Алгебра. Топология. 1962 - Гамкрелидзе Р.В.

Автор: Гамкрелидзе Р.В.
Теги: математика алгебра топология
Год: 1963
Похожие
Топология
Алгебраическая топология
Общая топология
Топология. Том 2
Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ
ИТОГИ
НАУКИ
АЛГЕБРА. ТОПОЛОГИЯ
1962
Москва 1 963

АННОТАЦИЯ
Выпуск «Алгебра. Топология» содержит обзоры по j£
следующим вопросам алгебры: группы Ли и однород- ■
ные пространства, полугруппы, кольца, модули, теория
категорий, а также по теории гомотопий, дифференци-
дифференциальной топологии, геометрической топологии евклидовых
пространств и теории графов. В выпуске освещается,
в основном, литература, вышедшая в свет в 1960—
1962 гг.
Ответственный редактор |
октор физ.-матем. наук Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ } j

ОТ РЕДАКЦИИ
За последние годы выпускается большое количество научных статей и ра-
работ, следить за которыми даже специалисту узкого профиля становится все-
труднее и труднее.
Задача математической серии «Итоги науки» — научно обобщить и систе-
систематизировать достижения в отдельных отраслях науки по материалам, опубли-
опубликованным в Реферативном журнале «Математика» за последнее время.
Выпуск «Алгебра. Топология» составлен в основном по рефератам, опуб-
опубликованным в Реферативном журнале «Математика» в 1960—1962 гг. К каж-
каждой статье прилагается библиография вопроса со ссылкой на реферат.
Редакция обращается ко всем читателям с просьбой прислать свои отзывы
и пожелания в отношении дальнейшей формы и содержания выпусков «Итоги
науки» по адресу: Москва, А-219, Балтийская ул., 14, Отдел математики.

ГРУППЫ ЛИ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Э. Б. Ванберг
В настоящий обзор включены главным образом работы, про-
прореферированные в 1961 —1962 г., т. е. появившиеся в печати в
1959 г. — начале 1962 г. Однако в отдельных случаях излагаются
результаты более ранних или более поздних работ, а также работ,
не прореферированных в журнале. В связи с тем, что имеются
обзоры М. А. Наймарка по теории представлений и С. П. Новико-
Новикова и М. М. Постникова по топологии, вопросы представлений и то-
топологии групп Ли в настоящем обзоре почти не затронуты. Совер-
Совершенно не упоминаются работы по алгебрам Ли и алгебраическим
группам над полем конечной характеристики.
Как правило, в обзоре рассматриваются только оригинальные
работы. Поэтому необходимо хотя бы указать здесь на моногра-
монографии Н. Бурбаки [21] и Н. Джекобсона [45] по теории алгебр Ли,
монографию С. Хелгасона [114] и лекции Ж. Л. Козюля [59] по
симметрическим пространствам, лекции Ф. Брюа [20] по основам
теории групп Ли, обзоры Ж. Титса [107] и Вана [22] по геометрии,
однородных пространств и многочисленные сообщения по теории
групп Ли на семинаре Бурбаки, изданные 'в Париже вторым
изданием в 1959—60 г. и прореферированные в 1961—62 г.* Отме-
Отметим также, что в 1962 г. вышел русский перевод трудов семинара
«Софус Ли» 1954—55 г. под названием «Теория алгебр Ли. Топо-
Топология групп Ли».
Группы Ли, встречающиеся в обзоре, мы будем предполагать,
как правило, связными и обозначать готическими буквами; алгеб-
алгебры Ли будут обозначаться соответствующими (прописными) ла-
латинскими буквами. Так, если ©—группа Ли, то под символом G
без специальных оговорок будет подразумеваться ее алгебра Ли.
* Эти сообщения не включены в список литературы.

§ 1. ПОЛУПРОСГЫЕ ГРУППЫ ЛИ
1. Значительная часть работ по полупростым группам Ли
была посвящена вещественным группам. Благодаря усилиям раз-
различных математиков, структура вещественных полупростых групп
Ли изучена теперь почти так же досконально, как и структура
комплексных (или компактных) полупростых групп Ли.
А. И. Сирота изучал вещественные полупростые группы Ли
в целом. Он нашел центры и ядра конечномерных линейных пред-
представлений всех таких групп [100], [101]. В частности, линеари-
линеаризующий нормальный делитель (пересечение ядер всех конечномер-
конечномерных линейных представлений) вещественной полупростой группы
Ли © находится, согласно Сироте, следующим образом. Пусть
G — алгебра Ли группы <$ и К — компактная алгебра Ли той же
комплексной структуры, что и G. Тогда существует такой инво-
лютивный автоморфизм т алгебры /С, что G^K+ + iK_, где /С+ =
= {xGK'tx = х), /(_ = {xQK'tx = — х). Выберем в К картанов-
скую подалгебру вида Н = Н+ + Н_, где Н+ — кар танов екая
подалгебра в /С+, а На{(. Условимся обозначать через Г0(Л)
для всякой компактной алгебры Ли А решетку в ее картанов-
ской подалгебре, являющуюся полным прообразом единицы при
экспоненциальном отображении алгебры А в соответствующую
ей односвязную группу. В этих обозначениях линеаризующий
нормальный делитель $1 группы © является образом решетки
Г0(/()П//+ при экспоненциальном отображении. Если группа ®
односвязна, то 91^(Г0(/С)П//+)/Г0 (/С+).
В работе [102] А. И. Сирота привел метод нахождения цент-
центров простых подгрупп односвязных вещественных прэ:ты* групп Ли.
М. Сугиура [103] классифицировал с точностью до сопряжен-
сопряженности подалгебры Картана вещественных полупростых алгебр
Ли. Пусть G — такая алгебра Ли, /С, К+ и К_ — те же, что и
выше. Выберем в 1К_ максимальную коммутативную подалгеб-
подалгебру М. Тогда всякая картановская подалгебра в G сопряжена
«стандартной» подалгебре вида Н = Н+ + //_, где H+czK+, H_aM.
Пусть Но — картановская подалгебра комплексной оболочки Gc
алгебры G, содержащая М, и W— группа Вейля алгебры Gc от-
относительно Ио. Б. Костант (В. Kostant, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.,
1955, 41, 967—970) опубликовал без доказательства следующий
результат: стандартные картановские подалгебры Н^1)=Н^-{-Н^
(i = 1,2) сопряжены тогда и только тогда, когда ортогональные
дополнения к Н^} и Н^ в М сопряжены относительно группы W.
В [103] доказано это утверждение и найдено условие того, чтобы
подпространство РаМ играло роль Н_ для некоторой стандарт-
стандартной картановской подалгебры Н. Это условие, по-видимому, более
эффективное, чем аналогичное условие Костанта, состоит в том,
что ортогональное дополнение к Р в М должно быть, цатянуто
c

на систему S корней алгебры Gc относительно #0, лежащую в
М и обладающую следующим свойством: если a, CGS,
то а + Р, а — р — не корни. Наряду с этими общими результата-
результатами, имеется перечисление всех типов картановских подалгебр для
каждой из простых вещественных алгебр Ли. Близкие результа-
результаты получил Чен Чунь-ху [117], [118].
Г. Д. Мостов [75] выяснил структуру максимальных аналити-
аналитических подгрупп полупростых вещественных групп Ли. Пусть
<§ — полупростая вещественная группа Ли с конечным центром,
<SX — максимальная подгруппа группы ©. Если группа <&х уни-
модулярна, то ее радикал компактен. В противном случае фак-
торпространство ©/®х компактно, и алгебра Ли G1 может быть
описана следующим образом:
Для всякого элемента ftGG и действительного числа а обозна-
обозначим через Ga(h) собственное подпространство оператора ad ft, от-
отвечающее собственному значению а. Тогда G{ = 2 Ga(h)9 где h —
такой элемент из G, для которого оператор ad h полупрост и
имеет действительные собственные значения.
В той же работе [75] Г. Д. Мостов описал максимальные раз-
разрешимые подалгебры вещественной полупростой алгебры Ли G.
Пусть Н — картановская подалгебра алгебры G и И_ — подпро-
подпространство, образованное теми элементами h£H, для которых опе-
оператор ad/i имеет действительные собственные значения. Пусть,
далее, А6//_ — такой элемент, что всякий корень алгебры G, об-
обращающийся в 0 на /г, обращается в 0 на всем пространстве //_-
Тогда подалгебра // + 2 ^аС1) является максимальной разреши-
разрешило
мой подалгеброй алгебры G. Все максимальные разрешимые под-
подалгебры могут быть получены таким путем. В работе указаны
условия, при которых две такие подалгебры сопряжены относи-
относительно внутреннего автоморфизма алгебры G. Оказывается, что
для этого недостаточно, чтобы они содержали одну и ту же
картановскую подалгебру Н.
Линейная группа Ли $ называется треугольной, если в неко-
некоторой базе все операторы из <$ записываются верхними треуголь-
треугольными матрицами. Г. Д. Мостов [75] и Э, Б. Винберг [31] до-
доказали, что все максимальные связные треугольные подгруппы
вещественной линейной группы сопряжены относительно внутрен-
внутренних автоморфизмов. Доказательство Мостова алгебраическое; до-
доказательство Винберга основано на идее неподвижной точки.
Впрочем, этот результат можно вывести из аналогичной теоремы
А. Бореля и Р. Годмана (R. Godement, Sem. Bourbaki, no. 206,
1960) для алгебраических групп над произвольным совершенным
полем.

Отметим, наконец, работу Ивахори [49], в которой в модер-
модернизированной форме излагается метод Э. Картана отыскания всех
неприводимых вещественных линейных представлений групп Ли
путем сведения к комплексному случаю.
2. Пусть G — полупростая комплексная алгебра Ли. Для
всякой линейной формы *fi на картановской подалгебре алгебры
G обозначим через Р (\ь) число ее разбиений в сумму положитель-
положительных корней. Б. Костант [63] вывел следующую формулу для
кратности тп\ (\i) веса р з неприводимом представлении алгебры
G со старшим весом X:
™>х ((х)= 2 det s-P (s(p + X) - (р + ix)),
sQW
где р — полусумма положительных корней, W — группа Вейля.
Доказательство Костанта было чрезвычайно громоздким. Позд-
Позднее П. Картье [55] дал очень простое и короткое доказательство
этой формулы. Р. Штейнберг [120] заметил, что с помощью фор-
формулы Костанта можно получить следующее выражение для
кратности /Zx,jx(v), с которой неприводимое представление алгебры
G со старшим весом v входит в тензорное произведение ее не-
неприводимых представлений со старшими весами X и [х:
Ъ# (VH 2 det rs-P(r (p + X) + s (p + ji) - Bр + v)).
r,s£W
К теории конечномерных линейных представлений полупростых
групп Ли следует отнести классификацию Э. Б. Винбергом [29]
всех «транзитивных» линейных представлений простых комплекс-
комплексных групп Ли, т. е. представлений, не имеющих непрерывных
инвариантов. Отметим, что для всех полупростых комплексных
групп Ли эта задача пока не решена.
В. Т. Симония [99] нашел базисные инварианты простейшего—
7-мерного — представления особой простой комплексной группы
Ли типа G2.
3. Замечательным достижением последних лет является от-
открытие общего метода вычисления чисел Бетти компактной груп-
группы Ли по системе ее корней. Этот метод был открыт эмпири-
эмпирически Р. Штейнбергом [119] и А. Шапиро и обоснован априорно
Б. Костантом [64]. Состоит он в следующем. Как известно,
многочлен Пуанкаре компактной группы Ли ^ имеет вид
П о + t2mi+l),
где mt — целые неотрицательные числа, г—ранг группы $. Для
вычисления чисел Бетти группы $ достаточно найти систему
чисел М={пги ..., mr}. Пусть аг, ..., ап (п < г) — простые корни
8

группы я. Всякий положительный корень а записывается единст-
единственным образом в виде
а = 2 kfll9
где kt — целые неотрицательные числа. Положим
п
| а | = 2
и обозначим через Ьт число положительных корней а, для кото-
которых |а| = т. Кроме того, будем считать Ьо = г. Тогда кратность,
с которой данное число /я входит в систему М9 равна bm — bm+l.
Общее доказательство пригодности этого способа, данное Кос-
тантом, основывается на некоторых свойствах группы Вейля и
главной трехмерной подалгебры комплексной алгебры Ли G, со-
соответствующей группе й. Фундаментальную роль играет элемент R
группы Вейля, являющийся произведением отражений, связанных
со всеми простыми корнями. Обозначим через h порядок этого эле-
элемента. Еще раньше Колман установил (A. J. Coleman, Canadian
J. Math., 1958, 10, 349—356), что собственные значения элемента R
равны гт1 где е — первообразный корень /i-той степени из едини-
единицы. Поэтому задача Костанта сводилась к вычислению собствен-
собственных значений оператора R.
Некоторые соотношения для группы Вейля и системы корней
полупростой группы Ли, связанные с рассмотренной выше зада-
задачей и найденные ранее эмпирическим путем Кокстером (Н. S. М.
Coxeter, Regular polylopes, New York, 1949) доказал непосред-
непосредственно P. Штейнберг [119]. Главные из этих соотношений в пре-
предыдущих обозначениях могут быть записаны так:
1) число корней алгебры G равно nh,
2) h— I + | я|з |, где г|) — старший корень.
Хотя мы и не даем здесь полного обзора работ по топологии
групп Ли, хочется в связи с работами по вычислению чисел Бетти
отметить работы А. Л. Онищика [81], А. Бореля [16], [17],
С. Араки [1], [2], С. Араки и Й. Сикаты [3], в которых исследуется
кручение в когомологиях особых групп Ли. А. Борель, С. Араки
и Й. Сиката вычислили алгебры когомологий по модулю р для
всех особых групп Ли и всех простых р. А. Борель сделал следую-
следующее интересное наблюдение: компактная связная группа Ли не
имеет р-кручения тогда и только тогда, когда всякая конечная
абелева подгруппа типа (р,..., р) содержится в некотором торе.
4. Цикл работ А. Л. Онищика посвящен решению следующих
двух задач:
1) найти все подгруппы компактной группы Ли $, транзитив-
но действующие на однородном многообразии $/Л', где я'—
замкнутая подгруппа группы й;

2) найти все компактные группы Ли, транзитивно действую-
действующие на данном компактном многообразии.
Очевидно, что вторая задача включает в себя первую. Для
/г-мерной сферы она была решена Монтгомери и Самельсоном
(D. Montgomery, H. Samelson, Ann. Math., 1943, 44, 454-470)
и Борелем (A. Borel, CR. Acad. Sci. Paris, 1950, 230, 1378 —
1380).
Первая задача полностью решена в работах Онищика [78],
[79], [83]. Она сводится к отысканию всех троек {^, #', ^"},
где $ — компактная группа Ли, $' и $" — ее подгруппы, об-
обладающие тем свойством, что £'$"=:Ж. Такие тройки названы Они-
щиком разложениями. В указанных работах найдены все разло-
разложения. При этом основную роль играли открытые Онищиком
топологические свойства разложений. Так, если {£, $', $"} — раз-
разложение и и = й'П^"> то многочлены Пуанкаре групп $, st\ $" и
U связаны следующим равенством:
Решение второй задачи, очевидно, равносильно выявлению
всех гомеоморфизмов между однородными пространствами ком-
компактных групп Ли. Онищику [82], [84] удалось построить неко-
некоторые топологические инварианты многообразия Ж/Ж', эффективно
вычисляемые по группе Ж и подгруппе Жг. В частности, оказа-
лось, что таким инвариантом является отношение р . ' . С по-
помощью подобных соображений в [82], [84] для некоторых клас-
классов компактных многообразий найдены все транзитивно действую-
действующие на них компактные группы Ли.
В работе Онищика [80] рассмотрен комплексный аналог за-
задачи 1), в котором роль компактных групп играют редуктивные
комплексные группы Ли*. Эта задача сводится к компактному
случаю.
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ ЛИ
1. На первом месте здесь следовало бы поставить работы
Ж- Диксмье и А. А. Кириллова, создавших изящную теорию уни-
унитарных представлений нильпотентных и вполне разрешимых групп
Ли. Однако по этому поводу мы отошлем читателя к статье
М. А. Наймарка.
О работах по дискретным подгруппам разрешимых групп Ли
см. § 5 настоящей статьи.
* Комплексная группа Ли © называется редуктивной, если она является
универсальной комплексной оболочкой своей максимальной компактной под-
подгруппы. Всякая полупростая комплексная группа Ли редуктивна.
10

Об одном классе разрешимых групп Ли, введенном И. И. Пя-
тецким-Шапиро и связанном с однородными ограниченными обла-
областями в n-мерном комплексном пространстве, см. § 4 настоящей
статьи.
2. Ж. Тите f 108], [10Э] изучал свойство «продолжаемости»
подгрупп связной вещественной группы Ли @. Замкнутую под-
подгруппу fie© он назвал продолжаемой, если существует такая
замкнутая подгруппа £ic<3, содержащая ф, что dim$J/$=l.
Основная теорема Титса гласит, что связная компонента едини-
единицы пересечения всех непродолжаемых замкнутых подгрупп,
имеющих конечное число связных компонент, совпадает с наи-
наибольшим связным нормальным делителем sft, обладающим такой
последовательностью замкнутых подгрупп
каждая из которых является нормальным делителем группы @,
что dim ^/^-1=1. В частности, для того чтобы всякая замкну-
замкнутая подгруппа группы ®, имеющая конечное число связных ком-
компонент, была продолжаема, необходимо и достаточно, чтобы
группа <§ была вполне разрешима. Эти результаты остаются
справедливыми, если рассматривать только связные подгруппы
или перейти к алгебрам Ли. Для комплексных алгебр Ли основ-
основная теорема имеет одно исключение: когда максимальная полу-
полупростая подалгебра данной алгебры Ли трехмерна.
3. Г. Б. Гуревич [42] и М. М. Каменская [53], [54] продолжали
исследования по стандартным линейным алгебрам. Напомним, что
стандартной линейной алгеброй называется подалгебра полной
линейной алгебры Ли L(n), нормализатор которой содержит мак-
максимальную треугольную подалгебру алгебры L(n). Это понятие
было введено Гуревичем (Мат. сб., 1954, 35, 437—460).
Стандартная линейная алгебра Ли, состоящая из нильпотент-
ных эндоморфизмов, называется стандартной нуль-алгеброй. В ра-
работе [42] Г. Б. Гуревич нашел все полухарактеристические (инва-
(инвариантные относительно всех дифференцирований) и характеристи-
характеристические (инвариантные относительно всех автоморфизмов) идеалы
стандартных нуль-алгебр.
М. М. Каменская [53], [54] изучала разрешимые стандартные
линейные алгебры Ли. Она определила структуру алгебры диффе-
дифференцирований произвольной разрешимой стандартной алгебры и
нашла необходимые и достаточные условия изоморфизма двух
разрешимых стандартных алгебр.
3. И. Залманович [47] рассматривала линейные алгебры Ли
более общего вида, чем стандартные: алгебры Ли, нормализатор
которых в L(n) не имеет кратных весов. Полученные результаты
она применила к изучению так называемых ортогонально допол-
дополняемых линейных алгебр Ли — таких линейных алгебр Ли, для ко-
11

торых их сумма с ортогональным дополнением в L(n) есть также
алгебра Ли.
4. В работе С. Того [ПО] исследуется алгебра D(G) дифферен-
дифференцирований конечномерной алгебры Ли G над полем характери-
характеристики 0. Устанавливаются различные общие свойства алгебры
D(G) и их связь со свойствами алгебры G. Так, доказывается, что
алгебра D(G) абелева только тогда, когда G одномерна; если
алгебра Д(б)нильпотентна, но не абелева, то она состоит из ниль-
потентных элементов и т. п. Приводится пример неизоморфных
алгебр Ли, обладающих изоморфными алгебрами дифференциро-
дифференцирований,
Г. Ф. Леджер [68] построил пример такой алгебры Ли G с ра-
радикалом R, что алгебра D(G) расщепляема над идеалом внут-
внутренних дифференцирований, а алгебра D(R) этим свойством не
обладает.
Г. Б. Гуревич в работах [43], [44] рассмотрел один класс мет-
абелевых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем. При
посредстве алгебры дифференцирований ему удалось построить
полную систему инвариантов для этих алгебр Ли.
5. Укажем еще на две работы, посвященные универсальной
обертывающей алгебре U(G) разрешимой алгебры Ли G.
Р. Берна [13] доказал, что если алгебра G вполне разрешима
(т. е. обладает инвариантным рядом с одномерными факторами),
то центр тела частных кольца U(G) является чисто трансцендент-
трансцендентным расширением основного поля. Степень этого расширения не
превосходит размерности алгебры G.
Обозначим через S(G) симметрическую алгебру над G и че-
через ф — канонический изоморфизм векторного пространства U(G)
на S(G). Известно, что образ центра С алгебры U(G) при отобра-
отображении ф совпадает с множеством / инвариантов алгебры S(G).
Ж. Диксмье [46] доказал, что если алгебра G нильпотентна, то ото-
отображение ф индуцирует изоморфизм алгебры С на алгебру /. Он
же доказал, что в этом случае С является кольцом с однозначным
разложением на простые множители.
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
И ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ
1. Следующие две работы посвящены римановым пространст-
пространствам в целом.
Нагасава [76] доказал, что если в однородном римановом
пространстве да не существует замкнутых геодезических и через
любые две точки проходит не более одной геодезической, то
группа изотропии многообразия да в какой-либо его точке состоит
из всех ортогональных преобразований касательного пространства
12

в этой точке, сохраняющих тензор кривизны и все его ковариант-
ные производные.
Риманово многообразие эд называется инфинитезимально одно-
однородным, если для любых двух точек из з# существует изометрия
касательных пространств в этих точках, сохраняющая тензор
кривизны и все его ковариантные производные. Зингер [48] до-
доказал, что всякое полное односвязное инфинитезимально одно-
однородное риманово многообразие однородно в обычном смысле.
2. В этом пункте $ будет обозначать связную компактную
группу Ли, И—ее замкнутую подгруппу. На многообразии $/и
можно, вообще говоря, различными способами вводить инвариант-
инвариантную риманову метрику. Если инвариантная метрика на st/U инду-
индуцирована инвариантным скалярным умножением в алгебре Ли
группы $, то мы будем называть ее канонической.
Г. Самельсон [97] установил, что в канонической метрике
кривизна многообразия ^/Ц по всем двумерным направлениям
неотрицательна. Отсюда, получается новое доказательство того,
что эйлерова характеристика х(^/*0 многообразия $/а неотри-
неотрицательна; если же И —подгруппа максимального ранга в Jt, то
(/)о
)
М. Берже [12] нашел все односвязные однородные многообра-
многообразия g/u, которые в канонической метрике имеют строго положи-
положительную кривизну по всем двумерным направлениям.
Б. Костант [62] изучал группу голономии многообразия $/ц и
выяснил, что ее приводимость зависит, вообще говоря, от выбо-
выбора инвариантной метрики. Однако в том случае, когда естест-
естественное линейное представление группы U в касательном про-
пространстве к многообразию $/и разлагается в прямую сумму попар-
попарно неэквивалентных неприводимых представлений, выбор инва-
инвариантной метрики не влияет на приводимость группы голономии.
Если х(^/*0>0> то группа голономии неприводима тогда и толь-
только тогда, когда группа st простая.
О. В. Мантуров [69], [70] перечислил все односвязные одно-
однородные многообразия $/U с неприводимой группой изотропии для
случаев, когда st—простая компактная группа классического типа.
3. Пусть у—некоторая группа движений риманова многообра-
многообразия зя. Говорят, что И действует на да вариационно полным
образом, если всякое непрерывное семейство геодезических, про-
проходящих через одну точку и ортогональных к какой-либо орбите
группы £1, получается из одной геодезической движениями из
группы И. Р. Герман [39] доказал, что всякая симметрическая*
подгруппа группы движений компактного симметрического про-
* Подгруппа Н группы $ называется симметрической, если она является
множеством неподвижных точек некоторого инволютивного автоморфизма
группы ^.
13

странства go? действует на ш вариационно полным образом.
Раньше это было известно для стационарной подгруппы (R. Bott,
Н. Samelson, Amer. J. Math., 1958, 80, 964—1029).
А. С. Феденко [112] классифицировал симметрические псевдо-
римановы пространства с простыми группами движений класси-
классических серий.
Л. В. Сабинин [93] изучал римановы пространства, с каждой
точкой которых связаны три перестановочных инволютивных
движения, являющихся отражениями в трех ортогональных впол-
вполне геодезических «зеркалах». Такие пространства он назвал три-
симметрическими. Отыскание всех трисимметрических римановых
пространств с полупростой группой движений ® сводится к
отысканию троек {Slf 52, S3} перестановочных инволютивных
автоморфизмов группы ®, для которых S1S2=S3 и П0ДгРУппа
элементов, неподвижных при действии Su S2 и 53, компактна.
Группа © разлагается в прямое произведение минимальных нор-
нормальных делителей, инвариантных относительно Su S2 и S3. Как
показал Л. В. Сабинин, каждый из этих нормальных делителей
является прямым произведением k изоморфных простых групп,
где &=1, 2 или 4. Во всех этих случаях в [93] указано строение
соответствующих трисимметрических пространств.
4. Интересный класс однородных римановых пространств
представляют собой однородные выпуклые конусы в /г-мерном
действительном линейном пространстве Rn. Мы будем понимать
под выпуклым конусом в Rn открытое выпуклое множество, ин-
инвариантное относительно умножений на положительные числа.
В каждом выпуклом конусе можно каноническим образом ввести
риманову метрику. Линейные преобразования пространства Rn,
сохраняющие конус V, называются его автоморфизмами. Если
группа ©(К) автоморфизмов конуса V действует на нем транзи-
тивно, то этот конус называется однородным.
В работах М. Кехера [56], [57], Э. Б. Винберга [30], О. С. Рот-
хауса [91], Ш. Хертнек [115] изучались однородные самосопряжен-
самосопряженные выпуклые конусы, т. е. такие однородные выпуклые конусы,
которые совпадают со своими сопряженными конусами относи-
относительно некоторой евклидовой метрики в пространстве Rn. M. Кехер
и Э. Б. Винберг независимо и разными путями пришли к общей
конструкции однородных самосопряженных конусов, которая не-
неожиданно оказалась связанной с йордановыми алгебрами. Пусть
А — йорданова алгебра, обладающая евклидовой метрикой, в ко-
которой операторы умножения симметричны. Тогда открытое ядро
множества А2= {а2: ag A } является однородным самосопряжен-
самосопряженным конусом. Тот же конус может быть описан иначе как совокуп-
совокупность элементов вида exp a, a g Л, а также многими другими спо-
способами. Группа его автоморфизмов удобно описывается в терми-
терминах алгебры А. Однако наиболее интересно то, что всякий одно-
14

родный самосопряженный конус может быть получен указанным
выше способом.
Из классификации полупростых иордановых алгебр вытекает,
что всякий однородный самосопряженный конус, неразложимый в
прямую сумму двух конусов того же типа, изоморфен либо конусу
положительно определенных эрмитовых матриц над полем дей-
действительных или комплексных чисел или телом кватернионов, ли-
либо шаровому конусу, либо 27-мерному конусу, связанному с осо-
особой йордановой алгеброй. Все однородные самосопряженные ко-
конусы являются симметрическими римановыми пространствами.
Для элементов а, х йордановой алгебры А положим
Р(а)х = 2а(ах)-а2х.
Пусть V (А)— самосопряженный конус, связанный с алгеброй А.
М. Кехер показал, что при a£V (А) преобразование Р (а) входит
в группу автоморфизмов конуса V (А). Ш. Хертнек доказала формулу
Р (а) Р (Ь) Р(а) = Р (Р (а) о).
Как нетрудно извлечь из [30], всякий автоморфизм конуса V(А)
однозначно представляется в виде о-Р(а), где a£V (А)9 а а —не-
—некоторый автоморфизм алгебры А.
Работы Э. Б. Винберга [32], [33], [34], Ж. Л. Козюля [60],
[61], О. С. Ротхауса [92] посвящены произвольным однородным
выпуклым конусам. Эти конусы не поддаются классификации в
полном смысле слова, ко допускают далеко идущую теорию. При-
Приведем здесь индуктивный способ построения всех однородных вы-
выпуклых конусов, содержащийся в работах Э. Б. Винберга [32],
[34] и Ж. Л. Козюля [61].
Пусть V — однородный выпуклый конус в Rn и F — билиней-
билинейная функция на Rm X Rm со значениями в Rn, обладающая сле-
следующими свойствами:
1) F(ay v) = F(v, и) при и, v£Rm\
2) F (и, #)€V (замыкание конуса V) при всех u£Rm\
3) автоморфизмы А конуса V, для которых существует такое
линейное преобразование В пространства Rm, что
AF(u9 v) = F {Вщ Bv) при иу v£Rm,
транзитивно действуют на V.
Множество троек (ty x9 u)(:R[ XRnXRm, Для которых
является однородным выпуклым конусом в (т + п + 1)-мерном
пространстве Rl X Rn X Rm. Таким способом может быть получен
любой однородный выпуклый конус. О. С. Ротхаус [92] предло-
предложил дуальную конструкцию.
Э. Б. Винберг [33], [34] построил обобщенное матричное
исчисление, в терминах которого каждый однородный выпуклый
15

конус является конусом положительно определенных эрмитовых
матриц. Это исчисление является удобным универсальным аппара-
аппаратом для описания и изучения однородных выпуклых конусов и их
групп автоморфизмов.
Теория однородных выпуклых конусов возникла и развивалась
в тесной связи с теорией однородных ограниченных областей в
комплексном пространстве (см. § 4).
5. Й. Вольф [36]—[38] классифицировал в целом однородные
римановы и псевдоримановы многообразия постоянной кривизны.
Однородное риманово многообразие постоянной отрицательной
кривизны одноовязно и изоморфно пространству Лобачевского.
Однородное риманово многообразие постоянной положителыюй
кривизны не обязательно односвязно. Оно получается из сферы
факторизацией по конечной группе, состоящей из «движений
Клиффорда», для которых расстояние от точки до ее образа по-
постоянно.
Конечные группы Г движений Клиффорда (п—1)-мерной сфе-
сферы в я-мерном евклидовом пространстве Rn описываются, соглас-
согласно Вольфу, следующим образом.
Если п нечетно, то группа Г либо тривиальна, либо состоит из
тождественного преобразования и отражения в центре сферы
(последнему случаю соответствует проективное пространство).
Если п четно, то пространство Rn можно снабдить комплексной
структурой, согласованной с имеющейся евклидовой метрикой, и
рассматривать его как #/2-мерное унитарное пространство Сп/2т Груп-
Группа Г может тогда состоять из движений сферы, индуцированных
умножениями на корни /г-той степени из единицы в пространстве
Cnl2 (k — любое натуральное число). Если п не делится на 4, то
этим исчерпываются все возможности.
Если п делится на 4, то пространство Rn можно снабдить
структурой n/4-мерного унитарного кватернионного простран-
пространства Q"/4. Группа кватернионов, равных по модулю единице, как
известно, является универсальной накрывающей для группы
SOC). В рассматриваемом случае группа Г либо имеет строение,
указанное выше, либо состоит из движений сферы, индуцирован-
индуцированных умножениями на кватернионы, равные по модулю единице,
образ которых в группе SOC) принадлежит соответственно тетра-
тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдральной группе.
Псевдоримановы пространства постоянной кривизны описыва-
описываются аналогичным образом, но более сложно.
6. Инвариантным линейным связностям в однородных про-
пространствах посвящены работы А. М. Васильева [23], [24], [26] и
Э. Б. Винберга [29].
Пусть ©/ф — однородное пространство связной группы Ли ©.
Пространство ©/Ф называется редуктивным, если алгебра Ли G
допускает разложение
16

где р — подпространство, инвариантное относительно присоеди-
присоединенного представления группы 5? в алгебре G. Хорошо известно,
что в редуктивном однородном пространстве всегда существует
инвариантная линейная связность. А. М. Васильев рассмотрел
специальный класс инвариантных линейных связностей без круче-
кручения в редуктивном пространстве, возникающий, если задано раз-
разложение
G = Я + ЯA) + ... + Р{т)
где Hk = H + P{1) + ... + P{k) - подалгебра, a Pk = P{k+l)+ ...
... + Я(т) — подпространство, инвариантное относительно Hk. Для
этих связностей в [23], [24] и [26] изучены геометрические свой-
свойства геодезических линий и указаны различные способы получения
вполне геодезических подмногообразий.
Работа А. М. Васильева [25] посвящена определению пар
взаимно ортогональных подгрупп специального вида в группе
SO(n), что связано с задачей нахождения вполне геодезических
подмногообразий в однородных пространствах группы SO(ri).
В работе Э. Б. Винберга [29] рассматривались инвариантные
линейные связности в произвольных однородных пространствах.
Получено описание всех таких связностей в терминах алгебры Ли
G и подалгебры //, что, впрочем, является частным случаем тео-
теоремы Вана (Н. С. Wang, Nagoya Math. J., 1958, 13, 1 — 19) для
инвариантйых связностей в произвольных расслоенных простран-
пространствах. Приведены некоторые достаточные условия существования
инвариантной линейной связности; одним из этих условий являет-
является одномерность стационарной подгруппы ф.
Б. Костант [65] нашел необходимое и достаточное условие
для того, чтобы данное многообразие 3R с линейной связностью
А допускало транзитивную группу автоморфизмов, относительно
которой оно было бы редуктивным пространством. Это условие
состоит в том, что на 3R должна существовать такая полная ли-
линейная связность В, что тензоры кручения и кривизны связности
Л, а также тензор А — В ковариантно постоянны относительно
связности В. Аналогичное условие однородности риманова много-
многообразия было выведено раньше Амброзом и Зингером (W. Ambro-
Ambrose, I. М. Singer, Duke Math. J., 1950, 25, 647—669).
§4. ОДНОРОДНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
1. Пусть ©—комплексная группа Ли, $—ее связная замкну-
замкнутая комплексная подгруппа. При каком условии комплексное
многообразие ©/«& является многообразием Штейна? Ответ на этот
вопрос при различных дополнительных предположениях можно
2-5871 17

найти в работах Й. Мацусимы и А. Моримото [74], Й. Мацуси-
мы [71], [72] и А. Л. Онищика [80].
Обозначим через £ максимальную компактную подгруппу
группы 4> и через ^—максимальную компактную подгруппу
группы ©, содержащую £. Далее, пусть g и Q— комплексные
оболочки групп ^ и ^ . В [72] доказано, что если <§/<£>—много-
<§/<£>—многообразие Штейна, то Q совпадает со связной компонентой группы
3?П«&. Там же доказано, что если группа © нильпотентна и
®П$={е}, то ©А£>—многообразие Штейна.
Сама группа © как комплексное многообразие изоморфна
прямому произведению JiXCm, гДе Ст—комплексное аффинное
пространство [71]. Она является многообразием Штейна тогда и
только тогда, когда KOiK=0[74]. В этом случае она представ-
представляет собой аффинное алгебраическое многообразие. Интересно
сопоставить этот результат с результатом Г. Хохшильда и
Г. Д. Мостова [116], согласно которому группа © может быть
отождествлена с алгебраической линейной группой так, чтобы ее
комплексно-аналитические представления совпали с рациональны-
рациональными тогда и только тогда, когда она разлагается в полупрямое
произведение нильпотентного радикала* и^ редуктивной группы.
Если группа © редуктивна, т. е. <&=й, то для того, чтобы
многообразие ©/«& было многообразием Штейна, необходимо и
достаточно, чтобы группа «& была редуктивна [71], [80]. Доказа-
Доказательство достаточности этого условия, данное А. Л. Онищиком
[80], основывается на следующих рассуждениях, представляющих
самостоятельный интерес. Пусть группы © и £ редуктивны.
Рассмотрим компактное однородное пространство Я/2 (см. обоз-
обозначения выше). Гомоморфизмы алгебры сферических функций на
Я/2 в поле комплексных чисел находятся в естественном взаим-
взаимно однозначном соответствии с точками многообразия ©/«£>. Поэто-
Поэтому всякое эквивариантное вложение пространства Я/2 в комп-
комплексное линейное пространство Сп, осуществляемое с помощью
сферических функций, продолжается до эквивариантного вложе-
вложения многообразия ©/£ в Сп. При этом многообразие ©/£ оказы-
оказывается реализованным в виде алгебраического многообразия в Сп.
2. Хорошо известна теорема Вана (Н. С. Wang, Amer.
J.Math., 1954, 76, 1—32) о том, что всякое односвязное одно-
однородное компактное комплексное многообразие ОТ допускает голо-
голоморфное расслоение, базой которого является односвязное одно-
однородное компактное кэлерово многообразие ОТ0, а слоем—комп-
слоем—комплексный тор Tk.
В работе Дж. И. Хано и С. Кобаяси [ИЗ] приведено новое
доказательство теоремы Вана, более геометричное и опирающееся
на такие соображения, которые могут быть применены к более
общему случаю.
* Нильпотентным радикалом группы Ли называется пересечение ее ради-
радикала с коммутантом.
18

Г. Н. Тюрина [111] указала способ вычисления сГ-когомоло-
гий пространства ЗЯ* Из ее результатов следует, в частности,
что градуированное пространство когомологий многообразия ЗЯ
со значениями в пучке ростков аналитических функций изоморф-
изоморфно внешней алгебре над 6-мерным комплексным линейным прост-
пространством.
й. Мацусима [73] доказал, что всякое компактное комплексное
многообразие с мерой, допускающее полупростую транзитивную
группу автоморфизмов, может быть голоморфно расслоено так,
что базой будет односвязное однородное компактное кэлерово мно-
многообразие, а слоем — факторпространство комплексной редуктив-
ной группы Ли по равномерной дискретной подгруппе. Эта теоре-
теорема является в известном смысле обобщением теоремы Вана.
3. И. И. Пятецкий-Шапиро создал теорию однородных ограни-
ограниченных областей в n-мерном комплексном пространстве Rn. Да
него был известен лишь узкий класс таких областей, а именно,,
симметрические области Э. Картана.
И. И. Пятецкий-Шапиро нашел общую конструкцию однород-
однородных областей в Сп, аналитически эквивалентных ограниченным,
которая, как оказалось впоследствии, является универсальной.
Речь идет о так называемых однородных областях Зигеля 1-го и
2-го рода [86].
Пусть V—однородный выпуклый конус в /г-мерном действи-
действительном пространстве Rn (см. § 3). Рассмотрим область
© (У) = {X + iy : xGRn,
Она однородна и аналитически эквивалентна ограниченной
области. Область ® (V) называется однородной областью ЗигелЯ
1-го рода, связанной с конусом V.
Пусть теперь F—функция на Ст X Ст со значениями в Спу
линейная по первому аргументу, антилинейная по второму и
удовлетворяющая следующим условиям:
1) F(u, v)==F(v9 и) при и, v£Cm;
2) F {и, и)вУ (замыкание конуса V) для всякого #GCm, причем
F (и, и) = 0 только при и = 0;
3) конус V обладает такой транзитивной группой «& автоморфиз-
автоморфизмов, что для всякого Л6£> существует линейное преобразование
В пространства Ст9 для которого
F (Bit, Bv) = AF (и, v) при всех щ v£Cm.
Рассмотрим область
©{Vf F) ={(х + iyy u):x,yeRn, u£Cm9 y-F(u, u)£V}c:CnxCm.
Она однородна и аналитически эквивалентна ограниченной области.
Область "©'(У, F) называется однородной областью Зигеля 2-го
рода, связанной с конусом V и функцией F.
2* 19

В работе И. И. Пятецкого-Шапиро, Э. Б. Винберга и С. Г. Гин-
дикина [35] доказано, что всякая однородная ограниченная об-
область аналитически эквивалентна (единственной) однородной об-
области Зигеля 1-го или 2-го рода. Отсюда, в частности, следует,
что во всякой однородной ограниченной области £> просто транзи-
тивно действует некоторая вполне разрешимая группа автомор-
автоморфизмов, причем область Ф может быть реализована в виде об-
области Зигеля 1-го или 2-го рода так, что эта группа будет
состоять из аффинных преобразований.
Еще раньше, в работах [87] и [88], И. И. Пятецкий-Шапиро
установил взаимно однозначное соответствие между однородными
ограниченными областями, допускающими транзитивную разреши-
разрешимую группу автоморфизмов, и вполне разрешимыми алгебрами
Ли, в которых существуют оператор / и линейная форма со, удо-
удовлетворяющие следующим условиям:
2) [jx, jy] = / [jx, у] + j [х, jy] + [х, у]\
3) «> ([/*,/>]) = <«>([*, у]);
4) a) ([jx, х]) > 0, если
Такие алгебры Ли были им названы нормальными /-алгебрами.
Аксиомы 1)—4) нормальной /-алгебры возникли путем перевода
на язык алгебр Ли свойств комплексной структуры и метрики
Бергмана однородной ограниченной области.
В [88] и [89] изучено строение /-алгебр. В частности, уста-
установлено, что нормальная/-алгебра ранга 1 (связанная с комплекс-
комплексным шаром) вполне определяется своей размерностью. Для про-
произвольной нормальной /-алгебры G ранга г получено разложение
G = S Gk,
в котором
1) [Gk9 Gt](ZGk9 если k<l-
2) Gk—нормальная /-алгебра ранга 1.
Аналогичный алгебраический аппарат использовался и в ра-
работе [35].
4. С. Кобаяси [58] доказал следующую теорему: если груп-
группа Ли © транзитивно действует на «-мерном комплексном много-
многообразии ЗЯ, то ее естественное унитарное представление в
цространстве голоморфных /г-форм на -ЭД с интегрируемым квад-
квадратом неприводимо.
20

§ 5. ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИ.
1. Общие свойства равномерных* дискретных подгрупп произ-
произвольных групп Ли изучал А. Вейль [27]. Пусть Г — дискрет-
дискретная подгруппа группы Ли <&. Непрерывной деформацией под-
подгруппы Г называется такое семейство {rt}, 0<it^l, гомомор-
гомоморфизмов группы Г в группу ©, что гоG) = т и rt(l) непрерывно
по t при каждом ч^Г. В цитированной работе А. Вейля доказа-
доказано, что если Г — равномерная дискретная подгруппа группы © и
{rt} — ее непрерывная деформация, то существует такое число
а > 0, что для всех t < а ядро гомоморфизма rt тривиально,
группа rt(T) дискретна в © и факторпространство ©/гДГ) ком-
компактно. Кроме того, для каждого t < а существует такой ана-
аналитический гомеоморфизм Ft группы ® на себя, что
^(£-т)= ^(г)-Мт) при всех £е®> тег.
Отображение Ft, очевидно, индуцирует аналитический гомеомор-
гомеоморфизм многообразия ©/Г на многообразие <$/гДГ).
Деформация {rt} называется тривиальной, если существуют
такие элементы б>6<$, что
ПРИ всех Т6Г-
Будем называть полупростую группу Ли <& допустимой, если
все ее простые компоненты некомпактны и имеют размерность
> 3. А. Вейль [28] доказал «теорему жесткости» для равномерной
дискретной подгруппы Г допустимой полупростой группы Ли ©:
всякая непрерывная деформация подгруппы Г тривиальна.**
Этот результат А. Вейля был подготовлен предшествующими
результатами других авторов, доказавших теорему жесткости для
различных частных случаев. Так, А. Сельберг [98] доказал теорему
жесткости для группы унимодулярных действительных матриц по-
порядка /г>3. Его метод состоит в доказательстве того, что группа Г
подобна группе, состоящей из матриц, все элементы которых —
алгебраические- числа. Как указывает А. Сельберг, этот метод
применим и к некоторым другим простым группам, но не к группам
движений симметрических пространств ранга 1. Однако он инте^
ресен сам по себе.
Совершенно иным методом — методом деформации структуры—
пользовались Е. Калаби и Э. Везентини. В общих чертах этот
метод состоит в следующем. Пусть ^ — максимальная компактная
подгруппа группы <$. Многообразие ОТ = <$Д$ является римано-
вым симметрическим пространством отрицательной кривизны. Рас-
Рассмотрим фактор пространства ОТ/г,(Г). С помощью отображений
* Дискретная подгруппа Г группы Ли ® называется равномерной, если
факторпространство ©/Г компактно.
** Для трехмерной некомпактной простой группы Ли теорема жесткости
неверна.
21

Ft (см. выше) они могут быть отождествлены с ОТ/Г. Перенося
риманову структуру с ^ на 3#/гДГ), а оттуда на ЯЛ/Г,
мы получаем непрерывную деформацию римановой структуры на
ЭК/Г.* В том случае, когда 9tt— комплексное многообразие, ана-
аналогичным образом определяется деформация комплексной струк-
структуры на 9К/Г, Деформация структуры называется тривиальной,
если она может быть получена деформацией самого многообразия.
Легко видеть, что тривиальным деформациям подгруппы Г соот-
соответствуют тривиальные деформации структуры на Ж/Г, и обрат-
обратно. Таким образом, для доказательства жесткости подгруппы Г
достаточно доказать жесткость римановой или комплексной
структуры на ЗЛ/Г.
Наличие нетривиальных деформаций структуры связано, в
свою очередь, с наличием гармонических тензорных полей того
или иного вида. Отсутствие таких полей может быть доказано по
способу Бохнера, путем интегрирования по всему многообразию
некоторого заведомо неотрицательного выражения, содержащего
тензор кривизны. Этот способ приводит к успеху, если тензор кри-
кривизны удовлетворяет некоторым неравенствам.
Метод деформации структуры позволил Е. Калаби [50]** дока-
доказать теорему жесткости для равномерных дискретных подгрупп
группы движений пространства Лобачевского размерности п>Ъ.
Е. Калаби и Э. Везентини [51], [52] доказали теорему жесткости
для групп автоморфизмов неприводимых симметрических областей
Картана классических серий размерности п>2.
А. Борель [14] дополнил этот результат, произведя общим ме-
методом необходимые оценки для тензора кривизны любой симмет-
симметрической области и доказав тем самым, в частности, теорему
жесткости для особых областей.
Методом деформации структуры по существу пользовался и
А. Вейль в упоминавшейся выше работе [28].
2. А. Борель [15] рассмотрел подгруппы Г (не обязательно
дискретные) группы Ли ©, обладающие следующим свойством
(S): для каждого элемента g&($> и каждой окрестности U едини-
единицы группы © найдется такое натуральное число пу что
gnWYU. Этим свойством заведомо обладают такие замкнутые под-
подгруппы Г, для которых однородное пространство ©/Г имеет ко-
конечную инвариантную меру, и, тем самым, все равномерные
дискретные подгруппы.
Пусть © — полупростая группа Ли, все простые компоненты
которой некомпактны, и Г — ее подгруппа со свойством (S). В
[15] получен следующий результат: подгруппа Г не содержится
и* Эта деформация не может быть какой угодно. Она сохраняет локальные
свойства структуры, такие, как, например, ковариантное постоянство тензора
кривизны (локальную симметричность).
** Первая часть работы.
22

ни в какой собственной замкнутой подгруппе группы ©, имеющей ко-
конечное число связных компонент. В частности, если ©—алгебраиче-
©—алгебраическая группа, то подгруппа Г плотна в ней в топологии Зариского.
А. Борель и Хариш-Чандра [18], [19] изучали так называе-
называемые «арифметически определенные» дискретные подгруппы алгеб-
алгебраических групп Ли, которые строятся следующим образом.
Пусть группа Ли © реализована как алгебраическая подгруппа
группы действительных матриц, определенная над полем рацио-
рациональных чисел. Подгруппа ©z группы ©, состоящая из всех уни-
модулярных целочисленных матриц, принадлежащих ©, назы-
называется арифметически определенной подгруппой. В цитированной
работе, в частности, находятся условия, при которых фактор-
пространство ©/©z компактно или имеет конечный объем. Если
группа © полупроста, то последнее условие всегда имеет место,
а для компактности факторпространства ©/©z необходимо и
достаточно, чтобы все матрицы с рациональными элементами, со-
содержащиеся в ©, приводились над полем комплексных чисел к
диагональному виду.
Есть основания ожидать, что всякая дискретная подгруппа до-
допустимой полупростой группы Ли (см. п. 1), факторпространство
по которой имеет конечный объем, является арифметически опре-
определенной (ср. это предположение с результатом Сельберга, упо-
упоминавшимся в п. 1).
3. Как известно, А. И. Мальцев в своей работе, посвященной
дискретным подгруппам нильпотентных групп Ли (Изв.
АН СССР, сер. матем., 1949, 13, 9—32), получил следующие
результаты:
1) для того, чтобы данная группа могла быть вложена в одно-
связную нильпотентную группу Ли в виде дискретной подгруппы,
необходимо и достаточно, чтобы она была нильпотентной группой
без кручения с конечным числом образующих;
2) те же условия характеризуют группы, которые могут быть
вложены в односвязную нильпотентную группу Ли в виде равно-
равномерной дискретной подгруппы;
3) две односвязные нильпотентные группы Ли, обладающие
изоморфными равномерными дискретными подгруппами, сами изо-
изоморфны;
4) для того, чтобы данная односвязная нильпотентная группа
Ли обладала равномерной дискретной подгруппой, необходимо и
достаточно, чтобы в ее алгебре Ли существовала база, в которой
структурные константы рациональны.
Ряд работ был посвящен распространению и обобщению ре-
результатов Мальцева на разрешимые группы.
Дискретная группа называется строго свободной от кручения
5-группой, если она является расширением свободной абелевой
группы с конечным числом образующих посредством нильпотент-
нильпотентной группы без кручения с конечным числом образующих.
23

Еще раньше Мостов (G. D. Mostow, Ann. of Math., 1954, 60,
1—27) и Ван (Н. С. Wang, Ann. of Math., 1956, 64, 1 — 19) уста-
установили, что данная группа может быть вложена в односвязную
разрешимую группу Ли в виде дискретной подгруппы тогда и толь-
только тогда, когда она является строго свободной от кручения
S-группой.
Л. Аусландер [9] нашел необходимое и достаточное условие
для того, чтобы данная группа могла быть вложена в односвязную
разрешимую группу Ли в виде равномерной дискретной под-
подгруппы.
Пусть Г—свободная от кручения нильпотентная группа с ко-
конечным числом образующих и $1 (Г)—та единственная односвязная
нильпотентная группа Лиу которая содержит Г в качестве рав-
равномерной дискретной подгруппы, В работе [5] Л. Аусландер изу-
изучал односвязные разрешимые группы Ли, содержащие Г в ка-
качестве равномерной дискретной подгруппы. Оказалось, что всякая
такая группа содержится в полупрямом произведении группы
У1 (Г) и некоторой компактной группы ее автоморфизмов. При не-
некоторых условиях две односвязные разрешимые группы Ли, со-
содержащие Г в качестве равномерной дискретной подгруппы, ока
зываются изоморфными.
М. Сайто [95] нашел условие для того, чтобы данная одно-
связная разрешимая группа Ли © содержала равномерную диск-
дискретную подгруппу. Оно состоит в том, что наибольший нильпо-
тентный идеал N алгебры Ли группы © должен обладать такой
базой В, что
1) структурные константы алгебры Ли N в базе В рацио-
рациональны;
2) операторы из Ad^©, записывающиеся в базе В унимоду-
лярными целочисленными матрицами, образуют равномерную диск-
дискретную подгруппу в Ad//©.
(Здесь Adjv©—ограничение присоединенной группы группы ©
на идеале N).
Л. и М. Аусландеры [11], а затем М. Сайто [94], [95] наш-
нашли все односвязные разрешимые группы Ли, допускающие ком-
коммутативную равномерную дискретную подгруппу. Оказалось, что
группа © обладает этим свойством тогда и только тогда, когда
она разлагается в полупрямое произведение коммутативного нор-
нормального делителя sft и коммутативной подгруппы, причем груп-
группа Ad^© компактна.
В работе [6] Л. Аусландер доказал, что фундаментальная груп-
группа всякого однородного многообразия разрешимой группы Ли
является в то же время фундаментальной группой некоторого
компактного однородного многообразия разрешимой группы Ли.
Этот результат также является обобщением одного результата
Мальцева.
24

Наконец, работы Л. Аусландера [71, [8] посвящены обобще-
обобщению теорем Бибербаха. Если представить группу © движений
л-мерного евклидова пространства как полупрямое произведение
коммутативного нормального делителя SR, образованного парал-
параллельными сдвигами, и ортогональной группы О(п), то теоремы
Бибербаха можно сформулировать следующим образом:
1) для любой равномерной дискретной подгруппы Г группы©
пересечение ГП91 равномерно в 91 и имеет конечный индекс в Г;
2) любой изоморфизм ф:Г1->Г2, где Гь Г2—равномерные диск-
дискретные подгруппы группы ©, однозначно продолжается до авто-
автоморфизма группы ©.
В работе [7] Л. Аусландер показал, что теоремы Бибербаха
остаются справедливыми для полупрямого произведения © одно-
связной нильпотентной группы Ли & и произвольной компактной
группы ее автоморфизмов. В [8] доказано, что для любой (не
обязательно равномерной) дискретной подгруппы Г группы © пе-
пересечение ГП91 имеет конечный индекс в Г.
Для разрешимых групп 91 теоремы Бибербаха неверны [7].
4. Пусть ©—группа всех невырожденных линейных преобра-
преобразований ^-мерного комплексного пространства. Л. Аусландер [4]
показал, что всякая разрешимая дискретная подгруппа группы ©
имеет конечное число образующих, не превосходящее некоторого
числа р(/г); В работе [10] он нашел необходимые и достаточные
условия для того, чтобы данная разрешимая группа допускала
точное дискретное представление в группу ©. Основную роль
при этом играли понятия, введенные им в работе [9].
Интересно сопоставить эти результаты с результатами Д. А. Суп-
руненко [104], [105], [106], который описал все максимальные
разрешимые подгруппы группы ©.
§ 6. ПРОЧИЕ ВОПРОСЫ
1. В последние годы появилось много работ, в которых уточ-
уточняется, обобщается и развивается теория бесконечномерных групп
Ли преобразований, созданная Э. Картаном. Основные определе-
определения и изложения результатов Э. Картана на современном языке
можно найти в докладе Мацусимы на семинаре Бурбаки (Y. Mat-
sushima, Sem. Bourbaki, 1954—55, по. 118,1 — 14; РЖМат, 1961,
4А229).
Одна из главных трудностей в теории бесконечномерных групп
преобразований связана с определением изоморфизма двух таких
групп ©х и ©2, действующих на многообразиях Шг и 3R2. По
Э. Картану, группы ©х и ©2 считаются изоморфными, если су-
существуют многообразие 3R, бесконечномерная группа Ли © пре-
преобразований многообразия $}, проекции р,: Ш->Ф1 и взаимно од-
25

нозначные отображения ^: ©->©/, удовлетворяющие условию
ПРИ всех
М. Кураниси [66], [67] сопоставил каждой бесконечномерной
группе Ли преобразований некоторую формальную группу Ли
таким образом, что локальный изоморфизм двух групп преобра-
преобразований равносилен изоморфизму соответствующих формальных
групп Ли. Он определил также формальную алгебру Ли для
каждой бесконечномерной группы преобразований и исследовал
ее связи с соответствующей формальной группой Ли.
A. М. Родригес [90] вывел аналоги первой и второй теорем
Ли для бесконечномерных групп Ли преобразований. В первона-
первоначальном виде вторая теорема Ли для бесконечномерных групп
принадлежит Э. Картану. Она гласит, что каждая такая группа
изоморфна группе © всех преобразований, сохраняющих некото-
некоторые функции fl9..., fh и линейные формы со1,..., о>л, причем вы-
выполняются структурные уравнения
day1 = c\k oyj/\d)k +dja со^'л^а,
где тг1,..., ttv — линейные формы, образующие вместе с оI,... ,ып
базис в пространстве линейных форм в каждой точке многообра-
многообразия, а функции c\k, al.a инвариантны относительно ©.
С. Штернберг [121], [122] нашел достаточные условия, при ко-
которых данное преобразование многообразия содержится в неко-
некоторой однопараметрической группе преобразований, исследовал
картановские подалгебры в бесконечномерных алгебрах Ли инфи-
нитезимальных преобразований, доказав, в частности, при неко-
некоторых предположениях их сопряженность. Формальные аналоги
этих результатов получены им в работе [123].
Гу Чао-Хао [41] изучал однородные многообразия с симплекти-
ческой метрикой. Группа движений такого многообразия являет-
является, вообще говоря, бесконечномерной. В [41] исследуются свойства
симплектической метрики при различных предположениях отно-
относительно группы изотропии.
2. Р. Палейс в работе [85] изложил с глобальной точки зрения
теорию (конечномерных) групп Ли преобразований. В частности,
в [85] приведены различные условия, при которых данное вектор-
векторное поле порождает глобальную однопараметрическую группу
преобразований.
B. Грейб [40] вывел основные теоремы Ли, пользуясь аппаратом
линейных связностей. Известно, что группа Ли естественным пу-
путем снабжается инвариантной линейной связностью с нулевой
кривизной. В [40] показано, что многообразие, в котором определе-
определена линейная связность с нулевой кривизной, может быть превра-
превращено .(в целом) ъ группу Ли тогда и только тогда, когда тензор
кручения этой связности удовлетворяет определенным условиям.
26

3. Т. Ноно [77] продолжал начатое им в других работах ис-
исследование особенностей экспоненциального отображения ехр ве-
вещественной или комплексной алгебры Ли G в группу ©. Пусть
A'GG — элемент, в окрестности которого отображение ехр не яв-
является гомеоморфизмом. Положим g = ехр х и обозначим через
©0 связную компоненту единицы централизатора элемента g.
В [77] показано, что ехр (g)cG0, что множество ехр-1^) ло-
локально связно и что его связная компонента L(x), содержащая х,
совпадает с (Ad©0) x. Размерность множества L (х) равна числу
линейно независимых собственных векторов оператора ad л: с собст-
собственными значениями вида 2izik, где k — целое число, не равное
нулю. (Наличие таких собственных значений является признаком
элементов x(*G, в которых экспоненциальное отображение имеет
особенность).
4. Е. Салетан [96] изучал так называемое стягивание групп
и алгебр Ли, рассматривавшееся впервые Инону и Вигнером
(Е. Jnonu, E. P. Wigner, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.,
1953, 39, 510 — 524). Примером может служить стягивание
группы Лоренца в группу Галилея. Точное определение стягива-
стягивания для алгебр Ли следующее. Пусть G — алгебра Ли, {et(t)}9
0 < t < 1 — семейство баз в G, c\k(f) — структурные константы
относительно базы {et(t)}. Может случиться, что существуют
пределы
^@ ^()
Если это так, то числа cljk@) являются структурными констан-
константами некоторой алгебры Ли Go, не изоморфной, вообще говоря,
алгебре G. Говорят, что алгебра Go получилась стягиванием ал-
алгебры G. В, [96] рассмотрены семейства {et(t)} следующего спе-
специального вида:
где {et} — некоторая база в G, а матрица А = (aJ.) не зависит
от t. Найдены условия существования предельной алгебры Go
и вид операции коммутирования в ней. Рассмотрена также связь
между линейными представлениями алгебр G и Go.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Araki S., Differential Hopf algebras and the cohomology mod 3 of the
compact exceptional groups E7 and E8. Ann. of Math., 1961, 73, 404—436
(РЖМат, 1962, 5A369)
2.—, Cohomology mod 2 of the compact exceptional groups E6 and £7. J.
Math. Osaka City Univ., 1961, 12, 43—65; (РЖМат, 1963, 10A305)
3.—, Shi kata Y., Cohomology mod 2 of the compact exceptional group
E8. Proc. Japan Acad., 1961, 37, 619—622 (РЖМат, 1963, 10A306)
27

4. Auslander L., Discrete solvable matrix groups. Proc. Amer. Math. Soc,
1960, 11, 687—688 (РЖМат, 1961, 7A212)
5.—, Solvable Lie groups acting on nilmanifolds. Amer. J. Math., 1960, 82,
653—660 (РЖМат, 1961, 10A338)
6.—, Fundamental groups of compact solvmanifolds. Amer. J. Math., 1960,
82, 689—697 (РЖМат, 1961, 10A337)
7.—, Bieberbach's theorems on space groups and discrete uniform subgroups
of Lie groups. Ann. Math., 1960, 71, 579—590 (РЖМат, 1962, 10A159)
8.—, Bieberbach's theorems on space groups and discrete uniform subgroups
of Lie groups. II. Amer. J. Math., 1961, 83, 276—280 (РЖМат, 1962,
10A160)
9.— Discrete uniform subgroups of solvable Lie groups. Trans. Amer. Math.
Soc, 1961, 99, 398—402 (РЖМат, 1962, 8A154)
10.— A characterization of discrete solvable matrix groups. Bull. Amer. Math.
Soc, 1961, 67, 235—236 (РЖМат, 1962, 8A155)
11. -.Auslander M., Solvable Lie groups and locally Eucli-
Euclidean Riemann spaces. Proc. Amer. Math. Soc, 1958, 9, 933—941
(РЖМат., 1960, 2268)
12. Berger M., Les varietes riemanniennes homogenes normales simplement
connexes a courbure strictement positive. Ann. Scuola norm, super. Pisa,
Sci. fis. e mat., 1961, 15, 179—246 (РЖМат, 1962, 10A240)
13. Bernat P., Sur le corps des quotients de l'algebre enveloppante d'une
algebre de Lie. С. г. Acad. Sci., Paris, 1962, 254, 1712—1714 (РЖМат,
1962, 10A185)
14. Borel A., On the curvature tensor of the hermitian symmetric manifolds.
Ann Math., 1960, 71, 508—521 (РЖМат, 1961, 3A448)
15.—, Density properties for certain subgroups of semi-simple groups with-
without compact components, Ann. Math., 1960, 72, 179—188 (РЖМат.,
1962, 8A153)
16.—, Commutative subgroups and torsion in compact Lie groups. Bull. Amer.
Mafh. Soc, 1960, 66, 285—288 (РЖМат, 1962, 5A367)
17.—, Sous-groupes commutafifs et torsion des groupes de Lie compacts con-
connexes. T6hoku Math. J., 1961, 13, 216—240 (РЖМат, 1963, 10A304)
18,—, Harish-Chandra, Arithmetic subgroups of algebraic groups.
Bull. Amer. Math. Soc, 1961, 67, 579—583 (РЖМат, 1962, 8A200)
19. —, — Arithmetic subgroups of algebraic groups. Ann. Math., 1962,
75, 485—535 (РЖМат, 1962, 11A186)
20. Bruhat F., Algebres de Lie ef groupes de Lie. (Resume des lecons). Recife.
Inst. fis. e mat. Univ., 1959, 1—71 (РЖМат, 1961, 4A236)
21. Bourbaki N., Elements de mathematique, Fasc XXVI. Groupes et algeb-
algebres de Lie. Chap. I. Algebres de Lie. Paris, 1960, 1—144 (РЖМат, 1962,
10A189)
22. Wang Hsien-Chung, Some geometrical aspects of coset spaces of Lie
groups. Proc. Internat. Congr. Mathematicians, Cambridge, 1960,
500—509 (РЖМат, 1961, 7A493)
23. Васильев А. М., Об одном классе аффинных связностей в однородных
пространствах. Изв. высших учебн. заведений. Математика, 1959,
№ 2, 41—49 (РЖМат, 1961, 4А401)
24. —, Инвариантные аффинные связности в однородных пространствах-
Докл. АН СССР, 1960, 131, 489—492 (РЖМат, 1961, 4А402)
25. —, Об одном классе ортогональных пар подгрупп группы О (N). Мат.
сб., 1960, 52, 917 — 946 (РЖМат, 1961, 10А466)
26. —, С-связности в однородных пространствах и их вполне геодезиче-
геодезические подмногообразия. Докл. АН СССР, 1961, 140, 281—283 (РЖМат,
1962, 8А380)
27. Weil A., On discrete subgroups of Lie groups, Ann. Math., 1960, 72,
369—384 (РЖМат, 1961, 6A243); Сб. перев. Математика, 1963, 7:1,
3—18
28

28. Weil A., On discrete subgroups of Lie groups. II. Ann. Math., 1962, 75,
578—602 (РЖМат, 1963, 1A330); Сб. перев. Математика, 1963, 7: 1,
19—41
29. Винберг Э. Б., Инвариантные линейные связности в однородном прост-
пространстве. Тр. Моск. матем. об-ва, 1960, т. 9, 191—210 (РЖМат, 1961,
5А483)
30. —, Однородные конусы. Докл. АН СССР, 1960, 133, 9—12 (РЖМат,
1961, 4Б548)
31. —, Теорема Морозова — Бореля для вещественных групп Ли. Докл.
АН СССР, 1961, 141, 270—273 (РЖМат, 1962, 10А162)
32. —, Выпуклые однородные области. Докл. АН СССР, 1961, 141, 521 —
524 (РЖМат, 1963, 12А197)
33. —, Автоморфизмы однородных выпуклых конусов. Докл. АН СССР,
1962, 143, 265—268.
34. —, Теория однородных выпуклых конусов. Тр. Моск. матем. об-ва,
1963, 12, 303—358 (РЖМат, 1964, 1А248)
35. —, Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И.,
О классификации и канонической реализации комплексных однород-
однородных ограниченных областей. Тр. Моск. матем. об-ва, 1963, 12,
359—388 (РЖМат, 1964, 1А249)
36. Wolf J. A., Sur la classification des varietes riemanniennes homogenes
a courbure consfante. С. г. Acad. Sci., Paris, 1960, 250, 3443—3445
(РЖМат, 1961, 3A472)
37.—, Vincent's conjecture on Clifford translations of the sphere. Comment.
Mafh. Helv., 1961, 36, 33—41 (РЖМат., 1962, 11A370)
38.—, Homogeneous manifolds of constant curvature. Comment. Math. Helv.,
1961, 36, 112—147 (РЖМат, 1962, 8A381)
39. Hermann R., Variational completeness for compact symmetric spaces.
Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, 544—546 (РЖМат, 1961, 6A392)
40. Graeub W.,Liesche Gruppen und affin zusammenhangende Mannigfaltigkei
ten. Acta Math., 1961, 106, 65—111 (РЖМат, 1962, 9A347)
41. Гу Чао-Хао, О группах движений пространств с симплектической метри-
метрикой. Научн. докл. высш. школы, физ.-матем. н., 1959, 22—31 (РЖМат,
1961, 5А484)
42. Гуревич Г. Б., Полухарактеристические и характеристические подал-
подалгебры стандартной нуль алгебры. Тр. Семинара по векторн. и тензорн.
анализу, Моск. ун-т, 1961, вып. И, 25—41 (РЖМат, 1962, 4А252)
43.—, О некоторых свойствах метабелевых алгебр Ли. Докл. АН СССР,
1961, 138, 998—1001 (РЖМат, 1961, 12А318)
44. —, О метабелевых алгебрах Ли. Тр. Семинара по векторн. и
тензорн. анализу, Моск. ун-т, 1963, вып. 12, 9—61.
45. Jacobson N., Lie algebras, New - York — London, 1962, 1—331
(РЖМат, 1963, 5A298)
46. Dixmier J., Sur l'algebre enveloppante d'une algebre de Lie nilpofente.
Arch. Mafh., 1959, 10, 321—326 (РЖМат, 1961, 6A292)
47. Залманович З. И., Алгебры Ли, нормализатор которых не имеет кратных
весов. Уч. зап. Тульск. гос. пед. ин-та, 1960, вып. 7, 75—90 (РЖМат,
1962, ЗА242)
48. Singer J. M., Infinitesimally homogeneous spaces. Communs Pure and
Appl. Mafh., 1960, 13, 685—697 (РЖМат, 1962, 7A408)
49. Iwahori N., On real irreducible representations of Lie algebras. Nagoya
Math. J., 1959, 15, 59—83 (РЖМат, 1961, 1A272)
50. Calabi E., On compact Riemannian manifolds with constant curvature.
I. Proc. Symp. Pure Math. Ill (Diff. Geometry), Providence, 1961,
155-180.
51.—, V e s e n t i n i E., Sur les varietes complexes compactes localement
symetriques. Bull. Soc. math. France, 1959, 87, 311—317 (РЖМат,
1961, 8A344)
29

52. Calab i E., Vesentini E., On compact, locally symmetric Kahler
manifolds. Ann. Math., 1960, 71, 472—507 (РЖМат, 1961, 4A447); Сб
перев. Математик 1962, 6:2, 75—106
53. Каменская М. М., Разрешимые стандартные алгебры Ли. II, Изв. высш.
учебн. заведений, Математика, 1961, № 1, 77—89 (РЖМат, 1961
10А254)
54. —, Условия изоморфизма разрешимых стандартных алгебр Ли. Уч.
зап. Калужск. гос. пед. ин-та, 1961, вып. 9, 71—81 (РЖМат 1962*
9А157)
55. Cartier P., On H. Weyl's character formula. Bull. Amer. Math Soc
1961, 67, 228—230 (РЖМат, 1961, 12A287); Сб. перев. Математика'
1962, 6:5, 139—141
56. Koecher M., Analysis in reellen Jordan Algebren. Nachr. Wiss. Gottineen
1958, 4, 67—74 (РЖМат, 1959, 10887) * *
57.—, Die Geodatischen von Positivitatsbereichen. Math. Ann 1958
135, 192—202 (РЖМат, 1961, 12A539)
58. Kobayashi S., On automorphism groups of homogeneous complex mani-
manifolds. Proc. Amer. Meth. Soc, 1961, 12, 359—361 (РЖМат, 1961, 12A420)
59. Koszul J. L., Exposes sur les espaces homogenes symetriques. Publ Soc
mat. Sao Paulo, Sao Paulo, 1959, 1—71 (РЖМат, 1962, 10A241)
60.—, Domaines bornes homogenes et orbites de groupes de transformations
affines. Bull. Soc. math. France, 1961, 89, 515—533 (РЖМат 1963
1A327)
61. — , Ouverts convexes des espaces affines. Math. Zeifschr., 1962, 79 254—
259.
62. Kostant В., On holonomy and homogeneous spaces. Nagoya Math J
1957, 12, 31—54 (РЖМат, 1961, 1A489) ' ->
63.—, A formula for the multiplicity of a weight. Trans. Amer. Math Soc
1959, 93, 53—73 (РЖМат, 1960, 8759); Сб. перев. Математика' 1962'
6:1, 133—152
64.—, The principal three - dimensional subgroup and the Betti numbers of
a complex simple Lie group. Amer. J. Math., 1959, 81, 973—1032 (РЖМат
1961, 7A243)
65.—, A characterization of invariant affine connections. Nagoya Math J
1960, 16, 35—50 (РЖМат, 1961, 4A475) ' "
66. Kuranishi M., On the local theory of continuous infinite pseudogroups
I. Nagoya Math. J., 1959, 15, 225—260 (РЖМат, 1961, 4A230)
67.—, On the local theory of continuous infinite pseudogroups. II. Nagoya
Math. J., 1961, 19, 55—91 (РЖМат, 1963, 5A220)
68. Leger G. F., A note on derivations of Lie algebras. II. Proc. Amer Math
Soc, 1959, 10, 10—11 (РЖМат, 1961, 9A298)
69. Мантуров О. В., Об однородных римановых несимметрических простран-
пространствах с неприводимой группой вращений. Докл. АН СССР, 1961.
141, 792—795 (РЖМат, 1962, 8А373)
70.—, Римановы пространства с ортогональными и симплектическими груп-
группами движений и неприводимой группой вращений. Докл. АН СССР,
1961, 141, 1034—1037 (РЖМат, 1962, 8А372)
71. Mat sushi ma Y., Espaces homogenes de Stein des groupes de Lie complexes.
Nagoya Math. J., 1960, 16, 205—217 (РЖМат, 1961, 11A291)
72.—, Espaces homogenes de Stein des groupes de Lie complexes. II. Nagoya
Math. J., 1961, 18, 153—164 (РЖМат, 1962, 5A370)
73.—, Sur certaines varietes homogenes complexes. Nagoya Math J., 1961,
18, 1 — 12 (РЖМат, 1962, 6A427)
74.—, Morimoto A., Sur certains espaces fibres holomorphes sur une
variete de Stein. Bull. Soc. math. France, 1960, 88, 137—155 (РЖМат,
1961, 11A290)
75. Mostow G. D.,On maximal subgroups of real Lie groups. Ann. Math.,
1961, 74, 503—517 (РЖМат, 1962, 10A161)
30

76. Nagasawa J., Group of motions in a Riemannian space. Sci. Repfs. Tokyo
Kyoiku Daigaku, 1960, A7, 1—4 (РЖМат, 1961, 5A471)
77. Nono Т., Sur l'application exponentielle dans les groupes de Lie. J. Sci.
Hiroshima Univ., 1960, A23, 311—324 (РЖМат, 1961, 4A224)
78. Он и щи к А. Л., О транзитивных группах преобразований компактных
однородных пространств. Докл. АН СССР, 1959, 124, 520—523 (РЖМат,
1961, 10А335)
79.—, О включениях между транзитивными компактными группами преоб-
преобразований. Докл. АН СССР, 1959, 129, 261—264 (РЖМат, 1961, 10А336)
80.—, Комплексные оболочки компактных однородных пространств.
Докл. АН СССР, 1960, 130, 726—729 (РЖМат, 1960, 12623)
81.—, О кручении особых групп Ли. Мат. сб., 1960, 51, 273—276 (РЖМат,
1961, ЗА202)
82.—, О компактных группах Ли, транзитивных на некоторых многообра-
многообразиях. Докл. АН СССР, 1960, 135,531—534 (РЖМат, 1962, 1А343)
83.—, Отношения включения между транзитивными компакт ными груп-
группами преобразований. Тр. Моск. матем. об-ва, 1962, т. 11, 199—242
(РЖМат, 1963, 2А325)
84. —, О транзитивных компактных группах преобразований.
Мат. сб., 1963, 60, 447—485 (РЖМат, 1963, 9А289)
85. Palais R. S., A global formulation of the Lie theory of transformation
groups. Mem. Amer. Math. Soc, 1957, №22, 1—123 (РЖМат, 1961,9А576)
86. Пятецкий-Шапиро И. И., Геометрия классических областей и теория
автоморфных функций. Москва, 1961 (РЖМат, 1963, 12Б217)
87.—, О классификации ограниченных однородных областей в я-мерном
комплексном пространстве. Докл. АН СССР, 1961, 141, № 2, 316—319
88.—, Об ограниченных однородных областях в я-мерном коплексном про-
пространстве. Изв. АН СССР, сер. матем., 1962, 26, 107—124 (РЖМат,
1962, 11А208)
89.—, Строение /-алгебр. Изв. АН СССР, сер. матем., 1962, 26, 453—484
(РЖМат, 1962, 11А209)
90. Rodrigues A. M., The first and second fundamental theorems of Lie for
Lie pseudogroups, Amer. J. Math., 1962, 84, 265—282 (РЖМат, 1963,
5A221)
91. Rothaus O. S., Domains of positivity. Abh. Math. Sem. Jniv. Hamburg,
1960, 24, 189—235 (РЖМат, 1961, 12Б336)
92.—, The construction of homogeneous convex cones. Bull. Amer. Math.
Soc, 1963, 79, 248—250 (РЖМат, 1963, 12A198)
93. Сабинин Л. В., О геометрии трисимметрических римановых пространств.
Сибирск. матем. ж., 1961, 2, 266—278 (РЖМат, 1962, 4А432)
94. Saito M., Sur certains groupes resolubles. С. г. Acad. Sci., Paris, 1959,
248, 1909—1911 (РЖМат, 1961; 10A339)
95.—, Sous-groupes discrets des groupes resolubles. Amer. J. Math., 1961, 83,
369—392 (РЖМат, 1962, 8A298)
96. Saletan E. J., Contraction of Lie groups. J. Math. Phys., 1961, 2, 1—22
(РЖМат., 1963, 3A193)
97. Samelson H., On curvature and characteristic of homogeneous spaces.
Michigan Math. J., 1958, 5, 13—18 (РЖМат, 1961, 1A446)
98. Selberg A., On discontinuous groups in higherdimensional symmetric
spaces. Contribs. Function Theory, Bombay, 1960, 147—164 (РЖМат,
1962, 3A332); Сб. перев. Математика, 1962, 6:3, 3—15
99. Симония В. Т., Первая основная теорема в теории векторных инвариан-
инвариантов особой группы Ли G2. Сообщ. АН ГрузССР, 1960, 24, 641—648
(РЖМат, 1961, 6А242)
100. Сирота А. И., Центры некомпактных простых групп Ли. Докл. АН СССР,
1960, 134, 44—47 (РЖМат, 1961, 9А251)
101. —, Ядра линейных представлений некомпактных простых групп Ли.
Докл. АН СССР, 134, 540—543 (РЖМат, 1962, 8А156)
31

102. Сирота А. И., Простые подгруппы односвязных вещественных простых
групп Ли. Докл. АН СССР, 1961, 137, 1063—1066 (РЖМат, 1962,
11А160)
103. Sugiura M., Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semi-simple
Lie algebras. J. Math. Soc. Japan, 1959, 11, 374—434 (РЖМат, 1961,
10A257)
104. Супруненко Д. А., Разрешимые и нильпотентные линейные группы.
Минск, 1958, 1—94 (РЖМат, 1961, 7А253)
105.—, Условие полной приводимости разрешимой линейной группы.
Докл. АН БССР, 1961, 5, 321 —323 (РЖМат, 1962, 4А187)
Ю6.—, О приводимых матричных группах. Докл. АН БССР, 1961, 5, 371 —
374 (РЖМат, 1962, 5А202)
107. Tits J., Transitivite des groupes de mouvement. Schr. Forschungsinst.
Math., 1957, 1, 98—111 (РЖМат, 1961, 4A231)
108. —, Sur une classe de groupes de Lie resolubles. Bull. Soc. math. Belg.,
1959, 11, 100—115 (РЖМат, 1961, 9A253)
109. —, Sur une classe de groupes de Lie resolubles, corrections et additions.
Bull. Soc. math. Belg., 1962, 14, 196—209 (РЖМат, 1963, 2A205)
110. T6g6 S., On the derivation algebras of Lie algebras. Canad. J. Math., 1961,
13, 201—216 (РЖМат, 1961, 12A320)
111. Тюрина Г. Н., О когомологиях комплексных однородных многообразий.
Докл. АН СССР, 1960, 132, 52—55 (РЖМат, 1961, 6А391)
112. Феденко А. С, Симметрические пространства с простыми фундаменталь-
фундаментальными группами. Уч. зап. Белорусск. ун-та, 1959, вып. 3, 3—25
(РЖМат, 1961, 2А334)
113. Hano J. I., К о b а у a s h i S., A fibering of a class of homogeneous
complex manifolds. Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 94, 233—243 (РЖМат,
1961, 3A510)
114. Helgason S., Differential Geometry and Symmetric Spaces. New - York—
London, 1962 (РЖМат, 1963, 8A379)
115. Hertneck Ch., Positivitatsbereiche und Jordan-Strukturen. Math.
Ann., 1962, 146, 433—455 (РЖМат, 1963, 4A209)
116. Hochschild C, MostowG. D., Representations and representative fun-
functions of Lie groups. III. Ann. Math., 1959, 70, 85—100 (РЖМат,
1961, 1A229)
117. Cheng Chun-hu, On the Cartan subalgebra of the real semi-simple Lie
algebra. I. Sci. Rec, 1959, 3, 214—219 (РЖМат, 1961, 1A271)
118.—, On the Cartan subalgebra of the real semi-simple Lie algebra. II. Sci.
Rec, 1959, 3, 220—224 (РЖМат, 1961, 10A256)
119. Steinberg R., Finite reflection groups. Trans. Amer. Math. Soc, 1959,
91, 493—504 (РЖМат, 1961, 7A242)
120 —, A general Clebsch — Gordan theorem. Bull. Amer. Math. Soc, 1961,
67, 406—407 (РЖМат, 1962, 8A218); Сб. перев. Математика, 1962,
6:5, 142—143
121. Sternberg S., On the structure of local homeomorphisms of Euclidean
/z-space. II. Amer. J. Math., 1958, 80, 623—631 (РЖМат, 1959, 10174)
122.—, The structure of local homeomorphisms. III. Amer. J. Math., 1959,
81, 578—604 (РЖМат, 1961, 10A331)
123.—, Infinite Lie groups and the formal aspects of dynamical systems. J.
Math, and Mech., 1961, 10, 451—474 (РЖМат, 1962, 6A178)

ПОЛУГРУППЫ
Л. М. Глускин
Настоящий обзор содержит перечень работ по полугруппам,
прореферированных в РЖМат в 1960—1961 гг. и 1-й половине
1962 г. Более ранние или более поздние работы упоминаются
лишь в виде исключения, для сохранения перспективы или ука-
указания приоритета.
Ко времени, к которому относятся рассматриваемые работы,
теория полугрупп бесспорно уже оформилась как самостоятель-
самостоятельная область общей алгебры. Не случайно именно сейчас вышли
первые две монографии по абстрактной теории полугрупп
[1, 151]
В обзоре совсем не упоминаются статьи о числовых полугруп-
полугруппах, а также многочисленные работы о полугруппах операторов
в банаховых пространствах, в частности, о марковских полу-
полугруппах.
1. ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП
С. И. Адян [2] показал, что всякую полугруппу с конечным чис-
числом образующих и с одним определяющим соотношением А = В,
несократимым ни слева, ни справа, можно вложить в группу с
теми же образующими и с тем же определяющим соотношением.
В работе приведен пример полугруппы с двусторонним сокраще-
сокращением и с двумя определяющими соотношениями, не вложимой в
группу. О вложении полугрупп в группы см. также [3, 4, 5, 6].
Б. М. Шайном [7] найдены необходимые и достаточные усло-
условия для полугрупп, вместимых в инверсные полугруппы. Эти усло-
условия он записывает в виде бесконечной системы элементарных
аксиом.
Э. Г. Шутов [81 установил, что каков бы ни был элемент g
произвольной полугруппы 5, полугруппу S можно всегда вло-
3-5871 33

жить в такую полугруппу D, что yg = g для произвольного ав-
автоморфизма ср полугруппы D. В другой работе [9] Э. Г. Шутов
изучает условия, при которых полугруппу S можно вложить в
такую полугруппу D, что уравнение рх = а разрешимо в D при
любых /?gP, a(*D (где Р — фиксированное подмножество полу-
полугруппы 5). Несколько ранее [10, И] Э. Г. Шутов рассматривал
еще некоторые аналогичные вопросы о возможности погружения
полугруппы S в полугруппу D с заданными свойствами для не-
некоторых элементов полугруппы S (Е. С. Ляпин называет такие
свойства элементов полугруппы S «потенциальными»—см. [1]).
Новая конструкция вложения конечной или счетной полугруп-
полугруппы в полугруппу с двумя образующими предложена Е. С, Ляпи-
ным [1, стр. 520]. Б. Нейман [12], используя конструкцию, назван-
названную им сплетением полугрупп, показал, что всякую конечную
полугруппу можно вложить в конечную полугруппу с двумя обра-
образующими. Всякую периодическую полугруппу с конечным числом
образующих можно вложить в периодическую полугруппу с двумя
образующими. Несколько раньше А. Я. Айзенштат [13] для одного
класса счетных периодических полугрупп показала возможность
их вложения в периодическую полугруппу с конечным числом об-
образующих. О погружении счетных полугрупп в полугруппы с дву-
двумя образующими см. также в работе Розена ^14].
Возможность вложения произвольной полугруппы в d-простую
полугруппу с единицей доказана Престоном [15] (полугруппа S
d-проста, если для любых а, Ъ g 5 в 5 существует такой эле-
элемент х, что aS = xS, Sb = Sx). Это усиливает результат Брака [16]
о возможности погружения произвольной полугруппы в полугруп-
полугруппу с единицей, не содержащую собственных двусторонних идеа-
идеалов. О вложении полугрупп см. также §§ 14 и 15 настоящего
обзора.
В работах Лефевра и Дюбрея [17—19] изучались гомоморфиз-
гомоморфизмы полугрупп на группы или на группы с внешне присоединенным
нулем. Этим же вопросам посвящены [5, 20].
2. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУГРУПП
Пусть 2 (Г) — частично упорядоченное множество всех под-
подполугрупп полугруппы Г, £'(Г)— частично упорядоченное множе-
множество, полученное из Г присоединением пустого множества (рас-
(рассматриваемого как подполугруппа Г). Л. Н. Шеврин [21—23] до-
доказал, что 2 (Г) и 2'(Г) изоморфны тогда и только тогда, когда
Г — группа типа /?°°. Им же указаны необходимые и достаточные
условия в терминах 2 (Г), при которых Г является 1) периоди-
периодической полугруппой, 2) полугруппой без кручения, 3) бесконечной
циклической группой, 4) группой без кручения 5) непериоди-
непериодической группой и др. Выяснены условия, при которых 2'(Г) или
34

2 (Г) является дистрибутивной структурой, структурой с допол-
дополнениями. Для некоторых типов полугрупп установлено, что они
определены своими структурами 2' (Г) с точностью до изоморфиз-
изоморфизма или антиизоморфизма. Полугруппы с дистрибутивной струк-
структурой 27(Г) изучались также Босаком и Эго [24, 25].
В работе Р. В. Петропавловской [26] продолжается начатое ра-
ранее [27] исследование полугрупп Г, для которых структура 2'(Г)
изоморфна аналогичной структуре группы из того или иного
класса.
Ряд дальнейших результатов по структурным свойствам полу-
полугрупп получен Л. Н. Шевриным.
3. ИДЕАЛЫ
Идеальные системы. В ряде работ И. С. Понизовского
объектом исследования являются упорядоченные по включению
ряды идеалов полугруппы 5. В работе [28] установлено, что полу-
полугруппа 5 нормально проста (не содержит собственных нормаль-
нормальных подполугрупп), если все факторы какого-нибудь ее возрастаю-
возрастающего идеального ряда нормально просты. В работе [29] дано описа-
описание гомоморфизмов коммутативной полугруппы с помощью гомо-
гомоморфизмов ее идеальных факторов. В работе [30] проведено ана-
аналогичное исследование гомоморфизмов полугруппы на коммута-
коммутативную полугруппу. В более поздней работе [31] этим же методом
И. С. Понизовский исследует строение инверсных полугрупп с ко-
конечным числом идемпотентов. Идеальные системы в полугруппах
изучаются еще в одной работе того же автора [32].
Идеальные ряды и идеальные системы полугруппы рассматри-
рассматривались также Л. Н. Шевриным [23]. В этой же работе исследованы
свойства полугруппы, связанные с ее коммутантом — наименьшим
ее идеалом, факторполугруппа по которому коммутативна; в
частности, рассмотрены разрешимые полугруппы — аналог разре-
разрешимых групп. Изучаются также полугруппы, все подполугруппы
которых являются идеалами, а также более широкий класс полу-
полугрупп, в которых каждая собственная подполугруппа отлична от
своего идеализатора.
Е. С. Ляпин [1, гл. IV, §§ 2—5] строит общую теорию цепей
подмножеств произвольного множества и с ее помощью дает прин-
принципиально новый подход к теории идеальных эквивалентностей и
идеальных факторов Грина и Н. Н. Воробьева. Здесь же дано
условие, при котором полугруппа обладает единственной главной
двусторонне идеальной цепью.
Об идеальных факторах полугруппы см., кроме того, в работах
Манна [33] и Лефевра [34].
Плотно вложенные идеалы. Л. М. Глускин [35] иссле-
исследовал свойства плотно вложенных идеалов (введенных Е. С. Ля-
3* 35

пиным — см. [1]) в абстрактных полугруппах. Если полугруппа Л
не содержит равнодействующих элементов (т. е. таких элементов
а, Ь 6 Л, что ax=bx, xa = xb при всех х бЛ), то существует с точ-
точностью до изоморфизма единственная полугруппа 5, содержа-
содержащая Л в качестве плотно вложенного идеала. Значение этого по-
понятия в указанном случае определяется возможностью продолже-
продолжения произвольного изоморфизма полугруппы Л до изоморфизма
полугруппы 5. Л. Н. Шеврин [36] показал, что для полугруппы Л,
содержащей нуль и равнодействующий с нулем элемент, не суще-
существует полугруппы, содержащей Л в качестве плотно вложенного
идеала. Л. М. Глускин [37] понятие плотно вложенного идеала пе-
перенес на так называемые 2-полугруппы, т. е. полугруппы, являю-
являющиеся опорными множествами структур в смысле Бурбаки, в
частности, на упорядоченные и на топологические полугруппы.
Ряд дальнейших результатов о плотных вложениях получен
Е. С. Ляпиным и Л. М. Глускиным.
Арифметическая теория идеалов. Мурата [38]
продолжает распространение на полугруппы результатов Асано по
арифметической теории идеалов в некоммутативных кольцах.
Арифметические вопросы в голоидах (коммутативных по'лугруп-
пах, частично упорядоченных отношением делимости) рассматри-
рассматривает Босбах [39—40, 42].
Минимальные идеалы. В работах Лю [43, 44] рассмат-
рассматриваются различные понятия радикала полугруппы, содержащей
минимальный двусторонний идеал.
Л. М. Глускин [128] рассматривает полугруппы с плотно вло-
вложенными вполне простыми идеалами. Этот же класс полугрупп
позднее изучает В. И. Кузнецов [45].
4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
В ПОЛУГРУППАХ
В работах Лефевра [46—48] рассматриваются частично упоря-
упорядоченные по включению множества некоторых эквивалентностей,
определенных на полугруппе D. В частности, построены наимень-
наименьшая сократимая эквивалентность и наименьшая стабильная сокра-
сократимая эквивалентность на произвольной полугруппе D. (Эквива-
(Эквивалентность р сократима справа, если axpbx-^apb). Тьеррен [49] на-
находит необходимые и достаточные условия, при которых сокра-
сократимая справа эквивалентность является стабильной справа. Экви-
валентностям в упорядоченных полугруппах посвящены две рабо-
работы Керре [50, 51].
Идущее от Дюбрея рассмотрение специальных комплексов в
полугруппах продолжалось в работах французской школы [18,
19, 46, 52—57].
36

Нормальные подполугруппы Редей. Подполу-
Подполугруппа N полугруппы Н называется нормальной слева (в смысле
Редей), если существует согласованное с умножением разбиение
полугруппы Н на классы ,вида aN (a g#). Полугруппа F с со-
сокращением, содержащая единицу, называется полной, если она
является прямым сомножителем во всякой полугруппе с единицей
и с законом сокращения, содержащей F в качестве нормальной
слева подполугруппы. Изучению полных полугрупп, в частности,
полных коммутативных полугрупп, посвящены работы Вигандта
[58, 59] и Ханкока [60]. Нормальные подполугруппы рассматрива-
рассматриваются также в работе Пеака [61].
5. ОБРАТИМОСТЬ
Е. С. Ляпин [1, гл. VI, §§ 4—5] рассматривает подполугруппы В
полугруппы А, правильные относительно обратимости справа (в
которых всякий элемент Ь65 обратим справа в А тогда и только
тогда, когда он обратим справа в В). С обратимостью элементов
связаны и полугруппы с отделяющейся групповой частью (там
же, §§ 6—7), т.е. полугруппы 5 такие, что S = AUB, АГ\В = 0,
А — подгруппа, В — идеал. Изучаются подполугруппы таких
полугрупп, их связь с увеличительными элементами.
Т. Сайте [20, 62] рассматривает гомоморфизмы полугрупп с ле-
левой обратимостью на полугруппы с идемпотентами (см. также бо-
более ранние работы Тесье и Л. М. Глускина [63, 64]). Полугруппам
с левой обратимостью 'посвящена также статья Каяна [274].
В работе Редей [65] приведен пример полугруппы Н с двумя
образующими, содержащей элемент а такой, что аН = Н, и не со-
содержащей левой единицы. С обратимостью элементов в полугруп-
полугруппе связана работа Франклина и Линдсея [66]. См также [67].
6. СВОБОДНЫЕ ПОЛУГРУППЫ,
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ
Шютценбергером [68] и Л. Н. Шевриным [69] найдены условия,
при которых подполугруппа свободной полугруппы является сво-
свободной. Л. Н. Шеврин рассмотрел также свободные произведения
свободной группы и свободной полугруппы. Подполугруппы сво-
свободных полугрупп изучались также Розеном [14] и позднее Коном.
Однако в работе Розена есть ошибка: аналог теоретико-групповой
теоремы Нильсена — Шрейера для полугрупп не имеет места
(как это видно из упомянутого выше критерия Шютценбергера —
Шеврина).
В работах Шютценбергера [70] и Розена свободные полугруппы
рассматриваются в связи с некоторыми вопросами кодирования.
37

В работе В. М. Глушкова [71] разбиения свободных полугрупп
используются как аппарат в теории абстрактных автоматов.
Е. С. Ляпин [1, гл. IX, § 5] строит общую теорию полугрупп,
свободных в данном классе полугрупп.
В работе С. И. Адяна B] показано, что всякая (конечно-порож-
(конечно-порожденная полугруппа (т. е.'полугруппа, заданная конечным порож-
порождающим множеством и конечной системой определяющих соотно-
соотношений) с сокращением изоморфна некоторой конечно-порожден-
конечно-порожденной полугруппе, в которой не предполагается выполнение закона
сокращения. Коммутативные полугруппы с конечным числом
образующих и с одним определяющим соотношением изучаются
в работе В. А. Емеличева [72]. Порождающие множества полу-
полугрупп рассматриваются также в работе Лайоша [73].
7. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ
Лайошем [74] найден ряд характеристических свойств регу-
регулярных полугрупп в терминах их главных односторонних идеалов.
В двух других его работах [75, 76] подмножество А полугруппы S
названо (т, #)-идеалом, если AnSAnczA (m, п>0), и (я, /тг)-квази-
идеалом, если AnSf)SAmQA. С помощью этих понятий получен
ряд критериев регулярности полугруппы. Регулярные полу-
полугруппы с левым сокращением рассматривал Чаудхури [77].
Одним из самых важных разделов теории полугрупп является
теория инверсных полугрупп. Об инверсных полугруппах см. ра-
работы В. В. Вагнера [78], Б. М. Шаина [7, 79], Манна [80, 81]*.
Полугруппа называется квазиинверсивной, если А2=А для лю-
любого ее одностороннего идеала А. С квазиинверсивными полугруп-
полугруппами связано строение некоторых классов регулярных полугрупп
(Гале, [82]).
Вполне простые-полугруппы. Элемент с полугруп
пы S называется псевдообратным [83] для элемента xGS, если
1) сх = хс, 2) с2х = с, 3) хт = хт+1с при некотором т. Манн [33]
показал, что полугруппа без собственных двусторонних идеалов
вполне проста тогда и только тогда, когда для всякого ее эле-
элемента существует псевдообратный.
В работе Л. М. Глускина [84] доказан аналог теоремы Жорда-
на — Гельдера для рядов, составленных из замкнутых нормаль-
нормальных комплексов произвольной вполне простой полугруппы. В двух
заметках [85, 86] выяснены условия, при которых полугруппа
является инверсной и вполне простой. Стабильные эквивалентно-
эквивалентности вполне простых полугрупп расмотрены Престоном [87, 88].
(см. более раннюю работу Л. М. Глускина [89]). Вполне про-
простые полугруппы изучали также Клиффорд [90], Тамура [91, 92]
и Л. М. Глускин [128].
* См. ниже о вполне простых полугруппах
38

Вполне регулярные полугруппы. Продолжая ис-
исследования Клиффорда, Фантем [93] исследует строение вполне
регулярной полугруппы, идемпотенты которой образуют подполу-
подполугруппу.
Ямада [94—98] продолжает начатые ранее им и Кимура иссле-
исследования полугрупп, в которых все элементы идемпотентны. Обзор
некоторых предыдущих результатов этих авторов по идемпотент-
ным полугруппам можно найти в статье Лефевра [99]; см. также
[ЮО].
В работе Ямада [101] рассматриваются инвертируемые полу-
полугруппы, т. е. полугруппы 5, в которых множество / всех идем-
потентов образует подполугруппу и для каждого a£S существует
элемент xGS такой, что ах = ха£1. Строение этих полугрупп свя-
связано с вполне регулярными полугруппами.
Поллаком и Редей [102] найдены все полугруппы, собственные
подполугруппы которых являются группами. Полугруппы с анало-
аналогичными условиями для двусторонних или левых идеалов перечис-
перечислены Шварцем [103] и Грмовой [104].
8. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ
Для произвольного идемпотента е периодической полугруппы S
обозначим через К{е) класс всех элементов xGS таких, что хп = е
при некотором п. Ямада [105] выяснил условия, при которых
1) каждый класс К{е) периодической полугруппы S является под-
подполугруппой, 2) S является связкой подполугрупп К(е\ 3) S яв-
является коммутативной связкой подполугрупп К{е\ Близкое к этим
результатам исследование периодических полугрупп, главным об-
образом коммутативных, было проведено несколько ранее Колибиа-
ровой [106, 107]. Периодические полугруппы рассматривались
также в работах А. Я. Айзенштат, Грмовой [13, 108] и Тьерре-
на [49].
Л. Н. Шеврин [21, 23, 109] исследовал ряд свойств нильпотент-
ных полугрупп и ниль-полугрупп (периодических полугрупп, не
содержащих ненулевых идемпотентов). В частности, он показал,
что полугруппа 5, все собственные подполугруппы А которой
нильпотентны с ограниченными в совокупности паказателями
нильпотентности (т. е. показателями п такими, что Лп = 0), сама
является нильпотентной. Приводится критерий, когда S является
конечной нильпотентной полугруппой. О периодических полугруп-
полугруппах см. также работы Ямада в § 7 обзора. Нильпотентные полу-
полугруппы рассматривал Тамура [92].
Конечные полугруппы изучались, главным образом, в работах
японских математиков. Ими классифицированы [ПО—112] все
39

типы полугрупп до порядка 5 включительно и некоторые типы
полугрупп порядка 6—8.
Тамура дал способ построения любой конечной нильпотентной
полугруппы [113] и рассмотрел конечные вполне простые полу-
полугруппы, не обладающие нетривиальными гомоморфизмами на ком-
коммутативные полугруппы [91]. Конечным полугруппам посвящены
также работы [114—117].
9. ДРУГИЕ КЛАССЫ ПОЛУГРУПП
Колибиаровой исследованы полугруппы, в которых всякий ле-
левый идеал обладает односторонней единицей [118] или всякий
главный левый идеал обладает единицей [119].
Коммутативные полугруппы рассматриваются в работах
[59,60, 120—122].
В работах Шварца, Крайняковой и Крняна [123, 124] рассмат-
рассматриваются так называемые вполне некоммутативные полугруппы 5,
в которых никакие два идемпотента не переместимы между собой
(предполагается, что 5 содержит не менее двух идемпонентов).
В работе Уорнера [125] выяснено интересное характеристиче-
характеристическое свойство моногенных полугрупп.
Тьеррен [49] исследует полугруппы S, которые являются
одновременно обратимыми (для каждого x(:S существует такой
y&S, что ху— идемпотент) и прямоугольными (из ах=Ьх=ау=т
следует by = т).
Шварц [126] исследует двойственные полугруппы — аналог
дуальных колец (см., например, М. А. Наймарк, Нормированные
кольца, ГИТТЛ, М., 1956).
10. ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Е. С. Ляпиным [127] дана абстрактная характеристика полу-
полугруппы W& всех частичных преобразований множества, связанная
со свойствами ее минимальных правых идеалов. Другая "характе-
"характеристика (при помощи плотно вложенных идеалов) несколько рань-
раньше была найдена Л. М.Глускиным [128]. Э. Г. Шутов [129] нашел
все гомоморфизмы этой полугруппы методом А. И. Мальцева.
Э. Г. Шутов и Л. М. Попова ]130, 131] нашли в случае конеч-
конечного Q определяющие соотношения полугруппы W&, полугруппы
V& всех взаимно однозначных частичных преобразований множе-
множества Q и некоторых других подполугрупп полугруппы W&.
Э. Г. Шутовым [132] найдены все стабильные эквивалентности
полугруппы На всех взаимно однозначных полных преобразований
множества £2 и ее минимального идеала Я; этот результат можно
получить и из работы А. Е. Либера [133].
40

Э. Г. Шутов [134, 135] исследовал полугруппу W'Q всех почти
тождественных частичных преобразований множества Q (т. е. та-
таких преобразований afiWa, что ск Ф \ для конечного числа эле-
элементов I6Q) и ее подполугруппу Н& всех почти тождественных
полных преобразований. Он нашел все идеалы и нормальные под-
подполугруппы полугруппы W'^, ее автоморфизмы, дал ее абстракт-
абстрактную характеристику; нашел все стабильные эквивалентности полу-
полугруппы На и ее эндоморфизмы.
Е. С. Ляпин [1, гл. VI, § 5] изучает полугруппы преобразований,
правильные относительно обратимости (см. п. 5) в полугруппе
всех преобразований данного множества. Изучается связь обрати-
обратимости элементов полугруппы преобразований с существованием и
единственностью решений операторных уравнений.
Л. М. Глускин [137—138] исследовал полугруппу 5 гомеоморф-
ных преобразований отрезка. Найдены все идеалы, гомоморфизмы
и автоморфизмы полугруппы 5 и некоторых ее подполугрупп; в
частности, выделены простые (т. е. не обладающие нетривиальны-
нетривиальными гомоморфизмами) подполугруппы 5. Указаны подполугруп-
подполугруппы S с конечным числом образующих, плотные в S. В других ра-
работах [139, 140] им исследованы полугруппы топологических пре-
преобразований замкнутых ограниченных подмножеств конечно-
конечномерного евклидова пространства с непустой внутренностью. С по-
помощью этих полугрупп указанные топологические пространства
могут быть охарактеризованы с точностью до гомеоморфизма;
найдены некоторые полугрупповые характеристики рассматривае-
рассматриваемых пространств. Дальнейшие результаты в этом направлении
(связанные с изучением полугрупп непрерывных преобразований
вполне регулярных пространств, содержащих простую дугу) по-
получены Л. Б. Шнеперманом [141]. Полугруппы непрерывных пре-
преобразований рассматривались также Эллисом [142], Левнером
[143] и Фудзивара [144, 145].
В ряде работ [146—148] Л. М. Глускиным рассмотрены полу-
полугруппы линейных и полулинейных преобразований произвольного
линейного пространства А. Помимо исследования свойств указан-
указанных полугрупп, с их помощью получена характеристика линейных
пространств (аналогичная указанной выше характеристике топо-
топологических пространств). Ряд известных результатов о кольцах
линейных преобразований и некоторые свойства абстрактных ко-
колец получены из рассмотрения только их мультипликативных по-
полугрупп. Главным образом здесь использованы свойства вполне
простых полугрупп.
В работе Л. М. Глускина [149] найдены автоморфизмы полу-
полугруппы всех неособенных матриц с неотрицательными элемента-
элементами. Аналитическая структура матричных полугрупп рассматри-
рассматривается в работах [150, 152]. В работае [153] приводится необходи-
необходимое и достаточное условие приводимости над телом кватернионов
41

полугруппы матриц, неприводимой над полем комплексных чисел.
Матричными полугруппами занимался также И. С. Понизовский.
Л. М. Глускиным [154] показано, что всякое квазиупорядочен-
ное множество Q (за исключением некоторых тривиальных слу-
случаев) может быть с точностью до изоморфирма или антиизомор-
антиизоморфизма охарактеризовано своей полугруппой S(Q) изотонных пре-
преобразований. А. Я. Айзенштат [155] доказала, что множество Q
является конечным и линейно упорядоченным тогда и только то-
тогда, когда S(Q) полупроста (т. е. все ее нетривиальные гомомор-
гомоморфизмы являются идеальными). Дальнейшие результаты о полу-
полугруппах эндоморфизмов и частичных эндоморфизмов множества
с одним бинарным отношением получены Л. М. Поповой и
А. Я. Айзенштат. О полугруппах изотонных преобразований
структур см. также [156, 157], о полугруппах изотонных преобра-
преобразований линейно упорядоченного множества — работы Пондели-
чека [158—160] и А. Я. Айзенштат [161]. О частичном упорядоче-
упорядочении, вносимом полугруппой преобразований, см. работу Левнера
[162]; этот же вопрос изучался Л. Б. Шнеперманом.
Плотно вложенные идеалы в ряде полугрупп преобразований
выделены Л. М. Глускиным [128], Э. Г. Шутовым [134], К. А. За-
рецким [163]. Л. М. Глускиным [35] выяснена связь плотно вложен-
вложенных идеалов с полугруппами сдвигов. Исследованию полугрупп
сдвигов для некоторых классов полугрупп посвящены статьи Та-
мура [164], Саса и Колибиара [157, 165].
К- А. Зарецкий [163, 166] дал абстрактную характеристику по-
полугруппы всех бинарных отношений между элементами множества
Q и ее подполугрупп, состоящих из рефлективных и соответствен-
соответственно всех прямоугольных бинарных отношений.
И. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛУГРУПП
Представлением полугруппы S частичными преобразованиями
называется ее гомоморфизм в полугруппу ^q всех частичных
преобразований какого-нибудь множества й. Е. С. Ляпиным [167]
дано полное описание всех представлений произвольной полугруп-
полугруппы частичными преобразованиями. (Другим методом эта задача
была решена В. В. Вагнером [168]). В работе Талли [169] изу-
изучаются представления полугрупп (полными) преобразованиями; в
частности, найдены все транзитивные представления.
С представлениями инверсных полугрупп частичными преобра-
преобразованиями связаны работы В. В. Вагнера и Б. М. Шайна [7, 78, 79].
Идеалы полугрупп с помощью представлений полными преобразо-
преобразованиями изучает К. А. Зарецкий [170]. К. А. Зарецкий [171] дока-
доказал, что для всякой упорядоченной полугруппы существует сохра-
сохраняющий упорядоченность изоморфизм в полугруппу всех бинар-
бинарных отношений некоторого множества Q, упорядоченную отноше-
42

нием включения. Ряд результатов по представлениям полугрупп
принадлежит Б. М. Шайну.
Манн [81] дает способ нахождения всех неприводимых матрич-
матричных представлений полугруппы 5, удовлетворяющей условиям ми-
минимальности для односторонних идеалов, с помощью неприводи-
неприводимых представлений максимальных подгрупп полугруппы 5. Непри-
Неприводимые матричные представления инверсных полугрупп изуча-
изучаются Манном в работах [80, 81]. Матричные представления вполне
простых полугрупп изучает Клиффорд [90].
Характером (иногда полухарактером) полугруппы 5 называет-
называется ее гомоморфизм в мультипликативную полугруппу комплексных
чисел. Росс [172, 173] изучает возможность продолжения характе-
характера подполугруппы до характера (коммутативной) полугруппы.
Уорн и Вильяме [174], используя методы Шварца [176], дают опи-
описание всех характеров некоторых классов коммутативных инверс-
инверсных полугрупп; Паризек и Шварц [176] — описание всех характе-
характеров полугруппы классов вычетов по модулю т. Полухарактеры то-
топологических полугрупп изучают Комфорт [177], Кришнан [121],
Девинатц и Нусбаум [178]. М. М. Лесохин [179] рассматривает
обобщенные характеры коммутативной полугруппы А — ее гомо-
гомоморфизмы в другую коммутативную полугруппу В.
Е. С. Ляпин [1, стр. 346] изучает обратимость полугрупп, пред-
ставимых матрицами.
Обзорная статья о представлениях полугрупп написана Риге
[180].
12. ПОЛУГРУДЫ
В тесной связи с теорией полугрупп находится развитая в ра-
работах В. В. Вагнера и позднее Б. М. Шайна теория полугруд и,
прежде всего, обобщенных груд.
Множество S (Л X 5) всех взаимно однозначных частичных
отображений множества А в В является обобщенной грудой (так
называемой симметрической обобщенной грудой). Б. М. Шайн [181]
дал абстрактную характеристику полугруды S (Л X -8).
В. В. Вагнер [78] показал, что для полугруд, аналогичных
полугруппам без равнодействующих элементов (см. § 3 настоя-
настоящего обзора) существует изоморфное так называемое скрещенное
представление при помощи пар отображений двух множеств друг
в друга. Для всякой обобщенной груды $ существует изоморфное
представление при помощи взаимно однозначных частичных отобра-
отображений двух множеств (т. е. изоморфизм Ж в $(ЛХ#)). Указанные
представления обобщенных груд и их глубокие связи с теорией
полугрупп рассмотрены В. В. Вагнером в другой его работе [182].
Все представления обобщенных груд с помощью взаимно одно-
однозначных частичных отображений были позднее найдены
43

Б. М. Шайном [79] . Обзор некоторых работ В. В. Вагнера по по-
полугрудам см. в [183]. Ряд дальнейших результатов в теории полу-
полугруд получен В. В. Вагнером, Б. М. Шайном, Л. М. Глускиным.
Об инволютированных полугруппах (с которыми, как изве-
известно, тесно связана теория полугруд) см. также в работе [156].
13. ПОЛУГРУППЫ И КОЛЬЦА
Исбелл [184] показал, что мультипликативная полугруппа
коммутативного кольца конечна, если она порождается конечным
числом своих элементов. Глускин [185] рассматривает кольца,
в которых левые идеалы мультипликативной полугруппы являют-
являются левыми идеалами кольца; с последним вопросом связана и
статья Дюбрея [186]. Ранее этот вопрос рассматривал Ауберт
[187]. С. Р. Когаловский [188] показал, что классы всех мульти-
мультипликативных полугрупп колец и мультипликативных полугрупп
полей не являются аксиоматизируемыми.
В работах Паризека и Шварца [176, 189—191] рассматри-
рассматривается мультипликативная полугруппа классов вычетов по моду-
модулю т.
Хенриксен [192] показал, что кольцо С (X) всех вещественных
непрерывных функций, определенных на топологическом прост-
пространстве X, может быть охарактеризовано с точностью до изомор-
изоморфизма своей мультипликативной полугруппой.
14. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ
Кришнан [121, 193—195] рассматривает структуры в смыс-
смысле Бурбаки, определенные на коммутативных полугруппах,
главным образом упорядоченные или топологические коммутатив-
коммутативные полугруппы [|121, 195]. Полугруппы, несущие на себе струк-
структуры Бурбаки, рассматривались также Глускиным [37], В. В. Ваг-
Вагнером [196].
С бинарнцм отношением в полугруйпах связана работа Хор-
на [197].
В работах Е. Г. Гонина и Н. Е. Домошницкой [198—200] рас-
рассматриваются системы обобщенного измерения линейно упорядо-
упорядоченной полугруппы G — ее сохраняющие порядок гомоморфизмы
в аддитивную группу вещественных чисел.
Возможность вложения линейно упорядоченной полугруппы
в аддитивную полугруппу вещественных чисел рассматривается
в работах Конрада, Фукса и Понделичека [81, 201, 202]. О ли-
линейно упорядоченных полугруппах см. также работы Стори [203,
204], Ямада [205] и Клиффорда [206—209].
44

О вложении упорядоченной полугруппы в объединение неко-
некоторого числа экземпляров аддитивной полугруппы действитель-
действительных чисел см. работы Конрада и Кришнана [210, 195].
В работах Молинаро, Керре и Мори [50, 51, 211, 212—214]
рассматриваются полугруппы с делением (Биркгоф, Теория струк-
структур, М., ИЛ, 1956). Структурно-упорядоченные полугруппы изу-
изучались в работах Мори, Лесьера, Круазо, Мурата [38, 215—219].
Упорядоченным полугруппам посвящены также работы
[171, 220, 221]. О подполугруппах правоупорядоченной группы
см. в работе Конрада [222].
15. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ
В работах Коэна, Уэйда [223], Н. И. Огурцова [224], Миранда
[225] изучается строение топологических полугрупп, определенных
на интервале; в работах Хадсона и Лестер [226, 227] — на я-мер-
ном шаре; в работе Куртиса [228] — на евклидовом простран-
пространстве £3; в работах Мостерта, Шилдса [229] и Лестер [230] — на
многообразиях; в работах Коха, Уоллеса [231] и Хантера [232,
233] — на континуумах (т. е. на связных компактных хаусдорфо-
вых пространствах).
Хорн [234] рассматривает коммутативные топологические по-
полугруппы, гомеоморфные евклидовой плоскости и содержащие
подполугруппу, топологически изоморфную мультипликативной
полугруппе вещественных чисел.
Хофман [235—237] дает характеристику мультипликативных
полугрупп поля вещественных чисел, поля комплексных чисел и
тела кватернионов, как топологических полугрупп.
П. Д. Крумминг [238—240] изучает в бикомпактных хаусдор-
фовых топологических полугруппах вопросы делимости, распре-
распределение идемпотентов, убывающие последовательности топологи-
топологических полугрупп. Крнян [124] рассматривает бикомпактные впол-
вполне некоммутативные (см. § 9) топологические полугруппы.
Кох [241, 242] и Клиффорд [208] изучают упорядоченные то-
топологические полугруппы.
Коэн и Крул [243] нашли все непрерывные гомоморфные обра-
образы компактной связной топологической полугруппы, гомеоморф-
ной отрезку и содержащей единицу.
Уоллес и Хантер [244, 245] изучают максимальные подгруппы
топологических полугрупп.
Ротман [3] изучает возможность вложения топологических по-
полугрупп в топологические группы. Подполугруппы локально би-
бикомпактной топологической группы изучаются в работах Бека
и др. [246, 247].
45

Коэн, Коллинс [248, 249] и Уоллес [250] рассматривают аф-
аффинные полугруппы, являющиеся выпуклыми подмножествами
хаусдорфова топологического линейного пространства.
Уоллесом [251] сформулирован ряд проблем о топологических
полугруппах.
Хантер [252, 245], Мостерт и Шилдс [253] изучают однопара-
метрические подполугруппы топологических полугрупп — некото-
некоторые подполугруппы, гомеоморфные отрезку- Хофман [254] изучает
топологические полугруппы, содержащие какую-либо плотную
подполугруппу, являющуюся гомоморфным образом возра-
возрастающей последовательности моногенных подполугрупп ад-
аддитивной полугруппы R всех неотрицательных вещественных
чисел.
Шварц и Хантер [245, 255,252] рассматривают топологические
нормальные полугруппы, т. е. полугруппы 5, в которых xS = Sx
для любого х g 5.
Коллинс [249] изучает полугруппу мер компактной топологиче-
топологической полугруппы (см. также [256]).
В работах Шулки [257, 258] изучаются топологические груп-
группоиды.
О топологических полугруппах см. также в работах Суинг-
ла [259, 260], Коэна [261], Мацусима [262], Комфорта [177], Гликс-
берга [263], Фабрици [264].
§ 16.РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ
А. X. Лившиц [265] строит теорию прямых разложений идем-
потентов в полугруппах, объединяющую теорию прямых разложе-
разложений в категориях и аналогичную теорию в структурах. В работе
Небелинга [266] на коммутативные полугруппы переносится тео-
теория когомологий.
В работе Пеака [267] показано, что всякая полугруппа с сокра-
сокращением, обладающая непустым центром и не имеющая собствен-
собственных идеалов, является группой.
Тьерреном [49] дано разложение некоторых типов полугрупп
в подпрямое произведение полугрупп известного строения. С раз-
разложением полугруппы на некоторые подмножества связана ра-
работа Чупона [268].
М. М. Лесохин [269—271] продолжает рассматривать связан-
связанные с теорией полугрупп так называемые системы с внешним
умножением; Конрад [272] — так называемые мульты. •
Кимура [273] для мультипликативных систем (группоидов)
рассматривает вопросы, связанные с существованием максималь-
максимальной системы в данном классе систем.
46

БИБЛИОГРАФИЯ
1. Ляпин Е. С, Полугруппы. М., Физматгиз, 1960, 592 стр., 17 р. 40 к.
(РЖМат, 1961, 6А261К)
2. Адян С. И., О вложимости полугрупп в группы. Докл. АН СССР, 1960,
133, № 2, 255—257 (РЖМат, 1961, 10А195)
3. Rothman N. J., Embedding of topological semigroups. Math. Ann., 1960,
139, № 3, 197 — 203 (РЖМат, 1961, 1A236)
4. Wiegold J., Semigroup coverings of groups. Mat.-fyz, casop., 1961, 11,
№1, 3—13 (РЖМат, 1961, 10A214)
5. Holvoet R., Sur Timmersion d'un semi-groupe dans un groupe. Bull. Soc.
math. Belg., 1959, 11, № 2, 134—146 (РЖМат, 1962, 2A232)
6. Pickert G., Zur Einbettung von Halbgruppen in Gruppen. Math. Z., 1961,
77, № 3, 241—248 (РЖМат, 1961, 6A180)
7. Шайн Б. М., Система аксиом для полугрупп, вместимых в обобщенные
группы. Докл. АН СССР, 1960, 134, № 5, 1030—1033 (РЖМат, 1961,
6А252)
8. Шутов Э. Г., Потенциальная стационарность элементов полугрупп. Уч.
зап. Удмуртск. гос. пед. ин-та, 1958, вып. 12, 16—23 (РЖМат, 1960,
1411)
9. —, Потенциальная односторонняя обратимость элементов полугрупп.
Уч. зап. Удмуртск. пед. ин-та, 1959, вып. 12, 24—36 (РЖМат, 1960,
1412)
10. —, Потенциальная делимость элементов в полугруппах. Уч. зап. Ле-
нингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1958, 166, 75—103 (РЖМат,
1959, 3562)
11. —, Потенциальная сопряженность элементов в полугруппах. Уч.
зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1958, 166, 105—
119 (РЖМат, 1959, 3564)
12. Neumann В. Н., Embedding theorems for semigroups. J. London Math.
Soc, 1960, 35, № 2, 184—192 (РЖМат, 1961, 9A257)
13. Айзенштат А. Я., Об одном классе периодических полугрупп. Уч. зап.
Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1958, 183, 241—249
(РЖМат, 1960, 3829)
14. Rozen R., The DNA-protein coding problem. Bull. Math. Biophys., 1959,
21, № 1, 71—95 (РЖМат, 1960, 7286)
15. Preston G. В., Embedding any semigroup in a D-simple semigroup. Trans.
Amer. Math. Soc, 1959, 93, № 2, 351—355 (РЖМат, 1960, 12531)
16. Bruck R. H., A survey of binary systems. Ergebn. Math., № 20, Berlin-
Gottingen-Heidelberg, Springer, 1958, 185 pp. (РЖМат, 1959, 6667K)
17. Lefebvre P., Sur les groups homomorphes a un demi-groupe; demi-groupes ad-
mettant un groupe homomorphe maximum. C. r. Acad. sci., 1959, 248,
№ 16, 2277—2279) (РЖМат, 1960, 3832)
18. Dubreil P., Proprietes des homomorphismes appliquant un demi-groupe
D sur un autre, D, ou sur un groupe G. J. reine und angew. Math., 1960,
204, № 1—4, 183—187 (РЖМат, 1961, 5A235)
19. Lefebvre P., Sur les demi-groupes admettanf pour image homomorphe un
groupe avec zero. Semin. Dubreil et Pisot. Fac. Sci. Paris. 1959—1960,
13 annee. fasc. 1. Paris, 1961, 7/1—7/18 (РЖМат, 1962, 2A243)
20. Saito Toru., Homomorphisms of a left simple semigroup onto a group.
Proc. Japan Acad., 1958, 34, № 10, 664—667; 1959, 35, № 3, 114 (РЖМат,
1960, 8636)
21. Шеврин Л. Н., О структурных свойствах полугрупп. Докл. АН СССР,
1961, 138, № 1, 73—76 (РЖМат, 1962, 1А234)
22. —, Полугруппы с некоторыми типами структур подполугрупп. Докл.
АН СССР, 1961, 138, № 4, 796—798 (РЖМат, 1962, 2А248)
23. —, К общей теории полугрупп. Матем. сб., 1961, 53, №3,367-386
(РЖМат, 1961, 12А293)
47

24. Bosak J.,£f-pologrupy. Mat.-fyz. casop., 1961, 11, № 1, 32—44 (РЖМат,
1962, 2A237)
25. Ego M., Structure des demi-groupes dont le treillis des sous-demi-groupes
est distributif. С. г. Acad. sci., 1961, 252, № 17, 2490—2492 (РЖМат,
1962, 2A249)
26. Петропавловская Р. В., Ассоциативные системы, структурно-изо-
структурно-изоморфные группе. Вестн'. Ленингр. ун-та, 1967, № 19, 5—19 (РЖМат,
1960, 3821)
27. —, Ассоциативные системы, структурно-изоморфные группе. I, II.
Вестн. Ленингр. ун-та, 1956, № 13, 6—25, № 19, 80—99 (РЖМат, 1957,
4640)
28. Понизовский И. С, Замечание о простых полугруппах. Изв. высш.
учебн. заведений. Математика, 1960, № 6, 203—206 (РЖМат, 1961,
8А223)
29. —, О гомоморфизмах коммутативных полугрупп. Докл. АН СССР,
1960, 135, № 5, 1058—1060 (РЖМат, 1961, 8А222)
30. —, О гомоморфизмах полугрупп на коммутативные полугруппы. Си-
бирск. матем. ж., 1961, 2, № 5, 719 — 733 (РЖМат, 1962, 4А211)
31. —, Инверсные полугруппы с конечным числом идемпотентов. Докл.
АН СССР, 1962, 143, № 6, 1282—1285 (РЖМат, 1963, 1А218)
32. —, Об идеальных системах в полугруппах. Матем. сб., 1961, 55, № 4,
401—406 (РЖМат, 1962, 8А160)
33. Munn W. D., Pseudo-inverses in semigroups. Proc. Cambridge Philos.
Soc, 1961, 57, № 2, 247 —250 (РЖМат, 1962, 1A227)
34. Lefebvre P., Sur la structure des demi-groupes, d'apres les travaux de
J. A. Green et W. D. Munn. Semin P. Dubreil, M.-L. Dubreil - Ja-
cotin et C. Pisot. Fac. Sci. Paris, 1958—1959, 12-e annee, fasc. 2. Paris,
I960, 13/1—13/24 (РЖМат, 1961, 8A230)
35. Глускин Л. М., Плотно вложенные идеалы полугрупп. Докл. АН СССР,
1960, 131, № 5, 1004—1006 (РЖМат, 1960, 13607)
36. Шеврин Л. Н., О плотно вложенных идеалах полугрупп. Докл.
АН СССР, 1960, 131, № 4, 765—768 (РЖМат, 1960, 13608)
37. Глускин Л. М., Транзитивные полугруппы преобразований. Докл.
АН СССР, 1959, 129, № 1, 16—18 (РЖМат, 1960, 13612)
38. Murata Kentaro, On Р-components of normal ideals in a semigroup. J.
Inst. Polytechn. Osaka. City Univ., 1959, A10, № 1, 1—7 (РЖМат,
1962, 2A247)
39. Bosbach В., Charakterisierungen von Halbgruppen mit eindeutigen Halb-
primfaktorzerlegungen. Math., Ann., 1960, 139, № 3, 184—196 (РЖМат,
1960, 12529)
40. —, Charakterisierungen von Halbgruppen mit eindeutigen Halbprim-
faktorzerlegungen unter Berucksichtigung der Verbande und Ringe. Math
Ann., 1960, 141, № 3, 193—209 (РЖМат, 1961, 5A239)
41. Norton D. A., A note on associativity. Pacif. J. Math., 1960, 10, № 2,
591—595 (РЖМат, 1961, 5A242)
42. Bosbach В., Arithmetische Halbgruppen. Math. Ann., 1961, 144, № 3,
239—252 (РЖМат, 1962, 6A181)
43. Luh J., On the concepts of radical of semigroup having kernel. Portug.
math., 1960, 19, № 3—4, 189—198 (РЖМат, 1961, 10A220)
44. —, On reflective ideals of a ring and of a semigroup. Portug math., 1961,
20, № 1-2, 119—125 (РЖМат, 1962, 4A208)
45. Кузнецов В. I., Про /г-1зомор(}изми швгрупи з шдльно вкладеним щл-
ком простим деалом. Доповци АН УРСР, 1962, № 10, 1429—1431
(РЖМат, 1963, 8А173)
46. Lefebvre P., Sur certains theoremes d'isomorphisme pour les demi-grou-
demi-groupes. С r. Acad. sci., 1959, 249, № 20, 1995—1997 (РЖМат, 1961, 1A235)
47. —, Sur la plus fine equivalence simplifiable d'un demi-groupe. С. г. Acad.
sci., 1960, 251, № 12, 1205—1207 (РЖМат, 1961, 6A250)
48

48. Lefebvre P., Sur la plus fine equivalence reguliere et simplifiable d'un
demi-groupe. C. r. Acad. sci., I960, 251, № 13, 1265—1267 (РЖМат,
1961, 6A251)
49. Thierrin G., Sur la structure des demi-groupes. Publ. Sci. Univ.
Alger, 1956, A3, 161—171 (РЖМат, 1962, 5A213)
50. Querre J., Equivalences de fermeture dans un demi-groupe. C. r. Acad.
sci., 1961, 252, № 1, 49—51 (РЖМат, 1961, 10A217)
51. —, Equivalences de fermeture simplifiables. C. r. Acad., sci., 1961,
252, № 7, 974—976 (РЖМат, 1961, 10A218)
52. Chaudhuri N. P., Sur les complexes unitaires dans un demi-groupe. C. r.
Acad. sci., 1955, 248, № 12, 1750—1752 (РЖМат, 1960, 3836)
53. Lefebvre P., Sur les sous-demi-groupes nets d'un c6te, minimaux, d'un
demi-groupe. С. г. Acad. sci., 1959, 248, № 2, 173—175 (РЖМат, 1960,
3837)
54. Chaudhuri N. P., Sur les demi-groupes inversifs et les demi-groupes reu-
reunions de groupes. С. г. Acad. sci., 1959, 248, № 23, 3262—3263 (РЖМат,
1960, 6211)
55. Brameret M.-P., Sur certains complexes et elements remarquables d'un
demi-groupe. C. r. Acad. sci., 1960, 250, № 8, 1417—1418 (РЖМат,
1960, 13611)
56. Lefebvre P., Sur les demi-groupes admettant des complexes nets d'un
c6te minimaux. Semin. P. Dubreil., M.-L. Dubreil - Jacotin et C. Pi-
sot. Fac. Sci. Paris. 1958—1959, 12-e annee, fasc, 1. Paris, 1960, 2/1 —
2/18 (РЖМат, 1961, 8A225)
57. Grillet P., La residuation faible. C. r. Acad. sci., 1961, 253, № 22, 2448—
2450 (РЖМат, 1962, 6A186)
58. Wiegandt R., On complete semigroups. Acta scient. math., 1958, 19,
№ 1—2, 93—97 (РЖМат, 1959, 5592)
59. —, On complete semimodules. Acta scient. math., 1958, 19, № 3—4,
219—223 (РЖМат, 1960, 3824)
60. Hancock V. Ray, On complete semimodules. Proc. Amer. Math. Soc,
1960, 11, JMb 1, 71—76 (РЖМат, 1961, 1A246)
61. Peak I., Uber gewisse spezielle kompatible Klasseneinteilungen von Halb-
gruppen. Acta scient. math., 1960,21, № 3—4, 346—349 (РЖМат, 1961,
8A228)
62. Saito Toru, Note on left simple semigroups. Proc. Japan Acad., 1959, 35,
№ 8, 427—430 (РЖМат, 1961, 3A211)
63. Teissier M., Sur les demi-groupes ne contenant pas d'element idempotent.
С. г. Acad. sci., 1953, 237, № 22, 1375—1377 (РЖМат, 1954, 4755)
64. Глускин Л. М., Гомоморфизмы односторонне простых полугрупп на
группы. Докл. АН СССР, 1955, 102, № 4, 673—675 (РЖМат, 1956,
7161)
65. Redei L., Halbgruppen und Ringe mit Linkseinheit'en ohne Linkseins-
elemente. Acta math. Acad. scient hung., 1960, 11, № 3—4, 217—222
(РЖМат, 1961, 8A224)
66. Franklin S. P., Lindsay J. W., Straddles on semigroups. Math.
Mag., 1961, 34, № 5, 269—270 (РЖМат, 1962, 4A207)
67. Искандеров Р. И., Произведение сверхгрупп. Тр. Узб. ун-та, 1958,
вып. 78, 153—161 (РЖМат, 4А193)
68. Schtitzenberger M. P., Nouvelle demonstration du theoreme de Schreier
sur les sous-groupes groupe d'un groupe libre par son extension au cas des
demigroupes libres Semin. P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et Pisot.
Fac. Sci. Paris. 1957—1958, 11 annee, Vol. I. Paris, 1958, 6/1—6/6
(РЖМат, 1960, 1389)
69. Шеврин Л. Н., О подполугруппах свободных полугрупп. Докл.
АН СССР, 1960, 133, № 3, 537—539 (РЖМат, 1961, 7А252)
70. Schtitzenberger M. P. Sur certains sous-demi-groupes qui interviennent
4-5871 49

dans un probleme de mathematiques appliquees. Publs. scient. Univ.
Alger, 1959, A6, dec, 85—90, (РЖМат, 1961, 3A219)
71. Глушков В. М., Абстрактные автоматы и разбиение свободных полу-
полугрупп. Докл. АН СССР, 1961, 136, №4, 765—767(РЖМат, 1961, 12А291)
72. Емеличев В. А., Коммутативные полугруппы с одним определяющим
соотношением. Уч. зап. Шуйск. гос. пед. ин-т, 1958, 6, 227—242
(РЖМат, 1960, 3823) •
73. Lajos S., Redei Laszlo egy felcxoportelmeleti problemaiarol.
Math, lapok, 1959, 10, № 3—4, 274—277 (РЖМат, 1961, 4A189) *
74. —, A remark on regular semigroups. Proc. Japan Acad., 1961, 37, № 1,
29—30 (РЖМат, 1961, 12A295)
75. —, A felcsoportok idealemeletehez. Magyar tud. akad. oszt. kozl., 1961,
11, № 1,5 7—66 (РЖМат, 1962, 2A236)
76. —, Generalized ideals in semigroups. Acfa scient. math., 1961, 22, № 3-
4, 217—222 (РЖМат, 1962, 8A158)
77. Chaudhuri N. P., Sur les proprietes des demi-groupes inversifs verifiant
la regie de simplification d'un cute. C. r. Acad. sci., 1960, 250, № 8,
1420—1423 (РЖМат, 1960, 13609)
78. Вагнер В. В., Представление обобщенных груд. Укр. матем. ж., 1959,
11* № 3, 231—242 (РЖМат,- 1960, 8640)
79. Шайн Б. М., Представление обобщенных груд. Изв. высш. учебн. заве-
заведений. Математика, 1961, № 6, 142—154 (РЖМат, 1962, 8А164)
80. Munn W. D., A class of irreducible matrix representations of an arbitrary
inverse semigroup. Proc. Glasgow Math. Assoc, 1961, 5, № 1, 41—48
(РЖМат, 1961, 12A290)
81. —, Irreducible matrix representations of semigroups. Quart. Z. Math.,
1960, 11, №44, 295—309 (РЖМат, 1962, 1A228)
82. Calais J.. Demi-groupes quasi-inversifs. C. r. Acad. sci., 1961, 252, № 16,
2357—2359 (РЖМат, 1962, 1A225)
83. Drazin M. P., Pseudo-inverses in associative rings and semigroups. Arner
Math. Monthly, 1958, 65, № 7, 506—514 (РЖМат, 1959, 6680)
84. Глускин Л. М., Нормальные ряды вполне простых полугрупп. Уч.
зап. Харьковск. гос. пед. ин-та, 1957, 21, 99—106 (РЖМат, 1960, 3833)
85. McFadden R., Schneider Н., Completely simple and inverse semi-
semigroups. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, № 2, 234—236 (РЖМат,
1962, 2A241)
86. Burgess D. C. J., Note on the preceding paper. Proc. Cambridge Philos
Soc, 1961, 57, № 2, 237—238 (РЖМат, 1962, 2A242)
87. Preston G. В., Congruences on Brandt semigroups. Math. Ann., 1959,
139, № 2, 91—94 (РЖМат, 1960, 13610)
88. —, Congruences on completely O-simple semigroups. Proc. London Math.
Soc, 1961, 11, № 43, 557—576 (РЖМат, 1962, 7A181)
89. Глускин Л. М., Вполне простые полугруппы. Уч. зап. Харьковск.
гос. пед. ин-та, 1956, 18, 41—55 (РЖМат, 1957, 164)
90. Clifford A. H., Basic representations of completely simple semigroups.
Amer. J. Math., 1960, 82, № 3, 430—434 (РЖМат, 1961, 6A254)
91. Tartitira Takayuki, Note on finite simple c-indecomposable semigroups.
Proc. Japan Acad., 1959, 35, № 1, 13—25 (РЖМат, 1960, 11344)
92. —% Characterization of certain additive semigroups by distributive
multiplications. J. Gakugei Tokushima Univ. Math., 1958, 9, № 21—24
(РЖМат, 1962, 7A180)
93. Fantham P. H. H., On the classification of a certain type of semigroup.
Proc. London Math. Soc, 1960, 10, № 39, 409—427 (РЖМат, 1961, 3A213)
94. Yamada Miyuki, Note on idempotenf semigroups. V. Implications of
two variables. Proc Japan Acad., 1958, 34, № 10, 668—671 (РЖМат,
1960, 8635)
95. —, Certain congruences and the structure of some special bands. Proc
Japan Acad., 1960, 36, № 7, 408—410 (РЖМат, 1961, 10A222)
0

96. Yamada Miyuki, A note on subdirect decompositions of idempotenf se-
semigroups. Proc. Japan Acad., 1960, 36, № 7, 411—414 (РЖМат, 1961,
10A223)
97. —, On a certain class of idempotent semigroups. Симанэ дайга-
ку ронсю (сидзэн кагаку), Bull. Shimane Univ. (Nafur. Sci.), 1960.
Спец. номер, посвящ. десятилетию ун-та Симанэ, 153—161 (РЖМат,
1962, 4А206)
98. —, Quasi-regular bands. Симанэ дайгаку ронск? (сидзэн кагаку), Bull.
Shimane Univ. (Nature Sci.) 1961, № 10, 125—131 (РЖМат, 1962, 4A210)
99. Lefebvre P., Sur la structure des demi-groupes idempotenfs (d'apres un
memoire de N. Kimura). Semin Dubreil et Pisot. Fac. Sci. Paris, 1959—
1960, 13 annee. fasc. 2. Paris. 1961, 14/1 — 14/17 (РЖМат, 1962, 2A245)
100. Felscher W., Klein-Barmen F., Zur Axiomatik der kommutati-
ven Halbverbande. Arch. Math., 1959, 10, №1,7 (РЖМат, 1960, 1458)
101. Yamada Miyuki, On inversible semigroups. Симанэ дайгаку ронсю (сид-
зЗн кагаку), Bull. Shimane Univ. (Natur. Sci.), 1956, № 6, 8—20 (РЖМат,
1962, 4A212)
102. Pollak G., Redei L., Die Halbgruppen, deren alle echten Teilhalb-
gruppen Gruppen sind. Publs. math., 1959, 6, № 1-2, S., 126—130
(РЖМат, 1960, 3831)
103. Sdiwarz S., Semigroups in which every proper subideal is a group. Acta
scient math., 1960, 21, № 3-4, 125—134 (РЖМат, 1961, 81229)
104. Hrmova R., Pologrupy, v ktor^ch kazdy l'yvy vlastny ideal je grupou.
Mat.-fyz. casop., 1961, 11, № 1, 75—80 (РЖМат, 1962, 2A238)
105. Yamada Miyuki, A remark on periodic semigroups. Симанэ дайгаку рон-
ронсю (сидзэн кагаку), Bull. Shimane Univ. (Natur. Sci.), 1959, № 9, 1 —
5 (РЖМат, 1962, 4A205)
106. Kolibiarova В., О komutatfvnych periodickych pologrupach, Math.-
fyz. casop., 1958, 8, №3, 127—135 (РЖМат, 1960, 3825)
107. —-, О ciastocne komutatfvnych periodickych pologrupach. Math.-fyz,
casop., 1959, 9, № 3, 160—172 (РЖМат, 1961, 8A227)
108. Hrmova R., О ekvivalencii estych pravidiel kratenia v pologrupach.
Math.-fyz. casop., 1959, 9, № 3, 177—182 (РЖМат, 1960, 10040)
109. Шеврин Л. Н., О полугруппах, все подполугруппы которых нильпо-
тентны. Сибирск. матем. ж., 1961, 2, № 6,,936—942 (РЖМат, 1962,
7А178)
ПО. Tamura Takayuki, Notes on finite semigroups and determination of se-
semigroups of order 4. Токусима дайгаку гакугэй киё (сидзэн кагаку),
J. Gakugei, Tokushima Univ. Natur, Sci., 1954, 5, Dec, 17—27,
(РЖМат, 1959, 3557)
111. Tetsuya Kazutoshi, Hashimoto Takao, Akazawa Та-
da о, Shibata Ryoichi, Inui Tadashi, Tamura
Takayuki, All semigroups of order at most 5. J. Gakugei Tokus-
Tokushima Univ. Nat. Sci., Math., 1955, 6, 19—39 (РЖМат, 1960, 13606)
112. Tamura Takayuki, Dehara Kimiyoshi, Iwata Tadao,
Saito Hiroyuki, Tsukumo Keiji, Semigroups of order
5, 6, 7, 8 whose greatest C-homomorphic images are unipotent semigroups
with groups. J. Gakugei Tokushima Univ. Math., 1960, 11, Dec, 53—
66 (РЖМат, 1962, 2A240)
113. —, The theory of construction of finite semigroups. III. Finite unipotent
semigroups, Osaka Math., J., 1958, 10, № 2, 191—204 (РЖМат, 1960,
3§22)
§)
114. —, Note on finite semingroups which satisfy certain group-like conditi-
condition. Proc Japan Acad., 1960, 36, № 2, 62—64 (РЖМат, 1961, 3A209)
115. Sagastume-Berra A. E., Teoria de los ova. Math, notae, 1956, 16, № 1-2,
43—59 (РЖМат, 1961, 6A249)
116. Tamura Takayuki, Note on a semigroup having no proper subsemigroup.
Proc Japan Acad., 1961, 37, № 2, 72—74 (РЖМат, 1962, 2A246)
4* 51

117. Lo Li-po, Wang Shin-chiang, Finite associative systems and
finite groups. I. Advanc. Math., 1957, 3, 268—270 (РЖМат, 1962,
5A214)
118. Kolibiarova В., О pologrupach ktorych kazdy 1'avy ideal ma jednostran-
nu jednoku. Mat.-fyz. casop., 1960, 10, № 1, 9—17 (РЖМат, 1961, 8A226)
119. —, О polygrupach, ktorych kazd^ l'avy hlavny ideal obsahuie jednotku.
Mat.-fyz. casop., 1961, 11, •№ 4, 275—281 (РЖМат, 1962, 10A165)
120. Чупона Г., За некой релации мёгу бинарните операции. Билтен Друшт.
матем. и физ. Н. Р. Македонка, 1959, 10, 5—27 (РЖМат, 1962, 2А250)
121. Krishnan V. S., Theory of demi-groups structures. II. Uniform demi-gro-
ups and duality. J. Indian Math. Soc, 1960, 24, № 1-2, Part 1, 283—318
(РЖМат, 1962, 4A209)
122. Deskins W. E., H i 1 1 J. D., On the definition of a group. Amer. Math.
Monthly, 1961, 68, № 8, 795—796 (РЖМат, 1962, 5A212)
123. Schwarz §., Krajnakova D., О totalne nekomutativnych pologru-
pologrupach. Mat.-fyz. casop., 1959, 9, № 2, 92—100 (РЖМат, 1960, 10041)
124. Кгйап F., О bikompaktnych totalne nekomutativnych pologrupach.
Mat.-fyz. casop., 1959, 9, №2, 101 — 108 (РЖМат, 1960, 10039)
125. Warner S., Mathematical induction in commutative semigroups. Amer.
Math. Monthly, 1960, 67, № 6, 533—537 (РЖМат, 1961, 5A238)
126. Schwarz S., On dual semigroups. Чехосл. матем. ж., 1960, 10, № 2,
201—230 (РЖМат, 1961, ЗА217)
127. Ляпин Е. С, Абстрактная характеристика полугруппы всех частичных
преобразований множества, связанная со свойствами ее минимальных
идеалов. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1961,
218, 13—21 (РЖМат, 1962, 4А216)
128. Глускин Л. М., Идеалы полугрупп преобразований. Матем. сб., 1959»
47, № 1, 111—130 (РЖМат, 1960, 4959)
129. Шутов Э. Г., Гомоморфизмы полугруппы всех частичных преобразо-
преобразований. Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 1961, № 3, 177—184
(РЖМат, 1962, 4А219)
130. —, Определяющие соотношения конечных полугрупп частичных пре-
преобразований. Докл. АН СССР, 1960, 132, 1280—1282 (РЖМат,
1961, 6А258)
131. Попова Л. М., Определяющие соотношения некоторых полугрупп час-
частичных преобразований конечного множества. Уч. зап. Ленингр. гос.
пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1961, 218, 191—212 (РЖМат, 1962, 4А217)
132. Шутов Э. Г., Полугруппы взаимно однозначных преобразований.
Докл. АН СССР, 1961, 140, № 5, 1026—1028 (РЖМат, 1962, 4А215)
133. Либер А. Е., К теории обобщенных групп. Докл. АН СССР, 1954, 97,
№ 1, 25—28 (РЖМат, 1955, 4268)
134. Шутов Э. Г., О полугруппах почти тождественных преобразований.
Докл. АН СССР, 1960, 134, № 2, 292—295 (РЖМат, 1961, 4А195)
135. —, О полугруппе всех почти тождественных частичных преобразова-
преобразований /Аннотация/. Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 1961,
№ 4, 147 (РЖМат, 1961, 12А297)
136. Зарецкий К. А., Полугруппы бинарных отношений. Автореф. дисс.
канд. физ.-матем. н., Ленингр. гос. пед. ин-т им. А. И. Герцена, Л., 1959
(РЖМат, 1960, 6223 Д)
137. Глускин Л. М., Полугруппа гомеоморфных отображений отрезка. Ма-
Матем. сб., 1959, 49, № 1, 13—28 (РЖМат, 1960, 8632)
138. —, Про одну швгруппу непреривних функцш. Допов^ АН УРСР,
1960, № 5, 582—585 (РЖМат, 1961, 4А190)
139. —, Полугруппы топологических отображений. Докл. АН СССР, 1959,
125, № 4, 699—702 (РЖМат, 1960, 8633)
140. —, Автоморфизмы полугруппы топологических отображений. Изв.
высш. учебн. заведений. Математика, 1960, № 6, 62—73 (РЖМат, 1961,
8А233)
52

141. Шнеперман Л. Б., Полугруппы непрерывных преобразований. Докл.
АН СССР, 1962, 144, № 3, 509—511 (РЖМат, 1963, 1А222)
142. Ellis R., A semigroup associated with a transformation group. Trans.
Amer. Math. Soc, 1960, 94, № 2, 272—281 (РЖМат, 1962, 2A328)
143. Loewner C, Semigroups of conformal mappings. Semin. Analyt. Funct.
Vol. 1. Princepton, N. J., Inst. Advanced. Study, A958), 278—288
(РЖМат, 1960, 5154)
144. Fujiwara Kaichird, Notes sur les demi-groupes topologiques des fonctions
continues. I. Math. J. Okayama Univ., 1956, 6, № 1, 71—76 (РЖМат,
1960, 1864)
145. —, Notes sur les demi-groupes topologiques des fonctions continues.
II. Math. J. Okayama Univ., 1957, 7, №2, 185—189 (РЖМат, 1960, 1865)
146. Глускин Л. М., Полугруппы и кольца линейных преобразований. Докл.
АН СССР. 1959, 127, № 6, 1151 — 1154 (РЖМат, 1960, 8634)
147. —, Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств. Изв.
АН СССР, сер. матем., 1959, 23, № 6, 841—870 (РЖМат, 1960, 12530)
148. —, Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств
Изв. АН СССР, сер. матем., 1961, 25, №6, 809—814 (РЖМат, 1962,
6А183)
149. —, Полугруппа неособенных матриц с неотрицательными элементами.
Уч. зап. Харьковск. гос. пед. ин-та, 1957, 21, 81—98 (РЖМат, 1960,
1410)
150. Kreiss Н.-О., Uber Mafrizen die beschrenkte Halbgruppen erzeugen. Math,
scand., 1959, 7, № 1, 71—80 (РЖМат, 1960, 11860)
151. Clifford A. H., Preston G. В., The algebraic theory of semigroups,
Amer. Math. Soc. Publ., Providenee, 1961.
152. Jurkat W. В., On the analytic stricture of semi-groups of positive matri-
matrices. Math. Z., 1960, 73, № 4, 346—365 (РЖМат, 1961, 3A218)
153. Houle J. E., The quaternion-reducibility of semigroups of complex matri-
matrices. Nieuw arch, wiskunde, 1960, 8, № 1, 1,7—21 (РЖМат, 1961, 4A188)
154. Глускин Л. М., Полугруппы изотонных преобразований. Успехи матем.
наук, 1961, 16, № 5, 157—162 (РЖМат, 1962, 4А218)
155. Айзенштат А. Я-, О полупростоте полугруппы эндоморфизмов упо-
упорядоченных множеств. Докл. АН СССР, 1962, 142, №> 1, 9—11 (РЖМат,
1962, 8А162)
156. Foulis D. J., Baer*-semigroups. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 4,
648—654 (РЖМат, 1961, 8A234)
157. Szasz G., Translationen der Verbande. Acta Fac. rerum natur. Univ.
Comejiianae. Math., 1961, 5, № 8-10, 449—453 (РЖМат, 1962, 8A230)
158. Pondelicek В , О jiste pologrupe endomorfismu na jednoduSe uspofadane
mnozine. I. Casop. pestov. mat., 1959, 84, № 2, 177—182 (РЖМат, 1960,
10098)
159. —, О jiste pologrupe endomorfismu na jednoduSe uspofadane mnozine.
II. Casop. pestov. mat., 1960, 85, № 3, 263—273 (РЖМат, 1961, 12A292)
160. —, Bernerkung zu einer Halbgruppe der Endomorphismen auf einer ein-
fach geordneten Menge. Casop. pestov. mat., 1960, 85, № 4, 410—417
(РЖМат, 1962, 1A229)
161. Айзенштат А. Я., Определяющие соотношения полугруппы эндомор-
эндоморфизмов конечного линейно упорядоченного множества. Сибирск.
матем. ж., 1962, 3, 12, 161 — 169 (РЖМат, 1962, 10А166)
162. Loewner С, A theorem on the partial order derived from a certain trans-
transformation semigroup. Math. Z., 1959, 72, № 1, 53—60 (РЖМат, 1960,
11859)
163. Зарецкий К. А., Абстрактная характеристика полугруппы всех бинар-
бинарных отношений. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена,
1958, 183, 251—263 (РЖМат, 1960, 3834)
164. Tamura Takayuki, Notes on translations of a semigroup. Kadai Math.
Semin. Repts, 1958, 10, № 1, 9—26 (РЖМат, 1960, 1414)
53

165. Kolibiar M., Bemerkungen iiber Translationen der Verbande. Acta Fac.
rerum natur. Univ: Comenianae. Math., 1961, 5, № 8-10; '455—458
(РЖМат, 1962, 8A231)
166. Зарецкий К. А., Абстрактная характеристика полугруппы *всех реф-
рефлективных бинарных отношений* Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та
им. А. И. Герцена, 1958, 183, 265—269 (РЖМат, 1960, 3835)
167. Ляпин Е. С, О представлениях полугрупп частичными преобразования-
преобразованиями. Матем сб., 1960, 52, № 1, 589—596 (РЖМат, 1961, 4А194)
168. Вагнер В. В., Представление упорядоченных полугрупп. Матем. сб.,
1956, 38, № 2, 203—240 (РЖМат, 1957, 1185) ;
169. Tully E. J., Jr, Representation of a semigroup by transformations acting
transitively on a set. Amer. J. Math., 1961, 83, № 3, 533—541 {РЖМат,
1962, 6A182)
170. Зарецкий К- А., Об идеалах полугрупп. Успехи матем. наук, 1959,
14, № 6, 173—174 (РЖМат, 1961, 1А234)
171. —, Представление упорядоченных полугрупп бинарными отнбшениями.
Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 1959, № 6, 48—50 (РЖМат,
1960, 12532)
172. Ross К. A., A note on extending semigroups. Proc. Amer. Math. Soc,
1959, 10, № 4, 579—583 (РЖМат, 1960, 11346)
173. —, Extending characters on semigroups. Proc. Amer. Math. Soc, 1961,
12, № 6, 988—990 (РЖМат, 1962, 8A161)
174. Warne R. J.,Wil liams L. K., Characters on inverse semigroups.
Чехосл. матем. ж., 1961, 11, № 1, 150—155 (РЖМат, 1962, 4А213)
175. Шварц Ш., Теория характеров коммутативных полугрупп. Чехосл .
матем. ж., 1954, 4, № 3, 219—247 (РЖМат, 1956, 234)
176. Parfzek B.t Schwarz §., Semicharacters of the multiplicative semi-
semigroup of integers modulo m. Mat.-fyz. casop., 1961, 11, № 1, 63—74
(РЖМат, 1961, 12A289)
177. Comfort W. W., The isolated points in the dual of a commutative semi-
semigroup. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 2, 227—233 (РЖМат, 1961,
I0A219) ( ' :
178. Devinatz A., N u s s b a u m A. E., Real characters of certain semi-
semigroups with applications. Duke Math. J., 1961, 28, № 2, 221—237
(РЖМат, 1961, 12Б401)
179. Лесохин М. M., Некоторые свойства обобщенных характеров полугрупп.
Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1958, 83, 277—
286 (РЖМат, 1960, 3828)
180. Riguet J., Travaux sovietiques recents sur la theorie des demi-groupes:
la representation des demi-groupes ordonnees. Semin. Dubreil et Pisot.
Fac. Sci. Paris. 1956—1957. 10. Paris, 1958, 9-1—9-22 (РЖМ*т, 1961,
3A210) <J;V>
181. Шайн Б. M., Симметрические обобщенные груды. Научн. докл. высш.
школы, физ.-матем. н., 1959, № 1, 88—93 (РЖМат, 1961, 1А233)
182. Вагнер В. В., Полугруппы, ассоциированные с обобщенной грудой.
Матем. сб., 1960, 52, № 1, 597—628 (РЖМат, 1961, 6А257) '
183. Behanzin L., Quelques considerations sur la theorie des demi-amas (d'ap-
res les travaux de V. V. Vagner). Semin P. Dubreil, M.-L. Dubreil -
Jacotin et C. Pisot. Fac. Sci. Paris. 1958—1959, 12-e annee, fasc. 1. Pa-
Pans, 1960, 3/1—3/18 (РЖМат, 1961, 8A232)
184. Isbell J. R., On the multiplicative semi-group of a commutative ring.
Proc. Amer. Math. Soc, 1959, 10, № 6, 908—909 (РЖМат, i960, 10037)
185. Глускин Л. M., Идеалы колец и их мультипликативных полугрупп.
Успехи матем. наук, 1960, 15, № 4, 141—148 (РЖМат, 1961, 4А191)
186. Dubreil Р. М., Quelques problemes d'algebre lies a la theorie des demi-
groupes. Colloque d'algebre superieure tenu a Bruxelles du 19 au 22 de-
cembre 1956. Centre beige rech. math., Louvain, ets. Ceuterick, 1957,
29—44 (РЖМат, 1960, 3839) - !
54

187. Aubert К. E., On the ideal theory of commutative semigroups. Math,
scand., 1953, 1, № 1, 39—54 (РЖМат, 1955, 5632)
188. Когаловский СР., О мультипликативных полугруппах колец. Докл.
АН СССР, 1961, 140, № 5, 1005—1007 (РЖМат, 1962, 7А237) .
189. Parizek В., Pornamka о Structure multiplikativnej pologrupy zvySkovych
tried., Mat.-fyz. casop., 1957, 7, № 3, 183—185 (РЖМат, 1958, 9582)
190. —, S с h w a r z S., О multiplikativnej pologrupe zyySkovych tried
(mod m). Mat.-fyz. fcasop., 1958, 8, № 3, 136—150 (РЖМат, 1960, 3826)
191. —, О rozklade pologrupy zvySko (mod m) na direktn^ sucin. Mat.-fyz.
casop., 1960, 10, № 1, 18—29 (РЖМат, 1961, 5A241)
1.92. Henriksen M., On the equivalence of the ring, lattice and semigroup of
continuous functions. Proc. Amer. Math. Soc, 1956, 7, № 6, 959—960
(РЖМат, 1960, 5512) .
193. Krishnan V. S., Closure operations on c-structures. Proc. Konikl. nederl.
Acad. wetensch., 1953, A56, № 4, 317—329; Indagationes math., 1953,
15, № 4, 317—329 (РЖМат, 1958, 6549)
194. —, Theory of demi-group structures. Axioms and closure operations for
d-structures. J. Madras Univ., 1957, B27, № 2-3, 305,-315 (РЖМат,
1960, 6210) r -
195. —, On ordered structures. Math. Student, 1959 A961), 27, № 3-4, 153—
158 (РЖМат, 1961, 12A296)
196. Вагнер В. В., Трансформативные полугруппы. Изв. высш. уч^бн. за-
заведений. Математика, 1960, № 4, 36—48 (РЖМат, 1961, 4А196)
197. Home J. G., Jr., On the ideal structure of certain semirings and compac-
tification of topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 90, № 3,
408—430 (РЖМат, 1960, 10038)
198. Гонин Е. Г., Обобщенное измерение элементов строго монотонно упоря-
упорядоченной полугруппы. Уч. зап. Пермск. гос. пед. ин-т, 1059, вып.
20, 1—12 (РЖМат, 1962, 1А230)
199. Домошницкая Н. Е., Обобщенное измерение элементов монотонно упо-
упорядоченной полугруппы. Уч. зап. Пермск. гос. пед. ин-т, 1959, вып.
20, 13—20 (РЖМат, 1962, 1А231) . .
200. —, Обобщенное измерение элементов почти монотонно упорядоченной
полугруппы. Сб. научн. тр. Пермск. политехи, ин-т, 1960, № 7, вып. 1,
41—56 (РЖМат, 1962, 1А232)
201. Conrad P., Semigroups of real numbers. Portug math., 1959, 18, № 3,
199—201 (РЖМат/ 1961, 6A253)
202. Fuchs L., Note on fully ordered simigroups. Acta math. Acad. sient, hung.,
1961, 12, № 1-2, 255—259 (РЖМат, 1961, 12A294)
203. Storey С R., The structure of threads. Pacif. J. Math., 1960, 10, WA,
1429—1445 (РЖМат, 1961, 10A221)
204. —, Threads without idempotents. Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12,
№ 5, 814—818 (РЖМат, 1962, 7A250)
205. Yamada Miyuki, Regularly totally ordered semigroups. II. Симанэ дай-
гаку ронсю (сидзэн кагаку), Bull. Shimane Univ. (Natur. Sci.), 1958,
№ 8, 9—12 (РЖМат, 1960, 159)
206. Clifford A. H., Totally ordered commutative semigroups. Bull. Amer.
Math. Soc, 1958, 64, № 6, 305—316 (РЖМат, 1960, 1581)
207. —, Completion of semi-continuous ordered commutative semi-groups. Duke
Math. J., 1959, 26, № 1, 41—59 (РЖМат, 1960, 3827)
208. —, Connected ordered topological semigroups with idempotent endpoints.
II. Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 91, № 2, 193—208 (РЖМат, 1960,
4987)
209. —, Ordered commutative semigroups of the second kind. Proc. Amer.
Math. Soc, 1958, 9f № 5, 682—687 (РЖМат, 1960, 6214) « }
210. Conrad P., Ordered semigroups. Nagoya Math. J., I960, 16, Febr., 51 —
64 (РЖМат, 1961, 3A212) ■ . . *,...■,. \

211. Molinaro I., Demi-groupes residutifs. J. math, pures et appl., 1960, 39,
№ 4, 319—356 (РЖМат, 1961, 10A216)
212. —, Demi-groupes residutifs. Chap. II—III. J. math, pures et appl.,
1961, 40, № 1, 43—110 (РЖМат, 1962, 1A224)
213. Maury G., Gerbiers non commutatifs residues. Semin, Dubreil
et Pisot. Fac. Sci. Paris,1959—1960,13 annee, fasc. 2. Paris,1961, 13/1 —
13/8 (РЖМат, 1962, 2A244)
214. Querre J., Demi-groupe Л-nomal. С. г. Acad. sci., 1962, 254, № 2, 203—
205 (РЖМат, 1962, 10A167)
215. Maury G., Une caracterisation des demi-groupes noetheriens integrate -
ment clos. С. г. Acad. sci., 1959, 248, № 23, 3260—3261 (РЖМат, 1960,
7288)
216. Lesieur L., С г о i s о t R., Theorie noetherienne des anneaux, des demi-
groupes et des modules dans le cas non commutatif. I. Colloque d'algebre
superieure tenu a Bruxelles du 19 au 22 decembre 1956. Centre beige,
rech. math., Louvain, ets. Ceuterick, 1957, 79—121 (РЖМат, 1960,
13623)
217. Croisot R., Theorie noetherienne des anneaux non commutatifs: les di-
verses notions de radical. Semin. P. Dubreil., M.-L. Dubreil - Jaco,
tion et C. Pisot. Fac. Sci. Paris. 1957—1958, 11 annee. Vol. 2. Paris
1958, 15-1 — 15-11 (РЖМат, 1960, 13624)
218. —, Sur la dualite dans les algebres d'ideaux et de sous-modules. Semin*
Dubreil et Pisot. Fac. Sci. Paris. 1959—1960, 13 annee, fasc. 1. Paris-
1961, 1/1 — 1/9 (РЖМат, 1962, 2A289)
219. Murata Kentaro, Decomposition of radical elements of a commutative
residuated lattice. J. Inst. Polytechn. Osaka City Univ., 1959, A10, № 1,
31—34 (РЖМат, 1962, 2A291)
220. Diefenbach L., Uber geordnete, nichtarchimedische Halbgruppen. Diss.,
Math.-naturwiss. Fak., Koln, 1959 A958), 50 S. Dtsch. Nationalbibliogr.,
1959, B, № 19, 1758 (РЖМат, 1960, 10045Д)
221. Infantozzi C. A., Diversas caracterizaciones de la continuidad en ciertos
holoides. Rev.Union mat. argent, у Asoc. fis. argent, 1960, 19, № 3, 151 —
156 (РЖМат, 1961, 10A215)
222. Conrad P., Right-ordered groups. Michigan Math. J., 1959, 6, № 3, 267—
275 (РЖМат, 1961, 7A246)
223. Cohen H., Wade L. I., Clans with zero on an interval. Trans. Amer.
Math. Soc, 1958, 88, № 2, 523—535 (РЖМат, 1960, 1416)
224. Огурцов Н. И., О топологических полугруппах на интервале. Укр.
матем. ж., 1960, 12, № 2, 212—215 (РЖМат, 1962, 1А304)
225. Miranda А. В. de, Een klasse von topologische halfgroepen in de En.
Rept. Math, centrum, 1962, ZW, №1,9 biz.(РЖМат, 1962, 10A210)
226. Lester A., Some semigroups on the two-cell. Proc. Amer. Math. Soc,
1959, 10, № 4, 648—655 (РЖМат, 1960, 11345)
227. Hudson A. L., Some semigroups on an я-celle. Trans. Amer. Math. Soc,
1961, 99, № 2, 255—263 (РЖМат, 1962, 5A217)
228. Curtis M. L., Self-linked subgroups of semigroups. Amer. J. Math.,
1959, 81, № 4, 889—892 (РЖМат, 1961, 10A304)
229. Mostert P. S., S h i e 1 d s A. L., Semigroups with identity on a mani-
manifold. Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 91, № 3, 380—389 (РЖМат, 1961,
9A376)
230. Lester A., On the structure of semigroups with identity on a noncompact
manifold. Michigan Math. J., 1961, 8, № 1, 11—19 (РЖМат, 1962, 4A221)
231. Koch R. J., Wallace A. D., Admissibility of semigroup structures
on continua. Trims. Arqer. Math. Roc, 1958, 88, № 2, 277—287 (РЖМат,
1960, 1415)
232. Hunter R. P., On the semigroup structure of continua. Trans. Amer.
Math. Soc, 1959, 93, № 2, 356—368 (РЖМат, 1962, 1A301)
56

233. Hunter R. P., On a conjecture of Koch. Proc. Amer. Math. Soc, 1961,
12, № 1, 138—139 (РЖМат, 1962, 1A302)
234. Home J. G., Jr, Real commutative semigroups on the plane. Pacif. J.
Math., 1961, 11, № 3, 981—997 (РЖМат, 1962, 10A168)
235. Hofmann К. Н., Topologische Doppelloops und topologische Halbgrup-
pen. Math. Ann., 1959, 138, № 3, 239—258 (РЖМат, 1960, 13616)
236. —, Lokalkompakte zusammenhangende topologische Halbgruppen mit
dichter Untergruppe. Math. Ann., 1960, 140, № 1, 22—32 (РЖМат,
1962, 2A324)
237. —, Berichtigung zu der Arbeit «Lokalkompakte zusammenhangende
topologische Halbgruppen mit dichter Untergruppe». Math. Ann., 1960,
140, № 5, 442 (РЖМат, 1962, 2A325)
238. Круминг П. Д., О делимости в топологических полугруппах. Уч. зап.
Ленингр. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1958, 183,271—275 (РЖМат,
1960, 3838)
239. —, Убывающие последовательности подполугрупп в топологических
полугруппах. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена,
1961, 218, 39—43 (РЖМат, 1962, 2А234)
240. —, О распределении идемпотентов в топологических полугруппах.
Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1961, 218, 45—
75 (РЖМат, 1962, 2А235)
241. Koch R. J., Arcs in partially ordered spaces. Pacif. J. Math., 1959, 9,
№ 3, 723—728 (РЖМат, 1960, 10134)
242. —, Ordered semigroups in partially ordered semigroups. Pacif. J. Math.,
1960, 10, № 4, 1333—1336 (РЖМат, 1962, 1A233)
243. Cohen H., Krule I. S., Continuous homomorphic images of real clans
with zero. Proc. Amer. Math. Soc, 1959, 10, № 1, 106—109 (РЖМат,
1960, 6291)
244. Wallace A. D., Relative invertibility in semigroups. Чехосл. матем ж.,
1961, 11, № 3, 480—482 (РЖМат, 1962, 4А283)
245. Hunter R. P., Certain homomorphisms of compact connected semigroups.
Duke Math. J., 1961, 28, № 1, 83—87 (РЖМат, 1962, 2A239)
246. Beck А., С о r s о n H. H., Si mon А. В., The interior points of the
product of two subsets of a locally compact group. Proc. Amer. Math.
Soc, 1958, 9, № 4, 648—652 (РЖМат, 1960, 1401)
247. —, A note on semigroups in a locally compact group. Proc. Amer. Math.
Soc, 1960, 11, № 6, 992—993 (РЖМат, 1961, 7A238)
248. Cohen H., Collins H. S., Affine semigroups. Trans. Amer. Math.
Soc, 1959, 93, № 1, 97—113 (РЖМат, 1960, 7871)
249. Collins H. S., The kernel of a semigroup of measures. Duke Math. J.,
1961, 28, № 3, 387—392 (РЖМат, 1962, 6Б483)
250. Wallace A. D., Remarks of affine semigroups. Bull. Amer. Math. Soc,
1960, 66, № 2, 110—112 (РЖМат, 1962, 1A303)
251 —, Problemes on semigroups. Colloq. math., 1961, 8, № 2, 223—224
(РЖМат, 1962, 4A220)
252. Hunter R. P., Certain upper semi-continuous decomposition of a semi-
semigroup. Duke Math. J., 1960, 27, № 2, 283—289 (РЖМат, 1961, 3A215)
253. Mostert P. S., S h i e 1 d s A. L., One-parameter semigroups in a semi-
semigroup. Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 96, № 3, 510—517, (РЖМат,
1961, 5A237)
254. Hofmann K. H., Topologische Halbgruppen mit dichter submonogener
Unterhalbgruppe. Math. Z., 1960, 74, № 3, 232—277 (РЖМат, 1961,
5A236)
255. Schwarz §., A theorem on normal semigroups. Чехосл. матем. ж., 1960,
10, № 2, 197—200 (РЖМат, 1961, ЗА214)
256. Wendel J. G., Haar measure and the semigroup of measures on a compact
group. Proc Amer. Math. Soc, 1954, 5, № 6, 923—929 (РЖМат, 1956,
3689)
57

257. Sulka R., О izomorfizme fopologickych grupoidov. Mat.-fyz: tasop.,
1957, 7, № 3, 143—157 (РЖМат, 1960, 160)
258. —, О maximalnom spolofcnom zjemnemf a minimalnom spolofcnom z!akryte
dvoch topologickych faktoroidbv. Mat.-fyz. £asop., 1958, 8, № 1, 20—
26 (РЖМат, 1960, 161) }
259. Swingle P. M., The existence of widely connected and biconnected semi-
semigroups. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 2, 243—248 (РЖМат, 1961,
8A220) s
260. —, Widely connected and biconnected semigroups. Proc. Amer. Math.
Soc, 1960, 11, № 2, 249—254 (РЖМат, 1961, 8A221)
261. Cohen H., A clan with zero without the fixed point property. Proc. Amer.
Math. Soc, 1960, 11, № 6, 937—939 (РЖМат, 1961, 10A316)
262. Matsushima Yataro, On the kernel of a topological semigroup with cut
points. Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 1, 20—23 (РЖМат, 1962,
2A294)
263. Glicksberg I., Convolution semigroups of measures. Pacif. J. Math.,
1959, 9, № 1, 51—67 (РЖМат, 1960, 7872) , '
264. Fabrici I., Poznamka о F-triedach v komutatfvnych hausdbrffovych
bikompaktnych pologrupach. Mat.-fyz. fcasop., 1961, 11, № 4; 282—287
(РЖМат, 1962, 8A263) . >
265. Лившиц А. X., Прямые разложения идемпотентов в полугруппах. Докл.
АН СССР, 1960, 134, № 2, 271—274 (РЖМат, 1962, 2А233) ;•:
266. Nobeling G., Cohomologie-Moduln tiber abelschen Halbgruppen. Bonn,
math. Scbr., 1960, № 12, 1—32 (РЖМат, 1962, 3A316)
267. Peak I., Ein Satz ttber Halbgruppen. Publs. math., 1959, 6, № 1—2,
111 — 112 (РЖМат, I960, 3830)
268. Чупона Г., За редуцибилните полугрупп. Годишен зб. филоз. фак. Ун-т
CKonje. Природно-матем. одд., 1958, И, №2, 19—27 (РЖМат, 1961,
8А231)
269. Лесохин М. М., О связях, Галуа в системах с внешним умножением.
(Аннотация статьи, принятой к печати). Изв. высш. учебн. заведений.
Математика, 1961, № 6, 59 (РЖМат, 1962, 5А215)
270. —, О полноте систем с внешним умножением. (Аннотация статьи, при-
принятой к печати). Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 1961, № 6,
59 (РЖМат, 1962, 5А216)
271. —, О правильности систем с внешним умножением и простоте их ком-
компонент. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1961,
218, 23—37 (РЖМат, 1962, 7А179)
272. Conrad P., Generalized semigroup rings. II. Portug. math., 1959, 18, № i-
2, 33—35 (РЖМат, 1960, 12543)
273. Kimura Naoki, On some existence theorems on multilicative systems.
II. Maximal subsystems, Proc Japan Acad., 1958, 34, № 6, 310—314
(РЖМат, 1960, 3840)
274. Kajan J., Poznamka о Strukture isteho typu zl'ava jednoduchyeh polo-
grup, Mat.-fyz. casop., 1958, 8, № 4, 187—192 (РЖМат, 1960, 1413).

КОЛЬЦА
Л. А. Скорняков
В статье отражены результаты работ, прореферированных
в Реферативном Журнале «Математика» в 1961 —1962 гг. Зна-
Знакомство с этими рефератами позволяет назвать направления
теории колец, в которых велась наиболее интенсивная работа
в рассматриваемый период: условие коммутативности колец,
некоммутативные локальные кольца, кольца с условием .мини-
.минимальности для главных правых идеалов, простые кольца, кольца
частных и проблема вложения колец в тела, регулярные кольца
и дедекиндовы структуры с дополнениями, групповые кольца,
радикалы колец, топологические и упорядоченные кольца, различ-
различные вопросы теории неассоциативных колец. В обзоре, дается
краткое изложение основных достижений в указанных выше
направлениях. ;!-
1. Коммутативность колец. Джекобсон [ 1 ] доказал,
что кольцо коммутативно, если каждый его элемент х удов-
удовлетворяет соотношению хп{х) = х9 где п (х) — целое число, боль-
большее единицы. Новое доказательство, доступное для студентов
младших курсов, предложил Херстейн [2]. Результат Джекобсо-
на в дальнейшем многократно обобщался. Новые обобщения встре-
встречаются в литературе и в рассматриваемый период. Кольцо А на-
называется С-кольцом, если существует такое целое п > 1, что для
любых х, у£А элемент [ху у]п — [х, у] лежит в центре кольца А
AХ> У] :=: ху—-ух), Томинага [3] показал, что С-кольцо не всегда
коммутативно, и установил эквивалентность следующих условий:
1) А является С-кольцом; 2) для каждых х, у£А существует це-
целое число п(х,у)>1 такое, что [х, у]тп{х'у) — [х, у] лежит в
центре кольца А при любом натуральном пг\ 3) каждый комму-
коммутатор [х, у] (х, увА) содержится в центре кольца А и нильпотен-
тен. Другое доказательство некоторых из результатов Томинага
59

предложил Мартиндейл [4]. Сусман и Фостер [5] показали, что
кольцо с 1 и без нильпотентных элементов является SP-кольцом
(т. е. удовлетворяет условиям теоремы Джекобсона) тогда и толь-
только тогда, когда некоторая степень каждого его элемента являет-
является идемпотентом. Если й SP-кольце числа п(х) ограничены в со-
совокупности, то оно оказывается подпрямой суммой конечных по-
полей Fi характеристики pif где все рь ограничены в совокупности.
Смайли [6] определяет для кольца Л множества L0(A) = A,
Lk+l(A) = [Л, LkA]. Если при некотором &>1 для всех x£Lk(A)
имеет место хп{х) = х, то Lk(A) = 0. Если, кроме того, в кольце А
нет нильпотентных элементов, то оно коммутативно. На приме-
примере показано, что отсутствие нильпотентных элементов существен-
существенно. К рассматриваемому кругу вопросов относится также одна
работа Накаямы [7]. Здесь .же можно упомянуть и результат
Фейта [8]: если В — коммутативное подкольцо кольца Л, полу-
полупростого в смысле Джекобсона, и xn{x)(iB для всех х&А и подхо-
подходящего натурального п(х), то А коммутативно. Отметим, нако-
наконец, результат Херстейна [9]: если в кольце А отображение
х -> хп для некоторого фиксированного целого числа п > 1 яв-
является эпиморфизмом, то А — коммутативно.
2. Некоммутативные локальные кольца. Ба-
то [10] определил полулокальное кольцо как нетерово слева
кольцо Л, подчиненное следующим требованиям: а) пересечение
степеней джекобсоновского радикала кольца Л равно нулю;
б) факторкольцо кольца Л по его радикалу удовлетворяет
условию минимальности для левых идеалов. Позже [11] он уста-
установил, что пополнение полулокального кольца относительно топо-
топологии, определяемой степенями радикала, также полулокально.
Из результатов Харада [12] вытекает, что это пополнение пред-
ставимо в виде прямой суммы примарных колец и правого идеа-
идеала, принадлежащего замыканию радикала кольца Л. Если Л —
полная локальная алгебра над полем F (т. е. Л — полулокальное
кольцо, в котором радикал Джекобсона / является единственным
максимальным идеалом) и тело Л/7 конечномерно и сепарабельно
над F, то Л расщепляема [ill], т. е. представима в виде прямой
суммы радикала и подалгебры, изоморфной A/J. При некоторых
дополнительных ограничениях для таких алгебр доказывается
[13] теорема, в коммутативном случае превращающаяся в извест-
известную теорему Коэна о строении полных локальных колец. Вопрос
о расщепляемости полного локального кольца исследовался так-
также Рокеттом [14]. Норткот [15] описал центр наследственного сле-
слева локального кольца.
3. Кольца с условием минимальности для
главных правых идеалов. В кольце без нильпотентных
идеалов из условия минимальности для главных левых идеалов
вытекает условие минимальности для главных правых идеалов,
60

а при наличии единицы — условие максимальности для главных
правых идеалов [16]. В. А. Андрунакиевич [17] установил, что
всякое Л-кольцо (т. е. кольцо, в котором всякий минимальный
идемпотентный идеал выделяется прямым слагаемым), удовлет-
удовлетворяющее условию минимальности для главных идеалов, пред-
ставимо единственным способом в виде прямой суммы трех колец,
из которых одно является дискретной прямой суммой простых
колец с единицей, другое — дискретной прямой суммой простых
ненулевых колец без единицы, а третье — подпрямой суммой
/-примитивных колец, т. е. колец, у которых пересечение всех не-
ненулевых идеалов есть ненулевой нильпотентный идеал. Там же
показано, что кольца без нильпотентных идеалов, удовлетворяю-
щие условию минимальности для главных левых идеалов, и толь-
только они, разлагаются в прямую сумму простых ненулевых колец
с минимальными левыми идеалами. Этот результат передоказал
Фейт [18], доказавший также, что в кольце с условием минималь-
минимальности для главных левых идеалов совпадают радикалы Бэра и
Джекобсона. Кольца с условием минимальности для главных
левых идеалов изучал также Сас [19, 20]. Он, в частности, пока-
показал, что джекобсоновский радикал таких колец локально ниль-
потентен. Сас же [21] доказал, что выполнение условия мини-
минимальности для главных левых идеалов в кольце А всех эндомор-
эндоморфизмов абелевой группы G равносильно каждому из следующих
свойств: 1) G = K+S, где К — конечная группа, а 5 — прямая
сумма конечного числа экземпляров аддитивной группы рацио-
рациональных чисел; 2) А удовлетворяет условию минимальности для
левых идеалов. В заключение отметим, что условие минимально-
минимальности для главных правых идеалов равносильно некоторым гомо-
гомологическим свойствам [22] (см. стр. 81).
4. Простые кольца. Крупным шагом в исследовании
простых колец явились две работы Кона [23, 24]; русский пере-
перевод [25, 26]. В первой из этих работ доказывается, что отсутствие
единицы и делителей нуля в ассоциативной алгебре А над по-
полем F является необходимым и достаточным условием возможно-
возможности вложения алгебры А в ассоциативную же алгебру В над по-
полем F, в которой уравнение ах—xb = c разрешимо при произволь-
произвольном сб В и отличных от нуля а, ft G В. Этот результат дает
утвердительный ответ на следующий вопрос, сформулированный
Клейнфельдом [27]: существуют ли ассоциативные кольца, в ко-
которых уравнение ах — ха = Ь разрешимо при любом а¥=0 и любом
Ь? Ясно, что алгебра В является простой. Более того, соответст-
соответствующая алгебра Ли является неассоциативным телом. Несколько
обобщив основной результат, во второй работе Кон показывает,
что всякое ассоциативное кольцо без делителей нуля можно вло-
вложить в простое ассоциативное кольцо без делителей нуля. Ука-
Указано, когда последнее имеет единицу.
61

Исследованию простых колец в связи со свойствами соответ-
соответствующего кольца Ли посвящены работы Бакстера [28], Херстей-
на и Клейнфельда [29]. Эти и более ранние результаты суммиро-
суммированы в обзорной статье Херстейна [30].
5. Кольца частных; вложение в тела. Кольца
частных для данного кольца определялись различными способами.
Определение, пригодное для любого кольца и являющееся наи-
наиболее близким к классическому, предложил В. П. Елизаров [31J.
Пусть А — ассоциативное кольцо и 5 — мультипликативно замк-
замкнутая система его элементов, причем 0(£5. Гомоморфное отобра-
отображение ср кольца А в некоторое кольцо А' называется 5-редуци-
рующим, если: 1) все элементы из срE) имеют в А' двусторонние
обратные; 2) если х(*А'9 то найдутся такие элементы <p(s)gcp(S) и
ср(а)£ср(Л), что х=[<? (s)]~l у (а). Кольцо ЛE> называется обоб-
обобщенным левым кольцом частных кольца А относительно системы
5, если: а) кольцо А можно с помощью некоторого 5-редуци-
5-редуцирующего гомоморфизма ср отобразить в кольцо ЛE); б) если кольцо А
отображается с помощью некоторого 5-редуцирующего гомоморфиз-
гомоморфизма ср' в кольцо А', то существует гомоморфное отображение <J> кольца
ЛE)В кольцо Аг такое, что ф(ср(Л))=ср/(Л). Двусторонний идеал
/ кольца А 5-прост, если: 1) идеал / не содержит элементов из
5; 2) если абЛ, s65 и as или sadl, то аб/; 3) для любых абЛ и
ses найдутся такие а'£А и s'G5, что s'a—a'sGI. Доказывается,
что кольцо А имеет обобщенное левое кольцо частных ЛE) отно-
относительно системы 5 тогда и только тогда, когда пересечение
всех его 5-простых идеалов является также 5-простым идеалом
кольца А. В. П. Елизаров изучает некоторые соотношения между
идеалами кольца и идеалами его обобщенного левого кольца част-
частных, а также вопрос о существовании кольца частных для фактор-
кольца данного кольца, В другой его работе [32] исследованы со-
соотношения между обобщенными кольцами частных, определяемы-
определяемыми различными мультипликативно замкнутыми системами. В ря-
ряде работ рассмотрены кольца частных в старом смысле, т. е. обоб-
обобщенные кольца частных, определяющая мультипликативно
замкнутая система которых совпадает с множеством всех недели-
неделителей нуля. Так, Голди [33] показал, что кольцо правых частных
существует для каждого кольца Л, обладающего следующими
свойствами: а) в Л нет нильпотентных идеалов; б) существует та-
такое натуральное /г, что никакой правый идеал кольца Л не разла-
разлагается в прямую сумму, содержащую более, чем п слагаемых;
в) Л удовлетворяет условию максимальности для правых аннуля-
торов. Если кольцо А обладает кольцом правых частных Q{A), то
Q(A) полупросто в классическом смысле тогда и только тогда,
когда Л обладает (свойствами а), б), в). В других работах[34—36]
Голди установил, что кольцо Л обладает двусторонним т. е.
правым и левым одновременно) кольцом частных, являющимся
62

полным (матричным кольцом над телом, тогда и только тогда, ко-
когда А первично и удовлетворяет условию минимальности для ле-
левых (и правых) аннуляторнда и для левых (и правых) дополни-
дополнительных идеалов (левый идеал Г назовем дополнительным к нену-
ненулевому левому идеалу /, если /П// = 0 и /' — максимальный среди
левых идеалов с таким свойством). Устанавливается ряд свойств
колец, принадлежащих к указанному классу. Кон [37] дал новое
доказательство существования правого кольца частных для коль-
кольца без делителей нуля, удовлетворяющего условию максимально-
максимальности для правых идеалов. Впервые этот результат был получен в
упомянутых выше работах Голди. Лесье и Краузо [38] показали,
что первичное нётерово слева кольцо обладает левым кольцом ча-
частных, изоморфным полному матричному кольцу над некоторым
телом.. Строение колец, обладающих примитивным двусторонним
кольцом частных с минимальными односторонними идеалами,
исследовал Харада [39]. Феллер и Своковский [40] доказали, что
для того, чтобы кольцо А обладало двусторонним кольцом частных,
являющимся полным матричным кольцом над нетеровым справа и
слева вполне примарным кольцом, необходимо и достаточно, что-
чтобы А было первичным и рефлексивным (кольцо А называется реф-
рефлексивным, если элемент обратим в А тогда и только тогда, когда
он обратим по модулю ниль-радикала). Сюда же примыкает тео-
теорема Поснера [41]: кольцо А является первичным кольцом, удов-
удовлетворяющим полиномиальному тождеству, тогда и только тогда,
когда А есть подкольцо полного матричного кольца над телом,
имеющим конечный ранг над своим центром, а двустороннее
кольцо частных кольца А совпадает с полным матричным коль-
кольцом. Наконец, Жентиле [42] перенес некоторые результаты о мо-
модулях над областями целостности на модули над кольцами, до-
допускающими левое тело частных.
К вопросу о кольцах частных близко примыкает вопрос о вло-
вложении в тела. В уже упоминавшейся работе Кона [37] доказано,
что если в кольце А с нормой v для любых ненулевых элементов
а/Ь&А функция f(x,y)=v(ax—by)—v (ах) не ограничена свер-
сверху, то кольцо А вложимо в тело. Некоторые результаты, касаю-
касающиеся вложения колец в тела, можно найти в другой работе Ко-
Кона [43].
Кроме классического направления, продолжались исследования
колец частных в смысле Финдли и Ламбека [44, 45]., использую-
использующие гомологические методы. Пусть Л—кольцо. Гомоморфизм под-
подмодуля правого Л-модуля М в некоторый Л-модуль N назовем
частичным гомоморфизмом М в N. Частичный гомоморфизм назовем
неприводимым, если его нельзя продолжить до частичного гомо-
гомоморфизма с более широкой областью определения. Если L — та-
такой подмодуль модуля М, что каждый гомоморфизм L в А/" может
быть единственным способом продолжен до неприводимого час-
частичного гомоморфизма М в N, то будем писать L<M(N). Если
63

L<cM(M)t то модуль М называется рациональным расширением
модуля L. Для каждого модуля L существует единственное с
точностью до изоморфизма над L максимальное рациональное расши-
расширение. Если Л и В—ассоциативные кольца и АЯ^В, то А и В можно
рассматривать как правые, Л-модули. Назовем В (максимальным)
кольцом правых частных кольца А, если модуль В является
(максимальным) рациональным расширением модуля Л. Доказы-
Доказывается, что всякое ассоциативное кольцо А имеет максимальное
кольцо правых частных. Оно определено однозначно с точностью
до изоморфизма над А и содержит все остальные кольца правых
частных. Кольцо частных в смысле Финдли—Ламбека для комму-
коммутативного кольца не всегда совпадает с кольцом частных в
обычном смысле. Допустим далее, что кольцо С можно рассмат-
рассматривать как правый Л-модуль. Элемент х£С назовем сингулярным,
если его правый ачнулятор имеет ненулевое пересечение со все-
всеми ненулевыми правыми идеалами кольца Л. Совокупность всех
сингулярных элементов кольца С образует подмодуль Ja(C).
Уонг и Джонсон [46] доказали, что если кольцо С является
кольцом правых частных кольца Л и /^(Q^O, то для С суще-
существует самоинъективное кольцо правых частных, регулярное в
смысле Неймана. Если Q —максимальное кольцо левых частных
кольца Л, то Т = {х\ xGQ, х/с/ для некоторого правого идеала
/ кольца Л и его рационального расширения /} является коль-
кольцом левых и правых частных кольца Л одновременно. Те же
авторы [47] показали, что при некоторых дополнительных усло-
условиях максимальное правое кольцо частных кольца Л изоморф-
изоморфно кольцу \\ошк(М, М)у где М—специальным образом построен-
построенный правый Л-модуль, a K=Hoiru (М, М).
6. Регулярные кольца и дедекиндовы струк-
структуры с дополнениями. Оживление в этой области, на-
начавшееся в 1954 году, не улеглось. В последние годы в свет
вышли новые книги, посвященные непрерывным геометриям [48,
49], и переизданы основополагающие лекции Неймана [50].
Кроме того, был сделан ряд обзорных докладов как эле
ментарных [51,52], так и более глубоких [53—56]. Некоторое
упрощение доказательства теоремы Неймана предложил Гальпе-
Гальперин [57]. Дважды обобщал теорему Неймана Ионссон [58—60].
Пусть В—дезаргова структура (т. е. дедекиндова структура, в
которой из соотношений x=(ao+bo)(a1+bl) (a2+b2)f #=(ao+ai)'
•(bo+b1)l(ao+a2) (bo+b2) + (ax+O2) (&1+&2)] (alf b£ В) вытекает,
что х^ао(аг+у) + Ь0(Ьх-\-у)) с относительными дополнениями.
Допустим, что В содержит такой большой элемент d (т. е. для
всякого Ь£В найдутся такие элементы Ьъ ..., Ьп, что Ь^=ЪЬ1 и
каждое Ьь перспективно некоторому ^<d), что структура Bd об-
обладает однородным базисом ранга 3. Основная теорема о пред-
представлении утверждает, что структура В изоморфна структуре
64

L (M) подмодулей конечного происхождения локально проективного
модуля М над регулярным кольцом (модуль называется локально
проективным, если проективны все его подмодули конечного проис-
происхождения). Показано также, что частично упорядоченное множе-
множество подмодулей конечного происхождения локально проективного
модуля над регулярным кольцом является дедекиндовой
структурой с относительными дополнениями. Из основной теоре-
теоремы выводится, что дедекиндова структура В с относительными до-
дополнениями изоморфна структуре L(M) для некоторого локально
проективного модуля М над регулярным кольцом, если выполнено
одно из следующих условий: 1) В содержит такой большой эле-
элемент d, что структура Bd обладает однородным базисом ранга
я>4; 2) В — простая структура размерности >4. Структура В
называется координатизируемой, если она изоморфна структуре
L (А) главных правых идеалов обобщенного регулярного кольца А
(т. е. регулярного кольца, в котором может отсутствовать едини-
единица). Из приведенных выше результатов выводится, что для коор-
динатизируемости дезарговой структуры В с относительными до-
дополнениями достаточно выполнение условий: а) В содержит такое
подмножество £/, что каждое конечное подмножество из U незави-
независимо и каждый элемент из В содержится в сумме конечного числа
элементов из U; б) содержит такой большой элемент d, что струк-
структура Bd допускает однородный базис ранга 3. В заключение по-
показана единственность координатизирующего кольца, если струк-
структура В обладает квазиоднородным базисом ранга 3 (независимая
система элементов аь..., ап, а* называется квазиоднородным ба-
базисом ранга п, если 1 = ai + ... + an + a*, щ и aj перспективны при
любых i, j,a* = &i + ... + 6m, гдеЬк перспективно некоторому ck<ai).
Попутно установлено, что дедекиндова структура с относительны-
относительными дополнениями, являющаяся объединением возрастающей по-
последовательности однозначно координатизируемых главных идеа-
идеалов, сама координатизируема.
Далее представляет интерес серия работ, в которых иссле-
исследуются непрерывные регулярные кольца. В двух из них Гальпе-
Гальперин [61, 62] осуществляет идеи, извлеченные из рукописного
наследства Неймана. Пусть Л—непрерывное регулярное кольцо,
Z—его центр, р(х)—многочлен с коэффициентами из Z. Напом-
Напомним, что кольца А можно считать нормированными. Если абЛ,
то положим $Р (а) = {р(х)\ \ р(а) | <1}. Элемент с£А назовем чис-
чисто трансцендентным, если р (с)—обратимый элемент кольца Л для
всех р(х) со старшим элементом единица. В первой работе
Гальперина доказано, что во всяком непрерывном регулярном
кольце А существует чисто трансцендентный элемент с. Основ-
Основной результат второй работы: Для каждого абЛ и любого поло-
положительного числа s найдутся многочлен р(х) над Z и элемент
Ь&А такие, что р(Ь)=О и | а—Ь \ О; более того, если ф (а) не
пусто, то p=pi ... ps, где pffl(a)\ если же ф (а) пусто, то в
5-5871 65

качестве р(х) может быть взят любой многочлен степени >—-
Гретцер и Воненбургер [63J показали, что каждая полная
булева алгебра служит центром некоторой недистрибутивной не-
непрерывной геометрии. Интересное направление в исследовании не-
непрерывных регулярных кол'ец возникло в связи с теоремой Уцуми
[64]: всякое самоинъективное слева кольцо А (т. е. инъективноекак
левый Л-модуль), полупростое в смысле Джекобсона, регулярно.
После этого легко получить, что кольцо А является непрерывным
слева регулярным кольцом (регулярное кольцо называется непре-
непрерывным слева, если структура его левых идеалов непрерывна свер-
сверху). Однако существуют непрерывные регулярные кольца, не само-
инъективные слева [65]. Тем не менее, каждое непрерывное регу-
регулярное кольцо, все ненулевые идеалы которого содержат ненуле-
ненулевые нильпотентные элементы, самоинъективно слева и справа
[65]. Для того чтобы регулярное кольцо А было непре-
непрерывным слева, необходимо и достаточно, чтобы существовало по-
полупростое самоинъективное слева расширение кольца Л, все
идемпотенты которого лежат в А [66]. Этот результат приводит
к вопросу о возможности погружения регулярного кольца в само-
самоинъективное слева регулярное кольцо. Положительный ответ на
него дали Уонг и Джонсон [46], Габриэль [67] и Жентиле [68].
Из других результатов Уцуми отметим следующий [65]:
самоинъективное слева регулярное кольцо, все ненулевые
идеалы которого содержат ненулевые идемпотентные эле-
элементы, порождается как идемпотентами, так и обрати-
обратимыми элементами. Естественным обобщением самоинъек-
тивных колец являются кольца, имеющие как модули над
собой конечную инъективную размерность. Такие (правда, в основ-
основном, коммутативные) кольца рассматривал Басе [69]. Отметим еще
работы, имеющие более теоретико-структурный характер. Амемия
и Гальперин [70], а также Сато [71] установили, что неприводи-
неприводимая полная дедекиндова структура с дополнениями, допускаю-
допускающая инволютивный антиавтоморфизм, непрерывна. Неприводи-
Неприводимость в этой теореме можно заменить наличием ортодополнений.
Полные регулярные кольца являются бэровскими, т. е. коль-
кольцами, в которых правый (левый) аннулятор любого множества
является главным правым (левым) идеалом, порожденным идем-
потентом. Бэровским является и кольцо, линейных преобразований
линейного пространства над телом. Бэровские кольца исследовали
Маеда и Вольфсон [72—74]. В частности, Вольфсон показал, что
бэровским будет кольцо эндоморфизмов любого вполне приводи-
приводимого модуля. Классом, объединяющим бэровские и регулярные
кольца, является класс рикартовых колец. Кольцо А называется
рикартовым, если для каждого х&А существуют такие идемпо-
идемпотенты е и /, что г(х) =г(е) и Цх) = /(/) (через г(х) и 1(х) обозна-
66

чаются соответственно правый и левый аннуляторы элемента х).
Эти кольца изучались Маедой [75]. Им, в частности, показано, что
главные идеалы рикартова кольца, порожденные идемпотентами,
образуют структуру с относительными полуортодополнениями
[76]. Заметим, что структурой с относительными полуортодополне-
полуортодополнениями является всякое частично упорядоченное множество глав-
главных идеалов ассоциативного кольца с единицей, порожденных
идемпотентами, если только это частично упорядоченное множе-
множество является структурой.
7. Групповые кольца. Две работы посвящены группо-
групповым кольцам абелевых групп. С. Д. Берман [77] установил, что
групповые алгебры любых двух счетных периодических абелевых
групп над полем комплексных чисел всегда изоморфны. Для слу-
случая поля действительных чисел указаны необходимые и достаточ-
достаточные условия. Дуглас [78] рассматривает групповое кольцо К
абелевой группы G над произвольным ассоциативным кольцом А
с единицей. Доказано, что w. gl. dim./C<oo тогда и только
тогда, когда: а) если a(:G имеет порядок q, то qA = A\
б) w. gl. сНт.Л<оо; в) ранг G < °°. Дженнигс [79] показал,
что групповая алгебра нильпотентной группы без кручения над
полем характеристики нуль не содержит делителей нуля и все ее
делители единицы тривиальны (т. е. являются элементами груп-
группы). Отсутствие делителей нуля в групповом кольце RN- груп-
группы с факторами без кручения над произвольным ассоциативным
кольцом А без делителей нуля доказал А. А. Бовди [80]. Если
кольцо А имеет единицу, то соответствующее групповое кольцо по-
полупросто в смысле Джекобсона.Рассмотрим далее групповое кольцо К
группы G над коммутативным кольцом с единицей характеристики р.
Совокупность таких элементов 2 agg кольца К, что ^ag = 0, об-
образует идеал Л кольца К. Этот идеал исследовал Лосей [81,82].
Им, в частности, показано, что идеал А локально нильпотентен
тогда и только тогда, когда G является локально-конечной р~
группой. Уоллес [83] и А. А. Бовди [84] получили некоторые
оценки для размерности и индекса нильпотентности радикала
групповой алгебры группы порядка рап, где (/?, /г)=1, над ал-
алгебраически замкнутым полем характеристики р. Некоторые ре-
результаты об изоморфизме групповых алгебр получили П. М. Гу-
дивок [85], С. С. Поляк [86] и С. Д. Берман [87]. Упомянем,
наконец, заметку С. Д. Бермана [159] об автоморфизмах центра цело-
целочисленного группового кольца.
Конструкцию, обобщающую групповое кольцо, предложил
А. А. Бовди [88]. Пусть G —полугруппа с единицей, К — ассо-
ассоциативное кольцо с единицей, о — некоторое однозначное отобра-
отображение полугруппы G в группу автоморфизмов кольца К, р =
~ {?g,h} {g, ^6 G) — семейство обратимых элементов кольца К,
причем p*igi*1-p*iift = pMiigipg«fgf и *eia'e*a = p-]g*(glg2)opgl,g2 для
67

всех а6/(, где gfiiG. Множество формальных сумм вида 2
(ag(iK), где почти все ag равны нулю, при естественном опреде-
определении сложения оказывается кольцом, если положить goh =
^gh'PgM* a§ = gaga (g, A6G, аб/С). Это кольцо называется скре-
скрещенным произведением полугруппы G и кольца К при системе
факторов р и отображении а. Оно обозначается через (G, /С, р, о).
Из полученных результатов отметим: 1) Если G — локально ко-
конечная группа, К регулярно в смысле Неймана и каждый эле-
элемент из К можно однозначно делить на порядок любого элемен-
элемента группы G, то кольцо (G, К, р, о) также регулярно; 2) Если G—
группа, (G,/С, р, а) регулярно и р^Л = 1 для всех g,h£G9 то
группа G локально конечна, а кольцо /С регулярно. Несколько
утверждений доказано для случая, когда полугруппа G упорядо-
упорядочена справа. Чивин [89] рассматривал групповую алгебру ло-
локально бикомпактной абелевой группы над полем комплексных
чисел.
8. Радикалы колец. Чрезвычайно интересным результа-
результатом в этом направлении является построение примера простого
идемпотентного кольца, радикального в смысле Джекобсона [90].
Значительная часть исследований касалась тех или иных ради-
радикалов как известных ранее, так и новых. Так, Феллер [91] исследо-
исследовал свойства джекобсоновского, ниль- и нильпотентного радика-
радикалов в бикольцах (т. е. в кольцах, каждый односторонний идеал ко-
которых является двусторонним). Кертес [92] установил, что коль-
кольцо А полупросто в классическом смысле тогда и только тогда,
когда А имеет правую единицу и левый аннулятор всякого нену-
ненулевого элемента является пересечением конечного числа макси-
максимальных левых идеалов кольца А. В. А. Андрунакиевич [93] пока-
показал, что радикал R является наднильпотентным (т. е. все нильпо-
тентные кольца R-радикальны) в том и только в том случае,
если в любом кольце К выполнено равенство R(K) =
= f"i[R(KfB)]C\[R(B) :B], где В —произвольный идеал в К, t —
естественный гомоморфизм кольца К на факторкольцо К/В,
[R(B):B] = {x\ xBUBx^R(B)}.
Некоторые результаты, связанные q радикалами Джекобсона,
получил П. А. Фрейдман [94]: 1) Если кольцо К радикально в
смысле Джекобсона и все его коммутативные подкольца удовле-
удовлетворяют условию минимальности для идеалов, то кольцо К удо-
удовлетворяет условию минимальности для подколец и потому ниль-
потентно; если все коммутативные подкольца в К конечны, то и
само К конечно; 2) Если аддитивная группа радикала Джекобсо-
Джекобсона / кольца К не содержит подгрупп типа р°°, K/J коммутатив-
коммутативно и все коммутативные подкольца кольца К удовлетворяют усло-
условию минимальности для идеалов, то /C=P + /Ci, где Р — конечная
прямая сумма конечных полей и полей, являющихся объединением
68

возрастающей последовательности конечных полей, а К\ — конеч-
конечное кольцо; 3) Кольцо /С, коммутативное по модулю своего ради-
радикала Джекобсона, конечно тогда и только тогда, когда конечны
все его коммутативные подкольца.
Хорошо известно, что радикал Джекобсона кольца Л можно
определить как пересечение аннуляторов всех правых неприводи-
неприводимых Л-модулей. Оказывается, что аналогичным путем можно опре-
определить и радикал Бэра. Только вместо неприводимых следует рас-
рассматривать первичные модули [95]. Правый Л-модуль
М называется первичным, если: 1) МА¥=0; 2) если
хВ = 0, где х 6Л4, а В — идеал в'Л, то или х = 0 или МВ = 0. Полу-
Полученный результат позволяет показать, что кольцо А радикально в
смысле Бэра тогда и только тогда, когда для всякой последова-
последовательности а\, а2,... элементов из А со свойством а^ (а{-\J((а) —
идеал, порожденный элементом а) существует такое целое число N,
что ап = 0 для всех n>N. С помощью модулей определяется и кор-
поидальный радикал [96]. Он определяется как пересечение анну-
аннуляторов неприводимых интерверсивных Л-модулей (Л-модуль
М называется интерверсивным, если хаЪА—хЬаА для всех х 6 AT,
а,6,6,Л). За/метим, что корпоидальный радикал является спе-
специальным радикалом, определяемым классом всех тел. Идея опре-
определения произвольных радикалов с помощью модулей осуществ-
осуществлена в работе В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина [97]. На-
Наконец, Леувен [98] определил новый нулеабразный радикал, со-
содержащий радикал Фукса [99]. Правда, как эти радикалы, так и
радикал Кертеса [100], уже не являются радикалами в смысле
Куроша. Можно еще упомянуть работу Се-Бан-Цзе [101], в кото-
которой рассматриваются нилыкольца, (радикальные в смысле Бэра.
Структурное пространство колец изучали Блэр и Эгган [102].
Они показали, что структурное пространство кольца Л компактно
в том и только в том случае, когда каждый идеал В, для которого
А/В радикально в смысле Джекобсона, содержит такой конечно
порождаемый идеал /, что А/1 тоже радикально. Структурное
пространство кольца, никакой гомоморфный образ которого не ра-
радикален в смысле Джекобсона, компактно тогда и только тогда,
когда кольцо Л порождается, как идеал, конечным числом эле-
элементов. В частности, структурное пространство кольца Л будет
компактным, если кольцо Л имеет единицу. Эти результаты в
настоящее время обобщены А. В. Михалевым [103].
Кольцо К называется слабо ассоциативным, если каковы бы
ни были его подкольцо К\, идеал В кольца К\ и подмножество Л
идеала В, найдется такое натуральное п (вообще говоря, завися-
зависящее от К\ В и Л), что п-я степень идеала, порожденного множе-
множеством Л в Ки принадлежит идеалу, порождённому множеством Л
в В (в обозначениях Л к? сЛв). В. А. Андрунакиевич [104]
распространяет на слабо ассоциативные кольца ряд результатов
теории радикалов, установленных ранее для ассоциативных ко-
69

лец [105]. Се Бан-цзе [106] определяет радикал Кётэ для произ-
произвольных неассоциативных колец. Браун и Маккой [107] перенесли
определение своего простого радикала на случай неассоциатив-
неассоциативных колец. Иидзука [108], Бурн и Цассенхауз [109] и Иидзука и
Накамура [110] исследовали радикал Джекобсона в полукольцах.
Отметим еще работу В. А. Андрунакиевича [111], изучавшего
полурадикальные идеалы, т. е. идеалы, в которых каждое из со-
соотношений х = ха и х = ах влечет х = 0.
9. Другие вопросы теории ассоциативных ко-
колец. Пусть А — произвольное ассоциативное кольцо с единицей.
Ассоциативное кольцо А называется А-кольцом, если оно являет-
является двусторонним унитарным А-модулем и X (ху) = (кх) у, (хЪ) у =
= хAу), (ху) X = х Q/X) для любых элементов х, убА, Х6А. На-
Назовем А-кольцо А свободным произведением своих А-подколец
Ас, (аб/), если: 1) АаГ\А$ = А при а ф C; 2) кольцо А порождает-
порождается объединением всех подколец Аа\ 3) система определяющих
соотношений кольца А совпадает с объединением систем опреде-
определяющих соотношений всех подколец Аа. Это определение пред-
предложено Коном [112]. Он же установил некоторые достаточные и
некоторые необходимые условия существования для данного
семейства A-колец их свободного произведения. Достаточным яв-
является, например, условие, что все левые и правые Л-модули А /Л
плоские. В другой работе Кон [43] изучает строение свободного
произведения Р двух тел К\ и /С2 с объединенным подтелом Л.
Это произведение всегда существует, его обратимыми элементами
являются лишь произведения элементов из тел К\ и /G, каждый
элемент из Р разлагается в произведение конечного числа далее
неразложимых элементов; каждый левый (правый) идеал коль-
кольца Р является свободным левым (правым) Р-модулем. Пока-
Показано также, что в кольце Р действует некоторый аналог алго-
алгоритма Евклида. Эту идею Кон развивает в следующей ра-
работе [113].
Далее отметим теорему Хоссю [114]: если А — кольцо, адди-
аддитивная группа которого не содержит элементов порядка г<п,
то А имеет единственный тождественно исчезающий полином
степени п тогда и только тогда, когда axk = 0 (k=l9 2,..., п) лишь
при а = 0. Кавада [115] доказал: если А — кольцо с единицей,
удовлетворяющее условию минимальности для левых идеалов,
L, U — левые идеалы в Л и модули A/L и A\U изоморфны, то
идеалы L и Z/ изоморфны как левые Л-модули. Паттерсон [116]
установил, что ассоциативная алгебра, обладающая регулярным
автоморфизмом (автоморфизм называется регулярным, если он
не имеет ненулевых неподвижных точек) ограниченной степени,
нильпотентна. Получены и некоторые другие результаты о регу-
регулярных автоморфизмах, причем не только для ассоциативных ко-
колец, но и для колец Ли и /-колец. Ковач [117] показал, что
70

кольцо А покрыто своими минимальными двусторонними идеа-
идеалами тогда и только тогда, когда А — простое кольцо или эле-
элементарная р-группа с нулевым умножением. Аналогичный, хотя
и с более сложной формулировкой, результат имеет место для
колец, покрытых своими минимальными левыми идеалами. Бэр
[118] вводит и исследует понятие метаидеала, аналогичное поня-
понятию субнормальной подгруппы. Работы Саса [119] и Амицура [120]
связаны с кольцами главных левых идеалов. Полное описание
таких колец без нильпотентных идеалов дал Голди [121]. В заклю-
заключение упомянем серию работ, в которых исследуется расщепляе-
мость колец с условием минимальности: [122—124].
10. Топологические и упорядоченные кольца.
Большинство работ было посвящено бикомпактным кольцам. На-
Намакура [125] доказал, что бикомпактное кольцо А допускает вед-
дербарново разложение тогда и только тогда, когда А является
прямой суммой конечных алгебр над конечными полями. Уор-
нер [126, 127] исследовал коммутативные нётеровы бикомпакт-
бикомпактные кольца и бикомпактные кольца, у которых замкнуты все идеа-
идеалы или замкнуты все левые идеалы. Для колец с единицей послед-
последнее равносильно нетеровости слева. Рассмотрены также кольца,
все идеалы и все левые идеалы которых открыты. Изучена воз-
возможность вложения данного бикомпактного кольца в топологиче-
топологические тела в качестве открытого подкольца. Намакура [128] изучил
некоторые аналогии между бикомпактными дуальными кольцами
(топологическое кольцо называется дуальным, если каждый его
замкнутый односторонний идеал является аннуляторам) и так на-
называемыми квазифробениусовыми кольцами. Доказано, что би-
бикомпактное дуальное кольцо удовлетворяет условиям: 1) Каждый
непрерывный Л-правый гомоморфизм замкнутого правого идеала
кольца А в А задается левым умножением на элемент из А]
2) Каждый непрерывный Л-левый гомоморфизм замкнутого лево-
левого идеала кольца А задается правым умножением на элемент из А.
Всякое бикомпактное кольцо с единицей, удовлетворяющее этим
условиям, в котором левый и правый аннуляторы любого макси-
максимального открытого идеала отличны от нуля, является дуальным
кольцом. Показано также, что бикомпактное дуальное кольцо с от-
открытым радикалом — конечно. Кроме того, исследованы биком-
бикомпактные кольца, факторкольца которых по любому открытому
идеалу дуальны. Уорнер [129] исследовал связь бикомпактных
колец с бикомпактными расширениями Стона-Чеха. В той же
работе показано, что полупростое кольцо допускает самое боль-
большее одну бикомпактную топологизацию. Установлена также эк-
эквивалентность следующих свойств: 1) для каждого хбЛ най-
найдется такое п = п(х) >1, что хп = х, 2) существует м>'1 такое, что
хп = х при всех х£ А, 3) А изоморфно прямому произведению ко-
конечных полей, порядки мультипликативных групп которых явля-
являются делителями числа п—1.
71

В заключение упомянем работы Селе [130] и Маурера [131 —
133], в которых топологизируется кольцо эндоморфизмов абелевой
группы.
Из результатов по теории упорядоченных колец отметим при-
пример линейно упорядочение^ области целостности с выпуклым ле-
левым идеалом, который не является идеалом [134]. Частично упоря-
упорядоченными телами занимался Вайда [135]. В частности, он нашел
необходимые и достаточные условия линейной упорядоченности
таких тел. Ряд результатов о структурно упорядоченных кольцах
получил Джонсон [136]. Завадовский [137] рассматривал квази-
упорядоченные алгебры с делением над полем действительных
чисел. Ленц [138] в связи с потребностями геометрии ввел в рас-
рассмотрение тела с полупорядком, т. е. с гомоморфизмом мульти-
мультипликативной группы тела в группу {1,— 1). Наконец, назовем
кольцо А промежуточным, если на нем задано тернарное отно-
отношение [а, 6, с], обладающее следующими свойствами: 1) для
каждых трех элементов а, 6, с имеем или [а, Ь, с], или [6, с, а],
или [с, а, Ь]\ 2) [а, 6, с] и [а, с, Ь] имеет место тогда и только
тогда, когда Ь = с; 3) из [а, Ь, с] следует [с, &, а]; 4) если [а, Ь, с\
и [а, с, d], то [6, с, d\\ 5) [а, 6, с] влечет за собой [х + а, х-\-6, х + с\
[хау xb, хс] и [ах, Ьх, сх]. Полное описание промежуточных колец
дал Черемисин [139, 140].
П.Неассоциативныекольца. Несколько работ посвя-
посвящено свободным суммам алгебр. Ц. Е. Дидидзе дала описание
свободной суммы алгебр с объединенной подалгеброй [141, 142].
Более общее понятие — алгебры, свободно порожденные амаль-
амальгамами— исследовал В. Е. Говоров [143]. А. Т. Гайнов [144] ввел
Р-свободные произведения алгебр как неассоциативные свобод-
свободные суммы, на которые наложены определяющие соотношения,
связывающие элементы из различных слагаемых. В частности, им
описаны подалгебры Р-свободной суммы в случаях, когда эле-
элементы из различных слагаемых коммутируют (коммутативная
свободная сумма) или антикоммутируют (антикоммутативная сво-
свободная сумма). А, И. Ширшов [145] доказал существование таких
алгебр Ли, что свободная лиева сумма обладает подалгеброй,
которая не является свободной, не изоморфна никакой подалгебре
какого-либо из слагаемых и не разлагается в свободную лиеву
сумму своих подалгебр.
В ряде работ рассматриваются /-кольца. Обращают на себя
внимание обзорные статьи Джекобсона [146] и Козюля [147]. Из
новых результатов заслуживает внимания результат Кона [148],
показавшего, что класс специальных /-алгебр, рассматриваемый
как класс универсальных алгебр, можно охарактеризовать с по-
помощью тождественных соотношений. Джекобсон и Пейдж [149]
передоказали теорему Ширшова о том, что свободная /-алгебра
с двумя образующими характеристики, отличной от двух, всегда
72

специальная. В то же время свободная /-алгебра с тремя обра-
образующими специальной не является [150]. Некоторые условия, необ-
необходимые и достаточные для того, чтобы алгебра была простой
/-алгеброй, указал Спрингер [151]. Специальными простыми
/-алгебрами конечного ранга занимался Джекобсон [152, 153J.
Он классифицировал эти алгебры, получил некоторые результаты
об их строении и их группе автоморфизмов.
Важнейшие результаты об альтернативных и правоальтерна-
тивных кольцах собраны в обзорной статье Клейнфельда [154].
Далее укажем на пример разрешимого, но не ниль'потентного
кольца, построенный Г. В. Дорофеевым [155] и теорему К. А. Жев-
лакова [156]: если А — альтернативное ниль-кольцо индекса п и
его характеристика равна нулю или превосходит п, то А — разре-
разрешимое кольцо индекса п(п+ 1)/2. Клейнфельд [157] доказал ассо-
ассоциативность простых альтернативных колец, не являющихся ал-
алгебрами Кэли — Диксона, и альтернативных первичных ниль-ко-
лец характеристики ФЪ. Новые необходимые и достаточные усло-
условия ассоциативности степеней в произвольных алгебрах указали
Лидли и Ритчи [158].
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Jacobson N. Structure theory for algebraic algebras of bounded degree.
Ann. Math., 1945, 46, 695-707
2. Herstein I. N., Wedderburn's theorem and a theorem of Jacobson. Amer.
Math. Monthly., 1961, 68, № 3, 249—251 (РЖМат, 1961, 10A237)
3. Tominaga Hisao, A theorem on rings. Math. J. Okayama Univ., 1959,
9, № 1, 9—12 (РЖМат, 1961, 3A251)
4. Martindale W. S., Ill, The commutativity of a special class of rings. Ca-
nad J. Math., 1960, 12, № 2, 263—268 (РЖМат, 1961, 6A282)
5. Sussman I., F о s t er A. L., On rings in which an{a)-=a. Math. Ann.,1960,
140, № 4, 324—333 (РЖМат, 1961, 3A255)
6. Smiley M. F., Remarks on the commutativity of rings. Proc. Amer. Math.
Soc, 1959, 10, № 3, 466—470 (РЖМат, 1961, 3A261)
7. Nakayama Tadasi, A remark on the commutativity of algebraic rings. Na
goya Math., J., 1959, 14, 39—44 (РЖМат, 1961, 3A262)
8. Faith C, Radical extensions of ring. Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 2,
274—283 (РЖМат, 1962, 7А2Ш)
9. Herstein I. N., Power maps in rings. Michigan Math. J., 1961, 8, № 1,
29—32 (РЖМат, 1961, 12A309)
10. Batho E., Non-commutative semi-local and local rings. Duke Math. J.,
1957, 24, № 2, 163—172 (РЖМат, 1958, 3572)
11. —, Some remarks on non-commutative extensions of local rings. Nagoya
Math. J., 1959, 14, 45—51 (РЖМат, 1961, 3A240)
12. Harada Manabu, Note on raising idempotents. J. Inst. Polytechn. Osaka
City Univ., 1959, A10, №2, 63—65 (РЖМат, 1961, 8A257)
13. Batho E. H., A note on a theorem of I. S. Cohen. Portug. math., 1959,
18, № 3, 4,187—192 (РЖМат, 1961, 6A284)
14. Roquette P., Abspaltung des Radikals in vollstandigen lokalen Ringen.
Abhandl. Math. Seminar Univ. Hamburg, 1959, 23, 75—113 (РЖМат,
1961, AA258)
7.3

15. Northcott D., The centre of a hereditary local ring. Proc. Glasgow Matlij
Assoc, 1962, 5, № 3, 101—102 (РЖМат., 1963, 1A244) ■:
16. Faith G., Erratum to Rings with Minimum Condition on Principal Ideals,
Arch. Math., 1959, 10, № 6, 480 (РЖМат, 1961, 9A289)
17. Андрунакиевич В А., Кольца с аннуляторным условием. Изв. АН СССР,
сер. матем., 1956, 20, № 4, 547—568 (РЖМат, 1960, 1434)
18. Faith G., Rings with minimum condition on principal ideals. Arch. Math.,
1959, 10, № 5, 327—330 (РЖМат., 1961, 9A288)
19. Szasz F., Ober Ringe mit Minimalbedingung fur Hauptrechtsideale. I.
Publs. math., 1960, 7, № 1-4, 54—64 (РЖМат, 1962, 11A194)
20. —, Die Ringe mit lauter isomorphen nichttrivialen endlich erzeugbaren
Unterringen. Acta scient. math., 1961, 22, № 3-4, 196—201 (РЖМат,
1962, 11A192)
21. —, Die Abelschen Gruppen, deren voile Endomorphismenringe die Mini-
Minimalbedingung fur Hauptrechtsideale erflillen. Monatsh. Math., 1961, 65,
№ 2, 150—153 (РЖМат., 1961, 12A314)
22. Bass H. Finistic dimension and a homological generalization of semi-pri-
semi-primary rings. Trans. Amer. Math.Soc, 1960, 95, № 3, 466—488 (РЖМат,
1962, 1A273)
23. Cohn P., On a class of simple rings. Mathematika, 1958, 5, № 10, 103—117
(РЖМат, 1960, 177)
24. —, Simple rings without zero-divisors and Lie division rings. Mathematica,
1959, 6, № 1, 14—18 (РЖМат, 1960, 7312)
25. Кон П. М., Об одном классе простых колец. Математика. Период, сб.
перев. ин. статей, 1961, 5, № 1, 31—45 (РЖМат, 1961, 9А292)
26. —, Простые кольца без делителей нуля и кольца Ли с делением. Мате-
Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1961, 5, № 1, 47—52
(РЖМат, 1961, 9А293)
27. Kleinfeld E., A note on Moufang-Lie rings. Proc. Amer. Math. Soc,
1958, 9, № 1, 72—74 (РЖМат, 1958, 9622)
28. Baxter W. E., Concerning strong Lie ideals. Proc. Amer. Math. Soc,
1960, II, № 3, Part I. 393—395 (РЖМат, 1961, 3A269)
29. Herstein I. N., Kleinfeld E., Lie mapping in characteristic 2.
Pacif. J. Math., 1960, 10, № 3, 843—852 (РЖМат, 1961, 5A268)
30. —, Lie and Jordan structures in simple associative rings. Bull. Amer.
Math. Soc, 1961, 67, № 6, 517—531 (РЖМат, 1962, 6A214)
31. Елизаров В. П., О кольцах частных ассоциативных колец. Изв
АН СССР. Сер. матем., 1960, 24, № 2, 153—170 (РЖМат, 1961, ЗА259)
32. —, Соотношения между обобщенными кольцами частных. Докл.
АН СССР, 1960, 135, № 2, 252—254 (РЖМат, 1961, 8А258)
33. Goldie A. W., Semi-prime rings with maximum condition. Proc London
Math. Soc, 1960, 10, № 38, 201—220 (РЖМат, 1962, 2A269)
34. —, The structure of rings with maximum condition. Abstr. Short communs
Internat. Congress Math in Edinburgh. Edinburgh. Univ. Edinburgh,
1958, 17 (РЖМат, 1960, 10073)
35. —, The structure of prime rings under ascending chain conditions. Proc
London Math. Soc, 1958, 8, № 32, 589—608 (РЖМат, 1961, 2A140)
36. —, The structure of prime rings with maximum conditions. Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1958, 44, № 6, 584—586 (РЖМат, 1961, 2A141)
37. Cohn P. M., On the embeding of rings in skew fields. Proc London Math.
Soc, 1961, II, № 43, 511—530 (РЖМат., 1962, 3A235)
38. LesieurL., С г о i s о t R., Sur les anneaux premiers noetheriens a gauche.
Ann. scient. Ecole norm, super., 1959., 76, № 3, 161 — 183 (РЖМат.,
1961, 2A139)
39. Harada Manabu, The structure of rings whose quotient rings are primitive
rings with minimal one-sided ideals. J. Inst. Potytechn. Osaka City Univ.,
1960, All, № 1, 5—13 (РЖМат., 1961, 9A290)
40. Feller E. H., Swokowski E. W., Reflective N-prime rings with
74

the ascending chain condition. Trans. Amer. Math. Soc, 1961, 99, № 2,
264—271 (РЖМат, 1962, 7A202)
41. Posner E. C, Prime rings satisfying a polynomial identity. Proc. Amer.
Math. Soc, 1960, 11, № 2, 180—183 (РЖМат., 1961, 10A246)
42. Gentile E., On rings with one-sided field of quotients. Proc. Amer. Soc,
1960, 11, № 3, Part 1, 380—384 (РЖМат., 1961, 7A282)
43. Cohn P., On the free product of associative rings. II. The case of (skew)
fields. Math. Z., 1960, 73, № 5, 433—456 (РЖМат., 1961, 2A143)
44. Find lay G., Lambek J., A generalized ring of quotients. I. Canad.
Math. Bull., 1958, 1, № 2, 77—85 (РЖМат., 1960, 7307)
45. —, A generalized ring of quotients. II. Canad. Math. Bull., 1958, 1, № 3,
155—167 (РЖМат., 1960, 7308)
46. Wong E.f J о h n s о n R., Self-injective rings. Canad. Math. Bull., 1959,
2, № 3, 163—173 (РЖМат., 1931, 1A247)
47. —, Quasi-injective modules and irreducible rings. J. London Math. Soc
1961, 36, № 3, 260—268 (РЖМат., 1962, 8A221\#
48. Maeda Fumiyuki, Kontinuierliche Geometrien. Ubers. aus dem Japan.
Berlin — Gottingen—Heidelberg, Springer, 1958, x, 244 ill (РЖМат.,
1960, 5848)
49. Скорняков Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регуляр-
регулярные кольца. М., Физматгиз, 1961, 198 стр., 75 к. (РЖМат, 1963, 5А312)
50. Neumann J. von, Continuous geometry. Princeton, N. J., Univ. Press;
London, Oxford Univ. Press., 1960 A961), xiii, 299 pp. 45 sh.
51. Halperin I.,Introduction to von Neumann algebras and continuous geomet-
geometry. Canad. Math. Bull., 1960, 3, № 3, 273—288 (РЖМат., 1962, 1Б377)
52. Balachandran v. K., Infinite dimensional projective geometries. Math.
Student., 1959 A961), 27, № 3—4, 179—183 (РЖМат., 1962, 1A291)
53. Halperin I., Complemented modular lattices. Proc. Svmpos. Pure. Math.,
1961, 2, 51—64 (РЖМат., 1962, 5A265)
54. Fryer K. D., Coordinates in non-Desarguesion complemented modular
lattices. Proc Sympos. Pure Math., 1961, 2, 71—77 (РЖМат., 1962,
5A266)
55. Amemiya I., Halperin I., Non-associative regular rings and von
Neumann s coordinatization theorem. Abstr. Short Communs Internat. Con-
Congress Math, in Edinburgh. Edinburgh Univ., Edinburgh, 1958, 11 — 12
(РЖМат, 1961, 7A297)
56. Halperin I., Complemented modular lattices. Abgebraic and Topol. Foun-
dat. Geometry. Oxford — London — New-York — Paris, Pergamon
Press, 1962, 47—55 (РЖМат., 1962, 11A222)
57. —, A simplified proof of von Neumann's coordinatization theorem.
Proc. Nat. Acad. sci. U. S. A., 1961, 47, № 9, 1495—1498 (РЖМат.,
1962, 11A223)
58. Jonsson В., Representations of complemented modular lattices. Trans.
Amer. Math. Soc, 1960, 97, № 1, 64—94 (РЖМат., 1961, 8A273)
59. —, Extensions of von Neumann's coordinatization theorem. Proc.
Sympos. Pure Math., 1961, 2, 65—70 (РЖМат., 1962, 6A238)
60. —, Representations of relatively complemented modular lattices. Trans.
Amer. Math., Soc, 1962, 103, № 2, 272—303 (РЖМат., 1963, 1A273)
61. Halperin I. Transcendental elements in continuous rings. Canad. J. Math.,
1962, 14, № I, 39—44 (РЖМат., 1962, 7A207)
62. —,Von Neumann's arithmetics of continuous rings. Acta scient. math.,
1962, 23, № 1—2, 1 — 17, (РЖМат., 1963, 1A251)
63. Gratzer G., Wonenburger M. J., Some examples of complemented
modular lattices. Canad. Math. Bull., 1962, 5, JVfe 2, 111 — 121 (РЖМат.,
1963, 2A254)
64. Utumi Yuzo, On a theorem on modular lattices. Proc. Japan Acad.,
1959, 35, № 1, 16—21 (РЖМат., 1960, 11381)
65. —, On continuous regular rings and semi-simple self-injective rings. Canad.
J. Math., 1960, 12, № 4, 597—605 (РЖМат., 1961, 7A272)
75

66. Utumi Yuzo, On continuous regular rings. Canad. Math. Bull., 1961, 4, № 1,
63—69 (РЖМат., 1962, 1A268)
67. Gabriel P., La localisation dans les anneaux non commutatifs. Semin.
Dubreil et Pisot. Fac. Sci. Paris. 1959—1960, 13 annee, fasc. 1. Paris,
1961, 2/1—2/35 (РЖМат., 1962, 4A256)
68. Gentile E. R., Singular submodule and injective hull. Proc. Konikl.
nederl. akad. wet., 1962, A65, № 4, 426—433; Indagationes Math,
1962, 24, № 4, 426—433 (РЖМат., 1963, 6A244)
69. Bass H., Injective dimension in Noetherian rings. Trans. Amer. Math.
Soc, 1962, 102, № 1, 18—29 (РЖМат., 1962, 8A225)
70. Amemiya Ichiro, H a 1 p er i n I., Complemented modular lattices.
Canad. J. Math., 1959, 11, № 4, 481—520 (РЖМат., 1961, 4Б545)
71. Sato Tokui, Sur les de treillis Boole *-generaux. Proc. Japan. Acad., 1960,
36, № 4, 207—212 (РЖМат, 1961, 8A272)
72. Maeda Fumiyuki, Decomposition of general lattices into direct summands
of types I, II and III. J. Sci. Hiroshima Univ., 1959, A23,№ 2, 151 — 170,
(РЖМат., 1961, 5A277)
73. Wolfson K. G., Baer rings of endomorphisms. Math. Ann., 1961, 143,
№ 1, 19—28 (РЖМат., 1962, 7A205)
74. —, Baer subring? of the ring of linear transformations. Math. Z., 1961,
75, № 4, 328—332 (РЖМат, 1962, 7A206)
75. Maeda Shuichiro, On a ring whose principal right ideals generated by idem-
potents form a lattice. J. Sci. Hiroshima Univ., 1960, A24, № 3, 509—
525 (РЖМат., 1962, 5A284)
76. —, On relatively semi-orthocomplemented lattices. J. Sci Hiroshima.
Univ., 1960, A24, № 2, 155 — 161 (РЖМат., 1961, 12A339)
77. Берман С. Д.,Об изоморфизме групповых алгебр счетных абелевых групп.
Докл. и сообщ. Ужгородск. ун-та. Сер.физ.-матем. н., 1960, № 3, 56—57
(РЖМат., 1961, 7А276)
78. Douglas A. J., The weak global dimension of the group rings of Abelian
groups. J. London Math. Soc, 1961, 36, № 3, 371—381 (РЖМат., 1962,
2A283)
79. Jennings S. A.,The group ring of a class of infinite nilpotent groups.Canad.
Math., 1955, 7, № 2, 169—187 (РЖМат., 1962, 2A193)
80. Бовди А. А., О групповых кольцах групп без кручения. Сибирск. ма-
тем. ж., 1960, 1, № 4, 555—558 (РЖМат, 1961, 6А285)
81. Losey G., On group algebras of p-groups. Michigan Math., 1960, 7, №3,
237—240 (РЖМат., 1962, 1A209)
82. — ,On dimension subgroups. Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 97,
№ 3, 474—486 (РЖМат., 1962, 2A194)
83. Wallace D. A. R., On the radical of a group algebra. Proc Amer. Math.
Soc, 1961, 12, № 1, 133—137 (РЖМат., 1962, 2A220)
84. Бовди А. А., О радикале групповой алгебры. Докл. и сообщ. Ужгородск.
ун-та. Сер. физ.-матем. н., 1961, № 4, 84—85 (РЖМат., 1962, 6А153)
85. Гудивок П.М., Об изоморфизме групповых алгебр циклических расшире-
расширений сверхразрешимых групп. Докл. и сообщ. Ужгородск. ун-та.
Сер. физ.-матем. н., 1960, № 3, 58—59 (РЖМат., 1961, 8А203)
86. Поляк С. С, Необходимое условие изоморфизма групповых колец над
кольцом. Докл. и сообщ. Ужгородск. ун-та. Сер. физ.-матем. н., 1960,
№ 3, 62 (РЖМат, 1962, ЗА208)
87. Берман С. Д., Об изоморфизме групповых алгебр прямых произведений
примарных циклических групп. Докл. и сообщ. Ужгородск. ун-та. Сер.
физ. -матем. н., 1961, № 4, 76—77 (РЖМат., 1962, 6А158)
88. Бовди А. А., О скрещенных произведениях полугруппы и кольца. Докл,
АН СССР, 1961, № 6, 1267—1269 (РЖМат, 1961, 12А312)
89. Civin P., Isometries of group algebras. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, П,
№ 6, 983—985 (РЖМат, 1961, 8A210)
76

90. S^siada E., Solution of the problem of existence of simple radical ring.
Bull. Acad. polon. sci. Ser. sci math., astron et phys., 1961, 9, № 4, 257
(РЖМат, 1962, 1A270)
91. Feller E. H., Properties of primary noncommutative rings. Trans. Amer.
Math. Soc, 1958, 89, № 1, 79—91 (РЖМат, 1961, 3A265)
92. Kertesz A., Eine Charakterisierung der halbeinfachen Ringe. (Erganzung
zur Arbeit «Beitrage zur Theorie der Operatormoduln»). Acta math. Acad.
scient. hung., 1958, 9, № 3—4, 343—344 (РЖМат, 1961, 8A255)
93. Андрунакиевич В. А., Об одной характеристике наднильпотентного
радикала. Успехи матем. наук, 1961, 16, № 1, 127—130 (РЖМат, 1961,
9А273)
94. Фрейдман П. А., О некоторых условиях конечности в ассоциативных
кольцах. Матем. зап. Уральский ун-т, 1961, 3, № 1, 77—84 (РЖМат,
1962, 8А212)
95. Андрунакиевич В. А., Первичные модули и радикал Бэра. Сибирск.
матем. ж., 1961, 2, № 6, 801—806 (РЖМат, 1962, 5А253)
96. Thierrin G., Sur le radical corpoidal d'un anneau. Canad. J. Math., 1960,
12, № 1, 101 — 106 (РЖМат., 1961, 3A248)
97. Андунакиевич В. А., Р я б у х и н Ю. М., Специальные модули и спе-
специальные радикалы. Докл. АН СССР, 1962, 147, № 6, 1274 — 1277
(РЖМат, 1963, 7А198)
98. Leeuwen L. С. A. van, On the zeroid radical of a ring. Proc. Konikl. nederL
akad. wet., 1959, A62, № 4, 428—433; Indagationes math., 1959, 21,
№ 4, 428—433 (РЖМат., 1961, 9A274^
99. Fuchs L. On a new type of radical. Acta scient. math., 1955, 16, № 1-2,
43—53 (РЖМат., 1956, 6452)
100. Kertesz A., Az operatormodulusok Kertesz-fele radikaljarol. Magyar,
tud. akad. Mat. es fiz. tud. oszt. kozl., 1960, 10, № 1, 35—38 (РЖМат,
1961, 6A276)
101. Се Бан-Цзе, Радикальные кольца Бэра и ниль-кольца с условием обры-
обрыва цепей для аннуляторных идеалов. Дунбэй жэнь-минь дасюэ цзы-
жань-кэсюэ сюэбао, Acta scient. natur, 1955, № 1, 71—91 (РЖМат, 1961,
5А258)
102. Blair R. L., E g g a n L. G., On the compactness of the structure space
of a ring. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 6, 876—879 (РЖМат, 1962,
7A209)
103. А. В. Михалев, Специальные структурные пространства колец, Докл.
АН СССР, 1963, 150, № 2, 259—261
104. Андрунакиевич В. А., Радикалы слабо ассоциативных колец. Докл.
АН СССР, 1960, 134, № 6, 1271 — 1274 (РЖМат, 1961, 6А275)
105. —, К теории радикалов ассоциативных колец. Докл. АН СССР, 1957,
113, № 3, 487—490 (РЖМат, 1958, 1869)
106. Се Бан-цзе, Различные радикалы Кётэ, полупространства в смысле
Кетэ и квазинильрадикалы неассоциативного кольца. Дунбэй жень-
минь дасюэ цзы-жань-кэсюэ сиэбао, Acta scient. natur., 1957, № 1, 19—
26 (РЖМат, 1961, 4А203)
107. Brown В., М с С о у N. Н., Prime ideals in nonassotiative rings. Trans.
Amer. Math. Soc, 1958, 89, № 1, 245—255 (РЖМат, 1961, 8A263)
108. Iizuka Kenzo, On the Jacobson radical of a semiring. Tohoku Math. J.,
1959, 11, № 3, 409—421 (РЖМат, 1961, 6A277)
109. Bourne S., Zassenhaus H.,On the semiradical of a semiring. Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 1958, 44, № 9, 907—914, (РЖМат, 1961, 6A278)
110. Iizuka Kenzo,- Nakahora Isamu, A note on the semiradical of
a semiring. Kumamoto J. Sci., 1959, A4, 1—3 (РЖМат, 1963, 3A248)
111. Андрунакиевич В. А., О полурадикальных идеалах. Сибирск. матем. ж.,
1960, 1, № 4, 547—554 (РЖМат, 1961, 8А245)
112. Cohn P. M., On the free product of associative rings. Math. Z., 1959,71,
№ 4, 380—398 (РЖМат, 1960, 10078)
77

113. Cohn P. M., On a generalization of the Euclidean algorithm. Proc. Cam-
Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, № 1, 18—30 (РЖМат, 1961, 7A281)
114. Hosszu M., Notes on vanishing polynomials. Acta scient. math., 1960, 21,
№ 3—4, 108—110 (РЖМат., 1961, 9A278)
115. Kawada Yutaka, On similarities and isomorphisms of ideals in a ring. J.
Math. Soc. Japan, 1957, 9, № 3, 374—380 (РЖМат, 1961, 3A264)
116. Patterson E. M., On regular automorphisms of certain classes of rings.
Quart. J. Math, 1961, 12, № 46, 127—133 (РЖМат, 1962, 3A234)
117. Kovacs L. G., Rings covered by minimal left ideals. Publs. math, 1960,
7, № 1-4, 194—197 (РЖМат, 1961, 10A251)
118. Baer R., Meta ideals. Rept. Conf. Linear Algebras, June, 1956. Publ. Nat.
Acad. Sci.-Nat. Res. Council, 1957, № 502 ,33—52 (РЖМат, 1962, 5A246)
119. Szasz F. A., Bemerkungen zu assoziativen Hauptidealringen. Proc. Konikl.
nederl. akad. wet., 1961, A64, № 5, 577—583. Indagationes math., 1961,
23, № 5, 577—583 (РЖМат, 1962, 7A200)
120. Amitsur S. A., Hermite rings and the equivalence of matrices. Riv. lema-
tematika, 1956, 10, 41—45 (РЖМат, 1961, 6A286)
121. Goldie A. W., Non-commutative principal ideal rings. Arch. Math.,
1962, 13, № 1-3, 213—221 (РЖМат, 1963, 2A236)
122. Vinograde B.,W i eg G. P., Maximally uncleft rings and algebras. Illinois.
J. Math, 1959, 3, № 2, 272—284 (РЖМат, 1961, 10A249)
123. Walter J. H., Structure of cleft rings. I. Illinois J. Math, 1959, 3, № 3,
445—467 (РЖМат, 1961, 10A250)
124. —, Structure of cleft rings. II. Illinois J. Math., 1960, 4, № 3, 356—396
(РЖМат, 1962, 7A204)
125. Numakura Katsumi, A note on Wedderburn decompositions of compact
rings. Proc. Japan Acad., 1959, 35, № 7, 313—315 (РЖМат, 1961,10A276)
126. Warner S., Compact noetherian rings. Math. Ann., 1960, 141, № 2, 161 —
170, (РЖМат., 1961, 7A300)
127. —, Compact rings. Math, Ann., 1962, 145, № 1, 52—63 (РЖМат, 1962,
5A261)
128. Numakura Katsumi, Theory of compact rings. III. Compact dual rings.
Duke Math. J., 1962, 29, № 1, 107—123 (РЖМат, 1963, 1A266)
129. Warner S., Compact rings and Stone-Cech compactifications. Arch. Math,
1960, 11, № 5, 327—332 (РЖМат, 1962, 1A307)
130. Szele I., On a topology in endomorphism rings of abelian groups. Publs.
math., 1957, 5, № 1—2, 4 pp. (РЖМат, 1961, 1A216)
131. Maurer I., Despre topologizarea inelelor. Studii si cercetari mat. Acad.
RPR Fil. Cluj, 1957, 8, № 1-2, 177—180 (РЖМат, 1961, 2A146)
132. —,Ueber im Endomorphismenringe einer abelschen Gruppe definierte unen-
dliche Reihen und Produkte. Acta scient. math, 1962, 23, № 1-2, 171—175
(РЖМат, 1963, 2A244)
133. —, Despre о proprietate topologica a inellului de endomorfisme al unui
grup abelian. Studia Univ. Babes—Bolyai. Math.-phys., 1961, № 1,
53—56 (РЖМат, 1963, 3A247)
134. Holland C, A totally orderer integral domain wiht a convex left ideal
which is not an ideal.Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 5, 703 (РЖМат,
1961, 4A192)
135. Vaida D., Asupra corpurilor partial ordonate. Comun. Acad. RPR, 1959,
9, № 12, 1243—1248 (РЖМат, 1961, 3A267)
136. Johnson D. G., A structure theory for a class of lattice-ordered rings.
Acta math., 1960, 104, № 3-4, 163—215 (РЖ4Мат, 1961, 12A336)
137. Zawadowski W., A theorem on quasi-orderer division algebras. Bull.
Acad. polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys., 1960, 8, № 3, 173—177,
(РЖМат, 1961, 5A275)
138. Lenz H., Fastgeordnete Korper. Arch. Math., 1960, 11, № 5, 333—338
(РЖМат, 1961, 8A270)
78

139. Черемисин А. И., Промежуточные кольца (Аннотация статьи,принятой
к печати). Изв. высш. учебн. заведений. Математика, 1961, № 3, 195—
196 (РЖМат, 1961, 11А246)
140. —, Промежуточные кольца. Изв. высш. учебн. заведений. Математика,
1962, № 3, 158—168 (РЖМат, 1963, 1А264)
141. Дидидзе Ц. Е., Свободные неассоциативные суммы алгебр с произволь-
произвольной объединенной подалгеброй. Сообщ. АН ГрузССР, 1960, 24, № 5,
519—521 (РЖМат, 1961, 4А209)
142. —, Подалгебры неассоциативных свободных сумм с произвольной объ-
объединенной подалгеброй. Матем. сб., 1961, 54, № 3,381—384 (РЖМат,
1962, 1А272)
143 Говоров В. Е., Алгебры, свободно порожденные конечными амальгамами.
Матем. сб., 1960, 50, № 2, 241—246 (РЖМат, 1961, 2А149)
144. Гайнов А. Т., Коммутативные свободные произведения алгебр. Докл.
АН СССР, 1960, 133, № 6, 1275—1278 (РЖМат, 1961, 6А294)
145. Ширшов А. И., Об одной гипотезе теории алгебр Ли. Сибирск. матем.
ж., 1962, 3, № 2, 297—301 (РЖМат, 1962 8А215)
146. Jacobson N., Jordan algebras. Rept. Conf. Linear Algebras, June, 1956,
Publ. Nat. Acad. Sci.— Nat. Res. Council, 1957, № 502, 12—19 (РЖМат,
1962, 3A243)
147. Koszul J. L.,Algebres de Jordan. Semin. Bourbaki, Secret, math., 1949—
1950. 2-е annee,2-e ed. Paris, 1959, 31/1—31/12 (РЖМат, 1962, 8A219)
148. Cohn P. M., Two embeding theorems for Jordan algebras. Proc. London
Math. Soc, 1959, 9, № 36, 503—524 (РЖМат, 1961, 2A151)
149. Jacobson N., Paige L. J., On Jordan algebras with two generators.
J. Math, and Mech., 1957, 6, № 6, 895—906 (РЖМат, 1961, 6A293)
150. Albert A., Paige L., On a homomorphism property of certain Jordan
algebras. Trans. Amer. Math, Soc, 1959, 93, № 1, 20—29 (РЖМат, 1960,
12548)
151. Springer T. A., On a class of Jordan algebras. Proc. Konikl. nederl. akad.
wet., 1959, A62, №3,254—264; Indogationcs math., 1959, 21, № 3,
254—264 (РЖМат, 1961, 2A150)
152. Jacobson N., Some groups of transformations defined by Jordan algebras.
I. J. reine und angew. Math., 1959, 201, № 3-4, 178—195 (РЖМат, 1961,
3A278)
153. —, Some groups of transformations defined by Jordan algebras. II. Groups
of type F4. J. reine und angew. Math., 1960, 204, № 1-4, 74—98 (РЖМат,
1961, 9A300)
154. Kleinfeld E., On alternative and right alternative rings. Rept. Conf.
Linear Algebras, June, 1956. Publ. Nat. Acad.Sci.—Nat. Res. Council,
1957, № 502, 20—23 (РЖМат, 1962, 3A241)
155. Дорофеев Г. В., Пример разрешимого, но не нильпотентного альтер-
альтернативного кольца. Успехи матем. наук, 1960, 15, № 3, 147—150 (РЖМат,
1961, 6А290)
156. Жевлаков К. А., Разрешимость альтернативных ниль-колец. Сибирск.
матем. ж., 1962, 3, № 3, 368—377 (РЖМат, 1962, 11А206)
157. Kleinfeld E., Alternative nil-rings. Ann. Math, 1957, 66, № 3, 395-399
(РЖМат, 1961, 7A283)
158. Leadley J., Ritchie G., Conditions for the power associativity cf
algebras. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 3, Part. I, 399—405
(РЖМат, 1961, 6A296)
159. Берман С. Д. Об автоморфизмах центра целочисленного группового
кольца. Докл. и сообщ. Ужгородского ун-та, Сер. физ.-матем. н., 1960,
№ 3, 55 (РЖМат, 1961, 8А198).

МОДУЛИ
Л. А. Скорняков
В статье кратко излагаются основные результаты работ по тео-
теории модулей*, прореферированных в Реферативном Журнале «Ма-
«Математика» в 1961 —1962 гг. Отражены следующие основные на-
направления: гомологическая классификация колец, двойственность
модулей, модули над коммутативными кольцами, а также другие
вопросы.
1. Гомологическая классификация колец. Про-
Продолжалось исследование свойств колец, вытекающих из свойств
модулей над этими кольцами. Весьма трудная и интересная за-
задача из этого круга вопросов возникла в связи с интересами ал-
алгебраической геометрии: для каких колец всякий проективный
модуль свободен? Серр [ 1J показал, что проективный модуль над
коммутативным нетеровым кольцом разлагается в прямую сумму
свободного и проективного модуля, ранг которого ограничен чис-
числом, зависящим от свойств кольца. Используя этот результат,
Сешадри [2,3] доказал, что проективный модуль над кольцом
многочленов от одного неизвестного с коэффициентами из кольца
главных идеалов — свободен. Если ограничиться конечно порож-
порождаемыми модулями над кольцом А многочленов от п неизвестных
над полем, то поставленная задача эквивалентна следующей мат-
матричной задаче: если а1,...,ая6А и идеал AaL + ... J- Aam равен
А, то можно ли дэполнигь строчку (аи...,ап1) до квадратной мат-
матрицы над А с определителем 1 (последнее означает, что свободен
проективный модуль, образованный теми элементами 2*А сво-
свободного А-модуля с образующими ви...,ет9 для которых
2j aixi = 0). При /2 = 2 положительный ответ следует из при-
приведенного выше результата Сешадри. Но уже для п = 3 вопрос
* Бели не оговорено противное, все рассматриваемые кольца считаются
имеющими единицу, а все модули — унитарными.
80

остается открытым. Некоторые соображения в случае т — 3 вы-
высказал Лиснер [4]. Хинохара [5] доказал, что всякий проективный
модуль над-квазиполулокальным кольцом (коммутативное кольцо
с единицей называется квазиполулокальным, если оно имеет лишь
конечное число максимальных идеалов), не разложимый в пря-
прямую сумму, свободен. Эта теорема обобщает результаты Чадей-
раса [6]. Отметим еще работу Суона [7, 8], который показал, что
всякий конечно порожденный проективный модуль над целочис-
целочисленным групповым кольцом Л конечной группы разлагается
в прямую сумму свободного модуля и некоторого идеала коль-
кольца Л (см. также [9]). К рассматриваемому кругу вопросов при-
примыкают исследования В. Е. Говорова [10], установившего, что все
плоские Л-модули свободны тогда и только тогда, когда Л — ло-
локальное кольцо с Г-нильпотентным слева максимальным идеалом
(идеал / называется Г-нильпотентным слева, если для любой бес-
бесконечной упорядоченной последовательности (aj элементов из /
существует такое п, что а\...,ап = 0). Попутно установлено, что
плоские модули и только они являются пределами прямых спек-
спектров проективных. Басе [11] доказал эквивалентность следующих
свойств кольца Л: 1) Всякий левый плоский Л-модуль проекти-
вен; 2) Джекобсоновский радикал / кольца Л Т-нильпотентен
и факторкольцо Л// полупросто в классическом смысле;
3) Слабая размерность произвольного правого Л-модуля совпа-
совпадает с его проективной размерностью; 4) Кольцо Л удовлетво-
удовлетворяет условию минимальности для главных правых идеалов.
Хорошо известно, что прямая сумма проективных модулей про-
ективна, а прямое произведение инъективных — инъективно,
Чейз [12] показал, что любая прямая сумма левых инъективных
Л-модулей инъективна тогда и только тогда, когда Л нётерово
слева. Там же доказано, что для проективности любого прямого
произведения левых проективных Л-модулей необходимо и доста-
достаточно, чтобы кольцо Л удовлетворяло условию минимальности
для главных правых идеалов и все его правые идеалы конечного
происхождения являлись бы конечно связанными модулями (мо-
(модуль М называется конечно связанным, если существует такая
точная последовательность 0—>K—+F—+M-*0, где К — Модуль
с конечным числом образующих, а f — свободный модуль с ко-
конечным числом образующих).
Несколько авторов продолжали исследование наследственных
и полунаследственных колец. Капланский [13] построил пример
наследственного справа кольца, не являющегося на!дследствен-
на!дследственным слева. Аналогичный пример для полунаследственных1 колец
предложил Чейз [14]. Альбрехт [15] доказал, что каждый проек-
проективный модуль над левым полунаследственным кольцом А разла-
разлагается в прямую сумму модулей, изоморфцых левым идеалам
кольца Л с конечным числом образующих. Эндо [16]-установил,-
что коммутативное кольцо Л полунаследственно1 в-том и !только
6-5871 &1

в том случае, если полное кольцо частных Q кольца Л регулярно
(в смысле Дж. фон Неймана) и для любого максимального иде-
идеала / кольцо частных Лг является кольцом нормирования. Полу-
Полулокальное кольцо является прюферовым (т. е. полунаследствен-
полунаследственной областью целостности) тогда и только тогда, когда все его
идеалы конечного происхождения — главные [6]. Прюферовым
кольцам посвящена также одна работа Капланского [17].
Естественным обобщением полунаследственных слева колец
являются левые РР-кольца, у которых каждый главный левый
идеал проективен. Еще более широкий класс составляют левые
Р/'-КОЛьца — кольца, над которыми все главные левые идеалы —
плоские [18]. Коммутативное кольцо Л является РР-кольцом тогда
и только тогда, когда его полное кольцо частных регулярно, а
кольцо частных относительно любого максимального идеала яв-
является областью целостности [19]. Кроме Хаттори и Эндо[18, 19],
РР-кольца рассматривали также Накано [20] и Чейз [14].
Левый Л-модуль называется измеримым, если он обладает
хотя бы одним конечным базисом и все его базисы содержат одно
и то же число элементов. Левитт [21] предлагает отнести неизме-
неизмеримое кольцо Л к типу (ft, k) (ft, k — натуральные числа), если:
а) всякий Л-модуль с базисом, содержащим меньше чем ft эле-
элементов, измерим; б) для всякого Л-модуля, обладающего бази-
базисом, содержащим не менее чем п элементов, найдется такое целое
число h (ft</i<ft + &), что этот модуль обладает базисом, содер-
содержащим г элементов, тогда и только тогда, когда r = h + mk для
некоторого га>0. Показывается, что всякое неизмеримое кольцо
относится к однозначно определенному типу и что существуют
кольца (даже полупростые!) произвольного типа.
Далее остановимся на работах, связанных с периодической
частью модуля. Большинство результатов здесь получено для
областей целостности, где соответствующее определение совпадает с
известным определением из теории групп. Очень интересна работа
Ротмана [22], показавшего, что периодический подмодуль любого мо-
модуля над областью целостности А выделяется прямым слагаемым то-
тогда и только тогда, когда А —поле. Для того чтобы периодический
подмодуль выделялся прямым слагаемым из каждого конечно-порож-
конечно-порожденного модуля над областью целостности А, необходимо и дос-
достаточно, чтобы А было прюферовым кольцом [17]. Периодическая
часть всякого полного модуля над областью целостности А с коль-
кольцом частных Q выделяется прямым слагаемым тогда и только
тогда, когда гомологическая размерность А-модуля Q равна 1 и
ExtA(Q, jT)=O для любого полного периодического А-модуля Г,
никакой ненулевой подмодуль которого не является гомоморфным
образом инъективного модуля [23]. Если А—нётерова область
целостности, целое замыкание которой имеет как А-модуль конечное
происхождение, то для разложимости всякого конечно-порожден-
82

ного Л-модуля без кручения в прямую сумму модулей ранга 1
необходимо и достаточно, чтобы каждый идеал из А порождался
двумя элементами [3]. Определение периодической части, пригодное
для любого коммутативного кольца, предложил Ляфон [24]:
периодической частью А-модуля М называется ядро каноническо-
канонического отображения M-+M&Q, где Q—кольцо частных кольца А.
Другое определение, уже не связанное с коммутативностью и не
совпадающее в коммутативном случае с только что приведенным,
дал Хаттори[18]. Он называет левый А-модуль М модулем без кру-
кручения, если для каждого Х6А из Ха=0, где а£М, вытекает абг (Х)УИ.
Левый А-модуль М называется полным, если для каждого Х€А
из 1(к)а=0, где а£М, вытекает, что аёкМ. Заметим, что плоский
модуль никогда не имеет кручения, а инъективный модуль всегда
полон. Назовем А-модуль М периодическим, если он не отобра-
отображается гомоморфно ни на какой ненулевой модуль без кручения.
Редуцированным называется такой А-модуль М, что Нотл {Р, Л4)=0
для всякого полного А-модуля Р. Устанавливается ряд свойств
полных и периодических модулей.
Упомянем еще работу Тахикавы [25], в которой приводятся
условия, необходимые и достаточные для того, чтобы всякий не-
неразложимый правый модуль над данной конечномерной алгеб-
алгеброй имел единственный максимальный подмодуль, и работы Бе-
рейса [26—28], исследовавшего кольца с условием минимальности
для левых идеалов, обладающие точным модулем с дистрибуртив-
ной структурой подмодулей. Интересны также результат Дугласа
[29]: абелева группа G является группой без кручения ранга р тог-
тогда и только тогда, когда для всякого G-модуля М при /г>р имеет
место #n (G, М)=0, но Нр (G, Мо)=£О для некоторого G-модуля
Мо, и теорема Ишикавы [30]: область целостности является деде-
киндовым кольцом тогда и только тогда, когда всякий полный мо-
модуль над ней инъективен. Между прочим, для инъективности вся-
всякого левого Л-модуля, полного в смысле Хаттори (см. выше),
достаточно, чтобы все левые идеалы кольца Л были главными.
2. Двойственность модулей. Кольцо с единицей назы-
называется квазифробениусовым, если оно самоинъективно слева и
удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. Были
известны многочисленные условия, эквивалентные квазифробениу-
совости. Некоторые новые достаточные условия предложил Уцуми
[31]. Пусть А—квазифробениусово кольцо и М—левый точный
А-модуль конечного происхождения. Кольцо Нотл. (М9 М) оказы-
оказывается квазифробениусовым тогда и только тогда, когда М-
проективен [32,33]. Квазифробениусовость кольца НотдДМ, М)
имеет место также, если М проективен, конечно-порождаем и
каждый фактормодуль модуля М по любому его максимальному
подмодулю изоморфно вкладывается в М [34]. Некоторые резуль-
результаты о модулях над квазифробениусовыми кольцами получил Хел-
лер [35].
6* 83

Упомянутый выше результат Морита [32] получен с помощью бо-
более общих рассмотрений. Под двойственностью будем понимать пару
контравариантных функторов И^Ш^Щ и О2лЛ2->%1 таких, что
DXD2 и D2^i эквивалентны тождественному функтору. Если 2(f.
(/=1, 2)—категория левых Л^модулей, содержащая Alf то всякая
двойственность эквивалентна двойственности Dt (Xj) —
^НошаДХ^, U), где XL принадлежит 2lz, a U—фиксированный
(А^А^-модуль. Если Л!—кольцо с условием минимальности и
5^—категория конечно порождаемых левых Лгмодулей, то для
наличия двойственности необходимо и достаточно, чтобы U был
конечно порождаемым инъективным А^модулем, содержащим все
простые Агмодули, и A^Hom^ (U, U). Курата [36] и Адзумайя
[37] считают, что при рассмотрении двойственности имеет место
ситуация а^л2, a 2fj и 212—категории левых и правых Лг и А2-
модулей, соответственно. Если кольца Аг и А2 удовлетворяют
условию минимальности для левых и правых идеалов соответст-
соответственно и М — левый Агмодуль конечного происхождения, то
существует такая двойственность, что: 1) Аг-модуль М имеет
конечное происхождение; SjHom^ (M\M") ^ HoniA2(^i (M"),£>i (M'))
для любых Агмодулей М! и М". Последние результаты
допускают обращение: если между категориями левых Агмодулей
и правых А2-модулей имеется двойственность, обладающая свойст-
свойствами 1) и 2), то кольца Аг и А2 удовлетворяют условию мини-
минимальности для левых и правых идеалов соответственно. Дальней-
Дальнейшее развитие изложенных идей можно найти в работе Мо-
риты [38].
Приведенная выше теорема Розенберга — Зелинского [34] также
является следствием более общей теории. Пусть А—кольцо, Р
и Q—левые А-модули, Г = Ногпа(Я, Я), А = Hoitia(Q, Q) и
G = Hoitia(P, Q). Можно считать, что имеет место ситуация rG&.
Исследуются операторы Т (Р) = U \mt и АппрТ = р| Кег/, где
TcG. Отметим еще одно следствие: если Р — левый проективный
А-модуль конечного происхождения и «/ — радикал Джекобсона в
А, то НогпдХР, J Р) является радикалом Джекобсона в
кольце Г.
Еще одна характеризация квазифробениусовых колец вытекает
из двойственности, рассмотренной Джансом [ЗЭ] для модулей над
кольцами, нетеррвыми слева и справа. Если А — такое кольцо и
М — левый А-модуль, то положим М* = Нош^ (М, А). Эту груп-
группу, очевидно, можно считать правым А-модулем. Кольцо А
оказывается квазифробениусовым тогда и только тогда, когда
М = УИ** для всех левых А-модулей.
3. Модули над коммутативными кольцами.
Область целостности называется полуглавным кольцом, если каж-
каждый ее идеал с конечным числом образующих является главным.
84

Модули над такими кольцами рассматривал Чадейрас [6, 40].
Им, в частности, показано, что всякий подмодуль свободного мо-
модуля над полуглавным кольцом свободен. Тематикой, близкой к
теории абелевых групп, занимались также Нунке [41, 42], исследо-
исследовавший модуль расширений модуля над дедекиндовым кольцом,
и Коллетис [43], рассмотревший вопрос о разложимости в прямую
сумму модулей ранга 1 подмодулей модуля, обладающего этим
свойством (см. также [3]). Далее отметим работу Голдмана [44],
в которой для эндоморфизмов проективного модуля конечного
происхождения определяется функция, аналогичная определите-
определителю. Кольцо эндоморфизмов модуля конечного происхождения,
над нётеровым локальным кольцом исследовал Ляфон [45—47].
Топологические методы для исследования модулей использовали
Ротшан [48] и Матлис [49]. Некоторые результаты о модулях без
кручения над нетёровым локальным кольцом получил Ауслан-
дер [50].
4. Другие вопросы. В ряде работ обобщаются понятия
инъективности и проективности. Уже упоминались полные модули
и модули без кручения, введенные Хаттори [18]. Джонсон и
Уонг [51] называют модуль М квазиинъективным, если любой го-
гомоморфизм любого его подмодуля в М можно продолжить до го-
гомоморфизма М в М. Другое обобщение проективности и инъек-
инъективности, основанное на том, что в определяющих диаграммах
Р 0->Л'-1л
f I И |
А-*А"-*0 Q
допускаются лишь специальные отображения fug, предложил
Маранда [52]. Некоторые обобщения проективной размерности
для модулей над кольцами с условием минимальности рассмат-
рассматривал Джанс[53]. Отметим еще работу Хинохары [54], указавшего
ряд необходимых и достаточных условий для того, чтобы модуль
был плоским.
Пусть А — кольцо, в котором из ар= 1 вытекает, что 7<х = 1 для
некоторого fGA, м __ левый А-модуль, L (М) — структура подмо-
подмодулей модуля М, содержащая все подмодули, допускающие ко-
конечную систему образующих. Изоморфное отображение 5 -> S* ка-
какой-либо структуры L (М) на некоторую структуру L (Mf) назы-
называется проективным отображением А-модуля М на А'-модуль М',
если выполняются следующие условия: Ш. Для всякого aQM
найдется такое а'£М\ что (Ад)* = А'а'; П2. Для всякого а'Ш'
найдется такое о£М, что (Ад)* = А7д'; ПЗ. Существует такой
свободный элемент u£Mt что (Аи)* = А'и', где и! свободен (эле-
(элемент а£М называется свободным, если равенство /а = 0 возможно
лишь при а = 0). Назовем А-модуль М допустимым, если имеют
место следующие свойства: Ml. Каковы бы ни были х, у, б
85

найдется такой свободный элемент w£M9 что (Ax+Ay+Az) ПЛш =0;
М2. Если /G/И, х, у, и — свободные элементы из М и АхПАу,
AuOAt Ф 0, то найдется такой свободный элемент до, что ЛшПЛл:=
== Л-^ОЛ*/ = Awf]Au = АдоПЛ* = 0. Л. А. Скорняков [55] дока-
доказал, что всякое проективное отображение допустимого А-модуля
на некоторый Л'-модуль индуцируется полулинейным преобразо-
преобразованием. Этот результат обобщает известные результаты Бэра.
Назовем (модуль М конечномерным, если существует такое п,
что никакой подмодуль модуля М не разлагается в прямую сумму,
содержащую более чем п слагаемых. Такие модули рассматри-
рассматривали Лесье и Круазо [56] и Голди[57]. Кертес[58], а также Розен-
берг и Зелинский [34] определили радикал модуля как пересечение
максимальных подмодулей. Представляется интересным также
понятие сердцевины модуля, предложенное Лесье и Круазо [56].
Л. А. Скорняков [59] получил некоторые результаты о модулях с
автодуальной структурой подмодулей. Модулями, покрытыми ми-
минимальными подмодулями, занимался Ковач [60]. Модули с
условием обрыва убывающих цепей рассматривал Матлис [61].
Ряд условий, эквивалентных полной приводимости модуля,
нашел Кертес [59]. Связи между некоторыми свойствами модуля
над данным кольцом и соответствующим матричным кольцом
исследовали Харада [62] и Поснер [63]. Кертес [64, 65] рассматри-
рассматривал системы уравнений над модулями. Пусть, далее, А — кольцо
и V — свободный левый А-модуль с п свободными образующими.
Группа всех автоморфизмов А-модуля V называется полной ли-
линейной группой GL (/г, А). Если на V задана невырожденная
симметрическая билинейная форма, то естественным образом
можно говорить об ортогональной группе. Линейная и ортого-
ортогональная группы для случая, когда А — коммутативное локаль-
локальное кольцо, исследованы Клингенбергом [66—70].
В заключение укажем на работы, в которых рассматривают-
рассматриваются неунитарные модули [58, 60, 64, 71].
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Serre J.-P., ^Modules projectifs et espaces fibres a fibre vectorielle
Semin P. Dubreil. M. L. Dubreil-Jacotirt et C. Pisot. Fac. Sci. Paris.
1957—1958. 11 annee. Vol. 2. Paris, 1958, 23-1—23-18 (РЖМат, 1961,
7A290)
2. Seshadri C, Triviality of vector bundles over the affine space K2
Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1958, 44, № 5, 456—458 (РЖМат, 1959,
10884)
3. Bass H., Torsion free and projective modules. Trans. Amer. Math.
Soc, 1962, 102, № 2, 319—327 (РЖМат, 1962, 8A223)
4. Lissner D., Matrices over polynomial rings. Trans. Amer. Math.
Soc, 1961, 98, № 2, 285—305 (РЖМат, 1961, 10A260)
5. Hinohara Yukitoshi, Note on finitely generated projective
modules. Proc Japan Acad., 1961, 37, № 8, 478—481 (РЖМат, 1962,
8A222)
86

6. Chadeyras M., Sur les anneaux semi-principaux ou de Bezout. С. г.
Acad. sci., 1960, 251, № 20, 2116—2117 (РЖМат, 1962, 1A252)
7. Swan R. G., Projective modules over finite groups. Bull. Amer. Math.
Soc, 1959, 65, № 6, 365—367 (РЖМат, 1961, 7A389)
8. —, Induced representations and projective modules. Ann. Math., 1960,
71, № 3, 552—578 (РЖМат, 1961, 7A390)
9. Giorgiutti I., Modules projectifs sur les algebres de groupes finis.
С r. Acad. sci., 1960, 250, № 8, 1419—1420 (РЖМат, 1961, 2A232)
10. Говоров В. Е., Кольца, над которыми плоские модули являются свобод-
свободными. Докл. АН СССР, 1962, 144, № 5, 965—967 (РЖМат, 1962,11А212)
11. Bass H., Finitistic dimension and homological generalization of semi-pri-
semi-primary rings. Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 95, № 3, 466—488 (РЖМат,
1962, 1A273)
12. Chase S. U., Direct products of modules. Trans. Amer. Math. Soc, 1960,
97, № 3, 457—473 (РЖМат, 1961, 9A303)
13. Kaplansky I. On the dimension of modules and algebras. X. A. ring right
hereditary ring which is not left hereditary. Nagoya Math. J., 1958, 13,
85-88 (РЖМат, 1961, 6A300)
14. Chase S. U., A generalization of the ring of triangular matrices. Nagoya
Math. J., 1961, 18, 13—25 (РЖМат, 1961, 12A310)
15. Albrecht F., On projective modules over semi-hereditary rings. Proc
Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 4, 638—639 (РЖМат, 1962, 2A281)
16. Endo S., On semi-hereditary rings. J. Math. Soc Japan, 1961, 13, № 2,
109-119 (РЖМат, 1962, 3A247)
17. Kaplansky I., A characterization of Priifer rings. J. Indian Math. Soc,
1960, 24, № 1—2, Part 1, 279—281 (РЖМат, 1962, 1A258)
18. Hattori A., A foundation of torsion theory for modules over general rings.
Nagoya Math. J., 1960, 17, Aug., 147—158 (РЖМат., 1961, 6A297)
19. Endo S., Note on P. P. rings (A supplement to Hattori's paper). Nagoya
Math. J., 1960, 17, Aug., 167—170 (РЖМат, 1961, 6A298)
20. Nakafto Т., A nearly semi-simple ring. Comment, math. Univ. St. Pauli,
1959, 7, № 1, 27—33 (РЖМат, 1961, 9A285)
21. Leavitt W. G. The module type of a ring. Trans Amer. Math. Soc , 1962,
103, № 1, 113—130 (РЖМат, 1962, 11A197)
22. Rotman J., A characterization of fields among integral domains. Anais
Acad. brasil. cienc, 1960, 32, № 2, 193—194 (РЖМат, 1961, 7A275)
23. Matlis E., Divisible modules. Proc Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 3,
Part I, 385—391 (РЖМат, 1961, 8A267)
24. Lafon J., Quelques resultats sur le dual d'un module de type fini sur un
anneau commutative et applications a Tetudes des modules tels que leurs
anneaux d'endomorphismes soient commutatifs. C. r. Acad. sci., 1959,
249, № 19, 1849—1851, (РЖМат, 1961, 12A323)
25. Tachikawa Hiroyuki, On rings for which every indecomposable right mo-
module has a unique maximal submodule. Math. Z., 1959, 71, № 2, 200—222
(РЖМат, 1961, 2A142)
26. Behrens E.-A., Sur les anneaux admettant une representation normale
dans un module dont le treillis des sous-modules est distributif. Semin.
P. Dubreil, M.-L. Dubreil - Jacotin et С Pisot. Fac. Sci. Paris. 1957—
1958, 11 annee. Vol. 2. Paris, 1958, 17-1—17-6 (РЖМат, 1961, 2A144)
27. —, Distribute darstellbare Ringe, Math. Z., 1960, 73, № 5, 409—432
(РЖМат, 1961, 3A232)
28. —, Distributiv darstellbare Ringe. II. Math. Z., 1961, 76, № 4, 367—384
(РЖМат, 1963, 3A235)
29. Douglas A. J., A homological characterization of certain Abelian groups.
Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, № 2, 256—264 (РЖМат, 1961,
10A204)
30. Ishikawa Takeshi, On Dedekind rings. J. Math. Soc. Japan., 1959, 11,
№ 1, 83—84 (РЖМат, 1961, 3A25&)
87

•31. Uturtii Yuzo, A remark on quasi-Frobenius rings. Proc. Japan Acad.,
1960, 36, № 1, 15—17 (РЖМат, 1962, 2A270)
32. Mortta Kiiti, Duality for modules and its applications to the theory of
rings with minimum condition. Sci. Repts. Tokyo Kyoiku Daigaku, 1958,
A6, 15 May, pp. 83—142 (РЖМат, 1961, 8A266)
33. Curtis C. W., Quasi-Frobenius rings and Galois theory. Illinois J.
Math., 1959, 3, № 1, 134—144 (РЖМат, 1961, 10A236)
34. Rosenberg A., Z e 1 i n s к у D., Annihilators. Portug. math., 1961, 20,
№ 1—2, 53—65 (РЖМат, 1962, 7A217)
35. Heller A., Indecomposable representations and the loop-space operation.
Proc. Amer. Math. Soc, 1961, № 4, 640—643 (РЖМат, 1962, 2A282)
36. Kurata Yoshiki, Some remarks on quasi-Frobenius modules. Osaka Math.
J., 1958, 10, № 2, 213—220 (РЖМат, 1961, 4A212)
37. Azumnya Goro, A duality theory for injective modules (Theory of quasi-
Frobenius modules). Amer. J. Math., 1959, 81, № 1, 249—278 (РЖМат,
1961,' 6A299)
- 38. Morita Kiiti, Category-isomorphism and endomorphism rings of modules.
Trans. Amer. Math. Soc, 1962, 103, № 3, 451—469 (РЖМат, 1963, 3A241)
39. Jans J. P., Duality in Noetherian rings. Proc. Amer. Math. Soc. 1961,
12, № 5, 829—835 (РЖМат, 1963, 10A226)
40. Chadeyras M., Modules sur les anneaux semi-principaux. C. r. Acad. sci.,
1961, 252, № 21, 3179—3180 (РЖМат, 1962, 7A216)
41. Nunke R. J., Modules of extensions over Dedekind rings. Illinois J. Math.,
1959, 3, № 2, 222—241 (РЖМат, 1961, 7A289)
42. —, On the extensions of a torsion module. Pacif J. Math., 1960, 10, № 2,
597—606 (РЖМат, 1961, 8A265)
43. Kolletis G., Jr, A theorem on pure submodules, Canad. J. Math., 1960,
12,' № 3, 483—487 (РЖМат, 1961, 5A271)
44. Goldman O., Determinants in projective modules. Nagoya Math. Jr,
1961, 18, 27—36 (РЖМат, 1961, 12A324)
45. Lafon J.-P., Anneau des enHomorphismes d'un module de type fini sur
un anneau local. Semin P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot.
Fac. Sci. Paris, 1958—1959, 12-e annee, fasc. 2. Paris, 1960, 15/1 — 15/18
(РЖМат, 1961, 7A279)
46. —, Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau
local. Ann. Inst. Fourier, 1961, 11, 313—384 (РЖМат, 1962, 6A205)
47. —, Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau
local. These doct. sci. math., Fac. sci. Univ. Paris, 1960, Chartes, 1961,
78 p. (РЖМат, 1962, 7A218)
48. Rottnan J. J., A note on completions of modules. Proc. Amer. Math. Soc,
1960, 11, № 3, Part 1, 356—360 (РЖМат, 1961, 5A272)
49. Matlis E., Injective modules over Prufer rings. Nagoya Math. J., 1959, 15,
57—69 (РЖМат, 1961, 8A268)
50. Auslander M., Modules over unramified lqcal rings. Illinois J. Math., 1961,
5,,№ 4, 631—647 (РЖМат, 1962, 8A224)
51. Wong E. I., J о h n s о п R. E., Quasi-injective modules and irreducible
rings. J. London Math. Soc, 1961, 36, № 3, 260—268 (РЖМат, 1962, 8A221)
52. Ma ran da J.-M., On pure subgroups of Abelian groups. Arch. Math., 1960,
11, № 1, 1—13 (РЖМат, 1961, 11A322)
53. Jans J. P., Some generalizations of finite projective dimension, Illinois
J. Math., 1961, 5, № 2, 234—344 (РЖМат, 1961, 12A325)
54. Hinohara Yukitoshi, Note on noncommutative semi-loCal rings. Nagoya
Math. J., 1960, 17 Aug., 161—166 (РЖМат, 1962, 1A264)
55. Скорняков Л. А., Проективные отображения модулей. Изв. АН СССР.
Сер. матем., 1960, 24, № 4, 511—520 (РЖМат, 1961, 5А274)
56. Lesieur L., С г о i sot R., La notion de coeur dans un module. C.r. Acad
sci., 1961, 252, № 1, 52—54 (РЖМат, 1961, 10A259)

57. Goldie A. W., Semi-prime rings with maximum condition. Proc. Lon-
London Math. Soc, 1960, 10, № 38, 201—220 (РЖМат, 1962, 2A269)
58. Kertesz A., Vizsgalatok az operatormodulosok elmeleteben. III. Telyjesen
redukalhato modulusok. Magyar tud. akad. Mat. es fiz. tud. oszt. kozl.,
1959, 9, № 2, 105—120 (РЖМат, 1961, 1A252)
59. Скорняков Л. А., О модулях с автодуальной структурой подмодулей.
Сибирск. матем. ж., 1960, 1, № 2, 238—241 (РЖМат, 1961, 4А213)
60. Kovacs L., Rings coverd by minimal left ideals. Publs. math., 1960, 7,
№ 1—4, 194—197 (РЖМгт, 1961, 10A251)
61. Matlis E., Modules with descending chain condition. Trans. Amer. Math.
Soc, 1960, 97, № 3, 495—508 (РЖМат, 1961, 10A261)
62. Harada M., Note on the dimension of modules and algebras. J. Inst. Poly-
techn. Osaka City Univ., 1956, A7, № 1-2, 17—27 (РЖМат, 1958, 8637)
63. Posner E. C, Primitive matrix rings. Arch. Math., 1961, 12,№ 2, 97—101
(РЖМат, 1962, 3A233)
64. Kertesz A., Viszgalatok az operatormodulusok elmeleteben. II. Az ope-
ratormodulusok algebrai elmelete. Magyar tud. akad. Math, es fiz.
tudoszt. kozl., 1959, 9, № 1, 15—50 (РЖМат, 1961, 1A251)
65. —, Uber die allgemeine Theorie linearer Gleichungssysteme. Bull, math,
Soc. sci. math, et phys. RPR, 1957, 1, № 3, 303—307 (РЖМат, 1961,
5A273)
66. Klingenberg W., Linear groups over local rings. Bull. Amer. Math. Soc,
1960, 66, № 4, 294—296 (РЖМат, 1961, 5A193)
67. —, Lineare Gruppen tiber lokalen Ringen. Amer. J. Math., 1961, 83,
№ 1, 137—153 (РЖМат, 1962, 4A186)
68. —, Lineare Gruppen uber verallgemeinerten Bewertungsringen. Abhandl.
Math. Seminar Univ. Hamburg, 1961, 25, № 1, 23—25 (РЖМат, 1962,
7A169)
69. —, Orthogonal groups over local rings. Bull. Amer. Math. Soc, 1961,
67, № 3, 291—297 (РЖМат, 1962, 7A170)
70. —, Orthogonale Gruppen tiber lokalen Ringen. Amer. J. Math., 1961,
83, № 2, 281—320 (РЖМат, 1962, 7A171)
71. Kertesz A., A remark on the general theory of modules. Publs. math ,
1959, 6, № 1—2, 86—89 (РЖМат, 1961, 5A270)

ТЕОРИЯ КАТЕГОРИЙ
А. X. Лившиц, М. С. Цаленко, Е. Г. Шульгейфер
1. Введение. Понятие категории было введено в работе
Эйленберга и Маклейна [14]. Еще позже, а именно с середины
50-х годов, началось развитие теории категорий как самостоятель-
самостоятельного раздела общей алгебры. За последнее время появилось срав-
сравнительно большое число работ по теории категорий.
Вполне естественно, что в настоящий период во многих рабо-
работах разрабатывается основной аппарат теории категорий, вводят-
вводятся основные понятия и изучаются их простейшие свойства. Именно
этому посвящены отдельные разделы работ Андреотти [2],
А. Г. Куроша [24], Хилтона и Ледермана [38], [40], Хофман [41],
Е. Г. Шульгейфера [44], [45]. Систематизации основных понятий
теории категорий и изучению их простейших свойств посвящены
обзорная статья А. Г. Куроша, А. X. Лившица и Е. Г. Шульгей-
Шульгейфера [25] и непосредственно примыкающая к этой статье работа
М. С. Цаленко [42].
Прежде чем переходить к обзору, нам кажется полезным при
вести определение категории. Категория К представляет собой
класс элементов, называемых объектами категории (объекты мы,
как правило, будем обозначать малыми латинскими буквами а, Ь,
с, ...). Каждой упорядоченной паре объектов а, ШК сопостав-
сопоставляется множество Н (а, Ь), элементы которого называются отобра-
отображениями, или морфизмами, объекта а в объект Ь (отображения
мы будем обозначать малыми греческими буквами а, Р, Т» • • • и
вместо абЯ (а, Ь) будем часто писать а:а->Ь)у причем для двух
различных пар объектов ауЪ и с, d множества Н (а, Ь) и И (с, d)
не пересекаются. В классе всех отображений определено частич-
частичное умножение, а именно для двух отображений а:а—>Ь и $:c->d
произведение определено тогда и только тогда, когда 6 = с, ив
этом случае произведение ар есть элемент множества И (a, d), т. е.
o$:a->d. При этом предполагается, что: а) частичное умножение
90

ассоциативно, т. е. (оф) ? = а (Рт) для любых трех отображений
а:а-+Ь, p:b->c, y.c-+d, т.е. всякий раз, когда выписанные
произведения определены (в дальнейшем мы будем говорить о
произведении ар лишь в случае, когда произведение отображений
а и р определено); б) для любого объекта а&К в множестве
Я (а, а) существует такое отображение sa, называемое тождествен-
тождественным, что ага = а и е^р == р для любых отображений а:с-+а и
р:а->&. На языке теории категорий можно выделить так назы-
называемые мономорфизмы и эпиморфизмы, которые в таких, напри-
например, категориях, как категории множеств, групп и т. д. являются
соответственно 'взаимно однозначными отображениями одного
множества в другое и однозначными отображениями одного мно-
множества на другое. Вводятся понятия нулевого объекта и нулевых
отображений, которые, например, в категории групп являются не
чем иным, как соответственно группа, состоящая из одного «еди-
«единичного» элемента, и гомоморфизмами групп на единичные под-
подгруппы. В категориях с нулевыми отображениями вводятся нор-
нормальные мономорфизмы, которые, например, в категории групп
являются изоморфизмами одной группы на нормальные делители
другой группы, нормальные эпиморфизмы, ядра и коядра отобра-
отображений, а также образы (нормальные образы) и кообразы отобра-
отображений. Все эти понятия в таких категориях, как например, кате-
категория групп или колец превращаются в хорошо известные поня-
понятия из теории групп или теории колец. Вводятся также понятия
прямого и свободного объединений объектов, которые в категории
групп превращаются в такие хорошо известные операции над
группами, как соответственно полное прямое произведение групп
и свободное произведение групп.
Нельзя не отметить следующего очень важного факта, имею-
имеющего место в теории категорий. Вместе с каждой категорией К
существует «двойственная» к К категория /С*, объектами которой
служат объекты категории /С; для любой пары объектов а, Ь 6 К*
множеством отображений #*(а, 6) в К* является множество ото-
отображений Н (Ь,а) в категории К. Отсюда вытекает принцип двой-
двойственности, согласно которому для каждого понятия и каждого
утверждения в теории категорий определяется двойственное поня-
понятие и справедливо двойственное утверждение (это, конечно,
не означает, что в произвольной категории вместе с каждым
утверждением справедливо и двойственное утверждение; это спра-
справедливо лишь в случае, когда в данной категории вместе с неко-
некоторым условием выполняется и двойственное условие). Например,
двойственными друг другу оказались понятия мономорфизма и
эпиморфизма, ядра и коядра, образа и кообраза, прямого и сво-
свободного объединения объектов.
Необходимо также отметить, что далеко не во всякой катего-
категории существуют нулевые отображения, не во всякой категории
91

каждое отображение обладает ядром или образом, не во всякой
категории для любого семейства объектов существует прямое или
свободное объединения этих объектов. Поэтому при изучении тех
или иных вопросов на рассматриваемую категорию по мере необ-
необходимости накладываются различные ограничения.
2. Структурные вопросы в теории категорий.
Наличие в категории специальных отображений — мономорфиз-
мономорфизмов позволяет ввести понятие подобъекта произвольного объекта
категории; двойственным к понятию подобъекта оказывается по-
понятие факторобъекта. В категориях с нулевыми отображениями,
в которых имеются нормальные мономорфизмы, вводятся также
нормальные подобъекты объекта. Каждый нормальный подобьект
является подобъектом объекта. В таких категориях, как напри-
например, категория множеств, или категория групп (колец), подобъ-
ектами являются подмножества, подгруппы (подкольца), а нор-
нормальными подобъектами в категории групп (колец) являются
нормальные делители групп (двусторонние идеалы колец), т. е.
ядра гомоморфизмов. Однако в общем случае не каждый нор-
нормальный подобъект объекта а категории К является ядром неко-
некоторого отображения объекта а в какой-либо другой объект, и те
нормальные подобъекты объекта а, которые служат ядрами
отображений объекта а, называются идеалами объекта а.
В классе всех подобъектов данного объекта а категории К
естественным образом вводится частичная упорядоченность и в
нескольких работах изучается строение частично упорядоченного
класса всех подобъектов объекта а. Наряду с изучением частично
упорядоченного класса всех подобъектов объекта а, отдельными
авторами изучаются частично упорядоченные классы всех нор-
нормальных подобъектов или всех идеалов объекта а. В обзорной
статье [25] доказывается следующее утверждение. Пусть в катего-
категории К'. 1) существуют нулевые отображения; 2) каждое отобра-
отображение обладает нормальным образом; 3) для любого семейства
объектов существует их свободное объединение; 4) совокупность
всех подобъектов любого объекта составляет множество. Тогда
частично упорядоченное множество подобъектов любого объекта
категории К образует полную структуру. Это же утверждение
почти при тех же предположениях доказано Хофман [41]. М. С. Ца-
ленко [42] доказал, что в категории /(, удовлетворяющей усло-
условиям 1)—4), полную структуру образует частично упорядочен-
упорядоченное множество всех нормальных подобъектов любого объекта
а £К (заметим, что полная структура нормальных подобъектов
в общем случае не является полной подструктурой, и даже просто
подструктурой, полной структуры всех подобъектов объекта а).
Здесь же отметим, что при тех же предположениях 1)—4) в упо-
упомянутой работе М. С. Цаленко доказывается, что каждое отобра-
отображение из категории К обладает ядром.
92

В работах Е. Г. Шульгейфера [44], [45] рассматривается час-
частично упорядоченный класс /(а) всех идеалов произвольного
объекта а категории К> на которую накладываются следующие
дополнительные ограничения: а) и б), совпадающие соотвествен-
но с формулированными выше условиями 1) и 2); в) для каж-
каждого отображения существует ядро; г) образ любого идеала объ-
объекта а при любом нормальном эпиморфизме 0: а—+Ь является
идеалом объекта Ь\ д) для любых двух объектов существует их
прямое объединение. При этих предположениях доказывается,
что для любых двух идеалов объекта а существуют объединение
и пересечение, т. е. как мы будем говорить, класс 1(а) идеалов
обьекта а образует обобщенную структуру. Оказывается, что эта
структура 1(а) является дедекиндовой. Доказывается, что при
произвольном нормальном эпиморфизме 6: а—>Ь устанавливается
изоморфизм между подструктурой всех идеалов объекта^, содер-
содержащих ядро эпиморфизма 6, и структурой всех идеалов объ-
объекта Ъ, причем нормальные факторобъекты объектов а и & по со-
соответствующим друг другу идеалам эквивалентны. Это есть не что
иное, как хорошо известная вторая теорема об изоморфиз-
изоморфизме. Справедлива также первая теорема об изоморфизме. Ана-
Аналогичные результаты, однако при более сильных ограничениях
на категорию К, получены Хофман [41]. При своих предположе-
предположениях на категорию К Хофман, кроме того, показывает, что деде-
киндова структура I (а) идеалов объекта аA(а)—обычная
структура, поскольку в рассматриваемых Хофман категориях
предполагается выполнение сформулированного выше условия
4)) является полной и является подструктурой полной структуры
всех подобъектов объекта а.
Хилтон и Ледерман [38] на рассматриваемые категории накла-
накладывают следующие двойственные себе ограничения: А) сущест-
существуют нулевые отображения; Б) каждое отображение обладает
образом (в общем случае не являющимся нормальным); В) каждое
отображение обладает ядром и коядром; Г) каждое произведение
р-6, где ц — нормальный мономорфизм, а 6 — нормальный эпимор-
эпиморфизм, можно представить в виде ^6 = б'^', где б' — нормальный
эпиморфизм, a [i/ — нормальный мономорфизм. При этих предпо-
предположениях каждый нормальный подобъект является идеалом объек-
объекта а, и авторы показывают, что и в этом случае частично упоря-
упорядоченный класс / (а) всех идеалов любого объекта а образует
обобщенную структуру. Основным результатом Хилтона и Ледер-
мана является перенесение на рассматриваемые категории теоремы
Жор дана—-Гельдера. Именно, доказывается следующее утвержде-
утверждение. Если для некоторого идеала (а, \ъ) объекта а существуют
два конечных далее неуплотняемых возрастающих ряда подобъек-
подобъектов (й, ii) < (аг> (^Х ... < (щ, [!,)<...< (ип, рп) = (а, га) и
(и, V) < (Ръ ах)< ... < (uj9 ау.)< ... < (vm9 а J = (а, sj, причем в
93

каждом из этих рядов каждый предыдущий подобъект яв яется
идеалом в последующем подобъекте, т. е., более точно, если
ji. = [д/.^+1, то (щ, \ь'.) является идеалом объекта щ+.19 и, анало-
аналогично, во втором ряде, то т = п и существует такое взаимно
однозначное соответствие между индексами / = j (i), что нормаль-
нормальный факторобъект объекта щ+г по идеалу (щ, fj/.) эквивалентен нор-
нормальному факторобъекту объекта vjm+\ по идеалу (^/W а/(,-))-
Кроме того, любой возрастающий ряд подобъектов вышеуказан-
вышеуказанного вида от идеала (и, \ь) до а уплотняем до далее неуплот-
няемого «композиционного» ряда от (и, (J-) до а. Аналогичное
утверждение для «главных рядов» справедливо при дополнитель-
дополнительном предположении, что в категории К произведение двух нор-
нормальных эпиморфизмов является нормальным эпиморфизмом; как
показано Е. Г. Шульгейфером [44], последнее условие выполняет-
выполняется в любой категории /С, удовлетворяющей условиям а) — г).
3. Прямые и свободные объединения. Во многих ис-
исследованиях по теории категорий большую роль играют прямые
и свободные объединения объектов. Поэтому естественно возни-
возникает задача изучения основных свойств самих этих операций. Это-
Этому вопросу посвящены отдельные разделы обзорной статьи
А. Г. Куроша, А. X. Лившица и Е. Г. Шульгейфера [25], а так-
также работ Хофман [41], М. С. Цаленко [42] и Е. Г. Шульгейфера
[45]. Поскольку свойства прямых и свободных объединений двой-
двойственны друг другу, мы здесь будем говорить лишь о свойствах
прямого объединения. Оказалось, что если в категории К су-
существуют нулевые отображения и для любого семейства объек-
объектов существует их прямое объединение, то каждое прямое сла-
х
гаемое at любого прямого объединения а= 11 at естественным об-
разом вкладывается в качестве идеала (ah а,) объекта а, причем
несобственный идеал (а, га) является единственным нормальным
подобъектом объекта а, содержащим все идеалы (al9 aj), t'G/, a
пересечение каждого идеала (ah а.) с объединением всех осталь-
остальных (fly, Gj), yg/, j=£i9 есть нулевой идеал. В категории /С, удов-
удовлетворяющей условиям Хофман, прямое объединение двух объек-
объектов может быть определено точно так же, как определяется пря-
прямое произведение двух групп, т. е. объект а есть прямое объе-
объединение двух объектов ах и аъ если в нем имеются два идеала
(а19 ог) и (а2, а2), объединение которых совпадает со всем объек-
объектом а, а пересечение равно нулю.
Более важным вопросом является выяснение, удовлетворяет
ли прямое объединение постулатам Мальцева и Маклейна. В об-
X X
зорной статье [25] показано, что если ^=11^^) и д=11дДтс£)—
94

прямые объединения соответственно объектов и{ и ai9 /6/, и для
каждого £6/ имеет место мономорфизм р^щ-хг^ то отображение
jirw-xz, индуцированное отображениями т. ^., является мономор-
мономорфизмом. Другими словами можно сказать, что прямое объедине-
объединение подобъектов (uit ^^ прямых слагаемых at является подобъек-
х
том прямого объединения а=ПаДт:.). Там же показано, что ес-
ли каждый подобъект (ui9 \it) является идеалом объекта at, £6/,
то при условии, что в категории К для любого семейства объек-
объектов существует прямое объединение, подобъект (и, \ь) является
идеалом объекта а. М. С. Цаленко [42] показал, что в категории
с нулевыми отображениями прямое объединение нормальных под-
подобъектов (ub i±t) слагаемых ab гб/, является нормальным подобъ-
х
ектом прямого объединения а=11а/(тс/). Цаленко же показал,
'6'
что соответствующие утверждения для эпиморфизмов не верны.
Таким образом, операция прямого объединения удовлетворяет
постулату Мальцева, но в общем случае не удовлетворяет пос-
постулату Маклейна.
4. Категории с частичным суммированием отоб-
отображений. А. Г. Курош [24] впервые ввел категории с частич-
частичным суммированием отображений: для любой пары объектов а, Ь
категории К некоторые (конечные или бесконечные) семейства
отображений а в & (не обязательно различных) считаются сумми-
суммируемыми, причем для каждого суммируемого семейства отображе-
отображений oi^a-^b, i&, в Н {а, Ь) существует однозначно определенная
сумма этого семейства, обозначаемая через 2а/--^асУммиРование
'6'
отображений налагается ряд требований, аксиоматизирующих
свойства сложения гомоморфизмов групп и колец, причем из этих
требований вытекает ассоциативность и коммутативность сложе-
сложения, а также его дистрибутивность относительно умножения с
возможностью раскрывать скобки. Предполагается существование
нулевых отображений со, играющих роль нуля в этом сложении.
Основным вопросом, рассматриваемым в категориях с частич-
частичным суммированием отображений, является вопрос о прямых
разложениях. Этому вопросу посвящены работы А. Г. Куроша
[24] и А. X. Лившица [26], [27], [28]. При этом рассматривают-
рассматриваются категории с частичным суммированием отображений, в кото-
которых каждое отображение обладает ядром. Заметим, что к таким
категориям принадлежат большинство категорий алгебраических
образований, в которых до сих пор удавалось развивать теорию
прямых разложений. Пусть К — категория с частичным суммиро-
суммированием отображений, в которой каждое отображение обладает
95

ядром. Объект g категории К называется прямым произведением
объектов аь t*G/, если заданы отображения («вложения») o^a^g
и («проекции») Kf.g-xii, обладающие следующими свойствами:
1) О/Тс/ = гаt9 i6/, 2) 0^=0) (а> — нулевое отображение) при i=^/.
3) семейство отображений тг;а?, /6/, суммируемо и 2 тсЛ = ег- Мно-
'6'
жество Н (g, g) отображений объекта g в себя с определенными
в ней операциями умножения и частичного сложения образует
полукольцо. Отображение a:g-^g называется прямой суммой отоб-
отображений 0Lt:g-^gt t'G/, a=2ai» если 1) ai2==ah *G/, 2) G^a^a)
при t^J; 3) множество отображений a/? /6/, суммируемо и
2 ai = a- Доказывается, что изучение прямых разложений в рас-
сматриваемых категориях сводится к изучению прямых разложе-
разложений единицы полукольца Н (g9 g). В работе А. Г. Куроша [24]
исчерпывающе решается вопрос о существовании общего продол-
продолжения для двух данных прямых разложений, а именно доказы-
доказывается теорема: прямые разложения е — 2 ai= 2 Р/> тогда и
/g/ <6j
только тогда обладают общим продолжением, когда a$j = P;-aj
для всех t*6/, /6/. В этой же работе отображения а и fi называются
связанными справа (слева), если ар = р, ра = а (ар = а, (За =р).
Прямое слагаемое а единицы г полукольца Н (g, g) называется
подчиненным прямому слагаемому р единицы е, если найдется
такое прямое слагаемое у отображения г, что а и у связаны спра-
справа, а f и р связаны слева. Показывается, что понятие замеще-
замещения прямого множителя одного разложения некоторым прямым
множителем из другого разложения эквивалентно понятию под-
подчиненности прямого слагаемого s в одном разложении некоторому
прямому слагаемому другого разложения.
Дальнейшему развитию теории прямых разложений в рамках
теории категорий посвящены работы А. X. Лившица [26] и [27].
Изложение в этих работах ведется на языке полуколец. На этом
языке формулируется гипотеза расщепления, играющая основную
роль в дальнейшем и обобщающая теоретико-групповую гипоте-
гипотезу расщепления. В работе [27] выясняется вопрос о том, когда
любые два прямых разложения отображения ^ полукольца Н (g,g),
X = Zj a/ = 2 Р/ обладают специальными продолжениями, т. е.
существуют такие прямые разложения а.= 2 а//> *'G/, Ру =
96

= S Py/» У&Л что для любого t'G/ и любого подмножества Jr
множества / отображение 2 а;у подчинено отображению 2 Руг-
Доказывается теорема: если отображение х полукольца H(g>g)
удовлетворяет гипотезе расщепления, то любые два прямых раз-
разложения отображения у с конечным числом слагаемых каждое
обладают специальными продолжениями. Следствием этой теоре-
теоремы является общая теорема о продолжении Бэра [3].
Идемпотентное отображение х полукольца Н (g, g) называется
F-отображением, если для любого прямого слагаемого р отобра-
отображения х и любой пары дополнительных прямых слагаемых а,
а^ отображения х(х = а+а) выполняется равенство ара = о>.
Доказывается теорема; пусть даны два прямых разложения
отображения х полукольца Н (g", g):
Z = 2U+ 2 T* = 2Py + 2 8Л. A)
Если отображения
т= 2 т*, s=
являются F-отображениями и если прямые разложения
обладают специальными продолжениями, то и прямые разложе-
разложения A) обладают специальными продолжениями; частным слу-
случаем этой теоремы является теорема О. Н. Головина [10].
Работа [26] посвящена прямым разложениям с неразложимыми
слагаемыми.
Доказывается ряд теорем, из которых одной из наиболее общих
является теорема о подобии. Из этой теоремы вытекает следую-
следующая впервые доказанная Бэром [4] теорема: если в группе G вы-
выполняется гипотеза расщепления, то все ее прямые разложения с
неразложимыми множителями центрально изоморфны.
Таким образом, в работах [26] и [27] построена теория прямых
разложений, параллельная соответствующей теоретико-структур-
теоретико-структурной теории. В работе А. X. Лившица [28] решается задача объеди-
объединения этих двух теорий. Это объединение происходит на языке тео-
теории полугрупп. В полугруппе с нулем и единицей рассматривают-
рассматриваются, по существу, максимальные системы попарно ортогональных
идемпотентов и изучаются связи между этими системами. При
этом в целях получения соответствующих теоретико-структурных
7-5871 97

и теоретико-категорных результатов рассматриваются системы
идемпотентов, принадлежащих некоторой фиксированной подполу-
подполугруппе рассматриваемой полугруппы. В частности, не исключается,
конечно, и тот случай, когда подполугруппа совпадает со всей по-
полугруппой. Кроме соответствующих теоретико-структурных и тео-
теоретико-категорных результатов из построенной теории вытекает
теорема о существовании общего продолжения для любых двух
разложений ассоциативного кольца с единицей в полную прямую
сумму двусторонних идеалов.
В работе Исбелла [17] в категориях с нулевым объектом, в ко-
которых каждое конечное семейство объектов обладает свободным и
прямым объединениями и каноническое отображение свободного
объединения конечного семейства объектов в их прямое объедине-
объединение является эпиморфизмом, вводится частичное суммирование ко-
конечных семейств отображений, удовлетворяющее всем условиям
А. Г. Куроша [24], кроме: из а + |3 = а следует, что |3 = со. При этом
прямое объединение конечного семейства объектов совпадает с их
прямым произведением. Далее, при некоторых условиях, наклады-
накладываемых на категорию, вводится понятие дискретного прямого объ-
объединения произвольного семейства объектов как образа канониче-
канонического отображения их свободного объединения в прямое, есте-
естественно вводится частичное суммирование семейств (не обяза-
обязательно конечных) отображений и утверждается (без доказатель-
доказательства), что оно удовлетворяет всем условиям А. Г. Куроша [24],
кроме сформулированного выше*. Утверждается также, что при
этом дискретное прямое объединение любого семейства объектов
является их прямым произведением*. Вопрос о том, когда в катего-
категорию К можно ввести частичное суммирование отображений рас-
рассматривается также в более поздней работе А. X. Лившица [29].
5. Аддитивные, точные и абелевы категории.
Большинство работ по точным и абелевым категориям связано с
перенесением в теорию категорий гомологической алгебры. Нача-
Начало этому направлению было положено Буксбаумом [5], который
показал, что если рассматривать точные категории с достаточным
запасом инъективных или проективных объектов, т. е. предпола-
предполагать, что любой объект точной категории К можно рассматривать
как подобъект некоторого инъективного объекта (или фактор-
объект некоторого проективного объекта), то на такие категории
полностью обобщаются основные результаты о сателлитах и про-
производных функторах (см. А. Картан и С. Эйленберг [20]). В рабо-
работах Амицура [1], Буксбаума[6],[7], Картье [22], Ши [36] и йонеда
[18] авторы при построении сателлитов или производных функто-
функторов аддитивных функторов, заданных в точных или абелевых кате-
категориях, стараются отказаться от предположения о существовании
* Примечание при корректуре. Эти утверждения оказались ошибочными.
98

в рассматриваемых категориях достаточного запаса инъективных
или проективных объектов.
Работы Буксбаума [6], Ши [36] и Йонеда [18] посвящены в
основном построению производных функторов Ext функтора Нот.
При построении Extrt(a, Ь), где аи Ь — произвольные объекты
абелевой категории /С, рассматриваются всевозможные точные по-
последовательности вида
О-> 6-*/„->/,_!-> ... ->Л->а^0. A)
Затем в класс всех точных последовательностей A) определенным
образом вводится соотношение эквивалентности, утверждается
(без доказательства), что совокупность классов эквивалентных
последовательностей составляет множество и что это множество
как раз и есть Ext" (а, 6). Ha Exin(a,b) определяется структура
абелевой группы и Ext72 является аддитивным функтором из ка-
категории К в категорию абелевых групп, контравариантным па
первому аргументу и ковариантным по второму. Определяются
связывающие отображения и система функторов {Ext72} составляет
точную связанную последовательность. Эти результаты в работах
Буксбаума [6] и Йонеда [18] получаются как частные случаи бо-
более общих результатов. Например, Буксбаум рассматривает аксио-
аксиоматически определяемый класс © специальных отображений, яв-
являющийся подклассом класса всех отображений в категории К>
и беря не все точные последовательности вида A), а только та-
такие, отображения в которых являются специальными, строит
функторы Ext" .
В работе [7] Буксбаум проводит построения сателлитов про-
произвольного аддитивного контравариантного функтора Г:21->23,
где 31 и S3 — некоторые точные категории, предполагая при этом,
что в категории 23 для каждой направленной системы объек-
объектов существует прямой предел. Направленная система объектов
и ее прямой предел определяются естественным образом; заметим
только, что как видно из доказательства, автор не исключает
возможности, что направленная система состоит из класса объек-
объектов и отображений. Для построения сателлита 51 Т (а) рассмат-
рассматриваются всевозможные точные последовательности вида
О -+ т^рХа -> 0. B)
При применении к последовательности B) контравариантного функ-
функтора Г получается точнаяпоследовательностьГ^O-^?1^)-^//?^^)—
коядро отображения T((i)). Объекты fp вместе с определенным
образом строящимися отображениями, связанными с отображения-
отображениями друг в друга точных последовательностей вида B), образуют
направленную систему объектов в категории 23 и gif (a) являет^
ся прямым пределом этой последовательности. Оказывается, что
SXT является аддитивным контравариантным функтором из катет
7* 99,

гории 2t в категорию S3. Сателлиты более высоких порядков
определяются по формуле Sn+lT = Sl [SnT]. Последовательность
сателлитов {SnT} составляет связанную последовательность функ-
функторов, которая точна, если функтор Т полуточен и категория S3
обладает свойством сохранения точности при переходе к прямым
пределам по направленным системам (например, этим свойством
обладает категория модулей над произвольным кольцом). Уста-
Устанавливается и ряд других свойств сателлитов. В случае, когда
в категории 2t достаточно инъективных или проективных объек-
объектов, построенные сателлиты совпадают с сателлитами функто-
функтора Г, построенными Буксбаумом ранее (см. [5]). Сателлиты адди-
аддитивного ковариантного функтора 7":5f-^S3 определяются как са-
сателлиты контравариантного функтора Т^гЭД-^ЗЗ*, где S3*— кате-
категория, двойственная категории S3.
Амицур [1] проводит построение производных функторов для
произвольного аддитивного ковариантного функтора Г:ЭД->33,
где ЭД и S3 — некоторые абелевы категории. Построение Амицура
по идее очень близко к построению Буксбаума сателлитов адди-
аддитивных функторов. Амицур вводит понятия направленной подка-
подкатегории и предела направленной подкатегории. Систему производ-
производных функторов функтора Т он определяет как предел, если та-
таковой существует, определенной направленной подкатегории ка-
категории всех комплексов над категорией S3.
В работе Габриэля [9] на абелевы категории обобщаются ос-
основные результаты работы Матлиса [31] об инъективных оболоч-
оболочках модулей. Рассматривается абелева категория К, в которой
для любого семейства объектов существует их свободное объеди-
объединение, и обладающая образующим объектом / (объект / назы-
называется образующим категории К, если для любого объекта аб/С
и любого его подобъекта (и, а) существует по крайней мере од-
одно такое отображение Х:/-^а, что образ объекта / при отобра-
отображении л не содержится в (и, а)). Отсюда вытекает, что совокуп-
совокупность всех подобъектов любого объекта а категории К состав-
составляет полную дедекиндову структуру. Предполагается, кроме того,
что эта структура обладает тем свойством, что если (ui9 a^, /6/ —
направленная система подобъектов объекта а, то для любого под-
подобъекта (v, |а) объекта а имеет место равенство [и (щ, a.)]pj (v, ц) =
/6/
= U l(ui9 Gt)n(v> Iх)]- При этих предположениях каждый объект а
категории К обладает единственной, с точностью до эквивалент-
эквивалентности, инъективной оболочкой, т. е. существует такой инъектив-
ный объект аб/С, что а вместе с некоторым мономорфизмом
Х*а -+а определяет подобъект объекта а, имеющий отличное от нуля
пересечение с любым другим ненулевым подобъектом Ьбъекта а •
Далее предполагается, что абелева категория К локально нете-
рова, т. е. что образующий объект е разлагается в свободное
100

объединение некоторого семейства нетеровых объектов. При этих
предположениях рассматривается вопрос, при каких условиях
инъективный объект является неразложимым, т. е. не имеет не-
нетривиального представления в виде свободного объединения не-
некоторого семейства объектов. Оказывается, что инъективная обо-
оболочка любого нетерова объекта разлагается в свободное объеди-
объединение конечного числа далее неразложимых инъективных объек-
объектов и что для любого неразложимого инъективного объекта aG/(
кольцо Н (а, а) локально.
В работе Любкина [30] доказывается, что любая абелева кате-
категория /С, объекты которой составляют множество, может быть вло-
вложена в качестве абелевой подкатегории в категорию абелевых
групп. При этом вложении сохраняется точность последовательно-
последовательностей из категории /С
В работе И. Е. Бурмистровича [8] рассматривается аддитивная
категория К (Н(а,Ь) —для любых объектов а, Ъ 6 К есть адди-
аддитивная абелева полугруппа с нулем, причем сложение отображе-
отображений связано с умножением отображений законами дистрибутивно-
дистрибутивности) и решается вопрос о возможности вложения категории К в
качестве полной подкатегории в такую аддитивную категорию /С,
в которой для любого конечного семейства объектов существует
их прямое объединение. В работе строится аддитивная катего-
категория К (категория матриц над категорией /С), причем такая, что
каждый объект категории К разлагается в прямое объединение
конечного числа объектов из категории К и доказывается, что ка-
категория ^С, обладающая всеми указанными свойствами, опреде-
определяется категорией К однозначно с точностью до коэкстенсивности.
Впоследствии этот результат И. Е. Бурмистровича был обобщен
М. С. Цаленко [43] на случай, когда в аддитивной категории К
существуют прямые объединения не только для любого конечного,
но и для любого бесконечного семейства объектов.
6. Другие вопросы. Пусть М — категория всех мно-
множеств. Для каждой категории X задан функтор Н (а, Ь): (X, Х)->
-±М9 определенный следующим образом: для любых а, Ь&Х И (а,Ь)
есть множество отображений из а в Ь\ если а: а'->а, [J: Ь->ЪГ и
?6// (а, Ь) то Н (а, р): Н (a, b)->H (a\ W) определяется формулой
7# (а, C) = атр. Кан [19] ввел такое определение. Ковариантный
функтор S : X -> Y называется левым сопряженным к ковариантному
функтору Г:У-> X, если существует естественная эквивалентность
функторов а : Н (S (X), Y) -* Н (X, Т (У)). В этом случае функтор Т
называется правым сопряженным к функтору S. Это определение
следующим образом распространяется на функторы двух аргу-
аргументов. Если для ковариантного по обоим аргументам функтора
S : (X, Y) ->• Z и функтора Т : (У, Z) -> X, контравариантного по
первому аргументу и ковариантного по второму, существует
естественная эквивалентность
101

a i Я E (X, Y), Z)^H (X, T (Y, Z)),
то функтор 5 называется левым сопряженным с функтором Т при
эквивалентности а, а функтор Т — правым сопряженным с функ-
функтором 5.
Изучению сопряженных функторов и посвящена работа [19]. По-
Показано, что если функтор 5 обладает правым сопряженным функ-
функтором Т, то функтор Т определен однозначно с точностью до экви-
эквивалентности, и аналогичное утверждение справедливо для левых
сопряженных функторов.
В категории топологических пространств функтор «умножение
на единичный интервал» сопряжен слева с функтором «взятия
пространства путей», в категории абелевых групп тензорное умно-
умножение сопряжено слева с функтором Нот.
Пусть теперь Z — произвольная категория, а V — категория,
объекты которой составляют множество. Если Zv — категория ко-
вариантных функторов из V в Z, т. е. категория, объектами ко-
которой являются ковариантные функторы, а отображениями —
естественные преобразования, то существует функтор вложения
Ev : Z —.> ZVi сопоставляющий каждому объекту zGZ отображе-
отображение всех объектов из V в z, а всех отображений из V в тожде-
тождественное отображение ez. Кан называет объект a£Z прямым пре-
пределом объекта KdZy относительно отображения a : К -> Еу (a)^ZVf
если для любого объекта bGZ и любого отображения а':/С->
-> Еу (Ь) существует такое единственное отображение а: а -> Ь,
что о' = а Еу(а). Категория Z называется V - прямой, если каж-
каждый объект из Zv обладает прямым пределом относительно не-
некоторого отображения. Оказывается, что категория Z будет V-
прямой тогда и только тогда, когда функтор Еу : Z -> Zv обла-
обладает левым сопряженным.
Рассматривается категория Z, являющаяся V-прямой для
всякой категории V, объекты которой составляют множество.
Таковы категории всех множеств, всех топологических прост-
пространств, всех абелевых групп. Оказывается, что Z обладает ука-
указанным свойством, если функтор H:(Z, Z)-+M обладает левым
сопряженным. В работе также показано, что определенные в [19],
накрывающие функторы сопряженных функторов сопряжены.
Один элементарный факт, относящийся к категории Zv, до-
доказан в работе М. С. Цаленко [42]. Именно, если в категории Z
каждое семейство объектов обладает прямым объединением, то
тем же свойством обладает категория Zv.
Известно, что всякую бинарную операцию на множестве А
можно рассматривать как отображение множества АхА в Л и
обратно. Поэтому в абстрактных категориях всякое отображение
прямого объединения аХа—+а можно рассматривать как введение
дополнительного строения для объекта а. В работе Экмана и Хил-
102

тона [16] начато построение соответствующей теории. Авторам уда-
удалось на языке теории категорий сформулировать групповые аксио-
аксиомы. При помощи этих аксиом красиво описываются, например,
абелевы и свободные группы.
Введем следующее обозначение. Если fi=a1X#2(TCi> ^2) и
az: b-+ah £ = 1,2, то отображение ? : Ь -> а, удовлетворяющее
равенствам ттс£=а,,£=1, 2, будем обозначать агХа2-
Далее, если a = ax X ДгС^ь1^)» то через т будем обозначать
отображение а —> а, удовлетворяющее равенствам хтсх = тс2, ттс2 =
= тс1в
Пару (а, 8), где 8:aXfl(ffi,it2)-»-fl, назовем объектом с ком-
композицией. Отображение 8 может обладать одним из следующих
свойств:
I. (8flX(D)8 = ((DXg8 = 8fl.
П. (8Xee)8-(eeX8)8.
III. Существует такое отображение у:а^а, что (eaXz)^ =
= (хХв.)8=со.
IV. 8 = т8.
В категории множеств с отмеченной точкой аксиомы I —111
определяют задание групповой операции, поскольку из аксиомы
I вытекает существование единицы, из аксиомы II — ассоциатив-
ассоциативность, а из аксиомы III — существование обратного элемента.
Аксиома IV означает коммутативность этой операции.
Пусть теперь (а, 8) и (а\ 8') — два объекта с композицией.
Отображение а:а—>а' называется гомоморфным, если (аХ&)&' =
= 8а.
Возьмем произвольный объект с композицией (а, 8). Тогда
множество Н (х, а) для любого объекта х следующим образом
превращается в объект с композицией в категории множеств с
отмеченной точкой: если al9 a2G/Z (дс, а), то полагаем ах + а2 =
= (а{ X а2) 8. Если f : х -> у, то отображение 7* = ^(Т» £«):
Н(у, а) -> Н (х, а) оказывается гомоморфизмом. Обратно: пусть
множества Н (л:, а) являются объектами с композицией, причем
для всякого *( : х-+ у индуцированное отображение f* является
гомоморфизмом. Тогда объект а однозначно превращается в
объект с такой композицией, что индуцированные композиции в
Н (л:, а) совпадают с заданными.
Одним из самых интересных результатов является следующий:
отображение Ь\аУ^а~.>а тогда и только тогда удовлетворяет од-
одному из условий I — IV, когда тому же условию удовлетворяют
индуцированные композиции в Н(х, о).
Если каноническое отображение а^а -> аХа является эпимор-
эпиморфизмом, то отображение 8, удовлетворяющее условию I, опреде-
определяется однозначно.
Все сказанное выше автоматически дуализируется. О паре
(X, а), где X : а->а^а ,будем говорить как об объекте с кокомпози-
цией.
103

Пусть (а, 6) — объект с композицией, (Я, Ь) — объект с коком-
позицией, причем 6 удовлетворяет условию I, а к — двойственному
условию. Тогда композиция и кокомпозиция в Н(Ъуа) совпадают
и определяют коммутативную операцию.
Изложенную теорию авторы применяют к категории множеств
с отмеченной точкой, к категории топологических пространств с
отмеченной точкой, к категории групп и к другим примерам.
В частности, в категории групп группа ® тогда и только тогда
допускает композицию с аксиомой I, когда она абелева. Двой-
Двойственно характеризуются свободные группы.
Авторами рассмотрена связь между заданием композиции и
сопряженными функторами.
Работы Хассе [37] и Михлера [32] посвящены категориям, в ко-
которых каждое отображение является биморфизмом (одновременно
эпиморфизмом и мономорфизмом), и группоидам. К таким катего-
категориям принадлежат, например, построенная Хассе [37] свободная
категория над направленным графом. Пусть С—класс элементов в
котором заданы отображения f, g: С-^С, причем Cf=Cg и /2 = f,
g2:==g, fS^fy gf = S- Тогда С называется направленным графом.
Конечная последовательность а = (а0, а1? ..., apt ар±{) называет-
называется путем через С, если^ aj = а0, apg = ap+li cctg = аж/ и afiCf,
i = 1,2, . ..,/7. Пусть р = (р0, . ..,^+1) —другой путь. Вводится
частичное умножение путей. Произведение а ,3 определено тогда
и только тогда, когда ар+1 = р0, и в этом случае а(Г= (а0... ар,
P P)
В результате получается категория К, которую автор назы-
называет свободной категорией над С. Каждая категория оказывается
гомоморфным образом некоторой свободной категории. Пол-
Полная подкатегория свободной категории свободна и каждый путь
в свободной категории однозначно представим в виде произведе-
произведений элементарных путей (а/, а, ag), где а(ЁС/.
Пусть /( — произвольная категория. Отображение Ь:а-+Ь на-
называется простым, если из 0 = G162 следует 6 = G1 и 62 = гь или
» = К вх « ев.
Категория К оказывается свободной, если каждое отображе-
отображение из К, отличное от тождественного, однозначно представимо
в виде произведения простых отображений.
В работе Михлера [32] рассматривается вопрос о вложимо-
сти категорий с ;множеством объектов в группоид Брандта, т. е.
в категорию с обратимыми отображениями, все объекты кото-
которой эквивалентны.
В работе Е. Г. Шульгейфера [44] построена общая теория ра-
радикалов в категориях, являющаяся перенесением общей теории
радикалов ассоциативных колец. В работе Ковальского [23] указа-
указаны достаточные условия для того, чтобы категория была изоморф-
изоморфна полной подкатегории категории топологических пространств.
104

БИБЛИОГРАФИЯ
1. Amitsur S. A., Derived functors in abelian categories. J. Math,
and Mech., 1961, 10, 971—974 (РЖМат, 1962, 6A218)
2. Andreotti A., Generalites sur les categories abelliennes. Semin.
Grothendieck, Fas. ScL, Paris, 1957, 1, 1/01 —1/12; 2/01— 2/16,Paris, 1958
(РЖМат, 1961.2A235)
3. Baer R., Direct decompositions. Trans. Amer. Math. Soc, 1947, 62,
62—98
4. —, Direct decompositions into infinitely many summands. Trans. Amer.
Math. Soc, 1948, 64, 519—551
5. Bucbshaum D. A., Exact categories and duality. Trans. Amer.
Math. Soc, 1955, 80, 1—34 (РЖМат, 1959, 1302)
6. —, A note on homology in categories. Ann. Math., 1959, 69, 66—74
(РЖМат, 1961, 5A372)
7. —, Satellites and universal functors. Ann. Math., 1960, 71, 199—209
(РЖМат, 1961, 7A393)
8. Бурмистрович И. Е., Вложение аддитивной категории в кате-
категорию с прямыми произведениями. Докл. АН СССР, 1960, 132,
1235—1237 (РЖМат, 1961, 4А220)
9. Gabriel P., Objects injectifs dans les categories abeliennes. Semin.
P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot. Fac. Sci. Paris, 1958—
1959, 12-e annee, fasc. 2, Paris, 1960, 17/1 — 17/32 (РЖМат, 1962, 1A278)
10. Головин О. Н., Множители без центров в прямых разложениях
групп. Матем. сб. (нов. с), 1939, 6, 423—426
11. Grothendiek A... Technique de descente et theoreme d'existence en
geometrie algebrique. I. Generalites. Descente par morphismes fidelment
plats, Semin. Bourbaki, Secret. Math., 1959—1960, 12 annee, fasc 1.2-e
ed. Paris, 1960, 190/1 — 190/29 (РЖМат, 1962, 4A240)
12. —, Technique de descente et theoreme d'existence en geomet-
geometrie algebrique. II. Le theoreme d'existence en theorie formelledes
modules, Semin. Bourbaki, Secret. Math., 1959—1960, 12 annee, fasc 2.
2-е ed. Paris, 1960, 195/1—195/22 (РЖМат, 1962, 4A241)
13. —, Techniques de construction et theoremes d'existence en geometrie
algebrique. III. Preschemas quotients. Semin. Bourbaki, Secret, math.
1960—1961,13-e annee, fasc. 2, Paris, 1961, 212/1—212/20 (РЖМат,
1962, 8A181)
14. Eilenberg S., M а с L a n e S., General theory of natural equiva-
equivalences. Trans. Amer. Math. Soc, 1945, 58, 231—294
15. Eckmann В., Hilton P. J., Operators and cooperators in Homotopy the-
theory. Math. Ann., 1960, 141, 1, 1—21. (РЖМат, 1961, 9A381)
16. —,—Group-like structures in general categories. I. Math. Ann., 1962, 145,
3, 227—255 (РЖМат, 1962, 8A238)
17. Isbell J. R., Natural sums and direct decompositions. Duke Math.
Journ., 1960, 27, 507—512 (РЖМат, 1961, 8A274)
18. Yoneda N., On Ext and exact sequences. J. Fac Sci. Univ. Tokyo,
sec 1, 1960, 8, №3, 507—576 (РЖМат, 1961, 11A245)
19. Kan D. M., Adjoint functors. Trans. Amer. Math. Soc, 1958, 87, 294—
329 (РЖМат, 1961, 2A229)
20. Cartan H., Eilenberg S., Гомологическая алгебра. ИЛ, 1960.
21. —,— Foundations of fibre bundles. Sympos. Internac Topol. Algebraica,
Agosto, 1956, Mexico; 1959, 16—23 (РЖМат,1961, 3A348)
22. Cartier P., Les groupes Exts(A, B). Semin, Grothendieck, Fac Sci.
Paris, 1957, 1, Paris, 1958, 3/01—3/14 (РЖМат, 1961, 2A234)
23. Kowalsky H. J., Kategorien topologischer Raume. Math. Z., 1961,
77, 3, 249—273 (РЖМат, 1962, 7A234)
105

24. Курош А. Г., Прямые разложения в алгебраических категориях.
Труды Моск. матем. об-ва, 1959, 8, 391—412; 1960, 9, 562 (РЖМат,
1961, ЗА281, ЗА282)
25. —, Лившиц А. X., Шульгейфер Е. Г., Основы теории ка-
категорий. Успехи матем. н., 1960, XV, 6(96), 3—52 (РЖМат, 1962, ЗА261)
26. Лившиц А. Х.# Прямые разложения с неразложимыми слагаемы-
слагаемыми в алгебраических категориях. Матем. сб., 1960, 51, № 4, 427—458
(РЖМат, 1961, 12А334)
27. —,Прямые разложения в алгебраических категориях. Труды. Моск. ма-
матем. об-ва, 1960, 9, 129—141 (РЖМат, 1961, 12А335)
28. —, Прямые разложения идемпотентов в полугруппах. Докл. АН СССР,
1960, 134, 271—274 (РЖМат, 1962, ЗА233)
29. —, Суммирование отображений и понятие центра в категориях.Матем.сб.,
1963, 60, №2, 159—183.
30. Lubkin S., Imbedding of abelian categories. Trans. Amer. Math.
Soc, 1960, 93, №3, 410—417. (РЖМат, 1962, 4A270)
31. Matlis E., Injective modules over Noeterian rings, Pacif. J. Math.,
1958, 8, №3, 511—528 (РЖМат, 1959, 9823)
32. Michler L., Qber die Einbettbarkeit spezieller Kategorien in Brandt-
sche Gruppoide. Wiss. Z. der Hochschule fur Schwermaschinenbau, 1961,
1, 5, 21—28 (РЖМат, 1962, 6A240)
33. Ohkuma Т., Duality in mathematical structure. Proc. Japan Acad.,
1958, 34, 1, 6—10 (РЖМат, 1961, 5A287).
34. Roos J.-E., Sur les foncteurs derives de lim. Applications. C. r. Acad.
sci., 1961, 252, №4, 3702—3704. (РЖМат, 1961, 12A332)
35. Rosen R., The representation of biological sistems from de standpoint
of the theory of categories. Bull. Math. Biophys., 1958, 20, № 4, 317—341
(РЖМат, 1962, 3A266)
36. Shih W., Sur les extensions successives. C. r. Acad. Sci., 1959, 249,
5, 607—609 (РЖМат, 1961, 5A370)
37. Hasse M., Einige Bemerkungen iiber Graphen, Kategorien und Grup-
Gruppoide. Math. Nachr., 1960, 22, 5—6 (РЖМат, 1962, 3A260)
38. Hilton P. J., L e d e r m a n n W., On the Jordan—Holder theorem
in homological monoids. Proc. Lond. Math. Soc, 1960, 10, № 39, 321—334
(РЖМат, 1962, 7A232)
39. —, —, Homology and ringoids. II. Proc. Cambridge Fhilos. Soc, 1959,
55, № 2, 149—164 (РЖМат, 1962, 8A239)
40. —, —, Homology and ringoids. III. Proc Cambridge Fhilos. Soc, 1960,
56, № 1, 1 — 12 (РЖМат, 1962, 8A240)
41. Hoffman F., Uber eine die Kategorie der Gruppen umfassende Kate-
gorie. Sitz. Bayer. Acad. Wiss. Math, natur. Kl., 1960, Munchen, 1961,
163—204 (РЖМат, 1962, 7A233)
42. Цаленко М. С, К основам теории категорий. Успехи матем. наук, I960,
15, № б, 53—58 (РЖМат, 1962, ЗА262)
43. —, Пополнение категорий свободными1 и прямыми объединениями
объектов. Матем. сб., 1963, 60, № 2, 235—256 (РЖМат, 1 963, 10А242)
44. Шульгейфер Е. Г., К общей теории радикалов в категориях. Матем. сб.,
1960, 51, № 4, 487—500 (РЖМат, 1962, ЗА264)
45. — ,0 структуре идеалов объекта категории. Матем. сб., 1961, 54, № 2,
209—224 (РЖМат, 1962, ЗА265)

ТЕОРИЯ ГОМОТОПИЙ
М. М. Постников
В настоящем обзоре рассматриваются работы по теории гомо-
гомотопий, прореферированные в отделе «Топология» РЖ Математика
№ 1—12, 1961 г. и № 1 —10, 1962 г. Предварительные сообщения,
обзоры и учебники, а также монографии, как правило, оставляют-
оставляются в стороне. Работы по теории гомотопий, прореферированные в
других отделах РЖ здесь не рассматриваются.
Провести грань между теорией гомотопий и другими отделами
топологии можно, конечно, лишь весьма приблизительно. Поэто-
Поэтому, хотя работы по теории многообразий и смежным вопросам,
по теории групп Ли и расслоенных пространств, по т. н. «комбина-
«комбинаторной топологии топологических пространств», и по гомологиче-
гомологической алгебре из обзора в основном исключены, все же некоторые
работы в этих направлениях мы считаем необходимым хотя бы
упомянуть. Ясно, что и отобранные работы мы не можем рассмат-
рассматривать с одинаковой детальностью. По существу, как отбор работ
так и те или иные акценты при их рассмотрении всецело опреде-
определяются субъективной точкой зрения автора.
1. Когомологические операции. Наиболее выдаю-
выдающейся из всех рассматриваемых работ бесспорно является работа
Адамса [1]; см. также [2—21], в которой доказано, что за исключе-
исключением классических значений п = 2, 4 и 8 в группе tt2n-\{Sn) не
существует элементов с нечетным инвариантом Хопфа,п\ е. что
инвариант Хопфа mod 2 равен нулю. Поскольку каждая алгебра с
делением ранга п над полем действительных чисел определяет в
группе Я2п-1 (S71) элемент с инвариантом Хо'пфа, равном единице,
из результатов Адамса немедленно вытекает, что рангами действи-
действительных алгебр с делением могут быть только числа 1, 2, 4 и 8.
Давно было известно, что для доказательства отсутствия эле-
элементов с нечетным инвариантом Хопфа достаточно показать, что
107

равен нулю квадрат Стинрода Sqn:Hm(K;Z2)-> Hn+n(K; Z2)> гДе
К — полиэдр, получающийся из m-мерной (т—произвольное, до-
достаточно большое число) сферы, приклеиванием (т + /г)-мерного
шара. Поскольку Hk (K\ Z2) = 0 при т < k < т + п, для этого в
свою очередь достаточно л оказать, что операция Sqn разложима,
т. е. представляется в виде суммы суперпозиций когомологиче-
когомологических операций (вообще говоря, высших порядков), каждая из ко-
которых повышает размерность меньше чем на п. Из известных
соотношений Адема легко следует, что при п Ф2Б это действи-
действительно так (причем все участвующие в разложении операции так-
также являются квадратами Стинрода). Таким образом вопрос оста-
оставался открытым лишь для n = 2s, 5 = 4,5,.... Адаме развил
детальную теорию вторичных когомологичных операций (в основ-
основном, этому и посвящена почти вся его объемистая работа) и по-
показал, что операции Sqn разложимы и при п == 2s, s = 4, 5, ...
(но уже в классе вторичных операций). Тем самым сформулиро-
сформулированный выше результат был полностью доказан.
Методы Адамса были перенесены на случай р > 2 Люлевичиу-
сом [22], доказавшим разложимость приведенных степеней Стин-
Стинрода Рп при п = pk, k = 2, 3, ... и тем самым равенство нулю
приведенного по модулю р инварианта Хопфа izn+2t(p-\)-\ (Sn)-^Zp,
t > /?3. Аналогичные результаты были независимо получены также
Ивановским (неопубл.), Симада [23] и Яманошита [24]. Когомоло-
Когомологические операции высших порядков рассматривали также Мас-
си [25], Петерсон и Штейн [26], Симада [27] и Хирш [28].
Согласно Адамсу каждая вторичная операция определяется не-
некоторым соотношением между примарными операциями, т. е. в
первую очередь, между элементами алгебры Стинрода. Ряд новых
соотношений в алгебре Стинрода был найден Мидзуно и Саито
[29]. В работе Мукада [30] исправлены некоторые неточности, до-
допущенные Тода [31] в описании правых идеалов алгебры Стинрода.
Известные соотношения Адема (уже упоминавшиеся выше) были
заново выведены Коэном [32] из результатов Милнора о строении
алгебры Стинрода. Независимую систему определяющих
соотношений для алгебры Стинрода (при р = 2) указал
Уолл [33].
Общей теории примарных когомологических операций посвя-
посвящена работа Накамура [34], в которой устанавливается эквива-
эквивалентность конструктивного определения Серра аксиоматическому
определению Стинрода. В работе Дольда [35] и [36] конструкция
Стинрода перенесена в произвольные симплициальные абелевы
группы (/^-комплексы).
Примарные нестационарные операции рассматривались Бра-
удером [37], построившим аддитивные операции, не являющиеся
надстройками, Браудером и Томасом [38], указавшими систему
аксиом для обобщенных квадратов Понтрягина, и Томасом [39],
вычислившим надстройки над этими квадратами.
108

Гомологические операции (в частности квадраты Смита) рас-
рассматривались в работах Ио [40] и Браудера [41].
2. Принципы двойственности. Несколько лет назад
Экман и Хилтон обратили внимание на своеобразную двойствен-
двойственность ряда понятий гомотопической теории (см. в частности [42]).
Так, например, надстройка двойственна пространству петель, пря-
прямое произведение двойственно букету, группы когомологий двой-
двойственны гомотопическим группам и т. п. Эта двойственность по-
послужила мощным средством для открытия новых теорем, проник-
проникновения в суть уже известных фактов и уточнения общих точек
зрения на существо гомотопической теории. Однако, она не име-
имела точного математического определения и лежала в области
эвристических наблюдений. В связи с этим большой интерес пред-
представляет собой работа Фукса [43], в которой делается попытка при-
придать двойственности Экмана — Хилтона точный математический
смысл. Фукс рассматривает одноместные функторы, определенные
и принимающие значения в категории пространств с отмеченной
точкой, и предлагает называть функтором, двойственным некото-
некоторому функтору F, функтор, сопоставляющий каждому простран-
пространству А пространство (соответствующим образов топологизован-
ное) естественных отображений функтора F в функтор приведен-
приведенного прямого умножения на пространство А. Таким образом, Фукс
строит двойственность не для понятий, а для функторов. В сле-
следующей своей работе [44], написанной совместно с Шварцем,
Фукс показывает, что функторы можно считать обобщением про-
пространств (в том смысле, что для них оказывается возможным
ввести такие понятия как гомотопии, расслоения, корасслоения
и т. п.), причем двойственность Экмана — Хилтона является отра-
отражением двойственности, имеющей место в категории функторов.
К сожалению, функторы алгебраического характера (как напри-
например, группы когомологий и гомотопические группы) укладываются
в схему Фукса — Шварца лишь с натяжкой, и обоснование двой-
двойственности Экмана — Хилтона для таких функторов по существу
остается еще нерешенной задачей.
Однако, несмотря на отсутствие строгого определения, двой-
двойственность Экмана — Хилтона носит достаточно определенный ха-
характер для того, чтобы можно было ставить вопрос о дуализации
тех или иных известных понятий. Так, например, интересно выяс-
выяснить, какие понятия двойственны понятию топологической группы
(или более обще, Я-пространства) и понятию действия группы в
пространстве. Этот вопрос рассматривается в работе Экмана и
Хилтона [45], где вводятся и изучаются понятия «когруппы» и
«кодействия». В работе Хилтона [46] и Ганя [47] вводятся и изуча-
изучаются числовые инварианты, двойственные категории в смысле
Люстерника — Шнирельмана.
Двойственность Экмана — Хилтона может быть развита и не
109

только для топологических объектов. В работе Экмана [48]разви- |
вается гомотопическая теория модулей, в которой имеет место-1
двойственность, аналогичная двойственности Экмана — Хилтона ]
в теории гомотопий. \
Двойственностью Экмана — Хилтона не исчерпываются раз-
различные двойственности, существующие между объектами гомото- •
пической теории. Не говоря уже о классической двойственности
между группами гомологии и когомологии (а также между гомо-
гомотопическими и когомотопическими группами), здесь следует отме-
отметить двойственность, впервые замеченную Спеньера и Уайтхедом и
наиболее рельефно проявляющуюся в 5-теории (теории стацио-
стационарных гомотопических классов). В отличие от двойственности
Экмана — Хилтона действенность Спеньера — Уайтхеда выража-
выражается в виде точных теорем и потому может служить не только для
эвристических целей, но и для целей доказательств. Так, исполь-
используя эту двойственность Петерсон [49], а также Хилтон и Спеньер
[50] получили некоторые условия, необходимые для вложимости
данного полиэдра в евклидово пространство (в частности, Петер-
соя показал, что r-мерное проективное пространство не может
быть вложено в евклидово пространство размерности n<2s+1,
где 5 — такое число, что 2s<r<2s+1. В работе Спеньера [51] эта
двойственность применена к изучению бесконечных симметриче-
симметрических произведений. Дальнейшему развитию общей теории двойст-
двойственности по Спеньеру — Уайтхеду была посвящена работа
Спеньера и Уайтхеда [52], в которой эта двойственность строится
для классов относительный гомотопий. Новый (более конструктив-
конструктивный) подход к двойственности Спеньера — Уайтхеда предложен в
работе Спеньера [53]. Перенос теории Спеньера — Уайтхеда на ка-
категорию спектров был осуществлен Лима [54].
3. Группы гомологии и гомотопические груп-
п ы. Довольно много работ было посвящено изучению различных
методов построения основных понятий теории гомотопий — групп
гомологии (когомологии) и гомотопических (когомотопических)
групп, а также разнообразным их обобщениям. Как правило, на-
направление и общий дух этих исследований был вдохновлен теми
или иными соображениями двойственности. Здесь, в первую оче-
очередь, следует отметить работу Уайтхеда [55]. Как известно, для
широкого класса пространств (например, для полиэдров) груп-
группы когомологии Нп(Х\ G) можно рассматривать как группы гомо-
гомотопических классов отображения X—+K(G, n)y где K(G, n) — про-
пространство Эйленберга—Маклейна (Заметим, кстати, что иссле-
исследование этого вопроса для спектральных групп когомологии было
проведено Хубером [56]). В работе Уайтхеда предложено двойст-
двойственное определение групп гомологии Нп(Х\ G) как гомотопичес-
гомотопических групп приведенного произведения пространства X на соответ-
соответствующим образом подобранное пространство Эйленберга —Мак-
—Маклейна. Можно думать, что идеи, положенные в основу этой работы
110

(и связанные, в основном, с использованием некоторых специаль-
специальных спектров) еще совершенно не исчерпаны и их развитие при-
принесет немало нового в понимание основ гомотопической
теории.
Большое внимание уделялось также вопросам аксиоматическо-
аксиоматического построения групп гомологии и когомологий пространств. Прак-
Практически совпадающие системы аксиом для абсолютных групп го-
гомологии и когомологий были предложены Ху [57] и Келли [58]. Не-
Несколько отличное, но эквивалентное (М. М. Постников [59]) по-
построение было предложено В. Г. Болтянским и М. М. Постнико-
Постниковым [60].
Для абсолютных гомотопических групп система аксиом была
предложена Ху [61] и (в рамках теории симплициальных мно-
множеств) Каном [62]. Конструктивное определение относительных го-
гомотопических групп симплициальных множеств было рассмотре-
рассмотрено Накагава [63]. Совпадение конструктивного (по Кану) и аксио-
аксиоматического (по Хеллеру) определений абсолютных гомотопиче-
гомотопических групп симплициальных множеств доказано Инуэ [64].
Гомотопические группы пространств с коэффициентами рас-
рассматривал Катута {65]. Дело здесь в том, что обычно определе-
определение гомотопических групп с коэффициентами (как групп гомото-
гомотопических классов отображений в соответствующее пространство
Мура) не может рассматриваться как удовлетворительное (оно
не удовлетворяет принципу двойственности Экмана — Хилтона и
получающиеся группы обладают «плохими» свойствами). Для то-
того, чтобы получить определение, удовлетворяющее принципу двой-
двойственности, следует (что Катута и делает) >в обычном определе-
определении заменить пространства Мура пространствами, определение
которых аналогично определению пространств Мура и получается
из него заменой групп гомологии группами когомологий. Однако,
как показали Кан и Уайтхед [66], такие пространства существуют
не для любой группы G (например, его не существует, если груп-
группой G является аддитивная группа рациональных чисел). Поэтому
Катута вынужден ограничиваться группами с конечным числом
образующих, для которых вопрос о существовании соответствую-
соответствующих пространств тривиально решается в положительном смысле.
Как и следовало ожидать, построенные Катута гомотопические
группы с коэффициентами обладают всеми хорошими свойствами
обычных гомотопических групп, что еще раз подтверждает прин-
принцип двойственности Экмана — Хилтона. Что же касается гомото-
гомотопических групп с коэффициентами в группах, имеющих бесконеч-
бесконечное число образующих, то вопрос об их «правильном» определении
остается открытым.
Построению гомотопических групп для пространств, отличных
от топологических, были посвящены работы Гутьарес—Бурсако
[67] (случай равномерных пространств) и две работы Серфа [68]
и [69] (случай т. н. битопологических пространств).
111

Когомотопические группы были интерпретированы Савиным
[70] как группы классов эквивалентности некоторых специальных
разбиений пространства X. Любопытное обобщение когомотопиче-
ских групп было предложено Борсуком [71]. С общей точки
зрения операции, которые можно ввести в множество гомото-
гомотопических классов изучались Коуплендом [72] (см. также
Борсук [73]).
Возвращаясь к гомологиям, отметим серию работ (Кавада [74],
Дюэвель [75], Люфт [76]), посвященную дуализации известного
определения групп когомологий с коэффициентами в пучке. В этих
работах под тем или иным названием, вводится понятие копучка,
двойственное понятию пучка и определяются группы гомологии с
коэффициентами в копучке. Хотя эти работы и выходят за рамки
этого обзора, мы их упоминаем в качестве примеров эвристическо-
эвристического использования принципов двойственности.
Укажем, для полноты, еще работы по группам когомологий
с неабелевыми коэффициентами: Дедеккера [77], где эти группы
применяются к задаче расширения структурной группы косых про-
произведений, Дедеккера [78], где вводится и применяется понятие
группоида когомологий, Дедеккера [79] и Нгуендинхока [80], в ко-
которых строятся двумерные группы с неабелевыми коэффициентами
и Хефлигера [81], в которой строятся и изучаются группы когомо-
когомологий с коэффициентами в пучке группоидов. По существу, эти ра-
работы относятся к теории косых произведений.
4. Общие теоремы о группах гомологии и го-
гомотопических группах. Деятельность в теории групп го-
гомологии и гомотопических групп не исчерпывалась, конечно, иссле-
исследованием основ. Даже в таком классическом вопросе как формула
Эйлера— Пуанкаре — Хопфа оказалось возможным получить но-
новые результаты (Телеман [82]). Обобщение известной формулы
Лефшеца на более общие пространства получено Лере [83]. Числа
Лефшеца для многозначных (взвешенных) отображений рассмат-
рассматривал Дарбо [84]. На отображения многообразий неодинаковых
размерностей формула Лефшеца была обобщена Францем [85].
Простое доказательство формулы Кюннета было найдено Хелле-
ром. На тройные тензорные произведения формула Кюннета была
обобщена Маклейном [86], введшим для' этой цели тройные перио-
периодические произведения (впрочем, последние две работы относятся,
собственно говоря, к гомологической алгебре, исключенной из на-
настоящего обзора).
Естественно, что значительно больше новых результатов полу-
получено в теории гомотопических групп. Для м=1, т. е. для случая
фундаментальной группы, известная теорема ван Кампена о фун-
фундаментальной группе объединения двух пространств обобщена на
любое число слагаемых в работах Кроуэлла [87] и Вейнцвейга [88].
Ряд теорем о фундаментальной группе трехмерных многообразий
112

получен Эпштейном [89]. Для п>Ъ интересную формулу для гомо-
гомотопической группы букета относительно подбукета получил Поэна-
РУ [90]; эта формула использует введенные автором гомотопиче-
гомотопические группы пары относительно подпары.
За исключением указанных работ, а также работы Умеда [91],
в которой известная теорема Серра об условиях неасферичности
пространства в бесконечном числе размерностей переносится на
случай р>2, и работы Вада [92], в которой «трудная часть» тео-
теоремы Фрейденталя о надстройке обобщается на произвольные по-
полиэдры, все остальные работы по общей теории гомотопических
групп посвящены различным операциям, которые можно опреде-
определить в гомотопических группах, и в частности 'произведению
Уайтхеда. Так, например, в заметке Хилтона [93] показано, что из-
известное тождество Якоби справедливо для любых размерностей
п>\. В работе Мейера [94] (см. также Петерсен [95]) произведе-
произведение Уайтхеда вычисляется через гомотопическую резольвенту
(натуральную систему) пространства. В работе Харди [96] стро-
строятся т. н. высшие произведения Уайтхеда, тесно связанные с одним
обобщением конструкции Хопфа, также предложенным Харди
[97]. В работе Харди [98] строится общая теория вторичных гомо-
гомотопических операций; как и для когомологических операций каж-
каждая вторичная гомотопическая операция соответствует некоторо-
некоторому соотношению, связывающему примарные операции. Один при-
пример вторичной операции (т. н. конструкция Зимана) был рас-
омотрен Харди ранее [99]. Другая вторичная операция (весьма
частного вида) была исследована Тода [100] в связи с задачей
вычисления гомотопических групп сфер.
Обобщением конструкции Хопфа занимался также Джеймс [101].
Пусть Y и А — одновершинные клеточные разбиения и пусть
u:Y \ A -+Y — произвольное отображение, тождественное на слое
YX #о» гДе ао — вершина разбиения А. Джеймс строит по ото-
отображению и некоторое отображение Y*A->SY, где SY—над-
SY—надстройка над разбиением У, a Y*A — надстройка над приведен-
приведенным произведением Y/\А = Y X AlYyA. В случае, когда раз-
разбиениями Y и А являются сферы, эта конструкция переходит в
конструкцию Хопфа. В этой же работе Джеймс строит по ото-
отображению^ некоторый гомоморфизм ът (SA) -+кг (Y * А), являющий-
являющийся наиболее далеко идущим обобщением инварианта Хопфа.
5. Вычисление групп гомологии и гомотопи-
ческихгрупп. Весьма много работ было посвящено также вы-
вычислению и исследованию групп гомологии и гомотопических
групп более или менее конкретных пространств.
Что касается групп гомологии и когомологий, то здесь, в пер-
первую очередь, следует отметить ряд работ по общей теории кого-
когомологий Я-пространств, т. е. по теории алгебр Хопфа (Гальперн
8-5871 ИЗ

[102—104], Араки [105], Браудер [41, 106]. Алгебры когомологий
пространства петель надстройки над Я-пространством и простран-
пространства, накрывающего Я-пространство были исследованы Брауде-
ром [41] и [107]. Специально изучались гомологии и когомологий
особых групп Ли. В частности Борелем [108] были вычислены
группы кручения для все^ (особых) групп Ли. Кольца Понтрягина
и алгебры когомологий особых групп по. модулю 3 изучал Араки
[105, 109]. Элементарным методом (построением соответствующих
клеточных разбиений) группы гомологии классических групп Ли
и некоторых их однородных пространств вычислял Иокота [НО,
111]. В работе Нагано [112] развит общий метод вычисления много-
многочленов Пуанкаре орбит некоторых групп преобразований и с по-
помощью него вычислены многочлены Пуанкаре ряда однородных
пространств особых групп Ли. На основе теоремы Картана группы
когомологий однородных пространств вычислял также И. 3. Ро-
зенкноп [113]. Общую теорему об алгебре когомологий простран-
пространства, на котором действует некоторое Я-пространство доказал
Гальперн [114], который вычислил также алгебры когомологий
пространств петель над комплексными и кватернионными проек-
проективными пространствами [115].
Общим изучением групп гомологии симметрических произве-
произведений занимался Дольд [116], который показал, что для любого
конечного полиэдра Y группы гомологии каждого его Г-произве-
дения, т. е. факторпространства /г-кратного произведения
YXY...XY на некоторой группе Г перестановок множителей, одно-
однозначно определяются группами гомологии полиэдра У. Этот ре-
результат сначала доказывается (в значительно более общей фор-
формулировке) в рамках теории симплициальных множеств, а затем
осуществляется переход к полиэдрам (посредством функтора гео-
геометрической реализации). Развитые в этой работе конструкции
нашли дальнейшее глубокое применение в работах Дольда и Пуп-
пе [117, 118] по гомологической алгебре, в которых строятся про-
производные функторы любых неаддитивных функторов. Мы упоми-
упоминаем об этих работах не только в силу их большой важности, но
и потому, что в них содержится ряд чисто топологических резуль-
результатов (например, о группах гомологии симметрических произве-
произведений).
Гомологиям симметрических произведений (в основном, сфер)
и тесно связанными с ними гомологиям симметрической группы
посвящена также серия работ Накаока [119—123]. Бесконечные
симметрические произведения рассматривал Спеньер[51]. Впрочем,
Спеньер интересовался не столько гомологиями, сколько общими
свойствами функтора SP°° в связи с принципом двойственности в
5-теории. В частности, в этой работе доказано, что тг (SP°°X) ^
114

Интересный общий метод вычисления группы гомологии цикли-
циклических степеней был развит также Сваном [124] и [125].
Группы когомологий пространств Эйленберга — Маклейна
изучались Баркусом [126], а группы когомологий пространств с
двумя нетривиальными гомотопическими группами — Кристен-
сеном [127].
Для полноты обзора укажем еще работу Шварца [128], в кото-
которой вычислены гомологии некоторых пространств замкнутых пу-
путей (с приложениями к вариационному исчислению) и работу
А. Б. Жижченко [129], в которой впервые полностью обоснован
общий метод вычисления групп гомологии алгебраических много-
многообразий, основанный на рассмотрении их гиперплоских сечений
(этот метод был развит Фари, но не был им доведен до
конца).
Перейдем теперь к работам, посвященным вычислению гомото-
гомотопических групп. Эти группы вычислялись, в основном, в следую-
следующих трех случаях: 1) для односвязных пространств, асферичных
в размерностях меньших некоторого целого п\ 2) для групп Ли;
3) для сфер.
Односвязным пространствам Yп, асферичным в размерностях,
меньших п была посвящена серия работ Чжо Сюэ-гуана [130—
134]. В первых двух из этих работ автор для любого простого р
описывает /7-компоненту группы кк(Уп) при £<minB#— 1,
п + 4/7 — 5) как расширение одной гомологически вычислимой
группы при помощи другой, получая, в частности, полное описа-
описание группы тсл_|_2(Уп). В третьей работе вычислены (через числа
Бетти и размерности пространств разложимых классов когомоло-
когомологий) ранги групп тсл(Кл) до размерности 3 (/г — 1) включи-
включительно
Среди работ о гомотопических группах групп Ли мы, в первую
очередь, отметим работы, связанные с замечательными исследо-
исследованиями Ботта, который искусно комбинируя принадлежащие
Морсу методы вариационного исчисления в целом и картановскую
теорию симметрических пространств, вычислил стационарные го-
гомотопические группы классических групп Ли (см., например, [135]
и [136]). Эти результаты немедленно нашли разнообразные и важ-
важные приложения (см., например, [136] и [137]); в частности, они бы-
были переформулированы на языке теории комплексных векторных
расслоений и там заново доказаны [138]. Чисто гомотопическое
доказательство теоремы Ботта для случая унитарной группы дал
Тода [139]., Методы Ботта (так же как и методы Тода) позволяют
вычислить и некоторые нестационарные группы. Специальному
исследованию нестационарные группы унитарных и ортогональ-
ортогональных групп были подвергнуты в работе Кервера [140]. С более клас-
классических позиций гомотопические группы лрупп Ли изучали Хар-

рис [141] и Тода [142]. Гомотопические группы многообразий
Штифеля вычислял Пехтер [143].
В теории гомотопических групп сфер много внимания уделя-
уделялось изучению инварианта Хопфа и различных его обобщений
(см. обзорную статью Хилтона [144]; об инварианте Хопфа mod р
см. выше п. 1). Вада [92] . доказал, что при г<3/г—4 обобщен-
обобщенные инварианты Хопфа тсг E/1)->тсг_|_1 (S2n) по Джеймсу и Тода с
точностью до знака совпадают. Ряд теорем об обобщенных ин-
инвариантах Хопфа получили Харди [145] и Джеймс [146]. Одна
важная формула Тода была заново доказана Барратом [147].
В определенном смысле «высшие» инварианты Хопфа были пост-
построены Чжан Су-ченом [148]. Интересное обобщение инварианта
Хопфа предложено (в связи с задачей вычисления категории не-
некоторых пространств) в статье Берштейна и Хилтона [149].
Явное вычисление гомотопических групп сфер продолжал То-
Тода [100] и [142], полностью вычисливший, в частности р-ком-
поненты групп кп+к(Sn), /г>&+1, при &<2/?2(/?— 1) — 3. Часть
результатов Тода была независимо переоткрыта Л. Н. Ивановским
[150].
Что касается работ, посвященных вычислению гомотопических
групп конкретных пространств, отличных от групп Ли и сфер, то
здесь следует, в первую очередь, указать работу Cacao [151],
изучавшего гомотопические группы полиэдров, получающихся из
n-мерной сферы приклеиванием {п + т) -мерного шара. В этой же
работе изучены также гомотопические группы полиэдров, полу-
получающихся приклеиванием к сфере не одного, а двух шаров (раз-
(размерностей п + т и 2п + т)\ гомологическое строение полиэдров
последнего типа было изучено Cacao ранее [152].
В работе Ко [153] изучались гомотопические группы связных
компонент пространства отображений /г-мерной сферы в некото-
некоторое пространство X (в частности, /--мерную сферу). В работе
Чжо Сюэ-гуана [154] вычислена группа ^г(£1), r<2rr + r2 + ...
... + тп — 3, где Е—пространство, получающееся из произведе-
произведения Sr* X Sr2 х ... х Srn, гх< г2< ... <гп удалением гг + г2+...
... + /-„-мерной клетки. В работе Пати [155] доказано, что взре-
взрезанный квадрат любого связного конечного одномерного полиэд-
полиэдра, отличного от отрезка, является свйзным и асферичным про-
пространством.
В работе Баррата, Джеймса и Стейна [156] вычислены уайтхе-
довские произведения в гомотопических группах проективных про-
пространств.
6. Гомотопическая классификация отобра-
отображений, секущих поверхностей и полиэдров. За-
Задача вычисления гомотопических групп является частным случаем
общей задачи о гомотопической классификации отображений.
Эффективное решение этой последней задачи было получено Чжо
116

Сюэ-гуаном [157] и [158] для отображений не более чем п + 2-мер-
2-мерного (п>4) полиэдра в односвязное пространство, асферичное в
размерностях меньших п (как и следовало ожидать, решение ис-
использует некоторые вторичные когомологические операции), Ви-
виенте [159] для отображений пространства с двумя отличными
от нуля гомотопическими группами в другое такое простран-
пространство и Чжан Су-ченом [160] для отображений (п + Ъ) -мерного по-
полиэдра, асферичного в размерностях меньших п в другой такой
полиэдр.
Известные, ставшие уже классическими, методы теории гомо-
топий сводят задачу о гомотопической классификации отображе-
отображений к задаче о вычислении препятствий к распространению дан-
данного отображения. В общем случае о препятствиях к распростра-
распространению отображений К—*Х можно лишь сказать, что они выража-
выражаются через т. н. характеристические коциклоиды этих отображений
с помощью когомологических операций соответствующих факто-
факторам гомотопической разольвенты пространства X. Это общее ут-
утверждение было в рамках теории симплициальных множеств (по-
лусимплициальных комплексов) доказано еще 10 лет тому назад
М. М. Постниковым. В работе Мидзуно [161] оно заново доказано
в рамках теории полукубических комплексов. Замена полусимпли-
циальных комплексов полукубическими позволило значительно
упростить изложение.
Более содержательный результат получен в работе Сираивы
[162]. Пусть пространство X односвязно и асферично в размер-
размерностях меньших /г>2 и пусть /—некоторое отображение (s — 1)-
мерного (s>n) остова Ks~l связного клеточного разбиения К в
пространство X, продолжаемое на (q + 1)-мерный остов Kq+l-
Тогда при <7<2я— 3 для любых двух продолжений /0 и /t отоб-
отображения / на Ks, допускающих продолжение на Кд+19 имеет
место формула Zp~2 — Zi+9' = С (а*), где Z/+2—препятствие к про-
продолжению отображения fl9 i = 0,l на Л^+2, а5—различающая
отображений /0 и f} и С—некоторая когомологическая операция.
Если s = n = q, то операция С является (несколько обобщенным)
квадратом Стинрода, а эта формула представляет собой т. н.
«формулу второго препятствия»,доказанную в 1959 г. М. М. Пост-
Постниковым.
Поскольку каждое непрерывное отображение К—»Х можно
рассматривать как секущую поверхность прямого произведения
КХХ, естественно встает вопрос о переносе результатов, доказан-
доказанных для отображений на случай секущих поверхностей любых ко-
косых произведений. По отношению к формуле второго препятствия
это было сделано в 1955 г. В. Г. Болтянским. В работе А. М. Вино-
Виноградова [163] из формулы Болтянского выведена формула для
образа второго препятствия при гомоморфизме групп когомологий
индуцированном расслаивающим отображением (эта формула
117

была ранее доказана Ляо лишь для случая, когда слоем косого
произведения является сфера). Общая теория препятствий к рас-
распространению секущих поверхностей (аналогичная упомянутой
выше теории Постникова для отображений) развита Германом
[164] и [165], получившим'также аналоги формул Болтянского и
Ляо — Виноградова. Построения Германа были развиты и кон-
конкретизированы для случая главных косых произведений Лундел-
лом [166]. На случай относительных косых произведений (со сло-
слоем, являющимся сферой) формула Ляо была обобщена Карвальо
[167]. Своеобразные задачи о вторых препятствиях к распростра-
распространению секущих поверхностей двукратных и индуцированных ко-
косых произведений рассматривал Матузявичус [168—170]. Свое-
Своеобразие этих задач проявляется, в частности, в том, что в их
решении не участвуют когомологические операции.
Понятие препятствия к распространению секущих поверхно-
поверхностей для случая расслоений с гомотопически непростым слоем
ввел Лазришвили [171].
С задачей гомотопической классификации отображений тесно
связана также задача характеризации гомотопического типа поли-
полиэдров. Хотя эта задача в принципе полностью решена в теории го-
гомотопических резольвент, все же по-прежнему актуальная задача
эффективного описания гомотопических типов полиэдров того или
иного класса. В работах Чжан Су-чена [160, 172] охарактеризо-
охарактеризован гомотопический тип (п + 3) -мерных полиэдров, асферичных в
размерностях, меньших п, а в работе Кок)рофта и Свана [173] —
гомотопический тип некоторых двумерных полиэдров.
В работе Тома [174] вводится пространство L всех непрерывных
отображений A —>fi, принадлежащих данному гомотопическому
классу и в различных частных предположениях рассматривается
задача о вычислении гомотопической резольвенты пространства L
по группам когомологий пространства А и гомотопической резоль-
резольвенте пространства В.
Так как гомотопическая резольвента полностью определяет го-
гомотопический тип пространства, то по этой резольвенте можно в
принципе вычислить все остальные гомотопические инварианты.
По отношению к умножению Уайтхеда это в явном виде сделано
в работе Мейера [94]. В этой работе указаны также необходимые и
достаточные условия равенства нулю факторов гомотопической
резольвенты. Из этих условий, в частности, следует, что для Л'-мер-
ного полиэдра X фактор kn+l при n>N равен нулю только в три-
тривиальном случае лп(Х) =0.
Ряд работ был посвящен (полностью или частично) построе-
построению гомотопической резольвенты отображений (как любых,так и
расслаивающих). В геометрическом варианте это было сделано
Германом [164—165], Томом [174] и Экманом и Хилтоном [175],
причем последние авторы построили также двойственную гомоло-
118

гическую резольвенту. Гомотопические резольвенты главных рас-
расслоений рассматривал (в рамках теории симплициальных мно-
множеств) Ши [176].
7. Симплициальные множества. Вообще говоря,
теории симплициальных множеств уделялось довольно много вни-
внимания. Кроме работ в той или иной связи уже упомянутых выше,
мы, в первую очередь, должны здесь указать на работы Кана
[177—179] по теории симплициальных групп, в которых прослеже-
прослежена аналогия между свободными симплициальными группами и
клеточными разбиениями. В работе [180] Кан на основе этой ана-
аналогии переносит на произвольные симплициальные множества по
строение Г-последовательности Уайтхеда. Расслоениям симплици-
симплициальных множеств посвящены работы Баррата, Гуггенхейма и Му-
Мура [181], Цисмана [182], Дольда [183] и Гуггенхейма [184]. В первой
из этих работ сравниваются различные определения понятия рас-
расслоения для симплициальных множеств, во второй теория препят-
препятствий и различающих переносится на расслоения в смысле Кана,
в третьей — определяется и изучается понятие косого произведе-
произведения симплициальных множеств (в частности доказывается, что
геометрическая реализация косого произведения является квази-
квазирасслоением) и, наконец, в четвертой на скрещенные прямые
произведения переносится методика Брауна (см. ниже) построе-
построения спектральной последовательности расслоения.
К теории симплициальных множеств относятся также работы
Ши [185] и Окамото [186]. Изложение основных понятий этой тео-
теории содержится в статьях Шуберта [187] и Картье [188].
В заключение обзора мы рассмотрим еще те работы по теор*йи
расслоений, группам преобразований и Я-пространствам, которые
можно отнести к теории гомотопий.
8. Расслоенные пространства. Большинство работ
по теории расслоений ориентировано ib направлении «гладкой то-
топологии» in потому выпадает из настоящего обзора. К нему можно
отнести лишь работы, посвященные определению (и обобщению)
различных вариантов понятия расслоенного пространства, вопро-
вопросам послойной гомотопической эквивалентности и задаче вычис-
вычисления групп гомологии расслоенного пространства (спектральные
последовательности и т. п.). По первой теме мы, в первую очередь,
укажем работу Картана и Эйленберга [189], в которой понятие ло-
локально тривиального расслоенного пространства изучается в мак-
максимально возможной общности. Обобщения понятия косого про-
произведения рассматривались в работах Дюэвеля [190] и Хефлиге-
ра [81]. В работе Фаделла [191] доказывается, что понятия рас-
расслоенного пространства в смысле Гуревича и смысле Стинрода по
существу совпадают. Содержательная теория главных квазирас-
квазирасслоений построена в работе Дольда [192]. Ряд теорем о расслое-
расслоениях с особенностями доказан Коннером и Дайером [193]ЛВопро-
119

сам послойной гомотопической эквивалентности расслоений были
посвящены работы Фаделла [194] и Дольда [192]. Среди работ по
теме «гомологии и расслоения» мы должны, в первую очередь,
отметить работы Брауна [195] и [196], в которых доказано, что для
любого расслоенного пространства X с базой В и слоем F цепной
сингулярный комплекс 5 (X) цепно эквивалентен тензорному про-
произведению S(B(g)S(F), в котором дифференциал d определяется
по формуле
д(b®f) = db®f + (-l)dim b (b®df + F®/) Пер),
где ф — некоторая коцепь базы В с коэффициентами в комплексе
S(QB). Этот новый подход к задаче вычисления групп гомологии
расслоенного пространства позволяет, в частности, весьма просто
получить спектральную последовательность Лере — Серра, дока-
доказать теорему Гуревича — Фаделла и, вообще, получить все извест-
известные в гомологической теории расслоений результаты. Как уже го-
говорилось выше, перенос результатов Брауна на случай симплици-
альных множеств был осуществлен Гугенхеймом [184]. Одну тео-
теорему, аналогичную теореме Брауна (но значительно более сла-
слабую), доказал также Кокрофт [197]. Теорема Гуревича — Фаделла
была заново доказана и обобщена в работе Ши [198]. Когомологии
пространства X в случае, когда F представляет собой гомологиче-
гомологическую сферу, гомологичную нулю в X, изучал Хирш [28]. Ряд тео-
теорем о группах когомологии пространств, расслоенных на сферы,
доказал также Мальм [199]. Расслоения, слоями которых являют-
являются пространства Эйленберга—Маклейна, изучал Кокрофт [200].
Когомологии главных расслоенных пространств, слой которых
асферичен в размерностях меньших п, рассматривал Петерсен
[95]. Некоторые результаты о когомологиях дифференцируемых
расслоений получил также Хатори [201], работа которого посвя-
посвящена в основном, изучению когомологии однородных пространств
групп Ли.
Спектральную последовательность произвольного непрерывно-
непрерывного отображения р: X—+Y изучал Дюэвель [202], определивший в
весьма обших предположениях понятие характеристических клас-
классов отображения р и указавший связь этих классов с дифферен-
дифференциалами спектральной последовательности. В применении к рас-
расслоениям исследования Дюэвеля дают, в частности, новое доказа-
доказательство теоремы Лере — Хирша.
К гомотопической теории расслоений можно (с некоторой на-
натяжкой) отнеетти также обширные исследования Шварца [203]
(см. также [204]) по роду расслоенных 'пространств. Пусть Х—+ В—
произвольное расслоение. Его родом по Шварцу называется наи-
наименьшее число множеств, покрывающих базу В, над каждым из
которых это расслоение имеет секущую поверхность. Шварц пред-
предпринимает подробное исследование этого понятия (и некоторых его
видоизменений) и получает, в частности, ряд оценок рода через
120

гомотопические инварианты. Из многочисленных применений по-
понятия рода мы отметим здесь только следующую теорему, касаю-
касающуюся проблемы гомеоморфного вложения топологического про-
пространства X в евклидово n-мерное пространство: если такое вло-
вложение возможно, то для любого простого р род взрезанной р-той
степени К пространства X относительно преобразования Т\
(х\,. .., хр) —* (хр, х\,..., xv-\) (т. е. род соответствующего глав-
главного расслоения К—+К/Т) не может превосходить числа п(р—1).
9. Группы преобразований. Работы по теории групп
преобразований естественно почти полностью выпадают из настоя-
настоящего обзора. Из этих работ к теории гомотопии можно отнести
лишь работы, в том или ином направлении развивавшие резуль-
результаты Смита о периодических отображениях (см. обзор Смита
[205]). Здесь, в первую очередь, необходимо указать на работу
Джорджутти [206], 'в которой соде(ржится новое построение теории
Смита, основанное на общей теории спектральных последователь-
последовательностей. В работе Коннера и Флойда [207] в ответ на один вопрос
Смита строятся некоторые периодические преобразования без не-
неподвижных точек. Неподвижные точки конечных групп, действую-
действующих в конечномерном пространстве, изучал (используя технику
спектральных последовательностей) также Сван [208]. Ряд теорем
о существовании неподвижных точек конечных групп преобразо-
преобразований доказал Гривер [209]. Случай элементарных абелевых групп
преобразований рассматривали Борель [210], Смит'[2И] и Хел-
лер [212]. Неподвижные точки тороидальных групп на гомологиче-
гомологических сферах рассматривал Манн [213]. Одна теорема Смита о
неподвижных точках инволюции действующей в проективном про-
пространстве обобщена на гомологические проективные пространства
в работе Су [214]. Обобщению теории Смита на случай р-адиче-
ских групп преобразований были посвящены работы Ян Джу-дао
[241] и Бредона, Реймонда и Вильямса [215]. В работе Джерафти
[216] теория Смита применена к изучению некоторых геометриче-
геометрических вопросов (связанных с теоремами Люстерника — Шнирель-
мана и Борсука — Улама). Неподвижные точки группы S1, дей-
действующей на сфере 5П, изучались Коннером [217]. Аналоги некото-
некоторых результатов Смита получены Коннером и Монтгомери [218,
219] для групп, действующих на конечномерных пространствах
типа К (я, 1).
Гомотопический характер имеют также многие результаты, из-
изложенные в трудах семинара Бореля по когомологической теории
групп преобразований [220].
10. Я-пространства. Ряд работ по теории Я-пространств
уже рассматривался выше (например, в разделе, посвященном
вычислению групп когомологий). Остающиеся работы по этой тео-
теории концентрируются в основном вокруг проблемы существования
на данном пространстве Я-строения, обладающего теми или иными
121

алгебраическими свойствами. Так, например, //-пространство мо-
может быть ассоциативным или только гомотопически ассоциатив-
ассоциативным, или вообще не обладать свойством ассоциативности; анало-
аналогично дело обстоит с коммутативностью. Комбинация этих свойств
позволяет разбить Я-пространства на девять непересекающихся
классов. В работе Адамса [221] показано, что все эти классы не-
непусты. Необходимые и достаточные условия того, чтобы на дан-
данном полиэдре можно было определить строение гомотопически
ассоциативного пространства, указал Сугавара [222]. Препятствия
к тому, чтобы данное Я-строение было гомотопически ассоциатив-
ассоциативным или гомотопически коммутативным, построил Джеймс [223].
Вопрос о гомотопической коммутативности групп Ли рассматрива-
рассматривали Джеймс и Томас [224], а также Араки, Джеймс и Томас [225],
которые, в частности, доказали, что ни одна компактная связная
неабелева группа Ли не может быть гомотопически коммутатив-
коммутативной. В работе Сугавара [226] введено понятие сильно гомотопиче-
гомотопически коммутативного Я-пространства и доказано, что умножение в
группе G, являющейся счетным полиэдром (или в пространстве
петель над счетным полиэдром В) тогда и только тогда сильно
гомотопически коммутативно, когда классифицирующее простран-
пространство BG группы G (или, соответственно, полиэдр В) является
Я-пространством (см. также [227]. В работе Браудера [106] пока-
показано, что если алгеб(ра когомологиипространства петель над неко-
некоторым односвязным Я-пространством имеет (как группа) конеч-
конечное число образующих, то это пространство петель имеет слабый
гомотопический тип тора. С другой стороны, в работе Лойбела
[228], см. также [146], показано, что все Я-строения на любом торе
гомотопически эквивалентны друг другу и потому гомотопичеаки
коммутативны и гомотопически ассоциативны. В этой же работе
Лойбела найдены также все умножения, возможные на любых
произведениях сфер. Наконец, в работе ДжеймсаA46] изучены го-
мотспически коммутативные умножения, возможные на я-мерных
сферах.
1L Разное. Из оставшихся еще нерассмотренными работ,
посвященных различным, особняком стоящим, вопросам теории
гомотопии, мы укажем, в первую очередь, работу Берштейна и
Хилтона [149], в которой рассматривается категория (в смысле
Люстерника — Шнирельмана) конуса некоторого отображения
А—+Х и, в частности, вопрос об условиях совпадения этой катего-
категории с категорией пространства X. В этой работе построен пример
пространства категории 2, не являющегося надстройкой. Теории
категорий посвящены также работа Берштейна [229], в которой
построен пример пространства одномерной категории <4, разла-
разлагающегося в прямое произведение пространств одномерной катего-
категории 3, и уже упоминавшаяся выше работа Ганя [230], в которой
вводится и изучается дуализируемое понятие индуктивной катего-
122

рии пространств и отображений. В работе Варадаржана [231] най-
найдены все пространства Эйленберга — Маклейна, категория кото-
которых конечна.
В работе Сираивы [232] доказано, что при п> 1 для любой абе-
левой группы я с конечным числом образующих соответствующее
пространство Эйленберга — Маклейна можно реализовать в ви-
виде полиэдра, каждый остов которого конечен.
В работе Берштейна [233] заново найдены необходимые и до-
достаточные условия существенности конечного размерно-однород-
размерно-однородного полиэдра. В работе Ганя [234] изучено строение множества
гомотопически устойчивых точек любого сепарабельного метриче-
метрического пространства.
В работе Баратта [235] детально изучены полиэдры X, для ко-
которых тождественное отображение надстройки SX на себя имеет
конечный порядок (в группе гомотопических классов отображений
SX-+SX).
В работе Адамса [236] доказано предположение Тода [237]
о том, что точное число линейно независимых векторных полей
на (п— 1)-мерной сфере равно 2е + 8d — 1, где числа end опре-
определяются из условий: п = 2ьBа+\), Ь = с + 4d, 0<c<3.
Хотя эта работа и не относится, собственно говоря, к теории
гомотопий, мы о ней упоминаем как ввиду замечательности са-
самого результата, так и ввиду того, что используемые в ней ме-
методы имеют существенно гомотопическую природу.
С некоторой натяжкой к теории гомотопий можно отнести так-
также работы Ху [238, 239], в которых предлагается общий метод
построения изотопических инвариантов пространств.
В некотором отношении «гомотопический» характер имеет так-
также работа Дольда [240], в которой ряд построений теории гомото-
гомотопий (например теория примарных когомологических операций)
переносится на цепные комплексы.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Adams J. F., On the non-existence of elements of Hopf invariant
one. Ann. Math., 1960, 72, № 1, 20—104 (РЖМат, 1961, 5A353)
2. —, On the structure and applications of the Steenrod algebra. Comment,
math, helv., 1958, 32, №3, 180—214 (РЖМат, 1961, 5A351)
3. —, On the nonexistence of elements of Hopf of unvariant one. Bull. Amer.
Math. Soc, 1958, 64, №5, 279—282 (РЖМат, 1961, 5A352)
4. Адаме Д. Ф., О несуществовании отображений с инвариантом
Хопфа, равным единице. Математика. Сб. перев. ин. статей, 1961, 5,
3—86 (РЖМат, 1962, 2А358)
5. Zisman M. Espaces fibres et groupes d'homotopie Semin. H. Cartan.
Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 1. 2-е ed. Paris, 1959,
1/1—1121 (РЖМат, 1961, 9A414)
6. D о u a d у A. La suite spectrale des espaces fibres. Semin. H. Cartan.
Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 1. 2-е ed. Paris, 1959,
2/1—2/10 (РЖМат, 1961, 9A415)
123

7. Douady A., Applications de la suite spectrale des espaces fibres. Semin. H.
Cartan. Ecole norm, super. 1958—1959. 11-е annee, Vol. 1. 2-е ed. Paris
1959, 3/1—3/11 (РЖМат, 1961, 9A416)
8. Dem azure M. Theoremes de Hurewicz et Whitehead. Semin. H.
Cartan. Ecole norm, super. 1958—1959, 11-е annee, Vol. 1. 2-е ed. Paris,
1959, 4/1—4/13 (РЖМат, 1961, 9A417)
9. Cartan H. Suspension 'et invariant de Hopf. Semin. H. Cartan. Ecole
norm, super. 1958—1959. 11-е annee. Vol. 1, 2-е ed. Paris, 1959,5/1—5/19
(РЖМат, 1961, 9A418)
10. —, Invariant de Hopf. Semin. H. Cartan. Ecole norm, super. 1958—1959,
11-e annee, Vol. 1, 2-е ed. Paris, 1959, 6/1—6/12 (РЖМат, 1961, 9A419)
11. Shih W. Ensembles simpliciaux et operations cohomologiques. Semin.
H. Cartan. Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 1, 2-е ed.
Paris, 1959, 7/1—7/10 (РЖМат, 1961, 9A420)
12. Douady A. Les complexes d'Eilenberg—Maclane. Semin. H. Cartan.
Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 1. 2-eed. Paris, 8/1—8/10
(РЖМат, 1961, 9A421)
13.—, Operations cohomologiques. Semin. H. Cartan. Ecole norm, super.
1958-1959. 11-e annee, Vol. 1, 2-е ed. Paris, 1959, 9/1—9/15 (РЖМат,
1961, 9A422)
14. Giorgiutti I. L/ algebre de Steenrod et sa duale. I, II. Semin.
H. Cartan. Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 2. 2-е ed.
Paris, 1959, 10/1—10/14, 11/1 — 11/10 (РЖМат, 1961, 9A423)
15. Cartan H. Operations cohomoligiques secondaires. Semin. H. Cartan.
Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 2. 2-е ed. Paris, 1959,
13/1 —13/20 (РЖМат, 1961, 9A424)
16. —, Operations cohomologiques secondaires. Semin. H. Cartan. Ecole norm,
super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 2. 2-е ed. Paris, 14/1—14/12 (РЖМат,
1961, 9A425)
17. —, Relations entre operations cohomologiques secondaires. Semin. H.
Cartan. Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 2. 2-е ed. Paris,
1959, 17/1-17/10 (РЖМат, 1961, 9A426)
18. —, Quelques proprietes des algebres de Hopf. Applications a Talgebre
de Steenrod. Semin. H. Cartan. Ecole norm, super. 1958—1959.
11-e annee, Vol. 2, 2-е ed. Paris, 1959, 12/1—12/18 (РЖМат, 1961,9А427)
19. —, Homologie et cohomoligie d'une algebre graduee. Semin. H. Cartan.
Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 2, 2-е ed, Paris, 1959,
15/1 — 15/20 (РЖМат, 1961, 9A428)
20. —, Une suite spectrale. Application a l'algebre de Steenrod pour p— 2.
Semin. H. Cartan. Ecole norm, super 1958—1959. 11-e annee, Vol. 2, 2-е
ed. Paris, 1959, 16/1 — 16/23 (РЖМат, 1961, 9A429)
21. Douady A. La suite spectrale d' Adams. I, II. Semin. H. Cartan.
Ecole norm, super. 1958—1959. 11-e annee, Vol. 2, 2-е ed. Paris, 1959,
18/1 — 18/18, 19/1—19/13 (РЖМат, 1961, 9A430)
22. Liulevicius A. The factorization of cyclic reduced powers by
secondary cohomology operations. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1960,
46, № 7, 978—981 (РЖМат, 1962, 7A289)
23. Shimada Nobuo. Triviality of the mod p Hopf invariants. Proc.
Japan Acad., 1960, 36, № 2, 68—69 (РЖМат, 1962, 5A340)
24. Yamanoshita Tsuneyo. On the mod p Hopf invariant. Proc.
Japan Acad., 1960, 36, № 3, 97—98 (РЖМат, 1962, 5A341)
25. Massey W. S. Some higher order cohomology operations. Sympos.
Internac. Topol. Algebraica, Agosto, 1956, Mexico. Mexico, 1958, 145—
154 (РЖМат, 1961, 3A357)
26. Peterson F. P., Stein N. Secondary cohomology operations.
Two formulas. Amer. J. Math., 1959, 81, №2, 281—305 (РЖМат, 1962,
2A362)
124

27. Shimada Nobuo. On stable functional cohomology operations.
Proc. Japan Acad., 1960, 36, №4, 183—186 (РЖМат, 1962, 5A343)
28. Hirsch G. Sur certaines operations dans l'homologie des espaces de
Riemann. Bull. Soc. math. Belg., 1957, 9, №2, 115—139 (РЖМат, 1961,
2A216)
29. Mizuno Katuhiko. Saito Yoshihiro. Note on the re-
relations on Steenrod algebra. Proc. Japan Acad., 1959, 35, № 9, 557—562
(РЖМат, 1962, 1A333)
30. Mukohda Shunji. On a theorem of Toda in the Steenrod algebra
Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ., 1960, AH, №2, 85—87 (РЖМат, 1962,
6A278)
31. Toda Hirosi. ^-primary components of homotopy groups. I. Exact
sequences in Steenrod algebra. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, 1958, A31,
№ 2, 129—142 (РЖМат, 1960, 1499)
32. Cohen D. E.On the Adem relations. Proc. Cambridge Philos. Soc,
1961, 57, №2, 265—267 (РЖМат, 1962, 1A334)
33. Wall С. Т. Geperators and relations for the steenrod algebra. Ann.
Math., 1960, 72, №3, 429—444 (РЖМат, 1962, 2A363)
34. Nakamura Tokusi. Equivalence between two definitions of the
cohomology operations. Scient. Papers Coll. Gen. Educ. Univ. Tokyo,
1959, 9, № 1, 1 — 16 (РЖМат, 1962, 2A361)
35. Dold A. Uber die Steenrodschen Kohomologieoperationen. Ann. Math.,
1961, 73, №2, 258—294 (РЖМат, 1962, 5A345)
36.—, Sur les operations de Steenrod. Bull. Soc. math. France, 1959, 87, № 4,
331—339 (РЖМат, 1962, 5A344)
37. Browder W. Some additive cohomology operations which are not
suspensions. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, № 1, 50—54 (РЖМат,
1961, 8A337)
38. —, T h о m a s E. Axiomes for the generalized Pontryagin cohomology
operations. Quart. J. Math., 1962, 13, №49, 55—60 (РЖМат, 1962,
10A230)
39. Thomas E. The suspension of the generalized Pontrjagin cohomology
operations. Pasif. J. Math., 1959, 9, № 3, 897—911 (РЖМат, 1961, 5A354)
40. Yo Ging-tzung. The Smith algebra. Sci. Rec, 1959, 3, №5, 185—191
(РЖМат, 1961, 2A217)
41. Browder W. Homology operations and loop spaces. Illinois J. Math., 1960,
4, № 3, 347—357 ( (РЖМат, 1961, 8A336)
42. Eckmann B. Groupes d'homotopie et dualite. Bull. Soc math. France,
1958, 86, №4, 271—281 (РЖМат, 1961, 2A215)
43. Фукс Д. Б. О гомотопической двойственности. Докл. АН СССР, 1961,
141, №4, 818—821 (РЖМат, 1962, 5А332)
44. —, Шварц А. С. К гомотопической теории функторов в категории
топологических пространств. Докл. АН СССР, 1962, 143, № 3, 543—546
(РЖМат, 1962, 10А225)
45. Eckmann В., Hilton P. J. Operators and cooperators in homotopy
theory. Math. Ann., i960, 141, № 1, 1—21 (РЖМат, 1961, 9A381)
46. Hilton P. J. On a generalization of nilpotency to semi-simplicial
complexes. Proc London Math. Soc, 1960, 10, № 40, 604—622 (РЖМат,
1961, 9A382)
47. Ganea T. Lusternik—Schnirelmann category and cocategory. Proc. London
Math. Soc, 1960, 10, №40, 623—639 (РЖМат, 1961, 6A382)
48. Eckmann B. Homotopie et dualite. Colloq. topol. algebr., Louvain, 1956.
Liege, Georges Thone; Paris, Masson and Cie, 1957, 41—53 (РЖМат, 1961,
12A408)
49. Peterson P. Some non-embedding problems. Bol. Soc mat. Mexicana,
1957, 2, №2, 9—15 (РЖМат, 1961, 3A341)
125

50. Hilton P. J., S p a n i e r E. H. On the imbeddability of certain com-
complexes in Euclidean spaces. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 4, 523—
526 (РЖМат, 1961, 4A289)
51. Spanier E. Infinite symmetric products, function spaces, and duality.
Ann. Math., 1959, 69, № 1, 142—198 (РЖМат, 1962, 1A331)
52.—, W h i t e h e a d J. H. C. Duality in relative homotopy theory.
Ann. Math., 1958, 67, №2, 203—238 (РЖМат, 1961, 4A291)
53.—, Function spaces and duality. Ann. Math., 1959, 70, №2, 338—378
(РЖМат, 1962, 2A356)
54. Lima E. L. The Spanier Whitehead duality in new homotopy categories.
Summa brasil. math., 1959, 4, № 3, 91—147 (РЖМат, 1962, 10A226)
55. Whitehead G. W. Homology theories and quality. Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 1960, 46, №4, 554—556 (РЖМат, 1961, 8A332)
56. Huber P. J. Homotopical cohomology and Cech cohomology. Math. Ann.,
1961, 144, № 1, 73—76 (РЖМат, 1962, 2A347)
57. Hu Sze-Tzen. On axiomatic approach to homology theory without usiang
the relative groups. Portug. math., 1960, 19, №3-4, 211—225 (РЖМ т,
1961, 9A379)
58. Kelly G. M. Single-space axioms for homology theory. Proc. Cambridge
Philos. Soc, 1959, 55, № 1, 10—22 (РЖМат, 1962, 2A346)
59. Постников М- М. О равносильности теорий когомологий. Тр. Матем.
ин-та АН СССР, 1961, 64, 165—172 (РЖМат, 1962, 10А224)
60. Болтянский В. Г., Постников М. М. Об основных понятиях
алгебраической топологии. Аксиоматическое определение групп кого-
когомологий. Докл. АН СССР, 1960, 133, №4, 745—747 (РЖМат, 1961,
9А378)
61. Ни Sze-Tsen. An axiomatic approach to homotopy theory without using
the relative groups. Portug. math., 1961, 20, № 1-2, 95—103 (РЖМат,
1962, 1A326)
62. Kan D. M. An axiomatization of the homotopy groups. Illinois J. Math.,
1958, 2, №4A, 548—566 (РЖМат, 1961, 7A369)
63. Nakagawa R. Relative homotopy groups for с s. s. complexes. Sci. Repts
Tokyo Kyoiku Daigaku, 1959, A6, 15 Dec. 288—306 (РЖМат, 1962, 2A359)
64. Inoue Yoshiro. Homotopy groups of с s. s. complexes. Math. Japan. 1958,
5, № 1, 1—16 (РЖМат, 1961, 5A365)
65. Katuta Yukiti. Homotopy groups with coefficients. Sci. Repts Tokyo
Kyoku Daigaku, 1960, A7, 25 March, 5—24 (РЖМат, 1961, 8A333)
66. Kan D. M., Whitehead G. W., On the readability of singular
cohomology groups. Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 1, 24—25
(РЖМат, 1962, 5A326)
67. Gutierrez-Burzaco M., Uniform homotopy groups. Proc. Koninkl. nederL
akad. wet., 1960, A63, № 1, 67—73; Indagationes math., 1960, 22, JMb 1,
67—73 (РЖМат, 1962, 1A327)
68. Cerf J., Groupes d'homotopie locaux et groupes d'homotopie mixtes des
espaces bitopologiques. Definitions et propietes. C. r. Acad. sci., 1961,
252, №26, 4093-4095 (РЖМат, 1962, 2A360)
69. —, Groupes d'homotopie locaux et groupes d'homotopie mixtes des espaces
bitopologiques. Presque я-locale connexion. Applications. C. r. Acad. sci.,
1961, 255, №3, 363—365 (РЖМат, 1962, 3A321)
70. Савин А. П. О разбиениях совершенно нормальных пространств. Докл.
АН СССР, 1961, 138, №5, 1029—1032 (РЖМат, 1962, 1А328)
71. Borsuk К., On a generalization of the cohomotopy groups. Bull. Acad.
polon. Sci, Ser. sci. math., astron. et phys., 1960,8, №9, 615—620
(РЖМат, 1961, 10A325)
72. Copeland A. H., Jr., Binary operations on sets of mapping classes. Michi-
Michigan Math. J., 1959, 6, № 1, 7—23 (РЖМат, 1961, 9A380)
126

73. Borsuk К., Remarks on the homotopic join of maps. Fundam. math., 1961,
50, №2, 195—206 (РЖМат, 1962, 10A227)
74. Kawada Yukiyosi, Cosheaves. Proc. Japan Acad., 1960, 36, № 3, 81—85
(РЖМат, 1962, 1A316)
75. Deheuvels R., Homologie a coefficients dans un antifaisceau. C. r. Acad
sci., 1960, 250, № 14, 2492—2494 (РЖМат, 1962, 1A317)
76. Luft E., Eine Verallgemeinerung der techschen Homologietheorie, Bonn
math. Schr., 1959, №8, 41S., ill. (РЖМат, 1962, 2A348)
77. Dedecker P., Extension du groupe structural d'un espace fibre. Colloque
de topologie de Strasbourg, 1954—1955. Institut de Mathematique, Uni-
versite de Strasbourg. 15 pp. (РЖМат, 1961, 2A220)
78. —, Groupoides de cohomologie a coefficients non abeliens et espaces
fibres. Colloq. top. algebr., Louvain 1956. Liege, Georges Thone, Paris,
Masson and Cie, 1957, 135—149 (РЖМат, 1961, 12A400)
79. —, Sur la cohomologie non abelienne. I (dimension deux). Canad. J.
Math., 1960, 12, №2, 231—251 (РЖМат, 1961, 8A341)
80. Nguyendinhngoc M., Sur la suite exacte de cohomologie non abelienne.
С r. Acad. sci., 1960, 250, № 21, 3438—3440 (РЖМат, 1962, 1A315)
81. Haefliger A., Structures feuilletees et cohomologie a valeur dans un fais-
ceau de groupoides. Comment, math, helv., 1958, 32, №4, 248—329
(РЖМат, 1961, 5A348)
82. Teleman S., Sur la formule d'Euler—Poincare—Hopf. Rev. math, pures
et appl. (RPR), 1957, 2, 551—554 (РЖМат, 1961, 5A343)
83. Leray J., Theorie des points fixes: indice, total et nombre de Lefschetz.
Bull. Soc. math. France, 1959, 87, № 3, 221—233 (РЖМат, 1962, 2A355)
84. Darbo G., Sulle coincidenze di mappe ponderate. Rend. Seminar, mat.
Univ. Padoya, 1959, 29, 256—270 (РЖМат, 1962, 1A325)
85. Franz W., Uber die Graphen der Abbildungen einer Mannigfaltigkeit in
eine andere. Arch. Math., 1959, 10, № 1, 34—39 (РЖМат, 1962, 2A354)
86. MacLane S., Triple torsion products and multiple Klinneth formulas.
Math. Ann., 1960, 140, № 1, 51—64 (РЖМат, 1962, 7A274)
87. Crowell R. H., On the van Kampen theorem. Pacif. J. Math., 1959, 9,
№ 1, 43—50 (РЖМат, 1961, 1A321)
88. Weinzweig A. I. The fundamental group of a union of spaces. Pacif. J.
Math., 1961, 11, №2, 763—776 (РЖМат, 1962, 7A280)
89. Epstein D. В., Free products with amalgamation and 3-manifolds. Proc.
Amer. Math. Soc, 1961, 12, №4, 669—670 (РЖМат, 1962, 4A328)
90. Poenaru V., Sur les groupes пп(Х\/Х'у y\/if'). Bull. math. Soc. sci. math,
et phys. RPR, 1959, 3, №4, 441—443 (РЖМат, 1962, 5A333)
91. Umeda Yoshio, A remark on a theorem of J. P. Serre. Proc. Japan Acad.,
1959, 35, №9, 563—566 (РЖМат, 1961, 7A372)
92. Wada Toru, Note on suspension and Hopf invariant. Tohoku Math. J.,
1960, 12, №3, 361—368 (РЖМат, 1962, 8A290)
93. Hilton P. J., Note on the Jacobi identity for Whitehead products. Proc.
Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, № 1, 180—182 (РЖМат, 1961, 7A371)
94. Meyer J.-P., Whitehead products and Postnikov systems. Amer. J. Math.,
1960, 82, №2, 271—280 (РЖМат, 1961, 8A334)
95. Peterson F. Whitehead products aid the cohomology structure of principal
fibre spaces. Amer. J. Math., 1960, 82, №3, 649—652 (РЖМат, 1962,
5A342)
96. Hardie K. A., Higher Whitehead products. Quart. J. Math., 1961, 12,
№48, 241—249 (РЖМат, 1962, 8A289)
97. —, A generalization of the Hopf construction. Quart. J. Math., 1961, 12,
№ 47, 196—204 (РЖМат, 1962, 5A335)
98. —, Derived homotopy constructions. J. London Math. Soc, 1960, 35,
№ 4, 465—480 (РЖМат, 1961, 8A339)
127

99. Hardie К. A., On a construction of E. C. Zeeman. J. London Math. Soc,
1960, 35, №4, 452—464 (РЖМат, 1961, 8A338)
100. Toda Hirosi. p-primary components of homotopy groups. IV. Compositi-
Compositions and toric constructions. Mem. Coll. sci. Univ. Kyoto, 1959, A-Math.,
32, № 2, 297^-332 (РЖМат, 1962, 5A334)
101. James I. M., The transgression and Hopf invariant of a fibration. Proc.
London Math. Soc, 1961, 11, №44, 588—600 (РЖМат, 1962, 5A337)
102. Halpern E. A., A note on divided powers in a Hopf algebra. Proc. Amer.
Math. Soc, 1960, 11, №4, 547—556 (РЖМат, 1961, 7A366)
103. —, On the structure of hyperalgebras. Class I Hopf algebras. Portug.
math., 1959, 17, №3-4, 127—147 (РЖМат, 1961, 7A367)
104. —, On the primitivity of Hopf algebras over a field with prime characte-
characteristic Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 1, 117—126 (РЖМат, 1961,
7A368)
105. Araki Shord, Differential Hopf algebras and the cohomology mod 3 of the
compact exceptional groups £7 and £8. Ann. Math., 1961, 73, № 2, 404 —
436 (РЖМат, 1962, 5A369)
106. Browder W., Loop spaces of Я-spaces. Bull. Amer. Math. Soc, 1960, 66,
№ 4, 316—319 (РЖМат, 1961, 8A335)
107. —, The cohomology of covering spaces of H-spaces. Bull. Amer. Math.
Soc, 1959, 65, № 3, 140—141 (РЖМат, 1961, 9A385)
108. Borel A., Commutative subgroups and torsion in compact Lie groups. Bull.
Amer. Math. Soc, 1960, 66, №4, 285—288 (РЖМат, 1962, 5A367)
109. Araki Shoro, On the non-commutativity of Pontrjagin rings mod 3 of
some compact exseptional groups. Nagoya Math. J., 1960, 17, Aug., 225 —
260 (РЖМат, 1962, 5A368)
110. Yokota Ichiro, On the homology of classical Lie groups. J. Inst. Polytechn.
Osaka City Univ., 1957, A8, № 2, 93—120 (РЖМат, 1962, 3A333)
111. —, On some homogeneous spaces of classical Lie groups. J. Inst. Poly-
Polytechn. Osaka City Univ., 1958, A9, № 1, 29—35 (РЖМат, 1962, 3A334)
112. Nagano Tadashi, On some compact transformation groups on spheres-
Scient. Papers Coll. Gen. Educ Univ. Tokyo, 1959, 9, №2, 213—218
(РЖМат, 1961, 7A378)
ИЗ. Розенкноп И. 3. О когомологиях однородных пространств классических
групп по коммутативным подгруппам общего положения. Успехи матем.
наук, 1960, 15, №4, 223—224 (РЖМат, 1961, 12А432)
114. Halpern E., The cohomology of a space on which an //-space operates.
Michigan Math. J., 1959, 6, №4, 381—394 (РЖМат, 1961, 7A365)
115.—, The cohomology algebra of certain loop spaces. Proc Amer. Math. Soc,
1958, 9, №5, 808—817 (РЖМат, 1961, 7A364)
116. Dold A., Homology of symmetric products and other functors of complexes.
Ann. Math., 1958, 68, №1, 54—80 (РЖМат, 1961, 5A367)
117. —, P u p p e D., Non-additive functors, their derived functors and the
suspension homomorphism. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1958, 44, № 10,
1065—1068 (РЖМат, 1961, 5A368)
118. —, —, Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen. Ann. Inst.
Fourier, 1961, 11, 201—312 (РЖМат, 1962, 1A332)
119. Nakaoka Minoru Cohomology of symmetric products. J. Inst. Polytechn.
Osaka City Univ., 1957, A8, №2, 121 — 145 (РЖМат, 1961, 12A433)
120. —, Cohomology mod p of symmetric products of spheres. I. J. Inst. Poly-
Polytechn. Osaka City Univ., 1958, A9, № 1, 1 — 18 (РЖМат, 1962, 7A277)
121. Gohomology mod p of symmetric products of spheres. II. J. Inst.
Polytechn.Osaka City Univ.,1959,A10, № 2,67—89 (РЖМат, 1962,7А278)
122. —, Homology of the infinite symmetric group. Ann. Math., 1961, 7a,
№ 2, 229-257 (РЖМат, 1962, 7A279)
128

123. Nakaoka Minoru, Decomposition theorem for homology groups of symmet-
symmetric groups. Ann. Math., 1960, 71, № 1, 16—42 (РЖМат, 1962, 5A328)
124. Swan R. G., The homology of cyclic products. Bull. Amer. Math. Soc,
1959, 65, №3, 125—127 (РЖМат, 1961, 2A210)
125. —, The homology of cyclic products. Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 95,
№ 1, 27—68 (РЖМат, 1961, 2A211)
126. Barcus W. D., On the cohomology of an Eilenberg—Maclane space. Quart.
J. Math., 1961, 12, №48, 268—282 (РЖМат, 1962, 7A288)
127.Kristensen L., On the cohomology of two-stage Postnikov systems. Bull.
Amer. Math. Soc, 1961, 67, №6, 597—602 (РЖМат, 1962, 6A277)
128. Шварц А. С. Гомологии пространств замкнутых кривых. Тр. Моск.
матем. о-ва, 1960, 9, 3—44 (РЖМат, 1962, ЗА320)
129. Жижченко А. Б. О гомологических группах аффинных алгебраических
многообразий. Докл. АН СССР, 1959, 128, № 4, 661—664 (РЖМат, 1961,
6А397)
130. Chow Sho-kwan. The steenrod operations and homotopy groups. Sci. Rec,
1958, 2, № 11, 355—357 (РЖМат, 1961, 5A356)
131. Чжо Сюе-гуан. Операции Стинрода и гомотопические группы. Шусюэ
сюэбао. Acta math, sinica, 1959, 9, № 3, 227—242 (РЖМат, 1961, 5А356)
132. Chow Sho-kwan, Steenrod operations and homotopy groups. II. Sci. rec,
1958, 2, № l, 358—363 (РЖМат, 1961, 5A357)
133. Чжо Сюе-гуан, Операции Стинрода и гомотопические группы. II. Шусюэ
сюэбао. Acta, Math, sinica, 1959, 9, № 3, 243—263 (РЖМат, 1961, 5А357)
134.—, Гомотопические группы и (J умножение в группах когомологий. Шу-
Шусюэ сюэбао. Acta math, sinica, 1958, 8, №2, 200—209 (РЖМат, 1961,
5А358)
135. Bott R., An application of the Morse theory to the topology of Lie groups,
Proc. Internat. Congr. Mathematicians, 1958. Cambridge, Univ. Press.
1960, 423—426 (РЖМат, 1961, 6A390)
136. Kervaire M. A., L'homotopie stable des groupes classiques d'apres R. Rott.
Applications. Semin. Bourbaki. Secret, math. 1958—1959, 11-e annee.
Fasc. 1. 2-е ed. Paris, 1959, 172/1 — 172/10 (РЖМат, 1961, 10A327)
137. Adams J. F., On Chern characters and the structure of the unitary group.
Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, №2, 188—199 (РЖМат, 1962,
7A292)
138. Bott R., Quelques remarques sur les theoremes de periodicite. Bull. Soc.
math. France, 1959, 87, №4, 293—310 (РЖМат, 1961, 7A375)
139. Toda H., A topological proof of theorems of Bott and Borel—Hirzebruch
for homotopy groups of unitary groups. Mem. Coll. Sci.
Vmv. Kyoto, 1959, A-Math., 32, №1, 103—119 (РЖМат, 1961, 9A392)
140. Kervaire M. A., Some nonstable homotopy groups of Lie groups. Illinois
J. Math., 1960, 4, №2, 161—169 (РЖМат, 1961, 7A374)
141. Harris В., On the homotopy groups of the classical groups. Ann. Math.,
1961, 74, №2, 407—413 (РЖМат, 1962, 9A222)
142. Toda Hirosi, On unstable homotopy of spheres and classical groups. Proc.
Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1960, 46, № 8, 1102—1105 (РЖМат, 1962, 7A281)
143. Paechter G. F., The groups Jtr(Vfvm). IV, V. Quart. J. Mathem., 1959, 10,
№40, 241—260 (РЖМат, 1961, 7A373)
144. Hilton P. J., Generalizations of the Hopf invariant. Colloq. topol. aglebr.
Louvain, 1956. Liege, Georges Thone; Paris, Masson and Cie, 1957, 9—27
(РЖМат, 1961, 11A284)
145. Hardie K. A., Note on the Hopf—James invariants. Proc. Cambridge Phi-
Philos Soc, 1961, 57, №4, 746—753 (РЖМат, 1962, 5A336)
146. James I. M., Products on spheres. Mathematica, 1959, 6, № 1, 1 — 13
(РЖМат, 1962, 7A286)
147. Barrat M. G., Note on a formula due to Toda. J. London Math. Soc,
1961, 36, № 1, 95—96 (РЖМат, 1961, 9A389)
9-5871 129

148. Чжан Су-чэн. О некоторых инвариантах для гомотопических групп сфер.
Шусюэ сюэбао, Acta math, sinica, 1959, 9, № 4, 468—474 (РЖМат, 1961,
12А407)
149. Berstein J., Hilton P. J., Category and generalized Hopf invariant.
Illionois J. Math., 1960, 4, №3, 437—451 (РЖМат, 1961, 6A380)
150. Ивановский Л. Н. Примарные компоненты гомотопических групп сфер.
Научн. докл. высш. школы. Физ.-матем. н., 1958, «№3, 53—63 A961,
5А349)
151. Sasao Seiva, On homotopy groups of certain complexes. J. Fac. Sci., Univ.
Tokyo, 1960, Sec. I, 8, № 3, 604—630 (РЖМат, 1962, 7A283)
152.—, On a certain cup product. J. Math. Soc. Japan, 1959, 11, №2, 112—115
(РЖМат, 1961, 9A383)
153. Koh S. S., Note on the homotopy properties of the components of the map-
mapping space XSP.Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 6, 896—904 (РЖМат,
1962, 7A282)
154. Chow Sho-kwan, Homotopy groups and cup product of cohomology groups.
Scientia sinica, 1959, 8, № 6, 557—567 (РЖМат, 1961, 5A359)
155. Patty C. W., Homotopy groups of certain delated product spaces. Proc.
Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 3, 369—373 (РЖМат, 1962, 6A273)
156. Baratt M. C, James I. M., Stein N. Whitehead products and
projective spaces. J. Math, and Mech., 1960, 9, №5, 813—819 (РЖМат,
1961, 10A326)
157. Chow sho-kwan, Homology groups and continuous mappings. I. Generalized
homotopy groups and Shiraiwa's theorem. Sci. Rec, 1960, 4, № 3, 139—
144 (РЖМат, 1962, 10A228)
158.—, Homology groups and continuous mappings. II. Homotopy classification
for the maps of (n+2)-dimensional polyhedron into (n—l)-connected space.
Sci. Res., 1960, 4, №3, 139—144 (РЖМат, 1962, 10A229)
159. Viviente Mateu, Sur la classification des applications continues d'un espace
dans un autre. C. r. Acad. sci., 1961, 252, № 26, 4096—4097 (РЖМат, 1962,
1A330)
160. Chang S. C, Cohomology operations and homotopy types of polyhedra.
Scientia sinica, 1961, 10, №8, 902—905 (РЖМат, 1962, 9A223)
161. Mizuno Katuhiko, Semi cubucal theory on higher obstruction. J. Inst.
Polytechn. Osaka City Univ., 1960, All, № 1, 15—22 (РЖМат, 1962,
1A329)
162. Shiraiwa Kenichi, Relation between higher obstructions and Postnikov
invariants. Nagoya Math., 1960, 16, Febr., 21—23 (РЖМат, 1961, 8A340)
163. Виноградов А. М. О втором препятствии для секущих поверхностей.
Докл. АН СССР, 1960, 130, № 4, 723—725 (РЖМат, 1961, 9А394)
164. Hermann R., Obstruction theory for fibre spaces. Illinois. J. Math., 1960,
4, № 1, 9—27 (РЖМат, 1961, 9A395)
165. —, Secondary obstruction for fibre spaces. Bull. Amer. Math.
Soc, 1959, 65, № 1, 5—8 (РЖМат, 1961, 9A396)
166. Lundell A. T.T Obstruction theory of principal fibre bundles. Trans.
Amer. Math. Soc, 1960, 97, № 1, 161 — 162 (РЖМат, 1961, 9A397)
167. Carvalho Carlos A. A. de, Sur les deuxiemes obstructions. Semin. topol. et
geom. different. Ch. Ehresmann. Fac sci. Paris. 1957—1958, 1 annee.
Paris, 1959, 13/1 — 13/13 (РЖМат, 1961, 10A328)
168. Matuzevifcius A., Daugadaros liefciamieji reperiniai lankai. Vilniaus
univ. Mokslo darbai, Уч. зап. Вильнюсского ун-та, 1958, 25, 5 —16
A961, 12А412)
169. Матузлвичюс А. Секущие поверхности индуцированных косых произ-
произведений. Vilniaus univ. Mokslo darbai. Matem., fiz., Уч. зап. Виль-
нюсск. ун-т. Матем. физ., 1960, 33, № 9, 37—43 (РЖМат, 1962, 5А347)
170. Matuzevifius A. Antrosios Kliutys indukuotose istrizose reperiniij 1аикц
sandaugose. Vilniaus univ. Mokslo darbai. Matem., fiz., Уч. зап. Виль-
130

нюсск. ун-т. Матем. физ., 1960, 33, № 9, 75—87 (РЖМат, 1962,
6А279)
171. Лазришвили Т. О препятствиях и различающих секущих поверхно-
поверхностей косых произведений, слои которых не являются Р-простыми.
Сакартвелос политекникури институти. Шромеби, Тр. Груз, политехи,
ин-т. 1958A959), № 1F2), 7—26 (РЖМат, 1961, 5А360)
172. Chang S. С, On theorem of К. Shiraiwa. Scientia sinica, 1961, 10, № 8,
899—901 (РЖМат, 1962, 9A224)
173. Cockroft W. H., Swan R. G., On the homotopy type of certain two-
dimensional complexes. Proc. London Math. Soc, 1961, 11, № 42, 193—
202 (РЖМат, 1962, 4A324)
174. Thom R., L'homologie des espaces fonctionnels. Colloque de topologie
algebrique. Louvain, 1956, pp. 29—39 (РЖМат, 1962, 2A357)
175. Eckmann В., Hilton P. J., On the homology and homotopy decom-
decomposition of continous maps. Proc. Nac. Acad. Sci., U. S. A., 1959, 45„
№ 3, 772—775 (РЖМат, 1962, 6A274)
176. Shih Weishu, Sur les systemes de Postnikov d'un fibre principal. SemirK
topol. et geom. different. Ch. Ehresmann. Fac. sci. Paris. 1957—1958*
1 annee Paris, 1959, 5/1—5/8 (РЖМат, 1961, 10A345)
177. Kan D. M., Minimal free с s. s. groups. Illinois J. Math., 1958, 2, № 4A,.
537—547 (РЖМат, 1961, 5A362)
178.—, On homotopy theory and с s. s. groups. A.nn. Math., 1958, 68, № 1,.
38—53 (РЖМат, 1961, 5A363)
179. —, A relation between CW-complexes and free с s. s. groups. Amer. J.
. Math., 1959, 81, № 2, 512—528 (РЖМат, 1961, 5A364)
180. —, Homotopy groups, commutators, and Г-groups. Illinois J. Math.,,
1960, 4, № 1, 1—8 (РЖМат., 1962, 9A221)
181. Barrat M. C, Gugenheim V. K. A. M., Moore J. C, On»
semisimplicial fibre-bundles. Amer. J. Math., 1959, 81, № 3, 639—657
(РЖМат, 1962, 5A351)
182. Zisman M., L'obstruction a la construction d'une section d'un fibre au
sens de Kan. C. r. Acad. sci., 1960, 250, № 4, 646—647; № 5, 793—794
(РЖМат, 1961, 7A376)
183. Dold A. Die geometrishe Realisierung eines schiefen Kartesischen Pro-
ducktes. Arch. Math., 1958, 9, № 4, 275—286 (РЖМат, 1961, 9A398)
184. Gugenheim V. K. A. M., On a theorem of E. H. Brown. Illinois J. Math.,
1960, 4, № 2, 292—311 (РЖМат, 1961, 12A431)
185. Shih Weisshu, Sur la suite exacte d'homotopie. C. r. Acad. sci., 1958,
246, № 26, 3567—3570 (РЖМат, 1961, 5A369)
186. Okamoto Sigeru, On reduced product complexes. Sci. Repts Tokyo Kyoku
Diagaku, 1959, A6, 25 March, 229—237 (РЖМат, 1961, 7A363)
187. Schubert H., Semisimpliziale Komplexe. Jahresber. Dtsch. Math.-Ver.,
1959, 61, № 3, 126 — 138 (РЖМат, 1961, 7A362)
188. Cartier P., Structures simpliciales. Semin. Bourbaki secret, math. 1959—
1960. 12-e annee Fasc. 3. 2-ed. Paris, 1960, 199/1 — 199/12 (РЖМат, 1961,
8A350)
189. Cartan H., Ei 1 e n b e r g S., Foundations of fibre dundles. Sympos.
Inter nac. Topol. Algebraica. Agosto, 1956, Mexico. Mexico, 1959, 16—
23 (РЖМат, 1961, 3A348)
190. Deheuvels R., Espaces fibres. Semin. analyse P. belong. Fac. sci. Paris.
1957 — 1958, 1 annee. Paris, 1959, 7/1—7/15 (РЖМат, 1962, 3A323)
191. Fadell E., The equivalence of fiber spaces and bundles. Bull. Amer.
Math. Soc, 1960, 66, № 1, 50—53 (РЖМат, 1961, 4A293)
192. Dold A., Principal quasifibrations and fibre homotopy equivalence of
bundles. Arch. Math., 1958, 9, №> 4, 275—280 (РЖМат, 1961, 9A399)
193. Conner P. E., Dyer E., On singular fiberings by spheres. Michigan
Math. J., 1959, 6, № 4, 303-311 (РЖМат, 1962, 1A336)
9* 131

194. Fadell E., On fiber homotopy equivalence. Duke Math. J., 1959, 26,№ 4,
699—706 (РЖМат, 1961, 4A292)
195. Brown E. H., Jr., Twisted tensor products. I. Ann. Math., 1959, 69,
№ 1, 223—246 (РЖМат, 1961, 12A430)
196. Браун Э., Скрещенные тензорные произведения. Математика. Период,
сб. перев. ин. статей, 1962, 6, № 1, 33—59 (РЖМат, 1962, 7А291)
197. Cockroft W. H., On a theorem of A. Borel. Trans. Amer. Math. Soc, 1961,
98, № 2, 255—262 (РЖМат, 1962, 9A226)
198. Shih Wei-shu. Sur le theoreme de Hurewicz-Fadell. C. r. Acad. Sci.,
1960, 250, № 25, 4095—4096 (РЖМат, 1962, 1A335)
199. Malm D. C, Concerning the cohomology ring of a sphere bundle. Pa-
cif. J. Math., 1959, № 4, 1191 — 1214 (РЖМат, 1961, 2A218)
200. Cockcroft W. H., The cohomology groups of a fibre space with fibre a spa-
space of tipy К (я, п). II. Trans. Amer. Math. Soc, 1959, 91, № 3, 505 —
524 (РЖМат, 1961, 2A219)
201. Hattori Akio, Spectral sequence in the de Rham cohomology of fibre
bundles. J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, 1960, Sec. 1, 8, № 2, 289—331
(РЖМат, 1961, 12A429)
202. Deheuvels R., Classes caracteristiques d'une application continue. Col-
loq. topol. algebr., Louvain, 1956, Liege Georges Thone; Paris, Masson
and Cie, 1957, p. 121—133 (РЖМат, 1961, 12A401)
203. Шварц А. С. Род расслоенного пространства. Тр. Моск. матем. о-ва,
1961, 10, 217—272 (РЖМат, 1961, 12А411)
204. —, О роде расслоенного пространства. Докл. АН СССР, 1959, 126,
№ 4, 719—722 (РЖМат, 1961, 6А379)
205. Smith P. A. New results and old problems in finite transformation gro-
groups. Bull. Amer. Math. Soc, 1960, 66, № 6, 401—415 (РЖМат, 1962,
1A321)
206. Giorgiutti I., Tableau spectral associe a une application periodique. In-
Interpretation spectrale des invariants de Smith. C. r. Acad. sci., 1958,
246, № 11, 1650—1652; № 18, 2558—2560 (РЖМат, 1961, 2A208)
207. Conner P. L, Floyd E. E., On the construction of periodic maps
without fixed points. Proc Amer. Math. Soc, 1959, 10, № 3, 354—360
(РЖМат, 1961, 2A209)
208. Swan R. G., A new method in fixed point theory. Bull. Amer. Math.
Soc, 1959, 65, № 3, 128—130 (РЖМат, 1961, 2A212)
209. Creever J., Stationary points for finite transformation groups. Duke
Math. J., 1960, 27, № 2, 163—170 (РЖМат, 1961, 6A393)
210. Borel A., Fixed points of elementary commutative groups. Bull. Amer.
Math. Soc, 1959, 65, № 5, 322—326 (РЖМат, 1961, 6A394)
211. Smith P. A., Orbit spaces of abelian p-groups. Proc Nat. Acad. Sci'.
U. S. A., 1959, 45, № 12, 1772—1775 (РЖМат, 1961, 6A395)
212. Heller A., A note on spaces with operators. Illinois J. Math., 1959, 3,
№ 1, 98—100 (РЖМат, 1962, 1A320) ,
213. Mann L. N., Compact abelian transformation groups. Trans. Amer. Math.
Soc, 1961, 99, № 1, 41—59 (РЖМат, 1961, 12A404)
214. Su J. C, On a problem of P. A. Smith. Discussion on the paper: «New re-
results and old problems in finite transformation groups» by P. A. Smith.
Bull. Amer. Math. Soc, 1961, 67, № 4, 422—424 (РЖМат, 1962, 6A272)
215. Bredon G. L, Raymond F., Williams R. F., p-adic groups
of transformations. Trans. Amer. Math. Soc, 1961, 99, № 3, 488—498
(РЖМат, 1962, 9A215)
216. Geraghty M. A., Applications of Smith index to some covering and fra-
frame theorems. Proc. Koninkl. nederl. akad. wet., 1961, A64, № 2,291 —
228; Indagationes math., 1961, 23, № 2, 219—228 (РЖМат, 1961,
12A405)
217. Conner P. EM A note on a theorem of Liao. Proc Amer. Math. Soc,
1959, 10, № 5, 730—753 (РЖМат, 1962, 1A322)
132

218.—, Montgomery D., Transformation groups on а К (я, 1). I. Mi-
Michigan Math., J., 1959, 6, № 4, 405—412 (РЖМат, 1962, 1A323)
219. —, Transformation groups on а К (я, 1). II. Michigan Math. J., 1959, 6,
№ 4, 413—417 (РЖМат, 1962, 1A324)
220. Borel A., Seminar on transformation groups. Princeton, N. Y. Prince-
Princeton Univ. Press, 1960, 245 pp., ill., 4.50 doll. (РЖМат, 1962, 9A244K)
221. Adams J. F., The sphere considered as an Я-space mod p. Quart. J.
Math. 1961, 12, № 45, 52—60 (РЖМат, 1962, 1A341)
222. Sugawara Masahiro, Some remarks on homotopy equivalences and Я-
spaces. Math. J. Okayama Univ., 1958, 8, № 2, 125—131 (РЖМат,
1961, 7A370)
223. James I. M., On Я-spaces and their homotopy groups. Quart. J. Math.,
1960, 11, № 43, M161—M179 (РЖМат, 1961, 9A386)
224. —, Thomas E., Which Lie groups are homotopy abelian? Proc.
Nat. Acad. Sci., U. S. A., 1959, 45, № 5, 737—740 (РЖМат, 1961,
2A227)
225. —, Homotopy Abelian Lie groups. Bull. Amer. Math. Soc, 1960, 66,
№ 4, 324—326 (РЖМат, 1961, 9A393)
226. Sugawara Masahiro, On the homotopy commutativity of groups and
loop spaces. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, 1960, A—Math., 33, № 2,
257—269 (РЖМат, 1961, 9A384)
227. —, Note on Я-spaces. Proc. Japan Acad., 1960, 36, № 9, 598—600
(РЖМат, 1962,.. 3A330)
228. Loibel G. F., Uber Multiplikationen im n-dimensionalen Torus. Ann.
mat. pura ed appl., 1960, 52, 27—33 (РЖМат, 1962, 3A331)
229. Berstein I., On the /-dimensional category of the Cartesian products.
Proc. Cambridge Philos. Soc, 1960, 56, № 4, 425—426 (РЖМат, 1961,
6A381)
230. Ganea Т., Lusternik—Schnirelmann category and cocategory. Proc.
London Math. Soc, 1960, 10, № 40, 623—639 (РЖМат, 1961, 6A382)
231. Varadarajan K., Dimension, category and К (П, n) spaces. J. Math,
and Mech., 1961, 10, № 5, 755—771 (РЖМат, 1962, 3A322)
232. Shiraiwa Kenichi, A remark on (я, rc)-type CW-complexes. Nagoya Math.,
J., 1957, 12, 25—30 (РЖМат, 1961, 2A214)
233. Bers.tein I., Essential and inessential complexes Comment, math, helv.,
1959, 33, № 1, 70—80 (РЖМат, 1961, 5A366)
234. Ganea Т., Puncte homotopic stabile. Comun. Acad RPR, 1959, 9,
№ 11, 1113—1116 (РЖМат, 1962, 1A306)
235. Barratt M. G., Spaces of finite characteristic Quart. J. Math., 1960,
11, № 42, 124 — 136 (РЖМат, 1962, 5A329)
236. Adams J. F., Vector fields on spheres. Bull. Amer. Math. Soc, 1962,
68, №. 1, 39—41 (РЖМат, 1962, 7A285)
237. Toda Hirosi, Vector fields on spheres. Bull. Amer. Math. Soc, 1961,
67, № 4, 408—412 (РЖМат, 1962, 6A275)
238. Hu Sze—Tsen, Isotopy invariants of topological spaces. Proc Roy.
Soc, 1960, A255, № 1282, 331—366 (РЖМат, 1962, 5A338)
239. —, Fibrings of enveloping spaces. Proc London. Math. Soc, 1961, 11,
№ 44, 691—707 (РЖМат, 1962, 5A339)
240. Dold A., Zur Homotopietheorie der Kettenkomplexe. Math. Ann., 1960,
140, № 4, 278—298 (РЖМат, 1962, 6A276)
241. Yang Chung Tao, p-adic transformation groups. Michigan Math. J.,
1960, 7, № 3, 201—218 (РЖМат, 1961, 12A403)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
С. П. Новиков
Настоящий обзор, не претендуя на полноту, ставит своей
целью осветить основные достижения алгебраической и дифферен-
дифференциальной топологии примерно за период от 1960 до 1962 года в
круге вопросов, связанных с теорией гомотопических групп сфер
и классических групп Ли и свойствами «в целом» дифференцируе-
дифференцируемых многообразий. Вопросы, более специальные или не относя-
относящиеся к этим темам, кратко освещены (вероятно, далеко неполно)
в последнем параграфе.
I. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР, ИНВАРИАНТ ХОПФА
И АЛГЕБРА СТИНРОДА
Хорошо известен определенный Хопфом гомоморфизм Н:
r4n-\(S2n)->Z, образ которого Я (а), а6тг4л_1 (S2az), называется инва-
инвариантом Хопфа элемента а. Известно (Хопф), что образ Im H
состоит из всех четных чисел при п^=21 и, быть может, всех це-
целых чисел при п = 21. Хопф высказал гипотезу, что при I > 3
образ Im# состоит лишь из четных чисел* При i = 3 эта гипо-
гипотеза была доказана Тодой в 1956 г. Для решения этой проб-
проблемы Адаме ]97] построил спектральный аппарат, связывающий
группы
Exfr'(tf* (К, Zp)9 Zp) с группами *f(K) = Пт*ж(£'/С),
где Е. обозначает надстройку, и Л—алгебра Стинрода над
полем Zp (H* (Kf Zp) рассматривается как левыл Л-модуль)-
В случае К = S0 имеет место равенство к* (К) == тсж (S1)
134

при lyi + 1 и сумма Г = ]►] щ {К) образует косокоммутатив-
ное кольцо. Спектральная последовательность Адамса
связывает алгебру ^ExtU* (Zpi Zp) c кольцом Г, причем про-
S, Г
блема Хопфа имеет в этих терминах естественную интерпретацию
при /? = 2, используя которую Адаме доказал сформулированную
выше гипотезу Хопфа для всех L Для доказательства этой ги-
гипотезы в полной форме потребовалось также детальное алгебраи-
алгебраическое изучение алгебры А для р = 2 и развитие теории вторич-
вторичных когомологических операций [97—99]. Адамсом была разрабо-
разработана также методика вычисления алгебры Я* (А) =
= 2 Ext^f'Bp> Zp), называемой алгеброй когомологий алгебры
Стинрода А. Обобщив метод вторичных когомологических опера-
операций Адамса на случай р > 2, Л. Н. Ивановский [294], Люле-
вичус [199] и Симада и Яманосита [265] независимо доказали три-
тривиальность «обобщенного гомоморфизма Хопфа», введенного Стин-
родом:
*n+2q(p-i)-i (Sn)->Zpi n>2q(p—l)9
при <7>1.
С. П. Новиковым и Люлевичусом введены «обобщенные сте-
степени Стинрода», действующие в когомологиях градуированных
алгебр Хопфа с симметричной диагональю, проведено исследова-
исследование алгебры #* (А) и доказано на основе спектрального метода
Адамса существование нетривиальных композиций
S*.»S*.-....-*S\ k1>k2>...>kr
любой конечной длины г [29]. Последний результат независимо
получен также Тодой другим методом [176].
То да и Л. Н. Ивановский независимо вычислили р-компонен-
ты групп Kn+i(Sn) при i < min(/i— I, 2p2(p— 1) — 3) [176, 294].
Методы обоих авторов близки и основаны на применении новых све-
сведений об алгебре Стинрода к схеме Картана —Серра вычисления
гомотопических групп сфер. Милнором [6] и Адамсом [97] про-
проведено глубокое изучение структуры алгебры Стинрода Л.
2. ПРОСТРАНСТВА ТОМА. ВНУТРЕННИЕ ГОМОЛОГИИ
Связь между гомотопическими группами сфер и дифференци-
дифференцируемыми многообразиями была установлена Л. С. Понтрягиным
в 30-х годах. Эта связь служила основой метода «оснащенных
многообразий», разработанного Л. С Понтрягиным для вычис-
вычисления гомотопических групп сфер. Развивая эти идеи, Р. Том
построил пространство MG для любой подгруппы G ортогональ-
ортогональной группы О (я), гомотопические группы которых nn+i(MG)9
135

t</i—1, изоморфны соответственно группам Nl и Q' неориен-
тируемых и ориентируемых внутренних гомологии (впервые вве-
введенных и изучавшихся В. А. Рохлиным) в случае, если G=O(n)
и G == SO(ri). Если группа G единична, то пространство MG яв-
является сферой. Том вычислил полностью алгебры N = ^ N1 и
Q®Q = ^ Q*(g)Q, где Q — поле рациональных чисел, и высказал
гипотезу, что группы Q1 не содержат элементов нечетного по-
порядка и элементов порядка 21 для t > 1. Последняя часть гипо-
гипотезы была доказана впервые В. А. Рохлиным [2] геометрическим
методом. Милнор и Б. Г. Авербух независимо доказали отсутст-
отсутствие элементов нечетного порядка в группах Q1, вычисляя алгеб-
алгебраическими методами структуру /7-компонент групп nn+i(MSO(n))9
i < n—1. Доказательство Б. Г. Авербуха основано на прямом
вычислении факторов Постникова комплекса MSO (п — i) по схе-
схеме Картана — Серра, а также на информации, полученной ранее
Милнором об алгебраической структуре алгебры Стинрода А для
р > 2 [37, 38]. Подход Милнора использует спектральный метод
Адамса (см. § 1). Милнор впервые нашел также алгебраиче-
алгебраическую структуру фактор кольца Q/T, где Т — идеал, состоящий
из элементов порядка 2 в кольце Q (доказательство не опубли-
опубликовано Милнором). Оказалось, что кольцо Q/T изоморфно коль-
кольцу полиномов от образующих размерности вида Ak, к > 1. Уол-
лом [103, 104] было закончено изучение 2-кручения в кольце Q. Отме-
Отметим, что из работ Милнора, В. А. Рохлина и Б. Г.Авербуха, касаю-
касающихся аддитивной структуры групп п\ вытекает, что два гладких
ориентируемых многообразия внутренне гомологичны в ориенти-
ориентируемом смысле, если и только если их числа Понтрягина и вычеты
Штифеля — Уитни совпадают (необходимость этого условия была
установлена Л. С. еще Понтрягиным, а достаточность высказана
Томом в качестве гипотезы).
Милнором и С. П. Новиковым [102, 171] были введены обоб-
обобщенные градуированные кольца внутренних гомологии Vso = &,
Vuy Vsu, VsP, Vspin, Ve = Г, строящиеся для всех серий класси-
классических групп Ли — SO (n), U (n), SU (n), Spin (/г), еа О(п) — и сов-
совпадающие для серии групп SO(ri) с кольцом Q и для единичной
группы е с кольцом Г стабильных гомотопических групп сфер
(см. § 1). Ими было доказано, что:
1. Кольца Vu, VsP, Vspin не имеют элементов нечетного
порядка в аддитивном смысле и кольцо Vu не имеет также
элементов порядка 2.
2. Алгебры Vg®Q и Vg®^p, Р>2, изоморфны алгебрам по-
полиномов для групп G = U> Sp, Spin; алгебра Vu^Z2 также изо-
изоморфна алгебре полиномов.
136

Милнор доказал, что род Тодда любого квазикомплексного
многообразия является целым числом — именно, он нашел гео-
геометрических представителей полиномиальных образующих кольца
Vu, оказавшихся алгебраическими многообразиями. С. П. Новиков
казал, что кольцо Va/T для G = SU, Sp не является кольцом
полиномов в отличие от случаев G = О, 50, U и алгебр Vc(g)Zpf
/?>р2, G = SU, Sp, Им было найдено также достаточное усло-
условие реализуемости ьикла z^Hk(Mn, Z), n>2k+ 1, гладким под-
подмногообразием, формулируемое в терминах отсутствия элементов
некоторых нечетных порядков в группах Ht(M, Z), i<& [171];
последний результат тесным образом связан с теорией внутрен-
внутренних гомологии и гомотопическими свойствами комплексов Тома.
3. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП ЛИ
Р. Ботт [62, 112] исследовал вариационным методом гомотопи-
гомотопическую структуру групп Ли и симметрических многообразий. Им
было исследовано многообразие геодезических линий минималь-
минимальной возможной длины, соединяющих две данные точки симмет-
симметрического многообразия М. Это многообразие геодезических само
оказывается симметрическим многообразием, легко определяемым
по инвариантам исходного симметрического многообразия и вплоть
до некоторой размерности гомотопически эквивалентным про-
пространству QM (эта размерность оказывается достаточно большой
во всех нужных примерах). Через QX обозначается пространство
петель многообразия X. Проведя конкретные вычисления для клас-
классических групп Ли SO (n), U(n), SU(n), Sp(n), Ботт установил
следующие слабые гомотопические эквивалентности:
1) пЮ (оо) - U (с»);
2) Q40(oo)~S/?(oo);
3) Q4S/?(oo)~0(oo);
сопоставляя 2) и 3), получаем, что пЮ (оо) ~ О (оо)
Из соотношения 1) следует, что tzl(U (оо)) = nl+2(U (ос)) для
всех L В частности, K2k+i Ф (°°)) =^ и Ък (U (°°)) = 0- Гомотопи-
Гомотопические группы 7^.@@0)) и 7гД5р(оо)) имеют период 8 и задаются
следующей таблицей:
i mod 8=1011 [21314151617
rt;@(oo))=jZ2iZ2| О I Z j 0 | 0 | 0 | Z
Таким образом, Bottom полностью найдены стабильные гомотопи-
гомотопические группы классических групп Ли и их классифицирующих
пространств BG для G = О (оо), (/(оо), S/?(oo), Spin(oo). Изучая
классифицирующие пространства Во и Ви, Ботт доказал, что
класс Понтрягина pk(v) любого О(я)-пучка v над сферой
137

SAk делится на Bk— 1)! и что класс Черна ck(v) любого U (п)-
пучка v над сферой S2k делится на (k — 1)! [62].
Последняя теорема делимости была известна ранее лишь «по
модулю степеней двойки» — Борель, Хирцебрух [120, 121].
Результаты Ботта нашли многочисленные приложения. В част-
частности, как показали Милнор и Кервер, из теорем Ботта следует не-
непараллелизуемость сфер S1 для 1Ф\, 3, 7, вытекающая также из
результатов Адамса об инварианте Хопфа (см. § 1), полученных
примерно одновременно. Милнор и Кервер применили результаты
Ботта о группах щ (SO) и теоремы Ботта о делимости классов
Понтрягина к изучению гомоморфизма Уайтхеда:
в случае, если 1+ 1 =0(mod4) [116]. Их основная идея обоб-
обобщает методику В. А. Рохлина вычисления группы /и3E0(п))а
cZizn+3(Sn) и основана на связи между ядром гомоморфиз-
гомоморфизма «/, и замкнутыми почти ^-многообразиями и формуле Хирцебру-
ха, выражающей индекс многообразия через числа Понтрягина.
В частности, они установили нетривиальность и оценили снизу
порядок конечной циклической группы /tt^-i (SO),
оказавшийся весьма быстро растущим в зависимости от к.
Хирцебрух определил систему выражений An(plf ..., рп) (Ап=
=кпРп,+ • • •) от классов Понтрягина и имеющих размерность An
(для всех /г>0) с дробными коэфициентами—например, Аг=*
==~2А^1—и Д°казал на основе приведенных выше результатов
Ботта целочисленность значения Ап [МАп] для любого гладкого
многообразия М4п, если w2=0 [120, 121]. Этот результат Хирце-
бруха позволил усилить результаты Милнора и Кервера о гомо-
гомоморфизме Уайтхеда
/ : щн-х (SO (л))->1ия+4Л_1 (S«).
Атия и Хирцебрух [105] ввели для любого комплекса X
кольцо /Са (Х)9 элементами которого являются, грубо говоря,
5О-пучки для А = R и (/-пучки для Л = С, сумма определя-
определяется с помощью суммы Уитни © и произведение—с помощью
тензорного произведения ®. Ими было показано, что для глад-
гладких многообразий Мп, Nk (w2 = 0fk =/г mod 8) отображения f:Mn->
Nk и любого элемента №Кц(Мп) найдется такой элемент
(Атк), что
Df*D (ch\A (Mn)) = ch-qA (Nk),
где D—оператор двойственности Пуанкаре, А = S At и ch =
= S сА*—известные выражения от классов Понтрягина. Анало-
гичная формула имеет место для случая А = С, но классы Пон-
138

трягина надо заменить на классы Черна и Л-род —на род Тодда.
Последний результат является аналогом известной теоремы Ри-
мана—Роха для алгебраических многоообразий (в форме, дока-
доказанной Гротендиком). Результаты Ботта позволяют вычислить
кольца K&{Sn) для всех п и Л = /?, Л=^С.
Функтор Ка.(Х) является контравариантным функтором комп-
комплекса Х.Адамс [ 198]ввел операции Фх'Кл.(Х)-+Ка.(Х),—со <Jk < + 00,
естественные относительно непрерывных отображений /:X->F и
такие,что 1) ФдФл = Фл > 2) ф£с = S*, если £ — одномерный
пучок, 3) Фа есть тождественный гомоморфизм кольца /Сл(Х).
Им были вычислены кольца Ка{Х) для случая, когда
X = Pk (Л)/Р*-' (А) и А =Я, С
вместе с операциями Фа. Полученные формулы позволяют немед-
немедленно усмотреть невозможность построить такое отображение
/
где
(k четно), что
является изоморфизмом.
Из результата Адамса вытекают следующие следствия.
1. На сфере Sk~{ существует ровно p(k)—l независимых
векторных полей. 2. Гомоморфизм Уайтхеда «по модулю 2»
J®Z2: ^(SO {n))®Z2->TznVl (S»)®Z2f n>i+l,
всегда является мономорфизмом. 3. Касательный пучок сферы лю-
любой размерности является топологическим инвариантом.
Отметим, что для ряда значений размерности аналогичные ре-
результаты были получены Тодой другими методами, который и за-
заметил связь между гомоморфизмом /® Z2 и векторными полями на
сфере [187].
4. ВЛОЖЕНИЯ И РЕГУЛЯРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
Еще Уитни в 40-х годах определил инвариант регулярного
отображения f : Мп->Е2п, являющийся целым числом, если п чет-
четно и многообразие Мп ориентируемо, и вычетом по модулю 2 в
остальных случаях, равенство нулю которого необходимо и до-
достаточно для того, чтобы отображение / было регулярно гомо-
гомотопно вложению (пф2). Им было доказано также существование
139

регулярных отображений гладкого многообразия Мп в простран-
пространство Е2п с любым значением инварианта, а также показано, что
проективные пространства Рп (R) при п = 21 не могут быть вло-
вложены в Е2п~1. Смейл изучал регулярные отображения
сферы Sn в En+k+k' вместе с трансверсальным полем й-реперов;
им была найдена их полная классификация [15, 90]. Используя
инварианты Смейла, Кервер показал, что нормальный пу-
пучок любой гладкой гомотопической сферы Мп, являющейся
тс-многообразием и вложенной в пространство En+k, тривиален
при k > J
Применив технику, созданную в работах Смейла, М. Хирш
свел задачу о регулярных отображениях произвольного многооб-
многообразия Мп в многообразие Nn+k к задаче о классификации секущих
поверхностей в некотором косом произведении, зависящем лишь
от гомотопических типов и касательных пучков обоих многообра-
многообразий. Он установил, что любое параллелизуемое многообразие Мп
может быть регулярно отображено в пространство Еп+1 [47]. На
основе теории регулярных отображений Хиршем был получен ряд
результатов о существовании вложений открытых гладких мно-
многообразий в евклидово пространство.
Последние результаты были применены им к проблеме вло-
вложения для замкнутых ориентируемых многообразий, внутренне
гомологичных нулю (в ориентируемом смысле). Оказалось (Хирш
[247]), что если Mn=dNn+1 и пг(№+1) = 0, w^^N^^Q, то Мп
может быть гладко вложено в пространство Е2п~ху что всегда име-
имеет место для п = 3, так как всякое 3-мерное ориентируемое много-
многообразие параллелизуемо и является краем параллелизуемого много-
многообразия (согласно результатам В. А. Рохлина начала 50-х годов).
С. П. Новиковым был определен инвариант ^(/)gZ2 регуляр-
регулярного отображения f\Mn~>E2n~1 для односвязных многообразий
Мп, /г>6 (причем а(/) = 0, если хю2{Мп)ф0)у равенство которого
нулю необходимо к достаточно для того, чтобы регулярное ото*
бражение / было регулярно гомотопно вложению. Им было до-
доказано существование отображений f:Mn-^E2n~1 с инвариантом
а(/)=^0 для нечетных п [147]. Хефлигер [203, 221] создал ме-
метод, позволивший ему доказать ряд сильных теорем существова-
существования регулярных отображений и гомотопий, гладких вложений и
гладких изотопии ^-связного многообразия в евклидово прост-
пространство (или k+ 1-связное многообразие) размерности 2/г — k
(для вложений) примерно для /г>2£+3. Им были доказаны теоре-
теоремы аппроксимации топологических вложений (иммерсий) /г-мер-
ного многообразия в евклидово пространство размерности E2n~k
гладкими для тех же значений kt что и выше. Аналогичные ре-
результаты получены об аппроксимации изотопии и регулярных го-
гомотопий. При этом в теоремах об изотопиях и диффеото-
пиях значение k на единицу меньше, чем в теоремах о вложениях.
140

Хефлигер определил и исследовал группу ^т>п, \ т—п\ф2у
гладких вложений сферы Sm в сферу Sn с точностью до диффео-
диффеоморфизма пар, нулем которой является стандартное вложение
SmczSn. Им было показано, что группа ^ь-\,бк является беско-
бесконечной циклической для &>1 ]295].
Эти результаты Хефлигера опираются на теорию Смейла глад-
гладких функций на многообразиях и идеи Милнора, связанные с глад-
гладкостями на сферах (см. ниже).
Масси нашел некоторые соотношения на классы Штифеля
гладкого многообразия, вложенного в то или иное евклидово про-
пространство [205].
By исследовал систему из нескольких гладких n-мерных сфер
в евклидовом пространстве размерности 2п+1 для п>1. Им было
показано, что гладкий изотопический класс такой системы полно-
полностью определяется матрицей зацеплений [44].
5. КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИЙ.
ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ
Еще Морсом были установлены неравенства, связывающие
между собой число невырожденных критических точек гладкой
функции / на компактном многообразии Мп с числами Бетти мно-
многообразия Мп. Именно, mi(f)^bima^(Mn)> где mt(f) — число кри-
критических точек индекса i и &/гаа~=тахгк//ДМ", Z ). Предпола-
гается, что все критические точки функции f невырождены. Ес-
Если многообразие Мп имеет край дМпу то можно считать, что f
постоянна на краю (или на части края дМпадМп)9 и тогда
Смейл доказал, что если п1 (Мп)^т:г (дМп) = 0 ип > 6, то существует
функция /, для которой приведенные выше неравенства Морса
превращаются в равенства [275]. Применяя этот результат к го-
гомотопической сфере Мп он получил следующее следствие:
Многообразие Мп кусочно линейно гомеоморфно сфере Sn
(обобщенная гипотеза Пуанкаре). Этот результат с помощью близ-
близких идей был независимо получен Уоллесом [279].
Обобщая понятие невырожденной критической точки функ-
функции на комбинаторный случай, Смейл получил аналогичные ре-
результаты также и для комбинаторных многообразий. Сформули-
Сформулированные выше результаты Смейла имеют многочисленные при-
приложения. Отметим, в особенности, что если два комбинаторных
(гладких) односвязиых многообразия /-эквивалентны или, что то
141

же самое, /ьгомологичны, то они комбинаторно эквивалентны
(диффеоморфны), если их размерность не менее пяти.
Напомним, что многообразия называются /-эквивалентными,
если 1) они внутренне гомологичны и гомотопически эквивалент-
эквивалентны; 2) существует пленка,'натянутая на них обоих и стягивающая-
стягивающаяся к каждому из них. В следующих параграфах выяснится важ-
важность этого аппаратного результата Смейла.
Наконец, отметим, что обобщенная гипотеза Пуанкаре други-
другими методами, основанными на комбинаторной технике Уайтхеда и
результатах Мазура — Брауна [85, 130], была доказана Столлинг-
сом в несколько более слабой форме [243].
Столлингс доказал также, что если два четырехмерных одно-
связных многообразия /-эквивалентны, то их прямые произведения
на открытый интервал диффеоморфны.
6. ТЕОРЕМА МАЗУРА И HAUPTVERMUTUNG
Пусть Мг и М2— два гомотопически эквивалентных гладких
замкнутых многообразия, имеющих общий «стабильный касатель-
касательный пучок» (т. е. прямые произведения их касательных пучков на
тривиальные эквивалентны). Мазур [192] доказал, что при этих
условиях многообразия Mly(EN и М2У(ЕМ диффеоморфны для до-
достаточно больших значений N. Таким образом, общность гомото-
гомотопического типа и стабильного касательного пучка является до-
достаточным и, как легко видеть, необходимым условием того,
чтобы прямые произведения наших многообразий на евклидово
пространство большой размерности были диффеоморфны. Доказа-
Доказательство этой теоремы весьма просто и элементарно, причем
эвклидово пространство нельзя заменить, вообще говоря, на
замкнутый шар DN—это можно сделать лишь для односвязных
многообразий согласно приведенным в § 5 результатам Смейла о
/-эквивалентности. Милнор использовал теорему Мазура для по-
построения двух гомеоморфных, но комбинаторно неэквивалентных
комплексов (опровержение Hauptvermutung—«основной гипотезы
комбинаторной топологии»). Именно, он показал, что если два
линзовых многообразия М\у Ml размерности 3 имеют одина-
одинаковый гомотопический тип (например, ъл(М\) =tz1(M£) = Z1) и раз-
различный комбинаторный инвариант Рейдемейстера («torsion»), то
комплексы M\xDNlM\x$N~l и M32xDn/MIxSn~1 будут гомео-
морфны (согласно теореме Мазура), но комбинаторно неэквива-
неэквивалентны. Для доказательства их комбинаторной неэ вивалентности
Милнор весьма просто обобщил инвариант Рейдемейстера. Метод
Милнора позволяет построить большое количество опровергаю-
опровергающих примеров к Hauptvermutung, являющихся псевдомногообра-
псевдомногообразиями с одной особой точкой. Однако, обобщенный инвариант
142

Рейдемейстера, различающий комбинаторные структуры комплек-
комплексов Милнора, специфически связан с этой особой точкой, и метод
Милнора не дает возможности решить Hauptvermutung для много-
многообразий. Выше было указано, что из работ Смейла, Уоллеса, Стол-
лингса вытекает положительное решение Hauptvermutung для ку-
кусочно-линейных многообразий, гомеоморфных сфере размерности
п>6 и замкнутому шару размерности п>6 (см. § 5).
7. СФЕРЫ МИЛНОРА. ПРИМЕРЫ МНОГООБРАЗИЙ,
НЕ ДОПУСКАЮЩИХ ГЛАДКОЙ СТРУКТУРЫ
Впервые примеры нетривиальных дифференцируемых структур
на сфере размерности 7 были построены Милнором в 1956 г.
[1] весьма специальным методом, годящимся лишь для сфер
размерности 7 и 15. В позднейших работах Милнор разработал
другие^ методы построения гладких структур [79, 218], позволив-
позволившие ему построить большое количество гладких структур на
сферах размерности 4&—1 для £>1. Милнор рассмотрел опера-
операцию «связной суммы» # и показал, что множество ориентирован-
ориентированных гомотопических сфер данной размерности я, отождествлен-
отождествленных согласно отношению ./-эквивалентности (см. § 5), превра-
превращается в абелеву группу 6", причем, согласно результатам
Смейла, изложенным в § 5, /-эквивалентность совпадает с диф-
диффеоморфизмом для п>5 (этот результат был получен Смейлом
позже работ Милнора о группе б"). В группе 6" Милнор выделил
подгруппу 6" (тс), составленную из ^-многообразий, и в группе
6Л (тг)—подгруппу 6"(д7г), составленную из таких тг-многообразий,
которые являются краями ^-многообразий. Используя результаты
Ботта о группах nt(SO)—см. § 3 — Милнор показал, что
8л/6"(тг)=0 при /z#l,2 mod8. Он заметил также, что если гомо-
гомоморфизм Уайтхеда mod 2
/ ® Z2:izn (SO (N)) ® Z2->Kn+N {SN) ® Z2
является мономорфизмом для данного п, то группа Ьп+1/Ьп+1 (к)
тривиальна. Эта мономорфность была позже доказана Адамсом
(см. § 3). Милнор использовал теорию оснащённых многообразий
Л. С. Понтрягина для построения вложения 6" (тс)/6л (дтс)с
aKn+N(SN)/\mJ\ он доказал, что для нечетных значений п
группа 6" (diz) является конечной циклической, причем для n = 4k—1,
fe ее порядок \k нетривиален и быстро растет, а для
l ее порядок не более двух. Число \k представ-
представляет собой наибольший общий делитель индексов всех гладких
замкнутых почти параллелизуемых многообразий размерности Ak,
разделенный на 8 (например Х2=28, Х3=992). Образующий эле-
элемент группы б4*-1^) — гладкая сфера М4*-1— является, как
показал Милнор, краем Bk—1)-связного тг-многообразия MAk с
143

индексом I (M4k)=8 [79]. Кервер вычислил группу 09=О9(тс) и
81О = 610 (тс). Позже Милнор и Кервер показали, что группа
8л/9л(дтс), вложенная в группу r:n±N(SM)/lm У, имеет в ней индекс
1 при n^4k+2 и не более двух при /z=4fe+2. Они показали
также, что группы 02*(chr)' тривиальны для всех к. Таким образом,
из результатов Милнора, Смейла и Кервера вытекает, что число
гладких структур на сфере размерности п>5 конечно.
Используя свои результаты, о группах №(дп)=г2 и 610=Z6,
Кервер построил гомотопический инвариант ср (М{0) 6 Z2 замкнутого
почти сглаживаемого многообразия размерности 10, такого, что
iu1 (М10) = 7г2 (М10) = т:г (М10)=7г4 (М10)=0. Этот инвариант тождест-
тождественно равен нулю для гладких многообразий. Кервер построил
пример многообразия М10 с ср(М10)¥=0 и доказал, таким образом,
существование многообразий, не допускающих гладкой структу-
структуры—и даже не имеющих гомотопически эквивалентных себе
гладких многообразий. Одновременно аналогичный результат для
всех размерностей вида 4Bfe-fl), fe>l, был получен Смей лом
[275]. Позже Милнор и Тамура [194] построили другими метода-
методами аналогичные примеры в размерности 8—минимальной, в кото-
которой подобные примеры к настоящему времени известны. Отметим,
что еще ранее Кернсом, Смейлом и Уайтхедом [201] была уста-
установлена сглаживаемость всех комбинаторных многообразий раз-
размерности не более четырех (см. следующий параграф).
8. ПРОБЛЕМА СГЛАЖИВАЕМОСТИ КОМБИНАТОРНЫХ
МНОГООБРАЗИЙ И ГОМЕОМОРФИЗМОВ
Работы Милнора по гладким структурам на сферах открыли
подходы к проблемам сглаживания комбинаторных многообразий
и комбинаторных гомеоморфизмов гладких многообразий. Именно,
Милнор [1] построил пример такого восьмимерного многообразия
Ml с краем дМ%, комбинаторно эквивалентным сфере S7, но не-
диффеоморфным S7, причем
где х — образующий элемент группы Я4(Л4|) = Z (k — такое чис-
D^-f-2J + 45 ч т. гОП1
до, что выражение j • не является целым). 1ом [oU] и
В. А. Рохлин совместно с А. С. Шварцем [7] независимо построили
для любого комбинаторного многообразия «классы Понтрягина»
над полем рациональных чисел pfiHAi(Mn, Q), совпадающие для
гладких многообразий Мп с обычными классами Понтрягина, и
144

доказали, таким образом, что рациональные классы Понтрягина
являются комбинаторными инвариантами. Том доказал, что класс
pfiH4 (Mn, Q) любого комбинаторного многообразия является «це-
«целым»—т. е. принадлежит образу гомоморфизма #4(М", Z)->
->Я4(М", Q). Том, В.А. Рохлин и А. С. Шварц указали, что для комби-
комбинаторного многообразия МилнораМ% = AJ|UAD8, где h:S7 -> дМ% —
ЛПГ8Ч D/г + 2J + 45
комбинаторная эквивалентность, число р2 (М%) = j не
является целым, и поэтому из их результатов вытекает, что мно-
многообразие Милнора М% не допускает гладкости, согласованной с
заданной триангуляцией.
Том [152] и Милнор построили коммутативные группы Г" =
= diff Sn~l/jd\l\ Dn, где через diffAf обозначена группа диффео-
диффеоморфизмов многообразия М и / — естественное вложение края
Sn~l в шар Dn. Милнор показал, что группа Г7 нетривиальна [1].
Смейл установил изоморфизм группы Тп с группой Милнора Ьп
гладкостей на Sn для /г > 5 [275]. Том [152] построил для ком-
комбинаторного многообразия Мп, у которого окрестность (k—1)-
мерного остова допускает гладкую структуру, согласованную с
триангуляцией, класс когомологий ykfiHk (Mn, f1*), равенство кото-
которого нулю является необходимым условием продолжения глад-
гладкости с окрестности (k — 1)-мерного остова на окрестность й-мер-
ного. Достаточность была доказана Томом лишь при существен-
существенных ограничениях на триангуляцию многообразия Мп.
Манкрес [216] рассмотрел задачу о сглаживаемости комбина-
комбинаторного гомеоморфизма h гладких триангуляции комбинаторных
многообразий h:Mi-> M**, причем гомеоморфизм h является диф-
диффеоморфизмом всюду, кроме k-мерного остова многообразий Щ
и Мп2. Им было построено препятствие ^k(h)^Hk(M/li Tn~k) к сгла-
сглаживанию этого гомеоморфизма и доказано, что если класс yk(h)=O
(как класс гомологии), то гомеоморфизм h сглаживается всюду,
кроме (k — 1)-мерного остова. Так как после работ Милнора и
Смейла [275] выяснилось, что все группы Тп конечны, исключая,
быть может, случай п = 4, то из работ Манкреса, Милнора и
Смейла вытекает, что если группа Нп_А(Мп, Г4) тривиальна, то
на многообразии Мп существует лишь конечное число гладких
структур с изоморфными гладкими триангуляциями. Для односвяз-
ных многообразий размерности п > 5 эта теорема доказана С. П. Но-
Новиковым без предположений о группе Нп_А(Мп, Г4) (см. следую-
следующий параграф).
Уайтхед рассмотрел комбинаторные многообразия, расположен-
расположенные в евклидовом пространстве. Оказалось, что если многообра-
многообразие Мп допускает непрерывное трансверсальное fe-поле в про-
пространстве размерности En+k, то оно каноническим образом сгла-
сглаживается, и если два трансверсальных поля трансверсально го-
гомотопны, то соответствующие им гладкости диффеоморфны. При
10-5871 145

подходяще подобранном вложении препятствие к продолжению
трансверсального поля на i - мерный симплекс принимает значе-
значение в гомотопических группах Tztl (F (о1)) пространств F (а*) вло-
вложений, дуальной триангуляции zn~l шара Dn~l в евклидово про-
пространство Еп~К (Все вложения хп~1<^.Еп~'1 фиксированы на одном
(/г—- *)-мерном симплексе а^Ст""').Аналогично определяются препят-
препятствия к трансверсальнойгомотопии. Эти пространства асферичны при
п — i < 2 и связны при п — i=3. Поэтому комбинаторные многообра-
многообразия размерности п < 4 сглаживаемы и при п < 3 имеется ровно одна
гладкость, согласованная с триангуляцией (Смейл, Керне, Уайтхед)*.
Для п — £ > 3 гомотопическая структура пространств Т7 (а*) не
улавливается элементарными средствами, и результаты Уайтхеда
не дают аналогичных следствий, однако, они проясняют связь
нормального пучка многообразия с гладкой структурой [201].
9. ПРОБЛЕМА ДИФФЕОМОРФИЗМА ОДНОСВЯЗНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Мы уже описали в § б работы Милнора, Смейла и Кервера,
в которых вводилась и вычислялась группа Ьп гладкостей на
сфере Sn через гомотопические группы сфер и гомоморфизм Уайт-
Уайтхеда. Смейл [275] применил свои результаты (см. § 5) о крити-
критических точках функций на односвязных многообразиях к зада-
задачам классификации тех или иных типов многообразий. Так, им
было показано, что односвязное тг-многообразие М5 размерности
5 полностью определяется группой гомологии Н2(М5), двусвяз-
ное тг-многообразие М6 полностью определяется группой Нг(М6).
Аналогичный ответ был получен им в нескольких других про-
простых примерах. Уолл изучил методом Смейла (k—1)-связные
многообразия размерности 2k и показал, что если такие многообра-
многообразия имеют одинаковый гомотопический тип и касательный пучок,
то они диффеоморфны mod Q2h — т. е. получаются одно из друго-
другого связной суммой со сферой Милнора и, следовательно, комбина-
комбинаторно эквивалентны. Доказательство этих теорем получается с по-
помощью построения функции Смейла на многообразии M2k, реали-
реализующей минимально возможные числа критических точек (см. §5),
и прямом переборе всех возможных приклеек ручек при переходе
функции через критические точки индекса k — возможностей ока-
оказывается слишком мало и получается простая классификация
таких многообразий. Уолл также попытался обозреть «в целом»
весь этот класс многообразий, гладких и комбинаторных.
С. П. Новиков исследовал класс односвязных многообразий
размерности п > 5, имеющих общий гомотопический тип и ста-
стабильный нормальный пучок в евклидовом пространстве. Он рас-
* Для п = 5 всякое комбинаторное многообразие гомеоморфно гладкому
(но, быть может, комбинаторно неэквивалентно).'
146

смотрел пространство Тома TN(Mn) нормального пучка к одному
из многообразий заданного класса, совпадающее с окрестностью
многообразия в пространстве EN+n со стянутым в точку краем,
причем его фундаментальный цикл [TN\ принадлежит образу го-
гомоморфизма Гуревича И : Kn+N (Tn) -> Нм+п(Ты)- Можно заме-
заметить, что в множестве А = H~l ([TN]) действуют естественно груп-
группы iz(Mn, SON) и 7г+(Мл, Мп) гомотопических классов отображе-
отображений соответственно Мп -> SON и Мп -> Мп — степени +1 и со-
сохраняющих нормальный пучок. Оказалось, что элементы фак-
фактормножества [А/п (Мп, SON)]/K+(Mn, Mn) находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с многообразиями изучаемого клас-
класса, отождествленными то&Ъп(дп) (см. § 6) при /z^4fe + 2, а при
п = Ak + 2 множество изучаемых многообразий вкладывается в.
множество [А/п(Мп, SON)]/n+{Mn9 Mn). Из этих результатов вытека-
вытекает, что множество всех многообразий, имеющих общий гомотопичес-
гомотопический тип и одинаковые рациональные классы Понтрягина р£Н*1(Мп,О)г
является конечным (заметим, что классы pi&H4t(MnJ Q) являются
комбинаторными инвариантами — см. § 7), а также ряд других
следствий, относящихся к конкретным типам многообразий и к
геометрическим операциям изменения гладкости [227].
10. ДРУГИЕ ВОПРОСЫ
A) Браудер исследовал гомологическую и гомотопическую
структуру //-пространств, имеющих лишь конечное число нетри-
нетривиальных групп гомологии. Им доказано, что Лг(Х)=0, где X —
конечномерное Я-пространство. Ранее этот факт был доказан
Э. Картаном лишь для групп Ли с использованием их классифи-
классификации и для Я-пространств сформулирован в качестве гипотезы
А. Борелем); кроме того, он показал, что гомологии конечномер-
конечномерных Я-пространств удовлетворяют закону двойственности Пуанка-
Пуанкаре, т. е. //-пространства близки к многообразиям. Им получен так-
также ряд результатов о структуре элементов конечного порядка в
гомологиях Я-пространств [223]. В основном, техника работ Брау-
дера связана с изучением введенной им спектральной последова-
последовательности Бокштейна для алгебр Хопфа.
B) В. А. Рохлин установил, что циклы ЗР1 (С)бЯ2 (Р2(С))
и 2A6//2(S2 X S2), где А—диагональ, не могут быть реализованы
гладко вложенными сферами (но реализуются полиэдральными
сферами).
Напомним, что еще в 40-х годах Уитни показал, что всякий
сферический цикл o&Hk(M2k) в односвязном многообразии M2k
для k ф 2 реализуется гладкой сферой. Милнор и Кервер [246]
доказали следующую теорему: если цикл а€Я2(М4) двойственен
классу Штифеля w2{MA) и реализован гладкой сферой 52czM4, то
имеет место следующая формула
а-а ^/(М4)mod 16
10* 147

Эта теорема обобщает указанные выше примеры В. А. Рохлина.
C) В. А. Топоногов [117] доказал, что если кривизна компакт-
компактного односвязного риманова многообразия меняется от единицы до
одной четверти (не достигая одной четверти), то это многообра-
многообразие гомеоморфно сфере. Ранее этот факт был известен лишь в том
случае, когда кривизна меняется от 1 до 0,56 (Раух, Клингенберг)
и были известны примеры односвязны'х четномерных многообра-
многообразий, негомеоморфных сфере и на которых кривизна меняется в
точности от 1 до XU (комплексные проективные пространства).
D) Опираясь на результаты, полученные ранее П. С. Новико-
Новиковым и С. И. Адяном в алгоритмической теории конечно определен-
определенных групп, А. А. Марков [3, 4, 5] доказал несуществование алго-
алгоритма, распознающего, гомеоморфно ли (гомотопически или ком-
комбинаторно эквивалентно) многообразие Мп для п>\ сфере с до-
достаточно большим числом двумерных ручек — в классе неодно-
связных многообразий.
Таким образом, алгоритмическая классификация всех много-
многообразий невозможна. Для получения этого результата А. А. Марков
установил, что если я — группа с k образующими и k-\-l соотно-
соотношениями— изоморфна единичной, то многообразие Мп(л), п>4,
построенное по образующим и соотношениям группы я известным
процессом (перестройками Морса), комбинаторно эквивалентно
сфере с / двумерными ручками (эта теорема вытекает также из
более общих теорем Смейла о критических точках функций, полу-
полученных позднее — см. § 5).
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Milnor J., On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. Math.,
1956, 64, № 2, 299—304 (РЖМат, 1957, 6939)
2. Рохлин В. А., Внутренние гомологии. Докл. АН СССР, 1958, 119,
№ 5, 876—879 (РЖМат, 1959, 2489)
3. Марков А. А., Неразрешимость проблемы гомеоморфии. Докл.
АН СССР, 1958, 121, № 2, 218—220 (РЖМат, 1959, 4362)
4. —, Неразрешимость проблемы гомеоморфии. Успехи матем. наук,
1958, 13, № 4, 213—216 (РЖМат, 1959, 4397)
5. —, О неразрешимости некоторых проблем топологии. Докл. АН СССР,
1958, 123, № 6, 978—980 (РЖМат, 1959, 6529)
6. Milnor J., The Steenrod algebra and its dual. Ann. Math., 1958, 57,
№ 1, 150—171 (РЖМат, 1959, 10933)
7. Рохлин В. А., Шварц А. С., О комбинаторной инвариантности
классов Понтрягина. Докл. АН СССР, 1957, 114, № 3, 490—493
(РЖМат, 1960, 197)
8. Weier J., Ueber einem Homomorphismus bei der Transformation von
Spharen. Proc. Japan Acad., 1958, 34, № 8, 487—488 (РЖМат, I960,
210)
9. —, Zweidimensionale Losungen bei der Transformation von vierdimen-
sionalen in zweidimensionale Mannigfaltigkeiten. Collect, math., 1957,
9, № 1, 27—34 (РЖМат, 1960, 211)
148

10. Hu Sze-Tsen, Of fiberings with singularities. Michigan Math. J., 1959,
6, № 2, 131 — 149 (РЖМат, 1960, 213)
11. Paechter G. F. The groups nr(Vnm). III. Quart. J. Math., 1959, 10, № 37,
17_37 (РЖМат, I960, 214)
12. Ли Пэй-синь, Характеристические классы с локальными коэффициен-
коэффициентами. Шусюэ сюэбао, Acta math, sinica, 1958, 8, № 3, 384—395 (РЖМат,
1960, 1518)
13. Weier J., Bemerkungen zu einer Note uber stetige Transformationen.
Collect, math., 1957, 9, № 1, 59—64 (РЖМат, 1960, 1519)
14. Фиофанова Т. А., Гомологии некоторых локально евклидовых много-
многообразий. Сб. научн. тр. Томск, инж.-строит, ин-та, 1957, 3, 33—47
(РЖМат, 1960, 1520)
15. Smale S., A classification of immersions of the two spheres. Trans. Amer.
Math. Soc, 1959, 90, № 2, 281—290 (РЖМат, 1960, 1521)
16. Pitcher E., Inequalities of critical point theory. Bull. Amer. Math.
Soc, 1958, 64, № 1, 1—30 (РЖМат, 1960, 1522)
17. Phillips J. C, Rosenstock H. В., Topological methods of loca-
locating critical points. Phys. and Chem. Solids, 1958, 5, № 4, 288—292
(РЖМат, 1960, 1523)
18. Тамуро Итиро, Характеристические классы дифференцируемых мно-
многообразий. Сугаку, 1959, 10, № 2, 114—121 (РЖМат, 1960, 2782)
19. Сидзума Иосицугу, Симада Нобуо, К теории дифференцируе-
дифференцируемых многообразий в целом. По поводу работы Тома. Сугаку, 1959, 10,
№ 2, 104—114 (РЖМат, 1960, 2784)
20. Tamura Itiro, Homeomorphy classification of total spaces of sphere
bundles over spheres. J. Math. Soc. Japan, 1958, 10, № 1, 29—43
(РЖМат, 1960, 2785)
21 Suzuki Haruo, On the realization of the Stiefel—Whitney characteristic
classes by submanifolds. Tohoku Math. J., 1958, 10, № 1, 91 — 115
(РЖМат, 1960, 2786)
22. Smale S., Diffeomorphisms of the 2-sphere. Proc. Amer. Math. Soc,
1959, 10, № 4, 621-626 (РЖМат, 1960, 2788)
23. Шварц А. С, О геодезических дугах на римановых многообразиях.
Успехи матем. наук, 1958, 13, № 6, 181 — 184 (РЖМат, 1960, 2790)
24. Weier J., Contribucion a la teoria de las transformaciones de (n+l)-es-
feras en n-esferas. Rev. mat. hisp.-amer., 1956, 16, № 1-2, 72—81
(РЖМат, 1960, 5025)
25. — ,Eine Verschlingungsinvariante. Proc Japan Acad., 1958, 34,
№ 3, 142 — 143 (РЖМат, 1960, 5026)
26. Рохлин В. А., О характеристических классах Понтрягина. Докл.
АН СССР, 1957, 113, № 2, 276—279 (РЖМат, 1960, 5047)
27. Pontryagin L. S., Smooth manifolds and their applications in homotopy
theory. Amer. Math. Soc Translat., 1959, 11, 1 — 114 (РЖМат, 1960,
5048)
28. Kervaire M., Courbure integrate generalisee et homotopie. Math. Ann,,
1956, 131, № 3, 219—252 (РЖМат, 1960, 5049)
29. Новиков СП., О когомологиях алгебры Стинрода. Докл. АН СССР,
1959, 128, № 8, 893—895 (РЖМат, 1960, 6303)
30. Carvalho С. A. A. de, Classes de Smith associees a un espace fibre. Clas-
Classes caracteristiques. C. r. Acad. sci., 1958, 248, № 22, 1947—1950 (РЖ
Мат, 1960, 6306)
31. —, Classes de Smith. Existence des sections. C. r. Acad. sci., 1958, 247,
№ 23, 2081—2083 (РЖМат, 1960, 6307)
32. Atiyah M. F., Vector bundles over an elliptic curve. Proc London Math.
Soc, 1957, 7, № 27, 414—452 (РЖМат, 1960, 6308)
33. Haefliger A., Les singularites des applications differentiables. Semin.
H. Cartan. Ecole norm, super. 1956—1957, 9. Paris, 1958, 7-1—7-8
(РЖМат, 1960, 6313)
149

34. Haefliger A., Kosi nski A. Un theoreme de Thom sur le singularites des
applications differentiables. Semin. H. Cartan. Ecole norm, super. 1956—
1957, 9. Paris, 1958, 8-1—8-6 (РЖМат, 1960, 6314)
35. Allendoerfer С. В., E e 1 1 s J., J r. On the qohomology of smooth mani-
manifolds. Comment, math, helv., 1958, 32, № 3, 165—179 (РЖМат, 1960,
6315)
36. Adams J. F., Une relation- entre groupes d'homotopie et groupes de coho-
mologie. С. г. Acad. sci., 1957, 245, № 1, 24—25 (РЖМат, 1960, 7370)
37. Авербух Б. Г., Примарные компоненты групп внутренних гомологии.
Научн. докл. высш. школы. Физ.-матем. н., 1958, № 5, 3—5 (РЖМат,
1960, 7371)
38. —, Алгебраическое строение групп внутренних гомологии. Докл.
АН СССР, 1959, 125, № 1, 11—14 (РЖМат, I960, 7372)
39. James I. M., Some embeddings of projective spaces. Proc. Cambridge
Philos. Soc, 1959, 55, № 4, 294—298 (РЖМат, I960, 7373)
40. Nagano Tadashi, Compact homogeneous spaces and the first Betti number.
J. Math. Soc. Japan, 1959, II, № 1, 4—9 (РЖМат, 1960, 7374)
41. Conner P. E., Orbits of uniform dimension. Michigan Math. J., 1959, 6,
№ 1, 25—32 (РЖМат, 1950, 7375)
42. —, F 1 о у d E. E., A note on the action of 50C). Proc. Amer. Math.
Soc. 1959, 10, № 4, 616—620 (РЖМат, 1960, 7376)
43. Montgomery D.r Groups on Rn or Sn. Michigan Math. J., 1959, 6, № 2,
123—130 (РЖМат, 1960, 7377)
44. У Вэнь-цзюнь, On the isotopy of a finite complex in a Euclidean space.
I, II. Sci. Rec, 1959, 3, № 8, 342—347, 348—351 (РЖМат, 1960, 8751)
45. Massey W. S.t On the imbeddability of the real projective spaces in Euc-
Euclidean space. Pacif. J. Math., 1959,9, № 3, 783—789 (РЖМат, 1960,
8752)
46. Thom R., La classification des imnersions. Ssmin Bourbaki, Secret,
math., 1957—1958, 10. Paris, 1958, 157—1 — 157—11 (РЖМат, 1960,
8754)
47. Hirsch M. W., Immersions of manifolds. Trans. Amer. Math. Soc, 1959,
93, № 2, 242—276 (РЖМат, 1960, 8755)
48. Kervaire M. A., An interpretation of G. Whitehead's generalization of
H. Hopf's invariant. Ann. Math., 1959, 69, № 2, 345—365 (РЖМат,
1960, 8756)
49. Matsunaga Hiromichi, On the homotopy groups of Stiefel manifold. Mem.
Fac. Sci. Kyushu Univ., 1959, A13, № 2, 152—156 (РЖМат, 1960, 8757)
50. Симада Нобуо, О дифференцируемом строении сфер. Сугаку, 1957,
9, № 2, 85—95 (РЖМат, 1960, 8758)
51. Whitney Н., В г u h a t F., Quelques proprietes fondamentales des en-
ensembles analytiques reels. Comment, math, helv., 1959, 33, № 2,
132—160 (РЖМат, 1960, 8760)
52. Zisman M., Varietes differentiables. Semin. Dubreil et Pisot. Fac. Sci.
Paris, 1956—1957, 10. Paris, 1958, 7-1—7-11 (РЖМат, 1960, 10139)
53.— Espaces fibres. Espaces fibres a fibre vectorielle. Classes de Chern. Se-
Semin. Dubreil et Pisot. Fac. Sci. Paris, 1956—1957, 10, Paris, 1958,
17.1—14-12; 21-1—21-8; 23-1—23-10 (РЖМат, 1960, 10140)
54. Милнор Дж. Несколько следствий одной теоремы Ботта. Математика.
Период, сб. перев. ин. статей, 1959, 3, №3, 3—7 (РЖМат, 1960, 11443)
55. —, О многообразиях, гомеоморфных семимерной сфере. Математи-
Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1957, 1, № 3, 35—42 (РЖМат, 1960,
11444)
56. Grothendieck A., La theorie des classes de Chern. Append ice au memoire
de A. Borel et J.-P. Serre. Bull. Sdc. math. France, 1958, 86, № 2,
137^154 (РЖМат, I960, 11445)
150

57. Ramspott K.-J., Existenz von Holomorphiegebieten zu vorgegebener er-
ster Bettischer Gruppe. Math. Ann., 1959, 138, № 4, 342—355 (РЖМат,
1960, 11447)
58. Hirzebruch F., Characteristic numbers of homogeneous domains. Semin.
Analyt. Funct. Vol. 2. Princeton, N. J. Inst. Advanced Study, 1958,
92—104 (РЖМат, 1960, 11448)
59. James I. M., The intrinsic join: a study of the homotopy groups of Stie-
fel manifolds. Proc. London Math. Soc, 1958, 8, № 32, 507—535
(РЖМат, 1960, 12617)
60. —, Gross-sections of Stiefel manifolds. Proc. London Math. Soc, 1958,
8, № 32, 536—547 (РЖМат, 1960, 12618)
61. —, Spaces associated with Stiefel manifolds. Proc. London Math. Soc,
1959, 9, № 33, 115—140 (РЖМат, 1960, 12619)
62. Bott R., The stable homotopy of the classical groups. Ann. Math., 1959,
70, № 2, 313—337 (РЖМат, 1960, 12620)
63. Nagano Tadashi, Homogeneous sphere bundles and the isotopic Riemann
manifolds. Nagoya Math. J., 1959, 15, 29—55 (РЖМат, 1960, 12621)
64. Bott R. SamelsonH., Applications of the theory of Morse to sym-
symmetric spaces. Amer. J. Math., 1958, 80, № 4, 964—1029 (РЖМат, 1960,
12622)
65. Weier J., Eine Eigenschaft des topologischen Schnittringes. Proc Japan
Acad., 1959, 35, № 4, 155—157 (РЖМат, 1961, 1A317)
66. Cerf J., Groupes d'automorphismes et groupes de diffeomorphismes des
varietes compactes de dimension 3. Bull. Soc Math. France, 1959, 87,
№ 4, 319—329 (РЖМат, 1961, 1A320)
67. Nasu Toshio, A note on homeomorphisms and fundamental groups. J.
Sci. Hiroshima Univ., 1958, A22, № 3, 175—186 (РЖМат, 1961, 1A322)
68. Петерсон Ф. П., Некоторые замечания о классах Чжэня. Математика.
Период, сб. перев. ин. статей, 1959, 3, № 5, 51—56 (РЖМат, 1961,
1А323)
69. Kajiwara J., Some results on the equivalence of complex-analitic fibre
bundles. Mem. Fac Sci. Kyushu Univ., 1959, A13, № 1,37—48 (РЖМат,
1961, 1A326)
70. Hirsch G., Sur certaines operations dans l'homologie des espaces de Rie-
Riemann. Bull. Soc. math. Belg.,1957, 9, №2, 115—139 (РЖМат, 1961, 2A216)
71. Malm D. G., Concerning the cohomology ring of a sphere bundle. Pacif.
J. Math. 1959, 9, № 4, 1191 — 1214 (РЖМат, 1961, 2A218)
72. Dedecker P., Extension du groupe structural d'un espace fibre. Colloque
de topologie de Strasbourg, 1954—1955, Institut de Mathematique,Univer-
site de Strasbourg. 12 pp. (РЖМат, 1961, 2A220)
73. Thomas E., On tensor products of n-plane bundles. Arch. Math., 1959,
10, № 2-3, 174—179 (РЖМат, 1961, 2A221)
74. Dold A., Whitney H., Classification of oriented sphere bundles
over a 4-complex. Ann. Math., 1959, 69, № 3, 667—677 (РЖМат, 1961,
2A222)
75. Srinivasacharyulu K., Sur certaines varietes triangulables. С. г. Acad.
sci., 1960, 250, № 13, 2316—2317 (РЖМат, 1961, 2A223)
76. Massey W. S., On the Stiefel—Whitney classes of a manifold. Amer.
J. Math., 1960, 82, № 1, 92—102 (РЖМат, 1961, 2A224)
77. Thorn R., Approximation algebrique des applications differentiables.
Colloque de topologie de Strasbourg, 1954—1955, Institut de Mathema-
tique, Universite de Strasbourg, 5 pp. (РЖМат, 1961, 2A225)
78. Munkres J., Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable
horneomorphisms. Bull. Amer. Math., Soc, 1959, 65, № 5, 322—334
(РЖМат, 1961, 2A226)
79. Milnor J. W., Sommes de varietes differentiables et structures diffe-
differentiables des spheres. Bull. Soc math. France, 1959, 87, №4, 439—444
(РЖМат, 1961, 3A343)
151

80. Thorn R., Les classes caracteristiques de Pontrjagin des varietes triangu-
lees. Sympos. Internac. Topol. Algebraica. Agosto, 1956. Mexico.
Mexico, 1958, 54—67 (РЖМат, 1961, 3A350)
81. Cartan H., Espaces fibres analytiques. Sympos. Internac. Topol. Algeb-
Algebraica. Agosto, 1956, Mexico. Mexico, 1958, 97—121 (РЖМат, 1961,
3A354)
82. Hirzebruch F., Automorphe Formen und der Satz von Riemann-Roch.
Sympos. Internac. Topol. Algebraica. Agosto, 1956, Mexico. Mexico,
1958, 129—144 (РЖМат, 1961, 3A356)
83. Bott R., Samelson H., Applications of Morse theory to symmetric
spaces. Sympos. Internac. Topol. Algebraica. Agosto, 1956, Mexico. Me-
Mexico, 1958, 282—284 (РЖМат, 1961, 3A368)
84. Whitney H., Singularities of mappings of Euclidean spaces. Sympos. In*
ternac. Topol. Algebraica. Agosto, 1956, Mexico. Mexico, 1958, 285—301
(РЖМат, 1961, 3A369)
85. Mazur В., On embeddings of spheres. Bull. Amer. Math. Soc, 1959,
65, № 2, 59—65 (РЖМат, 1961, 4A267)
86. Milnor J., Isotopy of links. Algebr. Geometry and Topol. Princeton.
N. J., Univ. Press, 1957, 280—306 (РЖМат, 1961, 4A281)
87. Plans A., Aportacion a la homotopfa de sistemas de nudos. Rev. mat.
hisp.-amer. 1957, 17, № 4—5, 224—237 (РЖМат, 1961, 4A282)
88. Calugareanu G., L'inte'grale de Gauss et l'analyse des noeuds tridimensi-
onnels. Rev. math, pures et appl. (RPR), 1959, 4, № 1, 5—20 (РЖМат,
1961, 4A283)
89. Lashof R., S m a 1 e S., On the immersion of manifolds in Euclidean
space. Ann. Math., 1958, 68, № 3, 562—583 (РЖМат, 1961, 4A284)
90. Smale S., The classification of immersions of spheres in Euclidean spa-
spaces. Ann. Math., 1959, 69, № 2, 327—344 (РЖМат, 1961, 4A285)
91. Kervaire M. A., Sur le fibre normal a une sphere immergee dans un es-
pace euclidien. Comment, math, helv., 1959, 33, № 3, 121 — 131 (РЖМат,
1961, 4A286)
92. —, Sur le fibre normal a une variete plongee dans l'espace euclidien. Bull.
Soc. math. France, 1959, 87, № 4, 397—401 (РЖМат, 1961, 4A287)
93. —, A note on obstructions and characteristic classes. Amer. J. Math.,
1959, 81, № 3, 773—784 (РЖМат, 1961, 4A288)
94. Matsushima Yozd, Fibres holomorphes sur un tore complexe. Nagoya
Math. J., 1959, ,14, 1—24 (РЖМат, 1961, 4A294)
95. Morse M., The existence of polar non-degenerate functions on differenti-
able manifolds. Ann. Math., 1960, 71, № 2, 352—383 (РЖМат, 1961,
4A297)
96. Haefliger A., Structures feuilletees et cohomologie a valeur dans un fais-
ceau de groupoides. Comment, math, helv., 1958, 32, № 4, 248—329
(РЖМат, 1961, 5A348)
97. Adams J. F., On the structure and applications of the Steenrod algebra.
Comment. Math, helv., 1958, 32, № 3, 180—214 (РЖМат, 1961, 5A351)
98. —, On the non-existence of elements of Hopf invariant one. Bull. Amer.
Math. Soc, 1958, 64, № 5, 279—282 (РЖМат, 1961, 5A352)
99. —, On the non-existence of elements of Hopf invariant one. Ann. Math.,
1960, 72, № 1, 20—104 (РЖМат, 1961, 5A353)
100. Samelson H., On immersion of manifolds. Canad. J. Math., 1960, 12,
№ 4, 529—534 (РЖМат, 1961, 6A383)
101. Milnor J., S p a n i e r E., Two remarks on fiber homotopy type. Pacif.
J. Math. 1960, 10, № 2, 585—590 (РЖМат, 1961, 6A384)
102. —, On the cobordism ring Q* and a complex analogue. Part I. Amer. J.
Math., 1960, 82, № 3, 505—521 (РЖМат, 1961, 6A385)
103. Wall С. Т. С, Determination of the cobordism ring. Ann. Math., 1960,
72, № 2, 292—311 (РЖМат, 1961, 6A386)
104. —, Note on the cobordism ring. Bull. Amer. Math. Soc, 1959, 65, № 5,
329—331 (РЖМат, 1961, 6A387)
152

105. Atiyah M. F., Hirzebruch Ff, Riemann - Roch theorems for
differentiate manifolds. Bull. Amer. Math. Soc, 1959, 65, № 4, 276—281
(РЖМат, 1961, 6A388)
106. —, —, Quelques theoremes de non-plongement pour les varietes diffe-
rentiables. Bull. Soc. math. France, 1959, 87, № 4, 383—396 (РЖМат,
1961, 6A389)
107. Bott R., An application of the Morse theory to the topology of Lie groups.
Proc. Internal. Congr. Mathematicians, 1958. Cambridge, Univ. Press,
1960, 423—426 (РЖМат, 1961, 6A390)
108. Тюрина Г. Н., О когомологиях комплексных однородных многообра-
многообразий. Докл. АН СССР, 1960, 132, № 1, 52—55 (РЖМат, 1961, 6А391)
109. Hermann R., Variational completeness for compact symmetric spaces.
Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 4, 544—546 (РЖМат, 1961, 6A392)
ПО. Жижченко А. Б., О гомологических группах аффинных алгебраиче-
алгебраических многообразий. Докл. АН СССР, 1959, 128, № 4, 661—664 (РЖМат,
1961, 6А397)
111. Kervaire M. A.,Some non-stable homotopy groups of Lie groups. Illinois
J. Math., 1960, 4, № 2, 161 — 169 (РЖМат, 1961, 7A374)
112. Bott R.» Quelques remarques sur les theoremes de periodicite. Bull. Soc.
math. France, 1959, 87, № 4, 293—310 (РЖМат, 1961, 7A375)
113. Zisman M., I/obstruction a la construction d'une section d'un fibre au
sens de Kan. С. г. Acad. sci., 1960, 250, № 4, 646—647 (РЖМат, 1961,
7A376)
114. Бензекри Ж- П., Л е Р у а ф Ф. Об особенностях аналитических по-
полей. Докл. АН СССР, 1960, 131, № 5, 993—995 (РЖМат, 1961, 8А343)
115. Hopf H., The work of R. Thorn, Proc. Internat. Congr. Mathematicians,
1958. Cambridge, Univ. Press, 1960, IX-IXIV (РЖМат, 1961, 8A348)
116. Milnor J. W., Kervaire M. A., Bernoulli numbers, homotopy groups,
and a theorem of Rohlin. Proc. Internat. Congr. Mathematicians, 1958.
Cambridge, Univ. Press, 1960, 454-458 (РЖМат, 1961, 8A349)
117. Топоногов В. А., Зависимость между кривизной и топологическим строе-
строением римановых пространств четной размерности. Докл. АН СССР,
1960, 133, № 5, 1031—1033 (РЖМат, 1961, 8А448)
118. Atiyah M. F., Т о d d J. A., On complex Stiefel manifolds. Proc. Cam-
Cambridge Philos. Soc, 1960, 56, № 4, 343—358 (РЖМат, 1961, 9A387)
119. Bucur I., Une nouvelle demonstration des formules de dualite des classes
de Chern. Rev. math, pures et appl (RPR), 1957, 2, 419—422 (РЖМат,
1961,9A388)
120. Borel A., Hirzebruch F., Characteristic classes and homogeneous
spaces. I, II. Amer. J. Math., 1958, 80, № 2, 458—538, 1959, 81, № 2,
315-382 (РЖМат, 1961, 9A390)
121. Borel A., H i r z e b r u с h F., Characteristic classes and homogeneous
spaces. III. Amer. J. Math., 1960, 82, № 3, 491-504 (РЖМат, 1961,
9A391)
122. Toda Hirosi, A topological proof of theorems of Bott and Borel — Hir-
Hirzebruch for homotopy groups of unitary groups. Mem. Coll. Sci. Univ.
Kyoto, 1959, A. Math., 32, № 3, 103—119 (РЖМат, 1961, 9A392)
123. Lundell А. Т., Obstuction theory of principal fibre bundles. Trans. Amer.
Math. Soc, 1960, 97, № 1, 161 — 192 (РЖМат, 1961, 9A397)
124. Lashof R. K., S m a 1 e S., Self-intersections of immersed manifolds. J.
Math, and Mech., 1959, 8, № 1, 143—157 (РЖМат, 1961, 9A400)
125. Tao Junzo, A note on the Milnor's invariant A,1 for a homotopy 3-sphere.
Proc. Japan. Acad., 1960, 36, № 6, 310—313 (РЖМат, 1961, 9A401)
126. Palais R. S., Extending diffeomorphisms. Proc Amer. Math. Soc,
I960, 11, № 2, 274—277 (РЖМат, 1961, 9A403)
127. Morse M., Differentiable mappings in the Schoenflies problem. Prcc
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1958, 44, № 10, 1C68—1072 (РЖМат, 1961,
9A404)
153

128. Morse M., Differentiable m appings in the Schoenflies theorem. Compositio
math., 1959, 14, № 2, 83—1Й1 (РЖМат, 1961, 9A405)
129. —, A reduction of the Schoenflies extension problem. Bull. Amer. Math.
Soc, 1960, 66, № 2, 113—115 (РЖМат, 1961, 9A406)
130. Brown M., A proof of the generalized Schoenflies theorem. Bull. Amer.
Math. Soc, 1960, 66, № 2, 74—76 (РЖМат, 1961, 9A407)
131. Huebsch W., Morse M., An explicit solution of the Schoenflies exten-
extension problem. J. Math. Soc. Japan, 1960, 12, № 3, 271—289 (РЖМат,
1961, 9A408)
132. Eilenberg S., Exposition des theories de Morse et Lusternik — Schnirel-
mann. Semin. Bourbaki. Secret, math. 1950—1951. 3-е annee. 2-е ed.
Paris., 1959, 36/1—36/6 (РЖМат, 1961, 9A409)
133. Morse M., Topologically non-degenerate functions on a compact n-mani-
fold M. J. analyse math., 1959, 7, № 7, 189—208 (РЖМат, 196l| 9A410)
134. —, The existence of non-degenerate functions on a compact differentiab-
differentiable m-manifold M. Ann. mat. pura ed appl., 1960, 49, 117—128 (РЖМат,
1961, 9A411)
135. Bott R., On a theorem of Lefschetz. Michigan Math. J., 1959, 6, № 3,
211—216 (РЖМат, 1961, 9A412)
136. Kervaire M. A., L'homotopie stable des groupes classiques d'apres R.
Bott. Applications. Semin. Bourbaki Secret, math. 1958—1959. 11-е
annee. Fasc. 1. 2-eed. Paris, 1959, 172/1 —172/10 (РЖМат, 1961, 10A327)
137. Ehresmann Ch., Les connexions infinitesimales dans un espace fibre dif-
differentiable. Semin. Bourbaki. Secret, math. 1949—1950, 2-е annee. 2-е
ed. Paris, 1959, 24/1—24/16 (РЖМат, 1961, 10A329)
138 Koszut J.-L., Cohomologie des espaces fibres differentiables et connexions.
Semin. Bourbaki. Secret, math. 1950—1951. 3-е annee 2-eed Paris, 1959,
38/1—38/7 (РЖМат, 1961, 10A330)
139. Thom R., Sous-varietes et classes d'homologie des varietes differentiables.
Semin. Bourbaki. Secret, math. 1952—1953. 5-e annee. 2-е ed. Paris,
1959, 78/1—78/7 (РЖМат, 1961, 10A340)
140. —, Les singularites des applications differentiables. Semin. Bourbaki.
Secret, math. 1955—1956. 8-e annee. 2-е ed. Paris, 1959, 11/43—134/13
(РЖМат, 1961, 10A341)
141. —, Travaux de Milnor sur le cobordisme. Semin. Bourbaki.Secret, math.
1958—1959. 11-e annee. Fasc. 2. 2-е ed. Paris, 1959, 180/1—180/9,
(РЖМат, 1961, 10A342)
142. Венков Б. Б., О характеристических классах для конечных групп. Докл.
АН СССР, 1961, 137, №6, 1274—1277 (РЖМат, 1961, 10А343)
143. Milnor J., Lectures on characteristic classes, notes by James Stasheff.
Punceton University, Spring, 1957 (РЖМат, 1961, 11A288K)
144. Bott R., S a m e 1 s о п Н., Correction to «Applications of the theory
of Morse to symmetric spaces.». Amer. J. Math., 1961, 83, № 1, 207—208
(РЖМат, 1961, 11292)
145. Zisman M., Cohomologie des varietes de Stiefel. Semin. H. Cartan. Ecole
norm, super., 1959—1960, 12, annee, fasc. 1. Paris, 3/1—3/11 (РЖМат,
1961, 11A295)
146. Erratum. Compositio math., 1960, 14, №3, 274 (РЖМат,и 1961, 11A298)
147. Новиков С. П., О вложении односвязных многообразий в евклидово
пространство. Докл. АН СССР, 1961, 138, № 4, 775—778 (РЖМат, 1961,
11А299)
148. Dolbeault P., Formes differentielles et cohomologie a coefficients etiers
(couples d'Alledoerfer—Eells), Semin. analyse. P. Lelong. Fac. sci. Paris.
1958—1959. 2 annee. Paris, 1959, 1/1 — 1/10 (РЖМат, 1961, 11A300)
149. Kuiper N. A., A continuous function with two critical points. Bull. Amer.
Math. Soc, 1961, 67, №3, 281—285 (РЖМат, 1961, 12A423)
150. Weier J., Die Charakteristik verallgemeinerter Vektorfelder. Collect,
math., 1959, 11, № 1, 61—68 (РЖМат, 1961, 12A424)
154

151. Wallace A. H., Modifications and cobounding manifolds. Canad. J. Math.,
1960, 12, №3, 503—528 (РЖМат, 1961, 12A426)
152. Thorn R., Des varietes triangulees aux varietes differentiables. Proc. In-
ternat. Congr. Mathematicians, 1958. Cambridge, Univ. Press, 1960,
248—255 (РЖМат, 1961, 12A427)
153. АтийяМ. Фм Хирцебрух Ф., Несколько теорем о непогружаемости
дифференцируемых многообразий. Математика. Период, сб. перев. ин.
статей, 1961, 5, №3, 3—15 (РЖМат, 1961, 12А428)
154. Haefliger A., Sur les feuilletages des varietes de dimension n par des feuil-
les fermees de dimension n—1. Colloq. topol. Strasbourg, 1954—1955
(РЖМат, 1961, 12A434)
155. Conner P. E., Dyer E., On singular fiberings by spheres. Michigan
Math. J.,1959, 6, №4, 303—311 (РЖМат, 1962, 1A336)
156. Adams J. F., Expose sur les travaux de С. Т. С Wall sur l'algebre de co-
bordisme Q. Bull. Soc. math. France, 1959, 87, №4, 281—284 (РЖМат,
1962, 1A337)
157. Dold A., Structure de l'anneau de cobordisme Q d'apres les travaux de
V. A. Rokhlin et deC. Т. С Wall. Semin. Bourbaki. Secret, math., 1959—
1960, 12-e annee. Fasc. 1. 2-е ed. Paris, 1960, 188/1 — 188/14 (РЖМат,
1962, 1A338)
158. Reinhard B. L.f Line-element fields on the torus. Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 1959, 45, № 1, 49—50 (РЖМат, 1962, 1A339)
159. Palais R. S., Stewart Т. Е., Torus bundles over a torus. Proc.
Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 1, 26—29 (РЖМат, 1962, 1A342)
160. Bredon G. E., On homogeneous cohomology spheres. Ann. Math., 1961,
73, №3, 556—565 (РЖМат, 1962, 1A344)
161. Penrose R., W h i t e h e a d J. H. C, Z e e m a n M. C, Imbedding
of manifolds in Euclidean space. Ann. Math., 1961, 73, №3, 613—623
(РЖМат, 1962, 2A366)
162. Cairns S. S., The manifold smoothing problem. Bull. Amer. Math. Soc,
1961, 67, №2, 237—238 (РЖМат, 1962, 2A367)
163. Munkres J., Differentiable isotopies on the 2-sphere. Michigan Math. J.,
I960, 7, №3, 193—197 (РЖМат, 1962, 2A368)
164. Cairns S. S., A simple triangulation method for smooth manifolds. Bull.
Amer. Math. Soc, 1961, 67, №4, 389—390 (РЖМат, 1962, 2A369)
165. Wu Tsen-teh, On the mod 2 imbedding classes of a triangulable compact
manifold. Sci. Res., 1958, 2, № 12, 435—438 (РЖМат, 1962, 2A370)
166. Рохлин В. А., Теория внутренних гомологии. Успехи матем. наук,
1959, 14, №4, 3—20 (РЖМат, 1962, 2А371)
167. Adachi Masahisa, Sur les groupes de cobordisme Qk. Proc. Japan Acad,
1957, 33, №3, 143—144 (РЖМат, 1962, 2A372)
168. Hirzebruch F., H о p f H., Felder von Flachenelementen in 4-dimensio-
nalen Mannigfaltigkeiten. Math. Ann., 1958, 136, № 2, 156—172
(РЖМат, 1962, 2A373)
169. Palais R. S., Logarithmically exact differential forms. Proc Amer. Math.
Soc, 1961, 12, № 1, 50—52 (РЖМат, 1962, 2A374)
170. Braconnier J., La convolution des courants. С. г. Acad. sci., 1961, 252,
№ 1, 60—62 (РЖМат, 1962, 3A327)
171. Новиков С. П., О некоторых задачах топологии многообразий, связан-
связанных с теорией пространств Тома. Докл. АН СССР, 1960, 132, № 5,
1031 — 1034 (РЖМат, 1962, ЗА328)
172. Epstein D. В. A., Free products with amalgamation and 3-manifolds.
Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12, №4, 609—670 (РЖМат, 1962, 4A328
173. Poenaru V., Sur quelques proprietes des varietes simplement connexes a
trois dimensions. Rend. mat. e applic, 1961, 20, № 1-2, 235—269 (РЖМат,
1962, 4A329)
174. Ise Mikio, On the geometry of Hopf manifolds. Osaka Math. J., 1960, 12,
№ 2, 387—402 (РЖМат, 1962, 4A332)
155

175. Martins Rodrigues A. A., Equivalent sub-manifolds of Lie groups. Anais
Acad. brasil. cienc, 1960, 32, №2, 191 — 192 (РЖМат, 1962, 4A333)
176. Toda Hirosi, p-primary components of homotopy groups. IV. Compositions
and toric constructions. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto, 1959, A-Math. 32,
№ 2, 297—332, (РЖМат, 1962, 5A334)
177. Shim a da Nobuo, Triviality of the mod p Hopf invariants. Proc. Japan
Acad., 1960, 36, №2, 68—69 (РЖМат, 1962, 5A340)
178. Shih W., Une propriete de la classe caracteristique d'un fibre principal.
С r. Acad. sci., 1960, 251, № 14, 1331 — 1332 (РЖМат, 1962, 5A348)
179. Vazquez R., Clases caracteristicas generalizadas у cuadrados de Steenrod
en la sucesion de Gysin de un espacio fibrado esfericamente. Rev. Union
mat. argent, у Asoc. fis. argent., 1960, 19, № 3, 207—216 (РЖМат, 1962,
5A349)
180. Hermann R., A sufficient condition that a mapping of Riemannian mani-
manifolds be a fibre bundle. Proc. Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 2, 236—242
(РЖМат, 1962, 5A350)
181. Cockcroft W. H., The simple homotopy type of the composition of 3-mani-
folds. Proc. London Math. Soc, 1961, 11, №44, 577—587 (РЖМат, 1962,
5A356)
182. Hirsch M. W., S m a 1 e S., On involutions of the 3-sphere. Amer. J.
Math., 1959, 81, №4, 893—900 (РЖМат, 1962, 5A357)
183. Haefliger A., Sur les self-intersections des applications differentiables.
Bull. Soc. math. France, 1959, 87, №4, 351—359 (РЖМат, 1962, 5A361)
184. Reeb G., Problemes topologiques de la theorie des systemes dynamiques.
Semin. mec analyt. et mec celeste M. Janet. Fac. sci. Paris, 1959—1960.
3 annee Paris, 1960, 5/1—5/6 (РЖМат, 1962, 5A362)
185. Araki Shoro, On the non-commutativity of Pontrjagin rings mod 3 of some
compact exceptional groups. Nagoya Math. J., 1960, 17, Aug., 225—260
(РЖМат, 1962, 5A368)
186. Haken W., Theorie der Normalflachen. Ein Isotopiekriterium fur den
Kreisknoten. Acta math., 1961, 105, №3-4, 245—375 (РЖМат, 1962,
6A252)
187. Toda Hirosi, Vector fields on spheres. Bull. Amer. Math. Soc, 1961, 67,
№4, 408—412 (РЖМат, 1962, 6A275)
188. Matuzevicius A., Antrosios kiiutys indukuotose istrizose repeiniij laukq
sandaugose. Vilniaus univ. Mokslo darbai. Matem., fiz., Уч. зап. Виль-
нюсск. ун-т. Матем. физ., 1960, 33, №9, 75—87 (РЖМат, 1962, 6А279)
189. Stewart Т. Е., Lifting group actions in fibre bundles. Ann. Math., 1961,
74, № 1, 192—198 (РЖМат, 1962, 6A280)
190. Kelly G. M., On manifolds containing a submanifold whose complement is
contractible. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, № 2, 507—515
(РЖМат, 1962, 6A281)
191. Mazur В., A note on some contractible 4-manifolds. Ann. Math., 1961, 73,
№ 1, 221—228 (РЖМат, 1962, 6A284) ,
192.—, Stable equivalence of differentiable manifolds. Bull. Amer. Math.
Soc, 1961, 67, №4,377—384 (РЖМат, 1962, 6A288)
193. Tomonaga Yasur6, A generalization of Hirzebruch polynomial and cobor-
dism decomposition. Proc Amer, Math. Soc, 1961, 12, №4, 573—576
(РЖМат, 1962, 6A289)
194. Tamura Itiro, Sur certaines varietes differentiables de dimension 8. С. г.
Acad. sci., 1961, 255, №5, 768—769 (РЖМат, 1962, 6A290)
195. Eells J., Jr., Kui per N. H., Closed manifolds which admit nonde-
generate functions with three critical points. Proc koninkl. nederl. Akad.
wet., 1961, A64, №4, 411—417; Indagationes, math., 1961, A23, №4,
411-417 (РЖМат, 1962, 6A291)
196. Hirsch M. W., Immersions of almost parallelizable manifolds. Proc. Amer.
Math. Soc, 1961, 12, №5, 845—846 (РЖМат, 1962, 6A292)
156

197. У Чжэнь-дэ. О классах вложения по модул о 2 триангулчруемэ1х компакт-
компактных многообразий. Шусюэ сюэбао, Acta math, sinica, 1960,10, № 1, 22—32
(РЖМат, 1962, 6А294)
198. Adams J. F., Vector field on spheres. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68,
№ 1, 39—41 (РЖМат, 1962, 7A285)
199. Liulevicius A., The factorization of cyclic reduced powers by secondary
cohomology operations. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1960, 46, № 7,
978—981 (РЖМат, 1962, 7A289)
200. Adams J. F., On Chern characters and the structure of the unitary group.
Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, № 2,188—199 (РЖМат, 1962,7А292)
201. Whitehead J. H. C, Manifolds with transverse fields in Euclidean space.
Ann. Math., 1961, 73, № 1, 154—212 (РЖМат, 1962, 7A295)
202. Royden H. L., The analytic approximation of differentiable mappings.
Math. Ann., 1960, 139, №3, 171 — 179 (РЖМат, 1962, 7A296)
203. Haefliger A., Differentiable imbeddings. Bull. Amer. Math. Soc, 1961,
67, № 1, 109—112 (РЖМат, 1962, 7A297)
204. Whitehead J. H. C, The immersion of an open 3-manifold in Euclidean
3-space. Proc. London Math. Soc, 1961, 11, №41, 81—90 (РЖМат, 1962,
7A298)
205. Massey W. S., Normal vector fields on manifolds. Proc Amer. Math.
Soc, 1962, 12, № 1, 33—40 (РЖМат, 1962, 7A299)
206. Ramalho de Azevedo R., Variedade analitica real. Definic^o e exemplos.
Gaz. math., 1961, 22, №82—83, 1 — 13 (РЖМат, 1961, 8A292)
207. Hubsch W., Morse M., The Schoenflies extension in the analytic
case. Ann. mat. pura ed appl., 1961, 54, 359—378 (РЖМат, 1962, 8A293)
208. Lima Ё. L., Introduce a teoria de Morse. Atas 2do coloquio brasil. mat.,
Poqos de Caldas, 1959. Sao Paulo, 1960, 99—124 (РЖМат, 1962, 8A295)
209. Epstein D. B. A., Projective planes in 3-manifolds. Proc London Math.
Soc, 1961, 11, №43, 469—484 (РЖМат, 1962, 9A219)
210. —, Finite presentations of groups and 3-manifolds. Quart. J. Math.,
1961, 12, №47, 205—212 (РЖМат, 1962, 9A220)
211. Tamura Itiro, Characteristic classes of Af-spaces. I. J. Math. Soc. Japan,
1959, 11, №4, 312—342 (РЖМат, 1962, 9A227)
212. —, A diffeomorphy invariant of quotient manifolds. J. Math. Soc Japan,
1959, 11, №4, 343—353 (РЖМат, 1962, 9A228)
213. Noguchi Hiroshi, The thickening of combinatorial я-manifolds in (n-\-l)-
space. Proc Japan Acad, 1960, 36, № 2, 70—71 (РЖМат, 1962, 9A230)
214. —, The thickening of combinatorial я-manifolds in (n+l)-space. Osaka
Math. J., 1960, 12, №2, 97—112 (РЖМат, 1962, 9A231)
215. —, The smoothing of combinatorial я-manifolds in (n-\-1)-space. Ann.
Math., 1960, 72, №2, 201—215 (РЖМат, 1962, 9A232)
216. Munkres J., Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable
homeomorphisms. Ann. Math., 1960, 72, №3, 521—554 (РЖМат, 1962,
9A233)
217. Adachi Masahisa, On certain triangulated manifolds. Proc. Japan Acad,
1960, 36, №8, 461—465 (РЖМат, 1962, 9A234)
218. Milnor J., Differentiable structures on spheres. Amer. J. Math., 1959, 81,
№4, 962—972 (РЖМат, 1962, 9A235)
219. Hirsch M. W., An exact sequence in differential topology. Bull. Amer.
Math. Soc, 1960, 66, №4, 322—323 (РЖМат, 1962, 9A236)
220. Atiyah M. F., Bordism and cobordism. Proc Cambridge Philos. Soc,
1961, 57, №2, 200—208 (РЖМат, 1962, 9A237)
221. Haefliger A., Plongements differentiables de varietes dans varietes. Com-
Comment, math, helv., 1961, 36, № 1, 47—82 (РЖМат, 1962, 9A238)
222. Reinhart B. L., The winding number on two manifolds. Ann. Inst. Fourier,
1960, № 10, 271—283 (РЖМат, 1962, 9A239)
223. Browder W., Homology and homotopy of Я-spaces. Proe. Nat. Acad.
Sci. U. S. A., 1960, 46, №4, 543—545 (РЖМат, 1962, 9A240)
157

224. Browder W.,T h о m a s E.,Axioms for the generalized Pontryagin cohomo-
logy operations. Quart. J. Math., 1962, 13, №49, 55—60 (РЖМат, 1962,
10A230)
225. Newman M. H., On the division of Euclidean л-space by topological
(n—l)-spheres. Proc. Roy Soc, 1960, A257, № 1288, 1 — 12 (РЖМат,
1962, 10A231)
226. Milnor J., Two complexes which are homeomorphic but combinatorially
distinct. Ann. Math., 1961, 74, №3, 575—590 (РЖМат, 1962, 10A232)
227. Новиков С. П., О диффеоморфизме односвязных многообразий. Докл.
АН СССР, 1962, 143, №5, 1046—1049 (РЖМат, 1962, 10А233)
228. Lang S., Inequivalence homotopique taugentielle. Semin. Bourbaki. Sec-
Secret Math., 1960—1961, 13 annee, fasc. 3 Paris, 1961, 222/1—222/10
(РЖМат, 1962, 10A234)
229. Reeb G., Remarques sur les structures feuilletees. Bull. Soc. math. France,
1959, 87, № 4, 445—450 (РЖМат, 1962, 10A235)
230. Epstein D. В., Factorization of 3-manifolds. Comment math, helv., 1961,
36, №2, 91 — 102 (РЖМат, 1962, 11A257)
231. Cockcroft W. H., On the Thorn isomorphism theorem. Proc. Cambridge
Philos. Soc, 1962, 58, №2, 206—208 (РЖМат, 1962, 12A215)
232. Atiyah M. F., H i r z e b r u с h F., Bott periodicity and the paralle-
lizability of the spheres. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1961, 57, №2,
223—226 (РЖМат, 1962, 12A216)
233. Morse M., Schoenflies problems. Fundam. math., 1962, 50, №3, 319—
332 (РЖМат, 1962, 12A217)
234. Matsunaga Hircmichi, The homotopy groups л2»4/(^/(п)) for t=3,4 and 5.
Mem. Fac Sci. Kyushu Univ., 1961, A15, № 1, 72—81 (РЖМат, 1963,
1A307)
235. —, Correction to the preceding paper and note on the James number.
Med. Fac Sci. Kyushu Univ., 1962, A16, № 1, 60-61 (РЖМат, 1963,
1A308)
236. Atiyah M. E., Thorn complexes. Proc. London Math. Soc, 1961, 11, № 42,
291—310 (РЖМат, 1963, 1A322)
237. Новиков СП., Гомотопические свойства комплексов Тома. Матем. сб.,
1962, 57, № 4, 407—442 (РЖМат, 1963, 1А323)
238. Browder W., Homotopy commutative ff-spaces. Ann. Math., 1962, 75,
№2, 282—311 (РЖМат, 1963, 2A302)
239. Adams J. F., On formulae of Thorn and Wu. Proc. London Math. Soc,
1961, 11, №44, 741—752 (РЖМат, 1963, 2A307)
240. Thomas F., The torsion Pontryagin classes. Proc. Amer. Math. Soc, 1962,
13, №3, 485—488 (РЖМат, 1963, 2A308)
241. Tomonaga Yasuro, Integrality of a certain kind of genus. Proc. Amer.
Math. Soc, 1961, 12, №5, 821—823 (РЖМат, 1963, 2A309)
242. —, Coefficients of cobordism decomposition. Tohoku Math. J., 1961, 13,
№ if 75—93 (РЖМат, 1963, 2A310)
243. Stallings J. R., Polyhedral homotopy-spheres. Bull. Amer. Math. Soc,
1960, 66, 485—488 (РЖМат, 1963, 2A313)
244. Kervaire M. A., Le probleme de Poincare en dimensions elevees (d'apres
J. Stallings). Semin. Bourbaki, Secret, math. 1960—1961, 13 annee, fasc
1. Paris. 1961, 208/1—208/11 (РЖМат, 1963, 2A314)
245. Zeeman E. C, The generalised Poincare conjecture. Bull. Amer. Math.
Soc, 1961, 67, №3, 270 (РЖМат, 1963, 2A315)
246. Kervaire M. A., Milnor J. W., On 2-spheres in 4-manifolds. Proc.
Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1961, 47, № 10, 1651 — 1657 (РЖМат, 1963,
2A318)
247. Hirsch M. W., The imbedding of bounding manifolds in Euclidean space.
Ann. Math., 1961, 74, №3, 494—497 (РЖМат, 1963, 2A319)
248. Browder W., Torsion in Я-spaces. Ann. Math., 1961, 74, № 1, 24—51
(РЖМат, 1963, 3A284)
158

249. Brown E. H., Jr., Non-existence of low dimensions relations between Stie-
fel—Whitney classes. Trans. Amer. Math. Soc, 1962, 104, № 2, 374—382
(РЖМат, 1963, 3A287)
250. Hirsch M. W., On combinatorial submanifolds of differentiable manifolds.
Comment math, helv., 1961, 36, №2, 103—111 (РЖМат, 1962, 3A294)
251. Mazur В., Simple neighborhoods. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, №2,
87—92 (РЖМат, 1963, 3A295)
252. Milnor J., A survey of cobordism theory. Enseign. math., 1962, 8, № 1—2,
16—23 (РЖМат, 1963, 3A297)
253. Hirzebruch F., A Riemann-Roch theorem for differentiable manifolds.
Semin. Bourbaki. Secret, math. 1958—1959. 11-е annee. Fasc. 2. 2-е ed.
Paris. 1959, 177/1—177/21 (РЖМат, 1963, 3A298)
254. Stallings J. R., On the recursiveness of sets of presentations of 3-manifold
groups. Fundam. math., 1962, 51, №2, 191 — 194 (РЖМат, 1963, 4A256)
255. Oguchi Kunio, 2-primary components of the homotopy groups of spheres.
Proc. Japan Acad., 1962, 38, №5, 183—187 (РЖМат, 1963, 5A368)
256 —, 2-primary components of the homotopy groups of some Lie groups.
Proc. Japan Acad., 1962, 38, №6, 235—238 (РЖМат, 1963, 5A369)
257. Browder W., Fiberings of spheres and #-spaces which are rational homo-
logy spheres. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, № 3, 202—203 (РЖМат,
1963, 5A373)
258. James I., Thomas E., On homotopy-commutativity. Ann. Math.,
1962, 76, №1, 9—17 (РЖМат, 1963, 5A374)
259. Massey W. S., Obstruction to the existence of almost complex structures.
Bull. Amer. Math. Soc, 1961, 67, №6, 559—564 (РЖМат, 1963, 5A376)
260. Tamura Itiro, 8-manifolds admitting no differentiable structure. J. Math.
Soc. Japan, 1961, 13, №4, 377—382 (РЖМат, 1963, 5A383)
261. —, Remarks on differentiable structures on spheres. J. Math. Soc. Japan.,
1961, 13, №4, 383—386 (РЖМат, 1963, 5A384)
262. Hattori Akio, The index of coset spaces of compact Lie groups. J. Math.
Soc. Japan, 1962, 14, № 1, 26—36 (РЖМат, 1963, 5A389)
263. Massey W. S., Szczarba R. H., Line element fields on manifolds.
Trans. Amer. Math. Soc, 1962, 104, № 3, 450—456 (РЖМат, 1963, 6A298)
264. Liulevicius A. L., A proof of Thorn's theorem. Comment, math, helv.,
1962, 37, № 2, 120—131 (РЖМат, 1963, 6A306)
265. Shim a da Nobuo, Yamanoshita Tsuneyo, On triviality of
the mod p Hopf invariant. Japan.J. Math., 1961, 31, 1—25 (РЖМат, 1963,
7A248)
266. Toda Hirosi, Composition methods in homotopy groups of spheres. Ann.
Math. Studies, 1962, № 49, 193 pp. (РЖМат, 1963, 7A249)
267. Harris В., Suspensions and characteristic maps for symmetric spaces.
Ann. Math., 1962, 76, № 2, 295—305 (РЖМат, 1963, 7A250)
268. —, Some calculations of homotopy groups of symmetric spaces. Trans.
Amer. Math., Soc, 1963, 106, № 1, 174 — 184 (РЖМат, 1963, 7A251)
269. Browder W., Remark on the Poincare duality theorem. Proc Amer. Math.
Soc, 1962, 13, № 6, 927—930 (РЖМат, 1963, 7A253)
270. Tao Junzo, On the smoothing of a combinatorial л-manifold immersed
in the Euclidean (n-M)-space.Osaka Math. J., 1961, 13, № 2, 229—249
(РЖМат, 1963, 7A260)
271. Hirsch M. W., On imbedding differentiable manifolds in Euclidean spa-
space. Ann. Math., 1961, 73, № 3, 566—571 (РЖМат, 1963, 7A261)
272. Yamasuge Hiroshi,On embedding of level manifolds and sphere bundles.
J. Inst. Polytechn. Osaka City. Univ., 1960, All, № 2, 15—30 (РЖМат,
1963, 7A262)
273. Smale S., On gradient dynamical systems. Ann. Math., 1961, 74, № 1,
199—206 (РЖМат, 1963, 7A263)
274. Smale S., The generalized Poincare conjecture in higher dimensions.
Bull. Amer. Math., Soc, 1960, 66, № 5, 373—375 (РЖМат, 1963, 7A264)
159

275. Smale S., Generalized Poincare's conjecture in dimensions greater than
four.Ann. Math., 1961, 74, № 2, 391—406 (РЖМат, 1963, 7A265)
276. Смейл С, Обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерностях, больших
четырех. Математика. Период, сб. перев. ин.статей, 1962, 6, № 3, 139—155
(РЖМат, 1963, 7А266)
277. Smale S., Differentiable and combinatorial structures on manifolds.
Ann. Math. 1961, 74, № 3, 498—502 (РЖМат, 1963, 7A267)
278. —, On the structure of 5-manifolds. Ann. Math., 1962, 75, № 3, 38—46
(РЖМат, 1963, 7A268)
279. Wallace A. H., Modifications and cobounding manifolds. II. Math, and
Mech. 1961, 10, № 5, 773—809 (РЖМат, 1963, 7A269)
280. —, A geometric method in differential topology. Bull. Amer. Soc, 1962,
68, № 6, 533—542 (РЖМат, 1963, 7A270)
281. Toda Hirosi, Note on cohomology ring of certain spaces. Proc. Amer.
Math., Soc, 1963, 14, № 1, 89—95 (РЖМат, 1963, 8A265)
282. Browder W., S p a n i e r E., Я-spaces and duality. Pacif.J. Math., 1962,
12, № 2, 411—414 (РЖМат, 1963, 8A273)
283. Massey W. S., On the Stiefel—Whitney classes of a manifold. II. Proc.
Amer. Math., Soc, 1962, 13, № 6, 938—942 (РЖМат, 1963, 8A274)
284. Thorn R., Remarques sur les problemes comportant des inequations dif-
ferentielles globales. Bull. Soc. math. France, 1959, 87, № 4, 455—461
(РЖМат, 1963, 8A278)
285. Irwin M. C, Combinatorial embeddings of manifolds. Bull.Amer. Math.,
Soc, 1962, 68, № 1, 25—27 (РЖМат, 1963, 9A273)
286. Srinivasacharyulu K., Sur certaines varietes triangulables sans structures
differentiables. С. г. Acad. sci., 1962, 254, № 1, 58-60 (РЖМат, 1963,
9A274)
287. Wall С. Т. С, Killing the middle homotopy groups of odd dimensional
manifolds. Trans. Amer. Math., Soc, 1962, 103, № 3, 321—433 (РЖМат,
1963, 9A275)
288. Saito Yoshihiro, On decomposable mappings of manifolds. J. Math. Kyoto
Univ., 1962, 1, № 3, 425—455 (РЖМат, 1963, 9A277)
289. Tamura Itiro, Differentiable 7-manifolds with a certain homotopy type.
J. Math. Soc. Japan, 1962, 14, №> 3, 292—299 (РЖМат, 1963, 9A278)
290. —, Sur les sommes connexes de certaines varietes differentiables. C. r.
Acad. sci., 1962, 255, № 23, 3104—3106 (РЖМат, 1963, 9A279)
291. Smale S., On the structure of manifolds. Amer. J. Math., 1962, 84, № 3,
387—399 (РЖМат, 1963, 9A280)
292. Thom R., Les structures differentiables des boules et des spheres. Colloq
geometrie different, globale. Bruxelles. 1958. Paris—Louvain, 1959, 27—
35 (РЖМат, 1963, 9A282)
293. Новиков С. П., Гомотопические свойства группы диффеоморфизмов
сферы. Докл. АН СССР, 1963, 148, № 1, 32—35 (РЖМат, 1963, 9А283)
294. Ивановский Л. Н. Когомологические операции второго порядка. III Все-
союзн. тополог, конф., Тезисы докладов. Тбилиси, 1959.
295. Haefliger A., Knotted D6—1) -spheres in 66-space, Ann. Math., 1962, 75,
452—466 (РЖМат, 1963, 5A382)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ МНОГООБРАЗИЙ
А. В. Чернавский
Обзор разбит на три раздела: в первом рассматриваются ра-
работы с преобладанием чисто топологических методов, во вто-
втором— главным образом работы по топологии трехмерных много-
многообразий, в третьем — работы по комбинаторным многообразиям.
Ek9 Bk, Sk — обозначения для эвклидова пространства, гео-
геометрических шара и сферы; 6*, ©*, & — для их топологических
образов. Вложение Ер, Вр, Sp в Ek, p < k, называется стандартным.
А. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЛОЖЕНИЯ, ГОМЕОМОРФИЗМЫ,
ОТОБРАЖЕНИЯ
1. Топологические вложения полиэдров и нуль-
нульмерных компактов в Ek. Имеются обзоры О. Е. Харрольда
[65] и Л. В. Келдыш [72]. Вложение полиэдра в Ek называется
ручным, если топологическим преобразованием Ek он может быть
переведен в прямолинейный полиэдр. В противном случае вложе-
вложение называется диким (Артин-Фокс). Вложение р-многообразия
МР в Ek локально плоское (Браун), если каждая точка МР имеет в
Ek окрестность Н такую, что И можно гомеоморфно отобразить на Ek
так, что НГ\М перейдет на №. Условия локальной незаузленности и
локальной периферической незаузленности Харрольда (см. [65, 72])
обозначаются ЛН и Л ПН. Вложение (k — 1)-многообразия называется
нормальным, если некоторая окрестность его в Ek представляется
в виде Mk~l XB\ где М^1 ХО^Л!*-1. Сфера ©^ (или эле-
элемент $$р) незаузлены в Ek, если топологическим преобразованием
Ek они переводятся в 5^ (соответственно в Вр). Два вложения
компакта в Ek называются эквивалентными, если естественный
гомеоморфизм между образами вложений распространяется до то-
топологического преобразования Ek.
11-5871 161

а) Общие результаты. Большой сдвиг в чисто топологическом
изучении многообразий произошел после доказательства так на-
называемой обобщенной теоремы Шенфлиса (Браун [31]), Мазур —
Морс ([89, 90, 94]): Пусть <5k~lc:Ek. Следующие условия экви-
эквивалентны. 1) Существует гомеоморфизм окрестности (&k~l в Ek,
переводящий &-1 на Sk~l (нормальность). 2) каждый гомеомор-
гомеоморфизм <5k~l на S^ продолжаем на окрестности, 3) существует
гомеоморфное преобразование Ek, переводящее <&k~l на S*-1 (не-
заузленность), 4) каждый гомеоморфизм <Sk~l на S*-1 распрост-
распространим до гомеоморфного преобразования Ek, 5) замыкания допол-
дополнительных областей гомеоморфны шару или шару без точки (ус-
(условие Шенфлиса). Ясно, что 1 эквивалентно 2, 3 эквивалентно
4 и 5 и что из 3 следует 1. Содержание теоремы составляет
утверждение, что из 1 следует 3. Доказательство Брауна теоре-
теоретико-множественное, его основа — эквивалентность клеточного
и точечного вложения континуумов (об этом см. п. За). Доказа-
Доказательство Мазура ведет к некоторым комбинаторным уточ-
уточнениям.
Из этой теоремы как следствие получается общий критерий
незаузленности элементов в Ek (см. [102]): Пусть ЪраЕк. Сле-
Следующие условия эквивалентны: 1) существует гомеоморфизм
окрестности Вр в Ek, переводящий Вр на 53^ (нормальность),
2) любой гомеоморфизм между Вр и 53^ продолжаем на их окрест-
окрестности, 3) Вр можно перевести на 53^ топологическим преобразова-
преобразованием Ek9 4) любой гомеоморфизм между Вр и 53^ распространим
до топологического преобразования Ek. Условия 2) и 4) не экви-
эквивалентны, если сравнивать любые два вложения В? в Ek, а не
одно какое-нибудь со стандартным вложением.
Вопрос 1. Будет ли вложение элемента ручным, если каждый его
гомеоморфизм в себя распространим до топологического преобра-
преобразования £**?
Кли [82] доказывает, что если %$pczEk, то Ър ручной в Ek+p.
В частности, всякая дуга в Ег ручная в £4.
Вопрос 2. Существует ли в Е3 диск, не являющийся ручным
в £4?
Браун [33, 34] показал, что локально плоское вложение
(k—1)-многообразия распространяется до вложения произве-
произведения (вообще говоря, косого) этого многообразия на отрезок
(см. также [68, 69]). В частности, край многообразия вложен в
многообразие с произведением на отрезок. Вместе с обобщенной
теоремой Шенфлиса этот результат показывает, что локально
плоские (k—1)-сферы не заузлены в Ek. В то же время Стол-
лингс доказал, что если вложение <SpaEk локально плоско, при-
причем k > 5, а р <&—3, то ©р незаузлена в Ek, если же р = k — 2,
то это же верно, когда дополнение имеет гомотопический тип
окружности. Доказательство [104] использует смешанные гомотопи-
гомотопические, комбинаторные и теоретико - множественные методы.
162

Наконеи, Глюк показал [57], что локально плоский простой замк-
замкнутый контур никогда не заузливает в £4. Итак, локально
плоская ©^ может заузливать в Ек, если и только если k = р +
+2. Вместе с результатом Кли это показывает, что всякая
р-сфера, лежащая в Efc, незаузлена в Ek+p.
б) Нульмерные компакты в Eh. Вложение нульмерного ком-
компакта С0 называется ручным, если оно эквивалентно вложению
прямолинейного компакта. Л. В. Келдыш показала, что для этого
необходима и достаточна клеточная разделенность С0, т. е. су-
существование конечного сколь угодно мелкого покрытия С0 откры-
открытыми, непересекающимися £-элементами [76]. Для ручных вложе-
вложений 'С0 в £3 имеются критерии Бинга [20]: 1) существование
конечных сколь угодно мелких покрытий 3-элементами (все равно
открытых или замкнутых), границы которых не пересекают С0,
2) дополнение гомеоморфно дополнению к ручному нульмерному
компакту, 3) дополнение равномерно односвязно (см. также Гом-
ма [71], 4) каждая точка содержится внутри сколь угодно мелкой
2-сферы, не пересекающей С0.
Вопрос 3. (Бинг). Существует ли в Ег универсальный нульмер-
нульмерный компакт такой, что любой другой может быть переведен в его
* подмножество гомеоморфным преобразованием £3? Примеры ди-
диких вложений с разными свойствами см. в [28, 78, 85].
в) Полиэдры в Е3. Задача характеризации вложений поли-
полиэдров в Е3 сводится результатом Бинга-Мойса (локально руч-
ручные вложения совпадают с ручными [11]) и теоремой Дойла (о
том, что объединение двух ручных дисков, пересекающихся по
дуге на крае, есть ручной диск [47]). К задаче характеризации вло-
вложений &-ежей и 2-симплексов. (k-еж есть объединение k отрезков
с одним общим концом). Вложение &-ежа может быть диким, если
даже вложение каждой дуги в нем ручное [42, 45]. Вложение ежа
ручное, если каждая дуга в нем ручная и он лежит на топологиче-
топологическом диске [44]. Вложение 2-полиэдра ручное, если его 1-остов
и каждый 2-симплекс ручные (см. [48]). Простой замкнутый кон-
тур ручной, если он локально плоский [102] или если он есть пере-
пересечение концентрических (топологически) полноторий и в каждой
точке прокалывает некоторый топологический диск (т. е. проходит
с одной стороны диска на другую, пересекаясь с ним в однрй
точке) [51]. Последние условия независимы, см. [12] и [51]. Поверх-
Поверхность ручная, если ее дополнение равномерно односвязно [19] или
если в некоторой ее триангуляции каждый 1-симплекс и внутрен-
внутренность каждого 2-сим'Плекса ЛПН [44]. Другие критерии
см. [65], [72].
Дуги с одной точкой дикости рассматривались в [9, 29, 53]. Если
эта точка — конец, имеется бесконечное (несчетное?) число неэк-
неэквивалентных вложений [9]. Когда дуга состоит из двух ручных дуг
и ЛПН, Харрольд и Фокс провели полную классификацию воз-
IIs1
163

можных вложений сведением к комбинации простых узлов и пока-
показали, что имеется несчетное множество неэквивалентных ти-
типов [53]. В [9, 29] вводятся различные инварианты для изучения
локального характера вложений дуг.
Бинг построил [22] такую дикую сферу, что все лежащие на ней
дуги ручные. В то же время известно, что сфера прокалываема
ручными дугами в тех и только в тех точках, которые лежат на
ручных дугах в сфере (Гиллман, [54], см. также [25, 26, 43, 44]).
С построением Бинга связан ряд работ например [1, 54]. Альфорд
построил несчетное число неэквивалентных вложений сфер с одно-
связными дополнениями, а Гиллман объявил, что дополнения мо-
могут быть сделаны гомеоморфными Еъ (см. [1]). Мартин построил
сферу, которая не может быть переведена в себя нетождественно
никаким пространственным гомеоморфизмом.
Вопрос 4. (Беккер). Существует ли дикая сфера, любые две
точки которой переводятся одна в другую пространственным го-
гомеоморфизмом, который оставляет сферу инвариантной?
Бинг показал, что дизъюнктная система диких сфер всегда
счетна, а Столлингс построил несчетную систему диких дисков
[13, 103].
г) Полиэдральная аппроксимация поверхностей. Большое чис-
число самых различных исследований по топологии 3-многообразий
основывается на общей теореме аппроксимации Бинга — «всякое
2-многообразие, лежащее в 3-многообразии, может быть переведено
гомеоморфным s-сдвигом в полиэдральное» ([14], [72]). Бинг до-
доказал также теорему об односторонней аппроксимации: Для 2-сферы
@2 в Ег и каждого е > 0 существует гомеоморфный s-сдвиг ©2
на полиэдральную сферу S2 так, что S2, если исключить из нее
конечное число дисков, диаметр каждого меньше е, лежит в задан-
заданной компоненте дополнения к @2. Отсюда Бинг выводит, что на
каждой сфере в Ег имеется счетное всюду плотное семейство
кривых Серпинского, из которых каждое конечное множество ле-
лежит на ручной сфере. Далее, на @2 существует нульмерный ком-
компакт С0 для заданного е > 0 и @2 гомеоморфно е-сдвигается в
одну из компонент дополнения, пополненную С0 ([27]). Уилдер
показал, что это последнее свойство характеризует 2-сферы в Е3
среди локально связных общих границ областей в Е3, одномерная
гомологическая группа которых тривиальна [107]. Уилдер распрост-
распространил также это предложение на случай обобщенных гомологических
(k— 1)-многообразий в Ek.
Болл [8] показывает, что любая система как угодно пересе-
пересекающихся сфер может быть заменена конечной системой сфер с
непересекающимися внутренностями, лежащими вблизи суммы
данных сфер, причем сумма внутренностей новых сфер содержит
заданное компактное подмножество, лежащее в сумме внутренно-
внутренностей старых.
164

2. Группы гомеоморфизмов многообразий рас-
рассматриваются в компактно-открытой топологии. Обозначение:
Н(Мк).
а) Изотопии, устойчивые гомеоморфизмы и проблема кольца.
Из известного результата Александера следует стягиваемость и
локальная стягиваемость группы гомеоморфизмов сферы, остав-
оставляющих неподвижным данный шар. К случаю Александера легко
сводится случай группы гомеоморфизмов сферы, оставляющих
неизменными направления в данной точке, и, что эквивалентно,
группы гомеоморфизмов Ek в равномерной топологии [79] (Пель-
чинский заметил, что группа гомеоморфизмов плоскости в ком-
компактно-открытой топологии содержит окружность, именно, под-
подгруппу вращений вокруг начала, которая не может быть в ней
стянута в точку).
Вопрос 5. Справедливо ли обобщение теоремы Александера
на случай гомеоморфизмов &-сферы, оставляющих неподвижной
трубчатую окрестность некоторого р-симплекса, 1<р<&— 1? Ли-
Линейная связность группы гомеоморфизмов fe-сферы, т. е. возмож-
возможность изотопного соединения двух данных гомеоморфизмов одной
степени, легко вытекала бы из положительного ответа на сле-
следующий вопрос (для всех га, \<m<k).
Boijpoc 6 (проблема кольца). В Sm даны две нормальные не-
непересекающиеся сферы ©f и S^" («ситуация кольца»). Соглас-
Согласно обобщенной теореме Шенфлиса, замыкания двух дополнитель-
дополнительных областей гомеоморфны замкнутым шарам, а открытая третья
область гомеоморфна дополнению к двум точкам. Будет ли ее
замыкание гомеоморфно дополнению к паре шаров («кольцу»)?
В свою очередь проблема кольца без труда сводится к проблеме
триангулируемости: если эта замкнутая промежуточная область
триангулируема, то она есть кольцо. Выкидывая шаровые области
и прикрепляя ручку, получаем замкнутое многообразие, из
триангулируемости которого также следует, что замкнутая проме-
промежуточная область есть кольцо.
Если в fe-сфере дана конечная дизъюнктная система локально
плоских {k—1)-сфер, каждая из которых содержит fe-симплекс
в триангуляции &-сферы, то эта система может быть изотопно пе-
переведена в систему границ fe-симплексов [108]. Из сказанного в
п. 1а следует, что незаузленные (k—1)-элементы Ек распада-
распадаются на непересекающиеся классы (число которых больше^ одного,
если и только если не верна гипотеза кольца). При этом два таких
элемента принадлежат к одному классу, если и только если
существует отображение Bfe~1X[0,l] в Eh, гомеоморфное в окрест-
окрестности каждого сечения Bk~iXt, при котором основания переходят
на данные элементы. Другой критерий состоит в том, что один из
этих элементов можно перевести в другой суперпозицией гомео-
гомеоморфизмов, каждый из которых оставляет неподвижной некоторую
165

область. Такие гомеоморфизмы названы устойчивыми Брауном и
Глюком, которые намерены развить в трех статьях в Ann. of Math,
теорию устойчивых гомеоморфизмов в многообразиях [43]. Изло-
Изложим коротко идею этой теории. Гомеоморфизмы Ек переставля-
переставляют классы. Гомеоморфизм устойчив, если и только если он сохра-
сохраняет класс хотя бы одного элемента. В многообразии (k—^-эле-
(k—^-элементы незаузленные в своей эвклидовой окрестности (локально
плоские элементы) распадаются прежде всего на классы Га, в за-
зависимости от того, можно ли их перевести друг в друга гомеомор-
гомеоморфизмами многообразия. Теперь фиксируем в Eh какой-нибудь руч-
ручной (k — 1)-элемент б и допустим, что многообразие М обладает
покрытием {#,<?} и гомеоморфизмами hs: Hs—+Ek такими, что про-
прообразы класса, содержащего б на каждом пересечении Hsf]Hs\
при hs и /is', совпадают. Тогда мы получим в М класс локально
плоских элементов, обладающих тем свойством, что для любой
пары их существует отображение цилиндра Вк~1х1в Eh гомео-
морфное в окрестности каждого сечения, при котором основания
переходят на эти элементы. Кроме того, устойчивые гомеомор-
гомеоморфизмы сохраняют этот класс. Если этот класс лежит в Г«, то
Га распадается на классы, обладающие теми же свойствами и
получающиеся из данного гомеоморфизмами многообразия. При
этом гомеоморфизм устойчив, если и только если он сохраняет
класс какого-нибудь элемента и Га. Если указанное выше покры-
покрытие существует, то Браун и Глюк говорят, что в многообразии су-
существует устойчивая структура. Ясно, что устойчивых структур
в М не больше, чем классов Га. Поэтому единственность струк-
структуры эквивалентна возможности перевести один локально плос-
плоский (k—1)-элемент в любой другой, т. е. свойству однородно-
однородности многообразия. Браун и Глюк определяют устойчивую струк-
структуру как сечение некоторого накрытия, откуда следует, что любое
односвязное многообразие обладает устойчивой структурой. Это
верно также для триангулированного многообразия: достаточно
главные звезды (которые, как известно, гомеоморфны Ек [32])
отобразить на Ek так, чтобы некоторый (k—1) симплекс звезды
переходил в (k—1)-симплекс. Ек. Неориентируемое многообра-
многообразие не обладает устойчивой структурой, Далее, однородное много-
многообразие обладает устойчивой структурой тогда, и только тогда,
когда каждый локально плоский простой замкнутый контур обла-
обладает окрестностью гомеоморфной произведению окружности на
Bk~\ в которой сам контур является сердцевиной произведения.
Довольно ясно, что устойчивые структуры существуют в любом
многообразии, если и только если справедлива гипотеза кольца.
Отметим, наконец, что Браун и Глюк доказывают результат, ко-
который может быть назван обобщенной теоремой Шенфлиса для
произведения (k—1)-сферы и окружности. Если две локально
плоские (k—1)-сферы либо обе разбивают, либо обе не разби-
разбивают его, то существует гомеоморфизм произведения, переводя-
166

1дий одну из них в другую. Отсюда следует однородность такого
произведения, а также однозначная определенность операции под-
клеивания «ручки» к многообразию.
б) Группы гомеоморфизмов 3-многообразный были подробно
исследованы за последние 10 лет. Наиболее полные результаты
содержатся в [52, 80]. В [52] дается краткая история вопроса.
Известно, что гомеоморфизмы 3-сферы изотопны тогда и только
тогда, когда они гомотопны (Сандерсон, [100]). Каждый гомео-
гомеоморфизм триангулированного 3-многообразия приближается ку-
кусочно линейной изотопией от кусочно линейного [100]. Тождествен-
Тождественная компонента Н(Мг) изучена в [52] Фишером, который показал,
что она открыта, линейно связна, а также алгебраически проста,
причем каждый гомеоморфизм в ней представляется в виде ко-
конечной суперпозиции гомеоморфизмов тождественных вне некото-
некоторых 3-элементов многообразия. Для ориентируемых многообра-
многообразий, допускающих гомеоморфизмы, обращающие ориентацию, Фн-
шер показывает, что гомеоморфизмы в тождественной компоненте
устойчивы (см. п. а). Кистер показал, что Н(М3) локально линей-
линейно связна, а в [63] доказано, что она локально р-связна при лю-
любом р. Относительно алгебраической простоты групп гомеоморфиз-
гомеоморфизмов сфер и элементов см. [2, 52]. В частности, Андерсон показал,
что всякий гомеоморфизм 3-сферы представляется в виде супер-
суперпозиции шести гомеоморфизмов, сопряженных с данным и его
обратным.
Вопрос 7. Верно ли, что гомеоморфизмы 3-многообразий изо-
изотопны тогда и только тогда, когда они гомотопны? Кроме сферы,
это показано еще для SlxS2 Глюком [55], при этом Н (SlXS2)
факторизованная по тождественной компоненте, есть прямая сум-
сумма трех групп второго порядка. Группы гомеоморфизмов много-
многообразия, факторизованные по тождественной компоненте, рас-
рассматривает в частности Маккарти [36].
О группах гомеоморфизмов 2-многообразий см. [52, 61, 64].
Несколько работ связано с топологической характеристикой
аффинных преобразований (см. обзор [77]).
в) Подгруппы группы гомеоморфизмов сферы. Группы, не
имеющие неподвижных точек, важны для классификации тех
многообразий, которые имеют сферу своим накрывающим. Мил-
нор показал [91], что такая подгруппа может иметь не более од-
одного элемента порядка 2. Для случая 3-сферы он добавляет
к известному списку групп, действующих на 3-сфере симпли-
циально и без неподвижных точек, две серии групп, которые вме-
вместе с ними представляют все возможные группы, которые только
и могут действовать на 3-сфере без неподвижных точек. Однако,
неизвестно, все ли они обладают этим свойством.
Ливсей показал [87], что инволюция без неподвижных точек
на 3-сфере эквивалентна центральной симметрии.
167

Используя комбинаторные соображения и один пример Кон-
нера-Флойда, Кистер [171] построил периодическое преобразова-
преобразование Ек при достаточно большом k без неподвижных точек.
По теореме Смита, множество неподвижных точек периодиче-
периодического преобразования 3-сферы, если оно не пусто, есть пара точек,
простой замкнутый контур или 2-сфера. Инволюция с двумя
неподвижными точками эквивалентна ортогональной (Смейл —
Хирш, [70]). Если множество неподвижных точек есть 2-сфера,
то перцод равен двум, а преобразование не обязательно эквива-
эквивалентно зеркальному отражению, т. к. неподвижная сфера может
быть дикой (Бинг [17]). В более высоких размерностях множество
неподвижных точек должно быть гомологической сферой, соглас-
согласно Смиту, но может не быть топологической сферой (Уайтхед [233]
и др.)- Простейший способ построения такой инволюции 54 ука-
указал Розен: Дополнение к дуге, лежащей в Е3, гомеоморфно в £4
дополнению к точке (см. 1а). Рассмотрим отражение Е4 относи-
относительно £3. Компактифицируя бесконечность точкой и выкидывая
дугу из £3, мы получим инволюцию £4 (состоящего из дополнения
к дуге и точки в бесконечности), множество неподвижных точек
которой есть дополнение к дуге на 3-сфере, а такое дополнение
не обязательно гомеоморфно £3. Остается компактифицировать
новое £4 точкой, чтобы получить соответствующую инволюцию 54.
Если множество неподвижных точек периодического преобра-
преобразования 3-сферы есть простой замкнутый контур, то возникают
проблемы, связанные с теорией узлов. Они рассмотрены впервые
в [93], где показано, что некоторые винтовые узлы не могут быть
таким множеством для инволюций, и затем в ^163, 139], где при-
привлечена теория накрывающих и получен ряд специальных резуль-
результатов. Неизвестно, обязательно ли такой контур есть ручная кри-
кривая. См. обзор [141].
Вопрос 8. Если на 3-сфере действует конечная группа, мно-
множество неподвижных точек которой одномерно, будет ли ее дей-
действие эквивалентно симплициальному ?
3. Псевдоизотопии. Псевдоизотопией многообразия назы-
называется система отображений gt:M-+M, непрерывно зависящая от
параметра t, 0 < t < 1, причем при t < 1 все gt—гомеоморфизмы,
g0 тождественно, a gx непрерывно.
а. Псевдоизотопии и клеточные отображения. Пусть конти-
континуум К лежит в fe-сфере. Следующие свойства эквивалентны (Бра-
(Браун [31]): 1) К есть пересечение счетного числа элементов, содер-
содержащих К внутри себя (клеточность, Браун), 2) существует псев-
псевдоизотопия, стягивающая К в точку и топологическая вне /С,
3) существует отображение сферы на себя, топологическое вне К
и отображающее К в точку, 4) дополнение к К гомеоморфно до-
дополнению к точке (точечность). Довольно просто получается, что
1 эквивалентно 2, 3 эквивалентно 4 и что из 2 следует 4. Нетри-
168

виальный факт, доказанный Брауном, состоит в том, что 3 влечет
1. Неизвестно, верен ли он для любого 3-многообразия.
Вопрос 9 (вопросы о клеточных дугах). а. (Браун). Будет ли
клеточной дуга, содержащаяся в клеточной дуге *? в. Существует
ли дикая клеточная дуга в £4? с. (Харрольд). Всегда ли клеточ-
клеточная дуга в £3 либо ЛН, либо ЛПН?
Работа Брауна [31] доказывает фактически, что если при ото-
отображении сферы только конечное число прообразов точек неодно-
неодноточечны, то эквивалентны условия: 1) существование псевдоизо-
псевдоизотопии, в которой последнее отображение топологически эквива-
эквивалентно данному, 2) клеточность прообразов точек, 3) образ есть
сфера.-Условие конечности здесь существенно для каждой пары
эквивалентностей. В частности, существуют отображения сферы
на сферу, которые монотонны, но не псевдоизотопны тождествен-
тождественному. В примере Бинга (см. [24], стр. 7) имеется континуум за-
зацепленных восьмерок. Гораздо более сложный пример получается,
если взять суперпозицию монотонного отображения Келдыш
53—>53Х[0,1] и проекции обратно в 53. Все это приводит к двум
общим вопросам. Какие условия нужно наложить на элементы
непрерывного разбиения, отвечающего отображению, чтобы об-
образ был сферой? Какие отображения сферы на себя псевдоизо-
псевдоизотопны тождественному? Об ответах на первый вопрос см. сле-
следующий* раздел. Легко показывается, что если отображение псев-
доизотопно тождественному, то полные прообразы клеточных мно-
множеств клеточны.
Вопрос 10. Если для отображения g : Sn~*Sn полные прообра-
прообразы клеточных множеств клеточны, будет ли g псевдоизотопно тож-
тождественному?
Вопрос 11. для g : S3^-53 полные прообразы точек клеточны, бу-
будет ли g псевдоизотопно тождественному?
б) Л. В. Келдыш показала, что в Ек всякое компактное нуль-
нульмерное множество есть образ некоторого линейного при псевдо-
псевдоизотопии пространства, причем на этом линейном компакте отоб-
отображение гомеоморфно, а в случае ручного вложения псевдоизо-
псевдоизотопия заменяется изотопией [76]. Она объявила также аналогич-
аналогичные результаты для 2-сфер в 3-пространстве.
4. Монотонные и открытые отображения Ek.
а) Точечные разбиения Е3. Непрерывное отображение назы-
называется точечным, если каждый элемент соответствующего разби-
разбиения клеточный (см. п. За). Долго существовавшее предположе-
предположение, что точечные отображения Е3 дают £3, было опровергнуто
известным примером Бинга ([16], [72].). Это привело с одной
стороны к изучению тонких свойств £3, чтобы отличать образы
£3, а с другой — к получению ряда критериев, позволяющих дока-
Положительный ответ на этот вопрос дан Макмилланом, нашедшим
новую характеристику клеточности.
169

зывать, что образ есть £3. Первая задача чрезвычайно усложняет-
усложняется тем, что образ будет, как следует из теоремы Уилдера, гомо-
гомологическим многообразием и, как следует из работы Ква-
на [83] при дополнительном ограничении, что элементы являются
абсолютными ретрактами, гомотопическим многообразием. Сле-
Следовательно, алгебраические средства почти не отличают образы
£3 при точечных отображениях от Е3. В [24] Бинг указывает ряд
особых свойств Е6, позволяющих находить такое отличие, среди
них — отделимость точки от несодержащего ее замкнутого мно-
множества несчетной системой непересекающихся сфер и раздели-
разделимость дисков — если из двух дисков ни один не пересекает края
другого, то в окрестности их суммы имеются непересекающиеся
диски, края которых совпадают с краями данных дисков. Почти
все доказательства того, что пространством данного точечного раз-
разбиения £3 служит £3, основаны на построении псевдоизотопий.
Техника таких построений развита в основном Бингом (см. [15])
и в общей форме изложена Маколли [5, 6]. В настоящее время
известно, например, что образ есть £3, если все неодноточечные
элементы есть 1) звездчатые тела, 2) лежат в горизонтальных пло-
плоскостях [60], 3) прямолинейные отрезки, расположенные в счет-
счетном числе направлений [5] и др. Для Ek имеется критерий Кел-
Келдыш: образ есть Еку если невырожденные элементы служат ком-
компонентами клеточно разделенного компакта [75].
В ряде работ рассматривается случай счетного числа невы-
невырожденных элементов. Бинг построил пример, в котором образ
отличен от £3, невырожденных элементов счетное число и все
они являются неразложимыми континуумами, расположенными в
двух плоскостях [23]. Для отображений со счетным числом невы-
невырожденных элементов Кван показал, что если их сумма — замк-
замкнутое множество, то образ Ек есть Ек, если и только если каждый
элемент клеточный [84]. Келдыш показала, что тгри точечном отоб-
отображении Ек со счетным числом невырожденных элементов образ
есть £\ если они клеточно разделены [75, 74].
б) Вложение образа. Произведения. Если невырожденных
элементов конечное число, то пространство разбиения вкладывает-
вкладывается в Ek+2 [74]. С другой стороны имеются примеры разбиения £3
на точки и конечное число окружностей, пространство которого
не вложимо в £4 [10, 96]. Гобблирш показал, что при трех окруж-
окружностях образ лежит в £4 [58]. Неизвестно, так ли это при трех
континуумах.
Л. В. Келдыш показала, что пространство точечного разбиения
Ek вложимо в £*+*, если 1) невырожденные элементы являются
компонентами компакта или 2) невырожденных элементов счет-
счетное число [74, 75]. Известно, что основной пример Бинга приводит
к пространству, которое не только вложимо в £4, но и является
делителем £4 при умножении на прямую [17, 97]. Это ставит сле-
следующий вопрос.
170

Вопрос 12 (Л. В. Келдыш). Всегда ли пространство точечного
разбиения £3, невырожденные элементы которого служат компо-
компонентами компакта, при умножении на прямую даёт £4? То, что
делители Ек или Bk могут не быть эвклидовыми, было замечено
сравнительно недавно (об истории см. [34]). Согласно теореме
Раймонда они должны быть гомологическими многообразиями,
в частности, одномерными или двумерными сомножителями Ек
или Вк могут быть только прямая (отрезок) или плос-
плоскость (квадрат) (см. [86]). Бинг показал, что трехмерным сомно-
сомножителем В4 может быть только В3 [21]. Трехмерным сомножителем
Въ является, например, куб, внутри которого стянута в точку
простая 'дуга. Эндрюс и Куртис [3] показали, что если в Ек стя-
стянуть в точку дугу, то образ будет делителем Ek+l. О полиэдральных
сомножителях см. п. 6.
в) Монотонно-открытые отображения куба на куб большей
размерности (см. [72]). Пример Л. В. Келдыш остается пока един-
единственным опубликованным примером. О монотонных ото-
отображениях Ек с ациклическими прообразами точек
см. [40, 106].
Монотонно-открытые отображения поверхностей рассмотрены
Сосинским, который показал, что двумерная сфера может быть
отображена на любой свой образ при монотонном отображении
(кактоиды) также монотонно-открыто [102а]. Он использовал не-
некоторые построения Л. В. Келдыш.
г) Конечнократные открытые отображения многообразий. В
[37, 38] Хеммингсен и Черч построили ряд интересных примеров,
в частности, пример трехкратного отображения 3-сферы, при ко-
котором множеством точек, не являющихся точками локального
гомеоморфизма, служит заузленная кривая, или множество, име-
имеющее точечные компоненты, и др.
Вопрос 13. Если f есть конечнократное открытое отображение
/^-многообразия без края на /^-многообразие без края, при котором
не пусто множество Bf точек, не являющихся точками локального
гомеоморфизма, будет ли размерность dim Bf равна k — 2? В [38,
39] это показано при различных сильных ограничениях, например,
симплициальности или дифференцируемое™ отображения. В [109]
показано, что размерность Bf не больше k — 2. В [109] доказаны
также следующие свойства конечнократных открытых отображе-
отображений связных многообразий: 1) кратность такого отображения огра-
ограничена некоторым числом, 2) множество элементов максимальной
кратности открыто и всюду плотно, 3) каждое ограниченное откры-
открытое множество имеет такое положительное число е, что если в ко-
нечнократном открытом отображении многообразия все прообра-
прообразы точек, пересекающие это множество имеют диаметр меньше
г, то отображение многообразия есть гомеоморфизм. Об открытых
отображениях см. также [4, 105].
171

Б. ТОПОЛОГИЯ КОМБИНАТОРНЫХ 3 МНОГООБРАЗИЙ
Имеются обзоры Папакирьякопулоса [206, 207], первый из ко-
которых переведен [206а]. Обзорная статья Фокса по теории узлов
[139] также будет переведена в «Математике».
1. Характеристика сферы. Работа Бинга 1951 г. [112] о ха-
характеристике 3-сферы 'подразделениями была обобщена на /г-мер-
ную сферу Кваном [173] и Харрольдом [151, 152, 153]. Кван исполь-
использовал идеи Бинга, но в качестве характеристических подразделе-
подразделений выбрал подразделения, рассматривавшиеся Уилдером. Хар-
рольд установил аксиомы на системы (к—1)-мерных сфер, яв-
являющихся границами элементов открытого базиса, среди которых
также имеются требования возможности специальных подразделе-
подразделений. Харрольд получил также аналогичную характеристику ло-
локально эвклидовых пространств.
2. Основные предложения, касающиеся комбинаторной топо-
топологии 3-многообразий доказали в 1952 г. и в 1957 г. Мойс и Бинг
[114]: основную гипотезу о комбинаторной эквивалетности и
триангулируемость. Полиэдры рассмотрены в [188]. Подробнее см.
обзор [207]. Уайтхед показал, что каждое открытое 3-многообра-
зие может быть локально гомеоморфно отображено в £3. Это
приводит, в частности к новому доказательству параллелизуемости
3-многообразий [232].
3. Выделение сферы среди многообразий является в настоящее
время наиболее важной проблемой в топологии 3-многообразий.
Теоретико-множественное условие дано Бингом [113]: каждый про-
простой замкнутый контур должен быть геометрически тривиален
в многообразии, т. е. содержаться в 3-элементе. Макмиллан по-
показал [181], что достаточно потребовать, чтобы каждый контур
мог быть стянут в точку в полнотории. Он дал также аналогичную
характеристику сферы среди гомологических сфер. На другой во-
вопрос Бинга из работы [113] дал ответ Ликориш [174]: всякое связ-
связное ориентируемое замкнутое 3-многообразие может быть получе-
получено из 3-сферы, если выкинуть конечное число дизъюнктных поли-
полиэдральных полнотории и затем подклеить их на свои места, но
новым способом. Ликориш исходит из стандартного представле-
представления Хегора, и гомеоморфизм, индуцированный на поверхности
кренделя, переводится в гомеоморфизм, порождающий сфе-
сферу, конечным числом скручиваний на 2я, которые производят-
производятся вдоль простых замкнутых кривых на поверхности. Каждое та-
такое скручивание и можно осуществить переклеиванием одного
полнотория. К этому Хемпел добавляет [155], что выбор полно-
полнотории в сфере можно произвести так, что они не будут заузлены,
хотя, вообще говоря, произвольным образом зацеплены друг с
другом. Этот результат позволяет доказать, что каждое ориен-
ориентируемое 3-многообразие служит краем некоторого 4-многообра-
зия. Другое доказательство этих результатов дал Уоллес.
172

Следующий вопрос естественно возникает из этого исследова-
исследования (Бинг): если многообразие получено из сферы переклеива-
нием одного полнотория, и если оно односвязно, гомеоморфно ли
оно сфере? (см. [113а]).
4. В 1957 г. ряд старых проблем был решен Папакирьякопу-
лосом, работы которого представляют собой связующее звено
между геометрическим и гомотопическим подходом к комбина-
комбинаторной топологии 3-многообразий. Основное место занимают три
результата: лемма Дена, теорема сферы и теорема о петле.
Используя основное построение Папакирьякопулоса, Шапиро и
Уайтхед J218] дали очень простое доказательство леммы Дена и
обобщили ее на конечное число кривых. Теорему сферы в полной
общности доказал Уайтхед [231], теорему о петле обобщил (и упро-
упростил доказательство) Столлингс [222]. Мы ограничиваемся здесь
этими сведениями, так как подробное обсуждение этих резуль-
результатов, метода доказательства и приложений содержится в обзоре
Папакирьякопулоса, переведенном на русский язык [206, 206а].
Основная статья его также переведена [205а]. Хомма дал доказа-
доказательство леммы Дена для трехмерного пространства, опираясь
на другие построения [157].
. Теорема сферы, в частности, приводит к двум алгебраиче-
алгебраическим характеристикам «по модулю гипотезы Пуанкаре» непри-
неприводимых многообразий (в которых, по определению, всякая поли-
полиэдральная 2-сфера ограничивает 3-элемент): 1) вторая гомотопи-
гомотопическая группа тривиальна (Милнор), 2) фундаментальная группа
не есть нетривиальное свободное произведение или бесконечная
циклическая группа (Уайтхед, этот результат более тонок и по-
получается с помощью теории концов [234]*; для ориентируемых
многообразий доказательство может быть получено и без теории
концов (Эпштейн [128]). Неприводимы, например, пространства
линзы, что доказывается с использованием того, что универсаль-
универсальным накрывающим для них служит 3-сфера, которая неприводима
по классической теореме Александера.
Проблема классификации 3-многообразий сведена к класси-
классификации неприводимых 3-многообразий (см. п. 7). Классифика-
Классификацию неприводимых 3-многообразий, как указывает Милнор [186],
естественно разбить на два класса в зависимости от того, ком-
компактно или нет универсальное накрывающее. В первом случае,
если накрывающее—сфера, проблема естественно переходит в
проблему изучения действия конечных групп на 3-сфере (см. А.
п. 2с). Во втором случае могут встречаться как компактные, так
и некомпактные многообразия (пучки окружностей над поверх-
поверхностью положительного рода и дополнительные пространства за-
зацеплений). Здесь общую проблему классификации Милнор счи-
*) О теории концов см. [131].
173

тает в настоящее время безнадежно трудной. Насколько трудна
проблема классификации ограниченных многообразий, показы-
показывает пример Макмиллана [183] двух многообразий, ограниченных
тором, односвязных относительно края, с одинаковой фундамен-
фундаментальной группой, из которых одно есть куб с заузленной
дырой, а другое не вложимо ни в какое односвязное многооб-
многообразие.
Имеются некоторые отдельные результаты по проблеме клас-
классификации. Броди предложил [116] классификацию прост-
пространств линзы, основанную на рассмотрении многочлена Алексан-
дера представителей гомологических классов одномерной группы.
Папакирьякопулос с помощью теоремы о петле и леммы Дена
доказал, что «по модулю гипотезы Пуанкаре» полные крендели
характеризуются своей фундаментальной группой. В [130, 131]
Эпштейн доказывает, что если фундаментальная группа есть не-
нетривиальное прямое произведение двух групп, одна из которых
бесконечна, то одна из них есть бесконечная циклическая. Этот
результат интересно сопоставить с теоремой Столлингса [225], что
если фундаментальная группа многообразия имеет конечно по-
порожденную подгруппу, фактор-группа по которой бесконечная
циклическая, то эта подгруппа является на деле фундаментальной
группой некоторой поверхности, лежащей в многообразии. При
этом, если фактор-группа не есть циклическая второго порядка,
а многообразие неприводимо, то оно есть пучок над окружностью,
слоем которого служит упомянутая поверхность.
6. Несколько работ связаны с различными подходами к гипо-
гипотезе Пуанкаре. Рейдемейстер рассмотрел диаграммы Хегора ро-
рода 2, в которых определяющие кривые пересекают горловое сече-
сечение по два раза. Он показал, что если такая диаграмма дает одно-
связное многообразие, то оно есть сфера, и указал, что вообще та-
такие диаграммы дают пространства линзы. Его работа послужила
отправным пунктом для исследования Цишанга [244] простых
кривых на поверхности кренделя (любого рода), сопоставившего
каждой кривой ряд алгебраических образов, инвариантно связан-
связанных со стандартным разложением кренделя 2-элементами в шар.
Пользуясь этими инвариантами, Цишанг полностью классифици-
классифицирует те кривые на поверхности рода 2, которые по два раза пере-
пересекают горловое сечение. Папакирьякопулос сводит [208] гипотезу
Пуанкаре к некоторым условиям, имеющим алгебраический харак-
характер, на кривые диаграммы Хегора.
Компактные односвязные многообразия изучались Поэнару
[210—214], который показал, что такое многообразие содержит
конечное число дизъюнктных 3-элементов таких, что дополнение к
их сумме, умноженное на диск, гомеоморфно произведению сфе-
сферы без такого же числа 3-элементов и диска (если бы в этой фор-
формулировке диски можно было бы заменить отрезками, это дало
бы решение гипотезы Пуанкаре). На этом пути Поэнару был от-
174

крыт псевдоэлемент (компактное стягиваемое многообразие) раз-
размерности 4, отличный от В4, произведение которого на отрезок
дает 5-элемент. Если бы такого не существовало бы, то это также
привело бы к решению гипотезы Пуанкаре. Другой пример был
построен Мазуром [175]. Куртис показал возможность построения
неограниченного числа таких примеров [120, 121].
Связаны с гипотезой Пуанкаре исследования по трехмерным
стягиваемым открытым многообразиям. Известно, что она реши-
решилась бы положительно, если бы удалось показать, что всякое та-
такое многообразие вложимо в Е3 или, хотя бы, что всякое компакт-
компактное подмножество такого многообразия вложимо в Ег. В работе
Кистера'и Макмиллана [170] показывается, что некоторый при-
пример, предложенный Бингом, удовлетворяет второму из этих
свойств, но не удовлетворяет первому. Далее, Макмиллан пока-
показывает, что способ Уайтхеда, которым был построен первый при-
пример стягиваемого открытого многообразия (не £3), является в не-
некотором смысле общим для всех тех из них, компактные подмно-
подмножества которых вложимы в £3: они представляются в виде расту-
растущей суммы полных кренделей, причем каждый контур в каждом
из них стягивается в точку в последующих. Показано также, что
произведение такого многообразия на прямую дает £4 [182].
7. Серьезный сдвиг в геометрическом изучении 3-многообразий
представляет теория нормальных поверхностей Хакена [148—150]*.
Его исследования носят алгоритмический характер. В первой ра-
работе был дан алгоритм для построения поверхности минималь-
минимальной характеристики, ограниченной заданной простой кривой, что
решает, в частности, классическую проблему определения рода
узла. Этот алгоритм, построенный сначала для некоторых специ-
специальных многообразий, был перенесен позже на общий случай. Од-
Одновременно решается и вопрос о геометрической незацепленности
(т. е. разделенности 2-сферой) двух замкнутых множеств. Далее
классической 'кнезеровской теореме о разложении многообразия на
неприводимые (см. п. 5) многообразия придается алгоритмический
характер, т. е. указывается прием построения дизъюнктной сис-
системы 2-сфер в многообразии такой, что если многообразие разре-
разрезать по этим сферам и заклеить разрезы 3-элементами, получаю-
получающиеся многообразия будут неприводимыми. Любопытно, что при
доказательстве существенную роль играет кнезеровская теорема
существования такой системы. Благодаря этому в результате раз-
разрезания может оказаться некоторое число тривиальных состав-
составляющих, т. е. 3-сфер, и возможность их распознавания упирается
в отсутствие конструктивного критерия для 3-сферы. Вместе с тео-
теоремой разложения Хакен доказывает и топологическую однознач-
однозначность нетривиальных неприводимых составляющих разложения,
* Хорошее изложение теории Хакена с дальнейшими применениями поя-
появилось в статье Шуберта [217 а]. Перевод этой статьи появится в «Мате-
«Математике».
175

а также числа ручек многообразия и числа односторонних проек-
проективных плоскостей. Близкая теорема однозначности доказана так-
также Милнором [186]. В последней работе Хакена (вышли пока толь-
только первая часть) содержится решение проблемы гомеоморфизма
для некоторого класса 3-многообразий, включающего все много-
многообразия, вложимые в 3-оферу. В частности, это дает алгоритмиче-
алгоритмическую возможность установить гомеоморфны ли дополнительные
пространства двух данных зацеплений. Проблему гомеоморфизма
нужно отличать, конечно, от проблемы классификации, тре-
требующей индивидуального описания всех возможных многообра-
многообразий из данного класса, которая, как было сказано, именно в этом
случае чрезвычайно трудна.
8. Большое число работ посвящено теории узлов. В п. 7 сказа-
сказано, что работы Хакена дают возможность конструктивного опреде-
определения рода узла и гомеоморфности дополнительных пространств
зацеплений. Папакирьякопулос [207] доказал асферичность узлов
и отсутствие в группе узла элементов конечного порядка (гипоте-
(гипотеза Хопфа). Много исследований вызвано рядом работ Фокса [132—
136], в которых он изложил построенное им «свободное дифферен-
дифференциальное исчисление» в групповом кольце, позволившее, в частно-
частности, с общей точки зрения подойти к старым работам Александера.
Обзор этого исчисления и последних результатов дан в [204]. Эта
статья будет переведена в «Математике» (об узлах см. [117, 118,
122, 132—141, 154, 158, 159, 161 — 169, 189-200, 215, 226—229]).
Несколько работ посвящено 2-сфере в 4-пространстве. В
частности, Глюк показал, что данное дополнение могут иметь не
более чем два типа вложения [55]. Эндрюс и Куртис [ПО] построи-
построили сферу, дополнение к которой в ЕА имеет нетривиальную вторую
гомотопическую группу и, следовательно, не асферично. Гипотеза
Хопфа тут также не верна, что показано Фоксом. Отметим, что
случай 2-сферы в 4-сфере единственный, где неизвестно, следует
ли из того, что дополнение к локально плоской (к—2)-сфере в
fe-сфере имеет гомотопический тип окружности, тривиальность уз-
узла (см. А п. 1а и лемма Дена).
В. ТОПОЛОГИЯ КОМБИНАТОРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Основная гипотеза комбинаторной топологии была опроверг-
опровергнута в работе 1961 г. Мшгнором [185]. Два требуемых гомеоморф-
ных, но не комбинаторно эквивалентных комплекса получаются
умножением линзовых пространств G,1) и G,2) на 3-элементы и
последующим стягиванием края произведения в точку. Для триан-
триангулированных многообразий вопрос остается в общем виде нере-
нерешенным и поэтому почти все исследования ведутся в рамках ком-
комбинаторных многообразий Ньюмена и Александера, в которых, по
определению, звезда каждой вершины комбинаторно эквивалент-
эквивалентна симплексу. Основными техническими теоремами здесь являют-
176

ся: классический результат Ньюмена об однородности (возмож-
(возможность кусочно-линейным гомеоморфизмом многообразия перевести
один комбинаторный элемент многообразия в другой), теорема
1939 г. Уайтхеда о регулярных окрестностях и новая теорема Зи-
мана — Столлингса о поглощении. Регулярной окрестностью под-
подкомплекса К в многообразии называют подкомплекс Р (который
сам есть комбинаторное многообразие), являющийся окрестностью
комплекса К и конечным числом элементарных стягиваний пере-
переходящий в К- (Элементарное стягивание полного комплекса — это
отбрасывание двух таких открытых симплексов А и а, что а есть
грань А и только А). Основная теорема Уайтхеда заключается
в том, что в комбинаторном многообразии любые две регулярные
окрестности комплекса К комбинаторно эквивалентны. При этом
регулярной окрестностью комплекса К служит, например, симпли-
циальная звезда во втором барицентрическом подразделении М.
В работах Столлингса и Зимана к этому добавлена «теорема о
поглощении», которая послужила основой многих доказательств.
Наиболее сильная форма этой теоремы опубликована Столлинг-
сом [223]. Пусть Mk — комбинаторное многообразие, Я — откры-
открытое подмножество М, Р — полиэдр размерности р в триангуля-
триангуляции М. Пусть (М\Н) р-связно, Р f] (M\H) компактно и пусть
p<k—3. Тогда существует компакт Е в М и кусочно линейный го-
гомеоморфизм h : М—>М такой, что Pczh(H) и h/(M\E) = 1. Пер-
Первый результат, полученный с помощью предшественницы этой
теоремы — решение обобщенной гипотезы Пуанкаре: компактное
комбинаторное й-многообразие, имеющее гомотопический тип
&-сферы, гомеоморфно ей, если &>5 B21, 239, 243]. Для размер-
размерности 6 и больших семи более сильный результат получается с
помощью дифференциальной топологии: комбинаторное много-
многообразие, имеющее гомотопический тип сферы, комбинаторно экви-
эквивалентно краю симплекса. Таким образом, в этом случае решается
также и вопрос о комбинаторной эквивалентности. Для тех же раз-
размерностей тот же самый результат справедлив и для элементов
(Смейл).
Неизвестно верна ли обобщенная теорема Шенфлиса, которая
в комбинаторной теории означает, что комбинаторная (k—^-сфе-
(k—^-сфера, включенная как подкомплекс в комбинаторную й-сферу, огра-
ограничивает комбинаторный /г-элемент. Эта теорема известна в на-
настоящее время лишь для размерностей не больших трех. Основная
трудность этой теоремы в том, что неизвестно, будут ли замкнутые
дополнительные области комбинаторными многообразиями, при-
причем условие комбинаторности не удается проверить в точках края.
Для доказательства более слабой формы этой теоремы, утверж-
утверждающей лишь топологическую эквивалентность, Ньюменом была
построена смешанная теория «звездных многообразий», в опреде-
определение которых входят как комбинаторные, так и топологические
условия [201]. Новое доказательство этой теоремы Ньюмена дал
12-5871 177

Браун [33, 34], который основывался на своей теореме о локально
плоских вложениях.
Теорема о поглощении позволила доказать ряд теорем о вло-
вложении, из которых наиболее сильная опубликована в [209]: если
0 <; 2/7 < k каждое замкнутое (р — 1)-связное ^-многообразие
вложимо в E2k~P+l. Имеются и соответствующие результаты для
многообразий с краем ([160], Ирвин см. [241]). Ирвин получил
также результаты, которые могут рассматриваться как обобщение
теоремы сферы и леммы Дена, хотя размерностные ограничения
и исключают трехмерный случай. В частности, если Мк является
(k — 2/7 + 1) — геометрически связным, (т. е. каждый полиэдр этой
и меньших размерностей лежит в ^-элементе в многообразии),
а р < 3, то любой элемент гомотопической группы размерности
не большей k — р может быть реализован кусочно линейно вложен-
вложенной сферой.
В [236] Зиман доказывает, что если /7<-|& — 1, то комби-
комбинаторная /7-сфера не заузливает в £-сфере в комбинаторном
смысле. В [238] объявлено, что заузливания не может быть, если
p<k— 3. В [240] Зиман доказывает эту теорему отдельно для
3-сферы в шестимерной сфере. С другой стороны конструкция
Артина легко обобщается и дает заузленную (k — 2)-сферу в
£-сфере. В B99) Зиман показывает, что зацепление /г-сфер в
^ j
Sk может произойти во всех размерностях между —^— и k — 2,
если Vs*-*-1 =^0.
В [223] Столлингс дает следующую комбинаторную характери-
характеристику эвклидова пространства размерности большей 4: стягивае-
стягиваемое открытое комбинаторное ^-многообразие односвязное в бес-
бесконечности есть Ek. Односвязность в бесконечности означает, что
каждый достаточно далекий контур можно стянуть в точку вне за-
заданного компакта. Вместе с этой теоремой Столлингс получает
следующий важный результат: произведение двух стягиваемых
открытых комбинаторных многообразий положительной размер-
размерности есть Eh, если сумма размерностей больше 4. Этот окончатель-
окончательный результат усиливает аналогичные результаты Макмиллана —
Зимана и других. Он дает вместе с обобщенной теоремой Пуанка-
Пуанкаре, что при умножении-двух псевдоэлементов (компактных стяги-
стягиваемых многообразий) положительной размерности произведение
есть топологический элемент, когда сумма размерностей больше
5 ([124], см. также [111, 120, 121, 156, 180]).
Имеется много работ, устанавливающих связи между комби-
комбинаторной и дифференциальной топологией, но они выходят за рам-
рамки настоящего обзора (см. например, [202, 220]).

БИБЛИОГРАФИЯ
1. AHord W. R., Some «nice» wild two-spheres in three dimensional space.
Top. 3-manif., 29—33
2. Anderson R. D., On homeomorphisms as products of conjugates of a gi-
given homeomorphism and its inverse. Top. 3-manif., 231—234
3. Andrews J. J., Curtis ДО. L., л-space modulo an arc. Ann. Math., 1962,
75, N° 1, 1—7 (РЖМат, 1962, 10A218)
4. Andrews J. J., A characterisation of light open maps of euclidean spaces.
Proc. Amer. Math. Soc, 1958, 9, № 6, 860—861 (РЖМат, 1960, 1486)
5. McAuley L. F., Some upper semicontinuous decompositions of Ed into £3.
Ann. Math., 1962, 73, № 3, 434—458 (РЖМат, 1962, 10A216)
6. —, Upper semicontinuous decompositions of E3 into E3 and generalisation
to metric spaces. Top. 3-manif., 21—26
7. Ball B. J., The sum of two solid horned spheres. Ann. Math., 1959, 69,
№ 2, 253—258 (РЖМат, 1960, 1487)
8. —, Finite collections of 2-spheres in £3. Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13,
№ 1, 1—8 (РЖМат, 1962, 10A2i5)
9. —, Penetration indices and applications. Top. 3-manif., 36—39
10. Bing R. H.T Curtis ДО. L., Imbedding decomposition of E3 in £4. Proc»
Amer. Ma.th. Soc, 1960, 11, № 1, 149—155 (РЖМат, 1961, 3A336)
11. Bing R. H., Locally tame sets are tame. Ann. Math., 1954, 59, № 1, 145—
148 (РЖМат, 1955, 1697)
12. —, A simple closed curve that pierces no disk. J. Math, et Appl., 1956, 35,
. JNb 4, 337—343 (РЖМат, 1957, 4664)
13. —, E3 does not contain uncountably many mutually exclusive wild surfa-
surfaces. Bull. Amer. Math., Soc, 1957, 63, ab 63—80H, 404
14. —, Approximating surfaces with polyhedral ones. Ann. Math., 1957, 65,
№ 3, 456—483 (РЖМат, 1959, 4563)
15. —, Upper semicontinuous decompositions of Ez. Ann. Math., 1957,
65, JNb 2, 236—374 (РЖМат, 1958, 1084)
16. —, A decomposition of Ez into points and tame arcs such that the decompo-
decomposition space is topologically different from E3. Ann. Math., 1957, 65, № 3,
484—500 (РЖМат, 1959, 6723)
17. —, The cartesian product of a certain non-manifold and a line is £4. Ann
Math., 1959, 70, № 3, 399—412 (РЖМат, 1961, 4A268)
18. —, Conditions under which a surface in E3 is tame. Fundam. Math., 1959,
47, № 1, 105—139 (РЖМат, 1960, 8746)
19. —, A surface is tame of its complement is I-ULC. Trans. Amer. Math. Soc,
1961, 101, № 2, 294—306 (РЖМат, 1962, 7A272)
20. —, Tame cantor sets in E*. Pacif. J. Math., 1961, 11, № 2, 435—446
(РЖМат, 1962, 10A219)
21. —, A set is a 3-cell if its cartesian product with an arc is a 4-cell. Proc Amer.
Math. Soc, 1961, 12, № 1, 13—20 РЖМат, 1962, 6A285)
22. —, A wild surface each of whose arcs is tame. Duke Math. J., 1961, 28, № 1,
1-15 (РЖМат, 1962, 10A220)
23. —, Point line decomposition of E3. Fundam. Math., 1962, 50, № 4, 431 —
453 (РЖМат, 1963, 1A297)
24. —, Decompositions of E3 Top. 3-manif. 5—25
25. —, Each disk in E3 contains a tame arc. Amer. J. Math., 1962, 84, № 4,
583—590 (РЖМат, 1963, 9A258)
26. —, Each disk in E3 is pierced by a tame arc Amer. J. Math., 1962, 84,
№ 4, 590—599 (РЖМат, 1963, 9A259)
27. —, Approximating surfaces from the side. Ann. Math., 1963, 71, № 1,
145—192
28. Blankinship W., Generalisation of a construction by Antoine. Ann. Math.,
1951, 53, 276—297
12* 179

29. Brody E. J., On infinitely generated modulus. Quart. Journ. Math., 1960,
11, № 42, 141—150 (РЖМат, 1963, 2A268)
30. BrownM., Gluck H., Stable structures on manifolds. Bull. Amer. Math.
Soc, 1963, 69, № 1, 51—58
31. Brown M., A proof of the generalized Schoenflies theorem. Bull. Amer.
Math. Soc, 1960, 66, № 2, 74—76 (РЖМат, 1961, 9A407)
31a. — , Доказательство обобщенной теоремы Шёнфлиса. Математика 5:5,
1961, 13—15
32. —, The monotone union of open n-cells. Proc. A. M. S., 1961, 12, № 5,
812—814 (РЖМат, 1962, 6A286)
33. —, Locally flat imbeddings of topological manifolds. Topol. 3-manif.
83—91
34. —, Locally flat imbeddings of topological manifolds. Ann. Math., 1962,
75, № 2, 331—342 (РЖМат, 1963, 2A311)
34a. Cantrell J. C, Almost locally polyhedral 2-spheres in S3, Duke M. J.,
1963, 30, № 2, 249—252
35. McCarty G. S., Local connectivity in homeomorphism groups. Bull. Amer.
Math. Soc, 1961, 67, № 4, 420—421 (РЖМат, 1962, 3A320)
36. —, Homeotopy groups. Trans. Amer. Math. Soc, 1963, 106, № 2, 293—304
37. Church P. Т., Hemmingsen E., Light open mappings on я-manifolds. I.
Duke Math. J., 1960, 27, № 4, 527—536 (РЖМат, 1961, 11A275)
38. —, II. Duke M. J., 1961, 28, № 4, 607—624 (РЖМат, 1963, 4A247)
39. Church P. Т., Differential open maps. Bull. Amer. Math. Soc, 1962,68,
дго 5, 468—469 (РЖМат, 1963, 5A386)
40. Connell E. H., Images of En under acyclic maps. Amer. J. Math., 1961, 83,
№ 4, 787—790 (РЖМат, 1962, 12A204)
41. —, Stable homeomorphisms can be approximated by piecewise linear ones.
Bull. Amer. Math., Soc, 1963, 69, № 1, 87—90
42. Debrunner H., Fox R. H., A mildy wild imbeddings of an n-frame. Du-
Duke Math. J., 1960, 27, № 3, 425—430 (РЖМат, 1961, 8A328)
43. Doyle P. H., Hocking J. G., A note on piercing a disk. Proc. Amer.
Math Soc, 1959, 10, № 4, 633—636 (РЖМат, 1960, 12604)
44. —, Some results on tame disks and spheres in E3. Proc. Amer. Math. Soc,
1960, 11, №5, 832—837 (РЖМат, 1961, 11A264)
45. Doyle P. H., A wild triod in three space. Duke Math. J., 1959,26, №2,
263—267 (РЖМат, 1960, 12603)
46. —, Tame triods in 3-space. Proc Amer. Math. Soc, 1959, 10, № 4, 656—
658 (РЖМат, 1960, 12602)
47. —, Unions of cell pairs in E*. Pacif. J. Math., 1960, 10, № 2,
521—524 (РЖМат, 1961, 10A221)
48. —, Tame wild and planar sets in E3. Top. 3-manif., 34—36
49. Edwards С. Н., Concentric tori in the 3-space. Bull. Amer. Math. Soc,
1961, 67, № 2, 220 (РЖМат, 1962, 10A222)
50. —, Concentric solid tori in the 3-sphere. Trans. Amer. Math. Soc, 1962,
102, № 1, 1 — 17 (РЖМат, 1963, 1A300)
51.—, Concentric tori and tame curves in S3. Top. 3-manif., 39—41
52. Fisher G. M., On the group of all homeomorphisms of a manifold. Trans.
Amer. Math. Soc, 1961, 98, № 2, 193—212 (РЖМат, 1962, 3A326)
53. Fox R. H., Harrold O. O., Jr., The Wilder arcs. Top. 3-manif., 184 —187
54. Gillman D. S., Tame subsets of 2-spheres in EK Top. 3-manif., 26—28
55. Gluck H., The embeddings of two-spheres in the four-sphere. Trans. Amer.
Math. Soc, 1962, 104, № 2, 308—333 (РЖМат, 1963, 7A259)
56. —, Restriction on isotopy. Bull. Amer. Math. Soc, 1963, 69, № 1, 78—82
57. —, Unknotting Sl in S4. Bull. Amer. Math. Soc, 1963, 69, № 1, 91—94
58. Goblirsch R. R., On decomposition of 3-space by linkage. Proc Amer.
Math. Soc, 1959, 10, № 5, 728—730 (РЖМат, 1961, 3A337)
59. Griffith H. C, A characterisation of tame surfaces in three space. Ann.
Math., 1959, 69, № 2, 291—309 (РЖМат, 1960, 8748)
180

60. Hamstrom M. E., Dyer E., Completely regular mappings.Fundam.Math.,
1958, 45, № 2, 103—118 (РЖМат, 1960. 2774)
61.—, Regular mappings and the space of homeomorphisms on a 2-manifold.
Duke Math. J., 1958, 25, № 3, 521—531 (РЖМат, 1959, 6E73
62. Hamstrom M. E. Regular mappings whose inverses are 3-cells. Amer. J.
Math., 1960, 81, No 3, 393—420 (РЖМат, 1962, 9A187)
63. —, Regular mappings and the space of homeomorphisms on a 3-manifold.
Mem. Amer. Math. Soc, 1961, 40
64. —, Some global properties of homeomophisms on a disk with holes. Du-
Duke Math. J., 1962, 29, № 4, 657—662
65. Harrold O. G., Locally tame curves and surfaces in three dimensional mani-
manifolds. Bull. Amer. Math. Soc, 1957, 63, № 5, 293—305 (РЖМат, 1959, 197)
66. —, A sufficient condition that a monotone image of the three-sphere be a
topological thre-esphere. Proc. Amer. Math. Soc, 1958, 9, № 6, 846—850
(РЖМат, 1960, 1788)
67. —, Locally peripherically unknotted surfaces in three-space. Ann. Math.,
1959, 69, № 2, 276—291 (РЖМат, 1960, 8747)
68. —, Locally unknotted combinatorial (n—l)-manifolds in En have shall
neighbourhoods. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1961, 47, № i, Ю5—107
(РЖМат, 1962, 3A314)
69. —, Combinatorial structures, local unknottedness and locally peripherical-
peripherically unknottedness. Top. 3-manif., 71—83
70. HirschM. W., St. S m a 1 e, On involutions of the3-sphere. Amer. J. Math.,
1959, 81, № 4, 893—900 (РЖМат, 1962, 5A357)
71. HommaJ, On tame imbeddings of 0-dimensional sets in £3. Jokoha-
_ ma M. J., 1959, 7, № 2, 191 — 195 (РЖМат, 1961, 9A369)
72. Келдыш Л. В., Некоторые вопросы топологии евклидовых пространств.
Успехи матем. наук, 1961, 16, № 1, 3—18 (РЖМат, 1962, 5А315)
73. —, О вложении в £4 некоторых монотонных образов £3. Докл. АН СССР,
1961, 136, № 1, 18—21 (РЖМат, 1962, 8А327)
74. —, Некоторые теоремы о топологическом вложении. Proc Symp. Gene-
General Topology, 1961, Prague, 230—234 (РЖМат, 1963, 9A255)
75. —, О вложении в Еп и Еп+1 некоторых монотонных образов. Матем. сб.
1962, 57, № 1, 95—104 A963, 1А299).
76. —, Вложение нульмерных компактов в Еп. Докл. АНСССР, 1962, 147, №4,
772—775 (РЖМат, 1963, 9А256)
77. Kinoshita S., On quasi translation in 3-space. Top. 3-manif., 223—226
78. Kirkor A., Wild 0-dimensional sets and the fundamental group. Fundam.
Math., 1958, 45, 228—230 (РЖМат, 1960, 12606)
79. Kister J. M., Small isotopies in euclidean spaces and 3-manifolds. Bull.
Amer. Math., Soc, 1959, 65, № 6, 371—373 (РЖМат, 1963, 7A235)
80. —, Isotopies in 3-manifolds. Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 97, № 2,
213—224
81. —, Questions on isotopies in manifolds. Top. 3-manif., 229—230
82. Klee V. L., Jr., Some topological properties of convex sets. Trans. Amer.
Math. Soc, 1955, 78, № 1, 30—45 (РЖМат, 1956, 7448)
83. Kwun K. W., The fundamental theorem of the decomposition of Es into po-
points and arcs. Proc Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 1, 47—50, (РЖМат,
1962, 4A317)
84. —, Upper semicontinuous decompositions of the Sn. Proc. Amer.
Math. Soc, 1962, 13, №2, 284—290 (РЖМат, 1962, 10A217)
85. —, On 3-manifolds that are not symply connected. Proc Amer. Math.
Soc, 1962, 13, № 2, 291-292 (РЖМат, 1963, 1A301)
86. Kwun K. W., Raymond F., Factors of cubes. Amer. J. Math., 1962, 84,
№ 3, 433—440
87. Livesay G. R., Fixed points free involutions of the 3-sphere. Ann. Math.,
1960, 72, No 3, 603—612 (РЖМат, 1963, 7A221)
88. —, Fixed point free involutions of the 3-sphere. Top. 3-manif.
181

89. Mazur В., On embedding of spheres. Bull. Amer. Math. Soc, 1959, 65, №2,
59—65 (РЖМат, 1961, 4A267)
90. —, On embedding of spheres. Acta Math., 1961, 105, №1—2, 1 — 17 (РЖМат,
1962, 6A287)
91. Milnor J., Groups which act on S« whithout fixed points. Amer. J. Math.,
1957, 79, № 3, 623—630 (РЖМат, 1958, 1927)
92. Moise E. E., Periodic homeomorphisms of the 3-sphere. IllinoiseMath. J.,
1962, 6, № 2, 206—225 (РЖМат, 1963, 6A315)
93. Montgomery D., Samelson H., A theorem on fixed points of involutions
in S3. Canad. J. Math, 1955, 7, № 2, 208—220 (РЖМат, 1957, 4674)
94. Morse M., A reduction of the Schoenflies entension problem. Bull. Amer.
Math. Soc, 1960, 66, №2, 113—115 (РЖМат, 1961, 9A406)
95. Roberts J. R., Contractibility in spaces of homeomorphisms. Duke Math.
J., 1961, 28, № 2, 213—220 (РЖМат, 1962, 1A312)
96. Rosen R. H., Decomposition of 3-space into circles and points. Proc.
Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 6, 918—928 (РЖМат, 1961, 11A263)
97. —, £4 is the cartesian products of a totally noneuclidean space and E1.
Ann. Math., 1961, 73, № 2, 349—362 (РЖМат, 1962, 4A318)
98. Sanderson D. E., Isotopy in 3-manifolds. I. Isotopy deformation of 2-cells
and 3-cells. Proc. Amer. Math. Soc, 1957, 8, № 5, 912 (РЖМат, 1960,
10152)
99. —, II. Fitting homeomorphisms by isotopy. DukeMath. J., 1959,26, №3,
387—396 (РЖМат, 1961, 7A345)
100. —, III. Connectivity of spaces of homeomorphisms. Proc. Amer. Math.
Soc, 1960, 11, №2, 171 — 176 (РЖМат, 1961, 12A384)
101. —, Isotopy in manifolds. Top. 3-manif., 226—228
102. Сосинский А. Б., О вложении /г-элемента в Еп. Докл. АН СССР 1961,
139, № 6, 1311—1313 (РЖМат, 1962, 2А345)
102а. —, Описание монотонно открытых образов двумерной сферы. Вестн.
Моск. Унив., 1963, cepl, №*6, 12—16.
103. Stallings J., Uncountably many wild disks. Ann. Math., 1960, 71, № 1,
185—186 (РЖМат, 1960, 12605)
104. —, On topologically unknotting spheres. Ann. Math., 1963, 77, № 3,
490—504
105. Whyburn G. Т., Open mappings on 2-dimensional manifolds. J. Math.
Mech., 1961, 10, № 1, 181 — 197 (РЖМат, 1962, 2A328)
106. —, Decomposition spaces. Top. 3-manif., 2—4
107. Wilder R. L., A converse of a theorem of R. H. Bing and its generalisation
Fundam. Math., 1961, 50, № 2, 119—122 (РЖМат, 1962, 7A273)
108. Чернавский А. В., О расположении (п—1)-мерных сфер в «-мерной.
Докл. АН СССР, 1960, 131, № 6, 540—542
109. —, О конечнократных открытых отображениях многообразий. Докл.
АН СССР, 1963, 151, № 1
ПО. Andrews J. J., Curtis M. L., Knotted 2-spheres in the 4-sphere. Ann.
Math., 1959, 70, № 3, 565—572 (РЖМат, 1962, 7A242)
111. Andrews J. J., Embedding homotopically cells. Proc. Amer. Math. Soc,
1961, 12, № 6, 197 (РЖМат, 1963, 2A317)
112. Bing R. H., A characterisation of 3-space by partitioning. Trans. Amer.
Math. Soc, 1951, 70, № 1, 15—27
113. —, Necessary and sufficient condition that a 3-manifold be 3-
sphere. Ann. Math., 1958, 68, № 1, 17—37 (РЖМат, 1959, 9848)
113a.—, Correction... (см. 113). Ann. Math., 1963, 77, № 1,210 (РЖМат, 1963,
7A256)
114. —, An alternative proof that 3-manifolds can be triangulated. Ann. Math.,
1959, 69, № 1, 37—65 (РЖМат, 1961, 1A318)
115. BrahanaTh. R., On a class of isotopy inveriants. Top. 3-manif.,235—237
116. Brody E. J., The topological classification of the lens spaces. Ann. Math.,
1960, 71, № 1, 163—184 (РЖМат, 1962, 7A293)
182

117. Crowell R. H., Genus of alternating link, types. Ann. Math., 1959, 69,
№ 2, 258—275 (РЖМат, 1961, 7A346)
118. —, Nonalternating link. Illinoise. Math. J., 1959, 3, №1, 101—120
(РЖМат, 1961, 7A347)
119. Curtis M. L., ZeemanE. C, On polyhedral Schoenf lies theorem. Proc.
Amer. Math. Soc, 1960, 11, № 6, 888—889 (РЖМат, 1962, 4A340)
120. Curtis M. L., Cartesian products with intervals. Proc. Amer. Math. Soc,
1961, 12, № 5, 819—820 (РЖМат, 1963, 2A316)
121. —, On 2-complexed in 4-space. Top. 3^manif., 204—207
122. Debrunner H., Links of Brunnian type. Duke Math. J. 1961, 28, № 1,
17—23 (РЖМат, 1963, 2A270)
123. Edwards С. Н., Separation of S3 by double torus. Duke Math. J. 1962, 29,
№ i, i_4 (РЖМат, 1962, 9A180)
124. —, On the union of two solid tori. Top. 3-manif. 216—217
125. —, Products of pseudo cells. Bull. Amer. Math. Soc. 1962, 68, № 6,
583—584 (РЖМат, 1963, 12A356)
126. Epstein D. B. A., Linking spheres. Proc. Cambr. Ph. Soc. 1960, 56, № 3,
215—219 (РЖМат, 1962, 7A243)
127. —, Finite presentation of groups and 3-manifolds. Quart. J. Math., 1961,
12, № 47, 205—213 (РЖМат, 1962, 9A220)
128. —, Free products with amalgamation and 3-manifolds. Proc. Amer. Math.
Soc. 1961, 12, № 5, 699—700 (РЖМат, 1963, 4A328)
129. —, Projective'planes in 3-manifolds. Proc. Lond. Math. Soc. 1951, 11,
№ 43, 469—484 (РЖМат, 1962, 9A219)
130.— , Factorisation of 3-manifolds. Comm. Math. Helv. 1962, 36, f. 2, 91—102
(РЖМат, 1962, 11A257)
131. —, Ends. Top. 3-manif., 110—117
132. Fox R. H., Free differential calculus. I. Derivation in the free group
rings. Ann. Math. 1953, 57, № 3, 547—560 (РЖМат, 1955, 1666)
133.—, II. The isomorphism problem of groups. Ann. Math. 1954, 59, № 2,
196—210 (РЖМат, 1955, 1667)
134. —, III. Subgroups. Ann. Math. 1956, 64, № 3, 407—419 (РЖМат, 1961,
5A204) Л
135. Chern К. Т., Fox R. H., Lyndon R. C, IV. The quotient groups of
the lower central series. Ann." Math., 1958, 68, № 1, 81—96 (РЖМат,
1961, 5A205)
136. Fox R. H., V. The Alexander matrices reexamined. Ann. Math., 1960,
71, № 3, 408—422 (РЖМат, 1963, 2A264)
137. —, Congruence classes of knots. Osaka Math. J., 1958, 10, № 1, 37—41
(РЖМат, 1960, 8749)
138. —, The homological characters of the cyclic coverings of the knots of genus
1. Ann. Math., 1960, 71, № 1, 187—196 (РЖМат, 1962, 7A240)
139. —, On knots whose points are fixed under a periodic transformation of
the 3-sphere. Osaka Math. J., 1958, 10, № 1, 31—35 (РЖМат, 1961,2А207)
140. —, A quich trip through knot theory. Some problems in knot theory.
Top. 3-manif., 120—176
141.—, Knots and periodic transformations. Top. 3-manif., 177—181
142. Glimm J. G., Two cartesian product which are eucli dean spaces. Bull.
Soc. France, 1960, 88, № 2, 131 — 135 (РЖМат, 1962, 6A282)
143. Gluck H., The weak Hauptvermutung for cells and sph eres. Bull. Amer.
Math. Soc, 1960, 66, № 4, 282—284 (РЖМат, 1962, 9A377)
144. —, The orientable surfaces in four-space. Bull. Amer. Math. Soc, 1961,
145.
146.
147.
67
№ 6, 590—592 (РЖМат, 1963, 10A284)
The reducibility of embedding problems. Top. 3-ma nif., 182—183
Rotational symmetry of 3-manifolds. Top. 3-man if., 104—106
Tangled manifolds. Ann. Math., 1962, 76, № 1, 62—72 (РЖМат,
1963, 5A381)
148. Haken W., Theorie der Normalflachen Ein Isotopie к riterium fur den
183

Kreisknoten. Acta Math., 1961, 105, № 3—4, 245—374 (РЖМат, 1962,
6A252)
149. Haken W.f Ein Verfahren zur Aufspaltung einer 3-Mannigfaltigkeiten in
irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten. Math. Zeit., 1961, 76, № 4, 427—467
(РЖМат, 1963, 7A238)
150. —, Uber das homoomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. Г. Math.
Zeit., 1962, 80, № 2, 89-^120
151. Harrold G. G., Jr, Locally penpherically euclidean spaces are locally
euclidean. Bull. Amer. Math. Soc, 1960, 66, №3, 1960, 194—197 (РЖМат,
1961, 3A329)
152. —, Locally penpherically euclidean spaces are locally euclidean. I. Ann.
Math., 1961, 74, № 2, 207—221 (РЖМат, 1962, 10A213)
153. —, Locally peripherically euclidean spaces are locally euclidean. II. Proc.
Nat. Acad. Sci. USA., 1962, 48, № 7, 1146-1148 (РЖМат, 1963, 7A237)
154. Hashizumo Joko. On the uniqueness of the decomposition of a link. Osa-
Osaka Math. J., 1958, 10, № 2, 283-300 (РЖМат, 1961, 6A378)
155. Hempel J., Construction of simply connected 3-manifolds. Top. 3-manif.,
207—212
156. —, On the product of a contractible topological manifold with a cell.
Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, № 6, 588—590
157. Homma Т., On Dehn's lemma for SK Jokohama Math. J., 1957, 5, № 2,
223—247 (РЖМат, 1960, 10151)
158. Hosokawa F., К i n о s h i t a S., On the homology groups of branched
cyclic covering spaces of links. Osaka Math. J., 1960, 12, № 2, 334—355
(РЖМат, 1963, 4A226)
159. Giinter Hotz, Arkadenfadendarstellung von Knoten und eine neue Dar-
stellung der Knotengruppe. Abhandl. Math. Seminar. Univ. Hamburg.,
1960, 24, 132—148 (РЖМат, 1962, 6A249)
160. Irwin M. C, Combinatorial imbedding of manifolds. Bull. Amer. Math.
Soc, 1962, 68, № 1, 25—27 (РЖМат, 1963, 9A273)
161. Kinoshita S., Terasaka H., On unions of knots. Osaka Math. J.,
1957, 9, № 2, 131 — 153 (РЖМат, 1959, 184)
162. Kinoshita S., Notes on knots and periodic transformations. Proc Japan.
Acad., 1957, 33, № 7, 358—362 (РЖМат, 1961, 2A205)
163. —, On knots and periodic transformations. Osaka Math. J., 1958, 10, № 1,
43—52 (РЖМат, 1961, 2A206)
164. —, On Wendt's theorem of knots. I. Osaka Math. J., 1957, 9, № 1, 61—66
(РЖМат, 1960, 8750)
165. —, On Wendt's theorem of knots. II. Osaka Math. J., 1958, 10, № 2,
259—261 (РЖМат, I960, 8750)
166. —, Alexander polynomial as isotopy invariant. I. Osaka Math. J., 1958,
10, № 2, 263—271 (РЖМат, 1961, 5A341)
167. —, II. Osaka Math. J., 1959, II, № 1, 91—94 (РЖМат, 1961, 5A342)
168. — On the Alexander polynomial of S2 in S4. Ann, Math., 1961, 74, №3,
518—531 (РЖМат, 1963, 4A259)
169. —, A note on the genus of a knot. Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13,
№ 3, 451, (РЖМат, 1963, 2A270)
170. Kister J. M., McMillan J r. D. R., Locally euclidean factors of
£4 which cannot be imbedded in E3 . Ann. Math., 1962, 76, № 3, 541 —
546 (РЖМат, 1963, 7A236)
171. Kister J. M.,A theorem of infinite regular neighbourhoods and an applica-
application to periodic maps on En. Top. 3-manif., 221—222
172. Kosinski A., Singularities of piecewise linear maps. I. Mappings into the
real line. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, №2, ПО (РЖМат, 1963, 3A293)
173. Kwun K. W., A characterisation of the n-space. Trans. Amer Math.
Soc, 1961, 101, № 3, 377—383 (РЖМат, 1962, 9A193)
174. Lickorish W. B. R., A representation of orientable combinatorial 3-mani-
3-manifolds. Ann. Math., 1962, 76, № 3, 531—540 (РЖМат, 1963, 7A239)
184

175. Mazur В., A note on some contractible 4-manifolds. Ann. Math., 1962,
76, № 3, 531—540 (РЖМат, 1962, 6A284)
176. —, The definition of equivalence of combinatorial imbeddings. Publs.
math. Inst. Hautes etudes, 1959 A960), 3, 5—17, (РЖМат, 1963, 3A290)
177. —, On the structure of certain semigroups spherical knot classes. Publs
math. Inst. Hautes etudes, 1959 A960), 3, 19—27 (РЖМат, 1963, 3A291)
178. —, Orthotopy and spherical knots. Publ. math. Inst. Hautes etudes,
1959 A960), 3, 29—48 (РЖМат, 1963, 3A292)
179. —, Symmetrically homology spheres. III. Math. J., 1962,6, №2,
245—250 (РЖМат, 1963, 6A316)
180. McMillan D. R., Jr, Zeeman E. C, On contractible open manifolds.
Proc. Cambridge. Philos. Soc, 1962, 58, №2, 221—224 (РЖМат, 1963,6А301
181. —, On homologically trivial 3-manifolds. Trans. Amer. Math. Soc,
1961, 98, Ж2, 350—365 (РЖМат, 1963, 5A379)
182. —, Cartesian products of contractible open manifolds. Bull. Amer. Math.
Soc, 1961, 67, № 5, 510—514 (РЖМат, 1963, 4A250)
183. —, Some contractible open 3-manifolds. Trans. Amer. Math., Soc, 1962,
102, № 2, 373—382 (РЖМат, 1962, 10A214)
184. —, Summary of results on contractible open manifolds. Top. 3-manif.,
100—102
185. Milnor J., Two complex which are homeomorphic but combinatorally
distinct. Ann. Math., 1961, 74, № 3, 575—590 (РЖМат, 1962, 10A232)
186. —, A unique decompozition theorem for three-dimensional manifolds.
Amer. J. Math., 1962, 84, № 1, 1—7 (РЖМат, 1963, 6A305)
187. Moise E. E., Simply connected 3-manifolds. Top. 3-manif., 196—197.
188. Munkres J., The triangulation of locally triangulable spaces. Acta Math.,
1957, 97, № 1-2, 67—93 (РЖМат, 1959, 206)
189. Murasugi K., On the Alexander polynomials of the alternating knots.
Osaka Math. J., 1958, 10, № 2, 181 — 189 (РЖМат, 1961, 5A339)
190.—, On a polynomials of links. Osaka Math. J., 1958, 10, №2, 273—282
(РЖМат, 1961, 10A340)
191. —, II J. Math. Soc. Japan., 1958, 10, №3,235—248 (РЖМат, 1961, 5A338)
192. —, On the genus of the alternating knot. III. J. Math. Soc Japan.,
1958, 18, № 1, 94—105, (РЖМат, 1961, 5A337)
193. —, On alternating knots. Osaka Math. J., 1960, 12, №2,277—303
(РЖМат, 1963, 5A320)
194. —, Remarks of torus knots. Proc. Japan. Acad., 1961, 37, № 4, 222
(РЖМат, 1963, 5A322)
195. —, On the definition on the knot matrix. Proc Japan Ac, 1961, 37, № 4,
220—221 (РЖМат, 1963, 5A321)
196. —, Remarks of the knots with two bridges. Proc Japan. Acad., 1961,
37, № 6, 294—297 (РЖМат, 1963, 6A267)
197. —, Nonamphicheirality of the special determinatig links. Proc. Amer.
Maths. Soc, 1962, 13, № 5, 773—776 (РЖМат, 1963, 5A323)
198. Neuwirth L. , The algebraic determination of the genus of knots. Amer.
J. Math., 1960, 82, № 4, 791—798 (РЖМат, 1963, 4A227)
199.—, A note on torus knots and links determinated by their groups. Duke
Math. J., 1961, 28, № 4, 545—551 (РЖМат, 1963, 4A229)
200. —, The algebraic determination of the topological type of the complement
of a knot. Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12, № 6, 904—905 (РЖМат,
1963, 4A228)
201. Newman M. H. A., On the division of euclidean n-space by topological
(n—l)-sphere. Proc Roy. Soc. 1960, 257, 1 — 12 (РЖМат, 1962, 10A231)
202. Nogushi H., The smoothing of combinatorial manifolds in R/z+1. Ann.
Math., I960, 72, № 2, 201—215 (РЖМат, 1961, 9A232)
203. Papakyriakopoulos С. D., On the ends of the fundamental groups of 3-mani-
3-manifolds with boundary. Comment. Math.helv., 1957, 32, 85—92 (РЖМат,1959,
7851)
185

204. Papakyriakopoulos C. D., On Solid tori.
Proc. Lond. Math. Soc, 1957, 7, № 26, 281—329 (РЖМат, 1959, 7852)
205. —, On Dehn's lemma and the asphericity of knots. Ann. Math., 1957,
66, № 1, 1—26 (РЖМат, 1959, 7848)
205a—, О лемме Дэна и асферичности узлов. Математика, 1958, 2:4, 23—47
206. —, Some problems on 3-dimensional manifolds. Bull. Amer. Math. Soc,
1958, 64, № 6, 317—335, (РЖМат, 1960, 12592)
206a—, Некоторые проблемы о трехмерных многообразиях. Математика,
1960, 4:1, 15—30
207. —, The theory of the 3-dimensional manifolds since 1950. Proc. Int. Congr.
Math., 1958, Cambridge, 1960, 483—490 (РЖМат, 1961, 6A376 )
208. —, A reduction of the Poincare conjecture to the other conjectures.
Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, № 4, 360—366
209. Penrose R., Whitehead J.H.C.,Zeeman E.C., Imbedding of
manifolds in euclidean spaces. Ann. Math., 1961, 73, № 3, 613—623
(РЖМат, 1962, 2A366)
210. Poenaru V., Sur les varietes simplement connexes a trois dimensions. Ren-
diconti di Math., 1959, 18, № 1, 25—94 (РЖМат, 1960, 6179)
211. —, Les decompositions de l'hypercube en produit topologique. Bull.
Soc. Math., France., 1960, 88, 113—129 (РЖМат, 1962, 6A283)
212. —, Sur quelques proprietes des varietes simplement connexes a trois
dimensions. C. r. Acad., sci 1958, 247, №6, 624—626 (РЖМат, 1960, 6276)
213. —, II. С. г. Acad., sci 1958, 247, № 21, 1818—1820 (РЖМат, 1960,6277)
214. —, Rend. mat. et applic, 1961, 20, 235—269 (РЖМат, 1962, 4A329)
215. Rapaport E. C, On the commutator subgroup of a knot group. Ann. Math.,
1960, 71, № 1, 157—162 (РЖМат, 1962, 7A241)
216. Reidemeister K., Knoten und Geflecthe. Nachr. Acad. Gottingen Ha,
1960, 5, 106—115
217. —, Uber Heegaart Diagramme. Abhandl. Math. Seminar Hamburg., 1962,
25, № 3/4, 140—145
217a. Schubert H., Bestimmung der Primfak for Zerlegung vor Verkettungen.
Math. Zeit., 1961, 76, 116—148
218. Shapiro A., Whitehead J. H. C, A proof and extension of
Dehn's lemma. Bull. Amer. Math. Soc, 1958, 65, № 4, 174—178 (РЖМат,
1959, 7850)
219. Smale St., The generalized Poincare conjecture in higher dimensions.
Bull. Amer. Math. Soc, 1960, 66, № 5, 373—375 (РЖМат, 1963, 7A264)
220. —, Differentiable and combinatorial structure of manifolds. Ann. Math.,
1961, 74, № 3, 498—502 (РЖМат, 1963, 7A267)
221. Stallings J. R., Polyhedral homotopy spheres. Bull. Amer. Math. Soc,
1960, 66, № 6, 485—488 (РЖМат, 1963, 2A313)
222. —, On the loop theorem. Ann. Math., 1960, 72, № 1, 11—19 (РЖМат,
1962, 9A179)
223. —, The piecewise linear structure of euclidean space. Proc. Cambridge.
Philos. Soc, 1962, 58, № 3, 481—488
224. —, On the recursiveness of sets of presentations of 2-manifolds groups.
Fundam. Math., 1962, 51, № 2, 191 — 194 (РЖМат, 1963, 4A256)
225. —, On fibering certain 3-manifolds. Top. 3-manif., 95 — 100 P
226. Terasaka H., On null equivalent knots. Osaka Math. J., 1959, 11, № 2,
95 — 113 (РЖМат, 1962, 6A250)
227. —, On the nontriviality of some kinds of knots. Osaka Math. J., 1960,
12, № 1, 113—144 (РЖМат, 1962, 6A251)
228. —, On the unknottedness of S2 in £4. Osaka Math. J., 1961, 13, № 2,
265—270 (РЖМат, 1962, 7A245)
229. Tominaga A., A condition under which simple closed curves bounds disks.
J. Sci. Hiroshima Univ., 1958 A22, № 3, 205—214 (РЖМат, 1961, 6A377)
230. —, A unique imbedding of a torus homotopic 0 in a 3-manifold. J. Sci.
Hiroshima Univ., 1961, A25, № 1, 1—2 (РЖМат, 1963, 4A251)
186

231. Whitehead J. H. C, On 2-spheres In 3-manifolds. Bull. A. M. S., 1958,
64, № 4, 161 — 166 (РЖМат, 1959, 8950)
232. —, The immersion of an open 3-manifolds in E*. Proc. A. M. S., 1961,
11, № 41, 81—90 (РЖМат, 1962, 7A298)
233. —, On involution of spheres. Ann. Math., 1957, 66, № 1, 27—29 (РЖМат,
1958, 7583)
234. —, The sphere theorem and finite cocycles. Coll. Math., 1958, 1, 271 —
281
235. Zeeman E. C, Unknotting spheres in five dimensions. Bull. A. M. S.,
1960, 66, № 3, 198 (РЖМат, 1962, 7A247)
236. —, Unknotting spheres. Ann. Math., 1960, 72, №> 2, 350—361 (РЖМат,
1962, 7A248)
237. —, Linking spheres. Abh. Math. Semin. Hamburg, 1960, 24, 149—153
(РЖМат, 1962, 7A246)
238. —, Knotting manifolds. Bull. A. M. S., 1961, 67, № 1, 117—119 (РЖМат,
1962, 7A249)
239. —, The generalized Poincare conjecture. B. A. U. S., 1961, 67, № 3, 270
(РЖМат, 1963, 2A315)
240. —, Unknotting 3-sphere in six dimensions. Proc. Amer. Soc, 1962, 13,
№ 5, 753—757
241. —, Polyhydral manifolds I Foundations II Embeddings. Top. 3-manif.,
57—70
242. —, Isotopy and knots in manifolds. Top. 3-manif., 187—194
243. —, The Poincare conjecture for /i=5. Top. 3-manif., 198—203
244. Zieschang H., Uber einfache kurven auf Vollbrezeln. Abh. Math. Sem.
Hamburg., 1962, 25, № 3/4, 231—250.

ТЕОРИЯ ГРАФОВ
А. А. Зыков
ВВЕДЕНИЕ
Обзор охватывает в основном работы 1962 года; однако, по-
поскольку многие из них являются продолжением ранее начатых
исследований, пришлось рассмотреть также целый ряд более ста-
старых работ. В отдельных случаях фигурируют также работы
1963 года, когда они по содержанию тесно связаны с рассматри-
рассматриваемыми.
Предлагаемая рубрикация теории графов, конечно, спорна, и
её следует считать сугубо предварительной. С целью возможно
более полного выявления взаимосвязи между исследованиями,
многие работы фигурируют в двух (а изредка и в большем числе)
параграфов. К сожалению, с пятью работами автор настоящего
обзора не смог ознакомиться (они в библиографии отмечены звез-
звездочкой) .
§ 1. ПОДСЧЕТ ГРАФОВ
Подсчёт (enumeration) понимается здесь как нахождение
количества различных графов, обладающих лекоторым данным
свойством. В конкретных случаях точно фиксируется класс 8
рассматриваемых графов с заданным на нём отношением экви-
эквивалентности р, называемым обычно изоморфизмом и определяющим,
какие графы при подсчёте следует рассматривать как неразличи-
неразличимые и считать за один. Принципиальная трудность задачи обуслов-
обусловлена тем, что из наличия эффективного (в некотором смысле) спосо-
способа бесповторного перебора всех элементов £ отнюдь не следует
существование столь же эффективного способа перебора классов
188

фактормножества S/p. Оказывается выгодным усложнить
постановку задачи, рассматривая не одно, а конечное или счёт-
счётное множество свойств {Р£}, таких что каждый граф из £ обла-
обладает одним и только одним из этих свойств; искомым является
считающий ряд, или энумератор, f(x) = ^plxi, где х — формаль-
ная переменная, a pt означает количество неизоморфных графов
(т. е. классов £/р), обладающих свойством Pt. Часто бывает удоб-
удобно нумеровать свойства не одним, а двумя и более индексами, и
тогда искомый считающий ряд имеет вид f(x, */) = 2 PijxiUj
и т. п. Задача считается решённой, когда для искомого ряда найде-
найдена производящая функция, т. е. такая функция (от соответству-
соответствующего числа аргументов), формальный степенной ряд которой
совпадает с искомым, причём коэффициенты вычисляются эффек-
эффективно.
Производящая функция, рассматриваемая как цельный объ-
объект, может обладать такими свойствами, которые трудно и проти-
противоестественно записать в терминах отдельных коэффициентов ря-
ряда и которые даже совсем не имеют места для отдельно взятого
коэффициента. Этим объясняется кажущийся парадокс: ряд задач
на подсчёт удаётся решить только после вышеупомянутого услож-
усложнения их постановки. Общий подход к нахождению считающих
рядов и их производящих функций был впервые предложен Пойя
[180]; сам автор применил свою основную теорему для подсчёта
количества неизоморфных деревьев с заданным числом вершин и
выделенной вершиной (корнем), а также для определения коли-
количества изомеров у некоторых химических соединений. Подробное
изложение теоремы Пойя и разнообразных её применений имеется
в книге Риордана [52], однако для первого ознакомления мы реко-
рекомендуем статью Харари [133], в которой без введения большого
числа понятий даются формулировка этой теоремы и её непосред-
непосредственные приложения, такие как подсчёт графов и диграфов (на-
(направленных графов) с заданными количествами вершин и рёбер,
подсчёт связных графов и некоторых взвешенных графов. Из ра-
работ этого направления, появившихся в период между выходом ори-
оригинала книги Риордана A958 г.) и 1962 годом, отметим работу
Рида [185, 186]; доказанная им теорема суперпозиции позволяет
значительно расширить сферу применимости теоремы Пойя, на-
например, даёт возможность подсчитывать количество неизоморф-
неизоморфных графов с заданными степенями вершин.
В работе Эдена и Шютценберже [103] доказывается, что число
деревьев с п занумерованными вершинами равно числу разложе-
разложений цикла степени п— 1 в произведение транспозиций.
Цикл работ Татта [207—211] (последняя из них вышла в на-
начале 1963 г.) посвящен плоским графам и картам. Основная
189

трудность подсчета — наличие симметрии (нетривиальной группы
автоморфизмов) у ряда карт — обходится путем отказа от иден-
идентификации некоторых карт, изоморфных в обычном смысле. Так,
в работе [207] у плоских карт с треугольными областями одно
из ребер (корень) снабжается направлением и указанием, какая
из двух примыкающих к нему областей считается правой, а
какая левой; при изоморфизме карт их корни, с учетом этих
предписаний, должны соответствовать друг другу. В работе
[208] у плоской карты с вершинами степени 3 роль корня играет
одна из вершин вместе с двумя инцидентными ей ребрами или
даже гамильтонов цикл, содержащий эти элементы. В работе
[209] рассматривается область R плоскости, ограниченная про-
простыми замкнутыми непересекающимися кривыми 3i32> •••» S^"> на
каждой из кривых з* дано 2nt > 0 точек. Выводится рекуррент-
рекуррентная формула для числа способов разбиения R на односвязные
«ломтики» (slices) посредством дуг, которые не имеют друг с
другом общих концов и которые соединяют различные пары
точек на кривых 3i> Зг> •••» ЗУ» ПРИ выводе используется доволь-
довольно сложное комбинаторное тождество, доказанное в той же ра-
работе и записываемое в терминах дифференциального исчисления.
Стягивание кривых 3i> Зг> •••> 3$ в точки дает некоторый класс
плоских карт, для которых задача подсчёта, таким образом, тоже
оказывается решённой. Статья [210] содержит обзор всех этих ре-
результатов, а в работе [211] делается попытка подвести фундамент
под теорию подсчёта плоских карт и, в частности, пересчитываются
все плоские корневые карты. К сожалению, всё это ещё не озна-
означает окончательного решения задачи о подсчёте обычных (не кор-
корневых) плоских карт и графов; лишь при допущении (пока что не
обоснованном) большой «редкости» симметричных карт можно по-
получать асимптотические формулы для количества неизоморфных
карт путём деления соответствующих формул для количества не-
неизоморфных корневых карт на учетверённое число рёбер.
Метод Пойя принципиально дает лишь рекуррентный способ
вычисления коэффициентов считающих рядов, но не выражение
этих коэффициентов в виде удобных формул (последнее вообще
не всегда возможно). Во многих случаях, однако, нет необходи-
необходимости находить точные выражения, а достаточно иметь только
асимптотические формулы и оценки для количеств графов с теми
или иными свойствами; ряд результатов' такого рода принадле-
принадлежит Шеннону, Риордану, Гилберту, П Н. Поварову, С. В. Яб-
Яблонскому, О. Б. Лупанову, Ф. Я. Ветухновскому, Р. Е. Кричев-
скому и другим авторам. Для примера рассмотрим работу
О. Б. Лупанова [36]; nycrk 93 — множество всех графов (неориен-
(неориентированных мультиграфов) без изолированных вершин; q}1, <g2,
<g3 — подмножества % состоящие соответственно из связных
графов, графов без двуугольников, графов без петель; введем
обозначения % - #, % = 5 (i = 1, 2, 3), ^П^П^
190

(В. = 0,1 при i= 1,2,3) и пусть Gs^b, (л) обозначает количество
неизоморфных графов из ^s^s,, имеющих п ребер; один из ре-
результатов работы состоит в том, что
4
2 In In п ^ /ч 1^4 1п1п/г / \ ^ о / \
Где ~1ЮГ ~ Т»1.»,.8,(л) -1 < —!"-- , а запись а (я) < р (л) означает,
что Пт о-^-ч < 1. Принцип получения оценок можно пояснить на
/г->оо Р V72)
простом примере из той же работы [36]: чтобы оценить сверху
количество неизоморфных связных графов без петель и двууголь-
двуугольников, с т вершинами и п рёбрами, замечаем, что всякий такой
граф можно получить из некоторого m-вершинного дерева до-
добавлением п—т+1 рёбер, после чего используем известную верх-
верхнюю оценку числа неизоморфных деревьев; конечно, в других
случаях нужны более сложные рассуждения и более тонкие пред-
предварительные оценки. Ф. Я. Ветухновский [6] следующим образом
подходит к задаче подсчёта плоских графов: он сначала оценивает
максимальное число неизотопных плоских реализаций дерева с за-
заданным количеством вершин, после чего превращает каждое де-
дерево в элементарный цикл путём «расслаивания» рёбер и далее в
плоский граф путём добавления внутренних и внешних хорд по
определённому закону. Таким образом удаётся асимптотически
оценить наибольшее число неизотопных плоских реализаций графа
с п рёбрами, а также показать, что число Gn неизоморфных связ-
связных плоских графов с п рёбрами удовлетворяет условиям CJJ <
<Gn<C%, где С\ и С2 — некоторые постоянные.
Работа Рида [187J посвящена подсчёту графов, степени вершин
которых делятся на заданное число, и связных графов. Перечисле-
Перечислением деревьев, вершины которых правильно окрашены двумя
цветами (т. е. так, чтобы смежные вершины всегда имели разный
цвет), занимается Скойнс [193]. Риордан [188] каждому отображе-
отображению множества п элементов в себя относит направленный граф и
выводит рекуррентную формулу для количеств графов такого ти-
типа, имеющих заданное число компонент связности. К комбинатор-
комбинаторным приложениям теории графов относится результат Харари
[139] о взаимно однозначном соответствии между множеством не-
неэквивалентных задач на перестановки с ограниченным положе-
положением (см. [52], глава 7) и множеством неизоморфных графов с
вершинами двух цветов; так как задача подсчёта элементов вто-
второго множества ранее уже была решена им же [134] (при помощи
метода Пойя), то и задача пересчёта первого множества, казав-
казавшаяся очень трудной, тем самым оказывается решённой.
В работе Э. И. Нечипорука [47], посвященной методам наибо-
наиболее экономной реализации булевых функций контактно-вентиль-
контактно-вентильными схемами, метод Пойя применяется для подсчёта классов
эквивалентности, на которые оказывается специальным образом
191

разбитым множество всех булевых функций от п аргументов.
Шерман [197, 198] и Шимамото [192] занимаются подсчётом неко-
некоторых графов, встречающихся в теоретической физике. Пересчи-
Пересчитывая графы с взвешенными элементами и ориентированными рёб-
рёбрами, появляющиеся в задаче синхронизации двоичных сообще-
сообщений, Гилберт [12] использует производящие функции комплексного
аргумента. Задачи на подсчёт графов фигурируют также в работе
Хомского и Миллера [60] по математической лингвистике.
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СТРОЕНИЕ ГРАФОВ
Здесь мы рассматриваем работы, в которых исследуется взаи-
взаимосвязь между разными свойствами одного и того же графа. Рез-
Резкой границы между количественными и структурными характери-
характеристиками, конечно, нет: так, например, хроматическое число — это
количественная характеристика, а тот факт, что оно равно у, озна-
означает возможность разбиения графа на у пустых (безрёберных)
попарно непересекающихся подграфов и невозможность такого
разбиения на меньшее число пустых подграфов, т. е. в известной
мере описывает структуру графа; точно так же, говоря, что плот-
плотность графа равна d, мы (по определению плотности) утверждаем,
что граф содержит хотя бы один полный d-вершинный подграф, но
не содержит полных подграфов с большим числом вершин, сооб-
сообщая тем самым кое-что о строении графа. Заметим ещё, что объ-
объектами многочисленных исследований были и остаются всевозмож-
всевозможные критические графы: например, критический хроматический
граф в ряде работ определяется как такой, что удаление из него
хотя бы одной вершины приводит к уменьшению хроматического
числа; максимально насыщенный граф имеет наибольшее возмож-
возможное число рёбер при данном количестве вершин и данной плотно-
плотности. Исследования Турана, Эрдёша, Дирака, Галлаи, Дж. и
Л. Келли и других авторов, специально посвященные строению
критических графов, опубликованы до 1962 года, а некоторые ра-
работы, напротив, выходят только в 1963 году. Но и во многих ра-
работах 1962 года (и предшествующих им), для которых изучение
критических графов не является основной целью, такое изучение
вместе с соответствующими построениями оказывается необходи-
необходимым при выводе различных оценок, а особенно при доказатель-
доказательстве достижимости этих оценок. В дальнейшем мы не будем спе-
специально подчёркивать роль критических графов.
В работе А. П. Ершова и Г. И. Кожухина [19] выводятся
верхняя и нижняя оценки хроматического числа 7 связного гра-
графа с п вершинами и р ребрами:
[3 + /9 + 8 (р-п)
L
Г 2/7 + 2д.т-/г(д-1I [3 + /9 + 8 (р-п) ]
~ L м^ТГ) J< г < L 2 J'
г/г2_2/л
где т = | (целая часть); обе оценки точны в том смысле,
192

что для любых допустимых значений пир существуют графы,
на которых достигается равенство.
Наименьшим обхватом графа называется длина его кратчай-
кратчайшего элементарного цикла, содержащего более одной вершины;
пусть gk (n) — наибольшее из таких целых чисел t, для которых
существует /г-вершинный граф с хроматическим числом k и
наименьшим обхватом t. Эрдёш [105] доказал, что
, ч . log п
gk(n)>clfog-k,
где сг > 0 — некоторая постоянная. В работе [ПО] тот же автор
получает верхнюю оценку gk (п) < ^ ?^2) "+" 1 при k > 4; там же
исследуется функция / (/я, k\ n), выражающая наибольшее воз-
возможное хроматическое число я-вершинного графа, все т-
вершинные подграфы которого обладают хроматическими числа-
числами <&, и выводятся оценки
f (т, 3; п) > с3 ——
где сг > О—некоторая постоянная.
Для практической проверки возможности правильной раскрас-
раскраски вершин данного графа р цветами можно по его матрице инци-
денций составить систему линейных неравенств и выяснить разре-
разрешимость последней в целых числах (см. [4], гл. 4); желая этим
способом найти хроматическое число графа, мы вынуждены по-
последовательно задавать значения р и для каждого из них исследо-
исследовать свою систему. Г. И. Кожухин (см. [4], Добавление VI) ука-
указал способ построения такой линейной программы, решение кото-
которой в целых числах сразу даёт и хроматическое число, и некоторую
правильную раскраску вершин заданного графа наименьшим ко-
количеством цветов. Другой путь нахождения минимальных раскра-
раскрасок вершин предлагает Л. М. Витавер [10]; он относит матрице
смежности А графа матрицу В из булевых переменных, после чего
задача сводится к последовательной проверке выполнимости конъ-
конъюнкций из элементов булевых степеней В2, В3,... матрицы В. К со-
сожалению, все эти (и более ранние) методы нахождения хромати-
хроматического числа и хотя бы одной минимальной правильной раскрас-
раскраски вершин заданного графа практически недостаточно эффектив-
эффективны; в важности же этой задачи нас ещё раз убеждает А. II. Ершов
[18], показывая, что именно jc ней сводится проблема наиболееэко-
13-5871 193

номного использования ячеек памяти вычислительной машины при
программировании.
В технике печатного монтажа электрических схем возникает за-
задача о представлении графа в виде объединения наименьшего чис-
числа его плоских частичных графов. Эту задачу Уэйсман [215] сво-
сводит к следующему обобщению проблемы правильной раскраски
вершин. Пусть множество всех вершин графа разбито на классы
{Р}. Решением называется всякая такая минимальная система по-
попарно непересекающихся пустых подграфов, что объединение всех
множеств этой системы содержит ровно по одной вершине из каж-
каждого класса Р (раскраска в прежнем смысле соответствует случаю,
когда все Р — одновершинные). Метод нахождения решений ос-
основан на булевой алгебре; при этом необходим перебор пустых
подграфов данного графа, однако, оказывается, можно ограни-
ограничиться далеко не полным перебором, что существенно улучшает
эффективность метода.
Хроматическому числу графов посвящены исследования Ваг-
Вагнера и Галина [212, 213], оно фигурирует у А. А. Зыкова [23—25],
у В. Г. Визинга и Г. С. Плесневича [8]. Поскольку во всех этих ра-
работах решающую роль играют алгебраические операции над гра-
графами, то мы рассмотрим их в § 8, а последнюю, связанную с
транспортными сетями, — также в § 9.
Результат Аартса и де Грота [67] гласит: Всякий плоский граф,
у которого степени вершин не превосходят 5, обладает хроматиче-
хроматическим числом <4. Во вновь переизданной книге Радемахера и Теп-
Теплица [50] имеется популярное изложение проблемы четырёх красок.
Не менее важной характеристикой, чем хроматическое число,
является хроматический класс графа, т. е. наименьшее количество
цветов, необходимое для правильной раскраски его рёбер (так,
чтобы инцидентные рёбра не имели одинакового цвета). Здесь
классический результат принадлежит Шеннону [63]: Если т —
наибольшая степень вершин мультиграфа без петель, то его хро-
хроматический класс не больше -2- пг . Задачей составления таблиц
командных турниров, равносильной задаче раскраске ребер
специальных графов, занимается Ялавиги [222]. Из работ 1962
года хроматическому классу посвящена статья Арчболда и Сми-
Смита [72] о простом обобщении известного результата Кёнига, а
также две работы Избицкого [147, 148], которые мы рассмотрим
в § 3, так как в йих упор сделан на построение графов с за-
заданными свойствами.
Значительное место занимают работы, в которых исследуется
связь между числами вершин и рёбер графа, с одной стороны, и
количеством (в частности, просто фактом наличия) у него под-
подграфов данного вида. Андрашфаи [70] занимается вопросом: ка-
каково наименьшее число рёбер л-вершинного графа с числом
внутренней устойчивости (числом вершин наибольшего пустого
194

подграфа) а и какова структура экстремальных графов? Полный
ответ он даёт при -- < — < 1 и частичный при — >■>■ .
Тот же автор предлагает [71] новое доказательство теоремы Ту-
рана о графе с наибольшим числом рёбер при данном числе вер-
вершин и данной плотности, а Эрдёш выводит [111] верхнюю оценку
количества полных подграфов с заданным числом вершин у гра-
графа, имеющего данные количества вершин и рёбер; только после
выхода обеих работ их авторы узнали, что ещё в 1949 году
А. А. Зыков [23] дал простое доказательство теоремы Турана
(не подозревая, в свою очередь, что сама теорема уже известна) и
впервые получил упомянутый результат, содержащийся в работе
Эрдёша.
Эрдёш [107] доказал существование такой постоянной с > 0>
^ п „ Г/г] Г/г+ 1 ] ,
что при 1 < с £ всякий граф с п вершинами и -2 . —^— + т
рёбрами содержит не менее т-Г-^ треугольников. Нордхаус и
Стьюэрт [170, 171] ищут такую функцию f(ntp), чтобы для каж-
каждого графа было t > / (/г, р), где п — число вершин, р — число
рёбер, t — число треугольников графа; авторы выводят ряд дости-
достижимых оценок для min^, в частности, показывают, что наимень-
наименьшее значение R, при котором Rt > п(\р — п2) для любого графа,
равно 9.
В работе [112] Эрдёш и Поша доказывают, что при п > no(k),
k > 1 всякий граф с п вершинами и по крайней мере с B& — 1) п —
— 2k2 + k рёбрами (за исключением графов, у которых есть 2k — 1
вершин степени п— 1) содержит не менее k циклов попарно без
общих вершин; функция no(k) удовлетворяет условиям 3& <
</го(&)<24&. В этой же работе исследуется существование эле-
элементарных циклов без общих рёбер в мультиграфах, например,
доказывается, что при наличии п + 4 рёбер имеется хотя бы два
таких цикла. Аналогичным вопросам для случая плоских графов
посвящена работа Дирака и Эрдёша [98]. Кроме того, Эрдёш [109]
находит некоторые достаточные условия существования в данном
графе k треугольников попарно без общих рёбер; вот одно из них:
если п > 400&2, / > [(У|-%+1J] + (k - 1) п - (* - IJ + (*~J;, то
всякий граф с п вершинами и/рёбрами (за единственным исклю-
исключением) содержит k таких треугольников.
Андрашфаи [69] исследует вопрос о существовании в графе
подграфа, состоящего из элементарного цикла и присоединённой
к нему в одной вершине элементарной цепи, а Боллобаш и Эрдёш
[86] получают достаточное условие существования подграфа, со-
состоящего из элементарного цикла и вершины, смежной с двумя
вершинами этого цикла. Применяя одну теорему Поша [181],
Эрдёш [108] следующим образЪм обобщает найденное Оре [172]
13* 195

до статочное'условие существования гамильтонова цикла: Пусть
!<*<-£, /* = 1+ max
= 1 + max
тогда всякий граф с п вершинами, Ik рёбрами и такой, что степень
каждой его вершины не меньше &, содержит гамильтонов цикл;
число Ik нельзя уменьшить.
Верхними оценками числа простых путей в графах, образован-
образованных вершинами и рёбрами выпуклых полиэдров в многомерных
евклидовых пространствах, занимаются Грюнбаум и Моцкин [125]
Пусть п = / (k9 l) — наименьшее из натуральных чисел N, для
которых всякий Л^-вершинный граф содержит либо полный k -
вершинный, либо пустой /-вершинный подграф. Из комбинаторно-
логической теоремы Рамсэя (см., например, [173], гл. 13) следует,
что функция /(&, /) определена при любых натуральных k и /.
Секереш доказал, что /(fe, /) < ( t~_7 \, а Эрдёш получил ниж-
нижние оценки / (&, k) > 2 , / (k, l)>f C, /) > /*+с, где с > 0 — неко-
некоторая постоянная. В работе Эрдёша и Роджерса [115] решается
более сильная проблема, поставленная Хайналом в устном сообще-
сообщении, а именно доказывается существование такого ck = c(k), что
h{k, /) >/1+% где h(&,/) — наименьшее натуральное N со свой-
свойством, что каждый Л^-вершинный граф содержит либо полный
k- вершинный подграф, либо /-вершинный подграф плотности
< k — 2. К рассмотренным задачам близка поставленная А. А. Зы-
Зыковым [23] задача нахождения (или оценки) функции g(pt q),
равной наибольшему из таких N, что полный ./V - вершинный
граф можно получить объединением двух его частичных графов,
обладающих плотностями р и q. Вскоре Л. М. Лихтенбаум дал
для функции g(p, q) верхнюю оценку, а впоследствии [35] улуч-
улучшил эту оценку, доказав, что
Рассматривая полный граф с рёбрами двух цветов *\ Лорден [153]
выводит простую формулу для минимального числа одноцветных
треугольников в нем и дает способ построения такого цветного гра-
графа, для которого этот минимум достигается при условии отсут-
*> Имеется в виду произтзольвая '(а не обязательно правильная) окраска;
это лишь другой способ выражения разбиения графа на два взаимно допол-4
иительных частичных графа.
196

ствия треугольников первого цвета, Мун и Мозер [163] оценивают
снизу число одноцветных четырёхугольников простого графа, в ко-
котором каждая из п вершин одного множества смежна с каждой
из п вершин другого и рёбра окрашены двумя цветами *\ Продол-
Продолжая исследования Хайнала и Шураньи [129], Дирак [97] и Гал-
лаи [121] устанавливают достаточные условия возможности раз-
разбиения множества вершин графа на заданное число попарно непе-
непересекающихся подмножеств, порождающих полные подграфы; в
эти условия входит ограничение сверху числа внутренней устойчи-
устойчивости данного графа, а также требование такого типа, чтобы каж-
каждый его элементарный цикл длины >3 имел хотя бы одну хорду
или чтобы этому условию удовлетворяли по крайней мере все
циклы нечетной длины.
Дирак [96] исследует структуру бесконечных графов; в ка-
качестве примера приведем один из результатов: Если вершина а
не является точкой сочленения и имеет степень > 2s, где г —
натуральное число, то через а проходит по крайней мере е эле-
элементарных циклов попарно без общих ребер, таких что никакие
два цикла не могут иметь более одной общей вершины, отличной
от а. Чипсер, Эрдёш и Хайнал [95] исследуют бесконечные гра-
графы, вершинами которых служат натуральные числа; для функ-
функции g(n), означающей число тех рёбер, оба конца которых не
превосходят п, устанавливаются неравенства, гарантирующие на-
наличие в графе пути или системы путей некоторого вида, напри-
например: A) Если для какого-то s>0 и достаточно больших п имеем
то граф содержит бесконечно много путей вида пхП2ПЪ9 где
(число ^2 уменьшить нельзя \ B) Существует такая
постоянная а, 0<а<—, что если lim ^-~-> у—а, то граф
содержит бесконечный путь пхп2пг...9 где пх</г2<п3<...
(положить а=— нельзя ). C) Если для бесконечно многих п
п2
имеем g(n) > -^—С-п, то граф содержит бесконечный полный
подграф (здесь С нельзя заменить никакой функцией Ап9 неогра-
неограниченно возрастающей при я->оо).
Различные структурные и числовые характеристики графов
фигурируют еще в целом ряде работ, которые будут рассмотре-
рассмотрены в следующих параграфах.
*) Окраска произвольная (см. сноску на стр. 196).
197

§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФОВ И ВЫЯВЛЕНИЕ ПОДГРАФОВ
С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
Граф (мультиграф без петель) называется псевдорегулярным
степени т, если степень каждой его вершины равна либо т,
либо 1; ребро, инцидентное вершине степени 1, называется ви-
висячим. Избицкий доказал сначала для т=3 [147], а затем и для
любого т>3 [148] следующую теорему: Условие fi — f2 = — = fm
(mod 2) необходимо и достаточно для существования конечного
связного графа, псевдорегулярного степени т и такого, что при
некоторой минимальной правильной раскраске его ребер количест-
количества висячих ребер каждого цвета равны соответственно fl9 /2, ...
..., fm. Достаточность доказывается путем построения требуемых
графов.
Граф (мультиграф без петель) Называется гамильтоновским
п-й степени, если каждая его вершина имеет степень п, а множе-
множество всех рёбер можно разбить на п попарно непересекающихся
факторов первой степени (т. е. паросочетаний) так, чтобы объеди-
объединение любых двух из этих факторов было гамильтоновым циклом.
Коциг [29] вводит две операции над графами и показывает, что с
их помощью можно любой гамильтоновский граф 3-й степени по-
получить из графа, образованного двумя вершинами и тремя соеди-
соединяющими их рёбрами; эта и другие теоремы работы доказываются
конструктивно.
Построением графа с наперёд заданными свойствами занима-
занимались, наряду с Избицким и Коцигом, также Сабидусси, Фракт и
другие авторы *'. В частности, исследовался вопрос о существова-
существовании и построении графа с заданной группой автоморфизмов; к этой
области относится работа Шерка [196], где рассматриваются плос-
плоские карты с наперёд определёнными теоретико-групповыми свой-
свойствами симметрии. Задача синтеза графов фигурирует у Сотского
[55] в связи с организацией обмена информацией между элемента-
элементами вычислительной системы.
О работе Лёфгрена [32], посвященной построению графа по его
цикломатической матрице (второй матрице инциденций), мы бу-
будем говорить в § 5. Ряд задач, связанных с нахождением графа
или подграфа специального вида и преобразованием таких гра-
графов друг в друга, решается в работах Хоанг Туя [59, 145] и
В. Г. Визинга [7] при помощи теории транспортных сетей; эти ра-
работы мы рассмотрим в § 9.
Рудеану [190] улучшает метод Фортета [116] нахождения га-
мильтоновых цепей графа при помощи решения системы линейных
уравнений в булевой алгебре. К ряду задач, сводящихся к нахож-
нахождению путей в данном графе (например, к обобщениям задачи о
*> См., например, [173], гл. 15.
198

волке, козе и капусте), Беллман [82] применяет методы динамиче-
динамического программирования. Радемахер и Теплиц [50] в популярной
форме знакомят читателя с проблемой представления графа в
виде объединения наименьшего числа элементарных путей (зада-
(задача о маршрутах).
§ 4. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ И БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Ориентация ребер графа (без петель и двуугольников) назы-
называется транзитивной, если для любых трех вершин а, Ъ, с из
наличия дуг (ориентированных ребер) аЪ и be следует наличие
дуги ас\ ориентация квазитранзитивна, если из наличия дуг
аЪ и be вытекает смежность а с с, т. е. наличие дуги ас или ду-
дуги са. Гуйя-Ури [123] доказал, что всякий конечный граф, до-
допускающий квазитранзитивную ориентацию, можно ориентировать
транзитивно; проверка же квазитранзитивной ориентируемости
данного графа G сводится к проверке того, является ли некото-
некоторый вспомогательный граф G, определяемый по графу G, бихро-
матическим. Для бесконечных графов Уулк [221] показал, что
возможность специальной транзитивной ориентации, при которой
из наличия дуг ас и be вытекает смежность вершин а и Ь, рав-
равносильна выполнению в исходном неориентированном графе так
называемого диагонального свойства: если существуют ребра ab,
be и cd, то существует по крайней мере одно из ребер ас, bd.*)
Босак [88] изучает ориентированные графы в связи со
свойствами их ветвей, направленных из одной вершины в
другую.
Мун [159] решает следующую задачу, связанную с оценкой
результата турнира п партий: Пусть граф образован непересекаю-
непересекающимися множествами вершин {ра, ..., pin.}> n{>\, i = l, ..., п и
всевозможными ребрами, концы которых находятся в разных мно-
множествах; если каждое ребро как-то ориентировано, то пусть vtJ
означает количество тех вершин графа, в которые идет дуга из
р/у.; образуем множества Vt^={va, ..., vin.} целых чисел (г=1,...,я);
требуется найти необходимое и достаточное условие, при котором
произвольно заданная система множеств Vt соответствует указан-
указанным образом некоторому графу описанного специального вида.
Тот же автор доказал [160] справедливость гипотезы: если пол-
полный граф ориентирован так, что не содержит тупиковых вершин,
то в нем есть хотя бы три таких вершины, до каждой из кото-
которых можно дойти из любой вершины графа по пути длины не
*) О значении этого свойства для теории множеств мы еще скажем в §6.
199

более 2. Свойства ориентированных графов позволяют
Рашевскому [184] сделать некоторые выводы, относящиеся к
генетике.
Множество с заданным на нём бинарным отношением можно
рассматривать как ориентированный мультиграф, который удо-
удовлетворяет условиям: (I) ё каждой вершине имеется не более од-
одной петли, (II) каждая пара различных вершин может быть со-
соединена не более чем двумя рёбрами, притом ориентированными
противоположно. Не только по традиции, но и для удобства многие
работы алгебраистов и логиков написаны в терминах бинарных
отношений, а не графов; мы не будем менять терминологию ори-
оригиналов.
Вопросам алгорифмической разрешимости некоторых массо-
массовых проблем, связанных с бинарными отношениями эквивалентно-
эквивалентности слов, посвящена работа А. А. Маркова [40]. Невозможность
единого алгорифма для решения всех задач теории конечных не-
неориентированных графов вытекает из результатов И. А. Лавро-
Лаврова [31] (аналогичное утверждение для произвольных бинарных
отношений на множествах любой мощности давно известно в мате-
математической логике).
Бинарное отношение R называется различимо транзитивным,
если для любых попарно различных х, yf z из xRy и yRz следует
xRz\ введя это понятие, Харари [136] доказал, что система аксиом
симметричности, рефлексивности и различимой транзитивности
обладает некоторыми свойствами, более сильными, чем обычная
независимость. Он же вводит [137] отношение аналогии, обладаю-
обладающее иррефлексивностью, асимметричностью и различимой транзи-
транзитивностью, и показывает, что это отношение разбивает область
своего определения на классы, причём аналогия, в отличие от
эквивалентности, имеет место лишь для различных элементов
одного класса. С целью обобщить эту теорему, Беднарек [79] вво-
вводит понятия полутранзитивного отношения и полуразличимого
разбиения и доказывает, что полутранзитивное отношение разби-
разбивает область своего определения на классы полуразличимых эле-
элементов; вскоре выяснилось [140], что теорему Беднарека можно
получить из упомянутой теоремы Харари [137].
Во многих разделах теории программирования возникает зада-
задача построения транзитивного замыкания данного бинарного отно-
отношения; В. В. Мартынюк [42] предлагает способ решения, требую-
требующий не больше времени, чем возведение в квадрат матрицы смеж-
смежности графа данного бинарного отношения.
Вторично напечатанную работу Радо и Райхельдерфера [183]
о циклически транзитивных бинарных отношениях мы рассмотрим
в § 6. Работы, посвященные операциям над бинарными отношения-
отношениями и алгебраической структуре множеств с заданными на них би-
бинарными отношениями, будут освещены в § 8.
200

§ 5. МАТРИЦЫ, СВЯЗАННЫЕ С ГРАФАМИ
Босак .[87] рассматривает суммы вида ]>] #1а(])#2оB).. -иЯ0(Я) от
элементов квадратной матрицы || ии \\ , где а пробегает некоторые
специальные множества подстановок, и для этих сумм предлагает
рекуррентный способ вычисления; беря затем в качестве \\uLj\\
матрицу смежности графа (или частично ориентированного мульти-
графа), он через найденные суммы выражает такие характеристи-
характеристики графа, как число всех факторов, число гамильтоновых цик-
циклов и др. Харари [141] выясняет, какие свойства графов харак-
характеризуются определителем матрицы || и/у-||, в которой элементы и,ф
соответствующие дугам (или рёбрам) графа, являются перемен-
переменными, а остальные utJ- заменены нулями. Л. М. Лихтенбаум в ра-
работе [34] и в первой части работы [35] изучает матрицу А со-
соседства вершин графа (сумму матрицы смежности и единичной
матрицы) и, рассматривая sp Ат как многочлен от диагональных
элементов матрицы Л, выясняет связь коэффициентов этого мно-
многочлена с количеством обыкновенных непрерывных замкнутых
путей (т. е. циклов) и с другими характеристиками графа. В ра-
работах'[33, 34] и во второй части работы [35] рассматривается,
наряду с Л, также матрица В соседства рёбер графа, выводятся
некоторые соотношения между минорами матриц А и В, в част-
частности, между их характеристическими многочленами, и эти соот-
соотношения истолковываются в терминах структурных свойств графа.
Если из матрицы инциденций графа его цикломатические мат-
матрицы получаются без особого труда (см., например, [4], гл. 15), го
обратная задача очень трудна —о степени трудности можно су-
судить, например, по работе Аусландера и Трента [73, 74], где даётся
теоретически удовлетворительное, но практически мало эффектив-
эффективное её решение. Полноценное решение этой задачи, по существу
исключающее необходимость полного перебора всевозможных слу-
случаев, удалось Лёфгрену [32]; сам автор применяет свой метод к
проблеме реализации булевых форм неизбыточными схемами, но
ясно, что он не менее эффективен и в отношении теории электри-
электрических цепей, в которой рассматриваемая задача возникла впер-
впервые; переводчица Б. Ю. Пильчак снабдила статью большим коли-
количеством добавлений. Казахара, Тезука, Линг Шан Тонг и Китаха-
ши [149] предлагают два метода получения всех деревьев графа,
исходя из одного дерева. Сэшу [194] приводит условия того, что
матрица с элементами ОД и —1 является матрицей разреза неко-
некоторого ориентированного графа.
Ряд работ посвящен исследованию свойств (в первую очередь
комбинаторных) некоторых матриц, являющихся непосредствен-
непосредственным обобщением матриц смежности, соседства или инцидентно-
инцидентности графов. Так, вполне унимодулярные матрицы (см. [4], гл. 15)
рассматриваются Камьоном [90] и Гуйя-Ури [122], бистохасти-
ческие матрицы (см. [4], гл. 10) —Маркусом, Минком и Моилсом
201

[155, 165], матрицы из нулей и единиц— Фалкерсоном и Райзером
[119, 120], Хабером [127], Маркусом и Мэем [154]. Здесь же можно
упомянуть о двух работах М. Е. Тылкина [57, 58], имеющих значе-
значение для теории кодирования.
Харари [138] в терминах теории графов устанавливает необхо-
необходимое и достаточное условие приводимости произвольной квад-
H I °
ратной матрицы к виду
и к виду
посредством пе-
рестановок рядов (т. е. одновременных одинаковых перестановок
строк и столбцов), он указывает алгорифмы для явного нахожде-
нахождения преобразующих матриц. Хэйл [132] указывает метод обраще-
обращения матриц специального вида, связанных с ориентированными
графами. Близким вопросам посвящена работа Далмидта и Мен-
Мендельсона [101].
§ 6. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРАФОВ
Каждому графу (ориентированному мультиграфу без петель,
со множествами вершин и рёбер любой мощности) естественным
образом отвечает одномерный топологический комплекс; припи-
приписывая всем рёбрам этого комплекса произвольные вещественные
числа, получим взвешенный комплекс; множество всевозможных
взвешенных топологических комплексов для данного графа Часар
[94] превращает в топологическое пространство, называемое топо-
топологическим представлением этого графа, и выводит необходимое
и достаточное условие, при котором наперёд заданное топологиче-
топологическое пространство гомеоморфно топологическому представлению
некоторого графа.
Хайошем [130], Хайналом и Шураньи [129], Галлаи и другими
математиками изучались свойства таких графов, которые допу-
допускают следующее представление с помощью систем интервалов на
прямой: вершины графа отвечают интервалам, причём две верши-
вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им интер-
интервалы различны и имеют непустое пересечение. Один из критериев
такой представимости графа, выражаемый в терминах цепей и
циклов, установлен Леккеркеркером и Боландом [151] в связи с
задачами генетики.
Другое теоретико-множественное представление бинарных от-
отношений, т. е. фактически графов, фигурирует в работе Радо и
Райхельдерфера [183]. Авторы называют бинарное отношение 91
на множестве Е циклически транзитивным, если для любой ко-
конечной последовательности аъ ...,ап элементов множества Е из
ахШ2, • • •, ап-1^аю аг№а\ следует a^aj A < i < п, 1 < / < п).
Пусть Г — класс подмножеств Е, удовлетворяющий, условиям:
06Г; xGE=>{x}Gr-9 £6Г; если ЙСГ, П со ф 0, то U собГ. Г-ком-
202

понентой произвольного множества S называется всякое макси-
максимальное подмножество S, принадлежащее Г. Бинарное отношение
£Я(Г) определяется так: a$R(T)b<^ для любого х£Е\{а, Ь} элемен-
элементы а и b принадлежат одной и той же Г-компоненте множества
Е\{х}. Доказывается, что £Я(Г) рефлексивно, симметрично и цик-
циклически транзитивно, и наоборот, всякое бинарное отношение с
этими тремя свойствами допускает описанное выше теоретико-
множественное представление.
Задачей топологической классификации деревьев посредством
алгебраических инвариантов занимается Пэтти [177].
Родом Л( (G) графа G называется наименьшее такое г, что одно-
одномерный топологический комплекс, естественно соответствующий G,
можно поместить (без пересечения рёбер во внутренних точках)
на ориентируемой поверхности рода г; Бэтл, Харари, Кодама и
Юнге [77] показали, что если Gl9 G2, . ..,(?„ — блоки (максималь-
(максимальные связные подграфы без точек сочленения) графа G, то у(G) =
п
= 2 t(G/i)« Шамколович [202] исследует, когда граф на откры-
той поверхности гомеоморфен прямой; для сферы дан критерий.
Объектом многочисленных исследований были и остаются гра-
графы рода нуль, т. е. плоские. Первый фундаментальный резуль-
результат, именно чисто комбинаторный критерий того, что данный граф
является плоским, принадлежит Л. С. Понтрягину и Куратовско-
му (см., например, [4], гл. 21). Ряд результатов о плоских графах
был получен Уитни в 1931—33 годах, одна из его работ этого пе-
периода [218] заново напечатана в 1962 г. Бэтл, Харари и Юкихиро
[78] дают простое доказательство (не основанное на полном пере-
переборе всех случаев) того факта, что каждый плоский граф с 9 вер-
вершинами обладает неплоским дополнением. Задачам подсчёта пло-
плоских графов посвящены уже рассмотренные нами в § 1 работы
Татта [207—211] и Ф. Я. Ветухновского [6]. Упомянем ещё раз и
о работах Уэйсмана [215, 216] (§ 2), где фигурирует задача разло-
разложения данного графа на минимальное число плоских частичных
графов.
Интересно отметить, что известная проблема Суслина из тео-
теории множеств может быть переведена на язык чистой теории гра-
графов. Неполный перевод был сделан Хайналом и Шураньи, которые
показали [129], что положительное решение этой проблемы выте-
вытекает из допущения справедливости следующей гипотезы: Если
граф (неориентированный, без петель и двуугольников) таков, что
каждый его пустой подграф содержит не более счётного множе-
множества вершин, а каждый элементарный цикл длины >3 имеет хотя
бы одну хорду, то вершины графа можно разбить не более чем на
счётное множество классов, каждый из которых порождает пол-
полный подграф. Уулк [221] осуществляет полный перевод, доказывая,
что гипотеза Суслина равносильна следующей: Если граф обла-
203

дает диагональным свойством (см. § 4) и множества вершин у всех
его полных и пустых подграфов не более чем счётны, то множество
вершин самого графа не более чем счётно.
§ 7. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ГРАФОВ
Для некоторых оценок количественных характеристик графов
можно вместо точного обоснования дать теоретико-вероятностное
в следующем смысле: допуская вероятность наличия каждого из
рёбер равной 2 , показать, что искомое неравенство выполняется
с вероятностью 1; использование комбинаторного аппарата теории
вероятностей позволяет иногда получать и точные оценки. Эти
подходы к теории графов лежат в основе работ Эрдёша [105, 106].
Ряд чисто вероятностных задач на графы ставится следую-
следующим образом. Пусть появление графов Gen вершинами и N
рёбрами подчиняется некоторому заданному вероятностному зако-
закону, например такому, что если k < N рёбер уже выбрано, то лю-
любая из оставшихся (*1 J — k несмежных пар различных вершин с
одинаковой вероятностью может быть соединена следующим реб-
ребром; пусть N = N (п) -- известная функция от п\ какова вероят-
вероятность (в зависимости от п) того, что случайный граф G обладает
заданным свойством (например, является связным или распадает-
распадается на данное число компонент, имеет данное число циклов данной
длины, и т. д.)? Задачам такого рода посвящены работы Эрдёша
и Реньи [113, 114]; теорему о пуассоновском распределении числа
изолированных деревьев случайного графа, доказанную во второй
из этих работ, Палашти [175, 176] обобщает на бихроматические
графы.
В работе Маршалла [156] рассматриваются бихроматические
графы, в которых вершины одного ^eta трактуются как «ус-
«установки», а другого цвета—как «станции»; исследуется матема-
математическое ожидание числа обслуженных станций, когда установ-
установки могут случайно выходить из строя.
Пусть рёбра простого графа, полученного соединением каждой
из т вершин одного множества с каждой из п вершин другого,
ориентируются случайным образом, а С (т, п) означает число кон-
контуров длины 4 в полученном ориентированном графе. Мун и Мо-
зер [161] показывают, что если все ориентации равновероятны,
то распределение С (т, п) стремится к нормальному при т,
именно
1 1т
204

Те же авторы дают [162] приближённый ответ на следующий
вопрос: п игроков участвуют в турнире по круговой системе,
без ничьих; какова вероятность Р{п) того, что после окончания
турнира можно будет квалифицировать игроков так, чтобы пер-
первый был победителем второго, второй — победителем третьего
и т. д., п-и — победителем первого? Оказывается,
Распределением числа циклических троек в парных сравне-
сравнениях, т. е. числа ориентированных треугольников в направлен-
направленном графе, занимается Олуэй [68].
Харари и Липстейн [142] пользуются представлением цепей
Маркова в виде графов. О вероятностных сетях мы будем го-
говорить в § 9.
§ 8. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ ГРАФОВ
Задача построения графов с заданной группой автоморфизмов
и какими-либо дополнительными свойствами имеет не только тео-
теоретический интерес, но и практические приложения, например, к
вопросам синтеза различных систем и устройств. Более общая
теоретическая проблема состоит в изучении связи между строением
графов некоторого заданного класса и свойствами их групп авто-
автоморфизмов; сюда относится результат Чанга и Эренфойхта [91]:
Абелева группа тогда и только тогда изоморфна группе автомор-
автоморфизмов отношения простого упорядочения, когда она изоморфна
прямому произведению некоторых подгрупп аддитивной группы
вещественных чисел.
Напротив, если граф задан произвольно, то его группа авто-
автоморфизмов, как правило, очень мало говорит о его структуре:
достаточно заметить, что множество всех графов, допускающих
только тождественный автоморфизм, столь же необозримо, как и
множество всех вообще графов. Более полной характеристикой
графа является полугруппа его эндоморфизмов; здесь положение
вещей хорошо выясняется одной из теорем Л. М. Глускина, ко-
которую мы цитируем по автореферату его докторской диссертации
[14]. Пусть р—бинарное отношение на множестве Q, Sp (^—по-
(^—полугруппа всех эндоморфизмов £2, т. е. таких его преобразований
/, что для любых £,rfiQ имеет место E, *]Nр^(/£, frpfy. Взаимно
однозначное отображение ср множества Q с отношением р на мно-
205

жество Qr с отношением р' называется изоморфизмом, если
(£, ^NрФФ(ср?, «рт^р', и антиизоморфизмом, если (с, ^Nр^(<р^, cpS)€pA при
всех S, yjGQ. Отношение р называется тривиальным, если всегда
(с, YjNp или всегда (Е, 7]Nр=^Е=т|. Теорема гласит: Пусть р—не-
р—нетривиальное отношение квазипорядка на множестве Q, а р'—
рефлексивное отношение на Я'; для изоморфизма полугрупп
Sp(Q) и S^'(Q') необходимо и достаточно, чтобы множества Я и
Я' были изоморфны или антиизоморфны; всякий изоморфизм по-
полугруппы Sp(Q) на Sp'(Q') имеет вид ух = fxf~l (xGSp(Q)), где
/—изоморфизм или антиизоморфизм £2 на Я'. Видимо, область
применения полугрупп для характеристики множеств с одним би-
бинарным отношением (т. е. графов вида, описанного в §4) ограни-
ограничена квазиупорядоченными множествами, ибо можно привести
пример множества Я с двумя рефлексивными но не транзитивны-
транзитивными отношениями р и р', такими чтоpdp\ р¥=р\ Sp (Q)=Sp' (Я); этот при-
пример имеется в работе Л. Б. Шнепермана [64], посвященной дальней-
дальнейшему изучению структуры полугрупп эндоморфизмов квазиупоря-
доченных множеств. Л. М. Попова [48, 49] исследует связь между
свойствами бинарного отношения и полугруппы частичных эндо-
эндоморфизмов множества, на котором оно определено; во второй из
этих работ опирающейся на результаты А. Я. Айзенштат [2],
изучается отношение линейной упорядоченности в конечном мно-
множестве. Э. Г. Шутов [65] показывает, что все подполугруппы
некоторой полугруппы 5 являются ее двусторонними идеалами
тогда и только тогда, когда 5 допускает следующее представле-
представление: пусть S = S1US2U{0}, где Sl9 S2, {0} попарно не пересе-
пересекаются; р—рефлексивное бинарное отношение в 52; ср—такое ото-
отображение 52 в Sl9 что (х, у)йр^ух = уу; операция определяется
в 5 условиями (х, у)&р=^х-у = ух, (х, у)$р=^х-у = 0. Полман-де-
Миранда и Хедрлин [174] рассматривают полугруппу (S;.) с еди-
единицей и отображение ср (а) = а»5, относящее каждому элементу
a&S порожденный им главный правый идеал; представлением по-
полугруппы называется направленный граф (S, ср*), где ау*Ь тогда
и только тогда, когда Ь6<р (a) (a,b&S)\ сама же полугруппа назы-
называется реализацией графа; авторы устанавливают необходимое
условие реализуемости графа (оно, в частности, включает реф-
рефлексивность и транзитивность отношения ср*) и выясняют, когда
реализующую полугруппу можно выбрать коммутативной.
В ряде работ сами графы (бинарные отношения) выступают
как элементы той или иной алгебраической системы. Пусть рь р2,
р3— бинарные отношения на множестве А, а операция р3 = p2opi
определена так: (а1а2)^рг тогда и только тогда, когда существу-
существует а&А такой, что (alf aNp2 и (а, а2Nр2; относительно операции о
множество всех бинарных отношений на А образует полугруппу;
свойства этой полугруппы и гомоморфизмов в нее некоторых
других полугрупп изучает Б. М. Шайн [62]. К. А. Зарецкий [21]
рассматривает множество всех бинарных отношений между эле-
206

ментами двух множеств Q и N, которое является полугруппой
относительно операции *, определяемой так: а*Ъ = aotcb, где о
определена как указано выше, а £—фиксированное би-
бинарное отношение между элементами множеств Л? и Q. Тот же
автор исследует [20] свойства структуры, образованной всеми
множествами вида #A = {a/a6Q и существует B6Q такое, что
(а, РNЙ}, где i? —бинарное отношение на п, а Дс£2.
Различные бинарные операции над графами изучались
А. А. Зыковым [23], Харари [135], Сабидусси и другими математи-
математиками. Пользуясь одной из таких операций, именно декартовым
произведением, В. Г. Визинг и Г. С. Плесневич [8] сводят задачу
нахождения минимальных правильных раскрасок вершин графа L
к нахождению наибольших пустых подграфов в декартовом произ-
произведении LxFp, где Fp — полный р-вершинный граф, а р— наи-
наименьшее из таких чисел, что число внутренней устойчивости
a(LxFv) равно количеству вершин графа L. Шамколович [201]
исследует бинарную операцию, являющуюся обобщением как де-
декартова умножения, так и подстановки графа в граф (см., напри-
например, [135]). Другую бинарную операцию, так называемое кронеке-
рово произведение, изучает Вайксель [214]. Элементарные рассуж-
рассуждения о суперпозиции графов изложены Уэстерном [217].
Существенную роль в теории графов играют унарные опера-
операции, такие как удаление вершины, удаление ребра, стягивание
ребра, отождествление несмежных вершин и др. Примером более
сложной унарной операции может служить сдвиг чередующейся
цепи (см., например, [4], гл. 10 и 18). Две другие унарные операции
фигурируют в работе Коцига [29], о которой мы говорили в § 3.
Вагнер и Галин [212, 213] исследуют классы таких графов, которые
можно путём стягивания рёбер и удаления вершин и рёбер»
превратить в граф заданного вида, например, полный или получае-
получаемый из полного удалением одного ребра; оказывается полезным
изучать также дополнения, т. е. классы тех графов, которые не
допускают указанных выше превращений; в этих последних клас-
классах авторы вводят многоместные операции «сшивания графов по
симплексам» и выделяют вполне обозримые базы. Исследования
Вагнера и Галина были начаты в связи с гипотезой Хадвигера
(Нп): Если граф нельзя превратить в полный n-вершинный по-
посредством стягивания рёбер и удаления элементов, то его хрома-
хроматическое число не превышает п—1. (Из (Нб) очевидным образом
вытекает справедливость гипотезы четырёх красок, обратное
утверждение доказано Вагнером в одной из более ранних работ).
В качестве интересного, хотя и не главного, результата работы
Вагнера и Галина [213] отметим доказательство того, что при лю-
любом п>\ из (Hn+i) следует (Нп).
В изучении многих характеристик конечных графов удается
продвинуться благодаря тому, что эти характеристики удовлет-
удовлетворяют некоторым рекуррентным соотношениям, связанным с той
207

или иной унарной многозначной операцией. Например, пусть вер-
вершины графа L пронумерованы и пусть Lp — его подграф, порож-
порожденный всеми вершинами, смежными с первой; a Lr — подграф,
порожденный всеми вершинами, отличными от первой; так назы-
называемый размерностный многочлен D (L) = y£Jdi(L)-tl, где dL(L) оз-
i>\
начает количество полных ^-вершинных подграфов у L,d/(L)=1,
а / — формальная переменная, является рекуррентной функцией
от графов, удовлетворяющей условиям
D(L) = t-D(Lp) + D(Lr) при ЬФ0, D@)-1,
т. е. связанной с унарной двузначной операцией L-*[Lp, Lr]. Во-
Вообще можно рассматривать функции Ф (L), определяемые уравне-
уравнениями вида
(вместе с некоторыми начальными условиями), где Lx, L2, .. .,Ln—
графы, полученные из L некоторой унарной многозначной опера-
операцией Ь-*[ЬХ, L2y...iLn] и в каком-то смысле более простые, чем
L. О работах А. А. Зыкова в этом направлении см. [26]; иссле-
исследование <D(L) в известной мере оказывается сведенным к иссле-
исследованию функции W (L), удовлетворяющей (при той же операции
над графами) линейному уравнению
и принимающей значения в кольце /С, для которого alf a2,. . ,,ал
служат образующими элементами; дальнейший план таков: нахо-
находим необходимое и достаточное условие независимости Y(L) от
способа нумерации элементов графа L, выражаемое системой Q
определяющих соотношений в К, далее с помощью Q приводим
общее выражение Y(L) к каноническому виду и, наконец, выяс-
выясняем смысл числовых коэффициентов в этом каноническом выра-
выражении. Некоторые результаты такого типа, полученные в [24]
для графов, распространяются в работе [25] на мультиграфы,
именно выясняется, что если
T(L) = aY(La) + pY(Lp) при'L^G, Y(G) = 1,
где La и Lp, — (мульти) графы, образованные из L соответствен-
соответственно удалением и стягиванием первого нормального (отличного от
петли) ребра, G означает граф без нормальных ребер, а кольцо
К порождено элементами а, р, 1, то условие Q сводится к ком-
коммутативности К у а вся информация о графе L, даваемая функ-
функцией ^F(L), заключена в наборе чисел рп(Ь), означающих коли-
количество частичных графов с / ребрами и цикломатическим числом
£; зная число вершин графа L и величины bk(L)= ^ (—\ypi+k+\,i(L),
208

можно, в свою очередь, найти количества rm(L) различных пра-
правильных раскрасок вершин графа т цветами.
В том же плане Л. М. Витавер [9] исследует рекуррентную
функцию от графов без петель и двуугольников, определение ко-
которой связано с удалением первого ребра и таким его стягива-
стягиванием, когда налегающие друг на друга ребра складываются по
модулю два; оказывается, эта функция информационно равно-
равносильна набору чисел ak(L) = ^](—2Iр1л.к+\Л(Ь). Изучением ре-
>о
куррентных свойств направленных графов занимается В. В. Ма-
тюшков [43].
§ 9. ГРАФЫ СО ВЗВЕШЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
К числу графов со взвешенными вершинами и ребрами при-
принадлежат транспортные сети; им посвящено, в частности,
исследование Хоанг Туя [59, 145], которое мы осветим под-
подробнее.
Пусть G = (&, Щ — конечный ориентированный граф без петель,
каждой вершине Afiu которого отнесено вещественное число
at (i = 1, 2,..., ti). Потоком, выполняющим систему снросов {а,.},
называется система вещественных чисел X = {х^} (t\ /=1,2,...,«),
такая что
хи = 0 при (Ab Aj) W (la)
хл = —xv ('• /==1,2,..., п\ A6)
п
2 *у = а/ (* = 1,2,..., л). Aв)
Заменяя A6) условием
xji~=xij (i,j= 1,2, ...,л), B6)
получаем определение квазипотока. Далее вводится операция
сдвига потока на элементарном цикле и доказывается, что пото-
потоки, выполняющие на графе G одну и ту же систему спросов,
можно преобразовать друг в друга конечным числом сдвигов на
элементарных циклах. Общая транспортная задача состоит в сле-
следующем: Пусть G = (И, 31) — связный граф с заданной системой
п
спросов {at}9 удовлетворяющей условию 2 #/ = О, и пусть каж-
дой дуге (At9AjNfA отнесена вещественная функция ии(х), такая
что ип{х) = utJ(— х) (/, у = 1,2 п)\ найти поток X = {хЛ, вы-
выполняющий систему спросов {at} и минимизирующий сумму f(X) =
= S.*fy(*//). Замена условия uj4(x) = Иу(—х) условиемип{х)=щ}{х)
14-5871 209

приводит к квазитранспортной задаче. Автор рассматривает ме-
метод решения этих задач и ряд приложений, например, обобщение
теоремы о графах с соответственно равными полустепенями вер-
вершин (см. [4], гл. 9) на случай р-графов, алгорифм нахождения
факторов и гамильтонова цикла, алгорифм решения следующей
задачи о почтальоне: Пусть каждому ребру связного неориенти-
неориентированного графа отнесена его длина — вещественное неотрица-
неотрицательное число; найти цикл наименьшей длины**, проходящий че-
через данную вершину и содержащий каждое ребро графа хотя бы
один раз.
Задача о нахождении наибольшего потока по обычной транс-
транспортной сети (т. е. ориентированному графу с одним входом, од-
одним выходом и целыми неотрицательными пропускными способ-
способностями дуг) является частным случаем транспортной задачи
Хоанг Туя; независимо от него, В. Г. Визинг [7] доказал теорему
о преобразовании равновеликих потоков и теорему о /?-графа*
с одинаковыми полустепенями вершин, а также решил одну за-
задачу о паросочетаниях простого графа (см. [4], Добавление IV,
Проблема 6).
В. И. Романовский [53] показывает, каким образом некоторые
различные по постановке транспортные задачи могут быть све-
сведены друг к другу. Способам решения транспортных задач посвя-
посвящена работа А. А. Бакаева, С. В. Брановицкой, В. С. Михалеви-
ча и Н. 3. Шора [3], а также работа Уиллиамса [219]. Одну из за-
задач о наиболее дешевой доставке товаров к потребителям Шварц
[203] формулирует в виде транспортной задачи для простого гра-
графа со взвешенными вершинами и ребрами и дает более эффек-
эффективный (по сравнению с ранее известными) метод ее решения,
основанный на теории графов.
Для нахождения наибольшего потока по сети с избиратель-
избирательными дугами (допускающими отличные от интервалов множест-
множества значений потока) ре известно алгорифма, который по эффек-
эффективности был бы сравним с алгорифмом Форда и Фалкерсона
(см. [4], гл. 8); однако такой алгорифм очень нужен, хотя бы для
частного вида сетей, когда избирательными являются только вы-
выходные (или только входные) дуги: можно указать, например,
задачу Фишера (см. {4], гл. 8), а также-выполненное В. Г. Визин-
гом и Г. С. Плесневичем [8] сведение задачи отыскания наиболь-
наибольшего пустого подграфа (следовательно, и хро'матического'числа,
и некоторой, минимальной 'правильной раскраски вершин — см.
§ 8 обзора) к Нахождению наибольшего потока по сети, которая
легко получается из данного графа и у которой выходные, душ
могут пропускать только либо 0, либо 2т единиц потока (число
*) Длиной цикла называется сумма длин его» ребер, причём каждое ребро
считается столько раз, сколько оно фигурирует при обходе цикла.
210

т одно и то же для всех этих дуг), а множества допустимых зна-
значений потока на остальных дугах являются интервалами.
Вопросами синтеза транспортных сетей с заданными свойст-
свойствами занимаются Тэнг [204], Гомори и Хью [124].
К(роме вышеупомянутой задачи о почтальоне, неориентиро-
неориентированный граф с ребрами, обладающими длиной, фигурирует в из-
известной очень трудной задаче о бродячем торговце; Хардгрэйв и
Немхаузер [143] доказывают эквивалентность двух различных по-
постановок этой задачи и сводят ее к задаче нахождения в графе
самого длинного пути, соединяющего две данные вершины и про-
проходящего не более чем через п вершин. Беллман [81] предлагает
такое решение задачи о бродячем торговце с помощью динами-
динамического программирования, которое доступно современным вы-
вычислительным машинам при наличии у графа не более 17 вер-
вершин. При помощи динамического программирования и теории
графов Шульман [199] решает задачу о выборе высот и местопо-
местоположении мачт линии электропередачи с целью минимизации
суммарной стоимости работ. Задаче о кратчайшем пути посвя-
посвящена работа Нарахари [168].
Представление систем алгебраических уравнений в виде взве-
^шенных графов иногда полезно при решении этих систем; сюда
относятся работы Наслина [169] и М. С. Неймана [44].
йоу [223] рассматривает сеть радиосвязи как граф со взве-
взвешенными вершинами; мощность сети с п станциями описывается
квадратной матрицей порядка м, определяемой по заданным
мощностям вершин; в работе установлен критерий существова-
существования и получен простой алгорифм синтеза сетей по заданной
матрице мощности. ^
Давно известным и весьма важным примером взвешенных гра-
графов являются электрические цепи (см., например, статью
Л. Д. Кудрявцева [30]. Изложению центральных вопросов тео-
теории электрических цепей на основе теории графов посвящена
книга Сешу и Рида [195], содержащая также огромное количест-
количество задач и проблем самой различной степени трудности. Обзор
известных до сих пор методов в этой области дается (без доказа-
доказательств, но со ссылками на литературу) в статье Долежала, Про-
Прокопа и Ворела [99]. Плодотворность применения теории графов к
решению ряда инженерных задач для сетей с сопротивлением ил-
иллюстрирует Митчел [158]; один из методов решения сетей пред-
предлагается Бедросяном и Берковичем [80]. Перец [178] применяет
графы со взвешенными вершинами и ребрами для синтеза сетей
с несколькими различными характеристиками. В работе Доле-
жала и Ворела [100] исследуются абстрактные сети, являющиеся
обобщением электрических сетей с сосредоточенными парамет-
параметрами. #
С целью строгого обоснования приложения двузначной логи-
логики к цифровым счетным схемам, Бёркс и Райт в;работе [5] (анг-
14* 211

лийский оригинал которой вышел в 1953 году) дали определение
и классификацию логических сетей, исследовали соотношения
между различными типами сетей и характер осуществляемых
ими операций. Впоследствии понятие логической сети претерпело
расширения; в частности, стала использоваться многозначная
логика, и очень важную роль в деле ее применения к логическим
устройствам сыграла работа С. В. Яблонского [66]. Э. И. Нечипо-
рук [45] формулирует следующее общее определение логической
сети: это частично qpneHTHpoBaHHbm граф, ребрам которого отне-
отнесены проводимости — функции от фиксированного числа аргу-
аргументов, принимающие значения в некоторой алгебре. По задан-
заданным проводимостя-м ребер (и дуг) однозначно определяется мат-
матрица полных проводимостей между вершинами сети. Одной из
важнейших 'задач является синтез сетей с заданной подматрицей
полных проводимостей между выделенными вершинами (полю-
(полюсами) ; при этом можно потребовать, чтобы число остальных
вершин было как «можно меньшим, или выразить аналогичное
требование в более общей форме: чтобы сеть состояла из мини-
минимального числа базисных сетей определенного типа, соединяемых
друг с другом по определенным правилам. При решении таких
задач существенную роль играют оценки сложности сетей, тесно
связанные с оценками количеств графов того или иного вида.
Рассматриваемым вопросам посвящены также работы Е. Ю. За-
Захаровой [22], О. Б. Лупанова [37] и Э. И. Нечипорука [46].
К логическим сетям относятся и сети коммуникаций, т. е. гра-
графы, у которых каждое ребро может находиться в одном из двух
состояний: 0 (включено) или 1 (выключено) — и для которых за-
задача ставится следующим образом. Выделим в сети две системы
вершин и потребуем, чтобы каждая вершина первой системы
была связана (цепями из включенных ребер с определенными вер-
вершинами второй системы и чтобы при этом не было непредусмот-
непредусмотренных связей; можно ли осуществить и как осуществить требуе-
требуемую систему связей путем включения надлежащих, ребер сети?
Возникает и проблема проектирования сетей коммуникаций,
удовлетворяющих заданной системе требований. Математический
аппарат исследования сетей коммуникаций, опирающийся на ал-
алгебру и топологию, развивается в работе Бенеша [83]. Хакими
£131] рассматривает следующую задачу: Пусть между вершина-
вершинами Л и В сети поддерживается поток информации постоянной
скорости, найти максимальную возможную скорость потока
между вершинами С и D той же сети; результаты обобщаются
затем на случай наличия более двух одновременных потоков.
Анализ сетей связи с заданными скоростями потока информации
по дугам посвящена работа Майеды A57]. Вопросы, связанные
с рассеянием, рассматриваются Лейбовичем [150].
Пусть G — связныйг граф, каждому ребру которого отнесена
вероятность его'присутствия в графе; какова вероятность того, что
212

две заданные вершины графа соединены хотя бы одной цепью?
Эта задача и различные ее усложнения рассматриваются в тео-
теории вероятностных сетей, основы которой были заложены Дж.
фон Нейманом, Муром и Шенноном ъ связи с проблемой синтеза
надежных устройств из ненадежных элементов. Вероятностным
сетям посвящена статья Реза {51]. В работу Фу и йоу [117] изуча-
изучаются сети коммуникаций (см. выше) с точки зрения вероятности
осуществления требуемых связей между вершинами. Уинг [220]
и Нарахари [167] 'предлагают алгорифмы нахождения наиболее
вероятного пути от одной заданной вершины до другой в ориен-
ориентированном графе, дугам которого отнесены вероятности их на-
наличия в графе. Вопросам надежности сетей посвящена также
работа Барроуса и Х)эппа [89].
Теория автоматов относится к теории графов, грубо говоря,
-как физиология к анатомии, и для ознакомления с работами
1962 года по автоматам нужен отдельный обзор, не менее объеми-
объемистый, чем по чистой теории графов. Мы отметим лишь монографии
Н. Е. Кобринского и Б. А. Трахтенброта [28] и В. М. Глушкова
[15], а также работу Хузино [146]. Сюда же примыкают работы
Ал. А. Маркова [38, 39] и Ю. В. (Глебского [13] по теории кодиро-
кодирования, работы Бэрнеса [76] и Петер {179], связанные с машинным
переводом. Взвешенные графы играют основную роль <в работах
А. П. Ершова [/16, 17] ^по теории программирования; при решении
отдельных задач программирования графами пользуются
А. А. Стогний [56], Карп {27], а также Джир, Тэтчер и Аллен 1126].
В теории и при программировании информационного поиска
Г. М. Адельсон-Вельский и Е. М. Ландис [1]» Сэлтон[191] и Хиб-
бард [144] широко применяют деревья; естественно применение
графов Влэдуцом и Сейфером [ill] при развитии машинных ин-
информационно-логических методов в химии. Пуаен и Пор [182]
в терминах графов дают критерий того, что обработанный на ма-
машине манускрипт является первоначальным, а не копией. Смолен-
Смоленский [54] предлагает способ кодирования графов.
К обобщённой теории систем относится работа Лайнда [152],
а к системе ПЕРТ — работы Чарнеса и Купера [92], Эйснера
[104], Фалкерсона {118], Байлдсона и Джиллеспая [85].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Специально теории графов 'посвящены монографии Бержа [4]
(русский перевод с французского издания 1958 г., снабженный
исправлениями и дополнениями) и Оре [173]. Подробное изложе-
изложение теории графов имеется также в книгах Ceiiiy и Рида [195]
213

по электрическим цепям, Авондо-Бодино [75] английский перевод
с итальянского издания 1960 г.) по математической экономике,
Хэдли [128] и Симонара B00] по линейному программированию.
Отметим также книгу Бержа и Гуйя-Ури [84].
В заключение отметим работу Мартинова и Сендова [41],
посвященную применению теории графов к теории механизмов;
из более ранних здесь уместно упомянуть работы М. А. Крейнеса
и В. П. Черенина (см., например, [61]). Принцип состоит в том,
что механизму сопоставляется некоторым образом его изображе-
изображение— граф, по свойствам которого можно судить о свойствах
механизма. Поскольку при этом изучение графов ведётся в са-
самых различных планах (структурные характеристики, синтез,
возможность расположения в плоскости и др.), то мы не смогли
отнести рассматриваемые работы ни к какому конкретному па-
параграфу нашего обзора.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Адельсон-Вельский Г. М., Ландис Е. М., Один алгоритм органи-
организации информации. Докл. АН СССР, 1962, 146, № 2, 263—266 (РЖМат,
1963, 4В454)
2. Айзенштат А. Я., Определяющие соотношения полугруппы эндоморфиз-
эндоморфизмов конечного линейно упорядоченного множества. Сибирский ма-
тем. ж., 1962, 3, № 2, 161—169 (РЖМат, 1962, 10А166)
3. Бакаев О. О., Брановицька С. В., ЛИхалевич В. С,
Шор Н. 3., Визначення характеристик за методом послщовного ана-
анализу вар!ант1в. Доповщ! АН УРСР, 1962, № 4, 469—472 (РЖМат,
1963, 2В365)
4. Берж К., Теория графов и ее применения. Москва, Издат. иностр. лит-ры,
1962, 319 стр. (РЖМат, 1963, 7А213)
5.. Бёркс А., Райт Д ж., Теория логических сетей. Кибернетический
сборник, 4. Москва, Издат. иностр. лит-ры, 1962, 33—57
6. Ветухновский Ф. Я.» Об оценках числа плоских графов. Докл. АН СССР,
1962, 142, № 1, 50—53 (РЖМат, 1962, 9В209)
7. Визинг В. Г., Равновеликие потоки по транспортной сети. Докл. АН
СССР, 1962, 144; № 6, 1209—1211
8. —, П л е с н е в и ч Г. С, К проблеме минимальной раскраски вер-
вершин графа. Сибирский матем. ж. (печатается)
9. Витавер Л. М., Об одной вершинно-реберной функции от графов. Докл.
АН СССР, 1962, 145, №2, 248—251 (РЖМат, 1962, 12А190)
10. —, Нахождение минимальных раскрасок вершин графа с помощью бу-
булевых степеней матрицы смежности. Докл. АН СССР, 1962, 147,
№ 4, 758—759 (РЖМат, 1963, 8А230)*
11. Влэдуц Г. Э., Сейфер А. Л., Машинные информационно-логические
методы в химии. Заводск. лаборатория, 1962, 28, № 10, 1224—1232
(РЖМат, 1963, 7В579)
12. Гилберт Э. Н., Синхронизация двоичных сообщений. Кибернетический
сборник, 5. Москва, Издат. иностр. лит-ры, 1962, 42—59
13. Глебский Ю. В., Кодирование с помощью автоматов с конечной внут-
внутренней памятью. Проблемы кибернетики, 7. Москва, Физматгиз, 1962,
127—149 (РЖМат, 1962, 11В236)
214

14 Глускин Л. М., Полугруппы преобразований (автореферат докторской
диссертации). Успехи матем. наук, 1962, 17, № 4, 233—240 (РЖМат,
1963, 6А202)
15. Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов. Москва, Физматгиз,
1962, 476 стр.
16. Ершов А. П., Операторные алгоритмы. 1 (основные понятия). Пробле-
Проблемы кибернетики, 3. Москва, Физматгиз, 1960, 5—48 (РЖМат, 1961,
ЗА102)
37. —, Операторные алгоритмы. II (описание основных конструкций
программирования). Проблемы кибернетики, 8. Москва, Физматгиз,
1962, 211—233 (РЖМат, 1963, 10В381)
18 —f Сведение задачи распределения памяти при составлении программы
к задаче раскраски вершин графов. Доклады АН СССР, 1962, 142,
№ 4, 785—787 (РЖМат, 1962, 11В249)
19 _. к о ж у х и н Г. И., Об оценках хроматографического числа связных
графов. Доклады АН СССР, 1962, 142, № 2, 270—273 (РЖМат, 1962,
9А167)
20. Зарецкий К. А., Регулярные элементы полугруппы бинарных отноше-
отношений. Успехи матем. наук, 1962, 17, № 3, 177—179 (РЖМат, 1962,
12А154)
21. —, Делимость элементов в полугруппе бинарных отношений. Труды
2.-й Научной конференции мат. кафедр, пед. ин-тов Поволжья, вып. 1.
Куйбышев, 1962, 6—9 (РЖМат, 1963, 5А224)
22. Захарова Е. Ю., Об одном обобщении электронно-ламповых схем. Про-
Проблемы кибернетики, 7. Москва, Физматгиз, 1962, 43—59 (РЖМат,
1963, 6В230)
23. Зыков А. А., О некоторых свойствах линейных комплексов. Матем.
сборник, 1949, 24, № 2, 163—188; Amer. Math. Soc. Transl., 1952, 79,
24. —, Реберно-вершинные функции и распределительные свойства графов.
Докл. АН СССР, 1961, 139, № 4, 787—790 (РЖМат, 1962, 10А203)
25. —, Цикломатические и распределительные свойства мультиграфов.
Докл. АН СССР, 1962, 143, № 6, 1264—1267 (РЖМат, 1962, 11А231)
26. —, Цикл работ по теории графов (автореферат докторской диссерта-
диссертации). Москва, Мат. ин-т АН СССР, 1962, 10 стр.
27. Карп Р. М., Заметка о приложении теории графов к программированию
для цифровых вычислительных машин. Кибернетический сборник, 4.
:Москва, Издат. иностр. лит-ры, 1962, 123—134
28. Кобринский Н. Е., Т р а х т е н б р о т Б. А., Введение в теорию ко-
конечных автоматов. Москва, Физматгиз, 1962, 404 стр. (РЖМат, 1963,
4В273К)
29. Коциг А., Построение гамильтоновских графов третьей степени. Casop.
pestov. mat., 1962, 87, № 2, 148—168 (РЖМат, 1962, 12А194)
30. Кудрявцев Л. Д., О некоторых математических вопросах теории элект-
электрических цепей. Успехи матем. наук, 1948, 3, № 4, 80—118
31. Лавров И. А., Эффективная неотделимость множества тождественно
истинных и множества конечно опровержимых формул некоторых
. элементарных теорий. Алгебра и логика (семинар Инст. матем. Сиб.
отд. АН СССР), 1963, 2, № 1, 5—18
32. Лёфгрен Л., Решение проблемы реализуемости неизбыточными буле-
: выми схемами. Кибернетический сборник, 5. Москва, Издат., иностр.
лит-ры, 1962, 60—101
33. Лйхтенбаум Л. М., Теорема двойственности для неособенных графов.
Успехи матем. наук, 1958, 13, № 5, 185—190 (РЖМат, 1959, 5667)
34. —, Следы степеней матриц соседства вершин и рёбер неособенного гра-
графа. Известия высш. учебн. заведений, Математика, 1959, № 5, 154—
:163 (РЖМат, 1961, 7А332)
21

35. —, Новые теоремы о графах. Сибирский матем. ж., 1962, 3, № 4, 561—
568 (РЖМат, 1963, 5А318)
36. Лупанов О. Б., Об асимптотических оценках числа графов и сетей с п
ребрами. Проблемы кибернетики, 4. Москва, Физматгиз, 1960, 5—21
(РЖМат, 1961, 9А350)
37. —, Об одном классе схем из функциональных элементов (формулы
с частичной памятью). Проблемы кибернетики, 7. Москва, Физматгиз,
1962, 61—114 (РЖМат, 1963, 6В229)
38. Марков Ал. А., Об алфавитном кодировании. Доклады АН СССР, 1961,
139, № 3, 560—561 (РЖМат, 1962, 2В391)
39. —, Нерекуррентное кодирование. Проблемы кибернетики, 8. Москва,,
Физматгиз, 1962, 169—186 (РЖМат, 1963, 8В297)
40. Марков А. А., О вычислимых инвариантах. Докл. АН СССР, 1962,.
146, № 5, 1017—1020 (РЖМат, 1963, 4А64)
41. Мартинов Н., С ендов Б л., Графы, связанные с теорией механизмов.
Докл. АН Блг.. 1962, 15, № 2, 111—113
42. Мартынюк В. В., Экономное построение транзитивного замыкания би-
бинарного отношения. Ж. вычисл. мат. и матем. физ., 1962, 2, № 4, 723—
725 (РЖМат, 1963, ЗВ442)
43. Матюшков В. В., Вершинная функция от направленных графов. Докл.
АН СССР, 1962, 146, № 1, 37—40 (РЖМат, 1963, 8В258)
44. Нейман М. С, Об автоматизации программирования сверхбыстродейст-
сверхбыстродействующих вычислительных систем дискретной электронной автоматики. Тр.
Моск. авиац. ин-та, 1962, вып. 149, 158—174 (РЖМат, 1963, 9В382)
45. Нечипурок Э. И., О многополюсниках, реализующих функции много-
многозначной логики. Проблемы кибернетики, 5. Москва, Физматгиз., 1961,
49—60 (РЖМат, 1962, 5В322)
46. —, О сложности схем в некоторых базисах, содержащих нетривиальные
элементы с нулевыми весами. Проблемы кибернетики, 8. Москва. Физ-
Физматгиз, 1962, 123—160 (РЖМат, 1963, 7В281)
47.—, Булевы функции с инверсиями аргументов. Проблемы кибернетики,
7. Москва, Физматгиз, 1962, 115—126 (РЖМат, 1963, 2В242)
48. Попова Л. М., Об одной полугруппе частичных эндоморфизмов множе-
множества с отношением. Уч. записки Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Гер-
Герцена, 1962, 238, 49—77 (РЖМат, 1963, 5А230)
49. —, Определяющие соотношения полугруппы частичных эндоморфизмов
конечного линейно упорядоченного множества. Уч. записки Ленингр.
гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1962, 238, 78—88 (РЖМат, 1963,
5А231)
50. Радемахер Г., Теплиц О., Числа и фигуры. Опыты математического-
мышления. Издание 3-е, Москва, Физматгиз, 1962, 263 стр. (Р^Мат,
1962, 1А22К)
51. Реза Ф., Заметка о функциях надёжности. Кибернетический сборник, 5.
Москва, Издат. иностр. лит-ры, 1962, 102—113
52. Риордан Дж., Введение в комбинаторный анализ. Москва, Издат. иностр.
лит-ры, 1963, 288 стр. (РЖМат, 1959, 7059; 1960, 4920, 1963, 9А124)
53. Романовский И. В., Об эквивалентности различных постановок транс-
транспортной задачи. Успехи матем. наук, 1962, 17, № 3, 193—195 (РЖМат,
1962, 12В380)
54. Смоленский Е. А., Об одном способе записи графов. Ж. вычисл. мат. и
матем. физики, 1962, 3, № 2, 371—372 (РЖМат, 1963, 7В290)
55. Сотский Н. М., Об организации обмена информацией между элементарны-
элементарными машинами вычислительной системы. Сб. «Вычислительные системы».
Вып. 3, Новосибирск, 1962, 31—36 (РЖМат, 1963, 12В644)
56. Стогний А. А., Решение на электронной цифровой машине одной зада-
задачи, связанной с дифференцированием функций. Проблемы киберне-
кибернетики, 7. Москва, Физматгиз, 1962, 189—199
216

57 Тылкин М. Е., О геометрии Хэмминга единичных кубов. Доклады;
АН СССР, 1960, 134, № 5, 1037—1040 (РЖМат, 1962, 5В325)
58 —, О реализуемости матриц расстояний в единичных кубах. Пробле-
Проблемы кибернетики, 7. Москва, Физматгиз, 1962, 31—42 (РЖМат, 1963,
4В280)
59 Хоанг Туй, Графы и транспортные задачи. Сибирский матем. ж., 1963,.
4, № 2, 426—445 (РЖМат, 1963, 11В428)
60. Хомский Н., Миллер Д., Языки с конечным числом состояний. Ки-
Кибернетический сборник, 4. Москва, Издат. иностр. лит-ры, 1962, 233—
255
61. Черенин В. П., Символические изображения планетарных и дифферен-
дифференциальных механизмов. Изв. АН СССР, отд. технич. наук, 1958, № 1Г
35—43
62 Шайн Б. М., Представление полугрупп при помощи бинарных отноше-
отношений. Докл. АН СССР, 1962, 142, № 4, 808—811 (РЖМат, 1962, 11А169)
63. Шеннон К. Э., Теорема о раскраске рёбер графа. Кибернетический сбор-
сборник, I. Москва, Издат. иностр. лит-ры, 1960, 249—253 (РЖМат, 1961,
5А311)
64. Шнеперман Л. Б., Полугруппы эндоморфизмов квазиупорядоченных
множеств. Уч. записки Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена,.
1962, 238, 21—37 (РЖМат, 1963, 5А228)
65. Шутов Э. Г., Полугруппы с идеальными подполугруппами. Матем. сбор-
сборник, 1962, 57, № 2, 179—186 (РЖМат, 1963, 1А216)
66. Яблонский С. В., Функциональные построения в /г-значной логике.
Труды Мат. ин-та АН СССР, 1958, 60, 5—142 (РЖМат, 1959, 9704)
67. Aarts J. M., d e G г о о t J., A case of coloration in the four colour prob-
problem. Rapp. Math, centrum, 1962, № 12, 13pp., ill. (РЖМат, 1964, 1A325)
68. Alway G. G., The distribution of the number of circular itriads in paired com-
comparisons. Biometrika, 1962, 49, № 1-2, 265—269 (РЖМат, 1963, 10B121)'
69. Andrasfai В., Grafok utjairol kdreirol es hurokjairol. Mat. lapok, 1962, 13,.
№ 1—2, 95—107 (РЖМат, 1963, 2A261)
70. —, Uber ein Extremalproblem der Graphentheorie. Acta math. Acad. scL
hung, 1962, 13, № 3—4, 443—445, XIV (РЖМат, 1963, 5A319)
71. —, Neuer Beweis eines graiphentheoretischen Satzes von P. Turan. Magyar
tud. akad. Mat. kutato int. kozl., 1962, 7, № 1—2, 193—196 (РЖМат,,
1963, 8A229)
72. Archbold J. W., Smith С. А. В., An extension of a theorem of Konig on
graphs. Mathematika, 1962, 9, № 17, 9—10 (РЖМат, 1963, 7A217)
73. Auslander L., Trent H. M., Incidence matrices and linear graphs. J,
Math, and Mech., 1959, 8, № 5, 827—835 (РЖМат, 1961, 7A330)
74. —, —, On the realization of a linear graph given its algebraic specification.
J. Aooust. Soc. America, 1961, 33, 9, 1183—1192 (РЖМат, 1962, 7B208)
75. Avondo - Bodino G., Economic applications of the theory of graphs-
New York, Gordon and Breach, 1962 (РЖМат, 1961, 10B146K)
76. Barnes R. F., Language problems posed by heavily structured data. Comm.
Assoc. Comput. Mach., 1962, 5, № 1, 28—34 (РЖМат, 1963, 1B413)
77. Battle J., H a r а г у F, К о d a m a Y., Youngs J. W. Т., Addi'ti-
vity of the genus of a graph. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, № 6, 565—
568 (РЖМат, 1964, 1A327)
78. —,—, Yukihiro K. Every planar graph with nine points has a nonpla-
nar complement. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, № 6, 569—571
79. Bednarek A. R., On R— coherence classes and partitions. Amer; Math.,
Monthly, 1962, 69, № 3, 211—212 (РЖМат, 1962, 10A69)
80. Bedrosian S. D., В e r k о w i t z R. S., Solution procedure for srngle-element-
kind networks. IRE Internat. Convent. Rec. 1962, 10, № 2, 16—24 (РЖМат,,
1963, 11B303)

'81. Bellman R., Dynamic programming treatment of the travelling salesman
problem. J. Assoc. Comput. Machinery, 1962, 9, № 1, 61—63 (РЖМат,
1962, 11B367)
82. —, Dynamic programming and «dMfi'cult crossing» puzzles. Math. Mag.,
1962, 35, № 1, 27—29 (РЖМат, 1962, 11B368)
83. Benes V. E., Algebraic and itopological properteis of connecting networks.
Bell System Techn. J., 1962, 41, № 4, 1249—1274
-84. Berge C, G h о u i,l a - H о ur i A., Programmes, jeux et reseaux de trans-
transport. Paris, Dunod, 1962 (РЖМат, 1963, 8B333 К)
85. Bildson R. A., Gillespie J. R., Critical path Planning — PERT inregra-
tion. Operat. Res., 1962, 10, № 6, 909—912 (РЖМат, 1963, 10B286)
;86. Bollobas В., E r d 6 s iP., Grafelmeleti szelso ertekekre vonatkozo proble-
makrol. Mat. lapok, 1962, 13, № 1-2, 143—152 (РЖМат, 1963, 2A262)
-87. Bosak J., Vysetrovanie gr.afov pomocou matic. Casop pestov. mat., 1962,
87, № 3, 284—289 (РЖМат, 1963, 3A261)
'88. —, О (istej triede ori'entovanych grafov. Mat.-fyz. casop., 1962, 12, № 2,
81—84 (РЖМат, 1963, 7A220)
89. Burroughs J. L, H a p p W. W., Flow graph techniques for reliability engi-
engineering. 1962 IRE Internat. Convent. Rec, 1962, 10, № 6, 338—366
(РЖМат, 1963, 10B172)
/90. Camion P., Sur une propriete de l'espace norme Ca et ses applications aux
matrices unimodulaires. C. r. Acad. sor. Paris, 1962, 255, № 4, 625—627
(РЖМат, 1963-, 9A134)
•91. Chang С. С, Ehrenfeucht A., A characterization of abelian groups
of automorphisms of a simply ordering relation. Fundanu math.,
1962, 51, № 2, 141—147 (РЖМат, 1963, 4A216)
*92. Charnes A., Cooper W. W., A network (interpretation and a directed
subdual algorithm for critical path scheduling. J. Industr. Engng,
1962, 13, № 4, 213—219 (РЖМат, 1963, 4B351)
D3. Crowell R. H., Graphs of linear transformations over finite fields. J. Soc.
Indust. Appl. Math., 1962, 10, № 1, 103—112
"94. Czaszar A., Sur la representation topologique des graphes. Fundam. math.,
1962, 50, № 3, 249—256 (РЖМат, 1962, 12A192)
*M. Czipszer J., E r d 6 s P., H a i n a 1 A., Some extremal problems on infi-
infinite graphs. Magyar tud. akad. Mat. kutato int. kozl., 1962, 7, ser. A, № 3,
441—456
•96. Dirac G. A., Note on the structure of graphs. Canad. Math. Bull., 1962, 5,
№ 3, 221—227
"97. —, On rigid circuit graphs. Abh. Math. Seminar Umv. Hamburg, 1962, 25,
№ 1-2, 71—76 (РЖМат, 1962, 9A173)
'98. —, E r d 6 s P., On the maximum number of independent circu-
circuits in a graph. Acta math. Acad. sci. hung., 1963, 14, № 1-2, 79—94
99. Dolezal V., P г о к о p J., Vorej Z., Uhola teorie grafu pfi reseni elek-
trickych siti. Applikace mat., 1962, 7, № 5, 331—343 (РЖМат, 1963,
4B301)
100. —, Vorel Z., Theory of Kirchhoff's networks. Casop. pestov. mat.,
1962, 87, № 4, 440—476 (РЖМат, 1963, 3A262)
101. Dulmage A. L., Mendelsohn N. S., On the inversion of sparse matrkes.
Math. Comput., 1962, 16, № 80, 494—496 (РЖМат, 1963, 10B172)
102. Dwyer T. A., Non-linear networks and boundary value problems. Quart.
Appl. Math., 1962, 19, № 4, 285—300
103. Eden M., Schiitzenberger M. P., Remark on a theorem of Denes.
Magyar tud. akad. Mat. kutato int. kozl., 1962, 7, ser. A, № 3, 353—355
(РЖМат, 1963, 12A307)
104. Eisner H., A generalized network approach to the planning and scheduling
• of a research project. Operat. Res., 1962, 10, № 1, 115—125 (РЖМат, 1962,
10B287)

105. Erdos P., Graph theory and probability. Canad. J. Math., 1959, 11, № 1,
34—38 (РЖМат, 1960, 11413)
Ю6. —, Graph theory and probability. II. Canad J. Math., 1961, 13, № 2, 346—
352 (РЖМат, 1962, 2A305)
107. —, On a theorem of Rademacher — Turan. Illinoys J. Math., 1962, 6, № К
122—127 (РЖМат, 1962, 12A191)
108. —, Remarks on a paper of Posa. Magyar 'tud. akad. Mat. kutato int.
kozl., 1962, 7, ser. A, № 1—2, 227—229 (РЖМат, 1963, 6A265)
109. —, Uber ein Extremalproblem in der Graphentheorie. Archiv Math., 1962,
13, № 1—3, 222—227 (РЖМат, 1963, 7A218)
\\q —5 On circuits and subgraphs of chromatic graphs. Mathematika, 1962, 9,
№ 18, 170—175
HI. —, On the number of complete subgraphs contained in certain graphs.
Magyar tud. akad. Mat. kutato int. kozl., 1962, 7, ser. A, № 3, 459—464
112. —, P6s,a L., On the maximal number of disjoint circuits of a graph. Publ.,
math. Debrecen, 1962, 9, № 1—2, 3—12 (РЖМат, 1963, 10A248)
113. —, Renyi A., On random graphs. I. Publ. math. Debrecen., 1959, 6,
№ 3-4, 290—297
114. -—, —, On the evolution of random graphs. Magyar tud. akad. Mat. kutato
int. kozl., 1960, 5, ser. A, № 1—2, 17—61 (РЖМат, 1961, 11B2)
115. —, Rogers C. A., The construction of certain graphs. Canad. J. Math.,
1962, 14, № 4, 702—707
116. Fortet R., Applications de l'algebre de Boole en recherche operationnele.
Rev. franc., rech. operat., 1960, 4, № 14, 17—25 (РЖМат, 1961, 5A289)
117. Fu Y., Yau S. S., A note on the reliability of communication networks.
J. Soc. Industr. and Appl. Math., 1962, 10, № 3, 469—474 (РЖМат, 1963,
4B279)
118. Fulkerson D. R., Expected critical path lengths in PERT networks. Operat.
Res., 1962, 10, № 6, 808—817 (РЖМат, 1963, 10B285)
119. —, Ryser H. J., Multiplicities and minimal widths for @,1) —
matrices. Canad. J. Math. 1962, 14, № 3, 498—508; RAND Corp.,
paper RM—2897—PR, March 1962 (РЖМат, 1963, 3A164)
120. —, —, Width sequences for special ciasses of @,1)-matrices. RAND
Corp., paper RM—2898—PR, March 1962
121. Gallai Т., Graphen mi.t trianguiierbar^n ungeraden Vielecken. Magyar
tud. akad. Mat. kutato int. kozl., 1962, 7, ser. A, № 1-2, 3—36 (РЖМат,
1963, 6A263)
122. Ghouila - Houri A., Caracterisation des matrices, totalement unimodulai-
res. C. r. Acad. ScL Paris, 1962, 254, № 7, 1192—1194 (РЖМат, 1962,
9A122).
123. —, Caracterisation des graphes non orientes dont on peut orienter les
aretes de maniere a obtenir le giraphe d'une relation d'ordre. C. r. Acad.
Sci. Paris, 1962, 254, № 8, 1370—1371 (РЖМат, 1962, 10A202)
124. Gomory R. E., Ни Т. С, An application of generalized linear programming
to network flows. J. Soc. Industr. and Appl. Math., 1962, 10, № 2, 260—263
(РЖМат, 1963, 10B329)
125. Grtibaum В., Motzkin T. S., Longest simpk paths on 'polyhedral
graphs. J. London Math. Soc, 1962, 37, № 2, 152—160 (РЖМат, 1963,
3A260)
126. Gyr J., Thatcher J., Allen G., Computer simulation of a model of
cognitive organization. Behav. Sci., 1962, 7, № 1, 111—116 (РЖМат,
1963, 5B530)
127. Haber R. M., Term rank of 0,1 matrices. Rend. Seminar mat. Univ. Pado-
va, I960, 30,*№ 1, 24—51 (РЖМат, 1961, 7A192
128. Hadley G., Linear programming. Reading, Mass. — London, Addison—
Wesley Publ. So., Inc. 1962, XII+520 pp., ill. (РЖМат, 1962, 10B336K)
219

129. Hajnal A., Suranyi J, Uber die Auflosung von Graphn in voll-
standige Teilgraphen. Ann Univ. sci. budapest. Eotvos. Sec. math.,.
1958, 1, 113—121 (РЖМат, 1959, 109Г2)
130. Hajos G., Uber eme Art von Graphen. Internat. Math. Nachrichten, 1957V
11, Sondernummer, 65
131. Hakimi S. L., Simultaneous flows through a communication network.
IRE Trans. Circuit Theory, 1962, 9, № 2, 169—175 (РЖМат, 1963,.
2B364)
132. Hale H. W., The inverse of a nonsingular submatrix of an incidence matrix.
IRE Trans. Circuit Theory, 1962, 9, № 3, 299—300 (РЖМат, 1963, 6B29)
133. Harary F., The number of linear, directed, rooted and connected graphs..
Trans. Amer. Math. Soc, 1955, 78, № 2, 445—463 (РЖМат, 1957, 6210)
134. —, On the number of bi-caiored graphs. Pacif. J. Math., 1958, 8, № 4, 743—
755 (РЖМат, 1960, 10125)
135. —, On the group of composition of two graphs. Duke math. J., 1959, 26r
№ 1, 29—34 (РЖМат, 1960, 10122)
136. —, A very independent axiom system. Amer. Math. Monthly 1961, 68r
№ 2, 159—162 (РЖМат, 1961, 11A93)
137. —, A parity relation partitions its field distinctly. Amer. Math. Monthly,
1961, 68, № 3, 215—217 (РЖМат, 1961, 11A94).
138. —, A graph theoretic approach to matrix inversion by partitionng. Numer.
Math., 1962, 4, № 2, 128—135 (РЖМат, 1963, 2B35)
139. —, Permutations wrth restricted position. Math. Comput. 1962, 16, № 78r
222—226 (РЖМат, 1963, 1A152)
140. —,- Remark on the preceeding note. Amer. Math. Monthly, 1962, 69,,.
№ 3, 212—213 (РЖМат, 1962, 10A70) '
141. —, The determinant of the adjacency matrix of a graph. SIAM Rev.,.
1962, 4, № 3, 202—210 (РЖМат, 1963, 4B281)
142. —, L i p si e i n В., The dynamics of brand loyalty: a Markovian approach.
Operat. Res., 1962, 10, № 1, 19—40 (РЖМат, 1963, 6B336)
143. Hardgrave W. W., Nemhauser G. L., On the relation between
the traveling-salesman and the longest-path problems. Operat. Res.r,
1962, 10, № 5, 647—657 (РЖМат, 1963, 5B390)
144. Hibbard Th. N., Some combinatorial properties of certain trees with ap-
applications to searching and sorting. J. Assoc. Comput. Machinery, 1962,
9, № 1, 13—28 (РЖМат, 1963, 4A127)
145. Hoang Tuy, Phu'o'ng phap so' do de giar bai toan van tai. Toan ly hoa,.
1961, № 2, 13—20
146. Huzino Seiiti, Finite automata and Asser's function algorithms. Z. math.
Logik und Grundl. Math., 1962, 8, № 1, 77—80 (РЖМат, 1963, 2A78)
147. Izbicki H., Zulassige Kantenfarbungen von, pseudo-regula'ren Graphen 3.
Grades mit der Kantenfarbenzahl 3. Monatsh. Math., 1962, 66, № 5,
424—430 (РЖМат, 1963, 7A214)
148. —, Zulassi'ge Kantenfarbungen von pseudo-regula'ren Graphen mit
minimaler Kantenfarbenzahl. Monatsh. Math., 1963, 67, № 1, 25—31
(РЖМат, 1963, 8A227)
149. Kasahara Y, Tezuka K, Ling Shun T о n g, К i t a h a s h i Т., Торо-
logical evaluation of system determinants. Technol. Repts. Osaka Univ..
1962, 12, Oct., 239-248 (РЖМат, 1963, 11A231)
150. Leibowitz M. R., Flow graph determination of the over-all scattering matrix
of joined muJb-norts. Proc, IRE, 1962, 50, № 9, 1982 (РЖМат, 1963, 8B261)
151. Lekkerkerker С G., Boland J., Representation of a finite graph by
a set of intervals on the real line. Fundam. math., 1962, 51, № 1, 45—64
(РЖМат, 1963, 2A258) :
152. Lind N. C, Analysis of structures by system theory. J. Struct. Di-v. Proc.
Amer. Soc. Civil Engrs, 1962, 88, № ST2, 1—22 (РЖМат, 1963, 3B266)
153. Lorden G., Blue-empty chromatic graphs. Amer. Math. Monthly, 'I962r
69, № 2, 114—120
220

154. Marcus M., May F., The maximum number of zeros in the powers of an
indecomposable matrix. Duke Math. J., 1962, 29, № 4, 581—588 (РЖМат,
1963, 12A152)
155. —, Mine H., Some results on doubly strochastic matrices.
Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13, № 4, 571—579 (РЖМат, 1963,
3A166)
156. Marshall С W., Double correspondence graphs. J. Soc Indust. and Appl.
Math., 1962, 10, № 1, 211—227 (РЖМат, 1963, 11B360)
157. Mayeda W., On oriented communication nets. IRE Trans. Circuit Theory,
1962, 9, № 3, 261—267 (РЖМат, 1963, 7B291)
158. Mitchell P., The signal flow graph. Cornell Engr, 1962, 27, № 6, 15—18
(РЖМат, 1963, 3B267)
159. Moon J. W., On the score sequence of an n-partite tournament. Canad.
Math. Bull., 1962, 5, № 1, 51—58 (РЖМат, 1963, 7A124)
160. —, Solution to problem 463. Math. Mag., 1962, 35, № 3, 189
161. —, Moser L., On the distribution of 4-cycles in random bipartite tour-
tournaments. Canad. Math. Bull., 1962, 5, № 1, 5—12 (РЖМат, 1963, 7A123)
162. —, —, Almost all tournaments are irreducible. Canad. Math. Bull.,
1962, 5, № 1, 61—65
163. —,•—, On chromatic bipartite graphs. Math. Mag., 1962, 35, № 4, 225--
227
164. —. —, On a problem of Turan. Magyar tud. akad. Mat. Kutato int.
kozl., 1962, 7, ser. A, № 3, 283—285
165. Moyls B. N., Marcus M., Mine H., Permanent preservers on the
space of doubly stochastic matrices. Canad. J. Math., 1962, 14, № 2, 190—
194 (РЖМат, 1962, 11A128)
166. Mycielski J., Problem 359. Colloq. Math., 1962, 9, № 1, 165—166
167. Narahari Pandit S. N., Mina-ddition and an algorithm to find the most
reliable path in network. IRE Trans. Circuit Theory, 1962, 9, № 2.
190—191 (РЖМат, 1963, 9B238)
168. —, Some observations on the routing problem. Operat. Res., 1962, 10, № 5,
726—727 (РЖМат, 1963, 6B325)
169. Naslin P., Representation et resolution topologiques des systemes lineaires.
Automatisme, 1961, 6, № 12, 477—481; 1962, 7, № 1, 16—23 (РЖМат, 1963,
8B259)
170. Nordhaus E. A., Stewart В. М., Triangles in an ordinary graph
(Abstract). Amer. Math. Soc. Notices, 1961, 8, 338
171. —, —, Triangles in an ordinary graph. Canad. J. Math., 1963, 15, № 1,
33—41
172. Ore O., Arc coverings of graphs. Ann. Mat. Рига Appl., 1961, 55, 315—322,
(РЖМат, 1962, 11A232)
173. —, Theory of graphs. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 1962, 38, X-f 270pp.,
ill.
174. Paalman-de-Miranda A., H e d r 1 i n Z., Graph representation of semi-
semigroups. Rapp. Math, centrum 1962, № 20, 10pp., ill.
175. Palasti I., On the distribution of number of trees which are isolated sub-
subgraphs of a chromatic random graph. Magyar tud akad. Mat kutato int.
kozl., 1961, 6, № 3, 405—409 (РЖМат, 1963, 1B45)
176. —, Threshold functions for subgraphs of given type of the bichromatic
random graph. Magyar tud. akad. Mat. kutato. int. kozl., 1962, 7, № 1-2,
215—221
177. Patty C. W., The homology of delected products of trees. Duke Math. J.,
1962, 29, № 3, 413—428 (РЖМат, 1963, 12A339)
178. Peretz R., Fonctions non lineares a plusieurs variables. Ann. Assoc. inter-
internal calcul. analog., 1962, 4, № 4, 184—196 (РЖМат, 1963, 6B241)
179. Peter R., Uber die Rekursivitat eimger Ubersetzungstransformationen.
II Mitt.: Verwendung einer Linearisierungsweise der Kantorowitschschen
221

Ausdrucksgraphen. Magyar tud. akad. Mat. kutato int. kozl., 1962,
7, ser. A, № 3, 373—383
180. Polya G., Kombinatorische Anzahlbestimmungen fur Gruppen, Graphen
und chemische Verbindungen. Acta Math., 1937, 68, 145—254
181. Posa L., A theorem concerning Hamilton lines. Magyar tud. akad. Mat.
kutato int. kozl., 1962, 7, № 1—2, 225—226 (РЖМат, 1963, 6A264)
182. Poyen J., MmePoreP., Critique textuelle automatique. Deuxieme Congr.
Assoc. franc calcul et traitem inform. AFCALTI, Paris, 1961. Paris, 1962,
323—332 (РЖМат, 1963, 11B617)
183. Rado Т., R eii с h e 1 d e r f e r P., On cyclic transitivity. Fundam.)
math., 1947 (reprod. 1962), 34, 14—29 (РЖМат, 1963, 3A73)
184. Rashevsky N., Abstract mathematical molecular biology. II. Some relatio-
relational consequences of the «one gene — one enzyme» hypotheses. Bull. Math.
Biophys., 1962, 24, № 3, 327—334 (РЖМат, 1963, 10B434)
185. Read R. C, The enumeration of locally restricted graphs. I. J. London Math.
Soc. 1959, 34, № 4, 417—436 (РЖМат, 1962, 2A303)
186. —, The enumeration of locally restricter graphs. II. J. London Math.
Soc, 1960, 35, № 3, 344—351 (РЖМат, 1962, 9A178)
187. —, Euler graphs on labelled nodes. Canad. J. Math., 1962, 14, № 3*
482—486
188. Riordan I., Enumeration of .linear graphs for mappings of finite sets.
Ann. Math. Statist., 1962, 33, № 1, 178—185 (РЖМат, 1963, 8A130>
189. Roth J. P., Ka.rp R. M., Minimization over Boolean graphs. IBM J..
Res. Develop, 1962, 6, № 2, 227—238
190. Rudeanu S., Determinarea circuitelor hamiltoniene ale grafurilor prirr
metoda lui R. Fortet. Comun. Acad. RPR, 1962, 12, № 6, 661— 66fr
(РЖМат, 1963, 2A263
191. Salton G., Manipulation of tress hi information retrieval. Comm. Assoc~
Gomput. Mach, 1962, 5, № 2, 103—114 (РЖМат, 1963, 6B470)
192. Schimamoto Y., Graph theory and parametric representations of Feynman-
amplitudes. Nuovo cimento, 1962, 25, № 6, 1292—1313 (РЖМатг,
1963, 5Б351)
193. Scoins H. I., The number of frees with nodes of alternate parity. Proc.
Cambridge Philos. Soc, 1962, 58, № 1, 12—16 (РЖМат, 1962, 7B206)
194. Seshu S., Note on the realiizability of directed graphs. IRE Trans. Circuit
Theory, 1962, 9, № 4, 412—413 (РЖМат, 1963, 11B297)
195. —, R e e d M. В., Linear graphs and eliectrical networks. Addison-
Wesley Publ. Co., Inc., 1961, X+315 pp.
196. Sherk F. A., A family of regular maps of type {6, 6}. Canad. Math. Bull.,
1962, 5, № 1, 13—19 (РЖМат, 1963, 10A250)
197. Sherman S., Combinatorial aspects of the Ising model for ferromagnetisnu
I. A conjecture of Feynman on paths and graphs. J. Math. tPhis., I960,
1, № 3, 202—217 (РЖМат, 1961, 11A259)
198. —, Combinatorial aspects of the Ising model for ferromagnetism. II. An*
analogue to the W-btt identity. Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, № 3,
225—229 (РЖМат, 1963, 5A232)
199. Shulman H., The pole spotting problem. SIAM Rev., 1962, 4, № 1, 12—15'
(РЖМат, 1962, 1B391)
200. Simonnard M., Programmation lineaire. Paris, Dunod, 1962, XX, 417 pp., Ш„
68 NFr. (РЖМат, 1963, 5B388 К; 11В425 К)
201. Szamkolowicz L., Remarks on the Cartesian product of two graphs. Colloq.
Math., 1962, 9, № 1, 43—47 (РЖМат, 1962, 10A200)
202. Szamkolowicz L., Uwagi о charakterizacii prostej wsrod grafow na po-
wierzchniach niezwartych. Roczn. Polsk. towarz. mat., 1962, ser. I, 7f.
11—18 (РЖМат, 1963, 9A232)
203. Szwarc W., Zagadnienie transportowe. Zastosow. nat., 1962, 6, № 2M
149—187 (РЖМат, 1962, 12B384)
222

204. Tang D. Т., Communication networks with simultaneous flow requirement.
IRE Trans. Circuit Theory, 1962, 9, № 2, 176—182 (РЖМат, 1963, 10B328)
205. Turan P., Egy grafelmeleti szelsoertekfeladatrol. Matem. es Fiz. Lapok,
1941, 48, 436—452
206. —, On the theory of graphs. Colloq. Math., 1954, 3, № 1, 19—30 (РЖМат,
1955, 7, 3119)
207. Tutte W. Т., A census of planar triangulations. Canad. J. Math., 1962,
14, № 1, 21—38
208. —, A census of Hamilton-ian polygons. Canad. J. Math., 1962, 14, № 3,
402—417
209. —, A census of slicings. Canad. J. Math., 1962, 14, № 4, 708—722
2Ю — A new branch of enumerative graph theory. Bull. Amer. Math. Soc,
1962, 68, № 5, 500—504 (РЖМат, 1963; 8A231)
2И. —, A census of planar maps, Canad. J. Math., 1963, 15, № 2, 249—271
212. Wagner K. Bemerkungen zu Hadwigers Vermutung. Math. Ann., I960,
141, № 5, 433—451 (РЖМат, 1963, 1A280)
213. —, Hal in R. Homomorphiebasen von Graphenmengen. Math. Ann.,
1962, 147, № 2, 126—142 (РЖМат, 1963, 1A281)
214. Weichsel P. M., The Kronecker product of graphs. Proc. Amer. Math.
Soc, 1962, 13, № 1, 47—52 (РЖМат, 1962, 10A201)
215. Weissman J., Boolean algebra, map coloring, and interconnections. Amer.
Math. Monthly, 1962, 69, № 7, 608—613 (РЖМат, 1963, 8A82)
216. —, Те mathematical basis of the Autonetics etched interconnection design
program. 1962 IRE Internat. Convent. Rec. 1962, 10, № 6, 126—133
(РЖМат, 1963, 9B386)
~217. Western D. W., Graphs of composite relations. Amer. Math. Monthly, 1962,
69, № 5, 418—421 (РЖМат, 1963, 7A219)
218. Whitney H., Planar graphs. Fundam. math., 1933 (reprod. 1962), 21,
73—84 (РЖМат, 1963, 3A259)
219. Williams A. C, A treatment of transportation problems by decomposition.
J. Soc. Industr. and Appl. Math., 1962, 10, № 1, 35—48 (РЖМат, 1963,
2B360)
220. Wing O., Algorithms to find the most reliable path in a network. IRE
Trans. Circuit Theory, 1961, 8, № I, 78—79 (РЖМат, 1961, 12A364)
221. Wolk E. R., The comparability graph of a tree. Proc Amer. Math. Soc.r
1962, 13, № 5, 789—795 (РЖМат, 1963, 8A232)
222. Yalavigi С. С, A tournament problem. Math. Student, 1962, 30, № 1-2,
19—23 (РЖМат, 1963, 11A117)
223. Yau S. S., Synthesis of radio-communication nets. IRE Trans. Circuit
Theory, 1962, 9, № 1, 62—68 (РЖМат, 1962, 11B251)

СОДЕРЖАНИЕ
1. Винберг Э. Б., Группы Ли и однородные пространства . 5
2. Глускин Л. М., Полугруппы 33
3. Скорняков Л. А., Кольца 59
4. Скорняков Л. Л., Модули 80
5. Лившиц А. X., Цаленко М. С, Шульгейфер Е. Г., Теория
категорий 90
•6. Постников М. М., Теория гомотопий 107
7. Новиков С. П.у Дифференциальная топология .... 134
8. Чернавский А. В., Геометрическая топология многообразий 161
■9. Зыков А. Л., Теория графов 188
Корректор Л. И. Вередник
Технический редактор А. А. Степанюк
Подписано к печати 25/1II—1964 г. ^304938 Заказ 587}
Уч.-изд. л. 16,34 Формат бумаги 60x90Vi6 Объем 14 п. л. Тираж
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ