Ю. С. 04АН
СБОРНИК
ЗАДАЧ и ТЕОРЕМ
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
КЗДШШТШ „ПРВШЩЕЯК"

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория функций действительного переменного уже давно прочно
вошла в программы математических факультетов университетов и
педагогических институтов. Это и понятно, так как теория
множеств и теория функций являются в настоящее время базой
математического образования каждого грамотного математика. Однако
освоение этой базы может быть достаточно успешным лишь в том
случае, если изучение теоретического материала будет
сопровождаться овладением методом этой науки, т. е. если изучающий
теорию сможет применять излагаемые в этой теории методы к
самостоятельному решению задач, к самостоятельному доказательству
несложных теорем или конструированию примеров.
К сожалению, в существующей учебной литературе по теории
функций еще мало имеется книг, которые имели бы достаточное
количество материала для самостоятельных упражнений. Из
отечественной и переводной литературы можно указать лишь несколько
книг, которые содержат ряд интересных задач по теории множеств
и теории функций, — это учебники: И. П. Натансона «Теория функций
вещественной переменной», 1957, П. С. Александрова и А. Н.
Колмогорова «Введение в теорию функций действительного
переменного», 1938, И. П. Макарова «Теория функций действительного
переменного», 1962, Г. Е. Шилова «Математический анализ,
специальный курс», 1962, а также книга Халмоша «Теория меры*.
Некоторые задачи из указанных книг включены и в настоящий
сборник.
Многие задачи и примеры, помещенные в этой книге, носят
совершенно элементарный, учебный характер; они приспособлены в
основном к программе курса теории функций действительного
переменного, читаемого для студентов математических специальностей
пединститутов и университетов. Однако наряду с элементарными
задачами сборник содержит также ряд задач повышенной трудности;
решение таких задач требует от учащегося известной
изобретательности и некоторых навыков математического исследования. Эти
более трудные задачи (или циклы задач, объединенные общей темой)
могут служить материалом для спецсеминаров и кружков; их
можно предлагать также в качестве тем для курсовых работ.
3

Теперь несколько слов о построении книги.
а) Ввиду того что в различных учебниках употребляется
различная терминология и различные обозначения, автор дает перед
каждой главой сводку основных определений и обозначений, а также
формулировку тех теорем, которые предполагаются известными и
на которые следует опираться при решении задач.
б) Книга разбита на две части. Вся теория множеств,
начиная с общей теории (операции над множествами, вопросы взаимно
однозначного соответствия и мощности) и кончая теорией меры
Лебега, заключена в первой части. Вторая часть посвящена теории
функций, начиная с общих вопросов, связанных с отображениями
множеств, и кончая теорией интеграла Лебега в евклидовом
пространстве.
в) Топологические вопросы теории множеств (предельная точка,
сходимость, открытые и замкнутые множества) рассматриваются в
произвольном метрическом пространстве. В связи с этим изложению
этих вопросов предпослана глава 4 («метрические пространства»).
Затем в главе 5 даются задачи, использующие основные
топологические понятия в произвольном метрическом пространстве. Глава 6
посвящена применению этих топологических понятий к множествам,
расположенным в евклидовых пространствах (и, в частности, к
множествам на прямой), с использованием специфики множеств,
лежащих в евклидовом пространстве. В тех вузах, где изложение
теории множеств дается только в евклидовом пространстве, все
задачи главы 4, а также те задачи из глав 5 и 6, которые помечены
звездочкой, могут быть опущены.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить
искреннюю благодарность всем товарищам, которые своими
советами и критическими замечаниями во многом способствовали
улучшению изложения. В первую очередь это относится к М. Ф. Бок-
штейну, И. Я- Верченко, И. П. Макарову, А. А. Фридману и
редактору книги М. Л. Смолянскому.
Ю. С. Очан

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ГЛАВА 1
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Основные определения и обозначения
Если а является элементом множества А, то это обозначается так: а<^А.
Если а не является элементом множества А, то это обозначается так:
а^А (или а(£А).
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
множеством и обозначается 0 (или А, или 0).
Если все элементы множества А являются также элементами множества В,
то говорят, что А включается в В или А содержится в В; говорят также, что
В включает А или В содержит А (это обозначается так: А с В или Bz>*A).
Если А с В и BczA, то говорят, что А равно В или А совпадает с В.
Равенство двух множеств обозначается так: А = В.
Если А а В, то говорят, что множество А является подмножеством
множества В. Если при этом А не совпадает с В (АфВ), то говорят, что А является
собственным подмножеством множества В.
Операции над множествами
1. Суммой (или объединением) двух множеств А а В называется множество,
составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств!
Сумма множеств А я В обозначается A(JB (или А+В).
Суммой (или объединением) некоторой совокупности множеств { А. }
называется множество В, составленное из всех элементов, входящих хотя бы в одно
из слагаемых множеств А; - Сумма множеств обозначается так: J3= (J А. (или
2. Пересечением (или общей частью) множеств А я В называется множество,
составленное из всех элементов, принадлежащих одновременно как
множеству А, так и множеству В. Обозначается пересечение так: А Г) В (или А-В).
Два множества А я В называются непересекающимися, если их пересечение
пусто.
Пересечением (или общей частью) некоторой совокупности множеств { А, }
называется множество В, составленное из всех элементов, входящих
одновременно во все множества At Пересечение множеств обозначается: £= г\Аг
/или В = П Л& у
5

Сумма и пересечение обладают свойствами переместительности и
сочетательности
A\JB = B\JA; A[\B=B[}A;
A\J{B\JC) = (A\JB)\JC; АП(ВГ\С) = (АПВ)ПС
Кроме того, справедливы распределительные законы:
ЛП[иВ,] = у(ДПВ£); (1)
Ли[Г)В?] = Л(ЛиВ£). (2)
3. Разностью двух множеств А и В называется множество, составленное
из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами
множества В. Обозначается разность так: А\В (или А—В).
4. Симметрической разностью двух множеств Л и В называется
множество (Л\В) U (В\А); симметрическая разность множеств Л и В обозначается
символом А А В:
МВ = (А\В)[)(В\А).
Очевидно, что А Д В = В Д Л.
5. Произведение множеств. Пусть Е и F— два множества. Произведением
этих множеств называется множество всевозможных пар (х, у), где х£Е,
y^F. Произведение множеств Е и F обозначается ExF.
Если, в частности, Е—какое-либо множество чисел на оси Ox, a F—
какое-либо множество чисел на оси Оу, то ExF является множеством
всевозможных пар чисел (х, у), где х£Е, yQF; так как пару чисел можно
рассматривать как точку на плоскости Оху, то ExF можно считать множеством всех
точек (х, у) на плоскости Оху таких, что х(^Е, y^F.
По аналогии с произведением двух множеств можно говорить о
произведении любого числа множеств. В частности, произведением трех множеств, одно
из которых (£) расположено на оси Ох, другое (F) — на оси Оу, третье (G) —
на оси Ог, является множество ExFxO, элементами которого являются все-
ьозможные тройки чисел (х, у, г) (или, что то же самое, точки (х, у, г)
трехмерного пространства Охуг) такие, что х£Е, yQF, z£G.
6. Рассмотрим произвольную последовательность множеств Е1у Е2, ....
Верхним пределом этой последовательности называется множество 1ТтЕп,
определяемое следующим равенством:
. СО оо
lim£„ = Л U Ет,
т.е. lTrH£„=(£1U£2U£sU£4U • - OW^U^U^U . - -)Л
ГНЕТЕМ ..JDlEiU ...)Л ...
7. Нижним пределом последовательности Elt E2, Es, . . . называется
множество ИтЕп, определяемое следующим равенством:
со со.
llmEn= U Л Ет,
п—1 т==п
т. е. Игп£„=(£1Л£2Л£зП£4Л • •-Ш^Л^П^Л .-.)U
Ш^Л^Л .--Ш^Л ...)U ...
Если все множества, фигурирующие в некоторой задаче, включаются в
множество R, то это множество R называется пространством.
Разность R\E между пространством R и каким-либо множеством Е,
включенным в это пространство, называется дополнением к множеству Е (относительно
6

пространства R) и обозначается СЕ (или С^Е, если мы хотим подчеркнуть, что
берется дополнение именно до пространства R), т. е.
СЕ = #\£ (или CKE=R\E).
Закон двойственности. Для любой союкупности множеств { £. }, каждое
из которых включается в пространство R, справедливы следующие равенства:
C(U£Ej=nC£e; С(Л£Е)=уС££.
В частности, для двух множеств А к В закон двойственности записывается
так:
C(A\JB)=CAf]CB; С(A[)B)=CA\JCB.
ЗАДАЧИ
1. Доказать следующие утверждения:
а) из А с: В вытекает, что А[)В=А и А\)В=В\
б) из Ас\В=А вытекает, что Лег В;
в) из А и В=В вытекает, что Л с В.
2. Доказать:
а) Аи(В{] С)=(А U В) П (А и С);
б) Л П (В U C)=(i4 п Д)11(Л П С).
3. Доказать включения:
а) (Л п С) U (В ПЯ)с(Л U В) П (С U D);
б) (В\С)\(В\Л)сЛ\С;
в) Л\Сс(Л\В)и(Л\С).
4. Доказать равенства:
а) (Л\Я)\С=И\С)\(Д\С);
б) (Л\£) U (В\С) и (С\А) и (Л П В П С)=Л U В U С.
5. Вытекает ли из А\В=С, что Л=ВиС?
6. Вытекает ли из A=B[iC, что А\В=С?
7. Верны ли равенства: a) A\(B[j C)=(A\B)\C;
б) А[}(В\С)=(АиВ)\С; в) (Л\£) и С=(Л и С)\£? Если не
верны, то в какую сторону имеет место включение?
8. Доказать включение:
U^\UB4cl)(4W
k k k
Показать на примере, что в общем случае здесь не имеет
место равенстве
9. Доказать, что
1) ЛДВ=(ЛиВ)\04пВ); *
2) Л Д В=(Л п СВ) U (В п СЛ).
10. Пусть Л — заданное множество; про другое множество —
X — известно, что ЛДХ—Л. Доказать, что Х=£.
7

11. Доказать равенства:
а) ЛД(ЯД£>)=(ЛДВ)ДД
б) Л п (В Д D)=(A П В) Д (Л п О);
в) ЛДЛ=0;
г) ЛД0=Л.
12. Доказать включение:
(Л U В) Д £<=(Л Д F) U {В Д £).
Показать на примере, что в общем случае здесь нет
равенства.
13. Доказать равенства:
а) С(£1\^2)=С£1и£2;
б) С [С (СХ U Y) U (X и СУ)]=Г \Х;
в) (АпВ)и{АпСВ)(](САг\В)^А()В.
14. Используя закон двойственности, упростить выражение:
ClC(XuY)n(CXuCY)l
15. Доказать, что
)im En<lim Еп.
16. Пусть дана последовательность множеств Л, В, А, В, А,
В, .... т. е. Еп=А при п нечетном, £„=£ при п четном.
Доказать, что тогда Нт£п=ЛПВ; limEn=A\jB.
17. Пусть [Еп\—последовательность попарно непересекающихся
множеств; доказать, что lim£n—lim£„=0.
18. Доказать, что lim £„ состоит из тех и только тех точек,
которые входят одновременно во все множества данной
последовательности, начиная с некоторого номера п. Доказать, что lim£n
состоит из тех и только тех точек, которые входят в бесконечное
число множеств данной последовательности.
19. Доказать, что. изменив в последовательности {£„} первое
множество Е1г мы не изменим ни Нт£й, ни lim£n.
20. Доказать, что если последовательность множеств монотонно
возрастает: E1czE2cz Е3с ... или монотонно убывает: Cpfp
Z)E3zd..., то ее верхний предел равен нижнему: limEn = limEn.
21. Доказать, что для любой последовательности множеств {£„}
оо оо
имеют место включения: Г) En<z\imEncz\imEncz U Еп.
Построить пример такой последовательности множеств, для
которой ни один из этих знаков включения не может быть заменен
знаком равенства.
22. Пусть А—\\хаЕп, В=ИтЕп. Доказать, что тогда СА=
=ШСЕп, a CB=\imCEn.
8

23. Доказать, что ддя любых множеств Е, F, G справедливы
равенства:
а) Ex(FuG)=(ExF)U(ExG);
б) (F\jG)xE=(FxE)U{GxE).
24. Доказать, что для любых множеств Е, F, G справедливы
равенства:
а) Ex(FnG)=(ExF)n(ExGn
б) (F()G)xE=(FxE)n(GxE).
25. Справедливо ли равенство
{А хВ) Г) (Сх D)={А П С) х(В Л £>)?
26. Справедливо ли равенство
(AxB)u(CxD)=(AuC)x(BuD)->
ГЛАВА 2
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
Если каждому элементу о множества А по некоторому закону поставлен в
соответствие один и только один элемент b множества В, причем различным
элементам множества А отвечают различные элементы множества В, и если при
этом соответствии использованы все элементы множества В, то говорят, что
между множествами А я В установлено взаимно однозначное соответствие.
Так, например, можно установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех рациональных чисел и множеством всех натуральных
чисел.
Если между некоторым множеством Е и множеством .V всех натуральных
шсел установлено взаимно однозначное соответствие, то гоюрят, что элементы
множества Е занумерованы с помощью натуральных чисел.
Целью задач настоящей главы является установление взаимно однозначного
;оответствия между двумя заданными множествами (т. е. построение функции,
определенной на одном из заданных множеств и взаимно однозначно
отображающей это множество на другое заданное множество).
Среди множеств, с которыми мы будем иметь дело, особенно важными
теляются числовые множества, т. е. множества, элементами которых являются
зещественные числа. Приведем примеры числовых множеств: 1) множество всех
!ещественных чисел (числовая прямая (—оо; -f-oo)); 2) множество всех чисел х,
удовлетворяющих неравенству х>а (луч [а; +°°)) или неравенству х>а (луч
а; +оо)); аналогично определяются луч (—-оо; а] и луч (—оо ; а); здесь а —
шданное число; 3) множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
г<х<Ь, гдеа < b—заданные числа, называется сегментом [а; Ь]; 4) множество
icex чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х < b (интервал (а; Ь)); 5) мно-
кество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а<х<Ь (полусегмент [а; Ь))
ми неравенству а<х<Ь (полусегмент (а; Ь]).
Сегмент, интервал и полусегмент объединяются одним общим термином
(отрезок».
Числовое множество Е называется ограниченным сверху, если существует
акое число Ь, что для всех х£Е выполняется неравенство: х<Ь. Число Ь,
удовлетворяющее этому условию, называется верхней границей множества Е.
Множество, ограниченное сверху, имеет не одну верхнюю границу, а
бесконечно много различных верхних границ. Наименьшая из верхних границ не-
9

пустого, ограниченного сверху множества называется верхней гранью этого
множества. Каждое непустое шюжество, ограниченное сверху, имеет верхнюю-
грань, притом единственную. Верхняя грань множества £ обозначается
символом: sup Е.
Если множество Е не является ограниченным сверху, то, по определению,,
полагают: sup£= + oo.
Числовое множество Е называется ограниченным снизу, если существует
такое число а, что х>а для всех х£ Е. Число а, удовлетворяющее этому
условию, называется нижней границей множества. Наибольшая из нижних границ
множества Е называется нижней гранью множества и обозначается inf E.
Каждое непустое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, притом
единственную.
Если множество не ограничено снизу, то полагают, по определению,
inf Е=— оо.
Числовое множество £, которое ограничено и сверху, и снизу, называется
ограниченным. Верхней и нижней гранями непустого ограниченного множества
являются конечные числа (причем inf £<sup £). Примерами ограниченных
числовых множеств являются сегмент, интервал, полусегмент*.
Наряду с числовыми множествами мы будем рассматривать также плоские
множества, т. е. множества точек на плоскости. Примеры: 1) множество всех
точек плоскости; 2) множество всех тех точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют неравенству x2-f-y2<a2 (замкнутый круг), или неравенству
х2+уг<а? (открытый круг), и т. д.
Кроме того, мы будем иметь дело с пространственными множествами, т. е.
с такими, которые расположены в трехмерном пространстве (например, сфера —
множество всех точек, отстоящих на одинаковом расстоянии от некоторой
фиксированной точки — центра).
В некоторых случаях для установления взаимно однозначного соответствия
между числовыми множествами бывает полезно числа, входящие в эти множества,
записывать с помощью систематических дробей.
Если положительное число а может быть представлено в виде суммы
сходящегося ряда:
„ Пг /Х2 Я3 П4
а=А+^+--+ ,-+-*-+ •■-,
Р Р* Р3 Р4
где р>1— целое положительное число, А— целое неотрицательное число, а
«1, «2. 'Ч-, п4, • - • — целые неотрицательные числа от 0 до р— 1, то говорят,
что а разложено в систематическую дробь с основанием р (или в р-ичную
дробь). Это записывают следующим образом:
а=А, п1з п%, п3, п$ . ..
А называется целой частью числа а; пи п2, Щ, .. .— р-ичными знаками числа а.
Если все р-ичные знаки п#, начиная с некоторого номера k, равны нулю, то
дробь называется конечной, в противном случае—бесконечной.
При заданном р > 1 всякое положительное число а может быть представлено
в виде бесконечной р-ичной дроби, причем каждому числу а соответствует
только одна бесконечная р-ичная дробь, и обратно — каждой бесконечной
р-ичной дроби отвечает единственное положительное число а. Вместе с тем
* Наряду с верхней и нижней гранями числового множества нередко
приходится встречаться с верхней и нижней гранями функции (одной или
нескольких переменных). Если функция f(x) определена на множество Е, то под
символами sup / (х), inf/(л;) подразумевается верхняя (нижняя) грань множества
хеЕ хеЕ
тех значений функции, которые соответствуют всевозможным значениям
независимого переменного х из множества Е. Аналогичный смысл имеют обозначения
sup f(x, у), inf f(x, у), если f(x, у) — функция двух переменных, опре-
ix. у)еЕ (х. у)еЕ
деленная на множестве Е.
10

некоторые рациональные числа а (не все!) допускают, варяду с разложением
в бесконечную р-ичную Дробь, также разложение в виде конечной р-ичной
дроби; например, при р=10
63 63
-—=0,63000 ... (конечная дробь); —=0,629999 . .. (бесконечная дробь).
100 10U
Числа, которые могут быть разложены в конечную р-ичную дробь,
называются р-ично рациональными.
Все остальные числа называются р-ично иррациональными.
Систематическая дробь с основанием р=10 называется десятичной дробью;
■с основанием р=2 — двоичной дробью; с основанием р=3 — троичной дробью,
и т. д.
ЗАДАЧИ
27. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством N всех натуральных чисел и множеством Q всех четных
положительных чисел.
28. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством N всех натуральных чисел и множеством Р всех четных
чисел.
29. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством R всех рациональных чисел отрезка [0, 1] и множеством N
всех натуральных чисел.
30. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех положительных рациональных чисел и множеством
всех натуральных чисел.
31. Существует ли функция вида f(x)= °°+glX+ *" +a"x ... (ГДе
Ь0+Ь^х+ ■■■ +Ьтхт
коэффициенты а0, ..., с„; Ь0, ..., Ьт — целые числа), обладающая
следующим свойством: для любого рационального числа г найдется
целое число k такое, что f(k)=r?
32. Найти взаимно однозначное отображение сегмента [0; 1} на
сегмент [а; Ь].
33. Найти взаимно однозначное отображение интервала (0; 1)
на всю числовую прямую.
34. Найти взаимно однозначное отображение числовой прямой
на интервал (а; Ь).
35. Найти взаимно однозначное соответствие между
полусегментом [0; 1) и полуосью [0; +°°)-
36. Построить взаимно однозначное отображение сегмента [0; 1]
на интервал (0; 1).
37. Построить взаимно однозначное отображение сегмента [0, 1]
на всю числовую прямую.
38. Найти взаимно однозначное соответствие между сегментом
{0; 1] и полуосью [0; +оо).
39. Установить взаимно однозначное соответствие между лучом
[0; 4-°=) и интервалом (с; Ь).
п

40. Отобразить взаимно однозначно луч [0; -|-со)на всю
числовую прямую.
41. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно
отображающая сегмент [а; Ь] на всю числовую ось?
42. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно
отображающая сегмент [а; Ь] на интервал (с; d)?
43. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно
отображающая сегмент [а; Ъ] на множество, состоящее из двух
сегментов [0; 1] и [3; 4]?
44. Построить взаимно однозначное отображение окружности
единичного радиуса на сегмент [0; 1].
45. Установить взаимно однозначное соответствие между
открытым единичным кругом и множеством точек на плоскости,
дополнительным к замкнутому единичному кругу.
Примечание. Открытым единичным кругом называется
множество таких точек М (х, у) на плоскости Оху, для которых
выполнено неравенство: x2-{-yz<^ 1; замкнутым единичным кругом —
множество точек, для которых выполнено соотношение jc2-j-y2<; 1.
46. Установить взаимно однозначное соответствие между
открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.
47. Найти взаимно однозначное соответствие между замкнутым
единичным кругом и дополнением к открытому единичному
кругу.
48. Найти взаимно однозначное соответствие между замкнутым
единичным кругом и дополнением к нему.
49. Установить взаимно однозначное соответствие между
окружностью и прямой.
50. Установить взаимно однозначное соответствие между
поверхностью сферы с одной выколотой точкой и плоскостью.
51. Установить взаимно однозначное соответствие между всей
поверхностью сферы и плоскостью.
52. Плоская область А называется звездной относительно
точки О, если на каждом луче, выходящем из точки О, найдется
такая точка М, отличная от О, что отрезок [О; М) включается в Л, а
луч (М; оо) не содержит ни одной точки из А. (Иначе говоря,
каждый луч, выходящий из О, пересекает границу области только
в одной точке, отличной от О.) Если точка М для каждого луча
входит в А, то звездная область называется замкнутой.
Установить взаимно однозначное соответствие между
произвольным замкнутым кругом и произвольной замкнутой звездной
областью.
53. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех иррациональных чисел и множеством всех
действительных чисел числовой прямой.
54. Установить взаимно однозначное соответствие между:
а) точками открытого квадрата <х<^—, <J; < — и
12

точками открытого прямоугольника a<C.x<^b, c<^y<d; б)
точками открытого квадрата — < х <^—, — <С у <. — и точками
плоскости; в) точками открытого прямоугольника a<^x<Cb,
c<Cy<^d и точками плоскости.
55. Запишем в виде бесконечной десятичной дроби координаты
точки М из квадрата 0<^х<1, 0<^у<1: абсцисса х=
=0, щп^з- .., ордината у=0, тхт.2гщ.... (если какое-либо из этих
чисел является десятично-рациональным, т. е. допускает двоякую
запись в виде десятичной дроби, выбираем ту запись, которая
содержит бесконечное число девяток, например, 0,369999.. ., а не
0,370000...). Поставим в соответствие каждой точке М (0, п^гуц ...;
0, m1m.jn3 ...) из квадрата — точку Р из отрезка (0; 1] с абсциссой
0, ПхГЩПэГЩПдГПд... Все ли точки отрезка (0; 1] получатся при этом
соответствии? Будет ли эго соответствие взаимно однозначным
соответствием между точками квадрата (0; Пх(0; 1] и точками
отрезка (0; 1]?
56. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех рациональных чисел отрезка [0; 1] и множеством
всех точек с рациональными координатами квадрата [0; 1]х[0; 1].
57. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех рациональных точек числовой прямой и множеством
тех точек плоскости, у которых обе координаты рациональны.
58. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и
множеством всех натуральных чисел.
59. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и
множеством всех целых положительных чисел.
60. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех последовательностей натуральных чисел и множеством
всех возрастающих последовательностей натуральных чисел.
61. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех возрастающих последовательностей натуральных чисел
и множеством всех тех бесконечных двоичных дробей, которые
соответствуют числам полусегмента (0; 1].
ГЛАВА 3
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ
Два множества называются эквивалентными, если между ними можно
установить взаимно однозначное соответствие.
Если два множества .4 и б эквивалентны, то это обозначается следующим
образом: А~В.
Легко видеть, что если А~В, В-^С, то А^С.
13

Признаки эквивалентности множеств (теоремы Кантора — Ф. Бернштейна).
а) Если АаВсС, причем А~С, то А-^В.
б) Если А эквивалентно части множества В, а В эквивалентно части
множества А, то А~В
Множество Е называется конечным, если оно эквивалентно множеству всех
натуральных чисел и, удовлетворяющих неравенству 1<п<Л/ (для некоторого
натурального числа N).
Пустое множество мы также причисляем к конечным множествам.
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они
имеют одинаковое число элементов.
Для бесконечных множеств нельзя говорить о числе элементов множества;
количественной характеристикой любого множества, обобщающей понятие числа
элементов, является мощность множества; говорят, что два мноясества имеют
одинаковую мощность, если они эквивалентны друг другу.
Мощность множества А обозначается символом А.
Если два множества А я В имеют одинаковую мощность (т. е. если они
эквивалентны), то это записывают так: А=В.
Если множество В эквивалентно какому-либо подмножеству множества А,
то говорят, что мощность множества В не превосходит мощности множества А;
это записывают так: В<А, или А>В.
Если два множества неэквивалентны (т. е. между ними нельзя установить
взаимно однозначного соответствия), то это записывают так: АфВ (или
А^В).
Если два множества Л и В неэквивалентны, но множество В эквивалентно
некоторому подмножеству множества A, jp говорят, _что_множество А мощнее,
чем множество В. Это записывают так: А>В, или В<А. _ _
Из теорем Кантора — Бернштейна вытекает, что если А<В и В<Л, то
3=1. _ _ = _
Если же А<В, но А'^В, то А<В.
Для доказательства эквивалентности двух множеств Л и В мы можем
поступить следующим образом:
1) либо непосредственно установить взаимно однозначное соответствие
между множествами А я В;
2) либо, если это сделать трудно, установить эквивалентность множества А —
части множества В, и множества В — части множества А, а затем применить
вторую теорему Кантора — Бернштейна.
Если множество А конечно и имеет п элементов, то это записывают с
помощью следующего символического равенства: А=п; в частности, если
А—пустое множество, то Л=0.
Если множество А эквивалентно множеству всех натуральных чисел, то
множество А называют счетным; если множество_Л счетно, то это записывают
с помощью следующего символического равенства: ~А= 9,0 (читается «алеф-нулт).
Примеры счетных множеств: множество всех целых чисел; множество всех
рациональных чисел; множество всех полиномов с рациональными
коэффициентами; множество всех алгебраических чисел, и Т. Д.
Если множество имеет мощность большую, чем множество натуральных
чисел, то оно называется несчетным множеством. Так, например, отрезок
[0; 1] является несчетным множеством.
Всякое множество, эквивалентное отрезку [0; 1], называется множеством
мощности континуума. Если множество А имеет мощность континуума, то это
записывают так: А=с.
Если множество имеет мощность континуума, то иногда, для краткости,
говорят, что оно имеет континуум элементов.
14

Примеры множеств, имеющих мощность континуума (т. е. ту же мощность,
что и отрезок [0; 1]): сегмент [а; Ь]\ интервал (а; Ь) (при любых а и b, a<b);
вся числовая прямая; множество всех бесконечных десятичных дробей;
множество всех иррациональных чисел; множество всех точек любого круга; множество
всех точек квадрата [0; 1]х[0; 1]( и вообще любого прямоугольника); множество
всех точек плоскости; множество всех точек пространства Охуг; множество
всех непрерывных функций, заданных на отрезке [0; 1], и т. д.
Если задано некоторое множество Е, то множество gf, элементами
которого являются все подмножества множества £, имеет мощность большую,
чем £: §f>£.
Множество g? называется «множеством всех подмножеств множества £».
Если Е—конечное множество мощности п, то gf—тоже конечное
множество мощности 2й.
Если Е — бесконечное множество мощности а, то мощность множества gf
обозначается так: 2а.
В том случае, когда £ является счетным множеством, gf имеет мощность
континуума: 2"°=с.
Если £ является множеством мощности с, то gf имеет мощность большую,
чем континуум: 2е]>с.
Всякое множество, мощность которого равна 2е, называется множеством
мощности гиперконтинуума.
Примеры множеств мощности гиперконтинуума: множество всех подмножеств
отрезка [0; 1]; множество всех подмножеств числовой прямой; множество всех
подмножеств плоскости; множество всех функций (не только непрерывных),
заданных на отрезке [0; 1], и т. д.
В заключение укажем на некоторые свойства счетных множеств.
1) Любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно.
2) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество (это
выражают словами: «Счетное множество является наименьшим из бесконечных
множеств»).
3) Сумма конечной или счетной совокупности счетных множеств есть
счетное множество.
4) Если к несчетному множеству £ добавить или из него вычесть счетное
множество М, то мощность множества £ не изменится:
£UM=£; £\М=£.
ЗАДАЧИ
62. Какова мощность множества всех треугольников на
плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?
63. Какова мощность множества всех рациональных функций
с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?
64. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости,
радиусы которых рациональны и координаты центра которых —
рациональные числа, есть множество счетное.
65. Какова мощность множества всех конечных десятичных
дробей? Какова мощность множества всех конечных р-ичных дробей
при заданном р> 1?
66. Какова мощность множества всех многочленов,
коэффициентами которых служат алгебраические числа?
15

67. Доказать, что множество точек разрыва монотонной
функции, заданной на сегменте [а; Ь], конечно или счетно.
68. Доказать, что множество точек разрыва монотонной
функции, определенной на всей числовой прямой, конечно или счетно.
69. Пусть Е—какое-либо несчетное множество положительных
чисел: доказать, что найдется такое число т^> 0, что множество
Е[)(т; +оо)— несчетно.
70. Верно ли утверждение: «Если Е — бесконечное множество
чисел, расположенное на луче (0; +со), то найдется такое число
т>0, что множество £Г)(т; +со)-—бесконечно»?
71. Пусть Е—счетное множество точек на прямой. Можно ли
так сдвинуть это множество на величину а (т. е. заменить все
точки х £ Е точками х-\-а), чтобы получившееся в результате сдвига
множество Еа не пересекалось с £?
72. Пусть Е — счетное множество точек на окружности. Можно
ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол ф так,
чтобы множество £т, получившееся из £ в результате поворота,
не пересекалось с £?
73. Доказать, что если расстояние между любыми двумя
точками множества Е на прямой больше единицы, то множество £
конечно или счетно.
74. На плоскости задано множество £ такое, что расстояние
между любыми двумя точками этого множества больше, чем а
(где а ■— данное положительное число). Доказать, что множество £
не более, чем счетно (т. е. либо счетно, либо конечно).
75. Какова мощность множества всех трансцендентных (т. е.
не алгебраических) чисел?
76. Какова мощность множества всех строго возрастающих
последовательностей натуральных чисел?
77. Какова мощность множества всех последовательностей
натуральных чисел?
78. Какова мощность множества всех последовательностей
натуральных чисел, не содержащих числа 7?
79. Какова мощность множества всех последовательностей
натуральных чисел, содержащих число 7?
80. Какова мощность множеств всевозможных
последовательностей рациональных чисел?
81. Какова мощность множества всевозможных многочленов
(с произвольными вещественными коэффициентами)?
82. Какова мощность множества всех сегментов на числовой
прямой?
83. На прямой задано множество попарно не пересекающихся
сегментов. Что можно сказать о мощности этого множества?
84. Какова мощность множества всех кругов на плоскости?
85. На плоскости построено некоторое множество попарно не
пересекающихся окружностей. Может ли это множество быть
несчетным?
16

86. На плоскости построено некоторое множество попарно не
пересекающихся букв Т (размеры этих букв могут быть и
различными). Может ли множество этих букв быть несчетным?
87. На плоскости построено некоторое множество попарно
не пересекающихся букв Г. Может ли это множество быть
несчетным?
88. Какова мощность множества всех строго возрастающих
непрерывных функций (заданных на отрезке [а; &])?
89. Какова мощность множества всех монотонных функций на
отрезке [а; Ь] (не только непрерывных)?
90. Какова мощность множества всех последовательностей
вещественных чисел?
91. Какова мощность множества всех вещественных чисел,
заключенных между 0 и 1, в десятичном разложении которых
отсутствует цифра 7?
92. Какова мощность множества всех вещественных чисел,
заключенных между 0 и 1, в десятичном разложении которых
имеется цифра 7?
93. Какова мощность множества всех вещественных чисел,
заключенных между 0 и 1, в десятичном разложении которых
цифра 7 находится на третьем месте?
94. Какова мощность множества всех чисел (заключенных
между 0 и 1), в троичном разложении которых отсутствует
цифра 1?
95. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна
эквивалентность замкнутого круга и открытого круга того же
радиуса *.
96. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна
эквивалентность замкнутого квадрата и открытого квадрата с той же
стороной.
97. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна
эквивалентность плоскости и замкнутого квадрата на плоскости.
98. Доказать с помощью теоремы Кантора — Бернштейна
эквивалентность квадрата 0<х^1, 0<^у^1 и отрезка (0; 1]
(использовать результат задачи 55).
99. Пусть А и В-—два эквивалентных бесконечных множества.
Существует ли подмножество А (отличное от А), эквивалентное
множеству В?
100. Доказать, что если А\В~В\А, то А—В.
101. Доказать, что если АаВ и А~АиС, то В~В[)С.
102. Верно или нет утверждение: «Если А~С, В-—D, причем
А=>В, С=)Д то A\B~C\D».
* Открытым кругом радиуса г называется множество всех точек, лежащих
строго внутри круга (т. е. множество точек, отстоящих от центра круга на
расстоянии меньшем, чем г); замкнутый круг получится, если к этому
множеству добавить точки, лежащие на границе круга. Аналогичный смысл
вкладывается в понятия «открытый квадрат» и «замкнутый квадрат».
2 Ю. С. Очан
17

103. Верно ли утверждение: «Если А~В, Cz>A, Cz>B, то
С\Л ~ С\В»?
104. Верно ли утверждение: «Если А~В, Az^C, Bz>C, то
А\С~В\С»?
105. Доказать, что множество всевозможных равномерно
сходящихся на [а; Ь] последовательностей непрерьшных функций имеет
мощность континуума.
106. Какова мощность множества всевозможных
последовательностей непрерывных функций (на сегменте [а; &])?
107. Доказать следующее утверждение: «Если множество Е на
плоскости несчетно, то найдется такой круг с центром в начале
координат, который содержит несчетное множество точек из £».
108. Доказать, что множество всех конечных подмножеств
счетного множества — счетно.
109. Какова мощность множества всех конечных и счетных
подмножеств множества Е, если Е имеет мощность континуума?
ПО. Какова мощность множества всех функций, определенных
на сегменте [а, Ь] и разрывных хотя бы в одной точке этого
сегмента?
ГЛАВА 4
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество Е, в котором каждой паре элементов х и у поставлено в
соответствие неотрицательное число q (x, у) («расстояние между х и у») называется
метрическим, пространством, если q (x, у) удовлетворяет следующим
условиям:
1) Q С*. У)=0 тогда и только тогда, когда х=у («аксиома тождества»),
2) Q (x, y)=Q(y, x) («аксиома симметрии»),
3) Q{x, y)<Q(x, z)+q(z, у) для любых х£Е, у£Е, z£E («аксиома
треугольника»).
Эти три условия называются «аксиомами метрического пространства».
Примеры метрических пространств.
1) Числовая прямая. Здесь в качестве расстояния между двумя элементами
х к у принимается число: *
р(х, у)=\х — у\.
2) Евклидово п-мерное пространство Нп. Рассмотрим множество
всевозможных упорядоченных последовательностей из п действительных чисел:
х(хи х2, . ., хп). Каждый элемент х этого множества называется точкой, а
числа x-i, хг, . . ., хп — координатами этой точки. Обозначим это множество
через Нп- Для того чтобы множество Нп стало метрическим пространством,
введем в нем расстояние между точками х {хг, x.2f .... хп), у (Ух, у г. ■ • •, Уп)
по формуле:
Множество Нп с введенным в нем расстоянием по формуле (1) называется
n-мерным евклидовым пространством.
18

Легко заметить, что числовая прямая является частным случаем евклидова
пространства (при и=1).
3) Пространство С [а; Ь] — множество всех функции, непрерывных на [а; 6];
расстояние между двумя функциями i (t) и ty (t) в этом пространстве определяем
по формуле:
о (ф, ф)= max |ф (0 — ф (t) |.
Для того чтобы проверить, что то или иное множество (с введенным в нем
расстоянием Q (х, у)) является метрическим пространством, надо доказать, что
оно удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства. В частности,
для того чтобы доказать, что Нп является метрическим пространством, надо
использовать неравенство Kotuu — Буняковского, которое заключается в том, что
для любых конечных числовых последовательностей ки х2 хп и
Уи У2> • • •» Уп имеет место соотношение:
/=1 » ё=1 * 1=1
ЗАДАЧИ
111. Доказать, что множество всех функций, ограниченных на
сегменте \а, Ь\ (не только непрерывных), образует метрическое
пространство, если за расстояние между двумя элементами tp{t)
и ty (t) этого множества принять число
е(ф, -ф)== sup IФ(0 — *(0|.
112. Доказать, что множество всех бесконечных числовых по-
со
следовательностей x(alt а2, а3, ...), таких, что ряд 21°/1
сходится, является метрическим пространством, если за
расстояние между двумя последовательностями x(alt a2, а3, ...) и
оо
y{bu b2, b3, ...) принято число q(x, )>)=2К— bt\.
113. Доказать, что множество всех ограниченных бесконечных
последовательностей вещественных чисел образует метрическое
пространство, если за расстояние между двумя
последовательностями x(alt аг, as, —) и y(bu b.2, b9, —) принять число
С(х, у)= sup |aj —6,1.
114. Дано множество всех числовых последовательностей
х (alf а.2, as, ...), обладающих тем свойством, что сумма квадратов их
со 2
членов 2 а,- сходится. Доказать, что оно образует метрическое
пространство, если под расстоянием между двумя последователь-
2* J9

ностями x(alt «2, а3, ...) и y(bl7 fe2, b3, ...) подразумевать
число:
/то
115. Доказать, что множество всех непрерывных на [а; 61
функций образует метрическое пространство, если под расстоянием
между двумя элементами этого множества ф и я)э подразумевать
число
ь
е(ф, ф)=/|ф(л-) — W*)|d*.
а
Это пространство мы будем обозначать С1 [а; 6].
116. Является ли метрическим пространством множество всех
вещественных чисел, если под расстоянием между двумя числами
х и у подразумевать число q(x, y)~s'mz(x— у)?
117. Является ли метрическим пространством множество всех
вещественных чисел, если за расстояние между двумя числами
х и у принять число: q(x, y)=|arctg(,jt — у)|?
118. Является ли множество вещественных чисел метрическим
пространством, если расстояние между элементами этого множества
определить так: q(x, у)=\/ \у — х\ ?
119. Является ли множество точек плоскости метрическим
пространством, если расстояние между двумя точками М1(х1, уг)
и AL2(x2, y.2) плоскости определить формулой:
Q (Ми М2)= | Х2 - Xl | +1 у2 — уг |?
120. Пусть Е— множество всех точек на окружности С;
примем в качестве расстояния между двумя точками х£Е и у£Е
длину кратчайшей дуги окружности С, соединяющей точки х и у.
Является ли Е метрическим пространством?
121. Пусть Е — множество всех точек на окружности С.
Зафиксируем на С точку М0, и определим расстояние q(/W, N) между
двумя точками этой окружности следующим образом: если МфМд
и ЫфМ0, то q(M, N) равно длине той дуги окружности, которая
соединяет точки М и N и не проходит через точку М0; если
М=М0 или N=M0, то Q(M, N) равно длине кратчайшей дуги,
соединяющей точки М и N; если M=N, то q(M, /V)=0. Является
ли множество Е метрическим пространством?
122. Является ли метрическим пространством множество всех
непрерывных функций, заданных на сегменте [а; Ь\, если расстояние
между любыми двумя функциями ф(л) и ty{x) определить
формулой:
/ ь
Q(<P. 4>)=V J (Ф (х) — ip ix)f dx.
1 а
20

Указание. Предварительно вывести неравенство Кощи — Буня-
ковского для интегралов:
ь Гь Гь
J ф (X) Хр (X) dx < Л/ j [ф (*)]* ^. "1/ j [ф (Х)]2 rfx.
о ' а 'о
оно может быть получено предельным переходом из неравенства
Коши — Буняковского для конечных сумм (см. введение к этой
главе).
123. Является ли метрическим пространством множество всех
прямых на плоскости, не проходящих через начало координат, если
расстояние между двумя прямыми
/^хcosс^-}-}/sin ax — Pi=0; l2: xcosa2-f-ysina2 — p2==0
определить по формуле:
Q(*i, 4) = y/'(P2-Pi)2+4sin2^^-?
Замечание. Здесь уравнение прямой записано в так
называемом «нормальном виде» xcosa-j-ysina — р=0; уравнение любой
прямой Ах-\-Ву-{-С={) можно привести к нормальному виду, если
разделить левую часть уравнения на + у А2-{-В2 (знак перед
корнем берется противоположным знаку С).
124. Является ли метрическим пространством множество всех
прямых на плоскости, не проходящих через начало координат, если
расстояние между двумя прямыми
Z1:xcosa1+ysina1 —рх=0; /2:>:cosa2-}-;ysina2— р2—О
определить по формуле:
Q(llt /2)=|Рз—Pil+l cosa2 — cosaj |+| sina2— sin ax |?
125. Является ли метрическим пространством множество всех
прямых на плоскости, если расстояние между двумя прямыми
1г: л-cosаг-\-уsincij — p1=0; l2:xcosa2-f-ysina2 — /P2=0
определить по формуле:
Q(^i. 4)=|P2 — Pi|+|sina2 — sina^?
126. Является ли метрическим пространством множество тех
прямых на плоскости х cos a-J-y sin a — p=0, для которых 0 <^ a <| л,
если расстояние между двумя прямыми определить так же, как и в
предыдущей задаче?
127. Пусть R — какое-либо метрическое пространство с
заданным в нем расстоянием q (х, у): пусть Е — какое-либо подмножество
этого пространства. Является ли Е также метрическим
пространством (при том же определении расстояния, что и в R)?
21;

128. Пусть R— какое-либо множество с заданным в нем
расстоянием q (х, у); пусть некоторое подмножество EcR оказалось
метрическим пространством при том же определении
расстояния (т. е. в нем выполнены все аксиомы метрического
пространства). Можно ли утверждать, что все множество R также является
метрическим пространством, т. е. что q (х, у) удовлетворяет в R
всем аксиомам метрического пространства?
129. Пусть R — какое-либо метрическое пространство, и gf—
семейство всех его ограниченных * непустых подмножеств.
Определим расстояние между двумя элементами из Ш (т. е. между двумя
непустыми ограниченными подмножествами Е^ и Е.2 пространства R)
следующим образом: под Q{Elt £2) подразумевается наименьшее из
двух чисел:
sup f infe(A-, у)] и sup Mnfe(A-, у)].
Является ли Ш метрическим пространством? Если нет, то какие
аксиомы метрического пространства выполнены в gf?
130. Является ли метрическим пространством совокупность Ф
всех замкнутых ** ограниченных непустых множеств метрического
пространства R, если расстояние между двумя элементами
семейства Ф (т. е. между двумя замкнутыми ограниченными непустыми
множествами Е^ и £2) определять так же, как и в задаче 129?
131. Является ли метрическим пространством семейство всех
непустых подмножеств метрического пространства R, если расстояние
между двумя множествами EtaR и E^R определять по формуле:
е(£х, £2)=Ш1 q(x, у)?
«Е,
Х€Ег
ГЛАВА 5
ПРЕДЕЛЬНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ МНОЖЕСГВА.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
Рассмотрим какое-либо метрическое пространство R (в частности, евклидово
пространство, или числовую прямую). Будем элементы этого пространства для
краткости речи называть точками.
Окрестности. Окрестностью (или е-окрестностью) точки xg^R называется
множество всех точек х пространства Я, которые удовлетворяют условию:
-Q [х, х0)<е. При этом число 8>0 называется радиусом окрестности. Окрестность
точки х0 радиуса е>0 обозначается следующим образом: Ve (jt0).
* Определение ограниченного множества в метрическом пространстве см.
иа стр. 32 (см. также первую сноску на стр. 32).
** Определение замкнутого множества см. в введении к главе 5.
.22

Если основное пространство R является числовой прямой, то е-окрестностью
точки Хо является интервал (je0 — е; х0+е). Если R—плоскость, то V£ (xK) —
открытый круг радиуса е с центром в точке хе. Если Я— трехмерное евклидово
пространство, то VE (х0) — открытый шар радиуса е с центром в точке хв,
и т. д.
Основное свойство окрестностей: если y^Ve (х0), то найдется такое число
6,>0, что V6 (y)czVe (xB).
Предельные точки. Пусть Е— какое-либо множество, включающееся в R.
Точка Xq^R называется предельной точкой множества Е, если в любой
окрестности точки х0 содержится хотя бы одна точка из Е, отличная от х0 (заметим,
что предельная точка не обязана принадлежать самому множеству Е).
Для того чтобы х0 была предельной точкой множества Е, необходимо
и достаточно, чтобы в любой окрестности точки х0 существовало бесконечно
много точек из Е.
Множество всех предельных точек множества Е называется его
производным множеством и обозначается £'.
Множество гсех предельных точек производного множества называется
вторым производным множеством множества Е и обозначается Е". Аналогично
определяются производные множества более высокого порядка.
Изолированные точки. Точка х0(^Е называется изолированной точкой
множества Е, если существует окрестность этой точки, не включающая ни одной
точки множества Е (кроме самой точки х0).
Граничные точки. Точка х0 называется граничной точкой множества Е, если
в любой ее окрестности имеются как точки, принадлежащие £, так и точки, не
принадлежащие Е.
Заметим, что граничные точки могут быть элементами множества Е, а
могут и не быть его элементами.
Примеры граничных точек. 1) У замкнутого круга граничными являются
все точки ограничивающей окружности; все они принадлежат А. 2) У
открытого круга В граничными точками являются также все точки ограничивающей
окружности; ни одна из этих точек ие принадлежит В. 3) У любого множества
на плоскости все его изолированные точки являются граничными (но, конечно,
обратное утверждение неверно).
Множество всех граничных точек множества Е называется границей этого
множества. Граница множества Е обозначается «borne £».
Точки прикосновения. Точка х„ называется точкой прикосновения
множества £, если в любой ее окрестности имеется хотя бы одна точка из Е.
Легко видеть, что точками прикосновения множества Е являются все
предельные точки множества, а также все точки самого множества (даже не
являющиеся предельными).
Замыкание множества. Множество всех точек прикосновения множества Е
называется замыканием множества Е (и обозначается £).
Очевидно, замыкание множества получится, бели к множеству Е добавить
все его предельные точки: £=£(_)£'■
Заметим, что замыкание суммы двух множеств равно сумме замыканий:
£7и~£2 ==£!(_! £2-
Однако это утверждение ие распространяется на сумму бесконечного числа
слагаемых.
Замкнутые множества. Если множество Е включает в себя все свои
предельные точки (т. е. Е'сЕ), то множество Е называется замкнутым.
В частности, любое конечное множество замкнуто (так как в этом случае
производное множество пусто). Пустое множество, являющееся частным случаем
конечного, также замкнуто. Кроме того, замкнутым множеством является все
пространство R.
Другие примеры замкнутых множеств: сегмент [а; Ь] на прямой; множество-
всех натуральных чисел на числовой прямой; замкнутый круг (т. е. круг вместе
23-

с ограничивающей его окружностью) на плоскости; замкнутый квадрат на
плоскости, и т. д.
Вместе с тем, например, интервал (с; Ь); множество всех рациональных
чисел на прямой; открытый круг на плоскости—не являются замкнутыми
множествами.
Следует заметить, что замыкание Е любого множества Е всегда замкнуто.
Для того чтобы множество Е было замкнуто, необходимо и достаточно,
■чтобы оно включало все свои точки прикосновения.
Если множество Е включается в свое производное множество (EczE'},
то оно не содержит изолированных точек.
Если £=£', т. е. если множество Е замкнуто и не содержит
изолированных точек, то оно называется совершенным.
Примеры совершенных множеств на прямой: сегмент [а; Ь\; вся числовая
прямая; канторово совершенное множество.
Канторово множество строится следующим образом: из отрезка [0; 1J
,1 2\
исключается интервал I —; — ; затем из оставшихся двух сегментов выбрасы-
1
ваются интервалы длины —— с центрами в серединах этих сегментов; затем
о
1
из оставшихся четырех сегментов исключаются интервалы длины — с цент-
З3
рами в серединах этих сегментов и т. д. Множество D, оставшееся после
исключения всех указанных интервалов, является совершенным множеством; оно
называется канторовым совершенным множеством. Его точки разделяются на два
рода: точки 1 рода-—концы выбрасываемых интервалов (таких точек счетное
множество) и точки 2 рода (все остальные точки множества D; их — континуум).
Множество D имеет следующую арифметическую структуру: оно состоит
яз тех и только тех точек отрезка [0; 1], которые могут быть записаны в виде
троичной дроби, не содержащей единицы в числе своих троичных знаков.
Замкнутые множества обладают следующими свойствами: 1) сумма конечного
числа замкнутых множеств является замкнутым множеством; 2) пересечение
любой (не только конечной) совокупности замкнутых множеств есть замкнутое
множество.
Следует заметить, что сумма бесконечной совокупности замкнутых
множеств не обязана быть замкнутым множеством.
Всякое множество, которое может быть представлено в виде суммы счетной
совокупности замкнутых множеств, называется множеством типа Fa (читается:
«эф-сигма»). Так, например, всякое замкнутое множество есть множество типа
Fa; всякое счетное множество точек (в частности, множество рациональных
чисел на прямой) есть множество типа F0; интервал (а; Ь) (на прямой) —
множество типа Fa; и т. д.
Внутренние точки. Точка хв £ Е называется внутренней точкой множества
Е, если не только сама эта точка, но и некоторая ее окрестность включа-
датся в Е:
VE (x0) с Е.
Открытые множества. Множество, все точки которого являются
внутренними, называется открытым множеством.
Примеры открытых множеств на прямой: интервал (а; Ь); сумма любой
совокупности интервалов; вся прямая.
Примеры открытых множеств на плоскости: внутренность круга (т. е. весь
«руг без ограничивающей его окружности); внутренность квадрата; вся
плоскость.
Примеры открытых множеств в трехмерном евклидовом пространстве:
открытый шар (т. е. шар без ограничивающей его поверхности сферы); сумма любой
совокупности открытых шаров; все пространство.
24

Следует заметить, что множество, открытое на прямой, будучи помещено
на плоскость, может перестать быть открытым. Так, например, интервал {а; V),
открытый на прямой, не является открытым множеством на плоскости.
Пустое множество в любом пространстве открыто; кроме того, открытым-
множеством является н само пространство.
Свойства открытых множеств: 1) пересечение конечного числа открытых
множеств есть открытое множество; 2) сумма любой (не только конечной)
совокупности открытых множеств есть открытое множество.
Следует заметить, что пересечение бесконечной совокупности открытых
множеств не обязано быть открытым множеством.
Всякое множество, которое может быть представлено в виде пересечения
счетной совокупности открытых множеств, называется множеством типа G6
(читается: «же-дельта»).
Так, например, всякое открытое множество есть множество типа С; мно
жество всех иррациональных точек на прямой есть множество типа С,. Имеет
место теорема: всякое замкнутое множество есть множество типа С.
Заметим, кроме того, что каждое открытое множество есть множество
типа Fa
Между открытыми и замкнутыми множествами существуют следующие
соотношения: 1) дополнение* к любому открытому множеству есть множество
замкнутое; 2) дополнение к любому замкнутому множеству — открыто.
Внутренность множества. Пусть А — произвольное множество. Множество
всех его внутренних точек называется внутренностью множества А (оно обозна-
о
чается А).
Расстояние от точки до множества. Расстоянием от точки х до множества
А называется нижняя грань множества чисел q (x, у), когда у пробегает
множество А:
q(jc, A)= infQ(x, у).
уеЛ
Если Q(x, Л)=0, то х— точка прикосновения множества А.
Если А — замкнуто, то q(x, Л)=0 тогда и только тогда, когда х £ А.
Расстояние между множествами. Расстоянием между множествами А и В
называется нижняя грань расстояний между точками х £ А и у £ В:
q(A, В)= М q(x, у).
хе А
у е В
Если множества Л и В имеют хотя бы одну общую точку, то q (Л, В)=0;
однако, обратное не верно: может оказаться, что Q(A, В)=0, хотя Л П 6=0-
Отделимость замкнутых множеств. Каковы бы ни были два
непересекающихся замкнутых множества Fx и F2(Fi Л F2=0), всегда найдутся два
непересекающихся открытых множества Сг и С2, включающие, соответственно, Fv
н F2 (т. е. Gl=,Fu G2^F.2, Сг Л С2=0).
Это выражают словами: два непересекающихся замкнутых множества
отделимы непересекающимися открытыми.
Плотные и нигде не плотные множества. Множество Е называется
плотным на множестве Л, если замыкание множества Е включает А (т. е. £зЛ).
Если, в частности, множество Е является плотным в пространстве R, то оно
называется «.всюду плотным» в R.
Множество Е, расположенное на прямой, называется нигде не плотным
на прямой, если любой интервал содержит интервал, полностью свободный
от точек множества Е.
* Здесь и всюду в дальнейшем имеется в виду дополнение до всего
пространства.
25

Множество Е, расположенное на плоскости, называется нигде не плотным
на плоскости, если любой открытый круг содержит открытый круг, полностью
свободный от точек множества Е.
Аналогично определяется нигде не плотное множество в любом пространстве.
Примеры. 1) Множество рациональных точек на прямой, множество
иррациональных точек-—всюду плотны на прямой.
2) Канторово множество нигде не плотно на прямой.
3) Прямая линия, отрезок, окружность — множества, нигде не плотные
на плоскости.
ЗАДАЧИ
132. Дано некоторое множество Е точек на плоскости.
Известно, что нижняя грань всевозможных расстояний между
различными точками этого множества положительна. Доказать, что
множество Е не имеет предельных точек.
133. Построить множество, для которого производное
множество непусто, а второе производное множество пусто.
134. Построить множество, для которого п—1-е производное
множество непусто, а п-е производное множество пусто.
135. Пусть Е — множество чисел вида 0, —, —|—, где п и q
П п q
пробегают всевозможные натуральные числа. Является ли Е
замкнутым множеством? Каково его производное множество? Каковы
его второе и третье производные множества?
136. Построить счетное множество Е, обладающее следующими
свойствами:
а) производное множество Е' имеет мощность континуума;
б) £п£'=0.
137. Доказать, что производное множество любого множества
замкнуто.
138. Доказать, что для любого множества Е имеют место
включения: Е' з Е" Г) Е" г> ... э £("> з ..., где £<"> — п-е
производное множество.
139. Доказать, что производное множество суммы двух
множеств А и В равно сумме производных от каждого множества
в отдельности. Показать на примере, что эта теорема не верна
в применении к суммам бесконечного числа множеств.
140. Справедливо ли утверждение: «Производное множество
от пересечения двух множеств А Л В равно пересечению
производных от каждого множества в отдельности»?
141. Может ли множество, состоящее только из
изолированных точек, иметь предельные точки? Может ли его производное
множество быть бесконечным? Может ли оно быть несчетным?
142. Построить такое множество Е, для которого все
производные множества Е', Е", Еп), ... отличны друг от друга,
оо
а пересечение этих производных множеств Л №> пусто.
п= 1
26

143. Построить такое множество Е, для которого все
производные множества Е', Е", ..., £(п), ... отличны друг от друга,
оо
а пересечение их Г) Е(п) непусто.
п = 1
144. а) Привести примеры таких множеств на плоскости,
которые совсем не имеют граничных точек; б) привести пример такого-
множества на плоскости, которое имеет граничные точки, но все
они не принадлежат множеству; в) привести пример множества
на плоскости, включающего часть своих граничных точек; г)
привести пример несчетного множества на плоскости, состоящего
только из граничных точек; д) то же на прямой.
145. Доказать: если предельная точка не принадлежит
множеству, то она является его граничной точкой.
146. Доказать, что граница суммы конечного числа множеств,
включается в сумму границ этих множеств. Показать на примере,
что это неверно для суммы бесконечной совокупности
множеств.
147. Доказать, что замыкание суммы двух множеств равно
сумме их замыканий. Доказать, что для бесконечной совокупности
множеств всегда справедливо включение и Д с (J А, но не всегда
с с
имеет место равенство.
148. Доказать непосредственно (не пользуясь законом
двойственности), что сумма конечного числа замкнутых множеств
замкнута.
149. Доказать непосредственно (не пользуясь принципом
двойственности), что пересечение любой совокупности замкнутых
множеств замкнуто.
150. Доказать, что замыкание любого множества замкнуто.
151. Дана последовательность концентрических окружностей
радиусов гх <; г2 <^ < гп <^ .... Является ли их объединение
замкнутым множеством?
152. Дана последовательность концентрических окружностей
радиусов rl'^>ri'^> ... >г„> .... Является ли их объединение
замкнутым множеством? Что является замыканием объединения?
153. Дана последовательность замкнутых концентрических
кругов радиусов i^Og^ .-• <г„< Является ли их
объединение замкнутым множеством? Является ли оно открытым
множеством на плоскости?
154. Является ли совершенным множеством гиперболическая
спираль е=— на плоскости? Является ли совершенным
множеством замыкание этой спирали?
155. Будем считать землю рдеально гладким шаром.
Рассмотрим множество Е всех тех точек М на поверхности земли,
которые обладают следующим свойством: если из М пройти 7 км
на север, затем 7 км на запад и» наконец, 7 км на юг, то
27

окажешься снова в точке М. Является ли Е замкнутым множеством?
Если нет, то какое множество является его замыканием? Его
производным множеством?
156. Пусть f(x) — непрерывная функция, определенная всюду
на оси Ох. Доказать, что множество Еа тех точек оси Ох, где
/ (х) > а, является замкнутым множеством.
157*. Доказать, что множество Е всех непрерывных на [0; 1]
функций, удовлетворяющих неравенству А < / (х) < В (где А <; В —•
заданные числа), является замкнутым множеством в
пространстве С [0; 1].
158*. Пусть F(x) — фиксированная непрерывная функция на
[0; 1]; доказать, что множество всех функций f(x), непрерывных
на [0; 1] и удовлетворяющих неравенству / (х) < F (х), замкнуто
в пространстве С [0; 1].
159. Всегда ли пересечение двух совершенных множеств является
совершенным множеством?
160. Всегда ли сумма конечного числа совершенных множеств
является совершенным множеством? А сумма счетного числа
совершенных множеств?
161. Построить счетную последовательность замкнутых
множеств, сумма которых не является замкнутым множеством.
162. Доказать, что множество всех граничных точек любого
множества является 'замкнутым множеством.
163. Доказать, что внутренность любого множества есть
открытое множество.
164. Доказать, что для любого множества А, множество Е
всех тех точек х, для которых имеет место неравенство
q (х, А) < е, открыто (здесь е > 0 — фиксированное число).
165. Верно ли утверждение; «Если Е — замкнутое множество,
о"
то замыкание внутренности Е совпадает с Е (т. е. £■=£)»? Если
это утверждение неверно, то имеет ли место одно из включений
Е з Е, Е cz E, и какое именно?
166. Верно ли утверждение: «Если Е является открытым
множеством, то внутренность замыкания Е совпадает с Е
о
(т. е. £=£)»? Если это утверждение неверно, то имеет ли место
о о_
одно из включений: Е з Е, Е а Е, и какое именно?
167. Пусть f(x) — непрерывная функция, определенная всюду
на оси Ох. Доказать, что множество Еа всех тех точек оси Од:,
где f(x)^>a, является открытым множеством (на прямой Ох).
168*. Доказать, что множество Е всех непрерывных не [0; 1]
функций f(x), удовлетворяющих неравенству A<^f{x)<^B (где
А<^В-—заданные числа), является открытым множеством в
пространстве С[0; 1].
169*. Пусть F (х) — фиксированная непрерывная на [0; 1] функ-
28

ция. Доказать, что множество всех функций f(x),
удовлетворяющих неравенству f(x)>F{x), открыто в С [0; 1|.
170. Построить счетную последовательность открытых
множеств, пересечение которых не является открытым.
171. Доказать, что множество всех иррациональных точек
на числовой прямой является множеством типа G?J.
172. Доказать эквивалентность следующих двух определений
замыкания Е множества Е:
а) £=£ U Е'\
б) Е — общая часть всех замкнутых множеств, содержащих Е.
173. Доказать эквивалентность следующих двух определений
о
внутренности Е множества Е:
о
а) Е — множество всех внутренних точек множества Е;
о
б) Е — сумма всех открытых множеств, содержащихся в Е.
174. Доказать, что если f{x) — непрерывная функция на [а; Ь\,
то сумма множеств Ег U Е3 и Еъ и ... и E2k - i (J • - • замкнута;
здесь Еп — множество тех точек сегмента [а; Ь], где п ^ / (х) <
<и+1.
175. Показать на примере, что утверждение предыдущей задачи
становится неверным, если в нем сегмент [а; Ы заменить
интервалом (а; Ь).
176. Доказать, что пересечение счетной совокупности множеств
типа G5 есть множество типа G?.
177. Доказать, что сумма конечного числа множеств типа G3
есть множество типа G?t.
178. Доказать, что сумма счетной совокупности множеств типа
Fa есть множество типа F0.
179. Доказать, что пересечение конечного числа множеств типа
Fa есть множество типа Fs.
180. Пусть \Еп\-—последовательность замкнутых множеств;
доказать, что \\тЕп есть множество типа FB. Сформулировать
и доказать аналогичное утверждение для верхнего предела.
181. Доказать, что множество всех точек вида 1п(г2+1) (где
г — всевозможные рациональные числа) является плотным на луче
[0; +оо).
182. Доказать, что множество точек вида sin г (где
г—всевозможные рациональные числа) плотно на сегменте [—1; I].
183. Доказать, что множество чисел вида г3 всюду плотно
на числовой прямой (где г — всевозможные рациональные числа).
р2
184. Найти замыкание множества всех точек вида -*—, где
р и q — всевозможные целые числа (q ф 0).
185. Найти замыкание множества всех точек вида 2q, где
р и q — всевозможные натуральные числа.
29

186. Найти замыкание множества всех точек вида , rni
р и q — всевозможные целые, отличные от нуля, числа.
187. Пусть f(x) — функция, непрерывная и возрастающая ни
[а; Ь\; пусть Е— множество, плотное на [а; Ь]. Доказать, что
множество точек вида f (£), где £ £ Е, плотно на отрезке
If (a); f{b)\.
188. Пусть множество Е на прямой обладает тем свойством,
что для любых двух точек х1^:Е и х2 £ Е (где х^ < х2)
существует точка х3^Е такая, что хх <; х3 <; х2. Пусть a=inf£,
b=supE. Можно ли утверждать, что множество Е всюду плотно
на [а; Ь\> Может ли множество, обладающее указанным свойством,
быть нигде не плотным на [а; 6]?
189. Построить счетную совокупность попарно непересекающихся
счетных множеств, каждое из которых всюду плотно на прямой.
199. Пусть £ — иррациональное число. Доказать, что
множество всех чисел вида т-\-п£, (где т и п — всевозможные целые
числа) всюду плотно на прямой.
191. Пусть £•—иррациональное число. Является ли множество
всех чисел вида m-f-пЦгде т и п — всевозможные четные числа)
всюду плотным на прямой?
192. Доказать, что множество М точек, расположенных на
единичной окружности Г с центром в начале координат и имеющих
полярные углы 1, 2, ..., п, ..., всюду плотно на Г.
193. Доказать, что множество всех точек с рациональными
координатами всюду плотно на плоскости.
194*. Доказать, что множество всех многочленов всюду плотно
в пространстве С [0; 1]. Указание. Воспользоваться теоремой
Вейерштрасса о приближении с помощью многочленов функции,
непрерывной на сегменте (см. теорему 1 на стр. 56).
195*. Доказать, что множество всех многочленов с
рациональными коэффициентами всюду плотно в С [0; 1 ].
196. Доказать, что канторово множество D является нигде
не плотным на числовой прямой.
197*. Доказать, что множество Е всех функций-констант
у~а таких, что a£D (D — канторово множество) является нигде
не плотным в пространстве С [О; П.
198*. Доказать, что множество всех функций вида y=nxs (n —
целые числа) является нигде не плотным в пространстве С [0; 1].
199. Построим множество Е на сегменте [0; 1] следующим
образом: зададим убывающую последовательность положительных
со
чисел Oj>a2!> • •-. такую, что 2°»=^ <!• Исключим из [0; 1]
/ = i
интервал длины ау с центром в середине сегмента; далее, из
оставшихся двух сегментов удалим интервалы длины — с центрами
за

в серединах этих сегментов; далее, из оставшихся четырех
сегментов удалим интервалы длины -^~ с центрами в серединах этих
сегментов, и т. д.; мнржество, оставшееся после счетного числа
шагов, обозначим Е. Доказать, что оно нигде не плотно на [0; 1].
200. Доказать, что множество Е точек на отрезке [0; 1],
десятичное разложение которых возможно без цифр 4 и 5, является
нигде не плотным множеством.
201. Является ли нигде не плотным на прямой множество,
составленное из тех и только тех точек, десятичное разложение
которых возможно без комбинации стоящих рядом цифр 2 и 6 (в
указанном здесь порядке)?
202. Является ли замкнутым множество Е тех иррациональных
чисел на сегменте [0; 1], в десятичном разложении которых
отсутствует цифра 5? Если нет, то что представляет собой его
замыкание? Содержит ли это множество изолированные точки? Является
ли оно нигде не плотным?
203. Пусть А — нигде не плотное множество на прямой.
Доказать, что его замыкание также нигде не плотно.
204. Пусть А-—нигде не плотное множество на прямой.
Доказать, что его дополнение СА всюду плотно на прямой. Верно
ли обратное утверждение: «Дополнение к множеству, всюду
плотному на прямой, является нигде не плотным множеством»?
205. Верна ли теорема: «Дополнение к открытому всюду
плотному множеству на прямой является нигде не плотным
множеством»?
206. Доказать теорему: «Для того чтобы замкнутое множество
на прямой, было нигде не плотным, необходимо и достаточно,
чтобы в любом интервале на прямой нашлась хотя бы одна точка,
не принадлежащая этому множеству».
207. Сформулировать задачи 203—206 для множеств, лежащих
на плоскости, и решить эти задачи.
208. Доказать, что сумма F конечного числа нигде не плотных
множеств Еи Е21 ..., Еп в пространстве R (например, на числовой
прямой) является нигде не плотным множеством в R. Сохраняется
ли в силе это утверждение для суммы счетного числа нигде
не плотных множеств?
ГЛАВА 6
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
(продолжение)
Свойства множеств, сформулированные во введении к главе 5, имеют место
Для открытых н замкнутых множеств, расположенных в любом метрическом
пространстве (следовательно, в том числе н в евклидовом пространстве). Те же
свойства множеств, которые будут рассмотрены ниже, используют специфические
31

свойства евклидова пространства; эти свойства, справедливые для множеств,
расположенных в евклидовом пространстве, вообще говоря, перестают быть
верными для множеств, расположенных в произвольном пространстве.
Свойства множеств, расположенных в евклидовом пространстве. Множество
£ называется ограниченным в пространстве R, если расстояние от
фиксированной точки (например, от начала координат) до любой точки множества Е не
превосходит некоторого числа.
Диаметром ограниченного множества Е называется верхняя грань
всевозможных расстояний между точками множества Е:
diam £= sup q (x, у),
хе Е
не Е
Последовательность xlf x2, .-.., хп, ... элементов пространства R
называется сходящейся к элементу а £ R, если для любого е >0 существует такой
номер N (зависящий от е), что для всех номеров я > N выполняется неравенство
Если последовательность сходится к элементу о, то последний называется
пределом последовательности*. Это записывают так: а= Нт хп.
, п -* оо
Всякая сходящаяся последовательность ограничена (это означает, что
ограничено множество ее элементов). Однако не всякая ограниченная
последовательность сходится. Необходимым и достаточным условием сходимости
последовательности в евклидовом пространстве является следующий
Критерий Коши**. Для того чтобы последовательность
Хх, Х%, Ха, . , ., Хп, ... (1)
точек евклидова пространства сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для
, любого е>0 существовал такой номер М, что q(xn, хт) < е для всех n>N,
m>N.
Наряду с последовательностью (1) мы будем рассматривать всевозможные
ее подпоследовательности
■*«,' хп2> —• хпк' • • ■•
где пх < п2 < ... < nk< . . .. Если последовательность (1) сходится, то и
всякая ее подпоследовательность тоже сходится, притом к тому же пределу. Однако
из расходимости последовательности (1) совсем не следует расходимость всех
ее подпоследовательностей.
Как мы видели, ограниченность последовательности еще не является
достаточным условием ее сходимости. Но ограниченность последовательности
достаточна для существования у нее сходящейся подпоследовательности.
Теорема Больцано—Вейерштрасса. Если последовательность
точек в евклидовом пространстве ограничена, то она имеет хотя бы одну
сходящуюся подпоследовательность.
* Определения ограниченного множества, его диаметра, а также
сходящейся последовательности имеют смысл не только для евклидова пространства,
но и для любого метрического пространства.
** Критерий Коши имеет место не только в евклвдовом пространстве, но и
в некоторых других пространствах. Такие пространства называются полными.
Дадим точное определение полного пространства.
Последовательность {хп) элементов пространства R называется
фундаментальной, если для любого е>0 существует такой номер N, что q(xn, хт) < е
для всех n>N, m>N.
Легко видеть, что сходящаяся последовательность всегда фундаментальна;
однако обратное утверждение справедливо не во всяком пространстве.
Пространство R называется полным, если любая фундаментальная
последовательность элементов пространства R сходится к некоторому элементу
этого пространства.
32

Из этой теоремы вытекает важное следствие: Всякое бесконечное ограниченное
множество евклидова пространства имеет хотя бы одну предельную точку.
Теорема Кантора. Если Ап — непустые замкнутые множества в
евклидовом пространстве, такие, что Лх Z) Л2 Z3 ... Z3 Ап Z3 .... причем
diam Ап -* О при п ->■ ос, то существует одна, и притом только одна,
точка, принадлежащая всем Ап.
Теорема о покрытиях. Пусть дана некоторая совокупность
множеств {АЛ (например, некоторая совокупность интервалов или некоторая
совокупность сегментов). Если (J А, включает множество Е, то говорят, что
совокупность {АЛ является покрытием множества Е. При этом, если
совокупность {А } содержит конечное число различных множеств А., то мы называем это
покрытие конечным; если совокупность {Ае} бесконечна, то мы говорим о
бесконечном покрытии. В частности, если совокупность множеств {А.} является
счетной, то мы говорим о счетном покрытии.
Теорема Гейне — Бореля. Если замкнутое ограниченное множество
Е в евклидовом пространстве покрыто некоторой совокупностью
окрестностей *, то из них можно отобрать конечное число окрестностей, которые
также осуществляют покрытие множества Е.
Короче это можно сформулировать так: «.Из всякого покрытия замкнутого
ограниченного множества окрестностями можно выделить конечное покрытие
того же множества».
Расстояние между замкнутыми множествами в евклидовом пространстве.
Если замкнутые ограниченные множества А и В расположены в евклидовом
пространстве, то в множестве А найдется точка а, а в В—точка 6, такие,
что q (a, 6)=q(A, В). (Про эти точки а и b говорят, что в них реализуется
расстояние между множествами.)
Отсюда следует, что если расстояние между двумя замкнутыми
ограниченными множествами равно нулю, то они должны иметь хотя бы одну общую
точку.
Эти теоремы остаются в силе и в том случае, когда одно из замкнутых
множеств ограничено, а другое неограиичено. Однако эти теоремы перестают
быть верными для двух замкнутых неограниченных множеств.
Точки конденсации. Пусть Е — множество точек в евклидовом
пространстве. Точка х, в любой окрестности которой содержится несчетное множество
точек из Е, называется точкой конденсации множества Е. Точка конденсации
может принадлежать Е, может и не принадлежать Е. Однако если Е —
несчетное множество, то у него всегда существуют точки конденсации,
принадлежащие Е. Следовательно, если множество не имеет точек конденсации,
принадлежащих самому множеству, то оно не более чем счетно.
Множество всех точек конденсации (как принадлежащих к Е, так и не
принадлежащих к Е) является совершенным множеством (каково бы ни было
исходное множество Е).
Каково бы ни было Е, множество тех точек Е, которые не являются его
точками конденсации, не более чем счетно.
Мощность совершенных и замкнутых множеств. Если Е—непустое
совершенное множество в евклидовом пространстве, то оно имеет мощность
континуума.
Если Е — несчетное замкнутое множество в евклидовом пространстве,
то оно пред ставимо в виде суммы совершенного множества (множества точек
конденсации) и множества не боже чем счетного (теорема Кантора — Вендик-
сона).
Отсюда вытекает, что любое замкнутое множество в евклидовом
пространстве либо не более чем счетно, либо имеет мощность континуума.
* Т. е. интервалами, если множество Е находится на прямой, или
открытыми кругами, если Е — на плоскости, нлн открытыми шарами, если Е —
в трехмерном пространстве, и т. д.
3 ю С. Очан
33

Строение открытых, замкнутых, совершенных множеств на прямой. Любое
открытое множество G на прямой может быть представлено (притом
единственным образом) в виде суммы конечной или счетной совокупности попарно
непересекающихся интервалов. Эти интервалы называются составляющими
интервалами множества G. Среди составляющих интервалов могут быть и
бесконечные интервалы Еида: (—<х>; о), (6; -f-00), (—°о; +°°).
Всякое замкнутое множество F на прямой может быть получено
вычитанием из всей числовой прямой конечной или счетной совокупности попарно
непересекающихся интервалов (эти интервалы называются смежными
интервалами множества F; они также определяются единственным образом по
данному F). Если замкнутое множество F ограничено (причем inf F=a, sup F=b),
то под смежными интервалами мы будем, обычно, подразумевать только те,
которые лежат на сегменте [а; Ь].
Замкнутое множество является совершенным тогда и только тогда, когда
ни одна пара смежных интервалов не имеет общих концов.
ЗАДАЧИ
209. Дана последовательность чисел alt а2, а3, .... ап, ...;
известно, что следующие ее подпоследовательности:
^1» ^3' ^о» ^7» * ' "' Q"2k—1> **•
&2> ав> аЮ' ^14! ■••> Й(2А— 1)-2» ■••
^4> ^12' ^20' ^28' • " •> ®-(2k—1)-25> »••
й2(' йз.2г> а5.21- а7.2'* ..., а(2й_1).2г, -•■
все сходятся, и притом к одному и тому же числу Ъ. Следует
ли отсюда сходимость заданной последовательности?
210. Дана последовательность чисел at, a2, —, ап, ...;
известно, что две ее подпоследовательности
&тгч @mZ9 • • •» ®mfe> " * •
Ofij» @nz> . . •» О njj,j • • •
сходятся к одному и тому же пределу Ъ (индексы \тъ т2, ...,
mk, } и {tiy, п2, ..., nk, ...| в своей совокупности составляют
все множество натуральных чисел). Доказать, что данная
последовательность также сходится (притом к тому же пределу).
211*. Показать на примере, что существует такая
ограниченная последовательность {/„(я)} элементов пространства С [а; Ь]
(Q (/п. 0) < Л для всех п), из которой нельзя выделить
сходящейся подпоследовательности.
212. 1*. Доказать, что если R — полное метрическое
пространство, а Е— его замкнутое подмножество, то Е также является
полным метрическим пространством.
34

212. 2*. Пусть/? — какое-либо (полное или неполное)
метрическое пространство, Е — его незамкнутое подмножество. Доказать,
что Е является неполным пространством.
212. 3*. Пусть Сх [—1; 1] — пространство непрерывных на
1
[—1; 1] функций с расстоянием q(/; g)= \ \f(x) — g{x)\ dx (см.
задачу 115). Доказать, что С, [ — 1; 1] — неполное пространство.
212. 4*. Доказать, что С [а; Ь]—полное пространство.
212. 5*. Доказать, что подмножество пространства С [а; Ь],
состоящее из всех непрерывных функций, удовлегворяющнх
неравенству А < Да) < В (где А < В — заданные числа), есть полное
пространство.
212. 6*. Пусть F(x) и G(x) — две фиксированные функции,
непрерывные на [а; Ь] и удовлетворяющие всюду на la; b]
неравенству F (х) <; G (х). Доказать, что подмножество пространства
С [а; Ь], состоящее из всех непрерывных функций f(x),
удовлетворяющих неравенству F(x)^f (x) < G (х), есть полное
пространство.
213. Может ли счетное множество Е на плоскости иметь
континуум предельных точек, ни одна из которых не принадлежит
самому множеству Е?
214. Может ли множество Е континуальной мощности,
расположенное на плоскости, иметь континуум предельных точек,
причем ни одна из предельных точек множества Е не
принадлежит Е?
215. Доказать существование хотя бы одной точки
конденсации у несчетного множества на отрезке; доказательство провести
методом последовательного деления основного отрезка на 2 равные
части; затем на 4 части; на 8 частей и т. д.
216. Пусть Aj и А2 — два множества на плоскости, Вг и В2 —
множества их точек конденсации. Доказать, что множество точек
конденсации множества А1 (J А.г совпадает с множеством Вг (J Б2.
217. Можно ли обобщить предыдущую теорему на счетную
совокупность множеств Аг, А2, ..., Ak, на плоскости?
Для дальнейшего нам надо дать определение связного множества
Множество Е, расположенное в пространстве R, называется несвязным,
если Е можно представить в виде суммы двух непустых множеств Е = A U В
таких, что А не включает ни одной точки прикосновения множества В,
а В не включает ни одной точки притосновения множества А.
Если же Е нельзя представить в виде суммы непустых множеств А к В,
обладающих указанным выше свойством, то множество Е называется связным
218. Доказать, что множество Е связно тогда и только тогда,
когда его нельзя представить в виде суммы двух непустых
множеств Е=А и В, для которых выполняется равенство:
(А(]В) U(Bll Д)=0.
3*
35

219. Пусть £ — замкнутое множество. Доказать, что £ связно
в том и только в том случае, если его нельзя представить в виде
суммы двух непустых непересекающихся замкнутых множеств.
220. Доказать, что если множество Е связно, то его
замыкание Е тоже связно. Показать на примере, что обратное
утверждение неверно.
221. Доказать, что сегмент является связным множеством.
222. I) Доказать, что замкнутый круг является связным
множеством. 2) Доказать, что замкнутый шар является связным
множеством.
223. Пусть Ех и £2 — два связных множества, имеющие
непустое пересечение. Доказать, что множество £=£, U £s также
связно.
224. Доказать, что для множеств, расположенных на прямой,
имеет место следующее утверждение: «Множество Е на прямой
связно в том и только в том случае, если для любых двух точек
хг£Е и х2 £ Е отрезок [хг, х21 включается в множество £>>.
225. Доказать, что следующие множества являются связными
множествами на прямой: а) сегмент la; b\; б) интервал (а; Ь);
в) полусегмент (а; Ь]; г) полусегмент la; b); д) луч la; -f-oo);
е) луч (а; +со); ж) луч (— со; а]; з) луч (— ее, а); и) вся прямая
(—со, +оо); к) одноточечное множество; л) пустое множество.
Доказать, что никакое другое множество на прямой, кроме
множеств вида а) — л) (при всевозможных а и b, a < b), не
является связным.
226. Доказать, что плоскость является связным множеством.
227. Доказать, что если для любых двух точек множества Е
найдется связное множество Q, содержащее эти точки и
включающееся в Е, то Е связно.
228. Доказать, что открытый круг на плоскости является
связным множеством.
229. Доказать, что открытый круг на плоскости не может быть
представлен в виде суммы двух непустых непересекающихся
открытых множеств.
230. Доказать, что на плоскости не существует множества,
которое было бы одновременно открытым и замкнутым (за
исключением пустого множества и всей плоскости).
231. Доказать, что на прямой не существует множества, которое
было бы одновременно открытым и замкнутым (за исключением
пустого множества и всей прямой).
232. Можно ли открытый круг на плоскости представить в виде
пересечения двух открытых множеств, отличных от всей плоскости
и в сумме составляющих всю плоскость?
233. Показать на примере, что расстояние между двумя
непересекающимися замкнутыми множествами может равняться нулю
(если эти множества неограничены).
36

234. Привести пример таких двух замкнутых неограниченных
множеств А и В, что q(A; jB)=1 и что не существует точек
а £А и Ь£ В, для которых q(cz; 6)=1.
235. Дано счетное замкнутое множество Е = J0; 1; —; —; ...;
—; .... Его покрывает система интервалов:
(1-е, 1^>.(—; —J, ^—, — ), .... (^—, —у, ...
и (—е; е); здесь е — заданное положительное число, меньшее,
чем 1/2. Выделить из этой системы интервалов конечную систему,
покрывающую множество Е.
236. Дано счетное множество Е=\\\ —; —; ...; —; 1. Его
\ 2 4 ' 2" j
покрывает система интервалов:
л 1 I \ .1-е 1+е\ 1—е 1+е\
(1-е; Ц-в)^—; _); ...; |—; ~J; ....
где 0 < е < —. Можно ли из этого покрытия выделить конечное
покрытие множества Е?
237. Дано замкнутое счетное множество £={1, 2, 3, ...,
п, ...}; его покрывает бесконечная система интервалов
(1-е; 1+е); (2-е; 2+е); (3-е; З-fe); ...; (п~ е; п+е);
где 0 < е <^—. Можно ли из этого покрытия выделить конечное
покрытие?
238. Рассмотрим открытый круг Е единичного радиуса с
центром в точке О; проведем концентрическую окружность С радиуса
— и построим семейство всевозможных открытых кругов ради-
2
уса —, центры которых лежат на окружности С. Эти открытые
крути образуют бесконечное покрытие множества Е. Доказать, что
из этого покрытия нельзя выделить конечного покрытия.
239. Можно ли из того покрытия круга Е, которое
рассмотрено в задаче 238, выделить счетное покрытие?
240. Совокупность открытых кругов, рассмотренная в задаче
238, покрывает замкнутый круг радиуса I ■— ее центром в точке
О (где е — заданное число, 0<[е<—). Как из этого покрытия
выделить конечное покрытие?
241. Доказать, что на плоскости имеется счетная
последовательность открытых кругов Gt, G2, G3, ..., G„, ..., обладающая
тем свойством, что любое открытое множество Е есть сумма
некоторой совокупности кругов из этой последовательности.
37

242. Доказать, что из любого покрытия открытыми
множествами произвольного множества Е на плоскости можно выделить
счетное покрытие того же множества.
243. Построить пример ограниченного открытого множества
на прямой, покрытого окрестностями таким образом, что из этого
покрытия нельзя выделить конечного покрытия.
244. Верна ли теорема: «Из любого покрытия замкнутого
ограниченного множества замкнутыми окрестностями можно выделить
конечное покрытие»? (Замкнутой окрестностью называется
замыкание открытой окрестности.)
245. Верна ли теорема: «Из любого покрытия замкнутого
ограниченного множества открытыми множествами можно выделить
конечное покрытие»?
246. Множество Е называется компактом, если из любого
покрытия этого множества окрестностями можно выделить
конечное покрытие. Доказать, что всякий компакт является замкнутым
ограниченным множеством.
247*. Показать на примере, что в пространстве С существуют
замкнутые ограниченные множества, не являющиеся компактами.
248. Доказать, что если Е — нигде не плотное множество
точек на прямой, то множество А точек вида х+а (где х^Е, с£>0
фиксированное число) также является нигде не плотным.
249. Пусть Е — всюду плотное множество на прямой; А —
какое-либо конечное подмножество множества Е. Доказать, что
множество Е\А также всюду плотно на прямой.
250. Существуют ли такие два всюду плотные несчетные
множества на прямой, пересечение которых пусто?
251. Можно ли построить такую счетную совокупность всюду
плотных несчетных множеств на прямой
F F F
что пересечение любых двух из этих множеств пусто (т. е.
Ет[}Еп=(£ при любых тфп)?
252. Доказать, что для любого замкнутого множества F на
прямой найдется конечное или счетное подмножество Е такое,
что £=f.
Для дальнейшего (задачи 253—257) нам понадобится понятие предельного
множества последовательности.
Множество F на прямой называется предельным для числовой
последовательности а1з а2, . . ., ап, . . ., если для каждой точки xB£F существует
подпоследовательность ап ап , . . ., сходящаяся к х0, и обратно, всякая
сходящаяся подпоследовательность данной последовательности сходится к некоторой
точке из F.
253. Построить последовательность, предельное множество
которой пусто.
254. Доказать, что если предельное множество некоторой
последовательности пусто, то последовательность модулей членов
этой последовательности сходится к +°°-
зе

255. Построить последовательность, для которой предельным
множеством служит вся прямая.
256. Доказать, что предельное множество любой
последовательности замкнуто.
257. Доказать, что каково бы ни было замкнутое множество
F на прямой, можно построить последовательность, для которой F
служит предельным множеством.
Введем понятие частичной суммы ряда, которое нам понадобится в
задачах 258—267.
со
Рассмотрим абсолютно сходящийся ряд £ Un. Пусть и={пг, «„, п3 ,.. .}—
п=1
произвольное множество натуральных чисел (бесконечное, конечное или пустое).
со
Частичной суммой ряда £ Un, соответствующей множеству П, называется сле-
п=1
дующая сумма: X Un (в частности, частичной суммой, соответствующей пустому
пеп
множеству натуральных чисел, является число 0; частичной суммой, со,-
оо \
ответствующей множеству всех натуральных чисел, является сумма ряда £ Un ].
258. Построить ряд с положительными членами, у которого
множество всех частичных сумм совпадает с сегментом-10; 11.
259. Построить ряд с положительными членами, у которого
множество всех частичных сумм совпадает с канторовым
совершенным множеством.
260. Доказать, что множество всех частичных сумм сходящегося
ряда с положительными членами является совершенным множеством.
ОС
261. Пусть 2 ап—-абсолютно сходящийся ряд; доказать,
что множество частичных сумм этого ряда является замкнутым
множеством.
262. Доказать, что если абсолютно сходящийся ряд содержит
бесконечно много членов, отличных от нуля, то множество его
частичных сумм является совершенным множеством.
263. Доказать, что если сумма абсолютно сходящегося ряда
равна s, то множество Е частичных сумм этого ряда симметрично
относительно точки — (т. е. если х£Е, то и s — х£Е).
264. Может ли множество частичных сумм абсолютно
сходящегося ряда иметь изолированные точки? Может ли этих точек быть
бесконечно много?
со
265. Пусть 2 ап — сходящийся ряд с положительными члена-
ми такой, что а1>с;2>а3> ...; доказать следующее утверждение:
«Для того чтобы множество частичных сумм этого ряда было
сегментом, необходимо и достаточно, чтобы для любого натурального
со
числа п выполнялось неравенство ап^. 2 аА
39

268. Пусть 2 ап — расходящийся ряд с положительными чле-
нами (а„>-0 для всех п). На такой ряд легко распространяется
определение частичной суммы ряда: если ряд 2 ап сходится, то
пел
его сумму будем называть частичной суммой исходного ряда.
ОС
Доказать, что если 2 ап — расходящийся ряд с ПОЛОЖИТеЛЬ-
ными членами, причем lim а„=0, то множество всех частичных
п-*-оо
сумм этого ряда является лучом [0, со).
267. Может ли множество всех частичных сумм расходящегося
ряда с положительными членами иметь бесконечно много
изолированных точек?
268. Пусть G— открытое всюду плотное множество на прямой.
Доказать, что для любого интервала / найдется интервал /0 такой,
что /0с/пС
269. Доказать, что пересечение счетного числа открытых
всюду плотных множеств на прямой является всюду плотным
множеством.
270. Доказать, что пересечение счетного числа открытых,
всюду плотных на la; b] множеств на прямой имеет мощность
континуума.
271. Доказать, что сумма счетной совокупности нигде не
плотных множеств на прямой не может заполнить всю прямую.
272. Доказать, что пересечение конечного или счетного числа
всюду плотных множеств типа G3 на прямой есть всюду плотное
множество типа Ge.
273. Привести пример последовательности всюду плотных
множеств Elt Е2, ..., Еп, ... на прямой, таких, что Ег^Е2п ...:э
=> Еп гэ ... и что их пересечение пусто: П Еп= 0.
п
274. Доказать, что множество всех рациональных чисел на
прямой не является множеством типа Gs.
275. Доказать, что множество всех иррациональных чисел на
прямой не является множеством типа Fa. ч"
276. Пусть Е — произвольное счетное всюду плотное
множество на прямой. Доказать, что оно не является множеством типа G5.
277. Пусть Е — дополнение к счетному всюду плотному
множеству на прямой. Доказать, что оно не является множеством типа F3.
278. Доказать, что множество всех рациональных чисел,
расположенных на произвольном полусегменте [а, р"), не является
множеством типа Ge; доказать, что множество иррациональных
чисел, расположенных на том же полусегменте, не является
множеством типа Fa.
279. Построить пример множества на прямой, не являющегося
ни множеством типа Fa, ни множеством типа G6.
40

280. Доказать, что если A1^A2^i ... зДр ..., где Ап—
непустые замкнутые ограниченные множества на прямой
(диаметры которых не обязательно стремятся к нулю), то их пересечение
непусто.
281. Пусть /41r>/42z) ... гэЛл=э ...—последовательность
непустых ограниченных открытых множеств; показать на примере,
что их пересечение может оказаться пустым.
282. Доказать, что если Л1=зЛ2г> ... :эЛ„ ~> ..., где Ап —
непустые ограниченные открытые множества на прямой, такие, что
Ап+1аАп для любого п, то их пересечение П Ап непусто.
J п
283. Доказать теорему: если последовательность замкнутых
ограниченных множеств на прямой Аг, Л2, ..., Ап, ... такова, что
пересечение любой конечной совокупности этих множеств непусто,
то пересечение всех множеств этой последовательности также
непусто.
284. Остаются ли в силах утверждения, содержащиеся в
задачах 280, 282 и 283, если отказаться от требования
ограниченности множеств Аг, А2, ..., Ап, ...? Если нет, то привести
соответствующие примеры.
285. Можно ли представить канторово множество в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся .непустых
замкнутых множеств?
286. Представить замкнутый квадрат в виде суммы
континуума попарно не пересекающихся непустых совершенных
множеств.
287. Дано некоторое множество Е точек на плоскости.
Известно, что нижняя грань всевозможных расстояний между
различными точками этого множества положительна. Доказать, что
множество Е не более чем счетно.
288. Обозначим через Е множество всех середин смежных
интервалов канторова множества. Что представляет собой
производное множество множества Е? Что представляет собой его
замыкание £? Что представляет собой второе производное множество?
Как разложить Е на сумму совершенного и счетного множества?
289. Пусть D — канторово множество, Uv U2t ... — все
его смежные интервалы (конечной длины). Рассмотрим
множество Е, являющееся суммой канторова множества D, сегментов
7б„
и точек ап~\ ; ап-\—-, где ап-—левый ко-
8 8
нец интервала Uп\ Ьп — его длина.
Является ли множество Е замкнутым? Если да, то разложите
его на сумму совершенного и счетного множеств.
290. На прямой даны сегмент [а; Ь] и совершенное множество
Е, причем концы сегмента не принадлежат Е. Доказать, что
множество Е Г) \а; Ы является совершенным.
41

291. На прямой даны интервал (а; Р) и совершенное нигде не
плотное множество Е. Доказать, что их пересечение является
либо совершенным множеством, либо суммой счетной совокупности
попарно не пересекающихся совершенных множеств.
292. На прямой даны два совершенных нигде не плотных
множества Р и Q. Доказать, что разность этих множеств P\Q
является либо совершенным множеством, либо суммой счетной
совокупности попарно не пересекающихся совершенных множеств.
293. Доказать, что сумму счетной совокупности совершенных
нигде не плотных множеств можно представить в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся совершенных
нигде не плотных множеств.
294. Доказать, что прямую нельзя представить в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся сегментов.
295. Можно ли представить интервал (а; Ь) в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся сегментов?
296. Можно ли представить сегмент [а; Ь] в виде суммы
счетной совокупности попарно не пересекающихся непустых сегментов?
297. Представить отрезок [0; 1] в виде суммы двух непересе- -
кающихся множеств А и В, всюду плотных на отрезке [0; 1] и
обладающих тем свойством, что для любых а и р\ таких, что
0<a<j5<l, пересечения (а; $)(}А и (а; $){}В имеют мощность
континуума.
298. Известно, что канторово множество имеет следующую
арифметическую структуру: оно состоит из тех и только из тех
точек отрезка [0; 1], которые могут быть записаны в виде
троичной дроби, не содержащей единицы в числе своих троичных
знаков. Доказать это.
299. Какова арифметическая структура множества точек
первого рода (т- е. концов смежных интервалов) канторова множества?
Какова арифметическая структура точек второго рода (т. е.
остальных точек канторова множества)?
300. Найти какую-либо точку канторова множества первого
рода, заключенную между числами 0,1 и 0,2.
301. Найти какую-либо точку канторова множества второго
рода, заключенную между числами 0,05 и 0,1. Можно ли выбрать
эту точку так, чтобы она была рациональной?
302. Два точечных множества М и N на прямой называются
подобными, если между элементами этих множеств можно
установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок
следования (иначе говоря, если хх £ М, х2 £М, уг£ N, у2 £ N, х1
соответствует ух и х2 соответствует у2> то из х1<^х2 вытекает, что
Доказать, что множество всех двоично-иррациональных точек
отрезка [0; 1] подобно множеству всех точек второго рода
канторова множества.
42

303. Является ли множество всех рациональных точек отрезка
|0; 1] подобным множеству всех точек первого рода канторова
множества?
304. Доказать, что любое счетное подмножество интервала
{0; 1), плотное на нем, подобно множеству всех
двоично-рациональных точек этого интервала.
305. Существует ли интервал, содержащий точки первого рода
канторова множества, но не содержащий ни одной точки второго
рода?
306. Доказать, что если Е — непустое совершенное множество
на прямой, то для любой точки х £ Е найдется такая точка у £ Е,
что расстояние между х и у иррационально.
307. Какова мощность множества всех открытых множеств на
прямой?
308. Какова мощность множества всех открытых множеств на
плоскости? (Указание. Использовать результат задачи № 241.)
309. Какова мощность множества всех замкнутых множеств на
прямой? На плоскости?
310. Какова мощность множества всех совершенных множеств
на прямой? На плоскости?
311. Доказать, что множества, построенные в примерах 199—
201, являются совершенными множествами.
312. Существует ли на прямой непустое совершенное нигде не
плотное множество, все точки которого иррациональны?
313. Пусть Е — произвольное счетное множество точек на пря«
мой. Существует ли совершенное множество точек на прямой,
не содержащее точек множества Е?
314. Пусть Е0 — совершенное нигде не плотное множество на
отрезке [0; Ц, а (аг; р\), (а2; Р2) ..-., (а„; рп), ... —его смежные
интервалы. Построим на каждом сегменте [аг; pj (i = I, 2, 3, ...)—
совершенное нигде не плотное множество £гс: [аг, $t]. Доказать,
что 1) множество F, являющееся суммой множеств Е0 [) Ег и Е2 {}
U... U Et\J ..., —совершенно и нигде не плотно на [0; 1];
2) все смежные интервалы к множествам Еъ Е2, Е3, ... * и тольчо
они являются смежными интервалами к множеству F.
315. Занумеруем все рациональные точки плоскости: Mly Mz,
, Мп, ... (точка на плоскости называется рациональной, если
обе ее координаты являются рациональными числами). Обозначим
через vn открытый круг с центром в точке Мп радиуса — (а—за-
данное положительное число). Доказать, что множество Е на
со
плоскости, дополнительное к множеству U vn, является замкну-
гс=1
тым и нигде не плотным.
* Под смежными интервалами к множеству Et при i > 1 мы подразумеваем
интервалы, дополняющие множество Et до сегмента [а,-; Р/].
43

316. Построим на плоскости множество А следующим образом:
12 1
разделим квадрат 0<х<1, 0<у<1 прямыми х=—, х——, у=—,
о о о
2 ~ ...
у= — на 9 равных квадратов и выкинем центральный открытый
квадрат/т. е. квадрат — <Х—, — <У<1—1- Затем, каждый из
оставшихся 8 замкнутых квадратов делим на 9 равных квадратиков
и выбрасываем все центральные открытые квадратики; далее
продолжаем этот процесс неограниченно. Множество, оставшееся
после счетного числа шагов, обозначим А (оно называется «ковер
Серпинского»). Доказать, что это множество является
совершенным и нигде не плотным,. Исследовать арифметическую структуру
этого множества.
317. Построим на плоскости множество В следующим
образом: разделим замкнутый квадрат 0<х<1, 0<у^ 1 прямыми
12 12
х =—, х=—; У——; у=— на 9 равных квадратов, и четыре
О О О О
замкнутые квадрата, примыкающие к вершинам основного
квадрата, назовем квадратами первого ранга, а их сумму обозначим Вх
(рис. 1, а). Затем каждый из квадратов первого ранга разделим на
9 равных замкнутых квадратиков, и те из них, которые
примыкают к вершинам соответствующего квадрата первого ранга, назовем
квадратами второго ранга; сумму всех 16 замкнутых квадратов
второго ранга обозначим через В2 (рис. 1, б). Далее, делим каждый
квадрат второго ранга на 9 равных замкнутых квадратов и назовем
квадратами третьего ранга те из них, которые примыкают к
вершинам соответствующих квадратов второго ранга; сумму всех 64
Рис. 1, а. Оставлено незаштрихованным Рис. 1,6. Оставлено незаштрихованиьш
множество Вг. множество В2-
44

замкнутых квадратов третьего ранга обозначим через В3, и т. д.
Ясно, что BjDBa^BgZ) Общую часть всех Bk назовем «клад-
' бищем Серпинского» и обозначим через B:B=[}Bk.
k
Доказать, что В является совершенным нигде не плотным
множеством. Исследовать арифметическую структуру этого множества.
318. «Канторовой гребенкой» называется множество Е на
плоскости Оху, состоящее из всех тех точек М (х, у), координаты
которых удовлетворяют следующим условиям: 0<х<1, у€Д где
D — канторово множество на оси Оу. Доказать, что оно является
совершенным нигде не плотным множеством, и исследовать его
арифметическую структуру.
319. Можно ли множества Л («ковер Серпинского»), В
(«кладбище Серпинского») и Е («канторову гребенку») выразить через
канторово множество с помощью действий дополнения (до отрезка
[0; 1]) и произведения?
ГЛАВА 7
МЕРА МНОЖЕСТВ
Нуль-множества. Множество Е точек на прямой называется ну
ль-множеством, если для всякого е > 0 можно найти конечную или счетную систему
интервалов, покрывающую Е и такую, что сумма длин этих интервалов меньше,
чем е.
Примеры нуль-множеств на прямой: любое конечное или счетное множество,
канторово совершенное множество.
Нуль-множество Е на плоскости определяется аналогично, с заменой
конечной или счетной системы интервалов — конечной или счетной системой
открытых кругов, сумма площадей которых меньше, чем е.
Аналогично определяется и нуль-мыожество в трехвдерном евклидовом
пространстве.
Свойства нуль-множеств: 1) любое подмножество нуль-множества есть
нульмножества; 2) сумма конечной или счетной совокупности нуль-множеств есть
нуль-множество; 3) результат конгруэнтного переноса нуль-множества есть
нульмножество.
К-семейства и борелевское семейство. Семейство 91 множеств на прямой
называется К-семейством, если оно обладает следующими свойствами:
а) Ш содержит все интервалы.
б) Из того, что множества Mt, М2, . .. входят в семейство 91, следует,
со
что сумма этих множеств U Мп также входит в семейство 51 (т. е. семейст-
п=\
во 91 инвариантно относительно счетного суммирования).
в) Из того, что М^Щ, следует, что СМ£Ж (т. е. 51 инвариантно
относительно дополнения).
г) Из того, что УМ £91, следует, что Ма £91, где Ма— множество,
получившееся из М в результате конгруэнтного переноса на вектор а (иными
словами, К-семейство инвариантно относительно конгруэнтного переноса).
Пример К-семейства на прямой: семейство всех множеств на прямой,
/(-семейство на плоскости определяется аналогично, с заменой первого
свойства на следующее:
а) Семейство 91 содержит все открытые круги.
Таким же путем определяется К-семейство и в трехмерном пространстве
45

Свойства К-сем ей ств. 1) Всякое К-семейство включает в себя все
открытые множества, все замкнутые множества, все множества типа Fa и типа Ge .
2) Всякое К-семейство инвариантно относительно счетного (и тем более
конечного) пересечения.
3) На прямой существует минимальное К-семейство, т. е. такое
К-семейство, которое включается в любое К-семейство на прямой; на плоскости и в
трехмерном пространстве также существуют минимальные К-семейства.
Определение. Минимальное К-семейство на прямой (или на
плоскости, или в пространстве) называется Борелевским семейством на прямой
(или на плоскости, или в пространстве).
Всякое множество, входящее в Борелевское семейство, называется
Борелевским множеством или В-множеством. Ясно, что, в частности, В-множе-
ствами на прямой (на плоскости, в пространстве) являются все открытые
множества на прямой (на плоскости, в пространстве), все замкнутые множества,
все множества типа Fc ,типа Ge и многие другие.
Измеримые множества. Множество Е называется измеримым по Лебегу (или
просто измеримым), если существует такое В-миожество А и такие
нуль-множества а и Р, что А\а с:£с: ^4 UP- Иначе говоря, множество Е называется
измеримым, если оно отличается от некоторого В-множества А не более чем на
нуль-множество.
Свойства измеримых множеств:
1) Всякое В-множество измеримо.
2) Всякое нуль-множество измеримо
3) Сумма конечной или счетной совокупности измеримых множеств есть
измеримое множество.
4) Дополнение к измеримому множеству измеримо.
5) Результат конгруэнтного переноса измеримого множества есть измеримое
множество.
Из свойств 1, 3, 4, 5 вытекает, что семейство измеримых множеств есть
К-семейство. Поэтому:
6) Пересечение конечной или счетной совокупности измеримых множеств
есть измеримое множество.
7) Разность двух измеримых множеств есть измеримое множество.
Отметим также, что не всякое множество на прямой (на плоскости, в
пространстве) измеримо; иными словами, на прямой (на плоскости, в
пространстве) существуют неизмеримые множества. Более того, всякое измеримое
множество, не являющееся нуль-множеством, содержит неизмеримое подмножество.
Мера множества. Линейной мерой измеримого множества Е на прямой
называется неотрицательное число тЕ (конечное или +оо), удовлетворяющее
следующим условиям:
а) Если Е является интервалом, то тЕ является длиной этого интервала.
б) Если Elt £2, £3. - • ■ — конечная или счетная совокупность измеримых
множеств попарно без общих точек, то мера суммы этих множеств равна сумме их
мер:
m (£/£„)=2/п£„.
п п
в) Для любого измеримого множества Е и любого числа е > 0 существует
открытое множество G, включающее £, такое, что m(G\E) < е.
Аналогично определяется плоская мера тЕ измеримых множеств на
плоскости с заменой (в определении) условий а) следующим условием:
а) Если £ является открытым кругом, то плоская мера тЕ равна площади
этого круга.
Таким же путем определяется объемная мера тЕ измеримых множеств
в трехмерном пространстве.
Свойства меры: 1) Линейная мера, удовлетворяющая условиям а),
б), в), однозначно определена для всех измеримых множеств на прямой.
46

Аналогичное обстоятельство имеет место для плоской меры (по отношению
к измеримым множествам на плоскости) и для объемной меры (по отношению
к измеримым множествам в пространстве).
2) Если А и В— два измеримых множества такие, что А гз В, то тА>тВ.
3) Если Л zd В — два измеримых множества, причем тВ < оо, то т(А\В)==
—тА — тВ.
4) Если Ех, Е2» . ■ •— измеримые множества (может быть, даже
пересекающиеся) , то мера суммы этих множеств не превосходит суммы их мер: га (UEn) < Е тЕп
п п
(предполагается, что число слагаемых множеств конечно или счетно).
5) Измеримое множество Е имеет меру нуль тогда и только тогда, когда
оно является нуль-множеством.
6) Для любого измеримого множества Е и любого числа е > 0 существует
такое замкнутое множество jF, включающееся в Е, что m(E\F)<s.
7) Мера всякого измеримого множества Е является верхней гранью мер
замкнутых множеств, включающихся в Е, и нижней гранью мер открытых
множеств, включающих Е:
mF=sup mF='ml tnG.
8) Мера измеримого множества сохраняется при его конгруэнтном переносе.
9) Если E^cz. E2a Escz ... — возрастающая последовательность
измеримых множеств, то мера суммы этих множеств равна пределу мер Еп при п-^-со:
т (UEn)=\\m mEn.
10) Если Etz2 Ег^> Eszd .. .— убывающая последовательность измеримых
множеств, причем т£1<оо, то мера пересечения этих множеств равна пределу
мер Еп при п -*■ оо:
«г(П £„)=Hmm£„.
П П-+СО
ЗАДАЧИ
320. Доказать, что всякое множество Е, расположенное на оси
Ох (даже если оно является неизмеримым множеством на
прямой), измеримо на плоскости Оху и его плоская мера равна нулю.
321. Доказать, что совокупность всех измеримых множеств
на прямой (а также на плоскости) имеет мощность 2е
(гиперконтинуум).
322. Построить на отрезке [0; 1] совершенное нигде неплотное
множество, линейная мера которого равна 0,9.
323. Построить на отрезке [0; 1] совершенное нигде неплотное
множество заданной меры а (где 0 <; а <; 1).
324. Можно ли построить на отрезке [0; 1] совершенное нигде
не плотное множество меры 1?
325. Построить на квадрате [0; 1]хЮ; 1] совершенное нигде
не плотное множество, плоская мера которого равна заданному
неотрицательному числу а (0^ а <[ 1).
326. Какова плоская мера множества, построенного в задаче
316 («ковер Серпинского»)?
327. Какова плоская мера множества, построенного в задаче 317
(«кладбище Серпинского»)?
47

длины — ; такие же интервалы vt (длины -] опишем около
каждой точки Ь,-. Покроет ли множество ( U ut) U (U v{) всё множе-
i i
ство £? Что можно сказать о мере множества (и и-) U ( U «,-)?
I i
358. Обозначим через Е множество всех тех точек квадрата
[0; 1]х[0; 1], у которых обе координаты иррациональны. Построить
совершенное подмножество MczE так, чтобы плоская мера
множества М была положительна.
359. Можно ли представить отрезок [0; 1] в виде суммы двух
непересекающихся измеримых множеств А к В так, чтобы для
любого интервала (а; Ь)с[0; 1] имело место: т{(а; Ь)Г|Л}>0 и
т{(а; Ь)ПВ}>0?
360. Может ли сумма счетной совокупности совершенных нигде
не плотных множеств на отрезке [а; Ь] иметь меру, равную Ь — а?
361. Может ли сумма счетной совокупности совершенных нигде
не плотных попарно непересекающихся множеств на отрезке [а; Ь]
иметь меру, равную Ь — а?
362. Существует ли несчетное множество меры нуль, плотное
на сегменте 10; 1]?
363. Пусть Е±, Е%, .. .■— последовательность измеримых множеств
на отрезке [0; 1], обладающая тем свойством, что для любого е]> 0
найдется такое множество Ek из этой последовательности, что
mEk> 1 — е. Доказать, что мера суммы этих множеств равна 1.
364. На отрезке [0; 13 заданы два измеримых множества Ах и
Аг таких, что тАх-\-тА£>\. Доказать, что пересечение Л1пД
имеет положительную меру.
365. На отрезке [0; 1] заданы п измеримых множеств Аг,
Л2, , Ап таких, что сумма их мер больше, чем п — 1:
тА1+тА%+ • • • +тЛ„>п—1.
п
Доказать, что пересечение П Аь имеет положительную меру.
366. Пусть Е — неизмеримое множество на прямой, а А —
множество меры нуль, расположенное на той же прямой. Доказать,
что множество Е Г) С А неизмеримо.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ГЛАВА 8
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
Если каждой точке х множества R поставлена в соответствие по
определенному закону некоторая вполне определенная точка у множества L, то говорят,
что задано отображение R в L; это отображение называется также функцией,
преобразующей R в L. При этом R называется областью определения функции
или множеством определения функции.
Обозначим через / (х) какую-либо функцию, определенную в R и
принимающую значения в L. Пусть AdR. Тогда через / (А) обозначается множество всех
тех и только тех y£L, которые являются значениями функции / (х) хотя бы
для одного х£А- Множестю f (А) называется образом множества А. В
частности, образ всей области определения (т. е. множество f(R)czL) называется
областью значений или множеством значений функции f(x).
Пусть В — какое-либо подмножество множества f(R). Обозначим через f—г (В)
множество тех и только тех точек х из R, для которых значения функции
включаются в В. Множество f—1(B) называется прообразом множества В.
ЗАДАЧИ
367. Пусть А — произвольное множество из области определения
функции f(x). Верно ли равенство /_1[/(Л)]=Л?
368. Пусть В — произвольное множество из области значений
функции /(х). Верно ли равенство: /[/_1(B)]=B?
369. Верны ли утверждения:
f{A\)B)=f(A)Vfm
ДЛПВ)=/(Л)П/(В)?
Если какое-либо из этих утверждений неверно, то привести
противоречащий пример.
370. Доказать, что если y=f(x) является взаимнооднозначным
отображением множества R в множество f(R), то для любой
последовательности множеств А1г А2, А3, .... Ak ... (AkaR)
справедливы равенства:
' /(U /У- U f(Ak),
k k
/(nAd=n/(A),
ft ft
/(НтД0=Ит/(4),
f(\\mAk)=\\mf(Ak).
4*
51

371. Какие из равенств, рассмотренных в предыдущей задаче,
перестают быть верными, если отображение y=f(x) не является
взаимно однозначным?
372. Верно ли, что f (R\A)=f (R)\f (А), где R — область
определения функции?
373. Пусть А и В — два множества из области значений
функции y=f(x). Верны ли равенства:
/-ЧЛпвнгч^п/-1^).
f-\A\lB)=f-\A)\lf-\B?)
374. Пусть L — область значений функции y=f(x), a AczL.
Справедливо ли равенство: /-1(L\^4)=/~1(L)\/~1(/4)?
375. Пусть y=f{x) — какая-либо функция, а множества Alt
А2, ..., Ак,... являются подмножествами ее области значений.
Верны ли равенства:
Г1 (и Ак)= и Н (Л), f-Ч п Л)= п ГW.
k к к k
/-ЧПпГЛ&)=11т /-1 {Ak), f-1 (Шн Яй)=Ит_/-1 (Л/г)?
ГЛАВА 9
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть функция y=f(x), заданная в евклидовом пространстве, принимает
числовые значения (иными словами, областью определения функции f {x) является
какое-либо множество А, расположенное в евклидовом пространстве Нп, а
областью значений — некоторое множество вещественных чисел).
Пусть Е — произвольное множество, расположенное в том же пространстве Нп.
Дадим определение непрерывности функции в точке х0 относительно
множества Е.
Определение 1 (Кош и). Функция f(x), определенная на
множестве А, называется непрерывной в точке Хо относительно множества Е, если
выполнены два условия:
\) хп£АГ\Е\
2) для любого в>0 существует такая окрестность U (х0) точки х0, что
для всех х£А[}ЕГ\11(х0) имеет место неравенство
IfW-fWKs.
Отсюда, в частности, следует, что если х% является изолированной точкой
области определения функции f (x), то эта функция непрерывна в точке х0
относительно любого множества Е, содержащего точку хп.
Из определения 1 следует также, что если х0 является изолированной точкой
множества Е, то любая функция f (x), определенная в точке х0, непрерывна в этой
точке относительно Е.
Если функция f(x) непрерывна в точке хп относительно некоторой ее
окрестности, то она называется полностью непрерывной в точке х0. В тех случаях,
52

когда это не будет приводить к неясности, мы будем опускать слово «полностью»,, i
и будем называть функцию, полностью непрерывную в точке х0, просто
непрерывной в этой точке.
Ясно, что если функция полностью непрерывна в точке х0,- то она
непрерывна в этой точке также относительно любого множества Е, содержащего
точку
-Kofi р и м е р ы. 1) Функция у=х2, определенная всюду на Н1У непрерывна в
каждой точке хс£#,.
2) Функция Дирихле
( 1 при к рациональном,
f (*) = { „
[ О при х иррациональном,
определенная всюду на Н1г непрерывна в точке хй=у 2 относительно
множества всех иррациональных чисел; однако она не является полностью
непрерывной в этой точке.
3) Функция
f 10, если х2+у2< 1,
А*. У)Н г 2,21
[ 5, если *2+у2 > 1,
непрерывна в точке МЛ . I относительно замкнутого единичного
круга Е с центром в начале координат; однако она не является полностью
непрерывной в этой точке. Та же функция полностью непрерывна в любой точке
Mi(xu y/j), лежащей внутри круга Е\ следовательно, она непрерывна в точке /И,
также относительно какого угодно множества, содержащего точку Л11ш
Для функций одного переменного (т. е. функций, область определения
которых лежит на прямой Н^ можно говорить также об односторонней
непрерывности.
Функция f(x), определенная на числовой прямой или на ее части,
называется непрерывной справа в точке хи, если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента [хй\ Ь), где Ъ > х0; эта функция
называется непрерывной слева в точке х0, если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента (а; х0], где а < хп.
Легко видеть, что если функция непрерывна в точке х0 справа и слева, то
она полностью непрерывна в этой точке.
Дадим теперь другое определение непрерывности функции, эквивалентное
определению Коши.
Определение 2 (Гейне). Функция f(x), определенная на
множестве А, называется непрерывной в точке х0 относительно множебтва Е, если
выполнены два условия:
1) х0£АГ)Е;
2) для любой последовательности точек {х^} из А {\ Е, сходящейся к ха
(т. е. такой., что Ihtiq(a;/£, x0)=0) имеет место равенство
й-»со
lira f{xk)^f(x0).
fe-»oo
Колебание функции на множестве и в точке. Пусть функция fix)
определена на множестве А. Колебанием функции f (х) на этом множестве
называется разность между верхней и нижней гранями этой функции на множестве А:
(о / {х) =sup f (x) — inf f (x).
А А А
Заметим, что мы не требуем, чтобы функция / (х) была ограничена на
множестве А. Поэтому sup f (x) может равняться либо конечному числу (если f (к)
А
ограничена сверху на множестве Л), либо Н-со (если эта функция неограничена
53

сверху на А). Точно так же и inf / (х) может равняться либо конечному числу,
А
либо —оо. Следовательно,
О < €Of(x)< + QO.
А
Если AtCzAz, то sup f (х) < sup f (x)\ inf f(x) > inf / (x). Поэтому со f (je)<«> f (x).
Аг Аг Ai A2 Ai At
Пусть функция / (х) определена на множестве А, расположенном в
евклидовом пространстве; пусть Е — какое угодно множество, лежащее в том же
пространстве, и пусть x0(^Af}E. Колебанием функции f (х) в точке хв
относительно множества Е (обозначается со [f (x), х0, E]) называется предел, к
которому стремится колебание этой функции на множестве Ef] Vnn (x0) при
Qn-t-Q (здесь Vg (x0)—окрестность точких0 радиуса 6п).Этот предел (конечный
или равный +=о) всегда существует и не зависит от выбора последовательности
окрестностей {V^ (x0)} (лишь бы радиусы этих окрестностей стремились к нулю
при п -»• со). Итак*
со[/(лЛ, х„, £]=lim ea f (x).
v*° Env6 <«*)
J-
С помощью понятия колебания функции в точке можно дать третье
определение непрерывности функции, эквивалентное первым двум.
Определение 3 (Бэр). Функция f (x), определенная на
множестве А, называется непрерывной в точке хп относительно множества Е, если
х0£А(~]Е, и колебание функции в этой точке относительно множества Е
равно нулю:
a[f(x), x0, £]=0.
Точки разрыва. Пусть функция f (х) определена на множестве Е(ЕсНп);
точкой разрыва называется всякая точка из Е, в которой колебание функции
(относительно множества Е) не равно нулю; кроме того, к точкам разрыва мы
причисляем любую предельную точку области определения, не входящую в
область определения функции.
Пример. Функция y^sgnx (читается «сигнум икс»), определенная
равенствами: sgn х = 1 при х > О, sgn х = — 1 при х<0, sgn 0 = 0 — разрывна в
точке хв = 0.
Точка х0 называется точкой устранимого разрыва, если можно так изменить
значение функции только в этой точке (или доопределить функцию в этой точке,
если она в ней не определена), чтобы функция стала непрерывной в точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке. 1) Если <р (х) и i]5 (x) непрерывны
в точке х0 относительно множества Е, то сумма и произведение этих функций
также непрерывны в этой точке относительно Е.
2) Если ф (х) и •»)) (х) непрерывны в точке х0 относительно Е, причем
ФМ
Ф (хо) *£ 0, то функция — также непрерывна в этой точке
относительно Е.
3) Пусть функция у=<Р(х) непрерывна в точке хв относительно множества
Е (расположенного в пространстве Нп), причем ц> (хп)=у„\ пусть, кроме того,
функция одного переменного z=ty (у) непрерывна в точке у0 относительно
некоторого множества F на оси Оу. Тогда суперпозиция этих функций,
т. е. сложная функция z=if> гф (х)], непрерывна в точке хв относительно
множества £Лф~' (-0-
* Если, говоря о колебаний функции f (x) в точке хв, мы не указываем,
относительно какого множества Е рассматривается это колебание, то
подразумевается, что речь идет о колебании в точке хй относительно некоторой
окрестности этой точки. В этом случае колебание функции / (х) в точке ха
обозначается так: a(f(x), x0).
54

4) Если функция f(x) определена на множестве А и непрерывна в точке %
относительно Е, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (точнее
говоря, на пересечении множества А [) Е с некоторой окрестностью точки хв).
5) Если функция f(x) определена на множестве А и непрерывна в точке х0
относительно множества Е, причем / (х0) ~> О, то существует такая окрестность V(xB)
точки хп, что / (х) > 0 для всех х £ А Л Е Л V (л;,,); аналогичное утверждение
справедливо и тогда, когда f (х0) < 0. Коротко это выражают словами:
«Непрерывная в точке х0 функция сохраняет свой знак в некоторой окрестности этой
точки».
Ясно, что формулировки всех этих свойств упрощаются, если функции, о
которых идет речь, полностью непрерывны в соответствующих точках.
Укажем на еще одно очевидное свойство.
6) Пусть функция f (х) определена на Е, EtczE. Если в некоторой точке
Хц С; £i функция f (x) непрерывна относительно Е, то в этой же точке она
непрерывна и относительно Et.
Заметим, однако, что обратное утверждение неверно: функция может
оказаться непрерывной в точке х0 относительно Et (где Е1сЕ), но не быть
непрерывной в этой точке относительно всего множества Е.
Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве.
Определение. Пусть функция y=f(x) определена на множестве Е.
Если она непрерывна во всех точках множества Е относительно этого
множества, то она называется непрерывной на Е.
Мы рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на замкнутом
ограниченном множестве евклидова пространства.
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве Е, то она ограничена на нем (т. е. существует такое число С > 0,
что | f (x) | < С для всех х^Е).
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве Е, то она достигает своей верхней и своей нижней грани на этом
множестве, т. е. существуют такие точки хх(^Е, х-2(~Е, что
f{xl)=sup f (х); f(x2) = M f(x).
xsE ' xzE
Для того чтобы сформулировать теорему 3, дадим определение равномерно
непрерывной функции.
Функция f (х), определенная на множестве Е, называется равномерно
непрерывней на Е, если для любого е>0 существует б>0 такое, что для всяких
х' £ Е и х" £ Е таких, что q (х', х") < б, выполнено неравенство:
\f(x')-f{x")\<z
Легко видеть, что если f (x) равномерно непрерывна на Е, то она
непрерывна на множестве Е; обратное угверждение, вообще говоря, неверно; однако,,
если Е—замкнутое ограниченное множество, то справедлива и обратная
теорема (теорема 3).
Теорема 3. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве Е, то она равномерно непрерывна на нем.
Множество точек разрыва. Пусть функция f (x) определена на замкнутом
множестве Е. В этом случае все точки разрыва (если они есть) принадлежат
множеству Е. Имеет место следующее утверждение:
Множество В всех точек разрыва функции, определенной на замкнутом
множестве, является множеством типа Fc
Отсюда легко вытекает, что множество точек непрерывности функции,
заданной на замкнутом множестве, является множеством типа G6
Характеристическая функция. Пусть Е — произвольное множество, лежащее
в евклидовом пространстве. Характеристической функцией этого множества
называется функция, задаваемая следующими равенствами:
%Е(х)= 1 при х£Е; ХЕ (х)=0 при х^Е
55

Так, например, функция Дирихле, равная 1 для всех рациональных чисел
и 0 для всех иррациональных чисел, является характеристической функцией
множества рациональных чисел на прямой.
Непрерывные функции одного переменного. Пусть у=/ (х) функция,
областью определения которой является множество Е, совпадающее с числовой
прямой или являющееся ее частью. Тогда мы говорим, что f (х) является
функцией одного вещественного переменного. Для непрерывных функций одного
вещественного переменного справедливы, разумеется, все теоремы,
сформулированные выше для функций, определенных в евклидовом пространстве; однако,
кроме того, функции одного переменного обладают также некоторыми своими
специфическими свойствами. Сформулируем их.
Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x)
непрерывна на сегменте [а; 6], то для любого е>0 существует такой многочлен
Р(х), что для всех х£[а; Ь] справедливо неравенство:
\f(x) — P(x)\<e.
Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f (х) непрерывна
на сегменте |0; 2зт], причем f (0)=^ (2я), то для любого е>0 существует такой
тригонометрический многочлен Т (х):
ап п
Т(х)= [-"V (a/i cos kx+bk sinkx),
2 -^J
что для всех х £ [0; 2зт] выполнено неравенство:
\f(x)—T(x)\<e.
Теорема 3. Если f(x) непрерывна на [а; Ь], причем f(d)=A\ f(b)=B,
и если С — какое-либо число, заключенное между А и В, то существует такая
точка с £ fa; b], что f(c)=C.
Пусть функция f(x) задана на всей прямой или на некотором ее отрезке.
Точка разрыва хЛ функции f (х) назьюается точкой разрыва 1-го рода, если
существуют оба односторонних предела при х -» л:0:
lim f(x) и lim f(x).
x-*xt—0 x-^-jtj-f-O
и они оба конечны. Если же хотя бы один из этих пределов не существует или
существует, но равен бесконечности, то говорят, что ха является точкой разрыва
2-го рода
Производная. Для функций одного переменного можно определить
производную в точке х:
,,. . .. f(x+h)-f(x)
Y (x) = hm — ;
/i-*o я
доказывается, что если производная в точке х существует, то функция f (х) не
прерывна в этой точке; обратное утверждение неверно: функция может быть
непрерывной в точке х, но не иметь в этой точке производной. Более того,
как показал Вейерштрасс, существуют функции, непрерывные на \а; Ь\, но
не имеющие производной ни в одной точке сегмента [а; Ь].
Если производная функции f{x), заданной на сегмевте [a; b], существует
всюду иа этом сегменте*, то говорят, что функция f(x) имеет точную производ-
* При этом предполагается, что в точке а функция имеет правую производную
/ .. f (a+h) — f (a) \
т. е. hm , в точке b — левую.
\ л-*+о я J
56

ную на [а, Ь]. В этом случае функцию f'(x) называют точной производной (она»
определена всюду на fa; 6]). Если функция имеет точную производную на [а; Ь],
то эта точная производная сама не обязана быть непрерывной функцией.
Например, функция
( 1
х2 sin — при х =f= О,
f(x) = \ х
[ 0 при х=0
имеет производную всюду на (—ее; +со); однако эта производная разрывна
в точке х=0. Эга производная может быть задана следующими равенствами:
I о 1 1
| 2х sin — — cos — при х ф О,
f (*) = ) х х
{ 0 при х=0.
Однако точная производная не может иметь разрывов 1-го рода (следовательно,
она в каждой точке отрезка fa; b] либо непрерывна, либо имеет разрыв 2-го-
рода) Эго вытекает из следующего свойства точных производных:
Теорема Дарбу. Если функция f (x) имеет точную производную на
\а; Ь], причем f'(a)=A, f'(b)=B,tno длялюбого С, заключенного между А и В,
существует такая точка с £ {а; Ь\, что f (c)=C.
ЗАДАЧИ
376. Доказать, что непрерывным образом всякого замкнутого-
ограниченного множества является замкнутое ограниченное
множество.
Примечание. Если функция f(x) определена и непрерывна
на Е, то /(£) называется непрерывным образом множества Е.
377. Показать на примере, что непрерывный образ замкнутого
неограниченного множества не обязательно является замкнутым-
множеством.
378. Доказать, что непрерывным образом замкнутого
множества является множество типа Fa.
379. Доказать, что непрерывным образом открытого множества
является множество типа Fa; показать на примере, что
непрерывный образ открытого множества не обязан быть открытым
множеством.
380. Пусть y=f(x) — непрерывная функция, определенная на
всей числовой прямой, а F — произвольное замкнутое множество
на оси Оу. Доказать, что множество f"1{F) замкнуто.
381. Пусть у=/(х) — непрерывная функция, определенная на
всей числовой прямой, а G—произвольное открытое множество на
оси Оу. Доказать, что множество f—1(G) открыто.
382. Доказать, что если А — множество типа FQ, а В —
множество типа G6 (оба на оси Оу) и если функция y=f(x)
непрерывна на всей числовой прямой (— со; +со), то /—1(.А)— множество
типа Fe , а /-1 (В) — множество типа Ge .
57

383. Может ли прообраз замкнутого ограниченного множества
при непрерывном отображении быть неограниченным?
384. Доказать, что функция y=f(x), определенная на всей
числовой прямой, непрерывна тогда и только тогда, когда прообразы
всех интервалов а <; у <i b являются открытыми множествами.
385. Доказать, что если функция y—f{x) определена на всей
числовой прямой и если прообразы всех множеств у^йи всех
множеств у > а замкнуты (при любом а), то функция / (х)
непрерывна во всех точках оси Ох.
386. Пусть функция, определенная на всей числовой прямой,
принимает только целые значения. Доказать, что множество точек
непрерывности такой функции является открытым множеством, а
множество точек разрыва замкнуто.
387. Доказать, что если f(x)— непрерывная на сегменте [а; Ь]
функция, то сумма множества Et \)EU\]E\^\] ... U-Eio^U •••
замкнута (здесь Еп — множество всех тех точек сегмента [а; Ь],
где п</(х)<п+1).
388. Говорят, что функция f(x), определенная на la; b],
обладает свойством Дарбу на отрезке [а; Ы, если для любых двух
точек на этом отрезке хх и х2(х1<[х2) и для любого числа С,
лежащего между / (jtj) и / (х3), найдется точка £ (хг <; £ <Г х2)
такая, что /(С)=С. Является ли выполнение свойства Дарбу
достаточным условием для непрерывности функции f{x) на отрезке
[а; Ы?
389. Является ли достаточным условием непрерывности
функции f(x) из [а; Ъ\ одновременное выполнение свойства Дарбу и
следующего свойства: для любого у0 множество тех точек х
отрезка [а; Ь), где f(x)=y0, замкнуто.
390. Пусть Е — произвольное счетное множество точек х отрезка
[а; Ь]. Построить функцию, разрывную во всех точках множества
Е и непрерывную в остальных точках отрезка la; b).
391. Пусть <р(х)— функция, заданная всюду на числовой
прямой, ограниченная на ней и непрерывная во всех точках, кроме
точки х=0; пусть 2ап — числовой сходящийся ряд с положитель-
п
ными членами, а множество {хп} — счетное всюду плотное
множество точек на прямой. Найти множество точек разрыва и
множество точек непрерывности функции
со
f(x)=yiak(p(x — xk).
k=\
392. Доказать, что функция, определенная на всей прямой, не
может быть непрерывной на счетном всюду плотном множестве Е
и разрывной в остальных точках прямой.
393. Построить функцию, определенную во всех точках
числовой прямой, разрывную всюду, кроме точек х—1 и х=—1, и
непрерывную в этих точках.
58

394. Построить функцию, разрывную во всех точках числовой
прямой, кроме точек х=0; ±1; ±2; ...
395. Каковы точки разрыва у функции, равной 1 в точках кан-
торова множества и равной 2 во всех остальных точках числовой
прямой. Будут ли эти точки разрыва первого или второго рода?
396. Построить функцию, определенную на сегменте [0; 3],
разрывную в каждой точке, изображаемой конечной десятичной
дробью, и непрерывную в точках, которые не могут быть изображены
с помощью конечной десятичной дроби.
397. Найти точки разрыва и точки непрерывности функции f{x)r
определенной на сегменте [О; 1] равенствами:
/(л;)=0 в точках канторова множества,
Дх)=1 в серединах смежных интервалов,
f(x) линейна на участках \ап, ——- и а ", I
(ап, Ьп) — смежный интервал.
398. Исследовать на непрерывность функцию, заданную на
сегменте [0; 1] следующими равенствами:
f(x)=0 в точках канторова множества,
/(х)=сд в середине n-го смежного интервала,
где
f(x) линейна на участках
ап, ^], р=±^, Ь„]. Предполага-
ется, что смежные интервалы канторова множества перенумеро-
/1 2 \
ваны в порядке убывания их длин: (ах; Ьх) = I—; — 1; (й2; Ь2)=
=(|;f); <*; ад=({;|); «* W=(^|); <*.; W=(£
27/
Рассмотреть случаи: а) последовательность \сп) такова, что
lim сп = 0; б) Итспф0; в) последовательность {сп} не имеет предела.
399. Построить функцию, непрерывную во всех иррациональных
точках отрезка [0; 1] и разрывную во всех рациональных точках.
400. Существует ли функция, непрерывная во всех
рациональных точках отрезка [0; U и разрывная во всех иррациональных
точках?
401. Построить функцию, непрерывную во всех точках
канторова множества и разрывную во всех точках смежных интервалов.
402. Построить функцию, непрерывную во всех точках
интервалов, смежных к канторову множеству, и разрывную всюду на
канторовом множестве.
403. Исследовать функцию, равную х- в рациональных точках
числовой прямой и —хг в иррациональных точках.
404. Функция / (х) определена следующим образом: она равна
нулю во всех точках некоторого совершенного, нигде не плотного
59

'множества на прямой; на каждом смежном интервале ее графиком
является полуокружность, диаметром которой служит этот
смежный интервал (причем у > 0). В каких точках эта функция
непрерывна?
405. Доказать, что для любой функции, определенной на
множестве А, имеет место равенство:
ш/(х)= sup \f(l)-f{n)\.
А £6-4; Г16Л
406. Доказать, что если функция f(x), определенная на
множестве Е, непрерывна в точке х0£Е, то и функция \f(x),
непрерывна в этой точке.
407. Привести пример функции f(x) такой, что f(x) разрывна
во всех точках отрезка [0; 1J, a \f{x)\ — непрерывная на [0; 1]
функция.
408. Функция f(x) определена на числовой прямой следующим
юбразом:
Дх)=0 в иррациональных точках;
(—1)р
f(x)=-—— в рациональных точках, представимых в виде несо-
я
кратимой дроби — ф0 (где qZ> 0);
Я
f{x)=\ при х=0.
Найти все ее точки разрыва и точки непрерывности.
409. Пусть Е — произвольное заданное множество типа F„ на
•числовой прямой. Построить функцию f(x), разрывную во всех
точках множества £ и непрерывную в остальных точках оси Ох.
410. Построить функцию f(x, у), разрывную во всех точках
квадрата [0; 1]хЮ; 1], но непрерывную, как функция одного
переменного х, при любом постоянном у£(0; П.
411. Функция двух переменных f(x, у) определена на квадрате
(0; Пх[0; I] следующим образом: в точках, где обе координаты
иррациональны или обе рациональны, f(x, у)=0; кроме того,
f (х, у)=0 там, где х=0 или у=0; в точках, где абсцисса равна
рациональному числу — > 0 (несократимая дробь; q > 0), а орди-
я
ната иррациональна, /(х, у)——; в точках, где абсцисса иррацио-
я
нальна, а ордината равна — >0 (# >•()), /(х, у)= В каких
я я
точках эта функция разрывна и где она непрерывна?
412. Являются ли равномерно непрерывными следующие
функции: 1) y=sin— на интервале (0; 1); 2) y=xsin — на интервале
X X
,(0; 1); 3) у—Зх на всей числовой прямой; 4) у=д:2 на всей
числовой прямой; 5) у= на луче (0; -t-oo)?
X
«60

413. Доказать, что если функция равномерно непрерывна на
ограниченном множестве Е, то она ограничена на Е.
414. Пусть f(x) и g(x)— функции, равномерно непрерывные на
Е. Является ли их сумма равномерно непрерывной на Е
функцией?
415. Пусть f(x) и g(x) — функции, равномерно непрерывные
на Е. Является ли их произведение равномерно непрерывной на Е
функцией? Является ли это произведение равномерно непрерывной
на Е функцией, если Е — ограниченное множество?
416. Доказать, что если функция f(x) определена и
непрерывна на луче 0 <; х <^-j-oo и lim f(x) существует, то она
равномерно непрерывна на этом луче.
417. Верно ли, что функция f(x), непрерывная и
ограниченная на луче 0<л;<; + со» равномерно непрерывна на этом
луче?
418. Является ли функция f(x), построенная в задаче 397,
непрерывной на множестве Е, где Е — дополнение к канторову
множеству до всего отрезка [0; 1]? Является ли эта функция
равномерно непрерывной на Е?
419. Зададим f(x) на [0; 1] следующим образом: / (х)=0
всюду на канторовом множестве D; /(х)=— на смежном интервале
первого ранга, т. е. на (—; — 1; f(x)=~ на смежных интерва-
лах второго ранга, т. е. на (-; —J и /—; —); вообще, /(х)=—
на всех смежных интервалах £-го ранга. Найти все точки разрыва
функции / (х).
Является ли эта функция равномерно непрерывной на
множестве CD (дополнение к канторову множеству до всего отрезка
Ю; 1])?
420. Доказать, что если функция y—f[x) равномерно
непрерывна на ограниченном множестве Е числовой прямой, то она может
быть продолжена на всю прямую с сохранением непрерывности
(т. е. существует непрерывная функция ц>(х), определенная на всей
прямой, и такая, что q>(x)=f(x) всюду на Е).
421. Привести пример функции f(x), которая непрерывна и
ограничена на ограниченном множестве Е, но которую нельзя
продолжить на всю числовую прямую с сохранением
непрерывности.
422. Доказать, что если функция f(x) непрерывна, но не
равномерно непрерывна на ограниченном множестве Е, то она не
может быть продолжена на всю числовую прямую с сохранением
непрерывности.
423. Пусть / (х) — функция, равномерно непрерывная на всей
числовой прямой. Доказать, что существуют два неотрицательных
61

числа А я В такие, что \f(x)\ < А \х\+В для всех х, —оо<;х<;
<+со.
424. Пусть Хе (х) — характеристическая функция множества Е.
Доказать, что для любых множеств Е, Elf Е% имеют место
равенства
X£,ni?.(*)sX£,(*)XE.(*).
ХА U Ег (X) 2 ХВ, М + ХС, (*) — У-Ег (X) %ES (X),
%се(х) = 1—хе(х).
425. Пусть M=Et П - - • П Еп, N=Et U - •. U Еп. Выразить %м (х)
и %N(x) через ХеД*), •••> Хе„(*).
426. Доказать, что характеристическая функция любого
множества Е разрывна в граничных точках этого множества и непрерывна
во всех остальных точках числовой прямой.
427. Доказать, что если ф (х) и я]з (х) непрерывны на [а; Ь],
то функция F(x)=max{(p(x); -ф (л:)} также непрерывна на [а; Ы.
428. Доказать, что если f(x) — непрерывная функция на
числовой прямой, то функция
If(x). если —a<^f(x)^ct,
а, если f(x)>a,
—а, если / (х) <; —а
также непрерывна всюду на числовой прямой. Здесь а — заданное
положительное число.
429. Пусть функция Дх) определена всюду на числовой
прямой. Доказать: для того чтобы f(x) была непрерывна во всех
точках, необходимо и достаточно, чтобы при любом й^>0 функция
[f(x)YLa была непрерывна во всех точках.
430. Построить пример функции f(x), заданной на [0; 1], у
которой как множество точек непрерывности, так и множество точек
разрыва всюду плотны на [0; 1] и имеют мощность континуума в
любом интервале (а, р)с=[0; 1].
431. Зададим функцию f(x, у) на квадрате [0; 1]х[0; 1]
следующим образом:
f(x, у)=0 в точках множества А (где А — «ковер Серпинского»,
см. задачу 316);
f(x, y)=l в центрах всех выбрасываемых квадратов;
f\x, у) линейна в каждом из четырех треугольников, на
которые делится диагоналями всякий выбрасываемый квадрат.
Является ли функция f(x, у) непрерывной в квадрате
[0; ПхЮ; 1]? Является ли она непрерывной на множестве
£•={[0; 1]х[0; 1]}\Л? Является ли она равномерно непрерывной
на Е?
432. Зададим функцию f(x, у) на квадрате 10; 1]х[0; 1]:
f(x, у)—0 в точках множества А (где А — «ковер Серпин-
ского»);
62

f(x, y)=— в центрах всех квадратов, выбрасываемых на п-ом
п
шаге;
f(x, у) линейна в каждом из четырех треугольников, на
которые делится всякий выбрасываемый квадрат своими диагоналями.
Является ли функция f(x, у) непрерывной в квадрате
[0; 1]х[0; 1]? На множестве £={[0; ПхЮ; 11}\Л? Является ли
она равномерно непрерывной в квадрате? На множестве £?
433. Функция z=—— непрерывна в открытом множестве
х2+у2
0 <.' хг-\-уР < 4 (открытый круг с выколотым центром); является
ли эта функция равномерно непрерывной в указанном множестве?
Является ли она равномерно непрерывной в открытом кольце
К*2+/<4?
434. Построить функцию, имеющую производную во всех
точках оси Ох, причем эта производная разрывна в начале координат
и неограничена в любой окрестности начала координат.
435. Построить на отрезке [0; 1] функцию, имеющую
производную во всех точках, причем эта производная разрывна на заданном
непустом совершенном нигде не плотном множестве.
436. Построить на отрезке [0; 1] функцию, имеющую
производную во всех точках, причем эта производная неограничена в любой
окрестности любой точки некоторого множества положительной
меры.
437. Существует ли функция f(x), производная от которой
существует во всех точках и совпадает с функцией Дирихле
(т. е. f (х)=1 в рациональных точках, /'(х)=0 в иррациональных
точках)?
438. Функция f(x) имеет производную во всех точках числовой
прямой. Может ли производная /' (х) быть разрывной и
монотонной?
439. Пусть во всех точках отрезка [а; Ь] существуют и правая,
и левая производные функции f(x). Верно ли, что /жв(л)
принимает все промежуточные значения (т. е. обладает свойством Дарбу)?
440. Построить непрерывную на всей прямой функцию,
имеющую производную во всех точках, кроме точек заданного счетного
ограниченного множества Е (в которых производная не существует).
441. Пусть А — произвольное непустое множество на прямой Нг.
Является ли функция @(х, А) непрерывной функцией от х?
442. На прямой даны два непересекающихся замкнутых
множества Е и F. Построить непрерывную на всей прямой функцию / {х),
равную 1 во всех точках множества Е, и 0 во всех точках
множества F.
443. На прямой даны п попарно не пересекающихся замкнутых
множеств Elt E2, ..., Еп; построить функцию f(x), непрерывную
всюду на прямой и такую, что для любого k, 1 ^ k ^ n имеет
место: f(x)=pk при х£Ек (где plt р.г, ..., рп — заданные числа).
63

444. На прямой дана счетная совокупность попарно не
пересекающихся замкнутых множеств Ek, причем ни одно из этих
множеств не включает точек прикосновения суммы всех остальных
множеств. Построить функцию f(x), непрерывную всюду на
прямой и такую, что для любого натурального числа k имеет место
f{x)—pk при x£Ek (где pk— заданные числа, такие, что ряд ^_pk
k
абсолютно сходится).
445. На прямой дана счетная совокупность попарно не
пересекающихся замкнутых множеств Ek, причем Ег содержит точки
прикосновения суммы остальных множеств. Пусть 2Р& — абсолютно
k
сходящийся ряд, в котором все РкФО. Доказать, что не существует
функции f(x), непрерывной на всей прямой и такой, что f{x)=pk
при x^_Ek для любого натурального числа k.
446. Сформулировать и решить задачи 441—445, если в их
условии считать, что множества А, Е, F, Ev ..., Еп, ... заданы не
на прямой, а в произвольном метрическом пространстве R (в
частности, на плоскости или в трехмерном евклидовом пространстве).
447. Построить функцию, определенную на всей прямой,
непрерывную в точке х0 относительно канторова множества D, но не
являющуюся полностью непрерывной в этой точке.
448. Верно ли утверждение: «Если f(x) непрерывна в точке хй
относительно любого счетного множества, содержащего точку х0,
то она полностью непрерывна в этой точке»?
449. Пусть функция двух переменных f (х, у) определена в
точке М0 (х0; у0) и в некоторой ее окрестности. Верно ли
утверждение: «Для того чтобы функция f(x, у) была полностью непрерывна
в точке М0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна
по любому лучу, исходящему из точки М0»?
450. Пусть функция f(x, у, z) определена во всем трехмерном
пространстве На и непрерывна в начале координат относительно
любой плоскости, проходящей через начало координат; можно ли
утверждать, что эта функция полностью непрерывна в начале
координат?
451. Пусть функция f(x, у) определена всюду на плоскости и
непрерывна в точке (0; 0) относительно любой архимедовой
спирали (з=о(ф — а) (при любых значениях постоянных а у- 0 и а).
Можно ли утверждать, что эта функция полностью непрерывна в
точке (0; 0)?
ГЛАВА 10
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
До сих пор (в 9-й главе) символом y=f (x) мы обозначали непрерывную
функцию, определенную в я-мерном евклидовом пространстве (или, в частности,
на числовой прямой) и принимающую числовые значения. Здесь мы дадим нею
торое обобщение этого понятия непрерывной функции.
64

Пусть y=f{x) — отображение некоторого множества Е евклидова пространства
Нп в евклидово пространство Нт. Это отображение называется непрерывным в
точке хй£Е относительно Е, если для любого 8 > 0 найдется такая
окрестность V6 (x0), что для всех x^EflV^ (x0) выполнено включение: f(x)£Ve (y0)
(где yo = f(x0)). Легко видеть, что многие свойства непрерывных функций
имеют место и для непрерывных отображений:
1) Если Е — замкнутое, ограниченное множество, и отображение y=f(x)
непрерывно во всех точках множества Е относительно Е, то образ множества
Е (т. е. f (Е)) ограничен в пространстве Нт.
2) Если отображение f (х) непрерывно на замкнутом ограниченном
множестве Е относительно Е, то это отображение равномерно непрерывно* на Е.
Непрерывное отображение множества Е (Ес:Нп) на множество Ег (£,сЩ
может быть задано аналитически с помощью т непрерывных функций от п
независимых переменных:
у1=Ф1(х1, х2,
У2=Ф2(*1, Х2,
Ут = Ч>т. (*и Х2, . . ., хп).
где хг, »2, • ••> хп—числовые переменные (координаты точки х), а
Ух, У2 Ут — координаты точки у.
Рис. 2
Так, например, функции
%2
У^У 4+4 • Уг =
arctg— при Xj=£0,
хх
я
— при я,=0, х2>0,
— при Х!=0, х2<0
осуществляют непрерывное отображение полукольца Е плоскости Oxjx^ (рис. 2)
на прямоугольник £j плоскости Оу^.
* Отображение f(x), определенное на ЕсНп, называется равномерно
непрерывным на Е. если для любого числа е > 0 существует 6>0 такое, что
для всяких х'^Е и х"£Е таких, что q (x', х")<д, имеет место:
Ю. С. Очаи
65

Кривая. Если Е— отрезок на числовой прямой, то непрерывный образ Et
этого отрезка в евклидовом пространстве Нт называется кривой,
расположенной в Нт. Так, например, уравнения y1=cosjf1, y^smx^ отображают отрезок
0^Лх^2я на окружность единичного радиуса в плоскости Оу{у2.
Важным примером непрерывного отображения является отображение,
задаваемое с помощью кривой Пеано. Под этим подразумевается такое непрерывное
отображение }>1=ф(0. У2='Ф(0, ПРИ котором образом отрезка £(0«^<1)
является замкнутый квадрат O^y^l, 0^у2^1 на плоскости Оу^у^.
Существование такого непрерывного отображения было доказано Пеано в 1890 году
(пример такого непрерывного отображения приведен ниже, в задаче 465).
Проектирование. Рассмотрим еще один способ непрерывного отображения —
проектирование на ось множества, расположенного на плоскости.
Проекцией точки М £ Оху на ось Ох называется пересечение с осью Ох
прямой линии, проходящей через точку М под заданным углом а к оси Ох.
Проекцией множества ЕсОху на ось Ох называется множество проекций
всех точек множества Е на ось Ох; при этом проектирование всех точек
множества Е проводится под одним и тем же углом а к оси Ох.
Проекция множества, проведенная под углом 90° к оси, называется
ортогональной (или прямоугольной) проекцией.
Проекция множества, проведенная под углом, отличным от прямого,
называется косоугольной проекцией.
Арифметическая сумма множеств. Для решения некоторых задач нам
понадобится понятие арифметической суммы множеств.
Арифметической суммой двух множеств Е и F, расположенных на
числовой прямой, называется множество всевозможных сумм вида х+у, где х^Е,
y£F. Арифметическая сумма множеств Е и F обозначается E(£)F.
Так, например, арифметической суммой сегмента [1; 2] и интервала (4; 6)
является интервал (5; 8).
ЗАДАЧИ
452. Доказать, что непрерывным образом замкнутого
ограниченного множества является замкнутое ограниченное множество.
453. Пусть y=f(x) — непрерывное отображение евклидова
пространства Нп в евклидово пространство Нт. Доказать, что
прообразом всякого замкнутого множества является замкнутое
множество.
454. Доказать, что при тех же условиях прообразом всякого
открытого множества G пространства Нт является открытое
множество.
455. Доказать, что если прообразы всех открытых кругов при
отображении у=/ (х) пространства Нп на плоскость Н2 являются
открытыми множествами, то отображение y=f(x) является
непрерывным.
456. Доказать, что если прообразы всех замкнутых множеств
при отображении y—f(x) пространства Нп на плоскость Я2 явля-
югся замкнутыми множествами, то отображение y=f(x) является
непрерывным.
457. Пусть / (х) — отображение множества EczH„ на множество
Ег~Нт. Доказать, что для непрерывности f(x) в точке х0£-Е
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xk\
точек из множества Е, сходящейся к х0 (т. е. такой, что
66

q(4, *o)~*0 при &-»co), имело место: Шп/(*£)=/(*„) (т. е.
fe-»-30
©(/(■**)• /(*о))^° при £->со).
458. Пусть y=f{x) — взаимно однозначное непрерывное
отображение множества Е на Ег. Обязано ли обратное отображение
множества Ех на Е быть непрерывным? Если да — доказать, если
нет — привести примеры.
459. Пусть y=f{x)— взаимно однозначное непрерывное
отображение замкнутого ограниченного множества Е на множество Ev
Доказать, что обратное отображение множества Ег на Е непрерывно.
460. Пусть y~f(x)— взаимно однозначное непрерывное
отображение замкнутого неограниченного множества Е на Et. Обязано
ли обратное отображение быть непрерывным? Если нет — привести
примеры.
461. Пусть y=f(x) — взаимно однозначное непрерывное
отображение множества Е на Ev Доказать, что если Е не имеет
изолированных точек, то £х также не имеет изолированных точек.
Остается ли в силе это утверждение, если f(x) — непрерывное, но
не взаимно однозначное отображение?
462. Верно ли утверждение: «Если y—f(x)— непрерывное
отображение множества Е на Е1 и если Е1 не имеет изолированных
точек, то Е также не имеет изолированных точек»? Будет ли
верным аналогичное утверждение, если f(x) — непрерывное взаимно
однозначна отображение Е на £г?
463. Пусть y=f(x)— непрерывное взаимно однозначное
отображение Е на £х; Е — замкнутое ограниченное множество в Нп.
Доказать, что если Et не имеет изолированных точек, то и Е не
имеет их.
464. Доказать, что не существует взаимно однозначного
непрерывного отображения сегмента [0; 1 ] на замкнутый квадрат
[0; 1]х№; 1].
465. Пусть M=f(t) — непрерывное отображение отрезка [0; 1]
оси Ot на весь квадрат 10; 11x10; 1] плоскости Оху («кривая Пеа-
но»). Это отображение осуществим следующим образом. Разделим
отрезок [0; 1] на четыре равных сегмента первого ранга, а
заданный квадрат — на четыре равных замкнутых квадрата первого
ранга; сегменты первого ранга занумеруем слева направо, а квадраты
первого ранга — в том порядке, как указано на рисунке 3, а. Далее,
каждый сегмент первого ранга разбиваем на четыре равных
сегмента второго ранга, а каждый квадрат первого ранга — на четыре
равных замкнутых квадрата второго ранга; получившиеся в результате
16 сегментов второго ранга нумеруем слева направо, а квадраты
второго ранга нумеруем так, чтобы два квадрата с соседними
номерами имели общую сторону (например, так, как
показано на рисунке 3, б). Далее, разбиваем каждый сегмент второго
Ранга на 4 сегмента третьего ранга и нумеруем все сегменты
5*
6?

2
1
3
4
a
6
5
и
1
7
8
3
2
10
9
14
15
11
12
13
16
7 2345678910111213141515
i i i i i i i i i i i i
22
21
20
17
16
15
2
1
23
24
19
18
13
%
3
4-
26
25
30
31
12
9
В
5
27
2В
23
32
11
10
7
6
38
37
36
33
54
55
58
5У
33
4-0
35
31*
53
56
57
60
42
Ц
46
47
52
51
62
61
43
а
45
4S
49
50
63
64
64
6
Рис. 3
третьего ранга слева направо, а каждый квадрат второго ранга —
на четыре квадрата третьего ранга и нумеруем все квадраты
третьего ранга по тому же правилу, что и квадраты второго ранга
(например, так, как на рис. 3, б). Далее, продолжаем этот процесс
неограниченно.
Поставим в соответствие каждому сегменту я-го ранга с
номером I квадрат того же ранга п с тем же номером i. Так мы
установим взаимно однозначное соответствие между сегментами и
квадратами одного и того же ранга; заметим, что это соответствие
обладает следующим свойством: если сегмент n-го ранга Ьх соот-
68

ветствует квадрату n-го ранга Vlt а сегмент п+1-го ранга б2 —
квадрату и+1-го ранга Vs, и если бхзб2, то V^zdV^.
Теперь устанавливаем отображение отрезка [0; 1J оси Ot на
заданный квадрат следующим образом. Пусть t6— какая-либо точка
отрезка [0; 1]. Построим последовательность сегментов: бх (первого
ранга); б2 (второго ранга); ...; 6„ (я-го ранга); ..., содержащих
точку t0; этой последовательности сегментов соответствует
последовательность квадратов Vt, V2, ..., Vn, ...; при этом, так как
йг^;б2з.. .=>6nz3 ..., то V^zdV^zd. . .ZDVnzD Так как diam V„->0
при п^О, то существует единственная точка М0, принадлежащая
всем Vn. Ее мы и ставим в соответствие точке t0.
Можно доказать (см., например, Фролов Н. А., Теория
функций действительного переменного, 1961, стр. 114—116), что: а)
каждой точке t0£[0; 1] отвечает только одна* точка М0 из
данного квадрата; б) при этом отображении получаются все точки
квадрата (хотя некоторые точки М из квадрата имеют, в качестве
прообраза, не одну точку t из отрезка; иначе говоря, данное
отображение не взаимно однозначно); в) это отображение M=f(f)
непрерывно во всех точках t (Е Ю; 1 ].
Доказать, что при этом отображении прообразом любого
вертикального сегмента I (х=х0; 0^.у<1), принадлежащего квадрату
[0; 1]х.[0; 1], является совершенное множество на отрезке [0; 1]
оси Ot.
466. Использовав результат предыдущей задачи, доказать, что
отрезок [0; 1] можно представить в виде суммы континуума
совершенных множеств попарно без общих точек.
467. Является ли кривая Пеано в той конструкции, которая
дается в задаче 465, замкнутой кривой (т. е. имеет ли место
равенство /(0)=/(1))?
468. Построить трехмерную кривую Пеано (т. е. найти
непрерывное отображение сегмента [0; 1] на замкнутый куб
[0; UxtO; llxtO; 1]).
469. Доказать, что проектирование на ось Ох множества Е,
расположенного на плоскости Оху, является непрерывным
отображением.
* Дело в том, что если tP — двоично-рациональная точка отрезка [0; 1], то
ей соответствуют две различные последовательности сегментов, содержащих эту
точку: \zDe2ZD. . .ZDbnZD. .. иб1г>6.:э . . .ZDb'nZD .. .; им отвечают две
различные последовательности вложенных квадратов: V1z^V2zd . . . ZDVnZD ... и
ViDVo . . .zdV nZ3. . . . Для того чтобы доказать, что точке t0 соответствует
только одна точка М0, надо доказать, что f)Vn=r\Vn. Заметим, что в цити-
п п
рованной книге Фролова этот факт не доказывается: предлагаем читателю
доказать это самостоятельно.
Отметим также, что на странице 115 этой книги (строки 2—3) имеется
опечатка. Напечатано: «имели по крайней мере одну общую точку»; следует
читать: «имели общую сторону».
69

470. Всегда ли проекция на ось Ох плоского открытого
множества является открытым множеством на прямой?
471. Всегда ли проекция на ось Ох плоского замкнутого
множества является замкнутым множеством на прямой?
472. Даны две пересекающиеся оси на плоскости. Доказать,
что при ортогональном проектировании каждое несчетное
множество проектируется по крайней мере на одну из этих осей в
несчетное множество.
473. Доказать, что арифметическую сумму множеств Е и F
{т. е. множество E(QF) можно построить следующим образом:
поместим Е на оси Ox, F — на оси Оу, и построим множество ExF
на плоскости Оху; затем
спроектируем ExF на ось Ох с помощью
косоугольной проекции (с углом
проектирования, равным 135°);
полученная проекция и будет
множеством EQ)F (рис. 4).
474. Доказать, что
арифметическая сумма двух замкнутых
ограниченных множеств является
замкнутым ограниченным
множеством.
475. Что представляет собой
арифметическая сумма двух канторовых совершенных множеств?
476. Доказать, что если множество А на прямой является
открытым, то, каким бы ни было множество В, арифметическая
сумма AQ)B является открытым множеством.
477. Пусть Е и F — два множества на прямой. Рассмотрим
множество S всех чисел вида q(£, tj), где Z£E, i\£F. Доказать,
У
$—/
70

что S может быть построено следующим образом; поместим Е на
оси Ox, F — на оси Оу, и возьмем произведение ExF. Затем
спроектируем ExF на ось Ох с помощью косоугольной проекции (под
углом 45° к оси Ох). Ту часть этой проекции, которая лежит на
положительной части оси Ох, обозначим через А, а на
отрицательной— через В. Тогда S=A и Въ где В± — зеркальное отображение
множества В относительно начала координат (рис. 5).
478. Пусть Е и F — два замкнутых ограниченных
множества на оси Ох. Доказать, что множество всевозможных чисел вида
£>(£> 'Ч)> гДе £ 6 £> 'П € ^. является также замкнутым ограниченным
множеством на оси Ох.
479. Что представляет собой множество всевозможных
расстояний между точками канторова множества?
480. Пусть А — открытое множество на оси Ох, В —
произвольное множество на той же оси. Доказать, что множество
всевозможных расстояний между точками t, £ А и т) £ В является либо
открытым множеством, либо суммой открытого множества и
одноточечного (начала координат).
ГЛАВА 11
МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
Монотонные функции. Функция f (x) от одного вещественного
переменного называется возрастающей на множестве £, если она определена всюду на Е
и если для любых хг^Е, х3^Е таких, что х1<х2, выполнено неравенство
f{xi)^f{xz). Если же для всех х±^Е, x^^E, xt<x^ выполнено неравенство
f(xi)<f(x%), то функция называется строго возрастающей.
Аналогично определяются убывающая и строго убывающая функции.
Если функция возрастает на множестве Е или убывает на множестве Е, то
■она называется монотонной на Е\ аналогично определяется строго монотонная
функция.
Если функция монотонна на отрезке \а\ Ь], то множество ее точек
разрыва не более чем счетно (см. задачу 67 из главы 3), и все ее точки разрыва —
первого рода.
Вариация функции. Пусть функция f (x) задана на [а; Ь]; разобьем [а; Ь]
на п отрезков точками хх<Х2<. . .<xn—i; обозначим, кроме того, а=Хд, Ъ=хп.
Рассмотрим следующую сумму:
<Т=Е |/(*г)-/(*/-i)|.
Эта сумма зависит от способа разбиения сегмента \а\ Ь). Если для
всевозможных разбиений сегмента [а; Ь\ эта сумма не превосходит некоторого
положительного числа, то говорят, что функция f (x) имеет ограниченную вариацию
(или ограниченное изменение) на la; b\. При этом верхняя грань сумм а при
всевозможных разбиениях а; Ь] называется вариацией функции / (х) (или пол-
Ъ
ным изменением функции / (х)) и обозначается V/:
а
W=sup s \П*д — /te-i)|,
a i—\
где sup берется по всевозможным разбиениям отрезка \а\ Ь\.
71

371. Какие из равенств, рассмотренных в предыдущей задаче,
перестают быть верными, если отображение y=f{x) не является
взаимно однозначным?
372. Верно ли, что f(R\A)=f(R)\f(A), где R — область
определения функции?
373. Пусть А и В— два множества из области значений
функции y=f(x). Верны ли равенства:
f-1(AnB)=f-1(A)f]f-1(B),
f-1(AuB)=f-\A)uf-1(B^)
374. Пусть L — область значений функции y=f(x), a AcL.
Справедливо ли равенство: /~1(L\/4)=/~1(L)\/~1(/4)?
375. Пусть y=f(x) — какая-либо функция, а множества Аи
А2, ..., Ak,... являются подмножествами ее области значений.
Верны ли равенства:
Г1 (и Ak)= и f-1 (Л), f-\ n Ak)= n rW.
k к k k
/-1(iIm"^&)=Tim /-1 (Ak), Z"1 (lim ЛА)=Ит_/-1 (Л/е)?
ГЛАВА 9
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть функция y=f{x), заданная в евклидовом пространстве, принимает
числовые значения (иными словами, областью определения функции f (x) является
какое-либо множество А, расположенное в евклидовом пространстве Нп, а
областью значений — некоторое множество вещественных чисел).
Пусть Е — произвольное множество, расположенное в том же пространстве Нп.
Дадим определение непрерывности функции в точке х0 относительно
множества Е.
Определение 1 (Кош и). Функция f(x), определенная на
множестве А, называется непрерывной в точке хо относительно множества Е, если
выполнены два условия:
1) х0 £ А Г) Е;
2) для любого в>0 существует такая окрестность U (х0) точки х0, что
для всех x£A[]E[)U(x0) имеет место неравенство
l/W-/(-OR е.
Отсюда, в частности, следует, что если х0 является изолированной точкой
области определения функции f (x), то эта функция непрерывна в точке х0
относительно любого множества Е, содержащего точку хп.
Из определения 1 следует также, что если хв является изолированной точкой
множества Е, то любая функция f (x), определенная в точке х0, непрерывна в этой
точке относительно Е.
Если функция f(x) непрерывна в точке хп относительно некоторой ее
окрестности, то она называется полностью непрерывной в точке х0. В тех случаях,
52

когда это не будет приводить к неясности, мы будем опускать слово «полностью»,,
и будем называть функцию, полностью непрерывную в точке х0, просто
непрерывной в этой точке.
Ясно, что если функция полностью непрерывна в точке х0, то она
непрерывна в этой точке также относительно любого множества Е, содержащего
точку
-Kofi ри м е р ы. 1) Функция у=л3, определенная всюду на Hi, непрерывна в
каждой точке хо^Ну.
2) Функция Дирихле
( 1 при х рациональном,
/(*) = { п
[ 0 при х иррациональном,
определенная всюду на Нг, непрерывна в точке x0=V 2 относительно множе-
1 всех ирраци
в этой точке
3) Функция
ства всех иррациональных чисел; однако она не является полностью
непрерывной в этой точке.
fix, У) =
10, если х2+у2 < 1,
5, если х^+у2 > 1,
, V'2 V Ч .
непрерывна в точке МЛ . I относительно замкнутого единичного
круга Е с центром в начале координат; однако она не является полностью
непрерывной в этой точке. Та же функция полностью непрерывна в любой точке-
Mi(xu у!), лежащей внутри круга Е\ следовательно, она непрерывна в точке /И,
также относительно какого угодно множества, содержащего точку Alt.
Для функций одного переменного (т. е. функций, область определения
которых лежит на прямой Н{\ можно говорить также об односторонней
непрерывности.
Функция f(x), определенная на числовой прямой или на ее части,
называется непрерывной справа в точке xtu если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента [х0; Ь), где Ь > ха; эта функция
называется непрерывной слева в точке х0, если она непрерывна в этой точке
относительно некоторого полусегмента (а; х0], где а < хп.
Легко видеть, что если функция непрерывна в точке х0 справа и слева, то
она полностью непрерывна в этой точке.
Дадим теперь другое определение непрерывности функции, эквивалентное
определению Коши.
Определение 2 (Гейне). Функция f(x), определенная на
множестве А, называется непрерывной в точке ха относительно множества £, если
выполнены два условия:
1) х0£АГ)Е;
2) для любой последовательности точек {х^} из А С\ Е, сходящейся к ха
(т. е. Tai«Mj что hm £>(*£, я0)=0) имеет место равенство
й-»со
lira f {xk)=f (x0).
ft-»oo
Колебание функции на множестве и в точке. Пусть функция fix)
определена на множестве А. Колебанием функции f (x) на этом множестве
называется разность между верхней и нижней гранями этой функции на множестве А:
(о / {х) =sup / (х) — inf f {x).
А А А
Заметим, что мы не требуем, чтобы функция / (х) была ограничена на
множестве А. Поэтому sup f (х) может равняться либо конечному числу (если f {x)
А
ограничена сверху на множестве А), либо -|-оо (если эта функция неограничена
53

444. На прямой дана счетная совокупность попарно не
пересекающихся замкнутых множеств Ek, причем ни одно из этих
множеств не включает точек прикосновения суммы всех остальных
множеств. Построить функцию f{x), непрерывную всюду на
прямой и такую, что для любого натурального числа k имеет место
f(x)—pk при x(^Ek (где рк — заданные числа, такие, что ряд 2/\.
k
абсолютно сходится).
445. На прямой дана счетная совокупность попарно не
пересекающихся замкнутых множеств Ek, причем Et содержит точки
прикосновения суммы остальных множеств. Пусть £р*— абсолютно
к
сходящийся ряд, в котором все р^фО. Доказать, что не существует
функции /(х), непрерывной на всей прямой и такой, что f(x)=pk
при х £ Ek для любого натурального числа k.
446. Сформулировать и решить задачи 441—445, если в их
условии считать, что множества А, Е, F, Ev . . ., Еп, ... заданы не
на прямой, а в произвольном метрическом пространстве R (в
частности, на плоскости или в трехмерном евклидовом пространстве).
447. Построить функцию, определенную на всей прямой,
непрерывную в точке х0 относительно канторова множества D, но не
являющуюся полностью непрерывной в этой точке.
448. Верно ли утверждение: «Если f (х) непрерывна в точке х0
относительно любого счетного множества, содержащего точку х0,
то она полностью непрерывна в этой точке»?
449. Пусть функция двух переменных f (х, у) определена в
точке М0(х0; у0) и в некоторой ее окрестности. Верно ли
утверждение: «Для того чтобы функция f(x, у) была полностью непрерывна
в точке М0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна
по любому лучу, исходящему из точки М0»?
450. Пусть функция f(x, у, г) определена во всем трехмерном
пространстве Н3 и непрерывна в начале координат относительно
любой плоскости, проходящей через начало координат; можно ли
утверждать, что эта функция полностью непрерывна в начале
координат?
451. Пусть функция f(x, у) определена всюду на плоскости и
непрерывна в точке (0; 0) относительно любой архимедовой
спирали р=а(ф — а) (при любых значениях постоянных а > 0 и а).
Можно ли утверждать, что эта функция полностью непрерывна в
точке (0; 0)?
ГЛАВА 10
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
До сих пор (в 9-й главе) символом у=}{х) мы обозначали непрерывную
функцию, определенную в я-мериом евклидовом пространстве (или, в частности,
на числовой прямой) и принимающую числовые значения. Здесь мы дадим
некоторое обобщение этого понятия непрерывной функции.
64

Пусть y=f (х) — отображение некоторого множества Е евклидова пространства
//„ в евклидово пространство Нт. Это отображение называется непрерывным в
точке х,,£Е относительно Е, если для любого е > 0 найдется такая
окрестность '/6 (х,,), что для всех x^Ef\Vb (ха) выполнено включение: f (х) £ Vg (y„)
(где y,) = f(xa)). Легко видеть, что многие свойства непрерывных функций
имеют место и для непрерывных отображений:
1) Если Е—замкнутое, ограниченное множество, и отображение y — f(x)
непрерывно во всех точках множества Е относительно Е, то образ множества
С (т. е- f (Е)) ограничен в пространстве Нт.
2) Если отображение / (х) непрерывно на замкнутом ограниченном множс-
сгве Е относительно Е, то это отображение равномерно непрерывно* на Е.
Непрерывное отображение множества Е (ЕаН'„) на множество Ег {ЕгаНт)
может быть задано аналитически с помощью т непрерывных функции от п
независимых переменных:
У± = Ъ U'l, X2<
хп),
Ут~Ф/л(хь х2, ■ ■ -, хп)<
где Xj, *,, . . ., хп — числовые переменные (координаты точки х), а
У и >2. • • ., Ут — координаты точки у.
У?
ЩЖ
i
i
i
1 Л 0
' 2
S
а .
i
2
У/
Рис. 2
Так, например, функции
Уз
2 = ]/ А+Х1 ■ >'1 = )
arc tg—- при х, т^О,
х,
при jc,=0, x2>0,
■ при хг=0, х2<0
осуществляют непрерывное отображение полукольца Е плоскости Охгхг (рис. 2)
на прямоугольник Ег плоскости Oyty2.
* Отображение f(x), определенное на EczHn, называется равномерно
непрерывным на Е. если для любого числа 8 > 0 существует б>0 такое, что
для всяких х'£Е и х"£Е таких, что Q (х', х")<Ь, имеет место:
Q(f(x'), /(*"))<е.
Ю. С. Очан
65

520. Построить пример непрерывной на отрезке Ig; b] функции,
которая имеет неограниченную вариацию и не удовлетворяет
условию Липшица на этом отрезке ни при каком а>0.
521. 1. Пусть Дх)— функция ограниченной вариации на [а; Ь],
причем /(х)>с>0 всюду на [а; Ы Доказать, что функция
также имеет ограниченную вариацию на [а; Ь\.
f М
521. 2. Пусть f(x) определена на 1с; Ь] и с<;с<6. Доказать
равенство:
ь с ь
Vf=Vf+Vf.
а а с
522. Пусть /(х)— функция ограниченной вариации на [а; Ь],
х
F(x)=Vf — вариация функции f(x) на участке [а; Ь].
а
Доказать теорему: для непрерывности функции f(x) в точке
х0 £ [а; Ы необходимо и достаточно, чтобы функция F (х) была
непрерывна в точке х0.
523. Доказать, что если Дх)— разрывная функция ограничен-
х
ной вариации на Ig; b], то F(x)=Vf также разрывна на [а; Ь],
а
причем разрывы обеих функций находятся в одних и тех же
точках, и в каждой точке разрыва х0 имеют место равенства:
\f(xo+0)-f(xo)\=F(xo+0)-F(xo);
\f(x0)-f(x0-0)\=F(xo)-F(xo-Q).
524. Представить функцию ограниченной вариации y=cos2x (на
отрезке [0; я]) в виде разности двух возрастающих функций.
525. Представить функцию ограниченной вариации на [0; 2 я]
y=sinx в виде разности двух возрастающих функций.
526. Представить функцию ограниченной вариации на [0; 2]:
-х2 при х£Ю; 1),
/(х)= 0 при х=1;
1 при х£(1; 2]
в виде разности двух монотонных функций.
527. Чему равна вариация функции
/
Нх)=
хг при 0<;х<1,
5 при х=1,
x-f 3 при 1<;х<2
2 1 2
на сегменте ГО; 21? Проверить, что Vf=Vf+Vf. Представить /(х)
о о 1
в виде разности двух возрастающих функций.
78

528. Доказать, что если функция f(x) имеет ограниченную
вариацию на [а; Ь), то ее абсолютная величина \f(x)\ также имеет
ограниченную вариацию на этом сегменте.
529. Справедливо ли утверждение: «Если \f(x)\ имеет
ограниченную вариацию на [а; Ь], то и f (x) имеет ограниченную вариацию
на этом сегменте?»
530. Пусть /(х) — непрерывная на [а; Ь] функция. Справедливо
ли утверждение: «Если \f(x)\ имеет ограниченную вариацию на
[а; Й, то и f (x) имеет ограниченную вариацию на этом сегменте»?
531. Доказать теорему: «Для того чтобы функция f (x) имела
ограниченную вариацию на [а; Ь], необходимо и достаточно, чтобы
существовала такая возрастающая функция ц>(х), что для
любого х£ [а; Ь] и для любого /г>0 (такого, что x+hf[a\ b\) имеет
место: \f{x-±-h) — f (х)|<ф(х+/г) — ф(х)».
532. Доказать, что кривая
x2sin — при хфО,
X
0
при х—0
спрямляема на [0; 1].
533. Доказать, что кривая
х sin — при хфО,
X
0 при х—0
не спрямляема на [0; 1],
534. Доказать, что функции x=q>(t), y=ip(t) (0</<l),
задающие кривую Пеано, не могут иметь ограниченной вариации.
535. Рассмотрим линию, заданную параметрическими
уравнениями
/sin — при £#0,
х==\ '
0 при £=0;
\t sin — при t=£0,
0
при z^O;
параметр t пробегает значения от 0 до 1.
Так как обе функции, задающие эти параметрические
уравнения, не имеют ограниченной вариации (см. задачу 533), то
согласно общей теореме 2 (см. стр. 73), эта линия не спрямляема.
С другой стороны, линия, определяемая этими уравнениями.
79

является отрезком прямой у=х от точки с координатами (а; а) до
точки (Ь;Ь), где а= min it sin—], &=max usin—); но конечный
отрезок прямой всегда имеет конечную длину.
Чем объяснить это кажущееся противоречие?
536. Доказать, что если f(x) имеет всюду на [0; 1]
производную, которая ограничена на этом отрезке, то график функции у=
=f(x) представляет собой спрямляемую кривую (при 0<х^1).
537. Доказать, что если функции ф (t) и я)) (t) имеют всюду на
[0; 1] производную, причем q>'(t) и -ф'(0 ограничены на [0; 1J, то
кривая x=q>(t), y=ty(f) спрямляема (при 0<;^1).
ГЛАВА 12
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ЛЕБЕГА
Измеримые функции. Функция f (х), определенная на множестве Е (где Е —
подмножество евклидова пространства Нп, или, в частном случае, подмножество
числовой прямой) называется измеримой, если измеримы множество Е и все
множества Е(/(х)>а), для любых а, —<х><;а<;-}-оо.
Здесь E(f(x)>a)—множество всех тех точек х из Е, в которых имеет
место неравенство: f(x)>a. Аналогичный смысл имеют обозначения: E(f (x)>a),
E(f(x)<a), E(f(x)<a), £(/(х)=а), E{a<f(x)<b) и т. д.
Для измеримости функции f(x), заданной на измеримом множестве Е,
необходимо и достаточно, чтобы были измеримы все E(f(x)>a), или чтобы были
измеримы все E(f(x) <a), или чтобы были измеримы все E(f(x)^a).
1) Если две функции fi(x) и /2 (х) измеримы, то измеримы также их
сумма, произведение, частное.
2) Если дана последовательность измеримых на множестве Е функций
h (х). h(x), . . ., fn{x), . . ., сходящаяся всюду на Е к функции F (х), то F(x)
также измерима на Е. Даже если соотношение \m\fn(x)=F(x) выполняется
П-гСО
не всюду, а лишь почти всюду* на Е, то и тогда F (х) измерима на Е.
3) Если две функции, определенные на Е, отличаются друг от друга на
множестве меры шь, то они либо обе измеримы, либо обе неизмеримы.
Функции, отличающиеся друг от друга только на множестве меры нуль,
называются эквивалентными.
4) Если Дх) измерима на Е и если измеримое множество А является
частью множества Е, то / (х) измерима на А.
Примеры измеримых функций.
1) Функция, принимающая постоянное значение С во всех точках
измеримого множества £, измерима на Е.
2) Всякая непрерывная на отрезке [о; Ь] функция измерима на нем.
3) Функция, непрерывная почти всюду на отрезке [а; Ь], измерима на нем.
4) Функция, являющаяся пределом сходящейся последовательности
непрерывных на [а; Ь\ функций, измерима на [а; Ь].
Не всякая функция измерима. Так, например, если Е — неизмеримое
множество на прямой, то функция, равная 1 на £ и 0 вне Е, неизмерима.
* Напомним, что термин «некоторое свойство выполняется почти всюду на
£» означает, что это свойство выполняется во всех точках множества Е, кроме
точек некоторого подмножества меры нуль.
80

Интеграл Римана. Пусть функция f (х) задана на [а; Ь]. Разобьем [а; Ь]
точками a=x0<x1<x2<; ... <хп=6 и построим суммы:
п п
s= S тг-Дх, и S= E M-iKxi,
где
&.xl=xl — xi—-L, m£=inf f(x), Мг = $ирДл:).
X € [*;_! . *(.] X 6 !>;_! . J^]
Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней суммами Дарбу.
Если существует общий предел верхних и нижних сумм Дарбу при стремлении
шага разбиения Я, к нулю,* то этот предел называется интегралом Римана от
f(x) на отрезке [а; Ь]:
b n n
Если для функции f (х) на отрезке [а: Ь] существуют пределы нижних и
верхних сумм Дарбу, и эти пределы равны друг другу, то говорят, что f (х)
интегрируема на [а; Ь] по Риману.
Теорема. Для того чтобы функция f (x) была интегрируема по
Риману на [а; Ь], необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена на
[а, Ь] и мера множества ее точек разрыва равнялась нулю (т. е. чтобы
функция f (х) была почти всюду на [а; Ь] непрерывна).
Свойства интеграла Римана: 1) Если ф (х) и чр (х) интегрируемы по Риману
на [а, Ь\, то для любых чисел a, (i имеет место:
Ь Ь ь
f [а ф (х)+Р i|) (х)] dx=a Гф (х) dx+|3 f-ф (х) dx.
а а а
2) Если / (х) интегрируема на [с; 6] и на [6: с], то она интегрируема и на
с ь с
]а\ с] (где а<6<с), причем j / (х) Лс= \f (x) dx +J/ (х) dx.
а а Ь
3) Если rn<,f (х)<М всюду на [а; Ь] и f (x) интегрируема по Риману на
[а; Ь\, то
ь
m(b~a)<jf(x)dx<M(b — a)-
а
Интеграл Лебега от ограниченной функции. Пусть f {х)—ограниченная
измеримая функция, определенная на измеримом множестве ** Е и принимающая
значения между А и В: A<j (x)<J5 для всех х£Е. Разобьем отрезок [А; В]
оси Оу точками ^=y0<>'i<>'s< .. - <Уп=В, и цостроим следующие суммы:
а п
s= S yi—imet, S= Е yimeu
(=1 «=1
где et=E (y^^f (x)<yi). Эти суммы называются, соответственно, нижней и
верхней суммами Лебега. Наибольшая длина отрезков (у,-—!; у,-) (при данном
разбиении) называется шагом разбиения и обозначается Я.
* Шагом Я разбиения называется максимальная длина интервалов (хг_х; хг):
Я,=тах(хг — я/—i).
i
** Здесь и всюду в дальнейшем (в этой главе} мы считаем, что Е—
измеримое множество конечной меры.
6 Ю. С. Очан ' 81

Если существует общий предел верхних и нижних сумм Лебега при
стремлении шага разбиения Я, к нулю, то функция f (x) называетси интегрируемой по
Лебегу на множестве Е, и этот общий предел сумм Лебега называется
интегралом Лебега (от {(х) по множеству Е):
■ п п
(L) \f(x)dx=\im £ у,-_ 1те/=Пт £ у,-тех-.
•'Е %-*0 1=1 ^->.о /=1
Множество Е называется областью интегрирования. Если, в частности,
областью интегрирования является отрезок [а; Ь], то интеграл Лебега по этому
множеству записывают так:
(L) f / (х) dx или (L) (' ^ (х) их.
[«: Ч i
Теорема. Всякая ограниченная измеримая на Е функция f (x)
интегрируема по Лебегу на атом множестве > (предполагается, что Е— множество
конечной меры).
Свойства интеграла Лебега. 1) Если функция f (x) интегрируема по Рима-
ну на отрезке [a; b], то от интегрируема и по Лебегу на этом отрезке,
причем эти интегралы равны друг другу:
Ь Ь
(R) J / (х) dx=(L) J / (х) dx.
a a
Таким образом, интеграл Лебега является обобщением интеграла Римана.
2) Если m<f (х)<М всюду на Е, то m-mE<(L) J / (x) dx<M-mE.
Е
3) Если множество конечной меры Е разбито на сумму конечного или
счетного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств {Ek}, то для любой
измеримой, ограниченной на Е функции / (х) имеет место:
(f(x)dx=T> f f(x)dx
•L к v,
Е Ек
(это свойство интеграла Лебега называется «полной аддитивностью»).
4) Если <р (х) и 1]) (х) ограничены и измеримы на Е, то для любых чисел а
и р имеет место:
Г (а ф_|_р ip) dx=a J (p dx+fi f ■ф dx.
Е ее
5) Если две измеримые ограниченные на Е функции <р (х) и i]) (x)
различаются друг от друга только на множестве меры нуль, т. е. если ф (х) и яр (х)
эквивалентны друг другу на множестие Е, то их интегралы равны друг другу:
f ф (х) dx= f яр (х) dx.
Е Е
6) Если / и ф ограничены и измеримы на Е, причем почти всюду f(x)<
<ф (Х), ТО
С / (х) dx<§ ф (х) dx.
'е е
7) Если f (х) — неотрицательная измеримая ограниченная функция на Е,
причем [ f (х) Лс=0, то f(x)=Q почти всюду на Е.
Е
8) Если f(x) измерима и ограничена на Е, то
Ij7(x)dx|<jy W|d*.
Е Е1
82

9) Если дана последовательность измеримых ограниченных на Е функций
fi (х), J2(x), • • •> fk (x) сходящаяся почти всюду на Е к функции F (х),
и если существует такое число А, что \f (x)\<A для всех k, то
I их.
к".
У\т\ fb(x)dx=\F (х) 1
Интеграл Лебега От неограниченной функции. Пусть /(х) — неограниченная
измеримая функция постоянного знака, например, f(x)s*0 всюду на Е.
Построим вспомогательную функцию [f{x)]t («срезка» функции f(x) числом t), которая
определяется следующим образом:
\f(x) при Q<f(x)<t,
I t при f(x)>t.
Эта функция измерима и ограничена (числом t).
Интеграл Лебега от неограниченной неотрицательной функции f (x) по
множеству Е определяется равенством:
(L)f f (х) dx=Um (L) f [/ (x)]t dx.
Указанный здесь предел всегда существует; однако он не обязательно равен
конечному числу (он может равняться и +оо). Если (L) f f (x) dx конечен, то
Ё
функция называется суммируемой на Е; если этот интеграл бесконечен, то
функция называется несуммируемой.
Интеграл от знакопеременной измеримой неограниченной функции f (х) на Е
определяется равенством:
(L)j f (x) dx=(L) f f+ (x) dx — (L) J f_ (x) dx,
E E E
где
(f(x) при f(x)>0,
f+W = {
{ 0 при f (x) < 0.
[\Пх)\ при f(x)<0,
[ 0 при f(x)>0.
Функция f(x) называется суммируемой, и интеграл от f(x) равен
конечному числу, если f, (x) и f— (x) обе суммируемы.
Функция f (x) несуммируема, если хотя бы одна из неотрицательных
функций f+ {х) или Д_ (х) иесуммируема.
Свойства интеграла Лебега от неограниченных функций. 1) Если ф(х) и
■ф (х) суммируемы на Е, то для любых чисел а, р1 функция а ф (х)-\~£> я|з (х)
также суммируема, причем
(L) J [a-9(x)-fP-^(x)]dx=a-(L) J ф (х) dx+$-(L) J ф (x) dx.
E ее
2) Если f (x) суммируема на Е, и множество Е разбито на сумму
конечного или счетного числа попарно непересекающихся измеримых множеств Ek, то
(L)\f(x)dx=^(L)\f(x)dx
Е Ь Ek
{^полная аддитивность-» интеграла Лебега).
3) Если f (х) и ф (х) суммируемы на Е и / (х) « ф (х) почти всюду на Е, то
(L) f / (х) dx< (I) Г ф (х) dx.
6* 83°

4) Если f (х) — измеримая на Е функция, то из суммируемости / (х)
вытекает суммируемость |^(л:)1, а из суммируемости 1/(х)| нытекает
суммируемость f (x); при этом имеет место неравенство:
\(L)lf(x)dx\<{L)[\f(x)\dx.
\ Е \ Е
5) Если две измеримые на Е функции равны друг другу почти всюду на Ег
то из суммируемости одной из них вытекает суммируемость другой, причем их
интегралы равны друг другу.
6) Если f(x) и g{x) измеримы на Е, причем почти всюду на Е имеет место
неравенство | /(х) | <J I g(x) |, и если g(x) суммируема иа Е, то и f(x)
суммируема на Е.
ЗАДАЧИ
538. Доказать, что если [f(x)]3 — измеримая функция на Е, то
и f(x) измерима на Е.
539. Показать, что из того, что lf(x)]2— измеримая функция
на Е, еще не следует, что f(x) измерима на Е.
540. Доказать, что если функция f(x) измерима на любом
отрезке [а; р], где а<&<$<$, то она измерима и на всем сегменте
[а; Ы
541. Измерима ли функция f(x), равная х2 во всех точках
пересечения канторова множества и некоторого неизмеримого
множества Е, и равная х3 во всех остальных точках сегмента [0; 1]?
542. Доказать, что если f(x) имеет производную во всех
точках отрезка [а; Ь\, то эта производная /' (х) является измеримой
функцией на отрезке [а; Ы.
543. Доказать, что если Е — измеримое множество на прямой,
то характеристическая функция %Е(х) измерима. Если же Е —
неизмеримое множество на прямой, то %Е(х) — неизмеримая функция.
544. Построить измеримую функцию, определенную на всей
прямой, разрывную во всех ее точках и обладающую тем
свойством, что как бы ни изменять значения этой функции на любом
множестве меры нуль, она остается разрывной во всех точках
прямой.
545. Доказать, что если функция f(x) измерима на множестве
Е, то функция [f (x)ta также измерима на Е. Здесь символом
[f(x)fa (где а<^Ь) обозначена функция отх, определяемая равенствами:
If(x) для тех х, для которых a<^f(x)*cb,
b для тех х, для которых f (x)>6;
а для тех х, для которых f(x)<a.
546. Пусть %(х) — характеристическая функция множества
рациональных чисел. Доказать, что ее произведение на любую
функцию есть функция измеримая.
547. Доказать, что всякая функция ограниченной вариации на
[а; Ь] есть измеримая функция на [а; Ь].
84

548. Пусть функция y=f(x) измерима на множестве Е. Пусть
Е± — произвольное открытое (или замкнутое, или типа Fa, или
типа G8) множество на оси Оу. Доказать, что прообразом
множества Ег (во всех этих случаях) является измеримое подмножество
множества Е.
549. Пусть функция у=/(*) измерима на множестве Е; пусть
Ег — произвольное измеримое множество на оси Оу. Обязано ли
множество /—* (Ег) быть измеримым?
550. Пусть функция y=f{x) измерима на множестве Е; пустьг
Е0 — измеримое подмножество множества Е. Обязано ли множество
/ (£0) быть измеримым? Если нет — привести соответствующий пример.
551. Пусть x=q>(t)— измеримая на множестве Е функция;
E1=q>(E)— ее множество значений. Пусть y=f(x) — функция
непрерывная на Ег. Доказать, что суперпозиция этих функций
f[q>(t)] является измеримой функцией на Е.
552. Пусть x=q>(t)— функция, непрерывная на отрезке £=
= [а; В]; Е1=(р(Е)— ее множество значений. Пусть у—f{x) —
функция, измеримая на Ег. Обязана ли быть измеримой суперпозиция
этих функций, т. е. функция f[q>(t)]. Если нет — построить
соответствующий пример.
553. Доказать, что всякая функция ограниченной вариации на
[а; Ь\ интегрируема по Риману на [а; Ь].
554. Может ли быть интегрируемой по Риману на la; b]
функция, разрывная во всех точках открытого непустого
множества Ge[e; №
555. Показать на примере, что из интегрируемости по
Риману функции f(x) на любом отрезке [а; В], где аО<В<;&, еще
не следует интегрируемость этой функции на всем отрезке [а; Ы,
556. Доказать, что если (R) \ f(x)dx существует для любых а
а
и В, таких, что а<Чх<;В<&, и если f(x) ограничена на [а; Ь], то
ь
существует (R) \ f (x) dx.
а
557. Доказать, что предел равномерно сходящейся
последовательности функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а; Ь\,
является функцией, интегрируемой по Риману на [а; Ь].
Доказать, что интеграл от предельной функции равен пределу
интегралов от функций данной последовательности.
558. Верно ли утверждение: «Если Е — множество меры нуль
на [а; Ь], то %Б(х) интегрируема по Риману на [а; Ь]»?
559. Верно ли утверждение: «Если Е — нигде не плотное
множество на [а; Ь], то %Е(х) интегрируема по Риману на [а; £]»?
560. Верно ли утверждение: «Если Е — нигде не плотное
множество меры нуль на [а; Ь], то %Б(х) интегрируема по Риману
на [а; 6]»?
85.

561. Пусть Е— замкнутое множество меры нуль,
расположенное на отрезке 1с; Ь\. Интегрируема ли функция %Е(х) на [а; Ь]
по Риману?
562. Верно ли утверждение: «Если Е— множество на \а\ Ь],
замыкание которого имеет меру нуль, то %Е(х) интегрируема по
Риману на [а; ЬЪ?
563. Интегрируемы ли по Риману на отрезке [0; 1] функции
примеров 395, 397, 398 (при с„-»0), 403, 408.
564. Доказать, что все функции, рассмотренные в примерах
395, 397, 398 (при сп —*■ 0), 403, 408, интегрируемы по Лебегу на
отрезке [0; 1]. Вычислить их интегралы на этом отрезке.
565. Функция f(x) равна х2 в точках канторова множества и
равна — на тех смежных интервалах, длина которых равна —. Вы-
1
числить (L) J f{x)dx.
о
566. Интегрируема ли по Риману функция из предыдущей
задачи? Если да, то чему равен ее интеграл Римана?
567. Интегрируема ли по Риману функция
х3 в иррациональных точках,
I 1 в рациональных точках
еа отрезке [0; 1]? Интегрируема ли она по Лебегу? Чему равен ее
интеграл на отрезке [0; 1]?
568. Доказать, что если Е — измеримое множество на [а; Ь],
то его характеристическая функция %Е(х) интегрируема по
Лебегу на множестве Е, причем ее интеграл равен мере множества Е:
ь
(L) j iE(x)dx=mE.
а
569. На отрезке [0; 1] построено совершенное нигде не плот-
еое множество Е меры —; смежные интервалы этого множества
перенумерованы в порядке убывания их длин: (ах, р\); (а2, |Зг); ...;
,(а„, р„); .... Затем на [0; 1] задана функция f{x):
0 на Е;
1 в серединах интервалов (ап, р„);
Дх)= линейна на сегментах а„, а р"
а«+Рп
Р„}
il 2
Интегрируема ли эта функция по Риману? Интегрируема ли она
по Лебегу? Чему равен ее интеграл Лебега на отрезке [0; 1]?
S6

570. Пусть / (х) — неотрицательная, измеримая на Е,
ограниченная функция, и мера множества тех точек из Е, где /(х)>с,
равна а. Доказать, что (L) \ f(x)dx>ac.
Е
571. Чему равен интеграл Лебега на множестве [0; 1] от
функции f(x), равной х2 во всех точках пересечения канторова
множества и некоторого неизмеримого множества Е, и равной г3 в
остальных точках отрезков [0; 1]?
572. Вычислить интеграл Лебега от функции f{x) на отрезке
[0; 1], если f(x)=10 в точках канторова множества, а на
смежных интегралах графиком функции служат верхние
полуокружности, опирающиеся на эти интегралы, как на диаметры.
573. Вычислить (L) J f{x)dx, если
о
Xs для х иррациональных, больших, чем —;
f(x)—\ xs для х иррациональных, меньших, чем —;
[ 0 в рациональных точках.
574. Вычислить с точностью до 0,01 интеграл Лебега от
функции у=?>х2 на множестве Е, которое получится, если из
сегмента [0; 1] выбросить интервалы /—; 1); (—; —); (—; —); ...;
[~2п ' Ъ^\)'
1
575. Вычислить (L) \ f (x) их, если
о
sin ял: для *(; 0; — jnCD;
f{x)={ cosnx для х£ Г—; llnCD;
! х2 для x£D,
где D — канторово множество, a CD — его дополнение до всего
сегмента [0; 1].
576. Обозначим через $ь(х)— функцию, равную в каждой
точке х£ [0; 1] — £-му знаку в двоичном разложении числа х.
Доказать, что
1 1
(L) fojWk(x)dx=±iipB ]Фк (L) Г[р\(*)№=у.
о о
577. Обозначим через q>k(x) функцию, определенную на отрезке
[0; 1], следующим образом: если на k-м месте в двоичном разложе-
8,7

иии точки X стоит 1, то tpfe (x)=l; если на k-м месте в двоичном
разложении точки х стоит 0, то ф&(х)=-—1. Доказать, что
система функций !фх; ф2; ...; ц>к; ...} ортономирована на отрезке [0; 1],
т. е. что (L) ]фу(х)фк(х) dx=0 при j=£k;(L) J [фДх)]2 dx=l.
о о
578. Доказать, что, если ф (х) имеет производную почти всюду
на [а: Ь] и если эта производная ограничена на [а; Ь], то она
(производная) интегрируема по Лебегу на [а; 61.
579. Пусть {/„ (х)} — последовательность ограниченных,
измеримых на Е, неотрицательных функций. Пусть (L)J fn(x)dx-^0 при
Е
n-^оо. Следует ли из этого, что fn(x)->0 при п—>оо всюду на Е
(или хотя бы почти всюду на £)?
580. Пусть на lc; b\ задана ограниченная измеримая функция
с
f{x). Доказать, что если J f{x)dx—0 при любом с (а<с^.Ь), то
а
f(x) почти всюду на [а; Ь] равна нулю.
581. Вычислить интеграл Лебега от функции— по отрез-
/ х— I
Щ [1; 2].
582. Суммируема ли функция — на отрезке [0; 1]?
583. Вычислить (L) J f (x) dx, если
0 для x£D,
1
V
где D — канторово множество.
584. Вычислить (L) J f(x) dx, если
для x^D,
/(*)=
—;z=r для х иррациональных,
V х
х3 для х рациональных.
585. Если ограниченная функция f(x) интегрируема по
Лебегу на множестве Е, то будут ли интегрируемы по Лебегу на
этом множестве функции lf(x)]10, \f(x)\, ?
/ w
586. Доказать, что если /(х)=0 в точках канторова
множестве

ва D и равна п на смежных интервалах ранга п, то (L)\ f(x)dx=3.
о
587. Доказать: «Для того чтобы измеримая на множестве Е
конечной меры неотрицательная функция f(x) была суммируема на
Е, необходимо и достаточно, чтобы ряд ^k-mEk сходился (где
Ek=E(k<f(x)<k+l)y>.
588. Доказать: «Для того чтобы измеримая на множестве Е
конечной меры неотрицательная функция f(x) была суммируема
на Е, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ЪтЕк, где
Ek=E(f(x)>k)».
589. Доказать, что если функция f(x) суммируема на отрезке
[О, а], то функция / (kx) также суммируема на
0; ?-
k
(где &>0).
1 k
590. Доказать, что функции — cos — несуммируемы на (0; 1)
х х
ни при каком k > 0.
591. Пусть на [а; Ъ] расположены п измеримых множеств Ег,
Е%, ..., Еп; пусть каждая точка отрезка [а; Ь) принадлежит по
меньшей мере q из этих множеств. Доказать, что хотя бы одно
из множеств Е1г Е2, ..., Еп имеет меру большую или равную.
ф-а) ±.
п
592. Пусть {fn(x)\—последовательность неотрицательных
функций, интегрируемых по Лебегу на множестве Е (Е — измеримое
множество конечной меры); можно ли утверждать, что если /„(x)-s-O
(при п-^оо) для почти всех х£Е, %о последовательность
интегралов fn[x)dx также стремится к нулю при п->со?
'в '
593. Пусть функция 1{х) непрерывна всюду на отрезке [а; Ь],
кроме точки а. Назовем эту функцию С-интегрируемой на [а; Ь\,
если существует конечный предел интеграла
\f{x)dx (1),
при t-^a+0; если функция f(x) С-интегрируема на [а; Ь], то
предел интеграла (1) называется С-интегралом (или несобственным
ь
интегралом Коши) от функции f(x) и обозначается (С) J / (х) dx:
а
Ь Ь
(С) (f(x) = lim [f{x)dx.
Доказать, что если функция суммируема по Лебегу на [а; Ь],
то она и С-интегрируема на [а; Ь], причем оба интеграла равны
друг другу.
89.

594. Показать на примере, что существуют функции,
непрерывные всюду на [а; Ь], кроме точки а, которые С-интегрируемы
на la; b], но не суммируемы по Лебегу на этом отрезке.
595. Пусть f(x)— измеримая функция, определенная на
множестве Е конечной меры. Будем говорить, что эта функция Q-
интегрируема, если существует предел интеграла
\lf(x)]Jtdx (2)
Е
при t-^-\-co*. Если функция f(x) Q-интегрируема, то предел
интеграла (2) (при t->-\-co) называется Q-интегралом функции f(x)v.
обозначается (Q) f / (х) их:
Е
(Q) \f(x)dx=lim \\f{x)Vtdx.
Доказать, что если функция f(x) суммируема по Лебегу на
множестве Е, то она Q-интегрируема на этом множестве, и ее Q-интег-
рал равен интегралу Лебега.
596. Показать на примере, что Q-интеграл шире интеграла
Лебега (т. е. что существуют функции, не суммируемые по Лебегу
на некотором множестве Е, но Q-ннтегрируемые на этом множестве).
597. Доказать, что для неотрицательных функций Q-интеграл
не шире, чем интеграл Лебега (т. е. что если неотрицательная
функция Q-интегрируема на множестве Е, то она также
суммируема по Лебегу на этом множестве).
598. Доказать, что любая измеримая нечетная функция f(x),
определенная на отрезке I— а; а], Q-интегрируема на этом отрезке.
599. Справедливо ли утверждение: «Если функция
Q-интегрируема на измеримом множестве Е, то она Q-интегрируема и на
любом его измеримом подмножестве».
600. Справедливо ли утверждение; «Если функция f (x)
Q-интегрируема на Е, то и функция c-f(x) также Q-интегрируема на Е, причем
{Q)\c-f (x) dx=c-(Q) J f (x) dx»l
E E
601. Справедливо ли утверждение: «Если функции f (x) и g (x) Q-ин-
тегрируемы на Е, то функция f (x)-\-g (x) также Q-интегрируема на £>>?
602. Справедливо ли утверждение: «Если все три функции f(x),
g(x), f(x)+g(x) Q-интегрируемы на Е, то имеет место равенство:
(Q)\inx)+g{x)]dx=(Q)$f(x)dx+(Q)§ g(x)dx»?
Е ЕЕ
603. Назовем измеримую функцию f(x), заданную на
множестве Е конечной меры, Л-интегрируемой, если существует конечный
предел интеграла
ilf(x)tlatdx (3)
Е
* Смысл обозначения [/ (х)]* см. в условии задачи 545.
во

при t->co, каковы бы ни были числа с]>0, &> 0, и если этот
предел не зависит от выбора положительных чисел а и Ъ. Если
функция f(x) Л-интегрируема на Е, то предел интеграла (3)
называется Л-интегралом этой функции и обозначается (Л) I / (х) их:
е
(A) f / (х) dx=lim J [/ {x)flat их.
Доказать, что если функция f(x) суммируема по Лебегу на
множестве Е, то она и Л-интегрируема на этом множестве.
604. Пусть на множестве Е конечной меры задана измерима»
функция f(x); доказать, что соотношения
lim J{[A*)]o'-[f(*)]o'}d*=0
*-»со Е
И
Umt-mE(f(x)>t)=0
t~>oo
равносильны (здесь а и Ъ — заданные положительные числа, такие,,
что аЧ=Ь). \
605. Доказать следующий критерий Л-интегрируемости функции;
«Для того чтобы измеримая на множестве Е конечной меры
функция f(x) была Л-интегрируема на этом множестве, необходимо и
достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие два
условия:
а) существует (Q) \ f {х) йх\
Е
б) t-mE(f(x)>t)-+0 при £->оо».
606. Показать на примере, что Л-интеграл шире интеграла
Лебега.
607. Доказать, что для неотрицательных функций Л-интеграл
не шире интеграла Лебега.
608. Всякая ли Л-интегрируемая на множестве Е функция
Q-интегрируема на этом множестве? Всякая ли Q-интегрируемая на
Е функция Л-интегрируема на этом множестве?
609. Справедливо ли утверждение: «Если функция f(x)
Л-интегрируема на множестве Е, то и функция с-}(х) также
Л-интегрируема на Е, причем
(A)\c-f (х) dx=c- (Л) j f (x)dx»?
Е Е
610. Справедливо ли утверждение: «Если функции f(x) и g{x}
Л-интегрируемы на Е, то и функция f(x)+g(x) также
Л-интегрируема на Е, причем имеет место равенство:
(А) [ If (x)+g{x)\ dx=(A) f / (x) dx+{A) f g {x) dxrt
E E £
91

611. Справедливо ли утверждение: «Если функция Л-интегриру-
ема на множестве Е, то она Л-интегрируема на любом его
измеримом подмножестве»?
612. Назовем Г-интегралом (Т) \ f (х) их какое угодно обобщение
Е
интеграла Лебега, обладающее следующими свойствами:
а) если функция f{x) суммируема по Лебегу на измеримом
множестве Е конечной меры, то она и Т-интегрируема на этом
множестве, причем ее Т-интеграл и интеграл Лебега по множеству
Е равны друг другу;
б) если f(x)^g(x) всюду на Е (где f(x) и g{x) — измеримые
функции на Е) и если обе эти функции Т-интегрируемы, то
(T)$f(x)dx<{T)$g{x)dx.
Е Е
Доказать, что для неотрицательных измеримых функций такой
интеграл не шире интеграла Лебега (т. е. если неотрицательная
измеримая функция Т-интегрируема на измеримом множестве Е
конечной меры, то она также суммируема на Е по Лебегу, причем
ее Т-интеграл и интеграл Лебега равны друг другу).
В задачах 613—634 будут рассмотрены вопросы интегрирования векторных
.^функций.
Векторной функцией (или вектор-функцией) y—f(x) называетея
отображение множества ЕаНп в евклидово пространство Нт.
Такие отображения рассматривались нами в главе 9. Только там на них
накладывалось дополнительное ограничение — требование непрерывности. В этой
главе мы будем рассматривать отображения более общего вида.
Термин «векторная функция» отражает тот факт, что значения этой
функции расположены в евклидовом пространстве; а элементы евклидова
пространства можно рассматривать как векторы, и, следовательно, их можно складывать
друг с другом, а также умножать на число. Так, например, если даны две
точки у£Нт и z£Hm, где у задается координатами уЛ. y3, . . ., ут, а г —
координатами zb z3, . . ., zm, то их суммой у-\-г является точка с координатами
У-i+Zit Уа+Zsi . . ., ут+гт, а произведением а у (где а — число) — точка с
координатами aylt ау%, •• ->- аУт- Следовательно, если даны две векторные
функции y=f(x) и z=g(x), определенные на EczHn и принимающие значения
из пространства Нт, то можно говорить о сумме этих функций (это будет фун-
ция f (x)+g(x), ставящая в соответствие каждому х£Е точку с координатами
h (x)+gi (x), h (x)+g2 (x), . . ., fm (x)+gm (x), где fx (x), /a (x), . . ., fm (at)—
координаты точки f (x) в пространстве Hm, a g± (x), g2M, ■ • •, JmW —
координаты точки g (x) в Нт). Точно так не, если даны векторная функция у=
=f (x) и число а, то можно говорить о произведении этой функции иа а (это
будет функция a f(x) с координатами af1(x), af%(x), .... a fm (x), где fx (x),
h (х), ■ -, fm (х) — координаты / (х)).
Для каждой точки у £ Нт можно говорить о модуле \ у \ этой точки, как о
длине вектора, соединяющего начало координат в Нт с этой точкой; если у
определяется координатами ylt у%, . . ., ут, то]{/| =|/ у\-\-у\+ . . . + у£, .
Для модуля справедливы неравенства: iy+z|<|i/|+|z|; \у—z|>|lj/| — \г\\.
Если модуль вектор-функции y=f{x) ограничен на множестве Е (т. е. если
существует такое число /4>0, что |/ (х)\ < А для всех х £ Е), то эта
вектор-функция называется ограниченной на Е. В этом случае мьожество значений вектор-
фунтшии, т. е. множество / (Е), является ограниченным множестюм в
пространстве Нт.
•92

613. Назовем вектор-функцию y=f(x) (где х£ЕсНп, у£Нт)
измеримой, если прообразом любого открытого множества: GaHm
является измеримое множество пространства Нп.
Доказать, что если функция y=f(x) измерима, то прообраз
любого замкнутого множества FzzHm измерим; прообраз любого
множества типа G5 измерим; прообраз любого множества типа Fa
измерим.
614. Доказать, что произведение измеримой вектор-функции на
число также является измеримой вектор-функцией.
615. Доказать, что если две измеримые вектор-функции
определены на одном и том же множестве ЕсНп и принимают
значения в одном и том же пространстве Нт, то их сумма также
является измеримой вектор-функцией.
616. Пусть f(x)— векторная функция, определенная на Е.
Доказать, что если f(x) измерима, то и функция \f(x)\ также
измерима. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.
617. Пусть ограниченная измеримая функция y=f(x)
определена на множестве Е конечной меры и принимает значения на
замкнутом ограниченном множестве FaHm (т. е. f(E)czF). Разобьем
произвольным образом множество F на конечное число попарно не
пересекающихся множеств типа F0:
F=F1uFi\j ... UFk, (1)
и выберем в каждом F, по точке yt {yt £ F£). Обозначим прообразы
множеств Fv F2, ..., Fk через ех, е2, ..., ek (ясно, что et Г)е.-=
к к \
= 0при i^=j, что и е,=Е и что 2 mei=mE I. Построим инте-
£=1 г'=1 /
гральную сумму Лебега, соответствующую разбиению (1) и выбору
точек у{.
о=2У|"И!|- (2)
г=1
1
Если существует конечный предел / суммы о при стремлении
максимального диаметра множеств Ft к нулю, то этот предел
называется интегралом Лебега от ограниченной вектор-функции f(x) по
множеству Е:
к
(L) [ f {x) dx=lim Е yimel (3)
Е max diam F. -*0 i= 1
(при этом точка / из пространства Нт называется пределом
интегральной суммы (2), если для произвольного е>0 существует о>0
такое, что любая интегральная сумма Лебега при max diam F^d
к
удовлетворяет неравенству 2 yimei—I <
;=1
Доказать, что для любой ограниченной измеримой вектор-функ-
93

ции у=/(я), определенной на множестве Е конечной меры,
интеграл Лебега существует *'.
618. Пусть f(x)— ограниченная измеримая вектор-функция,
определенная на множестве Е конечной меры. Доказать, что для
любого числа с имеет место равенство: (L)\c-f(x)dx=c- (L)\ f(x)dx
Е Б
619. Пусть f(x) и g(x)— две ограниченные измеримые
функции, определенные на одном и том же множестве Е конечной меры
и принимающие значения в одном и том же пространстве Нт.
Доказать, что
(I) j [/ (x)+g (x)] dx={L) J f(x) dx+Щ j g (x) dx.
E ЕЕ
620. Пусть f(x) — ограниченная измеримая векторная функция,
определенная на множестве Е конечной меры. Доказать, что
\(L)$f(x)dx\<(L)§\f(x)\dx.
Е Е
621. Пусть f(x) — ограниченная измеримая вектор-функция,
определенная на множестве Е конечной меры. Пусть А —-
наименьшее выпуклое множество, включающее f(E)*** Доказать, что
существует такая точка у0£А, для которой справедливо равенство:
(L) f /(x) dx=y0- mE («теорема о среднем значении интеграла»).
Е
Для того чтобы обобщить понятие интеграла на неограниченные векторные
функции, нам надо будет ввести понятия звездной окрестности нуля.
Звездной окрестностью нуля в Нт называется всякое ограниченное
открытое множество в Нт, содержащее начало координат и обладающее тем
свойством, что каждый луч, исходящий из начала координат, пересекается с
границей этого множества только в одной точке.
Частным случаем звездной окрестности нуля является сферическая
окрестность, т. е. открытый m-мерный шар с центром в начале координат
Пусть В — какое-либо множество в пространстве Нт. Обозначим через
к В (где к — фиксированное положительное число) множество всех точек вида
кх (для любых х£В)
* Определение интеграла Лебега, приведенное здесь, имеет смысл не
только для функций, принимающих значения в евклидовом пространстве, но и для
более широкого класса функций. Пусть / (х) — функция, определенная на
некотором множестве Е пространства с мерой и принимающая значения в
каком-либо банаховом пространстве R. Функция f{x) называется компактной на
множестве Е, если образ f (Е) множества Е содержится в некотором компактном
множестве F пространства R
Если функция / (х) измерима и компактна на множестве Е конечной меры,
то интеграл Лебега от / (х) по множеству Е существует (ясно, что интеграл
Лебега в данном случае является элементом пространства R).
Мы здесь не даем определения пространства с мерой, банахова
пространства и компактного множества. Читатель, незнакомый с этими понятиями,
может оставить данную сноску без внимания.
** Т. е. пересечение всех выпуклых множеств, включающих f{E). При этом
множество А называется выпуклым, если для любых у£А и г£А в это
множество входят также точки ay+Bz при всевозможных а>0, [£>0 таких, что
а+Р=1.
94

[/Wlo =
Ясно, что если G— звездная окрестность нуля, то X,G (при любом
положительном Я) также является звездной окрестностью нуля.
Введем теперь понятие срезки [f {x)]G векторной функции f (х) с помощью
звездной окрестности нуля G;
If (х) для тех х£Е, для которых f{x)£G;
f0{x) для тех х £ Е, для которых f {x) £ G.
Здесь fG (х) — точка пересечения границы окрестности G с лучем, соединяющим
начало координат и точку f (х) (см. рис. 7).
622. Пусть y=f(x) — неограниченная измеримая
вектор-функция, определенная на множестве Е конечной меры; назовем
функцию f (a) Q-интегрируемой на Е, если существует предел интеграла
(L)^[f(x)]s
dx
(4)
/то
при R->-}-co, где SR—сферическая окрестность нуля радиуса R;
если вектор-функция / (х) Q-интегрируема на £V то предел
интеграла (4) называется Q-интегралом функции f(x):
(Q) J f (x) dx=lim(I) \ If (x)Sr dx.
Доказать, что если вектор-функция f(x) Q-интегрируема на Е,
то вектор-функция c-f(x) также Q-интегрируема на Е, причем
имеет место равенство
(<2)j c-f(x)dx=c-(Q)\f (х) dx.
Е Е
623. Показать на примере, что
существуют такие две Q-интегри-
руемые на £ вектор-функции f(x)
и g {х), принимающие значения в
одном и том же пространстве Нт,
что их сумма не Q-интегрируема
на Е.
624. Показать на примере, что
существуют такие две векторные
функции f(x) и g(x), принимаю- Рис. 7
щие значения в одном и том же
пространстве Ит, что и они, и их сумма Q-интегрируемы на Е,
однако
(Q) j f(x) dx+(Q) f 8 (*) dx^(Q) j lf(x)+g (%)] dx.
E £ E
625. Показать на примере, что вектор-функция, Q-интегрируемая
на множестве Е конечной меры, может оказаться не
Q-интегрируемой на некотором его измеримом подмножестве.
626. Назовем вектор-функцию f(x) абсолютно интегрируемой
на множестве Е конечной меры, если существует интеграл Лебега
от функции \f{x)\, принимающей числовые значения.
95

Доказать, что если f(x) абсолютно интегрируема на Е, то она
и Q-интегрируема. Показать на примере, что обратное утверждение
неверно.
627. Доказать, что если две вектор-функции, принимающие
значения в одном и том же- пространстве Нт, абсолютно
интегрируемы на множестве Е конечной меры, то их сумма также
абсолютно интегрируема на этом множестве, причем
(Q) j / (x)dx+(Q) j g (x) dx=(Q) j lf(x)+g (jc)J dx.
E E E
628. Доказать, что если вектор-функция абсолютно
интегрируема на множестве Е конечной меры, то она абсолютно
интегрируема и на любом его измеримом подмножестве.
629. Пусть у= / (х) — неограниченная функция, определенная
на множестве Е конечной меры. Назовем эту функцию А-интегри-
руемой на Е, если для любой звездной окрестности нуля G
существует предел интеграла
(L)\[f(x)]%cdx (5)
'е
при Я->-{-со и если этот предел не зависит от выбора G. В этом
случае предел интеграла (5) называется Л-интегралом * функции
f(x) на Е:
(Л) f f(x) dx=lim (L) f [/ (x)k a dx.
■JE W+oo JE
Доказать, что всякая Л-интегрируемая на Е вектор-функция
Q-интегрируема на этом множестве. Показать на примере, что
существуют вектор-функции, Q-интегрируемые на Е, но не Л-интегри-
руемые на этом множесте.
630. Доказать, что если вектор-функция f(x) Л-интегрируема
на Е, то и функция c-f(x) также Л-интегрируема на Е (где с —
произвольное число), причем имеет место равенство:
(Л) §c-f(x) dx=c-(A) j / (х) dx.
Е Е
631. Доказать, что для того, чтобы вектор-функция f(x) была
Л-интегрируема на множестве Е конечной меры, необходимо и
достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие два
условия:
* Определения Q-интеграла и Л-интеграла остаются в силе и для функций,
принимающих значения в любом банаховом пространстве (а не только в
евклидовом). Однако для того чтобы это определение имело смысл, надо
рассматривать только такие функции, которые обладают следующим свойством: для любой
сферической окрестности нуля срезка функции с помощью этой окрестности
является компактной функцией на множестве Е (см. первую сноску на стр. 94.)
Понятия 0-интеграла и Л-интеграла для вектор-функций принадлежат автору;
они впервые вводятся в этой книге.
Теоремы 631, 633, 634 доказаны В. И. Рыбаковым.
96

а) вектор-функция f(x) Q-интегрируема E;
б) мера множества £r тех x£E, для которых значения вектор-
функции лежат за пределами сферической окрестности нуля радиуса
R, есть о ( — ] при R^-j-oo:
lim R-mER=0.
R-*co
632. Показать на примере, что векторная функция, Л-интегри-
руемая на множестве Е конечной меры, может оказаться не Л-ин-
тегрируемой на некотором его измеримом подмножестве.
633. Доказать, что если вектор-функция абсолютно
интегрируема на множестве Е конечной меры, то она и Л-интегрируема на
этом множестве. -—
634. Доказать, что если две вектор-функции f(x) и g(x) Л-ин-
тегрируемы на множестве конечной меры Е и принимают значения
в одном и том же пространстве Нт, то их сумма f(x)-j-g(x)
также Л-интегрируема на множестве Е, причем имеет место
равенство:
(Л) J f (x)dx+(A) Г g (х) dx=(A) f [f (x)+g (x)] dx.
E E E
? Ю. С. Очан

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
ГЛАВА 1
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
' 5. Нет, не вытекает. Из А\В—С вытекает лишь то, что Л С В U С.
6. Нет; из Л=Б UC вытекает лишь, что А\ВСС (рис. 8).
7. а) Равенство справедливо; б) нет, не верно; справедливо
включение A U (В\С)^>(А11 В)\С; в) нет, не верно; справедливо включение
(A\B)UC Z>(AUC)\B.
8. Пример см. на рисунке 9.
10. Из ЛдХ=Л следует, что (Л П СХ) U (СА П Х)=А. Следовательно,
СЛПХ=0, т. е. та часть X, которая не входит в А, пуста. С другой
стороны, А П СХ=А, откуда СХ^> А, т. е.
ХЛЛ=0, т. е. та часть X, которая
входит в А, также пуста. Итак, Х=0.
12. Пример см. на рисунке 10.
14. С[С{Х U У) П (СХ U CY)]=
=С[С (X U У)] U C(CX U CY)=
=(Х U У) U (ССХ П CCY)=
= (X[JY){J(Xr\Y)=XUY, так
как X U УЭХП У.
19. Указание. Воспользоваться
результатом задачи № 18.
22. Использовать закон
двойственности.
Рис. 8
23. Докажем равенство а).
Пусть (х; y)£Ex(F[JG); тогда xi
y^G; значит, (х\ y)£ExF или (х; у) (
£, у £ F U G; следовательно,
ExG; но в таком случае
т. е.
(х; y)£(ExF) U (ExG),
Ex(fUG)C(ExF)U(ExG).
Точно так же доказывается, что
(ExF){J(ExG)CiEx.(F{JG).
Сравнивая включения (I) и (2), получим равенство а).
Равенство б) доказывается аналогично.
24. Доказательство аналогично.
ydF или
(1]
0

Рис. 9. (AU/yXoBiUBi)—
область, заштрихованная
квадратной штриховкой.
lA1\B1) (J (Л2\Я2) — вся
заштрихованная область. Здесь
(/lilM*)\(fl|Ufls)*b
^(А1\В1)[]{А2\В2)
Рис. 10. (A\JВ) Af — шюжество,
заштрихованное квадратной
штриховкой. (А Д F) U (BA.F) — все за -
штрихованное множество. Здесь
iA\JB) b.F^Ab.F)[J{Bb. F)
25. Да, справедливо для любых множеств А, В, С, D (доказательств.л
проводится так же, как и в задаче 23; наглядную иллюстрацию этого равенства
см. на рисунке 11).
> D
А" В
(
ы
:*в
:Г
{АиС)х(.ВиВ)
\
i
4 С*В
L_j-
А* В J
1
А С
Рис. 12
д с
Рис. 11
26. Равенство справедливо не для любых множеств А, В, С, D (см.
например, рисунок 12); однако всегда справедливо включение
(А хВ) U (С xD) С (A U С) х (В U D),
которое доказывается так же, как и в задаче 23.
ГЛАВА2
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
27. Взаимно однозначное соответствие между множествами 0 и N можш
установить с помощью функции у=Лх, где x^N, y£Q.
28. Расположим все четные числа (т е. элементы множества Р) в
последовательность следующим образом:
0; 2; —2; 4; —4; 6; -6; . . .; 2/г, — 2/г; . ..
7*
99

и затем каждому четному числу поставим в соответствие тот номер, который
это число занимает в данной последовательности.
29. Взаимно однозначное соответствие между множеством R всех рациональных
чисел отрезка [0; 1] и множеством N всех натуральных чисел можно установить
следующим образом: запишем каждое число r^R в виде несократимой дроби, и
назовем высотой числа г сумму числителя и знаменателя; ясно, что на отрезке
[0; 1] имеется лишь конечное множество рациональных чисел данной высоты.
Расположим теперь все рациональные числа отрезка f0; 1J в последовательность
„ 0
в порядке возрастания их высот: на первое место поместим число 0= — (из R)
I
(это число высоты 1), затем единственное число высоты 2 (число —■ из/?),
далее число высоты 3 (число —)и т. д.; если какую-либо высоту имеют
несколько различных рациональных чисел, мы их располагаем в порядке
возрастания. Таким образом, все элементы множества R расположатся в виде следую-
11121123131
щей последовательности: 0; 1; —; —; —; —; —; —; —; —; —; —■; — ...
23435654758
Поставим теперь в соответствие каждому рациональному числу г из R тот
номер п, который это число занимает в нашей последовательности; это
соответствие является взаимно однозначным соответствием между множествами R и N.
30. Задача решается так же, как и предыдущая.
31. Нет, не существует. Всякая функция f(x), представимая в виде
частного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел
при х—»+«>. Если lim/(x)=9 (конечное число), то существует такое N, что
jt-*-[-ca
для всех k>N имеет место: q—\<f {k)<Cq+\. Но тогда тем рациональным
числам, которые лежат вне интервала (д—1; <7+1), может соответствовать лишь
конечное число номеров k (только те номера k, которые предшествуют числу
N). Следовательно, не все рациональные числа получатся в виде значений
/(ft).
Если lira f{x) = °°i то рассуждения аналогичны (в этом случае рациональ-
х-Н-оо
ным числам, принадлежащим фиксированному интервалу (—А; А), может
соответствовать лишь конечное число номеров k).
32. Линейное преобразование х=(о — a)t-{-a отображает взаимно
однозначно сегмент 0<f<l на сегмент а<х<Ь.
33. Функция x=ctgTit, рассматриваемая на интервале 0<<<1, взаимно
однозначно отображает этот интервал на всю прямую —со<л:<+со.
b — а
34. Функция х=а+ arcctg/ взаимно однозначно отображает ось
л
—со<£< + оо на интервал а<х<Ь.
ЦЦЧЦ h Ц Ц }
О —п Ч Ч—"■==£-
N i ia , I —--, 1
Х5Х/.Х, X? о X* 3 Сегмент
Рис. 13
100

35. Решается аналогично.
36. Выделим какую-либо последовательность точек на интервале, например:
. Установим следующее соответ-
Xj=Y; *2
1
1
*-?
■ ■', Хп-
я+1
ствие: точке 0 из сегмента ставим в соответствие точку хх из интервала; точке 1
из [0; 1] — точку х2 из интервала; точке xt=— из [0; 1] — точку хг из (0; I);
точке х.2=— из [0; 1] — точку х4 из (0; I) и, вообще, точке *xn из f0; 1] —
точку хп+2 из (0; 1); ... Всем остальным точкам к£[0; 1] ставим в
соответствие точки с теми же абсциссами из (0; 1). Полученное в итоге соответствие
взаимно однозначно (рнс. 13).
37. Отобразить [0; 1] на (0; 1) (задача 36) и затем (0; 1) на (—со, +со)
(задача 33).
38. Использовать метод, которым решена задача 36.
39. Отобразить [а; Ь\ на [а; Ь) тем методом, каким решена задача 36; за-
я1
0; —
2/
тем [а; Ь) на 0; — с помощью линейной функции; наконец,
J0; +со) с помощью функции y=tgx.
41. Нет, так как непрерывная функция, определенная на сегменте [а; б],
должна быть ограниченной.
42. Нет; если бы существовала непрерывная функция х=ц> (t),
отображающая [а; Ь] на интервал (с; d), то на сегменте [а; Ь\ не нашлось бы точки tv,
такой, что <p(t0)=d (тогда как sup <p(f)=d). Это противоречило бы теореме
astsb
о том, что непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте свою
верхнюю грань.
43. Нет, так как непрерывная функция, определенная на [а; 6], должна
принимать все промежуточные значения (в частности, пусть ф(^)=1, q)(;3)=3,
где /]^[а; b], t2£[a; Ь\; тогда должна была бы найтись точка ta£\a; b],
такая, что tp(f„)=2).
44. Отображаем окружность на полусегмент [0; 2 те), ставя в соответствие
каждой точке окружности численное значение угла, составленного
радиус-вектором этой точки с некоторым фиксированным радиусом. Затем полусегмент
[0; 2;с) линейным преобразованием отображаем на полусегмент [0; 1); наконец,
последний полусегмент отображаем на [0; 1J методом, рассмотренным в задаче 36.
Круг х2+у2<1. Круг с выколотым центром
0<x2-f-y2<l-
Рис. 14
101

и затем каждому четному числу поставим в соответствие тот номер, который
это число занимает в данной последовательности.
29. Взаимно однозначное соответствие между множеством R всех рациональных
чисел отрезка [0; 1] и множеством N всех натуральных чисел можно установить
следующим образом: запишем каждое число r^R в виде несократимой дроби, и
назовем высотой числа г сумму числителя и знаменателя; ясно, что на отрезке
[0; 1] имеется лишь конечное множество рациональных чисел данной высоты.
Расположим теперь все рациональные числа отрезка f0; 1J в последовательность
Л 0
в порядке возрастания их высот: на первое место поместим число 0= — (из R)
(это число высоты 1), затем единственное число высоты 2 (число —■ из/?),
далее число высоты 3 (число —)и т. д.; если какую-либо высоту имеют
несколько различных рациональных чисел, мы их располагаем в порядке
возрастания. Таким образом, все элементы множества R расположатся в виде следую-
1 1121 123131
щей последовательности: 0; 1; —; —; —; —; —; —; —; —; —; —; — ...
23435654758
Поставим теперь в соответствие каждому рациональному числу г из R тот
номер п, который это число занимает в нашей последовательности; это
соответствие является взаимно однозначным соответствием между множествами R и N.
30. Задача решается так же, как и предыдущая.
31. Нет, не существует. Всякая функция f(x), представимая в виде
частного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел
при х—»+оо. Если lim/(x)=9 (конечное число), то существует такое N, что
для всех k>N имеет место: q—1 <f (k)<^q+l. Но тогда тем рациональным
числам, которые лежат вне интервала (д—1; q+l), может соответствовать лишь
конечное число номеров k (только те номера к, которые предшествуют числу
N). Следовательно, не все рациональные числа получатся в виде значений
/(*)■
Если lira f(x) = oot то рассуждения аналогичны (в этом случае рациональ-
х-Н-оо
ным числам, принадлежащим фиксированному интервалу (—А; А), может
соответствовать лишь конечное число номеров k).
32. Линейное преобразование х= (о — a) t+a отображает взаимно
однозначно сегмент 0<^<1 на сегмент а<х<Ь.
33. Функция x=ctgTit, рассматриваемая на интервале 0<<<1, взаимно
однозначно отображает этот интервал на всю прямую —со<х<+со.
Ъ — а
34. Функция х=а+ arcctg/ взаимно однозначно отображает ось
л
—со<£< + оо на интервал а<х<Ь.
ЦЦЧЦ h Ц Ц }
О —п Ч Ч—"■==£
> \
Л--\ \ г
^j>~~^_ \интер8ая
(О; V
1
X?XjX, Х? « X, 3 Сегмент
Рис. 13
■^■1
100

35. Решается аналогично.
36. Выделим какую-либо последовательность точек на интервале, например:
. Установим следующее соответ-
1
1
1
*.=-«р Ъ
" 3' *3 4 ;
.. •; *«=
я+1'
ствие: точке 0 из сегмента ставим в соответствие точку хх из интервала; точке 1
из [0; 1] — точкух2из интервала; точке хх=— из [0; 1] — точку хг из (0; I);
точке х2=— т № 1] — точку хА из (0; 1) и, вообще, точг.'е гх:п из f0; 1] —
точку хп+2 из Ф' I); - • • Всем остальным точкам х£[0; 1] ставим в
соответствие точки с теми же абсциссами из (0; 1). Полученное в итоге соответствие
взаимно однозначно (рис. 13).
37. Отобразить [0; 1] на (0; 1) (задача 36) и затем (0; 1) на (—со, +со)
(задача 33).
38. Использовать метод, которым решена задача 36.
39. Отобразить [а; Ь\ на [я; Ь) тем методом, каким решена задача 36; за-
л \
0; - на
тем [а; Ь) на 10; — j с помощью линейной функции; наконец,
J0; +со) с помощью функции y==tgx.
41. Нет, так как непрерывная функция, определенная на сегменте [а; б],
должна быть ограниченной.
42. Нет; если бы существовала непрерывная функция х=ц> ft),
отображающая [а; Ь) на интервал (с; d), то на сегменте [а\ Ь] не нашлось бы точки t0,
такой, что <р (ta)=d (тогда как sup ф (t)=d). Это противоречило бы теореме
о том, что непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте свою
верхнюю грань.
43. Нет, так как непрерывная функция, определенная на [а; 6], должна
принимать все промежуточные значения (в частности, пусть ф(^)=1, ф(^2)=3,
где /]^[а; b], tid\a; b\\ тогда должна была бы найтись точка tn£\a; 6j,
такая, что tp(f„)=2).
44. Отображаем окружность на полусегмент [0; 2те), ставя в соответствие
каждой точке окружности численное значение угла, составленного
радиус-вектором этой точки с некоторым фиксированным радиусом. Затем полусегмент
[0; 2;с) линейным преобразованием отображаем на полусегмент [0; 1); наконец,
последний полусегмент отображаем на [0; 1 j методом, рассмотренным в задаче 36.
Круг хг+уг<1. Круг с выколотым центром
0<х2-(-з/2<1.
Рис. 14
101

Рис. 15
45. Сначала отображаем открытый круг х1+у2<\ на круг с выколотым
центром 0<х*+у2< 1 Для этого выделяем в открытом круге какую-либо
последовательность точек: М0, Л!,, М2, . , ., Мк, -.-.., где М0 — центр круга, и
устанавливаем следующее соответствие: каждой точке М^ из круга х +У2<1
ставим в соответствие точку М^+г из круга с выколотым центром. Остальные
точки обоих кругов (т. е. точки, отличные от всех М&) ставим в соответствие
по принципу идентичности (т. е. каждой точке N (х, у) из первого круга ставим
в соответствие точку N' с теми же
координатами из второго круга) (рис 14).
Затем открытый круг с выколотой точкой
отображаем на дополнение к замкнутому кругу
с помощью инверсии: через произвольную точку
М из Круга и центр О Проводим луч ОМ и из
его продолжении находим точку М\ такую, что
ОМ ОМ''=1. Тогда точке М из круга с
выколотым центром ставится в соответствие точка М'
из дополнения к замкнутому кругу (рис. 15).
Это соответствие взаимно однозначно.
46 Возьмем точку А на границе, и
отобразим полусегмент (О; А] (из замкнутого круга)
на интервал (О; А) (из открытого круга) Здесь
О—центр круга. Такое отображение
производится на каждом радиусе. Затем центр
замкнутого круга ставится в соответствие центру открытого круга.
Полученное отображение является взаимно однозначным отображением
замкнутого круга на открытый.
47. См. задачу 45.
48. Отобразить замкнутый круг на открытый (см. задачу 46), а затем
открытый — на дополнение к замкнутому (задача 45).
49. Указание. См. решение задачи 44. Другой способ: решать методом,
аналогичным тому, которым решены задачи 50 и 51.
50. Отображение производится с
помощью так называемой
«стереографической проекции». Обозначим через Рп
выколотую точку на сфере, а через М0 —
диаметрально противоположную точку на
сфере Построим плоскость, касающуюся
сферы в точке М0. Далее проведем
прямую через точку Р„ и произвольную
точку М на сфере. Точку N, в которой
эта прямая пересечет плоскость, ставим
в соответствие точке М Это соответствие
между точками М на сфере и точками
N на плоскости является взаимно
однозначным (рис. 16).
51. Отобразим сначала всю поверхность сферы на поверхность сферы с
выколотой точкой (это можно сделать тем. же способом, каким круг отображался
на круг с выколотым центром, см. решение задачи 45). Затем сферу с выколотой
точкой отображаем на плоскость с помощью стереографической проекции.
52. Помещаем центр круга в точку О, и устанавливаем взаимно однозначное
соответствие между точками отрезка ОМ (где М — произвольная точка на
границе звездной области) и точками того радиуса ОА, который лежит на луче
ОМ; соответствие устанавливаем так, чтобы точка О соответствовала самой
себе.
53. Выделим в множестве А иррациональных чисел какую-либо
последовательность, например 1/2, 21^2, 3]/2, . . ., nV% . . .; обозначим через В мно
жество всех вещественных чисел; множество всех рациональных точек
обозначим через R (а сами рациональные точки занумеруем: ru r2, rs, - - • . гп, ■ ■ .);
Рис 16
102

„щожесгво всех чисел вида пу 2 обозначим через L; множество всех иррацио-
вальных чисел, не представимых в виде пу 2 (п > 0, целое), обозначим
через С. Тогда
A=C\JL, B=C(J(L[)R).
Элементы множества L ставим во взаимно однозначное соответствие элементам
множества L[JR, например, следующим способом:
L: У 2 2/2 31/2 4]/2 ... (2k— 1)"|/~2~ 2kV~2 . ..
L\JR: >i У~2 г2 2У2 ... rk k\Ti...
Точки множества С ставим во взаимно однозначное соответствие самим себе.
В итоге получится взаимно однозначное соответствие между А и В.
54. а) Каждой точке (£; г]) прямоугольника (a; b)X(c; d) ставим в соот-
/ я я \ / я я \
ветствие точку (х; уу квадрата I — —; 7TJX1 ——-; — I следующим образом:
я £— а я т]— с
*==— — +я— ; у=— — +я-
2 Ъ — а ' 2 d— с'
(я я\ / ля
— 7Г' —/х(——' —
ставим в
соответствие точку (X; У) плоскости следующим образом: X=tgx, Y=tgy.
в) См. а) и б).
55. При этом соответствии получатся не все точки отрезка (0; 1 j; при задан
иом соответствии не получится ни одной точки, разложение которой в
бесконечную десятичную дробь содержит нули на всех четных местах, начиная с
некоторого номера; например, не получится точка 0,35703070 .. . Итак, это не
будет взаимно однозначным соответствием между точками квадрата (0; 1]х
Х(0; 1] и отрезка (0; 1]. Однако это соответствие является взаимно
однозначным соответствием между точками квадрата и точками некоторого подмножества
отрезка (0; I].
56. Перенумеруем все рациональные числа отрезка [0; 1]:
ritrt>rst • ■ •» гп, ... (1)
Все рациональные точки квадрата расположим в следующую таблицу:
(г%, П) ('1. r2) (ru rs) ...
(Ъ, П) (г2, г2) (г2, л3) ...
(rs, гг) (г3, г2) (r3, rs) ...
(гй, rt) (г4, г2) (г4, г3) ...
выпишем все точки из этой таблицы в одну последовательность в следующем
порядке: сначала (гх, гг); затем точки, у которых сумма индексов абсциссы и
ординаты равна 3; точки, у которых сумма индексов равна 4, и г. д.:
(П, П); (гъ г2); (r2, rx); (rlt г3); (/-2, г2); (л3, лх); (rx, r4); (r2, rs) ... (2)
Теперь устанавливаем взаимно однозначное соответствие между членами
последовательности (1) и членами последовательности (2) обычным способом: я-му
члену последовательности (1) ставим в соответствие я-й член
последовательности (2).
57. Указание. Установить взаимно однозначное соответствие между
множеством всех квадратов (т; т-\-1]Х{п\ я+1] и множеством всех
полусегментов (р; р+1] (где т, п, р — всевозможные целые числа). Затем установить
взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных точек
квадрата (т\ т+1]х[я; я+1] и множеством рациональных точек соответствующего
Полусегмента.
103

58. Указание. Всякий многочлен с рациональными коэффициентами
можно представить в виде частного от деления многочлена с целыми коэффц.
циентами на натуральное число.
59. Установим сначала взаимно однозначное соответствие между совокуп.
ностью всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и множеством всех
двоично-рациональных точек полусегмента [0; 1): каждому конечному множеству
(пг, /ig, . - ., щ) (где гс1<л2< ... <rik) ставим в соответствие двоичную
дробь, у которой на местах с номерами п1з гс2, - ■ •. "fe после запятой стоят
единицы, а иа остальных местах нули; например, множеству (2, 3, 5)
соответствует двоичная дробь 0,01101, т. е. двоично-рациональная точка —+—+,г=—•
А £. Z 0.£
После того как такое соответствие установлено, остается только
перенумеровать все двоично-рациональные точки полусегмента [0; 1). Это можно сделать,
например, следующим образом:
.li. iii. i. lllili 1
' 2' 22' 2«' 2s' 2s' 2s' 2s' 24' 2"' 24' 24' 21' 25' '"
Тем самым множество двоично-рациональных дробей полусегмента [0; 1)
поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных
чисел.
60. Каждой последовательности натуральных чисел
«1. «2, Пв, . . ., Щ, ...
ставим в соответствие возрастающую последовательность натуральных чисел
m1<m2<m3< ... <mfe< ....
где т1^п1; щ=пг+п2; ms=nx-\rn2+ns; . . .; mk=n1+ f- nk; •■•
Это соответствие является взаимно однозначным.
61. Последовательности n1<n2<ns< ... <п^< ... ставим в соответствие
бесконечную двоичную дробь, у которой после запятой на местах с номерами
ni, ft2. ns< -> nk, ■ ■ ■ стоят единицы, а на остальных местах — нули (ср. с
решением задачи 59).
ГЛАВА 3
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ
62. Счетное множество.
63. Счетное множество.
65. Счетное множество (см. для случая р=2 решение задачи 59).
66. Счетное множество.
67. Прежде всего заметим, что каждая точка разрыва х0 монотонно
возрастающей функции / (х) является точкой разрыва первого рода. Действительно, так
как функция f (х) монотонна и ограничена на [а; х0), то она имеет предел при
х-+х0 — 0; аналогично этому проверяется, что функция f (x) имеет предел в
при х-*хо+0.
Назовем скачком функции в точке разрыва хв разность f (x0+G) — f (x0 — 0).
В каждой точке разрыва монотонно возрастающей функции скачок положителен.
Легко проверить, что множество точек разрыва, в которых скачок больше а
(где а— какое-либо положительное число) конечно, а именно: число этих точек
не больше, чем . Обозначим через Ek множество точек разрыва £0
104

1
скачком >—-. Очевидно, что множество Е всех точек разрыва равно сумме
всех Ей'
£~£iU£2U£3U ...\jEk\j ...
Так как все Ek конечны, то Е не более чем счетно.
Для монотонно убывающей на \а; b] функции доказательство аналогично.
68. Обозначим через Л,- — множество точек разрыва функции на отрезке
Множество А всех точек разрыва (на всей числовой прямой) равно сумме
всех At:
А = АХ{]А.2[]А3\} ..._\jAk\J ■-.;
каждое Л, не более чем счетно (см. задачу 67). Сумма счетного числа таких
слагаемых также является не более чем счетным множеством. Итак, А не
более чем счетно.
69. Обозначим En=Ef\[—; +<»). Ясно, что [jEn=E, так как
\п I п
Если бы все Еп были не более чем счетны, то и сумма всех Еп была бы не
более чем счетна—что противоречит условию (Е несчетно по условию). Итак,
по крайней мере одно из Еп несчетно.
70. Нет, неверно. Пример: Е=\ 1; -—; —; —; . . .; —;...}. Само мно-
[ 2 3 4 п )
нсество Е бесконечно; однако для любого т>0 множествоЕfi(т; +оо) конечно.
71. Да, можно. В качестве а можно взять любое положительное число,
отличное от всех чисел \хь — х^\ (где {xi}—данное множество £). Различных
чисел \xi — Xk\ счетное множество. Поэтому всегда найдется число а>0,
отличное от всех | х( — х% |.
72. Да, можно. Доказательство производится так же, как и при решении
предыдущей задачи.
73. Разобьем прямую на счетное множество отрезков точками 0; ±1; ±2;
+3; ... Каждый отрезок содержит не более одной точки данного множества;
следовательно, между точками множества Е и некоторой совокупностью
построенных отрезков существует взаимно однозначное соответствие. Значит,
множество Е не более чем счетно.
74. Доказательство проводится так же, как и в задаче 73. При этом
плоскость следует разбить прямьши x=const и y=const на счетное множество
„ а
квадратов со стороной ——.
V2
75. Мощность континуума.
76. Мощность континуума (см. задачу 61).
77. Мощность континуума (см. предыдущую задачу, а также задачу 60).
78. 79. Мощность континуума.
80. Мощность континуума. Указание. Установить взаимно однозначное
соответствие между множеством всех рациональных чисел и множеством всех
натуральных чисел. Тем самым устанавливается взаимно однозначное
соответствие между множеством всех последовательностей рациональных чисел и
множеством всех последовательностей натуральных чисел. После этого задача
сводится к задаче 77.
81. Мощность континуума. '
82. Мощность континуума (каждому сегменту [а; Ь] соответствует точка
■с координатами а, Ъ на полуплоскости у>х; это соответствие взаимно
однозначно, а множество точек полуплоскости у>х имеет мощность континуума).
.105

83. Мощность этого множества является конечной или счетной
84. Мощность континуума. Указание. Каждому кругу {х—o)»j
+(У — Ь)2=Л2 следует поставить в соответствие точку трехмерного пространства
с координатами a, b, R и затем найти мощность полученного множества точек
пространства.
85. Множество этих окружностей может быть и несчетным (например,
множество всех окружностей, имеющих общий центр).
86. Любое множество попарно не пересекающихся букв Т будет не более
чем счетным. Докажем это. Поставим в соответствие каждой букве Т из
данного множества тройку рациональных точек М, N, Р на плоскости так, чтобы
отрезок MN пересекал ножку буквы Г, а отрезки MPuNp
пересекали боковые отростки этой буквы (рис. 17) Тогда
одной и той же тройке рациональных точек М, N, Р
может соответствовать не более одной буквы Т (легко
доказать, что если бы этой тройке соответствовали две
различные буквы Т, то они бы пересекались). Итак, между
заданным множеством букв Г и некоторым множеством
троек рациональных точек на плоскости установлено
взаимно однозначное соответствие. Так как множество таких
троек не более чем счетно, то и множество попарно не
D .. пересекающихся букв Т также не более чем счетно.
с 87. Такое множество может иметь любую мощность,
меньшую или равную мощности континуума. Для того
чтобы в этом убедиться, построим произвольное множество Е на прямой >'=—х
и через каждую точку этого множества проведем букву Г (приняв эту точку за
вершину угла буквы Г и направив отрезки буквы Г параллельно осям
координат). Все построенные буквы будут попарно ие пересекающимися, и множество
этих букв имеет мощность, равную мощности множества Е.
88. Мощность континуума (обозначим через А множество всех функций
вида kx, где k>0; через В — множество всех строго возрастающих непрерывных
функций, через С — множество Есех непрерывных функций. Тогда AczBczC. Но
А а С имеют мощность континуума; следовательно, В также имеет
мощность континуума).
89. Мощность континуума. (Указание. Учесть, что множество Есех
точек разрыва монотонной функции не более чем счетно и что у такой функции
все точки разрыва являются точками разрыва первого рода. Учесть также то,
что множество различных счетных подмножеств на отрезке [а; Ь\ имеет
мощность континуума.)
90. Мощность континуума.
91. Мощность континуума. Для доказательства установим взаимно одиозна
ное соответствие между множеством А всех бесконечных десятичных дробе
в десятичном разложении которых отсутствует 7, и множеством В всех
бесконечных девяггшричных дробей на отрезке [0; 1]: каждой десятичной дроби из
А ставим в соответствие дробь из В, которая получится из первой дроби, если
в ней повсюду цифру 9 заменить цифрой 7. Это соответствие взаимно
однозначно. Но В= [0; 1]=с; следовательно, А=с.
92. Мощность континуума.
93. Мощность континуума. Взаимно однозначное соответствие между
множеством А десятичных дробей указанного вида и множеством В всех
десятичных дробей устанавливаем следующим образом: каждой бесконечной дроби из Л
ставим в соответствие бесконечную дрооь из В, которая получается из первой
дроби вычеркиванием цифры, стоящей на 3-м месте. Например: дроби х=
=0,257361 . . . £Л соответствует дробь у=0,25361 . . . £ В; дроби х=
=0,237758 . . . £ А соответствует дробь y=U,23758 ... £В Множество В
имеет мощность континуума; следовательно, А \гакже имеет мощность континуума.
94. Мощность континуума (см. задачу 91)-
95. Обозначим замкнутый круг радиуса г буквой А, открытый круг с тем
106

5ке центром и того же радиуса — буквой В, а замкнутый круг радиуса —
с тем же центром — буквой С. Тогда Az>Bz)C. Множества Л и С имеют
одинаковую мощность (взаимно однозначное соответствие между ними устанавливается
с помощью преобразования подобия, с центром подобия в общем центре кругов).
Цз эквивалентности множеств Л и С вытекает (на основании теоремы
Кантора— Бернштейна), что Л эквивалентно В
96. См. задачу 95.
87. Если Л—сея плоскость, В — замкнутый квадрат, С—включенный в
него открытый квадрат, то Az^Bz>C. Но А эквивалентно С (см. задачу 54 в).
Следовательно, Л эквивалентно б.
99. Да; любое множество Л\С (где С—какое-либо конечное подмножество
множества Л) эквивалентно В.
100. А={А\В)и(АГ\В); B={B\A)\J(Ar\B). При этом Л\би Af]B не
имеют общих точек так же. как и множества В\А и Af]B. Так как А\В-^В\А
по условию, и АГ\В-^АС]В, то А~В.
101. В условиях задачи имеют место легко проверяемые соотношения:
B=AU(B\A), (1)
еис=[ли(с\в)уи(е\Л). (2)
Оба слагаемых множества в правой части равенства (1) не имеют общих
точек; то же самое верно и для правой части равенства (2).
Множество Л и Ли(С\б) эквивалентны; это следует из того, что
AcAU(C\B)czAUC, и что, по условию, Л~ЛиС. Итак, А~АЦ(С\Б). Из
этого соотношения, а также из равенств (1) и (2) вытекает, что В~В{]С.
102. Нет, неверно. Пример;
Л={1, 2, 3, 4, . .}, В={2; 3; 4; . . .}; С=А; £>={3; 4; 5, . . .}.
Здесь А~С, B~D, AidB, CidD, но А\В не эквивалентно C\D (A\B
состоит из одного элемента, С\£> — из двух элементов)
103. 104. Нет, неверны.
106. Мощность континуума.
107. Доказательство. Обозначим через Сп — круг радиуса п с
центром в начале координат Ясно, что
со
£= U (СпГ)Е) '
п=1
Если бы все Сп[)Е были не более чем счетные, то таким же было бы и
множество £; но, по условию, Е несчетно; следовательно, хотя бы одно из
множеств СпГ\Е также несчетно.
108. См. задачу 59.
109. Мощность континуума.
110. Мощность гиперконтинуума.
ГЛАВ А 4
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
111. Выполнение первых двух аксиом очевидна Выполнение аксиомы
треугольника проверяем следующим образом: для любых ограниченных на [а; Ь]
функций «р(£), W)» Х(0 и для любого t£[a; b\ имеет место:
l<p(t)-t№l<l<Ptf)— %(t)\+\%(t)— Hp(t)\<
<sup| <p (t) — X (t) |+sup | X V) — ip it) |=q (q>, %)+q {%, W.
307

Итак, число Q (ф, %) + q (%, ч])) является верхней границей для функцщ
|ф(0 — 'KOI- Верхняя грань—это наименьшая из верхних границ. Поэтому
sup 1 ф(0 — Ф(*)|<е(ф, x)+q(x, t),
т. е.
е(ф, ,Ф)<е(Ф. w+e(x, *).
112. Прежде всего докажем, что для любых последовательностей
х (%, fl2, аа, . . .) и у (Ьь fc2, 63, . . .), у которых ряд из модулей членов сходится,
расстояние q (х, у) будет определено. Действительно, ряд 2 \щ — Ьг-1 сходится,
г
так как | с,- — bt \ < \ at 1+| bt |, а ряды 2 I я«" I и 2I fy1 сходятся по условию
Для проверки выполнимости аксиомы треугольника (выполнение первых
двух аксиом очевидно), заметим, что для любого i
IЩ — b-t | < | ае — с,-1+1 ct — Ьг |,
и поэтому
2к--Л1 <2к-— с,-1+21 с,-—м.
т. е.
Q(x, y)<Q (x, z)+q(z, у), где г=2 (С], с.;, с3, . . .).
113. Проверка выполнимости всех аксиом проводится так же, как в
задаче 111.
114. Ряд 2 (аг— bjf сходится всегда, когда ряды 2°б и2^. сходят-
i i i
ся; это следует из того, что
(al-b^Kaf+2\aibl\+bj<a]+2—~+bj = 2a2l + 2bf.
Выполнение первых двух аксиом метрического пространства очевидно. Третья
аксиома проверяется так: для п-мерного евклидова пространства справедливо
неравенство:
у Jjta-b^l/ Jjto-c^+j/ .2 to-ад2
(аксиома треугольника в n-мерном евклидовом пространстве). Переходя в этой
неравенстве к пределу при и-»-со, получаем:
/со /со /со
.2(й,- - Ь«)2 <]/ 2 (0| - С,")2 +]/ .2(С£ ~ Ьг)2-
115. Аксиома треугольника проверяется интегрированием (в границах от О
до 1) неравенства
М*) —ф(*)|<1Ч>(х)—Х(*)|+|Х(*) —Ф(*)|.
116. Нет, не является (не выполнена аксиома тождества: из равенства
sin2 (х—у)=0 не вытекает, что х=у).
117. Да, метрическое пространство. Первые две аксиомы проверяются легко.
Чтобы проверить третью аксиому, сначала надо доказать, что для любых а>0,
Р>0 имеет место неравенство: arctga+arctgP>arctg (а+Р) (для этого
достаточно доказать, что при фиксированном Р>0 функция от а: / (ct)=arctg а+
+arctgp — aretg(ct+P) возрастает; а так как / (0)=0, то при а>0, /(а)>0).
П8. Да. Выполнение аксиомы треугольника следует из неравенства
которое имеет место при любых а>0, Р>0 (проверяется
это неравенство извлечением квадратного корня из обеих частей очевидного
неравенства а+Р<а+р+2К of).
108

119. Да, метрическое пространство.
120. Да, метрическое пространство.
121. Множество Е не является метрическим пространством; здесь выполнены
две первые аксиомы, но не выполнена аксиома треугольника: если точки М и N
очень близки к М0 и находятся по разные стороны от Мв, то
С (Л*. JV)>e(Af, M„)+Q(M0, N).
122. Для того чтобы вывести неравенство Коши — Буняковского для
интегралов, разделим отрезок [а; Ь] на п отрезков д^(&=1, 2, . . ., п) и внутри
каждого из иих выберем произвольную точку tK. Затем, применяя неравенство Коши —
Буняковского для конечных сумм к двум конечным последовательностям:
Ф (*i) VtJy, ф (t2) Va h; . . .; ф (tn)V~Atn\
Ф (* j) V Ah; \|> (t2) УЪ~2. ■..; $ (tn)V Atn,
получим
n / n / n
2ф('*Ж'й)Д'*<1/ 2 [ф Cft)]*A*ft 1/ 2№(Щ1!А^
Переходя в этом неравенстве к пределу при Д^^-0, будем иметь:
ь Гь Гь "
]ф(оч>ю<й<1/ Jtowptf у \mt)fdt.
а 'а * "а
Это и есть неравенство Коши — Буняковского для интегралов, справедливое для
любых непрерывных функций Ф (t) и ty{t\. Умножая обе его части на 2 и за тем
прибавляя к обеим частям j [<?(()]* dt + Uty (t)]'dt, получим после преобразова-
/
ь Гь [ ь
§(<P+Wdt<y ftdt+V jV#.
а ' с 'а
Пусть теперь х (t), у (t), z(t) — три произвольные непрерывные функции на
]а; Ь]; подставляя в последнее неравенство ф (t) = x (t) — г (t), ■$(/) = г (t) —y(t),
получим:
Q(x; y)<e(j; z)+q(z; у);
следовательно, аксиома треугольника имеет место в данном пространстве.
Легко проверяется также выполнение аксиом тождества и симметрии.
Следовательно, данное пространство является метрическим.
123. Да, метрическое пространство.
Указание. Для проверки аксиомы треугольника проще всего привести
предварительно формулу для расстояния к следующему виду:
qUi', k) = V (fh — Pi)2+(sinct2 — sina1)2+(cosa2 —cosaj)2,
и затем воспользоваться тем фактом, что неравенство треугольника выполняется
в трехмерном евклидовом пространстве.
124. Да, метрическое пространство.
125. Нет, не является метрическим пространством; здесь не выполнена
аксиома тождества: две прямые
1Г: х cos а+у sin a — р=0; 12 : х cos (я—а)+у sin (я—а) — р=0
не совпадают друг с другом, тогда как q(/1; /2) = 0. С другой стороны, прямые
Lx: х cos а+у sina=0; L2: ;ccos(n+a)-}-#sin(n+a)=0
совпадают, хотя q(Lx; L2)= 2|sina| =£0 (при 0<a<rt).
109

126, 127. Да, метрическое пространство.
128. Нет, R может оказаться не метрическим пространством (см., например,
эадачи 125 и 126).
129. В ^ выполнены все аксиомы, кроме аксиомы тождества; если,
например, R — числовая прямая, Et^{a; b), E^—la; b], то q (Eu ё,)=0, тогда как
Е^Е2. i
130. Семейство Ф является метрическим пространством
131. Это семейство не является метрическим пространством: если E1czE2j
то q(Ex, £2)=0, тогда как Е^Ег.
ГЛАВА 5
ПРЕДЕЛЬНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА.
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
132. Пусть inf q (x, y)=d > 0. Докажем, что никакая точка а, принадле-
жащая плоскости, не может быть предельной. Для этого докажем, что в
окрестность точки а попадет не более одной точки из Е, Действительно,
если бы сюда попали две точки из Е: г(£иу(£, то было бы
й d
Q (*, У) < Q (х, a)+Q (а, у) < --+—=rf, т. е. Q (х, у) < d.
Но это противоречит условию, что d=ini q(x, у).
133. Этому условию удовлетворяет, например, множество Е1 точек на
прямой:
111 1
1; —; -—; —; ...; —;... и 0.
2 3 4 п
Здесь Е, ={0| (одноточечное множество), £1 = 0.
134. Прн и=2 см. предыдущую задачу. При и=3 соогветствующее
множество Е строим, например, следующим образом к каждой точке вида — (где
fill
i — натуральное число) пристраиваем последовательность \—-Ь~}, ft=l, 2,
\k i )
1 1 1
3 . . ., сходящуюся к точке —. Тогда множество всех точек вида —+ — (k>\,
t k i
i > 1) с добавленной к нему точкой 0 дает искомое множество Е2. Его
производным множеством является Е\ (множество, построенное в предыдущей
задаче): Е2=Ег; отсюда
££=£', = ;0}, £J'V0.
Аналогично строятся множества при п > 3. Вообще, для любого и > 2
удовлетворяет условию задачи, в частности, множество Еп— ь составленное из всех
( 1 1 1 1
точек вида <^--Ь—-Ь ••■ +—} и точки 0, где 1<&<и, а знаменатели
I 'i h Ч )
ilt i% ik пробегают всевозможные натуральные значения 1, 2, 3.. . Легко
показать, что Еп_1=Еп—2, откуда следует (по индукции), что Е^~р={0},
Е^1, =0-
ПО

135. Множество Е замкнуто. Его производным множеством является
множество всех чисел вида — и 0; £'"=(0}; £""=0 (см. предыдущую задачу).
136. Например, множество Е точек с координатами
(A. J_
для всех
целых чисел k и всех натуральных чисел п. Здесь Е' — еся ось Ох, причем
ни одна точка из данного множества не входит в Е' (рис. 18).
Другой пример приведен в задаче 288.
1
Рис. 18
137. Пусть а — предельная точка для Е'. Дскажем, что а является
предельной точкой также и для Е. Опишем около а произвольную окрестность
V , (а). В ней содержится бесконечно много точек из Е'. Возьмем какую-либо
из них, например Ь£Е', и опишем около нее окрестность V6 (Ь), целиком
лежащую внутри Vs (а). В ней имеется бесконечное множество точек из Е (так
как Ь££' и, значит, Ь является
предельной точкой для £). Но тогда все
точки из Е, попавшие в Ке (Ь),
окажутся и в окрестности V (а);
значит, любая окрестность Vs (а) точки а
содержит бесконечно много точек из
Е. Следовательно, а является
предельной точкой для Е, т. е. а^Е'. Итак,
всякая предельная для £' точка а
входит в £', а это и означает, что
множество £' замкнуто.
138. Так как £' замкнуто (см.
предыдущую задачу), то все его
предельные точки входят в £', т. е.
£"сг£'. Аналогично, E'"czE" и т. д.
139. Пример. Пусть Ак —
сегмент на плоскости, соединяющий точки
(г °)и (г 1}Тогда л>=Ak
в\
Я,
Ш1
1
2
Рис. 19
1М*=иДь (lM*)'=(U4ft) UB.
k k k k
в-
- сегмент, соединяющий точки (0; 0)
>LMft> но равенство не имеет места.
(0; 1) (рис. 19) Здесь
где
(1М*)':
k k
Вообще, для любой последовательности множеств {Ak} справедливо
включение: (lMfc)'=>U А'я.
k k
1Д

140. Нет. неверно. Пример. А= \\\ —: —;...; ", . . . 1
v 13 5 2k—\ J*
(111 1 ]
в=1Т;7;?:---;^---}-3десьЛпВ=0'
(АПВ)'=0, А'={Щ, В'={0}, А'ПВ' = {0}.
141. На все вопросы ответ положительный (см. пример, построенный
в качестве решения задачи 136).
142. Пример. На отрезке [0; 1] строим множество Ег всех точек вида
— (где п=\, 2, 3, .. .); на [1; 2]—множество Е, всех точек вида1+ — +'—-
п пх п2
(где п,=2; 3; 4;...; гс2=2; 3; 4;...); вообще, на [k—1; k]— множество
1 1 1
Eh точек вида k—1 + 1 г- ■■■ Л » где nx—-k, k+l, k+2, . . •
n2=k, k+\, k+2,...;...; щ—k, k+\, k+2, . . . Тогда объединение Е всехЕ^:
oo
E= U Ей удовлетворяет псем требованиям задачи.
fc=l
143. Достаточно к множеству Е, построенному в задаче 142, добавить
отрезок [—1; 0]. Тогда множество M~E\J [—1; 0] таково, что М^ ф м'1'
при !>/и П M(k)=[— 1; 0] Ф 0.
k
144. а) Пустое множество и вся плоскость, б) Любое открытое множество
на плоскости (отличное от пустого и от всей плоскости), в) Любое множество,
не являющееся ни открытым, ни замкнутым (например, множество точек (х, у)
таких, что 0 < х < 1, 0 < у < 1). д) Множество всех иррациональных чисел
на прямой.
145. В любой окрестности такой точки найдутся как точки, не
принадлежащие множеству (в частности, сама эта точка), так и точки множества (так
как эта точка является предельной).
146. Пусть А=А1(]А2 и х£ borne А. Тогда в любой окрестности точки х
найдутся как точки из С А (эти точки не входят ни в Ах, ни в А2), так и точки
из Ау или из А,,. Возьмем последовательность окрестностей точки х с радиусами
1
ея=— и б каждой такой окрестности выделим точку, принадлежащую к Аг или
п
к Л2. Хотя бы одно из множеств А1 или Л2 (для определенности будем
считать, что множество Лх) имеет точки в бесконечном числе этих окрестностей,
например в окрестностях
Vj_ (х), VL (x) V^ (х), .. .
Тогда любая окрестность точки х содержит точки из Аг; действительно, прс
извольная окрестности Vr (х) включает V t (х) для некоторого номера k (ДР-
"*
1\
статочно взять щ >—I; но V 1 (х) содержит хотя бы одну точку из Аг
"k
следовательно, это же имеет место и для VT (х).
Итак, любая окрестность точки х содержит точки из Alt а также точки,
не входящие в Аг. Но тогда х^Ьогпе Ах. Следовательно,
х£ (borne Аг) U (borne А2), т. е. borne Л с (borne At) U (borne A2).
Если бы А было суммой не двух, а любого конечного числа множеств
А\,А%, ■ ■ ■ Ап, доказательство было бы аналогичным.
Если же А является суммой бесконечной совокупности множеств, то анало-
>\\2

гичное утверждение уже неверно. Например, если Ak — прямая линия, располо-
1 со
женная на плоскости Оху и' заданная уравнением х = —, то множество U Аъ
k £=1
имеет в числе своих граничных точек, в частности, все точки оси Оу; однако
эти точки не являются граничными ни для одного из множеств Ah.
147. Так_как_А^ с Аг1) А2у то Ау с Ay\JA2; аналогично ~А2 с A^JjA^,
следовательно, AX\JA2 cz A1\JA2.
Обратное включение Аг U Л2 С Ах (J Л2 доказывается тем же путем, каким
доказывалось включение borne (Аг U Л2) с (borne A±) (J (borne Л2) (см. решение
предыдущей задачи).
Сравнивая эти включения, получаем требуемое равенство Л1и Л2=Л1и Л2.
Включение U Л* с U Л^- для бесконечной совокупности множеств
доказывается так же, как и включение Л1иЛ2сЛ1иЛ2 для суммы двух множеств.
148. Если Лх и А2 замкнуты, то Ay=Alt A2=A2; поэтому на
основании результата предыдущей задачи (для суммы двух множеств) имеем At \J А2 =
=A1\JA2=A1\JA2; следовательно, A1\JA2—замкнутое множество.
Доказательство для суммы любого конечного числа множеств аналогично.
149. Пусть А^ — замкнутые множества. Докажем, что [) А* тоже замкнуто,
т. е. докажем, что f| А. = ПЛ. .
I Е ь
В одну сторону включение очевидно: Г\ At a p\At .
Для того чтобы доказать обратное включение, рассмотрим произвольную
точку х£[) А? ■ В любой ее окрестности найдутся точки из fl Ar ; следова-
£ Е
тельно, в этой окрестности найдутся точки из каждого множества Л» _ Значит
х является точкой прикосновения для каждого множества А? , т. е. х£Аг
для любого А* (в силу того, что множества А^ замкнуты). Но тогда х £ Г1 Аг .
Итак, TlAj<=Q Al-
£ Е
Сравнивая оба полученных включения, приходим к выводу, что [) Аг =
= Г) Аг ; значит, множество [} Аг — замкнуто. Е
Е Е Е fe _
150. Пусть а— точка прикосновения для Е. Докажем, что а является
также точкой прикосновения для Е. Опишем произвольную окрестность V (а) и
найдем в ней точку Ь£Е. Далее, построим окрестность V(b), включающуюся
в V(a). Так как Ъ £ Е, то Ъ является точкой прикосновения для Е. Следовательно,
V(b) содержит хотя бы одну точку из Е. Но тогда эта же точка входит и в V{a).
Итак, произвольная окрестность V(a) точки а содержит хоть одну точку из Е, а
значит, а является точкой прикосновения для Е. Но тогда а £ Е. Таким образом,
доказано, что Есякая точка прикосновения множества Е вход it в Е, т. е. Е
замкнуто.
151. Если последовательность rlt r2,.... гп, . . . неограничена, то
объединение этих окружностей замкнуто.
Если последовательность ги г2, .... гп, . . . ограничена, причем lim rn=a,
то объединение этих окружностей не замкнуто; замыкание суммы окружностей
получится, если к этим окружностям добавить предельную окружность радиуса а.
152. Объединение этих окружностей не замкнуто; мы получим замыкание
суммы, добавив к данным окружностям концентрическую окружность радиуса а,
если lim rn=a >0 (или одну точку — общий центр, если lim гп=0).
И-Э-СО П-*СЮ
S Ю. С. Очан
113

153. Это множество замкнуто, если lim rn=-{-<x> (в этом случае оно cobi
я->со
падает со всей плоскостью); оно не замкнуто, если lim гп=а<+оэ. В обоих
случаях это множество является открытым.
154. Это множество не является совершенным; но добавление к нему
одной точки (начала координат) делает его совершенным.
7
155. Обозначим через Сп окружность радиуса — км с центром на зем-
2д и
ной оси, расположенную в северном полушарии на поверхности земли; длина
7
этой окружности равна — км (рис. 20). Через Вп обозначим окружность,
расположенную на поверхности земного шара иа 7 км южнее, чем Сп. Тогда искомое
множество Е таково:
E=Bl\jB,\jBtU
UPo,
где Р0 — одноточечное множество (южный полюс).
Множество Е не замкнуто. Кроме
точек окружностей В1г В2, . . .,
предельными являются также все точки
окружности А, отстоящей на 7 км южнее
северного полюса (окружность А не входит
в Е). Поэтому:
£=£UA E'=lE{jA)\Pe.
156. Пусть £ — предельная точка
множества Еа. Возьмем
последовательность {хп} (где хп£Еа), сходящуюся к £.
Тогда f (jcn) > а для Есех п. В силу
непрерывности f (х) имеет место: f (?)=
= lim f (xn). Но из анализа известно:
если все члены сходящейся
последовательности больше или равны а, то ее
предел тоже больше или равен а. Итак,
\im f (хп)> а, т. е. f(Q>a. Следо-
вательно, Е^-Ер- Значит, множество Еа
замкнуто.
157. Пусть ф (х)—предельный элемент множества Е. Тогда найдется
последовательность элементов множества Е: }л (х), /2 (х), . . ., сходящаяся
к ф (х) (в смысле сходимости в пространстве С, т. е. max \fn (х) -—ф (х)|->-0 при
/г—оо). Иными словами, fn (х) равномерно сходится к ф(х). Но если fn (х)
сходится к ф (х) равномерно, то и для каждого х, х£[0; 1], имеет место:
Ит//г (х)=ф (х). Так как, для каждого х£[0; 1], A<^fn(x) <JB, то и в пре-
гс~>со
деле А < 11m fn (х) < В, т. е. А < ф (х) < В,
п-»оо
Итак, ф (х) £ Е. Таким образом, всякий предельный элемент множества Е
принадлежит Е. А это и означает, что Е замкнуто.
158. Доказывается аналогично.
159. Нет (например, два сегмента на плоскости, пересекающиеся в одной
точке).
160. Сумма конечного числа совершенных множеств Есегда является
совершенным множеством; сумма счетного числа совершенных множеств не
обязательно является совершенным множеством (см. пример к следующей
задаче).
Рис. 20
114

161. Пример: сумма счетной совокупности сегментов
К
и
, 1 з
и
4 8
и... u[2-.Jr:2__J_lu
Здесь каждое множество замкнуто (даже совершенно), а сумма не замкну
та: суммой является полусегмент [1; 2).
162. Для этого надо доказать, что если р — точка прикосновения для
множества граничных точек, то она сама является граничной точкой исходного
множества Е (доказательство этого факта похоже на доказательство
аналогичного факта в задаче 150)
163. Пусть £ — данное множество, А— множество его внутренних точек
о
(т. е. к=Е). Пусть х0£А — какая-либо точка А. Надо доказать, что л;0 —
внутренняя точка множества А. Для этого опишем около х0 окрестность V (х0),
входящую в Е (что возможно, так как л;0 — внутренняя точка множества Е).
Каждая точка х С V (х0) язляется также внутренней точкой множества Е (так
как около х можно описать окрестность V (х), входящую в V (х„) и тем самым
входящую в Е). Итак, всякая точка x£V (х0) язляется точкой из А. Значит,
х„ является внутренней точкой множества Л. Таким образом, каждая точка
множества А является его внутренней точкой, т. е. А — открытое множество.
164. Это следует из того, что Е является суммой е-окрестностей всех
точек из множества А:
£= U Ve (х)
хеЛ
165. Нет, неверно. Пример. Е — множество на плоскости, являющееся
суммой двух множеств: замкнутого круга D и одноточечного множества, лежа-
о о о
щего вне D. Тогда E=D и £WD; но E^D.
~~о
Однако для всякого замкнутого множества Е имеет место включение Е с Е.
166. Нет (пример: Е — открытый круг с выколотым центром; здесь
Е ФЕ).
Однако дяя всякого открытого множества Е справедливо включение: Е zdE.
167. Для доказательства надо использовать следующее свойство
непрерывной функции: если непрерывная функция положительна в точке хи, то она
оложителъча и в некоторой окрестности этой точки.
168. Пусть ф££. Тогда А < <р (х) < В всюду на [0, 1]. Обозначим
sup ф (х)=Р, inf ф (х)=а. Ясно, что sup Ф (л;) не может равняться В, так как
по свойствам функций, непрерывных на сегменте, sup ф (х) достигается в неко
торой точке х' сегмента [0; 1]:ф(л:')=Р- Но <р(х')<В; следовательно,
р < В. Аналогично, a > А. Обозначим через е наименьшее из чисел a — А
и В — р Тогда все функции t(x), удовлетворяющие неравенству
ф(я)—ъ<\(х) <ф(х)4-е, принадлежат множеству Е. С другой стороны, все
такие функции х № образуют е-окрестность функции ф, так как все эти функ
цИИ—и только они — удовлетворяют условию: Q (Ф, х) < е- Итак, вместе с
функцией ф (х) в множество Е входит также некоторая окрестность функции ф,
а это значит, что Е — открытое множество в пространстве С.
169. Доказательство аналогично.
170. Пример. Пусть Ek — открытый круг на плоскости с центром в на-
1 со
чале координат и радиусом —. Тогда f) Ek является одноточечным множеством
(началом координат). Оно не является открытым множеством.
171. Перенумеруем все рациональные точки числовой прямой: rt, r2, . . .,
rk, . . ., и обозначим Gk—I\{rk) (т. е. Gk — вся числовая прямая /, из кото-
8*
115!

рой исключена одна точка />). Каждое Gjt — открытое множестЕо, а пересечение
всех Cft равно множеству всех i рргциональных точ^к. Итак, это последнее
множество является множеством типа С6 .
172. Пусть А = Е[]Е', В — пересечение Есех замкнутых множеств, еклю-
чающих Е. Лекажем, что, какОЕО бы ни было Е, имеет место равенство: А=В.
1) А — замкнутое множество (см. задачу 150), Еключающее Е;
следовательно, AZD В.
2) Любое замкнутое множество F, содержащее Е, содержит также все
еЕО предельные точки; поэтому F ZD E\jE', т. е. F ZD А. Но тогда и
пересечение всех таких замкнутых множеств F содержит А; значит, В zd А.
Из того что Aid В я В id А вытекает, что А=В.
173. Доказательство аналогично.
174. Каждое из множеств Еп замкнуто (см. задачу 156).
Функция f(x), непрерывная на сегменте, ограничена на нем (например,
|f (x)| <; А/ для всех л;£ [о; Ь]); следовательно, все Еп при n>N пусты.
Поэтому сумма E^EgiJ •■• L)Е2г,—х(J . .. сводится к сумме конечного числа
непустых замкнутых множеств. А такая сумма является замкнутым множестЕом.
175. Пример. Функция у=— непрерывна на интервале (0; 2). Здесь
EiU£sU£EU ■■■ U£W-xU
U
Г 1
.2:1]и1ГТ
1 1,
_2£'2£-1Г""
и
11
.6' 5
а это — незамкнутое множество на числовой прямой.
176. Пусть At множества типа Gg , Ai=C\Ai,p,, где Ai^ — открытые мно-
k
жества. Если E=f]Ai, то E=f]Aitfl. Следовательно, Е является пересечением
i i,k
счетной совокупности открытых множеств А-иъ, т. е. Е является множеством
типа Ge.
177. Пусть А и В два множества типа G. , A=f\AL, B=f)Bk (где Ait Bk —
и i k
открытые множества). Множество E^=A\JB может быть записано в виде
E=(f)At)[J(nBk)- Дважды применяя распределительный закон*, получим:
i k
k i k I i.k
Так как каждая сумма AiljBk является открытым множеством, то
множество Е, как пересечение счетной совокупности открытых множеств, является
множеством типа G, .
Мы доказали, что пересечение двух множеств типа Gg является
множеством типа Ge . Доказательство того, что этот же факт имеет место для
пересечения любого конечного числа множеств типа G6 , производится по индукции.
178. 179. Доказательства проводятся аналогично.
180. Доказательство вытекает непосредственно из определения нижнего
предела.
181. Функция у=1п (х2-{-1) строго возрастает и непрерывна на участке
Е : 0 < х < -f-co; при этом функция принимает значения на луче £,: 0 < у < +со.
Возьмем произвольную точку у0 £ Ег и опишем около нее произвольную окрест-
* См. введение к первой главе, стр. 6, формула (2).
116

ность (у0— е, у0+е)*- Докажем, что в ней найдется хоть одна точка вида
]п (1+га)(где г — рациональное число).
По свойствам непрерывных функций заключаем, что на множестве Е оси
Ох найдутся точки хх и л;2 (хх < х2), такие, что
1л (1+х|)=у0 — е; 1п (1 +лг|)=у0+е.
Между хг и х2 найдется по крайней мере одна рациональная точка;
обозначим ее г: хг < г < х2. Так как на Е функция In (l-f-x2) строго возрастает,
то In(l+xf) < 1п(1+/-2) < 1п(1+х§), т. е. у0 —е < Ы{1+г2) < у0+е. Итак,
в любой, сколь угодно малой, окрестности каждой точки у0 £ Е найдется точка
вида In (1 -+-rs). Значит, множество точек такого вида плотно на Ег.
182, 183. Доказательства аналогичны.
184. Замыканием является луч [0; +оо); действительно, любой интервал
Ра
(а; 6)(где 0Со<6) содержит число вида — (это число легко иайти: сна-
Q2
Р ,— Р г—
чала найдем рациональное число —, такое, что у а < — < у r , а затем
возведем его в квадрат; тогда будем иметь а <
■?<")■
185. Замыканием является луч [I; +со).
186. Замыканием является сегмент [0; 1J.
187. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 181.
188. Нет. Например, множество, являющееся суммой двух интервалов
(0; —)и(—; 1). обладает указанным
свойством, но не является плотным на
[0; 1]. Можно построить даже пример множества, обладающего указанным!
свойством и нигде не плотного на основном сегменте. Таким будет, например,
множество E=D\D1 на сегменте [0; 1], где D — канторово множество,
a D] — множество концов его смежных интервалов.
189. Перенумеруем все простые числа: pi=2, р2=3, ps=5, р4=7, . . .
и обозначим через Еь множество всех чисел вида r-f- у р^ , где г пробегает
множество всех рациональных чисел, а р& фиксировано. Тогда каждое Ek
счетно и всюду плотно на прямой (оно получается из множества всех
рациональных чисел сдвигом на у Ph). Докажем, что множества Ек попарно
непересекаются.
Пусть Ыф1 и, следовательно, PbrPPi- Возьмем произвольный элеменг
Z=rx-\-Y Pk из множества Е% и произвольный элемент f\=r2-\-y Pi из
множества Ei и докажем, что £=И=г). Допустим, что £=т); тогда /-, + У рь=г2+ V pi,
откуда вытекает, что (/-j — r2Y = \Vpi~VPk) или V PiPk =
—Pi+Pk (fi 2) . мы получили заведомо неверный результат (гаадратный
2
корень из произведения двух различных простых чисел оказался
рациональным числом). Следовательно, наше допущение, что £=11, является
неверным; значит, Eif)Ef.=Ci при любых 1фк.
190. Пусть к > 0 — целое число. Тогда существует такое целое число nk,
что щ<££ <^nk-\-l\ обозначим х&=—n^+k £; ясно, что 0<х^<;1 для
любого натурального числа k.
* Конечно, e>0 выбираем достаточно малым с тем, чтобы эта
окрестность уместилась на луче Ег. Если y0=Q, то вместо окрестности берем
полуокрестность (0; е).
1177

Возьмем теперь произвольный интервал и и докажем, что найдется число
вида т-\-п £, попавшее в этот интервал. Пусть / — натуральное число, такое,
что — < И (М означает длину интервала и). Тогда среди чисел, xlt xs, . . ., xi+1
найдется по меньшей мере два таких, расстояние между которыми меньше,
1
чем —:
i
или. считая, что xk ~^> xk :
1
°<Ч,— Xk*<-T-
Обозначим б=хА — xk и разобьем всю прямую точками:
. . .„ — 35, —26, —б, 0, б, 26, 35,. ..
Так как 0 < б <^ |ы|, то по крайней мере одна из этих точек (например, рб,
где р — целое число) попадет в интервал и. Но
Р fi=P Uft, — xk)=Р К— nk, +ki D — (— Чг+к2 £)]=те+п Z,
Следовательно, выбранный наугад интервал и содержит по меньшей мере одну
точку вида т-\-п £; значит, множество этих точек всюду плотно на прямой.
191. Да. Доказательство проводится так же, как и в предыдущей задаче
1 N „
только I надо выбирать так, чтобы имело место—^—-. Тогда в интервал и
попадут по меньшей мере две соседние точки из последовательности . . ., —36,
— 26, —б, 0, б, 26, 36, . . . и, значит, найдется четное число р, такое, что
р 6 £ и Следовательно, в произвольный интервал и обязательно попадет число
tn+nt, (где т и п — четные); значит, множество чисел такого вида плотно
на прямой.
192. Допустим, что существует дуга Д0сГ, свободная от точек
множества М. Обозначим через An дугу, которая получается в результате поворота
дуги До на k радиан. Ясно, что если Aj не
имела точек из М, то и Ak (при любом целом k)
также не имеет точек из М.
Дуги Д0, Аг, ..., Дк, • ■ •, имеющие
одинаковую длину и расположенные на окружности
Г конечной длины, не могут не пересекаться.
Пусть, например, ДгоЛД(01т¥= 0- При этом
Д,- Ф Ai -л$_т (так как угол т не может быть
кратным углу 2я в силу иррациональности
числа Л).
Из того что Д; П Д { -+m¥= 0 вытекает, что
при повороте любого Д^ на угол т мы получим
дугу Аь+т> пересекающуюся с Д/г по
непустому множеству. В частности, по непустому множеству пересекаются любые две
соседние дуги из последовательности
Дг0' А'о+т» Дг0+2т> • " •
Но тогда сумма этих дуг покрывает всю окружность Г, что невозможно, так
как ГэМ, а ни одно Д^ не содержит точек из М (рис. 21).
Итак, на окружности Г не существует дуги, свободной от точек
множества М Значит, М=Г.
118

193. Опишем около произвольной точки М (х0; у0) плоскости Оху
произвольную в-окрестность. Эта окрестность содержит рациональную точку Р(г'; г"),
где е е е е
*о— —=<г' <Жо+—х; У0 — <^<)Vt- —
1/2 1/2 /2 ^2
(рис. 22). Итак, множество рациональных точек плотно на плоскости.
У
Рис. 22
194. Пусть ф (х) —произвольная функция из С[0; 1], Ve лр) — в-окрестность
этой функции (где е > 0 — произвольное число) Согласно определению
расстояния в С, окрестность Ve (ф) состоит из всех функций х(.х)> таких, что*
Ф (л;)—в <7 (х) <ф (х)+е. Согласно первой теореме Вейерштрасса (см. стр. 56),
существует такой многочлен Р(х), что ф (х)—в-^Р(х) <^ф(х)4-е; таким
образом, множество всех многочленов плотно в С.
195. Пусть е > 0 — произвольное положительное число. Для любой ф(;е)£С
в
можно найти такой многочлен Р (х), что q (ф, Р) ■< — (первая теорема
Вейерштрасса). Пусть Р (х)=аа+агх-\- • • • -\-апхп. Заменим в нем все щ рациональными чис-
в
ламп bj, такими, что щ — bft < — —, и обозначим через Q (х) получившийся.
z \tz~\- А)
многочлен с рациональными коэффициентами 6г-:
Q (x)=b0+blX+b2x*+ ••• +bnxn.
Тогда
\P(x)—Q(x)\=\{a0 — bJ+(al — b1)x+(a!t-b2)x* + ... +(ап— Ьп) хп\ <
< К> — bol+K — bi\-\x\+\ctb — fc2|-U2M +|а„ — bn\ \xn\ <
<|Qb —*ol+K—6il + |Oa —*al+ •" +\Оп—Ьп\<
Следовательно, q (P, Q) < —. Но тогда:
-lW*+1) = f-
с (ч>, О <в (Ф. V+Q (p.Q) <у+"|=е-
Итак, множество многочленов с рациональными коэффициентами плотно в С [0; 1].
119

196. Назовем сегменты 0; — и —; 1 , оставшиеся после исключения
/ 1 2\ Г 1"| Г2 11
.интервала J—; — I , сегментами 1-го ранга; сегменты 0; — , —-; — I
Г2 7~1 Г8 J /1 2\
1 -—; — I, —; 0 , оставшиеся после исключения интервалов I—; —I
П 8^
J-—; — I — сегментами 2-го ранга, и т. д.; вообще, сегмент n-го ранга
1—['И']—\
(X
?/?♦/
Рис. 23
чамеет длину —; чтобы получить из него сегменты я-}-1-го ранга, надо
исключить из него интервал длины ■
1
3"+1
с центром в середине сегмента.
Заметим, что при любом п сумма всех сегментов п-го ранга покрывает канторово
множество D.
Чтобы доказать, что D является нигде не плотным на прямой, надо
доказать, что любой интервал содержит внутри себя другой интервал, полностью
■J>»Ljyw-g»
Рис. 24
■свободный от точек множества D. Возьмем наудачу интервал /=(а; В). Если он
не содержит точек из D, то в качестве интервала, содержащегося в /, берем сам
этот интервал. Если же имеется точка x^^D, содержащаяся в /, то мы
можем найти сегмент какого-либо, достаточно высокого, ранга я, содержащий
х0 и включающийся в I (рис. 23). Найдем интервал длины
Зя+1
центром
в середине этого сегмента. Этот интервал не содержит точек из D и вместе
с тем содержится в /.
Следовательно, D — нигде не плотное множество на прямой.
197. Возьмем произвольную окрестность Vs (ф) произвольного элемента ф из С.
Если q>^ const, то в VB (ф) найдется меньшая окрестность Ve (ф), пол-
.120

ностью свободная
любое число, меньшее чем
от функций-констант. В
|ф (*i) — Ф (*а)|
качестве ех достаточно взять-
где хх и х% — какие-либо точки на
[0; 1], такие, что <р (xt) ф ф (лг2) (рис. 24).
Если же ф—Ь (Ь=const), то на интервале (Ь — е; Ь+е) оси Оу находим
содержащийся в нем интервал (а; (3), полностью свободный от точек канто-
рова множества D. Тогда множество функций % (х), для которых а < % (х) < р,
является некоторой окрестностью в пространстве С, принадлежащей к V (ф),
и полностью свободной от элементов множества Е (рис. 25).
Итак, Е нигде не плотно в С.
Ь-е
b
Р
а
Ъ с V-
-j
i
i
i
i
i
-j
i
-j
i
i
—\
i
Рис. 25
198. Доказательство аналогично.
199. Доказательство того, что Е нигде не плотно на прямой, проводится
тем же путем, как и для канторова множества (см. задачу 196).
200. Это множество строится следующим образом: Делим отрезок на Ю
равных частей и выбрасываем интервал (0,4; 0,6) Затем каждый из
оставшихся сегментов 1-го ранга: [0; 0,1], [0,1; 0,2], [0,2; 0,3], [0,3; 0,4], [0,6; 0,7]
и т. д. делим на десять частей и выбрасываем в каждом из них два средних
интервала (вместе с разделяющей их точкой), т. е. из сегмента [0; 0,1] —
интервал (0,04; 0,06), из сегмента [0,1; 0,2] — интервал (0,14; 0,16) и т. д.
Затем каждый из оставшихся сегментов 2-го ранга [0; 0,01], [0,01; 0,02},
[0,02; 0,03], [0,03; 0,04] и т. д. делим на 10 частей н выбрасываем два средних;
интервала (вместе с разделяющей их точкой) и т. д.
Доказательство того, что Е нигде не плотно на прямой, проводится так же,
как и доказательство аналогичного факта для канторова множества (см. задачу 196).
201. Да, это множество нигде не плотно на прямой (доказательство
аналогично тому, которое проводится при решении задачи 200).
202. Это множество не замкнуто. Его замыкание состоит из всех (н&
только иррациональных, но также рациональных) точек отрезка [0; 1],
разложение которых в десятичную дробь возможно без цифры 5. Как само заданное
множество, так и его замыкание, не содержат изолированных точек. Как
заданное множество, так и его замыкание, нигде не плотны на прямой.
203. Пусть А—нигде не плотно, /—какой-либо интервал та прямой,
а /х — включающийся в него интервал, свободный от точек множества А.
Тогда /х не содержит также предельных точек множества А (в самом деле,
если бы Xq^/x было бы предельной точкой для А, то в любой окрестности
точки х0, в частности, в той, которая целиком лежит в 1г,—нашлись бы
точки из А, что противоречит определению интервала /х). Следовательно,
всякий интервал / содержит интервал Iv свободный от точек множества- А (т. е
от точек замыкания). Поэтому А нигде не плотно на прямой.
121

204. Прямое утверждение доказывается без труда. Обратное утверждение
неверно. Пример. Множество рациональных чисел всюду плотно на прямой,
ею его дополнение не является нигде не плотным.
205. Это утверждение верно. Доказательство. Если £ всюду плотно,
то любой интервал / содержит точку хд из Е. Но так как Е открыто, то
вместе с х0 в Е входит некоторая окрестность VE (х0). Общая часть 1г
интервала / и окрестности Ve (х0) является интервалом, включающимся в / и
состоящим только из точек множества Е. Но тогда интервал 11 свободен от точек
множества СЕ; следовательно, любой интервал / содержит подинтервал 1г,
лишенный точек множества СЕ. Значит, СЕ нигде не плотно на прямой.
206. Необходимость условия очевидна (и не только для замкнутого, но и
для всякого нигде не плотного множества на прямой). Достаточность
доказывается следующим образом: если Е замкнуто, и всякий интервал / содержит
точку xQQ,CEt то он содержит также некоторую окрестность Ve (x0) с СЕ (так
как СЕ открыто). Значит, всякий интервал / содержит подинтервал VE (x0),
свободный от точек множества Е. Следовательно, Е нигде не плотно.
20S. Пусть Еъ Е2, . . ., Еп—нигде не плотные множества на прямой R.
Пусть (а; Ь) — произвольный интервал на прямой. Так как Ех нигде не плотно
на R, то найдется интервал (ах; pt), включающийся в (а; Ь) и свободный от
точек множества Ег. Далее, так как Е2 нигде не плотно, то в {аи р\)
найдется интервал ((%, р2), свободный от точек множества Е2; а так как
(а2> Рг) с (ai> Pi). т0 ("г» Рг) не содержит также точек множества Ег.
Аналогично построим интервал (as, Р8) с (с^, рг), свободный от точек множеств
Ег, Е2, Е3. Продолжая этот процесс, мы получим, после п шагов, интервал
(an, p„), свободный от точек множеств Elt
^2» ^з» • " ч -С/г Л, следовательно,
•свободный от точек множества F, причем
(a«. P«)C(a„_x, p„_x)c ••• c(ax, рх) с (a; 6).
Итак, произвольный интервал (а, Ь) содержит интервал (ап, р„), полностью
свободчый от точек множества F. Следовательно, F нигде не плотно на
прямой R. Еспи R не прямая, а какое угодно пространство, то доказательство
аналогично.
Доказанное утверждение перестает быть верным для счетного числа
слагаемых нигде не плотных множеств. Приведем пример.
Занумеруем все рациональные числа на прямой: гг, г2, . . ., гп, ... и
возьмем в качестве множества Е^ (k > 1) одноточечное множество: £&= {г^.}.
со
Тогда каждое Е^ нигде не плотно на прямой, тогда как (J Е^ (множество всех
й=1
рациональных чисел) не является нигде не плотным множеством.
ГЛАВА 6
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА (продолжение)
209. Нет, не следует. Например, если последовательность {ап\ такова, что
на местах с номерами п=1, 2, 4, 8, 16 2', ... стоят единицы, а на
остальных местах — нули, то все подпоследовательности, данные в условии задачи,
сходятся к нулю, тогда как сама последовательность {ап} расходится.
210. Возьмем произвольное е>0. Если Nr — такое число, что при m/l'>N1
имеет место \ат —Ь\<е, а N2— число такое, что при щ>Ы2 имеет место
\ап —Ь|<е, то для всех n>N (где /V=max (Nlt N2)) выполнено: \ап — Ь|<е,
& это и означает, что lim an~b.
/z-»oo
122

211. Последовательность
f0 (x)=sin л;; /?1(x)=sin2x; /2 (x)=sin 4x; ...; ft (x)=sin2' x; ... (1>
ограничена в пространстве С[0; 2я) (здесь q (/7; 0)=1 для любого номера /).
Вместе с тем не только сама эта последовательность, но и никакая ее
подпоследовательность не может сходиться в С [0; 2я], так как расстояние между любыми
двумя членами этой последовательности не меньше единицы:
Qlfil fk)>l при i+k.
Для того чтобы убедиться, что q (fL; fk)>\ при i<k, заметим, что функция
fi lx)=sm2lx равна 1 при х= . , а функция fk(х) =sin2kx равна 0 при
том же значении х. Поэтому
Q(f!>h)=MPlhw-Mx)\>\h(^)-?k(-^
=1.
Следовательно, ни данная последовательность, ни ее подпоследовательности
не являются фундаментальными; значит, они все расходятся.
212. 1. Пусть {хп}—фундаментальная последовательность в Е; тогда она
фундаментальна ив/?. Так как R полно по условию, то эта последовательность
имеет предел, принадлежащий R:\imхп=а (гдеа£^). Докажем, что а£Е.
Действительно, в любой окрестности точки а существуют точки из £ (а именно,
все члены последовательности {хп}, начиная с некоторого номера). Значит,
а — точка прикосновения для Е. Так как Е замкнуто, то а £ Е.
Итак, всякая фундаментальная в Е последовательность имеет предел,
принадлежащий Е. Значит, Е — полное пространство.
212. 2. Если Е незамкнуто в R, то в Е существует последовательность
{%}-, сходящаяся к некоторому элементу a£R такому, что а £ Е. Эта
последовательность фундаментальна в R (так как всякая сходящаяся последовательность
фундаментальна); следовательно, она фундаментальна и в Е, Однако, она не
имеет предела, принадлежащего Е: если бы такой предел Ь^Е сущест
вовал, то последовательность {хп} в пространстве R имела бы два
различных предела а и Ъ, что невозможно. Итак, в Е нашлась
фундаментальная последовательность, не имеющая предела, принадлежащего Е. Значит, Е
неполно.
212. 3. Добавим к С, один элемент — разрывную функцию ф (x)=sgn x.
Расстояние между Ф {х) и произвольной функций / (х) £ С1 определим равенством
+1
q (ф; ^)= Г I ф (х) — / (х)] их. Обозначим пространство, получившееся в резуль-
—1
тате добавления к Сг функции <р(х), через R. Тогда Сх является незамкнутым
подмножеством пространства R. Действительно, в Са существует
последовательность fn(x)= vx, сходящаяся (в смысле метрики пространства R) к
Ф(х), причем ф(х) не принадлежит Сг. Итак, С, не замкнуто в R. Но тогда,
согласно результату предыдущей задачи, оно и неполно.
212. 4. Указание. Пусть {/„(*)}—фундаментальная
последовательность из С [а; Ь]. Сначала доказывается, что она сходится в каждой точке
ха£[а; Ь\. Затем доказывается, что эта сходимость является равномерной,
откуда вытекает, что предельная функция ф(лг) непрерывна, и что Q (ф, fn)^-0
ПРИ П -5- ОО.
212. 5. Воспользоваться результатами задач 212. I, 212. 4 и 157.
212. 6. Воспользоваться результатами задач 212 1, 212. 4 и 158.
123

213. Может. См. пример, приведенный в качестве решения к задаче 136.
214. Нет, это невозможно, так как всякое несчетное множество на плоско-
■сти имеет хотя бы одну точку конденсации, принадлежащую самому множеству.
215. Метод доказательства указан в условии задачи.
216. Ясно, что каждая точка конденсации множества Ах и каждая точка
конденсации множества А2 будет вместе с тем точкой конденсации для суммы
AiHА2. Следовательно, если обозначить множество точек конденсапии для
A,UA2 через С, то B1[)BsczC. Докажем теперь, что и обратно, Сс^и^г-
Пусть а0£С — точка конденсации множества /4хиЛа. Построим убывающую
последовательность положительных чисел е1>е9>е8> ... -+0 в рассмотрим
окрестности ^ ^ _, ^ ^ ^ _ _ (1)
Каждая из них содержит несчетное множество точек из A1{JA2 (так как
х0 — точка конденсации для A±\JA2). При этом, например, первая из
окрестностей VE (х0) содержит несчетную совокупность точек хотя бы из одного данных
множеств Аг или А2 (она не может иметь только конечное или счетное
множество точек и из Аъ, и из А2, так как в этом случае она имела бы не более
чем счетное множество точек из A1UA2). Те же рассуждения применимы и к
окрестности Ve (х), и к VB (х0), и т. д. Пусть, например, Ах имеет несчетное
множество точек в бесконечном числе окрестностей из последовательности (1):
V. (хо), Ve (х0), V (х) V (х0), . ..
ftj kz ft3 КП
Тогда любая окрестность точки х0 содержит несчетное множество точек из Аг.
Действительно, произвольная окрестность Vr (x0) включает Ve (x0) с некото-
рым, достаточно большим, номером (достаточно взять е^ < г); но Vе (д^)
fcn
содержит несчетное множество точек из Аг; следовательно, это же имеет место
и для произвольно выбранной окрестности Vr (x0).
Итак, хи является точкой конденсации для Ах (или, если бы А2 имело
несчетное множество точек в бесконечном числе окрестностей из (1), то х0
являлось бы точкой конденсации для Л2). Значит, x0£B1[jB2; а так как х0 —
произвольная точка из С, то CcrBiL/Вг-
Сравнивая это с полученным ранее включением Bj^lJBvCzC, заключаем, что
С=В,ЦВ2.
217. Нет, нельзя. Вот пример: рассмотрим на плоскости последовательность
■концентрических окружностей Ап радиусов —. Множество точек конденсации
п
Вп каждого множества Ап совпадает с самим Ап. Однако множество точек
конденсации С суммы \JAn не совпадает с {jBn, а получается добавлением к [jBn
п п п
■еще однойточки — общего центра. Итак, в Данном случае Czr>\JBn, моСфиВп.
п п
Включение CzDilBn, очевидно, всегда имеет место (ведь каждая точка кон-
п
денсации для отдельного слагаемого Ап является вместе с тем точкой
конденсации Для суммы).
218. Равенство (Af\B)\J(AC\B) = & равносильно тому, что оба множества —
Л Г) В и Af]B — пусты; в свою очередь условие Af\B = 0 означает, что А не
включает точек прикосновения множества В, а условие А ПВ=0 — что В не
включает точек прикосновения множества А. Отсюда вытекает, что несвязность
множества Е равносильна тому, что Е возможно представить в виде суммы
E=A\JB, где А и В — непустые множества, причем (Af)B)U (Af]B) = 0.
219. Пусть Е — замкнутое множество.
Если Е= AUB, где А и В — замкнутые непустые непересекающиеся
множества, то (Л П~В) U (А Л В) = 0 (так как здесь А=А, В=В, А[)В=0) и,
следовательно, Е — несвязное множество.
124

Докажем обратное утверждение. Пусть замкнутое множество Е несвязно
т. е. E=A\JB, гдэ __
(Af]B)U (Af]B) = 0, (1)
причем АФ0, B=jk_0. Докажем^чтс^ тогда Л и В оба замкнуты.
Так как А с А, В с В, го Е=А\]В zd A\JB=E. Но £=£ (в силу
замкнутости множества Е). Поэтому
A~\JB=AUB. (2)
Допустим, что А незамкнуто и х£_А\А. Так как x^A\JB, то из равенства
(2) следует, что х^АЦВ; но х£А; значит, х£В. Итак, х£В, х^А и,
следовательно, множество Af]В непусто, что противоречит условию (1).
Следовательно, множество А замкнуто. Аналогично доказывается замкнутость множества
В. Так как множества Л и В замкнуты, то для них равенство (1) равносильно
равенству Af]B~0.
Таким образом, если множество Е замкнуто и несвязно, то его можно
представить в виде суммы двух непересекающихся замкнутых множеств А и В. Из
доказанного сразу следует то утверждение, которое содержится в условии.
220. Пусть Е — связное множество. Докажем, что Е также связно. Допустим,
что Е — несвязное множество. Тогда существуют такие непустые замкнутые
множества А и В, что A\jB=E. Рассмотрим множества A^AfiE, B1=Bf]E.
Они непусты (если_бы, например, А1 = АГ\Е было пустым, то имело бы место
включение EcBczE, где В замкнуто и отлично от £; а это невозможно, в силу
результата задачи 172). Кроме того, А1ЦВ1=Е. При этом /41ПВ1сЛПВ =
= 0 (так как Ла с: А, Вх с_В и В=В); следовательно, ,41DBi=0- Таким же
способом проверяется, что A1f]B1=0. Но тогда (А1ПВ1)Ц(АгГ\В1)=:0 и,
значит, множество Е несвязно, что противоречит условию.
Итак, допущение, что £— несвязное множество, привело к противоречию;
следовательно, множество Е связно.
Пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. Пусть Е —
множество всех рациональных чисел на прямой. Тогда Е несвязно, а Е связно.
221. Допустим, что сегмент [а; Ь] представлен в виде суммы двух
замкнутых непустых множеств F и Ф: [а; Ь]=рцф. Докажем, что их пересечение
ие может быть пустым.
Разделим отрезок [с; 6] пополам, и назовем первым отмеченным сегментом
ту половину сегмента [а; Ь], которая содержит как точки из F, так и точки из
Ф.* Обозначим первый отмеченный сегмент через [йх; 6t] и разделим его на
Две равные части; назовем вторым отмеченным сегментом ту половину первого
сегмента, которая содержит как точки из F, так и точки из Ф; обозначим
второй отмеченный сегмент через [й2; Ь2]. Продолжая этот процесс неограниченно,
мы получим последовательность вложенных сегментов
[йг, h] zd К; Ь2] =э .. . Г) [ak; ад =э ...,
длины которых стремятся к нулю, причем каждый из этих сегментов содержит
как точки из F, так и точки из Ф. Обозначим через с общую точку всех этих
сегментов; любая ее окрестность включает некоторый отмеченный сегмент;
значит, в любой окрестности точки с найдутся как точки из F, так и точки из Ф.
Но тогда с является точкой прикосновения как для F, так и для Ф. Оба эти
множества замкнуты, следовательно, они включают все свои точки
прикосновения; поэтому c(^F и с£Ф. Значит, с£РЛФ, т. е. пересечение F(~jO непусто.
* Заметим, что по крайней мере одна половина сегмента [а; Ь] обладает
этим свойством; убедимся в этом: пусть середина сегмента принадлежит,
например, множеству F; тогда в качестве первого отмеченного сегмента берем ту
цоловину сегмента [а; Ь\, которая содержит хотя бы одну точку множества Ф.
125
#

Таким образом, доказано, что сегмент [а; Ь] нельзя представить в виде
суммы двух замкнутых непустых непересекающихся множеств.' Следовательно '
сегмент является связным мюжеством. '
222. 1) Допустим, что замкнутый крут Е является суммой Двух замкнутых
непересекающихся непустых множеств: E=F[J(I>. Пусть а — какая-либо точка
из F, Ь — какая-либо точка из Ф (рис. 26). Со.
единим эти точки отрезком [а; Ь]. Он, очевидно
целиком принадлежит кругу Е. При этом:
[а; 6]=Р1иФ„
где F^Fftla; Ь\, Ф1=ФП[с; Ь]. Множества
F, и Фх замкнуты, непусты и не пересекаются;
в сумме они составляют весь отрезок [а, Ь].
Но, как мы знаем, это невозможно (см. задачу
221). Следовательно, допущение, что Е можно
представить в виде суммы двух
непересекающихся замкнутых непустых множеств —
неверно. Значит, замкнутый круг Е является
связным множеством (см. задачу 219).
2) Доказательство аналогично.
223. Пусть £, и Е2 — связные множества, такие, чтоЕхЛЕ2Ф0. ЕЛ\]Е^=
= Е. Допустим, что Е несвязно. Тогда Е можно_ представить в виде суммы двух
непустых множеств E=A\JB, таких, что (A(~}B)\J(A(~}B) = 0. Хотя бы одно
из множеств £г или Е2 (например, Еу) имеет непустое пересечение как с Л,
так и_с В._Но тогда E1=A1(]B1j_vm Л1=ЛП£,1^=0, В1=ВГ]_Е1ф0; при этом
(А П ВУ) U (А Л Bi) С (А Г] В) (J (А П В) и, следовательно, (Л, П Ву) U (А П Bi) = 0.
А это противоречит условию связности множества Е1ш Итак, Допущение, что
множество Е несвязно, привело к противоречию. Значит, Е — связное множество.
224. Пусть Е — связное множество на прямой. Возьмем две произвольные
точки этого множества хг^Е, х^^Е, хг<х2 и докажем, что любая точка с,
лежащая между хг и х%, принадлежит Е. Если бы нашлась такая точка с,
Хх<с<х2, которая не принадлежит Е, то £ можно было бы представить в виде
суммы двух непересекающихся множеств Л=(с; + оо)[}Е и В=(—оо; c)f]E.
Ясно, что (Af)B){J(Ar)B)=0, и, следовательно, Е—несвязное множество, что
противоречит условию. Итак, если Е связно, то любая точка с, заключенная
между хх и х%, принадлежит Е.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для любых точек хг f E,
х2£Е (где xx<x2) сегмент [хг; х%] полностью входит в Е. Если бы при этом Е
было бы несвязно, то нашлись бы два непустых множества А и В, такие, что
<4UB=£, A[)B=0,
(АГ\В)У (АГ\В)=0. (1)
Возьмем точки хг^А и х2£В, и рассмотрим сегмент [хг\ х2]. Множества
А=[*г; *2]Г) А и В1=[х1; х^\Г\В непусты, не пересекаются, в сумме составляют
сегмент [хх; х^\ и для них выполняется равенство (АП-BJU(АЛ^i) = 0
(последнее следует из соотношения (1) и из того, что Аг С А, ВЛС В). Но это
невозможно, так как сегмент [хг; х%\ связен. Итак, сделав допущение, что
Е—несвязное множество, мы пришли к противоречию. Следовательно,
Е—связное множество.
225. Каждое из данных множеств связно; это вытекает из результатов
предыдущей задачи.
Докажем обратное — что этими множествами исчерпываются все связные
множества на прямой.
Пусть Е — свизное непустое множество на прямой, a=ini E, 6=sup E.
Рассмотрим сначала тот случай, когда с и Ъ—конечные числа (й<;6). Тогда
любое с, заключенное между а в Ь, входит в Е. Действительно, так как b=sup£,
то существует точка Ъх (где с <; Ьх <; 6), входящая в Е. Точно так же устанав-
Рис 26
126

ливается, что существует %££, где a<zat<:c. Но тогда, в силу связности Е,
на основании решения предыдущей задачи заключаем, что [аг; 6J с Е и,
значит, с £ F. Итак, интервал (с; 6) включается в F, а точки, лежащие за
пределом сегмента [а; Ь], не принадлежат Е. Следовательно, Е является одним из
следующих множеств:
(а; Ь), (а; Ь], [а; Ь), [а; Ь).
Если а=Ь, то Е={а\.
Если с=—то, а Ъ конечно, то Е равно (—со; 6) или (—оо; 6]; если а
конечно, а Ь=-|-оо, то Е равно (а; +со) или [а; +°о); наконец, если а=—оо,
,6= + °°, то Е=(—со; +оо). Во всех этих случаях доказательство проводится
так же, как и в том случае, когда а и b конечны.
226. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 222.
227. Если бы множество Е было несвязным, то его можно было бы
представить в виде суммы двух непересекающихся непустых множеств А и В, таких,
что А не включает точек прикосновения множества В, а В — точек
прикосновения множества Л. Пусть МУ(^А, М2£В; рассмотрим связное множество QcE,
содержащее точки Мг и М2 (такое сущеструет по условию задачи). Множества
Qf\A и Qf]B непусты и в сумме составляют множество Q; при этом каждое из
множеств Qf~}A и Qf]B не включает точек прикосновения другого; а это
невозможно, в силу связности множества Q. Итак, допущение, что Е—несвязное
множество, привело к противоречию; значит, Е—связно.
228. Это следует из результата предыдущей задачи, если учесть, что любые
две точки открытого круга можно соединить сегментом, принадлежащим этому
кругу (а сегмент — связное множество).
229. Допустим, что открытый круг Е представим в виде суммы двух
непустых непересекающихся открытых множеств:
E^GiUGz; G1nG2=0.
Построим замкнутый круг Мс Е концентрический с £ и пересекающийся
по непустым множествам как с Gy, так и с G2. Обозначим MflGj через Fx- F,
является замкнутым множеством, как пересечение двух замкнутых множеств:
F!=MnCG2.
Обозначим Mf]G2 через F2; F2 также замкнуто, так как F2=Mf]CG1. Но
тогда замкнутый круг М представим в виде суммы двух непустых
непересекающихся замкнутых множеств Fj и F2:
M^F1UF2, F1DF2=0,
а это ненозможно (см. задачу 227). Следовательно, наше первоначальное
предположение — что открытый круг можно представить как сумму двух открытых
непустых непересекающихся множеств — неверно.
230. Если бы на плоскости было такое множество Е, то его дополнение
СЕ также было бы непустьш множеством, одновременно открытым и замкнутым
(оно замкнуто, так как является дополнением к открытому множеству Е). Но
тогда вся плоскость была бы представлена как сумма E\JCE двух замкнутых,
непустых, непересекающихся множеств, что противоречит связности плоскости
(см. задачу 227).
231. См. решение предыдущей задачи.
232. Нет, нельзя. Допустим, что открытый круг Е можно представить в
виде E=Gyf)G2i где Gx и G2 —открытые множества, отличные от всей
плоскости и в сумме составляющие'всю плоскость. Тогда мы имели бы (в силу закона
двойственности):
CE^CG^CG^ CG^CG^QS.
Но это означает, что замкнутое множество СЕ представимо в виде суммы двух
непересекающихся непустых замкнутых множеств CGX и CG2. т. е что
множество СЕ несвязно*.
* CGX и CG2 замкнуты как дополнения к открытым; они непусты, так как
и Glt я G2 отличны от R.
127

На самом же деле множество СЕ связно; это следует из того, что любые
две точки с и 6 множества СЕ можно соединить ломаной, принадлежащей СЕ
(рис. 27) г а ломаная является связным множеством (связность ломаной
вытекает из связности сегмента и из результатов задачи 223).
Итак, сделанное допущение привело к противоречию; значит, это допуще.
ние неверно.
233. Пример. Гипербола и ее асимптота.
234. Пример. Кривая у= и прямая у=—1.
235. Найдем k0 такое, что —г— <*е. Тогда точка 0, а также точки -—
2йо 2fco *
1 1
,... покрыты интервалом (—е, е), принадлежащим нашг"
2*о + 1* 2fto + *
/1-е
системе интервалов; остальные точки покрыты интервалами I ———
6=0, I. 2,
1+е\
2k Г
., kg— I. Все эти интервалы (вместе с интервалом (—е; е)) с^у«
ществляют конечное покрытие замкнутого
множества Е (рис. 28).
236. Здесь каждая точка множества Е п
крыта только одним интервалом из данной си
стемы интервалов; поэтому каждая конечная
система интервалов, выделенная из данной
системы, будет покрывать лишь конечное число
точек множества Е (и, следовательно, не будет
покрытие** этого множества).
Множество Е незамкнуто; поэтому здесь
нет противоречия с теоремой Гейне—Бореля.
237. Здесь также нельзя выделить
конечного покрытия множества Е из заданной
бесконечной системы интервалов.
Множество Е, хотя и замкнуто, но неогра-
ничено. Поэтому теорема Гейне — Бореля не применима и в данном случае.
238. Допустим, что из данного покрытия можно выделить конечное покры-
Рис. 27
тие круга Е; пусть это будут круги Clf C2
Ё
., Сп. Тогда \jCiZdE и, значит,
«=1
\JCt:
Но для конечного числа множеств \JCi= L/C; (см. задачу 147).
1=1 i=i
■Г-
О €
2* 23 ',
>-'■>- . (
/
J
2
Рис. 28
п_
Следовательно, (J С/ Z) Е, что невозможно, так как каждый замкнутый круг
_ п
Q содержит лишь одну точку контура круга Е и, значит, (J С,- не покрывает
i= 1
всего круга Е.
Наше Допущение привело к противоречию. Значит, из данного покрытия
множества Е нельзя выделить конечного покрытия.
239. Можно. Для этого достаточно из всего покрытия выделить те круп
128

1
центры которых лежат в рациональных точках окружности L радиуса — с цент-
о
ром в О (при этом мы назовем точку окружности L — рациональной точкой, если
ее радиус-вектор составляет угол ел с фиксированным неподвижным радиусом,
где а — какое-либо рациональное число).
Для того чтобы доказать, что каждая точка круга Е покрыта этой счетной
системой кругов, рассмотрим произвольную точку Р С Е (рис. 29). Пусть она
отстоит от О на расстоянии d (d <; 1), причем луч ОР пересекает L в точке Рд
[при этом PPn=d — ~^<.^\- Если Рд — рациональная точка, то круг с цен-
3^3
тром в Р0 содержит точку Р. Если же Р0-
■ иррациональная точка, то легко.
Рис. 29
Рис. 30
пользуясь свойством плотности рациональных точек, найти вблизи Рд
рациональную точку Ру, такую, что Р0РХ <Л—d (рис. 29). Тогда круг с центром в Рг
содержит точку Р, так как
С (P. pi) < Q(p> Po)+QiPo. Л)< (d- -^j + (1-й) =-■
Итак каждая точка Р круга Е содержится в том или ином круге из выбран-
2
ной счетной системы кругов радиуса —.
241. Назовем рациональным кругом на плоскости всякий крут, у которого
координаты центра и радиус рациональны. Множество всех рациональных
кругов счетно (см. задачу 64 из главы 3). Докажем, что любой крзт С радиуса г
с центром в точке О включает рациональный круг, содержащий точку О. Для
этого опишем круг радиуса — концентрический С (рис. 30), и возьмем внутри
этого круга точку 01 с рациональными координатами. Если теперь описать круг
радиуса R с центром в Оу (где R — какое-либо рациональное число, такое, что
г ~ 2г\
7Г"<С°"<!— I. т0 этот КРУ1" будет искомым: он содержит точку О (так как
3 3/
g (О, Оу) ■<— <^R I и включается в С, так как всякая точка Р, отстоящая от 0Х
на расстоянии, меньшем, чем R, лежит внутри круга С; действительно:
Я(Р, 0)<Q(P, OJ+ЩО. OyXR + ^Kj+j^r
Теперь легко доказать, что последовательность всех открытых
рациональных кругов
Gi, G2, Gs Gn, ... (1)
Ю. С. Очав
129

обладает тем свойством, что любое открытое множество Г есть сумма
некоторой совокупности кругов из этой последовательности.
Опишем вокруг каждой точки xfT открытый круг V (х) с Г (что всегда
возможно, так как х — внутренняя точка множества Г). Далее, найдем
рациональный круг G, содержащийся в V (х) и включающий точку х. Сумма всех
отобранных таким образом рациональных кругов составит все множество Г. Де1-Ь
ствительно, каждая точка множества Г содержится в некотором из отобранных
рациональных кругов; следовательно, Т с U G. С другой стороны, каждый из
построенных здесь рациональных кругов входит в Г; следовательно, \JG cr Г.
Итак, окончательно, T=UG. Таким образом, из последовательности (1)
можно выделить некоторую совокупность кругов, сумма которых равна Г.
242. Пусть Е покрыто некоторой системой открытых множеств {Г}. Для
каждой точки х£Е опишем рациональный круг, содержащий точку х и
включенный в то открытое множество Г из заданной системы, которое покрывает
точку х (см решение предыдущей задачи). Перенумеруем все отобранные
рациональные круги: Сг, С2, . . ., G„t . . ., и поставим в соответствие каждому
из этих кругов открытое множество из системы {Г}, содержащее этот круг
(открытое множество, содержащее круг G„, обозначим Гл). Тогда счетная
система [Гп] покрывает множество Е\ действительно, \jGn ID E (так как каждая
п
точка х(-Е входит в некоторый круг бп). С другой стороны, Tnzr>Gn-
Следовательно,
Ur„r)U GnZ)E.
243. Пример. Открытое множество (0; 1) покрыто следующей системой
интервалов:
[V т (l; i): [V "з): (е": Tj: \Т' Т}'- ■ ■ -; U+2~; 7,): ■ ■ •
Из этого покрытия нельзя выбросить ни одного интервала: если выбросить
хоть один интервал из заданной системы, то оставшаяся система не будет
покрывать всего множества (0; 1). Следовательно, тем более из заданной системы
интервалов нельзя выделить конечного покрытия.
Приведем и другой пример: интервалы
1 (п=1, 2, 3
1); из этого бесконечного го-
.) образуют
бесконечное покрытие открытого множества (0;
крытия нельзя выделить конечного покрытия.
244. Нет, неверна. Вот пример: замкнутое множество [0; 1] покрыто
системой сегментов:
Г 1 1
*
" 1
3'
1
2
и[-1;0].
из этой си-
1 11 Г 1 J_
4' 3_|' I и+1 ' п
Из этой системы нельзя выделить конечного покрытия (более того,
стемы нельзя исключить ни одного сегмента).
245. Эта теорема верна; ее доказательство можно провести так же, как и
доказательство теоремы о покрытии замкнутого ограниченного множества
окрестностями (теоремы Гейне — Бореля).
Впрочем, эту теорему можно и не доказывать вновь, а получить ее как
следствие из теоремы Гейие — Бореля; для этого опишем около каждой точки х
данного замкнутого множества Е окрестность V (х), целиком включающуюся в
соответствующее множество из покрытия. Далее, из всех V (х) отбираем
конечное покрытие V (хх), V (х2), . . ., V (х„), что возможно в силу теоремы Гейне —
Бореля. Затем находим те открытые множества из заданного покрытия, которые
содержат отобранные окрестности: G-lZdV (хг), ■ ■ ., Gn zz> V (xn).
Эти открытые множества Glt . . ., Gn образуют искомое конечное покрытие
множества Е
246. Пусть Е—компакт. Докажем, что £ ограниченное множество. Опишем
130

около каждой точки этого множества окрестность радиуса I и выделим из
этого покрытия конечное; пусть это будут окрестности
' V(Xl), V(x„), .... V(xn). (1)
Обозначим через А наибольшее из расстояний от центров этих окрестностей
до некоторой фиксированной точки О (например, до начала координат). Докажем,
что любая точка х£Е отстоит от О на расстоянии меньшем, чем /4+1;
действительно, так как все множество Е покрыто окрестностями (1), то среди них
найдется такая (например, V(xi)), которая включает точку х. Тогда
6 (х, О) ^е (х. xi) +q (x,, О) < 1+Л
Итак, неравенство q (х, О) <1+Л имеет место для любой точки х££; а это
и означает, что Е ограничено.
Докажем, что Е замкнуто; для этого достаточно будет доказать, что его
дополнение СЕ открыто. Пусть t,^CE. Покроем Е окрестностями описав око-
1
ло каждой точки х£ Е окрестность радиуса — q (x, £), и выделим из этого
покрытия конечное. Обозначим через Ь наименьшее из расстояний от центров
отобранных окрестностей до точки £. Тогда все точки множества Е будут отстоять
Ь - Ь
от £ на расстоянии большем, чем —. Значит, в —-окрестности точки % нет ни
одной точки множества Е, т. е. Z. является внутренней точкой множества СЕ.
Так как £ — произвольная точка из СЕ. то все точки этого множества являются
внутренними; следовательно, СЕ открыто; но тогда Е замкнуто.
247. Пример. Счетное множество Е функций {/; (x)=sin2'х} ограничено
в С (см. задачу 211). Кроме того, Е замкнуто; действительно, для любых двух
эчементов f/fE и fj£E имеет место q (f„ fj)>i при i=pj; следовательно,
множество Е не имеет предельных точек; значит, оно замкнуто.
Вместе с тем Е не является компактом, так как, например, из семейства
Е-окрестностей элементов множества Е (при е = 0,1) нельзя выделить конечного
покрытия, так как каждая из этих окрестностей содержит только один элемент
множества Е.
248. Пусть / — произвольный интервал на прямой. Интервал 10, полученный
IB / сдвигом влево на величину а, содержит подинтервал М„. свободный от
точек множества Е (так как Е нигде не плотно по условию). Но тогда
интервал М, который получится из Ма сдвигом вправо на а, включается в / и не
содержит ни одной точки из А.
Следовательно, А нигде не плотно па прямой
24S. Если множество Е всюду плотно на прямой, то любой интервал (а; Р)
содержит бесконечно много точек из £; в самом деле, если бы на интервале
(a; р) оказалось только конечное число точек из £, то на (а; р) нашелся бы
интервал, полностью свободный от точек множества Е.
Если теперь из Е исключить конечное подмножество А, то на произвольном
интервале (а; Р) все же останется бесконечно много точек из Е\А Значит,
множество Е\А всюду плотно на прямой.
250. Да, существуют. Пример. А — множество всех иррациональных
отрицательных чисел, сложенное с множеством всех рациональных положительных
чисел; В — дополнение к множеству А до всей прямой Оба множества несчетны и
всюду плотны на прямой, а их пересечение пусто.
Этот пример можно видоизменить так, чтобы множества А и В были
несчетными на любом интервале (а; р); для этого можно использовать ту
конструкцию, которая приведена ниже, при решении задачи 297.
251. В задаче 189 была построена последовательность счетных множеств
£lt E*, . . ., каждое из которых всюду плотно на прямой, причем эти
множества попарно не пересекаются. Обозначим дополнение к сумме этих множеств
через / (оно несчетно па любом интервале) и рассмотрим следующую
последовательность множеств:
Аг=Е1иип (0; 1)]; А,=£2Щ/Л(1, 2)1; . . .; Ah= Eku[H){k- l; ft)];
9* 131

Ясно, что множества А^ попарно не пересекаются и каждое из них всюду
плотно на прямой. При этом все множества Аь являются несчетными.
Следовательно, совокупность множеств {Л/,} является искомой.
252. Если F — конечное множество, то в качестве Е можно взять само
множество F.
Если F — бесконечное замкнутое множество, то в качестве Е берем сумму
следующих двух множеств: Ег — множество всех концов смежных интервалов;
Е2 — множество всех рациональных точек, принадлежащих внутренности
множества F (конечно, Е2 может оказаться и пустым; это будет в том случае
когда множество F нигде не плотно). Легко видеть, что каждая точка х0
множества F является точкой прикосновения для Е: если х0 является внутренней
точкой для F, то в любой окрестности V (хи) найдутся точки из Е2; если же
х0 — граничная точка множества F, то в любой окрестности V (х0) найдутся
точки из £■]. С другой стороны, за пределами множества F точек прикосновения
множества Е не существует (так как F замкнуто и Е с F).
Итак, E=F, где Е — счетное множество, равное сумме Е^Е^.
253. Пример. Натуральный ряд чисел (и вообще всякая монотонная
неограниченная последовательность).
254. В любом отрезке с центром в начале координат имеется лишь конечное
число членов данной последовательности (если бы их было бесконечно много,
то, но теореме Больцано — Вейерштрасса, из них можно было бы выделить
сходящуюся подпоследовательность). Следовательно, для любого Af>0 существует
такое N>0, что для всех номеров п> N имеет место: \ап\ > М; а это и
означает, чго lim | G,i |=4-<».
л->оо
255. Примером может служить последовательность, составленная из всех
рациональных чисел и занумерованная произвольным образом.
256. Пусть F — предельное множество для данной последовательнэсти {ап},
a Z, — предельная точка множества F. Докажем, что %^F.
Так как £ — предельная точка множества F, то существует
последовательность точек \xk\ из F, сходящаяся к £.
Найдем точку а„ принадлежащую к заданной последовательности (%} и
отстоящую от хг на расстоянии, меньшем, чем 1. Такая точка найдется, так
как хх принадлежит предельному множеству последовательности {ап\.
Далее, найдем точку а^ из заданной последовательности, отстоящую от xs
на расстоянии, меньшем, чем —; при атом позаботимся, чтобы номер п2 был
больше, чем пх.
Если теперь построены точки ап ап . . . , а„ , то в качестве ап возь-
мем тот член из заданной последовательности, который отстоит от х^ на рас-
1
стоянии, меньшем, чем —; при этом надо позаботиться, чтобы было П)г>п/г—1.
k
Докажем, что построенная подпоследовательность оц аПч . . • основной
последовательности \ап] сходится к £. Действительно,
1
Q(bnkl ?)^Q(c„ft; xk)±Q(xk; £)< —+о(ЗД Q,
откуда следует, что Q(an.; l)-*0 при k-^ca, т. е. liman. — £. А это озна-
k-*D3
чает, что L, принадлежит множеству F.
Итак, любая предельная точка £ множества F принадлежит этому
множеству; следовательно, оно замкнуто.
257. Для доказательства построим сначала счетное множество Е,
замыкание, которого равно F (юзможность построения такого множества доказана
р. задаче 252).
132

Если Е не имеет изолированных точек, то, занумеровав произвольным
образом точки множества Е, получим искомую последовательность.
Если же среди точек множества Е имеются изолированные, то поступаем
следующим образом: выпишем сначала таблицу
btb2b3 ... bk ...
С\С\С\ . • • Су . • •
С2Р2С2 т т • ^2 . « •
Спспсп • • • сп • • •
Здесь 6Ь 62, bs, ..., 6ft, .. . — все неизолированные точки множества £,
а с1( с3, с3, . . . , сп, . ■ ■— изолированные точки того же множества. Развернем
теперь любым способом эту таблицу в простую последовательность, например,
следующим образом:
bi, clt b2, clt c2, 63, clt c2, cs, bA, cu c2, cs, с4, Ьъ, си ...
Эта последовательность и будет искомой.
1 1 1
258. Множество всех частичных сумм ряда ТГ+ТГ-Ь ••• + — + ••• сов-
2 22 2й
падает с сегментом [0; 1].
2 2 2
259. Множество всех частичных сумм ряда ~г+~+ ••• -+•—+ ••• совпа-
3 З2 3"
дает с канторовым совершенным множеством.
оо
260. Докажем, что множество Е всех частичных сумм ряда J] % с по-
п=]
ложительными членами замкнуто.
Каждому множеству натуральных чисел соответствует определенная
частичная сумма ряда. Но между множествами натуральных чисел и точками канто-
рова множества D можно установить взаимно однозначное соответствие
следующим образом: множеству натуральных чисел {п.у<п,< .. . <.щ < .. .} ставится
2 2 2
в соответствие точка х=—-4-—+ •■■ +—7Г~ + ••• » принадлежащая множе-
yit з"* 3 k
ству D; в частности пустому множеству натуральных чисел ставится в
Соответствие точка х — 0, а множеству всех натуральных чисел — точка х = 1. Легко
видеть, что построенное соответствие между семейством всех множеств
натуральных чисел и канторовым совершенным множеством является взаимно
однозначным.
Но тогда можно сказать, что каждой точке х £ D отвечает некоторая
частичная сумма ряда. Обозначая частичную сумму, соответствующую точке x£D,
через у, мы получим функциональную зависимость у = /(х). Докажем, что она
непрерывна во всех точках множества D.
Пусть x0£D, y0 = f(x0). Возьмем произвольное е>0 и найдем такое N, что
оо
остаток ряда £ Щ меньше, чем е для любого n>N. Рассмотрим следующую
i=n
окрестность точки х0:
х°"Цз'-; Xo+Yjx
И докажем, что для всех x£D, попавших в эту окрестность, выполняется-не-
равенство \f(x) — f(x0)[<e.. Действительно, троичное разложение любой точки
W Ю. С. Очаы
133

x £ D может отличаться от троичного разложения точки хв только теми знаками
номера которых превосходят N. Но тогда множество натуральных чисел, соот!
ветствующих точке х, отличается от множества натуральных чисел, соответ-
стг-ующих точке х0, только числами, превосходящими N. Следовательно, частиц.
ная сумма, отвечающая точке х, отличается от частичной суммы, отвечающей
точке х„, только членами, номера которых превосходят N, а их сумма меньще
чем е. Итак, \f{x) — /(*0)1<е Для всех x£D, попавших в найденную
окрестность точки х0. В силу произвольности числа е>0, отсюда следует, что
функция у = / (х) непрерывна в любой точке x0£D (относительно D).
Итак, функция y=f(x), отображающая замкнутое ограниченное множе-
оо
ство D на множество Е всех частичных сумм ряда £ at, является непрерывной
*=1
Но в таком случае образ множества D (т. е. множество Е) также является
замкнутым ограниченным множеством (см. ниже задачу 376).
Докажем теперь, что Е не имеет изолированных точек. Пусть у0£Е
}'„= £ ait где П — какое-либо множество натуральных чисел. Пусть е > 0. Тогда
/ен
в е -окрестности точки у0 найдется хотя бы одра точка из Е, отличная от у0.
Действительно, если ряд £ щ содержит бесконечно много членов, то в силу
геи
того, что Cn-i-O (при и-*со), среди членов этого ряда найдется такой
(например, ап ), который меньше, чем е. Тогда частичная сумма £ щ отличается
0 геи\ (п0)
оту0= £ Щ меньше, чем на е, и не равна у0 (так как ап -фО). Если же ряд
}'о= £ ai содержит лишь ковечное число членов, то из членов основного ряда
ten
можно найти такой (например, ат ), который не входит в эту сумму и меньше,
чем е. Тогда частичная сумма £ щ отличается от у0 меньше, чем на 8,
tea[J {то}
и не равна у0.
Итак, в произвольной е-окрестности любой точки У0£Е имеются точки
из Е, отличные от ув; следовательно, Е не содержит изолированных точек. Так
как множество Е замкнуто и не имеет изолированных точек, то оно
совершенно.
261. Доказательство аналогично тому, которое было проведено в первой
части решения задачи 260. При этом число N надо выбирать так, чтобы имело
оо
место неравенство £ | щ \<е для любого n>N.
i—n
262. Доказательство аналогично тому, которое было проведено во второй
части решения задачи 260.
оо
263. Если у = £ й[ есть частичная сумма ряда £ щ, то г = £ щ так-
геП г"=1 ieC П
же является частичной суммой этого ряда (где СП — дополнение к П до мно-
оо
жества Есех натуральных чисел). Но у-\-г= £ a,- = s. Итак, из того, что у£Е,
i=i
вытекает, что s—у£Е, а это и означает, что Е — симметричное множество
s
с центром симметрии в точке —.
со
264. Если среди членов абсолютно сходящегося ряда £ щ имеется лишь
г=1
конечное число членов, отличных от нуля, то множество частичных сумм этого
ряда состоит только из изолированных точек. Если же среди членов абсолютно
сходящегося ряда имеется бесконечно много членов, отличных от нуля, то
множество частичных сумм этого ряда совсем не имеет изолированных точек (см.
задачу 262) и, следовательно, является совершенным множеством.
134

265. Необходимость. Допустим, что существует такое N, что
оо
йдг > В 0-i', Докажем, что в этом случае множество частичных сумм не мо-
жет заполнить всего отрезка [0; s]. Возьмем какое-либо число £, такое, что
со
В ai<^<aN; оно не может быть получено в виде частичной суммы ряда
Действительно, если £ = В аи то П не должно содержать ни одного из чисел
г'еП
1, 2 . . . , N, так как все щ (при i<N) больше, чем £; но тогда П является
подмножеством множества {N+1, iV-j-2, W+3, . ..), а это также невозможно,
оо
потому что если Пс: {N+1, /V+2, . . .}, то В а/< В a,<Z,.
г'еП г'=Л'4-1
Итак, если хотя бы для одного номера п имеет место неравенство
оо
йп> В сц, то множество всех частичных сумм не заполнит сегмента [0; sj.
Достаточность. Пусть для любого п имеет место неравенство
оэ
ап< В Щ', пусть £ — произвольное число, такое, что 0<£<s. Найдем такое
г=л+1
множество натуральных чисел П, что В Щ = £• Для этого найдем сначала такое
/ш
иь что
ai+«2+ ••• +°п1 <£; Oi+a3+ ■■• +апг +a„x + i>£.
Далее, среди членов ряда аП1 + i+^Hj + г+я^! + з + •*' найдем первый по
порядку такой, что, добавив его к сумме Ci+Gj-b ■•• +о«. мы получим число,
меньшее, чем £; пусть это будет ат • такой член обязательно найдется, так
как дп--0. Далее, будем добавлять члены ат + ь ami + 2, ami + 3, ... До тех
пор, пока не будем иметь: ,
а1+ ... +ащ +ат1+ат1+1+ ■■■ +й„2 <£;
%+ • ■ • +0", + атл +атг + 1+ • • • +«ns +апг + 1>£
оо
Такое иа найдется, что вытекает из того, что ат _i< В аг-
Продолжая неограниченно этот процесс, получим следующую частичную сумму:
аг+ ■ • - +ani + атг + а„н + г+ ■•■ + c„g + ат^ +
«
+ат2 + 1+ • ■ • +ans +amg + ■•■
Легко проверяется, что сумма этого ряда равна £; для этого достаточно
использовать тот факт, что последовательность чисел ап -}-1, an2 + i, Ans + i. • ■ •
сходится к нулю.
Таким образом, доказано, что множесгво частичных сумм заполняет весь
отрезок [0; s].
266. Доказательство проводится так же, как и доказательство достаточности
в задаче 265.
267. Да, может, если общий член рядз не стремится к нулю. Например,
множество всех частичных сумм ряда 1+1+ -•■ +1+ -•• сЪвпадает с
множеством всех целых неотрицательных чисел.
268. Так как G всюду плотно на прямой, то интервал / содержит точку
xa£G. Но х0 — внутренняя точка множества G. Поэтому некоторая окрестность
/„ этой толки также входит в G. Эту окрестность можно выбрать столь малого
10* 135

радиуса, чтобы она вместе со своим замыканием входила в /. Поэтому
7,c/nG.
269. Пусть Gx; G2; G3; . . .; Gn; . . . — последовательность открытых всюду
плотных множеств на прямой. Докажем, что их пересечение также всюду
плотно.
Пусть / — произвольный интервал. Согласно результату задачи 268,
найдется интервал 1г такой, что /jCT/flGi. Согласно тому же результату, найдется
интервал /2 такой, что /гС^ПОя; далее, найдется/3 такой, что73с:/2П<33
и т. д. В итоге у нас получится последовательность вложенных друг в друга
сегментов:
Г,Г)Г2г)7зГ>...г)7„г>...,
которые все включены в ранее выбранный интервал /. Следовательно, общая
точка этих сегментов £ также включается в /. С другой стороны, £ включается
е каждое из множеств Gfr (так как £(;/&—iDG^).
Таким образом, в произвольном интервале / нашлась точка ££f|Gft. А это
и
означает, что [}Gh всюду плотно на прямой.
к
270. Доказательство этого утверждения проводится примерно так же, как
и доказательство того, что всякое совершенное множество в евклидовом
пространстве имеет мощность с.
Пусть Gr zd G2 3 G3 з . . . ID Gk з . . . — открытые, всюду плотные на
[«; Ь] множества; обозначим E=f]Gk. Возьмем на [а; Ь] какие-либо два непе-
к
ресекающихся интервала /о_и /1г и в каждом из них выберем интервалы 60 и 6Ь
такие, что 60 с /0 П Gi, Sid/iDG] (такие интервалы 60 и 6\ найдутся—см.
задачу 268).
Назовем интервалы б0 и 6Х интервалами первого ранга.
Рассмотрим теперь какие-либо два равных непересекающихся интервала /Оо
и 701, включающиеся в б0, и два равных непересекающихся интервала /10 и Illt
включающиеся в бл; в каждом из них найдем интервалы 600, б01, 610, бц так,
чтобы имело место:
по2,
Интервалы б00, 601, 610, Ьи назовем интервалами второго ранга.
Вообще, если построены интервалы k-то ранга, то для построения
интервалов &+1-го ранга поступаем следующим образом: пусть 6,- ; .. .,-. (где числа
'i, '2. • • ■ . lk — НУЛИ или единицы) — какой-либо интервал й-го ранга. Выделим
в нем два равных по длине непересекающихся интервала /; ,- . . . (- 0 и
h i • • • ii, i> и внУтРи каждого из них найдем интервалы б. и ■ ■ ■ ik о
bhj2 ■ ■ ■ ih 1, такие, что
6ij i2 • ■ ■ ik о С //j «2 - - - ik о Л Gft+i, o,j ,-2 . . .lk iC/j-j ij ■ • • ij 1 Л О/г+l-
Все полученные таким образом интервалы 6,- и ■ ■ ■ ik ik+1 назовем
интервалами к-\-1-то ранга. Их вдвое больше, чем интервалов k-то ранга.
Ясно, что: а) различные интервалы й-го ранга (при фиксированном k),
и даже их замыкания, не пересекаются друг с другом; б) с возрастанием
номера k длины интервалов стремятся к нулю;_в) для любой последовательности
нулей и единиц i"lf i'a, is, ... имеет место: 6(i r> 6tl H r> 6£l ^ ,s :э . ..
Из свойств б) и в) вытекает, что для любой последовательности нулей и
единиц i1( 12, '3, - - • существует единственная точка Xi t t .... являющаяся
пересечением сегмента б,- f] 6,- ,2 f] 6,^ ^ ,3 П . • •; вместе с тем из свойства
а) следует, что двум различным последовательностям ilt /2> /s, ... и
/ j, i'2 , i%t.. .соответствуют две различные точки х^ is i3 • ■ -ихi\ /2 /з • • •»
136

следовательно, множество всех таких точек х-, i » ... будет иметь ту же
мощность, что и множество всевозможных последовательностей из нулей и
единиц, т. е. мощность континуума.
Обозначим множество всех точек x-L • г- ... через А и докажем, что
Ас Е. Возьмем для этого какую-либо точку xi г-2 i . . . £ А и докажем, что
она входит в Е. Так как _ _ _
x'i к 1з ' ' ■ = 'i ^ 'i г"г ^ «1 к 'з П • • •
и так как, согласно построению,
6(1 с Gi, "6(l h С G2, "о^ ,-2 ,scG!f ....
то xh ,2 ja . .. £Gft при любом £; значит, хг1 /2 ,8 . . . £ DGft, т. е. ^ /а г-д ... ££.
Следовательно, любая точка множества А является элементом множества
Е, т. е. АсЕ. Но, как доказано выше, множество А имеет мощность
континуума; значит, множество Е тоже имеет мощность континуума.
Замечание. Как видно из самого процесса доказательства, результат
остается в силе и тогда, когда множества Gb G3, G3, . . . являются открытыми
множествами на плоскости (плотными в некотором замкнутом круге) или в
трехмерном пространстве (плотными в некотором шаре).
271. Пусть А1ш А.±, А3, . . . , A%, . . . — нигде не плотные множества на
прямой. Тогда замыкания этих множеств Аи А2, As, . . . , Ak, . . . также нигде
не плотны (см. задачу 203). Следовательно, дополнения к множествам Ak
являются открытыми множествами, всюду плотными на прямой. Но тогда их
пересечение C\CAk также является множеством, всюду плотным на прямой (см. зада-
k
чу 269) — значит, во всяком случае, не пустым.
Теперь легко проверить, что дополнение к сумме всех Ak непусто;
действительно:
C({jAk\z)C(\jAk\=nCAk^0
(здесь мы сначала учли, что, так как IMft с: U Ak, то С( \j А^ 3 С ({]Ak \ ;
\ ft ft \k I \ ft )
далее мы применили принцип двойственности). Итак,
С (U Ак\ф0,
откуда следует, что множество (J Af, отлично от всей прямой (более того, на любом
ft
интервале найдутся точки, не принадлежащие к LMft\-
ft J
272. Пусть Вг, В2, В3, .... Вь, . ■ . —множества типа G6 , всюду плотные
на прямой. Тогда, для любого k, Bk=C\Gk,i, где Gk, -t — открытые множества;
i
так как Gk, (Z3 В* для любых i, k, то все Gk, ,• также всюду плотны на
прямой.
Обозначим через Е пересечение всех B%; тогда:
E=HBk= C](C\Gi,h\ = nGt,k.
ft k\ i I I, ft
Следовательно, Е является пересечением счетной совокупности всюду плотных
открытых множеств {G;, й}. Но тогда (см. задачу 269) Е само является всюду
плотным множеством. Итак, Е= П Bft является всюду плотным множеством
k
типа Ge на прямой.
273. Пример: Et= {ги г2, г3, г4, ...}, Е2= {r2, ra, r4, ...}
£ft = \rk, rk+i, rk+z, . - •}, ... (здесь ru r2, rs, — —множество всех рацио-
13?

нальных чисел, занумерованных каким-либо способом). Множество Ех плотно на
прямой. Остальные множества также плотны на прямой, так как каждое из этих
множеств получается в результате вычитания из Ех некоторого конечного
множества (см. задачу 249).
С другой стороны, пересечение всех Е^ пусто: какую бы точку г^ ни взять
она не может входить сразу во все Е^
274. Множество Ел рациональных чисел всюду плотно на прямой. Допустим)
что оно имеет тип G6 . Тогда множествд Е2, полученное из Ел сдвигом на
у 2 (г, е. множество чисел вида г+У 2, где г^Ег), также было бы всюду
плотным множеством типа G6 . Но в этом случае и их пересечение было бы
всюду плотным множеством (см. задачу 272), тогда как, на самом деле,
Е\Г\Е2=: 0. Следовательно, допущение, что Ег является множеством типа G.
неверно. Значит, множество Ег всех рациональных чисел на прямой не является
множеством типа Ge.
275. Доказательство проводится с помощью принципа двойственности; при
этом надо использовать результат предыдущей задачи.
276. Доказательство аналогично тому, которое было проведено при решении
задачи 274; только сдвиги надо производить на число а, выбранное так, чтобы
множество точек вида х+а (где х £ Е) не пересекалось с Е (это возможно
в силу счетности Е).
277. Указание. Использовать результат предыдущей задачи.
278. Если бы множество [0; \)f]I (где / — множество всех иррациональных
чисел) имело бы тип F0 , то любое множество вида [к; к-\-1)[}1 (при любом целом к)
также имело бы тип F0 T так как оно конгруэнтно данному. Но тогда сумма
счетной совокупности множеств U{[^J k+l)f]I\ (где суммирование производится по
всем целым k) также была бы множеством типа F0 , что невозможно, так как эта
сумма совпадает со всем множеством / (см. задачу 275).
Доказательство того, что [a; P)(V не имеет типа F0 при любых аир
(а<<;Р), проводится аналогично; только сдвиги производятся не на 1, а на
какое-либо фиксированное рациональное число г такое, что 0 < /<^р— а.
Чтобы доказать, что [а; $)Г}М (где М — множество всех рациональных
чисел) не имеет типа G6, достаточно заметить, что [а; Р)П^ является
дополнением к множеству [а; Р)П / (д° всего полусегмента [а; Р)), а оно не является
множеством типа Fa
279. В качестве такого примера можно взять множество Е, составленное
из всех отрицательных рациональных и всех положительных иррациональных
чисел. Если бы Е имело тип Ga , то часть этого множества, попавшая в
полусегмент [—I, 0), также имела бы тип G0, что неверно (см. предыдущую
задачу); если бы Е имело тип F то часть, попавшая в полусегмент П; 2),
также имела бы тип Fa, что тоже неверно. Итак, Е не является ни
множеством типа Ge , ни множеством типа F0
280. Надо свести эту задачу к случаю последовательности вложенных
замкнутых множеств с диаметрами, стремящимися к нулю.
Для этого рассмотрим отрезок [а; Ь], включающий Ах (следовательно,
[а; Ь\ Z) Ak для всех k). Разобьем этот отрезок на два равных сегмента, и
назовем первым отмеченным сегментом /х ту его половину, которая пересекается
с каждым из А^ по непустому множеству*. Далее, разобьем первый отмеченный
сегмент /х на два равных сегмента и назовем вторым отмеченным сегментом /2
тот из них, который пересекается по непустому множеству с каждым из А^.
* Если обе половины сегмента обладают указанным свойством, то первым
отмеченным сегментом /j назовем, например, левую половину сегмента [с; 6].
I3R

Вообще, если построены отмеченные сегменты /lt . . ., /n—i, то под /„ мы
подразумеваем ту половину сегмента /n—i, которая пересекается по непустому
множеству с каждым из A%.
Рассмотрим теперь последовательность [Bk], где Вк = A-kt\Ik-
Ясно, что
Вх Г) В2 =) Bs ;э . . . Г) Вк г> . ..
и diamB^-*0 при й-*оо (так как BkCZlk, и поэтому diara Bfc<diam/fc).
Следовательно, по теореме Кантора, существует точка х0, общая всем Bk- Но В^ с А^
для любого А. Поэтому х0£ ПВйСГЛ-Л/г, т. е. П^й непусто.
k к k
281. Приведем пример. Пусть Л, = (0; 1), Л2 = 0; —
Ап= 0. —I, • • - • Тогда все Ап непусты, каждое последующее множество
содержится в предыдущем, a f]An= 0.
п
282. Если ^Di^D.-.D^n^... и Л„+1 сЛп, то Л Аг = Г)Ап Но
_ п п
П Ап непусто (так как все Ап являются непустыми замкнутыми ограниченными
п _ _ —
множествами, причем A1ZdA2ZD ■ . ■ зЛпз. . .). Следовательно, f)
An также не-
п
пусто.
283. Пусть множества Аи А%, . . . , А^, . . замкнуты и ограничены.
Докажем, что если пересечение всех этих множеств пусто, то найдется такая
ковечная совокупность этих множеств, пересечение которой также пусто (тем
самым будет доказана требуемая теорема).
Пусть f]A/1=0. Тогда C(f)Ak\ = R, где R — вся прямая, и, по закону
двойственности, l)CAfi = R. Множества CAk — открытые множества, в сумме
k
составляющие всю прямую. Но тогда они образуют покрытие замкнутого
ограниченного множества Ах. Выберем из этого покрытия конечное (см. задачу 245):
CAh U СА^ U ■ - - \JCAip 3 Ах.
Тогда (снова по закону двойственности):
Atl Г\А;2П...Г\А1пс:САи
т. е.
A1f)AJl ГИ;2 П ... Л Л«„=0.
Итак, если Л^гй = 0, то найдется конечная совокупность \АХ, A-L At ...,
k
At t множеств из данной системы, пересечение которых пусто. Следовательно,
если пересечение любой конечной совокупности множеств {Ак} непусто, то и
пересечение всех Ak тоже непусто.
Замечание. Из доказательства видно, что теорема остается верной и
тогда, когда хотя бы одно из замкнутых множеств Аъ А2, ■ ■ ■, A%, . . .
ограничено (даже если остальные неограничены).
284. Нет, для неограниченных множеств все эти утверждения неверны.
Примеры. Пусть Л„ = [и; +со). Тогда Ах гэ А2 Г) As r>. . . 13 Апз .. .,
причем все Ап замкнуты (хотя и неограничены). Их пересечение пусто. Этот
пример показывает, что утверждение задачи 280 теряет силу для неограниченных
замкнутых множеств. Для того чтобы убедиться, что утверждение задачи 283
также теряет силу при неограниченности всех множеств Ап, достаточно
рассмотреть тот же пример: Ап = [п; -f°o). Здесь пересечение любой конечной
совокупности этих множеств непусто, тогда как пересечение всех Ап пусто.
139

285. Да, можно, например, следующим образом: пусть сх— середина
смежного интервала 1 ранга (т. е. с, = 0,5), с2 — середина смежного интервала
/7 8\
2 ранга, лежащего справа от сх (т. е. середина интервала |—; — ), и вообще
сь+х—середина интервала k+ 1-го ранга, лежащего справа от Cf,. Тогда канторово
множество D разбивается на следующую сумму попарно не пересекающихся
непустых замкнутых множеств:
D=(Dn[0; cJ)U(Dn[Ci, c2])\J(Dr\[c2, cs])(J...
■ ■■ U(Dn[cft, ck+1[)U ■■■ UUI
(здесь {1}—одноточечное множество — точка с абсциссой 1).
286. Квадрат [0; 1]х[0; 1] можно разбить на сумму вертикальных
отрезков: х = const 0<у<1. Множество этих отрезков имеет мощность континуума.
Каждый из них является совершенным непустым множеством, они менаду собой
не пересекаются и в сумме составляют данный замкнутый квадрат.
287. Все точки этого множества изолированы (см. задачу 132). Но тогда
это множество конечно или счетно (если бы оно было несчетным, то оно имело
бы хотя бы одну точку конденсации, принадлежащую самому множеству).
288. Производным множеством является все канторово множество D (таким
образом, множество £, построенное в этой задаче, может служить еще одним
примером, иллюстрирующим задачи 136 и 213). Замыкание E=E\JD
Второе производное множество совпадает с первым производным (т. е.
равно D). Замкнутое множество Е разбивается на сумму совершенного множества D
и счетного множества Е.
289. Множество Е замкнуто. Оно раскладывается на сумму совершенного
множества и счетного множества следующим образом: совершенное множество
состоит из множества D и суммы всех сегментов
, 6„ 36„
Оп+~; ап+—— ;
4 4
счетное множество — это множество всех точек
Ьп 76,г
ап+—, ап+—, где и = 1, 2. 3. . ..
о о
290. Пересечение [a; b]f)E является замкнутым множеством Докажем, что
оно не содержит изолированных точек.
Пусть хе£[а; Ь]Г)Е. Так как а £Е, Ь£Е, то х0 является внутренней точкой
сегмента. Опишем произвольную окрестность V (хв) с [а; Ь]. В этой окрестности
найдется точка х£Е, отличная от х0. Но х£[а; b]f]E. Следовательно,
в произвольной окрестности точки х0 нашлась отличьая от х0 точка х£[а; Ь][)Е;
значит, х0 не является изолированной точкой множества [а; Ь\Г\Е
Итак, множество [a; b\f]E совершенно.
291. Рассмотрим два случая: 1) концы интервала а и Р оба не
принадлежат множеству Е; 2) хотя бы один из этих концов принадлежит множеству Е.
В первом случае имеет место равенство (а; Р) ("}£ = [«; Р]ЛЕ; в правой
части этого равенства стоит совершенное множество (см. предыдущую задачу);
следовательно, и множество (а; Р) П Е является совершенным.
Рассмотрим теперь второй случай: пусть а^Е и Р£С (если бы только одна
из точек а, Р принадлежала множеству Е, доказательство было бы
аналогичным). Так как множество Е является нигде не плотным, то на любом интервале
(а; а') найдутся точки, не принадлежащие к Е. Отсюда следует, что
существует последовательность точек g1>g2> .. . >ап> . . ., не принадлежащих к Е,
сходящаяся к а. Из тех же соображений вытекает, что найдется
последовательность точек bl<b2< . . . <bn< ■ ■ ■ , не принадлежащих к Е, сходящаяся к Р;
140

при этом всегда можно считать, что а1<Ь1 (рис. 31). Но тогда множество
(а; Р)Г)£ является суммой следующих множеств:
(fli; b\)C\Es (fla; аг)Р{Е, (а3; a^CiE, (а4, as)C\E, ...
(by- Ь2)Г)Е, fe Ь3)Г)Е, (bs; bt)r\E, ...
Если все эти множества пустые, то и (а; Р)Г)£ является пустым (и,
следовательно, совершенным). Если среди этих множеств имеются непустые, то
каждое из них является совершенным (см. первый случай). Если этих множеств
конечное число, то их сумма (т. е.
(а; Р)П£) также является совер- аиЩа9а, ВЛМ.дс
шенным множеством; если же сово- / / / / \ I / у^~
купность этих множеств является "НИМИ 1 1 ]■ I——I I I I 11III1IIIIIIIIIH 1
счетной, то их сумма (т. е- лу я
(а; Р)П£) является суммой счетной у
совокупности попарно не пересекаю- р „.
щихся совершенных множеств. с'
292. Заметим сначала что P\Q=P(~}CQ, где CQ — открытое множество.
Пусть CQ= {J(a(, рг), где (а,-, р,-) — составляющие интервалы. Тогда P\Q=
i
= 1Л(аг; РОП'Р]. Если P\Q непусто, то среди множеств (а,-; РгОП^ найдется»
I
хотя бы одно непустое. В силу решения предыдущей задачи, каждое непустое
множество (аг-; §i)f]P либо совершенно, либо является счетной суммой попарно
не пересекающихся совершенных; но тогда и сумма множеств (щ; §i)f)P (T- е-
множество P\Q) является либо совершенным, либо счетной суммой попарно не
пересекающихся совершенных.
293. Пусть A=\jEn, где Еп — совершенные нигде не плотные множества
п
Эту сумму можно записать следующим образом:
^=£1U(£2\£i)U[£3\(£iU£,2)]U. - -U[£n\"U Et] U- -. (D
В этой сумме слагаемые попарно не пересекаются; каждое из них является
либо совершенным нигде ие плотным множеством, либо разностью двух
совершенных нигде не плотных; если оно является разностью двух совершенных нигде
не плотных, то, на основании результата предыдущей задачи, оно представимо-
в виде счетной суммы попарно не пересекающихся совершенных множеств.
Отсюда следует (в силу равенства (1)), что и множество А представимо
в виде счетной суммы попарно не пересекающихся совершенных нигде не
плотных множеств.
294. Пусть [ах; Ьг], [а^; Ь^], . .. , \a-t; ЬЦ, ... — какая-либо счетная
совокупность сегментов попарно без общих точек. Докажем, что сумма этих сегмен—
со
тов (J [щ; bj\ не может заполнить всю прямую. Рассмотрим сначала сумму Внут-
со
ренностей этих сегментов, т. е. сумму интервалов (J (щ; bj). Обозначим допол-
1=1
некие к этой сумме через Е. Оно замкнуто и непусто (непустота следует из
того, что точки аи Ъх, а^, Ь2 .. . входят в это дополнение). Кроме того, Е
является совершенным множеством, так как его смежные интервалы попарно не
имеют общих концов (если бы два интервала (щ; bt) и (а^; Ь^) имели бы общий •
конец, то сегменты [at; b{\ и [й&; Ь%\ пересекались бы по непустому множеству,
что противоречит условию). Из того, что Е — совершенное множество, вытекает
что оно имеет мощность континуума.
Вернемся теперь к сумме заданной последовательности сегментов.
Дополнение к этой сумме отличается от Е только на счетное множество точек:
14!

Но тогда множество С I (J [ас, b{\ \ также имеет мощность континуума и,
следовательно, непусто.
Значит, сумма счетной совокупности попарно не пересекающихся сегментов
не может заполнить всю прямую
/ л я \
295. Нельзя. Если бы, например, интервал I — —; — 1 можно было
представить в виде суммы счетной совокупности попарно не пересекающихся
сегментов, то, отобразив этот интервал на всю ось Оу с помощью непрерывной
функции y=tgjc, мы смогли бы представить всю эту ось Оу в виде счетной
суммы попарно не пересекающихся сегментов, что невозможно (см. задачу 294).
Аналогично доказывается и тот факт, что любой интервал {а; Ь) нельзя
представить в виде счетной суммы попарно не пересекающихся сегментов.
296. Нет, нельзя. Допустим, что сегмент [а; Ь] представим в виде такой
со
OCj в1 ССг Рг суммы: la< 61=U [а,:! РЛ;
i 1——— '—-—jo пусть при этом левый конец
О. ° сегмента [а; Ь] принадлежит
сегменту [а^, §г] (и, значит,
р „о G=cti), а правый конец—сег-
ис менту [а2; 63] (и, значит,
й=В3). Тогда все остальные
сегменты [ct3;Bs], [ct4; В4], [cts; B5], ... в своей совокупности составили бы
интервал (р\; а2) (рис. 32), что невозможно (см. предыдущую задачу).
297. Построим на [0; I] последовательность совершенных множеств Alt A2,
Л3, ... следующим образом: в качестве Ау возьмем канторово множество. Для
построения Ап (при и>1) разобьем отрезок [0; 1] на п равных отрезков
~ - ~п — \ 1
1 , и на каждом из этих отрезков построим
п J L п п ]
п
совершенное множество тем же процессом, что и канторово множество *. Сумму
всех этих множеств назовем Ап.
Обозначим теперь A=\JAn, B= [0; 1]\А. Докажем, что для любых а и В
п
(0<а<В<1) пересечения Л Л (а; Р) и В(~}(а; Р) имеют мощность континуума.
Каков бы ни был интервал (а; Р), в нем всегда найдется сегмент вида
—; для некоторого, достаточно большого п. Пересечение Ап с сегмен-
п п J I
Г » »+11
том ■—; является, по построению, совершенным множеством (подобным
я п
канторову). Следовательно, АпГ)\—; "
[и п
имеет мощность континуума. А так
как ЛзЛг, (а; Р) =Э ; —'— , то множество Л Г) (а; P), подавно, имеет
L л п \
мощность континуума.
Множество ВП(а; Р) может быть получено как пересечение открытых, всюду
плотных на (а; Р) множеств CAlt СА2, СА3, .. . (здесь дополнения берутся
-относительно интервала (а; Р)). Но пересечение таких множеств имеет мощность
континуума (см. задачу 270). Следовательно, Bf](a; P)=c.
* Например, на отрезке 0; — построение произведем так: разобьем
отрезок на три равные части и выбросим средний интервал; затем каждый из
оставшихся сегментов разобьем на три равные части и выбросим средние интервалы
и т. д. Множество, оставшееся после счетного числа шагов, будет искомым
совершенным множеством.
142

298. Смежный интервал первого ранга состоит из всех чисел, в троичном
разложении которых первый знак обязательно равен единице*. Каждый смежный
интервал второго ранга состоит из всех чисел, в троичном разложении которых
(при фиксированном первом знаке) второй знак обязательно равен единице.
Вообще, каждый смежный интервал k-vo ранга состоит из всех чисел, в троичном
разложении которых (при фиксированных первых k — 1 знаках) па k-u месте
обязательно стоит единица. Отсюда вытекает, что множество, оставшееся после
исключения из [0; 1J всех смежных интервалов, состоит из тех и только тех
чисел отрезка [0; 1], которые могут быть записаны в виде троичной дроби, не
содержащей единицы в числе своих троичных' знаков.
299. Точки первого рода канторова множества состоят из всех тех чисел,
которые являются троично-рациональными (т. е. могут быть представлены в виде
конечной троичной дроби), и вместе с тем допускают троичное разложение, не
содержащее единиц в числе своих троичных знаков.
Точки второго рода — это те точки, в троичном разложении которых
отсутствуют единицы и которые являются троично-иррациональными (т. е. в их
разложении имеется и бесконечно много нулей, и бесконечно много двоек).
300. Между числами 0,1 и 0,2 имеется бесконечное множество точек пер-
1
вого рода; одна из них х=-— (ее разложение в троичную дробь таково:
х=0,0100. . . ; следовательно, эта точка троично-рациональна; ее троичное
разложение может быть записано без единиц: х=0,00222 .. . ; следовательно, эта
точка принадлежит канторову множеству).
301. Между этими числами имеется бесконечно много точек второго рода.
Например, точкой второго рода, заключенной между числами 0,05 и 0,1, является
точка х, троичное разложение имеет вид: 0,00202020202. . . (легко видеть, что
2 2 2 1 11
*=—+■—• +—+ • ■ ■ = —; следовательно, — < х < —-; эта точка является
6 о" о \2. Л) 10
точкой второго рода канторова множества, так как ее троичное разложение
содержит бесконечно много двоек и бесконечно много нулей); притом она
рациональна.
302. Любая двоично-иррациональная точка отрезка [0; 1] единственным
способом разлагается в бесконечную двоичную дробь 0, ах а2 а3 . . , где
щ=0 или 1, причем в разложении имеется как бесконечное множество нулей,
так и бесконечное множество единиц. При этом всякая бесконечная дробь
такого типа изображает некоторую двоично-иррациональную точку отрезка [0; 1].
Любая точка второго рода канторова множества D единственным образом
разлагается в бесконечную троичную дробь 0, bx b2 bs. . , где 6г-=0 или 2,
причем в разложении имеется как бесконечное множество нулей, так и
бесконечное множество двоек. При этом всякая бесконечная дробь такого типа
изображает некоторую точку второго рода множества D.
Между двоично-иррациональными точками х=0, ах а2 as . . . отрезка
[0; 1} и точками второго рода канторова множества у=0, Ьх b2 bs . . .
устанавливаем взаимно однозначное соответствие следующим образом: точке
x=Q,ax а% а3 . . . ставим в соответствие точку у=0, br b2 bs . . . , такую, что
bi=2at (т. е. 6;=0, если at=0, и 6,=2, если аг-=1). Ясно, что такое
соответствие взаимно однозначно и что оно сохраняет порядок следования, т. е. это
соответствие устанавливает подобие между множеством двоично-иррациональных
точек на [0; 1] и множеством точек второго рода на D.
* Слово «обязательно» надо понимать в том смысле, что если х допускает
два различных разложения в троичную дробь — одно с единицей на первом месте,
а другое — без единицы на первом месте (например, х=— I, то мы х не
включаем в интервал первого ранга; иными словами, в интервал первого ранга войдут
те и только те числа х, которые при любом разложении в троичную дробь имеют
на первом месте после запятой единицу.
143

303. Нет, эти множества не подобны, хотя и имеют одинаковую мощность
(оба — счетны). Докажем, что эти множества не подобны, идя от противного-
допустим, что между элементами г множества R рациональных чисел отрезка
[0; 1] и элементами х множества X ьсех точек первого рода канторова
множества существует взаимно однозначное соответствие г<->х, сохраняющее порядок
следования. Пусть хх и х2 ■— два конца одного и того же смежного интервала-
им соответствуют точки гг и г2 из R (причем, если х± < х2, то г± < г2).
Обозначим через г3 какое-либо рациональное число, заключенное между г
и г2. Пусть г3<->х3 £ X. Так как между хх и хъ нет точек множества X, то либо
xs < xlt либо xs > x2. Но тогда соответствие г*->х не является соответствием
подобия (в самом деле, r1<r3<r2, тогда как xs<xr<x2 или х1<х2<х3).
Значит, установить соответствие подобия между множествами R и X невозможно..
Следовательно, эти множества не подобны.
304. Доказательство этого факта можно найти, например, в книге
П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций», Гостех-
издат, 1948, стр. 68—69 (теорема 1 и следствие).
305. Нет, не существует. Докажем это. Возьмем точку х0 первого рода
канторова множества D и опишем около нее произвольную окрестность /. Так
как D не имеет изолированных точек, то пересечение If]D также не имеет
изолированных точек. Следовательно, замыкание If]D является совершенны
множеством. Но совершенное непустое множеегео (а оно является непусты
так как содержит хотя бы одну точку х„) имеет мощность континуума. Мно
жество If]D также имеет мощность континуума (оно отличается от своего
замыкания не более чем на Две крайние течки). Следовательно, множество If]D
не может состоять только из точек первого рода (их всего счетное множество),
но должно содержать также точки второго рода. Таким образом, всякий
интервал /, содержащий хотя бы одну точку первого рода множества D, содержит
бесконечно много точек второго рода множества D.
Следует заметить, что эти рассуждения остаются в силе не только для
канторова множества, но и для любого совершенного множества D на прямой.
306. Множество Е, будучи непустым совершенным множеством, является
несчетным; следовательно, различных расстояний от данной точки х до любой
точки у£Е должно быть также несчетное множество (на прямой найдется не
больше двух точек ух и у2, отстоящих от х на одинаковом расстоянии). Значит,
среди всевозможных расстояний р (х, у) (у £ Е) найдутся иррациональные
расстояния (так как рациональных чисел имеется только счетное множество).
307. Мощность континуума. Это следует из того, что каждое открытое
множество может быть представлено в виде суммы интервалов с рациональными
концами (в самом деле, если Г — открытое множество, то каждая точка *0([F
может быть включена в интервал с рациональными концами, входящий в Г; но
тогда Г является суммой таких интервалов) Всего интервалов с рациональными
концами имеется счетное множество; следовательно, различных наборов из таких
интервалов имеется континуум Так как каждое открытое множество предста-
вимо в виде суммы рациональных интервалов не единственным способом, то
множество (J всех открытых множеств на прямой имеет мощность меньшую
или равную с:^$г < с.
С другой стороны, среди открытых множеств на прямой имеется континуум
различных интервалов вида (0; с) (где с>0) Следовательно, мощность
множества всех открытых множеств на прямой не меньше, чем^ с: ф -» с.
Сравнивая полученные два неравенства, получаем: (J=c.
308 Мощность континуума Доказательство проводится аналогично
предыдущему (при этом надо использовать тот факт, что любое открытое множество
на плоскости представим© в виде суммы рациональных кругов — см. задачу
241).
309. Мощность континуума. Это следует из того, что между множество]
всех открытых множеств на прямой и множеством всех замкнутых множеств на пря
мой существует взаимно однозначное соответствие (каждому замкнутому мно
жеству ставится в соответствие дополнительное к нему открытое).
144

Так как множество всех открытых множеств на прямой имеет
мощность с (см. задачу 308), то множество всех замкнутых множеств на прямой
также имеет мощность с.
310. Мощность континуума. Доказательство. Мощность множества
SB всех совершенных множеств на прямой не больше, чем мощность множества
всех замкнутых множеств; следовательно, 38 < с.
С другой стороны, среди совершенных множеств имеются
всевозможные сегменты вида [0; а] (где с>0). Множество этих сегментов имеет
мощность континуума. Следовательно, мощность множества © всех совершенных
множеств больше или равна мощности континуума: ЗЭ > с.
Сравнивая полученные два неравенства, заключаем, что 58=с.
311. Для доказательства того, что эти множества совершенны, достаточно
убедиться, что все смежные интервалы к каждому из этих множеств попарно
не имеют общих концов.
Читателю предлагается найти также непосредственное доказательство того
факта, что каждое из этих множеств не имеет изолированных точек (не
прибегая к общей теореме о строении совершенных множеств на прямой).
312. Построим непустое совершенное множество, не содержащее ни одной
рациональной точки. Для этого сначала перенумеруем каким-либо способом все
рациональные точки на прямой;
г1, г2 гк> • ■ ■
Опишем произвольным иррациональным радиусом ег окрестность около гг;
назовем ее 1-у. Далее, среди точек г2, г3, ... . , гк, . . . найдем первую, не
вошедшую в 1Х\ пусть это будет rKs- ясно, что она не совпадает ни с одним из
концов интервала 1г (концы этого интервала — иррациональные числа). Опишем
около гК2 окрестность иррационального радиуса е2, не пересекающуюся с 1г и
не имеющую с ним общих концов; обозначим эту окрестность /2.
Следующим шагом находим среди точек гКг+ ь rKs+ 2, . . . первую, не
входящую ни в Ilt ни в /2; пусть это будет rKs; она не совпадает ни с одним из
концов интервалов /ъ /2; поэтому около нее можно описать окрестность
иррационального радиуса е3, не пересекающуюся ни с 1г, ни с [2 и не имеющую с
ними общих концов. Обозначим ее /3.
Продолжая далее таким же образом, мы построим последовательность
непересекающихся интервалов 1Ъ 12, ■ . . Дополнение Е к сумме этих интервалов
является искомым совершенным множеством.
То, что множество Е замкнуто, вытекает из того, что оно является
дополнением к открытому (к сумме интервалов /к). Оно непусто, так как
содержит, например, все концы выброшенных интервалов 1К. Оно не имеет
изолированных точек, так как, по построению, его смежные интервалы 1Х, 12. . ■ - не
имеют общих концов. Следовательно, построенное множество совершенно и
непусто.
Кроме того, это множество не содержит ни одной рациональной точки (все
они вошли в интервалы 11у 12, - . .); следовательно, оно состоит только из
иррациональных точек.
Наконец, заметим, что оно является нигде не плотным, потому что любой
интервал (а; Р) содержит точки, не входящие в совершенное множество Е
(например, рациональные точки). Так как Е замкнуто, то это является
достаточным условием для того, чтобы Е было нигде не плотным (см. задачу 206).
313. Да, существует. Построение такого совершенного множества
производится тем же методом, что и в предыдущей задаче.
314. Множество F не имеет изолированных точек, так как ни одно из его
слагаемых множеств Е0, E±, E2, Es, . . . не имеет изолированных точек.
Множество F замкнуто, так как его дополнением до всего отрезка [0; 1]
является открытое множество — сумма всех смежных интервалов множеств Е1г
£2, Es ; отсюда также следует, что все смежные интервалы к
множествам Е±, Е2, Е3, ... и только они являются смежными интервалами к
множеству F.
145

Множество F нигде не плотно на отрезке [0; 1]; докажем это. Пусть
(а; Ь) — произвольный интервал на отрезке [0; 1J; в сдау того, что Е0 нигде не
плотно, этот интервал содержит интервал /, полностью свободный от точек
множества Е0; но тогда /с(а„0; Рп0) для некоторого п0 (где (аП(); Рп0) —
некоторый смежный интервал множества Е0). Этот интервал полностью свободен от
точек множества Ег, Е2, . . . , Е„0— i, E„0+i, . . . ; а так как EnQ — нигде
не плотное множество, то в интервале / найдется подинтервал /0) свободный
также и от точек множества Еп . Итак,- интервал /0 свободен от точек всех
множеств Ев, Elt Е2, . . . , т. е. от точек множества F.
Значит, произвольный интервал (с; 6) содержит подинтервал /0, свободный
от точек множества F; следовательно, множество F нигде не плотно на прямой.
315. Замкнутость множества Е следует из того, что оно является
дополнением к открытому множеству (к сумме всех открытых кругов vn).
Рнс. 33
Чтобы доказать нигде не плотность этого множества, надо заметить, что
любой открытый круг V содержит, в качестве внутренней точки, хотя бы одну
рациональную точку (см. задачу 193). Пусть это будет точка Мп. Опишем
около Мп окрестность Un, входящую в V, и такую, чтобы ее радиус был меньше,
а
чем —г-. Тогда эта окрестность будет полностью свободна от точек
множества Е. Итак, произвольный открытый круг V на плоскости содержит меньший
круг Un, полностью свободный от точек множества Е; а это и означает, что Е
нигде не плотно на плоскости.
316. Назовем замкнутыми квадратами первого ранга те восемь замкнутых
квадратов, которые остаются на плоскости после выбрасывания центрального
открытого квадрата, а сам этот выбрасываемый центральный квадрат назовем
открытым квадратом 1 ранга (рис. 33, а). Аналогично определяются
замкнутые квадраты 2 ранга (их число равно 82, сторона каждого из них равна —-, см.
о
рис. 33, б) и открытые квадраты 2 ранга (их число равно 8, сторона каждого равна
—-). Легко видеть, что таким путем можно определить открытые и замкнутые
квадраты всех рангов.
Щ
Ж
Щ
т
■
И
ж
V///Z/
Р
Ж
ШР
■
т
ШШ
ШШ4Ш
ШШ
Шжж

Ясно, что A=f)Pn, где Рп — сумма всех замкнутых квадратов ранга п. Так.
п
как каждое множество Рп замкнуто, то и их пересечение (т. е. множество А}
тоже замкнуто.
Чтобы доказать, что А нигде не плотно, рассмотрим произвольный
открытый круг J. Этот круг либо полностью свободги от точек множества А, либо>
содержит хотя бы одну точку М этого множества; докажем, что и в этом
последнем случае в круге / найдется меньший круг, полностью свободный от
точек множества А. Для того чтобы убедиться в этом, найдем замкнутый
квадрат Кп некоторого ранга п, содержащий точку М, и такой, чтобы его диагональ
была меньше расстояния от точки М до границы круга J (это можно сделать,
так как диагонали замкнутых квадратов стремятся к нулю при стремлении их
Рис. 34 рис. 35
ранга п к бесконечности). Этот квадрат целиком лежит внутри круга J (рис.34).
Тогда открытый квадрат я+1-го ранга, лежащий в середине квадрата КПг
полностью свободен от точек множества А (и тоже лежит внутри круга J).
Вписав в этот открытый квадрат круг vt мы найдем круг, лежащий внутри
круга J и полностью свободный от точек множества А. Итак, А — нигде не
плотное множество на плоскости.
Подобным же путем доказывается, что А не имеет изолированных точек:
пусть М„£А. Опишем около М, пшизвольную окрестность J и построим
замкнутый квадрат Кп, содержащий М1 и включающийся в J (рис. 35). Тогда
границы этого квадрата принадлежат к Л и входят в J. Значит, Ма не является
изолированной точкой. ,
Так как А замкнуто и не содержит изолированных точек, то А —
совершенное множество.
Выясним арифметическую структуру множества А: на первом этапе мы
исключаем из основного квадрата такие точки М{к, у), у которых и абсцисса, и
ордината обязательно содержат единицу на первом месте (при разложении в
троичную дробь); на втором этапе исключаются, кроме того, все такие точки,
у которых и абсцисса, и ордината содержат единицу на втором месте, и т. д.
Таким образом, в множестве А останутся все такие точки М(х, у), у которых
абсциссу и ординату можно разложить в троичные дроби: xn=0, at а2 а3 . . . ;
ув=0, Ьг b2 bs . . . , так, чтобы ни при каком к не выполнялось
равенство: ак=Ьк=\. Так, например*, Mt (0,212121 . . . ; 0.121212 . . .) £ Л;
М2 (0,202020 . . . ; 0,202020 . . .)£Л; М3 (0,1000 . . . ; 0,1111 . . '.)£Л (в
последнем случае хотя a1=fc1=l, но абсциссу этой точки можно переписать так;
0,02222 ■ . ■ \_ следовательно, М3£ А). С другой стороны, М4 (0,1010
0,1021 . . .)£Л (эта точка исключается уже на первом шаге; она входит в
открытый квадрат первого ранга).
* Здесь и далее координаты точек Мх, M.z, М3, УИ4 заданы с помощью
троичных дробей.
147

317. Исследование проводится аналогично тому, как и в задаче 316.
Арифметическая структура множества В такова: в это множество входят все точки
М (х, у) основного квадрата, у которых как абсцисса х, так и ордината у,
могут быть записаны в виде троичных дробей, не содержащих единицы среди
своих троичных знаков.
318. Исследование проводится аналогично. Арифметическая структура
множества Е такова: оно состоит из всех точек М {х, у) основного квадрата, абс-
-циссы которых произвольны (0<х<1), а ординаты могут быть записаны в виде
троичной дроби, не содержащей единицы среди своих троичных знаков.
319. А={[0; 11х[0; \\\ Ч {CDY.CD}, где CD — дополнение к канторову
•множеству D до всего отрезка [0; 1];
B=DxD;
Е=[0; 1]XD.
ГЛАВА 7
МЕРА МНОЖЕСТВ
320. Ось Ох является нуль-множеством на плоскости, а всякое подмножество
«уль-множества является также нуль-множеством. Но все нуль-множества
измеримы. Следовательно, все подмножества числовой прямой измеримы иа
плоскости Оху, и их плоская мера равна нулю.
321. Канторово'совершенное множество D имеет линейную меру нуль.
Следовательно, каждое его подмножество также имеет линейную меру нуль и
поэтому измеримо. Но семейство всех подмножеств канторова множества имеет
мощность гиперконтинуума (2е), так как D=c. Значит, семейство 21 всех
измеримых множеств на числовой прямой имеет мощность большую или равную 2е:
С другой стороны, семейство всех вообще множеств, расположенных на
'прямой, имеет мощность 2е. Так как 5Й является частью семейства всех
множеств, расположенных на прямой, то Ж<2С.
Сравнивая эти два неравенства, получим окончательно:
322. В качестве примера можно взять то совершенное множество, которое
было построено в задаче 199; только здесь в качестве А надо взять число 0,1.
Тогда сумма длин выброшенных интервалов равна Л=0,1, а, значит, мера
оставшегося совершенного множества равна 1—0,1=0,9.
323. См. задачу 199 (здесь в качестве А надо взять положительное
число 1—а).
324. Нет, нельзя. Дополнением к такому множеству Е (до всего отрезка
[0; lj) было бы открытое множество СЕ меры нуль. Но открытое множество
меры нуль пусто (если бы СЕ содержало хотя бы одну точку Мв, то нашлась
бы окрестность V (/И0), включающаяся в СЕ; то тогда было бы: тСЕ >
>mV(Мо)>0). Так как СЕ пусто, то Е заполняет весь отрезок, что
противоречит условию (в условии сказано, что Е нигде не плотно на отрезке [0; 1]).
325. Построение этого примера проводится примерно так же, как и
построение совершенного множества в задаче 199. Зададим произвольный
положительный ряд с убывающими членами ax-f а2+а3+. . . , сумма которого равна 1 —а.
Проведем теперь в основном квадрате [0; 1]х[0; 1] Две вертикальные и две
•горизонтальные прямые так, чтобы площадь креста, вырезаемого этими прямыми,
равнялась ах, и чтобы четыре четырехугольника, оставшиеся после отбрасьшания
этого креста, были замкнутыми квадратами (рис. 36, а). Эти замкнутые
•■квадраты назовем квадратами первого ранга; их сумму обозначим Рг (Рг — за-
J48

мкнутое множество). Далее, в каждом из квадратов первого ранга проведем по
две вертикальные и по две горизонтальные прямые так, чтобы каждый крест,
вырезаемый этими прямыми, имел площадь — и чтобы после отбрасывания
этого креста в каждом квадрате первого ранга осталось по четыре замкнутых
квадрата; назовем последние квадратами 2-го ранга, их сумму обозначим Р2;
число квадратов второго ранга равно 42 (рис. 36, б). Вообще, если построены
квадраты А-го ранга (их число равно 4*), то дальнейшее построение проводится
так: в каждом нз квадратов k-ro ранга проводим по две вертикальные и по две
горизонтальные прямые так, чтобы крест, вырезаемый этими прямыми, имел пло-
щадь и чтобы оставшиеся четырехугольники были замкнутыми квадрата-
4"
ми (назовем их квадратами ft+1-го ранга; обозначим их сумму Рк+\> число
Fcex квадратов k-\- 1-го ранга равно 4К+1).
ш
Ш
ш
Ш
т
Ш
Рис. 36
Если взять теперь пересечение всех Рк, то мы получим совершенное
множество меры а. Последнее следует из того, что дополнением к этому
множеству является сумма всех выброшенных крестов; а мера множества,
образованного из всех этих крестов, равна 1 — а:
Ог+4-—+ 42-~ + . . . + 4*-^ + . . . =
1 4 42 4"
=сц+а2+а3+
+ЙК+1 +
. =1—а.
Итак, дополнение к построенному совершенному множеству имеет меру
1 — а; значит, само совершенное множество имеет меру а.
326. Мера дополнительного множества равна сумме площадей
выбрасываемых квадратов всех рангов, т. е.
111 1
тСА= 8+—--8Ч 83 + . . . +—-8К+ ... =1.
9 92 93 9К
Следовательно, тА=0.
327. Мера дополнительного множества равна сумме площадей всех выбрас№
ваемых «крестов», т. е.
5 5 5, 5
тСВ=—т-Т'Н-Г-^ + • ■ • +—г-4" -f- . . . = !•
9 92 93 • Э"'-!-1
Следовательно, тВ=0.
149

328. Мера дополнительного множества равна сумме площадей всех
выбрасываемых прямоугольников, т. е.
111 1
тСЕ= +—-2+—--22 + . . . + = -2К+ ... =1.
3 З2 3s 3K+1
Следовательно, тЕ=0.
329. Пусть множество Е расположено на отрезке [а; Ь]. Рассмотрим
следующую функцию f(x), определенную на [а; Ъ\:
f{x)=m([a; х] П Е).
Очевидно, что f (a) = 0, f (Ь)=тЕ—р и что f (х) монотонно возрастает (хотя н
обязательно строго возрастает). Докажем, что функция f (x) непрерывна во все
точках отрезка [а; Ъ\. Пусть х£[а; 6]. Тогда
f(x+h)—f(x) = m([a; x+h]C\E) - т ([а; х]Л£) =
=т{([а; х+Л]Л £)\([а; x]f)E)}=m {(х\ x+h]f)E} < т {х; x+h]=h.
При ft-s-О, / (x+h) — / (х) тайке стремится к нулю, т. е. / (х) непрерьюн;
справа (так как А>0) в точке х. Аналогично доказывается, что /(х)
непрерывна слева в точке х. Итак, / (х) непрерывна во всех точках сегмента.
Функция, непрерывная на сегменте [а; Ь], принимает Есе промежуточны
значения. В частности, найдется u, a<t<6, такое, что / (Q=q (так ка!
f (a) <q<f(b). Но / (l)=;h ([а; Ц(]Е). Следовательно, множество [с; C]f]E
включающееся в Е, имеет меру, в точности равную q.
330. Если Е — ограниченное множестЕО на прямой, то все доказано в ре
шении предыдущей задачи. Если же Е — неограниченное множество на прямо
то поступаем следующим образом: обозначим через Еп множество:
£«=•£■ Г) [— "". п\.
Ясно, что EjCzE^czEgC: . . . c:Encz . . . , причем \JEn=E. Тогда тЕ-
п
=lim тЕп, т. е. lim mEn=p. Так как, по условию, q<p, то мы можем найт
п->оо п—со
такси номер пв, что тЕп >q. Обозначим тЕП()=г (причем r>q).
Множество Еп ограничено и имеет меру г. Согласно результату предыдущее
задачи, мы можем найти в нем такое измеримое подмножество А, мера
которого равна q. Но Лс £%,> а ^п0 с: Е. Следовательно, А С Е.
Итак, даже если Е неограничено, и его мера равна р, мы можем найти для
любого q<p такое ограниченное измеримое подмножество А множества Е, что
mA=q.
331. Пусть от£=р>0, q — заданное положительное число, меньшее, чем р.
Обозначим через q' какое-либо число, заключенное между р и q. Согласяг
результату предыдущей задачи, существует ограниченное измеримое подмноже
ство А множества Е, такое, что mA=q'. Пусть А С {а; Ь].
. По свойствам измеримых множеств, для любого е>0, найдется замкнутое
подмножество А такое, что мера этого подмножества больше, чем тА-—е
В частности, найдется такое замкнутое подмножество В, что tiiB^q.
Наконец, совершенно таким же путем, как это было сделано в 329 задаче
мы можем найти на отрезке [а; Ь] точку £ такую, что т ([а; С] f) B)=q (ecj|
учесть, что
т([а; а](]В) = 0; m([a; b](]B)>q).
Множество [а; С] П В является замкнутым, как пересечение двух замкну
тых множеств. Обозначим его через С:
С=[с; £1С\В; mC=q.
Всякое замкнутое множество на прямой можно разложить на сумму
счетного множества N и совершенного D:
C=D\JN.
150

Так как' мера счетного множества N равна нулю, то mD=m.C=q.
Итак, D — совершенное множество заданной меры q. Оно включается в
исходное множество Е (так как D <г С; СсВ; ВсА; АсЕ).
332. Пусть тЕ=р, р>0. Согласно предыдущей задаче, мы можем найти в
множестве Е совершенное подмножество D любой меры, меньшей, чем р,
например меры —. Но совершенное множество D положительной меры непусто.
Следовательно, его мощность равна континууму. Так как Ez)D, то £>с. С
другой стороны, Е является подмножеством числовой прямой, которая также имеет
мощность континуума. Поэтому Е< с. _
Сравнивая эти неравенства, получим: £=c. Итак, любое измеримое множество
положительной меры, расположенное на прямой, имеет мощность континуума.
333. Если Е — ограниченное плоское
множество, то мы поступаем следующим оОразом: пусть
Е проектируется на ось Ох в отрезок [а; Ь].
Рассмотрим множество Ех, которое отсекается
от множества Е вертикальной прямой с
абсциссой х (имеется в виду та часть множества Е,
которая расположена слева от этой прямой)
(рис. 37). Обозначим / (х}=т Ех. Тогда /(а)=0,
f(b)=p. Легко доказать, что f (х)— непрерывная
на [а; Ь] функция. Следовательно, на [а; Ь]
найдется точка 1 такая, что /(E)=<7, так как
/ (a)<q<f (6). Тогда £„ и будет искомым
множеством: Д. С £, причем тЕ,- =q.
Если Е—неограниченное измеримое
множество, мы поступаем так же, как в задаче 330.
334. При доказательстве поступаем так же,
как и при решении задачи 331 (использовав, конечно, результат задачи 333 для
плоских множеств).
336. Пусть тЕ=+са; для определенности считаем, что Е лежит на
числовой прямой и что рассматривается линейная мера. Обозначим £„=£(")[—«; и].
Так как Е± сг Е2 сг Еа сг . . . С Е„ с ... и \JEn=E, то lim тЕп=тЁ,
Рис. 37
Следовательно, найдется такое п0, что тЕпn>q. Пусть
так как Еп — ограниченное множество, то тЕ„
что,
т. е. lim m£'„= + oo.
тЕп =p>q (заметим,
конечна).
Далее, применяя метод решения задачи 331
шенное множество D меры q, включенное в Еп
докажем,
А так как ЕПо сг £
что найдется совер-
~ toDc£
336. Her, не может. Если множество Е содержит внутреннюю точку х0,
тс в £ входит некоторая окрестность точки х0, V (хд). Мера окрестности V (хв)
положительна (это длина интервала в случае линейной меры, или площадь
круга— в случае плоской меры). Но тогда m£>mV (xB) >0.
337. Нет, нельзя; еслп бы мера замкнутого множества £
Е=£[а; 6]) равнялась Ь — а, то разность [а; Ь]\Е содержала
точки и имела бы меру нуль. А это невозможно (см. решение
дачи).
338. Пересечение f) En может иметь бесконечную меру,
п
отличную от нуля, и меру нуль. Примеры:
а) если Еп=\ — ; -fool, то Л £„=[0; +оо),
L п > п
б) если £„=[—1; 0]{J[n; + »), то Г) £„=[—1; 0];
п
в) если Еп=[п; + со), то Г) £п=0.
(где Ее [а; .6],
бы внутренние
предыдущей за-
конечную меру,
т

339. Сумма (J En может иметь конечную или бесконечную меру. Примеры,
п
а) если Еп= 0; 1 — — ] то 1)Еп=[0; 1);
L п I п
б) если Еп=[0; и], то \jEn--=[Q\ +со).
п
340. Обозначим через Ех множество тех точек отрезка [0; 1], в разложении
которых в бесконечную двоичную дробь нули стоят на втором месте; через Е%—,
множество тех точек, в разложении которых нули стоят на втором и четвертом
местах; через £3 — множество тех точек, в разложении которых нули стоят на
втором, четвертом и шестом местах, и т. д. Ясно, что Ех z> Ег :э Е3 3 . . , и
что тЕк=— при любом k. Множество Е является пересечением всех Ек:
Следовательно,
Е= Л Ек.
тЕ= WmmEK= lim —=0.
341. Примером такого множества может служить D\A, где D—канто-
рово множестро, а А—множество всех правых концов его смежных интервалов
(включая точку 0). Так как D\AcD4 то m(D\A)=0. Подобие между
полусегментом (0; 1] и множеством D\A устанавливается следующим обра-
зом: каждой точке х£ (0; 1], записанной в виде бесконечной двоичной дроби
х=0, аг а-2, fis . . . , ставим в соответствии точку y^D^ А, имеющую
следующее разложение в виде бесконечной троичной дроби: 0, 6Х 62 bs . . . , гдеЬ/=2а,-.
342. Примером такого множества может служить совершенное нигде не
плотное на отрезке множество заданной положительной меры; такое множество
было построено при решеьии задачи 323.
00 / М
343. Да, может; например, множество Е= (J \k; k-\-— неограничено, а
k=i \ 2KJ
его мера равна единице.
344. Пусть Е—замкнутое множество меры нуль на прямой. Докажем, что
оно нигде ие плотно на прямой.
Пусть / — какой-либо интервал. Он не может быть весь заполнен точками
множества Е (в противном случае было бы mE>mI~>0). Пусть х0~1, х0£Е.
Тогда (так как Е—замкнуто, то СЕ — открыто) найдется окрестность V (х0)
точки jtfi, не содержащая точек множества Е. Пересечение 1f)V (x0)
представляет собой интервал, включающийся в / и полностью свободный от точек
множества Е. Так как / — произвольный интервал на прямой, то этим доказано, что
Е нигде не плотно на прямой.
Доказательство для плоскости и трехмерного пространства аналогично.
345. Замыкание множества меры нуль не обязано иметь меру нуль.
Пример: Пусть Е— множество рациональных чисел на отрезке [0; 1]. Тогда т£=0,
тЕ—\.
346. Замыкание нигде ие плотного множества меры нуль также не обязано
иметь меру нуль. Пример. Пусть F — нигде не плотное на отрезке [0; 1 ]
совершенное множество положительной меры (см., например, задачу 323), а Е—
множество точек первого рода этого совершенного множества (т. е. Е —
множество всех концов смежных интервалов). Тогда Е — счетное, нигде не плотное
множество; т£=0. В то же время, E=F и, следовательно, mE=mF>0.
347. Если Е — множество положительной меры, то оно имеет мощность
континуума. Пусть х0— произвольная точка из Е. Тогда всевозможных чисел
вида р (х0, х) (где х£Е) будет континуум; следовательно, не все эти числа
могут быть рациональными. Иначе говоря, найдется такая точка х££, что
р(х0, х) — иррационально.
J.52

348. Пусть £—измеримое множество на [а; Ь], такое, что m£=jx>0
Занумеруем все рациональные числа интервала (0; 1):
ги г2, . . . , гк, . . . ,
и обозначим через Ек множество, получившееся из Е сдвигом на гк (т. е. Ек —
множество всех точек вида х-\-гк, где гк фиксировано, а х£Е). Множества Ек
конгруэнтны друг другу и в сумме составляют некоторое множество Н,
расположенное на огрезке [а; 6+П- Докажем, что среди множеств Ек найдутся хотя
бы два множества, имеющие непустое пересечение. Действительно, если бы все
множества Ек попарно не пересекались, то имело бы место
mH — mE1+mEi+ . . . +тЕк+ . . . =[х+р,+ • • • +[>■+ ■ - . = +с°,
что невозможно, так как Не [а; 6+1] и, значит, тН<Ь+\—-а.
Итак, среди множеств Ек существуют такие два множества Et и £,- (/=£/)
что Е1Г)Е;Ф0. Пусть l£EL, £££;. Тогда 1=х+ги H=y+rf (гдел:££, у££);
следовательно, x+ri=y+rj, откуда \х— У|=|г4- — г}-\ф0, т. е. р (х, у) —
рационально.
Таким образом, мы доказали существование по меньшей мере двух
различных точек х£ Е и у££, расстояние между которыми рационально.
349. Если £—неограниченное множество положительной меры,
расположенное на прямой, то оно содержит ограниченное подмножество £0, мера которого
также положителььа (см. задачу 330). На основании результата предыдущей
задачи, мы можем заключить, что существуют такие точки х£Ев, у£Е0 (хфу),
что р (х, у) рационально. Но £0 С Е; следовательно, точки х и у принадлежат
множеству £, и расстояние между ними рационально.
350. Построим для каждого натурального п такое замкнутое множество Fn
1 1
и такое открытое Сп, что FnC Ed Gn и что т (E\Fn) < —, т (G„\ E) <; .
п п
При этом, не ограничивая общности, можно считать, что Fn+lZ> Fn, Gn+1c Gn
(если бы это было не так, то можно было бы Fn+i заменить
«+1 «+1
на U F;, a Gn+1— на П G;).
Рассмотрим теперь последовательность множеств:
E\Fa E\F2; ...; E\Fn; . ..
Очевидно, что для любого п имеет место: E\Fn^> E\Fn+1; поэтому
lhnm(E\Fn)=m {Л (£\£„)}; следовательно, m{f){E\Fn)} =0. Но n(£\FJ =
/i->-00 П П П
=£\(JFn (это следует из принципа двойственности). Поэтому т (E\\jFn)=0.
п п
Итак, множество А= U Fп является искомым множеством типа Fa : оно вклю-
п
чается в £ и т(£\Л)=0.
Аналогично доказывается, что пересечение всех Gn является искомым
множеством типа G6 (если B=f]Gn, то Вг>£ и /ге(£\£)=0).
п
351. Это множество является совершенным, нигде не плотным (см., напри-
.иер, задачи 199—201). Мера дополнительного множества равна сумме длин
смежных интервалов:
j g ga gft
Следовательно, мера данного множества равна нулю.
352. Это множество является дополнительным к тому, которое рассмотрено
в предыдущей задаче; поэтому оно является открытьм, всюду плотным на
[0; 1]; его мера равна 1.
И Ю. С. Очан - 153

353. Часть этого множества, расположенная на отрезке [я; /1+1], имеет
меру нуль при любом целом п (при п=0 это доказано в задаче 351; при других
целых п доказательство аналогично).
Все данное множество представляет собой сумму этих частей:
E=\J{E[)ln; п+Ц].
п
Так как мера каждого слагаемого множества равна нулю, то и мера всего
множества Е также равна «нулю.
354. Обозначим через А^ множество всех чисел отрезка [0; 1], в бесконеч
ном десятичном разложении которых фигурирует цифра k. Мера Ак равна 1
(см. задачу 352); это множество плотно в [0; 1]. Множество Ак можно
получить, если к множеству точек, десятичное разложение которых невозможно без
цифры k, добавить те точки, которые допускают два различных способа
разложения и у которых в бесконечном разложении имеется цифра k. Таким
образом, Ait является суммой открытого и счетного множеств; следовательно, Ak
является множеством типа Fa
Искомое множество Е является пересечением всех А^ (fe=l, 2, ... 9).
Следовательно, это множество типа Fa (см. задачу 179, гл. 5). Чтобы найти
меру Е, найдем сначала меру его дополнения относительно отрезка [0; 1J:
CE=C(f]Ak)=UCAk;
k ft
mCAfi=0 для любого k, следовательно, m{jCAk=0, т. e. mCE~Q. Значит,
к
тЕ=\.
Так как мера интересующего нас множества равна мере всего отрезка [0; 1],
то это множество плотно на данном отрезке.
355. Это множество является совершенным, нигде не плотным; его мера
равна 0,99.
356. Сумма Е всех этих интервалов представляет собой открытое
множество:
1~20; 9+20jUU~ 20' 3+20JUV3 ~20; 9+2oJUU~ 20*' lW
. 11 1 \ 38
Его мера равна 4-^-+-j=-.
357. Оценим меру суммы всех интервалов щ и »,-. Мера их суммы не
превосходит суммы их длин; поэтому
i i
Сумма S (Ь,— а,-) равна мере дополнения к Е; таким образом, ~Y(bi — at) —
1 i
= 1—0,6=0,4. Итак,
«z[(lM)U(lM-)I<0,2.
I i
Так как мера множества (ущ) (J (у»/) меньше, чем мера Е, то это множество
/ i
не может покрыть всего множества Е.
358. На отрезке [0; 1] оси Ох построим совершенное множество Ех меры
а > 0, состоящее из одних только иррациональных точек (см., например,
задачу 312). Такое же множество Еу построим на отрезке [0; lj оси Оу.
Теперь искомое множество Е можно построить, взяв все такие точки
М{х, у) плоскости Оху, для которых одновременно x£EXl у£Еу.
Легко доказать, что множество Е является совершенным, нигде ие
плотным, и его плоская мера равна а2 (сравните с задачей 325).
154

359. Построить такое множество Всг0; 1], что т {{а; Ь)[)В) > 0 и
/и {(с; b)f)CB\ > 0 для любого интервала (а; й)с[0; 1], возможно. Покажем
на примере, как построить такое множество В.
Пусть Yi>Y2> •■• > Y/> какая-либо последовательность положи-
со
тельных чисел, такая, что ряд 2 Y/ сходится, и его сумма меньше 1. Пусть,
/=1
кроме того, т]г> т]2> ••• > x\i> какая угодно убывающая
последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю.
Впишем* в сегмент [0; 1] совершенное нигде не плотное множество Аг
меры Yi, такое, что все его смежные интервалы имеют длину <rjl.
Далее, в каждый смежный интервал (а; р) множества Ау впишем
совершенное множество, мера которого равна ф — a) у2 и у которого все смежные
интервалы, расположенные на (а; Р), имеют длину <г\2. Сумму всех таких
совершенных множеств обозначим Л2; ясно, что mA2=y2inCAl < y2 (здесь и дальше
символ С обозначает дополнение до всего отрезка [0; 1]).
Сумма AxUА2—совершенное нигде не плотное множество, такое, что
0<m(A1UA2) <yt-\-y2; все его смежные интервалы имеют длины <г\2 (см.
задачу 314).
п
Пусть теперь построены множества Аъ . . ., Ап, такие, что (J Л,- —
1-Х
совершенное множество; построим множество A fi+i- Для этого в каждый смеж-
п
ный интервал (а; Р) множества \J At впишем совершенное множество, мера
которого равна ф — a)-Y„+i н у которого все смежные интервалы,
расположенные на (а; р), имеют длины <т]п+1. Сумму всех таких совершенных мно-
п
жеств обозначим An+i, ясно, что mAn+1=yn+lm{C ((J ^())<Y«+i-
г"=1
гс+1
Сумма (J Ai— совершенное нигде не плотное множество; его мера меньше,
»=1
п+1
чем 2 Yi'. все ег° смежные интервалы имеют длину <r\n+i-
1=1 i
оо
Взяв сумму всех Л,-, 1 < / < + оо, получим искомое множество В— (J Л/.
1=1
Пусть (а; Ь)—произвольный интервал, (а; 6)С[0; 1]; докажем, что
tn {(п; Ъ)Г\В\ > 0 и что т {{a; b)f)CB\ > 0. Для доказательства найдем такое
Ь — а «
число п, что т]„ < , Множество (J Л(- является нигде не плотным, совер-
3 i=i
шенным, идлины всех его смежных интервалов меньше, чем ц„. Поэтому внутри
интервала (а; 6) найдется хотя бы один смежный интервал этого множества;
обозначим его/. Тогда 1ПА, = 0 для всех / = 1, 2, . . . , п; т {IП Ап+1] =\Г\уп+1,
где \1\ — длина интервала /; далее, т{1(~)Ап+2} < |/|-Yn+2". m [1Г\АП+3] <
< \l l-Yn+s, и т. д.
Заметим, кроме того, что ВгэЛ„+1; (a; b) Z) /. Поэтому (a; b)f\BnI f)An+1;
следовательно,
т{(а; b)f)B\ >m {I f)An+1)=\I \-yn+i > 0.
[ть теперь, что
где Л,- попарно не пересекаются.
Чтобы доказать теперь, что т {{а; Ь)Р\СВ\ > 0, напомним, что B=[J Ait
1-Х
* Вписать в сегмент [а; Ь) или в интервал (а; 6) совершенное множество—
это значит построить совершенное множество, включающееся в [а; Ь] или в (о; Ь).
II*
155

Поэтому /f]£=(J {/Г)Л-}.и
со
m{/flB}=21m{/ni4|}<|/|-Yi!+i+|/|-Yn+i+|/|-Yn+B+ •" <
oo
<т-2>/<1'|.
Итак, ra{/flS} <|/|;но (I f)B)\JO Л C£)=/, откуда /я{/ПВ}+/я{/f]CB} = j/|.
Следовательно, m {/ f) Co} > 0. А так как / c (a; 6), то и подавно
m{{a\ b)f)CB] >0.
Таким образом, доказано, что построенное множество В удовлетворяет всем
требуемым условиям.
360. Да, может. Приведем соответствующий пример. Построим для каждого
натурального числа я совершенное нигде не плотное множество Еп на отрез-
] со
ке [a; b] такое, что /я£„=6— а——. Докажем, что U £„ имеет меру Ъ — а.
я n=i
Для этого достроим вспомогательную возрастающую последовательность
совершенных множеств Atcz A2cz • • • С АпС ■ ■ • следующим образом:
А1=£1; Аъ=Е1\)Е2; A3=E1UE2\J Е3; ... ; 4,=£X(J£2(J ... [jEn; ...
1
Ясно, что для любого я имеет место: Ь — а — — < тАп < Ъ — а (так как
я
(Л„ Э £п, то тАп> тЕп). Следовательно, limmAn=b — а А так как последо-
вательность Ап возрастает, то т (LMn) — lim тАп=Ь — а. Заметив, наконец, что
п л-»оо
со оо
(J Еп = U Ап, получим окончательно:
п=1 п=1
оо
т( U Еп) = Ъ — а.
п=1
361. На сегменте [а; Ь] можно построить счетную совокупность попарно
не пересекающихся совершенных нигде не плотных множеств, сумма которых
имеет меру Ь — а. Проведем соответствующее построение на отрезке [0; 1].
Прежде всего, построим на отрезке [0; 1] совершенное нигде не плотное
множество Ех меры— .
Далее, в каждый смежный интервал (ах,е-; р\,,-) множества £х впишем
совершенное нигде не плотное множество Elti, мера которого равна половине
со J
длины интервала («!„■; р\,г). Тогда /я ((J Elti)=—-.
i=i 2*
со
■Множество E2=E1\J( (J Еъ1)—совершенно и нигде не плотно (см. зада-
3
чу 314). Его мера равна —.
Далее, в каждый смежный интервал (ct2,/; р2,г) множества Е2 впишем
совершенное нигде не плотное множество E2ti, мера которого равна половине
со J
длины интервала (а2,(-; Р2,/)- Тогда т ( (J £2,j)=—•
со J
Множество ES=E2\J( (J E2,i) совершенно и нигде неплотно; тЕ3=1— —.
i=i 23
Продолжив этот процесс неограниченно, мы получим следующую счетную
156

совокупность совершенных нигде не плотных множеств, попарно не имеющие
общих точек:
Ей £1.1. £1,2, £1,3, ■ ■ ■ t Ei,t, - • ■ ; Е2,и Eit2t . . . ; E2,i\ ■ ■ ■ ;
• - - ; с^,!, с£>2> • • ■ . Ek.i> ■ ■ • I - - •
При этом
111 l
/«£!=-; «г(у£г,/)=—;/и(у£2>/) = —; . . .; «(U^*.d=-p^: ...
Так как все множества данной совокупности попарно не пересекаются, то мера
суммы этих множеств равна сумме их мер. Поэтому:
m{E1U(UEui)\J(llE2,i)[J ... \J(VEk,i)U ■■■ } =
i i i
=j_ j_ j_ 1
2 22 23 2/г+1 ''' = '
Таким образом, построенная выше последовательность совершенных нигде
не плотных множеств Ех и ЕкЛ (k=\, 2. . . ; i"=l, 2 . . .) удовлетворяет всем
условиям задачи.
362. Существует; в качестве такого множества можно взять [0; \\\Е,
где Е — сумма всех множеств, построенных при решении предыдущей задачи.
363. Обозначим []ЕК=А. Так как Az^Ek при любом k, то тА > тЕк
для всех k. Возьмем теперь произвольное 8 > 0 и найдем k0 такое, что
тЕь > 1 —е; тогда тА > тЕь > 1 — е. Итак, для любого е > 0 имеет место:
1 — е < тА < 1.
Следовательно, тА не может быть меньше, чем 1. Значит, тА=\.
364. Это следует из более общего результата, содержащегося в задаче 365.
п п
365. По закону двойственности имеем: С (Л Aj) = (J CAit откуда
/=] i=i
f]Ai=C (\JCAi). Поэтому
i=i 1=1
т(П^)=1—/п( \jCAt). (1)
i=i /=1
Но
т ( U CAi) < J] mCAt= 2 (1 — mAi)=n — £ mAi-
'"=' (=1 j=i i=i
n n
А так как, по условию, 2 /л-^/ >я — 1. то я — 2 m^< < 1 ■ Следовательно,
t=i i=i
m(\)CAi)<\- (2)
1=1
Сопоставляя неравенства (1) и (2), получим окончательно:
т ( П Ai)> 0.
j=i
366. Разобьем Е на сумму двух непересекающихся множеств
E—(Ef)A)\J(Ef]CA). Первое из слагаемых множеств (множество Ef]A)
измеримо (как часть множества А меры нуль). Если бы было измеримо и второе
слагаемое (множество Ef\CA), то была бы измерима н сумма (множество Е),
что противоречит условию. Следовательно, множество EftCA неизмеримо.
157

ЧАСТЬ BTOPAj,
ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ
ГЛАВА 8
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
367. Нет, неверно. Прообраз множества / (А) может включать точки,
лежащие за пределами множества А; например, если f(x)=x*; Л=[0; 2] с Ох, то
/ (А) = [0; 4] с Оу, a f-l[f(A)]=[—2; 2] с Ох. Здесь f-*[f (А)] ф А.
Вообще, всегда f~x [f (A)] z> А, но равенство не всегда имеет место.
368. Равенство f[f~ 1(В)]=В справедливо для любого В из множества
значений функции f(x).
369. Равенство f{A\jB)—f{A)\Jf(B) справедливо для любых множеств А
и В из множества определения функции f(x).
Равенство / (Af)B) = f (A)f]f (В) справедливо не всегда; однако всегда верно
Г Ззх 1 Г л ЗлТ
включение f(Af)B)c:f(A)f)f (В). Так, например, если А = 0; — , В=\— ;— ,
Hx)=sinx, то
f(A)=[0; 1], f(fl)=[-l; 1J;
'1гт]-[:
/(^ПВ)=/|г,т|=|—Г~: 1|^М^)ПДВ)=[0; 1].
370. Первое из этих равенств справедливо при любом отображении f (x) (не
только взаимно однозначном):
fiUAh)=[)f(Ak). (1)
к к
Для того чтобы доказать равенство
Г(Г)Ак)=ППАк),
к к (2)
докажем, что здесь имеет место включение в обе стороны.
а) Пусть у0(: /ЧП-dfe); тогда в множестве f]A/i найдется точка хв такая что
к k
)'о=Мл;о)'- Ко £ Г) ^fc— значит, JC0£Afc для всех £; f (х0) £ f (Дй) для всех k;
т. е. У„£ДЛ&) Для всех k; y0£C\f{Ak). Итак, ДП^)С C\f(Ak). При дрка-
& & k
зательстве этого включения мы не пользовались тем, что отображение у=[{х)
взаимно однозначно; следовательно, это включение справедливо для любого
отображения f (x)»
б) Докажем, теперь обратное включение. Пусть у0 £ C\f{Ak). Тогда у0 £/ (А&
к
для любого k. Так как отображение у = f(x) является взаимно однозначным, то
существует одна (и притом только одна) точка хв, такая, что f(x0)=y0. Значит,
эта точка хв принадлежит всем Ak: ха^А^ прн любом k; x0£f)Ak Поэтому,
М*»)€/(П/1к). т. е. Уо€/(П АК). Итак, П/Ил)с МП^).
k k k k
158

Объединяя теперь результаты, полученные в а) и б), получим равенство (2).
Используя формулы (1) и (2), легко доказать для взаимно однозначного
преобразования f{x) равенство (3):
f(UmAk)=\imf(Ak). (3)
Для этого достаточно вспомнить определение нижнего предела:
оо оо оо оо оо со
/(ИтЛй)=Яи П Ак}= UM Л4*}= U П f(Ak)=\imf(Ak).
n=l k=n n—l к=и «=1 fe=n
Аналогично доказывается равенство:
/(Trrn^)=TT5/(^fc)- (4)
371. Равенство (1) справедливо для любого отображения f (х).
Равенства (2), (3), (4) перестают быть верными, если преобразование f (х)
не является взаимно однозначным.
372. Равенство f (R\A)=f (R)\f(A) справедливо только для взаимно
однозначного преобразования / (х). Если же преобразование не является взаимно
однозначным, то имеет место лишь включение: / (R\A) z> f {R)\f (A). Так,
например, если f(x)=xz, R = (—оо; +оо), Л=[0; +co), то / (R\A) =
=/{(—оо; 0)} = (0; +со). Следовательно, f (R\A) z> f (R)\f (А); однако
равенство здесь не имеет места (в данном случае f(R)\f(A)—0).
373. Оба приведенных равенства справедливы при любом отображении / (х)
(для любых множеств А и В из множества значений функции f(x)),
374. Равенство f~4L\A)=f—1(L)\f—1(A) справедливо всегда (при любом
отображении).
375. Приведенные равенства всегда справедливы.
ГЛ ABA 9
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
376. Пусть y=f(x)— функция, заданная на замкнутом ограниченном
множестве Е н непрерывная на нем.
Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Е, то она
ограничена на нем. Следовательно, / (Е) — ограниченьое множество. Докажем,
что оно замкнуто.
Пусть г] — предельная точка множества f{E), ylt v2, ■ ■ • ? Уп, ■■
-—последовательность точек из/(£), сходящаяся к г). Пусть xlt х2, . . . , хп, .. .—
точки яз Е такие, что f(xn)=yn. Так как Е — ограниченное множество, то из
последовательности {хп\ можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{хп.}\ так как Е — замкнуто, то предел последовательности {xni} принадлежит
множеству Е. Пусть limxni=t,^E. По условию, функция f{x) непрерывна на
множестве Е; в частности, она непрерывна в точке £ относительно множества
Е; поэтому
/ (£)=1 im / (хп.) =lim yn,=г\
(здесь мы учли, что если последовательность у„ стремится к т), то ее
подпоследовательность yn; также стремится к г|). Итак, f]=f(Q, т. е. г) £/(£). Значит,
любая предельная точка множества / (Е) принадлежит этому множеству;
следовательно, f(E) замкнуто.
377. Пример. Пусть f{x)=ex; эта функция непрерывна, в
частности, на замкнутом множестве (—оо; 0]. Однако образом этого множества
159

является незамкнутое множество (0; 1J. Другой пример: пусть f (x)=arctgx
/ я п\
£=(—оо; +оо), Д£) = |— ~^'>~^1- Множество Е замкнуто, тогда как / (£)
незамкнуто.
378. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на замкнутом
множестве Е. Если Е ограничено, то f (E) замкнуто и ограничено (см. задачу 376)-—
а это частный случай множества типа F0 . Пусть теперь Е неограничено;
представим его в виде суммы замкнутых ограниченных множеств, например,
следующим образом: E=\JEn, где Еп=Е[)[—я; я]. Тогда f(E)=\Jf(En) (см. зада-
п п
чи 369 и 370). Но f (Еп) —замкнутое множество при любом п; следоватыьно
f (Е) является суммой счетного числа замкнутых множеств, т. е. f (Е) — мно-*
жество типа F0.
379. Пусть y=f{x) — функция, определенная и непрерывная на открытом
множестве Е. Так как всякое открытое множество является множеством типа F
то E—{JA„, где Ап—замкнутые множества; поэтому /(£)=f {\JAn) = {Jf {А„).
п п п
Так как каждое f (Ап) является множеством типа F0 (см. предыдущую задачу)
то сумма множеств f (Лп) также является множеством типа FD. Итак, f (E)
имеет тип F0.
Приведем пример, показьшающий, что непрерывный образ открытого
множества не всегда является открытым множеством. Пусть f(x)=s'mx, £=(0; 2к).
Тогда f(E) = [—1; 1], т. е. f(E) — не открытое множество.
380. Пусть y=f (х) — непрерывная функция, определенная на всей оси Ох;
F—произвольное замкнутое множество на оси Оу. Пусть хг, х2, xs, . . .—
сходящаяся последовательность точек из f—x(F). Докажем, что если g=limxK,
то l£f-4F)-
Так как функция f (х) непрерывна всюду на Ох, то, в частности, она
непрерывна в точке £; поэтому
f(Q=\imf{x^ = \\myn,
гс-*со п->оо
гДе Уп=[(хп), Уп^Р. Значит, точка f (Q на оси Оу является пределом
последовательности точек уп, принадлежащих к F. Так KaKF замкнуто (по условию),
то Hmy„£F, т. е. f{Q£F. Следовательно, £,(zf~ X(F).
Итак, предел произвольной сходящейся последовательности точек из f—* (F)
принадлежит к f~ 1(F); значит, множество f—x (F) замкнуто.
381. Пусть функция y=f (х) непрерывна на всей прямой, и G—
произвольное открытое множество на оси Оу. Пусть xB^f—1(G), y0=f (xB)£G. Построим
окрестность V (у0), включающуюся в G; пусть это будет (у0—е; ув-\-Е). В силу
непрерывности функции в точке хв существует такое б > 0, что для всех х
таких, что х0 — б <Сх-<Сх0 + б, значения функции f (х) удовлетворяют
неравенству: \f{x) — УоГ<е. т- е- Для всех этих значений х, f (x)^V {yB).
Следовательно, все х£(хв—б; хв+&) входят в f—* (G):
(*о—в; х0+б) с t-1 (G).
Таким образом, вместе с точкой хв £ f~x (G) в это множество входит и
некоторая окрестность точки хв. Значит, f~l(G)— открытое множество.
382. Это вытекает из результатов задач 380 и 381, а также из того, что
прообраз суммы множеств равен сумме их прообразов, а прообраз пересечения —
пересеченно прообразов (см. задачу 375).
383. Да, может. Примеры, a) f(x)EzC\ здесь прообразом ограниченного
одноточечного множества [с] является вся числовая прямая; б) / (х) = sin x\ здесь
прообразом сегмента [—1; 1] является вся ось Ох.
384. Необходимость условия доказана в задаче 381. Докажем, что данное
условие является также достаточным для непрерывности функции y=f{x).
J60

Пусть прообразы всех интервалов а < у < Ь для функции y=f (х) являются
открытьши множествами. Докажем, что она непрерывна в любой точке хв.
Опишем для этого произвольную окрестность (у0— е; ув+&) около точки
y0=f(xB); прообразом этой окрестности является некоторое открытое
множество G, причем хв £ G.
Пусть {ха—6; х0+6) — окрестность точки х„, входящая в G. Тогда для
всех х£(хв—б; х,,+о) значения функции f (х) попадут в наперед заданную
е-окрестность точки у0; а это означает, что функция y=f (x) непрерывна в
точке хв.
Так как хв— произвольная точка оси Ох, то функция f (x) непрерывна для
всех значений х.
385. Эта задача сводится к предыдущей: если f—г {у > 6) замкнуто и
f—х (у < а) замкнуто, то f—х (а<^у <;Ь) —открытое множество; для того чтобы
доказать это, надо заметить только, что интервал (о; 6) есть дополнение к
множеству (—oa;a]U[b; +oo); прообраз этого множества замкнут по условию,
следовательно, прообраз дополнения (т. е. прообраз интервала (а; 6)) открыт
(см. задачу 374).
Итак, прообразы всех интервалов открыты; но тогда, на основании решения
предыдущей задачи, функция y=f(x) непрерывна.
386. Пусть функция y=f (x) определена всюду на числовой прямой и
принимает только целые значения. Пусть хв—точка непрерывности этой функции,
причем f(xB)=nB; докажем, что существует окрестность V (х0), в которой все
точки являются точками непрерывности.
Опишем около точки хв такую окрестность V{xB), что для всех x£V(x0)
имеем место f(xB) — — < f (х) <f(xB) + у или пв— —< f(x)<na+~-. Но, по
условию, функция принимает только целые значения; значит, всюду в этой
окрестности f (x) E пв. Итак, функция постоянна во всех точках окрестности
V (хв), откуда следует, что она непрерывна во всех этих точках.
Итак, если хв £ Е, где Е— множество точек непрерывности функции f(x),
то некоторая окрестность V (хв) этой точки также входит в Е\ а это означает,
что Е—-открытое множество.
387. Доказательство аналогичного факта см. в решении к задаче 174.
388. Нет, недостаточно. Пример. Функция
{ 1
sin— при х ф О,
f(x) = { х
У О при х=0
обладает свойством Дарбу на всей числовой прямой (в частности, на отрезке
[—1; 1]), однако она терпит разрыв в точке хв=0.
Вместе с тем можно доказать, что если функция обладает свойством Дарбу,
то ее точки разрыва могут быть только точками разрыва второго рода.
389. Имеет место теорема: «Если функция / (х) обладает свойством Дарбу
на сегменте [а; Ь\ и для любого ув множество тех точек х отрезка [a; 6J, где
f (х)=у0, замкнуто, то функция у=/(х) непрерывна на [а; Ь]». Докажем это.
Пусть £, — какая-либо внутренняя точка отрезка [а; Ъ] (для граничных точек
этого отрезка доказательство аналогично). Допустим, что £ — точка разрыва
функции / (х). Тогда колебание функции в этой точке положительно (пусть
со (/; £)=с>0). Но в таком случае в любой окрестьости точки £ колебание
функции f {x) будет больше или равно с. Опишем 'вокруг £ произвольную
окрестность V, (Q; в ней найдется точка х , в которой значение функции
отличается от f (£) не меньше, чем на с. Здесь могут быть две возможности: либо
/ (x)>f (£)+c; тогда, в силу свойства Дарбу, в окрестности V6 (Q найдется
точка х, где / (x)=f (0+с; либо f(.x)<f(Q — с; тогда в окрестности V6 (Q
I6i

«айдется точка х, где /(x) = /g) — с. Итак, если £ — точка разрыва с
колебанием функции в этой точке с>0, то в любой окрестности точки £ найдется
либо такая точка х, где f (x) = f(Q+c, либо такая, где f(x) = f(Q — с.
Рассмотрим теперь последовательность окрестностей V6 (£), V^(t,)t
•стягивающуюся к точке £, и в каждой из этих окрестностей выберем по точке
jd/, в которой функция равна либо f (Q+c, либо f (£) — с:
**€ув|(£). /(**)=/(О ± с
Из этой последовательности {jcj> выберем подпоследовательность \xik), во всех
точках которой значения функции f (x) одинаковы; например, f(Xik)=f(Q+c
для всех tk. Тогда все точки х,к входят в прообраз точки /g)+c. Но этот
прообраз оказался незамкнутым: все точки xik входят в множество f—1 [f (£)-f-c}
.(так как f{x/k)=f(£,)+cy а предельная точка £ не входит в это множество
(так как f (Q^f g)+c) *.
Таким образом, мы пришли к противоречию: допустив, что в точке £
функция разрывна, мы получили, что прообраз точки f (Ё,)-Ьс-—незамкнутое
множество, а это противоречит условию теоремы. Следовательно, функция f (x) не
может иметь разрывов ни в одной точке отрезка [а; Ь] (т. е. функция f (x)
непрерывна всюду на [а; Ь]).
390. Пусть гг, rs, r3, . . ., Ог, ... —заданное счетное множество точек на
'Отрезке [а; Ь]. Построим следующую функцию:
при x=rk, гдей=1, 2, 3, ...
/W
k
0 при хфгу, г2 rk.
Эта функция разрывна в каждой точке rk; действительно, в любой окрестности
V (rk) найдутся точки, не принадлежащие к заданному счетному множеству {rk)\
в этих точках функция равна нулю; поэтому со f(x)>— Для любой окреет-
Vi'k ) k
ности V точки rk\ следовательно, колебание функции в точке rk также >—;
k
значит, функция разрывна в точке г^.
Пусть теперь х ~£{rk)- Зададим произвольное б>0 и найдем такую
окрестность точки х0, которая не содержит нн одного г^ с номерами k, меньшими,
чем — (таких точек rk лишь конечное число). Тогда для всех точек х, попав-
Е
лиих в эту окрестность, имеет место неравенство \f(x) | < в, т. е.
\f(x)—f(xo)\ < е. В силу произвольности числа в > 0, отсюда вытекает, что
функция непрерывна в точке хв.
Итак, функция разрывна во всех точках г^ и непрерывна во всех
остальных точках.
оо
391. Так как ряд £ а^ф(л:-—х^) равномерно сходится на всей числовой
прямой, то его сумма непрерывна в тех точках, в которых все функции
аАФ (л: — хк) непрерывны; следовательно, сумма ряда непрерывна во всех
точках х, отличных от xlt x2, xs, ... В каждой же из точек хъ х2, х3, ...
сумма ряда терпит разрыв.
392. Это следует из того, что множество точек разрыва любой функции,
определенной на всей прямой, является множеством типа F0. Множество же
* £ является пределом последовательности точек xik, так как окрестности
^6>Л(ь) стягиваются в точке £, a x,-fe £ ^б;А (£) для любого номера ik.

f X2
Но
СЕ, дополнительное к счетному всюду плотному множеству Е, не может быть
множеством типа F0 (см. задачу 277).
393. Пример. у=(х2—1)-%(х), где % (х) — функция Дирихле; таким
образом,
i Для х рациональных,
для х иррациональных.
394. Пример. у=Х (x)-sinnx, где % (х) — функция Дирихле.
395. Все точки, принадлежащие смежным интервалам канторова множества,
являются точками непрерывности функции f (х). Все точки канторова
множества— точки разрыва (так как в любой окрестности любой точки канторова
множества имеются точки из смежных интервалов). Все эти точки являются
точками разрыва 2-го рода.
396. Пример: y=f(x), где
—z Для точек х=—т (где —г ф0 — несократимая дробь!;
Д*)=
О для точек х, не пред ставимых в виде —т;
10я
1 при х=0.
Исследование этой функции производится так же, как функции в примере 390
397. Заданная функция непрерывна во всех точках смежных интервалов и
разрывна во всех точках канторова множества.
398. Функция непрерывна во всех точках сегмента [0; 1], если lim c„=0.
Эта функция разрывна во всех точках канторова множества и непрерывна на
смежных интервалах, если lim спФО, или если последовательность {сп} не имеет
предела.
399. В качестве примера можно взять функцию, определенную следующими
равенствами:
/(*) =
- при х——• (где —=£0 — несократимая дробь);
9 Я 'Я 1
Я
0 при х иррациональном;
1 при х=0.
Исследование этой функции производится так же, как в примере 390.
400. Нет, не существует (см. задачу 392).
401. Пример. Функция F (х), равная произведению функции f(x),
построенной в примере 398 (при с„ —*0), на функцию Дирихле:
F{x)=f{x)-X{x).
Эта функция F (х) непрерывна во всех точках канторова множества и разрывна
всюду на отрезке [0; 1] вне канторова множества.
Другой пример. Функция, равная произведению функции Дирихле, на
функцию, построенную ниже, в задаче 404.
402. Пример. Функция, равная 1 в точках канторова множества и 0 вне
его.
Другим примером может служить функция, построенная в задаче 397.
403. Данная функция разрывна во всех точках числовой прямой, кроме
точки х=0; в этой точке функция непрерывна.
404. Данная функция непрерывна во всех точках отрезка [0; 1].
405. Если функция f {x) неограничена на множестве А, то равенство
очевидно: обе его части равны -f-oo.
Докажем это равенство для того случая, когда / (х) ограничена на А. Пусть
sup / (х)=М, inif(x)=m.
А А
163

Так как для любых ££Л и т)£ А имеет место т < f (Z) < М, М > /(ч)>от,
то
т— М < f g) — / (ti) < М— /и.
т. е.
I / (D — / (ч) | < Л4— т=со f(x),
откуда следует, что (1)
яф|/(£> —/(Ч)1<ш/(*)-
Для того чтобы доказать, что имеет место и обратное неравенство, возьмем
произвольное е>€ и найдем в множестве А такие две точки хх и х2, что
f (xx) <m+e, f (x2) >M — e.
Тогда
I / (*а) — / (*i) I > /(*г) —/(*i) > М — т — 2е
и, следовательно, sup | ^ (£)— / (tj) | >М — от — 2е. В силу произвольности е> О,
отсюда вытекает, что sup | f (£) — / (tj) I > At — т, т. е.
А
ЯЧ>|/(Е) — /(Ч) !>«>/(*)■ (2)
Сравнивая неравенства (1) и (2), получаем требуемое равенство.
406. Так как для любых t,£E и г) £ £ имеет место неравенстю:
ИШ1-1/(ч)||<1Ш —/(ч)|,
то (см задачу 405) со (| / (х) |) < со/" (х) для любого множества АсЕ. Отсюда
А А
вытекает, что а (] f (х)\; х0) < со (f (x); х0). А так как функция f(x), по
условию, непрерывна в точке х0, то со(7(х); хп)=0; но тогда в силу доказанного
неравенства, и со (|/(к) |; %)=0; а это означает, что функция \f (х)\ также
непрерывна в точке х0.
407. Пример. /(х)=1 в рациональных точках отрезка [0; 1] и f(x)=—1
в иррациональных точках этого отрезка. Эта функция разрывна во всех точках
отрезка [0; 1], тогда как функция \f(x)\=l всюду непрерывна.
408. Эта функция непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна
во всех рациональных точках; исследование этой функции проводится примерно
так же, как исследование функции в задаче 390.
409. Представим Е в виде суммы счетной совокупности замкнутых множеств:
E=F1\JF2\JF3\J...\JFk\J...;
всегда можно считать, что эта последовательность возрастает, т. е. что
FiCZFzdFgCZ . . . (если бы это было не так, то мы заменили бы F2 на F^Fg,
Fs на FiU^U-Fs. и т. д ; тогда новая последовательность замкнутых множеств
возрастает, сумма же этих множеств по-прежнему дает все множество Е).
Построим теперь следующую последовательность функций {fk (x)}\
1
—г в рациональных точках, принадлежащих множеству Ft;
lCr
fkM=\ 2
—г в иррациональных точках множества Fk;
0 в точках, не принадлежащих к F&.
Эта функция разрывна во всех точках множества F^ и непрерывна на CF&
(действительно, около каждой точки xn£CF/j можно описать окрестность V (х0),
которая входит в CF^; всюду в этой окрестности функция постоянна и, значит,
непрерывна).
164

Теперь легко построить искомую функцию; в качестве этой функции можно
взять сумму ряда из fk (х):
/(*)= Е/*(*)•
k=i
Этот ряд равномерно сходится (так как ([^ (х) | < —г для всех k\. В любой
точке х0 £ СЕ каждая функция /& (х) непрерывна: из равномерной сходимости
оо
ряда £ /> (х) вытекает непрерывность функции / (х) в этой точке.
Для того чтобы убедиться, что f (х) разрывна в точке £ £ £, рассуждаем
следующим образом: пусть t^^F^, £^Fft_x. Тогда £ является точкой
непрерывности для функций ft (х), f%(x), . . ., fk—i (х) и точкой разрыва для fk (х),
fk+i (х), . . .; при этом колебание функции /^ (х) в точке £ больше или равно —т,
а сумма колебаний остальных функций в этой точке не больше, чем сумма
2 2 2
—г— + —г—+ ■ ■ -=т 1*", таким образом, колебание суммарной функция / (х)
10"+1 10я+8 9-10*
1 2
в точке £ больше или равно числу —-г — .; следовательно, функция / (х)
разрывна в точке £.
Итак, функция f (х) непрерывна всюду на множестве Е и разрывна всюду
на СЕ.
410. Пример, f (x; у)=0 в тех точках (х; у), где у иррационально (при
любом х), f (x; у) = 1 в тех точках (к; у), где у рационально (при любом х).
Эта функция разрывна в любой точке (х; у); вместе с тем, если
зафиксировать у, эта функция постоянна (как функция от х) и, следовательно, является
непрерывной функцией от х.
411. Функция f (х; у) непрерывна во всех тех точках квадрата [0; 1]х[0; 1],
где обе координаты иррациональны; она непрерывна также в точках, где одна
из координат иррациональна, а другая равна 0; кроме того, она непрерывна в
точке (0; 0). Во всех остальных точках функция разрывна: она разрывна в тех
точках, где обе координаты рациональны (кроме точки (0, 0)), а также в тех
точках, где одна координата рациональна и отлична от нуля, а другая
иррациональна.
Докажем, например, разрывность функции f (х; у) в точке I—; —I, где
— > 0, — > 0 — рациональные числа. В этой точке функция равна нулю. В лю-
д ?i
бой окрестности этой точки найдутся точки с иррациональной абсциссой и с op-
Pi 1
динатой —; значение функции в таких точках равно ——. В любой окрестно-
?i ?i
сти точки —; —) найдутся также точки, где абсцисса равна —, а ордината
V 9 ?i/ Q
иррациональна; в них функция равна —. Итак, колебание функции в любой ок-
<7
IP Pi\ ! !
рестности точки —; — больше или равно числу—+—. Следовательно,
* Для доказательства этого надо использовать равномерную сходимость ряда
165

колебание в точке —;—) положительно. Значит, эта точка является точкой
разрыва.
Исследование функции в остальных точках проводится аналогично.
412. 1) Во всех точках интервала (0; 1) функция / (х) =sin — непрерывна
х
но она не является равномерно непрерывной на этом интервале; чтобы в этом
убедиться, возьмем какое-либо е>0, е<2 (например, е=1). Какое бы 6 > 0 ни
/ л \
взять, колебание функции на интервале 10; — i (длина которого меньше, чемо)
равно 2 (й, следовательно, превосходит е). Это и означает, что функция не
является равномерно непрерывной на (0; 1).
2) Да, равномерно непрерывна. Докажем это. Доопределим данную
функцию, задав ее еще в точках 0 и 1: положим /(0)=0, / (1) = 1-sin—;
полученная в результате функция
1
xsin— при хфО,
f (*)={ Х
0 при х=0
непрерывна всюду на сегменте [0; 1]. Но тогда она и равномерно непрерывна
на этом сегменте.
Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она равномерно
непрерывна и на любом его подмножестве. Следовательно, функция / (х), будучи
равномерно непрерывной на сегменте [0; 1], является равномерно непрерывной
и на интервале (0; 1). А на этом интервале она совпадает с функцией
1
y=xsin —••
х
3) Да, равномерно непрерывна: каждому е > 0 соответствует Ь=-т такое,
3
что при любых х', х" таких, что | х' — х"\ < 6, имеет место:| f(x') — / (х") 1 < е.
4) Нет, не равномерно непрерывна.
5) Да, равномерно непрерывна.
413. Пусть функция f (x) равномерно непрерывна на ограниченном
множестве ЕсНп. Найдем такое число б > 0, что | / (х') — f (х") | < 1 для любых
х' ([£, х"£Е.таких, что q(x',x")<6. Разобьем множество Е на конечное число
множеств Ei, диаметр каждого из которых меньше, чем 6 (так разбить множество
Е возможно, в силу ограниченности этого множества). На каждом из Е£
колебание функции / (х) не больше 1; следовательно, яа каждом из EL эта функция
ограничена; пусть sup f(x)=Mi, inf /(x)=m,-. Беря наибольшее из чисел А?,, мы
Б, Е,
найдем верхнюю грань функции / (х) на множестве £; беря наименьшее из
чисел mi, найдем нижнюю грань этой функции на Е. Итак, / (х) ограничена
на множестве Е.
414. Да, сумма двух функций, равномерно непрерывных на Е, также
равномерно непрерывна на Е. Это следует из неравенства:
\[f{x')+g(x')] — [f(x")+g(x")]\<\f(x')~f(x")\+\g(x')~g(x")\.
415. Если Е—неограниченное множество, то произредение двух функций,
равномерно непрерывных на Е, не обязательно является равномерно непрерывной
функцией. Пример. Функции f (х)=х к g(x) = x рвч^омерко непрерывны на
всей числовой прямой; однако их произведение / (х) g (х)=>х2 не является
равномерно непрерывной функцией на (■—со; +оо).
166

Если же Е — ограниченное множество, то произведение двух функций,
равномерно непрерывных на этом множестве, также является равномерно
непрерывной функцией; это следует из неравенства:
11 (*') g(x')-f (х") g (х") | < | / (*') g (*') - / (x') g {x") I f I / (*') g (x") -
-f(x°)g(x")\=\f(x')\-\g(x')~g(x")\+\g(x")\-\f(x')-Hx")\<
<A-\g(x')-g(x")\+B.\f(x')-f(x-')\,
где ,4=siip|/(x)|,5=sup|g(x)| (ограниченность функции, равномерно непрерыв-
Е е
ной на ограниченном множестве, была доказана в задаче 413).
416. Доказательство. Зададим произвольное е > 0, и найдем такое-
£
N, что для всех x>N имеет место: | / (х) — Ь\ <— (где 6=Iim/(x)). Тогда
4 ж-*со
£
для любых точек хх > N, х2 > N справедливо неравенство | / (xt) — / (х2) | < —.
На сегменте [О, N] функция непрерывна; следовательно, она равномерно'
непрерывна на этом сегменте. Найдем б> 0 такое, что для х' ^[0; N], х" £[0; N],
е
\х'—х"\ < 6 имеет место: | / (х')—/ (х") I < ~. Докажем, что это чясло б-
«годится» для всего луча [0; +оо).
Возьмем две точки хх и х2 на луче [0; +со) такие, что \х1 — х2 | < 6, и
рассмотрим разность \f(xr)—/(х2)|. Если хх^[0; N] и х2£[0; N], то эта раз-
е
ность по модулю меньше, чем — (и подавно меньше, чем е), что следует из.
£
выбора числа б. Если хх > N, х2 > N, то 1 f (хх) — / (х2) | < — < е. Наконец,
если одна из этих точек (например, Xj) принадлежит [0; N], а другая х2 > N, то-
I / (*i) - / Ы | < | / (*i) - / (ЛО |+| / (N) - / (х2) I < f+|-=e.
Итак, при любом расположении точек хъ х2, из | хх — х21 < б следует
|/C*i)— f (x2) | < е. В силу произвольности числа е > 0, из этого вытекает
равномерная непрерывность функции f (х) на всем луче [0; + °о).
417. Нет, неверно. Пример. Функция y=sin(x2) непрерывна и ограничена
на всей числовой прямой, однако она не равномерно непрерывна на ней.
Действительно, каким бы малым ни нзять положительное число б>0, всегда найдется
интервал вида длина которого меньше, чем б (так как
длины этих интервалов стремятся к нулю при й-»-ос). Вместе с тем колебание*
функции y=sin (х2) на этом интервале равно 1. Следовательно, для е=1 не
существует такого б>0, чтобы на всяком интервале длины меньшей, чем б,
колебание функции было бы меньше, чем е.
418. Эта функция непрерывна во всех точках множества Е, но ие является
равномерно непрерывной на этом множестве.
419. Эта функция разрывна во всех точках первого рода множества D и
непрерывна во всех точках множества CD, а также во всех точках второго рода
множества D. На множестве CD функция не является равномерно непрерывной.
420. Докажем сначала, что функция / (х) может быть продолжена с
сохранением непрерывности на замыкание Е множества Е. Пусть х0 — предельная
точка множества Е, не входящая в Е. В силу равномерной непрерывности функции
/(х) на Е, для любого е>0, найдется б-окрестность точки х0, в которой колебание
функции меньше, чем е. Докажем, что / (х) имеет предел при х-^х0. Пусть {х^\ —-
произвольная последовательность точек из Е, сходящаяся к х0. Рассмотрим
последовательность {f(xij)}; она фундаментальна; это вытекает из того, что колебание
функции в окрестности точки х0 стремится к нулю при стремлении радиуса окрест-
162

дости к нулю. Следовательно, последовательность {/(х/j)} имеет предел. Этот
предел не зависит от выбора последовательности {*&}, сходящейся к х0.
Примем найденный предел за значение функции в точке х0. Из такого
определения функции в точке х0 вытекает ее непрерывность при х=х0.
Итак, функция / (х) доопределена (с сохранением непрерывности) на
замкнутом множестве Е. Для того чтобы продолжить эту функцию на всю прямую,
достаточно продолжить ее линейно во всех смежных интервалах. Делается это
следующим образом: если смежный интервал (а; В) конечен, то в нем задаем функцию
х—а
f{x) равенством: f (x)=f (а)+- (/ (В) — / (а)). Если же смежный интервал
■бесконечен (например, (а; +со)), то на нем полагаем функцию постоянной:
/(х) = /(а). Построенная таким образом функция определена и непрерывна
всюду на (—со; +оо); на множестве Е она совпадает с заданной функцией / (х).
421. Пример. Функция y=sin—непрерывна и ограничена на (0; 1),
■однако ее нельзя продолжить с сохранением непрерывности на всю прямую (и
даже на сегмент [0; 1], так как эта функция не имеет предела при х^-+0).
422. Если функция не является равномерно непрерывной на ограниченном
множестве £, то она не может быть продолжена на всю ось с сохранением
непрерывности: если бы она могла быть продолжена на всю ось, то она могла бы
быть продолжена и на Е. Но тогда продолженная функция была бы равномерно
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве Е, а значит, и на множестве
Е, которое является частью множества Е, что противоречит предположению.
Итак, функцию, не являющуюся равномерно непрерывной на ограниченном
множестве Е, нельзя продолжить на всю ось с сохранением непрерывности.
423. Возьмем е= 1 и подберем по этому е число б (из условия равномерной
непрерывности функции fix)). Пусть х-—произвольное число, —со <х < +со.
Разобьем отрезок [0; х] (при л;>0) или [х; 0] (при х<0) точками
J_ 2_ п—\
Хг X, . . ., X,
п
п
где «подобрано так, что — 1x1 < б < 1
п п— 1
х|. Тогда
|/(х)-/(0)| <l/(x)-/({L^xj+ /p—!х)-/^-^х)
+
+
+
Ч
п 1
"' »*
+
(Ч-
/(0)
Так как, в силу выбора числа б, каждая разность в правой части неравенства
меньше, чем 1, то
l/(*)-f(0)l <n,
1 | х|
•откуда 1/ (х) | < | /(0) \+п; далее, так как |х|>б, то п<—+ 1;
и—Г
поэтому
1
|/(*)| <1/(0)|+1 + т1* =А\х\+В,
где
A=J. B=l/(0)1+1.
424. Доказательство сводится к непосредственной проверке формул.
168

425. XM (x) = XF| MXfj (-v) - - - XE (x);
n
In (*) = 2 хя,М — 2 У-Е 00 ^£ .00 + 2 *e 00 xe 00 *£ 00 — • ..
i+k
... + (_l)T.+iXB (x)XE (x) .. XB (x).
426. Если точка х0 является граничной для множества Е, то в любой
окрестности этой точки колебание характеристической функции равно 1, и,
следовательно, функция разрывна в точке х0.
Если же точка х0 не является граничной, то ohi является внутренней либо
для Е, либо для СЕ. Но тогда найдется окрестность точки х0, в которой
колебание функции Х,Е (х) равно нулю; следовательно, в этой точке функция
непрерывна.
427. Пусть х0 — произвольная точка отрезка [а; Ь]. Докажем, что F (х)
непрерывна в этой точке.
Если ф (х0) > ф (х0), то ф (х) > "ф (х) также в некоторой окрестности точки
х0. Но тогда Есюду в этой окрестности F (х) = ф (х); из непрерывности ф (х) в
точке х0 следует непрерывность F (х) в той же точке.
Если ф (х0) <ty(xB), то рассуждения аналогичны.
Наконец, пусть ф (х0) =■*]; (х0). Тогда для любого ъ > 0 найдется окрестность
V (х0), во всех точках которой 1 ф (х) — ф (х0) | < е, |г]; (х) — ф (х„) | < е.
Так как F (x0)=q>(x0)=ty (х0), то эти неравенства можно переписать так:
F (х0) — е < ф (х) < F (х0)+е; F (х0) — е < ф (х) < F (х0)+в.
А отсюда вытекает [так как F (х)=тах (ф (х), ty (x))j, что для всех х£1/(х0)
имеет место неравенство:
F (х0) — е < F (х) <F (х0)+е,
которое и означает (в силу произвольности е > 0), что F (х) непрерывна в
точке х0.
428. Пусть х0 — произвольная точка числовой прямой. Докажем
непрерывность функции [f(x)]^_a в этой точке
Если —а < / (х0) < а, то найдется окрестность V (х0) точки х0, во всех
точках которой также справедливо неравенство —а < / (х) < а. Но тогда всюду в
V (х0) имеет место: [f (x)]°_a~f (х). Отсюда следует непрерывность функции
[fMl-a в TOqKe Х0"
Если / (х0) > а, то / (х) > а в некоторой окрестности точки х0. Тогда
всюду в этой окрестности [f(x)]^_a= а, откуда опять вытекает непрерывность
этой функции в точке х0.
Если f (х0)=а, то в любой, достаточно малой, окрестности V (х0) имеет
место:
sup [f(x)]ta< sup f(x); inf [f(x)f_a= inf f(x).
xev(xe) xsv (x0) xav(x0) xsv (x0)
Поэтому ш [/(xt]!L0< & f{x).
V{xD) V(xc)
Стягивая эту окрестность к точке х0, получим:
ю ([/ (х)]1.а; х0) < ю (/ (х);х0)
А так как ш(/(х); х0)=0 в силу непрерывности функции f(x). то и
ч> (if (х)]^; х0)=0, т. е. функция [f (х)]"_0 непрерывна в точке х,
Рассуждения аналогичны в тех случаях, когда /(х0)=—а илн f (х0)<—с.
Итак, функция [f (x)]^_j непрерывна в любой точке х0.
12 Ю. С. Очан 169

429. Необходимость этого условия доказана в предыдущей задаче. Докажем
теперь, что это условие достаточно для непрерывности функции / (х).
Пусть [f (х)]а_а непрерывна во всех точках х, —оо<х<со, при любом а>0.
Допустим, что на прямой нашлась точка х0, в которой функция / (х) терпит
разрыв, и пусть колебание функции "/ (*) в точке х0 равно -у>0. Построим
функцию [/(х)]^_а, где а>| / (x0)|+Y-Тогда около точки х0 можно будет
описать окрестность, в которой [/(х)£0 = / (х); но тогда и функция [f(x)]°_a
разрывна в точке х0.
Если же в точке разрыва х0 колебание функции f (х) равно +оо, то
колебание функции [/ (х)]Ца не меньше, чем а—-\f(x0)\, в любой окрестности
точки х0 (если только а>\ f (х0) \). Следовательно, и в этом случае функция
[/ (х)]—а разрывна в точке х0.
Итак, разрыв функции / (х) в какой-либо точке х0 влечет за собой разрыв
функции [/ (х)]°_а в той же точке (для достаточно больших а).
Следовательно, непрерывность функции [f (х)]°_а для любых а>0 является
достаточным условием непрерывности функции / (х).
430. Разобьем отрезок [0; 1] на два непересекающихся множества: множество
А типа Fa , всюду плотное на [0; 1], и мьожество В типа G6 , также всюду плотное
на [0; 1], причем каждое из них имеет мощность континуума в любом
интервале (а; Р)с[0; 1] (пример такого разбиения см. в задаче 297).
После этого построение искомой функции / (х) может быть проведено так
же, как в задаче 409, а именно: положим / (х)=£ /& (х), где
/*(*)
1
-т в рациональных точках множества F^,
2
—т в иррациопальных точках множества F&,
0 в точках множества [0; 1]\F&-
Здесь F1czF2<zF3c . . . -— возрастающая последовательность замкнутых множеств,
в сумме составляющая множество А.
Тем же способом, как и в задаче 409, доказывается, что функция / (х)
непрерывна во всех точках множества В и разрывна во всех точках
множества А.
431. Эта функция разрывна во всех точках множества А и непрерывна во
всех точках множества Е=[0; 1]х[0; 1]\Л. Равномерно непрерывной функцией
/ (х; у) на множестве Е не является. Исследование этой функции аналогично
исследованию функции в задаче 397.
432. Эта функция непрерывна (а следовательно, и равномерно непрерывна)
на замкнутом квадрате [0; 1]х[0; 1]. Исследование этой функции аналогично
исследованию функции в задаче 398.
433. В кольце 0<х2+у2<4 функция непрерывна, во не равномерно
непрерывна. В кольце 1<х2+у8<4 эта функция равномерно непрерывна:
действительно, она непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна в замкнутом
кольце Е (1<х2+у2<4). Но если функция равномерно непрерывна на
множестве Е, то она равномерно непрерывна и на любом его подмножестве (в
частности, в открытом кольце 1<х2+у2<4).
434. Пример.
1
х2 sin — при х^О,
/(*)
X"
0 при х=0.
170

Здесь
(2 1 1
— — cos—+2jc-sin— при хФО,
х х^ х*
О при х=0.
435. Пусть Е— заданное ограниченное совершенное, нигде не плотное
множество; («„, р„) — его смежные интервалы (л=1, 2, 3 . . .), Ро — нижняя грань
множества Е, аа — верхняя грань множества Е.
Функцию f (x) строим следующим образом:
fix)'
Функция f(x) непрерывна и имеет производную во всех точках числовой оси;
эта производная определяется формулами:
2 (х — а„) (Р„ — х) (о„+Р„ — 2х) sin -
(X-
-ап)2(Р,г-
0
0
*} ""(х-аЛЧЬ-*)- ^^С». R-).
при х£Е;
при х£(—со; р0) и прн х£(а0, +оо).
гм
(*-ап)2(Рл-*)8
2(а„+Рп-2х) 1
— ^ С0Б 7. при х£(а„: а„).
(х-ап)фп-х) (х-а„)МРп-^)2 U"'N
О при х£Е, при х£(—do; po) и при х£(а„; + °°).
Производная /' (х) непрерывна Есюду вне множества Е и разрывна во всех
точках этого множества. ,
436. Построим на отрезке [0; 1] совершенное, нигде не плотное множество
положительной меры. Пусть (а„, рп) (п=1, 2, 3, . . .) — смежные интервалы
этого множества. Тогда функция, построенная в предыдущей задаче, будет
удовлетворять всем предъявляемым требованиям.
437. Нет, не существует. Точная производная f (х) должна принимать все
промежуточные значения (т. е. обладать свойством Дарбу). Этим свойством не
обладает функция Дирихле.
438. Нет, так как точная производная может иметь точки разрыва только
второго рода (тогда как разрывная монотонная функция имеет точки разрыва
только первого рода).
439. Нет. Пример. Функция / (х) = [ х [ имеет во всех точках как правую,
так и левую производную; однако ни та, ни другая не обладают свойством
Дарбу. Например,
f— 1 при х<0,
/левМ=1 1прих>0.
440. Примером такой функции может служить сумма ряда f(x) =
- xk\
где xlt x2, - - ., Хл, . . . —всевозможные точки множества Е
ZS 2*
k = i
Эта функция непрерывна, как сумма ряда непрерывных функций, равномерно
сходящегося на любом отрезке. Найдем производную от / (х) при х £ Е:
со
/ (x+h) — / (х) 1 Х^ (\x+h — xk\ ^ I х — xk\
- .. - —_. • 2й 2*
1 *= 1
\x+h — xk\ — \x — xk\ X"1" \x+h — xk\ — \x — xk\
=^J 2kh Zj 2*Л
(1)
12* "171

где сумма £' распространена на те k, для которых |х— %1>|/г|, а сумма £"—
на остальные к. В первой из этих сумм x+h — х& их — х^ имеют одинаковый
\x+h — xk\ — \x— Xfe| sgn(x —xft)
знак; поэтому в этой сумме —г = —г . Вторая
из этих сумм может быть сделана сколь угодно малой при достаточно малом h;
в самом деле:
ry \x+h-xk\~\x-xk\ I уу \h\ уу l_
Li 2*Л I < ^ 2fe 1 Л | ^ 2*'
пусть iV—произюльное натуральное число; всегда можно выбрать h столь
малым, чтобы в окрестность (х — \h\; x+\h\) попали только те х&, для которьк
\ГГ 1 V4 1 1
k>N; тогда У г^ < >^-^=—^. Следовательно, S стремится к нулю прн
k>N
/z-0.
Переходя теперь к пределу в равенстве (1) при ft-s-О, получим, что при
x^xk:
со
? ( }~2j 2*
k=i
Итак, /'(х) существует во всех точках х££. Убедимся теперь в том,
что ни в одной точке множества Е производная /' (х) не существует.
Пусть xk — какая-либо точка множества Е. Представим / (х) в виде суммы
двух функций:
,,, Iх—**.1,УЧ!*-**!
/(*)= г—+
■SJ
2*о
Тем же способом, которым мы доказывали существование производной у функ-
-г „ X ^ Iх — xk I
ции / (х) в точках х £ £, проверяется, что функция > -т— имеетпро-
кфк0
\x-xk0\
взводную в точке xk ; функция же — не имеет производной в этой то
ке. Следовательно, сумма этих функций (т. е. функция / (х)) не имеет произ
водной в точке xk .
441. Да, непрерывна во всех точках числовой прямой. Докажем это.
Пусть £—-произвольная точка множества Л. Тогда
Q(*i. £)<Q (*i. x2)+q(x2, I),
или q (xx, t) — Q (x2, t) < q (xb x2). Отсюда следует, что тем более
Q (хх, А) — Q (х2, й < Q (хх, х2) (1)
(так как q (хх, Л) < q (xx, £)).
Неравенство (1) справедлию для любого ££Л; но тогда и верхняя грань
выражения, стоящего в левой части этого неравенства (взятая по ££Л), не
превзойдет числа q (хх; х2):
sup[Q(x!, Л) —q(x2, £)]<Q(*i, х2),
откуда
е(х!, Л) —infQ(x2, D<Q(x,,, х2),
г. е.
Q(*i. Л) — q(x2, Л)<д(Х!, ха). (2)
172

Меняя в неравенстве (2) рэ/ями хх и х%, получим:
q(x2, A) — q(xi, Л)<д(хх, х2). (3)
Из неравенств (2) и (3) вытекает неравенство
I Q (X! А) — q (х2, Л) | < q (xlf х2),
справедливое для всех точек х-^^Н^ х2^Н1. Из этого неравенства сразу
следует, что функция q (х, А) непрерывна в любой точке х(^Нг (и даже
равномерно непрерывна на всей числовой прямой Ях).
442. В качестве такой функции можно взять функцию
/(х)= *<*• Ъ
Q(x. F)+Q(*. £)*
легко видеть, что /(х)=0 при x£F; Дх) = 1 при x££; 0 </ (х) < 1 при
х£С [Яи^1]- Непрерьшность функции /(х) следует из непрерывности функций
q (x, F) и q (х, Е) и из того, что они не обращаются одновременно в нуль
(последнее вытекает из того, что множества Е и F не имеют общей точки
прикосновения; если бы такая точка была, то она — в силу замкнутости
множеств Е и F — принадлежала бы каждому из них, что невозможно, так как их
пересечение пусто).
443. В качестве искомой функции можно взять, например, следующую:
q(x, у £|) Q(x, у £f)
q(x, £хН q(x, U ЕЛ 2 q(x, E2)+q(x, U ЕЛ
Q (x, U ЕЛ
q(x, En)-\-Q(x, (J ЕЛ
\ i+n J
То, что f{x)=pk при x^Ek, проверяется непосредственно.
Проверим, чго функция f(x) непрерывна: множество (J Et замкнуто (как
г'~1
сумма конечного числа замкнутых множеств Е2, Е3 Еп); следовательно,
множества Ех и U Е1 не имеют общих точек прикосновения; поэтому знамена-
тель первой дроби ни в одной точке не равен нулю; это же справедливо и для
знаменателей всех остальных дробей. Но тогда из непрерывности функций
q(x, Ег), q(x, U ЕЛ, q (х, Е2) и т. д. сразу вытекает непрерывность функции
f{x).
444. Искомую функцию можно задать следующим образом:
" Q(x, U ЕЛ
/(х)= у pk—; -^гт-.—; ,, с.4 ■
JmU Q(X, Ek)+Q [X, (J ЕЛ
445. Допустим, что /(х)=Рй при х^Е^ для любого натурального числа k.
Пусть х0(^Е1 — точка прикосновения для \J Ev. Тогда f(x0)=pl, и при этом
в любой окрестности точки ха найдутся точки из £г- для сколь угодно больших
номеров г; следовательно, в этой окрестности найдутся точки, в которых / (х)
сколь угодно близка к нулю (так как р£--»-0 при /-»-оо); но тогда в любой
окрестности точки х0 колебание функции / (х) больше или равно | Pi |; а это
означает, что функция / (х) разрывна в точке х0.
Итак, если функция /(х) принимает значения pk при х^Е^ для всех k, то
эта функция разрывна хотя бы в одной точке числовой прямой.
446. Решения задач 441—445 для произвольного пространства ничем не
отличаются от решений этих задач для множеств, расположенных на прямой.
447. Так как /(х), по условию, непрерывна в точке х0 относительно
173

множества D, то х0 £ D. В качестве функции f (х) можно взять, например, функ-
Г 1 при x£D,
цию /(*) = { „ ,
\0прил:£О.
448. Да, верно. Для доказательства этого утверждения достаточно носполг
зоваться определением непрерывности по Гейне.
449. Нет, неверно. Из того что
функция / {х, у) непрерывна по любому лучу,
исходящему из точки (х0, у0), еще ие
следует, что она полностью непрерывна в этой
точке. Приведем пример.
Обозначим через а замкнутую область,
ограниченную первым завитком архимедовой
спирали §=дф (0 < ф < 2я) и отрезком на
оси абсцисс 0 < х < 2па (рис. 38). Пусть
f 1 при xf 0,
{ О при х£о.
Эта функция непрерывна по любому
лучу, исходящему из начала координат;
однако она не является полностью непрерывной
в точке (0, 0).
450. Нет, это утверждение неверно. Вот пример. Пусть L — винтовая
линия, расположенная в трехмерном евклидовом пространстве:
x=acost, y=asmtt z=bt;
пусть М„ — точка с координатами (а, 0, 0). Определим функцию f{x, у, г)
следующим образом:
0 всюду на L, кроме точки М0;
1 в точке М0, а также во всех точках пространства Охуг.
fix, У, г) =
не принадлежащих кривой L.
Эта функция непрерьшна относительно любой плоскости, проходящей через
точку М0; однако она не является полностью непрерывной в этой точке.
451. Нет, это утверждение неверно; вот пример:
{1 во всех точках плоскости с координатами (х, 0), где х>0;
0 во всех остальных точках плоскости (включая и начало
координат) .
Функция f (х, у) непрерывна в точке (0, 0) относительно любой
архимедовой спирали, однако она не является полностью непрерывной в этой точке.
ГЛАВА 10
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
452. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 376.
453. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 380.
454. Решение аналогично решению задачи 381.
455. Доказательство проводится так же, как и при решении задачи 384.
456. Доказательство. Если прообраз замкнутого множества РаН%
замкнут (т. е. f—1 (F)— замкнутое множество в Нп), то дополнение к F (т.е.
H%\F) имеет в качестве прообраза открытое множество в #„:
f-1 (fl»\F)=t-1 tfWV-1 (F )=Я„\/-1 (F).
174

Но любое открытое множество в Н2 является дополнением к некоторому
замкнутому; следовательно, прообраз любого открытого множества в Н2 есть
открытое множество; в частности, прообраз любого открытого круга в Н2 открыт.
Отсюда вытекает (в силу результата, полученного при решении задачи 455),
что отображение y=f(x) является непрерывным.
457. Доказательство этой теоремы проводится таким же способом, каким
доказывается для функций, принимающих числовые значения, что определение
непрерывности по Коши равносильно определению непрерывности по Гейне.
458. Прежде всего заметим, что в силу взаимной однозначности
отображения Е на Еи обратная функция существует; обозначим ее х=ф(у). Она
отображает Е1 на Е. Это обратное отображение не обязано быть непрерывным.
Покажем это на примерах, а) Занумеруем все рациональные числа на оси
Оу. Тогда эту нумерацию можно рассматривать как непрерывное взаимно
однозначное отображение множества Е
натуральных чисел оси Ох на множество Ег всех
рациональных чисел оси Оу: rn=f (я).Однако
обратное отображение я=ф (г„) разрывно в каждой
точке гп^Ег. б) Приведем также другой
пример. Пусть Е — полусегмент [0; 2л) оси Ох,
E-l — окружность на плоскости Оху с центром
в точке О. Поставим в соответствие каждой
точке х £ [0; 2л) — ту точку М окружности,
радиус-вектор которой составляет с
положительным направлением оси абсцисс угол х (рис. 39).
Ясно, что эго отображение M=f(x) непрерывно
и взаимно однозначно. Однако обратное
отображение х=ф (М) терпит разрыв в той точке ок- Рис- 39
ружностн М0, которая соответствует точке х=0.
459. Пусть y=f(x)—-взаимно однозначное непрерывное отображение
замкнутого ограниченного множества Е на Et. Тогда Ех также замкнуто и
ограничено (см. задачу 452). Обозначим обратную функцию через х=ф(у) и
докажем, что она непрерывна в каждой точке Уд^Е^
Опишем около ха (где х0=ф (у0)) произвольную е-окрестность V£ (х0) и
докажем, что около у0 найдется такая окрестность V (у0), что для всех
У 6 v Ш Л Et имеет место: Ф (у) £ VE (x0).
Для этого заметим, что множество E\VS (x0) замкнуто и ограничено;
следовательно, его непрерывный образ F=f(E\Vs (x0)) является замкнутым и
ограниченным подмножеством множества Ег. При этом (в силу взаимной
однозначности функции / (л:)) у0 £ F. Следовательно, около у0 можно описать
окрестность V (у0), не содержащую ни одной точки из F. Но тогда ф (V (у0))
не содержит ни одной точки из ф(/*'), т. е. ни одной точки из E\VS (x0).
Значит, «p(V(y0))cVe(je0).
Итак, около у0 нашлась такая окрестность V (у0), что для всех у £ V (у0) Г) Ег
имеет место: Ф (у) £ Vs (х0)■ В силу произвольности окрестности Vs (.*„),
отсюда вытекает, что функция ф (у) непрерывна в точке у0 относительно
множества Ег. А так как у0 — произвольная точка из Ех, то ф (у) непрерывна на
множестве Ег.
460. Нет, не обязано. Одним из примеров является отображение множества
всех натуральных чисел на множество всех рациональных чисел отрезка
(—со, -Ь00) (см. решение задачи 458).
Приведем еще одни пример. Пусть Е — луч [0; +со) числовой прямой;
ясно, что множество Е замкнуто и неограничено. Пусть Ег — окружность
единичного радиуса с центром в точке С. Отобразим Е на Е1 следующим образом:
точке 0££ поставим в соответствие некоторую фиксированную точку Ре£Ец
затем любой точке х£Е поставим в соответствие такую точку Р окружности
Е1г что угол РСР0 (отсчитываемый в определенном направлении от неподвижно-
175

го радиуса СР0) равен 4 arctgx. Это отображение Е на Ег взаимно однозначно
и непрерывно. Однако обратное Отображение терпит разрыв в точке Р0(^Е1
461. Пусть y=f(x)— взаимно однозначное непрерьюное отображение Е на
Ег, причем Е не имеет изолированных точек. Допустим, чго Е± имеег
изолированную точку, например Уо^Е^, пусть х0£ £ — прообраз точки у0. Обозначим
через Ve (у0) ту окрестность точки у0, которая не содержит других точек из
Ех. В силу непрерывности функции / (х) найдется окрестность V (х0) такая что
f[v(x0)f]E]cVs(y0). А это невозможно: по условию х0 не может быть'изо-
лированной точкой множества Е; но тогда V (х0) содержит бесконечно много
точек из Е; в силу взаимной Однозначности отображения f, образ множества
V (хо) ПЕ также должен содержать бесконечно много точек из Ег — что
противоречит тому, что этот образ включается в
2 уг (Уо) (так шк vs (Уо) содержит только
/J. 1 »7 одну точку из Ej).
Итак, допущение, что Ех имеет хотя бы
одну изолированную точку, приводит нас к
противоречию: значит, множество Е1 не
может иметь изолированных точек.
Это утверждение теряет силу, если
отображение y=f (x) не взаимно однозначно.
Так, например, функция, определенная на
отрезке £=[0; 1] равенством f (х) = 3,
непрерывна на Е; при этом множество Е не
имеет изолированных точек, а Ех содержит
изолированную точку у~3 (оно само
состоит из одной только этой точки).
462. Нет, неверно. Примером является
отображение множества Е натуральных
чисел оси Ох на множество Ег всех
рациональных чисел оси Оу [см. пример а),
приведенный в решении задачи 458].
463. Если y=f(x)— непрерывное взаимно однозначное отображение
замкнутого ограниченного Множества Е на Elt то обратное отображение х = ф (у)
множества Ег на Е также непрерывно и взаимно однозначно (см. задачу 459).
Но для функции х=Ф(у) множество Ег (не имеющее изолированных точек)
является областью определения; следовательно, множество значений этой функции
(т. е. множество Е) также не имеет изолированных точек (см. задачу 461).
464. Допустим, что существует взаимно однозначное непрерывное
отображение М=ф(х) отрезка [0; 1] на замкнутый квадрат £,,=[0; 1]х[0; 1].
Разобьем сегмент [0; 1] на два сегмента
b i] ■ [b
Образом первого из
сегментов (при отображении М=ф (х)) является некоторое замкнутое множество
Fi, а образом второго — замкнутое множество Р2. В сумме эти множества
составляют весь квадрат £'1; эти множества имеют единственную общую точку
^0=Ч1>) ^Т°' ™ °НИ не имеют ДРУГИХ общих точек, следует из взаимной
однозначности отображения). Каждое из множеств Ft и F2 бесконечно (они
имеют мощность с, так как каждое из них эквивалентно отрезку).
Следовательно, на Рх можно найти такую точку УИ„ а на F2 —точку М%, что три точки
Мг, Мв, М2 не лежат на одной прямой (рис. 40). Но тогда замкнутый отрезок
[М,; М,] можно было бы представить в виде суммы двух непересекающихся
непустых замкнутых множеств
[Mi, ЛГ8] = {[Лг1; M2]DFi}U{[Mi; М2]П£2}
Как известно, это невозможно (см. задачу 221). Следовательно,
высказанное предположение о существовании непрерывной функции, взаимно однозначно
отображающей отрезок на квадрат, — неверно.
176

465. Пусть M=f it) — непрерывное отображение сегмента [0; 1J на квадрат
Л=[0; 1]Х[0; 1], построенное в условии задачи. Пусть / — какой угодно
вертикальный сегмент (х=х0; 0<у<1), включающийся в А. Докажем, что
прообраз сегмента / (т. е. f—1 (/)) есть совершенное подмножество отрезка СК1г<1.
Замкнутость множества f—1 (I) очевидна; она следует из того, что
прообраз любого замкнутого множества (при непрерывном отображении) замкнут.
Докажем, что f~l (/) не имеет изолированных точек.
Пусть t0£f—l(I). Опишем около tb произвольную окрестность на оси Ot:
(t0— е; (0+е). и докажем, что в ней найдется бесконечно много точек из f—1 (У).
Г k k+V
Найдем внутри этой окрестности сегмент вида —; -—
дется при некотором, достаточно большом п и каком-либо k, 0<k<4n.
Согласно построению отображения, этот сегмент
отображается на некоторый квадрат Д, со
1
сторонами длины —, параллельными осям
0'
Такой всегда най-
С0-С t0 t0+£
i [■ ] I
~%JT I,.!}
A°\z
-
N
/
*,
2
Рис. 41
координат.
Пусть M0=f(t0). Тогда М0£А0. Вместе
с точкой М0 в квадрат Ад входит
вертикальный отрезок МХМ2, являющийся частью
отрезка У (рис. 41). Так как прообразы всех
точек квадрата А0 лежат на сегменте
k k+l\
—: оси Ot (этот сегмент отобража-
4« 4"
ется на весь квадрат А0), то на этом
сегменте, в частности, окажутся прообразы всех
точек отрезка /W]M2. Значит, в
окрестности (t0 — е; £0+е) найдется бесконечно
много точек из множества f—*(/). Но #' ] '?
это означает (в силу произвольности е>0),
что точка tB является предельной для
множества f~х (/).
Итак, любая точка ta^f~1(I) является предельной для множества f—г (У);
значит, f~1 (У) не имеет изолированных точек.
Если сопоставить этот результат с тем, что /—1 (У) замкнуто, мы получим,
что /—1 (У) — совершенное множество.
466. Для того чтобы разбить сегмент [0; 1] оси Ot на континуум попарно
непересекающихся совершенных множеств, поступаем следующим образом:
отобразим сегмент [0; 1] с помощью пеановскои кривой на квадрат [0; 1]Х[0; 1]
плоскости Оху. Затем разобьем этот квадрат на континуум непересекающихся
отрезков У (х=const; 0<>,<1).
Прообразы этих отрезков на оси Ot попарно не пересекаются и в сумме
составляют весь сегмент [0; 1]; согласно результату предыдущей задачи, все
множества /—! (У) являются совершенными.
Итак, сегмент [0; 1] разбивается на континуум попарно непересекающихся
совершенных множеств вида f~x (У) (где У — всевозможные вертикальные отрезки,
принадлежащие квадрату [0; 1]х[0; 1]).
467. Кривая в приведенной конструкции незамкнута; образом точки t=0
является точка (0, 0), а образом точки У=1 является точка (1, 0).
468. Построение пространственной кривой Пеано аналогично построению
плоской кривой Пеано; для этого надо разделить отрезок [0; 1] оси Ot на 8
частей, затем на 8s, 83, ... частей; соответственно этому, заданный куб делится
сначала на 8 одинаковых кубов, затем на 82, 83, ... кубов. На каждом этапе
сегменты отрезка [0; 1] нумеруются слева направо, а порядок нумерации кубов
выбирается так, что кубы с соседними номерами имели одну общую грань.
Затем каждой точке t0, являющейся пересечением последовательности
вложенных сегментов 61^)б2зб3з) . . ., ставится в соответствие точка М0,
177

принадлежащая одновременно всем кубам V13l/23l/33 . , ., которые отвечают
сегментам б1; 62, б3 и т. д.
Так же, как и в плоском случае, доказывается, что это отображение
является непрерывным в любой точке t0 и что при этом отображении образы точек
сегмента [0; 1] заполняют весь куб [0; 1]х[0; 1]Х[0; 1].
469. Если проектирование проводится под углом а к оси Ох, то для любых
двух точек М, и М2 множества Е имеет место следующее соотношение:
Q(Pi, PJ<
Q(MU Щ
Рис. 42
отсюда следует, что проектирование является непрерывным (и даже равномерно
непрерывным) отображением множества Е, каково бы ни было это множество.
Здесь Р1 — проекция точки Мг
на ось Ох, Р2 — проекция
точки М2 (рис. 42).
470. Да, проекция плоского
открытого множества всегда
является открытым множеством на
прямой.
471. Если Е — замкнутое
ограниченное множество на
плоскости, то его проекция на ост
всегда замкнута (см. задачу 452'
Если же Е—замкнутое
неограниченное множество на
плоскости, то его проекция може!
оказаться и незамкнутым множе
ством; так, например, графи
функции y=tgx является замк
нутым множеством, а его
ортогональная проекция на ось абсцисс незамкнута.
472. Допустим, что проекции некоторого плоского множества Е на обе оси
являются счетными множествами. Проведем через каждую, точку множества Е
прямые, перпендикулярные как первой, так и второй оси; таких прямых
окажется лишь счетное множество; следовательно, и точек пересечения
перпендикуляров на первую ось с перпендикулярами на вторую ось будет лишь счетное
множество. Но Е содержится в этом
множестве точек пересечения; значит, и £—■
счетное множество, что противоречит
условию.
473. Непосредственно проверяется,
что каждая точка г0 той косоугольной
проекции, о которой идет речь в условии
задачи, изображает сумму двух чисел
хо € Е и Уо 6 F и обратно, что любая сумма
указанного вида изображается некоторой
точкой г0 из этой косоугольной проекции
(рис. 43).
474. Сначала надо доказать, что если Е и F замкнуты и ограничены, то
множество ExF тоже замкнуто и ограничено. Для того чтобы получить теперь
E(£jF, надо спроектировать ExF на ось Ох под углом 135°. Но проектирование
является непрерывным отображением (см. задачу 469), а непрерывный образ
замкнутого ограниченного множества является замкнутым ограниченным
множеством; следовательно, множество EQ)F — замкнуто и ограничено.
475. Арифметическая сумма двух канторовых совершенных множеств
совпадает с отрезком [0; 2]. Докажем это.
Произведение DxD совпадает с «кладбищем Серпинского» (см. задачу 319).
Проведем через произвольную точку г0 сегмента [0; 2] оси Ох прямую, накло-
№1\Уа>
УМ
y0eF x0eE z0cebF
Рис. 43
178

ненную к оси абсцисс под углом 135°. Ясно, что эта прямая пересечет по
крайней мере один из квадратов первого ранга (рис. 44); обозначим этот квадрат
через Cj. Далее, та же прямая пересечет по меньшей мере один квадрат второго
ранга (из числа квадратов, входящих в Сх); обозначим его С2. В нем найдется
квадрат третьего ранга С3, с которым эта прямая пересечется по непустому
множеству, и т. д.
О
Обозначим общую часть прямой и квадрата С^ через щ', эти множества щ
замкнуты, ограничены и каждое последующее вложено в предыдущее: Uk+\dUk-
Но тогда p\Uk непусто; пусть это будет точка М0. Эта точка принадлежит мно-
к
жеству DX.D, и его косоугольная проекция совпадает с точкой zB.
Итак, каждая точка г0 £ [0; 2] принадлежит арифметической сумме DQ)D.
С другой стороны, непосредственно ясно, что ни одна точка, лежащая вне
сегмента [0; 2], не может принадлежать этой арифметической сумме.
Следовательно, Z>0D=[O; 2].
476. Пусть с —произвольная точка множества AQB; тогда с=а+Ь, где
а£А, Ь£В. Так как А открыто, то существует такая окрестность V(a),
которая целиком входит в А. Но тогда множество всех точек вида х+Ь, где x£V(a),
179

образует окрестность точки а+b (т. е. точки с); это множество входит в AQB.
Следовательно, для любой точки c£A(QB существует окрестность, входящая в
AQjB. Значит, множество AQ)B открыто.
477. Доказательство проводится следующим образом: пусть г0 —
произвольная точка множества A{JBX; если гъ£А (рис. 45, а), то г0 является
косоугольной проекцией точки М0(х0, >■„), где Хо£Е, y0£F, xB>y0; тогда
гв=хв—Уо^Я&о, УоУ< если же Zg^-B^ то —z„^B (рис. 45, б); тогда —г0
является проекцией точки N0 (x'0, у'0)> где х'0£Е, y^£F, x'0<y'0; значит, z„=
=у'о—х'о=я{хо. УоУ
«Г
а)
•. *—1
У
\Уо
гпеД ипеЕ
1 /№°Ьу&
>.$>
\ &е
-z0rea О* Xq6E z0e£j
Рис. 45
Итак, любая точка г0 из множества A\JBX изображается числом вида
Q(x, у), где х£Е, y£F, откуда вытекает, что A\JB1cS.
Аналогично проверяется, что SczAijB^
Следовательно, S=A\JS1.
478. Доказательство проводится так же, как и в задаче 474.
479. Сегмент [0: 1] Доказательство проводится так же, как и в задаче
475.
480. Доказательство аналогично тому, которое проводилось при решении за -
дачи 476.
ГЛ ABA 11
МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
481. Если Ф (t) — возрастающая на [а; Ь] функция, a f (х) — функция,
монотонная на [ф(а); ф (&)], то суперпозиция f[4>(t)] монотонна на отрезке [а; Ь]
(при этом, если f — юзрастающая функция, то и суперпозиция возрастает; если
f убывает, то и суперпозиция убывает).
482. Нет, не обязана. Пример Пусть х = ф (t) определена на отрезке
0<<<2 равенствами:
№ m_ I l при 0<t< 1;
Эта функция разрывна при t0 = 1; при этом ф (0)=0; ф (2)=3. Определим теперь
на отрезке [0; 3] оси Ох следующую монотонно возрастающую функцию f (x):
I х при 0<х<1;
f(x)= I 1 при 1<х<2;
[х— 1 при 2<x<3.
180

Легко видеть, что суперпозиция f[<$>(t)] тождественно равна t (при 0<£<2);
следовательно, суперпозиция непрерывна всюду (и, в частности, в точке t0).
Заметим, однако, что если внешняя функция / (х) строго монотонна, а
внутренняя функция х = ф (t) разрывна в точке t0, то суперпозиция f[4>{t)\
обязательно терпит разрыв в точке t0.
483. Пусть функция у = f (х) строго монотонна (для определенности будем
считать, что она строго возрастает) на [а; Ь], причем для некоторой
последовательности точек хп£[а; Ь] имеет место: lim f (xn) = f (£>); докажем, что
м-*-оо
lim хп = Ь.
п-*са
Возьмем произвольное е>0* и докажем, что найдется такое N, что для
всех п > N имеет место: Ъ — е < хп^Ь. Для этого вычислим f (b — е). В силу
строгого возрастания функции f(x), число f(b — е) мечьше, чем /(£>).
Найдем такое N, что для всех п^> N имеет место: f (хп) > f (Ь—е). В силу
строгого возрастания функции, из f(xn) > / (b — е) вытекает, что хп^> Ь — в;
следовательно, для всехя>Л? выполнено: Ь—е<^хп<Ь, или | хп — 6|-<е. Но
это и означает (в силу произвольности числа е>0), что lim xn=b.
п~*со
484. Рассмотрим функцию М (х) = sup f (г). Легко видеть, что она моно-
z s [о; х]
тонно возрастает (какова бы ни была функция f (г); это следует из того, что
если А> 0, то sup f (z)> sup / (г), так как [а; х] с [a; x+h]).
z£[a; x+h] zg[a; х]
Если функция / (г) непрерывна, то М (х) также непрерывная функция. Для
того чтобы доказать это, докажем сначала, что для любых чисел a<;c<;d
имеет место неравенство:
sup f(z)< sup f(z)+ со f(z). (1)
[a; d] [a; с] [с; d]
Это неравенство вытекает из следующих соображений: sup /(г) равен наиболь-
la; d]
шему из чисел sup /(г) и sup f(z). Если наибольшим является sup /(г), то
[а; с] [с; d] [a; с]
sup Дг)= sup /(г)< sup f (z) + ш f(z),
[a; d] [а; с] [а; с] [с; d]
так как ш f (г) > 0. Если же наибольшим из sup f (г) и sup / (г) явля-
[с; «Q [а; с] [с; d]
ется sup f (г), то
lc; d]
sup f (г)= sup /(2)= sup f(z)+[ sup f (z) — sup /(г)].
[a; d] lc; d] [a; c] [c; d] [a; c]
Ho sup f(z)>f(c)> inf f(z); поэтому:
[а; с] [с; d]
sup /(z)< sup f(z)+[ sup f(z)— inf /(г)],
U;d\ la; c] [c; d] [c; d]
т. e.
sup f (z)< sup f(z)+ со /(г)
[a; d] [а; с] [с; d]
Таким образом, неравенство (1) доказано для всех случаев. Из него, в
частности, следует:
sup /(г)< sup /(г)+ со /(г)
[a; x+h] [a; *] |>; *-fft]
при h P> 0; отсюда вытекает
M(x+h) — M(x)< со /(г),
[*; x+h]
* Не ограничивая общности, мы можем считать, что 8 •< Ъ — а.
181

или, так как М (х) возрастает, то
0<М (x+h) — М (х)< со Иг).
[х; х-\-К\
При А-»-0 правая часть неравенства стремится к нулю (так как f (г) непрерывна).;
но тогда и М (x+h)-+M (х); значит, М (х) непрерывна справа в точке х.
Для того чтобы доказать непрерывность М (х) в точке х слева, применим
неравенство (1) к точкам a<Zx — h<^x (где h > 0):
откуда
sup Нг)< sup f(t)+ со /(г),
[а; х] [а;* —А] [х — h; х}
0^М(х)~ М{х — Л)< со /(г).
«->-{,
Следовательно, /И (х — h)-*M(x) при Л->-0; значит, М (х) непрерывна и слева в
точке л:.
Итак, если функция f (х) непрерывна всюду на [а; Ь], тоиМ(х)
непрерывна всюду на [а; Ь].
Аналогично доказываются монотонность и непрерывность функции т(х).
485. Пусть f (х) — возрастающая функция на [а; Ь]; тогда sup f(z)=f(x),
[а; х]
т. е. М (х) = f (х) для всех х £ [а; Ь].
Для Функции М (х)= sup /(г) аналогичное равенство не всегда имеет место.
[я; л)
Приведем пример.
Пусть
х для 0<х < 1,
\х+1 для 1<х<2.
Эта функция возрастает (и даже строго юзрастает) на отрезке [0; 2]. Построим
для нее функцию М (х);
MW- [x+i для 1<х<2.
Как мы видим, f (х)^= М (х) в точке х0 = 1.
Обобщая этот пример, можно построить такую монотонную функцию f (x),
для которой равенство / (х) = М (х) не выполняется на счетном множестве
точек.
486. Пусть функция у = f (x) определена и монотонна (для определенности,
f(x) возрастает) на отрезке [а; Ь]. Допустим, что эта функция разрывна в
точке с, где а^.с^Ь; тогда по крайней мере на одном из интервалов оси Оу:
(f(c — 0); /(c)); (/(с); /(f+0)), нет значений функции. Но это значит, что
функция / (х) принимает в качестве своих значений не see числа отрезка
U(a);f(b)].
Следовательно, если функция монотонна на [а; Ь] и принимает на этом
отрезке в качестве своих значений есе числа из [/(a); f (Ь)], то она непрерывна
на [а; Ь].
487. Да, можно; достаточно положить
If(x) прих^Е,
sup/(О при х£[а; Ь]\Е, х>х0,
И<х
inf / (Q при х £ [а; Ь]\Е, х<х0.
в
Здесь х0 = inf E.
Ясно, что ф (х) — монотонно возрастающая функция; она определена всюду
на [а; Ь], причем на множестве Е она совпадает с f(x).
488. Нет, нельзя. Если / (х) не ограничена, например, сверху, то она не
определена в точке Ь (иначе было бы f(x)^f(b) всюду на Е). Но тогда и
доопределить в точке Ь ее нельзя с сохранением монотонности. Если же / (х) не-
182

ограничена снизу, то ее нельзя доопределить с сохранением монотонности в
точке а.
489. Достаточность очевидна: если / (х) непрерывна на [а; Ь], то
для любого у0, лежащего между f {а) и f{b), существует хотя бы одно
Хо£[а'< Ь], такое, что f (х0) = у0 (в силу теоремы о промежуточных значениях
непрерывной функции). Если, кроме того, f (х) строго монотонна, то такое х0
только одно (если бы была, кроме х0, еще точка хг^=х0, такая, что /(Xi)=y0,
то имело бы место равенство / (Xj) = / (х0), которое противоречит строгой
монотонности функции /С*)). Значит, обратная функция существует.
Необходимость. Пусть / (х) —■ непрерывная на [а; Ь] функция, и пусть
для каждого у0 £ Ег (где Ег — множество значений) существует одна и только
одна точка х0£[а; Ь] такая, что f (х0)=у0. Докажем, что f (х) строго монотонна
на [а; Ь\.
Сначала заметим, что f(a)^=f(b) (если бы было f (a) = f (Ь) = А, то точке
у = А отвечали бы два значения х£[а; Ь]:х = а и х= Ь\ следовательно,
функция у = f{x) не имела бы обратной). Положим, для определенности, что f(a)<^
<Cf(b). Тогда в точке Ь функция / (х) достигает наибольшего значения на
Ж
^•■v
^
^
^
7 *<
Рис. 46
^
£
Рис. 47
1о
[а; Ь], а в точке а—наименьшего: если бы, например, в точке х0^=Ь функция
принимала бы наибольшее значение и было бы / {х0)~> f (6), то, в силу теоремы
о промежуточных значениях непрерьюной функции, между точками а и х0
нашлась бы точка £ такая, что f(Q = f(b) (так как f(a) <f (6) </ (х0),
см. рис. 46). Но тогда одному и тому же значению у (у =/ (£>)) отвечали бы две
точки £ и Ь на отрезке [а; Ь]\ в этом случае функция f (х) не имела бы
обратной. Аналогично убеждаемся в том, что наименьшее значение функция f (х)
принимает в точке а.
Докажем теперь, что функция f (х) строго возрастает на [а; Ь]. Допустим,
что это не так; тогда найдется хотя бы одна пара точек х1 -<х2 такая, что
f (xx)>f (х2). Равенство здесь исключено (если бы было f (xj = f(x2), то
функция не имела бы обратной). Значит, f(x1)>f(x2). Но тогда на участке [а; х±]
найдется точка т] такая, что / (tj) = / (х2) (так как / (а) •<■ / (х2) <; f (хг),
см. рис. 47). А это противоречит тому, что функция f (x) имеет обратную. Итак,
предположение о том, что найдется пара точек х1<^х2 таких, что f (x1)>f (х2),
неверно. Значит, для любых точек Х!<;х2, лежащих на отрезке [а; Ь], имеет
место неравенство: f (хг) < / (х2), т. е. функция / (х) строго возрастает ьл
la; b].
490. Если обе функции монотонно возрастают или обе монотонно убывают,
то их сумма тоже монотонна. Однако если одна из этих функций монотонно
возрастает, а другая — монотонно убывает, то сумма может оказаться
немонотонной. Пример. Если Ф(х)=х, a 4])(x)= — x2, то обе эти функции
монотонны на [0; 1]; однако их сумма } (х)=х+{—х2) не монотонна на [0; 1].
491. Пример. ф(х)=х, i])(x)=x—1; обе эти функции монотонно
возрастают на [0; 1]; однако их произведение /(х)=х(х— 1) не монотонно на этом
отрезке.
183

492. Пусть r1? r2, r3, . . — все рациональные точки числовой прямой R,
занумерованные каким-либо способом; построим функцию f (х) следующим
образом: для любого x£R положим
'«= 2 i-
гк<*
где суммирование проводится по всем номерам k, таким, что г^<^х. Ясно, что
эта функция определена для всех х (так как данный ряд всегда сходится) и
что эта функция строго возрастает (так как для любых чисел хг <х2 найдется
хотя бы одно рациональное число rko , такое, что хх < rko < х2\ поэтому f (х2) >
>/C*i)+7S~~ > /C*i))- Эта функция разрывна в каждой рациональной точке г;
2 о
действительно, для любого х > г имеет место:
'<*)= 2 £*= 2 i+ 2 ^:
^, 1 1 _. 1
пусть номер числа г равен я; тогда _^j 5i > ™; значит, f (х) > 2л ~^-\-
1 1
+—= f (г)+—; переходя в этом неравенстве к пределу (при х-*г+0), полу-
1
чим*: f (r+0)>/(r)+—. Значит, в каждой точке гп функция f (х) разрывна спра-
1
ва, и ее правый скачок f (rn+0) — f(rn)> ~~n'
Докажем, что функции f (x) не имеет разрывов в других точках и что в
рациональных точках гп скачки равны в точности —. Это вытекает из
следующих соображений: для монотонно возрастающей функции разность между ее
верхней гранью и нижней гранью больше или равна сумме всех скачков; но
sup /M = Ezr=H itif / (jc)=0. Следовательно, сумма s всех скачков удов-
R k 2я r
летюряет неравенству: s<l. С другой стороны, сумма всех скачков больше или
1
равна сумме правых скачков в точках гп; поэтому s>E ™=1- Сравнивая это с
полученным выше неравенством, находим, что s = 1. Следовательно, правые
скачки в точках гп исчерпывают все возможные скачки функции (т. е. в
остальных точках функция непрерывна); при этом в самих точках тп скачки равны в
1 1
точности — (если бы хотя бы в одной из этих точек скачок был больше, чем — ,
то сумма всех скачков была бы больше единицы).
493. Эта задача является обобщением предыдущей; построение строго
возрастающей функции, разрывной в точках данного счетного множества al7 а2,
а3, . . ., и только в них, проводится так же, как в предыдущей задаче.
494. Монотонное возрастание функции х (х) на отрезке [0; 1] вытекает из
самого построения функции.
* Символами /(й + 0) и f(a — 0) обозначены пределы функции f (х) при
x-i-c+O и при х-+а—0. Разность f (с+0) — f (а) называется правым скачком
функции в точке с, разность / (с) — / (о—0) — ее левым скачком. Сумма
правого и левого скачков, т. е. число /(a-J-0) — /(a—0), называется скачком
функции / (х) в точке а.
184

Для того чтобы доказать, что х (х) непрерывна на [0; 1], достаточно
заметить, что если бы эта функция была разрывна в какой-то точке л;0£[0; 1], то
(в силу монотонности функции) хотя бы один из интервалов (х (х0 — 0); Т(х0)),
(х (лг„); х (х0+0)) на отрезке 0 < у <; 1 не содержал бы ни одного значения
функции. Однако это невозможно, так как значениями функции являются, в частности,
все двоично-рациональные числа, а они расположены всюду плотно на отрезке
0<^у<1. Итак, функция х (х) не имеет ни одной точки разрыва; значит, она
непрерывна во всех точках сегмента [0; 1].
495. Да, может. В качестве примера такой функции можно взять функцию
Кантора х(х), построенную в предыдущей задаче. Она монотонна и непрерывна
всюду на отрезке [0; 1], и отлична от постоянной; вместе с тем, ее
производная х' (х) существует всюду на CD, и во всех точках множества CD она равна
нулю. Следовательно, х' (х)=0 почти всюду на [0; 1] (так как mCD=l).
496. Пусть f (х) монотонно возрастает на (с; Ь), непрерывна и ограничена
на этом интервале. Доопределим ее на концах интервала, положив: / (с)= /(а+0),
f{b) = f(b — 0).* Теперь функция определена и непрерывна на всем сегменте
[а; Ь], в том числе также в точках а и Ь. Но тогда она равномерно непрерывна
на [a, b], a из равномерной непрерывности функции на [с; Ь] вытекает ее
равномерная непрерывность на любом подмножестве сегмента [а; Ь] и, в частности,
на интервале (а; Ь).
497. Да, справедливо. Если функция f (x) ограничена и монотонна на
(—со; -[-ео), то она имеет конечные пределы 11m f (х) и lirn f(x). Но тогда
Х-У-}-СО Х-*- — ОО
равномерная непрерывность функции на всей прямой (—со; +со) доказывается
тем же методом, которым мы решали задачу 416.
498. Разделим отрезок [0; 1] точками
0=*0<*1<*2<-"*<*П-1 < ХП= 1
так, чтобы на каждом сегменте [х^—й хь\ колебание функции f (x) было мень-
8
ше, чем —-. Далее, на каждом отрезке, [xk—i, x/J определим функцию ф(х)
следующим образом:
Ф (Xk-j) = / fe-i); Ф (хк) = / (xk);
Ф (х) монотонна и непрерывна на [xk_l; Xk\\ ф' (х) = 0 почти всюду на
[xk—i'i *k\- Функцию ф(х), удовлетворяющую этим условиям, можно построить
так же, как строилась функция Кантора в задаче 494.
Построенная таким способом функция ф (х) определена и непрерывна на
всем отрезке [0; 1] и удовлетворяет условиям а) и б). Нетрудно также
проверить, что для любого дг^[0; 1] она удовлетворяет неравенству \f(x) —ф (х) | <е.
499. Построим непрерывную функцию Ф(х), равную нулю, на множестве Е
н положительную вне его (например, ф(х) = о(лг, Е), см. задачу 441). Далее
X
обозначим f (x) = j Ф (t)dt. Тогда /' (х) = ф (х) для всех х£[а; Ь\; в частности,
а
f (х) = 0 для всех х £ Е. Кроме того, / [х] является строго возрастающей
функцией; для проверки этого возьмем две точки % и я2 (a<$x,<xg^fc) и найдем
между этими точками интервал (а; Р) свободный от точек множества Е. Тогда
/ (%) — / (%) = ? Ф (0 dt> f Ф (0 Л = Ф (с) ф - а).
х, а
Здесь а< с<Р; так как с£Е, то ф(с)>0; следовательно, /(х2)> /(,х±).
500. Нет, не имеет решения. Пусть (а; Р) — интервал, целиком
содержащийся в Е (если Е замкнуто и не является нигде не плотным, то такой
интервал наверняка найдется, см. задачу 206). Если для некоторой функции f (x) ее
производная равна нулю всюду на Е, то, в частности, f \х) = 0 всюду на
интервале (а; Р), и, значит, на этом интервале функции f (x) постоянна.
Следовательно, она не может быть строго монотонной на Fa; b]
* Пределы функции f (х) при х-*а—0 и при х-^Ь+0 существуют, так как
эта функция монотонна и ограничена на (а; Ь).
13 Ю. С. Очан
185

501. Сначала докажем, что f(0) = 0; действительно,
/ (0+0) =/ (0)+/ (0); / (0) = 2 / (0); f (0) = 0.
f(k-\
Далее, для любого целого k>0 имеет место: / (kx) = k-f (x); тогда /(1)==
. , :*-/(т)» откуда /(—1=—— = — (где с=/(1)). Наконец,
IP\ II\ a р
f[ — ) = p.f\ — ]=p.— =а-—, т. е. f(x)=ax для любого рационального х >0.
\q' \ql я я
Пусть теперь х > 0 — иррациональное число; построим возрастающую
последовательность рациональных чисел >4<''2<''з< • • •. сходящуюся к х, и
убывающую последовательность г1 > г2> г3> .... также сходящуюся кх. Тогда,
в силу монотонности f{x), f(rk) ^f(x)<f(rk)для любого*, т.е. ar/{<f(x)<
<агк. Устремляя теперь k к бесконечности (т. е. г^ к х и гк к х), получим:
ax<f(x)<ax, откуда f{x) = ax. Значит, / (ж) = шс при любых положительных
х (как для рациональных, так и для иррациональных х).
Наконец, если х<0, то f(x)+f(—x) = f(0), т. е. / (х) = f (0) — /(—я)=
= — f(—х); но в этом случае —х>0; поэтому /(—х) = а-(—х).
Следовательно, f (х) = — / (— х)= — а- (— х)= ах.
Итак, / (х) = ах для всех х.
502. Вариация функции у = k-f (х)+т равна |А|-А
503. Вариация функции равна 7. В этом убеждаемся следующим образом:
разобьем отрезок [0; 1] точками 0 = х0<х1<х2< ■ - • <Хл—х<хп= 1. Тогда
п
21 f (*;) - f (**-i) i = i/ (*i) - f (*ь) i+
i=l
+ { I / (*«) - / (*i) 1+ ■ • • + I / (*«-l) - / (*„-«) I} +1 / (Jt/i) - / (*n-i) I =
= (1 — *i)+ {*n-i — %}+[5 — (1 — *„_!)] = 5 + 2 (xn-i — xj) < 7.
При этом сумма 2 | / (xj) — / {xi—{) \ может быть сделана сколь угодно
v 1=1
П
близкой к числу 7. Поэтому sup 2 I / (хд — / (xi—i) 1 = 7, т. е. вариация функ-
/=1
ции / (х) на участке [0; 1] равна 7.
504. Вариация функции равна 23.
505. Для того чтобы вариация функции / (х) стала минимальной, следует
положить /(1) = с, где а—-какое угодно число, заключенное между /(1 — 0) и
/(1 +0) (т. е. O^c^l). В этом случае вариация функции будет равна 5.
506. Докажем, что данная функция имеет ограниченную вариацию на
отрезке [0; 1]. Эта функция непрерывна и имеет производную во всех точках
отрезка [0; 1]:
{Я Л
2х-cos— + я sin — при хфО,
X X
0 при х=0.
На участке [0; 1] производная ограничена:
I/' (*)| =
л л
2х cos — + зх sin —
X X
я
2x cos —
X
+
я
л sin —
x
<2+я.
А непрерывная функция с ограниченной производной является функцией
ограниченной вариации (см. задачу 510).
507. Для того чтобы доказать, что / (х) имеет неограниченную вариацию на
186

h1
L л .
достаточно для любого числа Л>0 построить такое разбиение отрезка
при котором сумма модулей приращений превосходит число А.
С этой целью разобьем отрезок
2 :
я J
о<
<
jt (2/fe+l) ^я(2& — 1)
<
2 _2_
Зя я
где 2&+1 — нечетное число, которое будет выбрано позднее. Сумма о>, для
этого разбиения такова:
2 \ / 2
о*
U(2*+I) ) \Я(2£+1) я(2£—1)/ \я(2£—1) я(2й—3)Л
+ *" +\5я+3я/+\3я+я j ~ я [1+3+5~+7+ "" +2A+1
В квадратных скобках стоит А-я частная сумма расходящегося ряда 1 +
2 2 2 2
+—+-"+—+ ••• +"ГГ—Г+ ••■; ПРИ достаточно большом k эта сумма мо-
О О / Zrt-J-1
жет быть сделана сколь угодно большой. Следовательно, для любого Л>0 мож
но найти такое число 2А+1 (и, следовательно, такое разбиение отрезка
что Gk > A.
Но это и означает, что сумма модулей приращений может быть сделана
сколь угодно большой, т. е. что функция / (х) имеет неограниченную вариацию
2^
[* £])•
на отрезке
0; —
я
резке
508. Допустим, что F (х) = f(ax+b) имеет неограниченную вариацию на от-
" Ь \—ЪЛ
Тогда для любого натурального числа N можно было бы
а а
яайти такое разбиение отрезка
L а а
точками*
-=W<ti<U<-"<
I £ п
<Zn-i<U= , что сумма 2 !*■(£*)—.Fg*-i)|> Л.
a k=i
Произведем теперь разбиение отрезка [0; 1] точками т]£, такими, что щ =
= a'Qk+b:
0 = 11о<'П1<'П2< ••• <%=1-
Тогда
п п '
21 / Ш - f (4ft-i) I = 2 I / (о £*+*) - / (a Zk-i+b) | =
k=X 6=1
fc=i
Итак, если бы функция F (ж) имела неограниченную вариацию на
[-——; , то / (х) также имела бы неограниченную вариацию на [0; 1]
а а I
(сумма модулей приращений фувкции / (х) может быть сделана больше любого
* Точки деления t,lt Z&, . . ., £n—i зависят, конечно, от N.
13*
W

числа iV > 0). Следовательно, функция F (х) имеет ограниченную вариацию на
I a a \
509. Решение этой задачи совершенно аналогично решению предыдущей.
510. Пусть | f (х) | <; А всюду на [а; Ь]; тогда при любом разбиении
отрезка [а; Ь] точками
а= &><&<&< •••<&,_!< &1=Ь
имеет место (в силу формулы Лагранжа):
I f Hk) - f (&-i) 1 = 1/' (4) (£t- Zk-i) К A-1 U - £fr-iI-
Здесь Tfe—некоторая точка, лежащая между Z^—i и Zk- Поэтому
n n n
21/(Б*)-/(с*-1)1<2л1йк-&к-1| = -д2Иь-г*-1| = л№-а)-
fe=i fc=i a=i
Итак, при любом разбиении отрезка [а; Ь], сумма модулей приращений не
превосходит числа А (Ь—а). Значит, функция / (х) имеет ограниченную вариацию на
[а; Ь).
511. Если Е имеет лишь конечное число граничных точек, то %Е (х) имеет
ограниченную вариацию на любом интервале; это утверждение тривиально. Если
же Е имеет бесконечное множество граничных точек, то %Е (х) имеет
неограниченную вариацию на отрезке [а; Ь]. Докажем это. Зададим произвольное
натуральное число N, и из множества всех граничных точек, лежащих внутри (а; Ь),
выберем N точек и расположим их в порядке возрастания:
о < *i < х2 < ■ • • < xN < Ь.
Около каждой из этих точек построим попарно непересекающиеся окрестности
V (x-j), V (ха), . . ., V (xN) и в каждой из этих окрестностей Еозьмем по две
точки £i и т)(-, такие, что %^Е, Ц^Е. Тогда
» it
V %Е (*) > 21 %Е Ш - ХЕ &) I = N.
а (=1
Итак, вариация функции %Е(х) на отрезке [а; Ь] больше любого наперед
заданного натурального числа N; следовательно, она равна бесконечности.
512. Нет, не обязательно. Вот пример.
Пусть
fk(х) = \k sinkn[xik+l)~1]m сегменте []щ. 7J,
[ 0 вне этого сегмента.
Ряд 2/ft (*) равномерно сходится на сегменте [0; 1]; каждая из функций fk(x)
k
имеет ограниченную вариацию на этом сегменте, однако сумма ряда
представляет собой функцию неограниченной вариации на [0; 1].
513. Пусть \f{x)—/(;у)КЛ|л; — у\ для всех х£[а; &]; у£[а; Ь]. Тогда
для любого разбиения отрезка [с; Ь] имеет место:
2|/&)-/(й-1)К2Л|^-^_1|=Л(Ь-й).
Следовательно, функция f (х) имеет ограниченную вариацию на [а; Ь].
514. Если | / (хг) — / (xs) |<Л | х1 — хг 1° для любых точек отрезка [с; 6],
то, в частности, | / (лг) — / (а) | < А для всех х £ [а; Ъ], т. е. / (а) — А ^/ (х) ^
^ f (а)+А, а это и означает, что функция /(^ограничена на [с; Ь].
Доказательство обратного утверждения очевидно.
188

515. Возьмем две произвольные точки Z, и т], принадлежащие заданному
отрезку [а; Ь], и докажем, что f(Q = f(i\). Для этого разделим отрезок [£; т]].
на п равных частей, где п — пока произвольное натуральное число:
Q = x0<x1<xs< •■• <х„=т]; xi — xi-.l= .
п
Тогда
п
I/ (ч) - / (о I = I / (*«) - f (*„) к 21 / to - / (**-i) к
n
-1 = л
I 1
д 1 Yj f I a
Неравенство | / (т]) — f (0 1 ^ ' r— справедливо при любом натуральном.
па 1
числе п. Следовательно, оно остается в силе и при n-э-оэ. Учитывая, что а>1
и что поэтому а — 1 > 0, получим
I / (Ч) - / (Q К "га Л Ч~ , =0,
откуда /(£) = /С*])- Итак, значения функции одинаковы для любых двух точек
отрезка [с; 6], т. е. функция f (x) постоянна на этом отрезке.
516. Пусть | f (xj) — / (х2) | ^ А | хх — хг |а для любых jtj £ [а; 6], х2 £ [с; 6].
Пусть Р<а. Тогда
,а А Р ЛI х, — х2[Р.
|/(лг1)-/(*2)|<^|лг1-^| = — -|*i-^| < *' ■
Итак, для любых двух точек хь хг сегмента выполняется неравенство
I / (%) — f fe) К -Б I % — Ч 1 Р» гае в= . Следовательно, функ-
(6 —с)р a
ция f (x) удовлетворяет условию Липшица порядка |3.
517. Пусть | / (%) — / (х2) \^ A\x1 — xi\a для любых х± £ [с; Ь], хг £ [а; Ь].
Будем считать для определенности, что ти>0. Возьмем два произвольных числа..
(Ч):
[а — п Ъ — п\ [а — п Ъ — п\
; I, ч к. I "'. и оценим разность F (£) — F
т т \ [_ т т \
\F (J)—F(t|)|=| K|-| /(m£+n)—/ (тч+я)К|К|-Л.|/л£-тчГ=
=|К|-Ап-1Е-ч|°
[с — и 6 — п]
; , то т t+n и
/и т \
тг\-\-п принадлежат сегменту [а; Ь]; поэтому мы имели право применить
неравенство Липшица к разности f (mt,+n) —f (mt|+n)]. Итак, F (x) удовлетворяет
условию Липшица порядка а на соответствующем отрезке с константой [ К I Am,
518. Пример. Функция
1 1
/м=|-^гпри0<х<т»
[ 0 при х=0
является непрерывной на сегменте 0; — I и строго возрастающей на этом сег»
менте (следовательно, она имеет на нем ограниченную вариацию). Докажем, что
189-

эта функция не удовлетворяет условию Липшица ни при каком а>0. Пусть
а — какое-либо число, заключенное между нулем и единицей. Покажем, что для
любого Л > 0 найдутся две точки %£ 0; — и хг £ 0; ■— , такие, что
'I / te) — f (%) I > A | x2 — x1\a . В качестве хг возьмем точку хг = 0; для то-
!/(*)-/(0)1
то чтобы подобрать х2, проверим, что , ^ ->-оо при х^-0:
\х — 0\
1
,. 1/00-/(0)1 .. 1пдс ,. -х
lim —; —— = lim = hm
*~o U —0 a
=limax~a=.
-9-0 xa x-*0 In X x-,-0
Но тогда для любого Л>0 можно подобрать такое л2, что >Л
|х2-0|а
откуда \f(x2) — f(0)\>A\x2 — 0ja. Следовательно, f(x) не удовлетворяет
условию Липшица при 0<а<1.
519. Пусть Й1+02+ ••• +ап+ ••• произвольный сходящийся
положительный ряд с монотонно убывающими членами; пусть его сумма равна s. Построим
.на [0; s] функцию f {x) следующим образом:
/ (х) = 0 в точках 0, а1у а^+а^, а^+а^+а^, . ..;
1
f(x) =— в точке с1+а,+
/00 = 0;
■ ап
-о„_1+-(при«=1, 2,3,...);
f(x) линейна на любом отрезке вида [аг+ ■•- + ап—ц а±+ ■■■ +ап—1-\-—\
а также на любом отрезке вида [d+ • • • -\-ап—1+— ; а±+ ■ • ■ +an—i+an] и
на отрезках
Й1
0; —
2
fli
; at I (схематический график этой функции см. на
рис. 48). Эта функция непрерывна на сегменте [0; s] и имеет на нем
Hearty Сз
Рис. 49
Рис. 48
190

раниченную вариацию, каков бы ни был исходный ряд 0^+0:2+ • - - +
+ап+ ■■■■ Для того чтобы убедиться в том, что вариация неограничена,
разобьем отрезок [0; s] точками:
й! а.г а3
—; а±; а2+—jd+aa; й1+Са+—, ■ • .; о1+а2+а3 + ■■■ +ak,
где k — произвольное натуральное число; вычислим сумму 2^ модулей пррраще-
ний функции для этого разбиения:
+
f(j)~f(0) + f№-ffe\\+.fl°i+
2fe=
/(fli+
1111
= 1 + 1+—+—+—+—+
2 2 3 3
a2
/Ы
+ak)—fla1+
(«i
Ok
+
1 l n/, ! 1 1
' +— + —=2 1 + —+—+ -■• 4—
+
+ ak)\ =
Отсюда видно, что, выбрав достаточно большое к, можно сделать сумму £&
S
сколь угодно большой. Следовательно, V f (х)=-\-со.
о
Подберем теперь ряд а^+а^-^- • • • +а„ + ■ ■ • так, чтобы функция / (х)
удовлетворяла условшо Липшица заданного порядка. Пусть Мх (хъ у{) и М2 (х2,у2}
— две точки графика, принадлежащие одному и тому же отрезку графика
(см. рис. 48). Если <%+ -•- -\-an—i<х1 < х3 ^аг + •-•
1_
п 2 ^
] уа — У! | = /<С | х2— х±\, где К= —=—. Следовательно,
On пап
2
1—а
+^n+i+—, го
\Уг — У1| = 1*2"
пап
2 \ х2 — Xl I
\х2 — х1\а<-
2а,
1—а
пап
! —*ll
I *2 ~ *1 I "■
Подберем {c„} так, чтобы было ограничено (по всем я). Это можно
сделать, не нарушив сходимости ряда 2 ап; для этого достаточно взять ап —
п
1
Тогда для любых двух х1 и х2, для которых точки графика принадлежат
одному и тому же отрезку графика, имеет место
l/(*»)—f(*l)l<2|Xj —*!|в.
Пусть теперь xt и х2 — два числа на отрезке [0; з],для которых точки графика
не лежат на одном и том же отрезке графика, например:
Хг £ Й!+
*г£ Ui+ ■••
+«ft-i; fli+
ап
+о«-1+—; fli+
+aft_!+
a&
+a«—l+fl/i
191

где k^n (см. рис. 49)*. Проведем через точку М2 графика (с абсциссой х2)
горизонтальную прямую и найдем ее точку пересечения с тем отрезком графика,
на котором лежит точка Mj (с абсциссой %); пусть это будет М2 (|; ц). Легко
■проверить, что \х% — хх\ > | g — х2 |; кроме того, f (х2) = / (£). Следовательно,
\f(x2)-f(x1)\ = \№-f(x1)\^2\Z-x1\a <2|x2-x1|a.
Итак, неравенство | f (х2) — / (%) | ^ 2 | х2 — х11 а выполняется для любьй
двух чисел отрезка [0; s]; значит, функция / (х) удовлетворяет на этом отрезке
условию Липшица порядка а.
Заметим, что / (х) не удовлетворяет на отрезке [0; s] условию Липшица ни
для какого порядка р, где р > а. Это следует из того, что lim —=оо
п-х |6„ — с„|р
/ °л
/если положить Ьп — ах-\- ••• +йп_1+йп; Сп = й!+ ••■ +c„_j+ — i ;
действительно:
1 1
— — р
I / (Ьп) — f (cn) | п п » —-I
а последнее выражение стремится к бесконечности при п->-оо.
■=Фпа
520. Обозначим через фа (х) функцию, построенную в предыдущем примере.
Она удовлетворяет условию Липшица порядка а, но не удовлетворяет условию
Липшица ни для какого порядка р > а. Обозначим, кроме того, через сп сумму
со \
.ряда 2 —.
k=\ kn
Построим теперь искомую функцию f(x). Для этого нанесем на отрезок
:[0; 1] последовательность точек
°=12<1з<?4< •" < In < ■••
(где g„-s-l при я^-оо), и на каждом отрезке [gn; £n+il зададим f (x)
следующим образом:
/<V(*-En)\
а) если п — четное, то полагаем fix) = —Ф] I I (эта ф}нкция
П п\ 6п+1~6« /
•получается из Ф) (х) сжатием в п раз по оси ординат, сжатием в отношении
п
ап
по оси абсцисс и переносом вдоль оси абсцисс вправо на величину |„),
ы*+1 ъп
1 / °n "(in+i — x)
б) если п — нечетное, то полагаем f(x) = —ф^ — —
* Если одна из точек хх или х2 равна s, то доказательство аналогично.
192

Таким образом, функция f (х) определена всюду на полусегменте [0; 1);
доопределив ее еще в точке х= 1 равенством / (1) = 0, мы получим функцию f(x),
определенную и непрерывную всюду на сегменте [0; 1]. Функция f (x) имгет
неограниченную вариацию на этом сегменте (схематический график функции
f (х) см. на рис. 50).
Эта функция на отрезке [£„; |n+i] удовлетворяет условию Липшица
порядка —, но не удовлетворяет условию Липшица порядка
п п-
Г
следовательно,
на всем отрезке [0; 1] она не удовлетворяет условию Липшица ни для какого
порядка а > 0.
h /в h
Рис. 50
521. 1. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [а; Ь]:
с = х0<х1<х2< ••• <хп=Ь,
оценим сумму модулей приращений функции jj-^ (для выбранного разбиения)?
п
2
i=i
1
1
f (X[) f (Xi-t)
i=\
f{*)
l/fa)-f(»«-i)l
2 \f(xi) — f{xi-l)-
так как | f (xt) \>c, | /(x/—i) |>c Неравенство
1 1
s
f(xd f (xi-j)
<?2 im*/)—/(xi_i)i
i=l
справедливо для любых разбиений отрезка [а; Ь]. Беря верхнюю грань (по все-
возможным разбиениям) от правой и левой части этого неравенства, получпм:
6 1 16
V—-<-Vf(x),
а / (х) С* а
откуда следует ограниченность вариации функции
/(*)'
аэз

522. а) Достаточность. Пусть функция F(х) непрерывна в точке х0;
докажем непрерывность функции f(x) в точке х0. Пусть /г>0; тогда
xo+h
1/(»ct*)-/WK V f{x);
НО x0+h x„+h x0
V f(x)= V f(x)-Vf(x) = F(x0+h)-F(x0).
x0 a a
Значит, ( f (x0+h) — f(xu) [ < F (xB+h) — F (хв). В силу непрерывности функции
F(x) в точке х0, отсюда следует, что f(xB+h)— f(xB)s-0 при Л-*-}-0, т. е.
функция f(x) непрерывна справа в точке хв. Аналогично доказьгеается, что/(х)
непрерывна слева в точке х0
б) Необходимость. Пусть f(x) непрерывна в точке хв£[а; Ь].
Докажем непрерывность справа функции F (х) в этой точке. Возьмем произвольное
е>0 и докажем, что найдется /о О, такое, что \F{&)— F(xB)\<e при
xB<%<xB+h. Для этого построим такое разбиение отрезка [хв; 6] точками
х0<хх<х2< ■■■ < хп = Ь, при котором сумма модулей приращений функции от-
* е
личается от вариации V f (х) не больше, чем на -—; при этом всегда можно счи-
*о 2
е
тать точку х1г столь близкой к х0, что \ f {х{) — f (x0) | <— (если бы точка
X! была далека от х0, мы бы добавили к точкам деления еще одну точку,
достаточно близкую- к хв\ добавление одной точки к точкам деления может только
увеличить нашу сумму). Итак,
п .
2 i/(**)-/(*fc-i)i>v/(*)—ir.
k=l xa 2
т. е.
Ь п
Vf(x)<^,\f(xk)-f (зд-i) I+-J =
х„ &= 1 /
= i f (*i) - / (*ь) и- is i' ^ - f (**-i) i + 7<"|+y/ (x>+ f = \f w +e-
Поэтому
Vf(x)—Vf(x)<e,
x0 xx
т. e.
Vf(x)<e, откуда V f (x) — Vf(x) <e.
x0 a a
Обозначив теперь х1 = x0-\-h, получим:
F(x0+h) — F{xB)<£.
Так как F (%) — возрастающая функция, то отсюда следует, что для любого £,
х0<?<ж0+й имеет место
\F(l)-F(x0)\<e,
откуда и следует непрерывность справа функции F(x) в точке хв.
Непрерывность слева доказывается аналогично.
523. Утверждение, содержащееся в этой задаче, является непосредственным
следствием той теоремы, которая доказана в предыдущей задаче.

524. Функция / (х) = cos2 x
представила в виде разности юзрастающих
следующим образом:
f{x) = Vf{x)-<f(x),
где <p{x) = V f(x) — f(x). Здесь
а
Vf{x}=
1 — cos2 xпри 0<х< —-,
l+cos2xnpH — <х<п.
Ф(х)=
я
1 — 2 cos2 л; при 0<х<—,
1 при — <х^я,
(см. рис. 51).
525. sinx=q>(x) — ФМ, где
я
sin х при 0 < х< —,
я Зя
ф(х)=,2 —sinx при — < «< —,
| 4+smx при —<х<2я.
I 2
y^Vflxi,
uj.?m
Рис. 51
Рис. о2.
О при 0<х < —,
я Зя
ip(jc)=j2 —2sinxnpn — <х< — ,
Зя
4 при — <х<2я.
(см. рис. 52).
526. f(x) = <f{x) — ty(x), где
(х2 при 0<х<1,
ф(х)=< 2 при х = 1,
(. 3 при 1<л:^2.
, . . |2х2 при 0%х<1,
W*H 2 при кк2.
J -
А
7 ?
Рис. 56
(см. рис. 53).
195

527. Вариация функции на всем отрезке [0; 2]: V f (x) = 7, на отрезках
о
1 2
■10; 1] и [1; 2] : V f(x) = 5, Vf(x) = 2. Функцию f (x) можно представить сле-
о 1
.дующим образом в виде разности монотонных: f (х) = ф (х) — ф (х), где
[ х2 при 0 < х< 1,
ф(х)=< 5 при х= 1,
[х+5 при 1<л-<2.
+ «={'
0 при О^х < 1,
2 при 1 < л; < 2.
528. Это следует из того, что |а — р | > ||а| — | р 11 (для любых чисел а
и Р). Поэтому при любом разбиении имеет место:
2
6= 1
i/ta)l-IM*A-i)!
<2
& = 1
/ (*ft) — f(xk — i)
<Vf(*).
Следовательно, функция | / (х) | имеет ограниченную вариацию, причем
VUWKVf(x).
529. Нет, неверно. Вот пример. Пусть
1 при х ирр;
1 при х рациональном.
[ — 1 при х иррациональном,
Тогда | f (х) | = 1; следовательно, 1 f (x) | имеет ограниченную вариацию
на любом отрезке [а; 6], тогда как f (x) — функция неограниченной вариации
на том же отрезке.
530. Да, если f (х) — непрерывная функция и | f (x) \ — функция
ограниченной вариации на [а; Ь\, то f (x) также имеет ограниченную вариацию
«а [а; Ь\. Докажем это.
Возьмем произвольное разбиение отрезка [с; Ь] и обозначим через а сумму
модулей приращений функции f (x) для этого разбиения. Если на каком-либо
участке (xk — i'. *ft) этого разбиения функция f (x) не меняет знака, то на этом
участке приращение функции равно по абсолютной величине приращению
модуля функции. Если же на участке (x,k — i; xk) функция f (x) меняет знак, то
в силу непрерывности, она обращается в нуль в некоторой точке £^,
JCft_!<gft<Xfe. Так как на каждом из участков (л^ —i; £fe) и (£&; х^)
приращение функции равно по абсолютной величине приращению ее модуля, то
I f Ш - f (xk _ „) | < | f (xk) -f&k)\+\f (5ft) - f(4 - i)l =
= 1 \f(Xk) I - I f(tk) | | +1 I M£ft) I -\fiXk-!) I I-
Итак, сумма а модулей приращений функции f (x) для заданного разбиения
не превосходит суммы а* модулей приращений функции | f (х) | для некоторого
разбиения (а именно для того разбиения, которое получится, если к точкам
*ft добавить точки Jjj, выбранные выше). Но а* не больше вариации функции
If (х) | (по условию, | f (x) | —функция ограниченной вариации). Поэтому
ь
с ^ С* ^ V | / |. Итак, для любого разбиения отрезка [а; Ь\ сумма с не превосходит
196

ь
числа V |/1; следовательно, f (х)— функция ограниченной вариации, причем
а
ь ь
Vf<V|/|.
а а
Ъ Ь
Замечание. Из решения задачи 528 вытекает, что V|/|^V/\ Сравни-
а а
вая это неравенство с полученным выше, заключаем, что для непрерывной
ь ь
функции f (х) имеет место равенство: V/ = V | /|.
а а
531. а) Необходимость. Пусть f (х) — функция ограниченной вариа-
X
ции на [а; Ь\\ функция ф (х) = V f является возрастающей на [а; Ь\ функцией;
а
очевидно, что она удовлетворяет заданному неравенству при любом h > 0, так
как
|f№)-fWK*V f=XV / — V f = Ф (х+А) — q> lx).
>. а а
б) Достаточность. Пусть f (х) — функция, заданная на [с; Ь],
к ф (х) — такая возрастающая на [с; Ь] функция, что для любого х£[а; Ь]
и любого А>0 (при условии, что x-\-h£\a; b]) выполнено неравенство:
| f (x+h) -/(1)Кф (x+h) — ф (х).
Для того чтобы доказать, что f (х) — функция ограниченной вариации, разобьем
отрезок [с; Ь] точками а = Xq < хг < х2 < ... < хп _ х < хп = Ь и оценим сумму
модулей приращений f (x):
п п
0= 2 IH*fc)-/4**-i)l< 2 [ф(**)-ч>(Чк-1)] = Ф(^-Ф(о)-
Итак, указанная сумма не превосходит числа ф (6) — <р (с) при любом разбиении
отрезка [с; 6j; следовательно, f (x) — функция ограниченной вариации, причем
Ь
У/<ф(Ь)-ф(с).
а
532. Спрямляемость этой кривой следует из того, что функция
( 1
х2 sin — при х ф О,
У=\ х
| 0 при х — О
имеет ограниченную вариацию на отрезке [0; 1]; доказательство того, что эта
функция имеет ограниченную вариацию, проводится так же, как и при решении
задачи 506.
533. Неспрямляемость этой кривой вытекает из того, что заданная функция
не имеет ограниченной вариации на отрезке [0; 1J; неограниченность вариации
этой функции доказывается тем же методом, который был использован при
решении задачи 507.
534. Кривая Пеано неспрямляема (в самом деле, так как она заполняет
весь квадрат, то в нее можно вписать ломаную сколь угодно большой длины).
Следовательно, хотя бы одна из функций ф (t) или т}> (t) должна быть
неограниченной вариации. Но обе эти функции совершенно равноправны, что ясно
из построения кривой Пеано. Следовательно, случай, когда одна из этих функ-
197

ции имеет неограниченную' вариацию, а другая —
ограниченную, исключается. Значит, обе функции
Ч> (О и 'Ф (0 имеют неограниченную вариацию на
участке 0 ^ f ^ 1.
535. Когда параметр f пробегает значения от
1 до 0, точка М (х\ у) на плоскости,
действительно, движется по отрезку, соединяющему точки
(а; а) и (6; Ь). При атом точка М совершает
колебательные движения по этому отрезку. Таким
образом, линией, заданной этими параметрическими
уравнениями, является не указанный выше
отрезок, а ломаная AB1B2BS ... С с бесконечным
числом звеньев (которые все лежат на этом
отрезке) (см. рис. 54). Эта ломаная не спрямляема.
536. Функция у = f (х), имеющая
ограниченную производную на 0; 1], является функцией ограниченной вариации
(см. задачу 510). Следовательно, кривая у = / (х) спрямляема.
537. Функции x=q(t), У='Ф(0 имеют ограниченную вариацию на [0; 1}
(см. задачу 510); следовательно, кривая х = ф (t), у = ty (t) спрямляема.
Рис. 54
ГЛАВА 12
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ЛЕБЕГА
538. Пусть а — произвольное число. Легко видеть, что
E{[f(x)f>a) = E(f{x)> Vd).
Так как, по условию, f (х) — измеримая функция, то множество E(f(x)>y a)
измеримо; следовательно, множество E([f(x) }s>a) также измеримо при любом
а; значит, функция [/ (х) ]3 измерима.
539. Нет, не следует. Пример. Пусть
/(*) =
1 на каком-либо неизмеримом множестве А;
— 1 на СА.
Функция / (х) неизмерима, тогда как функция | / (х) | (она равна тождественно
единице) измерима.
540. Построим последовательность точек а1>а2>а3> . . ., сходящуюся
к с, и последовательность Pi < Рг < Р3< • • -. сходящуюся к Ь. Ясно, что
CQ
(а; Ь) = U [ВД Р.-].
Так как функция f (х), го условию, измерима на любом [щ; PJ, то, для
всякого числа с, множество точек
£« = [а«; Рг] П £(/(*)> с)
измеримо. Но множество Е (/ (х) > с) всех точек из интервала (а; 6), в которых
/ (х) > с, равно сумме всех Ef.
Е Ц (х) > с) = U Et.
i
Следовательно, множество Е (f (х) > с) измеримо при любом с; значит, / (х)
измерима на интервале (д; Ъ). А так как сегмент [а; Ь[ отличается от интер-
198

вала (а; Ь) лишь множеством меры нуль, то функция f (х) измерима и на
сегменте [а; Ь].
541. Да, измерима; она отличается от функции <р (х) = Xs только на
множестве меры 0 (на подмножестве канторова множества). Значит, функции f (х)
и ц> (х) эквивалентны. Но ф (х) измерима на отрезке [0; 1]; следовательно
и / [х) измерима на этом отрезке.
542. Рассмотрим функцию ф„ (к) = i ; она определена
п
Г П
и измерима на
— . Предел lim q>„ (x) =f'(x) существует для всех
1
а; Ъ — -
п
X; следовательно, предельная функция f (x) измерима на отрезке
А так как полусегмент [с; Ь) является суммой сегментов \а\ Ъ —.—
L п „
f (х) измерима на полусегменте [а; Ь) (в этом мы убеждаемся так же, как
и в задаче 540). Но тогда f (х) измерима и на всем сегменте [а; Ь].
543. Если ХЕ{х) — характеристическая функция множества Е, то
Е(ХЕ(х) > a)=R, если с < 0 (здесь R — все пространство);
Е (Хе (х) > а) = Е> если О < а < 1;
Е(ХЕ{х) > а)=0, если а > 1.
Отсюда видно, что если Е — измеримое множество, то функция %Е(х)
измерима, а если Е—неизмеримое множество, то функция ХЕ{х) неизмерима.
544. Построим функцию f(x) следующим образом: пусть Е—измеримое
множество на прямой, обладающее тем свойством, что для любого интервала
(а, Р) мера множества Е Л {«". Р) отлична от нуля и мера множества СЕ f] (а;р")
также отлична от нуля (пример такого множества был построен при
решении задачи 359). В качестве искомой функции f (х) возьмем функцию ХЕ (х)
(характеристическую функцию множества Е); она разрывна в любой точке х0 (так как
колебание функции на любом интервале, содержащем эту точку, равно 1).
Если изменить значения этой функции на множестве меры нуль, то колебание
на любом интервале может только увеличиться; следовательно, и после
изменения значении этой функции на каком угодно множестве меры нуль, она остается
разрывной в любой точке.
545. Обозначим [f (х) ] ьа = ф (х). Ясно, что
Е (ф (х) > с) = Е при с < а;
Е (ф (х) > с) = E(f (х) > с) при а < с < Ь;
Е (ф (х) > с) = 0 при с > Ъ.
Так как f {к) измеримая функция, то множества Е (ф (х) > с) измеримы при
любом с. Значит, функция ф (х) измерима.
546. Пусть y = f(x) — произвольная функция; произведение X(x)-f (x) почти
всюду равно нулю. Следовательно, функция X(x)-f(x) эквивалентна функции,
тождественно равной нулю, т. е. некоторой измеримой функции. Значит, сама
функция %(x)-f(x) измерима.
547. Всякая монотонная функция измерима; а любая функция
ограниченной вариации есть разность двух монотонных; следовательно, она также
измерима.
199

548. Пусть Ег — интервал (о; Р) на оси Оу. Тогда (а; р1) =
= (—°°*. р) Г) (а; +оо). В силу измеримости функции f (х) прообразы
бесконечны» интервалов (—со; Р) и (а; +оо) измеримы, а так как прообраз
пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов (см. задачу 373), то
f—1 (а; Р) = f—i (—оо; Р) П/ -1 (а; + °°); следовательно, прообраз интервала —
измеримое множество.
Если Ег — произвольное открытое множество на осн Оу, то оно является
суммой счетной совокупности интервалов; чтобы доказать, что j— * (Et) —
измеримое множество, надо использовать тот факт, что прообраз суммы множеств
равен сумме прообразов (см.
задачу 375).
Если Et — замкнутое
множество, то Ег = R\E2, где R — вся
ось Оу, а Е2 — некоторое открытое
множество; так как прообраз Есей
прямой — измеримое множество, и
прообраз открытого множества Е2
также измерим, то измеримым
является и прообраз их разности (см.
задачу 374).
Если Ех — множество типа G,
или типа F , то прообраз Ег
также измерим (доказательство
аналогично).
549. Прообраз измеримого
множества не обязан быть измеримым
Приведем пример,
подтверждающий это.
Рассмотрим функцию Кантора
у = т (х) (она была построена в
задаче 494). Как мы знаем, она
монотонна и непрерывна на отрезке £=
=[0; 1] и отображает его на весь
отрезок Ег = [0; 1] оси Оу. При
этом канторово множество D С Е
отображается на множество всех
чисел отрезка Ех, а множество CD —
на множество двоично-рациональных
чисел этого отрезка.
Построим ' теперь функцию
Ф (х) = х+г (к). Она строго возра-
8_ j стает и непрерывна; она отобража-
9 ет отрезок [0; 1] оси Ох взаимно
однозначно на отрезок [0; 2] оси
Оу; при этом множество CD
перейдет в множество меры 1 (так как
каждый интервал из CD перейдет в интервал такой же длины) и, следовательнэ,
множество D — в такое замкнутое подмножество F отрезка [0; 2] оси Оу,
мера которого также равна 1 (схематический график функции у = Ф (х)
см. на рис. 55).
Построим, наконец, функцию, обратную Ф (х) (обозначим ее х=ф(#)).
Она непрерывна (следовательно, измерима) и отображает отрезок [0; 2] с Оу
взаимно однозначно на отрезок [0; 1 ] с Ох; прн этом множество F (мера
которого равна 1) переходит в D (рис. 56).
Множество F (как и всякое множество положительной меры) содержит
неизмеримое подмножество, например подмножество AcF. Образ q> {А) этого
подмножества будет частью канторова множества (т е. частью множества 9(F)).
Но всякое подмножество множества меры нуль измеримо. Следовательно,
2 1
9 3
1
г
Рис.
2
3
55
7
9
200

В = ад (А) измеримо. Итак, множество В измеримо, тогда как его прообраз *
А = qr-i (В) неизмерим.
550. Из того, что функция / (х) измерима на Е, и из того, что множество
Е0, включенное в Е, измеримо, еще не следует измеримость множества f (£0).
Покажем это на примере.
Рассмотрим функцию Ф (х) = x-f-t (х), где т (х) — канторова функция (см.
предыдущую задачу). Функция Ф (х) переводит (взаимно однозначно и непрерывно)
отрезэк [0; 1] сг Ох в отрезок [0; 2] С Оу, а канторово множество D с: Ох —
в некоторое подмножество F С Оу, причем mF=\. Пусть А — неизмеримое
подмножество множества F, а В = Ф—х (А) — прообраз множества А. Тогда
множество В измеримо (как часть канторова множества, которое имеет меру нуль).
Рис. 56
Итак, В измеримо, а А = Ф (В) неизмеримо. Функция, с помощью которой
осуществляется отображение, измерима (даже непрерывна).
551. Докажем измеримость функции y~f[q>(t)]. Пусть а — произвольное
число. Тогда множество тех х £ Еи для которых выполнено неравенство у > а,
т. е. f (х) > а, является пересечением некоторого открытого множества Г
на оси Ох и множестве Et **.
Для того чтобы найти теперь на оси t множество тех точек, где
у = / [ф (t)] > а, надо найти множество А всех тех точек, для которых
Ч> (0 6 ГП^ь или. что то же самое, множество тех точек, для которых
ф(£) £ Г, т. е. найти прообраз ф^1 (Г) множества Г. Но если ф — измеримая
функция, а Г — открытое множество, то множество ф— * (Г) измеримо (см.
задачу 548). Итак, для любого а, множество тех t, для которых / [ф (t) ] > а,
измеримо. Значит, функция / [ф(0] измерима.
552, Из того, что функция х = ф [t) непрерывна на Е = [a; f$], a у = / (х) —
измеримая функция, еще не следует, что суперпозиция y = f\f$(t)] измерима
на Е Приведем пример.
* В данном случае из равенства В = ф (А) следует, что A=fp~1 (В)
(т. е. что А является полным прообразом множества В), в силу взаимной
однозначности функции х = ф (у).
** Если непрерывная функция у — f (x) задана на всей прямой, то
прообразом всякого открытого множества на оси Оу является открытое множество
на оси Ох (см. задачу 381). Если же область определения функции (множество
Е{) отлична от всей прямой Ох, то тем же методом легко доказать, что
прообраз открытого множества является общей частью множества Ег и некоторого
открытого множества Г на оси Ох.
14 ю. С. Очан
201

Пусть х=ф(2)— функция, обратная к функции t = x+x(x), где т (х) —
канта рова функция, определенная на 0<х^1. Тогда x = cp(t) — непрерывная
на О <J t ^. 2 функция, принимающая значения на отрезке 0 ^ х ^ 1
(схематический график функции x=(p(t) приведен на рис. 56). При решении задачи 549
было показано, что на этом отрезке имеется измеримое множество В
(В с [0; 1] с Ох), прообраз которого А = ф—1 (В) является неизмеримым
множеством на оси Ot.
В качестве измеримой функции у = f{x) примем теперь характеристическую
функцию множества В. Она измерима, так как измеримо множество В.
Однако функция от t, у =f [ф (t) ], неизмерима. Для того чтобы в этом
убедиться, достаточно найти множество тех t, для которых у > 0;
неравенство у > 0 равносильно тому, что х £ В; а множество тех t, для которых
х £ В, является множеством А, т. е. неизмеримым множеством.
Итак, множество А тех точек t, для которых f [ф (t) ]' > 0, неизмеримо.
Значит, эта функция неизмерима.
553. Всякая функция ограниченной вариации на [с; 6] ограничена и имеет
не более счетного множества точек разрыва на [с; Ь\ (следовательно, мера
множества точек разрыва равна нулю). Этих условий достаточно для того, чтобы
функция была интегрируема по Риману на [а; Ь].
554. Нет, не может. Если функция разрывна всюду на непустом открытом
множестве G с [а; Ь], то множество ее точек разрыва имеет положительную
меру. Такая функция не может быть интегрируемой по Риману на отрезке [с; Ь].
555. Из интегрируемости по Риману некоторой функции на любом отрезке
[а; р], где а < а < р < Ь, еще не вытекает интегрируемость этой функции
по всему отрезку [с; Ь\. Примером может служить функция
1
— при х Ф 0,
f(x) = \ х
0 при х = 0.
Она не интегрируема по Риману на отрезке [0; 1] (в силу
неограниченности), однако она интегрируема на любом отрезке [а; Р], где 0 < а < р < 1.
556. Если / (х) ограничена на [с; Ь] и интегрируема по Риману на любом
отрезке [а; р], где с < а < р < Ь, то она интегрируема по Риману на всем
отрезке [а; Ь]. Докажем это.
Так как функция интегрируема по Риману на любом отрезке [а; р],
то она, в частности, интегрируема на отрезках
п п |
а+—; Ъ — — при я=1, 2,
на
3, . . .; следовательно, на каждом таком отрезке множество точек разрыва
имеет меру нуль. Обозначим через Еп множество точек разрыва функции
а+—; Ъ — — ; тогда множество всех точек разрыва на отрезке [с; Ы
п п ]
равно сумме всех Е„, к которой, может быть, добавлены точки с и Ъ (или
одна из них). Но так как тЕп = 0 при любом п, то и m (J £'ft = 0. Добавление
п
к множеству (J Еп одной или двух крайних точек отрезка [с; Ь] не изменит
п
меры этого множества. Итак, множество всех точек разрыва функции на отрезке
[с; Ь] имеет меру нуль. Так как функция, по условию, ограничена на [с; 6],
то она интегрируема по Риману на \а; Ь].
557. Пусть функции <р„ (х) интегрируемы по Риману на отрезке [а; Ь],
и последовательность {(рп(х}\ равномерно сходится к f (x) на этом отрезке.
Докажем, что f (x) интегрируема на (с; 6J.
а) Функция f(x) ограничена. Действительно, если последовательность
{ф„(х)} равномерно сходится к f(x), то для любого е > 0, и, в частности, для
е= 1, найдется N такое, что для всех п > N имеет место:
I/W — Ф„М| < 1.
202

При п = N это неравенство сводится к следующему:
I / (*) - Фаг (*) I < 1
или
Флг (*) — 1 < f (х) < <PN W + 1-
Так как функции (fN(x)—I и tpN(x)-\-l ограничены на fa; 6], то и f (х)
ограничена на [а; Ь).
б) Множество точек разрьша функции f (x) имеет меру нуль. Для того
чтобы это доказать, обозначим через Еп множество точек разрьша функции
фгс (*); тогда тЕп = 0. Обозначим через А множество [a; Ъ\ \ (J Еп; мера
п
множества А равна Ь — с.
В каждой точке % £ Л все функции <р„ (х) непрерывны; но тогда и
предельная функция f (x) непрерывна в точке х0 (в силу равномерной сходимости
последовательности). Значит, функция f (x) может быть разрывна только в
точках множества (J Еп, т. е. только на множестве меры нуль.
п
Итак, функция f (x) ограничена на [а; Ь\ и мера множества ее точек
разрыва равна нулю. Следовательно, f (х) интегрируема по Риману на [с; Ь].
ь ь
Равенство f f (x) dx = lim | фп (х) dx доказывается так же, как и анало-
а п -* °° a
гичное равенство для равномерно сходящихся последовательностей непрерывных
функций.
558. Из того, что тЕ=0, еще не следует, что %Е (х) интегрируема
по Риману. Пример: Если Е—множество рациональных чисел на [0; 1], то
тЕ = 0, однако %Е (х) не интегрируема на [0; 1] (множество точек разрыва
этой функции совпадает со всем отрезком [0; 1]).
559. Из того, что Е — нигде не плотное множество на [с; Ь], еще не
следует, что %Е (х) интегрируема по Риману на [с; Ь]. Пример. Пусть Е —
1
совершенное нигде не плотное множество меры —, расположенное на отрезке
[0; I]. Тогда %Е {х) разрывна во всех точках множества Е, т. е. на
множестве положительной меры; следовательно, функция % Е (х) не интегрируема
по Риману на [0; 1].
560. Из того, что Е — нигде не плотное множество меры нуль, еще
не следует, что %Е (х) интегрируема по Риману. Пример. Пусть F —
совершенное нигде не плотное множество меры — на отрезке [0; IJ и
Е—множество концов всех смежных интервалов. Тогда Е нигде не плотное множество
меры нуль (Я — счетное множество). Однако характеристическая функция ХЕ{х)
разрывна не только в точках множества Е, но и всюду на F, т. е. на
множестве положительной меры. Следовательно, она не интегрируема по Риману.
561. Да, интегрируема. Это следует из того, что все граничные точки
замкнутого множества включаются в это множество. Следовательно, мера
множества граничных точек множества Е равна нулю. А характеристическая
функция %Е (х) разрывна только в граничных точках множества Е.
562. Пусть Е—множество на [с; Ь\, замыкание которого имеет меру нуль;
функция %Е{х) разрывна во всех точках множества Е и непрерывна во всех
точках дополнения [а; Ь\\Е. Следовательно, множество точек разрыва
функции %Е (х) имеет меру нуль. Так как эта функция, кроме того, ограничена
на [с; Ь], то она интегрируема по Риману на этом отрезке.
563. Функции примеров 397, 398 (при с„-*0), 408 интегрируемы по Риману
иа отрезке [0; 1]; они все ограничены; функция примера 398 (при ся->-0),
14* 203

кроме того, непрерывна; для функций из примеров 395 и 397 множество точек
разрыва — канторово множество, т. е. множество меры нуль; для функции
примера 408 множество точек разрыва также имеет меру нуль (множество
рациональных чисел).
Функция примера 403 не интегрируема по Риману на [0; 1]: она
ограничена, но множество ее точек разрыва — полусегмент (0; 1] — имеет
положительную меру.
564. Все эти функции ограничены и измеримы на отрезке [0; 1] и, следова-'
тельно, интегрируемы по Лебегу. Вычислим их интегралы:
а) для вычисления интеграла от функции из примера 395 разобьем область
интегрирования на два непересекающихся множества: [0; lj = D (J CD, где
D—канторово множество, a CD-—дополнение к нему до всего отрезка
[0; 1]. Используя аддитивность интеграла Лебега, получим:
1
(L) f f {х) их =(L)\f (х) dx+(L) \ f (x) их
О Ъ cd
Интеграл по множеству D равен нулю, так как mD =
постоянна; поэтому
(L) 5f Wd« = 2-mCD = 2-l=2.
CD
■ О. На CD функция
Рис. 57
Следовательно,
1
(L) \ f(x)dx = 0+2 = 2.
б
б) Для вычисления интеграла от
функции задачи 398 (при сп->0) разобьем
область интегрирования на счетную
совокупность попарно не пересекающихся
множеств:
[0, ]] = D U («г, рх) U (a2; р2) (J
U ••• U (ад P«)U •-.,
где D — канторово множество а
(и„; р„)— его смежные интервалы,
занумерованные в порядке убывания их
длин, т. е. (аг; Pi)— интервал длины —;
о
(Оз". Рг) и (а3; (53) — интервалы длины
—-; (а4; р4), .... (а,; Р,) —
интервалы длины
, и т. д. При этом интервалы одинаковой длины мы нумеруем
слева направо. Используя полную аддитивность интеграла Лебега, получим:
1 °° $п
(L)^f(x)dx = {V\f(x)dx+ ^ (L)j f(x)dx.
6 D п = 1 ал
Так как mD = 0, то первый интеграл равен нулю. Остальные интегралы
вычисляются легко: на каждом интервале (а„; Р«) функция интегрируема по Риману
и поэтому
(t)J f(x)dx=(R)j f(x)dx.
20,4-

Интегралы Римана в данном случае равны площадям соответствующих
треугольников (см. график функции—рис. 57). Так, например:
1 J_
•1--Г Ь с*' 3*
_. (R) "rf'''-
2 ' L
а,
Суммируя, получим:
Pi ci"l" е* С2
{R) f (X) &Х = — ; (R) j / (X) их =
1
(Л) f f W dx = . —; <Я) j / (*) dx =
as 2 a*
1
Р? c''~55" £8
(R) j f (*) dx = —-^-; (Ю J W* = —
2
1
2
1
8 g4 ^
a«
'r j l \ Cl . C2 j. Cs j3 J. . -^-4- —3+ ...1
(L) j /W&=- Т+зТ+-зТ+33 + - + 33 + 3* + J"
0 L
Ряд стоящий в правой части равенства, сходится. Вычислив его сумму
(с тоебуемой степенью точности), мы найдем интеграл Лебега от данной функции.
Легко вндеть что функция f (х), построенная в задаче 398, интегрируема
по Лебегу не только тогда, когда ся-0, но и тогда, когда {сп\ -какая угодно
ограниченная последовательность. Выведенная выше формула для вычисления ии-
тегпала остается в силе и в этом случае (в частности, для функции примера 397).
в) Функция f{x) из задачи 403 эквивалентна функции —ж2. Поэтому:
11 '1
(L) Г f (х) dx = (L) j (— x!) dx = (R) j (— x2) dx = - -.
о о о
г) Функция f(x) из задачи 408 эквивалентна функции ф(х)ееО. Поэтому
1 1
(L) \f{x)dx=(L)\0-dx=0.
о о
=Ж5 Разобьем область интегрирования на попарно не пересекающиеся
множестваD, Аг, А», .... Ak, .... где D-канторово множество, Ak - сумма
всех смежных интервалов k-vo ранга (т. е. интервалов длины -^J. Используя
полную аддитивность интеграла Лебега, получим;
1
1
(1) С f (х) dx =(L)\f (x) dx+ 2 (L)$ f (*) d*-
О Ь fe = l Ak
Так как mD=0, то (L) j / (x) dx=0. На каждом из остальных множеств функ-
D
ция постоянна. Поэтому для любого номера k имеем:
(L)[ f(x)dx~-L.mAlt = -L.2*-i.-L=jL-.
Ak
Следовательно,
\ -11
| f(x) dx= 2
0 *=i
<L>f'W"=Jia.a*-4
205

566. Функция, рассмотренная в предыдущей задаче, интегрируема по
Риману на отрезке [0; 1], так как она ограничена на этом отрезке и множестк»
ее точек разрыва (множество D) имеет меру нуль. Интеграл Римана от этой
функции равен вычисленному выше интегралу Лебега. Следовательно,
(R) \ f {x) dx = -j- >
"о
567. Эта функция не интегрируема по Риману на отрезке [0; 1] (она
разрывна на множестве положительной меры — ее точками разрыва являются все
точки отрезка [0; 1], кроме точки х=\). По Лебегу, эта функция
интегрируема, так как она измерима и ограничена. Для вычисления интеграла Лебега
от f(x), заменим подинтегральную функцию эквивалентной ей функцией
<р(х)=х3:
1 1 1
(L) [ f (х) dx=(L) J «p (x) dx=(L) [ хъйх.
bob
Но функция ц*(х)—хн интегрируема по Риману на [0; 1]; поэтому
1 1
(L)J'x3dx=(£) jxsdx=—.
о о 4
г1 !
Итак, окончательно, (L) ) / (х) dx =
о 4
568. Функция ХЕ (х) измерима и ограничена; следовательно, она
интегрируема по Лебегу. Для вычисления ее интеграла, разобьем, [а; Ь\ На два
множества Ё и СЕ (где СЕ=*[а; Ь]\Е). Тогда:
Р
]%E(x)dx=\%E (х)йхЛ- ]%Е (#) dx=mE+0=mE.
а Е СЁ
569. Функция / (х) не интегрируема по Риману (она разрывна на
множестве Е положительной меры), но интегрируема по Лебегу. Вычислим ее
интеграл на [0; 1]:
1 оо рп
(L) $f(jc)dx=(L) §f(x)dx + 2 (Ц§ f(x)dx.
0 iS и = 1 an
На множестве Е функция постоянна (равна нулю); поэтому (L) J" f (x) йх=
Е
=0-/я£=0. На отрезках (a„; $п) функция интегрируема по Риману; поэтому
(L)§ f(x)dx^{R)) f(x)dx= Vn Л.
an an
Итак:
(L)\f(x)dx^ f Ь=5«_.
b n = i z
CO
Ho ^] фп — an) — это сумма длин смежных интервалов; она равна мере мно-
л= 1
жества СЕ /т.е. —). Следовательно, окончательно
1 1
(L) j7(x)dx = —.
о *
206

570. Разобьем Е на два множества: А — множество тех точек, где f(x) > с,
ш В — множество тех точек, где 0 < / (х) < с. Тогда
(L) f f (х) dx =(L)[f (x) dx+(L) I f {x) dx >(L) J / (*) dx,
E А В А
так как (L) j f(x) dx > 0 (в силу неотрицательности подинтеградьной функции).
в
На множестве А имеет место / (х) > с; мера .Л, по условию, равна а. Поэтому
(L) [ f(x)dx> (L) \f(x)dx> с-тА==с-а.
Ё А
571. Данная функция почти всюду на [0; 1] равна Xs. Следовательно,
интегралы Лебега от / (х) и от Xs равны друг другу; поэтому
1 1 1 j
(L) j f (x) dx = (L) f xsdx = (R) j xMx = —.
0 bo4
572. Обозначим смежные интервалы канторова множества, расположенные
в порядке убывания их длин, символами (ап; рп). Тогда
1 со Э„
(t)J f(x)dx=(L)\f(x)dx+ V (L)J дх)Лс.
в b n = 1 % an
Интеграл по D равен нулю (так как mD=0); интегралы же по отрезкам
(ап; р„) могут быть вычислены как интегралы Римана (следовательно, каждый
из них равен площади соответствующего полукруга): i
{L)\f(x)dx= ^ ~^ —■
1 1
Но для канторова множества имеем: 61—0!=-—; 62 — с^ = Рз— «s = "^Г~>
3 о2
р4 —а4= ... =Р7 — а, =—; рз — а8 ?= . . . = р15 — а15 = —; и т. д.
Поэтому
1 ЯГ12 22 2»-i "I я 1 я
(L) /(x)dx = —
6 8
—+ 4- 4- ... +■ 4- ... — —
3! З4 » т згге J 8 7 56
573. Разобьем отрезок [0; 1] на сумму двух отрезков: 0; —'[иг—; 1 ;
на первом из них функция f(x) эквивалентна функции хг, на втором —
функции хг; поэтому
р г3 с 1 /1 1 N
.51
, ,-<, v„ „-и , 108'
з
574. Множество Е является суммой сегментов
[з; 2}' [б"* 4 J'* L 7: 6J; •••"• [2n+l' 2«J; •■•'
а также множества меры 0 (двух точек 0 и 1). На каждом из этих
сегментов функция интегрируема по Риману; поэтому
207

1_ j_ J_
2 4 2rc
\f(x)dx = f SxSdx+j" 3x3rfx+ . . . 4- J" ЗхУх-Ь ... =
3 5 2n+l
1111 1
— 4- —4- . . . 4--
2з 33 4s 53
1
- +
(2rz)3 (2n+l)3
Этот ряд абсолютно сходится, и его сумма с точностью до 0,01 равна 0,10.
575. 2_
1 2 1
(L) f / (х) dx = Г sin Я xdx+ Г cos я xdx = 0.
оо j_
2
576. Функция рх (я) является характеристической функцией для множества
Ег, являющегося правой половиной сегмента [0; 1]; функция (32 (х) —
характеристическая функция множества Е2, являющегося суммой сешентов,,
I —; — I (J —, 1 ; рд (я) — характеристическая функция суммы
|т т]и [т ?]и [Ь т]и [г-']
сегментов
(множества £3>, и т. д. (см. рис. 58).
1Y
№*>
с8баад8в
рг(*)
' о { -I I >
Рис. 58
208

Далее, произведение р,- (х) р,- (х) является характеристической функцией
множества Et f) £\. В частности, [${ (х) ]2 — характеристическая функция
множества £;.
Легко видеть, что все множества Et имеют меру — а множества Е; f] Et
1
имеют меру — (при I Ф j). Поэтому
1 j
J PiW • Ру (х) dx = m (Et П Е-) = — (при i Ф j).
о
Кроме того,
\$i(.x)]*dx = mEl = -
о 2
• 1
I P/ (x) dx = mEt = —.
о 2
577. Функции q)fe (x) легко выражаются через функции Pfe (х),
рассмотренные в прошлой задаче: щ (х)=2$ь {х) ■— 1. Поэтому
1 1
\ <Р< W ч>у (ж) dx=J [2 р, (ж) - 1]. [Щ (х) - 11^^=0
"о о
при i Ф \. Аналогично
1
\l<P[(x)]*dx=l.
0
578. Производная /' (х) измерима на отрезке [а; Ъ] (см. задачу 542),
и, кроме того, -по условию, ограничена: следовательно, f (x) интегрируема
по Лебегу на отрезке [а; Ь].
579. Из того, что fn (х) > 0 всюду на £ и что f fn (х) dx ->■ 0 при п -*■ со,
еще не следует, что /„ (х) -*■ 0 при л -*- со для всех или хотя бы для почти
всех х £ Е. Приведем пример.
Заметим прежде всего, что любое натуральное число » может быть
представлено, и притом единственным образом, в виде «=2fe-f-i (где й=0, 1,
2, . .; 0<i<2ft—1). Зададим теперь последовательность функций {fn(x) };
пусть для n=2*-fl
' »'+!
1 при -^- < х < -^-,
0 в остальных точках сегмента [0; 1].
1 1
Ясно, что Г fn (x) dx = —g (см. рис. 59).
Так как при к -»- со k также стремится к бесконечности, то
1
Urn Г f„ (x) dx=0.
п -*зо о
Однако [fn (x)} не стремится к нулю нн в одной точке сегмента [0; 1J.
■ 209

580. Этот результат можно было бы легко получить из теоремы о том, что
функция от с;
с
(L) J / (х) dx
а
имее г производную для почти всех с£[а; 6], и эта производная почти всюду
равна значению подинтегральной функции в точке с. Из равенства
Г / (х) 6.Х ':
;о
вытекает, что производные от обеих частей равенства равны друг другу,
т. е. для почти всех с£[а; J3] имеет место равенство f(c)=0.
Однако это можно было бы доказать и не прибегая к теореме о
производной от интеграла Лебега. Проведем это доказательство.
с
Пусть f f(x)dx=0 для любого с£[а; Ь]. Докажем, что интеграл от f {x}
а
равен нулю по любому измеримому множеству Е с [а; Ь].
а) Для любого интервала (а; (3) с [о; Ь] имеет место f f (x) dx = 0.
<а; Р)
Действительно,
Р а
J f(x)dx = jf(x)dx — $f(x)dx = 0.
(а; Р) а о
б) Для любого открытого множества G с [а; Ь] интервал от f (x) по
множеству G равен нулю; это следует из того, что G является суммой конечного
или счетного числа непересекающихся интервалов (а интеграл по каждому
интервалу, как доказано выше, равен нулю).
в) Для любого замкнутого множества F cr [a; b] имеет место:
| f (x) dx = 0;
F
■если замкнутое множество F содержит оба конца сегмента [о; Ь], то это следует
из того, что такое замкнутое множество F есть разность между всем
сегментом [а; Ь] и некоторым открытым множеством G с [о; Ь] (а интегралы по
сегменту [о; Ь] и по множеству G равны нулю); если же замкнутое множество F
210

не содержит одного или обоих концов сегмента [а; Ь], то добавив к F одну или
две точки, мы не изменим интеграла по этому множеству. Следовательно, и в
этом случае [f(x)dx=0.
F
г) Интеграл по любому множеству М типа Fc равен нулю. Действительно,
«ели Ж —множество типа Fc , то M=Fi\)F2 (J •• • \JFk\j---, где Fh —
замкнутые множества. Не ограничивая общности, можно считать, что FtczF2cz- '-с:
jFfeC:--- (см. начало решения задачи 409). Но тогда М можно представить,
в виде суммы попарно не пересекающихся множеств следующим образом:
М =Ft U (FsXFJ U (F,\Fi) U • - • U (Fk+, \Ffc ) U •
(I)
Интеграл по замкнутому множеству Ft равен нулю. Интегралы по множествам.
f^+I—Fk также равны нулю, так как
J f{x)dx= J f(x)dx~ | f(x)dx=0.
Fk+i^k Fk+l Fk
Используя теперь полную аддитивность интеграла Лебега, мы заключаем, на
основании равенства (I), что f f(x)dx=0.
м
д) Интеграл по любому измеримому множеству Е с [а; Ь] от функции f (x)
равен нулю. Это следует из того, что для всякого измеримого Е существует
такое множество А типа Fa, включающееся в £, что т(£\Л)=0. Тогда
£= A (J (Е\А) и
\nx)dx = ]f(x)dx+ J f(x)dx.
Е А Е\А
Но оба интеграла в правой части равенства равны нулю: первый, так как А —
множество типа Fa, второй, так как Е\А—множество меры нуль.
Следовательно, f / (x) dx=0.
Е
Рассмотрим теперь множество £+С[с; 6] всех тех точек, где выполнено
неравенство f(x)>0. Это множество измеримо; следовательно, ( f(x)dx=0. Но
если интеграл от неотрицательной функции на
некотором множестве равен нулю, то эта функция
равна нулю почти всюду на этом множестве. Итак,
почти всюду на Е+ имеет место Дх)=0; значит,
f (х) > 0 только на множестве меры нуль.
Аналогично можно доказать (если рассматривать
множество £__ тех точек отрезка [а; Ь], где
f(x)<0) что / (х) < 0 только на множестве меры
нуль.
Следовательно, / (х) = 0 почти всюду на отрезке
[а; Ь].
581. Для вычисления интеграла от функции
f(x) = , — построим ее срезку числом £>1
/х— 1
{см. рис. 60)
Б+
Ш*)Ь =
при
1<*<1+—■
3
\ ' X — 1
при 1+~~ <х<,2.
Рис. 60
211

Вычислим интеграл от срезки:
_ A _L
~ 2 — 2г2"
Чтобы вычислить интеграл OTf(x), надо найти предел интеграла от срезки
(при t— + oo):
(L)J2/w^='is(f-i)=l
582. Вычисляя аналогично предыдущему, найдем: (L) I —&с=+оо;сле-
J х2
го; 1]
довательно, функция — не суммируема на отрезке [0; 1].
583. Функция f{x) эквивалентна функции ф(х), равной g на всем от-
резке [0; 1]; следовательно,
(L) | f(x)dx={L) 1 <p(x)dx=(L) -J^dx-
[в; l] [0; 1] [о; 1]
3
Вычисляя последний интеграл, находим, что он равен —. Следовательно,
(L) J f(x)dx=2-.
[0; 1] /
584. Здесь f (х) эквивалентна функции——; следовательно, (L) j" f(x)dx=
Vx [о; i]
i
i
dx. Последний интеграл легко вычисляется (он равен 2). Следо-
-<L)lw
о
вательно, (L) f / (х) dx = 2.
[0; 1]
585. Если f{x) — ограничена и измерима на множестве Е, то [f (x)]10 и
| / (я) | также ограничены и измеримы на этом множестве, и, следовательно,
интегрируемы. Функция может оказаться и неограниченной, а
неограниченная функция может быть и неинтегрируемой; например, функция f(x) = xz
ограничена и измерима иа Е = [0, 1], тогда как функция — неограничен и
неинтегрнруема на этом отрезке (см. задачу 582).
586. Найдем срезку функции f (x) числом t>0:
{0 для х£ D,
k для x£Ek(l<k<n),
t для х£Мп,
212

где Ek—сумма смежных интервалов ранга k очевидно, тЕ^ =—— 1 п це_
лая часть числа t, Mn — сумма всех смежных интервалов рангов >п (мера
множества Мп равна —I.
Вычислим интеграл от срезки:
1 я
J [/(*)]*** = \[f(x)]tdx + ^ f kdx+ J tdx =
0 D k=X Ek Mn
Sk-2"-1 /2\n
Чтобы вычислить интеграл от f (x), надо найти предел интеграла от срезки при
/2\« /2\"
(^ц-оо. Заметим, что при г^+оо, п-»--}-00'. при этом tl— < («+1)-(— ;
так как предел последнего выражения равен нулю (прн п-*+со), то и
/2\"
t-l—I -^0 при f-*4-oo. Следовательно,
со со
Найти сумму последнего ряда очень легко следующим образом: обозначим сумму
более общего ряда Б k-qk—1 через Ф (о)
fe=i
оо
k=\
Этот ряд является степенным; следовательно, его можно интегрировать на
любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости, в частности, на интервале
(0; q), где |#|<1. Поэтому
q 00
J<P(<7)d<7= 2 9*'
?■ 1
Ф (9) dq = .
О 1 - 9 j
Беря теперь производную от обеих частей равенства, получим: (р (q) =
(1-9)2
СО 1
Следовательно, У! &*<7&~~ 1== . В частности,
tx d-9)2
213

Итак, окончательно:
1 т
{'w*-tE*(t)
2Х*-1 1 „ „
-.9-3.
!=1
587. По условию, £ft = E(k<f (х) <к+\). Очевидно, имеет место
неравенство:
k-mEk< J f (x) dx<(k+\)mEk. (1)
Ek
CO
Докажем теперь необходимость и достаточность сходимости ряда £ £ • /л££ для
суммируемости неотрицательной функции fix).
оо
а) Необходимость. Пусть ряд £ k-mE^ расходится. Для любого
k—o
натурального числа N справедливы неравенства
N— 1 iV— 1
]" [/ (*)1лА> 2 j" / (*W* ^ 2 *'mEk-
Е k=0 Ek *=°
N-l
Так как £ к-тЕ^ стремится к бесконечности (при N-*oo)t то и | [/(я)]лг<£*-*-°°
ft=o Е
при N-»-oo; следоиательно, функция /(х) несуммируема на множестве £.
со
б) Достаточность. Пусть ряд £ k■ тЕ^ сходится; тогда остаток ряда
fe=o
по
£ к-тЕ^ стремится к нулю при N-*ca.
k=N
Имеет место равенство:
/со \ N~l
\[f(x)]Ndx = N.m U Ek +2 \fMdx;
принимая во внимание неравенство (1), получим:
N—\
. EkU
Е \ %=N / fe=0
При N-г-оо первое слагаемое в правой части неравенства стремится к нулю (так
со \ ОО Со Со
как N-m ( U £fe) = N- 2 mEk< 2 k'tnEk, а 2 k-mEk-*0 при
CO
N-*-0). Далее, ряд £ (ft+1) m£fe сходится (так как этот ряд может быть раз-
fe=o
со оо \
бит на два сходящихся ряда: £ к-тЕ^ и £ тЕЛ.
k=o fe=o /
Следовательно, выражение в правой части неравенства (2) стремится к ко-
нечному числу £ (k+l)mEk. Но тогда интеграл [/ (x)]Ndx имеет конечный
k=o - Е
предел при N-^оо (он возрастает при возрастании N и, как мы доказали, он
ограничен). Итак, функция / (х) суммируема на множестве Е.
214
\[f(x)]Ndx<Nm[ U Ek)+^i(k+\)mEk.
*f V k=N / «,_л
(2)

588. Используя обозначения предыдущей задачи, легко убедиться в том
что для любого натурального числа k имеет место равенство:
Ek=Ek\jEk+1{jEkA.t{J
откуда (так как Elf]'Ej= 0 при 1Ф1)
mEk=mEk+mEk4.1+mEk+2+ ...;
в частности, лри £=1,2, . . имеем:
mE1 = mE1+mEs+mEs-t- •■■ +tnEk+ ...
тЕ2 = тЕг-\-тЕг-\- •■• +mEk+ ...
mEk — mEk+tnEk+1+
Суммируя почленно эти равенства, получим:
со ^ ос
2т£,й=т£1+2т£2+3т£з+ ■•■ +k-mEk+ ... = ^k-mEk.
Итак, сходимость ряда £ mEk равносильна сходимости ряда Е k-mEk. Но тогда
k k
из результатов предыдущей задачи вытекает, что для суммируемости
неотрицательной функции / (х) необходимо и достаточно, чтобы ряд Xm£fc cxo-
k
дился.
589. Пусть / (х) — ограниченная функция, причем sup f (x) = М;
[0; а]
inf / (х) = т. Разобьем произвольным образом отрезок [т; М\ оси Оу на части;
[0; о]
легко убедиться, что интегральная сумма Лебега для функции / (х) на [0; а),
соответствующая этому разбиению, равна интегральной сумме Лебега для f (fix)
Г о.
(при том же разбиении отрезка [m; M]). Из равенства интегральных
сумм вытекает равенство интегралов; следовательно, для любой ограниченной
измеримой функции / (х) справедливо равенство:
а
a k
fff(x)dx=[f(kx)dx. (1)
о 6
Если / (х) неоераничена на [0; а[ и неотрицательна, то мы пишем
сначала равенство (1) для срезок [/ (x)]t и [/ (kx)]t, а затем переходим к пределу
при t^-oo.
Если же / (х) — знакопеременная функция, неограниченная на [0; а], то мы
пишем сначала равенства (1) для функций /+ (х) и Д_ (х), а затем почленно
вычитаем из равенства (1), написанного для /+ (х), аналогичное равенство для
функции /_(x).
590. Заметим прежде всего, что если функция —cos— не суммируема на
хх
[0; 11 при каком-либо k>0, то она не суммируема на этом отрезке и при
любом другом k>0 (это вытекает из результатов предыдущей задачи).
1 2
Докажем, что —cos — — несуммируемая функция. Если бы она была сум-
X X
215

1 1
мируема, то была бы суммируема и функция — cos —; но тогда была бы сумми-
х х
1 1
— cos —
X X
. А так как
11 11 „ 1
руема и функция — cos2 —, потому что — cos2 —
XX | X X
2 1 1 111112
cos — = cos2 — —sin8 — и, следовательно, — sin2 — = — cos2 — cos —, то
X ^ X X X л л л л л
1 1
отсюда вытекало бы, что и функция —sin2— суммируема. Но из суммируе-
х х
1111
мости функций — sin2 — и — cos2 — следовала бы суммируемость их суммы,
X Л* Л Л*
1
т. е. функции —, что неверно.
х
1 2
Итак, предположение, что функция — cos — суммируема, привело к проти-
х х
1 2
воречию. Значит, функция —cos— несуммируема. Но тогда и любая функция
1 k
вида —cos— также несуммируема.
* х
591. Пусть %Ei(x), %E (х), ..., %Еп(х)— характеристические функции
множеств £ь £2, •••> Еп\ рассмотрим интеграл / от суммы этих функций:
ь
'=J[XBl(*)+XB,(*)+ •■■ +ХЕп (*)1 йс =
а
Ь Ь
■= j" X£l W dx+ ■ * ■ + J У-Еп № dx = mEi+ • ■ • +mEn. (1)
a a
Заметим теперь, что %Ei (х)+ХЕг (x)+ --• +%En (Х)>Я в любой точке х£\а; Ъ\
(это следует из того, что любая точка х £ [а; Ь] принадлежит по меньшей мере о
из заданных множеств Ef, поэтому по меньшей мере о слагаемых суммы %Е (х)+
+ХЕ (х)+ ••• +Хе„М в точке х равны I). Поэтому
ъ
I>§qdx=q(b—a). (2)
а
Сравнивая (1) и (2), получаем:
mE1+mEi+ ■■• •\-mEn>q(b — а). (3)
q (Ь — а) п
Если для всех i было бы mEt< , то отсюда вытекало бы £ tnEi <
п ,-=1
<q(b—а), что противоречит неравенству (3). Итак, хотя бы для одного из E-t
имеет место
о(Ь- а)
tnEi > .
п
592. Нет, это утверждение неверно. Приведем пример. Пусть
2" при 2~п<х<2-п+1,
V0 в остальных точках отрезка [0; 1].
1
Здесь /л(л:)->0 (при п->-оо) для любой точки х£[0; Ц. Однако \ fn(.x) dx = \
о
216

для любого п и, следовательно, Г fn{x) dx не стремится к нулю при п-*оо.
о
Заметим, однако, что если в условии задачи дополнительно потребовать,
чтобы все /„ (х) были ограничены одним и тем же числом С (т. е. | fn (х) | < С
для всех х^Е и всех номеров п), то f/nW dx^-Q при n-*Q.
Е
593. Пусть функция / (х) неотрицательна на [о; Ъ\ и суммируема по
Лебегу. По условию, единственной точкой разрыва функции f (x) является точка о.
Докажем, что
ь ъ
lim [7(x)dx= [7(x)rfjc, (1)
где интеграл в правой части есть интеграл Лебега. Для доказательства
рассмотрим разность
j f (x) dx — J / {x) dx
a t
(2)
и докажем, что она может быть сделана сколько угодно малой по модулю
(при t достаточно близком к о). Пусть е > 0 — произвольное положительное
число, а N—такое число, что \ f (x) dx— j \f{x)\jfdx<—. Преобразуем раз-
а а 2
ность (2) следующим образом:
ь Ь
$f(x)dx — $f(x)dx
]f(x)dx = §U(x)-lf(x)]N)dx+ \[f(xnNdx
;(3)
под знаком каждого из интегралов в последней части неравенства стоит
неотрицательная функция; поэтому здесь знаки модуля могут быть отброшены; оценим
теперь каждый интеграл в отдельности:
t ь ь ь е
J (/(*) - [/ (*)Ы dx<J(/ (х) -[f {x)\N) dx=^f(x)dx — J'[f (x)]Ndx < —;
a a a a
t
f[/WWKN(i-o).
Ho N (t — a) < — при
0<t — a<
2N
(4)
Итак, для всех t, удовлетворяющих неравенству (4), имеет место, на основании
равенства (3):
ъ ь
J f(x) dx — j" / (x) dx <e,
a t
b b
откуда следует, что lim f f {x) dx = \ f (x) dx. Следовательно, для неотрица-
t-a+o j Ja
тельной суммируемой функции несобственный интеграл Коши равен интегралу
Лебега.
Если же суммируемая функция / (х) принимает на [а; Ь] значения разных
знаков и непрерывна всюду на [о; Ь\, кроме точки а, то мы представляем ее
в следующем виде:
f(x) = f+{x) — f-(x).
15 ю. С. Очан
217

Функции f+ (х) и f— (х) обе непрерывны на полусегменте (с; Ь] и
неотрицательны. Поэтому
ь ь ъ
(L) \ f {х) dx = (I) J /+ (x) dx — (I) j" /_ (x) dx =
a a a
b b b
= lim Г /+ (x) dx — lim Г f— (x) dx = Iim ( f (x) dx.
t-a+O j t-*a+0 j \
Итак, для любой (в том числе и знакопеременной) суммируемой функции f(x),
непрерывной всюду на [а; Ь], кроме точки о, несобственный интеграл Коши
равен интегралу Лебега.
594. Из существования несобственного интеграла Коши от функции f (x) на
отрезке [о; Ь] еще не следует суммируемость этой функции на [а; Ь]. Вот
пример.
Пусть
— cos— на (0; 1],
0 при х=0.
Эта функция интегрируема по Коши на [0; 1]. Действительно:
1 1 1
(' 1 1 Г 1 1 С / 1 \
(С) I—cos—dx = lim I —cos — dx= lim 1 z-cosz- —-—)dz =
.1 x x t->+oj x x <-H-oJ \ z2/
о t i_
t
\_
t +oo
J' cos г Г cos г
йг = I dz,
z J г
i l
~}-co
fcosz
dz, как известно из анализа, существует.
1
1 1
Что же касается интеграла Лебега от функции —cos— на участке [0; 1],
то он не существует (см. решение задачи 590).
595. Если функция / (х) суммируема на множестве Е по Лебегу, то на
этом множестве суммируемы также положительная и отрицательная части этой
функции:
f+ (х) = ; /_ (х) ■■ - —
2 ' 2
Так как }+ (*)>0, —f—(x)<i0, f{x) = f+(x)—f—(x), то для любого г >0
справедливо равенство
[/ wi_t = [/+ (*)!,+ [- f - Mil,,
откуда
f [/ WlL, dx = \ [/+ (x)?_tdx+ f[—/_W]L/ d«-
E E E
218

При £-*со, интегралы в правой части равенства стремятся к соответствующим
интегралам Лебега (так как функция [f+ (x)Y_t является срезкой
неотрицательной функции f+(x) числом t, и аналогично — функция [ — Д_ (х)]*_Л, Итак,
lim J [ / (x)]V,их = lim f [f+ (x)]'__t dx+Um \ [—f_(х)]*_{ dx =
= f/+ (x) dx + f — /_ (x) dx = j" [f+ W — /_ (x)] Л = (L) j> (x) dx.
Следовательно, функция f (x) Q-интегрируема, и ее Q-интеграл равен интегралу
Лебега.
596. Примером может служить функция / (х) =—; она Q-интегрируема
на (— 1; 1), и ее Q-интеграл равен нулю; однако по Лебегу эта функция не
суммируема
597. Это следует из более общего утверждения, содержащегося в
задаче 612.
598. Это следует из того, что для любой нечетной функции f{x), заданной
а
на отрезке {—о; а], имеет место равенство J [f(x)\t_tdx= 0 для любых t>0.
—а
Следовательно, это равенство сохраняется и в пределе при £->-+оо, откуда
вытекает, что Q-интеграл функции / (х) на отрезке [— а; а] существует и равен
нулю.
599. Нет, неверно. Так, например, функция f (х) =— Q-интегрируема на
Е = [— 1; 1], но не Q-интегрируема на Ег = (0; 1]. Если бы оиа была
Q-интегрируема на (0; 1], то, в силу ее неотрицательности на этом множестве, она
была бы суммируема по Лебегу (см. задачу 597), что, как мы знаем,
неверно.
600. Да, это утверждение справедливо. При с = 0 оно очевидно. Проверим
его при о0 (при с<0 оно проверяется аналогично).
Пусть / (х) — измеримая функция, Q-интегрируемая на Е. Докажем, что
функция cf(x) также Q-интегрируема на Е. Легко проверяется, что для любого
(>0и для любого х£Е имеет место равенство
[с/(*)]!_, = с [/(х)]с t
откуда
][cf(x)\t_tdx = c\[f{x)]c_tdx-
Переходя в этом равенстье к пределу при t-*co, получим
(Q) \'cf(x)dx=c{Q) lf[x)dx.
Е Е
15* 219

601. Это утверждение неверно. Вот соответствующий пример. Пусть
fix):
— — при — 1 <х <0,
х2
1
при 0<л:<1,
х2
0 в остальных точках отрезка ^— 1; 2];
£(*) =
1
при — Кх<0,
при 1 <jc<2,
(х-1)2
0 в остальных точках отрезка [— 1; 2].
Q-интегралы от функций f (х) и g (х) по отрезку [—1; 2] существуют и равны
нулю. Однако (^-интеграл от суммы этих функций, т. е. от функции
2
—— при — 1<л:<0,
хг
1
/W+gW={— при 0<х«1,
— 1
1+
. ■ при 1 <х<2
' (*-1)«
не существует. Для того чтобы в этом убедиться, вычислим интеграл от
-VI 2 о V\
([/(*) + *(*) lit <& = \ (— ^Adx+ Г (—t)dx+ Г ш+
" ' -VI
+ \ —,dx + \ tdx + \ - dx=Yt (4 — 2Vl).
J х* J J (x— l)2
VI ' nVJ
Последнее выражение стремится к бесконечности прн t-*- f 00; следовательно,
2
| [/W + gW]!_(^ не имеет конечного предела при £-*со; значит, функция
—1
f(x)+g(x) не Q-интегрируема на отрезке [—1; 2].
602. Это утверждение также неверно. Покажем это на п р и м е р е. Пусть
I 1
— при — 1<х<0 и при 0<л:<1,
f(*)=] x
0 в остальных точках отрезка [— 1; 2].
( 1
при — 1<л:<0,
g (х) =
1
при 1 <.х^.2,
х—\
0 в остальных точках отрезка [— Г, 2].
220

2 2 2
Тогда «?) ]" / (х) dx = О, (Q) J g- (х) dx = О, (Q) Г {f (х) + g (л:)} dx = 2 In 2 (по-
-1 —l _i
следний интеграл здесь вычисляется так же, как и аналогичный интеграл в
предыдущем примере). Итак, каждая из функций f{x), g(x), f(x)+g(x)
(^-интегрируема на отрезке [— 1; 2], однако Q-ннтеграл от суммы функций не равен
сумме Q-интегралов от слагаемых.
603. Пусть f (х)—функция, суммируемая на множестве Е по Лебегу;
тогда суммируемы и функции f+ \х) и /_(л). Так как /+(х)>0, —/_(x)<Q,
f{x) = /+ (*)+(—f_(x)), то для любого t>0 справедливо равенство:
[/ ix)f_iat= [f+ (x^+I- f- Mtlat,
откуда
f [/ (x)]blat Л = j" [/+ (*)£* dx+ [ [- f-(x)flat.
E E Б
Функции f+(x) и f— (x) — неотрицательны; поэтому
[/+(*)£„, = [/+(*)]«,
[ -/_ (x)?Aat= - [/_ (x) £'w = - [/_ (x) W
Следовательно,
Iim l'[/(x)]i^dx= lim f [f+ (x)]bt dx—lim f [/_(x)]aidx =
= J /+ (x) dx — j" /_ (x)rfx = (I) J / (*) dx.
ЕЕ Е
Здесь мы учли, что если функция f(x) суммируема по Лебегу, то суммируемы
также функции /+ (х) и /_ (х).
Итак, доказано, что предел интеграла j[/ (x)]J_at dx(npni-*oo) существует
я
и не зависит ни ото>0, ни от 6>0. Значит, функция / (х) Л-интегрируема, и.
ее Л-интеграл равен интегралу Лебега.
604. Будем считать, что Ь>а (случай Ь<а аналогичен).
Функция [f(x)]bQ —lf(x)]f отлична от нуля только на множестве
E(f(x)>at), и всюду на этом множестве она удовлетворяет неравенству
0<и(х)]о*-и(х))%<Ы-а1. (1),
Кроме того, она равна Ы — at во всех точках множества E(f(x)>bt)
(схематически это изображено на рис. 61). Поэтому мы можем оценить этот интеграл как
сверху, так и снизу.
а) Оценка сверху. Из неравенства (1) вытекает
0<Г([/(*)#-[/(*)1?)л = f (r/(*)fo-r/(*)C>*<
Е EU(.x)>at)
<(6— a) t-mE(f(x)>at).
221

уЩ
О
ы
уИ «- М
,«
дует, что Пт
ЧИМ, ЧТО
<0
. Рис. 61
Ъ— а
б) Оценка снизу. Из того
что функция постоянна и равна
{Ь—a)t всюду на E(f(x)>bt) и
неотрицательна в остальных точках
множества Е, следует, что
J([/Wlo-[/(*)loOdx>
В (/(*)> ВД
= (Ь— о) t-mE (f(x)> Ы) Ss 0.
Пусть нам теперь дано, что
t-mE (/ (х)> /)-*0при £—+оо; тогда
(b — a)t-mE(f(x)>al) =
= о* -mE(f(x)> at) -*0
о
при t-*--\-ao; но в таком случае из
неравенства, доказанного в пункте
а), вытекает, что
Если же нам дано, что
f ([/(*)]#-/MIS') rf*-*0
при i-s-+oc, то из неравенства,
доказанного в пункте б), сразу сле-
Ы-тЕ (f(x)>bt)^0, откуда, заменяя Ы на t, полу-
lim t-mE(f(x)>t) = 0.
Итак, равносильность обоих утверждений доказана.
605. Достаточность. Пусть (<2)J/ (x) dx существует, и t-mE (f(x)> t)->0
Е
при t-s- + oo. Докажем, что f(x) Л-интегрируема; для этого рассмотрим интеграл
от [/ (x)\b^_at при произвольных о>0, £>>0:
f [/ (*)С, Ac = J [/ (*)]!?* dx+ f{[/ Wig' - [/ Wlo'} dx- (1)
£ В В
Первое слагаемое в правой части равенства (1) имеет конечный предел при
/-* +оо (в силу существования Q-интеграла); второе слагаемое стремится к нулю
при t->--\-co (в силу результата предыдущей задачи). Итак, предел интеграла
[ [f (x)]^at dx при £-*+оо существует и не зависит ни от о>0, ни от £>>0.
Е
Значит, функций f (x) А-интегрируема.
Необходимость. Пусть функция f(x) Л-интегрируема; тогда,
очевидно, она и Q-интегрируема, причем ее Л- и Q-интегралы равны друг другу. Для
доказательства того, что t-mE(f(x)>t)-*Q при f-*-f оо, воспользуемся снова ра-
222

венством (1). Устремляя в этом равенстве t к бесконечности и учитывая, что
| U(x)]_atdx и f[/ (x)]^iat их стремятся, в силу ^-интегрируемости функции
е к
f{x), к одному и тому же пределу, получим
Отсюда следует, что \imt-mE(f(x)>t) — 0 (см. задачу 604).
606. Построим функцию, Л-интегрируемую на некотором множестве, но не
суммируемую по Лебегу на этом множестве.
Рассмотрим сначала функцию х =—-—, заданную на луче 1<у<+оо. Она
уЫу
непрерывна и строго убывает на этом луче; следовательно, она имеет обратную.
Обозначим ее у = ср (х); ясно, что функция у=<р (х) определена, непрерывна
и строго убывает на участке 0<л;<+оо (см. рис. 62).
Теперь возьмем в качестве искомой функции — функцию f(x), определенную
следующими равенствами:
AW—'|_ф(_х) на (—1; 0)
(см. рис. 63). Докажем, что эта функция
Л-интегрируема на (—1; 1).
Действительно, Q-интеграл от этой функции
существует (так как она нечетна на (— 1; 1)).
/
ч
t
}
г
1
■1\ 0
V
\t(nt
.. \г/М
1 i
1 I
h -l
- "—I 'J
TWfT
X
Рис. 62
Рис. 63
Кроме того, для любого £> 2; имеет место тЕ (f(x)>t) =
1
Следова-
tlut
тельно, \\mt-mE(f(x)>t) = 0. На основании результатов предыдущей задачи
отсюда вытекает, что f (х) Л-интегрируема на (—1; 1).
Убедимся теперь в том, что эта функция не суммируема по Лебегу на (■—1; 1).
Обозначим ее через Е^ множество тех точек отрезка (0; 1), где f{x)>k; ясно,
^ ъ, 1 СО ^ ОО 1
что mE,= l, mEk= ——-(при£>2). Ряд £ mEk = l + £ ——- расходится;
£ln£ k=l k=2k\uk
следовательно, неотрицательная функция / (х) на отрезке (0; 1) несуммируема
по Лебегу (см. критерий суммируемости неотрицательной функции, приведенной
223

•в задаче 688). Аналогично проверяется, что f (х) несуммируема на (—1; 0).
Ко тогда эта функция несуммируема и на всем отрезке (— 1; 1).
607. Это утверждение вытекает как частный случай из результатов
задачи 612.
608. Если функция А-интегрируема на множестве Я, то она и Q-интегри-
руема на Е, причем оба интеграла от этой функции равны друг другу.
Если функция Q-интегрируема на В, то она не обязательно А-интегрируема
на этом множестве; так, например, функция у=— Q-интегрируема на (—1; 1),
но не А-интегрируема на этом отрезке.
609. Это утверждение справедливо; докажем его. Пусть с > 0; тогда для
-любых а > 0, b > 0, t>0 имеет место:
±t
[cfM]blat=c[f(x)]c_£t;
с
\[cf (x)\blat dx = с J [f mladx. (1)
t E с
"Если же с<0, то
U
[cf{x)flat=c[f{x)]C^t;
с
a
-t
J [cf (x) \blat dx = c\[f (x)]Cb dx. (2)
E Ec
Переходя в равенствах (1) и (2) к пределу, получим:
limf [c-f (x)]_battdx=c-(A)U(x)dx.
*->-оо£ E
Итак, предел интеграла j [c-f (x)\_^tdx при £-*oo существует и не зави-
Е
сит ни от о>0, ни от 6>0; значит, функция cf (x) А-интегрируема, и ее
/?-интеграл вычисляется по формуле:
(А) (с-/ (х) dx=c-(A) \f (x) dx.
Ё Е
Это равенство доказано при с?=д. Для с=0 оно очевидно.
6Ю. Если две функции f (х) и g (x) А-интегрируемы на Е, то их сумма
также А-интегрируема на Е, причем имеет место равенство
(А) ) {f (х)+S (x)}dx= (A) f / (х) dx+(А) С g (x) dx (l)
Е ЕЕ
224

Для доказательства этого надо убедиться сначала в том, что неравенство
[f w] Л l+ig wn H/ w+e wl-S<[/ wi J i+fe (*)]_£ J (2>-
выполняется всюду на множестве Я для любых о>0, 6>0, f>0: здесь.
a=min( — 61, р = тах (о, 26), Y=min(o, —I, 6 = max (2a, b).
Для проверки неравенства (2) следует разбить множество Е на шесть
слагаемых множеств Еи Е2, Es, Я4, Е5, Ев, на каждом из которых все три
функции f(x), g(x), f{x)+g(x) сохраняют постоянный знак (например,
£1=£(f>0, g>0, f+g>0); £2=Я(/>0, g<0, f+g>0) и т. д.), а загем для
X X
каждого Ei в отдельности проверить, что при к £ Е[ неравенство (2) имеет место *
После того как неравенство (2) доказано, проинтегрируем его почленно по-
множеству Е:
J[ М1_П dx+\ [glx)]_X* dvZ[inx)+glx)]J% dx<
E E E
<J[f(*)L-g^+J[gWLgJd«
Крайние члены этого неравенства стремятся к (A) J / (х) dx+(A) J g (x) dx;
Е Е
следовательно, к тому же пределу стремится и средний член этого неравенства.
Так как этот предел существует при любых о>0 н Ь>0 и не зависит от о и Ь,
то функция f(x)-{-g(x) Л-интегрируема, причем
(A) J(f {x)+g {х)) dx=(A) f / (x) dx+(A) f g (x) dx.
E ЕЕ
611. Нет, это утверждение неверно. Примером может служить функциям
f(x), построенная при решении задачи 606. Она Л-интегрируема на (—1; 1),
но не Л-интегрируема на (0; 1).
612. Пусть }(х)>0 — неотрицательная измеримая функция, не суммируемая/
по Лебегу на множестве Е. Докажем, что она ие интегрируема на множестве Е
также и с помощью Г-интеграла. В силу условия а), наложенного на Г-интеграл,
*) При доказательстве неравенства (2) надо иметь в виду следующее:
а) если и (к) и v (к) — неотрицательные функции, то [и{х)]_^ совпадает со-
срезкой функции и (х) числом Ъ и аналогично для [v (x)]_a. А для срезок
неотрицательных функций имеет место неравенство:
[и (*)] ь +[у Ml ь <\-и (*)+о(*)М« (x)]b+[v {x)]b;
2 2
б) если и (х) — какая угодно (в том числе и знакопеременная) функция, то-
-[«(*)]_2= [-«(*)]_£
в) если с^а, d>b, то [и {х)]__^[и (х)] _dc.
Соотношения а), б), в) справедливы для любых положительных чисел а, Ь,
с, d (где ска, d>b). Подробное доказательстю этих соотношений, а также»
вытекающего из них неравенства (2), предоставляется читателю.
225-

«резка этой функции Г-интегрируема, причем для любого л>0 имеет место
равенство:
GO J If (x)]„(te=(L) f [/ {x)]ndx.
E E
Если бы функция f (x) была Г-интегрируема на Е, те, так как / {x)>[f (х)]п,
«з условия б) вытекало бы:
(Г) J f (х) dx>(T)\ [f {x)]ndx={L) f [/ (*)]„ dr. (1)
ЕЁ Е
H° Ш ) [f{x)]ndx может быть сделан — при достаточно большом л— больше
Е
любого положительного числа (в силу несуммируемости функции f (x)).
Следовательно, и (Т) \ f (x) dx превосходит любое положительное число (см. (1)), а,
Е
значит, этот интеграл не может равняться никакому конечному числу.
Итак, если измеримая неотрицательная функция / {х) не суммируема на
множестве Е конечной меры, то она и не Г-интегрируема на Е; следовательно,
если она Г-интегрируема на Е, то она и суммируема по Лебегу на этом
множестве. Таким образом, в классе измеримых неотрицательных функций (заданных
на множестве Е конечной меры) Г-интеграл не шире интеграла Лебега.
Так как Л-интеграл и Q-интеграл являются частными случаями Г-интеграла,
то и для них справедливо аналогичное утверждение (см. Еыше, задачи 597 и
€07).
613—634. Читателю предлагается самостоятельно доказать утверждения,
-содержащиеся в этих задачах.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
0
ЛэВ
Л=Б
U А\ 5
ЛпВ
ПЛ|
I
Л\В
лдв
^4ХВ
lim An
lim Лп
СЕ
CRE
(a; b)
la; b] 9
la; b) 9
(a; b] 9
|(a;+oo), [a;+oo) 9
(— эо;Ь),(— сю; 6] 9
sup £ 10
sup j(x) 10
inf £
inf f(x)
E
A-^B
A^B
I
л>в
Л=п
Л=х0
A=c
10
10
14
14
14
14
14
14
14
14
14
2a
q(x; y)
С, С la; b]
15
15
18
18
18
19
Clt Сг la; b] 20
V{x0), FE(x0)22
borne E
E'
E
D
Fc
G6
23
23
23
24
24
25
25
E
q(x; A) 25
б(Л; В) 25
diam E 32
/С-семейство 45
В-множество 45
mE 46
f-ЦА)
af(x)
51
51
54
alf(x), x0, E] 54
sgn ж 54
XB (*) 56'
Vf 71
£(/(*)> a),
£(a</(x)<6),...80
(*)j 81
Wj' Wj
82
/+(*), /_(*) 83
6
89
(C)J
90
90
/(fl+0), /(a—0)184-
227-

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Л-интеграл
Арифметическая сумма множеств
Бесконечные дроби
Бесконечное множество
Больцано — Вейерштраеса
теорема
Борелевские множества
Борелевское семейство множеств
Вариация функции
Вейерштраеса теоремы о
приближении непрерывной функции
Векторная функция
Верхний предел
последовательности множеств
Верхняя граница числового
множества
Верхняя грань числового
множества
Верхняя грань функции
Взаимно однозначное
соответствие
Включение множеств
Внутренние точки множества
Внутренность множества
Всюду плотное множество
Выпуклое множество
Гейне — Бореля теорема
Гиперконтинуум
Граница множества
Граничные точки множества
Дарбу свойство
Дарбу суммы
Двоичные дроби
Двойственности закон
Десятичные дроби
Диаметр множества
Дополнение к множеству
90
66
10
14
32
45
45
71
56 -
92
6
9
10
10
9
5
24
25
25
94
33
15
23
23
58
81
11
7
11
23
6
Евклидово и-мерное
пространство
18
Жордана кривая 66, 72
Замкнутые множества
Замыкание множества
Звездная область
Измеримые (по Лебегу)
множества
Измеримые функции
Изолированные точки множества
Интервал
/(-семейство множеств
Кантора теорема
Кантора — Бендиксона теорема
Кантора — Бернштейна теорема
Канторова гребенка
Канторово совершенное
множество
» > » , сегменты /с-го
ранга
» » » , смежные
интервалы /с-го ранга
Колебание функции в точке
Колебание функции на
множестве
Компакт
Конденсации точки
Конечная дробь
Конечное множество
Континуум
Координаты точки в евклидовом
пространстве
Косоугольная проекция
множества
Коши критерий сходимости
Коши — Буняковского
неравенство ;
Лебега интеграл ;
23
23
12
45
80
23
9
45
33
33
14
44
24
120
74
54
54
38
33
10
14
14
18
66
32
19,109
81,83
228

Лебега интеграл, условия
существования 82
Линейная мера 46
Липшица условие 72
Луч 9
Мера множества по Лебегу 46
Метрическое пространство 18
Множество значений функции 51
Множество определения функции 51
Монотонная функция 71
Мощность континуума 14
Мощность множества 14
Несвязное множество 35
Непрерывная функция,
определение по Коши 52
Непрерывная функция,
определение до Гейне 53
» » » по Бэру 54
Непрерывное отображение 65
Непрерывные функции на
замкнутом ограниченном множестве 55
Непрерывный образ множества 57
Несчетное множество 14
Неэквивалентные множества 14
Нигде не плотные множества 25
Нижний предел
последовательности множеств 6
Нижняя граница числового
множества 10
Нижняя грань числового
множества 10
Нижняя грань функции 10
Нуль-множество 45
Область значений функции 51
Область интегрирования 82
Область определения функции 51
Обратная функция 74
Образ множества 51
Общая часть множеств 5
Объединение множеств 5
Объемная мера 46
Ограниченное множество 10,32
Ограниченной вариации функция 72
Окрестность 22
Отделимость множеств 25
Открытые множества 24
Отображение 51
Отрезок 9
р-ичные дроби
Пеано кривая
Пересечение множеств
Плоская мера
Плоские множества
Плотные множества
Подмножество
Подобные множества
Подпоследовательность
Покрытие множества
10
66,68,72
5
46
10
25
5
42
32
33
Полная аддитивность интеграла
Лебега 82>83
Полная вариация функции 71
Полное пространство 32
Полусегмент g
Почти всюду 75,80
Предел последовательности 32
Предельное множество числовой
последовательности 38
Предельные точки множества 23
Прикосновения точки множества 23
Проекция множества 66
Произведение множеств 6
Производная 56
» правая, левая 57
Производная точная 57
Производное множество 23
Прообраз множества 51
Пространство 6,18
Пространственные множества 10
Пустое множество 5
Равенство множеств 5
Равномерно-непрерывная функция 55
Равномерно-непрерывное
отображение 65
Разность множеств 6
Разрыва точки 55
Расстояние между множествами 25
» » точками 18
» » точкой и множеством 25
Римана интеграл 81
» » , условия
существования 81
Связное множество 35
Сегмент 9
Серпинского «кладбище» 44
Серпинского «ковер» 43
229

Симметричная разность множеств 6
Скачок функции 184
» » правый, левый 184
Смежные интервалы замкнутого
множества на прямой 34
Собственное подмножество 5
Совершенное множество 24
» » его мощность
(в евклидовом пространстве) 33
Составляющие интервалы
открытого множества на прямой 34
Спрямляемая дуга 72
Спрямляемости дуги критерии 73
Стереографическая проекция 102
Строго монотонные функции 71
Строение открытых и замкнутых
множеств на прямой 34
Сумма множеств 5
Суммы Дарбу
Суммы Лебега
Сходящаяся
последовательность
Счетные множества
Точная производная
Троичные дроби
Фундаментальная
последовательность
Функция
Функция Кантора
Характеристическая функция
множества
Частичная сумма ряда
Числовые множества
Элемент множества
Эквивалентность множеств
Эквивалентные функции
00 00
32
14,15
57
11
32
51
75
55
38
9
5
13
80

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Задачи
Часть первая. Теория множеств
Глава 1. Операции над множествами
Глава 2. Взаимно однозначное соответствие
Глава 3. Мощность множеств
Глава 4. Метрические пространства
Глава 5. Предельные и внутренние точки множества.
Открытые и замкнутые множества
Глава 6. Открытые и замкнутые множества (продолжение) . .
Глава 7. Мера множеств
Часть вторая. Теория функций
Глава 8. Общая теория отображений
Глава 9. Непрерывные функции в евклидовых пространствах
Глава 10. Непрерывные отображения .
Глава 11. Монотонные функции. Функции ограниченной
вариации ...
Глава 12. Измеримые функции. Интегралы Римана и Лебега
13
18
22
31
45
51
52
64
71
80
Указатель обозначений 227
Предметный указатель
228