28)
В частности, для p=id: M—>M мы имеем Й=Й‚ а для
односвязного накрытая р имеем Н = Н °. Произвольное накры-
тие р: 1\/—+М интерпретируется как проекция gHu->1:G(g)H
многообразия д/Ё на G/H. Имеем 1:1 2 I?/17°.
Д о к а з а т е лдь с т в о. Пусть ye Ы-д-такой элемент, что
А
р(3’)=х‚ И пусть Н=6,. Тогда ЁсЙ=пд1(Н) и dimH=di1nH.
I

112 гл. 1. группы ли и однородные ПРОСТРАНСТВА ‚ ‚
Как известно, отсюда следует, что Й удовлетворяет (28). / Из
точности последовательности (25) вытекает, что 1c1( v..~.H//1'-7°
B частности, в cJ1y*1aeAN =M имеем Ё=Й°. В случае же =М
имеем, очевидно, Н =Й. Если отождествить N с //' G/H,
a M с G/H, то в силу предложения 3 р отождествится
с отображением gH1—->1tG(g) H. C другой стороны, для любой
подгруппы Ли AH в G, удовлетворяющей условию (28),
отображение gH+-—>gH есть проекция расслоения И с базой
G/H 25M и дискретным слоем Н/Н (см. предложение 1.2),
т. е. накрытие многообразия М. I
B заключение мы рассмотрим простое приложение этой
интерпретации. `
Предложение 19. Если Н-связная подгруппа мак-
симального ранга в связной компактной группе Ли G, mo
многообразие G / H односвязно.
Доказательство. `В силу предложения 3.14 мы можем
считать, что G полупроста. Пусть . ка: G—>G—oD;HocBs13Hoe
накрытие гругшы G. Гомоморфизм т; определяет транзитив-
н_ое действие группы G Ha G/ H, причем G / H :~_~gG/ H, где
If =11; 1(H). IIoc1<oJ1L1<y__'H связна, 1:6 сюръективно отображает
{If Ha H. Значит, Нс: H°Z(G). Но 2(ё)сЙ°, так как
Н °—подгруппа максимального ранга в компактной группе
1
Ли G. Значит, Н связна, и G /H om1ocBs13Ho.I
§ 5. Разложения групп Ли
1. Расширения транзитивных действий и разложения грутш.
Пусть О-группа Ли, А-—ее виртуальная подгруппа Ли,
M -—некоторое Б-многообразие. Напомним (см. п. 1.6), что
возникающее при этом действие группы Ли А на М мы
называем сужением действия группы G, a действие группы
G—-— расширением действия группы А. Будем говорить также,
что имеет место включение между действиями. Для любой
точки хеМ имеем Ах=6„ПА.
Очевидно, расширение транзитивного действия всегда
транзитивно. Мы выясъшм сейчас, когда транзитивно сужение
транзитивного действия. Пусть действие группы G Ha M тран-
зитивно. Положим Н = Gx, где хеМ. Есдш действие подгругшы
А на М транзитивно, то для любого элемента geG найдется
такой аеА, что gx=ax. Тогда a“1g=heH, откуда g=ah.
Обратно, ес.тш любой ge G представляется в виде g=ah, где
аеА, heH, ‘то любая точка многообразия М представима
в виде gx=(ah)x=ax, T. е. А транзитивно действует на М.

\
` \ §s. РАЗЛОЖЕНИЯ групп ли р 113
Таким образом, ‘сужение транзитивного действия с групповой
моделью G / H Ha подгруппу А с G транзитивно тогда и толь-
ко тогда, когда G=AH, T. е. когда любой элемент geG
представим в виде g=ah, где аеА, heH. При этом гру1шовая
модель‘ сужения есть А/А ПН, т. е. А/А ﬂH:AG/H.
Очевидно, проведенное выше рассуждение носит совершен-
но общий характер и справедлшво для действий абстрактных
гругш на произвольном множестве.
Будем называть тройкой групп любую тройку (G, А, Н),
где G—rpyrma, A И H —ee подгругшы. Тройка групп (G, A, H)
называется разложением (группы G), если G = AH B указанном
выше смысле. Разложение (G, A, H) называется разложением
с тривиальным пересечением, если А П H = {е}; это равносильно
единственности представления любого ge G B виде g=qh, где
аеА, he H. _ _ `
П р е Д Л о Ж е Н И е 1. Пусть (G, A, Н)—тройка групп. Тог—
да следующие условия равносильны: `
1) подгруппа А транзитивно действует на G/ H,
2) тройка G, A, H —— разложение,
3) тройка G, H, A — разложение,
4) подгруппа Н транзитивно действует на G / A.
Доказательство. Как мы видели выше, 1)<=›2)‚ 3)<=:›4).
Докажем, что 2)c>3). Если G=AH, то для любого geG
существуют такие аеА и heH, что g’1=ah. Тогда 3=/1“1а",
откуда G=HA. I
Сл едств ие 1. Если тройка групп (G, A, H) есть раз-
ложение, то разложением является и тройка (G, аАа ‘I,
bHb‘1), где а, Ь-—любые элементы группы G.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Подгруппа ЬНЬ "1 является стабили-
затором Gm ТОЧКИ bHe G / H. „ Из эквивалентности 1)<»2)
вытекает, что если (G, A, H)—pa3J1o>1<e1me, то И (G, A,
bHb'1)—-—pa3J1o>I<eHI«Ie. Используя эквивалентностьг2)с>3), мож-
но и А заменить любой сопряженной ей подгруппой. I
Следств ие 2. Сужение действия группы G на G/ Н на
подгруппу А с G npocmo транзитивно тогда и только тогда,
когда тройка (G, A, H) (или (G, H, A)) есть разложение
с тривиальным пересечением.
Сл е дс т в И е 3. Тройка групп (G, A, H) является разложе-
нием тогда и только тогда, когда является разложением
тройка (GXG, A><H, Gd) или тройка (GxG, Gd, AXH), где
Са`диагональная подгруппа в G x G.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Рассмотрим действие b группы
G X G двусторонними сдвигами на G. Очевидно, G=AH тогда
И только тогда, когда подгруппа А x H с G х G транзитивно

__ _,_ ___ ____ __‚
114 - гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
действует на G. Поскольку G.1=(G х G), (см. пример 4.6), наше
утверждение следует из предложения 1. I
Заметим, что групповая модель сужения действия b Ha
подгруппу А х Н имеет вид (А х Н) / (А х Н) П Gd =
=(A х Н)/(А П Н)д, -где
(А ﬂH),1={(a; a)|aeAﬂH}:A ПН.
Отсюда вытекает
Сл е дс т в и е 4. Тройка групп (G, A, H) является разложе-
нием тогда и только тогда, когда диагональный гомоморфизм
а’: g+——>( , g) группы G 6 G х G определяет транзитивное
действие группы G на (Gx G)/(A хН). В этом случае имеем
/G/A ﬂHe«_G(Gx G)/(A xH)»_~_«G,GG/A х G/H,
где справа стоит прямое произведение О-многообразий.
' C Л е д с т в И е 5. Пусть Н—подгруппа группы G= G1 х (72,
p2:- G—>G2--npoeIcz;u;z. Подгруппа G1 действует на G/ H
транзитивно тогда и только тогда, когда р; (Н )=62.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Очевидно, р; (H)=G2 тогда и только
тогда, когда тройка (G, G1, H) является разложением. I
3 а M e ч а н и е. Будем говорить, что тройки групп (G, A, H)
И (С; A’, H) изоморфны, если существует изоморфизм G—>G§
отображающий A’ Ha A’ и Н на H С Очевидно, любая тройка,
изоморфная разложению, сама является разложением. Заме-
тим, что для любого разложения (G, A, H) И для любых g1,
g2eG тройка (G, g1Ag1' 1, g2 Hg 2‘ 1) изоморфна тройке (G, A, H)
(это дает другое доказательство следствия 1). Действительно,
в силу предложения 1 имеем g1 =ha, где heH, aeA. Применяя
к тройке (G, A, H автоморфизм а‚‚: xI—>hxh“1, мы получим
тройку (G, hAh‘ , H)=(G, g1 Ag 1‘ 1, H). Аналогичную прод _.
цедуру можно применить ко второму сомножителю.
Обобщая ситуацию, рассмотренную в следствии 4 предложе-
Hm 1, мы рассмотрши теперь, произвольное сужеъше прямого
произведения двух транзитивных действшй. Пусть G1,
G2——r1po1»13BoJ1LHL1e группы, H1, H2—p1x подгрушты, G=G1 х G2,
H=H1xH2 CG, А-подгругша гругшы G И p,-: A—>G1 (i=1, 2)
——гомоморфизмы проектирования. ‘Рассмотрим сужегше естест-
венного действия гругшы G Ha G/H=G1/H1 XG2/H2 на пошруп-
пу А и укажем условия его транзитивности. Гомоморфизм
р, определяет действие грушты А на б‘, /H1 (i=1, 2), причем
стабшшзатор точки 81=H,-e G1/H1 совпадает с подгруппой U1:
=p1’1(H)c A. Очевидно, элемент a=(p1 (a), p2(a))eA лежит
в Н тогда и только тогда, когда ае U1 (1: 1, 2). Такши образом, -
стабилизатор А {TH ТОЧКИ 8=(81, e2)e G/ H B гругше А совпадает

§5. РАЗЛОЖЕНИЯ групп ли 115
с (11 П (12. Пусть d: аъ—$(а, аЪ-диагональньпй томоморфизм
_ группы А в А >< А. Тогда определены штъективные морфизмът
однородных пространств (d’, d): A/U1ﬂU2-—+A/U1><A/U2,
(pg, pi): A/U,-—>G,-/Hi (i=1, 2) И (j’, j): A/AﬂH—>G/H, где
j: A—+‘G——BJIo>1<eH1»1e. ,ZInarpaMMa
I
A/U1 n U, A/I/'1 >‹ A/U2
H рт” P5 (1)
A/A ПН 61/111х G2/Hzéﬁ/H
коммутативна, поскольку j =(p1 x p2) o d.
П р е д л о ж е н И е 2. Следующие условия равносильны:
1) подгруппа А транзитивно действует на G / H, m. e.
(G, A, H )— разлож'ение;
2) группа А транзитивно действует на бд/Нд (i = 1, 2) и на
A/U1 XA/U2, m. e. mp0i1Ku(G,—, и (А, U1, U2)
являются разложениями.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Из коммутативности диаграммы (1)
следует, что ]’—биекция тогда И только тогда, когда . d’
И р; (i=1, 2) являются биекциями. Используя следствие 3
предложения 1, видим, что 1)¢>2). I
H p е д л о ж е н И е 3. Пусть (G, А, Н)———тройка групп, Go-
нормальная подгруппа в G. Тройка (G, A, H) является разложе-
нием тогда и только тогда, когда тройка (G / Со, A / G0 ПА,
H / G0ﬂH) есть разложение и G0 c AH.
Д о к а з а т е л Ь c т в о. Необходимость условий очевидна.
Пусть (6/60, A/GoﬂA, H / G0ﬂH) есть разложение. Обозна-
чим через р: G—~—>G/Go естественный гомоморфизм. Тогда для
любого geG существуют такие аеА, he_=H, что p(g)=-p (a) p(h).
Имеем а“312’1 6G0. Если Од с АН, то а"13/2"‘ =a0ho, где
аоеА, hoeH. Тогда g=(aao)(hoh)eAH. I
2. Разложения групп Ли и алгебр Ли. Назовем тройкой
групп Ли любую тройку (G, А, Н), где А, H —виртуальные
подгруппы ЛИ группы Ли G. B этом пункте мы изучим
некоторые общие свойства троек групп Ли, являющихся
разложениями.
Тройкой алгебр Ли будем называть тройку (9, а, b), где
9——алгебра ЛИ, а И Ь——ее подалгебры. Каждой тройке групп
Ли (G, A, H) соответствует тройка касательных алгебр ЛИ (9,
а, Ь). Тройка алгебр Ли (9, а, Ь) называется разложением, если
g=a+b. '

116 ` гл. 1. группы ли и однородные ПРОСТРАНСТВА
Предложение 4. Hycmb (С, А, Н)——тройка групп Ли
и (g, a, E))—mpoz?1<a касательных алгебр Ли. Тогда следующие
условия равносильны:
1) Тройка (g, a, I))—-pawzootceuue.
2) Тройка (9699, a€-)1), gd), где дуг-диагональ в 9(!Э9‚-—
разложение.
3) Множество AH==1ahlaeA, МЭН} открыто в G.
Если Н —no62pynna Ли в G, mo эти условия равносильны
условию \
4) Орбита А(е), где 8=HeG/H, открыта в G/H.
Доказательство. Предположим сначала, что Н—-—
подгруппа Ли, и рассмотрим действие 1’ гругшы G на G / H.
Применяя следствие 3 теоремы 1.2 к 1’|А, видим, что ор-
бита А (а) открыта в G / H тогда и только тогда, когда
(dep)a=(d,,p)g. Поскольку Кег а’„р=1), это условие равно-
сильно равенству g=a+I). Таким образом, 1)‹=4).
Применим теперь доказанное к тройке групп Ли (G x G,
A >< Н, Gd), используя действие b группы G x G Ha G. Очевидно,
AH ' совпадает с орбитой (А xH)(e). Поэтому 2)<=:›3). Эк-
вивалентность 1)<э2) устанавливается с помощью элементар-
ных средств линейной алгебры. I
О
С л е д с T B И е. Если тройка групп Ли является разложени- _
ем, то и соответствующая тройка касательных алгебр Ли
есть разложение. ~
Обратное утверждение неверно; как показывает
П р И M е р 1. Рассмотрим естественное транзитивное дейст-
вие группы GL2 (R) Ha проективной прямой RP 1 (см. при-
мер 4.1). Как это принято в проективной геометрии, будем
обозначать через (хо: xi) точку ((x0, x1)>eRP1. Стабилизато-
ром точки §=(1: О) является подгруппа В всех невырожденных
верхних треугольных матриц, так что ПР‘ :G,_2(,,) GL2 (R)/ B. От
однородных координат хо, х, переидем к неоднородной
кооршанате х-т-ЁЁ, определенной на аффинной прямой {x0=;!=0}.
О
Тогда наше действие запишется дробнолинейными преоб-
Ь /
разованиями: если g= Z d)eGL2(R), то
а’х+с
х= .
Ьх+а
Рассмотрим в В подгруппу U, состоящую из матриц /z=
‘ 1 О
= 1 ‚ ceR. Очевидно, hx=x+c, T. е. сужение нашего
с ж-
. _ ‚

§5. РАЗЛОЖЕНИЯ групп ли 117
действия на U подобно действию группы R сдвшами на
аффинной прямой. Значит, орбита U (ё) открыта, но не
совпадает с RP‘. Таким образом, 912(Н)=и+Ь, но GL2(R);é
ф UB. .
Однако справедливо . .
П редл о же ние 5. Пусть А и Н———подгруппы Ли связной
группы Ли G, причем А компактна. Если тройка касательных
алгебр (g, a, 1)) есть разложение, то и (G, A, Н)—разложение.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Согласно предложению 4, множест-
во АН открыто в G. Поскольку А компактна, а Н замкнута
в G, подмножество АН также замкнуто в G. Из связности
группы G следует, что G =AH. I
П р е Д л о ж е н И е 6. Пусть 6—свя3ная коммутативная
группа Ли, А и H — ее связные виртуальные подгруппы Ли. Если
тройка (g. a, Ь) есть разложение, то и тройка (G, A, H)
является разложением.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Хорошо известно, что ехр является
гомоморфизмом векторной группы g Ha G. Аналогично,
А=ехра, H-=expI). Поэтому из g=a+I) следует, что G=AH. I
I/I3 предложения 4 легко вытекает следующее важное
свойство однородных пространств.
Предложение 7. Пусть группа Ли G транзитивно
действует на многообразии М. Тогда G° транзитивно действу-
ет на каждой связной компоненте многообразия М. В частно-
сти, ‘если М связно, то G ° транзитивно действует на
М и 6=0°6‘„ для всех хеМ.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Применяя предложение 4 к тройке
(G, G°, Ох), где хеМ, видим, что орбита G°(x) открыта для
шобой хе М. Поскольку эти орбиты связны, они совпадают со
связными компонентами многообразия М. Последнее утверж-
Денис следует из предложения 1. I
C Л e Д с т в и е 1. Если, в предположениях предложения 7,
М и Gx, где хеМ‚ связны, то и группа G связна.
С л е д с т в и е 2. Пусть Ь-эффективное транзитивное
действие группы Ли G на связном многообразии М. Отождест-
вляя G с t(G), мы’ имеем G <: SimGoM u G=G°B, где
В—-виртуальная подгруппа Ли в (SimGcM)x.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Поскольку G ° нормальна
в G И транзитивно действует на М, мы можем применить
Предложение 4.9. I
Следствие 3. Если тройка групп Ли (G, A, H) является
разложением, то разложением является и тройка (G °, A °, H °).
Д о к а з а т е л Ь c T B о. Рассмотрим сужение действия
b Группы Gx G Ha многообразии G Ha подгрутшу А хН. Так

118 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
как оно транзитивно, то в силу предложения 7 подгруппа
(А хН)°=А°хН° транзитивно действует на G°. I
Отсюда И из предложения 3 вытекает
Следствие 4. Тройка групп Ли (G, A, H) есть
разложение тогда и только тогда, когда разложениями
являются тройки групп (G°, A°, H°) и (G/G°, A/G°ﬂA,
H] G ° П Н
Таким образом, изучение разложений групп Ли сводится
к случаю, когда группа- И подгруппы связны и к чисто
алгебраической задаче факторизации группы ‘компонент.
В дальнейшем мы в основном будем заниматься разложе-
ниями (G, A, Н) со связными G, A, H.
Следующее предложение показывает, что свойство тройки
групп Ли (G, A, H), где G связна, быть разложением
зависит только от соответствующей тройки касательных
алгебр Ли. Две тройки алгебр Ли назовем- изоморфными,
если существует изоморфизм объемлющих алгебр Ли, ото-
бражающий друг на друга обе подалгебры. Две тройки
групп Ли назовем локально изоморфными, если тройки
их касательных алгебр Ли изоморфны.
Предложение 8. Пусть даны две локально изоморфные
тройки групп Ли (G,-, Ад, H1) (1: 1, 2), где группы G1 связны. Если
одна из них является разложением, то и вторая обладает
этим свойством.
Доказательство. В силу следствия 3 предложения 7
мы можем предполагать, что все подГРУПпы Ад, Н, связны.
Кроме того, можно считать, что G1 И 62 имеют, одну И ту же
односвязную накрывающую группу Ли G И что g1=g2=g,
a1=a2=a, I)1=I)2=I). Пусть А и Н-связные виртуальные
подгруппы Ли в G, отвечающие подалгебрам а и I), p1: баб;
(i -—_- 1, 2)—накрывающие гомоморфизмы. Тогда p1(A)=A1,
p,-(H)=H1 (1: 1, 2). Если тройка (G, А, Н) есть разложение, то
в силу предложения 6 любая из троек (G1, Ад, H,-) также
является разложением. Поэтому достаточно доказать, что
если, например, (G1, A1, H1)-—pa3JI0)KCHH6, то и (б, А,
Н) — разложение.
Рассмотрим ограничение действия b1 группы G1 х G1 Ha
G1 Ha подгруппу A1 х H1 И аналогичное действие b группы
G х G Ha G. Очевидно, b|(A х H) накрывает действие
b1 |(A1 х H1). B силу предложения 1.6 из „ транзитивности
действия b1|(A1 х H 1) следует, что и b|(A х Н) транзитивно,
т. е. G=AH. I
Предложение 1 устанавливает естественное соответствие
между расширеъшями действий и разложениями групп Ли. Из
7 :.~r.

§s. РАЗЛОЖЕНИЯ групп ли 119
предложешитя 4.3 следует, что два расширения подобны (в
смысле п. 4.2) тогда и только тогда, когда соответствующие
разложения изоморфны.
3. Примеры включений между транзитивными действиями.
В этом пункте мы укажем некоторые примеры включений
Между транзитивными действиями связных компактных групп
Ли. Значение этих примеров будет видно, когда мы получим (в
§ 13) полную классификацию разложений связных простых
компактных групп Ли. —
Пример 2. Отождествляя С с R2", мы получим вложе-
ние Н„‹:02„ (см. пример 2.23). На самом деле Н‚‚‹:5'02„‚ что
видно из того, что U,, связна, но, конечно, нетрудно
установить непосредственно. При этом 111 =S02 И Н„эё502;‚
при п>2. Из‘ (4.5) следует, что подгруппы SU,,
И U,, транзитивно действуют на сфере 82"`1 :5д2__$02„/$02„_1.
Используя предложение 1, получаем разложения ‘
S02n= UnS02n- 1 9 UnnS02n- 1 = U - 1 (п;
$02„-'Ь5Ц„$02„_1‚ SU,,ﬂS02,,_1=SU -1
Аналогично, если отождествить Н” с 02”, то получим
вложение Sp,,r: U2" (CM. пример 2.33). Нетрудно проверить, что
5р„с5и2„. Поскольку Sp" связна, Sp,,cSU2,,. При этом
$р1=$П2 и Sp,,;éSU2,, при п>2. Из (4.6) следует, что
подгруппа Sp" cS U 2„ транзитивно действует на сфере
4 - 1
3 n 3sU,,,SU2n/SU2n— 1 :S04,S04n/S04n~ 1 -
Отсюда получаем _ следующие разложения:
SU2n=SpnSU2n-1: SpnnSU2n-1=Spn-1
S04»: =SpnS04n- 1 9 SPnﬂS04n— 1 =SPn— 1 (п ?1)- , (5)
Пример 3. Рассмотрим группу G2=Aut Ca. МЫ будем
считать ее подгруппой Ли группы 07, действующей в про-
странстве V чисто мнимых октав (см. пример 2.24), которое
мы отождествляем с R7 с помощью базиса е, =1‘, е; = j, e3=k,
e4=e, ед = f, e6= g, e—, 2:/1, ортонормированного относительно
скалярного умножения (2.17). Группа 07 действует на много-
образии Штифеля $12(У)=$1'3‚2. Как показано в [66] (лекция 15,
Лемма 1), для любого 2-репера (х, y)eSt2(V) И любого вектора
ze V, ортогонального к х, у И ху, существует (единственный)
aeG2, такой, что x=a(i), у=а( j), z=a(e). B частности,
G2 транзитивно действует на 519,2 и на S6.
B [66], лекция 15, описан также стабилизатор‘(бд)е1 точки
91 =1’ e S6. Поскольку любые два элемента ашебры октав

120 гл. 1. ГРУППЫ ли и одноводныв ПРОСТРАНСТВА
порождают ассоциативную подашебру, оператор 1: х ь—›1х
является комплексной структурой в пространстве Са. Подпро-
странство W= (ez, e3, е4, e5, ед, е7> инвариантно относительно
1 и может рассматриваться как комплексное векторное
пространство с базисом e2, e4, ед. Скалярное умножение (2.17)
в W удовлетворяет условию (1х, Iy)=(x, y) И, следовательно,
определяет положительно определенную эрмитову форму
y(x, y)=(x, y)+(Ix, у)! на W, относительно которой базис e2,
e4, ед ортонормирован. Очевидно, каждьпй элемент подгрушты
(G2)e1 переводит W B себя и индуцирует в W унитарное
линейное преобразование. Таким образом, (G2)e1 содержится
в U3c:S05CS07. Оказывается, что (С2)едк=$113. Отсюда
следует, ‚что стабилизатор репера (e1, e2)eSt'%,2 есть
SU3 П S05 = SU2. Таким образом,
36=а,52/5Нз‚. $$9.2°‘-а,С2/5Н2- (6)
Отсюда следует, что '
S07 = GZSO5 , G2 =
S07=G2S05, G2ﬂS05
П р и M е р 4. Полуспинорные представления группы Spins
действуют в R3 (см. пример 2.25). Мы огшшем эти представле-
Hm; при помощи алгебры октав.
Используя обозначения примера 3, определим отрицатель-
но определенную билинейную форму В (х, у)= -—(х‚ )2
B Ca=R3. Рассмотрим евклидово пространство Ca@Ca=R1
И определим штнейное отображение у: Ca-+L(Ca€BCa, Ca(-Bca)
формулой
v (г) (м у) = <zy: — 22>.
Легко проверить, что I
у (2) у (w) (x, y) == ( — 2 (Wx), -4- ( yvfz) z) (z, w e Ca). (9)
B частности, v(z)2= —|z|2id= [3(z, 2) id, поскольку любые два
элемента алгебры Са порождают ассоциативную подашебру
над R. Из свойства универсальности алгебры Клиффорда (см.‚
например, [66], лекция 13) следует, что у продолжается до
гомоморфизма у ашебры C 8=C([3) B L(Ca€I)Ca, Ca®Ca), T. e.
до линейного представления алгебры C8 размерности 16.
Поскольку единственное неприводимое представление 0' алгеб-
ры C 8 также имеет размерность 16, у эквивалентно спинор-
ному представлению. о‘. Из (9) следует, что оба прямых

§5. РАЗЛОЖЕНИЯ групп ли 121
слагаемых в caeaca инвариантны относительно vl Cg. Соот-
ветствующие подпредставления 7» и р действуют по формулам
7» (zw) (x) = —2 (йгх), p (zw)(x)= — (x W) 2 (2, w, хе Са). (10)
Очевидно, 7» и р эквивалентны полуспинорным представлени-
ям. Ограничения представлений v, 7», р на гругшу Spins c C Ё
эквивалентны спинорному и полуспинорным представлениям
этой грушты. Если |2|=|и2|=1, то !7\.(zw)(x)|=|p(zw)(x)|=|x|
в силу (2.23). Поскольку группа Spins порождается элементами
zw, где 2, weR8, |z|=|w|=l, И является связной, имеем
7»(5р5п8)с:$08‚ p(Spin8)<:S03. Из равенства размерностей
следует, что 7» и р являются накрытиями Spin8—>S03.
Теперь мы используем эти соображения для конструкции
транзитивного действия rpynrIL1_Spin7 Ha S7. Как в примере 3,
обозначим через V векторное пространство чисто мнимых
октав. Оно порождает подалгебру C 7 cC8, которая дает
вложение С ё: Cg (то же вложение определяется изоморфиз-
мом. 1: C7—->C§-, CM. (2.19), если обозначить через ед единицу
во алгебры Са). Переходя к ограничению, получаем два
представления R. и р алгебры Cg B пространстве Са = R 8, И из
(10) следует, что
7» (zw) (x) = z (wx), p (zw) (x) = (xw) z (2, w е V, x е Са). ,
Из этих формул следует, что
7» (и) р (и) (и е С%, х е Са). (1 1)
В частности, 7» и р эквивалентны. Очевидно, они эквивалентны
сшанорному представлению о алгебры С%. Переходя к ограни-
чению, получаем два представления 7.,’ р: Spin—, ——>S08, эквива-
лентные спинорному представлению о‘. Докажем, что соответ-
ствующее действие группы Spin7 Ha S 7 c: R 8 транзитивно.
Очевидно, d)»: ,spin7—>so8 совпадает с ограничением пред-
ставления 7» на spin-, cC%. Рассмотрим ортонормированный
базис пространства V ИЗ примера 3 И обозначим e0=l
(единица алгебры Са). По теореме 1.2 касательное простран-
ство к орбите Spin-;(eo) B точке ед есть 7‚(5рйп7)(ео).` В силу
Примера 2.25 оно совпадает с линейной оболочкой векторов
?»(e,-e,-)(eo)=e,-ej (1 <i<j < 7). Используя определение умноже-
НИЯ в Са, легко проверить, что эта оболочка есть V= T во (S7).
Значит, орбита Spin», (го) открыта в $7. Поскольку эта орбита
компактна, она совпадает с S7. '
Теперь’ мы найдем стабилизатор ($р1п7)ео. Для этого
рассмотрим представление coo =co+N группы Spin7 B простран-

122 гл. 1. группы ли и одногодныв ПРОСТРАНСТВА
стве Са= V€—) (ее), где (ль-векторное представление. Докажем,
что
(од (g) (х )=7»(g) (x)p(g)( y) (geSpiu7, х, уеСа). (12)
Достаточно доказать это для некоторой системы образуюцшх
группы Spin-,, например, для элементов вида g=uv, где и,
ие$6={2еУ||2|=1}. Заметим, что для любых 14637 И хеСа
Имеем ихи= —г„ (это легко следует из 2.17). Отсюда видно,
что (оо(ии)(х)=г„(г„(х))= -—r,,(wEv)=u(vxv)u для любых и, 0635,
хеСа. Используя центральное тождество Муфанг
z (xy) z = (zx) ( yz) (x, y, z E Ca)
(CM. [66 ]‚ лекция 15, предложение 2), видим, что
(во (uv) (xy) = u (v (xy) v) и = и ((vx) ( yv)) u =
=(u(vx))((yv)u)=(Muv)(x))(P(uv)(y))-
Тем самым (12) доказано. ` . _
Из (11) следует, что стабилизаторы точки ед в грутше Spin7
относительно представлений Ж, и - р совпадают. Пусть ge
e(Spin7)e0. Полагая в (12) x=eo, получим, что co0(g)=p(g),
подставляя y=e0, получим, что (во (3)=?»(3). Тогда из (12)
следует, что 7„(5?е62=Аит Са. Таким образом, 7\.((Spin7)e0)=
= p((Spin7)e0)=(oo (Spin7)e0)cG2. C другой стороны, dim (Spin7)e О =
=dimSpin7—_~7=14==dimG2, так что ‘?ь(($рёп7)ео)=б2. Отож-
дествляя (Spin7)eo с G2 , имеем
$725,,-,7 Spin7/G2.
Отсюда получается разложение _
S03 =Spin7 S0-,, Spin7ﬂS07=G2, (13)
где Spin7 отождествляется c подгругшой о (Spin7) с $03 .
Подставляя разложеъшя (7) и (8) в (13), полугцш
$08 =Spin7 $06, Spin7 ﬂS06=G2ﬂS05=SU3; (14)
$08 = Spin7 S05 , Spin7 П$05 = G2 П $05 = SU2. (15)
Это означает, что представление о‘ индуцирует транзитивные
действия грушты Spin7 Ha St 2, 2 ’и St 2, 3 со следующими
гругшовыми моделями:
St§,2=spin7SPi"7/SU3,
St§,3 9:51,,-,,7Spin7/SU2.

§5. РАЗЛОЖЕНИЯ групп ли 123
Пример 5. Покажем, что спинорное представление
с; группы 5111129 в R 15 транзитивно действует на сфере
515cR16. И в этом случае доказательство будет основано на
интерпретации о в терминах алгебры октав.
Рассмотрим “евклидово пространство R9=CaG)R. Выберем
ортонормированный базис ео, е1, ...‚ е7 в Са, как в примере 3,
и обознатшм через ед вектор 1 дополнительного слагаемого R; он
ортогонален к ед (0<i< 7). Используя изоморфизм 1 "1: C %—>C 8
(см. (2.19)), получим представление д=\›о1’1: с%_‚1‚(са@сд‚
саедса), эквивалентное спинорному. На образующих e,-ej
(0 < z‘ <j< 8) алгебры C-(9314 грушты $р5п9 представлешите д имеет вид
l1(€i9j)={
Мы хотим изучить орбиту и стабилизатор тогпси x=(eo, О)
х
относительно р. Для этого рассмотрим отображение d1u" = u :
v(e,-)v(e,-), если 0<i<j<8,
v(e,-), если 0<i<8, j=8.
7
spin9—>CaG)Ca. Пусть ц= Z a,-J-eie,-+(Zb,e, egesping.
u"(u)--u(u)(e0, 0)=< Z a,-,-e,-e,-, 0)—(0,- iziobge,-).
0<i<j<7
По теореме. 1.2 пространство Т, (Sping совпадает с- `
u"(spin9)= VG-)Ca. Отсюда следует, что Sping (x) =.З15——еди-
ничная сфера в Ca®Ca. Ясно также, что если ueKer их,
то b,-=0 (0<i < 7), T. е. и лежит в касательной алгебре spins
группы Spins, естественно вложенной в 5р1п9. Поскольку S 15
односвязна и группа Sping связна, стабилизатор также связен
(см. п. 4.10). Значит, (Spin9),,cSpin3. Очевидно, u|Spin8=v.
Следовательно, ($рёп9)„ совпадает со стабилизатором точки
еоеСа при действии 7» группы Spins, T. е. (Spin9),,=?»"1(S07).
Из основного свойства накрытий (см. п, 1.7) следует, что
Существует такой гомоморфизм (р: Spin8—>Spin3, что Жо(р=‹о.
Очевидно, (р-также накрытие, а поскольку Sping односвязна,
Ф—автоморфизм. Имеем ?ь=(оо‹р’1‚ так что (Брёп9)„=
=‹р((о’1($07))=‹р($рЕп7), где Spin7 BJIO)I(6Ha B Spins, как
В примере 4. ~
Таким образом, мы доказали, что
5 1 5 1‘ $рЕп9 SPi('_9 / (P (SPW7),
откуда `
S015 -‘-" Sping S01 5, .Spin9 П S015 = Ф (Spin7). '

_ __. ——_—.-——— г
/
124 ГЛ. 1. ГРУППЫ ЛИ ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Здесь мы отождествляем Sping с ее образом при спинорном
представлении.
4. Разложения компактных групп и алгебр Ли. В этом
пункте мы изучим некоторые общие свойства разложений
связных компактных гругш Ли. В частности, будет доказано,
что любому разложению компактной алгебры Ли отвечает
глобальное разложение соответствующей связной компактной
группы Ли. Основную роль при этом будет играть следующее
Предло жение 9. Пусть М связное многообразие
_c конечной ундаментальной группой. Если связная компактная
группа Ли G транзитивно действует на М, то ее коммутант
Go=(G, G) также действует на М транзитивно.
Д о к а з а T e Л Ь с т в о. Согласно теореме 2.5 6=6о2', где
Z =Z (G)°. Переходя к накрывающей группе, мы Можем
считать, что 6:60 ><2. Пусть р: 6—+2——соответствующая
проекция. Обозначим Н = 6„ где х—фиксированная точка
в М, и рассмотрим подгруппу 6’=60 x p(H Она компактна и,
значит, является подгруппой Ли в G. Поскольку Н с: 6’, имеем
расслоение (6/Н,'6/6’, G'/ H, р’) (см. предложение 1.2). При
этом 6/1126211, а 6/ G’zzZ/p(H) является тором. Согласно
следствию 5 предложения 1 6’/Нэ:д060 / 6ОПН есть связное
многообразие, Используя гомотопическую точную последова-
тельность расслоения, выводим отсюда, что гомоморфизм p1,:
‘IIZ1 (M )—+1r1 (G / G’) сюръективен. Поскольку 1:1 (6 / 6’)——свобод-
‘Has: абелева группа, отсюда следует, что она тривиальна, т. е.
6/6’—-—точка и 6=6’. Итак, p(H)=—-Z, И наше утверждение
вытекает из следствия 5 предложения 1. I
C Л е д с т в И е. Если связная компактная группа Ли 6 тран-
зитивно и неприводимо действует на многообразии с конечной
фундаментальной группой, то 6 полупроста.
П р е Д л о ж е н И е 10. Пусть (6, 6’, 6")---разложение
полупростой компактной группы Ли, причем 6, 6’, 6” связны.
Тогда (6, 62„ 66), где 6Ь=(6’, 6’), 6З=(6"‚ 6”),——также
разложение. `
Д о к а з а т е л Ь с T B о. Согласно теореме 3.12 группа т: 1 (6)
конечна. Применяя предложение 9 к действию группы 6’ >< G”
Ha 6 двусторонними сдвшами, мы видим, что (6’ х 6”,
6’ х 6”): Ь><623 транзитивно действует на 6. I
Разложение (6, 6’, 6") связной грутшы Ли 6 называется
неприводимым, еслш 6’ И 6” связны и для любого разложеъшя (6,
Н’, Н”), где Н’, Н” ——связные нормальные виртуальные подгруп-
пы Ли в 6’, 6” соответственно, имеем 6’=Н’, 6”=Н”. Для
любого разложения (6, 6’, 6 ”) связной компактной группы Ли
6 со связными/т 6 ’, 6 ” существуют связные нормальные
~ н;
. .51,
‚
‘£3-':.'s

ЗАМЕЧАНИЯ ‘ 125
Виртуальные подгрупшэх Ли H’cG' И H"cG”, такие, что (G, H’,
H”)-—-H€11pHBO,l1I/IMOC разложение (досгатоьшо взять шитшихмальньхе
виртуальные подгруппы Ли Н ‘с G’, H” с: G”, удовлетворяющие
перечисленным условиям). Из предложения 10 вытекает
Следствие. Пусть (G, G’, G")—Henpuso0uMoe разложе-
Hue связной компактной полупростой группы Ли G. ›Тогда G’
u G” fI0fiyflp0C7?lbl.
Пусть g-I<oMI1aI<THa;1 алгебра Ли. Тогда (см. предложе-
ние 2.5) g=g0Q)3(g), где g0=[g, g]. Обозначим через
до и щ проекции алгебры g Ha go И 5(9) соответственно.
Теорема 1. Пусть С-связная компактная группа Ли,
G’ u G"-—-—ee связные виртуальные подгруппы Ли, g, g’, g”—
касательные алгебры групп G, G’, G", I)=g’ﬂg,”, g’o=[g’, g'],
Q3.-..[g”, g”]. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) 9=9’+9”;
2) go=9b+93 И з(9)=тг1(з(9’)+з(9”));
3) G=G’G”. у
оказательство. 1) ='=> 2). Очевидно, 3(g)=7c1(5(g’)+
+n:1g3(9”))=Tt1(3(9’)+3(9”)) И Qo=‘-7Fo$Q')+7to(Q")- далее,
по(9’ =9ъ®по(з(9’)‚ no(3")=96€r>1co(s(9”)~ Пусть Go=(G, G),
G{)=(G’, G"), G3: G”, G") И пусть.А’‚ А”——связные виртуаль-
ные подгруппы Ли в G0, O’I‘B6‘I21}Q_II.II/IC_ подалгебрам по(5(9’))‚
п0(3(9”)) соответственно. Тогда A’, А”—торы в ` Go, Цент-
рализующие G’o,__G 2’, соответственно. Из предложения 5 следу-
ет, что ОО=(ОЬА’)(БЗА”). Применяя предложение 10, видим,
что БО=СЬОЗ. Значит, go=g2;+g6 (предложение 4). `
2) => 3). В силу предложения 8 мы можем рассматривать
вместо G накрывающую группу G0 >< Z, где 60 =(G, G), Z =Z (G)°,
обозначая ее снова через G. Пусть pg, p 1 -——проекции группы G на
G0 и Z COOTBCTCTBCHHO. Имеем G’=G2,Z', G”=G£’,Z”, .где
3:86’, G’), G3-—-(G”, G”), Z’=Z(G’)°, Z"=Z(G”)°. Очевидно,
p1(G’ г: р, (Z ’), pl (G ” =р1 Z”). Поэтому из предложения 6 следу-
ет, что 2=рд(б’)р1 G”). C другой стороны; G0=G’0G3 B силу
предложения 5. Значит, G0 =(G’{‘;G0)(G”ﬂG0). Используя предло-
жение 3, видим, что G-=G’G”. \
3) э 1) в силу предложения 4. I
Замечания
§ 2. Иной подход к введению структуры группы Ли преобразова-
ний в AutG (пример 17) см. в [44], гл. 1, § 4. Теорема 4 принадлежит
Г. Вейлю. В’ [20], § 3.4, дано ее доказательство (принадлежащее
Э. Б. Винбергу), отличное от традиционного доказательства, намечен-
ного B П. 6.

126 гл. 1. группы ли И одногодныв ПРОСТРАНСТВА
§ 3. Схемы Дынки_на были введены в работе Е. Б. Дынкина [27].
Предложение 8 для комплексных групп Ли содержится в [46] (для
ортогональной группы G, CM. [104]). В работе А. И. Мальцева [46]
выясняетсятакже, в каком случае образы двух представлений в группу
S02, сопряжены в 502,. Аналогичная задача для представлений
в особую комплексную группу Ли изучалась в работе [29 ], где
найдены все полупростые подгрутшы таких групп. В работах
Е. Б. Дынкина [28] и [29] дана классификация полупростых мак-
симальных подалгебр простых комплексных алгебр Ли. Из соответст-
вия между компактными и редуктивными грутшами Ли (см. п. 2.7)
вытекает, что эта классификация равносильна классификации полу-
простых максимальных связных подгрупп Ли в простых компактных
группах Ли. Заметим, что неполупростые максимальные связные
подгруппы Ли простой компактной группы Ли имеют максимальный
ранг (и даже. являются централизаторами торов); они перечислены
в таблице 5. Индексы гомоморфизмов И подалгебр были определены
Е. Б. Дынкиным [29], которому принадлежат результаты п. 10. До-
казательство предложения 11, данное в [29], весьма сложно ‘и ос-
новано на классификации всех простых подгрупп ранга 1. Клас-
сификация максимальных подгрупп максимального ранга принад-
лежит Борелю и Зибенталю [92] (см. также [158]). Формулировка
в терминах расширенных схем Дынкина была дана Е. Б. Дынкиным
в [29], однако условие простоты чисел п, там пропущено. Клас-
сификация максимальных связных подгрупп Ли ранга rk G~—— 1, а также
простых связных подгрупп Ли, обладающих этим свойством, в про-
стой компактной группе Ли G содержится _в [50]. параболические
подалгебры бьши впервые классифицированы Ф. И. Карпелевичем
[37], который доказал, что всякая неполупростая максимальная
подалгебра полупростой комплексной алгебры Ли является параболи-
ческой (см. также Титс [155]). "
§ 4. Асистатические действия (в несколько ином смысле) опреде-
лил еще С. Ли (см. [80]). Групповую модель систематически
использовал Э. Картан, который также установил связь между
инвариантами транзитивной группы Ли и инвариантами соответству-
ющей линейной группы изотропии (см. теорему 2). Более подробную
информацию об инвариантных римановых структурах на однородных
пространствах см. во втором томе книги [40]. Изотропно неприводи-
мые однородные пространства компактных групп Ли были независи-
мо классифицированы О. В. Мантуровым [47] и Вольфом [162] (в
обоих классификационных списках имеются пропуски). О симметри-
ческих однородных пространствах см. [21], [40], [4'4], [74].
§ 5. Результаты п. 2 и п. 4 взяты из [55]. В работе [136] было
дано когомологическое доказательство предложения 9. Последнее
легко следует также из теоремы Монтгомери ([134], см. п. 4.2).
.. '.’?.;5g~3...= ‘и
„А и -

Глава '2
ГРАДУИРОВАННЬПЕ АЛГЕБРЬЕ И КОГОМОЛОГИИ
В этой главе собран ашебраический материал, необ-
ходимый для изучения вещественной топологии грутш Ли
и однородных пространств.
§ 6 начинается с обзора основных понятий, связанных
с градуированными векторными пространствами И граду-
ированными алпебрами. Подробно изучаются свободные ком-
мутативные градуированные алгебры, их свободные системы
образующих И дифферентшрования. Даются достаточные
условия неразложимости и единственности разложения в тен-
зорное произведение неразложимых сомножителей коммута-
тивной градуированной алгебры. Далее изучаются граду-
ированные биалгебры (или алгебры Хопфа), что приводит нас
к алгебраическим вариантам классических теорем Хопфа
и Самельсона о когомологиях Н-пространств и групп Ли.
Параграф заканчивается кратким разделом о фильтрованных
алгебрах.
В §7 мы напоминаем читателю понятия коцепного
и цепного комплекса и дифференциальной градуированной
алгебры. После обсуждения их обцшх свойств И некоторых
примеров рассматриваются минимальные дифференциальные
градуированные алгебры, введенные Сулливаном в начале 70-х
годов. Мы формулируем (без доказательства) основную
теорему о существовании и единственности минимальной
модели произвольной дифференциальной градуированной ал-
гебры и определяем минимальную модель многообразия как
минимальную модель ее алгебры внешних форм. Рассматрива-
ются два отношения эквивалентности в классе многооб-
разий-гомотопическая эквивалентность И Н-эквивалентность
(называемая также вещественной гомотопической эквивалент-
ностью). Наиболее простым классом дифференциальных гра-
дуированных алгебр являются формальные алгебры, мини-
мальную модель которых можно построить; зная только
алгебру когомологий.
В § 8 изучается специальный класс дифференциальных
Г радуированных алгебр—а.ш"ебры Картана И более общий

128 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
класс алгебр Козюля. Описывается минимальная модель
адпебры Картана, даются критерии‘ ее формальности. Прово-
дится классифшсация алгебр Картана с точностью до изомор-
физма И с-эквивалентности. `
§ 6. Градуированные алгебры
1. Предварительные сведения о градуированных векторных
пространствах. В этом пункте мы фиксируем терминологию
и обозначения, которые будут использоваться в ДЗЛЬНСЙЕЦВМ.
\Мы рассматриваем векторные пространства над некоторым
полем K.
ПУСТЬ Г —абелева группа, операция в которой записывает-
ся аддитивно. Векторное пространство V называется Г-
градуированным, если задано разложение в прямую сумму
подпространств
У= (-B V,
теГ
(Г-градуировка). Элементы хе У, называются однородными
степени у. Мы пишем у=Вх для уеУу.
Любое векторное пространство V можно сделать Г-
градуированным, полагая У„= У, Уд=О для беГ\{у}, где
у—фиксированный элемент группы Г. В этом случае мы
говорим, что V градуировано степенью у И пишем У= Ум.
одномерное пространство K обычно градуируется степенью О.
Г-градуированное векторное пространство V называется
пространством конечного тина, если dim V-y< оо для всех уеГ.
Подпространство U Г-градуированного векторного про-
странства У называется градуированным, если U = G) U ‚у, где
уеГ
U,,= U П V.,. Если U —-—градуированное подпространство, то
факторпространство У / U естественно изоморфно 6) V, /’ (Д,
. . yer
и тем самым является Г-градуированным.
Для фиксированной группы Г все Г-градунрованные
векторные пространства составляют категорию, морфизмьх
которой суть линейные отображения f : У—› W, сохраняющие
градуировки, т. е. удовлетворяющие условию f (V7): W, для
всех у еГ.
Если У и W—— два Г-градуированных векторных простран-
ства, то линейное отображение f :’ У—› W называется отображе-
нием степени беГ‚ если f (Vy)c W»y+6 для всех уеГ. Морфиз-
мы———это линейные отображения степени О. Линейные отоб-
ражения степени б составляют подпространство векторного

§6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 129
пространства L(V, W) всех линейных отображений У-› W,
которое обозначается через L(V, W)5.
Пусть V И W—— два Г-градуированных векторных про-
"странства. Тогда формула
(VG) И’)? = V76) И]?
определяет Г-градуировку в VEB W. Аналогично определяется
прямая сумма любого семейства Г-градуированных про-
странств.
В дальнейшем мы будем использовать градуируюцше
группы Г=2‚ Z2=Z/22 И Z"=ZG)...EBZ.
к..._`‚____ц
2-традуированные векторные пространства называются
градуированными. Мы говорим, что градуировка в V ограниче-
на слева (справа), если V; = О для всех достаточно малых
(соответственно больших) i e 2.- Градуировка называется конеч-
ной, если она ограничена и слева, и справа.
22-градуированное векторное пространство иногда называ-
ется суперпространством (см., например, [1 191). Элементы
группы 22 мы будем обозначать через О=22 и 1= 1 +22. Если
V= V56) V1-——-22-rpa,z1yHpoBaHHoe векторное пространство, то
элементы пространства И; называются четными, а простран-
ства Уг-течетными. Каждое градуированное векторное про-
странство V допускает 22-градуировку‚ определенную фор-
муламн
V6=G3 V2i-.- V1‘=G3 V2i+1- ' (1)
ieZ ieZ
Z 2-rpanynponannme векторные пространства называются
биградуированными. Если V—-— битрадУированное пространство,
то подпространство V(,-, д однородных элементов степени
(i, j)eZ2 обозначается через V5,-. Числа 1', j, i + j называются
соответственно первой, второй и полной степенью элемента из
Vi,-. Ha битрадуированном векторном пространстве определе-
НЫ три различные 2-градуировки, - определяемые первой,
второй и полной степенями. Соответствующие градуирующие
Подпространства имеют вид
7п= E) ‘УЛ, V..j== CB Vija
jez iez
И. = G) Vi,-.
i+j=k
Ha биградуированное векторное пространство можно
посмотреть с несколько иной точки зрения. Пусть
5 А. Л. Онищик

130 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
V= 6) V,-—rpaz{yHpoBaHHoe векторное пространство. Граду-
1'62 .
ировка V= G) ;V называется согласованной c задаъшой гра-
ieZ '
дуировкой, если любое дУ (i e2) есть градуироваъшое под-
пространство в V. Например, три градуировки биграду-
ированного векторного пространства, определенные выше,
попарно согласованы. Нам будет полезно следующее простое
утверждение. „ '
Предложение 1. Отношение согласованности двух
градуировок симметрично. Пусть заданы две согласованные
градуировки V= G) ,-V u V= €~) У; пространства V. Тогда
. ieZ jez
V= E) Vi,-, где Удд=дУП V,-, есть биградуировка пространства
i, jez
V, u соответствующие ей градуировки по первой и второй
степеням совпадают с заданными градуировками.
Доказательство. Если дУ-градуированное подпро-
странство градуированного пространства V= E-) у], то
‚ 1е2
дУ=® Vi,-, me V.-J-=;VﬂV,-. Для любого xeV имеем х= Z x.-,
jeZ ieZ
где x,-e;V И все x.-=0, кроме конечного числа. Далее,
хд=Ехд„ где xi,-eV;,-, откуда
х= Z Z xn-= Z Z хи-
ieZjeZ . jeZieZ
Если хе И, то отсюда видно, что х= Z xik. Значит, Vk есть
‘ - ieZ'
градуированное подпространство относительно градуировки
подпространствами дУ. Мы доказали также, что V-‘—- C43 Vi,-.
i, jeZ
Последнее утверждение очевидно. I .
Тензорное произведение V® W двух градуированных век-
торных пространств может рассматриваться как биграду-
ированное пространство, где
(V® W)ij=Vi®Wj (i, jeZ)
(или как градуированное пространство относительно первой,
второй или полной степени). Если V и W—— пространства
конечного типа и их градуировки ограничены слева (или
справа), то V® W—'raI<>1ce пространство конечного типа
относительно полной степени.
Пусть V И W— два градуированных векторных простран-
ства. Как и выше, обозначим через L(V, W)k подпространство
в L(V, W), состоящее из всех линейных отображений степени

§6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 131
k. Очевидно, семейство подпространств L(V, И’). (kez)
линейно независимо, и мы получаем подпространство
L’(V, W)=§zL(V, W),,
в L(V, W), являющееся градуированным векторным про-
странством. Если градуировки в V И W конечны, то
L’(V, W)=L(V, W).
Например, для любого градуированного пространства
V можно определить сопряженное градуированное векторное
пространство У"`=1.’(У, К), где (V"),;=(V-.-)"—conps1>I<eHHoe
пространство к V-.- (z'eZ). Очевидно, имеется естественное
линейное отображение j: V—>(V")*. Если У-конечного типа,
то j— изоморфизм, и мы можем отождествить пространство
V с его двойным сопряженным.
Для любого семейства V“’ (iel) градуированных вектор-
ных пространств имеем естественное вложение
G) V(i)*_,(€_) V(i))*_
iel Ее!
\
Лемма 1. П сть И” iel ——такое семейство г ад -
У Р У
ированных векторных пространств, что для любого 162 имеем
Vj."7é0 лишь для конечного числа индексов i. Тогда естествен-
ное вложение градуированных пространств G) V"’*—>(€—) V"’)*
де! iel
является изоморфизмом.
Доказательство. Для любого jez имеем
(ед V(i)"‘) = Q) (роль: Q) (V(i)j)*,
Ее! I iel iel
«е V"")*) =<ea Уча)‘:
ieI_ I де!
В силу конечности сумм естественное отображение
. , . ,
®(V‘i’j) —+(€—) V9,.) есть изоморфизм. I
I е! [е]
Заметим, что в некоторых случаях удобно градуировать
сопряженное пространство V’ иначе, полагая (V*)i=(V,-)*.
Пусть V— градуированное векторное пространство. Опре-
делим линейный оператор aeL(V, Ио, полагая
a(x)=rx для хе V, (re_=Z).
OH называется градуирующим оператором в V. Очевидно, это
диагонализуемый оператор. Если char K = О, то все собствен-
ные значения оператора е-целые числа и градуировка
пространства V совпадает с его разложением в прямую сумму
5 *

132 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
собственных подпространств оператора е. Таким образом,
градуировку в V можно задать при помощи диагонализуемого
линейного оператора с целыми собственньпии значениями.
Пусть V—— градуированное пространство конечного типа.
Определим формальный степенной ряд с неотргщательными
целыми коэффициентами:
p(V, t)= Z (dim V,-)t",
Ее!
называемый рядом Пуанкаре пространства V (или многочленом
Пуанкаре, если градуировка конечна). Имеют место следу-
ющие равенства:
роге-р W, t)=p(V, ¢)+jp(w, г),
p(V® W, t)=p(V, t)p(W, t),
(2)
„их: г›=р‹и $1
Здесь V, W— градуированные векторные пространства конеч-
ного типа, U — градуированное подпространство в V,
a B V® W рассматривается градуировка по полной степени.
\ Если dim V< оо, то можно определить число
х(У)=1›(У› —1)=Х(—1)'<11т1’ь
- ieZ
называемое эйлеровой характеристикой градуированного про-
странства V. . ‘
2. Предварительные сведения о градуированных алгебрах.
Ашебра А над полем K называется Г —градуированной, если
А—Г-градуированное векторное пространство и
А,Адс:А„д (у, 5ЕГ).' (3)
Очевидно, Ао-подалгебра Г-градуированной алгебры А.
Если Г -градуированная алгебра А имеет единицу 1, то обычно
считается, что 1eAo. Гомоморфизм (р: A-+B градуированных
алгебр обычно предполагается имеющим степень О и об-
-падающим свойством (р (1)=1 (если единицы существуют).
В частности, можно рассматривать градуированные, биграду-
ированные и 22-градуированные алгебры (последние также называ-
ются супералгебрами). Любую бшрадуированную алгебру можно
рассматривать как градуированную тремя разлшчъгьшш способа-
ми-по первой, второй или полной степени.

§6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 133
О
Градуированная ашебра А называется коммутативной,
если для любых однородных х, уеА имеем
xy=(__1)DxDyyx
(заметши, что это определение совпадает с обычным понятием
коммутативности, если А; = 0 для всех нечетных z’).
Градуированной алгеброй Ли называется градуированная
алгебра А, умножение в которой, обычно обозначаемое
знаком [ , ], обладает следующими свойствами:
[х, у]=(_1)йх1)у+1[у, х], .
[м [и г]]=[[х› Л» г]+(-1)”""”[у› Ех» 21] (5)
для любых однородных х, уеА И любых zeA (ЭТОТ объект
часто называют также градуированной супералгеброй Ли).
градуированная алгебра Ли есть алгебра Ли в обычном
смысле, если Ад =0 для всех нечетных i.
Пусть А-градуированная алгебра. Положим
CD
A + = Ф Ад.
i= 1
Это градуированная подалгебра в А. Если Ад=О для всех i <0,
то A+ ———идеал в А. Если, кроме того, А ассоциативна, то
(A +)2=A+A+ —также градуированный идеал в А. Его элемен-
ты называются разложимыми элементами алгебры А. Опреде-
лим градуированное векторное пространство
E(A)=A+/(A+)‘°'.
Любой гомоморфизм градуированных алгебр (р: А-›В отоб-
ражает А+ в B+, (A+ 2 B (B.+)2 И индуцирует линейное
отображение E ((p): E (А)—-›Е (В) степени О.
Пусть А И В—градуированные алгебры. В пространстве
А ® В вводится умножение при помощи следующей формулы:
(X1 ® y1)(x2 ® y2)=(—l)””1”"2(x1x2)®(y1y2) (6)
для любых х1еА, y2eB‘1»I любых однородных x2eA, y1eB.
Тогда А ® В становится биградуированной алгеброй, которую
мы обычно будем рассматривать как алгебру, градуированную
По полной степени. Эта алгебра ассоциативна, коммутативна
Или имеет единицу, если любым из этих свойств обладают обе
алгебры А и В.
П р е д л о ж е н И е 2. Пусть А и В-ассоииативные граду-
ированные алгебры с единицами, причем Ад=0, Вд=О для 1' <0,
Ao=(l), B0=(1). Тогда:
l

134 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
1) A(>j<)B)+=A+®1+1®B++A+®B+, _
2) (А <>:<>B)+)2=(A+)2®1+1®(B+)2+A+ ® B+,
3) E (A ® B)2E(A) (В E (B) (изоморфизм градуированных про.
странств).
Д о к а з а т е л Ь с т в о. 1) “и 2) проверяются непосредствен-
но, а 3) следует из 1) И 2). I -
Теперь мы рассмотрим несколько важных для нас приме-
ров градуированных алгебр.
Пример 1. Пусть A=A(x1, ..., х„, ...)—алгебра неком-
мутативных многочленов от счетной (или конечной) системы
неизвестных х1, ...‚ х„, (мы пишем А=А (x1, ..., x,,), если
число неизвестных равно п). Припишем каждому х, целую
степень Dx,-=m,->0 И определим степень одночлена формулой
D(X,-l x,-')=m,-1 + +тд‚.
Обозначив через А, линейную оболочку всех одночленов
степени г, мы превратим А в ассоциативную градуированную
алгебру с единицей, такую, что A,-=0 для z'<O И A0=(1>.
B простейшем случае, когда все m,-=1, однородными элеменд
тами являются однородные многочлены и И Du=deg u.
П р и мер 2. Обозначим через F (x1, ..., х„, градуирован-
ную алгебру коммутативных многочленов от счетной (или
конечной) системы неизвестных x1, ..., х„, степеней m,-=Dx,->0.
Базис в ней составляют одночлены вида и=х'{1х'5= xii", где
k,-eZ, k,->0, если т; четно, k,-=0, 1, есэш т, нечетно, и k,~>0 лишь
для конечного числа индексов i. Степень одночлена и определяет-
ся формулой Du=k1m 1 + +k,,m,,. При умноженгш многочленов
учитываются следующие соотношения: xix,-=(—1)’”i'”ix,-x,-, х? = 0,
если т; нечетно. Алгебра А =F (x1, ..., х„, является ассоциатив-д
ной коммутативной градуироваштой алгеброй с едшшцей
причем A,-=0 при i<0, И Ao=(1). - -
Если все т; четны, то A=K[x1, ...‚х‚‚, ...]—обычная
алгебра многочленов, а если все m,- нечетны, то А=
= /\ K(x1, ..., х„, ...)—алгебра внешних многочленов (алгебра
Г рассмана) от x1, ..., x,,, B общем случае
F(x1, ..., х„, ...)=К[хд, ...‚ x,-r, ® /\K(x,-1, ..., x,-S,
если считать, что тд четны,_ а т ‚В нечетны. Очевидно также‚
что F (x1, ..., x,,)=F (x1)® ® F (xn). Отсюда следует, что
п
д Г
p(F(x1, ..., х„)‚ t)= П (1+:”'1)/П (1—t'""), (7)
j=r+1 i=1
где т; четны при 1<г и нечетны при i>r+ 1.

§6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 135
В геометрии и топологии алгебры из примеров 1 И 2 часто
возникают как алгебры тензоров. _
пример 3. Пусть У—градуированное векторное про-
странство, такое, что V,-=0 для i <0, и пусть Т (У)=рёо Т5(У),
Р
Где Tg(V)= ® V,— тензорная алгебра над V (см., например,
[11], [43]). Градуировка в V определяет градуировку в Т (V),
превращающую Т (V) B ассоциативную градуированную ал-
гебру. Если V имеет конечный тип и x1, ..., х„, ...—базис
пространства V, состоящий из однородных элементов, то
T(V)=A(X1, ..., х„, _
Пример 4. В условиях примера 3 обозначим через
1 идеал в Т (V), порожденный элементами вида
x®y—y®x (хеУ-д, уеУ) и х®х (хе V1), где 22-граду-
ировка в V задана формулой (1). Тогда 1— градуированный
идеал и, 2(V)= Т (У)/1 — ассоциативная коммутативная граду-
ированная алгебра. Если У= Уд, то 2(V)=S(V)—cnMMe'r-
рическая алгебра над V, a если У= У1, то 2(V)= /\ V—
внешняя алгебра над V (CM. [11], [43]). Очевидно,
(Е(Ь)*)2 /£92 2 (V),, И Е (Z 2 V. Отсюда следует, что для
двух градуированных векторных пространств У, W имеем
2(У):Е(УУ) тогда и только тогда, когда V: W.
Если У= У’ G) V”, где У’, У”—градуированные простран-
ства, то 2(V)=2(V’)®2(V”). B частности, для любого
градуированного пространства У имеем
_E(V)=S(V5)® /\ V1.
Если У имеет конечный тип и x1,..., х‚‚,`...—базис про-
странства У, состоящий из однородных элементов, то
Z(V)=F(x1, ..., х„,
Отметим следующее свойство универсальности алгебры
Ё(У): для любой ассоциативной коммутативной градуирован-
Ной алгебры А с единицей и для любого линейного
отображения (р: У—›А степени О существует единственный
{омоморфизм градуированных алгебр Ф: 2(V)—->A, такой, что
<Р(х)=‹р(х) (хе
В примере 9 (см. п. 6) мы дадим интерпретацию алгебр
многочленов в терминах полилинейных форм.
A Пример 5. ' Пусть У—градуированное векторное про-
сТранство. Тогда градуированное векторное пространство

136 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
L’( V, V) (CM. п. 1) является градуированной ашеброй
относительно обычного умножения линейных операторов.
Другую градуированную алгебру gI’( V) можно получить, если
определить в L’( V, V) операцию коммутирования формулой
- [ﬂ g]=fg+(-1)”’”"“gf (8)
для любых однородных f, geL’(V,' V Эта новая алгебра
(обозначаемая через gI(V), если градуировка в V конечна)
является градуированной алгеброй Ли. Вообще, любая ассо-
циативная градуированная алгебра становится градуирован-
ной алгеброй Ли, если ввести в ней новую операцию фор-.
мулой (8).
3. Образующие канонической градуированной алгебры. Гра-
дуированная ашебра А будет называться канонической, если
она ассошаативна и коммутативна, обладает единицей 1 и если
Ад=0 для 1' <0, A0=(l). Подашебру Ад канонической граду-
ированной алгебры А мы будем отождествлять с K при
помощи отображения сь—›с-1 (сеК).
Пусть А-каноническая градуированная алгебра. Для
любого S <:A+‘ обозначим через <<S)) подалгебру в А,
порожденную „множеством S И единицей 1. Если все элементы
множества S однородны, то ((S))—rpa11y1»1poBaHHa;I подалгеб-
ра. Как обычно, мы говорим, что S—cucmeMa образующих
алгебры А, если А =((S)). B приложениях, как правило, будут
рассматриваться конечные или счетные системы образующих
5'={а1, ..., an} или S={a1, ..., а„, Мы будем говорить, что
элементы а, порождают А и писать A=((a1, ..., ад или
A=((a1, ..., а„, оси) соответственно.
Г радуированным модулем над ассоциативной градуирован-
ной алгеброй А с едишшей называется (унитарный левый)
А-модуль М, снабженный градуировкой, обладающей следу-
ющим свойством:
Например, любой градуированный левый идеал в А является
градуированным А-модулем.
Если М —градуированнь1й А-модуль, то мы обозначаем
через (8)„ подмодуль в М, порожденный подмножеством S.
Подмножество S называется системой образующих модуля М,
если М = (S) A. B случае, когда M -—-I‘pa,Z[yI/Ip0BaHHI>II7I левый
идеал в А, мы будем гшсать (S) или (х1, ..., х‚„ вместо (5),;
или (x1, ..., х„, ...),,. Как обычно, через (S) обозначается
лшнейная оболочка множества S над K.

§6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 137
Система образующих (ашебры или модуля) называется
минимальной, если никакое ее собственное подмножество не
является системой образующих. _
В этом пункте мы предполагаем, что А—каноническая
градуированная алгебра, а M —градуированный А-модуль,
Градуировка в котором ограничена слева. Рассмотрим граду-
ированное векторное пространство _1l7=M/A+M и положим
5=х+А+М для любого хеМ, $={х`|хе$} для любого ЗСМ.
B частности, A+ =E
Далее предполагается, что S состоит из однородных
элементов. .
П р е д л о ж e H И е 3. Множество S c M является системой
образующих А-модуля М тогда и только тогда, когда
M=(S_)+A+M (9)
или, что равносильно, когда 7W=<S). Система образующих
S минимальна тогда и только тогда, когда S линейно
независима над K и разложение (9) является прямым или, что
равносильно, когда S—5a3uc в М.
Доказательство. Очевидно, из M=(S)A следует (9).
Обратно, с помощью индукции по п легко доказать, что из (9)
следует включение М„с($)‚‚ для всех neZ. Из доказанного
следует, что система образуюцшх S минимальна тогда
и только тогда, когда S —минималЬная система образующих
векторного пространства Й над K, T. e. базис в ‘Й. I
Теперь мы покажем, что система образующих канониче-
ской градуированной алгебры А—-это то же, что система
образующих ее идеала A+.
II р е д л о ж e H И е 4. Пусть S<:A+ ——подмножеетво, со-
стоящее из однородных элементов. Тогда следующие условия
равносильны: ‘
1) А=<5`>‚
2) A+ =(S),
3) А+ = <5>+(А+)2‚
4) E(A)=<S>.
Система образующих S алгебры А минимальна тогда и только
тогда, когда S линейно независима над K u разложение 3)
Является прямым или, что равносильно, когда S—6a3uc в Е(А
Доказательство. Очевидно, 1) => 2), а в силу
Предложения 3 2) э 3); С помощью индукции по п из 3) легко
вЫВ0дится, что A,,c:<(S)). для всех neZ. Значит, 3) => 1).
УТВерждение о минимальности следует из предложения 3. I

138 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
Из предложений 3 и 4 И известного свойства базисов
векторных пространств вытекает
Следствие. Пусть S И .$"--—две минимальные системы
однородных образующих канонической градуированной алгебры
А или градуированного А-модуля М с ограниченной слева
градуировкой. Тогда существует биекиия .$`—› S Q сохраняющая
степени элементов.
Система однородных образующих S канонической гра-
дуированной алгебры А называется свободной, если для
произвольной ассоциативной коммутативной градуированной
алгебры В с единицей любое сохраняющее степень от-
ображение S —›В продолжается до (единственного) гомо-
морфизма A-+B. Очевидно, всякая подсистема свободной
системы образующих является свободной системой обра-
зующих порожденной его подалгебры. Каношигческая гра-
дуированная алгебра называется свободной, если она допускает
свободную систему образующих.
‘ Пример 6. Алгебра 2(V) ИЗ примера 4 -является
свободной канонической градуированной алгеброй. Действи-
тельно, свойство универсальности показывает, что любой
базис пространства V, состоящий из однородных элементов,
есть свободная система образующих алгебры 2
Пусть А-каноническая градуированная алгебра, S —-—ee
система однородных образующих, V= (S). Тогда существует
единственный сюръективный гомоморфизм 1:: 2 (V)->A, такой,
что 1t(x)=x (xe S). Таким образом, А изоморфна факторалгеб- `
ре свободной алгебры 2(V). Гомоморфизм 11: является
изоморфизмом тогда и только тогда, когда $—свободная
система “образующих.
Таким образом, свободные канонические градуированные
алгебры-это в точности алгебры вида 22 (V) ИЗ примера
4 или, в случае конечной или счетной системы образу‚;оших,—
алгебры F (м, ...‚ х‚‚, из примера 2. Будем писать
A=F(S)=Z((S)), если ‚З-свободная система образующих
алгебры А.
Теперь мы Даш/гм описание всевозможных свободных
систем образующих заданной свободной алгебры.
Предло жение 5. Пусть А-свободная каноническая
градуированная алгебра. Система S однородных образующих
алгебры А свободна тогда и только тогда, когда она
минимальна.
Доказательство. Предположим, что S свободна,
и рассмотрим градуированное векторное пространство
V=(S). Положим B=(l)G)V, где (l)=B0, и определим
__ а
.n..sIn~
„-..‚.

§ 6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ ‘ 139
в В умножение, считая, что 1 -х=х - 1=х И ху=0 для любых х,
ye V. Тогда В будет канонической градуированной алгеброй.
Т ождественное вложение S—> VcB продолжается до гомомор-
физма (р: А—›В. Легко видеть, что (A+)2cKer(p. Значит,
(p индуцирует линейное отображение Ф: E (A)—> V, такое, что
q‘)(2'c)=x для любого xe S. Отсюда следует, что множество
S‘ линейно независимо. По предложению 4 система образу-
ющих S минимальна.
Предположим теперь, что $——минимальная система об-
разующих алгебры А. Рассмотрим свободную каноническую
градуированную алгебру A=2(‘(S)) И гомоморфизм п: А-+А
из примера 6. Поскольку S —свободная система образующих
алгебры А, достаточно доказать, что тс——изоморфизм.
Мы утверждаем, что Ker1tc(Z +)2. Действительно,
Я=($>@(Я+)2 И А=($>@(А+)2 в_силу предложения 4. Если
и=х+уеКегп, где xe(S), ye(A+)2, то 0=1t(u)fx+1t(y),
откуда х= —1t(y)e(S)ﬂ(A+)2. Значит, х=0 и ue(A+)2.
По предположению в_А существует свободная система об-
разуюцшх S’. Выберем в А такое подмножество, S’, состоящее из
однородных элементов, что_п отображаем Ё’ на S’ 61/ICKTI/IBHO.
Очевидно,” имеем A+=<S’>+Ker1c=<S’)+((S’)+)2+Ker1t=
=(S’)+(A+)2, так что Ё-система образующих в силу
предложения 4. Отображеъше т: ' 1: S '—>S’ продолжается до
гомоморфизма Ф: А—›А. Гомоморфизмы т: о Ф и ч: о п тождествен-
ны, так как они тождествеъшы на некоторых системах образу-
юцшх. Следовательно, 1t———1»13oMopcb1»13M.l
Следствие 1. Пусть А——свободная ‚каноническая граду-
ированная алгебра‚ У-градуированное подпространство в А.
Тогда следующие условия равносильны:
1) А=2(Уг;
2) А: VG) A+ 2;
3) п: V—->E (A ——-изоморфизм векторных пространств.
Следствие 2. Пусть А—свободная каноническая граду-
ированная алгебра. Подмножества ScA+ , состоящее из
однородных элементов, можно дополнить до свободной систе-
мы образующих алгебры А тогда и только тогда, когда
подмножество n(S)cE (A) линейно независимо.
4. Дифференцирования. Пусть А—градуированная алгебра.
Преобразование б: А—›А называется дифференцированием
степени г, если бе1‚(А, A), И
8(ab)=5a-b-I'—(--1)'”"a-8b
для любого однородного аеА и любых beA. Дифферен-
цирования степени г составляют подпространство (berA),c

ц
140 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
<:L(A, А)‚. Непосредственно проверяется, что градуированное
подпространство
berA = С1Э(Ьег A),-cL’(A’, A)= gI’(A)
iez
является подашеброй относительно операции [ ‚ ]‚ ‘заданной
формулой (7). Если градуировка конечна, то betA--
градуированная подашебра градуированной алгебры . Ли
gl Алгебра berA называется алгеброй дифференцирований
алгебры А. . _
П р и м е р 7. Рассмотрим градуирующий оператор е для
некоторой ‘градуированной алгебры А. Из (3) следует, что
в s_=(her A)o.
П р и Me р 8. Пусть Ад-некоторая градуированная ашебра
Ли. С каждым элементом аеА‚ связан присоединенный
оператор ad a, действующий по формуле '
(ada)x=[a, x] (xeA).
Из обобщенного тождества Якоби (5) следует, что
adae(berA),. B частности, для любого градуированного
векторного пространства V градуирующий оператор в опреде-
ляет дифференцирование adee(ber gI’(V))0. Проверяется, что
ad е—--градуирующий оператор в gI’( V). Заметим также, что
для любой градуированной алгебры Ли А отображешиге ad:
A-+berA есть гомоморфизм градуированных алгебр, называ-
емый присоединенным представлением алгебры А.
Пример 9. Пусть А=Р(х1‚ ..., х„, тд=Вхд. С любым
. . д
zeN СВЯЖСМ д-ю rlacrnyrofponslaogxnyro -6-—e(berA)_,,,i, опреде-
х 1'
ленную на одночленах см. пример 2) формулой
д М х, )_ (—.1)k1"~+3-+k:—1m:—1kix';:...x{a—1...,emki>o,
ﬁx: -1'" "т _ О, если k,-=0.
Очевидно,
д 1 для j=i,
g;(xj)= О .. -
. для 1561.,
Непосредственно проверяется
П р е д л о ж е Н и е 6. Пусть А — градуированная алгебра
и б E (her A )‚ для некоторого г е 2. Тогда Ker б — градуированная

§6. ГРАДУИРОВАННЬКЕ АЛГЕБРЫ 141
подалгебра в А, содержащая единицу алгебры А, если она
существует.
Теперь мы хотим описать дифференцирования произволь-
ной свободной канонической градуированной алгебры с конеч-
ным числом образующих. Заметим сначала, что для ‘любой
коммутативной градуированной алгебры А пространство berA
обладает естественной структурой градуированного А-модуля,
заданной формулой ‘
(аб)(х)=аб(х) (а, хеА, ‘берег А).
П р е д л о ж е н и е 7. Пусть V— градуированное векторное
пространство с конечным базисом х, , ..., х‚‚, где Вхд=тд>0
для всех i, A=2(V)==F(x1, _..., x,,). Тогда для любого leL(V, A)
существует единственное беЬег А, такое, что б| V= 2.. Граду-
ированное пространство bet A изоморфно L(V, A) u является
д
I дм’ н" ax”.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предложения 6 следует, что если
5eberA и б| V== 0, то 5:0. Отсюда видно, что б| V ПОЛНОСТЬЮ
определяет дифференцирование б. Щдля любого Ж е L (V, А) р
положим х
свободным градуированным А-модулем с базисом
п д _
21 дх, -
где Х,=7Ь(х,)еА‚„д-‚. Очевидно, бе(ЬегА)‚, и 8iV=K.
Проведенное вьпце рассуждение показывает, что отображе-
ние бы б| V есть изоморфизм градуированных векторных
пространств. Поскольку любой 6eberA единственным об-
разом выражается в виде (10) с X,-eA, дифференцирования -5:-
составляют базис А-модуля bet A. I
5. Теорема единственности для разложения в тензорное
произведение. Пусть В и С—-две канонические градуированные
алгебры и A=B® C -—--mi тензорное произведение, рассматд
риваемое как градуированная ашебра относительно полной
степени (см. п. 2). Тогда А также является канонической.
Действительно, A0=Bo®Co имеет размерность 1, причем
= 1® 1, очевидно, является единицей в А. Далее, отображения
Ь|—>Ь®1 и с+-› 1®с суть изоморфизмы градуированных алгебр
В и С на подалгебры В®1 И 1®С в А. Мы часто будем
отождествлять В с В®1 и С с 1®С при помощи этих
изоморфизмов. Используя эти отождествления, мы видим,
например, что bc=(b®l)(l®c)=b®c для любых beB, се С.

142 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
Для любого б е (her B)0 существует единственное дифферен-
цирование 6e(ber A)0, такое, что б | В=б, б| С =0. Оно задается
формулой
bk®c,,) =§kj(5bk) ®ck,
где b,,eB, cke C. Очевидно, отображение 3I——>3 есть инъектив-
ный гомоморфизм ашебры Ли (bet B)o B (м: А)о. Мы будем
отождествлять (Der B)0 с соответствующей подалгеброй
в (her A)o И писать 5:6. Аналогично, любое 8e(her C')o
продолжается до дифференцирования алгебры А, и при этом
(her C)o вкладывается в (her A)o B качестве подалгебры. Легко
проверить, что
(her B)0 П (bet C)o = [Одет B)0, (her C)0] = 0.
Значит, (Der A)o содержит в качестве подашебры прямую
сумму алгебр Ли (berB)0G)(ber C)o.
Очевидно, то же верно и для тензорного произведения
A=A1 ®...®А‚ производного числа r канонических граду-
ированных алгебр. А именно, градуированная алгебра А явля-
ется канонической И каждая А; отождествляется с граду-
ированной подалгеброй 1®...®Ад®.„®1 в А при помощи
а|——›1®...®а®.„®1. Алгебры Ли (ЬегАдо (i=1, ..., r) вклады-
ваются B (bet A)o как попарно коммутирующие подашебры,
образуя подалгебру
C49 (her Ai)0 c (Der A)o. . (11)
i=1
Каноническая градуированная алгебра А называется нераз-
ложимой, если A;éB® C, где В и С——канонические градуиро-
ванные алгебры, причем B;é(1), C ;é(l). Мы хотим дать
достаточное усл е неразложимости канонической градуиро-
ванной алгебры в рминах ее дифференцирований степени О.
Обозначим через 8 A градуирующее дифференцирование
градуированной алгебры А (см. пример 7). Очевидно, из (11)
следует _
П р е д л о ж e H И е 8. Пусть А—каноническая градуированная
алгебра над полем K характеристики 0, причем (her A)0=(3A)
или, что равносильно, dim (bet A)0= 1. Тогда А неразложима.
Теперь мы докажем следующее важное обобщение пред-
- ЛОЖСНИЯ 8, дающее ДОСТЗТОЧНОС условие СДИНСТВСННОСТИ
разложения в тензорное произведение неразложимых канони-
ческих градуированных алгебр.
.—„{‚ ‘,0:-E -.5. .-I._. . ‚ -.`._... .- . - ` ` ‘,_' _::. „.. .
-‘э„з?:<ч5%›$3-Ё$5М;дъущ:, 342.2.:‘7z;$&$;%§,‘¥%=.;23”=z;a;-;..*g¢e;=.=..-= ‚д
. -„..„
V ~:.:&;s_:.s;...:.
.._;§._.§
_ ,~

§ 6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 143
Теорема 1. Предположим, что charK=0, u nycmb
где A;——1<aHoHuuec1<ue градуированные алгебры, А; 96 (1) для всех i.
Если (bet A)o=(eAi, ..., 8,1’) или, что равносильно, dim (bet A)0=r,
mo все A д неразложимы и для любого разложения А = В®С
алгебры А в тензорное произведение градуированных подалгебр
В и С имеем B=A,-1®...®Ais, C=_Aj1®...®A,-I для некоторого
разбиения {1‚ 2, ..., n}={z'1, ..., is} |_] {j1, ...,j,}. B частности, (12)
есть единственное разложение алгебры А в тензорное произведе-
ние неразложимых канонических градуированных подалгебр.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Есдш некоторая" подалгебра
А, разложима, то в силу предложения 8 dim (bet Ai)0> 1.
Тогда из (11) следует, что dim (her A)o>r, что невозможно.
Алгебра А обладает 2'-градуировкой А=С4ЭА„‚.„‚‚‚‚ где
A,,1_,,,,r=(A1),,1®...® (A,),,r. Обозначим для краткости 3,-=3Al_.
Тогда каждый 8e(ber A)o однозначно записывается в виде
б=›\.181+...+?\‚‚8‚., EEK.
При этом имеем
бх=(р17ь1+...+р‚?ь‚)х (xeA,,1__,,,r).
Поскольку с11аг K =0, отсюда следует, что А„1___‚‚‚ есть весовое
подпространство линейной алгебры Ли (bet A)o, отвечающее
весу 7»=p1?\.1+...+p,?\.,., где м, ...‚ 91,-6a31»1c B (berA)'5,
сопряженный к базису 81, ...‚ е, алгебры (bet A)o.
ПУСТЬ теперь А =В® С, где В и C —градуированные
подалгебры. Рассмотрим действие оператора aBe(ber A)0
в пространстве А р = Е!) В„® С‚, ‚ р > 0. Очевидно,
u+v=p
В„®С‚,—собственное подпространство этого оператора, от-
вечающее собственному значению и=_0, 1, ...‚ р. Предположим,
что 8B=c181+...+C,.8,.. Тогда
Вр: ® Apl...p,5 Cp= е) Ap1...p,°
ZPi=ZciPi=p ZPt=P.
i i i
ZCiP1=0
‘ i
ДОСТЗТОЧНО доказать, что для любого i либо сд=1‚ либо
c,-=0. Действительно, если это так, то 83=8,-1+...+8,-S, где
1'1 <...<z's. Тогда в разложение пространства В, из (13) входят
такие A,,1___,,r, что p1+...+p,=p,-1+...+p.-s=p. Поскольку р,>0‚
мы должны иметь p,-=0 для ред, ...‚ is. Таким" образом,
B,,=(A,-lQ<)...®A,-5),, для всех р>0, откуда B=A;1®...®A,-. AHa- ‘
логично, С=А,1®...®Ад‚ где {]1‚ ...‚ ]‚}={1‚ ...‚ r}\{i1,s..., is}.

144 гл. 2. ГРАДУ-ИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
Для упрощения записи будем доказывать, что с, =1 или 0.
Выберем такое р>0, что (А1)‚,э’=О. Тогда (А1)рс В„®С‚д‚ где
и=рс,‚ и=р(1—с1). В силу (13) существуют такие щ, ;..‚ и‚,
v19 "ч Ur: что (A1)p С Аи1+о1,....и‚.+о‚э причем u= Z “Е: Е ciuia
i= 1 I'= 1
Г I’
v= Z v,-, Z c,-v.-=0. Ясно, что и1+и1=р, u,-+v,-=0 для i>l.
i= 1 i= 1
Отсюда u,-=v,-=0 для z'>l, u1=c1u1, c1v1=0. Если и1>0‚ то
c1=1, a если v1>0, то с1=0.|
Очевидно, в предложении 8- и теореме 1 достаточно
наложить соответствующие условия на диагонализуемые диф-
ференцирования.
6. Г радуированные коалгебры. Пусть А —градуированное
векторное пространство. Операция умножения в А, превраща-
ющая А в градуированную алгебру, может рассматриваться
как линейное отображение р: А®А—›А‚ имеющее степень 0.
Иногда мы будем писать (А, р) вместо А. Ассоциативность
алгебры (А, р) равносильна коммутативности диаграммы
paid
(A®A)®A.—————-—=-A®A
II ’ А, (14)
ж‘
А ® А
а коммутативность—коммутативности диаграммы
A ® А
А о (AQA)
idoﬂ.
к ‚
г А ‚ (15)
/
A ® А
где I(a®b)=(—l)”"”"b®a. Существование единицы 1 в А рав-
носильно наличшо линейного отображения и: К —›А степени 0,
такого, что коммутативна диаграмма
K®A uoid A®A шеи
А®К`
Р А (16)
‚Ь ^2
3' -
‚д‘
~w———-— чм-

§6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 145
где м ‚ 7Ь2—изоморфизмы‚ заданные формулами
7L1(c®x)=cJ_c, K2 (x®c)=cx.
Отображение -и задается формулой u(c)=c'l (ceK); оно
является гомоморфизмом алгебр.
Мы хотим теперь определить алгебраическую структуру,
двойственную к ашебре. Пусть В——градуированное векторное
пространство. Коумножением в В называется любое линейное
отображение б: В—›В®В‚ имеющее степень О. Пространство
В с заданным в нем коумножением называется градуированной
коалгеброй (над К) и иногда обозначается через (В, б).
Коумножение б (или градуированная коашебра (В, 8))
называется ассоциативным, если коммутативна диаграмма
дота
B®B +(B®B)®B
B ` . Н (17)
В®В -‘id°6«> B®(B®B),
и коммутативным, если коммутативна диаграмма
В о В
В с (18)
В®В
Коединиией в градуированной коалгебре (В, б) называется
такое линейное отображение (о: В-›1( степени О, что ком-
мутативна диаграмма
weid idem
'K®B= B®B ==B®K
7
,„ (19)
ПУСТЬ (В, б) и (В’‚ б’ )—две градуированные коалгебры.
Лштейное отображеъше f : B——>B’ степени О называется гомомор-
физмом, если ( f ® f)o5=8’o ' f Если гомоморфизм f биективен,
то f ' 1 —также гомоморфизм коалтебр; в этом случае
отображение f называется изоморфизмом. Если В и В’

146 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
обладают коединицами (о и а)’, то обычно предполагается, что
f сохраняет коединицы, т. е. что ]"(ш’)=со.
Определяется также тензорное произведение В®В’ граду-
ированных коалгебр (В, б) И (В’, б’). коумножение в В®В’
определяется как композиция отображений
B®B’§§—§;B®B®B’®B’———»id®l®id B®B’®B®B’,
где 1: В®В’—+В’®В задается формулой
1(b®b’)=(—1)""b'®b (beB,,, b’eB,,).
Каждой градуированной коалгебре (В, б) естественно соответ-
ствует двойственная ей градуированная алгебра А =B*. Дейст-
вительно, определено линейное отображение б‘: (В®В)*-›В*
степени 0. Легко видеть, что градуированное пространство
В*®В* естественно вкладывается в (В®В)*. Поэтомуполуча-
ем отображение р=б"‘: В"‘®В*—›В*‚ т. е. умножение в A=B"'.
Предположим теперь, что А-градуированное простран-
ство конечного типа, имеющее ограниченную слева или справа
градуировку. Тогда вложение А*®А*--› (А ®А)* является изо-
морфизмом и мы будем отождествлять эти два градуирован-
ных (или биградуированных) пространства. Если м: А®А-—›А —
умножение в А, то ш‘: А*—› (А®А)*=А *®А * есть коумножение
в А *. Таким образом, градуированной алгебре А соответствует
в этом случае двойственная градуированная коалгебра А *.
Очевидно, градуированная алгебра (А "‘)* отождествляется с А.
В дальнейшем мы отождествляем пространства K и K *,
сопоставляя каждому ceK линейную форму xI—+cx Ha K.‘
-Без труда доказывается
П р е д л о ж е H И е 9. 1) Пусть дана градуированная коалгеб-
ра (В, б). Тогда двойственная градуированная алгебра (B*, 5*)
ассоииативна (коммутативна) в том и только том случае,
когда (В, б) ассоциативна (коммутативна).
2) Отображение (о: B—+K является коединиией для В тогда
и только тогда, когда (аз-единица алгебры В*.
3) Если В, В’—две градуированные коалгебры, то линейное
отображение f: В—›В’ степени 0 является гомоморфизмом
коалгебр тогда и только тогда, когда f“: В""--›В*——гомомор-
физм двойственных алгебр.
4) Если коалгебры В и В’ имеют конечный тип и ограничен-
ные с одной и той же стороны градуировки, то градуированная
алгебра (B®B’)*, двойс нная к градуированной биалгебре
В® В’ отождествляетсу: В*®В’*.
"&*_
‹а‚‚ъг.ё‹эььгё

§ 6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 147
П ример 9. Пусть У—градуированное векторное про-
странство над полем K, V,-=0 для i<0. Определим коумноже-
ние в градуированном пространстве Z (V) (CM. пример 4).
Пусть б: У—›Е(У)®2(У)—отображение, заданное формулой
бх=х® 1 + 1®х. Очевидно, б линейно и имеет степень 0.
Поэтому б однозначно продолжается до обозначаемого той же
буквой б гомоморфизма градуированных алгебр
2(V)—>2l(V)®2(V) (см. пример 4). Таким образом, E(V)
становится градуированной коалгеброй.
Коалгебра Е (V) ассоциативна и коммутативна. Чтобы
доказать это, заметим, что в диаграммах (17) и (18) (для
В=Е (V)) все отображения являются гомоморфизмами граду-
ированных алгебр. Для проверки коммутативности этих
диаграмм достаточно доказать, что соответствующие гомомор-
физмы совпадают на элементах пространства V, HO это
очевидно. Аналогично проверяется, что гомоморфизм со: -
22 (V)—>K, полученный продолжением нулевого отображения
V—>K, есть коединица в 2 (V).
Пусть V= Ре) V", где V’, У”——градуированные подпрост-
ранства. Тогда, как легко проверить, разложение
2(V)=2 (V’)®2 (V”) (см. пример 4) есть разложение в тензор-
ное произведение коалгебр.
В силу предложения 9 коалгебре Z (V) соответствует
. ассоциативная коммутативная градуированная алгебра с еди-
ницей 2 (V)*. Как мы сейчас увидим, эту алгебру можно
отождествить с некоторой алгеброй, состоящей из полилиней-
ных форм на V.
Обозначим через L, (V) пространство всех р-линейных
форм на V. Как хорошо известно, это пространство можно
отождествить с T 5 (V) *, если рассматривать р-линейную
форму ос как линейную форму на T 8 (V), заданную формулой
ос(и1®...®ир)=ос(о1‚ ..., пр) (v,-e
Форму осёЬр(У) будем называть симметрической, если ос об-
ращается в О на подпространстве 1р=1П Т 8(V), где 1—идеал,
определенный в примере 4, п. 2. Иначе говоря, форма
ос является симметрической, если
oc(..., y, ..., x, ...)=oc(..., x, ..., y, для. хеУд, ye V,
oz(..., х, ..., х, ...)=0 для xeV—1-.
Подпространство симметрических форм обозначим через
Lf,( V). Если V= V5, то L§,(V)—npocTpaHcTBo обычных

_ ___ __‚_„__ _г_
148 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
симметрических p-— линейных форм, а если V= V1-, то
f,(V)—IIpoc'rpaHc'rBo знакопеременных р-линейных форм
(если char К 76 2, то это свойство форм равносильно ко-
сосимметричности). Очевидно, пространство L*',‘,(V) отож-
дествляется с пространством -2 (V); линейных форм на
T 3(V)/I,;o=2(V),,. B силу леммы 1 из равенства
Z(V)= (-B 2(V),, следует изоморфизм градуированных про-
р = О
странств 2 (V) * 2 G) 2 (V) },«. Таким образом, пространство
р = 0 '
2 (V) * отождествляется с G) L; (V) = L‘ (V).
=0
Найдем явное выражение для операции умножения в ал-
гебре Ь’(У)=2(У)*. Пусть .oceLj,(V), BeL;(V). Тогда
осВеЬ;„„‚(!/) и для любых щ, ...‚ u,,+qeV имеем
(°€B)(“1» up+q)=(°‘®l3)((5“1)---(5"p+q))=
=(oL®B)((u1 ® 1 + 1®ui) (u,,+q®l + l®u,,+q)).
Чтобы вычислить это выражение, мы должны выделить
в произведении, стоящем под знаком оъ® В, члены, принад-
лежащие 2(У)‚,®2(У)‚‚. При этом мы можем считать, что все
и, принадлежат У-д или VI. Учитывая коммутативность
алгебры Z (V), получаем окончательно
(aB)(ll1, ..., up+q)=Z(~—l)’oL(u;l, ..., u,-p)B(uJ-1, ..., ада),
где суммирование ПРОИСХОДИТ ПО ВССВОЗМОЖНЫМ разбиениям
{1, ...‚ р+с1}={11, ...‚ 1„}[_|{]1, ...‚ jg}, таким, что 21<...<1‚,
и ]1<...<]‚„ и через t обозначено число таких инверсий (i, j)
B перестановке (i1, ..., гр, 11, ...‚ 1,), что u,-, u,-e VI. Отсюда
видно, в частности, что в случае V= V-5 умножение в L‘(V)—
это симметрическое умножение форм, а в случае V-== УТ-это
внешнее умножение (см., например, [14]).
7. Градуированные биалгебры. Пусть В-градуированное
векторное пространство, снабженное одновременно умножени-
ем u И коумножением б, а также единицей и: К—›В
(относительно ц) и коединицей со: В-›К (относительно б).
Говорят, что (В, р, б, и, (о) есть градуированная биалгебра, если
выполнены ‘следующие условия:
1) б: В—+В®В—гомоморфизм градуированных алгебр;
2) о): В—›К—гомоморфизм градуированных алгебр.
'*.n*‘.‘:-‘ . _;5 ч

§ 6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 149
Отображение градуированной биалгебры В в градуирован-
ную биалгебру В’ называется гомоморфизмом (изоморфизмом),
если оно одновременно является гомоморфизмом (соответст-
венно изоморфизмом) градуированных алгебр И коалгебр.
Естественно определяется тензорное произведение граду-
ированных биалгебр.
Следующее предложение показывает, что с каждой граду-
ированной биалгеброй В конечного типа с ограниченной слева
или справа градуировкой связана двойственная градуирован-
ная биалгебра B*.
Предложение 10. 1) Пусть (В, м, б, и, ‹о)——граду-
ированная биалгебра конечного типа с ограниченной слева или
справа градуировкой. Тогда (В *, 5*, 14*, о)‘, и*)—также
градуированная биалгебра конечного типа. Биалгебра (В*) *
отождествляется с В:
2) Если f: В—›В'——гомоморфизм градуированных биалгебр,
то f‘: В’*—›В*——также гомоморфизм градуированных биалгебр.
3) Биалгебра, двойственная к тензорному произведению
градуированных биалгебр В®В ’, естественно отождествляет-
ся с В*®В"".
Д о к а 3 а т е л Ь с т в о. Поскольку б: В—-›В®В—гомомор-
физм алгебр, мы имеем бор=(д®д)о(1‹1®ъ®1‹1)о(б®б). Отсю-
да следует соотношение д*об*=(б*®б*)о(1с1®1*®1с1)о(д*®д*),
из которого следует, что д‘: В*—›В*®В* сохраняет умножение.
В силу предложения 9 и"‘—коедини:ца относительно р.*,
а (о (или (ай-единица относительно 6*. Для любых. а, ЬеВ
имеем ц"‘(со) (а®Ь)=оэ(аЬ)=о)(а)со(Ь)=(со®(о) (а®Ь). Таким об-
разом, p.*(co)=o)®(o, и" ш-гомоморфизм градуированных
алгебр. -
Заметим, что для любого oceB* имеем u*(oc)=u*(oc) (1)=
=oc(u(1))=a(1), где знаком 1 обозначена сначала единица
поля K, a затем—-—единица алгебры В. Поэтому для любых
ос, [3eB* получаем
и*(5*(т®В))=б*(°=®1*)(1)=(°‹®!3)(5(1))=
=(<x®ﬁ)(1®1)=°¢(1)B(1)=u*(°t)u*(B)-
Кроме того, u*(o))=co(1)= 1, т. е. и*—гомоморфизм граду-
ированных алгебр. Тем самым 1) доказано.
Утверждения 2) и 3) легко следуют из утверждений 3) и 4)
предложения 9. I
Г радуированная биалгебра называется ассоциативной (ком-
мутативной), если она ассоциативна (соответственно ком-
мутативна) как градуированная алгебра.

150 ГЛ. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ И КОГОМОЛОГИИ
Пусть W————rpa)J;y1»1poBaHHoe векторное пространство.
В. дальнейшем мы будем градуировать пространство
И/*=&;(РУ*)д следующим образом: (W*),-=(W,-)* (cp. п. 1).
Пример 10. Пусть У-градуированное векторное про-
странство, V,~=0 для i <0. Градуированная алгебра 2(V)
становится градуированной биалгеброй, если снабдить ее
коумножением б и коединицей со, как в примере 9. Если
V= Ре) V”, где V’, У”—градуированные подпространства, то
Е (V) разлагается в тензорное произведение биалгебр:
>3(V)=>3(V’)®E(V”)- .
Если V— градуированное пространство конечного типа, то
тем же свойством обладает _ 2 (V), так что определена
двойственная биалгебра 2 (V) "‘. Как мы видели в примере 9,
2 (V)* отождествляется с пространством L‘ (V) симметричес-
ких полилинейных форм на V. Умножение в L‘(V) задается
формулой (20), оно ассоциативно и коммутативно. Единицей
служит элемент 1eLo (V)=K. Легко проверить, что коумноже-
ние в L‘(V)——-3T0 единственный гомоморфизм алгебр u*:
L‘(V)—>L‘(V)®L‘(V), такой, что ц*(оъ)=ос®1+1®ос (осе
eL1(V)=V*) и д*(1)=1®1.
Вложение V"‘=L1(V)—>L‘(V) продолжается до гомомор-
физма алгебр (р: 2(У*)—›Ь‘(У). Проверяется, что ‹р——изомор-
физм, если char K = 0. Из сказанного выше ясно также, что
(р-изоморфизм биалгебр.
8. Примитивные элементы. Пусть (В, д, б, и, (ад-некоторая
градуированная биалгебра. Элемент aeB+ называется прими-
тивным, если он аннулируется любым разложимым `элемен-
том алгебры В‘, т. е. если
(оъВ)(а)=0 (ос, BeB*+). (21)
Примитивные элементы составляют градуированное подпрост-
ранство Р(В) с B+. .
П р е д л о ж е н и е 11. Предположим, что градуированная
биалгебра В удовлетворяет условиям B,-=0 (i<0), Bo=(1). Для
любого ае В+ имеем
8a=a®1+l®a+Zb;®c;, (22)
где bi, cieB+. Элемент аеВ примитивен тогда и только
тогда, когда “
5a =“a®1 +1®а. (23)
д; м:
~";~.v.~ ~
':'1?!»-.9‘l<'=?;*9*:‘2'{!'~'3,t-'¢ .-:.~.M-

§ 6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 151
Д ок а з а т ель ст в о. Очевидно, для любого aeB+ имеем
+ l®C+Zbi®Cg,
где b, c, Ьд, с,еВ+. Применяя o)®id И id®o) и используя
коммутативность диаграммы (19), получаем, что Ь=с=а.
Таким образом, доказано (22).
Очевидно, (21) равносильно условию
(ос® В) (ба)=0 (а, В ев;
Далее, В‘; ={оъеВ*|оъ(1)=0}. Отсюда видно, что любой aeB+ ,
удовлетворяющий (23), примитивен. Если же аеВо, то а=с - 1,
где ceK, И ба=с(1®1), так что а удовлетворяет (23) тогда
и только тогда, когда а=О. Таким образом, из условия (23)
следует примитивность элемента а.
Обратно, пусть aeB+ примитивен. Применяя oc® В, где
oz, [3eB*+ , K обеим частям равенства (22), получим
О = (oc® В) (ба) = Z on (bi) В (ед). (24)
l
Можно считать, что в равенстве (22) элементы Ь, линейно
независимы. Тогда для любого фиксированного j = 1, _ ..
...‚ k можно выбрать такой oceB‘;, что oc(b,-)=l, oc(b,-)=0 для
всех i;éj. Тогда из (24) следует, что |3(с,)=О для всех ВеВЦ.
Значит, сд=О для всех j=l, ..., k. Таким образом, а удовлет-
воряет условию (23). I
H редл о жение 12. Если выполнены условия предложе-
ния 11, то градуированное подпространство Р(В)‹:В есть
подалгебра относительно операции [х‚ у ]=xy+(—~ 1) “хм” ух и,
в частности, является градуированной алгеброй Ли, если
В ассоциативно.
Доказательство. Пусть а, beP(B). Тогда в силу
предложения 11 а и b удовлетворяют условию (23). Поэтому
(для однородных а и Ь)
в [а‚ b] =(5a)(6b)+(— 1) Ватт (ab) (За) =
=(а®1+1®а)(Ь®1 + 1®Ь)+
-+(-1)°ат›+1(ь®1+1®ь)(а®1+1®д)=[а, b]®1+1®[a, b],
откуда [а‚ Ь] е Р (В). I
H p И M е р 11. Пусть В= 2 (V)-—61«IaJIre6p_a ИЗ примера 10.
_ Очевидно, V<: P(B). Если char К =0 или УБ=О, то Р(В)= V.
Действительно, В, = VG-)(B+)2, a, с дРУГой стороны, из

152 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ_ и когомологии
доказательства следствия 2 теоремы 2 (см. ниже) следует, что
P(B)ﬂ(B+)2=0. Имеем [х, у]=0 для любых х, уеР(В).
Предложение 13. Пусть charK=0, u nycmb граду-
ированная биалгебра В ассоциативна и удовлетворяет условиям
предложения 11. Если аеР(В)‚ Ва четно и a;é0, mo a”;é0 для
любого натурального р. Если dimB< оо, то’ Р(В -д=0 и граду-
ированная алгебра Ли Р(В) коммутативна, т. е. [а‚ Ь]=0 для
любых а, ЬеР(В). д
Доказательство. Пусть аеР(В), а#0‚ Da ЧСТНО.
Докажем индукцией по р, что a"¢0 для любого натурального
р. Предположим, что ар” 3&0. Из предложения 11
вытекает, что
p-1
. р _
б(а")=(ба)”= Z (k)a"®a" "+a”®l+1®a".
k = 1
11‘-1 р i
Если a" =0, то получаем равенство Z (k) a"®a"""=0. ‘Легко
k=1
видеть, что элементы а, а2‚ ..., а?" 1 линейно независимы,
откуда следует противоречие.
Из доказанного следует, что элементы а, a2., ..., а” линейно
независимы для любого р 2 1, если а е Р (В), Da четно и а ;é 0.
Поэтому в случае dim B< оо имеем Р(В)д=0. Если а, Ье Р(В),
то [а‚ b] e P (B)5 B силу предложения 12, откуда [а‚ b] = 0. I
H p е д л о ж е н И е 14. Пусть f: В—›В’—гомоморфизм
градуированных биалгебр. Тогда f (P (B)) c Р (В ’ ).
’ -Д о к а з а т е л Ь с т в о. Отображение Г: В’*—›В*‚ будучи
гомоморфизмом градуированных алгебр, переводит разложи-
мые элементы в разложимые. Поэтому для любых х е P (B)
- И oce(B’1‘,)2 имеем ос(/(х))=(/‘оъ)(х)=0, откуда f(x)e_=P(B’). I
Предложение 15. Пусть В и В’-——градуированные
биалгебры, удовлетворяющие условиям предложения 11. Тогда‘
Р(В®В’)=(Р(В)®1)6)(1®Р(В')).
Доказательство. Пусть ze(B®B’)+. Тогда z==x®1+
+1®у+ Z x,-®y,-, где х, x,-eB+, y, y;eB’+, причем х1‚ ..., х,
i=1
линейно независимы. Предположим, что z примитивен. Тогда
на 2 обращаются ‘в 0 разложимые элементы подалгебры
В*®В’*с (B®B’)". B частности, для любых ос, ВеВ‘; имеем
0=((оъВ)®1)(2)=(осВ) (х), так что хеР(В). Аналогично,
уеР(В’). Выберем такие 091, ..., oc,eB";, что oc,-(x,—)=8,-,- (i, j=
=1, ..., s). Тогда для любого [3eB’."; имеем 0=(oc,-®B)(z)_——-[3(y,-)

‘ §6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 153
(j=l, ..., s). Следовательно, y,-=0 (j=1, ..., s). Таким об-
разом, Р(В®В’)сР(В)®1+1®Р(В’). Обратное включение
проверяется непосредственно, например, с помощью пред-
ложения 11. I
9. Теоремы Хопфа и Самельсона. Сначала мы докажем
. алгебраический аналог известной теоремы Хопфа о строении
алгебры когомологий Н-пространства (со значениями в поле
характеристики О).
Пусть А ——каноническая градуированная алгебра конеч-
ного типа (см. п. 3). Легко доказывается, что А допускает
конечную или счетную минимальную систему однородных
образующих.
Теорема 2. Пусть (В, д, б, и, (ли-градуированная
биалгебра над полем K характеристики О, являющаяся канони-
ческой градуированной алгеброй конечного типа. Тогда всякая
минимальная система однородных образующих алгебры В сво-
бодна. В частности, В —-—свободная каноническая градуирован-
ная алгебра.
Прежде чем непосредственно приступить к доказательству
теоремы, сделаем несколько замечаний. Пусть х; , x2, -
минимальная система однородных образующих алгебры В.
Обозначим через s,» наименьшее натуральное число, для
которого хЁ‘=0‚ а в случае, когда x{~‘;é0 для всех k>1, положим
si-= оо. Очевидно, s,->2, причем s,~=2, если Dx,- H6‘-ICTHO.
Обозначим через 1„ идеал алгебры В®В, порожденный
элементами x,-®l (1<i<k), считая, что I0=0. „
Лемма 2. Для любого k>l имеют место следующие
сравнения по модулю I,,..1:
5-751:;-3C1c® 1+1®Xk,
5x,-§1®x,- (i <k),
r-1 ‘
6(x;;y):——:xz®y+ 2 (j)(x:®x.:*sy),
s=0
где 0<r<s,,, ye «м, ..., x,,_1)).
Д о к а 3 а т е л Ь с т в о непосредственно следует из пред-
ложения 11 и сделанных выше замечаний. I
Доказательство теоремы 2. Используя введенные
выше обозначения, рассмотрим свободную каноническую
градуированную алгебру F (X 1 , X д, ...) над полем K, где
DX,-=Dx,- (i= 1, 2, ...), И через ф: F(X1, X2, .„)-›В—-такой
(сюръективный) гомоморфизм алгебр, что (р (X,-)=x,-
(Е: 1, 2, ...). Назовем нормальным одночленом элемент вида

154 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
;*X;".:i...X'1‘ или xZ"x§*:1...x'f, где 0<rk<sk, 0<ri<si (i=1,
..., k— 1). Очевидно, каждый элемент алгебры B" является
дшнейной комбинацией нормальных одночленов и элемента .
Для доказательства того, что (р-изоморфизм, достаточно
доказать, что нормальные одночлены из В линейно независи-
мы И что s,-= оо, если Dx,- четно.
Докажем c помощью индукции ‘по п, что нормальные
одночлены ye В„ линейно независимы. Предположим, что
это уже доказано для одночленов степеней <п. Пусть
Ре}? (Х 1, X 2, ...)—ненулевая конечная линейная комбинация
нормальных одночленов степени п, причем PeF (X 1, ..., Xk)
И г>0—наибольшее из таких чисел, что X 5 входит в Р.
Это значит, что
Р=Х;@+К,
где 9еЕ(Х1, ..., Xk_.1), ReF(X1, ..., Хд-линейные ком-
бинации нормальных одночленов, причем Q #0 и Х ‚‚ входит
в R только в степенях <r. Докажем, что если ‹р(Р)=0, то
Q=ceK И г=1. Тогда Ке17(Х1,„ ..., Xk_1), и равенство
О = cxk + (p (R) будет противоречить минимальности системы
образующих. ’
Условие (р (Р) = 0 означает, что. х;‹р (Q) = — (p (R). B силу
леммы 2
(5 (x£<P (ШВЕ x7.®<P (ОМЕ: (xi ®x7.“<P (Q)) (mod I:.— 1).
Далее, б(‹р (R)) He содержит членов вида x§,a®x{;b с i + j =r.
Если D(Q)>0, то В(х;)<п, В(‹р (Q))<n. Очевидно, это
противоречит предположешитю индукции. Таким образом,
Q=ceK. Если г> 1, то б(х;‹р(9)) содержит член crxk®x,',‘1, He
встречающийся в —б (ф (R)), что снова дает противоречие. Тем
самым линейная независимость нормальных одночленов до-
казана. .
Пусть Dxk четно; докажем, что s,,= оо. Предположим, что
xi‘1;é0, где $22. По лемме 2
s-1
6(x.i)Exi®1+1®xf,+ 2 (:)x,‘,®xi“‘ (modIk-1).
1"-=1
Если xi=0, то получаем противоречие, ибо правая часть
содержит член sxk®xi“. Значит, xi;é0. `
Следствие 1: Если в предположениях теоремы
2 dim B< оо, то В-алгебра Г рассмана с конечным числом
образующих, причем их степени нечетны.
- '.*.i<'s'-':. . ‚: 5
:;,_‘,!.;,:‘._... ... ...,. .
"д": г :-:;§.j’.=- '}'»,".)‘:.§.-5‘-". .. а . ‚ъ 1. .~ . ~. .
. .. . _. _ ...; .,..,.~,-.$ . "д: о. 1;. :'‚.$..‚;д' : .4,.‘_~3j:;'..- g§!{:‘;., ;~_§.;R:‘;,_B‘;_ um” д. :

§ 6. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ 155
С л е д c T B И е 2. В предположениях теоремы 2 имеем
Р (B)ﬂ(B+ )2 = 0-
Д о к а з а T е л Ь c т в о. Пусть х1, x2, ——система образу-
ющих алгебры В, фигурирующая в доказательстве теоремы.
- r
Пусть aeP(B), as-$0. Запишем а в виде а= Z xfyp, где
у„е(<х1‚ ...‚ x,,_1)),' y,;£0, r>0.. B силу JIeM151:.I02 имеем
следующие сравнения по модулю 1,‘- 1:
.0=5"‘a—(a®1+l®a)E Z x},’®y,,+
р=0
r p-1 l. _ I r . r
+ Z Z ( )xi®xf.’”"yp—(Z x£y,,)®l—l® Z xlzypa
p=0i=O P р=0 р=0
r _ r p-1 . . I r
а 2 х::®у„+ 2 2 (')(ха®хг“у„)—( 2 c,.x::)®1, (25)
р=0 р=ог=1 P р=0
где ере K ——свободный член элемента ур. Поскольку система
образующих свободна, отсюда следует, что
x,§®y,——c,x§®l=0, откуда у‚=с‚еК. Далее, r=l, ибо в про-
‚тивном случае правая часть в (25) содержит ненулевой член
rc,x,’f‘ ®xk, He ИМСЮЦШЙ подобных себе членов. Итак,
а=уо+с1х‚„ где c1eK, c1;é0, откуда a¢(B+)2. I
Следствие 3. Пусть, в предположениях теоремы 2,
алгебра В порождена примитивными элементами. Тогда имеют
место изоморфизмы биалгебр Е(Р (В))——›В и Z (P (B *))->B *,
тождественные на Р(В) и P(B*) (см. пример 10). В частности,
биалгебры В и B "' изоморфны.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Предложение 3 и следствие 2
теоремы 2 показывают, что B+ =P(B) G) (B+)2, откуда
B2E(P (B)) B силу предложения 5. Из примера 10 видно, что
и B*:Z(P(B*)). I
Теперь мы укажем условия, достаточные для того, чтобы
биалгебра порождалась примитивными элементами.
Т е op ем а 3. Пусть (В, р, б, и, (ау-конечномерная
градуированная биалгебра над полем характеристики О, явля-
ющаяся канонической градуированной алгеброй. Если коумноже-
ние в В ассоциативно, то В= /\Р(В) и В*= /\Р(В*). При этом
Р(В)б=0 и биалгебры В и В‘ изоморфны.
Доказательство. Согласно следствию 1 теоремы 2,
алгебра В есть алгебра Г рассмана с конечным числом
r образующих нечетных степеней. Имеем
dimB=2', dimB+ =2'— 1, dim(B+)2=2'— 1 -—r.

156 I гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
Рассмотрим алгебру В‘, которая в силу предложения 9
является ассоциативной градуированной ашеброй. Из пред-
ложения 13 следует, что Р(В*)б=0 и что градуироваъшая
подалгебра С= ((P (B"))) алгебры В‘ коммутативна. Очевид-
но, р“(С)сС®С‚ откуда следует, что (С, б‘, р‘; со"; и‘) есть
биалгебра, причем P(C)=P(B’). Эта биашебра удовлетворяет
условиям следствия 3 теоремы 2, так что C = АР(В*).
Докажем, что C=B*. Для этого заметим, что по определению
примитивных элементов dimP(B*)=dimB’+ —dim (B д, )2 =r, так
что dim C =2'=dim B‘. Применяя к биалгебре В"‘ следствие 3
теоремы 2, получаем утверждение нашей теоремы. I
10. фильтрованные векторшяе пространства и алгебры.
Несмотря на название этого пункта, мы будем рассматривать
здесь только фильтрованные ашебры, считая, что векторное
пространство-ото алгебра c нулевым умножением. Любое
определение или утверждение, относящееся к фильтрованным
векторным пространствам, можно получить из соответст-
вующего определения или утверждения для фильтрованных
алгебр, если не обращать внимание на умножение.
Пусть А —некоторая алгебра. Семейство (A(,,',),,ez-JII»IHe1‘»'1H1aIx
подпространств A( р, с А называется возрастающей фильтрацией
алгебры А, если оно удовлетворяет следующим условиям: _
А: U А‹р» П A(p):0; . (26)
peZ ре2 l
Am с: A(,,+1, для всех peZ; (27)
A(p)A(q) C A(p+q) ДЛЯ Любых р, q E
Если заменить (27) условием
А„‚,:›А„,„, для всех peZ, (29)
то получим понятие убывающей фильтрации.
С возрастающей фильтрацией (A р) „е 2 алгебры А связана
оценка, т. е. функция w: A\{0}—->2, заданная формулой
w(x)= min p. (30)
хеА‘ 1„ .
Очевидно,
w(x+y)<max(w(x), w(y)),
w (cx) = w (x), (31)
w(xy)< w(x)+w(y),
где х, yeA, x;é0, y~;é0, x+y;é0, xy;éO, ceK ". Аналогичная
функция связывается с убывающей фильтрацией.
Ё
Ba.
ф
ъ:

§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ „ 157
фильтрованной алгеброй называется алгебра, снабженная
возрастающей (или убывающей) фильтрацией. Фильтрованные
алгебры над K с возрастающей (убывающей) фильтрацией
составляют категорию, в которой морфизмами служат гомо-
морфизмы алгебр f: A ——›В, такие, что f (Am) с Вт для
любого peZ. р
Имеется важная связь между фильтрованными и градуи-
рованньхми алгебрами. Пусть А= G) A р-традуированная ал-
гебра. Полагая Ре:
А”): АЬ A-(p)= е) АЬ
кр Евр
мы полукшм возрастающую фильтрацию (А“”)‚,ед и убывающую ‚
фильтрацию (А„,‚)‘„е; алгебры А. Очевидно, эта конструкция
определяет функторы между соответствующими категориями.
Обратно,. пусть дана фильтрованная алгебра А c фильтра-
цией (А„‚,)‚,ед, которую мы для определенности будем
считать убывающей. Рассмотрим градуированное векторное
пространство
grA= Е): gr,,A, где gr,,A=A(,,,/A(,,+1,. (32)
рЕ
Пусть oc=a+A(,+ 1,egr,,A, B-=b+A(q+1,egr,,A. Определим
осВ е grp +9 A формулой осВ = аЬ + А„,+‚‚ + 1,. Очевидно, эта опера-
ция определена корректно и превращает gr A B градуирован-
ную алгебру. Соответствие А н grA есть функтор из категории
фильтрованных алгебр в категорию градуированных алгебр.
Отметим очевидное
П р е д л о ж е н и е 16. Пусть А`= G) AI,-—2padyupoeaHHa.rz
- ре!
алгебра, (A( ,,,),,ez —-— соответствующая убывающая фильтрация,
gr A ——градуированная алгебра, определенная формулой’ (32).
Тогда естественное вложение А д, —› Am = A р El) А 1,4, 1 (В опре-
деляет изоморфизм ' градуированных алгебр А —› gr A. -
§ 7. Комплексы и дифференциальные
градуированные алгебры
1. Комплексы. Напомшитм в удобной для нас форме
некоторые стандартные определения гомологической алгебры.
Так же как в §6, мы будем рассматривать векторные
пространства и алгебры над некоторым полем K, как правило,
имеющим характеристику 0.

158 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
Коиепным (соответственно цепным) комплексом называется
гградуированное векторное пространство С= Е!) C,-, снабженное
iez
линейным оператором d степени 1 (соответственно -1),
таким, что с12=0. Оператор d называется кограничным
(соответственно, граничным) оператором. С комплексом (С, d)
связывается градуированное подпространство коииклов (цик-
лов) 2(С)=Кег с1сС И градуированное подпространство ко-
грании (границ) dC=Im dc:Z (C). Градуированное векторное
пространство H (C)=Z(C ) /dC называется пространством ко-
гомологий (гомологий) комплекса С. Пространства коциклов
и когомологий (соответственно циклов И гомологий) степени
р обозначаются следующим образом:
2р(С)=2(С) Й С,» Hp(C)=Zp(C)/dCp—1
для коцепного комплекса,
Zp(C)=Z(C) П Срэ Hp(C)=Zp(C)/dCp+1
для цепного комплекса.
Если (С, d )—коцепной (цепной) комплекс, то, определяя
градуированное векторное пространство С формулой C,--1 С_д,
мы получим цепной (соответственно коцепной) комплекс (С, d).
Пусть (С, с1)——некоторый коцепной комплекс. Тогда пара
(C*, д), где д= —d*, есть коцепной комплекс, если градуиро-
вать_`С* так, чтобы (С*)д=(Сд)*, и цепной комплекс, если
считать, что ‚(С*)д=(Сд)*. Мы обычно будем рассматривать
вторую градуировку и называть полученный цепной комплекс
(С *, д) двойственным к (С, d). Аналогично, каждому цепному
комплексу отвечает двойственный к нему коцепной комплекс.
Предложение 1. _Пусть (С, с1)—коиепной- комплекс
конечного типа. Тогда имеется естественный изоморфизм
Hp(C*)=(H”(C))"‘ (P62)-
Доказательство. Очевидно, 2„(С*)——это множество
всех линейных форм на Ср, аннулируюших с1С‚,_ 1. Поэтому
определено линейное отображение у: Z, (C*) —› (Н "(С ))*, ко-
торое, как легко проверить, сюръективно. Рассматривая
комплекс (С, d) как двойственный к (С*, д), мы видим, что
Z’ (C) совпадает с пересечением ядер всех форм из дС},„.
Поэтому Kery=6C},+1, И у индуцирует нужный нам изомор-
физм. I
Пусть С и D_——,11Ba KOIICHHBIX (или цепных) комплекса.
Отображение f: C —› D называется гомоморфизмом комплек-
сов, если feL(C, В)‘, и fo d=dof. Очевидно, в этом случае

§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 159
f (Z (C ))cZ (D) и f (dC)cdD, так что f индуцирует линейное
отображение степени О градуированных векторных про-
странств f *2 H (C) —› Н (D). Г омоморфизм [называется квази-
изоморфизмом, если f * —изоморфизм.
Подкомплексом ‘комплекса (С, д) называется градуирован-
ное подпространство D c C, инвариантное относительно д.
Очевидно, в этом случае‘ (D, д)—комплекс и вложение
i: D —› С есть гомоморфизм комплексов. Очевидным образом
определяются также факторкомплекс C/D И естественный
гомоморфизм комплексов р: С —› С/В.
П р е д л о ж е н и е 2. Пусть В-подкомплекс коцепного
(цепного) комплекса С. Тогда имеет место точный треугольник
НШ) "е [1(С)°
Ж ЙЖ (1)
H(0/1))
где д * ——линейное отображение степени 1 (соответственно
степени -1).
Доказательство (см. в [45], гл. П, или [22], гл. 1).
Отметим зшшь, что д * сопоставляет классу элемента с+В е
eZ(C/D) класс элемента dceZ (D). I
Заметим, что точный треугольник (1) разворачивается
в точную последовательность
„Ё H‘(D) Ё Н‘(с)‘3:Н‘(С/1))Ё: H‘“ (D) _› (2)
(Dd= 1)
или .
„д Н, (D) L H,-(C)€’—» Hi(C/D)"—» H,--1 (D) -› (3)
(Dd= -1).
Отметим также следующий простой факт.
Предложение 3. Пусть (С, д)—конечномерный ком-
плекс. Тогда х (Н (С )) = х (C).
2. Дифференциальные градуированные алгебры. Дифферен-
ииальной градуированной алгеброй называется коцепной ком-
плекс (А, д), такой, что в А определена структура граду-
ированной алгебры и d e ( berA) 1. Мы будем предполагать
также, что А ассоциативна, коммутативна и обладает еди-
ницей leA0 И что Ад=0 для i<0.

~""‘""' т"?
160 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
Если (А, акт-дифференциальная градуированная алгебра,
то в силу предложения 6.5 Z (А)—градуированная подалгеб-
ра в A, содержащая 1. Легко видеть также, что а’А—идеал
в Z (А), так что пространство когомологий Н (А) становится
алгеброй с единицей над К. Очевидно, Н (Ау-ассоциативная
И коммутативная градуированная алгебра и Н "(A)=0 для
р<0. Алгебра Н (А) называется алгеброй когомологий диф-
ференциальной градуировагшой алгебры (А, d).
Пример 1. Пусть M —гладкое многообразие, А(М)—-
алгебра внешних дифференциальных форм-(класса С °°) на М,
d: A (M) —+ A (M )---BHCIIII-I_IrII7I дифференгшал. Как известно
(см., например, [73], гл. 2), d отображает А, (М) в А‚,„(М)
и задается на юеАр (М) формулой
(do))(vo, ..., v,,)=.iO(—1)"v;(o)(v0, ..., 6„ ..., и‚,))+
+ 2 (-'1)i+j+1(D( [via и] L U09 "ч 059 "ч д}, ---2 Up):
i<J‘ .
где v,-e V(M). B частности, для функции (ре? (М ) имеем '
(d<p)(v)=v<I> (Не V(M))-
Проверяется‚ что (А (М ), аО-градуированная дифференциаль-
ная алгебра над R. Ee алгебра когомологий Н (А (М ))
называется алгеброй вещественных когомологий многообразия
М и обозначается Н (М, R). Оказывается, что алгебры
когомологий двух гомеоморфных и даже гомотопически
эквивалентных многообразий изоморфны (см. ниже п. 5).
Многообразие М называется многообразием конечного
типа, если dimH‘(M, R)<oo для всех г. Числа
Ьд(М)=с11ш.Н‘(М, R) называются при этом числами Бетти,
многочлен ~
p(M, t)=p(H(M, R), t)= Z ММ)!‘
i,>—0
—-— многочленом Пуанкаре, а число
х(М)=р(М‚ -—1)=.Ё (—1)'b.-(M)
1.20
— эйлеровой характеристикой многообразия М. Всякое ком-
пактное многообразие является многообразием конечного
типа (см. [9], §5). Многообразие М связно тогда и только
тогда, когда bo (M )= 1, "E. e. когда алгебра Н (М, R) является
“т: ‘;;~':-'.~‘.x;_.¥.
.,.,.-.~.--"s"'«~..-r‘.‘- '4.”,"~' '-.-z.-.2’-’ . д. ~ -' . ‚н. .2- .‚
-.-‘M-=::M"~5:9»5v.sz‘3»a..?3*z§.~,:y.u= .“-.4-ti» ‘N ‘Wit’ "'"‘~=;m..«_-~,=:-.-<:==- °* :=‘. ':: «see.-I-""'-22.. к . ~ ‚. — - ~ . .
~ т‘ - = е’ 5‘ “ф - - а-д ‘а! .-~m;'=-~.-9-9'2 „на: а»: тё-гг“, s-..~ .1эч$›$?=,„; ‚- „'-г..::;-,;,„;:;>
9' >'A"*i‘:?§E

“Г
§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 161
канонической. Связное компактное многообразие размерности
п ориеитируемо тогда И только тогда, когда b,, (M )>0, причем
в этом случае Ь‚‚ (М )=1 (см. [9], §7). Заметим также, что
by (М )=О для_ p>dim M, если М-произвольное многооб-
разие.
Заметим, что с каждым полем K можно связать алгебру
когомологий Н (AI, K) многообразия М со значениями
в K (cM., например, [70], гл. 7), которая является ассоциатив-
ной коммутативной градуированной алгеброй с единицей над
K И в случае K = R совпадает с определенной выше алгеброй
вещественных когомологий. Если char K =0, то Н (М, К)
изоморфна алгебре когомологий некоторой дифференциальной
градуированной алгебры над (см. [152]). Более того, с каждым
кольцом А связывается градуированное кольцо когомологий
Н (М, А), причем наиболее важен случай, когда А=2.
Пример 2. Пусть (W, с1)—-коцепной комплекс, причем
W градуировано положительными степенями. Тогда d одно-
значно продолжается до дифференцирования степени 1 свобод-
ной алгебры 2(W) (см. предложение 6.6), которое мы обо-
значим также через d. Поскольку [d, с1]=2с12-——дифференци-
рование степени 2, равное 0 на W, имеем [d, d ]=О на 2( W)
(CM. предложение 6.5). Если char K ад 2, то d ‘°'=0, и (Z‘.(W), d)—
каноническая дифференциальная градуированная алгебра.
Пусть А и В—две дифференциальные градуированные
алгебры. Отображение f: A —+ B называется гомоморфизмом,
если f — одновременно гомоморфизм алгебр и гомоморфизм
комплексов. Если f: A —› В-гомоморфизм градуированных
дифференциальных алгебр, то соответствующее отображение
f *‘: Н (А) --› H (B) (CM. п. 1) является гомоморфизмом алгебр.
Г омоморфизм f называется K6a3uu30Mopg‘3u3MoM, если f* —
изоморфизм.
Пусть А -—дифференциальная градуированная алгебра
и 1--- такой ее градуированный идеал,’ отличный от А, что
d1<:I. Тогда факторкомплекс A /I есть дифференциальная
градуированная алгебра, а естественное отображение.
р: А —› A/I—— это гомоморфизм дифференциальных градуиро-
ванных алгебр. .
П р и M е р 3. Пусть f: M —› N-——rJIa211<oe отображение глад-
ких многообразий. Тогда f индуцирует отображение f *:
А (N) -› А (M), которое, как известно, является гомоморфиз-
мом градуированных дифференциальных алгебр. Соответст-
вующий гомоморфизм алгебр когомологий H (N, R) -›
-› H (M, R) будет обозначаться через f *. Легко видеть, что
соответствие М |-->А (М ), f 1-+ f * есть контравариантньтй функ-
6 А. Л. Онищик

"' "П"?
б
162 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
тор из категории гладких многообразий в категорию граду-
ированньтх алгебр над R.
Заметим также, что пример 2 определяет функтор из
категории коцепных комплексов (градуированных положитель-
ными степенями) в категорию дифференциальных граду-
ированных алгебр. Теперь мы построим функтор, дейст-
вующий в противоположном направлении.
Пример 4. Пусть (А, аО-дифференциальная градуиро-
ванная алгебра. Очевидно, dA 4, с А + И d (A + )2 Ё (А + )2. ПОЭТО--
My d индуцирует линейный оператор Е (d) = d: E (A) —› Е (А ).
степени_ 1. Поскольку 32 =0‚ получаем коцепной комплекс
(Е (А), d). Положим п (А) = Н(Е (А )), 11„ (А)= H" (E (A )). Каж-
дый гомоморфизм градуированных дифференциальных алгебр
f: A —-› В индуцирует гомоморфизм комплексов E( f ) = f :
Е (А) —› Е (В) И тем самым гомоморфизм когомологий
f"*:1t(A)—>1t(B). . `
В частности, если А =2 (W), где W—1<o11enHo171' комплекс
(см. пример 2), то в силу следствия из предложения 6.3 Е (А)
отождествляется с W И d=d. Поэтому 1t(2(W))=H (W).
3. BIIKOMIIJICKCBI. B этом пункте рассматриваются биграду-
ированные аналоги комплекса И дифференциальной граду-
ированной алгебры. Коцепным (цепным) бикомплексом назовем
биградуированное векторное пространство C = 69 СЕ], снаб-
1, jeZ
женное линейными операторами d’ И d ” степеней ( 1, О) и (О, 1)
"(соответственно (— 1, О) и (0, —1)), удовлетворяющим следу-
ющим условиям:
I
ад =dIr2 = [d/3 дн]
Бикомплекс (С, d’, d ”) определяет обычные коцепные (цепные)
комплексы (С, d ’) И (С, d "), причем в первом случае С граду-
ируется по первой, а во втором-по второй степени, см.
п. 6.1. Если градуировать С при помощи полной степени, то
_ (С, d’) И (С, d ”) также будут коцепными (ценными) комплек-
сами И то же верно для пары (G, d), где „с1=с1’+с1”.
Действительно, d ИМССТ степень 1 (соответственно -1)
И удовлетворяет условию d2=0. Пространства когомологий
(гомологий) H ’(C) и H ”(C*) комплексов (С, d’) И (С, d”)
являются биградуированными. Пространство когомологий
(гомологий) комплекса (С, а‘) ‘обозначим через H (C).
Дифференциальной биградуированной алгеброй называется
такой бикомплекс (А, а", d”), что А-—ассоЦиативная ком-
мутативная биградуированная алгебра с единицей 1eA0o,
A,-J-=0 для z'<0 ИЛИ j<0 И EY’,.d”e(berA)1. Соответствующий
‚ -: -' . -~.,-.~ .'.= .‚ ,2 ф‘ ."- ~ - ;. „— ‚..„:: -..;-:~' . .5." . ~. .-» . . '.
в? T‘ * а

§7. КОМПЛЕКСЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 163
коцепной комплекс (А, d )' есть градуированная дифференци-
альная _алгебра‚ а пространства когомологий Н '(А) И Н ”(А)
суть биградуированные алгебры.
Пример 5. Пусть (С’‚ д’) И (С”, д”)—два коцепных (или
цепных) комплекса. Рассмотрим биградуированное векторное
пространство С= С’ ® С ”. Операторы д’ и д” определяют
следующие линейные операторы в пространстве С:
d’(a ® Ь)=(д’а) ® Ь,
d” (а ® Ь)=(— 1)D"a ® ддь;
Очевидно, (С, d’, d”)-———61»I1<oM1IJIeKc. Если (С’‚ д’) и (С”, д”)—-
дифференциальные градуированные алгебры, то (С, d’, d ”)
есть дифференциальная биградуированная алгебра. Комплекс
(или дифференциальная градуированная алгебра) (С, d), где
d =d'+d ”, называется тензорным произведением комплексов
(соответственно дифференциальных градуированных алгебр)
(С’‚ д’) и (С”, д").
Пусть (С, с1)—-некоторая дифференциальная градуирован-
ная алгебра. Предположим, что С=С’® С", где С ’, С ”—
градуированные подалгебры в С, инвариантные относительно
d. Тогда (С, d) есть тензорное произведение градуированных
дифференциальных алгебр (С’‚ д’) и (С ”, д” ), где д’, д”—
ограничения оператора а‘ на С ’= С’ ® 1, С ”=1 ® С" соответст-
венно. Действительно, для любых ае C’, be C” I/IMCCM
d(a ® b)=d(ab)=(da)b+(——1)D“a(db)=(6’a)® Ь+
+(- l)D"a ® д”Ь=с1’(а ® b)+d”(a ® b)=(d’+d")(a ® Ь).
Сформулируем фундаментальный результат о тензорном
произведении комплексов, называемый иногда алгебраической
теоремой Кюннета. Пусть C =C ’ ® C ”—тензорное произведе-
ние комплексов. Ясно, что 2 (С’) ® 2 (С”)с:2 (С) И что
(d’C’)-® Z(C”)+Z(C’) ® d”C”cd(C’ ). Поэтому определено
линейное отображение у: Н (C ’) ® Н (С ") —› H (C ), имеющее
степень О И являющееся гомоморфизмом алгебр, если C’,
C ”—дифференциальные градуированные алгебры.
Те о р е M a 1 (CM. [45], гл. 5). Отображение у: Н(С’) ®
® Н (С ”) —+ H (С ’ ® С ”) является изоморфизмом градуирован-
ных векторных пространств или градуированных алгебр от-
носительно полной степени. _ '
Нам потребуется также топологическая теорема Кюннета
для вещественных когомологий. Пусть M1, M 2-——два многооб-
разия, pk: M1 х M 2 —› Mk (k= 1, 2)—-проекции. Фиксируя неко-
торые точки ekeM,,, определим вложения ik: Mk —+ M1 ® М 2
6 *

164 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
(k= 1‚_ 2) формулами 11 (х) == (х, е; )‚ 12 (у) = (е1‚ y). Рассмотрим
отображение п: А (М 1) ® A (М д) —› А (M 1 ® M 2 )‚ заданное сле-
дующим образом:
Tl(°€1 ® 0¢2)_=P§ (051) ^ 173 (052)-
Теорема 2 (см. [9]‚ § 5). Отображение 11 является
гомоморфизмом дифференциальных градуированных алгебр
и индуцирует изоморфизм градуированных алгебр 11*: H (M 1,
R)®H(M2, Н) -› Н(М1 хМ2, Н). Если отождествить
H(M1.xM2, Н) с Н(М1, R)(>')H(M2, Н) при помощи этого
изоморфизма, то справедливы следующие утверждения:
1) pi*(u,) =u1®1, p3“(u2) =1®u2 для любых ukeH(A4k, Н).
2) Для любых гладких отображений fk: Mk —>Nk (k-—-1,
2) имеем
(f1Xf2)#'"‘*‘f#®f3#-
3) Пусть M 1 и М 2 C6’ﬁ3Iibl. Тогда гомоморфизмы ЕЁ:
H (M 1 X M 2, Н) —›Н(М‚„ Н) интерпретируются следующим
образом: если и е Н ( М д х "M2, Н ) записан в виде
и=и1®1 + l®u2 U1j®U2j, где u;,EH(M;,, Н), Ukj€I1+(Mk, В),
J
то 1‚Ё"(и)=и‚, (k=l, 2). -
4. Действия градуированных алгебр Ли. Пусть 2-—-граду-
ированная алгебра Ли, 'V—rpa,L[yHpoBaHHoe векторное пром
странство. Линейным представлением алгебры 52 B простран-
стве V называется произвольный гомоморфизм степени
" О градуированных алгебр Ли (р: 53 —› gI’( V). Если задано такое
представление (р, то пространство V называют также
ЗЗ-модулем и пишут (р(х)о=хи(хе53‚ ve V). C каждым пред-
ставлением (р градуированной алгебры Ли )3, B пространстве
V связано сопряженное представление Ф той же алгебры
в пространстве У‘, действующее по формуле
Ф(х)= -—(р(х)*.
При этом следует считать, что (V*),-= (V_,-)*(ieZ). Если же мы
придерживаемся соглашения, согласно которому (У*)д= (Уд)*‚
то следует изменить знак градуировки в 53, считая, что
V,- совпадает с прежним V_,-, is Z.
B случае, когда вместо V рассматривается некоторая
градуированная алгебра A, будет обычно предполагаться‚ что
Im (р с her A, T. е. под представлением будет пониматься
гомоморфизм (р: £2 -2 bet A.
П ример 6. Каждый комплекс (С, d) может рассмат-
риваться как модуль С ‘Han одномерной (коммутативной)
- . ч... s;___.__,-
им -:.l~..._ ...- г.» „г
. .- ' . ~ " ~:.-’:.. „-
2 . '-~“‘5‘7f9?"3':3‘3§3§§«'n:.2*T:a$"‘r~:t*1*.’*:.. = - м

§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 165
градуированной ашеброй Ли (d)m. Переходя к сопряженному
представлению алгебры (d >‚ получаем двойственный комплекс
(C*, д). Аналогично, градуированная дифференциальная алгеб-
ра—это градуированная алгебра, являющаяся (ед-модулем.
П р и м е р 7. Пусть V-- векторное пространство. Рассмот-
рим градуированную ашебру Ь"( УШ) кососимметрических
полилинейных форм на V. Для каждого ие V обозначим через
1 (и) оператор внутреннего умножения на и, заданный формулой
(1(u)ot)(u1,..., up_1)=ot(u, U1,..., и‚,„.1)_
(aEL;(V[1]), u1,..., up-1E V).
Легко проверить, что 1(u)e (berL"(Vm))..1 И [1(u), 1(v)]=
=0 для любых и, ve V. Снабдим пространство В: VI-”
структурой коммутативной градуированной алгебры Ли. Тог-
да ъ-представление алгебры В в алгебре Ь“( Vm).
Рассмотрим теперь сопряженное линейное представление.
Как известно, Ь"(УШ)= ( /\ Vm)*. Если dim V< оо, то L"(Vm)*
естественно отождествляется с /\ Vm (cM., например, [41], ч.
4). Очевидно, 1(и)* (ие V) есть оператор е(и) левого внешнего
умножения на и в А Уш: е и и=иАи. Tatum o6pa3oM,
сопряженное представление имеет вид i--= —e.
Пример 8. Пусть М „многообразие. Каждому полю
ие V(M) отвечает оператор ъ(и)е (be‘rA( M))_1, заданный
формулой (5). Аналогично примеру 7, мы получаем дшнейное
представление I коммутативной градуированной алгебры Ли
V(M)[_1] в градуироваъшой алгебре А(М). С другой стороны,
как мы видели в п. 2.1, каждому ие V( M) соответствует
производная Ли L,,e (berA (M ))o, причем соответствие инд,
есть линейное представление алгебры Ли V(M) B градуирован-
ной ашебре А(М). т
Напомним теперь известные соотношения между операто-
рами 1(u), Lu И d B алгебре
Предложение 4. Для любых и, veV(M) справедливы
следующие соотношения:
1) [d, Lu] =0,
2) [ф 1(u) =-Lu,
3) [дм 1(0)]-=1([u» 0]),
4) [t(u), t(v)]=0.
Доказательство. Равенство (1) вытекает из (2.1).
Докажем равенство 2). Заметим, что дифференцирования Ь„,
1 и , а‘ являются локальными, т. е. ограничения форм [‚„оъ,
1 u ос, dos, где aeA(M), Ha некоторое открытое множество
U <:M зависит только от ограничения ос| U. Иначе говоря, если

166 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
a|U=0, то ([‚„ос)|(1=(1(и)ос)|П=(с1ос)|(/=О. Произвольная
внешняя форма на М в окрестности любой точки совпадает
c суммой форм вида gdfl/\ Adj}, где g, f1,...,f,,eF(M).
Поскольку левая И правая часть формулы 2) представляют
собой локальные дифференцирования степени О, достаточно
проверить, что они совпадают на элементах oc= f e F(M
И 0L=df, где fe F Применяя левую часть формулы 2
к fe_=F(M), получим *
и n(u)]f=r(u>df=(a/)(u)=—L..f
Применяя левую часть к df, будем иметь в силу 1)
[(1, 1(u)]df=d1(u)df=—dL,,f=——L,,dﬂ
Аналогичным образом доказывается 3). Левая и правая
части этой формулы суть локальные дифференцирования
степени -1 и потому достаточно проверить их совпадение на
элементах oc=f и 0!.=df, где feF(M). B случае oc=f левая
И правая части формулы 3) дают О. Применяя левую часть к df
И используя 1) И 2), получим
[Ь„‚ 1(v)]df=L,,1(v)df—1(v)L,,df=
= _LuLvf+ LvLu.f= [фил]:
=‹а/›‹[и‚ и]›=г‹[и‚ отл
Соотношение 4) проверяется непосредственно (см. приме-
pm 7 И 8). I
Предложение 4 приводит к следующей общей конструкции.
Пусть 9—произвольная алгебра Ли. Тогда с g можно связать
градуированную алгебру Ли 53(g) над тем же полем. Как
градуированное векторное пространство, 2(9) определяется
следующим образом:
-53(9)=Q[-136') 9(0) ® (д),
где d¢0, Dd=l. Операция [‚] в 53(g)o=g[0] совпадает
с операцией, заданной в g, a Ha остальных парах элементов
пространства В определяется из следующих соотношений,
в которых и, veg И через ug —› 9[_„‚ О: g —› gm обозначены
тождественные отображения: '
О
[d, d]=0, W. (6)
Nu)» l(U)]=0s (7)
И 1(u)]=—9(“)» (3)
Wu)» 1(v)]=1([“» U Ъ (9)
{ф G(u)]=0. (10)

§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 167
Заметим также, что по определению
[9(u‘)» 9(v)]=9([u, v)] A (11)
для всех и, UEQ. Легко’ проверить, что все аксиомы граду-
ированной алгебры Ли удовлетворяются.
Предложение 4 и примеры 6, 8 показывают, что для
любого гладкого многообразия М на градуированной диф-
ференциальной алгебре А (М) определена естественная струк-
тура модуля над £!(V(M)), причем дон-внешний дифференци-
ал формы оъеА(М)‚ ъ(и)ос—внутреннее произведение
и 9(и)оъ=[‚„ос——производная Ли формы on для ие
Отсюда легко вытекает
Предложение 5. Действие t группы Ли G на многооб-
разии М определяет на АЁМЗ структуру 53(9)-модуля‚ такую,
что для всех ueg, OLGA М имеем
ъ(и)ос=1((с113)и)ос, 0(и)ос=[‚(д„„оъ= ((с1г,‚.)и)ос‚
дои-внешний дифференциал формы ос.
5. Г омотопии. Пусть С, В-два коцепных комплекса.
Г омоморфизмы комплексов f, g: C —› D называются гомотоп-
ными, если существует такое keL(D, C )_1 (onepamop гомото-
пии), что '
f—g=dok+/Cod.
Легко видеть, что если f и g I‘OM0_TOIIHbI, то f *" =g**.
B ЧЗСТНОСТИ, любой гомоморфизм комплексов, гомотопный
квазиизоморфизму, есть квазиизоморфизм.
Пример 9. Пусть f, g:M —› N—,11Ba гладких отображе-
ния гладких многообразий. Предположим, что f И g гладко
гомотопны, т. е. существует такое гладкое отображение
Ф: М х R —› N, что
Ф(х‚ :)={
f(x) для 121,
g(x) для ($0. (12)
Тогда гомоморфизмы f * И g* (CM. пример 3) гомотопны.
Соответствующий оператор гомотопии k строится следующим
образом (см. [9], § 4). Каждая форма oceA(M x R) однозначно
представляется в’ виде oc= B(t)+dt/\ y(t), где’ г-стандартная
координата в R, B( t) И у(г)—гладкие семейства форм на М.
Определим отображение h: A(M x R) —› А(М) формулой
1
/2(оъ)=]у(г)с1г. (13)
о
Тогда k= h ° Ф"‘.

168 ГЛ. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АДГЕБРЫ И КОГОМОЛОГИИ
В частности, для гладко гомотопных гладких отображений
f, g имеем f * =g"". Заметим, что если два гладких отображе-
ния f, g гомотопны (т. е. существует непрерывное отображение
Ф: М х R —› N, удовлетворяющее (12)), то они гладко гомотоп-
ны и тем самым f * =g* (cM., например, [67], лекция 26).
Многообразия М и N называются гомотопически эк-
вивалентными (или имеющими одштаковый гомотопический
тип), если существуют такие гладкие отображения f: N —› М
И g:N -› М, что fog и gof гладко гомотопны тождественным
преобразованиям многообразий N И М соответственно. В этом
случае мы будем писать М z ‚‚ N. Очевидно, имеем
3*=(/*)", так что Н(М, П)=Н(1\(, Н), если М м, N.
B определении гомотопической эквивалентности гомотопии,
а также и отображения f, g, можно считать непрерывными,
поскольку каждое непрерывное отображение многообразий
гомотопно гладкому отображению (см. [9], § 17).
Заметим, что если М и N -- связные компактные многооб-
разия и М м, N, то dim M =dim N. B случае, когда
М и N ориентируемы, это следует из примера 1. В общем
случае можно воспользоваться тем, что для любого п-мерного
связного компактного многообразия М имеем H "(М, 22):
:22, HPSM, Z2)=0 для р>п (см. [2], гл. 8, § 3) И тем, что
Н(М, Z2 Z2), если М Nb N.
6. Ацнклнческне н стягиваемые днфферешциальные граду-
ированные алнебры. Дифференциальная градуированная алгеб-
ра А называется ациклической если 'H(A)=(1), T. e. если
H +(A)=0 И Н°(А)=К. Из примера 9 следует, что если
многообразие М стягивается в точку, то А(М) ашаклична. Это
верно, в частности, для М = R". Мы рассмотрим сейчас
соответствующую алгебраическую ситуацию.
Каноническая дифференциальная градуированная алгебра
(А, d) называется стягиваемой, если существует такой шигней—
ный оператор keL(A, A)..1, что f=[d, k]: A+ —-+A+ есть
обратимый линейный оператор. (Заметим, что f (Ao)=0.)
Стягиваемая дифференциальная градуированная алгебра
(А, d) является ациклической. Действительно, очевидно, что
Н°(А)=АО=К. Далее, ясно, что dof=fod, так что f есть
эндоморфизм комплекса (A+, d). Поскольку этот эндомор-
физм гомотопен 0, отображение f*: H + (А}*—› H " (A) является
нулевым. С другой стороны, f *" обратимо, откуда следует, что
н+ (А)=0.
Пусть (С, цЫ-произвольный коцепной комплекс,
(А, с1д)—каноническая дифференциальная градуированная ал-
гебра. Рассмотрим тензорное произведение комплексов (C, d),
~*.Zv§:zs;,~. :.,I ‘ ‘.:~.=:':’*§~‘~'~
к
и’ и
‚Е:
Ё: K
А
ч,
ё:
‘$3
а

§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 169
где б: С®А, и определим отображение п: С -› Ё‘ формулой
' тс(с)= с® 1.
Легко проверить, что. п-гомоморфизм комплексов. Далее,
определши гомоморфизм и: А -› АО формулой,
О, если aeA+,
и“): а, если аеАо.
Тогда отображение р: Ё -› С, заданное формулой
р(с®а)==и(а)с (сеС‚ аеА)‚
где мы отождествляем A0 c K, также является гомомор-
физмом комплексов, причем pen-—-id, a o'=1top имеет вид
o'(c®a)=c®u(a) (aeA, ceC).
П р е Д л о ж е н И е _6. Если дифференциальная градуирован-
ная алгебра (А, d) стягиваема, то 1:: С —-› С —квазиизоморфизм
комплексов. -
Д ока зательств о. Пусть k,,eL(A, A)..1—'ra1<oe линей-
ное отрбражетше, что f = и, , k A ] обратимо на А +. Определим
k e L (C, С) - 1 формулой
k(c® а)=(—1)"с®/с‚‚(а)
Тогда для любых се Ср, аезА имеем
[с1‚1с](с®а)=(—1)Р(с1сс)®1‹,‚(а)+с®‹1‚‚1с‚‚(а)+
+(-1)?“ (dcc)®kA(a)+c®kAdA(a)=c®f(a),
откуда [d, k]=id®f=id®(f+u)—id® u=id® (f+u)—-o'. Сле-
довательно, p* о 1: * = 6* = (id® ( f + u)) * — обратимый опера-
тор. Поскольку я‘”“ор* == id, отображение ‚а является изомор-
физмом. I _
Теперь мы укажем важное достаточное условие стя-
гиваемости свободной дифференциальной градуированной
алгебры.
П р е Д л о ж е н и е 7. Пусть (А, d) —свободная дифференци-
альная градуированная алгебра. Если т: (А ) = О, то (А, d)
стягиваема и, в частности, ациклична.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала мы покажем, что А ---23 (P),
где Р-подкомплекс в А, имеющий тривиальные когомологии
(ер. пример 2). Пусть р: (A+ , d) ——+ (E (A ), 3-)-CCTCCTBCHHLIIE
гомоморфизм комплексов (см. пример 4). По предпо-
ложению А = 2 (V), где V— подпространство, градуированное
(сеСр, аеА).

_ ‚ _________________r
170 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ И когомологии
положительными степенями, причем в силу предложешигя 6.4
р: У—›Е (А) является изоморфизмом градуированных век-
торных пространств. Поскольку 1: (А ) = 0, имеем
HE (А ) = Z (E (A )). Выберем такое градуированное подпро-
странство Ед с Е (А ), что Е (А ) = Z (E (A )) €+)E0 и такое гра-
дуированное подпространство Q c V, что р (9)=Ео. Тогда
49 Г) (А + )2 =0. Действительно, если хе Q И 4хе (A д, )2, то
р (х) е Z (E (A )), откуда р (х) = 0 и х = 0. Далее,
Q П (49 G) (A+ )2)=0. Действительно, - если хе Q И х=4у+2‚
где уе 9, -ze(A+)2, то р(х)=4р(у), откуда р(х)=О и х=0.
Следовательно, (Q G) dQ) П (А + )2 = О. Положим Р= 9 G) 49.
Тогда р: P—>E (A )—изоморфизм‚ так что А=Е (Р) в силу
предложения 6.4. `
Определим теперь линейное преобразование keL(P, P)- 1,
равное 0 на 9 и d "1 на 49. Продолжим k до дифференцирова-
ния степени —1 алгебры А (см. предложение 6.7), обознача-
емое той же буквой k. Тогда [4, k ](x)=x, если хеР. Снабдим
алгебру А =2 (P) градуировкой по степени degu однородного
многочлена от элементов пространства Р (мы считаем, что
deg и: 1, если иеР). Тогда в силу предложения 6.6 [4, k ]=e—
соответствующее градуирующее дифференцирование. Посколь-
ку в обратимо на A+, алгебра (А, 4) стягиваема. I
B дальнейшем нам будет полезно следующее предложение,
показывающее, что при определенных условиях ациклическая
дифференциальная градуированная алгебра имеет вид, описан-
ный в предложении 7. _
П р е д л о ж е н и е 8. Пусть (С, 4 )——каноническая диффере-
нциальная градуированная алгебра, причем C=F(x1, ..., x,)®B,
Dxi>0, В-—градуированная подалгебра в А, dx;;bieB u db=0
(ЬеВ). Если С аииклична, то B=F(b1, ..., b,), u C=F(x1, ..., х‚,
bl, ..., b,). _ .
Д о к а з а т е л Ь c т в о. _ Рассмотрим шгфференциальную
градуированную алгебру (С, 4), где C =F (x1, ..., x,, yl, ..., y,),
Dy,-=Dx;+ 1, а действует по формулам д=у„ y,-=0
(г: 1, ..., r). B силу предложения 7 С ациклична. Пусть
ос: С'—+С—такой гомоморфизм градуированных алгебр, что
oc(x,-)=x,-, oc(y;)=b,- (i=1, ..., r). Тогда осо4=4оос. Докажем, что
ои-изоморфизм алгебры С на С или, что равносильно,
изоморфизм алгебры B=F(y1, ..., y,) Ha B.
Сначала докажем, используя индукцию по т, что отобра-
жение oz: B,,,—>B,,, сюръективно для любого 73120. Учитывая,
что наше утверждение верно для т=0, предположим, что
т>О и что для меньших степеней оно доказано. Пусть ЬеВ,„.
Поскольку H “(С )=0, имеем Ь=4и‚ где и имеет степень 1 по
£5: ‘ё é.’1"w-s§.~=‘?-"~s§°;:g-('?{23::z’ri{'z.;a.§,‘_~;;:£§a;>§,,g2~;.a:q~;ﬁ};,i:;_§_. 'j~,3,s§,,~v‘?;’:i~'. ~ .2-.-: Й з}. . „Т -...~§"*m'. „э. .- - ‘. „ . ~ '
~ ' ’. ' ' ~! т. ~ т ~ ~' ~.... ' .. и - . с . м. ...g.-: чага мы, д‘ ~_,4-. ‘ч ~ "Zr ~:*. *'~ , и; ._- м. .;- в „ . ‚ ч ~.- _ ..~ - . „
` " ' ' ‘ ‘ ’ ` “" v -' - ~ ‘°‘*°5§’~' =$‘é':?¥s:=-.€?32%Ki'=~“33¢"-:.~g«:e:.?'«; .
..—..ﬂ
5.?.¢3;..'. ._

§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 171
Г
х1‚ ..., х‚, т. е. и= Ёхдид, где идеВ. Поскольку Db.-<m, имеем
i=1
в силу предположения индукции u,-=oc(z7,-), где йдеЁ. Тогда
[\4ч
b=
н°
b,-oc(z7;)=oc( 2 у; 12,-)EIlTla.
1 i=1
Итак, гомоморфизм ос: Ё —› С сюръективен.
Положим N = Ker oz. Из предложения 2 следует, что
Н (А!) = О. Докажем c помощью индукции по т 2 О, что
Nﬂ Вт = О. Очевидно, __1\’д = О. Пусть т > О и Nﬂ Es = О для всех
s < m. Пусть 2 е N ﬂ Вт. Поскольку dz = 0, имеем 2 = dv, где
veN, причем и= Z xiv,-, v,-e§. Имеем О=ес(и)= Xx,-oc(v,-), где
i=1 i=1
oc(v,-)eB, откуда ос(ид)=0 (i=1, ..., r). Поскольку Dv,-<m, v,-=0,
так что z=0. I
7. Минимальные дифференциальные градуированные алеб-
ры. Пусть А —-—-дифференциальная градуированная ашебра.
Для любого пеМо обозначим через А (п) подашебру в А,
порожденную l_§)oA,. И dA,,, И положим А(-— l)=(l). Очевидно,
d(A(n))c:A(n),
A(—l)cA(0)C сА(п)с..., А=пЁ1А(п).
Для любого п е Щ определим по индукции подашебры
А (п, q) с А (п) (qe No) следующим образом: А (п, О) =А (п—- 1),
A (п, q) порождена подалгеброй А (п, q— 1) и „множеством
{хеА‚‚ |dxeA (п, q— 1)}. Очевидно, „
А(п—1)=А(п, 0)с:А(п, 1)с ‹:А(п, q)c c:A(n).
Дифференциальная градуированная алгебра А называется
минимальной, если она удовлетворяет следуюцшм условиям:
1) А—свободная каноническая градуированная алгебра,
2) А(п)= U A(n, q) для любого пеП. ‘ '
депо
В ДЗЛЬНСИШСМ МЫ будем ИСПОЛЬЗОВЗТЬ ЛИШЬ СПеЦИаЛЬНЫИ
класс минимальных алгебр, который сейчас будет описан.
Прежде всего, мы отметим одно важное свойство минималь-
ных алгебр. Дифференциальная градуированная алгебра А на-
зывается алгеброй с разложимыми кограницами, если
dA+ c(A...)2, или, что равносильно, если E (d)=0. B ЭТОМ
случае 1t(A)=E(A ). - -

_ W _.__..___...___7
172 ГЛ. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ И КОГОМОЛОГИИ
Предложение 9 (см. [10] или [22]). Всякая минималь-
ная дифференциальная градуированная алгебра есть алгебра
с разложимыми кограницами.
Дифференциальная градуированная алгебра А будет назы-
- ваться абелевой‚ если dA+ содержится в подалгебре, порожден-
ной Е) Ад.
1,22
П р е д л о ж е н И е 10. Абелева свободная каноническая диф-
ференциальная градуированная алгебра А минимальна тогда
и только тогда, когда А ---алгебра с разложимыми кограницами.
Д о к а з а т е л ь c T B o. B одну сторону утверждение следует
из предложения 9. Обратно, если А абелева алгебра с раз-
ложимыми кограницами‚ то dA,, с: А (п—— 1), откуда следует, что
А(п)=А(п‚ п- 1) для всех neN. Значит, А минимальна. I
Минимальной моделью дифференциальной градуированной
алгебры А называется минимальная дифференциальная граду-
ированная алгебра Min A вместе с квазиизоморфизмом
мА: MinA —-›А. Имеет место следующая фундаментальная
теорема о существовании и единственности минимальной
модели, которую мы сформулируем без доказательства.
Те орема 3 (см. [10] и [22], гл. V). Для любой дифферен-
циальной градуированной алгебры А, такой что Н ° (А)=К‚
существует минимальная модель Min A. Если М, (i=1, 2)—две
минимальные модели алгебры А и щ: M ,-—+A—c0omeemcm-
сующие квазиизоморфизмы, то существует изоморфизм диф-
ференциальных градуированных алгебр f: М, ——›М2, такой, что
гомоморфизмы щ и ц2о f гомотопны.
Понятие квазиизоморфизма позволяет ввести в классе всех
градуированных дифференциальных алгебр над K HCKOTOPOC
отношение, рефлексивное, но не симметричное и не транзитив-
ное. Порожденная им эквивалентность называется с-эквива-
лентностью градуированных дифференциальных алгебр. Из
теоремы 3 следует, что в каждом классе с-эквивалентных
градуированных дифференциальных алгебр содержится ровно
одна минимальная алгебра. '
Дифференциальная градуированная алгебра А называется
формальной, если ее минимальная модель совпадает с мини-
мальной моделью ее алгебры когомологий Н (А ), снабженной
нулевым оператором кограницы, т. е. -еели А и (Н (А ), 0)
с-эквивалентны.
П ри м е р 10. Пусть А-дифференциальная градуирован-
ная алгебра, алгебра когомологий которой является свободной
коммутативной градуированной алгеброй: Н (А )=
=F(E_,1, ..., 2';,,,...), где X D§;>0. Тогда А формальна
ﬂ . ‘P
*=»,..§-vi’-.I,:~
. аль-ш
о .: ~o.,.~. .‚ ~.~' - .' - : .-' 1. '* и -. . Н.“ * _ .- ‚д .-. ..- ‘ .
1"!’ _ . ._ „ “Tmy‘.-23¢.2-:5-5§'§”~"=§i%:-:.:€$§t¥».$‘%E4!.@':«*§%7;M&’.€'..*$~‘f"‘é“§~$'v:g€*1’6i’*'y:‘?$&’-==<«’?a‘?§%-‘?-’%}t%?-‘5=%v1z-»,aa§?-e§%}‘§:f*;r-..::»‘:s;j}‘3.-..-».;y,“,Q2,
.‚
т д, и, .
1:. м‘
г.

§7. КОМПЛЕКСЫ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 173
И (Н (А ), О)—ее минимальная модель. Действительно, пусть
x,-eZ (A )——однор`одный представитель класса когомологий
ё; И пусть р: Н (А ) —›А——такой гомоморфизм градуированных
алгебр, что u(E;,-)==x,- для всех i. Тогда ясно, что ц-
гомоморфизм дифференциальной градуированной алгебры
(Н (А ), 0) B А И что ц*=1с1. Очевидно, (Н (А), 0) мштимальна,
откуда следует наше утверждение.
Пусть М -——связное многообразие. Тогда Н °(М, R):R,
И из теоремы 3 следует, что А (М) обладает минимальной
моделью MinA (М). Эта минимальная алгебра называется
минимальной моделью многообразия М И обозначается Min M.
Из теоремы 3_ вытекает, что минимальная модель многооб-
разия М является гомотопическим инвариантом, т. е. из
М" z,,M’ следует, что MinM И Min M’ изоморфны как
дифференциальные градуированные алгебры. Будем говорить,
что многообразия М и М’ Н-эквивалентны, если А(М)
и А (M ’ ) с-эквивалентны или, что то же, если их минимальные
модели изоморфны как дифференциальные градуированные
алгебры. В этом случае мы пишем М шдМ’.
По определению ржи): H (Min M )-+H (М, R) есть изомор-
физм градунрованньтх алгебр. Но оказывается, что минималь-
ная модель позволяет также вычислять ранги гомотопических
групп многообразия М.
Теорема 4 (см. [10], [153]). Пусть ‚И-гомотопически
простое многообразие конечного типа. Тогда Е (Min M ),:
шНош (л, (М), R) (г? 1). Таким образом, rk п, (М) =
=dimE(Min M),.
Многообразие М называется формальным, если дифферен-
циальная градуированная алгебра А (M) формальна, т. е. если
минимальная модель многообразия М совпадает с минималь-
ной моделью дифференциальной градуированной алгебры
(Н (М, R), О).
Пример 11. Пусть M “такое многообразие, что
Н(М, R)= /\..(é';1, ..., д), где 1323, нечетны. Из примера 10
следует, что М формально и имеет (Н (М, R), 0) B качестве
минимальной модели. К этому классу многообразий относят-
ся, в частности, нечетномерньте сферы 82'""1 (т; 1) и связные
грутшы Ли (см. § 9).
Из теоремы 4' следует, что если дополнительно пред-
положить, что М гомотопически просто, то т1<1:‚‚(М) равен
числу таких образующих ёд, что Вёд=/с. Например,
1 если k = 2m - 1
2m- 1 _ 9 9
rk п“ (S ) _ {O B противном случае.

174 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
§ 8. Алгебры Картана
1. Алгебры Козюля и Каргана. Как и в § 7, мы предполага-
ем, что основное поле K имеет характеристику О. Дифференци-
альная градуированная алгебра (С, d) называется алгеброй
Козюля, если C --A®B, где А= AW, причем W градуировано
нечетными, а В—четными степенями, а кограничный опера-
тор d удовлетворяет условиям
d WCB, dB=0.
B дальнейшем обычно будет рассматриваться случай, когда
dim W<oo. Если xi, ..., x,—6a3nc пространства W, то опера-
тор d определяется условиями
с1хд=ддеВ _ ..., I),
dB—-0. — (1)
Алгебра Козюля С=А ® B называется алгеброй Картина, если
В—также свободная алгебра. В этом случае С =2 (V), где
V— векторное пространство, градуированное положительны-
ми степенями, причем A=2(V3)=/\V3, a B=2(V5)=S(V5).
Очевидно, любая алгебра Козюля абелева в смысле п. 7.7.
Пусть С=А ®B—aJIre6pa Козюля. Полезно рассмотреть"
градуировку пространства С по внешним степеням в А = AW:
C=«G) „С, рС= A" W® B. (2)
P20 _
Эта градуировка будет называться внешней. Очевидно, C —
коммутативная градуированная алгебра относительно вне-
шней градуировки. Оператор d является ее дифференцировани-
ем степени —- 1, и (С, d) есть цепной комплекс. Пространство
его гомологий есть алгебра когомологий Н (С), снабженная
некоторой градуировкой, которую мы также будем называть
внешней:
H(C)=p§0 pH(C)9 pH(C)=(Z(C)n pc)/d(p+ 1C)' (3)
Обозначим через I = (d W) идеал в В, порожденный
подпространством dW. Если d задан формулой (1), то
I=(b1, ..., b,). Очевидно, М"
Ясно, что внешние градуировки алгебр С` и Н (С) согласованы
с первоначально заданными градуировками. В силу предложе-
ния 6.1 С И H (С)—-биградуированные алгебры.
М‘: Ёцтзъйёёгд’: _ с
"'aX.u-"""~:.'5;4u "3'~.~:.'~...'..':~ “Ем . . .’ Ч. ~31 . .‘.' м’ ~,a ‘ . . . .': н.‘ . - . . . .
‚тёгммдйу. .~}’:':,.;,,*=‘=§;.;; 1
I

§ 8. АЛГЕБРЫ КАРТАНА 175
Внешние градуировки (2) И (3) зависят от выбора
подпространства W B C. Однако оказывается, что они
инвариантны в некотором более слабом смысле
Предложение 1. Предположим, что алгебры Козюля
С и С’ изоморфны как дифференциальные градуированные
алгебры. Тогда существует изоморфизм дифференциальных
градуированных алгебр (р: С—› С’, такой, что (р и (p"*——
изоморфизмы биградуированных алгебр.
Доказательство. Пусть ./—идеал в C=./\W®B,
порожденный Ст. Его степени 1’ образуют убывающую
фильтрацию алгебры С: .
C=J°:>J=J1DJ2D... (5)
Очевидно, J Р = дС, где дС определены формулой (2). Значит,
I p
л; Ре] 1’ "1 (pEN). Рассмотрим соответствующую градуирован-
ную алгебру g;C (см. п. 6.10). Оператор d индуцирует
линейный оператор б: gr C-~> gr C степени -1, определенный
на (3гС)‚„ р=0, 1, ..., формулой
б(а+1””)=а'а+1” (aeJ"). (6) д
Поскольку J "———rpa,11yHpoBaHHL1e идеалы, алгебра gr C облада-
ет градуировкой, унаследованной от С и согласованной с ее
канонической градуировкой. Значит, gr C —биградуированная
алгебра. Поскольку фильтрация (5) не зависит от выбора
пространства W, не зависят от него и биградуированная
алгебра gr C, И оператор б. С другой стороны, в силу
предложения 6.16 отображение h: С—› gr C, определенное на „С
формулой /1(а)=а+./””, является изоморфизмом биграду-
ированных алгебр. Из (6) следует, что ho5=8oh.
Пусть теперь (С ’, d ’)—другая алгебра Козюля
и f: С—› С ’-——изоморфизм дифференциальных градуированных
алгебр. Тогда f естественно определяет изоморфизм биграду-
ированных алгебр I’: gr С —>gr C’, перестановочный с операто-
рами б. Обозначая через h’: C’—>gr C’ изоморфизм, аналогич-
ный h, получаем изоморфизм дифференциальных, граду-
ированных алгебр (p=h”1ofoh, являющийся в то же время
изоморфизмом биградуированных алгебр. Очевидно, ‹р* —-—
также изоморфизм биградуированных алгебр. I_
2. Регулярные последовательности. Пусть В—- ассоциативная
коммутативная алгебра c едиъшцей. Последовательность bl, ..., Ь,
элементов алгебры В называется регулярной, если ub,~e(b1, ..., b,-_ 1)
влечет за собой ue(b1, ..., bi_1) для любого иеВи всех i= 1, 2, ...,!
(при i =1 это означает, что b1——He ДСЛИТСЛЬ нуля в. В).

-___ ._..__~-..._.r
176 гл. 2. гвАдуиговАнньтв АЛГЕБРЫ и когомологии
Мы будем предполагать, что В-каноническая граду-
ированная алгебра, Вт =О и b,--—o11HoponHI>Ie элементы поло-
жительных степеней. Оказывается, что регулярность по-
следовательности b1,..., b, можно истолковать в терминах
гомологий некоторой алгебры Козюля. А именно, пусть
Db,-=2k,- (Е: 1, ..., 1). Рассмотрим каноническую градуирован-
ную алгебру
С= /\(x1, ..., x,)®B,
где Вхд=21сд—1 (i= 1, ..., 1). Определим в С кограничный
‘ оператор d формулой (1). Как И в п. 1, снабдим С и H (C)
внешними градуировками.
Т е о р е M а 1. При введенных выше обозначениях следующие
условия эквивалентны:
1) последовательность bl, ..., b, регулярно;
2) 1H (C )=0;
3) рН(С)=О для всех р) 1.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Сначала мы приведем важную
конструкцию, позволяющую проводить индукцию по 1.
Положим B’=B/(bl), C’=C/.(x1, b1)== /\(x2, x,)®B’,
b;=b,-+(b1)eB’ (i=2, ..., l). Определим в С’ кограничный
оператор d ', полагая
d’x,.=b§
d’B’=0.
Тогда С’ становится алгеброй Козюля. Очевидно, идеал
1= (х,‚ bl) инвариантен относительно а’ и С’ можно рассматри-
вать как факторкомплекс С/1. Имеем поэтому точную
последовательность гомологий (см. (7.3)):
...-->pH(I)—->pH(C)-+pH(C')—->p_1H(I)->...
...—->2H(C')—->1H(I)—>1H(C)—->1H(C')—>0H(I). (7)
Сделаем теперь некоторые замечания по поводу последовате-
льности (7).
Прежде всего, OH (I )=0. Действительно, любой zeol имеет
вид z=b1b, где ЬеВ, так что z=d(x1b). Отсюда и из точности
(7) следует, что 1H (C )=0 влечет за собой 1H (C ’)=0.
Далее, равенство 1H (1)=0 paBHocIz1JILii‘o“'roMy, что bl не
является делителем нуля в В (или, что равносильно, в C).
Действительно, любой элемент из 11 имеет вид z=x1b+yb1,
где ye(x2, ..., x,)®B, beB. Имеем dz=b1b+(dy)b1==b1(b+dy).
Если bl —He делитель нуля в В, то из dz=0 следует, что
= —-с1у‚ откуда видно, ` что 2=с1(х1у); таким образом,
~‘f—'f';-..".' ` _'х .-3:

§8. АЛГЕБРЫ КАРТАНА 177
1H (I )=0. Обратно, пусть 1H (1 )==О и пусть b1b=0 для
некоторого beB,. Докажем c помощью индукции по г, что
b=0. B случае r=0 это очевидно. Пусть Db=r>O и пусть наше
утверждение доказано для всех b степеней <r. Тогда ясно, что
для любого we C,-1 из b1w=0 следует w=0. Очевидно,
z=x1be 11 обладает свойством dz=0. Поэтому 2=а'с, где се 21,
Dc=Dx'1+r——1. МЫ можем написать c=x1u+b1v, где ue
e<x2, ..., x,)®B, ve /\,2((x2, ..., x;>®B, причем Du==r— 1,
Dv=r—2. Имеем х1Ь=2=Ь1и-х1‹1и+1›1с1и, откуда x1(b+du)--
=b1(u+dv). Отсюда следует, что b+du=0 и b1(u+dv)=O,
причем D (u+dv) = r— 1. B силу предположения индукции
u+dv=0, откуда b= ——du=0.
Наконец, покажем, что из 1H (1)=О вытекает, что „Н (1)=0
для любого 1220. Любой ze р! представим в виде z=x1u+b1v,
где и, ve/\K (x2, ..., x,)®B. Имеем dz=b1u—-x1du+b1dv=
=b, (u+dv)—x1du, так что из равенства dz=0 следует, что
b1(u+dv)=0. Если 1H (1)=О, то по доказанному выше b1—He
делитель нуля в С, так что u+dv=0, и z-=d(x1v).
Теперь перейдем к доказательству эквивалентности усло-
вий 1), 2) И 3).
1) э 2). Проведем индукцию по 1. В случае l =1 имеем
„С’=0 для всех p21, так что 1H(C')=0. Если 1),-—не
делитель нуля в В, то в силу доказанного выше ‚Н (1)=0‚ так
что 1H(C)=0 ввиду точности (7). Предположим, что имп-
ликация доказана для всех последовательностей длины l—- 1,
где 1> 1. Тогда она верна для последовательности
3, ..., b§eB’. Очевидно, эта последовательность регулярна,
откуда 1H (C ’)=0. Поскольку также 1H(I)=0, из точности
последовательности (7) следует, что 1H(C)=0.
2) =» 3). Снова проведем индукцию по 1. Для I =1 имплика-
ция очевидна. Пусть она доказана для последовательностей
длшты 1-1. Поскольку из ‚Н(С)=О следует, что ,Н (С ’)=0,
имеем рН(С’)=0 для всех р) 1. Из (7) видно тогда, что
1H (1 )=0. Как мы видели выше, отсюда вытекает, что
„Н (1 )=0 для всех р. Следовательно, Н (С )=0 для всех р; 1.
2) =› 1). Проведем индукцию по При 1=1 из 1Н(С)=0
следует, что 1Н (1)=0, так что bl —He делитель нуля в В.
Пусть импликация доказана для последовательностей длины
l-1. Из 1H (C )=0’ следует, как мы видели выше, что
1H(C’)=0. Значит, b’2, ..., Ы-регулярная последовательность
в В’. Далее, в силу доказанного выше 2Н(С’)=0. Из точности
последовательности (7) следует, что 1Н(1)=0‚ так что 1),-—не
делитель нуля в В. Отсюда видно, что bl, b2, ..., b,—peryJI51p-
ная последовательность. I

178 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЬ1 и когомологии
3. Формула альтернированной суммы. Используя обозначе-
ния предыдущего пункта, рассмотрим алгебру Козюля (С, d),
где С= /\K(x1, ..., x,)®B, Dx,-=2p;—1 (i=1, ..., l) И d задан
‘формулой (1). Положим
l
MC, t)=kZ0(-1)"t"p(kH(C‘)» I)-
Рассмотрим С как бшрадуироваъшую алгебру (см. п. 1) и обо-
значим через ’"C подпространство ее элементов политой степени
т. Очевидно, d("'C)c"'C, И ("‘С, d) есть цепной комплекс
относительно внешней градуировки; его k-e пространство гомо—
логшй есть „Н (С ),,,_k. Очевидно, имеем по определеншо
l
p,,(C, t)= Z (—l)"t" Z (dimkH(C),)t’=
k=0 r20
=Z(—1)"dimkH(C),t""'= z( 2 (—l)"dim,,H(C),)t"‘=
hr т>0 k+r=m `
* ` = Z.x("‘C)t"’
т>0
Предложение 2. Имеем
p,,(c, t)g(1—z2vn)...(1-12»)-p(3, г).
Д о к а з а т е л Ь с т в о. В силу предложения 7.3 для любого
т >0 справедливо равенство
х ("'С)== Z (— 1)" dim ,,C,.
k+r=m
Таким образом,
Pa(C»t)= Z Z (-1)"(dim..Cr)t"’=
m;0k+r=m
Г
=k;0(—1)"t" Z (dim,,C,)t'=k§0(-—1)"t" °p(kb, г):
до =( Ё (_1у‹н‹р(^чх„ x,), t))p(B, г).
k=0
HeTPYlIHo проверить, что
Ё u"p(/\"(x1, ..., хд), 1)='П (I’—l-”‘2‘2"*‘1u).
k=0 :=1
Полагая и= —t, получаем
1 ~~ 1
kZ0(—1)"t"p(<\"(x1, ..., х‚)‚ г)=_ц(1—г2д’г),

§ 8. АЛГЕБРЫ КАРТАНА 179
и наше утверждение доказано. I
Используя теорему 1, получаем
` С л е д с т в И е 1. Если элементы bl, ..., bl образуют регуляр-
ную последовательность в В, то
р(Н(С), 1)=р(В/(Ь1, ...‚ bl), t)=II=l_[1(1—t2"*)-p(B, t).
Рассмотрим теперь случай алгебры Картана.
Следствие 2. Пусть С= /\(x1, ..., x,)®K [y1, ..., ym], где
Вх;=2рд-1, Dyj=2qj. Тдгда
мс: t)=_I:I1(1—t"")/ﬁ(1-‘t2“i)-
Если Ьд=с1хд (i=1, ..., l) образуют регулярную послеоователь-
ность в K[y1, ...,y,,,], то
mac). H: (мерах (1 4%
4. Минимальная модель алгебры Картана. В этом пункте
мы начинаем более подробное изучение алгебр Картана.
Пусть (С, а‘), где С =2(V), V—BeI<TopHoe пространство,
градуированное положительными cTe11eHs1M1»I,——HeIco'ropa51 ал-
гебра Картана. Мы хотим разложить С в тензорное произ-
ведение двух градуированных подалгебр, инвариантных от-
носительно d, одна из которых будет стягиваемой дифферен-
циальной градуированной алгеброй, а вторая-минималвной
моделью алгебры (С, а’).
Рассмотрим коцепной комплекс (Е (С ), с?) и обозначим
через р: xI—>JE=x+(C+)2 есгесгвеъшое отображение C+—-+E(C).
Согласно предложению 6.4 р индуцирует изоморфизм граду-
ированных векторных пространств У—›Е(С ). Используя этот
изоморфизм, будем считать, что E (C )= V. Оператор д: У-› V
обладает следующими свойствами: '
375 =0‚ JV; с V5.
Таким образом,
2(У)=Удеэ2(У)т,
ЯУ=с7Ут‚
л(С)=(Уъ/3Ут)@2(1/)т.

_ ___ „_‚___,._._______________Т
180 ГЛ. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ И КОГОМОЛОГИИ
Выберем в V5 И V: такие градуированные подпространства
W0 И 1471 соответственно, что
Тогда ясно, что 3: W1—>c7V3———H3oMopq)n3M векторных про-
странств И
1t(C)zW5 G-)Z(V)1. (10)
Кроме того, в силу (8) И (9) имеем
V=(c7V;®W1)G)(W0®Z(V)3). (11)
Рассмотрим подалгебру P = (( W1 G) для )). Если Т —— 6_a3I4C
B W1, состоящий из однородных элементов, то p(dT)==dT——--
базис в 3V1. Поэтому ‘
P-—=F(TU ET): АИ’, сдщлъта). (12)
Очевидно, dPcP, a ИЗ предложения 7.7 следует, что Р——-
стягиваемая дифференциальная градуированная алгебра.
Теорема 2. Пусть, во введенных выше обозначениях,
S —-базис в Z (V); , состоящий из однородных элементов. Тогда
существует подмножество Ё с 1С, обладающее свойствами:
1) р: ‚5'—›$'—--биекция. .
2) Подалгебра М= <( WOG-)(§) ))= /\(<§))®S(Wo) 6 С ин-
вариантна относительно d и является минимальной алгеброй
Картана. ‘
3) Имеем C---P®M.
4) Отображение д: иъ-›1®и алгебры -М в С является
квазиизоморфизмом, так что M -—минимальная модель диф-
ференциальной градуированной алгебры С.
5) М 2 2(1t(C)) как градуированная алгебра.
Доказательство. Рассмотрим подалгебру С’= /\ W1®
®S(V(-,). Поскольку Уд == Wo®1t(dW1), ИЗ предложений 6.4 и 6.5
следует, что S(V(-,-)=S(Wo)®S(dW1) И С’=Р®$(И/д). Очевид-
но, dC’<:C’. Поскольку Р стягиваема‚ из предложения 7.6
следует, что р’: ш—›1®о есть квазиизоморфизм дифференци-
альной градуированной алгебры (S (W0), (9)13 (C’, d). B частно-
сти, для любого хеБ имеем dx--=z+dy, где ze_=S(W0) И ye
e 1C'—OJ1HOp0J1HLI6 элементы. Полагая J?=x—— y, получим
dJ?=zeS(W5). (13)
Далее, 0=сБс=р(с1х)=р(Ё)+сб›(у). Так как p(z)eW0, ИЗ (8)
':.4.'.

§8. АЛГЕБРЫ КАРТАНА 181
следует, что
n(z)=aZ;(y)=o. (14)
Отсюда видно, _что р(у)е2(У)гПр(С’)=0 (см. (9)). Следова-
тельно, р(›Е)-5х. Поступая так с каждым хе S, получим
множество .$`= {2Z|xeS}, удовлетворяющее 1). Поскольку
p((S))=(S)=Z(V)1-, из предложений 6.4 и 6.5 следует, что
подалгебра M =((Wo®(S))) имеет вид M = /\((§))®S(Wo)= .
=2(Wo®<§>). B силу (11) получаем з). Из (13) и (14) следует,
что dM + c:(M+)2. Очевидно, M ——алгебра Картана и, в частно-
сти, абелева дифференциальная градуированная алгебра. Со-
гласно предложению 7.9, М минимальна. Свойство 4) следует
из предложения 7.6, а 5)--—из (10). I
Следствие 1. Имеем М1п C:C/(P), где (Р)-—-идеал в С,
порожденный подалгеброй Р.
Следств ие 2. Минимальная модель Min C алгебры Кар-
тана С является алгеброй Картана, причем квазиизоморфизм
и: Min C-——>C можно выбрать так, чтобы он был гомоморфиз-
мом биградуированных алгебр. и
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Поскольку Sc 1С, отображение
11: и1—›1®и алгебры M =Min C B С сохраняет внешнюю
градуировку. I
Следствие 3. Если две алгебры Картана С и С’
с-эквивалентны, то существует изоморфизм дифференциальных
градуированных алгебр М1п С—-›М1п C’, являющийся изоморфиз-
мом биградуированных алгебр, ‘а H (C) и H (C’) изоморфны как
биградуированные алгебры.
Д о к а з а т е л Ь c т в о. В силу теоремы 7.1 существует
изоморфизм f: Min C—>Min C’. B силу следствия 2 и пред-
ложения 1 мы можем считать, что f сохраняет внешние
градуировки. Тогда f *: H (Min C)—+H (Min C’) есть изомор-
физм биградуированнЬ1х алгебр. Используя следствие 2 еще
раз, мы видим, что H (C) и H (С’) изоморфны как би-
градуированные алгебры. I
Следствие 4. Если две алгебры Картана С =Z‘.(V)
u C’=2(V’) с-эквивалентны, причем dim V< оо, dim V’< оо, то
dim V2;..1 —dim V2;--=dim V3,--1 —dim Уз; для всех i,
dim V3-— dim V5-—-= dim V’;--— dim Уз:
Д о к а 3 а т е л Ь с т в о. Как следует. из определения ал-
гебры Р,
У25_.1 -‘diII1V2;=diInZ(V)2i_1 —dim(W0)2,~=

182 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЬ1 и когомологии
и, аналогично, dim V’2,--1 -—dim V5,-=dim E (Min C’) 2,-_ 1 -
—dim E (Min C’) 2,- для всех i. Наше утверждение следует из
того, что Min С: Min C’. I
5. Классификация алгебр Картана. В этом пункте мы
опишем классы алгебр Картана относительно отношения
изоморфности дифференциальных градуированных алгебр
И относительно с-эквивалентности.
Пусть задана алгебра Картана (С, d), где C =A®B, причем .
А= /\ VI‘, B=S(Vj, И пусть 1=(а'Уг)—-идеал в В, порожденный
(171. Положим I _-—_- I/B+I И обозначим через р естественное
очтображение_1—›1. B силу предложения 6.3 „отображение
d=pod: V1-—>I сюръективно. Положимл Q=Kerd И выберем
такое градуированное ‚пространство Wc: V1-, что
n=Q@W; as
Тогда a7: W:->I— ggb изоморфизм векторных пространств.
Значит, dz W—+dW есть изоморфизм и
I=dﬁh3B+L 1" U6)
Используя предложение 6.3, видим, что для любого базиса
S подпространства W, состоящего из_ однородных элементов,
множество dS является минимальной системой образующих
Идеала 1. Заметим также, что
mnKadcQ=KaJcKai (П)
где J? V—+ V-— кограничный оператор комплекса Е (С), опреде-
ленный в п. 4. -
Представление С= А V1—®B алгебры Картана С будем
называть каноническим, если Q=(Ker d)ﬂ V1-, Т. е. если для
хе У: из dxeB+I следует, что а'х=-0.
П р е д л о же н И е 3. Если С=^/\ V1-®B—Kan0Huuec1<oe пред-
ставление и C = /\ W®B, где Wc: V1-—nodnpocmpaHcmeo из
разложения (15), то
мшс=Ао®мшё,
1ЦЩ=А@®НЮ) ~~
I[0Ka3aTeJII-_:CTBO.A Из (15) следует, что C-=/\Q®C‘.
При этом d(/\Q)=0, dC с: С. B силу (17) подпространства
W1 и ‘W B разложениях (9) и (15) можно выбрать так, что
W1 с: W. Следовательно, стягиваемая подалгебра Pc C, задан-
ная формулой (12), содержится в С. В силу теоремы
' т".

§s. АЛГЕБРЫ КАРТАНА 183
2_ (:‘=P®M, где Й-минимальная модель алгебры Картана
С. Отсюда С = Р® ( А Q®M), причем М = А 9®1Й——мИнималь-
ная алгебра Картана. В силу предложения 7.7 M —мини-
мальная модель алгебры С.
Утверждешите о когомологиях является простым частным
случаем теоремы 7.1. I
H р е д л о ж е н И е 4. Для любой алгебры Картана
С= А V1-®B существует такое градуированное подпространст-
во Wc: 1С, что С = А И’®В—каноническое представление.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Пусть S —— базис подпространства
Q, состоящий из однородных элементов. Для любого хе S
Имеем dxeB+I, T. е. dx=Zb,-dx,-, где ЬдеВ+ И x,-eV1~—
i=1
k
однородные элементы. Полагая 5E=x— Z b,~x,-, будем иметь
°=1
dJE=0, причем x--fe(C+)2. O_}1eB1«InHo, Ё‘): {)?|хе.5'} состоит из
однородных элементов И 11:: S—>S биективно. Полагая Q: (S)
И используя (15) И предложения _6.4 A И 6.5, получаем
С= А Q® А W®B= А W®B, где W=Q® W. Очевидно, W--
искомое пространство. I_
TeopeMa 3. Пусть С= А V;-®B, C’= А Vi-®B’—-bee
алгебры Картана, d, d’—ux кограничные операторы, I =(dV1-) c
cB, I’=(d’V1-)cB’. Для того чтобы С и С’ были изоморф-
ны как дифференциальные градуированные алгебры, необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие yc-
ловил:
1) Уг: V§- как градуированные векторные пространства.
2) Существует такой изоморфизм градуированных алгебр
(р: В--›В’, что ‹р(1)=1’.
Д о к а 3 a т е л Ь с т в о. Пусть (р: С-›С’——изоморфизм диф-
ференциальных градуированных алгебр. Рассмотрим внешние
градуировки в С и С’, определенные с помощью V1- И V’; coor-'
BCTCTBCHHO. Согласно предложению 1, мы можем считать, что
‹р(дС)=дС’ для всех 120. В частности, (p(B)=(p(oC)=0C’-—-B’
И (p(V1-)c:1C’= V’,-®B. Следовательно, (pgdV1-)=d’(p(V1~)c
cd'1C'cI’, так что ‹р(1)с1’. Аналогично, cp‘ (I’)cI, так что
(p(I)=I’. Таким образом, 2) доказано. Свойство 1) очевидно,
ИбО Vf2E(C)f, Vi‘=E(C')f.
Обратно, предположим, что выполнены 1) И 2). Поскольку
(p(B+I)=B’+I’, изоморфизм (р: В—-›В’ индуцирует Изоморфизм
градуированных векторных пространств ф: I ~—>I ’, где 1’=
=1’/B’+{’. Используя (l§) РЕ аналогичное разложение Vi—==
=Q’(-3 W’, где Q’=—-Ker d’, d’=pod’: V1--—>I’, получаем такой

184 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
изоморфизм градуированных векторных пространств \|/: W—> W’,
что следующая диаграмма коммутативна:
У
д!
д.
1 - Т’
В силу 1) \|1 можно продолжить до изоморфизма \|/: V1-—> Vi-,
такого, что \lI(Q)=Q’. _
Для упрощения дальнейших рассуждений отождествим
С с С’ c помощью изоморфизма градуированных алгебр
/\\|1®‹р: С-›С’. При этом I ОТОЖДССТВИТСЯ с 1’, Q с Q’, Wc W’.
Тогда в С будут заданы два кограничных оператора d И d’,
причем d = d’. B силу предложения 4 можно считать, что
Q=Kerd=Kerd'. _
Пусть C —некоторый базис в W, состоящий из однород-
ных элементов. Для любого хе S имеем c7’x=c7x, откуда в силу
(16) следует, что d'x=dx+u, me ueB+I. Поскольку 1 =d(1C),
МЫ можем выбрать такой разложимый ve 1С, что Dv=Dx
и а’х=с1х+с1о=с15с`, где 5E=x+v. Тогда множество 5=={.›Е|хе$}
состоит из однородных элементов и п: С—›Е(С)= V биективно
отображает § Ha S. B силу следствия 1 предложения 6.5 имеем
C = /\ (QC-B(S))®B. Очевидно, существует такой автоморфизм
ос градуированной алгебры С, что oc|Q=id, oz(x)=JE (хе S),
oc|B=id. Тогда oc(d’x)=d’x=-doc (x) (xeS), откуда следует, что
ozod’=dooc. Таким образом, алгебры Картана (С, а’) И (C’,_d’)
изоморфны. I
Заметим теперь, что классификация алгебр Картана с точ-
ностью до с-эквивалентности сводится к классификации
минимальных алгебр Картана с точностью до изоморфизма.
Действительно, пусть С И С’——-две алгебры Картана, Р и P'~——-
их стягивание дифференциальные градуированные подалгебры,_
задаъшые формулой (12). В силу следствия 1 теоремы
2 Min C=C/(P) И Min С’=С’/(Р')—1ушнимадьные модели ал-
гебр С и С’. Согласно теореме 7.1 С и С’ с-эквивалентны
тогда и только тогда, когда Min C :Min C’.
Следствие, Пусть, в обозначениях теоремы 3, алгебры
Картана С и С’ сдэквивалентны. Тогда градуированное векторное
пространство Q =Ker dc: Угкизоморфно аналогично определенно-
му градуированному векторному пространству Q’=Ker d’: Уф.

§s. АЛГЕБРЫ КАРТАНА 185
Доказательство. Согласно предложению 3 Q И Q’
совпадают с соответствующими подпространствами мини-
мальных моделей Min C и Min C’, которые изоморфны, если
С и С’ с-эквивалентны. Поэтому мы можем, считать, что
Q z C’. Тогда из теоремы 3 следует, что И: Vi- И
I = I/B+I а 1 ’=I’/B’+I’. Следовательно, ядра_ сюръективных
линейных отображений (72. V1-——>I И d’: V1--—>I’ изоморфны. I
6. Дефекты полиномиального идеала. Рассмотрим градуирод
ванную алгебру В=К[у1,..., ум], где Dy,-=2q,->0 (i=1,..., m),
И обозначим через L алгебраическое замыкание поля K. Любой
идеал [с В обычным образом определяет аффинное алгебраиче-
ское многообразие V(I)c:L"'. Идеал 1 называется нульмерным,
если V (1)—конечное множество, т. е. если все его неприводимые
компоненты нульмерны. Очевидно, нульмерность идеала 1 рав-
носильна конечности числа dim KB/I = dim LL [y1, ..., y,,,]/I®L.
Пусть Ь1‚...,Ь‚—минималЬная система однородных об-
разующих градуированного идеала 1сК [y1, ..., у„‚ . Тогда
каждая неприводимая компонента многообразия V 1) имеет
размерность ,>m—r (см. [34], т. 2, гл. 7, „ё 7). Значит, ‘если
1— нульмерный идеал, то г-—т>0. Число г——-т называется
дефектом идеала 1 или системы 121‚...,Ь‚ И обозначается
с11`1=с11`(1)„ ...,Ь‚)._ Из предложения 6.3 вытекает, что дефект не
зависит от выбора минимальной системы образующих b 1, ..., b,
B I. Точнее, `
dfI= dim f—m=dim I——dimE(B), (18)
где Т=1/В+1. Ha caMoM деле наличие градуировки позволяет
определить более тонкие инварианты. Для любого se N
положим
df,I=dimI__,——~dimE(B)s; (19)
это число равно разности между числом таких b j’ что Db j:LS‘,
И числом таких y д, что Dy J-=s. Очевидно, эти дефекты могут
быть отличны от О только для четных s. Далее,
an-..—. Z df,I.
s>0
II p е д л о ж е н И е 5. Пусть b1,..., Ьр-регулярная последо-
вательность однородных элементов алгебры K [y1, ..., ум]. Если
идеал I =(b1,...,b,) нульмерен‚ то г=т и dfI=0. Обратно, если
I CK [y1, ..., у,„]—нульмерный однородный идеал и dfl =0, то
любая минимальная система образующих идеала 1 есть
регулярная последовательность.

г.‘ —- 'T——'~TV'“"'Y"
186 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
_ Доказательство. Утверждение легко вытекает из
следующего критерия регулярности. Последовательность
bl,...,b,eK[yl,..., y,,,] регулярна тогда И только тогда, когда
все неприводимые компоненты многообразия V(bl, ..., b,) име-
ют размерность т-г (см. [18], § 131). Если идеал I=—-(bl, ...,b,)
нульмерен, то из регулярности последовательности bl, ..., b,
следует равенство r=m. Обратно, если идеал 1 нульмерен,
bl, ...,b,—ero минимальная система однородных образующих
и dfI=0, то r=m, так что bl,...,b,—peryJIs1pHas1 последова-
тельность. I „ '
Рассмотрим теперь алгебру Картана (С, d), где C =2(V),
причем dim V< со.
` Предложение 6. Предположим, что идеал I =(dVl)
алгебры S (V5) нульмерен. В обозначениях п. 5 имеем
dfz,-I=.= dim V2,- l —-dim V2l—dim Q2,~_ l, .(2o)
dfI= dim Vl—dim V5—dim Q. (21)
Числа df ,1 u df I инвариантны относительно с-эквивалентности.
Дока зательств о. Формулы (20) и (21) легко следуют
из (19) и (18) и из определения подпространства Q (см. п. 5).
Последнее утверждение вытекает из следствия 4 теоремы 2. I.
7. Формальные ашебры Картана. В этом пункте мы
рассматриваем алгебру _Картана (С, d), где С=2 (V), причем
dim V<oo. "B этом случае
С: ^ K(x1, ..., x1)®K[y1, ..., уж],
где Dxl=2pl—l (i=1,..., I), Dy,-=2qj (j==1, ..., m), a когра-
ничньп`7т оператор d определяется формулами (1) для некото-
рых bleK[yl, ..., ym] (i=1,..., Мы хотим выяснить, в каком
случае алгебра (С, d) является формальной в смысле п. 7.8.
В силу предложеъшя 4 мы можем считать, что представление
(22) алгебры С является каноническим. Пусть, в обозначениях п. 5,
Q=<xr+1a "ч х1>э W=<x1: ---9 xr>'
Тогда bl, ..., b,——Mm11»1MaJILHasI система образующих идеала
1-.-(bl, ..., b1)CK[y1, ..., ум].
Те о р ем а 4. Следующие свойства алгебры Картана (С, а’)
эквивалентны: М“
1) Минимальная система образующих bl, ..., b, идеала
1 есть регулярная последовательность.
2) H(C)= /\Q®oH(C)= Ц
= ^к(хк+1‚..., xl)®(K[yl,...,
3) Алгебра (С, а’) формально.

§8. АЛГЕБРЫ КАРТАНА 187
Если идеал 1 нульмерен, то любое из этих свойств
эквивалентно свойству '
4) dfI=0, m. e. r=m.
Доказательство. 1) <=> 2). Рассмотрим алгебру Кар-
тана С из предложения 3. Согласно этому предложению,
имеем
H (C): ^ Q®H(C)- (24)
Поскольку OH (C‘)=oH (C), алгебра H (C) содержит /\Q®oH (C)
B качестве биградуированной подалгебры. Придэтом H (C)=
= /\Q®0H (C) тогда И только тогда, когда ,-H(C)=0 для всех
i > О, что по теореме 1 равносильно регулярности по-
следовательности b1,...,b,. Остается применить формулу (4).
2) => 3). Рассмотрим гомоморфизм градуированных алгебр
h: С—›Н (С ‚ заданный на свободных образующих формулами
(х‚)=0 (г: 1, г),
(x,-)-—-.x, (z'=r+1,..., I),
(y,-)=y,~+I (j=1,..., m).
Очевидно, /2оа'=0. Следовательно, /1—гомоморфизм диф-
ференциальной градуированной алгебры (С, d), I-Ia (H (C), О).
Легко видеть, что h“" =id, так что /1——квазиизоморфизм.
3) => 1). Применяя теорему 2 к алгебре Картана С из
предложения Ii, мы можем считать, что b,-=y,~ (i =l,...,s), где
s<r, И что М= /\‚<(х,„‚„.‚ х‚)®К[у„1‚...‚у,„] инвариантна
относительно а‘ и является минимальной моделью алгебры С.
ЕР 2r дг "‘
' B силу предложения 3 М = /\ Q®1l’/I есть" минимальная модель,
алгебры С.
В силу формальности существует такой гомоморфизм
градуированных алгебр K: М —›Н (С), что Жос1=0 и что
П“: Н (М)—›Н (СЕ-изоморфизм. Алгебра H (M) естественно
отождествляется с H (C): /\ Q® H Рассматривая вместо
7L гомоморфизм 7„*"’1о?», мы придем к случаю, когда М" “1 =id.
B этом случае Мг) для любого zeM совпадает с классом
когомологий коцикла z. B частности,
7\‚(хд)=хд (i=r+1,...,l),
7u(y,-)=y,-+1 (/'=s+1,..., m).
Для любого i=s+l, ..., r имеем 7м(хд)=ёд+пд, где ёде
е 1H (C), те Z ,,H(C ПУСТЬ где IZ (M )——представитель клас-
I
р>1
са ёд. Тогда z,~= Z u,-kxk, где u,-,,eK[ys+1,...,y,,,], причем
k=s+1

—_. - .:__——„_._._у
188 гл. 2. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ и когомологии
Р‘
0=dz,-== Z uikbk. Поскольку система образующих bl, ..., b,
k=s+1
минимальна, имеем Du;k>0 для i, k=s+ 1, ..., r. Далее,
?»(2д)=&д, так что ?»(Й;)=П:‚- где зЕд=хд-2д (i=s+1, ..., r).
Очевидно, z,-e(M+ )2 +Q, так что классы элементов 22,“, ..., 22„
х‚+1, ..., х, в E (M ) линейно независимы. Кроме того, сЬЕд=с1хд.
B силу предложений 6.4 и 6.5 мы можем заменить х, на
Яд (i а; + 1,’ ..., r) B определениях пространства 1/1, алгебр
W И М. А
Достаточно доказать, что 1H(C)=0. Действительно, в силу
теоремы -1 отсюда будет следовать, что последовательность
А
b1,...,b, регулярна. Пусть ze1Z(M)c1Z(M) имеет вид
z== Z v,-3?,-, где и,еК[у,.„, ...,у„‚]. Тогда, очевидно, ?ь(2)=
i=s+1 -
P’
= Z (v,-+I)n,-e-Z ,,H(C). Поскольку K*==id, z определяет
i=s+1 р>1
нулевой класс когомологий._ т .
Если 1— нульмерный идеал, то 1) ¢> 4) B силу предложе-
ния 5. I - л
Следствие. Если алгебра Картана С формальна, то
I I m
р‹н‹с›‚ г›= п <1+t2vi-1)~n<1-r2vs)/n<1-mi). ‹2з›
i=r+1 2:.-1 , j=1
Д о к а з а т е л Ь с T B о. Утверждение следует из формулы
(23) И из следствия 2 предложения 2, примененного к алгебре
Картана С. I '
Замечания э
§6. Как показали Води И Дуглас [84], разложение конечно
порожденной канонической градуированной алгебры в тензорное
произведение неразложимых градуированных подалгебр единственно
в том смысле, что сомножители, входящие в любые два таких
разложения, попарно изоморфны. В п. 5 рассматривается ситуация,
в которой имеет место более сильное свойство единственности
(теорема 1), утверждающее совпадение неразложимых сомножителей.
Понятие градуированной биалгебры восходит I: работе Хопфа [113],
в которой было существенно использовано коумножение в алгебре
когомологий группы Ли (или Н-пространства), связанное с умножени-
ем в этой группе; поэтому биалгебрьт часто называют алгебрами
Хопфа. Двойственность в классе биалгебр систематически рассмат-
ривалась и использовалась в` [133] (а также в [142] и [30] в случае
'“*?35"’%‘"*’ЁЁ%ЬЁ= 1%‘ЁЁ$.Т.:°Ё'7'ЁЁ‘.*?ПДмдуъдйьаътё„их. и. ‚М‘
«ж. -'..'- -'.,..-»...-- :~. . ч. 2
,%тжЖ%%штЫ%%%%щжмм%Нтшжвы
7
ёёъёчсёёндтйдё= - -“"‘

ЗАМЕЧАНИЯ 189
гомологий и когомологий компактной группы Ли). Теорема 2 вместе
с ее доказательством взята из работы Бореля [8], где изучено также
строение канонических биалгебр над произвольным совершенным
полем. Теорема 3 является алгебраическим аналогом теоремы Самель-
сона [142].
§ 7. Рассматриваемая нами алгебра когомологий Н (М, R) Ha-
зывается также алгеброй когомологий де Рама. Как известно,
теорема де Рама (см. [73]) утверждает, что эта алгебра изоморфна
алгебре вещественных когомологнй любой триангуляции много--
образия М или алгебре ее сингулярных когомологий. Предложения
4 и 5 являются классическими (см. [98])‚ но обычно формулируются
без использования языка градуированных алгебр Ли. Г радуированная
алгебра Ли 2(g) (см. п. 4) была, по-видимому, впервые построена
Кацем [119] (для любой алгебры Ли g) как пример транзитивной
градуированной супералгебры Ли. Минимальные дифференциальные
градуированные алгебры были первоначально введены Сулливаном
(см. [153]) как свободные канонические алгебры с разложимыми
кограницами. Мы пользуемся более удобным определением, при-
надлежащем Боусфилду и Гугенхейму [10] (см. также [22]).
Оба определения совпадают в так называемом нильпотентном
случае (мы проверяем это совпадение в абелевом случае, достаточном
для наших целей). Отношение В-эквивалентности, введенное в п. 8,
называют также вещественной гомотопической эквивалентностью.
Теорема 4 принадлежит Сулливану.
§ 8. Алгебра Козюля представляет собой частный случай так
называемого комплекса Козюля (см. [124] и [13], где содержится
также теорема 1). Алгебра Картана является алгебраическим аналогом
дифференциальной градуированной алгебры, фигурирующей в теореме
А. Картана о когомологиях однородных пространств (см. § 12).
Формула альтернированной суммы (предложение 2) была доказана
Козюлем [124] (в случае алгебр Картана см. [69], где содержатся
и другие результаты о когомологиях алгебр Картана). В [153]
вычисляется минимальная модель произвольной свободной канониче-
ской дифференциальной градуированной алгебры (см. также [42]).
Теорема 4 была доказана в книге [106], в которой формальные
алгебры называются с-расщепимыми.

Глава 3
ВЕЩЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ
КОМПАКТНЬЕХ ГРУПП ЛИ
И ИХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Эта глава является центральной в книге И содержит
основные результаты о вещественных когомологиях И гомото-
пиях компактных групп Ли И Их однородных пространств.
§ 9 начинается с классической теоремы, утверждающей,
что когомологии многообразия, на котором действует связная
компактная группа Ли G, можно вычислять при помощи
дифференциальных форм, инвариантных относительно G.
Далее эта теорема применяется к компактным группам ЛИ,
И получается описание алгебры когомологий Н (G, R) как
алгебры двусторонне инвариантных форм на связной компакт-
ной группе ЛИ G, принадлежащее Э. Картану. В итоге мы
приходим к теореме Хопфа——Самельсона о строении биалгеб-
ры когомологий группы Ли G. Затем изучается алгебра
инвариантных форм на однородном пространстве.
§ 10 посвящен замечательной алгебраической конструкции,
которую называют алгеброй А. Вейля. Это дифференциальная
градуированная алгебра с тривиальными когомологиями,
позволяющая установить связь между внешними И симмет-
рическими полилинейными формами на касательной алгебре
компактной группы Ли, инвариантными относительно присо-
единенного представления. С ее помощью доказывается,
в частности, что алгебра симметрических штвариантов свободна.
В § ll проводится дальнейшее изучение алгебры Инвари-
антных симметрических форм (или, что равносильно, полино-
миальных функций) на касательной алгебре Ли g компактной
группы Ли G. Устанавливается изоморфизм между этой
алгеброй И алгеброй многочленов на максимальной ком-
мутативной подалгебре в g, инвариантной относительно
группы Вейля WG. Дается обзор (без доказательств) нужных
нам свойств инвариантов группы Вейля И преобразования
Кокстера. Доказывается, что число Кокстера h(H простой
подгруппы Н не, превосходит числа Кокстера h(G простой
группы Ли G, И дается классификация тех простых подгрупп
Ли Н в простых компактных группах ЛИ G, для которых
_ ' _. ..’.-"...
¢¢¢¢ „а
:;«;_j~—. д; 115.

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 191
h(G)—h(H)<2. Указывается также явный вид свободных
систем образующих алгебры инвариантных многочленов для
всех простых компактных групп Ли.
§ 12 посвящен доказательству основной теоремы о вещест-
венной топологии однородных пространств (теорема 1), уста-
навливающей с-эквивалентность между ашеброй внешних
форм на однородном пространстве M = G/H И алгеброй
Картана C (g, Ь), связанной с парой компактных групп Ли
(G, H ВЬЕТСКЗЮЩИЙ отсюда изоморфизм H (M, R)e:H (C (g, I)))
обычно называют теоремой А. Картана. Минимальная модель
алгебры Картана совпадает с минимальной моделью многооб-
разия М, что позволяет построить целый ряд В-инвариантов
однородного пространства, допускающих вычисление в тер-
минах групповой модели. Теорема 1 сводит классификацию
однородных пространств относительно В-эквивалентности
к классификации алгебр Картана относительно с-эквивалент-
ности. Последняя задача является чисто алгебраической
и обсуждалась в § 8. `
В 13 изучаются специальные классы компактных одно-
родных пространств-хопфовы и пространства положитель-
ной эйлеровой характеристики. Здесь же строятся примеры
неформальныходнородных пространств компактных групп Ли.
§ 9. Инвариантные внепшше дифферешшальные формы
1. Предварительные сведения. Пусть задано действие_
t группы Ли G Ha гладком многообразии М. Тогда каждому
элементу geG отвечают автоморфизмы г; и (1, ),..=(t;)’1
градуированной алгебры А (М) дифферешшальных форм на
М, причем соответствие t,.: gr—+(tg ),‚ есть линейное представле-
ние группы G B'A(M) (см. п. 1.3). Ясно, что
A(M)G={oLeA(M)|t;oL=o¢ для всех geG}
есть градуированная подалгебра в А (М Поскольку г; пере-
становочен с внешним дифференциалом d, подалгебра А (М )°
является с1-инвариантной. Вложение i: A (M )G———>A (M ) опреде-
ляет гомоморфизм градуированных алгебр 1*: H (A (M )G)—>
->H (A(M ))=H (M, R). Hama ближайшая цель——доказать‚ что
если G компактна и связна, то 1* является изоморфизмом.
Таким образом, вещественные когомологии многообразия
М можно вычислить с помощью дифференциальной граду-
ированной алгебры A(M)G внешних форм на М, инвариант-
ных относительно некоторой связной компактной группы Ли

192 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
G, действующей на М. Заметим, что в случае, когда
G действует транзитивно, алгебра А (М )° конечномерна (см.
п. 4.6). _ .
Предположим, что группа G компактна. Как мы видели
в п. 4.7, на G существует двусторонне инвариантное интег- "
рирование функций, такое, что jdg=1. Это интегрирование
- .. „м; - _‚.
~« 2-°"£"-'.=‘*~‘~:'$mr»’.'»»-,='~; а а
_ G
позволяет определить оператор усреднения д: А (М )—›А (М ),
свойства которого описаны в предложении 4.14. Этот опера-
тор задается формулой (4.22). Из (4.15) следует, что
(рос)„=_[ (t;oL),dg (ozeA(M), xeM). (1)
G .
Оператор р перестановочен с внешшитм дифференциалом d,
поскольку этим свойством обладают все операторы г; (geG).
Теперь мы дополнительно предположим, что G связна,
и попытаемся построить гомотопию между оператором
р и тождественным отображением. Для любого элемента ge G
существует такая гладкая кривая у: R—->G, что y(s)-—=e для s<0
и y(s)=g для 521. Отображение Ф: Мх R->M, заданное
формулой
w.a.:.:"-: ..-' .:.
.—* :6».-« и?“ _ ‚ .,..„„.._
Ф(х‚ s)=y(s)x (xeM, зев)
есть гладкая гомотопия между te-—=id И 19. Как мы видели -
в примере 7.9, отображение Ф определяет оператор гомотопии
k между id*=id И 1;, При этом k=h°(I>*, где h: A(MxR)—->
—›А(М)—отображение, заданное формулой (7.13). Если бы
k можно было выбрать гладко зависящим от g, то, интегрируя
этот оператор по G, мы получили бы нужную нам гомотопию
между id И р. Мы покажем, что гладкий выбор оператора x
k можно осуществить локально, т. е. в окрестности любого
элемента группы G. Желаемую гомотопию мы построим,
сочетая интегрирование по гругше c разбиением единицы. Мы
используем следующую лемму.
Л е м м а 1. Пусть N —- связное гладкое многообразие,
yo, yl EN, yo #5 у1. Существуют такая окрестность U -точки
у1 и такое гладкое отображение С: U x R—->N, что C ( y, в)=уо
(s<0) u C(y, s)-=y (S21) для любого ye U.
Д о к а з а т е л Ь c т в о. Из связности- многообразия N сле-
дует, что уо c yl можно соединить гладким путем y(s) (вен),
где y(s)=yo (s<0), y(s)=y1 (1921). Фиксируем на N риманову
структуру, обозначим через Exp, соответствующее экспоненци-
альное отображение в точке yeN И через В, (а) открытый шар
радиуса а в пространстве Т (N ),,. Мы можем выбрать 8>0 так,

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 193
чтобы Exp,,(,, для всех seR диффеоморфно отображало B,(s,(e)
Ha открытую окрестность U (s) точки y(s). Положим U = U
Обозначим через П‚: Тд (N )-› y(s) (N) параллельный перенос
вдоль y(s) Ha римановом многообразии N. Искомое отображе-
ние C определяется формулой
С(х, s)=Exp,,(,, ?»(s)1'ls(Exp,,"l‘ (xe U, же R), .
где Же17(В)——-такая функция, что ?„($)=0 при s<0 И 7s.(s)=1
при з) 1. I -
2. Основная теорема. Этот пункт посвящен доказательству
следующего утверждения
Т е о р ем а 1. Пусть связная компактная группа Ли
G действует на гладком многообразии М. Тогда оператор
усреднения р комплекса А (М) еомотопен тождественному
отображению. Вложение 2': ‘A (M )G—>A (M) является квази-
изоморфизмом градуированных дифференциальных алгебр. '
Д ок а з атель ств о. Применим лемму 1 к многообразию
N =G И точке yo=e. Из леммы следует, что существуют
открытое покрытие (U,-)1 gig", группы G и набор гладких
отображений C,-: UixR—>G (i=1, ..., m), таких, что С‚(3, s)=-e
при s<0, C,-(g,s)=g при 321 (деНд). Определим гладкие
отображения ‘Pi: U,~ x M х Н-›М формулой
`Рг(8‚ х, 5)=Сг(8‚ s)x
И для фиксированного ge П; положим
Ф{?(х‚ 5)=Ч’д(3‚ х, s).
Тогда <I>‘;‘(x, s)=x (s<0), (I)§'(x, s)=gx ($21), т: е. Ф? есть
гомотопия, соединяющая id и 19, гладко зависящая от gs Ui.
Этой гомотопии соответствует оператор гомотопии
kf-—=ho(<I>§’)*: A(M)—+A(M), для которого
t;—id=dok§.’+k§.’od. (2)
Рассмотрим теперь гладкое разбиение единицы (ед) на G,
соответствующее. покрытию (U,- Для ge G определим линей-
ные преобразования kg’ И k9 степени -1 формулами
Ё9={г:(2)1<? (geUa),
t О I
7 A. Л. Онищик

так
194 ГЛ. 3, ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Очевидно, для любых oceA(M) И хеМ отображение
3ъ—›1‹9(ос)‚‚ группы G B L"(T, (M гладко. Поэтому можно
определить линейное преобразовашите k: A (M )-›А (М ) степени
-1 формулой
/с(ос)=(];/с9(оъ)с13.
Умножая обе части равенства (2) на 8,-(g) И суммируя по i,
ПОЛУЧаСМ
д t;-—id¥dok"+k9od.
Интегрирование по G приводит к равенству
u—id=d°k+k°d. (3)
Таким образом, К-искомый оператор гомотопии.
Докажем второе утверждение теоремы. Для этого заметим,
что из (3) следует равенство р *" = id, где р рассматривается как
эндоморфизм комплекса А (М С другой стороны, если
рассматривать р как гомоморфизм комплексов А (М )——›А (М )G,
то ро2=1‹1‚ Еор=р‚ откуда p*oi"*=id, i*°p*"--id, так что
i 4" —изоморфизм. I
3. Правоинварнантные внешние формы на группе Ли. Пусть
С-группа Ли. Рассмотрим действие г группы G Ha себе
правыми сдвигами. Соответствующие инвариантные формы
на G называются правоинвариантными и составляют d-
инвариантную подалгебру А (М )'G c: A (G Согласно следст-
вию 3 теоремы 4.2 имеется изоморфизм градуированных ал-
гебр K: L"(g)=/\g*—+A(G)'°, где 9 и 9* считаются граду-
ированными степенью 1; при этом Ж сопоставляет форме
aeL“( g) единственную правоинвариантную форму ос на G,
такую, что oce==a. Отождествим А(6)'° c L“(g) c помощью A.
Нашей ближайшей целью будет вычисление оператора
А” ode?» B L“ (g), который отождествляется с внешним
дифференциалом d и будет также обозначаться через а‘.
Предложение 1. Оператор d в L"(g) действует по
формуле ' ч .
(da)(u0, u1,..., пр):
= Z (""l)i+j+1(l([ll5, llj], Ио, ...‚”Ё;3*..., 12], ..., Ир)
0<i<j<p
(aeL;’,(g), u,-eg).
_ Доказательство. Пусть осеА(0);‘* и ио, ид, ..., ирев.
Применим к ос формулу (7.4). Согласно следствию 3 те-
-‘z
. .‘
" T.‘ .. '._ Р .' -' ":'."?-*- " ` Ё" ‘мы F“.-<«‘.“. E’ „С: Ё .'7‘\'I‘"¥7:: НЕ"
ж ‘ n-i"='~‘szr*z'=.»sos-==a“»".'~‘*:~" ‘С . "С
a‘.f,;.;':.-. .x"-53% ;.-uu~ в ‘шт’
ъ"д‚таЪ гид-ад гдфпфд.‘ '9
.
н: '~¥-‘~‘?f§:%§;-s'e"i‘§g§;»'»*r.u s,,.,.:-=.-.~.: ы

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 195
оремы 4.2 существуют етшнственньте правоинвариантные век-
торные поля vo, щ, ..., vpe V(G), такие, что (v,-)e=u,-. (i=0,
1, ..., р). Далее, [v,-, v,-]—TaI<>1ce правоинвариантное векторное
поле, причем [v;,v,-]e=[u,-,u,-] (см. П. 2.2).
Функция oc(vo, ..., 13,-, ..., и р) правоинвариантна и, следова-
тельно, постоянна на G. Вычисляя обе части формулы (7.4)
в точке е, получаем (4). I
Следствие. Если аёЬЕ‘‚(9), то da=0. Если aeL‘{ (g)=g*,
mo -
(da) (u,'v)=a([u, „р ц (и, veg). (5)
Из теоремы 1 и предложения 1 вытекает
Теорема 2. Пусть (7—связная компактная группа Ли,
g—ee касательная алгебра. Пусть ‘d— onepamop в Ь“ (g),
определенный формулой (4). Тогда (L“ (g), аО-градуированная
дифференциальная алгебра, 7L изоморфно отображает ее на
(А (6)'°, d), причем отображение Ж: L“ (g)—>A(G) есть квази-
изоморфизм градуированных ' дифференциальных алгебр.
Градуированную дифференциальную aJ1:re6py (L“ (g), d) мы
будем называть коцепным комплексом алгебры Ли g.
B качестве первого применения теоремы 2 вычислим
одномерные когомологии связной компактной группы Ли.
П р е_д л о ж е н и е 2. Пусть бт-связная компактная груп-
па Ли. Тогда H1 (G, R)'z3(g)"‘.
Доказательство. Из теоремы 2 и следствия пред-
ложешитя 1 вытекает, что H 1(G, R)=(g/[9, g]) *. Но g/[9, 9]:
а з(9)- I
Пусть теперь f: G—>G’--—roMoMop<1>1»13M гругш Ли. Тогда
для любого geG имеем for,=r,(g,of, откуда г;о[*=/*ог}(„,.
Следовательно, гомоморфизм f ": A (G’)-+A (G) отображает
А(6')'°’ в А(0)'°.
П р e д л о ж е н и е 3. Пусть f: (?—+6’—гомоморфизм групп
Ли. Тогда имеет место коммутативная диаграмма
L"( gf) “"’ L"< g)
A A’
I 12?! I‘
А ( G ) f * А ( G ) а 9
где А, Ж.’ — рассмотренные выше изоморфизмы.
7*
т‘ ; 2 ' т” '7 » ~.
‚- .‹ ,-wjrvvat

196 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Доказательство. Поскольку f(e)=e, имеем
( f "‘oL)e=(d [Тесе для любой oceA(G’ ). Отсюда легко следует
коммутативность диаграммы. I
Рассмотрим действие группы G Ha себя левыми сдвигами.
Поскольку левые сдвиги перестановочны с правыми, любой
` оператор I; (geG) переводит А(С)'° в себя. Очевидно также,
что 1;ос=а;ос, если осеА (G)’°. Поэтому при изоморфизме
Ж между А (6)'° и L"(g) оператор Z; переходит в автоморфизм
(Ad g) "‘, который получается путем продолжения на Ь“ (g) = /\ g*
преобразования (Ad g)* пространства 9*. Соответствие
gu—> ((Ad g) "‘)` 1 есть линейное представление группы Ли
G B пространстве Ь“ (g). Дифференциал этого представления;
очевидно, имеет вид иъ-—› -(а‹1 и)"‘, где справа стоит дифференд
цирование степени О алгебры L“ (g), полученное продолжением
линейного преобразования —-(adu)* пространства 9*.
Как следует из предложения 7.5, действие 1 определяет на
дифференциальной ‘алгебре А (G) структуру 52 (Q)-MO}IyJI5I.
П р е д л о ж е н и е 4. Подалгебра А (G)’° является 53 (g)-
подмодулем в A(G). Если отождествить А (О)'° с L"(g)
c помощью 7», то оператор 6(u) (ueg) отождествится
с —(ad и)"; а оператор 1(и) (ueg)—c внутренним умножением
l (u) в алгебре Ь“ (g) (см. пример 7.7). Интерпретация оператора
d дана в теореме 2.
Доказательство. Как известно (см. пример 2.15),
фундаментальное векторное поле (dl) (u) (ueg) есть правоин-
вариантное векторное поле v Ha G, такое, что ve==u. Таким
’ образом, 0(и)ос= L,,oc (осе А (G )). Пусть g(s)—rJ1am<a51 кривая
в G с касательным вектором и в точке e=g(0). Если оъеА (G)'°,
то 9(u)oceA Ю)”; и
(e<u>a>e=;,‘§-<(z;(s,)-Ia>;ns=o=;;‘§<<Adg<s>>*><ws=o=-(adum
Далее, если осеА(6)'°, то ъ(и)ос=1(и)оъеА(6)'° и (t(u)<1).,=
=t'(u)ote. I
Следующее предложешите позволяет выразить оператор
d B алгебре L“ (g) через умножение в этой алгебре И операторы
9(и) = —(ad и)‘.
Предложение 5. Пусть e1, ..., e,,_—,6a3uc алгебры Ли
g u е}, ..., ед-сопряженньдй ему базис пространства 9*.
Тогда А
ds —§ Ё е‚:е‹е‚д. <6)
k=1 I
\
ч’ м а}
_ _ .- .-_.«;g"=':4’§‘c:-.~Ig‘.';"l-.'»..."".'.'. , _‚
т?!‘

§9. ИНВАРИАНТНЪЕЕ ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ формы 197
Доказательство. Поскольку her L"(g) естественным
образом является Ь"(9)-модулем (см. п. 6.4), правая часть
в (6), так же как и левая часть, есть дифференцирование
степени 1. Поэтому достаточно проверить (6) на элементах
ае9"‘. Для любых х, yeg имеем
—§ 2 <e.:<e<ek)a>><x,y>=
=——;— Ё ez<x><e(e,.>a><y>+§k§1e.:<y><e<ek>a>(x>=
k=1
=—;—a<[x, y1——;—a<[y, х1›=а‹[х‚ л).
В силу (5) это совпадает с (da) (x, y). I
4. Цепной комплекс ашебры Ли. В обозначениях п. 3 будем
рассматривать Ь“ (9) и /\ 9 как сопряженные друг другу
градуированные пространства, считая, что 9 и 9* граду-
ированы степенью 1. Структура 53 (9)-модуля в L“ (9), описан-
ная в предложении 4, определяет сопряженную структуру
5.3(9)-модуля в /\ 9, причем знак градуировки в 53(9) следует
изменить (см. п. 7.4). Оператору d будет отвечать оператор
д = — а" степени - 1, определяющий двойственный цепной
комплекс (/\ 9, д) (цепной комплекс алгебры Ли 9). Вместо 6(u)
ПОЯВИТСЯ оператор —0(и)"= ad u степени О (являющийся на
самом деле дифференцированием А (ad u)e(ber А 9)о)‚ а вместо
1(и)—оператор —-е(и) степени 1, где е(и)—внешнее умножение
на и (см. пример 7.7). В частности, для любого ueg ИМСЮТ
место следующие соотношения:
[д, ad u]=0, (7)
[6, e(u)] = - ad u. (8)
Сейчас мы используем их для того, чтобы установить
некоторые соотношения в универсальной обертывающей ал-
гебре градуированной алгебры Ли 53 (9) (см. [1 19]). He желая
рассматривать эту алгебру явным образом, мы докажем
соответствующие соотношения между операторами в произ-
вольном 8(9)-модуле. Начнем с обобщешихя операторов ъ(и).
Пусть V— некоторый 53(9)-модуль. Поскольку 53 (9)_1 =
=9[_ „—-коммутативная подашебра в В (9), мы получаем
в V структуру модуля над ассоциативной градуированной
'5; '£'Jx.".*:%.':'.~'fLf.'.}fT}:§~.€-?}'«Y.v?'TTi5E;T-E5'33EH‘.?'Zi~T-‘("57‘?"F7'33"E«'3 ."'~','.- г "ЙТ .“""‘—"'.T.

198 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
алгеброй А 9[._ д. А именно, для любого ие А Pg определен
такой оператор l (u) e L (V, V) .. р, что
l(u1 /\.../\up)='—l(u1)o...o l(up) (H569).
H p е д л о ж е н и е 6. В произвольном 53 (9)-модуле имеют
место следующие соотношения:
1) для любых ueg u ve А g имеем
[9 (u), 1(v)]=1((ad u) v),
2) если и=и1А...Аир‚ где u,-eg, mo
P
[d, 1(u)]= —1(6u)+ Z (——1)"9(u,-)1(u1A...Az2,-A...Au,,).
j=1
Доказательство. 1) Можно считать, что и=х1А...А`хр‚
где x,- e g. IIpnMeHnM индукцию по р. При р =1 наше утверждение
верно. Пусть оно верно для v1 =х1 AAx,,..1. Тогда
1((ad u) v)= l ((ad u) (v1 хр)) = ъ (((ad u) v1)x,,+ и1[и‚ хр])=
= I «ад II) v1)I(xp)+ I (И) I (И xp]) =
' = [О (и), 1(v1)]1(x,,)+ l (U1) [0(u), 1(хр ] =
= 9(u)1(v1)1(xp)- 1(и1)1(хр)9 (и): [О (и), 1
2) Снова применяем индукцию по р. Пусть утверждение
верно, если и — произведение р -~ 1 векторов. Запишем и = и1 и,
где v=u2 A Аир, u,-eg. Используя предположение индукции,
равенство (10) и свойство 1), получаем .
[d, 1(u)]=d1(u1)1(v)+(—1)"‘"1 ъ(и1)1(и)с1=
=x[d, »<u1)1—»<u1>dMv>+<— Iv“ »<u1)I<v)d=
=[d, 1(u1)]1(v)——1(u1)[d, 1(v)].= -—9(u1)t(v)——t(6u)—-t( ad щ) v)—
(— l)j’1 [1(u1), 9(u,-)]1(u2 A Ad,-A A ир)+
at
gm»
J
P
+ Z (— l)"0(u,-)1(u1 A A12,-A Аир)=
j=2
=—1(6u)+::
(-l)j9(u,-)1(u1A...AﬁjA...Au,,)—
1 1 т”
P
—1((adu1)v)+ Z (—1)j1([u1, u,-]Au2A...Az‘¢,-A...Au,,)=
J=2*
= —t(6u)~A— 0:21 (-1)"0(u,-)1(u, A A Li,-A A ир).

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ внЕшниЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ формы 199
Вернемся снова к изучению цепного комплекса (А 9, д). Если
обозначить через е(и) оператор левого умножения на ие .А 9
в алгебре А 9, то
1(и)=(-—1)%"“’"”е(и)* (и; /\"g). (10)
Действительно, мы можем считать, что u=u, A /\ up, где
и, е 9. Тогда е(и) = е(и1) egup), откуда е (и)* =
=е(и‚‚)"‘ е(и1)"=1(и‚,)...1(и,)=(— 1)5"“" 1’ I. (u).
Пусть группа Ли G компактна. Тогда в 9 существует
скалярное умножешиге ( , )‚ инвариантное относительно Ad G.
Как известно, оно продолжается до скалярного умножения
( , ) в пространстве А 9, такого, что
d’t is ' з = э
(и1А.../\и‚„ щА.../\и‚‚)={0г «и 01))
Очевидно, операторы Adg (ge G) B А 9 являются ортогональ-
ными относительно ( , ), а операторы Adu (ие9)—кососим-
метрическими. Скалярное умножение порождает отображеъше
инй пространства А9 в А9*, где
Ёс(и)=(и, v) (ve А9).
Это изоморфизм пространства 9 на 9* и градуированной
алгебры А-9 на градуированную алгебру (А g)*=L“ (9). Перене-
сем с помощью него скалярное умножение на Ь“ (9). Для
любых и, ve А 9 будем иметь
Za(v)=(u, v)=(i2, f2')==z}' (u).
Изоморфизм инй позволяет сопоставить каждому линей-
ному оператору h B А 9 оператор h B L“(g), заданный
формулой
Й(;`Ё)=(/1(и))" (не А9).
Легко проверить, ‘что Й =(11Т)*=(/1*)Т. В частности,
(Adg)" =((Adg)*)"1 (де G), (ad х)" = —(adx)“‘ (xeg).
Ясно, что (Ad g)V —ортогональный, а (ad х)" —кососиммет-
рический операторы в L“ (g); Далее, для любого ue А 9 имеем
(е (и))" -=е(и ). Поэтому из (10) следует, что
t(u)T=(— 1)P<P*1>/Zea) (ue Avg). (11)
5. двусторонне инвариантные формы. Пусть 6-—-—некоторая
группа Ли. Рассмотрим алгебру A(G)G"G двусторонне

200 ГЛ. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
инвариантных внешних форм на G, которая является
подалгеброй в А (G) ‘б. Используя интерпретацию операторов
I; B L“ (g) (см. п. 3) или следствие 2 предложения 11, видим, что
x(A(G)“*G)=L“(g)G,
Где `
L“(g)G={aeL“(g)|(Adg)*oc=oL для всех geG}.
Если определить
Ь“(9)9={осе1‚“(9)|9(и)оъ=О для всех ueg}, (12)
то L“(g)G c L"(g)9 И L"(g)G=L"(g)9 для связной группы G (CM.
П. 2.2).
Пусть f : G——> 6"—гомоморфизм групп Ли. Легко видеть,
что f * отображает А (G’)G"‘G' B А (G)G"G. Из предложения 3
вытекает, что при отождествлении L“ (g)=A Ю)“ И 1.“(9’)=
=A(G')’G’ с помощью ж, А’ гомоморфизм f*: A (G’)G"‘G'——+
—>A(G)G"G отождествляется с (df)"‘: L"(g')G'—>L“(g)G.
Предложение 7. Для любого aeL“(g)9 имеем da=0.
Для любой осеА (G)G"G имеем doc=0.
Доказательство непосредственно следует из предложения
5. I
Теперь мы рассмотрим случай, когда группа G компактна
и связна.
Те о р ема 3. Пусть G —связная компактная группа Ли.
Тогда вложение А (G)G"G——>A (G) порождает изоморфизм
градуированной алгебры A(G)G"GzL"(g)9 на "H (G, R). Если f:
Сч 6’—--гомоморфизм связных компактных групп Ли, то
соответствующий гомоморфизм f *: H (G’, R)—+H (G, R) nepe-
ходит при этом в гомоморфизм f *: A(G')G"‘G'—>A(G)G"G или
(aw: L“(g')9’»L“(g>9. _
Д о K a 3 а т е л Ь с T B о непосредственно следует из теоремы
1, предложения 7 и следующих выше замечаний. I
C Л е д с т в И е. Пусть f : G —› G’ --—накрывающий гомомор-
физм связных компактных групп Ли. Тогда f 4*:
H (G ’, R) -—-› H (G, R)— изоморфизм.
П р и м е р 1. Пусть G=T"= R"/Z". Очевидно, L“(g)9=
=L“(g)= /\R(x1, ..., х,‚), где x1, ..., x,,—-—c'raH,’nap'rHLIe коор-
динаты в R”. Тогда dx,-EA (G)G"G, причем (ахд)е=хд. Таким
образом, H (T ”, Н): А д(с1х1, ...‚ dx,,) —"алгебра Грассмана
с п образующими степени 1.
П р и M е р 2. Пусть Ь-симметрическая билинейная форма
на алгебре Ли g. Тогда формула
а (х, y, z)=b([x, y], 2) (х, у, zeg)
l.."-’.j‘: ‘g. _.:"~:"- Н: ‘~Z~ ..‚.
’ ‘Г. "°’:~‘:.=.*
ч. м, ‘~,~'-'.;x..~x_.§”-"‘-:~,.;~.!:..,:...‘.* ‚ .., .r..;?.-é:;‘;';a;;se..af!;~:».;3!.$.*,&,g$\;;g é.:...:,
if’. „и.
V имидж: . .
nag.

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ внвшнив ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ формы 201
определяет З-линейную форму а на g. Легко видеть, что
а кососимметрична тогда И только тогда, когда b инвариан-
тна. При том же условии на b для любых х, у, 2, ueg имеем
в силу тождества Якоби '
а([и, х], y, z)+a(x, [u, y], z)+a(x, y, [u, z])=
=b([[“» X]: V], Z)+b([x: [us J’]]» Z)+b([x» Y], [us 2])’-
= д ([[ua X]: У] + [хэ [us УП - [щ [хэ УЛ» Z) = 0-
Таким образом, aeL§ (g)9. МЫ получили линейное отображе-
ние bo——>a пространства Li (9)9 B L3 (9)9. Если G полупроста, то
g= [g, g], И это отображение инъективно.
Напомним (см. п. 1), что двусторонне инвариантные
формы на компактной грутше Ли G можно описать также как
неподвижные точки оператора усреднения д по группе G x G,
действующего в пространстве А (G). Очевидно, р является
проектированием пространства А (G-) ‘б на А (G)G" G. дадим
интерпретацию этого оператора в терминах алгебры Ли g.
Рассмотрим в пространстве L“ (g) следующий оператор усред-
пения:
у=]`(А‹13)"а7‚9=]((Ас1 )*)"dg. (13)
П р е д л о ж е н и её 8. Пусть _ 0—-компактная группа
Ли. Тогда
1) Имеем следующую коммутативную диаграмму:
Am)" ”’ /11(0)
a a а
L ( g) „, L (я)
2) v есть ортогональное проектирование на пространство
L“ (g)G относительно скалярного умножения, определенного
в п. 4. ` _
3) Если G связна, то имеется ортогональное прямое
разложение
_ Z (I-“(9))=’-" (9)“®dL"(9). .
причем d L“ (g) = Z (1! (9)) П Ker v.

202 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Доказательство. Используя (4.16), получаем для лю-
бой oceA(G)'° -
(пода j (l;r;a)edgdh"—"' J (15°0е‹1гг1/1= j (Adg)*aedg=v(ae)'
G><G GXG
Тем самым доказано 1). Утверждение 2) следует из пунктов 1),
4) предложения 4.12. -
‘Очевидно, р перестановочно с d в A(G)..I/I3 1) следует, что
v перестановочно с а‘ в L"(g). Используя предложение 7,
2‹и‹в»=и‹в›°еа ‹2‹и‹в»пкег v).
Из предложения 7 вытекает также, что с1Ь“(9) с: Kerv. Из
теоремы 3 следует, что dL“(g)=Z(L“(g))ﬂKerv, если G связна.
Таким образом, 3) доказано. I
6. Инвариантные формы на локально прямом произведении.
Пусть G= G1 G2--CB5[3Ha5I гру1ша Ли, являющаяся локально
прямым произведением связных нормальных подгрупп Ли
G1, G2. Тогда g---g1C49g2, где 9д-—касательная алгебра под-
группы G1 (Е: 1, 2). Обозначим через щ: 9—›9д соответству-
ющие операторы проектирования (i = 1, 2). Тогда 1:3‘: 9‘;-›9*—-
инъекция, отождествляющая 9’; с подпространством линей-
ных форм на 9, равных 0 на дополнительном к 9; слага-
емом. Очевидно, g*=g“169g'§. Поэтому L"(g)= /\ g*='=
= ^ 9"i® /\ 9‘5=L"(91)®L“(92).
Предложение 9. Формула
Ь“(9)=Ь“(91)®1-“(92) .
определяет разложение комплекса (L“ (9), d) в тензорное
произведение комплексов (L“(g1), d) u (L“(g2), d). Имеем
L“(9)“=L“(91)“*®L“(92)9*-
Если G -компактна и G= G1 x G2, то оператор усреднения
v в L“(g), заданный формулой (13), совпадает с v1®v2,
еде1 Ёд-соответствующий оператор усреднения в L‘ (ш),
1= , .
Доказательство. Для доказательства первого утверж-
дения достаточно показать, что подашебры L"(g1) И L“(g2)
B L“ (9) инвариантны относительно d, причем при ограничении
d Ha L"(g1) там индуцируется соответствующий оператор
.. - ‚д, ';_f.'§,.,':*'-j.-§.‘1.1,:».-'g;..r.,;- „ж:‚&;;::;}:ъё$3‘„г?д.‚.„ 1:35:15, §.;‘.,....';« “_f£'.5;::_..::3<:e§
Еж . с
ч;- C‘: туг. I ‚ к

§9. ИНВАРИАНТНЬПЕ внЕшниЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ формы 203
а’ (см. пример 7.5). Эти свойства оператора а‘ следуют,
например, из предложения 1.
Пусть f: G1 х (Ьчбд-гомоморфизм, заданный формулой
f (a, b)=ab, И пусть Ad=Ad о f, gle Ad—npncoemmeHHoe
представление группы G. Тогда Аа-присоединенное пред-
ставление группы G1 xG2 И А‹1=А‹11®Ас12‚ где Ad;—-—np1»1c;3-
единенное представление гругшы G,-. Поскольку Im Ad = ImAd,
ИЗ примера 1.10 следует, что L“(g)9=L"(g)G=L“(g1)G1®
®L"(g2)"==L"(g1)9*®L"(g2)9=. Последнее утверждение следует
из предложения 4.13. I
Предложение 10. Пусть 6=0162 —разложение связной
компактной группы Ли в локально прямое произведение связных
нормальных подгрупп Ли. Тогда
H(G, R).~:H(G1, R)®H(G2, н). (14)
Пусть ik: Gk—>G (k= 1, 2)-——тождественное вложение. Тогда
при указанном изоморфизме гомоморфизмы ЕЁ: H (G, R)-+
——>H(Gk, R) интерпретируются следующим образом: если
P
zeH(G, R) u z=x®l+l®y+ Z u,-®v;, где идеН+(С1‚ R),
i=1
v;eH + (G2, R), mo
ч:
z1(z)=x, if (2)---y.
Д о к а з а т е л ь c т в о. Из предложения 9 и связности групп
G, G1, G2 следует, что
A<G)M=L“<g>9=L“<g1)9n®v(g2>9==
=A(G1)G,xG1®A(G2)G2xG2.
По теореме 3 H(G, R)zH(G,,R)®H(G2, R). По той же те-
ореме гомоморфизм if отождествляется с гомоморфизмом
.(di,,)"': L“(g1)91®L“(g2)9=-+L“(g,,)9*, который, как легко понять,
имеет искомый вид. I
Заметим, что предложения 9 и 10 остаются верными для
любого числа сомножителей.
Следствие. Пусть 6—-связная компактная группа Ли,
Z =Z (G)°—ee радикал, а Go=(G, Щ-коммутант. Тогда
H(G, R)=H(Z, R)®H(Go, R), причем Н(2, R)= Ад (£1, ..., 2;),
где Вёд=1 и r=dimZ=dimH1(G, R).
Доказательство следует из предложений 10 и '2 и при-
мера 1. I

204 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Рассмотрим теперь случай прямого произведения
6:61 х G2, где 61, О2——связные компактные группы Ли.
В этом случае предложение 10 следует из теоремы Кюннета
(теорема 7.2). Нетрудно проверить, что изоморфизм (14)
совпадает с изоморфизмом теоремы 7.2. Поэтому справедливо
следующее предложение, которое легко также проверить на
основании предложения 10. (Мы отождествляем Н (G, R)
с Н(61,Н)®Н(О2,В) при помощи (14)). Пусть pk: G-->G,,
_(k == 1, 2) — естественная проекция.
Предложение 11. 1) Гомоморфизмы pf: H(G,” В);
—›Н (G, H)=H(G1, R)®H(G2, R) задаются формулами
рЁ*(х)-=х®1‚ р3*(у)=1®у-
2) Если Gk, Н,‘ (k=1, 2)—-—свя3ные компактные группы Ли
и ﬁr G,,——>H,, (k=l, 2)——гладкие отображения, то (f,><f2)*=
=1: cm. . ' р
7. Биалгебра когомологий компактной группы Ли. Пусть
Б-связная компактная группа Ли. Умножение т: G x G—>G
определяет гомоморфизм градуированных алгебр т"*:
Н G, R)—>H(Gx G, R). Согласно предложению 10, алгебру
Н GXG, R) можно отождествить с H (G, R)®H (G, R). Таким
образом, имеем гомоморфизм 6=m"*: H (G, R)—>H (G, R)®
®H (G, R). B силу связности группы G имеем H °(G, R)=R.
Определим гомоморфизм а): H (С, R)->R, полагая
Ю(х)__ х, если xeH°(G_, R)=R,
_ О, если xeH+(G, R).
Предложение 12. Алгебра когомологий H (G, R) связной
компактной группы Ли G является градуированной биалгеброй
с коумножением б и коединицей (о. Коумножение б ассоциа-
пгивно.
Доказательство. Для доказательства первого утверж-
дения достаточно проверить, что со-коединица относительно
б. Воспользуемся тем, что о) можно интерпретировать
следующим образом: (в: j ‘"‘, где j : {e}——>G—BJIo>1<eHI»1e триви-
альной подгруппы. Из коммутативной диаграммы
jxid ‘aaxj~«
{e}><G ЭХО
дх{е}
:‚ o"v-/. „ф: "Юн . ~ .. „д _~ .__ и . ~, . ‘ .
53>.- a._-¢é.~..,%',:.c-;., :~ ::~x.«»"-1;!-'§t3n.."‘ к gr” д: ‚а ;,.a.,
.‚ ‘:2... - ..__“._ . ' -_. ._ ..'.;.. ‚ _ ._ U
.~L§§'y.”:‘¢y .' =7-:"--,; ~'- ~."-§‘3“~"~‘,"~Z"~'.'.;';-......e
‘SM:
.:;l;'Z‘$~;2=2EsI§“1':ia=;.<z*i-fv-'.« . -
Я. .‘.' -".‘
ж,
. ‚ч-
‘. д. .. .,',.._ .
.. т _:-s":".= ""-:5’: _
. __. ..

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ внвшнив ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ формы 205
где i1, i2 —естественные вложения группы G B прямые
произведения, в силу предложения 11 вытекает коммутативная
диаграмма
R ®H(G,R) -<—‘-‘—’-15‘—H(G, R) шла, к)
шею
H(G,R)®R
НИК)
Наше утверждение вытекает теперь из интерпретации гомо-
морфизмов if, данной в предложении 10.
Ассоциативность коумножения б следует из ассоциатив-
ности умножения т в группе G. Действительно, из ком-
мутативносги диаграммы
GX0
Ш М‘
ЁХЁХЁ _ G‘
такт /
GXG
вытекает в силу п. 2 предложения 11 коммутативная диа-
грамма
H(G’,R)®H(G,R)
2%
H(G,R)®H(G,R)®Ii(G,_R) H(G,R)
$3 . И
H(G,R)®H(G,R)
Биалгебра Н... (G, R), двойственная к биалгебре когомологий
H (G, R), называется биалгеброй гомологий (или биалгеброй
Понтрягина) группы Ли G. Обозначим через PG и PG,
пространства примитивных элементов биалгебр H (G, R)
и H,.,(G, R) COOTBCTCTBCHHO. Из теоремы 6.3 и предложения 12
вытекает следующий результат
Теорема 4. Пусть 6——связная компактная группа_Ли.
Тогда H(G, П): /\PG и H,..(G, R): АРФ. При этом Pg=0
u градуированные пространства PG и Ре, изоморфны.
Пример 3. Очевидно, P(1;=H ‘Ю, Н)э:3(9)* (см. предложе-
ние 2). Таким образом, число свободных образующих степе-
ни 1 в ашебре Грассмана H (G, R) равно dim Z (G) (ср.
следствие предложения 10). .
. .› ‚чтим шн_д|

206 гл. 3. ввщвстввннАя топология КОМПАКТНЫХ групп ли
С л е д с т в и е 1. Пусть G —- связная полупростая компакт-
ная группа Ли. Тогда Н 1 (G, R) = H 2 (G, R) = О, а Н 3 (G, R) sé 0.
При этом H 3 (G, R): P3.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. нетривиальность пространства
Н 3 (G, R) следует из примера 2 и из компактности касательной
ашебры g группы G. I
C Л е д с т в И е 2. Для любой связной компактной группы Ли
G имеем dim G = p (PG, 1).
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Пусть PG‘ градуировано степенями
2p,---1 (i=1, ..., l). Тогда p(PG, 1)= Z (2p,--1). Если обозначить
i=1
это число через d, то H "Ю, П)=В, Н “(G, R)=0 при q>d.
Поскольку 6—компактное ориентируемое многообразие (см.
[35], гл. Н, §6), имеем d=dim G. I
Предложение 13. Пусть f: G——>G’—2oMoMop¢u3M СВЯЗ-
ных компактных групп Ли. Тогда f *: H (G’, R)——>H(G, R)
—гомоморфизм градуированных биалгебр. В частности,
f # а’) C P G.
Доказательство. Из соотношения fom=m’o(fxf), где
т, т’—умножения в G, G’, следует, что m"*of* .—.—(fxf)*o
o(m’)* =(f* ®f*)o(m’)* (см. предложение 11‚2)). Второе
утверждение следует из предложения 6.13. I
C Л е дс т в и е. В предположениях предложения 13 идеал
Ker f * в H (G ', R) u подалгебра Im f * в H (G, R) порождаются
подпространствами (Ker f * )ﬂ'PG, u (Im f НОР‘; соответственно.
Предложение 14. Пусть f: О-ШГ-гомоморфизм связ-
ных компактных групп Ли. Если f *: PG-—>PG инъективно, то
f сюръективен.
Доказательство. Сначала предположим, что G——non-
гругша Ли в G’ И что f— тождественное вложение. В силу
нашего предположения dim Pg: sdim P'G для всех r. Из
следствия 2 теоремы 4 вытекает, что dim G ’ < dim G. Поскольку
G компактна, G=G’.
B общем случае обозначши G1 = с G’. Тогда f=iof1,
где Д: С—›(?1 совпадает с f и z‘: G1'->G'--TOXCJICCTBCHHOC
ВЛОЖСНИС. Тогда f 4" = f fez‘ *, так что 1* инъективен и G, =G. I
Вычислим теперь действие отображения s: gi—>g ’ 1 на
когомологиях. ‚__ Q
Предложение 15. Пусть 6——связная` компактная груп-
па Ли. Тогда s"' переводит А (G)G " G 6 себя и действует на
I’
однородных элементах ос пространства А (G)G х G=H (G, R) no
формуле "
\
s*(a)‘=s* (oc)=(——1)”°‘ot. `
~Tfg*2eg='"-,'§-:E»:’;~5,§?.*;':v.
. Ч ' __ -7'-: . _Z д. ~ .' и s'.;-_..~'. . ‚д . . „ . ч-
'.;%~I-§‘t<‘“f1'~ﬁ:?:}'2ri‘&»'::ﬁ~.r’5.s‘;.1{‘?'t"s£f3.:..-"::"f?-E:~;;:'.‘ та,» т .~:f-’-
к

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ внвшнив ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ формы 207
Доказательство. Поскольку з—автоподобие действия
b (см. пример 4.11), 3" переводит A(G)G"G B себя в силу
предложения 1.4. Если осеА(6)‚ЁЁ"°, то (.$"‘ос)е=(с1‚,$)"ос„=(— 1)”ос„
поскольку des= -id. Поэтому s*cx=(— l)"oc (см. теорему 4.2). I
8. Интерпретация в терминах касательной алгебры. Пусть
Сё-связная компактная группа Ли. В этом пункте мы опишем
биалгебры когомологий и гомологий гругшы G B терминах
коцепного и цепного комплексов ее касательной алгебры 9.
Используя теорему 3, отождествим алгебру H (G, R) с подал-
геброй L“(g)9 B L"(g). Для описания пространства гомологий
Н. (G, П) естественно рассмотреть пространство А 9, сопряжен-
ные K L"(g). Оператору v B L"(g), заданному формулой (13),
соответствует сопряженный оператор v* B А 9, имеющий
следующий вид: ' -
v"‘u=j(Adg)udg. (15)
G
Из (15) видно, что v*—o1IepaTop усреднения в А9, связанный
с линейным представлением Ad. B силу п. 1) предложения 4.12
подалгебра (А g)“ инвариантов представлешитя Ad совпадает
с множеством элементов, неподвижных относительно v* (или
с Imv*). Так как G связна, то (/\g)G=(Ag)9={ue /\g|(adx)u-=0
для всех хе9}. .
Естественная двойственность между Ь“(9) и А g порождает
двойственность между векторными пространствами L“ (g)9 2
zL“(g)/Kerv и (А g)9=Imv*. Мы используем эту двойственность,
чтобы отождествить градуированное пространство Н, (G, R)
с (Ag)9. Обозначим через А*: L"(g)—->L"(g)®L“(g) и А‚.‚:
А 9-› А 9 ®' А 9 гомоморфизмьт традуированных алгебр, такие, что
А*а=ос®1+1®ос (осе9*)‚ (16)
А,‚хгдх®1+1®х (xeg).
TeopeMa 5. Умножение в биалгебре Н, (G, R)-—-(/\g)9
совпадает с внешним умножением в алгебре Г рассмана А 9.
Коумножения в биалгебрах Н (G, R =L"(g 9 u H,..(G, R)=(/\g)9
совпадают с отображениями (v®v oA* u v"‘®v*)oA,, соответ-
ственно.
Доказательство. Сначала мы вычислим отображеъше
n"z*, где т: Gx G—->G задано формулой n"1(g, h)=g"1h. Для
любых а, b, g, he G I/IMCCM
n"1(ga‘1, hb’1)=ag‘1hb"1=an"1(g, h)b"1.
Таким образом, т есть морфизм действия группы G x G Ha ‘
себе правыми сдвигами в действие этой. же группы на

` '" “П ` """“P'
208 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология компАктных групп ли
G двусторонними сдвигами. Поэтому т * отображает А (G)G"G
B А (G)’a><a. Очевидно, следующая диаграмма коммутативна:
A(GxG)’”""‘
A(G)Gx0
A A
a (d 6,8 rm” a
Lm’ ‘ ’ L“(g e g) = L <g)eL“<q>
B силу теоремы 3 алгебры когомологий грутш G И G x G можно
отождествить с A(G)G"G И A(GxG G"G"G"G соответственно.
Тогда #o'ro6pa>I<eH1»1e n"2*: A(G)"""->A(GxG)""‘3"""" совпадает
с рот , где р-оператор усреднения по группе G xGxGxG
B А (G x G). Согласно предложеншо 8 р отождествляется с опера-
тором усреднения по группе G x G B L"(g €99), который в силу
предложения 9 совпадает с у® у, где v-—: оператор в 1.19),
заданный формулой (13). Таким образом, m* =(v®v)o(d(e,e,m)*.
Перейдем теперь к коумножению б = т * (см. предложе-
Hue 12). Очевидно, т=то(5 x id) так что в силу предло-
ЖЁШЗ If «Ё Ё) Ё’)? °'d)~°)m *(=§d‘)S)E? "D 882° (d“"’""’=
= у у о es * 1 о („дт "'== v у о (e_,_,,m *. Ы восполь-
зовалшсь тем, что гдез)‘ в силу предложения 15 перестановочен
с ёюбым линейным оператором степени О.) Поскольку сдедт:
9 9—›9 совпадает с операциеи сложения в 9, имеем
(d(e, e,m)" = А‘. Значит, б = (у ® у) оА.
Из доказанного следует, что умножеъше в Н, (G, R) =( /\ 9)“
совпадает с ( *)*o(v*®v*)=(A")", T. e. с внешним умножением в
А g (см. пример 6.9). Совершенно аналогично, умножение в
H (G, R)-=L"(g)9 имеет вид (А‚)"‘о(у®у)=(А‚)*‚ так что коумноже-
ние в биалгебре H (G, R --=L“(g)9 совпадает с (у*®у*)оА_. I
Следствие 1. Пусть G=G, x G2, где 6„ (Ед-связные
компактные группы Ли. Тогда изоморфизм H (G, П):
zH(G1, R)®H(G2, R) (CM. (14)) является изоморфизмом биал-
гебры H (G, R) на тензорное произведение биалгебр. В частнос-
mu,nPGzPG1®1+l®PG2gé’G1(-BPG2. A l
оказательство. означим через ", 7, коумножения
в L“ (9), Ь“ 9„ ‚ определенные формулой (16). Очевидно, А‘ =
=(id®1®id о А‘; ®A*2). Поэтому коумножения б в H (G, R)
и 8,, B H (Gk, R) связаны соотношешитем” "
V)oA*=
=(v1 ®v2 ® у1 ® у2)о(1‹1оъой‹1)о(А‘; ®А3)=
=(id® l.®id)°(\:1 ®V1 ® V2 ® V2)°(A"1® A3):
H‘ =(id®l®id)o(81®52),
„ ‹. и :>'~:Zvf‘*‘~»r<s?:zx'*.;".»:.=1'.;z?:'§"‘1~=*:"»?

§9. MHBAPI/IAHTHBIE ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 209
где vk— оператор усреднения в Ь“ (gk), k= 1, 2. Последнее
утверждение следует из предложения 6.14. I
C Л е Д с T B И е 2. Пусть G — связная компактная группа Ли
и а’: G—>G x G -——гомоморфизм, заданный формулой d(g)=(g, g).
Если отождествить Рдх G с PG El) PG c помощью изоморфизма
следствия 1, то d* (x, y)=x+y (x, yePG).
Доказательство. Очевидно, p,,od=id, где pk:
G x G-->Gk—IIp0CI(IIIrI5I Ha k-i«'I Сомножитель, k= 1, 2. Используя
п. _1) предложения 11 видим, что d*(x® 1)=х‚ d* (1 ®y)=y для_
любых x,yePG. Значит, Ш" (х®1+1®у)=х+у. I _
9. Описание примитивных элементов. Перейдем теперь
к описанию пространства PG примитивных элементов в биал-
гебре Н (G, R)=L" (9)9. Из определения примитивных элемен-
тов и из теоремы 5 следует, что
PG={oceL"(g)$.,|oc(u)=0 для любого ue((/\g)*!+)2} (1/7) ,
(при этом мы рассматриваем внешние формы на g как
линейные формы на А g). _
Обозначим через С идеал в алгебре L“ (g), порожденный
пространством Ь“ (g)‘i инвариантных форм положительных
степеней. Имеем L“ (g)=C El) C Ё Положим X =C L. Очевидно,
X0 =
Предложение 16. Имеем для всех q>0
Xq={oceL;(g)9|vt(c) =0 для всех се_/\"9‚ p<q}. (18)
Подпространство С и Х инвариантны относительно d, причем
H“(X)=0 для всех q>0.
Доказательство. Пусть ozeL§(g). По определению осеХ
тогда и только тогда, когда (ос, Ву)=0 для всех BELHQ),
yeL‘,’,(g 9 (p>0). B силу (10) это равносильно условию
t(u)oce "(g)9)i для всех ие /\"g (p<q). Используя предложе-
ние 8, получаем (18).
Соотношение с1С с: C следует из предложения 7. Ясно,
также, что dXG=dR=0. Пусть теперь осеХд. Для любого
u=u1A/xup, где u,-eg, 0<p<q+l, имеем в силу п. 2)
предложения 6 и п. 2) предложения 4.12
v1(u)doz=v((—— 1)?“ [ф 1(u)]+(—1)"dL(u))oc=
=(—-l)"“v[d, 1(u)]o:=(—l)"v1 ди)оъ+
P
+(——1)"“v Z (—1)j0(u,~)1(u1 A /\12_,-/\ /\u,,)oL=0,
j=1
поскольку D(6u)=p-—l<q. Если же ие /\°g=R, то v1(u)doc=
=uv(doL)=0 B силу предложения 8.

210 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Пусть теперь aeXq, q>0 и с1ос=О. Поскольку oce(L"(g)9)i,
из предложения 8 следует, что oc=dﬁ, где 651.3- 1 Запишем I
5=B1+B2, где [31.6 С, B2eX. Тогда ос=с1[31+а'[32‚ причем,
d[31eC, dB2eX, откуда с1[31=0 и оъ=с1В2. I
CJICJICTBPIC. Операторы ъ(и) (ueg) переводят Х в себя.
Доказательство. Пусть oceX,,. Если с1=О или 1, то,
очевидно, t(u)ozeXq-1. Если q>l, то в силу предложения 15
\›1(с)(1(и)ос)=\›ъ(си) =0 для всех се /\"g, p<q—l. Значит,
в силу того же предложения, 1(u)oceXq_1. I .
Предложение 17. Имеем -
PG={oceL"(g)"1|1(u)oceX для всех 1169}.
Доказательство. Предположим, что oceLg(g)9 прими-
тивен, q>0. Тогда, используя (17), п. 3) предложения 4.12
и (10), получаем для любых xeg, ue/\”‘1g (p<q) И ve/\"'""g
O=oc(v*(ux)v“(v)=oc(v*(ux(v"'v)))=oz(ux(v*v))=
=‹- 1)”-"/2mu)1<x>a)<v*v)=<w(u)1<x)a><v>.
Таким образом, 1(х)оъеХ -1 в силу предложения 16.
Обратно, пусть 0161/1933, q>l и 1(x)oceXq_, для всех xeg.
‚Обращая приведенное выше рассуждение, видим, что
оъ(\›"(их)\›*(и))=0 для любых ие'/\""9, ve /\"""g (p<q).
Следовательно, оъ(ш2)=О для любых и, ое(/\9)Ч,. B силу (17)
ос примитивен. I -
10. Инвариантные формы на однородных пространствах.
Пусть M —однородное пространство труппы Ли G,
Н =G,,—cTa6mII»I3aTop ТОЧКИ хеМ. В этом пункте мы датшм
описание дифференциальной алгебры А (M )G С-инвариантных
форм на М в терминах алгебр Ли. Точнее, мы покажем, что
А (M )G изоморфна некоторой подалгебре коцепного комплекса
L"(g) алгебры Ли g.
Рассмотрим орбитное отображение t": gt—>gx грушты G Ha M.
Ему соответствует гомоморфизм (t")*: A (M )—-›А G). Поскольку
1"о1„=1„о:" для любого geG, t" отображает А (М) в А (G)’G. Это
вложение не очень удобно для наших целей, так как выше мы
узнали коштлекс А (G)'G npaBo1mBapnaHTHb1x форм на G. Поэтому
мы перейдем от t" к отображению р: 6—›М‚ заданному формулой
p(g)=t"(g“)=g”‘x-
Очевидно, por,,=t,,op (heG), так что р"‘ отображает A(M)G
B A(G)'G. B силу следствия 1 теоремы 1.2 отображения t"
И р имеют постоянный ранг, равный dim M. Поэтому (t")* и р‘
инъективны. `

§9. ИНВАРИАНТНЫЕ ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 211
С другой стороны, в силу (4.12) имеется изоморфизм
градуированных ашебр Хм: L"(T,,(M))”—->A(M)G, такой, что
(Хма),‚=а. При этом шгаграмма
‘L“<1;<M»” "М Ани)“
(dep)* p* (19)
Lam. „а A(G)r"‘
„ коммутативна, где Жд-гомоморфизм Ж из п. 1. Следователь-
но, (с1„р)*о7„‚{'‚‘ изоморфно отображает градуированную диф-
ренциальную алгебру А (M )6 Ha подкомплекс 1."(9)Н =
=(dep)‘L“(Tx(M))"CL“(9)-
Теорема 6. Имеем
Ь“(9)Н={ае1.“(9)|(А‹1/2)*ос=ос (heH), }(u)a='o(ue1))}. (20)
Если Н связна, то
L"(g)H={aeL"(g)|9(u)a=1(u)ot=O (ueI))}. “ (21)
Если группа G компактна и связна, то Ж„о((с1„ )*)“:
L“ (9),,-+A (M) есть квазиизоморфизм дифференциальных гра-
дуированных алгебр.
Доказательство. Легко проверить, что (с1„р)о(Ас111)=
=1зох (11)о(‹1„р) для всех heH (ср. предложение 4.4). Поэтому
(Ас1/2)*оъ=ос для всех heH И осеЬ"(9)н. Далее, любой осеЬ"(9)„
имеет вид oL=(dep)"‘B, где ВеЬ"(Т,„ (M))"'.. Предположим, что
Doc=DB=q, И возьмем ueb. Поскольку Ker (dep)=I), имеем
(1(u)(oe))(u1, ..., uq_,_)=oL(u, ид, ..., uq_1)= .
=B((dep) u, (dep)u1, ..., (дар) и‚,_1)=О.
Обратно, пусть oLeLf,(g) и ъ(и) ,=0 для всех ueb. Тогда
ос(и1‚ ..., и‚,)=0, если хотя бы один u,-eh.‘ Отсюда следует, что
ос=(с1,р)*В, где [3eL;’,(T,,(M)). Если ос=(А‹1/2)*оъ для всех heH,
то ВеЬ“(Т„(М Тем самым (20) доказано.
Формула (21) легко следует из (20), а последнее утвержде-
ние вытекает из теоремы 1. I
ll. Когомологш симметрических однородных пространств.
Пусть М —симметрическое однородное пространство группы
Ли G, Н =G,,, где хеМ, (З-такой инволютивный автомор-

212 ГЛ. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
физм группы G, что выполнено условие (4.24). Пусть
заве-соответствующая симметрия в тоъпсе xeM, свойства
которой описаны в предложешш 4.16. Оказывается, что
налитше такой симметрии накладывает весьма сильные усло-
вия Ha инвариантные формы и топологию многообразия М.
Теорем а 7. Симметрическое однородное пространство
М обладает следующими свойствами:
1) s*oL=(--l)"oz для всех осеА(М)‚Ё.
2) doc=0 для всех oceA(M)G
3) Если G связна и компактна, то вложение А (M )G—>A(M )
определяет изоморфизм дифференциальных градуированных.
алгебр A(M)G-—>H (M, R).
4) B предположениях п. 3) многообразие М формально.
5) Если в предположениях п. 3) автоморфизм 6 является
внутренним, то Н 1(M, R)=0.
Доказательство. Поскольку „я-автоподобие, s* отоб-
ражает A(M)G Ha себя (см. предложение 1.4). Если aeA(M)f,’,
то (3*оъ)‚,=(—1)”оъ‚, в силу предложения 4.16. По теореме 4.2
отсюда следует 1).
Пусть oceA(M),‘,’. Из 1) следует, что s"‘(doz)=d(s*oc)=
=(—-—l)"doc. C другой стороны, применяя 1) к daeA(M)§+1,
ВИДИМ, что $*(с1ос)=(—-1)"”с1ос. Отсюда следует 2).
3) вытекает из 2) и теоремы 1.
Из 3) следует, что вложение А (M )G-—>A (M ) можно рассмат-
ривать как квазиизоморфпзм дифференциальной градуирован-
ной ашебры (A (M )9, О) в (А (М), d). Отсюда вытекает 4).
Предположим, что 9=а„, где се G. Тогда 6°=2
Поскольку с содержится в некоторой однопараметрической
подгруппе группы G (см. следствие 1 теоремы 3.1), се2(с)°,
откуда ceGx. Для любого geG имеем
3(3х)=(с3с"1)х=с(3х):
Значит, $=2„. Если ozeA(M)G, то 5*ос=оъ, и из 1) следует, что
ос= О, если Doc нечетно. Теперь 5) вытекает из 3). I
Заметим, что утверждения 1) и 3) обобщают; соответствен-
но, предложения 15‘ и 7, a. утверждение 3) обобщает теоре-
му 3 (см. пример 4.15). Утверждение 4 для связной ком-
пактной грушты Ли можно также вывебтй из теоремы 4
и примера 7.11. _ .
‘Следствие. Если M 2 GG/H--—-cumluempuueczcoe однород-
ное пространство связной компактной группы Ли, то
н‹м:чч›=и‹яхь›н;
* ..
.' . 21".. ‘ ."'-
ч «вшей-ат ~=.s‘:~.

§ 10. АЛГЕБРА ввиля 213
§ 10. Алгебра Вейля
1. Конструкция алгебры Вейля. Пусть G —-—вещественная
‚ или комплексная группа Ли. Мы свяжем с G биградуирован-
ную дифференциальную алгебру, которая полностью опреде-
ляется касательной алгеброй 9 группы G и называется
алгеброй Вейля алгебры 9.
Как биградуированная алгебра, алгебра Вейля WA (g)
определяется формулой
И’‚4(9)=А®В‚
где
A=La(9[1])a B=Ls(9[?-1)» WA(9)pq=Ap®Bq-
Можно также рассматривать WA (g) как алгебру L‘(gmG)gm)
всех симметрических форм на градуированном векторном
пространстве 9ш®9ш (см. пример 6.9). Очевидно,
WA(9)=2(9f1]@Qf2])s A:/\Qf1], B=S9f2}-
Обозначим через инй тождественные изоморфизмы вектор-
ных пространств 9Ш-—›9[д и 9{„—-›9{д.
Алгебру Вейля можно рассматривать как градуированную
алгебру относительно полной степени. Мы хотим теперь
определить на ней структуру 53(9)-модуля (см. п. 7.4).
В частности, WA (g) станет дифференциальной градуированной
алгеброй. '
Для любого ие9 обозначим через 1,, u внутреннее
умножение на и в алгебре А=1.“(9Ш). Пусть 1 u —-дифферен-
цирование степени -1 в WA (9), такое, что 1(u)(a®1)-—-=
=(tA(u)a)®l (aeA) И 1(u)(1®b)=0 (beB). Очевидно, ъ(и)
имеет бистепень (-1, 0). '
Любой ueg определяет линейный оператор -—(adu)* B 9*,
который продолжается до дифференцирований степени 0 алгебр
А и В, обозначаемых соответственно 9 A (u) и GB Продолжим
эти дифференцирования до дифференцирований алгебры WA (9),
сохраняя их обозначения и считая, что 6‚4(1®Ь)=О (beB)
И 9д(а®1)=0 (аеА). Положим 9(u)=9A(u)+9B(u). Очевид-
но, 9,, (u), Од (и), 9(и) имеют бистепень (0, О). Ясно, что 0(и)—-это
единственное дифференцирование алгебры WA (9), совпадающее
с —(а‹1и)* на 95] И с —(ас1й)* на 9551.
Теперь мы перейдем к определению кограничногооперато-
ра d B WA МЫ определим его как сумму трех компонент.
Обозначим через dA кограничный оператор в А, заданный
формулой (9.4)‚ а также его продолжение на WA (9), ‘такое, что

214 гл, 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
а7‚4(1®Ь)=0 (beB). Это дифференцирование бистепени (1, О),
причем а‘ i=0. Выберем в g базис е1‚ ...‚ е‚‚ и обозначим через
.ei, ..., е; сопряженный базис в g*. Тогда из (9.6)'следует‚ что
dA"-"-"—‘
l\)|*-'
Ё (е;,"® l)9A(ek). (1)
Обозначим через б единственное дифференцирование степе-
ни 1 в WA(g), такое, что б(а®1)=1®д (aegf‘1,)n б(1®Ь)=0
(beB) (CM. предложение 6.7). Очевидно, б2=О и б имеет
бистепень (—— 1, 2). Имеем `
б: Ё (1 ®ё;)ъ(е„). (2)
k=1
Действительно, обе части этого равенства суть дифферен-
цирования степени 1, одинаково действующие на а®1 И 1®д
(ae gfu), так что равенство следует из предложения 6.6.
Используем введенный выше базис для определения третьей
компоненты когранигшого оператора, полагая
dB= -' Ё 9B(ek). .
Очевидно, ад-дифференцирование бистепени (1, О).
Из (1) и (3) следует, что
2л‚‚+л„= + Ё (e;®1)9(ek). ’ (4)
k=1
Предложение 1. Для любого иеИ’А(9)„‚2д и любых x,-,
y,-egm имеем '
(dA&l)(xl9 "ч хр+1э ‚Й, ---‚ J74):
= Z (—1)””1и([хд, xi], x1, ..., )3}, ..., 32„ ...‚ х‚‚+ 1, fl, ..., ﬁg), (5)
i<j '
(5u)(-xls "ч хр-1а J71: ---'9-fq+1)=
q А
=(— 1)p+1 .21 “(хм ---9 xp—l: yjsjil‘; "ч ifs "'9 )7q+1)-
J:
(dBu)(-751, т, Xp+1» J71, "ч 374):
р+1
Ч _____........
= .Z1(-'1)‘,-I-1'2 u(x1, ад, £1’, ..., x,,...1, fl, ..., [х], yg], ..., у“).
J:
=1
. J ....~ „ад. ~ x.
‚‚ ,.§_.._. ;,:_:.-;5:,;»,v§'.'»*.~:::;s.5za~3:-13>-.~;‘g’ д‘ "'-'—*a:~.,~“‘-.-;Z5;:‘»:- ‚я‘ -r-“--‘»g.~;'..~‘f= д. и - «._.- „а К:
ц `Ё?:.?9:‚!Еёе#а&1—н1; щ .-

§1o. АЛГЕБРА ввиля ° 215
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Все три формулы доказываются
однотипно. Докажем, например, (7). Используя формулы (3)
и (6.19), получаем
(dBu)(-751: "ч хр+1э -"9 J74):
L .—. —. 2 (e,'{®l)(9B(e,,)u)(x1, х„„‚ y-,, д):
k=1
1
+
п р .
(— 1)’+1e,2'(x,-)(03(e,,) u)(x1, ..., .721", ‘..., Xp+1, _}-11,...., ya):
ll
I
ДМ
k=1j
p 1
= -' ("" 1)]-+1 (93(€j) u)(x1, ..., J2’,-, ..., .X.'p+1, fl, ..., ya):
1 .
+
Ь!
||
p¥1 - q __ '
= .21 (-- 1)]-F1121 u(xi, ..., 56',-, ..., Xp+1, y-1, ..., [х], J71], ..., Уч). I
J: =
Определим теперь d e (bet WA 1 формулой
d = dA + б + dB.
II р е д л о ж е н И е 2. Операторы ъ (и), 9 (u) (u е 9), d определя-
ют на WA (g) структуру 2 (Q)-Mody/vz.
,ZIoI<a;;_a'reJILcTB9. Докажем сначала, что d2=0. Запи-
шем d = d + б, где d = d A + dB. Достаточно доказать, что
(72 = б] = О. Поскольку (72 =% Ё] е ЬеЬУУА (9))2‚ достаточно
проверить, что этот оператор аннулирует а®1 и 1®д для
любого аедгц. Имеем g2=d,4d3+dBdA+d,2;. Пусть ае9[‘„.
Очевидно, d2(a®l)=0 И d2(l®d)=(d,,dB+d,2,)(l®&). Исполь-
зуя (5) и (7), видим, что для любых х, у, zeg
(dAdn)(1®67)(x§y» f)=ds(1®5)([xa y]» 2")"-=a([[x» y]: 2]),
d§(1®5)(xa ya Z')=ds(1®5)(y» [—x:7])-
-dn(1®5)(x» [и 2])=а([у› [ж гП)-а([х› [за z]])=
а =а([у› [д г]])+а([х› [22 УЛ)-
Отсюда следует, что z7‘°'(l ®d)=0. _
Аналогично, для доказательства равенства [d, б] = 0 до-
статочно проверить, что оператор__ [d, б] аннулирует а ®1
и 1®д для всех aegﬁ]. Имеем [d, 8]=d35+8d,4+5dB+d,,8.
Поэтому [а', б] (а® 1)=dB(l ®'&)+(5dA)(a® 1). Используя пред-
ложешите 1, видим, что для любых х, ye gm
[31 5](a®1)(x» J7)==a([x, y])-(dA(a®1))(xa y)=0-

216 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Далее, б](1®д)=(бс1д)(1®д), так что для любых
х, yeg имеем
[31 5](1®5)(fa J7)= -ds(1®é)(x» J7)-dn(1®é)(y» f)= ‘
= -a([xa ;v])-a([y: x])=0-
Перейдем теперь к проверке свойств (7.7)—(7.10). Для (7.8)
И (7.10) она проводится непосредственно. Чтобы доказать
(7.9), достаточно показать, что ъ([и‚ v]) И [ъ (и), 1(v)] (и, veg)
совпадают на элементах а®1 и 1®д (aegfu). B первом
случае это следует из предложения 9.4. Далее, имеем ъ([и‚ и])
(1®&)=0=[1 (u), 1(v)](l®&). Соотношение (7.7) следует из
аналогичного соотношения в 2(9)-Mo11yJIe A и из равенств
[т(и)› d](1®d)=(t(u)d)(n1®é)=(t(u)d»)(1®é)=
=..(1(u) 2 (e,‘,"®l)63(e,,))(l®d)==—9(u)(l®&). п
k=1
2. Инвариантные элементы. В ситуации, описанной в п. 1,
каждый ge G определяет оператор (Adg)* B g *, который
продолжается до автоморфизма алгебр А и В, и следователь-
но, до автоморфизма алгебры WA (9), который мы обозначаем
тем же символом. Очевидно, отображение ‚ХЕ: g+——>((Adg)"‘)"1
есть линейное представление группы G B WA Отображение
6: ur-+9 (u) является, в определенном смысле, дифференциалом
представления K3 (хотя это представление бесконечномерно,
оно является суммой конечномерных подпредставлений, ин-
дуцированных в WA (g),,q (p, qeZ). Поэтому подалгебра ин-
вариантов WA (g)G содержится в подалгебре WA (9)9 элементов,
аннулируемых операторами 0 (и) для всех ue 9. Если G связна,
то WA (g)G= WA (9)9.
B случае, когда группа G компактна, с представлением K3
связан оператор усреднения в WA (9), который мы будем
обозначать через и. В силу предложения 4.12 р является
проектированием пространства WA (9) на WA (g)G. B случае, когда „
G связна, из предложения 2 следует, что оператор d перестаново-
чен со всеми (Adg)* (ge G) И поэтому с оператором р.
Заметим теперь, что из равенства (4) „следует
Предложение 3. Для любого ие WA (9)9 имеем
с13и= —2dAu, du= -—dAu+8u.
3. Тривиальность когомологий. Мы сохраняем обозначения
п. 1. Целью этого пункта является доказательство следующего
утверждения.

§ ю. АЛГЕБРА ввйля 217
Те о р ем а 1. Дифференциальные градуированные алгебры
WA (g) и WA (9)9 являются стягиваемыми и, следовательно,
ациклическими. _
Доказательство. Из формул (1) И (3) видно, что ImdA
И. 1ша'в состоят из разложимых элементов. Поэтому
d(a®1)El®& (mod(WA(g)+)2),
d(l®c7)a"0 (m9d(WA(g)+)2)
для всех ае9{„. Следовательно, комплекс (E (WA (g)), Е):
»_~_«(g["‘1] G) gfzl, б) имеет тривиальные когомологий. В силу
предложения 7.7 WA (9) стягиваема.
Для доказательства того, что WA (g)9 также стягиваема,
нам понадобится явный вид оператора гомотопии k, построен-
ного в доказательстве предложения 7.7. В обозначениях этого
доказательства мы можем взять Q =g[*1] ®1 и определить
k e (be: WA (g))_ 1 условиями:
k(a®l)=0, k(d(a®l))=a®1 (aegfu).
Тогда k, 0(u) =0 для всех ue g. Действительно, очевидно, что
k, 9 и (а®1 =0 (ае9гд). Далее, для любого ае9*1 имеем
[не и d(a®1)=k0(u)d(a®1)—6 u)kd(a®1)=kde(u5(
—9(u a®1)=0. Поскольку WA (g порождается элементами
а®1, d(a®l) (aegfu), дифференцирование [k, 6(u)] равно 0.
Отсюда следует, что k переводит подашебру WA (9)9 B себя И,
значит, определяет на ней нужный нам оператор гомотопии. I
4. Трансгрессия. Одним из применений алгебры Вейля
является установление связи между алгебрами A9 И B9
кососимметрических и симметрических гшвариантных полили-
нейных форм на компактной алгебре Ли 9. Эта связь дает
возможность свести вычисление алгебры A9 (И тем самым
алгебры когомологий Н (G, R) компактной группы Ли G, CM.
теорему 9.3) к вычислению алгебры B9.
Определим на АЧЬ х B9+ следующее отношешиге т:
atb¢l®b=-d(a®l+c),
где ce(A+®B+)9, aeA%., beB%,.
Отношение т называется трансгрессией. Обозначим через
Т с: A9, область определения трансгрессгш; элементы этого
множества называются трансгрессивными элементами. Транс-
грессию можно понимать как многозначное отображение
множества Т в B9+. Если аеТ и атЬ, то элемент ЬеВЧь
называется образом элемента а при трансгрессии.
a®1)-—.
r. ‘кии

218 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Предложение 4. 1) Отношение 1: линейно, т. е. ‘из адтЬд
(i=1, 2) следует, что (a1 +a2) 1: (bl +b2) u (ca,)1:(cb1) для
любого се K.
2) 1: является однородным степени 1 в следующем смысле:
если атЬ и a=Z ад, b=Zb,-, где Вад=ВЬд= i, то a,-tb,-+ 1 для всех i.
3) Множество 1: есть градуированное подпространство
в АЖ. Для любого элемента ае T ' его образ при трансгрессии
может быть выбран из ван 1.
Доказательство проводится с помощью непосредст-
венной проверки.
Пример 1. Пусть aeA§. Тогда d(a®l)=8 (a®1)=
= 1 ®&eBg. Следовательно, отд. Таким образом, А‘; = T 1
И трансгрессия на A91 совпадает c тождественным изоморфиз-
MOM 1TP°°TPaH°TB Asi=(9'f1])9 И B§*(9f21)9-
П р им е р 2. Пусть Ь—инвариантная билинейная форма на
9 (см. п. 2.6). Тогда beB?,. Определим формулу aeL3 (9)
формулой
t~)|'-'
b([x,, x2], x3).
a(x1, х2‚ хз)=
Легко проверить, что aeL‘§ (g)9. Покажем, что атЬ. Для этого
рассмотрши элемент c e WA (g)g, заданный формулой
__ 1
с(хз (ха .V5Q[1])- I
Используя (5) и (6), видим, что d,,c=8(a® 1) и бс=1®Ь.
Следовательно, d(a® 1 +c)=8 (a® 1)-d,,c+8c=b.
5. Примитивные элементы и траисгрессия. Начиная с этого
места, мы предполагаем, что 6——-связная компактная группа
Ли. При помощи теоремы 9.3 отождествши алгебру когомоло-
гий Н (G, R) с A9=L“ (g)9. Как и в §9, мы обозначаем через
PG подпространство примитивных элементов биалгебры
Н (G, R). Важный результат теории алгебр Вейля состоит
в том, что PG совпадает с пространством Т трансгрессивных
‘элементов. В этом пушсте будет доказано включение PG с: T.
Мы будем использовать градуировку алгебры WA (g) no
первой степени (см. п. 6.1):
,__,._
WA(9)= 69 WA (g)p.., где WA (9)p...=A,,®B (9)
рэо ~
и фильтрацию, связанную c этой градуировкой:
тйпс W(1)C...C W(p)C..'.,

§ 10. АЛГЕБРА ввиля _ . 219
где
P
H/(p)=( е) Ak)®B'
k = o
Обозначим через w оценку, связанную с этой фильтрацией.
Заметим, что операторы 9 (u) (ue g) PIMCIOT степень 0 от-
носительно градуировки (9) H сохраняют фильтрацию (10).
Кроме того,
dAWp:C: Wp+1,*> б Wptc Wp-1,¢a dW(p)C W(p+1)°
Рассмотрим градуированное подпространство X ® Вс: WA (g),
где Х = С*сА—подпространство, описанное в п. 9.9. Для
любого ge G ортогональный автоморфизм (Ad g)‘ алгебры
А =L" (g) переводит С в себя и, значит, переводит Х в себя.
Следовательно, X ® В инвариантно относительно (Ad g)‘ (ge
eG), 9(u)— (ueg) и оператора д. Положим
y=(x® в)в= WA («g)9ﬂ(X® в).
Заметим, что УП (1 ® В) = 1 ® B9,‘ причем а’ (1 ® B9)-=0
B силу предложения 3. '
П р е д л о ж е н и е 5. 1) Г радуированное подпространство
Х ® В инвариантно относительно d A и б.
2) Г радуированное подпространство Y _инвариантно относи-
тельно а’.
3) Вложение Ьо—› 1 ®b индуцирует сюръективный гомо-
морфизм B9 —+ H (Y ). Точнее, любой ye Y, такой, что d y=0,
имеет вид
у=1®Ь+а'2,
" где beB9, zeY u w(z5<w(y) или z=0.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Из предложения 9.16 следует, что
X ® В инвариантно относительно d A. Пусть и = Z х; ® b,-, где
I
x,-eX, b;e_B. Тогда в силу (2)
5“=Z Ё (‘A (etc) (xi))®(abi)a
i k=1
где e1,..., е‚‚—базис в g. Применяя следствие предложения
9.16, мы видим, что ъ‚4(е‚,) (x,-)eX, так что биеХ®В. Тем
самым доказано 1).
Если yeY, то в силу предложения 3 ау=—с1,‚у+бу..
Поскольку dye WA (g)9, ИЗ 1) следует, что dye Y.
Утверждение 3) докажем с помощью индукции по
w (y). Поскольку Y П Wm): 1 ®B9, наше утверждеъше верно

220 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
для w (y)=0.. Предположим, что оно доказано для элементов
у, удовлетворяющих условию w ( y)< p, где р>0. Пусть
ye Y, dy=0 И w(y)=p- Тогда У=Уо+Уь где yoe WA (9),,...,
у1е РТ/„,..„. Легко видеть, что yo, у1е Y. Запишем y0=Z a;®bi,
I
где адеХр, b,-eB, причем b,- Jmneiino НСЗЗВИСИМЫ. Согласно
предложению 3 '
0=dy=——a'Ayo+5yo+du1.
‘Очевидно, dAy0e WA (g),+1_.., буде И/„‚_1, и а'у1е Wm, так что
0 = dAJ’o = Z ((1.4 ад) ® bi,
i
откуда dAa,-=0 для всех i. B силу предложения 9.16 a,-=dAc,-,
где c,~e_=X,,_1. Тогда yo=dAy2, где y2=Z c,-®bieX,,..1®B.
Поскольку и ° d,4 = щ ° и, Имеем уо = и (an. (у; )) = d,4 (щи), ripa-
чем y'2 == ну; е Y р- 1. Таким образом, -
y=dAy'2+y1=d(-y§)+5y§+y1=d(-yCz)+J71,
где —y'2eY и j2',==8y’2+y1eW(,,_,,. Очевидно, с1371=О. Кроме
‘того, j71=y+dy’2e Y B силу доказанного выше. По пред-
положению индукции 371 = 1 ® Ь+ dya, где b е B9,
И и2(у3)<ш(у2)<р (или у3=0). Отсюда
J’=d(J’3")’2)+1®b,
что, очевидно, является искомым представлением элемента
у. I
TeopeMa 2. Для любой связной компактной группы Ли
G имеем
yeY
PGCT.
Доказательство. Пусть аеРё. В силу предложения
3 d(a®l)=—(dAa)®l+8(a®1)=5(a®l). ПУСТЬ e1,
..., е„-—базис в g. Используя (2), получаем, что
d(a®1)= Z (1A(ex)a)®,?;
k=1
Согласно предложению 9.17 1A(ek)aeXq_1 (k=1, ..., n). Ta-
КИМ образом, d(a® l)e Yﬂ W,,..1,,,.
Согласно . предложению 5
d(a?® l)=1®b+dv,

§ 10. АЛГЕБРА ввйля 221
где beB3+1, veYq, причем w(v)<q—l ИЛИ и=0. По теореме
9.4 q нечетно. Поэтому v=Z a,-®b,-, где a,-eA, b,-e_=B, 0<Da,-<
l
<q-2, Db,->2. Следовательно, a1:b.l _
6. Строение алгебры симметрических инвариантов. В этом
пункте будет доказано, что алгебра B9=L‘ (g)9 инвариантных
симметрических полилинейных форм на компактной алгебре Ли
является алгеброй многочленов, порожденной образом трансч
грессии. Мы будем использовать следующую конструкцию.
Пусть р1,...,р‚-—базис пространства PG, состоящий из
однородных элементов, и пусть bl, ..., Ь‚—однородные образы
этих элементов при трансгрессии, существующие в силу
теоремы 2. Тогда d(p,-®1)=l®b,-+dc,-, где c,-e(A+®B+)9
И Всд=Вр,. Полагая рд=рд®1—сд, получим
(i=l,..., Г).
‚По теореме 9.4 A*‘=/\..-,(p,,...,p,). B силу следствия 2 из
предложения 6.5 131, ..., р‘‚—свободная система образующих
порожденной ими подалгебры А= /\ д (131, ..., p”,). Положим
C=A®B9. I/I3 (11) следует, что dCc: C. .
Пр едложение 6. Имеем Н (WA (g)9/C)=0. Дифференци-
альная градуированная алгебра С аииклична.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Нам нужно доказать, что если и е
е WA (g)9 И due C, то u=dv+c, где "vs WA (g)9, се С. Будем
доказывать это с помощью индукции по w (u) (CM. п. 5). Если
w (u) =0, то ие B9, так что наше утверждение справедливо.
Пусть оно верно для w (u)< p и пусть w (и)=р>0. Запишем
и=ид+и1, где ио е WA (g)§,,.., ид е W?,,_1,. Как и при доказатель-
стве предложения 5, видим, что du= —d,,uo+u2, где и2е Wm’
d,,u0e WA (g)§‘,+1,,,. По условию du= Z д‚,...д,‚®1›„___,‚‚ где
i1 < <i,
b,-l__,,-seB9. Отсюда следует, что dAu0= — 2 p,-,...p,-s(>§b,-,_,,,-Se
i; < <1‘;
eA§‘,+ 1 ® B9. C другой стороны, если ио =2 ад®'од, где адеАр,
- ` I
и, е В и и, линейно независимы, то dA ио =2 (d A ад) ® v,-. B. силу
i
предложения 9.8 отсюда следует, что d,,a,-=0. Используя снова
предложение 9.8, мы видим отсюда, что a,-=a§+d,,a§’, где
aﬁ-eA§‘,, a§’eA,,..1, так что
u0=u3+dAu4a (12)
me‘ из=2 ai-®v.-6 WA (вы u4=Z a£’®v;e WA (9)p—1,.=. При-
l _ l
меняя оператор р, получим ид = риз +а'‚‚ (ри4), где риз =

222 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
=2а;®(р.ид), так что мы можем считать, что в равен-
I
стве (12) u3eA§,®B9, и4е WA (g)§,._1,,,,. Имеем u=u3+dAu4+
+u1=u3--du4+u1+8u4. Записывая из в виде из:
= рд,...рд‚®1›$,___;‚, где ;,_„д„еВ9‚ и полагая 213:
ll < м. <1;
= 2 р„...;3,‚®1›;‚___‚‚ес, имеем из-йзе И’?‚,_1„ так что
51 < < is
u=ﬁ_~,—du4+u5, где и5еИ’%‚‚_1,. Очевидно, du5=du-dz73=0,
так что к us применимо предположение индукции, и us =
=dv+c, где ие WA (g)9, се С. Таким образом, и=й3+с+
+с1(—и4+0), И наше утверждение доказано.
Ацикличность алпебры С следует из теоремы 1 и пред-
ложения 7.2. I
Теорема 3. Во введенных выше обозначениях элементы
b 1, ..., b, составляют свободную систему образующих граду-
ированной алгебры B9.
До_казательство. Применить предложение 7.8 к диф-
ференциальной градуированной алпебре С. I
7. Отображение, обратное к Трансгрессия. Вместо трансгрес-
сии т иногда бывает удобнее рассматривать обратное от-
ношение о'=т’1 в Bﬁ xA9+ (по определению bo'a¢atb).
Это объясняется, в частности, тем, что о является однознач-
ным отображением.
Тео рема 4. Отношение о'=т"Ё является линейным от-
ображением степени —1 пространства B9+ на PG. B част-
ности, пространство Т трансгрессивных элементов совпадает
с PG. Имеем Kero'=(B9+)2.
Доказательство. Докажем сначала, что из а1тЬ, а2тЬ
вытекает, что а1 =a2. B силу линейности для этого достаточно
показать, что из атО следует а=О.
Пусть аеАё и (ITO. Тогда d(a® 1 +с)=0 для некоторого
се Wf,_1,. По теореме 1 а®1+с=а'и= —с1‚‚и+би для неко-
торого ие WA (g)s_1. Запишем и= 2 и“, где ише WA (g),,q.
p+q=s-1
Тогда du=— 2 с1‚‚и‚„,+ 2 бард, ;_ причем аАиМе
p+q=s-1 p+q=s-1
е WA (g),,+1,,,, биде WA (g),,_1,q+2. Отсюда видно, что а®1=
=—с1‚‚и,_1‚о‚ т. е. аеаА (а). Из п. 3 предложения 9.8 следует,
что а=О.
Из доказанного и из ‘A предложения 4 следует, что o'—-— П
линейное отображение. Докажем, что оно определено на всем

I
§ ю. АЛГЕБРА ввиля ' 223
пространстве B‘; И что образ о содержится в PG. Иначе
говоря, мы покажем, что для любого дева существует такой
pePG, что ртЬ. Так же, как в п. 6, выберем и PG однородный
базис pl, ..., p, И обозначим через bl, ..., b,‘ однородные образы
элементов р, при трансгрессии. Из теоремы 3 следует, что
произвольный b e В‘; представляется в виде
I‘ D‘
Ь: Z k;bi+ Z иддд,
д=1 :=1
_ где k,-eR, u,-eB9,_. C ДРУГОЙ стороны, Ьд=с1(рд®1+сд), где
c,-e (A + ® В+ )9. Отсюда легко следует, что
Ё kgCi+
i=1 i=1
Г
д:
Pi®ui+ Ё Ci(1®u:'))-
1 i=1
Г
Значит, prb, где р= Z kip,-ePG.
i='l
B частности, мы видим, что Orb, если ЬЕ(В‘Ё,_)2, т. е.
что (B9+)2<:Ker 0'. Обратно, пусть ЬеВЧ, обладает свойством
r ‘ ‘
Orb. По_ теореме 3 Ь= Z I.-b.-+5, где I,-eﬂ, Ёе (ВЧ,_)2. Посколь-
п=1
ку 015, имеем также 0t(Z lib‘). C другой стороны, Ьрд)
' i=1
i=1
r
‘((21,-bi), так что Z1,-pi=0, l;=O (i=1, ..., r), И b=be(B%,)2.
i=1
Значит, Ker o=(B%, .
B силу теоремы 1 PG: T. Обратно, пусть ае T. Тогда
атЬ для некоторого дева. Но, как доказано выше, ртЬ
для некоторого реРд. Значит, a==pePG, И Т= PG. I
Начиная с этого места, _мы будем обозначать через
SG B92148 (ввоз.
С л е д с т в и е 1. Трансгрессия определяет изоморфизм гра-
дуированных пространств т’: PG —› Е (56), имеющий степень 1.
Если
5:1
рада’ t)=i t2m;+1,
mo 1-1
ринга r>= >3
i=1
Г
p(SG, :)=1/n(1_z2<-+1>).
i=
D-5

224 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Следствие 2. Число dim P3, совпадает c числом простых
некоммутативных сомножителей в локально прямом раз-
ложении группы G на простые нормальные подгруппы Ли.
Доказательство. Из предложения 9.10, теоремы 9.4
и примера 9.1 ‚следует, что наше утверждение достаточно
доказать в случае, когда G проста И некоммутативна. В силу
следствия 1 и примера" 9.2 в этом случае число dim Pf’;
равно размерности пространства инвариантных симметричес-
ких билинейных форм на g. Поскольку присоединенное
представление простой группы неприводимо‚ последняя раз-
мерность равна 1. I -
Заметим, что в примере 2 указан явный вид примитивных
элементов степени 3. - _
Назовем длиной связной компактной группы Ли G число
MG) всех простых сомножителей‚ входящих в локально прямое
разложение группы G. I/I3 следствия 2 и примера 9.3 вытекает
Следствие 3. Для любой связной компактной группы
д Ли имеем
.' 7L(G)=dim P};+dim Pg.
8. Действие гомоморфизма. Пусть f : H —› G-—-—roMoMop~
физм групп Ли. Тогда соответствующий гомоморфизм ка-
сательных алгебр (р == d f : I) —› g индуцирует гомоморфизмы
градуированных алгебр L“(g)—>L“(I)), L‘(g)-+L’(I)) И их
тензорное произведение WA (g) —› WA (1)). Bce эти гомомор-
физмы мы будем обозначать через (р *.
Предложение 7. Отображение ‹р*: WA(g)—>WA(I))
есть гомоморфизм дифференциальных градуированных алгебр,
переводящий WA (g)9 6 WA (I))". Если Н и G компактны
и связны, то имеют место коммутативные диаграммы
f# . f’
PG PH Ре! PH
ca OH И 1;, 13;, (13)
5'0 """“-W SH E(SG) *“*”E((P-x-) E(SH)
где со, одр-отображения, обратные к трансгрессии‚ и 12;,
т}, изоморфизмы из следствия 1 теоремы 4 для G, H c0om-
ветственно. _
Доказательство. Из предложения 9.3 следует, что ‹р*
перестановочен с а, Из формул (6) и (7) без труда выводится

§ 10. АЛГЕБРА ввиля 225
также, что ‹р"' перестановочен с операторами б И dB. Поэтому
‹р*—гомоморфи3м дифференциальных градуированных ал-
гебр. Поскольку (р о Ad h=Ad f (h) o (р (h e H), имеем
(Adh)*°<P-*=<P*°(Adf(h))* И 9(u)°<P*=<P*°9(<P (14)) (u€-Ib)- OT-
сюда следует, что ‹р* переводит WA (g)‘~‘ B WA (I))".
Заметим также, что если Н и G компактны и связны,
то ‹р*: Ь“(9)9-› L"(I))" отождествляется с f“'*: H(G, R)-—+
—-› Н (Н, R) (теорема 9.3).
Пусть I1; и тН-трансгрессии в WA (g) И WA (1)) соот-
ветственно. Если атдЬ, где aeL"(g)9, beSG, то
1®b=d(a® l+c), где ce(L“(g)+ ®L‘(g)+)9. Применяя ‹р*,
получим 1®ср*(Ь)-=с1(‹р*(а)®1+‹р*(с)), причем ‹р*(с)е
e(L"(I))+ ®L°‘(E))+)". Следовательно, ‹р*(а)т„‹р*(1э). Отсюда
легко следует коммутативность диаграмм (13). I
9. Алгебра Вейля прямого произведения. Пусть G = G1 х 62,
где G1, G2—rpym:1L1 Ли. В этом пункте мы изучим связь
между алгебрами Вейля групп G, G1 И 62. ~ _
Очевидно Ь“(9)=Ь“(91)®Ь“(92) и L“‘(g)==L‘(91)®L‘(92)-
Следовательно,
WA (9)= WA (91)® WA (92). (14)
Предложение 8. Разложение (14) есть разложение
алгебры Вейля WA (g) в тензорное произведение. дифференци-
альных градуированных алгебр. Имеем
WA (Q)9= WA (Q1)9*® WA (92)92» (15)
5с=5с,®5с,- (16)
Предположим, что G1 C6ﬂ3l-lbl u компактны. Если отож-
дествить PG c PG} G) Ре; (см. следствие из теоремы 9.5)
и E(S1;) c E (S1;1)G-DE (S5 2) (CM. предложение 6.1), то изо-
морфизм та: PG -—>E(SG) действует по формуле
’€'o(x1+x2)=tb,(x1)+T2;1(x2)- (17)
Доказательство. Из предложения 9.9 и определения
операторов б и d1, (см. п. 1) легко следует, что d переводит
подалгебры WA (g,-) (i = 1, 2) в себя и индуцирует в них
соответствующие кограничные операторы. Отсюда вытекает
первое утверждение. Формулы (15) и (16) следуют из
примера 1.10.
Пусть G1 связны и компактны. Легко видеть, что если
адтддод, где ~ a,-eP1;i, b,-eS1;i, то адто, (i=1, 2). ‘Поэтому
(a1 +a2)'c(b1 +122) (см. предложение 4). Отсюда вытекает
(17). I
8 A. Л. Онищик

~ —v— -— ----'—-'"*'r
226 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
10. Явная запись трансгрессии. В этом пункте мы дадим
явное описание отображеъшя о‘, обратного к трансгрессии. Пусть
b e (SG)2p-—I/IHBapI/IaHTHa5I симметрическая р-линейная форма на
алгебре Ли g, p>0. Определим форму аеЬ2‚,._1 (g) формулой
“(хм ---› х2р—1)=д([х1‚ X2]: ---‚ [Хм-ь х2р—2]э х2р-1)
(X159)
И рассмотрим кососимметрическую форму Alt as L‘5,,_ 1 (g),
заданную следующим образом:
(A1ta)(x1, ---› х2р-1)= Z (S811-5')a(-7Cs(1)s "ч xs(2p-1))- (18)
seS2p_1
Теорема 5. Для любой Ье($д)2„, где p>O, имеем
1 -1!
о(Ь)=2р__1 AIta®1.
B частности, любая форма вида (18) примитивна и любой
примитивный элемент из А 2,- 1 имеет вид (18).
Доказательство. Мы построим такие элементы b,-e
5 WA (Q)§z,2(p-1“), 0:5 WA(g)§i+1,2(p-i-1) (i=0, 1, -›-›Р“1)› T3‘
кие, что
bo=1®b, cp_1=2Pl_1 Al‘ta®1,
Sc,-=b,~ ‘(z'=O, 1, ...,р——1),
с1Асд=Ьд+1 (i=0, 1, ...,p—2).
p"'2
Тогда, полагая с= Z c;e(A+ ®B+)9, имеем
Ё==0
р-1 р-1 р—1 р—-1 р-2
с1(с‚‚_1+с)= Z dC,°= Z 5C5"-' Z dAC,'-"-= Z bf‘ Z b,°+1=b0.
i=0 i=0 i=0 i=0 i=0
Следовательно, c,,_11:b0, и наше утверждение будет доказано.
Для построения элементов bi, с; мы используем оператор
гомотопии в стягиваемой дифференциальной градуированной
алгебре (WA (g), б), который определяется как оператор
0e(ber WA (g))_1, такой, что
д( 1 ® д)=а ® 1,
д(а ®1)=0
Как видно из доказательства предложения 7.7, имеем
[б‚ д](и)=(г+`3)и (иеР7А(9)‚‚2в)- (19)
_‚__.‚,
(aegfu).

§ ю. АЛГЕБРА ввиля 227
Легко проверить, что д2=0 и что [д‚6(и)]=0 (ueg).
Положим теперь
(p—l)!
[75= (61Ад)‘(1®Ь)э (i=0 1 p—l)
„з. .=_._...<P-1>! а ’ ‘
c,-—p+i0b, (p+i)! 6(dA3) (l®b)
Тогда ясно, что Ь:еИ’А(9)Ёе‚2„‚-е›‚ с:еИ’А(9)Ёа+1‚2‹‚-е-„‚
1
Далее, dACi'-‘—“—*_ dA6b;=b;+1.
p+z
Очевидно, d,,bi = 0 для всех i. Покажем с помощью
штдукции по i, что бед = bi. Для этого заметим, что из
предложения 3 следует, что [б‚ d,, ]u = О для любого и е
е WA (9)9. ПУСТЬ доказано, что 56,-- 1 = bi- 1. Тогда 5b,- =
-“-8dAC,°-‘.1-‘=‘—dA5Ci-1="‘dAbi=0, откуда В СИЛУ
3c;=—l—-—_ 86b;=——1—_ [а д] ь,=ь,.
р+1 p+z
Таким образом, для завершения доказательства теоремы
осталось вьгшслить с‚‚_ 1.
Введем в рассмотрение оператор V= [d,,, д]. Очевидно,
это дифференцирование бистепени (2, —2). Чтобы найти явное
выражение для этого оператора, свяжем c каждым хе g
дифференшарование 13 (x) бистепени (0, —2) в WA (g), заданное
формулой
(13(x)u)(x1, ..., xp, }_’1, ..., }—7q..1)=ll(.X1, ..., хр, 5С’, 57.1, ...‚ J-/q_1)
(“E WA (g)p,2qa xi: )’j5Q[1])-
ПУСТЬ, как И в п. 1, e1, ...,е‚‚—базис в g, И пусть
п
[во 91]’-‘ Z C?j€k-
k=1
Справедливы следующие формулы:
V= Z C’.-‘,~(e?€}® 1)1s(ek), (20)
1
i,j,k=
t\)|'-*
(Vu)(x1, ..., .xp+2, J71, ..., yq_1)= Е (—1)°‘+В+1и(х1‚ ..., 321, ...
a<B
"ч £39 "ч хр+29 [xow хВ L fl: "ч J-)q-1)
(“E WA (g)p,2q: -xi: yje Q[1])~
8*

228 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Действительно, если Уд-дифференцирование, стоящее в пра-
вой части формулы (20), то в силу (6.20) имеем
(V’u)(x1, x,,+2, J71, J74-1)=
I п ч: ч: A A
=--5 Z (——1)°‘+‘”1 Z c{-‘J-(e,-e,-)(x,, xB)u(x1, ..., ха, ...‚ хд,
а<В дьк=т
— — — 1 а п‘ ч: ‚з.
"-9 xp-I-19 eka yls "Ч yq—1)=§ Z (— -l-5+1 2 c?j(el' (xu)ej(xB)“"'
«<5 _ ддк=1 `
“ЗЁОСЮ еЁ(хи))и(х1э -5-9 Хоп -"9 -7239 ---9 xp+29 éks yls "ч У4*1)=
г: Z (—- 1)°‘+B+1u(x1, ..., Зад, ..., 23,3, ...‚ Хр+2‚ [x,, хд L J71, ..., _)7q..1).
«<33
B частности,
V'(a®1)=0 (дебит),
V'(1®5)(x, J’)=a( [д YD (иены, X, 759m)» '
Легко проверить, что V действует на а®1 и 1®д таким
же образом и, следовательно, совпадает с V’.
_1`еперь мы можем указать явный вид элементов b,-. _
Докажем с помощью индукции по i, что
5:051, ---, xzz, J71, ---, J7p—i)= .
1 (p-—-1)!
=-—.——--———--—— S ns b , x ,
2, (p_H.___l)! жёг} 8 ) ([xs(1) ат]
"-9 [xs(2i-1): xs(2i) L yls "ч yp"'i):
Очевидно, это верно при i=0; допустим, что верна формула
1
(22) для bi. Заметим, что b,~+1=—:—_ Vb,-. Используя (21),
р 1
получаем
_ _ 1
bi+1(x1, ---, X2i+2, Y1, "ч Ур—1—1)="“т Z (""1)a+B+1bi(x1,
+1 N,
"ч Йота ---3 £39 "ч х2й+2э [хм x[3]9 J71: "-3 J7p-i-'1)‘:
____1_ (1""1)! __ a+|3+1 '
./2:‘ (p+i)! „Ев щиёчаш} 1) (sgns)b( [хм хм L
aqaéouﬂ „_ „_
[х„„_‚‚ х„„ ], [x,, хь ]‚ J71, y",,—,-—-1)-
B поеледней формуле можно считать, что суммирование
происходит по всем дерестановкам t=(oc1, ..., сед, ос, В), таким,
что a<[3. Очевидно, здпг=(--1)°‘+'”'1вдпз. Нетрудно также
убедиться в том, что при условии ос> В мы получим ту же

§ п. симмвтвичвскив ИНВАРИАНТЫ 229
сумму. Поэтому bi“ выражается формулой, (22), и наше
утверждение доказано. В частности,
._. 1
bp—1 (X1: "ч х2р—2› )_’)=2—,,'lT1 E Z (Sgnt)b([-751(1)» xnz) L»-
‘ teS2p__2
---a [x:(2p—3)a xt(2p-2) L у)
(ха, yE9[11)~
Используя следующую формулу, аналогичную (6):
(au)(-xls "ч хр+ 1э fl: "ч J74-1):
p+1
= 2 (—l)j-1u(xl> "ч -£1’: °°°э хр+1э J71: "ч ya‘-‘1)
.=1
(и е xi: yk E 9[1])э
BBIBOHHM ОТСЮДЗ, ЧТО
1 _ 1 (р——1)!
2p_l 6b,,..1-2p_1(2p_1)!(A1ta)®1. I
Заметим, что в случаях р=1 и р==2 утверждение теоремы
5 содержится в примерах 1 и 2.
§ ll. Симметрические инварианты
1. Сведение к инвариантам группы Вейля. Пусть G-
связная компактная группа Ли. В этом пункте мы изучаем
градуированную алгебру R [g 1“ вещественных полиномиаль-
ных функций на 9, инвариантных относительно присоединен-
ного представления Ad группы G. Как хорошо известно,
алгебра R [g] полиномиальных функций (или многочленов) на
9 естественно изоморфна алгебре Т.’(9) симметрических
полшшнейных форм на 9, причем изоморфизм сопоставляет
каждой beLi(g) МНОГОЧЛСН р(х)=Ь(х, ...‚ x) степени k на 9.
При этом изоморфизме подалгебра инвариантных многочле-
нов R [g]G соответствует подалгебре SG-—-—L‘(g)9=L‘(g)G HH-
вариантных полилинейных форм на 9, которая играла важную
роль в § 10. Мы обычно будем отождествлять R [9] с 1.’(9)
И R [9 ]G с SG при помощи указанного выше изоморфизма.
Следует отметить, что градуировки в L‘( 9) И SG, рассматрива-
емые B § 10, являются удвоенными по сравнению с обычной
градуировкой в алгебре многочленов, поскольку 9 И 9*
градуируются степенью 2. Относительно этой градуировки
SG есть коммутативная градуированная алгебра, И по теореме
10.3 она свободна. В этом параграфе мы, как правило, будем
рассматривать обычную градуировку ашебры SG степенью

230 ГЛ. 3. ВЕЩЕСГВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
deg р однородного многочлена р. Однако свободная система
образующих будет пониматься в смысле п. 6.4, т. е. при
рассмотрении таких систем мы будем рассматривать SG как
коммутативную градуированную алгебру.
Пусть Т— максимальный тор группы G И W= WG-—rpyIma
Вейля, действующая на подалгебре гс 9 (см. п. 3.3). Обо-
значим через SW rpaD;yHpoBaHHyIo алгебру R [t ]W вещественных
многочленов на t, инвариантных относительно W. Следующая
теорема является важным средством изучения инвариантных
многочленов на 9. '
Теорема 1. Пусть j: t—-rg-—-moatcdecmeermoe вложение.
Тогда отображение ограничения j *: R [9 ] —› R [t] индуцирует
изоморфизм градуированной алгебры SG на SW. Число свободных
образующих алгебры SG равно dimt== rk G.
Используя следствие 1 теоремы 10.4, получаем отсюда
Следствие. Для любой связной компактной группы Ли
G имеем
dim PG = rk G.
Переходя к доказательству теоремы, заметим, прежде
всего, что j * (SG) c SW. Действительно, это легко следует из
соотношения w*oj*=j*o(Adn)*, где we W И neNG(T)——
такой элемент, что w=(Adn)|t (CM. п. 1) теоремы 3.4). Таким
образом, получаем гомоморфизм градуированных алгебр
j *: SG —› SW. Этот гомоморфизм инъективен. Действительно,
предположим, что j*(p)=0 для некоторого peSG. Из теоремы
3.1 следует, что для любого xeg существует такой ge G, что
y=(Adg)xet Тогда x=(Adg“)y И p(x)=((Adg"‘)*p)(y)=
=-p(y)=0. Значит, р=0‚ Остается доказать, что j *: SG—>SW
сюръективно.
При доказательстве этого _факта нам удобнее будет иметь
дело с комплексификациями рассматриваемых алгебр, т. е.
с алгебрами комплекснозначных полиномиальных функций
С [9] И С [t ] Ha 9 и t COOTBCTCTBCHHO. ПУСТЬ S E;-=C [9 1“, S ° =
=С [t ]W. Имеем инъективный гомоморфизм j*: S Ё -> S 3„
совпадающий на вещественных функциях с определенным
вчыше. Положим SG = j *(S Ё). Достаточно доказать, что
Заметим, что комплекснозначные многочлены на 9 од-
нозначно продолжаются до многочленов на 9 (С). С помощью
этого продолжешигя мы отождествим С [9] с С [9 (С)] и,
аналогично, C(t) с С [t (C)]. Группы Ad G И W естественным
образом действуют на, 9(С) И t(C), причем S ?;=C [9 (C)]G,
S° =C [t(C)]W. `

§H. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 231
Лемма 1. Пусть xet, yet(C), u пусть oc(x)=oc(y) для
всех осе SG. Тогда yet u y= w (x) для некоторого w е W.
ДОКЗЗЗТСЛЬСТВО. Очевидно, y(x)='y(y) для всех *yeS?;.
Поскольку орбиты компактной линейной группы Ad G B 9 (C)
разделяются инвариантами (см.‚ например, [20 ]‚ § 3.4), суще-
ствует такой g е G, что у = (Ad g) x. Значит, у е 9 П t (C) = t.
Далее, х e t П (Ad g“ 1) t. Очевидно, t И (Ad g” 1) t-—MaI(CI/IMaJIb-
ные коммутативные подалгебры в централшзаторе 3 (х) эле-
мента х B 9. Из теоремы 3.1 следует, что существует такой
ае 2(х), что t=(Ada) (Adg" 1) t. Тогда п=а3` 1 е N6 (T)
И g=n’ 1 а. Имеем y=Ad (n“ 1 a)x= w (x), где we И/——-ограниче-
ние автоморфизма Ad п" 1 на t. I _
Л Ne M M a 2. Любой элемент алгебры С [t ] является целым
над SG, m. e. удовлетворяет алгебраическому уравнению над
SG co старшим коэффициентом, равным 1.
Д о к а з а т е л Ь с тв о. Для любого _хе 9 рассмотрим харак-
теристический многочлен chx оператора ad x B 9:
сЬх(?ь)=(1еЕ(?ь °1‹1—-ас1х)=7ь"+р1 ?»""1 +...+p,,.
Очевидно, рдеп [9] (z'== 1, ..., n). Поскольку ad ((Ad g) x)=
=(Ad g) o (ad x)o (Ad g)" 1 (де G), имеем рдеЗд. Считая, что
xet, И ограничивая р; на t, получаем многочлен
CT1x(7‘)=7‘"+I;17V"_1+~--+ﬁna .
где ﬂ,-=j*p,-ESG (i=1, ..., n). Очевидно, ch,,(oz)=0 для лю-
бого корня схеАд относительно t. Отсюда следует, что все
корни являются целыми над SG. в
В силу предложения 2.5 имеем 9:90 Е!) 3(9), где go: [g, g].
Тогда t=toG93(g), где to=tﬂgo. Далее, t*(C)=t3(C)G)
G)3(g)* (С), где t3(C) натянуто на Ад, а 3(g)* (C) состоит
из ограничений линейных форм, равных О на go, T. e.
JI6)I<aL1IHX B SE. Отсюда следует, что t* (С) натянуто на
элементы, целые над SG. Так как целые над 5.; элементы
составляют подалгебру в С [t] (cM., например, [34], т. 1,
гл. 5), то целыми являются и все элементы алгебры С [t ]. I
Будем обозначать через Q (A) поле частных области
целостности А. ~
Лемма 3. Расширение полей C(t)=Q(C [t ]):>Q(SG) яв-
ляется нормальным конечным расширением.
Доказательство. Рассмотрим (1) как многочлен над
Q (SG). Очевидно, над кольцом С [t] OH допускает следующее
разложение на линейные множители:
сЬ„(?ь)=?„' П (Ж-оъ),
aeAG

_ __„„ _
232 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
где 1 = dim t. Из доказательства леммы 2 следует, что
AG порождает поле C(t) над Q(SG). значит, СШ-минималь-
ное поле разложения многочлена 011,. Следовательно, pac-
ширение нормально (см. [18], § 41). I
Теперь мы переходим к доказательству включения
SG :2 Sﬁz, которое завершит доказательство теоремы 1. Пусть
Г-группа Галуа поля C(t) над Q(SG). Тогда любой оеГ
переставляет корни многочлена (1) и, следовательно, пере-
водит в себя систему AG. Поэтому c5(t*(C))=t* (С). Следова-
тельно, о индуцирует линейное преобразование 6*:
t(C) —› t(C), причем для любых xet и реБд имеем
p(o'*(x))=c5(p) (x)=p (x). Из леммы 1 следует, что для
любого xet имеем o'* (x)et, причем существует такой we W,
что о*(х)=и›(х). Но тогда для любого с1е$$у будем иметь
o(q)(x)=q(c5*(x))=q(x).__Ta1<1»1M o6pa3oM, o'(q)=q для всех
qeS$y. Значит, S%c:Q(SG) (см. [18], § 58).
j * (g)
J'*(/1)’
причем можно считать, что q, h взаимно просты в кольце S З.
С другой стороны, в силу леммы 2 имеем
61'"+1"`(/`1)Ч”"1+---+]*(/„.)=0‚
где f,-e S3. Используя инъективность отображения j "‘, получа-
ем отсюда
Пусть с1е5$у. Тогда по доказанному q=
где g, heS§,
g'"+f1g"“1h+...+f,,,h"'=0.
Если h содержит неприводимый множитель р, то, как следует
из факториальности кольца S ‘ё (см. теорему 10.3), р I g, что
дает противоречие. Значит, hec, T. е. qeSG. Таким образом,
S5-‘-—-"' S
Из теоремы 10.3 вытекает, что градуированная алгебра
SG И изоморфная ей алгебра SW свободны (если считать, что
g и t градуированы степенью 2). Пусть г-число свободных
образующих в SG. Поскольку расширение C(t) :3 Q(Sg)=
=Q(S3) конечно, имеем r=tr degcQ(S2)==tr degcC(t)=
=—-dim t. I
Рассмотрим одно важное для нас применение теоремы
1. Пусть f : G -5 G '—-гомоморфизм связных компактных групп
Ли, (p=d f : g ~—~> 9’-——соответствующий гомоморфизм касатель-
ных алгебр. Выберем максимальные торы Т И Т’ в G и G’
так, чтобы f(T)_c T’, и обозначим через j: t—>g, j’: t’—+g’
тождественные вложения. Пусть W= WG, W’ = VV(;r---1"py1'IIII>I
Вейля групп G и G’. \
'e.'a%~a;5;,e:';-:;»:.«4a; »*='>";~::<e*§§.:'*-»ii'a~' .-
ас. и .--~ . „д. ..-.'<...:‘.~ . . . н; .
Z~‘.-%%5.".~n%2-?£5‘» ;’.;%:§§).’~‘35§*«ﬁ¢z~2g$. »:‘=aj.::‘i?¢g-' 1. ай. §~‘~**~;;»I. ;’3?~'%:r-“-'?;+a == - '~.~.--gm .~ Ё:
V ы
~:*5«*.3-gs”
:4: .-..- ,$‘ﬁ:::?:~ '~":I.'.:‘.'.:'-‘5"""I‘:.‘

§ 11. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЬЕ 233
Предложение 1. При сделанных выше предположениях
гомоморфизмы ‹р*: R[g']—+R[g] u <p"‘: R[t']—>R[t] omo6-
ражают SG» в Sc; u SW» u SW соответственно, причем
имеется коммутативная диаграмма
*
‘P
S6, S6
цуг)!" jit-
SW-I (P96
Доказательство. Очевидно, (poAdg=(Adf(g))oq> (де
е G), откуда легко следует, что ‹р"‘ (SW) c: SG (cp. предложение
1.4). Имеем j’o<p=<poj, откуда j*o(p"‘=<p*o(j’)*. B силу
теоремы 1 отсюда" следует, что <p* (SW,) с SW. I
2. Вычисления для классичесх гру|ш. В этом пункте
мы кратко воспроизводим (для полноты изложения) хорошо
известное вычисление свободных образующих алгебр
SG и SW для классических связных компактных групп Ли
G. B качестве следствия будут найдены алгебры когомологнй
Н (G, R). Затем будут вычислены гомоморфнзмы алгебр
инвариантов, связанные с некоторыми линейными представ-
лениями классических групп.
Пример 1. Пусть G=U,, (n21). Как и в примере 3.1,
в качестве t возьмем пространство всех чисто мнимых
диагональных матриц
x=diag(ix1, ..., ix") (x1, ..., мед). (2)
Числа х, ‚ х„ будем считать вещественными координатами
в t. Гругша Вейля W совпадает с группой 5„ всевозможных
перестановок диагональных элементов в х или, что рав-
носильно, координат х, (см. [1], 5.17). Поэтому
SW—nonaJIre6pa симметрических многочленов в алгебре
R [t]-=R [x1, ..., х‚‚ ]. В качестве свободной системы обра-
зующих этой подалгебры можно взять систему элементарных
симметрических многочленов
01 =х1+...+х„‚
О2=х1х2+х1х3+„.+х„-1х‚„
-uo х”;

234 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Вместо многочленов о‘, иногда удобно бывает рассматривать
степенные суммы, т. е. симметрические многочлены
p,,=x’§+...+x’,§.
Известно, что p1,..., р„—свободная система образующих
алгебры SW.
Укажем теперь образующие алгебры SG. Для любого
xeg=u,, рассмотрим многочлен ' '
с11„„(7„)=с1ет(?ь 1,,—ix)=7L"+q1 7»"’1+...+q,,.
Поскольку [х-эрмитова матрица, этот многочлен имеет
п вещественных корней, Следовательно, q,-eSUn (j = 1, ...‚ п).
Подставляя в многочлен снд, диагональную матрицу х вида
(2), получим многочлен
&1д„(?ь)=(7ь+х1)(7ь+х„)=7ь”+о1 ?ь""1+...+сг„.
Таким образом, j *(q,-)=o',- (i =1, ..., п). Из теоремы 1 следует,
что Su,,=R[q1, Ы.
Имеем deg с , = j. Согласно следствию 1 теоремы 10.4
пространство PU" градуировано степенями 2 j —-1 (i=1, 2, ..., n).
Таким образом,
H(Una /\R(§1s£3a "ч £42?!-1): Где
В случае, когда G=SU,, (n22), подалгебра t состоит из
диагональных матриц вида (1), имеющих след О, т. е.
удовлетворяющих уравнению о'1(х)=О. Если обозначить через
0„ pi, с], (12 2) ограничения соответствующих многочленов
на эту подашебру и на sun, то будем иметь
SW=R[o'2, ..., cs,,]=R[p2, ..., p,,],
SSU,=R [42, "ч qn]s
H(SUn> ^ (£39 €59 "ч €21:-1):
где Dl‘,k=k.
Пример 2. Пусть 6`=$0д+1 (121). Как и в примере
3.2, будем считать, что t задается формулой (3.2). Группа
W порождается перестановками координат x д и изменениями
их знаков (см. [1], 5.17). Отсюда легко следует, что
SW=—'R[21, ..., Ед],
где
Ej?C5'j(x%, ..., К?) ...‚ I).
Заметим также, что
[Ръ Р4‚ ---9 P21]-
¢
.‚...

§ 11. СИММБТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 235
Далее, обозначим через q д ограничение многочлена q j (j =
=1‚ ..., 2l+l) Ha 1502,“. Тогда ]*(92‚‚)=(—1)"2„ (k=1, ...,1),
j*(q2,,+1)=0 (k=0, 1, ..., 1). Следовательно, с1д+1=0 и
S502,“ = R [C12, "ч €121]-
HOCI(0JILI(y D2k=2k, ИЗ следствия 1 теоремы 10.4 вытекает,
что
Н(5021+1‚ в): /\n(§3,E;7, ---95:4-I-1), Где D§k=k-
Пример 3. Пусть 6=$0д (122). Как И в примере 3.2,
будем считать, что t состоит из матриц вида (3.1). Группа
W порождается перестановками координат х,‘ И изменениями
знаков сразу у двух различных xk (CM. [1], 5.17). Тогда
SW‘-’~'R[21,---s 21-1, 0'1]:-‘R[P2, ---,P2a-1), От],
где 2„ определены формулой (5). ч
Теперь мы укажем свободную систему образующих ал-
гебры 8502,. Обозначим через q k ограничение многочлена
qk Ha 5021 ..., Тогда _j*q2k_1=0, ]*92д=(—1)"Ёд
(k=l, ..., l). Как известно, q2;=(——1)‘Pf2, где РГе$5д„-——
многочлен, называемый пфаффианом (см. [43], гл. XIV, § 10).
Легко проверить, что j*Pf= О]. Поэтому
Ssoz,-‘-R [92, ---, 421-2, Pf]-
Из следствия 1 теоремы 10.4 вытекает, что
H(S021, R): /\n(E..3a E7, "ч §4z—s, Tl), Где D§k=ks D‘1=2l'*1-
Пример 4. Пусть G=Sp, (I21). Согласно примеру 3.3,
можно считать, что подалгебра t имеет вид (3.3). Группа
Вейля W, как ’ И в примере 2, порождается перестановками
координат х‚‚ и изменениями их знаков (см. [1], 5.17).
Поэтому, как и в примере 2,
Sn/=R[21, ..., [P2, ..., P21],
Ss,.,=R[q2, -~-9 9'21]:
где Чик-ограничение многочлена 92:; Из примера 1 на ярд.
Наконец,
H(sp.,n)=A..(t;3,&7§ 5341-1), где в:‚„=1‹.
Пусть р: G —-> GL (V)—-—JmHe17IHoe представление связной
компактной группы Ли G. Тогда мы можем рассматривать
р как гомоморфизм группы G B G’= U,,, n=dim V. Выберем
максимальный тор Т в G. Можно считать, что р(Т)

236 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология компАктных групп ли
содержится в максимальном торе Т’ гругшы U,,, состоящем из
всех диагональных унитарных матриц. Элементы подалгебры
t’ будем записывать в виде diag (ixi, ..., ix;,), где x,’-eR. Пусть
Ф‚,={7„1, ...‚ м}. Тогда Ж,=1(с1р)* (x,’-) (j=l, ..., n). Если p;,—-
k-s1 степенная сумма координат x ,1 (см. (4)), то
(do)*(p;.)=z"* M’. (6)
j= 1
B случае, когда 6—классическая грутша, мы будем использо-
вать обозначения примеров 1——-4 для координат в t и инвари-
антных многочленов Ha этом векторном пространстве.
Пример 5. Пусть G=U,,, или $П‚‚‚‚ т<п‚ p=Id+(n—m)N.
‘Тогда x,.=z°x,. (j=1,m), 2.,-_-.—o (j=m+l,...,n). Из (6)
следует, что
(dP)*(P§c)=Pk-
Пример 6. G=S0,, или G=-Spz. n=2l и p=1d. Из вида
весов тождественного представления (см. таблицу 1) и из
(6) следует, что
(dP)* (P'2k)-'=2P2k, (до? (Pik+1)=0-
Пример 7. Пусть G--=S0,,,, msn, p=Id+(n—m)N. Тогда ‘
р: р’ of, где f —-- CCTCCTBCHHOC вложение группы $0‚„ в S „,
а р’: S0,, —+ U,,—-—'ro>K11ec'rBeHHoe представление группы $0‚‚.
Очевидно, имеем
(dP)' (P'2k)=2p2k,
(dp)* (03,) =0, если п>т.
Используя соотношение р‘: f *o(p')" и пример 6, получаем
отсюда, что
(df)* (p’2:.)=p2k,
(d f‘) (о„)=0, если п>т.
Аналогично, для естественного вложения f: Sp", —› Sp,
(m S. 1) имеем
(dfr (P§k)=P2k-
3. Обзор основных своств инвариантов грушш Вейля.
Пусть (7——связная компактная группа Ли. В п. 1 мы свели
изучение алгебры SG к изучению алгебры SW6 симметрических
инвариантов группы Вейля. В этом пункте будет указан общий
способ нахождения степеней свободных образующих алгебры
SW6 И изложены некоторые свойства этих степеней и самих
ч, I
'
_ . .
‘т _ ч. ‘ЧЕЙ?
‚. _. _~ _: . ,.~__. ‘_' - . д
:_‹$Ё‚:;;;Ё;Ёи;д‚гь:;3..9›г$'ЁЁЁ`Т‚.‚

§ 11. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 237
свободных образующих. Мы опускаем доказательства, огра-
ничиваясь ссылками на стандартные источники.
Мы используем обозначения п. 1. Пусть l'I={oc1, ..., 01,}--
некоторая система простых корней группы G и Ад’ c:AG—
соответствующая система положительных корней. Предполо-
жим, что G проста И неабелева. Элемент группы Вейля WG
c-—-r,1r,2 г,‘
называется преобразованием Кокстера. С точностью до сопря-
женсносги в И}; он не зависит от выбора упорядоченной системы
простых корней П (см. [16], гл. V, §6). Порядок элемента с
в WG обозначается через h =h (G) и называется числом Кокстера.
Собственные значения преобразования с имеют вид e2“‘"’i”'
(j=1,...,l), где тд-целые числа, такие, что 0<m1<...<m,<h.
Числа m 1, ..., m, называются показателями гругшы G.
B случае, когда G=—-T, естественно считать, что c=id, h-=1
И ml
Из определения ясно, что показатели и число Кокстера
группы G полностью определяются ее касательной’ алгеброй.
Предложение 2 (см. [16], гл. У, §6). Пусть группа
G npocma u неабелева. Тогда °
1) mj+ml+1-j=h (1€j<l)a
1 1
2) ml +...+m;="2' ‘АСЬ
3) 1=т1 <m2<... <m,_.1 <m,=Iz-— 1,
4) собственный вектор хо оператора c 6 НС), отвечающий
собственному значению e2’"7", регулярен, т. е. ос (xo)¢0 (oceAG).
Из утверждения 2) вытекает
Следств Ие. Если G проста и некоммугпативна, то
h (G) rkG 1-kG
Предложение 3 (см. [16], гл. V, § 6). Пусть m1,....,m,——-
показатели связной простой компактной группы Ли G. Тогда
степени однородных многочленов, свободно порождающих an-
гебру SWG, равны т1+1‚„.,т‚+1.
Предложение 4 (см. [16], гл. У, §6; [75], гл. 111).
Если пед, ...‚ тдтпоказатели простой группы G, то порядок
соответствующей группы Вейля равен
I WGI--“(ml + 1) ...(т‚+ 1).
Пусть снова 6—-связная компактная группа Ли, Т—— ее
максимальный тор, W= WG—-—cooTBerc'1‘By1oInaa группа Вейля.

238 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Многочлен f ед [t] называется антиинвариантным, если w"' f =
=(det w) f для всех we W. Множество R Ш" всех антиинвари-
антных многочленов, очевидно, является „Ёж-модулем. Рас-
смотрим, в частности, многочлен
с1=Пос.
aeAg
B силу предложения 3.2 для любого оъеП имеем г; (d)= -d.
Поскольку W порождается элементами г, (осеП), отсюда
видно, что деп [t]".
Предложение 5 (см. [16], гл. V, ИЛИ [75], ГЛ. 111).
1) Имеем R [t]"=SWd.
2) Пусть f1,...,f,—c606o0Ha;z система однородных образу-
ющих алгебры SW, x1, ..., x,——cucmeMa координат в t. Тогда
det = ad,
ax,-
где а—ненулевая константа.
В таблице 6 указаны показатели, числа Кокстера и порядки
групп Вейля для всех простых компактных групп Ли. Для
классических групп значения показателей можно вывести из
результатов п. 2, а для особых групп это вычисление
проделано, например, в [16], гл. VI, §4.
4. Некоторые полиномиальные идеалы, порожденные ин-
вариантами. Пусть E —- конечномерное векторное пространство
над полем R: Как в п. 8.6, обозначим через V(I) аффинное
алгебраическое многообразие в Е (С), связанное c идеалом
Icn [E]. Для нас важен случай, когда 1 нульмерен‚ т. е.
когда dim R [E ] /I< оо. Если 1 является градуированным
подпространством, то R [E ]/1—градуированная алгебра с ко-
нечной системой образующих И последнее условие равносиль-
но следующему: любой элемент из (R [E ]/I)+ НИЛЬПОТСНТСН.
Предложение 6. Пусть 6——компактная группа Ли,
E —— вещественное линейное С-пространство, 1— идеал в С [Е ],
порожденный множеством R [E Н. Тогда V(I)={0}. B ча-
стности, I — нульмерный идеал.
Доказательство. Очевидно, 0e V(I). Если xeV(I),
то, очевидно, f (x)= f (9) для” всех fe‘6‘[E ]G. Поскольку
инварианты компактной линеинои группы разделяют ее
орбиты, х=0. I
Рассмотрим теперь снова ситуацию, когда Е-= t—Ma1<—
симальная коммутативная подалгебра касательной ашебры
g некоторой связной компактной группы Ли G. Пусть
V пр.
_.. ~: ._ .~.v~ _ ‚. .-.‚;_:
3‘ '~.:."-‘.-.<~'3.‘-.~é=‘.«.*'s:I-:*~="i~:«..:~_r:a‘ys€’- везет ‘ = ; д-

§ 11. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 239
fl, ..., ﬁ—cBo6o,r_1HasI система однородных образующих алгебры
SW=R Ш”, где W—rpyIIIIa Вейля группы G. Тогда f1, ...,f,—
система образующих идеала [ас R [t], порожденного множе-
ством (SW)+. Поэтому из предложения 6 следует, что
I/(fl: ---9ﬁ)={0}'
Предположим, что G проста и неабелева и что ﬁ-
образующий наибольшей степени. Из предложения 3 и п. 3)
предложения 2 следует, что deg f}<deg f,=h (G) для всех j <1.
Предложение 7. Предположим, что группа G проста
и неабелева. Тогда
V(f1a---sf:-1): U <w(x0)>a
weW
где хо et (С)—собственный вектор преобразования Кокстера с,
отвечающий собственному значению e2"“".
Доказательство. Ясно, что W переводит множество
V= V(f1, ...,ﬁ_1) B себя. Посколькул однородны, V(f1, ...,f,_1)
является конусом с вершиной в точке О. Покажем, что
ХОЕ I/(fl, ...,ﬁ_1). 1, ..., Тогда
13 (xo)=(c*f;) (хо) =f; (cxo)=e“i’“"”JS' (xo)-
Если j<l, ТО d,-<h, И e“:'2"‘”‘;é1, так что f,-(xo)=0. Поэтому
правая часть в (7) содержится в V.
Пусть хе V. Если хэЬО, то по доказанному выше ﬂ (x);-£0.
Поэтому можно подобрать такое аеС, что ﬂ (x)=a”f, (хо):
=ﬁ (ахо). Тогда f (x) = f (axo) для всех f е SW, откуда следует,
что x=w (axo)=aw (x0)e (w (xo)) для некоторого we W. Таким
образом, доказано обратное включение. I '
` Пусть H — связная подгругша Ли связной компактной
группы Ли G. B силу предложеъшя 1 вложение i: H —› G 'l'I0pO)I(-
дает гомоморфизм j *: За —› SH, где j =di. Обозначим через
[д H идеал в’ SH, порожденный шюжеством j* (SG)+ =j" ((SG)+).
B частности, Ia, {е} —это идеал Ia, рассматривавшийся выше.
Предложение 8. Идеал [д H в SH является нульмерным.
Доказательство. Пусть А=$„/1д‚„. Достаточно до-
казать, что любой элемент из А + является шишьпотентным.
Пусть ge(SH)+. Выберем такой feR [g]+, что j"‘f=g. Из
предложения 6 следует, что f S ЛСЖИТ в идеале ((SG)+) для
некоторого натурального s. Ho тогда g’= j * ( f ’)=Zukg,,, где
к
идей [Ь ], g,,e( j *SG)+. Применяя оператор усреднения v no
гругше Н в R [b] И используя предложение 4.14, 4), получаем
отсюда, что g‘=Z v (uk) g,, GIG, H. I
k

240 гл. 3. ВЕЩЬСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Отметим важное для дальнейшего применения предложе-
ния 8. Для любой связной компактной группы Ли G обозна-
чим Через ад максимальную из степеней свободных однород-
ных образующих алгебры G. Если G проста, то в силу
предложений 3 и 2 ад =h (G) И в SG существует единственный
образующий степени dg.
Предложение 9. Пусть H -——связная подгруппа Ли связ-
ной компактной группы Ли G. Тогда с1„<с1д. Если d,,=dG=d,
mo отображение Е (j *): (SG),, —>(SH),, сюрьективно, где j =dz',
1°: H —› (Ё-тождественное вложение.
Доказательство. Пусть SG=R [f1,...,f,], SH=R [g1,...
..., дм ], причем Dd,,,=dH. Из предложения 8 следует, что для
некоторого 321 имеем gf,,eIG, H. Поэтому
gf..= Ё u.-J""f:, (8)
i=1
где u,-eSH, Dui<Dgf,,. Если записать и, и j * л B виде
многочленов от g1, ..., дм, то правая часть в (8) будет
содержать одночлен gin. Поскольку и; могут содержать
g,,, ЛИШЬ в степенях <s, существует такое 1'0, что j ‘fin содержит
член вида cg§,,, где „во, t>0. Следовательно, dG>Df}O=
=tdH2d,,. Есзш dG==dH, то t=l, T. е. j*f,-0 содержит член cg,,,.
Это значит, что Е (J'*) (ﬂo+((SG)+)2)=c (g...+((Su)¢)’)- I
Предложение 10. Пусть 6—связная компактная груп-
па Ли, T —— ее максимальный тор. Для любого идеала 1 алгебры
SW c R [t] обозначим через I’ идеал в R [t], порожденный
подпространством 1. Тогда I’ П SW=I. Любая минимальная
система образующих идеала 1 является минимальной системой
образующих идеала 1’.
Доказательство. Очевидно, Ic:I’ﬂSw. Для доказате-
льства обратного включения заметим, что любой ие 1’ имеет
вид u=Z ад щ, где аде R [t], аде]. Применяя оператор усредне-
k
НИЯ р по WG B R [t] И используя п. 4 предложения 4.14,
получаем, что p(u)==Zu(a,,) од. Если ueSW, то и=р(и)е1.-
k
Предположим, что v1,..., тир-минимальная система об-
разующих идеала 1. Если она не минимальна в 1’, то после
перенумерашш образующих получим v,e(v1;....v,_1),.mﬂSW.
По доказанному выше v,e(v,, ..., v,-1),. ш, что противоречит
предположению. I
Следствие. Пусть СЪ-связная компактная группа Ли,
H -— ee связная подгруппа Ли и $—максимальный тор в Н.
Отождествим алгебру SH Cx подалгеброй SW” с R [в ], используя

§ п. симметрические ИНВАРИАНТЪ! 241
изоморфизм теоремы 1. Тогда IG,sﬂ SH=IG, д и любая
минимальная система образующих идеала IG, д в SH явля-
ется минимальной системой образующих идеала [д S
в R [в ].
Доказательство. Легко видеть, что при нашем отож-
дествлении идеал IG, 5 порождается идеалом I6, Н в R [в ]. I
5. Простые подгруппы с бошщшм числом Кокстера. Пусть
H —связная подгруппа Ли связной простой компактной
группы Ли G. Согласно предложению 9 dH<dG. B этом
пункте мы перечислим все пошруппы Н, для которых d,, = ад.
Если Н проста, то это равносильно равенству h (Н )=h (G).
Заодно мы классифицируем И такие простые подгруппы Н,
что h(H)=h(G)—1 и h(H)=h(G)—2; эта классификация
будет полезна в гл. 5. I
Теорема 5. 1) Пусть Н—-—собственная связная простая
неабелева подгруппа Ли связной простой компактной группы
Ли G, причем h(H)=h(G), h(G)—l или h(G)—2. Тогда пара
(G, H) локально изоморфно одной из пар таблицы 7.
2) Пусть H — собственная связная подгруппа Ли связной
простой компактной группы Ли G, причем dH=dG. Тогда
Н проста, Н =М; (Н )° и пара (G, H) локально изоморфно
одной из следующих пар:
(SU2ns (I222): (S079 G2):
(S0211: S021!-1) (7124):
(S089 G2): (E69 F4)-
Доказательство. Заметим, что числа h(G) И ад
не изменяются при замене группы G локально изоморф-
ной компактной гру1шой Ли. Поэтому пары (G, H) МОЖ-
но классифицировать с точностью до локального изомор-
физма.
Доказательство утверждетшя 1) начнем с классифи-
кации таких пар связных простых неабелевых компакт-
ных групп Ли Н, G (He вложенных друг в друга),
что
rkH<rkG,
dimH<dimG
h(G)=h(H), h(H)+l ИЛИ h(H)+2.
Эти пары собраны в следующей таблице, где указаны типы
соответствующих групп:
„и нмшм can-or-va

242 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
G
H
h(G)=h(H) h(G)=h(H)+l h(G)=h(H)+2
А: Ань B2 (i=2) B Al(4[-2=’3)B2C(l——-01:3)
I21 D4 (i=4) 3 ’ 3 ’
д. ‹1=з›‚ D5 (i=5),
B, C A , B , C , D ,
‘I22’ A21-1’ д” _ A2’ 5',”(1=5§$, E2”(1—.-'5+)2
В; ` ` `
А21-3 A-21-2 A21-19 Bl: Cl: Dl+1
E6 A11: D7 A12 1413, 37, С7, D8
E7 1417, 39, С9, D10 A18 1419, 310, С10, D11
E8 1429, 315, С15, D16 A30 1431, 316, Сиз, D17
F4 A119 B69 C69 -D79 E6 A12 A139 B79 C79 D8
G2 Аз, Вз, Сз, D4 A6 A7, B4» C4, D5
Далее мы воспользуемся методикой классификации, из-
ложенной в п. 3.9. Подгруппа Н с G описывается при_этом
как образ локально инъективного гомоморфизма f : H —› G,
‚где H — односвязная группа Ли, накрывающая Н. Если G —
классическая гругша‚ то f— линейное представление; эти
представления указаны в таблице 7. Чтобы не утомлять
читателя, мы ограничиваемся подгруппами, для которых
h (H) =h (G); остальные два класса подгрупп рассматриваются
аналогично. Кроме результатов пунктов 3.8 и 3.9, при этом
используются классификация подгрупп максимального ранга
(см. табл. 5) и классификация простых подгрупп особых
групп, данная в [29]. Это позволяет исключить пары (A 2, B2),
(A39 B3): (A39 C3): (АЗ: Вб): (В2з G2): (B59 E6): (C59 E6)‘
Пусть I)=so2,+1. Из предложения 35 следует, дто при
1>2 не существует нетривиального гомоморфизма Н —› 8112,.
Гомоморфизмы Н —-› 802,12 (12 2) полностью исследованы
в примерах 3.9 и 3.10. В этом случае имеется единственная
c точностью до локального изоморфизма пара, соответст-
вующая стандартному вложению 502,11 —› 502,12.

§ 11. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 243
Пусть Ь=5р‚. Из предложения 3.5 следует, что при 1>2
не существует нетривиальных гомоморфизмов Sp, —› S02,+2.
Далее, при 1 >1 представление pl является единственным
с точностью до сопряженности нетривиальным гомоморфиз-
мом Ер, —› $112, (см. предложение 3.8). Поэтому все подгруппы
в SU2,, локально изоморфные 5р‚, сопряжены стандартно
вложенной подгругше Sp, c SUN. .
Пусть Ь=5о2‚. Согласно предложению 3.5, при l >3 не
существует нетривиальных гомоморфизмов Spinz-, —› SU2,_2'.
Поскольку мишигмальные размерности нетривиальных
представлений групп Ед, Е7, E3, Е, равны 27, 56, 248, 26
соответственно (см. табл. 2 и предложение 3.4), случаи I)=e6,
e-,, ед, f4 приводят лишь к подгруппе F4 с Ед (единственность
соответствующего класса сопряженных подгрупп см. в [29]).
Пусть 13:92. Из предложений 3.5 и 3.8 следует, что этот
случай дает по одному классу сопряженных подгрутш G2 с S0-,
И G2c:S'03 (CM. пример 2.24). .
Докажем теперь утверждение 2). Если 4„ = do, то существу-
ет такая связная простая нормальная подгруппа Ли H0 B Н, что
h (Ho)=dH0=dH. Тогда h (Ho)=h (G), и пара (G, Но) содержит-
ся в таблице 10. Из этой таблицы ясно, что NG (Ho)°=H0 (для
подгруппы F4c:E5 CM. [29]). Значит, H =Ho. I
6. Вычисления для особых групп. В этом пушсте мы
укажем явный вид свободной системы образующих алгебры
SWG B случае, когда (З-особая простая компактная группа
Ли, основываясь на работе [26]. При этом мы опускаем
громоздкие вычисления, связанные с доказательством алгеб-
раической независимости некоторых систем многочленов.
Теорема 3. Пусть (?—односвязная простая компактная
‚группа Ли, тип которой отличен от В, (124), ml, ...,т‚—
ее показатели, ?\‚1,...., ?„„—веса ее нетривиального линейного
представления наименьшей размерности. Тогда многочлены.
т‚„=г<т›‹+1> Z ять” (k=l,l)
J‘-‘1
составляют свободную систему образующих алгебры SW6.
Доказательство. Прежде всего, заметим, что для
групп G ТИПОВ Ад, В‚, С, утверждение теоремы следует из
примеров 1, 2, 4. Только случай особой грушты G нуждается
в доказательстве. Предположим, что доказано следующее
свойство многочленов rk: й
Tk¢<<T1, ..., Tk...1>> ...,
-e-:- -.~v__,- .._::«1:'...- м

244 ГЛ. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
Согласно предложеншо 3 SW6 допускает свободную систему
образующих fl, ..., Д, где deg f,,=m,.+1. Докажем с помощью
индукции по k, что fke((r1,...,'c,,)) (k=l, 2, ..., 1), откуда
будет следовать, что SWG=(<r1, ..., п». Предположим, что
это свойство доказано для f1,...,fk_1. Поскольку все числа
mk различны (см. табл. 10), имеем t,,=akfk+g,,, где щей,
gke-((f1, ..., fk..1)). Из предположения индукции следует, что
g,,e((t1, ..., 'ck_1)). Если a,,=0, то получаем противоречие
c (9). Значит, адео, откуда ﬁe(<'c1,..., и».
Итак, мы вывели из (9), что 1:1, ..., чад-система образу-
ющих алгебры Бщ. Поскольку в силу (9) система образующих
минимальна, она является свободной (см. предложение 6.5).
Таким образом, остается проверить свойство (9). Для
G=G2 имеем 1:1=xf+x§+x§, r2=x?+x§+x§ (в предположе-
нии, что х1+х2+х3=0, см. пример 3.4), и проверка нашего
утверждения тривиальна. Для остальных особых групп Ли
она связана с довольно громоздкими вычислениями, которые
мы опускаем (для 6=Г4 см. [154], для G=E5 CM. [102],
для С=Е7,' Ед см. [26]). I
7. Гомоморфизм, порожденный линейным представлением.
Пусть ft G—> G’--roMoMop(1m3M связных компактных групп
Ли. В этом пункте мы рассмотрим задачу вычисления
гомоморфизма (d f )"‘: SG»-—>SG, чрезвычайно важную для изу-
чения топологии компактных однородных пространств. С по-
мощью теоремы А. Картана, которая будет доказана в § 12,
алгебра когомологий H (G/H, R) может быть в пршщипе
вычислена, если известен гомоморфизм (d,-)*: SG—>SH, порож-
денный вложением i: H —› G. Далее, вычисление рангов групп
1c,(G/H) сводится к более грубой задаче вычисления отоб-
ражения Е((с1д)*): E(SG)—>E(SH), которое с помощью транс-
грессии отождествляется с отображением 2*: PG->P,, (CM.
предложение 10.7).
Пусть Т и Т'-—-максимальные торы групп G И G’
соответственно, причем f ( T )c T’. Если отождествить
S0 И $3: с SW6 И SW6, соответственно при помощи изомор-
физмов теоремы 1, то в силу предложения 1 гомоморфизм
(df)*: SG.->SG отождествится с гомоморфизмом (df)*: S»-G,—>SWG.
МЫ рассмотрим случай, когда G’=U,,- И f= p: G-> U,,——
mmeﬁnoe представление группы G, И используем обозначения
п. 2, в котором наша задача уже рассматривалась для
некоторых частных случаев. Тогда T ’—подгруппа диагональ-
ных матриц в Щ, $„_2В[р3‚ ..., pg] И задача сводится
к вычислению многочленов l'Ik=(dp)*p;,eSWG(k= 1, ..., п), ко-
торые выражаются через веса м, ‚х, 7L,, представления р c по-
.‘7."..‘:;.;.~§»;j: . `

§ 11. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 245
мощью (6). Предположим, что р=р (А) неприводимо, и no-
пытаемся описать Пд в терминах старшего веса А. Следуя
[31], мы воспользуемся формулой для характера представ—
ления р (см. теорему 3.13).
Разложим аналитическую фушсцию х, (ехр х) (хе t) B ряд
Ю
1„ (ехр х) = Z e Ч‘) == Z ад (х),
j= 1 к
=о
где ад-«однородный многочлен степени k, имеющий вид
a1<x>=;}§1x1<x>*=,{§pa(<dp>x>=§n1<x).
Теорема 3.13, выражающая xv (exp x) через А, в принципе
дает возможность сделать то же для Пд.
Для любого ?.et(C) рассмотрим анадштическую функцию
90, х) от xet, 3a11aHHyIo формулой (3.12). Разложим ее в ряд
Q01, x)= °° „ж, х),
k=o '
где qk (K, х)—однородный многочлен степени k от х.
Очевидно, 90», w(x))=(det w)Q(7», x) (we WG) И, значит,
q,,(7\., x)eR[t]“ для всех k B силу предложения 5, 1), с1‚,=0
для k<N==| Ад] И °
q,,(?», x)=—-tk..q(?», х) П ос,
aeA+
где :‚,_„(?ь‚ х)е5'‚у„—однородный многочлен степени k--N
от х, К>М Полагая
т, x)=kE0t,,(71., х),
имеем 90», х)==Т(7„‚ х) П ос, и из теоремы 3.13 следует, что
аеА*
х‚‚(ехрх) е Т(у, х)=Т(А+7‚ х).
Поэтому для любого k>0
tk(A+’Y, х)=ао (х) lk('Y, x)+a1(x)tk-1(‘y, х)+...+а‚„(х)1о(у, х).
Очевидно, ао=с11шр=п. Из (3.13) без труда выводится, что
to =1. Следовательно,
а‚,(х)аг‚,(А+у, х)——п1‚, (у, х) (mod ((SWG)+
' -.._.-us. „маха-х...

246 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Полагая
kc
___ . 1
i" П (71, ос) (у, ос)
аеА5
п, (71, х) 2„ (X, х)
и используя (3.14)‚ получаем отсюда следующее утверж-
дение:
Предложение 11. Для любого k=1, ..., n имеем
Пк(х)Еп(тк(^+т› х)-тк(т› x)) (m0d((SwG)+)2)-
Явные вычисления, относящиеся к случаю, когда G—
классическая группа, см. в [31], [69].
§ 12. Теорема Картана
1. Обобщение алгебры Вейля. Пусть G——-rpynna Ли (ве-
шественная или комплексная), H ——ее подгруппа Ли, 9 И 1)—
их касательные алгебры. Рассмотрим биградуированную ал-
гебру
W/1(9,I))=1/(9111)®Ls(bI21)=Ls(Q111G35121)-
B ‘IaCTHOCTPI, WA(g, 9)= WA(g). Вложение j : 1)——›9 порождает
сюръективный гомоморфизм j "‘: L’(g[2])—>L‘(I)m).
Как И в п. 10.1, определяются представление 6 A ашебры
9 в WA(g, 1)) и представление GB алгебры 1) в WA(g, 1)),
где 9,,(x) (xeg) И 0B(y) (yeH)——3'ro дифференцирования
бистепени (О, 0), совпадающие с —-(ас1 х)‘ или —-(ad у)‘
на 9:11 или, соответственно, на I)f2] и аннулирующие
I)'f2] или соответственно, gfu. Определим также представление
9 алгебры 1) формулой
9(У)=9А(у)+9в(у) «(IE5)-
Положим
РУА(9,1))Ь={иеРУА(9,1))|9(у)и'=0 для всех yeb}.
Как и в п. 10.1, свяжем с каждым xeg дифференцирова-
ние 1 (x) бистепени (—~ 1, О), действующее в WA (g, 1)) no
формуле ~ н»
'*(x)(“®b)=(1A(x)“)®b (a5L°(9111)> b5Ls([)121))-
Теперь мы построим, обобщения дифференцирований
а',‚ и б ашебры WA (9), определенных в п. 10.1. Прежде всего,

§ 12. ТЕОРЕМА КАРТАНА 247
определим дифференцирование d A алгебры WA (g, I)) бистепени
( 1, 0) формулой ‘
dA(a®b)=(dA“)®b (“E1/’(9[11)s b€Ls(b[2l))°
Далее, через б обозначим единственное дифференцирование
(бистепени (— 1, 2)), такое, что
5(а®1)=1®1"`(д) (a€9’fu)»
Выберем в I) базис‘ e1, ..., е‚‚ и обозначим через е}, ..., е;
сопряженный базис в I)*. Справедливо следующее обобщение
формулы (10.2): `
б: Z(l®é;)1(e,,). (1)
k=1
Так же, как предложешае 10.1, доказывается и
Предложение 1. Для любого ие WA(g,_I))pq u любых
хдея, y,-eh имеем
(dAu)(-xi: "ч хр+19 219 "-9 374):
= Z.(—1)”"“u([x,-, xi], x1, ..., дед, ..., 32,-, ..., x,,+1, J71, ..., ya),
i<_;
(3u)(-x19 "ч хр—1э ﬁlo "ч )7q+1)=
q+1
=(-*l)p_1 Z u(x1, ..., хр_1‚ у], J71, ..., у], ..., )-7-4+1).
,-=1
Определим дифференцирование d e (bet WA (g, b))1 формулой
В общем случае d He является кограничным оператором.
Однако это верно, если ограничить d Ha подалгебру ин-
вариантных элементов.
Предложение 2. Имеем [с1‚‚, 9(x)]=[5, 9(x)]=
=[d, 9(x)]=0 для всех xeb. Далее,
(12: Z (l®é;7)0(e,-).
i= 1
B частности, d переводит подалгебру WA ( g, I))I’ в себя
и с12и=0 для всех ие WA(g, b)”. Отображение id®j"':
WA (9)9-> WA (g, b)" является гомоморфизмом дифференциаль-
ных градуированных алгебр. ф
д ... - ~;»;v.:~.~ чипом-ц

248 ГЛ. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Соотношение [d,,, 0(x)] =0 следует
из предложения 9.4. Для любых хе!) и ае 9* имеем
[б, (а® 1)== —б((ас1 x)"a® 1)+ 1 ® (ad x)“j*a=
= -1 ®j*(ad x)"a+1®(adx)*j*a=-0,
поскольку j o(ad x)=(ad x) o j. Кроме того,
[б,0(х) (1®Ё)=0 (beI)*).
Следовательно, [б‚ 9(x)] =0.
Легко видеть, что dﬁ-..=52=0_._ Поэтому 012: -[dA, б].
Ясно, что с1дб(а®1)=0 и с1‚‚8(1®Ь)=0 для всех aeg“, beI)*. _§ I
Далее, если ае g‘, то в силу предложения 1 I
5dA(a®1)(x» J7)"-= ~dA(a®1)(x» J')= тифа y])- Ё
Далее, бд‚‚(1 ®Ё)=0 (beI)*). Таким- образом, окончательно
d2(a®1)(x, E)=a([x, y]) (агу, xeg, yeb),
d2(l®b)=0 (beb*).
‚Докажем, что дифференцирование А: 2 (1 ®;f)9(e;) действу-
i=1
ет по тем же формулам. Имеем
A(a®1)(x, y)= —_Ё1((ас1ед)*а®ё2‘)(х, 37):
= -§1a<[e:, x1>e:=<y)= «за» х1›=а‹[х‚ п) ; д
(aeg*, xeg, yeI)).
(l®2§(ade;)*b)(_17,:E)= -
[УМ
A(1®5)<:« 2>=—-Q
1 1
II
HM;
e:<y)b<[e.~, 21>-§1e:<z)b[<ee,a»]>=
=—b<[y, 21)-—b<[z,'y1')=o (berm.
Из доказанного следует, что d 2=A.
Легко видеть, что (id®j*)o9(x)=9(x)o(id®j*) gxeb). Сле-
довательно, id® j * переводит WA(g)9 B WA(g, Ь) . Переста-
новочность с операторами d следует из предложения 10.3.
E 1

§12. ТЕОРЕМА КАРТАНА ' 249
Как следует из предложения 10.3, дифференциальная
градуированная алгебра WA (9, Ь)” совпадает с WA (g)9 B слу-
чае I)= 9.
Теперь мы определим в WA ( 9, 1)) некоторые новые
дифференцирования. Предположим, что группа G KOMIIaI(THa.
Тогда Н также компактна. Поэтому существует такое под-
пространство тс9‚ что g=I)€I)m И [I), m]cm. Следующая
конструкция будет зависеть от выбора этого подпространства
т. Продолжая каждую линейную форму на Ь нулем на т,
получим вложение 1)*—-›9*. В частности, если е1, ...‚ е„—базис
в I), то линейные формы е‘; , ...‚ е; будем считать определен-
ными на всем 9 так, что e;-‘| m=0. Введем теперь следующие
дифференцирования алгебры WA (9, 1)):
an-—= д Ё (е;®1)в‚‚‹е„)‚
k=1
т
1119:‘- — Z (37¢'®1)9B(ek), д (2)
k=1
Тогда ясно, что
do=d- (e;®1)e(e,,),
k=1
так что do совпадает с d Ha WA(g, I))". Далее, положим
(11 =2dH-d,4+d,,=do—8.
Если e,,+1,..., ед-базис пространства т, то
1 n 1 N
d1=--Z(e2®1)9.4(ek)+- Z (e$®1)9A(er)-
2k-‘=1 2r=n+1
ф 0B(ek )9
k 1
где -т* считается вложенным в 9* таким же способом, как
[)*. Заметим, что любой хе 9 однозначно представляется
в виде х=х„+хм, где хНеЕ), хмет.
Предложение 3. Для любых aeg*, beI)* имеем
d1(0®1)(x» J’)=a([xH= yn]-'[xM= УЛ) (x=J’€9)a
d1(l®5)(x, )7):-—b([xH, y]) (xel), yeg).

250 гл. з. ВЕЩЕСТВЁННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Доказательство. Имеем
а1‹а®1›‹х‚у›=-; 2 е:‹х›‹е‚.‹е„›а›‹у)+
k=1
N
<y)<e.4(ek>a><x)+§ 2 e:<x><eA<e.)a>(y>—
1 r=n+1
e:<y><e,.(e.)a><x>=—§<eA(xH)a)(y>+
1
3
N
a-It
+1
21:
kHr—
I’
‘<eA(yH)a><x>+§<eA<xM)a><y>-§<e,.(yM)a)<x)=
+
NH
”;‘(9A(xH_xM)a)(y)+%(9A(yH’yM)a)(x)=
=§a<[xH~xM,y1)—§a<[yH-yu,x1>%-
=a([xH: 3511]“ [хмэ J’M])-
Кроме того,
d1u®B)(x,r>=—§1e:<x)<eA(e..)b)<y)=
=—<eA(xH>b><y>=b<[xH,y1).
2. Алгебра Каргана. Пусть 0—связная компактная грутша
Ли, Н —ее связная замкнутая подгрутша. Рассмотрим диф-
ференциальную градуированную алгебру WA (g, b)”, построен-
ную в п. 1. Мы построим сейчас свободную диффереъщиальную
градуированнуъо подашебру этой алгебры, квазиизоморфную
ей. В случае G=H эта конструкция рассматривалась в п. 10.6.
Согласно теореме 10.3, градуированные алгебры SH =
=L‘(I)[2])I’ И SG=L‘(gm)9 свободны. Выберем в (SG)+ некоторое
градуированное подпространство R, дополнительное к идеалу
разложимьш элементов. По теореме 10.3 Трансгрессия
тд в WA (g) определяет изоморфизм степени 1 PG—->R, который
мы также обозначим через та. Положши теперь
С(9‚ Ь): /\PG®SH
и определим в биградуированной алгебре „С“; Ь) дифферен-
тшрование d бистепени (—— 1, 2) формулами -
d(p®1)=1®j*rG(p) (pePa),
„ (3)
d(l®u)-—-=0 ` (иеЗН).

I
§ 12. TEOPEMA KAPTAHA 251
Очевидно, dz =0. Дифференциальная градуированная алгебра
(C (9, Ь), а‘) называется алгеброй Картана пары (G, H) или
однородного пространства G / H.
Заметим, что пограничный оператор в С(9, 1)) зависит `
от выбора подпространства R с (SG)+ , дополнительного к иде-
алу разложимых элементов. Однако, как мы увидим ниже
(см. предложение 4), ашебры Картана, отвечающие раздшч-
ным подпространствам R, с-эквивалентны.
Алгебру Картана можно вложить в WA (g, Ь)“ в качестве
‚сшфференциальной градуированной подалгебры. Пусть
щ, ...‚ щ-базис в PG, состоящий из однородных элементов,
и пусть шд=тд(ид) (1=1,...‚1)--—соответствуюцшй базис в R.
По определению трансгрессии существуют такие
Ci€(I4a(Q[1])+ ® I4s(g[2])+ )9, ЧТО d(Ui® l""C,')'-'-"1®Wg B алгебре
(9)9. Применяя id ® j *, получим равенство
г1(ид®1—(п1®]*)сд)=1®]"‘и2д. (4)
Положим E,-—_—.-(id ®j*)cie(L“(gm)+ ®L‘([)[2,)+ )1’ и определим
гомоморфизм градуированных алгебр ос: C (9, I))—> WA ( 9, b)"
формулами -
a(Ui®1)=U;®l-E; ..., 1),
oc(l®w)==l®w (WESH).
Из (3) и (4) следует, что ос--гомоморфизм дифференциальных
алгебр. Очевидно, E,-e (WA (g, I))+ )2, так что система элементов
бд=ид® 1 —бд (i = 1, ..., 1) порождает свободную подалгебру
в WA (9, Ь)“ (см. следствие из предложения 6.6). Следователь-
но, ос инъективен. .
Предложение 4. Отображение ос: С(9, Ь)—› WA (9, b)"
является квазиизоморфизмом дифференциальных градуирован-
ных алгебр.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. В силу предложения 7.2 достаточно
доказать, что H ( WA (g, 1)) / Im oc)=0. Доказательство последне-
го равенства мы опускаем, поскольку оно буквально повторя-
ет доказательство соответствующего утверждения предложе-
ния 10.6, являющегося его частным случаем (при g=I)). I
Предложение 5. Пусть G=G1 xG2, H=H1 хН2, где
Нг-связная подгруппа Ли связной компактной группы Ли
О, (i = 1, 2). Тогда при подходящем выборе кограничных
операторов C (9, I))=C(g1, b1)®C(g2, I)2)——meH30pnoe npou3'-
ведение дифференциальных градуированных алгебр.
Доказательство. Имеем Рд=Рд16ЭРд2 (см. следст-
вие 1 теоремы 9.5), А PG= А PG1 ® А PG2, a также
(5)

252 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
SG==SG1®SG2, SH:-—SH ®SH2 (см. предложение 10.8). Выберем
подпространство R с tSG)+ , дополнительное к ((SG)+ )2, Talc
ЧТОбЫ К=В1Е-)К2‚ где Кд-подпространство в (S(;i)+, до-
полнительное к ((SGi)+ )2. B силу предложения 10.8 трансгрес-
сия та: PG-+R изоморфно отображает Рад на К, и индутшрует
на Рад трансгрессию гад, связанную с группой О, (i == 1, 2).
Отсюда следует, что оператор d B C(g, 1)) переводит каждую
из подалгебр C(g,-, bi) (i =1, 2) B себя И индуцирует на них
соответствующие кограничные операторы. I
3. Теорема Картана. Пусть G ——связная компактная группа
ЛИ, Н --ee связная замкнутая подгруппа. В этом пункте
мы докажем, что дифференциальная градуированная алгебра
WA (g, b)” и, значит, C (g, Ь), с-эквивалентна алгебре диф-
ференциальных форм на однородном пространстве M == G / H.
B частности, алгебра H (M, R) изоморфна алгебре когомоло-
гий алгебры Картана C ( g, I)); это и есть знаменитая теорема
А. Картина о когомологиях однородных пространств.
Напомним, что в теореме 9.6 была описана
сед-инвариантная подалгебра Ь“(9)„ с L“(g)", допускающая
квазиизоморфизм Жмо((с1ер)*)"1: Ь“(9)„—›А(М Согласно
этой теореме L"(g)H=L"(g)[’ﬂL“(g).,, где
д
L“(g),,=={ueL"(g)|1(x)u=0 (xeb)}.
Отображение В: ur->(—-l)”“u®1 отождествляет Ь“(9)„ c пода-
лгеброй L"(g)b®1 с L"(gm)®L‘(I) д): WA (g, b), a L"(g)H—~—-c
подалгеброй 1."(9)н®1 с WA g, I) . Поскольку б u®1)=0
для всех ueL“(g)b (см. (1)), с1В(и)=(——1)”"”(с1Аи®1)=В(с1‚‚и)
для всех иеЬ"(9)„. Наша цель состоит в доказательстве
того, что гомоморфизм В есть квазиизоморфизм между
La(Q)H И W/‘(gs Ь) °
Как и в п. 1, мы фиксируем такое подпространство
mcg, что g---I)G)m И [I), m] cm. Имеем g*=b*€Bm*. Пользу-
ясь этим разложением, мы можем записать алгебру WA (g, Ь)
в следующем виде:
WA (Q: Ь)=Ь“ (9[11)®Ls (b[2})=La(I')[11)®Ls([){21)®La(m{11)=
ЗИМ (b)®La(m[11)-
ПОЛНОСТЬЮ определяется своим
позволяет отождествить L"(g).,
Каждая форма из 1.“(9)„
ограничением на т, что
с L“ (m). Таким образом,
WA(9, b>=ifWA(b)®L“<g>.,, (6)

§ 12. TEOPEMA KAPTAHA 253
что дает новую структуру биградуированной алгебры на
WA (g, 1)). Мы будем использовать возрастающую фильтра-
цию (WA (g, I))“”),,Ez, связанную с градуировкой по первой
степени:
Р
WA(9, b)“”=( Gr) WA (b)q)®La(9)b- (7)
=0
Ч
Очевидно, 0 A (y), 9B(y), 9(y) (yeb) имеют бистепень (О, О)
относительно (6). Ту же бистепень имеет оператор усреднения
v по Н в WA (9, 1)), связанный с естественным продолжением
присоединенного представления.
Мы будем рассматривать в WA (9, 1)) дифференцирование
do, определенное в п. 1 с помощью подпространства т.
Обозначим через с!” кограничный оператор в алгебре
Вейля WA(I)), определенный в п. 10.1. Тогда с1Н=с1Ё+ЗН+с1Ё,
где верхний индекс Н означает, что рассматриваются
дифференцирования а'‚‚, б, dB алгебры Вейля WA(I)). Про-
должим все эти дифференцирования, сохраняя их обозначения,
на WA (9, Ь), считая, что они равны О на правом тензорном
сомножнтеле в (6);_ тогда б" будет совпадать с оператором
б, введенным в п. 1.
Предложение 6. Имеем d0=d"+dM, где дм-диф-
ференцирование бистепени (1, О) относительно первоначальной
биградуировки (см. п. 1), определенное формулами
г1^‘(а®1)(х›у)=та([хм›ум]) (аеэгцмвуёв) (3)
d”(1®l3=0 (дети). (9)
В частности, с!“ WA (9, I))"” с: WA (g, I))“” и do WA (9, [))‘P’ с‘:
с WA<g, b)"’“’-
Док аз ательств о. Положим с1М=а70-—а7"=с11-с1Ё—‹1Ё.
Тогда d“ имеет бистепень (1 , 0). Используя предложение 3,
получаем
dM(a® xxx, y>=d1<a®1)<x, y>_m<a>® 1»<x, у›=
=а([хнэ J’H]‘[xM= J’M])""“([xH» Упр: -а([хм› J’M])
для любых aeg*, x, yeg. Далее, в силу предложений
3 и 10.1 имеем
егмпвэбжэь »›=ь‹[х„‚у1›-г›‹[хн‚у]›=о
(bebfu, xeg, yeb).

254 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Тем самым доказаны (8) и (9). Из (8) следует, что dM(a®1)E
е L3 (9) 1,. Поэтому d“ сохраняет фильтрацию. I
Предл ожение 7. Отображение В: Ь"(9)„—› WA (9, b)" c
c: WA (9, b) = WA (1)) ® L“ (9) ь, заданное формулой а I-->
|—›(-— 1)D“ (1 ® а), является квазиизоморфизмом.
Д о к а з а т е л Ь c т в о. В силу предложения 7.2 достаточно
доказать, что Н (WA (Q, I))"/l ® L“ (9) н) = О. Последнее равен-
ство эквивалентно следующему утверждению: любой ие
е WA (g, b)", такой, что due 1 ® 1."(9)„‚ представим в виде и=
=dv+c, где ие WA(g, b)" И се 1 ®Ь“(9)н.
Последнее утверждение мы докажем индукцией по w(u),
где иг-оценка, связанная с фильтрацией (7). В случае w(u)=0
оно очевидно. Пусть оно доказано для всех и, удовлетворя-
ющих условию w(u) < p, И пусть w(u) = p > О, причем
due l ®L“(g)H. Представим и в виде и= щ, +u1, где ио е
е WA (9, 1)) ,,,.., и1 е WA (9, Ь)“"”. Легко видеть, что ио, щ е
eWA(g,I))". Далее, 350:2 a,-®b,-, где адеРУА(Ь)‚„ ЬдеЬ"(9)‚‚,
причем b,- линейно независимы. Имеем
с1и=с1ои=с1Нио+с1Мио+с1ои1=2(йНад)®Ьд+с1мид+с1ои1,
причем амио+с10и1 е WA (9, b)“”
duel®L"(g)H, то л"а‚=о для всех z’. По теореме 7.1 ад=с1На$‚
где age WA(E)),,_1. Полагая u(,=Z aﬁ-®bi, получим ио=с1"иь.
i .
Применяя оператор усреднения v И используя его переста-
новочность с d”, ВИДИМ‚ что ио = d" vo, где vo = v (иъ) е
WA (9, 1))”, w (по) = p — 1. Далее, d vo = ио + d“ По, где
w (дм vo) < p — 1 B силу предложения 6. Положим теперь
ﬁ=u—dovo=u1—dMv0. Ясно, что w(z7) <p И что
d й = аи е 1 ® Ь“ (9) Н. В силу предположения индукции й == d v + c,
где ие WA (g, Ь)", ce1®L“(g)H, откуда u=d(v+ vo)+c. I
Теперь мы докажем основной результат этого параграфа.
Т е о р е м а 1. Пусть M — однородное пространство связной
компактной группы Ли G, причем подгруппа Н = Ох, где х е М,
связна. Тогда в диаграмме ._
со, ь): тА‹9‚ b)‘uE'A (ловчими), <10)
где в’: A(M)G-*WA(Q,b)"CL"(9u1).®L‘(bm) задается asap-
мулой B’((o)=(det")*7»;,1(o))®1, все отображения являются
квазиизоморфизмами. В частности, дифференциальная граду-
(предложение 6). Если
ч. ‚ ,
.,. .-. - “Ед
1

§ 12. TEOPEMA KAPTAHA 255 _
ированная алгебра А(1И) с-эквивалентна алгебре Картана
С (9, b)-
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Согласно теореме 9.1, тождествен-
ное вложение А (М) —+ А (М) G есть квазиизоморфизм. Далее,
on является квазиизоморфизмом по предложению 4. По
теореме 9.6 имеем изоморфизм А. м о ((de p) ") ` 1 :
Ь“ (9) д —+ А (М) G. Используя предложение 7, видим, что
Во(с1ер)*°7ь ‚С,‘ = В’ также является квазиизоморфизмом.
С л е д с т в И е 1 (теорема А. Картана). Отображения
из диаграммы (10) индуцируют изоморфизм градуированных
алгебр
Н(М‚ Н)е:Н(С(9, Ь)).
Сл едс тв и е 2. Минимальная модель Min C(g, Ь) алгебры
Картана C'(g, Ь) является минимальной моделью многообразия
Следствие 3. Пусть G1, G2--C6fl3I-lble компактные
группы Ли, Н 1, H2—-ux связные подгруппы Ли. Многообра-
зия G1/H1 u СЫН; П-эквивалентны тогда и только тогда,
когда алгебры Картана C(g1, Ьд) и C(g2, I)2) с-эквива-
лентны.
Очевидно, алгебры Картана, соответствующие изоморф-
ным парам (g, Ь), изоморфны как дифференциальные граду-
ированные алгебры. Отсюда вытекает
Следствие 4. Пусть H д-связная подгруппа Ли связной
компактной группы Ли 6;(Е=1, 2). Если пары (G1, H1) u (G2,
H2) локально изоморфны, то G1/H1zRG2/H2.
Пусть теперь заданы два однородных пространства
Мшдб/Н _и N2:GG/K, где G, H, K компактны и связнЬ1‚
и пусть f : M —+ N —эквивариантное отображение. Мы хотим
описать гомоморфизм f *: H (N, R) —›Н (М, R) B терминах
алгебр Картана C(g, Ь) и C(g, f). Предположим, что H = 0„
K =G „д, где хеМ. Тогда Н с K. Рассмотрим гомоморфизм
биградуированных алгебр (p=id®k*: C(g, f)—->C(g, Ь), где k:
Ь —› Ё——тождественное вложение. Если определить кограничные
операторы в этих алгебрах Картана при помощи одного
и того же подпространства R с SG (CM. п. 2), то, как легко
видеть, (р будет гомоморфизмом дифференциальных граду-
ированных алгебр.
Предложение 8. Если отождествить Н(М‚ Н)
и Н (N, R) c H (C (g, Ь)) и H (C (g, О) соответственно при
помощи изоморфизмов следствия 1 теоремы 1, то гомомор-
физм f "": Н (N, R)—>H (M, R) отождествится с (p*:
Н (C (9;f)) т’ Н(С (9, Ь))-

256 гл. 3. ввщвстввннАя топология компАктных групп ли
Доказ ательство. Рассмотрим диаграмму
C(g,t) ——— WA(g,t)‘<————A(2v)" -———>A(1v)
-x- * эс-
ср idelc f f
от» -——-› тА‹;9‚г»"-——- Am)" A<M) ,
строки которой определяются, как в (10). Относительно ее
вертикальных стрелок заметим, что , f *: A (N) —+ A (M) переводит
инвариантные элементы в инвариантные. Ясно также, что
id ®k*: WA (g, f) -+ WA (g, 1)) переводит инварианты в инварианты,
причем получается гомоморфизм дифференциальных граду-
ированных алгебр. Достаточно доказать, что эта диаграмма
коммутативна. Это сводится к доказательству коммутативности
двух ее левых квадратов, которое мы опускаем. I
4. Минимальная модель и ранги гомотопических групп.
Пусть M за G/H i—- однородное пространство связной компакт-
ной группы Ли G со связным стабилизатором точки Н,
C(g, Ь)——-соответствующая алгебра Картана. Согласно след-
ствию 3 теоремы 1, любой инвариант алгебры C(g, 1)) относи-
тельно с-эквивален гности является инвариантом многообразия
М относительно Н-эквивалентности и, в частности, гомотопи-
ческим инвариантом. Для краткости будем называть эти
инварианты многообразия М Н-инвариантами. В этом пункте
мы рассмотрим простейшие Н-инварианты, непосредственно
связанные с минимальной моделью Min C(g, I))=MinM, K0-
торая B силу теоремы 1 есть Н-инвариант этого многообразия.
По теореме 8.2 Min C(g, I))=Z(1t(C(g, I)))). Таким образом,
градуированное пространство 1: (С (g, E))) является В-инвари-
антом многообразия М. Опишем это пространство в терминах
примитивных классов когомологий. _
Пусть i --TO)K)1eCTBBHHOe вложение подгруппы Н в G,
j=di: I)—+g—cooTBeTcTByIo111ee вложение алгебр Ли. Тогда
имеем коммутативную диаграмму (см. (10.13))
Pa PH ,.
V‘; г]; (11)
„Ъ ’
Е(5д‘9'—ы7гг*Е($„)‚

§ 12. ТЕОРЕМА кАРтАнА 257
где 1:’G, I}, —изоморфизмы (степешит 1), определяемые транс-
грессией. Пусть P2 = Ker i* И пусть Лёг-дополнительное
к 1' *.(PG) градуированное подпространство в P Н. (Очевидно,
P2, э: Coker i* .) с
П р ед л о ж е н и e 9. Имеем изоморфизмы градуированных
векторных пространств
«(cm b))m;,(P2,),
1t(C(g, I)));zP3.
Доказательство. Рассмотрим комплекс (E(C(g, I))),
E (d)). Очевидно, мы можем отождествить E (C (g, I)))
с E(SH)@PG. Тогда E(d)(y)=0 для уеЕ($„),
E(d.)(x)=E(j"')1:'G(x) для xePG. Из коммутативности диа-
граммы (11) видно, что E(d)(x)=1:’Hi*(x) (xePG). Поэтому
2(Е(С(9‚ Ь))=Е($н)СчЭР%‚ И Е(‹1)Е(С(9‚ 1)))=T'n(i“(Pa)),
“(Си b))=H(E(C(9, b)))=Th(P?z)®P‘<’;-
Следствие 1. Многочлен
Ч‹М› t)=p(PG9 t)—p(PH9 t)
является Н-инвариантом многообразия М.
Доказательство. Ясно, что q(M, t)=--p(P3, t)—-
jp t). I _ \...
3 a M e Ч а н и е. Вместо многочлена q (M, t) иногда рас-
G, t
сматривается рациональная дробь p((H г: , задающая по
P ‚
существу тот же инвариант.
Запишем
q(M, t)=7&1(M)t+7\.3(M)t3+...,
где 7Ь„(М)=‹11п1Р’{;-с11шР'Ь, k нечетно. В силу примера 9.3
и следствий 2, 3 теоремы 10.4 получаем
Следствие 2. Числа
х,(М)=‹11ш2(0)-‹11ш2(11),
?~3(M)=7~((G» 0))-?~((Ha H))»
7L(M)=7»(G)-—7»(H)
являются Н-инвариантами многообразия М.
Определим теперь В-инварианты
rk M = dim P 3 ,
называемый рангом многообразия М, и
согМ=а1шР%‚
9 А. Л. Онищик

258 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
называемый корангом многообразия М. Рассматривая G как
однородное пространство группы G относительно действия
левыми сдвшами; имеем rk G = dim PG. B силу следствия
теоремы 11.1 rk G равен размерности максимального тора
группы G, T. e. рангу группы G B смысле §,3. Далее, положим
х„(М)=х(т:(С(9‚ I)))=corM-—rkM. (12)
Предложение 10. Имеем
п х„(М)=г1‹Н—г1‹0.
Доказательство. В силу_ предложения 7.3
Х„(М)=Х(Е(С(9‚ I)))=dimP,,-,-—di1nPG=rkH—-rkG.I
Следствие. Имеем
гКМ.>-х„(М)>О,
гКМ>согМ>0.
Заметим также, что rkM > 0, если dim M > 0. Это непо-
средственно следует из предложения 9.14. Используя следст-
вие 1 предложения 9.5, легко доказать
Предложение 11. При прямом умножении однородных
пространств введенные выше П-инварианты ведут себя ад-
дитивно. В частности,
с1(М1 xM2, t)=q(M1, t)+q(M2, t),
rk(M1xM2)=rkM1+rkM2, `
сог(М1 xM2)=corM1+corM2,
xn(M1XM2)=xn(M1)+xu(M2)'
Теорема 7.4 позволяет дать простую гомотопическую
характеризацию введенных выше В-инвариантов. Поскольку
Н связна, многообразие М гомотопически просто в силу
предложения 4.17, и поэтому теорема 7.4 применима. Ис-
пользуя предложение 9, получаем изоморфизмы векторных
пространств
Нош (л„„ (M), R)::(P?;)2"“ (Е; о), (13)
Hom (n2k+2(M), R):«_(P‘,’,)2"~“ (k 2 0). (14)
Положим
r,,—rk1t,,IM) (k>1)

§ 12. TEOPEMA KAPTAHA 259
Тогда
Р(Р%› 1): Z "2k+1t2k+1: (15)
„ъ 1:20
PUD?!» '7): Z"2k+2t2k+1s (16)
k20 -
7V2k+1(M)=’2k+1“’2k+2 (A791): (17)
rkM$ Erzkﬂ, - (18)
1:20
согМ= Z гд, (19)
1:21
' х„(М)= Z(—1)"r..- (201
k >1
5. Градуировка по внешней степени. Сохраняя обозначения
пунктов 3 и 4, рассмотрим снова алгебру Картана С (9, Ь)
однородного пространства M =60 / H. Снабдим C (g, b)
внешней градуировкой (см. п. 8.1):
C(9> @0pC(9s b):
pC(g, I))= /\"PG®S,,.
Используя изоморфизм следствия] теоремы 1, мы можем
перенести соответствующую градуировку алгебры когомоло-
гий на Н (М, R). Полученная Градуировка
ГДС
Н(М‚ R)= G) pH(M, R) '(2l)
P >0 _
будет называться внешней. При этом Н (М, R) становится
биградуированной ашеброй. -B частности, ОН (М, Н)—граду-
ированная подалгебра в Н (М, R), называемая характери-
стической подалгеброй. В силу (8.4) имеем
0H(M, n).~.»s,,/1G,,,, ' (22)
Где 16,Н=(.Г(56)+
Предложение 12. Если M1=G1/H1 u 'M2=G2/H2 R-
эквивалентны, то Н (M 1 , R) u H ( M 2 , R) изоморфны как
биградуированные алгебры.
Доказательство. В силу следствия 3 теоремы 1
C (91, bl) И С (g2, b2) с-эквивалентны. Используя следствие 3
9*

260 ГЛ. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
теоремы 8.2, видим, что их ашебры когомологий изоморфны
как биградуированные адпебры. Поэтому то же верно для
алгебр когомологий многообразий М 1 и М 2. I
C Л е д с т в и е 1. Характеристическая подалгебра ОН (М, R)
есть Н-инвариант многообразия М.
Следствие 2. Многочлен
PAM, t)=p..(C(9a 1)): t)= Z (-1)"t"P(kH(M» R)» г)
k>0
(23)
есть В-инвариант многообразия М.
Заметим, что если PG градуировано степенями 2 pi-1
(i=1, ..., l), a P,,—c1*e1IeHaM1»1 2qj‘——1 (j=l, ..., m), то в силу
следствия 2 предложения 8.2 имеем
I m
1Ia(M»t)= П (1-г"")/ П (1-t’“’)-
i=1 j=1
(24)
Предложение 13. Пусть G=G1 >‹ G2, где 61, 62-
связные компактные группы Ли, H == Н 1 x H2, где Нд—связная
подгруппа Ли группы G,.. Тогда существует. изоморфизм алгебр
H(G/H, R)zH(G1/H1, R)®H(G_,_/H2, н),
сохраняющий как обычные, так и внешние степени. В част-
ности, имеем изоморфизм градуированных алгебр
0H(G/H, R)z0H(G1 /H1, R)®0H(G2/H2, R).
Д о к а з а т е л ь c т в о. Согласно предложешихю 5 имеем
C(g, I)):C(g1, I)1)®C(g2, Ь, ). Очевидно, этот изоморфизм
сохраняет внешние степени. Применяя теорему 7.1, получаем
искомый изоморфизм. I
Характеристическая подалгебра „Н (М, R) no определению
является образом некоторого гомоморфизма \|t= \IIM3
SH —›Н (М, R), который называется характеристическим eo-
моморфизмом; имеем Кег\|1=1д‚„ (см. (22)). Гомоморфизм
Ф определяется следующей последовательностью отображений
(см. (10)):
SG 1.wA(g, ыь Ё.‚4(м)с_„4(м),
где ос(и)= 1 ®и. Мы хотим показать, что Ч! ведет себя
естественным образом по отношению к морфизмам однород-
ных пространств.
П р е д л о ж е н и е‘ 14. Пусть (f, ‹р)—морфизм однородного
пространства М 2 GG/ H 6 N z „К / L, где G, H, K, L компактны
-w-‘$5"".,-w . . --.\ .

§ 12. TEOPEMA KAPTAHA 261
и связны, причем (р (Н) с L. Тогда имеем коммутативную
диаграмму: г
(d<.v)*
‘S'L":"———"' SH
‘Pu ‘Рм
H(N,R)
fa» ' ’
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
/
SL °‘ WA(t,I )‘ «-3- Aw)"---»A(zV)
<dq»* напр)” f* f”
SH а WA(g,I;)” р, Am)" A(M)
Относительно ее вертикальных стрелок надо заметить, что
f *: A (N) —+ A (M) переводит инварианты в инварианты в силу
предложения 1.4, а (oL(p)*: WA (f, I)—+ WA (9, Ь) также
переводит инварианты в инварианты, причем получается
гомоморфизм дифференциальных градуировашшх алгебр. Не-
посредственно проверяется, что эта диаграмма коммутативна,
откуда и следует наше утверждешите. I
6. Дефекты и подалгебра Самельсона. Мы сохраняем
обозначения предыдущих пунктов. Поскольку алгебра
Н (М, R) конечномерна, из формулы (22) следует, что по-
линомиальный идеал 16, Н является нульмерным (см. также
предложение 11.8). Рассмотрим его дефекты ‹11`‚16‚ д, dfIG, Н
(см. п. 8.6), которые мы будем называть дефектами однород-
ного пространства М и обозначать df, M, df M. Из пред-
ложения 8.6 И следствия 3 теоремы 1 вытекает, что эти
числа являются В-инвариантами многообразия М. Формулы
(8.20) и (8.21) имеют в нашем случае следующий вид:
df2iM=dimPf;"1—dimP},"‘-—~dimQ2“1 (:21), (25)
dfM=——x,,(M)—dimQ. (26)
Здесь 9——градуированное подпространство в PG, определен-
ное формулой
Q={x5PGlj*(TG(x))e(SH)+I641} (27)

262 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
(см. п. 8.5). Из (26) следует, что
0<dfM<—x,,(M)<rkM. (28)
Градуированное векторное пространство Q называется под-
пространством Самельсона в PG. B силу следствия теоре-
мы 8.3 оно также является Н-инвариантом многообра-
зия М.
Замечание. Для любого xeQ элемент j*('cG(x)) раз-
ложим. Используя коммутативность диаграммы (10.13)‚ от-
сюда выводится, что i *(x)=0. Таким образом, Q cP3,
И dimQ < rk M. „
Пусть х1, ...‚ х‚, х,“ , ...‚ хг-‘такой однородный базис в PG,
что @=(х‚„‚ ...‚ х,>. (Таким образом, любая минималь-
ная система однородных образующих идеала [а Н содержит
r элементов, см. п. 8.5.) В силу предложения 8.4 сущест-
вуют линейно независимые элементы )?‚+ 1 ‚ ...‚ 23,6 1 С (g, b)
такие, что ВэЕ,=Вх‚‚ £j—xjePG®(SH)+ И д”‚=0_(]=г+1,
...‚ 1). Имеем '
СЩ‚Ы=^ё®д‚ ‚ОШ
Где ё=<йг+19 "°9 fl): CV‘:/\R(x1: --ya xr)®SH: a
Н(М‚ R)= А ёощд) (во)
(если отождествить Н (М, R) с Н (С (g, I))) с помощью
изоморфизма следствия 1 теоремы 1). Г радуированная под-
алгебра /\ Q с Н (М, R) называется подалгеброй Самельсона
и обозначается через $аш(М). Поскольку $ап1(М)= /\ Q,
градуированная алгебра $ап1(М ) является В-инвариан-
том многообразия М. Геометрический смысл подпростран-
ства Самельсона И подалгебры Самельсона будет прояснен
в п. 7.
Из предложения 5 и формул (25), (26) легко следует
Предложение15. Пусть 6=61х02‚ H=H1xH2, где
Нг-связная подгруппа Ли связной компактной группы Ли С,
\(2=1, 2). Тогда
акнН=модНдлкьпь‚
а(‚,с/н=аг‚,о, /H, +с11`„62/Н; д‘ (р > о),
Sam(G/H)=Sam(G1 /H1)®Sam(G2 /H2
Введенные выше Н-инварианты позволяют сформулиро-
вать некоторые критерйи формальности однородного про-

§ 12. TEOPEMA КАРТАНА ` 263
странства М ш GG / Н. B ‘силу теоремы 1 М формально тогда
и только тогда, когда дифференциальная градуированная
ашебра C(g, b) формальна. Из теоремы 8.4 и ее следствия
непосредственно вытекает следующая
Т е о р е м а 2. Следующие условия эквивалентны:
1) Многообразие М в GG / H формально;
2) элементы bi = j ‘та (xi) (i =1, ..., r) составляют регуляр-
ную последовательность в SH; »
3) dfM=0, m. e. r=m=rkH;
4) H(M, R)=Sam (M)®oH(M, R).
Если М формально, то
I т l__t2p‘
p(M» t)=_ П (1+t’”"‘)fI (31)
1=m+1 i=1
где PG градуировано степенями 2р‚—1 (j=l, ..., I), a PH--
степенями Zq,-—l (i=1, ..., m).
Замечание. Пусть H —связная подгруппа Ли связной
компактной группы Ли G, S —максимальный тор группы Н.
Из следствия предложения 11.10 вытекает, что df G / H =
=df G,’ S. Используя теорему 2, получаем, в частности, что
G/H формально тогда И только тогда, когда G/ S (bop-‘
MaJIBHO.
7. Гомоморфизм, связанный с орбитным отображением.
Пусть снова M -- однородное пространство связной компакт-
ной группы Ли G, причем подгруппа Н = 6„ где хеМ,
связна. Рассмотрим орбитное отображение t": g+—>gx группы
G B М (иногда удобнее иметь дело с отображением р= t"os).
Цель этого пункта состоит в интерпретации в терминах
алгебры Картана гомоморфизмов (t")"': A(M)—>A(G) И (t")*:
H(M, R)—>H(G, R).
пределим гомоморфизм градуированных алгебр ’ у:
C(g, I))—+L“(g)9 формулами
y(x®1)=x (xePG),
7(1® u)=O (Lie (SH)+).
Ясно, что у будет гомоморфизмом дифференциальных алгебр,
‘если снабдить L"(g)9 нулевым кограничным оператором. Тем
же свойством обладает гомоморфизм у’: C(g, I))—>L“(g)9,
определенный формулой
~w<v>=(—1>w<v) (веселил.

264 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Аналогичным образом, рассмотрим гомоморфизм градуиро-
ванных ашебр 71: WA (g, I))—>L“(g),.Ta1<o171, что
у1(х® 1)=х (xeL“(g)),
71 (1 ® и)=0 (uebfzl).
Ясно, что 71 o9(y2=9(y)oy1 0261)), так что 71 отображает
WA (g, Ь)” в L“(g) . Далее, удои’: ——'у1ос1‚4= —doy1. Значит,
отображение 7'1: WA (9, I))"—>L"(g)", определенное по аналогии
с у’, есть гомоморфизм дифференциальных градуированных
алгебр. Рассмотрим диаграмму '
oz ’ СМ
стем тА‹9‚т›)”+-9-— Aw) ——+A(M)
т’ ' т; p* я?‘ (32)
I‘-“<9 )9’ ‘Tr’ Ша Y’ AG A%<0)Mm AW»
верхняя строка которой совпадает с (10). В нижней строке
через А (G)”"G обозначена подалгебра всех форм на группе G,
инвариантных относительно группы Н x G при действии
двусторонними сдвигами (т. е. подалгебра правоинвариантных
форм, инвариантных относительно всех la, aeH). Очевидно,
р(а31›'1 =bp(g) (aeH, b, ge G), так что p‘ отображает A(G)”"G
B A(M) . Легко видеть (ср. п. 9.5), что м, изоморфно отобра-
жает L"(g)" Ha A(G)”"G.
Предложение 16. Диаграмма (32) коммутативна и все
входящие в нее горизонтальные стрелки являются квазиизо-
морфизмами. .
Доказательств о. Коммутативность диаграммы про-
веряется непосредственно. Например, для внутреннего ква-
драта имеем
(м, о 7'1 о В’)(со)=(?„д о 'y’1)((det")*7\.;}1(0)) ® 1)=
=(—~1m(dez==)*>»;x<w)=xG(dep)*w<w)=
>—=р"(°3) (<°€A(M)3)
B силу коммутативности диаграммы (9.19).
Мы уже знаем (теорема 1), что верхняя строка в (32)
состоит из квазиизоморфизмов. Поэтому остается доказать,
что квазиизоморфизмамик являются тождественные вложения

§ 12. ТЕОРЕМА’ KAPTAHA 265
A(G)”"G-+A(G) И Ь“(9)9—›Ь"(9)". Для первого вложения это
непосредственно следует из теоремы 9.1. Поскольку ком-
позиция отображений нижней строки есть квазиизоморфизм
же: L“ (g)9—+A(G), тем же свойством обладает и второе
вложение.
Теорема 3. 1) Имеем коммутативную диаграмму
H(6'(9.b)) H(M.R)
‚ 7" (t”)#
Ша)“ H<a,R),
строки которой суть изоморфизмы следствия 1 теоремы
1 и теоремы 9.3.
2) Im (t")* = А Q, где Q с: Рд-иодпространство Самель-
-сона, заданное формулой (27). При этом (t")"* определяет
изоморфизм подалгебры. Sam (М) с H (M, R) на
Доказательство. Отождествим Н(М, R) c H(C(g, Ы)
и H (G, R) c L"(g)9 с помощью изоморфизмов‚ указанных
в 1). Тогда в силу предложения 16 р*‘ =(у’)*. Используя
предложение 9.15, получаем (t")"* =7 "Ё и 1) доказано.
Обозначим F = Im(t")*=Imy“* и докажем, что F П PG=Q.
По определению отображештя у "* элемент хе PG принадлежит
F тогда и только тогда, когда существует такой хе C (g, Ь), что
’с1›г=о и что х-хе А PG®(Sg)+; при этом y*" переводит класс
Q
когомологий элемента э? в х. Пусть такой х существует.
Поскольку d (x—)E)=dxeSH, мы можем считать, что хе
Ё 1C( , Тогда x‘“f€PG ® (SH)... И а’х=с1'(х-)Ё)е1дд;($н)+‚
т. е. хе Q. Обратно, если хе Q, то рассуждая, как в доказатель-
стве предложения 8.4, легко построить элемент х, обладающий
нужными свойствами. Из сказанного видно также, что 7*
изоморфно отображает подашебру Sam (M) с: H (M, R) Ha
подашебру А Q с: H (G, R).
Имеем А Q c: Im y 4*. Докажем теперь обратное включеште.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
т
axe а
idxtx {х
ахм‘ м,
vl 1-..-.-. м; дан-жди.-

266 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
где т——умножение в G И 0(g, x)=gx (ge G, xeM Используя
теорему 7.2, получаем отсюда коммутативную диаграмму
Iﬂ#
H(c:,R)®H(G,R) НИЛ)
mo(t")" , от‘
6*
Из нее следует, что m"* (F) c H (G, R) ® F. Докажем индукцией
по q, что F9 c /\ Q для всех q>0. ПУСТЬ x1, ..., x,——TaKo1‘»i
однородный базис пространства PG, что Q-—(x1, ..., xp).
Пусть уже доказано, что Р"с AQ для всех s<q. Тогда
(H+(G, R)®F)" c: H+(G, R)® АО. Пусть xeF" И пусть
x=wo+Za;w,-, где a,-en, woePG, шд-разшитчньте одночлены вида
i_ .
я шд=хд1.„хд_ < <js,
Тогда m"*x==m*wo+Za;m*w;. Применяя m"* К (33) и ис-
i
пользуя предложение‘ 6.12, видим, что т‘* содержит с ненуле-
вым коэффициентом единственный одночлен вида х ,-2...x д ® x,-1.
Поэтому хде /\ Q, откуда ]1<р. Аналогично, jg, ..., jssp, T. е.
шдеАв для всех i. Далее, шо=х—2ади›;еГ", так что woeQ
i
И хе А Q. I
8. Случай не обязательно связного стабилизатора точки.
Построенные в этом параграфе В-инварианты однородных
пространств компактных гру1ш Ли имеют один существенный
недостаток: они определены только для однородных про-
странств M э: дС/ Н, где G и Н -—связные компактные группы
Ли. В этом пункте мы будем рассматривать однородные
пространства М связных компактных групп Ли G, отказываясь
от предположения связности стабилизатора Н. Учитывая
предложение 5.7, мы можем считать, что мы изучаем
произвольные связные однородные пространства компактных
гру1ш Ли. Оказывается, что В-инварианты однородного
пространства G/ Н ° являются гомотопическими инвариантами
(но не обязательно П-инвариантами) многообразия G /H.
TeopeMa 4. Пусть Мехдб/Н и М'=д‚6’/Н'——однород-
ные пространства связных компактных групп Ли G u G’.
Если Mz,,M’, mo G/H°z,.G’/(H’)°.

§ 12. TEOPEMA КАРТАНА . 267
Доказательство. Сначала мы построим накрытие
многообразия G/ H ° прямым произведением тора И односвяз-
ного компактного однородного пространства. Для этого
обозначим C=Z(G)°=Rad G, S=(G, G). Пусть us: §—+S——
ОДНОСВЯЗНОС накрытие группы S и п: G1 =C x S—>G—Ha1<pLIBa-
ющий гомоморфизм, заданный формулой 1t(c, s)=c1cs (з) (се С,
sje Полагая H1 =1t’1 H)°, получаем связную подгруппу Ли
H1 с G1 такую, что 1: H1)=H°. Тогда отображение gH 11-»
ъ—›тс(3)Н° (geG1) является накрытием р:_ G1/H1-+G/HO. Оче-
видно, в` G1 существует минимальная связная нормальная
подгруппа Ли G1,, обладающая следующими свойствами:
G1, транзитивна на G1/H 1, G1, э S. Тогда G1,-—=C1, x S, me
Со-связная __подгрушта Ли в С. Обозначим H1,=H1 П G1,.
Тогда H1, c S. B самом деле, пусть 7:1: G1,—>C1,—npoe1cIms1.
Тогда 1t1(H1,)—no;1'rop в C1,. Очевидно, C1, разлагается
в локально прямое произведение C1,==1t1(H1,)C1,1, me
C1, 1 —некоторый додтор. В силу следствия 5 предложения 5.1
подгруппа C1,1 x S c G1 транзитивна на G1/ H1, откуда ввиду
минимальности подгругшы G1, следует, что 1t1 (H1,)= {e}.
B g_e3yJ1LTa1'e получаем, что G1/ H1 =G1, /H1,=C1, x N, me
N = S / H1,. Заметим, что в силу следствия 4 теоремы 1 G 1/
H1 2:11 G/H°, так что G/H°z,1 C1, x N.
Аналогичным образом построим накрытие р’:
'1/H'1= 1,xN’—>G’/(H’)°, me G’/(H’)°z1,C§,xN', причем
C 2,—--Top, a 1\”—односвязное компактное однородное много-
образие. Тогда ясно, что многообразия RPXN и RP’ xN', me
p= dim C1,, p’ =dirn C ъ, являются односвязными накрывающи-
ми для М и М’ соответственно. Если Mz1,M’, то R"xNz
z1,R"'xN’, откуда Люд, N’. Поскольку dimM=dim M’,
dim N =dim N ' (CM. п. 7.5), имеем также р.=р’, так что C1,zC{,.
Таким образом, C1, x N 2:1, C1, x N’, откуда следует, что
G/H°z11 G’/(H’)° I
Следствие. Пусть M z1~,G/ H — однородное пространство
связной компактной группы Ли. Тогда дифференциальная
градуированная алгебра Min C ('9, 1)) является гомотопическим
инвариантом многообразия М.
Отсюда вытекает, что Н-инварианты многообразия G/H°,
описанные в настоящем параграфе, являются гомотопиче-
скими инвариантами многообразия M mg G / H. B частности,
можно определить следующие гомотопические инварианты:
rkM=rkG/H° (ранг М),
согМ=сог G/H° (коранг М),
x,.(M)=x,.(G/H°)=rkH—rkG.

268 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
§ 13. Некоторые частные случаи и примеры
1. Некоторые достаточные условия формальности. _В этом
разделе мы докажем достаточное условие формальности, из
которого следует оценка дефекта однородного пространства
через его ранг, более точная, чем (12.28).
Предложение 1. 1) Если corM=0 или 1, то dfM=0,
m. e. M формально. `
2) В общем случае имеем
dfM<1nax(rkM——2, О). I (1)
Доказательство. Если corM=0, то 1*: PG-—+PH сюръек-
тивно. Из предложения 10.7 видно, что E ( j’) сюръективно.
Значит, j*: SG—->SH сюръективно. Ясно, что любая мшшмаль-
ная система однородных образующих идеала 1д‚н=($н);
состоит из m=rkH 3JI6MeHTOB. Поэтому df M = 0.
Пусть cor M == 1. Тогда свободные образующие x1,
..., x, B SG И y1,...,y,,, в SH можно выбрать так, чтобы
(i=1, ..., т—1),
(s==m, т+1, ..., 1).
I ‘ix: =7:
j*xse((Su)+)2
Очевидно, имеем
j"'xsEcsy:‘,; (mod(y1, ..., y,,,-1)) (s=m? т+1, ..., 1),
где cseﬂ, kseN. При этом с‚э’=О для некоторого s, ибо
в противном случае нульмерный идеал 15, д совпадал бы
с у1, ..., у„,_1 . Будем считать, что c,,,;é0 И что
/с‚„——наименьший из показателей ks, для которых c,;é0. Тогда
ясно, что j*x1, ..., j"x,,,_1, ]"х‚„—-—минимальная система об-
разующих идеала [ад Таким образом, df M =0, И 1) доказано.
2) легко следует из (12.28) И из 1). П
Следствие. Если rkM=l или 2, то dfM=0, т, е.
М формально.
Пример 1. Мы хотим показать, что все многообразия
Штифеля удовлетворяют условиям предложения 1 и тем
самым являются формальными многообразиями. Используя
теорему 12.2, нетрудно найти также их алгебры когомологий.
Мы будем использовать групповые модели многообразий
Штифеля из примера 4.5. Алгебры SG, S1’, отождествляются
с алгебрами инвариантов соответствующих грутш Вейля.
1) G=SU,,, H=SU,,_k, M=Stf,k. B обозначениях приме-
ра 11.1 имеем SG=R[p2, „д, р‚‚], SH=R[p2, ..., p,,_k]. Гомомор-
физм j "': SG-—>SH описан в примере 11.5. Из этого описания
к

§13. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ и ПРИМЕРЫ 269
видно, что Е(]*): E (SG)—>E(SH) сюръективен, так что cor M --=0,
rk M ==k. Таким образом, М формально, ОН (М, R)=R и
Н(8‘$‚1с› A R(E.a2 (п—1с)+1› -"9 E92!!-1):
где D§,-=j.
2) G=SO2g+1, H=S02(1_k +1, M=St§1+1,2k. B ОбОЗНЗЧСНИЯХ
примера 11.2 имеем SG=R д, ...,p2,], S,,=R[p2, ...,p2(,_,,,].
Используя пример 11.7, видим, что cor M ----0, rk M =k.
Поэтому, М формально, OH (M, R)=R И
Н(5‘Ё1+1‚2к‚ R)= ^ n(§4(1—k)+3, "ч §41——1),
где В&,=}. ‘
3) G=S021+1, H=S02(;-k), M=St§;+1,2k+1. B ОбОЗНЗЧСНИЯХ
примеров 11.2 и 11.3 имеем SG=R(p2, ..., рд],
БН=Н[р2‚ ...‚р2„..‚„..1„ 6,4]. Используя пример 11.7, видим,
что сог М = 1, rk М =k+ 1, так что М формально. Поскольку
o'§‘_,,eSG, oH(M, R):~_R(n)/(112), где Dn=2(l'—k), И
Н(5‘Ё1+1.2к+1‚ ЮЗ ^ n(§4(1-k)-1, ‹--› §41—1)® RD1]/(112),
‘Где _
4) G‘-'-":S02;, H=S02(g-k)-1, M=St§;,2,,+1. ИСПОЛЬЗУЯ TC Же
рассуждения, видим, что сог M -= 0, rk M =k, M формально И
Н(5‘Ё1‚2н+1‚ н): ^я(Ё4а-к)+з‚ т, Ём-зэ §21—1),
где D§,-=j. ~
5) G=S02,, H =S02(,_,,,, M =St'§,, д. Используя те же рас-
суждения, видим, что cor M = 1, rk M =k+1, M формально и
Н(51Ёг‚2ь‚ R)’—‘—‘ /\n(§4a—k)—1‘, ---‚ Ём-з, §2z-—1)® RD1]/(112),
где D23,-==j, Dn=2(l—k).
6) G-=Spz. H=Sp,._k, M =St{f,,. ИСПОЛЬЗУЯ примерыв11.4
` и 11.7, видим, что
Н(5‘Ёь н): /\n(§4(z~k)+3, "ч €41-1),
Где ШЁ; =1
2. Хопфовы однородные многообразия. Однородное простран-
ство М связной компактной группы Ли называется хопфовым од-
нородным многообразием, если Н (М, R) есть ашебра Грассмана,
порожденная элементами нечетных степеней. В силу примера
7.10 любое хопфово однородное многообразие формально.
Связная подгруппа Ли Н связной компактной группы
Ли G называется негомологичной нулю в G, если гомоморфизм
1*: H (G, R)—->H (H, R), индуцированный вложением i: H —>G,
сюръективен.

270 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Те о рем а 1. Пусть G --связная компактная группа Ли,
М ——- однородное пространство группы G, причем стабилизатор
Н == О, любой точки хе М связен. Тогда следующие условия
эквивалентны:
1) Подгруппа Н не гомологична нулю в G.
cor M = О.
rkM=rkG—rkH = —x,,(M)).
Г омоморфизм (di) : SG -› SH сюръективен.
Н (М, R)=Sam
М ——хопфово однородное многообразие.
PGﬂKeri"* =Q (=PG ﬂIm(t")"*).
rk M = dim Q.
ОН (М, R) R.
При этих условиях имеем
1{(c;,n)=_H(H,n)®H(M,n), (2)
p(G, t)=p(H, t)°p(M, г). (3)
Доказательство. 1)<=>2) в силу предложения 9.13;
(2)‹=›(3) в силу (12.12) и предложения 12.10. Как мы видели
при доказательстве предложения 1, 2) => 4). Обратно, если (di)*
СЮрЪСКТИВНО, то Е (dz)* сюръективно, откуда в силу предложе-
ния 10.7 следует 2). Из 4) следует также, что однородный
базис х1, ..., х; в PG можно выбрать таким образом, чтобы
b,-=dx,- (i= 1, ..., г) составляли’ свободную систему образующих
алгебры SH. Тогда алгебра С = Ад (xx, ..., x,)® SH ацикдшчна
в силу предложения 7.7, и Н (М, R)=Sam (M) ВВИДУ (12.3О).
Таким образом, 4) => 5). Очевидно, 5) = 6). Если выполнено
6), то Min M 2 H (M, R)—aJ1re6pa Грассмана с образующими
нечетных степеней (см. пример 7.10). Поэтому из предложения
12.9 следует, что сот M =0. Итак, 6)=2). Тем самым мы
доказали эквивалентность условий 1)—6).
Напомним, что для любого однородного пространства
Qc:Keri"* (CM. замечание в п. 12.6). Поэтому 7)<=›8). Если
выполнено 6), то df M =0 B силу теоремы 12.2
и rk M =rk G —rkH B силу 3). Согласно (12.26), отсюда следует
8). Обратно, пусть выполнено 8). Используя (12.26), получаем,
что dim(PHﬂImi"‘)=dimPG—dimQ=dimFH3I—dfM>dimPH.
Значит, i"*(PG)=PH, T. e. 8)=2).
Из (12.22) следует, что 5)=>9). Используя индукцию по
степени, легко доказать и обратную имшшкацию.
Из свойств 2), 5) И 7), очевидно, вытекает, что H (G, В):
:H(H, R) ® А Q=H(H, n) в) Sam(M)==H(H, n) ® Н(М,- н). I
и " и

ч-ч-ц-и: ""'дч—ч'т'7"*гт1цчч`
§13. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ и пгимвгы 271
Пример 2. Как видно из примера 1, многообразия Stf_,,,
Stﬂk, $‘Ё1+1,2д и St'§,, „Н являются хопфовыми однородными
многообразиями. Как видно из примера 11.6, SU2,/Sp,--—'raIo1<e
хопфово однородное многообразие. '
3. Эйлерова характеристика. В этом пушсте мы выясъшм,
какой может быть эйлерова характеристика многооб?
разия М :GG/H, где G, H ---CB$I3HIaIC компактные гругшы Ли.
В частности, будет выделен И охарактеризован класс однород-
ных пространств положительной эйлеровой характеристики
(все они оказываются формальными).
Заметим, что -
х(М)=р„(М‚ -1), (4)
где pa задан формулой“ (12.23). Действительно, как мы видели,
pa (M, t)= Z (-l)Pdim,,H"(M, R)t"*"'
k,
(CM. п. 8.3), откуда р
р„(М, —1)=kZ (—1)"di1n,,H"(M, R)=x(M).
э Р
Как и выше, мы считаем, что PG градуировано степенями
2p,--1 (i=1, ..., I), a Рд-степенями 2q,-—l (i=1, ..., m).
Теорема 2. Пусть H -.— связная подгруппа Ли связной
компактной группы Ли G, М 2:GG/H. Тогда х(1\1)>0. Сле-
дующие условия эквивалентны:
3)
Н М, Н)э_*$Н/1д_н;
5) Н1(М, R)=0; *
6) гомоморфизм (dz) : SG —› $'„_ инъективен.
В случае, когда х(1И)>О‚ многообразие М формально и
‘ l—t2"‘ „
MM» ‘)= П ff,» (5)
i=1
I ' I
_ I2_|"’_<;|
x(A[)_i1;._I1qi—|WH|. (б)
Д о к а з а т е л ь с т в о. деля числитель и знаменатель правой
части формулы (12.24) Ha (1 — t2)"', получаем
"‘ 1+:2+...+:2‘Р›“" ‘ 2‘
Ра(М› г)’ H1+t2+_”_|_t2(q,-1)i=l’:£1(1_tP)‘ (7)
i=1

272 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
Используя (4), выводим отсюда, что х(М)=0, если I > m.
В случае же 1=т из (7) следует левое равенство в (6).
В частности, x(M)>0, так что 1)<=›2). 2)‹=>3) следует из
предложения 12.10.
Докажем, что 2)=>4). Если 1=т, то в силу (12.26) dfM =0
И Q=0, так что Sam (M):-—R. Из теоремы 12.2 следует, что
вьшолнено 4). Из этой же теоремы вытекают формальность
многообразия М и формула (5).
Очевишю, 4)=>5)=>1).
Докажем, что 2) <= 6). Пусть выполнено 2). Тогда мак-
симальный тор Т группы Н является максимальным тором
и в G. B силу предложения 11.1 (di)*: Sc,-+ SH отождеств-
ляется c тождествешшм вложением SWG —-› Зуд и поэтому
инъективно. Обратно, если выполнено 6), то tr deg SG strdeg SH,
T. e. rkG<rkH (теорема 11.1), И вьшолнено 2).
Правое равенство в (6) следует из предложения 11.4. I
-4. Однородные пространства, определяемые характерами
‘ максимального тора. В этом пункте мы рассмотрим один
класс компактных однородных пространств М, удовлетворя-
ющих условию x,,(1|l)= -1. B большинстве случаев эти од-
нородные пространства не формальны (и имеют дефект 1).
В отличие от соглашения, принятого в п. 3.2, мы будем
различать характеры торов и их дифференциалы.
Пусть (Э-связная полупростая компактная группа Ли,
Т—— ее максимальный тор, х еХ(Т)—нетривиальный характер,
K: а’); е Ж. Тогда однозначно определен такой ненулевой
элемент zet, что 7ь(х)=2(2‚ х) для всех’ xet. Рассмотрим
связную подгруппу Ли K = ZG (Ё), где C ={exp sz|seR}cG (CM.
П. 3.12). Очевидно, f=3g Как следует из теоремы 3.4, 3),
мы можем выбрать систему простых корней П в системе
корней AG относительно Т так, чтобы вес А был доминантным.
Тогда в обозначешитях п. 3.12 имеем K=H;, где 2={о:еП]
(ж, dz)=0}. Используя неприводимое линейное представление
р (ж) группы G, можно показать (см. п. 16.2), что хмпродолжа-
ется до _характера xeX(K). При этом (К, K)cKer x. Положим
H =(Kerx)°=(K, К)То, где Т о=ехр(Кег7„)с Т. Очевидно,
Н полностью определяется тором То или подпространством
Kerlct. Ha caMoM деле характер xeX(T)~Mo>1<Ho ИЗМСНИТЬ
так, чтобы (при том же торе То) подгруппа Kerx (или
ядро продолжеъшя х) была связной.
Вычислим вещественные когомологии многообразия G/H.
Сначала мы рассмотрим более общий случай, когда K —
произвольная неполупростая подгруппа максимального ранга
I ' . " ` ' а
.. ‚ _ -'-'2".“?:”a7i’lI~.~:a'.’:-@455: .

§13. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ и пвимвгьк 273
в G, хеХ(К)—нетривиальный характер И H =(Ker x)°. Обо-
значим через р естественное отображение gHI-> gK многооб-
разия G/H на G/K. Запишем гомоморфизм ?ь=а'х в виде
7ь=ёа, где aef'. Поскольку a([f, f])=0, имеем ae(f')‘. Форму
а можно рассматривать также как элемент д е (SK) 2. В силу
изоморфизма теоремы А. Картана H (C (g, f))zH(G/K, R) эле-
менту 1® де C(g, f)o, 2 отвечает класс когомологий осе
H 2(G/K, R). Обозначим через е ос) умножение на ос в H (G/K, R),
T. е. линейное отображение Н G/K, R)-+H(G/K, R) степени 2,
заданное формулой e(oL)§=oLé';. Напомним, что в силу Teo-
ремы 2 . ‘
н(с;/1<‚° н)= oH(G/K, n)zsG/1G,K.
Предложение 2. Для любого 321 имеет место сле-
дующая точная последовательность линейных отображений
градуированных векторных пространств: *
о -› Hi (G/H, R) EL H(G/K, н) ‘(_°". H(G/K, n) Е; Нб (G/H, п) -› о,
причем Вб = — 1. В частности,
oH(G/H, n)=H<'>(G/H, n)=H(G/K, n)/(a),
1H(G/H, R)=Hi (G/H, R).':Kere(oL)
(изоморфизм степени — 1),
,H(G/H, юго для 722. n
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм алгебр
Картана (p=id®k': C(9s f)—->C(g, b), где k: I)'->f—BJIO)I(e-
HI/I6 (CM. п. 12.3)." ПУСТЬ Т-максимальный тор группы G,
лежащий в K. Тогда К;2Ко‚ где Z=Z(K)°c: Т И Ko=(K,
K). Отсюда H =(Z ПКег x)°Ko. Следовательно, . To=T П Н =
=(Z П Ker x)°(Ko П Т) есть максимальный тор группы Н.
Группа Вейля WK: WKO переводит to B себя и индуцирует
там группу Вейля WK. Есзш отождествить SK И SK
с Бру‘ И SW” соответственно, то в силу предложения
11.1 k*: SK —› SH отождествляется c гомоморфизмом огра-
ничения k’: SW‘ —› SW”. Из того, что WK действует на
3 тривиально, легко выводится, что k’ сюрьективно. Посколь-
ку t0=t П Ker a, I/IMCCM Ker k'=(ci). Отсюда получаем точную
последовательность биградуированных векторных пространств
0—>C(g, t)”‘2i"c(g, f)3>C(g, [))—+0,

274 гл. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология КОМПАКТНЫХ групп ли
где e(1®&): иъ—›(1 ®й) и. Легко проверить, что она будет
точной последовательностью цепных комплексов, если рас-
сматривать алгебры Картана как цепные комплексы относи-
тельно внешних градуировок. В силу предложения 7.2,
следствия 1 теоремы 12.1 И предложения 12.8 имеем точную
последовательность гомологий
,H(G/K, в) С: ,H(G/H, R) ‘ii ,-,H(G/K, R) —›...
..._. ,H(G/H, н) ‘ii 0H(G/K, н) i)» oH(G/K, R) ‘д; oH(G/H, н) -› о.
Применяя теорему 2, видим, что ‚Н (G/H, R)=0 при г>2
И что имеется точная последовательность _
о —+ 1H(G/H, n) ‘ii H(G/K, R) ﬂ» H(G/K, н) ‘J3 0H(G/H, н) —› о.
Ясно, что oH(G/H, n)=H<'>(G/H, н), 1Н(6/Н, n)=Hi(G/H, n).
Из определения б = d * нетрудно понять, что б имеет степень
-—1 и относительно обычных градуировок. I
Теперь мы вернемся к ситуации, рассматривавшейся
в начале этого пункта. Как будет показано в § 16 (CM.
предложение 16.3), представление р (ж) определяет на G/K
кэлерову структуру, такую, что ос есть класс когомологий
1 . '
соответствующей кэлеровой формы. Пусть N =§d1m G/K. По
теореме Лефшеца (см. [25], гл. О, § 7), отображение
е(ос): H 2“2(G/K, R) —› H 2’ (G/K, R) ИНЪСКТИВНО при 2s<N И сю-
ръективно при 2s > N. Применяя предложение 2, видим, что
H‘°"(G/H‘, R)=0 при 2s>N,
H2‘"1(G/H, R)=0 при 2s—1<N.
B силу того же предложения
pa (G/H, t) = p (OH (G/H, R), t) -— tp (1H(G/H, R), t) =
=p(H5(G/H, R), r)—rp(H‘(G/H, в), t)=
= g b2s(G/H):2s—” '2 b2s_1(G/H)t2‘.
мни
Таким образом, ненулевые числа b2, (G/H) совпадают c‘ по-
лоэкительъльшш коэффициентами многочлена pa (G/H, t) (при I2‘),

§13. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ‚СЛУЧАИ и примеры 275
а ненулевые числа b2,_; 1(6/Н)—с абсолютными величинами
его отрицательных коэффициентов (при 12‘). Используя след-
ствие 2 предложеъшя 12.12, получаем следующее утверждение.
Предложение 3. Пусть М = G/H --oduopodnoe простран—
ство, связанное с нетривиальным характером максимального
тора Т компактной полупростой связной группы Ли G, K = TH.
Пусть PG u PK градуированы степенями 2рд—1 и 2q,--1 (i = 1,
..., I) соответственно. Запишем многочлен _
2 ' l--t2”'
Pa(Ma‘)=(1")l_[‘1:;5'.;,
i=1
MM» r)=qo2(r)—q1<r),
где qo u q 1 —суммы членов с положительными и отрицатель-
ными коэффициентами соответственно. Тогда
в виде
р(М, :)=ао(1)+%‹11
При этом b2s(M)=0 при 2s>N u b2,_.1(1\l)=O npu 2s—l<N,
где 1\7=%‹11ш G/K. ‘
Пусть M=G/H, где rk G—rkH= 1, Q c Рд-соот-
ветствующее пространство Самельсона. Из (12.26) следует,
что df M = 1 —dim Q. Следовательно, df M = О или 1, причем
df M = О (т. е. М формально) тогда и только тогда, когда
Q;éO. По теореме 12.3 это равносильно тому, что отображение
(t")*: H (M, R) —› H (G, R) нетривиально на Н + (М, R).
C л е д с т в и е. Если многообразие М = G/H из предложения
3 удовлетворяет условию df M =-- 0, то ф; >(п +1)/2, где
N =%dim G/K. Для простой группы G это неравенство рав-
dim G
rk G 3°
Доказательство. Есдш dfM=0, то существует такое
s, что Pf?” 9&0 И H25” (М, Н)э‘=0. Значит, 2dG-—1>2s—l>N,
откуда ад 2 (N + 1)/2. Последнее утверждешите вытекает из
следствия предложения 11.2. I
Пример 3. Пусть (?—связная простая неабелева ком-
пактная группа Ли, T-— ее максимальный тор, х еХ(Т)—такой
носильно неравенству N < 2
характер, что (А, (1)950 ДЛЯ Bcex.ozeAG. Тогда Н_=(Кег x)° с T. .
Если df G/H =0, то 1=г1(6<3. Действительно, пусть n=dim G.
B силу следствия из предложения 3 из dfG/H-—- 0 следует, что

276 ГЛ. 3. ВЕЩЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ
А/=Ш $22 —3, откуда [$221.41 =4(п_1)—2
2 ' 1 п—1 п—1
стороны, если 1$2, то г1‹0/Н=г1<6$2, и dfG/H=0 B силу
следствия из предложения 1. Таким образом, остается
исследовать случай 1 = 3. Непосредственное вычисление пока-
зывает, что dfSU4/H,=1. Насколько нам известно, для групп
G =S0-, И Sp3 соответсгвуюцше вычисления не проводились.
Пример 4. Пусть 6=$р‚, xeX(T)—'raI<o1‘«‘1 характер, что
(ж, oz,-)=0 для i <1, (Ж, ос‚)>0 (в обозначениях табшщы 1). Тогда
K= ц, H=sU,. Имеем м=%1(1+1) и м—(2л(в)-1)=%1(1+1)-
1
<4. C другой
-— 41+ 1 =%(12 — 71 + 2) > О, если 12 7. Следовательно, при этом
условии `с11`$р‚/$П‚= 1. В случаях I =5, 6 из предложения
3 легко выводится, что b2,..1(G/H)=0, если 2s-— 1 <21 И 25
соответственно, так что Q=0. Итак, df Sp;/SU,=1 при 12 5.
С другой стороны, из примера 11.5 видно, что при 1 $4 имеем
rk Sp,/SU, $ 2, откуда dfSp,/SU, = О. Аналогично
dfS02,+1/SU,=0 при 1$4 И =1 при 125. '
Пример 5. Пусть С=$П2х... XSU2 (I раз), xeX(T)—
такой характер, что О», ос)7$0 для всех OLEAG. '
H =(Ker x)° c T. Имеем df G/H =0 при I $2. Далее,
<1»-r*>=
Р„(С/Н,1)=ШЪБЁТ .-=(1+:2у-1(1_:4)=ч
=1+(1—1):2+%1(1—3)г4+...
Из предложения 3 следует, что b3(G/H)=0 при 12 3. Значит,
df(G/H)=1, если 123.
Замечания
§ 9. Теорема 1 по существу принадлежит Э. Картану [96]. Ее
доказательство, основанное на теории гармонических форм, бьшо
дано Ходжем в [112]. Доказательство, близкое к изложенному здесь,
см. в [17]. Э. Картану (см. [38], [96], [97])__принадлежит также
` и описание когомологий компактных груш: Ли и однородных
* пространств в терминах инвариантных форм (см. теоремы 3, 6, 7).
Коцепной и цешюй коышлексьт алгебры Ли могут быть построены по
любой абстрактной a.I1re6pe Ли, что привело к развитию целого
направившая, богатого результатами и приложениями-творила кого-
мологшй и гомологий алгебр Ли (см., например, [125], [24]). Теорема
Тогда _
. ’ I
д '5" " .!,p-d‘F“.:'¥:«'
и „ . ' и
-‚ gs чан
' к '~=“*"=' -'*.'~‘4's3$.‘s.:' г

ЗАМЕЧАНИЯ 277
4 принадлежит Хопфу [113] и Самельсону [142]. Алгебра Понтрягина
впервые появилась в работах Л. С. Понтрягина [63], [64] о гомологи-
ях классических групп. Формальность симметрических пространств
(см. теорему 7) была доказана Сулливаном.
§ -10. Результаты этого параграфа принадлежат А. Картану
и Шевалле (см. [98 ]‚ [99], где доказательства только намечены).
Изложение следует этим работам, а также работам [81]‚ [68]. Явное
описание трансгрессии (теорема 5) было дано (без доказательства)
в [31]; CM. также книгу [106].
§ ll. Теорема 1 принадлежит А. Картану и Шевалле. Предлага-
емое доказательство взято из [75]. Шевалле [101] дал непосредствен-
ное доказательство того, что алгебра инвариантов группы Вейля
свободна (вместо группы Вейля можно взять любую конечную группу,
порожденную отражениями). Следствие теоремы 1 принадлежит
Хопфу [114], который дал его топологическое доказательство.
Преобразование Кокстера было введено Кокстером [102]‚ где установ-
лены также свойства показателей и их связь с инвариантами группы
Вейля. Предложение 7 взято из работы [149]‚ авторы которой
ссылаются на [122]. Предложение 9 было доказано в [55], [61]. Хига
[111] усилил его следующим образом: если для некоторого
k>O E ИНЪСКТИВНО во всех степенях nk (n22), то Е сюръек-
тивно в степени k. Утверждение 1-) теоремы 2 взято из [55]. Явное
описание алгебры гомологий классических групп было дано впервые
Л. С. Понтрягиным [63 ]. Почти одновременно явный вид алгебры
когомологий для тех же групп (см. п. 2) был найден в [93]‚ [97].
В [30] было дано описание целочисленных примитивных образующих
алгебр когомологий классических групп, а в [31 ]-—описание двойст-
венных им примитивных двусторонне инвариантных внешних форм.
Степени примитивных классов когомологий особых групп были
впервые опубликованы в [164] И -[100] (полное доказательство см.
в [90]). Теорема 3 взята из работы [26] (случаи группы F4 И E6 были
ранее рассмотрены в [154] и [102] соответственно). Костант [122]
предложил красивое правило, позволяющее вычислить показатели
группы по системе ее корней. Содержание п. 7 взято из работ
Е. Б. Дынкина [31] и И. З. Розенкнопа [69], _ где можно найти
дальнейшие результаты в этом направлении (см. также [48 ]).
§ 12. Теорема 1 по существу содержится в работах А. Картана
[98], [99], хотя автора интересовал результат, относящийся к ко-
гомологиям. Топологическое доказательство было дано в [8].
Изложение в основном следует [98], [99], [81] и [68] (см. также
[106 ])Д Минимальная модель однородного пространства G/H (см.
предложение 8) была построена в [163] (см. также [42]). Г омотопичес-
кая инвариантность подпространств P3 И P2, была доказана в [52],
[56], причем в первом случае использовалось вычисление вещест-
(

278 гл. з. ВЕЩЕСТВЕННАЯ топология компАктных групп ли
венных когомологий пространства петель Q(G/H), a во втором-
теорема‘ Картана—Серра о гомотопических группах пространства
со свободной алгеброй - когомологий. В [52], [56] были введены
также понятия ранга и коранга однородного пространства и ин-
вариант p(G, t)/p (H, t). Дефекты однородного пространства были
введены в [82], а их гомотопическая инвариантность доказана в [59].
Тот факт, что Im (Р) * порожден примитивными элементами (см.
теорему 3) принадлежит Самельсону [I42]; приведенное доказатель-
ство взято из [8] и пригодно для не обязательно транзитивного
действия. Другое доказательство см. в [106].
§ 13. Эквивалентность свойств 1) И 6) в теореме 1 впервые
была доказана Козюлем в [I25]. Основные утверждения теоремы
2 были (иным способом) доказаны Хопфом и Самельсоном [I15],
Лере [129] и А. Борелем [8]. 'Формулу (5) часто называют формулой
Хирша. В п. 4 ` мы следуем работе [62] (в случае, когда Н — тор
«общего положения» коразмерности 1 в Т, предложение 3 содержится
в работе И. З. Розенкнопа [69 ]). Заметим, что класс формальных
однородных пространств рассматривался (под другими названиями)
во многих старых работах, начиная с [99], без указания, однако,
на его гомотопическую инвариантность. Вычисление вещественных
когомологий для различных однородных пространств см. в [26],
[48], [69 ]‚ [154]. Другие литературные ссылки можно найти в книге
[106 ].
“t:-‘E/*9e~.x¢ "‘.'.".>!-.'..,.3a

Г лава 4
ВКЛЮЧЕНИЯ МЕЖДУ тРАнзИтИвнЫМИ
ГРУППАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Эта глава посвящена приложениям результатов главы
3 к описанию всевозможных включений между транзитивными
связными компактными группами Ли преобразований и,
в частности, к вьпшслению групп автоморфизмов некоторых
геометрических структур.
В § 14 мы связываем с каждым разложением связной
компактной группы Ли G B произведение двух связных подгрупп
Ли G’, G", точную последовательность, содержащую веществен-
ные когомологии групп G, G’, G" И (G ’ П G")°. Эта последователь-
ность позволяет дать полную классифшсадшю разложений связных
простых компактных грутш Ли и связных компактных расширений
транзитивных действий таких групп. Описываются также
некоторые классы разложений непростых компактных групп Ли.
§ 15 посвящен компактным комплексным однородным
пространствам и, в частности, флаговым многообразиям.
Замечательное расслоение, построенное впервые Титсом, по-
зволяет доказать, что группа биголоморфных преобразований
флагового многообразия полупроста. Используя’ результаты
§ 14, мы полностью вычисляем эту группу.
В § 16 мы рассматриваем задачу выгшслеъшя пошюй группы
изометрий однородного компактного риманова многообразия,
решение которой в приншше сводится к результатам § 14. Ос-
новньпи результатом здесь является вьгшсление группы изомет-
рий однородного пространства простой компактной группы Ли
G, снабженного есгествешюй римановой структурой, т. е. струк-
турой, индуцированной инвариантным скалярньш умножением
на касательной ашебре Ли g. B частности, отсюда получаются
результаты Вольфа [162] о группах изометршй изотротшо непри-
водимых компактньтх римановых однороштых многообразшй.
§ 14. Разложеппя компактных групп Ли
1. Топологические свойства разложений. Пусть G’, G" —
связные компактные подгруппы связной компактной группы
Ли G, U = G’ﬂG". Обозначим через i’, i" вложения подгрупп
\
~.r<.. тикал-щ кал-шин

280 ` гл. 4. включвния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
G’, G” B G и через j’, j" вложения подгруппы U B G’
И G” COOTBCTCTBCHHO. Определим гомоморфизмы градуирован-
ных пространств ос: PG—>PG«@PG~ И В: РдФРдм-тдо фор-
мулами
«‹х›=‹г›*х+‹-‹г'›*х›‚
B(x+y)=(j')*x+(j")*y.
Те о ем а 1. След ю ие словил эквивалентны:
У ш У
1) G--= G’G”;
2) последовательность.
0—’PG':’PG’®PG"‘p’PU°_’0 \. (1) ф
является точной;
3) р(Ра‚ 1`)+Р(Ри°‚ Ё)=Р(Рс'‚ t)+P(PG", t);
4) p(G» t)p(U°, t)=p(G’. t)p(G", t);
5) dim G+dim U=dim G'+dim G”.
Доказательство. Рассмотрим действие b группы G'xG”
Ha многообразии G, заданное формулой Ь‹„‚‚,‚(3)=и3о ' 1 (ие G’,
се G”, де G). Имеем Ь"(и, v =uv“. Такши образом, b"-=
=mo(idxs)o(i’ х 1'”), так что (be) =((i’)*®(i")*)o(id®s*)om#. Если
xePG, то в силу предложений 6.14 И 9.15 получаем (b")*“x=
=((i’)"*®(z"’)**)(x®1——l®x)=(i’)*x®1—1®(i")‘*xe PG:®l + l®PG~.
Если отождествить Рд«®1+1®Рдм с Рдхдн (см. следствие 1
теоремы 9.5), то из сказанного вытекает, что (де) ** отображает
PG B PG,,<G~==PG-G)PG~ И отождествляется с ос.
Рассмотрим теперь коммутативную диаграмму гомомор—
физмов групп Ли - I
По а; U; J __; ах GI!
U‘?>< U°
где d(a)=(a, a) (aeU°). Отождествляя PG'xG" с PGa®PG--
и используя следствие 2 теоремы 9.5, видим, что
сват (х: х"›=((1'›*®‹1")*)‹1* (хе x")=m*x'+(r')*
Таким образом, отображение (jod)‘*: .PG'(BI)G""").Py° совпадает
с В. Если же отождествить (_J° с U 3 c помощью изоморфизма
d: an-—>(a, a), то В отождествляется с j *.

§l4. РАЗЛОЖЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 281
Предположим, что выполнено 1). Тогда действие b группы
G’ х G” Ha G транзитивно‚ причем многообразие G I/IMCCT
грушювую модель G’ x G"/ Ud. Из сказанного вьпце следует, что
последовательность (1) отождествляется с последовательностью
e)#
0—>PG(b—> PG. xG..’3>P.,;,» -› о. (2)
Докажем точность последней. Для этого рассмотрим однород-
ное пространство X =(G’ х G")/ (13 И обозначим через р естест-
венное отображение G’ х G"-+X. Очевидно, существует такое
накрытие 1:: X —› G, что 1top=b‘. Согласно следствшо пред-
ложения 1.6 Х обладает такой структурой группы Ли, что
тс-гомоморфизм. Следовательно, Х --— хопфово однородное
многообразие (теорема 9.4) и 1t"*: Н (О,Н)-›Н (Х, R)—H3oMop-
физм алгебр (см. следствие теоремы 9.3). В силу теоремы
13.2 j *“ сюръективно, а р* инъективно отображает H (X , В)
на подалгебру в H $0’ х G", R), порожденную подпростран.
ством PG: x дн ﬂ(Ker j Отсюда следует точность последовате-
льности (2). -
Очевидно, 2) =~ 3) и 3) Ф 4). Из следствия 2 теоремы 9.4
вытекает, что 3) => 5). Из 5) следует, что dimG’/U=dim G/G”.
Поскольку G’/ U»:-—— компактное подмногообразие в G / G",
G’/U=G/G”, так что справедливо l).I
Следствие 1. Если G-=G’G" u U=G’ﬂG", то
dim Z(G)+dim Z(U°)=dimZ(G’)+dimZ(G"), (3)
x(G)+x(U°)=x(G')+A(G"), (4)
rkG+‘rk U°=rk G’+rkG”, (5)
6о=0Ь66‚ (G’oﬂG6)°=(U°)o, (6)
где Go, G3, G3, (U °)o--—KoMMymaHmbz групп G, G’, G", U °.
Доказательство. Равенство (3) следует из 3) и примера
9.3, а (4)-—из 3) и следствия 3 теоремы 10.4. Равенство (5)
вытекает из 2) и следствия теоремы 11.1. Равенство (6) следует
из теоремы 5.1. Применяя (3) к разложению ОО=БЬСЗ, видим,
что подгруппа 62,063 полупроста и, значит, ( 2,ﬂG6)°c( U °)o.
С другой стороны, ясно, что (U °)0c:(G2,ﬂG3)°. TeM самым
доказано (7). I _
Следствие 2. Если G=G'G”, то либо л„‚=л„‚ либо
dG"=dG.
Доказательство. Согласно предложению 11.9 с1д‚<
<dG, dqusdg. Если оба неравенства являются строгими, то
получается противоречие с утверждешитем 3) теоремы 1. I

282 гл. 4. включения мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ гРуппАми
2. Разложения простых компактных групп Ли. В этом
пункте мы перечислим все разложения связной простой
компактной грутшы Ли G B наиболее важном случае, когда
G проста. Прежде всего мы определим некоторую эквивален-
тность в классе всех разложений связных гругш Ли. В силу
предложения 5.1 вместе с (G, G’, G”) разложением является
и тройка (G, G", G’). Такие два разложения будем называть
симметричными друг другу. В п. 5.2 было введено также
понятие локальной изоморфности троек. В силу предложения
5.7 тройка, локально изоморфная разложению, есть разложе-
ние. Введем теперь в классе всех разложений связных
компактных групп Ли в произведешите связных виртуальных
подгрупп Ли эквивалентность, порожденную отношениями
симметричности и локальной изоморфности. Этой эквивален-
тностью мы и будем пользоваться при классификации.
Напомниьл, что если (G, G’, G")—HeIco'ropoe разложение
и aeG, то тройки (G, ада”, G”) и (G, G’, aG”a'1) изоморфны
тройке (G, G’, G”) (CM. п. 5.1, замечание). Поэтому при
классификации разложешитй мы можем рассматривать G’ И G”
c точностью до сопряженности в G. Заметим также, что
достаточно перечислить разложения (G, G’, G") Ha связные
подгруппы G’, G" (см. следствие 2 предложеъшя 5.6) и что
можно шнорировать тривиальные разложения, в которых
G'=G mm G"-=G. B силу п. 5.4 достатотшо перечисзшть
неприводимые разложения (G, G’, G”) И указать связные
нормализаторьт подгрупп G ', G”.
Тео р е м а 2. Всякое нетривиальное неприводимое разложение
(G, G’, G"), где (?—связная простая компактная группа Ли, G’,
G” —ee связные виртуальные подгруппы Ли, эквивалентно одному
из разложений таблицы 8. Обратно, все входящие в эту таблицу
тройки (G, G’, G ”) являются неприводимыми разложениями.
Доказательство. То, что все тройки (G, G’, G"),
вошедшие в таблшду 8, являются разложениями, доказано
в п. 5.3. Поскольку G’, G" просты, эти разложения непривоша-
мы. Покажем, что всякое нетривиальное неприводимое разло-
жение простой группы эквивалентно одному из перечисленных.
Пусть (G, G’, G”)—HeTpnBHaJILHoe неприводимое разло-
жение. Согласно следствию предложения 5.9_ С’ и G"—noJIy-
простые подгруппы Ли в G. B силу следствия 2 теоремы 1 мы
можем считать, что ад: =dG. Все собственные подГрУппьт Ли G ’
простых гругш G, обладающие этим свойством, перечислены
с точностью до сопряженности в п. 1) теоремы 11.2, причем
G там рассматривается с точностью до локальной изоморф-
ности. Разберем отдельно `все возможные случаи.

§14. РАЗЛОЖЕНИЯ КОМПАКТНЫХ групп ли 283
1) G=SU2,,, G'=Sp,, (n>1). По теореме 1 имеем
p(PG", I)-p(.Py, t)=p(P_gU2n, I)‘-p(PSpn, t)=t5+I9+. +t4n_3.
Следовательно, G" содержит такую. простую нормальную
подгруппу Ли G3, что РЁЪГ Заев. Из теоремы 11.2 следует,
что О8=$П2„-1. Поскольку SU2,,=Sp,,SU2,,._1, G"=G3.
2) G=S02,,, G’=S02,,.., (I124). Тогда G" транзитивно
и неприводимо действует на G/G'=S‘°'"". B этом случае для
упрощения рассуждений мы воспользуемся результатами
классификации однородных пространств раша 1, которые
излагаются ниже (см. § 18). Поскольку rkS‘°"'“‘= 1, из
теоремы 17.1 следует, что G" проста. Далее, подгруппа
U=G’ﬂG” He ГОМОЛОГИЧНЗ нулю в G" И q(G"/U, t)=t2"’1 (CM.
теорему 13.1). Согласно теореме 18.1 G" локально изоморф-
на одной из следующих групп: SU,,; S0214, 1 , где п=21; $07, где
п=4, U=G2; S09, где п=8, U=Spin-,; Sp,, где п=21; G2, где
п=6. Поскольку подгругша G"cS02,, транзитивно действует
на сфере, она задается неприводимым ортогональным пред-
ставлением размерности 2п. Используя предложешиге 3.5
и результаты п. 3.9, мы видим, что с точностью до
сопряженности в группе 02„ имеются лишь следующие
возможности: G”=SU,,, G"=o'(Spin7) (n~—-4), G"=o'(Spin9)
(п=8)‚ 6”=$р‚ (п=21). Применяя в случае необходимости
автоморфизм ас группы S02", где C=diag(l, —l2,,_1), и,
пользуясь тем, что ас(.$'02„_1)=$02„_1‚ мы видим, что
разложение эквивалентно одному из разложений, указанных
в таблице.
3) G==S07, G'=G2. £’aCCMOTpIrIM вместо G ee односвязную
накрывающуго группу G=Spin7, а__ вместо 6’-—-—связную под-
группу Ли G’, такую, что (o(G’)=G', где (яз-векторное
представление группы Spin7. Как мы видели в примере 5.5,
спинорное представление с есть транзитивное действие группы
Spig7 Ha S7<:R8, a G’—cTa6mm3aTop ТОЧКИ из S7. Значит,
о‘ (G ") транзитивно И неприводимо ‘действует на 3:. Как
следует из пункта 2) доказательства, подгруппа о‘ (G ") со-
пряжена в 03 подгруппе SU4 или $122. Используя предложения
3.6 и 3.9, нетрудно вывести отсюда, что G" сопряжена
в 507 подГРУппе 506 или $05.
4) G=S03, G’=G2. По теореме 1 имеем
p(PG", t)—p(PU°, t)-=21-7.
Из таблшты 6 видно, что G"=G'1'G’2’ (локально прямое
произведение), где G'1', G'2' просты и dim P(7;'1'=dim PZ~,'2'=l.

' "‘"r”
284 гл. 4. включвния мвжду тРАнзитивнЫми ГРУППАМИ
Ясно, что rkG’1’>2, rkG’2’>2, откуда видно, что
G’; И G’2’ локально изоморфны $05. Значит, rkG"-—-4=rk G.
Ho ИЗ п. 3.11 легко следует, что S03 не содержит подгрупп
такого типа. Следовательно, этот случай невозможен.
5) 6=Е6, G’=F4. По теореме 1 имеем `
p(p,.,,.,‘ ¢)—p(p.,°, z)=z9+:17.
Значит, существует такая простая нормальная подгруппа Ли
G3 B G”, что P};75;é0. Из таблицы 6 видно, что G3 локально
изоморфна гругше 51/„1, S02, ИЛИ Е, ранга l> 6. Следова-
тельно, этот случай невозможен. Теорема доказана. I
Следств ие 1. Любое нетривиальное разложение связной
простой компактной группы Ли в произведение связных
виртуальных подгрупп Ли эквивалентно разложению вида (G,
G’, (Н), где G”cG’{ cN(G”) u (G’, G’, G”)—o()Ho из разложений
таблицы 8. р
Следствие 2. Если (G, G’, G")—-.-Hempueua/zbnoe разложе-
ние связной простой компактной группы Ли и G’, G” связны, то
G’, G"—( компактные) подгруппы Ли, причем одна из них
проста и некоммутативна, а вторая либо проста и некомму-
тативна, либо является локально прямым произведением
простой некоммутативной подгруппы и подгруппы ранга 1.
Действительно, из таблицы 8 видно, что N (G”)°==G"N,
где либо N={e}, либо rkN=l.
Следствие 3. Пусть (G, G’, G”)—uempueua/zbnoe раз-
ложение связной компактной простой группы Ли G 6 произ-
ведение связных подгрупп Ли G’, G”. Тогда не существует
разложения вида (G, СУП G”, H), где H — связная виртуальная
подгруппа Ли в G, Н #0.
Доказательство—непосредственная проверка.
Как видно из теоремы 2, все нетривиальные разложения
простых компактных групп Ли связаны с включениями между
транзитивными действиями на сферах и многообразиях
Штифеля‚ описанными в п. 5.3.
3. Разложения произвольных кошатник rpynn Ли. В этом .
пункте мы докажем несколько утверждений, относящихся
к разложениям непростых компактных гругш Ли. Основную
роль играет следующее предложение, с помощью которого
можно в принципе свести классификацию этих разложений
к случаю простой «гру1шы, рассмотренному в п. 2. _
_ Предложение .1. Hycmb (G, G’, G")—pa3xzo:»ceHue неком-
мутативной связной компактной группы Ли G 6 произведение
связных виртуальных подгрупп Ли G’, G”. Тогда подгруппа

§14. РАЗЛОЖЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ A 285
G’cG (или подгруппа G”CG) обладает следующим свойством:
существует локально прямое разложение G= (ДА, такое, что
G1 проста и некоммутативна, G’=G'1A’, причем G1 <:G1,
AICA и do/1-"=dGl-‘=dG.
Доказательство. Переходя к конечнолистному накры-
тию, мы можем считать, что G=G1 x...xG,, где G,- просты.
Обозначим через р, гомоморфизм проектирования G-—~>G,~.
ПУСТЬ G’=G'1...G; И G’"=G'1'...G;'—-J'IOKaJ'II-.»HO прямые раз-
ложения групп G’ И G ' Ha простые множители. Так как
G} проста, то для любого i либо р,(6})={е}‚ либо гомомор-
физм p,-: G}—>G,- локально инъективен (т. е. имеет дискретное
ядро). Пусть dG=dG_. (i=1, ..., 1) и ложь, при i>l. Согласно
предложению 11.9 с1<р<с1с и 4,446. Пусть dG=dG3
(}=l, ..., m) И dG>dG} при }>m И, аналогично,
dG=dG~ (k=1, ..., n) и dG>dG при k>n (МЫ считаем, что
л
k
т=0 или п=О‚ если л„.<а„ или, соответственно, dG~<dG). у
В силу следствия 2 теоремы 1 мы можем считать, что
т>0. Согласно предложению 11.2 для любой простой
компактной группы Ли S имеем dim Р?‘ ’1= 1. Значит,
ёйпРё"°“1=-=1, б1шРё4°"‘=т, dimPf.ﬁ9"'1=n. I/I3 теоремы
1 следует поэтому, что m+n>l. Обозначим Go=G1...G,,
5=G'1...G;,,, G3=G’1’...G§,’. Из предложения 11.9 следует, что
ОЬ, G3c:G0.
Для любого j, ls j < m, обозначим через H gc Go
произведение всех таких 6„ что p,-(G 3-)¢{e}. Тогда
G}-c:H} И Н}ПН;,={е}, если jaép, B силу теоремы
11.2. Аналогично определим подгруппы H Я c:Go, такие,
что G§;cH;,' И H5,’ﬂH§,’={e}, если k;éq. Положим 1}=7„(Н}),
1Я=7ь(Н${). Тогда .
т п
Z [K1, X l$.’==l. (7)
j=1 k-1
МЫ хотим показать, что 1}=1 для некоторого j или l;,’=l
для некоторого k. Разберем теперь отдельно случаи п=0
И п>О. Если п=О‚ то т=1. Следовательно, 1}=1 (1 <j<m),
так что наше утверждение доказано. Пусть п> 0. Предполо-
жим, что lj->2 (1<_/<т)_и 15:22 (1<1с$п). Тогда
Z 13+ Z l§€>2(m+n)>2l. (8)
j=1 k=1 `
Из (7) И (8) следует, что т+п=1 и все 1}=1;{=2. Кроме того,
1=2т и т=п. Пусть Н 3-=Ga} х GB} И H 3,’ =Ga: ›< Сч. Тогда имеем
{och oc£,.}ﬂ.{B’1, Видит, oc$1.}ﬂ{B’{, B;1.}=@,
-— „д; мнил-накипи. -«.1-1

286 гл. 4. включвния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
{ails "ч "'9 "ч -"9 "Ч I}:
так что Go=H'1x...xH;,,= '1’x...xH§§,. Значит, G2, HG3 со-
впадают с проекциями подгрупп G’ и G" гругшы G Ha
прямой сомножитель G0. B силу предложения 5.2 имеем
ОО=СЬСЗ. С дРУгой стороны, ясно что
dim G} < dim Ga’, dim GB’,
Ё I
diln < Gag,
(9)
откуда 2с1йшбъ<ёйшбъ‚ 2dimG8<dim Go И dim Gb+dimG3<
< dim G о. Следовательно, dim (G2, П G З) = 0 И неравенства (7),
(9) являются равенствами. Отсюда вытекает, что гомомор-
физмы проектирования G 3- —+ бы, G} —› 63., G}; —-› Ga», G 5,’ —-› GB»
(1 < j, ksm) сюръективны. ’ ’ " "
Пусть 1= oz}. Перенумеруем сомножители G,- (1 < i < 1) так,
чтобы В}: 2. Существует такое k, что 2 = 013$. Если 33% 1,
то перенумеруем б, так, чтобы B5,’ = 3. Тогда 3 = oz; для
некоторого q, причем мы можем считать, что ос; =4‚
и т. д. Рассуждая таким образом и перенумеровывая
СЁд(1 <i<l), G;-(1 <j<m) и 6;{(1 <1с<п) подходящим образом,
мы получим, что -
ос3=1, B’1=2, oz'2=3, B’2=4, ..., oL;=2v——l, |3§,=2v,
oc'{=2, |3’{=3, oc’2'=4, |3'§=5, ..., oc§,_1=2v——2,
B:-l=2v‘—19 °5:2'=2Ua
где и<т. Ясно, что при некотором v мы будем иметь
B3 = 1. Тогда будут определены изоморфизмы алгебр Ли
(P2j—13 Q2j—-1—""""’Qj""—."Q2j (1<J<U),
(d2j)—l и 2+ -
‘P2j3 92j—I)'"'*9j"4*92j+1 (1<J<U~*1),
29) - 1 II
(P212: g2v""-'?’ Q0 ‘ф’ 91-
Отсюда получаем автоморфизм (p=(p2,,0(p2,,..1°...0(p1 алгебры
Ли g1. Поскольку 91 проста и некоммутативна, существует
такой х, 691, что.х1 #0 и <p(x1)=x1 (см. [20], § 4.4, где доказан
аналогичный факт для полупростых комплексных ашебр Ли).
Полагая по индукции хд=‹рд_1(х,_1) (i=2, ..., 2v), получим
ненулевой элемент х=х1+...+х2„е9ЬП96. Это противоречит
тому, что 9ЬП9Ъ=О. I "*

§14. РАЗЛОЖЕНИЯ компАктных групп ли 287
Мы отсылаем читателя к работе [55 ]‚ где описаны все
разложения произвольных компактных групп Ли, И ограни-
чимся далее некоторыми важными частными случаями.
Теорема 3. Пусть (G, A, Н )-— разложение связной ком-
пактной группы Ли G, где А, Н -- связные виртуальные
подгруппы _Ли в G, ‘причем rk H =rkG u H не содержит
нормальных виртуальных подгрупп Ли группы G положитель-
ной размерности. Тогда имеем локально прямые разложения
G=G1...G,, A=A1...A,, H=H1...H,, причем G; u A; просты
и некоммутативны, A д, Ндсбд, rk Сд=г1(Нд‚ лада,‘
и Бд=АдНд ...‚ Г).
Доказательство. Пусть О=01...6‚—локально прямое
разложение группы G Ha связные простые нормальные
подгруппы Ли. Из предложения 3.15 следует, что H =H1...H,,
где H д с: G,- И. rkH,-=rk G,-. Согласно условию, наложенному
на Н, H ,--;éG,-. Поэтому все G, HeKOMMyTaTHBHI:I, T. e.
G полупроста.
Докажем наше утверждение гшдукцией по r= MG ); Для
r=1 оно легко следует из теоремы 2. Пусть оно доказано
для случая 7\.(G)=r—l. Пусть 7ь(6)=г. Согласно теореме
11.2 андад, для всех i=1, ..., r, И потому dH<dG. Применяя
предложение 1, видим, что после подходящей перенумерашш
сомножителей G д мы будем иметь А=А 1A0, где A ,-
простая некоммутативная подгруппа Ли в (71, d4! =dG1
и A0 c G0=G2...G,. Из предложения 5.2 следует, что G1=A1H1
и 6о=АоНо‚ где Ho=H2...H,. Разложение (Go, Ад, Но) удов-
летворяет условиям нашего предложения. Применяя к нему
предположение индукции, получаем желаемый результат. I
4. Компактные расширения транзитивных действий простых
групп. Пусть M т. A А/ В —однородное пространство связной
некоммутативной простой компактной группы Ли А, причем
B;éA, T. e. действие группы А на М локально эффективно.
В этом пункте мы дадим описание локально эффективных
компактных расширений такого действия. Сначала мы постро-
им два класса ` расширений, связанных с разложениями
простых компактных гругш Ли, а затем докажем, что
произвольные расширения могут быть построены с помощью
расширений этих двух классов и естественных расширешигй
(см. п. 4.5).
П рим е р 1. Пусть 6—связная некоммутативная простая
компактная гругша Ли и пусть (G, A, Н )—ее нетривиальное
разложение в произведение связных виртуальных подгругш
Ли. Согласно следствию 2 теоремы 2 А, Н и В=АПН—
компактные подгруппы Ли в G, причем можно считать, что

288 гл. 4. включения между ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
А проста. В силу предложения 5.1 G/Hr:AA/B, T. e. мы
имеем включения между локально эффективными транзитив-
ными действиями простых групп А и G. Такое расширеъше
будем называть расширением типа 1.
Пример 2. Пусть снова дано нетривиальное разложение
связной простой компактной группы Ли, которое мы на
этот раз обозначим (А, А’, А”). Мы считаем, что А’, А"--
связные собственные подгруппы Ли в А. Пусть В=А’ПА”.
В силу следствия 4 предложения 5.1 диагональный гомомор-
физм dz A->A х.А определяет изоморфизм A/ B 2 AG/ H, где
G=AxA,‘ H-—=A'xA”. Отождествляя А с с1(А)=Ад, получаем
расширение естественного действия группы А на А /В до '
действия группы G = A >< А. Такое расширение будем называть
расширением типа П. `
Используя теорему 2, нетрудно явно перечислить все
существующие расширения типов 1 и П. Отметим важное
свойство, вытекающее из следствия 3 теоремы 2: транзитивное
действие, являющееся расширением типа 1, He допускает
расширений типа Н. В то же время для некоторых действий
можно сделать одно за другим два расширения типа 1;
результат при этом также будет расширением типа I исход-
ного действия’. Если разложения, отвечающие данным рас-
ширениям, имеют вид (G, A, Н) и (U, G, V), то резуль-
тирующее расширение отвечает разложению (U, A, V).
Еще один класс расширений можно построить, комбинируя
между собой расширения типов 1 И II следующим образом.
Рассмотрим расширение действий А /В—-› G/ H, связанное с не-
тривиальным разложением (А, А’, А”) связной простой ком-
пактной группы Ли А .(см. пример 2). Тогда G / H =
=(A/ A’) >< (A/ A_ ”). Предположим, что одно из действий группы
А на сомножителях допускает расширение типа 1 (как было
отмечено выше, расширения типа П оно допускать не может).
Например, пусть существует нетривиальное разложение
(U, A, V), где U ——- простая связная компактная группа Ли,
У-- ее подгруппа Ли и А П V=A ". Тогда получаем расширение
А/В—›6/Н—›(А х U)/(A’ x V)=(A/A’)x(U/ V). Такое расшире-
ние будем называть расширением типа 111.
Отметим, что справедлива’ следующая
Лемма 1. Пусть (А, А’, А”)—нетривиальное разложение
связной простой компактной группы Ли А. Тогда действия
группы А на A /A’ и A / A" не могут одновременно допускать
расширения типа I:
Доказательство. Предположим, что существуют такие
нетривиальные разложения простых компактных групп Ли
$

§14. вАзложвния КОМПАКТНЫХ групп ли 289
(U’, A, V’) И (U", A, V"), что АП V’=A’, АП V”=A”. Посколь-
ку А =А’А ”, мы можем считать в силу следствия 2 теоремы 1,
что d,,-=dA. Тогда из теоремы 2 нетрудно вывести, что
разложение (U ', A, V’) эквивалентно разложению (S03, S07,
Spin7), a A’zG2. Поэтому А” локально изоморфна 806, S05
или S05 x S02. Но, как видно из той же теоремы, подгруппа
А П V” не может быть такой. Получили противоречие. I
При классификации расширеъшй действий нам придется
рассматривать морфизмы расширений, которые определяются
следующим, вполне естественным образом. Пусть А ,-——-
виртуальная подГРУппа Ли группы Ли 6„ и пусть задано
действие группы Ли С, на гладком многообразии Мд(1= 1, 2).
Тогда мы имеем два расширения действий. M орфизмом
первого расширения во второе называется любой морфизм
действий (f, (р), где f: M1—+M2--——r.IIa,z11<oe отображение, а (р:
G1—->G2—TaIcoii гомоморфизм гругш Ли, что ‹р(А,)сА2.
Частным случаем является подобие расширений, определенное
в п. 4.2. Морфизм расширений (f, (р) называется накрытием,
если f, (р-накрытия И (р (А 1): А 2. Два расширения действий
называются локально подобными, если некоторые накрыва-
ющие их расширения подобны. Легко доказать, что два
расширения подобны (локально подобны) тогда И только
тогда, когда соответствующие разложения групп Ли изоморф-
ны (соответственно локально изоморфны). _
Перейдем теперь к описанию произвольных расширений.
Пусть дано транзитивное локально эффективное действие
компактной группы Ли G Ha многообразии М, и пусть
А-исвязная‘ простая некоммутативная подгруппа Ли в G,
отличная от G и транзитивная на М. Очевидно, существует
наименьшая нормальная подгругша Ли Go группы G, содер-
жащая А (например, пересечеште всех подгрупп в G, облада-
юших указанными свойствами), причем Go связна. Как мы
увидим далее, транзитивная группа Go действует на М непри-
водимо. При этом действие группы G описывает в терминах
действия группы Go И его естественного расширения (см.
п. 4.5); Поэтому мы можем считать, что G==G0. Очевидно,
расширения типов 1, 11, III удовлетворяют этому условию.
Теорема 4. В описанной выше ситуации транзитивное
действие группы G на М неприводимо тогда и только тогда,
когда G не содержит собственных нормальных подгрупп Ли,
содержащих А. Если при этих условиях G проста и G;éA,
mo расширение действий А с G подобно одному из расширений
типа 1, а если G не проста, то это расширение локально
подобно одному из расширений типов П, III.
10 A. Л. Онищик
‹ ‘и ФПцлп-ппУ-Аю

290 гл. 4. включнния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
Доказательство. В случае, когда G проста, утвержде-
ние теоремы очевидно. Пусть G He проста. Рассмотрим
разложешиге (G, A, H), где H = 6„ хеМ. Поскольку А не
содержится ни в какой простой нормальной подгруппе грутшы
G, H3 предложения 1 следует, что 6= 6162 (локально прямое
разложение), Н=Н1Н2, где 61 проста, H1cG,- (i=1, 2).
Переходя к локально подобному расширению, мы будем
иметь 6= 61 х 62, причем гомоморфизмы проектирования рд:
A—>G,- (i=1, 2) локально инъективны. Положим С1=р1(А),
С= C 1 х С2. Покажем, что расширение действий А с С на-
крывается расширешгем типа П. Для этого мы рассмотрим
накрытие p= p1 х р2: А х А --›6. Оно определяет транзитивное
действие гругшы АхА на М, причем (АхА)‚=П1хН2,
где U ,-=p1'1 (H д) (i = 1, 2). Переходя к связной компонен-
те стабилшзатора, получаем накрытие действий (д, р):
(А х А)/( ‘ix U 3)-+M. Поскольку вложение А —› С разлагает-
ся в композицшо pod, где dz А—›А хА—диагональный гомо-
морфизм, ( р’, р) есть накрытие расширений.
Поскольку 61 проста, расширение действий С1 с 61 на
61/Н1 есть расширение типа 1, если C1;éG1. Рассмотрши
теперь расширение транзитивных действий С2 с: 62 на одно-
родном пространстве 62 / Н 2. Очевидно, 62 не содержит
собственных нормальных пошрупп, содержащих С2. Поэтому
к этому расширешигю применимо предыдущее рассуждение.
Если 62 не проста, то существует промежуточное расширение,
локально подобное расширению типа ‘II. Ho, как было
отмечено выше, это противоречит следствшо 3 теоремы 2.
Таким образом, 62 проста, и наше расширение. имеет тип 1,
если 62э6С2. Из леммы 1 следует, что либо 61=С1, либо
62 = С2. Таким образом, в случае Gyé C расширение действий
А с6 есть расширешге типа 111. Ясно, что ни 61, ни 62 не
транзитивны на М, так что 6 действует неприводимо. I
Однородное пространство М связной простой неабелевой
компактной группы Ли -6 или соответствующее действие
группы 6 на М будем называть исключительным, если это
действие допускает расширение, локально подобное расшире-
нию типа 1 или типа П. Используя таблицу 8, нетрудно
перечислить все исключительные однородные пространства
и все неприводимые компактные расширения соответству-
ющих действий с точностью до локального подобия.
В приводимых ниже следствиях теоремы 4 транзитивное
действие группы „ 6 на М предполагается эффективным
и любая эффективная транзитивная группа отождествляется
с подгругшой в DiffM

§14. РАЗЛОЖЕНИЯ КОМПАКТНЫХ групп ли 291
Следствие 1. Если неисключительное транзитивное дей-
ствие связной простой неабелевой компактной группы Ли
асистатично, то это действие не допускает эффективных
собственных компактных расширений. Исключительные аси- _
статические однородные пространства перечислены (с точ-
ностью до локального подобия) в таблице 9. Каждое ис-
ключительное асистатическое транзитивное действие допуска-
ет единственное собственное эффективное связное компактное
расширение, G r: G’, указанное в той же таблице.
Теперь мы приведем два следствия, касающиеся не
обязательно связных компактных расширений.
Следствие 2. Пусть М шдб/Н-неисключительное од-
нородное пространство связной простой компактной группы
Ли G, причем Н °;é{e}. Тогда любое эффективное действие
компактной группы Ли G’ на М, расширяющее заданное
действие t, является ограничением естественного расширения
N t), причем G’=GB, где В——подгруппа Ли в (SimGM),,z
Aut
Доказательство. По теореме 4 G нормальна в (G’)°,
так что (G’)° = GC (локально прямое произведение), где
С-связная подгруппа Ли в AutGMzNG(H)/H (CM. 1'1. 4.4).
Поскольку H °¢{e}, имеем dim C sdim AutGM < dim G. Значит,
G нормальна в G’, И можно применить предложение 4.6
и теорему 4.1. I . .
Следствие 3. Пусть M =(?—связная простая компакт-
ная неабелева группа Ли. Предположим, что задано эффек-
тивное действие компактной группы Ли G’ на М, расширяющее
действие 1 группы G. Тогда (G’)°=l.(G)C (локально прямое
произведение), где С—подгруппа Ли группы r(G) правых
сдвигов, и СР-подгруппа полупрямого произведения Ho1G - (s),
где s: g»—>g‘1——o6pau4euue элементов в G. '
Доказательство. Поскольку действие 1 не исключи-
тельно, мы можем рассуждать, как при доказательстве
следствия 2. При этом получим, что (G')°=l(G) C, где С с r(G)
(см. пример 4.9). Если C;ér(G), то, как и в следствии "2,
G’cSimGM=HolG (CM. пример 4.11). Если C=r(G), то
G’ c SimGxGM=HolG - (s) (полупрямое произведение) в силу
примера 4.12. I
5. Упорядоченное множество транзитивных действий. Пусть
M ё связное компактное многообразие. Рассмотрим класс
локально эффективных транзитивных действий компактных
групп Ли на М. Изучая эти действия с точностью до
/`./
'JIOI(a.JII:HOl" О ПОДОБИЯ, МЫ ПОЛУЧИМ, как нетрудно ВИДСТЬ,
HCKOTOPOC МНОЖЕСТВО, КОТОРОС МЫ бУДСМ ОбОЗНЗЧЗТЬ через
10*

292 гл. 4. включения мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
191 (М Введем в этом множестве отношение < следующим
образом: 1:1 <12, если класс действий 12 содержит действие,
являющееся расширением некоторого действия из и. Очевид-
но, отношеъше < рефлексивно и транзитивно. Далее, если
t1<1:2 И 1:2<t2, то 1I1='-T2. Действительно, пусть ti:
G,-—>DiffM—,11eiic'rBI»Ie ИЗ класса т; (z'= 1, 2), причем существует _
гомоморфизм (р: G1 ——>G2, для которого t1=t2o(p. Поскольку
Kemp c Ker t1 дискретно, имеем dim С, <‹11ш G2. По той же _
причине dim G2 <dim G1, так что (р-локальный изоморфизм,
И t1, t2 локально подобны. Таким образом, отношение
< является порядком. Задачи 11 и 111, сформулированные
в п. 4.2, по существу сводятся к изучению упорядоченного
множества (191 (M), <). Здесь мы приведем ряд примеров,
связанных c максимальными элементами этого множества.
П р име р 3. Пусть 6——связная простая компактная группа
Ли И t: G —+ DiffM-—ac1»Ic'raT1»1=1ecI<oe транзитивное действие.
В силу следствия 1 теоремы 4 t определяет максимальный
элемент в 191 (M), если t не исключительно, т. е. не указано
в таблице 9. В частности, стандартное действие группы $0„
на 3"‘ ‘ максимально (в случае п=4 надо воспользоваться
следствием 3 теоремы 4).
П р име р 4. Множество 191 (М) может содержать более
одного максимального элемента. Действительно, пусть
М=$1'-Ё‚2. В силу примера 5,3 имеем включение между
транзитивными действиями групп G2 с $07 на M. Действие
группы $07 не исключительно, И в силу следствия 2 теоремы
4 его естественное расширение определяет максимальный
элемент в 191 (М) (соответствующая группа есть $07 x S02).
Далее, действие группы G2 допускает естественное расширение
(до действия группы G2 х SU2), которое также максимально.
П рим е р 5. Укажем два максимальных элемента в
191 (М), где M =S03. B силу следствия 3 теоремы 4 один из них
определяется действием в группы $08 x S03. Рассмотрим
сужение этого действия на подгруппу $07 х Spin-,, которое
транзитивно в силу разложения $03 =$07 Spin7. Вложим
$07х$р$п7 И $07х$07 в $07х$07 х$08 с помощью
отображений (g, h)+->(g, o)(h ), h), где (яд-векторное представле-
ние, и (g, h)+->( g, g, h) COOTBCTCTBCHHO. Тогда получим разложе-
ние ($07 х $07 х $08, $07 х Spin-,, $07 х $07). Используя пример
5.4, видим, что ($07 х Spin-,)ﬂ(S0-, х $07) состоит из элементов
вида (а, а, а), где а е G2. Поэтому разложение определяет
расширение действия группы‘ $07 х Spin7 Ha M до действия
группы $07 _х $07 х S08. Можно показать, что последнее
действие определяет максимальный элемент в 191 (М

§14. РАЗЛОЖЕНИЯ КОМПАКТНЫХ групп ли 293
6. Разложения с дискретным пересечением. В этом пункте
будет дано описание разложений (G, G’, G”), ‚где Сё-связная
компактная группа Ли, G ’, G "—-ee связные виртуальные
подгругшы Ли, причем dim (G 'ﬂG ")=0_. ‚Заметим, что если
G односвязна‚ то из последнего условия следует, что
G'ﬂG”={e}. Действительно, если G=G’G" И U=G'ﬂG", то
грутша G’ x G" транзитивно действует на G, причем
(G’x G"),,= (А, (см. п. 5.1)1 Из односвязности многообразия
G вытекает (см. (4.25)), что U связна.
В силу теоремы 5.1 нашу задачу можно переформулиро-
вать Ha языке алгебр Ли следующим образом: описать
всевозможные разложения (9, 9’, 9") компактной алгебры Ли
9, такие что 9’ П 9" = О. Именно эту задачу мы будем решать,
свободно переходя, в случае необходимости, к соответст-
вующим разложениям грутш Ли. Основной результат фор-
мулируется следующим образом
Теорема 5. Пусть (9, 9’, 9")——такое разложение ком-
пактной алгебры Ли 9, что 9’П9”=О. Тогда:
1) Существует такое разложение 9 = а’(-Эа" алгебры
9 в прямую сумму идеалов, что соответствующие гомомор-
физмы проектирования п’: 9 —-› а’ и 1:": 9 -›_а” изоморфно
отображают 9’ на а’ и 9” на а". В частности, gzg'@g”.
2) Идеалы а’ и а" можно выбрать так, чтобы 3(a')=1t(3 (9’)),
3 (a") =-- 1t(3(g”)), где 11:: 9 -› 3(9)—проекиия‚ соответствующая
разложению 9=3 9 Ф 9, 9].
3) Либо 9’, либо 9" содержит простой идеал f алгебры 9,
такой, что dp=dG, где F — соответствующая подгруппа Ли
компактной группы Ли G c касательной алгеброй 9.
Следующее утверждешиге, вытекающее из утверждения 1)
теоремы 5, будет использовано в процессе ее доказательства,
которое мы проведем по индукции.
Следствие 1. Пусть, в предположениях теоремы. 5,
а-такой простой идеал алгебры 9, что aﬂg';é0. Тогда а с 9’.
Доказательство. Рассмотрим прямое разложение
9 = a'€I)a". Если идеал а коммутативен‚ то утверждение
очевидно. Если а-некоммутативный идеал, то он содержится
либо в а’, либо в а” (см. предложение 2.8). Поскольку п’:
9’—-›а’—изоморфизм И 1t’(a”)=0, имеем а с а’. Поэтому
1t’(aﬂg’)==aﬂg’ca. Значит, аП9’—-идеал в 1t'(g')—-=a, откуда
а П 9’ = а. I
Другие следствия даны ниже.
Доказательство теоремы 5. Очевидно, для ком-
мутативной алгебры Ли 9 теорема верна. Поэтому в даль-
нейшем будем считать, что 9 некоммутативна. Доказательство

294 гл. 4. включвния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
утверждений 1) и 2) проведем с
по размерности d1m g алгебры 9.
Пусть 1) и 2) доказаны для всех компактных алгебр Ли
размерности <N, и пусть dimg=N. Если 9 проста, то, как
следует из теоремы 2, одна из подалгебр 9’, 9" тривиальна,
а вторая совпадает с 9, так что наша теорема верна. Поэтому
будем считать, что 9 непроста. Как следует из предложения 10,
существует прямое разложение 9=91®92, где 91—простой
некоммутативный идеал, такое, что 9’==91@)92‚ 9’1 с 91, 92 с 92,
91—простая некоммутативная подалгебра в 9, ад; =dG1 =dG
для соответствующих компактных групп Ли 61 с G 1 с G.
Обозначим че ез 1:-: ”——> - i =1 2 ГОМОМО измы п оекти-
рования. ПустРь g3’:-g"ﬂ§,-1 (Е; 1, ,2).) Тогда сгугцествуетр идеал
II II V II ___ II II II
912 в 9 , такои, что 9 --916)9126)92. Очевидно, гомоморфизмы
° " ('—1 2 П — ’ ” '—1 2
1991219, 1- , )1/IH’beKTI/IBI-IBI. ОЛОЖИМ О1—91Пп1(9)(1— , )
и ид=пд (од) с 9”. В силу предложения 5.2 имеем разложения
(91, 9;,.1:1(9”)) (i=1, 2) и (9"‚ 111, и2), причем и1Пи2=О.
Если 912=О, то 1:1(9”)=91‚ и разложения идеалов 91 имеют
вид (gt, g;-, 91’), причем 91П91=0 (z'= 1, 2). Как было отмечено
вьппе, 91: 91 и 91 =0. Далее, в силу предположения индукции
для разложения (92, 92, 91) утверждеъшя 1) и 2) справедливы.
Легко убедиться в том, что они верны и для исходного
разложения. Далее мы будем предполагать, что 9'12 #0.
Докажем, что 9’1=91. Предположим, что это неверно.
Поскольку 91 ﬁg’; =0, ИЗ теоремы 2 и ее следствия 2 вытекает,
что 91=91+тг1(912)‚ причем g'1ﬂ1t1(g'{,_);é0. При этом либо
912——простая некоммутативная алгебра Ли, либо 91 =0
И 912=Ь1@Ь2, где Ь1—простой некоммутативный идеал,
91=9Ё+д1 И 9ЁП751([)1)950- СЛСДОВЗТСЛЬНО, 111nQ'1'2750
И и1ПЬ1э60‚ если 912 не проста. Для разложения (9”, 111, 112)
1) и 2) верны в силу предположения индукшити. Применяя
следствие 1, видим, что 912си1, если 912 проста, и Ь1си1
в противном случае. Значит, 01 содержит тс1(912) или ml (1)1)
соответственно, что противоречит равенствам» 91 =9’1 +
+п1(912)=91+1:1([)1). Тем самым наше утверждение доказано.
Из него сразу следует, что 91 =0. Значит, гомоморфизм 1:2:
9” —-› 92 инъективен.
Рассмотрим теперь разложение (92, 92, 192 (9”))’. Имеем
02:92 ﬂu; (9 )=0. Деиствительно, ясно, что 01=п1 (9 ), так что
111 =9” и и2=0. По предположению индукции существует такое
прямое разложение 92 =b'69b", что соответствующие проекции
ПОМОЩЬЮ ИНДУКЦИИ
о" и о” изоморфно отображают 92 на Ь’ и 1:2 (9”) на Ь”. Для _
алгебры 9 рассмотрим прямое разложение 9= a’€—)a", где
а’=916—)Ь’, а"=Ь"‚ и обозначим через 1:’, п” соответствующие
__ _ _› I
.2 '~-3',rh

§14. РАЗЛОЖЕНИЯ КОМПАКТНЫХ групп ли ' 295
проекции. Поскольку g’; =91, тс’: 9’—›а' есть изоморфизм.
Очевидно также, что 1t"=o"’o1t2, TaI( что п”: 9”—-›а”—изомор-
физм. Предположим, что Ь’ и Ь" выбраны так, что 3(b’)=
=o‘(3(g'2)), 3(1) ")=c(3 (1IZ2§g"»), где о: 92—›3(92)—проектирова-
ние параллельно 92, 92 . Поскольку 3(g)==3(g2) И 3(g2=3Sg’2),
имеем n<a<g'>)=o a(9a>)=s<b'>=a<a'> и 1=(a(9")=0(1t2a(9”))=
=O'(3(1lZ2 (g")))=3(b" =3(a”). Таким образом, утверждения 1)
И 2) справедливы для нашего разложения.
Заметим также, что утверждение 3) было проверено в ходе
доказательства. I
Следствие 2. Пусть 6—связная компактная группа
Ли, G’, G"—ee- связные виртуальные подгруппы Ли, причем
G =G'G ” u dim (G’ﬂG")=0. Тогда существует локально
прямое разложение G=A ’A ", где А ', A. "—связные нормальные
виртуальные подгруппы Ли в G, локально изоморфные группам
G’, G” соответственно. Если G’ (или 6”)—подгруппа
Ли в G, то подгруппу А’ (соответственно А ”) можно
считать подгруппой Ли в G.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для
доказательства второго утверждения рассмотрим естественный
гсмоморфизм р: G—>G/(G, G)-—-—-Z. Очевидно, группа Ли
Z является тором, а р: 2 (G ° —-›2—конечное накрытие. Ввиду
прямого разложения 9 = 3 9 (Э[9‚ 9] касательная алгебра груп-
пы 2 отождествляется с 3 9 , а гомоморфизм dp—c проекцией
1:: 9—›3(9). Пусть идеалы а’, а" с 9 выбраны так, что
справедливы утверждения 1) И 2). Если (Т-пошруппа Ли,
то 2 (G 'g°—Top И p(Z (G ')°) есть подгруппа Ли в 2. Далее,
p<z<A'>° =p<z<e’)°>, и - z(A')°-—-(rl(p(2(A')°{)nz(G))°--
подгруппа Ли в G. Подгруппа А’=2 (А ’)„° (А ’, А’ компактна
и по теореме 2.2 есть подгруппа Ли в G. I
TeopeMy 5 можно рассматривать как теорему об описании
компактных расширений просто транзитивных действий (или
транзитивных действий с конечным стабилизатором точки).
Следствие 3. Пусть M -- однородное пространство связ—
ной компактной группы Ли А, причем группы А, (хеМ)
конечны, и пусть задано компактное расширение А с G дейст-
вия группы А. Тогда в G найдется связная нормальная
подгруппа Ли А ’‚ локально изоморфная А и транзитивно (с
конечным стабилизатором точки) действующая на М. Если
А односвязна и действует на М просто транзитивно, то
A':A u A’ действует просто транзитивно.
Доказательство. Расширение действий порождает раз-
ложешите (G, A, H), где Н =6‚, хеМ. Рассмотрим соответст-
вующее касательное разложение (9, а, 1)). Очевидно, аП!)=0.
л мкнак-а- дек-ц.

296 гл. 4. включвния между ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
Пусть g = a’ П а" —такое прямое разложение, что соответст-
вующие проекции тс’ и п" определяют изоморфизмы а -› а’
И I)—>a". Тогда g=a'+I), поскольку a”cI)+Ker1r"=I)+a'. Из
соображений размерности ясно, что а’ П!) =0. Согласно следст-
вию 2 мы можем считать, что подалгебре а’ отвечает связная
нормальная подгрутша Ли А ’ с G. Поскольку А ’ кошхактна, из
предложения 5.5 следует, что А ’ транзитивно действует на М.
Если фиксировать хе М, то отображение t" грутшы А’ _на
М есть проекция расслоения C дискретным слоем, т. е.
накрытие. ’
Предположим, что А односвязна и просто транзитивно
действует на М. Тогда М диффеоморфно А и, значит,
односвязно. Поэтому накрытие г‘: A ' -› М биективно‚ так
что группа А ’ просто транзитивно действует на М И односвяз-
Ha. Поскольку А и А’ локально изоморфны, A'zA’. I
Из теоремы 5 легко вывести также следствие 3 теоремы 4.
§ 15. Компактные комплексные однородные пространства
1. Флаговые многообразия. Комплексное многообразие
М называется однородным, если группа Bih M всех его
биголоморфных преобразований действует на М транзитивно.
Если М компактно, то в силу следствия 3 теоремы 2.3 Bih M
допускает такую структуру комплексной грушты Ли, что ее
естественное действие на М голоморфно. Поэтому любое
компактное комплексное однородное многообразие М есть
комплексное однородное пространство комплексной гругшы
Ли G=BihM И изоморфно G / H, где H —комплексная под-
группа Ли в G. д -
Флаговое однородное пространством-это комплексное од-
нородное пространство М связной комплексной группы Ли G,
такое, что стабилизатор G, любой точки х е М является
параболической подгруппой в G (см. п. 3.14). Комплексные
однородные многообразия этого типа называются флаговыми
многообразиями.
Напомним (см. п. 3.14), что любая параболическая под-
группа связной комплексной группы Ли G содержит Rad G.
Отсюда следует, что Rad G лежит в ядре действия гругшы G
Ha любом флаговом однородном пространстве этой гругшы.
Значит, М -—-флаговое однородное пространство полупростой
комплексной грушты Ли G / Rad G.
Предложение 1. Флаговое однородное пространство М
связной комплексной группы Ли G есть однородное простран-
ство любой компактной вещественной формы K полупростой

' §1s. КОМПЛЕКСНЫЕ однородные ПРОСТРАНСТВА 297
комплексной группы Ли Go =G/Rad G. Если М односвязно, то
M2KK/L, где Ь-централизатор тора в K, и x(M)>0. '
Доказательство. Мы можем считать, что M=G/P,
где СЪ-полупростая комгшексная гругща Ли, Р—ее пара-
болическая подгруппа. Из предложений 3.19 и 5.5 следует,
что компактная вещественная форма K группы G транзитивно
действует на М, причем L °, где L = G П Р, есть центрадшзатор
некоторого тора в K. B частности, rkL=rk K. Если M zKK / L
односвязно, то‘ L=L°, откуда x(M)>0 (см теорему 13.2). I
Заметим, что подгругша L= K ПР’ определяется той же
системой простых корней группы G, что и параболическая
подгруппа Р (см. предложение 3.19).
Теперь мы рассмотрим несколько примеров флаговых
многообразий. Сам этот термин связан со следующим
основным примером.
Пример 1. Пусть V—n-Mepnoe комплексное векторное
пространство и kl, ..., k,—-——Ha6op натуральных чисел, такой,
что 0<k1<...<k,<n. Флагом типа (kl, ..., k,) B V называется
система подпространств (V1, ..., V,) B V, такая; что dim Уд=1сд
(i=1, ..., r) И V1c...c V,. Флаг типа (1, 2, ...‚ п-—1)
называется также полным флагом. Обозначим через Fk k (V)
множество всех флагов типа (М, ...‚ /с‚) в V. Очевидно,
F,,(V)=Gr,,(V)—3'ro многообразие Грассмана. Множество
полных флагов Е`1_д‚‚‚_,(У) обозначим через F
Далее мы будем рассматривать F k wk (C"). Группа GL,, (C)
транзитивно действует на этом множестве, причем стабилиза-
тор Р флага §=((e1, ..., ek),~(e1, ..., е,‘ >‚ ...‚ (e1, ..., ek))
совпадает c подгруппой всех матриц вида '
Ясно, что в обозначениях таблицы 1 имеем Р= Pg, где
2=П\{ос„1‚ ockz, ..., ah}. B случае множества полных флагов
Е: И, т. е. Р —борелевская подгругпта. Отождествляя множе-
_ство Fk ") c GL,.(C)/P, мы превратим его в флаговое
многообразие: оно называется многообразием флагов типа
(kl, ..., k,) В С”. Очевидно, ядром действия группы GL,,(C)
..v- . :2; Aura-um

298 гл. 4. включвния между ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
на многообразии флагов является Z(GL,,(C))= {C1, I cec "}, так
что действие простой подгруппы SL,, (С) транзитивно. Соот-
ветствуюцше компактные групповые модели многообразия
флагов (см. предложение 1) имеют вид
г‚„„_‚,_(с")=„__и„ / щ, х х Н„_,„=‚„„5и„ /$(и‚„ х х и„_‚„).
Здесь через Ukrx х П„_.‚„ обозначена подгруппа клеточно-
диагональных матриц вида diag (A 1, ..., A,+1), где A16
eUkl, ..., A,+1eU,,__k_, а через $'(Н‚„х...х Н„_‚„) ее пересечение
с $П„. *
Пример 2. Группа G=S0,, (C) сохраняет в С” стандарт-
ную невырожденную билинейную форму (2, z’)= Z zkzf‘.
k= 1
Пусть Q"‘2——Kea<)pu1<a B CP"‘1, заданная в однородных
координатах уравнением (2, 2)=0. Очевидно, G транзитивно
действует на Q""2 с помощью проективных преобразований.
Тем самым Q"‘2—npoe1<mBHoe однородное пространство и,
в частности, флаговое многообразие (см. п. 2 ниже). Согласно
предложению 1 Q"'2 является однородным пространством
компактной группы Ли $0„. Покажем, что
\
9”"=во„6г2,2.
Пусть 2еС”, 2960. Если (z)eQ"“°', то (2, 2)=О. Запишем 2=
=u+'z'v, где и, veR". Легко проверить, что (и, и)=(и, v)>0,
(u, v) =0. B частности, ‚и, и шшейно независимы. Подставим
в соответствие вектору 2 плоскость (и, v) c: R ”, снабженную
ориентацией, соответствующей реперу (и, v). Тогда для любого
с е С " вектору с2 будет, как легко проверить, соответствовать та
же плоскость, снабженная той же ориентацией. Такши образом,
получаем инъективное отображеъше q: Q"‘ 2->Cr ff, 2 , которое
оказывается гладкши, сюръективным и ЗЩ-эквивариантным.
Поскольку (е1, е2>=с1((е1+1е2>), стабилизатором точки
§=(e1+ie2) B S0,, является $02 xS0 -2. Отсюда следует,
что $0„(С)д=Р;, где 21-=l'I\{oL1} (B обозначениях таблицы 1).
Пример 3. Обозначим через 161%“ подмногообразие
в Gr Ё“, состоящее из подпространств, вполне изотропных
относительно стандартной симметрической билинейной
формы ( ‚ ) на С” (т. е. подпространств, на которых эта
форма тождественно равна 0). Согласно теореме Витта (см.
[41], ч. 2_, или [33]), группа 02‚(С) транзитивно действует на
1618“. B то же время легко видеть, что группа S02, (C) имеет
на IGr SM ровно две орбиты, являющиеся в то же время
связными компонентами этого многообразия. Обозначим

§15. КОМПЛЕКСНЫЕ одногодныв ПРОСТРАНСТВА 299
через 1 °Gr Eu компоненту в IG_r Eu, содержащую
Уо=(е1—ёе„„ ...‚ “e,-ie2,). Согласно предложению 1, на
I °Gr Ё“ транзитивно действует группа 802,. Нетрудно прове-
рить, что I °Gr 2,, ‚‚ как однородное пространство группы 502„
изоморфно многообразию всех комплексных структур 1 в R 2’,
удовлетворяющих условию Pf (I)= 1, причем точке V0 eI°Gr Ё“
соответствует комплексная структура 8„ задаъшая формулой
(2.14). Следовательно, (S02? V0: U1. Отсюда вытекает, что
S02,(C)Vo=P;, где 2=П\{ос‚ (в обозначениях таблгщы 1).
2. Проективные однородные пространства. В этом пункте
мы рассмотрим реализацию флаговых многообразий в виде
некоторых проективных ашебраических многообразий. Из нее
будет следовать, в частности, что любое флаговое многообра-
зие односвязно и потому удовлетворяет условиям предложе-
ния 1. Пусть р: G—>GL (V)—roJ1oMop(1>Hoe линейное представ-
ление связной комплексной гругшы Ли G. Рассмотрим орбиту
G(§) некоторой точки §eP(V) относительно действия группы
G Ha P(V), порожденного представлением р. Если орбита G(§)
компактна, то она является комплексным подмногообразием
в P(V). По теореме Чжоу (см. [25], гл. 1, § 3) G(F;) B этом
случае является алгебраическим подмногообразием в Р (V).
Будем называть проективным однородным пространством
группы G любую компактную орбиту G (ё), определенную
некоторым линейным представлением группы G.
Пусть М = G (§)—-—npoe1<TI«1BHoe однородное пространство,
связанное c представлением р: G—+GL(V). Пусть В-борелев-
ская подгруппа группы G. Из теоремы Бореля- (ем. [20],
теорема 3.2.9) следует, что В имеет в М неподвижную точку
2:0. Имеем é’;=g2‘-,0, где geG, откуда gBg‘1cG§. Следова-
тельно, Р= G§—napa6oJmt1ec1cas1 подгругша в G. Поскольку
Rad Gc: P, мы можем считать, что группа G полупроста.
По теореме 2.7 G= K (С) для некоторой связной компактной
полупростой группы Ли K.
Предложение 2. 1) Любой ненулевой вектор voe V,
лежащий на прямой ё, является старшим вектором пред-
ставления р: K -—> GL (V) относительно некоторого максималь-
ного тора ТсК и системы простых корней 1‘IcAK.
2) Проективное однородное пространство M = G(§) односвя-
зно, так что G§=P u M — флаговое однородное пространство.
3) Пусть р: K -+GL (V)—KoMn/zekcnoe линейное представ-
ление связной компактной группы Ли K, по е V— его старший
вектор веса A;é0, E_,=(v0)-——coomeemcm6yrou;a,<z точка в P(V),
G-=K Тогда M=G(2‘;)<:P%V)—npoe1<mueHoe однородное про-
странство, Од=Р;, где Z: oceII|(A, oc)=0}, u 'G(vo)=M\{0},

300 ГЛ. 4. ВКЛЮЧЕНИЯ МЕЖДУ ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
где Й с: V— конус, соответствующий проективному многооб-
разию М.
Доказательство. В силу теоремы 3.17 мы можем
выбрать максимальный тор Tc: K И систему простых корней
ПсАк так, чтобы Р=Р‚;, где 22:11. Очевидно, любой
ненулевой иоеё удовлетворяет условию с1р(х)ио=А(х)ио (хер)
для некоторого веса А: р—-›С‚ так что оо-весовой вектор
относительно Т. С другой стороны, если e,e p для некоторого
осеАд, то (др)(е‚)ио——вектор веса А+ос относительно Т, так
что (с1р)(е„‚ vo=O. Поскольку едер для всех oceA$ ,
vo—-—cTapmm71 вектор, и 1) доказано. .
Чтобы доказать 2), заметим, что ®=A,}'\[2] есть замкну-
тая подсистема в A K. Поэтому п- =` 6) g,—no)1anre6pa
otee
B g==f(C), причем g=pEBn- (прямая сумма векторных про-
странств). Поскольку п - состоит из нильпотентных элементов,
этой подалгебра: соответствует связная унипотентная алгеб-
раическая подгруппа N _ CG (см. [20], п. 3.3.6). Так как
представление р группы G полиномиально, то G §—aJIre6-
раическая подгруппа, так что N _ nG§—yHI/IIIOTeHTHa$I (и,
значит, связная) ашебраическая подгруппа. Следовательно,
N _ﬂG§={e}. Орбита N- (ё) есть алгебраическое подмного-
образие в М (см. [20], теорема 3.1.7), диффеоморфное группе
N- , которая в силу унипотентности диффеоморфна простран-
ству С"', где m=dim N - =-dim M. Таким образом, М содержит
стягиваемое открытое алгебраическое подмногообразие. До-
полнение к нему имеет вещественную коразмерность 2 2,
так что -М односвязно (см. [74], гл. VII, предложение 9.4).
Докажем 3). Пусть Тс K ~—- максимальный тор
и А if —система положительных корней, относительно которых
vo является старшим вектором. Тогда подалгебра 9д содержит
t И все 9„ (ozeA,'E). Следовательно, Р=6Ё—параболическая
подгруппа. В силу предложешигя 1 орбита М = G(§)_1<oMna1<'rHa,
т. е. является проективным однородным пространством. Как
показано в 2), Од=Р. Очевидно также, что G(v0)cM. Если
Аэ60, то ясно, что (T(C))(vo) совпадает со всей прямой E‘, (с
выкинутым нулем), откуда G(vo)=—-M\{0}. Далее, в силу
предложения 3.18 P=P;, где Е-некоторая подсистема
системы простых корней ПСАЁ . Покажем, “что 2={осеП|
(^› °Ф=0}- Имеем р(°)(г)ио=х(г)0о(ге1°)› где х: Р—›С"—
некоторый характер, причем dx I t= A. Поскольку dx равен
0 Ha полупростой части алгебры Ли р, имеем А (12„)=0 для
всех oceE_. Обратно, если А(12„)=0 для некоторого осеП, то
12,‚е9д=р‚ откуда ae21.I ‘

§15. КОМПЛЕКСНЫЕ однородныв ПРОСТРАНСТВА 301
Используя существование неприводимого представления
с заданным старшим весом (теорема 3.11), легко вывести из
доказанного, что любое флаговое однородное пространство
является проективным. (Другое доказательство, использующее
присоединенное представление, см. в п. 3.) А именно, пусть
K ——-связная полупростая компактная группа Ли, G=K (С),
Pc: G--1Iapa6oJII«It1ecI<asI подгругша. Как и выше, будем счи-
тать, что Р=Р;, где ЕсП, П—система простых корней
в системе корней А к относительно максимального тора T c K.
Существует такой Aex(T), что (А, oc)=0 ((162), (A, a)>0
(oze1'I\2). Действительно, положим 7ь== щ. Так 1<aI<.x(T)
a,el'l 2
HMCCT конечный индекс в группе весов\ (см. п. 3.5), для
некоторого qe N характер А=срье х (Т) удовлетворяет нашим
условиям. Далее, по теореме 3.11 существует неприводимое
комплексное линейное представление р: K -+GL (V) co старшим
весом А; оно продолжается до голоморфного представления
р(С): G—>GL(V) B силу теоремы 2.7. Пусть v А-старший
вектор представления р, §= (v А) е Р Тогда из предложения
2, 3) следует, что Од = Р, так что р(С) определяет изоморфизм
однородного пространства G / P Ha проективное однородное
пространство G(§) (см. теорему 1.2).
Описанное выше биголоморфное вложение р’ флагового
однородного пространства M =K (C) / P B CP”"’, связанное
с неприводимым линейным представлением р: K --› GL N (С),
задает в М кэлерову структуру, индуцированную стандартной
кэлеровой структурой в СР N ` 1. Соответствующая кэлерова
форма определяет ненулевой класс когомологнй ос е Н 2 (М, R),
который мы уже использовали в п. 13.4. Мы хотим теперь
описать класс а в терминах старшего веса представления р,
отождествляя H (M, R) c S;/ILL, где Ь=КПР,_при помощи
изоморфизма теоремы А. Картана (см. теорему 12.2).
Предложение 3. Пусть А=1аей"`—старший вес непри-
водимого представления р: К —+GL N(C), определяющего биголо-
морфное вложение р’: М —›СР” "1. Тогда класс когомологий
oceH2(M, R)=(SWL/IK,L)2, соответствующий индуцированной
кэлеровой структуре на М, пропорционален смежному классу
элемента д е (Зуд) 2 = (t Ед) W‘.
Доказательство. Очевидно, oL=(p’)*oz’, где ос’е
е Н 2 (СР N " ‘, П)———класс когомологий, соответствующий стан-
дартной кэлеровой структуре на СР N " 1. Мы можем считать,
что р(К)с.$'П„=К’ и что иА=е,еС”. Тогда
Ь’=($Н„)д=$(1!1 х UN..1). B силу предложения 12.14 гомомор-
физм (p')*: SW“/Ix-,L:=H(CP”“, R)—>SWL/1,“, индуцируется

302 гл.`4. включвния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
гомоморфизмом (ар)"`: $„‚Ь‚-›.$`„‚Ь._ Выбирая в качестве мак-
симальной коммутативной подашебры t'cf’ подалгебру диа-
гональных матриц ‹11а3(1х1, ...‚ z'xN), мы видим, что одномер-
ное пространство ($;уд_‚)2 имеет в качестве базисного вектора
‚.. 1
элемент х1. Очевидно, (dp) (x1)=? A=a, откуда и следует
наше yTBep>1<;1eH1»Ie.l
Пример 4. Пусть К=$Н„ и p=p,.: SILL,-+SUN, N=C:),—-
его k-e базисное представление. Известно, что pk изоморфно
представлению /\ " Id группы SU,, B пространстве А " С“.
Отсюда видно, что pk определяет классическое отображение
Плюккера Gr ﬁfk-+P( А" С”), сопоставляющее каждому подпро-
странству (01 ‚ ...‚ щ) прямую, натянутую на разложимый
К-вектор и1А...Аи‚,. '
3. Расслоение Титса. В этом пункте мы изучим строение
произвольного компактного комплексного однородного про-
странства М. Оказывается, что М допускает голоморфное
расслоение, базой которого служит проективное однородное
пространство, а слоем-факторпространство связной ком-
плексной группы Ли по дискретной подгруппе. В качестве
следствия будет доказано, что любое флаговое однородное
пространство проективно и гругша его биголоморфных преоб-
разовашитй полупроста. -
Теорема 1. Пусть связная комплексная группа Ли
G" голоморфно и транзитивно действует на компактном
комплексном многообразии М и пусть H = 6„ где хеМ.
Тогда P=NG (H °)—параболическая подгруппа в G. Многооб-
разие М допускает голоморфное расслоение (М, `М"`‚ F, р),
где база М '—--npoezcmueuoe однородное пространство с груп-
повой моделью G / P, a F — компактное комплексное однородное
пространство с групповой моделью Р/ Н или (Р/ H °) / (H / H °).
Доказательство. Пусть k=dimH. Рассмотрим голо-
морфное отображение р многообразия М в многообразие
Грассмана Gr,,(g), действующее по формуле р(у)=9, (уеМ
Очевидно, p(gy)=gg,=(Adg)g,,. Таким образом, р будет
эквивариантным, если рассмотреть на Gr д (g) действие группы
G, определенное ее присоединенным представлением. Если
H=G,,, то G,,(,,,=NG(I))=NG(H°). Далее, M*=p(M) есть ROM-
пактное подмногообразие, совпадающее с орбитой G(p
Используя отображение Плюккера (см. пример 4), мы можем
отождествить M "` с орбитой действия группы G B P(A " g),
связанного с линейным представлением А " Ad. Таким об-
/

§15. КОМПЛЕКСНЫЕ однородныв ПРОСТРАНСТВА 303
разом, M "—-проективное однородное пространство группы
G. Применяя предложение 2, видим, что P-—-NG (H °)—пара-
болическая подгруппа в G. То, что р: M -›М "м-проекция
голоморфного расслоения со слоем Р / Н, вытекает из след-
ствия 2 предложения 4.2. I
Расслоение, построенное в теореме 1, называется рас-
слоением Титса.
Следствие 1. Если в обозначениях теоремы 1 подгруппа
Н связна (например, если М односвязно), то F=
= На (Н) / Н — комплексный тор.
Доказательство. Если Н связна, то F=P/H—I<oM-
плексная группа Ли._ Поскольку F компактна, она является
комплексным тором (см. предложение 2.10). I
Следствие 2. Пусть Н —параболическая подгруппа связ-
ной комплексной группы Ли G. Тогда NG (H)=H. Всякая
комплексная подгруппа Ли в G, содержащая борелевскую
подгруппу, связна и тем самым является параболической.
Доказательство. В силу предложения 1 G/H ком-
пактно. Применяя к этому однородному пространству теорему
1, видим, что подгругша М; (Н) связна. С другой стороны,
М;(Н)°=Н в силу предложения 3.15, так что NG(H)=H.I
Следствие 3. Пусть M -—-флаговое однородное простран-
ство связной комплексной группы Ли G. Тогда М является
проективным однородным пространством группы G u, в част-
ности, односвязно. Если G действует эффективно, то G-
полупростая группа Ли с тривиальным центром.
Доказательство. Пусть Н=6„‚ где хеМ. В силу
следствия 2 NG (H )=H. Следовательно, проекция р: M —›М "
расслоения Титса является биголоморфным отображением.
Поскольку Rad GcH, из эффективности действия следует,
что Rad G= {e}. Пусть K — компактная вещественная форма
полупростой группы Ли G. По теореме 2.7 Z(G)cK. B силу
следствия 3 теоремы 3.1 Z (G) содержится в любом мак-
симальном торе группы K И, значит, лежит в Н. Из
эффективности действия следует, что Z (G )= {е}. I
B качестве приложения мы покажем, что свойство од-
нородного пространства быть флаговым сохраняется при
расширении и сужении действий.
Предложение 4. Пусть M —комплексное многообразие,
на котором задано транзитивное действие связной комплексной
группы Ли G’, ограничение которого на связную комплексную
виртуальную подгруппу Ли GcG' также транзитивно. Для
хеМ подгруппа G,, параболична в G тогда и только тогда,
когда G; параболична в G’.
- u—u_w«\m-u-r.-v

304 гл. 4. включения между тмнзитивнълми ГРУППАМИ ‚
/
Доказательство. Пусть бх-параболическая подгруп-
па. Применим к действию группы G ' Ha M теорему 1.
Поскольку М односвязно (следствие 3), G; связна, и по
теореме 1 Na. (G ;)—1Iapa6oJII»1t1ecIcaa B G’ подгруппа. Но
в силу следствия 2 теоремы 1 AutGM = {е} (см. предложение
4.4). Значит, и AutG»M={e}, откуда Мд:((7;)=6;.
Обратно, если G 3,-——napa6oJm=1ecIcaa B G’ подгругша, то
в силу следствия 3 теоремы 1 M -- проективное однородное
пространство групп G’ И G. B силу предложения
2 Ог-параболическая в G подгругша. I
4. Связная груша автоморфизмов флагового многообразия.
В этом пункте мы применим результаты о включениях
между транзитивными компактными группами к вычислению
группы (Bih M) °, где М — флаговое комплексное многооб-
разие. Как вытекает из предложения 4 и следствия 3 теоремы
1, (Bih M) °—полупростая комплексная гругша Ли с триви-
альным центром, причем стабилизаторы точек из М являются
ее параболическими подгруппами.
Пусть М — флаговое однородное пространство связной
комплексной группы Ли G. МЫ будем считать, что G дей-
ствует на М эффективно. Тогда G полупроста и Z (G)= {e}
(см. следствие 3 теоремы 1). Поэтому G=G, xx G,, где
G д просты и некоммутативны. В силу теоремы 4.7 стаби-
лизатор точки хеМ имеет вид Р=Рдх...хР‚‚ где
Рд-параболическая подгруппа в О; (i = 1, ..., r). ‚Полагая
Мд=6д/Рд, получим, что
MzGM1X...XM,,
где M д-флаговое однородное пространство простой группы
Ли 6;. Нашей целью является доказательство следующего
утверждения.
Теорема 2. Пусть Мздб/Р-флаговое однородное
пространство связной комплексной полупростой группы Ли
G, действующей на М эффективно. Тогда разложение (1)
порождает изоморфизм '
(Bih M) ° z(BihM1)° x x-(Bih M,) °.
Если G проста, то и (Bih M )5’ npocma, причем G=(Bih M) °,
3a исключением следующих случаев: „_ .
1) G=PSp,,(C), P=P9, где ®={oz2, an}, M=CP2"“,
2) G=G;(C), P=P{,,z}, M=Q5, (BihM)°=PS07(C).
3) G=s0,,,_,(c), P=P9, где @={a,, a,,-,}, M=I°Gr‘2’,,_,,,
(Blh М) ° ш Р802„ х

§1s. КОМПЛЕКСНЫЕ однородные ПРОСТРАНСТВА 305
В формулировке теоремы 2 через Р$Ь„, (С), PSp,,, (C),
PSO,, (С) обозначены грушты проективных преобразований,
индуцированных линейными группами SL,,, (С), $р,‚‚ (С), S0...
ОНИ изоморфны факторгруппам этих линейных гругш по их
центрам. Флаговые многообразия Q5 И I °Gr §,.,,, описаны
в примерах 2, 3.
Доказательство теоремы 2 по существу сводится к клас-
сификашш разложений вида (А, G, Q), где А -—связная
полупростая комплексная группа Ли, G—ee связная полупрос-
тая комплексная подгрушта Ли, а Q—napa6oJmt1ecI<aa под-
группа. Мы покажем сначала, что классификация этих
разложений равносильна классификашш некоторых специаль-
ных разложений компактных полупростых групп Ли. Мы
можем считать по теореме 2.7, что А =К’(С), где K '——
некоторая связная полупростая компактная группа Ли. По-
скольку любая максимальная компактная пошруппа группы
А сопряжена K’ (cM., например, [20], п. 5.3.3), мы можем
заменить G сопряженной подгруппой так, что G = K (C),
где Kc:K’. Тогда в силу предложения 1 QﬂK’=L’—11eH-
трализатор тора в K ’. '
Предложение 5. Тройка (А, G, Q)=(K’(C), K(C), Q)
является разложением тогда и только тогда, когда является
разложением тройка (К ', К, L’).
Доказательство. Пусть A=GQ. Тогда в силу ripen-
ложения 4 Р= ОП 9—параболическая подгруппа в G. Из
предложения 1 следует, что G =KP. Поэтому А = KQ. Посколь-
ку K’:K, ВЫВОДИМ отсюда, что K'=K(K’ﬂQ)=KL’.
Обратно, пусть К’ = KL’. Используя предложение 1, видим,
что A=K’Q=KQ=GQ.l
Доказательство теоремы 2. Обозначим для краткости
А =(BihM)°. Г рутша G естественно вкладывается в А как
комплексная подгруппа Ли. Пусть К —— компактная веще-
ственная форма в G И K ’—содержащая ее компактная
вещественная форма в А. Пусть Р=6„ Q=A,,, где хеМ.
Тогда L'=K;—neHTpaJm3aTop тора в К’. Поскольку А = GQ,
имеем K ’=KL’ в силу предложения 5. Применяя к этому .
разложению предложение 14.3 и учитывая, что K И К’
имеют тривиальные центры, мы видим, что K ’=K '1 x...xK L,
K=K1x...xK,, L'= ’,x..;xL;, где КдсКг, К; просты,
С,=К,(С) и K;-=K;L§ (i=1, ..., r). Torz[a'A=A,x...xA,, где
А‚=К$(С) (i=1, ...,. r) просты, Q=Q, х х Q,, где
Од-параболическая подгруппа в Ад. Снова применяя пред-
ложение 5, видим, что А‚=6д9д, т. е. Мд=6,/Рд=д„Ад/9д.
Итак, А, голоморфно действует на M,-, так что А‚‹:(В1ЬМ,)°.

306 гл. 4. включвния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
СЛВДОВЗТСЛЬНО, ИМССТСЯ ВКЛЮЧСНИС
А =‚4, x х А‚с(В1Ь м,)° х х (Bih M,)°.
Далее, ясно, что группа (Bih M1)° x x(Bih M,)° вкладывается
в А. Поэтому Bih M;)°=A;—~Hp0CTaH комплексная группа
Ли И A=(BihM1 °x...x(BihM,)°.
ПУСТЬ G проста. Тогда А также проста и K '=KL', Из
теоремы 14.2 следует, что либо K =K ’ (и тогда G=A),
либо (с точностью до локального изоморфизма разложений)
имеет место один из следующих случаев:
1) K’=SU2n, K=Spn, L'=S(U1XU2n_1) (7122),
2) К’=$О7, К=б2‚ Ь’=$О2х$05,
3) K’=S02,,, K=S02,,_1, L’=U,, (n24).
B случаях 1) И 3) две возможные подсистемы Z c П’,
определяющие L’, переводятся друг в друга автоморфизмом
системы П’ простых корней группы K’. По теореме 4.7
соответствующие подгруппы Q; переводятся друг в друга
автоморфизмом группы А, который, как легко видеть,
переводит K B себя. Поэтому имеем следующие возможности:
1) М=СР2""1, G--PSp,, C), A=PSL2,,(C); .
2) M=Q5cCP6, G=G2 C), A=PS07(C) (CM. пример 2);
3) М=1°СгЁ„‚„, 6=$02„_1 (С), Ae~_PS02,,(C) (см. пример 3).
Система (~), определяющая параболическую подгруппу
Р‹: G, B каждом случае определяется непосредственно. I
5. Полная грунта биголоморфных преобразований флагового
многообразия. Пусть M ——-флаговое комплексное многооб-
разие. Тогда М —--флаговое однородное пространство связной
полупростой комплексной группы Ли G=(Bih M)°. B этом
пункте мы дадим описание группы Bih M B терминах ее
связной компоненты единицы G И параболической подгруппы
Р=С‚„ где хеМ.
Пусть G=K (C), где K -— связная компактная группа Ли,
П—система простых корней группы K относительно некото-
рого максимального тора Тс K. Поскольку 2 (G)=Z(K)={e},
решетка Х(Т) совпадает c решеткой корней Q (см. п. 3.5). Нам
потребуется группа Aut(G, T, l'I)={0eAutG|0(T)=T,
(d 9)"‘П=П}, которая в силу п. 3.6 разлагается в полупрямое
произведение а(Т(С)) - Г, причем гомоморфизм 9ъ—-›(с19)* изо-
морфно отображает подгруппу Г на АиПТЦ Мы можем
считать, что P=P; для некоторого ЕсП.
Предложение 6. Имеем полупрямое разложение
(АигС)р=а(Р)-Г‚;‚ где Г;={уеГ|у*(Е)=2}.
Доказательство. Пусть 3е(АшС)р. Используя сопря-
женность борелевских подгрупп в Р, представим g B виде g=

ﬁ"WI
§l6. ИЗОМЕТРИИ РИМАНОВЫХ однородных ПРОСТРАНСТВ. 307
=а„31‚ где реР и 31(В)=В, где В==Рд. Используя сопряжен-
ность максимальных алгебраических торов в В, мы можем
добиться того, чтобы 31 T): T. Тогда 31 eAut (G, T, П), так что
31 =а‚‚у, где уе Г, he T(C. Из условия 31(Р;)=Р1; легко следует,
что у* переводит в себя A5’ [ДЕ]. Поскольку 2=ПП(А1}` U[£]),
nMeeM y*2=£. Такши образом, уеГ 1;, (Аи16)‚‹:а(Р)-Гд (полу-
прямое произведение). Обратное включение очевидно. I
Теперь мы можем описать группу Bih M. МЫ будем
использовать группу автоподобий Зйшд М, которая в нашем
случае отождествляется с подгрутшой группы Diff M. Напом-
ним, что любому oce(Aut б); соответствует автоподобие sa,
заданное формулой (4.11). Таким образом, мы имеем гомомо-
рфизм s: yr-rs, группьт Г д в Simg M.
Te о ре м а 3. Во введенных выше обозначениях имеем
полупрямое разложение
Sirng М: G ' .$'(Г1;).
Доказательство. Поскольку G нормальна в BihM,
имеем Bih M с Зйшд М. Докажем обратное включение. В силу
предложения 4.6 достаточно доказать, что з, голоморфно для
любого ae(Aut G)p. Но это следует из того, что орбитное
отображение г”: G —›М является факторным.
Используя еще раз предложение 4.6, видим, что
Bih M = G(SimG M),, причем (Simc; М), состоит из всевозмож-
ных sa, где осе (Aut G)p. Из предложения 6 следует, что
Bih M =G 's(1“,;)."I'ro6LI доказать, что это разложение является
полупрямьтм, допустим, что s, е G для некоторого у е Г д. Тогда
уеа(Р), откуда у=1с1 в силу предложения 6.
§ 16. Группы изометрий римановых
однородных пространств
1. Простейшие следствия из классификации расширений.
Римановым однородным пространством группы Ли G называ-
ется однородное пространство М группы G, Ha котором
задана б-инвариантная риманова структура у. Мьт обозначаем
его через (М, у) или через М, если структура у фиксирована.
В силу теоремы 4.3 любое однородное пространство компакт-
ной группы Ли может быть сделано римановым однородным
пространством, а согласно следствию 1 теоремы 4.2 различные
С-инвариантные римановы структуры на М находятся в биек-
тивном соответствии со скалярными умножениями в про-
странстве Т, (М), инвариантными относительно линейной
группы изотропии в точке хеМ.
5' Д 77-:“7?s:§..'.-'-~T-.€.';T‘ ‘;-I':T}"‘-?E‘?.5'E'-73.77.“ С: "Н; U."-"'.3. 2.1" ` 1 ` .‘- :i-El,-f > ~»:,'T1' ‚д? Ё?- L
...~n~ д врем. г-м

—` '"' "—""P'
_вь1текает из предложения 4.6. I
308 гл. 4. включения’ мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
Пусть (М, у)——риманово однородное пространство связной
компактной группы Ли G. Обозначим через 1 (М, у) (или
просто гругшу всех изометрий риманова многообразия
М, т. е. автоморфизмов структуры у. Согласно следствию
-I теоремы 2.2 1(М‚ у)—группа Ли преобразований. Кроме
того, t(G)——no,urpym1a Ли в 1(М‚ у). Группа Ли 1(М‚ у)
компактна. Для доказательства этого факта заметим, что
существует расслоение группы 1(М‚ у) с компактной базой
М и слоем 1(М‚ у), (хеМ) и что стабилизатор 1(М‚ у),
компактен (последнее утверждение верно для любого римано-
ва многообразия, см. [74], гл. IV, § 2). Таким образом, задача
вычисления грутшы 1 (М, у) сводится к классификации ком-
пактных расширений транзитивной компактной группы Ли
преобразований t(G). B этом пункте мы приведем простейцше
результаты о группах изометрий, непосредственно вытека-
ющие из результатов § 14. `
Далее мы считаем, что группа G действует на М эффектив-
но, и отождествляем грутшы G И Simg M c соответствующими
подгруппами в Diff M (см. п. 1.6). Заметим, что 1(М‚ у)=
==1(М, су) для любого положительного числа с.
Теорема 1. Пусть M — неисключительное однородное
пространство связной простой группы Ли G, снабженное
некоторой Б-инвариантной римановой структурой у. Тогда
I(M, у)° = GC (локально прямое произведение), (1)
где C —связная подгруппа Ли группы (Ai1tGM)°. Если ис-
ключить случай, когда M == G, G действует на М левыми
сдвигами и у двусторонне инвариантна, то 1(М‚ у) с Sima M u
1(М‚ у)= СВ, (2)
где В-тодгруппа Ли в (SimGM),:(AutG)H, H=G,,, xeM.
Доказательство. Согласно теореме 14.4 G является
нормальной подгруппой в 1(М)°. Поэтому 1(М)° имеет вид
(1). В силу предложения 4.5 AutGMzNG(H)/H. Поэтому
dim C <dim G, если исключить случай двусторонне инвари-
антной римановой структуры на М = G. Отсюда следует,
что G нормальна в 1(М)‚ и I(M)cSimG M. Формула (2)
Следствие 1. Если, кроме того, действие группы G на
М асистатично, то
1(М‚ „у)° = G, I(M, у)= GB,
где В-подгруппа Ли в ($11пд1\4)„2(Апт G)H.
Используя пример 4.11, получаем также

§l6. ИЗОМЕТРИИ РИМАНОВЫХ однородных ПРОСТРАНСТВ 309
Следствие 2. Пусть 6——-связная простая компактная
группа Ли, снабженная левоинвариантной, но не двусторонне
инвариантной римановой структурой у. Тогда 1 (G)cI(M, y)<:
c:Hol G, m. e. I (M, y)=l(G)B, где В-подгруппа Ли в Aut G.
Teo рема 2. Пусть M —- исключительное однородное про-
странство связной простой группы Ли G, которая действует
на М асистатически, снабженное С-инвариантной римановой
структурой ‘у. Тогда либо 1(М‚ у)°=0, а группа 1(М‚ у) имеет
строение, описанное в теореме 1, либо
1(М‚ y°)=G’, I(M, 'y)=G’B,
где В-подгруппа Ли в ($1шд‚1И)„:(Аит0’)Н›, a G’, H’
указаны в таблице 9.
Доказательство. Использовать следствие 2 теоремы
14.4. I
2. Группа нзометрий естественной римановой структуры.
Естественная риманова структура yo Ha однородном простран-
стве М простой неабелевой компактной группы Ли G была
определена в п. 4.8. Согласно предложению 4.15 1(М‚ yo :›
::SimG M. Мы хотим доказать, что, как правило, ‘I M,
yo) = Зила М. Точнее, справедлива
Теорема 3. Пусть M — однородное пространство связной
простой неабелевой компактной группы Ли G, действующей на
М эффективно, снабженное естественной С-инвариантной
римановой структурой то. Тогда -
I(M, 'Yo)=SiHlGM, y0)°=G(AutGM)°,
если исключить следующие (с точностью до локального
подобия) случаи:
1) M=S6:~..*G2 G2/SU3, 'Y0)=07;
7-) M=s7=spm,SPi"7/G2, 1(М‚ 'Уо)=0в;
3) М=$7 х 87 25,,-,,8 Spins/G2, I(M, y0)=(03 X 03) - (S) (полу-
прямое произведение), где г-перестановка сомножителей в М;
4) М = G, G действует левыми сдвигами, то —двусторонне
инвариантная риманова структура на G, I(M, yo):--(H01 G) - (S)
(полупрямое произведение), где s: дыр“ (geG).
Доказательство теоремы 3 будет проведено в п. 4. От-
метим ее важный частный случай.
С л е д с т в и е. Пусть М — односвязное изотропна неприводи-
мое однородное пространство связной простой компактной группы
Ли G, снабженное инвариантной римановой структурой. Тогда
I(M)=SimG M, I(M)°=G,
3a исключением случаев 1), 2) теоремы 3.
r:".;‘,—‘_~ovp_\uA€ вид-кидал

310 гл. 4. ВКЛЮЧЕНИЯ мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
Доказательство. В изотропно неприводшиом случае
все инвариантные римановы структуры пропорциональны
естественной (теорема 4.3) и потому применима теорема 3.
Далее, G действует асистатически‚ откуда 1(1И)° = G. I
B частности, мы получаем следующий классический ре-
зультат: 1(М)° = G, если M ——-риманово симметрическое одно-
родное пространство связной простой неабелевой компактной
группы Ли G (см. [74], гл. 5, §4).
Пример 1. Пусть M=S4"'1 (п>1) с групповой моделью
Sp,,/Sp,,_ 1 (см. (4.6)). Снабдим М естественной 8р„-инвари-
антной римановой структурой yo. I/I3 теоремы 3 следует,
что I(S4""‘, yo):-Sp,,Sp1. Поэтому с11ш1($4""'1, уд)<с11ш 04„‚
причем 04,, есть группа изометрий стандартной римановой
структуры на 34"“ 1. Это противоречит гипотезам, высказан-
ным в [116] И [130]. `
3. Вспомогательшяе леммы. Пусть (Б-связная простая
неабелева группа Ли, транзитивно И локально эффективно
действующая на однородном пространстве М, H = Gx, где
хе М. Предположим, что задано расширение этого действия
до действия связной компактной полупростой группы Ли G’,
причем H’=G§,. B СИЛУ. предложения 5.4 имеем g'=g+I)',
gﬂI)'=I). Поскольку g проста, имеем 1с9‚|9=с/‹9, где с>0. Так
как инвариантные римановы структуры нас интересуют лишь
c точностью до постоянного множителя, мы можем рассмат-
`ривать на g’ И g одно И то же скалярное умножение
(х, у)= ——1‹9‚ (х, у). Пусть т и т’—ортогональные дополне-
ния K подпространству I) B g и к подпространству I)’ B‘
g’ COOTBCTCTBGHHO. Тогда естественные С-инвариантная и
(Р-инвариантная римановы структуры на М определяются
ограничениями скалярного умножения на т и т’ соответствен-
но. Пусть по: g’-+1)’ и 1:1: 9’—+т’—ортогональные проекции.
Тогда 1:1: т-›т'—изоморфизм векторных пространств. Если
отождествить т и т‘ с Т‚,(М) при помощи 4,1’, то
1:1 превратится в тождественное отображение id. Обозначим
через (х, y)1 скалярное умножение в т’, такое, что
(“1(x)~ “1(J’))1=(xa J’) (xv YET“)-
Лемма 1. Пусть р-подпространство в т’, инвариантное
и неприводимое относительно Ad H ‘Дм Если естественная
С-инвариантная риманова структура yo на М является
Сдинвариантной, то выполнены следующие условия:
а) существует такое с>0, что (х, у)1= (х, у) для всех
х» YE Р;
b) если pﬂg¢0, mo р с: g.

§l6. ИЗОМЕТРИИ РИМАНОВЫХ однородных ПРОСТРАНСТВ 311
- B частности, если G’/ H ' изотропна неприводимо, G ’ npocma
u уо является (Т-инвариантной, то либо т’ П g--=0, либо G'= G.
Д о к а 3 а T е л Ь с т в о. Из (4:23) следует, что yo ЯЁЛЯСТСЯ
Сдинвариантной тогда И только тогда, когда Ad H’ сохраняет
форму (х, y); B m’. Поскольку H’ неприводимо действует
на р И сохраняет (, ), получаем а).
Для доказательства свойства в) положим _ q =’Jt I 1 (р) П т.
Используя а), видим, что (х, x)=c(1t1 (x), л1(х)) для всех xeq.
Отсюда (по (х), 1t0(x))=(x, x)—(1r1 (x), 1t1(x))= c-—1)(1t1(x), 1:1
для хе q. Подставляя ненулевой хе р П q ==р П т с q, мы видим,
что с= 1. Значит, тсо(х)=0 для всех xeq. Поэтому q c m’ И q=p.
Для доказательства последнего утверждения заметим, что
если т’ с g, то идеал i=m’+[m’, m’]+[m’, [m’, m']]+...
алгебры g’ ЛСЖИТ в g. Поскольку g проста, имеем i=g’=g. I
Теперь мы рассмотрим некоторое нетривиальное разложение
(С, А ’‚ А ”)‚ где А ’, А ”--подгруппы Ли группы Ли G, и положим
Н= А ' П А ”. Имеем многообразие М= G/H, точку 8 =-'— He M
И орбиты М’=А ’(е)=А’/Ни М”=А”(е)=А”/Н точки в в М. Как
известно (см. пример 14.2), действие группы G Ha M продолжается
до действия гругшы G х G, B которую G вкладывается с помощью
диагонального гомоморфизма d, причем
MZGXGG/A'XG/A", G/A,’-3—’A"M”, Ё/А"2А:М’.
Если на М задана С-инвариантная риманова структура у,
то ее ограничения у’ И у" на М’ И М”, очевидно, Инвариантны
относительно А ’ и А ” соответственно.
' Лемма 2. Если ‚во введенных выше обозначениях струк-
тура у на М инвариантна относительно G x G, mo структуры
у’ и у” на M’ и М” инвариантны относительно G. Если у=уо———
естественная С-инвариантная структура и А ’, А " просты,
то у’ и у"—естественные А ”-инвариантная и А ‘тнвариантная
структуры соответственно.
Доказательство. Группа G действует на М’=
=({е} х G) (8) как подгруппа {е} х G группы G х G И, аналогич-
но, на М ”=(Gx{e})(8) как подГРУппа Gx{e} группы GxG.
Поскольку у‘ И у” являются ограничениями структуры у,
они Инвариантны относительно этих подгрупп.
Для доказательства второго“ утверждения фиксируем ин-
вариантное скалярное умножение на g И заметим, что его
ограничения на п’ И а” являются (единственными с точностью
до положительных множителей) инвариантными скалярными
умножениями на этих простых алгебрах Ли. Обозначим
через ml И m2 ортогональные дополнения к Ь в а” И а’
соответственно. Тогда т==т1+т2 с Ы и g=a’+a”=m+I).
и" „матрица-д

312 гл. 4. включения между ТРАНЗИТИВНЫМИ ггугъпАми
Поэтому m=I)i в g. Поскольку т, с т, yo индуцирует на
M’ и M" естественные структуры. I
4. Доказательство теоремы 3. Мы будем писать
1(М)=1(М‚ yo). Обозначим через G ’ наименьшую нормальную
подгруппу Ли в 1(М)°, содержащую G. Тогда G’ компактна
И связна. Мы хотим доказать, что G ’= G, исключая случаи
l)—_—3). Разделим доказательство на две части: (А) G’ проста
и (В) G’ He проста. Обозначим Н=6‚,‚ Н’=О;‚ где хеМ.
(А) Если G’ проста и G'aéG, то расширение G C G’
подобно расширению типа 1. Чтобы получить противоречие,
используем лемму 1. Для классической линейной алгебры
Ли g’ мы можем считать, что
(х, у): ——tr(xy) (x, yeg').
Теперь перейдем к разбору отдельных случаев, используя
обозначешигя леммы 1. в
(1) G'=SU2,,, G=Sp.., 7122. Здесь SU2,,_1 C H’ C
C ЩИ, х П2„..1)‚ Sp,._‘1 C Н C U, xSp,,_1. Пусть р-подпрост-
ранство матриц вида
0 Z1 Z2n—1
_ 51
; О
_Ё2п—1
где гдес. Тогда р инвариантно и неприводимо относительно
AdH’. Очевидно, E12+E21 ер ﬁg, НО р ¢ g, И применима лемма 1.
(2) 0’=$П2‚‚, G=SU2,,_1, I222. Здесь Н'==$р„, H=Sp,.-,.
Подпространство т’ неприводимо относительно Ad Н’ и со-
стоит из всех матриц вида -
(5 31)
где Х, YeM,,(C), )?'=—X, trX=0, i‘"=—Y. Если п>2‚ то,
очевидно, т"П 9950, так что применима лемма 1. Если п=2,
то рассматриваемое расширение локально подобно расшире-
нию SU3 с: $06, которое мы сейчас рассмотрим.
G'=S02,,, 0=$Н„, Здесь Н=$02д..1, В=$П„_1.
Подпространство т является Н-неприводимым и состоит из
матриц вида
0 X1 x2..-1
х О ‚ x,-ER.

§l6. изомвтгии РИМАНОВЫХ однородных ПРОСТРАНСТВ 313
Очевидноэ х=Е1п_Еп1+Еп+1‚2п"Е2п,п+1ет И х‚=п1(х)=
=Е,„-Е„ 1, причем (х’, x')1=4, a (x’, x’)=2. C дрУГой стороны,
}’=(”"1)E1,n+1“’E2,n+2"'~~-“En,2n"(""1)En+1,1+En+2,2+-~
...+E2..,..em, y’=n1(y)=(n—l)(E1,..+1— "+1.1, (y’,y’)1=
==2(n——1)2+2(n-—l)=2n(n——l) И (у', у’)=2(п—1) . Таким обра-
зом, условие а) леммы 1 не выполнено.
(4) G’=S02,,, G=S02,,_,, n23. Здесь 5Н‚‚‹:Н'с Н,‚,
SU,,_ 1 C Н с U,,_ 1. Пусть р-подпространство матриц вида
( 5‘ 3;)
где Х, YeM,,(R), X'-—- —X, Y'= ——Y. Очевидно, р инвариантно
и неприводимо относительно Ad H’ и условие Ь) леммы 1
не удовлетворяется.
(5) G’=S04,,, G=Sp,,, n22. Здесь Н’=504„_1, Н=$р‚‚_1.
Как показано выше (см. случай (1)), риманова структура то на
' S 4"” 1 не сохраняется при действии группы SU2,., содержащей-
ся в $04,‚. Тем более она не является ЗИМ-инвариантной.
(6) G’==S04,,, G=S04,,_1, n22. Здесь $р„ с: Н’ cSp,,Sp1,
Sp,,_1 C H’ C Sp,,_1 Sp, Если Sp, C H’ с Sp, U1, то мы обозна-
чим через p ортогональное дополнение в 9112,, К sp,,, описанное
в случае (2). Очевидно, р инвариантно и неприводимо
относительно Ad H’. Проверяется, что условие b) леммы 1 не
удовлетворяется. Если H’ ==Sp,, Sp д, то т’ неприводимо (см.
[47]; этот случай’ пропущен в [162 ]). Проверяется, , что
En.n+1 "_ n+1,n""E3n,3n+ 1 +E3n+1,3nEm, ﬂ 9: так что применима
лемма 1. `
(7) G’=S03, G=Spin7, H '=S0-,, H = G2. B этом случае
G / H =3 7 изотропно неприводимо И потому уо-стандартная
риманова структура на S 7 (случай 2) теоремы 3). Следователь-
НО, 'Y0)=08.
(8) G’=—-S07, - G=G2, H'=S06, H:-—SU3. B этом случае
G / H =S6 изотропно неприводшио (случай 1) теоремы 3), и по-
тому 1(М, 7o)=07. а
(9) 6’=507, G=G2, H’=-S05 ><S02, H=SU2 U1. Простран-
ство т’ является Н ’-неприводимым. Из описания подалгебры
g=_-g2 с: 507 данного в [66], лекция 14, легко понять, что
g П m’;é0. Таким образом, применима лемма 1.
(10) G’=Spin—,, G=SU4 или 5122. Здесь Н’=6`2, H--—-SU3 или
.$'р1 соответственно, М =87. Как показано выше (случай (1)),
естественная Зрд-инвариантная риманова структура на 8 7 не
инвариантна относительно SU4 и, тем более, относительно,
Spiu7. Предположим теперь, что естественная

314 гл. 4. включвния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ ГРУППАМИ
„УСА-инвариантная риманова структура на 8 7 инвариантна
- относительно Spin-,. Поскольку однородное пространство
Spin7/G2 изотропно неприводимо, эта структура пропорциона-
льна естественной ‚Быть-инвариантной структуре и инвариан-
тна относительно ЗОд. Но, как показано выше (случай (3)), это
неверно.
(11) 0’=$01д, G=Spin9, H'=S015, H':Spin7. Простран-
ство т’ является Н '-неприводимым И описано в случае (3)
(п=8). Вложение группы G B G’ описано в примере 5.5; оно
задается представлением д группы .Spin9 B пространстве
‚Са G) Ca. Подгруппа Н’ есть стабизшзатор точки (ед, 0)e
e Ca GB Ca. Группа Sping строится по евклидову пространству
В9=Са 6 В=(ед, ...‚ ед), где ед, e1, ..., e7—c'raHnap'rHL1I‘»'I базис
в Са, а ед—-—единица в R. Группа Зрёпд, построенная по
Са, есть подгрутша в Sping. Тогда Н =р`1($0‚5) с Spins,
причем H = А. “ ‘(S07)—c'ra61zum3aTop тотпси ед е Са при upen-
ставлении 7ь группы Зрйзд.
Пусть x=eoe3espin9. Ясно, что хе(врйпд)* и, значит,
хет. Далее, р(х)(и‚ и)=(й, —й) (и, veca), T. e. u(x) задается
матрицей
л
.1 0
:0 ‘I7
I
n
I
О
Отсюда следует, что (1t1(u(x)), 1t1(u(x)))1= 16, (п1(|‚ъ(х))‚
“1(H(x)))= 2-
Рассмотрим теперь y=eoe1+e2e3+e4e5—-e5e7espin3. Непо-
средственно проверяется, что 7\.(y)=4%-E01 +Е,д). Следова-
тельно, ует. Далее, |.ь(у)(и, v)= My) u, р?) из, .где
p(y2=4(E01—E1o;. Следовательно, (1:1(р(у)), п, }.L(y ))1=64,
(R1 }.L(y), 1t1(|.l =32-. Отсюда видно, что условие а) леммы 1
не выполняется. .
(12) G’=S016, G=S015, H'=Spin9, H'zSpin-,. Простран-
ство т’ является Н '-неприводимым (этот случай пропущен
в [47] и в окончательном списке работы [162]). Докажем,
что т’ П 9 #0, после чего можно будет Чтрименить лемму 1.
Рассмотрим ортогональное разложение во ‚д =(вод х вод) 6)
G) p, где вод х вод состоит из операторов, переводящих в себя
каждое слагаемое в в разложении П15=Са EB Ca, а р---из
операторов, переставляющих эти слагаемые. Как показано
в примере 5.5, u(spin9)=v(spin3)+(v(eo), ..., v(e-,)), причем

ЗАМЕЧАНИЯ 3 1 5
v(spin8)c sosxsog, а v(e,-)ep (i=0, 1, ..., 7). Из соображений
размерности ясно, что существует ненулевой хер П so 15,
ортогональный ко всем \›(е;) (i=0, 1, ..., 7). Очевидно, xem’.
(B) Если G’ He проста, то по теореме 14.4 можно считать,
что расширение G c: G ’ подобно расширению типа П или
типа 111. Предположим, что это расширение типа П, связанное
с некоторым нетривиальным разложением (G, A ’, A "), где
Н =А ’ П А ”. Как показывает теорема 14.2, существуют такие
связные простые нормальные подгруппы Ли АЬ с А ’
и A3 c A”, что G=A{,A3 (Ha самом деле по крайней мере
одна из подгрупп А ’, А " проста). По лемме 2 ‘yo индуцирует
естественную А З-инвариантную риманову структуру у’. на
М’ 26 G / A2, и естественную А Ь-инвариантную риманову стру-
ктуру у" на M"'zGG/A 3. По той же лемме. у’ и у” G-
инвариантны. Поскольку разложение (G, A ', A ") нетривиально,
из части (А) доказательства следует, что оно локально
изоморфно разложению (S03, S07, Spin7). Это дает нам
случай 3) из формулировки теоремы 3. Очевидно, естественная
риманова структура на 87 х S72: Sp,-,,8Spiu8/G2 пропорциональ-
на произведению двух стандартных структур на $7.
Группа G’ He может быть расширешитем типа III..
Действительно, в этом случае она содержала бы расширение
G типа 11. Поэтому M=S7xS7 и G=S08xS08, НО
действие группы S03 Ha S 7 He допускает собственных
связных компактных расширений. Ё
Таким образом, нам остается исследовать случай G’= G.
Доказательство теоремы 1 показывает, что в этой ситуашш
либо G нормальна в 1(М, то), либо имеет место случай 4)
из формулировки теоремы 3. Значит, 1(М, yo) c Simg M, если
исключить случай 4). Предложение 4.15 дает обратное
включение. I
Замечания
§ 14. Материал 1111.1—4 взят из работ [53], [55]. Линейные
группы, транзитивные на сферах, независимо описал Понсе [141].
- Теорема 5 из п. 6 была впервые доказана Штернхаймером [152]
для полупростых компактных алгебр Ли. Предлагаемая здесь фор-
мулировка принадлежит Козюлю [126], который использовал при
доказательстве когомологии алгебр Ли. В [57] эта теорема была
доказана для произвольных редуктивных алгебр Ли над R или С,
а в [126]—для редуктивных алгебр Ли над любым полем харак-
теристики 0. Независимо теорема 5 (для компактных алгебр Ли)
и ее следствие 3 были доказаны Одзеки [139] (по поводу расширений
просто транзитивной компактной группы Ли см. работу Отиаи
и Такахаси [138])._

316 гл. 4. включвния мвжду ТРАНЗИТИВНЫМИ гРуппАми
§ 15. Интерпретация флаговых многообразий как проективных
однородных пространств принадлежит Ф. А. Березину и И. И. Harem-
кому-Шапиро [5], Гото [105] и Титсу [155]. Расслоение Титса было
построено в [156]. Другое доказательство полупростоты группы Bih M
для любого флагового многообразия М см. в работе Мацусимы [132].
Теорема 2 была опубликована в [54] (изложенное здесь доказательст-
во см. в [55]). И. Л. Кантор [36] дал ее алгебраическое доказательст-
во в терминах алгебр Ли. Штайнзик [151] предложил доказательство,
использующее теорию Борелт-Вейля-Ботта. Заметим, что флаго-
вые однородные пространства М связной простой комплексной
ы Ли G, для которых (Bih M) ° ;éG, были указаны без доказатель-
ства в [156]. Теорема 3 принадлежит И. Л. Кантору [36] (для
неприводимых эрмитовых симметрических однородных пространств
она фактически содержится в книге Дьёдонне [33 ]). Теорема допускает
обобщение на произвольные односвязные компактные комплексные
однородные пространства М, изученные в [160] (группа (Bih M) °
B этом случае была найдена в [55]).
§ 16. Следствие 2 теоремы 1 было установлено Д’Атри и Цилле-
ром [103] (в формулировке ошибочно не был исключен случай
двусторонне инвариантной структуры, ср. исключительный случай 4)
в теореме 3). Группа I(G) ° ДЛЯ левоинвариантной римановой структу-
ры на G изучалась Отиаи и Такахаси [I38]. Следствие теоремы 3
принадлежит Волъфу [162] (для неприводимых симметрических
пространств см. работы Э. Картана [95] и Вольфа [161]). Гипотеза,
о которой идет речь в примере1 (см. [116]) состоит‘ в том, что
естественная риманова структура yo Ha однородном пространстве
М связной простой компактной группы Ли является «наиболее
симметричной», т. е.‘ что dim I(M, 'yo)>dim 1(М , у для любой римано-
вой структуры у на М. В работе Лукеша [13 ] показано, что на
* M = St ‚‚_ 2 е: S0,,/ S0,. _ 2 существуют римановы структуры у, не изомет-
ричные суд, с>0‚ для которых 1(М, у)=1(М‚ yo)=S0,,xS02. Остается
открытым вопрос, верна ли гипотеза для неисключительных однород-
ных пространств М.

Глава 5
о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ
ДЕЙСТВИЙ
Эта глава содержит несколько теорем о классификации
однородных пространств компактных групп Ли, дающих
частичное решешиге задачи II ИЗ п. 4.2. Некоторые из этих
теорем излагаются с подробными доказательствами. Доказате-
льства других теорем опущены, поскольку они содержат
утомительные вычисления или опираются на аппарат, далеко
выходящий за пределы данной книги. O некоторых результатах
в этом направлешш см. также в замечаниях к настоящей главе.
В § 17 содержатся некоторые результаты общего харак-
тера, необходимые для классификации транзитивных действий.
Мы даем оценку длины транзитивной компактной группы
Ли в терминах ранга многообразия и гомотопическое ис-
толкование индекса дынкина. Затем выясняется, в каких
случаях могут быть В-эквивалентньт однородные пространства
двух различных простых компактных гругш Ли. Доказывается
теорема Шнайдера о расщеплении действий на однородных
пространствах, обладающих достаточно высокой связностъю.
Параграф завершается теоремой о неразложимости одного
класса однородных пространств простых компактных гругш
Ли c абелевыми стабилизаторами точки.
В § 18 изучаются однородные многообразия наименьших
возможных рангов 1 и 2. Даются гомотопическая классифика-
ция односвязных однородных пространств ранга 1 компактных
групп Ли и классификация всех транзитивных’ действий
компактных групп Ли на них. В частности, мы получаем
классические результаты Монтгомери, Самельсона и Бореля
о транзитивных действиях на сферах. Что касается односвяз-
ных однородных многообразий ранга 2, то мы также даем их
полное перечисление, но проблема их гомотопической класси-
фикации достаточно ‚сложна и до сих пор не решена. Мы
приводим список односвязных однородных пространств, го-
меоморфных (и на самом деле диффеоморфных) произведению
двух сфер, найденный в диссертации Камериха [121]. Кроме
того, формулируются результаты Камериха, Крека и Штольца,
дающие примеры гомотопически эквивалентных, но не гомео-
'x’.'7‘:'.-':=:z'.~‘"’r"‘\'¢i,,'vT5?‘£'£‘§.F- ~' “Ё КГ‘: Г "
. (.-.:.u-my

ч‘ """'—'V
318 ГЛ. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двйствии
морфных и гомеоморфных, но не диффеоморфных односвяз-
ных компактных однородных многообразий ранга 2. Заметим,
что из гомотопической эквивалентности двух односвязных
однородных пространств ранга 1 следует их ‚тшффеоморфность.
В § 19 в основном посвящен односвязньпи однородным
пространствам положительной эйлеровой характеристики. Он
начинается с доказательства важной теоремы о единствен-
ности разложения алгебры когомологий такого однородного
пространства М = G / H B тензорное произведение неразложи-
мых подашебр, соответствующих однородным пространствам
простых факторов группы G. Оно основано на изучении
дифференцирований алгебры H (M, R), B котором мы следуем
работам Сиги и Тедзуки [149], [150]. Основным результатом
является здесь теорема А. Н. Щетинина о гомотопической
классификации однородных пространств рассматриваемого
типа; она ПрИВОДИТСЯ без доказательства. BMCCTC C TCM'
доказываются некоторые достаточно важные частные случаи
этой теоремы, в которых не возникает серьезных технических
трудностей.
§.l7. Некоторые общие свойства транзитившях действий
1. Оценка длины транзитивной группы. В этом пункте
мы дадим оценку для длины связной компактной тран-
зитивной группы Ли в терминах раша соответствующего
однородного пространства.
Теорема 1. Пусть задано локально эффективное тран-
зитивное действие t связной компактной группы Ли G на
многообразии М. Тогда:
1) Если t неприводимо‚ то 7&(G)<rk M.
2) Если G=G0G, —локально прямое разложение в произ-
ведение связных нормальных подгрупп Ли‚ причем G0—Mu-
нимальная нормальная подгруппа Ли, транзитивная на М, то
?ь(бо)<г1с М, rk G1 < —x,,(M).
Доказательство. 1) Переходя к конечнолистному на-
крытию грутшы G, мы можем считать, что G=G1 x xG;,(‘G,,
где С, просты. Пусть 1:,-: G->Gj (i=1, ...,__7»,(G))—npoeI<Im1»I
прямого произведения. Согласно следствию 1 теоремы 9.5
И предложению 9.11, пространство PG отождествляется
с PG‘ €I)...(-B Рама), причем atf: PG} —› PG задается формулой
1:}-'* (и)=(0, ...,‘ и, ..., О) (иеРдд).
К,

‘жатчгчожёзъъ’Чтъэдвъггъ-чг :32. ‘г 9.: э -.':-r;.' :
§|7. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРАНЗИТИВНЫХ двиствий 319
Пусть H = Сх-стабилизатор некоторой точки хеМ И i:
H —› G —вложение. Рассмотрим гомоморфизм at,-oi: Н ° —› G,-.
Для отображений, индуцированных на примитивных элемен-
тах, имеем
7. (G)
G) Ker(1t,-oi)*c:Keri*".. (1)
j=-'1
Действительно, если ueKer(1t,-o i)*, то
1* (О, ...‚ ц, ...‚ 0)=i"*(1t,-"‘ (u))=(1t,-oi)*(u)=O.
J
Предположим, что 7„(6)>т1< М. Поскольку rk M =
=dimKerz'* (CM. п. 12.8), из (1) следует, что Кег(1:,о1)*=0
для некоторого j. Согласно предложению 9.14 гомоморфизм
п, о i: H ° —› Gj сюръективен. Используя следствие 5 предложения
5.1, заключаем, что подгрутша G1 xx G,--1 x G,-+1 x x GHG)
транзитивна на М, что противоречит неприводимости действия t.
2) Поскольку t(G1)cAutGo M, грутша G1 локально изо-
морфна некоторой подгруппе Ли в NGo(Ho)/Ho, где Но==(6о)„
(см. предложение 4.5). Поэтому гкб1<г1с G0—-rk Ho=—x,,(M)
B силу предложения 12.10. Очевидно, подгрутша Со действует
на М неприводимо, так что 7L(G0)<I'kM B силу 1). I
Следствие. В предположениях теоремы 1 имеем 7«.(G)<
<2rk M.
Доказательство. Рассматривая разложение G --GOGI
из теоремы 1, имеем в силу (12.12)
ж(о)<ж(о„)+г1< G1<rkM—x,,(M)<2rkM. I
Пример 1. Пусть M =(S3)’, G=(S04)' с естественным
транзитивным действием на М. Тогда MG) = 2r=2rk M. Таким
образом, оценка следствия 1 является точной. _
2. Топологический смысл индекса Дышсина. Пусть G-
связная простая неабелева‘ компактная группа Ли, Т— ее
максимальный тор, осе Ад-корень относительно Т, имеющий
максимальную возможную длину. Выберем инвариантную
симметрическую билинейную форму be Ha g таким образом,
. _ ц 1 _
чтобы (ос, oc)=2 (см. п. 3.10), и положим шд=Ёо(Ьд)‚ где
о: (SG)4 —› Рё-отображение, обратное к трансгрессии. В силу
п. 9.5 мы можем рассматривать (од либо как двусторонне
инвариантную 3-форму на G, либо как примитивный элемент из
H 3 (G, R). Поскольку P?;=H3 (G, R) одномерно (см. следствие
2 теоремы 10.4), cog образует базис этого векторного
пространства. Обозначим через CG двойственный ему базисный
элемент пространства H 3 (G, R).
2.‘? ТЕ- "
x...>m.u м-

320 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ действий
Пример 2. Пусть G=SU2. Как известно, существует
диффеоморфизм q: S3 —› SU2, переводящий точку (хо, х,‚ x2,
x3)eS3r:R“, где хЁ+х%+х%+х%=1, в матрицу
.(xo+ix, —x2+ix_~,)eSU
2.
x;+ix3 —Xo—ix1
Легко проверить, что
. 1 A
q (0)sya)=Z;t-2'(XodX1 /\ dxz /\ dx3--
--xldxo А'с1х2 А dx3+x2dxo /\ фи А dx_~,—x3Hxo А дхд А dxz).
Известно (см., например, [35 ]), что эта форма удовлетворяет
условию ’
в‘; q*(03sU,)=1~
Следовательно‚ если отождествить SU2 c S3 при помощи q, то
Cs”, будет совпадать с фундаментальным классом гомологий
В Н3 з,
Предложение 1. Пусть Н, (7—связные простые не-
абелевы компактные группы ‘Ли. Для любого гомоморфизма
f : H -+ G имеем
f# (COG) =1} (он, far (CH) =1} CG.
где j ,—-индекс Дынкина гомоморфизма f.
Д оказ ательств о непосредственно следует из определе-
ния индекса и предложения 10.7. I
Теперь мы охарактеризуем классы (од и CG (для почти всех
простых гругщ G) B терминах гомотопических групп. Напом-
ним (см. [70], гл. 10), что для любого связного многообразия
М и любого р >0 определен гомоморфизм Гуревича п, —-›
-› H р (М , 2), сопоставляющий гомотопическому классу не-
прерывного отображения ‹р: S’ —› М элемент (р д. (С), где.
Се H P (S Р, 2)4фундаментальный класс гомологий сферы S”.
Обозначим через hM: п, —› Н, (М, R) композицию гомомор-
физма Гуревича и гомоморфизма Н д, (М, 2) —› Н, (М, R), свя-
занного с вложением 2 —+ R. Для любого непрерывного
отображения : М —› N имеем коммутативную диаграмму
Irp(M) ’* np(-N).__
и ь (2)
11‚‚‹м‚в*›—‚т+ ‚(Аню
#

§17. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРАНЗИТИВНЫХ двиствии 321
Теорема 2. Hycmb G --связная простая неабелева ком-
пактная группа Ли. Тогда:
1) TC3
2) Г омоморфизм kg: 1:3 (С)—› Н 3 (G, R) переводит образу-
ющий элемент ед группы 1:3 (G) в iCc.
3) Если H —-другая группа Ли, удовлетворяющая условиям
теоремы и f: H —->G-—20MOMop¢5u3.u, то [к (ед): ijfag.
4) Если H ———связная простая неабелева подгруппа Ли
группы G, то
1Ё3(С/Н)С‘.<2](Н‚ G).
Доказательство. Заметим сначала, что 3) следует из
2) и предложения 1. Далее, 4) легко вывести из 1) и 3),
если использовать (4.27). Поэтому остается доказать 1) И 2).
В случае, когда G=SU2, наши утверждения следуют из
примера 2. Докажем их в общем случае. Для этого рассмот-
рим гомоморфизм (pa: S U2 —+ G, связанный со старшим корнем
oceAG (CM. пример 3.10). Как показали Ботт и Самельсон
[166}, гомоморфизм ((p,,).: 1c3(SU2) —+ 1t3(G) является изоморфи-
змом, откуда следует 1). С другой стороны, ясно, что
ос-———корень наибольшей длины, так что j,,,a==l B силу примера
3.10. Согласно предложению 1 Имеем ((p,).(<‘;sUz)=Z;G. Ис-
пользуя коммутативность диаграммы (2), в которой M =SU2,
N =G, у’: (pa, p=3, получаем отсюда утверждение 2. I
3. Однородные пространства простых контактных групп Ли.
В этом пункте мы установим некоторые необходимые условия
В-эквивалентности двух однородных пространств простых
компактных групп ЛИ. Во многих случаях из П-эквивалентио-
сти можно заключить, что транзитивные группы локально
изоморфны.
Теорема 3. Пусть M206/H и М’шд‚Б’,’Н’——-два одно-
родных пространсптва связных простых компактных групп Ли
G и G’, причем Н и Н’ связны, и пусть M z,.M ’ . Если
G--epynna типа А, или особая группа, то, как правило, gag’.
Если G--epy/ma типа В‚‚ С, или D,“ (12 3), то, как правило,
G’———2pynna одного из этих типов. Исключения возможны лишь
в случаях, когда rk M =rk M ’---1 или когда одна из пар (G, H)
и (G’, H’) ./lUKaJ1b.7i0 изоморфно паре (SU2,,, Sp"), а друтгаяч-паре
(SU;_,,..1, Spn.-1) или (SU2n_1, S02n-1).
Доказательство Будем считать, что назад. Заметим,
что если dH<dG, то dG«=dG. Действительно, в этом случае
q(M’, t)=q(M, t) содержит член 22%”, так что P§;"»°"" 9&0. Ясно
также, что при этом dH»<:dG». Разобьем доказательство на три
части. '
11 A. Л. Онищик

322 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двйствий
1) G-—-—rpyn1Ia типа Ад, 121.
Пусть dH=dG. Согласно теореме 11.2 пара (G, H) локально
изоморфна паре (SU2,,, Sp"), п; 2. Очевидно, q(M, t)=
=t5+t9+...+t4"‘3. Поскольку q(M, t)=q(M’, t), имеем РЁчЬО
для k=5, 9, ..., 4n—3. B случае п=2 rkM=-1, а при п>2 из
таблицы 6 ясно, что G’ имеет тип A,,,, где т>2п—2. Тогда
либо т=2п—-1 (и 929), либо т=2п—2 и р(Р„а, г):
=13+:7+...+14”"5‚ так что Н’—типа B,,_1 или C,,_1. По-
скольку с1„‚=с1д:— 1, из теоремы 11.2 следует, что пара (G’, H’)
локально изоморфна (SU2,,_1, Sp,,_1) или (SU2,,_1, S02,,_1).
Пусть с1„<с1д=а'д„ Если 9’9Е9, то РЁ;'Г1=0, И из равенства
q(M, t)=q(M’, t) следует, что dH=dG——1=l. При этом 1+1
четно, так что 1 нечетно, и Н содержит нормальную подгруппу
типа A,_.1 (CM. таблицу б). Из теоремы 11.2 следует, что
rk M = 1.
2) б-особая группа. -
Пусть сначала dH=dG. По теореме 11.2 6=Е6, H =F4.
Значит, q(M’, t)=t9+t”. Тогда dc-<12 и P(1;7;é0. Если g’;ég,
то G’ имеет тип Ад, где 8<l<ll. Тогда р(Р„‚‚ t)=
=t3+t5+...+t2’“—t9—t‘7. Используя таблицу 6, видим, что
это невозможно.
Пусть теперь dH<dG=dG«, dG'>dHr. B силу 1) мы можем
считать, что G'—He типа Ад.
Если G=-G2 И g';£g, то G’-—-rpynna типа B3, C3 или
D4. МЫ имеем РЪ,=О И PZ,=0 (CM. теорему 11.2), так что
в силу предложения 12.9 отображение 1*: P3. -+ Р}. является
изоморфизмом. Если 6"—типа B3 ИЛИ C3, то rk М ’=1‚
a если G’-—'rI»Ina D4, то dim P,7,p=2, что невозможно.
Если G=F4 И g’9ég, то G’—rpyrma типа B6, C6, D7 или
E6. Поскольку Р}-Ё=О, имеем P};9«;é0, так что dH«>d4~,--2.
Из теоремы 11.2 видно, что rk M ’= 1. Аналогично рассмат-
риваются случаи С=Е6, E7, Ед.
3) (Ё-группа типа Вд, C, (122) или В, (123).
Если dH=dG, то по теореме 11.2 rk M =1 3a исключением
случая пары (S08, G2). Ho B этом случае dim PZ;,=2, так
что G'—rpym1a типа D4. .
Пусть с1‚‚<с1д=с1д«. В силу доказанного выше мы можем
считать, что G’—rpyrma классического типа, но не типа
Am. Поэтому 6’——типа В‚‚ C, или Вднид,
Заметим, что однородные пространства ранга 1 будут
перечислены в § 18, и там же будет проведена их гомотопичес-
кая классификация.
Теперь мы рассмотрим один частный случай, в котором
можно получить более точный результат.

§17. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРАНЗИТИВНЫХ двйствии 323
Теорема 4. Пусть MzGG/H u М zG.G’/H’—<)ea одно-
родных пространства связных простых неабелевых компакт-
ных групп Ли G и G’.
1) Если Н, Н’ связны, Н абелева и М юдМ ’, то либо gag’,
либо G, G’-——2pynnbz типов В‚, Сд; при этом Н 2 H’. Если
H —максимальный тор в G, mo Н ’—максимальный тор в G’.
2) Если М z,,M’ u H ° абелева, то g u g’ изоморфны
и (H ’)°:H °. Если H —максимальный тор в G, то Н ’—-
максимальный тор в G’.
3) Если М z,,M’, G односвязна и Н= {е}, то G’=G u H’={e}.
Доказательство. 1) Пусть kj-=dimH. B силу следствия
1 из предложения 12.9 имеем
q(M’, t)=p(PG., t)——p(P;p, t)=p(PG, t)-kt.
Отсюда следует, что PG в PG. (как градуированные векторные
пространства) и Н’=Т"::Н. Значит, G И G’ либо локально
изоморфны, либо имеют типы В, и C,. Если H -—максималь-
ный тор в G, то dimH’=dimH=rkG=rkG’ и, значит, Н’——-
максимальный тор в G’.
2) В силу теоремы 12.4 из М ¢=s,,M’ следует, что
G/H° z,.G’/(H’)°. Применяя часть 1), видим, что (H’)°:H°
И что либо gag’, либо G, G’—rpymIb1 ТИПОВ Вд, С‚. С дРУГой
стороны, из гомотопической точной последовательности рас-
слоения (G, G/H°, H°, p) видно, что 1t,,(G)z1:,,(G/H° вид М;
для k>2. Аналогично, 1tk(G’)=7c,,(M’), так что 1t,,(G шт, G’
(k>2). Ho, как известно (см. [71], гл. 11), 1t4(Sp,,):Z2 для
всех п>1, а 1г4(502„+1)=О для п>3. Поэтому 9999’.
3) следует из 2). I
4. Расщепление транзитивных действий на некоторых мно-
гообразиях. Пусть M — однородное пространство связной
компактной группы Ли G, которая действует на М локально
эффективно. Переходя к конечному накрытию группы G,
мы можем считать, что G=G1 xx Gs, где G,- просты.
Будем говорить, что действие группы G расщепимо, если
при подходящем выборе накрытия имеем M =M1 х х Ms,
где Мд——однородное пространство группы С; (i = 1, ..., s).
Эквивалентное определение можно дать, потребовав, чтобы
стабилизатор Н некоторой точки в М имел вид
Н=Н1 х...х HS, где H,-CG,-(i=1, ..., s). B этом пункте будет
дано достаточное условие расщепимости неприводимого тран-
зитивного действия.
Как обычно, мы говорим, что М является п-связным,
если 1с‚(М)=О для всех r<n. Ha caMoM деле нам понадобится
следующее более слабое условие. Многообразие М будет
11*

324 ГЛ. 5. О КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ
называться вещественно п-связньхм для некоторого п; 1, если
М односвязно И тс‚(М)®Н=О для 2ззг$п.
Напомним (см. п. 4.10), что если М односвя3но‚ то Н связ-
на. Далее, если при этом действие неприводимо, то G полу-
проста (см. следствие предложения 5.9).
Лемма 1. Пусть M :.~.GG/H -——- однородное пространство
связной компактной группы Ли G. Предположим, что действие
группы G на М неприводимо и что М вещественно п-связно для
некоторого 7124. Если действие нерасщепимо, то после
перехода к некоторому конечному покрытию группы G Mbl
будем иметь прямое разложение G=G’ >< G", дидовлегпворяющее
следующим условиям:
1) G’ проста;
2) H ’ П G’ конечна;
3) rkG’< -x,,(M);
4) если Г ’--проекция подгруппы Н на G’, то отображение
Р‘Ё;‚-—+Р?-›‚ индуцироваггное вложением Г ’—->G’, инъективно для
всех q<n.
Доказательство. Поскольку G полупроста И 1:2(М)®
® R=0, из (12.14) или (12.16) следует, что Н также полу-
проста. Далее, из тривиальности групп 1t,,(M ® R для k==3,
4 вытекает, что естественное отображение Р (;—›РЁ является
изоморфизмом (см. (12.13) И (12.14)). В частности, 7\.(0)=7в‚(11)
в силу следствия 3 теоремы 10.4.
Мы можем считать, что 6:61 ›< x G3, где все р, просты
и неабелевы. Прложим H,~==HﬂG,- (i=1, ..., s) И Н=Н1 х...
х HS. Тогда H -- связная нормальная дтодгруппа Ли в Н.
Если Н‚=‚#{е} для всех i, то ?ь(Н)>?ь(Н)>?ь(С). Поскольку
?м(Н)=?ь(6) ‚ мы имеем Н =Н ‚ и действие расщепимо. Таким
образом, в нерасщепимом случае мы имеем Hi: {е} для
некоторого i. Обозначим G’=—-G,-, б”: HG,-. Тогда G=G'xG”
1' 951'
и G ’ удовлетворяет условиям 1) и 2) из формулировки
леммы. Обозначим теперь
F’=1t'(H), I"’--—1t"(H), Г=Г’><Г”, ‘
где п’: G—+G’, тс”: G—+G”-——npoe1c11Im.
Для доказательства свойства 3) заметим, что
1:”: H —+F ”—--конечное накрытие, так чтт в- силу предложе-
ния 12.10
rkG'=rkG—-rk G"< rkG-—rkI"”=rkG——rkH= —-x,,(M).
Для доказательства свойства 4) рассмотрим расслоение
(М, С/Г, Г/Н, р’) (см. предложение 1.2). Из соответствующей

§17. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРАНЗИТИВНЫХ действий 325
точной гомотопической последовательности
л‚‚(М)—›л„(С?/Г)—-›тс„_1 (Г/Н) —-›л‚‚_1
следует, что
1tq(G/l")® R*_~:1cq._1(l"/H) ® R для всех а<п.
Но Г/Н— связная компактная группа Ли, и потому имеем
л‚‚_‚(Г/Н)®В=О для всех нечетных q B силу теорем 9.4
И 7.4. Значит, 1:‚,(С/Г )®R=0 для всех нечетных с1<п.
Поскольку 6/Г=((?’/Г’)><(6”/Г”)‚ то же верно для 7:q(G’/
F’)®R. Свойство 4) следует теперь из (12.13). I
Чтобы сформулировать основной результат этого пункта,
определим следующую неубывающую функцию (р на По:
4т-—1 для т=3, 6, 212210,
1 для т=0‚
‹р(т)== 4 для т=1,
4т+3 для т=2‚ 5, 9,
4т+7 для т=4, 7, 8.
Теорема 5. Пусть M —-компактное многообразие, яв-
ляющееся ‹р(—х„(М))-свя3нь2м. Тогда любое неприводимое
транзитивное действие связной компактной группы Ли G на
М расщепимо.
Доказательство. Сначала рассмотрим специальный
случай, когда х„(М) =0. В силу наших предположений
М односвязно, и потому стабилизатор Н связен. По пред-
ложению 12.10 rkG=rkH, И согласно п. 3.11 действие
расщепимо.
В случае, когда —-х„(М)2——1, имеем (p(——x,,(M))24,
И применима Лемма 1. Если действие нерасщепимо‚ то
существует связная нормальная подгруппа Ли G’ с G,
удовлетворяющая условиям 1)—--4) этой леммы. Обозна-
чим r=rk G’. Поскольку (р не убывает, из 3) следует, что
(p(r)<(p( —x,,(M B силу 4) естественное отображение
Р‘{;.-›Р%‚ инъективно для всех q<(p(r). Как видно из
таблицы 6, Р%›=О для q>(p(r). Таким образом, отоб-
ражение PGr—->PI~ ИНЪСКТИВНО, И из предложения 9.15
следует, что G ’=Г '. В силу следствия 5 предложения 5.1
дополнительная нормальная подгруппа Ли G” действует
на М транзитивно, что противоречит неприводимости
действия. I
Пример 3. Пусть G=-Sp,.xSp,,, H=Sp,-1><Sp,,_,+,. Рас-
смотрим естественно вложенные подгруппы 5р‚_ 1 с Sp,
И Ь`р‚_1><$р„_‚„ c:Sp,,. Вложим Н в Sp,_1xSp,,..1><Sp,,-,+1,

326 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ действий
отображая 8р‚._1 в Sp,._1 ><Sp,_1 диагонально И $р„_‚+1 на
$р„_‚„ тождественно. Тогда получится вложение Н в G B Ka-
честве подгруппы Ли, причем естественное действие группы
G Ha G/ H нерасшепимо. Очевидно, х„ (G/ H ) =
= —r. Используя пример 1.6, можно проверить, что G/H
веществешю (4г—2)‹:вязно, но не является вещественно (4r-— 1)-
связньм. Итак, оценка теоремы 5 тогша при —х„ (М) 2
>10.
5. Минимальная модель тензорного произведения и критерии
неразложимости. В этом пункте мы изучаем минимальную
модель тензорного произведения двух диффереъщиадтьньш граду-
ировашшх алгебр, а также минимальную модель прямого
произведения двух многообразшй. В результате получаются
критерии неразложъмоети компактного ориентированного мно-
гообразия B прямое произведение двух многообразшй низпшх
размерностей.
Предложение 2. 1) Если дифференциальные градуирован-
ные алгебры А1 и А; минимальны, то A1 ®A2 также
минимальна.
2) Пусть A 1 и А2——две дифференциальные градуированные
алгебры, причем Ho(A,):Ho(A2):K. Тогда
Min(A1 ® ® (Min/42),
причем |.lA1® А, отождествляется с p,,1®p.A2.
3) Если А, и А2—дифференциальные градуированные ал-
гебры и А=А1 ®А2 минимальна, то А1 и A2 также
минимальны.
4) Для любых двух связных многообразий M1 и M2 имеем
изоморфизм дифференциальных градуированных алгебр
М1п(М1 х M2):(MinM1)®(MinM2).
Доказательство. 1) Легко проверяется, что
A(n)=A1(n)®A2(n)
для любого neNo. Докажем индукцией по qeNo включение
A,-(n, q) c A(n, q) (i=1, 2), (4)
которое очевидно при q=0. Если оно верно для q—l И если
ае(Ад)„——такой элемент, что daeA1(n, q—:1)”, то aeA(n, q).
Отсюда следует, что (4) верно для числа q.
Очевидно, А удовлетворяет условию 1) определения
минимальной алгебры. В силу (3) для проверки условия 2)
этого определения достаточно доказать, что любой ае
e_=A,-(n)(i=1, 2) содержится в А(п, q) для некоторого q. Но

§17. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРАНЗИТИВНЫХ двйствии 327
аеАд(п‚ q), поскольку А; минимальна, так что наше утвержде-
ние следует из (15).
2) непосредственно вытекает из 1) и теоремы 7.1.
3) Из 2) следует, что A=Min Az(Min A1)®(Min A2)
И что дм ® ад, является изоморфизмом. Значит, ш, и p.A2—
также Изоморфизмы.
4) Из теоремы 7.2 видно, что MinM совпадает с ми-
нимальной моделью дифференциальной градуированной
алгебры А (М 1) ® A ( M 2). Затем применяем утверждение 2). I
Дифференциальная градуированная алгебра А назы-
вается неразложимой, если Аэ6А1 ® A2, где А;-
дифференциальные градуированные алгебры, причем
Адэ6<1> (i = 1, 2). Связное компактное многообразие М на-
зывается разложимым, если М дИффеоморфно M1 х M 2,
где Мг-многообразия и dim M;>0 (i=1, 2). B противном
случае М называется неразложимым. Следующее неслож-
ное утверждение связывает неразложимость многообразия
с неразложимостью его алгебры когомологий (как гра-
дуированной алгебры) и неразложимостью его минималь-
ной модели (как дифференциальной градуированной ал-
гебры).
Предложение 3. Пусть М—связное ориентируемое
компактное многообразие.
1) Если градуированная алгебра H ( M, R) неразложима, то
и М неразложимо.
2) Если дифференциальная градуированная алгебра Min M
неразложима, то и М неразложимо.
Доказательство. Пусть M=M1xM2, где M,-—
многообразия. В силу теоремы 7.2
Н(М, R):~:H(M1, R)®'H(M2, R).
Пусть пд=с11ш М, (i=1, 2) И п=п1+п2=с1йш М. Поскольку
Н"(Мд, R)=0 для k>n1, имеем
Н"(М‚ R):H"‘ (M1, R)®H"’(M2, R).
Из ориентируемости М следует, что dim H "( M, R)=1, откуда
dimH"‘(M1, R)=dimH"2(M2, n)= 1.
Если n1, n2>0, то это приводит к противоречию с нераз-
ложимостью алгебры Н ( М, R). TeM самым доказано 1).
В силу предложения 2, п. 4), М1пМе:(М1п M1)®(Min M2).
Если MinM неразложима, то можно считать, что
MinM1=(l). Ho тогда H(M1,R)=(1), и п1=0 в силу
доказанного выше. Отсюда следует 2). I

' V? ‘ММ
328 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двиствий
Заметим, что однородное пространство М =G/H, где
Н связна, всегда ориентируемо. Действительно, в этом случае
det Iso(h)>0 для всех heH, И, рассуждая, как в п. 4.6,
нетрудно построить на М ориентацию, инвариантную от-
носительно G.
6. Некоторые результаты и гипотезы, связанные с раз-
ложимостью. Изучение проблемы расщепимости действий
приводит к следующему определению. Связное компактное
многообразие М называется однородно разложимым, если
М диффеоморфно M1 x M2, где Мг-однородные простран-
ства связных компактных групп Ли и dim M,>0 (i=1, 2).
В противоположном случае М называется однородно не-
разложимым. Очевидно, многообразие однородно разло-
жимо тогда и только тогда, когда допускает локально
эффективное расщепимое транзитивное действие непро-
стой компактной группы Ли. В частности, в условиях
теоремы 5 из однородной неразложимости следует, что
G проста.
Укажем теперь примеры однородно разложимых однород-
ных пространств простых компактных групп Ли.
Пример 4. Пусть (G, H1, H2)-——pa3.11o>I<eHI»1e связной upo-
стой неабелевой компактной «грутшы Ли G B произведение
собственных связных подгругш Ли Н 1, H2, И пусть
Н =Н 1 П H2. B силу следствия 4 предложения 5.1 диагональная
подгруппа Gd транзитивно действует на (Gx G)/ (H 1 x H2), что
дает диффеоморфнзм многообразий G/H И О1/Н1 xG2/H2.
Таким образом, G/H однородно разложимо.
Пример 5. Пусть M-—--S08. B силу примера 14.5
М допускает транзитивное действие группы $07 ›< S0-, x S03
co стабилизатором точки (507)„ x S07, где
(S07)d c: S07 xS07, S07 c S03. Следовательно, М диффео-
морфно
(so, x s0—,)/(S07), x S03/S07 =so., x s7.
Естественно, однако, предположить, что эти примеры
являются исключением и что однородные пространства G/H
простой компактной группы Ли G, как правило, неразложимы.
Мы докажем сейчас, что это верно при некоторых допол-
нительных предположениях. " "
Теорема 6. Пусть H „связная абелева подгруппа Ли
связной простой компактной группы Ли G, М =G/H . Тогда
1) характеристическая подалгебра OH (M, R) C H (M, R)
неразложима как градуированная алгебра;
\
2) если df M = -—x,, (M =rk G‘-rk H), то М неразложимо.

§17. НЕКОТОРЫЕ свойств». твлнзитивных действии 329
Очевидно, мы можем стштать, что G неабелева. Ха-
рактеристическая подалгебра имеет вид (12.22), причем
S H-.=R [hm], a идеал [д д обладает следующими свой-
ствами:
(Ia, H) 2 =0» (Io, H)4 = <Ь1>›
где b 1 есть ограничение квадратичной формы на g, отвеча-
ющей форме Килдшнга. Ясно, что b 1 —невырожденная квад-
ратичная форма на I). Поэтому утверждение 1) вытекает из
следующей леммы. .
Лемма 2. Пусть A=Z(V)/I, где У-конечномерное
векторное пространство, градуированное степенью 2, а 1-
градуированный идеал, удовлетворяющий условиям
Io~‘=I2 =0, I4: (д),
где Ь-невырожденная квадратичная форма над V. Тогда
градуированная алгебра А неразложима.
Доказательство. Предположим, что A=A, ®A2, где
Ад-тградуированные подалгебры. Пусть ад, ..., cc,
и B1, ..., B,—Mnm»1MaJ1LHL1e системы однородных образующих
в А1 и A2 COOTBCTCTBCHHO. Тогда щ, ...‚ oc,, B,, ..., BS--c1»1c'reMa
однородных образуюпшх в А, которая, как легко проверить,
также минимальна. С другой стороны, любой базис простран—
ства V является минимальной системой образующих в А.
Согласно следствию из предложения 6.4 r+s=dim V
И Восд=ВВ,-=2 для всех z',j.
Пусть р: В[а1, ...‚ а‚‚ bl, ..., bs]—+A, где Da,-=Db,-=
=2,— такой гомоморфизм алгебр, что p(a,-)=oc,~, p(b,~)= jo
Тогда существует такой гомоморфизм алгебр q: 2 ( V)->
—->R [ab ..., а‚, bl, ..., bs], что poq совпадает с естественным
гомоморфизмом 2(У)—+А. Легко видеть, что а-изоморфизм.
Имеем
Xp,-,-ag Ь],
Н]
где рддеп И с, сад-квадратичные формы от ад,
b д соответственно. Применяя р, видим, что p(c)=p(d)=0.
Если г, s>0, то формам с и d соответствуют вырожденные
квадратичные формы над V, что противоречит условию
На I4. I
Для доказательства утверждения 2) мы используем алгебру
Картана однородного пространства М, которая имеет вид

330 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двиствий
Пусть x1, ..., х‚—однородный базис в PG, причем 3==Вх1 <Dx,-
для i > 1. Кограничный оператор d B C (g, Ь) определяется
условиями с1хд=иде$н(ё=1‚ ..., 1). При этом и1=Ь, как было
отмечено выше,— невырожденная квадратичная форма на I).
Ясно, что C (g, 1)) есть алгебра с разложимыми кограницами
и в силу предложения 2 минимальна.
Докажем, что C(g, Ь) неразложима как дифференциальная
градуированная алгебра. Предположим, что C (g, I))=C’ ® C",
где С’, C ”——дИфференЦИальные градуированные податпебры.
Из наших условий следует, что
C(Q9 Ф CH2’:
C(9,1))3=P?;=<x1>=C'3G-D C'a'.«
Мы можем считать, что C’3=(x1), C'3’,=-0. Тогда
Ь1=с1х1еС1‚. Заметим, что в силу предложения 2, п. 3),
подалгебры С’ и С” миъшмальны и, в частности, свобод-
ны. Кроме того, PGG-)I)§"2]=E(C’)G)E(C”) (CM. предложение
6.2, 3)). Следовательно, [эр-квадратичная форма над Cg.
I/I3 ее невырожденности следует, что C'2’=0, Т. е. что
I)* с C’.
Из доказанного видно, что С”= /\ H(z1, ..., 2,), где Dz,->3.
Предположим, что C”7é<l), И пусть В21<В2, для всех i.
Поскольку dC” c: C", имеем (121 =0. С другой стороны,
21=у+с, где уеРд И y;é0, a ce(C+)2 (CM. следствие
2 предложения 6.5). Если dfM=rk G—rk H, то и1,...,и‚—
минимальная система образующих идеала IG, H. Поэтому
v=dy;é0. Очевидно, v= —dc. Представляя с в виде внешнего
многочлена от х, с коэффициентами из SH, мы видим, что
v лежит в идеале алгебры SH, порожденном элементами
и, с Вид<Ви. Но и есть нетривиальная линейная комбинация
элементов u д с вещественными коэффициентами, так что
получаем противоречие с минимальностью нашей системы
образующих. Таким образом, C"=(l), И алгебра Картана
неразложима.
Поскольку в силу следствия 2 теоремы 12.1 С (g, b)
является минимальной моделью многообразия М, нераз-
ложимость этого многообразия следует теперь из предложе-
ния 3, п. 2). Теорема доказана.
Используя пример 13.3, мы получаем из нашей теоремы
Следствие. Пусть G —связная простая компактная
группа Ли ранга 24, Tﬁee максимальный тор, Н = (Ker x)°,
где х-характер тора Т, удовлетворяющий условию (dx, oc);é0
для всех осеАд. Тогда многообразие G/H неразложима.

§l8. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА РАНГОВ 1 и 2 331
Другим очевидным следствием является неразложимость
многообразия G/ T, где Т—— максимальный тор простой ком-
пактной группы Ли G. Другое доказательство этого факта
см. в теореме 19.2.
Замечание. Можно предположить, что неразложимость
характеристической подашебры ОН (М, R) c: H (M, R) имеет
место для любого однородного пространства M = G/H, где
С?———простая связная компактная группа Ли, а H —ee связная
подгруппа Ли.
§ 18. Однородные пространства рангов 1 и 2
1. Однородные пространства ранга 1. В этом пункте мы
начинаем изучение простейшего класса компактных однород-
ных пространств-однородных пространств ранга 1.
Предложение 1. Пусть Мэ.:дС/Н——однородное про-
странство связной компактной группы Ли G. Если
rk M = 1, то 1„ (М)= -1 или 0. Если предположить допол-
нительно‚ что Н связна, то в случае x, Al): --1 H
не гомологична нулю в G u H (М, R): A... 2;), где D§
нечетно‚ а в случае x,,(M)=0 имеем H (M, R zR[n]/(n"),
где Dn четно, k> 1. Таким образом, в этих предпо-
ложениях H (M, R)'— алгебра c одним однородным обра-
зующим.
Доказательство. Согласно следствию из предложения
12.10 0<—x,,(M)<rkM=l. При этом, если x,,(M)=—1, то
cor M =0, т. е. Н не гомологична нулю в G (B предположении,
что Н связна). В этом случае наше утверждение следует из
теоремы 13.1. Если же x,,(M)=0 и H связна, то по теореме 13.2
H (M, R)c:SH/19,3. Поскольку в этом случае corM =1, из
доказательства предложения 13.1 видно, что в 8.; и SH можно
выбрать такие свободные системы образующих хд, ..., х, и
о о 0*
Уь ..., у, соответственно, что 1'хд=уд (z=1, ..., 1--1), _]x;E
e((SH) 4,)’. Тогда ясно, что H (M, R) порождается смежным
классом п =х‚+(($‚‚)+)2. I
Пример 1. Последнее утверждешите предложения 1 может
быть неверным, если Н несвязна. Например, из теоремы
9.7, п.3), легко следует, что для любого п>0
2", R)=H(S02,,+1/S(01 X 02"),
Предложение 2. Пусть M —однородное простран-
ство связной компактной группы Ли G, действующей на
М транзитивно и локально эффективно, причем rk M = 1.
Тогда

332 ГЛ. 5. О КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ
1) Если 1,, (М): -— 1, то имеем локально прямое разложение
G=GoG1, где (Ат-связная простая нормальная подгруппа
Ли, транзитивная на М, а rk G1<l. Если G npocma, то
либо Н°={е} и rkG=1, либо G u H ° просты и неабелевы.
2) Если х„(М)=О‚ то G npocma u неабелева.
Доказательство. Утверждения о строешиш грутшы
G непосредственно следуют из теоремы 17.1. Если G проста
и х„(А!)=х„(6/Н°)=—1, то в силу предложения 1 Н° не
гомологична нулю в G, T. е. j *: PG —› Рно сюръективно. Если
H°=;é e}, то rkG >1, так что G неабелева. Очевидно, P},o=-0,
dim PHo=1, так что Н° также проста и неабелева. I
2. Перечисление однородных пространств ранга 1. В этом
пункте мы укажем список всех, с точностью до локального
подобия, однородных пространств связных компактных групп
Ли, шиеющих ранг 1. Из предложения 2 следует, что наша
задача сводится к перечислению, с точностью до локального
изоморфизма, пар (G, H), где G —связная простая компактная
группа Ли, Н —ее связная подгруппа Ли и rk G/H =1. Если
62:50„ то М диффеоморфно S 1. Отбрасывая этот триви-
альный случай, можно считать, что G неабелева. Заметим
также, что если х‚,(М)-= -1 и H 96: {e}, то Н также проста
И неабелева (предложение 2, п. 1)).
Теорема 1. Все пары (G, H), где СЪ-связная простая
неабелева компактная группа Ли, H —- ее связная подгруппа Ли
и rk G/H = 1, перечислены, с точностью до локального изоморфизма,
в таблице 10, в которой указаны также односвязные однородные
пространства М ранга 1, соответствующие этим парам.
Доказательство. Разберем отдельно (с точностью до
локального изоморфизма) случаи различных простых групп G.
1) G=SU,,, n22. I/I3 условия rk G/H =1 следует, что
п—-1<с1„<п=ад. Если с1„=п, то в силу теоремы 11.2 п=2т
и Н=$р‚„. Тогда rkG——-rkH=m——-1, так что т=2. Получаем
пару ($114, $р2), которая в таблице 10 представлена локально
изоморфной парой ($06, S05).
Пусть dH=n—-1 и пусть Но——-такая простая нормальная
подгруппа Ли в Н, что dH0=n—— 1. Тогда пара (G, Ho)
содержится в таблице 7. Таким образом, Но=$11„_‚,
$02„1 (п=21+1), Sp, (n=21+l, 122) или G2 (n=7). Случай
Ho=SU -1 дает нам пары ($П„, SU,,-,) И ($1/„, S(U1 x U,,_1)).
B остальных случаях H =Ho. Вычисляя rk G——rk H, ВИДИМ,
что единственной возможной парой является ($113, $03).
2) G=S02,,,,.1, ’m22. Тогда 2т—-2<с1д<2т=ад. Снова
применяем теорему 11.22., При dH=2m получаем пару (S07,
G2), случай а„=2т—1 невозможен, а в случае dH=2m—-2

§1s. ОДНОРОДНЬХЕ ПРОСТРАНСТВА РАНГОВ 1 И 2 333
получаем пары (S02,,,+1, S02,,,) (m2-3), (S02,,,+1, S02,,,-.1)
(21122), (S05, АР), где А }°-——«I1o11:rpy1I1Ia типа А; и индекса
10, заданная представлением р(4а1)‚ и ($09, Spin7).
3) G:-Spm, m>2. Рассуждая аналогично, получаем пары
(Spm: Spm-1).» (‘Spun Spm-IXUI) И (Spmy Spm—1XSpl)-
4) G=S02,,,, m>4. Аналогичное рассуждение приводит
к парам ($О2,„, S02,,,_1).
5) G—--oco6a51 группа типа, отличного от G2. B силу
теоремы 11.2 имеем dH<dG: следовательно, d,,=m;._1 +1, где
ml, ..., m,—--Bospacrarouxne показатели группы G. Если rk H = l—— 1,
то PH градуировано степенями 2m;+1 (г: 1, ...‚ I-1).
Из таблицы 6 видно, что это невозможно. Если же
rk H =1, то, как нетрудно установить с помощью таблицы
5, G=F4, а Н имеет тип B4 (на самом деле H zSpin9).
6) G=G2. Пусть rkH=1, T. е. H—--II0,II1‘pyIII1a типа А1.
В [29} доказано, что в 62 существуют четыре класса
сопряженных подгрупп типа А 1, задающиесн семимерньхми
представлениями 2р1+31\’, р(2л‚„)+2р1‚ 2р(2п1)+31\’ и р(6пд).
Эти подгруппы имеют индексы k=1, 3, 4, 28 соответственно
и обозначены (для k> 1) B таблице 10 через A’{. B случае
г1<Н==2 список подгрупп Н следует из теоремы 3.16. I
Замечание. Из доказательства теоремы 1 или из
таблицы 10 видно, что если rk G/H= 1, то существует такая
простая нормальная подгруппа Ли H0 с: Н, что rk G/H0: 1.
3. Классификация однородных пространств ранга 1. В этом
пуъпсте дана будет гомотопическая классификация односвязных
компактных однородных многообразшй ранга 1 И будут
перечислены транзитивные действия связных компактных
групп Ли на них.
Теорема 2. Два односвязных компактных однородных
пространства ранга 1 гомотопически эквивалентны тогда
и только тогда, когда они одинаково обозначены в таблице 10.
Доказательство. Если M1:-:,,.M3, то М, z,.M2. B ча-
стности, M1 И M 2 имеют одинаковые инварианты x,,
И q(M, t)=p(PG_. I)-—p(PH, I) (см. п. 12.4). Сравним эти ин-
варианты для штогообразий М из таблицы 10, которые
в этой таблице обозначены кто-разному. Результаты вычис-
ления инвариантов сведены B следующие таблицы.
ХлПЩ= ""1:
M n 52"“ $г2„.„‚2 SU3/S03 S05/A10 G2/A1
“М, t) t2n+1 t4n-1 ts Z7 I11

334 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двйствий
2) х„(М)=0=
М $2" CP" HP" Ca P2 Gr‘2’,,+ 1,2 G2/S04
__t2ﬂ"‘1 __t
N.
(Ha самом деле в нашем случае нетрудно показать, что из
совпадения инвариантов q(M, t) следует Н-эквивалентность
многообразий.)
Отсюда следует, что остается доказать гомотопическую
неэквивалентность следующих пар многообразий:
($“"“, St§..+1,2) (n22); (S5, SU3/S03); (S7, S05/Ai°); (St's‘,2,
S05/A}°); (S11, G2/H), H типа А1; (ЗЁ-Ёд, G2/H), H типа A1;
(G2/H1, G2/H2), где H1 И Н2—несопряженные подгруппы типа
A1; (CP2"“, Gr3,.+1,2) (n>2); (HPZ, G2/S04); (CP5, G2/Ai’S02);
(Gr9,,2, G2/A i’S02). Докажем, что многообразия в каждой из
этих пар имеют неизоморфные гомотопические группы.
Имеем 1с‚‚($4”"1)=0 для l<k<4n——2. Далее, известно, что
1:‚‚($1Ё„„‚2)=0 для 1<k<2n-2 И 1:2‚‚_1($1Ё„+1‚2)щ22 (см. [71],
§ 25). Используя п. 4) теоремы 17.2, получаем 1t3(SU3/S03)::Z4,
7t3(S05/A{°)e_«Z10, 1c3(G2/A'{)e:Z,,. Очевидно, этой штформашаи
достаточно для рассмотретшя пар с X, = -1.
Используя очевидные расслоения 84"" 1 —› СР 2"‘ 1,
St'3,.+1,2—>Gr3,,+ 1,2, G2/A? —>G2/A‘I’S02 со слоем $02, видим,
что 1t,,(CP2""’)=0 для 3<k<4n—2, 1tk(Gr3,,+1,2)=0 для
3<k<2n—2, 7t3(G2/A:1‘S02)’.:.’Z3. Это позволяет исследовать
все пары с х‚‚(М)=0, кроме (HP2, G2/S04). Остается заметить,
что из точной последовательности (4.25) следует п2(НР 2)=0,
1t2(G2/S04)’.§:Z2 (напомним, что G2 односвязна, см. п. 3.5). I
Следствие. Два односвязных компактных однородных
пространства раша 1 гомотопически эквивалентны тогда
и только тогда, когда они диффеоморфны.
Замечание. Доказательство теоремы 2 вместе с те-
оремой 7.2 показывает, что если два односвязных компактных
однородных многообразия М 1 и М 2 ранга 1 удовлетворяют
условию 1tk(M1)'_~_1t,,(M2) (k>2), то они диффеоморфны. Ис-
пользуя теорему Гуревича и другие средства алгебраической
топологии, можно доказать (см. [23]), что условие изомор-
физма гомотопических групп можно заменить в этой фор-
мулировке условием H" (M 1, 2):Н" (М 2, 2) (1:22).
Теорема 2 позволяет перечислить (с точностью до подо-
бия) все транзитивные эффективные действия связных ком-

§1s. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА РАНГОВ 1 и 2 335
пактных групп Ли на односвязных многообразиях ранга 1.
Прежде чем сделать это, заметим, что достаточно ограничить-
ся неприводимыми действиями (см. п. 4.5). Далее, удобнее не
требовать эффективности (заметим, что из неприводимости
следует локальная эффективность действия) и классифициро-
вать действия с точностью до локального подобия.
Теорема 3. Пусть М —односвязное компактное действие
многообразие ранга 1. Любое неприводимое транзитивное
действие связной компактной группы Ли на М локально
подобно одному из следующих действий:
1) В случае М =S" (n22)—cmam)apmHoMy действию груп-
пы $0‚‚+1 или его сужению на одну из следующих подгрупп:
SU,,, (при п=2т—1)‚ Sp", (при п=4т—1), Sping (при п=15),
Spin7 (при п=7), G2 (npu п=6).
2) В случае M = СР” (п>2)—стандартному действию
группы SU,,+ 1 или (при п =2т— 1) его сужению на подгруппу Sp,,,.
3) B случае М =$:Ё„+ 1, 2 (п>2)—стандартному действию
группы $02„„ или (при п=3) его сужению на подгруппу 62.
4) В случае M =Gr‘5,,+ 1_ 2 (п>2)—стандартному действию
группы S02,“ или (при п=3) его сужению на подгруппу 62.
5) В случае, когда М не диффеоморфно ни одному из
перечисленных выше многообразий‚— единственному действию,
указанному в таблице 10.
Доказательство. В силу теоремы 2 мы можем считать,
что М 266 / Н, где (G, Н)-——одна из пар, перечисленных
в таблице 10. Нам нужно доказать, что любое неприводимое
транзитивное действие связной компактной гругшы Ли G’
Ha M локально подобно одному из действий, указанных
в той же таблгще. Согласно предложению 2, G’ проста.
Имеем М ш 6,6’ / Н ’, где H ’—некоторая связная подгруппа
Ли в G’. По теореме 1 мы можем считать, что таблица
10 содержит пару, изоморфную (G’, H’). Поскольку G/ H
и G ’/ H ’ диффеоморфны, по теореме 2 им отвечает в таблице
10 одно и то же многообразие М. Следовательно, действие
группы G’ Ha М подобно одному из действий таблицы 10. I
4. Перечисление однородных пространств ранга 2: случай
простой грушты. Этот и следующий пункты содержат резуль-
таты, аналогичные результатам п. 2 и относящиеся к однород-
ным пространствам ранга 2. Мы будем рассматривать
односвязные компактные многообразия М ранга 2 и непри-
водимые транзитивные действия связной компактной группы
Ли G Ha M. B силу следствия из предложения 5.9 группа
G полупроста, а из п. 1) теоремы 17.1 следует, что G либо
проста, либо имеет длину 2.

336 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двйствий
В этом пункте мы рассмотрим случай, когда G проста.
Мы должны перечислить, с точностью до локального изо-
морфизма, все такие пары (G, H), где Н—связная пошруппа
Ли в G, что rk G / Н = 2. Это перечисление может быть
проделано с помощью средств, использованных при до-
казательстве теоремы 2 (прежде всего, теоремы 11.2). Чтобы
сократить вычисления, мы воспользуемся следующим пред-
ложением, доказательство которого опирается на классифи-
кацию непростых максимальных связных подгругш Ли про-
стых компактных групп Ли и которое представляет самосто-
ятельньпй интерес. Далее мы считаем, что с1„=0, если H = {е}.
Предложение 3. Пусть Н——связная полупростая под-
группа Ли связной простой компактной группы Ли, и пусть
H =H1H2——ee разложение в локально прямое произведение
связных нормальных подгрупп Ли. Тогда
щдщда.
(1)
При этом равенство достигается в точности для пар (G, ,
перечисленных в теореме 11.2 и для следующих пар (G, H ,
рассматриваемых с точностью до локального изоморфизма:
(SU,,, SU,, x SU,,_,,) (2 <k<n-— 2),
(SU,,, Sp,,xSU,,_2,,) (1 <k<[(n-2)/2],
(видна SPkXSPm—k) (1<k<m—1),
(Spin: SpkxSpm—k)
(S0211!) S02k+1 X502»:-—2k-1) (1<k<m—2),
(S02m: G2 X S02m— 7)» (Зорь G2 X G2)-
Доказательство. Сначала проверим справедливость
утверждения в случае, когда H — коммутант максимальной
связной подгруппы Ли в G. Если эта максимальная подгруппа
имеет максимальный ранг, то (1) следует из таблицы 5. Из
нее видно также, что равенство достигается лишь для
следующих пар (G, H):
(SU,,, SU,,xSU,,_,,)
(Spm, Spk><Sp...—k)
Максимальные связные подгруппы Ли Н не максимального
ранга полупросты. Если Н проста, то наше утверждеъше
следует из предложения 11.9 и теоремы 11.2. Непростые
(2<k<n—2),
' максимальные СВЯЗНЫС ПОДГРУШТЫ ЛИ Н не максимального
ранга перечислены в [28 1} [29] и для них наше утверждение
‘г ° ‘в
"Tau-

§1s. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА РАНГОВ 1 и 2 337
выводится из классификации. При этом равенство в (1)
достигается лишь для пар (502‚„, $О2д+1 xS02,,,_2,,_1)
(1 <k<m— 2).
Теперь докажем наше утверждение с помощью индукции
по dim G. Пусть оно доказано для всех простых гругш
G меньшей размерности. Пусть H = Н1Н2 —произвольная
связная полупростая подгруппа Ли в G и Но-максимальная
собственная связная подгру1ша группы G, содержащая Н.
Тогда НсН’=(Но, Но).
Возможен один из следующих двух случаев: а) Н’
содержит простую нормальную подгруппу Ли Н '1, B которой
имеется подгру1ша Ли, локально изоморфная Н; b) существует
такое нетривиальное локально прямое разложение H’ = Н '1 H '2,
что Н; локально изоморфна подГрУППе Ли в H 3 (г: 1, 2).
В случае а) в силу предположения индукции И предложения
11.9 имеем с1'„1+с1„2<с1н;<с1'а, а в случае Ь), используя снова
предложение 11.9, получаем л„,<л„‚ (z'= 1, 2), откуда
dH1+dH2<dH ;+dH2v<dG, так как для подгруппы Н’ неравенство
(1) доказано. Если л„‚+л„‚=л„‚ то все неравенства превраща-
ются B равенства, и наше утверждение без труда выводится
из теоремы 11.2, предположеъшя индукции и разобранного
выше случая максимальных подгрупп. I
Теорема 4. Пусть СЪ-связная простая компактная
группа Ли, H —ee связная подгруппа Ли, причем rk G/ H = 2.
Тогда существует такое локально прямое разложение
H =HoH1, что Но, Н1—связные нормальные подгруппы Ли
в Н, Но проста, rk G/H0=2 u rkH1<2. Таблица 11 содержит
список всех, с точностью до локального изоморфизма, пар
(G, H), где Н проста и неабелева и rk G/H =2.
Доказательство. Очевидно, G неабелева. Мы имеем
локально прямое разложение H = SC, где S ==(H, H) полу-
проста, а С-тор. Очевидно, rk G/ H = rkG / S. Следовательно,
мы можем рассматривать только полупростые подгруппы
Н. Далее, заметим, что rk G—rk H <2 B силу следствия из
предложения 12.10. Если Н разлагается в локально прямое
произведение H=HoH1, причем rk G/Ho=2, то rkG—rkHo<2,
откуда rk H1<2.
Предположим, что G-——o,z[Ha ИЗ классических простых
компактных групп, И пусть H — ее связная полупростая, но
не простая подгруппа Ли. Тогда имеем локально прямое
разложение H =HoH1, где Но проста и с1„=с1„0>с1„‚.
Пусть сначала G=SU,,. Тогда ад=п, причем P3';i"1¢0
для i=2, ..., n. Поэтому с1„>п—2. В силу предложения

338 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двиствии
3 d,,1<dG—dH<2. Следовательно, H 1 —-произведение под-
групп ранга 1. Из предложения 17.1 И положительности
индекса подгруппы H0 следует, что ядра отображений PG—>PH
И Рд-›Р„0, связанных с вложениями подгругш‚ совпадают.
Значит, rkG/Ho=rkG/H=2.
Теперь предположим, что G=S02,+1, S02,” (12 3) или Брд.
Тогда dG=2l И дн>21—4, откуда dH‘<4 B силу предложения 3.
Если а„_ = 2 или 3, то, как И в предЫдУЩем случае, получаем,
что rkG/H0=2. Если dHx=4, то dH°=2l—4, И пара (G, H)
локально изоморфна одной из пар, перечисленных в предложе-
нии 3. Легко понять, что условию rk 6/ Н =2 удовлетворяет
только пара (Sp,,,, Sp,,,_2 xSp2). Здесь Ho=Sp,,,_2, причем
г1<$р‚‚‚/$'р,„_2=г1‹51$‚2=2 (см. пример 13.1).
Таким образом, классификация сведена к случаю, когда
Н проста. В этом случае она без труда проводится с ис-
пользованием результатов § 3 и теоремы 11.2. Подробности
мы опускаем.
В случае, когда 6—особая группа, утверждение теоремы
выводится из результатов работы [29], где перечислены все
полупростые подгруппы особых групп Ли.
Проверку того, что все подгругшы Н из таблицы 11
обладают свойством rk G / H = 2, можно провести при помощи
инвариантов групп Вейля, используя пп. 11.2 и 11.6. I
5. Перечисление однородных пространств ранга 2: случай
грушты длины 2. Мы хотим теперь перечислить пары (6, H), где
6—связная полупростая компактная грушга Ли дгшны 2, H ———ee
связная подгрушла Ли, rk G / H =2 И G действует на G / H
неприводшио. Поскольку мы шттересуемся клаосифшсагшей с точ-
ностью до локального изоморфизма, мы можем считать, что
6= 61 х 62, где G; просты И неабелевы. Простейшим является
случай, когда Н=Н1 хН2, где Ндс6д И г1<6д/Нд=1 (i= 1, 2). Этот
случай легко описывается при помощи теоремы 1. Поэтому
далее будет рассматриваться только неразложимый случай.
Положим Н,=(НП6,)° (i=1, 2). Тогда Н1хН2—связная
нормальная подгругша Ли в Н. Поэтому существует такая
связная нормальная подгругша Ли H12 cH, что
Н =(Н 1 хН2) H12 (локально прямое произведешите). Очевидно,
проекции щ: 6—›6д (i = 1, 2) индуцируют; гомоморфизмы
H12—>G,- с дискретными ядрами.
Теорема 5. Пусть 6:61 ><62‚ где 6д———связные простые
неабелевы компактные группы Ли, H — связная подгруппа Ли
в 6, причем H12;é{e‘}, rkG/H=2 и 6 действует на 6/Н
неприводимо. Тогда пара Н) локально изоморфна паре
одного из следующих типов:

§l8. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА РАНГОВ 1 и 2 339
rkG1/H1=fkG2/H2: I, H12_"_’T
(II) rk G1/H1 =rk G2/H2: 1, H12—2pynna типа A1.
(III) rk G1/H1 =1, H1 aé {e}, rk G2 =2, H2 = {e}, H12—2pynna
muna А 1.
(IV) rk G1/H1 =1, H1 96 {е}, rk G2 =2, H2=T, H12——2pynna
типа A1 .
(V) G=Sp2 x G2, H= H12 локально изоморфно SU2 x SU2.
(VI) G=G2 x G2, H=H12 локально изоморфна SU2 x SU2,
причем H12 —- образ такого гомоморфизма j: S U2 x S U 2—>G,
что 1:2 o j=1t1 о jo 0', где о-перестановка сомножителей
3 SU2 X
Обратно, все пары перечисленных типов удовлетворяют
условиям теоремы.
Д о к а з а т е л Ь с т в о. Сделаем сначала несколько общих
замечаний. Очевидно, Gk содержит локально прямое произ-
ведение H 3, = Hknk (H12), откуда
rkG—rkH—rkH12=(rkG1—rkH1—rkH12)+
+(rkG2——-rkH2—rkH12)>0.
B силу следствия из предложения 12.10 получаем отсюда
rkH12<rkG—rkH<rkG/H=2. (2)
Согласно следствию 1 теоремы 9.5 и предложению 9.11,
имеем PG=PGxG9PG2, PH=PHl€I-)PHu€I-DPH2, a отображение i #:
PG—->P11, индуцированное вложением i: H —>G, имеет вид
i#(x1, x2)=(iI#-x19 пТх1+1гЁхь 1.3552)»
где ik: Hk-+Gk—-BHOXCCHHC (k= 1, 2). Рассматривая гомомор-
физмы ikxnk: H,,xH12—>G,, (k=l, 2), ВИДИМ, что
Ker (i1 х 1t1) ’* El-)Ker(i2 х 1:2) ** cKeri#.
Следовательно,
fk G1/H17I1 (H12)+rk G2/H2752 (H12)<I'k
Если 1:‚,(Н12)=С?‚„ для k=1 или 2, то в силу следствия
5 предложения 5.1 группа G действует на G / H приводимо.
Таким образом, 1г‚,(Н12);Ь0‚„ откуда следует, что H ;,;éG,,
И rkG,,/H,,1t,,(H12)>0 (k=l, 2) (CM. П. 12.4). Значит,
Разберем теперь отдельно две возможности для H12.
1) ПУСТЬ rkH12=1. Тогда либо H12zT, либо H12 имеет
тип A1. Если H12rzT, то ясно, что г1<С?‚,/Н‚,=1 (k=l, 2).
Значит, пара (G, H) имеет тип 1.

340 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ действии
Предположим, что H11——rpy1I11a типа A1. Если H1 и H1 не-
абелевы, то, как следует из предложения 17.1, rk G1,/H1.=1
(k=1, 2), T. е. пара (G, H) имеет тип П. Пусть H1 абелева.
Тогда rk G1/7t1(H11)=l, откуда следует, что rk G1=2,
a H1={e} или H1e:T. При этом H1 He может быть абелевой,
так как это противоречило бы условию rk G/ H =2. Поэтому
rkG1/H1=l. Значит, пара (G, H) HMCCT ТИП 111 или IV.
2) rk H11-=2. Тогда из (3) следует, что y_,,(G/H)= -—-2, T. е.
подгруппа Н не гомологична нулю в G. B частности,
Н полупроста И 7ь(Н)<2. Следовательно, H1 или H1 (или обе
эти группы) Тривиальны.
Предположим, что H1={e}, H1 ;é{e}. Тогда H1 и H11 просты.
Поскольку rk G1/111(H11)=rk G1/H11t1(H11)= 1, из теоремы 2 сле-
дует, что G1, H11, H1 имеют тшты Сд, C1, A1 соответственно,
а rkG1-=3. Тогда rkG—-rkH=3, что невозможно.
Таким образом, H1={e} и H1-={e}. Тогда rkG=4, откуда
rk G1 =rk G1~—-2. Как показывает теорема 1, в этом случае либо
Gk HMCIOT тип G1, а H =H12-—THH A1 (ОЧСВИДНО, это невозмож-
но), либо 0,. имеют тип C1 шт G1, a H =H11 локально
изоморфна SU1 x SU1. Рассмотрим последний случай.
Мы можем заменить вложение i: H11—>G=G1 ›< G1 некото-
рым гомоморфизмом j: SU1 x SU1—->G; последний имеет вид
j(g)=(j1 (g), j1(g)), где ]‚,=л‚,о]: $П2><5Пг+6‚, (д:=1, 2)--неко—
торые гомоморфизмы с конечными ядра.ми. В случае, когда
G,,=Sp1, без труда доказывается, что гомоморфизм 1„ сопря-
жен в Sp1 некоторому стандартному вложению h, которое
можно записать как линейное представление p1 ®N + N ®p 1.
B случае, когда Gk=G1, ИЗ результатов работы [29] следует,
что j1 сопряжен в G1 либо гомоморфизму h=p1®p1+
+N®p(21r1), либо‘ гомоморфизму hoo'==p1®p1+p(21c1)®N.
При этом h(a, b)=h1(a)h1(b) (a, beSU1), где 11,: SU1—>G,,——~
гомоморфизм, индекс которого в силу теоремы 3.14 и ее
следствия равен 1 в случае G,,=Sp1 И 6‚,=62, q=l И равен
3 в случае G,,,=G1, q=-=2.
Пусть G1=G1=Sp1. Представим j как композгщшо го-
моморфизмов:
SU1 х SU1-9'+(SU1 x SU1) >‹ (SU1 x SU1)j1-:jfSp1 x Sp1,
где cx(a, b)-=(a, b, a, b) (a, beSU1). B силу предложения
17.1 отображение j*": P§,2€BP§,2—>P§U2E-)P§y2 действует по
формуле ‘
J"'*(x, y)=<1*"(x;\‘x, у, у)=(х+у‚ x+y)-

§1s. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА РАНГОВ 1 и 2 341
Следовательно, rk G/ H =-3.
Пусть 62=.5'р2, 62=62. Можно считать, что 12 есть
описанный выше гомоморфизм h. Рассуждая, как и выше,
видим, что отображение j ‘*: P 3,26) P§’,~2—>P§U2€I)P§U2 действует
по формуле
]*(х‚ у)=(х+у‚ х+3у)‚
так что Кег]*=0 и rkG/H=2.
Наконец, в случае 61:62:62, мы можем считать, что
либо j1==j2=h, ЛИбО 11:11, ]2=12оо. Рассуждая, как и выше,
видим, что отображение j **: Pé2CBP?,-2->P§U2€|3P§’~U2 действует
по формулам
1"*(х‚ у)=(х+3у‚ х+3у)‚ если ]1=12=/2‚
]‘"‘(х‚ у)=(х+3у‚ 3х+у), если 12:11, ]2=/1оо'.
Следовательно, rk G / H = 3 или 2 соответственно. Тем самым
мы видим, что пара (G, H) локально изоморфна паре типа
V или VI. I
6. Транзитивные действия на произведении двух сфер.
Здесь мы изложим без доказательств результаты Камерн-
ха [121], описавшего все транзитивные действия связных
компактных групп Ли на прямом произведении двух
сфер. Сначала укажем известные нам примеры таких
действий.
П р им е р 2. Рассмотрим прямое произведение двух тран-
зитивных действий связных простых компактных групп Ли
62 И 62 на S“ И S" COOTBCTCTBCHHO. B результате мы
получим неприводимое транзитивное действие группы 62 x 62
на 3“ x Sb. Все такие действия можно перечислить, исходя
из теоремы 3. Согласно этой теореме, все они локально
подобны сужениям стандартного действия группы
S0,,+1xS0,,+1 Ha S"xS”.
Пример 3. Пусть 6—связная простая компактная
группа Ли, транзитивно действующая на S“ И S”, причем
S“:G G/H1, S"r_~:GG/H2. Как мы знаем (см. пример 17.3),
в случае когда 6 =H 2 Н 2 группа 6 транзитивно действует
на $“хЗ", причем S"xS"zGG/H1ﬂH2. Из теоремы 14.2
получаем транзитивные действия простых гругш на произ-
ведениях двух сфер со следующими групповыми моделями:
S5 Xs7=St§,,22-’sU4SU4/SU2,
Spin-7/SU3 asp,-"736 X S7,
Spins /G2 251,,-,,8S7 х S7.

342 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ действий
Поскольку S03=S07SU4 и $07П5П4=$П3‚ имеем также
следующее расширение действия группы Spin», Ha S6 x S7:
Sping /SU4 2 SP,-,8S6 x S7.
Последнее действие локально подобно действию группы S03
co следующей групповой моделью:
S03/S05 Z508 3,2 =56 X S7.
Теперь мы можем сформудшровать основной результат
работы [121]. Очевидно, rk(S"><S")=2. Пусть а, Ь>1. Если
связная компактная группа Ли G транзитивно и неприводимо
действует на S“ x S", ТО либо группа G проста (и соответ-
ствующая пара (G, H )) описана в теореме 4, либо ?„(С?)=2
(И соответствующая пара (G, H) описана в теореме 5).
Теорема 6. Пусть S"><S":~.vGG/H, где О-связная ком-
пактная группа Ли, действующая на S“ x Sb (a, b>1) тран-
зитивно и неприводимо. Тогда
1) Если G npocma, то действие группы G локально подобно
одному из действий примера 3.
2) Если G не проста и а, Ь> 1, то либо действие группы
G локально подобно одному из действий примера 2, либо пара (G, H)
локально изоморфна одной из пар типа (1) или (111), перечисленных
в таблице 12. Обратно, любая из этих пар определяет
неприводимое транзитивное действие на произведении двух сфер.
3) Если G/H гомеоморфно многообразию S"xS”, где
а, Ь>1, то G/H диффеоморфно ему.
Доказательство теоремы основано на сравнении многооб-
разий G/H, где (G, H )—napa ИЗ табл. 11 или теоремы 5,
с многообразиями S“ x S” с использованием различных тополо-
гических инвариантов, включая Н-инварианты, построенные
в §12, гомотопические группы, ашебры когомологий над
различными полями, операции Стинрода И классы Понтрягина.
7. Некоторые примеры. Согласно следствию теоремы 2,
для односвязных компактных однородных многообразий
ранга 1 отношения гомотопической эквивалентности, гомео-
морфности И диффеоморфности совпадают. Возникает естест-
венный вопрос (см., например, [72]): верно ли это для
произвольных однородных многообразий? В этом пункте
будут изложены примеры, показывающие,” что это неверно
уже для односвязных однородных многообразий ранга 2.
Доказательства опускаются, поскольку изложение необходи-
мой для этого техники потребовало бы слишком много места.
Пример 4 (см. [l21]). Пусть (G,H)———IIapa типа (11)
по классификации теоремы 5, причем G1 =Sp,,, б; =$р2,

§19. ПРОСТРАНСТВА положитвльной ХАРАКТЕРИСТИКИ 343
H1=Sp,,_1, Н; =Sp1 (подгругша Н12=5П2 определяется этими
данными однозначно, с точностью до сопряженности), 7122.
Пользуясь формальностью многообразия М = G/H (см. следст—
вие предложения 13.1), ‘нетрудно показать, что Н (М, П):
21H (S4"”1 х $4, R), откуда М z,.S4""1 x S4. Доказывается, что
Н4(М, Z)zZ И что 1-й класс Понтрягина p1(M)= i2n|3, где
В-образующий элемент в H 4 (М, 2). Следовательно, 1-й
рациональный класс Понтрягина многообразия М нетривиа-
лен, откуда следует, что М не гомеоморфно S4"“1 x S4.
Используя 9-гомоморфизм, удается доказать, что М гомото-
пически эквивалентно многообразию S‘*"“‘ x S4 тогда и толь-
ко тогда, когда 24|п. В частности, М z,,S95xS"' при п=24.
Пример 5 (см. [127]). Пусть (G, Н)—пара типа (1) по
классификации теоремы 5, причем _ 61.=$П3, 02=8П2,
Н1=$П2, Н2={е}, а H12::T состоит из пар матриц вида
(diag(e "g‘12, ед“), diag(e"‘, e ’“')) (те R),
где k, leN, (k, l)=1. Положим М‚„‚=С?/Н. Для любого seN
многообразие M 2,, 1 диффеоморфно (и, в частности, гомеомор-
фно) многообразию $5 х$2 в силу теоремы 6. В [127] дана
полная классификация многообразий Мы с точностью до
гомеоморфности и диффеоморфности. При этом оказывается,
что существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные мно-
гообразия Мы. Например, среди М‚,‚4 существуют 28 классов
гомеоморфных, но попарно не диффеоморфных многообразий,
представителями которых являются M32,+1,4 (s=0, 1, ..., 27).
Пример 6 (см. [128]). Пусть 6=$Н3, НшТ-подгруппа,
состоящая из матриц вида (z", 2’, 2”"“') (zeT), где k, leZ,
kl 760, (k, l)= 1. B [128] проведена классификация многооб-
разий 1\’‚„‚=6/Н с точностью до гомеоморфности и диффе-
оморфности. Однако полученные арифметические условия на
k, l ДОВОЛЬНО сложны, что делает затруднительным получение
явных примеров гомеоморфных, но не диффеоморфных
многообразий. Простейший из них имеет следующий вид:
N—42652,61213 И N-56788,5227-
Заметим, что в примерах 4, 5, 6 х„ (G/H)=—1.
§ 19. Однородные пространства положительной
эйлеровой характеристики
1. Дифференцирования алгебры когомологий. Пусть G-
связная компактная группа Ли, H —ee связная подгруппа
максимального ранга И M =G/H. Согласно теореме 13.2,

344 ГЛ. 5. О КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ
адпебра когомологий Н (М, R) есть коммутативная ашебра,
градуированная четными степенями. В этом пункте мы
найдем дифференцирования степеней <0 алгебры H (M, R).
Для этого мы воспользуемся описанием этой алгебры в тер-
минах инвариантов групп Вейля.
Пусть j=di: I)—+g, где i: H-->G-—-13J1o>I<eH1»1e. По теореме
13.2
Н(М‚ в):8Н![6‚Нэ
где IG, H--—m1eaJ1, порожденный j * ((SG)+). Пусть Т——макси-
мальный тор группы Н, который в силу наших предположений
максимален и в грутше G. Согласно теореме 11.1, отображение
ограничения R [g ] -+ R [t] является изоморфизмом ашебры
SG Ha алгебру 5,76 многочленов на т, инвариантных относи-
тельно группы Вейля WG. По той же причине SH изоморфно
отображается на алгебру Зуд инвариантов грутшы Вейля И’„.
Далее, SW6 c: SWH И j * отождествляется c тождественным
вложением 8% —› Зин (см. предложение 11.1). В этом парагра-
фе мы будем отождествлять SG c SW6 И SH c SW" c помощью
описанных вьнце изоморфизмов. Согласно теореме 10.3
в SH И SG ИМСЮТСЯ свободные системы однородных образую-
щих а1‚ ...‚ а, и bl, ..., Ь, соответственно, где
I---dim T=rkG==rkH. Таким образом,
$„=Н [(11, ..., ад], SG=R[b1, ...‚
Очевидно, 1д‚н-==(Ь1‚ ...‚ b,).
Будем считать, что грутша G действует на М локально
эффективно. Тогда G полупроста. В силу предложения 4.19 мы
можем заменить группу G односвязной накрывающей группой.
Тогда 0:61 x x Gs, где Gk просты. Как мы видели в п. 3.11,
имеем Н=Н1 х хН,‚ где H,,cG;,, H,,=,éG,,, rkH,,==rk Gk
(К: 1, ...‚ s). Кроме того, Т= Т, х x Ts, где Тд-максималъ-
ный тор в Hk И Gk. Поэтому получаем следующие разложения:
в [t]=k§>1R ш 1,
S6‘-= ® So,» SH‘-'= ® SH,
k=1 k=1 Wh ‘
(см. предложение 10.8). Очевидно, [дн есть сумма идеалов,
порожденных подпространствами (SHk)+, k= 1, ...‚ s, причем
IG,HﬂSHk=IGk_Hk. Откуда следует (см. [14], гл. 111, §3), что
SH/IG,H д‘! k@1 SH,/IGk,H,,s

§19. ПРОСТРАНСТВА положительной ХАРАКТЕРИСТИКИ 345
причем изоморфизм имеет вид
U1®®us+IG,H'—’(u1 +IG,,H,)® C9 (us+IG,,H,)-
МЫ будем отождествлять H (G/H, В)=$„/1д‚„ с ké1SHk/Igbgk
при помощи этого изоморфизма.
Заметим, что M=M1x XMS, где Mk=G,,/Hk, причем
H (Mk, R) ш 5„*/1д‚„„„. Таким образом, мы получаем изо-
морфизм
Н(М, н): ниш, н) ®... ®Н(М‚‚ н).
Нетрудно проверить, что он совпадает с изоморфизмом
теоремы 7.2, но нам этот факт не понадобится.
Выберем теперь свободные системы образующих
в SG И SH специальным образом, учитывая разложение
группы G Ha простые сомножители. Пусть 1‚„ = rk Gk. Выберем
в каждой алгебре Sgk, SH,‘ свободные системы однородных
ОбРЗЗУЮЩИХ b‘1"’, ..., Ь}? и a‘1"’, ..., а}? соответственно, зану-
мерованные так, что Db}:">Db§"’ для всех i<lk (см. пред-
ложение 13.2). Тогда а?” И b§"’ (i==1,...,l,,;k=l,...,s) co-
ставляют свободные системы образующих в SH и SG
COOTBCTCTBCHHO. Обозначим через 1‚‚ идеал в SH, порожден-
ный всеми образующими ЬЁ”, кроме bff’. Тогда имеет
место
Лемма 1. Пусть 6eberSH, причем 5(IGk,Hk) clk для всех
k=1, ..., S. Тдгда С IG,H.
Доказательство. Мы имеем 5:24: дач),
I, I
(CM. предложение 6.7). Согласно предположению, имеем
бЬ$‚'{’е1„ для т=1‚ ...‚ 1‚,; k=1, ..., s. Поскольку b§,’f’eSHk,
д
5—(~5b§,’,"-=0, если j;£k. Значит, для любых k=1, ...,s имеем
ai
где d{=6af.“
ll:
Z а‘? 5%,; b§[;>=5b}};>e1,, (т=1‚ 1,‘). (1)
=1 i
i
Обозначим
д
Jk=det (дат 125,?) _ .
д 1‚т-1,...,1д
Применяя к системе равенств (1) правило Крамера, получим
df-‘J,,eI,, (г: 1, 1,‘; k=1, s). (2)

346 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двиствии
Пусть х!” (i=1, ...‚1‚,)——координатьт B tk (k=l, ..., s), И пусть
д
J'=dt —— U‘) . T
k e (6x§"’b"' )z,m=1,...,1, огда
д
1;,=1‚,аег a§,':’)_
:,m=1,...,l,‘
Из (2) следует, что
--*9 ‚с: 1э "-9 S):
где I ;,— идеал в в [t ], порожденный 1‚„. Мы хотим вывести
из (3), что d§‘eI§,. Как известно (см. [18], §131), для этого
достаточно проверить, что J 5. Не обращается тождественно
В 0 ни на какой неприводимой компоненте алгебраического
многообразия V (I ;) B t(C). Очевидно, П: порождается МНО-
гочленами bf}? (т==1‚...‚1‚,-—1) И XE” (isék). B силу пред-
ложения 11,7 и п, 4) предложения 11.2 неприводимыми
компонентами многообразия V(1 5;) ЯВЛЯЮТСЯ прямьхе В Ёк (C )9
порожденные некоторыми регулярными элементами этого
пространства. Поэтому наше утверждение Легко следует ИЗ
предложения 11.5, 2).
Итак, di-‘GI; (i=1, 1,,; k=l, s)- Поскольку di-‘eSH, из
предложения 11.10 следует, что d Ё E [по ТаКИМ образом,
8a§"’eIG,H для всех i, k. I
Теорема 1. Пусть С——связная полупростая компактная
группа Ли, H —ee подгруппа Ли максимального ранга, не
содержащая нетривиальных связных нормальных подгрупп Ли
группы G, M =G/H. Тогда
1) dim(berH(M, R))0=K(G),
2) (berH(M, R)),=0 при r<0.
Доказательство. Сначала мы сделаем простое на-
блюдение, сводящее изучение дифференцирований алгебры
H (M, R) к изучению дИфференЦИрований алгебры SH, пере-
водящих в себя [ад Пусть a1, ..., а‚—-свободная система
однородных образующих алгебры SH. Для любого
8e(berH(M, R))r Имеем 5(d,'+IG,H)=,_ui+IG,Ha Где MESH,
Du,-fDa,-+r (г: 1, ...‚ 1). Определим 5e(ber SH), формулой
д
б: Z ада, Тогда аор=роб, где р: SH—>SH/IG,H—ecTecTBeH-
i‘-'1 5
ный гомоморфизм. Действительно, легко проверить, что
линейное отображение ^у=бор—р°Ё1 5н->5н/1о‚н YJ10B31eTB0'
ряет условию
у(аЬ)=у(а)р(д)1Ър(а)7(Ь) (ед b€SH)-

§19. ПРОСТРАНСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ 347
Отсюда сразу следует, что Кегу-подалгебра в SH (ср.
предложение 6.6). Очевидно, y(a,-)=0 (i=1, ..., s), так что
=0‚ И наше утверждение доказано. Из него следует, что
переводит [дн в себя.
Далее мы будем пользоваться определенной выше сво-
бодной системой однородных образующих (Ь Е”) (i = 1, ...‚ 1‚‚;
k= 1, ...‚ $=?„(0)) алгебры SG, согласованной c разложением
группы G, И определением идеалов 1„ в SH. Кроме того,
обозначим через 8;, градуирующее дифференцирование алгебры
Sgk/Iapgk, продолженное на алгебру H (M, R) способом,
описаштым в п. 6.5. В качестве ёд можно выбрать градуирующее
дифференцирование алгебры Sgt, продолженное на SH.
Пусть 8e(berH (M, R))o. Тогда Ё е(Ьег5'„)о. Поскольку
S(IG,H)CIG,Ha Имеем
Sb§f>=ckb§f>+v,. (k=l, s),
где ckeﬂ, vkelk. Кроме того, ясно, что 3bf."’eI,, (i=1, ..., l,,—l).
Поэтому дифференцирование '
О1=Ё—Ё
Ck „
—-- ь S
k:-.1 8ke( er H)0
удовлетворяет условию леммы 1. В силу этой леммы
S
51(SH)cIG,H, так что po81=0. Отсюда роб: Z c;(po§k), где
д-
-1
S
Ъ-Ёддден, и 8=kZ1c;s,,. Такши образом, 81, ...,3s состав-
[ =
ЛЯЮТ базис простра ства (her H (M, R))0, И 1) доказано.
Утверждение 2) очевидно, так как если Вб<О, то
удовлетворяет условию леммы 1. I
2. Каноническое разложение. Пусть снова M = G/H, где
СЪ-односвязная полупростая компактная группа Ли, H ——ee
связная подгруппа Ли, rk G=rkH и G действует на М локаль-
но эффективно. Рассмотрим разложение G=G1 х х Gs, где
Gk просты, И соответствующее разложение М =М 1 х х Ms,
где М‚,=С?‚„/Н‚„, Н‚„=НПС?„ (k=l, ..., s). Мы будем называть
его каноническим разложением. Согласно п. 1,
Н(М, Н)=Н(М„ в)® ®Н(М,‚ в). (4)
Теорема 2. 1) Многообразие М неразложимо тогда
и только тогда, когда G npocma.
2) Разложение (4) является единственным разложением
алгебры Н (М, R) в тензорное произведение неразложимых
канонических градуированных подалгебр.
cf‘:

348 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двиствии
3) Пусть М ’=G’ /H ’——другое однородное пространство,
удовлетворяющее тем же условием, что М, и пусть
M ’= ’1xxM;—e20 каноническое разложение. Имеем
Mz3M’ тогда и только тогда, когда s=t u Mk ждал;
после подходящей перестановки сомножителей. В частности,
если М юдМ’ и G npocma, mo и G’ npocma.
4) B предположениях п. 3) допустим, что М zkM’. Тогда
(после подходящей перенумераиии сомножителей) существу-
ют такие гладкие отображения fk: Mk—->Mk u gk: Mk-->Mk,
что ff: Н(М}, R)—>H(Mk, R) u gf: H(Mk, R)-—+H(Mk, R)
(k=1, ..., s) являются обратными друг другу изоморфиз-
мами.
Доказательство. Утверждения 1) И 2) непосредственно
следуют из предложений 17.2 и 6.8, теоремы 6.1 И п. 1)
теоремы 1. Многообразия М, М’, Mk, Mk формальны,
и поэтому их В-эквивалентность равносильна изоморфности
их алгебры вещественных когомологий. Поэтому 3) следует
из 1) и 2). .
Докажем утверждение 4). Как обычно, мы будем отож-
десгвлять H(Mk, R) И Н(М}, R) c IIO)IaJII‘66p21MH l®...
...®H(Mk,R)®...®1 и 1®...®H(Mk,R)®...®1 B H(M, R)
И H (M ', R) COOTBCTCTBCHHO. Обозначим через pk: M -› Mk,
pk: M’-+Mk проекшш. фиксируем точки ekeMk, ekeMk
‘PI обозначим через ik: Mk —› М, i 3,: M k -+ M’ вложения, задан-
ные формулами»: ik (x)=(e1, ..., x, ..., es), ik(x’)=(e’k, ..., x’, ..., e;).
ПУСТЬ f: M —-+ M’ И g: M’ —-+ M -——такие гладкие отображе-
ния, что /*о3*=1с1, 3*с›/*=1‹1. Из теорем 6.1 и 1 следует,
что после подходящей перестановки сошюжителей изомор-
физм f*: H(M’, R)-—>H(M, R) отображает H(Mk, R) Ha
Н (Mk, R), a g*“ mmymrpyer обратный изоморфизм H (Mk, R) —›
-›Н (М k, R).
Положим теперь fk=—-pkofoik: Mk—+Mk и gk-spkogoik:
M5;->Mk. Тогда (Л°8ь)*=((1$„)*°8*)°(р:?ОЁЁ)°(Й*°(РЮ*)-
Для любого ae_=H(Mk, R) имеем (]`*о(р5,)*)(а)еН(М‚„ R).
Поскольку р 2* о z’ if тождественно на Н (Mk, R) (CM. теорему
7.2), а (ik)"“'o(pk)*=id, отсюда следует, что
(fu°gk)*(a)=((ii)"*°g*°f’"‘°(pi)*)(a)=((i£)*°(p£)*)(a)=a-
Таким образом, 3,?‘ о[‚Ё*=1‹1. Аналогично f,i"7>g",?‘=id. I
3. Транзитные действия на комплексных и кватернионньцх
многообразиях флагов. Напомним, что в принтере 16.1 мы
определили многообразие Р‚,1„__‚‚,‚ (С"), элементами/г которого
являются флаги типа (kk, ..., k,.) B пространстве С”, где
0</с1< <1с‚<п. В этом пункте мы будем обозначать это

§19. ПРОСТРАНСТВА положительной ХАРАКТЕРИСТИКИ 349
многообразие через 1*`‚‚„____‚‚„„. Как мы видели, это комплексное
многообразие флагов является однородным пространством
группы SU,,, причем
F£,,...,k,,n =sU,,SUn /S(Uk, X Пядь, X X Un-—k,)-
Совершенно аналогично определяется кватврнионное мно-
гообразие флагов muna (kl, ..., k,), которое обозначается через
ГЦ, д, „ и является однородным пространством группы Sp",
причем
Н ~
Ед, д, „ „щ Sp" /Spkl х Spkrkl x x Sp,,_k'.
Мы применим сейчас результаты предыдущих пунктов для
описания всех транзитивных действий компактных грушт Ли
на этих штогообразиях. Заметим, что случай ранга 1 был уже
рассмотрен в п. 18.3. К нему относятся многообразия
СР"“‘=РЁ.„ (или FS'—1,..) И НР""‘=1"1‚„ (или F.’.'—1,..)-
TeopeMa 3. Пусть G ——связная компактная группа Ли,
Н -—-ее связная подгруппа Ли, причем G действует на G/H
локально эффективно.
1) Если С/Нжд Р‚Ё„___‚‚„_„ и (kl, ..., k,)¢(l), (kl,
..., /‹‚)э6(п—1), то пара (G, H) локально изоморфна (SUM
S (UM х П‚„__‚„ х x U,,__k'). Любое локально эффективное тран-
зитивное действие связной компактной группы Ли на многооб-
разии Ffh „м, отличном от СР""‘, локально подобно
естественному действию группы S U".
2) Если G /H 25,, Ff!“ k" ‚,‚ то пара (G, H) локально изоморф-
на (5р„‚ Sp,“ х Spkrkl x >< $р„__‚,‚). Любое локально эффективное
транзитивное действие связной компактной группы Ли на
ЕД, kw ,, ‚локально подобно естественному действию группы Sp".
Доказательство. Очевидно, стабилизатор флага в 511„
или Sp" есть подгруппа максимального ранга. Если G / Н
Н-эквнвалентно Ff“ „м, или 1<`‚„„„, то в силу п. 3
теоремы 2 группа G проста.
1) Пусть О/Нюд1"‚?„__„д,„„ и rkG/H>l. B силу теоремы
17.3 мы можем считать, что 0=5П„. По теореме 13.2
rk H =n— 1. Как показывает классификация подгрупп Ли
максимального ранга (см. п. 3.11), можно считать, что
Н=$(П„„ x U,“ x х U,,p), где по+п1 +... +пр=п. Поскольку
q(G/H, t)=q(Ff1_._,,k”,,, t), имеем PHzPH:, где Н’:
=5(П‚„хП‚„_‚„х...хН„_‚,‚). Отсюда легко следует, что p=r
и no=k1, n,=-k2-——k1, ..., n,=n-—-k, после подходящей переста-
новки сомножителей U,,__. Действительно, число dim Pf,“ 1
(К: 1, 2, ...) равно числу таких сомножителей U J. в Н и Н’, что
/' 21:, Таким образом, Н и Н’ сопряжены.

350 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двйствий
Если связная компактная группа Ли G транзитивно
действует на Ff“ k" „‚ то стабилизатор Н любой точки связен,
так как FE“ „д, односвязно в силу предложения 4.19.
Применяя только что полученный результат, видим, что пара
(G, H) локально изоморфна (5П„, H’), если действие локально
эффективно.
2) Пусть О/Нн„1<`‚,„„. В силу теоремы 18.2 можно
считать, что rkG/ H > 1. Тогда в силу теоремы 17.3 G Имеет
тип C", В„ или Du“ (n23).
Если G имеет тип C", то можно считать, что 6=$р„.
Очевидно, имеем РдзРж, где Н’=5'р‚„><$р‚,2_,„><...х$р„_‚„‚
rk H =n И Н полупроста. Как показывает классификация
подгрупп максимального paHra, с точностью до сопряжен-
ности, H=Sp,,0xSp,,lx...xSp,,p, где n0+n1+...+np=n. Как
И в п. 1), убеждаемся в том, что Н и Н’ сопряжены. Как
и в п. 1, отсюда следует, что транзитивное действие группы
Sp" Ha ЕЁ‘, ‚с, единственно с точностью до локального
подобия. Пусть G имеет тип B". Тогда можно считать, что
б=$02„„. Снова Р„=Р„‚, где H ’—определенная выше
подгруппа, rk H =n И Н полупроста. Классификация показы-
вает, что H=S02,,x x ><S02,,pxS02,,0+,, где по >0, п, >2 (z'= 1,
..., р) И п0+п1+...+пр=п. Очевидно, 1c1(H)=Z§“, если
по >0, и 1t1(H):Z3, если n0=0. Из точной последователь-
ности (4.25) и предложения 4.19 следует, что 1:2 (G /H ):.~.Z5
или Z5” 1 соответственно. Из той же последовательности
видно, что 1:2 (ЕД, ‚„„„)=0. Отсюда следует, что р=1 и n0=0,
T. е. что H =S02,,. Тогда rkG /H =1, a этот случай мы
исключили. Аналогично разбирается случай, когда G имеет
тип 1)„_„. I
4. Транзитивные действия на факторпространствах по мак-
симальным торам. Многообразие полных комплексных флагов
Р‘Ё‚2‚„_‚„_1_„ изоморфно $Н„/Т‚ где T=S(U1x...xU1) есть
максимальный тор группы SU,,. B этом пункте мы обобщим
соответствующее утверждение теоремы 3 на многообразия
G/ T, где О-произвольная связная компактная группа Ли,
Т— ее максимальный тор.
Теорема 4. Пусть G u G’——ccm3Hbze компактные группы
Ли, Н с G u Н ’с: 6"——подгруппы Ли, причем ЬН-максималь-
ный тор в G и естественные действия групп G u G’ на
М =G/ H u M ’=G' / H ’ соответственно локально эффективны.
Если M z,,M ’, то H ’—максимальный тор в G’ и пары (G, H)
и (G’, H’) локально изоморфны. Всякое локально эффективное
транзитивное действие связной компактной группы Ли на G / Н
локально подобно естественному действию группы G.

§19. HPOCTPAHCTBA положитвльнои ХАРАКТЕРИСТИКИ 351
Д о к а 3 а т е л Ь с т в о. Многообразие М односвязно (пред-
ложешите 4.19) и, значит, Н’ связна. Из теоремы 13.2 следует,
что х (M’)=x(M) > О И потому rkH’=rk G’. Рассмотрим
канонические разложения (см. п. 2)
M=M1x...xMs, M’= ’1x...xM;,
где Mk=Gk/Hk, M;,=G;,/H5‘, G=Gk...Gs, G’=G'1... ;,
H=H1...Hs, H’=H’1... ;, Gk И G; просты и неабелевы,
Hk=GkﬂH, H;,=G5,ﬂH’. По теореме 2 s=t и Mk2,,M5,
после подходящеи перестановки сомножителей. Более того,
можно считать, что существуют гладкие отображешитя
Д: Mk"M;c И 81:5 M;c"Mka
индуцирующие взаимно обратные изоморфизмы ашебр ве-
щественных когомологий.
По теореме 17.4, часть 1), H 5‚—максимальный тор в 63,. По-
этому Н ’—максимальньп`& тор в G’. B силу теоремы 3.1 остается
доказать, что Gk И G}, локально изоморфны для всех k= 1, ...‚ s.
Для этого нам придется использовать кольца целочислен-
ных когомологий. Хорошо известно, что многообразия Mk,
M 3, (как И вообще любые флаговые многообразия) не имеют
кручения, т. е. Н "(Mk, 2) и H "(M 5,, 2)—свободные абелевы
грушты для всех р 2 О (см. [б], [8]). Отсюда следует, что
естественные гомоморфизмы колец H (Mk, 2)—›Н (Mk, R)
И H(M§,, Z)->H(M5,, R) ИНЪСКТИВНЫ. Поскольку]? И g,‘,"“ пере-
водят целочисленные классы когомологий в целочисленные,
они индуцируют взаимно обратные изоморфизмы градуиро-
ванных колец H (M 5,, Z)->H (M k, Z). Значит, отображеъшя
(fk)#3 Hp(Mk9
являются изоморфизмами для всех р 2 О. Поскольку Mk
И M 5, односвязны, из теоремы Уайтхеда (см. [70]) следует,
что Mk wk М L. Применяя теорему 17.4, часть 3), мы видим,
что Gk И G 5, локально изоморфны. I
5. Классификация однородных пространств положительной
эйлеровой характеристики. Теоремы 3 И 4 являются частными
случаями общих теорем о классификации компактных од-
нородных пространств положительной эйлеровой характери-
стики, полученных в работах А. Н. Щетинина [147], [148].
Сформулируем без доказательства основной результат, от-
носящийся к односвязному случаю.
Теорема 5 (см. [147]). Пусть G и СГ-связные компакт-
ные группы Ли, Н СО и Н ’c: G'—ux связные подгруппы Ли

352 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двйствии
максимального ранга, причем естественные действия групп
G u G’ на M=G/H u M’=G’/H’ локально эффективны.
П едположим, что имеется изомо изм г ад *и ованных коле
Р ’ Ч
Н(М‚ Z)2H(M, Z).
1) Пусть
M=M1x...xMs и M’=M’1x...xM;
——-канонические разложения многообразий М и М’. Тогда s=t
u М k диффеоморфно М 3, после подходящей перестановки со-
множителей.
2) Если G и G’ просты, то либо пары (G, H) и (G’, H’)
локально изоморфны, либо они (с точностью до перестановки)
локально изоморфны парам из следующей таблицы:
G H G’ H’ M=M’
SU2». S(U2n—1X U1) SPn SPn—1U1 C92"-1
(n >2)
S07 S06 G2 SU3 S6
S07 S05 >< S02 G2 SU2 S02 Gr‘-3,2
S029: (In S0211-1 Un-1 Io Суёт»:
(п 24)
Из теоремы 5 легко следует классификашш транзитивных
действий связных компактных групп Ли на односвязных
однородных пространствах положительной зйлеровой харак-
теристики. При ее доказательстве существенно используются
результаты работы [6] с целочисленных когомологиях фла-
говых многообразий.
Отметим также следующий факт, вытекающий из теоремы
5 (см. [148]): если М И M ’-—однородные пространства
связных компактных групп Ли, x(M)>0, x(M')>0
И М 2,, M ’, то М и М’ диффеоморфньх.
Замечания
§ 17. B пунктах 1 И 3 мы следуем работам [52], [56]. В работе
Е. Б. Дынкина [31] было доказано, что классы`СдеН3 (G, R) И шве
е Н 3 (G, R) (см. п. 2) являются образующими элементами решеток
целочисленных классов гомологий и когомологий в размерности 3,
если (Ъ-классическая группа. Там же утверждается, что это верно
и для особых групп. А. Н. Щетинин [78] доказал, что если H -—тор
в простой группе G, тип которой отличен от 1)‚‚, то предположение

JL
ЗАМЕЧАНИЯ 353
простоты группы G’ B п. 2) теоремы 4 можно заменить условием
неприводимости действия. В связи с п. 3) той же теоремы отметим,
что из гомотопической эквивалентности двух связных компактных
групп Ли следует, что они изоморфны в случае простых групп и что
они локально изоморфны в общем случае (см. [144]; обобщение на
компактные топологические группы см. в [145]). Теорема 5
принадлежит Шнайдеру [167]. Пример 3 взят из той же работы. В ней
доказано также, что если однородное пространство М компактной
группы Ли является max (39, 4r'+3)-CBSISHLIM, где г= —х‚,(М), то
М изоморфно прямому произведению многообразий Штифеля со
стандартными действиями классических групп. Разложение
S03 =S07 >‹ S7 (пример 5) следует также из параллелизуемости сферы
S7, которая определяет сечение в расслоении (S08, S7, S0-,, p).
B работе Шерера [146] описаны все однородные пространства G/H
компактных групп Ли G, для которых расслоение (G, G/H, H, p) имеет
сечение; если G проста, то указанный выше пример является по
существу единственным.
§ 18. B пунктах 1-—5 изложение в основном следует работам [52],
[56]. Транзитивные действия на сферах (см. теорему 3, 1)) впервые
были классифицированы в работах Монтгомери и Самельсона [135]
и Бореля [86] (см. также [131] и [87]). Неравенство (1) принадлежит
Шереру [77]. Транзитивные действия на многообразиях Грассмана
и Штифеля, имеющих ранг 2, изучались в [56].
§ 19. Доказательство леммы 1, лежащей в основе теоремы 1, следует
работам Сити и Тедзуки [149], [150]. Неразложимость градуированной.
алгебры Н (М, R), где М =G/H, G, H СВЯЗНЫ и компактны, G проста
и rkG=rk H, была доказана М. Я. Блинкиным [7] для случая, когда
H — максимальный тор, Д. Н. Ахиезером [4] в случае, когда Н —
центрштизатор- тора, и А. Н. Щетининым [147] в общем случае
(последнее доказательство весьма сложно технически и требует разбора `
некоторых частных случаев). Теорема 4 и необходимый для нее вариант
теоремы 2 были доказаны в [60] (в конце доказательства имеется
пробел). Теорема 3 для комплексных и кватернионных многообразий
Грассмана была доказана, соответственно, в [56] и [58]. Работа [147]
содержит все эти результаты в качестве частных случаев.
Отметим некоторые работы, результаты которых почти не
отражены в настоящей главе, хотя и близки к ней по тематике.
В работах [117] и [58] изучались транзитивные действия на
многообразиях Штифеля, Часть результатов работы [117] обобщена
и усилена в работе Шерера [77], где рассматриваются транзитивные
действия на хопфовых однородных пространствах достаточно боль-
шой размерности. Транзитивные действия на неприводимых компакт-
ных симметрических пространствах были изучены в работе Цукады
[157]. В частности, там доказано, что любое транзитивное действие
12 А. Л. Онищик
"СНЕЧ57’Ё:Й?5.‘Н‚Ё=ЁЁ`Ё III’-.'.:‘.é-.'. ........- ‹х...‹ 1 .. „Гс cf» 1'.’-..-»:-55x: J’.-T'«-.ii I '37- 532.23’
r.'.~ „ища
гдгцжям ‘sane 'Iln1I_‘.m~.I"'-.1|r_.r.. м

354 гл. 5. о КЛАССИФИКАЦИИ ТРАНЗИТИВНЫХ двйствий
простой компактной группы Ли на Gran. „+1 (п24‚ 1<1с<п—1)
локально подобно естественному действию группы S02"; как показал
В. Г. Мхитарян, условие простоты группы‘ является здесь излишним
(заметим, что это единственная серия многообразий Г рассмана‚
имеющих нулевую эйлерову характеристику). В. Г. Мхитарян [49] дал
также гомотопическую классификацию многообразий G/H, где G,
Н ——- связные простые компактные группы Ли и rk G —rk H = 1. Бридон
[94] описал однородные пространства, являющиеся гомологическими
сферами. А. Н. Щетинин [148] получил аналог теоремы 5 ).'um'cnyr1aa,'
когда x(M)>0, x(M')>0, НО Н и Н‘ не обязательно связны,
и M м, М’. B работе [79] он описал транзитивные `действия
компактных групп Ли на факторпространствах простых компактных
групп Ли по некоторым I торам.

ТАБЛИЦЫ
Таблица 1. Простые компактные группы Ли
Тип G Схема Дынкина dimG K°p;Ka:pg1;%°T$epe§gpH"’
85-8}
,§r1 1 2 __ L-1 L l(I+2) ai=8i_8i+1
8=31"'3z+1="-’51"+'751
isiieja igi
‚Ед 1 2 и L I(2I+1) ai=3i—3i+1(i<l)s a.=e.
5=81+82=1[2 I
ii’-ii8j, i23i
[S2 1 2 __ L-IL 1(21+1) oz,-=s;—s,-+1 (z<1),a,.-.28.
б=281=2п1
i3ii'8j
L—1 oz,-=3 -3; (i<l),
D, 1 2 L—2 1(21-1) oz:-—-a,_+1l+8,
o-—-—o:—... . L
7172 (134)
б: + =
е‘ е’ {п2+п3(1=3)
8;-3,-, :23, e;+s,-+ekia
o:;=8,--8;
E6 I 2 3 5 d5=84+;51+85+8
В б=2е=п6
12*

356
ТАЁЛИЦЫ
Продолжение табл.
Типа
Схема Дынкина
dim G
Корни, простые корни,
стар корень
Е7
123456
133
85'-8]‘, €j+3j+8k+31
°€i=8:"8:+1 (i<7),
a7=85+85+37+S3
= --87+83=1l23
Ев
1254567
248
ЁЕЁЁ}, i(3z+8j+8g)
ai=3i"'3i+1 (i<8)9
C13:-85+8-/+83
5=81--89=1£1
Е:
1234
52
185181, 18:,
5(_1е11г21гз1е4)
1
‘11 =§(31 "‘82‘33"'34),
CX2=84.
(13:33-54, °l4=32"‘33
8:81 +8z=1C4
G2
1 2
0%
8г‘8;‚ i8:
Щ = -32, 052‘-=82—83
5=81—83=1t2

___. ._..._________. ,___,_ -2.:_ ,___
-' Е“
ТАБЛИЦЫ 357
В таблице 1 через 1 обозначается ранг группы G, T. е. размерность
максимального тора Т с G. Корни группы G классического типа
И типа G2 выражены через линейные формы 81-61°15’, которые
определяются следующим образом (максимальный тор Т выбран
как в примерах 3.1—-3.4):
8, (diag(z1, ..., z;+1))=z, для 6=5Н„1;
8,-(x)=ix,-, где х имеет вид (3.2), если G=S02,+1, вид (3.3),
если С=5р‚‚ вид (3.1)‚ если G=S02,, И вид (3.4), если G=G2.
Для группы G типа F4 ' через 81, ...‚ 84 обозначен некоторый
ортонормированный базис пространства it‘. Для групп типов
Е-‚ и E3 векторы 3,, ..., е,“ удовлетворяют условиям (8,-, sk)=6,-k,
1+1
Z 3,--=0. Корни группы типа E5 выражены через векторы 3,, ..., 85,
=0
УДОВЛСТВОРЯЮЩИС aHa.TIOI'I/I‘-IHBIM УСЛОВИЯМ, И ВСКТОр 8, такой, ЧТО ›
(е, е,)==0, (s,s)=1/2.
Индексы i, j, B записи любого веса считаются различными.
В столбце «Схема Дынкина» указана нумерация простых корней,
принятая в настоящей книге.
Р ~*.~ ‘к "тгчтэ хгтт?‘ г-я: ‘д’???

ТАБЛИЦЫ
358
a+...+£T:+§L
вы шмы
„г Ii 3-3 „
„на Tim а а
ы>„„‚.+...+„„дм|„э+_„:нагл»
ы н "ы
о „ЗН aim „ы N>w+ + my u NN~
„щ
. ы I.
ы её .„+ + „не
TN _+a х
5+...+£:$+§.i
а. . 5
3 А д .„
щЮ+...+нЮ"щн_ь
TL _+~
а moon аж . а ЕЁ moon oﬁmanshmozmnmxe Ф ЦЕН.
аааочааьоцоа: ozaosnum Ы Ёёчювн
’ .‹ а" :'.~‘->'-., ’

359
ТАБЛИЦЫ
mwS+om+...+~wm+_woH>
A.~w+..wvH „щ
. с on x..+5u£
..wl..wI w:+..J+...+S¢+Jmn»
„щ
„юна о R w+£n:.
„-_„+...+„„а.‚э+5:17;
min TLN ~>_w+T5+...+:¢u:.
„Э
„юн „О
та ты „>_„ь„-_„+...+_зн„-.„„
_|.. N .~ C|~V.c ._w+...+.£H_u
„ад а. .

юш|мюыд>
о „ЁН ю .: MWIIMQHNPB NU
N Ь SHE
ы ы:„„„„+„юм+8щ+„ю_:п›
Ц
и дм ‚тншдё о
E I .N.\IAvwH...unwH „мы
T +3+5+V .._w+ . \
о 8 SHE
£-..5+...+8o+:Ku?
Aw ‚акации о
Ацш+щш+жфН «N
..~w|..w ФФ w.vN mwlwwﬂuﬂ
а moom еж а ЕЁ поет озтддшнщоёмцщиё Ф ЕЁ.
0
3
Ё|‚|\'»|.'!.|| I I» III I
6 N 463: m==mua..S©2~m~

ТАБЛИЦЫ 361
Таблица 2 содержит фундаментальные веса и размерности
и индексы базисных представлений простых групп классических
типов ‘и типа G2. Для остальных особых групп приводятся лишь
сведения о представлении ` р 1 наименьшей размерности. В правом
столбце приводятся веса представления р 1. Указана также сумма
у всех фундаментальных весов.
Таблица 3. неприводимые представления малых размерностей
I A dimp(A) 8(p(A)) 1 ^ dimp(A) 8(p(A))
Q=511z+1 9:513:
l>l 1t1,1t¢ 1+1 0 1>2 1:1 21 -1
4 1:2, 1:3 10 0 g=so2,
3 1:2 6 1 [>3 1:1 21 1
2 21:1, 21:; 6 О 5 1:4, 1:5 16 0
9=5о21+1 4 11:3, 1:4 8 1
l>l 1:1 21+1 1- g=g2
4 1:4 16 1 1:1 7 1
3 1:3 8 1 1:2 ' 14 ‘ 1
2 . 1:2 4 —-1
r
Число з(р) в правом столбце равно О, если р не является
самосопряженным, 1, если р ортогонально, и — 1, если р симплек-
тично.
. ` ' ’< —'.‘;F$-FT-$3

""'*"' ' " "7
362
ТАБЛИЦЫ
Таблица 4. Расширенные схемы Дьшкина
Тип G Расширенная схема Дынкина Тип G _ Расширенная схема Дынкина
А! 1 Е . 1 2 5‘ 2 1
122 1 1 1 ' ° 2
' 1
A1 1 1 д 1 2 з 4 з 2 1
2
В 1 1 2 З 4 5 6 4 2
1’ 2 2 2 2 Ев
23 ...jo:o З
С‘ 1 2 1 F4 2 4 з 2 1
о ——-o<=o
1 .
D‘ 2 2 2 1 G2 2 1
Н°
На каждой схеме указаны коэффициенты линейной зависимости
п; из формулы (3.20).
Таблица 5. Максимальные подалгебры максимального ранга
9 ‘)([3]) Ё
sun, n22 5(u,, x u,,_,,), l<k<[n/2] II\{o1,,}
502k X 5°2(1—k)+ 1, ZS/(<1 ﬁ\{°lk}
5°2I+ls 122
во; x so2,,_, ‘ l'I\{oc1}
5131: X 5131-11, 1<k<[l/2] ﬁ\{°5k}
513,, l>3_
и: H\{°‘l}
502,; x so2(,_,,,, 2<k<[(l+ 1)/2] ﬁ\{o:,,}
5021, I24 so; x ест, П\{о:1}
111
I'I\{o1,}

. ТАБЛИЦЫ
363
Продолжение табл. 5
9 b([2]) Ё
511269506 й\{°‘2}
ед . 5113€Bsu3€B5u3 ﬁ\{°¢3}
50,0633 H\{°‘1}
5112635012 ﬁ\{°‘2}
5113695116 ﬁ\{°‘3}
е’, 5118 ﬁ\{°‘7}
e5®R H\{°¢1}
5u2®e7 ﬁ\{°‘1}
5u3®e5 ﬁ\{°‘2}
es 5115695115 ﬁ\{°14}
5016 ﬁ\{°‘7}
5119 ﬁ\{°‘8}
5u2®5p3 ﬁ\{°‘1}
т; 5u3€B5u3 ﬁ\{°‘2}.
509 ﬁ\{°¢4}
5113 ﬁ\{°‘1}
92 504 ﬁ\{°‘2}

364
ТАБЛИЦЫ
Таблица 6. Показатели, числа Кокстера и порядки груш Вейля
Тип G
А:
В:
Ев
Е7
Ев
F4
G2
Bl: Cl
ИО) 1%!
1+1 (1+1)!
21 2'1!
2(1-1) 2Н12
12 27345
18 210345-7
30 21435527
12 2732
6 223
Таблица 7. Простые подгруппы с большим числом Кокстера
Н
G
h(H)=h(G)—l h(H)=h(G)—2
‘вы, 5и‚‚_, (п>3) SU,,_2 (n24)
S02z+1 5021-1 ("=2l?4)
(n=2l+l>3)
Sp, (n=2l+l>5) Sp,_1 (n=2l>4)
С; ’(n=7) S02, (n=2l)
С, (п=8_)‚
Spinv (n=3)
p(31t1)(SU2) (n=4)
S02m+1 S02»: ("'33)
S02m- 1
) (S03) (m = 2)
G2 (m=4)

ТАБЛИЦЫ 365
Продолжение табл. 7
Н
G h(H)=h(G) h(H)=h(G)—l h(H)=h(G)—-2
Sp... Sp...- 1 (тдг 2)
s0,,,, $02,‚‚_1.(т>4) -so,,,,-, (m24)
G2 (m=4) O S02».-3 (m>4)'
Spin7 (т=5)
G2 (m=5)
Ев п,
Таблица 8. Разложення простых компактных групп Ли
G G’ G” супе” N(G”)° _
SU2,,, n22 Sp, SU2,,_, Sp,,_1 S(U1 x U2,,_1)
S05 SU3. S05
S07 G2. _
S05 SU; S05 х S02
S02,” n24 S02,,_ д SU,, SU,,_ 1 Ц,
$04,‚‚ п >2 S04,,- 1. Sp, Sp..- 1’ Sp, Sp1
S01 6 801 5 Sping Spin7 Sping
S08 S07 Spin-, G2 Spin-,
B правом столбце таблицы 8 указаны связные нормализаторы
N (G ")°. Порядок подгрупп G’, G" выбран так, ‘что ад-=‹1д, так
что N(G')°=G’ (CM. теорему 11.2).

1
.‘,..;“=._:s:T« -;-1'.
366
ТАБЛИЦЫ
Таблица 9. Исключительные асистатические действия
G H G’ G/H
so._,,,_ 1, „24 U,,_ 1 so._,,, I°Grg,,,,,
S04» - 1: п 3 2 5Р„— 1 SP1 S04». S04»./SP». SP1
S04..—1, n22 Sp.._ 1 U1 S04» S04"/Sp» Н]
$01 5 Spin7 S016 S015 / Sping
Sping Spin7 ‚$01 6 S 1 5
Spin-, G2 ‘S03 з’
5р‚‚, п>2 $р‚‚_1 111 SU2,, CP2"”1
S04", I222 Sp,,_ 1 $р1 504„ х 504„ 84"" x (S04,/Sp,,Sp1)
S015 Spin7 S016 x S016 S15 x (S016/Sping)
Spins G2 Spins x Spins S7 x S7
- С; SU3 S07 S6
Таблица 10. Однородные пространства ранга 1
G H M=G/H —~x,,(M) (AutGM)°
SU,__1 еды 1 и,
$П„, п >2
S(U,,_1><U1) CP"‘1 О {е}
$113 503 SU3 /S03 1 {e}
Sozn-1 Sign 1,2 " ' 1 S02
S02,,+1, n 22 S02,,_1 xS02 Gr‘2’,,+ 1, 2 О {е}
802„ х $2” . 0 {е}

ТАБЛИЦЫ 367
Продолжение табл. 10
G H . M=G/H —x,,(M) (A11tGM)°
Sping Spi'n—, S” 1 . {е}
Spin7 G, э’ 1 {е}
S05 A 1° S05 /A 1° 1 {e}
SPu—1 54"-1 1 SP1
Sp", n >2 Sp,,_1U1 CP2""1 О {е}
Sp,,_1Sp1 HP"”1 0 {e}
S02", n >3 ' S02,,_1 82"” 1 {е}
174 $р1п9 CaP2 0 {e}
SU3 S6 О {е}
SU2 ага, 1 за,
8112502 Gr?” 0 {е}
S04 G2 /S04 о {е}
G2
А? а, м: 1 $11,
АЁЗО, G2/A‘I’S02 0 {е}
А? G2 М? 1 {е}
4:8 VG; ms 1 {е}

""" ` ""7
368 ТАБЛИЦЫ
Таблица 11. Однородные пространства ранга 2
„д ;;2;a';;:§£‘§.z
G H i G H i
SUn9 ' SUI:-2 Зри! Spa-2
n22 n22
$06 . $р4 $114
$116
$р3 $113
S05 ' п Af 2рд +2N
SU5 -
SP2 A? 3P1
S03 P(27t1)+N SP3’ A? 2P(21t1)
SU4 '
/Ho РОЩ) Aio P(37‘1)+2N
S02n—3 Ail P(3“1)+ P1
S02u+l!
"34 S02»-2 1415 P(57'51)
SU4 ‘ S02n_.2
S02",
$09 Sp, n 2 4 S02,,_3
G2 _ $010 $115
SU3 ' sos G,
Es
А? 2р(2тсд)+1\Г F4

ТАБЛИЦЫ
369
Продолжение табл. 11
G H 1 G H i
AI 2P1+P(2"‘1) SPi"7
S07
Aio P(47‘1)+2N SP3
F4
A fa Р (6151) 511503
G2
G2 {е}
В правом столбце указаны представления группы SU2 , задающие
подгруппы ранга 1. `
Таблица 12. Транзитивные действия на произведении двух сфер
‚ЕЁ; G H, 11„ М
I SU2,,+1>(SU2 SU2,, (diag(z_2""_, Яр, ...‚ 2р), 34"+1Х32
- ‚ 1221‘ diag (29, z"‘))
(zeT), p, чей, (p, q)= 1.
qln
I Sp,,><S'U2 Sp,,_1 (diag(z", z"’, 1, ..., 1), 84"" X32
- n22 diag (z, 2))
QGTL реп
I SU2 XSU2 {e} (diag (z", г“), diag (29, z"')) S3 X32
(zeT), p, ее", (р, q)=1
III S'p,,xSU3 Sp,,_1 (diag(X,'12,,_2), diag(X, 1)) S4"‘1 xS5
n22 (XESU2)
Ш 5р„><5р2 5р„-1 (diag(X, l2..—2), diag(X, 12)) 34"" X37
I222 (XeSU2)
Bo всех перечисленных в таблице парах Н; = {е}.

"""' т "Т
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
10.
ll".
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
. А д а M с Дж. Лекции по группам ЛИ.— М.: Наука, 1979.
. А л е к с а н д р о в П. С. Комбинаторная топология.—М.: Госте-
хиздат, 1947.
. А х И e 3 e p Д. Н. О гомотопической классификации комплексных
однородных пространств // Тр. Моск. мат. o-Ba.-—1976.—T. 35.-—
C. 3———20.
. A х И е з e p Д. Н. неприводимые системы корней и неразложи-
мые однородные пространства // Теория функций, функц. анал.
и их прил.——- Вып. 27.—Харьков: Изд-во ХГ У, 1977.—С. 22-26.
.БерезинФ.А.‚ Пятецкий-Шапиро И. И. Однородные
расширения комплексного пространства // ДАН СССР.—- l954.——
T. 99.———- C. 889-892. -
. Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М.‚ Гельфанд С. И.
Клетки Шуберта И когомологии пространств G /P / / УМН.—
1973.—Т. 28.— С. 3--26.
. Б л И н к И н М. Я. О неразложимости борелевских многообра-
зий// Мат. сб.-——1972.——Т. 88.—-С. 442-—446.
. Б о р е л ь А. О когомологиях главных расслоенных пространств
и однородных пространств компактных групп Ли // Расслоенные
пространства И Их прИложенИя.—М.: ИЛ, 1958.-C.163-246.
. Б о т т Р.‚ Т у Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической
топологиИ.—М.: Наука, 1989.
Боусфилд О. Н., Гугенхейм В. К. А. М. О РЬ-теории де
Рама И рациональном гомотопическом типе // Гомотопическая
теория дифференциальных форм.—М.: Мир, 1981.— С. 86-171.
Б у р б а к И Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная
и полилинейная алгебра-М.: Физматгиз, 1962.
Б у р б а к и Н. Алгебра. Модули, кольца, формы.—-М.: Наука,
1966. - .
Б у р б а Ion H. Алгебра. Гл. Х. Гомологическая алгебра-М.:
Наука, 1987.
Б у р б а к И Н. коммутативная алгебра-М.: Мир, 1971.
Б у р б а к И Н. Общая топология. Топологиёеские гругшы. Числа
и связанные с ними группы И пространства.— М.: Наука, 1969.
Б у р б а к И Н; Группы И алгебры Ли. Группы Кокстера И си-
стемы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы
корней.—М.: Мир, 1972.
Б у р б а к И Н. Группы И алгебры Ли. Гл. IX. Компактные
группы Ли.—М.: Мир, I‘~986.
ван дер В а р д е н Б. Л. Алгебра.—М.: Наука, 1976.

19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
список ЛИТЕРАТУРЫ 371
В е й л ь А. Введение в теорию кэлеровых многообразий.— М.:
ИЛ, 1961. '
Винберг Э. Б.‚ Онищик А. Л. Семинар по группам Ли
и алгебраическим rpy1maM.—~—M.: Наука, 1988.
В о л ь ф Дж. Пространства постоянной кривизны.— М.: Наука,
1982
Г е л Ь ф а н д С. И., М а н и н Ю. И. Методы гомологической
ашебры. Т. 1.— М.: Наука, 1988.
Г о р б а ц e в и ч В. В. Почти однородные пространства // Гео-
метр. методы в задачах алгебры и анализа.— Ярославль: Яросл.
ун-т, 1981.— С. 62—80. .
Г о т о М.‚ Г р о с с х а н с Ф. Полупростые алгебры Ли.--М.:
-Мир‚ 1983.
Г р и ф ф и т с Ф., Х а р р и с Дж. Принципы алгебраической гео-
метрии. Т. 1.—М.: Мир, 1982.
Д о а н К у и н ь. Полиномы Пуанкаре компактных однородных
римановых пространств с неприводимой стационарной группой //
Тр. семинара по вект. и тенз. 'анализу.——- 1968.— Вып. 14.-—
С. 33-93.
Д ы н к и н Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // УМН.—
1947.—Т. 2.—- С. 59—127.
Д ы н к и н Е. Б. Максимальные подгруппы классических грутш //
Тр. Моск. мат. о-ва.—1952.—Т. 1.—-С. 39-166.
Д ы н к и н Е. Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр
Ли // Мат. сб.—1952.—Т. 30.-С. 349--462.
Д ы н к и н Е. Б. Гомологии компактных групп Ли // УМН.—
1953.——Т. 8.—С. 73-—120.
Д ы н к И н Е. Б. Топологические характеристики гомоморфизмов
компактных групп Ли // Мат. сб.——1954.—-Т. 35.— С. 129-177.
Д ы н к и н Е. Б.‚ О н и щ и к А. Л. Компактные группы Ли в це-
лом //УМН.—1955.——Т. 10.—С. 3-74. `
Д ь ё д о н н е Ж. Геометрия классических групп.——- М.: Мир, 1974.
Зарисский 0., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 1,
2.— 1963.
З у л а н к е Р.‚ В и н т г е н П. Дифференциальная геометрия и рас-
слоения.—М.: Мир, 1975.
К а н т о р И. Л. Двойное отношение четырех точек и другие
инварианты на однородных пространствах с параболическими
сташюнарными подгруппами. 1// Тр. семинара по вект. и тенз.
анализу.——1974.—Вып. 17.—С. 250-313.
K a p 11 е л е в и ч Ф. И. О неполупростых максимальных пода-
лгебрах полупростых алгебр Ли // ДАН СССР.— 1951.— Т. 76.-
С. 775-778.
К а р т а н Э. Топология однородных замкнутых пространств //
Тр. семинара по вект. и тенз. анализу.—- 1937.— Вып. 4.—
С. 395—402.
К о б а я с и Ш. Группы преобразований в дифференциальной
геометрии.—М.: Наука, 1986.
К о б а я с и Ш.‚ Н о M и д з у К. Основы дифферешшальной гео-
метрии. Т. 1, 2.—М.: Наука, 1981.
КострикинА. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и гео-
метрия.—М.— Наука, 1985.
Л е м а н н Д. Г омотопическая теория дифференциальных форм //
Гоёиотоёическая теория дифференциальных форм.—М.: Мир.
19 1.— . 7-85.
... .J‘X5v?\‘.‘r A-iw.’.‘.‘:.

"' ""' ""7"
372
43.
. Л о о с О. Симметрические пространстваг-Мл Наука, 1985.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
65.
66.
список ЛИТЕРАТУРЫ
Л е н г С. Алгебра-М.: Мир, 1968.
М а к л е й н С. Г омология.—М.: Мир, 1966.
М а л Ь ц е в А. И. О полупростых подгруппах групп Ли // Изв.
АН СССР. Сер. мат.-— 1944.- T. 8.- C. 143-174. -
M a Н т у р о в О. В. Однородные римановы пространства с не-
приводимой группой вращений // Тр. семинара по вект. и тенз.
анализу.— 1966.— Вып. 13.— С. 68-146.
M a H т у р о в О. В. О полиномах Пуанкаре некоторых однород-
ных римановых пространств // Тр. семинара по вект. и тенз.
анализу.— I968.- Вып. 14.-C. 20-32.
M x и т а р я н В. Г. Об одном классе однородных пространств
компактных групп Ли // УМН.— 1981.— Т. 36.- C. 193-194.
M х и т а р я н В. Г. Подалгебры коранга 1 компактных алгебр
Ли // Вопр. теории групп и гомолог. алгебры.—— Ярославль: .
Яросл. ун-т, 1982.-— С. 119-126.
О н и щ и к А. Л. 0 когомологиях пространств путей // Мат. сб.—-
1958.—Т. 44.— С. 3—-—52. '
О н и щ и к А. Л. О транзитивных группах преобразований ком-
пактных однородных пространств // ДАН CCCP.-- 1959.-
T. 124.-C. 520-523. _
0 Н и щ и к А. Л. 0 включениях между транзитивными компакт-
ными группами преобразований // ДАН СССР.--1959.—-Т. 129.—-
С. 261-264.
О H И Щ и к А. Л. О компактных группах Ли, транзитивных на
некоторых многообразиях // ДАН СССР.—1960.—Т. 135.-
С. 531-534. .
О н и щ И K A. Л. Отношения включения между транзитивными
компактными группами преобразований // Тр.‘ Моск. мат.
0-Ba.-1962.—T. 11.—С. 199-242.
О н и щ и к А. Л. О транзитивных компактных группах преоб-
разований // Мат. c6.-1963.-T. 60.— С. 447-485.
О H И щ и к А. Л. Разложения редуктивных групп Ли // Мат. сб.—
1969.-T. 80.- C. 554-599. _
О н и щ и к А. Л. Группы Ли, транзитивные на многообразиях
Г рассмана и Штифеля // Мат. сб.—-1970.-—-Т. 83.—— C. 407-428.
О н и Щ и к А. Л. О некоторых топологических инвариантах одно-
родных пространств // Мат. заметки.——- 1972.—Т. 12.— C. 761-768.
О н и щ и K A. Л. 0 транзитивных действиях на борелевских
многообразиях // Вопр. теории групп и гомолог. алгебры:-
Ярославль: Яросл. ун-т. 1977.- C. 161-.167.
0 H И щ и к А. Л. Замечание об инвариантах групп, порожденных
отражениями // Вопр. теории групп и гомолог. алгебры.— Ярос-
лавль: Яросл. ун-т, 1979.-C. 138-141.
О н и щ и к А. Л. 0 топологии некоторых комплексных однород-
ных пространств // Многомерн. компл. анализ.— Красноярск:
Инст. физики СО АН СССР, 1985. С. 109-’-‘I-121.
H о н т р я г и н Л. С. О числах Бетти компактных групп Ли //
ДАН СССР.—1935.—Т. 1.—С. 433-437.
. H о н т р я г и н Л. С. Homologies in compact Lie groups // Мат.
c6.-1939.-T. 6.—-С. 389-422.
П о н т р я г и н Л. С. Непрерывные группы. 4-е изд.—М.:
Наука, 1984.
П о с т н и к о в М. М. Группы И алгебры Ли.—— М.: Наука, 1982.

.. .._...-s.u—uu»-s.-an-e~ ‚д
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
85.
86.
i 87.
88.
89.
90.
91.
`92.
список ЛИТЕРАТУРЫ 373
П о с т н И к о в М. М. Гладкие многообразия-М.: Наука, 1985.
Р а ш е в с к И й П. К. О вещественных когомологиях однородных
пространств.—- УМН.— 1969.— Т. 24.—С. 23——90.
Р о з е н к н о п И. 3. Некоторые вопросы и приложения гомо-
логической теории полиномиальных идеалов // Тр. Моск. мат.
-о-ва.—1965.-—Т. 13.— С. 246——323.
С в И т ц е р Р. М. Алгебраическая топологиж-гомотопии И го-
мологии.—М.: Наука, 1985.
С т И н р о д Н. Топология косых произведений.— М.: ИЛ, 1953.
С я н У-И. Когомологическая теория топологических групп преоб-
разований.—М.: Мир, 1979.
У о р н е р Ф. Основы теории гладких многообразий и групп
Ли.—М.: Мир. 1987.
Х е л г а c o H C. Дифференциальная геометрия И симметрические
пространства.—— М.: Мир, 1964. .
Х е л г а с о н С. Группы И геометрический аналИз.———М.: Мир,
1987. .
Шев алле К. Теория групп ЛИ. Т. 1.—М.: ИЛ, 1948.
Ш е р е р Х. Транзитивные действия на однородных простран-
ствах Хопфа // Математика. Сб. пер.-—1973.—Т. 17.— С. 61--81.
Щ е т и н И н А. Н. О группах ЛИ, транзитивных на одном классе
многообразий // Вопр. теории групп И гомолог. алгебры.——- Ярос-
лавль: Яросл. ун-т, 1989.— С. 17—-29.
Щ е T И н и н А. Н. О факторпространствах компактных групп
Ли по торам // Мат. заметки.—-—1990.—-Т. 47.—-— C. 113-120.
Э й з е н х а р т Л. П. Непрерывные группы преобразованИй.——М.:
ИЛ, 1947.
А п d r é M. Cohomologie des algébres différentielles ой opére une
algébre де Lie // Téhoku Math. J.-— 1962-.— V. 14.— P. 263-311.
B a u m P. F. On the cohomology of homogeneous spaces // Topo-
logy.—1968.—V. 7.—P. l5———38.
B a u m P. F., B r o w d е г W. The cohomology of quotients of
‘classical groups // Topology.— 1965.— V. 4.— P. 305-336.
84. B
o d y R., D o u g l a s R. Tensor products of graded algebras
and unique factorization // Amer. J. Math.— l979.——- V. 101.—Р.
909——914.
B o r е 1 А. Боте remarks about Lie groups transitive on spheres
and tori // Bull. Amer. Math. Soc.—-1949.—-V. 55.-—Р. 580——-587.
B o r el A. Le plan projectif des octaves е: 1ез spheres comme espaces
homogénes // C. r. Acad. Sci. Paris.— 1950. Т. 230.—Р. 1378—1380.
В о г е1 А. Les bouts des espaces homogénes des groupes de
Lie. // Ann. Math.——1953.—V. 58.——-P. 443—457.
B о r el A. Kéihlerian coset spaces of semisimple Lie groups // Proc.
Nat. Acad. sci. USA.—1954.—V. 40.--P. 1147--1151.
B о r el A. Topology of Lie groups and characteristic classes // Bull.
Amer. Math. Soc.—-1955.-—V. 61.-—P. 397--432.
B о г е] А., C h e v a l 1 е у С. The Betti numbers of the exceptional
groups // Mem. Amer. Math. Soc.-—1955.—N l4.—P. I-9.
B о г е 1 А., Н i r z е Ь г и c h F. Characteristic classes and homo-
geneous spaces // Amer. J. Math.——1958.——V. 80.——P. 458-538;
1959.—V. 8l.—P. 315-382; 1960.-—V. 82.—P. 49l——504.
BorelA., de SiebenthalJ. Sur les sous-groupes fennés де
rang maximum des groupes de Lie compacts connexes // Comment.
Math. Helv. 1949.——V. 23.—P. 200-221.
T-' 7’ 2!‘-‘ ' "‘ "7“""-
ч?’ гзгтг: к *,~' на: .‚ .

374
93
94
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
о
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
В г а и е г R. Sur les invariants intégraux des variétés des groupes de Lie
simples clos // C. r. Acad. Sci. Paris.— 1935.—Т. 201.—-Р. 419-421.
B r е d о п G. On homogeneous cohomology spheres // Ann. Math.-
196l.—V. 73.-P. 556-565.
C a r t a n E. Sur certaines formes riemanniennes rémarquables des
géométries ё groupe fondamentale simple // Ann. Sc. Ecole Norm.
Sup.- 192Z.— T. 44.- P. 345-467.
C a r t a n Е. Sur les invariants intégraux de certains espaces
homogénes clos et les propriétés topologiques de ces espaces. // Ann.
Soc. Pol. ,Math.-1929.—V. 8.-P. 181-225.
C a r t a n E. La topologie des espaces représentatifs des groupes
de Lie.—Paris: Hermann, 1936.
С а г t a n H. Notions d’a1gébre différentielle: application aux groupes
dc Lie et aux variétés ой орёге ип groupe de Lie. // Colloque de
topologie (espaces ﬁbres). Bruxelles 1950.-Liege: Thone; Paris:
Masson, 1951.-.-P. 15-27.
C a r t a n H. La transgression dans un groupe де Lie et dans un .
espace ﬁbré principal // Colloque de Topologie (espaces ﬁbrés).
Bruxelles l950.— Liege: Thone; Paris: Masson, 1951.—Р. 57-71.
C h е v a l 1 е у С. The Betti numbers of the exceptional simple Lie
groups // Proc. Int. Congress Math. Cambridge, Mass., 1950. V. 2.-
Providence: AMS, l952.—P. 21-24.
C h e v a 1 l е у С.‘ Invariants of ﬁnite groups generated by reﬂecti-
ons // Amer. J. Math.—1955.-V. 77.—P. 778-782.
C o xete r H. S. M. The product of the generators of a ﬁnite
group generated by reﬂections // Duke Math. J.— 1951.--V. 18.-
P. 765-782.
D’A t ri J. E., Z i 1 1 е г W. Naturally reductive metrics and Einstein
metrics on compact Lie groups // Mem. Amer. math. Soc.-
I979.-V. 18, N 2_l5.—P. 1—-72. ’
F r o b е п i u s G. Uber die kogredienten Transformationen der bilinearen
Formen // Berlin. Sitzungsber. Math.-Phys. Kl.--1896.-S. 7-16.
G o to M. On algebraic homogeneous spaces // Amer. J. Math.-
l954.-V. 76.-P. 8l1——_8l8.
GreubW., HalperinS., Vanstone R. Connections, curva-
ture and cohomology. V. III. Cohomology of principal bundles
and homogeneous spaces.—N. Y.- L.: Acad. Press, 1976.
G r о v e E. A., H s i a n g W. Y. Classiﬁcation of compact homo-
geneous spaces with non-zero Euler class and with zero Pontrjagin
classes.—Bull. Inst. Math. Acad. Sin.— 1980.-V. 8.-P. 365-383.
H alpe rin S. Lectures on minimal models. Mém. Soc. Math. de
France.—1983.—T_._ 111, N 3.-P. 1-261.
H a u s c h i 1 d V. Uber den Symmetriegrad der rational azyklischen
kompakter homogenen Ra1"1me.— Manuscr. math.— 1980.— T. 32.-
P. 365-379. .
H е 1 g a s o n S. Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric
spaces.-N.Y.—L.: Acad. Press, 1978. .
Н i g a T. On the homotopy groups of a compact homogeneous
space // Comment. Math. Univ. Sancti Pauli.— 1988.-V. 37.-
P. 193-208.
H о d g e W. V. D. The theory and applications of harmonic integrals.
2nd ed.— Cambridge: Cambr, Univ. Press, 1952.
H o p f H. Uber die Topologie der Gruppenmannigfaltigkeiten und
ihrer Verallgemeinerungen // Ann. Math.— l94l.— V. 42.— P. 22-52.

114.
115.
_ 116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
список ЛИТЕРАТУРЫ 375
Н о р f H. Uber den Rang geschlossener Lie’scher Grup-
pen // Comment. Math. Helv.—1940—4l.--V. 13.—Р. 119-143.
H o р f H., S a m е 1 s o n H. Ein Satz ﬁber die Wirkungsréiume
geschlossener Lie’scher Gruppen // Comment. Math. Helv.— 1940--—
41.—V. 13.—Р. 240--251.
Н s i a n g W. C., Н s i a n g W. Y. Some problems in differential
transformation groups // Proc.’ Conf. on transf. groups. New Orleans,
‚ 1967.-В.; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1968.
H s i a n g W. Y., u J. C. On the classiﬁcation of transitive effective
actions on Stiefel manifolds // Trans. Amer. Math] Soc.--1968.-
V. 130.—P. 322—336.
H u m p h r e y s J. Е. Introduction to Lie algebras and representation
theory.- N.Y.; Heidelberg; B.: Springer-Verlag, 1972;
К а с V. G. Lie superalgebras // Adv. Math_.—- l977.———V. 26.—P. 8—
96. `
K ac V. G. Torsion in cohomology of compact Lie groups and
Chow rings of reductive algebraic groups // Invent. Math.-— 1985.--
V. 80.——Р. 69-79. -
K a m e r i c h B. N. P. Transitive transformation groups on products
of two spheres.-—— Meppel: Krips Repro, 1977.
K о s t a nt B. The principal three-dimensional subgroup and the
Betti numbers of a complex simple Lie group // Amer. J. Math.-—
l959.— V. 81.—Р. 973--1032.
K o s zul J.-L. Sur l’homologie des espaces homogénes // C. r. Acad.
sci. Paris.—1947.—T. 225.~,—P. 217--219.
K o s z ul J.-L. Sur un type d’algébres différentielles en rapport
avec la transgression // Colloque ас topologie (espaces ﬁbres).
Bruxelles 195О.— Liege: Thone, Paris: Masson, 1951. Р. 73-81.
К о s z ul J.-L. Homologie et cohomologie des algébres de Lie // Bull.
Soc. Math. France.-—-1950.--T. 78.-—P. 65—127. . -
K o s z ul J .-L. Variante d’un théoréme de H. Ozeki // Osaka J .
Math.—1978.—V. 15. P. 547--551. '
K r e c k M., S to l z S. A diffeomorphism classification of 7-dimen-
sional homogeneous Einstein manifolds with SU(3)xSU(2)xU(l)-
symmetry // Ann. Math.-1988.-V. l27.—P. 301-316.
K r e c k M ., S t o l z S. Some non-diffeomorphic homeomorphic
homogeneous 7-manifolds with positive sectional curvature // J. Dif-
ferent. Geometry.— 1991 .— V. 33.—-—Р. 465 ——486.
L e ra y J. Sur l’homologie des groupes dc Lie, des espaces
homogénes et des espaces ﬁbres principaux // Colloque de topologie
(espaces fibrés). Bruxelles l950.— Liege: Thone, Paris: Masson,
1951.—P. 101—115.
L u k e s h G. W. Variations of metrics on homogeneous manifolds //
J. Math. Soc. Japan.— 1979.-'V. 31.--P. 655--667.
M a t s u s h i m a Y. On a_ type of subgroups of compact Lie
groups // Nagoya Math. J.—l95l.—V. 2.-‘—P. 1--15.
M a t s u s h i m a Y. Sur les espaces homogénes kéihleriens d’un groupe
de Lie réductif// Nagoya Math. J.—1957.—V. 11.—Р. 53-65.
M i 1 n o r J. W., M о о г е J. C. On the structure of Hopf algeb-
ras // Ann. Math.—1965.—V. 81.—-P. 211-264.
М о п t g o m е r y D. Simply connected’ homogeneous spaces // Proc.
Amer. Math. Soc.—l950.--V. 1.--P. 467-469.
Montgomery D., Samelson H. Transformation groups on
spheres // Ann. Math.—~ 1943.— V. 44.—P. 454-470.

~ 376
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147‘.
148.
149.
150.
151.
152.
1.53.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
N a g a n о Т. Compact homogeneous spaces and the first Betti
number //J. Math. Soc. Japan.—1959.——V. 11.—Р. 4——9.
Na g a n o T. Homogeneous sphere bundles and isotropic Rieman-
nian manifolds // Nagoya Math. J.—l959..-V. l5.—-'—P. 29-—-55. ’
Ochiai T., Ta k a ha s hi T. The group of isometries of a leftin-
variant Riemannian metric on a Lie group // Math. Ann.—1976.—
Bd 223.—— S. 91-96.
O z е ki H. On a transitive transformation group of a compact
group manifold // Osaka J. Math.— l977.—V. 14.—Р. 519-531.
Palais R. S. A global formulation of the Lie theory of transfor-
mation groups // Mem. Amer. Math. Soc.—1957.—-N 22.——Р. 1—123.
P о псе t J. Groupes de Lie compacts de transformation де l’espace
euclidien е: les ' spheres comme espaces homogénes // Comment.
Math. Helv.—1959.—V. 33.——Р. 109-120. °
S a m e l s o n H. Beitréige zur Topologie der Gruppenmannigfaltig-
keiten // Ann. Math.—1941.—V. 42.—P. 1091-1137.
S a me 1 s o n_H. Topology of Lie groups // Bull. Amer. Math. Soc.-—
1952.--V. 58.——P. 2—37.
S с h e e r e r H. Homotopieéiquivalente kompakte Liesche Gruppen.//
Topo1ogy—I968.-—-V. 7.-—P. 227———232. `
S c h e e r e r H. Sur la topologie des groupes compacts connexes // C.
r. Acad. Sci. Paris (А).—1972.—Т. 274.— P. 144l——l443.
S c h e е r e r H. Restklassenréiume kompakter zusammenhéingender
Gruppen mit Schnitt// Math. Ann.—l973.-—Bd 206.—S. 149-155.
S hcheti nin A. N. On a class of compact homogeneous spaces
I // Ann. Global Anal. Geom.—1988.—V.6.-—P. 119-140.
Sh chetinin A. N. On a class of compact homogeneous spaces
II // Ann. Global Anal. Geom.-—1990.—V. 8.—P. 227--247.
S h i g a H., T е z u k a M. Rational ﬁbrations, homogeneous spaces
with positive Euler characteristics and jacobians // Ann. Inst.
Fourier.--— 1987.-— T. 37.~—— P. 81-106.
S h i g a H., T e z u k a M. Cohomology automorphisms of some
homogeneous spaces // Topology and its appl.———1987.— V. 25.-
P. 143--150. -
S t e i n s i e k M. Transformation groups on homogeneous-rational
manifolds // Math. Ann.—-1982.—Bd 260.—- S. 423-435.
S t e r n h e i m e r D. Extensions е: uniﬁcations d’algébres de Lie // J .
Math. Pures et Appl.—— 1968.—V..47.— P. 247-287.
S ulliva n D. Inﬁnitesimal computations in topology // Publ. Math.
I_HES.-— 1977.— V. 47.-—P. 269-331. .
T a k e u c hi M. On Pontrjagin classes of compact symmetric
spaces // J. Рас. Sci. Univ. Tokyo Sec. I.—l962.—V. .9.—P. 313-—
328.
Tit s J. Sur certaines classes d’espaces homogénes de groupes de
Lie // Mém. Acad. Royale Be1gique.—1955.—T. 29.
Tits J. Espaces homogénes complexes compacts// Comment. Math.
Helv.-— 1962.-—V. 37.——— P. 111— 120.
T s u k ad a E. Transitive actions of compact connected Lie groups
on symmetric spaces // Sci. Rep. Niigata Univ. (A).-— 1978.-— V. 15.-——-
P. 1--13.
W a n g H.-C. Homogeneous spaces with non-vanishing Euler charac-
teristics.—Ann. Math.-—-1949.-——V. 50.——- P. 925-953.
W a n g H.-C. Two-point homogeneous spaces // Ann. Math.--1952.—
V. 55.——Р. 177—191.

160.
161.
162.
163.
165.
166.
167.
список ЛИТЕРАТУРЫ 377
W a n g H.-C. Closed manifolds with homogeneous complex struc-
tures // Amer. J. Math.——-l954.—V. 76.—P. l—32.
W o l f J. Locally symmetric homogeneous spaces // Comment. Math.
Helv.—1962.--V. 37.— P. 65-101.
Wo 1 f J. The geometry and structure of isotropy irreducible
homogeneous spaces // Acta Math.—1968.—V. 120.—-P. 59-148.
W.u W.-T. Theory of 1*-functors in algebraic topology—real
topology of homogeneous space //Acta Math. Sinica.—l975.—
V. l8.——P. 162--172.-—(Km‘.)
. Ye n C.-T. Sur les polynomes де Poincaré des groupes de Lie
exceptionnels // C. r. Acad. Sci. Paris.——— 1949.——- T. 228.——- P. 628--630.
Yen C.-T. Sur les representations linéaires де certains groupes at
les nombres de Betti des espaces homogénes symétriques // C. r.
Acad. Sci. Paris.--1949.—T. 22,8.-—P. l367—1369.
Bott R., Samelson H. Application of the theory of Morse to
symmetric spaces // Amer. J. Math.—l958.—V. 80.———P. 964-1029.
S c h n e i d e r V. Transitive actions on highly connected spaces//
Proc. Amer. Math. Soc.-1973.-—V. 38, N 1.—P.179—-185.
-

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм О-многообразия 23
Автоподобие 30
Алгебра биградуированная 132
— Вейля 213
—- вещественных
многообразия 160
— градуированная 132
—- — двойственная 146
—- — каноническая 136
—-- — — свободная 138
— — — неразложимая 142
—- — коммутативная 133
— Г-градуированная 132
— 22-градуированная 132
— Грассмана 134
— дифференциальная биградуи-
рованная 162
-— —- градуированная 159
—— — —— абелева 172
— —— —- ациклическая 168
—- — — минимальная 171
— — -— неразложимая 327
—— — —— с разложимыми кограни-
цами 171
— —- —- стягиваемая 168
-— — —- формальная 172
— дифференцирований градуиро-
ванной алгебры 1 _
— Картана 174
— —- однородного пространства
251
— когомологий 160
—-— Козюля 174
— касательная 36
—- Клиффорда 56
—- Ли градуированная 133
— —— компактная 47
— —- — особая 67
— -- полупростая 48
—— — редуктивная 50
-— фильтрованная 157
когомологий
База расслоения 16
Базис системы корней 64
Биалгебра гомологий 205
—- градуированная 148
— — ассоциативная 149
— —-- двойственная 149
— —— коммутативная 149
— Понтрягина 205
Бикомплекс коцепной 162
—— цепной 162
Вектор касательный 15
— направляющий 35
—- старший 71
Вес доминантный 71
— старший 71
-— представления 62 _
— фундаментальный 68
Включение между действиями 112
Голоморф 99 _
Гомоморфизм градуированных
биалгебр 149 1
——коалгебр 145
— групп Ли 19
— дифференциальных градуиро-
ванных алгебр 161
—- комплексов 158
— характеристический 260
Гомоморфизмы комплексов го-
мотопные 167
— сопряженные 77
——при помощи Aut G 77
Градуировка внешняя 174, 259
— конечная 129
—- ограниченная слева (справа)
Г-градуировка 128
Градуировки согласованные 130
Граница 158
Группа Вейля 64

пввдмвтньпи УКАЗАТЕЛЬ
— внутренних автоморфизмов 42
— изотропии линейная 66
— Ли 18
-— —- компактная особая 67
— — полупростая 49
—-— — преобразований 45
-- -— простая 49
—— —— редуктивная комплексная 50
—- линейная алгебраическая 27
—- накрывающая 31
— ортогональная 51
— присоединенная 20
—- симплектическая 51
— спинорная 57
— унитарная 45
— —- кватернионная 45
Действие асистатическое 98
—— внутренними автоморфизмами
22 -
— группы’ Ли 20
— двусторонними сдвигами 22
— исключительное 290
——-— левое 21
— левыми сдвигами 21
—-— линейное 21
—— локально эффективное 21
—- накрывающее 32
— неприводимое 101
— правое 21
—— правыми сдвигами 22
-— приводимое 101
— просто транзитивное 28
— расщепимое 323
—свободное 28
— систатическое 98
— транзитивное 25
— тривиальное 21
— эффективное 21
Действия изоморфные 23
— локально подобные 90
— подобные 29
Дефект идеала 185
'-— однородного пространства 261
Диффеоморфизм 14 р
Дифсэеренциал отображения 15
Дифференцирование 41
— градуированной алгебры 139
Длина компактной группы Ли 224
Идеал нульмерный 185
Изометрия 45 _ -
Изоморфизм градуированных би-
алгебр 149
‘м-‘ЕЗБрЁь див, ‚ д- ___ _ _ _ „ „лада, ‚ ~‘?'.'5"-I `. ‘Г; I-'-*7 "V ";._‘«,7:f".’_.' д "ч:
379
ИЗОМОРФИЗМ Градуированных ко-
алгебр 149
—— действий (ЕЁ-многообразий) 23
—- локальный 37
— систем векторов 66
В-инвариант 257
Индекс (Дынкина) гомоморфизма
80
—-— подгруппы 80
— представления 82
Интеграл (на многообразии) 104
Камера Вейля 64
Квадрика 298
Квазиизоморфизм дифференци-
альных градуированных алгебр
161
— комплексов 159
Коалгебра градуированная 145
-—-— — двойственная 146
Кограница 158
Коединица 145 .
Коммутант алгебры Ли 42
— группы Ли 42
Коммутатор 16
Коммутирование 37
Комплекс двойственный 158
— коцепной 158
—--—алгебры Ли 195
——-— цепной 158
-——-- алгебры Ли 197
Комплексификация алгебры 50
Координаты касательного век-
тора 15
Коранг однородного простран-
ства 258, 267’
Корень 62
— максимальный 85
— отрицательный (положитель-
ный) 64
— простой 64
— старший 85
Коумножение 145
- ассоциативное
ное) 145
Коцикл 158
Кривая гладкая 14
(коммутатив-
Многообразие 14
— вещественно п-связное 324
— Г рассмана 22
—-— кватернионное 92
—-— конечного типа 160
—— накрывающее 31

380 пгвдмвтныи УКАЗАТЕЛЬ
Многообразие неразложимое 327
-— однородно неразложимое (раз-
ложимое) 328
—- однородное 94
—- —— комплексное 296
-- — хопфово 269
—— разложимое -327
-—— риманово 45
—- -- симметрическое 109
—— п-связное 323
-— флагов 297
— — кватернионное 349
-- флаговое 296
— формальное 173
—- Штифеля 93
(Ё-многообразие 21 _
Многообразия гомотопически эк-
вивалентные 168
—— П-эквивалентные 173 .
(Ё-многообразия изоморфные 23
Многочлен антиинвариантный
238
— Пуанкаре 132 _
— ——- многообразия 160
Модель групповая 89
--— минимальная дифференциаль-
ной градуированной алгебры 172
——- — многообразия 173
Модуль градуированный 136
В-модуль 164
Морфизм действий 23
—— —- (обобщенный) 29
— расширений 289
Накрытие 31
— действия 32
—-— односвязное 31
—-— расширений 289
Образ при трансгрессии 217
Одночлен нормальный 153
Оператор, гомотопии 167
—-— градуирующий 131
—— граничный 158 .
— дифференцирования по напра-
влению поля 16
— Казимира 82
— кограничный 158
— усреднения 104
Орбита 24
Отметки веса числовые 71
Отображение гладкое 14
— накрывающее 31
——- орбитное 24
и
1
Отображение Плюккера 302
— факторное 15
— эквивариантное 23
— экспоненциальное 35
Отображения гладко гомотопные
167
— гомотопные 168
Оценка 156
Пары алгебр Ли (групп Ли) изо-
морфные 90 _
— групп Ли локально изоморф-
ные 91
Плотность 104
Погружение 15
Подалгебра Самельсона 262
— симметрическая 108
— характеристическая 259
Подалгебры сопряженные 84
—-— при помощи Aut a 84
Подгруппа алгебраическая веще-
ственная 53
— борелевская 87
— весов 68
— Ли 24
— ——- виртуальная (погруженная)
24 -
— — двойственная 44
-—— —- негомологичная нулю 269
— — симметрическая 108
—— максимального ранга 83
—— однопараметрическая 35
—— параболическая 87
—-— стационарная 24
Подгруппы сопряженные 76
—--при помощи Aut G 76
Подкомплекс 159
Подмногообразие 14
— погруженное 15
Подобие 29
-— расширений 95
Подпространство градуированное
128
— Самельсона 262
Подсистема системы корней за-
мкнутая 84 _
-- —— — параболическая 88
—-— —-— — симметрическая 84
Показатель 237
Поле векторное 16
— —- киллингово 26
— — левоинвариантное 35
—— — правоинвариантное 35
—— — полное 34

пгвдмвтньпи" УКАЗАТЕЛЬ 381
Поле векторное скоростей 34
-—- — фундаментальное 42
— тензорное 17
— —- инвариантное 18
Последовательность регулярная
175
Поток 21
Представление базисное 71
—— векторное 57
-— изотропии 96
—— каноническое 182
-— линейное 19
—- — градуированной
Ли 164
— ортогональное 73 .
—— полиномиальное 26
—- полуспинорное 58
—-‘присоединенное алгебры Ли 38
— —— градуированной алгебры
40
алгебры
.Ли1
—— группы Ли 20’
—-— самосопряженное 72
— симплектическое 73
——- сопряженное 19
—— — градуированной
Ли 164
— спинорное 57
Преобразование Кокстера 237
Проекция расслоения 16
Произведение локально прямое
49
алгебры
—— представлений 19
—— прямое действий (б-многооб-
разий) 23
— -— многообразий 2
—— тензорное градуированных би-
алгебр 149
— — -— коалгебр 146
— -—- дифференциальных градуи-
рованных алгебр 163
—— -— комплексов 163
Производная Ли 34 _
Пространство векторное биграду-
ированное 129
— — градуированное 129
— — —- сопряженное 131
— — —— степенью 128
— -— Г-градуированное 128
— —— —— конечного типа 128
— гомологий 158
-— гомотопически простое 111
— касательное 15
— когомологий 158
— однородное 25
Пространство однородное изо-
тропно неприводимое 106
—- — исключительное 290
— — проективное 299
— — редуктивное 96
-- — риманово 307
— -—- симметрическое 109
— — флаговое 296
— расслоения 16
— расслоенное 15
Пфаффиан 235
Радикал алгебры Ли 50
— группы ЛИ 50
Разложение алгебры Ли 115
—-— весовое 62
—' группы 113
— каноническое 347
-- корневое 62
— неприводимое 124
— с тривиальным пересечением
113 `
Разложения симметричные 282
— эквивалентные 282
Размерность представления 19
Ранг компактной группы Ли 59
— однородного пространства
257, 267
— отображения 16
Расслоение 15
— Титса 303
—-— тривиальное 16
Расширение действий 31
—— естественное 100
—- собственное 31
—— типа 1 288
--- —- II 288
— -—— III 288
Расширения локально подобные
289
— подобные 95
1‹-репер 93
Pcmenca 39
— корней 68
Ряд Пуанкаре 132
Сдвиг левый (правый) 22
Система векторов допустимая 65
—-— образующих алгебры 136
— —-— минимальная 137
— — модуля 136
-——свободная 138
— простых корней расширенная
6

382 пгвдмвтньхй УКАЗАТЕЛЬ
Системы векторов изоморфные 66
Скобка Ли 16
Слой 16
Стабилизатор 24
Степень вторая 129
-— линейного отображения 128
— первая 129
—— полная 129
—— элемента 128
Структура кватернионная 54
— комплексная 53 . ‘
— почти комплексная 46
— риманова 45
— ——— естественная 76
Сужение действий 31
— собственное 31
Сумма представлений 19
Супералгебра 132
— Ли градуированная 133.
Суперпространство 129
Схема Дынкина 66
——- — расширенная 86
Теорема А. Картана 252
——- Кюннета алгебраическая 163
———- топологическая 163
Тип гомотопический 168
— классический 67
— простой компактной алгебры
(группы) Ли 67
Типичный слой 16
Тор 47
——— комплексный 49
— стандартный 19
Точка неподвижная 21
Трансгрессия 217
Тривиализация 16
Тройка алгебр Ли 115
— групп 113
——- — Ли 115
Тройки изоморфные алгебр Ли 118
— — групп 114
— локально изоморфные групп
Ли 118
Умножение внешнее 165
—'внутреннее 165
—- скалярное 46
Фактордействие 24
Факторкомплекс 159
Фильтрация возрастающая (убы-
вающая) 156
Флаг 297
— полный 297
Ёрорма билинейная инвариантная
7
— вещественная алгебры 50
——группы Ли 50
— дифференциальная 17
-— Киллинга 47
— полилинейная симметрическая
147
— правоинвариантная 194
-— эрмитова 54
— ——— положительно определенная
54
с1-форма 17
Характер группы Ли 61
— представления 73
Характеристика эйлерова 132
——— многообразия 160
Центр группы Ли 26
Централизатор подмножества 26
— элемента 26
Цикл 158
Число Бетти 160
—-Кокстера 237
Элемент Нечетный (четный) 129
——- однородный 128
— примитивный 150
— разложимый 133
— трансгрессивный 217
с-эквивалентность 172

Научное издание
ОНИЩИКАрхадий Львович
ТОПОЛОГИЯ ТРАНЗИТИВНЫХ ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Заведующий редакцией А. П. Босса
Редактор Ф. И. Квакер
Художественный редактор I‘. М. Карасики
Технический редактор Е. В. Морозом
Корректор O.M. Карлом
ИВ N! 41359
ЛР N! 020297 от 27.11.91
Сдано в набор 16.11.92. Подшсаво к печати 14.02.94.
Формат 60X84/ 16. Бумага тип. N9 2. Гарнитура тайме.
Печать офсетная. Уса. new. л. 22,4. Усл. xp.-orr. 22,4.
Ya.-nan. л. 21,4. Тира: 1000 экз. Заказ M22224, C-002.
Издательская фирма ‘!‘._...... ........ щштератураэ РАН
117071 Москва B-71, ленинский проспект. 15
Государственное ордена Октябрьск! Революции, ордена
‘Трудовом Краснею Знак Московское предприятие «Первая
пои: типографии» Министерства печати и информации
Российской Федерации. 113054 Москва M-54, Валовая, 28
Ошечапао с готовых диапозитивы в
Московской типографии N9 2 PAH .
121099 Москва I‘-99, 1IIy6nIcxxil nep., 6

Arkady L. Onishchik
TOPOLOGY OF TRANSI'I‘IVE TRANSFORMATION GROUPS
Moscow, Fizmatlit Publishing Company, 1994, 384 рр.
Readership. The- book is addressed to students and researchers in Lie
groups, geometry and topology.
Summary. The book is devoted to the problem of the classiﬁcation
of transitive actions of compact Lie groups on a given homogeneous
space. It also contains an exposition of the real cohomology and
real homotopy of the homogeneous spaces of compact Lie groups
and an introductory chapter about Lie groups and their homogeneous
spaces. The author gives, in particular, a detailed exposition of
H. Cartan’s theorem on the real cohomology of homogeneous spaces
of compact Lie groups, a construction of Sullivan’s minimal model
of a homogeneous space, the description of the factorizations of
simple compact Lie groups, the classiﬁcation of the transitive
actions of compact Lie groups on spheres and other homogeneous
spaces“ .
Contents. Lie groups and homogeneous spaces. Graded algebras and
cohomology. Real topology of compact Lie groups and their
homogeneous spaces. Inclusions between transitive transformation
groups. On the classiﬁcation of transitive actions.
The author.- Arkady L. Onishchik is Professor of Mathematics of
Yaroslavl University, D. Sc. in Mathematics, the author of numerous
papers in algebra, topology and geometry and of textbooks in
algebra and geometry. His book on Lie groups‘ and algebraic
groups (in collaboration with E. B. Vinberg) was published by
Nauka in 1988 and by Springer-Verlag in 1990.